Source: https://es.scribd.com/doc/66576679/29508765-Maths-3-6-Trigonometria
Timestamp: 2015-11-26 21:25:02+00:00

Document:
P. 129508765-Maths-3-6-Trigonometria29508765-Maths-3-6-Trigonometria|Views: 2.012|Likes: 42Publicado porJulio Ever Pincay SanchezMore info:Published by: Julio Ever Pincay Sanchez on Sep 27, 2011Copyright:Attribution Non-commercialAvailability:Read on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate content|Agregar a la colecciónSee moreSee lesshttps://es.scribd.com/doc/66576679/29508765-Maths-3-6-Trigonometria01/18/2013pdftextoriginalSectionsINTRODUCCIÓNHistoriaNotasAplicacionesCONCEPTOS BASICOSRazones trigonométricas en el triángulo rectánguloMedida de los ángulos. El radiánRadiánLA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA. FORMULAS FUNDAMENTALESREPRESENTACIÓNES LINEALES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º, 30º, 45º, 60º Y
90ºÁngulos complementariosÁngulos suplementariosÁngulos que se diferencian en 180ºÁngulos que suman 360ºReducción de un ángulo al primer cuadranteREPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES CIRCULARESRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOSRazones trigonométricas de la suma de dos ángulosRazones trigonométricas de la diferencia de dos ángulosRazones trigonométricas del ángulo dobleRazones trigonométricas del ángulo mitadFORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS EN SUMASFORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOSLAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSASarcseno, arcocoseno y arcotangenteRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSTEOREMA DEL SENOTEOREMA DEL COSENOCASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERAFORMULA DE HERONGeomet r í aT r i gonomet r í a Pl ana | INTRODUCCIÓN 2 | INTRODUCCIÓN 3 NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.3.3 correspondiente a 1 SCIENCE 1.1 MATHEMATICS 1.1.3 GEOMETRY 1.1.3.3 TRIGONOMETRIA PLANA COPYRIGHT Este texto, así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados son de libre difusión y tanto WikiEdu como los autores de los mismos renuncian íntegramente en sus derechos de reprodución por lo que puede ser copiado, modificado, ampliado y distribuído libremente. Su contenido está sujeto a cambios sin rpevio aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad. Se ha pedido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Solo se pide que con cada copia del mismo se referencia WikiEdu como fuente. INDICE AUTORES Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/11/2009 | INTRODUCCIÓN 4 + | INTRODUCCIÓN 1 T ABLA DE CONT ENI DO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 3 Historia.............................................................................................................................. 3 Notas ................................................................................................................................. 9 Aplicaciones .................................................................................................................... 10 CONCEPTOS BASICOS .................................................................................................... 11 Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo ......................................................... 11 Medida de los ángulos. El radián ..................................................................................... 13 Radián ......................................................................................................................... 14 LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA. FORMULAS FUNDAMENTALES ............... 16 REPRESENTACIÓNES LINEALES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS ........... 18 CALCULO DE TODAS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS A PARTIR DE UNA DADA ................................................................................................................................ 20 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º, 30º, 45º, 60º Y 90º.......... 21 RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE ................................................... 24 Ángulos complementarios ............................................................................................... 24 Ángulos suplementarios ................................................................................................... 24 Ángulos que se diferencian en 180º ................................................................................. 25 Ángulos que suman 360º ................................................................................................. 25 Reducción de un ángulo al primer cuadrante .................................................................... 26 REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES ....................... 28 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS ...................... 30 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos ......................................................... 30 Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos ................................................. 33 Razones trigonométricas del ángulo doble ....................................................................... 35 Razones trigonométricas del ángulo mitad ....................................................................... 36 FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS EN SUMAS.......................... 37 FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS ......................... 38 LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS .................................................... 41 arcseno, arcocoseno y arcotangente ................................................................................. 41 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ................................................................................... 43 TEOREMA DEL SENO .................................................................................................. 44 TEOREMA DEL COSENO............................................................................................. 44 CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA............ 46 FORMULA DE HERON ................................................................................................. 51 + | INTRODUCCIÓN 2 Otras formas de calcular el área de un triángulo ............................................................... 53 PROBLEMAS PROPUESTOS .......................................................................................... 54 + | INTRODUCCIÓN 3 I NT RODUCCI ÓN La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medida de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".
................................................................. 35 Razones trigonométricas del ángulo mitad ... 24 Ángulos que se diferencian en 180º ........... arcocoseno y arcotangente ........................................................................................................................................... 25 Reducción de un ángulo al primer cuadrante .............................................................. 11 Medida de los ángulos.................................................................................................... 28 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS .......... 16 REPRESENTACIÓNES LINEALES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS .............................................................................. 26 REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES............. 33 Razones trigonométricas del ángulo doble .......................................... 9 Aplicaciones ...................................................................................................................................................................................... 3 Historia.............................. FORMULAS FUNDAMENTALES....... 51 | INTRODUCCIÓN 1
......................................................................... 45º........................................................................... 3 Notas ........... 10 CONCEPTOS BASICOS .... 30 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos............................... 25 Ángulos que suman 360º .............................................................................................................................................................................. 46 FORMULA DE HERON ....................................................................................................................................................................................................... 14 LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA............. 37 FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS.................................................................... 38 LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS ................ 24 Ángulos complementarios ....................... 36 FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS EN SUMAS................................................................... 30 Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos ................................................................. 11 Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo ............... 60º Y 90º. El radián ................................................... 44 TEOREMA DEL COSENO.................................. 41 arcseno............................................... 13 Radián .......................................... 24 Ángulos suplementarios......... 18 CALCULO DE TODAS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS A PARTIR DE UNA DADA ................................ 44 CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA........................................ 41 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ....................................................+
INTRODUCCIÓN ............................................................ 30º..................................................................................................................................................................................................................... 21 RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE........................................................................................... 20 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º.............................. 43 TEOREMA DEL SENO ..........................................................................................
...........................................+
Otras formas de calcular el área de un triángulo ... 53 PROBLEMAS PROPUESTOS ......................................................................................... 54
Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida". En el siglo II a. autor del primer catálogo de estrellas.600 de unidad. que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. que incluía la posición de 1026 aparte de proponer una clasificación de dichos objetos en diversas clases de acuerdo con su brillo.C. por Tolomeo. las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. Los egipcios y los babilonios utilizan en sus cálculos unos conceptos que podrían considerarse precursores de las razones trigonométricas …
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas. duración del año determinada por las estaciones. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos. 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60. el Almagesto. en Egipto y Babilonia. y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Para esto se vale de las razones trigonométricas. minutos y segundos. | INTRODUCCIÓN 3
http://es.+
La trigonometría es una rama de la matemática. cuyo significado etimológico es "la medida de los triángulos".wikipedia. Comenzando con un ángulo de 70° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 70°. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana. Determinó la distancia y tamaño tanto del Sol como de la Luna. Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados.Sus cálculos del año tropical. Hiparco de Nicea Fundador de la trigonometría. rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos. con un error menor que 1/3. y la trigonometría esférica. una tabla de cuerdas con incrementos °. que se ocupa de figuras contenidas en un plano.1angulares de También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas. desde 0° a 180°. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos.
