Source: https://www.scribd.com/document/219553015/1-Paev-Enfoque-Ejemplos
Timestamp: 2019-03-22 02:25:22+00:00

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Uploaded by Genry Mario Ramirez
RESOLUCION DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS SEGÚN SU ESTRUCTURA SEMÁNTICA
UNA REALIDAD PERTINAZ:
Los alumnos/as de nuestros centros presentan serias dificultades a la hora de afrontar la resolución de problemas aritméticos.
CONFIRMACIÓN DE DICHA REALIDAD
• Resultados que los/as alumnos/as obtienen en las pruebas que nosotros pasamos ordinariamente, a la hora de afrontar la resolución de problemas aritméticos • Análisis de El profesorado: ”No existe una relación satisfactoria entre el mucho tiempo que se dedica en las aulas a plantear problemas aritméticos a los alumnos y el escaso desarrollo que éstos consiguen en las habilidades para su resolución. “
Grupo de trabajo "No hay problema"
Analizar las causas por las que se producen y persisten dichas dificultades
ANÁLISIS DE MATERIALES DE DIFERENTES EDITORIALES
Producto Cartesiano División Fórmula Multiplicación Fómula División Comparación Multipliación Comparación División Razón Multiplicación Razón Comparación Combinación Cambio 0 10 20 30
• La mayoría de dichas editoriales y cuadernillos trabajan los problemas preferentemente desde el único punto de vista exclusivamente aritmético. aritmético. • Variedad de enunciados muy reducida. reducida. • Desarrollo de actitudes puramente mecánicas en los alumnos/as. alumnos/as . • En la resolución de problemas aritméticos debe primar el análisis del enunciado enunciado. . • Para ello nos pareció importante adoptar una clasificación de los problemas aritméticos desde el punto de vista semántico, cuyas categorías y tipos, tomados tomados: : • Jaime Martínez Montero “Enseñar matemáticas a alumnos con necesidades educativas especiales”. CISSPRAXIS 2002. (Suma, resta, multiplicación, división). división). • Carlos Yuste (Razonamiento transitivo, Tablas de doble entrada y Acción/movimiento) .
NUESTRA HIPOTESIS DE PARTIDA:
• Si trabajamos todas las
categorías y tipos de problemas, respetando las secuencias de progresión en conocimientos y conceptos, entonces mejorará el rendimiento de los alumnos en el ámbito de la resolución de los problemas aritméticos.
La dificultad será variable:
Según el orden en que se presentan los términos (T) de que consta el problema se corresponda o no con el exigido por la operación requerida para resolverlo. Según que la pregunta se plantee al final del enunciado o en posición inicial/media (P).
Según que la estructura sintáctica que presenta el enunciado sea una u otra.
Según que dicho enunciado contenga o no uno/varios conceptos verbales que induzcan a realizar la operación contraria a la requerida (V).
Según se introduzcan datos superfluos.
CAMBIO (CA):
Cambio de una cantidad por efecto de otra de la misma naturaleza que la hace crecer o disminuir.
Cambio1/Cambio2 (CA1/CA2): se conoce la cantidad inicial y la de transformación, que hace crecer/disminuir a la anterior, para preguntar por la resultante. Cambio3/Cambio4 (CA3/CA4): se conoce la cantidad inicial y la resultante, que es mayor/menor que la anterior, para preguntar por la de transformación. Cambio5/Cambio6 (CA5/CA6): se conoce la cantidad resultante y lo que la de transformación la ha hecho crecer/disminuir, para preguntar por la inicial. Combinación1 (CO1): se conocen las dos cantidades que se combinan y se pregunta por la cantidad “compuesto”. Combinación2 (CO2): se conoce la cantidad “compuesto” y una de las cantidades que se combina, para preguntar por la otra. / (CM1/CM2): / se conocen la cantidad referente y la que Comparación1/Comparación2 se compara, para preguntar por la diferencia en más/menos existente entre amabas. Comparación3/Comparación4 (CM3/CM4): se conoce la cantidad referente y su diferencia en más/menos, con la que se compara, para preguntar por esta última. Comparación5/Comparación6 (CM5/CM6): se conoce la cantidad que se compara y su diferencia en más/menos con la referente, para preguntar por ésta. Igualación1/Igualación2 (IG1/IG2): se conoce la cantidad referente y la cantidad a igualar, para preguntar por la de igualación que implica aumento/detracción.
COMBINACIÓN (CO):
Combinación de dos cantidades de la misma naturaleza.
SUM MA O RESTA
COMPARACIÓN (CM):
Comparación de dos cantidades.
IGUALACIÓN (IG):
Igualación de dos cantidades.
Igualación3/Igualación4 (IG3/IG4): se conoce la cantidad referente y la de igualación, que implica aumento/detracción de la cantidad a igualar, para preguntar por ésta. Igualación5/Igualación6 (IG5/IG6): se conoce la cantidad a igualar y la de igualación, que implica aumento/detracción, para preguntar por la referente.
también de la misma naturaleza. para preguntar por la resultante. que resulta de dicha transformación: cantidad resultante.PROBLEMAS DE CAMBIO • Cambio de una cantidad por efecto de otra de la misma naturaleza que la hace crecer o disminuir. además. +3 CAMBIO 1 Se conoce la cantidad inicial y la de transformación. CA1 5 ? Su madre le da 3 más Antonio ¿Cuántas monedas tiene ahora en CANTIDAD total? RESULTANTE Tenía 5 monedas CANTIDAD INICIAL CAMBIO 2 CA2 Se conoce cantidad inicial y la de trasformación. • Constan de: – Una cantidad de partida o inicial. que hace crecer a la anterior. – Otra de la misma naturaleza que la anterior que la hace crecer o disminuir: cantidad de cambio o transformación. para preguntar por la resultante. • Según qué dos de estas tres cantidades se conozcan y por cuál se pregunte… • Según. -3 5 ? Se 3 S gasta g Antonio ¿Cuántas monedas le quedan ? CANTIDAD RESULTANTE Tenía 5 monedas CANTIDAD INICIAL Grupo de trabajo "No hay problema" 4 . que el efecto de la transformación sea de aumento/disminución o que la cantidad resultante sea mayor/menor que la inicial… • Distinguimos seis tipos de problemas de cambio. – Una tercera. que hace disminuir a la anterior.
