Source: https://es.scribd.com/doc/51618049/geoespacio
Timestamp: 2016-12-03 02:54:20+00:00

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NavegarInteresesBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultNavegar porLibrosAudio librosArticlesPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseEL GEOESPACIO, UN RECURSO PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍALicenciado en Matemáticas y Maestro en Planeación Educativa Manuel Vara Orozco
44 m Comprobación:
.4 Como un ejemplo de lo dicho se presenta para el caso del cálculo de la diagonal entre vértices opuestos del paralelepípedo recto que es la forma que tiene su salón de clase:
El alumno hace los dibujos para reconocer la situación. Hace la comprobación.
d = a 2 +l 2
Con esta fórmula puede calcular la diagonal (d) del piso del salón de clases. el ancho 6 m y la altura 3 m. Observa que se forman triángulos rectángulos. entonces se tiene: d = (6m) 2 + (8m) 2 = 36m 2 + 64m 2 = 100m 2 = 10 m Comprobación : (10 m)2 = (6 m)2 + (8 m)2 100 m2 = 36 m2 + 64 m2 100 m2 = 100 m2 Ahora puede calcular la diagonal (D) con apoyo en el cálculo anterior. Se aplica la fórmula del teorema de Pitágoras en dos ocasiones. D = h 2 + d 2 = (3m) 2 + (10m) 2 = 9m 2 + 100m 2 = 109m 2 ≈ 10. Si el largo del salón mide 8 m. Obtiene el resultado. Identifica la hipotenusa y los catetos.
• Elaborar conjeturas. procedimientos y resultados en forma clara y concisa. Por ejemplo. dibujará primero la diagonal sobre el piso del salón para obtener un triángulo rectángulo y luego trazará una segunda diagonal que quedará en el espacio y formará un segundo triángulo rectángulo. los comentará con el maestro y con sus compañeros. El alumno encontrará semejanzas entre problemas distintos.
.44 m)2 = (3 m)2 + (10 m)2 108. empleando el vocabulario adecuado para que sus compañeros le entiendan.9936 m2 ≈ 109 m2 109 m2 = 109 m2 A partir de aquí puede generalizar y decir que para obtener la diagonal mayor se usa la fórmula siguiente: D= D=
l 2 + a2 + h2
(8m) 2 + (6m) 2 + (3m) 2 = 64m 2 + 36m 2 + 9m 2 = 109m 2 ≈ 10. • Reconocer situaciones análogas. • Comunicar estrategias. de acuerdo a las medidas del salón. En el caso dado. En el ejemplo anterior.5 (10. a partir de indicios y observaciones. podrá ver que su resultado cae en un rango posible. En el ejemplo mencionado. el alumno recordará el cálculo de las dimensiones de un triángulo rectángulo. luego de calcular la diagonal entre vértices opuestos de un cubo. El alumno comentará sus formas o métodos de solución. colocará una notación adecuada y mencionará correctamente la hipotenusa y los catetos. • Escoger o adaptar estrategias de solución. al socializar el conocimiento se dará cuenta de si su razonamiento es correcto. El alumno trazará acciones para resolver un problema. El alumno formará juicios probables sobre relaciones matemáticas entre elementos de un problema. hará el dibujo donde muestre cómo se forman los triángulos rectángulos.9936 m2 = 9 m2 + 100 m2 108. Una de sus conjeturas puede ser la generalización del teorema de Pitágoras al calcular la diagonal entre vértices opuestos. comunicarlas y validarlas. reconocerá una situación análoga en un paralelepípedo.
podrá generalizar que en lugar de aplicar dos veces el teorema de Pitágoras es mejor extraer la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las tres dimensiones. El alumno puede decir algo sobre el resultado sin haber llegado a él. y conocer cuál es el orden de magnitud que deberá tener el valor numérico del resultado. que la diagonal del salón entre vértices opuestos será mayor que el largo. la altura y la diagonal sobre el piso. • Desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo. el ancho. argumentos o motivos. Si se conocen aplicaciones diversas del teorema de Pitágoras ello puede ser un incentivo para hacer la demostración geométrica formal del teorema.6 • Predecir y generalizar resultados. por ejemplo.
. El razonamiento es una secuencia lógica de proposiciones que llevan a demostrar algo y se hace con orden y método. consta de explicaciones.
. entre otros. Practicar procedimientos para realizar operaciones rápidamente. Dados algunos números se pueden descomponer en unidades. lectura de la sección financiera o de economía de los periódicos. obteniendo factores primos. • Practicar los algoritmos de las operaciones. método usual. decenas. El profesor puede empezar por proponer contextos distintos donde se usen números. La aproximación. y ello le servirá para resolver problemas en su vida diaria. lectura de números. Para estimación de errores se manejarán tanto el error absoluto como el error relativo. estimación mental de resultados y el uso inteligente de la calculadora (auxiliarse de ella en la solución de problemas). Puede pedirse a los alumnos que al ir de compras con sus padres vayan calculando mentalmente. Si los alumnos tienen problemas para leer correctamente números.. • Conocer la idea de aproximación a través del cálculo de la raíz cuadrada y la estimación de errores en algunos casos sencillos.. esta práctica continua mejorará su habilidad para llegar a resultados bastante aproximados. Entre muchas otras cosas. lo que se pagará por los productos tomados y al recibir el boleto de pago vean qué tan precisa fue su estimación. Para el cálculo de la raíz cuadrada se manejarán diversos formas: método babilónico. resultados de operaciones. con valor aproximado.
.). La aproximación le dará idea de qué respuesta debe obtener. deberán permitir: • Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas muy variados. Para operaciones laboriosas es mejor comprender los métodos de resolución y emplear la calculadora. los procedimientos de cálculo (y avanzar en su adquisición permanente). es porque no identifican adecuadamente las posiciones de cada dígito (unidades. por aproximaciones sucesivas. ya sea en operaciones de compra-venta. centenas. por lo que deben ejercitarse para desarrollar esta habilidad. el redondeo y el conteo son importantes para que el alumno llegue pronto a resultados correctos. por medio de la estimación y el cálculo mental. centenas.7
CAPÍTULO 2 Propósitos en los Programas de Matemáticas en la Escuela Secundaria
Las actividades que se desarrollen en la escuela secundaria deberán ser variadas y ricas en posibilidades. decenas.
censos). El error relativo se obtiene dividiendo el error absoluto entre el valor conocido. A esto se le llama acotación de error. Para la raíz cuadrada pueden resolverse problemas donde intervengan terrenos de superficie cuadrada y luego se calcule la longitud del lado del terreno. Aquí son útiles los problemas donde interviene el precio de un producto y debe calcularse el de una cierta cantidad de productos iguales. la diferencia entre el valor que resulta de la medición (valor aproximado) y el valor conocido (valor exacto) es el error absoluto.5 cm y al tomar uno al azar de entre la producción se observa que mide 2. usarlos constantemente y encontrar criterios para pasar de unos a otros: la escritura simbólica. que se ofrecen por la radio o la prensa. las tablas. esto es. En cuanto a los errores pueden hacerse ejercicios con producción industrial. • Acotación de errores. Se llama porcentaje de error al error relativo expresado como tanto por ciento. sino una aproximación con un razonable margen de error. es decir. Cuando se mide una cantidad conocida. lo que indica su carácter aproximado. • Iniciarse gradualmente en el razonamiento proporcional y sus aplicaciones.
. las gráficas y su interpretación para utilizarlos en la solución de problemas. En muchas situaciones de cálculo de la vida cotidiana no se exige exactitud. Luego familiarizarse también con otros medios de expresión matemática. o el recorrido que hace un móvil en cierto tiempo y cuánto recorrerá en otro tiempo si la velocidad es constante. Los cálculos realizados con números aproximados producen resultados aproximados.8 • Fuente de errores en los cálculos. los datos se dan en cientos o miles redondeados. En todas las informaciones estadísticas (sobre producción industrial. Veamos a continuación un ejemplo: la longitud de un tornillo debe ser 2. deben establecerse los límites aceptables de ese error. de paréntesis y con otros temas que preparan el acceso al álgebra. tienen un margen de error. puesto que los distintos aparatos de medición contienen cierto error. • Familiarizarse a través de ejemplos con el uso de literales. Lo mismo ocurre en cualquier experimento científico: en cualquier medición también se obtienen números aproximados. a partir de estos datos se calcula el error absoluto. como manufactura de tornillos.52 cm. automóviles. el error relativo y el porcentaje de error.
paralelepípedos y cuerpos formados por su combinación. el método de la balanza y pueden sugerirse problemas de edades de dos personas. resolver problemas que conduzcan al cálculo de perímetros y áreas de figuras usuales y combinadas. intersección de parábolas y/o circunferencias. áreas y volúmenes. prismas o pirámides.9 Los alumnos deben elaborar tablas y gráficas de expresiones algebraicas. • Desarrollar la imaginación espacial a partir de la construcción y manipulación de modelos de sólidos y la representación plana de cubos. cuadráticas (parábolas) e hipérbolas. Los tres puntos siguientes son los más importantes. Lo mismo podrán hacer con diversos poliedros. así como aplicar los productos notables a la factoración o factorización de polinomios de segundo grado. también podrán calcular el perímetro y el área de una cara (o de todo el cubo) o el volumen del geoespacio (cubo). Al emplear el geoespacio. usarán el juego de geometría y se les enseñará el vocabulario geométrico correcto. valor de objetos con ciertas condiciones y teniendo el precio total. de Pitágoras y la trigonometría para resolver diversos problemas de cálculo geométrico. Los alumnos dibujarán figuras sencillas para posteriormente trazar figuras compuestas. aplicando el isométrico. luego de ver que el geoespacio es un cubo. así como la observación de secciones al cortar un sólido por un plano y el cálculo de volúmenes. ya que en él pueden construirse diversos sólidos y simular cortes para obtener secciones. usando el geoespacio. Las gráficas serán de funciones lineales (rectas). Por ejemplo. podrán planteárseles también problemas de cálculo de perímetros. y resolverlas por diversos métodos. El teorema de Pitágoras se aplicará para calcular longitudes de diagonales donde se formen triángulos rectángulos. Usar las fórmulas. dada la intención de este trabajo: • Practicar los trazos geométricos como una forma de acostumbrarse y perfeccionar el uso de los instrumentos de dibujo y medición. El geoespacio ayuda a visualizar y desarrollar la imaginación espacial. así como emplear las fórmulas para ello. • Plantear problemas que conduzcan a ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas. Luego de resolver ejercicios con diversos sólidos. entre otros recursos. empezando con casos sencillos como y = mx + b. los teoremas de semejanza. podrán dibujarlo en su cuaderno. explorar las propiedades de las figuras y apropiarse gradualmente del vocabulario básico de la geometría. el alumno
. Se recomienda usar.
Para estos ejercicios pueden usarse las gráficas y porcentajes presentados en periódicos o en los libros de Geografía.10 llegará a obtener la habilidad para resolver problemas ya sin el uso de este material didáctico. de los cuadriláteros. gráficas y otras formas usuales de organizar y presentar la información. Se harán gráficas de rectas y parábolas o se verá el crecimiento de las poblaciones. ambos de igual base y altura.
. Se harán experimentos con urna de Bernoulli. tablas. • Familiarizarse con la noción de azar y algunas de las situaciones ideales de la probabilidad por medio del registro y la enumeración a priori de los resultados de experimentos aleatorios. Utilizar las reglas de la suma y el producto para hacer cálculos sencillos con probabilidades. las cuales podrá realizarlas luego de solucionar problemas variados usando el geoespacio. Por ejemplo. como la simulación. • Conocer ejemplos de crecimiento geométrico o exponencial y compararlo con el crecimiento aritmético o lineal. con las nociones de censo. población y muestra. en el geoespacio podrá observar las propiedades de los paralelogramos. monedas. encuesta. o la relación de volumen que hay entre un prisma y una pirámide. baraja y dominó. dados. • Iniciarse en el razonamiento deductivo y aplicarlo en situaciones geométricas y en otras situaciones matemáticas. Explorar y aplicar las nociones frecuencial y clásica de la probabilidad por medio de diversas actividades. así como utilizar el diagrama de árbol para enumerar y describir los posibles resultados de una experiencia aleatoria. • Conocer el uso de porcentajes. cantidades absolutas y relativas. Utilizar el razonamiento deductivo para hacer demostraciones geométricas formales.
si al niño se le dan tiras de madera articuladas con tornillos.11
CAPÍTULO 3 La enseñanza de la Geometría en la Escuela Secundaria
Es importante el estudio de la geometría en el nivel básico porque desarrolla la imaginación espacial del alumno y su capacidad para explorar. que permita a los niños tener las bases sobre las que se construirá el primero. Al trazar un triángulo. Si nos basamos en la hipótesis de que el ente geométrico se forma en la mente humana por abstracción. aunque no profunda. Antes de iniciar un curso formal de geometría. a partir de observaciones de objetos reales y de experiencias sobre éstos. accionar y manipular el objeto. el alumno irá descubriendo sus características y dará definiciones. el niño observará el contorno de la figura y no dentro de ella porque no tiene la preparación para dar una interpretación general. para que el joven que deja la escuela a los 14 años tenga una idea completa. es necesario uno de geometría intuitiva. Existe la imposibilidad de desarrollar para alumnos entre 11 y 14 años un curso de geometría formal porque carecen todavía de ciertas estructuras mentales necesarias para la comprensión abstracta. sobre el plano didáctico. El curso de geometría debe dividirse en ciclos. El curso formal de geometría consiste en adquirir el vocabulario y los conceptos propios de la materia. debemos. descubrirá que un cuadrado puede convertirse en rombo. y por su solo esfuerzo llegará a la definición. Debe avanzarse de lo concreto a lo abstracto: observar. y porque lo prepara para razonar y demostrar conjeturas y comprender mejor las ideas relacionadas con el número. El educando no sólo se da cuenta de la necesidad de demostrar una proposición. es decir. Por ejemplo. para seguir un razonamiento lógico se necesitan memoria y lenguaje y el niño todavía tiene incipientes estas facultades. en las técnicas y en diversos campos de la actividad humana. sino que sigue con dificultad razonamientos simples de carácter hipotético-deductivo. pero necesitará desarrollar un cierto grado de abstracción. A partir de la observación de figuras geométricas elementales. en las ciencias. hacer preceder al curso racional un curso de carácter experimental donde los axiomas encuentren sus raíces naturales. El material que se use con los adolescentes debe ser manejable y tal que se puedan hacer construcciones con él: será de carácter operativo. porque le proporciona un conocimiento útil en la vida cotidiana. El material
. la medición y otras partes de las Matemáticas. representar y describir su entorno. se justificarán. del mundo de las propiedades y relaciones de las figuras geométricas.
