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Timestamp: 2018-12-17 19:45:06+00:00

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Proyecto: Matemáticas 1,2,3 y 4
© Grupo edebé, 2008
OBRAS SALESIANAS DE COMUNICACIÓN
Humberto Buitrón A.
Saúl Serrano Aguirre
Isabel Luna Riofrío
Y REDIAGRAMACIÓN EDITORIAL
Franklin Ramírez Torres
Freddy López Canelos
Erika Delgado Chávez
Sofía Vergara Anda
© Editorial Don Bosco, 2011
Primera edición, Mayo 2011
La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier
forma que sea, por cualquier medio mecánico o electrónico, no
autorizada por los editores, viola los derechos reservados. Cual-
quier utilización debe ser previamente solicitada.
Los textos Matemática 8, 9 y 10 están orientados a trabajar, de manera progresiva, distintas
destrezas con criterios de desempeño, a partir de situaciones de aprendizaje-enseñanza que
exigen conocimientos, razonamientos y aplicaciones en la práctica.
La estructura metodológica se fundamenta en el aprendizaje significativo, siempre dentro de un
enfoque globalizador e interdisciplinar, que permita a los y las estudiantes adoptar progresiva-
mente métodos y estrategias matemáticos, a la par de valores como la equidad etaria, la demo-
cracia y el respeto a la naturaleza, al ser humano, a la sociedad y a las culturas.
Los textos buscan potenciar actitudes y hábitos de trabajo; desarrollar la autonomía personal para
construir relaciones interpersonales dignas; afianzar un comportamiento participativo y de res-
peto a las diferencias, valorar la importancia de las herramientas tecnológicas y de la ciencia en
la vida cotidiana y fomentar un espíritu crítico y reflexivo.
Formativo. Contribuir al desarrollo de las capacidades cognitivas abstractas y formales de ra-
zonamiento, deducción y análisis que permiten construir una visión alternativa de la realidad, a
través del desarrollo de modelos matemáticos. Lo anterior se encamina a cubrir las macrodes-
trezas de comprensión de conceptos y comprensión de procesos.
Funcional. Desarrollar un conjunto de procedimientos, estrategias de resolución de problemas
y técnicas de cálculo que permiten solucionar problemas de la vida cotidiana y sistematizar
procesos de producción, es decir, se enfoca a la macrodestreza de aplicación de conocimientos.
Instrumental. Por una parte, interpretar hechos de la vida cotidiana y, por otra, expresar y co-
municar los conocimientos matemáticos en otros ámbitos del aprendizaje. Se vincula con la
• De acuerdo con la propuesta para el área de Matemática del nuevo documento de Actualiza-
ción y Fortalecimiento Curricular de la Educación General Básica, los textos de Matemática
de 2.º a 10.º años trabajan los conocimientos en módulos, es decir, integrando los bloques
curriculares matemáticos (Relaciones y Funciones, Estadística y Probabilidad, Numérico, Geo-
métrico, de Medida) para comprender la fuerte relación que guardan entre sí. En este sentido,
en cada módulo de los textos se relacionan, al menos, dos bloques curriculares matemáticos.
Los procedimientos que se aprenden y se utilizan facilitan esta interrelación.
• El proceso de aprendizaje recurre inicialmente a métodos inductivos que parten siempre del en-
torno conocido por los estudiantes.
• La manipulación y la experimentación son instrumentos básicos para el conocimiento y domi-
nio de conceptos y técnicas de trabajo necesarios en matemáticas.
• Los métodos deductivos y el uso de lenguajes abstractos se convierten en un punto de llega-
da y en la culminación del aprendizaje.
Explicación de las secciones generales en el texto para estudiantes
Plantea una actividad relacionada con la vida cotidiana, a través de la cual se pueden inferir los
conocimientos que se trabajarán en el módulo. El estudiante intentará resolverla antes de
que, esto le permitirá tener conciencia de sus capacidades y limitaciones. En este sentido,
es un reto de motivación para los nuevos conocimientos.
• Prerrequisitos
Activación de conocimientos previos, tanto de conceptos como de procedimientos para el
estudio del módulo. Se sugieren actividades de evaluación diagnóstica.
• Cómo resolver problemas
Esta sección es de gran ayuda para los docentes y para los estudiantes, ya que, fomenta el auto-
aprendizaje y permite adquirir herramientas para la resolución de problemas. Aunque se enfoca
al ámbito matemático, la metodología puede ser aplicada en cualquier área o tipo de problema.
Síntesis de los principales conocimientos de la unidad y un esquema gráfico que muestra la re-
lación entre estos.
• Ejercicios y problemas integradores
Sección en la que se desarrolla un problema que integra los conocimientos que son parte de
los bloques curriculares matemáticos trabajados en el módulo. Se sigue un método para la
resolución de problemas, se sigue el proceso hasta llegar al resultado. Al finalizar, se plantea
un problema de características similares que deberá ser resuelto en forma autónoma o en
grupo por los estudiantes.
• Ejercicios y problemas
Una vez finalizada la comprensión de conceptos y procesos, se presenta esta sección en la
que se aplican los conocimientos. La resolución de ejercicios y problemas se convierte en un
• Demuestra tu ingenio
Plantea actividades donde los estudiantes ponen a prueba su razonamiento y lógica mate-
mática y podrán aplicar diferentes procedimientos y estrategias para resolver acertijos, enig-
mas, juegos, problemas…
Sección en la que se articulan los principios fundamentales del Buen Vivir con aspectos de
la realidad de nuestro país. Busca motivar la reflexión, la toma de decisiones y posterior eje-
cución de acciones positivas a favor del ambiente, de la sociedad y de las relaciones demo-
cráticas y para la paz.
Al inicio de cada módulo se muestra un artículo de la Constitución de la República del Ecuador
relacionado con el eje elegido y al finalizar el módulo se desarrolla el tema con profundidad.
Permite comprobar el desarrollo de las destrezas con criterios de desempeño que están pro-
puestas y trabajadas en cada uno de los módulos.
• Sección de historia
Una reseña de la evolución histórica de los conocimientos que se aprenden en el módulo.
• Crónica matemática
Conjunto de noticias, curiosidades, anécdotas relacionadas con los conocimientos del módulo.
• Adicionalmente, al interior de cada módulo, se utilizan estrategias relacionadas con el cálculo
Resultados esperados con el uso de los textos Matemática 8, 9 y 10
Se busca una formación integral de los estudiantes, mediante el desarrollo de:
• Destrezas matemáticas.
• Destrezas de interacción interpersonales.
• Destrezas de interacción con el mundo físico.
• Destrezas para el tratamiento de la información.
• Destrezas para la comprensión del mundo digital.
• Valores sociales y ciudadanos.
• Valores culturales y artísticos.
• Autoevaluación y evaluación conjunta.
• Capacidad de aprender a aprender.
Según Good y Brophy (1998), los docentes en el proceso de enseñanza deben lograr seis objeti-
vos motivacionales:
que los alumnos logren un mejor desempeño.
2. Los docentes necesitan estimular la motivación para lograr aprender en conexión con con-
tenidos o actividades específicas proyectando entusiasmo, induciendo curiosidad, disonan-
cia, formulando objetivos de aprendizaje y proporcionando retroalimentación informativa
3. El educador debe discutir con los alumnos la importancia e interés de los objetivos imparti-
dos, relacionándolos con el quehacer diario, incentivándolos hacia la búsqueda de nuevas in-
formaciones en libros, Internet, videos, programas de televisión en donde se traten temas ac-
tuales que se relacionen con la asignatura.
al aprendizaje, mediante actividades de reflexión, estimulando la conciencia metacognitiva
En virtud de lo señalado, el docente puede alcanzar una enseñanza eficaz. Debe poner en prác-
tica su creatividad para diversificar la enseñanza, con un poco de imaginación, los trabajos de
Módulo Bloques: Numérico. Relaciones y funciones
• Resolver operaciones combinadas con números reales mediante la aplicación de sus reglas, propieda-
des y leyes para relacionarlas con los polinomios y solucionar problemas con sistemas de ecuaciones.
Objetivo del módulo ✎
• Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radi-
cación con números reales.
• Evaluar y simplificar potencias de números enteros con exponente fraccionario.
• Simplificar expresiones de números reales con exponentes fraccionarios con la aplicación de las reglas
• Utilizar las estrategias y las herramientas matemáticas adecuadas para resolver problemas y confiar en
• Calcular el error cometido en operaciones con aproximaciones de números reales.
• Representar y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, con gráficos y alge-
braicamente.
Antes de abordar los números reales, es necesario repasar todos los conjuntos de números que se han
Deben subrayarse las diferencias entre las propiedades de cada uno de ellos, de modo que los estudian-
tes sepan reconocerlas. Para ello, será muy útil recurrir a ejemplos (contar objetos para los naturales, las
plantas de un edificio para los enteros, el reparto de un pastel para los fraccionarios).
Relacionada con la DCD: Resolver operaciones combinadas de adición,
sustracción, multiplicación, división con nú-
Racionales ( )
Enteros( )
Naturales (
• Además de las actividades que constan en el libro del alumno, sugiera que los estudiantes resuelvan ejer-
cicios como los siguientes.
• Busque ejercicios que combinen las operaciones estudiadas en el módulo. Resuelva con los estudiantes
uno de los ejercicios justificando cada paso. Por ejemplo, en el ejercicio deben evidenciarse las propie-
dades de las operaciones, la ley de los signos, las reglas para suprimir signos de agrupación, la raciona-
lización y la conversión de un número decimal periódico a fraccionario.
• Forme grupos de trabajo.
• Solicite a los estudiantes que planteen un ejercicio en el cual se combinen varias de las operaciones es-
tudiadas.
• Previa la evaluación usted debe planificar para cada grupo condiciones que deben tener los ejercicios
que se plantearán así como la forma de evaluación.
45 + √
80 − =
Revise la sección de Prerrequisitos de la página 9 del libro del alumno. Verifique que sus estudiantes lo-
gren resolver con agilidad el segundo y cuarto ejercicio de la evaluación diagnóstica.
Realice un repaso de la obtención de la fracción generatriz.
potencia en el conjunto de los números reales.
2 3 − 2 3 +
5 81 4 729 3 625 4 144 10 6
− ⋅ ( ) − + ⋅ ( ) = − ( ) =
) 7 15 7 15 8 2 8 2
30 14400
− ( ) ⋅ + ( ) + − ( ) ⋅ + ( ) =
a c ) ( ) ( ) ( ) ) : − ⋅ − ⋅ − −
b d ) ) ( )
El ejercicio debe contener:
Operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potencia y radicación.
Dos números irracionales y un decimal periódico.
Evidenciar al menos una propiedad de la potenciación.
Resolución del ejercicio argumentando los procesos.
Aplican propiedades y leyes en la resolución del ejercicio
Las justificaciones tienen relación con los conocimientos desarrollados.
• Recalque que las rectas se encuentran en el mismo plano ya que se trabaja en ޒ
• Trabaje el concepto de sistema de ecuaciones a partir de una situación en la que deban verificarse simul-
táneamente dos ecuaciones. Si le es posible, pida ayuda al docente de Computación para presentar a sus
estudiantes algunos videos colgados en páginas de internet sobre resolución de sistema de ecuaciones
lineales de dos incógnitas.
• Al representar gráficamente los sistemas de ecuaciones tome en cuenta lo siguiente:
• Guie a los estudiantes que deduzcan cómo será la gráfica de un sistema de ecuaciones analizando los tér-
minos de cada uno de los miembros de las ecuaciones que conforman el sistema.
1. Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solución única. Decimos
que es compatible determinado o consistente determinado.
2. Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas
soluciones. Es un sistema compatible indeterminado o consistente inde-
3. Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompati-
ble o inconsistente no tiene solución.
• Es imprescindible señalar que las dos ecuaciones que forman un sistema expresan dos condiciones que
deben verificarse simultáneamente, para evitar que los alumnos consideren que las ecuaciones del siste-
ma están desvinculadas entre sí.
• Una vez iniciado el estudio de los métodos algebraicos de resolución, debe recalcarse que el método ele-
gido para resolver un sistema es, en principio, indiferente, puesto que las soluciones no dependerán del
• Sin embargo, la elección de un método determinado puede simplificar la resolución, dependiendo de las
ecuaciones. Así pues, los alumnos deben estar dispuestos a invertir un cierto tiempo para decidir qué mé-
todo de resolución resulta más apropiado en cada caso.
Relacionada con la DCD: Representar y resolver un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas, con
—1 4 3 2 1 —2 —3
—1 5 4 3 2 1 6 7 8 —2
—1 5 4 3 2 1 6 7 8 9 —2 —3
y x x + =
− x + = y
10 2x 2y
− = 10 2x 2y −
y x + = 4
− − − = x y
• Presente a los estudiantes varios sistemas representados gráficamente y los sistemas correspondientes,
para que sus estudiantes realicen las asociaciones debidas.
• Proponga a sus estudiantes sistemas compatibles y solicite que planteen problemas.
• http://www.mamutmatematicas.com
• RESS, Paul y SPARKS, Fred, Álgebra elemental, McGraw Hill Interamericana , México, 1999.
Durante este módulo es posible que el profesor/a trabaje con sus estudiantes la importancia de crear há-
bitos incluyentes y equitativos. Para esto, inicie con el artículo de la Constitución de la República que se
ofrece al comienzo del módulo y destaque el hecho de que estos valores son un derecho elemental de las
personas, que debe ser garantizado y respetado. Luego de esto, reflexione acerca de diversas situacio-
nes cotidianas en las que los alumnos/as perciban injusticia, desigualdad y exclusión. Este análisis debe
servir como un punto de partida, nunca de llegada, ya que desde allí debe iniciarse la búsqueda de alter-
nativas de cambios y mejoramiento para la sociedad. A lo largo del módulo, refuerce valores y actitudes
adyacentes como el respeto, el diálogo, la fraternidad, entre otros.
En este sentido, se puede proponer la elaboración de una campaña escolar acerca de la inclusión y la
igualdad. Cree grupos de trabajo para que puedan abarcar diversos aspectos: la inclusión étnica, laboral,
de las personas con capacidades especiales, de migrantes y exiliados; la equidad en el acceso a los ser-
vicios de educación, salud, movilidad, seguro social, entre otros. Recuerde reforzar la idea de un enfoque
propositivo, orientado a que los estudiantes se conviertan en actores activos del cambios, comprometi-
dos con el desarrollo y el bienestar de su país. Motívelos para que creen un eslogan, consigan una ima-
gen de campaña, desarrollen mensajes dirigidos a la comunidad para que puedan presentar este trabajo
ante los estudiantes y padres de familia con ocasión de las fiestas patronales, pero, lo más importante,
motívelos para que se comprometan a respetar y hacer respetar estos valores democráticos y a crear una
Buen Vivir: Inclusión y equidad
• Plantee problemas en los que se evidencie como alternativa la resolución de un sistema de ecuaciones
con dos incógnitas y el sistema inicial que se plantee. Sugiera el uso de uno de los métodos estudiados.
1) El precio de las entradas de un circo es de $ 8 para los adultos y $ 5 para los niños. Si en el circo hay
600 personas y han recaudado $ 4500, ¿cuántos adultos y cuántos niños hay?
2) Halla un número de tres cifras que cumpla todas las condiciones siguientes:
— Está comprendido entre 300 y 350.
— La suma de la cifra de las unidades con la de las decenas es 8.
— La cifra de las unidades es el triple de la cifra de las decenas.
• Guíe a los estudiantes para que luego de obtener los datos y el planteo de las ecuaciones, seleccione el
método más adecuado para el problema.
• Aplique una escala de evaluación, en la misma que puede considerar:
1) Identifica datos (2)
2) Plantea un sistema de ecuaciones (1)
3) Convierte un sistema en otro equivalente (2)
4) Utiliza el método adecuado para la resolución del sistema (3)
Recomendaciones para docentes Sección para uso exclusivo del educador
Para el tratamiento de la raíz cuadrada es importante recalcar lo siguiente:
Sea b un número real positivo o cero, su raíz cuadrada real (si existe), es el número real positivo a o cero, tal que el
cuadrado de a sea b.
Recuerde que es un error afirmar que la es 2 y −2.
b a, si y solo si: a
= b ; con a, b ∈ޒ
= 2 = √
4 √(−2)
- 4, no tiene raíz cuadrada en los reales. −
Nombre: .................................................................................................... Curso: ......................................... Fecha: ........................................
Refuerzo 1 Potencia de exponente racional. Radicales. Operaciones con radicales
1. Recuerda que las potencias cuyo exponente es un número racional negativo pueden transformarse en poten-
cias de exponente un número racional positivo.
—Observa y completa:
2. Observa cómo se opera con potencias de exponente racional y completa los ejercicios propuestos.
Producto de potencias de igual base y exponente racional: se escribe la misma base y se suman los exponen-
tes reduciéndolos a común denominador.
Cociente de potencias de igual base y exponente racional: se escribe la misma base y se restan los exponen-
Potencia de una potencia de exponente racional: se escribe la misma base y se multiplican los exponentes.
Potencia racional de un producto: se eleva cada factor de la base al exponente de la potencia.
3. Los siguientes radicales son semejantes: 3 ; 8 ; −6 ; 25 . Observa qué tienen en común y
completa: los radicales semejantes tienen en común el …..................…… y el ….................…….
4. Resuelve ahora estas operaciones.
d e ) : )
2 2 : ) :
a b ) )
9 4 6 9 4 6
a ) ( ) ....... ....... ....... .... 5 3 5 2 5 5 + − = + − ⋅ = ....
....... ....... ... ) ( ) (
2 3 7 3 3 7 3
+ − − = − ⋅ + b ..... .......)
5. Completa siguiendo el modelo:
Nombre: ........................................................................................................ Curso: ......................................... Fecha: ........................................
2 Representación de las soluciones de una ecuación con dos incógnitas
1. Expresa en lenguaje algebraico la siguiente frase: El triple de un número más otro es igual a 4.
A continuación, construye una tabla de valores con las soluciones de la ecuación obtenida y represéntalas grá-
ficamente.
— Representamos el primer número por x y el segundo por y para obtener la ecuación.
..... x + ..... y = .....
— Despejamos una de las incógnitas de la ecuación.
y = ..... − ..... x
— Construimos la tabla de valores dando valores arbitrarios a x para calcular los correspondientes valores de y.
— Representamos los pares de valores obtenidos en un sistema de coordenadas cartesianas. Unimos los pun-
tos representados para obtener la recta correspondiente a las soluciones de la ecuación.
Comprueba si los puntos A(3, −5), B(−3, 12) y C(4, −8) correspon-
den a soluciones de la ecuación.
2. La gráfica de la derecha corresponde a las soluciones de la si-
guiente ecuación.