que es mayor que la anterior. para preguntar por la de transformación. para preguntar por la de transformación. para preguntar por la inicial. CM5 3+ ? 7 Antonio Le dan 3 más Tenía algunas monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio? Junta 7 monedas Grupo de trabajo "No hay problema" 5 . ?+ CA3 5 8 Antonio ¿Cuántas más necesitará …? ¿… para juntar8 ? CANTIDAD INICIAL Tiene 5 mendas CANTIDAD RESULTANTE CAMBIO 4 Se conoce cantidad inicial y la resultante. ?CA4 5 2 Antonio ¿Cuántas gastó? Le quedan 2 monedas Tenía 5 monedas CANTIDAD INICIAL CANTIDAD RESULTANTE CAMBIO 5 Se conoce la cantidad resultante y lo que la de transformación la ha hecho crecer crecer. que es menor que la anterior.CAMBIO 3 Se conoce la cantidad inicial y la resultante.
disminuir CM6 -3 ¿? 2 Antonio Se gastó 3 monedas Tenía algunas monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio? Le quedan 2 monedas PROBLEMAS DE COMBINACIÓN • Combinación de dos cantidades de la misma naturaleza. que se combina con ella. para preguntar por la inicial. 5 CO1 3 ? CANTIDAD “COMPUESTO” 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Antonio Tenía 5 monedas de 10 céntimos 20 20 20 20 20 20 ¿Cuántas monedas reúne en total? 10 Su madre le da 3 monedas de 20 céntimos Grupo de trabajo "No hay problema" 6 . – Otra cantidad B de distinta naturaleza que la anterior. • Constan de: – Una cantidad A..CAMBIO 6 Se conoce la cantidad resultante y lo que la de transformación la ha hecho disminuir. – Una tercera cantidad que resulta de dicha combinación y pertenece a una categoría que incluye a ambas: cantidad “compuesto” • Según qué dos de estas tres cantidades se conozcan y por cuál se pregunte. COMBINACIÓN 1 Se conocen las dos cantidades que se combinan y se pregunta por el compuesto. • Distinguimos dos tipos de problemas de combinación..
segunda ¿? 5 3 ¿Cuántos más? 20 20 20 20 ¿Cuántas más que Raquel tiene Antonio? 20 20 20 Antonio tiene 5 monedas 20 Raquel tiene 3 Grupo de trabajo "No hay problema" 7 .. • Según.. – Una tercera que resulta de dicha comparación y expresa la diferencia existente entre ellas. • Constan de: – Una cantidad referente. para preguntar por la diferencia en más de la primera con respecto a la segunda.. – Otra cantidad que se compara con la anterior.. CM1 COMPARACIÓN 1 Se conoce la cantidad referente y la que se compara. para preguntar por la otra.COMBINACIÓN 2 Se conoce la cantidad “compuesto” y una de las que se combina. CANTIDAD “COMPUESTO” 10 10 10 10 10 10 10 10 10 3 CO2 8 ? Antonio Tiene 5 monedas de 10 céntimos 20 20 Tiene en total 8 monedas 20 10 ¿Cuántas monedas tendrá de 20? PROBLEMAS DE COMPARACIÓN • Comparación de dos cantidades. además. que la diferencia sea “en más” o “en menos”. • Según qué dos de estas tres cantidades se conozcan y por cuál se pregunte. • Distinguimos seis tipos de problemas de comparación.
CM3 2+ ¿? 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 Raquel tiene 2 más Antonio tiene 5 monedas 20 20 ¿Cuántas monedas tiene Raquel? COMPARACIÓN 4 Se conoce la cantidad referente y su diferencia en menos con la que se compara. para preguntar por la diferencia en menos de la segunda con respecto a la primera. para preguntar por ésta última. compara para preguntar por esta última.CM2 COMPARACIÓN 2 Se conoce la cantidad referente y la que se compara. CM4 5 2¿? 20 20 20 20 20 20 Raquel tiene 2 menos 20 20 20 Antonio tiene 5 monedas ¿Cuántas monedas tiene Raquel? 20 Grupo de trabajo "No hay problema" 8 . primera 5 ¿? 3 ¿Cuántos menos? 20 20 20 20 ¿Cuántas menos que Antonio tiene Raquel 20 20 20 20 20 Antonio tiene 5 monedas 20 Raquel tiene 3 COMPARACIÓN 3 5 Se conoce la cantidad referente y su diferencia en más con la que se compara.
