Source: https://www.scribd.com/doc/131967669/Matematica1M-Web
Timestamp: 2016-02-09 05:58:51+00:00

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y a involucrarse de forma optimista en las tareas que estos proponen. a comprometerse con su establecimiento educacional y a exigir un buen nivel de enseñaza. conocer y respetar deberes y derechos. intelectual. contribuye directamente a disminuir las brechas existentes y garantizan a los alumnos una trayectoria de aprendizaje continuo más allá de la escuela. constituye el fundamento para reafirmar la confianza en sí mismos. estamos seguros de lograr una educación de mayor calidad y equidad para todos nuestros niños. realizado en forma sostenida y persistente. buscan efectivamente abrir el mundo a nuestros niños. Con el apoyo de ustedes. dedicación. artístico y físico. actuar de acuerdo a valores y normas de convivencia cívica. llamamos a nuestros profesores a renovar su compromiso con esta tarea y también a enseñar a sus estudiantes que el esfuerzo personal. asumir compromisos y diseñar proyectos de vida que impliquen actuar responsablemente sobre su entorno social y natural. Los presentes Programas de Estudio.Estimados profesores y profesoras:
La entrega de nuevos programas es una buena ocasión para reflexionar acerca de los desafíos que enfrentamos hoy como educadores en nuestro país. Asimismo. A todos los invitamos a estudiar y conocer en profundidad estos Programas de Estudio. y del mundo que los rodea. ayudándolos a alcanzar un desarrollo integral que comprende los aspectos espiritual. ético. aprobados por el Consejo Nacional de Educación. Pedimos a los alumnos que estudien con intensidad. Estamos convencidos de que una educación de verdad se juega en la sala de clases y con el compromiso de todos los actores del sistema escolar. se aspira a lograr un conjunto de aprendizajes cognitivos y no cognitivos que permitan a los alumnos enfrentar su vida de la mejor forma posible. Es decir. moral. Los presentes Programas de Estudio son la concreción de estas ideas y se enfocan a su logro. A los padres y apoderados los animamos a acompañar a sus hijos en las actividades escolares. El manejo de estas habilidades de forma transversal a todos los ámbitos. la escritura y el razonamiento matemático. escolares y no escolares. ganas de aprender y de formarse hacia el futuro. afectivo. como la lectura. con un fuerte énfasis en las herramientas clave.
. Sabemos que incrementar el aprendizaje de todos nuestros alumnos requiere mucho trabajo. es la mejor garantía para lograr éxito en lo que nos proponemos. La escuela tiene por objeto permitir a todos los niños de Chile acceder a una vida plena. el acceso a la comprensión de su pasado y su presente.
.Matemática Programa de Estudio para Primer Año Medio Unidad de Currículum y Evaluación ISBN 978-956-292-326-2 Ministerio de Educación. República de Chile Alameda 1371.
Unidad 1	Unidad 2	Unidad 3	Unidad 4	Números Álgebra Geometría Datos y Azar
Esta propuesta pretende promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el Marco Curricular1. previa aprobación de los mismos por parte del Mineduc. estos aprendizajes están formulados en los mismos términos que algunos de los OF del Marco Curricular.Presentación
. Este programa de estudio incluye: ›	Nociones básicas. se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedagógico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivos que este propone. sin que sea necesario su desglose en definiciones más específicas. a la vez. El presente programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no cuentan con programas propios. a modo de sugerencia Además. Esto ocurre cuando esos OF se pueden desarrollar íntegramente en una misma unidad de tiempo. La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programas de estudio. Consisten en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el trabajo en torno a él
1	Decretos supremos 254 y 256 de 2009 2	En algunos casos. ofrece una visión general acerca de la función de los Mapas de Progreso ›	Consideraciones generales para implementar el programa. lo que se expresa a través de los Aprendizajes Esperados2 ›	una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades ›	una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación. Esta sección presenta conceptos fundamentales que están en la base del Marco Curricular y. Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son: ›	una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los OF y los CMO del Marco Curricular.
incluyen indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3 ›	Instrumentos y ejemplos de evaluación.›	Propósitos. Se trata de recursos bibliográficos y electrónicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector. habilidades y orientaciones didácticas. Esta sección presenta sintéticamente los propósitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendizajes del sector y las habilidades a desarrollar. Ilustran formas de apreciar el logro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pueden usarse para este fin ›	Material de apoyo sugerido. También entrega algunas orientaciones pedagógicas importantes para implementar el programa en el sector ›	Visión global del año. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que se debe desarrollar durante el año. organizados de acuerdo a unidades ›	Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la unidad. En algunos casos las actividades relacionan dos o más sectores y se simbolizan con
. se distingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes
3	Relaciones interdisciplinarias.
es decir. esos aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina como las habilidades y actitudes.Nociones Básicas
Aprendizajes como integración de conocimientos. Necesitan promoverse de manera metódica y estar explícitas en los propósitos que articulan el trabajo de los docentes. la continua expansión y la creciente complejidad del conocimiento demandan cada vez más capacidades de pensamiento que permitan. formular conjeturas. habilidades y actitudes para enfrentar diversos desafíos. realizar cálculos en forma mental y escrita y verificar proposiciones simples. elementos que no pueden poner en juego para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos. Se trata una noción de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos. como resolver problemas. se enriquecen y potencian de forma recíproca. Se deben desarrollar de manera integrada. Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades. Las habilidades. Por otra parte. entre otras. los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alumnos resultan elementos inertes.
. usar la información de manera apropiada y rigurosa. conocimientos y actitudes… Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estudio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. a la vez. los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontáneamente al estudiar las disciplinas. examinar críticamente las diversas fuentes de información disponibles y adquirir y generar nuevos conocimientos. entre otros aspectos. Para tales efectos. habilidades y actitudes
Habilidades. sino también el saber hacer. las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y. Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos. tanto en el contexto del sector de aprendizaje como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos hacia el logro de competencias. porque… Son fundamentales en el actual contexto social …el aprendizaje involucra no solo el saber.
Son importantes. entendidas como la movilización de dichos elementos para realizar de manera efectiva una acción determinada. porque… Permiten poner en juego los conocimientos …sin esas habilidades.
estos conceptos son fundamentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes. porque… …son una condición para el progreso de las habilidades. Se deben desarrollar de manera integrada. el estudiante utiliza sus conocimientos sobre estadística para interpretar a esa información. a la vez. Se deben enseñar de manera integrada. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar juicios informados. ético y ciudadano. se contempla el desarrollo en los ámbitos personal. analizar críticamente diversas circunstancias y contrastar criterios y decisiones. si se observa una información en un diario que contenga datos representados en tablas o gráficos. de manera crucial. el saber que han obtenido por medio del sentido común y la experiencia cotidiana. los aprendizajes de Matemática involucran actitudes como perseverancia. rigor. Son enriquecidas por los conocimientos y las habilidades Están involucradas en los propósitos formativos de la educación
. Ellas no se desarrollan en un vacío. ciertas disposiciones. Ellos incluyen aspectos de carácter afectivo y. utilizando nociones complejas y profundas que complementan. porque… …los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la comprensión de los estudiantes sobre los fenómenos que les toca enfrentar. trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias. sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos. Por ejemplo. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. Les permiten relacionarse con el entorno. porque… …en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su desarrollo. Los conocimientos previos le capacitan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en la medida que entiende la información y así construir este nuevo conocimiento. Entre los propósitos establecidos para la educación. porque… …los aprendizajes no involucran únicamente la dimensión cognitiva. Siempre están asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. A modo de ejemplo. entre otros aspectos involucrados en este proceso. Además.
Son importantes.Conocimientos
Son importantes. social.
los establecimientos deben asumir la tarea de promover su logro. A partir de la actualización al Marco Curricular realizada el año 2009. el clima organizacional. por lo tanto. por medio del proyecto educativo institucional. Son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general. ético. las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los conocimientos y las habilidades adquiridos.
Integran conocimientos. Son. Deben promoverse a través de las diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo. estos objetivos se organizaron bajo un esquema común para la Educación Básica y la Educación Media. los Objetivos Fundamentales Transversales se agrupan en cinco ámbitos: crecimiento y autoafirmación personal. formación ética. Forman parte constitutiva del currículum nacional y. y apuntan al desarrollo personal. desarrollo del pensamiento. social e intelectual de los estudiantes. conseguirlos depende del conjunto del currículum.Orientan la forma de usar los conocimientos y las habilidades
A la vez. No se trata de objetivos que incluyan únicamente actitudes y valores. habilidades y actitudes Se organizan en una matriz común para educación básica y media
. por lo tanto. un antecedente necesario para usar constructivamente estos elementos.
Son propósitos generales definidos en el currículum… …que deben promoverse en toda la experiencia escolar Los OFT no se logran a través de un sector de aprendizaje en particular. la persona y su entorno y tecnologías de la información y la comunicación. la disciplina o las ceremonias escolares). la práctica docente. Supone integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades. De acuerdo con este esquema.
al egresar de la Educación Media. Se trata de formulaciones sintéticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. de manera sintética y alineada con el Marco Curricular Sirven de apoyo para planificar y evaluar… Describen sintéticamente cómo progresa el aprendizaje…
4	Los Mapas de Progreso describen en siete niveles el crecimiento habitual del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector. se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Además. por lo tanto. ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisión en qué consisten esas diferencias ›	la progresión que describen permite reconocer cómo orientar los aprendizajes de los distintos grupos del mismo curso.
. es decir. son un referente útil para atender a la diversidad de estudiantes dentro del aula: ›	permiten más que simplemente constatar que existen distintos niveles de aprendizaje dentro de un mismo curso. Por ejemplo. el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico. A partir de esto. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que.Mapas de Progreso
Son descripciones generales que señalan cómo progresan habitualmente los aprendizajes en las áreas clave de un sector determinado. y así sucesivamente. Si se usan para analizar los desempeños de los estudiantes. ofrecen una visión panorámica sobre la progresión del aprendizaje en los doce años de escolaridad4. ¿Qué utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes? Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar (ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se presentan en el programa). es decir. es “sobresaliente”. Su particularidad consiste en que entregan una visión de conjunto sobre la progresión esperada en todo el sector de aprendizaje. va más allá de la expectativa para IV medio que describe el Nivel 6 en cada mapa. de aquellos que no han conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron ›	expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector. Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en el Marco Curricular y los programas de estudio. el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico. El avance que describen expresa de manera más gruesa y sintética los aprendizajes que esos dos instrumentos establecen y.
usar la representación decimal y de fracción de un racional. y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. y se ajusta a las expectativas del Marco Curricular. a los irracionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los racionales. aproximar números racionales.Relación entre Mapa de Progreso. aplicar adiciones. Ejemplo: Aprendizaje Esperado I medio Aplicar las cuatro operaciones aritméticas con números racionales en situaciones diversas. aproximar los resultados. Resuelve problemas. sustracción. Contenido Mínimo Obligatorio Representación de números racionales en la recta numérica. reconociendo las limitaciones de la calculadora. Realiza operaciones con números reales. raíces y logaritmos y los aplica en diversos contextos.
Mapa de progreso Entrega una visión sintética del progreso del aprendizaje en un área clave del sector. estableciendo Aprendizajes Esperados que dan cuenta de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos. raíces enésimas y logaritmos. establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. multiplicación y división en los racionales. y los organiza temporalmente a través de unidades. Ejemplo: Mapa de Progreso Números y Operaciones Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numéricos. Interpreta potencias de base racional y exponente racional. calcula potencias.000…
. utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub problemas. Nivel 4 Reconoce a los números enteros como… Nivel 3 Reconoce que los números naturales… Nivel 2 Utiliza los números naturales hasta 1. justificando la transformación de una en otra. Programa de Estudio y Marco Curricular
Prescribe los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos Obligatorios que todos los estudiantes deben lograr. Ejemplo: Objetivo Fundamental I medio Representar números racionales en la recta numérica. Nivel 6 Reconoce los números complejos como… Nivel 5 Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los enteros. multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades. verificación de la cerradura de la adición. Programa de estudio Orienta la labor pedagógica. sustracciones. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o la falsedad de conjeturas.
involucran los otros sectores de aprendizaje del currículum. la escritura y la comunicación oral deben promoverse en los distintos sectores de aprendizaje
Las orientaciones que se presentan a continuación destacan algunos elementos relevantes al momento de implementar el programa. Esto se justifica. los docentes deben procurar:
›	la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informativos propios del sector. sino que se consolidan a través del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y. la escritura y la comunicación oral. textos periodísticos y narrativos. la lectura y la escritura como parte constitutiva del trabajo pedagógico correspondiente a cada sector de aprendizaje. La lectura. porque las habilidades de comunicación son herramientas fundamentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes propios de cada sector. por lo tanto. reportes. Se trata de habilidades que no se desarrollan únicamente en el contexto del sector Lenguaje y Comunicación. ensayos. discriminándola y seleccionándola de acuerdo a su pertinencia ›	la comprensión y el dominio de nuevos conceptos y palabras
›	la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo. respuestas breves) ›	la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas ›	la presentación de las ideas de una manera coherente y clara ›	el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos ›	el uso correcto de la gramática y de la ortografía
. tablas y gráficos) ›	la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos especializados del sector ›	la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante ›	la realización de resúmenes y la síntesis de las ideas y argumentos presentados en los textos ›	la búsqueda de información en fuentes escritas. Al momento de recurrir a la lectura. Algunas de estas orientaciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en el currículum. descripciones.
Debe impulsarse el uso de las TICs a través de los sectores de aprendizaje El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Para esto. manteniendo la atención durante el tiempo requerido ›	la interacción con otras personas para intercambiar ideas. analizar información y elaborar conexiones en relación con un tema en particular. como correo electrónico. señalar las fuentes de donde se obtiene la información y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales
. y manipular la información sistematizada en ellas para identificar tendencias. plantillas de presentación (power point) y herramientas y aplicaciones de imagen. se debe procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para: ›	buscar. examinando críticamente su relevancia y calidad ›	procesar y organizar datos. regularidades y patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector ›	desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto. y seleccionar esta información. espacios interactivos en sitios web o comunidades virtuales ›	respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs. Esto demanda que el dominio y uso de estas tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. chat. utilizando plantillas de cálculo. como el cuidado personal y el respeto por el otro.Comunicación oral
›	›	›	›	la capacidad de exponer ante otras personas la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión. acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes. incorporando los conceptos propios del sector ›	el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para superar dificultades de comprensión ›	la disposición para escuchar información de manera oral. audio y video ›	intercambiar información a través de las herramientas que ofrece internet.
