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Timestamp: 2018-11-19 09:27:57+00:00

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una guia tres ii parte son aquellas
Guia tres, II parte
3.2 Ecuaciones, funciones e inecuaciones racionales enteras y fraccionarias 3.2.1 Ecuaciones racionales enteras y fraccionarias Las ecuaciones algebraicas en una variable real son aquellas en que solo se realizan con la variable operaciones racionales de adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.∗ Estas operaciones se llaman racionales porque son siempre posibles en el dominio de los números racionales. Por ejemplo: 3 X +2X – 5 =0 y 1 1 – =4 X +2 X son ecuaciones algebraicas. Dentro de las ecuaciones algebraicas diferenciamos las ecuaciones racionales enteras, que reciben este nombre porque con la variable solo se realizan las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación (con exponente natural): an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 con an ≠ 0 n ∈ N, x ∈ R, ai ∈ R (i = 1, …, n) En este caso n es el grado de la ecuación. Cuando se estudie el dominio de los números complejos se tomará este como dominio de definición de las variables. Las ecuaciones lineales y cuadráticas son casos particulares de ecuaciones racionales enteras. Para las ecuaciones de tercer y cuarto grados no estudiaremos las fórmulas de resolución mediante radicales. Para la resolución de ecuaciones de grado superior al tercero trataremos de aplicar en lo adelante lo estudiado en el epígrafe 2.2 sobre descomposición en factores y la división de un polinomio por un binomio, en particular, lo relativo a la regla de Ruffini. Problemas que conducen a tales ecuaciones nos encontramos con frecuencia en el estudio de la geometría, cuando trabajamos con fórmulas relativas al volumen de cuerpos. Pero primero veamos un ejercicio formal. Ejemplo 1 Del polinomio P(x) = x4 – 6x3 + 4x2 + 24x – 32 sabemos que P(–2) = 0. a) Expresa P(x) como producto de dos factores. b) Descompón P(x) completamente. c) ¿Cuáles son las raíces de la ecuación P(x) = 0? Resolución  a) Dado que el polinomio es de grado 4 con coeficientes enteros es conveniente aplicar la regla de Ruffini. Como P(2) = 0, sabemos que 2 es una raíz del polinomio. Se excluye por supuesto la posiblidad de que el divisor sea cero. 173
1 2 1 –6 2 4 –8 –4 24 –8 –4 +16 –32 32 0 Luego, P(x) = x4 – 6x3 + 4x2 + 24x – 32 = (x – 2)(x3 – 4x2 – 4x + 16) b) Para factorizar a P(x) completamente, observemos que el polinomio x3 – 4x2 – 4x + 16 se puede descomponer en factores aplicando nuevamente la regla de Ruffini o por el método de factor común por agrupamiento. x3 – 4x2 – 4x + 16 = x2(x – 4) – 4(x – 4) = (x2 – 4)(x – 4) = (x + 2)(x – 2)(x – 4) Por tanto: P(x) = x4 – 6x3 + 4x2 + 24x – 32 = (x – 2)(x + 2)(x – 2)(x – 4) = (x – 2)2 (x + 2)(x – 4) c) Las raíces del polinomio son entonces x1,2=2(raíz doble), x3 = –2 y x4 = 4. Ejemplo 2 Con una pieza de cinc de forma rectangular 20 cm de largo y 24 cm de ancho se quiere construir una caja de 700 cm 3 de capacidad cortando un cuadrado de iguales dimensiones de cada esquina y doblando los bordes. ¿Cuál es la medida del lado de los cuadrados que se debe recortar de cada esquina? Resolución Sea x la medida del lado de los cuadrados de las esquinas. Entonces un lado tendría la longitud 24 – 2x y el otro, 20 – 2x (Fig. 3.1). Observa que los valores de x están en el intervalo 0 ≤ x ≤ 10, dado que las longitudes de los lados son cantidades positivas. x 20 – 2x x x 24 – 2x x De modo que el volumen V lo podemos expresar como: V = x (24 – 2x)(20 – 2x) = 700 Efectuando resulta: x3 – 22x2 + 120x – 175 = 0. Aplicando la regla de Ruffini se obtiene: 174
x3 – 22x2 + 120x – 175 = (x – 5)(x2 – 17x + 35) Una solución es x1 = 5 cm. Observa que el discriminante del trinomio x2 – 17x + 35 es mayor que 0, por lo que al igualarlo a cero se obtienen dos raíces (x2 ≈ 2,5; x3 ≈ 14,6), pero una de ellas no satisface la condición de estar en el intervalo 0 ≤ x ≤ 10. Luego los valores de la longitud del lado del cuadrado son x1= 5 cm o x2 ≈ 2,5 cm. Fracciones algebraicas Son fracciones algebraicas aquellas fracciones que contienen variables en el denominador, como por 3 5 3,5a – 2 , , 2ab b m ( x + 1) a 4 5ka + 2 ejemplo: 3 –3 5 3,5a – 2 , 4 , 2ab( b + 5 ) . m ( x + 1) a + 5ka + 2  Escribe otros ejemplos de fracciones algebraicas. El dominio de definición de una fracción algebraica son los valores admisibles del dominio de definición de las variables. Signos de una fracción algebraica En una fracción algebraica deben considerarse tres signos: el signo de la fracción, el signo del numerador y el signo del denominador. Luego, para realizar cambios de signo, estos deben ser pares para no alterar el signo de la fracción. Si el numerador y el denominador son polinomios, para cambiar el signo del denominador (numerador) hay que cambiarle el signo a cada término del polinomio. 4x −4 x 4x −4 x 4x Así, en la fracción 1 − x , se obtiene: 1 − x = 1 − x = x −1 = – x −1 . En la fracción ( x – 1)( x – 2) ( x – 3 )( x – 5 ) , donde el numerador y el denominador están formados por factores, tenemos por ejemplo: ( x − 1)( x − 2) ( x − 3 )( x − 5 ) = (1 − x )( x − 2) ( 3 − x )( x − 5 ) = (1 − x )( 2 − x ) ( x − 3)( x − 5 ) = ( x − 1)( 2 − x ) ( 3 − x )( x − 5 ) = (1 − x )( 2 − x ) ( 3 − x )( x − 5) Simplificación de fracciones El trabajo algebraico se facilita extraordinariamente cuando es posible simplificar los factores comunes que aparecen en el numerador y en el denominador de las fracciones algebraicas. Simplificar una fracción algebraica consiste en dividir el numerador y el denominador por un mismo factor que sea común a ambos. Para poder simplificar el numerador y el denominador deben estar expresados como productos. Se debe tener en cuenta que si estos factores contienen variables se anulan para determinados valores de ella(s) y que por tanto, después de simplificar, 175
