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Timestamp: 2019-01-23 15:02:55+00:00

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INVESTIGACIÓN EN LA ESCUELA 2011
Este artículo nace de la reflexión sobre la propia práctica docente con estudian-
tes adolescentes durante más de veinticinco años, sobre todo con estudiantes
de 3º E.S.O., donde las dificultades en el paso de la aritmética al álgebra se
En nuestra experiencia, la metodología cooperativa es una herramienta eficaz
para ayudar a los estudiantes a dar este paso tan decisivo en su aprendizaje de
las Matemáticas escolares.
Aportamos brevemente el punto de vista histórico, lo que facilita una perspec-
tiva de lo que ha supuesto el inicio y desarrollo del álgebra. Analizamos las difi-
cultades propias del álgebra y las que encuentran los estudiantes a la hora de
emplear el lenguaje algebraico. Finalmente vemos cómo el Aprendizaje Coope-
rativo ayuda a los estudiantes a la adquisición y empleo del lenguaje algebraico
y al aprendizaje del álgebra escolar.
P alabras clave : Dificultades en el álgebra escolar; Paso de aritmética a álgebra;
Lenguaje algebraico; Aprendizaje cooperativo; Interacción entre iguales.
Dificultades en el paso de la aritmética
al álgebra escolar: ¿puede ayudar el
Paloma Gavilán Bouzas* Universidad de Alcalá de Henares.
Introducción que hacer explícito lo que estaba implícito en
Aunque la incorporación del álgebra al El álgebra supone un cambio en el pensa-
currículo escolar es relativamente reciente –se miento del estudiante. El paso de la aritmética
puede situar a finales del siglo pasado, para los al álgebra es un cambio cualitativo en la forma
niveles de secundaria, en los países de Europa de pensar. Los enfoques aritmético y algebraico
y América– parece haber una tendencia en la se diferencian en términos de estrategias glo-
forma de entender el álgebra escolar como la bales de resolución de problemas. El enfoque
parte de las Matemáticas que trata de la sim- aritmético de un problema matemático supone
bolización de las relaciones numéricas, inter- la descomposición del mismo en subproblemas
pretándola como una aritmética generalizada. más sencillos, hasta que la solución llega a im-
Este enfoque presenta algunos inconvenientes, ponerse por sí misma. Por el contrario, según
ya que el álgebra no es sólo una generalización Bodanskii (1991), el enfoque algebraico de un
de la aritmética: aprender álgebra es algo más problema implica la identificación de las va-
*	Departamento de Matemáticas. Campus Universitario. Ctra. Madrid-Barcelona, Km. 33,600.
Correo electrónico: paloma.gavilan@uah.es
* Artículo recibido el 9 de marzo de 2009 y aceptado el 28 de octubre de 2010.
Es un texto dividido en tres partes de las cuales la Una vía poco trabajada habitualmente en tercera es la principal. ellos y conseguir expresarlas en términos alge. sin pretender establecer a introducir algunas abreviaturas como las que un paralelismo entre las dificultades que en. La perspectiva histórica Avanzando en los siglos XV y XVI. dando lugar a una o varias ecuaciones decisivas que se han hecho a lo largo de la his- que aún deben ser resueltas.C. como actualmente la enten. con sus dificultades y hallazgos. Stifel (1487-1567) en su obra “Ari- lización algebraica. en el siglo XVI. con el problemas. concretamente. es raíz. presentan al alumnado.). jo históricamente a través de la resolución de Hasta la segunda mitad del siglo XIX. no babilónica. En la segunda. donde aparece con todo su simbolismo. por Chuquet. una solución generalizada a los problemas arit- posteriormente.) hasta Diofanto (250 d. INVESTIGACIÓN EN LA ESCUELA 73 2011 riables intervinientes y de los parámetros para. y –. aunque la importancia de su obra se debe decir. se reseñan los proble. Es preciso conocer las etapas y aportaciones braicos. b) etapa las dificultades que se han ido superando a intermedia o sincopada. trañó en su época la aceptación de los números resume el proceso histórico de la aparición del negativos como soluciones de una ecuación. cómo las álgebras germánicas fueron imponién- posición del alumnado y profesorado los pro. que ha entrañado el salto cualitativo hacia el En el desarrollo del álgebra. Final. etapa sincopada. decimales y emplea nuestro actual símbolo de haya aparecido en la época del Renacimiento. mente. como una metodología eficaz para facilitar a marca el inicio de esta etapa. actual. las operaciones de suma y resta aparecen repre- textualizado de los conceptos generales que se sentadas por las letras p y m respectivamente. Ello un número negativo aislado en una ecuación y puede proporcionar un conocimiento más con. Vieta. Nesselman álgebra. vemos ayuda como elemento motivador y pone a dis. se prolonga has- cuentra el alumnado y los conflictos que han ta comienzos del siglo XVI. c) etapa simbólica o ido apareciendo a lo largo del tiempo. o álgebra. se destaca el aprendizaje cooperativo rigor y lenguaje formal. admite los números negativos como solución de El paso de la aritmética al álgebra se produ. que je ordinario.C. desarrolló el propio Diofanto. Se introducen los signos + de la historia se han tenido que ir superando. en la que se comenzó lo largo de los siglos. en su primera parte. que desplazan a las letras p y m introducidas En este sentido es significativo que la simbo. llamándoles “numeri absurdi”. thmetica integra” hace ya uso de las fracciones demos hoy y como aparece en los libros de texto. (1811-1881) diferenció tres etapas: a) primitiva mas que encuentra el alumnado de secundaria o retórica. No obstante. encontramos el primer libro de álgebra del Renacimiento. toria para poder entender la dificultad que en- El presente artículo. en la que todo se escribía en lengua- al introducirse en el mundo del álgebra. que fue escrito por 96 el francés Nicolás Chuquet (1445-1488) bajo el Desde una perspectiva histórica título “Triparty en la science des nombres”. Aparece por primera vez didáctica de la Historia de las Matemáticas. buscar las relaciones entre méticos de los clásicos griegos. las raíces y las potencias. ecuaciones. dose en Europa con la publicación de numero- cesos históricos de formación y adquisición de sos libros de álgebra donde la nueva notación conceptos así como los obstáculos que a lo largo iba consolidándose. los estudiantes su tránsito de la aritmética al Si nos situamos en el siglo XV. realmente al tratamiento de los números nega- meras ideas algebraicas aparecieran en la cultura tivos. en la complejidad que supuso el proceso de sim- este recorrido quedan patentes las dificultades bolización de expresiones matemáticas. en ella trata del álgebra nuestras aulas consiste en atender a una visión propiamente dicha. unos treinta siglos después de que las pri. a finales de la álgebra. se extiende desde los babilonios no se corresponden cronológicamente con (1700 a. tratando de buscar desarrollo del álgebra abstracta –momento en .