• Distinguimos seis tipos de problemas de igualación. – Otra cantidad a igualar con la anterior. • Y según que la cantidad de igualación sea de aumento o de detracción. referente para preguntar por ésta. Grupo de trabajo "No hay problema" 9 . • Constan de: – Una cantidad referente. 2+ ¿? 5 2 más que Antonio 20 20 20 20 20 20 20 20 Raquel tiene 5 monedas ¿Cuántas monedas Tiene Antonio? CM5 COMPARACIÓN 6 Se conoce la cantidad que se compara y su diferencia en menos con la referente...CM5 COMPARACIÓN 5 Se conoce la cantidad que se compara y su diferencia en más con la referente. – Una tercera cantidad de igualación.. • Según qué dos de estas tres cantidades se conozcan y por cuál se pregunte. 2¿? 3 20 20 20 20 20 2 menos que Antonio 20 20 20 20 20 Raquel tiene 3 monedas ¿Cuántas monedas Tiene Antonio? PROBLEMAS DE IGUALACIÓN • Igualación de dos cantidades. para preguntar por ésta..
para preguntar IG3 por ésta. 5 ? 20 20 20 20 20 20 Raquel necesita 2 para tener las mismas que Antonio Antonio Tiene 5 20 ¿Cuántas monedas tiene Raquel Grupo de trabajo "No hay problema" 10 . segunda 20 20 20 20 20 20 20 ¿Cuánto dinero le tienen que dar a Raquel para que tenga lo mismo que Antonio? Antonio Tiene 5 Raquel tiene 3 20 IGUALACIÓN 2 IG2 ¿5 3 Se conoce la cantidad referente y la cantidad a igualar. que implica detracción de la primera. que implica aumento de la cantidad a igualar. que implica aumento de la segunda.IGUALACIÓN 1 IG1 5 ¿+ 3 Se conoce la cantidad referente y la cantidad a igualar. para preguntar por la de igualación. para preguntar por la de igualación. ¿Cuántas monedas tiene que perder Antonio pata tener las mismas que Raquel? 20 20 20 20 20 20 20 Antonio Tiene 5 20 Raquel tiene 3 IGUALACIÓN 3 +3 Se conoce la cantidad referente y la de igualación.
que implica detracción de la cantidad a igualar. 20 20 20 20 20 20 Si Raquel gastara dos tendría las dos.IGUALACIÓN 4 IG4 5 -2 ? Se conoce la cantidad referente y la de igualación. que implica aumento de aquella para preguntar por la referente. para preguntar por la referente. IG5 +2 3 ? 20 20 20 ¿Cuántas monedas tiene Antonio? ? 20 20 20 20 20 Si le dieran dos más tendría las mismas que Antonio Cuántas Tiene Antonio 20 20 Raquel tiene 3 monedas IGUALACIÓN 6 Se conoce la cantidad a igualar y la de igualación. IG6 -2 5 ? Tendría las mismas que Antonio ¿Cuántas C á t monedas tiene Antonio? Si gastara dos 20 20 20 20 20 20 20 20 Raquel tiene 5 monedas Grupo de trabajo "No hay problema" 11 . que implica detracción de aquella. aquella . para preguntar por ésta. mismas que Antonio Antonio Tiene 5 20 ¿Cuántas monedas tiene Raquel IGUALACIÓN 5 Se conoce la cantidad a igualar y la de igualación. aquella.
de la misma naturaleza que el dividendo. Dadas dos cantidades de distinta naturaleza (multiplicando y multiplicador). la cual expresa el número de partes iguales o subconjuntos de que consta el producto. PROBLEMAS MULTIPLICACIÓN RAZÓN • • Dos cantidades entre las cuales se establece una relación de proporcionalidad (razón) . se pregunta por la cantidad resultante (cociente). se pregunta por la cantidad resultante (producto) también de la misma naturaleza que el multiplicando. se pregunta DIVISIÓN por la cantidad resultante (cociente). C. la cual expresa el número de partes iguales o subconjuntos en DIVISIÓN FÓRMULA (DF): que se divide la primera. (multiplicando) y el número de veces que ésta se repite (multiplicador). Distinguimos tres tipos de problemas de multiplicación razón. Multiplicación Comparación en – (MCM‐): Dada una primera cantidad (multiplicando) y otra segunda que expresa la regla de proporción en términos de “veces menos” (multiplicador). de distinta naturaleza que las anteriores División Partición Comparación en +(DPCM+): Dada una primera cantidad (dividendo) y otra segunda que expresa la regla de proporción en términos de “veces más” (divisor). se pregunta por la cantidad resultante (producto) también de carácter espacial como el multiplicando. División Cuotición Comparación en – (DCCM‐): Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor). es decir. • • • Grupo de trabajo "No hay problema" 12 . se pregunta por la cantidad resultante (producto). de la misma naturaleza que el multiplicando. Multiplicación Razón3 (MR3): Dada una cantidad (multiplicando) y otra de distinta naturaleza que ésta (multiplicador). PARTICIÓN División Partición Comparación en – (DPCM‐ (DPCM‐): Dada una primera cantidad COMPARACIÓN (dividendo) y otra segunda que expresa la regla de proporción en términos de “veces veces más” más (DPCM): (divisor). (DPCO): Dada una cantidad (dividendo) y el número de combinaciones posibles (divisor). que al aumentar o disminuir una o ambas. Constan de: – Una cantidad de determinada naturaleza . se pregunta por la cantidad resultante (cociente). RAZÓN (DR): División Cuotición Razón (DCR): Dada una cantidad (dividendo) y otra de idéntica naturaleza (divisor). de la misma naturaleza que el dividendo. Dada una cantidad de carácter espacial (multiplicando) y otra de carácter temporal (multiplicador). Multiplicación Comparación en + (MCM+): Dada una primera cantidad (multiplicando) y otra segunda que expresa la regla de proporción en términos de “veces más” (multiplicador). el resultado aumenta o disminuye en la misma proporción. la cual expresa el número de partes iguales o subconjuntos en que se divide la primera. se pregunta por el número de combinaciones que pueden hacerse entre ellas (producto). se pregunta por la otra cantidad que se combina (cociente). – Una tercera de la misma naturaleza que la primera o que ambas: producto. se pregunta por el producto que es de la misma naturaleza que el multiplicando. División Partición Fórmula (DPF): Dada una cantidad de carácter espacial (dividendo) y otra de carácter temporal (divisor). se pregunta por el número de veces que una es mayor que la otra. se pregunta por la cantidad resultante (cociente). DIVISIÓN CUOTICIÓN COMPARACIÓN (DCCM): División Cuotición Comparación en + (DCCM+): Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor). DIVISIÓN P. la cual expresa la porción fija o cuota de unidades que debe contener cada parte. M U L T I P L I C A C I Ó N MULTIPLICACIÓN RAZÓN (MR): MULTIPLICACIÓN COMPARACIÓN (MCM): MULTIPLICACIÓN FÓRMULA (MF): MULTIPLICACIÓN COMBINACIÓN (MCO): CATEGORÍA TIPOS D I V I S Ó N División Partición Razón (DPR): Dada una determinada cantidad (dividendo) y otra de distinta naturaleza (divisor). – Otra cantidad de naturaleza igual o diferente que la anterior: multiplicador. de la misma naturaleza que el multiplicando. se pregunta por la cantidad resultante (cociente). Según qué relación de proporcionalidad (razón) exprese la segunda cantidad respecto a la primera… Y según que la naturaleza de las cantidades sea igual o diferente…. se pregunta por el número de veces que una es menor que la otra. de la misma naturaleza DIVISIÓN que el dividendo. se pregunta por éste que también es de la misma naturaleza.CATEGORÍA TIPOS Multiplicación Razón1 (MR1): Dada una cantidad de determinada naturaleza. también de carácter espacial como el dividendo. Multiplicación Razón2 (MR2): Dada una cantidad (multiplicando) y otra de idéntica naturaleza (multiplicador). se pregunta por la cantidad resultante (producto).
