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Timestamp: 2020-05-30 03:24:40+00:00

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Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas | Stewart James | download
Main Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas
6th Edición Revisada
13: 978-607-481-317-3
que7194
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ejemplo1321
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capitulo755
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por lo tanto427
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la regla418
de modo413
intervalo412
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tangente398
de modo que386
George Novack, George Novack
El contenido de la obra que tiene usted en sus manos, Cálculo de una variable:
Trascendentes tempranas, se ha reorganizado de manera tal que los profesores
puedan enseñar las funciones trascendentes (más que simples funciones
trigonométricas) antes de pasar a la integral. Además, el autor desarrolla el texto
basándose en lo que él llama regla de tres, es decir, plantea que “los temas deben
presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica”. El énfasis en la solución
de problemas, la meticulosa exactitud, las pacientes explicaciones y los conjuntos de
problemas cuidadosamente graduados son conceptos que identifican este texto
clásico de cálculo.
• La obra tiene una presentación clara y selectiva. El autor conduce al estudiante a
lo largo de un material crucial mediante una forma sencilla, correcta y analítica.
• Se han incorporado nuevos ejercicios que van desde un nivel básico hasta los
muy complicados, para obligar la práctica y adquisición de habilidades
(incluyendo problemas para software y calculadora graficadora).
• En el texto se enfatiza la importancia de la solución de problemas, en el apartado
“Principios para la resolución de problemas”, además de las conocidas y
aumentadas secciones de “Problemas adicionales”.
Estamos seguros de que esta excelente obra será para usted una herramienta
fundamental en la enseñanza y/o aprendizaje del Cálculo.
Preliminares.qk
CÁ L C U L O
Jorge Humber to Romo M.
M. en C . Manuel Robles Bernal
Australia •;  Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
Cálculo de una variable:
Trascendentes tempranas,
Brian Betsill
Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V.
Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del
Traducido del libro Single Variable Calculus:
Early Trascendentals, Sixth Edition
Publicado en inglés por Thomson/Brooks/Cole
ISBN: 0-495-01169-X
ISBN-13: 978-607-481-317-3
ISBN-10: 607-481-317-5
PARA SALLY Y DON
PARA ALAN Y SHARON
PARA KELLY, KIM Y CALLUM
PARA JACKIE Y NINO
Modelos matemáticos: un catálogo de funciones básicas
Funciones nuevas a partir de funciones antiguas
Calculadoras graﬁcadoras y computadoras
Funciones inversas y logaritmos
La tangente y los problemas de la velocidad
Deﬁnición exacta de límite
Límites al inﬁnito, asíntotas horizontales
Redacción de proyecto Métodos anticipados para la búsqueda de tangentes
Principios para la resolución de problemas
Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales
Proyecto de aplicación Construcción de una montaña rusa
Proyecto de aplicación ¿Dónde debe un piloto iniciar un descenso?
Relaciones afines
Proyecto de aplicación El cálculo de los arcoíris
Manera en que las derivadas afectan la forma de una gráﬁca
Formas indeterminadas y la regla de l’Hospital
Redacción de proyecto Los orígenes de la regla de l‘Hospital
Trazado de gráﬁcas con cálculo y calculadoras
Proyecto de aplicación La forma de una lata
Proyecto de laboratorio Polinomios de Taylor
La integral deﬁnida
Proyecto para un descubrimiento Funciones de área
Integrales indeﬁnidas y el teorema del cambio total
Redacción de proyecto Newton, Leibniz y la invención del cálculo
La regla de la sustitución 400
Volúmenes mediante cascarones cilíndricos
Proyecto de aplicación ¿Dónde sentarse en las salas cinematográficas?
Integración de funciones racionales por fracciones parciales
Estrategia para integración
Integración por medio de tablas y sistemas algebraicos
Proyecto para un descubrimiento Patrones de integrales
MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
Proyecto para un descubrimiento Concurso de la longitud de arco
Área de una superﬁcie de revolución
Proyecto para un descubrimiento Rotación sobre una pendiente
Aplicaciones a la economía y a la biología
Campos direccionales y método de Euler
Proyecto de aplicación ¿Qué tan rápido drena un tanque?
Proyecto de aplicación ¿Qué es más rápido, subir o bajar?
Proyecto de aplicación Cálculo y béisbol
Proyecto para un descubrimiento Tazas de café complementarias
Curvas deﬁnidas por ecuaciones paramétricas
Proyecto de laboratorio Círculos que corren alrededor de círculos
Cálculo con curvas paramétricas
Proyecto de laboratorio Curvas de Bézier
Áreas y longitudes en coordenadas polares
Proyecto de laboratorio Sucesiones logísticas
La prueba de la integral y estimaciones de las sumas
Pruebas por comparación
Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz
Estrategia para probar series
Representaciones de las funciones como series de potencias
Redacción de proyecto Cómo descubrió Newton la serie binomial
Aplicaciones de los polinomios de Taylor
Proyecto de aplicación Radiación proveniente de las estrellas
Proyecto de laboratorio Un límite escurridizo
Números, desigualdades y valores absolutos
Geometría de coordenadas y rectas
Gráﬁcas de ecuaciones de segundo grado
Pruebas de teoremas
El logaritmo deﬁnido como una integral
Respuestas a ejercicios de número impar
Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. El problema del lector puede
ser modesto, pero desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas; si lo resuelve por sí solo puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo
El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar en un descubrimiento. He
tratado de escribir un libro que ayude a estudiantes a descubrir el cálculo, por su poder
práctico y sorprendente belleza. En esta edición, al igual que en las primeras cinco ediciones, mi meta es expresar al estudiante un sentido de la utilidad del cálculo y desarrollar
competencia técnica en él, pero también me esfuerzo en dar alguna apreciación de la belleza intrínseca de esta materia. Es indudable que Newton experimentó una sensación
de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Mi deseo es que el estudiante comparta en algo esa emoción.
El énfasis está en entender conceptos. Creo que casi todos estamos de acuerdo en que
ésta debe ser el objetivo principal de aprender cálculo. De hecho, el ímpetu para el actual
movimiento de reforma del cálculo provino de la Conferencia de Tulane de 1986, que
formuló como su primera recomendación:
Concentrarse en entender conceptos
He tratado de poner en práctica esta meta a través de la Regla de Tres: “Los temas deben
presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica.” La visualización, la experimentación numérica y gráﬁca, y otros métodos, han cambiado de modo fundamental la forma
en que enseñamos el razonamiento conceptual. Más recientemente, la Regla de Tres se
ha expandido para convertirse en la Regla de Cuatro al resaltar también el punto de vista
verbal, o descriptivo.
Al escribir la sexta edición, mi promesa ha sido que es posible lograr la comprensión
de conceptos y retener todavía las mejores tradiciones del cálculo tradicional. El libro contiene elementos de reforma, pero dentro del contexto de un currículo tradicional.
He escrito otros libros de cálculo diversos que podrían ser preferidos por algunos profesores. Casi todos ellos vienen en versiones de una variable y de varias variables.
Cálculo, Sexta edición, es semejante al presente libro con excepción de que las funciones
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el segundo semestre.
Cálculo esencial es un libro mucho más breve (800 páginas), aun cuando contiene casi
todos los temas del presente libro. La brevedad relativa se alcanza por medio de exposiciones más breves de algunos temas y poniendo algunos elementos en el sitio web.
Cálculo esencial: Primeras trascendentales se asemeja al Cálculo esencial, pero las
funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el Capítulo 3.
Cálculo: conceptos y contextos, Tercera edición, destaca la comprensión de conceptos
con más vehemencia incluso que este libro. El tratamiento de temas no es enciclopédico, y el material sobre funciones trascendentales y sobre ecuaciones paramétricas se
entrelaza en todo el libro, en lugar de tratarlo en capítulos separados.
Cálculo: primeros vectores introduce vectores y funciones vectoriales en el primer semestre y los integra en todo el libro. Es apropiado para estudiantes que toman cursos
de ingeniería y física de modo concurrente con cálculo.
LO NUEVO EN LA SEXTA EDICIÓN
Veamos a continuación algunos de los cambios para la sexta edición de Cálculo de una
variable: Trascendentes tempranas:
Al principio del libro hay cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría. Se dan las respuestas y el estudiante que no
lo haga bien se remite a donde pueda buscar ayuda (Apéndices, secciones de repaso
del Capítulo 1, y la web).
En respuesta a las peticiones de diversos usuarios, el material que motiva la derivada
es más breve: las Secciones 2.7 y 2.8 se combinan en una sola sección llamada Derivadas y Magnitudes de Rapidez de Cambio.
La sección de Derivadas de Orden Superior del Capítulo 3 ha desaparecido y ese
material está integrado en varias secciones de los Capítulos 2 y 3.
Los profesores que no cubren el capítulo sobre ecuaciones diferenciales han comentado que la sección sobre Crecimiento y Decadencia Exponenciales estaba ubicada en
un lugar inadecuado. De conformidad con esto, se ha cambiado al principio del libro,
al Capítulo 3. Este movimiento precipita una reorganización de los Capítulos 3 y 9.
Las Secciones 4.7 y 4.8 se unen en una sola sección, con un tratamiento más breve de
problemas de optimización en ﬁnanzas y economía.
Las Secciones 11.10 y 11.11 se unen en una sola. Previamente, yo había descrito la
serie del binomio en su propia sección para destacar su importancia pero me enteré
que algunos profesores estaban omitiendo esta sección, de modo que decidí incorporar la serie del binomio en la 11.10.
Se han vuelto a dibujar nuevas ﬁguras.
Numerosos ejemplos se han agregado o cambiado. Por mencionar alguno, el Ejemplo 2
de la página 185 se cambió porque era frecuente que los estudiantes se desconcertaran
al ver constantes arbitrarias en un problema, por lo que quise dar un ejemplo en el
Más del 25% de los ejercicios de cada uno de los capítulos es nuevo. He aquí algunos
de mis favoritos: 3.1.79, 3.1.80, 4.3.62, 4.3.83 y 11.11.30.
También hay algunos buenos problemas nuevos en las secciones de Problemas Adicionales. Observen, por ejemplo, los Problemas 2 y 13 de la página 413, el Problema
13 de la página 450, y el Problema 24 de la página 763.