— ¿Cómo comprobarías, a partir de la gráfica, si las coordenadas
de un punto corresponden a una solución de la ecuación?
— ¿Y a partir de la ecuación?
x y = 4 − 3x
−2 y = 4 − 3· (−2) = .....
−1 y = 4 − 3 ..... = .....
0 y = 4 − 3 ..... = .....
1 y = 4 − 3 ..... = .....
2 y = 4 − 3 ..... = .....
-1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
1. Construye tres segmentos con las siguientes longitudes: .
2. Representa sobre la recta los siguientes números reales: .
—Escríbelos ordenados de menor a mayor.
3. Indica:
a) Una aproximación por exceso de hasta las milésimas.
b) Una aproximación por defecto de hasta las centésimas.
c) El valor de redondeado hasta las centésimas.
4. ¿Expresa en forma de potencia de base real y exponente racional:
5. Expresa en forma de raíz las siguientes potencias y agrupa los radicales semejantes.
6. Efectúa las siguientes operaciones.
7. Descubre los errores que existen en las siguientes igualdades y corrígelos.
8. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.
9. Resuelve algebraicamente estos sistemas de ecuaciones.
10. Traduce al lenguaje algebraico el siguiente enunciado.
Un padre tiene 29 años más que su hijo y dentro de 14 años le doblará la edad.
11. Se han envasado 200 litros de leche en 130 botellas de 2 litros y de 1 litro. ¿Cuántas botellas de cada tipo se
han utilizado?
12. El perímetro de un rectángulo es de 390 m. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 51 m más de largo que
13. El triple de un número más el doble de otro es 10 y el segundo más el cuádruple del primero es 15. ¿Cuáles son
− − 13 ; , ; , ; ; , 1 5 7 3 21 0 6
7 13 21 , y
a b c ) ) ) 3
π ) d − 5
3 4 7 3 10 7 2 5
+ + = ⋅ ( ) =
+ − − = ⋅ =
== = f ) 17
) ) 2 3 6
a b c ) ) ) 10 10
⋅ 5 ⋅ ) d
a b c ) )
= + ))
Son radicales semejantes: a) y d); b) y c).
8. Construimos las tablas de soluciones de cada una
Representamos gráfica-
mente las soluciones de
las dos ecuaciones en un
Las dos rectas se cortan en el punto (1, −1), así
que la solución del sistema es x = 1, y = −1.
La solución del sistema es x = 3, y = 0.
La solución del sistema es x = −1, y = −6.
10. Las ecuaciones correspondientes al enunciado
son: x = 29 + y
x + 14 = 2 (y + 14)
11. A partir del enunciado, obtenemos el siguiente sis-
Cuya solución es x = 70, y = 60. Se han utilizado
70 botellas de 2 litros y 60 botellas de 1 litro.
12. Denominamos x a la altura del rectángulo e y a la
base, y obtenemos el siguiente sistema:
Cuya solución es x = 72, y = 123. El rectángulo
mide 123 m de base por 72 m de altura.
13. A partir del enunciado, se obtiene el sistema si-
Cuya solución es x = 4, y = −1.
Los números son 4 y −1.
a b c ) , ; ) , ; ) ,
1 57 3 1 73
− < − < < < < 13 3 0 6 1 5 7 21 , ,
a b c d ) ; ) ; ) ; ) 3
) ; ) ; ) ;
⋅ ;; ) f 17
) 2 3 6
) 4 2 8
y x 51
x y 15
a b c d ) ; ) ; ) ; ) 10
3 7 3 5 10
13 0 0,6 1,5 – –1 –2 –3 1 2 3 7 21 4
x y = 3x − 4 x y
-1 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5 -6
• Opera con números reales.
• Expresa en forma de intervalo un segmento de la recta real y representa intervalos sobre la recta real.
• Efectúa aproximaciones de números reales por redondeo y por truncamiento.
• Resuelve ecuaciones e inecuaciones de primer grado.
• Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por medio de gráficos y procesos al-
gebraicos.
• Representar cantidades grandes y pequeñas mediante notación científica para facilitar su lectura y com-
• Reconocer una función lineal a través del análisis de su tabla de valores, gráfico o ecuación para com-
prender y predecir variaciones constantes en los problemas de la vida cotidiana.
• Transformar cantidades expresadas en notación decimal a notación científica con exponentes positivos
• Construir patrones de crecimiento lineal en su ecuación generadora.
• Evaluar si una función lineal es creciente o decreciente en su tabla de valores, gráfico o ecuación.
• Determinar la ecuación de una función lineal si su tabla de valores, su gráfico o dos puntos de esta fun-
ción son conocidos.
• Reconocer si una función exponencial es decreciente o creciente.
• Repase las propiedades de la potenciación y algunas potencias de base diez. Ejemplos:
• Hay que insistir en el uso razonable de la calculadora, la cual ha de ser una herramienta utilizada solo
Relacionada con la DCD: Transformar cantidades expresadas en nota-
ción decimal a notación científica con expo-
nentes positivos y negativos.
• Los estudiantes elaborarán un resumen sobre los principales aspectos de la notación científica.
• Respondiendo a interrogantes cómo, cuándo se utiliza, cómo se escribe. Ejemplos para indicar cuántos
lugares se ha corrido la coma decimal. Las posibles formas de escribir.
• Indique a los alumnos los pasos a seguir para utilizar este conocimiento dentro de una hoja de cálculo
2. En el menú Formato, haga clic en Celdas y después en la ficha Número.
3. En la lista Categoría, haga clic en Científica. En el cuadro Posiciones decimales, escriba el número de
posiciones decimales que desee mostrar.
• Recuerde que al trabajar en una hoja de cálculo los números en notación científica se escriben de dife-
rente forma, ejemplo: El número 8,5 x 10
se podría también escribir como 8,5 e-7.
• Presente información que contenga grandes cantidades como la velocidad de la luz (300 000 000 m/s) y pe-
queñas cantidades como la longitud de onda de los rayos cósmicos (0,000000000000001 m), para que los
estudiantes analicen la necesidad de utilizar expresiones abreviadas.
• Solicite que expresen las cantidades indicadas como productos, recalque que uno de los factores debe ser
una potencia de base diez y el otro un número decimal cualquiera.
• Discuta sobre la utilidad del conocimiento sobre la notación científica, mencione que una aplicación inme-
diata es optimizar cálculos en operaciones combinadas con números muy grandes o muy pequeños.
• Presente cantidades expresadas en notación científica y solicite que escriban el número correspondiente en
forma decimal.
• Luego de un proceso lógico y razonado encamine a los estudiantes a concluir que:
1. Un número expresado en notación científica tiene tantas cifras significativas como cifras hay escritas.
2. Un número expresado en notación científica consta de un número decimal cuya parte entera tiene una
sola cifra no nula, multiplicado por una potencia de diez de exponente entero.
3. El número decimal 0,000000000064321278 escrito en notación científica sería 6,4321278 × 10
coma recorre 11 espacios hacia la derecha para formar el número 6,432.
4. Por medio de la notación científica se concluye que un número menor a 1 se convierte en un producto de
un decimal mayor que 1 y menor que 10 por una potencia de base diez, cuyo exponente es el opuesto al
número de espacios que recorrió la coma a la derecha.
5. Si el número es mayor a 10, por medio de la notación científica, se escribirá como el producto del decimal
(mayor que 1 y menor que 10) por una potencia de base diez, cuyo exponente es igual al número de es-
pacios que recorrió la coma a la izquierda.
• Utilice la calculadora para expresar números en notación científica.
• Se sugiere seleccionar actividades de la guía Algebra 1 Exercises in Spanish • Chapter 8 © McDougal Lit-
tell Inc. que podrá descargar de la dirección web www.fallbrookhs.org/ourpages/users/jtaglena-
va/.../8_4.pdf para realizar un trabajo grupal.
• Tome en cuenta los siguientes aspectos:
1. Que cada grupo valore el tanto por ciento de participación de sus integrantes.
2. Cómo se ha organizado la tarea y si se ha trabajado respetando las opiniones de todos sus miembros.
3. Si creen que el trabajo en grupo ha ayudado a resolver mejor los problemas o ha sido un obstáculo.
• Examine las características y la forma de la gráfica de la función exponencial, apóyese en los ejercicios
de la página 78.
• Guie a que el estudiante reconozca el valor de la base en sus casos (a > 1 o 1 > a > 0), luego de recono-
cerlo compare con las gráfica y concluya que un caso indica la monotonía creciente y el otro decreciente
• Procure que los estudiantes determinen la monotonía de la función exponencial sin que sea necesario tra-
zar la gráfica.
• Comente y discuta que estos conceptos matemáticos tienen aplicaciones, por ejemplo en determinar la in-
tensidad de un terremoto, la intensidad del sonido, el estudio del crecimiento de poblaciones entre otros.
• Proponga se construya la curva que indique la evolución de la población del Ecuador y que compare con
las gráficas de la función exponencial, proponga la regla de una función que responda a ese crecimien-
• Encuentre la regla, pero debe aproximarse a P = P
P = 3 202 000 × 1,027
, donde t es el número de años desde 1950.
• Resuelva justificando procesos el problema 81 de la página 85.
• La representación gráfica del problema 81 puede relizarla utilizando un programa de código abierto como
• Revise con los estudiantes la sección de prerrequisitos del libro, página 53.
“La expresión algebraica de una función (su regla), y = f(x), es la fórmula que nos indica las operaciones
que debemos efectuar con cada valor de la variable x, para obtener el correspondiente valor de la varia-
ble y”.
• Repase las definiciones de:
1. La variable independiente “x” es aquella que toma cualquier valor del dominio de la función sin más re-
2. Variable dependiente: el valor que toma “y” luego de aplicar en la regla de la función un valor de la va-
riable independiente “x”, se dice que “y” depende (es imagen) de “x”.
3. El conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente se denomina rango, recorrido o con-
junto de imágenes.
Relacionada con la DCD: Reconocer si una función exponencial
es decreciente o creciente.
1950 3 202 000
1962 4 476 000
1974 6 521 700
1982 8 060 700
1990 9 648 200
2001 12 090 800
2010 14 306 876
Sea f una función real (Para ser función real, su dominio A y su recorrido B son subconjunto de los reales), cuya
regla es y = f (x), dicha función es:
1. Creciente si para: x
∈ A con x
; entonces f (x
2. Decreciente si para: x
3. Estrictamente creciente si para: x
4. Estrictamente decreciente si para: x
5. Monótona, si solo es creciente o solo es decreciente.
6. Estrictamente monótona, si solo es estrictamente creciente o solo es estrictamente decreciente.
Utilice ejemplos de gráficas en la que se evidencien los seis aspectos mencionados.
• http://sectormatematica.cl
• ICM-ESPOL, Fundamentos de Matemática para Bachillerato, 2006.
Durante este módulo es posible que el profesor/a estimule el interés y las preocupaciones científicas de
sus estudiantes, al descubrir como la tecnología, los procesos científicos y la innovación permiten am-
pliar el conocimiento de nuestro universo y de algunos procesos de la vida cotidiana.
Planifique una visita a las oficinas del Instituto Nacional de Estadística y Censos (INEC) o realice los trámi-
tes para que algún funcionario de esta oficina pública dicte una charla informativa sobre las acciones que
Aproveche las actividades de este módulo para conversar acerca de las consecuencias positivas y nega-
tivas del uso de la tecnología. Motive para que el uso de estas no aísle a los jóvenes de sus familias, ami-
gos y de la actividad al aire libre. También utilice las redes sociales e Internet para motivar la investigación
matemática y crear foros o blogs interesantes con respecto a avances tecnológicos o descubrimientos
científicos. Interactúe en dichos foros.
Buen Vivir: Ciencia, tecnología e innovación
• Solicite resolver ejercicios como:
1. Dadas las siguientes funciónes: 3x + y = −1 ; y = 3
; y = 2,5
a) Reconocer la ordenada al origen.
b) Indicar si es creciente o decreciente. ¿Por qué?
• Entregue el problema 79 de la página 85 resuelto con una gráfica que no corresponda, solicite que los
estudiantes verifiquen que el proceso es adecuado y que justifiquen si la gráfica es o no correcta.
Refuerzo 1 Ecuación de una recta
1. Dibuja las rectas dadas por las siguientes ecuaciones.
a) y = x b) y = x + 1 c) y = 3 d) x = 5
—Para poder dibujar una recta en un sistema de coordenadas, ¿de cuántos puntos, como mínimo, debemos
calcular sus coordenadas?
2. Completa las ecuaciones de las rectas representadas en la siguiente figura.
—¿Cómo son las pendientes de las rectas a y b? ………………… ¿Son rectas paralelas? ……………………
—Ordena las rectas de mayor a menor ordenada en el origen.
3. Obtén la ecuación de la recta de ordenada en el origen 4 y pendiente 5, siguiendo este razonamiento.
Una recta cuya ecuación es y = m x + b tiene por ……………………………… el valor m y por ………..…………… ….… ….…
………………… el valor b; por lo tanto, la ecuación de la recta que buscamos es y = …… x + …… .
—Obtén la ecuación de la recta de ordenada en el origen −1 y pendiente −3.
4. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (2, 3) y es paralela a la recta de ecuación
y = x + 8. Sigue estos pasos.
• La pendiente de la recta de ecuación y = x + 8 es ……..
• Si la recta que buscamos ha de ser paralela a y = x + 8, tendrá por pendiente …………….. , luego la recta que
buscamos será de la forma y = x + b.
• Para hallar b, sustituimos el punto de coordenadas (2, 3). Recuerda que el primer valor del punto correspon-
de a x y el segundo, a y : …… = …… + b
• Despejamos b: b = …… − …… ; b = ……
—Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, −3) y es paralela a la recta y = 2x − 1.
a) La ordenada en el origen de la recta que pasa por el punto (2, 0) y cuya pendiente vale −1.
b) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 5) y (2, 5). ¿Es paralela al eje de ordenadas?
y=– x+....
y= 2x +.....
y=– x+.....
Nombre: ..................................................................................................... Curso: ....................................... Fecha: ........................................
2 Gráfica de una función y función de proporcionalidad inversa
1. Inti sale de su casa para ir al colegio y se detiene en una librería para comprar un esferográfico. Continúa su
camino y se encuentra con Andrés. Los dos amigos se quedan un rato mirando los escaparates de una tienda
de computadores. De repente, Inti se da cuenta de que se ha quedado su cuaderno de Matemáticas en casa y
regresa a buscarlo.
—¿Cuál de las siguientes gráficas describe la anterior situación?
—Observa la gráfica a de la figura y responde:
a) ¿A qué distancia se encuentra la librería de la casa de Inti?
b) ¿Cuánto tiempo pasa Inti comprando en la librería?
c) ¿Cuál es la distancia total recorrida por Inti hasta llegar a la tienda de computadores?
d) ¿Cuánto tiempo tarda Inti en volver a su casa desde la tienda de computadores?
2. Representa gráficamente la siguiente función de proporcionalidad inversa .
Comprueba que el producto de cualquier par de valores correspondientes es constante y determina la cons-
tante de proporcionalidad inversa.
— Confeccionamos la tabla de valores y representamos gráficamente la función.
— (−3) (−1) = (−1,5) (.....) = (−1) (−3) = (1) (.....) = (1,5) (2) = (1) (.....) = .....
— Por tanto, la constante de proporcionalidad inversa es .....
3. Para cada una de las siguientes hipérbolas construye una tabla de valores, representa gráficamente y determi-
na la constante de proporcionalidad inversa.
a) b) x y = 4 c) x y = −3
4. Para adquirir una vivienda de protección oficial en un determinado municipio existe una subvención relaciona-
da con el sueldo de los solicitantes. Esta información se recoge en la siguiente tabla.
—Representa gráficamente esta función de proporcionalidad inversa.
— Determina la constante de proporcionalidad inversa.
x −3 −1,5 −1 1 1,5 3
y −1 ..... −3 ..... 2 .....
Sueldo anual en dólares (x) 36000 18000 12000
Subvención en dólares (y) 900 1800 2700
1. Queremos enmarcar varias ventanas cuadradas de diferentes dimensiones. El material para construir el marco
cuesta $ 3/dm.
a) ¿Cuánto costará enmarcar una ventana de 1 m de lado? ¿Y una ventana de 1,5 m de lado?
b) ¿Existe alguna relación de dependencia entre la longitud del lado y el precio del marco? ¿Se trata de una
c) Identifica las variables que aparecen en esta situación. ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?
d) Si x es la longitud del lado de la ventana en metros e y el precio del marco, escribe la expresión algebraica
que relaciona x e y.
2. Al calentar un determinado líquido con una temperatura inicial de 0 °C, su temperatura aumenta 2 °C cada 3 s.
a) Las magnitudes temperatura y tiempo, ¿siguen una relación de proporcionalidad directa? ¿Cuál es la cons-
tante de proporcionalidad?
b) Obtén la expresión algebraica de la función que hace corresponder a cada temperatura el tiempo invertido
en alcanzarla. ¿Es una función de proporcionalidad directa?
c) Dibuja la gráfica de esta función.
3. Obtén la expresión algebraica de las funciones expresadas mediante las siguientes gráficas.
4. Una tortuga se halla a 10 m de una señal de un cruce de carreteras y empieza a desplazarse en línea recta,
alejándose de la señal a una velocidad de 0,02 m/s.
a) Construye una tabla de valores que relacione la distancia de la tortuga a la señal, medida en metros, res-
pecto del tiempo transcurrido, medido en minutos.
b) Representa gráficamente la función y obtén su expresión algebraica.
c)¿Al cabo de cuánto tiempo se hallará a 22 metros de la señal?
d) ¿Qué espacio recorrerá en 5 minutos? ¿A qué distancia se hallará
5. Representa gráficamente la función dada por la siguiente tabla de
— Indica qué tipo de función has representado.
— Determina la constante de proporcionalidad.
Volumen en litros (x) 15 25 50 75
Presión en atmósferas (y) 10 6 3 2
1. a) 4 · 1 m · $ 30/m = $ 120;
4 · 1,5 m ·$ 30/m = $ 180.
b) Sí, pues a cada valor del lado del marco de
una ventana cuadrada le corresponde un úni-
co precio del marco.
c) Variable independiente: lado del marco de una
ventana cuadrada.
Variable dependiente: precio del marco.
d) $ 3/dm = $ 30/m; y = 4x ⋅ 30
2. a) Sí, k = ; b) y = x, sí.
3. a) y = −3 x; b) y = −3 x + 3; c) y = 3
x →Tiempo transcurrido en minutos
y →Distancia a la señal en metros
c) 22 = 10 + 1,2x
d) 1,2 m/min ⋅ 5 min = 6 m
y = 10 + 1,2 ⋅ 5 = 16 m
— Una función de proporcionalidad inversa.
