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Timestamp: 2018-08-21 09:51:02+00:00

Document:
' j W i & J
E L E M E N T O S DE M A T E M A T I C A
V ^ T T í ^ V k j B U C A Q O N DIDACTICO CIENTIFICA
de la UNIVERSIDAD CAECE
Publicación didáctico científica
de la Universidad CAECE - Trimestral
Avda. de Mayo 1400 - 5S Piso
Tel.: 37-5757
Prof. Roberto P. J. Hernández
VOLUMEN VI NUMERO XXI Setiembre 1991
Prof. Mariana A. Ortega
Dr. Luis Santaló
Prof. Jorge Bosch
Lic. Lucrecia Iglesias
Prof. María E. S. de Hernández
Prof. Elena García
Con el auspicio del Comité Argentino
de Educación Matemática
Adherido al Comité Interamericano
Argentina: 100.000.- A
Exterior: 12 dólares o el equivalente
en moneda de cada país
Ejemplar suelto: 30.000.- A
Ejemplar atrasado: 35.000.- A
Exterior: 5 dolares
Intelectual N°- 42.128
Qué es la contrapedagogía
Prof. Jorge £ Bosch .
de los números racionales
Roberto P. J. Hernández
Prof. Lucrecia Delia Iglesias
La computación como recurso
Prof. María EstherS. de Hernández
Los problemas en el aula
Composición e impresión:
Florida 165 - 8a piso
(1333) Capital
ISSN 0326-8SSS
Comienza nuestro sexto año de vida con la entrega del número XXI de nuestra revista para el cual esperamos la misma bondadosa acogida que han tenido todos los anteriores.
Insinuamos en este número algunos cambios en la
presentación relativa a diseño de páginas y tipo de letras,
que esperamos mejoren en los números sucesivos en la
búsqueda de una diagramación más ágil —si cabe— y
todo lo atractiva que la tecnología actual permita ir
En el editorial del NQ XX informamos sobre el comienzo de la actividad de Ediciones Universidad CAECE
y en la sección bibliografía se comentó la primera publicación de la Serie 2 de tales ediciones: Contrapedagogía
y Conocimiento del Profesor Jorge E. Bosch. Dada la importancia de esa obra hemos considerado que sería de
interés para nuestros lectores conocer algo más que lo
que puede contener una reseña bibliográfica y por ello
hemos incluido en este número el primer capítulo de ese
libro, donde se define el carácter y objetivo del mismo.
Comienza también en este número la publicación de
un trabajo de quien ésta suscribe, sobre las Expresiones
decimales en Q que encara temas conocidos, pero tal como pueden ser llevados al aula con rigor pero sin espanto
y permitirá en su continuación llegar de manera natural
a introducir conceptos más delicados.
Se completa esta edición con las secciones fijas
usuales de nuestros colaboradores -permanentes.
ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL. VI Nro. 21, Septiembre de 1991
Profesor JORGE E. BOSCH
ismmmsss íSSÍsiíSí;:
Jorge Bosch propone como remedio a la tendencia contrapedagógica —la cual ha tenido un inusitado poder de penetración y ha sido una de las
causas de la actual decadencia educativa— una
suerte de regreso a las fuentes, es decir al conocimiento, que fue preocupación constante de los
grandes pedagogos de todos los tiempos. Pone
también en relieve la importancia decisiva que tiene la información para el ejercicio de la libertad
Hasta hace pocos años se tenían ideas claras acerca de lo que es la
Pedagogía: se asumían diferentes enfoques, se discutían los métodos, pero a nadie cabía duda de que la breve definición del diccionario —arte de
instruir y educar al niño— constituye una buena primera aproximación al
tema. Los nombres de pedagogos como Comenio, Pestalozzi, Herbart y
Froebel alcanzaron difusión universal, pese a los reparos de grandes pensadores como León Tolstoi, debido a que se reconoció a aquellos maestros la introducción de ideas y métodos prácticos que, en definitiva, facilitaron la adquisición de conocimientos por parte de niños y jóvenes. Se
discutía cuáles eran los conocimientos fundamentales que se debían impartir —trivium y cuadrivium versus ciencias experimentales, o artes
manuales versus gramática— pero siempre el centro de interés pedagógico fue el conocimiento: como fin en sí mismo o como medio para alcanzar un elevado desarrollo espiritual. Y ninguno de esos grandes pedagogos se llamó a engaño acerca del papel del maestro: su presencia era fundamental para ordenar, planificar y facilitar el aprendizaje.
Fue preocupación constante de los grandes pedagogos, desde Sócrates hasta John Dewey, el esclarecimiento filosófico de los ideales de desarrollo humano que se propondrían como objetivos generales de la educación. Pero al lado de esta especulación filosófica y generalista, más o
Reproducción del Capítulo 1 de Contrapedagogía y Conocimiento. Buenos Aires.
Edic. Universidad CAECE. 1991. p. 9 -16.
ES LA CONTRAPEDAGOGIA'?
menos acentuada según los casos, florecía invariablemente la vocación
por los métodos, por las formas concretas de lograr la aprehensión de conocimientos que fueran útiles para acercarse a aquellos elevados fines. El
ideal y la manera práctica de perseguirlo. El fin y los medios. Pero es importante recalcar que los medios estuvieron siempre vinculados con la
adquisición de conocimientos: sea por vía de la mayéutica socrática, que
se proponía facilitar el nacimiento de lo que supuestamente se halla dentro del discípulo en estado embrionario; sea por vía de imitación de los
pasos de la naturaleza, como en Pestalozzi; sea por vía de la interpenetración entre método y materia, como en Dewey. La adquisición de conocimientos es uno de los temas centrales de la Pedagogía, y sin lugar a dudas, su principal problema práctico.
Así lo entendieron también los grandes pedagogos argentinos de
principios de nuestro siglo: Pablo Pizzurno, Víctor Mercante, Leopoldo
Herrera. Todos ellos cultivaron de un modo u otro la especulación filosófica sobre los fines de la educación. Todos ellos manifestaron un interés
invencible por los métodos prácticos de adquisición de conocimientos.
Recibían con entusiasmo cualquier contribución para resolver exitosamente los problemas particulares de la didáctica: desde los métodos de
análisis y síntesis de palabras para la enseñanza de la lectura, hasta métodos muy específicos para la enseñanza de la óptica geométrica. Todo lo
que tuviera relación con el conocimiento les interesaba vivamente, incluyendo las innovaciones técnicas; hay documentación pedagógica sobre
un largo artículo de principios de siglo dedicado a la minuciosa descripción, con dibujos, fotografías y referencias, del aparato llamado epidiascopio, que era un proyector capaz de reproducir en gran tamaño, en una
pantalla o en una pared, cualquier lámina, página de libro o dibujo, conservando los colores originales. Se lo preconizaba como valioso auxiliar
de la educación y se informaba sobre su precio y la manera de adquirirlo.
Aquella pasión por facilitar el acceso al conocimiento, que caracterizó a todos los grandes pedagogos, fue expresada en forma sintética por
el célebre apotegma de Comenio: "Enseñar todo a todos". Esta breve y
simbólica frase, en la que se entrelazan el ideal de la educación por medio del conocimiento y el impulso democrático hacia la educación para
todos, debió sonar como una consigna revolucionaria en aquel Siglo
XVII, más aún si se tiene en cuenta que en el "todos" de Comenio estaban comprendidos tanto los hombres como las mujeres, sin distinciones.
Esto se entendía por Pedagogía hasta hace pocos años. Pero en la
¿ecada que se inicia en 1960 comienzan a oírse voces discordantes. Un
liec"..: gismo arrasador, basado en la erección de supuestos monstruos co-
PROF. JORGE E. BOSCH 5
mo el imperialismo, la oligarquía, las empresas multinacionales, la violencia de las clases dirigentes, comenzó a predicar la insurrección por todos los medios a su alcance. Esta insurrección se articuló intelectualmente —si es que cabe tal denominación— en consignas fáciles, simples y
dogmáticas, cargadas de odio y que teman por finalidad el igualitarismo
a ultranza, la nivelación hacia abajo, la ruptura de todas las distinciones
prácticas y conceptuales, la abolición de los matices, la indiferenciación.
Suponían sus adalides que si se lograba semejante ruptura sería más fácil
abatir a los monstruos; o, mejor dicho, éstos quedarían abatidos en el
proceso de realización de tal ruptura. Después aparecerían, sin duda,
nuevas desigualdades, pero éstas rto los inquietaban porque suponían que
ellos estarían del lado de los que mandan. Nunca conocí un revolucionario que se visualizara a sí mismo como candidato a quedar del lado de
los que obedecen una vez efectuada la revolución.
