Source: http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsxi/lehre/ana1/index.html
Timestamp: 2018-08-18 04:51:46+00:00

Document:
Analysis I wS 2010/2011
Raum: M 637
Telefon: +49 (0)231 755 3462
Sprechstunde in der Vorlesungszeit: Di 14-15 Uhr.
Übungsbetrieb bis 14.12. 2010
Dr. Jörg Sawollek
Raum: M 639
Telefon: +49 (0)231 755 3135
Sprechstunde: Do. 13-14 Uhr
Übungsbetrieb ab 15.12. 2010
Raum: M 640
Telefon: +49 (0)231 755 5163
HGII/HS1 Mo 14:00 2h
HGII/HS1 Do 10:00 2h
Die Übungen sind 4-stündig für Lehramtsstudierende (Gruppen 1 bis 5) und 3-stündig für alle übrigen Studierenden. Lehramtsstudierende haben an 2 Terminen je eine Doppelstunde, alle anderen haben einen Termin für eine wöchentliche Doppelstunde und einen Termin für eine Doppelstunde, die alle zwei Wochen statt findet. Bitte tragen Sie sich während des Anmeldezeitraums vom 11.10., 18:00 Uhr, bis zum 17.10., 18:00 Uhr, für die von Ihnen bevorzugten Termine im Studierendenportal der Fakultät für Mathematik ein. Die im Studierendenportal mit "A" markierten Termine finden in Kalenderwoche 42, 44, usw., also in der 2., 4. usw. Vorlesungswoche statt, und die mit "B" markierten in Kalenderwoche 43, 45, usw., also in der 3., 5., usw. Vorlesungswoche.
Während der Donnerstagsvorlesung erscheint jeweils ein Übungsblatt (Übungsaufgaben), Abgabe ist eine Woche später. Die Übungen können in Zweiergruppen abgegeben werden, jeder muss dann in der Lage sein, die abgegebenen Lösungen zu erklären.
Selbstbewerbung Studienstiftung des deutschen Volkes
Auch dieses Jahr dürfen sich Studienanfänger wieder bis zum 15. Februar bei der Studienstiftung des deutschen Volkes selbst fuer einen Auswahltest bewerben. Für mehr Informationen siehe Information der Studienstiftung.
Erste Klausur am 29.01. von 08:30 bis 11:30
Die Klausur findet im Audimax sowie in HG II 1, 3, 5 statt. Die Klausureinsicht findet am Dienstag, den 15.02. 2011, von 14:00 bis 17:00 in Raum E 23 statt, für Studierende mit Matrikelnummern bis 140350 von 14:00 bis 15:00, für Studierende mit Matrikelnummern von 140350 bis 142900 von 15:00 bis 16:00, für Studierende mit Matrikelnummern ab 142900 von 16:00 bis 17:00. Wer bei der Einsicht verhindert ist, kann danach seine Klausur nicht mehr einsehen. Es gibt aber die Möglichkeit, jemanden zu bevollmächtigen, die Klausur einzusehen und gegebenenfalls über die Bewertung zu reden. Dazu ist einfach eine formlose kurze schriftliche Vollmacht nötig.
Anmeldung zur ersten Klausur am 29.01. von 08:30 bis 11:30
Außer Statistik: über Boss-System
Hinweis für Lehramtsstudierende: Im BOSS-System betrifft die Modulprüfung mit der Nummer 10191 Studierende der alten Prüfungsordnung, die Modulprüfung mit der Nummer 10192 betrifft Studierende der neuen Prüfungsordnung.
ab Samstag 8. Januar.
bis Donnerstag 20. Januar 20.00 Uhr
nur möglich, falls Zulassung zur Klausur erreicht
Eintragung zur Anmeldung für die Übungsgruppen im Studierendenportal wesentlich.
Bitte Nachricht an Andreas Rätz (mit Matrikelnummer und Studiengang), falls Sie keinen Eintrag oder einen falschen Eintrag (Name, Matrikelnummer) dort haben.