. La enseñanza matemática debe estar ligada con el concepto de futuro y los cambios sociales se dan a velocidad vertiginosa. identificar y relacionar figuras según criterios diversos. relacionar. aplicar conocimientos geométricos para modelar.Objetivos de procedimientos (6 – 12 años).Localizar figuras planas en los entornos reales. etc. Para enseñar geometría hay que fijar objetivos mínimos en función de los cuales se programarán las actividades Los conceptos geométricos aparecerán y reaparecerán.. . describir y contar los elementos de una figura plana.Enumerar. y sólo así podrán consolidarse los conceptos. crear o resolver problemas reales. Algoritmos de cálculo de áreas. . Los objetivos que se persiguen en la enseñanza de la geometría son de tres tipos: conceptuales. Bueno será plantearse objetivos que vayan de acuerdo a los ciclos 6-12 años y 12-16 años. y relacionar las magnitudes de longitud y área.Objetivos conceptuales (6 – 12 años). . puesto que seguramente será obsoleto en unos cuantos años. En la enseñanza de la geometría será deseable aquello que sea útil con rango futurible y pueda motivarse desde la actualidad: razonar correctamente (deductiva e inductivamente). .Distinguir figuras y encontrar relaciones geométricas entre ellas que posibiliten clasificaciones sencillas (igual longitud o área. representar.Medir ángulos de polígonos. deberán traducirse en diversos lenguajes.).Comparar. abstraer.Comparar y ordenar según longitudes y áreas.Poseer nociones y métodos de medida. . 2. .. de procedimientos y de actitudes.Clasificar los triángulos y los cuadriláteros. el tema de escala puede enseñarse para hacer vestidos o mapas. pero existen objetivos generales que toda persona debiera alcanzar luego de su formación básica: tener una cultura geométrica con visión histórica e interdisciplinar. No debe enseñarse lo inútil: lo extraordinariamente inútil es aquello no adecuado ni al nivel ni a la capacidad del que aprende. pero no tendría sentido enseñar un juego gráfico de cambio de escala en la computadora.Conocer las transformaciones elementales del plano y sus propiedades más simples. . debe enlazar conceptos y motivaciones actuales. Por ejemplo. las construcciones con regla y compás son inútiles a una edad en que no pueden manejarse manualmente. . tener representaciones plurales. . usar los diferentes lenguajes y representaciones..Generar figuras a partir de otras y diseccionar figuras.12 debe ser artificial y transformable por continuidad para lograr ir de lo concreto a lo abstracto. clasificar y resolver. pero sin someterse a una moda. . . Cuando el profesor enseña. por ejemplo. 1.
signos. elementos y relaciones geométricas. fórmulas. preguntar hasta obtener 1a información suficiente y organizarla para ser utilizada. perpendicularidad. que es el gran objetivo de la geometría.Distinguir figuras lineales.Reconocer y explicar figuras congruentes.).. .Reconocer magnitudes y conocer unidades en el caso de longitudes. . . . .).Objetivos de actitudes (6 – 12 años). planas y espaciales. .Conocer los términos que designan figuras. . .Mostrar inclinación por interrogarse y buscar respuestas a las cuestiones planteadas. escuadra.Reconocer la elaboración de modelos facilita el estudio de la realidad. . pero en absoluto se niega la vivencia del espacio tridimensional. entre dichos elementos mediante el lenguaje adecuado.Definir conceptos y enunciar propiedades geométricas. planas y espaciales. . Aplicar las nociones y métodos de medida de longitud y área al resolver problemas reales y al deducir algoritmos de cálculo (fórmulas).Describir situaciones reales. Se trata de una estrategia para llegar a él. compás.. y toda actividad de construcción de modelos espaciales (que incluyan figuras planas conocidas) o de ver movimientos reales es absolutamente enriquecedora. superficies y volúmenes.13 Emplear transformaciones geométricas planas para generar y clasificar figuras.
3. Elaborar planos y representaciones sencillas. etc. Pitágoras. incidencia. . simetría.
. tanto planas como espaciales. . describiendo sus elementos y hallando las relaciones de igualdad.Utilizar correctamente los instrumentos geométricos para representar figuras planas y resolver problemas.. figuras o gráficas). símbolos.. ... sabiendo métodos directos e indirectos para medir..Valorar el esfuerzo y la planificación para descubrir y conocer. 4.Inquirir. fenómenos y experiencias con diferentes lenguajes geométricos (palabras. sabiendo deducir o inducir algunas fundamentales. Construir modelos de figuras lineales.Objetivos de conceptos (12 – l6 años). Un comentario puede ser oportuno: nótese que se enfatiza en esta propuesta el estudio de la geometría plana y de la medida en longitud y área. Iniciarse en la utilización correcta de instrumentos de dibujo para representar figuras planas (regla. semejantes o equivalentes según un criterio dado (en área o volumen). expresiones. ángulos. .Enunciar y explicar las relaciones métricas del triángulo y las propiedades sobre las que éstas se basan (Thales.
. . .Estudiar figuras geométricas. Valorar positivamente las actividades destinadas a resolver cuestiones o descubrir hechos.) sabiendo realizar los cambios de lenguaje. . generar y analizar figuras.
El alumno aprendió algunos elementos de geometría en la primaria o la desarrolló espontáneamente. superficies y volúmenes. .. los alumnos
. gráfica y analíticamente con especial énfasis en los triángulos. .14 Conocer y situar en el tiempo aspectos relevantes de la historia de la geometría y su relación con el progreso de la humanidad. . escogiendo la unidad adecuada e indicando el grado de precisión obtenido.Construir modelos de figuras lineales. . . .. Aquí.). por método analítico y por método gráfico. La enseñanza debe retomar este conocimiento y hacerlo evolucionar gradualmente hacia temas más avanzados.Usar los métodos inductivos y deductivos.Relacionar la geometría con las otras disciplinas.Hacer representaciones planas del espacio. 6.. construir. etcétera. etc. planas y espaciales..Objetivos de procedimientos (12 – 16 años). . .Interpretar representaciones y deducir datos de las mismas (planos.Resolver problemas por tanteo. Valorar positivamente el uso correcto de vocabulario estudiado. dibujar.Realizar observaciones sistemáticas.Aplicar la proporcionalidad directa o inversa a la resolución de problemas geométricos. en orden a conseguir claridad y concisión. lo que incluye planificar.
5.Objetivos de actitudes (12 – 16 años). . .Medir por métodos directos e indirectos longitudes.Clasificar y ordenar figuras planas y espaciales. formulando hipótesis y comprobarlas experimentalmente o razonarlas.. mapas. . tipos distintos de papel. ángulos. esquematizarlas y expresarlas en diferentes lenguajes (símbolo. clasificarlas.Usar las transformaciones geométricas (isometrías y semejanzas) para clasificar.. . diseñar experiencias. realizando la comprobación de las soluciones obtenidas y la discusión de las mismas.Usar y calcular funciones trigonométricas. Mostrar disposición a interrogarse en cualquier situación. fórmula. buscar medios adecuados. palabra. figura. Abordar las situaciones problemáticas haciendo uso de todas las técnicas a su alcance: medir. Reconocer la necesidad de utilizar instrumentos de medida y dibujo. Criticar la información que se recibe procurando contrastarla con los métodos o información que se posea.Hacer construcciones gráficas planas con instrumentos de dibujo.. .
15 deben conocer y usar con propiedad el lenguaje de la geometría. que pretende permita entender la geometría de una manera más accesible. La solución de problemas de geometría debe desarrollar en el estudiante la capacidad para producir conjeturas. como la Física. áreas y volúmenes.
. la Química. Con este modelo podrá el estudiante jugar e incluso crear situaciones propias. Los propósitos principales de la enseñanza de la geometría en la escuela secundaria son: • Dar a los alumnos experiencias geométricas que les sirvan para entender. Le presentan al estudiante las situaciones espaciales dibujadas en un plano y no es fácil apreciar el espacio en un plano. por ello. describir y representar su entorno y el mundo que habitan. Es difícil lograr un aprendizaje significativo de la geometría porque se obliga al alumno a memorizar y ello no nos lo pide el programa de secundaria. teoremas y demostraciones para que ellos las memoricen. • Iniciarlos gradualmente al razonamiento deductivo a través de la demostración. y se les deben dar ejemplos muy variados de aplicaciones concretas. No se conseguirá que los alumnos lleguen a la geometría formal dándoles definiciones. la Historia. comunicarlas y validarlas. se sugiere en este trabajo el uso de un modelo físico espacial. sólidos y fórmulas para calcular sus perímetros. Proporcionarles conocimientos que les sirvan para resolver problemas cotidianos y para adquirir conocimientos de otras materias. sino que deben poder explorar e investigar sus propiedades geométricas a través de su uso en numerosas oportunidades para resolver problemas con una realidad. entre otras. No es suficiente que se aprendan figuras.
Las aplicaciones muestran la utilidad de los conocimientos en la vida cotidiana. como se restó 6 veces el 3. por falta de una planeación adecuada. orientada a proponer conjeturas y posibles soluciones. desde la exploración hasta la apropiación del conocimiento. El objetivo de las actividades didácticas planificadas es ayudar al alumno a apropiarse de los conocimientos básicos y a que adquiera seguridad y destreza en la aplicación de algunas técnicas y procedimientos. se plantearán preguntas a partir de casos particulares para llegar a generalizaciones. se puede proponer al alumno que 3 reste repetidas veces 3 a 18 hasta llegar a cero: 18 – 3 = 15. Por ejemplo. podrá resolver sumando 5 veces el 8: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40. 3 – 3 = 0. 6 – 3 = 3. Para resolver un problema se necesita tiempo y debe contemplarse que éste alcance para que se desarrolle totalmente el trabajo. según sean acertadas o incorrectas. y con ello se dará cuenta que la multiplicación es una suma abreviada. deben provocar inmediatamente una actitud de búsqueda.
Si se quiere dividir Deberá. en todo momento.
CAPÍTULO 4 Características de las actividades para la enseñanza de la Geometría
Situaciones didácticas y recomendaciones. comunicar y justificar sus afirmaciones. deben contener elementos que permitan a los alumnos validar o rechazar sus propias conjeturas y soluciones. para desarrollar la capacidad de trabajo personal del alumno y de sus aptitudes para investigar. deben ser interesantes y que se puedan resolver con conocimientos previos. si el alumno quiere hacer la multiplicación de 5 × 8 y no le sirve la tecla x. considerarse el ritmo de trabajo propio de los alumnos y se les animará a crear sus propios problemas. si se recorta el tiempo asignado a una actividad planificada no se lograrán los propósitos que se hayan establecido. Los problemas propuestos deben lograr que su resolución enriquezca lo aprendido y que se comprendan y asimilen nuevos conocimientos. debe seguirse la actividad del alumno al resolver un problema para verificar que aplica sus conocimientos previos y que sus conjeturas van de acuerdo al propósito inicial de la actividad. 15 – 3 = 12. Los problemas de exploración y búsqueda son necesarios para formar conceptos. entonces el resultado de la división es 6 y el alumno concluye que la división es una resta abreviada. 12 – 3 = 9.
18 y no funciona la tecla ÷ . en las matemáticas y en otras disciplinas. 9 – 3 = 6. La conjetura y el razonamiento.
no se deben remarcar los errores del alumno. al dar ejemplos y contraejemplos reflexionarán más sobre los conocimientos y los procedimientos aplicados. incluyendo el cálculo y la estimación mental de resultados. a través de un análisis. comunicarlas y discutirlas. los trazos y las construcciones geométricas. Debe ponerse atención a los equipos para que todos trabajen. Es bueno diseñar actividades que se relacionen con otras materias para que el alumno observe la aplicación de las matemáticas en diversos campos. Otras actividades que se deben desarrollar en la clase son las siguientes: Procedimientos de cálculo.
. la iniciación gradual al razonamiento deductivo. primero usando sólo el compás y la regla sin graduar. los alumnos pueden organizarse por equipos para discutir y comparar sus soluciones. sino aprovecharlos. y luego todo el juego de geometría.17
Para ello. para una mejor comprensión de los temas. el uso de diferentes medios de expresión matemática para solucionar problemas: lenguaje simbólico. el uso de la calculadora como un auxiliar para solucionar problemas. tablas y representaciones gráficas. Al alumno se le debe dar la oportunidad de expresar sus ideas.
3) Propicien una mayor actividad en los alumnos. un material que dimensiona el estudio experimental y dinámico del espacio: es el geoplano. Materiales audiovisuales.