La trigonometría aparece como auxiliar de la Geometría. pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
Trigonometría. Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios . la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r.1 La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Sus teorías sobre la Luna y el Sol fueron reasumidas. tal cual. en los primeros albores de la Matemática. de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.
Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas | INTRODUCCIÓN 4
. tolomeo (c.h. lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India. M.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. prefirieron trabajar con la función seno.Buzadjami (940 . entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al . Durante el siguiente siglo. “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al .. introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. Claudius Ptolemaeusél Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos.1603) se referían a la trigonometría. con otro nombre. Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal. . De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. “Si un triángulo ABC. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. el también astrónomo alemán Georges Joachim. El tratado de la esféricas de Meneláo.997) por las divisiones en cuarto de grado. proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h. introdujo.5 minutos con respecto a las mediciones modernas.Tusi (1201 . En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. que comenzaron a aparecer en el siglo XII.+
tenían un margen de error de 6. N se tiene: en el plano L = NA . 100-c. pero su verdadero nombre. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue. fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Por otra parte. conocido como Rético. Posiblemente nació en Grecia. 170).90 . con cuatro posiciones sexagesimales. la tangente y la secante al lado del seno. Claudio Tolomeo. que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era. se resuelve gracias al triángulo suplementario”. este matemático.1274). MC A NC MB La trigonometría desarrollada por árabes A finales del siglo VIII los astrónomos árabes. plano o esférico. llamado Regiomontano. La trigonometría en Occidente El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos. En esta obra. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60. es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L. el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao. Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 .Din al .
cuando estalló un gran fuego en la ciudad. hasta el día de su muerte. el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que lleva su nombre. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. XVII. donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. La trigonometría en los tiempos modernos En el s. Isaac Newton (1642 . y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo. se salvaron sus preciosos escritos. Su libro "Principia Mathemáthica" basta para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matemáticas. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos. También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a. Euler continuó su profuso trabajo durante doce años. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis.. C para los ángulos opuestos. Además. Descubrió simultáneamente con Leibnitz el Cálculo diferencial y el Cálculo integral. en el siglo XVIII. y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. como estudio de las líneas circulares. Por último. El paralaje trigonométrico El paralaje es una palabra de origen griego que significa cambio de posición. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Según Leibnitz "Si se considera la matemática creada desde el principio del mundo hasta la época en que Newton vivió. a los setenta y seis años de edad. Desde entonces.1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli.000. Lo que él realizó fue la mejor mitad". se arrojó a las llamas. b. . c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A. Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. campo de estudio que ayudó a fundar. llegando hasta la casa de Euler. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario. Isaac newton El más grande de los matemáticos ingleses. la trigonometría. descubrió a Euler. cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras. licenciándose a los 16 años. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. En 1771. un compatriota de Basilea. Peter Grimm. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. B. Leonhard Euler fue un matemático suizo.+
calculadas de minuto en minuto para el radio 100. | INTRODUCCIÓN 5
Leonhard Euler. conclusión A través de nuestro informe podemos concluir que la historia de la trigonometría fue evolucionando desde la antigüedad asta nuestro tiempos . mayor será la longitud de la base que habrá que tomar para que el ángulo de paralaje sea apreciable. pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60.-HISTORIA La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas. Como estas observaciones están separadas 2 UA (la UA es la distancia media de la Tierra al sol). Con estas dos observaciones se puede construir un triángulo rectángulo de base 1 UA (1 UA = 149. Colocando el dedo pulgar a unos 25 cm por delante de los ojos y situándose a 1 m de distancia de la pared. Fuente: http://html.html
1. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno.
. pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios. Comenzando con un ángulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°. una.840 Km) y ángulos también conocidos. Tolomeo y Hiparco de Nicea. seis meses más tarde. Tapando con la mano un ojo cada vez se ve que la posición del dedo pulgar respecto de la pared cambia. desde egipcios (árabes) hasta europeos .com/trigonometria_15. Todos ellos hicieron grandes aportes y le debemos todos lo referente a la trigonometria. En el siglo II a. El paralaje es el responsable del movimiento aparente del dedo pulgar respecto de la pared. Cuanto más alejado esté el objeto que miramos. la navegación entre otras cosas .entre los que caben destacar Isaac newton . Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados. La altura D de este triángulo es la distancia estelar que buscamos. la estrella E se ve desde un punto con un ángulo diferente del ángulo con el que se ve desde otro punto.+
Con la siguiente experiencia se comprueba el efecto del paralaje. también que por la trigonometría pasaron variados matemáticos . la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. El método consiste en trazar sendas visuales.y que esto pudo aplicarse en varias áreas como la astronomía . Sin embargo. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco. minutos y segundos. hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. en Egipto y Babilonia.rincondelvago. por ejemplo en enero. Este movimiento aparente depende de la longitud de la base o distancia entre los ojos y de la distancia a la que se encuentre el dedo de nosotros. y la otra. El paralaje es el método más antiguo que se aplicó para calcular la distancia a las estrellas.597.C. en julio.
Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier. quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII.600 de unidad. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Por ejemplo. Además. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos. el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal. y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos.+
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el Almagesto. el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes. Durante el siguiente siglo. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. una tabla de cuerdas con incrementos angulares de y°. Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron | INTRODUCCIÓN 7
. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60. el también astrónomo alemán Georges Joachim. y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos. desde 0° hasta 180°. sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. las tablas del seno y de la tangente. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier. conocido como Rético. llamado Regiomontano. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo. El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca. y prefirieron trabajar con la función seno. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Esta función seno. al contrario que el seno utilizado en la actualidad. A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. no era una proporción. construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas. que comenzaron a aparecer en el siglo XII. sen nè y cos nè. lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. con un error menor que 1/3. en función de potencias de sen è y cos è. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples.
Fue el fundador de la filosofía griega.-TALES DE MILETO (c. donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. en los primeros albores de Ia Matemática. el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. 3.C. Los egipcios y los babilonios utilizan en sus cálculos unos conceptos que pueden considerarse precursores de las razones trigonométricas. el estudio sistematico de las relaciones entre los arcos de una circunferencia y las longitudes de las cuerdas que subtienden se lleva a cabo por primera vez entre los griegos. en el siglo XVIII. 625-c. y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia.C. r2. además. Según Tales. 2. Se dice también que introdujo la geometría en Grecia. Antes de Tales. el principio original de todas las cosas es el agua. s y t. una familia de rectas paralelas. Según este teorema. r1. el conocimiento que se tiene de él procede de lo que se cuenta en la Metafísica de Aristóteles.). las explicaciones del universo eran mitológicas. filósofo griego nacido en Mileto (Asia Menor).rincondelvago. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.com/trigonometria_10. Tales no dejó escritos. como auxiliar de la Geometrfa. 546 a. Tales llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a. que cortan a dos rectas concurrentes.-TEOREMA DE TALES Relación básica para obtener las propiedades fundamentales de la semejanza de triángulos. de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. | INTRODUCCIÓN 8
. determinan en ellas segmentos proporcionales:
Fuente http://html. y su interés por la sustancia física básica del mundo marca el nacimiento del pensamiento científico.…. Sin embargo.+
incorporadas al análisis. r3. Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.html
La Trigonometría aparece de forma incipiente. Por último.
