Source: http://www.slideshare.net/danielafelium/matematica-l-m
Timestamp: 2016-10-24 08:40:13+00:00

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Daniela Muñoz, Working
Programa de Estudio MATEMÁTICA I MEDIO MINISTERIO DE EDUCACIÓNUNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 2.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN 2UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 3.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN 3UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 4.
ÍNDICEPRESENTACIÓN 5Nociones básicas 6Aprendizajes como integración de conocimientos, habilidades y actitudes 6Objetivos Fundamentales Transversales 9Mapas de Progreso 10Consideraciones generales para implementar el programa 12Orientaciones para planificar 14Orientaciones para evaluar 17MATEMÁTICA 19PropósitosHabilidadesOrientaciones didácticasVISIÓN GLOBAL DEL AÑO 23Semestre 1 24 Unidad 1. Números 25 Unidad 2. Álgebra 36Semestre 2 45 Unidad 3. Geometría 46 Unidad 4. Datos y Azar 54MATERIAL DE APOYO SUGERIDO 67Anexos: Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares 73 Anexo 2: Objetivos Fundamentales por semestre y unidad 82 Anexo 3: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad 83 Anexo 4: Relación entre Aprendizajes Esperados (AE), Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) 85 MINISTERIO DE EDUCACIÓN 4 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 5.
PRESENTACIÓNEl programa es una El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico delpropuesta para año escolar. Esta propuesta tiene como propósito promover el logro de los Objetivoslograr los ObjetivosFundamentales y Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define elContenidos Mínimos Marco Curricular1. La ley dispone que cada establecimiento pueda elaborar sus propios programas de estudio, previa aprobación de los mismos por parte del Mineduc. El presente programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no cuentan con programas propios. Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son: • Una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los OF y CMO del Marco Curricular, lo que se expresa a través de los Aprendizajes Esperados2. • Una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades. • Una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación, presentada a modo de sugerencia. De manera adicional a estos componentes, se presenta un conjunto de elementos que se entregan con la finalidad de orientar el trabajo pedagógico realizado a partir del programa y promover el logro de los objetivos que este propone. La totalidad de los elementos que componen el programa incluyen lo siguiente: • Nociones básicas. Esta sección presenta conceptos fundamentales que están en la base del Marco Curricular y, a la vez, presenta una visión general acerca de la función de los Mapas de Progreso. • Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el trabajo en torno al mismo. • Propósitos, habilidades y orientaciones didácticas. Esta sección presenta sintéticamente los propósitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendizajes del sector y las habilidades a desarrollar. También entrega algunas orientaciones pedagógicas relevantes para implementar el programa en el sector.1 Decretos supremos 254 y 256 de 2009.2 En algunos casos estos aprendizajes están formulados en los mismos términos que algunos de los OF del Marco Curricular. Esto ocurre cuando estos OFpueden ser desarrollados de manera íntegra en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su desglose en definiciones más específicas. MINISTERIO DE EDUCACIÓN 5 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 6.
• Visión global del año. Presenta la totalidad de Aprendizajes Esperados a desarrollar durante el año, organizados de acuerdo a unidades.• Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la unidad, incluyen indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes.• Relaciones interdisciplinarias ®. Se simbolizan con ® las actividades que relacionan dos o más sectores.• Instrumentos y ejemplos de evaluación. Ilustran formas de apreciar el logro de los Aprendizajes Esperados presentando estrategias diversas que pueden ser utilizadas para este fin.• Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliográficos y electrónicos que pueden ser utilizados para promover los aprendizajes del sector, distinguiendo entre aquellos para ser consultados por el docente de los que pueden ser utilizados por los estudiantes. MINISTERIO DE EDUCACIÓN 6 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 7.
NOCIONES BÁSICAS 1. Aprendizajes como integración de conocimientos, habilidades y actitudes Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estudio apuntanHabilidades,conocimientos y a un desarrollo integral de los estudiantes. Para tales efectos, esos aprendizajesactitudes… involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina como las habilidades y actitudes.…movilizados para Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades yenfrentar diversas actitudes para enfrentar diversos desafíos, tanto en el contexto del sector de aprendizajesituaciones ydesafíos… como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos hacia el logro de competencias, entendidas como la movilización de dichos elementos para realizar de manera efectiva una acción determinada. Se trata una noción de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos, las…y que sedesarrollan de habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y, a la vez, se enriquecenmanera integrada y potencian de forma recíproca.Deben promoverse Las habilidades, los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontáneamente alde manera estudiar las disciplinas. Requieren promoverse de manera metódica y estar explícitas ensistemática los propósitos que articulan el trabajo de los docentes. Habilidades Son importantes, porque… …el aprendizaje involucra no solo el saber, sino también el saber hacer. Por otra parte,Son fundamentalesen el actual contexto la continua expansión y la creciente complejidad del conocimiento demandan cada vezsocial más capacidades de pensamiento que permitan, entre otros aspectos, usar la información de manera apropiada y rigurosa, examinar críticamente las diversas fuentes de información disponibles y adquirir y generar nuevos conocimientos. Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades, como resolver problemas, formular conjeturas, realizar cálculos en forma mental y escrita y verificar proposiciones simples, entre otras. Se deben desarrollar de manera integrada, porque…Permiten poner en …sin esas habilidades, los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alumnosjuego los resultan elementos inertes; es decir, elementos que no pueden poner en juego paraconocimientos comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos. Conocimientos MINISTERIO DE EDUCACIÓN 7 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 8.
Son importantes, porque… …los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la comprensiónEnriquecen lacomprensión y la de los estudiantes sobre los fenómenos que les toca enfrentar. Les permiten relacionarserelación con el con el entorno, utilizando nociones complejas y profundas que complementan, deentorno manera crucial, el saber que han obtenido por medio del sentido común y la experiencia cotidiana. Además, estos conceptos son fundamentales para que los alumnos construyan nuevos. Por ejemplo, si se observa una información en un diario que contenga datos representados en tablas o gráficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre estadística para interpretar a esa información. Los conocimientos previos le capacitan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en la medida que entiende la información y así construir este nuevo conocimiento. Se deben desarrollar de manera integrada, porque…Son una base para eldesarrollo de …son una condición para el progreso de las habilidades. Ellas no se desarrollan en unhabilidades vacío, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos. Actitudes Son importantes, porque… …los aprendizajes no involucran únicamente la dimensión cognitiva. Siempre estánEstán involucradasen los propósitos asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Entre los propósitosformativos de la establecidos para la educación, se contempla el desarrollo en los ámbitos personal,educación social, ético y ciudadano. Ellos incluyen aspectos de carácter afectivo y, a la vez, ciertas disposiciones. A modo de ejemplo, los aprendizajes de Matemática involucran actitudes como perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias. Se deben enseñar de manera integrada, porque… …en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su desarrollo.Son enriquecidas porlos conocimientos y Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar juicioslas habilidades informados, analizar críticamente diversas circunstancias y contrastar criterios y decisiones, entre otros aspectos involucrados en este proceso.Orientan la forma de A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a losusar los conocimientos y las habilidades adquiridos. Son, por lo tanto, un antecedente necesarioconocimientos y lashabilidades para usar constructivamente estos elementos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN 8 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 9.