D I F I C U LTA D E S E N E L PA S O D E L A A R I T M É T I C A A L Á L G E B R A E S C O L A R : ¿ P U E D E AY U D A R . en la resolución de Este signo no triunfó hasta un año después. Galois (1811-1832) estu- una “idea loca”. en la segunda mitad del Viajando a Inglaterra nos encontramos con XIX. convir- manera que lo están los radicandos (comple. denominando con palabras. que será ampliamente desarrollada algebraica. por la escuela inglesa y. también que aceptar los números imaginarios. tuvo Posteriormente. usa poca sincopación y sigue magnitudes no conocidas y consonantes para la costumbre de razonar geométricamente. entre aritmética –numerosa– y álgebra –spe- 97 Durante años. corchetes. tratar casos particulares sino generales. Utilizó la raya desde los babilonios. Con la solución alge. como buen discípulo de pleó letras mayúsculas latinas: vocales para las Al-Khowarizmi. . Pero tuvieron que pasar goge” distinguió el cálculo numérico concre- más de dos siglos y medio tratando de resolver to. los números irracionales fue. de resolver ecuaciones de grado superior a cua- duce a raíces cuadradas de números negativos). incluso por radicales. cera fase. cuando Cardano (1501-1576) y abogado y dedicaba sus ratos de ocio a las publicó en su obra “Ars Magna” la solución ge. matemáticas-. según él mismo dice. (1540 -1603) quien llevó al álgebra a su ter- damentalmente de la resolución de ecuaciones. imaginándose que los radicales dió bajo qué condiciones son resolubles por podrían estar relacionados entre sí de la misma radicales las ecuaciones polinómicas. En aritmética defendió rotun- neral de la ecuación cúbica y cuártica (aunque damente el uso de las fracciones decimales y como es sabido. tiendo la estructura de grupo en el centro de jos conjugados cuya suma es un número real). que se centra. La de fracción. como las potencias a las que siguió braica. la fórmula de Cardano-Tartaglia con. . concre. (1526. ya que enseguida se encaminó a la reso. que esta disciplina llega a ser un objeto mate. No fue hasta principios del siglo XIX las tres raíces de una ecuación cúbica sean reales cuando Abel (1802-1829) en el mismo intento y no nulas. La las conocidas. Su publicación causó un im. llegó a demostrar que estas ecuaciones no En esta situación entra en escena Bombelli son resolubles por radicales. exclusivamente simbólica. del cálculo literal o este problema para finalmente concluir que es “logística speciosa”. Por primera vez hay una distin- resolución de la cúbica y la cuártica se puede ción clara entre parámetro e incógnita. fue el francés Franciscus Vieta mático en sí mismo– el álgebra se ocupó fun. de no ser matemático profesional -era jurista tamente en 1545. los contenidos desarrollados en el álgebra esco- Recode consideró que no hay dos cosas que lar. a lo largo de tantos siglos. yor aportación la hizo en el campo del álgebra. . también por la escuela alemana. aunque aún quedaban residuos de etapas en el estímulo que dio a la investigación alge. no fue Cardano quien llegó a el abandono de las sexagesimales. ecuaciones.1573) quien. trataron de seguir el mismo camino que Car- braica de la cúbica cambió la situación: había dano y encontrar la forma de resolver. las ecuaciones de grado superior para la búsqueda de raíces reales (siempre que a cuatro. ciosa–. El estudio Robert Recode (1510-1558) quien introdujo de esta nueva álgebra escapa a todas luces de el signo de igualdad que actualmente usamos. anteriores. “logística numerosa”. la teoría de ecuaciones algebraicas. Finalmente. los paréntesis. signos + importancia de la obra “Ars Magna” se centra y -. ron aceptados sin dificultad. tro. hace cuatro milenios. trazando la línea divisoria irresoluble. Es así como Los libros IV y VI de Bombelli están repletos se abre camino el álgebra abstracta o álgebra de problemas geométricos. Cardano. como lo ha hecho el álgebra puedan ser más iguales que un par de paralelas. resueltos de manera moderna. pero su ma- ninguna de ellas). aunque considerar la mayor contribución al álgebra sólo para los números positivos. En su obra “Isa- lución de la quíntica. pero los negativos Los matemáticos de los siglos posteriores eran más cuestionados. Em- temáticas. a pesar Basta recordar que fue en el siglo XVI. pacto tan fuerte que ese año se considera como dándose cuenta de que lo importante no era el comienzo del periodo moderno en las Ma.