El nuevo proyecto de la página 550, Tazas de café complementarias, proviene de un
artículo de Thomas Banchoff en el que él se preguntaba cuál de dos tazas de café,
cuyos perﬁles convexo y cóncavo ajustaban perfectamente, contendría más café.
El capítulo de Herramientas para Enriquecer el Cálculo (TEC, por sus siglas en inglés) se ha rediseñado por completo y está accesible en el Internet en www.stewartcalculus.com. Ahora incluye lo que llamamos visuales, que son breves animaciones
de diversas ﬁguras del texto. Vea la descripción en la página 14.
La forma más importante de favorecer la comprensión de conceptos es por medio de los
problemas que dejamos de tarea, para cuyo ﬁn hemos ideado diversos tipos de problemas.
Algunos conjuntos de ejercicios empiezan con peticiones para que el estudiante explique los
signiﬁcados de los conceptos básicos de la sección. (Vea, por ejemplo, los primeros ejercicios de las Secciones 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repaso
empiezan con una Revisión de Conceptos y Preguntas de Verdadero-Falso. Otros ejercicios
someten a prueba la comprensión de conceptos mediante gráficas o tablas (vea Ejercicios 2.7.17, 2.8.33-38, 2.8.41-44, 9.1.11-12, 10.1.24-27 y 11.10.2).
Otro tipo de ejercicio emplea la descripción verbal para probar la comprensión de
conceptos (Vea Ejercicios 2.5.8, 2.8.56, 4.3.63-64 y 7.8.67). En lo particular, valoro
los problemas que combinan y comparan métodos gráﬁcos, numéricos y algebraicos (vea
Ejercicios 2.6.37-38, 3.7.25 y 9.4.2).
Cada uno de los conjuntos de ejercicios se caliﬁca cuidadosamente, avanzando desde ejercicios básicos de conceptos y problemas para desarrollo de habilidades hasta problemas de
mayor grado de diﬁcultad que comprenden aplicaciones y pruebas.
Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo en bibliotecas, en empresas y oﬁcinas
gubernamentales, y buscando información real en Internet para presentar, motivar e ilustrar los conceptos de cálculo. Como resultado de esto, muchos de los problemas y ejercicios hablan de funciones deﬁnidas por esta información numérica o gráﬁcas. Vea, por
ejemplo, la Figura 1 de la Sección 1.1 (sismógrafos del terremoto en Northridge), el Ejercicio 2.8.34 (porcentaje de población de menos de 18 años), el Ejercicio 5.1.14 (velocidad
del transbordador espacial Endeavour), y la Figura 4 de la Sección 5.4 (consumo de energía eléctrica en San Francisco).
Un modo de interesar a estudiantes y hacerlos lectores activos es hacerlos trabajar (quizá
en grupos) en proyectos prolongados que den la sensación de un logro importante cuando se terminen. He incluido cuatro clases de proyectos: Proyectos de Aplicación que comprenden aplicaciones diseñadas para apelar a la imaginación de estudiantes. El proyecto
después de la Sección 9.3 pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda más en alcanzar su altura máxima o en caer a su altura original. (La respuesta podría sorprenderlo.)
Los Proyectos de Laboratorio se reﬁeren a tecnología; el que sigue de la Sección 10.2
muestra cómo usar curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras para una
impresora láser. Los Redacción de Proyectos piden a estudiantes comparar métodos actuales con los de los fundadores del cálculo: el método de Fermat para hallar tangentes,
por ejemplo. Se sugieren referencias. Los Proyectos para un Descubrimiento anticipan
resultados que se discuten más adelante o estimulan el descubrimiento por medio del reconocimiento de ﬁguras (vea la que sigue a la Sección 7.6). Se pueden hallar proyectos
adicionales en la Guía del Profesor (vea, por ejemplo, el Ejercicio 5.1 de Grupo: Posición
desde muestras).
Es común que los estudiantes tengan diﬁcultades con problemas para los que no hay un solo procedimiento bien deﬁnido para obtener una respuesta. Pienso que no hay nadie que
haya mejorado en mucho la estrategia de George Polya para la resolución de problemas
en cuatro etapas y, de conformidad con esto, he incluido una versión de sus principios
para la resolución de problemas después del Capítulo 1. Se aplican, tanto implícita como
explícitamente, en todo el libro. Después de los otros capítulos he puesto secciones llamadas
Problemas Adicionales, que presentan ejemplos de cómo atacar los desaﬁantes problemas
de cálculo. Al seleccionar los diversos problemas para estas secciones, siempre tuve presente el consejo de David Hilbert: “Un problema matemático debe ser difícil para convencernos,
pero no inaccesible como para frustrarnos.” Cuando pongo estos desaﬁantes problemas en
tareas y exámenes los caliﬁco de forma diferente. Aquí recompenso muy bien a un estudiante por sus ideas hacia una solución y por reconocer cuáles principios de resolución de
problemas son relevantes.
La disponibilidad de tecnología no hace menos importante sino más importante entender
claramente los conceptos que son las bases de las imágenes que aparecen en pantalla.
Cuando se usan en forma adecuada, las calculadoras de gráﬁcas y las computadoras son
poderosas herramientas para descubrir y entender esos conceptos. Este texto se puede usar
con o sin tecnología y aquí uso dos símbolos especiales para indicar con claridad cuándo
se requiere un tipo particular de máquina. El icono ; indica un ejercicio que en forma
deﬁnitiva requiere el uso de esta tecnología, pero no es para indicar que no se puede usar
también en los otros ejemplos. El símbolo CAS se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos de un sistema computarizado de álgebra (como Derive, Maple,
Mathematica o TI-89/92). Con todo, la tecnología no deja obsoletos al lápiz y papel. A veces
son preferibles los cálculos y dibujos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos
conceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de decidir cuándo es apropiada la mano o una máquina.
TOOLS FOR ENRICHING
El TEC es un compañero de este libro de texto y está pensado para enriquecer y complementar su contenido. (Ahora está accesible por Internet en www.stewartcalculus.com.)
Creado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por mí, el TEC utiliza un método
de descubrimiento y exploración. En algunas secciones de este libro en donde la tecnología es particularmente apropiada, los iconos situados a los márgenes dirigen a estudiantes
a módulos del TEC que dan un ambiente de laboratorio en el que pueden explorar el tema
en formas diferentes y a niveles diferentes. Visual son animaciones de ﬁguras del texto;
Module son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden escoger participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente estimular al estudiante a usar Visual y Module para exploración independiente, hasta asignar ejercicios
especíﬁcos de los incluidos en cada Module, o para crear ejercicios adicionales, laboratorios y proyectos que hacen uso de Visual y Module.
El TEC también incluye Homework Hints para ejercicios representativos (por lo general de números impares) en cada una de las secciones de este libro, indicados al imprimir
en rojo el número del ejercicio. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas
y tratan de imitar un asistente efectivo de enseñanza al funcionar como profesor particular
silencioso. Los ejercicios están construidos para no revelar más de la solución real de lo
que es el mínimo necesario para avanzar más.
W EB A SSIGN MEJORADO
La tecnología está teniendo impacto en la forma en que se asignan tareas a estudiantes, sobre todo en grupos numerosos. El uso de tareas en línea es creciente y su interés depende
de la facilidad de uso, precisión en caliﬁcación y conﬁabilidad. Con la sexta edición hemos
estado trabajando con la comunidad de cálculo y WebAssign para crear un sistema de tareas en línea. Hasta 70% de los ejercicios de cada sección son asignables a tareas en línea,
incluyendo formatos de respuesta libre, opción múltiple y partes diversas. Algunas preguntas
son problemas de partes diversas sobre simulaciones de los Module del TEC.
El sistema también incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados en
el material didáctico paso a paso por ejemplos del texto, con vínculos al libro de texto y
soluciones en video.
Este sitio se ha renovado y ahora incluye lo siguiente:
Miente mi Calculadora y la Computadora me Dijo
Historia de las matemáticas, con vínculos a los mejores sitios web históricos
Temas adicionales (completos con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmulas para el resto del semestre en series de Taylor, rotación de ejes
Problemas archivados (ejercicios de práctica que aparecieron en ediciones anteriores,
junto con sus soluciones)
Problemas de desafío (algunos de las secciones de Problemas especiales de ediciones
Vínculos, para temas en particular, a fuentes externas de la Web
Las Tools for Enriching Calculus (TEC), Module, Visual y Homework Hints
El libro empieza con cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría.
Éste es un repaso del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del
Desde el principio, se destacan representaciones múltiples de funciones: verbales, numéricas, visuales y algebraicas. Un estudio de los modelos matemáticos lleva a un repaso de
las funciones estándar, incluyendo funciones exponenciales y logarítmicas, desde estos
cuatro puntos de vista.
El material sobre límites está motivado por un examen ya anterior de problemas de la tangente y velocidad. Los límites se tratan aquí desde puntos de vista descriptivos, gráﬁcos,
numéricos y algebraicos. La Sección 2.4, que trata de la deﬁnición precisa de e-d de un límite, es una sección opcional. Las Secciones 2.7 y 2.8 se reﬁeren a derivadas (en especial con
funciones deﬁnidas gráﬁca y numéricamente) antes de tratar las reglas de derivación en el
Capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los signiﬁcados de derivadas en varios
contextos. Las derivadas de orden superior se introducen ahora en la Sección 2.8.
Todas las funciones básicas, incluyendo funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se derivan aquí. Cuando las derivadas se calculan en situaciones de aplicación, a los estudiantes se les pide explicar sus signiﬁcados. El crecimiento y decaimiento
exponenciales se tratan ahora en este capítulo.
Los datos básicos referentes a valores extremos y formas de curvas se deducen del Teorema del Valor Medio. Graﬁcar con tecnología destaca la interacción entre cálculo y calculadoras y el análisis de familias de curvas. Se dan algunos problemas de optimización
importante, incluyendo una explicación de por qué es necesario levantar la cabeza 42° para
ver la parte superior de un arcoíris.
El problema del área y el problema de la distancia sirven para motivar la integral deﬁnida,
con la notación sigma introducida según sea necesario. (Un tratamiento completo de la notación sigma se da en el Apéndice E). Se hace énfasis en explicar los signiﬁcados de integrales en diversos contextos y en estimar sus valores a partir de gráﬁcas y tablas.
Aquí presento las aplicaciones de integración, es decir, área, volumen, trabajo, valor promedio, que razonablemente se pueden hacer sin técnicas especializadas de integración.