) cuya tangente obra de trece libros -Almagesto. Los árabes tomaron de la cultura india estas funciones..ppt) Occidente latino [-]  A través de los árabes españoles.C. (india_arabe. Hiparco de Nicea (180-125 a. así como sus inversas.) fue el primero en definir un triángulo esférico en su tratado Sphoerica. cosecante y secante y describieron la tangente y la cotangente. A partir del siglo XIl Ilega Ia trigonometria a los paises occidentales de manos de los matemáticos árabes. pero el matemático árabe Nasir AI-Din (1201-1274) ya preconiza Ia consideracibn de Ia Trigonometric como una rams particular de las Matemáticas dotada de entidad propia. otros . y desarrollo en él un gran numero de teoremas de Ia trigonometría esférica basados en el célebre teorema de Menelao. los cálculos trigonométricos aparecen orientados de forma casi exclusiva a las aplicaciones astrondmicas o náuticas. Menelao de Alejandr(a (140 d. suele considerarse como el padre de la Trigonometria. realización de algunas construcciones. egipcia y griega antigua [-]  Manejaron aspectos prácticos relacionados con la trigonometría.+
uno de los cuales.ppt) Cultura india y árabe [-]  En los tratados de astronomía indios se exponen las funciones seno y coseno. mks conocido como Regiomontano. que realize una exposición sisternática de los distintos métodos de resolucidn de triángulos pianos y esféricos. (Edad Media. como el túnel de Samos.. Paraletamente a los trabajos de Regiomontano y de su maestro Peurbach.puede considerarse el tratado de Astronomía por excelencia hasta Ia época de Copérnico y Kepler. En todas ellas.C. la trigonometría se introdujo en el occidente latino a partir del siglo XIII. al que se le atribuye un tratado sobre et cálculo de las cuerdas en un circulo.. Ptolomeo y el Almagesto [-]  Con el fin de afrontar problemas astronómicos construyó una minuciosa tabla trigonométrica desde 0º a 180º y explicó cómo utilizarla para construir triángulos. (Ptolomeo. Pero el gran maestro en cuestiones trigonométricas fue sin duda Claudio Tolomeo (85-165 d. Es en pleno siglo XV que se produce un decisivo avance en la trigonometric debido a las obras de Johan Muller (1436-1476}.). al publicar un primer tratado sobre trigonometria plana y esférica independiente de la Astronomia.
La cultura babilónica..ppt) François Viète [-] | INTRODUCCIÓN 9
. que transmiten las contribuciones griegas e indias en esta materia. Medidas de ángulos en grados sexagesimales. También Ia Trigonometria esférica tiene sus inicios en Ia antiguedad clásica.ppt) (El Almagesto. orientación de templos de modo que un cierto día del año el Sol iluminara el santuario consagrado al dios Eratóstenes [-]  Calculó el radio de la Tierra con notable precisión por métodos trigonométricos.C.
Pero al margen de sus aplicaciones prácticas.
. longitudes.htm
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación. en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible.pntic. (Viete. resulta imprescindible para navegación y astronomía. como la distancia entre la Tierra y la Luna. coseno y tangente son funciones elementales básicas. cartografíay en ámbitos militares para calculod e disparo de proyectiles. distancias y ángulos de elevación y depresión. Su extensión natural. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física.ppt)
Hay ppts en http://platea.es/anunezca/experiencias/experiencias_AN_0405/1_Bachillerato/trigonometria/trabajos_t rigonometria/trabajos_trigonometria.+
Sistematizó y amplió los conocimientos trigonométricos con importantes teoremas que aplicó a la resolución de problemas aritméticos y geométricos. o una distancia que no podía ser medida de forma directa. las propias matemáticas necesitan de estas funciones en todo el cálculo infinitesimal y las funciones seno. como el sonido o el flujo de corriente alterna. que es la trigonometría esférica. La trigonometría proporciona herramientas matemáticas imprescindibles para el cálculo de áreas.mec. sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos. Su uso es extensivo en Ingeniería. la geodesia y la astronomía. arquitectura. química y en casi todas las ramas de la ingeniería.
Calcula las razones trigonométricas Del ángulo comprendido entre esos dos lados | CONCEPTOS BASICOS 11
. cosecante (csc cosecant scsn ) y cotangente (ctg cotangente cot).+
A partir de ellas definimos las tres razones inversas: secante (sec secant sec). Denotaremos por A el ángulo recto y denotaremos también los lados mediante las letras minúsculas a. calcular todas las razones trigonométricas de sus ángulos agudos Ejemplo 2 En un triángulo rectángulo uno de los catetos vale ½ y la hipotenusa 1. b y c de forma que cada lado con la misma letra sea opuesto al vértice de esa letra
Definimos las razones trigonométricas seno (sen sine sin) . como:
Ejemplo 1 Dado un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4. B y C.
.La cotangente de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale 100. calcula la hipotenusa.
. 2. 3.. Calcula el cateto contiguo sabiendo que la hipotenusa vale 5.. Si el cateto opuesto a dicho ángulo vale 1/5.Calcula todas las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen ambos 1.+
Problemas propuestos 1.El seno de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale 1/3.
wikipedia. James Thomson usó el término ya en 1871. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas. cada parte se llama minuto sexagesimal Si un minuto sexagesimal se divide en 60 partes iguales. hermano de Lord Kelvin. En dicho sistema.
Aunque hoy en día esta forma de medir los ángulos sigue vigente.org/wiki/Sexagesimal
El término radián surge en unas preguntas de examen propuestas por James Thomson. También fue empleado. http://es. minutos y segundos). cada parte se llama segundo sexagesimal. El radián
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta.
http://es. Además. El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos.+
Medida de los ángulos. en el Queen's College de Belfast. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. como variante de rad. por los árabes durante el califato omeya. en una forma más moderna. el ángulo definido por cada una de esas partes se llama grado sexagesimal. Este método es el de medir los ángulos mediante radianes | CONCEPTOS BASICOS 13
. podemos representar estas cantidades sobre la recta real y sus operaciones aritméticas son menos engorrosas que con los º ‘ “ .wikipedia. Si un grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales. 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior.org/wiki/Radi%C3%A1n Definición Si la longitud de una circunferencia se divide en 360 partes iguales. puesto que simplifica los cálculos. minutos y segundos) y ángulos (grados. se ha desarrollado un método más como desde el punto de vista de operativa matemática. ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π. radial y radián.
y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales.1688 180 180 180
. se deduce que la circunferencia completa tiene 2π radianes. Como la longitud de una circunferencia es L = 2πr. luego tenemos:
Ejemplo 2 Pasar a radianes 124º 15’ 45” Pasar a grados sexagesimales 1 y 2 radianes    radianes  grados  124º15' 45"  124. Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene 2π radianes. 26º  2.
