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Timestamp: 2017-06-25 07:31:01+00:00

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Algunos problemas de ecuaciones razonados y resueltos.
Algunos problemas de ecuaciones razonados y resueltos.Cargado por Antonio García MegíaRelated InterestsEquationsMathematicsPhysics & MathematicsScienceFurther EducationRating and Stats0.0 (0)Document ActionsDescargaShare or Embed DocumentInsertarDescripción: Introducción al planteamiento y resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado. Ejemplos prácticos. Alumnos de Educación Primaria y Secundaria.Ver másIntroducción al planteamiento y resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado. Ejemplos prácticos. Alumnos de Educación Primaria y Secundaria.Copyright: Attribution Non-Commercial No-Derivs (BY-NC-ND)Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate content2013 Antonio García MegíaAlgunos problemas de ecuaciones razonados y resueltos Angarmegia: Ciencia, Cultura y Educación. Portal de Investigación y docencia http://angarmegia.com - angarmegia@angarmegia.com
Algunos problemas de ecuaciones razonados y resueltos
Notas y recursos didácticos para las clases de Una propuesta de
El presente documento forma parte del proyecto del Portal de Educación y Docencia Angarmegia, Ciencia, Cultura y Educación (http://angarmegia.com). Propone algo más que unos apuntes para orientar a nuestros alumnos de Educación Secundaria en sus estudios sobre el tema. Junto a un el texto muy simplificado y centrado en aspectos esenciales para completar, o diversificar, los contenidos recogidos en su libro base, el proyecto dispone de vídeos relacionados y de actividades interactivas para mejorar y reforzar las adquisiciones. Los vídeos están localizables en la sección Vídeos del Portal o en el Canal Angarmegia de YouTube. Las direcciones son:  Vídeos en el Portal: http://angarmegia.com/videos.htm  Angarmegia en YouTube: http://www.youtube.com/user/angarmegia Las actividades interactivas se encuentran en la sección Refuerzo al estudio. http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm Esta misma información en formato html está accesible desde las secciones “Matemáticas”… http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm … y “Matemáticas fáciles”, que recoge las fichas esquemáticas de todos los contenidos de la Educación Secundaria obligatoria realizadas por el Profesor Bienvenido Ayala: http://angarmegia.com/menumatematicas.htm Agradecemos cualquier crítica o sugerencia que tengan a bien hacernos. Nuestra mayor satisfacción estriba en conocer que nuestro trabajo puede contribuir a mejorar el nivel educativo de las generaciones que habrán de sustituirnos.
Decíamos que… _______________________________________________________ 9
La resolución de problemas con Ecuaciones Simples _______________________________ 9
Resolviendo problemas concretos… ______________________________________ 10
Problema 1 _______________________________________________________________ 10 Problema 2 _______________________________________________________________ 10 Problema 3 _______________________________________________________________ 11 Problema 4 _______________________________________________________________ 12 Problema 5 _______________________________________________________________ 12 Problema 6 _______________________________________________________________ 13 Problema 7 _______________________________________________________________ 13 Problema 8 _______________________________________________________________ 14
DR. D. ANTONIO GARCÍA MEGÍA SERIE APOYOS DIDÁCTICOS – ALGUNOS PROBLEMAS DE ECUACIONES RAZONADOS Y RESUELTOS
Cuando una igualdad algebraica se verifica siempre, cualquiera que sea el valor numérico de las letras o las variables, se denomina IDENTIDAD. Si la igualdad se cumple sólo para algunos valores de las letras o las variables, la igualdad se denomina ECUACIÓN. Por ejemplo: x(a + b)= ax + bx
Es una IDENTIDAD. Se cumple cualesquiera que sean los valores de a, b o x.
Es una Ecuación. Sólo se cumple cuando x=5 e y=9.
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES SIMPLES La solución de problemas de ecuaciones requiere de la formulación de un modelo numérico que refleje, mediante la combinación adecuada de los datos conocidos y desconocidos buscados (incógnitas), en un conjunto de operaciones numéricas e igualdades cuyo cálculo suministrará la información buscada. Es lo que se conoce como PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Una vez planteada correctamente la cuestión, la solución se alcanza fácilmente actuando con rigor y método.