— 15 · 10 = 25 · 6 = 50 · 3 = 75 · 2 = 150
La constante de proporcionalidad inversa es
1 2 , /
, / min m s
10 11,2 13,6
• Resuelve raíces cuadradas exactas y enteras, y efectúa operaciones combinadas con potencias
• Interpreta números expresados en notación científica y escribe números en dicha notación.
• Distingue y representa gráficamente las funciones de proporcionalidad inversa y las exponenciales.
• Calcula la función inversa de funciones de primer grado, de funciones cuadráticas y exponenciales.
• Utiliza de forma adecuada la calculadora y la computadora en la realización de cálculos y en la pre-
sentación de funciones.
• Reconoce una función lineal a partir de su ecuación, tabla de valores y gráfico; además, a partir de
una de ellas, determina las otras dos.
• Diferencia una función lineal de una función exponencial por medio de su gráfico de la tabla de va-
lores y de la ecuación.
• Determina, a partir de la ecuación de una recta, la ecuación de una recta paralela o de una recta per-
pendicular a ella.
• Muestra interés y perseverancia en el trabajo con funciones constantes, lineales y afines.
Módulo Bloques: Numérico. Relaciones y funciones.
• Operar con números reales mediante la aplicación a polinomios y las estrategias de resolución de pro-
blemas para solucionar situaciones matemáticas del entorno.
• Utilizar el lenguaje algebraico con precisión para expresar e interpretar información.
• Operar con números reales aplicados a polinomios.
• Efectuar operaciones con polinomios y fracciones algebraicas.
• Presentar de manera clara y ordenada la resolución de problemas.
• Confiar en las capacidades propias para resolver problemas.
• Para multiplicar polinomios es importante que el estudiante mantenga un orden al realizar los procesos,
entonces, se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, com-
binando los términos semejantes y expresando el resultado lo más simple posible.
• Justifique los procesos con un ejercicio modelo, mencione constantemente las leyes de los signos, las
propiedades de la multiplicación y la potenciación.
• Para multiplicar un término por otro, primero se multiplica las constantes, después multiplica cada varia-
ble y combina el resultado.
(2xy)(4y) = 8xy
• La utilización y manipulación de símbolos, imprescindibles para el trabajo con polinomios, son dificulta-
des con las que se encuentra gran parte del alumnado. Por ello, es necesario facilitar la asimilación del
lenguaje algebraico: puede cambiarse, en ocasiones, la letra de la indeterminada para que no siempre
sea x; también puede introducirse el concepto de polinomio utilizando ejemplos físicos, como las fórmu-
las del movimiento con velocidad constante (x = v · t), o las de caída libre de un cuerpo (y = gt
• Antes de introducir las diversas operaciones con polinomios, deben recordarse las propiedades de las
operaciones con números racionales y, en caso necesario, trabajarlas de nuevo.
• Al introducir la regla de Ruffini para la división de polinomios, debe subrayarse el hecho de que el divisor
debe ser un polinomio cuya expresión sea del tipo x − a. Para ello pueden efectuarse ejercicios prepara-
torios, antes de explicar la regla, en la que el alumno, una vez reconocida una división que pueda reali-
zarse mediante esta regla, debe detectar la a del dividendo.
Relacionada con la DCD: Operar con números reales aplicados a poli-
• Multiplica el término que está solo por los otros dos términos, así:
2x (3x + y) = 6x
• Cada uno de los dos términos en el primer binomio se multiplica por cada uno de los dos términos del se-
gundo binomio. Son cuatro multiplicaciones diferentes.
(a + b) (x − y) = ax − ay + bx − by
• Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio
(x + a) (2x + 3y − 5) = 2x
+ 3xy − 5x + 2ax + 3ay − 5a
• Permita que los estudiantes realicen también las multiplicaciones en forma vertical.
• Utilizando alguno de los buscadores en Internet, encuentre videos que hagan referencia a la aplicación de
la regla de Ruffini para la resolución de ejercicios con polinomios. Pida a los estudiantes que los observen
y preparen uno similar.
• Algunas de las direcciones pueden ser:
http://www.youtube.com/watch?v=pugA5cWVuvI
http://www.youtube.com/watch?v=25Z5TiRyTrk
http://www.dailymotion.com/video/xfci60_2-regla-de-ruffini-2_tech
• Pida a los alumnos que realicen ejercicios como:
Sean los polinomios A (x) = x² − 2x + 3, B(x) = 3x² − 5x − 1 y C(x) = 2x
a) A(x) + B(x) − C(x) b) −A(x) − 2B(x) c) A(x) ÷ B(x) d) B(x) . C(x) e) −A(x) − C(x)
• Resuelva el problema de la página 106 del texto del alumno utilizando menos pasos de los que allí se in-
• Muestre el proceso de resolución del problema planteado por usted y el del texto.
• Organice una mesa de discusión sobre el proceso de resolución del problema de la página 106 del texto
• Utilizando un registro de observación evalúe la participación de los estudiantes.
• Solicite que resuelvan el problema de la sección “Practica”, de la página 107 del texto del alumno.
• En este apartado tienen que subrayarse los paralelismos entre los conceptos numéricos y los algebraicos.
Fracción numérica Fracción algebraica
Relacionada con la DCD: Efectuar operaciones con polinomios
y fracciones algebraicas.
con b ≠ 0
con Q(x) ≠ 0
⇔ a . d = b . c =
• Analice los procedimientos para efectuar la suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebrai-
cas y, aplíquelos correctamente en la resolución de ejercicios.
1. Se detalla a continuación el proceso para la división de fracciones algebraicas.
Paso 1: Dividimos cada término del numerador entre 2xy.
Paso 2: Simplificamos.
También se puede trabajar, obteniendo el factor común del numerador y simplificando luego con el de-
nominador. Así:
2. Ahora para expresiones fraccionarias
Paso 1: Multiplicar la primera por la inversa de la segunda.
Paso 3: Simplificar descomponiendo primero en factores.
Empleando diagramas de flujo, los estudiantes resumirán los pasos necesarios para realizar estos procesos,
y junto a estos ubicarán ejemplos.
+ 10 xy
− 7x + 10
2 xy (3xy
y + 5)
(x + 2) (x − 2) (x − 5) (x − 3)
(x + 3) (x − 3) (x − 5) (x − 2)
Se identifican los factores comunes en ambos términos.
Se simplifica eliminando los factores comunes
P(x) ⋅ S(x)
Q(x) ⋅ R(x)
+ 2x) ⋅ (x
− 5x + 6) ⋅ (x
x (x + 2) ⋅ (x + 2) ⋅ (x − 2)
(x − 2) ⋅ (x − 3) ⋅ (x + 2)
• MINISTERIO DE EDUCACIÓN, Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica, Quito, 2010.
La actividad inicial puede servir para que el profesor/a aborde el tema de la riqueza cultural de las dife-
rentes nacionalidades y comunidades étnicas del país. Se ha elegido la pintura naif de la comunidad de
Tigua; sin embargo existen otras expresiones pictóricas importantes.
Así también, es una oportunidad para acercar a los estudiantes al arte y a la cultura. A lo largo del mó-
dulo, el profesor/a puede presentar otras manifestaciones artísticas, por ejemplo, las fiestas tradiciona-
les de los pueblos indígenas de la Sierra y Amazonía, las tradiciones de los pueblos montubios y afroe-
cuatorianos de la Costa y Sierra, los tejidos con diversos materiales orgánicos y fibras, modelado en
barro, yeso, mazapán, las esculturas en piedra y distintos metales, las artesanías con materiales orgáni-
cos e inorgánicos. Aproveche este tema para reforzar el sentido de identidad y de unidad que debe
existir entre los ecuatorianos/as. Las diferencias en las expresiones culturales deben servir para valorar
la riqueza de los pueblos, pero deben permitir el encuentro de puntos en común dentro del sentido de
• Utilice la sección de Coevaluación del módulo 3, página 110 del texto, para que los alumnos en parejas
desarrollen las actividades.
El algoritmo de Euclides sirve para obtener el máximo común divisor (m.c.d.) de dos números enteros positivos.
Recibe este nombre por Euclides, pensador griego que vivió hacia el 300 a. C. y que recogió en trece libros titulados
Elementos las nociones de geometría y aritmética conocidas hasta entonces. Este algoritmo es de enorme impor-
tancia para el álgebra moderna, ya que permite aplicar el cálculo del m.c.d. a la resolución de polinomios.
Se recomienda visitar la página http://www.lateclade escape.com, en la que se presenta valiosa información al res-
pecto de los algoritmos del m.c.d y m.c.m., así como de otros temas matemáticos para consulta y formación del
docente. Con relación al tema de este apartado se menciona:
Sean a, b dos números, tal que a > b.
1. Se efectúa la división entera entre a y b. Obtenemos un cociente c
y un resto r
2. Se efectúa la división del divisor b entre el resto r
y obtenemos un cociente c
3. Se divide r
y obtenemos c
4. Se repite el proceso hasta llegar a una división exacta, de resto cero.
5. El último divisor empleado es el m.c.d. de los números a y b.
Hallemos el m.c.d. de 320 y 124.
a) 320 ÷ 124 ⇒ c
= 72 d) 20 ÷ 12 ⇒ c
b) 124 ÷ 72 ⇒c
= 52 e) 12 ÷ 8 ⇒ c
c) 52 ÷ 20 ⇒ c
= 12 f) 8 ÷ 4 ⇒ c
El último divisor es 4, por lo tanto, es el m.c.d. de los números 320 y 124.
Adaptado de http://www.lateclade escape.com
Finalmente, se sugiere el álgebra superior de Hall-Knight para ampliar el conocimiento sobre el algoritmo propuesto.
Refuerzo 1 Operaciones con fracciones algebraicas
1. Halla el valor de k para que:
a) el polinomio 7x
− 5x + k sea divisible entre x − 5.
b) el polinomio x
+ 4x + k sea divisible entre x − 2.
2. Halla el valor de a para que:
+ 25x + a sea divisible entre x − 3.
+ 29x + a sea divisible entre 4x + 1.
3. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios.
− 1) ÷ (x − 1)
+ 16x + 10) ÷ (3x + 2)
4. Sea P(x) = a
+ 8ax + 4, en el que a es un número racional. Determina el valor P(−1), sabiendo que
P(2) = 4.
5. Halla los valores de a para que x − 3 sea divisor de los siguientes polinomios.
x + 6a
− ax − 5x + 3a
6. Encuentra el valor de a para que ax
x − 1 tenga una raíz igual a −1.
7. Halla el valor de a en este polinomio: P(x) = x
+ 2(a + 2)x + 9a para que tenga dos raíces iguales.
8. Encuentra el valor de a en este polinomio: Q(x) = x
− 3x + a, si una de las raíces es el doble de la otra.
9. Al dividir el polinomio P(x), cuyos términos no conocemos, entre x − 1 se obtiene de resto 0. Al dividir P(x) en-
tre x − 2 también se obtiene de resto 0. ¿Cuál es el resto que se obtiene al dividir P(x) entre (x − 1)(x − 2)?
10. Las raíces del polinomio P(x) son −2 y 3. Las raíces del polinomio Q(x) son −1 y 2. ¿Cuáles son las raíces del
polinomio P(x) · Q(x)?
11. ¿Cuál es el resto de la división de x
entre x + a, siendo a un número desconocido?
12. Halla el polinomio cuyo cuadrado es x
− 6x + 9.
13. Divide 3x
− 2x + a entre x − 1, y determina a para que la división sea exacta.
14. Halla el número c que cumpla que la división de P(x) entre x − 2 tenga de resto R(x).
a) P(x) = 2x
+ cx − 7; R(x) = 0
b) P(x) = 4x
+ 4x − 5; R(x) = c − 5
1. Factoriza estos polinomios.
+ 55x
− 114x + 90
2. Un polinomio de segundo grado tiene estas raíces. Calcula la forma reducida y ordenada de cada polinomio.
3. Demuestra que el polinomio x
es divisible por x − a, siendo a un número real cualquiera, y m un número
natural cualquiera. Calcula el cociente de esta división.
) ÷ (x − a)
4. Demuestra que el polinomio x
es divisible por x + a, siendo a un número real cualquiera, y m un número
natural par. Demuestra también que, si m es un número impar, el polinomio no es divisible.
5. Simplifica estas fracciones.
6. Simplifica estas expresiones.
b) siendo a un número real cualquiera.
2 3 2 3 + − ;
− ± 5 2 3
− + 2 2 2 x
9 37 33 6
18 23 42 48
1. Propón un enunciado que corresponda a la siguiente igualdad.
3x − 2 = 2x + 4
2. Efectúa las siguientes operaciones reduciendo términos semejantes.
3. Cuál de los siguientes valores es una raíz del polinomio .
a) x = −1 b) x = −3 c) x = 0
4. Sean y .
a) Indica si los polinomios P(x) y Q(x) son completos o incompletos.
b) Calcula P(x) − Q(x)
5. Sean , y . Calcula:
a) P(x) + Q(x) − R(x) b) P(x) · Q(x) c) −P(x) + 2Q(x)
6. Dados los polinomios P(x) = 2x
+ 3x − 1, Q(x) = −3x
− 3x + 4 y R(x) = x
+ 2x − 3, efectúa las
a) P(x) − Q(x) b) P(x) · R(x) − Q(x)
7. Dados los polinomios P(x) = 3x
+ 2x −1 y Q(x) = 6x
+ 4x − 3, calcula:
a) P(x) + Q(x) c) P(x) ⋅ Q(x)
b) Q(x) − P(x) d) (P(x))
8. Factoriza los siguientes polinomios.
− 10x
− 50x + 24
− 20x + 8
— Indica, a continuación, sus raíces.
9. Efectúa las siguientes operaciones.
R( x) 2x 3x 2x 5
− + − Q( x) x 5x
− P( x) x x 2x 15
Q( x) = 2x x 5
+ − P( x) x 2x 2x 3
P x x x x ( ) + − +
5 + + − + − + 3 2
x x x x x x x x + − − + − + −
˛ 3
1. El triple de un número menos 2 es igual al doble de
dicho número más 4.
−3 es raíz del polinomio P(x).
a) P(x) es un polinomio completo y Q(x), incompleto.
7. a) P(x) + Q(x) = 6x
+ 6x − 4
b) Q(x) − P(x) = 6x
+ 2x − 2
c) P(x) ⋅ Q(x) = 18x
+ 51x
− 10x + 3
d) (P(x))
− 4x + 1
8. a) (x − 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x − 3) ⋅ (x − 4) — Raíces: 1, 2, 3, 4
b) (x + 5) ⋅ (x
+ 1) — Raíces: −5
c) 4 ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (3x − 1) — Raíces: −1, 2,
P x Q x x x x x x x ( )· ( ) − − − − −
3 10 10 75
2 4 7 15 18 11 3
− 44 7 12 13 8 1
P x R x Q x x
⋅ − − ( ) ( ) ( ) xx x
2 4 7 15 18 11
⋅ − + − + −
2 4 7 15 18
− ( ) ( xx x x x ) − + − 5 9 6 5
2 9 2 15
2 ( ) QQ x x x x x ( ) − − − + 2 9 2 15
5 5 10 75
P x Q x x ( ) ( ) −− − − − − x x x x x
(( ) ( ) ( ) x Q x R x x x x + − − − −
P x Q x x ( ) ( ) xx x
P x x x Q x x x ( ) ( ) − + − + − 2 3 3 2 5
− − + − − ⋅ − +
− + − − ⋅ − +
( ) ( ) 1 5
• Calcula el valor numérico de un polinomio.
• Aplica la regla de Ruffini en la división de polinomios.
• Aplica el teorema del resto para hallar las raíces de un polinomio.
• Opera polinomios.
• Factoriza polinomios.
Módulo Bloques: Geométrico. De medida.
• Resolver problemas que contengan el cálculo de elementos geométricos en figuras, mediante la aplica-
ción de las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras.
• Reconocer ángulos complementarios y suplementarios en la resolución de problemas.
• Calcular medidas de ángulos internos en polígonos regulares de hasta seis lados para establecer patrones.
• Definir las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
• Aplicar las razones trigonométricas en el cálculo de longitudes de lados de triángulos rectángulos.
• Realizar conversiones de ángulos entre radianes y grados.
• Reconocer medidas en radianes de ángulos notables en los cuatro cuadrantes.
• Utilizar el lenguaje geométrico para interpretar y transmitir información.
• Aplicar los conceptos elementales de la trigonometría a la resolución de problemas de la vida cotidiana.
• Apreciar las importantes aplicaciones de la trigonometría en la determinación de alturas y distancias.
• Valorar el uso de recursos tecnológicos como la calculadora y el ordenador en el trabajo con razones
• Es importante que el alumno aprenda a iden-
tificar los diferentes tipos de ángulos y que com-
prenda que los criterios de clasificación de
ángulos son excluyentes. Pida a los alumnos
que señalen el tipo de ángulo que correspon-
de en la siguiente tabla:
• La suma de ángulos en el sistema sexagesimal no suelen presentar grandes dificultades. Cabe insistir,
eso sí, en la necesidad de convertir los resultados que exceden de 60 en la unidad inmediata superior.
La operación que resulta más difícil es la resta en el caso en que deba transformarse el minuendo. Al
principio deben darse a los alumnos restas preparadas y hacerles razonar el procedimiento de transfor-
mación del minuendo hasta que sean capaces de hacerlo por sí mismos.
• Es importante que los alumnos usen el transportador de ángulos para medir, comparar y representar án-
gulos (véase el ejemplo 1 de la página 114). También es conveniente que se acostumbren a realizar esti-
maciones previas a la medición de un ángulo con el transportador.
Relacionada con la DCD: Reconocer ángulos complementarios y su-
plementarios en la resolución de problemas.
El ángulo de 42º es... agudo recto obtuso
El ángulo de 140º es... agudo recto obtuso
El ángulo de 90º es... agudo recto obtuso
El ángulo de 89º es... agudo recto obtuso
El ángulo de 91º es... agudo recto obtuso
• Se puede utilizar un programa de código abierto llamado Geogebra, que le permitirá realizar ejercicios
novedosos y virtuales de geometría sin necesidad de un gasto adicional. El programa permite manejarse
en un entorno atractivo y con instrucciones fáciles de entender y ejecutar. Motive a sus estudiantes a fa-
miliarizarse con este programa, para obtener mejores resultados.
• Organice concursos de orientación, puede ser mirando en qué posición se encuentra el sol o utilizando una
• Una actividad que permite comprender de mejor manera los ángulos complementarios y suplementarios
es el de la orientación. Con esta información, trabaje en el patio con los estudiantes, realizando diferen-
tes ejercicios.