2. Objetivos Fundamentales Transversales (OFT) Son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general, y apuntan al desarrolloSon propósitosgenerales definidos personal, ético, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte constitutiva delen el currículum… currículum nacional y, por lo tanto, los establecimientos deben asumir la tarea de promover su logro. Los OFT no se logran a través de un sector de aprendizaje en particular; conseguirlos…que debenpromoverse en toda depende del conjunto del currículum. Deben promoverse a través de las diversas disciplinas yla experiencia en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo, por medio del proyectoescolar educativo institucional, la práctica docente, el clima organizacional, la disciplina o las ceremonias escolares).Integranconocimientos, No se trata de objetivos que incluyan únicamente actitudes y valores. Supone integrar esoshabilidades y aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades.actitudes A partir de la actualización al Marco Curricular realizada el año 2009, estos objetivos seSe organizan en una organizaron bajo un esquema común para la Educación Básica y la Educación Media. Dematriz común paraeducación básica y acuerdo con este esquema, los Objetivos Fundamentales Transversales se agrupan en cincomedia ámbitos: crecimiento y autoafirmación personal, desarrollo del pensamiento, formación ética, la persona y su entorno y tecnologías de la información y la comunicación. OFT Lenguaje y Comunicación Idioma extranjero Matemática Crecimiento y autoafirmación personal Historia, Geografía y Ciencias Sociales Biología Desarrollo del Ciencias Naturales / Química pensamiento Física Educación Tecnológica Educación Física Formación ética Educación / Artes Visuales Artística Artes Musicales La persona y su Orientación entorno Religión Filosofía Tecnologías de información y comunicación MINISTERIO DE EDUCACIÓN 9 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 10.
3. Mapas de Progreso Son descripciones generales que señalan cómo progresan habitualmente los aprendizajes Describen sintéticamente en las áreas clave de un sector determinado. Se trata de formulaciones sintéticas que se cómo progresa el centran en los aspectos esenciales de cada sector. A partir de esto, ofrecen una visión aprendizaje… panorámica sobre la progresión del aprendizaje en los doce años de escolaridad3. Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en el Marco …de manera Curricular y los programas de estudio. El avance que describen expresa de manera más congruente con el Marco Curricular y gruesa y sintética los aprendizajes que esos dos instrumentos establecen y, por lo tanto, los programas de se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su particularidad consiste en que estudio entregan una visión de conjunto sobre la progresión esperada en todo el sector de aprendizaje. ¿Qué utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes? Sirven de apoyo Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar (ver las para planificar y Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se presentan en el evaluar… programa). Además, son un referente útil para atender a la diversidad de estudiantes dentro del aula: …y para atender la • permiten más que simplemente constatar que existen distintos niveles de diversidad al aprendizaje dentro de un mismo curso. Si se usan para analizar los desempeños de interior del curso los estudiantes. ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisión en qué consisten esas diferencias • la progresión que describen permite reconocer cómo orientar los aprendizajes de los distintos grupos del mismo curso; es decir, de aquellos que no han conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron • expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector, de manera sintética y alineada con el Marco Curricular3 Los Mapas de Progreso describen en 7 niveles el crecimiento habitual del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector. Cada uno de estosniveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se esperapara la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico; el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico, y así sucesivamente. El Nivel 7 describe elaprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”, es decir, va más allá de la expectativa para 4° medio quedescribe el Nivel 6 en cada mapa. MINISTERIO DE EDUCACIÓN 10 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 11.
Relación entre Mapa de Progreso, Programa de Estudio y Marco Curricular Marco Curricular Prescribe los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios que todos los estudiantes deben lograr. Ejemplo: Objetivo Fundamental I medio Representar números racionales en la recta numérica; usar la representación decimal y de fracción de un racional, justificando la transformación de una en otra; aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades. Contenido Mínimo Obligatorio Representación de números racionales en la recta numérica; verificación de la cerradura de la adición, sustracción, multiplicación y división en los racionales. Programa de Estudio Mapa de ProgresoOrienta la labor pedagógica, Entrega una visión sintética del progreso delestableciendo Aprendizajes aprendizaje en un área clave del sector, y se ajusta aEsperados que dan cuenta de los las expectativas del Marco Curricular.Objetivos Fundamentales yContenidos Mínimos, y los organiza Ejemplo:temporalmente a través de Mapa de Progreso Números y Operacionesunidades. Nivel 7Ejemplo: Comprende los diferentes conjuntos numéricos…Aprendizaje Esperado I° medioAplicar las cuatro operaciones aritméticas con Nivel 6números racionales en situaciones diversas; Reconoce los números complejos como…aproximar los resultados, reconociendo laslimitaciones de la calculadora. Nivel 5 Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los enteros; a los irracionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los racionales, y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpreta potencias de base racional y exponente Integrados en la racional, raíces enésimas y logaritmos, establece relaciones entre formulación del ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza operaciones con números reales, calcula potencias, raíces y Mapa de Progreso logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelve problemas, utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o la falsedad de conjeturas. Nivel 4 Reconoce a los números enteros como… Nivel 3 Reconoce que los números naturales… Nivel 2 Utiliza los números naturales hasta 1.000… MINISTERIO DE EDUCACIÓN 11 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 12.