la nueva fracción resultante no tiene el mismo dominio de definición que la original. Ejemplo 1 Dadas las siguientes fracciones algebraicas, indica restricciones que deben cumplirse parar que estén definidas (suponiendo que el dominio de definición de las variables es R) y simplifícalas: a) 2a 2 b 5 8ab −3 d) b) 2a 2 4a 2 − 4a c) a3 − b3 a 3 + a 2 b + ab 2 2 x – 8 x + 16 4–x e) 4x 2 − y 2 y 2 − 4x 2 Resolución a) En este primer ejemplo se aprecia que la fracción dada está definida para todos los valores reales excepto para el caso en que a y/o b toman el valor cero, luego hay que imponer las restricciones a ≠ 0, b ≠ 0. Para simplificarla se divide numerador y denominador por 2 y se aplican las propiedades de las potencias, lo que equivale a dividir por 2ab–3: 2a 2 b 5 a b8 = 4 8ab −3 b) Apreciemos que a diferencia del ejemplo anterior, el denominador de la fracción contiene un binomio. Para determinar los valores reales para los cuales la fracción no está definida conviene descomponer en factores el denominador: 2a 2 2a 2 = 4a(a − 1) 4a 2 − 4ab De aquí resultan las siguientes restricciones: a ≠ 0, a ≠ b. Dividiendo numerador y denominador por 2a obtenemos: 2a 2 a = 4a(a −1) 2(a − b ) c) A simple vista se aprecia que la fracción está definida para todos los valores reales excepto para x = 4. Luego debe exigirse x ≠ 4. Para simplificar esta fracción se necesita descomponerla en factores y cambiar el signo: 2 x – 8 x + 16 = ( x − 4 ) 4– x 4 −x 2 = (4 − x )2 4 −x =4 – x d) De igual forma se debe descomponer en factores para determinar los valores inadmisibles: a3 − b3 (a − b )(a 2 + ab + b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 a(a 2 + ab + b 2 ) 176
Basta exigir a ≠ 0, para que a2 + ab + b2 no se anule tampoco. Simplificando obtenemos como resultado: a–b . a e) Al descomponer la fracción en factores obtenemos: 4x 2 − y 2 ( 2 x − y )( 2 x + y ) = 2 2 ( y + 2 x )( y − 2 x ) y − 4x Observamos la necesidad de imponer las restricciones: y ≠ ± 2 x . Para simplificar podemos dividir numerador y denominador por 2x + y, pero analicemos los otros factores: cada término es el opuesto del otro, por tanto aplicamos un cambio de signo en el cociente y en el denominador o bien en el numerador y el cociente: 4x 2 − y 2 (2 x − y )(2 x + y ) (2 x − y )(2 x + y ) = =− = −1 ó 2 2 ( y + 2 x )( y − 2 x ) ( y + 2 x )(2 x − y ) y − 4x 4x 2 − y 2 ( 2 x − y )(2 x + y ) ( y − 2 x )(2 x + y ) = = =–1 2 2 ( y + 2 x )( y − 2 x ) ( y + 2 x )( y − 2 x ) y − 4x Operaciones con fracciones algebraicas Multiplicación y división de fracciones algebraicas Multiplicar dos fracciones algebraicas no es más que realizar los pasos siguientes: descomponer en factores los numeradores y denominadores de las fracciones dadas, si no lo están ya. Simplificar los factores comunes a los numeradores y denominadores. Efectuar la multiplicación indicada. Para dividir una fracción algebraica por otra se efectúa el producto del dividendo por el recíproco del divisor. Ejemplo 1 Calcula considerando que el dominio de definición de las variables son los valores reales que no indefinen las respectivas fracciones algebraicas: a) 2x2 + 2x x 2 − 3x . 2x2 x2 − 2x − 3 ( x − y )3 x 2 − x +1 . b) x3 +1 ( y − x ) 2 c) ) x 4 + x3 + 3 x 2 − x − 4 x2 − 4x + 3 : x2 + x + 4 Resolución: a) 2x2 + 2x 2x 2 . x 2 − 3x 2 x − 2x − 3 = x2 − 9 2 x ( x +1) 2x 2 . x ( x − 3) =1 ( x − 3)( x +1) 177
b) Al analizar cada término de las fracciones debes percatarte de que solo es necesario factorizar el denominador de la primera fracción, pero en el denominador de la segunda fracción en preciso aplicar cambio de signo para poder simplificar: ( x − y )3 x 2 − x +1 ( x − y )3 x 2 − x +1 ( x − y ) . = . = ( x +1) x3 +1 ( y − x ) 2 ( x +1)( x 2 − x +1) ( x − y ) 2 c) x 4 + x3 + 3 x 2 − x − 4 x2 − 4x + 3 : x2 + x + 4 x2 − 9 Como estamos en presencia de una división, lo primero que debes hacer es expresarlo como multiplicación, o sea x 4 + x3 + 3 x 2 − x − 4 x2 − 4x + 3 · x2 − 9 x2 + x + 4 Ahora vamos a factorizar, en el numerador de la primera fracción aplicamos el método de Ruffini, entonces 1 1 3 -1 -4 4 3 2 x + x + 3x – x – 4 = 1 1 2 5 4 1 2 5 4 0 x4+x3+3x2-x-4= ( x-1) ( x3+2x2+5x+4) aplicando nuevamente el método de Ruffini =( x-1)(x+1)( x2 +x+4) Luego , x 4 + x3 + 3 x 2 − x − 4 x2 − 4x + 3 . ( x − 1) (x + 1) ( x 2 + x + 4 ) ( x − 3)( x + 3) = . 2 x +x+4 x2 + x + 4 ( x − 3 ) ( x − 1) x2 − 9 = (x + 1)(x + 3) ♦ Adición y sustracción de fracciones algebraicas. Para adicionar y sustraer fracciones algebraicas se procede de forma similar a la acostumbrada con fracciones, para lo cual resulta necesario determinar un denominador común, que para mayor racionalidad se escoge que sea el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Para ello descomponemos cada denominador en factores irreducibles, y hallamos el mcm como el producto de los factores irreducibles comunes y no comunes a su mayor exponente. Por ejemplo, el mcm de ab 2c3 y a5b es a5 b2c3 y el de x2; x2+2x =x (x+2) es x2 (x+2). Adicionar o sustraer dos fracciones algebraicas no es más que realizar los pasos siguientes: Descomponer en factores los numeradores y denominadores de las fracciones algebraicas y simplificar si es posible. Determinar el mcm de los denominadores, que será el denominador común Ampliar las fracciones. Efectuar los productos indicados en el numerador y reducir términos semejantes. Simplificar el resultado si es posible. 178
Ejemplo 1 .Efectúa la siguiente suma Resolución: 3 2 + 2 . a + b a − b2 3 2 + 2 a + b a − b2 3 2 = + ( a + b )( a − b ) a +b 2( a − b ) + 3 2a − 2b + 3 = = ( a + b )( a − b ) ( a + b )( a − b ) ♦ Ejemplo 2 Efectúa: a) b) c) a2 − 1 a −1 ( a −1) x −4 2 1 + − 3 3 2 y − x x + xy + y 2 x −y 2 c 2 − 16 3c 4 • 2 − 2 2 c − 4c c + 7c + 2 c − 1 3 y 2 − 3 y + 3 ay − 5a + 2by − 10b 3a 2 + 6ab + ÷ d) 1 + y3 30 − 16 y + 2 y 2 2ay 2 − 4ay − 6a Resolución: a) b) a2 ( a −1) 2 x −4 3 x −y 3 − + a 2 − ( a −1) 1 = a −1 ( a −1) 2 2 1 − 2 y − x x + xy + y 2 = = a 2 − a +1 ( a −1) 2 x−4 ( x − y)(x 2 + xy + y 2 ) − 2 1 − 2 x − y x + xy + y 2 Como habrás observado fue necesario realizar un cambio de signo en la segunda fracción ante de seleccionar el denominador común. ( ) x − 4 − 2 x 2 + xy + y 2 − ( x − y ) ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 ) = x − 4 − 2 x 2 − 2 xy − 2 y 2 − x + y ( x − y )(x 2 + xy + y 2 ) = y − 4 − 2 x 2 − 2 xy − 2 y 2 ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) ( c + 4)( c − 4) • 3c 4 − c( c − 4 ) ( c + 4)( c + 3) ( c + 1)( c − 1) c) c 2 − 16 3c 4 • 2 − 2 = 2 c − 4c c + 7c + 12 c − 1 = 3 4 3 c 2 − 1 − 4( c + 3) 3c 2 − 3 − 4c − 12 3c 2 − 4c − 15 − = = = c + 3 ( c + 1)( c −1) ( c + 3) c 2 − 1 ( c + 3) c 2 −1 ( c + 3) c 2 − 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 y 2 − 3 y + 3 ay − 5a + 2by − 10b 3a 2 + 6ab + ÷ d) 1+ y3 30 − 16 y + 2 y 2 2ay 2 − 4ay − 6a 3( y 2 − y + 1) a( y − 5) + 2b( y − 5) 2a ( y 2 − 2 y − 3) + • = 3a( a + 2b ) (1 + y ) (1 − y + y 2 ) 2( y 2 − 8 y + 15) 179
