Source: http://www.deutschestextarchiv.de/book/view/boltzmann_gastheorie02_1898?p=151
Timestamp: 2020-08-04 23:13:43+00:00

Document:
[Gleich. 138] § 46. Andere Mittelwerthe.
Die Betrachtung weiterer specieller Fälle wäre nicht
schwierig, scheint mir aber überflüssig, so lange nicht um-
fassenderes experimentelles Material vorliegt.
§ 46. Andere Mittelwerthe.
Wir haben im Vorhergehenden denjenigen Mittelwerth der
durch ein Momentoid bedingten lebendigen Kraft berechnet,
welchen wir erhalten, wenn wir aus allen Werthen, die bei
allen Molekülen einer bestimmten Gattung im Gefässe vor-
kommen, das Mittel nehmen. Dieser Mittelwerth ändert sich
nicht, wenn wir zugleich einer oder mehrerer der Coordinaten be-
liebige Beschränkungen auferlegen, wenn wir z. B. nur aus den-
jenigen Werthen das Mittel nehmen, welche an allen Molekülen
dieser Art vorkommen, deren Schwerpunkte innerhalb eines
beliebig kleinen Gebietes integral integral integral d P1 d P2 d P3 liegen: die Tem-
peratur ist an allen Stellen des Gases dieselbe. Dieser Satz,
welcher selbstverständlich ist, wenn keine äusseren Kräfte
wirken, gilt auch bei Wirksamkeit beliebiger äusserer Kräfte.
Die betreffenden Mittelwerthe ändern sich ebenso wenig,
wenn wir nur jene Moleküle ins Mittel einbeziehen, bei denen
auch noch andere der Coordinaten in beliebige endliche oder
sehr nahe Grenzen eingeschlossen sind. Der betreffende Mittel-
werth wird dann wieder genau durch die Formel 133) gegeben;
nur dass die Integration nicht über alle Werthe der Coordi-
naten, sondern bloss über die gegebenen, für den Zähler und
Nenner natürlich gleichen Gebiete zu erstrecken ist. Es kann
dann ganz wie im § 42 im Zähler und Nenner der ganze
Factor, welcher bei dem nach d ri zu nehmenden Integrale
steht, vor das Integralzeichen kommen und nach Ausführung
der Integration nach ri im Zähler und Nenner damit weg-
dividirt werden, wodurch man wie dort für das Integrale den
Werth 1/4 h erhält.
Wenn die a constant sind, so ist, wie die Formel 132)
zeigt, die relative Wahrscheinlichkeit, dass der Werth irgend
eines Momentoides zwischen irgend welchen Grenzen liegt und
dass er zwischen irgend welchen anderen Grenzen liegt, ganz
unabhängig von der Lage des Moleküles im Raume und der
relativen Lage seiner Bestandtheile. Wir wollen diesen Satz,
beliebig kleinen Gebietes ∫ ∫ ∫ d P1 d P2 d P3 liegen: die Tem-
Werth ¼ h erhält.
Wenn die α constant sind, so ist, wie die Formel 132)
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[133/0151] [Gleich. 138] § 46. Andere Mittelwerthe. Die Betrachtung weiterer specieller Fälle wäre nicht schwierig, scheint mir aber überflüssig, so lange nicht um- fassenderes experimentelles Material vorliegt. § 46. Andere Mittelwerthe. Wir haben im Vorhergehenden denjenigen Mittelwerth der durch ein Momentoid bedingten lebendigen Kraft berechnet, welchen wir erhalten, wenn wir aus allen Werthen, die bei allen Molekülen einer bestimmten Gattung im Gefässe vor- kommen, das Mittel nehmen. Dieser Mittelwerth ändert sich nicht, wenn wir zugleich einer oder mehrerer der Coordinaten be- liebige Beschränkungen auferlegen, wenn wir z. B. nur aus den- jenigen Werthen das Mittel nehmen, welche an allen Molekülen dieser Art vorkommen, deren Schwerpunkte innerhalb eines beliebig kleinen Gebietes ∫ ∫ ∫ d P1 d P2 d P3 liegen: die Tem- peratur ist an allen Stellen des Gases dieselbe. Dieser Satz, welcher selbstverständlich ist, wenn keine äusseren Kräfte wirken, gilt auch bei Wirksamkeit beliebiger äusserer Kräfte. Die betreffenden Mittelwerthe ändern sich ebenso wenig, wenn wir nur jene Moleküle ins Mittel einbeziehen, bei denen auch noch andere der Coordinaten in beliebige endliche oder sehr nahe Grenzen eingeschlossen sind. Der betreffende Mittel- werth wird dann wieder genau durch die Formel 133) gegeben; nur dass die Integration nicht über alle Werthe der Coordi- naten, sondern bloss über die gegebenen, für den Zähler und Nenner natürlich gleichen Gebiete zu erstrecken ist. Es kann dann ganz wie im § 42 im Zähler und Nenner der ganze Factor, welcher bei dem nach d ri zu nehmenden Integrale steht, vor das Integralzeichen kommen und nach Ausführung der Integration nach ri im Zähler und Nenner damit weg- dividirt werden, wodurch man wie dort für das Integrale den Werth ¼ h erhält. Wenn die α constant sind, so ist, wie die Formel 132) zeigt, die relative Wahrscheinlichkeit, dass der Werth irgend eines Momentoides zwischen irgend welchen Grenzen liegt und dass er zwischen irgend welchen anderen Grenzen liegt, ganz unabhängig von der Lage des Moleküles im Raume und der relativen Lage seiner Bestandtheile. Wir wollen diesen Satz,
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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 133. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/151>, abgerufen am 04.08.2020.

References: § 46

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 § 42
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 § 42
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