Source: https://www.slideshare.net/GabrielMorenoCorderoJr/anonimo-historia-de-las-matematicas
Timestamp: 2017-06-28 12:49:21+00:00

Document:
Cary Reynoso
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICASMatemáticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de lasoperaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a lasmagnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalizaciónde ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron aconsiderar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condicionesnecesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consisteen utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada endefiniciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones yteoremas más complejos.Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico.En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseñosprehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias delsentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivosestaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resultaevidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5y 10.Las matemáticas en la antigüedadLas primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C.,en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interésen medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomaso las demostraciones.Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema denumeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…),similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo elsímbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas vecescomo decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban porseparado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación estababasada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (:), junto con la fracción , para expresartodas las fracciones. Por ejemplo, era la suma de las fracciones 2.
y . Utilizando este sistema,los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así comoproblemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcularel área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindrosy, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban uncuadrado de lado . del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando laconstante pi (3,14).El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico seutilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuñasencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 (véase tablaadjunta). Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando unproceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representabacon el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por suposición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2,seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10. Este 3.
mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones, de manera que el ejemploanterior podía también representar 2 × 60 + 27 + 10 × (), o 2 + 27 × () + 10 × ()-2. Estesistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base10).Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que lespermitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueronincluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieronproblemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron unagran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablasde interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y dealgunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buenaaproximación de f.Las matemáticas en GreciaLos griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. Lainnovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en unaestructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, esteavance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este últimoenseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de susdiscípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, quese atribuyen al propio Pitágoras.En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomistaDemócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de unapirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma demedia luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Estedescubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construirun cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos quetuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo(construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemasfueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que laregla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmenteque estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentosbásicos.A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitudcapaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades esinconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente seaigual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los númerosnaturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y ellado de un cuadrado (este número, f, es lo que hoy se denomina número irracional). Debido aeste descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y setuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por elmatemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides.Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas yvolúmenes mediante aproximaciones sucesivas.Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, tambiénescribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen susElementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IVa.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la 4.
teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas yvolúmenes.El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como sepuede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo,Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación desecciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenesde figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno deEudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sinembargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes.También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando enagua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo delcálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, yestableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudiode la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés RenéDescartes en el siglo XVII.Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla.Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradiciónaritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicasde los grandes geómetras. Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaroncon esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofanteencuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con variasincógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el análisisdiofántico.Las matemáticas aplicadas en GreciaEn paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron acabo estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos, comoEuclides y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. A principios del siglo IIa.C., los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fraccionesy, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo de radiodeterminado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo centralcorrespondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las modernastablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la primera versión deestas tablas —las de Hiparco, hacia el 150 a.C.— los arcos crecían con un incremento de 7°, de0° a 180°. En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la maestría griega en el manejode los números había avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en suAlmagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de ° que, aunqueexpresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos yse introdujo un teorema —que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría— paracalcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a losastrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronomía esférica, y paradesarrollar el sistema astronómico que sería utilizado hasta la época del astrónomo alemánJohannes Kepler.Las matemáticas en la edad mediaEn Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de estosmatemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se hayanconservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo, los 5.
primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en elmundo árabe.Las matemáticas en el mundo islámicoDespués de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde susorígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la penínsulaIbérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propiaciencia los resultados de ciencias extranjeras. Los traductores de instituciones como la Casa dela Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares,escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanescomenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, losmatemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética denúmeros enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persaOmar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas paracalcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-JwDrizm­; (de sunombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabraálgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios inclusocon infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron lasinvestigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoríade las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasirad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y elteorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas enOccidente hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemánRegiomontano.Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números,mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución deecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estosconocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes,junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables delcrecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, comoLeonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra yaritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentesárabes para sus estudios.Las matemáticas durante el renacimientoAunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobreproblemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVIcuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una fórmulaalgebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a losmatemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de solucionessimilares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generólos primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuacionesdel matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos yalgebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre laresolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos delsiglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra. 6.