• Los puntos cardinales del horizonte son: Este por donde sale el sol; Oeste, por donde se oculta; para el Sur
y Norte, se sugiere usar una brújula.
• Pida que anoten información meteorológica proporcionada por el INAMHI un día concreto. Que hablen
de las diferentes direcciones del viento: del noreste (NE), del este (E), del sudoeste (SO), del noroeste (NO)...
Estas direcciones vienen dadas por la rosa de los vientos, en la que están marcadas también las direc-
ciones intermedias NS y EO, como se puede observar en la gráfica en la sección “Para la evaluación” de
esta página. Cada dos direcciones consecutivas forman un ángulo de 45°.
• Para este trabajo, es necesario que los alumnos previamente dibujen
una rosa de los vientos, como el del modelo indicado.
• Determine las diversas alternativas que se tienen para encontrar ángulos
complementarios y suplementarios.
1. Un giro de O a NE es un ángulo suplementario del giro de SE a S.
2. Un giro de N a NE es un ángulo complementario de un giro de S a SO.
• Muchas veces, los alumnos solo reconocen como polígonos los polígonos regulares. Por este motivo, es
conveniente utilizar polígonos irregulares en los diferentes ejemplos.
• También se debe acostumbrar a los alumnos a describir los polígonos y sus elementos con precisión y a
clasificarlos correctamente según diferentes criterios.
Relacionada con la DCD: Calcular medidas de ángulos internos en polí-
gonos regulares de hasta seis lados para es-
tablecer patrones.
• Considere estos criterios de evaluación de acuerdo a las actividades que los alumnos realicen.
1. Reconoce polígonos según sus lados y ángulos.
2. Distingue entre polígonos regulares y no regulares.
3. Halla la suma de los ángulos interiores de un polígono.
4. Construye polígonos utilizando el tangram.
5. Elabora correctamente las representaciones.
6. Participa en clase.
7. Cuida sus materiales.
• Use el tangram para formar figuras de distinto número de lados. Solicite que los alumnos midan los án-
gulos internos de estos polígonos y hallen su suma.
• Examine la relación entre el número de vértices de un polígono y el número de diagonales, el cálculo del
valor del ángulo central de un polígono regular, y las condiciones que deben cumplirse para que dos po-
lígonos sean iguales.
• Los estudiantes dibujarán en pedazos de cartulina, polígonos de distintas formas y tamaños. Luego proce-
derán a medir sus ángulos internos y hallar la suma total. Comprobarán su resultado aplicando la expre-
sión: 180° ؒ (n – 2)
• Al final de la clase, poner en común los resultados y emitir conclusiones.
Razones trigonométricas en un círculo de radio unitario
Si (x, y) es un punto de la circunferencia unitaria y el radio (c=1) que tiene el
origen en (0, 0), forma un ángulo α con el eje X, las principales razones tri-
gonométricas se pueden definir como valores de segmentos asociados a
triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:
El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
y dado que la hipotenusa es igual al radio, cuyo valor es 1, se deduce:
sen ( α ) = a
El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).
y como la hipotenusa vale 1, se deduce:
cos ( α ) = b
La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente.
La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente
respectivamente, sus valores son los recíprocos de los obtenidos.
sen ( α ) =
cos ( α ) =
tan ( α ) =
La actividad inicial puede utilizarse para comentar planes de acción en nuestro entorno.
Pida que lean y reflexionen. Al final firmen un acta-compromiso de los estudiantes del décimo año.
Los derechos de la madre tierra en el debate internacional
La Conferencia Mundial de los Pueblos sobre el Cambio Climático y los Derechos de la Madre Tierra rea-
lizada en Cochabamba, del 19 al 22 de abril de 2010, convocada por el presidente de Bolivia, Evo
Morales, como una respuesta al fracaso de la Cumbre de Copenhague de diciembre de 2009, generó en-
tre sus productos principales, un Proyecto de Declaración de los Derechos de la madre tierra, para ser
sometido a la Asamblea de las Naciones Unidas.
A solo año y medio desde el reconocimiento constitucional del Ecuador de que la Naturaleza tiene dere-
chos, la idea ha caminado tanto que ahora, en un masivo escenario de debate global, despierta enormes
Los trabajos del Grupo 3 de la “Cumbre de Cochabamba” albergaron discusiones apasionadas entre no
menos de cien participantes a lo largo de tres días, para afinar un texto del Proyecto de Declaración que
partiendo del documento de trabajo elaborado, logre incorporar y armonizar las visiones y aspiraciones
de un colectivo por demás diverso. Al final, la plenaria lo aprobó en medio de un consenso casi completo
respecto a la pertinencia de reconocer, mediante un instrumento internacional de alcance universal, los
derechos de la madre tierra, pero con debates aún no agotados respecto de varios temas críticos de su
El documento final aprobado, contiene sin embargo una excelente síntesis del estado de la cuestión res-
pecto a la discusión internacional sobre los derechos de la naturaleza, y sin duda servirá como punto de
partida del proceso, que confiamos sea breve pero sustantivo, de aprobación de la Declaración por parte
de la Asamblea de la ONU.
Tomado de Derechos de la Pachamama: un paradigma emergente frente a la crisis ambiental global
por Mario Melo-Ecuador.
Este es un modelo del acta-compromiso, la misma que puede variar de acuerdo a los consensos que lle-
gue con los estudiantes.
En la ciudad de ……………………… a los ……. días del mes de …………. de ………, bajo este acto, los
abajo firmantes, alumnos del décimo año del colegio ……………..., nos comprometemos a trabajar con
todos los actores y sectores de la comunidad, para mantener y proteger nuestro medioambiente con ac-
ciones que promueven el bienestar colectivo y permitan tener un entorno libre de contaminación, para lo
cual propiciaremos:
– Hacer campañas de reciclaje y reutilización.
– Trabajar conjuntamente con las autoridades del plantel para ……………………..
– Propiciar la participación de ……………………..
Se suscribe este compromiso que se encuentra abierto a la adhesión de otros sectores y organizaciones
de la comunidad que se comprometan a trabajar conjuntamente hacia el logro de estos objetivos.
– Nombre y Apellido. C.I. ………..................…
Buen Vivir: Naturaleza y ambiente sano
• GARCÍA, R., COLERA, J., GAZTELU, I. y OLIVEIRA, L. J., Matemáticas 1-4, Editorial Anaya, 2008.
• LEITHOLD, Louis, Álgebra y Trigonometría con geometría analítica, Harna México, México, 1994.
• RESS, Paul y SPARKS, Fred, Álgebra y Trigonometría, McGraw Hill Interamericana , México, 1999.
• Guerra, Marcia del Carmen, Diccionario de Matemáticas, Quito, 2010.
Refuerzo 1 Sistema sexagesimal y razones trigonométricas de un ángulo agudo
= ........°
= ........° ........′
+ = ........′ ........″
— Ahora suma todos los resultados.
4° 45′ 56″
+ 16° 32′ 21″
60 = ........′ ........″
60 = ........° ........′
1. Observa cómo efectuamos la suma de la dere-
cha, completando los espacios indicados.
Primero, calcula las sumas indicadas en cada
recuadro y, a continuación, transforma los re-
sultados que sean mayores que 60.
2. Sigue los pasos del procedimiento anterior para calcular las sumas que te presentamos a continuación.
a) 23° 15′ 54″ + 34° 56′ 13″ = c) 32° 24′ 43″ + 21° 24′ 32″ =
b) 32° 25′ 21″ + 21° 21′ 23″ = d) 4° 12′ 43″ + 13° 43′ 42″ =
3. Sabemos que en un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo es aquel
que no tiene ningún contacto con el ángulo. Por el contrario, el cateto contiguo a un
ángulo es aquel que junto con la hipote nusa ayuda a formar el ángulo. Indica el
cateto opuesto al ángulo α y el cateto contiguo al ángulo α.
El lado ......................... es el cateto opuesto al ángulo β. El lado b es el cateto contiguo al ángulo ........................... Así,
el cateto opuesto al ángulo α es el cateto contiguo al ángulo ........................... De la misma manera, el cateto con-
tiguo al ángulo .......................... es el cateto opuesto al ángulo ...........................
4. Siguiendo el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, indica la medida de los ángulos de estos trián-
gulos rectángulos, sabiendo que tienen un ángulo de que debes señalar.
Sabemos que sen 45° = cos 45° = . Con ello podemos deducir que si h es el valor de la hipotenusa, ambos
catetos de un triángulo rectángulo con un ángulo de 45° deben medir h.
a) ¿Cuánto miden los catetos en el triángulo de la figura 3? ................................................................
b) ¿Cuánto miden la hipotenusa y el otro cateto del triángulo de la figura?............................................
c) Comprueba que ambos triángulos cumplen el teorema de Pitágoras.
1. Una persona camina 60 metros en línea recta, luego da un giro de 90º a la izquierda y camina otros
30 metros; a continuación, da un giro de 60º a la derecha y camina 50 metros, gira 45º a la derecha y camina
100 metros; seguidamente, da un giro de 90º a la izquierda y camina otros 100 metros. Desde este último
punto vuelve al punto inicial en línea recta. ¿Cuántos metros ha recorrido en su extraño trayecto?
2. Una hoja cuadrada de papel, de 10 cm de lado, se dobla de la forma que se indica en la figura. Encuentra la
relación entre los triángulos que tienen el vértice común en el punto P.
3. Calcula, utilizando siempre un ángulo del primer cuadrante, las razones trigonométricas de los ángulos siguientes.
4. Si tan α = 2,4 y α pertenece al primer cuadrante, calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos.
5. Halla todos los ángulos comprendidos entre 0° y 360° que verifican:
a) b) c) tanα =
sen α cos α tan α
−750°
180° − α
360° − α
1. El perímetro de un rombo es 40 cm y uno de sus ángulos mide 75°. Averigua la medida de los lados y la am-
plitud de todos sus ángulos y dibújalo.
2. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo de catetos b = 8 cm y
c = 15 cm.
3. Resuelve estos triángulos rectángulos.
a) Catetos: b = 9 cm y c = 40 cm
b) Un cateto: b =10 cm, y el ángulo
4. Una persona observa un edificio con un ángulo de elevación de 30º. Cuando esta persona se acerca 50 m al edi-
ficio, el ángulo de elevación se transforma en 60º. ¿Cuál es la altura del edificio?
5. Representa en la circunferencia goniométrica los segmentos correspondientes al seno, el coseno y la tangente
de los siguientes ángulos.
a) 30º b) 210º
6. Halla todos los ángulos entre 0 y 360º que cumplan:
a) cos α = tan α = 1
7. Indica el ángulo del primer cuadrante que permite calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos.
a) 120º b) 300º c) 1564º
8. Dos muchachos juegan al tenis al lado de un árbol de 4,80
m de altura. Si los chicos y el árbol están alineados, y cada
uno de los chicos observa el punto más alto del árbol con
ángulos de 68° y 32° respectivamente, ¿qué distancia sepa-
ra a estos chicos?
9. La altura de la torre de control de un aeropuerto es de 192
m. En un momento dado, desde un avión que se aproxima a
la torre se observa el punto más alto de ésta con un ángulo de
elevación igual a 18° y la base de la torre con un ángulo de de-
presión igual a 45°. ¿Qué distancia separa el avión de la to-
rre de control?
˛ 4
1. Cada lado mide 10 cm y la amplitud de sus ángu-
los es 75° y 105°.
B = sen
B = ⇒
B = 12,68º
C = 77,32º
b) — tan
= 11,92 cm
C + 90º = 180º
C = 90º −
C = 90º − 40º = 50º
—sen α =
a = = 15,56 cm
El edificio mide 43,30 metros de altura.
6. a) cos α = 1 ⇒ α = 0º o α = 360º
b) tan α = 1 ⇒ α = 45º o α = 225º
7. a) 180º − 120º = 60º
b) 360º − 300º = 60º
c) 1564 360
1564º = 4 ⋅ 360º + 124º
180º − 124º = 56º
8. tan 68º = ⇒x
tan 32º = ⇒x
= 7,68 m
= 5,74 m
La distancia que separa a los dos chicos es de
5,74 m.
9. tan 18º =
x = 47,1 m
d = 144,9 m
La distancia que separa el avión de la torre de con-
trol es de 144,9 m.
192 − x
tan tan B
tan 30˚
tan 60˚ 3
3 x + 50
x + 50 = 3 3
x + 50 = 3 x
25 = 43,30 m
210¡
30¡ s
• Obtiene gráficamente las razones trigonométricas de cualquier ángulo sobre la circunferencia go-
niométrica.
• Calcula las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera conocida una de ellas.
• Calcula las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera reduciéndolo previamente al primer
• Aplica la trigonometría a la resolución de diferentes tipos de problemas de la vida cotidiana.
Módulo Bloques: Geométrico. Estadística y probabilidad
• Aplicar el teorema de Pitágoras para hallar áreas y volúmenes de cuerpos geométricos con el propósito
de alcanzar un mejor entendimiento del entorno.
• Utilizar la estadística para resolver problemas de la vida cotidiana en los que intervienen cálculos de la
• Calcular áreas laterales de conos y pirámides en la resolución de problemas.
• Calcular volúmenes de pirámides y conos con la aplicación del teorema de Pitágoras.
• Aplicar el teorema de Pitágoras en el cálculo de áreas y volúmenes.
• Calcular la media aritmética de una serie de datos reales.
• Apreciar, en diferentes ámbitos de la vida cotidiana, los aspectos que pueden ser expresados por me-
dio de la geometría.
• Tener una predisposición a aplicar las nociones geométricas en situaciones cotidianas.
• Utilizar de forma crítica la calculadora y el computador para realizar cálculos estadísticos.
• Valorar y utilizar la estadística para representar y resolver problemas de la vida cotidiana y del conoci-
Revise los procesos y fórmulas para encontrar las áreas de figuras planas.
Área del rectángulo = b × a
Área del círculo = πr
Relacionada con la DCD: Calcular áreas laterales de conos y pirámides
Área del polígono =
perímetro × ap
• Utilice los desarrollos planos del prisma, pirámide, pirámide truncada, cilindro, cono y cono truncado
para el cálculo de sus áreas.
• Solicite a los estudiantes que los construyan usando cartulina de variados colores y con diferentes medi-
das. Puede fotocopiarlos con ampliación.
• Solicite a sus alumnos que lleven al aula objetos que tengan las formas requeridas y con ellos calcular
sus áreas. Si es posible, que los desarmen en el caso de cajas de cartón, para medir sus dimensiones.
• Relacione el cálculo de la superficie de prismas, pirámides, troncos de pirámide, cilindros, conos y tron-
cos de cono con la de su patrón.
• La construcción de las figuras geométricas anteriores será uno de los aspectos a ser considerados. No
olvide motivarlos para que sus trabajos sean creativos y bien realizados. En ellas deben escribir las
áreas laterales calculadas.
• Forme grupos de trabajo y solicite que realicen las actividades 41 a 51 de la página 164 del texto y las
presenten a través de diapositivas, cuadros, maquetas, entre otros.
cilindro cono truncado pirámide
prisma pirámide truncada cono
Relacionada con la DCD: Calcular volúmenes de pirámides y conos con
la aplicación del teorema de Pitágoras.
• Antes de iniciar el cálculo del volumen de los cuerpos geométricos, es conveniente recordar los temas
de medida de volumen y de capacidad.
• Si se introduce el principio de Cavalieri a partir del estudio de cuerpos geométricos, los alumnos pueden
llegar a la conclusión de que procede de razonamientos exclusivamente matemáticos y que sólo se apli-
ca en matemáticas.
• También puede iniciar la explicación con el ejemplo de un mazo de cartas o un paquete de folios que
puede mantenerse ordenado o deformarse. En cualquier caso, el volumen que ocupará será el mismo.
• Para la introducción del cálculo aproximado de volúmenes, el profesor puede poner ejemplos de la vida
cotidiana. Así, para efectuar una mudanza, los operarios deben calcular el volumen aproximado de todos
los muebles y objetos. De esta manera podrán escoger el camión o camiones que los transportarán.
• Use el material que se preparó en la destreza anterior, de esta manera los estudiantes pueden manipular,
medir y observar directamente cómo se calcula el volumen de estos cuerpos geométricos y dar una es-
trategia de cómo lo pueden hacer de forma aproximada.
• Tanto en la naturaleza como en construcciones hechas por el hombre podemos encontrar diversos cuer-
pos geométricos. Invite a sus alumnos a que lleven al aula objetos que tengan la forma de pirámides y conos.
• Si son cuerpos huecos, se puede encontrar su volumen al llenarlos con agua y luego medir el contenido
en un recipiente graduado.
• Para resumir todo lo aprendido sobre los cuerpos geométricos, los alumnos podrían elaborar una tabla
similar a la que se encuentra a continuación. Estos trabajos pueden ser expuestos en el aula o en una
cartelera del colegio, premiando la calidad de los mismos.
• Puede instalar en la computadora el programa limix-geometric desde la página http://descargar.portal-
programas.com/Limix-Geometric.html. Es una sencilla aplicación que permite a los estudiantes realizar los
ejercicios propuestos en el libro y comprobar los resultados.
Figura Volumen
⋅ h = π r
• Usando la información que se detalla, organice un concurso para detectar los cuerpos geométricos que
• Nuestra vida y los cuerpos geométricos
• Cuando salgo de mi casa (paralelepípedo), tomo el bus (paralelepípedo) para ir al colegio, allí tomo
apuntes con un bolígrafo (cilindro), en un cuaderno (paralelepípedo). En el recreo juego al fútbol (esfera)
y por la tarde en mi casa, riego las plantas que están en las macetas (cono truncado)...
• Este trabajo deberá presentarse en formato de texto o presentación de diapositivas. Además deberá cons-
tar (de las que son posibles), el cálculo de áreas y volúmenes.
Se presenta el principio de Cavalieri, de fácil comprensión intuitiva,
en el que nos apoyaremos para generalizar el procedimiento de
cálculo del volumen de prismas, cilindros y multitud de figuras
siempre que tengan sus secciones paralelas iguales: el volumen se
obtiene multiplicando la superficie de la sección (base) por la dis-
tancia entre las secciones extremas (altura).
Se sugiere ejercicios en los que adaptarán dicho principio general
a las formas concretas de cada figura prismática ( cálculo de la su-
perficie de la base).
• http://inst-mat.utalca.cl/tem/taller-geo/interactivas/curso1/geometria/textos/didac.htm
• http://1.bp.blogspot.com/_jL1oZH2BJ4c/TN3i-E6c0NI/AAAAAAAAAFQ/DHKuHeRj1fk/s1600/conoplant.gif
• http://fallbrookhs.org/ourpages/users/jtaglenava/mywebsite/geometry/LIBRO/12_5.pdf
• http://www.educarchile.cl/UserFiles/P0032/File/pdf_esencial/8voBasico/matematica/8_ANO_Unidad_08_do-
centes.pdf
• GALINDO, Edwin, Estadística elemental moderna, conceptos básicos y aplicaciones, Prociencia Editores, Qui-
to, 2007.