Se aspira a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado. trabajo grupal. el docente considere que precisarán más tiempo o métodos diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. sobre esa base. étnicos o religiosos. Para esto. Esa diversidad conlleva desafíos que los profesores tienen que contemplar. En atención a lo anterior. debe desarrollar una planificación inteligente que genere las condiciones que le permitan: ›	conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de los estudiantes ›	evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades de aprendizaje ›	definir la excelencia. considerando el progreso individual como punto de partida ›	incluir combinaciones didácticas (agrupamientos. para que todos alcancen altas expectativas. Por el contrario. Entre ellos. pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de aprendizaje no implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes. la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar que hay que reconocer los requerimientos didácticos personales de los alumnos. el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre los estudiantes en términos culturales. al momento de diseñar el trabajo en una unidad. sociales. cabe señalar: ›	promover el respeto a cada uno de los estudiantes. rincones) y materiales diversos (visuales.Atención a la diversidad
En el trabajo pedagógico. evitando las distintas formas de discriminación ›	procurar que los aprendizajes se desarrollen en relación con el contexto y la realidad de los estudiantes ›	intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje señalados en el currículum. objetos manipulables) ›	evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opciones ›	promover la confianza de los alumnos en sí mismos ›	promover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación abundante Es necesario atender a la diversidad para que todos logren los aprendizajes Esto demanda conocer qué saben y. definir con flexibilidad las diversas medidas pertinentes La diversidad entre estudiantes establece desafíos que deben tomarse en consideración
. es conveniente que. y respecto de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento. en un contexto de tolerancia y apertura.
materiales didácticos. Se deben poder responder preguntas como ¿qué deberían
. Una vez identificados. las prácticas anteriores y los recursos disponibles
La planificación es un proceso que se recomienda realizar. han sido elaborados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad en los distintos contextos educativos del país. debe estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo que los alumnos deben aprender. el programa apoya la planificación a través de la propuesta de unidades. de la estimación del tiempo cronológico requerido en cada una y de la sugerencia de actividades para desarrollar los aprendizajes. De manera adicional. es necesario desarrollar una idea lo más clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herramienta de apoyo al proceso de planificación. El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son los Aprendizajes Esperados. de manera de optimizar el tiempo disponible ›	las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios ›	los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares. entre otros
Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes. recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar. lo que implica planificar considerando desafíos para los distintos grupos de alumnos ›	el tiempo real con que se cuenta. Para alcanzar este objetivo. laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de Aprendizaje (CRA). se recomienda elaborar la planificación en los siguientes términos: ›	comenzar por una especificación de los Aprendizajes Esperados que no se limite a listarlos.Orientaciones para planificar
La planificación favorece el logro de los aprendizajes El programa sirve de apoyo a la planificación a través de un conjunto de elementos elaborados para este fin La planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los aprendizajes de los estudiantes.
Se debe planificar tomando en cuenta la diversidad. Para estos efectos. el tiempo real. considerando los siguientes aspectos: ›	la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso. Esto implica reconocer qué desempeños de los estudiantes demuestran el logro de los aprendizajes.
Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta se use tanto en la planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al plan de cada clase. Esto permitirá desarrollar una idea de las demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad ›	sobre la base de esta visión. se requiere identificar qué tarea de evaluación es más pertinente para observar el desempeño esperado y qué modalidades de enseñanza facilitarán alcanzar este desempeño. Específicamente. ¿qué habría que observar para saber que un aprendizaje ha sido logrado? ›	a partir de las respuestas a esas preguntas. decidir las evaluaciones a realizar y las estrategias de enseñanza. Para esto. asignar los tiempos a destinar a cada unidad. considerando su organización por unidades. las actividades de enseñanza y las instancias de retroalimentación Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso. el tipo de evaluación que se requerirá para verificar el logro de los aprendizajes. Para que esta distribución resulte lo más realista posible. Los Mapas de Progreso pueden resultar un apoyo importante ›	identificar. considerando los feriados. se debe definir las evaluaciones formativas y sumativas. De acuerdo a este proceso. estimar el tiempo que se requerirá para cada unidad y priorizar las acciones que conducirán a logros académicos significativos. se recomienda: -	listar días del año y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible -	elaborar una calendarización tentativa de los Aprendizajes Esperados para el año completo. las estrategias de enseñanza y la distribución temporal
. decidir las evaluaciones. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados especificados en los programas.ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado Aprendizaje Esperado?. el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo del año escolar. el docente tiene que: ›	alcanzar una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr durante el año. dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los estudiantes. los días de prueba y de repaso. en términos generales. que entregan elementos útiles para reconocer el tipo de desempeño asociado a los aprendizajes. sobre esa base. La planificación anual En este proceso. y la realización de evaluaciones formativas y retroalimentación -	hacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarización -	ajustar permanentemente la calendarización o las actividades planificadas
. el docente lleva a cabo la actividad contemplada para la clase ›	cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos). se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su inicio. Al igual que la planificación anual. esta visión debe sustentarse en los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda complementarla con los Mapas de Progreso ›	crear una evaluación sumativa para la unidad ›	idear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad ›	calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana ›	establecer las actividades de enseñanza que se desarrollarán ›	generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados. se debe procurar que los estudiantes conozcan el propósito de la clase.La planificación de la unidad Realizar este proceso sin perder de vista la meta de aprendizaje de la unidad Implica tomar decisiones más precisas sobre qué enseñar y cómo enseñar. qué se espera que aprendan. A la vez. especificando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y retroalimentación ›	ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes La planificación de clase Procurar que los estudiantes sepan qué y por qué van a aprender. La planificación de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: ›	especificar la meta de la unidad. desarrollo y cierre y especificando claramente qué elementos se considerarán en cada una de estas partes. es decir. En él se debe procurar que los estudiantes se formen una visión acerca de qué aprendieron y cuál es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas para promover su aprendizaje. Se requiere considerar aspectos como los siguientes: ›	inicio: en esta fase. Adicionalmente. qué aprendieron y de qué manera Es imprescindible que cada clase sea diseñada considerando que todas sus partes estén alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con la evaluación que se utilizará. pero es central. se debe buscar captar el interés de los estudiantes y que visualicen cómo se relaciona lo que aprenderán con lo que ya saben y con las clases anteriores ›	desarrollo: en esta etapa. considerando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad.
en tanto permiten: ›	reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar ›	aclarar la expectativa de aprendizaje nacional. Las evaluaciones entregan información para conocer sus fortalezas y debilidades. sino que cumple un rol central en la promoción y el desarrollo del aprendizaje. Los Mapas de Progreso apoyan el seguimiento de los aprendizajes. No se debe usar solo como un medio para controlar qué saben los estudiantes. a su vez. Esto facilita que puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr ›	elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se busca alcanzar. Compartir esta información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que debe seguir para avanzar. El análisis de esta información permite tomar decisiones para mejorar los resultados alcanzados ›	retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados dentro del sector ›	ser una herramienta útil para la planificación
Apoya el proceso de aprendizaje al permitir su monitoreo. esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos
Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y los ubican en un continuo de progreso. sobre esa base. al conocer la descripción de cada nivel. retroalimentar a los estudiantes y sustentar la planificación
Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si se llevan a cabo considerando lo siguiente: ›	informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán. sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta expectativa
. fundados en el análisis de los desempeños de los estudiantes. debe tener como objetivos: ›	ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes ›	proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los alumnos y. También da la posibilidad de desarrollar procesos metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes.Orientaciones para evaluar
La evaluación forma parte constitutiva del proceso de enseñanza. Para que cumpla efectivamente con esta función.
los Mapas de Progreso pueden ser de especial utilidad ›	¿Qué evidencia necesitarían exhibir sus estudiantes para demostrar que dominan los Aprendizajes Esperados? Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluación sugeridos que presenta el programa. entre otros). considere aquellos aprendizajes que serán duraderos y prerrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. guías de trabajo. ›	¿Qué preguntas se incluirá en la evaluación? Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Esperados. Para esto. entrevistas. ¿cuáles son las características de una respuesta de alta calidad? Esto se puede responder con distintas estrategias. Se pueden usar los ejemplos presentados en los Mapas de Progreso
.›	observar el desarrollo. Para lograrlo. debates. la progresión o el crecimiento de las competencias de un alumno. que permitan demostrar la real comprensión del contenido evaluado ›	¿Cuáles son los criterios de éxito?. mapas conceptuales. al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa ›	contar con modelos de tareas y preguntas que permitan a cada alumno evidenciar sus aprendizajes
La evaluación debe diseñarse a partir de los Aprendizajes Esperados. informes de laboratorio e investigaciones. métodos. Por ejemplo: -	comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de otros alumnos de edad similar. informes. para que los diversos estudiantes puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje. se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas maneras y con diferente grado de complejidad. con el objeto de observar en qué grado se alcanzan. En lo posible. …y luego decidir qué se requiere para su evaluación en términos de evidencias. se recomienda diseñar la evaluación junto a la planificación y considerar las siguientes preguntas: Partir estableciendo los Aprendizajes Esperados a evaluar… ›	¿Cuáles son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcará la evaluación? Si debe priorizar. ensayos. preguntas y criterios ›	¿Qué método empleará para evaluar? Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas escritas.
-	identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen el nivel de desempeño esperado. y utilizarlas como modelo para otras evaluaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje -	desarrollar rúbricas5 que indiquen los resultados explícitos para un desempeño específico y que muestren los diferentes niveles de calidad para dicho desempeño
rigurosidad. por una parte. por lo tanto. ordenado. evaluar la validez de resultados y seleccionar estrategias para resolver problemas. la capacidad de generalizar situaciones. crítico y autónomo. Todo esto contribuye a desarrollar un pensamiento lógico. formular conjeturas. enseña a presentar información con precisión y rigurosidad y. El entorno social valora el conocimiento matemático y lo asocia a logros. que se valoran no solo en la ciencia y la tecnología. Aprender matemática influye en el concepto que niños. la pertinencia y la amplitud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la
Formular conjeturas y verificarlas. y a generar actitudes como precisión.Matemática
El aprendizaje de la matemática ayuda a comprender la realidad y proporciona herramientas para desenvolverse en la vida cotidiana. perseverancia y confianza en sí mismo. para algunos casos particulares Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita
Formular y verificar conjeturas. Entre ellas se encuentran el cálculo. por otra. en casos particulares
. jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades. beneficios y capacidades de orden superior. sino también en la vida cotidiana. a demandar exactitud y rigor en las informaciones y argumentos que se recibe. contribuye a que la persona se sienta un ser autónomo y valioso. El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo provocan importantes consecuencias en el desarrollo. Aprender matemáticas acrecienta también las habilidades relativas a la comunicación. el análisis de la información proveniente de diversas fuentes. En consecuencia. la calidad. el desempeño y la vida de las personas.
la tecnología y las ciencias se redefinen en forma permanente y se hacen más difíciles. utilizando los contenidos del nivel Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos
Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita Emplear formas simples de modelamiento matemático Realizar cálculos en forma mental y escrita Emplear formas simples de modelamiento matemático Verificar proposiciones simples. observar las habilidades que se pretendió enseñar en los años anteriores y las que se trabajarán más adelante ›	advertir diferencias y similitudes en los énfasis por ciclos de enseñanza
Resolver problemas en contextos diversos y significativos. y las finanzas. los sistemas de comunicación y los vínculos entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan. el pensamiento analítico.Habilidades
calidad de vida de las personas y afecta el potencial de desarrollo del país. el modelamiento y las destrezas para resolver problemas. Se trata de espacios en los que la cultura. para casos particulares Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables Diferenciar entre verificación y demostración de propiedades
. la visualización espacial. el cálculo. y prepara a los estudiantes para que entiendan el medio y las múltiples relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico de complejidad creciente. Al estudiar matemáticas. el estudiante adquiere el razonamiento lógico. La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar con entes abstractos y sus relaciones. La tabla siguiente puede resultar útil para: ›	observar transversalmente las habilidades que se desarrollan en el sector ›	focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evaluaciones que enfaticen dichas habilidades ›	situarse en el nivel.
6	Metacongición: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento
. aceptar los éxitos o las acciones de sus pares. El docente debe procurar. sea propio o de los demás. en qué períodos de la historia y cómo se enlazaron con la evolución del pensamiento. Otros aspectos que también ayudan a que cada estudiante aumente la confianza en sí mismo son valorar las diferencias. En ese sentido. realicen trabajos prácticos y se apoyen en la tecnología. comparar diversas formas de abordar problemas y justificar y demostrar las proposiciones matemáticas. la percepción que cada cual tiene de su propia capacidad para aprender y hacer matemática. que impacta en otras áreas del conocimiento científico. el profesor tiene que evitar que pongan demasiado énfasis en los procedimientos si no comprenden los principios matemáticos correspondientes. si lo hace de manera constructiva. pues permite comprender. crear un clima de confianza y distinguir de qué modo enfrenta cada uno el triunfo o el fracaso. en especial en las etapas de exploración. ¿cómo lo hicieron?. ¿de qué otra manera es posible? Además. Aunque deben ser competentes en diversas habilidades matemáticas. Es una oportunidad para la metacognición6: ¿cómo lo hice?. De esta manera. Se recomienda usar analogías y representaciones cercanas a los estudiantes. Estos programas entregan algunas orientaciones que ayudarán a los profesores a cumplir con este objetivo por medio de la planificación y en el transcurso de las clases.Orientaciones didácticas
Se ha concebido este sector como una oportunidad para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida.
Los estudiantes deben explorar en las ideas matemáticas y entender que ellas constituyen un todo y no fragmentos aislados del saber. explicar y predecir situaciones y fenómenos del entorno. Preguntarse cómo se originaron los conceptos y modelos matemáticos.
ayuda a razonar en vez de actuar de modo mecánico. Tienen que enfrentar variadas experiencias para que comprendan en profundidad los conceptos matemáticos. propiedades y relaciones. podrán participar activamente y adquirir mayor confianza para investigar y aplicar las matemáticas.
