Source: https://de.scribd.com/document/243155534/Matematica-2-Unidad-2-SEL-pdf
Timestamp: 2020-08-13 18:45:19+00:00

Document:
Matematica_2_Unidad_2_SEL.pdf | Matriz (Matemáticas) | Ecuaciones
speichernMatematica_2_Unidad_2_SEL.pdf für später speichern
21 Ansichten26 Seiten
ApunteAlgebra
Matrices I (1)
Eliminacion Gaussiana y Pivoteo
Algebra Lineal 4
an-ss02-sistema-de-ecuaciones.pdf
Ensayo Matemática 4
Soluciones Primer Parcial Mat 1103 A
MALI_U3_A3_JUGU.docx
1.1 Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales
El concepto “lineal” así como la expresión “modelos lineales” han tomado vital importancia en las últimas décadas. Las aplicaciones de los modelos lineales son amplísimas y abarcan prácticamente todas las ramas del conocimiento humano: además de la matemática y la física, la biología, química, economía, logística, estadística y todas las ramas de la ingeniería se sirven en mayor o menor medida del álgebra lineal.
¿Por qué decimos que los modelos lineales son tan importantes? Básicamente porque se trata de modelos que representan la realidad de una manera sencilla y ofrecen resultados altamente satisfactorios en muchas situaciones diversas. Sabemos que en el mundo que nos rodea no todos los fenómenos son lineales y hay casos en los que necesariamente se debe caer en la matemática no lineal, pero ésta ciertamente presenta dificultades desde el punto de vista analítico y práctico.
En este curso pretendemos que usted se acerque a los modelos lineales que emplean o conducen a un conjunto de ecuaciones o inecuaciones lineales simultáneas.
¿Cuándo una relación es lineal? Básicamente cuando hay una relación lineal entre la variable de entrada y la variable de salida. Por ejemplo, si por efecto de un aumento de temperatura dado, una varilla de metal se estira 4 centésimas de milímetro, quiere decir que si la temperatura aumenta el doble, la varilla se estirara 8 centésimas. Si me permite la comparación, en el campo de la psicología, en cambio, a una modificación en las condiciones de entrada no necesariamente le corresponde una modificación similar en la respuesta. Se trata de fenómenos que escapan a la simplificación de la linealidad.
¿Cuándo una ecuación es lineal?
Cuando puede ser escrita en la siguiente forma:
ax by  cz  d
Donde a, b, c, d son constantes (números Reales) y “x” , “y” “z” son variables. A las constantes “a” “b” y “c” se las denomina coeficientes de las variables y a la constante “d” se la denomina “termino independiente”.
Cuando una ecuación involucra muchas variables, es más efectiva la utilización de subíndices para designar a los coeficientes y a las variables, por ejemplo:
a x  a x
 a x
Son los coeficientes de las incógnitas.
Son las variables o incógnitas
“b” es el término independiente.
Si un problema debe satisfacer simultáneamente a varias ecuaciones que involucran a distintas variables, entonces debemos resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales (en forma sintética, SEL).
El siguiente es un ejemplo de Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
El sistema arriba mostrado se denomina “ordenado” ya que todas las incógnitas están del mismo lado de la igualdad, ocupando similares posiciones y los términos independientes se escriben del lado derecho de la igualdad.
Este tema no es nuevo para usted: en la escuela secundaria seguramente lo ha estudiado. (Si es alumno de la Licenciatura en Logística, en la Guía de Nivelación de Matemática ha resuelto sistemas de ecuaciones lineales, como parte del repaso de temas del secundario). Sin embargo, los métodos de resolución vistos hasta ahora son métodos aplicables a sistemas de cuanto mucho tres ecuaciones. Cuando el sistema de ecuaciones involucra 4 o más ecuaciones con mas de 3 incógnitas los métodos a los que hice referencia (sustitución, igualación, sumas y restas, etc.) resultan muy engorrosos.
En esta unidad trabajaremos un método conocido como Método de Eliminación Gaussiana 1 que es el método principal para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y que se adapta perfectamente al formato matricial, cuyos principios básicos ha estudiado usted en la unidad anterior.
