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Timestamp: 2017-05-25 12:59:14+00:00

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Las aportaciones de Pólya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Pólya son Descubrimiento Matemático (I y II), y Matemáticas y Razonamiento Plausible (I y II). Pólya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. En suma, dejó los siguientes Diez Mandamientos para los Profesores de Matemáticas: 1.- Interésese en su materia. 2.- Conozca su materia. 3.- Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos.
4.- Dése cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo. 5.- Dé a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico. 6.- Permítales aprender a conjeturar. 7.- Permítales aprender a comprobar. 8.- Advierta que los razgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta. 9.- No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes; déjelos encontrar por ellos mismos tánto como sea posible. 10.- Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.
El Método de Cuatro Pasos de Pólya. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre ejercicio y problema. Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: dividir. Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos,propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de
1. A continuación presentamos un breve resúmen de cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro Cómo Plantear y Resolver Problemas de este autor (está editado por Trillas).¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? 3..¿Sabes a qué quieres llegar? 5.Usar razonamiento directo.Hacer un diagrama 8. Como apuntamos anteriormente.Resolver un problema similar más simple.. 9.. 1.¿Distingues cuáles son los datos? 4..resolver problemas.Buscar un Patrón 4.Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura)..¿Entiendes todo lo que dice? 2.Usar una variable. la más grande contribución de Pólya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas..... 5..Hacer una lista..Usar razonamiento indirecto. 7. 3. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final)..¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.Hacer una figura..
..¿Hay información extraña? 7. 6...¿Hay suficiente información? 6.
Paso 1: Entender el Problema. 2.
...¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Comunmente los problemas se enuncian en palabras.Concédete un tiempo razonable para resolver el problema.. ya sea oralmente o en forma escrita.¿Adviertes una solución más sencilla? 3.Trabajar hacia atrás. 20. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!)...Usar análisis dimensional.Resolver una ecuación 15. 13. 16. 18. 1...
Paso 3: Ejecutar el Plan..10. 1. 12. 3.Usar un modelo.¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? 2..Usar casos 14. 2. para resolver un problema.Identificar sub-metas. uno traslada las palabras a una
.Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. Así.Usar coordenadas.Usar simetría.. 17.. 19..Resover un problema equivalente.Usar las propiedades de los Números....Buscar una fórmula.. 11. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás.No tengas miedo de volver a empezar.
La experiencia en la solución de problemas es valiosísima.. 2. 4.Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.
. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. -Habla contigo mismo.. su confianza crecerá. Si te sientes frustrado. 5.Muchos problemas requieren de un período de incubación... reflexionar. no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema.Siempre. 6. 11. resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta.. Trabaje con montones de ellos. Házte cuantas preguntas creas necesarias. 12.Reviss tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9.Si es apropiado.No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias. 3. Este proceso lo podemos representar como sigue:
Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas: Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas: 1. Después inténtalo de nuevo.Si no estás progresando mucho. pensar. 8...Reescribe el problema en tus propias palabras. 14..... 7.. siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fué el paso clave en tu solución..forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos. 13..Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.Acepta el reto de resolver el problema. trata el problema con números simples..Analiza el problema desde varios ángulos. 10.Tómate tiempo para explorar.
. tradicionalmente. sino.15. hasta conseguir que lo "hablen". por todos los medios.
. y no seríamos buenos profesores si no procuráramos. En general por medio de la contemplación de cómo los hacen otros (sus profesores).¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa. (Proverbio chino)
«La matemática ha constituido.Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones. quien no quiere hacer nada encuentra una excusa». Ese idioma se pretende que sea aprendido por nuestros alumnos. lo cual no significa ausencia de esfuerzo. alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces». la tortura de los escolares del mundo entero. La causa fundamental de esa universal presencia hay que buscarla en que las matemáticas constituyen un idioma «poderoso. transformar este sufrimiento en goce.
«Quien quiere hacer algo encuentra un medio. (Puig Adam.
INTRODUCCIÓN. 1985). Supone un pilar básico de la enseñanza en todos ellos.. 1958)
Matemáticas es la única asignatura que se estudia en todos los países del mundo y en todos los niveles educativos. pero la enseñanza no debe ser una tortura. en su lugar provéelos con sugerencias significativas. conciso y sin ambigüedades» (según la formulación del Informe Cockroft. y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario. por el contrario. 16. y por su aplicación a situaciones muy sencillas y ajenas a sus vivencias (los ejercicios).
La utilización de un idioma requiere de unos conocimientos mínimos para poder desarrollarse. señala que «enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas.T. El N. En el libro de Hofsdadter. siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella). incluyendo la aplicación de las mismas situaciones de la vida diaria». TENDENCIAS. por supuesto.C. Escher y Bach. ETC. y.