El paso de un tipo de medida a otro se realiza mediante simple proporción directa o regla de 3.+
Radián Se denomina radián al ángulo determinado por una longitud de arco de circunferencia igual a su radio.
180 180 180 radianes  1  57. 296  57º17 '46"    180 180 360 radianes  2  114.592  114º 35'32"   
Del punto P trazamos una perpendicular al eje OX y llamamos P’ al punto de corte con dicho eje. luego
 sen 2  cos 2   1 .+
Sobre un sistema de ejes cartesianos dibujamos una circunferencia de centro en el origen de coordenadas O (0. que constituye la llamada 1ª Fórmula Fundamental
| LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA.
Como el triangulo OPP’ es rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras.0) y radio r = 1 Partiendo del lado positivo del eje OX tomamos un ángulo α y llamamos M y P a los extremos inicial y final del arco de circunferencia que comprende. FORMULAS FUNDAMENTALES 16
Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas: a) sec   sec   sen 2 2 2 b)  se n  cos     se n  cos   c) 1  tan 2   sec 2  d) se n 2 1  cot 2   e) sen 4  cos 4  f) se n  cos   tg  cot   2.+
opuesto PP ' sin    . fórmula que constituye la llamada 2ª Fórmula Fundamental contiguo OP ' cos  de la trigonometría tan 
1. FORMULAS FUNDAMENTALES 17
.Decir en qué cuadrante se encuentra un ángulo en cada una de las siguientes condiciones: a) Su seno es negativo y su coseno es positivo b) Su coseno es negativo y su tangente positiva c) Su seno es positivo y su tangente negativa d) Su secante es negativo y su cosecante positiva e) Su cosecante y su cotangente son ambas positivas 3.¿Qué signo tendrá la secante de 2 radianes? Y la cotangente de 330º?
| LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA....
Tomando la circunferencia gniométrica en su primera cuadrante. Usaremos el signo  para representar la semejanza de triángulos. por lo que podemos escribir la relación:
Los triangulos OB’B y OPP’ son también semejantes (pues ambos son rectángulos y los angulos POP’ y OB’B son iguales). por lo tanto se tienen las proporciones:
. Desde el punto M trazamos una perpendicular al eje OX y llamamos M’ al punto de corte con la recta que contiene al segmento OP Los dos triangulos OPP’ y OMM’ son semejantes por tener los 3 ángulos iguales . acabamos de ver que
Vamos ahora aver que líneas representan a las demás razones trigonométricas directas e inversas.
9539   0.32  cos2   1 cos 2   1  0. ctg    3.8944 sin   2 cos  cos   
Y calcularíamos las inversas como hicimos en el caso 1 Caso 3: Conocida alguna razón inversa Si conocemos cualesqueira de la sec α . 09  0. Esto se logra usando las dos fórmulas fundamentales y resolviendo el sistema de ecuaciones que se presente:
Caso 1: Conocido el seno o el coseno Supongamos que conocemos el seno de un ángulo α y que es igual a 0.3.3145
Caso 2: Conocida la tangente Supongamos que ahora sabemos que la tan α = 2. cs c     3. tendríamos el sistema
0. calcula las demás razones
.3.91  cos   0. supongamos que ahora sabemos el valor de ctg α = 2. Tendríamos
 sin 2  cos 2   1 1 2 2 2  0 ' 4472    2 cos    cos   1  5 cos   1  cos   5   sin  2   sin   0.91  0.+
Con conocer una razón.9539 cos  
 1 1 1 1 1 1   1.9539 sin  0.3 0. con lo que ahora aplicaríamos el proceso descrito en el caso 2 Problemas Sabiendo que la csc α = 2. csc α ó ctg α bastaría con calcular inicalmente la correcpondiente directa y ya estaríamos en el caso anterior.3 tan  0. Entonces tan α = ½ .1798 cos  0. basta para obtener las otras 5. Por ejemplo. 0483.3145 tan    0.3 tan    0.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º. 30º. podemos rellenar los primeros valores de nuestro cuadro
| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º. 45º. 60º Y 90º
Vamos a calcular sin necesidad de calculadora ni ningún medio m´s que nuestro razonamiento. 45º. 60º Y 21 90º
. que sabemos vale 1 De la misma forma los senos crecen hasta 1 al irse acercando el ángulo a 90º y los cosenos tienden a hacerse cada vez menores hasta tender a 0 cuando el angulo se acerca a 90º Por tanto. rellenando la siguiente tabla Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 0º 30º 45º 60º 90º Caso 0º Y 90º Observando la circunferencia gniométrica vemos que los senos decrecen al acercarse el valor a 0º y los cosenos crecen tendiendo a completar el radio completo de dicha circunferencia. 30º. los siguientes valores.
al ser iguales. Sus ángulos agudos. Los tres ángulos valen 60º pero si trazamos la altura desde el vértice superior. podemos calcuilar ahora las razones de los ángulos agudos de este triángulo que hemos construido.+
Caso se 30º y 60º Consideremos un triángulo equilátero de lado 1. necesariamente valen 45º La hipotenusa la calculamos
Y ahora. 45º. dibujando un triángulo rectángulo del que calculamos la altura por pitágoras
Con este dato. 60º Y 22 90º
. ésta divide al ángulo en dos partes iguales de 30º y a la base en dos mitades de ½ cada una. resultando: Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 30º
Construímos un triángulo rectángulo con sus dos catetos iguales y de valor 1. con estos datos rellenamos la tabla con los valores restantes que queríamos obtener:
| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º. 30º.
| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º. 60º Y 23 90º
. 45º. 30º.
al tener los 3 ángulos iguales y la hipotenusa igual. al tener los 3 ángulos iguales y la hipotenusa igual. Sean α y β complementarios. luego llamásmosles α y (π – α). luego les llamamos α y (π/2 – α). En consecuencia. los catetos son también iguales PP’ = OQ’ y OP’=QQ’ Podemos entonces afirmar que
. entonces β = (π/2 – α). Los representamos en la siguiente figura. En consecuencia. en la cual podemos observar que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales. en la cual podemos observar que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales. Sean α y β complementarios. Los representamos en la siguiente figura. los catetos son también iguales PP’ = OQ’ y OP’=QQ’ Podemos entonces afirmar que sin   PP ' OQ '  cos   2 cos   OP '  QQ '  sin    2  PP ' OQ ' cos 2   tan      ctg    2 OP ' QQ ' sin    2
Dos ángulos α y β son suplementarios si sumados valen un ángulo llano (180º o π rad).+
Dos ángulos α y β son complementarios si sumados valen un ángulo recto (90º o π/2 rad). entonces β = (π – α).
por tanto se deducen las las relaciones siguientes:
Dado un ángulo α al ángulo (2π. Como se ve en la figura los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales. si lo expresamos en función de ángulos opuestos serían tan  
sin   PP '  QQ '   sin     cos   OP '  OQ '  cos      sin   sin         tan      cos  cos      O.α ) también le podemos llamar el opuesto a α . lo podemos representar también por – α. es decir.+
Tal y como están representados en la figura se deduce con facilidad que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales.