. puede someterse el plano (materializado en el geoplano) a un movimiento global. que facilitan el aprendizaje a través de estímulos al sentido de la vista y que pueden ser proyectados. Con ligas de colores se realizan las figuras. La efectividad en el uso de los recursos didácticos depende de que: 1) Se seleccionen de manera tal que ayuden en la enseñanza. en cuyos vértices se clavan puntas-alfileres de cabeza pequeña. Dentro de la variedad de materiales didácticos para la enseñanza de la geometría. Materiales visuales. como las representaciones. Pueden clasificarse en tres grandes grupos: ! ! ! Materiales audibles. El doctor egipcio Caleb Gattegno preparó en 1921. como las películas. por ejemplo) como en el cine. las marionetas y las excursiones. En el geoplano se construyen figuras vivas. adecuado y versátil es el geoespacio. porque para el aprendizaje matemático hacen falta “bases reales”. que pudiese considerarse dentro de las maquetas. 75 cm x 75 cm para el maestro). Realizada la figura. que estimulan específicamente el sentido del oído. en la que se hace una red de cuadrados. o no proyectados. como transparencias y fotos fijas. los sonoramas y los programas de la televisión. Emma Castelnuovo ha dicho que “es mejor construir que describir”. Se trata de una tabla cuadrada o rectangular. se transforman o se anulan. El inconveniente es que no materializa los “barridos” (de ángulos. como pizarrón. El geoespacio es un material visual y manipulable. de tamaño variable (25 cm x 25 cm para niños.18
CAPÍTULO 5 El geoespacio como recurso didáctico
Los recursos didácticos son todos aquellos medios que se utilizan para proporcionar al alumno las experiencias sensoriales en una introducción natural y segura del conocimiento. o no proyectados. como las grabaciones y el radio. pueden ser proyectados. carteles y maquetas. uno que tiene las características de ser simple. que estimulan simultáneamente los sentidos de la vista y del oído. 2) Sean materiales claros y objetivos que se acerquen a la realidad.
Se propone como el modelo más conveniente para trabajar con los alumnos el geoespacio de siete argollas en cada arista. que a continuación se detallan:
Descripción. cuyos lados han sido hechos con red metálica para poder estudiar cortes o secciones. 2. lo que puso el técnico. donde podrán colocarse ligas de colores para formar sólidos y presentar diversas situaciones didácticas. Consta de tres paredes de tela metálica fina formando un triedro. El geoespacio tiene algunas reglas: 1. particularmente las poliédricas. y con una medida de 24 centímetros por arista. Emma Castelnuovo. El geoespacio es una estructura cúbica que lleva un sistema de argollas dispuestas en las aristas. Aquí se presenta con algunas adecuaciones. auxiliándose del rayo de luz de un proyector. así.
.19 Pescarini y Puig Adam presentaron en 1935 una modificación del geoplano para hacer posible el estudio del espacio de tres dimensiones. todos los productos industriales tienen una índole matemática. la distancia entre una argolla y otra será de cuatro centímetros. “la formación matemática realiza una tarea inversa a la técnica”. Como ha dicho Puig Adam. menciona en su libro "Didáctica de la Matemática" (Florencia. El geoespacio es ortogonal: las aristas son perpendiculares a los planos que forman el geoespacio. Pudiéramos hacer la consideración de que el geoespacio está formado por seis geoplanos (un geoplano en cada cara del geoespacio). Las unidades lineales se miden de argolla a argolla. lo han llamado geoespacio y sus posibilidades son sensiblemente menores. están impregnados de matemática. El estudio del espacio tiene numerosas ayudas en los productos de la técnica. Italia) el uso de una jaulilla de forma cúbica. recordando a Puig Adam. la formación matemática debe procurar que los niños sean capaces de hallar en las cosas “lo matemático”. Con trozos de alambre se materializan las figuras del espacio.
El geoespacio ayuda a enseñar algunos contenidos de geometría y lleva al alumno a la curiosidad de explorar.20 3. puede manipular. Para iniciar la actividad. dirigido adecuadamente por el profesor. la razona y responde ciertas preguntas que lo lleven a lograr el objetivo de la lección. bien sea en el plano o en el espacio. ya sea individual. intercambiará puntos de vista con sus compañeros y con el profesor. por equipos o grupalmente. el alumno arma el geoespacio. 4. para ello. dibuja la situación que armó. observar y experimentar.
. 5. Cuando en un análisis concreto se tienen rectas oblicuas se aplica el teorema de Pitágoras para determinar su medida. coloca ligas en él para formar la figura que se le indica.
educadores y matemáticos. Bruner defendió la relación entre psicólogos. Jeroneme Bruner combinó los objetivos de la psicología experimental con los del estudio del trabajo en el aula. El producto final de tal sistema de codificación y procesamiento es lo que podemos llamar representación. De allí. así que estudió a niños individualmente.20
CAPÍTULO 6 Características del cuaderno de actividades con el geoespacio
a) Postura psicopedagógica sobre el aprendizaje Para que los estudiantes más jóvenes comprendan las estructuras matemáticas. en un formato que pueda usarse. Estudió las estrategias que usan los adultos para ordenar y clasificar. sino la recuperación de lo relevante. Bruner. Dicho de otra forma. debemos tener una teoría del funcionamiento intelectual para evaluar la posibilidad de que las presentaciones pedagógicas específicas lleguen a formar la comprensión adecuada.
. mostró interés por los procesos cognoscitivos humanos: “los medios por los que los organismos consiguen. Bruner decía que lo importante de la memoria no es el almacenamiento de la experiencia pasada. y cómo se interrelacionan con las capacidades de los niños los actos de enseñanza que presentan dichas estructuras. retienen y transforman la información” . para que sea relevante y aprovechable en el presente cuando se necesite. Esto depende de cómo se codifica y se procesa la experiencia anterior. al igual que otros educadores. buscaba desarrollar procedimientos elegantes para la enseñanza de las matemáticas e intentaba demostrar la capacidad de los niños para comprender conceptos matemáticos sofisticados. Bruner puso atención a los procesos cognoscitivos de los niños y se interesó en cómo ellos representan mentalmente los conceptos e ideas que van aprendiendo. también se deben determinar qué capacidades cognoscitivas aportan los niños al aprendizaje de las matemáticas. y se enfocó muy en especial al desarrollo conceptual. y sus experimentos se refirieron sobre todo al aprendizaje de las matemáticas. Bruner desarrolló un programa extenso de estudios de laboratorio sobre los procesos cognoscitivos propios del pensamiento y del aprendizaje. Estos estudios se vieron opacados por la influencia de la psicología conductista durante varias décadas. en condiciones experimentales de enseñanza. hay que hacer algo más que señalar dichas estructuras.
de esta forma irá desarrollando sus estructuras mentales. El desarrollo de estas tres etapas llevará al alumno a la aplicación del proceso enseñanza-aprendizaje en su vida diaria. que ubican naturalmente al joven en el terreno del aprendizaje multisensorial. llegando así a la abstracción del conocimiento. Las imágenes mentales no incluyen todos los detalles sucedidos. Se cree que este modo es el único por el cual los niños pequeños pueden recordar las cosas (Piaget llama a esta etapa la sensoriomotriz). y finalmente. El alumno debe tener un primer acercamiento a los objetos de estudio por medio de la manipulación y la percepción. un símbolo representa una cosa. cada modo depende del anterior y exige
. siguiendo cada paso para representar en el papel lo percibido con la manipulación. La etapa enactiva es un modo de representar situaciones pasadas mediante una respuesta motriz adecuada. Los tres modos de representación se relacionan evolutivamente. pero no tiene por qué parecerse a ella. El modo icónico es el paso de lo concreto y lo físico para entrar en el campo de las imágenes mentales. Se desarrollan en ese orden. aquí. con lo que pasa de lo concreto y lo físico al terreno de las imágenes mentales.21
Hay diferentes formas de representación y Bruner describe tres formas de representación: enactiva o concreta. simbolizará el objeto manejado en las etapas anteriores para lograr la abstracción del conocimiento. tanto escolar como extraescolar. esta primera aproximación incluye las facultades de la vista y el tacto. y dibujará algo de lo percibido en la manipulación. El niño puede dibujar o trazar los materiales con los que se trabajó en la primera etapa. a partir de la acción con objetos fisicos. sino que abrevian los sucesos representando sólo sus características importantes. Aquí también se necesitan las facultades de la vista y el tacto para ubicar al estudiante en el terreno del aprendizaje multisensorial. Uno de los recursos didácticos a usar para que el alumno incorpore nuevos conocimientos es el geoespacio porque trabajará con un modelo concreto. El alumno simbolizará los objetos que manipuló y dibujó en las etapas anteriores. La representación simbólica se da por la aparición de la competencia lingüística. Los símbolos los inventan las personas para referirse a objetos y se comparten porque se ponen de acuerdo en ello. según Bruner. un niño cuenta cubos tal como lo aprendió dando un golpecito a cada uno. al cual puede ver y tocar (aprendizaje multisensorial). icónica o gráfica y simbólica o abstracta. Por ejemplo. Los materiales deben ser de fácil manipulación para que construya sus propios conocimientos. el niño “se imagina” una operación o manipulación para recordar el acto y para recrearlo mentalmente cuando sea preciso. luego podrá imaginarlo para hacer operaciones o manipulaciones.
también resolverá un cuestionario breve al final de cada lección. el alumno manipulará un objeto. Para evaluar el profesor al alumno. Para enseñar se deben presentar conceptos que respondan a los modos hipotéticos de representación. En la segunda etapa dibujará lo que manipuló y tendrá una representación gráfica. Estos materiales se pueden recordar de forma icónica. En la primera etapa. Esta formulación de Bruner equivale a una teoría de las etapas de desarrollo del intelecto. En la tercera etapa llegará a la abstracción al simbolizar el geoespacio. Esta vaga percepción le impele a un esfuerzo constructivo o creador para conformar la intuición por medio del razonamiento lógico. y los códigos de color del valor posicional de las cifras enriquecen las imágenes mentales. que es el geoespacio. Además de hacer los dibujos y contestar las preguntas relacionadas. las regletas de Cuisenaire o los geoplanos de Gattegno. hay formas de presentar los conceptos complicados de tal manera que los niños de cualquier edad los puedan entender en un nivel adecuado a sus capacidades intelectuales y a su experiencia. de modo que sus conceptos están claramente definidos y formulados antes de usarlos. En el primero. lo observará a lo largo de las clases y verá su trabajo. En el segundo. tanto individual como por equipo. Se pueden combinar los procesos psicológicos y matemáticos en la enseñanza basada en la estructura. El geoespacio es un material didáctico. así como los bloques aritméticos multibase (BAM) de Dienes.
. así como sus conocimientos matemáticos y geométricos aplicados en las diferentes actividades. Para Bruner. el individuo utiliza el pensamiento lógico todo lo posible. el sujeto adquiere una percepción intuitiva (es decir. bastoncitos. Hay distinciones entre pensamiento analítico y pensamiento constructivo. una percepción no basada en el razonamiento) de algo que no está totalmente entendido.22
mucha práctica en el mismo para pasar al siguiente. las propiedades y las fórmulas. cuentas) permite la representación enactiva de los conceptos numéricos. La manipulación de objetos (cubos. La forma en que los seres representan mentalmente las cosas se pueden traducir a formas de representar los conceptos en el aula.
El geoespacio le permite al alumno razonar sobre las actividades que resuelve porque visualiza lo que de otra forma no haría. meditar y reflexionar sobre cómo llegar a la solución. se pide a los alumnos que coloquen ligas en las argollas del geoespacio para armar cierta figura. Resolver problemas permite aplicar conocimientos previos y entenderlos mejor. La resolución de problemas es un medio integrador del conocimiento porque: Construye conceptos. reglas. se hacen preguntas sobre la actividad y se presenta información sobre el tema en un recuadro sombreado. además de observar su trabajo a lo largo de la clase. otras serán de iniciación en ciertos temas y algunas más servirán para reafirmar los conocimientos adquiridos. fórmulas. ya que el alumno verá físicamente el modelo espacial (ver figuras que aparecen más adelante).23
b) Enfoque metodológico del cuaderno de actividades con el geoespacio Las características del conjunto de ejercicios son las siguientes: Se dan en un recuadro el nombre o titulo del tema y el objetivo que se persigue. Para resolver un problema se debe razonar. Desarrolla habilidades matemáticas. Resolver un problema permite aplicar conocimientos y adquirir rapidez o habilidad. ángulos entre paralelas cortadas por una transversal en el segundo grado y el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones en el tercer grado. conceptos y resolución de problemas.
. luego de que se armó. por ejemplo. Se discutirán situaciones geométricas. finalmente se tiene un breve cuestionario para evaluar al estudiante. El geoespacio ayudará a entender. Para evaluar al alumno. Desarrolla la creatividad. los diferentes tipos de triángulos en el primer grado. se le pedirá que verifique sus respuestas con la información dada. Resolviendo actividades con el geoespacio se desarrolla la imaginación espacial. Para enseñar y aprender Matemáticas se consideran hechos. que platique sus experiencias con este material y se les preguntará sobre los conceptos teóricos aplicados en las actividades con el geoespacio. El aprendizaje necesita ser de mantenimiento e innovativo. pero también aritméticas y algebraicas. algoritmos. Desarrolla un espíritu crítico y reflexivo. se presenta el dibujo de un geoespacio para que en él se trace la situación dada. Algunas actividades tendrán la intención de saber qué conocimientos previos tienen los estudiantes. El alumno puede crear nuevos problemas a partir de alguno que resuelve.