El párrafo 243 del Informe Cockroft señala en su punto quinto que la enseñanza de las Matemáticas debe considerar la «resolución de problemas. En una conferencia pronunciada en 1968 George Polya decía: «Está bien
2.M. de Estados Unidos. los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea. IDEAS. SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. desde luego. de unas técnicas para hacerlo. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas». CREENCIAS. Gödel. En el caso del idioma matemático. Pero sobre todo se necesitan situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese idioma. una de las técnicas fundamentales de comunicación son los métodos de Resolución de Problemas. hace conjeturas y sugiere explicaciones». sino como un proceso en el que el alumno estima. Mediante la resolución de problemas. a esforzarse en lograrlo. se dice que «las capacidades básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas. gran matemático español y además muy interesado en su didáctica. declaraba hace más de diez años que «el objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas».
La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación matemática. Santaló (1985).
una vez localizado. Pero no es el único aspecto a destacar. contengan problemas. de Guzmán (1984) comenta que «lo que sobre todo deberríamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos. hábitos. actitudes. el corazón de las matemáticas. En España. pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha traído y atre a los matemáticos de todas las épocas. ideas para el desarrollo de herramientas. que pueden conocer o ignorar. Los que abren las ventanas del aula y hacen un puente (aunque sea frágil) entre las matemáticas y la vida. contestan: "lo sé" o "no lo sé". según hayan localizado
. la vida propia de las matemáticas».justificado que todos los textos de matemáticas. como la palabra "problema" se usa en contextos diferentes y con matices diversos. También hay que caracterizar los "problemas" por oposición a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnos porque constituye el núcleo fundamental de su quehacer matemático). Pero. tras una somera reflexión. en una palabra. que se pueden contar. Pero. en cuanto se les plantea una tarea a realizar. especialmente desde los contenidos de procedimientos y actitudes. el currículo del Área de Matemáticas en Primaria y Secundaria concede extraordinaria importancia al tema dedicándole mucha atención. Justamente. M. En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamdo. se trata de aplicar un algoritmo. haremos un esfuerzo por clarificar a qué nos referimos. No aportan mucha claridad las definiciones de los diccionarios generales. para entendernos es interesante delimitar. con razón. qué es lo que entendemos por problema. se aplica y basta. y quizás parezca superfluo. los que llevan dentro una cierta "historia". Aunque no es sencillo. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la educación matemática». la proliferación de ejercicios en clase de matemáticas ha desarrollado y arraigado en los alumnos un síndrome generalizado. Nos acerca más al sentido de qué es un problema la expresión de "problema de letra" que los alumnos emplean con frecuencia: son aquellos que hacen referencia a contextos ajenos a las matemáticas propiamente dichas. siquiera sea en grandes rasgos. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones.
Ahí acaban. en los avances que vamos realizando. La resolución de un problema añade algo a lo que ya conocíamos. Y en ese contexto no es difícil de adivinar el poco interés con que se recibe la misma. estamos dando la respuesta antes de que exista la pregunta. sino que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos. y que logra. un "problema" sería una cuestión a la que no es posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad. hay que relacionar saberes procedentes de campos diferentes.
Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema están descritos en el párrafo anterior. y desde luego no está codificado y enseñado previamente. aquella que aparece de cuando en cuando. Pero además tiene que ser una cuestión que nos interese. Suponen el aporte de la chispa de la creatividad. encontraremos una componente placentera. y buscar relaciones nuevas entre ellos. Los problemas los alumbramos nosotros. que nos provoque las ganas de resolverla. matemáticos o no. o que aparecen en los libros de texto. Resaltemos una vez más la fuerte componente de compromiso personal en los problemas. por utilizar la expresión de Koestler (1983). una tarea a la que estemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. Lo que pasa es que si no situamos previamente los problemas a los que responden. sus elucubraciones.o no el algoritmo apropiado. incluso puede haber varios. Las situaciones existen en la realidad. En los problemas no es evidente el camino a seguir. en general. y la importancia que tiene la manera en que se nos presenten
. nos proporciona relaciones nuevas entre lo que ya sabíamos o nos aporta otros puntos de vista de situaciones ya conocidas. y no siempre de matemáticas. una vez resuelta nos proporciona una sensación considerable de placer. todavía creemos conveniente añadir algunos comentarios adicionales sobre los mismos:
Los algoritmos que se suelen explicar en clase. E incluso. también en el proceso de búsqueda. Como consecuencia de todo ello. sin haber logrado la solución. Por tanto. resuelven grupos enteros de problemas. Pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto personal y decidimos en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar resolverlos. que dos y dos son cinco. Hay que apelar a conocimientos dispersos. hay que poner a punto relaciones nuevas. sin haber acabado el proceso.
los hay mejores y peores. el interés de los problemas es por el propio proceso. vamos a referirnos a los rasgos que caracterizan a los buenos problemas. Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad. Parecen a primera vista algo abordable. La práctica sistemática resolviendo problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando. no dejan bloqueado.