Es importante que el docente aclare que esta disciplina está enraizada en la cultura y en la historia. el docente tiene en sus manos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y los logros de los alumnos. La matemática es un área poderosa de la cultura. crea consecuencias y permite aplicaciones. También se sugiere aplicar las matemáticas a otras áreas del saber y en la vida diaria como un modo de apoyar la construcción del conocimiento matemático. Un educador puede aprovechar la equivocación para inducir aprendizajes especialmente significativos.
La clase de Matemática ofrece abundantes ocasiones para el autoconocimiento y las interacciones sociales. Se debe considerar el error como un elemento concreto para trabajar la diversidad en clases y permitir que todos los alumnos alcancen los aprendizajes propuestos. surge de la retroalimentación que le ha dado la propia experiencia.
Usar adecuadamente el error ayuda a crear un ambiente de búsqueda y creación. asimismo. Por eso. Tienen que analizar los procedimientos para resolver un problema y comprobar resultados. sus conexiones y sus aplicaciones. También se busca desarrollar y explicar la noción de estrategia. Se recomienda que usen materiales concretos. en especial en el ciclo básico. que los estudiantes conjeturen y verifiquen cómo se comportan los elementos y las relaciones con que se trabaja. es un ancla importante para el aprendizaje. asimismo. Por eso es importante invitar a los alumnos a buscar regularidades. es importante que los docentes se esfuercen para que todos los alumnos del país aprendan los conocimientos y desarrollen las capacidades propias de esta disciplina.
se puede analizar y entender números grandes o muy pequeños.
. Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a través de modelos en los que se puede experimentar con ideas matemáticas. también se puede crear situaciones para que los alumnos exploren las características. Internet ofrece múltiples ambientes con representaciones dinámicas de una gran cantidad
de objetos matemáticos. Se trata de un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los ayudará mucho a formarse para una vida cada vez más influida por las tecnologías digitales. Los procesadores geométricos permiten experimentar con nociones y relaciones de la geometría euclidiana. Y se puede estudiar el comportamiento de funciones. simbólicos y de estadística son laboratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba. cartesiana o vectorial.Tecnologías digitales y aprendizaje matemático
El presente programa propone usar software para ampliar las oportunidades de aprendizaje de los estudiantes. verifiquen o refuten conjeturas respecto de los problemas que abordan. la duda y la pregunta son importantes y valiosos para construir conocimiento. incluso las de alta complejidad. asimismo. los límites y las posibilidades de conceptos. Ese ambiente debe admitir que el error. relaciones o procedimientos matemáticos. Con un procesador simbólico. En ese espacio será natural analizar acciones y procedimientos y explorar caminos alternativos. Los procesadores geométricos. tiene que valorar los aportes de todos y aprovecharlos para crear una búsqueda y una construcción colectiva.
Se debe propiciar un ambiente creativo para que los alumnos formulen.
AE 03 Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales. AE 05 Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta operación. Tiempo estimado 70 horas pedagógicas
. AE 07 Verificar la cerradura de las operaciones en los números racionales. Tiempo estimado 65 horas pedagógicas
AE 01 Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias. AE 04 Representar números racionales en la recta numérica. AE 08 Comprender el significado de las potencias de base racional y exponente entero. AE 02 Justificar matemáticamente que los decimales periódicos y semiperiódicos son números racionales.Visión Global del Año
AE 01 Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales. AE 09 Resolver problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero. AE 03 Establecer relaciones de orden entre números racionales. AE 04 Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín. AE 05 Utilizar la calculadora para realizar cálculos reconociendo sus limitaciones. AE 02 Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias. AE 06 Verificar la densidad de los números racionales. AE 06 Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado.
Utilizar el cálculo de medidas de tendencia central y de posición para analizar muestras de datos agrupados en intervalos. mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central.
Calcular la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño. en diversos contextos. dependiendo de las características del experimento aleatorio. extraídas desde una población. en diversos contextos. AE 06 Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas. AE 05 Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras geométricas en el plano cartesiano. aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. en contextos diversos.Semestre 2 Unidad 3
AE 01 Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el plano cartesiano.
Producir información. en experimentos aleatorios finitos.
Formular conjeturas y verificarlas en casos particulares acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño. Tiempo estimado 65 horas pedagógicas
Obtener información a partir del análisis de datos. sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar. a través de gráficos y tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos.
Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos. mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central. AE 08 Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos. aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. adiciones. AE 03 Aplicar composiciones de funciones para realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano.
. manualmente o usando un procesador geométrico.
Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades.
Producir información. AE 02 Representar en el plano. extraídas de dicha población. aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas. usando más de una estrategia. considerando la interpretación de medidas de tendencia central.
Interpretar información. AE 07 Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos. presentados en gráficos y tablas de frecuencia. AE 04 Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano. manualmente o mediante herramientas tecnológicas. en contextos diversos.
fraccionaria y decimal con exponente natural
›	Reconocer si un problema puede tener solución en los números enteros ›	Identificar los números racionales como un cuociente de dos números enteros. En esta unidad se introducen también las potencias de base racional y exponente entero. y operar con ellos.Unidad 1
En esta unidad se recogen los aprendizajes que los estudiantes ya tienen sobre números enteros. transformar de fracciones a números decimales. fracciones y decimales.
›	Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en diversos contextos
. potencias de base racional y exponente entero. y sean capaces de ordenarlos. de modo que los alumnos comprendan sus propiedades y las apliquen en la resolución de problemas.
›	Operaciones aritméticas con números racionales ›	Potencias de base racional y exponente entero ›	Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero
›	Operatoria de números enteros ›	Potencias de base entera y exponente natural ›	Propiedades de las potencias de base natural. con denominador distinto de cero ›	Transformar números de notación decimal a fracción y viceversa ›	Resolver situaciones en las que es necesario operar con números racionales ›	Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales ›	Utilizar las potencias de base racional y exponente entero para representar situaciones
Números racionales. justificando la transformación realizada. Se espera que comprendan sus características y propiedades. para introducir los números racionales.
›	Indican si la solución de una ecuación de primer grado pertenece o no al conjunto de números enteros. Por ejemplo. ›	Ubican en la recta numérica números racionales de acuerdo a restricciones dadas. ›	Reconocen cuando un problema. ›	Formulan estrategias para ubicar en la recta numérica números decimales periódicos. ›	Identifican los números racionales como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros. ›	Dan ejemplos de la vida cotidiana en que la información numérica corresponde a números racionales negativos. ›	Conjeturan acerca de la existencia de números que expresados como decimales no tengan período.01 y 0.
Justificar matemáticamente que los decimales periódicos y semiperiódicos son números racionales.02 de manera que la cifra de las milésimas sea un número par. ›	Dan características del conjunto de los números racionales. ›	Ordenan números racionales de manera creciente. ›	Conjeturan acerca de la existencia de números que no pueden ser expresados como cuociente de enteros. con denominador distinto de cero.
Establecer relaciones de orden entre números racionales. y condiciones para que sea un número decimal positivo o negativo.Aprendizajes Esperados
. ›	Formulan estrategias para comparar números decimales semiperiódicos. ›	Justifican los pasos de un procedimiento para expresar como cuociente de enteros un número decimal periódico o semiperiódico. ubican cinco números que se encuentren entre 0. contextualizado. ›	Establecen condiciones para que al dividir dos números enteros el cuociente sea un número entero. ›	Comparan números periódicos. puede o no tener soluciones en el conjunto de los números enteros.
›	Evalúan las soluciones de problemas con números racionales en función del contexto.2 se encuentran: 0. ›	Reconocen las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.aprendizajes esperados
Utilizar la calculadora para realizar cálculos. reconociendo sus limitaciones. ›	Proponen algoritmos que permiten intercalar números entre dos números racionales dados. ›	Aplican propiedades de las potencias de base racional y exponente entero en la resolución de problemas. ›	Identifican situaciones que pueden ser representadas por medio de potencias de base racional y exponente entero. ›	Resuelven problemas. por ejemplo.1 y 0. ›	Argumentan acerca de la cerradura de la suma y multiplicación en los racionales. ›	Establecen las operaciones que son cerradas en los números racionales y justifican matemáticamente sus resultados. ›	Explican los procedimientos empleados para resolver problemas que involucran números racionales.
Resolver problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero. ›	Realizan operaciones de multiplicación y división de potencias de base racional y exponente entero utilizando sus propiedades.
Verificar la densidad de los números racionales. mediante redondeo y truncamiento. ›	Realizan aproximaciones de los resultados obtenidos. ›	Emplean más de una estrategia para resolver problemas referidos a potencias de base racional y exponente entero.11. 0.
. utilizando potencias de base racional y exponente entero. Por ejemplo. el promedio de los números dados. ›	Usan el valor posicional para mostrar que.12. ›	Sistematizan procedimientos de cálculo escrito con ayuda de la calculadora de las cuatro operaciones con números racionales. entre 0.…
espacio para abordar el concepto de cifras significativas y de aproximación. en contextos de la resolución de problemas ligados a la vida cotidiana y a temas de otros sectores de aprendizaje. Estos son dos temas en los que suele haber dificultades y lagunas de aprendizaje. Se sugiere trabajar las cuatro operaciones con números racionales. así como sus propiedades y los procedimientos para operar con ellos.
Se sugiere introducir los números racionales como una extensión del conjunto de los números enteros y plantear problemas en los que es imposible encontrar una solución entera. Se recomienda también mostrar ejemplos de números que no son racionales. Por esto se hace necesario expresar estos números como fracciones. La unidad permite ver nuevamente los conceptos de fracción y de número decimal. además. La ubicación de números en la recta numérica contribuye a la comprensión de dichos números. La unidad introduce las potencias de exponente cero y negativas de números racionales.Aprendizajes Esperados en relación con los OFT
Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos ›	Participa de manera propositiva en actividades grupales. ›	Toma iniciativa en actividades de carácter grupal. Antes que las reglas de operación o los algoritmos. es la distinción con la que los estudiantes pueden comprender la diferencia entre un número racional y otro irracional. También se recomienda situar a los estudiantes en el contexto histórico en los que estos números cobraron relevancia y los problemas que solucionaron.
. La resolución de problemas genera. prepara la noción de intervalo que será utilizada más adelante para trabajar distintos temas matemáticos. La exploración de situaciones en los que el desarrollo decimal presenta o no un período. en actividades grupales. Así se completan las potencias de base racional y exponente entero. como las inecuaciones. Se sugiere relacionar el valor posicional de la notación decimal con las potencias de diez. ›	Es responsable en la tarea asignada. Reubicar esos números y sus operaciones en el contexto de los racionales y mediante el uso de las potencias de diez. contribuye a su comprensión y a crear destrezas necesarias para este tipo de operaciones. En particular. periódicos y semiperiódicos. ›	Propone alternativas de solución a problemas relacionados con números enteros y potencias de base natural y exponente natural. son números racionales. Los números racionales se expresan mediante un cociente de números enteros y los decimales finitos. Aquí cobra sentido la divisibilidad entre enteros y la relación entre el resto de la división con el período en la representación decimal. lo importante son los procesos.
0.000. ›	Números de la forma 0. 0. cuya solución pertenece a los números enteros. 0. ecuaciones del tipo: ›	2 x . Por ejemplo.
Demuestran que los siguientes números se pueden escribir como una fracción: ›	Números de la forma 0.
Caracterizan el conjunto de los números racionales. pero que sí admiten solución en los números racionales no enteros.
. ¿Cuál es la deuda?
Inventan problemas que: ›	admiten solución en los números enteros ›	admiten solución en los números racionales no enteros
Justificar matemáticamente que los números decimales periódicos y semiperiódicos son números racionales. a.00abc . etc.000a . 0. a.000abc . 0.0bc . a.00cdeabc . 0.0a .00ab . determinan valores para a.0abc .
Identifican ecuaciones de primer grado que no admiten solución en los números enteros.ab . ›	Números de la forma a. etc.000abc .ab . de manera que: ›	la ecuación admita una solución entera ›	la ecuación admita una solución racional no entera
Identifican problemas en contextos cotidianos. 0. 0.1 = 6 ›	5(4 x +1) = 2 ( 6 x + 3 )
En ecuaciones del tipo ax + b = c .0ab .Ejemplos de Actividades
Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales.000 de una deuda y el resto lo divide en tres partes iguales de $6. identifican cuál de los problemas siguientes admite solución entera y cuál. c .bc . ›	Números de la forma 0.00a . 0.a . Por ejemplo. solución racional no entera: ›	Si al triple de las bolitas que tiene una persona le agrega una bolita. etc.0ab .0b . 0.00bcdef . y aquellos que admiten solución en los números racionales no enteros. b. ›	Números de la forma 0. entonces tiene 21 bolitas ›	Una persona abona $10. donde la incógnita es x. 0. etc. etc.abc . 0.cdab .
. la siguiente ecuación. se obtiene: x = 6 2 = 9 3 Amplificando ambos lados por 10. obtenemos: 990 · x = 1133 Y multiplicando por el inverso multiplicativo de 990.. tales que
.666… (se repite el número 6 infinitamente): x = 0. utilizando los siguientes procedimientos: ›	Conversión a decimales ›	Conversión a fracciones de denominadores iguales a c ›	Multiplicaciones de numeradores por denominadores: >
Determinan números de acuerdo a restricciones dadas.133 990
Establecer relaciones de orden entre números racionales.44
Restando la primera ecuación a la segunda.12 1 1 <x< 7 6 2 5 ›	Determinan números racionales cuya distancia a es mayor que y 3 3 12 que sean menores que 5 ›	Determinan 10 números racionales x.
Para el caso de número decimal infinito semiperiódico 1. usando el decimal 0.3 Amplificando ambos lados por 10. Restando la primera ecuación a la segunda.11 y menores que 0. Por ejemplo: ›	Determinan 10 números racionales mayores que 0. se obtiene: 9 · x = 6 Y multiplicando por el inverso multiplicativo de 9.666.
Formulan estrategias para comparar números: ›	Decimales finitos ›	Decimales periódicos y semiperiódicos
Comparan fracciones.666. se obtiene: 99 · x = 113.1444 el docente podría plantear.1444 Amplificando ambos lados por 100.. por ejemplo. el profesor podría plantear. por ejemplo. la siguiente ecuación: x = 1. se obtendrá: 100 · x = 114.