39230485 u
d Esto puede permitir intuir la generalización para obtener la diagonal entre vértices opuestos consistente en obtener la raíz cuadrada de la suma de los
. entonces d = (6u ) 2 + (6u ) 2 = 36u 2 + 36u 2 = 72u 2 ≈ 8.24
Por ejemplo. para calcular la medida de la diagonal entre vértices opuestos de un cubo:
d l Se analiza primero la base para obtener la diagonal d:
Si l = 6 u. para obtener D: D = (6u ) 2 + (8.485u ) = 36u 2 + 72u 2 = 108u 2 ≈ 10.485281374 u Ahora.
así como tiene miedo a lo desconocido. Entre las destrezas que desarrollará el joven estará la rapidez para aplicar métodos de resolución de problemas matemáticos. y cada vez se le dificultará menos. Para la adquisición de destrezas se promoverá el uso de instrumentos de dibujo. Al entender conceptos. que se propician con la resolución de problemas: El cálculo mental. Al visualizar las situaciones. como son la adición. Los alumnos pueden detestar las Matemáticas si no existen personas que se las muestren de forma agradable. el aprendizaje será divertido y el estudiante adquirirá la disciplina para estudiar. Ayuda a la adquisición de destrezas. Favorece los procesos de comunicación de ideas. ancho y altura. A continuación se mencionan algunas habilidades matemáticas. Al tener un modelo físico. Apoya el descubrimiento de relaciones y procedimientos. Al tener frente a si un problema se piensa sobre la forma o formas en que éste se puede resolver. la sustracción. al alumno se le facilitará llegar a las demostraciones geométricas formales. se pide al estudiante
. hace una actividad que le gusta. al jugar el alumno con un material didáctico. Teniendo un modelo físico. la multiplicación y la división. A través del cálculo mental se darán resultados de operaciones aritméticas.25
cuadrados de largo.3923 u
Promueve el uso de estrategias. si las entienden les gustarán y su actitud será de aceptación. Influye en la formación de valores y de actitudes positivas hacia las Matemáticas. Teniendo enfrente un problema se pensará en los datos y qué método puede ser útil para su resolución. D= (6u ) 2 + (6u ) 2 + (6u ) 2 = 36u 2 + 36u 2 + 36u 2 = 108u 2 ≈ 10. el alumno puede explicarlos de manera clara. el estudiante pensará en diversas formas para resolver los problemas presentados. Da seguridad y confianza en sí mismo. el alumno entenderá los conceptos y podrá aplicarlos para resolver problemas. Promueve el desarrollo gradual del razonamiento. Pensando en la forma de resolver un problema se logrará resolver otros. Esto es correcto porque. Cuando el alumno conoce algo se siente seguro. sin necesidad de usar lápiz y papel o calculadora. de medida y de cálculo.
ordenar elementos por sus características
La generalización. de triángulos. si no encuentra solución por un camino. Permite abstraer algo que es común a varias cosas para formar un concepto general que las comprenda a todas. Permita descubrir o generar nuevos conocimientos. de cuadriláteros. Se desarrolla a partir de la construcción y la manipulación de modelos de sólidos y la representación plana de sólidos. como las de ángulos.
Algunas de las estrategias a usar pueden ser:
. o colocará en diversas posiciones su geoespacio para visualizar mejor la situación problemática. Estas habilidades se promoverán con este material al pedir al alumno que haga cálculos o estimaciones mentales para que tenga idea de en qué rango se ubicará su respuesta. La estimación. Una vez resuelto un problema puede tomarse el camino inverso para comprenderlo y verificar que la respuesta es correcta. de paralelogramos o sólidos.26
resolver operaciones sencillas mentalmente y poco a poco se le van proponiendo operaciones con números mayores o más complicadas. realizará generalizaciones resolviendo problemas. La clasificación. Algunas características que hacen que un enunciado sea un problema. Permite diferenciadoras conocidas. La reversibilidad de pensamiento. La flexibilidad de pensamiento. La imaginación espacial. las cuales quizá se le dificulten al verlas en un dibujo porque éste se encuentra sólo en dos dimensiones. es que presente una situación que: • • • • • • Sea un reto. Su solución no sea inmediata. Usando los algoritmos se hacen cálculos aproximados de operaciones. buscará por otros. Permita el desarrollo de habilidades matemáticas. podrá descomponer o reunir superficies o sólidos para recorrer posibles soluciones en ambos sentidos. verá situaciones espaciales en un modelo físico. Permita usar diversas estrategias de resolución. Ponga en juego las experiencias previas del estudiante. como la del teorema de Pitágoras al aplicarlo al espacio. realizará algunas clasificaciones. Esto permite enfocar de diversas formas un problema para encontrar su solución.
Ensayo y error. Elaborar listas. Modelar el problema. Formular y probar hipótesis.
Se pretende que entre alumnos y maestro experimenten cada una de ellas y otras posibles. Recurrir a dibujos. Experimentar con la calculadora. Representar la información por medio de diagramas y gráficas.
. Establecer analogías. Ir de atrás hacia delante. Reconocimiento de un patrón. Uso de tablas.
Douady se basa en tres puntos: la dialéctica herramienta-objeto. Supóngase que se tiene el siguiente problema: Se trata de los rectángulos de perímetro P fijado en 34 cm ó 36 cm. • De acuerdo a sus conocimientos.. uno de área de 72 cm2. hay un rectángulo de área igual a 70 cm2. y el alumno debe ser capaz de usar sus conocimientos para resolver situaciones. se expondrán algunas ideas de Douady (1984) sobre los juegos de marcos y dialéctica herramienta-objeto. Se ordenan los rectángulos según el área de la menor a la mayor. Una misma herramienta se puede adaptar a diversos problemas o varias herramientas a un solo problema. • Los conocimientos buscados por el aprendizaje (contenido o método) son herramientas adaptadas al problema. • El problema puede formularse al menos en dos marcos diferentes (pudiera ser el algebraico. En el aprendizaje. el geométrico. los alumnos pueden iniciar un procedimiento de solución. Calcular el área de varios entre ellos. ¿Puede el área adquirir valores tan grandes como se quiera o bien hay un valor que es el mayor posible? Para P = 34 cm.27
c) Descripción de la secuencia didáctica Para explicar la secuencia didáctica. consideramos los trabajos “desequilibrios-reequilibrios”. pero no pueden resolver completamente el problema. ¿hay de área comprendida entre 70 cm2 y 72 cm2? P = 2(a + l) = 2(6 cm + 11 cm) = 2(17 cm) P = 34 cm
a = 6 cm l = 11 cm a = 7 cm
P = 2(7 cm + 10 cm) = 2(17 cm) = 34 cm A = al = (7 cm)(10 cm) = 70 cm2
. los cuales se engranan a partir de problemas que responden a varias condiciones. el aritmético.. la dialéctica antigua-nueva y los juegos de marcos.. Para organizar la enseñanza. En los problemas se tiene: • El enunciado (contexto y preguntas) tiene sentido para los alumnos.).
El objetivo del aprendizaje es la extensión de la multiplicación a los números fraccionarios:
. saben calcular el área de rectángulos que tienen dimensiones enteras.28
P = 2(8 cm + 9 cm) = 2(17 cm) = 34 cm A = al = (8 cm)(9 cm) = 72 cm2
l = 9 cm Es interesante el problema porque se maneja el parámetro P y los alumnos ya conocen los enteros (operaciones y orden) y las fracciones. pero no conociendo ni los decimales ni la multiplicación de dos fracciones. tienen una concepción geométrica del área en el caso en que las dimensiones no sean enteras.
El área buscada es intermedia. pero hay que modificar la práctica. 9 cm? 2⎠ ⎝ ¿Cómo comparar esas dos áreas?: ¿geométricamente? ¿por el cálculo? Se necesitaría determinar el área del cuadrado ¿cómo hacerlo? Esas nuevas preguntas llevan a los alumnos a tratar de adaptar nuevos medios. Los progresos eficaces provienen de un cambio de marcos y ello permite poner en acción nuevas herramientas por la extensión del campo de intervención o por su misma naturaleza. una de 81 cm2. la dialéctica herramienta-objeto es el proceso siguiente. y para cada uno de ellos calcular el área y luego ordenar los resultados. los alumnos a quienes se dirige el problema. b) Nueva búsqueda implícita Los alumnos encuentran dificultades para resolver completamente el problema si la estrategia primitiva se vuelve muy costosa (muchas operaciones. al tomar la medida ⎜ 8 + ⎟ cm. Pero la investigación puede también avanzar bajo la sola responsabilidad de los alumnos. 9 cm es el de área más grande. con varias fases que cubren funciones diferentes. A un lado de 8 cm corresponde un área de 64 cm2 y a un lado de 9 cm. pueden mostrar rectángulos aceptables cuyas dimensiones son enteras. Limitándose a los rectángulos de dimensiones enteras. ¿Tendría 1⎞ ⎛ el cuadrado de lado ⎜ 8 + ⎟ cm un área mayor que el rectángulo 8 cm. Los cambios de puntos de vista y los juegos de marcos son medios a disposición del enseñante para hacer avanzar la etapa de búsqueda en forma fructuosa. mucho tiempo. a) Antigua Los conceptos se usan como herramientas para resolver al menos parcialmente el problema.
. llamando a y b a las medidas de los lados.29
CAPÍTULO 7 Dialéctica herramienta-objeto
Dado un problema. En esta etapa de se habla de lo "nuevo implícito". Pero para P = 36 cm se encuentra que es el cuadrado de 9 cm de lado. 1⎞ ⎛ Por ejemplo. Así. numéricamente es menor que 2⎠ ⎝ 9 cm. para P = 34 cm sucede que el rectángulo de dimensiones 8 cm. peligro de error e incertidumbre sobre el resultado) o ya no funciona y se plantean nuevos problemas. como en el caso de un rectángulo que responda a una condición suplementaria: área comprendida en un intervalo fijo o tomando un valor máximo. que 2a + 2b = 34 ó a + b = 7.
Por ejemplo. a buscar parejas de números (a. ¿cuál es el área del 5 3 rectángulo que corresponde a (8 + . El área de éste es cm2 (15 64 1 × ). se tiene que el
C área buscada es (72 +
1 ) cm2 4
El área del cuadrado es más grande. se trata de adición de áreas: se tienen cuatro partes: área del cuadrado: 64 cm2
1⎞ ⎛ área de los rectángulos B y C ⎜ 8 + ⎟ : 4 cm2 2⎠ ⎝ 1 1 1 área del rectángulo D: × = cm2 2 2 4
Al sumar las cuatro partes. Se necesitan 64 cuadrados pequeños para 1 cubrir el cuadrado unidad. El rectángulo es descompuesto en q s cuatro partes de las que saben calcular el área de cada una por medios diferentes
En el campo geométrico. n + . b) no enteros y tales que a + b = 17 Cada pareja de números proporciona las medidas de los lados de un rectángulo del que quiere conocerse el área. Ello lleva. ¿habría allí un área aún más grande? Los alumnos son llevados a extender la correspondencia entre longitudes y áreas en medidas no enteras. pero en la cercanía del cuadrado. Los alumnos puntualizan un método que les permite obtener el área de un 64 p r rectángulo de dimensiones m + . 8 + ). el rectángulo se descompone en cuatro partes y surge el 3 5 problema de si el rectángulo pequeño es el que corresponde a (8 + . El área de un cuadrado pequeño es cm2. 8 + )? 8 8 De igual forma. Se 64 15 necesitan 15 para cubrir el rectángulo pequeño. en el marco numérico. pero un pequeño cuadrado cabe un número de veces exacto en el rectángulo pequeño y en el cuadrado unidad. Ese 8 8 rectángulo pequeño no cabe un número entero de veces en el cuadrado unidad.
el enseñante tiene el cargo de dar un estatuto de objeto a los conceptos utilizados en su aspecto de herramienta. Aún cuando el grupo ha resuelto el problema. teoremas. entre los rectángulos que tienen un perímetro fijo. Por convención.m× r× . Oficializar conocimientos que hasta el momento sólo han sido herramientas. no todos han reaccionado igual ante las herramientas movilizadas. y para cada uno una manera de señalar su propio saber y con ello asegurarse la progresión. Se trata aquí de un nuevo explícito que puede ser re-usado y hacerse familiar. Esa es la finalidad de la fase siguiente. En realidad. Expone la clase presentando de manera organizada y estructurada las definiciones.p× r q s
p 1 r × s). el cuadrado tiene la mayor área. En las situaciones de comunicación. la estructuración personal es de primera importancia en matemáticas
. Algunos elementos han sido importantes en la fase anterior y pueden ser apropiados ahora para los alumnos. d) Institucionalización-estatuto de objeto El enseñante expone lo que es nuevo y debe relacionarlo con las conversaciones usuales. Esta novedad a retener está destinada a funcionar ulteriormente en tanto que antigua. señalando lo esencial y lo secundario. Son formulados en términos de objeto o de práctica con sus condiciones de empleo para el momento. el saber se difunde diversamente según los alumnos. c) Explicitación e institucionalización local. el producto (m + ) × (n + ) es la suma de los q q s cuatro términos anteriores. En esta fase se discute colectivamente la validez de los trabajos y las propuestas de los alumnos. n × p ×
1 1 . En el caso de la escritura con números decimales. pero aún no ha llegado el momento. demostraciones. Así.
Numéricamente. de su comparación. marcos a la vez autónomos y en relación gracias a la medida. de su propiedad de aproximar con la precisión tan grande como se desee una medida que no se sabe expresar exactamente con los números conocidos.31
y adaptados de los ejemplos descritos antes: m × n. los alumnos extienden la multiplicación a los números fraccionarios. darles un estatuto de objeto matemático es una condición de homogeneización y de constitución de un saber de la clase. Se puede también tratar de convicciones que hayan sido el objeto del debate y dando lugar a la formulación argumentada: por ejemplo. gracias a un juego entre el marco geométrico y el marco numérico.
Los alumnos han resuelto para otros valores numéricos. Falta ponerlos a prueba en situaciones más complejas.32
para que haya efectivamente saber. Para perfeccionar esta estructuración. pertinentes en relación al problema y entonces el estudio se traducirá en cálculos sobre los números decimales elegidos por su comodidad de cálculo. Al proceder. b) a a × b. cuyo estudio de variaciones permite situar 402 entre los valores del producto a x b y distinguir cada vez más el rectángulo buscado. Aquí la herramienta esencial es la función donde se va de (a. donde los alumnos podrán probar y desarrollar su dominio de las nuevas adquisiciones. El conocimiento de la clase se enriquece con un teorema. La referencia al cuadrado de igual perímetro que el rectángulo buscado lleva a una conjetura y una argumentación geométrica que cierra el asunto. los alumnos desarrollan hábitos y habilidades. Deberán hacerse preguntas más precisas. Esos ejercicios sólo ponen en juego lo conocido. Se vuelve ahora objeto de estudio en el caso general. A partir de aquí. eso nos lleva a buscar explicaciones en el marco geométrico y formular el problema de otra manera: el área puede ser bastante grande para alcanzar. e)Familiarización-reinversión El enseñante pide a los alumnos que resuelvan ejercicios variados que necesitan las nociones recientemente institucionalizadas. f) La tarea o el nuevo problema se hace más complejo El enseñante propone a los alumnos resolver un problema más complejo. el alumno debe poner a prueba por él mismo los conocimientos que cree haber adquirido y hacer el balance sobre lo que sabe. el objeto estudiado es susceptible de situarse como antiguo para un nuevo ciclo de la dialéctica herramienta-objeto.