CONSIDERACIONES GENERALES PARA IMPLEMENTAR EL PROGRAMA Las orientaciones que se presentan a continuación destacan algunos elementos relevantes al momento de implementar el programa. Algunas de estas orientaciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en el currículum. 1. Uso del lenguaje Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicación oral, la lectura y la escrituraLa lectura, laescritura y la como parte constitutiva del trabajo pedagógico correspondiente a cada sector decomunicación oral aprendizaje.deben promoverseen los distintossectores de Esto se justifica, porque las habilidades de comunicación son herramientasaprendizaje fundamentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes propios de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan únicamente en el contexto del sector Lenguaje y Comunicación, sino que se consolidan a través del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y, por lo tanto, involucran los otros sectores de aprendizaje del currículum. Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicación oral, los docentes deben procurar: Lectura:Estas habilidades se • la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informativospueden promoverde diversas formas propios del sector, textos periodísticos y narrativos, tablas y gráficos) • la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos especializados del sector • la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante • la realización de resúmenes, síntesis de las ideas y argumentos presentados en los textos • la búsqueda de información en fuentes escritas, discriminándola y seleccionándola de acuerdo a su pertinencia • la comprensión y el dominio de nuevos conceptos y palabras Escritura: • la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo, reportes, ensayos, descripciones, respuestas breves) • la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas • la presentación de las ideas de una manera coherente y clara • el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos • el uso correcto de la gramática y de la ortografía Comunicación oral: • la capacidad de exponer ante otras personas • la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada • el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones • el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión, incorporando los conceptos propios del sector MINISTERIO DE EDUCACIÓN 12 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 13.
• el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para superar dificultades de comprensión • la disposición para escuchar información de manera oral, manteniendo la atención durante el tiempo requerido • la interacción con otras personas para intercambiar ideas, analizar información y elaborar conexiones en relación con un tema en particular, compartir puntos de vista y lograr acuerdos 2. Uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación (TICs)Debe impulsarse e El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologías de la Información yuso de las TICs a Comunicación (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de los Objetivostravés de lossectores de Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demanda que el dominio y usoaprendizaje de estas tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto, se debe procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para: • buscar, acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes, y seleccionar esta información, examinando críticamente su relevancia y calidadSe puede recurrir a • procesar y organizar datos, utilizando plantillas de cálculo, y manipular ladiversas formas de información sistematizada en ellas para identificar tendencias, regularidades yutilización de estastecnologías patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector • desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto, plantillas de presentación (power point) y herramientas y aplicaciones de imagen, audio y video • intercambiar información a través de las herramientas que ofrece internet, como el correo electrónico, chat, espacios interactivos en sitios web o comunidades virtuales • respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs, como el cuidado personal y el respeto por el otro, señalar las fuentes de donde se obtiene la información y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales 3. Atención a la diversidad En el trabajo pedagógico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre losLa diversidad entre estudiantes en términos culturales, sociales, étnicos o religiosos y respecto de estilos deestudiantesestablece desafíos aprendizaje y niveles de conocimiento.que deben tomarseen consideración Esa diversidad conlleva desafíos que los profesores tienen que contemplar. Entre ellos, cabe señalar: • promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de tolerancia y apertura, evitando las distintas formas de discriminación • procurar que los aprendizajes se desarrollen de una manera significativa en relación con el contexto y la realidad de los estudiantes • intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje señalados en el currículum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos MINISTERIO DE EDUCACIÓN 13 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 14.
Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de aprendizaje no implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes. Por el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar que hay que reconocer los requerimientos didácticos personales de los alumnos, para que todos alcancen altas expectativas. Se aspira a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado.Es necesario En atención a lo anterior, es conveniente que, al momento de diseñar el trabajo en unaatender a la unidad, el docente considere que precisarán más tiempo o métodos diferentes para quediversidad para quetodos logren los algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Para esto, debe desarrollar unaaprendizajes planificación inteligente que genere las condiciones que le permitan: conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de los estudiantesEsto demandaconocer qué saben evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades dey, sobre esa base, aprendizajedefinir conflexibilidad las definir la excelencia, considerando el progreso individual como punto de partidadiversas medidas incluir combinaciones didácticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) ypertinentes materiales diversos (visuales, objetos manipulables) evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opciones promover la confianza de los alumnos en sí mismos promover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación abundante 4. Orientaciones para planificar La planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar losLa planificaciónfavorece el logro de aprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir loslos aprendizajes procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar. Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herramienta deEl programa sirve de apoyo al proceso de planificación. Para estos efectos han sido elaborados como unapoyo a laplanificación a través material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad en los distintosde un conjunto de contextos educativos del país.elementoselaborados para estefin El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son los Aprendizajes Esperados. De manera adicional, el programa apoya la planificación a través de la propuesta de unidades, de la estimación del tiempo cronológico requerido en cada una, y de la sugerencia de actividades para desarrollar los aprendizajes. Consideraciones generales para realizar la planificación La planificación es un proceso que se recomienda realizar, considerando los siguientes aspectos: • la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso,Se debe planificartomando en cuenta lo que implica planificar considerando desafíos para los distintos grupos de alumnosla diversidad, eltiempo real, lasprácticas anterioresy los recursos MINISTERIO DE EDUCACIÓN 14disponibles UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 15.
• el tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible • las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios • los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materiales didácticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar; laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de Aprendizaje (CRA), entre otros Sugerencias para el proceso de planificación Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo que los alumnos deben aprender. Para alcanzar este objetivo, se recomienda elaborar la planificación en los siguientes términos:Lograr una visión lo • comenzar por una especificación de los Aprendizajes Esperados que no se limite amás clara y concreta listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo más clara posibleposible sobre losdesempeños que de las expresiones concretas que puedan tener. Esto implica reconocer quédan cuenta de los desempeños de los estudiantes demuestran el logro de los aprendizajes. Se debenaprendizajes… poder responder preguntas como ¿qué deberían ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado Aprendizaje Esperado?, ¿qué habría que observar para saber que un aprendizaje ha sido logrado?…y, sobre esa base, • a partir de las respuestas a esas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar y lasdecidir las estrategias de enseñanza. Específicamente, se requiere identificar qué tarea deevaluaciones, lasestrategias de evaluación es más pertinente para observar el desempeño esperado y quéenseñanza y la modalidades de enseñanza facilitarán alcanzar este desempeño. De acuerdo a estedistribución temporal proceso, se debe definir las evaluaciones formativas y sumativas, las actividades de enseñanza y las instancias de retroalimentación Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso, que entregan elementos útiles para reconocer el tipo de desempeño asociado a los aprendizajes. Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta se use tanto en la planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al plan de cada clase. La planificación anual: en este proceso, el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo del año escolar, considerando su organización por unidades; estimar el tiempo que se requerirá para cada unidad y priorizar las acciones que conducirán a logros académicos significativos. Para esto el docente tiene que: • alcanzar una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr durante el año,Realizar este dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los estudiantes. Esto debeproceso con unavisión realista de los desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados especificados en los programas.tiempos disponibles Los Mapas de Progreso pueden resultar un apoyo importantedurante el año MINISTERIO DE EDUCACIÓN 15 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 16.