Resolución de problemas mediante ecuaciones PLANTEAMIENTO ELIMINAR PARÉNTESIS SUPRIMIR DENOMINADORES TRANSPONER TÉRMINOS DESPEJAR INCÓGNITA
RESOLVIENDO PROBLEMAS CONCRETOS…
PROBLEMA 1 A una representación escolar acuden 450 persona. El número de niños triplica al de madres, mientras que los padres solo suman la mitad de ellas. ¿Cuántos padres, madres y niños acuden al evento? PLANTEAMIENTO
Incógnita principal: Datos conocidos: Número de madres = x 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 450 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠 = 3𝑥 Número de padres = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑑𝑟𝑒𝑠 =
Ecuación final: 𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟒𝟓𝟎 RESOLUCIÓN
Eliminar denominadores: 2 𝑥 + 3𝑥 + = 2 × 450 2 2𝑥 + 6𝑥 + 𝑥 = 900 9𝑥 = 900
Reducir términos: Despejar incógnita principal: Calcular otras incógnitas:
𝑥= 100
𝑁𝑖ñ𝑜𝑠 = 3 × 100 = 300
𝑃𝑎𝑑𝑟𝑒𝑠=
= 50 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA: 100 madres - 300 niños - 50 padres
PROBLEMA 2 Dos inversores adquieren acciones de dos empresas distintas. La compra de “A” asciende a 2.000 euros, mientras que la inversión de “B” es de 10.000 euros. Ambos obtienen el mismo beneficio, pero entonces “B” tiene tres veces más dinero que su compañero. ¿Qué cantidad ganaron? PLANTEAMIENTO
Incógnita principal: Datos conocidos: Ganancia = x 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 A = 2.000 + 𝑥 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐵 = 10.000 + 𝑥
Ecuación final: 𝟑 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 + 𝒙 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝒙
Suprimir paréntesis: 3 × 2.000) + 3𝑥 = 10.000 + 𝑥 6.000 + 3𝑥 = 10.000 + 𝑥 3𝑥 − 𝑥 = 10.000 − 6.000 2𝑥 = 4.000
Transponer términos: Reducir términos: Despejar incógnita principal:
𝑥= 2.000
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA: La ganancia de cada inversor es de 2.000 euros
PROBLEMA 3 Una herencia se distribuye de la siguiente manera: La mitad del dinero será para la esposa, la tercera parte para el hijo y la décima parte para una sobrina. Si, además, quedan 20.000 euros para una obra benéfica, ¿a cuánto asciende la cantidad a repartir? PLANTEAMIENTO
Incógnita principal: Datos conocidos: Total de la herencia = x 𝐻𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑎 = 𝐻𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑕𝑖𝑗𝑜 =
𝑥 3 𝑥 2 𝑥
𝐻𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑖𝑛𝑎 = 10 𝐻𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑏𝑟𝑎 𝑏𝑒𝑛é𝑓𝑖𝑐𝑎 = 20.000
Ecuación final: 𝒙 = 𝟐 + 𝟑 + 𝟏𝟎 + 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 RESOLUCIÓN
Eliminar denominadores: 𝑚. 𝑐 . 𝑚 2, 3, 10 = 30 𝑥 𝑥 𝑥 30𝑥 = 30 + + + 20.000 2 3 10 30𝑥 = 15𝑥 + 10𝑥 + 3𝑥 + 600.000 30𝑥 − 15𝑥 − 10𝑥 − 3𝑥 = 600.000 2𝑥 = 600.000
Transponer términos: Reducir términos: Despejar incógnita principal: Calcular otras incógnitas:
600.000 2
300 .000 2 300 .000 3
𝑥= 300.000
= 150.000 = 30.000
𝐸𝑠𝑝𝑜𝑠𝑎= 𝐻𝑖𝑗𝑜 =
= 100.000
𝑆𝑜𝑏𝑟𝑖𝑛𝑎=
300 .000 10
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA: Esposa: 150.000 euros – Hijo: 100.000 euros – Sobrina: 30.000 euros
PROBLEMA 4 Un padre tiene 49 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que el padre triplique la edad del hijo? PLANTEAMIENTO
Incógnita principal: Datos conocidos: Años transcurridos = x 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑑𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑥 𝑎ñ𝑜𝑠 = 49 + 𝑥 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑕𝑖𝑗𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑥 𝑎ñ𝑜𝑠 = 11 + 𝑥
Ecuación final: 𝟒𝟗 + 𝒙 = 𝟑(𝟏𝟏 + 𝒙) RESOLUCIÓN
Efectuar paréntesis: Transponer términos: Reducir términos: Despejar incógnita principal: 49 + 𝑥 = 33 + 3𝑥 𝑥 − 3𝑥 = 33 − 49 −2𝑥 = − 16
−16 −2
𝑥= 8
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA: Tiempo transcurrido: 8 años
PROBLEMA 5 Una fuente tiene tres caños. El primero da 2.400 litros cada 5horas; el segundo 800 litros cada 4 horas y el tercero 2.000 litros cada 8 horas. Manando juntos, ¿qué tiempo necesitarán para verter 46.500 litros? PLANTEAMIENTO