El discurso claro y preciso sobre la mejor forma de adquirir conocimientos fue sustituido por un galimatías ideológico acerca de la opresión
y la rebeldía, la dependencia o la liberación. El esquema era infantil y fascinante. Tan infantil era, que cada vez que sus aspiraciones revolucionarias se veían enfrentadas a un fracaso, los adalides echaban la culpa a sus
enemigos porque se negaban a dejarse aniquilar. La consigna no era enseñar todo a todos sino nivelar todo, rebajar todo, confundir todo. Por eso
llamo a este galimatías teórico-revolucionario, ideología de la confusión.
Este esquema llegó a la Pedagogía proclamando, naturalmente, la
abolición de todas las diferencias: en primer lugar, la repugnante diferencia entre maestro y alumno, representante del estado de opresión y autoritarismo en que se hallaba sumergida la sociedad capitalista. Se omitía
toda referencia a las sociedades comunistas que había en esa época, en
las que la diferencia maestro-alumno era mucho más marcada y asumía
caracteres verdaderamente autoritarios. En segundo lugar había que abolir la diferencia entre estudio y acción. Ya lo había dicho Marx: no basta
con interpretar el mundo, hay que transformarlo. Por otra parte, se consideraba sobrentendido que la transformación del mundo debía operarse
según las recetas de los adalides revolucionarios; así se llegaba a la sencilla conclusión de que aprender y combatir eran una misma cosa. El instrumento del buen aprendizaje no era el libro sino el fusil. Pero, ¿a quién
combatir? Al enemigo, por supuesto: el imperialismo, la oligarquía, las
multinacionales y las clases dirigentes.
Los corolarios eran rigurosamente lógicos: la consigna de abolición
de la diferencia maestro-alumno llevaba a promover la indisciplina, el
iesorden y la burla de toda autoridad; y la consigna de abolición de la di-
6QUE ES
LA CONTRAPEDAGOGIA'?
ferencia estudio-acción conducía a debilitar los contenidos específicos de
cada materia en beneficio de una supuesta actividad espontánea del
alumno, que en realidad no tenía nada de espontáneo porque se hallaba
pautada y dirigida hacia una lucha contra el enemigo. Tomar conciencia
de la realidad equivalía a tomar conciencia de la opresión y de la violencia ejercida por las clases dirigentes.
Así descripto a grandes rasgos, este plan parece el delirio de una
secta de alucinados que no tienen posibilidad de convencer a ninguna
persona sensata y medianamente inteligente. La realidad demostró que
estas ideas brutalmente simples se introdujeron con éxito en las escuelas,
en los cenáculos intelectuales y periodísticos, en las universidades, en las
academias y en los organismos internacionales como la UNESCO.
En Francia una ideología de este tipo, matizada —reconozcámoslo— por algunos toques románticos y pintorescos, produjo los llamados
acontecimientos de mayo de 1968, cuando un movimiento estudiantil
anárquico se apoderó de la ciudad de París e hizo trastabillar al gobierno
del general De Gaulle. En California surgió la Nueva Izquierda, también
imbuida de parecidos dogmas ideológicos, apuntalados por la prédica
ululante de Herbert Marcuse, el más insignificante de los filósofos de
origen marxista que formaron la llamada Escuela de Frankfurt. En América latina, en fin, y particularmente en nuestro país, estas ideas fueron
asumidas por diversos movimientos guerrilleros que operaron en la década de los años 70.
Esto es lo que llamo Contrapedagogía: la ideología según la cual
hay que abolir todas las diferencias, y muy en particular las diferencias
representadas por las cuplas maestro-alumno y estudio-acción; la abolición de la primera conduce a la indisciplina y al desorden; y la de la segunda conduce al culto de un espontaneísmo carente de soporte conceptual y al consiguiente debilitamiento del proceso de transmisión del saber. Y uso el término Contrapedagogía porque esta tendencia se opone a
dos de las características fundamentales que ha tenido la Pedagogía a lo
largo de los siglos: la presencia indiscutible del maestro en un rol bien
diferenciado, y la educación del alumno a través de un aprendizaje efectivo de conocimientos.
En el terreno de la insurgencia vulgar, sea política, social o militar,
la Contrapedagogía ha sido derrotada, pero en el ámbito específico de la
doctrina y de las ideas ha triunfado. Ha renunciado al terrorismo político
pero continúa ejerciendo con éxito el terrorismo intelectual. Este consiste
en aplicar adjetivos supuestamente descalificadores —como elitista, reaccionario, pro-imperialista, sirviente de la oligarquía y de las muí tina-
PROF. JORGE E. BOSCH
dónales— a quienes no se pliegan a aquella doctrina, reforzando esta
descalificación mediante la erección de barreras —más efectivas que el
muro de Berlín— en los puntos de acceso a cargos o posiciones de predicamento intelectual; todo ello aderezado con una persuasiva metodología
maniquea, que coloca de un lado a los ángeles del espontaneísmo permisivo y del otro a los demonios de la represión y el autoritarismo. Esta estrategia ha dado resultados excelentes en algunos organismos internacionales, en algunas universidades, en algunos medios periodísticos e inclusive en el seno de algunos gobiernos de las democracias occidentales;
nunca, por cierto, en los países que fueron dominados por el comunismo,
donde se elaboraban estas teorías para la exportación pero estaban reprimidas en el orden interno por un sagrado autoritarismo. Así fue como la
Unión Soviética estuvo a punto de ganar la batalla educativa a los Estados Unidos: favoreciendo la Contrapedagogía en el país extranjero y
aplicando en el propio las reglas más duras de la Pedagogía tradicional.
Por cierto que para consumar esta estrategia se necesitaba el aporte de
grandes masas de cómplices en Occidente, y se obtuvo. El plan era estupendo y terna el éxito asegurado: fracasó por causas ajenas a él, de las
cuales la más importante —aunque no la única— fue el colapso económico de los países llamados socialistas.
El éxito cultural e institucional de la Contrapedagogía se palpa en
diversos datos de la realidad. En primer lugar, en algunos documentos de
la UNESCO como el titulado "Aprender a ser", en el que varios solemnes expertos de ese benemérito organismo comparan la relación de maestro a alumno con la de dominante a dominado, y se pronuncian en contra
de inculcar conocimientos; en segundo lugar, en la difusión y el inmenso
prestigio adquirido por las obras pedagógicas de Paulo Freire, cuya principal preocupación consiste en convencer a la gente de que está oprimida
y que debe rebelarse, inclusive por medios violentos; en tercer lugar, por
la trascendencia académica que se ha acordado a personajes pintorescos
como Iván Illich, que está en contra de las escuelas porque ellas establecen una irritante diferencia entre las personas escolarizadas y las no escolarizadas; esto me recuerda la ocurrencia de un amigo que señalaba a
la invención de la escritura como la causa del pavoroso problema del
analfabetismo; en cuarto lugar, por la introducción de expresiones cargadas de sesgo ideológico en los programas oficiales del sistema escolar,
aún en vigencia; en quinto lugar, por la supresión lisa y llana de conocimientos científicos importantes en los programas de escuelas del magisterio, en beneficio de fruslerías pueriles; y en sexto lugar, por lo que vemos y oímos a diario en todos los ámbitos educativos. Citaré al respecto
sólo el ejemplo de una joven pedagoga, inteligente y bien informada, que
confesaba con la mayor ingenuidad que había asistido a unos cursos en
los que le demostraron que hasta ese momento ella había estado, sin darse cuenta, al servicio de las multinacionales, y que a partir de ese esclarecimiento fundamental había aprendido el camino de la verdadera Pedagogía. Se puede sonreír ante semejante confesión, pero lo que me preocupó hondamente en esa oportunidad fue pensar que, si en una profesional inteligente y bien informada se había podido efectuar, mediante un
cursillo, tamaño lavado de cerebro, la influencia de los miles de cursos y
cursillos y panfletos y adoctrinamientos que tienen como destinatarios a
jóvenes quizá menos inteligentes y menos preparados que aquella profesional, han de ejercer y han ejercido una influencia devastadora.
Por todas estas razones creo que la Contrapedagogía, que ha sufrido
derrotas contundentes en los terrenos político y militar, ha tenido y continúa teniendo éxito en los terrenos culturales e institucionales. •
ELEMENTOS DE MATEMATICA - VOL. VI - Nro. 21, Septiembre de 1991
Profesor ROBERTO P. J.
El objetivo fundamental de este trabajo es la introducción rigurosa, pero accesible, de las expresiones decimales de los números racionales en
todas las alternativas posibles.