se pregunta por el producto. se pregunta por la cantidad resultante. Antonio mete en su hucha 5 monedas cada día Al cabo de cuatro días 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 ¿cuántas monedas habrá metido en su hucha? 5 + 5 + 5 + 5 = 5 x 4 = 20 MILTIPLICACIÓN RAZÓN 2 Dada una cantidad y otra de idéntica naturaleza . que es de la misma naturaleza que la primera. producto se pregunta por éste que también es de la misma naturaleza. la cual expresa el número de partes iguales o subconjuntos de que consta el producto. 3 3 3 3 Antonio compra 5 cuentos y paga 3 monedas por cada uno ¿Cuántas monedas gastó en total? 3 + 3 + 3 + 3 + 3 5 x 3 = 15 monedas Grupo de trabajo "No hay problema" 13 . 5 5 5 5 Antonio hace 4 Montones de 5 monedas cada uno ¿Cuántas monedas tiene en total? 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5 + 5 + 5 + 5 5 x 4 = 20 MULTIPLICACIÓN RAZÓN 3 Dada una cantidad de determinada naturaleza y otra de distinta naturaleza que expresa la relación de proporcionalidad o razón con ella. también de la misma naturaleza ésta última.MULTIPLICACIÓN RAZÓN 1 Dada una cantidad de determinada naturaleza y el número de veces que ésta se repite.
la cual expresa el número de partes iguales en que se divide la primera. se pregunta por la cantidad resultante. DIVISIÓN PARTICIÓN PARTICIÓN-RAZÓN (DPR) Dada una determinada cantidad y otra de distinta naturaleza . Antonio Tiene 6 monedas ¿Cuántas monedas habrá puesto en cada hucha? :3 =2 DIVISIÓN CUOTICIÓN CUOTICIÓN-RAZÓN (DCR) Dada una cantidad y otra de idéntica naturaleza . es decir. En cada hucha mete 2 Antonio Tiene 6 monedas :3 =2 ¿Cuántas huchas necesita? Grupo de trabajo "No hay problema" 14 . el resultado aumenta o disminuye en la misma proporción. de distinta naturaleza que las anteriores. Y las reparte a partes iguales en tres huchas. • Según qué relación de proporcionalidad (razón) exprese la segunda… • Y según que la naturaleza de las cantidades sea igual o diferente…. – Otra cantidad de naturaleza igual o diferente que la anterior. de la misma naturaleza que la primera. • Constan de: – Una cantidad de determinada naturaleza. se pregunta por la cantidad resultante .PROBLEMAS DE DIVISIÓN RAZÓN • Dos cantidades entre las cuales se establece una relación de proporcionalidad (razón). que al aumentar o disminuir una o ambas. la cual expresa la porción fija o cuota de unidades que debe contener cada parte. anterior la cual expresa la relación de proporcionalidad o razón. – Una tercera de la misma naturaleza que la primera o que ambas: resultante. • Distinguimos dos tipos de problemas de división razón.
3 veces menos que Raquel 5 X 3 veces . • Distinguimos dos tipos de problemas de multiplicación comparación. • Constan de: – Una cantidad de determinada naturaleza.= 15 Luego Raquel Tiene 3 veces más ¿Cuántas monedas tiene Raquel? Grupo de trabajo "No hay problema" 15 . – Una tercera (resultante) de la misma naturaleza que la primera. se pregunta por la cantidad resultante. se pregunta por la cantidad resultante . • Según que la mencionada regla de proporción exprese en términos de “veces más” o de “veces menos”.PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN COMPARACIÓN • Dos cantidades que se comparan en base a una regla de proporción entre ellas. 3v+ ¿? 5 3 veces 5 Antonio tiene 5 monedas Raquel tiene 3 veces más X 3 veces = 15 ¿Cuántas monedas tiene Raquel? MULTIPLIACIÓN COMPARACIÓN EN Dada una primera cantidad y otra segunda que expresa la regla proporción en términos de “veces menos” . MULTIPLIACIÓN COMPARACIÓN EN + Dada una primera cantidad y otra segunda que expresa la regla de proporción en términos de “veces más”. – Otra Ot cantidad tid d que expresa di dicha h regla l d de proporción... de la misma naturaleza que la primera. 5 3v¿? 3 veces - Antonio tiene 5 monedas. de la misma naturaleza que la primera.