Avances en el siglo XVIILos europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde laera de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por elmatemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés PierreSimon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos ala mitad, les había duplicado la vida.La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época medieval,es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de laantigüedad clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantesdescubrimientos en la teoría de números. Su conjetura más destacada en este campo fue que noexisten soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2.Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajosen el álgebra y la teoría de números.En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue lapublicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de lageometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento)para investigar la geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero nolo publicó). El Discurso del método, junto con una serie de pequeños tratados con los que fuepublicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. Elsegundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el ingeniero francésGérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría proyectiva en 1639. Aunque estetrabajo fue alabado por Descartes y por el científico y filósofo francés Blaise Pascal, suterminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometríaanalítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos delmatemático francés Jean Victor Poncelet.Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de laprobabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente enlos juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó alcientífico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad enjuegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo JacquesBernoulli. Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su Doctrina del azar de 1718,utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría, que paraentonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas,el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666.Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, asícomo en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco BonaventuraCavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años mástarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero enpublicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.Situación en el siglo XVIIIDurante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz sebasaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, loque les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, loshermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés 7.
Gaspard Monge la geometría descriptiva. Joseph Louis Lagrange, también francés, dio untratamiento completamente analítico de la mecánica en su gran obra Mecánica analítica (1788),en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos.Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría denúmeros, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analíticade las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió elsobrenombre de ‘el Newton francés’.El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas fundamentalessobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobrecálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autoresinteresados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos pararesolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuarla falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría deNewton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y eltratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las seriesinfinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de lageometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.Las matemáticas en el siglo XIXEn 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico yapropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el conceptode límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica denúmero real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fueél sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuadapara los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en laactualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieronotras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más importante que surgió al intentardescribir el movimiento de vibración de un muelle —estudiado por primera vez en el siglo XVIII—fue el de definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francésJoseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quienpropuso su definición en los términos actuales.Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a lastécnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en estamateria. A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del conceptode número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis,desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann.Otro importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas deexpresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de Fourier, y sonherramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Además, lainvestigación de funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudiode los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor, que fueconsiderada como demasiado abstracta y criticada como enfermedad de la que las matemáticasse curarán pronto, forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente haencontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue lageometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a unarecta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero porGauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismosresultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso NikoláiIvánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueronestudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples 8.
paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado tambiénaplicaciones en física.Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su juventudmuestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría denúmeros, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de laera moderna. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del teoremafundamental del álgebra. A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas. Porejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de unplanetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios delmagnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba susinvestigaciones topográficas.De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental por Gaussfue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de lospolinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esadirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock. Otro avancedestacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de losnúmeros reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del matemático irlandésWilliam Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico estadounidense JosiahWillard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del matemático alemán HermannGünther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo de la teoría de grupos, a partir de lostrabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar una teoría sobrequé polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar lageometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con elálgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos detransformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica deecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones conocidas comogrupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometríaconocida como topología.También los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante elsiglo XIX, sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre lasleyes del pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia finalesdel siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. El matemático inglésBertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto.Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo bastanterestrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podríanaparecer otras paradojas —es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes. Hastanuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B esconsistente entonces la teoría A también lo es). Especialmente preocupante es la conclusión,demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según la cual en cualquier sistemade axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a las matemáticas es posibleencontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro del sistema.Las matemáticas actualesEn la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemáticoalemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académicode Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de lasmatemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de lamatemática en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en unrepaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación 9.
matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte delos trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de losproblemas de Hilbert ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera losdetalles con impaciencia.A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudoimaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en lasmatemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras derelojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra delsiglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamentesiguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginación deBabbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula devacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizorealidad. Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como elanálisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigaciónmatemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta encampos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebraabstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemasmatemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico delos cuatro colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores sonsuficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes debentener distintos colores. Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora degran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teoríasque eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas yabstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros comolas hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos yestimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrandoaplicación. ARITMETICAAritmética, literalmente, arte de contar. La palabra deriva del griego arithmHtikH, que combinados palabras: arithmos, que significa ‘número’, y technH, que se refiere a un arte o habilidad.Los números usados para contar son los naturales o enteros positivos. Se obtienen al añadir 1 alnúmero anterior en una serie sin fin. Las distintas civilizaciones han desarrollado a lo largo de lahistoria diversos tipos de sistemas numéricos. Uno de los más comunes es el usado en lasculturas modernas, donde los objetos se cuentan en grupos de 10. Se le denomina sistema enbase 10 o decimal.En el sistema en base 10, los enteros se representan mediante cifras cada una de las cualesrepresenta potencias de 10. Tomemos el número 1.534 como ejemplo. Cada cifra de estenúmero tiene su propio valor según el lugar que ocupa; estos valores son potencias de 10crecientes hacia la izquierda. El valor de la primera cifra es en unidades (aquí 4 × 1); el de lasegunda es 10 (aquí 3 × 10, o 30); el valor del tercer lugar es 10 × 10, o 100 (aquí 5 × 100, o500), y el valor del cuarto lugar es 10 × 10 × 10, o 1.000 (aquí 1 × 1.000, o 1.000).Definiciones fundamentales 10.
La aritmética se ocupa del modo en que los números se pueden combinar mediante adición,sustracción, multiplicación y división. Aquí la palabra número se refiere también a los númerosnegativos, irracionales, algebraicos y fracciones. Las propiedades aritméticas de la suma y lamultiplicación y la propiedad distributiva son las mismas que las del álgebra.AdiciónLa operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera decontar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo, cuatro manzanas y cinco manzanasse pueden sumar poniéndolas juntas y contándolas a continuación de una en una hasta llegar a9. La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las sumas mássencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas listas denúmeros con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación.SustracciónLa operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-) y es laoperación opuesta, o inversa, de la adición. De nuevo, se podría restar 23 de 66 contando alrevés 23 veces empezando por 66 o eliminando 23 objetos de una colección de 66, hastaencontrar el resto, 43. Sin embargo, las reglas de la aritmética para la sustracción nos ofrecen unmétodo más sencillo para encontrar la solución.Números negativosEl cálculo de la sustracción aritmética no es difícil siempre que el sustraendo sea menor que elminuendo. Sin embargo, si el sustraendo es mayor que el minuendo, la única manera deencontrar un resultado para la resta es la introducción del concepto de números negativos.La idea de los números negativos se comprende más fácilmente si primero se toman losnúmeros más familiares de la aritmética, los enteros positivos, y se colocan en una línea recta enorden creciente hacia el sentido positivo. Los números negativos se representan de la mismamanera empezando desde 0 y creciendo en sentido contrario. La recta numérica que se muestraa continuación representa los números positivos y negativos:Para poder trabajar adecuadamente con operaciones aritméticas que contengan númerosnegativos, primero se ha de introducir el concepto del valor absoluto. Dado un númerocualquiera, positivo o negativo, el valor absoluto de dicho número es su valor sin el signo. Así, elvalor absoluto de +5 es 5, y el valor absoluto de -5 es también 5. En notación simbólica, el valorabsoluto de un número cualquiera a se representa |a| y queda definido así: el valor absoluto de aes a si a es positivo, y el valor absoluto de a es -a si a es negativo.MultiplicaciónLa operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (×). Algunas veces seutiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más números, y otras se utilizanparéntesis. Por ejemplo, 3 × 4, 3 · 4 y (3)(4) representan todos el producto de 3 por 4. Lamultiplicación es simplemente una suma repetida. La expresión 3 × 4 significa que 3 se ha desumar consigo mismo 4 veces, o también que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces. Enambos casos, la respuesta es la misma. Pero cuando se multiplican números con varias cifras 11.
