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Timestamp: 2019-05-24 12:00:42+00:00

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Gottlob Frege: Grundgesetze d. Arithmetik, Bd.2 Nachwort2t
Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte. Es handelt sich um mein Grundgesetz (V). Ich habe mir nie verhehlt, dass es nicht so einleuchtend ist, wie die andern, und wie es eigentlich von einem logischen Gesetze verlangt werden muss. Und so habe ich denn auch im Vorworte zum ersten Bande S. VII auf diese Schwäche hingewiesen. Ich hätte gerne auf diese Grundlage verzichtet, wenn ich irgendeinen Ersatz dafür gekannt hätte. Und noch jetzt sehe ich nicht ein, wie die Arithmetik wissenschaftlich begründet werden könne, wie die Zahlen als logische Gegenstände gefasst und in die Betrachtung eingeführt werden können, wenn es nicht — bedingungsweise wenigstens — erlaubt ist, von einem Begriffe zu seinem Umfange überzugehn. Darf ich immer von dem Umfange eines Begriffes, von einer Klasse sprechen? Und wenn nicht, woran erkennt man die Ausnahmefälle? Kann man daraus, dass der Umfang eines Begriffes mit dem eines zweiten zusammenfällt, immer schliessen, dass jeder unter den ersten Begriff fallende Gegenstand auch unter den zweiten falle ? Diese Fragen werden durch die Mittheilung des Herrn Russell angeregt. Solatium miseris, socios habuisse malorum. Dieser Trost, wenn es einer ist, steht auch mir zur Seite; denn Alle, die von Begriffsumfängen, Klassen, Mengen 1 in ihren Beweisen Gebrauch gemacht haben, sind in derselben Lage. Es handelt sich hierbei nicht um meine Begründungsweise im Besonderen, sondern um die Möglichkeit einer logischen Begründung der Arithmetik überhaupt. Doch zur Sache selbst! Herr Russell hat einen Widerspruch aufgefunden, der nun dargelegt werden mag. Von der Klasse der Menschen wird niemand behaupten wollen, dass sie ein Mensch sei. Wir haben hier eine Klasse, die sich selbst nicht an-
gehört. Ich sage nämlich, etwas gehöre einer Klasse an, wenn es unter den Begriff fällt, dessen Umfang eben die Klasse ist. Fassen wir nun den Begriff ins Auge Klasse, die sich selbst nicht angehört! Der Umfang dieses Begriffes, falls man von ihm reden darf, ist demnach die Klasse der sich selbst nicht angehörenden Klassen. Wir wollen sie kurz die Klasse Κ nennen. Fragen wir nun, ob diese Klasse Κ sich selbst angehöre! Nehmen wir zuerst an, sie thue es! Wenn etwas einer Klasse angehört, so fällt es unter den Begriff, dessen Umfang die Klasse ist. Wenn demnach unsere Klasse sich selbst angehört, so ist sie eine Klasse, die sich selbst nicht angehört. Unsere erste Annahme führt also auf einen Widerspruch mit sich. Nehmen wir zweitens an, unsere Klasse Κ gehöre sich selbst nicht an, so fällt sie unter den Begriff, dessen Umfang sie selbst ist, gehört also sich selbst an. Auch hier wieder ein Widerspruch! Wie sollen wir uns hierzu stellen? Sollen wir annehmen, das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten gelte von den Klassen nicht? Oder sollen wir annehmen, es gebe Fälle, wo einem unanfechtbaren Begriffe keine Klasse entspreche, die sein Umfang wäre? Im ersten Falle sähen wir uns genöthigt, den Klassen die volle Gegenständlichkeit abzusprechen. Denn wären die Klassen eigentliche Gegenstände, so müsste das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten von ihnen gelten. Andrerseits haben sie nichts Ungesättigtes, Prädikatives, wodurch sie etwa als Functionen, Begriffe, Beziehungen gekennzeichnet wären. Das, was wir gewohnt sind, als Namen einer Klasse zu betrachten, z. B. „die Klasse der Primzahlen“, hat vielmehr das Wesen eines Eigennamens, kann nicht prädikativ, wohl aber als grammatisches Subjekt eines singulären Satzes auftreten, z. B. „die Klasse der Primzahlen umfasst unendlich viele Gegenstände“. Wenn wir das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten für die Klassen ausser Kraft setzen wollten, könnten wir daran denken, die Klassen — und wohl die Werthverläufe überhaupt — als uneigentliche Gegenstände aufzufassen. Diese würden dann nicht für alle Functionen erster Stufe als Argumente auftreten dürfen. Es gäbe aber auch Functionen, die als Argumente sowohl eigentliche, als auch uneigentliche Gegenstände haben könnten. Wenigstens die Beziehung der Gleichheit (Identität) würde von dieser Art sein. Man könnte dem zu entgehen suchen, indem man für uneigentliche Gegenstände eine besondere Art von Gleichheit annähme. Aber das ist wohl ausgeschlossen. Die Identität ist eine so bestimmt gegebene Beziehung, dass nicht abzusehen ist, wie bei ihr verschiedene Arten vorkommen können. Nun ergäbe sich aber eine grosse Mannigfaltigkeit von Functionen erster Stufe, nämlich erstens solche, welche als Argumente nur eigentliche Gegenstände haben dürften, zweitens solche, welche als Argumente sowohl eigentliche, als auch uneigentliche Gegenstände haben könnten, endlich wohl auch solche, welche nur uneigentliche Gegenstände als Argumente haben könnten. Eine andere Eintheilung ergäbe sich aus den Werthen der Functionen.