1.2 Método de eliminación Gaussiana.
El método se compone de dos partes:
1 En honor de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) junto con Arquímedes y Newton el más grande matemático de todos los tiempos.
 Transformación paso a paso del sistema dado en otro más simple
 Resolución del sistema más simple mediante una sustitución hacia atrás.
Analice el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Se trata de un SEL con tres ecuaciones y tres incógnitas. Coincidirá usted conmigo en que se trata de un SEL cuyas soluciones se obtienen de manera casi inmediata. Por de pronto y por simple observación de la última ecuación podemos decir que: z = 3 Conociendo el valor de la variable z, podemos ir a la segunda ecuación y reemplazar z por 3 con lo que tenemos:
 
De la misma manera si vamos a la primera ecuación con los valores ya calculados de z y de y, podremos obtener el valor correspondiente de x. (Verifique usted mismo que este valor es x = 1) Esto que acabo de hacer es una “sustitución hacia atrás”.
No todos los sistemas son así de sencillos, veamos el sistema abajo mostrado:
- 2x + 3y + 1/3z = 5
2z = - 1
a simple vista resulta imposible deducir el valor de las variables. El método que veremos a continuación pretende transformar un sistema de ecuaciones lineales de difícil resolución (tal como el 2) en otro sistema equivalente cuyas incógnitas puedan ser fácilmente calculadas (tal como en el SEL 1). Solución mediante la notación matricial
Todo sistema de ecuaciones lineales puede ser escrito utilizando la denominada notación matricial.
El sistema siguiente:
2x + 3y = 6 5x – 2y = 4
      
   6 4   
Observe atentamente cómo se escribió el sistema. La primer matriz (denominada A) es la matriz de coeficientes del SEL, la segunda matriz (denominada X) es la matriz de incógnitas del sistema y la matriz que se
encuentra del lado derecho del signo igual, es la matriz (denominada B) de términos
Escrito de manera simplificada: A . X = B El producto A.X debe satisfacer las reglas del producto de matrices que usted ya estudió
en la unidad anterior, a saber, el número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas de la matriz X de otra manera el producto no podría efectuarse. Por otra parte la matriz B tendrá tantas filas como la matriz A y tantas columnas como la matriz
Practique usted a continuación cómo escribir un SEL en forma matricial
los siguientes SEL en
previamente ordenar el SEL dado)
3x –5y + 2z – u = 4
-2x + y = 4-3z
2x + 6y – 4z
6y + x – 2 = z
-y + 3 = 2x - z
4z –3 = 2x – y + 1
¿Cuál de los siguientes sistemas tiene la matriz de coeficientes indicada abajo?
 5 y  1
2 x  z  3
Para ver las soluciones de la Actividad 1 clickee aquí.
Utilizaremos las matrices como auxiliares en nuestro objetivo de transformar un SEL cuyas incógnitas no son de determinación inmediata, en otro SEL con incógnitas sencillas de obtener.
La transformación de un sistema como el (2) en otro como el (1) –ver página 3- puede efectuarse mediante determinadas operaciones elementales sobre filas realizadas sobre las matrices A y B asociadas al sistema. Estas Operaciones elementales sobre filas son:
1. Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
2. Intercambiar dos filas entre si.
3. Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
Veamos el procedimiento detenidamente con ayuda de un ejemplo numérico sencillo.
Dado el SEL abajo indicado, calcule el valor de las incógnitas con ayuda del método de eliminación gaussiana.