Formulan estrategias para ubicar en la recta numérica los siguientes tipos de números: ›	Decimales finitos ›	Decimales periódicos ›	Decimales semiperiódicos
Representar números racionales en la recta numérica.. se obtiene: x = 1. tendrá: 10 · x = 10 · 0.!	Observaciones al docente: Para el caso de un número decimal infinito periódico.
reconociendo sus limitaciones. discuten acerca de los diferentes resultados que se obtiene 5 17 cm y cm. y posteriormente que amplifiquen por potencias de 10 hasta obtener claridad acerca de los números que se deben insertar. al calcular el área de un rectángulo de lados
Utilizan la calculadora para realizar y evaluar expresiones en contextos del mundo que nos rodea.12. r = 6.!	Observaciones al docente: Se sugiere al profesor que 0.67 · 10-11 NM2/ kg2
gr 2 . Realizan las siguientes actividades: ›	Eligen dos números racionales positivos al azar.11 lo presente en la forma 0.
Utilizar la calculadora para realizar cálculos.8 m/s2. En el caso de la fracciones 1 1 y . son iguales ›	Realizan el proceso anterior con números enteros negativos ›	Realizan el proceso anterior con números racionales no enteros ›	Generalizan el proceso seguido. Por ejemplo.110. lo mismo para el decimal 0. utilizando 3 7 calculadoras que arrojan distinta cantidad de cifras decimales en el visor. o en la forma 0. es decir. se recomienda que las amplifiquen por un 7 6 número adecuado de manera de tener denominadores iguales. concluyen la propiedad: “Entre dos números racionales siempre hay un número racional”
. y la distancia entre el promedio y 7. por ejemplo: 3 y 7.1100. Por ejemplo. determinan la masa de la Tierra evaluando la expresión M T =
Verifican que los resultados que se obtienen con calculadoras al realizar cálculos de números decimales periódicos y semiperiódicos. A continuación: -	los ubican en la recta numérica -	sacan su promedio y lo ubican en la recta numérica -	verifican que la distancia entre el promedio y 3. donde g = 9. utilizando la calculadora. G
Verificar la densidad de los números racionales. son aproximaciones del resultado real.
Realizan aproximaciones de cálculos y las verifican.38 · 106 m .
m .!	Observaciones al docente: El profesor puede proponer a sus estudiantes que realicen la actividad anterior.m
b. b racionales.o a b Z .	b.m
Demuestran que operaciones combinadas con números racionales siempre dan un número racional. m .	c.	d.n Z Z
. pero con expresiones algebraicas.n . pero menor que b
a + b y demuestren que se ›	Obtengan el promedio entre a y el promedio 2 encuentre entre esos números
Y así sucesivamente. que: ›	Consideren a.o a b
Comprender el significado de las potencias de base racional y exponente entero.	-m
Identifican la propiedad que permite resolver potencias del tipo: a. realizan las siguientes demostraciones: a.m
Z .	a b a b
m . tales que a < b ›	Obtengan su promedio y demuestren que es mayor que a. Es decir.	a b a b a b a b
Utilizando las propiedades anteriores.
Realizan comparaciones entre cantidades expresadas en potencias. ancho 100 m y 30. según muestra la figura:
Responden preguntas como: ›	¿Cuánto medirá el área del cuadrado de la figura resultante después de hacer 8 dobleces? ›	¿Cuánto medirá el área del cuadrado resultante después de hacer n dobleces? !	Observaciones al docente: Los estudiantes pueden realizar cálculos apropiados para estimar el área de la figura obtenida después del octavo doblez. Sin embargo. Por ejemplo:
Precio 1. que el largo de una bacteria que mide 1. Por ejemplo: Las diferentes compañías telefónicas presentan ofertas de planes en UF a sus clientes. Por ejemplo: a. después de n dobleces.
Resuelven problemas que involucran potencias de base racional y exponente entero.n · 1200 cm2 b. el área de la figura es 2 . calculan cuántas veces es mayor la distancia de la Tierra a la estrella más cercana.5 · 10-4 cm
Resuelven problemas en contextos cotidianos. y lo expresan en m3 c.93 UF + instalación 2. Un trozo rectangular de cartulina de lado 40 cm de largo por 30 cm de ancho se dobla sucesivamente por la mitad. se sugiere al profesor guiar el trabajo de los alumnos en la notación de potencias para concluir que. en los que se incluye una determinada cantidad de minutos para hablar y un tiempo determinado para una conexión a internet.2 km. Por ejemplo. Calculan el volumen de un paralelepípedo de largo 0.82 UF 2.000 cm de alto.5 UF 1.35 UF + instalación
.AE 09
y entre C y D? ›	Si la UF aumenta un 0. tales que: 0 < P < Q < 1 a.1%.Precio de instalación: $9.	Demuestran que P + Q se encuentra entre Q y 2Q
. ¿en cuánto aumenta el valor del plan más caro?
Resuelven problemas relativos a operaciones aritméticas en contextos matemáticos.	Demuestran que P · Q se encuentra entre 0 y P b.990 Responden preguntas como las siguientes: ›	¿Cuánto cuesta cada plan con el valor de la UF al día de hoy? ›	¿Cuál es la diferencia en pesos entre los planes A y B. Por ejemplo: ›	Dados dos números racionales P y Q .
3	Identifican números racionales. Se incorporan tres hombres y la relación pasa a ser 2 es a 1. 2	Reconocen el tipo de soluciones de un problema: entera o racional. b y c. ›	Establecen condiciones para que al dividir dos números enteros el cuociente sea un número entero. puede o no tener soluciones en el conjunto de los números enteros. y condiciones para que sea un número decimal positivo o negativo. para que la ecuación a x + b = c ›	tenga una solución entera ›	tenga como solución un número racional positivo 2	Una excursión tiene una relación mujeres–hombres de 5 es a 3. ¿pertenece a los números enteros? Justificar
Se sugiere considerar los siguientes aspectos: 1	Indican si la solución de una ecuación de primer grado es entera. contextualizado. con denominador distinto de cero. ›	Dan ejemplos de la vida cotidiana en que la información numérica corresponde a números racionales negativos.
›	Indican si la solución de una ecuación de primer grado pertenece o no al conjunto de números enteros.Ejemplo de Evaluación
Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales. ›	Reconocen cuando un problema. ›	¿Cuáles son los datos del problema? ›	¿Cuáles son las incógnitas? ›	Escriba una ecuación que represente la relación entre las variables y los datos del problema ›	La solución del problema.
Responda a las interrogantes de acuerdo a las condiciones dadas en los enunciados. ›	Identifican los números racionales como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros.
. 1	Indique las condiciones que deben cumplir tres números enteros: a.
el rigor. Por otra parte. en la cual se trata bajo la mirada de las transformaciones isométricas. composición de funciones. en cuanto a la progresión en el aprendizaje relacionado con las funciones. función lineal y afín. en este nivel se trabaja la composición de funciones como un paso más en el estudio de funciones. El programa prioriza en el desarrollo de multiplicaciones algebraicas. gráficos y algebraicamente. al modificar los parámetros ›	Resolver problemas que involucren composición de funciones ›	Identificar el dominio y recorrido de funciones que son el resultado de la composición de otras
Productos notables. la flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos
Esta unidad ofrece la oportunidad a los estudiantes de explorar naturalmente contextos multiplicativos de expresiones algebraicas y desarrollar productos.
›	Funciones lineales y afines como modelos de situaciones o fenómenos ›	Representación gráfica de funciones lineales y afines ›	Resolución de problemas mediante ecuaciones literales ›	Composición de funciones y propiedades asociadas ›	Dominio y recorrido de funciones que se obtienen al componer otras funciones
›	Concepto de variable ›	Dependencia e independencia de variables ›	Variación proporcional directa e inversa ›	Concepto de función ›	Dominio y recorrido de una función ›	Representación gráfica de funciones ›	Ecuación de primer grado con dos incógnitas
›	Establecer los productos notables a través de la búsqueda de regularidades en la multiplicación de expresiones algebraicas ›	Factorizar expresiones algebraicas. la comprensión de los procedimientos y el descubrimiento de reglas y propiedades a través de la formulación y verificación de conjeturas. Este contenido se conecta más adelante con la unidad de Geometría. utilizando funciones lineales ›	Representar gráficamente funciones lineales y afines ›	Argumentar respecto de las variaciones que se producen en la representación gráfica de funciones lineales y afines. factorización de expresiones algebraicas. ecuaciones literales.
›	La perseverancia. se introduce el estudio de las funciones lineal y afín. usando los productos notables ›	Resolver problemas mediante ecuaciones literales ›	Modelar situaciones o fenómenos en diferentes contextos. modelamiento. Finalmente. Se propone a los alumnos identificar y representar dichas funciones a través de tablas. productos notables y factorizaciones de expresiones algebraicas.
b2) (a2 + b2).Aprendizajes Esperados
Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias. ›	Reconocen la proporcionalidad directa como un caso de la función lineal. señalando variables y constantes.b).b3) (a3 + b3)
Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias. ›	Multiplican expresiones algebraicas y reducen el resultado. variando los valores de k
Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales. ›	Generan el gráfico cartesiano a partir de una tabla de valores. (a3 . ›	Verifican las soluciones obtenidas. (a2 . Por ejemplo. V = Ri (en circuitos eléctricos) y F = kx (ley de Hooke). ›	Factorizan expresiones algebraicas. ›	Usan un procesador simbólico para registrar diversos valores de y = kx . en los productos (a + b) (a . ›	Sacan factor común en expresiones algebraicas. ›	Expresan trinomios como el producto de dos binomios. ›	Emplean técnicas algebraicas para expresar ecuaciones literales de primer grado en la forma ax = b ›	Resuelven ecuaciones literales de primer grado. ›	Establecen expresiones para sumas por diferencias y cuadrados de binomios. utilizando productos notables. ›	Reconocen como funciones lineales relaciones de la física como F = ma (Newton). ›	Reconocen regularidades en multiplicaciones de expresiones algebraicas. ›	Organizan en una tabla pares ordenados de una función.
›	Reconocen situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales. ›	Verifican que la función identidad en un conjunto opera como elemento neutro para la composición de funciones. Analizan el caso en que las funciones son transformaciones isométricas.aprendizajes esperados
Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta operación. ›	Discuten acerca de la conmutatividad de la composición de funciones. ›	Verifican que la composición de funciones es asociativa.
Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado. ›	En situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales: -	plantean la ecuación -	la resuelven -	la evalúan en función del contexto
. ›	Identifican ecuaciones literales de primer grado en diversos contextos. ›	Dadas algunas funciones realizan composiciones de ellas y determinan el dominio y recorrido de la función resultante. ›	Demuestran que la composición de funciones cumple la propiedad de clausura.
›	Es tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presenten en problemas matemáticos.Aprendizajes Esperados en relación con los OFT
La perseverancia. Se recomienda introducir la composición de funciones a través de metáforas que faciliten su comprensión para luego realizar la formalización a través de la utilización del lenguaje algebraico.
. el estudio de funciones se presta para realizar análisis de representaciones.). a través del cual se introducen la notación y elementos como dominio y recorrido. Respecto de las funciones lineales y afines. También se acostumbran a ver como reglas de resolución de ciertas expresiones que no siempre los alumnos son capaces de conectar con otras operaciones (por ejemplo. De este modo se facilita la verificación y demostración de propiedades de la composición de funciones. se pueden incentivar aspectos como el rigor. según el tipo de expresión (cuadrado de binomio. ›	Termina los trabajos iniciados. Aquí se propone que los estudiantes conjeturen sobre aquellos productos que tienen ciertas características que los hacen “notables”. A través del trabajo propuesto. ya que se retomará en la unidad de Geometría a través del estudio de las transformaciones isométricas. Por otro lado. se sugiere tensionar las conjeturas con preguntas como “¿Existe alguna relación o regularidad entre los términos de la expresión original y los que resultan luego de realizar el producto propuesto?”. con la multiplicación). este tipo de recursos tecnológicos facilitan al estudiante el análisis. Los productos notables se estudian tradicionalmente por nombre. los relacionados con proporcionalidad directa. al resolver problemas matemáticos ›	Tiene un orden y método para el registro de información. por ejemplo. etc. la formulación de conjeturas y su verificación. Pero más aún. interesa que los estudiantes sean ordenados y metódicos en el registro de la información. el docente ofrece un listado de multiplicaciones para que ellos descubran las reglas que definen los productos notables. la flexibilidad y originalidad. la unidad de Álgebra es una buena oportunidad para promover los Objetivos Fundamentales Transversales. Finalmente. Por ejemplo. trinomio de cuadrado perfecto. En otras palabras. la flexibilidad y la originalidad al resolver problemas. usando software gráfico. En caso de que no se produzcan hallazgos. el rigor. el propósito es que los estudiantes establezcan conexiones entre los aprendizajes nuevos propuestos en esta unidad y aquellos logrados en años anteriores. Se sugiere poner énfasis en este contenido.
Tal como lo sugieren los Aprendizajes Esperados. que los vinculen con el concepto mismo de función que comienza a desarrollarse desde 8° básico. De este modo es posible explorar las distintas formas que toman estas funciones al variar los parámetros que las constituyen.
De este tipo son las siguientes factorizaciones: ›	4x2 − 16y2 ›	x2 + 4xy + y2 ›	4(x − z)2 − 36(y + 2)2 ›	(x + 2)2 + 8(x + 2) +16 ›	x4 − 16y4
Utilizan la forma a2 + a ( b + c ) + bc = (a + b) (a + c ).
Realizan multiplicaciones entre expresiones algebraicas. Los alumnos pueden conjeturar sobre los productos notables presentados y otros que ellos puedan encontrar. Por ejemplo. utilizando productos notables. a partir de las regularidades observadas.Ejemplos de Actividades
Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias. De esta manera se constituye en un aprendizaje significativo. Pueden verificar resultados mediante tablas que les ayuden a organizar los datos.
Factorizan expresiones. De este tipo son las siguientes factorizaciones: ›	x2 +7x +10 ›	a2 + 6a −7 ›	b2 − 3b − 54 ›	4a2 + 14 a − 8
. multiplican: ›	(a + b) (a − 2b) ›	(a + b − c) (a − b + 2c ) ›	(a2 + b2 −1) (2a2 − 3b2 + 4)
Establecen relaciones al observar regularidades en productos especiales: ›	(a − b) (a2 + ab + b2) = a3 − b3 ›	(a − b) (a3 + a2b + ab2 + b3) = a4 − b4 ›	(a − b) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) = a5 − b5
Establecen relaciones al observar regularidades en cuadrados de polinomios: ›	(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ›	(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ›	(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd +2cd !	Observaciones al docente: Es importante que el profesor permita a los estudiantes deducir los productos trabajados.
ecuaciones que.