= 3 ( y − 5)( a + 2b ) • 2a( y − 3)( y + 1) + y + 1 2( y − 5)( y − 3) 3a( a + 2b ) 3 y +1 = y +1 + 3 = 9 + y2 + 2y +1 y 2 + 2 y + 10 = ♦ 3y + 3 3( y + 1) Ecuaciones racionales fraccionarias Las ecuaciones fraccionarias en una variable son aquellas en que aparecen fracciones algebraicas. Son ejemplos de ecuaciones fraccionarias las siguientes: 5x + 7 2 5 7 3 2 −1 − = − +1 2) (5x − 2)( x − x ) = 2 3 x x 10 2 x x −1 1 1 1 = + 3) (fórmula para las lentes) f d1 d 2 1) En el proceso de búsqueda de un procedimiento para resolver una ecuación fraccionaria se trata de reducir este a uno conocido. Por eso para resolver una ecuación fraccionaria se trata de eliminar denominadores multiplicando por el mínimo común múltiplo (mcm) de estos, pero esta transformación no es equivalente, por cuanto este mcm se anula para determinados valores del dominio de definición de la variable. En consecuencia, el procedimiento para resolver una ecuación fraccionaria es el siguiente: • • • • • • • Determinar el dominio de definición de la ecuación, previa descomposición en factores de los numeradores y los denominadores de las fracciones algebraicas. Simplificar de ser posible en cada fracción. Buscar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores o el denominador común. Eliminar los denominadores multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mcm. Efectuar los productos indicados en el numerador y reducir los términos semejantes. Resolver la ecuación obtenida. Comprobar si las soluciones pertenecen al dominio de la ecuación original comparando con el dominio de definición o mediante la comprobación. La comprobación también puede resultar provechosa para descartar posibles errores en la aplicación del procedimiento, en particular, al transponer los términos o efectuar los cálculos. Ejemplo 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5x + 2 x+7 = 4x + 6 2x + 3 b) 4 1 5x − 6 + = 2 x+2 x−2 x −4 c) 3x + 1 x + 4 x +1 − = x + 5x + 6 x + 3 x + 2 2 180
Resolución: 5x + 2 x+7 = 4x + 6 2x + 3 a) 3  Dom:  x ∈ R : x ≠ −  ; 2  Como el m.c.m de los denominadores es 2( 2x+3) se multiplica toda la ecuación por este, obteniendo: 5x + 2 x +7 = 2(2 x + 3) 2 x + 3 5x + 2 x +7 = │ .2( 2x+3) 2(2 x + 3) 2 x + 3 5x + 2 = 2 (x + 7) 5x+ 2 = 2x + 14 3x= 12 x=4 Comprobación: 5x + 2 5.4 + 2 22 = = =1 MI: 4x + 6 4.4 + 6 22 MD: x +7 4 +7 11 = = = 1 como MI = MD 2 x + 3 2.7 + 3 11 La solución es : x = 4 4 1 5x − 6 + = 2 b) x+2 x−2 x −4 4 1 5x − 6 + = 2 x+2 x−2 x −4 Dom :{x ∈ ℜ x≠±2} 4 1 5x − 6 + = │.( x + 2)(x-2) x + 2 x − 2 ( x + 2)( x − 2) 4( x – 2 )+ ( x + 2 ) = 5x – 6 4x– 8 + x +2 = 5x – 6 5x – 6 = 5x – 6 Como 4( x – 2 )+ ( x + 2 ) = 5x – 6 es una identidad la ecuación original tiene solución para x∈ R {–2;2} c) 3x + 1 x + 4 x +1 − = x + 5x + 6 x + 3 x + 2 2 3x + 1 x +4 x +1 − = ( x + 3)( x + 2) x + 3 x + 2 Dom: {x ∈ ℜ : x ≠ – 3 y x ≠ – 2} 3x + 1 x +4 x +1 − = │.(x+3)(x+2) ( x + 3)( x + 2) x + 3 x + 2 3x+1 –(x + 2)(x + 4) = (x +3)(x +1) 181
3x + 1 – x2 –6x – 8 = x2 + 4x + 3 2x2 + 7x + 10 = 0 Analizando el discriminante, resulta D = 7 2 – 4(2)(10) = 49 – 80 = – 31 < 0, por lo que la ecuación no tiene solución en el dominio de los números reales. ♦ Ejemplo 2 Halla el conjunto solución de la siguiente ecuación: x +2 x −1 x2 − 2 + − =0 x x − 2 x 2 − 2x Resolución: x +2 x −1 x2 − 2 + − =0 x x − 2 x 2 − 2x x +2 x −1 x2 −2 − = 0 Dom: { x ∈ R : x ≠ 2 y x ≠ 0} + x − 2 x( x − 2) x x +2 x −1 x2 −2 − = 0 │ . x(x––2) + x − 2 x ( x − 2) x (x+2)(x–2 ) + x( x–1) –x2+ 2 = 0 x2– 4 + x2 –x – x2 + 2 = 0 x2 –x – 2 = 0 (x–2)(x + 1) = 0 x1= 2 x2 = –1 Como 2 no pertenece al dominio de la ecuación, x = 2 es una raíz extraña, luego el conjunto solución es : S = { –1 } De todas formas se recomienda realizar la comprobación. ♦ 3.2.2 Las funciones racionales enteras y fraccionarias Funciones potenciales Las funciones potenciales son aquellas definidas por ecuaciones de la forma y = x n ( n ∈Ζ, n≠1, x∈R). Si observamos sus gráficos, se pueden apreciar algunas regularidades: En el caso que los exponentes n son pares positivos, las gráficas se asemejan a y=x2, unas más “pegadas” al eje de ordenadas y otras menos “pegadas” (Figura 1). En el caso que son impares positivos las gráficas se asemejan a y=x3, con la misma particularidad anterior (Figura 2). En el caso de las funciones potenciales de exponentes n negativos, las gráficas se interrumpen o presentan una discontinuidad en x 0=0 y 182
presentan regularidades semejantes a las anteriores en relación con estar más “pegadas” o menos “pegadas” al eje de ordenadas.(Figura 3) Funciones potenciales de exponente par positivo y=x 2 y=x4 Fig. 1 Funciones potenciales de exponente impar positivo y=x 3 183
Fig. 2 Funciones potenciales de exponente impar negativo y=x-1 Fig. 3 Precisamente la función y = x–1 es la función de proporcionalidad inversa. • Investiga con ayuda de un asistente para la graficación de funciones, como el simulador de funciones de Eureka, el comportamiento de las funciones potenciales de exponente par negativo. Ejemplo 1 Analiza las propiedades de la función f definida por f(x) = 2x 3 a partir de su representación gráfica con ayuda de una sistente matemático. Resolución: Resolución: Nosotros hemos realizado la representación gráfica con ayuda del simulador de funciones de Eureka. A los efectos de poder establecer una comparación se ha realizado también la gráfica de la función g definida por g(x) = x 3. 184
y=2x3 y=x3 El dominio de definición y la imagen de la función f es el dominio de los números reales, tiene un cero en x0=0, no tiene valores máximos ni mínimos y es monotona creciente en todo su dominio. Es positiva para las x >0 y negativa para las x<0. Podemos apreciar que la gráfica de y = 2x 3 se obtiene de la de y = x 3 a través de una dilatación respecto al eje x. Como se explicó ya en 2.4 una función f se dice par (impar) si los argumentos opuestos tienen la misma imagen (tienen imágenes opuestas), bajo el supuesto de que dichos argumentos opuestos pertenecen al dominio de la función. Retomando el ejemplo 1 tenemos que f(x)=2x 3 es una función impar, ya que para todo x∈ℜ se cumple que f(-x)=2(-x)3=-2x3=-f(x) Su gráfica es por eso simétrica respecto al origen de coordenadas. • Analiza la paridad de las funciones siguientes: a) f(x)= 5x4 b) g(x)= -7x3 c) h(x)= 1 –3 x 2 d) l(x)= 3x–4 Las funciones racionales enteras son aquellas cuya ecuación funcional es de la forma: 185
