Source: https://es.scribd.com/doc/17217457/ley-de-hook
Timestamp: 2016-02-14 14:55:37+00:00

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Luego el periodo natural de oscilación estará dado por: T = 2π m K
Definición (MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE) Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación x=A·sen(ωt+φ)
donde A es la amplitud. w la frecuencia angular. w t+ φ la fase. φ la fase inicial. Las características de un M.A.S. son: Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A. La función seno es periódica y se repite cada 2 π por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2 π, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p . P=2π/ω Objetivo de la práctica. Obtener la constante de elasticidad de un resorte. Equipamiento − Resorte − Regla − Masas − Balanza − Cronómetro 2. PROCEDIMIENTO 2.1 Pese el resorte y cuélguelo de un soporte fijo. 2.2 (DETERMINACIÓN DE k) Cuelgue masas de diferente valor en el extremo libre del resorte (por ejemplo 10g, 20g, etc. ). Mida el alargamiento correspondiente a cada masa y anótelo en una tabla de datos.
2.3 (MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE). Ahora cuelgue del resorte masas de diferente valor y mida, para cada caso, el periodo de oscilación. Realice, para ello, el siguiente procedimiento: una vez que la masa colgada haya alcanzado el equilibrio, tire suavemente de ella hacia abajo y suéltela para que oscile verticalmente. Mida el tiempo t de unas 15 o 20 oscilaciones completas. A partir de este dato calcule el tiempo T de una oscilación. Consigne sus datos en una tabla. 2.4 Con los datos obtenidos en 2.2 haga una gráfica de la masa colgada en función del estiramiento del resorte. De la gráfica determine el valor de la constante k del resorte. 2.5 Con los datos obtenidos en 2.3 haga una gráfica de T 2 en función m. Determine, la relación entre T y m. 2.6. De la gráfica anterior obtenga los valores de la constante elástica k. Compare el valor obtenido aquí con el obtenido en 2.4. Como vimos en las partes anteriores una masa M sometida a esta fuerza realiza un movimiento armónico simple, es decir su posición en función del tiempo se puede representar por una función de tipo sinusoidal como la ecuación (1). ¿Afecta la masa del resorte al periodo T ?. Aparentemente la pregunta no tiene sentido, ya que la ecuación (2) dice claramente que T es independiente de la masa del resorte. Sin embargo, le proponemos que verifique experimentalmente esa ecuación. Análisis ¿Que experimento realizaría Ud. para verificar experimentalmente esa ecuación? Analice sus proposiciones experimentales con el personal docente y luego realícelas detalladamente. Los resultados obtenidos en los experimentos recién realizados le permitirán responder las siguientes cuestiones. ¿Varía el período de oscilación si cambia la amplitud de ella ?. Si no lo ha analizado hágalo ahora. ¿Por qué es más conveniente graficar T 2 vs M, que T vs M? ¿La curva de su gráfico T2 vs M pasa por el origen?. ¿Cuánto vale T para M=0, según su gráfico?. ¿Cuánto vale M para T2 = 0?
PRÁCTICA # 2 El péndulo simple
Fundamentos físicos Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos • el peso mg • La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senθ en la dirección tangencial y mg·cosθ en la dirección radial. • Ecuación del movimiento en la dirección radial La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular. La segunda ley de Newton se escribe man=T-mg·cosθ Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular ω podemos determinar la tensión T del hilo. • Principio de conservación de la energía En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
La energía se conserva v2=2gl(cosθ-cosθ0) La tensión de la cuerda es T=mg(3cosθ-2cosθ0) La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular α. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).
La aceleración de la partícula es at=dv/dt. La segunda ley de Newton se escribe mat=-mg·senθ La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular ω es at=ω ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial.
(1) Medida de la aceleración de la gravedad Cuando el ángulo θ es pequeño entonces, senθ ≈ θ , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es θ =θ0·sen(ω t+φ ) de frecuencia angular ω2=g/l, o de periodo
Se emplea un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo. De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal. P2 = (4π2 /g) l g = (4π2/p2 ) l (4) (3)
Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes: • P2/(4π2) en el eje vertical y • La longitud del péndulo l en el eje horizontal. La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.
Actividades Se mide la longitud l del péndulo, esto es, desde el extremo fijo O al centro de masa de la esfera. Observa las irregularidades de tu cuerpo y traslada el centro de masa estimado del cuerpo a la escala vertical milimetrada. Procura observar el cuerpo perpendicularmente al plano de la escala milimetrada para evitar efectos de paralaje, y comprueba si existe algún error de cero en el punto fijo del péndulo. Se separa el péndulo de su posición de equilibrio y se deja oscilar libremente, procurando que el movimiento se produzca en un plano. Cuando la oscilación sea de amplitud pequeña, se cronometra la duración t de 40 oscilaciones completas (ida y vuelta). El periodo experimental T vendrá dado por: T = t / 40 Sobre la precisión de los aparatos de que dispones, establece la incertidumbre de tu medida personal para cronometrar tiempos y precisar la longitud del péndulo. (Recuerda que solo debes usar una cifra significativa para el valor de la incertidumbre). Se realizarán 10 medidas de t para otras tantas longitudes diferentes, modificando la longitud l del péndulo con ayuda de los ganchos de la escala (dispuestos de 10 cm en 10 cm aproximadamente). Anota en la tabla adjunta las medidas obtenidas, expresando los valores de t y de l que mides de forma concordante a las incertidumbres Δt y Δl establecidas para tus
correspondientes medidas directas. Para cada par de valores de longitud y periodo, calcula los correspondientes valores de T y T2 y, utilizando la ecuación (3), el respectivo valor de g. Los valores de las diferentes incertidumbres indirectas ΔT, ΔT2 y Δg las calcularás posteriormente. Obtén una gráfica de T2 en función de la longitud del péndulo l, en la que se reflejen tus resultados experimentales. Utiliza en la gráfica una escala conveniente y unidades adecuadas en sus ejes. Comprueba que tus datos experimentales guardan una relación lineal, ya que teóricamente: T2 = (4π2/g) l. Observa si algún punto se desvía de esa tendencia, o si su valor calculado para g difiere considerablemente del resto. Si es así prueba a repetir el experimento para la longitud correspondiente. - A partir del valor de la pendiente m de la recta de ajuste y=mx+c, calcula el valor de la gravedad gm , con sus unidades, que se obtiene comparando la regresión lineal con la fórmula T2 = (4π2/g) l . - Compara críticamente todos los valores de g obtenidos (los gi obtenidos a partir de las medidas individuales y el calculado a partir de la pendiente, gm) con el valor teórico de 9.8 m/s2. 1- ¿Por qué no es conveniente medir directamente el periodo midiendo el tiempo de una sola oscilación, en vez de medir el tiempo de 40 oscilaciones? 2- ¿Afectaría al periodo de un péndulo que su masa variase mientras oscila, como en la experiencia de Foucault? 3- Usando la ecuación (2), indica qué efectos producirían los siguientes viajes sobre un reloj de péndulo que funcione correctamente a nuestras latitudes: un viaje al polo norte, al Ecuador, una ascensión en globo y un descenso a grandes profundidades.
PRÁCTICA # 3 La onda producida por una cuerda vibrante.
De la misma forma que la longitud de un tubo es lo que determina la nota obtenida por este, en una cuerda vibrante influyen otros factores. La nota producida por una cuerda vendrá determinada por la longitud (L), la tensión (T), la densidad (d) y la sección (S). Así, si disponemos de una cuerda muy tensa y fina, obtendremos una nota aguda; y por el contrario, si la cuerda está poco tensa y es gruesa, la nota será grave. Las ondas pueden interferir de distintos modos y algunos de ellos no producen estos efectos. Las ondas estacionarias se producen cuando la frecuencia de las oscilaciones es tal que la longitud total de la cuerda permite que quepa en ella exactamente media onda (o una onda, o una y media onda, etc). Dicho en otras palabras, las ondas estacionarias se producen cuando la frecuencia de la onda es tal que la longitud de la cuerda es un múltiplo entero de media longitud de onda. De este modo se tiene que los extremos fijos de la cuerda (que no vibran) coinciden con los antinodos. La situación recién descrita para una cuerda con ambos extremos fijos es análoga a la que se tiene en un tubo en el que ambos extremos están abiertos (como una flauta dulce, por ejemplo). En una onda estacionaria, las posiciones de los nodos y de los antinodos se mantienen fijas (de ahí el nombre de onda estacionaria) y la oscilación en los antinodos tiene el máximo valor que corresponde a la amplitud de la onda estacionaria (dada por la mitad de la diferencia entre la posición más alta y la posición más baja de la cuerda vibrante en ese punto). De hecho, la frecuencia se puede encontrar a partir de la fórmula:
1 T ⋅ 2L d ⋅ S
Veamos ahora la relación gráfica entre la longitud de una cuerda (L), la frecuencia (f) y la longitud de oscilación de una onda (λ) producida al hacer vibrar la cuerda.
