Source: https://www.scribd.com/doc/66904579/Mate-Ma-Tic-As
Timestamp: 2017-03-29 13:55:32+00:00

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D I V E R S I DA D C U LT U R A L E N L A S AU L A S
AUTORA: Begoña Arenaz Villalba ILUSTRACION PORTADA Y CONTRAPORTADA: Seraﬁna Balasch Puig DISEÑO Y MAQUETACION: Loher Publicidad ISBN: 84-688-9027-8 DEPOSITO LEGAL: HU-386/04 EDITA: C.A.R.E.I ( Centro Aragonés de Recursos para la Educación Intercultural). Gobierno de Aragón. Departamento de Educación, Cultura y Deporte.
Conocer de dónde viene nuestro sistema de numeración. Interés por conocer diferentes formas de numeración y herramientas matemáticas. HECHOS Y CONCEPTOS MATEMATICOS • • • • • • • Conocer el origen de los sistemas de numeración. Conocer diferentes sistemas de numeración. Usar correctamente al ábaco.
5. Leer y comprender textos referidos a problemas matemáticos. • • • 4. INTERDISCIPLINARES: TECNOLOGIA Fabricación de un ábaco. Reconocer los datos importantes para resolver un problema. Encontrar las diferencias entre los distintos sistemas de numeración.
. Resolución de problemas matemáticos. decenas. • • • Realizar operaciones sencillas en los diferentes sistemas de numeración.OBJETIVO GENERAL
• Que el alumno sea capaz de utilizar los números naturales para resolver problemas. decenas de millar… Conocer las propiedades de la suma y la multiplicación. PROCEDIMENTALES • • • • • 3. ACTITUDINALES Respetar a los compañeros. millares. Aplicar las propiedades de la suma. Separar un número por sus unidades.
1. Descubrir que existen otros sistemas de numeración distintos del que nosotros empleamos. Relacionar la descomposición de un número con la utilización del ábaco. Trabajar en grupo. centenas. INTERCULTURALES Usar herramientas utilizadas actualmente en otros países.
el de saber cuándo tenía que plantar y qué cantidad de semillas tenía que guardar. Los sistemas de recuento más primitivos se basaban en el 5. es decir. El sistema cuaternario. el 10 o el 20. se dice que una tribu brasileña contaba con las tres articulaciones de las falanges de los dedos. Inmediatamente el campesino tuvo que afrontar varios problemas como el de contar los días y las estaciones. y una de las cuestiones sobre la que es unánime el acuerdo en antropología cultural (y en ello coinciden con Aristóteles) es que este hecho tiene mucho que ver con los cinco dedos que el animal humano tiene en cada mano.
. BABILONIOS. o los 10 dedos de ambas. Australia y América del Sur emplearon un sistema binario. Pero ha habido muchas excepciones. la historia de las matemáticas ha ido ligada a las necesidades de los pueblos.INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS NUMÉRICOS. Ciertas culturas aborígenes de Africa. de base cuatro. y ha estado conﬁnado principalmente a unas pocas tribus sudamericanas y a los indios Yuki de California. El inventar un sistema de numeración no fue una tarea fácil. Al retirarse los glaciares hace unos 10 000años. La suma de números naturales. GRIEGOS. el de pagar tributos. Tigris y Eúfrates y se dedicaron a la agricultura. Sus propiedades: conmutativa y asociativa
Los primeros sistemas de numeración aparecen en el seno de los pueblos.
.CULTURAS QUE TENÍAN SISTEMA DE NUMERACIÓN: SUMERIOS.CONTENIDOS:
1. al intentar resolver los problemas que presentaba la vida diaria. es todavía más excepcional. El conjunto de los números naturales 2. los cazadores nómadas de la edad de Piedra se reunieron paulatinamente en los Valles del Nilo. quienes contaban con los huecos de separación de los dedos. Unas cuantas desarrollaron un sistema ternario. … Todo esto hizo que fuera preciso darle nombre a los números. CHINOS. o los 20 si se toman manos y pies. HISTORIA
Durante mucho tiempo y aun actualmente. Uno de los mayores problemas para las primeras culturas fue el contar y establecer un sistema para ello.
955. ROMANO. se inventó un sistema de base 10. Los sistemas de numeración eran necesarios para los comerciantes y el gobierno. es
decir. en la región de Mesomia. Aprendieron de los anteriores. Tuvieron su propio sistema de numeración. para hacer sus anotaciones y cálculos. BABILONIO. El numero mas alto que apareció era el 195. CHINO. La escritura la plasmaban sobre ladrillos de arcilla. este pueblo tuvo ciudades prósperas y sus conocimientos matemáticos fueron debidos a las continuas inundaciones que sufrían. usaron un sistema describir los números en base diez utilizando los jeroglíﬁcos de la ﬁgura para representar los distintos ordenes de unidades. Los chinos es uno de los pueblos que poseyó uno de los sistemas de numeración más antiguos.