se pregunta por la cantidad resultante. – Una tercera de la misma naturaleza que la primera. entonces Raquel recibe 4 veces menos que Antonio 20 1 vez 2 veces 3 veces Antonio recibe 20 monedas ¿? 4 veces - Raquel tiene 4 veces menos 20 : 4 veces = 5 Antonio recibe 20 monedas cada mes. de la misma naturaleza que la primera. • Según que la regla de proporción se exprese en términos de “veces más” o “veces menos”…. • Distinguimos dos tipos de problemas de división partición comparación.PROBLEMAS DE DIVISIÓN PARTICIÓN COMPARACIÓN • Comparación de dos cantidades en base a determinada regla de proporción. es decir. – Otra cantidad que expresa dicha regla de proporción. de la misma naturaleza que la primera. DIVISIÓN PARTICIÓN COMPARACIÓN EN + Dada una primera cantidad y otra segunda que expresa la regla de proporción en términos de “veces más”. ¿Cuántas monedas recibe Raquel al mes? DIVISIÓN PARTICIÓN COMPARACIÓN EN Dada una primera cantidad y otra segunda que expresa la regla de proporción en términos de “veces menos”. 20 4v¿? 1 vez 2 veces 3 veces Antonio recibe 20 monedas 4 veces - Raquel recibe 4 veces menos 20 : 4 veces = 5 Antonio recibe 20 monedas al mes y Raquel cuatro veces menos. ¿Cuántas monedas recibe Raquel? Grupo de trabajo "No hay problema" 16 . una de la cuales expresa las partes iguales (veces) en que se divide la otra. 4 veces más que Raquel. • Constan de: – Una cantidad de determinada naturaleza. es decir. 4v+ Si Antonio recibe 20 monedas. cuatro veces más que Raquel. se pregunta por la cantidad resultante.
• Constan de: – Una cantidad de determinada naturaleza. – Una tercera que expresa el número de veces que la primera es mayor/menor que la segunda. DIVISIÓN CUOTICIÓN COMPARACIÓN EN + ?v+ Dadas dos cantidades de la misma naturaleza . 20 5 Antonio Tiene 20 Raquel tiene 5 ¿Cuántas veces más monedas tiene Antonio que Raquel? 20 : 5 = Veces Antonio tiene 20 monedas y Raquel 5. se pregunta por el número de veces que una es menor que la otra. se pregunta por el número de veces que una es mayor que la otra. ¿Cuántas veces menos monedas tiene Raquel que Antonio? Grupo de trabajo "No hay problema" 17 . una de la cuales expresa la proporción fija o cuota de unidades que debe contener cada parte. 20 ¿v5 Antonio Tiene 20 Raquel tiene 5 ¿Cuántas veces menos monedas tiene Raquel que Antonio? 20 : 5 = Veces Antonio tiene 20 monedas y Raquel 5. – Otra cantidad de idéntica naturaleza que la primera. • Según que la mencionada regla de proporción se exprese en términos de “veces más” o de “veces menos”… • Distinguimos dos tipos de problemas de división cuotición comparación.PROBLEMAS DE DIVISIÓN CUOTICIÓN COMPARACIÓN • Comparación de dos cantidades en base a determinada regla de proporción. ¿Cuántas veces más monedas tiene Antonio que Raquel? DIVISIÓN CUOTICIÓN COMPARACIÓN EN Dadas dos cantidades de la misma naturaleza .
MULTIPLICACION COMBINACIÓN •Dadas dos cantidades de distinta naturaleza. se pregunta por el número de combinaciones posible entre los elementos que las componen. ¿De cuántas formas distintas se pueden combinar 3 camisas y 2 corbatas? 3x2=6 DIVISIÓN PARTICIÓN COMBINACIÓN • Dada una cantidad de determinada naturaleza y el número de combinaciones posibles con los elementos de otra de distinta naturaleza sin tener en cuenta el orden de colocación de los mismos. la cual da lugar a una tercera que equivale al número de combinaciones posibles. • Distinguimos dos tipos de problemas de producto cartesiano. • Según que dos de estas tres cantidades se conozcan y por cual se pregunte.. se pregunta por esta última. t l – Una cantidad de distinta naturaleza que la anterior. sin que ello intervenga el orden de colocación de los mismos. Si hay 3 camisas.PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN / DIVISIÓN COMBINACIÓN O PRODUCTO CARTESIANO • Combinación de dos cantidades de distinta naturaleza. – Una tercera cantidad que equivale al número de combinaciones posibles.. • Constan de: – U Una cantidad tid d d de d determinada t i d naturaleza. ¿cuántas corbatas se necesitan? necesitan? 6:3=2 Grupo de trabajo "No hay problema" 18 . Entre camisas y corbatas se pueden formar 6 combinaciones distintas.
PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN FÓRMULA Equivalen a problemas de Multiplicación Razón 3. determinados por fórmulas preestablecidas basadas. entre otros. conceptos de espacio. tiempo. • Una tercera (resultante) de la misma naturaleza de la primera o que ambas. dada una cantidad de carácter espacial y otra de carácter temporal.… tiempo • En el caso de la fórmula de la velocidad . • Otra cantidad de naturaleza diferente o igual que la . ¿Cuántos kilómetros recorrerá en tres horas? PROBLEMAS DE DIVISIÓN FÓRMULA • Equivalen a problemas de división Razón. basados en fórmulas preestablecidas que utilizan. se pregunta por la cantidad resultante. razón. espacio tiempo. • Según que le divisor exprese el número de partes iguales en que se divide el dividendo o cada porción fija (cuota) distinguimos dos tipos de problemas de División Fórmula. entre otros.… • Constan de: • Una cantidad de determinada naturaleza. la cual expresa p la relación de p proporcionalidad p o anterior. en conceptos de espacio.PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN FÓRMULA • Equivalen a problemas de Multiplicación Razón 3. determinados por fórmulas preestablecidas e = v x t 8 km en una hora Antonio Recorre 8 km En una hora 1 hora a 8 km/h 2 horas ESPACIO a 8 km/h 3 horas a 8 km/h = 8 km/h X 3 horas = 24 km Antonio recorre 8 kilómetros en una hora. también de carácter espacial. Grupo de trabajo "No hay problema" 19 .