. donde x es la incógnita !	Observaciones al docente: En este tipo de actividades. Respecto de este enunciado. Por ejemplo: ›	Factorizan la expresión 4a4 +b4. tanto su ancho como su largo se dilatan.
Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales. Por ejemplo: 2a − x = y . con este propósito. con este propósito. producto del calentamiento a que se expone. como en la actividad N° 2. se presentan como fórmulas en diferentes contextos. buscan una estrategia para obtener una expresión para a en función de las otras variables
Establecen estrategias para resolver ecuaciones literales. o bien que ellos deban obtener o deducir. por lo general. buscan una estrategia para obtener una ›	Dada la ecuación 3 expresión para x en función de las otras variables ›	Dada la ecuación x + 2y − 3a = 4. Por ejemplo: ›	Resuelven la ecuación ax = bx + c.
Elaboran estrategias para expresar una variable en función de otras variables.3
Un terreno rectangular tiene una superficie x2 +7x +12 y como largo a x + 4. Es importante apoyar a los alumnos en la resolución de ecuaciones literales. transforman esta expresión en la forma (2a2 +b2 )2 − (2ab)2 ›	Factorizan la expresión 16x4 + 4. donde x es la incógnita ›	Resuelven la ecuación ax = bx + cx + d. el propósito es que los estudiantes sean capaces de relacionar variables a partir de diversos contextos y trabajar con expresiones ya entregadas. los estudiantes determinan: ›	su ancho ›	su perímetro cuando x = 100 metros
Realizan factorizaciones intermedias para llegar a la factorización final. transforman esta expresión en la forma (4x2 +2)2 −16x2
Utilizan la suma por diferencia para determinar el cambio de temperatura (dilatación) que experimenta una plancha metálica rectangular cuando. De este tipo son las siguientes factorizaciones: ›	ac + bc + ad + bd ›	ax − 2ay + 3a + bx − 2by + 3b ›	ad − dx + ac − cx
Transforman expresiones algebraicas aplicando productos notables y factorizan la expresión transformada.
que los grafiquen. Pueden verificar lo anterior.
Identifican funciones lineales en contextos de proporcionalidad. que los registren en tablas y posteriormente. es importante que los alumnos generen datos. establecen diferencias entre la relación lado–perímetro y la relación lado–área. 37 y 55 minutos. Por ejemplo. Para lograr este objetivo. exprese t en función de x. ¿qué diferencias se observa respecto de la función lineal? ›	Si llamamos “t” al valor total de la cuenta y “x” a los minutos hablados. Tiene como objetivo que los estudiantes relacionen la función lineal con la proporcionalidad entre cantidades. ›	Observando el gráfico. se puede presentar la siguiente situación a los estudiantes: Una compañía de teléfonos celulares ofrece el siguiente plan: cargo fijo de $8. Responden las siguientes preguntas: ›	¿Cuáles son las variables involucradas? ›	¿Cuánto se paga por hablar 25. manualmente o usando un software adecuado los valores. deben identificar la proporcionalidad directa. Por ejemplo. por ejemplo: f (x) = 3x
Modelan situaciones asociadas a la función afín. ›	¿Qué concluye?
. Para ello: ›	Utilizan tablas en las que asignan distintos valores al lado (a) y obtienen tanto el perímetro ( P ) como el área ( A ) ›	Identifican las expresiones P = 4a y A = a2 ›	Grafican ambas relaciones en el plano cartesiano ›	Establecen cuocientes entre los valores del perímetro y el lado. así como cuocientes entre el área y el lado ›	Identifican en qué caso ocurre la proporcionalidad directa !	Observaciones al docente: Esta actividad se focaliza en el estudio de las funciones. A partir de cuocientes entre variables. respectivamente? Registrar estos valores en una tabla y graficar.AE 04
Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín. en el contexto geométrico del perímetro y área de un cuadrado de lado (a). considerando una función lineal cualquiera.590 y $94 por cada minuto que se habla en cualquier horario. que grafiquen y modelen diversas situaciones.
obtienen el gráfico de una función lineal o afín.3
Identifican gráficos que representan la función lineal y gráficos que representan la función afín. justificando su elección. (Física)
Realizan experimentos relativos a la ley de Hook. Se registran en una tabla la fuerza ejercida sobre el resorte (peso de la masa medido en Newton) y la deformación medida en metros. en forma manual o utilizando algún software gráfico. se puede solicitar el recorrido de la función en cuestión. pero el perímetro es el mismo en cada caso.
A partir de las expresiones algebraicas de las funciones o usando tablas de valores. Además. en particular la de graficar la situación. ›	Encontrar una función de la base con respecto a la altura que modele esta situación ›	Determinar el dominio de la función ›	Graficar la función !	Observaciones al docente: Para esta actividad. También es clave hablar de los “valores permitidos” en este contexto particular y afianzar el concepto de dominio de una función. Con ese propósito. Por ejemplo. identifican cuál de los gráficos siguientes representa la función lineal y cuál representa la función afín. cada solicitud es importante. A continuación demuestran que el cuociente entre la fuerza y la deformación es constante. Por ejemplo: Considerar un conjunto de rectángulos cuyo perímetro es siempre igual a 48 cm. se toma un resorte cualquiera y de él se suspenden masas.
Determinan si una situación particular puede ser modelada por una función lineal o afín. Los distintos rectángulos tienen bases y alturas diferentes.
8.AE 05
Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta operación. determinan el valor de g
.4.8. encuentran la relación entre (f ›	Si f ( t ) = at y g( t ) = b − t.6. Por ejemplo: ›	Sean f y g funciones afines.20} . ¿Se cumple lo mismo en el caso de funciones afines? ›	¿Qué sucede con f g. g y h son funciones lineales. si se tienen las funciones h(x) = 2x con dominio Dh = {2. verifican valores y relaciones. comprobar si f g y g f son también funciones afines ›	Si f. si g es una función constante y f una función cualquiera?
A partir de dos funciones obtienen la nueva función compuesta. demostrar que (f g) h = f (g h).
A partir de dos funciones dadas. así como también el dominio y el recorrido de la nueva función.16.10} y g( x ) = determinan g con dominio Dg = {4. 4 h y el dominio y recorrido de g h
Demuestran algunas propiedades respecto de la composición de funciones. Por ejemplo: ›	Verifican si la composición de funciones cumple o no la propiedad de asociatividad ›	Verifican que la composición de funciones no es conmutativa
Comprueban otras propiedades de la composición de funciones. Por ejemplo. Por ejemplo: ›	Si f ( x ) = ax y g( x ) = bx.12. determinan la función resultante de componer dichas funciones.
Por ejemplo. a partir de la fórmula de su volumen ›	Encuentran una expresión para el área del trapecio en función de sus bases y altura ›	Obtienen los valores de la altura de un cono para distintos valores de su volumen y del radio de su base
Resuelven problemas relativos a la velocidad del sonido. ¿Después de cuánto tiempo. en función de s se produce esto? (Física)
. cada una. Por ejemplo: ›	Obtienen una expresión algebraica para la altura de una pirámide.
Identifican situaciones. dos personas que se encuentran a s metros separadas desean escuchar.
Resuelven problemas que involucran ecuaciones literales en contextos geométricos. la voz de la otra persona.AE 06
Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado. cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado.
. para todo x racional.
Se sugiere considerar los siguientes aspectos: 1	Determina el valor de la composición de dos funciones en un elemento del dominio. ›	Verifican que la función identidad en un conjunto opera como elemento neutro para la composición de funciones.
A continuación se presentan tres funciones definidas en los números racionales.	Defina una función j(x) en los números racionales. Responda las preguntas referidas a la composición de estas funciones. ›	Verifican que la composición de funciones es asociativa.	Verifique que f g ≠ g f d.	¿Cuál es el valor de (f g) (2)? b. tal que (j f ) (x) = f(x) y (f j) (x) = f ( x ) e.	Verifique la siguiente propiedad de la composición de funciones: (f g) h = f (g h)
Criterios de Evaluación. 4	Identifica a la función identidad como elemento neutro de la composición de funciones. Preguntas: a.Ejemplo de Evaluación
Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta operación. ›	Dadas algunas funciones realizan composiciones de ellas y determinan el dominio y recorrido de la función resultante. Considere las funciones f. g ( x ) = x – 3 y h( x ) = 2x + 1. 2	Verifica propiedades de la composición de funciones.
›	Demuestran que la composición de funciones cumple la propiedad de clausura. definidas por f ( x ) = x2. g y h definidas en el conjunto de los números racionales. Analizan el caso en que las funciones son transformaciones isométricas. ›	Discuten acerca de la conmutatividad de la composición de funciones. 3	Demuestra que la composición de funciones no es conmutativa.	Indique el dominio de la función g f c.
vector. desarrollan el concepto de congruencia a partir del concepto de transformación isométrica. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos ›	Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos
›	Perseverancia. los estudiantes trabajan los elementos básicos del plano cartesiano. traslación.Unidad 3
Esta unidad ofrece a los alumnos la posibilidad de trabajar la geometría en el plano cartesiano.
›	Caracterización del plano cartesiano ›	Ubicación de puntos y figuras en el plano cartesiano e identificación de las coordenadas de los vértices de polígonos dibujados en él ›	Vectores en el plano cartesiano ›	Aplicación de transformaciones isométricas y composiciones de ellas en el plano cartesiano ›	Concepto de congruencia ›	Criterios de congruencia en triángulos ›	Aplicaciones de los criterios de congruencia
›	Transformaciones isométricas en el plano euclidiano ›	La recta numérica ›	Ángulos y lados en polígonos ›	Composición de funciones
palabras clave	›	Caracterizar el plano cartesiano ›	Realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano ›	Caracterizar la congruencia de figuras a partir de las transformaciones isométricas ›	Utilizar el concepto de congruencia en la resolución de problemas
Plano cartesiano. De esta manera se les presenta la oportunidad de obtener resultados geométricos y de profundizar los ya adquiridos relativos a estas transformaciones en 8° básico de manera analítica. Específicamente. donde estudian las transformaciones isométricas y la congruencia de figuras. transforman figuras del plano a través de la aplicación de traslaciones. reflexión y rotación en el plano cartesiano. y los utilizan en la resolución de problemas y en el establecimiento de propiedades en polígonos. rotaciones y reflexiones. congruencia y criterios de congruencia. rigor. establecen los criterios de congruencia en triángulos.
›	Efectúan composiciones de transformaciones isométricas en el plano cartesiano. ›	Representan gráficamente vectores en el plano cartesiano.Aprendizajes Esperados
Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el plano cartesiano. ›	Dibujan puntos. ›	Identifican puntos y coordenadas de vértices de polígonos y de elementos de la circunferencia en el plano cartesiano. polígonos y circunferencias en el plano cartesiano en forma manual o usando un procesador geométrico.
Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano. ›	Reconocen las figuras resultantes al aplicar composiciones de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano.
Representar en el plano adiciones. dados sus componentes.
Aplicar composiciones de funciones para realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano. ›	Identifican regularidades al aplicar composiciones de reflexiones a figuras en el plano cartesiano. ›	Encuentran las componentes de vectores que resultan de la multiplicación de vectores por escalar. sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar. ›	Identifican vectores y encuentran las componentes resultantes de adiciones y sustracciones entre ellos. ›	Identifican regularidades al aplicar sucesivas composiciones de traslaciones a figuras del plano cartesiano.
Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas. conjeturas formuladas acerca de la aplicación de sucesivas traslaciones a figuras en el plano cartesiano. ›	Reconocen que dos figuras son congruentes cuando existen transformaciones isométricas que aplicadas en una de ellas permiten obtener la otra figura. ›	Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos utilizando los criterios establecidos. utilizan el criterio lado-lado-lado para calcular segmentos en triángulos. ›	Resuelven problemas relativos a coordenadas de vértices de figuras en el plano cartesiano.aprendizajes esperados
Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras geométricas en el plano cartesiano. ›	Demuestran propiedades de congruencia en polígonos utilizando los criterios de congruencia en triángulos. ›	Conjeturan acerca de la aplicación de composiciones de transformaciones isométricas a figuras del plano cartesiano. Por ejemplo. ›	Conjeturan acerca del criterio lado-ángulo-lado. ›	Conjeturan acerca de la conmutatividad de transformaciones isométricas y verifican las conjeturas formuladas en casos particulares.
Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos. ›	Identifican las transformaciones isométricas que transforman una figura en otra que es congruente a ella. ›	Calculan trazos en triángulos aplicando criterios de congruencia verificados.
. ›	Conjeturan acerca de criterios de congruencia en triángulos y dan ideas geométricas para verificar esas conjeturas. ›	Resuelven problemas relativos a cálculos de medidas de segmentos en el plano cartesiano. ›	Verifican. en forma manual o usando un procesador geométrico. en casos particulares.
se pueden incentivar aspectos como el rigor. En el caso de los polígonos.
. Es importante generalizar algunas propiedades (por ejemplo. Se sugiere incorporar actividades que permitan a los estudiantes relacionarse con las coordenadas (por ejemplo. El énfasis del trabajo con las transformaciones isométricas está puesto en aplicar traslaciones. la unidad de Geometría es una buena oportunidad para promover los Objetivos Fundamentales Transversales. Con respecto a la composición de transformaciones isométricas. ›	Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal. las relacionadas con los vértices de las figuras resultantes respecto de la figura original). ya que este es un nuevo escenario que permite ver los conceptos geométricos desde una perspectiva analítica. profundizar en el concepto de los teselados y su análisis a partir de las transformaciones isométricas. También se recomienda potenciar todo el trabajo con el uso de un procesador geométrico.