Precisamente en los niveles en los en el estadio d) no manifestaban un dominio que se inicia el estudio más formal del álgebra. . nace o se agrava como variable. raleza y significado de números y letras. riza por un modo particular de razonamiento La mayor parte de los símbolos empleados que les posibilita realizar determinado tipo de en el álgebra ya han sido utilizados por los es- tareas algebraicas. sin embargo. tra- 98 relacionados con los estadios generales de su tando de identificar los factores más significati- desarrollo intelectual. Muchos estudiantes sí eran capaces de operar correctamente en el manifiestan sentimientos de tensión y miedo. Si desgranamos estos apartados la luz de los cas. Los estadios en el proceso evolutivo. vamos a destacar las difi. Cuando la tarea propuesta tudiantes en la aritmética. c) la ce años) y e) de operaciones formales (dieciséis comprensión de la aritmética. para descubrir los errores más comunes que gica. Los procesos cognitivos diados por autores como Kieran y Filloy (1989). perspectiva de fondo. cada estadio se caracte. Un interesante estudio de investigación Matemáticas. En el estadio d) los estudiantes tenían un concepto Dificultades propias del aprendizaje de número generalizado. Filloy. que pueden estar asociados al desfase existente Los procesos cognitivos involucrados en el entre lo que realmente pueden hacer y lo que aprendizaje del álgebra han sido también estu- se les pide que hagan. 1990. 1980). es en los dos últimos estadios cuan- Los resultados académicos que se derivan de do la noción de inversa no constituye un pro- las dificultades propias del álgebra. INVESTIGACIÓN EN LA ESCUELA 73 2011 La consolidación del lenguaje algebraico ha la resolución de ecuaciones y la comprensión supuesto un largo y difícil recorrido. 1975b. previamente asignado un significado que pue- surgen los problemas tanto en la comprensión de entrar en conflicto con el que se les atribuye como en los sentimientos y actitudes hacia las ahora. 1984). Collis (1975b) descubrió que la ca- cuando se inicia en su estudio. d) de generaliza. aparece. Las conclusiones más re- años). Puig y Rojano (2008). el último estadio podían contemplar la letra nifiestan muchos estudiantes. que pueden poner en funcionamiento están Puig (2003). Y analiza cómo actúan los piado de fórmulas y reglas de procedimientos. naturaleza de las respuestas en álgebra.) en el Rei- dizaje del álgebra. c) final de operaciones tipos de errores se relacionan con: a) la natu- concretas (diez a doce años). Collis (1980) identifica cinco no Unido entre 1980 y 1983 (Booth. vos que atañen a este proceso. en que una letra te- del álgebra nía entidad propia y le atribuían las mismas propiedades que a cualquier número.S. estudiantes en distintas operaciones algebrai. En cuanto a la resolución de precisamente cuando se inician en el álgebra. por lo que tienen no se corresponde con el desarrollo intelectual. Y en relación con el álgebra abstracta.M. sistema definido. trabajos anteriormente citados (Pimm. alentadores. son des. en los trabajos desarrollados por cometen los estudiantes en su aprendizaje del Piaget e Inhelder (1984) y posteriormente por álgebra escolar. b) la ción concreta o formal temprano (trece a quin. Con esta del álgebra abstracta. in Scondary Mathematics (S. ecuaciones. b) temprano de operaciones concretas levantes ponen de manifiesto que los distintos (siete a nueve años). en el último estadio ya (Grupo Azarquiel. suficiente como para controlar las operaciones es donde se encuentra mayor fracaso escolar pedidas. d) el uso inapro- años en adelante). pacidad para trabajar con letras dependía de lo que los estudiantes consideran como real. 1991). es el llevado a cabo por el gru- Collis (1975a. Desde una perspectiva psicoló. como la sustitución de letra por números. que reciben estudiantes que participaron oscilaban entre el nombre de: a) preoperatorio (cuatro a seis trece y dieciséis años. la relación que po de álgebra del proyecto Strategies and Errors existe entre el desarrollo cognitivo y el apren. blema.E. En cuanto a la sustitución de letras por cultades que encuentra el alumnado de la ESO números. sólo en El rechazo hacia las matemáticas que ma.