Un objetivo secundario pero igual o aún más importante, es justificar la necesidad de la ampliación de Q, plantear el proceso que pueda seguirse a partir de las conclusiones del punto anterior,
e introducir como objeto matemático las sucesiones racionales de Cauchy.
1.1. La expresión de un racional
Si se ha introducido Q como el conjunto cociente de Z x Z 0 (donde
Zo = Z - {0}) por la relación de equivalencia
(a^bO ~ (a2;b2) «=» a t b 2 = a 2 b b
entonces todo número racional es una clase de equivalencia de pares ordenados de enteros de segunda componente no nula.
V « e Q, 3 C(a;b) e z * z ° / a = C(a;b)
Si se distingue en Q el subconjunto de los racionales aparentes: Q A
—c'.ases en cada una de las cuales existe un par cuya segunda componen= es igual a l — y se define la función f: Q A —*• Z / f [C(a;l)] = a se demuestra fácilmente que f es un isomorfismo entre los conjuntos Q A y Z,
arovistos, respectivamente, de sus leyes de adición y multiplicación lo
ja: prueba a su vez la "inmersión" de Z en Q, y el "derecho" de identifijar C a;l) con el entero a.
Además: V C(a;b) € Q: C(a;b) = C(a;l) x C(l;b) y como C(l;b)
b d inverso multiplicativo de C(b;l), resulta C(a;b) = C(a;l) / C(b;l)
xticc el isomorfismo hace corresponder el racional C(a;l) por el entero
i G~: i) con b y en consecuencia el racional C(a;b) con el cociente de
EXPRESIONES DECIMALES DE LOS NUMEROS RACIONAULi
a:b = —¡b
De aquí se sigue que todo racional C(a;b) puede expresarse siempre
por a/b, con a y b e Z y b = 0, o sea por la fracción a/b, o cualquiera de
sus fracciones equivalentes del tipo a/b ~ x.a / x.b VxeZ (puesto que
pertenecerán a la misma clase). Es importante insistir que el racional
C(a;b) no es la fracción a/b, pero la fracción a/b, o cualquiera de sus
equivalentes, sirven para representarlo.
Se conviene que, en tanto no se aclare otra situación, la fracción a/b
elegida será la irreducible, es decir aquella en la cual a y b son coprimcs.
Si se ha introducido Q por cualquier otro procedimiento matemático, resultará siempre que cada racional es un cociente de dos enteros con
divisor distinto de cero que podrá expresarse por cualquiera de las fracciones que produzcan el mismo cociente.
1.2. Expresión de un entero en un sistema de numeración.
Se sabe que de acuerdo con el usualmente llamado teorema fundamental de los sistemas de numeración (ver trabajo publicado en los números XV y XVI de Elementos de Matemática), dado un sistema de
numeración de base m, con m £ N y m > 1, todo entero a es expresable
en forma polinómica según las potencias de m, es decir:
a = u k . m k + uk_j. m k l + ... + Uj. m + u0
donde los coeficientes uk, u k _,,..., u l5 u0 son menores que m y el desarrollo (1) es único. Como el sistema de numeración tiene que haber elegido
los m símbolos convencionales para representar a los naturales desde cero
hasta m-1, a cada coeficiente u¡, le corresponderá un símbolo y como la
forma polinómica queda unívocamente determinada por sus coeficientes
u k ... u0 y éstos por sus símbolos —que convenimos en escribir, en general
uk, ... ,u0— es claro que éstos son suficientes para representar de manera
unívoca al entero a. De aquí que se convenga en escribir simplemente:
a = uk uk_j ... u0
con los símbolos de los coeficientes de la expresión polinómica seguidos (en el orden de las potencias decrecientes de la base), siendo fre-
PROF. ROBERTO P. J. HERNANDEZ
cuente designar al 2- miembro de (2) como expresión cifrada del entero a
en base m. Por comodidad, al fin se suprime el subrayado de (2).
Trivialmente, en el sistema de numeración de base diez, se han elegido los símbolos, dibujos o figuras, 0, 1, 2, ... , 9 para representar los
naturales cero, uno, dos,..., nueve, menores que la base diez. Cuando escribimos en tal sistema a = 3248 estamos dando la expresión cifrada del
número que es el valor de la función polinómica para m = diez y de
coeficientes representados por los símbolos 3, 2,4, 8. Esto es:
a = 3.103 + 2.102 + 4.10 + 8
2.- UNA PARTICION BASAL EN Q
Utilizando las dos cuestiones antes recordadas —y manteniendo la
aclaración del penúltimo párrafo de 1.1.— introduciremos una clasificación de los números racionales en dos subconjuntos, que se indicarán por
Qd y Qp respectivamente, mediante las siguientes definiciones:
"Un número racional a dado por a/b pertenece al subconjunto Q d , si
y sólo si su denominador b contiene, exclusivamente, a los divisores primos de la base del sistema de numeración elegido para representar los
enteros a y b."
Esto es, si el sistema de numeración es el decimal, cuya base 10 tiene por divisores primos solamente los números dos y cinco, el racional a
dado por 3/250 se puede expresar por 3/2.53 y puesto que 250 sólo contiene los divisores de la base 2 y 5: a € Qd.
"Un número racional a, dado por a/b pertenece al subconjunto Qp, si
y sólo si su denomidador b contiene al menos como divisor a un número
rrimo que no es divisor de la base del sistema de numeración elegido."
En el mismo sistema decimal, el racional a dado por 1/6 puede expresarse por 1/2.3 y como 6 contiene al divisor 3 que no es divisor de 10,
resulta a € Qp.
De las definiciones anteriores resulta que para todo racional, su der.: minador b es un número entero que respecto de cualquier base m de
numeración que se considere, sólo podrá satisfacer de manera excluyente
una de estas dos alternativas:
1. b contiene como divisores primos solamente a los divisores de m; ó
2. b contiene al menos un divisor primo que no es divisor de m.
En consecuencia Qd y Qp son conjuntos disjuntos no vacíos y tales que:
Q = Qd U Qp,
por lo cual el criterio de clasificación introducido, es una partición en Q.
En lo que sigue se analizarán características de interés de los racionales de Qd y Qp, cuando se expresan los enteros a y b en el sistema decimal. Las conclusiones que se obtengan son, sin embargo, independientes de la base m del sistema de numeración y no pierden generalidad los
razonamientos que se irán encadenando si se los "traduce" para cualquier
"base m".
2.1. El subconjunto de racionales Qd
Sea a € Qd, dado por a/b. Luego, según la partición introducida y la
observación anterior, b es necesariamente de la forma:
b = 2«.5P
donde a y p son números naturales para los cuales debe darse de manera
excluyente alguna de las tres relaciones: a = p, o a > p, o a < p.
Si a = p : b = 2«.5P
b = 2« . 5 a => b = 10« =»
Si a > p : b = 2 a . 5P y multiplicando a y b por 5«-P:
a. 5a~P
v 2«. 5P. 5«-P
llamando a' = a. 5a~P
2a. 5a
(2.5)°
S i a < p : b = 2 a . 5 P y multiplicando a y b por 2P-a
a. 2P~a
2«.5P.2P-«
haciendo a . 2P « = a"
2P.5P
(2.5)P ^
a _ ab
~íoT
Entonces, en cualquiera de las situaciones posibles respecto de a y
P, el racional dado por a/b puede expresarse siempre por otra fracción
equivalente cuyo denominador es una potencia natural de 10.
O sea a € Qd, si y sólo si —— = ——-—
Por esta razón introducimos la siguiente:
Se llama racional decimal a todo racional perteneciente a Qd, o lo
que es lo mismo, a todo racional que pueda expresarse mediante una
fracción equivalente cuyo denominador sea una potencia natural de 10,
fracción que se llamará fracción decimal.
O sea, a es una fracción decimal <=> a € Qd.
O también -¡— es una fracción decimal <=» Existe -77—
, talMque:
La notación anticipada Qd para este primer subconjunto de Q, tiene
su razón de ser en la conclusión anterior: Qd es el subconjunto de los
racionales que se expresan por fracciones decimales.
2.1.1. Expresión decimal de los racionales de Q d
Sea a dado por a/b un racional de Qd; a/b es entonces una fracción
lecimal que se expresará por:
Como a' es un número entero, en el sistema decimal tendrá la f:—_
a'= u k . 10k + uk_!. lOk-1 + ... + u x . 10 + Uq
que equivale a decir que a', en forma cifrada se escribirá:
a'= uk uk_!... Ui Uq
Por [1] se podrá escribir:
a10"
u k . 10k + u k . x . 1 0 ^ + ... + u t . 10 + Up
donde k puede ser mayor, igual o menor que n.