Anmeldung ist verbindlich, keine Abmeldung mehr möglich!
Wichtige Informationen für Lehramtskandidaten: Studierende, die nach alter Studienordnung studieren, die Zulassung erreicht haben und sich nicht für die Modulprüfung 10191 anmelden können, melden sich bitte bei Herrn Hohmann (Prüfungsverwaltung). Studierende, die nach alter Studienordnung studieren und sich für die Modulprüfung 10192 angemeldet haben, melden sich bitte ebenfalls bei Herrn Hohmann: Prüfungsverwaltung
Weitere Ansprechpartner in der Prüfungsverwaltung sind Frau Millhoff (Mathematik: Bachelor, Master, Diplom) und Frau Schiller (Informatik: Bachelor, Master, Diplom): Prüfungsverwaltung
Statistiker über Prüfungsamt Statistik
Abmeldung beim Prüfungsamt Statistik möglich
Zulassung zur ersten Klausur
Eines der folgenden Kriterien muss erfüllt sein:
50% der Punkte der Zettel bis inklusive Zettel 9
50% der Punkte der Zettel bis inklusive Zettel 10 (Abgabe bis Dienstag 11. Januar)
Zulassung erreicht in Analysis I (Prof. Voit)
Zulassung erreicht in anderer Analysis I (bitte email an Andreas Rätz)
In Ausnahmefällen bei besonderen Gründen Zulassung auch sonst möglich. Anträge dazu bitte per email an Andreas Rätz.
Zweite Klausur am 28.03.2011 von 08:30 bis 11:30
Außer Statistik: Klausuren unabhängig voneinander, zählen jeweils als eine abgelegte Modulprüfung
Statistik: Zählt als Wiederholungsklausur
Infos zur Anmeldung folgen auf der Analysis-website.
Die Klausur findet in HG II HS 3, HS 5, HS 6 statt. Die Klausureinsicht findet am Donnerstag, den 07.04.2011, von 13:30 bis 15:00 in Raum M 614 statt. Wer bei der Einsicht verhindert ist, kann danach seine Klausur nicht mehr einsehen. Es gibt aber die Möglichkeit, jemanden zu bevollmächtigen, die Klausur einzusehen und gegebenenfalls über die Bewertung zu reden. Dazu ist einfach eine formlose kurze schriftliche Vollmacht nötig.
Anmeldung zur zweiten Klausur am 28.03.2011 von 08:30 bis 11:30
ab Montag 7. März.
bis Sonntag 20. März
Ansprechpartner in der Prüfungsverwaltung sind Frau Millhoff (Mathematik: Bachelor, Master, Diplom), Herr Hohmann (Lehramtskandidaten) und Frau Schiller (Informatik: Bachelor, Master, Diplom): Prüfungsverwaltung
Zulassung zur zweiten Klausur
Zulassung zur ersten Klausur geschafft und erste Klausur mitgeschrieben
50% der Punkte der Zettel bis inklusive Zettel 13
Erste Klausur: Stoff der Vorlesung und Übungszettel bis einschließlich 28. Januar
Zweite Klausur: Stoff der Vorlesung und Übungszettel des gesamten Semesters
Ein Viertel Multiple choice Aufgaben
Hilfsmittel: Ein handbeschriebener DinA4 Zettel
Winfried Kaballo: Einführung in die Analysis I
Stefan Hildebrandt: Analysis I
Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I
Richard Courant, Fritz John: Introduction to Calculus and Analysis
Terence Tao: Analysis I
John E. Hutchinson: Introduction to mathematical analysis (Lecture notes)
11.10.2010 0. Organisatorisches. 1. Einleitung. 2. Die reellen Zahlen. §2.1 Die Axiome der reellen Zahlen. 2.1 Die algebraischen Axiome.