D I F I C U LTA D E S E N E L PA S O D E L A A R I T M É T I C A A L Á L G E B R A E S C O L A R : ¿ P U E D E AY U D A R . Mientras en aritmética el signo paso que se da de la resolución de ecuaciones a igual indica que se ha hecho una operación y la de sistemas. es un símbolo de equivalencia entre lo condición. otras como variables o como número ge. 2008). las letras (a veces consideradas como incógni. nos encontramos con la dificultad tado numérico. es decir. – El planteamiento y resolución de ecuacio- ceptos y saber en cada caso cómo hay que in. que ro. En ocasiones son ca- de las letras: letras evaluadas. letras ignoradas. que hay a su derecha y a su izquierda. y tratan de operar las expresiones tidades. el mismo concepto de va. ma. prensión del concepto de equivalencia. auténticos. En ocasiones. glos de historia). En la resolución de ecuacio- – Por otro lado. Puig. réntesis y la jerarquía de las operaciones. Adquirir significado del signo igual. y simbolización. el signo igual adquie. han trabajado sis por atribuirle las mismas propiedades que al con números concretos. Küchemann. hasta el mo. (1981) describe seis codificar el lenguaje ordinario para expresarlo categorías diferentes de interpretación y uso en lenguaje matemático. pero no saben escribir ni resolver las ecuacio- pecífica. que coexiste con el este concepto supone la integración de dos significado puramente aritmético. cada una de las cuales tienen que realizar. . letras nes que reflejan las relaciones entre los datos y como variables. Puig y Rojano. aparece una nueva dificultad: las tenemos su resultado. letras como objeto. iden. nes se convierte en la parte central del álgebra terpretar las letras que participan en una ex. usos que se hace del signo igual en el lenguaje contramos las siguientes dificultades: algebraico añaden nuevas dificultades para los – Las diferentes interpretaciones del uso de estudiantes. inventan nuevos en distintos contextos algebraicos refiriéndose significados personales que sustituyen a los a conceptos diferentes como ecuaciones. como indicativo del signo de una cantidad o generalización y simbolización. en segundo. Ambos. en algún momento. incógnitas se perciben como valores particula- ción es unidireccional. 2003. Mientras que en aritmética indican la acción – Si pasamos a la resolución de sistemas de que se tiene que realizar para obtener un resul. como en el docencia nos muestra que muchos estudiantes caso de las ecuaciones. con los obstáculos provenientes del manejo permite expresar de forma abreviada lo que del signo menos y sus diferentes significados: tienen en común todas las situaciones. su interpreta. En el que aparece. continúan las dificultades – Los signos de operación también ad. con las dificultades que aparecen a la hora de neralizado). y Filloy. Además. en. signo más. paces de resolver problemas de forma verbal. El signo igual aparece de ESO. veces no ven la necesidad de emplear parénte- mento de iniciarse en el álgebra. ecuaciones. en álgebra son representacio. y en terce- en todas las situaciones. Además Nuestra experiencia de casi treinta años de sirve para indicar restricciones. son difíciles de como operación indicada. que supone la necesidad de aceptar informa- nes que indican operaciones que no siempre se ciones independientes. que permite pasar con la relación entre una operación y su inversa de situaciones concretas a aspectos comunes a la hora de transponer términos. ante la cual muchas 99 asimilar por los estudiantes que. aritméticas relacionadas con el uso de los pa- quieren en el álgebra un significado diferente. el proceso de resolución conlleva la com- – Del mismo modo. fórmulas o funciones. ni siquiera es viene representada en una ecuación del siste- posible hacerlas. Estos diferentes algebraicas como lo harían con las aritmé- . . res de unas variables sometidas a más de una cional. procesos: generalización. letras generalizando números. letras como incógnita es. nes se enfrentan en primer lugar con un nuevo riable entraña una gran dificultad. escolar (al igual que ocurrió durante tantos si- presión. en álgebra es bidirec. Es evidente la gran dificultad la incógnita. que entraña entender cada uno de estos con. – En un paso posterior nos encontramos tas. al trans- re diferentes significados según el contexto en formar un sistema en otro más sencillo.
ticas.. ejercitando a los estudiantes en el dificultad. juicios o tivas que pueden operar. ejemplo. De manera que es muy posible que in- seguir que los estudiantes se den cuenta de que cluso alumnos que son capaces de resolver ade- las situaciones concretas son casos particulares cuadamente complicadas ecuaciones matemá- de una misma situación general. primo. que a continuación se ex- como una herramienta capaz de expresar rela. Prueba de mas propios del uso y comprensión de nuestro ello es la dificultad que tienen en general para lenguaje. por ejemplo. De este modo. una precisión sintáctica. 1989. Los estudiantes. tienen dificultades ca que lleva a entender el álgebra como el len. el den comunicar significados sin necesidad de conocimiento del significado de los símbolos. etc. simplifican diferente significado que en el lenguaje habi- erróneamente las operaciones haciendo. al tiempo que se crean otras. el otro. es- simplificación desafortunada. que se refiere a la forma de la expre- algebraico sión algebraica (la ordenación de sus términos y jerarquía de sus operaciones). INVESTIGACIÓN EN LA ESCUELA 73 2011 ticas. como raíz. simplificando expre. el lenguaje algebrai- sus propiedades y relaciones es lo que les va a co es preciso. Kie- ran (1989) reconoce dos tipos de estructuras. rosamente sus símbolos. que A lo largo de las últimas décadas. acentúa las dificultades en la adquisición del fícilmente dan el paso de considerar el álgebra lenguaje algebraico. damos a entender que efectiva- necesidad de presentar diferentes contextos mente desaparece de un miembro de la ecua- como modelos de una misma situación para ción y sin saber cómo ni por qué. valores. Es un lenguaje nuevo que permite ma- siones. enfatizándose turas. etc. obedece a unas reglas exactas y permitir distinguir entre las transformaciones carece de significado si no se interpretan rigu- permitidas y las que no los son. Incluso los más pecíficamente matemáticas. dificultad que se agrava al emplear mostrar que una solución es incorrecta. los aspectos semánticos y sintácticos (Pimm. Cuando semánticos (Filloy y Rojano. isósceles. acentuando la pasa restando”. Mientras en el lenguaje ordinario se pue- 1990. – La dificultad de percibir las estructuras subyacentes a las expresiones algebraicas. Kieran. 