Consideremos el caso k > n y aplicando en [3] la distributividad
la división respecto de la adición en Q, se tendrá:
_a_ _a_
b " 10"
' 10"
- 10" ™ v
ut. 10
donde por cociente de potencias de igual base:
- g - = - j ^ — uk. 10^-" + uk_,. 10k-"-! + ... + Un + Un_i. 10-' + ... + U[. 10'-» + u0.10-"
El segundo miembro de [4] tiene la "apariencia" de expresar el valor
numérico de una función polinómica cuando x = 10. Sin embargo una
observación más detenida del mismo permite destacar la existencia de
potencias de exponente negativo de 10, que eliminan toda posibilidad de
provenir de una forma polinómica. Ese segundo miembro suele llamarse
una forma pseudo-polinómica, que contiene una parte estrictamente polinómica y otra que no lo es.
-r- = -j^- = Uk. 10k-" + Uk.t. 10k-"4 + ... + Un + un.1.10-1 + ...+u1.10i-" + uo.10-"
parte polinómica
parte no polinómica
forma pseudo-polinómica
Pero por [2], a' se expresaba por: a' = uk uk_! ... un un_! ...
donde según [5] los coeficientes desde u k a son los de una forma polinómica, pero los Ujj.j a Uq no lo son. Convenimos entonces en introducir
un símbolo que permita separar en forma bien clara las cifras de a' que
tienen distinto comportamiento matemático: tal símbolo es la coma decimal (,) cuyo significado matemático es precisamente el indicado: las cifras que se escriben a la izquierda de la coma son los coeficientes de una
forma polinómica y no lo son las que se escriben a la derecha. Luego con
la convención introducida -que es simplemente una convención de notación- escribiremos de [5]
= Uk Uk_¡ ... Un , Uj,_2 ... Uj UQ
Llamamos cifras enteras a u k ... un; cifras decimales a u,,., . . . u0
(n cifras) y expresión decimal -también expresión
entera- del racional dado por a/b al segundo miembro de [6].
Todo lo razonado anteriormente vale si k > n. Pero si k = n la situación es absolutamente similar con una sola cifra entera y si k < n podrá
completarse la forma polinómica que expresa a' con las potencias 10n,
101-1,... 10k+1, afectadas por coeficientes nulos.
Todo ello nos permite enunciar la siguiente:
Propiedad de los racionales de Q d
Todo número racional perteneciente a Qd, que es un racional decimal de la forma a'/10 n , puede escribirse en forma aparentemente entera
- : forma o expresión decimal- separando mediante una coma decimal n
: Aras -contadas de derecha a izquierda- en la expresión de a', complej_-do con la cantidad de ceros necesarios para ello, donde n € N indica
ernpre una cantidad finita de cifras decimales.
J^ervación
Es importante puntualizar, de manera terminante, que los mal llamai x "números decimales" no son más que una forma convencional de exr r s a r , por ahora, los números racionales de Qd. En efecto, por todo lo
r : cuando escribimos m = 23,145, simplemente estamos indicando el
racional dado por 23145/103. De aquí que llamemos expresión "aparentemente" entera a 23,145 ya que su verdadero significado no es un número entero: basta observar que el número m tiene estrictamente el denominador 103, que es distinto de uno.
2.2. El subconjunto de racionales Q p
Un número racional perteneciente a Q p no puede expresarse nunca
en forma decimal con un número finito de cifras decimales.
O sea: V a € Qp, dado por
no existen ^ . . . u0 €N, tales que
U k . . . Un + ! , U„ ... U 0
Razonemos por reducción al absurdo. Supongamos que existen un ...
u0, tales que
- uk . . . uk+1,
Pero en tal caso — =
''' ^
u,j... u0
^ ' ' ' U°
O sea a € Qd. Pero por hipótesis a € Qp, luego a e Qd (1 Qp que es
un absurdo pues Q d y Qp son conjuntos disjuntos.
Demostrada la propiedad anterior, resulta que a esta altura del razonamiento no podemos garantizar si los racionales de Qp son o no expresables en foma decimal, pero si lo fueran, de ninguna manera podrán contener un número finito de cifras decimales; o lo que es lo mismo, si son expresables en forma decimal deberán contener un número infinito de ellas.
Para estudiar esas hipotéticas infinitas cifras vamos a analizar a continuación la llamada división decimal de dos enteros a y b, con b = 0.
2.3. La división decimal en Q
Sea a € Q. Según se ha demostrado, el racional a dado por a/b ex-
presa el cociente entre a y b, enteros con b * 0 y como ese cociente pertenece a Q, existe siempre. Nuestro propósito es encontrar la expresión
decimal de tal cociente.
Dado el racional por a/b, sólo pueden darse, respecto de a y b, dos
alternativas excluy entes:
1. a es múltiplo de b, o
2. a no es múltiplo de b.
Si ocurre 1., existe un entero C e tal que: a = C e . b lo que implica que
a/b = C e y como C e = Q/10 0 , resulta que el racional a pertenece a Qd.
Si en cambio ocurre 2., es decir si a no es múltiplo de b, a estará
comprendido entre dos múltiplos consecutivos de b, esto es:
b • C e < a < b • (Ce + 1),
donde b • C e es el mayor múltiplo de b que es menor que a. En este caso
decimos que C e es el cociente entero o cociente por defecto, entre a y b.
Como b • C e < a resulta que si
a - b - C e = re,
r e es un entero positivo al que llamaremos resto por defecto de la división de a por b, o simplemente resto.
Pero además a < b . (Ce + 1) => b . (Ce + 1) - a = r'
con r' entero positivo, y resultan C e + 1 y r', a los que llamaremos respectivamente cociente entero por exceso y resto por exceso de la división de a por b.
y de [2]:
a = b . Ce + re
a = b.Ce + b - r '
b . Ce + re = b . C e + b - r'
b . C e : re = b - r'
b = re + r'
Y como r e y r' son enteros positivos y en consecuencia no nulos,
resulta re < b .
Luego la división de a por b permite determinar siempre un cociente
entero por defecto -o simplemente cociente entero- y un resto, únicos,
que se relacionan con a y b mediante la ecuación e inecuación siguientes:
a no es múltiplo de b =*• Existen C e € Z y r e e Z, únicos, tales que
a = b - C e + re
0<re<b
Resumiendo lo analizado hasta aquí, resulta entonces:
a = b . Ce, entonces-r—= Ce
a € Qd
V a G Q, dado por
0 <r <b
y en este caso no puede anticiparse nada
respecto de la pertenencia de a a Qd o a Qp.
El caso que expresa la fórmula [3] nos deja, pues, sin respuesta respecto a si el racional a es o no decimal. Podría intentarse reiterar divisiones, pero como re < b si efectuáramos re:b se obtendría un cociente igual
a cero y un resto igual a re, lo que no agregaría nada a la información que
ya poseíamos. Como estamos usando el sistema decimal se nos ocurre
multiplicar por 10 a re y dividir ese producto por b, analizando entonces
los resultados posibles.
Introducimos así el que llamaremos primer paso de la división decimal de a por b, que consiste en dividir el resto por defecto de la división
entera, previamente multiplicado por 10, por el denominador b, dándose
alguna de las dos alternativas excluyentes siguientes:
1. Existe Q € Z, tal que 10re = b . C t
que implica: re = b •-
10 • r e : b
Reemplazando en [3]
a = b • Ce + b • Q1Q , distribuyendo b:
a =b •
(Ce • 10 + CQ
Y como C e . 10 + Cj es una forma polinómica de base 10, la expresión cifrada de C e .10 + Q es Ce Q , de
_ k Ce Q
= CeCl
que a/b es una fracción decimal y en consecuencia
a€Qd.
Además, como — = C e ,C! , se tendrá:
- g - = C e , C t y hemos obtenidó el cociente exacto
de a/b, expresado con una cifra decimal, la usualmente llamada cifra de los décimos.
2. Existen Q € Z y rj € Z, tales que:
10-re = b . Cj + rj [4]
y 0 < rj < b
De[4]:r e = b -
a =b - a +b--S-+
De donde resulta aplicando a los dos primeros términos del segundo miembro el razonamiento aplicado
a = b (C e , Cj) +
[6}
Y si se da [6], carecemos de elementos para clasificar a/b , o sea se
reproduce la situación planteada en la ecuación [3].
Aún cuando podríamos intentar extraer algunas conclusiones, para
que ellas surjan más claras reiteramos otra vez el procedimiento anterior,
mediante el que llamamos segundo paso de la división decimal, es decir
efectuamos la división por b de r1 previamente multiplicado por 10 y de
nuevo puede ocurrir:
1. Existe C 2 £ Z, tal que 10 . rx = b . C 2
que implica: ^ = b •
Reemplazando en [6]
a = b(Ce,C1) + b - - ^ a =b
Q C, +
a = b . (Ce, C1C2)
C e C¡ C 2
-j— = C e , Q C 2 que expresa el cociente - g - hasta
la cifra de los centésimos.