Tal como lo sugieren los Aprendizajes Esperados. Además. Se sugiere enfatizar la importancia que tiene trabajar la geometría en el plano cartesiano. Esta es una buena oportunidad para que los alumnos contextualicen la composición de fracciones. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos ›	Mostrar un método para realizar las tareas propuestas. interesa que los estudiantes sean ordenados y metódicos en el registro de la información.Aprendizajes Esperados en relación con los OFT
Actitudes de perseverancia. los criterios de congruencias deben establecerse en la clase con la participación del profesor y los estudiantes. para trasladar. Se recomienda. rotar o reflejar una figura. pero a través de construcciones con regla y compás. Es importante que los estudiantes vinculen las transformaciones isométricas con el concepto de congruencia. se sugiere establecer una relación estrecha con lo estudiado en la unidad de Álgebra. Por otro lado. ›	Ser responsable en la tarea asignada. particularmente en esta unidad. polígonos y circunferencias y la resolución de problemas que involucren el cálculo de medidas de lados de polígonos). y que definan dos figuras como congruentes cuando es posible aplicar una o más transformaciones isométricas a una de esas figuras para luego obtener la otra. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos ›	Participar de manera propositiva en actividades grupales. No deben ser aprendidos de memoria. reflexiones o rotaciones a figuras en el plano cartesiano. además. También se sugiere al docente mostrar a los alumnos que. basta aplicar esas transformaciones a los vértices. ›	Proponer alternativas de solución a problemas propuestos en actividades grupales. Es importante que el docente mencione y ejemplifique las diferencias entre el plano cartesiano y el plano euclidiano. la flexibilidad y la originalidad al resolver problemas. ›	Terminar los trabajos iniciados. rigor. ›	Desarrollar tenacidad frente a obstáculos o dudas que se les presenten en problemas propuestos sobre transformaciones isométricas y congruencias. la representación de puntos. es importante que tomen la iniciativa en el trabajo de equipo y propongan alternativas de solución a problemas propuestos. A través del trabajo propuesto. Finalmente. basta con aplicar estas transformaciones isométricas a determinados puntos de la figura. Hay que recordar que en 8° básico también se trabajan las transformaciones isométricas. Estos criterios son relevantes para la demostración de propiedades de congruencia en polígonos.
dadas sus coordenadas.
Representar en el plano adiciones. del gráfico siguiente:
Dadas las coordenadas de algunos puntos.
Dibujan en el plano cartesiano una circunferencia. Por ejemplo: ›	= (3.
Dibujan polígonos en el plano cartesiano.3)
Determinan y dibujan el vector resultante de la suma de vectores.
Determinan las coordenadas de puntos en el plano cartesiano. Por ejemplo.-1) y = (-4. de los vectores . manualmente o usando un procesador geométrico.
Dadas las coordenadas de tres puntos que pertenecen a una circunferencia.
Dibujan diferentes vectores en el plano cartesiano. sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar. Por ejemplo: ›	Obtienen el vector resultante de la suma + cuando = (2. 2) y = (-3. la dibujan en el plano cartesiano.1) ›	= (5.Ejemplos de Actividades
Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el plano cartesiano. . los estudiantes los ubican en el plano cartesiano.1) en un sistema de coordenadas rectangulares con origen en (2. conocidas las coordenadas del centro y la medida de su radio. conocidas las coordenadas de sus vértices.5) y lo dibujan en el plano cartesiano ›	Determinan la relación que existe entre vectores dibujados en el plano cartesiano.
Identifican regularidades al rotar. (3. los estudiantes pueden conocer herramientas que les permitirán entender conceptos de la física en este nivel o en niveles superiores.4) ›	.. la configuración formada por dos octógonos regulares y un cuadrado: 8 8 4
. al aplicar la composición de traslaciones T T T T .
Identifican regularidades al aplicar sucesivas traslaciones a figuras en el plano cartesiano. una figura en este plano. (5. con respecto al origen y en un ángulo de 30º sucesivas veces. sucesivas veces. cuando se sabe que .
Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano. (7.3
Determinan y dibujan el vector resultante del producto entre un vector y un escalar.+ = (2.
Identifican regularidades al reflejar respecto al eje L.+ ›	-3 + 2 . Por ejemplo: ›	2 .5)
Determinan el vector que representa la fuerza resultante de fuerzas aplicadas sobre un objeto. donde 3 = (-1. De esta manera. al paralelogramo de vértices (1. donde = (2.4).. Por ejemplo.4). !	Observaciones al docente: Se sugiere al profesor trabajar estas actividades con el docente de Física.1).1). T .
al triángulo de vértices A(2.3) y obtienen el triángulo A’. B’. al tamaño de sus lados y al área de ellos.5) aplican la traslación T(1.
Observan figuras que están rotadas y conjeturan acerca de: ›	procedimientos para determinar el ángulo de rotación ›	procedimientos para determinar el punto con respecto al cual se rotó la figura
Conjeturan acerca de la transformación isométrica que corresponde a la composición de reflexiones. B(5. C y A’.
Elaboran una definición del concepto de congruencia de figuras del plano en términos de las transformaciones isométricas. !	Observaciones al docente: Se sugiere al profesor guiar al estudiante en la segunda actividad.
.AE 05
Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras geométricas en el plano cartesiano. Por ejemplo. B. B’.
Dibujan una figura en el plano cartesiano y aplican sobre ella una transformación isométrica. concluyen que son congruentes. C’ Comparan las medidas de los lados de los triángulos A.
Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas. utilizando regla y compás ›	utilizando un procesador geométrico
Conjeturan acerca de la relación entre la composición de traslaciones y la operatoria vectorial asociada.2). cuando: ›	los dos ejes de simetría son paralelos ›	los ejes de simetría se intersectan en un punto O formando un ángulo !	Observaciones al docente: Es importante que los estudiantes realicen las actividades anteriores: ›	en forma manual.
Observan dos figuras congruentes y determinan las transformaciones isométricas o composiciones de transformaciones isométricas que lleven una figura en la otra.1). C (4. Esta es una actividad que requiere de concentración y de capacidad de visualización por parte del alumno. De esta manera. C’ y sacan conclusiones con respecto a la forma.
Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos.1). utilizando información relativa a sus vértices.
. paralelos a uno de los ejes coordenados.1).
Formulan conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos con respecto a: ›	lados ›	lados y ángulos
Determinan las coordenadas de los vértices de rectángulos. Calculan los perímetros y las áreas de esas figuras.6) son los extremos de su diagonal y que sus lados son paralelos a la abscisa y la ordenada. triángulos rectángulos y triángulos equiláteros a partir de la información acerca de vértices de esos polígonos. cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. proponiendo polígonos convexos que tengan vértices de coordenadas enteras. si se sabe que las coordenadas de tres de sus vértices son (1. determinan las coordenadas del cuarto vértice de un rectángulo.2) y (7. se centra el trabajo en el proceso geométrico que involucra la determinación de las coordenadas y no en el cálculo numérico que implica coordenadas de lados racionales e irracionales. cuadrados. (1.
Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos. donde un par de lados paralelos sean. a su vez. !	Observaciones al docente: Se sugiere al profesor facilitar el trabajo de los estudiantes.6) y (8. cuando uno de sus lados es paralelo a uno de los ejes coordenados. rombos. De esta manera.
Determinan los pasos para resolver el siguiente problema: Calcular el área de un rectángulo si se sabe que los puntos (1.
Elaboran estrategias para calcular perímetros y áreas de paralelogramos. utilizando información relativa a sus vértices y el teorema de Pitágoras. y para calcular perímetros y áreas de triángulos. Se recomienda también al docente trabajar con coordenadas que sean enteras negativas o mezclas entre enteros positivos y negativos. Por ejemplo.
Calculan perímetros y áreas de rectángulos.
indique el criterio de congruencia empleado. Se sugiere que el docente enseñe explícitamente los pasos de una demostración y que enfatice la justificación formal y matemática de cada paso de la secuencia demostrativa. la hipótesis y la tesis.5
Utilizan los criterios de congruencia en triángulos para demostrar. en cada demostración. !	Observaciones al docente: Es importante que el estudiante. que todo punto de la simetral de un trazo equidista de sus extremos. que las diagonales de un paralelogramo se dimidian.
. etc. por ejemplo.
A continuación se presentan dos triángulos. ¿Qué transformaciones isométricas aplicaría al triángulo ABC para verificar (o descartar) la afirmación? Fundamentar. ›	Demuestran propiedades de congruencia en polígonos utilizando los criterios de congruencia en triángulos. ›	Resuelven problemas relativos a coordenadas de vértices de figuras en el plano cartesiano. ›	Resuelven problemas relativos a cálculos de medidas de segmentos en el plano cartesiano.Ejemplo de Evaluación
Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos. B = B’ y C = C’. esto es A = A’. Responda las interrogantes referidas a las condiciones que se deben dar para que se cumpla la congruencia entre ellos. ¿Podemos concluir que los triángulos son congruentes?
Se sugiere considerar los siguientes aspectos: 1	Reconocen que los triángulos son congruentes por aplicación de transformaciones. Dados los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura: A’ C
C’ A B B’ a. 2	Conjeturan acerca de criterios de congruencia. c.	Se sabe que los triángulos ABC y A’B’C’ tienen la medida de sus ángulos interiores respectivamente iguales.
›	Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos utilizando los criterios establecidos.	Se afirma que los triángulos son congruentes. b. 4	Resuelven problemas relativos a la congruencia de triángulos. agregaría para asegurar la congruencia de los triángulos? Justificar.	Se sabe que los trazos AB y A’B’ son congruentes y que la medida de los ángulos de los vértices en A y en A’ son iguales.
. mínima. 3	Verifican propiedades de la congruencia de triángulos. ¿Qué condición.
Respecto de los conceptos de población y muestra.
. tales como histogramas y polígonos de frecuencia. en esta unidad continúa el trabajo con la probabilidad desde un punto de vista teórico (modelo de Laplace) y desde lo experimental (frecuencias relativas). los estudiantes sean capaces tanto de interpretar como de producir información a través de estos gráficos. cuando se extraen muestras de igual tamaño desde la misma población. Por ejemplo. en diversos contextos. c y d}. Asimismo. se incorporan las técnicas combinatorias. en eventos relacionados con la extracción de dos letras del conjunto {a. El propósito es que. número que corresponde al espacio muestral. en diversos contextos. utilizando tanto medidas de tendencia central como medidas de posición. b. pero ahora los estudiantes deben decidir cuándo es posible aplicar un modelo u otro. los alumnos comienzan el estudio de representaciones gráficas para datos agrupados en intervalos. se busca que reconozcan relaciones entre la media aritmética de una población finita y la media aritmética de las medias muestrales. al finalizar la unidad.Propósito
En el ámbito del tratamiento de datos. Además. donde deban tomar decisiones respecto de cuándo es pertinente utilizar histogramas o polígonos de frecuencia. dependiendo de las condiciones particulares de cada situación o experimento aleatorio. En cuanto al ámbito del manejo del azar. considerando el tipo de datos involucrados. se espera que interpreten y produzcan información. El énfasis estará puesto en el análisis de diferentes situaciones. es interesante sugerirles que empleen técnicas combinatorias para determinar la cantidad de subconjuntos de dos elementos de este conjunto. que constituyen verdaderas herramientas para ayudar en el conteo de los elementos de un espacio muestral.
con y sin reemplazo ›	Formular y verificar conjeturas. en diversos contextos y situaciones ›	Resolver diversos problemas que involucren técnicas combinatorias para el cálculo de probabilidades ›	Utilizar y establecer estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado. en las que se pueden extraer desde una población de tamaño finito. en casos particulares. acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población. considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición ›	Medidas de tendencia central (media. con y sin reemplazo ›	Formulación y verificación de conjeturas. acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población. mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media. dependiendo de las condiciones del problema
›	Obtener información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas. moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles). construidos manualmente y con herramientas tecnológicas ›	Analizar una muestra de datos agrupados en intervalos. con y sin reemplazo ›	Resolver problemas en contextos de incerteza. polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas.Unidad 4
›	Población y muestra ›	Experimento aleatorio ›	Gráficos de frecuencia ›	Tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos ›	Media aritmética y moda para datos agrupados en intervalos ›	Muestreo aleatorio simple ›	Equiprobabilidad de eventos ›	Principio multiplicativo ›	Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio ›	Probabilidad teórica de un evento ›	Modelo de Laplace ›	Condiciones del modelo de Laplace: finitud del espacio muestral y equiprobabilidad
Gráficos de datos agrupados en intervalos. como histogramas y polígonos de frecuencia. aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas. polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas.
›	Histogramas. considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición ›	Organizar y representar datos usando histogramas. polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas. aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas. con y sin reemplazo ›	Resolución de problemas en contextos de incerteza. que se pueden extraer desde una población de tamaño finito. moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartales) de datos agrupados en intervalos ›	Técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades ›	Muestras de un tamaño dado. en casos particulares. dependiendo de las condiciones del problema
›	Interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos
›	Explican la pertinencia y ventajas de representar un conjunto de datos. ›	Construyen tablas de frecuencias con datos agrupados. respecto a otras representaciones gráficas. el espacio muestral tiene 6 ∙ 2 = 12 resultados posibles. moda y mediana. ›	Representan un conjunto de datos agrupados en intervalos mediante un histograma e interpretan la información acorde al contexto. ›	Obtienen información mediante el análisis de datos presentados en histogramas y polígonos de frecuencia. acorde a los requerimientos de cada problema. usando más de una estrategia. ›	Determinan un número adecuado de intervalos para organizar (agrupar) un conjunto de datos. ›	Construyen un histograma o polígono de frecuencia. el polígono de frecuencia asociado y justifican la utilización de dicha representación gráfica. ›	Determinan la cardinalidad de un espacio muestral utilizando el principio multiplicativo en diversos experimentos aleatorios. ›	Interpretan datos agrupados en intervalos y organizados en tablas de frecuencia. ›	Comparan dos o más conjuntos de datos usando medidas de tendencia central. ›	Construyen.
Producir información. desde una población de tamaño finito. ›	Calculan la media. a través de gráficos obtenidos desde tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. utilizando una herramienta tecnológica. a partir de una tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos. a partir de un histograma. acorde a la cantidad de datos disponibles. a través de un histograma o polígono de frecuencia. Por ejemplo. ›	Obtienen el número de muestras aleatorias posibles de un tamaño dado que se pueden extraer. en diversos contextos.
Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos. aplicando el número combinatorio.Aprendizajes Esperados
Obtener información a partir del análisis de datos presentados en gráficos.
. en contextos diversos. en experimentos aleatorios finitos. considerando la interpretación de medidas de tendencia central. manualmente o mediante herramientas tecnológicas. donde seleccionen el tipo de frecuencia según el análisis que se requiera hacer. sin reposición. al lanzar un dado y una moneda. ›	Seleccionan la técnica combinatoria apropiada para resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades. y las interpretan de acuerdo al contexto.