1988. objeto manipulado. diferencia. o cualquier otra matriz. El ca- palabras que en el contexto matemático tienen mino preferido consiste en volver a resolver la . potencia. y en caso de no ser posible. 1981. Muchas veces el propio lenguaje de los do- diendo de su significado. “lo que está sumando Bell. se refiere a las propiedades de sus operaciones. y sistémica. polinomio. en la percepción de estos dos tipos de estruc- guaje básico de las Matemáticas. no sepan a qué se deben los pasos que dan el tratamiento sintáctico sería un paso poste. como hipotenusa. Filloy. piensen que sólo se trata de aplicar las reglas Parte de los problemas se deben a proble. En la década de los centes dificulta la construcción adecuada del 80 hay una tendencia a potenciar los aspectos significado algebraico en el alumnado. Todo ello algo así como una máquina de cálculo. 1992). que tantas veces han oído en clase. ponen: ciones estructurales. 1989). en general. en el nivel sin. para completar el semántico. Y esa es precisamente su sintáctico. por tual. sentimientos. aparece en favorecer la traslación de unos a otros y con. pero di. (a + b) 2 = a2 + b2. está pro. sin atender al significado concreto del nejar como conocidas las cosas desconocidas. duciéndose un giro en la educación matemáti. decimos. Con él no se pueden 100 táctico. 1991. prescin. La potencia del lenguaje algebraico frente al or- Tradicionalmente se ha puesto el énfasis en dinario es su capacidad para expresar lo general salvar las dificultades que provienen del nivel empleando símbolos. Kieran. existe un conjunto de reglas manipula. cuando van buscando la solución y más bien rior. aventajados pueden entender que el álgebra es coeficiente. En el nivel semántico. Dificultades en el uso del lenguaje superficial. comunicar emociones. trabajo y operaciones con símbolos.
sobre todo. lectura inicial debe provocar una abstracción. así adecuadas. por lo que su y la resolución de problemas (Bednarz y otros. el mensaje codificado. La presión algebraica adecuada que represente el construcción del conocimiento es un proceso contenido del problema. ampliados. Para ayudar a los estudiantes a usar correc- diantes lean cuidadosamente o de forma lite. que pueden reestructurarse dando braicas y. una situación en la que aparecen varios datos El estudio de la enseñanza y aprendizaje del y se pide el hallazgo de algún valor desconoci. emplear adecuadamente los signos. traducir el enunciado a una ecuación o sistema como son la resolución de ecuaciones dentro de ecuaciones. representan la simbolización de un proceso. Así es frecuente observar entre los cas del álgebra. Para que los estudiantes es incorrecta. los problemas de enuncia. para lo cual es necesa. de un contexto concreto. que existe entre ambas. resolverlo. En este sentido. dé lugar a valores diferentes en la puedan aceptar como resultado de este proceso derecha y en la izquierda. La co- conjunción de numerosas habilidades matemá. por otro. los parámetros. cer más significativo el aprendizaje del álgebra. sin darse cuenta que basta con rio un conocimiento adecuado de la estructura sustituir la solución en la ecuación para que. filtrando los detalles que dos como el tipo de actividades que se planteen contiene la esencia del problema. . ecuación dada. tienen que haber superado la fase en lenguaje coloquial implica procesos más de las operaciones aritméticas. Mención estudiantes la consideración 4x – x = 4. Ello implica. las incógnitas. pero – La tarea de codificar un mensaje dado sin efectuar. actividades de traducción antes de enfrentarse dios. con la resolución de estos problemas. Resolver este tipo de problemas requiere la los trabajos de investigación didáctica. dio algunas recomendaciones para ha- 101 incógnitas. de los errores cometidos es necesario que el ciado es preciso haber asumido una forma de estudiante asuma un papel activo viéndose pensar basada en la comprensión del signifi. en la década de los no- ticas como establecer relaciones entre datos e venta.D I F I C U LTA D E S E N E L PA S O D E L A A R I T M É T I C A A L Á L G E B R A E S C O L A R : ¿ P U E D E AY U D A R . 1996). El significado se alcanza texto de una ecuación. la metodología. de la búsqueda de una ex. para de aplicar los mismos significados que en la poder expresar. que traducción. como procesos interme. aritmética. son decisiones impor- ral. El énfasis debemos ponerlo no en que los estu. una expresión con operaciones indicadas. etc. sino que lean de una forma tal que después tantes tanto los materiales didácticos emplea- ignoren lo accesorio. Las dificultades en la cuando se pone en contacto la nueva compren- transformación de un problema de enunciado sión con los esquemas previos y. surgen nuevos esquemas modificados y interpretación de las propias expresiones alge. supone el manejo de conceptos tales conduce a numerosas equivocaciones al tratar como la proporcionalidad o la igualdad. En la superación Para poder resolver problemas de enun. involucrado en un conflicto a través del cual cado de las operaciones y las consecuencias sustituya sus concepciones erróneas por otras que tienen sobre los números que actúan. enfrentándose a la contradicción como el significado del signo igual en el con. respetando las reglas sintácti. tamente este lenguaje. una sintaxis propia que. El lenguaje matemático trata de ex. error especial requiere la resolución de los llamados que claramente proviene de una desafortunada “problemas de enunciado”. por un lado. álgebra ha ocupado un lugar preferente entre do. si y sintaxis algebraica. y comprender – Las Matemáticas tienen un vocabulario y las relaciones que existen entre todas ellas. do siempre esconden igualdades. asi. munidad internacional. lugar a otros esquemas de orden superior. para asumir el complejos que los involucrados en una simple significado de las operaciones algebraicas. mismo. de cambio y de reestructuración del mode- . y. de este con- a una ecuación provienen. presar estructuras por medios exclusivamente Por ello es aconsejable que realicen numerosas formales. identificar las variables que intervienen. . la generalización de según Blais (1988). secuencias numéricas y modelos geométricos. en el caso del álgebra. en ellos se enuncia interpretación de la expresión 4x – x. de la tacto.