• GUERRA, María del Carmen, Diccionario de Matemáticas, Quito, 2010.
La actividad inicial y otras desarrolladas a lo largo del módulo pueden servir al profesor/a para abrir un es-
pacio de reflexión sobre el uso adecuado del tiempo libre. Es fundamental que los estudiantes tomen
conciencia sobre la importancia de las actividades de recreación para su desarrollo y crecimiento intelec-
tual. Aproveche esta actividad para estudiar con sus estudiantes los reportes proporcionados por el
Ministerio de Salud acerca de las enfermedades relacionadas con la inactividad.
Motívelos para que realicen ejercicio o actividad física continua. Es importante que los docentes de todas
las áreas, no solamente los de Cultura Física, inculquen actitudes positivas hacia el deporte y la recreación.
Aprovechando los conocimientos estadísticos aprendidos a lo largo de estos años, solicite a los estudian-
tes que realicen una encuesta sobre las principales actividades que realizan en su tiempo libre, y cuáles
desearían emprender. Los trasfieran a gráficas y expliquen frente a la clase. De esta manera, no solamen-
te trabajará un tema fundamental para el Buen Vivir, sino que permitirá que sus estudiantes relacionen la
Matemática con realidades de la vida cotidiana. Esta actividad puede ser un primer paso dentro de una
campaña escolar o institucional sobre el tema. Recuerde a lo largo del módulo juegos tradicionales y de-
sarrolle actividades al aire libre para la exploración o aplicación de los conocimientos.
Buen Vivir: Uso del tiempo libre
Refuerzo 1 Áreas y volúmenes de prismas y cilindros
1. a) ¿Cuáles de los siguientes cuerpos poseen caras circulares: esfera, tetraedro, tronco de pirámide, cilindro,
prisma, pirámide, cono?
b) ¿Cómo se llama el poliedro regular formado por caras pentagonales?
c) ¿Cuáles son los poliedros regulares cuyas caras son triángulos equiláteros?
2. a) ¿Cuál es la unidad de superficie del Sistema Internacional?
b) ¿Cuál es la unidad de volumen del Sistema Internacional?
c) Completa las siguientes igualdades.
= ........ l 1 dm
= .................. mm
= ............... mm
= ........ dm
= .................. cm
= ............... cm
3. Con una regla, mide las dimensiones de un erlenmeyer y de un tubo de ensayo. A partir de las medidas ob-
tenidas, calcula la capacidad de ambos recipientes.
—Obtén la capacidad de los dos recipientes llenándolos de agua y vaciando el contenido en una probeta
graduada. Compara el resultado que has obtenido ahora con el calculado.
4. Calcula el volumen de la Tierra si sabemos que su radio es de 6,37 · 10
—¿Cuál será la densidad de la Tierra si su masa es de 5,98 · 10
5. Busca información sobre el diámetro que deben tener las pelotas reglamentarias de balonmano y golf. A
partir de los datos encontrados, calcula la relación entre el volumen de una pelota de balonmano y una de golf.
6. Construye con cartulina un prisma de base cuadrada y un cilindro de modo que tengan la misma altura y la
misma área de la base. Ambos cuerpos no deben tener sus bases superiores.
Llena el prisma con serrín y vacía su contenido en el cilindro.
—Según el resultado que has obtenido, ¿qué puedes decir sobre los volúmenes de ambos cuerpos?
—¿Con qué principio está de acuerdo el resultado obtenido?
7. Construye, ahora, una pirámide de base cuadrada que tenga la misma altura y la misma área de la base que
el prisma de la actividad anterior.
Llena la pirámide con serrín y vacía su contenido en el prisma.
—¿Cuántas veces deberás repetir la operación para que el prisma quede completamente lleno?
—¿Qué relación hay entre el volumen del prisma y el de la pirámide?
8. Si una pirámide cuadrangular tiene un volumen de 6 l, ¿cuál será el volumen de un cilindro de igual altura e
igual área de la base?
1. Hemos preguntado a un grupo de 15 chicos y chicas cuántos programas de televisión han visto el último fin
de semana. Las respuestas han sido: 7, 2, 6, 3, 5, 0, 1, 5, 4, 0, 8, 5, 5, 2, 6.
a) El valor de la variable que se repite más veces es ........ Este valor se llama ....................
b) Ahora suma todos los valores y divídelos entre el número total de chicos y chicas.
Este valor se llama ...........................................
2. Queremos realizar un estudio sobre el número de ocupantes de los turismos que circulan por nuestra ciu-
dad. Los datos recogidos se han expresado en la siguiente tabla.
a) ¿Cuántos vehículos hemos observado?
b) ¿En cuántos coches había 4 ocupantes?
c) Ordena todos los datos de menor a mayor. Ten en cuenta que la frecuencia absoluta de cada dato te indi-
ca el número de veces que se repite dicho dato. Por tanto, deberás escribir 9 veces el 1, 4 veces el 2...
d) Calcula la media aritmética. Para ello, has de ........................................ todos los valores y dividir por
................................................................................................ Puedes utilizar la lista ordenada que has escrito antes.
— ¿Cuántas veces has sumado el 1? Fíjate en que sumar 9 veces 1 equivale a multiplicar 1 · 9.
— ¿Cuántas veces has sumado el 2? Sumar 4 veces 2 equivale a multiplicar 2 · 4.
Por lo tanto, otra forma de calcular la media aritmética es multiplicar cada dato por su frecuencia, sumar los
resultados obtenidos y dividir por el número total de datos.
3. Hemos preguntado a 30 chicos el número de libros que han leído durante el verano. Los resultados obteni-
dos se han resumido en la si guiente tabla:
—Utiliza la fórmula anterior para calcular la media de libros leídos.
4. Revisa los datos de las actividades anteriores y completa la tabla de
El parámetro que has obtenido en la última fila se denomina ...................
y nos da idea de lo ...................... que están los datos.
⋅ + ⋅ + + ⋅
7 + + + + + + + + .... .... .... .... .... .... .... .... ++ + + + + + + .... .... .... .... .... .... ....
Número de libros (x
Número de chicos (n
) 9 8 5 4 3
Valor máximo (M)
Valor mínimo (m)
Número de ocupantes 1 2 3 4
Frecuencia absoluta 9 4 3 2
1. Explica si es posible construir un poliedro regular de caras hexagonales.
2. Escribe el nombre de los cuerpos geométricos de la siguiente figura y de los elementos que se indican.
3. ¿Todos los cuerpos geométricos tienen patrones planos? ¿Y todos los poliedros? Justifica tus respuestas.
4. Observa la caja de la figura e indica cuán tos cubos de 1 cm de lado son necesarios para rellenarla.
— Si utilizamos cajas como la de la figura para el envasado de
cartones de leche de medidas 2 cm, 3 cm y 4 cm, ¿cuántos
cartones se podrán colocar en cada una de ellas?
5. Calcula el volumen del siguiente prisma por dos métodos diferentes.
a) Cuenta aproximadamente los cubos que lo forman.
b) Aplica la fórmula para calcular el volumen de un prisma.
• ¿Qué polígono forma la base de este prisma?
Recuerda que el área del trapecio es igual al producto de la semisuma de las bases por
6. Identifica los siguientes cuerpos geométricos
y calcula su volumen.
7. Escribe dos ejemplos de la vida escolar en los que puedas encontrar la media aritmética.
8. Define qué es la media aritmética.
9. El número de faltas personales cometidas por cierto jugador de baloncesto en los últimos 30 partidos ha
sido: 5, 4, 2, 2, 3, 4, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 4, 5, 0, 1, 1, 5, 1, 3, 3, 2.
—Elabora, con estos datos, la tabla de frecuencias correspondiente.
—Calcula la media aritmética.
˛ 5
1. No es posible porque sus ángulos miden 120°.
Así, 3 hexágonos que concurren en un vértice for-
man un ángulo de 360°, por lo que no podrán dar
lugar a las caras de un ángulo poliedro (cuya suma
siempre es inferior a 360°).
3. Todos los poliedros tienen patrones planos porque
sus caras son polígonos. Pero no todos los cuer-
pos geométricos tienen patrones planos, pues
pueden estar formados por superficies curvas. Por
ejemplo, la esfera no tiene desarrollo plano.
4. 72 cubos (4 · 3 · 6 = 72)
— Como cada cartón ocupa 24 cm
, 3 cartones.
5. a) 24 cubos.
b) · 2 cm · 6 cm = 24 cm
• La base es un trapecio.
= · 8 cm = 200 cm
= · 5 cm = 20 cm
= π (4 cm)
· 7 cm = 351,68 cm
8. La media aritmética indica el centro alrededor del
cual se han realizado unas medidas u observacio-
nes. Es sinónimo de promedio. Su fórmula es la suma
de todos los valores obtenidos dividida para el
9. El número de faltas personales cometidas por cier-
to jugador de baloncesto en los últimos 30 partidos
ha sido: 5, 4, 2, 2, 3, 4, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 3, 4, 3, 3,
3, 3, 2, 4, 5, 0, 1, 1, 5, 1, 3, 3, 2.
—Elabora, con estos datos, la tabla de frecuen-
cias correspondiente.
cm cm ⋅
Cilindro Pirámide triangular
2 33 , ; x
2 33 , ;
• Relaciona el área de un cuerpo geométrico con el área de su desarrollo plano y calcula el área de
prismas, pirámides, troncos de pirámide, cilindros, conos y troncos de cono.
• Recuerda qué es el volumen de un cuerpo y conoce el principio de Cavalieri para poder aplicarlo en el cál-
culo de volúmenes.
• Calcula los volúmenes de prismas, cilindros, pirámides, conos y esferas.
• Utiliza el volumen de la esfera para calcular su área.
• Estima la medida de superficies y volúmenes de espacios y objetos con una precisión acorde a la
regularidad de sus formas y su tamaño.
• Calcula medias aritméticas.
Módulo Bloques: De medida. Estadística y probabilidad
• Recolectar, representar y analizar datos probabilísticos relacionados con el entorno para alcanzar un
mejor entendimiento del mismo.
• Calcular probabilidades simples con el uso de fracciones.
• Reconocer situaciones susceptibles de ser tratadas mediante la teoría de la probabilidad.
• Utilizar la unidad de medidas más adecuada a cada situación.
• Comparar y ordenar diversas medidas expresadas en distintas unidades.
• Conocer las posibilidades que ofrece el uso de la calculadora y la computadora.
• Reconocer e interpretar el lenguaje relacionado con la probabilidad que se presenta en la vida cotidiana.
• Realizar reducciones y conversiones de unidades del SI y de otros sistemas en la resolución de problemas.
• Juego de dados
Se divide la clase en grupos de cinco alumnos y se les entrega a cada grupo un par de dados. Cada gru-
po arroja cinco veces el par de dados anotando en cada ocasión el resultado (la suma de ambos dados).
Después se pone en común los resultados obtenidos, de forma que los alumnos observen qué números tie-
nen mayor probabilidad de aparecer. Luego, el profesor detallará todos los posibles casos que tiene este
experimento, demostrando así el motivo por el cual algunos números se han obtenido más que los otros. Es
un buen ejercicio para introducir el concepto de probabilidad de un suceso.
Relacionada con la DCD: Calcular probabilidades simples con el uso de
Conversiones entre unidades del SI
• La probabilidad es la condición de que suceda o no un determinado hecho o suceso. Se la entiende
como la relación matemática entre los casos favorables (cf) sobre el total de los casos posibles (p).
Probabilidad = Simbólicamente: P(A) =
Utilizando un diagrama de Venn, la representacion gráfica es:
• Realice estos ejercicios para que los alumnos verifiquen lo anteriormente citado.
En una bolsa hay 3 bolas verdes y cuatro amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola azul?
En una bolsa hay 15 bolas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una verde?
En este caso existe el cien por ciento de probabilidad de que el suceso ocurra. Es una probabilidad segura.
Por lo tanto, todas las demás probabilidades estarán entre 0 y 1.
Pida a los alumnos que busquen usos de las probabilidades en la vida diaria en juegos, deportes e infor-
mes del tiempo. Pida que hagan una lista de sucesos que nunca podrían ocurrir, que podrían ocurrir (en
qué porcentaje) y que seguramente ocurrirán.
• La probabilidad certeza se obtiene cuando el cociente es 1, es decir, que el número de casos favorables
y posibles es el mismo. Por ejemplo: Si en una caja hay 20 esferas de color rojo, ¿qué probabilidad hay
que, al sacar una, ésta sea roja?
• La probabilidad nula o imposibilidad se obtiene cuando el número de casos favorables es igual a 0. (cf = 0).
Por ejemplo: Si en una caja hay 15 esferas de color amarillo, ¿qué probabilidad hay que, al sacar una, sea
• La probabilidad conjunta se da cuando dos sucesos A y B son independiente, la probabilidad de que ocu-
rran ambos sucesos simultáneamente será igual al producto de las probabilidades individuales.
Cuando hay más de dos sucesos independientes, la probabilidad conjunta será igual al producto de las
probabilidades de cada uno de los sucesos.
Simbólicamente: P(A
Por ejemplo: En un ánfora hay 100 fichas numeradas del 1 al 100. Se hacen dos extracciones al azar con
resposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos fichas que se obtengan sean 20?
Sean: A suceso veinte obtenido en la primera extracción; y,
B suceso veinte obtenido en la segunda extracción.
La primera ficha se coloca nuevamente (reposición) en el ánfora, antes de realizar la segunda extracción.
Entonces, la probabilidad de dos sucesos iguales será:
B) = P(A) P(B) =
P(dos fichas sean 20) =
• Pida a los alumnos que recuerden cuándo y dónde se usan los múltiplos y submúltiplos del metro, el ki-
logramo y el litro.
• Es importante reconocer los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado y el metro cúbico, y justificar
sus relaciones a partir de las anteriores.
• Se sugiere observar cómo se efectúan diversas transformaciones de unidades usando factores de con-
versión, así como también la tabla de conversiones, utilizada en la página 72 de la Actualización de For-
talecimiento Curricular de la Educación General Básica 2010 para 7.º año.
• Es importante recordar que los múltiplos y los submúltiplos del metro, del kilogramo y del litro forman el
Sistema Métrico Decimal (SMD), en el que para pasar de una unidad a la inmediata inferior o superior se
multiplica o divide por 10, respectivamente.
• Es conveniente repasar la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros antes de iniciar la con-
versión de unidades.
• Se debe insistir en la necesidad de expresar todas las medidas en la misma unidad antes de comparar-
las, ordenarlas u operar con ellas. A partir de aquí se podrá introducir la transformación de unidades uti-
lizando factores de conversión.
• Las unidades derivadas: metro cuadrado, metro cúbico y sus relaciones deben trabajarse luego que el
alumno/a domine los correspondientes al SMD, resaltando que el proceso es similar, pero ahora cada uni-
dad es 100 veces mayor que la inmediata inferior (unidades de superficie), o 1 000 veces (unidades de volumen).
Relacionada con la DCD: Realizar reducciones y conversiones de
unidades del SI y de otros sistemas en la
• Pida que además de los ejercicios propuestos en el libro del alumno, realicen otros como estos:
1. ¿A qué es igual 1 kg?
b) 1000 t
d) 0,001 g
e) 0,01 t
a) Un decímetro cúbico.
b) Un metro cúbico.
c) Un centímetro cúbico.
d) Un kilogramo.
a) 0,01 días
d) 3 600 s
f) 100 mm
Forme grupos de trabajo y pida que cada uno elabore un cuestionario sobre las diferentes unidades estu-
diadas y sus factores de conversión. Una vez listo, deben elegir a un representante que formará parte de
un jurado general. Estos cuestionarios serán entregados al profesor, quien al azar irá nombrando a los
alumnos para que respondan a la actividad dada por sus compañeros.
Conceptos fundamentales de la probabilidad
• Podría también considerar estos aspectos a evaluar.
1. Se integra al trabajo del grupo
2. Participa en la discusión activamente
3. Aporta ideas al trabajo del grupo
4. Respeta otras ideas aportadas
5. Aporta información para el trabajo del grupo
6. Participa en los registros y redacción de las ideas del grupo
La escritura correcta de los símbolos matemáticos
La Real Academia de la Lengua Española, en el Diccionario de Lengua Española, XXI edición, 2001, señala:
Los símbolos son abreviaciones de carácter científico-técnico y están constituidos por letras o por signos
no alfabetizables. En general, son fijados convencionalmente por instituciones de normalización y poseen
Los símbolos más comunes son los referidos a unidades de medida (m, kg), elementos químicos (Ag, C, Fe),
operaciones y conceptos matemáticos (+, %), monedas ($, £, ¥, €, CLP) y puntos cardinales (N, S, SE).
Los símbolos de los prefijos de las unidades de medida, que no se usan nunca aislados, se transcriben se-
guidos de un guión.
Los símbolos son siempre invariables en plural; por tanto, todas las formas recogidas en esta lista sirven
tanto para el singular como para el plural.
Se llama suceso a cada uno de las posibilidades que se producen en un experimento aleatorio. Cada suce-
so es una parte del espacio muestral Ω. Algunos sucesos son:
• Suceso seguro es aquel que ocurre siempre que se realiza el experimento aleatorio. Coincide con el espa-
cio muestral Ω y su probabilidad es 1; por ejemplo, obtener un número menor a 8 al lanzar un dado.
• Suceso imposible es el que no ocurre jamás al realizar el experimento aleatorio. Se representa por el sím-
bolo ∅ y su probabilidad es 0; por ejemplo, al lanzar dos dados, obtener 1 con la suma de los dos números.
• Suceso contrario a un suceso A es aquel que se verifica siempre y cuando no se verifica A, y se represen-
ta mediante y su probabilidad es: P(A) = 1- P(A).
• Sucesos compatibles son aquellos que pueden verificarse a la vez. En caso contrario, son incompatibles.
Al repetir un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso A tiende a estabilizarse en torno a
un determinado valor que llamamos probabilidad, P(A), a medida que aumenta el número de realizaciones.
La probabilidad se considera como una medida de la posibilidad de que ocurra un suceso.
• La probabilidad de un suceso A es un valor comprendido entre 0 y 1. (0 ≤ P(A) ≤ 1)
• La probabilidad del suceso imposible es siempre 0. (P(∅) = 0)
• La probabilidad del suceso seguro es siempre 1. (P(Ω) = 1)
• La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales (excluyentes) de un experimento aleatorio es 1.