Una vez que tenemos un problema. Pasa como con los chistes que nos gustan. el contexto en que se sitúe y de la "tecnología" expositiva utilizada depende. y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión. los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que. sin capacidad
. Volver al índice
3. Lo mismo sucede con los buenos problemas. es bien dificultoso hacerlo. 1984):
No son cuestiones con trampas ni acertijos. en un porcentaje muy importante. que los contamos enseguida a otros. tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento. Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su vez intenten resolverlos. Así como hay otras cuestiones cuya importancia proviene de que tienen un campo de aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan). porque de cómo se plantea la cuestión.para que lo asumamos como tales. más tarde. Pero a pesar de ello. Y se tiende a pensar que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los matemáticos. Todo ello es de particular interés en la enseñanza. el que un problema pase a ser considerado como tal por nuestros alumnos. Es importante hacer esta distinción en la enseñanza porque los alumnos. Pueden o no tener aplicaciones. RASGOS QUE CARACTERIZAN A LOS BUENOS PROBLEMAS. cuando se les plantean problemas. se pueden aplicar a muchos otros campos. Reseñamos y comentamos los más importantes (Grupo Cero. Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún tipo de truco o de "magia". aunque si se tienen que señalar cuáles son. pero el interés es por ellos mismos.
Una vez señaladas las características de los buenos problemas. hay que referirse a la importancia que tiene resolver problemas en clase. si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad. si se quiere que sea asumido con gusto y de manera duradera. pero que.
Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas.
Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. en la enseñanza. un poco de descubrimiento». Pensemos. Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema sea por "ideas luminosas". Y no hay que olvidar que las matemáticas son de las materias que no dejan indiferente. Desde un punto de vista psicológico. Por eso. Incluso. no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). si un problema sólo lo es para nosotros cuando lo aceptamos como tal. se las quiere o se las odia (como aparece en múltiples estudios). Y puede pasar que alguna solución parcial sea sencilla o incluso inmediata. como dice Polya (1945) «sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas.de reacción. difícil es que nos "embarquemos" en una aventura que nos parezca superior a nuestras fuerzas. sólo nos planteamos aquello que somos capaces (o al menos eso creemos) de resolver. «este género de experiencia. puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar. que. Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero agradable de experimentar. una huella que durará toda una vida». que se tienen o no se tienen. La componente de placer es fundamental en todo desafío intelectual. en la solución de todo problema. Por ello más vale que introduzcamos refuerzos positivos para hacer que aumenten los que las aprecian. a una determinada edad. Que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para
. la incorporación de esos factores a la práctica diaria pueden prefigurar la inclinación de los estudios futuros. PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. tanto en el espíritu como en el carácter. Volver al índice 4. hay.
y bien conocida. dados los diferentes lenguajes que hablan el demandante y el informático. TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO.Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Se debe leer el enunciado despacio.
. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas. Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva. la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema. Es más. alejada del mecanicismo. ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos) ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos)
. se debe hacer un esquema o dibujo de la situación. COMPRENDER EL PROBLEMA.abordar los problemas.
2. Pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada. Si se puede. que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores:
1. pero es de una importancia capital. procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas.
Es ya clásica. por ejemplo. ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? ¿Se puede plantear el problema de otra forma? Imaginar un problema parecido pero más sencillo. innecesaria. Son los. a veces. y hace que sea una facultad entrenable. sobre todo en contextos escolares. cuando se ha de hacer un tratamiento informático: entender cuál es el problema que tenemos que abordar.Suponer que el problema ya está resuelto. con método. un apartado en el que se puede mejorar con la práctica. sobre todo cuando los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática. Parece. es la tarea más difícil. ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida?
¿Parece lógicamente posible? ¿Se puede comprobar la solución? ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? ¿Se puede hallar alguna otra solución?
.Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado.
4. . . alejada del mecanicismo. Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. .-
3. También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva. reordenar las ideas y probar de nuevo.Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado.Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas. y su contraste con la realidad que queríamos resolver. COMPROBAR LOS RESULTADOS. porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado.
Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un
. Debemos fijarnos en la solución. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal.Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace. ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto?
.Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados. Es la más importante en la vida diaria. se debe volver al principio. que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica. PONER EN PRÁCTICA EL PLAN.
Examinar problemas ampliamente modificados. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca.
1. 3. que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás.
EXPLORACIÓN. 2.
Trazar un diagrama. y que extractamos:
ANÁLISIS. Examinar problemas ligeramente modificados.
¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?: a) b) ¿Utiliza todos los datos pertinentes? ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? ¿Resiste a ensayos de simetría.caso concreto.
Examinar problemas esencialmente equivalentes. Examinar casos particulares. que agrupa en tres fases. Schoenfeld da una lista de técnicas heurísticas de uso frecuente. 3. análisis dimensional o cambio de
Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya. con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo.
¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?:
. Probar a simplificar el problema.
gráfico. Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar).
. tablas. Reformular el problema. dibujos (representación). Resolver problemas análogos (analogía). Empezar por lo fácil. Experimentar y extraer pautas (inducir). Analizar los casos límite. Sacar partido de la simetría. algebraico. numérico (codificar. Principio del palomar. Hacer esquemas. Cambio de estados. Fernández (1992) serían:
Ensayo-error. Conjeturar. Deducir y sacar conclusiones. expresión. comunicación). hacemos una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas.
. Según S.a) b) c) d)
¿Es posible obtener la misma solución por otro método? ¿Puede quedar concretada en caso particulares? ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?
Finalmente. resolver un problema semejante más sencillo.Utilizar un método de expresión adecuado: verbal. Manipular y experimentar manualmente. Hacer recuente (conteo). Seguir un método (organización).
Si consideramos un problema como una situación que se presenta en la que se sabe más o menos. La primera hace referencia a que el contexto en el que se sitúen los problemas. en matemáticas y en cualquier otro campo. Esta es precisamente la circunstancia del investigador. es muy bueno conocer técnicas y procedimientos. es que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas.
A veces no sabremos si la herramienta adecuada para la situación está entre la colección de técnicas que dominamos o ni siquiera si se ha creado una técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. es un conocimiento vacío. pero vistos en acción. porque si no.
La destreza para resolver genuinos problemas es un verdadero arte que se aprende con paciencia y considerable esfuerzo. pero no se sabe cómo. entonces resolver un problema es precisamente aclarar dicha situación y encontrar algún camino adecuado que lleve a la meta. Luego. que por parte de los profesores se tienden a considerar como irrelevante o. por otra parte. hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática. ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra vida normal. La segunda. como para incidir en el futuro de la relación entre las matemáticas y los alumnos. Empezar por el final (dar el problema por resuelto). DESARROLLO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. a dónde se quiere ir.-
Suponer que no (reducción al absurdo). y. o con toda claridad. no sólo a nivel teórico. tanto para determinar el éxito o fracaso en la resolución de los mismos. tiene una gran importancia. al menos como poco significativo.
Para terminar sólo queremos hacer dos consideraciones. que parece una perogrullada.
5. enfrentándose con
Supongamos que no es así. una notación apropiada. busca pautas. Hacer experimentos. comparándolos con los de los expertos y procurando ajustar adecuadamente los procesos de pensamiento a los de ellos. Si estudiamos derivadas. F. Si se aprende a conducir un coche.
Comenzar resolviendo un problema semejante más fácil. como el de la pintura.
A. Empieza con un triciclo para atender primero el problema de los pedales y del volante. para poder jugar con el volante. D. lo mejor es circular primero despacio. Escoger un lenguaje adecuado.
COMENZAR RESOLVIENDO UN PROBLEMA SEMEJANTE MÁS FÁCIL. aplíquémosla.
Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias. a multitud de problemas diversos. Si tenemos una receta y estamos seguros de que se ajusta al problema. tratando de sacar el mejor partido posible de los muchos seguros fracasos iniciales.
B. Inducción. Hacer conjeturas. las
.tranquilidad. Luego vendrá el problema del equilibrio y se ensayará con dos ruedas. Tratar de demostrarlas. etc. El niño que aprende a andar en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran velocidad. Supongamos el problema resuelto. la música.
G. sin angustias. un esquema. Es la misma forma de transmisión que la de cualquier otro arte. C.
En matemáticas sucede lo mismo.. Dibujar una figura. y en descampado.
A. E. sin necesidad de cambiar marchas. H. un diagrama. Ya vendrán luego los problemas conduciendo en la calle. observando los modos de proceder. regularidades .. observar. primero.
Para empezar. la de un monomio como x2. Luego lo complicaremos hasta llegar al propuesto inicialmente.