• identificar, en términos generales, el tipo de evaluación que se requerirá para verificar el logro de los aprendizajes. Esto permitirá desarrollar una idea de las demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad • sobre la base de esta visión, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para que esta distribución resulte lo más realista posible, se recomienda: o listar días del año y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible o elaborar una calendarización tentativa de los Aprendizajes Esperados para el año completo, considerando los feriados, los días de prueba y de repaso, y la realización de evaluaciones formativas y retroalimentación o hacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarización o ajustar permanentemente la calendarización o las actividades planificadas La planificación de la unidad: implica tomar decisiones más precisas sobre qué enseñar y cómo enseñar, considerando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad.Realizar esteproceso sin perder La planificación de la unidad debiera seguir los siguientes pasos:de vista la meta deaprendizaje de launidad • especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificación anual, esta visión debe sustentarse en los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda complementarla con los Mapas de Progreso • crear una evaluación sumativa para la unidad • idear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad • calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana • establecer las actividades de enseñanza que se desarrollarán • generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados, especificando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y retroalimentación • ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantesProcurar que los La planificación de clase: es imprescindible que cada clase sea diseñada considerandoestudiantes sepan que todas sus partes estén alineadas con los Aprendizajes Esperados que se buscaqué y por qué van aaprender, qué promover y con la evaluación que se utilizará.aprendieron y dequé manera Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su inicio, desarrollo y cierre y especificando claramente qué elementos se considerarán en cada una de estas partes. Se requiere considerar aspectos como los siguientes: • inicio: en esta fase, se debe procurar que los estudiantes conozcan el propósito de la clase; es decir, qué se espera que aprendan. A la vez, se debe buscar captar el interés de los estudiantes y que visualicen cómo se relaciona lo que aprenderán con lo que ya saben y con las clases anteriores • desarrollo: en esta etapa, el docente lleva a cabo la actividad contemplada para la clase • cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En él se debe procurar que los estudiantes se formen una visión acerca de qué aprendieron y cuál es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas para promover su aprendizaje. MINISTERIO DE EDUCACIÓN 16 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 17.
5. Orientaciones para evaluarApoya el proceso de La evaluación forma parte constitutiva del proceso de enseñanza. No se debe usar soloaprendizaje al como un medio para controlar qué saben los estudiantes, sino que cumple un rol centralpermitir sumonitoreo, en la promoción y el desarrollo del aprendizaje. Para que cumpla efectivamente con estaretroalimentar a los función, debe tener como objetivos:estudiantes ysustentar laplanificación • ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes • proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los alumnos y, sobre esta base, retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados dentro del sector • ser una herramienta útil para la planificación ¿Cómo promover el aprendizaje a través de la evaluación? Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si se llevan a cabo considerando lo siguiente:Explicitar qué se • informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán. Esto facilita queevaluará puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr • elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se busca alcanzar, fundados en el análisis de los desempeños de los estudiantes. LasIdentificar logros y evaluaciones entregan información para conocer sus fortalezas y debilidades. Eldebilidades análisis de esta información permite tomar decisiones para mejorar resultados alcanzados • retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir estaOfrecer información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que debenretroalimentación seguir para avanzar. También da la posibilidad de desarrollar procesos metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes; a su vez, esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos. ¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del Aprendizaje con la evaluación? Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y los ubican en un continuo de progreso.Los mapas apoyan Los Mapas de Progreso apoyan el seguimiento de los aprendizajes, en tanto permiten:diversos aspectosdel proceso deevaluación • reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar • aclarar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripción de cada nivel, sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta expectativa • observar el desarrollo, la progresión o el crecimiento de las competencias de un alumno, al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa • contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno evidenciar sus aprendizajes MINISTERIO DE EDUCACIÓN 17 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 18.
¿Cómo diseñar la evaluación? La evaluación debe diseñarse a partir de los Aprendizajes Esperados, con el objeto de Partir estableciendo observar en qué grado se alcanzan. Para lograrlo, se recomienda diseñar la evaluación los Aprendizajes Esperados a junto a la planificación y considerar las siguientes preguntas: evaluar… • ¿Cuáles son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcará la evaluación? Si debe priorizar, considere aquellos aprendizajes que serán duraderos y prerrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. Para esto, los Mapas de Progreso pueden ser de especial utilidad • ¿Qué evidencia necesitarían exhibir sus estudiantes para demostrar que dominan los Aprendizajes Esperados? Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluación que presenta el programa. …y luego decidir qué • ¿Qué método empleará para evaluar? se requiere para su evaluación en Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas escritas, términos de guías de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas conceptuales, evidencias, métodos, preguntas y criterios informes de laboratorio e investigaciones, entre otros). En lo posible, se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje. • ¿Qué preguntas incluirá en la evaluación? Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Esperados, que permitan demostrar la real comprensión del contenido evaluado • ¿Cuáles son los criterios de éxito?, ¿cuáles son las características de una respuesta de alta calidad? Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo: o comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de otros alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados en los Mapas de Progreso o identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen el nivel de desempeño esperado, y utilizarlas como modelo para otras evaluaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje o desarrollar rúbricas4 que indiquen los resultados explícitos para un desempeño específico y muestren los diferentes niveles de calidad para dicho desempeño4 Rúbrica: tabla o pauta para evaluar MINISTERIO DE EDUCACIÓN 18 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 19.