2. Existen C 2 £ Z y r2 € Z, tales que:
10 • r l = b.C2 + r 2 [7] y 0 < r2 < b
De [7] : ^ = b •
Reemplazando en [6]:
(ce>ci)
a = b (C e , QC 2 )
Y si se da [9], sólo podemos afirmar que estamos en situación similar a la de [6] que era a su vez semejante a [3]. No tendría sentido entonces seguir reiterando "pasos", sin analizar las situaciones planteadas, tratando ahora sí de obtener conclusiones definitivas de tal análisis.
2.3.1. Primera consideración
El parágrafo 2.3. fue bautizado: La división decimal en Q. Pero hasta
ahora no definimos qué significado le asignamos a esa expresión. La división decimal en Q es simplemente el nombre que damos al procedimiento
reiterativo aplicado en2.3. Luego podemos introducir la siguiente:
Llamamos división decimal en Q al procedimiento aplicable a todo
a/b que representa un racional y que consiste en dividir a por b y sucesivamente los productos por 10 de los restos no nulos, por b.
Llamamos sucesivos cocientes decimales parciales a los números
C l5 C2, ... que se obtienen en las sucesivas etapas o pasos de la división
decimal de a por b, y sucesivos restos decimales parciales los números
rx, r 2 ... que se obtienen como restos en tales pasos. •
P ñ
O P U E S T A S
D I D A C T I C A S
Licenciada LUCRECIA DELIA IGLESIAS
¿Cómo plantear el trabajo dentro del aula para crear un espacio de
aprendizaje de la resolución de problemas?
¿Basta crear una interacción que siga el modelo:
en el cual, manifiesta S. Brown (*): "el problema ha sido cuidadosamente definido y al estudiante se le da un período de tiempo relativamente
corto para intentar llegar a la solución"?, ¿o existen otros modelos de relación entre un estudiante y un problema que sean pertinentes al desarrollo de sus competencias cognitivas?
¿Qué significa que algo sea un problema? ¿Qué significa resolverlo?
¿Qué significa aprender a resolverlo?
Estos interrogantes han dado lugar, en distintas épocas y diferentes
contextos, a sagaces indagaciones y multitud de aproximaciones a las
respuestas. Creemos que una adecuada propuestajlidáctica debe comenzar por la revisión de algunas opiniones relevantes en ese sentido.
John Dewey comentaba:
"Los dos límites de toda unidad de pensamiento son, al comienzo, una
situación de perplejidad, malestar o confusión y al final una situación
clarificada, unificada, resuelta".
Para él, un proceso reflexivo es entonces, lo que permite disipar la
perplejidad inicial. Parece lógico identificar, dentro de esta concepción, a
la situación desencadenante del proceso reflexivo como "problema".
Así pues, queda asociada la noción de "problema" al contexto de
* BROWN, S. La resolución de ofobleu.as y ¡a formación docente.
una actividad interior del sujeto: lo que no provoque la aparición del proceso reflexivo no es "problema" para él.
Resultan descartadas de este modo tanto situaciones inaccesibles
por su alto nivel de complejidad, como situaciones que cuenten con el
procedimiento canónico (construcción de tablas, gráficos, fórmulas) que
el estudiante conozca de antemano y asocie automáticamente a la formulación de la situación. Si el proceso reflexivo no tiene lugar, no hay "problema" para el alumno.
En función de estas consideraciones vale la pena preguntarse cuáles
de los enunciados que siguen resultan ser "problemas" para nosotros, o
para nuestros alumnos de diferentes niveles (1, 2, 3 y 4 pertenecen al artículo de Brown).
1.- Una señora viaja a su trabajo a 30 km/h durante 2 horas. Si ella
regresa a su casa por el mismo camino pero a 40 km/h, ¿en cuánto
tiempo realiza el viaje de regreso?
2.- Una persona tiene una colección de monedas de 5 centavos, 10
centavos y 25 centavos. Si en total tiene 25 monedas, y tiene 7
monedas más de 5 que de 10, ¿cuántas monedas tiene de cada uno
de los tipos si todas ellas juntas suman 7 pesos y 25 centavos?
3.- Resolver en x: x3 - 3x2 + 2x = 0
4.- Encontrar todos los números x tales que x2 termine en x.
5.- Cuatro soldados tienen que cruzar un río. El único medio de
transporte es una lancha en la que juegan dos chicos. La lanche
admite como máximo dos chicos o un soldado. ¿Cómo pueden
cruzar los soldados a la otra orilla? (*)
6.- ¿En cuántas formas diferentes se puede recomponer un cuadrado que tiene los cortes que muestra la figura?
7.- Dos jugadores deciden jugar una partida en la que ningún juego puede terminar en empate. Cada uno de ellos apuesta 32 mone(*) ORTON, A. Didáctica de las Matemáticas - Madrid - Ediciones Morata y Ministerio de Educación y Ciencias- 1990
das de oro. El jugador que primero llegue a ganar 5 juegos se quedará con las 64 monedas. Cuando el jugador A va ganando por
juegos 3 a 2 al jugador B, se interrumpe imprevistamente la partida por causas ajenas a ambos jugadores. Como el jugador A lleva
ventaja, no sería justo repartir las monedas llevándose la mitad cada uno. ¿Cuál crees que debe ser el reparto? (con licencia debida
al Caballero Le Meure).
Una recorrida por estos enunciados y un intento por aplicarlos en el
aula, permiten al profesor establecer algunas conclusiones:
Lo primero, decidir cuál puede llegar a ser el nivel de "problematización" que se logra con cada situación, lo que depende de diversas circunstancias:
• ¿Cuentan los alumnos con procedimientos previos de planteo y resolución de sistemas de ecuaciones para abordar el 2, o de la técnica del
factoreo en la solución de 3? En tal caso, no son problemas.
Hay autores que objetan la falta de verosimilitud de las situaciones 1
y 2 por ser un recorte tan fino de la realidad que sólo manifiesta los datos
relevantes y en un orden perfectamente adecuado, para facilitar la comprensión del texto. Se pronuncian a favor de una presentación "desordenada" en la cual las informaciones relevantes requieran ser descubiertas
en el todo confuso o investigadas como parte del proceso de resolución.
• ¿Están los alumnos dispuestos a abordar situaciones de exploración
abierta como en 4 o en 6, o resultan un desafío carente de significación?
Algunos autores ven en este tipo de propuestas la posibilidad de que
los alumnos pasen por distintas fases de la tarea con alto rendimiento para el desarrollo de sus estrategias: tanteos previos, con o sin uso de materiales concretos; organización progresiva de un sistema de conteo; análisis de existencia o no de una solución; uso de técnicas como la de "resolver uno más fácil", por ejemplo:
• Supuesto que no se disponga de una algoritmia que conduzca a la
resolución de 2, la práctica demuestra que los alumnos intentan construir
soluciones, que son capaces de organizar sistemáticamente su búsqueda
y que, en última instancia, con justificaciones que se apoyan en distintos
PROPUESTAS DIDAC- Z i
hechos contradictorios, deciden la imposibilidad de la solución. Más que
el descubrimiento final, parece destacable la oportunidad de que los estudiantes comparen sus recorridos, sean capaces de comprender el camin:
del pensamiento ajeno y argumenten en apoyo de sus propias decisiones
• Frente al 5, ¿cómo se logra que los alumnos le den significación"
¿qué hace un profesor para desbloquear a quienes no logran "problematizarse" con él?
Scheerer, citado por Orton en la obra mencionada, analizó fenómenos de "fijación" que obstruyen el proceso de resolución de un problema. Como la solución en este caso depende de una repetición o ciclo de
movimientos, parece que hay una resistencia a aceptar una demora al logro del objetivo requerido y una sensación de que se está deshaciendo
parte del trabajo ya cumplido, al internarse en cada ciclo del procedimiento. Del profesor depende la estimulación con que puedan contar los
estudiantes para quienes la fijación descripta configure una barrera infranqueable. Para ellos, el "problema" puede aparecer como inaccesible,
como falto de significación. No podrán "problematizarse" en la medida
en que no puedan vencer el obstáculo que interpone la fijación.
• Frente al 7, ¿cómo incide toda la historia de la formación de un estudiante, en la posibilidad de que "se problematice"?