. 60. Antes de la era cristiana. De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.
· El Sistema de Numeración Egipcio
Los egipcios tuvieron un sistema de numeración antes del año 3000 antes de J. Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. con forma de cuña. leer y tenían un sistema
de numeración. entre los ríos Tigris y Éufrates. HINDÚ.c.. MAYA. quienes hace mas de 5000 años ya sabían escribir.000. utilizando generalmente las diez primeras letras de su alfabeto para representar los diez primeros números.
· Los babilonios. 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10. En Asia. Desde el tercer milenio a. · El Sistema de Numeración Babilonio
Entre la muchas civilizaciones que ﬂorecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. GRIEGO.· Los sumerios. Para números mayores utilizaban otras letras.
.C. que tenía su propio signo. con caracteres cuneiformes. al igual que los sumerios. aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. 60x60.500. · Los griegos. A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades.LOS SISTEMAS NUMÉRICOS: EGIPCIO JEROGLÍFICO.000.
. al revés o de arriba abajo. 300. aproximadamente. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas. 3000.. vasijas etc.. En la ﬁgura aparece el 276 tal y como se muestra en una estela en Karnak. ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.. con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.
Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la ﬁgura. representar 50.. 30... Utiliza los ideogramas de la ﬁgura y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena.90.Desde el tercer milenio a.
· El Sistema de Numeración Chino
La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 a. cambiando la orientación de las ﬁguras según el caso. millar y decena de millar para.) cuyo número indicaban. 700 ó 3000.. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales.
Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano... 2000. pero incluso así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10..c. centena. En el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica. y solían ir acompañados de los jeroglíﬁcos correspondientes al tipo de objeto (animales. Al ser indiferente el orden. El orden de escritura se hace fundamental.200. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10.C. según el principio multiplicativo.. prisioneros. y así se introdujeron símbolos particulares para 20.. usaron un sistema describir los números en base diez utilizando los jeroglíﬁcos de la ﬁgura para representar los distintos ordenes de unidades. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha. se escribían a veces según criterios estéticos..900.. formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia.
8 y 9. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico.C. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y se usaban hasta dos grafía diferentes en usos domésticos y comerciales. 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10. diez (deka) y mil (khiloi).Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. ya que están compuestos por letras y. Dos. 7. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente). 10 y 100.
De esta forma los números parecen palabras. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la ﬁgura siguiente para representar esas cantidades. Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsiﬁcaciones y errores. a su vez. Los símbolos de 50. basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Para el 10 se usaban dos rayas. además de las variantes regionales.
. las palabras tienen un valor numérico. La unidad se representaba por un punto. VIII en nada se diferencia de este. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por inﬂuencia india en s. Para el 5. que utilizaban un sistema similar. que persigue ﬁnes místicos y adivinatorios. que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente. el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala. 3 y 4. con cuatro rayas. En algunas sociedades como la judía y la árabe. y de la misma forma se continúa hasta el 20. tres. El 5 era una raya horizontal.
· El Sistema de Numeración Maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 como base auxiliar. Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. usando un principio multiplicativo. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.
· El Sistema de Numeración Griego
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 a. a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6. y cuatro puntos servían para 2. 100 y 1000 al de 5.
· El Sistema de Numeración de los hindúes
Ya los matemáticos indios conocían el uso del sistema de numeración babilónico por posición. Pero los cientíﬁcos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. empezando por el orden de magnitud mayor. Como los babilonios. Aunque al simbolismo de los números que utilizamos en la actualidad se les conoce como cifras arábigas. en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1. aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Además de las aportaciones individuales de varios matemáticos indios.Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo.. se hace imprescindible y los mayas lo usaron. usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. Sin embargo. y crearon así el sistema decimal de posición. Usaban ya los números positivos y negativos (créditos y débitos). el cual conocemos en nuestros días. 20. lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden.
. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Al romperse la unidad del sistema. no creadores. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año. no se sabe con certeza cómo nacieron estas cifras y hay varias leyendas al respecto. 20x20. se deben a la matemática hindú dos contribuciones colectivas de gran trascendencia: la consideración del simbolismo algebraico y el sistema de numeración posicional de base 10. según el lugar que ocupe. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo. la presencia de un signo para el cero. Además de éste calendario solar. considerados cada uno un solo signo. Los hindúes adaptaron la numeración decimal. 20x20x20 . los árabes han sido meros transmisores.. y sumar el resultado. así como el cero como símbolo operatorio. estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20. Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa. si bien con una simbología diferente. éste se considera poco práctico para el cálculo y aunque los conocimiento astronómicos y de otro tipo fueron notables. ya que en la India se utilizaba este sistema anteriormente. los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario. El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. pero en realidad.
000 · Sus agrupamientos se hacen de 10 en 10. = 10 · 1.
. · Los romanos no tienen un símbolo para representar el cero. escrita sobre un número lo multiplica por mil.· El Sistema de Numeración romano
Este sistema de numeración prácticamente sólo se emplea en la actualidad para representar los años. es decir. VI = 6 LX = 60
Principio sustractivo: un símbolo ubicado a la izquierda de otro de mayor valor le resta a este su valor. V=5 L = 50 D = 500
estos no se repiten.000 = 10.000
sólo pueden ser repetidos consecutivamente hasta tres veces. IV = 4 XC = 90
Principio multiplicativo: una rayita horizontal. · En este sistema tiene importancia el orden de los símbolos. para representar un número se debe tomar en cuenta la posición donde se escribe determinado número. Principio aditivo: un símbolo escrito a la derecha de otro de igual o mayor valor le suma a este su valor. · Este sistema utiliza siete símbolos para representar los números:
Dinámica de grupo “No digas el número . como el ejemplo que sigue: A B C D E F G H I J T S V
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 80 300 800 Con el sistema de numeración que has inventado. con nuestro alfabeto.Inventa tu sistema de numeración
Dinámica: por parejas Desarrollo: Supón que vives en los tiempos primitivos y no conoces los números... Y si tuvieses que representar una cantidad muy grande. 521.
2.. 140
Material: una hoja por grupo de los problemas propuestos Dinámica: en grupos de 4 personas o 5 como máximo
1. ¿qué diﬁcultades encontrarías? Trata de inventar otro sistema que te facilite esta tarea.. ¿cómo sabrías que las ovejas que sacas a pacer son las mismas que las que traes? Inventa tú una manera de contar. intenta escribir las siguientes cifras: 4528.Ejercicios
Dinámica: individualmente Desarrollo: Inventa un sistema de numeración parecido al griego..
Y no sabrán cuales son las reglas de los que dictan. mangos y lentejas naranjas.2845 ¿Conoces algún uso que se dé actualmente a los números romanos?
.. sino que tendrán en cada grupo una regla: . el triple que de loto.1427. para introducir algún tipo de presión).Si en mi instituto hay 25 personas de Senegal.36.Sólo pueden decir los números pares.46. .Sólo pueden decir los números impares. ¿en que el no poder utilizar todos los números ha inﬂuido en el desarrollo de la actividad?. romano y egipcio: 13. Todo se mide por kilos... Hay la misma cantidad de lentejas que de macarrones. 3) Las personas elegidas para dictar no pueden decir cualquier numero. cuscús.136. loto.. o poner un tiempo límite.Desarrollo: En cada grupo habrá un observador. y anotar el comportamiento de los demás y las diﬁcultades que tienen para realizar el ejercicio. Y de cuscús hay 5 kilos. Atendiendo a: ¿os ha gustado el juego?... Tendrán que seguir las normas siguientes: 1) Las personas designadas a escribir (pueden escribir un problema cada una). no podrán escribir nada que no les diga el compañero que dicta.25.19. . Al terminar la actividad cada grupo podrá exponer cuales han sido sus impresiones.Sólo pueden decir los números hasta el 10.Sólo pueden decir los números hasta el 5. (se puede plantear como una competición entre los diferentes grupos. 2) El observador tiene que asegurar que las normas se cumplen.. . ¿en que grupo ha sido mas fácil y en cual mas difícil?. Y el triple de españoles que de marroquíes. dos o tres personas que escribirán y otra que dictará. (Intentar que los datos sean lo mas cercano posible a la realidad). ¿Cuántos alumnos somos? . ¿Cuánto hay de cada cosa? . la mitad de esto que de mangos y loto. Con la participación de todo el grupo han de resolver los problemas..En la tienda de al lado de mi casa tienen 5 tipos diferentes de cosas: macarrones. No podrán hablar.Ejercicios sobre los sistemas de numeración maya.