Por aquel entonces era vital entender bien las relaciones de la pregunta previa para poder calcular cualquier razón trigonométrica a partir de aquellas tablas. Entonces. Imaginémonos el ángulo de 1690º. 250º es un ángulo del tercer cuadrante.+
Antiguamente. calculaba su suplementario y tendríamos sin175º12 '  sin 180º 175º12 '  sin 4º 48' cos175º12'  cos  360º 175º12 '   cos 4º 48' tan175º12 '  sin175º12 ' sin 4º 48'    tan 4º 48' cos175º12'  cos 4º 48'
Y el mismo proceso se utilizaría con ángulos en el tercer o cuarto cuadrante o ángulos opuestos. Para saberlos dividimos 1690º entre 360º y obtenemos 5 de cociente y 250º de resto. Había también libros que incluían seis decimales y estaban tabulados cada segundo sexagesimal. Ahora bien. Este ángulo da varios giros completos a la circunferencia. solo se disponía de unas tablas tabuladas para conocer las razones trigonométricas de los ángulos con una cierta exactitud. que solo nos ofrecían las razones del seno y coseno en el primer cuadrante
Ejemplo 1 Imaginémonos que deseamos saber el seno de 175º 12’. por todo lo estudiado en la pregunta previa. por tanto este ángulo da 5 giros completos y se detiene en 250º durante el sexto giro. Este ángulo está en el 2º cuadrante. Ejemplo 2 Si el ángulo dado era myor de 360º entonces es que daba más de una vuelta completa a la circunferencia gniométrica. luego aplicamos lo visto en el | RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS 26 ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
. Las había de una sola hoja donde nos ofrecían las razones trigonométricas del seno y del coseno con cuatro decimales y tabuladas desde el 0º hasta el 90º cada 5” sexagesimales.
3.7475  cos 70º
Como consecuencia tendremos sin12r  sin 327º 32 '57"   sin  360º 327º 32 '57"   sin 32º 27 '3"  0. 2.6359 cos12r cos 32º 27 '3"
Problemas propuestos 1.5494º  687º 32 '57" 2 12 2  sin 70º   tan 70º  2.8439 tan12r  sin12r  sin 32º 27 '3"    tan 32º 27 '3"  0.5366 cos12r  cos 327º 32 '57"  cos  360º 327º 32'57"  cos 32º 27 '3"  0. Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 3 radianes Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 5715º Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 2295º Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 4180.3420 tan 250º  Ejemplo 3 Calcular las razones trigonometricas del ángulo de 11 radianes Cada vuelta completa son 2π radianes o 360º luego resolvemos la proporción 360º x 4320  x  687.9397 cos 250º   cos  250º 180º    cos 70º  0.575º
. 4.+
apartado previo de ángulos que se diferencian en 180º y tendríamos sin 250º   sin  250º 180º    sin 70º  0.
Sin necesidad de utilizar tablas conocemos los siguientes valores. la gráfica en todo R será
. es decir. como las funciones trigonométricas son periodicas. Grados 0 15 Radianes 0  12 Sin x 0 Cos x Tan x 1 0 30  6 1 2
Los cuales resultan suficientes para deducir que su gráfica para estos valores y. se repiten sus valores a partir de los 360º y antes del cero.
como conocemos las razones de 30º y 45º. podríamos conocer las de (45º + 30º) = 75º. Tendremos que probar las siguientes fórmulas
Demostración Para demostrar estas fórmulas nos vamos a basar en el siguiente gráfico. | RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS 30
. Por ejemplo.+
Se trata ahora de conocidas las razones de los ángulos α y β. En él sobreponemos los ángulos α y β resultando que los triángulos de manera que la recta MN sea perpendicular a la recta OM
De esta manera tenemos el que los triángulos NQM ∼ OQN’ y de ahí que el vértice N del primero coincida con el ángulo α. a partir de ellas conocer las razones del ángulo (α + β ).
.. ON ON ON ON ON ON .  cos   cos   sin   sin  cos     
sin   cos   cos   sin  sin   cos  cos   sin   sin   cos   cos   sin  cos   cos  cos   cos  cos   cos  tan          cos     cos   cos   sin   sin  cos   cos   sin   sin  cos   cos   sin   sin  cos   cos  cos   cos  cos   cos  sin  sin  1  1 tan   tan  cos  cos  ... las siguientes relaciones En el triángulo OMM’ sin   En el triángulo MPN cos   En el triángulo OMN sin  
NN ' PN ' NP MM ' NP OM sin   NM cos  OM NM     sin   cos   ..   sin   sin  1  tan   tan  1 cos   cos 
..  sin   cos   cos   sin  sin     
ON ' OM ' N ' M ' cos   OM  PM cos   OM  sin   NM OM NM     cos   sin   .. entonces.+
Seno (α + β ) Se cumplen... ON ON ON ON ON ON .
Se trata ahora de conocidas las razones de los ángulos α y β... que son:
Basándonos en ellas... podríamos conocer las de (45º-30º) = 15º. se obtiene que
sin      sin         sin   cos      cos   sin     sin   cos   cos     sin    ...β ). Por ejemplo.. como conocemos las razones de 45º y 30º. a partir de ellas conocer las razones del ángulo (α .  cos   cos   sin   sin 
.  sin   cos   cos   sin  cos      cos         cos   cos      sin   sin      cos   cos   sin     sin    . Tendremos que probar las siguientes fórmulas
Demostraciones Tendremos que recordar las relaciones trigonométricas entre ángulos opuestos..   .   .
como conocemos las razones de 60º.+
Se trata ahora de conocidas las razones del ángulo α. a partir de ellas conocer las razones del ángulo 2α Por ejemplo. podríamos conocer las de 120º (aunque en este ejemplo ya las conocemos por ser ángulos suplementarios) Tendremos que probar las siguientes fórmulas
Se trata ahora de conocidas las razones del ángulo α. estas dos fórmulas las podríamos expresar también en la forma
. a partir de ellas conocer las razones del ángulo α/2 Por ejemplo. como conocemos las razones de 45º. la primera fórmula fundamental y la del coseno del ángulo doble
En las que hacemos un cambio de notación. dado que α es la mitad que 2 α . podríamos conocer las de 22º30’ Tendremos que probar las siguientes fórmulas
Demostraciones Basándonos en dos fórmulas conocidas.
. pero que este es el momento de explicar y tener constancia de su existencia. La primera de ellas.
Las fórmulas siguientes se usan en unos muy específicos futuros problemas de cálculo de integrales y ecuaciones diferenciales.