. donde a + b = 41. Por ejemplo. incluso rebasar 402 cm2. Ese es el objetivo de la fase siguiente. Si se fracasa en el procedimiento de a + b = 39. Pero los alumnos los abordan con conceptos que han evolucionado y que les permiten considerar un campo más amplio de problemas. integran el saber social confrontándolo a su saber particular. buscar un rectángulo donde: • el semi-perímetro sea igual a 41 cm y el área 402 cm2 • el semi-perímetro sea igual a 39 cm y el área 402 cm2 Los números decimales serán una herramienta técnica.
Observaciones 1) A veces más de un ciclo (a. c. 2) Puede ocurrir que hábitos y prácticas familiares necesiten años antes de dar lugar a objetos de saber. . b.. a.. 3) Por la experiencia que se tiene. Es el caso de las funciones y las representaciones gráficas. otras pueden ser objeto de un aporte directo por el enseñante o por la lectura de un manual. de la organización y de la articulación de las nociones según su modo de introducción.
. b.) es necesario antes del desarrollo de un ciclo de la dialéctica herramienta-objeto. Un problema didáctico importante es el de criterios de selección. c. puede llegarse a la siguiente hipótesis: mientras que suficientes nociones buscadas por el aprendizaje sean introducidas por la dialéctica herramienta-objeto.
Esto los puede llevar a una conjetura: cuando se reduce la diferencia
. hechos a iniciativa del enseñante. A base de ensayos no lo van a encontrar y deben organizar las respuestas para elegir correctamente los siguientes ensayos. Representan gráficamente parejas de números en una cuadrícula y en cada punto encontrado anotan el producto a × b. 41. Para acercarse a la respuesta pueden primero buscar soluciones aproximadas y buscan parejas de números cuya suma es 41 y esperan que el producto sea cercano a 402. Han podido así visualizar la variación del producto en función de la pareja (a. y el producto. Al hacer ensayos buenos y malos. en ocasión de problemas escogidos convenientemente. la situación es fuente de desequilibrio entre sus convicciones y lo que saben hacer. Se trata del desarrollo de un procedimiento donde se distinguen tres fases: 1) Transferencia e interpretación Los alumnos se enfrentan a un problema dentro de un cierto marco. que no lo hubieran logrado sin la representación gráfica. los puntos son alineados. b) y seleccionarán nuevas parejas mejores. 402. pero la gráfica tiene limites de visibilidad. Con ello hacen correspondencia entre distintos marcos (entre objetos y entre relaciones). 3) Mejoría de las correspondencias y progreso del conocimiento La comunicación entre marcos es un factor de re-equilibración. El problema de buscar un rectángulo de 41 cm de semi-perímetro y un área de 402 cm2 está formulado en el marco geométrico. 2) Correspondencias imperfectas Las correspondencias entre los marcos son imperfectas por razones matemáticas o por conocimientos insuficientes de los alumnos. Los alumnos buscan una superficie plana de cierta forma y que saben dibujar. el análisis del problema los lleva a traducirlo todo o parte de él a otro marco e interpretar ciertas cuestiones. De acuerdo a sus conocimientos. Están a punto de manipular implícitamente funciones que sus conocimientos matemáticos no permiten controlar. prácticas y hábitos. Alumnos que no hicieron esto también llegaron al resultado. para hacer avanzar las fases de investigación y hacer evolucionar los conceptos de los alumnos. cuyo perímetro y área tienen medidas impuestas.34
CAPÍTULO 8 Juegos de marcos
Los juegos de marcos son cambios de marcos. Traducen numéricamente ese problema por la búsqueda de dos números de quienes conocen la suma.
Efecto de la escala en el volumen.35
entre a y b el producto aumenta. b) Existe un umbral crítico de interrogación debajo del cual la reflexión no se encadena. esto los lleva a encontrar parejas cada vez mejores. Con el ejemplo dado se busca la extensión de la multiplicación de fracciones y la introducción de números decimales. Los juegos de marcos tienen un papel motor en una de las fases de la dialéctica. Contenidos y grados de dificultad Los temas que se abarcan en este trabajo son en general los del programa de Geometría de Secundaria. La dialéctica herramienta-objeto produce significado. No debemos olvidar que: a) Existe una masa crítica de conocimientos antiguos y de hábitos en cada uno de los marcos involucrados. Rotación y translación de figuras en el plano. cuando aumenta la diferencia el producto disminuye. Para trabajar con los alumnos se verá qué conocimientos previos tienen y
. Mediatrices y bisectrices. Los alumnos no han adquirido todos sus conocimientos a través de la dialéctica herramienta-objeto. la reequilibración participa del aprendizaje. También hay que reconocer que otras formas de trabajo podrían adaptarse mejor para otros alumnos. Homotecia. Lo que nos permite decir que con el geoespacio se pretenden cubrir una buena parte de los temas del programa de secundaria. La interpretación geométrica permite a los alumnos elaborar una prueba y las interacciones entre marcos permiten hacer avanzar el conocimiento en cada uno de ellos. Los juegos de marcos son fuente de desequilibrio. 4) Elementos para el análisis de la secuencia didáctica. Algunos de los que no se incluyen son: Los referentes a círculo y circunferencia. pero para la mayoría de ellos los conocimientos se han anclado en una armadura de conocimientos adquiridos por el juego de marcos y la dialéctica herramienta-objeto.
El conocimiento del plano cartesiano permitirá utilizar el teorema de Pitágoras para calcular distancias en dicho plano.36
luego se realizarán actividades de iniciación y reafirmación. pero ello no indica que no pueda usarse en aritmética. el tema de paralelas y perpendiculares servirá posteriormente para conocer los ángulos formados entre dos paralelas cortadas por una transversal. trigonometría. por sus ángulos internos y externos.
. por ejemplo. en secciones transversales. que luego se usará en ejes de simetría. Los dibujos y trazos geométricos serán útiles para estudiar el efecto de la escala en el área. por sus características y condiciones para su construcción. Los ejercicios a realizar ayudarán a desarrollar las habilidades mencionadas con anterioridad. presentación y tratamiento de la información. y probabilidad. Algunos temas van evolucionando en la profundidad con la que se les estudia. que a su vez ayudará a la comprensión y realización de demostraciones geométricas formales. a los triángulos se les estudia por su clasificación. Las características de los sólidos y el teorema de Pitágoras apoyarán el cálculo de áreas superficiales totales y volúmenes de dichos sólidos. en congruencia y en perímetros y áreas equivalentes. El conocimiento de las características de los polígonos y sólidos. aunado al uso del geoespacio. y todo ello se podrá aplicar a la demostración geométrica formal. Por ejemplo. ayudándose de la lógica y del razonamiento deductivo. El grado de dificultad va evolucionando de conocimientos previos a adquisición de nuevos conocimientos y aplicación de ellos a la resolución de problemas. El conocimiento de los polígonos se aplicará en el recubrimiento del plano. La clasificación de ángulos se aplicará en la clasificación de triángulos y en ángulos internos y externos de un triángulo. Este trabajo se enfoca más a la geometría. ayudará a la justificación de algunas fórmulas. auxiliándose del razonamiento deductivo. álgebra.
por dos puntos del espacio pasa una y sólo una recta. postulados y teoremas: por un punto del espacio pueden pasar una infinidad de rectas.
. una recta que interseque a un plano. uno o varios planos. una recta. se puede ver si son paralelos.35
CAPÍTULO 9 El uso del geoespacio como apoyo en la enseñanza de la Geometría
Los materiales didácticos son los modelos que se usan para la enseñanza de ciertos conceptos y contenidos. perpendiculares y puede establecerse si una recta pertenece al plano. En el geoespacio pueden representarse un punto. si se intersecan o si son perpendiculares. Las figuras siguientes muestran algunas de esas situaciones:
Modelo del geoespacio. secantes. si está fuera de él. si es paralela o perpendicular. Pueden analizarse propiedades de la geometría. si lo interseca. y en cuanto a planos. Se puede hacer pasar un plano por tres puntos dados.
Estas otras figuras muestran propiedades:
Están determinados un punto Q. una recta l y un punto P.
En esta situación una recta l interseca a un plano P y pasa por un punto Q. el material didáctico es un medio y un fin para enseñar un concepto. ¿qué ocurre si los tres puntos están alineados? En un geoespacio pueden localizarse líneas paralelas.
Por 3 puntos alineados pasa una recta y sólo una. Otras situaciones que se visualizan en el geoespacio son:
Una vez obtenida la sección. rectangulares. y luego hagan los dibujos en isométrico o perspectiva. pueden ser prismas o pirámides. lo cual les será explicado por el profesor para que dominen la técnica correspondiente. En todos los sólidos que formen los alumnos en el geoespacio. cuadradas. deberán usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de las
. áreas totales y volúmenes de dichos cuerpos. trapezoidales o hexagonales.37
Puede pedirse a los alumnos que obtengan diversas secciones. calcularán su perímetro y su área en aquellas en que ello sea posible con los datos y los conocimientos de que se disponga. También se les puede pedir que formen diversos sólidos. triangulares. que calculen las áreas laterales. ayudándose de las ligas. haciendo cortes que permitan llegar a esto.
El geoespacio es un buen recurso para aplicar las fórmulas de áreas y volúmenes para sólidos y figuras geométricas.
.38 diagonales donde se formen triángulos rectángulos o aquellas ideas que vaya desarrollando el grupo y se aprecie que son viables.
luego se calculará el área de cada triángulo formado. A continuación se explicarán algunas actividades y se verá la forma en que se pueden trabajar. El alumno podrá visualizar las situaciones presentadas y luego dedicarse a buscar procedimientos para resolverlos.39
Ya se explicó que el geoespacio ayuda a plantear y resolver problemas. Resultarán 24 triángulos y los valores correspondientes de sus áreas se graficarán en el plano cartesiano. 1) Un triángulo de dos unidades de base Se forma un triángulo de dos unidades de base (AB) en una de las caras del geoespacio y el tercer vértice se ubica en la cara opuesta a aquélla donde está la base del triángulo. ya que muchas veces se nos explica cómo resolver. La intención que se tiene al presentar posibles soluciones es que tanto el profesor como el alumno vean algunos métodos en forma detallada. La curva obtenida permite ver la variación del área de los triángulos.
. donde se lleva de la mano al lector. este vértice recorrerá los 24 puntos de dicha cara opuesta (de C a Y). colocando los números de los triángulos en el eje horizontal y sus áreas correspondientes en el eje vertical. no siendo soluciones únicas las aquí presentadas. pero no se detallan los pasos intermedios.
esta base es la misma para los otros seis bh (2u )(6u ) triángulos mencionados. ABE. ABF. la altura es αC. La base del triángulo ABC es AB.40
T U V X Y C D E W
El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Entonces el área es: A = = = 6 u2 2 2 Al formarse el triángulo ABJ.08 u
. Para el triángulo ABC. ABH y ABI. su altura es βJ y se calcula por medio del teorema de Pitágoras: I J
β βJ =
(IJ )2 + (βI )2
= (1u ) 2 + (6u ) 2 = 1u 2 + 36u 2 = 37u 2 ≈ 6. ABG. esta altura es la misma para los triángulos ABD.
el área del triángulo ABX es igual al área del triángulo ABK 6. el área del triángulo ABU es la misma que la del triángulo ABN = 7.81 u2 Triángulo ABÑ: su altura es βÑ = (6u ) 2 + (6u ) 2 = 36u 2 + 36u 2 = 72u 2 ≈ 8.08u ) = 6.81 u2. por lo tanto. Áreas de los 24 triángulos:
.08 u2.708 u2 Triángulo ABM: su altura es βM = (4u ) 2 + (6u ) 2 = 16u 2 + 36u 2 = 52u 2 ≈ 7.21 u Su área es 7. La altura del triángulo ABÑ es la misma para los triángulos ABO.70 u Su área es 6.21 u2. ABP. ABQ.41
El área del triángulo ABJ es:
(2u )(6. I K I L I M I N I Ñ
Triángulo ABK: su altura es βK = (2u ) 2 + (6u ) 2 = 4u 2 + 36u 2 = 40u 2 ≈ 6. La altura del triángulo ABU es la misma que la del triángulo ABN.485 u2. De igual forma.81 u Su área es 7.32 u2. el área del triángulo ABV es igual al área del triángulo ABM = 7.21 u2 Triángulo ABN: su altura es βN = (5u ) 2 + (6u ) 2 = 25u 2 + 36u 2 = 61u 2 ≈ 7.08
En los siguientes triángulos puede uno valerse de figuras similares a la anterior.485 u Su área es 8. el área del triángulo ABY es igual al área del triángulo ABJ = 6.32 u Su área es 6. por lo tanto.32 u2 Triángulo ABL: su altura es βL = (3u ) 2 + (6u ) 2 = 9u 2 + 36u 2 = 45u 2 ≈ 6. ya que están en el mismo plano. el área será la misma del triángulo ABÑ para los seis triángulos. el área del triángulo ABW es igual al área del triángulo ABL = 6.708 u2. ABS y ABT. para ir calculando las alturas de dichos triángulos. ABR.
485 u2 19) Δ ABT ≈ 8.485 u2 14) Δ ABO ≈ 8.708 u2 23) Δ ABX ≈ 6.21 u2 22) Δ ABW ≈ 6.08 u2
Estos datos se graficarán de manera continua para ver la variación del área de los 24 triángulos y de otros que tengan como vértice cualquier punto de las aristas superiores del geoespacio.