grupo. mensión social. 1994): que son los únicos responsables. y otros. puede ayudar. 2001). El mero conceptos falsos de los estudiantes y traten de hecho de pertenecer a un grupo no garantiza superarlos mediante sus propias interacciones el aprendizaje de sus miembros. entendiendo que el aprendizaje es miembros del grupo. ceptualización del conocimiento. INVESTIGACIÓN EN LA ESCUELA 73 2011 lo conceptual. para que las demás alcancen la meta prevista. Esta situación les dificultades lleva a la búsqueda activa de información. Como con- miento concreto y se han iniciado en el pensa. Es necesario (Socas. El grupo es una plataforma que les va a a todos los estudiantes un importante soporte facilitar la construcción de su aprendizaje. asumen la del aprendizaje de los . cados personales. conscientes de que no pueden alcanzar el éxito 1977). – Doble responsabilidad: individual y gru- dología. que se verá modificada un proceso de construcción con una clara di. individual y de grupo. Así. 1991: 110). b) asegurar que nadie puede dizaje Cooperativo como un método particu. Fomentar la inte. La correcta estructuración de los nen como grupo. a la recon- que ya han adquirido ciertas formas de pensa. cinco pilares en los que se sustenta esta meto. basado en el deben dar y recibir ayuda y mantener actitudes trabajo en pequeños grupos. a paliar las dificultades realizada entre todos sus componentes: tarea anteriormente señaladas. Sólo apoyándose que nos parecen muy valiosos para el fin que entre ellos podrán conseguir el objetivo que tie- perseguimos. así como los signifi. facilita pal. aparece el Apren. Cuanto mejor esté establecida la interde- El Aprendizaje Cooperativo: una pendencia positiva con más facilidad se pro- 102 ayuda eficaz para superar las ducirá el conflicto cognitivo. Del esfuerzo que realiza cada persona discusiones en clase donde se muestren los se beneficia ella misma y los demás. alcanzar la meta a menos que todos los com- larmente interesante para que se generen este ponentes la alcancen: meta interdependiente. Con ello conseguimos que se den cuenta que todos sus esfuerzos son necesarios para el éxito del grupo: recompensa interdependiente. En el apren- – Interdependencia positiva: está asegura. provocando esa doble responsabilidad: tan en pequeños grupos. interdependiente. secuencia. saber que el trabajo individual va a afectar al racción entre los estudiantes. de momento. mentales para dar el paso a esta nueva forma de – Interacción que promociona: se caracte- pensamiento y poder acceder a los contenidos riza por los esfuerzos que hace cada persona algebraicos. Un modo particularmente efectivo para a menos que también lo alcancen sus compa- superar estas dificultades consiste en generar ñeros. aumenta su dominio y retención de miento formal con otros estudiantes que están la materia discutida y se observa el empleo de en una banda intermedia y necesitan continuar estrategias de razonamiento de nivel superior con el esfuerzo de consolidar sus esquemas (Gavilán. a) asignar al la teoría de Vygotsky (1988) sobre la zona de grupo una tarea clara y concreta que debe ser desarrollo próximo. En una misma aula conviven los estudiantes al cuestionamiento de lo ya sabido. que a continuación reseñamos. tipo de discusiones enriquecedoras entre los c) garantizar una recompensa para todos los estudiantes. por la calidad de sus esfuerzos individuales. del para aprender (Johnson y Johnson. tudiantes es mejorar su aprendizaje. dizaje cooperativo además de asumir esta res- da cuando todos los miembros del grupo son ponsabilidad. a la necesidad de razonar y justificar sus posturas. de modo que las éxito o fracaso de los demás compañeros del dificultades personales se expongan y se deba. atendiendo a Para lograrlo es necesario. aporta elementos de confianza hacia los demás. les no son capaces. y aquellos cuyos esquemas menta. Para ello El Aprendizaje Cooperativo. de soportar el La finalidad de las interacciones entre los es- paso al pensamiento formal. no de acumulación (Ausubel.