y= a n x n + a n − 1x n − 1 + ... + a1 x + a 0 con an ≠ 0 , n ∈ N, x ∈ R, ai ∈ R (i = 1,...,n) Es decir las funciones racionales enteras son aquellas que se pueden obtener efectuando sobre la variable independiente solamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, un número finito de veces, con coeficientes numéricos cualesquiera. Por ejemplo: f(x) = πx − 2 Las funciones racionales fraccionarias son aquellas funciones elementales que pueden expresarse como cociente de dos funciones racionales enteras P(x) y Q(x) y= P(x) Q(x) Estas funciones se pueden obtener realizando sobre la variable independiente las mismas operaciones señaladas anteriormente y además la operación de división. El dominio de una función racional fraccionaria está constituido por los números reales que no anulan a la función del denominador.1 El esbozo de la gráfica de las funciones racionales enteras y fraccionarias se puede obtener en algunos casos de forma relativamente sencilla. Ejemplo 2 Analiza cómo se puede obtener la gráfica de la función f definida por f (x) = x +3 a partir de la gráfica de la función de proporcionalidad inversa. x −1 Resolución: La función f dada por y = x +3 es una función racional fraccionaria cuyo x −1 dominio de definición es ℜ{1}. Para representarla gráficamente se efectúa la división del numerador por el denominador y se analizan qué transformaciones son necesarisa para obtenerla a partir de la gráfica de y= 1 x +3 4 =1+ . En este caso se tendría y = , cuyo análisis nos lleva a x x −1 x −1 observar que las transformaciones realizadas son las siguientes: 1 (a través del número 4 en el numerador) x  dilatación de y =  traslación en la dirección del eje x una unidad a la derecha  traslación en la dirección del eje y una unidad hacia arriba 1 La clase de las funciones racionales enteras y fraccionarias forma parte de la clase de las funciones algebraicas, pero no toda función algebraica es una función racional. Sobre esto puede profundizar en cualquier libro de Análisis Matemático. 186
Fig. 4 OJO GRAFICA Los polos de una función racional fraccionaria f(x) = P(x) son los Q(x) valores de la variable x que anulan a Q(x) y no son ceros de la función. La función anterior tiene un polo en x0=1♦ • Analizar todas las propiedades estudiadas de las siguientes funciones: x −5 x +2 2 x −1 b) y = 3x + 2 −4 + x c) y = − 7x + 5 a) y = Para la graficación de las funciones puede ser utilizado también el asistente matemático Derive, del cual se brinda a continuación información sobre cómo utilizarlo. La utilización del Derive en el trabajo con las funciones Para la utilización del Derive en el trabajo con las funciones se deben introducir, al menos, los siguientes elementos del asistente: Definir Función se utiliza para definir una función. En el cuadro de diálogo se invita a introducir el nombre de la función y sus argumentos (por ejemplo, f(x)) y su definición, es decir, las operaciones que realiza la función usando esos argumentos y las funciones y constantes del programa (por ejemplo (3x+1)/(x-4)). 2 2 Note que se trata de una división 187
Simplificar Sustituir Variables, sirve para sustituir por valores o expresiones cada una de las variables de la expresión resaltada. Para esto haga clic sobre o pulse Ctrl+W . Se le presentará una ventana de diálogo con una lista de las variables de la expresión resaltada y una línea para introducir los valores de las variables que van a ser sustituidas. Después de hacer clic sobre una variable, haga clic sobre la línea de sustitución e introduzca el nuevo valor que sustituirá a la variable: Utilizando reiteradamente esta orden es posible obtener los valores de la función para los valores de la variable x seleccionados. Observación: Si comete algún error o simplemente desea borrar una expresión utilice la orden Edición Borrar: La orden Edición Borrar, o la pulsación de Ctrl+R o de la tecla Supr, sirve para borrar un bloque de expresiones, es decir, un grupo de expresiones contiguas. Esta orden muestra un diálogo para especificar los números correspondientes a la primera y a la última expresión del bloque que será eliminado. Inicialmente, esos dos números coinciden con el de la expresión resaltada. Haga clic sobre Cancelar o pulse Esc para no seguir adelante con Edición Borrar. El bloque de expresiones se borra cuando se hace clic sobre el botón SÍ o al pulsar Intro. Una expresión se borra completa aunque sólo esté resaltada una subexpresión suya. 188
¿Cómo escribir las coordenadas de un punto en Derive? Una posibilidad es la siguiente: Vector se activa en el menú Editar o haciendo clic sobre: en la barra de herramientas. Sirve para introducir un vector de expresiones matemáticas. Después de introducir el número de elementos, se le presentará una ventana para que pueda introducir cada uno de los elementos del vector: Cuando haya terminado, haga clic sobre SÍ o pulse Intro. Haga clic sobre Simplificar o pulse Alt+S para simplificar el vector en lugar de introducirlo (se añadirá a la ventana sólo el resultado). Para obtener directamente el gráfico de la función, una vez que ha sido definida, se pasa a la ventana 2D, la cual se activa haciendo clic sobre: Haciendo clic sobre Representar queda representado el gráfico; en nuestro caso se obtiene: 189
Fig. 5 Para comparar los valores de varias gráficas o recorrer una gráfica, puede activarse el modo de trazado. Cuando se activa el modo de trazado, el cursor se muestra como un pequeño cuadrado sobre una de las gráficas. Con el botón derecho del ratón o las teclas de Flecha Derecha o Flecha Izquierda, se puede ir recorriendo esa gráfica. Para trazar otra de las gráficas (en caso de que tenga representadas más de una función en la misma ventana), haga: - Flecha Arriba o clic en el botón derecho del ratón y elija Trazar la gráfica previa - Flecha Abajo o clic en el botón derecho del ratón y elija Trazar la gráfica siguiente. En el modo de trazado, el número de la expresión que se está trazando se muestra en el título de la ventana. Así, cuando se representan varias expresiones, el modo de trazado es adecuado para determinar la relación entre la gráfica y su expresión. Una gráfica particular puede ser borrada usando la orden Editar Borrar. El modo de trazado resulta muy útil para el estudio de las propiedades de las funciones: Para el análisis del Domino de definición y la imagen de una función Recorriendo la curva con el cursor se aprecia en la barra inferior de la ventana como van variando los valores de x e y, pues se ofrecen las coordenadas del punto en el cual se encuentra el cursor, si a esto se agrega la posibilidad de ir ampliando la escala del eje que nos interesa (x o y), se pueden realizar conjeturas acerca de estos conjuntos. Los estudiantes pueden llegar a “descubrir” el dominio y la imagen utilizando este procedimiento. Esto permite analizar también el comportamiento en el infinito. Como se puede apreciar en nuestro caso: 190