Se destacan métodos generales. La meta es que los estudiantes puedan dividir una cantidad en partes pequeñas, estimar con sumas de Riemann y reconocer el límite como
una integral.
Se tratan todos los métodos estándar pero, por supuesto, el desafío real es ser capaz de reconocer cuál técnica se usa mejor en una situación dada. De conformidad con esto, en la
Sección 7.5 presento una estrategia para integración. El uso de un sistema computarizado
de álgebra se ve en la Sección 7.6.
Aquí están las aplicaciones de integración —la longitud de arco y el área superﬁcial— para las que es útil tener disponibles todas las técnicas de integración, así como aplicaciones
a la biología, economía y física (fuerza hidrostática y centros de masa). También he incluido una sección sobre probabilidad. Hay aquí más aplicaciones de las que en realidad se
puedan cubrir en un curso determinado. Los profesores deben seleccionar aplicaciones
apropiadas para sus estudiantes y para las que ellos mismos puedan interesarse.
La creación de modelos es el tema que uniﬁca este tratamiento de introducción a las ecuaciones diferenciales. Los campos de dirección y el método de Euler se estudian antes que
las ecuaciones separables y lineales se resuelvan de forma explícita, de manera que los
métodos cualitativo, numérico y analítico reciben igual consideración. Estos métodos se
aplican a los modelos experimental, logístico y otros para crecimiento poblacional. Las
primeras cuatro de cinco secciones de este capítulo sirven como una buena introducción a
ecuaciones diferenciales de primer orden. Una sección ﬁnal opcional utiliza modelos de
predador-presa para ilustrar sistemas de ecuaciones diferenciales.
Este capítulo introduce curvas paramétricas y polares y aplica los métodos del cálculo a
ellas. Las curvas paramétricas son bien apropiadas para proyectos de laboratorio; las dos
que aquí se presentan comprenden familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve tratamiento de secciones cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de
Kepler en el Capítulo 13.
Las pruebas de convergencia tienen justiﬁcaciones intuitivas (vea página 697) así como
pruebas formales. Las estimaciones numéricas de sumas de series están basadas en cuál
prueba se usó para demostrar una convergencia. El énfasis está en la serie y polinomios
de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen los de aparatos de
Cálculo: Trascendentes tempranas, Sexta edición, está apoyado por un conjunto completo
de materiales auxiliares creados bajo mi dirección. Cada parte se ha diseñado para mejorar la comprensión del estudiante y para facilitar una enseñanza creativa.
Los recursos disponibles se encuentran disponibles en el sitio web del libro:
http://latinoamerica.cengage.com/stewart6
REVISIÓN DE LA SEXTA EDICIÓN
Paul Triantaﬁlos Hadavas, Armstrong Atlantic State University
He sido muy afortunado por haber trabajado con algunos de los mejores editores de
matemáticas en el negocio por más de dos décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig
Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt y ahora, Bob Pirtle. Bob continúa en esta tradición
de editores quienes mientras escuchan consejos y ofrecen una amplia ayuda, confían en
mis instintos y me permiten escribir los libros que deseo escribir.
Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboración de los profesores: Dr. Manuel
Álvarez Blanco, MSc. José Ignacio Cuevas Gonzáles y MSc. Eduardo Fernandini Capurro,
Profesores Principales del Área de Ciencias, de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC) miembro del grupo Laureate International Universities, en la revisión de esta
sexta edición en español.
L OS E DITORES .
Leer un libro de cálculo es diferente a leer un periódico o una
novela, o incluso un libro de física. No se desanime si tiene
que leer un pasaje más de una vez para entenderlo. Debe tener
lápiz, papel y calculadora a la mano para bosquejar un diagrama o hacer un cálculo.
Algunos estudiantes empiezan por tratar sus problemas de
tarea y leen el texto sólo si se atoran en un ejercicio. Sugiero
que un plan mucho mejor es leer y entender una sección del
texto antes de abordar los ejercicios. En particular, el estudiante debe leer las deﬁniciones para ver los signiﬁcados exactos
de los términos. Y antes de leer cada ejemplo, sugiero que llegue
hasta la solución y trate de resolver el problema por sí mismo.
Obtendrá mucho más de ver la solución si lo hace así.
Parte de la meta de este curso es capacitar al estudiante para
pensar de una manera lógica. Aprenda a escribir las soluciones
de los ejercicios de un modo enlazado y paso a paso con frases explicativas, no sólo una hilera de ecuaciones o fórmulas
Las respuestas a los ejercicios de números impares aparecen al ﬁnal de este libro, en el apéndice I. Algunos ejercicios
piden una explicación verbal o interpretación o descripción. En
estos casos no una sola forma correcta de expresar la respuesta,
de modo que no se preocupe por no hallar la respuesta deﬁnitiva. Además, a veces hay varias formas diferentes en las cuales
se expresa una respuesta numérica o algebraica, de modo que si
su respuesta difiere de la mía no suponga de inmediato que
está en un error. Por ejemplo, si la respuesta dada en la parte
ﬁnal de este libro es s2  1 y usted obtiene 11  s2, entonces tiene razón y racionalizar el denominador demostrará
que las respuestas son equivalentes.
El icono ; indica un ejercicio que deﬁnitivamente requiere
el uso ya sea de una calculadora de gráﬁcas o una computadora
con software de gráﬁcas. Con todo, esto no significa que los
aparatos de gráficas no se puedan usar para comprobar el
trabajo en los otros ejercicios. El símbolo CAS se reserva para
problemas en los que se requieren todos los recursos de un sistema computarizado de álgebra (como el Derive, Maple, Mathematica, o la TI-89/92). También encontrará el símbolo |
que advierte para no cometer un error. He puesto este símbolo
en márgenes en situaciones donde he observado que una gran
parte de mis estudiantes tienden a cometer el mismo error.
Al Tools for Enriching Calculus, que es compañero de este
libro, se hace referencia mediante el símbolo TEC y se puede tener acceso al mismo en www.stewartcalculus.com. Dirige
al estudiante a módulos en los que puede explorar aspectos de
cálculo para los que la computadora es particularmente útil. El
TEC también da Homework Hints para ejercicios representativos que están indicados con un número de ejercicio impreso
en rojo: 15. . Estas sugerencias de tarea hacen preguntas al estudiante que le permiten avanzar hacia una solución sin dar en
realidad su respuesta. El lector tiene que seguir cada una de las
sugerencias de una manera activa con papel y lápiz para trabajar
los detalles. Si una sugerencia en particular no lo hace capaz
de resolver un problema, puede hacer clic para ver la siguiente
Recomiendo que conserve este libro como referencia después
que termine el curso. Debido a que es probable que el lector
olvide algunos de los detalles especíﬁcos del cálculo, el libro servirá como un útil recordatorio cuando necesite usar cálculo en
cursos subsiguientes. También, como este libro contiene más material del que se puede cubrir en cualquier curso, puede servir
como un valioso recurso para cualquier cientíﬁco o ingeniero.
El cálculo es una materia extraordinaria, justamente considerada como uno de los mayores logros de la mente humana.
Espero que el lector descubra que no es sólo útil sino también
intrínsecamente hermoso.
El éxito en cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticas que preceden al cálculo: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Los exámenes que
siguen tienen el propósito de diagnosticar los puntos débiles que el lector pudiera tener en
estos campos del conocimiento y, después de tomar cada uno de estos exámenes, puede
veriﬁcar sus respuestas contra las respuestas dadas. Además, si es necesario, puede recordar
o actualizar sus conocimientos si consulta los materiales de repaso que también se dan aquí.
E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : Á L G E B R A
1. Sin usar calculadora, evalúe cada una de estas expresiones.
(b) 34
(a) (3)4
(c) 34
(f) 163/4
2. Simpliﬁque estas expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos.
(a) s200  s32
(b) (3a3b3)(4ab2)2
3x32y3
x2y12
3. Expanda y simpliﬁque.
(a) 3(x  6)  4(2x  5)
(b) (x  3)(4x  5)
(c) sa  sbsa  sb
(d) (2x  3)2
(e) (x  2)3
4. Factorice estas expresiones.
(a) 4x2  25
(b) 2x2  5x  12
(c) x3  3x2  4x  12
(d) x4  27x
(e) 3x3/2  9x1/2  6x1/2
(f) x3y  4xy
5. Simpliﬁque la expresión racional.
x2  3x  2
x 4
2x2  x  1 x  3
6. Racionalice la expresión y simpliﬁque.
s5  2
s4  h  2
7. Complete el cuadrado de lo siguiente.
(a) x2  x  1
(b) 2x2  12x  11
8. Resuelva la ecuación. (Encuentre sólo las soluciones reales.)
(c) x2  x  2  0
(d) 2x2  4x  1  0
(e) x4  3x2  2  0
(f) 3 x  4  10
(a) x  5  14  2x
12
(g) 2x4  x
 3s4  x  0
9. Resuelva estas desigualdades, use notación de intervalo.
(a) 4  5  3x  17
(b) x2  2x  8
(c) x(x  1)(x  2)  0
(d) x  4  3
10. Exprese si cada una de estas ecuaciones es verdadera o falsa.
(a) (p  q)2  p2  q2
(b) sab  sa sb
(c) sa2  b2  a  b
1  TC
1T
ax  bx
R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E P R U E B A A : Á L G E B R A
(b) 81
3. (a) 11x  2
(b) 4x2  7x  15
(c) a  b
(d) 4x  12x  9
(e) x3  6x2  12x  8
4. (a) (2x  5)(2x  5)
(c) (x  3)(x  2)(x  2)
(x  1)(x  2)
s4  h  2
6. (a) 5s2  2s10
7. (a) x  22 
(b) 2(x  3)2  7
(d) 1
(c) 3, 4
(f) 3,
(b) (2x  3)(x  4)
(d) x(x  3)(x2  3x  9)
(f) xy(x  2)(x  2)
(d) (x  y)
9. (a) [4, 3)
(b) (2, 4)
(c) (2, 0) ª (1, )
(e) (1, 4]
10. (a) Falsa
(b) Verdadera
Si el lector tiene diﬁcultad con estos problemas, puede consultar Review
of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.