Por lo tanto, si: Ω = {A
} se cumple que: P(A
• La probabilidad de un suceso es igual a la suma de las probabilidades de sus sucesos elementales favorables.
Por lo tanto, si: N = {N
} se cumple que: P(N) = P(N
) + ... + P(N
• La suma de la probabilidad de un suceso y la probabilidad del suceso contrario es igual a 1.
• http://www.publicatuslibros.com/fileadmin/Biblioteca/Libros/Tecnicos/Rau__Nunez_Cabello_-_TALLER_DE_ES-
TADISTICA_Y_PROBABILIDAD.pdf
• http://ntic.educacion.es/w3//recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/profesor/profesor5m.htm
• http://www.inti.gob.ar/cirsoc/pdf/201/comentarios/unidades.pdf
• 158.251.72.52/sitio/moodle/.../Unidad%204%20Probabilidad.doc
• http://es.shvoong.com/humanities/1702611-elecci%C3%B3n-una-carrera/#ixzz1K6AZKC1V
La actividad inicial puede servir de marco general para que el profesor/a aborde el tema de los derechos
de todos los seres vivos y, poco a poco, a lo largo del módulo pueda concentrarse en el tema de los de-
rechos humanos. De esta manera, los/as estudiantes comprenderán que sus derechos están estrecha-
mente relacionados con el de los otros seres vivos y los de la naturaleza.
Al final se puede concretar en el tema de la elección de una profesión. Jugar con las probabilidades de
escoger uno o dos de un listado.
Junto con el orientador vocacional hablar sobre el tema, reflexionar considerando los siguientes aspectos:
• Problema que muchos adolescentes enfrentan: no saben qué carrera es la mejor para ellos y su futuro.
• Una decisión complicada en la vida de cada persona.
• Apoyo por el psicólogo educativo del plantel, charlas con profesionales, visita a las facultades.
Buen Vivir: Derechos humanos
A continuación los principales símbolos usados en matemática.
centímetro cúbico (y no c. c.)
lb libra ('unidad de masa')
# número (cf. n.º, nro. y núm.)
≠ no igual a
≅ semejante a
=> implica
× por, multiplicado por
÷ entre, dividido por
° grado de ángulo
Recuerda que un factor de conversión es un cociente entre dos cantidades equivalentes expresadas en unidades
1. Indica cuáles de las siguientes fracciones son factores de conversión. Puedes ayudarte de las tablas que has
completado anteriormente.
Veamos cómo podemos usar los factores de conversión para transformar unas unidades en otras.
Observa cómo procedemos para efectuar la conversión de 5 hg en decigramos.
— Escribimos la unidad inicial y la unidad final.
unidad inicial unidad final
— Escribimos el factor de conversión que expresa la equivalencia entre hectogramos y decigramos, teniendo
en cuenta que la unidad inicial debe aparecer en el denominador y la final, en el numerador.
Fíjate en que existen dos fracciones posibles:
Utilizaremos siempre fracciones en las que no aparezcan números decimales, para simplificar los cálculos.
— Multiplicamos la unidad inicial por el factor de conversión.
2. Efectúa las siguientes transformaciones; para ello, utiliza el factor de conversión adecuado.
b) 23 hg = .......................... cg e) 156,4 cl = .......................... hl
c) 1,2 l = .......................... hl f) 12 hm = .......................... dm
d) 0,05 dam = .......................... mm g) 13,7 g = .......................... hg
3. Transforma las siguientes unidades de superficie y volumen.
b) 0,00325 hm
= ..................................... dm
c) 4,145 dm
= ..................................... mm
5 1000 5 000 hg
dg dg · ·
142 500 142 500
· ......................................... hm
· ............................ mg
Refuerzo 2 Cálculo de probabilidad
1. Julián y Roberto deciden jugar una partida de dados. Como es habitual en este juego, comienza el primero que
consigue un 5 al lanzar un dado.
—¿Qué cara crees que saldrá? ¿Es más probable una cara que otra?
Todas las caras tienen la misma probabilidad de salir. Decimos que estamos en una situación de .................................
En estas situaciones puede calcularse la probabilidad de un suceso A aplicando la regla de ..............................:
— Vamos a calcular la probabilidad del suceso A: Sacar un 5. Para
ello, considera el esquema de la figura y completa:
• ¿Cuántos resultados posibles hay en el experimento consistente
en lanzar un dado? ............
• ¿Cuántos resultados favorables hay en el suceso Sacar un 5?
— Determina la probabilidad de cada uno de los sucesos elementa-
les, P(1), P(2), P(3), P(4) y P(6).
Explica cómo has obtenido dichas probabilidades.
2. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
3. Determina ahora la probabilidad de los sucesos:
P(sacar un número par) =
P(sacar un número mayor que 6) =
P(sacar un número menor que 3) =
Número de resultados ...............................
.............. Número de resultados ......
Númeroderesultados....................................
......... Númeroderesultados ...............
Sacar un número menor que 1
P(< 1)
Sacar un número mayor que 3
P(> 3)
Sacar un número impar
P(impar)
Ficha de evaluación ˛
1. Describe tres experimentos aleatorios y tres que no lo sean.
2. Define espacio muestral. Anota los resultados posibles del experimento aleatorio
consistente en hacer girar una perinola como la de la figura y escribe el espacio
3. ¿La probabilidad de un suceso puede tener el valor 1,5? Justifica tu respuesta a partir de la regla de Laplace.
4. A través de unos estudios realizados, se sabe que el 4% de los habitantes de una provincia no tiene ningún
tipo de teléfono, que el 90% tiene teléfono en su casa y que la sexta parte de los que tienen teléfono en su
casa también tiene celular.
a) ¿Qué porcentaje de habitantes de la provincia tiene teléfono celular?
b) Completa una siguiente tabla de contingencia que muestra el número de habitantes de la provincia con o
sin teléfono fijo, con o sin celular, si sabemos que la provincia tiene un millón de habitantes.
c) Si se escoge un habitante de la provincia al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga teléfono pero que no
tenga celular?
5. Relaciona las expresiones que representen la misma medida.
4 hg 3 dag 5 g 43,5 hg 4 g 3 dg 5 cg 4,35 dag
4,35 g 4 dag 3 g 5 dg 43,5 dag 4 kg 3 hg 5 dag
6. Expresa en forma compleja las siguientes medidas.
a) 82 dam c) 37254 dm
e) 176 kg
b) 145254 cm
d) 1,2345 t f) 4,23 dal
7. Un tonel contiene 2000 litros de gaseosa. ¿Cuántas botellas de 75 cl se podrán llenar? ¿Y cuántas de 1500 ml?
8. Escribe, ordenados de mayor a menor, la altura de los picos que aparecen en la tabla.
9. Transforma utilizando factores de conversión:
a) 80 dam = ............. km c) 12 dg = ............. dag e) 18 dm
= ............. hm
b) 1,45 cm
d) 12 t = ............. hg f) 4 dal = ............. cl
10. a) En la medida de una longitud se ha cometido un error de 5 m. ¿Representa esto un error grave?
b) ¿Cómo harías una estimación del volumen de una habitación?
Everest 8 km 8 hm 4 dam 8 m
Aconcagua 69,60 hm
Chimborazo 6 km 310 m
Mont Blanc 480 dam 7 m
McKinley 61940 dm
1. Respuesta sugerida:
Experimentos aleatorios: lanzar una moneda y ob-
servar si sale cara o cruz; sacar una bola de una
urna opaca donde hay bolas de varios colores; ex-
traer una carta de una baraja.
Experimentos no aleatorios: determinar la canti-
dad de hierro de un mineral; saber si una pelota
caerá, o no, al lanzarla al aire; calcular la distancia
máxima que recorrerá un proyectil.
2. Un espacio muestral es el conjunto de todos los re-
sultados elementales de un experimento aleatorio.
Ω = {1, 2, 3, 4}
3. No. La probabilidad de un suceso será siempre
menor o igual que 1, pues el número de casos fa-
vorables siempre será menor, o, como mucho,
igual que el de casos posibles. Y, por la regla de
Laplace, la probabilidad es el cociente entre los
casos favorables y los casos posibles.
; d) 0
El 15% de los habitantes de la provincia tiene
celular y teléfono fijo y el 75% tiene teléfono fijo
y no tiene celular.
Hay un 6% que tiene móvil y no tiene teléfono fijo.
Por lo tanto, tendrá celular el 21% de los habi-
tantes de la provincia.
c) A: obtener un habitante de la provincia que ten-
ga teléfono fijo pero que no tenga celular.
5. 4 hg 3 dag 5 g 4,35 g
6. a) 8 hm 2 dam; b) 145 dm
; c) 3 dam
; d) 1 t 2 q 3 mag 4 kg 5 hg; e) 1 q
7 mag 6 kg; f) 4 dal 2 l 3 dl.
7. 2666 botellas de 75 cl; 1333 botellas de 1500 ml.
8. 8 km 8 hm 4 dam 8 m > 69,60 hm > 6 km 310 m >
61940 dm > 480 dam 7 m
9. a) 0,8 km; b) 145 mm
; c) 0,12 dag;
d) 120000 hg; e) 0,000000018 hm
; f) 4000 cl.
10. a) Depende. Cuanto mayor sea el valor de la lon-
gitud que hemos medido, menos grave será el
error. Entonces, si hemos medido el ancho de
una habitación, el error es muy grave, pero si he-
mos medido la distancia entre dos ciudades, el
error es muy pequeño.
b) Estimamos las longitudes de la habitación (alto,
ancho, largo), por ejemplo por adición repeti-
da, y multiplicamos los valores obtenidos.
P A ( ) , = =
75 % % % % ⋅ = ⋅ =
Fijo 150000
No fijo 60000 40000
• Calcula probabilidades simples.
• Reconoce cuándo un experimento es aleatorio o determinista.
• Identifica el espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio.
• Identifica el suceso seguro, el suceso imposible y el suceso contrario a uno dado en un experi-
mento aleatorio, y determina si dos sucesos dados son compatibles o incompatibles.
• Aplica la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso.
• Elabora diagramas en árbol y tablas de contingencia para llevar a cabo el recuento de resultados
• Simula un experimento aleatorio mediante un programa informático.
• Reconoce la utilidad de la probabilidad en diferentes situaciones de la vida cotidiana.
• Realiza conversiones dentro del SI de medidas y con otros sistemas de uso común en nuestro me-
Sistemas de dos ecuaciones line-
ales con dos incógnitas
• El número de oro aparece en la pirámide de Keops, en el Partenón (cuyo
alzado se inscribe en un rectángulo áureo), en el boceto del cuadro
de Dalí Leda atómica, en las tarjetas de crédito (donde los lados es-
tán en relación aproximadamente igual a φ), en la relación entre las lon-
gitudes de las falanges humanas y en el cálculo del número de des-
cendientes de una abeja macho.
• La relación entre los lados de un carné de identidad es:
• Racionales:
= 100 x = 2
= ≈ φ
1 25 6 34 ; , ; ,
− − − 11
1 2 1 202 002 ; ; ; , ...
a x b c ) ; ) ; ) 5
 = =
− − 3 4 11 3
= ± = ± = ± ; ;
a b c cm ) ; ) ; ) . −3
—1 1 2 3 4 5 6 7 —2 —3 —4 —5 —6 —7
(—3, 5)
(—4, 1)
(—1, 0)
1. cuadrante
3. cuadrante
4. cuadrante
6.(−8, −2)
12. 2,3476 Ӎ2,35; 0,005 Ӎ0,01; 3,899 Ӎ3,90; 15,762 Ӎ 15,76
14. Para calcular el error absoluto restamos el valor aproximado del
2,567929 − 2,567 = 0,000929
El error relativo es el cociente del error absoluto entre el valor
20. Efectuamos los cálculos directos.
π + 8 = 5,97; π ⋅ 8 = 8,8862
Veamos si todas las cifras de estos resultados son correctas.
3,14 ≤ π ≤ 3,15; 2,82 ≤ 8 ≤ 2,83
3,14 + 2,82 ≤ π + 8 ≤ 3,15 + 2,83
5,96 ≤ π + 8 ≤ 5,98
Sólo podemos aceptar una de las dos cifras decimales obtenidas
inicialmente para π + 8.
π + 8 Ӎ 6,0
3,14 и 2,82 ≤ π и 8 ≤ 3,15 и 2,83
8,8548 ≤ π и 8 ≤ 8,9145
No podemos aceptar ninguna de las cuatro ci fras decimales obte-
nidas inicialmente para π и 8 .
π и 8 Ӎ 9
17 4 123 105 62 4 12310 = , ... , Ӎ
0 000 929
2 567 929
0 000 3617 0 036 17
, , % = →
3 141592 3 1415 0 000 092 0 0001 , , , , ... ... − = <
Intervalo Representación
0 –4 2
0 5 –1
[−4, 2]
[−1, 5]
–1 –2 –3 0 3 2 1 4
— Números racionales:
Números irracionales: ± 5,59016..., ± 1,68183..., ± 1,70910...
5 59016
1 68183
, ...; ;
, ....; ;
, ...; .
1 70910
− − 2 5 6 5 4 2 6 2
= + ; ; ;
121 22 2 2 123 22 2
6 2 30 5 11 2 30
00 17 7 49 21 28 − = − − = ; . d)
3 5 5 45 5
( ) ; ; ( ) ; ; ; ; ;
− − 18 5 4 5 3 18 4
−−16
5 2 5 2 9 2 3
⋅ − ⋅ ; ; ; ; .
; c) d) + ..
46. Traducimos el enunciado al lenguaje algebraico:
Sustituimos las soluciones en el sistema de ecuaciones:
Por lo tanto, (−7, −5) no es solución del sistema de ecuaciones.
1.ª ecuación
2.ª ecuación
Las rectas se cruzan en (1, 2), por l o que x = 1,
y = 2 es la solución del sistema.
—Comprobación de la solución:
1.ª ecuación:
2.ª ecuación:
3 3 3 2 2 3 2 2 5 3 2
= − + + = −
2 4 4 2 x y y x + ⇒ −
21 20 7 1 7
7 7 8 5 105
− 99 40 105 89 105 − − ⇒ − −
2 1 2 0 0 0 ⋅ − ⇒
1 3 2 7 7 7 + ⋅ ⇒
x y = 4 − 2x
0 4 (a)
2 0 (c)
3 −2 (d)
4 −4 (e)
—1 1 2 3 4 5 —2 —3
y = 2x 2 4 0
1 0 2 y
—1 1 2 3 4 5 6 7 8 —2 —3 —4 —5 —6 —7
9 6 y
− 18 3
x 0 −3
Las rectas se cruzan en (6, 0), solución del sistema.
—a y b no son equivalentes porque no tienen la misma solución.
54. Método por sustitución:
El punto de corte de las dos rectas es (3, 8). Obtenemos el mismo
resultado por los dos métodos.
56. Método de igualación:
El punto de corte de las dos rectas es (5, 3), solución del sistema.
58. a) b)
62. Representamos por x el precio de los libros y por y el de los rotu-
Un libro vale $ 8 y un rotulador 50 centavos.
64. Años que han de transcurrir: x.
35 + x = 4 (5 + x)
35 + x = 20 + 4x
x − 4x = 20 − 35
−3x = −15 ⇒ x = 5
3 6 2 0 18 18 18 ⋅ + ⋅ ⇒
− ⋅ − ⋅ − ⇒ − − 2 6 6 0 12 12 12
+ − ⇒
++ ⋅ ⇒ 2 3 8 y
111 2 3 5 − ⋅ ⇒ x
3 9 2 2 25
31x − 18y = 8
3x − 11y = −27
Sistema equivalente: 31x − 18y =
Resolvemos el sistema por el método de reducción:
−3 (31x − 18y = 8)
31 (3x − 11y = −27)
−287y = −861 ⇒
−11 (31x − 18y = 8)
18 (3x − 11y = −27)
−287x = −574 ⇒
Solución: x = 2, y = 3.
68. Hallamos la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo cu-
yos catetos miden 5 y 3:
70. a) a es un número del intervalo [−2,8] ya que está comprendido
entre −2 y 6. De b se sabe que está comprendido entre 4 y 8.
Por tanto, b sólo puede pertenecer al intervalo [−2,4] si su va-
lor es b = 4.
b) −2 + 4 = 2; 6 + 8 = 14;
a + b pertenece al intervalo [2, 14].
Ä( )
+ − 15 2 ( ) x y
5 3 25 9 34 34 = + = + = ⇒ =
3 4 4 3 4 4 3
++ + = + = +
9 4 2 9 4 11
( ) a x −
2 3 10 2 9 3
15 2 15 11
3 2 5 2 2 7 5 2 4 3 2
3 10 35 12 2 16 2
− ⋅⋅ − ⋅ + ⋅ −
3 3 2 5 5 8 5 3
10 2 5 31 3 30 5
c) 66 5 5
x 1 −2
y = 2 + 2x 0 6
—1 1 2 3 4 5 6 7 —2 —3
y −1 3
x = 11 + 2y 7 3
—1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 —2 —3
Edad actual 35 5
Edad dentro de x años 35 + x 5 + x
84. Los dos denominadores son conjugados entre sí, por tanto su-
mamos directamente las dos fracciones:
El número entero es 4.
86. ; por tanto:
4.º término:
5.º término:
6.º término:
3 3 5 15 15 5 75 75 5 , , , , , , ...
2 2 2 4 ⋅ =
4 2 2 8 ⋅ =
2 2 2 2 4 4 2 8 , , , , , , ...
( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 + ⋅ = + ⋅ = +
( ) 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 2 + ⋅ = + ⋅ = +
( ) 4 4 2 2 4 2 4 2 2 8 4 2 + ⋅ = + ⋅ = +
1 2 2 2 2 2 2 4 2 2
4 4 2 8 4 2
( )( ) 10 6 5 1 5 10 10 5 6 5 6 5
− − = − − + ⋅ =
( )( ) 40 16 5 1 5
40 40 5 16 5 16 5 120 56 5
= − − + ⋅ = −
• x = 5
1 + 10 = 16 − 5; 11 = 11
La solución es x = 5.
b) 3x + 5 = 2 − 4 (1 − 2x)
3x + 5 = 2 − 4 + 8x
3x + 5 = − 2 + 8x
5 + 5 = − 2 + 40; 20 ≠ 38
La solución es .
96. x + y = 27
98. Una, infinitas o ninguna.
( )( ) 120 56 5 1 5
120 120 5 56 5 56 5 400 176 5
5 5 5 10 6 5 40 16 5
120 56 5 400 176 5
5 7 6 3 19 2 13
⋅ − ⋅ ; ; ; ;
2 16 + = −
+ = − + = ;
− + = − − ≠
a) b) c) 1 2 5 17 3 8 − + − ; ; .