Dominio: ℜ {4} (Observa el comportamiento de la gráfica de la función en la medida en que el cursor se acerca a x=4, tanto por la derecha como por la izquierda, lo que confirma la existencia de un polo en este punto) Imagen: ℜ Para el análisis de la monotonía de la función: Recorriendo la curva de izquierda a derecha, el cursor nos muestra como van variando las coordenadas de los puntos, lo que permite realizar suposiciones acerca de la monotonía de la función. Observe que de -∞ a x=4 las imágenes aumentan en la medida que recorremos este intervalo de izquierda a derecha. El comportamiento es diferente en el intervalo (4, +∞). ¿Qué puede decir acerca de la monotonía de esta función? Para determinar los ceros y los interceptos con el eje y puede utilizar también el modo de trazado y luego realizar el cálculo a mano o utilizando el Derive. Si quiere regresar a la Ventana Álgebra haga clic en: Para calcular los ceros de la función f es necesario resolver la ecuación f(x)=0 (Para este tipo de funciones tiene que suceder que P(x)=0 y Q(x)≠0); en Derive se resuelve mediante la orden “Resolver” de la ventana de Álgebra. "Resolver” sirve para resolver ecuaciones o relaciones, algebraica o numéricamente, o para resolver sistemas de ecuaciones. Con más precisión, hay que decir que sirven para introducir expresiones que, después de simplificar o aproximar, serán las soluciones de la ecuación, relación o sistema. Activando la ecuación de la función a la que se le quieren calcular los ceros se hace clic sobre la tecla: Por ejemplo, calcular los ceros de la función con la que se ha estado trabajando. Se marca la ecuación, se activa la tecla Resolver y aparece el cuadro: 191
Si se hace clic sobre Sí se obtiene inmediatamente la respuesta: Lo que significa que se va a resolver la ecuación 3x+1=0. Haciendo clic sobre la tecla Simplificar se obtiene el cero de la función (solución de la ecuación) Si se hace clic sobre simplificar en el cuadro de diálogo se obtiene directamente: Para calcular el intercepto con el eje y es necesario sustituir x=0 en la ecuación de la función, lo que puede realizar a mano o utilizando el Derive como ya vimos al evaluar puntos para obtener una idea del gráfico de la función. El resto de las propiedades de la función se puede analizar a partir del gráfico o realizando la demostración correspondiente. 3.2.3 Inecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Una inecuación racional entera en una variable es una inecuación que se puede reducir a la forma P(x)>0, P(x) <0 P(x) ≥ 0,P(x) ≤ 0, donde P(x) es un polinomio en la variable x. Ejemplo 1 Resuelve las inecuaciónes siguientes: a) x4 – 2x3 – 16x2 + 15 > – 2x 192
b) –x4 – x3 +22x2 +16x –96 < 0 c) y6+2y4 – 3y2 ≥ 0 Resolución: a) x4 – 2x3 – 16x2 + 2x + 15 > 0 De forma análoga a como se procedió con las inecuaciones lineales y cuadráticas, es necesario transponer todos los términos a un solo miembro para comparar con cero. Se observa que para x = 1 la suma de los coeficientes del polinomio P(x) que se encuentra a la izquierda, es cero. De este modo podemos identificar que x1=1 es una raíz del polinomio y que este es divisible por (x – 1). Aplicando después la regla de Ruffini el polinomio quedaría factorizado de la siguiente manera: (x–1) (x+1)(x+3)(x–5) > 0 Se tiene entonces que hacer un análisis de los signos en los diferentes intervalos que se determinan entre dos raíces del polinomio. Estas raíces son en definitiva los ceros de la función polinomial correspondiente. Está claro que entre dos ceros el signo de la función polinomial no varía. Por eso si elegimos un valor arbitrario x 0 de estos intervalos y evaluamos el polinomio para dicho valor, el signo de P(x 0) será el signo del polinomio en todo este intervalo. x <–3 –3 < x < –1 –1< x < 1 1 <x <5 x >5 + – + – + En la práctica podemos proceder de forma más simple. Si el signo de la variable de mayor grado es positivo, podemos representar gráficamente los intervalos y asignarle a cada uno el signo que le corresponde, que resultará de variar de forma alternada los signos de derecha a izquierda, comenzando por el positivo. + – –3 + –1 – 1 + 5 Luego el conjunto solución es S = { x ∈ R : x < −3 ó − 1 < x < 1 ó x > 5} b) –x4 – x3 +22x2 +16x –96 < 0 Se observa que para x = 2 la suma de los coeficientes del polinomio P(x) que se encuentra a la izquierda, es cero. Luego x 1 = 2 es una raíz del polinomio y 193
este es divisible por (x–2). Aplicando la regla de Ruffini para factorizar el polinomio se obtiene: –(x–2)(x+4)(x–4)(x+3) < 0 Luego los ceros o raíces del polinomio son x1 = – 4, x2 = –3, x3 = 2, , x4 = 4. Primera vía De no multiplicar la inecuación por –1, podemos hacer de igual manera un análisis de los signos en los diferentes intervalos que se determinan entre dos raíces del polinomio. Como en el caso anterior, si elegimos un valor arbitrario x0 de estos intervalos y evaluamos el polinomio para dicho valor, el signo de P(x0) será el signo del polinomio en todo este intervalo. x<–4 –4< x <–3 –3 < x < 2 2< x < 4 x>4 – + – + – Nótese que en este caso los signos van alternándose comenzando a la derecha por el signo negativo. También aquí se puede proceder de forma más simple, representando gráficamente los intervalos y asignando a cada uno el signo que le corresponde, que resultará de variar de forma alternada los signos de derecha a izquierda, comenzando por el negativo. – + –4 – –3 + 2 – 4 5 Luego el conjunto solución es: S = { x ∈ R : x < −4 ó − 3 < x < 2 ó x > 4 } Segunda vía Tenemos la alternativa de multiplicar por –1 la inecuación, con lo cual cambia también el sentido de esta: (x–2)(x+4)(x–4)(x+3) > 0, Esto permite hallar el conjunto solución de la inecuación de manera similar a como se hizo en el inciso anterior.  Compruebe que por ambas vías se obtiene el mismo conjunto solución. c) y6+2y4 – 3y2 ≥ 0 Extrayendo factor común y2 en el polinomio asociado a la inecuación, se obtiene: y2(y4+2y2 –3) ≥ 0 Continuando la factorización se tiene: y2(y2–1) (y2+3) ≥ 0 194