Un problema puede resultar difícil por su tamaño. nos lanzamos más lejos. . por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. luego pasamos a un polinomio y cuando sentimos cierta familiaridad con el proceso. se comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva. La manipulación efectiva en un problema de pocas piezas es más fácil que en uno de muchas. En el problema sencillo suelen aparecer. más transparentes. principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del problema inicial. debemos resolver un problema semejante lo más sencillo posible. Empezamos animándonos con el probable éxito. sino también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto..
UNA MOSCA ANTOJADIZA. c) Manipulación más fácil.
b) De orden racional. aunque parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica. obtenemos varios provechos:
De orden psicológico. Incluso. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:
La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño.
Procediendo así. .haremos sencillas.
Probemos con 3x3=9 monedas. como fácilmente se observa. impares. Son muchas 25 monedas.-1). y otras no.0). Vamos a probar con menos. En los restantes. Así: O O O O Es obvio que se pose donde se pose. Si se posa en el centro.
. la suma de las coordenadas es impar. lo tiene imposible.1). en el caso de 3x3=9 monedas. con 2x2=4 monedas. la suma de las coordenadas es par. la mosca tiene el camino bien fácil.0) (1. pero. Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido. Así: O O O O O O O O O Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. (0.0) (-1.0) (0.0)! En ellos. Llamaremos pares a estos vértices y.O O O O O Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. Pero si se posa en cualquier otra moneda.1) (-1. Así.-1) Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0. a veces se puede hacer el paseo. por ejemplo. (1. también.1) (1. (-1. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar? Solución. Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas. a los otros. ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? Señalemos los centros de las monedas con coordenadas: (-1.-1) (1.-1) (0.1) (0.
depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño
. empezando por un vértice impar. Ambas cosas son falsas. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar! Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. El paseo de la mosca. reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio. es lo que distingue un problema de un ejercicio.Hay cuatro vértices impares y cinco pares.. Para resolver un problema. habría igual número de las dos clases.
Si terminase en impar.. (CONTINUARÁ)
El Método de Cuatro Pasos de Polya. es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta. uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente. no importa que tan pequeño sea. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos. uno hace una pausa. habría más vértices impares que pares. sería: Impar Par Impar Par . Sin embargo. Si terminase en par.
3. los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. propiedades y procedimientos -entre otras cosas-. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final). 2.
. 1. Buscar un Patrón 4. Usar una variable. Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos. Como apuntamos anteriormente.pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. Paso 1: Entender el Problema. Hacer una lista. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema. ¾ ¿Entiendes todo lo que dice? ¾ ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? ¾ ¿Distingues cuáles son los datos? ¾ ¿Sabes a qué quieres llegar? ¾ ¿Hay suficiente información? ¾ ¿Hay información extraña? ¾ ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes? Paso 2: Configurar un Plan. O bien. A continuación presentamos un breve resumen de cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas" de este autor (está editado por Trillas). mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ". la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas.
16. Este proceso lo podemos representar como sigue:
. Identificar sub-metas. Trabajar hacia atrás. Usar simetría. Usar las propiedades de los Números. Resolver un problema equivalente. 7. Resolver un problema similar más simple. 19. 20. 18. 11. ya sea oralmente o en forma escrita. Usar un modelo. Usar coordenadas. 6. resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. ¾ Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. Hacer un diagrama 8. Paso 3: Ejecutar el Plan. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!). 9. 12. Usar casos 14. 10. Paso 4: Mirar hacia atrás. Usar análisis dimensional. uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos. 17. Usar razonamiento indirecto. para resolver un problema.5. Hacer una figura. Resolver una ecuación 15. ¾ Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. 13. Buscar una fórmula. ¾ No tengas miedo de volver a empezar. ¾ ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? ¾ ¿Adviertes una solución más sencilla? ¾ ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Comúnmente los problemas se enuncian en palabras. Así. Usar razonamiento directo.
Siempre. 4. Muchos problemas requieren de un período de incubación. no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito. Si es apropiado... 14. 10. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas
. Analiza el problema desde varios ángulos. 5. trata el problema con números simples. 7. su confianza crecerá. Reescribe el problema en tus propias palabras. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Tómate tiempo para explorar. Trabaje con montones de ellos. pensar. 12.Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas: Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas: 1. Habla contigo mismo. 6. 15. 13. siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. reflexionar. no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias. Si te sientes frustrado. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. Acepta el reto de resolver el problema. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después. 11. 3. Después inténtalo de nuevo. 2. 8. Si no estás progresando mucho.
¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones. en su lugar provéelos con sugerencias significativas. 16.
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