(c) Falsa
(f) Verdadera
E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : G O M E T R Í A A N A L Í T I C A
1. Encuentre una ecuación para la recta que pasa por el punto (2, 5) y
(a) tiene pendiente 3
(b) es paralela al eje x
(c) es paralela al eje y
(d) es paralela a la recta 2x  4y  3
2. Encuentre una ecuación para el círculo que tiene centro en (1, 4) y pasa por el punto (3, 2).
3. Encuentre el centro y radio del círculo con ecuación x2  y2  6x  10y  9  0.
4. Sean A(7, 4) y B(5, 12) puntos en el plano.
(a) Encuentre la pendiente de la recta que contiene A y B.
(b) Encuentre una ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son los puntos de intersección
con los ejes?
(c) Encuentre el punto medio del segmento AB.
(d) Encuentre la longitud del segmento AB.
(e) Encuentre una ecuación de la perpendicular que biseca a AB.
(f) Encuentre una ecuación del círculo para el cual AB es un diámetro.
5. Trace la región en el plano xy deﬁnida por la ecuación o desigualdades.
(a) 1  y  3
(b) x  4 y y  2
(c) y  1  x
(e) x  y  4
(f) 9x  16y2  144
R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O B : G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
1. (a) y  3x  1
(c) x  2
(b) y  5
(d) y  x  6
2. (a) x  12  y  42  52
3. Centro (3, 5), radio 5
4. 3
(b) 4x  3y  16  0; cruce con eje x  4, cruce con eje y 163
(c) (1, 4)
(e) 3x  4y  13
(f) (x  1)2  (y  4)2  100
Si el lector tiene diﬁcultad con estos problemas, puede consultar Review of
Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.
E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : F U N C I O N E S
1. La gráﬁca de una función f se da a la izquierda.
Exprese el valor de f (1).
Estime el valor de f (2).
¿Para qué valores de x es f (x)  2?
Estime los valores de x tales que f (x)  0.
Exprese el dominio y rango de f.
f2  h  f2
2. Si f(x)  x 3, evalúe el cociente de diferencia
y simpliﬁque su respuesta.
3. Encuentre el dominio de la función.
FIGURA PARA PROBLEMA 1
(a) fx 
x x2
(b) gx 
(c) hx  s4  x  sx2  1
4. ¿Cómo se obtienen las gráﬁcas de las funciones a partir de la gráﬁca de f?
(a) y  f(x)
(b) y  2f(x)  1
(c) y  (x  3)  2
5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo aproximado de la gráﬁca.
(b) y  (x  1) 3
(e) y  sx
(h) y  1  x1
(a) y  x 3
(d) y  4  x2
(g) y  2x
6. Sea f x 
(c) y  (x  2)3  3
(f) y  2sx
1  x2 si x 0
2x  1 si x  0
(a) Evaluación f (2) y f(1)
(b) Dibuje la gráﬁca de f.
7. Si f(x)  x2  2x  1 y t(x)  2x  3, encuentre cada una de las siguientes funciones.
(c) t  t  t
R E S P U E S TA S A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O C : F U N C I O N E S
1. (a) 2
(c) 3, 1
(e) [3, 3], [2, 3]
(d) 2.5, 03
2. 12  6h  h
3. (a) ( , 2) ª (2, 1) ª (1, )
(b) ( , )
(c) ( , 1] ª [1, 4]
(b) Estire verticalmente en un factor de 2, y a continuación
desplace 1 unidad hacia abajo
(c) Desplace 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba
7. (a) (f  t)(x)  4x2  8x  2
(b) (t  f)(x)  2x2  4x  5
(c) (t  t  t)(x)  8x  21
6. (a) 3, 3
4. (a) Reﬂeje alrededor del eje x
E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O : T R I G O N O M E T R Í A
1. Convierta de grados a radianes.
(b) 18°
2. Convierta de radianes a grados.
(a) 5p/6
3. Encuentre la longitud de un arco de círculo con radio de 12 cm si el arco subtiende un ángulo
central de 30°.
4. Encuentre los valores exactos.
(a) tan(p/3)
(b) sen(7p/6)
5. Exprese las longitudes a y b de la ﬁgura en términos de u.
6. Si sen x  3 y sec y  4 , donde x y y están entre 0 y p/2, evalúe sen(x  y).
7. Demuestre las identidades.
(a) tan u sen u  cos u  sec u
FIGURA PARA PROBLEMA 5
 sen 2x
8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x  sen x y 0  x  2p.
9. Trace la gráﬁca de la función y  1  sen 2x sin usar calculadora.
R E S P U E S TA A L E X A M E N D E D I AG N Ó S T I C O D : T R I G O N O M E T R Í A
1. (a) 5p/3
(b) p/10
6. 15 4  6s2
2. (a) 150°
(b) 360/p L 114.6°
7. 0, p/3, p, 5p/3, 2p
3. 2p cm
(b) 21
5. (a) 24 sen u
El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que el lector ha estudiado
con anterioridad. El cálculo es menos estático y más dinámico. Se interesa en el cambio y en el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por esa
razón, puede resultar útil tener un panorama general de la materia antes de empezar
su estudio intensivo. En las páginas siguientes se le presentan algunas de las ideas
principales del cálculo, al mostrar cómo surgen los límites cuando intentamos resolver
Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2 500 años, hasta los antiguos griegos, quienes
hallaron áreas aplicando el “método del agotamiento”. Sabían cómo hallar el área A de
cualquier polígono al dividirlo en triángulos como en la ﬁgura 1, y sumar las áreas de estos
Hallar el área de una ﬁgura curva es un problema mucho más difícil. El método griego
del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la ﬁgura y circunscribir otros polígonos
en torno a la misma ﬁgura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígonos aumentara. En la ﬁgura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con
Sea An el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n, parece que An se aproxima cada vez más al área del círculo. El área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos y
A  lím An
TEC El Preview Visual es una investigación numérica y gráﬁca de la aproximación
del área de un círculo mediante polígonos
inscritos y circunscritos.
Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indirecto Eudoxo (siglo v a. C.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área
de un círculo: A  r 2.
El capítulo 5 expone una idea semejante para hallar las áreas de regiones del tipo que se
muestra en la ﬁgura 3. Se da una aproximación del área deseada A por medio de áreas de rectángulos (como en la ﬁgura 4), hasta que disminuya el ancho de los rectángulos y, en seguida,
se calcula A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos.
El problema del área es el problema central de la rama del cálculo que se conoce como cálculo integral. Las técnicas desarrolladas en el capítulo 5 para hallar áreas también
permiten calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza del agua
contra la cortina de una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo
que se lleva a cabo al bombear agua hacia afuera de un tanque.
Considere el problema de tratar de hallar la ecuación de la recta tangente t a una curva,
con ecuación y  f (x), en un punto dado P. (En el capítulo 2, aparece una definición
precisa de recta tangente. Por ahora, puede concebirla como una recta que toca la curva
en P, como en la figura 5.) Como saber que el punto P está en la recta tangente, puede
hallar la ecuación de t si conoce su pendiente m. El problema está en que necesita dos
puntos para calcular la pendiente y sólo conoce un punto, P, de t. Para darle vuelta al problema, primero halle una aproximación para m al tomar un punto cercano Q de la curva
y calcule la pendiente mPQ de la recta secante PQ. En la figura 6
La recta tangente en P
Imagine ahora que Q se mueve a lo largo de la curva, hacia P como en la ﬁgura 7. Puede
ver que la recta secante gira y se aproxima a la recta tangente como su posición límite. Esto
significa que la pendiente mPQ de la recta secante se acerca cada vez más a la pendiente
m de la recta tangente. Escriba
m  lím mPQ
f x  f a
donde m es el límite de mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Como x se
acerca a a cuando Q lo hace a P, podría usar también la ecuación 1 para escribir
m  lím
La recta secante PQ
Rectas secantes aproximándose
a la recta tangente
En el capítulo 2 se darán ejemplos especíﬁcos de este procedimiento.
El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamada cálculo diferencial, el cual se inventó más de 2 000 años después que el cálculo integral. Las ideas
principales que se encuentran detrás del cálculo diferencial se deben al matemático francés Pierre Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John
Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727), así como por
el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716).
Las dos ramas del cálculo y sus problemas principales, el problema del área y el de
la tangente, parecen muy diferentes, pero existe una conexión muy íntima entre ellas. El
problema de la tangente y el del área son problemas inversos, en un sentido que se descubrirá en el capítulo 5.
Cuando mire el velocímetro de un automóvil y lea que viaja a 48 mih, ¿qué información se le indica? Sabe que la velocidad del automóvil puede variar, ¿qué signiﬁca decir
que la velocidad en un instante dado es de 48 mih?
Para analizar esta cuestión analice el movimiento de un automóvil que viaja a lo largo de
un camino recto y suponga que pueda medir la distancia recorrida por el automóvil (en pies)
a intervalos de 1 segundo, como en la tabla siguiente.
t  Tiempo transcurrido (s)
d  Distancia (pies)
Como primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos,
encuentre la velocidad durante el intervalo 2 t 4:
42  9
 16.5 piess
velocidad promedio 
De manera análoga, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo 2
24  9
 15 piess
Tiene la sensación de que la velocidad en el instante t  2 no puede ser muy diferente
de la velocidad promedio durante un intervalo corto que se inicie en t  2. De modo que
imagine que se ha medido la distancia recorrida a intervalos de 0.1 segundo, como en la
Entonces, por ejemplo, calcule la velocidad promedio sobre el intervalo 2, 2.5 :
15.80  9.00
 13.6 piess
2.5  2
En la tabla siguiente se muestran los resultados de esos cálculos:
Velocidad promedio (piess)
Las velocidades promedio sobre intervalos sucesivamente más pequeños parecen aproximarse cada vez más a un número cercano a 10, y, por lo tanto, espera que la velocidad en
exactamente t  2 sea alrededor de 10 pies/s. En el capítulo 2, se deﬁne la velocidad instantánea de un objeto en movimiento como el valor límite de las velocidades promedio sobre
intervalos cada vez más pequeños.
En la ﬁgura 8 se muestra una representación gráﬁca del movimiento del automóvil al
graﬁcar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como función del tiempo. Si
escribe d  f (t), entonces f (t) es el número de pies recorridos después de t segundos. La
velocidad promedio en el intervalo 2, t es
f t  f 2
lo cual es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ de la ﬁgura 8. La velocidad v
cuando t  2 es el valor límite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es
v  lím
y reconoce, a partir de la ecuación 2, que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tangente a la curva en P.