Luego las raíces reales del polinomio son y 1,2=0, y3=1, y4 = –1. Existen otras dos raíces, pero no son reales. Obsérvese que (y 2+3) es positivo para cualquier valor real de la variable y, por ende, no afecta el signo del polinomio. Debe notarse también que y1,2=0 es una raíz doble de este polinomio. Por tanto, como hay un número par de cambios de signo, no se afecta el signo del polinomio en un entorno de esta raíz. Hagamos un análisis de los signos en los diferentes intervalos que se determinan entre dos raíces del polinomio a partir de la representación gráfica de los intervalos: + – -1 – 0 + 1 Seleccionando los intervalos cuyo signo es no negativo , el conjunto solución es: } S = { y ∈ℜ : y ≤ −1 ó y ≥ 1 ♦ Una inecuación racional fraccionaria en una variable es una inecuación que se reduce a la forma A > 0, B A < 0, B A ≥ 0, B A ≤ 0, donde A y B son B polinomios y B no es de grado cero. Ejemplo 2 Resuelve las siguientes inecuaciones: x +2 x +1 > 0 b). 4( x − 3) ≤ 0 x −1 ( x − 5) 2 ≥0 ( x + 3)(1 − x) a). c). x 2 − 5 x − 36 <0 x2 + 4 d). Resolución: a). x +1 > 0. x −1 Se deben determinar los valores de la variable para los cuales el cociente es mayor (estricto) que cero. Para esto es conveniente hallar los ceros del numerador y el denominador para poder analizar el signo de la fracción en los intervalos que ellos determinan. Téngase en cuenta que para cualquier valor de estos intervalos el signo de la fracción no varía. Ceros del numerador: x + 1 = 0 ; Ceros del denominador: x – 1 = 0 x=–1 Análisis gráfico: x=1 + -1 luego el conjunto solución es: S= (- ∞ ; -1) ∪ ( 1; ∞ ). = __ __ _ + 1 { x ∈ ℜ: x< – 1 ó x > 1} 195
x +2 b). x (x − 3) ≤ 0. En este caso se trata de analizar cuáles son los valores de la variable para los cuales el cociente es no positivo. Ceros del numerador: x = – 2, Ceros del denominador: x = 0 , x = 3 – + – + Gráficamente obtenemos: –2 Entonces el conjunto solución es: ,− S = (– ∞ 2 ] ∪ (0; 3)= {x ∈ ℜ : x ≤ – 2 ó 0 3 0 < x < 3} x 2 − 5 x − 36 < 0. x2 + 4 c). Debemos encontrar los valores de la variable para los cuales el cociente es negativo, pero debemos observar que la expresión del denominador siempre es positiva. ( x − 9)( x + 4) x2 + 4 <0 Ceros del numerador : x = 9 , x = –-4 + – –4 + - 9 Entonces los valores que hacen al cociente negativo son: x∈ (–4, 9). ( x − 5) 2 ≥0 d). ( x + 3)(1 − x ) Observa en la inecuación que: El numerador siempre es positivo, excepto en x = 5 que toma valor cero. En el denominador hay un factor en el cual la variable de mayor exponente aparece con un coeficiente numérico negativo, lo que indica que en el análisis de los signos se debe comenzar de derecha a izquierda con el signo menos o multiplicar la inecuación por –1 y cambiar el sentido de la inecuación. Vamos a realizar esto último: - + –3 + 1 + 5 Luego el conjunto solución de la inecuación es S = { x ∈ ℜ : −3 < x < 1} ∪ { 5} ♦ Ejemplo 3 196
.Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación 4x −1 ≤1 . 2x − 3 Para resolver la inecuación es necesario transponer el 1 para el miembro izquierdo, es decir, restar 1 en cada miembro, luego 4x −1 −1 ≤ 0 2x − 3 Ahora hay que buscar el denominador común: 4 x − 1 − 2x + 3 ≤0 2x − 3 Se reduce términos semejantes y se obtiene 2x + 2 ≤0 2x − 3 Para realizar el análisis de los signos se deben factorizar las expresiones si es posible 2( x + 1) ≤0 2x − 3 El conjunto solución de la inecuación es S= [ -1; 1,5) ♦ Ejemplo 4. Determina para qué valores reales de la variable no están definidas las siguientes expresiones: a) 1 − x2 x2 b) 4x − 3 x Resolución: a) A partir de la definición de radicación se conoce que la operación de radicación de índice par está definida en el conjunto de los números reales si y solo si el radicando es mayor o igual a cero, y no está definida, por supuesto, si este es menor que cero, luego: 1 − x2 Sea entonces x 2 〈0 Se procede a descomponer en factores el numerador y el donominador para realizar el análisis de los signos: (1 − x )( x + 1) x2 〈0 197
El signo del denominador siempre es positivo, no hay cambio de signo a la derecha ni a la izquierda del cero del denominador. Por tanto el análisis de los signos resulta como sigue: Entonces la expresión no está definida para x ∈ ( – ∞ ;–1) ∪ (1; ∞) 4x − 3 x b). Analicemos separadamente el numerador y el denominador . En el numerador, la raíz no está definida cuando 4x –3 < 0, o sea para 3 x < . Además para x = 0 se indefine la fracción. 4 Luego no está definida para x ∈ ℜ : x < 3 ♦ 4 Ejemplo 5 (FARMACOLOGIA).- Para que un medicamento tenga efectos favorables en una persona, su concentración en la sangre t horas después de haberlo ingerido debe ser mayor que la concentración terapéutica mínima. Si la concentración de un medicamento está dada por la ecuación C = 20t t 2 +4 y la concentración terapéutica mínima es de 4 mg / L ,determina cuándo la concentración en sangre rebasa la concentración terapéutica mínima. Resolución: Si la concentración terapéutica mínima es de 4 mg / L debe determinarse cuando la expresión C es mayor que 4, es decir C = 20t t 2 +4 -4>0 20t − 4t 2 − 16 2 20t t 2 +4 >4 Se transpone el término 4 para comparar con cero 〉 0 Hallando el denominador común t +4 − 4t 2 + 20t − 16 2 t +4 〉 0 Como el termino cuadrático es negativo se puede multiplicar por menos uno (–1), 4t 2 − 20t + 16 t2 + 4 〈0 por lo que cambia el sentido de la desigualdad 198