Vamos a ver también cuáles son los diferentes sonidos (armónicos), que obtendremos al hacer vibrar la cuerda. Para eso debemos de tener en cuenta que siempre tiene que haber un nodo en los extremos de la cuerda. Una forma de entender lo que ocurre en una cuerda fija a sus extremos y sometida a una frecuencia determinada, es a través de la leyes de Mersenne.
Esta sería la onda fundamental o primer armónico. La longitud de la onda es 2 veces la de la cuerda La frecuencia es f Si dividimos la cuerda en dos partes, la longitud de onda será igual a la longitud de la cuerda. Su frecuencia es 2 veces más grande que la anterior. Esta onda correspondería al segundo armónico El sonido sería una octava más alta que el fundamental.
λ = 2L f1
λ2 = L f2=2 · f1
La longitud de onda es 2/3 de la longitud de la cuerda. Su frecuencia es 3 veces más grande que la primera. Esta onda correspondería al tercer armónico. Y es la quinta del segundo armónico. La longitud de onda es 1/2 de la longitud de la cuerda. Su frecuencia es 4 veces más grande que la primera. Esta onda correspondería al cuarto armónico. El sonido sería dos octavas más arriba que el fundamental y la cuarta del tercer armónico.
λ 3 = 2/3 L f3=3 · f1
λ 4 = 1/2 L f4=4 · f1
Si repitiésemos este proceso indefinidamente, obtendríamos todos los armónicos del sonido. Su frecuencia se obtiene multiplicando la frecuencia fundamental por todos los números naturales. La relación entre una y otra magnitud sometida a una tensión es:
ν= f . λ
f = 2π/t
Donde ν es la velocidad de propagación de la onda, T es la tensión de la cuerda y µ la densidad lineal de la cuerda. La frecuencia que debe tener una onda para dar una onda estacionaria estable es:
Si la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son: v/2, v, 3v/2, 2v. Siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda. Sustituyendo la velocidad:
Una vez hallada la frecuencia del primer modo de vibración se pueden encontrar rápidamente los restantes: la frecuencia del segundo modo es doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente... u1 Modo fundamental un =n 1 Armónicos n=2, 3, 4....
Elementos a utilizar en la práctica: a) b) c) d) dos juegos de curdas diferentes. Sistema para la medición automática del periodo de oscilación. Juego de pesas. Sistema de cuerda vibrante.
“LENTES” Objetivo de la práctica: Primera parte Cualitativa -Familiarizarse con las lentes y aprender a obtener imágenes con ellas y clasificarlas. Observar experimentos que de forma cualitativa muestren las leyes de la reflexión y la refracción. La refracción Si un rayo de luz va desde una sustancia rara como aire a de un medio más denso como un vidrio será curvado a través de la normal a la superficie de separación; si va desde un medio mas denso a un material raro, será curvado lejos de la normal. La cantidad de desviación no será constante pero cambiará con la inclinación del rayo entrante. La Fig. 1 muestra un número de casos de refracción de un rayo por un vidrio. Muchas observaciones comunes están relacionadas con la refracción. Una cuchara que permanece en una taza de agua parece ser inclinada en el lugar que pasa a través de la superficie. Esto es porque cualquier objeto bajo el agua se ve por la luz reflejada por el, y viene a través de la superficie. Los rayos que vienen de cualquier punto son refractados como se ve en la Fig 1 y entonces parecen venir de otro punto el cual se encuentra cerca de la superficie. El resultado es que la parte inmersa del objeto parece curvarse hacia arriba. Si trazamos las rectas perpendiculares (denominadas rayos) a los frentes de onda incidente y reflejado, se concluye, que el ángulo de incidencia θi formado por el rayo incidente y la normal a la superficie reflectante, es igual al ángulo de reflexión θr formado por el rayo reflejado y dicha normal.
Consideremos un frente de ondas que se acerca a la superficie de separación de dos medios de distintas propiedades. Si en el primer medio la velocidad de propagación de las ondas es v1 y en el segundo medio es v2 vamos a determinar, aplicando el principio de Huygens, la forma del frente de onda un tiempo posterior t. A la izquierda, se ha dibujado el frente de ondas que se refracta en la superficie de separación de dos medio, cuando el frente de ondas incidente entra en contacto con el segundo medio. Las fuentes de ondas secundarias situadas en el frente de ondas incidente, producen ondas que se propagan en todas las direcciones con velocidad v1 en el primer medio y con velocidad v2 en el segundo medio. La envolvente de las circunferencias trazadas nos da la forma del frente de ondas después de tiempo t, una línea quebrada formada por la parte del frente de ondas que se propaga en el primer medio y el frente de ondas refractado que se propaga en el segundo. El frente de ondas incidente forma un ángulo θ1 con la superficie de separación, y frente de ondas refractado forma un ángulo θ2 con dicha superficie. En la parte central de la figura, establecemos la relación entre estos dos ángulos.
v2·t=|OP’|·senθ2 La relación entre los ángulos θ1 y θ2 es
La dirección observada de un rayo refractado puede ser tomada en cuenta para la teoría ondulatoria de la luz. Piense en una curvatura paralela de luz viniendo a través del aire y golpeando una superficie de vidrio plano, como en Fig 1. AB is un frente de onda plano que es solamente cercano a entrar al vidrio en el punto A, mientras CD es un frente de onda que ha pasado justamente completamente adentro. Durante el tiempo que las ondas de luz viajan una distancia da en el aire, ellas evidentemente viajan una distancia dg en el vidrio, así que podemos concluir: V1 /V2 =da /dg Donde V2 es la velocidad de la luz en vidrio; V1 es la velocidad en el aire, la cual podemos decir que es prácticamente la misma que c, la velocidad en el vacío, la diferencia es despreciable para la mayoría de casos. La razón de la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en un material dado es llamada índice de refracción del material. Esta cantidad adimensional, representada por el símbolo n, determina la extensión de la curvatura de los
rayos. Así la ley de refracción puede ser considerada para dar el cambio en la dirección de un rayo en términos del valor n y la construcción de la Fig 1. También enuncia que el rayo incidente, el normal a la superficie y el rayo refractado están en un solo plano. La ley de refracción es n1senθ 1= n2senθ 2 Para cualquier rayo de luz que viaja a través de medios sucesivos, la longitud del camino óptico es la suma de los productos de las longitudes de los caminos geométricos y el índice de refracción en ese medio. La ecuación λn=λ/n muestra que la longitud de onda es igual a la longitud que ese mismo número de ondas habrían si el medio fuera el vacío. No confundir la longitud de camino óptico con la longitud del camino geométrico. Rayos notables. Los diagramas de rayos notables son dibujos de las diferentes situaciones para los lentes. Estos dibujos son los diferentes casos para lentes dobles convexos. Para los diagramas de rayo, asumimos que los lentes son delgados. Asumimos esto porque nosotros no queremos que la anchura de los lentes afecte la curvatura de los rayos. Como sea, los rayos curvan al entrar y salir de los lentes, la curvatura es minúscula y en la mayoría de los casos puede ser despreciada.
Segunda parte Cuantitativa Verificar las ecuaciones que relacionan la distancia del objeto y de la imagen a una lente delgada con la distancia focal de dicha lente, relacionar las distancias objeto e
imagen con la amplificación transversal de la lente y determinar la distancia focal tanto de lentes convergentes como de lentes divergentes. 1- Obtención de la distancia focal de una lente convergente con un objeto en el infinito. La distancia focal de una lente delgada es la distancia a la cual se puede obtener la imagen cuando el objeto se encuentra extremadamente alejado. Esta se realiza sobre el banco óptico (Ver figura 6) teniendo un objeto iluminado en el infinito colocamos una lente delgada positiva y encontrando sobre una pantalla la imagen y determinando su posición. La distancia entre la lente y la pantalla será la distancia focal de la lente positiva.