4. la tercera parte de chinos que de Senegal.. Los problemas pueden ser del tipo: . romano y egipcio
Material: una hoja por grupo de los ejercicios siguientes Dinámica: por grupos de tres Desarrollo: Escribir las siguientes cantidades en los sistemas de numeración maya.. el doble de Marruecos. ¿ha sido fácil seguir las reglas?. ¿nos han tratado bien los compañeros de nuestro grupo? ¿nos hemos dado cuenta de que solo es una manera diferente de contar? . . Se les da a cada grupo una hoja con problemas cuya resolución sea de diﬁcultad media o baja.
Ponle a cada uno un color diferente.
¿Qué diferencias encuentras entre los sistemas de numeración maya y romano? ¿cuál te parece mas sencillo? ¿cuál mas útil? ¿Por qué crees que se ha adoptado mayoritariamente el sistema de numeración decimal y no otro cualquiera?
4. Dinámica: individualmente Desarrollo: Dibuja sobre el mapamundi las zonas donde vivieron los pueblos mencionados en el tema: sumerios. mayas.Pasar al sistema arábigo los siguientes números: XLVI. egipcios. una enciclopedia o material informativo sobre varios países. pinturas de colores. indios y árabes. los nombres de los países. MMDCCCXLV. y contará los datos que han seleccionado. griegos. En un periodo de tiempo deben averiguar la ubicación de los países y algunos datos sobre ellos.
... III +Π Π ΙΙ
eeeeΠΠΙΙΙ eeeeΠΠΙΙ Realiza las siguientes operaciones:
Π Π ΙΙΙ Π Π ΙΙΙ . Dinámica: en grupos de unas 4 personas. chinos. ¿Sabíamos ya algo de esos países? ¿Y de su relación con las matemáticas? ¿conocemos a alguien que venga de allí? ..
. Se reparte al azar entre los grupos participantes.. Una vez ﬁnalizado el tiempo cada grupo colocará el nombre del país en su sitio correspondiente en el mapa. Desarrollo: Hay que seleccionar los países que estén en las zonas señaladas en el ejercicio anterior.Dinámica de grupo
Material: el mapamundi hecho en la actividad anterior.
XLVI XXV Π Π ΙΙΙ Π Π ΙΙΙ . romanos.
5. babilonios.Situación geográﬁca
Material: mapamundi de Peter.
7. asociativa y distributiva. centenas. La introducción y la generalización del uso del sistema de numeración indoarábigo necesitaron siglos. No siempre ha sido así.SEGUNDA PARTE
3. Descomposición de un número natural: unidades. de cuyo nombre deriva la palabra algoritmo. El sistema de numeración de los romanos no era posicional.
. y de cuyo libro. La multiplicación de números naturales. Propiedades: conmutativa. La base de numeración quiere decir cuantos dígitos diferentes vamos a utilizar.. sistema que luego fue conocido como “el de Al-Khowarizmi”. 2 decenas. Por lo que se crean gran cantidad de escuelas de gran importancia.. 8 y 9) y por eso se dice que es un sistema decimal o base 10.
La historia de las matemáticas en Los pueblos árabes comienza a partir del siglo VIII.. DE DÓNDE VIENE. 1. 4. En el sistema de numeración que utilizamos habitualmente utilizamos 10 dígitos diferentes (0. a partir de ellos y del gran centro cultural de Córdoba. se fue extendiendo por el sur de Europa. 2.. Para realizar operaciones es mucho más sencillo. decenas. se cree que deriva la palabra álgebra) lo fueron utilizando poco a poco y. en donde se explicaba de forma detallada el sistema de numeración hindú. o dicho de otra forma: 4 unidades. en donde se traducen libros como el Brahmagupta. intentando traducir todos los textos Griegos al árabe. El imperio musulmán fue el primero en comenzar este desarrollo. Hisrab al-abarwa-al-mugabala. tenemos que decidir la base de numeración que vamos a utilizar. Establecido que el sistema de numeración es posicional.
. con Abderramán III. 3. 4. El numero 6324 = 6·1000 + 3·100 + 2·10 + 4.NUESTRO SISTEMA NUMÉRICO “ÁRABE”. 5.SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Y POSICIONAL
El sistema actual de numeración es un sistema posicional eso quiere decir que el valor de cada número depende de la posición que ocupa.. que por deformaciones lingüísticas terminó como “algoritmo”.
Ventajas sobre otros sistemas de numeración
Las ventajas residen claramente en ese carácter posicional. en el siglo X.