Por lo tanto, al resolver el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también
está resolviendo problemas referentes a velocidades. Las mismas técnicas permiten resolver problemas en que intervienen razones de cambio en todas las ciencias naturales
En el siglo v a. C., el ﬁlósofo griego Zenón de Elea propuso cuatro problemas, que ahora
se conocen como las paradojas de Zenón, las cuales desaﬁaban algunas de las ideas concernientes al espacio y al tiempo que sostenían en sus días. La segunda paradoja de Zenón
se reﬁere a una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado una
ventaja inicial. Zenón argumentaba, como se hace ver a continuación, que Aquiles nunca
podría rebasarla. Suponga que Aquiles arranca en la posición a1 y la tortuga en la posición t1
(véase la figura 9). Cuando Aquiles llega a a3  t2, la tortuga está en t3. Este proceso
continúa indeﬁnidamente y, de este modo, ¡parece que la tortuga siempre estará adelante!
Pero esto contraviene el sentido común.
Una manera de explicar esta paradoja es con la idea de sucesión. Las posiciones sucesivas de Aquiles a 1, a 2 , a 3 , . . . o las posiciones sucesivas de la tortuga t1, t2 , t3 , . . . forman
lo que se conoce como una sucesión.
En general, una sucesión a n es un conjunto de números escritos en un orden deﬁnido.
se puede describir al dar la fórmula siguiente para el n-ésimo término
Puede visualizar esta sucesión situando sus términos en una recta numérica como en
la figura 10(a) o trazando su gráfica como en la figura 10(b). Observe, a partir de cualquiera de las dos figuras, que los términos de la sucesión a n  1n se aproximan cada
vez más a 0 al aumentar n. De hecho, es posible hallar términos tan pequeños como lo
desee al hacer n suficientemente grande. Entonces el límite de la sucesión es 0 y se indica al escribir
En general, se usa la notación
lím a n  L
si los términos an se aproximan al número L, cuando n se hace suﬁcientemente grande. Esto
signiﬁca que se puede aproximar los números an al número L tanto como quiera si se toma
una n lo suﬁcientemente grande.
El concepto de límite de una sucesión se presenta siempre que usa la representación decimal de un número real. Por ejemplo, si
lím a n 
Los términos de esta sucesión son aproximaciones racionales a p.
De nuevo la paradoja de Zenón. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga forman las sucesiones a n y tn , en donde a n  tn para toda n. Se puede demostrar que las
dos sucesiones tienen el mismo límite
lím a n  p  lím tn
Es precisamente en este punto p en que Aquiles alcanza a la tortuga.
Otra de las paradojas de Zenón, según. Aristóteles, es: “Un hombre parado en un cuarto no
puede caminar hasta la pared. Para que esto suceda, primero avanzaría la mitad de la distancia, en seguida la mitad de la distancia restante y, a continuación, una vez más la mitad
de la que todavía queda. Siempre se puede continuar este proceso y nunca se termina.
(Véase la ﬁgura 11.)
Por supuesto, sabe que el hombre llega a la pared, de modo que esto sugiere que quizá
se pueda expresar la distancia total como la suma de una inﬁnidad de distancias más pequeñas, como sigue
   n  
Zenón argumentaba que no tiene sentido sumar una inﬁnidad de números. Pero existen
otras situaciones en que, implícitamente, se usan sumas inﬁnitas. Por ejemplo, en notación
decimal, el símbolo 0.3  0.3333 . . . signiﬁca
y, por lo tanto, en cierto sentido, debe ser cierto que
De modo más general, si dn denota el n-ésimo dígito en la representación decimal de un
número, entonces
 2  3    n  
Por lo tanto, algunas sumas inﬁnitas, o series inﬁnitas como se les llama, tienen un signiﬁcado. Pero debe deﬁnir con cuidado lo que es la suma de una serie inﬁnita.
Considere de nuevo la serie de la ecuación 3 y denote con sn la suma de los primeros n
términos de la serie. De este modo
s2  12  14  0.75
s3  12  14  18  0.875
s4  12  14  18  161  0.9375
s5  12  14  18  161  321  0.96875
s6  12  14  18  161  321  641  0.984375
s7  12  14
s10  12  14
s16  
 18  161  321  641  128
     1024
     16
0.99902344
Observe que conforme agrega más y más términos, las sumas parciales se aproximan cada vez más a 1. De hecho, se puede demostrar que, si n es suﬁcientemente grande (es decir, si se suman un número suﬁciente de términos de la serie), es posible aproximar la suma
parcial sn tanto como desee al número 1. Por lo tanto, parece razonable decir que la serie
inﬁnita es 1 y escribir
     n    1
En otras palabras, la razón de que la suma de la serie sea 1 es que
lím sn  1
En el capítulo 11 se analizan con más detalle estas ideas. Entonces usará la idea de
Newton de combinar las series inﬁnitas con el cálculo diferencial e integral.
El concepto de límite surge al tratar de hallar el área de una región, la pendiente de una
tangente a una curva, la velocidad de un automóvil o la suma de una serie infinita. En cada caso, el tema común es el cálculo de una cantidad como el límite de otras cantidades
calculadas con facilidad. Esta idea básica de límite separa al cálculo de las otras áreas
de las matemáticas. De hecho, podría deﬁnirlo como la parte de las matemáticas que trata
Después que sir Isaac Newton inventó su versión del cálculo, la utilizó para explicar el
movimiento de los planetas alrededor del Sol. En la actualidad sirve para calcular las
órbitas de los satélites y de las naves espaciales, predecir los tamaños de poblaciones,
estimar la rapidez con que se elevan los precios, pronosticar el tiempo, medir el ritmo cardiaco, calcular las primas de seguros y en una gran diversidad de otras áreas. En este libro
encontrará algunos de estos usos.
Para dar una idea del poder de la materia, ﬁnalice este panorama preliminar con una lista de algunas de las preguntas que podría usted responder al aplicar el cálculo:
1. ¿Cómo explica el hecho que se ilustra en la ﬁgura 12 de que el ángulo de eleva138°
ción desde un observador hasta el punto más alto de un arcoíris es 42º. (Véase
página 279.)
¿Cómo explica las formas de las latas en los anaqueles de los supermercados?
(Véase página 333.)
¿Dónde es el mejor lugar para sentarse en un cine? (Véase página 446.)
¿Qué tan lejos del aeropuerto debe empezar a descender el piloto? (Véase página 206.)
¿Cómo usar las curvas y el diseño de formas para reprsentar letras en una
impresora láser? (Véase página 639).
¿Cuál será la posición del parador en corto para atrapar la pelota lanzada por el
jardinero y lanzarla a la base? (Véase página 601).
¿Una bola lanzada hacia arriba tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o
en volver al sitio del lanzamiento? (Véase página 590.)
CAPITULO-01-A
Representación gráﬁca de una función. Aquí el
número de horas de luz solar en diferentes
periodos del año y diferentes latitudes,
es la manera más natural y conveniente
de ilustrar la función.
El propósito fundamental del cálculo son las funciones. En este capítulo se prepara el
camino para el cálculo al analizar las ideas básicas referentes a las funciones, sus gráﬁcas
y las maneras para transformarlas y combinarlas. Se hará hincapié en que una función
se puede representar de diferentes modos: mediante una ecuación, en una tabla, con
una gráfica o con palabras. Se considerarán los tipos principales de funciones que se
presentan en el cálculo y se describirá el proceso de usarlas como modelos matemáticos
de fenómenos del mundo real. También se expondrá el uso de las calculadoras graﬁcadoras y del software para trazar gráﬁcas.
Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las siguientes
A. El área A de un círculo depende de su radio r. La regla que relaciona r con A se expresa
mediante la ecuación A  pr 2. Con cada número positivo r existe asociado un valor
de A, por lo que A es función de r.
B. La población humana del mundo, P, depende del tiempo t. En la tabla se dan estima-
ciones de la población del mundo, Pt, en el tiempo t, para ciertos años. Por ejemplo,
P1950
Pero para cada valor de tiempo t existe un valor de P correspondiente, por lo que P es
una función de t.
C. El costo C de enviar por correo una carta de primera clase depende de su peso w. Aun
cuando no existe una fórmula sencilla que relacione w con C, la oﬁcina de correos
tiene una regla parta determinar C cuando se conoce w.
D. La aceleración vertical a del suelo, según la mide un sismógrafo durante un terremo-
to, es una función del tiempo transcurrido t. En la figura 1 se muestra una gráﬁca
generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los
Ángeles en 1994. Para un valor dado de t, la gráﬁca proporciona un valor correspondiente de a.
Aceleración vertical del suelo
durante el terremoto de Northridge
En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número r, t, w
o t), se asigna otro número A, P, C o a). En cada caso, el segundo número es función del
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado fx), de un conjunto E.
A menudo, se consideran funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos de
números reales. El conjunto D se llama dominio de la función. El número fx) es el valor
de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de
fx), conforme x varía en todo el dominio. Un símbolo que representa un número arbitrario
en el dominio de una función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa
un número en el rango de f se llama variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variable
independiente y A es la dependiente.
CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
Diagrama de una máquina para
una función ƒ
Resulta útil concebir una función como una máquina véase la ﬁgura 2). Si x está en el
dominio de la función f, entonces cuando x entra en la máquina, se acepta como una entrada y la máquina produce una salida fx) de acuerdo con la regla de la función. De este
modo, puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el
rango como el conjunto de todas las salidas posibles.
Las funciones preprogramadas de una calculadora son buenos ejemplos de una función como una máquina. Por ejemplo, la tecla de raíz cuadrada en su calculadora calcula una de esas
funciones. Usted oprime la tecla marcada como s o sx y registra la entrada x. Si x  0,
en tal caso x no está en el dominio de esta función; es decir, x no es una entrada aceptable y
la calculadora indicará un error. Si x 0, en tal caso aparecerá una aproximación a sx en la
pantalla. Así, la tecla sx de su calculadora no es la misma exactamente que la función matemática f deﬁnida por f x  sx.
Otra manera de representar una función es un diagrama de ﬂechas como en la ﬁgura 3.
Cada ﬂecha une un elemento de D con un elemento de E. La ﬂecha indica que fx) está
asociada con x, fa) con a, y así sucesivamente.