2 – Distancia focal por verificación directa de la ecuación de las lentes. Para una lente convergente determinada sobre el sistema óptico se establecen diferentes valores de la distancia objeto S, sucesivamente. En cada arreglo se determina la distancia imagen S`, ajustando la posición de la pantalla para lograr el enfoque mas nítido. En cada caso se miden S, S´, la distancia objeto y la distancia imagen y Y Y´que son el tamaño objeto y el tamaño imagen: en primer lugar revisamos si se satisface la ecuación de las lentes: 1/f = 1/s + 1/s´ y la de la amplificación lateral M= Y´/Y
Comprobar si tanto f como M permanecen constantes para los distintos arreglos y f deberá compararse con la calculada anteriormente. Comparar M con el valor teórico calculado a partir de M= - s´/s.
3 – Distancia focal de una lente divergente. Utilizando la lente positiva (convergente) y el objeto luminoso, forme una imagen sobre la pantalla, colocando la lente de modo tal que la distancia de la imagen sea aproximadamente vez y media la distancia objeto. Mida el tamaño de la imagen Y´. Usaremos esta imagen real como un objeto virtual para la lente negativa (divergente). Monte la lente negativa sobre el banco óptico entre la lente positiva y la pantalla. Esta distancia entre la lente negativa y la pantalla será la distancia objeto S ¿es positiva o negativa?. Ahora se mueve la pantalla para lograr obtener nuevamente una imagen bien enfocada. Una vez lograda la distancia entre la lente negativa y la pantalla será la distancia imagen S´. Mida el tamaño de esta imagen Y´. Calcule la distancia focal de la lente divergente. Compare –s´/s con Y´/Y. Es real ó virtual la imagen??. Presente todos los valores medidos y calculados en una tabla y verifique los errores cometido y como estos afectar las mediciones. ¿Con que grado de precisión cree usted que se ha verificado la ecuación para la amplificación ?. ¿Cuál método parece más exacto en la determinación de f ?
“EL MICROSCOPIO” Objetivo de la práctica: El microscopio es un sistema óptico que presenta al ojo una imagen amplificada de un objeto cercano. El tamaño aparente del objeto está determinado por el tamaño de su imagen en la retina del ojo. Así que si se desea observar en detalle un objeto lo más conveniente será acercarlo al ojo para aumentar su tamaño aparente. Para esto existe un límite que es la distancia de visión normal. La distancia de visión normal o de enfoque del ojo humano es de unos 25 cm. El poder amplificador de un instrumento visual utilizado para observar objetos cercanos se define como: La razón del ángulo subtendido en el ojo por la imagen de un objeto cuando al objeto se le coloca de modo que la imagen esté a la distancia de visión normal del ojo (25 cm), al ángulo subtendido por el objeto cuando se coloca a la distancia a la distancia de visión normal y se le mira directamente. El primer microscopio fue inventado, por una casualidad en experimentos con lentes, lo que sucedió de similar manera pocos años después con el telescopio de Hans Lippershey (1608). Entre 1590 y 1600, el óptico holandés Zacharías Janssen (1580-1638) inventó un microscopio con una especie de tubo con lentes en sus extremos, de 8 cm de largo soportado por tres delfines de bronce; pero se obtenían imágenes borrosas a causa de las lentes de mala calidad. Estos primeros microscopios aumentaban la imagen 200 veces. Durante el siglo XVII muchos estudiosos de las lentes y los microscopios hicieron toda clase de pruebas y ensayos para lograr un resultado de mayor precisión. Entre los intentos fue el del italiano Marcello Malpighi (1628-1694) que en 1660 logró ver los vasos capilares de un ala de murciélago. El inglés Robert Hooke (1635-1701) hizo múltiples experiencias que publicó en el libro "Micrographia"(1665) con dibujos de sus observaciones. Sus aparatos usaban lentes relativamente grandes. El holandés Antonie van Leeuwenhoek (1632-1723), perfeccionó el microscopio usando lentes pequeñas, potentes, de calidad, y su artefacto era de menor tamaño. Alrededor del 1676 logró observar la cantidad de microorganismos que contenía el agua estancada. También descubrió los espermatozoides del semen humano; y más adelante, en 1683, las bacterias. Durante las siguientes décadas los microscopios fueron creciendo en precisión y complejidad y fueron la base de numerosos adelantos científicos. El microscopio simple. El microscopio simple o lupa consiste en una lente convergente con el objeto localizado entre su primer punto focal y ella. El objeto podrá así acercarse a una distancia menor que la distancia de visión normal. La lente formará en estas condiciones una imagen virtual amplificada y a una distancia mayor que la del objeto, siendo observada la imagen virtual en vez del objeto mismo.
El microscopio compuesto. La formación de la imagen vista en el microscopio compuesto se ilustra en la siguiente figura.
Fig. # 5 El microscopio compuesto. En su forma rudimentaria consiste en una lente objetivo y otra ocular. La lente del objetivo produce una imagen real invertida h´ usualmente amplificada del objeto h. El ocular toma h´ como su objeto luminoso que estará todavía mas amplificada a una distancia confortable del ojo. La amplificación del sistema será la amplificación del objetivo por la amplificación del ocular, la amplificación del objetivo será la amplificación transversal vista en la primera práctica. Si fe es la distancia focal del ocular (en mm) se puede entonces expresar la amplificación del sistema como: M = (-S´/ S)(250/fe) = (-160 / fo ) (250 / fe ) Donde do = 250 mm es la distancia de visión normal la distancia del segundo foco del objetivo al primer foco del ocular se define como la longitud del tubo y se ha adoptado universalmente como 160 mm. La óptica de un microscopio común se refiere por su potencia. Así un objetivo de 16 mm de distancia focal tiene una potencia de 10 X y un ocular de distancia focal de media pulgada tendrá una potencia de 20 X. la combinación dará un poder de amplificación de 200 X o 200 diámetros. Resolución y aumento útil. La resolución de un microscopio esta limitada tanto por la difracción como por la agudeza visual del ojo.
R= 0.076 mm / M donde m es el poder de amplificación si le ajustamos el limite por difracción y despejamos el poder de amplificación del sistema tendremos M = 0.12 / λ A. N. (Aumento útil) Modelo de banco óptico de un microscopio. En vez de los elaborados oculares y objetivos de un microscopio utilizaremos lentes simples montadas sobre un banco óptico. Esto nos permitirá comprender mejor los principios de operación. Para la práctica se utilizará al menos 4 lentes convergentes, un como ocular y tres de diferentes distancias focales para ser utilizadas como objetivos. 1- Montar el arreglo de lentes sobre el banco óptico, logrando obtener sobre la pantalla la imagen del objeto bien nítida y aumentada. Medir los tamaños del objeto y de la imagen y calcular el aumento. Mueva la posición de la lente objetivo y describa lo que ocurre con la imagen. 2- Utilice una lente de distancia focal menor y colóquela en el lugar del objetivo y obtenga nuevamente sobre la pantalla una imagen nítida y aumentada, mida el tamaño de la imagen y calcule el aumento y compárelo con el resultado del ejercicio 1. ¿Como afecta la distancia focal del objetivo en el aumento total del microscopio? 3- Coloque en el lugar del objetivo una lente de distancia focal mayor que la del ejercicio 1 y repita el mismo procedimiento del ejercicio 2. ¿Que puede concluir?