Consisten en comparar un determinado número de elementos y ordenarlos en torno a una variable Razonamiento Transitivo 2 (RT2): Se comparan cuatro elementos. Tablas Numéricas de Doble Entrada (TNDE): La comparación se exprese en términos cuantitativo numéricos. previa interpretación de los mismos. De orientación espacial: En su enunciado se emplean conceptos espaciales no cuantificables. t = e x v Recorre 8 km / h Antonio Recorre 8 km En 1 hora 1 hora horas horas ¿Cuántas horas 2 tardará en recorrer3 24 km Tiempo = 24 km / 8 km/h = Antonio recorre 8 kilómetros por hora. ¿Qué distancia recorrerá en una hora? PROBLEMAS DE DIVISIÓN CUOTICIÓN FORMULA Equivalen a problemas de División Cuotición Razón determinados por formulas preestablecidas. la dificultad. ¿Cuántas horas tardará en recorrer 24 kilómetros? CATEGORÍAS TIPOS RAZONAMIENTO TRANSITIVO (RT): Razonamiento Transitivo 1 (RT1): Se comparan tres elementos. TABLAS DE DOBLE ENTRADA (TDE): Consisten en comparar dos variables. que puede ser la altura. ACCIÓN Y MOVIMIENTO (Ay M): Se trata de problemas cuya resolución.PROBLEMAS DE DIVISIÓN FORMULA v = e / t Equivalen a problemas de División Razón determinados por formulas preestablecidas. sino una representación gráfica de conceptos espaciales y temporales. Grupo de trabajo "No hay problema" 20 . no implica operaciones aritméticas. etc. Tablas Lógicas de Doble Entrada (TLDE): La comparación se expresa en términos de razonamiento puramente lógico‐verbal. la posición. De espacio‐tiempo: En su enunciado se emplean simultáneamente conceptos espaciales y temporales cuantificables. la Razonamiento Transitivo 3 (RT3): Se comparan cinco o más elementos. ¿Qué distancia recorrerá en 1 hora? 24 km en 3 horas Antonio Recorre 24 km En 3 horas Velocidad = 24 km / 3 horas = 8 km/h Antonio recorre 24 kilómetros en tres horas. aunque en algún caso pudieran utilizarse. i bl cada d una d de l las cuales l consta de un determinado número de elementos. el interés. edad. el peso.
quien. el interés. cada una de las cuales consta de un determinado número de elementos. • • – Tablas Lógicas de Doble Entrada. según el número de elementos que se comparen… La complejidad de estos problemas será menor/mayor y distinguiremos tres tipos: – RAZONAMIENTO TRANSITIVO 1 (RT1): se comparan tres elementos. PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO TRANSITIVO O COMPARACIÓN LINEAL Problema: Alejandro tiene menos monedas que Pablo pero más que Tomás. que no esté literalmente presente en el enunciado… Para resolverlos resulta prácticamente imprescindible representarlos mediante una tabla de doble entrada. Procedemos a resolver el problema por partes interpretándolo semíticamente y traduciendo todos los datos a más o a menos. en cuya vertical se dispongan los elementos que constituyen una de las variables y los de la otra en la horizontal. – RAZONAMIENTO TRANSITIVO 3 (RT3): se comparan cinco o más elementos. tantas líneas como elementos se mencionen. En menos En más Alejandro tiene menos monedas que Pablo Pablo tiene más monedas que Alejandro Tomás tiene menos monedas que Alejandro Alejandro tiene más monedas que Tomás Daniel tiene menos que Tomás Tomás tiene más que Daniel menos Daniel Tomás Alejandro Pablo más PROBLEMAS DE TABLAS DE DOBLE ENTRADA • • • Consisten en comparar dos variables. de manera que queden más a la derecha aquellos de los que se expresa mayor magnitud y viceversa. Según la manera de enunciar dicha comparación y los vocablos que se utilicen para hacerla… pero. etc. a fin de que pueda recogerse toda la información de manera ordenada en las casillas de intersección correspondientes a cada fila y columna. como. es decir. la edad. de los conceptos numéricos o verbales que se utilicen para ello. de la información que sea necesario inferir. a su vez. el peso. perpendiculares a ella. Grupo de trabajo "No hay problema" 21 . Ordénalos en función del número de monedas que tiene cada uno. sobre todo. la posición.PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO TRANSITIVO O COMPARACIÓN LINEAL • Consisten en comparar un determinado número de elementos y ordenarlos en torno a una variable que puede ser la altura. tiene más que Daniel. • • Para resolver estos problemas resulta muy práctico representarlos mediante una recta horizontal y. – RAZONAMIENTO TRANSITIVO 2 (RT2): se comparan cuatro elementos. Según que dicha comparación se exprese mediante conceptos numéricos o verbales… Distinguimos dos tipos de Problemas de Tablas de Doble Entrada: – Tablas Numéricas de Doble Entrada. de la forma de relacionarlos. La complejidad de estos problemas depende tanto del número de elementos de que conste cada variable y de la mayor o menor dificultad para identificarlos. la dificultad. sobre todo.