›	Conjeturan acerca de la relación que existe entre la media de una población y el promedio de cada uno de los promedios de muestras de igual tamaño extraídas desde una población. expresada en términos de cuartiles o quintiles publicada en medios de comunicación. ›	Establecen estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado. en diversos contextos. ›	Evalúan la pertinencia del uso de medidas de posición o tendencia central de acuerdo al tipo de datos involucrados. en la que se presentan datos por medio de alguna de las medidas de tendencia central. con o sin reemplazo. extraídas de dicha población. utilizando medidas de tendencia central y de posición y comunican sus conclusiones. aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.
Calcular la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño. ›	Comparan información respecto a dos o más conjuntos de datos. ›	Calculan el promedio de cada una de las muestras de igual tamaño extraídas desde una población. que se pueden extraer desde una población de tamaño finita.
Interpretar información. utilizando herramientas tecnológicas. ›	Verifican. ›	Extraen información en relación a una situación o fenómeno. ›	Interpretan información estadística. mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central. a partir de un polígono de frecuencias acumuladas. ›	Calculan el promedio de todos los promedios de muestras de igual tamaño extraídas desde una población. la conjetura formulada.
Formular conjeturas y verificarlas en casos particulares acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño. ›	Extraen información respecto de medidas de posición. ›	Realizan diferentes comparaciones entre la media de una población con la media de cada uno de los promedios de muestras de igual tamaño extraídas desde una población. extraídas desde una población.
Producir información. ›	Identifican experimentos aleatorios que permiten asignar probabilidades a sus eventos en forma teórica mediante el modelo de Laplace.
Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades. ›	Comunican información estadística acerca de algún fenómeno. etc. mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central. cuartiles. ›	Deciden según el tipo de datos (ordinales. ›	Determinan medidas de tendencia central o posición mediante una planilla electrónica u otra herramienta tecnológica. ›	Asignan probabilidades de ocurrencia a eventos. nominales. ›	A partir de diferentes experimentos aleatorios.
Utilizar el cálculo de medidas de tendencia central y de posición para analizar muestras de datos agrupados en intervalos. ›	Analizan muestras de datos agrupados en intervalos mediante cuartiles. utilizando medidas de posición. e interpretan desde esta representación algunas medidas de posición. Por ejemplo. aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas. una ruleta dividida en sectores iguales. ›	Construyen un polígono de frecuencias acumuladas. aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. ›	Determinan el valor de la media muestral de datos agrupados en intervalos. dependiendo de las características del experimento aleatorio. en contextos diversos. identifican resultados equiprobables. ›	Utilizan la media para analizar muestras de datos agrupados en intervalos. por ejemplo. de acuerdo a las características del experimento aleatorio.) los parámetros a utilizar para resumir información estadística referida a algún fenómeno o situación. ›	Identifican experimentos aleatorios que permiten asignar probabilidades a sus eventos de acuerdo a las frecuencias relativas. en forma manual o mediante herramientas tecnológicas. mediante el modelo de Laplace o las frecuencias relativas. a partir de un cierto contexto. cuantitativos. ›	Determinan la mediana de muestras de datos agrupados en intervalos.
. ›	Determinan cuartiles y percentiles de muestras de datos agrupados en intervalos.
Se sugiere. revistas o internet. para luego indagar sobre relación existente. se puede incentivar el interés por conocer la realidad y la búsqueda de la información en diversas fuentes. El propósito es que los estudiantes vean qué sucede con las frecuencias relativas. de costado o hacia abajo. se pone énfasis en la obtención de la “cardinalidad de espacios muestrales y eventos. en experimentos aleatorios finitos. 5} y se toman muestras de tamaño 2. Es importante que los estudiantes verifiquen las formas de obtener las medidas de tendencia central (media. incorporar a la discusión las medidas de posición. Finalmente. Estos contextos pueden extraerse de diarios. Se espera que los alumnos discutan cuándo es más pertinente utilizar histogramas y cuándo polígonos de frecuencia. ›	Formula preguntas sobre los temas implicados en la información trabajada. La unidad también sirve para promover una actitud crítica frente a la información que entregan los medios de comunicación y el trabajo en equipo en la resolución de problemas que involucren el análisis de datos. Esa es una oportunidad para incorporar las técnicas combinatorias que potencian el conteo. ›	Aporta información complementaria sobre los temas abordados. Un ejemplo histórico es el clásico “error de D’Alembert” al trabajar con el experimento de lanzar dos monedas. especialmente en el ámbito de la estadística. que es igual a 3. se puede citar errores en la aplicación del modelo de Laplace. Es esencial trabajar en contextos de interés para los estudiantes. que permiten obtener nueva información y comparar conjuntos de datos a partir de los cuartiles. También es importante argumentar con base en los datos analizados. se sugiere realizar experimentos en los que no es posible aplicar el modelo de Laplace. que permiten comparar conjuntos de datos. Por otra parte. aplicada al cálculo de probabilidades en diversas situaciones”. se puede lanzar un dado cargado (no equilibrado) de cuyas caras no se puede decir que tengan 1/6 de posibilidades de salir. de modo que vean que la estadística está en conexión con la vida cotidiana y es una herramienta para interpretar y modelar la realidad. además. Por ejemplo. Por ejemplo. moda y mediana) a partir de un conjunto de datos agrupados. distintas muestras de igual tamaño. si se tiene el conjunto {1. En la parte de probabilidades. Respecto de los contenidos de población y muestra. con la media aritmética de las medias muestrales. que desarrollen la capacidad de decidir respecto del uso de este tipo de representaciones. Esta es una buena ocasión para mostrar la utilidad de los gráficos de “caja y bigotes”. la idea sería comparar la media aritmética del conjunto original.Aprendizajes Esperados en relación con los OFT
Interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos ›	Propone temas de su interés para trabajar en clases.
A través del trabajo propuesto en Datos y Azar. es necesario utilizar una tabla de frecuencias y registrar un número razonablemente elevado de lanzamientos para ver dónde se estabilizan las frecuencias para cada cara del dado. usando más de una estrategia. en función del tipo de datos y el propósito de un estudio. se recomienda plantear discusiones con los alumnos acerca de lo que sucede al tomar de una misma población. ›	Plantea opiniones al interpretar los datos. En este caso. 2. concluir acerca de qué sucede si se toman todas las muestras de tamaño 2.
. Después se pregunta ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia para cada uno de los eventos? Por último. 3. Otro experimento puede ser dejar caer un vaso plástico y determinar cuáles son las posibilidades de que caiga hacia arriba. ›	Argumenta y contraargumenta con base en los datos analizados. 4.
Responden preguntas del tipo: Aproximadamente. Centro Comenius USACH.002 [190-200]
!	Observaciones al docente: Notar que cada barra debe tener un área proporcional a la frecuencia relativa del intervalo que forma su base.03 0. ¿por qué sexo está compuesto mayoritariamente?
6	Tomado del texto del estudiante El poder de la información y la toma de decisiones. Clases
0.ine.
Obtienen información a partir de la lectura de histogramas y polígonos de frecuencia en diferentes contextos. Unidad de Estadística IV medio.pdf
. ¿dónde se encuentran la media y la moda del conjunto de datos?
Extraen información y escriben conclusiones de información estadística entregada con distintos tipos de gráficos. (Gráfico en página siguiente) ›	La cantidad de hombres mayores de 35 años va disminuyendo sistemáticamente.024 0. Por ejemplo: Observan el gráfico7 que se presenta a continuación y responden las preguntas formuladas. ¿Qué ocurre con la cantidad de mujeres en ese rango de edad? ›	El grupo de mayores de 80 años.012 0.004 0. Enlaces Matemática. Por ejemplo.01 0.01 0 [120-130] [130-140] [140-150] [150-160] [160-170] [170-180] [180-190] 0.Ejemplos de Actividades
Obtener información a partir del análisis de datos presentados en gráficos.04 0.015 0. el siguiente histograma6 representa las frecuencias relativas obtenidas de las estaturas de un grupo aleatorio de 100 personas.cl/canales/menu/publicaciones/compendio_estadistico/pdf/2009/1_2_estadisticas_demograficas.017
0.02 0.016 0. 7	Fuente: Chile Proyecciones y Estimación de población Censo 2002. www. considerando la interpretación de medidas de tendencia central.
54 45 .69 60 .65 – 1.59 50 .49 40 .70 – 1.14 5-9 0-4
Miles de habitantes !	Observaciones al docente: Se sugiere que el profesor genere más preguntas para incentivar la discusión entre los estudiantes con opiniones basadas en la extracción correcta de información del gráfico. Intervalo [1.24 15 .75] [1.85] [1.
Extraen información y escriben conclusiones de información estadística entregada en tablas de frecuencia.34 25 . por sexo y grupo de edad.39 30 .79 70 .80 – 1.Distribución de la población estimada al 30 de junio.19 10 .80] [1.75 – 1. País 2009 Hombres
Edad 80 y más 75 .44 35 .90 – 1.85 – 1.95] Punto medio Frecuencia 8 12 18 14 6 2 N=60 ›	Completan la tabla de distribución de frecuencias con las columnas que aparecen Frecuencia relativa Frecuencia relativa porcentual
.90] [1.74 65 .29 20 .64 55 . Se puede complementar el análisis pidiéndoles que justifiquen el uso de este tipo de gráfico para representar el conjunto de datos. Por ejemplo: La tabla que se muestra a continuación resume la estatura de 60 deportistas de un club.70] [1.
Es necesario considerar cuándo se está realizando una aproximación del valor. de modo que el estudiante pueda extraer información útil de cada una de ellas. Se sugiere que los alumnos. por ejemplo. mediana y moda). revisen y discutan procedimientos para obtener las medidas de tendencia central para datos agrupados en intervalos.
Producen información relevante. La tabla siguiente muestra la cantidad de años de cada uno de los encuestados. en contextos diversos. Los estudiantes pueden verificar esto. en conjunto con el docente. Deben comparar ambos resultados. manualmente o mediante herramientas tecnológicas. las frecuencias relativas y las frecuencias relativas porcentuales. a partir de un conjunto de datos en un cierto contexto. estableciendo la cantidad de intervalos y su ancho más adecuado.
Producir información. Por ejemplo: A un grupo de 45 fumadores de distintas edades se les consultó por la cantidad de años que llevan fumando. y determinar el promedio con todos ellos. Incluyen en la tabla el punto medio o marca de clase del intervalo. a través de gráficos obtenidos desde tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. mediana y moda) de la muestra ›	Interpretan el significado de cada una de las medidas de tendencia central acorde al contexto !	Observaciones al docente: Se sugiere que el profesor genere más preguntas para justificar la construcción de cada columna de la tabla. tomando un conjunto de datos. Luego aplican alguna estrategia para trabajar con los datos agrupados y obtienen el promedio de esta manera. 1 31 41 38 22 43 29 19 16 2 20 25 22 25 31 3 27 23 28 6 3 1 35 29 2 29 46 20
Construyen una tabla de distribución de frecuencias en intervalos para organizar la información.
Calculan las medidas de tendencia central de la muestra (media.
.›	Calculan las medidas de tendencia central (media. las frecuencias.
el lanzamiento de dos dados.6
Responden a la pregunta: ¿cuánto tiempo como mínimo lleva fumando la mayoría de los encuestados? !	Observaciones al docente: La construcción de la tabla requiere el cálculo del rango de los datos y la determinación del ancho de los intervalos que se formarán. ante la siguiente situación: María tiene en su clóset 6 blusas de las cuales 2 son blancas. generar discusión en torno a las técnicas utilizadas para responder las preguntas. Se sugiere al docente enseñar explícitamente la utilización de un software que permita la manipulación de datos y la construcción de gráficos.
. usando más de una estrategia. etc. dos café y dos azules. ¿cuál es la probabilidad que María vista una blusa negra con lunares blancos y un pantalón negro? !	Observaciones al docente: Se debe estimular el uso de técnicas combinatorias. combinaciones. acorde a los requerimientos de cada problema. el lanzamiento de tres monedas. Por ejemplo. 8 pantalones.
Determinan las combinaciones posibles a partir de un conjunto finito de objetos. Por ejemplo. en experimentos aleatorios finitos.
Seleccionan la técnica combinatoria apropiada para resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades. 4 negros. como herramientas para ayudar en el conteo de los elementos de un espacio muestral. los estudiantes pueden responder preguntas del tipo: ›	¿De cuántas maneras posibles puede combinar las blusas con los pantalones? ›	¿Cuántas combinaciones posibles puede hacer de una blusa verde con un pantalón negro? ›	Si María se viste sacando al azar una blusa y un pantalón.
Utilizan diagramas de árbol para determinar el espacio muestral de diversos experimentos aleatorios.
Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos. Por ejemplo. 3 son verdes y una es negra con lunares blancos. valores que están sometidos a recomendaciones prácticas para no perder exactitud de la información y no dificultar su tratamiento. en particular el principio multiplicativo. Finalmente. el lanzamiento de un dado y una moneda.
x5 y la denotan X5 ›	Calculan la media de la población y la comparan con X5
Formular conjeturas y verificarlas en casos particulares acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño. Cabe mencionar que en esta experiencia también se podría utilizar una planilla electrónica para generar dichos números. x6. x4. es decir: ›	Calculan la media de cada una de las muestras. También puede generar números aleatorios entre 1 y 15. con esto obtienen los números x1. La idea es utilizar la función “aleatorio” para generar números al azar entre 0 y 1. con esto obtienen los números x1.
Verifican la conjetura formulada en casos particulares. y calculan la media de las medias y la comparan con la media de la población. Por ejemplo. un número mayor de muestras de tamaño 3. x3. pero con mayor cantidad de muestras de tamaño 3. x3. x2. de una población que tiene como elementos los números 2. x5 ›	Calculan la media de los números x1. x5. x4. de P. por ejemplo 7.
Extraen. 4. extraídas desde una población. x3.
. Esta actividad es una oportunidad para observar la manera en que los estudiantes establecen métodos para generar muestras aleatorias a partir de un conjunto mayor o población. x2. y repiten el proceso anterior. x2. x7 ›	Calculan la media la media de los números x1. 9: ›	Extraen 5 muestras al azar de tamaño 3 ›	Calculan la media de cada una de las muestras. x4. usando la misma función.
Extraen muestras al azar de igual tamaño de una población finita P. extraídas de dicha población. x6.