El método más común para visualizar una función es su gráﬁca. Si f es una función con
dominio D, su gráﬁca es el conjunto de las parejas ordenadas
x, f x x  D
Observe que son parejas entrada-salida.) En otras palabras, la gráﬁca de f consta de todos
los puntos x, y) en el plano coordenado, tales que y  fx) y x está en el dominio de f.
La gráﬁca de una función f da una imagen útil del comportamiento, o la “historia de la
vida”, de una función. Como la coordenada y de cualquier punto x, y) de la gráfica es
y  fx), es posible leer el valor de fx) a partir de la gráﬁca como la altura de esta última
arriba del punto x véase la ﬁgura 4). La gráﬁca de f también permite tener una imagen del
dominio de f sobre el eje x y su rango en el eje y como en la ﬁgura 5.
Diagrama de flechas para ƒ
y  ƒ(x)
EJEMPLO 1 En la ﬁgura 6 se muestra la gráﬁca de una función f.
(a) Encuentre los valores de f1) y f5).
(b) ¿Cuáles son el dominio y el intervalo de f ?
& La notación para intervalos aparece en el
(a) En la ﬁgura 6 se ve que el punto 1, 3) se encuentra sobre la gráﬁca de f, de modo
que el valor de f en 1 es f 1  3. En otras palabras, el punto de la gráﬁca que se encuentra arriba de x  1 está tres unidades arriba del eje x.)
Cuando x  5, la gráﬁca se encuentra alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x¸ por
tanto, f 5 0.7
(b) fx) está deﬁnida cuando 0 x 7, de modo que el dominio de f es el intervalo cerrado
[0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde 2 hasta 4, de manera que el intervalo de f es
4  2, 4
SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN
a) La ecuación de la gráﬁca es y  2x  1 y esto se reconoce como la ecuación de la
recta con pendiente 2 y ordenada al origen 1. Recuerde la forma de pendiente-ordenada
al origen de la ecuación de una recta: y  mx  b. Véase apéndice B.) Esto permite trazar
la gráﬁca de f. Ver la ﬁgura 7. La expresión 2x  1 está deﬁnida para todos los números
reales, de modo que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales, el cual
se denota con . En la gráﬁca se muestra que el rango también es .
b) Como t2  2 2  4 y t1  12  1, podría dibujar los puntos 2, 4) y
1, 1) junto con unos cuantos puntos más de la gráﬁca y unirlos para producir la gráﬁca ﬁgura 8). La ecuación de la gráﬁca es y  x 2, la cual representa una parábola véase
el apéndice C). El dominio de t es . El rango de t consta de todos los valores de
tx); es decir, todos los números de la forma x2. Pero x 2  0 para todos los números x
y cualquier número positivo y es un cuadrado. De este modo, el rango de t es
y y  0  0, . Esto también se ve en la ﬁgura 8.
EJEMPLO 2 Trace una gráﬁca y encuentre el dominio y el intervalo de cada función.
a) fx  2x  1
b) tx  x 2
EJEMPLO 3 Si fx  2x2  5x  1 y h  0, evaluar
f a  h  f a
SOLUCIÓN Primero evalúe fa  h sustituyendo x mediante a  h en la expresión
para fx:
fa  h  2(a  h)2  5(a  h)  1
 2(a2  2ah  h2) 5(a  h)  1
 2(a2  2ah  h2) 5a  5h  1
Por lo tanto al sustituir en la expresión que se proporciona y simpliﬁcando:
2a2  4ah  2h2  5a  5h  1  2a2  5a  1
f (a  h)  f (a)
en el ejemplo 3 se le denomina un cociente
de diferencia y habitualmente sucede en
cálculo. Como se verá en el capítulo 2, representa la razón promedio de cambio f (x) entre
xayxah
2a2  4ah  2h2  5a  5h  1  2a2  5a  1
4ah  2h2  5h
 4a  2h  5
Se tienen cuatro maneras posibles para representar una función:
(mediante una descripción en palabras)
(con una tabla de valores)
(mediante una gráﬁca)
(por medio de una fórmula explícita)
Si la función se puede representar de las cuatro maneras, con frecuencia resulta útil
pasar de una representación a otra, para adquirir un conocimiento adicional de la función.
(En el ejemplo 2 se empieza con fórmulas algebraicas y, a continuación, se obtuvieron las
gráﬁcas.) Pero ciertas funciones se describen de manera más natural con uno de los métodos
que con otro. Con esto en mente, analice de nuevo las cuatro situaciones consideradas al
A. Quizá la representación más útil del área de un círculo como función de su radio sea la
fórmula algebraica Ar  r 2, aunque es posible compilar una tabla de valores o trazar
una gráﬁca (la mitad de una parábola). Como un círculo debe tener un radio positivo, el
dominio es r r  0  0, , y el rango también es 0, .
B. Se ha descrito verbalmente la función: Pt es la población humana del mundo en el
tiempo t. La tabla de valores de la población mundial da una representación conveniente de esta función. Si coloca estos valores en una gráﬁca, obtendrá la gráﬁca (llamada gráﬁca de dispersión) de la ﬁgura 9. También es una representación útil; pues
nos permite absorber todos los datos a la vez. ¿Qué hay acerca de una fórmula? Por
supuesto, es imposible idear una fórmula explícita que dé la población humana exacta
Pt en cualquier tiempo t. Pero es posible hallar una expresión para una función que
proporcione una aproximación de Pt). De hecho, con la aplicación de los métodos
que se explican en la sección 1.2, se obtiene la aproximación
Pt
f t  0.008079266  1.013731t
y en la ﬁgura 10 se ilustra que es un “ajuste” razonablemente bueno. La función f se
llama modelo matemático para el crecimiento de la población. En otras palabras, es una
función con una fórmula explícita que da una aproximación para el comportamiento
de la función dada. Sin embargo, verá que las ideas del cálculo se pueden aplicar a
una tabla de valores; no se necesita una fórmula explícita.
& Una función deﬁnida por una tabla de
valores se conoce como función tabular.
w (onzas)
0w
1w
2w
3w
4w
12  w
Cw (dólares)
La función P es típica entre las funciones que surgen siempre que intenta aplicar
el cálculo al mundo real. Empieza con una descripción verbal de la función. En seguida, es posible que sea capaz de construir una tabla de valores de la función,
quizá a partir de lecturas de instrumentos en un experimento científico. Aun cuando
no tenga el conocimiento completo de los valores de la función, a lo largo del libro
verá que todavía es posible realizar las operaciones del cálculo en una función de
C. Una vez más, la función está descrita en palabras: Cw) es el costo de enviar por correo
una carta de primera clase con peso w. La regla que en 1996 aplicaba el U.S. Postal
Service (Servicio Postal de Estados Unidos) es la siguiente: el costo es de 39 centavos
de dólar hasta por una onza, más 24 centavos por cada onza sucesiva, hasta 13 onzas.
La tabla de valores que se muestra en el margen es la representación más conveniente
para esta función, aunque es posible trazar una gráﬁca (véase el ejemplo 10).
D. La gráﬁca que se muestra en la ﬁgura 1 es la representación más natural de la función
aceleración vertical at). Es cierto que se podría compilar una tabla de valores e incluso
es posible idear una fórmula aproximada. Pero todo lo que necesita saber un geólogo,
amplitudes y patrones, puede observarse con facilidad a partir de la gráﬁca. (Lo mismo
se cumple para los patrones que se ven en los electrocardiogramas de los pacientes cardiacos y en los polígrafos para la detección de mentiras.)
En el ejemplo siguiente, se graﬁca una función deﬁnida verbalmente.
EJEMPLO 4 Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del agua depende de
cuánto tiempo ha estado corriendo. Trace una gráfica aproximada de T como función
del tiempo t que ha transcurrido desde que se abrió el grifo.
SOLUCIÓN La temperatura inicial del agua corriente está cercana a la temperatura ambiente,
debido al agua que ha estado en los tubos. Cuando empieza a salir la que se encuentra en
el tanque de agua caliente, T aumenta con rapidez. En la fase siguiente, T es constante a
la temperatura del agua calentada del tanque. Cuando éste se drena, T decrece hasta la
temperatura de la fuente de agua. Esto permite realizar el boceto de gráﬁca de T como
una función de t en la ﬁgura 11.
El ejemplo que sigue, parte de una descripción verbal de una función, en una situación
física, y se obtiene una fórmula algebraica explícita. La capacidad para llevar a cabo esto
constituye una habilidad útil en los problemas de cálculo en los que se piden los valores
máximo y mínimo de cantidades.
V EJEMPLO 5 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior
abierta, tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su base es el doble de su ancho. El
material para la base cuesta 10 dólares por metro cuadrado y el material para los lados,
cuesta 6 dólares por metro cuadrado. Exprese el costo del material como función del
ancho de la base.
SOLUCIÓN Dibuje un diagrama como el de la figura 12 e introduzca la notación tomando w y 2w como el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h como
El área de la base es 2ww  2w 2, de modo que el costo, en dólares, del material
para la base es 102w 2 . Dos de los lados tienen el área wh y el área de los otros dos
es 2wh, así el costo del material para los lados es 6 2wh  22wh . En consecuencia
C  102w 2   6 2wh  22wh  20w 2  36wh
Para expresar C como función sólo de w, necesita eliminar h, lo que sucede al aplicar el
hecho de que el volumen es 10 m3. De este modo,
w2wh  10
Si se sustituye esto en la expresión para C
& Al establecer funciones de aplicación, como
en el ejemplo 5, puede resultar útil repasar los
principios para la resolución de problemas como
se plantean en la página 76, en particular el
C  20w 2  36w
 20w 2 
Por lo tanto, la ecuación
Cw  20w 2 
expresa C como función de w.
w0
EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada función.
(a) f x  sx  2
(b) tx 
Si se da una función mediante una fórmula
y no se da el dominio explícitamente, la convención es que el dominio es el conjunto de
todos los números para los que la fórmula
tiene sentido y deﬁne un número real.
(a) Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no está deﬁnida (como número real),
el dominio de f consta de todos los valores de x tales que x  2  0. Esto es equivalente
a x  2, de modo que el dominio es el intervalo 2, .