5 5 3 3 5 3
5 15 15 3
15 5 5 15 5 75 ⋅ = ⋅ =
x y = 27 − x
La solución del sistema es x = 3, y = 2.
102. —Método de sustitución
2 (2x − 2) = 4x + 5
0x = 9 Esta ecuación no tiene solución.
4x − 2y = 4
−4x + 2y = 5
0x + 0y = 9
104. x + y = 6
La solución es x = 7, y = 6.
5x − 2x = −3
y = 2 ⋅ (−1) = −2
La solución del sistema es x = −1, y = −2.
108. a) 2x + 3y = 1
−2x − 2y = 4
−3x − 3y = 6
−x = 7 ⇒ x = −7
La solución del sistema es x = −7, y = 5.
b) 4y = 3 + x
10 = 3x + 7y
3x − 12y = −9
−3x − 7y = −10
−19y = −19 ⇒ y = 1
−7x + 28y = 21
−12x − 28y = −40
−19x = −19 ⇒ x = 1
La solución del sistema es x = 1, y = 1.
110. a) 2x − y = 0
−2x − 6y = −14
−7y = −14 ⇒ y = 2
7x = 7 ⇒ x = 1
La solución es x = 1, y = 2.
b) 9x + 6y = 21
6x + 4y = 14
−6x − 18y = −42
−14y = −28 ⇒ y = 2
Puesto que ambos sistemas tienen la misma solución, son equi-
112. x →Número de gallinas
Número de conejos: 40 − x
2x + 4 (40 − x) = 106
2x + 160 − 4x = 106
2x − 4x = 106 − 160
–2x = –54 ⇒ x = 27
40 − x = 40 − 27 = 13
En el corral hay 27 gallinas y 13 conejos.
114. x →Número de monedas de 5 céntimos de dólar
Número de monedas de 10 céntimos de dólar: 15 − x
5x + 10 (15 − x) = 140
5x + 150 − 10x = 140
5x − 10x = 140 − 150
–5x = –10 ⇒ x = 2 → 15 − x = 15 − 2 = 13
Tengo 2 monedas de 5 centavos de dólar y 13 monedas de 10
centavos de dolar.
116. x →Lado del cuadrado menor
Lado del cuadrado mayor: 2x + 3
4 (2x + 3) − 46 = 4x
8x + 12 − 46 = 4x
8x − 4x = –12 + 46
4x = 34 ⇒ x = 8,5 → 2x + 3 = 2 ⋅ 8,5 + 3 = 20
La longitud de los lados de ambos cuadrados es 8,5 cm y 20 cm.
118. Representamos por x la cifra de las decenas y por y la cifra de
—Las cifras suman 9: x + y = 9
—La cifra de las unidades es el doble que la cifra de las decenas:
—Sistema: x + y = 9
x + 2x = 9
x = 3 → y = 2x = 2 ⋅ 3 = 6
El número buscado es el 36.
120. Representamos por x el número de estantes y por y el número
10 (x − 1) = y
8x = 10 (x − 1)
−2x = −10
x = 5 → y = 8x = 8 · 5 = 40
El laboratorio dispone de 40 productos químicos.
x y = 5 − x x y = 2x − 4
–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9
122. Respuesta sugerida:
Ecuación: Proviene del latín aequatio, que significa ‘igualdad’.
124. La pieza 1 es un triángulo de base igual a la mitad del lado del cua-
drado que limita el tangram y de altura igual a la cuarta parte del
lado de dicho cuadrado.
que calcular la diagonal del tangram ya que el lado de la pieza 3 es
una cuarta parte de la diagonal del tangram:
El área de la pieza 3 es: , resultado co-
herente puesto que tiene el doble de superficie que la pieza 1.
El área de la pieza 4 es la misma que la de la pie-za 2. Su valor
es 20 cm
El área de la pieza 5 es la misma que la de la pie-za 1. Su valor
es 5 cm
La pieza 6 es un triángulo de base y altura iguales a la mitad del
lado del cuadrado que limita el tangram. Su área es:
del cuadrado que limita el tangram y de altura igual a la cuarta par-
te de dicho lado. Su
área es:
126. Sea x la distancia entre B y C. Se tiene:
La distancia entre A y B es de 150 km y la distancia entre B y C
es de 250 km.
130.x →Precio rotulador
Precio de 4 libretas: 6,7 − 3x
Precio de 4 libretas: 2 ⋅ 3,1 − 2x
a) 6,7 − 3x = 2 ⋅ 3,1 − 2x
6,7 − 3x = 6,2 − 2x
−3x + 2x = 6,2 − 6,7
−x = −0,5 ⇒ x = 0,5 → $ 0,5
b) Precio de 4 libretas: 6,7 − 3x =
= 6,7 − 3 ⋅ 0,5 = 5,2
Precio de 1 libreta $
c) 2 ⋅ 0,5 + 2 ⋅ 1,3 = 1 + 2,6 = 3,6 → $ 3,6
132. x + y = 3
4 5 4 5 16 5 16 5 160
160 2 5 2 10
= + = ⋅ − ⋅ =
== 4 10
A cm = ⋅ = 10 10 10
A cm = ⋅ = 2 5 5 10
, , = →
2. 2 (y + 2) − x = x + 6
y − x = 1
2y = 4 ⇒ y = 2
− y + x = −1
2x = 2 ⇒ x = 1
2. 2y − 4 = 2 (x − 3)
a) 2y − 4 = 2 (x − 3)
24 + 0,08 (t − 180) = 30 + 0,05 (t − 120)
24 + 0,08t − 14,4 = 30 + 0,05t − 6
0,03t = 14,4 ⇒
t = 480 min = 8 horas
24 + 0,08 · (300) = 30 + 0,05 (360) = 48
El importe de cada factura es de 48 ∑ y han hablado 8 horas cada una.
• Masa de la Tierra: 5980000000000000000000000 kg
• Masa de un electrón:0,00000000000000000000000000000091095 kg
• La notación científica nos permite escribir y leer números muy grandes
o muy pequeños con mayor facilidad.
• a) 3
• a) 4
; c) 6
• Respuesta abierta
• A = π r
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2
− − − − ⋅ −
⋅ ⋅ = = =
5 3 6 2 2 2 2 2 4
) π π π π
4400 128 50
250 128 50
250 18 128 50
− )) ( )
250 2304 900
⋅ 88
= ⋅ = x
r (m) 0 5 10 15 20
) 0 78,54 314,16 706,86 1256,64
• V: volumen (litros)
t: tiempo (minutos)
V = 25 · t
2. Positivas: (−2)
, (+6)
, (−4)
Negativas: (−4)
, (−7)
4. −5
; −15
; −3
6. a) (−2)
; c) 4
; d) 6
; f) −4
10. a) 7
; b) 1; c) (−5)
; d) (−3)
12. a) 10
⋅ (10
14. 542000; 41876000; 0,001; 0,000157; −0,03
5,42 ⋅ 10
: tres; 4,1876 ⋅ 10
: cinco; 10
: una;
1,57 ⋅ 10
: tres; −3 ⋅ 10
: una.
18. a) Variable independiente: número de billetes.
Variable dependiente: importe.
b) Variable independiente: metros cúbicos consumidos.
20. D(f) = {1, 2, 3, ... , 323, 324, 325}
R(f) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Ordenada en el origen: −2
3 7 99 11 4 − − − − −
9 385 10 3 56 10 7 863 10
3 295 10
⋅ < ⋅ < ⋅ <
11 57 10 4 25 10
5 32 10 8 42 10
⋅ < ⋅ <
< ⋅ < ⋅
Ordenada en el origen: 3
Ordenada en el origen: −7
24. La expresión algebraica de la función es y = −6.
La pendiente de la recta es 3.
La pendiente de la recta es −2.
La pendiente de la recta es 0,4.
30. Pasa por (0, 5; 0) y (1, 50).
Consideramos estos puntos (3, 2).
La expresión algebraica de la función es
32. Pendiente:
y = −2x + b
Consideramos el punto (1, 3).
3 = −2 ⋅ 1 + b ⇔ 3 = −2 + b ⇔ b = 5
La expresión algebraica de la función es y = −2x + 5.
m 100 = =
-1 -2 -3 -4 X
E (5,-2)
C (-2,-3)
D (-4,1)
t 0 2000 4000 6000 8000
V 0 50000 100000 150000 200000
Se trata de una recta.
y −7
Masa en g (x) 100 400 300 200 500
Energía en kcal (y) 675 2700 2025 1350 3375
36. a) Resulta el sistema:
Lo resolvemos y obtenemos m = 2 y b = −5.
La ecuación de la recta es y = 2x − 5.
b) Resulta el sistema:
Al resolver obtenemos y .
38. m = 1
y = x + b; −3 = 2 + b; b = −3 − 2 = −5
La ecuación de la recta es y = x − 5.
40. Recta r
La recta pasa por (0, 0) ⇒ b = 0.
La recta pasa por (−2, 0):
La recta pasa por (0, −1) ⇒ b = −1.
y x = − −
0 1 1 = − + ⇒ = b b
) ( ) ; ( ) ; ( )
) ( ) ; (
2 25 3 125 4 625
4 64 4 4 3
) ; ( )
x = ⇒ = 4 0
→espacio recorrido por Omar en función del tiempo transcu-
→ espacio recorrido por Daniel en función del tiempo trans-
currido.
Tomamos la salida de Omar en el instante t = 0 ⇒
= 10t.
Daniel sale media hora más tarde. En esa media hora hubiese
recorrido 7,5 km, por lo que:
= 15t − 7,5
Las dos rectas se cortan en el punto P (1,5, 15).
Daniel encuentra a Omar cuando lleva 1,5 h de ejercicio y am-
bos han recorrido 15 km.
52. Para deducir la expresión algebraica de una función lineal, es ne-
cesario conocer dos puntos: el (0, 0) y otro.
Para deducir la expresión algebraica de una función afín no line-
al es necesario conocer dos puntos.
54. La gráfica de la función lineal pasa por el punto (2, 6) y, por tan-
to, cumple:
y = mx; 6 = 2m → m = 3
La función lineal es y = 3x.
Tiempo en horas (t) 0
Espacio en km (s
Tiempo en horas (t) 0,5
s = 10t 1
3,2 · 10
3,225 · 10
−6,2 · 10
2,438 · 10
1,2· 10
1,512 · 10
3,2125 · 10
A – B A · B A : B
3,175 · 10
1,28 · 10
−2,562 · 10
−1,55 · 10
−2,48 · 10
1,488 · 10
1,8 · 10
3,1875 · 10
2,56 · 10
Gasto ( )
Gasto ($) 3
Recorrido (km) 0
a) 6 ≠ 3 · 4. No pertenece.
b) 3 = 3 · 1. Sí pertenece.
c) 4 ≠ 3 · 2. No pertenece.
—Una función afín no lineal.
—Pendiente:
Ordenada en el origen: y = 0,8x + b; 3,8 = 0,8 ⋅ 1 + b; b = 3
La pendiente es 0,8 y la ordenada en el origen es 3.
60. y = 0,4x + 2
y 3 0 −3
m b = − = 3 0 ,
64. Si la representación gráfica de la función afín es una recta para-
lela a y = 2x, tendrá la misma pendiente, es decir, m = 2. Por tan-
to: y = 2x + b.
Puesto que pasa por el punto P(2, 7), se cumple:
La expresión algebraica es: y = 2x + 3.
m b = = − 2 3 ,
m b = − = 2 4 ,
m b = = 0 5 ,
m b = = 2 0 ,
y −6 −6 −6
m b = = − 0 6 ,
7 2 2 7 4 3 = ⋅ + ⇒ − = ⇒ = b b b
Superficie (m
Importe ( )
Y Importe ( )
dólares (y)
a) Función lineal.
b) m = 12, b = 0. Por lo tanto, y = 12x.
c) D(f ) = ޒ, R(f ) = ޒ
d) Puntos de corte con el eje OX: (0, 0)
Puntos de corte con el eje OY: (0, 0)
Función creciente en todo el intervalo de x.
TVM en el intervalo [1, 3]:
70. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
72. — y = 3
— x = −1
— b = −2
0 = m − 2 → m = 2
74. a) Resulta el sistema:
10 = −m + b
−17 = 2m + b
Lo resolvemos y obtenemos b = 1 y m = −9.
La ecuación de la recta es y = −9x + 1.
−1 = 7 ⋅ 5 + b ⇔−1 = 35 + b ⇔b = −36
La ecuación de la recta es y = 7x − 36.
c) b = −5
y = mx − 5
−1 = 3m − 5 ⇔4 = 3m ⇔
5 = 2 ⋅ 8 + b ⇔5 = 16 + b ⇔−11 = b
La ecuación de la recta es y = 2x − 11.
f f ( ) ( ) 3 1
y mx b P b
− = − ⇒ = −
, ( , ), 1 5 2
La expresión algebraica de la función es . Es una
función de proporcionalidad inversa.
b) . Tardará 8 horas.
La función es de la forma f(x) = 6,528 · a
Así, la función es: f(x) = 6,528 · 2,5
f(2) = 6,528 · 2,5
= 6,528 · 2,5 = 16,32.
f(4) = 6,528 · 2,5
= 6,528 · 2,5
80. El gráfico pasa por el punto P(0,5). Por tanto:
La imagen de 2 por f es el doble de la imagen de 1:
Esta ecuación tiene dos soluciones: a = 0 y a = 2, de las cuales sólo
tiene sentido el valor a = 2. La función es: f(x) = 5 · 2
b) m = 0.
= ⇒ = = = 75
f k a k a
1 6 528 6 528
6 528 6 528
= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ =
3 40 8 6 528 40 8
= ⇒ ⋅ = ⇒
55 6 25 2 5 ⇒ = = a , ,
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = k a k k
f f a a a a
( ) ( ) 2 2 1 5 2 5 5 10
= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒
⇒ − = ⇒ 55 2 0 a a ( ) − =
f(x) 6,528 16,32 40,8 102
Tiempo en horas (x) 1
Precio en euros (y) 12
en metros (x)
sombra a las
en metros (y)
sombra a las 8
A las 11 de la mañana el Sol está más alto, por lo que la pendiente
de la función es menor y, por tanto, las sombras serán menores.
86. a) t = 5 min = 300 s
e = v · t = 1,5 · 300 = 450
= 450 + 100 = 550
Recorrerá 450 m y se encontrará a 550 m de la señal.
b) 300 = 1,5 · t →
c) e = 1,5 · t + 100
c) A(2) = 1, A(4) = 2
f) No puede estar en el segundo cuadrante porque el valor de
x no puede ser negativo y está comprendido entre los valo-
res 0 y 4 (0 < x ≤ 4).
90. Si el 48% se ha evaporado, queda 100 − 48 = 52%. El 52% de 3,6 ·
· 3,6 · 10
= 1,872 · 10
2. a) m = 0, b = cualquier valor
b) m ≠ 0, b = 0
c) m ≠ 0, b = cualquier valor
El punto común es (2, 4).
Crece más rápidamente y = 2
( ) = − 32
2.La expresión analítica de una función afín es del tipo y = xm + b.
Al sustituir las coordenadas de los puntos da dos en esta expresión,
Resolvemos el sistema y obtenemos: y .
La expresión algebraica es .
4.a) x = −6
• A partir de éste módulo, se colocarán en la sección Solucionario, úni-
camente las respuestas correspondientes al apartado Ejercicios y
problemas, puesto que para este momento, los⁄as estudiantes habrán
desarrollado la autonomía necesaria para encontrar las soluciones de
las actividades, tareas y evaluaciones de los modulos por sí solos.
32. Por ejemplo: 9x
− 3x + x
34. En los tres casos Px es cero, P1= P2 = P−3 =0; se concluye
que dichos valores son las raíces del polinomio.
36. Resto= 0
38. No es posible, pues al operarse los términos de mayor grado de
cada polinomio, tercer y primer grado respectivamente, se obtie-
ne un término de cuarto grado que es también el grado del poli-
40. El mayor grado posible es de primer grado, en cuanto ese nuevo
polinomio ya no es posible dividirlo para el de segundo grado.
42. a) b) – 3 c) – 10 – 2
44. a) Cociente: x + 3, Residuo: – 4
b) Cociente: x
+ 6x + 37, Residuo: 280
c) Cociente: – 2x
– 9x – , Residuo: –127
46. 9x
– 27x
– 29x
+ 14x – 1
48. Dividimos el polinomio por x − 1.
1 0 −7 +6
1 1 1 −6
1 1 −6 0
Por lo tanto, el polinomio es divisible por x − 1, lo que nos indica
que x = 1 es una raíz.
Dividimos el cociente obtenido por x − 2.
1 1 −6
Por lo tanto, el polinomio es divisible por x − 2, lo que nos indica
que x = 2 es una raíz.
Como que el segundo cociente obtenido es x − 3, x = 3 es una raíz.
50. a) 2x
+ 8 2x − 4
− 4x + 8
+ 8 es divisible por 2x − 4.
A(x) 0,5
B(x) 31,5 31 30,5 30
es múltiplo de 2x − 4.
+ 6x − 4 2x − 4
+ 4x x + 5
10x − 4
− 10x + 20
+ 6x − 4 no es múltiplo de 2x − 4.
+ 3x − 2 2x − 4
− 5x + 10
+ 3x − 2 no es múltiplo de 2x − 4.
52. a) x (x − 1)
b) (x − 3) (x + 1) (x + 3)
+ 3) (también podríamos escribir:
(x − 3) (x + 3) (x
54. a) (5 – x) (5 + x) b) (2x – 3) (2x + 3)
c) (5x – 4y) (5x + 4y) d) (2x –3y) (2x + 3y) (4x
56. a) (x + 3) (x + 1) b) (x + 7) (x – 4)
c) (x – 5) (x + 3) d) (x – 4) (x – 2)
60. a) : = · =
3x (x − 6)
2 (x − 6)
(x − 6) · 2
− 18x + 2
2x − 12
2 + 3x (x − 6)
2x (x − 2)
+ 2x − 3) (x − 2)
5 (x − 1)
+ x − 5
− 7x + 6
5x − 5 + 2x
− 14x + 24
− 9x + 18
(2x + 2) (x + 4)
− 9x + 18) (x + 4)
(x − 3) (x + 3)
− 14x + 24) (x + 3)
+ 10x + 8 − (x
− 17x
− 18x + 72
+ 10x + 17
+ 3x − 4
+ 4x − 3
62. Efectuamos la división aplicando la regla de Ruffini.
2 1 − 1 K
2 3 2 K+ 2
Puesto que el resto debe ser 1:
K + 2 = 1 K = −1
64. Efectuamos la división aplicando la regla de Ruffini.
1 −2 K 18
3 3 3 3K+ 9
1 1 K+ 3 3K+ 27
Puesto que el resto ha de ser 0:
3K + 27 = 0 K = −9
66. Un polinomio de grado 2 será de la forma:
Como el coeficiente de x es nulo: b = 0
P(1) = a + c = 3 P(2) = a · 4 + c = 13
4a + c = 13
4a + c = 13 4a + c = 13
− a − c = −3 − 4a − 4c = −12
3a = 10 − 3c = 1
a = c = −
Por lo tanto, P(x) = x
68. Para expresar mediante un polinomio el área de la figura sombrea-
da restaremos al área del rectángulo el área de los tres triángulos.