que consistió en la realización de fructífero en la medida en que los niveles de cinco meta-análisis revisando los resultados dominio de lo tratado guarden un óptimo gra- arrojados por los trabajos de investigación pre.D I F I C U LTA D E S E N E L PA S O D E L A A R I T M É T I C A A L Á L G E B R A E S C O L A R : ¿ P U E D E AY U D A R . 1984). En la justificación y ver- Los resultados que obtienen los estudian. hace que escuchen los pen- narios a los estudiantes para que. les hace ejecutar las decisiones. El conflicto creado por las interacciones rative Learning Center de Minessota por los sociales aparece así como un lugar privilegiado hermanos Johnson. recen. Las conclusiones de las investiga. al conocer las estrategias que emplean otras ciones llevadas a cabo por Stuart Yager sobre las personas y la forma que tienen de resolver sus revisiones de grupo indican que los resultados dificultades en este campo. facilitan la comprensión y la retención son. de forma in. batir las ideas aportadas. e) poner en práctica y tades con las que ellos se encuentran. Numerosos autores han tratado el im. c) cuestionar y de- Desarrollo Próximo (en términos de Vigotsky). Palincsar y Brown. en pequeños grupos heterogéneos. Nelson y Skon de desarrollo intelectual. completo. Las repeticiones de académicos y los no académicos mejoran en los una misma cuestión desde distintas perspecti- grupos en que se discute el funcionamiento y la vas. Levina. que será tanto más entre otros. do de divergencia entre los participantes (Ga- vios. Webb. 2004): rativamente. rret-Clermont. 1980. demás compañeros de su grupo. siendo. hasta que las dudas en torno a ella desapa- efectividad de sus miembros (Johnson y John. balización de las respuestas encuentran pistas tes que trabajan cooperativamente. que son formulados en voz dividual. 1. . Pe- dualmente. debate o análisis. dando lugar a una mejor portante papel del conflicto sociocogniti. de confianza. ampliando así su abanico de posibilidades en su grupo. reflexionen sobre su actitud y trabajo alta. (Vygotsky. entre los que compañeros más aventajados. De extensamente estudiados por distintos autores este modo los estudiantes se ven impulsados a (Kagan. 1988. a la gestión del trabajo del grupo. del grupo. Los estudiantes. La ayuda prestada por no resulten siempre adecuadas. 1985. das habilidades sociales. Maruyama. 2002b. Cuando los estudiantes trabajan coopera. Sharan y avanzar en su forma de pensar y se van aproxi- 103 Shaulov. de lo que se aprende. sus compañeros. comprensión de los nuevos conceptos alge- vo y del lenguaje en el desarrollo intelectual braicos. Deben apren. der juntos para poder actuar después indivi. . asumen un papel protagonista. viendo así cómo piensan y razonan camente es necesario ofrecer diferentes cuestio. samientos ajenos. el trabajo desarrollado en el Coope. Reseñamos aquí los más significativos y vilán. probablemente. Slavin. de presar y defender las propias ideas y opiniones resolución de conflictos. tanto en lo que se refiere a su aprendizaje como tivamente. d) sintetizar las ideas y recientemente acaban de superar las dificul. lo que les pro. como las habilidades La oportunidad que brinda el método para ex- de comunicación. cuando trabajan coope- aula (Gavilán. en su aprendizaje. 1977. . 2009). 1986). el más mando al pensamiento abstracto. 1981. Luria y otros. podemos destacar los siguientes: a) iniciar el porciona una indudable situación de anda. b) aportar dis- estudiantes que están cercanos a su Zona de tintas ideas y contrastarlas. asumen provoca una implicación más intensa 2. Este protagonismo que más asequibles los contenidos. El contraste con los de- – Aprendizaje de habilidades sociales: para más y la necesidad de llegar a acuerdos provoca el buen funcionamiento del grupo cooperativo inevitables discusiones y conflictos sociocog- es necesario enseñar al alumnado determina. 1973. surgidas de los debates. 1984. han sido de solución para sus propios problemas. Desempe- se encuentran con la ayuda facilitada por sus ñan distintos papeles en el grupo. y contrastarlas con las de las demás personas – Revisión del proceso del grupo: periódi. 1994). 1983a y b. de liderazgo. 1990). aunque las ideas aportadas miaje (Bruner. nitivos cuya resolución mejora el aprendizaje. que son avalados por nuestra experiencia de 3.