Si en ellas hacemos un cambio de notación y a (α + β ) le llamamos γ y a (α .β ) le llamamos δ. (2).+
Demostración En las fórmulas de transformación de productos (1). como | FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS 38
5)= 300º f ( x)  arc csc x . De la misma manera se puede definir
f ( x )  arc cos x . hallar el ángulo csc   sin  cuyo seno es ese.5. aunque también podría ser f(0. donde f(0. el arc sin 0. a este tipo de función inversa se le suele llamar en matemáticas la función arcoseno.5) = 60º ó f(0. que es la cosecante de ese ángulo 1 con la funcion inversa de la seno en el aspecto de dado el seno.5 es igual a 30º porque el sin 30º = 0. Por ejemplo. donde f ( 3)  arctan
. donde f(0. pero también valdría f(1) = 225º f ( x)  arc sec x . arcocoseno y arcotangente
No confundamos el inverso del seno de un ángulo. Quizás para evitar esta confusión. Es decir. donde f(1) = 45º pues la tan 45º = 1. la función f ( x)  arc sin x viene dada por el ángulo α cuyo seno es x. donde f(0) = 0º y f(0) = 360º f ( x)  arc cot x .5 f ( x )  arc tan x .5) = 60º pues la cos 60º = 0. que también se puede llamar inversa como función que puede escribir sin 1 x .+
arcseno.5) = 330º.
 x 2 sin 2 y  1  sin 2 y   x 2 sin 2 y  sin 2 y  1  sin 2 y  x 2  1  1  .. Para el arco coseno:
y  arccos x  x  cos y  x  1  sin 2 y  x 2  1  sin 2 y  sin y  1  x 2  ......+
Ejercicio Expresar las funciones f ( x)  arccos x ... sin y sin y
. tendremos que. por ejemplo... para el arco cotangente
y  arctgx  x  cot y  x  1  sin 2 y cos y   x sin y  1  sin 2 y  ... pues Geogebra solo trae definida la función asin (x) Sea pues y  arc sin x . . f ( x)  arc csc x y f ( x)  arc cot x en función de la función f ( x)  arc sin x Este ejercicio es necesario... 2 cos y 1  sin y x2  1  sin y  x2 x2 1  y  arcsin x2 x2  1 x2
. .. f ( x)  arc sec x .  sin y  x  y  arcsin x x2 1
1 1   x 1  sin 2 y  1  x 2 1  sin 2 y   1  ... x2 1
.  x 2  x 2 sin 2 y  1  0  sin 2 y 
Y finalmente.... f ( x )  arctan x ..  y  arc sin 1  x 2 Para el arco tangente:
y  arctan x  x  tan y  x  sin y sin y   x 1  sin 2 y  sin y  .  x 2 1  sin 2 y   sin 2 y  x 2  x 2 sin 2 y  sin 2 y   x 2  1 sin 2 y  sin 2 y  x2 1 Para el arco secante .. para poder representar con Geogebra todas las funciones arco.. 2 cos y 1  sin y x2  .  sin 2 y  1  sin y  x 1
Resolver un triángulo es llegar a conocer el valor de sus tres lados y de sus tres ángulos. se verifica el Teorema de Pitágoras a 2  b 2  c 2 | LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 43
. conocidas algunas de las medidas o relaciones entre ellos. Hasta ahora en enseñanza secundaria de triángulos se saben unos datos básicos
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º: A + B + C = 180º Si el triángulo es rectángulo.
Demostración Dado el triángulo ABC de la figura. trazamos dos alturas. Lo mismo ocurre con los triángulos ACH’ y CBH’. Los triángulos ABH y ACH así obtenidos son rectángulos pues estamos hablando de trazar alturas que son perpendiculares a los lados. que les llamamos hA y hB y llamamos H y H’ a los puntos de intersección de estas alturas con los lados opuestos. la correspondiente a los vértices A y B.+
Aparte. si es rectángulo. Por todo ello se verifican las siguientes relaciones. Es ahora el momento de generalizar estos conceptos a un triángulo cualquiera y estudiar más relaciones entre los lados. los ángulos y el área. En los triángulos ABH y ACH
. hemos definido las razones trigonométricas de cualquiera de los ángulos.
Para cualquier otro lado la demostración sería análoga Como ya comentamos en la demostración del teorema dels eno. los triángulos AHC y AHB son rectángulos. por lo tanto b 2  c 2  n 2  m2  b 2  c 2  n 2  m 2  b 2  c 2  n 2   a  n    a  mn m  a  n  Del triángulo ABH se obtienes que cos B 
Pero m y n juntos son iguales al lado a: m + n = a. luego en ellos se verifica el teorema de Pitágoras. y sustituyendo n
c-q. nos queda precisamente el enunciado de dicho teorema por ser cos 90º = 0:
Téngase en cuenta que el triángulo ABC no es necesariamente rectángulo.
. pues si A = 90º. Vamos a demostrar el teorema para el lado b de la figura adjunta.+
Observa que a es cualquier lado y A es el ángulo opuesto al lado a.d. Observa también que esto es una generalización del teorema de Pitágoras.
que es que el triángulo sea rectángulo. en cuyo caso A = 90º y se verifica Pitágoras. a y c.132  22  0. b y c. tenemos que La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º: A + B + C = 180º El teorema del seno
El teorema del coseno a 2  b 2  c 2  2bc  cos A Y si el triángulo es rectángulo y el lado a su hipotenusa.13 a  22  c 2  c 2  a 2  22  2.+
Como ya hemos dicho anteriormente. Veamos un Resuelve un triángulo rectángulo donde un cateto b = 2 y su ángulo C = 20º Como es rectángulo A = 90º luego sabemos 2 ángulos y un lado. tenemos una simplificacion del teorema del coseno que es el teorema de Pitágoras a 2  b 2  c 2 Veamos entonces una descripción de los casos que se nos pueden ir presentando Caso 1 Conocidos 3 lados Caso 2 Conocidos 2 lados y 1 ángulo Caso 3 Conocidos 1 lado y 2 ángulos Caso 4 Conocidos los 3 ángulos
Caso 0.9397    2 2 2 2 2 2  a  2  c  a b c  
. Para ello: A  B  C  180  B  180  90  20  70º     b 2 2 2    2 sin B    2. cuando conozcamos el valor de sus tres lados y sus tres ángulos Como armas. lo cual implica una mayor sencillez de resolución. que podemos llamar Caso 0.53  sin 70   a  a a sin 70 0. consideraremos resuelto un triángulo de vértices ABC y lados a. tenemos que calcular B. Triángulos rectángulos Hay un caso aún más básico.