4(t 2 − 5t + 4) 2 t +4 〈0 4( t − 1) ( t − 4) 2 t +4 〈0 Se extrae factor común y se factoriza la expresión del denominador siempre es positiva .luego sólo es necesario analizar el signo del numerador, para lo cual vamos a determinar los ceros t = 1 y t = 4 + _-_ 1 + 4 Respuesta: El tiempo para que se rebase la concentración mínima es de una a cuatro horas. ♦ Para resolver una inecuación fraccionaria se pueden seguir los pasos siguientes: • Se transponen todos sus términos para un solo miembro y se compara con 0. • Se realizan las operaciones indicadas y se reducen los términos semejantes. • Se hallan los ceros del numerador y del denominador. • Se traza una recta numérica y se sitúan los ceros hallados teniendo en cuenta que los ceros del denominador siempre se excluyen. • Si los coeficientes de las variables de mayor grado tienen el mismo signo, los signos de los intervalos que se determinan irán variando de forma alternada de derecha a izquierda, comenzando por el positivo. • Si los coeficientes de las variables de mayor grado tienen signo diferente, se multiplica la inecuación por –1 , con lo cual se cambia también el sentido de la desigualdad y se reduce este caso al anterior. De no multiplicarse la inecuación por –1, los signos de los intervalos que se determinan irán variando de forma alternada de derecha a izquierda, comenzando por el negativo. • Se selecciona el o los intervalos que satisfacen la inecuación y se forma el conjunto solución de la inecuación, teniendo en cuenta que los ceros del numerador pueden o no incluirse, en dependencia de que la desigualdad sea estricta o no. Ejercicios (epígrafe 3.2) 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2x3+9=(1+2x)2 b)x(x2+x+16)=(x+8)2 199
2. Calcula las raíces de los polinomios siguientes: a)P(a ) = 4a3 −12a 2 + 27a −19 ( ) ( ) b)P(b) = b3 b 2 −1 −8 b 2 −1 c )P(m) = m 4 −m −3m3 + 3 ( ) ( ) ( ) d)P(u) = 2u2 u3 −u +5u u3 −u −12u u2 −1 3. Determina el término constante de la ecuación 3 2 6x − 7x − 16x + m = 0 , si se conoce que una de sus raíces es igual a 2. Halla las restantes raíces. 4. Sea P(x) = x3 – x2 - 22x + 40, ¿cuál es el valor de la suma de las raíces de dicho polinomio? 5. Simplifica las siguientes expresiones y halla su valor numérico: a) 2p2 + 10p para p = 2 2 p2 + 8p + 15 b) t3 + t − 4t 2 + 6 para t = 2–3 2 −t−2 t c) 2x3 − 4x2 + 8x − 16 para x = 0,5 5 − 32x 2x z3 − 64 para z = 3 d) z2 − 16 y 2 − 2by + 3y − 6b para y = –0,3 3y − 6b 3ab − 2a − 15b + 10 f) para a = 3,4 y b= 0,6 3b2 + b − 2 e) 6. Dados 10 x 2 −13 x −14 A= y x +y 49 −100 x 2 B= . 7 x −10 x 2 + 7 y −10 xy Verifica que A : B = x–2 x 4 − 27 x 7. Dados: M(x) = 3 x − 3x 2 − x + 3 a) La expresión M(x) se anula para: ___x = 0 y x=3 ___ x = 0 b) y N(x) = 3x 2 − 2 x −2 ____ x = 3 ____ x =1; x = -1 y x = 3 Los valores inadmisibles de M(x)son: ____ x = 3 ____ x =3 y x = ± 1 ____ x = ± 1 ____ ninguno c) Calcula y simplifica 200
: M d) x 2 + 3x + 9 x −1 Calcula el valor numérico de: N( 2) + 4 4 8. Sea el polinomio P(x)=2x5+x4–15x3–(2x2+x–15). Determina el dominio de la fracción algebraica 9. Sean N = x2 −9 . P( x ) x −2 x2 − 4 y M= 3 . 2 x + 10 x + 4 x 2 − 11x − 30 a) ¿Para qué valores reales de x están definidas las expresiones N y M? b) Calcula y simplifica P = (x - 3)M:N . x 2 − 9 x − 22 mx − 11m r−6 r+5 10. Prueba que : 2 ⋅ = 2 r − 36 r + 11r + 30 3x + 6 3m 11. Halla P si P = 4a 2 − 9 8a 2 − 32a a−4 ⋅ 2 : 2 . 2 2a + 11a + 12 a + 2a − 8 a + 8a + 16 12. Verifica que A:B:C = A= xa 2 − 2a 2 + x − 2 ; 3a − 6 x −3 , si: 2a B= a3 + a 6a − 12 y C= 4x −8 . x −3 9a 2 − 4b 2 6a 3 + 17a 2 b − 14ab 2 : a 2 − 10ab + 25b 2 2a 2 − 3ab − 35b 2 a)Simplifica M. b)Halla el valor de la expresión para a = 3,5 y b = -1. 13. Sea M = 14. Si M = 3x3 – 9x2 – 30x, N = 2x3 – 5x2 – 23x – 10 y P = M . N a) Determina el dominio de P. b) Simplifica P. 15. Sean M = y3 - 3y2 + 4 y N = y3 - 2y2 - 4y + 8. a) Calcula P = M . N P y 2 + 8y + 7 b) Demuestra que si R = 18 y : 3 , entonces R es un 3 y + 27 y 2 + 42 y número real para todos los valores admisibles de la variable y. 16. Fundamenta cada uno de los pasos del procedimiento para la adición de las siguientes fracciones algebraicas: 2a a − 30 + 2a − 10 a 2 − 5a 201
2a a − 30 + ________________________________________________ 2(a − 5) a(a − 5) = _ = a a − 30 + ___________________________________________________ a − 5 a (a − 5 ) = a 2 + a − 30 ______________________________________________________ a(a − 5 ) = (a − 5)(a + 6) ____________________________________________________ a( a − 5 ) _ = a +6 ___________________________________________________________ a _ 17. Calcula y simplifica: c − d c 2 − d2 a) − c + d ( c + d) 2 b) 2 y2 + 3y − 40 m2 + 4m + y y 2 − 4y − 5 m2 − 25 − y−6 y3 + 4y 2 − 37y − 40 • m2 − m − 20 5m2 + 25m 3a2 + 16a − 12 a2 − 8a + 16 a3 − 28a + 48 d) • : 27a3 − 8 a2 − 4a 9a2 + 6a + 4 t + 5 2t + 1  5t 2 − 29t − 6 e)  − : t −5  t + 3 t 2 − 2t − 15  c) 18. Efectúa y simplifica: 19. Sean: h(x) = 2 5 a3 − a2 + a a 3 + 5a 2 + 2a − 8 2 ∙ 9a − 1 − 3 3 . 3a 2 + 11a − 4 6a + 12 2a x −1 3x + 3 x 3 − 7x − 6 ; f(x) = ; g(x) = 2 . 3 1− x x + 3x + 9 x − 27 Comprueba que p(x) = x + 1, siendo p(x) = f(x):g(x) + h(x). 16 − 9a 2 3a 2 + 3 ; h(a) = y 3a 2 − 11a − 20 a2 − 9 5 a 2 + 2a − 15 q(a) = . Prueba que f(a):q(a) - h(a) = . 2 a +3 25 − a 20. Sean las expresiones f(a) = x −2 x−3 x 2 + 12x + 16 ; B= 2 ; C= . x2 − x x + 3x − 4 x 4 + 3x3 − 4x 2 a) Calcular el valor numérico de A para cuando x = 2,3 b) Determina el dominio de B. 21. Sean: A = 202
c) Calcula A – B + C. c 2c + 1 a−4 a+3 − 2 − 2 y Q= 2 c +1 c + c − 2 a − 6a + 9 a + a − 12 Simplifica P y Q Si se calcula P para c = 1 y Q, para a = 0, ¿qué valor numérico es mayor? 22. a) b) Sean P = x 3 + 4 x 2 − 3x − 12 x2 −9 23. Si Q = yP= 4x − 2 2x 2 + 7x − 4   a). Halla en la forma más simple posible T =  P + 7 x − 15  1  . 1 − 2x  Q b). Calcula el valor numérico de T para x = - 1,5. 24. Sea F = 5b3 - 24b2 + 25b + 6. a) Comprueba que 16b − 32 5 1 + = F 5b + 1 b − 3 . b) Determina los valores de b que no están en el dominio de definición de la variable en el miembro izquierdo del inciso anterior. 25. Justifica los pasos de la resolución de la siguiente ecuación fraccionaria: 3 2 21 − = 2 x − 4 x + 3 x − x − 12 3( x + 3) − 2( x − 4) 21 = 2 __________________________________ 2 x − x − 12 x − x − 12 _ 3(x+3)–2(x–4)=21________________________________________ 3x+9-2x+8= 21______________________________________________ x = 4 ___________________________________________________ Luego S= φ ___________________________________________________ 26. Indica el dominio de definición y determina en R el conjunto solución de las ecuaciones fraccionarias siguientes: 3(x + 1) 4x + 1 = x −1 x +1 x2 − 2x + 1 2 b) = 2x 2 + 5x − 3 2x − 1 1 1 x + 15 c) − = x − 3 3x 2 6x2 − 18x a) 5 3 27 + = x + 2 x − 7 x2 − 5x − 14 x+7 x+3 4 e) − = 3x − 3 x + 1 3 d) 203