estas sumas repetidas pueden ser bastante tediosas; sin embargo, la aritmética tieneprocedimientos para simplificar estas operaciones.DivisiónLa operación aritmética de la división es la operación recíproca o inversa de la multiplicación.Usando como ejemplo 12 dividido entre 4, la división se indica con el signo de dividir (12:4), unalínea horizontal (0) o una raya inclinada (12/4).La división es la operación aritmética usada para determinar el número de veces que un númerodado contiene a otro. Por ejemplo, 12 contiene a 4 tres veces; por eso 12 dividido entre 4 es 3, o0 es 3.La mayor parte de las divisiones se pueden calcular a simple vista, pero en muchos casos esmás complicado y se necesita un procedimiento conocido como división larga.Teoría de los divisoresAntes de pasar a las fracciones, se deben mencionar algunos detalles sobre otras clases denúmeros. Un número par es aquél que es divisible por 2. Un número impar es aquél que no esdivisible por 2. Un número primo es cualquier entero positivo mayor que 1 y que sólo es divisiblepor sí mismo y por 1. Algunos ejemplos de números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Elúnico número primo par es el 2. Los enteros que no son primos se denominan compuestos, ytodos se pueden expresar como producto de números primos.Teorema fundamental de la aritméticaTodo entero mayor que 1 y que no sea un número primo es igual al producto de un y sólo unconjunto de números primos. Este teorema fue demostrado por primera vez por el matemáticoalemán Carl Friedrich Gauss. Dado un cierto número, por ejemplo 14, el teorema dice que sepuede escribir de manera única como el producto de sus factores primos, en este caso 14 =2 · 7. De la misma manera, 50 = 2 · 5 · 5 = 2 · 52. El menor múltiplo y el mayor divisor común avarios números se pueden calcular utilizando sus descomposiciones en factores primos.Mínimo común múltiploEl mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor número que puede serdividido exactamente por todos y cada uno de ellos. El m.c.m. contiene el mayor número detodos los factores primos que aparecen en cada uno de los números dados. Por ejemplo, paraencontrar el m.c.m. de tres números 27, 63 y 75, primero se descomponen en factores: 27 = 33,63 = 32 · 7, y 75 = 3 · 52. El m.c.m. debe contener al menos los factores 33, 7 y 52; por tanto, 33 ·7 · 52 = 4.725 es el menor número que se puede dividir exactamente entre 27, 63 y 75.Máximo común divisorEl mayor factor común a un conjunto dado de números es su máximo común divisor (m.c.d.). Porejemplo, dados 9, 15 y 27, el m.c.d. es 3, que se encuentra fácilmente examinando ladescomposición en factores de cada uno de los números: 9 = 32, 15 = 3 · 5, 27 = 33; el únicofactor que aparece en los tres números es 3.Fracciones 12.
Los números que representan partes de un todo se denominan números racionales, fracciones oquebrados. En general, las fracciones se pueden expresar como el cociente de dos númerosenteros a y b:Una fracción está en su forma reducida o canónica si el numerador y el denominador no tienenun factor común. Por ejemplo, ( no está en su forma reducida pues ambos, 6 y 8, son divisiblespor 2: ( = (2· 3)/ (2· 4); sin embargo, ! es una fracción en su forma canónica.Existen dos tipos de fracciones, propias e impropias. Una fracción propia es aquella en la que elnumerador es menor que el denominador; , -* y 1 son todas ellas fracciones propias. Unafracción impropia es aquella en que el numerador es mayor que el denominador; , -+ y ) sonfracciones impropias. Las fracciones impropias se pueden convertir en números mixtos o enenteros (por ejemplo, = 1 -+ = -2, y ) = 2) si se divide el numerador por el denominador y elresto se expresa como una fracción del denominador.DecimalesEl concepto de valores posicionales se puede extender para incluir a las fracciones. En vez deescribir , o dos décimos, se puede utilizar una coma decimal (,) de manera que 0,2 representatambién a la fracción. Del mismo modo que las cifras a la izquierda de la coma representan lasunidades, decenas, centenas…, aquéllas a la derecha de la coma representan los lugares de lasdécimas (), centésimas (), milésimas (1/1.000) y así sucesivamente. Estos valoresposicionales siguen siendo potencias de 10, que se escriben como 10-1, 10-2, 10-3… En general,un número como 5.428,632 se denomina quebrado o fracción decimal, y 0,632 representaEste número se lee como: cinco mil cuatrocientos veintiocho coma seiscientos treinta y dos. GEOMETRIAGeometría (del griego geR, tierra; metrein, medir), rama de las matemáticas que se ocupa delas propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa deproblemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie yvolumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometríadescriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, ygeometría no euclídea.Geometría demostrativa primitivaEl origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primerosgeómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o eltrazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica,que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los 13.
griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometríacientífica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica sepueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados.Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes;sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto desupuestos útiles pero arbitrarios.Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es lasiguiente afirmación: una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos. Un conjunto deteoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducirlógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: la suma de losángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos, y el cuadrado de lahipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros doslados (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que seocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fuemostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El textode Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometríahasta casi nuestros días.Primeros problemas geométricosLos griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe serconstruida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son laconstrucción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta quedivide un ángulo dado en dos ángulos iguales. Tres famosos problemas de construcción quedatan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos queintentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de undeterminado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculodeterminado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ningunade estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadraturadel círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas comocónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantesen muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor delSol son fundamentalmente cónicas.Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número deaportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así comola superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides ycilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (π), laproporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este númeroestaba entre 3 10/70 y 3 10/71.Geometría analíticaLa geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguientepaso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyotratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexiónentre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en laotra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representanmediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometríamoderna. 14.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figurasgeométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Un ejemplosencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1. Si los puntos A, B, C y a, b, c secolocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos seunen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichaslíneas están en una recta. De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a unacónica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de lastangentes, estas líneas se cortan en un punto único. Este teorema se denomina proyectivo, pueses cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando lasproyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de unacircunferencia es una elipse en el otro plano.Modernos avances 15.
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos CarlFriedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaronsistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de lostrabajos sobre el llamado postulado paralelo de Euclides, al proponer alternativas que generanmodelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría paraespacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espaciounidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular aella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano sesustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos,si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos unespacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, esconceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importantenúmero de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de larelatividad.También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares encuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones.Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de lageometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacioscon cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras sonlos bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatrodimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntoscomo vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. Eltetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos ycuatro triángulos.Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En ladécada de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal. GEOMETRIA ANALITICAGeometría analítica, rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figurasgeométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjuntode ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par deejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes. En la figura 1, elpunto A está a 1 unidad del eje vertical (y) y a 4 unidades del horizontal (x). Las coordenadas delpunto A son por tanto 1 y 4, y el punto queda fijado dando las expresiones x = 1, y = 4. Losvalores positivos de x están situados a la derecha del eje y, y los negativos a la izquierda; losvalores positivos de y están por encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el punto B de lafigura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0. En un espacio tridimensional, los puntos se pueden 16.
localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado z,es perpendicular a los otros dos en el punto de intersección, también llamado origen.En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal en dosvariables, x e y, de la forma ax + by + c = 0. De la misma manera, se pueden encontrar fórmulaspara la circunferencia, la elipse y otras cónicas y curvas regulares. La geometría analítica seocupa de dos tipos clásicos de problemas. El primero es: dada la descripción geométrica de unconjunto de puntos, encontrar la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos. Siguiendo conel ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea recta que pasa por A y B cumplenla ecuación lineal x + y = 5; en general, ax + by = c. El segundo tipo de problema es: dada unaexpresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos quecumplen dicha expresión. Por ejemplo, una circunferencia de radio 3 y con su centro en el origenes el lugar geométrico de los puntos que satisfacen x2 + y2 = 9. Usando ecuaciones como éstas,es posible resolver algebraicamente esos problemas geométricos de construcción, como labisección de un ángulo o de una recta dados, encontrar la perpendicular a una recta que pasapor cierto punto, o dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estén enlínea recta. La geometría analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de lasmatemáticas pues ha unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y geometría(relaciones espaciales). El estudio de la geometría no euclídea y de las geometrías de espacioscon más de tres dimensiones no habría sido posible sin un tratamiento analítico. Del mismomodo, las técnicas de la geometría analítica, que hacen posible la representación de números yexpresiones algebraicas en términos geométricos, han ayudado al cálculo, la teoría de funcionesy otros problemas de las matemáticas avanzadas. ALGEBRAÁlgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relacionesaritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición,sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capazde generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en untriángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreasde los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación(por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar unageneralización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado porsí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notaciónde 3 × 3 es 32; de la misma manera, a × a es igual que a2.El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de númerosespecíficos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebramoderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras 17.
matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos conreglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición deálgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.HistoriaLa historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces deresolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuacionesindeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvíancualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy seenseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto yBabilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presentamuchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antiguasabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, endonde se le llamó ciencia de reducción y equilibrio. (La palabra árabe al-jabru que significa‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-JwDrizm­; escribióuno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoríafundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, elmatemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades delálgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplenx + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturassólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces dedescribir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de lospolinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividir yextraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. Elmatemático, poeta y astrónomo persa Omar Khayyam mostró cómo expresar las raíces deecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas,aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebrade al-JwDrizm­ fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italianoLeonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuacióncúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridadutilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y GerolamoCardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en laecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para laecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posterioresintentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sinembargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galoisdemostraron la inexistencia de dicha fórmula.Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para lasincógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de laGeometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parecebastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante deDescartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce laresolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro degeometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo loque el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas 18.
(positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando enla teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó lademostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo(véase Número: Números complejos).En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención setrasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticosabstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos,como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuacionespolinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que compartenalgunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos demanera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones(véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno delos más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticosfranceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel ySophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertaspor el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritméticade los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de laforma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó ainvestigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbsencontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo queHamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó aGeorge Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamientoalgebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebraabstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le hanencontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.Símbolos y términos específicosEntre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan lasdiversas operaciones aritméticas. Los números son, por supuesto, constantes, pero las letraspueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usanpara representar constantes y las últimas para variables.Operaciones y agrupación de símbolosLa agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basaen los símbolos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayashorizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y lasraíces, como en el siguiente ejemplo:Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+),sustracción (-), multiplicación (×) y división (:). En el caso de la multiplicación, el signo ‘×’normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a · b. Un grupo de símboloscontiguos, como abc, representa el producto de a, b y c. La división se indica normalmentemediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, también se usa para separar elnumerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones. Hay que 19.
tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente. Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que axy dy son términos separados, lo mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c - dy) representa lafracción:Prioridad de las operacionesPrimero se hacen las multiplicaciones, después las divisiones, seguidas de las sumas y lasrestas. Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones:se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el másinterno. Por ejemplo:Otras definicionesCualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación. Una ecuación sedenomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuaciónse cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables;2x, -a, 20.
s4x, x2(2zy)3 son algunos ejemplos de términos. La parte numérica de un término sedenomina coeficiente. Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, -1, 21.
y 8 (elúltimo término se puede escribir como 8x2(zy)3).Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio, dos términos, binomio y trestérminos, trinomio. Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos. Por ejemplo, unpolinomio de n-ésimo grado en su forma general se expresa como:En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo,si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercergrado. Del mismo modo, la expresión xn + xn-1 + xn-2 es de n-ésimo grado.Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado, es decir, unaecuación de la forma ax + b = 0. Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmulade una línea recta en la geometría analítica.Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado, esdecir, de la forma ax2 + bx + c = 0.Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por símismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos. 22.
Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por símismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a· a· a oa3.Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puededescomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de númerosprimos y sus potencias. Por ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como60 = 22 × 3 × 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.Operaciones con polinomiosAl hacer operaciones con polinomios, se asume que se cumplen las mismas propiedades quepara la aritmética numérica. En aritmética, los números usados son el conjunto de los númerosracionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometríapueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos. Elconjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el conjunto de los númerosreales.Propiedades de la adiciónA1. La suma de dos números reales a y b cualesquiera es otro número real que se escribe a + b.Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación ydivisión; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales elresultado es otro número real.A2. Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de lasuma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c). Es la llamada propiedad asociativa de laadición.A3. Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elementoneutro de la adición, tal que a + 0 = 0 + a = a.A4. Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétricode a (o elemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.A5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la adición, la suma es siempre la misma:a + b = b + a. Es la llamada propiedad conmutativa de la adición.Cualquier conjunto de números que cumpla las cuatro primeras propiedades se dice que formaun grupo. Si además el conjunto cumple A5, se dice que es un grupo abeliano o conmutativo.Propiedades de la multiplicaciónPara la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, hayque prestar especial atención a los elementos neutro y recíproco, M3 y M4.M1. El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a· b o ab.M2. Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto essiempre el mismo: (ab)c = a(bc). Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación. 23.