. Los algebristas árabes (entre los que destacó Al-Khuwarizmi. en el siglo IX. escrito en árabe. 6. 3 centenas y 6 unidades de millar.
y subiremos la que nos falta hasta el 6. restar. resta. Tenía un amplio uso en Asia y Europa oriental: stchoty (ruso). El ábaco sirve para efectuar operaciones aritméticas tal y como se hace en el papel (Fig. Es decir. Así el número 365 se representará separando 5 bolita del primer alambre. pero como ya no tendremos suﬁcientes. multiplicar y dividir. Si el número que queremos sumar fuera el 6. Ábaco al estilo ruso. 1) Veamos ahora las operaciones que se pueden hacer en el ábaco. Multiplicar ese número por 10 será tan sencillo como pasar todas las bolitas al alambre siguiente al suyo. siendo descubierto mucho más tarde por Europa. Esta palabra ha llegado hasta nosotros como una “cifra” o. 6 del segundo y tres del tercero.
Figura 1. el siguiente las decenas. en al primero no quedará ninguna. Como se muestra en la ﬁgura 1. etc. en el segundo 5.
El ábaco está compuesto por unos alambres y unas bolitas insertadas en ellos. en verdad. las unidades de millar. servía para agilizar las operaciones aritméticas básicas. suan pan (chino) y soroban (japonés). Si a este número queremos sumar 4 no habrá más que aumentar 4 bolitas del primer alambre. y se extendió a China y Japón.
Es una herramienta de cálculo con la que se pueden realizar las operaciones de sumar. en forma más corrompida como “cero”. bajaremos todas otra vez. Es decir. uno será las unidades. De esas nueve cifras derivaron los hindúes todos los nmeros.El ábaco
El dispositivo de cálculo más antiguo que se conoce es el ábaco. y 7 en el segundo. Cada alambre corresponde a cada una de las cifras de un número. todo lo que se necesit fue dar a las cifras su valor de posición. para cualquier barrote o alambre del ábaco. Así pues nos quedará una bola en el primero. Al llenar uno de los alambres deberemos aumentar una bolita del siguiente. millares y. en el tercero 6 y en el cuarto 3. se tendrá que separar 6.
. Puede realizar operaciones matemáticas de suma. centenas. Aparecido hacia el 500 AC en Oriente Próximo. Si queremos sumar 12 se añadirá 2 del primero y 1 del segundo. La gran innovación hind fue la invención de un símbolo especial para una hilera intacta del ábaco. las centenas. A este símbolo los árabes lo llamaron “sifr” que signiﬁca “vacío”. multiplicación y división. se contará hasta 5. Donde los hindúes mejoraron el sistema griego y el hebreo fue en el uso de las mismas nueve cifras para las decenas.
Tenemos razón al enorgullecernos de nuestro ábaco de calcular. En unas manos hábiles. verdaderas maravillas”. a lo simple del dispositivo y a su bajo costo”.
. dónde se utiliza para enseñar a los niños matemáticas básicas y especialmente la multiplicación. Para multiplicar por 9. este sencillo aparato hace con facilidad. restar el doble del multiplicando al producto de la multiplicación por diez. 20). Estos aparatos de calcular se han conservado hasta nuestros días y su empleo es muy popular.
EN QUE PAÍSES SE USA ACTUALMENTE
En el siglo XV. Están basadas en los siguientes cálculos. Mientras tanto. basta elevar todo el número un renglón. la opinión de un cientíﬁco japonés: “A pesar de su antigüedad. un ábaco de siete bolitas en cada alambre (llamado en China “suangpang”. y únicamente en las escuelas superiores existen enormes ábacos: Un medio prctico escolar en la enseñanza de la numeración. La multiplicación por 8 da el mismo resultado que. el ábaco es un excelente sustituto para la rutina de la memorización de las tablas de multiplicar. en ciertos aspectos. para las cuatro operaciones aritméticas. multiplíquese por diez y réstese el multiplicando. una modiﬁcación del famoso “ábaco” o “tablero de cálculo”. Al grupo de tales objetos insuﬁcientemente estimados pertenece nuestro ábaco: aparato de clculo popular ruso que representa en s.
· El Ábaco Ruso
“Hay algunos objetos útiles que no valoramos lo suﬁciente debido a su constante manejo. En vez de multiplicar por 7. en Asia. gracias a su facilidad de manejo. en China y Japón ya se empleaba. He aqu por ejemplo. Occidente casi no sabe acerca de los ábacos. y con base en los resultados que pueden lograrse en ellos. y en Japón “Soroban”) (ver la ﬁg. inclusive con máquinas calculadoras. Y en los colegios. las operaciones sencillas se efectúan más velozmente en el ábaco. todavía se usa en las tiendas para realizar las cuentas. Para multiplicar por 10. lo que los ha convertido en objetos demasiado comunes de uso doméstico. el sorobn supera a todos los aparatos de cálculo modernos. pueden competir.Naturalmente. puesto que gracias a su dispositivo sorprendentemente sencillo. que como aquí son descritas. multiplíquese el multiplicando por 10 y luego réstese el mismo tres veces. Hoy en día. de nuestros remotos antecesores. También es una excelente herramienta para enseñar bases de otros sistemas numéricos ya que se puede adaptar fácilmente a cualquier base.
el maya..