ESTUDIO DEL INDICE DE REFRACCIÓN, LA DISPERSIÓN ANGULAR Y EL PODER SEPARADOR DE UN PRISMA. Objetivos: En este trabajo el estudiante conocerá los parámetros fundamentales de los prismas, empleados como dispositivo espectroscópico, tales como el índice de refracción, la dispersión angular y el poder de resolución. Se familiarizará con el uso de un espectroscópio goniómetro y su manejo y ajuste mediante el análisis de la radiación dispersada por el prisma que se estudia. Construirá la curva de dispersión del prisma y evaluará los resultados obtenidos. INTRODUCCIÓN TEÓRICA Cuando la luz, como todas las ondas electromagnéticas, interactúa con la sustancia, da origen a algunos fenómenos que a su vez afectan de un modo u otro esta propagación; por ejemplo ocurren variaciones en su velocidad de propagación y es absorbida por el medio en que se propaga parte de la energía que transporta la onda luminosa. La variación de la velocidad de propagación de la onda da origen al fenómeno de la refracción, es decir a la desviación de los haces luminosos de sus trayectorias originales. Es un hecho experimental que cuando rayos luminosos de diferentes longitudes de onda pasan de un medio a otro distinto, las desviaciones que experimentan difieren entre si, este fenómeno se debe a la dependencia entre el índice de refracción de la sustancia y la longitud de onda de la luz que se propaga en este medio, este fenómeno se llama dispersión de la luz. El índice de refracción se define como la relación entre la velocidad de la luz en el vacío (c) y la velocidad que tienen en el medio por el cual se propaga (v) y se expresa como: c (1) v Por lo dicho anteriormente para diferentes longitudes de onda (λ) se tendrán también diferentes valores del índice de refracción (n), o sea: n= n = f (λ ) Se denomina dispersión, ν a la variación de n para una variación de λ, definición que se puede expresar como:
dn d = f (λ ) (2) dλ dλ
Experimentalmente se ha encontrado que para las sustancias transparentes, en la región visible del espectro, el índice de refracción disminuye con la longitud de onda, tal y como se muestra en la figura 1(a). En este caso se dice que existe una dispersión normal. Cuando la sustancia absorbe selectivamente la luz de determinadas longitudes de onda, se observa anomalías en la curva de n=F(λ) en la vecindad de las longitudes de onda que se absorben, y en esos casos donde generalmente dn/dλ>0, se dice que se tiene dispersión anómala, figura 1(b).
Para la dispersión normal, la función n=f(λ) se puede expresar por la ecuación empírica aproximada: B (3) λ2 Donde las constantes positivas A y B dependen de la sustancia en cuestión. De la ecuación (3), según la definición de (2) se tiene: n = A+ dn 2B =− 3 (4) dλ λ El fenómeno de la dispersión se explica microscópicamente, por la interacción de las ondas luminosas con las partículas cargadas que componen la sustancia (átomos y moléculas). Considerando la interacción de la radiación incidente con los átomos y moléculas del medio, que se hallan oscilando, se puede deducir la siguiente expresión para el índice de refracción:
n2 = 1 + siendo:
a1 a + 2 2 2 +•••• 2 w −w w2 − w
w – Frecuencia de la radiación luminosa incidente
wi – frecuencia propia de los átomos y moléculas del medio ai - constantes ahora como
2πc la ecuación (5) se puede expresar como: w n2 = 1 + b1λ2 b λ2 + 22 2 +•••• 2 λ2 − λ1 λ − λ2 (6)
 λ  b1 = ai  i  = cons tan te  2πc 
y λi, las longitudes de onda correspondientes a las frecuencias propias wi. Para el estudio experimental de la dispersión de la luz, generalmente se emplea un prisma triangular de vidrio. El prisma triangular es una pieza de caras paralelas y cortada en forma de triángulo. En la figura 2, se presenta la marcha de un rayo luminoso a través de un prisma triangular ( PMNP´ ); el ángulo A se llama ángulo de refracción del prisma y el lado ab se llama base del prisma, de la figura se ve que el rayo se refracta dos veces, al penetrar desde el aire al vidrio del cual esta hecho el prisma y cuando sale de este hacia el aire. El ángulo de desviación ϕ, es el ángulo entre la dirección del rayo incidente PM y la dirección del rayo emergente NP`, este ángulo de desviación depende del valor del ángulo de incidencia, por lo que para un cierto valor de ángulo i 1, tendrá un valor mínimo (ϕ0); este valor caracteriza el ángulo de desviación mínima.
Para trabajar, es conveniente colocar el prisma de manera que el ángulo de desviación sea el mínimo posible, ya que solo para haces incidentes paralelos y desviación mínima de los rayos incidentes se cumple con mayor aproximación la condición de astigmatismo y otoscopia. Se puede demostrar que ϕ = ϕ0 cuando i2 = i`1 ; o sea, cuando el rayo dentro del prisma forma un triángulo isósceles con los lados que convergen en A es decir con los lados Aa y Ab. Basado en consideraciones geométricas y en el cumplimiento de la ley de Snell, se puede hallar una expresión que relacione el índice de refracción de la sustancia del prisma (n) con el ángulo de refracción A y con el ángulo de desviación mínima ϕ0. Esta expresión es: A + ϕ0 sen 2 n= (7) A sen 2 de modo que conociendo A y ϕ0 para una longitud de onda dada, se puede determinar el valor de n. Si un haz luminoso compuesto por varias longitudes de onda, atraviesa una ranura y posteriormente un prisma, al descomponerse la luz, se obtendrán tantas imágenes de la ranura como longitudes de onda componentes tenga el haz incidente, en este caso el espectro luminoso resultante estará formado por líneas de diferentes colores, llamado espectro de líneas o de rayas. Si el haz incidente es de luz blanca, el espectro que se obtiene es una franja de colores que pasa continuamente de un color a otro de los que forman la luz blanca y entonces se llama espectro continuo. Se llama dispersión angular del prisma a una magnitud que mide la variación del ángulo de desviación del prisma con la longitud de onda y se expresa matemáticamente por la ecuación: dϕ D= dλ El ángulo ϕ depende como ya hemos visto de la longitud de onda y como n depende asimismo de λ, la expresión anterior puede ser expresada como sigue: D= dϕ dn ∗ dn dλ
Considerando la condición para desviación mínima y utilizando (7) tenemos que:  A + ϕ0  cos  dn 1  2  = A dϕ 2 sen 2
Ahora es fácil de demostrar que en condiciones de desviación mínima, el ángulo de incidencia i1 está relacionado con los ángulos A y ϕ0 por la ecuación: i1 = y sustituyendo en (8) se tiene: dn 1 cos(i1 ) = ∗ dλ 2  A sen  2 A + ϕ0 2
pero: cos(i1 ) = 1 − sen 2 (i1 ) y por ley de Snell, sen(i1) = n sen (i2) y de las relaciones de la figura 2 sen (i2) = A/2, por tanto: sen (i1) = n sen(A/2), de modo que sustituyendo todo esto en (8) se tiene:
2 2 dn 1 1 − n sen ( A / 2) = dϕ 2 sen( A / 2)
y por tanto finalmente podemos expresar la dispersión angular del prisma en condiciones de desviación mínima como:  A 2 sen  dn 2 = ∗  A  dλ 1 − n 2 sen 2   2
dϕ 0 = Dϕ 0 dλ
o sea la dispersión angular de un prisma depende del ángulo de refracción del mismo (A) y de la dispersión de la sustancia que esta hecho el prisma. PODER SEPARADOR DEL PRISMA Otra característica importante para un prisma es el poder separador o poder de resolución que es la medida de la capacidad que posee el mismo para definir o resolver dos líneas espectrales cuyas longitudes de onda difieran poco entre si; el poder separador se define por la expresión:
λ R= ∆λ
∆λ- diferencia mínima entre las longitudes de onda de dos líneas espectrales que pueden ser definidas. λ - Longitud de onda media de las dos líneas espectrales. Para poder decidir cuando se pueden distinguir dos líneas será necesario que la intensidad luminosa entre ambas disminuya lo suficiente para poder apreciar por contraste, un espacio oscuro entre los dos máximos contiguos. Rayleigh propuso el criterio de que dos líneas pueden resolverse cuando el máximo del patrón de difracción de uno de ellos coincide con el primer mínimo del patrón de difracción de la otra. El poder de resolución de un prisma depende del de la base del prisma y de la dispersión del material con que esta hecho y no depende del ángulo de refracción A. Cuando la luz ilumina solo una parte de las caras laterales del prisma, el poder de resolución esta dado por: R=
λ dn = ( b2 − b1 ) ∗ δλ dλ
donde b1 y b2 son las distancias recorridas por la luz en el interior del prisma. En estas dos últimas ecuaciones para el poder separador hay que tener en cuenta que como n = f(λ) la derivada dn/dλ tiene que ser evaluada en el valor de λ para la que se trabaja. DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO Y EL EJERCICIO La parte fundamental del sistema la constituye un goniómetro provisto de dos brazos, uno fijo donde esta colocado el colimador y otro que puede rotar alrededor de un eje vertical y que pasa por el centro de simetría del instrumento donde se coloca el telescopio provisto de un ocular para la observaciones, en la base que también gira se coloca el prisma con el que se trabaja, esta base esta provista de tornillos de ajustes de ajuste de la posición del prisma
y de fijación de la misma. La platina puede girar independientemente de la base alrededor del mismo eje vertical que el telescopio y esta provisto de un nonio para determinar la posición angular del prisma con relación a la escala solidaria del telescopio. Antes de comenzar las operaciones de medición con el equipo es necesario realizar dos operaciones preparatorias: 1- La autocolimación, la cual consiste en el enfoque del telescopio al infinito hasta poder observar nítidamente una imagen colocada en el infinito. 2- Nivelación correcta del prisma, se coloca el prisma de forma tal que las aristas correspondientes al ángulo de refracción queden enfrentadas con el haz que emerge del colimador y este ilumine simultáneamente las dos caras reflectantes del prisma comunes a dicha arista. La posición del prisma se fija con una mordaza provista de tornillos en su parte superior y se fija la base mediante el tornillo fijador. 3- Se hace girar el telescopio hasta observar la imagen de la ranura iluminada reflejada en la cara AB del prisma; se debe ver que la imagen no que de muy corrida hacia arriba o hacia abajo del trazo horizontal del retículo del telescopio, esto se logra con los torillos de nivelación de la base. 4- Lo anterior se realiza para las dos caras reflectoras del prisma y se hace sucesivamente hasta lograr que la ranura quede centrada de igual manera a ambos lados del prisma. EJERCICIOS A REALIZAR 1- Calculo del ángulo de refracción del prisma. Un vez que se ha colimado el telescopio, nivelado el prisma, determinada la posición del telescopio perpendicular al colimador y fijado en esta posición se procede de la siguiente secuencia: a) Se hace girar la base del prisma liberando el tornillo de fijación de la base(pero cuidando mantener el prisma a la misma altura) hasta observar por el telescopio la imagen de la ranura iluminada en una de las caras reflectoras del prisma y logrando su coincidencia con el trazo vertical del retículo del telescopio. Se lee el valor en la escala sea este valor a. b) Se hace girar la platina(no la base) del prisma hasta observar nuevamente la imagen ahora en la otra cara reflectora del prisma coincidiendo con el trazo vertical del retículo. Se lee el valor que señala la escala. Sea este valor b. Si al buscar la nueva imagen de la ranura se hace girar la platina de modo que el ángulo girado sea menor de los dos posibles es decir en un sentido ó en el otro se cumplirá que el valor del ángulo de refracción (A) que: A = 180 - | a -b| c) Estas operaciones se deben hacer por lo menos 3 veces y hallar el valor promedio.