Danach wären Functionen zu unterscheiden, welche als Werthe nur eigentliche Gegenstände hätten, zweitens solche, welche als Werthe sowohl eigentliche, als auch uneigentliche Gegenstände hätten, endlich solche, welche nur uneigentliche Gegenstände als Werthe hätten. Beide Einteilungen der Functionen erster Stufe beständen gleichzeitig, sodass man neun Arten erhielte. Diesen entsprächen wieder neun Arten von Werthverläufen, uneigentlichen Gegenständen, die logisch zu unterscheiden wären. Die Klassen eigentlicher Gegenstände müssten von den Klassen von Klassen eigentlicher Gegenstände unterschieden werden, die Relationen zwischen eigentlichen Gegenständen von den Klassen eigentlicher Gegenstände, von den Klassen von Relationen zwischen eigentlichen Gegenständen u. s. w. So erhielten wir eine unabsehbare Mannigfaltigkeit von Arten; und im Allgemeinen könnten Gegenstände, die verschiedenen dieser Arten angehörten, nicht als Argumente derselben Functionen auftreten. Es scheint aber ausserordentlich schwierig zu sein, eine vollständige Gesetzgebung aufzustellen, durch die allgemein entschieden würde, welche Gegenstände als Argumente welcher Functionen zulässig wären. Ueberdies kann die Berechtigung uneigentlicher Gegenstände bezweifelt werden. Wenn uns diese Schwierigkeiten davon abschrecken, die Klassen und damit die Zahlen als uneigentliche Gegenstände aufzufassen, wenn wir sie aber auch nicht als eigentliche Gegenstände anerkennen wollen, nämlich als solche, welche als Argumente jeder Function erster Stufe auftreten können, so bleibt wohl nur übrig, die Klassennamen als Scheineigennamen zu betrachten, die also in Wahrheit keine Bedeutung hätten. Sie wären dann anzusehen als Theile von Zeichen, die nur als Ganze eine Bedeutung hätten1. Man kann es ja für irgendeinen Zweck vortheilhaft erachten, verschiedene Zeichen in einem Theile übereinstimmend zu gestalten, ohne sie dadurch zu zusammengesetzten zu machen. Die Einfachheit eines Zeichens erfordert ja nur, dass die Theile, die man in ihnen etwa unterscheiden kann, nicht selbständig eine Bedeutung haben. Auch das, was wir als Zahlzeichen aufzufassen gewohnt sind, wäre dann eigentlich kein Zeichen, sondern der unselbständige Theil eines Zeichens. Eine Erklärung des Zeichens »2« wäre unmöglich; man hätte statt dessen viele Zeichen zu erklären, die als unselbständigen Bestandtheil »2« enthielten, aber logisch nicht aus »2« und einem andern Theile zusammengesetzt zu denken wären. Es wäre dann unzulässig, einen solchen unselbständigen Theil durch einen Buchstaben vertreten zu lassen; denn hinsichtlich des Inhalts bestände ja gar keine Zusammensetzung. Die Allgemeinheit der arithmetischen Sätze ginge damit verloren. Auch wäre nicht zu verstehen, wie dabei von einer Anzahl von Klassen, von einer Anzahl von Anzahlen die Rede sein könnte. Ich denke: dies genügt, um auch diesen Weg als ungangbar erscheinen zu lassen. Es bleibt also wohl nichts anderes übrig, als die Begriffsum-
fänge oder Klassen als Gegenstände im eigentlichen und vollen Sinne dieses Wortes anzuerkennen, zugleich aber einzuräumen, dass die bisherige Auffassung der Worte „Umfang eines Begriffes“ einer Berichtigung bedarf. Bevor wir hierauf näher eingehen, wird es nützlich sein, dem Auftreten jenes Widerspruches mit unsern Zeichen nachzuspüren. Dass Δ eine Klasse ist, die sich selbst nicht angehört, können wir so ausdrücken:
Und die Klasse der sich selbst nicht angehörenden Klassen wird so zu bezeichnen sein:
Ich will zur Abkürzung dafür in der folgenden Ableitung das Zeichen gebrauchen und dabei wegen der zweifelhaften Wahrheit den Urtheilsstrich weglassen. Demnach werde ich mit
ausdrücken, dass die Klasse sich selbst angehöre. Nach (Vb) haben wir nun
oder, wenn wir die Abkürzung benutzen und (IIIa) anwenden
Nun führen wir für »f« das deutsche »g« ein:
d. h.: Wenn sich angehört, gehört es sich nicht an. Das ist die eine Seite. Andrerseits haben wir nach (IIb)
und wenn wir für »f(ξ)« nehmen
und mit Berücksichtigung unserer Abkürzung:
d. h.: Wenn sich nicht angehört, so gehört es sich an. Aus (ε) folgt nach (Ig)
und hieraus mit (β)
Die Sätze (ζ) und (η) widersprechen einander. Der Fehler kann allein in unserm Gesetze (Vb) liegen, das also falsch sein muss. Wir wollen nun sehen, wie sich die Sache gestaltet, wenn wir unser Zeichen »◠« benutzen. An die Stelle von wird treten. Indem wir in (82) für »f(ξ)« , für »F(ξ)« »—ξ« und für »a« nehmen, erhalten wir
woraus nach (Ig) folgt
Durch dieselben Einsetzungen erhalten wir aus (77):
Hieraus folgt mit (ι)
was dem (ι) widerspricht. Es wird also mindestens einer der beiden Sätze (77) und (82) falsch sein, und also auch (1), aus dem sie folgen. Bei der Betrachtung der Ableitung von (1) im § 55 des ersten Bandes ergiebt sich, dass auch dabei von (Vb) Gebrauch gemacht ist. Auf diesen Satz wird also auch hier der Verdacht gelenkt. Mit (Vb) ist auch (V) selbst gefallen, nicht aber (Va). Der Umwandlung der Allge meinheit einer Gleichheit in eine Werthverlaufsgleichheit steht nichts im Wege; nur die umgekehrte Umwandlung ist als nicht immer erlaubt nachgewiesen. Damit ist freilich erkannt, dass meine Einführung der Werthverläufe im § 3 des ersten Bandes nicht immer zulässig ist. Wir können nicht allgemein die Worte „die Function Φ(ξ) hat denselben Werthverlauf wie die Function Ψ(ξ)“ als gleichbedeutend mit den Worten „die Functionen Φ(ξ) und Ψ(ξ) haben für dasselbe Argument immer denselben Werth“gebrauchen, und wir müssen die Möglichkeit in Betracht ziehen, dass es Begriffe gebe, die — im gewöhnlichen Wortsinne wenigstens — einen Umfang haben. Die Berechtigung unserer Function zweiter Stufe wird dadurch erschüttert. Und doch ist eine solche für die Begründung der Arithmetik unentbehrlich. Wir wollen unsere Untersuchung nun noch dadurch ergänzen, dass wir, statt von (Vb) auszugehen und so auf einen Widerspruch zu stossen, die Falschheit von (Vb) als Endergebnis gewinnen. Um dabei von den immerhin verdächtigen Werthverlaufzeichen unabhängig zu sein, wollen wir die Ableitung ganz allgemein für eine Function zweiter Stufe mit einem Argument zweiter Art1 durchführen, indem wir die Bezeichnungsweise in Bd. I, § 25 benutzen. Unsere Zeichenverbindung
wird demgemäss ersetzt werden durch
und auf diesen Fall sind die Bestimmungen, die wir bei den Werthverlaufzeichen in I, § 9 über das Gebiet eines griechischen Buchstabens aufgestellt haben, sinngemäss zu übertragen. Wir haben in unserer For mel zweimal ein »M«, erstens im Anfange, zweitens im Innern. An der Argumentstelle des ersten steht die Functionsmarke
an der des zweiten steht »—g(ξ)«. Zunächst ergiebt sich Folgendes:
Setzen wir hierin zur Abkürzung
und setzen wir für »a« »Mβ((Φ(β)))«, so erhalten wir aus ν
d. h. der Werth unserer Function zweiter Stufe für den Begriff Φ(ξ) fällt unter eben diesen Begriff. Andrerseits haben wir aber auch aus (ν)
d. h.: Es giebt einen Begriff, für welchen als Argument unsere Function zweiter Stufe denselben Werth erhält wie für Φ(ξ), unter welchen dieser Werth aber nicht fällt. Mit andern Worten: Für jede Function zweiter Stufe mit einem Argumente zweiter Art giebt es zwei Begriffe der Art, dass sie, als Argumente dieser Function genommen, denselben Werth ergeben, und dass dieser Werth zwar unter den ersten dieser
Begriffe fällt, nicht aber unter den zweiten. Begriffsschriftlich können wir das so ableiten:
(IIIa):
(IIb)::
(IIb,IIIa)::
(μ):
(Ig):
(IIa)::
−−−− • −−−−
(φ):
d. h.: Für jede Function zweiter Stufe mit einem Argumente zweiter Art giebt es Begriffe, welche, als deren Argumente genommen, denselben Werth ergeben, obwohl nicht alle Gegenstände, die unter den einen dieser Begriffe fallen, auch unter den andern fallen. Unser Beweis ist geführt worden ohne Benutzung von Sätzen oder Bezeichnungen, deren Berechtigung irgendwie zweifelhaft wäre. Unser Satz gilt also auch für die Function zweiter Stufe , falls diese zulässig ist, oder in Worten: Falls allgemein bei jedem Begriffe erster Stufe von dessen Umfange gesprochen werden darf, so kommt der Fall vor, dass Begriffe denselben Umfang haben, obwohl nicht alle Gegenstände, die unter den einen dieser Begriffe fallen, auch unter den andern fallen. Damit ist aber der Begriffsumfang im hergebrachten Sinne des Wortes eigentlich aufgehoben. Man darf
nicht sagen, dass allgemein der Ausdruck „der Umfang eines ersten Begriffes fällt zusammen mit dem eines zweiten“ gleichbedeutend sei mit dem Ausdrucke „alle unter den ersten Begriff fallenden Gegenstände fallen auch unter den zweiten und umgekehrt“. Wir sehen aus dem Ergebnisse unserer Ableitung, dass es gar nicht möglich ist, mit den Worten „der Umfang des Begriffes Φ(ξ)“ einen solchen Sinn zu verbinden, dass allgemein aus der Gleichheit des Umfanges von Begriffen geschlossen werden könne, dass jeder unter den einen von ihnen fallende Gegenstand auch unter den andern falle. Zu unserm Satze können wir noch auf einem andern Wege gelangen, nämlich so:
Setzen wir hier zur Abkürzung »Ψ(ξ)« für
und setzen wir für »a« »Mβ((Ψ(β)))«, so erhalten wir aus (ω)
d. h. der Werth unserer Function zweiter Stufe für das Argument Ψ(ξ) fällt nicht unter den Begriff Ψ(ξ). Andrerseits haben wir aber auch aus (ω)
d. h.: es giebt einen Begriff, für den als Argument unsere Function zweiter Stufe denselben Werth erhält wie für Ψ(ξ) und unter den dieser Werth fällt. Auch hier haben wir also zwei Begriffe der Art, dass sie, als Argumente der Function zweiter Stufe genommen, denselben Werth ergeben, der nun unter den zweiten dieser Begriffe fällt, nicht aber unter den ersten. Aus dem Satze (ω) können
wir in ähnlicher Weise wie aus (ν) den Satz (χ) ableiten. Versuchen wir nun, die Function als Function zweiter Stufe unserer Sätze zu nehmen! Wir haben dann in
einen Begriff, unter welchen sein eigner Umfang fällt. Es giebt dann aber nach (ν) einen Begriff, dessen Umfang mit dem eben genannten zusammenfällt, unter welchen dieser Umfang aber nicht fällt. Wir möchten gerne ein Beispiel hierzu haben. Wie ist ein solcher Begriff zu finden? Dies ist nicht möglich ohne genauere Bestimmung unserer Function oder des Begriffsumfanges; denn unser bisheriges Kriterium des Zusammenfallens von Begriffsumfängen lässt uns hier im Stiche. Wir haben andrerseits in
einen Begriff, unter welchen sein eigner Umfang nicht fällt. Nach (ω) giebt es aber dann einen Begriff, dessen Umfang mit dem des eben genannten zusammenfällt, unter welchen dieser Umfang fällt. Alles dies natürlich unter der Voraussetzung, dass der Functionsname logisch berechtigt ist. In beiden Fällen sehen wir, dass der Begriffsumfang selbst den Ausnahmefall bewirkt, indem er nur unter den einen von zwei Begriffen fällt, die ihn als Umfang haben; und wir sehen, dass sich das Auftreten dieser Ausnahme in keiner Weise vermeiden lässt. Demnach liegt es nahe, das Kriterium der Umfangsgleichheit so zu fassen: der Umfang eines ersten Begriffes fällt zusammen mit dem eines zweiten, wenn jeder Gegenstand mit Ausnahme des Umfanges des ersten Begriffes, der unter den ersten Begriff fällt, auch unter den zweiten Begriff fällt, und wenn umgekehrt jeder Gegenstand mit Ausnahme des Umfanges des zweiten Begriffes, der unter den zweiten Begriff fällt, auch unter den ersten fällt. Selbstverständlich kann dies nicht als Definition etwa des Begriffsumfanges angesehen werden, sondern nur als Angabe der kennzeichnenden Beschaffenheit dieser Function zweiter Stufe. Indem wir das, was wir von den Begriffsumfängen gesagt haben, auf Werthverläufe im Allgemeinen übertragen, gelangen wir zu dem Grundgesetze
das an die Stelle von (V) (§ 20, S. 36) zu treten hat. Aus diesem Gesetze folgt (Va). Dagegen muss (Vb) folgenden Sätzen weichen:
Ueberzeugen wir uns nun, dass der früher zwischen den Sätzen (β) und (ε) auftretende Widerspruch jetzt
vermieden wird. Wir verfahren wie bei der Ableitung von (β), indem wir statt (Vb) (V'c) benutzen. sei wieder Abkürzung für
Wir haben nach (V'c)
Die Benutzung der Abkürzung ergiebt
was selbstverständlich ist wegen des Untergliedes und eben deswegen nie auf einen Widerspruch führen kann. Wir hatten (I, S. 17) festgesetzt, dass der Umfang eines Begriffes, unter den nur das Wahre fällt, das Wahre sein solle, und dass der Umfang eines Begriffes, unter den nur das Falsche fällt, das Falsche sein solle. Diese Bestimmungen erleiden durch die neue Fassung des Begriffsumfanges keine Aenderung. Welchen Einfluss hat nun diese neue Fassung auf die Werthe unserer Ersetzung von - unser - durch - unserer - [Fehlertyp: orth]# Function \ξ, wenn wir die Bestimmungen in I, § 11 festhalten ? Nehmen wir an, es sei Φ(ξ) ein leerer Begriff! Dann fiel nach der früheren Fassung des Begriffsumfanges mit zusammen, weil es keinen solchen Gegenstand Δ gab, dass mit zusammenfiel. Nach der neuen Fassung des Begriffsumfanges giebt es einen solchen Gegenstand, nämlich selbst. Das Ergebnis ist aber wieder dasselbe, nämlich dass mit zusammenfällt. Dasselbe wird sich ergeben, wenn als einziger Gegenstand unter den Begriff Φ(ξ) fällt. Nehmen wir an, unter den Begriff Φ(ξ) falle als einziger Gegenstand Δ, so fällt mit Δ zusammen. Dasselbe geschieht auch noch, wenn ausser Δ nur noch unter den Begriff Φ(ξ) fällt; und hier findet ein Unterschied von dem Frühern statt; denn in diesem Falle wäre früher nicht mit Δ, sondern mit zusammengefallen. In allen andern Fällen besteht kein Unterschied hinsichtlich der Werthe der Function \ξ bei der alten und der neuen Fassung des Begriffsumfanges, und unser Grundgesetz (VI) gilt jetzt wie früher. Wir müssen nun noch fragen, wie durch die neue Fassung des Werthverlaufs die Werthe unserer
Function ξ◠ζ beeinflusst werden. In dem Falle, dass Γ ein Werthverlauf ist, ist nun nicht mehr in jedem Falle bestimmt, welchen Werth eine Function, deren Werthverlauf Γ ist, für das Argument Θ hat 1, nämlich dann nicht, wenn Θ mit Γ zusammenfällt. Es kann dann Functionen geben, die denselben Werthverlauf Γ haben, die aber für das Argument Γ verschiedene Werthe haben. Der Umfang des Begriffes
kann nun nicht mehr mit dem Umfange eines Begriffes wie Δ=ξ zusammenfallen, weil unter diesen Δ als einziger Gegenstand, unter jenen aber alle Gegenstände fallen. Denn, wenn Γ ein Werthverlauf und Η ein Gegenstand ist, wird es immer möglich sein, eine Function Χ(ξ) so anzugeben, dass und Χ(Γ)=Η ist. Nach der Festsetzung in I, § 11 fällt demnach
zusammen. Wenn demnach Γ ein Werthverlauf ist, so ist
d. h. Γ◠Γ ist der Umfang eines allumfassenden Begriffes. Wenn Γ kein Werthverlauf ist, so ist Γ◠Γ der Umfang eines leeren Begriffes. Im ersten Falle ist —Γ◠Γ das Falsche:
Dies ist wichtig für die Function . Man könnte zunächst befürchten, dass Begriffe von demselben Umfange nach unsern Festsetzungen dieselbe Anzahl erhalten müssten, obwohl unter den einen ein Gegenstand mehr, als unter den andern, nämlich der Begriffsumfang selbst fiele, sodass man schliesslich nur eine einzige endliche Anzahl erhielte. Indessen kommt bei nicht der Begriff Φ(ξ), sondern in Betracht, und unter diesen fällt der Begriffsumfang nicht, wenn er auch unter den Begriff Φ(ξ) fällt. Wiederholt man die Ableitung von (1) (I, § 55) mit (V'b) statt mit (Vb), so erhält man statt (1) den Satz (1'):
aus dem statt (77) und (82) die Sätze (77') und (82') abzuleiten sind:
Wir ziehen noch einige Folgerungen.
(Ia):
(82'):
·−·−·−·−·−·−·−·
Dies folgt ganz so, wie oben (ι). Jedoch entsteht hier kein Widerspruch, wie wir gleich sehen werden. (γ') ist nur ein besonderer Fall von (α').
(γ')::
(ε') ist ein besonderer Fall von (IIIe). Ein Widerspruch ist nicht aufgetreten. Es würde hier zu weit führen, den Folgen der Ersetzung von (V) durch (V') weiter nachzugehen. Es ist ja nicht zu verkennen, dass vielen Sätzen Unterglieder hinzugefügt werden müssen; aber es ist wohl nicht zu besorgen, dass hieraus wesentliche Hindernisse für die Beweisführung entstehen werden. Immerhin wird eine Durchprüfung aller bisher gefundenen Sätze nöthig sein. Als Urproblem der Arithmetik kann man die Frage ansehen: wie fassen wir logische Gegenstände, insbesondere die Zahlen? Wodurch sind wir berechtigt, die Zahlen als Gegenstände anzuerkennen? Wenn dies Problem auch noch nicht so weit gelöst ist, als ich bei der Abfassung dieses Bandes dachte, so zweifle ich doch nicht daran, dass der Weg zur Lösung gefunden ist. Jena, im Oktober 1902.
1 Auch die Systeme des Herrn K. Dedekind gehören hierher.
1 Man vergl. hierzu Bd. I, § 29.
1 Wegen des Gebrauchs der griechischen Buchstaben vergl. man Bd. I, § 9.
1 Bd. I, § 23, S. 40.
1 Vergl. I, S. 53.

References: § 55
 § 3
 § 25
 § 9
 § 11
 § 11
 § 55
 § 29
 § 9
 § 23