MATEMÁTICA Propósitos y habilidades del sector 1. Propósitos formativos del sector El aprendizaje de la matemática ayuda a comprender la realidad y proporciona herramientas para desenvolverse en la vida cotidiana. Entre ellas se encuentran el cálculo, el análisis de la información proveniente de diversas fuentes, la capacidad de generalizar situaciones, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados y seleccionar estrategias para resolver problemas. Todo esto contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, ordenado, crítico y autónomo, y a generar actitudes como precisión, rigurosidad, perseverancia y confianza en sí mismo, que se valoran no solo en la ciencia y la tecnología, sino también en la vida cotidiana. Aprender matemáticas acrecienta también las habilidades relativas a la comunicación; por una parte, enseña a presentar información con precisión y rigurosidad y, por otra, a demandar exactitud y rigor en las informaciones y argumentos que se recibe. El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo provocan importantes consecuencias en el desarrollo, el desempeño y la vida de las personas. El entorno social valora el conocimiento matemático y lo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden superior. Aprender matemática influye en el concepto que niños, jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades; por lo tanto, contribuye a que la persona se sienta un ser autónomo y valioso. En consecuencia, la calidad, la pertinencia y la amplitud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la calidad de vida de las personas y afecta el potencial de desarrollo del país. La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar con entes abstractos y sus relaciones y prepara a los estudiantes para que entiendan el medio y las múltiples relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico de complejidad creciente. Se trata de espacios en los que la cultura, la tecnología y las ciencias se redefinen en forma permanente y se hacen más difíciles, y las finanzas, los sistemas de comunicación y los vínculos entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan. 2. Habilidades matemáticas Al estudiar matemáticas, el estudiante adquiere –como el razonamiento lógico– la visualización espacial, el pensamiento analítico, el cálculo, el modelamiento y las destrezas para resolver problemas. La tabla siguiente puede resultar útil para: • observar transversalmente las habilidades que se desarrollan en el sector • focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evaluaciones que enfaticen dichas habilidades • situarse en el nivel, observar las habilidades que se pretendió enseñar en los años anteriores y las que se trabajarán más adelante • advertir diferencias y similitudes en los énfasis por ciclos de enseñanza Habilidades de pensamiento matemático 4° básico 5° básico 6° básico 7° básico 8° básico I° medioResolver Resolver Resolver Resolver Resolver Analizarproblemas en problemas en problemas en problemas en problemas en estrategias decontextos contextos contextos contextos contextos resolución designificativos que diversos y significativos diversos y diversos y problemas derequieren el uso significativos significativos, significativos acuerdo conde los contenidos utilizando los criterios definidos MINISTERIO DE EDUCACIÓN 19 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 20.
del nivel contenidos del nivel Analizar la Evaluar la validez Fundamentar validez de los de los resultados opiniones y tomar procedimientos obtenidos y el decisiones utilizados y de empleo de dichos los resultados resultados para obtenidos fundamentar opiniones y tomar decisionesFormular Formular yconjeturas y verificarverificarlas, para conjeturas, enalgunos casos casosparticulares particularesOrdenar números Ordenar Ordenary ubicarlos en la números y números yrecta numérica ubicarlos en la ubicarlos en la recta numérica recta numéricaRealizar cálculos Realizar cálculos Realizar Realizar Realizar cálculosen forma mental en forma cálculos en cálculos en en forma mentaly escrita mental y escrita forma mental y forma mental y y escrita escrita escrita Emplear formas Emplear formas Aplicar modelos simples de simples de lineales que modelamiento modelamiento representan la matemático matemático relación entre variables Verificar Diferenciar entre proposiciones verificación y simples, para demostración de casos particulares propiedades MINISTERIO DE EDUCACIÓN 20 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 21.
Orientaciones didácticasSe ha concebido este sector como una oportunidad para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida. Lamatemática es un área poderosa de la cultura, pues permite comprender, explicar y predecir situaciones yfenómenos del entorno. Por eso, es importante que los docentes se esfuercen para que todos los alumnos del paísaprendan los conocimientos y desarrollen las capacidades propias de esta disciplina. Estos programas entreganalgunas orientaciones que ayudarán a los profesores a cumplir con este objetivo por medio de la planificación y enel transcurso de las clases.Los conceptos matemáticos: profundidad e integraciónLos estudiantes deben explorar en las ideas matemáticas y entender que ellas constituyen un todo y no fragmentosaislados del saber. Tienen que enfrentar variadas experiencias para que comprendan en profundidad los conceptosmatemáticos, sus conexiones y sus aplicaciones. De esta manera, podrán participar activamente y adquirir mayorconfianza para investigar y aplicar las matemáticas. Se recomienda que usen materiales concretos, realicentrabajos prácticos y se apoyen en la tecnología, en especial en el ciclo básico.El uso del contextoEs importante que el docente aclare que esta disciplina está enraizada en la cultura y en la historia; asimismo, queimpacta en otras áreas del conocimiento científico, crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarse cómo seoriginaron los conceptos y modelos matemáticos, en qué períodos de la historia y cómo se enlazaron con laevolución del pensamiento. Es un ancla importante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogías yrepresentaciones cercanas a los estudiantes, en especial en las etapas de exploración. También se sugiere aplicarlas matemáticas a otras áreas del saber y en la vida diaria como un modo de apoyar la construcción delconocimiento matemático.Razonamiento matemático y resolución de problemasEsta disciplina se construye a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas y ayuda arazonar en vez de actuar de modo mecánico. Por eso es importante invitar a los estudiantes a buscar regularidades.También se busca desarrollar y explicar la noción de estrategia, comparar diversas formas de abordar problemas yjustificar y demostrar las proposiciones matemáticas. El docente debe procurar, asimismo, que los estudiantesconjeturen y verifiquen cómo se comportan los elementos y las relaciones con que se trabaja. Deben analizar losprocedimientos para resolver un problema y comprobar resultados, propiedades y relaciones.Aunque deben ser competentes en diversas habilidades matemáticas, el profesor tiene que evitar que pongandemasiado énfasis en los procedimientos si no comprenden los principios matemáticos correspondientes.Uso del errorUsar adecuadamente el error ayuda a crear un ambiente de búsqueda y creación. Un educador puede aprovechar laequivocación para inducir aprendizajes especialmente significativos, si lo hace de manera constructiva. Se debeconsiderar el error como un elemento concreto para trabajar la diversidad en clases y permitir que todos losalumnos alcancen los aprendizajes propuestos.Aprendizaje matemático y desarrollo personalLa clase de matemática ofrece abundantes ocasiones para el autoconocimiento y las interacciones sociales. Es unaoportunidad para la metacognición5: ¿cómo lo hice?, ¿cómo lo hicieron?, ¿de qué otra manera es posible? Además,la percepción que cada cual tiene de su propia capacidad para aprender y hacer matemática, surge de laretroalimentación que le ha dado la propia experiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus manos un poderosoinstrumento: reconocer los esfuerzos y los logros de los alumnos. Otros aspectos que también ayudan a que cada5 Metacongición: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento MINISTERIO DE EDUCACIÓN 21 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 22.