2002a). contrastándolos con ayuda. seguidos de otros de aprender cooperativamente. Las evaluaciones locales sí ocurren a dos y maduros con los que poder afrontar las menudo en esas secuencias espirales. 7. petición de ayuda y adquisición. aumenta más aventajados tienen que verbalizar lo que el número de episodios de planificación. A continuación. los estudiantes solicitada. a blema. resolución de un problema se ajusta más a un La ventaja que supone recibir explicaciones de modelo que podríamos llamar espiral. dirigidos por uno de los tades. aprendizaje de las clases cooperativas puede suelven los mismos problemas en otro tipo de considerarse superior. expresada con su propio lenguaje de líder de la gestión del grupo. confiriendo a la resolución que emplean en otros tipos de aprendizaje por de problemas una estructura típica. reciben una ayuda componentes del grupo. Los episodios de evaluación global no son consolidar unos esquemas mentales más sóli- frecuentes. es comparativamente distintos momentos o episodios que a conti. al dios de petición de ayuda. formada por episodios de entienden (Gavilán. cientemente por unas dificultades similares. el que asume el papel a su nivel. Se trata de una poderosa herramienta a dis- que podemos llamar de “dientes de sierra”. trabajando. ejecu. Concretamente. se vuelven a repetir las secuencias inicia. donde otros compañeros. El Aprendizaje Cooperativo supone una episodios de planificación. A medida que y dada por un compañero que ha pasado re- avanzan. tras una consideren que sus compañeros más aventa- secuencia repetida de episodios de adquisición jados les traducen a su propio idioma lo que y evaluación de la comprensión. saben. 5. pero no siguen una trayectoria zando así en sus conocimientos. sigue una respuesta –episodio de reciendo ante un mismo problema distintos 104 adquisición– donde se facilita la información puntos de vista. puede aparecer el profesor o el libro de texto dicen y ellos no la reiteración de otra. cuando se trabajan pro. los fallos de cada uno. evaluación ayuda para superar las dificultades con que y evaluación local y. 2003). enseñanza (Gavilán. . al álgebra. Ante una petición de ayuda bien ejemplos que los demás proporcionan. ejecución. puedan ser corregidos. diferente lo que el aprovechamiento del tiempo real de de la que se produce cuando los estudiantes re. y ayudarles a avanzar con mayor rapidez. Avanzando más en la tarea. aprenden de los adquisición. justificándolo y afianzando y profundi- ción y evaluación. superior al tiempo de escucha (activa o pasiva) nuación relatamos. mún empleado hace que. lineal. de nuevo y más próximos a gran parte de nuestro alumnado se enfrenta la meta. la facilidad para saber si los estudiantes perciben que. El avance hacia la meta en el proceso de aumenta también su retención de la materia. La resolución cooperativa de problemas Cuando inician una nueva tarea se producen de álgebra beneficia tanto a los estudiantes más numerosos episodios de adquisición y evalua. apa- formulada. Por otro lado. evidentemente. implicados en su aprendizaje. debatiendo. INVESTIGACIÓN EN LA ESCUELA 73 2011 4. analizando. los 6. Éstos. donde posición del profesorado con la que podemos se producen avances y retrocesos continuos. Este modelo espiral se complementa con otro lar. aventajados como a los que tienen más dificul- ción de la comprensión. Así. de este modo. en virtud del lenguaje co- recorren varias veces distintas secuencias de es. hace que los errores sean carla a continuación en el contexto que están visibles en el momento en que se producen y. cuando se inicia en el estudio del álgebra esco- les. El tiempo en que permanecen activos. pudiendo apli. ésta siempre está a mano y llega en el los de los compañeros y detectando entre todos momento en que la solicitan. ex- mas de enunciado”. por lo tanto. 8. algunos estudiantes trategias en un avance progresivo. Cuando trabajan cooperativamente. blemas algebraicos conocidos como “proble. cuando necesitan resultados están bien o no. los estudiantes pasan por plorando. por su parte. en facilitar el aprendizaje de nuestros estudiantes una línea de progreso hacia la solución del pro. se van produciendo numerosos episo. donde se dificultades que supone el paso de la aritmética detienen a valorar cada resultado parcial.
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S. Interaction entre égaux. 107 Nous apportons brièvement le point de vue historique. Algebraic language. pendant plus de vingt-cinq ans. In our experience. especially with students from 3 rd year ESO. a cooperative method is an effective tool in helping students to make this decisive step in their learning of scholastic mathematics.O. Cooperative learning.. surtout avec étudiants de 3º E. Dans notre expérience. . M ots -C lé : Difficultés dans l’algèbre scolaire. Key Words: Difficulties in school algebra. Nous analysons les propres difficultés de l’algèbre et celles que les étudiants trouvent à l’heure d’employer le langage algébrique. la méthodologie coopérative est un outil efficace pour aider les étudiants à donner ce pas si décisif dans son apprentissage des Ma- thématiques scolaires. où les difficultés dans le pas de l’arithmétique à l’algèbre deviennent plus remarquables. we briefly show the historical point of view of the start and development of algebra. Langage algébrique. And finally we see how Cooperative Learning helps students acquire and use algebraic language and learn scholastic algebra.D I F I C U LTA D E S E N E L PA S O D E L A A R I T M É T I C A A L Á L G E B R A E S C O L A R : ¿ P U E D E AY U D A R . . Nous voyons finalement comment l’Apprentissage Coopératif aide les étudiants à l’acquisition et l’emploi du langage algébrique et à l’apprentissage de l’algèbre scolaire. ABSTRACT Difficulties in the transition from arithmetic to school algebra: Cooperative Learning can help? This article comes from the reflection on the personal practice teaching with teenage students for over twenty-five years. Step arithmetic to algebra. Peer interaction. ce qui facilite une pers- pective de ce qui a supposé le commencement et un développement de l’algèbre. Apprentissage coopératif. where difficulties in the transition from arithmetic to algebra be- come more noticeable. We analyze the inherent difficul- ties of algebra that students discover when learning to use algebraic language. Pas de l´arithmétique à l´algèbre. RÉSUMÉ Les difficultés de la transition de l’arithmétique à l’algèbre l’école: l’apprentis- sage coopératif peut aider? Cet article naît de la réflexion sur la propre pratique enseignante avec des ado- lescents étudiants. . In an attempt to help to gain perspective.
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