b 2  c 2  a 2 2 2  1.52  2 2 0.25  B  cos 1 0. donde el ángulo es 38º y la distancia 7m. calcular la altura de la torre de la figura.6875  46º 35' 2ab 2 1  2 4 a 2  b 2  c 2  2bc  cos A  cos A 
.875  A  cos 1 0.469 m es la altura de la torre Caso 1 Conocidos 3 lados Resolver un triángulo conociendo los tres lados a = 1.+
Ejemplo práctico Calcular la altura de un edificio pudiéndonos aproximar a la base.5 6 a 2  c 2  b 2 12  1.52 2. por ejemplo. b = 2 y c = 1.5 3 a 2  b 2  c 2 12  22  1.75 c 2  a 2  b 2  2ab  cos C  cos C     0.75 b 2  a 2  c 2  2ac  cos B  cos B     0.875  28º 57 ' 2bc 2  2 1. o incluso una vez calculado A.7813  7  5.5
Vamos aplicar tres veces el teorema del coseno para calcular los tres ángulos Aunque sería más cómodo a efectos de cálculo aplicarlo dos veces y el tercer ángulo calcularlo mediante A + B + C = 180.6875  C  cos 1 0.52  12 5.469  c 7   2 2 2   a b c   Luego el cateto b de 5. calcular B por el teorema del seno.25    0. Se sobreentiende que la vertical de la altura forma 90º con el suelo Tenemos A  B  C  180  C  180  90  38  52º    b b   tan C   tan 38   b  0.25  104º 28 ' 2ac 2 11.
luego podríamos calcular los ángulos restantes por el teorema del coseno igual que en el caso anterior.9681  104º 31' sin 28º 57 ' sin B sin C 1 1 Nota: Los minutos de diferencia con la solución conocida de partida se deben a los errores de los cálculos producidos por truncamientos de decimales
Luego hay dos posibles soluciones. pero los datos conocidos son inicialmente distintos. pero lo intentamos por el del seno:
a b c    ..1 Conocidos 2 lados y 1 ángulo opuesto a uno de ellos Resolver un triángulo conociendo dos lados a = 1. es decir B = 180º .5 1. b = 2 y un ángulo A = 28º57’ En este caso no nos valdría aplicar el teorema del coseno.. b = 2 y un ángulo C = 46º35’ El gráfico es el mismo del ejercicio anterior. sin A sin B sin C 75º 29 ' 1 2 c 2  sin 28º 57 ' 2  0.25  1. podemos calcular el tercer lado por el teorema del coseno
c2  a 2  b2  2ab  cos C  c 2  12  22  2 1 2  cos 46º 35'  5  4  0. sin embargo. aconsejo usar siempre que se pueda.28º57’ – 46º35’ = 104º 28’ Caso 2..A – C = 180º .5 Ahora ya sabemos los 3 lados.7264       sin A    0... dado que el ángulo obtenido es único mientras que con el teorema del seno siempre hay dos posibles soluciones y una de ellas es falsa.9681  B  sin 1 0.1 Conocidos 2 lados y 1 ángulo comprendido entre ellos Resolver un triángulo conociendo dos lados a = 1. sin A sin B sin C sin A sin B sin 46º 35 ' 1.9681.5 1 sin 46º 35 ' 0.. pero hagámoslo de otra forma por abrir más el abanico de métodos.  A  sin 1 0. Como conocemos dos lados y el ángulo comprendido. el teorema del coseno.6873  2..4842  151º 3'  Solucion falsa pues seria A+B+C>180 Por ello.25  c  2.
Y solo nos queda calcular el ángulo que falta. dado que hay dos ángulos que tienen por seno 0. apliquemos ahora el teorema del seno:
a b c 1 2 1.     sin B    0.. que también por variar lo calculamos de la forma más directa.4842  .+
Caso 2.4840 .5 28º 57 ' .que son A = 75º29’ ó A = 104º31’ Nuestra pregunta ahora es ¿valen las dos? y en caso contrario ¿cuál será la buena? | CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 48 CUALESQUIERA
sabemos también el tercero: A = 10 . conocemos a = 1.4840
Y ambas soluciones son válidas.C = 180 – 104º28’ – 46º35’ = 28º57’ Y ahora aplicamos el teorema del seno para obtener b y c:
. Veamos de nuevo nuestro ejemplo inicial en el que ahora.B . de partida.4840
Si B =104º31’ entonces C = 180 – A – B = 180 – 28’57’ – 104º31’ = 46º32’. y en este caso llegamos a la solución conocida:
a c 1 c 1  sin 46º 32 ' 0. B = 104º28’ y C = 46º35’ Si sabemos dos ángulos.9679    c  2 sin A sin C sin 28º 57 ' sin 75º 26 ' sin 28º 57 ' 0. sería
a c 1 c 1 sin 75º 26 ' 0.5 sin A sin C sin 28º 57 ' sin 46º 32 ' sin 28º 57 ' 0.7263    c   1.+
Veamos ambas soluciones por separado: Si B =75º29’ entonces C = 180 – A – B = 180 – 28’57’ – 75º29’= 75º26’ y en este caso el lado c que falta.
Caso 3 Conocidos 1 lado y 2 ángulos Este es un caso sencillo que se resuelve directamente por el teorema del seno.
Tenemos hasta ahora probadas dos base  altura 1.S  2 2.. con la que veremos cuando estudiemos álgebra vectorial..En un triángulo de vértices dicho triángulo viene dada por x1 1 S  x2 2 x3 Demostración
de coordenadas A  x1 .S 
La cual coincide.La fórmula de Herón S  p  p  a  p  b  p  c  Pero también podemos probar ahora que 3. B  x2 . y1  ..... siendo R el radio de la circunferencia circunscrita 4R
5. que nos dice que un triángulo de vértices ABC tiene como área    1   1   1   S   AC  BC   AC  BC   AC  BC  sin C 2 2 2 4.. y2  y C  x3 .Por el teorema de la altura en triángulos rectángulos
4. y3  el área de
3. (Ver SM Matematicas I)
.S 
a b  c .…. pero obtenida por otro camino.
.  sin A  2   1  A  90º 2
Por lo que estamos hablando de un triángulo rectángulo en A..+
1. Se observa que el lado a de longitud 1.Resolver un triángulo en el que a = 1... En el gráfico adjunto marcamos el ángulo A = 60 y dibujado en rojo la dirección obligatoria que tiene que tomar el lado c...7320 2
Pero es que los senos y los cosenos se mueven en el intervalo de la recta real [1. resultando que
a b c 1 2 c       .... luego nunca podrá valer 1.
2. b = 2 y B = 30º
a b c 2 1 c       .  sin B  2   3  1. luego la solución a este problema es imposible. sin A sin B sin C sin 60º sin B sin C 3 .. 1]. nunca puede llegar a tocar este lado.7320.
. b = 2 y A = 60º Solución Aplicamos el teorema del seno. sin A sin B sin C sin A sin 30 sin C 1 .Resolver un triángulo en el que a = 1.