14.10.2010 2.3 Rechenregeln der Addition und Multiplikation. 2.5 Regeln des Bruchrechnens (Beweis ÜA). 2.6 Die Anordnungsaxiome. 2.8 Regeln für die Anordnungsrelation (1.Teil)
18.10.2010 2.8 Regeln für die Anordnungsrelation (2.Teil). 2.9 Definition (nach oben, nach unten) beschränkt. 2.10 Definition kleinste obere (größte untere) Schranke. 2.11 Das Vollständigkeitaxiom (Supremumsaxiom). 2.14 Satz Charakterisierung des Supremums. 2.15 Satz Charakterisierung des Infimums. §2.2 Die Mengen der natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen. 2.18 Definition induktive Teilmenge. 2.19 Definition der natürlichen Zahlen.
21.10.2010 2.21 Induktionsprinzip. 2.25 Eigenschaften der natürlichen Zahlen. 2.27 Rechenregeln für endliche Summen, endliche Produkte und Potenzen.
25.10.2010 2.28 Die rationalen Zahlen. 2.29 Satz von Archimedes. 2.31 Dichtheitseigenschaft der rationalen Zahlen. §2.3 Wurzeln. 2.36 √2 ist irrational (Beweis begonnen).
28.10.2010 2.36 √2 ist irrational (Forsetzung). 2.37 Existenz von √c. 2.38 n-te Wurzeln. 2.39 Rechenregeln für Potenzen mit rationalen Exponenten. §2.4 Ein wenig Kombinatorik. 2.40 Definition Binomialkoeffizienten. 2.41 Satz über die Anzahl von Teilmengen und Anordnungen endlicher Mengen. (Beweis begonnen)
04.11.2010 2.41 Satz über die Anzahl von Teilmengen und Anordnungen endlicher Mengen (Fortsetzung). 2.43 Binomische Formeln. 2.44 Pascalsches Dreieck. 3. Folgen und Reihen. §3.1 Der Absolutbetrag. 3.1 Definition Absolutbetrag. 3.2 Eigenschaften. 3.4 Definition Abstand. 3.5 Eigenschaften. §3.2 Folgen und Konvergenz von Folgen. 3.7 Definition Zahlenfolge. 3.9 Definition Konvergenz einer Folge.
08.11.2010 3.11 Divergente Folgen. 3.13 Beschränkte Folgen. 3.14 Satz: Konvergente Folgen sind beschränkt. 3.16 Satz: Konvergente Folgen haben einen eindeutigen Grenzwert. 3.17 Satz: Summe und Produkt konvergenter Folgen (begonnen).
11.11.2010 3.17 Satz: Summe und Produkt konvergenter Folgen (Fortsetzung). 3.18 Korollar: Linearkombinationen konvergenter Zahlenfolgen. 3.19 Satz: Quotient konvergenter Folgen. 3.20 Satz: Größenvergleich konvergenter Folgen. 3.22 Definition: Bestimmt konvergent. 3.24 Satz: Kehrwert bestimmte divergenter Folgen. Kehrwert von Nullfolgen. (Beweis Übungsaufgabe).
15.11.2010 §3.3 Intervallschachtelungen. 3.25 Definition: Intervalle. 3.26 Definition: Intervallschachtelung. 3.27 Satz: Intervallschachtelungen erfassen genau einen Punkt. 3.30 Darstellung reeller Zahlen bezüglich einer Basis. 3.33 Dichtheit der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$. §3.4 Teilfolgen und Häufungspunkte. 3.34 Definition: Teilfolge. 3.35 Definition Häufungspunkt. 3.36 Proposition: Charakterisierung von Häufungspunkten. 3.37 Satz (Bolzano-Weierstraß). Jede beschränkte Folge besitzt (mindestens) einen Häufungspunkt. §3.5 Konvergenzsätze für Folgen. 3.38 Definition: (Streng) Monoton wachsende, (streng) monoton fallende Folgen.