.21 u2 12) Δ ABN ≈ 7.485 u2 20) Δ ABU ≈ 7.485 u2 16) Δ ABQ ≈ 8.485 u2 15) Δ ABP ≈ 8.81 u2 13) Δ ABÑ ≈ 8.08 u2
9) Δ ABK ≈ 6.708 u2 11) Δ ABM ≈ 7.42
l) Δ ABC ≈ 6 u2 2) Δ ABD ≈ 6 u2 3) Δ ABE ≈ 6 u2 4) Δ ABF ≈ 6 u2 5) Δ ABG ≈ 6 u2 6) Δ ABH ≈ 6 u2 7) Δ ABI ≈ 6 u2 8) Δ ABJ ≈ 6.485 u2
17) Δ ABR ≈ 8.485 u2 18) Δ ABS ≈ 8.81 u2 21) Δ ABV ≈ 7.32 u2 24) Δ ABY ≈ 6.32 u2 10) Δ ABL ≈ 6.
la altura de la pirámide se mide del centro de la base al vértice de ella. ya que se puede formar otra pirámide hexagonal opuesta y simétrica a la primera.
La pirámide hexagonal tiene una base en forma de hexágono regular y seis caras triangulares. con estos datos se calcula el área de la base de la pirámide. y también se formarán tres pirámides triangulares fuera de ella. el apotema lateral de la pirámide. que va del vértice de la pirámide al punto medio de cualquier lado del hexágono (base de la
. que va del vértice de la pirámide a cualquier vértice de la base de la pirámide.42
2) Pirámide hexagonal Se forma una pirámide hexagonal regular tomando como vértice de ella un vértice del geoespacio y colocando los vértices de la base en los puntos medios de las aristas del geoespacio. en la figura se pueden ver señalados la arista de la pirámide (ap). la pirámide hexagonal y la pirámide triangular. Se calculan el lado de la base. Para comprobar que todo se calculó correctamente se suman los volúmenes de la pirámide hexagonal y de las tres pirámides triangulares. esto se multiplica por dos y resultará el volumen del geoespacio. el volumen y el área superficial total de ella. También se calculan los volúmenes de las pirámides triangulares que quedan filera de la pirámide hexagonal (tres) y las relaciones de volumen entre el geoespacio. la arista de la pirámide. y el apotema de la base. la distancia entre dos vértices opuestos del geoespacio y su mitad es la altura de la pirámide. el apotema lateral (a1). la pirámide tiene un vértice y la base seis vértices.
535533906 u 2 2
(3.071067812 u
Arista de la pirámide:
(10u ) 2 + (5u ) 2 = 100u 2 + 25u 2 = 125u 2 ≈ 11.18033989 u
ap a1 a1
a1= 125u 2 − 12.071u ≈ ≈ 3.5u 2 ≈ 10.43
pirámide) y el apotema de la base (ab).5 u2
La altura de la pirámide hexagonal es la mitad de la diagonal entre vértices opuestos. que va del centro de la base al punto medio de un lado de la base de la pirámide.5u 2 = 112. Lado de la base de la pirámide hexagonal: 5u
l = (5u ) 2 + (5u ) 2 = 25u 2 + 25u 2 = 50u 2 ≈ 7.60660172 u
.535533906 u)2 = 12.
1421u ) = 100u 2 + 200u 2 = 300u 2 ≈ 17.14213562 u D = l 2 + d 2 = (10u ) 2 + (14.4142 ) = 14.071u ) ≈ 129.32050808u ≈ 8.44
D l l l d = l 2 + l 2 = 2l 2 = l 2 = (10u )(1.9038106 u2 2 2
Volumen de la pirámide hexagonal: V= Volumen del cubo: V = l 3 = (10 u)3 = 1000 u 3 Ab h 129.9u 2 (8.32050808 u
17.5u 2 ≈ 6.6066u )2 − (8.123u )(7.123724357 u
Área de la base de la pirámide: Ab =
Pa 6la = = 3la ≈ (3)(6.66u )2
= 112.5u 2 − 75u 2 = 37.660254038 u 2
ab = a l − h 2 =
(10.66u ) ≈ = 375 u3 3 3
5 u2 2 2 2
10 u 5u 5u l=
h=5u
50u 2
b=5u
Siendo tres secciones piramidales semejantes. La suma de los volúmenes de las tres pirámides triangulares y del volumen de la pirámide hexagonal es: 125 u3 + 375 u3 = 500 u3. Ab h 12. entonces el volumen de las tres es: 3V = 3(41. La pirámide está ocupando la mitad del cubo. Para una de las secciones.375 1000u 3 8u
El volumen de la pirámide es las tres octavas partes del volumen del cubo.45
Relación entre ambos volúmenes: R= Vp Vc = 375u 3 3u 3 = 3 = 0. El volumen de la pirámide hexagonal es 375 u3.5u 2 (10u ) 125u 3 V= = = ≈ 41.666 u3) = 125 u3. con los dos lados de la base formando un ángulo recto. ya que su altura es la mitad de la diagonal entre vértices opuestos del cubo.
. se tiene que se forma una pirámide triangular. Se calculará el volumen de las tres secciones que no pertenecen a la pirámide.666 u3 3 3 3 Ab = b=h bh (5u )(5u ) 25u 2 = = = 12.
dos veces el volumen de la pirámide hexagonal más dos veces el volumen de las tres pirámides triangulares que están fuera de la pirámide hexagonal resultará el volumen del cubo. entonces.
La pirámide está ocupando la mitad del cubo. 2(375 u3) + 2(125 u3) = 750 u3 + 250 u3 = 1000 u3.
El área de un cuadrado se calcula con la fórmula A = l2 = (6 u)2 = 36 u2 A1 A2
. Un prisma de base triangular que se puede formar en el geoespacio es el que se muestra en la figura siguiente:
Algunos de los elementos de esta figura que se pueden calcular son: El volumen. la cual se obtiene restándole al área de la cara cuadrada del geoespacio las áreas A1.46
3) Prisma triangular. Y para el de un prisma se utiliza la fórmula V = AbH El área de la base. A2 y A3. que corresponden a dos triángulos y un trapecio.
5 u2 + 9 u2 = 22. A1 + A2 + A3 = 6 u2 + 7.47
bh 3ux 4u 12u 2 = = = 6 u2 2 2 2 A1
bh 3ux5u 15u 2 A2 = = = = 7. A2 y A3: Ab = 36 u2 – 22.5 u2 = 13.5 u2 2 2 2 A2
Para obtener A3 se usa la fórmula para obtener el área de un trapecio: ( B + b)h (2u + 1u )6u 3ux6u 18u 2 A3 = = = = = 9 u2 2 2 2 2
Entonces.5 u2 x 6 u = 81 u3 Una forma para comprobar el resultado es la siguiente:
.5 u2 El área de la base del prisma triangular es igual al área de la cara cuadrada del geoespacio menos la suma de las áreas A1 . 5 u2 La altura del prisma es la medida de la arista del geoespacio: 6 u2 El volumen del prisma triangular es VPT = 13.
5 u2 × 6 u = 45 u3
V3 = A3H = 9 u2 × 6 u = 54 u3
Se suman los volúmenes de los tres prismas que se forman fuera del prisma triangular con el volumen de este último. y el resultado debe ser el volumen del geoespacio: VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3 V1 = A1H = 6 u2 × 6 u = 36 u3
V2 = A2H = 7.
considerando las figuras de los triángulos que se usaron para calcular A1 y A2: l1 = l2 = (3u ) 2 + (4u ) 2 = 9u 2 + 16u 2 = 25u 2 = 5 u (3u ) 2 + (5u ) 2 = 9u 2 + 25u 2 = 34u 2 ≈ 5. se calcula el área de las tres caras rectangulares y de las dos bases del prisma triangular. por Teorema de Pitágoras.08 u
Si se desdobla el prisma triangular.49
V1 + V2 + V3 = 36 u3 + 45 u3 + 54 u3 = 135 u3 VG = V1 + V2 + V3 + VPT = 135 u3 + 81 u3 = 216 u3 Con esto se comprueba que los resultados son correctos. se aísla la siguiente figura. Para obtener el área superficial total del prisma triangular. Se calculan los lados l1 y l2. luego se suman todas. a partir de la figura del trapecio que se usó para calcular A3:
(1u ) 2 + (6u ) 2 = 1u 2 + 36u 2 = 37u 2 ≈ 6.83 u
Para calcular l3. se tiene la siguiente plantilla:
El área de los tres rectángulos es: Ar1 = l1 H = 5 u × 6 u = 30 u2 Ar2 = l2 H ≈ 5.48 u2 + 27 u2 ≈ 128.48 u2
.5 u2 Como el prisma tiene dos bases. 5 u2 × 2 = 27 u2 El área superficial total del prisma triangular es: AT = Al + 2Ab ≈ 101.08 u × 6 u ≈ 36. el área de ambas es 13.83 u × 6 u ≈ 34.99 u2 + 36.5 u2 El área lateral del prisma triangular es: Al = Ar1 + Ar2 + Ar3 ≈ 30 u2 + 34.5 u2 ≈ 101.48 u2 El área de la base del prisma es Ab = 13.99 u2 Ar3 = l3 H ≈ 6.
375 VG 216u 3 8u
Calculemos la relación de volúmenes entre el prisma triangular y el geoespacio: R= VPT 81u 3 3u 3 = = 3 = 0.
. el área del cuadrado interior es la mitad del área de la cara del geoespacio. Por ello. y puesto que la altura del prisma y la del geoespacio es la misma.52
4) Prisma cuadrangular.
Para obtener el volumen del prisma de la figura puede uno valerse del siguiente razonamiento: Veamos la cara del geoespacio donde queda la base del prisma cuadrangular:
Nótese que uno de los lados del cuadrado interior divide en dos triángulos de igual área a uno de los cuatro cuadrados trazados en la figura.
El volumen del geoespacio es: VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3 El volumen del prisma cuadrangular es: VPC = VG 216u 3 = = 108 u3 2 2
Otra forma de obtener el volumen del prisma cuadrangular es aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la medida del lado de la base del prisma cuadrangular.24 u)2 = 18 u2 El volumen del prisma será: V = AbH = l2H = (18 u2)(6 u) = 108 u3 Para obtener el área superficial total del prisma cuadrangular.
(3u ) 2 + (3u ) 2 = 9u 2 + 9u 2 = 18u 2 ≈ 4. puesto que es un cuadrado: Ab = l2 = (4.53
entonces el volumen del prisma cuadrangular es la mitad del volumen del geoespacio. éste se desdobla.24 u
El área de la base del prisma cuadrangular se obtiene así.
46 u2 El área lateral del prisma cuadrangular es el área de las cuatro caras.82 u2 El área superficial total se obtiene sumando el área lateral y el área de las dos bases: AT = Al + 2Ab ≈ 101.82 u2 Si calculamos la relación entre el volumen del prisma cuadrangular y el del geoespacio se tiene: R= VPC 108u 3 1u 3 = = = 0.24u ) ≈ 25.46 u2) ≈ 101.82 u2 + 36 u2 ≈ 137.5 VG 216u 3 2u 3
El área de una base del prisma cuadrangular es 18 u2 El área de las dos bases es 2(18 u2) = 36 u2 El área de una cara del prisma cuadrangular es: A = (6 u)( 18u 2 ) ≈ (6u )(4. o sea: 4A ≈ 4(25.
A4. Para calcular el volumen del prisma pentagonal. A1 = bh 3ux3u 9u 2 = = = 4. por lo que no se trata de un pentágono regular. no se puede aplicar la fórmula de área que se usa para Pa . así que hay que buscar otro método.
Se debe hacer ver al alumno que los lados de este prisma pentagonal no son todos de la misma medida.5 u2 2 2 2
. quizá al los polígonos regulares: A = 2 alumno se le ocurra la triangulación.55
5) Prisma pentagonal. A2. y se suman. y así se obtiene el área del pentágono. Al no ser pentágono regular. el área resultante se resta al área del cuadrado: Ac = (6 u)2 = 36 u2 . A3. primero se calculan las áreas A1.
A continuación se presentan los prismas.5 u2 = 23. Obsérvese que el área A2 es igual al área A4.5 u2 + 3 u2 + 2 u2 + 3 u2 = 12. V2 V1 V3
Para calcular el volumen de un prisma se usa la fórmula V = AbH.5 u2 × 6 u = 141 u3 Si queremos comprobar que nuestro resultado es correcto.5 u2 Ap = Ac – A = 36 u2 – 12. por lo que el prisma V2 es igual al prisma V4.5 u2 El volumen de un prisma se obtiene multiplicando el área de la base por la altura: V = Ab h = 23. sumamos estos cuatro volúmenes con el volumen del prisma pentagonal y nos debe dar el volumen del geoespacio.
3u × 2u 2 =3 u 2
1u × 4u = 2 u2 2 2u × 3u = 3 u2 2
A = A1 + A2 + A3 + A4 = 4. calculamos el volumen de los cuatro prismas triangulares que se forman fuera del prisma pentagonal.
0833 = 216u 3 12u 3
R2G = R4G =
R3G =
12u 3 1u 3 = ≈ 0. entonces los volúmenes serán: V1 = A1H = 4.65277 R= Vg (6u )3 216u 3 72u 3 O las relaciones entre los volúmenes de los prismas triangulares y del geoespacio: R1G = V1 27u 3 1u 3 = = 3 = 0. Puede calcularse la relación existente entre el volumen del prisma pentagonal y el volumen del geoespacio: V pp 141u 3 141u 3 47u 3 = = = ≈ 0. A3 y A4.5 u2 × 6 u = 27 u3 V2 = A2H = 3 u2 × 6 u = 18 u3 V3 = A3H = 2 u2 × 6 u = 12 u3 V4 = A4H = 3 u2 × 6 u = 18 u3 La suma de los volúmenes de los cuatro prismas es: V4P = V1 + V2 + V3 + V4 = 27 u3 + 18 u3 + 12 u3 + 18 u3 = 75 u3 El volumen del prisma pentagonal es 141 u3 y la suma de los cuatro prismas triangulares y del prisma pentagonal es: VG = V4P + VPP = 75 u3 + 141 u3 = 216 u3 El volumen del geoespacio es 216 u3. por lo que el resultado es correcto.125 VG 216u 3 8u 18u 3 1u 3 ≈ 0.57
Puesto que las áreas de la base de los cuatro prismas son A1.055 216u 3 18u 3
aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener las longitudes de los lados del pentágono. que es la base del prisma:
.127659574 = 141u 3 47u 3
R3PP =
12u 3 4u 3 ≈ 0.191489361 R1PP = = = VPP 141u 3 47u 3 R2PP = R4PP = 18u 3 6u 3 ≈ 0. podremos obtener su área superficial total:
Apoyándonos en la segunda figura de esta ejercicio.085106382 = 141u 3 47u 3
Desdoblando el prisma pentagonal.58
O las relaciones entre los volúmenes de los prismas triangulares y el prisma pentagonal: V1 27u 3 9u 3 ≈ 0.