Pablo tiene varios de cada uno de estos tres valores. previa interpretación de los mismos.EJEMPLO TABLA NUMÉRICA DE DOBLE ENTRADA Rosa tiene en su hucha un billete de 50 euros. Tampoco Pablo ver. podemos distinguir dos tipos de problemas de acción y movimiento: – Problemas de acción y movimiento de carácter espacio-temporal. vio ve “Madagascar” la solamente única película una ni película “Bienvenidos que puedo es Norte”. Pablo tiene varios estos valores que no sabemos pero tiene podemos Luego Rosa tiene Patricia guarda 1 2 50 20 0 deducir 10 1 2 de 50 20 10 6 10 Entre los 3 cuentan con 4 5 50 20 Luego Pablo tendrá ROSA B I L L E T E S PATRICIA PABLO 6–2 TOTAL 10 20 50 4 3 4 5 – (2+1) 2 4– (1+1) 2 8 15 TOTAL EJEMPLO TABLA LÓGICA DE DOBLE ENTRADA El pasado fin de semana Rosa. otro de 20 y dos de 10. ¿Qué película vio cada uno? Comprobamos que en cada columna o fila solamente haya un SI Y por lo tanto no vio Las “Crónicas de Narnia” nial “Bienvenidos al Norte”. descubrirás con cuántos y con qué billetes cuentan tanto individual como colectivamente. Luego ver Patricia tuvo que ver Luego Rosa Cada no niño Pablo. Grupo de trabajo "No hay problema" 22 . con seis de 10 y con cinco de 20. aunque en • algún caso pudieran utilizarse. sino una representación gráfica de conceptos espaciales y temporales. columna solamente puede haber un SI. ya que en cada fila solamente puede haber un Si y ya lo tenemos con Rosa ROSA P E L Í C U L A S Madagascar 2 Las Crónicas de Narnia Bienvenidos al Norte PATRICIA PABLO NO NO SI NO SI NO NO NO SI PROBLEMAS DE ACCION Y MOVIMIENTO • Se trata de problemas cuya resolución. de Narnia”. Rosa no vio “Madagascar 2” ni “Bienvenidos al Norte”. Pablo tampoco vio “Madagascar 2”. Luego vio “Lasfila Crónicas de Narnia”. Su amiga Patricia guarda uno de 50 y dos de 20. Entre los/as tres cuentan con cuatro billetes de 50 euros. • Según que en su enunciado se empleen conceptos espaciales y temporales o solamente espaciales. en ese caso “Las crónicas ya que en cada solamente puede haber un si y pudo ya tenemos dos nos. “Las crónicas de Narnia” y “Bienvenidos al Norte”. Patricia y Pablo fueron al cine con sus respectivas familias y cada uno/a de ellos/as vio una película diferente entre las siguientes: “Madagascar 2”. Si completas todas las casillas de la tabla con los datos que conoces y con los que puedes deducir o calcular. no implica operaciones aritméticas. “Bienvenidos al“Madagascar” Norte”. – Problemas de acción y movimiento de carácter puramente espacial o de orientación espacial. porque en cada Pablo tampoco vio “Madagascar”.
¿Cuántos días y cuántas noches pasarán hasta que llegue el sapo a la charca donde hay muchos insectos? Ha tardado: Días y noches 3ª noche 3º día 2ª noche 2º día 1ª noche 1º día 1m 2m 3m 4m Vuelve 5 km. por la estructura sintáctica que presentan sus enunciados a la hora de plantearlos. Tomamos a la derecha una salida de la carretera y seguimos avanzando.PROBLEMAS DE ACCIÓN Y MOVIMIENTO DE CARÁCTER ESPACIO-TEMPORAL Vamos de excursión en un autobús en dirección norte. sino también. Grupo de trabajo "No hay problema" 23 . Camino de la derecha PROBLEMAS DE ACCIÓN Y MOVIMIENTO DE CARÁCTER ESPACIAL O DE ORIENTACIÓN ESPACIAL Un sapo ve una charca donde hay insectos. A la derecha Quedará el Norte No retrocede porque porq e ya a ha llegado 5m 6m 7m 8m ESTRUCTURAS SINTÁCTICAS: La complejidad de los problemas aritméticos no depende sólo de qué y cuántas operaciones deben llevarse a cabo para resolverlos. y a veces de manera muy determinante. si la charca está a 8 metros de distancia y decide acercarse a ella. siguiendo una línea recta y avanzando 4 metros durante la noche y retrocediendo 2 metros durante el día para camuflarse y no ser visto. ¿Qué punto cardinal se encuentra ahora a nuestra derecha? Al volver hacia atrás las coordenadas cambian con respecto a nuestra izquierda y derecha por este motivo giramos 180º Autobús en dirección Nor rte. El conductor piensa que se ha perdido y volvemos hacia atrás 5 kilómetros.
3.1. Antonio se gasta 3 monedas (2) Si antes tenía 5.3. ¿Cuán tas monedas le quedan a Antonio (3)? 5 si tenía 5 (1) y se gasta 3? 3 ______ ¿? 2 Grupo de trabajo "No hay problema" 24 .1.1. 1. con un 2 el segundo y con un 3 la pregunta. 3.2 y 2.3.3.1.EJEMPLO DE ESTRUCTURAS SINTÁCTICAS CON UN PROBLEMA DE CAMBIO 2 En nuestro programa representamos con un 1 el primer término de la operación.2. 2.1.2.3. (1) ¿cuántas le quedan? (3) 5 3 ______ 2 ESTRUCTURA 3. ESTRUCTURA 1.2. 3.3. Dichas estructuras podrían ser las siguientes: 1. (1)ANTONIO TENÍA 5 MONEDAS (2) Y SE GASTÓ 5 (3) ¿CUÁNTAS LE QUEDAN? - ________________ 5 3 2 ESTRUCTURA 2.2.1.2.
monedas (1) ¿Cuántas le quedan (3) si se gasta 3? (2) 5 3 ______ ¿? 2 ESTRUCTURA 2.ESTRUCTURA 3. ¿Cuántas monedas le quedan ¿ q a Antonio (3) ( ) 5 3 ______ ¿? 2 si se gasta 3 (2) y antes tenías 5? ESTRUCTURA 1.1. (2) ¿Cuántas le quedan (3) si tenía 5 ? (1) 5 3 ______ ¿? 2 Grupo de trabajo "No hay problema" 25 . Antonio se gasta 3 monedas monedas.2.3. Antonio tenía 5 monedas.3.2.1.