Lo normal es que todo lo relativo al azar y a la incertidumbre no haya sido motivo de experiencias anteriores. El pensamiento intuitivo se
nutre en toda la escuela primaria y secundaria del análisis de fenómenos
causales, dentro de una lógica determinista. Esto en general va a representar un obstáculo de orden epistemológico en la concepción de la situación. Sin embargo, si un profesor es capaz de crear un contexto en el
que los alumnos estén acostumbrados a tener una participación activa en
la resolución de otros "problemas", bastará el desafío de pensar en lo que
podría llegar a pasar si continuara la partida.
Probablemente haya discrepancias en la formulación de las distintas
posibilidades y la forma de considerarlas en relación al monto que corresponde a cada jugador.
La intervención del profesor podrá orientar el trabajo de los alumnos
que individualmente no puedan organizar una adecuada explicitación de
posibilidades, pero lo más fructífero deriva de una confrontación, en pequeños grupos, de los estudiantes que presenten perspectivas diferentes.
Con lo expuesto, nos hemos limitado a tratar algunos aspectos relativos a la significación de los "problemas" en un aula de clase. Prometemos el abordaje de otros aspectos en futuras entregas. •
ELEMENTOS DE MATEMATICA - YOL. VI - Nro. 21, Septiembre de 1991
C O M P U T A C I O N
R E C U R S O
DIVISIBILIDAD Y NUMEROS PRIMOS (CONTINUACION)
En el número anterior fue publicada una guía de trabajos prácticos
sobre divisibilidad y factores primos confeccionada por la profesora
Marcela González Rozada para alumnos de 32 año del bachillerato.
En la misma se propone la elaboración de varios programas. Hoy
presentaremos una posible versión de los mismos sugerida por la Profesora González Rozada.
GENERACION DE NUMEROS PRIMOS
El siguiente programa permite dado un número natural determinar
cuántos de los naturales que lo preceden son coprimos con él.
PROGRAM EULER (INPUT,OUTPUT);
S,I,J,K : INTEGER;
N,FI,VALORIG: REAL;
S: -1;
WHILES =1 DO
WRITELN("*******************^
FUNCION FI DE EULER
WRITELN("*************************************************")'
WRITELN("INGRESA UN NUMERO ENTERO POSITIVO NO NULO");
WRITE("EL VALOR DE N ES
FI :=N;
VALORIG :=N;
LA COMPUTACION COMO RECURSO
IF TRUNC(N) MOD 2 = 0 THEN
FI :=TRUNC(FI) DIV 2;
WHILE TRUNC(N) MOD 2 = 0 DO
N :=TRUNC(N) DIV 2
IF TRUNC(N) MOD 3 = 0 THEN
FI := (TRUNC(FI*2))DIV 3;
WHILE TRUNC(N) MOD 3 = 0 DO
N :=TRUNC(N) DIV 3
I :=5;
WHILE TRUNC (N) >-= 5 DO
J:-j+i;
K :=I MOD J
UNTIL (K <> 0) OR (J = TRUNC (SQRT (I)));
IF (K<>0) AND (TRUNC(N) MOD 1=0) THEN
FI :=TRUNC((FI*(I-1))) DIV I;
WHILE TRUNC (N) MOD 1=0 DO
N :=TRUNC(N) DIV I
I :=I+2;
WRITELN ("PARA N= ",TRUNC(VALORIG):0," HAY ",TRUNC(FI):0,
"NUMEROS ");
WRITELN ("MENORES QUE ",TRUNC(VALORIG):0);
WRITELN ("QUE SON COPRIMOS CON EL");
WRITELN ("INGRESA UN 1 SI QUIERES UTILIZAR EL PROGRAMA DE
NUEVO");
READLN (S)
EJEMPLOS DE EJECUCIONES DE ESTE PROGRAMA
FUNCION FI D E EULER
INGRESA UN N U M E R O ENTERO POSITIVO N O N U L O
EL VALOR D E N ES 48
PARA N = 48 HAY 16 N U M E R O S
MENORES Q U E 48
Q U E SON COPRIMOS CON EL
INGRESA UN 1 SI QUIERES UTILIZAR EL P R O G R A M A D E N U E V O
PROF. ELENA GARCIA
INGRESA UN NUMERO ENTERO POSITIVO NO NULO
EL VALOR DE N ES 184
PARA N = 184 HAY 88 NUMEROS
MENORES QUE 184
QUE SON COPRIMOS CON EL
INGRESA UN 1 SI QUIERES UTILIZAR EL PROGRAMA DE NUEVO
EL VALOR DE N ES 10
PARA N = 10 HAY 4 NUMEROS
MENORES QUE 10
El programa factor permite determinar los factores primos de un número
PROGRAM FACTOR (INPUT, OUTPUT);
C.CANTFAC: INTEGER;
N1,N,F,F1 :REAL;
Este procedimiento busca los factores primos del valor ingresado}
PROCEDURE FAC (VAR N,F: REAL; VAR CANTFAC :INTEGER);
UNO: BOOLEAN;
UNO := TRUE;
WHILE (N/F = INT (N/F)) AND UNO DO
CANTFAC :=CANTFAC + 1;
WRITELN (TRUNC (F));
N := N/F;
IF N = 1 THEN UNO := FALSE
EEGIN {PROGRAMA PRINCIPAL}
C :=1;
WHILE C = 1 DO
WRITELNC*************************** "************'********'")•
WRITELN("
FACTORES PRIMOS DE UN NUMERO
CANTFAC :=0;
WRITELN("INGRESE UN NUMERO ENTERO POSITIVO");
WRITELN (TRUNC (N), "ES UNA UNIDAD. INGRESE
OTRO NUMERO");
READLN (N)
NI :=N;
WRITELN ("LOS FACTORES PRIMOS DE: ", TRUNC (N), " SON: " );
IF N<>2
F :=2;
FAC (N,F,CANTFAC),
FI :=3; T :=TRUE;
WHILE (N<>1) AND T DO
FAC (N,F1,CANTFAC);
FI , - F l + l ;
IF FI >= NI THEN T: = FALSE
IF CANTFAC = 0 THEN
WRITELN (TRUNC (NI), "ES UN NUMERO PRIMO");
WRITELN (NO TIENE FACTORES PRIMOS);
WRITELN ("INGRESE UN 1 SI DESEA FACTORIZAR OTRO NUMERO");
• EJEMPLOS DE EJECUCIONES DEL PROGRAMA FACTOR
FACTORES PRIMOS D E UN N U M E R O
INGRESE U N N U M E R O ENTERO POSITIVO
LOS FACOTRES PRIMOS DE: 345 SON:
INGRESE UN 1 SI DESEA FACTORIZAR OTRO N U M E R O
INGRESE UN N U M E R O ENTERO POSITIVO
LOS FACTORES PRIMOS DE: 24356 SON:
LOS FACTORES PRIMOS DE: 6089 SON:
6089 ES UN N U M E R O PRIMO
NO TIENE FACTORES PRIMOS
El programa CRIBA determina los números primos menores que 1000;
este numero se puede variar modificando el valor de la constante TOPE
declarada al comenzar el programa.
PROGRAM CRIBA (INPUT, OUTPUT);
TOPE = 1000;
TABLA: ARRAY [1..TOPE] OF INTEGER;
S,I,J,L,K: INTEGER;
S :=1;
^"HILE S = 1 DO
WRITELN("******************************************************"y
WRITELNC"
WRITELN("******************************************************"y'
WRITELN ("BUSCAMOS NUMEROS PRIMOS COMPRENDIDOS ENTRE 1 Y"
TOPE);
FORI :=1 TO TOPE DO
TABLAfí] :=I;
J:-1;L:-1;
WHILE J <> INT (TOPP'
l:=J+ 1:
0,5) DO
IF TABLA [J] <> 0 THEN BEGIN
L :=TABLA [J];
K :=L;
L :=L + K;
WHILE L <= TOPE DO
TABLA [L] :=0;
L :=L + K
WRITELN;("LOS NUMEROS PRIMOS MENORES QUE: ",TOPE," SON: ");
FOR I :=2 TO TOPE DO
IF TABLA [I] <> 0 THEN WRITE (TÁBLAfl]: 5);
WRITELN ("INGRESE UN 1 SI DESEA UTILIZAR DE NUEVO EL PROGRAMA");
READLN®
CRIBA D E ERATOSTENES
B U S C A M O S N U M E R O S PRIMOS COMPRENDIDOS ENTRE 1 Y 1000
LOS N U M E R O S PRIMOS MENORES QUE: 1000 SON:
137 139 149 151 157 163
313 317 331 337 347 349
419 421 431 433 439 443
509 521 523 541 547 557
617 619 631 641 643 647
727 733 739 743 751 757
829 839 853 857 859 863
947 953 967 971 977 983
INGRESE UN 1 SI D E S E A UTILIZAR D E N U E V O E L P R O G R A M A
Los programas presentados estánpreparados para que los puedan
seguir alumnos con mínimos conocimientos de programación PASCAL.