2. pero cada uno de ellos lo hará en un sistema numérico diferente: el romano.¿Qué diferencia encuentras en al ejercicio a).Operar de otra forma
Material: Dinámica: dividir la clase en 4 grupos... el egipcio y el nuestro. Y en conjunto trataremos de sacar conclusiones de por qué unos grupos han tardado más que otros.. Responder: ..... Cada grupo contará las diﬁcultades que ha tenido. 1256 Desarrollo: Realiza esta suma de números: 325 Trata de realizarla con números romanos.. + 105 ¿Cómo te resulta más sencilla? ¿Por qué?
3. + .. + 3 55555 = .. Lluvia de ideas Desarrollo: a) Realizar en la pizarra las siguientes sumas: 333 = 300 + .¿Qué ventajas obtenemos al usar las cifras de esta forma? EL ÁBACO
.. y luego en grupos contestar a las dos preguntas propuestas.Diferencias en las operaciones
Material: Dinámica: individualmente los dos primeros ejercicios.. + 500 + .Un sistema posicional
Material: Dinámica: pensamos entre todos. entre el 3 de la derecha y el de la izquierda? – Y en el b) ¿entre el 5 del centro y los de los extremos? . Desarrollo: Todos los grupos realizarán una misma suma.....NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN
1.. + .
.. Se pueden hacer competiciones para ver la rapidez con que se puede llegar a manejar el ábaco: todos con un ábaco. Situar en el mapa que ya teníamos los países que utilizan o utilizaban el ábaco.¿Por qué elegimos un sistema decimal? b) Completar el cuadro:
UNIDADES MILLÓN
CENTENAS MIL
DECENAS MIL
UNIDADES MIL
. También se puede hacer con ﬁguras geométricas. añadiendo más números y de mas cifras.215.
6. El juego acaba cuando se han formado tantos grupos como colores y todo el mundo está en su sitio.El ábaco. Se les pone la pegatina en la frente. Desarrollo: Se ponen todos en círculo y cierran los ojos.4..365
205. Ejercicios anteriores de descomposición de números para visualicen las distintas unidades en el ábaco. . El tamaño debe ser pequeño para poder pegarse en la frente.“El arco iris”
Material: Pegatinas de tantos colores como grupos queramos hacer. Para dándole mayor diﬁcultad. (El ábaco se ha podido construir anteriormente en el aula de tecnología) Dinámica: en grupos Desarrollo: Problemas de fácil planteamiento para practicar el uso del ábaco. Taller
Material: un ábaco por grupo.. Abren los ojos y sin hablar tratan de juntarse con los de su mismo color. Ver que está en base 5.¿Cuántos símbolos tenemos en nuestro sistema de numeración? ¿Y números? .Dinámica para formar grupos .. Empezando con sumas sencillas. de dos números.Descomposición de números
Material: una tabla que tendrán que rellenar Dinámica: individualmente Desarrollo: a) Responder a las siguientes preguntas: . unos con ábaco y otros mentalmente. Los colores deben estar bien mezclados de forma que cada participante no esté al lado de los de su color.125 3.
Ziberov.. Resolución de problemas
¿Cuáles son los métodos de resolución de un problema con la ayuda del ábaco?
. tal y como lo planteó el estudiante de séptimo año.Propiedades de la suma y de la multiplicación
Material: diccionario Dinámica: individualmente Desarrollo: I) Realiza las siguientes sumas: a) 25 + 16 = b) 16 + 25 = c) ¿Por qué dan el mismo resultado? II) Busca en el diccionario la palabra conmutar.7.Fabricación de un ábaco
5. ¿Cómo la relacionas con el ejercicio anterior? III) Comprueba tú mismo que la multiplicación también cumple las propiedades asociativa y conmutativa IV) Comprueba con el ábaco estas propiedades cogiendo varios ejemplos
8. del cuento de Chéjov “el Repetidor”.EL ROMPECABEZAS DE CHÉJOV
Ahora veremos un ameno problema aritmético. 3 rublos?”