estudiante aumente la confianza en sí mismo son valorar las diferencias, aceptar los éxitos o las acciones de suspares, crear un clima de confianza y distinguir de qué modo enfrenta cada uno el triunfo o el fracaso, sea propio ode los demás.Tecnologías digitales y aprendizaje matemáticoEl programa propone usar programas y ambientes digitales para ampliar las oportunidades de aprendizaje de losestudiantes. Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a través de modelos en los que se puedeexperimentar con ideas matemáticas; también se puede crear situaciones para que los alumnos exploren lascaracterísticas, los límites y las posibilidades de conceptos, relaciones o procedimientos matemáticos. Losprocesadores geométricos, simbólicos y de estadística son laboratorios para investigar relaciones y ponerlas aprueba. Con un procesador simbólico, se puede analizar y entender números grandes o muy pequeños. Y se puedeestudiar el comportamiento de funciones, incluso las de alta complejidad. Internet ofrece múltiples ambientes conrepresentaciones dinámicas de una gran cantidad de objetos matemáticos. Los procesadores geométricos permitenexperimentar con nociones y relaciones de la geometría euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata de un espaciomuy atractivo para los estudiantes y que los ayudará mucho a formarse para una vida cada vez más influida por lastecnologías digitales.Clima y motivaciónSe debe propiciar un ambiente creativo para que los alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturas respecto delos problemas que abordan. Ese ambiente debe admitir que el error, la duda y la pregunta son importantes yvaliosos para construir conocimiento; asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y aprovecharlos para crearuna búsqueda y una construcción colectiva. En ese espacio será natural analizar acciones y procedimientos y buscarcaminos alternativos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN 22 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 23.
VISIÓN GLOBAL DEL AÑOCuadro sinóptico de Aprendizajes EsperadosSemestre 1 Semestre 2 Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Números Álgebra Geometría Datos y Azar1. Distinguir problemas 1. Identificar patrones 1. Identificar y representar 1. Obtener información a partir del que no admiten en multiplicaciones puntos y coordenadas de análisis de datos, en diversos solución en los de expresiones figuras geométricas en el contextos, presentados en gráficos y números enteros y algebraicas no plano cartesiano, tablas de frecuencia, considerando la que pueden ser fraccionarias. manualmente o usando un interpretación de medidas de resueltos en los 2. Factorizar procesador geométrico. tendencia central. números racionales. expresiones 2. Representar en el plano, 2. Producir información, en contextos2. Justificar algebraicas no adiciones, sustracciones de diversos, a través de gráficos y tablas matemáticamente fraccionarias. vectores y multiplicaciones de frecuencia con datos agrupados que los decimales 3. Establecer de un vector por un en intervalos, manualmente o periódicos y estrategias para escalar. mediante herramientas tecnológicas. semiperiódicos son resolver ecuaciones 3. Aplicar composiciones de 3. Obtener la cardinalidad de espacios números racionales. lineales. funciones para realizar muestrales y eventos, en3. Establecer relaciones 4. Analizar transformaciones experimentos aleatorios finitos, de orden entre representaciones isométricas en el plano usando más de una estrategia. números racionales. de la función lineal cartesiano. 4. Calcular la media aritmética de las4. Representar números y de la función afín. 4. Identificar regularidades en medias de muestras de igual tamaño, racionales en la recta 5. Realizar la aplicación de extraídas desde una población. numérica. composiciones de transformaciones 5. Formular conjeturas y verificarlas en5. Utilizar la calculadora funciones y isométricas a figuras en el casos particulares acerca de la para realizar cálculos establecer algunas plano cartesiano. relación que existe entre la media reconociendo sus propiedades 5. Formular y verificar aritmética de una población de limitaciones. algebraicas de esta conjeturas acerca de la tamaño finito y la media aritmética6. Verificar la densidad operación. aplicación de de las medias de muestras de igual de los números 6. Resolver problemas transformaciones tamaño, extraídas de dicha racionales. asociados a isométricas a figuras población.7. Verificar la cerradura situaciones cuyos geométricas en el plano 6. Interpretar información, en diversos de las operaciones en modelos son cartesiano. contextos, mediante el uso de los números ecuaciones literales 6. Establecer el concepto de medidas de posición y de tendencia racionales. de primer grado. congruencia a partir de las central, aplicando criterios referidos8. Comprender el transformaciones al tipo de datos que se están significado de las isométricas. utilizando. potencias de base 7. Formular y verificar 7. Producir información, en contextos racional y exponente conjeturas acerca de diversos, mediante el uso de medidas entero. criterios de congruencia en de posición y de tendencia central,9. Resolver problemas triángulos. aplicando criterios referidos al tipo de en contextos diversos 8. Resolver problemas datos que se están utilizando. que involucran relativos a cálculos de 8. Utilizar el cálculo de medidas de números racionales o vértices y lados de figuras tendencia central y de posición para potencias de base geométricas del plano analizar muestras de datos racional y exponente cartesiano y a la agrupados en intervalos. entero. congruencia de triángulos. 9. Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento aleatorio. Tiempo estimado Tiempo estimado Tiempo estimado Tiempo estimado 65 horas 70 horas 65 horas 80 horas MINISTERIO DE EDUCACIÓN 23 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 24.
SEMESTRE 1 MINISTERIO DE EDUCACIÓN 24UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 25.
UNIDAD 1 NúmerosPropósitoEn esta unidad se recogen los aprendizajes que los estudiantes ya tienen sobre números enteros, fracciones ydecimales, para introducir los números racionales. Se espera que los estudiantes comprendan sus características ypropiedades, y sean capaces de ordenarlos, transformar de fracciones a números decimales, justificando latransformación realizada, y operar con ellos. En esta unidad se introducen también las potencias de base racional yexponente entero, de modo que los estudiantes comprendan sus propiedades y las apliquen en la resolución deproblemas.Conceptos claveNúmeros racionales, potencias de base racional y exponente entero.Prerrequisitos• Operatoria de números enteros• Potencias de base entera y exponente natural• Propiedades de las potencias de base natural, fraccionaria y decimal con exponente naturalContenidos disciplinares• Operaciones aritméticas con números racionales• Potencias de base racional y exponente entero• Propiedades de las potencias de base racional y exponente enteroHabilidades• Reconocer si un problema puede tener solución en los números enteros• Identificar los números racionales como un cuociente de dos números enteros, con denominador distinto de cero• Transformar números de notación decimal a fracción y viceversa• Resolver situaciones en las que es necesario operar con números racionales• Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales• Utilizar las potencias de base racional y exponente entero para representar situacionesActitudes• Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en diversos contextos MINISTERIO DE EDUCACIÓN 25 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 26.
