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Timestamp: 2018-06-21 16:41:09+00:00

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Description: Diversas actividades a nivel escolar
Diversas actividades a nivel escolar
TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS
agarciar@correo.ulima.edu.pe
ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
a.1) ÁNGULO AGUDO
0º < α < 180º
0º < β < 90º
a.2) ÁNGULO RECTO
a.3) ÁNGULO OBTUSO
90º < α < 180º
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
θ + δ = 180º
a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Un lado común
Puede formar más ángulos
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 1 4 5 8
01. Ángulos alternos internos: m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6
04. Ángulos conjugados externos: m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°
02. Ángulos alternos externos: 05. Ángulos correspondientes: m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m ∠ m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8 8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7 03. Ángulos conjugados internos: m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas. α x β y θ α + β + θ = x + y
02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
α + β + θ + δ + ε = 180°
03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Problema Nº 01 El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. RESOLUCIÓN La estructura según el enunciado: 90 - { ( 180° - X ) - ( 90° - X Desarrollando se obtiene:
2 ( 90° - X
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X Luego se reduce a: 2X = 180° X = 90°
Problema Nº 02 La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. RESOLUCIÓN Sean los ángulos: α y β Dato: α + β = 80° Dato: ( 90° - α ) = 2β Reemplazando (1) en (2): ( 90° - α ) = 2 ( 80° - α ) 90° - α = 160° -2α
β = 80° - α (2)
(1) α = 70° β = 10°
Diferencia de las medidas
α - β = 70°-10° = 60°
Problema Nº 03 La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. RESOLUCIÓN Sean los ángulos: α y β Del enunciado: β + α = 50° (+) ( 90° - α ) + ( 90° - β ) = 130° β - α = 10° β + α = 50° (1) 2β = 60° Del enunciado: ( 180° - α ) - ( 180° - β ) = 10° β = 30° β - α = 10° (2) Resolviendo: (1) y (2)
Problema Nº 04 Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. RESOLUCIÓN De la figura: B A α = 60° - 20° M α = 40° 20° X Luego: α X = 40° - 20° 60° α X = 20° O C
Problema Nº 05 La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. RESOLUCIÓN A
Construcción de la gráfica según el enunciado
Del enunciado: AOB - OBC = 30°
Luego se reemplaza por lo que Seθ + X) - en la gráfica ( observa (θ - X) = 30º
M B θ θ O X (θ- X) C
2X=30º
Problema Nº 06 Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. RESOLUCIÓN
θ β β
2α + θ = 90° (+) θ + 2β = 90° 2α + 2θ + 2β = 180° α + θ + β = 90° X=α +θ +β N X = 90°
Problema Nº 07 Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” m
α α 80° θ θ 30°
RESOLUCIÓN α α 80° θ θ 30° Por la propiedad 2α + 2θ = 80° + 30° (1) α + θ = 55°
Propiedad del cuadrilátero cóncavo
n 80° = α + θ + X
80° = 55° + X X = 25°
Problema Nº 08 Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”
X n 5α
RESOLUCIÓN m 4α 65° 40° 65° X n 5α Por la propiedad: 4α + 5α = 90° α = 10° Ángulo exterior del triángulo X = 40° + 65° X = 105°
Problema Nº 01 Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”
x m 2α θ
2θ n α
RESOLUCIÓN m 2α
2θ n
Ángulos entre líneas poligonales
3α + 3θ = 180° α + θ = 60° X=α+θ
PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ∠ x
L1 α α x β β
C) 30° D) 40° E) 50°
PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ∠ α m 3α α
3α n
PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”
95° 40° 2x
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
PROBLEMA 05.- Calcule la m ∠ x
3α 6α
A) 99°
PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 22° B) 28°
C) 30° D) 36°
PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m ∠ x
A) 24° B) 25° C) 32° D) 35°
PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
PROBLEMA 09.-Si m//n y θ- α = 80°. Calcule la m∠x m
x α n
PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m ∠ x m
C) 40° D) 50° E) 60°
PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m ∠ α m 2α
180°-2α
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55°
PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
80° β β n
D) 60° E) 70°
REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
1. 20º 2. 30º 3. 45º 4. 10º 5. 120º 6. 36º 7. 32º
50º 80º 30º 60º 40º 50º
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