. si la tela azul costaba 5 rublos por arshin. “Un comerciante compró 138 arshins (1 arshin = 80 cm) de tela negra y azul por 540 rublos. y la negra.. Me pregunto. ¿cuántos arshin compró de cada una.
sin decir una palabra. Esta historia con el problema que había sembrado la confusión en el repetidor. La tercera no es tan simple. Egor Aliékseich. ¿ Cómo debió haber resuelto el problema Pedrito ? 3. los 138 arshins de tela azul hubieran costado 5 * 138 = 690 rublos. en forma aritmética. ¿Entiende?.dijo a Pedrito su padre. Por otra parte.Esto está hecho a nuestra manera…… no cientíﬁca”. Udodov. . ¿Aparece un residuo? Aquí no puede haber residuo. Al ﬁn.590 = 150 rublos más del costo en la realidad. plantea por sí misma tres nuevos problemas. Formar dos ecuaciones con dos incógnitas para el problema dado no es difícil. podemos responder probablemente sin trabajo alguno. El repetidor de séptimo año hablaba de resolver el problema “con la ayuda de la x y de la y “. en forma “no cientíﬁca”? A las primeras dos cuestiones. . no. .? ¡Deténgase! O. de 12 años. dividir 540 entre 5 + 3? no. basta considerar que la diferencia de precios entre un arshin de tela azul y uno de tela negra es de 5 . ¿Cómo hubiera el repetidor resuelto el problema algebraicamente? 2. Udodov dijo: . Pero vayamos en orden. Así debió haber resuelto el problema Pedrito. Ambos comprendían la confusión del maestro.. hela aquí: x+y= 138
5x+3y=540 donde x es el numero de arshins de tela azul. restándolos de los 138 originales. ordenando a Pedrito. 690 . Se necesita ser tonto. Palidece. tal y como debía ser. . Lo mejor será que me lo traiga resuelto mañana… Pienselo ! Pedrito sonrió.. también así se puede resolver: Yo aquí he dividido.Sin álgebra también se puede resolver . 2. Resuélvalo Ud.
.Probablemente no se trate de un problema aritmético. y decía que el problema debía ser “algebraico”.¿Qué tanto piensas? Ese problema te quitará todo el tiempo . coge el pizarrín y se dispone a resolverlo. 1. El estudiante de VII grado se confundió aún más. Suponiendo que toda la tela hubiera sido azul. Egor Aliékseich. mire.concluyó. . ¿Cómo se lo resolvió su padre a Pedrito con el ábaco..Bien. el de tela negra.helo aquí.Con gran humor. esto es. a saber: 1. enrojece.. y vio la respuesta: 75 y 63-. . Chéjov relata cómo trabajaron sobre este problema tanto el repetidor de 7º año como su alumno Pedrito. obtenemos 75 arshins de tela negra. tartamudea.y agregó dirigiéndose hacia un ábaco. mientras éste no fue rescatado por su padre: “Pedrito observó el problema y. y empezó a pasear de extremo a extremo de la habitación. Hmm!.Este problema debe ser algebraico – dijo -. ¡Permítame! .. continúe.. Utilizó el ábaco. también. Sin embargo se resuelve fácilmente. e y .¿Para qué divide Ud. Para que el precio sea 150 rublos menor.3 = 2 rublos: dividiendo 150 entre 2. ¡resuélvalo ya! . pensó.75 = 63 arshins de tela azul.o si no. Se puede resolver con ayuda de la x y de la y . obtenemos 138 . y obtuvo 75 y 63. por esta vez.. ..¿Comprende? Ahora es necesario restar.. empezó a dividir 540 entre 138.. Udodov también sonrió.
donde existen 8 bolitas. Udodov conocía muy bien el ábaco y pudo hacer las operaciones muy rápido. Después. en el intermedio 1 + 5 = 6 centenas y en el inferior 4 + 5 = 9 (Fig. sobre el mismo ábaco. En consecuencia. entregando 5 unidades a la ﬁla inferior de bolitas. 75. es decir. añadiendo o decenas a las bolitas inferiores. en el alambre intermedio de las 3 bolitas se separa 1. conforme a las reglas de las operaciones en el ábaco. Finalmente queda tan sólo dividir por la mitad la diferencia obteniendo: 150. Queda aún la tercera pregunta: ¿Cómo resolvió el problema Udodov? En el relato. y luego se muestra el resultado anterior dividido entre dos (c). se entregan 5 decenas a la ﬁla inferior: obtuvo 7 decenas y 5 unidades. Todo esto se efectúa rápida y automáticamente. La primera operación es multiplicar 138 por 5. se elimina la diﬁcultad. ni “de la x y de la y “.
. primeramente se multiplica 138 por 10. después de 1 bolita en el alambre de las centenas. es decir el número 138 (a). pero se conserva una. se separan 4 bolitas (4 decenas). En grupos. Proponer varios en los que se den más datos de lo necesario. 2. por ejemplo. En nuestro caso. es decir. restar 540 de los 690. en el alambre superior no hay bolitas. La división se empieza por abajo: se separan la mitad de bolitas colocadas en cada alambre. se dice bien poco: “Utilizó el ábaco.
Se aconseja que los problemas propuestos tengan un contenido intercultural. 138 * 10. c). Primero se muestra. Fijándose en que es lo que se pide. a. 1). tal y como debía ser”. sin la ayuda del álgebra como quería el repetidor. en el alambre superior se “parte” una bolita agregando 5 centenas a las bolitas del alambre intermedio. y la otra se substituye mentalmente por 10 inferiores y se dividen a la mitad. En total 690 unidades. ¿Cuáles son los métodos de resolución de un problema con la ayuda del ábaco? El ábaco sirve para efectuar operaciones aritméticas tal y como se hace en el papel (ﬁg. y obtuvo 75 y 63.3. Veamos ahora las operaciones que el padre de Pedrito debió hacer en el ábaco. Se apartan 2 de las 5 bolitas (decenas). “partiendo” una bolita de este alambre en 10 inferiores. Sabemos cómo se hace en el ábaco. 1380 se divide por la mitad en la forma siguiente: en el alambre inferior. simplemente hay que mover el número 138 una hilera hacia arriba (ver la ﬁgura 2. cual es nuestro objetivo a resolver. sometido a la operación (b). en el ábaco. si el número de bolitas es impar en un alambre dado. b) y luego dividir este número entre dos. Para eso. Proceso en la resolución de problemas: Sacar los datos importantes del problema.
Descompone los números naturales por sus unidades . aplicando propiedades. como si de una traducción se tratara.Calcula en cualquier sistema numérico que se deﬁna . Pasar de un “idioma” a otro.Respeta a los compañeros al trabajar en equipo .Coopera en los trabajos realizados en grupo .Aplica correctamente las propiedades de la multiplicación .Resuelve correctamente los problemas matemáticos
. según el caso. Individual y en grupos. . Individual.Respeta otras maneras de hacer cálculos .Comprende los enunciados de los problemas matemáticos . Calculo mental. Resolverlo. Y hacerlo de varias formas diferentes.Aplica correctamente las propiedades de la suma .Se interesa por las diferencias que hay en otros países . con el ábaco..Conoce los distintos sistemas numéricos que se han utilizado antiguamente . utilizando otro sistema de numeración.
.Utiliza correctamente el ábaco . Pasándolo al lenguaje matemático.Plantear el problema..
htm ..35k 2.8k..com Sistemas de numeración. 09/2003.61k .htm 7. Sistemas de numeración Sistemas de numeración..29 Oct 2003 5.... www.geocities.htm 4..Monograﬁas.shtml . Fecha de . Aritmética Recreativa . en todos los sistemas de numeración (en donde se tengan las cifras correspondientes). Sistemas de numeración Sistemas de numeración. Introducción.com/aritmeticarecreativa/cap04.. . www.. Sistemas de Numeración Aditivos.. Por otro lado del binario y el decimal. En esta página encontrará . articulos. Sistemas de numeración en la programación.. www. MATEMATICAS EN LAS ESCUELAS DE ADULTOS LAS MATEMATICAS COMO HERRAMIENTAS
. Los sistemas de numeración a lo largo de la Historia. .BIBLIOGRAFIA
1.cica. El origen de todos los sistemas de numeración es la operación de contar.29 Oct 2003 3.8k 6.monograﬁas. las operaciones. En Cy C++ se usan básicamente cuatro sistemas de numeración: ..terra...com/computacion3..net/numeracion/numeracion. .. otros dos sistemas de numeración encuentran amplias aplicaciones en los sistemas digitales. Para ver .rincondesileno.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM. Sistemas de numeración.. Sistemas de numeración .html . www..com/trabajos14/sistemanumeracion/ sistemanumeracion. Por: Salvador Pozo Coronado. ..terra... .html . www.20k .es/personal/jftjft/Aritmetica/ Numeros/Sisnum. Es difícil representar los números en otros sistemas de numeración? ..htm A. thales.es/personal/jftjft/Aritmetica/ Numeros/Sisnum.conclase.
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