Aprendizajes Esperados Sugerencias de indicadores de evaluación Se espera que los estudiantes sean Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: capaces de:1. Distinguir problemas que no • Indican si la solución de una ecuación de primer grado pertenece o admiten solución en los no al conjunto de números enteros. números enteros y que • Reconocen cuando un problema, contextualizado, puede o no tener pueden ser resueltos en los soluciones en el conjunto de los números enteros. números racionales. • Establecen condiciones para que al dividir dos números enteros el cuociente sea un número entero, y condiciones para que sea un número decimal positivo o negativo. • Dan ejemplos de la vida cotidiana en que la información numérica corresponde a números racionales negativos. • Identifican los números racionales como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros, con denominador distinto de cero.2. Justificar matemáticamente • Dan características del conjunto de los números racionales. que los decimales periódicos y • Justifican los pasos de un procedimiento para expresar como semiperiódicos son números cuociente de enteros un número decimal periódico o semiperiódico. racionales. • Conjeturan acerca de la existencia de números que expresados como decimales no tengan período. • Conjeturan acerca de la existencia de números que no pueden ser expresados como cuociente de enteros.3. Establecer relaciones de orden • Formulan estrategias para comparar números decimales entre números racionales. semiperiódicos. • Comparan números periódicos. • Ordenan números racionales de manera creciente.4. Representar números • Formulan estrategias para ubicar en la recta numérica números racionales en la recta decimales periódicos. numérica. • Ubican en la recta numérica números racionales de acuerdo a restricciones dadas. Por ejemplo, ubican cinco números que se encuentren entre 0,01 y 0,02 de manera que la cifra de las milésimas sea un número par.5. Utilizar la calculadora para • Sistematizan procedimientos de cálculo escrito con ayuda de la realizar cálculos, calculadora de las cuatro operaciones con números racionales. reconociendo sus limitaciones. • Realizan aproximaciones de los resultados obtenidos, mediante redondeo y truncamiento. • Reconocen las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.6. Verificar la densidad de los • Proponen algoritmos que permiten intercalar números entre dos números racionales. números racionales dados. Por ejemplo, el promedio de los números dados. • Usan el valor posicional para mostrar que, por ejemplo, entre 0,1 y 0,2 se encuentran: 0,11, 0,12,… MINISTERIO DE EDUCACIÓN 26 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 27.
7. Verificar la cerradura de las • Argumentan acerca de la cerradura de la suma y multiplicación en operaciones en los números los racionales. racionales. • Establecen las operaciones que son cerradas en los números racionales y justifican matemáticamente sus resultados.8. Comprender el significado de • Identifican situaciones que pueden ser representadas por medio de las potencias de base racional potencias de base racional y exponente entero. y exponente entero. • Realizan operaciones de multiplicación y división de potencias de base racional y exponente entero utilizando sus propiedades. • Resuelven problemas, utilizando potencias de base racional y exponente entero.9. Resolver problemas en • Explican los procedimientos empleados para resolver problemas que contextos diversos que involucran números racionales. involucran números racionales • Evalúan las soluciones de problemas con números racionales en o potencias de base racional y función del contexto. exponente entero. • Aplican propiedades de las potencias de base racional y exponente entero en la resolución de problemas. • Emplean más de una estrategia para resolver problemas referidos a potencias de base racional y exponente entero. Aprendizajes Esperados en relación con los OFTTrabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos• Participa de manera propositiva en actividades grupales.• Es responsable en la tarea asignada.• Toma iniciativa en actividades de carácter grupal.• Propone alternativas de solución a problemas relacionados con números enteros y potencias de base natural y exponente natural en actividades grupales. MINISTERIO DE EDUCACIÓN 27 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 28.
Orientaciones didácticas para la unidadSe sugiere introducir los números racionales como una extensión del conjunto de los números enteros y plantearproblemas en los que es imposible encontrar una solución entera. También se recomienda situar a los estudiantesen el contexto histórico en los que estos números cobraron relevancia y los problemas que solucionaron. Serecomienda también mostrar ejemplos de números que no son racionales.La unidad permite ver nuevamente los conceptos de fracción y de número decimal, así como sus propiedades y losprocedimientos para operar con ellos. Estos son dos temas en los que suele haber dificultades y lagunas deaprendizaje. Reubicar esos números y sus operaciones en el contexto de los racionales y mediante el uso de laspotencias de diez, contribuye a su comprensión y a crear destrezas necesarias para este tipo de operaciones.Los números racionales se expresan mediante un cociente de números enteros y los decimales finitos, periódicos ysemiperiódicos, son números racionales. Por esto se hace necesario expresar estos números como fracciones. Aquícobra sentido la divisibilidad entre enteros y la relación entre el resto de la división con el período en larepresentación decimal. Antes que las reglas de operación o los algoritmos, lo importante son los procesos. Laexploración de situaciones en los que el desarrollo decimal presenta o no un período, es la distinción con la que losestudiantes pueden comprender la diferencia entre un número racional y otro irracional.La ubicación de números en la recta numérica contribuye a la comprensión de dichos números. En particular,prepara la noción de intervalo que será utilizada más adelante para trabajar distintos temas matemáticos, como lasinecuaciones.La unidad introduce las potencias de exponente cero y negativas de números racionales. Así se completan laspotencias de base racional y exponente entero. Se sugiere relacionar el valor posicional de la notación decimal conlas potencias de diez.Se sugiere trabajar las cuatro operaciones con números racionales, en contextos de la resolución de problemasligados a la vida cotidiana y a temas de otros sectores de aprendizaje. La resolución de problemas genera, además,espacio para abordar el concepto de cifras significativas y de aproximación. MINISTERIO DE EDUCACIÓN 28 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 29.