M3. Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro dela multiplicación, tal que a(1) = 1(a) = a.M4. Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a-1 o 1/a), llamado elementoinverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para el que a(a-1) = (a-1)a = 1.M5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre elmismo: ab = ba. Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación.Un conjunto de elementos que cumpla estas cinco propiedades se dice que es un grupoabeliano, o conmutativo, para la multiplicación. El conjunto de los números reales, excluyendo elcero —pues la división por cero no está definida— es un grupo conmutativo para lamultiplicación.Propiedad distributivaOtra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y lamultiplicación de la forma siguiente:D1. a(b + c) = ab + acD2. (b + c)a = ba + caUn conjunto de elementos con una relación de igualdad, en el que se definen dos operaciones(como la adición y la multiplicación) que cumplan las propiedades de la adición, A1 a A5, laspropiedades de la multiplicación, M1 a M5, y la propiedad distributiva, D1 y D2, constituye uncuerpo conmutativo.Multiplicación de polinomiosEl siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo—se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de términos. Por ejemplo, elproducto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera:Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de agrupar,siempre que sea posible, para simplificar la expresión:Factorización de polinomiosDada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en unproducto de varios términos más sencillos. Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o 24.
reescribir, como 2x2(x + 4y). El encontrar los factores de un determinado polinomio puede sermateria de simple inspección o se puede necesitar el uso de tanteos sucesivos. Ciertospolinomios, sin embargo, no se pueden factorizar utilizando coeficientes reales y son llamadospolinomios primos.Algunas factorizaciones conocidas aparecen en los ejemplos siguientes.Para factorizar suele ser útil agrupar primero; aquellos términos que sean similares se agrupancomo en el siguiente ejemplo, cuando sea posible:Máximo común divisorDado un polinomio, suele ser importante determinar el mayor factor común a todos los términosdel polinomio. Por ejemplo, en la expresión 9x3 + 18x2, el número 9 es un factor de ambostérminos, lo mismo que x2. Tras su factorización se obtiene 9x2(x + 2), y 9x2 es el máximo comúndivisor de todos los términos del polinomio original (en este caso un binomio). De la mismamanera, en el trinomio 6a2x3 + 9abx + 15cx2, el número 3 es el mayor submúltiplo común a 6, 9 y15, y x es el mayor factor de la variable común a los tres términos. Por tanto, el máximo comúndivisor del trinomio es 3x.Mínimo común múltiploEncontrar el mínimo común múltiplo es útil para poder hacer ciertas operaciones con fraccionesalgebraicas. El procedimiento es similar al usado para realizar estas operaciones con fraccionesordinarias en aritmética. Para poder combinar dos o más fracciones, los denominadores deben 25.
ser iguales; la forma más directa de obtener un denominador común es multiplicar todos losdenominadores entre sí. Por ejemplo:Pero puede ocurrir que bd no sea el mínimo común denominador. Por ejemplo:Sin embargo, 18 es sólo uno de los posibles denominadores comunes; el mínimo comúndenominador es 6:En álgebra, el problema de encontrar el mínimo común múltiplo es similar. Dadas variasexpresiones, su mínimo común múltiplo es aquella expresión con el menor grado y los menorescoeficientes que se puede dividir exactamente por cada una de ellas. Así, para encontrar unmúltiplo común a los términos 2x2y, 30x2y2, 9ay3, basta con multiplicar las tres expresiones entresí y es fácil demostrar que (2x2y)(30x2y2)(9ay3) se puede dividir exactamente por cada uno delos tres términos; sin embargo, éste no es el menor de los múltiplos comunes. Para determinarcuál es el mínimo, cada uno de los términos se ha de descomponer en sus factores primos. Paralos coeficientes numéricos, 2, 30 y 9, los factores primos son 2, 2· 3· 5 y 3· 3 respectivamente; elmínimo común múltiplo de los coeficientes debe ser por tanto 2· 3· 3· 5, o 90, que es el producto dela mínima cantidad de factores necesaria para obtener un múltiplo común. De la misma manera,como la constante a sólo aparece una vez, debe ser un factor. En cuanto a las variables, senecesitan x2 e y3; por tanto, el mínimo común múltiplo de los tres términos es 90 ax2y3. Estaexpresión se puede dividir exactamente por cada uno de los términos.Resolución de ecuacionesDada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el conceptogeneral de identidad a = a. Siempre que se apliquen las mismas operaciones aritméticas oalgebraicas en ambos lados de la ecuación la igualdad se mantiene inalterada. La estrategiabásica es despejar la incógnita en un lado de la igualdad y la solución será el otro lado. Porejemplo, para resolver la siguiente ecuación lineal con una incógnitalos términos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el otro. Eltérmino 3x se puede eliminar del lado derecho mediante sustracción; 3x se ha de restar del ladoizquierdo al mismo tiempo:Después se resta el número 6 de ambos lados: 26.