UQS P R O B L E M A S M A T E M A T I C O S EN EL A U L A
SPIVAK DE HERNANDEZ
SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRATICAS
Una variante interesante que se puede introducir en la guía de trabajos prácticos sobre ecuaciones de segundo grado con una incógnita está
dada por la consideración de algunos sistemas de ecuaciones cuadráticas
Se trata de ciertos sistemas de ese tipo que, por su estructura particular, pueden ser resueltos por métodos similares a los usados para resolver sistemas lineales y cuyas soluciones se pueden obtener a partir de las
raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita.
Si además se consideran aquellos que pueden graficarse sin dificultad, se logrará un importante objetivo como es el de integrar el tema no
sólo con conocimientos algebraicos anteriores, sino también con cuestiones geométricas igualmente conocidas. Desde este punto de vista, la discusión y análisis de la situación planteada puede encararse bajo dos aspectos: uro algebraico y otro geométrico que, a su vez, posibilita la verificación de la validez de los resultados obtenidos.
Los sistemas más simples y que satisfacen los requerimientos señalados, son los constituidos por dos ecuaciones con dos incógnitas x e y, y
en los que una de las ecuaciones es lineal y la otra es cuadrática, ambas
con coeficientes reales. O sea sistemas del tipo
^ í ax + by = c
{ a^ 2 + a2xy + a3y2 + a 4 x + a5y + a6 = 0
con a * 0 ó b * 0
con a2 * 0 ó a2 * 0 ó a 3 *0
y a,b,c,a lv ..,a 6 € R
La primera es la ecuación de una recta en el plano real, es decir, su
gráfica es una recta en dicho plano. Si la segunda admite gráfica en coor-
LOS PROBLEMAS M/-TEMATICOS EN EL AULA
denadas reales, dicha gráfica es una cónica, ya sea una de las cónicas con
centro, o bien una sin centro o parábola, o bien una cónica reducida a un
punto, a un par de rectas secantes o un par de rectas paralelas (iguales o
disjuntas), todo lo cual depende de los coeficientes a,, a 2 ,... ,a6 de dicha
Una solución (x,y) con x,y e R de una ecuación con dos incógnitas,
representa las coordenadas de un punto de la gráfica correspondiente.
Entonces, una solución (x,y) del sistema, con x,y € R, da las coordenadas de un punto que pertenece a las gráficas de ambas ecuaciones, o sea,
las coordenadas de un punto de intersección. De ahí la posibilidad de
comprobar gráficamente los resultados obtenidos por vía algebraica.
Lo conveniente es, entonces, que en los sistemas del tipo A que se
consideren, la ecuación cuadrática sea, efectivamente, la ecuación de una
cónica en el plano real, y que esté dada, con preferencia, en su forma
normal o canónica; esto último para facilitar y lograr con mayor rapidez
la gráfica correspondiente. Por ejemplo, sea el sistema
con r * 0
donde la ecuación [2] es la ecuación de una circunferencia con centro en
el origen 0 del sistema de coordenadas, y radio r.
Resolver el sistema A! equivale geométricamente a hallar las intersecciones posibles de la recta con la circunferencia de centro 0 y radio r.
De aquí surge que las soluciones distintas son, a lo sumo, dos. Entonces
Aj admite dos soluciones distintas, una sola solución o ninguna, según la
posición relativa de la recta y la circunferencia, y esto depende a su vez
de los parámetros a, b, c y r.
El método de resolución consiste en:
I o ) Se despeja una de las incógnitas que figure explícitamente en 1?
ecuación lineal; por ejemplo y (si b * 0), o sea
El conjunto solución de [1] es, entonces
C1={(x,y)/x€RAy=-^^-j
PROF. MARIA ESTER SPIVAK DE HERNANDEZ
y se trata de hallar cuáles de esos pares (x,y) e Ci satisfacen la ecuación
[2], o sea los pares
(x , c - ax |
que transformen a [2] en igualdad
H.X \ ^
—b—I
efectuando operaciones se obtiene:
(a2 + b2) x2 - 2 acx + c2 - b2r2 = 0
ecuación de segundo grado en x que puede carecer de raíces en R, tener
una única raíz real (dos raíces reales iguales) o dos raíces reales distintas.
Si [4] no tiene raíces reales, tampoco existe y € R (dado por [3]). Si las
tiene, el paso siguiente es:
3o) Reemplazando en [3] cada uno de los valores hallados por x se
tiene el correspondiente valor de y con lo que se obtienen los pares ordenados (x,y) que son solución del sistema.
Por cierto que la existencia o no existencia de soluciones, y en caso
afirmativo, el número de ellas, depende de los parámetros a, b, c y r que
caracterizan a la recta (los tres primeros) y a la circunferencia, considerada la cuestión desde el punto de vista geométrico. Dichos parámetros figuran todos en la ecuación [4], por lo cual puede establecerse la
condición que deben cumplir para que se dé uno u otro de los tres casos
En efecto, la naturaleza de las raíces de [4] está dada por su discriminante
A = 4a2c2 - 4 (a2 + b2) (c2 - b2r2)
A = 4b2 (a2r2 + b2r2 - c2)
o sea por
La ecuación [4] admite:
i 2 soluciones reales distintas
b 1 única solución real
: ninguna solución real
sii A > 0 o sea sii (a 2 + b2) r 2 > c 2
sii A = 0 o sea sii (a 2 + b2) r 2 = c2
sii A < 0 o sea sii (a 2 + b2) r2 < c 2
r _esto que para cada valor de x existe uno y sólo uno de y según [3] se
tienen determinadas las condiciones que deben verificar los coeficiente
a, b, c, r para que existan o no, y en caso de existir, el número de soluciones del sistema.
El análisis precedente, efectuado sobre un sistema genérico del tipo
A, puede ser efectuado en conjunto con los alumnos o puede ser propuesto a éstos como ejercicio. Es útil en cuando permite recordar el papel del discriminante para establecer la naturaleza de las raíces de una
ecuación de segundo grado con una incógnita. De todos modos, dicho
análisis es conveniente para el profesor, pues le provee de recursos para
"fabricar" sistemas concretos; eligiendo arbitrariamente tres de los coeficientes, puede calcular el valor del cuarto para que el número de soluciones sea 0, 1,2, según lo desee.
Por supuesto, un análisis similar puede efectuarse si la ecuación [2]
representa una hipérbola, una elipse o una parábola y vale también en estos casos el método de resolución expuesto.
® í X + y =2
\ x2 + y2 = 4
r x+y=
^ \ x 2 + y2 = 4
r x + y = _4
En los tres casos la segunda ecuación corresponde a una circunferencia de centro en el origen 0 del sistema de coordenadas y radio 2.
• En el caso (a):
y =2- x
2x2 - 4x = 0
y reemplazando en la 2 a ecuación resulta
o sea x ( x - 2 ) = 0 con raíces Xj = 0 y x2 = 2
y los correspondientes de y : yj = 2 , y2 = 0. Las soluciones del sistema
son los pares ordenados (0,2) y (2,0).
• En el caso © :
y = A/IT - x por reemplazo en la 2a ecuación se obtiene x2 - V 8 - x + 2=0
con raíces x,= x9 = V2
por lo que yi = y2 =
sistema es el par ordenado ( V T . V T )
<2 . La única solución del
que conduce a x2 + 4x +12 = 0 sin raíces reales.
y=- 4 - x
Las gráficas pertinentes corresponden a tres rectas, respectivamente
secante, tangente y exterior a la circunferencia de centro 0 y radio 2.
También pueden proponerse sistemas del tipo A que estamos considerando, en los que la ecuación cuadrática no está dada en forma canónica. El método de resolución algebraico es el mismo y sólo puede presentarse alguna dificultad en la interpretación geométrica.
( 2x - y = 0
x2 - xy + y 2 = 3
De la primera ecuación y = 2x ;
x 2 - 2x2 + 4x2 = 3 o sea x2 = 1 con
raíces x¡ = 1, x2 = -1.