1 er Paso: Armamos la matriz asociada al sistema de ecuaciones dado. Esta matriz se
denomina matriz ampliada o aumentada (porque incluye a la matriz de coeficientes y a la columna de los términos independientes) asociada al SEL dado. Esta es:
2º Paso: comenzamos el método de eliminación gaussiana, convirtiendo el primer elemento de la primera fila en 1. Este se denominará primer pivote, o “uno principal”. Para convertir el 2 en 1, deberemos usar la primera de las operaciones sobre filas arriba nombradas, es decir, multiplicar toda la fila por un número distinto de cero, que en este caso será el ½ ya que el producto de 2 x ½ resulta igual a 1, que es el objetivo buscado. Conviene escribir cuál es la operación realizada. En este caso abreviadamente
para indicar que la fila 1 quedó multiplicada por 1/2
fila se multiplica por
(abreviadamente
Siempre que debamos convertir un número en 1, multiplicaremos toda la fila por el recíproco del número en cuestión. Veremos cómo queda la matriz ahora:
3 er Paso: convertimos en cero todo lo que esté por debajo del primer pivote. Para
esto recurrimos a la tercera de las operaciones elementales sobre filas: sumamos a una fila el múltiplo de otra fila. En nuestro caso, para convertir el 3 en cero, le tenemos que sumar -3 por lo que multiplicaremos la primera fila por -3 y se la sumaremos a la
segunda fila, (abreviadamente: 3F1 F2 ) es decir:
1ª fila por (-3) se suma a la segunda fila. (abrev. -3F1 + F2)
la matriz quedará así:
Nota: para que el alumno se ubique en las operaciones realizadas:
Multiplicamos 1x(-3) = -3 y se lo sumamos al elemento que está en la fila de abajo y en la misma columna, por lo que -3 + 3 = 0, este es el cero que hemos escrito en la segunda fila, primera columna. Ahora repetimos la operación en la segunda columna: Multiplicamos -5/2 x (-3) = 15/2 y se lo sumamos al elemento de abjo, es decir: 15/2 + 4 = 23/2 que es lo que hemos escrito en la segunda fila, segunda columna. Por último repetimos la operación con la última columna. Multiplicamos 11/2 x (-3) = - 33/2 y se lo sumamos al elemento de abajo, es decir: -33/2 + 5 = -23/2 que es el número que aparece escrito en la segunda fila, tercera columna.
Una vez obtenido ceros por debajo del uno principal, iniciamos el:
4º paso: Dejamos el primer pivote y pasamos a la columna siguiente, segunda fila. Este elemento deberá convertirse en 1, por lo que debemos multiplicar toda la segunda fila por 2/23, es decir:
Se multiplica la 2
fila por
Nuestra matriz ampliada queda así:
(abreviadamente:
En este punto, se dice que la matriz está escalonada, ya que los elementos no-nulos que están más a la izquierda en cada fila son solamente unos y por debajo de esos unos hay únicamente ceros.
Nota: este paso deberá repetirse dependiendo del tamaño de la matriz.
Nota: observe que una matriz escalonada muestra un patrón de “escalones de unos” como se muestra
abajo. Por debajo de los escalones solo deberemos tener ceros y por arriba de los unos principales habrá
cualquier número real –en este caso representados por letras del alfabeto-:
5º Paso: Como hemos llegado a la última fila, aquí nos quedamos y ahora recorremos el camino inverso, es decir, a partir de esta matriz armamos el sistema de ecuaciones lineales asociado, que debería ser un sistema con soluciones casi inmediatas.
 y  1
Se observa que y = -1 y reemplazando este valor en la primera ecuación obtenemos el valor de x, que resulta ser x = 3
Veamos otro ejemplo resuelto paso a paso, pero con los cálculos directos, sin explicación verbal, tal y como trabajaría normalmente.
Resuelva el siguiente SEL por el método de eliminación Gaussiana.
2x + y – 2z = 10
3x + 2y + 2z =
5x + 4y + 3z =
La matriz ampliada asociada al SEL es:
Iniciamos el proceso para escalonar la matriz:
Multiplicamos fila 1 por
Tenemos ya el primer uno principal, ahora a convertir en cero todo lo que esté por debajo de este 1.
Hemos multiplicado fila 1 por -3 y sumado a fila 2
 Hemos multiplicado fila 1 por -5 y sumado a fila 3
Dejamos el primer pivote o uno principal y pasamos a la segunda fila.
 Hemos multiplicado la fila 2 por 2
Hemos multiplicado la fila 2 por -
y sumado a la fila 3
Dejamos el segundo pivote y pasamos a la fila 3.
Hemos multiplicado la fila 3 por -
La matriz está escalonada, ahora pasamos al sistema de ecuaciones asociado.
  5
z z z  3
De aquí concluimos que z = - 3
A manera de práctica resuelva los siguientes Sistemas de Ecuaciones Lineales por el Método de Eliminación Gaussiana.