Base: 3x + 6x − 1 = 9x − 1
Altura: x + 3 + x + 1 = 2x + 4
= (9x − 1) · (2x + 4) = 18x
+ 34x − 4
• Triángulo 1 (triángulo inferior derecho):
• Triángulo 2 (triángulo superior derecho):
El valor de a es −18 y el de b es 3.
El valor de a es −13 y el de b es 2.
+ 13x − 12
9 21 17 102 72
x x x ax b x
6 4 6 + − + + + xx
x x 3 18
18 3 ( ) ( ) a x b
) + = ⇒ = − = −
− = − ⇒ = − + =
18 5 5 18 13
30. a) 5, 9; b) 540°, 720°; c) 5, 6.
32. Dos ángulos llanos.
B = 60° + 40° = 100°
B = 60° − 40° = 20°
B = 3 · 60° − 2 · 40° = 100°
36. — 270°; — 90°; — 360°; — 90°.
40. No, porque la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre
42. La longitud del cateto opuesto es
44. Primer triángulo
Longitud de la hipotenusa:
Segundo triángulo
Longitud del cateto contiguo:
Longitud del cateto opuesto:
Cuarto triángulo
Las razones trigonométricas de 90º no están definidas a par-
tir de un triángulo rectángulo pero sabemos que:
sen 90º = 1; cos 90º = 0; tan 90º no definida
= = = sen tan α α α ; cos ;
= = n a t n e s β β β =
= = = sen tan γ γ γ ; cos ;
46. a) Conocemos un cateto y la hipotenusa (caso 1)
b) Conocemos los dos catetos (caso 2)
c) Conocemos un cateto y un ángulo agudo (caso 4)
d) Conocemos un cateto y un ángulo agudo (caso 4)
Como α pertenece al cuarto cuadrante, su coseno ha de ser po-
a cm b cm
,, , º
cos , , º
8 53 13
0 8 36 87
b cm c cm
,55 26 56
= − = B 90 40 50 ° ° °
; º
, ; cos , ;
,66 0 8
; cos , ;
, ; cos
sen − −
, ; cos ,
δ δ 77
− = cm
Las coordenadas del punto P son .
56. El octágono está compuesto de ocho triángulos como el de la fi-
El avión vuela a una altura de 8,40 km.
La distancia del primer radar al avión es:
) cos cos
= ⇒ yy sen
= ⋅ = ⋅ = 60 5
b tan ) , α α =
⇒ = °
x m = − = 6 4 4 47
= = h km x km 8 40 5 67 , ; ,
8 40 15 5 67 12 55
, ( , ) , + − = km
de cuerpos geométrico
La distancia del segundo radar al avión es:
62. Representamos por h la altura del árbol
La altura del árbol es 2,7 m.
Representamos por x la distancia entre el punto A y la base del
árbol y por y la distancia de la base del árbol al punto B.
La distancia entre los puntos A y B es 3,5 m.
68. Con los cambios sen
se obtiene este siste-
Hallamos los ángulos y :
36. No, puesto que un poliedro convexo cumple la relación de Euler:
C + V = A + 2.
Entonces, si C + V = A:
C + C = C + 2 ⇒ C = 2, y un poliedro no puede tener dos caras.
38. Longitud: 180 − 22 = 158°
Latitud: 45°
Las coordenadas geográficas de B son (158° O, 45° N).
8 40 5 67 10 13
, , , + = km
60 3 1 2 7 = ⇒ = ⋅ =
60 3 1 1 6
= ⇒ = ⋅ =
= ⇒ == =
1 6 1 9 3 5
tanα α = ⇒ =
84 29 , º
cos B y = A x =
− − = ⇒ − − =
2 1 2 1 2 4 1 ( ) ⇒⇒
⇒ − = − ⇒ =
1 2 0 2 1 0 4 0 6
sen A x sen A A
0 6 36 87
, , º
cos cos , 88 46 , º
— Diagonal de la base del prisma:
Diagonal del prisma:
La diagonal del prisma mide 23,43 cm.
42. El área de un cubo es seis veces el área de una de sus caras.
Así, si a es la arista:
44. El cuerpo está formado por un prisma mayor y cuatro prismas
= 12 ⋅ 7 + 2 ⋅ 12 ⋅ 2 + 2 ⋅ 7 ⋅ 2 + 12 ⋅ 7 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 240
= 1 ⋅ 1 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 17
= 240 + 4 ⋅ 17 = 308
El área del cuerpo es de 308 cm
46. Si llamamos a a la arista del cubo, d a la diagonal de una cara y
D a la diagonal del cubo, tenemos:
= 6 · = 200
El área del cubo es de 200 cm
48. Primero hallamos la longitud del lado desconocido del trapecio.
A continuación calculamos el área lateral y el área total del pris-
= P ⋅ h = (2 ⋅ 20,16 + 10 + 15) ⋅ 30 = 1959,60
+ 2 ⋅ A
= 1959,60 + 2 ⋅ 250 = 2459,60
El área lateral del prisma es de 1959,60 cm
y el área total, de
2459,60 cm
= 2 π r · g = 2 π · 6 · 6 = 226,08
= 2 π r ⋅ (g + r) = 2 π ⋅ 6 (6 + 6) = 452,16
El área lateral del cilindro es de 226,08 cm
452,16 cm
52. Por el principio de Cavalieri, podemos asegurar que tienen el
54. Respuesta sugerida: libro, caja de zapatos, caja de CD...
Medidas caja CD: 14 cm × 12,5 cm × 1 cm
= P ⋅ h = (2 ⋅ 14 + 2 ⋅ 12,5) ⋅ 1 = 53
= 14 ⋅ 12,5 = 175
= 53 + 2 ⋅ 175 = 403
⋅ h = 175 ⋅ 1 = 175
El área total es de 403 cm
y el volumen, de 175 cm
56. a) Se trata de un prisma y de medio cilindro.
Calculamos el área de las tres caras laterales y de la base del
prisma y también la del medio cilindro.
3 caras laterales
= 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 9 + 3 ⋅ 9 = 72
= 2 ⋅ 3 = 6
= π r (g + r) = π 1 (9 + 1) = 31,42
El área del cuerpo geométrico es:
A = 72 + 2 · 6 + 31,46 = 115,46
Calculamos los volúmenes del prisma y del medio cilindro.
⋅ h = 6 ⋅ 9 = 54
h = π ⋅ 1
⋅ 9 = 14,14
d cm + 9 12 15
D cm + 15 18 23 43
l + 20 2 5 406 25 20 16
( ) ( ) ′
El volumen del cuerpo geométrico es:
V = 54 + 14,14 = 68,14
El área del cuerpo es de 115,46 cm
y el volumen, de 68,14 cm
b) El cuerpo consiste en un cilindro hueco.
Calculamos las áreas laterales exterior e interior del cilindro.
= 2 π R ⋅ g = 2 π ⋅ 6 ⋅ 12 = 452,39
= 2 π r ⋅ g = 2 π ⋅ 3 ⋅ 12 = 226,19
La base es una corona circular. Hallamos su área.
= π · (R
) = π (6
) = 84,82
A = 452,39 + 226,19 + 2 ⋅ 84,82 = 848,22
El volumen del cuerpo geométrico es igual al volumen del
cilindro exterior menos el del cilindro interior:
cil. ext.
h = π ⋅ 6
⋅ 12 = 1357,17
cil. int.
h = π ⋅ 3
⋅ 12 = 339,29
V = 1357,17 − 339,29 = 1017,88
El área del cuerpo es de 848,22 cm
y el volumen, de 1017,88
c) El cuerpo está formado por un cono, un cilindro y una se-
miesfera.
Hallamos las alturas del cono y el cilindro.
= 26 − 12 = 14
Hallamos las áreas parciales y el área total del cuerpo geo-
lateral cono
= π r ⋅ g
= π ⋅ 5 ⋅ 13 = 204,20
lateral cilindro
= 2 π r ⋅ g
= 2 π ⋅ 5 ⋅ 14 = 439,82
= = 2 π 5
= 157,08
A = 204,20 + 439,82 + 157,08 = 801,10
Hallamos los volúmenes parciales y el volumen total del
cuerpo geométrico.
= π ⋅ 5
⋅ 12 = 314,16
⋅ 14 = 1099,56
= π 5
= 261,80
= 314,16 + 1099,56 + 261,80 = 1675,52
El área del cuerpo es de 801,10 cm
y el volumen, de 1675,52
El cuerpo está formado por una esfera y una se-
miesfera. Hallamos las áreas parciales y el área
total del cuerpo geométrico.
= 4 π ⋅ 2
= 50,27
= 2 π ⋅ 4
= 100,53
= π ⋅ 4
= 50,27 + 100,53 + 50,27 = 201,07
= π ⋅ 2
= 33,51
= 134,04
= 33,51 + 134,04 = 167,55
El área del cuerpo de revolución es de 201,07 cm
y el volumen,
de 167,55 cm
Masa Razón de semejanza Altura
10 g k
5 85 , h
20 g k
4 64 , h
50 g k
3 42 , h
100 g k
2 71 , h
200 g k
2 15 , h
500 g k
1 59 , h
1000 g k
1 26 , h
El cuerpo está formado por un cono, un cilindro y un tronco
= π r ⋅ g = π ⋅ 1 ⋅ 2,24 = 7,04
= π ⋅ (R
) = π (2,5
) = 16,49
= 2 π r ⋅ g = 2 π ⋅ 2,5 ⋅ 2 = 31,42
lat. tronco
= π g ⋅ (R + r) = π ⋅ 2,83 ⋅ (4,5 + 2,5) = 62,23
base tronco de cono
= π ⋅ 4,5
= 63,62
= 7,04 + 16,49 + 31,42 + 62,23 + 63,62 = 180,80
⋅ h = π ⋅ 1
⋅ 2 = 2,09
h = π ⋅ 2,5
⋅ 2 = 39,27
El volumen del tronco de cono es igual al volumen del cono
mayor de la figura menos el volumen del cono menor.
h' = 4,5
⋅ h′ = π ⋅ 4,5
⋅ 4,5 = 95,43
⋅ 2,5 = 16,36
= 95,43 − 16,36 = 79,07
= 2,09 + 39,27 + 79,07 = 120,43
El área del cuerpo de revolución es de 180,80 cm
de 120,43 cm
60. Hallamos el área de la esfera terrestre.
= 4 π ⋅ 6371
= 510064472 km
El 30% está ocupado por tierra firme. Entonces:
de 510064472 = 153019342
Los kilómetros cuadrados ocupados por tierra firme son
153019342.
62. Hallamos el área lateral de una lata:
= 2π r ⋅ g = 2π 7 ⋅ 20 = 879,65 cm
El área lateral de las 100 latas será:
879,65 ⋅ 100 = 87965 cm
Por tanto, se necesitan 87965 cm
Hallamos el volumen de una lata.
⋅ h = π ⋅ 7
⋅ 20 = 3078,76 cm
El volumen de las 100 latas será:
3078,76 ⋅ 100 = 307876 cm
La masa de aceite que ocupa este volumen es:
307876 cm
⋅ 0,92 g/cm
= 283246 g
Necesitaremos 283246 g o 283,246 kg.
64. La razón entre las alturas de
dos pesas será igual a la ra-
zón de semejanza. La razón
entre los volúmenes de dos
pesas es igual al cubo de la
razón de semejanza. Puesto
que la masa es directamente
proporcional al volumen, la
razón entre las masas de dos
pesas también será el cubo
de la razón de semejanza.
1 2 5 2 24
2 2 8 2 83
h h ’
66. a) El radio y el volumen del primer cilindro son:
= π· 6,37
· 20 = 2549,5 cm
El radio y el volumen del segundo cilindro son:
= π· 3,18
· 40 = 1270,8 cm
b) Hallamos el área total y la relación V/A
para los dos cilindros.
) = 2 π · 6,37 · (20 + 6,37) =
= 1055,4 cm
) = 2 π · 3,18 · (40 + 3,18) =
= 862,8 cm
La relación V/A
es mayor en el primer cilindro.
68. El volumen de la corteza terrestre es:
= π 6371
− π 6321
= 25303596326
El volumen de la corteza terrestre es de 25303596326 km
72. 1,35 minutos.
74. Debe cumplirse que los volúmenes inicial y final de agua son igua-
les, es decir:
100 · 50 · h = 100 · 50 · (h + 0,05) − 14 (h + 0,05)
100 · 50 · h = 100 · 50 · h + 100 · 50 · 0,05 − 14 (h + 0,05)
100 · 50 · 0,05 = 14 (h + 0,05)
250 = 14 h + 0,7
La altura inicial del agua en la piscina era de 17,8 cm.
30. a) aleatorio; b) determinista; c) determinista.
En los experimentos deterministas podemos prever su resultado
y, si los repetimos en las mismas circunstancias, el resultado
será el mismo. En el experimento aleatorio no podemos prever el
resultado y, si lo repetimos en las mismas circunstancias, el
resultado puede variar, dentro de un conjunto de resultados po-
32. Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
35, 36}
A: obtener rojo y número par en la ruleta.
A = {12, 14, 16, 18, 30, 32, 34, 36}
34. A = {A T, 2 T, 3 T, 4 T...K T}
B = {2 C, 2 C, 2 T, 2 B... 10 C, 10 C, 10 T, 10 B}
C = {5 C, 5 C, 5 T, 5 B}
D = {A C, A C, A T, A B...Q C, Q C, Q T, Q B}
— Suceso contrario: No obtener trébolos o cualquiera de las
otras cartas..
36. 1. 0.
38. Respuesta abierta.
2549, 5
1055, 4
40. Que todos ellos tienen igual probabilidad de verificarse. Por
ejemplo, al lanzar un dado: obtener 1, obtener 2, obtener 3, obte-
ner 4, obtener 5 y obtener 6.
42. Resultados posibles: CCCC, CCCX, CCXC, CXCC, XCCC,
CCXX, CXCX, CXXC, XCCX, XCXC, XXCC, CXXX, XCXX,
XXCX, XXXC, XXXX.
Observando los posibles resultados, vemos que es más proba-
ble sacar dos caras y dos cruces que tres caras y una cruz.
A: obtener un número mayor que 4 y dos caras.
B: obtener una cara y una cruz sin que importe el orden.
46. 0,15 m; 0,025 m; 16000 m; 10 m; 56 m.
48. a) 0,0005 kl d) 1500 dg
b) 450000 cm e) 0,0371 dal
c) 500 kg f) 0,00643 hm
50. a) 142400 dm
b) 24867000000 mm
c) 0,265435 hm
52. En la primera fila la ruleta de la izquierda, en la segunda fila las
tres ruletas.
P A ( ) , = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = 2
P B ( ) , = =
= Área del círculo rojo; A
= Área de la corona circular amarilla; A
= Área de la corona circular azul; A
= Área total de la diana.
Suceso B: colocar el dardo en el círculo rojo.
Suceso C: colocar el dardo en la corona circular amarilla.
Suceso D: colocar el dardo en la corona circular azul.
56. a) Camisetas Pantalones Zapatillas Resultados
58. Este problema sigue el esquema del procedimiento del apartado
Simulaciones aleatorias con la computadora.
Los comandos que introducimos en los experimentos son:
a) Lanzar una moneda:
= ENTERO(ALEATORIO()∗2 + 1)
Consideramos que el valor 1 es el suceso Obtener cara y el va-
lor 2, el suceso Obtener cruz.
b) Lanzar un dado:
= ENTERO(ALEATORIO()∗6 + 1)
Consideramos que los valores 1, 2, 3 son el suceso Obtener 1; los
valores 4 y 5, el suceso Obtener X, y el valor 6, el suceso Obtener 2.
c) Sacar una bola de una urna que contiene 10 bolas numera-
das del 1 al 10:
= ENTERO(ALEATORIO()∗10 + 1)
Interpretamos, respectivamente, los valores obtenidos 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 y 10 como los sucesos {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7},
{8}, {9} y {10}.
— Los posibles resultados obtenidos pueden presentar ciertas
diferencias debido a que el número de realizaciones del ex-
perimento aleatorio, 100 veces, no es muy elevado.
60. 23 l 46 cl = 2300 cl + 46 cl = 2346 cl
2346 · = 234,6
Se han evaporado 234,6 cl.
Por tanto, quedan 2346 cl − 234,6 cl = 2111,4 cl.
En el recipiente quedan 21,114 l.
62. Si no se tiene en cuenta el volumen que ocupan las paredes, la
capacidad del vaso es de 0,25 dm
= 0,25 l.
— El espacio interior del vaso ocuparía un volumen de:
− 0,02 dm
= 0,23 dm
Así, la capacidad del vaso sería:
0,23 dm
= 0,23 l
64. De a) se deduce que hay el mismo número de bolas rojas que
de azules, y de b), que hay la mitad de bolas verdes que de azu-
Así, si llamamos x al número de bolas rojas, se cumple:
y ha de ser un número entero.
De aquí resulta x = 6; por lo tanto, hay 6 bolas rojas, 6 azules y 3
66. a) ⇒P
b) ⇒P
− 0,1 kg = 2 P
c) ⇒P
De a) y c) deducimos: P
= 1 kg ⇒P
= 0,5 kg.
De b) se deduce: 0,5 kg − 0,1 kg = 2 P
= 0,2 kg.
De c) se deduce: 0,5 kg = P
+ 0,2 kg ⇒P
= 0,3 kg.
68. — Las causas de que el aceite y la leche puedan tener diferen-
tes unidades de medida pueden ser diversas y difieren según
el país. A continuación, mostramos algunas posibles causas:
• Los recipientes en los que se almacenaban, origen usual-
mente de las unidades de medida, eran diferentes para el
aceite y para la leche.
• Como el aceite es más viscoso que la leche, los instrumen-
tos que se utilizaban para medirlos eran distintos.
• Su diferente uso hacía que para estos dos líquidos se utili-
zaran distintas medidas.
2111,4 cl
21,114 l ⋅ =
20 < + + = < x x
• El consumo de una de las dos sustancias podría ser más
alto que el de la otra, hecho que aconsejaría emplear uni-
dades más grandes para medir la más consumida.
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