2x 2 − 7x + 3 2x + 1 3−x − = 2 −1 2x 4x 4x2 + 2x x −2 x −3 1 g) + = x − 3 x − 2 6 − 5x + x2 x +1 x −1 h) − =1 3x − 6 2x + 4 f) 27. Determina el conjunto solución de las ecuaciones siguientes: ( c )4 x 4 + a 2 = x 2 + 4a 2 x 2 ( e ) 2v 2 + v )2 = 4(2v 2 + v ) −3 ( d) z 2 +3z )2 −2(z2 +3z) = 8 f )4a 2 − 3a + 5 2 4a − 3a −6 = 0 E , despeja R y calcula su valor cuando r+R 28. Dada la fórmula i = i = 4, ) b )y 3 y 2 − 4 − y 2 + 4 = 0 a )3u4 −11u = 4 E = 60 y r = 8. 29. Dados P(a) = 2a + 3; Q(a) = a2 + 2a Q . a +2 a) Calcula R = P2 - b) Halla los valores de a para que se cumpla que R = 3. R − ( 7 a + 44 ) c) Simplifica: . 3 4a + 12a 2 − 27 a − 70 30. Sea la expresión: E= 8x 3 − 1 4  1 − 2x  .1 − : 3x + 2  4 − 9 x 2 9 x −12 x + 4  2 a) Simplifícala tanto como sea posible. b) Verifica que para ningún valor de x ∈ R , la expresión simplificada de E, se anula. 31. Determine todas las propiedades de las funciones siguientes a partir de la representación de su gráfico con ayuda del Derive u otro asistente matemático : a) y = 3 x 2 b ) y = 2x 2 − 1 c ) y = − 3x 2 + 4 d) y = 3( x − 2 ) e ) y = − ( x + 2) 2 2 f ) y = 3( x − 1) + 4 2 1 g) y = x 2 2 h) y = − 0,3 x 2 m) y = ( x + 1) + 1 j) y = ( x − 1) o) y = x 5 i) y = 2 x 3 3 k ) y = ( x + 2) 3 l) y = ( x − 2 ) − 3 3 3 n) y = − ( x − 3 ) + 2 3 ñ) y = x 4 p ) y = ( x − 1) + 2 4 q) y = ( x + 1) − 1 5 204
32. Determine todas las propiedades de las funciones siguientes a partir de la representación de su gráfico con ayuda del Derive u otro asistente matemático: 2 x 2 b) y = + 3 x 2 c) y = − x 1 d) y = x+ 3 1 e) y = x− 2 1 +1 x− 2 −2 g) y = +3 x+ 5 3x + 5 h) y = x+ 1 x− 2 i) y = x− 1 4x + 3 j) y = x+ 2 a) y = f) y = x x 2 − 36 33. Sean A = 3 y B = 3 . 2 x − 2x + 4x − 3 x + 4 x 2 − 12 x a) Simplifica la expresión A. b) ¿Para qué valores reales se indefinen A y B? c) Analiza el dominio de B . 34. Sea A= 4 x − 4x3 a) Halla el conjunto de valores admisibles de la variable en la expresión 7 . A b) Calcula y simplifica: 35. Sean 2 2 x 3 + x 2 − 5x + 2 + ⋅ A. x x+2 1+ x A(x) = , 2 − 2x B (x) = x 3 −1 , 2 C (x) = 1 . x a) El dominio de la expresión A son las x ∈ ℜ tales que : ___ x= 1 ___ x ≠ 1 ___ x = -1 ___ x ≠ -1 ___ ninguno de estos b) La expresión B es no positiva si: ___ x ≤ 1 ___ x ≤- 1 ____ x ≥ 1 ___ ninguno de los anteriores. c) ¿Para qué valores de x ∈ ℜ A(x) toma valores negativos? d) Calcula y simplifica 3 27 1 2 + C( 3 −2 ) 36. De las siguientes inecuaciones, selecciona el conjunto solución que le corresponde a cada una: x2 x2 x2 x2 a) <0 b) ≤0 c) >0 d) ≥0 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 ____ S = { x ∈ R : x ≠ 1} ____ S = { 0} 205
____ S = { } ____ S = { x ∈ R : x ≠ 0 y x ≠ 1} 37. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x 2 + x − 72 ≤0 x+9 x3 − 4x 2 + 4x b) ≥0 x c) 5x − 25 ≥0 x2 − 3x − 10 8x − x 2 d) 0 < x−2 36x − 180 x 2 − 3x − 10 e)x − 10 ≤ f) ( x − 3) 2 − ( x2 − 8x ) + 3 ≥ 0 x2 − 36 38. Sea la inecuación x 5x 2 − ≤ 0 , cuyo conjunto solución es x + 3 9 − x2 S = (a,b] ∪[c,d). Determina los números reales a, b, c y d. 39. Resuelve: 4x 2 − 9 2 a) 2 x + x − 3 ≤ 4 − x 2x − 3 x3 − 1 40. b) x +1 9 ( x + 3)3 + 1 + ≥ x +2 x −2 x2 − 4 41. Dada la función h, definida en el conjunto R{1} por h( x ) = 1 − 5 −x x −1 ¿Para qué valores reales de x se cumple que h( x ) ≤ 6 ? 42. Sean f(x) = 2x+1 y g(x) = x 2. Determina para qué valores reales de t se verifica que: f (t) − f ( 9t +17,5) ≥0 g( t ) − 4 206
43. Resuelve la inecuación ax2+bx ≤ 0, si a es la menor solución de x+2 2−x 4 + + = 0 y b, es el número natural la ecuación x + 1 1− x x − 1 cuyo cuadrado excede en 39 al décuplo del número. 44. Sean los conjuntos: { } A = x ∈R : x 2 − x − 2 = 0   x −1   x2 − 3   B = x ∈ R : = 2  − 1  2  x −1   x −3    Halla: a)A∪B b)A∩B c)AB d)BA e)D= AB ∩BA 45. Sean las expresiones: A= m3 + 4m2 − 5m m3 + 125 y B= 3 − 3m2 m3 − 4m2 + 20m + 25 a) Prueba , que para todos los valores admisibles de la variable se verifica que A m =− . B 3 b) Halla todos los valores reales negativos de la variable m, para los cuales se cumple que: A 1 2  ≥ m m + 1  − B 3 3  46. Sea la función definida por f ( x ) = x 4 − x3 − 2x 2 x3 + 7 x 2 +16x +12 ¿Para qué valores de x, x ∈ R , la función f no está definida? 47. Sea la función h de ecuación y = 3x 3 + 2 x 2 − 10 x + 8 8 − 125x 3 Determina los valores de x, x ∈ R , para los cuales (x; h(x)) son puntos del cuarto cuadrante. 48. Al dar un corte transversal a un embudo de cristal se obtiene un triángulo equilátero. ¿Cuál es la longitud del diámetro superior del embudo si su capacidad es de 765 cm3 ? 207
49. De una pirámide regular de base cuadrada, se conoce que la arista de la base es la mitad de su altura y el volumen es 2 000 cm3. Calcula el perímetro de su base. 50. Se construye un silo para granos uniendo un hemisferio a la parte superior de un cilindro circular recto. Si el cilindro tiene 5,5 m de altura y el volumen del silo es de 43,2 m 3, encuentra el radio común del cilindro y del hemisferio. 51. De tres resistencias conectadas en paralelo, la segunda es el doble de grande que la primera, y la tercera, el doble de grande que la segunda. ¿Qué valor deben tener las tres resistencias, para que la resistencia total sea de 14 Ω? 52. Dos bombas llenan un recipiente en 35 min. La primera de ellas necesita 24 minutos más que la segunda para llenarlo. ¿Cuántos minutos requiere la primera bomba para llenar ella sola el recipiente? 53. Una nómina de un centro de trabajo se puede elaborar en dos computadoras simultáneamente, en cuatro horas. Una de las computadoras es de un modelo nuevo y la otra, es más antigua. ¿Cuántas horas serán necesarias para que cada computadora termine sola, si el modelo viejo tarda tres horas más que el nuevo? 54. Demuestra que para a>b>0 se cumple: 3 (a – b) b2 < a3–b3 < 3 (a – b) a2 55. Una droga es inyectada en el flujo sanguíneo del brazo derecho de una paciente. La concentración (en mg/mL) de la droga en el flujo sanguíneo del brazo izquierdo t horas después de la inyección, está dada aproximadamente por: C= 0,12t t2 + 2 ¿Cuándo la concentración de la droga en el brazo izquierdo será de 0, 04 mg/mL o mayor? 208
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x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)= x2 9 4 1 0 1 4 9 La función está descrita por la siguiente gráfica: Función de valor absoluto Para las funciones cuadráticas: ...

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