18.11.2010 3.39 Satz: Monotone Konvergenz. 3.40 Definition: Cauchy-Folge. 3.41 Satz: Cauchy-Folgen sind beschränkt. 3.42 Satz: Cauchy Konvergenzkriterium. 3.44 Beschränkte Folgen sind genau dann konvergent, wenn sie einen eindeutigen Häufungspunkt haben. §3.6 Reihen. 3.45 Definition: Reihe. 3.46 Definition: Konvergente Reihe. 3.47 Beispiel: Geometrische und harmonische Reihe. 3.48 Linearkombination konvergenter Reihen. 3.49 Konvergenz einer majorisierten Reihe mit nichtnegativen Summanden.
22.11.2010 3.50 Satz: Cauchy Konvergenzkriterium für Reihen. 3.52 Satz: Leibnitz Konvergenzkriterium für alternierende Reihen. 3.54 Definition: Absolut konvergente Reihen. 3.56 Satz: Majorantenkriterium für die absolute Konvergenz einer Reihe. 3.57 Satz: Quotientenkriterium für die absolute Konvergenz einer Reihe. 3.59 Satz: Wurzelkriterium für die absolute Konvergrenz einer Reihe. §3.7 Umordnung und Summe von Reihen. 3.61 Satz: Umordnungen einer absolut konvergenten Reihe sind absolut konvergent. (Beweis begonnen)
25.11.2010 Folien zu Beginn der Vorlesung. 3.61 Satz: Umordnungen einer absolut konvergenten Reihe sind absolut konvergent. (Fortsetzung Beweis). 3.63 Satz: Doppelreihensatz. 3.65 Satz: Produkt absolut konvergenter Reihen. §3.8 Die Exponentialreihe. 3.66 Satz: Die Exponentialreihe zu $x$ ist für alle $x\in\mathbb{R}$ absolut konvergent.
29.11.2010 3.67 Definition: Die Eulersche Zahl $e$. 3.68 Satz: Additionstheorem der Exponentialfunktion. 3.70 Satz: $exp(qx)=exp(x)^q$ für rationale $q$. §3.9 Dezimaldarstellung reeller Zahlen. 3.71 Dezimaldarstellung durch unendliche Reihe; periodische Dezimalzahlen. 3.72 Proposition: Charakterisierung der Uneindeutigkeit der Dezimaldarstellung einer rellen Zahl als unendliche Reihe. 4. Funktionen und Stetigkeit. §4.1 Abbildungen. 4.1 Definition: Abbildung, Definitionsbereich, Wertebereich. 4.2 Definition: Injektive, surjektive, bijektive Abbildung; Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung. 4.3 Definition: Komposition von Abbildungen. §4.2 Abzählbarkeit. 4.2 Definition: Gleichmächtigkeit von Mengen; endliche, abzählbar (unendliche), höchstens abzählbare, überabzählbare Mengen. 4.5 Satz: Teilmengen höchstens abzählbarer Mengen sind höchstens abzählbar. Die Vereinigung höchstens abzählbar vieler höchstens abzählbarer Mengen ist höchsten abzählbar.
02.12.2010 4.6 Korollar: $\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Q}$ sind abzählbar. 4.7 Satz: Die Menge der Folgen in $\{0,1\}$ ist überabzählbar. 4.8 Satz: $\mathbb{R}$ ist überabzählbar. §4.3 Reellwertige Funktionen. 4.9 Definition: Reellwertige Funktion; Graph einer Funktion. 4.12 Definition: Verknüpfungen von Funktionen: Summe, Vielfaches, Produkt, Quotient. §4.4 Grenzwerte von Funktionen. 4.13 Definition: Häufungspunkt einer Menge $D\subset\mathbb{R}$. 4.14 Definition: Konvergenz einer Funktion an einem Punkt. 4.15 Satz: Äquivalente Charakterisierung mit `$\varepsilon-\delta$ Kriterium'.