Incógnita principal: Datos conocidos: Horas de vertido = x 𝐶𝑎ñ𝑜 1. 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑕𝑜𝑟𝑎 = = 480 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 5 𝐶𝑎ñ𝑜 1. 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 480𝑥 800 𝐶𝑎ñ𝑜 2. 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑕𝑜𝑟𝑎 = = 200 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 4 𝐶𝑎ñ𝑜 2. 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 200𝑥 2.000 𝐶𝑎ñ𝑜 3. 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑕𝑜𝑟𝑎 = = 250 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 8 𝐶𝑎ñ𝑜 3. 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 250𝑥 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑎ñ𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 46.500 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
Ecuación final: 𝟒𝟖𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟓𝟎𝒙 = 𝟒𝟔. 𝟓𝟎𝟎
Reducir términos: Despejar incógnita principal: 930𝑥 = 46.5000
46.500 930
𝑥= 50
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA: Tiempo que deben manar juntos los tres caños: 50 horas
PROBLEMA 6 En un almacén hay 200 cajas conteniendo dos clases de mercancías cuyo peso total es de 10.800 kg. Las cajas de un tipo pesan 60 kg cada una, mientras que las del segundo sólo 45 kg. ¿Cuántas cajas hay de cada clase? PLANTEAMIENTO
Incógnita principal: Datos conocidos: Número de fardos tipo “A” = x 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜 "𝐵" = 200 − 𝑥 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜 "A" = 60𝑥 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜 "𝐵" = 45 200 − 𝑥 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑟𝑑𝑜𝑠 = 10.800
Ecuación final: 𝟔𝟎𝒙 + 𝟒𝟓 𝟐𝟎𝟎 − 𝒙 = 𝟏𝟎. 𝟖𝟎𝟎 RESOLUCIÓN
Efectuar paréntesis: Reducir términos: Transponer términos: Reducir términos: Despejar incógnita principal: Calcular otras incógnitas: 60𝑥 + 9.000 − 45𝑥 = 10.800 15𝑥 + 9.000 = 10.800 15𝑥 = 10.800 − 9.000 15𝑥 = 1.800
1.800 15
𝑥= 120
𝐶𝑎𝑗𝑎𝑠𝑡𝑖𝑝𝑜 "B" = 200 − 120 = 80
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA: Cajas de 60 kg: 120 – Cajas de 45 kg: 80
PROBLEMA 7 Se quiere repartir equitativamente cierto número de bolas entre varias bolsas. Si se introducen 50 en cada una sobran 55, pero si se guardan 60, faltan 5 bolas. ¿De cuántas bolsas se dispone? PLANTEAMIENTO
Incógnita principal: Datos conocidos: Número de bolsas = x 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠. 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 1 = 50𝑥 + 55 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠. 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 2 = 60𝑥 − 5
Ecuación final: 𝟓𝟎𝒙 + 𝟓𝟓 = 𝟔𝟎𝒙 − 𝟓
Transponer términos: Reducir términos: Despejar incógnita principal: 50𝑥 − 60𝑥 = −5 − 55 −10𝑥 = −60
𝑥= −10
𝑥= 6
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA: Bolsas disponibles: 6
PROBLEMA 8 Para motivar a su hijo, que ha suspendido, un padre le propone el siguiente acuerdo: Le dará 2 euros por cada tema aprendido, pero perderá 4 euros por aquellos que no domine. Si eran 27 los temas y el estudiante recibe 24 euros, ¿cuántos temas le restan por aprender? PLANTEAMIENTO
Incógnita principal: Datos conocidos: Temas NO dominados = x 𝑇𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 = 27 − 𝑥 𝐷𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜 = 2(27 − 𝑥 ) 𝐷𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑑𝑜 = 4𝑥 𝐷𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑏𝑖𝑑𝑜 = 24
Ecuación final: 𝟐 𝟐𝟕 − 𝒙 − 𝟒𝒙 = 𝟐𝟒 RESOLUCIÓN
Efectuar paréntesis: Reducir términos: Transponer términos: Reducir términos: Despejar incógnita principal: 54 − 2𝑥 − 4𝑥 = 24 54 − 6𝑥 = 24 −6𝑥 = 24 − 54 −6𝑥 = −30
−30 −6
𝑥= 5
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA: Debe aprender todavía 5 temas
Vídeos relacionados en: http://angarmegia.com/videos.htm http://www.youtube.com/user/angarmegia Actividades interactivas en: http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm Información en formato html, y fichas resumen del profesor Bienvenido Ayala, en: http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm http://angarmegia.com/menumatematicas.htm Más documentos imprimibles relacionados en: http://angarmegia.com/apoyos_imprimibles.htm#Matematicas
2013 Antonio García Megía
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