• Atendemos mejor a la diversidad de alumnos. • Median en el proceso de resolución de problemas entre el alumno y la tarea. relacionándolas distintas proposiciones.EL SISTEMA DE AYUDAS • Nos hemos basado en los trabajos de José Orrantia: – “Propuesta de un programa para enseñar a resolver problemas de matemáticas” – “El rol del conocimiento conceptual en la resolución de problemas aritméticos con estructura aditiva” TIPOS DE AYUDAS RERE -ENUNCIADO DEL PROBLEMA REPRESENTACIÓN LINGÜÍSTICA REPRESENTACIÓN FIGURATIVA RAZONAMIENTO AYUDAS GENERALES REVISIÓN SUPERVISIÓN EVALUACIÓN JUSTIFICACIÓN DE LAS AYUDAS • La representación del enunciado implica deshacer la trama de su estructura semántica. proposiciones • Descubrimos en qué parte del proceso presenta el alumno dificultades. Grupo de trabajo "No hay problema" 26 .
realizar previamente el problema de manera vivencial. Representación gráfica /simbólica d l re-enunciado del i d anterior. PROBLEMAS DE CAMBIO 1 Pautas y ayudas de resolución PROBLEMAS DE CAMBIO 1 Pautas y ayudas de resolución Grupo de trabajo "No hay problema" 27 . y/o manipulativa. Comprobación de la solución. t i l lo cual l no quitaría. analizando la coherencia/incoherencia de la misma en base a los datos conocidos.NUESTRAS AYUDAS Re-enunciación oral y/o escrita del problema en términos de lo que sé y lo que no sé. si fuera necesario. a fin de inducir al niño/a a razonarla.
PROBLEMAS DE CAMBIO 1 Pautas y ayudas de resolución PROBLEMAS DE CAMBIO 1 Pautas y ayudas de resolución Grupo de trabajo "No hay problema" 28 .
EN LOS CUADERNILLOS DEL PROGRAMA NO HAY PROBLEMA TAMBIÉN INCLUIMOS MODELOS GENERICOS DE PAUTAS DE RESOLUCIÓN SEGÚN TIPO DE PROBLEMA Grupo de trabajo "No hay problema" 29 .
P y/o V. las cuales se extinguen progresivamente en el segundo y tercero. hasta desaparecer por completo en los siguientes. contenidos. temporalización… Categorías y tipos de problemas correspondientes a cada nivel de la E. 2…. del nivel y/o de las habilidades de cada uno/a uno/a. por medio de las cuales se alerta de una mayor complejidad de dichos problemas. Grupo de trabajo "No hay problema" 30 . entre paréntesis. a las categorías. alternando los que se inician y los de repaso. . por una parte. Los de repaso se plantean sin ninguna clase de ayuda. debida bien a que el orden de sus términos (T) y/o de la pregunta (P) no se corresponde con el exigido por la mecánica de las operaciones. metodología. Resolución de problemas aritméticos clasificados por su estructura semántica ESTRUCTURA DE LOS CUADERNILLO DEL PROGRAMA NO HAY PROBLEMA Breve Guía Didáctica que incluye los objetivos. Primaria. se encuentran en los seis cuadernos que componen el PROGRAMA DE REFUERZO NO HAY PROBLEMA 1.Los problemas así clasificados y. . En la parte superior derecha se incluye la categoría y tipo de cada problema. las letras mayúsculas T. a la adaptación de los mismos desde el punto de vista de su complejidad a las posibilidades propias de la edad de los/as niños/as niños/as. La organización de los de iniciación responde siempre a estos criterios: el primero va acompañado de todas las ayudas. por tanto. así como. en alguno de ellos. En la parte superior izquierda de cada problema se incluye un recuadro donde se especifica el número de problema y. si bien pueden utilizarse las plantillas que se adjuntan. bien a la presencia en el enunciado de un vocablo(V) o concepto verbal que puede inducir a realizar la operación contraria a la requerida requerida. tipos y estructuras sintácticas mencionadas con sus correspondientes ayudas y. su estructura sintáctica expresada mediante los tres primeros dígitos. por otra. atendiendo.
por tanto. a las categorías. 2…. atendiendo. tipos y estructuras sintácticas mencionadas con sus correspondientes ayudas y. . Los problemas así clasificados y. Soluciones de los problemas.-Plantillas con las ayudas para resolver las categorías y tipos de problemas que contiene cada cuaderno. se encuentran en los seis cuadernos que componen el PROGRAMA DE REFUERZO NO HAY PROBLEMA 1. por otra. . . Resolución de problemas aritméticos clasificados por su estructura semántica Grupo de trabajo "No hay problema" 31 . a fin de que puedan usarse cuando sea necesario mantenérselas a un/a niño/a determinado en caso de seguir encontrando dificultades para resolverlos resolverlos. a la adaptación de los mismos desde el punto de vista de su complejidad a las posibilidades propias de la edad de los/as niños/as niños/as. por una parte. del nivel y/o de las habilidades de cada uno/a uno/a.
RESOLUCION DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS SEGÚN SU ESTRUCTURA SEMÁNTICA Grupo de trabajo "No hay problema" 32 .
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