5 u2) + (4.46 u2
.24 u2 + 3.6 u2) 6 AT ≈ 47 u2 + 18.6 u2 + 4.59
AT = 2 Ab + (l1 + l2 + l3 + l4 + l5) h l1 = (3u ) 2 + (3u ) 2 = 9u 2 + 9u 2 = 18u 2 = 4.6 u2 + 3.5768 u2 (6) ≈ 47 u2 + 111.46 u2 ≈ 158.12 u2 + 3 u2 + 3.6 u l3 = (1u ) 2 + (4u ) 2 = 1u 2 + 16u 2 = 17u 2 = 4.6 u
Se sustituyen los valores de los cinco lados y de las dos bases en la fórmula del área total: AT = 2(23.12 u l4 = 3 u l5 = (2u ) 2 + (3u ) 2 = 4u 2 + 9u 2 = 13u 2 ≈ 3.24 u
l 2 = (3u ) 2 + (2u ) 2 = 9u 2 + 4u 2 = 13u 2 = 3.
que es un hexágono. usaremos la siguiente figura:
. por lo que se trata de un hexágono irregular y para calcular su área no puede aplicarse la fórmula que se usa para un polígono regular: A=
Para calcular el área de la base. la fórmula que se aplica es: V = AbH La altura H es 6.60
6) Prisma hexagonal.
Para obtener el volumen de un prisma. Se debe hacer observar al alumno que el hexágono no tiene todos sus lados iguales: 2 de ellos miden 2 unidades y los otros cuatro miden más. que es lo que mide de arista el geoespacio.
las cuales son iguales entre sí:
bh 2u × 3u = = 3 u2 2 2
La suma de estas cuatro áreas es: 4A1 = 4 × 3 u2 = 12 u2 Del área del cuadrado se restan estas cuatro áreas y se obtiene el área del hexágono. el volumen del prisma hexagonal es: VPH = 24 u2 × 6 u = 144 u3
El área de la cara del geoespacio. que es un cuadrado. A3 y A4. A2 . que es el área de la base del prisma hexagonal: Ab = 36 u2 – 12 u2 = 24 u2 Entonces. se calcula así: A = l2 = (6 u)2 = 36 u2 Se calculan las áreas A1.
Veremos a continuación algunas relaciones entre volúmenes: Relación entre los volúmenes del prisma hexagonal y del geoespacio: VPH 144u 3 2u 3 ≈ 0.62
Una forma de comprobar lo correcto del resultado es la siguiente: Se calcula el volumen de los cuatro prismas triangulares que se forman fuera del prisma hexagonal. es correcto. Aquí se presenta la figura de uno de ellos:
El volumen de uno de los cuatro prismas triangulares es: VPT = AbH = 3 u2 x 6 u = 18 u3 El volumen de los cuatro prismas triangulares es: 4VPT = 4 x 18 u3 = 72 u3 Al sumar el volumen de los cuatro prismas triangulares y el del prisma hexagonal.66 = = R= VG 216u 3 3u 3
. por lo tanto. debe obtenerse el volumen del geoespacio: VG = 4VPT + VH = 72 u3 + 144 u3 = 216 u3 La comprobación se da y el resultado.
lo desdoblamos:
El área de una de las bases del prisma hexagonal es: Ab = 24 u2 El área de las dos bases es: 2Ab = 2 x 24 u2 = 48 u2
.0833 = = VG 216 12
Relación entre los volúmenes de los prismas triangular y hexagonal: R= VPT 18u 3 1u 3 = = 3 = 0.63
Relación entre los volúmenes de un prisma triangular y del geoespacio: R=
V PT 18 1 ≈ 0.125 VPH 144u 3 8u
Para calcular el área superficial total del prisma hexagonal.
El área de una de estas caras es: A = bh = 2 u × 6 u = 12 u2 El área de las dos caras es: 2A = 2 x 12 u2 = 24 u2 Las otras cuatro bases de las caras laterales del prisma hexagonal miden lo mismo.64
Para calcular el área lateral del prisma hexagonal: Dos de las caras laterales del prisma hexagonal miden 2 unidades de base y 6 unidades de altura.53 u2
.6 u) ≈ 21.53 u2 El área superficial total es la suma del área lateral y del área de las dos bases: AT = Al + 2Ab ≈ 110.53 u2 ≈ 110.63 u2 La suma de las áreas de estas cuatro caras iguales es: 4A ≈ 4 x 21.53 u2 + 48 u2 ≈ 158.6 u 3u
El área de una de estas cuatro caras del prisma hexagonal es: A = bh = (6 u)( 13 u) ≈ (6 u)(3.53 u2 Al sumar las áreas de las seis caras se tiene que el área lateral del prisma hexagonal es: Al ≈ 24 u2 + 86. l 2u La medida de una de estas cuatro bases se calcula por Teorema de Pitágoras: l= (2u ) 2 + (3u ) 2 = 4u 2 + 9u 2 = 13u 2 ≈ 3.63 u2 ≈ 86.
muestra el geospacio a todos y lo hace circular entre ellos.65
7) Prisma octagonal.
Al iniciar la clase. o solicita que algunos de ellos lo hagan. dispone de varios geospacios y ligas y los reparte al grupo para que trabajen en equipos. Ya formado el prisma octagonal. ante todos los alumnos. ¿Son de igual medida un lado cualquiera y el lado contiguo? Algún alumno observará que los lados en diagonal son mayores que los lados verticales y horizontales. o aún mejor. Muestra el geospacio a los alumnos de forma que miren la base octagonal del prisma y pregunta si observan alguna característica especial del octágono. el profesor pregunta si están mirando los lados del octágono. el profesor coloca las ligas del geospacio. ¿Cuánto mide el lado más corto? Al lado corto lo llamaremos l1 Los alumnos observarán que l1 mide 2 unidades. mientras él los dirige. A continuación se pregunta. Luego se pregunta: ¿Cuánto mide l2 ?
. Si ningún alumno hace algún comentario.
83 u. qué tipo de octágono tenemos? El alumno deberá captar que el octágono es irregular porque no miden lo mismo todos los lados. podrán contestar.83 u
Ya calculado l2 ≈ 2. A continuación se pregunta: ¿Cuál es la fórmula para obtener el área de un octágono regular? La fórmula es A =
El perímetro de un octágono ¿cómo se calcularía?: P = 8 × l Entonces se sustituye el perímetro en el área y se obtiene:
. l1 l2 l2
l2 2u
Se pide a alguien que calcule l2 l2 = (2u ) 2 + (2u ) 2 = 4u 2 + 4u 2 = 8u 2 = 4 × 2u 2 = 4 2u 2 = 2 2 u ≈ 2. si no lo hacen. se hace un dibujo en el pizarrón y luego se aísla el triángulo isósceles en otro dibujo para que se les facilite le visualización de lo que queremos.66
Los alumnos. ¿Entonces. si tienen previamente el conocimiento del teorema de Pitágoras. les preguntamos si ya observaron que l1 es diferente de l2.
Cada cuadrado tiene 2 unidades por lado. el área
. tienen igual área. se les sugiere que observen el triángulo formado en una esquina de la cara del geospacio.
bh 2u × 2u = = 2 u2 2 2
Vuelve a preguntarse cómo calcularían el área del octágono y tal vez a un alumno se le ocurra triangular toda la cara del geospacio e ir sumando las áreas de todos los triángulos que pertenecen al octágono. Como hay 5 cuadrados. Se señala que esa es una posible opción y se pregunta si hay una estrategia alternativa más eficaz o más rápida. cada triángulo tendrá 2 u2. se trata de un octágono irregular y no se puede aplicar la fórmula anterior. ¿De qué manera podríamos calcular el área de este octágono irregular? Si no hay ideas de los alumnos.67
8la = 4la 2
¿Puede aplicarse esta fórmula al octágono que tenemos en el geospacio? Si el octágono del geospacio tiene lados de diferente medida. y el área total es de 28 u2. como los triángulos de las cuatro esquinas son iguales. que son la mitad de un cuadrado. se tiene un área de 20 u2. y se les pregunta cómo calcularían el área de dicho triángulo. entonces se tienen 8 u2. como son 4 triángulos. Al formar triángulos. por lo que tiene un área de 4 u2. A algún alumno se le ocurrirá que puede calcular el área de un triángulo y.
se pregunta cómo puede calcularse el volumen del prisma octagonal. pueden calcularse los volúmenes de los cuatro prismas triangulares formados fuera del prisma octagonal (en las aristas del geoespacio).
2u Volumen del prisma triangular: VPT = AbH Para calcular el área de la base del prisma triangular. se tiene:
calculada se multiplica por 4 y se tiene el área de los 4 triángulos. Área de un triángulo: 2 u2 Área de los 4 triángulos de las esquinas: 4 × 2 u2 = 8 u2 Área del cuadrado: l2 = (6 u)2 = 36 u2 Área del cuadrado menos área de los 4 triángulos: 36 u2 – 8 u2 = 28 u2 Ya teniendo el área del octágono. V = AbH = (28 u2)(6 u)= 168 u3 Para comprobar que el volumen del prisma octagonal es correcto. que se restará al área total de la cara cuadrangular del geospacio para así obtener el área del octágono irregular. La siguiente figura muestra uno de los prismas.
el de l1 y el de l2 Para l1. Hay dos tipos de rectángulos. que las caras de éste son rectangulares (igual que las de todo el prisma). si es posible con dibujos en el pizarrón.69
Se observa que la altura del prisma triangular es la misma que la del prisma octagonal: H=6u Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el volumen del prisma triangular: VPT = 2 u2 x 6 u = 12 u3 La suma de los volúmenes de los cuatro prismas triangulares es: 4 VPT = 4 x 12 u3 = 48 u3 El volumen del geoespacio es la suma del volumen del prisma octagonal más el volumen de los cuatro prismas triangulares. Volumen del geoespacio: VG = VPO + 4VPT = 168 u3 + 48 u3 = 216 u3 El volumen del geoespacio es el volumen de un cubo de 6 u de arista: VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3 De esta forma se comprueba que los cálculos son correctos. el rectángulo tiene un área de 2 u × 6 u = 12 u2 El largo del rectángulo es 6 u. Se señala. que es
. o simplemente mostrando el geospacio. El área de un rectángulo es igual a base por altura o a largo por ancho. que es la altura o arista del geospacio. Se pide a los alumnos calcular el área lateral del prisma octagonal.
88 u2 y ésta es el área lateral.70
cúbico.88 u2 = 115.97 u2 = 67. Para l2.97 u2 Hay 4 rectángulos de ancho igual a l1 y el área de los 4 rectángulos es 4 x 12 u = 48 u2
El área de los 4 rectángulos de ancho igual a l2 es: 4 x 16.83 u × 6 u = 16. el área de las 2 bases será 2 × 28 u2 = 56 u2.88 u2 La suma de las áreas de los 8 rectángulos es: 48 u2 + 67.
El área del octágono es 28 u2. el área es 2.88 u2 También se calcularán algunas relaciones entre los volúmenes de las figuras:
.88 u2 + 56 u2 = l71. Entonces el área total del prisma octagonal es la suma del área lateral más el área de las dos bases: AT = 115.
Relación entre el volumen del prisma octagonal y el volumen del geoespacio: R1 = VPO 168u 3 7u 3 ≈ 0. 4) o pentagonales (figuras 5 y 6).77 = = VG 216u 3 9u 3
Relación entre el volumen del prisma triangular y el volumen del geoespacio: R2 = VPT 12u 3 1u 3 ≈ 0. 1 Fig. 2.071428571 = = VPO 168u 3 14u 3
Relación entre el volumen de los cuatro prismas triangulares y el volumen del prisma octagonal: 4VPT 48u 3 2u 3 ≈ 0. 3. Desarrollar similarmente estas actividades como se hizo con el prisma octagonal. 2
.22 VG 216u 3 9u
Se sugieren otras actividades: Formar diversos prismas. como triangulares (figuras 1.055 = = VG 216u 3 18u 3
Relación entre el volumen del prisma triangular y el volumen del prisma octagonal: R3 = VPT 12u 3 1u 3 ≈ 0. Fig.285714285 R4 = = = VPO 168u 3 7u 3 Relación entre el volumen de los cuatro prismas triangulares y el volumen del geoespacio: R5 = 4VPT 48u 3 2u 3 = = 3 ≈ 0.