Sabiendo que el ángulo en el punto A BAC = 25º.17 metros sin B sin C sin 70 sin 25 sin 25 0. tenemos
b c b 50 50  sin 70 50  0.Medición de la longitud de un lago Supongamos que queremos medir el ancho de un lago.9397    b   111.En el dibujo siguiente se quiera calcular la distancia desde el observador en el punto A hasta la puerta del castillo en el punto C
Solución El ángulo C lo obtenemos directamente C = 180 – A – B = 180 – 85º .4226
.  c  4257  65.. para lo cual...+
3.70º = 25º Y aplicando ahora el teorema del seno. calcular el ancho del lago
c2  a 2  b2  2ab  cos C  c 2  752  1252  2  75 152  cos 25º  5625  15625  16993  4257  .. desde un punto fijo A medimos la distancia desde dicho punto A hasta los extremos del lago B y C..24
4. . resultado ser AB = 75 m y AC = 125 m..
y R2 se encuentra la emisora?
b 8  sin 32 8  0. Si R1 = 32º.Para localizar una emisora clandestina E. distantes entre si 8 kilómetros.5299   2.+
5. orientan sus antenas en la dirección de recepción óptima.7431 c   3.56 sin100 0. R2=48º.. ¿A qué distancia de R1.84 sin100 0.2º y la distancia de A a B 200 metros. dos unidades receptoras R1 y R2.Calcular la altura de la montaña siendo A=30º.. en este caso porque atraviesa el interior de la montaña Primero calculamos todos los ángulos posibles | PROBLEMAS PROPUESTOS 56
Solución Problema clásico donde hay que calcular una altura sin poder acercarse a la perpendicular de caida.9848
6. B=35.9848 8  sin 48 8  0.
36  0.2 sin 30 sin 5.7054  778.0906
Como el triángulo BCD es rectángulo.+
200 BC 200  sin 30 200  0.33 1103.2 0.36 sin 5. entonces directamente
tan 35.2  h  h  1103.36
.2  1103.36  tan 35.5   BC    1103.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica: a) (sen  cos ) 2  (sen  cos ) 2 cos  1  sen  b)  1  sen  cos  2 cot g  c) 1  cot g 2 d) 1  tg 2  sec 2 3. B=35.Resuelve siguientes ecuaciones trigonométricas a) sin x  cos x b) sec x  2  c tg x c) 3cot x  4  tan x d) cos 2 x  6 cos 2 x  1 e) sin 2 x  sin x  0 4.
. calcular su secante. 2..Sabiendo que la tangente de un ángulo a vale 0’25.. NIVEL BACH 1.Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas a) b)
  sen x  sen y  3 / 4 sen x  cos y  3 / 4 c)  cos x  sen y  1 / 4  5.2º y la distancia de A a B 200 metros.+
1º BOLETÍN DE PROBLEMAS DE TRIGONOMETRIA....Calcular la altura de la montaña siendo A=30º.
dos unidades receptoras R1 y R2. y R2 se encuentra la emisora?
7.Para conocer la altura de una montaña B. orientan sus antenas en la dirección de recepción óptima.Desde un barco se miden las visuales a la base y extremo superior de un faro de 30 metros de altura. un observador mide el ángulo  =69º. Calcular la distancia entre el barco y el punto A de la costa. R2=48º.+
6. distantes entre si 8 kilómetros.. ¿A qué distancia de R1. Se desplaza después hasta el punto C.
8 . gracias a un niveld e burbuja que le indica el horizonte.. y obtiene los datos que indica la figura (AC = 600 metros). Si R1 = 32º.. así como la altura del acantilado. situado al borde de un acantilado. Calcula h. desde el plano horizontal que pasa por A.Para localizar una emisora clandestina E.
Desde el valle se obtienen por medición directa los datos que aparecen en la figura. Calcula.+
9.Se desea conocer la distancia entre dos cumbres de dos montañas con objeto de construir un teleférico.. pues. la distancia entre cumbres.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica: a) (tg   c tg  ) 2  sec 2   csc 2  b)
d) cos 4 x  sen 4 x 3.Calcular la altura de la torre de la figura
2. calcular su cosecante.+
2º BOLETÍN DE PROBLEMAS DE TRIGONOMETRIA.Sabiendo que la cotangente de un ángulo a vale 3. NIVEL BACH 1.Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas a) sen x  tg x b) sen 2 x  1  2 cos 2 x c) tg 2 x  c tg x d) sen 2 x  cos x  6 sen 3 x x e) cos x  sen 2 2  1 4.Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas
calculamos los ángulos A y B de la figura..
8. de 44º y 50º respectivamente.Se desea calcular la distancia entre los puntos inaccesibles A y B de la figura. Si la distancia entre A y B es de 4000 metros y los ángulos complementarios a A y B son. D=75º. por ejemplo.
.. calcular la distancia entre A y B. Si los ángulos conocidos son C=60º. una montaña.. =40º y =35º. B=59º y la distancia AB es de 100 metros.Para calcular una altura inaccesible. Calcular h. Calcula la altura a la que está el globo y su distancia a cada uno de los observadores. supuesto que nos encontramos en el lado accesible donde están los puntos C y D.+
6. los cuales distan 500 metros entre sí.
7. así como la distancia de A a B. resultando: A = 42º.Dos personas A y B están observando un globo cautivo que está estacionado en el plano vertical que pasa por los observadores.
Más de este usuarionovedades_arcgis_10Julio Ever Pincay Sancheznovedades_arcgis_10Manual Hsj3Julio Ever Pincay SanchezManual Hsj3Generar Curvas AsterJulio Ever Pincay SanchezGenerar Curvas AsterProcedimientos Para Generar Curva de Nivel Con Arcgis9.3Julio Ever Pincay SanchezProcedimientos Para Generar Curva de Nivel Con Arcgis9.33D Analyst 9 2Julio Ever Pincay Sanchez3D Analyst 9 2
RecomendadoLa trigonometría es una rama de la matemáticaMary Cuxeva2º medio Circunferenciavichovicente777Prisma - Paralelépipedo - CuboEdinsson R. Javier Villanuevapruebalacd74gma205Hans Sigristsemejanza-de-triangulosMary Meza6) InecuacionesMarcos A. FatelaInecuaciones de Fatela Preuniversitarioscircunferencia20enmathePreguntas para el mensual de geometríaMAT_31_20-10-2008matimacdivina_proporcionOsneider CuadrosAnterior|PróximoPage 1 of 3Similar to 29508765-Maths-3-6-TrigonometriaLa trigonometría es una rama de la matemáticaMary CuxevaLa trigonometría es una rama de la matemática2º medio Circunferenciavichovicente7772º medio CircunferenciaPrisma - Paralelépipedo - CuboEdinsson R. Javier VillanuevaPrisma - Paralelépipedo - Cubopruebalacd74pruebagma205Hans Sigristgma205semejanza-de-triangulosMary Mezasemejanza-de-triangulos6) InecuacionesMarcos A. Fatela6) Inecuacionescircunferencia20enmathecircunferenciaMAT_31_20-10-2008matimacMAT_31_20-10-2008divina_proporcionOsneider Cuadrosdivina_proporcion

References: RESOLUCIÓN 
 RESOLUCIÓN 
 RESOLUCIÓN 
 RESOLUCIÓN 
 RESOLUCIÓN 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 RESOLUCIÓN