Resuelva los sistemas siguientes utilizando el método de eliminación gaussiana.
  4
Para ver las soluciones clickee aquí.
Hasta ahora todos los ejemplos propuestos condujeron a una única solución para cada una de las variables, pero un Sistema de Ecuaciones Lineales puede conducir a tres tipos de situaciones:
Inconsistente o Incompatible (sin solución)
Veremos a continuación un ejemplo correspondiente a un SEL con infinitas soluciones.
Resuelva el SEL siguiente por el método de eliminación Gaussiana
 
  7
24 
30 
  12
6  12 
4 
Observe muy especialmente la característica de la matriz escalonada: tres incógnitas, dos “pivotes” o “unos principales”.
Se llega finalmente a
De la última ecuación podemos despejar la incógnita x2, quedándonos:
 4  2x
Este valor de x2 puede reemplazarse en la primera ecuación:
y despejando de esta última x :
Las dos ecuaciones destacadas dependen de la incógnita x3, que se designa como variable libre. Como estamos frente a una situación de infinitas soluciones, podemos definir un conjunto solución S como sigue:
S x x
  a x 
 a x  a
Donde “a” representa a la variable libre.
Veamos otro ejemplo de sistema con infinitas soluciones:
Resuelva el siguiente SEL mediante el método de eliminación Gaussiana.
2 
La última matriz está escalonada. Obsérvela atentamente: tenemos tres incógnitas y solo dos pivotes o unos principales. Reconstruimos el SEL asociado:
De la segunda ecuación despejamos la incógnita y:
y  2  2z
Reemplazamos esta última en la primera ecuación:
Nuestra incógnita libre es “z” a la que designaremos “a”. El conjunto solución por lo tanto será:
S x; y;z/ x 3 a ; y  2  2a ; z  a
Y a continuación un ejemplo de SEL inconsistente o incompatible (sin solución):
15 
 1 
3  5 
Es imposible continuar escalonando. La última fila corresponde a una ecuación equivalente a 0 = -1 lo cual es incongruente. El SEL no tiene solución.
Como conclusión, y a los efectos de que reconozca claramente el tipo de solución del SEL en el que está trabajando a partir de la observación de la matriz escalonada, incluyo aquí el cuadro siguiente:
Matriz escalonada con igual
incógnitas que unos
incógnitas que unos principales.
Al menos una fila compuesta de ceros en todas las posiciones, salvo la última.
Sólo queda practicar las técnicas vistas hasta ahora. Lo invito a desarrollar los siguientes cálculos:
Resuelva los siguientes Sistemas de Ecuaciones Lineales por
el método de eliminación
  6
Para ver las soluciones clickee aquí
Este método emplea las mismas operaciones sobre filas ya vistas y utilizadas en el método de eliminación Gaussiana, la diferencia estriba en que en este método se pretende obtener ceros por abajo y por arriba de los unos principales, la matriz que se busca se denomina “escalonada reducida” . En este video podrá observar esta resolución paso a paso. Para complementar el material audiovisual, desarrollo aquí un ejemplo de SEL resuelto por el método de Gauss-Jordan.
Resuelva el siguiente SEL por el método de Gauss-Jordan
 8
La última matriz obtenida es una matriz escalonada reducida. Unos sobre la diagonal principal y ceros por debajo y por arriba de dichos unos principales. Reconstruimos el sistema de ecuaciones lineales asociado:
El método elimina la sustitución que usamos en la eliminación gaussiana.
Método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Este es un método alternativo para la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales, pero no puede ser empleado en cualquier tipo de SEL. Solamente se utiliza en Sistemas con igual número de ecuaciones que de incógnitas, es decir, sistemas cuyas matrices de coeficientes son cuadradas.