Los correspondientes valores de y son y! = 2 e y2 = -2. Las soluciones del sistema son entonces (1,2) y (-1,-2) que corresponden a los puntos de intersección de la recta de ecuación y = 2x con Ja elipse dada por
la ecuación x 2 - xy + y2 = 3
I. En los ejercicios 1 a 9 resolver el sistema y verificar gráficamente los
2x2 + 3y2 = 5
x-y =0
2x2 - xy + 2y2= 3
2.- Resolver los siguientes sistemas:
í 3x - y = 8
l x2 + y2 - 4x - 6y = - 8
í x+y=1
l x2 - 2xy + y2 - 2x - 2y = 1
3.- Dada la circunferencia de ecuación x 2 + y2 - 4x + 2y + 1 = 0 , hallar
los valores que debe tomar k € R para que la recta de ecuación x - y = k
sea respectivamente secante, tangente o exterior a la primera.
4.- Calcular el valor de k € R , para que la recta de ecuación x + y = k
sea tangente a la parábola definida por la ecuación y 2 - 8x = 0.
5.- Sean k , p y m números reales. Hallar el valor de k en función de p y
de m, para que la recta de ecuación y = mx + k sea tangente a la parábola
de ecuación y 2 - 4px = 0.
6.- Determinar las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 54m
su área es 18Qm2.
7.- Calcular los lados de un rectángulo cuyas diagonales tienen lOm de
longitud y cuyo perímetro es de 28m.
8.- Determinar qué valor debe tomar k € R para que la recta de ecuación
2x + y = k sea tangente a la elipse de ecuación x 2 - y 2 = 1.
Hasta aquí sólo se ha considerado el caso de sistemas cuadráticos de
dos ecuaciones en x e y en los que una de las ecuaciones es lineal. Es
uno de los más simples que pueden presentarse; para su discusión y resolución sólo se requieren conocimientos elementales en alumnos de cuarto
año de la escuela secundaria. El método para hallar sus soluciones es
esencialmente el mismo en todas las situaciones particulares que pueden
presentarse dentro del tipo descripto, y consiste en despejar una de las
variables, x ó y, en función de la otra en la ecuación lineal y su posterior
sustitución por el valor hallado en la cuadrática. A partir de las raíces de
la ecuación de segundo grado con una incógnita que se obtiene por esa
sustitución, se determinan las soluciones del sistema. Por cierto que, como se ha señalado anteriormente en esta sección, el ejercicio no termina
con la obtención de resultados. Debe verificarse la validez de los mismos. Si el conjunto solución no es vacío, una prueba de tal validez consiste en verificar que los resultados hallados son efectivamente solucio-
nes del sistema, o sea, que satisfacen a ambas ecuaciones. Si se ha encontrado en cambio que el conjunto solución es vacío, la prueba anterior
es imposible. Una comprobación eficaz en todos los casos, se da a través
de las gráficas correspondientes y de la existencia o no existencia de los
puntos de intersección. El alumno deberá considerar que el número de
soluciones halladas, 0, 1 ó 2, debe coincidir con el número de puntos de
intersección de las gráficas y que, para cada punto de intersección existente, sus coordenadas (x,y) deben estar dadas por una de las soluciones
halladas y recíprocamente.
Cabe destacar, por otra parte, que el material para los fines expuestos al comienzo de este artículo, que pueden proporcionar los sistemas de
ecuaciones cuadráticos con dos incógnitas, no se agota con el que brindan los del tipo A considerado.
En general los sistemas de dos ecuaciones de segundo grado en x e
y, son de la forma
a,x2 + a2xy + a3y2 + a4x + a5y + a 6 = 0
b t x 2 + b2xy + b3x2 + b4x + b5y + b 6 = 0
(al * 0 ó a2 * 0 ó a 3 * 0)
(bj * 0 ó b2 * 0 ó b3 * 0)
Su resolución, salvo en casos especiales, exige conocimientos que no
poseen los alumnos de 4- año de la escuela media. Basta considerar que la
aplicación del método de sustitución conduce generalmente a la resolución de una ecuación con una sola incógnita, pero de cuarto grado, de la
cual, naturalmente, los alumnos desconocen cómo hallar sus raíces. De
todos modos, éstas deben ser cuatro, no necesariamente todas reales, a
partir de las cuales se obtienen las soluciones (x,y) posibles del sistema.
No obstante, hay casos sencillos que pueden resolverse utilizando
ecuaciones de segundo grado con una incógnita, como ser los siguientes:
1.- SISTEMAS DE ECUACIONES SIN TÉRMINOS LINEALES
(es decir de ecuaciones de la forma ax2 + bxy + cy2 = d)
J x2 + xy + y2 = 3
1 x2 + 2xy - y2 = 2
puede usarse la sustitución y = ux , con lo que se obtiene
Por ejemplo, en el sistema
y en [2]
x2 + ux2 + u2x2 = 3
osea x 2 = — — - — —2
1+u+u
x2 + 2ux2 - u2x2 = 2, osea x2 =
Resulta entonces:
1+u+u2
1 +*2u + u2
l+2u+u 2
es decir: 2u2 + 2u + 2 =^3 + 6u - 3u2 , o bien: 5u2 - 4u - 1 = 0
de donde se puede calcular u , obteniéndose u = 1 y u = - 1/5
Sustituyendo estos valores respectivamente en [3] ó en [4] se tiene:
a) para u = 1: x 2 = 1, es decir x = ±1 con lo que y = ux da los
valores y = ±1
Se tienen dos soluciones del sistema: (1,1) y (-1,-1)
b) para u = - - — :
x2 = —
o sea x = + - —
y se obtienen para y los valores y = ± ——
Con lo cual resultan las otras dos soluciones
La verificación de que los pares que figuran ep [5] y en [6]
satisfacen a ambas ecuaciones del sistema, es inmediata.
2.- SISTEMAS SIN TÉRMINOS LINEALES NI
(o sea, con ecuaciones de la forma ax2 + by2 = c)
Por carecer de términos lineales es aplicable el procedimiento anterior, pero hay una solución más inmediata con la sustitución x2 = X e
y 2 = Y con lo cual el sistema se transforma en un sistema de dos ecuaciones lineales en X e Y, o directamente en x2 e y2.
Por ejemplo, dado el sistema
J x2 + 2y2 = 4
l x - y =1
resolviéndolo como un sistema lineal en x2 = X e y 2 = Y
x2 = 2 e y2 = 1, o sea x = ± V"2~ e y = ± 1
El alumno debe considerar que al no haber una relación directa entre
las variables x e y, los valores hallados para una y para la otra, son
independientes, por lo cual hay 4 soluciones dadas por las posibles
combinaciones de los valores de x y los de y, o sea:
(a/2"
, - l ) , ( - V T ,1),(-V2"
todos los cuales verifican el sistema.
Como se ha dicho, pueden obtenerse por el procedimiento de sustituir y
por ux.
Resolver aplicando el método de sustitución de y por ux
• Teaching Teachers to Teach Statistics.
El Instituto Internacional de Estadística (ISI) publicará el libro arriba indicado editado
por Anne Hawkins. Se trata de una recopilación de lo desarrollado en la mesa redonda
organizada por el ISI en Budapest en julio de 1988, en la cual participaron más de treinta personas de diferentes partes del mundo. En las distintas secciones del libro se consideran aspectos de la Enseñanza de la estadística que contemplan el entrenamiento de
los docentes y se evalúan los programas existentes.
Los interesados pueden solicitar mayor información en:
428 Prinses Beatrixlaan
22.709 AZ Voorburg. NETHERLANDS.
• Creativity, Thought and Mathematical Proof. Interchange. Volumen 21 N21,
1990. Instituto de Ontario para Estudios en Educación
Este es un número especial de la publicación Interchange organizado por su Editor, Ian
Winchester, y G. Hanna. Se trata de una recopilación de trabajos relacionados con una
variedad de aspectos de la demostración en matemática,tales como históricos, socio-pedagógicos, epistemológicos, filosóficos, etc., a través de los cuales se enfatiza la naturaleza pluralista de las matemáticas y su discurso.
• Managing Mathematics.
Un libro dirigido al Director del Departamento de Matemáticas en el nivel medio de enseñanza, con el objetivo de explicitar su rol. Su contenido se desarrolla en las siguientes
1.- Implementación de curriculum
2.- Relaciones con los alumnos
3.- Relaciones con los colegas
4.- Administración
5.- Interrelaciones
Editado por The Mathematical Association (U.K.).
Puede requerirse a:
Stanley Thornes and Hulton
Oíd Station Drive
GL 53. ODN, UK
Ejemplo de variables con Procedimientos
− 5 + 25 = 0 Como todos los términos tienen x podemos sacar factor
Problema 69 Encontrar todos los números naturales x , y , z
Asíntotas Cortes con eje Intervalo donde f(x) es Horizontal Vertical
1. Indica el número de soluciones de las siguientes ecuaciones sin
Prueba Segundos2[1]

References: resolución 
 resolución 
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