(b) Dado que
tx  2
xx  1
y la división entre 0 no está permitida, tx no está deﬁnida cuando x  0 o x  1. Por lo
tanto, el dominio de t es
x x  0, x  1
lo cual también podría escribirse, con la notación de intervalos, como
 , 0  0, 1  1, 
La gráﬁca de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿cuáles
curvas en el plano xy son gráﬁcas de funciones? La siguiente prueba responde lo anterior.
PRUEBA DE LA LÍNEA VERTICAL Una curva en el plano xy es la gráfica de una
función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de
En la ﬁgura 13 se puede ver la razón de la veracidad de la prueba de la línea vertical.
Si cada línea vertical x  a interseca una curva sólo una vez, en a, b, por lo tanto se
deﬁne exactamente un valor funcional mediante f a  b. Pero si una línea x  a se interseca con la curva dos veces, en a, b y a, c, entonces la curva no puede representar
una función, porque una función no puede asignar dos valores diferentes a a.
Por ejemplo, la parábola x  y 2  2 que aparece en la ﬁgura 14(a) en la página que sigue
no es la gráﬁca de una función de x porque, como el lector puede ver, existen líneas verticales que intersecan dos veces esa parábola. Sin embargo, la parábola en realidad contiene
las gráﬁcas de dos funciones de x. Observe que x  y 2  2 significa y 2  x  2, por lo
que y  s x  2. Por esto, las mitades superior e inferior de la parábola son las gráﬁcas
de las funciones f x  s x  2 [del ejemplo 6(a)] y tx  s x  2 [véase las figuras 14(b) y (c)]. Observe que, si invierte los papeles de x y y, en tal caso la ecuación
x  h y  y 2  2 deﬁne x como función de y (con y como la variable independiente y x
como dependiente) y la parábola aparece ahora como la gráﬁca de la función h.
Las funciones de los cuatro ejemplos siguientes están deﬁnidas por fórmulas diferentes en
diferentes partes de sus dominios.
V EJEMPLO 7
Una función f se deﬁne por
f x 
1  x si x 1
si x  1
Evalúe f0), f1) y f2) y trace la gráﬁca.
SOLUCIÓN Recuerde que una función es una regla. Para esta función en particular, la regla
es: primero se considera el valor de la entrada x. Si sucede que x  1, entonces el valor de
fx) es 1  x. Por otra parte, si x  1, entonces el valor de fx) es x 2.
1, tenemos f 0  1  0  1.
1, tenemos f 1  1  1  0.
Como 2  1, tenemos f 2  2 2  4.
¿Cómo dibujar la gráﬁca de f? Observe que, si x  1, entonces fx)  1  x de
modo que la parte de la gráﬁca de f que se encuentra a la izquierda de la línea vertical
x  1 debe coincidir con la línea y  1  x, la cual tiene la pendiente 1 y 1 como
ordenada al origen. Si x  1, entonces fx)  x2, por lo que la parte de la gráﬁca de f
que está a la derecha de la línea x  1 tiene que coincidir con la gráﬁca de y  x2, la cual
es una parábola. Esto permite trazar la gráﬁca de la ﬁgura 15. El punto relleno indica que
el punto 1, 0) está incluido en la gráﬁca; el punto hueco indica que el punto 1, 1) está
fuera de la gráﬁca.
El ejemplo siguiente de una función seccionalmente deﬁnida es la función valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número a, denotado con a , es la distancia de
a hasta 0, sobre la recta de los números reales. Las distancias siempre son positivas o 0;
& Para un repaso más extenso de los valores
absolutos, véase el apéndice A.
a  0
3  3
 3   3
para todo número a
0  0
 s2  1   s2  1
a  a
 a   a
si a  0
si a  0
(Recuerde que si a es negativo, entonces a es positivo.)
3   
EJEMPLO 8 Trace la gráﬁca de la función valor absoluto, f x  x .
SOLUCIÓN Con base en el análisis precedente, sabe que
x 
si x  0
si x  0
Al aplicar el método del ejemplo 7, la gráfica de f coincide con la línea y  x, a
la derecha del eje y, y coincide con la línea y  x, a la izquierda del eje y (véase la
ﬁgura 16).
EJEMPLO 9 Encuentre una fórmula para la función f que se dibuja en la ﬁgura 17.
SOLUCIÓN La línea que pasa por 0, 0) y 1, 1) tiene pendiente m  1 y su ordenada al ori-
gen es b  0, de forma que su ecuación es y  x. Así, para la parte de la gráfica de f
que une 0, 0) con 1, 1),
f x  x
Forma punto-pendiente de la ecuación de
La línea que pasa por 1, 1) y 2, 0) tiene pendiente m  1, de suerte que su forma
punto-pendiente es
y  y1  mx  x 1 
y  0  1x  2
y2x
f x  2  x
1x
Observe también que, para x  2, la gráﬁca de f coincide con el eje x. Si reúne esta información, tiene la fórmula siguiente para f, en tres secciones:
si 1  x
si x  2
EJEMPLO 10 En el ejemplo C del principio de esta sección, se consideró el costo Cw de
enviar por correo una carta de primera clase con peso w. En realidad, ésta es una función
seccionalmente deﬁnida porque, a partir de la tabla de valores, se tiene
Cw 
La gráﬁca se muestra en la ﬁgura 18. Usted puede ver por qué a las funciones semejantes
a ésta se les llama función escalón: saltan de un valor al siguiente. En el capítulo 2 se
estudiarán esas funciones.
Si una función f satisface f x  f x, para todo número x en su dominio, entonces f se
denomina función par. Por ejemplo, la función f x  x 2 es par porque
f x  x2  x 2  f x
El signiﬁcado geométrico de una función par es que su gráﬁca es simétrica con respecto al
eje y (véase la ﬁgura 19). Esto signiﬁca que si traza la gráﬁca de f para x 0, obtiene toda
la gráﬁca con sólo reﬂejar esta porción con respecto al eje y.
Si f satisface f x  f x, para todo número x en su dominio, entonces f se conoce
como función impar. Por ejemplo, la función f x  x 3 es impar porque
Una función par
f x  x3  x 3  f x
La gráﬁca de una función impar es simétrica respecto al origen (véase la ﬁgura 20). Si ya
tiene la gráﬁca de f para x 0, puede obtener la gráﬁca entera al hacerla girar 180 alrededor del origen.
V EJEMPLO 11 Determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ninguna
(a) f x  x 5  x
(b) tx  1  x 4
(c) hx  2x  x 2
f x  x5  x  15x 5  x
 x 5  x  x 5  x
 f x
En consecuencia, f es una función impar.
tx  1  x4  1  x 4  tx
De modo que t es par.
hx  2x  x2  2x  x 2
Dado que hx  hx y hx  hx, se concluye que h no es par ni impar.
En la ﬁgura 21 se muestran las gráﬁcas de las funciones del ejemplo 11. Observe que
la gráﬁca de h no es simétrica respecto al eje y ni respecto al origen.
La gráﬁca que se muestra en la ﬁgura 22 sube desde A hasta B, desciende desde B hasta C,
y vuelve a subir desde C hasta D. Se dice que la función f está creciendo sobre el intervalo
a, b , decreciendo sobre b, c , y creciendo de nuevo sobre c, d . Observe que si x1 y x2
son dos números cualesquiera entre a y b, con x 1  x 2 , entonces f x 1   f x 2 . Use esto
como la propiedad que deﬁne una función creciente.
f(x ¡)
Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I si
f x 1   f x 2 
siempre que x 1  x 2 en I
Se dice que es decreciente sobre I si
f x 1   f x 2 
En la deﬁnición de función creciente es importante darse cuenta que se debe satisfacer
la desigualdad f x 1   f x 2  para toda pareja de números x1 y x2 en I con x 1  x 2.
A partir de la ﬁgura 23 es posible observar que la función f x  x 2 es decreciente sobre
el intervalo  , 0 y creciente sobre el intervalo 0, .
1. Se da la gráﬁca de una función f.
(a) Establezca el valor de f 1.
(b) Estime el valor de f 2.
(c) ¿Para cuáles valores de x se tiene f x  2?
(d) Estime los valores de x tales que f x  0.
(e) Establezca el dominio y el rango de f.
(f) ¿En qué intervalo es f creciente?
2. Se proporcionan las gráﬁcas de f y t.
el peso de esta persona a lo largo del tiempo. ¿Qué piensa el lector que sucedió cuando esta persona tenía 30 años?
Dé los valores de f 4 y t3.
¿Para cuáles valores de x se tiene f x  tx?
Estime la solución de la ecuación f x  1.
¿En qué intervalo f es decreciente?
Dé el dominio y el rango de f.
Dé el dominio y el rango de t.
10. La gráﬁca que se muestra da la distancia a la que se encuentra un
vendedor de su casa como función del tiempo en cierto día.
Describa con palabras lo que la gráﬁca indica con respecto al
recorrido del vendedor en este día.
3. Un instrumento operado por el Departamento de Minas y Geo-
logía en el Hospital Universitario de la Universidad del Sur de
California (USC) en Los Ángeles, registró la figura 1. Úsela
para estimar el intervalo de la funcion aceleración vertical del
suelo, en la USC durante el terremoto de Northridge.
4. En esta sección se analizaron ejemplos de funciones, cotidia-
nas: la población es una función del tiempo, el costo del porte
de correos es una función del peso, la temperatura del agua
es una función del tiempo. Dé otros tres ejemplos de funciones de la vida cotidiana que se describan verbalmente. ¿Qué
puede decir acerca del dominio y del rango de cada una de
sus funciones? Si es posible, trace una gráfica aproximada
5–8 Determine si la curva es la gráﬁca de una función de x. Si lo
es, dé el dominio y el rango de la función.
6 P.M. Tiempo
11. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con
agua fría y lo deja sobre una mesa. Describa cómo cambia la
temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. Después,
trace una gráﬁca aproximada de la temperatura del agua como
función del tiempo transcurrido.
12. Trace una gráﬁca aproximada del número de horas de luz del
día como función de la época del año.
13. Trace una gráﬁca aproximada de la temperatura exterior como
función del tiempo durante un día típico de primavera.
14. Dibuje una gráﬁca aproximada del valor en el mercado, por un
periodo de 20 años de un automóvil nuevo. Considere que se le
da buen mantenimiento.
15. Dibuje la gráﬁca de la cantidad de una marca particular de café
vendida por una tienda como una función del precio del café.