Conjeturan acerca de la relación que existe entre la media de las medias de muestras de igual tamaño extraídas desde una población y la media de esta. x5. x2. x7 y la denota X7 ›	Comparan la media de la población P con X7
Realizan nuevamente el experimento anterior. x4. !	Observaciones al docente: Puede resultar útil proponer el uso de la calculadora para generar números aleatorios. 6.AE 04
Calcular la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño. x3. 5. 7.
En el siguiente gráfico8 se muestra la valoración (puntaje) hacia las opciones de TV abierta y TV pagada respecto de la programación infantil.000
Producir información. Por ejemplo. aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.000 200.000 0
Fuente: www.000 400.000 1.000.400.cl/canales/chile_estadistico/encuestas_presupuestos_ familiares/2008/Presentacion%20EPF%202006-2007.000 1.
8	Fuente: CNTV Departamento de Estudios 2007. (Economía) Por ejemplo: El siguiente gráfico muestra el gasto y el ingreso medio de los hogares de Santiago.
A partir de un gráfico o de una tabla de datos de su interés. mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central. en contextos diversos. comparan usando diagramas de caja y bigotes. Gasto e ingreso mensual promedio del Gran Santiago por hogar.000.
1.000 800. en diversos contextos.200.000 1.000 600.pdf ›	Interpretan el gráfico. usando medidas de tendencia central y de posición. mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central.ine.000 1.800. extraen información relevante para el contexto. extrayendo información relevante basada en las medidas de posición (quintiles) y de tendencia central (promedio) que se muestran (hacen una estimación de estas medidas) ›	Conjeturan acerca del gasto-ingreso medio del percentil 80 ›	Comparan los promedios de gasto e ingreso en los primeros cuatro quintiles ›	Estiman el valor de las medidas de tendencia central de la muestra ›	Discuten sobre los factores que influyen en los datos
Comparan dos o más conjuntos de datos.AE 06
Interpretar información. aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. según quintil de Ingreso per Cápita (Pesos de abril de 2007) Gasto Mensual
2. según quintil.600.
. considerando medidas de posición como cuartiles. quintiles u otro percentil. seleccionando el gráfico más adecuado de acuerdo a la clasificación de la variable en estudio ›	Análisis de la información a través de una planilla electrónica que facilita los cálculos y permite verificar los propios.
Realizan un estudio estadístico de un tema de interés que incluya: ›	Recopilación de información ›	Síntesis de la información mediante el cálculo de las medidas de tendencia central y algunas medidas de posición ›	Representación gráfica de la información.
A partir de la información gráfica expresada en polígonos de frecuencia acumulada.7 6 5 Índice 2006 . además de contribuir en la exactitud de la representación gráfica !	Observaciones al docente: Esta actividad puede constituirse como un proyecto de curso. establecen relaciones.47 Mediana 5.14 5. La importancia de este trabajo radica en el hecho de que puede integrar a más de un Aprendizaje Esperado.08 5. los cuales permiten comparar conjuntos de datos a partir de los valores: máximo. tercer cuartil y mínimo.43
Responden a la pregunta: ¿qué se puede concluir respecto de la valoración de la TV pagada versus la TV abierta? !	Observaciones al docente: Esta es una buena oportunidad para introducir los diagramas de caja y bigotes. primer cuartil. en el cual los alumnos se motiven a realizar un estudio de interés que parte de una o varias preguntas que necesitan ser respondidas.2007 4 3 2 1
Otros datos son: Media TV Abierta TV Pagada 5. segundo cuartil.
Justifican entonces por qué no se puede aplicar el modelo de Laplace.500 veces en el color negro. aproximadamente 48.AE 08
Utilizar el cálculo de medidas de tendencia central y de posición para analizar muestras de datos agrupados en intervalos.scielo. El docente entrega a los alumnos información relativa a estas muestras en intervalos y les pide que la analicen.
El profesor pide ahora a los estudiantes que utilicen cuartiles para analizar la información anterior y que entreguen conclusiones al respecto. ›	La ruleta tiene 36 números negros.
Calculan probabilidades en experimentos de diversos contextos. escribiendo en su cuaderno la justificación del modelo (frecuencias relativas o Laplace) utilizado en el cálculo. en un colegio se toman muestras de estudiantes de edades entre 10 y 11 años para analizar sus pesos. Por ejemplo: ›	En el juego de la ruleta. Por ejemplo.000 lanzamientos en un mes. a priori. Por ejemplo. lanzar chinches o vasos plásticos. Obtuvo que la bolita cayó aproximadamente 49. Sabiendo que los resultados son equiprobables.ve/scielo. ¿por qué color lo hará? Justifique su respuesta.
Realizan una lista de experimentos aleatorios y destacan aquellos que tienen resultados equiprobables. y utilizan este cálculo para analizar la muestra. acerca del error de D’Alembert con respecto al lanzamiento de dos monedas idénticas.
Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades. aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas. no pueden asegurar equiprobabilidad de los resultados. Por ejemplo. cierto jugador experto registró los resultados de 100.
Discuten situaciones o anécdotas históricas respecto de la equiprobabilidad de sucesos y el modelo de Laplace. 36 números rojos y 1 número verde. ›	Si el jugador se dispone a apostar. ¿qué color jugaría usted?
. lanzar dados cargados o no equilibrados. dependiendo de las características del experimento aleatorio.
Calculan la media de muestras obtenidas de una población y que están agrupadas en intervalos. se puede ingresar a: www2.php?script=sci_ arttext&pid=S1317-58152009000100004&lng=es&nrm=iso
Realizan una lista de experimentos en los que. !	Observaciones al docente: Para mayor información con respecto al error de D’Alembert.org. utilizando cálculos de la media de estos datos.500 veces en el color rojo y el resto de las ocasiones cayó en el cero (verde).
›	¿Todos los colores tienen la misma probabilidad de ocurrencia?
!	Observaciones al docente: Se sugiere al profesor implementar el cálculo de probabilidades.
. utilizando tanto el modelo de frecuencias relativas como el modelo de Laplace.
aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas. aplicando el número combinatorio. el espacio muestral tiene 6 ∙ 2 = 12 resultados posibles. se pueda formar un número par? c. ›	Seleccionan la técnica combinatoria apropiada para resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades. todos los números de tres cifras posibles. al sacar las tres fichas.	¿Cuál es la probabilidad de que.	¿Cuál es la probabilidad de que. en experimentos aleatorios finitos. Se sacan al azar tres fichas de una vez. 3	Calculan la probabilidad de un evento utilizando técnicas de combinatoria. Por ejemplo.
Responda a las siguientes preguntas de acuerdo a las situaciones propuestas. usando más de una estrategia. sin reposición. al sacar las tres fichas. desde una población de tamaño finito.
. sin que se repitan estudiantes en las distintas muestras?
Se sugiere considerar los siguientes aspectos: 1	Determinan cardinalidad de un espacio muestral.
›	Asignan probabilidades de ocurrencia a eventos. de acuerdo a las características del experimento aleatorio. ¿cuántas muestras de 5 estudiantes se pueden seleccionar al azar. acorde a los requerimientos de cada problema. ›	Obtienen el número de muestras aleatorias posibles de un tamaño dado que se pueden extraer. Luego se forman. a. 2	Obtienen número de muestras posibles. al lanzar un dado y una moneda. se pueda formar al menos un número impar? 2 En un curso de 50 estudiantes. con las tres fichas sacadas.	¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b. mediante el modelo de Laplace o las frecuencias relativas. 1 Una caja contiene 6 fichas numeradas del 1 al 6. dependiendo de las características del experimento aleatorio.
›	Determinan la cardinalidad de un espacio muestral utilizando el principio multiplicativo en diversos experimentos aleatorios.
Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades.Ejemplo de Evaluación
Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos.
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y les entregan explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación. digitales y concretos que entregan ›	El Programa Enlaces y las herramientas tecnológicas que ha puesto a disposición de los establecimientos
9	En una página describen.Anexo 1
Existe un conjunto de instrumentos curriculares que los docentes pueden utilizar de manera conjunta y complementaria con el programa de estudio.
. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno que. al egresar de la Educación Media. y así sucesivamente. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. audiovisuales. Estos se pueden usar de manera flexible para apoyar el diseño e implementación de estrategias didácticas y para evaluar los aprendizajes. Orientan sobre la progresión típica de los aprendizajes Mapas de Progreso9. el crecimiento típico del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector a lo largo de los 12 años de escolaridad obligatoria. es “sobresaliente”. va más allá de la expectativa para IV medio descrita en el Nivel 6 en cada mapa. el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico. Pueden usarse. Por ejemplo. el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico. es decir. entre otras posibilidades. en 7 niveles. haciendo uso de los recursos entregados por el Mineduc a través de: ›	Los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) y los materiales impresos. Desarrollan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos Obligatorios para apoyar el trabajo de los alumnos en el aula y fuera de ella. como un apoyo para abordar la diversidad de aprendizajes que se expresa al interior de un curso. Ofrecen un marco global para conocer cómo progresan los aprendizajes clave a lo largo de la escolaridad. ya que permiten: ›	caracterizar los distintos niveles de aprendizaje en los que se encuentran los estudiantes de un curso ›	reconocer de qué manera deben continuar progresando los aprendizajes de los grupos de estudiantes que se encuentran en estos distintos niveles Apoyan el trabajo didáctico en el aula Textos escolares. Los docentes también pueden enriquecer la implementación del currículum.
OF 02 Representar números racionales en la recta numérica.
OF 06 unidad 3 Comprender los conceptos y propiedades de la composición de funciones y utilizarlos para resolver problemas relacionados con las transformaciones isométricas.
. OF 05
Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y exponente entero y utilizar sus propiedades. multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades.
Identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas en el plano cartesiano. en contextos diversos.Anexo 2
OF 01 Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números enteros y caracterizarlos como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero. sustracciones. OF 07 Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio de la congruencia de figuras planas. usar la representación decimal y de fracción de un racional justificando la transformación de una en otra. para resolver problemas y demostrar propiedades. OF 08 Interpretar y producir información. aplicar adiciones. mediante gráficos que se obtienen desde tablas de frecuencia. OF 03
OF 04 Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias. aproximar números racionales. utilizando diversas estrategias y usar las funciones lineales y afines como modelos de situaciones o fenómenos y representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas tecnológicas. formular y verificar conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de estas transformaciones sobre figuras geométricas. cuyos datos están agrupados en intervalos.
aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central. OF 11 Interpretar y producir información.
. ya sea en forma teórica o experimentalmente.
Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos. en experimentos aleatorios finitos. para fundamentar opiniones y tomar decisiones. OF 12 Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento. usando más de una estrategia y aplicarla al cálculo de probabilidades en diversas situaciones.Objetivo Fundamental
OF 10 unidad 4 unidad 1 unidad 2 unidad 3 unidad 4 unidad 4 Comprender la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población. en contextos diversos. dependiendo de las características del experimento aleatorio. diferenciar entre verificación y demostración de propiedades y analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos. OF 13 Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables.
CMO 04 Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas de adiciones. CMO 03 Justificación de la transformación de números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción. y reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales. sustracciones. sustracción. multiplicación y división en los racionales y verificación de la propiedad: “entre dos números racionales siempre existe otro número racional”. CMO 02 Representación de números racionales en la recta numérica. verificación de la cerradura de la adición.
CMO 08 Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes. CMO 06 Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero. y aplicación de ellas en diferentes contextos. enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. mediante el uso de productos notables y factorizaciones. CMO 05 Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento.Anexo 3
CMO 01 unidad 1 unidad 1 unidad 2 unidad 1 unidad 1 unidad 1 unidad 1 unidad 1 Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales y caracterización de estos últimos. multiplicaciones y divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución de problemas. CMO 07 Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero.
CMO 10 Análisis de las distintas representaciones de la función lineal10. CMO 12 Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín.
CMO 13 Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figuras geométricas manualmente y haciendo uso de un procesador geométrico. tablas y gráficos. de dichas conjeturas mediante el uso de un procesador geométrico o manualmente.
10	Mediante expresiones algebraicas. 11	Pendiente e intercepto con el eje Y. su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa. CMO 05 Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de traslaciones.
. reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el plano cartesiano y verificación. análisis de sus propiedades y aplicación a las transformaciones isométricas.Contenidos Mínimos Obligatorios
CMO 08 unidad 2 unidad 2 unidad 2 unidad 3 unidad 3 unidad 3 unidad 3 unidad 2 Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes. mediante el uso de productos notables y factorizaciones. CMO 14 Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicación de la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas. CMO 11 Estudio de la composición de funciones. CMO 09 Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado. en casos particulares. análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros11.
construidos manualmente y con herramientas tecnológicas. con y sin reemplazo. aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas. mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media.
Organización y representación de datos. acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población.
Uso de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades. en diversos contextos y situaciones. polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas. CMO 22 Formulación y verificación de conjeturas. acerca de criterios de congruencia en triángulos y utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades en polígonos. CMO 23 Resolución de problemas en contextos de incerteza.Contenidos Mínimos Obligatorios
CMO 16 Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas. formulación y verificación de conjeturas. CMO 18
Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos. considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición. moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles). usando histogramas. en casos particulares.
Obtención de información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas. CMO 20
CMO 21 Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado. extraídos desde diversas fuentes. polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas. dependiendo de las condiciones del problema. que se pueden extraer desde una población de tamaño finito.
. con y sin reemplazo. en casos particulares.
AE 03 Establecer relaciones de orden entre números racionales. AE 02 Justificar matemáticamente que los decimales periódicos y semiperiódicos son números racionales. AE 04 Representar números racionales en la recta numérica.Relación entre Aprendizajes Esperados. AE 05 Utilizar la calculadora para realizar cálculos reconociendo sus limitaciones. AE 09 Resolver problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero. AE 07 Verificar la cerradura de las operaciones en los números racionales. 2-3 7 3 6 2 2 2 2 2 4-5 2 2 2 2 2 3 1 1
. AE 06 Verificar la densidad de los números racionales. Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)
AE 01 Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales no enteros. AE 08 Comprender el significado de las potencias de base racional y exponente entero.
Se imprimió en papel Magnomatt (de 130 g para interiores y 250 g para portadas) y se encuadernó en lomo cuadrado.En este programa se utilizaron las tipografías Helvetica Neue en su variante Bold y Digna (tipografía chilena diseñada por Rodrigo Ramírez) en todas sus variantes.
. con costura al hilo y hot melt.
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