2- Determinación del ángulo de desviación mínima para diferentes longitudes de onda. a) Se coloca el prisma de modo que la luz incida sobre una de las caras reflectantes del prisma formando un ángulo pequeño y se busca el espectro a través del telescopio. b) Se selecciona una de las líneas espectrales y se fija la platina del prisma. c) Se hace girar la base de modo que disminuya el ángulo de incidencia, esto se logra liberando el tornillo de la base (cuidando siempre que el prisma permanezca a la misma altura); con esta operacional línea observada se desplazará en el mismo sentido de giro del prisma por lo que será necesario ir desplazando el telescopio para seguir la línea en su movimiento; llegara una posición para la cual al seguir girando el prisma, la línea comienza a desplazarse en sentido contrario. Se fija la posición del telescopio en la posición extrema y se ajusta con precisión la posición de la lámina donde cambia de sentido su desplazamiento haciendo coincidir la línea con el trazo vertical del retículo del telescopio. Se lee y anota la posición del telescopio. Esta operación se realiza para todas la líneas espectrales que se señalen en la sección de trabajo. d) Se hace girar la base hasta que incida la luz en la otra cara reflectora del prisma y se repiten todas las operaciones descritas en (c). Deben realizarse no menos de tres mediciones en todos los casos. e) Se hallan las diferencias entre los ángulos determinados para cada línea espectral en los incisos c y d y se dividen estas diferencias entre dos. Los valores calculados serán los correspondientes al ángulo de desviación mínima ϕ0 para cada una de las longitudes de onda de las líneas espectrales medidas. f) Resulta conveniente organizar los datos en forma de tabla. 3. determine el índice de refracción para cada una de las longitudes de onda y halle la curva de dispersión. Basados en los valores de ϕ0 promedios calculados en el ejercicio anterior y con el valor de A se aplica la ecuación (7) para determinar los valores de n para cada longitud de onda correspondiente a la líneas espectrales estudiadas. Los valores de de dichas longitudes de onda serán reportados por el laboratorio y con todos estos valores se hace el grafico de la dispersión de n = f (λ). 4. Calculo de la Dispersión angular para cada línea espectral. Basados en los valores de n calculados en 3 y hallando gráficamente dn/dλ se aplica la ecuación 10 para calcular la dispersión angular para cada una de las líneas espectrales señaladas. Organizar los datos obtenidos en forma de tabla. 5. Cálculo del poder de resolución para cada línea espectral. De los valores de dn/dλ calculados gráficamente y con el valor de b2 – b1 que se presenta posteriormente se aplica la ecuación (11) y se determina el valor de R para cada una de las líneas estudiadas.
Se puede demostrar que cuando los rayos luminosos que emergen del colimador son paralelos a su eje de simetría la diferencia de recorrido efectiva de los rayos que atraviesan el prisma es: A 2 b2 − b1 = 2 D ϕ0 + A cos 2 siendo D el diámetro del colimador. sen
INTERFERENCIA DE YOUNG El principio de propagación rectilínea de la luz ha sido fundamental para la descripción de los fenómenos analizados en la óptica geométrica; gracias a ese principio hemos podido reemplazar las ondas luminosas con los rayos que representan las direcciones de propagación de los frentes de onda y hemos podido obtener relaciones sencillas que dan cuenta, con buena aproximación, del comportamiento de algunos sistemas ópticos. Sin embargo, ya desde el siglo XVII Grimaldi había observado que la luz tenía la capacidad de bordear obstáculos de la misma forma como lo hacen las ondas que se propagan sobre la superficie de un estanque; este hecho contradecía el principio de propagación rectilínea y reforzaba la teoría acerca de la naturaleza ondulatoria de la luz. Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en el cual la luz procedente de una fuente puntual se hace incidir sobre una pantalla en la cual se haya abierto una ranura. Mientras la ranura sea bastante amplia, sobre otra pantalla paralela a la primera se formará una franja iluminada que puede correctamente interpretarse como la proyección geométrica de la ranura (Figura 1); también podrá observarse que dicha franja iluminada varía su anchura según la ranura se haga más amplia o más estrecha. Ocurre sin embargo que si la ranura se hace muy estrecha entonces la zona de iluminación en la pantalla se amplía evidenciando así que, en este caso, la luz no se propaga en forma rectilínea; este fenómeno llamado difracción se presenta cuando una onda (cualquiera que sea su naturaleza) se encuentra con obstáculos cuyas dimensiones son comparables con la longitud de onda.
Figura 1. La zona iluminada se vuelve más angosta a medida que la ranura se hace más estrecha a), b). Cuando el ancho de la ranura es muy pequeño la zona iluminada en la pantalla se amplía, c).
Queda entonces claro que el fenómeno de la difracción establece el límite de aplicabilidad de las leyes de la óptica geométrica porque ésta se basa en el principio de propagación rectilínea que es el que precisamente falla cuando los obstáculos y/o rendijas que se interponen al paso de la luz tienen dimensiones comparables con su longitud de onda. INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS. El experimento de Young, también denominado experimento de la doble rendija, fue realizado en 1803 por Thomas Young, en un intento de discernir sobre la naturaleza corpuscular u ondulatoria de la luz. Young comprobó un patrón de interferencias en la luz procedente de una fuente lejana al refractarse en el paso por dos rejillas, resultado que contribuyó a la teoría de la naturaleza ondulatoria de la luz. Posteriormente, ha sido considerado la experiencia fundamental a la hora de demostrar la dualidad onda corpúsculo, una característica de la mecánica cuántica. El experimento puede realizarse con electrones, átomos o neutrones, produciendo patrones de interferencia similares a los obtenidos cuando se realiza con luz, mostrando, por tanto, el comportamiento dual onda-corpúsculo de la Thomas Young, en el año 1803, realizó el primer experimento típicamente ondulatorio al producir interferencia entre las ondas generadas en dos rendijas. El aparato experimental, representado en la Figura 2, consistía de una fuente de luz al frente de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas S1, S2; la superposición de las dos ondas luminosas generadas en las dos rendijas producían una serie de franjas brillantes y oscuras (patrón de interferencia) sobre una pantalla paralela a las dos rendijas.