En la Unidad anterior usted aprendió a calcular la inversa (A -1 ) de una matriz A. Este método emplea la matriz inversa para la resolución de un sistema de ecuaciones. El método se basa en la siguiente propiedad del producto de matrices:
Dado un Sistema de Ecuaciones Lineales escrito en forma matricial tal como:
A.X = B Siendo A matriz de coeficientes (cuadrada e invertible) , podemos multiplicar a izquierda y a derecha por la inversa de A, es decir por A -1 :
I  X  A  A X   B A  B
Como el producto A
es igual a la matriz identidad I, podemos escribir:
Sabemos que el producto de una matriz por la matriz identidad es igual a la misma matriz, por lo que nos queda:
 A  B
Y esta fórmula nos abre la puerta a otro método para el cálculo de las incógnitas de un SEL: obtenida la inversa de la matriz de coeficientes, al multiplicar ésta por la matriz columna de los términos independientes (B) obtenemos la matriz de incógnitas buscada (X). Veamos un ejemplo:
Resuelva el siguiente SEL de igual número de ecuaciones e incógnitas por el método de la matriz inversa.
La matriz A, o matriz de coeficientes del sistema es:
Empleando el método visto en la unidad anterior, obtendremos la inversa de la matriz A, es decir, A -1 .
Sugiero al alumno a esta altura de la asignatura, recurrir a algún soft de cálculo matricial gratuito de los que encontrará muchos en la web, en particular para esta unidad he empleado una herramienta disponible en el sitio http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/.
La matriz inversa buscada es:
0.115 0.346 -0.269
= -0.308
0.077 0.385
0.269 -0.192 0.038
Obtenida A -1 efectuamos el producto A -1 . B es decir:
 0.269
 0.308
0.038 
 16 
resultado del producto arriba indicado será la matriz de incógnitas :
 3  
¿Y cuando la matriz A es no-invertible, qué ocurre con el SEL? En este caso el sistema tendrá infinitas soluciones o ninguna, este método no discrimina cuál de las dos. Propongo al alumno que resuelva los siguientes sistemas mediante el método de la matriz inversa.
Resuelva los siguientes SEL mediante el método de la matriz inversa.
Para ver las soluciones, clickee aquí.
Ciertamente es éste el punto más importante de la unidad. Aquí empleará usted las herramientas en las que ha venido entrenándose hasta el momento.
Suele ser también éste el ítem más temido por los alumnos. No sin cierta razón: aquí hay más de un problema, por un lado el cálculo matemático que podrá ser más o menos engorroso y por otro lado el planteo del sistema de ecuaciones que requiere un fuerte esfuerzo de comprensión. Si bien no hay “recetas mágicas” para aprender a resolver problemas, ciertamente que hay sugerencias útiles que seguramente lo ayudarán a organizarse mejor. Aquí un plan de acción razonable:
R e s o l v i e n d o
Hay dos pasos a seguir para resolver este tipo de problemas matemáticos:
1. Traducir el lenguaje escrito a una ecuación o ecuaciones numéricas.
2. Resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones!
 Lea el problema completamente cuantas veces sea necesario para tener una visión general del mismo.
 Escriba la información y las variables que ha conseguido identificar, acompañando cada variable de su unidad de medida (kilos, kilómetros, metros, pesos, etc. )
 Defina cuáles son sus incógnitas indicando en qué unidades se miden las mismas.
 Trabaje de manera organizada, el trabajar con claridad ayuda a pensar con claridad.
 Si puede y corresponde dibuje un esquema que lo ayude en la comprensión.
 Busque determinadas palabras “clave”. Ciertas palabras indican determinadas operaciones matemáticas.
 Una vez escritas las ecuaciones chequee que todos los términos en una misma ecuación se refieren a idénticas magnitudes (cada término se refiere a pesos o a kilogramos o a kilómetros).
 Al finalizar, chequear la solución buscando alguna incongruencia.