06.12.2010 4.17 Definition: Rechts- und linksseitiger Grenzwert. §4.5 Stetigkeit. 4.19 Definition: Stetigkeit. 4.20 Charakterisierung der Stetigkeit mit $\varepsilon-\delta$ Kriterium. 4.23 Satz: Summe, skalares Vielfaches und Produkt stetiger Funktionen gibt wieder eine stetige Funktion. Der Quotient stetiger Funktionen ist stetig auf seinem Definitionsbereich. 4.24 Definition: Polynome und rationale Funktionen. 4.25 Korollar: Rationale Funktionen sind stetig. 4.26 Stetigkeit ist lokale Eigenschaft.
09.12.2010 4.27 Satz: Komposition stetiger Funktionen ist stetig. §4.6 Eigenschaften stetiger Funktionen. 4.28 Zwischenwertsatz (Nullstellensatz). 4.29 Korollar: Zwischenwertsatz (allgemeine Version). 4.30 Beispiel: Polynome ungeraden Grades besitzen mindestens eine Nullstelle. 4.31 Definition: Uneigentliche Intervalle. 4.32 Proposition: Stetige Abbildungen bilden Intervalle (evtl. uneigentlich) auf Intervalle (evtl. uneigentlich) ab. 4.33 Definition: Beschränkte Funktionen. 4.34 Satz: Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenem Intervall nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an. 4.35 Definition: Gleichmäßig stetige Funktionen.
13.12.2010 4.36 Satz: Stetige Funktionen auf einem abgeschlossenem Intervall sind gleichmäßig stetig. 4.38 Definition: (Streng) monoton wachsende, (streng) monoton fallende Funktionen. 4.39 Satz: Eine stetige, streng monoton wachsende Funktion auf einem reellen Intervall ist bijektiv auf ihr Bild. Die Umkehrfunktion ist stetig und streng monoton wachsend. §4.7 Logarithmus und allgemeine Potenzen. 4.40 Satz+Definition: $log:=\exp^{-1}:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ ist stetig, streng monoton wachsend und erfüllt für alle $x,y\in\mathbb{R}$ die Funktionalgleichung $\log(xy)=\log(x) + \log(y).$ 4.41 Definition: Exponentialfunktion zur Basis $a>0$. 4.42 Satz: Eigenschaft der Exponentialfunktion zu einer allgemeinen Basis.
16.12.2010 4.43 Definition: Allgemeine Potenz $a^x$ für $a>0, x\in\mathbb{R}$. 4.44 Proposition: Rechenregeln für allgemeine Potenzen. 5. Trigonometrische Funktionen. §5.1 Die komplexen Zahlen. 5.1 Definition: Der Körper der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$. 5.2 Bemerkung: Identifizierung von $\mathbb{R}$ als Teilmenge von $\mathbb{C}$; imaginäre Einheit $i\in\mathbb{C}$; Realteil und Imaginärteil von $z\in\mathbb{C}$. 5.3 Satz: $i^2=-1$. 5.4 Satz: $\mathbb{C}$ ist Körper. 5.6 Definition: Komplex Konjugierte und Betrag von $z\in\mathbb{C}$. 5.7 Lemma: Eigenschaft der komplexen Konjugation. 5.8 Lemma: Eigenschaft des Betrags, insbesondere Dreiecksungleichung. §5.2 Folgen und Reihen in $\mathbb{C}$. 5.10 Definition: Konvergen einer Folge komplexer Zahlen. 5.11 Satz: Charakterisierung der Konvergenz in $\mathbb{C}$: Äquivalenz mit Konvergenz der beiden Folge der Realteile und Imaginärteile. 5.12 Korollar: Konvergenz einer Folge und der Folge der komplex Konjugierten Folgeglieder.