Figura 2. Experimento de Young para interferencia producida por dos rendijas. El resultado del experimento de Young puede analizarse mediante un tratamiento ondulatorio y teniendo en cuenta el principio de Huygens, el cual establece que: "Cualquier punto sobre el cual llega una perturbación ondulatoria se vuelve una fuente secundaria de ondas". Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vuelve fuente secundaria de una onda luminosa y cuando esta onda llega a las rendijas S 1 , S2 , éstas a su
vez generan las ondas que se superponen dando lugar al patrón de interferencia sobre la pantalla. Si las distancias SS1 y SS2 son iguales, las dos ondas cuando se generan en S1, S2, están en fase entre sí de manera que, cuando se superpongan, darán lugar a una franja oscura o brillante dependiendo de la diferencia de fase que ellas presenten en cada punto de la pantalla; esta diferencia de fase dependerá, entonces, únicamente de la diferencia entre los recorridos de las dos ondas. Con relación a la Figura 3, supongamos que la pantalla sobre la cual se forma el patrón de interferencia esté lo suficientemente alejada de las dos rendijas para que pueda pensarse que las dos ondas que se superponen en el genérico punto P tengan líneas de propagación paralelas entre sí, nuestro problema consiste en determinar las condiciones de iluminación de un punto P cualquiera situado a la distancia x del centro 0 de la pantalla, donde 0 es el punto de intersección del eje del segmento S1S2 (eje óptico del sistema) con la pantalla.
Figura 3.Si la pantalla está muy alejada las dos ondas que se superponen en P tienen líneas de propagación paralelas. Si los recorridos de las dos ondas generadas en las rendijas para llegar sobre el punto P son respectivamente r1, r2 , entonces, en el punto P , las dos ondas podrán escribirse así: y1(p) = a sen(kr1 - ωt + φ) (1) y2(p) = a sen(kr2 - ωt + φ) donde hemos supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial φ y la misma amplitud a ; esto último es cierto si las dos rendijas S1 , S2 tienen el mismo ancho. La perturbación resultante en el punto P será:
y ( p) = y1( p)+ y2( p) = a sen(k r1 -wt + φ) + a sen(k r2 -wt + φ) De acuerdo a lo establecido con la superposición de dos ondas armónicas de la misma frecuencia, la perturbación resultante es una onda armónica de la misma frecuencia de las dos ondas componentes cuya amplitud está dada por: A2 = 4a2 cos 2 δ/ 2 (2)
siendo δ la diferencia de fase entre las dos ondas que se superponen en el punto P , o sea: δ = k r2 -wt + φ - k r1 -wt + φ) = k(r2 - r1) (3) Teniendo en cuenta que la intensidad de iluminación es proporcional al cuadrado de la amplitud, obtenemos: I (P) = 4 i .cos 2 δ/ 2 (4) relación que nos dice que la iluminación en cualquier punto P de la pantalla es cuatro veces la iluminación producida por una sola de las rendijas multiplicada por cos2 δ/2 ; este último término implica que la iluminación de la pantalla no es uniforme sino que varía de punto a punto de acuerdo con el valor del desfase δ entre las dos ondas componentes. Por supuesto que en promedio la iluminación es 2 i. La Figura.4 ilustra la variación de la iluminación con los valores de δ. Evidentemente habrá máxima iluminación, es decir interferencia constructiva, en los puntos en los que resulte cos2 δ/2 = 1 o sea δ = 2nπ, mientras habrá mínima iluminación (en este caso I (P) = 0 ), o sea interferencia destructiva, en los puntos para los cuales cos2 δ/2 = 0 o sea d = (2n+ 1)π, en ambos casos con n = 0,1,2..... Teniendo en cuenta la ecuación (3) vemos que: a) En los puntos en los cuales las dos ondas llegan con una diferencia de recorrido | r2-r1 | = n λ n = 0,1,2.... habrá interferencia constructiva. b) En los puntos en los cuales las dos ondas llegan con una diferencia de recorrido | r2-r1 | = (2n+1) λ/2 n = 0,1,2.... habrá interferencia destructiva. (6) (5)
Figura 4. Distribución de la iluminación en función del desfase δ entre las dos ondas componentes. Las relaciones (5), (6) nos permiten entonces hacer previsiones acerca de las condiciones de iluminación de cualquier punto de la pantalla cuando para cada uno de esos puntos determinemos la diferencia de recorrido entre las dos ondas componentes. Podemos hacer ese cálculo con algunas aproximaciones; con relación a la Figura 3, habiendo supuesto la pantalla muy alejada de las dos rendijas y por lo tanto la trayectoria de las dos ondas paralelas entre sí, la diferencia de recorrido entre las dos ondas que llegan al punto P, identificado a través de su distancia con respecto al centro 0 de la pantalla o a través del ángulo θ entre el eje óptico del sistema y la dirección FP paralela a las trayectorias de las dos ondas, está dada por: | r2-r1 | = S2M = d senθ donde d es la distancia entre las rendijas S1 , S2. Dado que la distancia D entre las rendijas y la pantalla es muy grande, el ángulo θ es pequeño y por lo tanto: senθ ≅ tan θ = x / D de manera que: | r2-r1 | = d ⋅ x / D (6)
Teniendo en cuenta las relaciones (5), (6) podemos concluir, de acuerdo con nuestras aproximaciones, que las franjas brillantes estarán localizadas, en la pantalla, a las distancias del centro: X nB = nλ D ; n = 0,1,2,... d (8)
mientras las franjas oscuras estarán localizadas (con respecto a 0 ) a las distancias:
X n 0 =( 2n + ) 1
; n =0,1,2,...
De lo anterior se deduce que en el centro 0 de la pantalla estará localizada la franja brillante central mientras las demás franjas brillantes estarán separadas entre sí por la distancia D ∆X B = λ ; entre dos franjas brillantes consecutivas estarán localizadas las franjas d D oscuras, también separadas por la distancia ∆X 0 = λ . d La Figura 5 ilustra estos resultados y resuelve el problema propuesto que consistía en la determinación de las condiciones de iluminación en cualquier punto de una pantalla dispuesta paralelamente a las dos rendijas S1, S2.
Figura 5. a) Patrón de interferencia producido por dos rendijas. b) Distribución de franjas brillantes y oscuras, obtenida con base en las ecuaciones (8), (9).
Coherencia espacial y temporal. Las ecuaciones (5), (6) que definen las condiciones de interferencia en cada punto del espacio en el cual se superponen las dos ondas luminosas generadas en las fuentes puntuales S1 y S2 nos dicen que la interferencia es constructiva o destructiva según la diferencia de recorrido de las dos ondas sea un múltiplo de la longitud de onda λ, o un múltiplo impar de la semilongitud de onda. Sin embargo, ¿cuál es la longitud de onda que debe considerarse?. Como se ha visto, la luz visible constituye una pequeña porción del espectro electromagnético. A esta porción pertenecen todas las ondas e.m. que tengan longitudes de onda (en el vacío) comprendidas en el intervalo 4.000Å - 7 .000 Å, asociando a cada longitud de onda un diferente color. Un haz de luz que contenga todas las longitudes de onda de la región del visible se define como un haz de luz blanca y puede separarse en sus colores componentes, p.e. a través de un prisma. Si bien la interferencia en luz blanca puede observarse, el patrón que se obtiene resulta algo difuso y presenta coloraciones en todas las franjas excepto en la franja brillante central, la cual aparece perfectamente blanca. Para la mejor observación de un patrón de interferencia es preferible, por lo tanto, utilizar una fuente monocromática o sea una fuente que emita una sola longitud de onda y por lo tanto luz de un solo color.( 1 ) De esta manera se evita que en cierto punto de espacio en el cual una determinada longitud de onda interfiera destructivamente haya otra longitud de onda que interfiera constructivamente y otras que produzcan condiciones intermedias de iluminación, situación ésta que obviamente dificulta el análisis del patrón de interferencia. Una fuente de luz estrictamente monocromática se dice entonces que presenta las características de coherencia espacial. Existen varios métodos para obtener luz monocromática, el más sencillo de los cuales consiste en colocar al frente de una fuente de luz blanca un filtro que transmite únicamente luz de un solo color (una sola longitud de onda). Una fuente apta para realizar experimentos de interferencia debe además satisfacer otra condición fundamental que es la de coherencia temporal. En el análisis del experimento de doble rendija de Young hemos supuesto que las ondas secundarias que se generan en S1, S2 tenían la misma fase inicial (situación que se logra cuando las distancias SS1 y SS2 son iguales y el medio de propagación es isótropo) y que, por lo tanto, la diferencia de fase entre las dos ondas, en un punto P cualquiera, dependiera únicamente de la diferencia de recorridos. La condición de igualdad de las fases iniciales no es necesaria pero, para que la interferencia sea observable, sí es necesario que la diferencia de fase entre las dos ondas componentes sea estable en el tiempo. Si la diferencia de fase entre las dos ondas, que se superponen en un punto P , es variable en el tiempo, ocurre que las condiciones de iluminación en ese punto varían también en el tiempo lo que implica un desplazamiento de todo el sistema de franjas oscuras y brillantes que conforman el patrón de interferencia y si esta variación de las condiciones de iluminación es rápida (más de 10 veces por segundo) nuestros ojos no alcanzan a percibir las condiciones de interferencia instantáneas sino que percibiremos la iluminación promedio. Esto es precisamente lo que ocurre cuando en una habitación encendemos dos bombillos; las ondas luminosas emitidas por los dos bombillos se superponen produciendo franjas de interferencia, sin embargo, debido a la rápida variación de las fases de las dos ondas, las condiciones de iluminación varían muy
rápidamente en cada punto de la habitación haciendo imposible la detección de las franjas de interferencia. Se dice que en este caso la interferencia no es observable; por esta razón, si se utilizan fuentes convencionales, la interferencia es observable si, y sólo si, se desdobla una sola fuente. Dos fuentes que emitan ondas que presenten entre sí una diferencia de fase constante y que por lo tanto pueden producir interferencia observable, se dice que presentan, entre sí, coherencia temporal.
Estudio del fenómeno Físico de la Difracción: Difracción de Fraunhofer en una y dos rendijas. (2 horas) La difracción es junto con la interferencia un fenómeno típicamente ondulatorio. La difracción se observa cuando se distorsiona una onda por un obstáculo cuyas dimensiones son comparables a la longitud de onda. El caso más sencillo corresponde a la difracción Fraunhofer, en la que el obstáculo es una rendija estrecha y larga, de modo que podemos ignorar los efectos de los extremos. Supondremos que las ondas incidentes son normales al plano de la rendija, y que el observador se encuentra a una distancia grande en comparación con la anchura de la misma. De acuerdo con el principio de Huygens, cuando la onda incide sobre una rendija todos los puntos de su plano se convierten en fuentes secundarias de ondas, emitiendo nuevas ondas, denominadas ondas difractadas, por lo que la explicación del fenómeno de la difracción no es cualitativamente distinto de la interferencia. Una vez que hemos estudiado la interferencia de un número limitado de fuentes, la difracción se explica a partir de la interferencia de un número infinito de fuentes.
La diferencia de caminos entre la fuente que pasa por el origen y la que pasa por el punto x es, x·senθ .
La diferencia de caminos entre la fuente situada en el origen y la situada en el otro extremo de la rendija será b·senθ .
El estado del punto P es la superposición de infinitos M.A.S. La suma de los infinitos vectores de amplitud infinitesimal produce un arco de circunferencia, cuya cuerda es la resultante ψ0. El ángulo δ que forma el vector situado en x con la horizontal vale kx·senθ
El ángulo α que forma el vector situado en x=b con la horizontal vale, kb·senθ =2π b·senθ /λ . Este ángulo es el mismo que el que subtiende el arco de la circunferencia de radio ρ.
Para que dicho argumento sea cero, el ángulo θ debe ser cero. Tenemos un máximo de intensidad en el origen, en la dirección perpendicular al plano de la rendija. Mínimos de intensidad Los mínimos de intensidad se producen cuando el argumento del seno es un múltiplo entero de π, es decir, cuando
o bien, cuando b·senθ =nλ (n=1, 2, 3...) mínimos de intensidad
Esta es la fórmula que describe el fenómeno de la difracción Fraunhofer producido por una rendija estrecha. Máximos secundarios Los máximos y mínimos se calculan derivando la fórmula de la intensidad respecto de x=πb·senθ /λ
Cuando senx/x =0 tenemos un mínimo de intensidad, pues I=0 Cuando xcosx-senx=0 o bien, cuando x=tanx tenemos un máximo de intensidad
Como observamos en la gráfica los máximos secundarios ocurren aproximadamente para xn≈(2n+1)π/2 donde n=±1, ±2, ±3… teniendo en cuenta que sen(xn)=1. La intensidad debida a la difracción en la dirección correspondiente a los máximos secundarios es aproximadamente igual a
1-Se monta sobre un banco óptico, un laser, una placa con una rendija de espesor variable y una pantalla para observar los diferentes patrones de difracción. 2 – Se hace pasar el laser por la rendija abierta completamente y se observa en la pantalla. 3 – Se comienza a cerrar la ranura hasta observar un patrón de difracción. Se mide el ancho del patrón de difracción así como el número de máximos y mínimos y la distancia entre la pantalla y la ranura. 4 – A partir de las formulas anteriores tanto para máximos o para mínimos determine el ancho de la ranura b. 5 - Repita el ejercicio anterior para tres anchos diferentes de la ranura, calcule los respectivos anchos y describa cualitativamente lo que observa. 6 – Qué sucede si la ranura es exactamente del ancho de la longitud de onda del laser?.
PRACTICA # 9 Estudio de la Red de Difracción: La red de difracción como el principal dispositivo espectroscópico, Análisis espectrales, Fuentes de luz puntuales, fuentes de luz policromáticas continuas y policromáticas discretas. (4 horas) En el presente trabajo de laboratorio el estudiante conocerá el fenómeno de la difracción y las particularidades de las redes de difracción, así como los parámetros que describen sus características como dispositivo espectroscópico; aprenderá la técnica de trabajo con un goniómetro y las operaciones de ajuste que preparan al instrumento para la ejecución de las mediciones. Determinación experimental de algunos parámetros de la red de difracción (constante o parámetro de la red, dispersión angular, poder separador). Aplicando los parámetros calculados determinará el valor de una longitud de onda desconocida y aplicará el cálculo de errores en la determinación de la imprecisión de las magnitudes calculadas. I. Introducción Teórica.
Una propiedad de la propagación de las ondas electromagnéticas es su capacidad de desviarse al pasar un obstáculo, propiedad que se conoce como difracción de las ondas. Sin embargo, la magnitud de esta desviación depende de las dimensiones del obstáculo y la longitud de onda. Esta propiedad es la que hace posible que cuando un haz de rayos luminosos paralelos entre si atraviesa una ranura, cuyo ancho a es del orden de la longitud de onda incidente, si a la salida de la ranura se coloca una lente convergente, en el plano focal de dicha lente se formará una banda formada por franjas claras y oscuras llamada patrón de difracción. La distribución de la intensidad luminosa de estas bandas está dada por la ecuación: sen 2 u u2
I0 – Intensidad luminosa máxima, que aparece en el centro del patrón o sea en la dirección perpendicular al plano de la ranura. u – La magnitud
πasenθ (2) λ Donde: a – ancho de la ranura λ - longitud de onda de la luz incidente θ - ángulo que forma desde la ranura, la dirección perpendicular al plano de la ranura y un punto cualquiera del patrón sobre el plano focal.
De acuerdo con la ecuación (1) se ve que para u=nπ (n≠0) aparecen los mínimos de intensidad (I=0), condición que sustituida en (2) conduce a que estos mínimos están dados por la condición: asenθ = nλ , siendo n=1,2,3…… (3)
Fig. 1 Una repetición periódica de ranuras de ancho a separadas entre sí por una distancia d, constituyen el modelo mas simple de lo que se llama una red de difracción, dispositivo ampliamente utilizado en la espectroscopía y que posee gran versatilidad en la investigación científica de los fenómenos ópticos. La superficie donde se forma esta distribución periódica de ranuras y espacios puede ser de una sustancia transparente o reflectante, pudiendo por tanto, la red de difracción ser de transmisión o de reflexión respectivamente. El rayado de las ranuras se efectúa por máquinas de alta precisión y automatizadas, lo que permite una gran perfección y la posibilidad de obtener un gran número de ranuras o aberturas en una pequeña longitud (10 3 a- 104 aberturas por centímetro de longitud). El patrón de intensidades que se obtiene cuando se ilumina una red de difracción con una luz monocromática resulta mas complicado que cuando se emplea una sola abertura, ya que el efecto de la difracción que tiene lugar en cada una de las aberturas, se superpone el efecto de la interferencia de cada una de las aberturas con las demás, ya que las mimas se comportan como focos de ondas secundaria. La distribución de intensidades dada por una red de difracción en el plano focal de una lente, esta descrita por la ecuación: I 0 sen 2 u sen 2 u ( Nδ ) I= 2 • N u2 sen 2δ Siendo: I – intensidad en un punto del plano focal.
I0 – intensidad en el máximo central. N – número de ranuras o aberturas. sen 2 ( Nδ ) - término que representa la difracción y que se llama factor de difracción. sen 2δ u – termino dado por la ecuación (2) y relacionado con la difracción. δ - magnitud similar y relacionada con la interferencia y dada por: πdsenθ δ= (5) λ Del análisis de (4) se ve que para δ=kπ con (k=1, 2, 3, ….) se tienen máximos de intensidad que se llaman máximos principales y que cumplen con la condición: dsenθ = kλ (6) Y cuya intensidad esta dada por la ecuación (1), o sea es la misma que corresponde a una sola ranura de ancho d . Entre los máximos principales aparecen (N-1) mínimos cuando se tenga: k1 π N Siendo k1 un número entero que solo puede adoptar los valores:
(k-1)N < k1 < kN Entre estos mínimos aparecerán (n-2) máximos secundarios, de intensidad relativamente muy pequeñas descritas por la ecuación: I 0 sen 2u N 2 u2
Región de Dispersión. Si los espectros de orden consecutivo se superponen, un dispositivo espectral (red de difracción, prisma, etc.) no será idóneo para el estudio de la región del espectro dada. El ancho máximo del intervalo espectral para el cual aún no hay superposición se llama región de dispersión del dispositivo espectral. Sea una lúz cuyas longitudes de onda están entre λ y λ´= λ+∆λ y supongamos que el lado derecho del espectro de orden k+1 (longitud de onda λ) se superpone al extremo izquierdo del espectro de orden k (longitud de onda λ´). De la ecuación (6) la condición de superposición de los máximos es: dsenθ = kλ´ dsenθ = (k + 1)λ
E igualando los miembros de la derecha:
kλ´ =(K+1) λ ∆λ=λ´- λ= λ/k
de modo que para una λ dada, la región de dispersión depende solo del orden del espectro. Hay dos parámetros importantes que describen las propiedades de una red de difracción y que son la dispersión angular y el poder de resolución o poder separador. La dispersión angular se define por la ecuación: dθ (8) dλ y describe la separación angular de dos longitudes de onda de un valor determinado, de modo que mientras mayor sea esta, mayor será en el espectro la distancia entre dos líneas espectrales de valor determinado. Para una red dada y para el espectro de orden k tenemos derivando la ecuación (6): D= k (9) d cosθ de donde se observa que la dispersión angular no depende del número de aberturas de la red, sino del orden del espectro, de la separación entre las aberturas y del ángulo θ. D= El poder separador o de resolución expresa la capacidad que tiene una red de permitir apreciar separadamente dos líneas espectrales correspondientes a longitudes de onda que difieren poco entre sí y se define por la ecuación: R= siendo :
λ ∆λ
∆λ - la diferencia mínima entre dos longitudes de onda que pueden ser apreciadas separadamente. λ - la longitud de onda promedio entre las dos longitudes de onda que se pueden resolver de acuerdo al criterio de Rayleigh. Rayleigh propuso el criterio de que dos líneas pueden resolverse cuando el máximo del patrón de difracción de uno de ellos coincide con el primer mínimo del patrón de difracción de la otra.
Es fácil demostrar que el poder de resolución se puede expresar por la relación: R=kN DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO Y EL EJERCICIO (11)
La parte fundamental del sistema la constituye un goniómetro provisto de dos brazos, uno fijo donde esta colocado el colimador y otro que puede rotar alrededor de un eje vertical y que pasa por el centro de simetría del instrumento donde se coloca el telescopio provisto de un ocular para la observaciones, en la base que también gira se coloca la red de difracción con que se trabaja, esta base esta provista de tornillos de ajustes de la posición de la red y de fijación de la misma. La platina puede girar independientemente de la base alrededor del mismo eje vertical que el telescopio y esta provisto de un nonio para determinar la posición angular de las líneas espectrales con relación a la escala solidaria del telescopio. Antes de comenzar las operaciones de medición con el equipo es necesario realizar dos operaciones preparatorias: 5- La autocolimación, la cual consiste en el enfoque del telescopio al infinito hasta poder observar nítidamente una imagen colocada en el infinito. 6- Nivelación correcta de la red, con el tornillo de fijación del telescopio liberado, y sin la red en su soporte se busca la imagen de la ranura iluminada, hasta que coincida con el trazo vertical del retículo del telescopio. Se hace girar la platina hasta que el cero del nonio corresponda con ángulo entero y se fija la platina. Se hace girar el telescopio 90 grados de esa posición. 7- Se coloca la red y se fija con su soporte y se libera el tornillo fijador de la base. Se hace girar la red hasta observar por el telescopio la imagen de la ranura iluminada reflejada en la superficie de la red; se debe ver que la imagen no quede muy corrida hacia arriba o hacia abajo del trazo horizontal del retículo del telescopio, esto se logra con los torillos de nivelación de la base. 8- Lo anterior garantiza que la red este rotada 45 grados con respecto a los rayos paralelos que emergen del colimador. Bajo la suposición anterior y fijando la base de la red se rota en sentido contrario 45 grados la platina quedando de esta manera la red de difracción totalmente perpendicular a los rayos paralelos que emergen del colimador. 9- Se debe entonces liberando el telecopio buscar nuevamente, esta vez por transmisión, la imagen iluminada de la ranura y a ambos lados de ella y de forma simétrica se observaran los espectros de orden 1 y 2 respectivamente. EJERCICIOS A REALIZAR 3- La primera parte operativa del trabajo consiste en localizar el máximo central y a ambos lados del máximo central, los espectros de 1er y 2do orden. Un vez que se ha colimado el telescopio, nivelado la red, determinada la posición del telescopio perpendicular al colimador y fijado en esta posición se procede de la siguiente secuencia: d) Se hace girar el telescopio hacia la izquierda del máximo central, hasta que aparezca el doblete amarillo del espectro de 2do orden. Comenzando por la línea del doblete amarillo mas a la izquierda se va haciendo coincidir el trazo vertical del retículo con cada una de la líneas espectrales, siempre rotando el telescopio hacia la derecha y
anotando la posición angular de cada una de las líneas, hasta llegar al máximo central y se continua con los espectros de 1er y 2do orden situados a la derecha del máximo central hasta llegar a la última línea del doblete amarillo del espectro de 2do orden situado a la derecha del máximo central. 4- Determinación de la posición angular de las líneas espectrales. g) Se coloca el prisma de modo que la luz incida sobre una de las caras reflectantes del prisma formando un ángulo pequeño y se busca el espectro a través del telescopio. h) Se hallan las diferencias entre los ángulos determinados para cada línea espectral en el inciso a y se dividen estas diferencias entre dos. Los valores calculados serán los correspondientes a la posición angular para cada una de las longitudes de onda de las líneas espectrales medidas. i) Resulta conveniente organizar los datos en forma de tabla. 3. Determinación de la constante de la Red. A partir de la ecuación (6) se sustituyen los valores k=1 y k=2 para cada una de las longitudes de onda y sus valores de senθ correspondientes de las líneas espectrales medidas, promediando estos valores se obtiene d . 4. Calculo de la Dispersión angular de la red. a) Aplicando la ecuación (9) y empleando el valor de d calculado en 3, se determina la dispersión angular para el doblete amarillo de los espectros de 1 er y 2do orden. Como valor para el cosθ se toma el valor medio de θ que corresponde al punto medio de las dos líneas del doblete. b) Aproximando dθ/dλ a ∆θ/∆λ se halla la dispersión angular de la ecuación (8) para el doblete amarillo de los espectros de 1er y 2do orden y se comparan con los valores hallados en a). 5. Calculo del poder separador o de resolución de la red de difracción. En el laboratorio se informará el ancho de la red iluminada así como el número de líneas por milímetros de la misma y utilizando la ecuación 11 se determinara el poder de resolución de la red de difracción. 6. Realice una propagación de errores de los resultados obtenidos. Bibliografía “ Curso de Física general” S. Frish y A. Timoreva, Tomo 3 Cap. XXIV, Esp. 279, 280 y 281. “Física general y Experimental” E. Perucca, Tomo II, Esp. 15, 26 y 195.
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