pero no la altura.12 u 2 2
El área de la cara triangular del cubo-octaedro de Arquímedes es: A=
(4.8 u2 2 2
El área de las ocho caras triangulares del cubo-octaedro de Arquímedes es: 8 × 7.67 u
a = l ≈ 4.35 u2 El área total del cubo-octaedro de Arquímedes es la suma de las áreas de las caras cuadrangulares y las caras triangulares: A ≈ 108 u2 + 62.67u ) bh ≈ ≈ 7. Para calcular la altura del triángulo se aplica el teorema de Pitágoras: h=
(4.24u ) 2 − (2.8 u2 ≈ 62.24u ≈ ≈ 2.24u )(3.5u 2 = 13. El geoespacio es un cubo de 6 u de arista y su volumen es: V = a3 = (6 u)3 = 216 u3
El área de una cara triangular del cubo-octaedro de Arquímedes es: A=
Conocemos la base.35 u2 ≈ 170.12u ) 2 = 18u 2 − 4.5u 2 ≈ 3.35 u2 Para calcular el volumen del cubo-octaedro de Arquímedes se resta al volumen total del geoespacio el volumen de las ocho pirámides triangulares que se forman en los vértices del geoespacio.24 u h l/2
5u 2 )(3u ) = 4.833 VG 216u 3 6u 3
. la relación existente entre el volumen del cubo-octaedro de Arquímedes y el del geoespacio es: VCO 180u 3 5u 3 R= = = ≈ 0.5 u3 = 36 u3 Para calcular el volumen del cubo-octaedro: VCO = VG – VP = 216 u3 – 36 u3 = 180 u3 Para manejar fracciones comunes pueden calcularse algunas relaciones de volumen. por ejemplo.5 u2 2 2 2
El volumen de la pirámide es: A h (4.24 u
H=3u h=3u
3u El área de la base es: Ab =
b=3u
bh (3u )(3u ) 9u 2 = = = 4.5 u3 V= b = 3 3 El volumen de las ocho pirámides es 8 x 4.76
Para calcular el volumen de una pirámide triangular se recurre a los siguientes dibujos:
La fórmula para obtener el volumen de una pirámide es: Ab h l 2 h V= = 3 3 Para obtener el área de la base. así como las relaciones de volumen de la pirámide y del geoespacio.77
10) Pirámide cuadrangular. En este ejercicio se unen dos geoespacios para tener el vértice de la pirámide. auxiliándose de dos geoespacios unidos por una cara Se calcularán el volumen y el área superficial total de la pirámide cuadrangular. ya que un geoespacio no tiene un punto de apoyo al centro de una de sus caras. puesto que la base es un cuadrado: Ab = l2 = (6 u)2 = 36 u2 La altura de la pirámide es lo que mide la arista del geoespacio: h=6u Se sustituyen los valores del área de la base y de la altura en la primera fórmula: V=
(36u )(6u ) = 216u
= 72 u3
que es 36 u2 Para calcular el área lateral. Para poder calcular el área de una de las caras de la pirámide.5 u2 ≈ 116.33 Vg 216u 3 3u 3 Vp
. se calcula el área de una cara y luego se multiplica por 4. la cual es triangular: a1 = (6u ) 2 + (3u ) 2 = 36u 2 + 9u 2 = 45u 2 ≈ 6.5 u2 La relación existente entre el volumen de la pirámide y el del geoespacio es:
72u 3 1u 3 R= = = ≈ 0.12 u2 2 2 2
El área de las 4 caras de la pirámide es: 4 × 20.78
Para obtener el área total.12 u2 ≈ 80.7 u
Área de una cara de la pirámide: A =
bh lal (6u )(6. que es la altura de la cara. Veamos la figura anterior y aislemos el triángulo rectángulo que incluye al apotema lateral:
h=6u
3u Se calcula el apotema lateral de una de las caras de la pirámide cuadrangular.7u ) = = ≈ 20.5 u2 El área total de la pirámide se obtiene sumando el área de la base más el área de las 4 caras laterales: AT = Ab + A1 = 36 u2 + 80. ya que la pirámide es cuadrangular. debemos conocer la altura de ella. se calcula el área lateral y se suma al área de la base. que en este caso es el apotema lateral.
auxiliándose de una estructura de cuatro geoespacios
(6u ) 2 + (3u ) 2 = 36u 2 + 9u 2 = 45u 2 ≈ 6.79
11) Octaedro.7 u
Para calcular la magnitud de la arista:
45 + 36 = 81 = 9 u
Cálculo del apotema lateral de la cara de 12 u de base:
25 u2 2 2
El área de las 4 caras iguales de 12 u de base es: 4 × 40.8 u2 El área total del octaedro es: AT = 161 u2 + 101.4558 u2 2 2
El área de las 4 caras iguales de 6 u de base: 4 × 25.80
a1 = (9u ) 2 − (6u ) 2 = 81u 2 − 36u 2 = 45u 2 ≈ 6.8 u2 Para obtener el volumen del octaedro.8 u2 ≈ 262.7u ) = ≈ 40. el volumen de cada pirámide es la tercera parte del geoespacio:
.7 u El área de la cara de 12 u de base es: A=
bh (12u )(6.4558 u2 ≈ 101.485u ) = ≈ 25.485 u
Para calcular el área de una cara de 6 u de base: A=
bh (6u )(8. en cada geoespacio hay una pirámide cuadrangular de 6u de altura.25 u2 ≈ 161 u2 Para calcular el apotema lateral de una cara de 6 u de base: a1 =
81u 2 − 9u 2 = 72u 2 ≈ 8. por lo tanto.
216u 3 = 72 u3 3
Multiplicando por 4. que son las 4 pirámides existentes en los 4 geoespacios: Volumen de los 4 geoespacios: V = 4 × 72 u3 = 288 u3.33 R= = = Vg 864u 3 3u 3
. La relación entre el volumen de la pirámide y los 4 geoespacios es:
Vo 288u 3 1u 3 ≈ 0.
se tendrán 6 cubitos por arista del geoespacio. El cuadrado de un binomio da origen a un trinomio cuadrado perfecto. que equivalen a ½ del volumen total del geoespacio.
Álgebra: Pueden explicarse productos notables: cuadrado y cubo de un binomio. cubos equivalen a 108 Para raíz cuadrada: Si se tienen 36 cuadritos en una cara del geoespacio. Si lleno el geoespacio a la mitad tendré 108 cubitos. El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término. más el cuadrado del segundo. 54 cubitos es ¼ del volumen del geoespacio.81
12) Otras de las actividades que se sugieren Para Aritmética: Se propone llenar de cubitos el geoespacio. y preguntar al alumno el número de cubitos que hay en el geoespacio. Son 63 = 216 cubitos. 50 25 del volumen del geoespacio.
. seis por arista. se tendrán 6 lados de cuadrito por cada lado de una cara del geoespacio. Al sumar las áreas se observa que coinciden perfectamente el método algebraico y el método geométrico. más o menos el doble producto del primero por el segundo.
Para raíz cúbica: Si se tienen 216 cubitos dentro del geoespacio.
Vt = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 + V8 (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3 3 2 a + 3a b + 3ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
. más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo. más o menos el cubo del segundo.82
1=a+b b A3 A4
At = A1 + A2 + A3 + A4 (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3a2b + b3 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = a2 + 2ab + b2 El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término. más o menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
Si un hexágono regular se triangula a partir de su centro.83
En este ejercicio vemos que se forma un cubo de arista a y su volumen es a3 . un segundo cubo de arista b y su volumen es b3 . A uno de los triángulos se le traza la altura y se tendrá un
. Como la base es cuadrada. auxiliándose del teorema de Pitágoras. El volumen de un prisma cuadrangular es igual al área de la base del prisma multiplicada por su altura. su área es lado por lado o lado al cuadrado y la fórmula para obtener el volumen se podrá escribir así: V = l2h El teorema de Pitágoras se aplica a triángulos rectángulos y nos dice que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos:
c2 = a2 + b2 Si a = 3 y b = 4 . V = Abh. y tres prismas cuadrangulares donde el lado de sus bases mide b y su altura mide a. ya se le debió haber explicado al alumno toda la parte teórica sobre las funciones trigonométricas. Donde Ab es el área de la base del prisma y h es la altura del prisma. entonces 52 = 32 + 42 25 = 9 + 16 25 = 25 En Trigonometría: Podrán calcularse los ángulos de la base de una pirámide hexagonal. Cuando se vea este tema. se obtienen seis triángulos equiláteros. tres prismas cuadrangulares donde el lado de sus bases mide a y su altura mide b. La fórmula para obtener el volumen de un prisma cuadrangular es.
triángulo rectángulo escaleno (los ángulos agudos son de 30° y 60°). luego se sacan todos los cubitos del geoespacio y se pregunta:
. dicha altura es el apotema del hexágono y se calcula con el teorema de Pitágoras: a=
4 2 l2 3 2 3 ⎛l⎞ l −⎜ ⎟ = l − = l = l 4 4 4 2 ⎝2⎠
3 l catetoopuesto a 2 = 3 = = sen B = hipotenusa l l 2
B = arc sen
3 = 60° 2
Para Presentación y Tratamiento de la Información: Se sugiere la siguiente actividad: Se puede suponer que se llena el geoespacio con cubitos y que se pintan todas las caras del geoespacio.
.789 cm 3 3 Si se tiene 1 cm de alcohol etílico. V g La densidad del alcohol etílico es 0. éter.7
Si se tiene un cubo de aluminio de 1 cm3.789 g y su peso es: gm m P = mg = (0. con una cara pintada.46 dinas. se supone que todos los cubitos se colocan en una urna de Bernoulli y se calcula la probabilidad de extraer un cubo: sin ninguna cara pintada.85
¿Cuántos cubos no tienen ninguna cara pintada? ¿Cuántos cubos tienen pintada sólo una cara? ¿Cuántos tienen dos caras pintadas? ¿Cuántos tienen tres caras pintadas? ¿Cuántos tienen al menos una cara pintada? En Probabilidad: Con la misma actividad.46 2 = 26.. etc.7 g)(9. s s Igualmente pueden manejarse sólidos: La densidad del aluminio es 2. mercurio. y que esto se grafique en el plano cartesiano. éste tiene una masa de 0. P = mg).. En lugar de suponer que el geoespacio se llena con cubitos de agua. de tres. de dos.8
gm m ) =26.7322 dinas. etc.7 g y su peso es: P = mg = (2.8 2 ) = 7. ahora se usarán cubitos de petróleo. 2 s s
Las posibilidades que da el geoespacio son muchas y los profesores y los alumnos las enriquecerán según su imaginación y dedicación.7322 2 =7. Un ejercicio para gráficas es suponer que el geoespacio se llena con cubitos de agua y se pide calcular el volumen de un cubo. con dos caras pintadas o con tres caras pintadas. y que el alumno se ayude de una tabla de densidades de líquidos para hacer gráficas de m peso o de masa (d = . alcohol.789 g)(9. éste tiene una masa de 2.
el profesor deberá buscar cuál es el más útil. Algunos cálculos los entiendo mejor usando el geoespacio.
Se observó que los alumnos pasaban más agradablemente la clase y que asimilaban mejor contenidos como el conocimiento y aplicación del teorema de Pitágoras y el descubrimiento de las propiedades de los sólidos. se mueven para observar alguna explicación del maestro. a continuación se presentan algunas de esas opiniones: • • • • • Me es más divertida y menos aburrida la clase manejando el geoespacio. en la Escuela Secundaria Diurna N°. de acuerdo a los procesos cognitivos de sus alumnos y a los factores que existen alrededor del proceso de enseñanza-aprendizaje.86
Este material se ha aplicado durante ocho años a grupos de segundo y tercer grado de secundaria. Lo que puede observar es que el estudiante sí aprende a resolver ciertos problemas porque el modelo físico le permite entender e internalizar ciertos conceptos. Trabajando con el geoespacio entiendo mejor que si simplemente observo dibujos. tan sólo quito y pongo ligas para corregir lo que quiero. Cada equipo coloca sus butacas en círculo y. Sí se recomienda el trabajo por equipos porque permite la socialización del conocimiento y habrá mayor posibilidad de descubrir más estrategias entre tres estudiantes que con uno solo. Hasta lo que hoy han investigado los psicólogos y los matemáticos no se ha podido demostrar que el aprendizaje mejora con cierto material. Para diseñar las actividades del cuadernillo se revisaron los contenidos del programa y se fueron creando actividades para cada tema. 60. si es necesario. Siempre se trabajó con el geoespacio por equipos. En lugar de hacer muchos dibujos o borrar y volver a trazar. pero se observó que
. desde 1996 hasta 2003. Turno Matutino. pero sería pretencioso afirmar que este material es la panacea y hará que cualquier alumno aprenda lo que el profesor desea. “República de Honduras”. Esto es muy diferente a que el profesor llegue al salón y sólo llene el pizarrón con números y letras. se les pidió que opinaran sobre él. Luego de que los estudiantes lo usaron.
además de crear figuras novedosas. con esto. son que el profesor enseñará a sus alumnos. cuatro o más geoespacios se pueden trabajar nuevos y más complicados sólidos. Presentación y Tratamiento de la Información. además del aspecto teórico de la geometría. esfera y otros. pero las figuras obtenidas aparecen un poco deformes. cilindro. como bisectrices. desarrollará su habilidad psico-espacial. circunferencia. Entre las limitantes que tiene este material es que no existen puntos de apoyo fuera de las aristas y uno de los recursos que subsanan esta situación es recurrir a las ligas auxiliares. Álgebra. Entre las ventajas que da este material es que para el alumno resulta muy sencillo quitar o poner ligas. como son las estructuras de geoespacio.
. círculo. Geometría (incluye Trigonometría). el alumno. El geoespacio tiene otras posibilidades. Otras ventajas que se tienen al usar el geoespacio. al montar estructuras de dos. el uso del juego de geometría y los dibujos ortogonal e isométrico.87
algunos no se pudieron integrar debido a las limitantes del material. cono. Probabilidad. y no necesitará hacer dibujos repetidas veces. El geoespacio puede servir a la enseñanza de contenidos de los cinco ejes: Aritmética.
Introducción a la resolución de problemas. Ed. reimp. reimp. Everest. ÁLVAREZ Areces. ed. 1995. México 1997. ed.. reimp. Ario. S. 2ª. España. El Problema de la Medida. Harla. Juegos de Marcos y Dialéctica a Herramienta-Objeto. 1992. R. México. Física General. Sánchez Sánchez y Gonzalo Zubieta Badillo. 1991. 1989. León. DOUADY. Grupo de estudios sobre la enseñanza de las matemáticas en el bachillerato. Trillas. W. Ed. BELMONTE Juan Miguel y María del Carmen Chamorro. ed. Simón L. y R. Ed. N. Métodos Estadísticos. DOLCIANI. México. GARCÍA Juárez. Síntesis. 30ª. Manual de Técnicas de Investigación para Estudiantes de Ciencias Sociales. Álgebra moderna. 1988. Berman y Julius Freilich. Síntesis. Ed. Heath. 2° curso. Fernández Flores. Beatriz y Antonio Máximo.
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