03.01.2011 Folien zur Vorlesung. 5.13-5.26 §5.3 Sinus und Kosinus. 5.27-5.34.
06.01.2011 Folien zur Vorlesung. 5.35.-5.40 §5.4 Weitere trigonometrische Funktionen 5.41-5.42. §5.5 Polarkoordinaten 5.43. 6. Differentiation §6.1 Ableitung und Ableitungsregeln 6.1 Definition: Ableitung. 6.2 Bem.: Geometrische Interpretation. 6.3 Beispiele.
10.01.2011 6.3 Beispiele: Sinus, Kosinus und Betragsfunktion. 6.4 Satz: Äquivalenz von Differenzierbarkeit und linearer Approximierbarkeit. 6.5 Satz: Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit. 6.6 Satz: Reelle Vielfache, Summe, Produkt und Quotient differenzierbarer Funktionen sind differenzierbare Funktionen auf ihrem Definitionsbereich; Produkt- und Quotientenregel. 6.7 Beispiel: (i) $f_n(x)=x^n$ ist differenzierbar mit Ableitung $f_n'(x)=nx^{n-1}$.
13.01.2011 6.7 Beispiel: (ii) $f_n(x)=x^{-n}$ ist differenzierbar auf $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ mit Ableitung $f_n'(x)=-nx^{-n-1}$. 6.8 Satz: Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion. 6.9 Beispiel: Logarithmus und Arkussinus. 6.10 Satz: Differenzierbarkeit der Komposition zweier Funktionen, Kettenregel. 6.12 Definition: Höhere Ableitungen. §6.2 Lokale Extrema und Mittelwertsatz. 6.13 Definition: (Striktes ) Lokales Maximum (Minimum, Extremum).
17.01.2011 6.14 Satz: Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion verschwindet an einer lokalen Extremalstelle. 6.16 Definition: Stationärer Punkt, Sattelpunkt. 6.17 Satz von Rolle. 6.18 Mittelwertsatz. 6.20 Korollar: Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und dem Vorzeichen ihrer Ableitung. 6.21 Satz: Notwendige Kriterien für das Vorliegen eines lokalen Minimums.
20.01.2011 6.22 Satz: Regel von de l'Hospital. §6.3 Konvexität. 6.24 Definition: konvexe Funktion. 6.25 Bemerkung: Geometrische Interpretation. 6.26 Satz: Konvexität und Vorzeichen der zweiten Ableitung. 6.27 Satz: Konvexe Funktionen und Auswertung des Funktionswertes von Konvexkombinationen. 6.28 Korollar: Abschätzung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel.
24.01.2011 Folien zur Vorlesung.. 7. Das Riemann Integral. §7.1 Riemann integrierbare Funktionen. 7.1 - 7.11.
27.01.2011 Folien zur Vorlesung.. 7.12-7.16
31.01.2011 7.17 Definition: Positiver und Negativer Anteil einer reellen Funktion. 7.18 Proposition: Integrierbarkeit von $|f|$ und Abschätzung. §7.3 Differentiation und Integration. 7.19 Satz: Gebietsadditivität des Intergrals. 7.20 Satz: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 7.21 Satz: Charakterisierung von Stammfunktion. 7.22 Satz: Integral und Stammfunktion. 7.24 Beispiele: Berechnung von Integralen mit Hilfe der Stammfunktion.
03.02.2011 7.25 Definition: Stetig differenzierbar. 7.26 Satz: Substitutionsregel (Variablentransformation). 7.27 Beispiele. 7.28 Satz: Partielle Integration. 7.29 Beispiele. §7.4 Uneigentliche Integrale. 7.30 Definition: Uneigentliche Integrale. 7.31 Beispiele. 7.32 Satz: Konvergenz unendlicher Reihen und Existenz uneigentlicher Integrale.
Hier finden Sie eine erste Version eines Kurzskriptes in der Form einer überarbeiteten LaTeX-Mitschrift von Christoph Lohmann (vielen Dank!), zur Zeit ohne alle Beweise. Vorsicht: Das Skript bedarf noch weiterer Überarbeitung und enthält sicher noch Fehler.
Kurzskript.

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