Para despejar la x en el lado izquierdo se dividen ambos lados de la ecuación por 2:y la solución es por tanto: x = 3. Para comprobar este resultado basta con sustituir el valor x = 3en la ecuación original:Resolución de ecuaciones cuadráticasDada una ecuación de segundo grado o cuadrática en su forma general:hay diversas posibilidades para resolverla dependiendo de la naturaleza específica de laecuación en cuestión. Si la ecuación se puede factorizar, la solución es inmediata. Por ejemplo:Primero se escribe la ecuación en su forma generalque se puede factorizar como:La igualdad sólo se cumple cuando uno de los factores es cero, es decir, cuando x = 5 o x = -2.Éstas son las soluciones de la ecuación, que de nuevo se pueden verificar mediante sustitución.Si a primera vista no se encuentra un modo directo de factorizar la ecuación, puede existir otraalternativa. Por ejemplo, en la ecuaciónla expresión 4x2 + 12x se podría factorizar como un cuadrado perfecto si fuera 4x2 + 12x + 9,que equivale a (2x + 3)2. Esto se puede conseguir fácilmente sumando 9 al lado izquierdo de laecuación. La misma cantidad debe sumarse, por supuesto, al lado derecho: 27.
que se reduce aoypues h tiene dos valores. La primera ecuación da la solución x = (restando 3 de ambos lados:2x = 1, y dividiendo ambos lados por 2: x = ). La segunda ecuación da x = -7/2. Ambassoluciones se pueden verificar como antes, sustituyendo los valores en cuestión en la ecuaciónoriginal. Esta forma de resolución se suele denominar método del cuadrado perfecto.En general, cualquier ecuación cuadrática de la formase puede resolver utilizando la fórmula cuadrática. Para cualquier ecuación de este tipo las dossoluciones de x están dadas por la fórmula:Por ejemplo, para encontrar las raíces deprimero se pone la ecuación en su forma general:Por tanto, a = 1, b = -4 y c = 3. Estos valores se sustituyen en la fórmula cuadrática: 28.
Sistemas de ecuacionesEn álgebra, lo normal es que haya que resolver no una sino varias ecuaciones al mismo tiempo.El problema es encontrar el conjunto de todas las soluciones que cumplen todas las ecuacionessimultáneamente. El conjunto de ecuaciones que deben resolverse se denomina sistema deecuaciones y para resolverlo se pueden usar técnicas específicas del álgebra. Por ejemplo,dadas las dos ecuaciones lineales con dos incógnitashay un sistema sencillo: la variable y se despeja en la ecuación (2) dando y = 5 - 2x; este valorde y se sustituye en la ecuación (1):Así el problema se reduce a una ecuación lineal con una sola incógnita x, obteniéndoseode dondeSi este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales (1) o (2), se obtiene que 29.
Otro método más rápido para resolver un sistema de ecuaciones es, en este caso, multiplicarambos lados de la ecuación (2) por 4, con lo que queda:Si ahora se resta la ecuación (1) de la (2), entonces 5x = 10, o x = 2. Este procedimiento generaotro avance en las matemáticas, las matrices. La teoría de matrices nos ayuda a obtenersoluciones para cualquier conjunto de ecuaciones lineales con cualquier número de incógnitas. Recommended

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