Ejemplos de actividadesAE 1Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los númerosracionales.Actividades1. Identifican ecuaciones de primer grado que no admiten solución en los números enteros, pero que sí admitensolución en los números racionales no enteros. Por ejemplo, ecuaciones del tipo:• 2x − 1 = 6• 5(4 x + 1) = 2(6 x + 3)2. En ecuaciones del tipo ax + b = c , donde la incógnita es x , determinan valores para a, b, c , de manera que:• La ecuación admita una solución entera• La ecuación admita una solución racional no entera3. Identifican problemas en contextos cotidianos cuya solución pertenece a los números enteros y aquellos queadmiten solución en los números racionales no enteros. Por ejemplo, identifican cuál de los problemas siguientesadmite solución entera y cuál solución racional no entera:• Si al triple de las bolitas que tiene una persona le agrega una bolita, entonces tiene 21 bolitas• Una persona abona $10.000 de una deuda y el resto lo divide en tres partes iguales de $6.000. ¿Cuál es la deuda?4. Inventan problemas que:• Admiten solución en los números enteros• Admiten solución en los números racionales no enterosAE 2Justificar matemáticamente que los números decimales periódicos y semiperiódicos son números racionales.Actividades1. Caracterizan el conjunto de los números racionales.2. Demuestran que los siguientes números se pueden escribir como una fracción:• Números de la forma 0, a , 0, ab , 0, abc , etc.• Números de la forma 0,0a , 0,0ab , 0,0abc , etc.• Números de la forma 0,00a , 0,000a , 0,00ab , 0,00abc , 0,000abc , etc.• Números de la forma 0, ab , 0,0ab , 0, cd ab , 0,00cdeabc , 0,000abc , etc.• Números de la forma a,0b , a,0bc , a,00bc def , a, bc , etc.Observaciones al docentePara el caso de un número decimal infinito periódico el docente podría plantear, por ejemplo, la siguiente ecuaciónusando el decimal 0,666… (se repite el número 6 infinitamente).x = 0, 666... amplificando ambos lados por 10 tendrá:10 · x = 10 · 0,666... MINISTERIO DE EDUCACIÓN 29 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 30.
Restando la primera ecuación a la segunda, se obtiene:9· x =6 6 2Y multiplicando por el inverso multiplicativo de 9 se obtiene: x= = 9 3Para el caso de número decimal infinito semiperiódico 1,1444 el docente podría plantear, por ejemplo, la siguienteecuación: x = 1,1444Amplificando ambos lados por 100, se obtendrá:100·x = 114,44Restando la primera ecuación a la segunda, se obtiene: 99 · x = 113,3Amplificando ambos lados por 10, obtenemos: 990 · x = 1133Y multiplicando por el inverso multiplicativo de 990, se obtiene: 1.133x= 990AE 3Establecer relaciones de orden entre números racionales.AE 4Representar números racionales en la recta numérica.Actividades1. Formulan estrategias para ubicar en la recta numérica los siguientes tipos de números:• Decimales finitos• Decimales periódicos• Decimales semiperiódicos2. Formulan estrategias para comparar números:• Decimales finitos• Decimales periódicos y semiperiódicos3. Comparan fracciones, utilizando los siguientes procedimientos:• Conversión a decimales• Conversión a fracciones de denominadores iguales MINISTERIO DE EDUCACIÓN 30 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 31.
a c• Multiplicaciones de numeradores por denominadores: > ⇔ ad > bc b d4. Determinan números de acuerdo a restricciones dadas. Por ejemplo:• Determinan 10 números racionales mayores que 0,11 y menores que 0,12 1 1• Determinan 10 números racionales x , tales que <x< 7 6 2 5 12• Determinan números racionales cuya distancia a es mayor que y que sean menores que 3 3 5Observaciones al docenteSe sugiere al docente que 0,11 lo presente en la forma 0,110, o en la forma 0,1100, lo mismo para el decimal0,12.En el caso de la fracciones 1/7 y 1/6 se sugiere que las amplifiquen por un número adecuado de manera de tenerdenominadores iguales, y posteriormente que amplifiquen por potencias de 10 hasta obtener claridad acerca de losnúmeros que se deben insertar.AE 5Utilizar la calculadora para realizar cálculos, reconociendo sus limitaciones.Actividades1. Realizan aproximaciones de cálculos y las verifican utilizando la calculadora.2. Verifican que los resultados que se obtienen con calculadoras al realizar cálculos de números decimalesperiódicos y semiperiódicos son aproximaciones del resultado real.Por ejemplo, discuten acerca de los diferentes resultados que se obtiene al calcular el área de un rectángulo de 5 17lados cm y cm utilizando calculadoras que arrojan distinta cantidad de cifras decimales en el visor. 3 73. Utilizan la calculadora para realizar y evaluar expresiones en contextos del mundo que nos rodea. Por ejemplo, gr 2determinan la masa de la tierra evaluando la expresión MT = , donde G g = 9,8m / s 2 , r = 6,38 ⋅ 10 6 m, G = 6,67 ⋅ 10 −11 Nm 2 / kg 2AE 6Verificar la densidad de los números racionales.Actividades1. Realizan las siguientes actividades:• Eligen dos números racionales positivos al azar, por ejemplo 3 y 7. A continuación: o Los ubican en la recta numérica MINISTERIO DE EDUCACIÓN 31 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 32.
o Sacan su promedio y lo ubican en la recta numérica o Verifican que la distancia entre el promedio y 3, y la distancia entre el promedio y 7 son iguales• Realizan el proceso anterior con números enteros negativos• Realizan el proceso anterior con números racionales no enteros• Generalizan el proceso seguido, es decir, concluyen la propiedad: “Entre dos números racionales siempre hay un número racional”Observaciones al docenteEl docente puede proponer a sus estudiantes que realicen la actividad anterior, pero con expresionesalgebraicas. Es decir, que:• Consideren a, b racionales tales que a<b• Obtengan su promedio y demuestren que es mayor que a , pero menor que b a+b• Obtengan el promedio entre a y el promedio , y que demuestren que se encuentre entre 2 esos númerosY así sucesivamente.AE 7Verificar la cerradura de las operaciones en los números racionales.Actividades1. Demuestran que la suma de dos racionales es siempre racional.2. Demuestran que operaciones combinadas con números racionales siempre dan un número racional.AE 8Comprender el significado de las potencias de base racional y exponente entero.Actividades1. Identifican la propiedad que permite resolver potencias del tipo: m n m n a a a aa)     , m, n ∈ Z , o   :   , m, n ∈ Z b b b b m m m m a  c  a ab)     , m ∈ Z , o   :   , m ∈ Z b d  b b m  a n c)     , m, n ∈ Z    b   MINISTERIO DE EDUCACIÓN 32 UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 Recommended

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