16. Usted coloca un pastel congelado en un horno y lo hornea duran-
te una hora. Luego, lo saca y lo deja enfriar, antes de comerlo.
Describa cómo cambia la temperatura del pastel conforme pasa el
tiempo. Después, trace una gráﬁca aproximada de la temperatura
del pastel como función del tiempo.
17. El propietario de una casa corta el césped cada miércoles por la
tarde. Trace una gráﬁca aproximada de la altura del césped como
función del tiempo durante un periodo de cuatro semanas.
18. Un avión sale de un aeropuerto y aterriza, una hora más tarde, en
9. La gráﬁca que se muestra da el peso de cierta persona como una
función de la edad. Describa con palabras la manera en que varía
otro aeropuerto que se encuentra a 400 millas de distancia. Si t
representa el tiempo en minutos desde que el avión ha dejado
la terminal, sea xt la distancia horizontal recorrida y yt la
altitud del avión. Trace.
(a) Una gráﬁca posible de xt.
(b) Una gráﬁca posible de yt.
(c) Una gráﬁca posible de la rapidez con respecto al suelo.
(d) Una gráﬁca posible de la velocidad vertical.
31. hx 
x 2  5x
28. Encuentre el dominio, el rango y trace la gráﬁca de la función
hx  s4  x 2.
19. En la tabla se exhibe el número N (en millones) de usuarios de
telefonos celulares en el mundo. (Se proporcionan estimaciones
semestrales).
(a) Mediante los datos trace una gráﬁca de N en función de t.
(b) Utilice la gráﬁca para estimar la cantidad de usuarios de
teléfono celular a mediados de año en 1995 y 1999.
20. El 2 de junio de 2001 se tomaron lecturas de temperatura T
(en °F) cada dos horas desde la medianoche hasta las 2:00 P.M. El
tiempo t se midió en horas a partir de la medianoche.
(a) Utilice las lecturas para trazar una gráﬁca aproximada de T
como una función de t.
(b) Utilice la gráﬁca que trazó para estimar la temperatura a las
21. Si f x  3x 2  x  2, encuentre f 2, f 2, f a, f a,
f a  1, 2 f a, f 2a, f a 2 , [ f a] 2 y f a  h.
33–44 Encuentre el dominio y trace la gráﬁca de la función.
33. f x  5
34. Fx  2 x  3
35. f t  t 2  6t
36. Ht 
37. tx  sx  5
38. Fx  2x  1
39. Gx 
41. f x 
42. f x 
43. f x 
44. f x 
22. Un globo esférico con radio de r pulgadas tiene el volumen
Vr  43 r 3. Encuentre una función que represente la cantidad
de aire que se requiere para inﬂarlo desde un radio de r pulgadas hasta otro de r  1 pulgadas.
23–26 Valorar el cociente de diferencia para la función que se pro-
porciona. Simpliﬁque su respuesta.
23. f(x)  4  3x  x ,
f(3  h) – f(3)
24. f(x)  x ,
25. f(x) 
26. fx 
x 3
3x  x
3  12x
4  t2
40. tx 
x  2 si x 1
si x  1
x  9 si x  3
si x  3
45–50 Encuentre una expresión para la función cuya gráﬁca es la
curva dada.
45. El segmento rectilíneo que une los puntos 1, 3 y 5, 7
46. El segmento rectilíneo que une los puntos 5, 10 y 7, 10
47. La mitad inferior de la parábola x   y  12  0
48. La mitad superior del círculo x2  (y  22  4
f(a  h) – f(a)
f(x) – f(a)
f(x) – f(1)
27–31 Encuentre el dominio de la función.
27. f x 
3x  1
5x  4
28. f x  2
x  3x  2
29. f t  st  s
30. tu  su  s4  u
51–55 Encuentre una fórmula para la función descrita y dé su
51. Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área del
rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados.
52. Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese su perímetro
(b) ¿Cuál impuesto corresponde a un ingreso de 14 000 dólares
y a otro de 26 000 dólares?
(c) Trace la gráﬁca del impuesto total correspondiente T como
función del ingreso I.
como función de la longitud de uno de sus lados.
53. Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la
longitud de uno de los lados.
54. Exprese el área superﬁcial de un cubo como función de su vo-
60. Las funciones del ejemplo 10 y de los ejercicios 58 y 59(a) se
conocen como funciones escalones porque sus gráﬁcas parecen
escaleras. Dé otros dos ejemplos de funciones escalones que
surjan en la vida cotidiana.
55. Una caja rectangular abierta, con volumen de 2 m3, tiene una
base cuadrada. Exprese el área superﬁcial de la caja como función de la longitud de uno de los lados de la base.
56. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coro-
nado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de
30 pies, exprese el área A de ella como función del ancho x
61–62 Se muestran las gráﬁcas de f y t. Determine si cada función
es par, impar o ninguna de las dos. Explique su razonamiento.
57. Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir
de un trozo rectangular de cartón que tiene las dimensiones de
12 pulgadas por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales
de lado x en cada una de las esquinas y, a continuación, doblando
los lados como se ilustra en la ﬁgura. Exprese el volumen V
de la caja como función de x.
63. (a) Si el punto 5, 3 está sobre la gráﬁca de una función par,
¿cuál otro punto también debe estar sobre la gráﬁca?
(b) Si el punto 5, 3 está sobre la gráﬁca de una función impar,
64. Una función f tiene el dominio 5, 5 y se muestra una parte
de su gráﬁca.
(a) Complete la gráﬁca de f si se sabe que ésta es par.
(b) Complete la gráﬁca de f si se sabe que ésta es impar.
58. Una compañía de taxis cobra dos dólares por la primera milla
(o parte de una milla) y 20 centavos de dólar por cada décimo
de milla (o parte) subsiguiente. Exprese el costo C (en dólares) de
un viaje como función de la distancia x recorrida (en millas),
para 0  x  2, y dibuje la gráﬁca de esta función.
59. En cierto país, el impuesto sobre la renta se evalúa como se
indica a continuación. No se paga impuesto sobre ingresos hasta
de 10 000 dólares. Cualquier ingreso superior a 10 000 dólares
paga un impuesto del 10% del mismo, hasta un ingreso de
20 000 dólares. Cualquier ingreso superior a 20 000 dólares
paga impuesto con una tasa del 15%.
(a) Trace la gráﬁca de la tasa R de impuesto como función del
ingreso I.
65–70 Determine si f es par, impar o ni par ni impar. Si tiene una
calculadora graﬁcadora, úsela para veriﬁcar de manera visual su
65. f x 
66. f x 
67. f x 
68. f x  x x
69. f x  1 3x2  x4
70. f x  1 3x3  x5
Un modelo matemático es una descripción matemática (con frecuencia mediante una función o una ecuación), de un fenómeno del mundo real, como por ejemplo el tamaño de una
población, la demanda por un producto, la rapidez de caída de un objeto, la concentración de
un producto en una reacción química, la expectativa de vida de una persona cuando nace o el
costo de la reducción de emisiones. El propósito del modelo es entender el fenómeno y quizá
hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro.
La ﬁgura 1 ilustra el proceso del modelado matemático. Una vez que se especiﬁca un
problema del mundo real, la primera tarea consiste en formular un modelo matemático identificando y dándole un nombre a las variables independientes y dependientes, así como
hacer supuestos que simpliﬁquen, lo suﬁciente, el fenómeno como para hacer que sea susceptible de rastrearse en forma matemática. Utilice su conocimiento acerca de la situación
física y sus habilidades matemáticas para obtener ecuaciones que relacionen las variables.
En aquellas situaciones en las que no existen leyes físicas que lo guíen, tal vez necesite recabar información (ya sea de una biblioteca o de la Internet o llevando a cabo sus propios
experimentos) y analizarlos en forma de tabla con objeto de discernir patrones. A partir de esta representación numérica quizá desee obtener una representación gráfica por
medio del dibujo de los datos. En algunos casos, la gráﬁca puede hasta sugerir una forma
algebraica adecuada.
Predicciones en
FI GURA 1 El proceso del modelado
La segunda etapa es aplicar las matemáticas que conoce (como por ejemplo el cálculo
que se desarrollará en todas las partes de este libro) al modelo matemático formulado con
el ﬁn de deducir conclusiones matemáticas. Después, en la tercera etapa, tome esas conclusiones matemáticas e interprételas como información acerca del fenómeno original del
mundo real por medio de ofrecer explicaciones o hacer predicciones. La etapa ﬁnal es probar las predicciones que formuló veriﬁcándolas contra datos nuevos relativos al mundo real.
Si las predicciones no se comparan de manera apropiada con la realidad, necesita aﬁnar su
modelo o bien formular uno nuevo y empezar el ciclo de nuevo.
Un modelo matemático nunca es una representación totalmente precisa de una situación
física, es una idealización. Un buen modelo simpliﬁca la realidad lo suﬁciente como para
permitir cálculos matemáticos pero es lo suﬁcientemente preciso para proveer conclusiones
valiosas. Es importante darse cuenta de los límites del modelo. En última instancia, la madre
naturaleza tiene la última palabra.
Existen muchos tipos diferentes de funciones que pueden usarse para modelar correspondencias que se observan en el mundo real. En las secciones subsecuentes, analizará el
comportamiento y las gráﬁcas de estas funciones y atenderá ejemplos de situaciones modeladas en forma apropiada por medio de esas funciones.
& En el apéndice B se repasa la geometría
analítica de las rectas.
Cuando dice que y es una función lineal de x, lo que quiere dar a entender es que la gráﬁca de la función es una recta, de tal manera puede usar la forma pendiente-intersección
de la ecuación de una recta para escribir una fórmula para la función como
y  f x  mx  b
donde m es la pendiente de la recta y b es la coordenada al origen y.
SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS
Una característica representativa de las funciones lineales es que crecen en una proporción constante. La figura 2, por ejemplo, presenta una gráfica de la función lineal
fx  3x  2 y una tabla de valores muestra. Observe que siempre que x aumenta en 0.1, el
valor de fx se incrementa en 0.3. Por eso fx se incrementa tres veces tan rápido como x.
De este modo la pendiente de la gráfica y  3x  2, en este caso 3, puede interpretarse
como la relación de cambio de y con respecto a x.
f x  3x  2
V EJEMPLO 1
(a) A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y

References: resolución 
 Artículo 27
 resolución 
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