Resolución. Un problema de geometría, es de los que pueden representarse gráficamente a fin de entender mejor lo que se nos plantea:
Designamos a la altura con la letra “h” y a la base con la letra “b”. Se nos pregunta por el área de dicho rectángulo, que sabemos se calcula mediante la sencilla fórmula Sup = b x h
Por lo tanto nuestras incógnitas serán b y h ambos medidos en cm. Ahora vamos a los datos: el perímetro es de 16 cm. ¿Cómo se obtenía el perímetro de un rectángulo? Perímetro = 2b + 2h Por lo tanto ya tenemos planteada una primera ecuación:
2b + 2h = 16
También se nos dice que la base es el triple de la altura. Transformando esta frase a lenguaje matemático tendríamos:
 3h
queremos juntar nuestras variables del lado izquierdo del signo igual, nos quedaría
planteada la segunda ecuación de la siguiente forma:
 3h  0
con esto completamos todas las ecuaciones que podemos obtener a partir de la
consigna del problema. El SEL nos quedó planteado de la siguiente manera:
b  
La parte más ardua está concluida. Ahora pasamos al cálculo, empleando cualquiera de los métodos vistos hasta ahora. En este caso lo resolveré por eliminación gaussiana:
Llegamos en el último paso a la matriz escalonada, por lo que pasamos al SEL asociado:
h  2
y por lo tanto b = 6 cm
Deducimos que el área pedida será 2 x 6 = 12 cm 2
El último paso ahora, el que muchos alumnos obvian y sin embargo es una clave importante del éxito: Analizar la solución en busca de incongruencias.
¿Tiene sentido la solución? ¿Las unidades son correctas? ¿Responden a lo que el problema indicaba inicialmente?
Efectivamente la verificación satisface las condiciones del problema, el perímetro sería de 16 cm y la base b resulta el triple de la altura h. Todo parece estar en orden.
Respuesta: La superficie del rectángulo es de 12 cm 2
Truccio-computers fabrica tres modelos de computadoras personales: Cañón, Clon, y Lenta-pero-Segura. Para armar una computadora modelo Cañón necesita 12 horas de ensamblado, 2,5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una Clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por último, para una Lenta-pero-Segura requiere 6 para ensamblado, 1,5 para probarla, y 1,5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?
(Extraído del sitio web www.itescam.edu.mx)
Designaremos a las incógnitas de la manera siguiente:
Incógnita x = cantidad de computadoras tipo Cañón Incógnita y = cantidad de computadoras tipo Clon Incógnita z = cantidad de computadoras tipo Lenta-pero-Segura
Habrá una ecuación para tiempos de ensamblado, otra para tiempos de prueba y otra para tiempos de instalación de programas. Las ecuaciones quedarán como:
El SEL está ensamblado, falta resolverlo. Emplearemos nuevamente un soft como el
mencionado anteriormente para evitarnos cálculos engorrosos y el resultado que se nos ofrece es:
Solution A*X=B
Quiere decir que podrán producirse por mes 34 computadoras del tipo Cañón, 4 del tipo Clon y 18 del tipo Lenta-pero-Segura satisfaciendo las condiciones planteadas.
A continuación le propongo diferentes problemas de aplicación que le permitirán
adquirir una buena gimnasia en este tema de modelizar situaciones reales o cuasi-reales mediante sistemas de ecuaciones lineales. No se concentre tanto en los cálculos, como
en el planteo. Si está satisfecho con el planteo elaborado, recurra a algún soft de cálculo para evitarse las largas operaciones de reducción por filas.
a) Un espía sabe que en cierto aeropuerto secreto hay estacionados 60 aviones, entre
cazas y bombarderos. El espía desea determinar cuántos de los 60 aviones son cazas y cuántos bombarderos. Hay un tipo de cohete que es transportado por ambas clases de aviones, el caza porta 6 de estos cohetes y el bombardero solo 2. El agente sabe que con 250 cohetes quedan pertrechados por completo todos los aviones que se hallan en el aeropuerto. Además, se entera de que en esa base el número de aviones caza es el doble
que los bombarderos. Calcule el número de aviones caza y bombarderos que hay en el aeropuerto o bien muestre que la información del agente debe ser incorrecta, ya que es inconsistente. (Puede clickear aquí para ver la respuesta)
b) Considere el siguiente diagrama de una malla de calles de un sentido con vehículos
que entran y salen de las intersecciones. La intersección k se denota por [k]. Las flechas
a lo largo de las calles indican el sentido del flujo de transito. Sea xi el numero de vehículos/h que circulan por la calle i. Suponiendo que el trafico que entra a una intersección también sale, establezca un sistema de ecuaciones que describa el diagrama del flujo de trafico. Por ejemplo, en la intersección [1], x1 + x5 + 100 = x3 + 300 , esto es, el trafico que entra es igual al trafico que sale, lo que da x1 – x3 + x5 = 200 Suponga que la calle de 1 a 3 necesita cerrarse, es decir, x3 = 0. ¿Puede cerrarse también la calle de 1 a 4 sin modificar los sentidos del tráfico? Si no se puede cerrar, cual es la cantidad más pequeña de vehículos que puede admitir esta calle de [1] a [4]?
c) Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un
lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del elemento 1, 4 del 2 y 5 del 3. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del 3. Cada semana se proporcionan al lago 25000 unidades del alimento 1, 20000 unidades del alimento 2 y 55000 del 3. Si suponemos que los peces se comen
todo el alimento, ¿cuantos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?
(Puede clickear aquí para ver la respuesta)
d) Una empresa tiene tres minas y los minerales tienen las siguientes composiciones:
Níquel (%)
Hierro (%)
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?
(Para ver respuestas puede clickear aquí)
e) Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:
* El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
* El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
* El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.
Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.
(R: x = 45
z = 54 )
Una farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamna C y 25
unidades de vitamina D por un total de $ 17,50; 200 unidades de vitamina A, 100
unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina D por $ 45; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades de vitamina D por $ 64. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas A, C y D. ( r Ca = =,1 CC = 0, 05 y Cd = 0,2)
g) Una compañía de cerámica fabrica tazas y platos. Por cada taza o plato un obrero
mide una cantidad fija de material y la pone en una máquina moldeadora, de donde cada pieza sale automáticamente barnizada y seca. En promedio, un obrero necesita 3 minutos para realizar su parte del proceso con las tazas y 2 minutos con los platos. El material de una taza cuesta 25 centavos y el de un plato 20 centavos. Si se destinan $ 44 diarios para la producción de tazas y platos, ¿cuántas piezas de cada tipo se podrán hacer en una jornada de trabajo de 8 horas si un obrero trabaja todo el tiempo y se gastan exactamente $ 44 en materiales?
x = 80 y = 120)
Un turista que fue a Europa gastó € 30 al día por hospedaje en Inglaterra, € 20 al día
en Francia y € 20 al día en España. En cuanto a alimentos, el turista gastó € 20 diarios en Inglaterra, € 30 en Francia y € 20 en España. Además por conceptos varios el turista
gastó € 10 diarios en cada uno de ls países mencionados. A su regreso, el registro de gastos del viajero indicaba un total de € 340 por hospedajes, € 320 por alimentos y € 140 por gastos varios. Calcule el número de días que el viajero estuvo en cada uno de
los tres países o bien muestre que el registro es incorrecto ya que las cantidades gastadas son incompatibles unas con otras.
(R 6, 4 y 4 días respectivamente)
i) Un químico necesita 240 ml de una solución al 50% pero solamente dispone de
soluciones al 32% y al 76% para mezclar. Cuantos ml de cada solución disponible deberían mezclarse para obtener los 240 ml de la solución al 50 %?
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la matriz dada?:
Esta en forma escalonada
No esta en la forma escalonada porque el cuarto número en el renglón 1 no es un 1.
No esta en la forma escalonada porque el primer elemento diferente de cero en el renglón 3 es 3
No esta en la forma escalonada porque la ultima columna contiene un cero.
Cual de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema indicado abajo:
(Justifique su respuesta)
  3
a) Tiene una solución única x = 1 y = 1 z = 1
b) Es inconsistente
c) Tiene un numero infinito de soluciones
Para ver las respuestas, clickee aquí.
Determine todas las soluciones de los sistemas siguientes:
c) Un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes
japoneses, francos franceses, y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este año viajó tres veces. La primera vez cambió un total de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dólar. La segunda vez, cambió un total de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos, y 1.5 marcos por dólar. La tercera vez cambió $434 en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y 1.2 marcos por dólar. ¿Qué cantidades de yenes, francos y marcos compró cada vez?
d) Una industria utiliza tres máquinas en la elaboración de cuatro productos diferentes. Las máquinas se utilizan a pleno rendimiento 8 horas al día. El número de horas que cada máquina necesita para elaborar una unidad de cada producto es:

References: resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución