Source: https://es.scribd.com/doc/139596445/Resolucion-de-Problemas-Matematicos
Timestamp: 2016-02-13 13:12:51+00:00

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CENTRO DE PROFESORES Y RECURSOS Salamanca 1999
59-1999 Imprime: EUROPA ARTES GRÁFICAS.
. investigación.S. desarrollo curricular y materiales didácticos. Salamanca y los autores Diseño de cubierta: Jesús Luengo I.R.A.La serie Documentos curriculares del Centro de Profesores y Recursos e Salamanca pretende difundir las experiencias de los profesores con na finalidad práctica y divulgará temas de innovación educativa.: 84-89005-25-7 Depósito Legal: S.N.B.
© C. S.P.
Rasgos que caracterizan a los buenos problemas.ÍNDICE
Introducción Ideas. sobre la resolución de problemas. Bibliografía. creencias. etc. Soluciones. Pautas a seguir en la resolución de problemas. 7 8 11 13 17 29 73 97
. Desarrollo de algunas estrategias de resolución de problemas. tendencias. Problemas.
(Proverbio chino) “La matemática ha constituido.
“Quien quiere hacer algo encuentra un medio. de unas técnicas para hacerlo. La causa fundamental de esa universal presencia hay que buscarla en que las matemáticas constituyen un idioma “poderoso. la tortura de los escolares del mundo entero. por el contrario. La utilización de un idioma requiere de unos conocimientos mínimos para poder desarrollarse. transformar este sufrimiento en goce. a esforzarse en lograrlo. desde luego. (Puig Adam. sino. tradicionalmente. hasta conseguir que lo "hablen". quien no quiere hacer nada encuentra una excusa”. por supuesto. y no seríamos buenos profesores si no procuráramos. pero la enseñanza no debe ser una tortura. lo cual no significa ausencia de esfuerzo. Ese idioma se pretende que sea aprendido por nuestros alumnos. En el caso del idioma matemático. y. 1985). En general por medio de la contemplación de cómo los hacen otros (sus profesores). 1958)
Matemáticas es la única asignatura que se estudia en todos los países del mundo y en todos los niveles educativos. Pero sobre todo se necesitan situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese idioma.7 -
. y por su aplicación a situaciones muy sencillas y ajenas a sus vivencias (los ejercicios).
.Jesús Escudero Martín
INTRODUCCIÓN. una de las técnicas fundamentales de comunicación son los métodos de Resolución de Proble-
mas. alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces”. por todos los medios. y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario. Supone un pilar básico de la enseñanza en todos ellos. conciso y sin ambigüedades” (según la formulación del Informe Cockroft.
hace conjeturas y sugiere explicaciones”.
• Santaló (1985). Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones. señala que “enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar
. ETC. se dice que “las capaci-
dades básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas. la vida propia de las matemáticas”.C. Escher y Bach. incluyendo la aplicación de las mismas situaciones de la vida diaria”.8 -
. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado. CREENCIAS. actitudes. • El párrafo 243 del Informe Cockroft señala en su punto quinto que la enseñanza de las Matemáticas debe considerar la “resolución de problemas. de Guzmán (1984) comenta que “lo que sobre todo deberíamos propor-
cionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos.
La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación matemática. • El N. con razón. en una palabra. ideas para el desarrollo de herramientas. Gödel. pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los matemáticos de todas las épocas.M. declaraba hace más de diez años que “el
objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas”. de Estados Unidos. gran matemático español y además muy interesado en su didáctica. siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella).Jesús Escudero Martín
• M. sino como un proceso en el que el alumno estima. los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea. el corazón de las matemáticas.
• En el libro de Hofsdadter.T. Mediante la resolución de problemas. SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. hábitos. TENDENCIAS.
En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no. No aportan mucha claridad las definiciones de los diccionarios generales. Justamente. También hay que caracterizar los "problemas" por oposición a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnos porque constituye el núcleo fundamental de su quehacer matemático).Jesús Escudero Martín
a resolver problemas. que pueden conocer o ignorar. hay que poner a punto relaciones nuevas. como la palabra "problema" se usa en contextos diferentes y con matices diversos. una vez localizado. que se pueden contar. incluso puede haber varios. Ahí acaban. y no siempre de matemáticas. tras una somera reflexión.9 -
. para entendernos es interesante delimitar. Aunque no es sencillo. en general. los que llevan dentro una cierta "historia". siquiera sea en grandes rasgos. especialmente desde los contenidos de procedimientos y actitudes. y quizás parezca superfluo. según hayan localizado o no el algoritmo apropiado. Hay que apelar a conocimientos dispersos. Nos acerca más al sentido de qué es un problema la expresión de "problema de letra" que los alumnos emplean con frecuencia: son aquellos que hacen referencia a contextos ajenos a las matemáticas propiamente dichas. la proliferación de ejercicios en clase de matemáticas ha desarrollado y arraigado en los alumnos un síndrome generalizado. Pero. En los problemas no es evidente el camino a seguir. qué es lo que entendemos por problema. el currículo del Área de Matemáticas en Primaria y Secundaria concede extraordinaria importancia al tema dedicándole mucha atención. Los que abren las ventanas del aula y hacen un puente (aunque sea frágil) entre las matemáticas y la vida. Pero no es el único aspecto a destacar. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la educación matemática”. sus elucubraciones. hay que relacionar saberes procedentes de campos diferentes. contestan: "lo sé" o "no lo sé". contengan problemas.
• En España. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas”.
. y desde luego no está codificado y enseñado previamente. se trata de aplicar un algoritmo. haremos un esfuerzo por clarificar a qué nos referimos.
• En una conferencia pronunciada en 1968 George Polya decía: “Está bien
justificado que todos los textos de matemáticas. se aplica y basta. Pero. en cuanto se les plantea una tarea a realizar.
. • Las situaciones existen en la realidad. Lo que pasa es que si no situamos previamente los problemas a los que responden. y que logra. porque de cómo se plantea la cuestión. Todo ello es de particular interés en la enseñanza. • La resolución de un problema añade algo a lo que ya conocíamos. Como consecuencia de todo ello. Suponen el aporte de la chispa de la creatividad. una tarea a la que estemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. nos proporciona relaciones nuevas entre lo que ya sabíamos o nos aporta otros puntos de vista de situaciones ya conocidas.Jesús Escudero Martín
Por tanto. estamos dando la respuesta antes de que exista la pregunta. y buscar relaciones nuevas entre ellos. también en el proceso de búsqueda. Los problemas los alumbramos nosotros. encontraremos una componente placentera. en los avances que vamos realizando. por utilizar la expresión de Koestler (1983).10 -
. matemáticos o no. que nos provoque las ganas de resolverla. que dos y dos son cinco. Y en ese contexto no es difícil de adivinar el poco interés con que se recibe la misma. el contexto en que se sitúe y de la "tecnología" expositiva utilizada depende. y la importancia que tiene la manera en que se nos presenten para que lo asumamos como tales. sino que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos. Pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto personal y decidimos en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar resolverlos. todavía creemos conveniente añadir algunos comentarios adicionales sobre los mismos: • Los algoritmos que se suelen explicar en clase. o que aparecen en los libros de texto. el que un problema pase a ser considerado como tal por nuestros alumnos. una vez resuelta nos proporciona una sensación considerable de placer. aquella que aparece de cuando en cuando. Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema están descritos en el párrafo anterior. en un porcentaje muy importante. sin haber logrado la solución. un "problema" sería una cuestión a la que no es posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad. sin haber acabado el proceso. resuelven grupos enteros de problemas. Resaltemos una vez más la fuerte componente de compromiso personal en los problemas. Pero además tiene que ser una cuestión que nos interese.
aunque si se tienen que señalar cuáles son. No son cuestiones con trampas ni acertijos. Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su
vez intenten resolverlos. 2. 1984): 1. vamos a referirnos a los rasgos que caracterizan a los buenos problemas. los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que. Reseñamos y comentamos los más importantes (Grupo Cero. seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún tipo de truco o de "magia". pero el interés es por ellos mismos. se pueden aplicar a muchos otros campos. es bien dificultoso hacerlo. que los
contamos enseguida a otros. los hay mejores y peores. La práctica sistemática resolviendo problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando. cuando se les plantean problemas. 3.11 -
. Lo mismo sucede con los buenos problemas. Es importante hacer esta distinción en la enseñanza porque los alumnos. Así como hay otras cuestiones cuya importancia proviene de que tienen un campo de aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan). tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento. Y se tiende a pensar que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los matemáticos. Pueden o no tener aplicaciones. más tarde. Pero a pesar de ello.
. Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. Pasa como con los chistes que nos gustan. 4. y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión.Jesús Escudero Martín
RASGOS QUE CARACTERIZAN A LOS BUENOS PROBLEMAS. Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad. el interés de los problemas es por el propio proceso.
Una vez que tenemos un problema.
5. Parecen a primera vista algo abordable, no dejan bloqueado, sin capa-
cidad de reacción. Y puede pasar que alguna solución parcial sea sencilla o incluso inmediata. Desde un punto de vista psicológico, sólo nos planteamos aquello que somos capaces (o al menos eso creemos) de resolver. Por eso, si un problema sólo lo es para nosotros cuando lo aceptamos como tal, difícil es que nos "embarquemos" en una aventura que nos parezca superior a nuestras fuerzas. 6. Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero
agradable de experimentar. La componente de placer es fundamental en todo desafío intelectual, si se quiere que sea asumido con gusto y de manera duradera. Incluso, en la enseñanza, la incorporación de esos factores a la práctica diaria pueden prefigurar la inclinación de los estudios futuros. Y no hay que olvidar que las matemáticas son de las materias que no dejan indiferente, se las quiere o se las odia (como aparece en múltiples estudios). Por ello más vale que introduzcamos refuerzos positivos para hacer que aumenten los que las aprecian.
PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Una vez señaladas las características de los buenos problemas, hay que referirse a la importancia que tiene resolver problemas en clase. Pensemos, que, como dice Polya (1945) “sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento”; pero que, si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, “este
género de experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una vida”.
Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema sea por "ideas luminosas", que se tienen o no se tienen. Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. Que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas. Son los, procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas, y hace que sea una facultad entrenable, un apartado en el que se puede mejorar con la práctica. Pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con método. Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores: 1. Comprender el problema. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en contextos escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática. Es más, es la tarea más difícil, por ejemplo, cuando se ha de hacer un tratamiento informático: entender cuál es el problema que tenemos que abordar, dados los diferentes lenguajes que hablan el demandante y el informático.
Se debe leer el enunciado despacio. ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos) ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos) Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.
2. Trazar un plan para resolverlo. Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. • ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? • ¿Se puede plantear el problema de otra forma? [Plantear el problema de otra forma
• Imaginar un problema parecido pero más sencillo. • Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida? • ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan? 3. Poner en práctica el plan. También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica. • Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. • ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? • Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto? [No se trata • Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace. [El expresar el proceso de resolución: a) Aumenta la
de hacer cálculos por hacer algo, hay que hacer cálculos que lleven a la solución]
supone una mayor comprensión del enunciado y puede facilitar su resolución porque después se puede ver más sencillo.]
• Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.
comprensión del problema. b) Permite repasar o recorrer el camino desde el principio al fin. c) Ayuda a controlar la resolución del problema porque todo esta delante de quien lo resuelve. d) Facilita la valoración del profesor puesto que es posible analizar los procesos y no sólo los resultados.]
4. Comprobar los resultados. Es la más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver. • Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. • Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible? • ¿Se puede comprobar la solución?
que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás. Examinar problemas esencialmente equivalentes. Comprobación de la solución obtenida. Examinar problemas ampliamente modificados. Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. 3. 1. y que extractamos: Análisis.15 -
. que agrupa en tres fases. • Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas. Exploración. 1. 2. 2. Trazar un diagrama. 3.Jesús Escudero Martín
• ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? • ¿Se puede hallar alguna otra solución? • Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado. 1. Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca. Examinar problemas ligeramente modificados. Probar a simplificar el problema. ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?: • ¿Es posible obtener la misma solución por otro método? • ¿Puede quedar concretada en caso particulares?
. Examinar casos particulares. análisis dimensional o cambio de escala? 2. con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo. ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?: • ¿Utiliza todos los datos pertinentes? • ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? • ¿Resiste a ensayos de simetría. Schoenfeld da una lista de técnicas heurísticas de uso frecuente.
Fernández (1992) serían: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Ensayo-error. Sacar partido de la simetría. Reformular el problema. que parece una perogrullada. Hacer recuente (conteo). tablas. Suponer que no (reducción al absurdo).Jesús Escudero Martín
• ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? • ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido? Finalmente. Utilizar un método de expresión adecuado: verbal. gráfico. numérico (codificar. que por parte de los profesores se tienden a considerar como irrelevante o. Deducir y sacar conclusiones. tanto para determinar el éxito o fracaso en la resolución de los mismos. Experimentar y extraer pautas (inducir). es un conocimiento vacío. hacemos una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas. Según S. Empezar por lo fácil. Analizar los casos límite. dibujos (representación). como para incidir en el futuro de la relación entre las matemáticas y los alumnos. Resolver problemas análogos (analogía).
. Luego. tiene una gran importancia. porque si no. al menos como poco significativo. La primera hace referencia a que el contexto en el que se sitúen los problemas. Manipular y experimentar manualmente. Seguir un método (organización). comunicación). no sólo a nivel teórico. algebraico. Conjeturar. Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar). expresión. resolver un problema semejante más sencillo. hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática. Empezar por el final (dar el problema por resuelto). Principio del palomar. es que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas. Hacer esquemas.16 -
. pero vistos en acción. es muy bueno conocer técnicas y procedimientos. La segunda.
Para terminar sólo queremos hacer dos consideraciones. Cambio de estados.
a dónde se quiere ir. comparándolos con los de los expertos y procurando ajustar adecuadamente los procesos de pensamiento a los de ellos. un diagrama. y. conseguir el fin deseado. E. encontrar la forma de salir de una dificultad. F. C. o con toda claridad. sin angustias. tratando de sacar el mejor partido posible de los muchos seguros fracasos iniciales. que no se consigue de forma inmediata. aplíquémosla.
Si consideramos un problema como una situación que se presenta en la que se sabe más o menos. regularidades. entonces resolver un problema es precisamente aclarar dicha situación y encontrar algún camino adecuado que lleve a la meta. un esquema. Hacer conjeturas. Supongamos el problema resuelto. H. enfrentándose con tranquilidad. Escoger un lenguaje adecuado. utilizando los medios adecuados”.. observar.Jesús Escudero Martín
DESARROLLO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. por otra parte. Esta es precisamente la circunstancia del investigador.. G. Si tenemos una receta y estamos seguros de que se ajusta al problema. La destreza para resolver genuinos problemas es un verdadero arte que se aprende con paciencia y considerable esfuerzo. de sortear un obstáculo. pero no se sabe cómo. B. ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra vida normal. como el de la pintura. una notación apropiada. Tratar de demostrarlas. observando los modos de proceder. en matemáticas y en cualquier otro campo. D. Polya)]
A veces no sabremos si la herramienta adecuada para la situación está entre la colección de técnicas que dominamos o ni siquiera si se ha creado una técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. (G. Comenzar resolviendo un problema semejante más fácil. Supongamos que no es así. Hacer experimentos. [“Resolver un problema es encontrar un
camino allí donde no se conocía previamente camino alguno. la música. Inducción.
. etc. a multitud de problemas diversos. Dibujar una figura. Es la misma forma de transmisión que la de cualquier otro arte. Las estrategias que tendremos ocasión de aprender y ejercitar son: A. busca pautas.
UNA MOSCA ANTOJADIZA. De orden racional. para poder jugar con el volante. sino también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto. b. aunque parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica. Si estudiamos derivadas. la de un monomio como x2. La manipulación efectiva en un problema de pocas piezas es más fácil que en uno de muchas.. sin necesidad de cambiar marchas. En matemáticas sucede lo mismo. Un problema puede resultar difícil por su tamaño. COMENZAR RESOLVIENDO UN PROBLEMA SEMEJANTE MÁS FÁCIL. por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. Luego lo complicaremos hasta llegar al propuesto inicialmente. .. Empieza con un triciclo para atender primero el problema de los pedales y del volante. Manipulación más fácil. más transparentes. Para empezar. El niño que aprende a andar en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran velocidad. obtenemos varios provechos: a.
Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias. .18 -
A. se comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva. las haremos sencillas. luego pasamos a un polinomio y cuando sentimos cierta familiaridad con el proceso. debemos resolver un problema semejante lo más sencillo posible. y en descampado. Empezamos animándonos con el probable éxito. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:
. primero. De orden psicológico. lo mejor es circular primero despacio. Procediendo así. c. principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del problema inicial. Luego vendrá el problema del equilibrio y se ensayará con dos ruedas. nos lanzamos más lejos. En el problema sencillo suelen aparecer. Si se aprende a conducir un coche. Ya vendrán luego los problemas conduciendo en la calle. Incluso. La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño.
-1) (0. pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? Señalemos los centros de las monedas con coordenadas: (-1. Si terminase en par. Vamos a probar con menos. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar! Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas.-1) Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0.1). El paseo de la mosca. la mosca tiene el camino bien fácil.Jesús Escudero Martín
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?
Solución. Así. también.-1) (1. (0. habría igual número de las dos clases. Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas.-1). (1. en el caso de 3x3=9 monedas. y otras no. Son muchas 25 monedas. a veces se puede hacer el paseo. (-1.1) (-1.1) (1. Así: O O O O Es obvio que se pose donde se pose. por ejemplo. como fácilmente se observa. la suma de las coordenadas es par. impares. sería: Impar ⇒ Par ⇒ Impar ⇒ Par ⇒ . Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.0) (0. pero. Así: O O O O O O O O O Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Hay cuatro vértices impares y cinco pares. Si se posa en el centro.0). Pero si se posa en cualquier otra moneda.. Probemos con 3x3=9 monedas.19 -
. Llamaremos pares a estos vértices y.1) (0.
. Ambas cosas son falsas. empezando por un vértice impar. con 2x2=4 monedas.0) (1. a los otros.. Si terminase en impar.0)! En ellos. En los restantes. la suma de las coordenadas es impar.0) (-1. lo tiene imposible. habría más vértices impares que pares.
por ejemplo 373. Saludos = 18x11 = 198. Si en algún caso no sucede lo que se espera.. Así lo hicieron. Se elige un número cualquiera de 3 cifras.
UN NÚMERO MÁGICO.. TRATAR DE DEMOSTRARLAS.20 -
. de poner a prueba la conjetura. hay que modificar la conjetura inicial hasta dar con una que cubra todos los casos observados. imágenes.. a fin de enlazar diversas situaciones y de establecer conexiones que sospechamos que existen entre los objetos que manipulamos. HACER EXPERIMENTOS. Los siguientes ejemplos dan una idea de la variedad de experimentos que se pueden llevar a cabo. dibujos. para hablar de sus problemas comunes. Luego vendrá la tarea de dar con la razón por la cual la conjetura se verifica siempre. Pero los experimentos matemáticos son mucho más fáciles de realizar y menos costosos. con la demostración de la conjetura.. Cuando van a saludarse a Isidro se le ocurrió una feliz idea: Aprovechemos cada apretón de manos para partir una nuez. introduciendo elementos auxiliares. al igual que en el resto de las ciencias. Los hay de muy diversos tipos: • Ensayos en casos particulares la aparición de una cierta propiedad.
En matemáticas las buenas ideas surgen muy a menudo a través de experimentos. del pueblo vecino. Los 18 socios de la Cofradía de Nogaleros Unidos reciben en su local de Villafría de la Sierra a los 11 miembros de la Hermandad de la Buena Nuez. REGULRIDADES. ¿Cuántas nueces pudieron partir con sus saludos?
Solución. Haz el diagrama de saludos. Se sigue experimentando con nuevos casos. Se construye otro ordenando sus cifras de mayor a
. Imagina que la cofradía tiene 4 socios y sus visitantes son 3. HACER CONJETURAS. • Mirar ciertas figuras. Entonces se sabrá que la conjetura tiene que verificarse en todos los casos posibles. NOGALEROS Y NUECES ROTAS.Jesús Escudero Martín
B.. Si también en ellos sucede lo que se barrunta. BUSCAR PAUTAS. . Con el experimento y la observación surge la conjetura. la conjetura va adquiriendo más fuerza. OBSERVAR. no todas iguales. Ve aumentando el número de socios . tratando de contrastar. cambiándolas.
Sin necesidad de seguir con la tabla. ¿Qué se observa? ¿Cuál es la razón? ¿Qué pasa con un número de dos o de cuatro cifras al hacer un proceso semejante? DÍGITOS FINALES DE LAS POTENCIAS. 7. 723.2. 323.Jesús Escudero Martín
menor: 733. n13. en: 1. la experimentación juega un papel decisivo. Así: n9. de esta experimentación que hemos hecho resulta que. 8. Es decir: 123. termina en lo mismo que 723 y así nuestro problema se reduce a ver en qué dígito terminan: 123. 6. 35. 36. Enseguida surge la idea de que 3723. 923 Experimentando un poco. Ahora se las ordena de menor a mayor: 337. pero no hay ordenador que nos proporcione números tan enormes. En su resolución.
CONTANDO DIAGONALES. ahora está claro que. 623. al aumentar exponente en 4 unidades. 3. n21 23 terminan en n y n termina en lo mismo que n3. 32. 223. 786 termina en 9. si: k = 4i + s . 423. ¿Cuáles son los dígitos finales de las potencias de exponente 23 de los números 31. 2. 9 Además. 38 y 39?
Solución.3. pues 86=21x4+2. 623 termina en 6. por ejemplo. 523 termina en 5. 923 terminan. Se repite la operación unas cuantas veces con el resultado 396 y los sucesivos. La cosa es muy sencilla en estos casos. por ejemplo. 4. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de 85 lados?
. Es decir. Al restar estos dos números se obtiene: 733 . . Podría uno pensar en calcular tales potencias.4 entonces nk termina en lo mismo que ns. Experimentamos un poco más haciéndonos una tabla de la cifra final de las potencias sucesivas para los primeros números. 323.. 33.. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 n termina en 1 4 9 6 5 6 9 4 1 n3 termina en 1 8 7 4 5 6 3 2 9 n4 termina en 1 6 1 6 5 6 1 6 1 5 n termina en 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n6 termina en 1 4 9 6 5 6 9 4 1 Y así sucesivamente.. Así. s=1. n17. 786 termina en lo mismo que 72. 5.21 -
. respectivamente. 823. vemos que 123 termina en 1. 37. 523. resultan los mismos dígitos finales. 223.337 = 396. 34.
Las señoras X.
. Por eso es muy aconsejable. incorporar los datos relevantes y suprimir los superfluos que pueden conducir a confusión. De esta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos importantes del problema y de ahí muy a menudo. UN DIAGRAMA.Jesús Escudero Martín
C. (Aristóteles) Hay muchos problemas que se hacen muy transparentes cuando se logra encontrar una representación visual adecuada de los elementos que en él intervienen. están jugando a las cartas. Dibujamos las dos posibilidades de la situación. se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación. incluso pintar de colores. La imagen o diagrama que fabriquemos de un problema. Z. Z=Española. Cada una ha pasado una carta a la que se sienta a su derecha. Y y Z?
Solución. Y. sentadas alrededor de una mesa camilla. debe.22 -
. La señora Y ha pasado a la argentina. símbolos solamente. a fin de dar con ideas buenas que sirvan para resolver el problema. ¿Cuál es la nacionalidad de X. La señora X ha pasado una carta a la señora que ha pasado una carta a la brasileña. Posibilidad A Posibilidad B X X=Arg Y Z=Arg Z Y Introduzcamos el dato: "La señora X ha pasado una carta a la señora que ha pasado una carta a la brasileña". los elementos que aparecen en la situación estudiada. para mayor claridad.
Las matemáticas se comprenden a través de los sentidos. UN ESQUEMA. JUGANDO A LAS CARTAS. Pensamos mucho mejor con el apoyo de las imágenes que con el de palabras. Posibilidad A Posibilidad B X X Y Z Z Y Introduzcamos el dato: "La señora Y ha pasado a la argentina". una española y una brasileña. números. aunque no por este orden. Posibilidad A Posibilidad B X X=Arg Y Z=Arg=Bra Z Y=Bra Descartada Aceptada Luego: X=Argentina. pues “no hay nada en el intelecto que no haya estado primero en los sentidos”. una argentina. Y=Brasileña. DIBUJAR UNA FIGURA. esquematizar y dibujar. de alguna forma sencilla.
EL PROBLEMA DE JOSEPHUS. Sale de la ermita a las 9 de la mañana y después de caminar todo el día llega a la cumbre. emprende el camino a su ermita por el mismo sendero.
Usar una buena notación es muy útil en álgebra. Allí decidieron los 41 judíos suicidarse antes que entregarse. Tiene pocos datos para ello.. UNA NOTACIÓN APROPIADA. Sucede muchas veces que el ser o no capaz de resolver un problema depende fundamentalmente de que el estilo de pensamiento aplicado sea o no el adecuado al problema. Hegesipo cuenta que cuando los romanos capturaron la ciudad de Jotapat. a las 9 de la mañana. o tal vez vendrá bien aquí un lenguaje algebraico. Lo que es un lenguaje adecuado o un lenguaje inadecuado. Allí pasa la noche y a la mañana siguiente. seguramente.23 -
. En su libro De Bello Judaico.. se pregunta: ¿Habrá algún punto del camino en el que hoy esté a la misma hora que estuve ayer?
Solución. es claro que a alguna hora se encuentran en el camino. en el mismo día que el monje real sube. o bien un simple diagrama. ¿En qué lugares se colocaron Josephus y su amigo para ser los dos últimos y. ¿Será bueno utilizar un lenguaje geométrico. A Josephus y otro amigo la idea no les gustaba. y a mayor velocidad. EL MONJE EN LA MONTAÑA. tal vez. se puede entender en los siguientes ejemplos. Al ir bajando. replicando exactamente el camino de bajada que el monje real hace al día siguiente. Propusieron hacerlo.. decidir que no estaban de acuerdo con la automasacre?
. Una mente inclinada matemáticamente comienza. Josephus y otros cuarenta judíos se refugiaron en una cueva.? La adopción de un modo apropiado de encarar un problema tiene su importancia. ESCOGER UN LENGUAJE ADECUADO. cartón.Jesús Escudero Martín
D. Con un poco de trabajo verá. una vez en mayoría absoluta. Se los inventa.. . pero con orden. o analítico? ¿Tal vez lo que venga bien sea una modelización con papel. por hacerse una gráfica de la caminata del monje en cada uno de los días. Una mente menos inclinada matemáticamente puede tener la idea de hacer descender a un monje ficticio. Se colocarían en círculo y se irían suicidando contando tres a partir de un entusiasta que a toda costa quería ser el primero. la luz. Como salen a la misma hora. Un monje decide subir desde su ermita a la montaña para pasar allí la noche orando. Por eso hay que pensar bien antes de empezar a trabajar. Las matemáticas están de sobra.
1 ¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos es siempre un cuadrado perfecto menos 1?
Solución. con p entero.1 2 x 3 x 4 x 5 = 120 = 112 . que si se quiere obtener un resultado general con m judíos que se suicidan contando de n en n. Si se utiliza un diagrama o un esquema.
. hay que acudir a consideraciones más matemáticas. El producto de cuatro números enteros consecutivos se puede expresar así: a(a+1)(a+2)(a+3) con a entero. ésta debe representar..Jesús Escudero Martín
Solución. de la forma más cómoda y manejable. los datos del problema y su posible vinculación con lo que se busca. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. su producto es: (M-3/2)(M-1/2)(M+1/2)(M+3/2) = (M2-9/4)(M2-1/4) = (M2-5/4)2-1 y es fácil ver que M25/4 es un entero. Si M es el centro de los cuatro enteros. Naturalmente. la simetría.24 -
. hay que dedicar un rato a pensar en la forma concreta de aplicarlo. Se colocaron en los lugares 16 y 31. El problema tiene sabor matemático y se pueden ensayar herramientas matemáticas. parece engorroso. de una forma más sencilla. hay que prestar atención a la notación empleada.
Una vez decidido el modo de pensamiento.. Por ejemplo así: M2-5/4 = (x+1/2)2-5/4 = x2+1/4+x-5/4 = x2+x-1.1 3 x 4 x 5 x 6 = 360 = 192 . En lo posible. hay que procurar que éste incorpore lo esencial del problema.40. Normalmente hay que buscar la simplicidad. Si el enfoque es algebraico. Los siguientes ejemplos ponen de manifiesto la importancia de una elección adecuada del lenguaje y de la notación. los elementos que. Observemos las igualdades: 1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 52 .. Pero resulta más sencillo colocar en círculo 41 papelillos con un número 1. sin detalles superfluos que pueden perturbar la comprensión y oscurecer lo verdaderamente importante. ponen bien en claro lo más relevante del problema..41 cada uno y luego ir simulando los suicidios para ver qué dos papelillos quedan los últimos.3. Probar que esto es p2-1.2.
. cae seguro la siguiente. ¿Qué pasará? ¡Se caerán todas! Esto viene a ser la inducción. De estas dos cosas concluimos que la propiedad P es verdadera para todos los números naturales. o sea: 1+3+5+. Es decir: 1 + 3 + 5 + . como las fichas del dominó. en fila india. SUMA DE IMPARES. Un gracioso tira la primera hacia la segunda. Luego demostramos que si la propiedad P era cierta para k (hipótesis inductiva) entonces era también cierta para k+1. Supongamos que k tiene la propiedad. el 1.+(2k-1) = k2 (hipótesis inductiva). .+(2k-1)+[2(k+1)-1] = k2+[2(k+1)-1] = k2+2k+1 = (k+1)2 y por lo tanto k+1 tiene esa propiedad. El número 1 tiene la propiedad. 1+3+5+. tiene la propiedad P. 2. ¿Conclusión? Claramente todos los números naturales tienen la propiedad P. pues 1 = 12. a partir del 25. 4.Jesús Escudero Martín
E. pero no el 1.
... Demostrar que la suma de los n primeros números naturales impares es igual a n2.+(2k-1)+[2(k+1)-1].. INDUCCIÓN. entonces también el siguiente la tiene. y de forma que si cae una. A continuación nos aseguramos de que el primero. Suponemos seguro.
Solución. demostrar.. + (2k-1) = k2. El número 1 (o tal vez el 25).. hay dos cosas importantes de las que cerciorarse: a. A veces se puede probar que el número 25 tiene la propiedad P.. La idea se entiende con facilidad: Imaginemos delante de nosotros las 28 fichas del dominó colocadas de pie. 3. se concluye que todos. Podemos considerar los números 1. Si h tiene la propiedad P. Si usamos la hipótesis inductiva. claro está.. tienen la propiedad. Resumiendo. entonces también h+1 tiene la propiedad P.. tiene la propiedad P..
Repasemos el esquema de la demostración precedente: Primero comprobamos que la propiedad P era válida para k=1. que si uno cualquiera de estos números tiene una cierta propiedad P. El siguiente ejemplo indica la forma de proceder y es útil para practicar. La suma de los primeros k+1 impares es: 1+3+5+. Entonces.
La inducción matemática es uno de los métodos de demostración utilizados con mayor frecuencia en algunos campos de la matemática. b.25 -
Entonces a es un número par. Es decir: (es decir que la fracción a/b fue simplificada todo lo posible). tratando de llegar a una contradicción con algún hecho. además. que (a. Suponemos que no lo es.
NÚMEROS PRIMOS. Tenemos que
2 es un número
2 = a/b con a y b enteros. Entonces está claro que nuestro punto de partida NO A es falso. Si es compuesto. Entonces b2 es par. (*) es verdadera. En efecto: Supongamos que (*) es falsa. que se verifica NO A.b) es distinto de 1. y este divisor primo será mayor que P. Contradicción.b) = 1 racional. (a. (*)
Solución. Este es un proceso de pensamiento muy usual en la resolución de problemas. Demostrar que hay infinitos números primos. por fin. El número (2≅3≅5≅7≅11≅. luego b es par.Jesús Escudero Martín
F. elevando al cuadrado que 2b2=a2.26 -
Probablemente las matemáticas nos han habituado ya a la siguiente forma de razonar para demostrar que una cierta situación A es verdadera.
Solución. Pero si a y b son pares. Por tanto. Entonces a2 = 4k2. Es decir. Luego..≅P)+1 es mayor que P. pues el número en cuestión no es divisible por ninguno de los números primos inferiores a P. ya que en todas las divisiones se obtiene resto igual a 1. teorema o hipótesis que se da por cierto. Vamos deduciendo correctamente consecuencias de NO A y nos encontramos. admitirá un divisor primo. Si se consigue. entonces b2 = 2k2. Demostremos que hay un número primo mayor que P. Entonces a = 2k. SUPONGAMOS QUE NO ES ASÍ. con una que dice algo absurdo. que 2=3. sea P el mayor primo obtenido. Entonces a2 es un número par. Tal vez a través de una serie de experimentos hemos llegado a la conjetura de que se verifica una cierta situación P. ¿Cómo demostrar que la conjetura P es cierta? Se parte de NO P y se analiza qué se deduce de ahí.
.. principio. se ha terminado. Si este número es primo ya está demostrado.
2 NO ES UN NÚMERO RACIONAL. que A es verdadero. por ejemplo. Supuesta formada una tabla de números primos. Podemos suponer. es decir. no puede haber un número finito de números primos. Se tiene.
Lo llamamos a y sabemos que si en él hay un mínimo. SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO.
Se aplica muchísimo en construcciones geométricas.Jesús Escudero Martín
G. aunque un poco caro. Buscar un valor donde la función f(x)=x3-3x+1 tenga un mínimo relativo. consiste en colocarse arriba con un helicóptero y desde allí estudiar los caminos posibles.
Solución. Buscar un número tal que si le sumamos su cuadrado resulte 30. No sabemos cuál es.
MÍNIMO RELATIVO. No sabemos cuál es. este procedimiento es barato y de uso corriente.
. Un buen modo de descubrir el mejor camino para escalar una montaña. ni siquiera sabemos si lo habrá. Lo llamamos x y sabemos que tiene que pasar que x + x2 = 30 y ahora nos las ingeniamos para hallar x. pero procedemos como si lo supiéramos. f(a)=3a2-3=0. pero procedemos como si lo supiéramos.27 -
Solución. entonces la derivada f' en ese punto es 0. SUMAR SU CUADRADO. Así sólo tenemos que mirar si en a=1 ó en a=-1 hay un mínimo relativo. En la resolución de problemas.
H. SI TENEMOS UNA RECETA Y ESTAMOS SEGUROS DE QUE SE AJUSTA AL PROBLEMA, APLÍQUÉMOSLA.
¿Para qué gastar materia gris sin necesidad? Está claro que la matemática está muy lejos de ser una colección de recetas. La matemática es un ejercicio de la imaginación y del pensamiento. Pero si estamos seguros de que un problema cae dentro de un tipo de cuestiones que ya has visto antes y para las que tenemos el camino abierto, no hay que dudar, aplicamos el método, la rutina, la rutina que se ha aprendido. Gracias a las rutinas, el pensamiento queda libre para ir más adelante. Esta estrategia sólo tiene sentido, dentro de la actividad matemática, si va acompañada de las demás. Después de mucho indagar, se llega a una ley, una fórmula, una receta. Usémosla.
sin lápiz ni papel y en un tiempo prefijado. éste tendrá que encargar los números para hacer el trabajo. MENUDA RAZA DE GIGANTES.
1. todos son gatos menos dos. y que todos son loros menos dos? 2. GATOS Y LOROS. Si un ladrillo se equilibra con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo. sabiendo que todos son perros menos dos. ¿Cuánto beneficio sacó?
. ¿Cuánto dinero recibe el acomodador? 7. PERROS. la mitad le ha dado 10 ptas. LA CUADRILLA. ¿Cuántos animales tengo en casa. ¿cuánto pesa un ladrillo? 4. En el Libro del Delirium Tremens se habla de una raza de gigantes muy especial. En un cine hay 1. ¿Cuántos nueves necesitará? 8. PROPINAS AL ACOMODADOR. de propina al acomodador. ¿CUÁNTO BENEFICIO? Un comerciante compró un artículo por 7 ptas. El 13% de ellos le ha dado 5 ptas. Da la casualidad que la altura media de estos gigantes es diez metros más que la mitad de su altura. generalmente unos cuantos segundos.300 espectadores. Del 87% restante. lo volvió a comprar por 9 y lo vendió finalmente por 10. ¿CUÁNTOS NUEVES? En una calle hay 100 edificios. ACABÓ LA GUERRA. Sin pensarlo dos veces.. Una cuadrilla de segadores está compuesta por sus tres cuartas partes más tres cuartos de hombre. Se llama a un fabricante de números para que ponga números a todas las casas del uno al cien. casi el 43% perdió un ojo y el 50% de los restantes perdió ambos ojos. EL PESO DE UN LADRILLO. lo vendió por 8. ¿Cuántos ojos quedaron? 6. De 138 soldados vueltos del frente. nada. ¿cuánto miden? 3.31 -
. y la otra mitad.Jesús Escudero Martín
Problemas para resolver mentalmente. ¿Cuántos hombres componen la cuadrilla? 5.
¿Cuánto pesa la botella? ¿Y el tapón? 15.Jesús Escudero Martín
9. ¿Cuántos limones llevaba cada uno? 18. Una botella y su tapón pesan 1 Kg. LOS TANTOS POR CIENTO. Al terminar el viaje. El vino cuesta nueve dólares más que la botella. Un piloto de Fórmula 1 completó una vuelta del circuito del Jarama en un minuto veintitrés segundos. y 10 gramos. permutando regularmente las ruedas (incluida la de repuesto) para que todas sufrieran igual desgaste.. A este ritmo. ¿Cuánto cuesta la botella? 13. tendremos cada uno la misma carga.32 -
. PILOTO DE FÓRMULA 1. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. EL PRECIO DE LA BOTELLA. ¿Cuánto cuesta cada uno? 14. Los dos juntos cuestan 50 ptas. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. ¿cuánto habrá de tardar en completar 60 vueltas? 11. Pero si tú me das una de las tuyas. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. Una botella de vino cuesta 10 dólares. EL MISMO DINERO. ANTONIO. Una botella cuesta 30 ptas. ¿durante cuántos kilómetros ha sido utilizada cada rueda?
. ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 17. ¿Qué es más. más que su tapón. Antonio y Pedro se encuentran teniendo cada uno de ellos una carga de limones. PEDRO Y LOS LIMONES. el millar? 10. La botella pesa 1 Kg. Un pastor le dijo a otro: “Si te regalo una de mis ovejas. tendré el doble de los que te quedan. Arturo y Benito tienen la misma cantidad de dinero. más que Arturo? 16. Antonio: Si me das tres limones. el 25% de 75 o el 75% de 25? 12. más que el tapón. tendríamos las mismas”. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. ¿Cuánto tiene que dar Arturo a Benito para que Benito tenga 10 ptas. Un viajante recorrió en coche 5000 Km. ¿Cuánto valen 10 agujas de coser a 1000 ptas. tú tendrás el doble de las que yo tengo. Pedro: Si tú me das seis limones. ENTRE PASTORES.
Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el mismo tiempo. Si un pastor tiene 15 ovejas y se le mueren todas menos nueve.. EL PRECIO DEL OBJETO.. éste con el 5-4.Jesús Escudero Martín
19. ¿podrás hacerlo? 22. el recaudador real de impuestos le quitó un décimo de sus tierras. Una ameba se divide en dos (y así se reproduce) exactamente cada minuto. antes de intentar calcularlo. ¿cuántas le quedan?
En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar. Por un objeto se pagan 9 duros más la mitad de lo que vale. En una mano hay 5 dedos. es decir el 2-3 puede ir empalmado con el 3-5. si quedan del día la tercera parte de las horas que han pasado? 25. MANOS Y DEDOS. ESCRIBIENDO A MÁQUINA. Al granjero le quedaron 10 Ha. o bien el problema no se ha comprendido correctamente. Del juego del dominó se separan las fichas que tienen un 6.
. ¿QUÉ HORA SERÁ? ¿Qué hora será. en 2 manos hay 10 dedos. Hallar la diferencia entre media docena de docenas de huevos y seis docenas de huevos. DOCENAS DE HUEVOS. ¿CUÁNTA TIERRA? Cierto pequeño granjero no tenía dinero para pagar sus impuestos. DOMINÓ. 26.33 -
. o bien la pregunta carece de solución. etc. ¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360 caracteres en total? 20. ¿Cuántos dedos hay en 10 manos? 24. Quieres colocar sobre la mesa las 21 fichas que quedan siguiendo las reglas del juego. Dos amebas en un tubo de ensayo pueden llenarlo por completo en dos horas. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones. ¿Cuánto vale el objeto? 27. Como consecuencia. ¿Cuánta tierra tenía al principio? 21.. ¿Cuánto tiempo le llevará a una sola ameba llenar otro tubo de ensayo de la misma capacidad? 23. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. LA AMEBA.
A real y medio la sardina y media. ¿cuánto costarán siete sardinas y media?
. ni cerezas toqué. Pedro tiene la estatura que tendrá Juan cuando crezca lo que le falta a Antonio para tener la estatura de Pedro. que cerezas tenía. EL CUBO PINTADO. Pero si tú me das una de las tuyas. ni cerezas dejé. ¿Cuánto pesa un ladrillo y medio? 29. ¿Cuántas partidas jugó cada uno? 39. luego se sierra en 27 cubitos de 10 cm. Si un ladrillo pesa 2 kg. DINERO DE JUAN Y PEDRO. y medio ladrillo. En total jugaron tres partidas. DÍAS Y SEGUNDOS. que con cerezas hallé. que es 2 metros más corto que un poste de altura triple que la del árbol? 30. de lado cada uno. tendríamos las mismas. A un cerezo subí. mas cerezas no dejé. ¿Cuánto dinero tienen Juan y Pedro? 35. OTRO CEREZO. LO DE LA SARDINA. tendré tantas como a ti te quedan. JUGANDO AL AJEDREZ.Jesús Escudero Martín
28. yo cerezas no comí. Pedro: Si tú me das 6 tendré el doble de las que a ti te quedan. Juan y Antonio? 33. PINTANDO UN CUBO.34 -
. LA ALTURA DEL ÁRBOL. Un pastor le dijo a otro: si te regalo una de mis ovejas. OTRO LADRILLO. ¿Cuál es el mínimo número de colores para pintar un cubo de forma que dos caras adyacentes no tengan el mismo color? 34. de lado se pinta completamente de rojo.200 segundos? 32. Juan: Si me das 3 ptas. Un cubo de madera de 30 cm. ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 31. EL CEREZO. ¿Cuántos días hay en 43. A un cerezo trepé. ENTRE PASTORES. Tres amigos jugaron al ajedrez. ¿Cuántas cerezas había? 38. tú tendrás el doble de las que yo tengo. ¿Qué altura tiene un árbol. ¿Cuántas cerezas había? 37. ¿Qué relación hay entre las estaturas de Pedro. ESCALA DE ESTATURAS. ¿Cuántos serán los cubitos serrados que presentarían sólo dos caras pintadas? 36.
LA TORRE EIFFEL. Cuatro amigos se reúnen en un bar y consumen entre todos 16 cervezas. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. Cuando piden la cuenta pretenden pagar cada uno lo suyo. pan y pan. Calcule mentalmente qué longitud se obtendría si colocásemos todos los cuadraditos en línea. ¿Cuántos tatuadores se necesitarán para tatuar 24 sirenas. A MODO DE CHIMENEAS. Si un arenque y medio cuesta tres medios peniques. Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y medio. ¿Cuánto tardarán treinta niños en cazar treinta moscas? 47. PAN. con el mismo material y que tuviera la mitad de su altura. Si construyéramos un modelo perfectamente a escala. ¿cuántas cervezas beberán seis hombres en seis días? 45. Si tres niños cazan tres moscas en tres minutos. ¿cuántos pares de medias son? 44. MEDIAS MEDIAS. en los brazos de dos marineros y medio en dos horas y media. adosados unos a otros. LO DE LOS ARENQUES. Pan. ¿cuánto pesaría? 49. pan y pan y medio. y tres panes y medio. LAS 16 CERVEZAS. ¿Cuántos fumadores de las mismas características serán necesarios para consumir 90 cajetillas en 30 días? 48. MILÍMETROS CUADRADOS. Dos tatuadores y medio pueden tatuar dos sirenas y media. cuatro medios panes. LOS TATUADORES. Dos fumadores consumen 3 cajetillas diarias. ¿cuántos panes son? 43. ¿Cuánto costarán 18 huevos? 41. en los brazos de 24 marineros en 24 horas? 46. LAS CERVEZAS. NIÑOS Y MOSCAS.35 -
. dividido en cuadraditos de un milímetro.000 toneladas. PAN Y PAN.
40. La torre Eiffel tiene 320 metros de altura y pesa 7. Supongamos un cuadrado de un metro de lado. 50. Docena y media de huevos cuestan dieciséis duros y medio. ¿cuánto costarán doce arenques? 42. Cuatro medios pares de medias medias.
los impares.36 -
. Cada vez que un tirador da en el blanco gana 500 puntos. Sabiendo que después de 15 disparos obtuvo 2. y cada vez que falla pierde 300. Un caracol tarda una hora y veinte minutos en recorrer un circuito en sentido horario. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? Entre Pedro. Sabiendo que Antonio tiene doble que Luis y éste tres veces más que Pedro. Estuve el otro día en el zoológico." ¿Con cuántos gatos vive Margarita? 53. ¿A qué será debido?
. ¿a qué precio se vendieron cada uno de ellas? 57. OJO QUE ES UN CIRCUITO. En una jaula con conejos y palomas. LAS FOCAS DEL ZOO. MULAS Y BURROS. Mi amigo Bonifacio. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. Sabiendo que los burros los pagan al doble que las mulas.Jesús Escudero Martín
¿Cuántas cervezas debe pagar cada amigo sabiendo que cada uno de ellos tomó dos cervezas más y/o dos cervezas menos que otro? 51. ¿Qué longitud deberá tener el tercer lado para conseguir que el triángulo tenga la máxima área posible? 52. y sólo ochenta minutos. Cuando se le pregunta a la vieja Margarita con cuántos gatos vive. los días pares. EL TIRO AL BLANCO.000 duros. Sólo siete octavos de las focas más siete octavos de foca. Se han vendido 9 burros y 7 mulas y se ha cobrado por ellos 75. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 4 cm. LOS GATOS DE MARGARITA. Luis y Antonio tienen 500 ptas. rabioso aficionado al cine descubrió que una película de Buñuel duraba una hora y veinte minutos. CONEJOS Y PALOMAS. ¿cuántas aves hay exactamente? 55. pero cuando hace ese mismo camino en sentido contrario sólo tarda 80 minutos. CURIOSA PELÍCULA. responde melancólicamente: "Con los cuatro quintos de mis gatos más cuatro quintos de gato. ¿Cuántas focas había? 54. ¿cuánto tiene Pedro? 56.700 puntos. ¿A qué se debe esa diferencia? 59. hay 35 cabezas y 94 patas. Con estos datos. ¿cuántas veces hizo diana exactamente? 58. Vi focas pero no había muchas.
LA GALLINA PONEDORA. MITOLOGÍA. ¿Cuántos puntos hay en total en un par de dados?
. el largo es el doble del ancho y el perímetro es de 360 m. Suponiendo que en este momento están exactamente a 5.000 km. ¿Cuántos chicos fueron a la feria? 66.Jesús Escudero Martín
60. ¿Cuántos cupones vale un bote de detergente? 62. TRABALENGUAS. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA. Una de ellas viaja a 8 km. A la feria benéfica de la escuela cada chico debía concurrir con un adulto. el cliente puede canjearlos por un nuevo bote de detergente.37 -
. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 65. Los adultos pagan 2 dólares y los chicos 1 dólar de entrada. un litro al día por persona. EN DOS DADOS. Tengo igual cantidad de monedas de 5 ptas. Con cada bote de detergente la casa fabricante incluye un cupón de regalo. de distancia. Se recaudaron 180 dólares. En un rectángulo. que de 1 pta. ¿Cuánta agua se derramó? 64. por minuto y la otra a 12 km/minuto. Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. Una vez reunidos 10 cupones. ¿Cuántas monedas de cada clase tengo? 67. ¿CUÁNTA AGUA SE DERRAMÓ? La tripulación de un barco hundido tenía agua sólo para trece días. ¿cuánto distarán una de otra un minuto antes de estrellarse? 61. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? 63. ¿Cuántas extremidades tienen 3 centauros? 68. El agua duró exactamente lo que se esperaba. Una gallina pone dos huevos en tres días. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. y entre las dos tengo 90 ptas. LOS CHICOS DE LA FERIA. EL GRAN CHOQUE. El quinto día se derramó algo de agua sin querer y murió uno de los hombres.
Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema. del inglés u otra lengua al idioma algebraico” También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción.
. que datan del año 1900 a. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes. Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia.Jesús Escudero Martín
El idioma del álgebra es la ecuación. se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos. He aquí alguno de ellos:
En lengua vernácula Un comerciante tenía una cierta suma de dinero El primer año se gastó 100 libras Aumentó el resto con un tercio de éste Al año siguiente volvió a gastar 100 libras y aumentó la suma restante en un tercio de ella El tercer año gastó de nuevo 100 libras Después de que hubo agregado su tercera parte Usando álgebra x x-100 (x-100) + (x-100)/3 = (4x-400)/3 (4x-400)/3 – 100 = (4x-700)/3 (4x-700)/3 + (4x-700)/9 = (16x-2800)/9 (16x-2800)/9 – 100 = (16x-3700)/9 (16x-3700)/9 + (16x-3700)/27 = (64x-14800)/27 (64x-14800)/27 = 2x
El capital llegó al doble del inicial
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación: 64x-14800=54x ⇒ 10x=14800 ⇒ x=1480. Así. C. Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales. a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
x/12 cuando de vello cubriose su barbilla. En cambio. sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. mi carga sería el doble que la tuya. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. con frecuencia. efectivamente. LA VIDA DE DIOFANTO.Jesús Escudero Martín
La solución de una ecuación es. cuya sexta parte constituyó su infancia. Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo.
69. ¡oh milagro!. que duró x/2 tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra. 70. a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco. y cuántos el mulo?
. etc. . Y con profunda pena descendió a la sepultura. su hermosa existencia. por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. habiendo . por su enunciado. si yo te doy un saco. en cambio. x/6 Había transcurrido además una duodécima parte de su vida. como se verá. que entregó su cuerpo. x Y los números pueden mostrar. por el procedimiento de resolución. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo. EL CABALLO Y EL MULO. tarea fácil. . Y la séptima parte de su existencia transcurrió x/7 en un matrimonio estéril. Reproducimos esta inscripción: Usando En lengua vernácula álgebra ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. cuán larga fue su vida. tu carga se igualaría a la mía”. plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga.39 -
. por la solución. Problemas más o menos originales. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento 5 de su precioso primogénito. en traducir “la lengua vernácula a la algebraica”. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro. inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad. notable matemático de la antigüedad.
Y si te doy un saco. Dos comerciantes de vinos entraron en París llevando 64 y 20 barriles de vino respectivamente. más caro por docena. Como no tenían dinero suficiente para pagar los derechos de aduana. con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. recibiendo 40 francos como cambio. LOS CUATRO HERMANOS. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos. Cuatro hermanos tienen 45 duros.Jesús Escudero Martín
En lengua vernácula Si yo te tomara un saco mi carga sería el doble que la tuya. hasta de 10 en 10. el del segundo se reduce en 2 duros. mientras que el segundo dio 2 barriles. x+2 = y-2 = 2z = t/2 72. el primero de ellos dio 5 barriles y 40 francos. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. etc. ¿Cuánto dinero tenía cada uno? En lengua vernácula Usando álgebra Los cuatro hermanos tienen 45 euros. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones? 74. tu carga se igualaría a la mía
Usando álgebra x-1 y+1 y+1=2(x-1) y-1 x+1 y-1=x+1
71. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO... de 4 en 4. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia?
. t/2 a todos les quedará la misma cantidad de euros. Si las cuenta de dos en dos. ¿Cuál era el precio de cada barril y su impuesto aduanero? 73. por los que pagó 60 ptas. x+y+z+t=45 Si al dinero del primero se le agregan 2 euros x+2 al del segundo se restan 2 euros y-2 el del tercero se duplica 2z y el del cuarto se divide por. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. dos.. COMERCIANTES DE VINOS.40 -
. le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3. con lo que el precio le resultó 12 ptas. el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad.
inicialmente. un cuarto al cultivo de guisantes. Unos amigos. Un granjero tenía algunas tierras. LOROS Y PERIQUITOS. cinco. ¿Cuántos melocotones serán necesarios para equilibrar una pera? 81. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay? 76. entre coches y motos. para obtener la deseada partida. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. los restantes amigos deben de conseguir 471. un quinto al cultivo de judías. antes de echar una moneda en una máquina de petacos. Un tercio lo destinaba al cultivo del trigo. la otra dos. Luis ha pagado 46 ptas. ¿Cuánto vale un tintero y un cuaderno? 80. cada loro se vende a dos veces el precio de un periquito. han calculado que. Antonio ha comprado 5 tinteros y 4 cuadernos por 70 ptas. LA MÁQUINA DE PETACOS. para hacer partida. Dos personas mondaron 400 patatas. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones. y 6 melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. una de ellas mondaba tres patatas por minuto. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon? 78.41 -
. LOS DIEZ ANIMALES. por 3 tinteros y 4 cuadernos. LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato. Cierta tienda de animales vende loros y periquitos. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Entró una señora y compró cinco loros y tres pequeños. Uno de ellos ha tenido que marcharse antes de comenzar a jugar con lo que. COCHES Y MOTOS. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20 dólares menos.750 puntos cada uno. MONDANDO PATATAS. tienen que conseguir 392.300 puntos cada uno. ¿Cuántos eran. cada animal es un perro o un gato.Jesús Escudero Martín
75. TINTEROS Y CUADERNOS. los amigos? ¿Cuántos puntos necesitan para hacer partida?
. En un taller fueron reparados 40 vehículos. ¿Cuánto tiempo trabajó cada una? 79. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. ¿Cuántas hectáreas tenía en total? 82. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales. ¿Cuál es el precio de cada pájaro? 77. y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz.
decidió dar 4 pasteles a cada uno de los invitados preferidos. En lugar de cortar ningún . Tres docenas de limones cuestan tantos duros como limones dan por 16 duros. LAS MANZANAS DEL HORTELANO. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina? 87.42 -
83. PASTELES PARA LOS INVITADOS. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno? 90. al primero.000 soldados.636363. ¿Cuántas llevaba al principio? 84. Tenía 100 pasteles para repartir entre ellos. De los que quedan sabemos que el 63. EL PRECIO DE LOS LIMONES. Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. Encuentra a tres amigos y las da. al segundo. A continuación Diego se comió 7/11 de los pasteles restantes.. SOLDADOS DEL REGIMIENTO. Quedaron 8 pasteles para Ana. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. dio uno de sus pasteles a Carlos. Ahora todavía tenía el doble que Carlos. La primera clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. VENTA DE HUEVOS. Carlos no estaba muy conforme. ¿Cuánto vale la docena de limones? 85. MÁS PASTELES.pastel a trozos. Ana tiene el triple que Carlos. VENGA PASTELES. porque la campesina no tenía más huevos. al tercero. LOS PASTELES. A regañadientes. Aún sobró una manzana.. ¿Cuántos pasteles comió cada uno de los otros dos?
.2297297297. Se licencian un cierto número de ellos. Cierto día Ana estaba atendiendo a 30 invitados. la mitad de las sobrantes más dos. En un regimiento hay 4. Diego tiene la mitad que Carlos. Un hortelano lleva un canasto con manzanas. Con esto terminó la venta. Ana tiene triple de pasteles que Carlos. Ana. y tres a cada uno de los demás invitados. ¿Cuántos eran sus invitados preferidos? 88. La tercera clienta sólo compró un huevo.. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. la mitad de las manzanas más dos. Carlos se comió 5/16 de los pasteles que había en la mesa. Ana y Carlos están merendando pasteles. la mitad de las que le quedan más dos y.% no usa gafas. ¿Cuántos soldados se licenciaron? 86.. ¿Cuántos pasteles más tiene que darle Ana a Carlos para que cada uno tenga los mismos? ¿Cuántos pasteles había en total? 89.% tiene carnet de conducir y que el 92.
¿De acuerdo? 93. y 100 por cada periquito. Una mercancía encareció un 10% y luego abarató en un 10%. descubrió que había recibido por los ya vendidos exactamente lo mismo que había pagado por todos ellos inicialmente. dado por el valor colectivo de los siete animales restante.43 -
. Su posible beneficio viene. ¿Cuál es el posible beneficio? 97. se presentaron 37 candidatos. Un tratante de arte americano vendió un día dos cuadros por novecientos noventa dólares cada uno. PASTELES SOBRE LA MESA. Ana se comió la mitad y uno más. antes de abaratarla o después de encarecerla? 95. Con uno sacó un beneficio del 10% y con el otro sufrió una pérdida del 10%. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. Si las vende ahora con un 15% de incremento sobre el precio de taquilla. El dueño de una pajarería compró cierto número de hámsteres y la mitad de ese número de parejas de periquitos. "Eso significa que hoy me he quedado igual que estaba". Sobre la mesa había una cierta cantidad de pasteles. HÁMSTERES Y PERIQUITOS. recargó el precio de compra en un 10 por ciento. Una mercancía se abarató un 10% y luego se encareció en un 10%. ¿Cuándo era más barata. Todos los residentes en Salamanca capital consiguieron plaza y su número representaba el 95% del total de aprobados. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. ¿Cuánto cuesta un pastel grande? 92. A unas oposiciones al Ayuntamiento de Salamanca. Siete grandes y cuatro pequeños cuestas 12 ptas. Pagó los hámsteres a 200 pesetas cada uno. PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. antes de encarecerla o después de abaratarla? 94. más que cuatro grandes y siete pequeños. LA REVENTA. pues. Cuando tan sólo le quedaban siete animalitos por vender. se gana un 5% sobre el recargo que pagó. ¿Estaba en lo cierto? 96. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO.Jesús Escudero Martín
91. Manuel ha comprado dos entradas para ir al fútbol con un 10% de recargo. se dijo. ¿Cuándo era más barata. GANANCIA Y PÉRDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. Para su venta al público. ¿Cuántos aprobaron y cuántos eran de Salamanca capital? 98. Blas se comió la mitad de los que que.
Estaba seguro de que el cable medía menos de 100 metros. Si medía de 3 en 3 metros me sobraban 2 metros. ¿Cuántos había sobre la mesa? 99. en consecuencia. VESTIDOS A GOGÓ. Con esto se acabaron los pasteles. JUEGO EN FAMILIA. Diego se comió la mitad de los que quedaban y uno más. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. habría tardado en vaciar el barril 4 horas y 40 minutos. cada uno. Carlos se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Alicia posee 42. pero si el alemán se hubiera dormido en vez del inglés y éste hubiese continuado bebiendo. ¿En cuánto tiempo se lo hubiera bebido cada uno? 104. PASTELES COMO PAGO. ¿Calculaba bien la verdulera? ¿Qué precio debería pedir por cada manojo de espárragos? 101. ¿Cuántos vestidos tiene Sonia? 103. LOS DOS BEBEDORES. Cada padre se anotó 45 puntos más
. Sonia tiene un número de vestidos igual a los que posee Alicia divididos por los que tiene Ana. pero tendría 8 veces los que tiene Gema si tuviera 14 más. vendía sus manojos de espárragos a 160 ptas.Jesús Escudero Martín
daban y uno más. al cabo de las cuales el inglés se queda dormido y el alemán se bebe lo que resta en 2 horas y 48 minutos. Si de 6 en 6 me sobraban 5 metros. pero por cada día que holgazaneara no sólo no recibiría ninguno.44 -
. Al tratar de medir un cable que tenía en casa. con nuestros hijos Julio. Si de 4 en 4 me sobraban 3 metros. ¿Cuántos días trabajó? 100. ¿Cuántos metros medía? 102. disparamos con dardos sobre una diana con número en cada casilla. MIDIENDO UN CABLE. Una verdulera de legumbres tenía la costumbre de atar sus espárragos con un bramante de 30 cm. El empleado terminó ganando 62 pasteles. Mis amigos Juan y Pablo. de longitud y formaba así manojos que vendía a 80 ptas. Una empresa contrató a un empleado para trabajar durante 26 días. Estipularon que por cada día que trabajara. Cada uno marcó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo (es decir: si alguien tiró 10 tiros anotó diez puntos en cada tiro). cada uno. José y Luis. sino que tendría que darle uno a la empresa. Cómo esos manojos le parecían demasiado pequeños. recibiría 3 pasteles. Un inglés y un alemán beben de un barril de cerveza por espacio de dos horas. Si de 5 en 5 me sobraban 4 metros. observé lo siguiente: Si medía de 2 en 2 metros me sobraba 1 metro. dio en utilizar bramantes de doble longitud y.
a excepción de un reducido sector del prado pequeño. sobre la base de que 85 pollos equivalen a un caballo y una vaca. hay una chova que se queda sin estaca. Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla en el prado grande. una mitad de la gente quedó en el prado grande. y la otra mitad trabajó en el pequeño. considerando la capacidad del vaso? 106. EL VASO DE VINO..45 -
. Durante esa tarde fueron terminadas las dos siegas. después de la comida. El formato del primero es de 20x15 cm. Un granjero y su buena esposa están en el mercado para negociar sus aves de corral por ganado. LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados. uno tenía doble superficie que el otro. 356 páginas. NEGOCIANDO POLLOS. LIBROS DESHOJADOS. ¿Cuántas páginas tiene cada libro? 108. Si extendiesen las hojas de los dos libros. Llegaron las chovas y se posaron en estacas. Pero si en cada estaca se posan dos chovas en una de las estacas no habrá chova. c) Dos escudos se cambian por tres cuchillos. donde todavía subsiste el trueque. Se supone que 5 caballos tienen el mismo valor que 12 vacas. se tienen las siguientes equivalencias de cambio: a) Un collar y un escudo se cambian por una lanza. y el del segundo de 17x12. Yo disparé 7 tiros más que Luis y Julio 15 más que Pablo. Un escritor ha compuesto dos libros que suman. EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. cubrirían 4'2264 m2. cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla? 109. Paco llena un vaso de vino y bebe una cuarta parte. ¿Cuántas eran las chovas y cuántas las estacas? 107.
. b) Una lanza se cambia por tres cuchillos.Jesús Escudero Martín
que su hijo. entre los dos. vuelve a llenarlo con agua y bebe una tercera parte de la mezcla. ¿Cómo se llama mi hijo? ¿Quién es el hijo de Juan? ¿Cuántos puntos se marcaron? ¿Cuántos tiros se tiraron? 105. Si en cada estaca se posa una chova. LA CUADRILLA DE SEGADORES. En una tribu del Amazonas. ¿Cuánto vino puro le queda por beber. Lo llena por segunda vez de agua y entonces bebe la mitad del vaso. ¿A cuántos collares equivale una lanza? 110.
Todavía los dos mayores se vieron capaces de aumentar su carga con un tercio de la que ya llevaban y así lo hicieron. Tras recoger 770 castañas. de oro. De primera intención los cuatro cargaron con pesos iguales.
duplicáramos el número de vacas que hemos elegido. sino 5 piezas de plata que todas ellas valían 30 denarios. ni ella a él. ¿Cuántos pollos llevaron al mercado el granjero y su esposa? 111. pero los tres mayores vieron que podían con más. Antonio repartió entre sus amigos los discos que tenía. Entonces Granjero: Creo que deberíamos tener más vacas que esas. Cada vez que María se quedaba con 4 castañas. En total se llevaron entre los cuatro 138 kg. A uno le regaló un disco y 1/7 de los restantes. TRANSPORTE DE UN TESORO. ¿Cuál era el capital al empezar el primero de estos años? 114. Y con estas piezas cada día pagaba la posada. SE QUEDÓ SIN DISCOS. el mayor se atrevió aún a añadir una quinta parte más de lo que llevaba.Jesús Escudero Martín
Esposa: Llevemos otros tantos caballos como los que ya hemos elegido. EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS. por precio de un denario cada día. Al cabo de 3 años se encuentra duplicado su capital. y no le quedaba debiendo nada a la patrona. Lola tomaba 3. Pero al cargarlo de nuevo. y tendríamos la cantidad exacta de pollos para hacer el canje. Este huésped no tenía otro dinero. hasta que repartió todos sus discos. y aumentaron su carga con la mitad de lo que habían tomado. PAGO EXACTO Y PUNTUAL. a un tercero. NEGOCIANTE METÓDICO. creo que si
tendremos tan sólo 17 caballos y vacas que alimentar durante el invierno. tres discos y 1/7 de los restantes y así sucesivamente. tres niñas las repartieron de modo que las cantidades recibidas guardaran proporción con sus edades. ¿Cuánto cargó cada uno? 113. Un hombre tomó una posada por 30 días. a otro dos discos y 1/7 de todos los restantes. y por cada 6 que recibía María. Más aún. ¿Cuántos denarios valía cada pieza? ¿Cómo se pagaba con ella? 112. Cuatro muchachos se encontraron un enorme tesoro de monedas de oro. ¿Cuántas castañas recibió cada niña? 115. tendríamos en total 19 vacas y caballos. Susana tomaba 7. ¿Cuántos discos tenía y entre cuántos amigos los repartió?
. Un negociante separa al principio de cada año 100 dólares para los gastos del año y aumenta todos los años su capital en 1/3.46 -
lo que nos permitirá terminar la campaña sin más abastecimientos.
. al morir. dejó establecido que el hijo mayor recibiría 100. Si repartían 6 para cada uno les sobraban 5. reduciéndose así las de los maestros. que ahora están difíciles. LOS LADRONES Y LAS CÁMARAS DE FOTOS. más la quinta parte del resto.000 ptas. Un padre. Una noche después de haber robado una partida de cámaras fotográficas. Curiosamente todos los amigos recibieron la misma cantidad de discos. Pero si cada uno de nosotros quiere siete. el de tercer grado con tres y así sucesivamnente". Si vendo 75 pollos. más la quinta parte del nuevo resto. En una banda de ladrones cada uno tenía un grado diferente. ¿Cuántas cámaras fotográficas habían robado? 118. Si repartían 7 para cada uno les faltaban 8. el del grado inmediatamente superior se quedará con dos. tal vez convenga comprar 100 pollos. el jefe les dijo: "El de menor grado se quedará con una cámara. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo 100. nos faltarían ocho". Últimamente se decidió aumentar en 8 alumnos más la clase de cada maestra.000 ptas. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada uno? 117. Al final todos recibieron igual cantidad. LOS LADRONES Y LOS CUADROS. ¿Cuántos ladrones y cuántos rollos de tela había? 120. El jefe de unos bandidos decía a sus hombres: "Hemos robado unas piezas de tela. Y así se hizo.000 alumnos que son atendidos por 19 personas entre maestros y maestras. Pero como los pollos se pagan bien. En una comunidad existen 1. quedarán cinco piezas. Los ladrones se rebelaron contra esta injusticia y el más audaz de ellos dijo: "Tomaremos cinco cámaras cada uno".47 -
. El siguiente 200. Unos ladrones robaron varios rollos de tela. EL GRANJERO Y LOS POLLOS. con lo que nuestras reservas de pienso nos durarán 15 días menos”. ¿Cuántos eran los ladrones? (Resolverlo sin utilizar el álgebra) 119. ¿A cuántos niños atiende ahora cada maestro? 121. EL REPARTO DE LA HERENCIA. las reservas de pienso que tenemos nos durarán 20 días más de lo previsto.Jesús Escudero Martín
116. MAESTROS Y ESCOLARES.000 más que el anterior y la quinta parte del resto. Cada maestro atiende 30 alumnos más que cada maestra. Un granjero le dice a su mujer: “No sé qué hacer. Si cada uno de nosotros toma seis. LOS LADRONES Y LAS TELAS.
les dijo que todas ellas se llevarían el mismo número de perlas. y cierta cantidad de hacienda. Un vagabundo furtivo entró en un huerto ajeno para apropiarse algunas naranjas. Muerto el padre. ¿Cuántas hijas y perlas había? 125. Con esto terminó la venta. La tercera clienta sólo compró un huevo. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. pero dándole también la mitad de las naranjas que tenía más media naranja. le dejó pasar haciéndole entregar la mitad de las naranjas que llevaba y otra media naranja.Jesús Escudero Martín
Dejando al granjero que resuelva el dilema con su mujer. Pídese cuántos hijos dejó el padre. y 300 ducados más. y 600 ducados más. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina?
. y así sucesivamente todas las demás hijas. una perla más 1/7 de las restantes. Cada hija recibiría: La mayor. 123.48 -
. la 2ª dos perlas más 1/7 de las restantes. Tenían que repartírselas de una forma muy especial. Después de esto el ladronzuelo se vio en campo libre y en posesión de dos naranjas. tras contar las perlas. Con el segundo guardián consiguió por lástima de sus ruegos. ORIGINAL TESTAMENTO. VENTA DE HUEVOS. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. LOS GUARDIANES DE LAS NARANJAS. Y lo mismo exactamente le sucedió con un tercer guardián. y al segundo la sexta parte del restante. LAS PERLAS DEL RAJÁ. cuánta hacienda. dando siempre a cada uno la sexta parte del restante. y con este orden en los demás. y hallaron que tanto vino al uno como al otro. y cuanto vino por cada uno. y al tercero la sexta parte del restante y 900 ducados más. y 300 ducados más al uno que al otro. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto. La primera clienta le compró la mitad de los huevos más medio huevo. compadecido por su necesidad. porque la campesina no tenía más huevos. la 3ª tres perlas más 1/7 de las restantes. ¿cuántos pollos tiene el granjero? 122. Un mercader estando enfermo hizo testamento. ¿Cuántas naranjas había cogido al principio? 124. El juez. Un rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de perlas. que también le dejase pasar. dejando ciertos hijos. Al salir tropezó con un guardián que. partieron la hacienda. ordenando que al hijo primero le diesen la sexta parte de la hacienda.
Un campesino fue al mercado a vender gansos. Un pastor tiene 2 panes y otro 1 pan. ¿Cuántos gansos llevó al mercado el campesino? Hay que tener en cuenta que ningún ganso fue dividido. en total ocho. cuya mujer está a punto de dar a luz. Un hombre. medio dólar.Jesús Escudero Martín
126. medio dólar. VACAS. VENTA DE GANSOS. muere. VACAS. Juntan los 3 panes y los tres comen partes iguales. un cerdo.Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. y una oveja. Vendió al primer cliente la mitad de los gansos más medio ganso. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales resultan 54 patas. Cada vaca le costó 4 dólares. y una oveja. Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. ¿Cómo deben repartirse las 14 vacas entre los tres? 129. Al segundo cliente la tercera parte del resto más un tercio de ganso. ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 131. cada cerdo.49 -
. VACAS. 127. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores? 128. LOS 3 PANES Y LAS 3 MONEDAS. Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. Volvió a casa con 19 gansos que le sobraron. CERDOS Y OVEJAS (1). Suponiendo que haya comprado al menos una vaca. Para complicar las cosas. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca. sucedió que nacieron mellizos. el cazador les deja 3 monedas. Al despedirse. Cada vaca le costó 10 dólares. 2. y cada oveja. 3. ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 132. CERDOS Y OVEJAS (2).
. cada cerdo. Si es niña. Al cuarto cliente un quinto de los que le quedaban más un quinto de ganso. un cerdo. Se encuentran con un cazador que no lleva comida. y cada oveja. ésta se llevará 1/3 y 2/3 la madre. éste se llevará 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. Un chiquillo cazó varias arañas y escarabajos. Cada vaca le costó 5 dólares. ARAÑAS Y ESCARABAJOS. disponiendo en su testamento lo siguiente: "Si la criatura que va a nacer es niño. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja? 130. CERDOS Y OVEJAS (3)." Las posesiones del padre eran únicamente 14 hermosas vacas. CURIOSO TESTAMENTO. 2. niño y niña. y los guardó en una caja. Al tercer cliente un cuarto de los que le quedaban más tres cuartos de ganso. cada cerdo.
al empezar. y les dijo: "Sus sueldos han de ser. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca. es decir. Inmediatamente lo pusieron al frente de los otros dos. Después. Al acabar todos tenían el mismo dinero: 12 pesetas. el tercero compra aceite a los otros dos. pagaderos por semestres. pagándole a cada uno tantos reales como ellos tienen. ¿Con cuántos reales habían llegado a la feria? 134. Por último. un cerdo. cada jugador se retira con 200 ptas. Tres jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. díganme que prefieren. Terminados estos negocios se vuelven a su casa con 48 reales cada uno. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno el juego?
.000 dólares anuales. pagando a cada uno tantos reales como ellos tienen. El gerente eligió a tres jóvenes que parecían prometer. después de pensarlo. CURIOSA PARTIDA (2). pagándoles tantos reales como ellos tienen. Una gran empresa proyectaba abrir una sucursal en cierta ciudad y puso anuncios solicitando tres empleados. NEGOCIO PARA TRES. El primero compra vino a los otros dos. Tres feriantes tienen cada uno un cierto número de reales. eligió la segunda. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego? 136. ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 133. pero. Si su trabajo es satisfactorio y decidimos que sigan. un tercio de dólar. y 80 céntimos.50 -
. se les aumentará el sueldo. ¿Por qué? ¿Fue acaso que al gerente de personal le gustó su modestia y su aparente deseo de ahorrarle dinero a la compañía? 135. ¿un aumento de 150 dólares anuales o uno de 50 dólares cada semestre?" Los dos primeros aceptaron la primera alternativa. pero el tercero. y una oveja. CURIOSA PARTIDA (1). de 1.Jesús Escudero Martín
y cada oveja. LOS ASPIRANTES AL PUESTO DE TRABAJO. Siete jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros seis. perdieron todos ellos. el segundo compra garbanzos a los otros dos. Jugaron siete partidas y cada vez perdió un jugador distinto. Después de haber perdido todos ellos una partida.
4 y 5? 142. 5 y 6 da respectivamente los restos 1. AÑO DE NACIMIENTO. PRIMERA ESCRITURA DEL CIEN. ¿Cuál es el menor número que. ¿Qué número soy? 140. Las nueve cifras de los tres números: ABC DEF GHI son distintas. MENOR NÚMERO. dividido por 2. TODOS LOS PRIMOS. del 2 al 10 sólo hay un divisor mío. 138. Encuentra los tres números. El producto de cuatro números enteros consecutivos es 3. etc. ¿QUE NÚMERO SOY? Soy capicúa. tengo cuatro cifras.51 -
. 3. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS.
. LA BASE DESCONOCIDA. Se obtiene un resultado divisible por 9. ¿Cuáles son estos números? 145. Mi hijo ha aprendido a contar según una base no decimal. pero algunos me ven como si fuera un 9. ¿Cuál es esta base? 144. ¿es par o impar? 139. y el tercero es triple del primero. Multipliquémoslos todos entre sí. curiosidades numéricas. no se ponga a multiplicar. 4. EL MENOR CON X DIVISORES. Los números primos detectados hasta ahora son muchísimos. El segundo es el doble del primero. ¿Cuál es el menor número con 7 divisores y no más? ¿Y. 2.Jesús Escudero Martín
Problemas sobre números. No. Escribe el número 100 empleando cinco cifras iguales.024. ¿Por qué? 141. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. con 8 divisores? 143. imagine que alguien ya hizo esa multiplicación por Vd.
137. Llamemos al resultado P. pero hay una cantidad finita de ellos. de manera que en lugar de escribir 136 escribe 253. Restad a vuestro año de nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. a) ¿Con qué cifra del 0 al 9 termina P? b) La segunda cifra (la de las decenas). 3.
ERROR MECANOGRÁFICO. escribió 5423. CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. 3. volvemos a tener el 17.001 da como resultado el citado número de 9 cifras duplicado. Una mecanógrafa inexperta estaba copiando un libro de matemáticas.857. 1. 6. El producto de cualquier número entero por 100 da como resultado el citado número con dos ceros más a su derecha. 183=5. EL NÚMERO 25. 2. excepto el 0. Encuentra fracciones similares que den por resultado 3.000.000. No muy lejos de ellos hay otros dos números. 173=4.001 entre 7 da como resultado el número 142. DIVISIONES EXACTAS. para que ambos modos de escribir signifiquen el mismo número? (En este caso el error mecanográfico no hubiese tenido importancia en el resultado). 148. Por ejemplo: 234234. 8 y 9. el citado número con dos ceros más a su derecha. Obtienes divisiones parciales exactas y al final tu número inicial. Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. 1. encontrar otras cuatro cifras. 7.832. aparece una y sólo una vez.143. Por ejemplo: 2=13458/6729. 3. ¿verdad? ¿Por qué? 147. por último. se puede obtener. El cociente de 1. el nuevo cociente entre 13.000. El producto de cualquier número de 9 cifras por 1. dividiendo entre 4. -. consecutivos.Jesús Escudero Martín
Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +. 357419 x 25 = 8935475. 5.143. Obtenido así: 35741900 : 4 = 8935475. : y ( ). CURIOSA PROPIEDAD.52 -
.857.857. 149. Ejemplo. que gozan de la misma propiedad. El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142.913. ¿cómo se puede obtener rápidamente sin tener que realizar la multiplicación? 150. 5+8+3+2=18. Los números del 2 al 9 pueden ser expresados como fracciones en las cuales cada dígito. 151. El producto de cualquier número por 25. ¿Cuáles son?
. después el cociente entre 11 y. Si ahora sumamos las cifras del resultado 4+9+1+3.000. x. El cociente de 100 entre 4 da como resultado el número 25. que es muy distinto. Lo mismo ocurre con el 18. Divide este número entre 7.143. donde debía escribir 5423. ¿Podría Vd. EL NÚMERO 142. 4=15768/3942. 146. 2.
potencias. CON 4 CINCOS.
Realiza por este método: a) 789 x 1358. CON 4 TRESES. : y ( ). -.. Empleando cuatro cincos (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+. c) 1234 x 56789.) expresar todos los números del 1 al 10. /.=3/9.5=5/10. Se puede usar la notación anglosajona 0'3=. x. . Empleando cuatro treses (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+.. potencias.=5/9. También se admite: 0.3 período=0. /. 153.. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos +.3333. 154. En el ejemplo se muestra el producto de 346 x 2674 = 925204. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas.
. SEGUNDA ESCRITURA DEL CIEN. -. x. Todavía lo practican algunos árabes de ciertas regiones. !.) expresar todos los números del 1 al 10.5 período=0. etc.53 -
. 155. x.. Se puede usar la notación anglosajona 0'5=. -. etc.Jesús Escudero Martín
152. b) 5432 x 9876. .5555. !. También se admite: 0.3=3/10.
34. 2 y mil? 163. A1C. 72. 5. S. sucesiones. 9. 15. ¿Qué emparenta a todas estas palabras? DOLOR . 17. D14R. 8.
156. ¿Las iniciales de qué otros cuatro elementos. 6. 32.. SOND y SOND. 1. . A2D. ¿Qué representa la siguiente secuencia? 6. 5. SON PARIENTES. R1T. 13.. si al final quedan únicamente 1. 5.Jesús Escudero Martín
SERIES . 76. 4. PRINCIPIO Y FIN. S. 2. 2. 3. 84. 8. NI EN UNA SEMANA. CON CALCULADORA MEJOR. 6. se tachan los números naturales que no cumplan ese criterio. 15. S. 159. Pero la última es más bien extraña.RESTA .FAZ . 9 y 10 forman la secuencia SOND.54 -
. ¿Qué representa la siguiente secuencia? 0. 6. O. ¿Qué representa la siguiente secuencia? 0. VAYA CRITERIO. 6. 7. SECUENCIA QUE RUEDA.. tomados también en orden. S. ¿Qué representa la siguiente secuencia? O. secuencias. 5. ALFA COMO PISTA.. 73. ni en una semana. Siguiendo un criterio lógico.LAGO . 19. Las letras iniciales de los números 7. Apuesto a que no lo saca Vd. 157. S. 81.SOLAR . 63. 4. dan la misma secuencia? 162. 7..SECUENCIAS
Problemas sobre series. 27. ¿Cuál es el criterio. 2. 4.MILLAR . ¿Qué representa la siguiente secuencia? 6. 21. Las siguientes anotaciones parecen corresponder a una partida de ajedrez. 66.. 3. EXTRAÑA PARTIDA DE AJEDREZ. 8. ¿De qué se trata entonces? 164. 62. . 160. 158. . P3T.SIGLO 161.
Es un juego para dos jugadores.55 -
. El que se lleve el último pierde. ¿Cuál es la estrategia ganadora? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 167.
165. Los números del 1 al 16 están escritos en cuatro filas como se muestra más adelante. Suelen ser muy interesantes. ¿Cuál es la estrategia ganadora? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 166. El que se lleve el último gana. El juego. Veamos una partida: Primer jugador 3 4 1 5 4 5 1 Segundo jugador 5 4 3 5 4 1 5 Suma total 3 8 12 16 17 20 25 30 34 38 43 44 45 50 ¡Gana el segundo jugador! Después de jugar algunas partidas.Jesús Escudero Martín
No podrían faltar los problemas que surgen a partir de los juegos de estrategia. DE HOLA RAFFAELA EN TVE. que es para competir dos jugadores entre sí. consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. LLEGAR A 50. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA. El primer jugador que consigue sumar exactamente 50 es el ganador. ¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?
. que es para competir dos jugadores entre sí. Los números del 1 al 15 están escritos en tres filas como se muestra más adelante. y los suman a los números elegidos anteriormente. El juego. Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 5. consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente.
Como ejemplo. y coloquemos el número 1 en la celda central de la fila superior. de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales dé el mismo resultado. para mayor comodidad la serie de los números naturales. entonces se llaman "cuadrados latinos".
Cuadrados mágicos de orden impar
Veamos un modo de construir fácilmente cuadrados mágicos de orden impar. uno con 5 celdas se dice que es de quinto orden. Si la condición no se cumple para las diagonales. saltaremos a la celda de la columna siguiente hacia la derecha y en su fila inferior. Así. a partir de la izquierda. Los cuadrados mágicos se clasifican de acuerdo con el número de celdas que tiene cada fila o columna. el número consecutivo de la serie se coloca en la celda inmediatamente inferior a la del número precedente.56 -
. 3) Si al hacer esto se sale del cuadrado por el límite superior del contorno del mismo. 2) La cifra consecutiva a una cualquiera debe colocarse en la celda que le sigue diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha. comenzando así un nuevo camino en la dirección de la diagonal. Los chinos y los indios los conocían antes del comienzo de la era cristiana. 4) Cuando la celda siguiente está ocupada. de tal modo que la suma de cada una de sus filas. de la fila superior. si se sale por la derecha. El origen de los cuadrados mágicos es muy antiguo. se sigue por la primera celda. realicemos un cuadrado mágico de quinto orden:
17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
. 1) Tomemos una serie aritmética cualquiera.Jesús Escudero Martín
67 43 73 173.Jesús Escudero Martín
Finalmente. C. Completa los casilleros que faltan para que resulte mágicos el siguiente cuadrado: 7 5 8 11 9 174. DE ORDEN 3. COMPLETA 3x3. Coloca nueve números consecutivos en un cuadrado de 3x3. en esta forma el llenado de las casillas. puesto que las sumas siguen siendo iguales entre si cuando multiplicamos todos los números de las casillas por un mismo factor. CALCULA: A. NUEVE CONSECUTIVOS. E. es claro que podemos alterar fácilmente. A COMPLETAR. o les añadimos un mismo sumando.57 -
. SUMA 18. 172. SUMA 24. Completa el siguiente cuadrado para que sea "mágico". D y E en el siguiente cuadrado mágico: 15 A 35 50 B C 25 D E
. D. de manera que la suma de las filas y la suma de las columnas sea 18. Coloca tres números consecutivos en un cuadrado de 3x3. TRES CONSECUTIVOS. ORDEN 3. de manera que la suma de las filas y la de las columnas sea 24. B. Construye un cuadrado mágico de 3x3. 171. ORDEN 3. Construye un cuadrado mágico de 4x4. DE ORDEN 4. (Suma=34) 170. (Suma=15) 169. C. B. Hallar A.
Encontraron que de a pares pesaban 129 kilos. CON SÓLO DOS PESAS. LAS 9 BOLAS. Determinar el peso de cada uno de los 4 pedazos en que se rompió la pesa inicial. 116 y 114. entre las cuales hay una más pesada que las otras. realizadas en una balanza que carece de pesas. Se tienen 27 bolas semejantes.58 -
. realizadas en una balanza que carece de pesas. rompiéndose en 4 pedazos cuyos pesos respectivos eran números exactos de kilos. realizadas en una balanza que carece de pesas. y por medio de los cuales podía pesar cualquier carga que fuese. Descubre el peso de cada una por separado. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante tres pesadas solamente. con una sola pesada. identificar al culpable. entre las cuales hay una más pesada que las otras. 118. Como cada año. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante dos pesadas solamente. Cinco gruesas niñas que descubrieron que pesándose de a dos e intercambiándose de a una por vez. ENGAÑANDO A LA BALANZA. LAS 30 MONEDAS DE ORO. (Dos pesadas
comparativas)
180. LAS 27 BOLAS. que se le cayó.
175. Un mercader tenía una pesa de 40 Kg. LAS PESAS DEL MERCADER. LAS 81 BOLAS. El juego de pesas de una balanza consta sólo de dos pesas. Pero sabe que uno de ellos ha adoptado la triste costumbre de darle monedas de 9 gr. 125. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante cuatro pesadas solamente. asimismo.400 gramos. y no de 10 como él ordena. Se tienen 9 bolas semejantes. 178. con el fin de cortarle la cabeza? 177. En sólo tres pesadas. Se tienen 81 bolas semejantes. separa 1. una de 10 gramos y la otra de 40 gramos. (Tres pesadas 181. entre las cuales hay una más pesada que las otras. 120. un número exacto de kilos comprendido entre 1 y 40 ambos inclusive. (Cuatro
pesadas comparativas)
. podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda. 176. 123. 121. 122. En su resolución se usan razonamientos matemáticos.Jesús Escudero Martín
Los problemas sobre pesas y pesadas suelen ser muy interesantes. ¿Cómo podrá. un rey espera que cada uno de sus 30 vasallos le entregue 30 monedas de oro. 179.800 gramos de semillas en dos bolsas de 400 y 1.
Parten a la vez de Madrid. Un avión vuela en línea recta desde el aeropuerto A hasta el aeropuerto B. y fijan el lugar de la primera parada. Un esquiador sube en telesilla a 5 km/h. una hora más tarde frente al mojón A0B. Una persona camina al ritmo de 2 km/h al subir una cuesta. La velocidad media de cualquier viaje se calcula siempre dividiendo la distancia total por el tiempo total. Viaja con aire en calma. Estos fueron con una velocidad media de 60 km/h. EL AVIÓN Y EL VIENTO. PROMEDIANDO. El otro día. manteniendo el motor siempre en el mismo régimen. ¿Qué números tienen los mojones y cuál es la velocidad (constante) del automóvil?
. claro está. AL CAMPO DE MERIENDA. EL BÓLIDO Y LOS TRES MOJONES.59 -
. y el número de revoluciones se mantiene como antes. Una hora después pasa frente al mojón BA. Los Gómez y los Arias. EL ESQUIADOR FRUSTADO. cuando fuimos al campo de merienda. que tan pronto alcanza la cima.Jesús Escudero Martín
La mayor parte de la gente se hace con facilidad un lío en los problemas relativos a velocidades medias. acuerdan realizar un viaje al alimón. a 30 km/h. Si soplara un fuerte viento de A hacia B. ¿Qué velocidad media conseguí en el viaje completo? 184. ¿A qué velocidad tendrá que descender esquiando para conseguir una velocidad de 10 km/h. Llevaban esperando media hora los Gómez. y los Gómez con una velocidad media de 70 km/h. cuando llegó el coche de los Arias. y el de vuelta. Hay que tener mucho cuidado al calcularlas. UN ALTO EN EL CAMINO. y a continuación regresa también en línea recta desde B hasta A. y al de 6 km/h al bajarla. ¿sufrirá alguna modificación el tiempo invertido en el trayecto de ida y vuelta? 187. inicia el descenso) 183. el viaje de ida lo hice a una velocidad media de 60 km/h.
182. ¿Cuál será la velocidad media para el recorrido total? (Se supone. ¿A cuántos kilómetros de Madrid estaba situada la primera parada? 185. en el recorrido total? 186. Un automóvil pasa frente a un mojón que lleva el número kilométrico AB.
me parece. Pero todos los matemáticos perciben la belleza de un teorema. o de la demostración de un teorema. TRIÁNGULOS ORIGINALES. en sus Historias. la geometría guarda un tesoro de hermosos teoremas y preciosas demostraciones. que se difundió más tarde por la Hélade”. de manera que el propietario pagase la parte proporcional del impuesto. casi siempre manifiesta admiración. Entonces éste mandaba a sus inspectores. Quizá tenga que ver con la sorpresa de lo inesperadamente sencillo.60 -
. se originó la geometría. Herodoto. con la intención de cobrar la renta por medio de un impuesto que sería recaudado anualmente. Es frecuente que la resolución de problemas geométricos resulte prácticamente trivial atinando a usar uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclídea. “Se cuenta también que el rey Sesostris dividió la tierra entre todos los egipcios. de la exclamación: "¡Precioso!". 5. que controlasen la reducción del terreno. 5.
188. ¿Cuál tiene una superficie mayor.Jesús Escudero Martín
Creer que una ciencia existe a partir de determinado momento o de tal acontecimiento parece una ingenuidad. Sin embargo.
Cuando un matemático se tropieza por primera vez con teoremas como algunos de los que veremos a continuación. Por la riqueza de sus aspectos visuales. 8?
. No podemos decir exactamente qué entienden por "precioso" los matemáticos. un triángulo con lados 5. seguida invariablemente. relata el origen de la geometría (palabra que en griego significa medición de la tierra). que vivió en Grecia en el siglo V antes de Cristo. otorgando a cada uno un rectángulo de igual tamaño. con la misma claridad con que se aprecia la belleza de las personas. 6 o uno con lados 5. el súbdito correspondiente debía acudir al rey para notificarlo. Pero cuando el paso del Nilo redujese una porción. De esta forma.
En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50º. EL VALOR DE LA MEDIANA.
Hay problemas que nos dejan perplejos porque la respuesta elemental. GOLPE DE VISTA. EL RADIO DEL CÍRCULO. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. se quiere construir un estanque de forma rómbica. Teniendo en cuenta la figura. EL ÁNGULO EXTERIOR. Hallar en 30 segundos el valor de la mediana AM. el cateto b=8 y el cateto c=6. ¿Cuánto mide MN?
194. ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos diagonales de las caras del cubo?
. Por uno de los puntos (O) donde se cortan las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. la hipotenusa a=10. EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES.
190..Jesús Escudero Martín
189. Dos circunferencias secantes tienen por centros respectivos P y Q. hallar el radio del círculo. EL LADO DEL ROMBO. ¿Cuánto mide el lado del rombo?
191. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
193. a menudo se complica de un modo inverosímil.61 -
192. según la figura. En una plaza circular de R=9 m. rectángulo en A. El segmento PQ mide 3 cm. En el triángulo ABC.
La línea continua dibujada no es. Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos. NUEVE ÁNGULOS. Se trata de trazar una línea continua a través de la red cerrada de la figura.
197. Calcula el valor de todos los ángulos de la figura sabiendo que el ángulo 1 vale 70Ε. ¿En qué posición el área comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible?
198. ya que deja un segmento sin cruzar. En la figura tenemos dos sobres ligeramente diferentes ya que el segundo tiene una línea más. evidentemente una solución del problema. de modo que dicha línea cruce cada uno de los 16 segmentos que componen la red una vez solamente. de manera que un vértice de uno está siempre en el centro del otro. EL CRUCE DE LA RED. DIBUJANDO SOBRES.Jesús Escudero Martín
196. que marca la doblez de cierre. CUADRADOS QUE SE CORTAN.62 -
. y sin pasar más de una vez por el mismo trazo. ¿Es posible dibujar cada uno de los sobres sin levantar el lápiz del papel. Se ha dibujado solamente a fin de hacer patente el significado del enunciado del problema.
SEIS FILAS. cuadrados. Moviendo sólo una de ellas. Formar con 12 cerillas 6 cuadrados iguales. de tal modo que en cada lado haya 4 monedas.. 204. DOS FILAS. TRES MONEDAS. 203. ..Jesús Escudero Martín
Construcciones. triángulos. 205. SEIS SOLDADOS. EN 4 PIEZAS IDÉNTICAS. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?
. MUCHOS CUADRADOS. empleando para ello 24 soldados. Con seis palillos formar cuatro triángulos equiláteros.63 -
200. con palillos. LAS DOCE MONEDAS. 202. Formar 6 filas. Colocar 4 monedas como si fueran los vértices de un cuadrado. Se trata de disponerlas igualmente formando un cuadrado. polígonos. cerillas. Divide la figura adjunta en cuatro piezas idénticas. conseguir dos filas con tres monedas cada una. divisiones. trapecios. etc. LOS SEIS PALILLOS. LOS SEIS CUADRADOS. de 6 soldados cada una. 201. monedas. trasposiciones. pero con 5 monedas en cada lado del cuadrado. Con 12 monedas formamos un cuadrado.
a esto sigue la operación inversa llevada a cabo por el destinatario (operación de descifrar). otras palabras u otros signos. Su objeto es transformar un mensaje claro en un mensaje secreto que en principio sólo podrá ser leído por su destinatario legítimo (operación de cifrar). Sobre esa tira se escribía el mensaje en columnas paralelas al eje del palo. Todos los procedimientos de cifrar antiguos y modernos. La transposición consiste en mezclar. de la que Plutarco nos dice que fue empleada en la época de Licurgo (siglo IX antes de nuestra era). Restablecer el texto claro partiendo del texto cifrado sin que de antemano se conozca el procedimiento de cifras es el desciframiento. las letras. Julio César se limitaba a utilizar un alfabeto desplazado en tres puntos: A era reemplazada por D. las palabras o las frases del texto claro. discutidos y discutibles. etc. como lo indica su etimología. sus talentos de criptógrafo no igualaban a los del general. El procedimiento consistía en enrollar un hilo en un disco que tenía muescas correspondientes a las letras del alfabeto. Pero posteriormente este procedimiento se perdió. Si dejamos de lado los textos bíblicos en cifra. Para leer el mensaje bastaba con conocer su primera letra.Jesús Escudero Martín
La criptografía es. B por E. el procedimiento criptográfico más antiguo que se conoce es la escitala de los lacedemonios.) en una obra que constituye el primer tratado de criptografía conocido. a pesar de su diversidad y de su número ilimitado. las cifras. el arte de las escrituras secretas. pero que podía leerse volviendo a enrollar la tira sobre un palo del mismo diámetro que el primero. Los romanos emplearon un procedimiento muy ingenioso indicado por Eneas el Tácito (siglo IV a de C. entran en una de las dos categorías siguientes: transposición o sustitución. Si el correo era capturado sólo tenía que quitar el hilo del disco y el mensaje desaparecía. otras cifras.
. Por Suetonio conocemos la manera en que Julio César cifraba las órdenes que enviaba a sus generales. La tira desenrollada mostraba un texto sin relación aparente con el texto inicial. La escitala era un palo en el cual se enrollaba en espiral una tira de cuero. Hoy el arte de cifrar utiliza las técnicas de la electrónica y ya no tiene ninguna relación con los procedimientos que acabamos de describir.64 -
. de conformidad con cierta ley. La sustitución consiste en reemplazar esos elementos por otras letras.
El problema consiste en hallar las cifras que están "bajo" las letras. FACILÓN. ÚNICA SOLUCIÓN.
. Reconstruir la suma: 3A2ABC + C8A4DD = E1DE19. PARA PRINCIPIANTES. 212. 208.
206. Resolver: IS + SO = SOS. OTRA SUMA FÁCIL. Por eso se aconseja que se dediquen a este género de problemas sólo los lectores pacientes y minuciosos. 211. Reconstruir el siguiente: R1G + 1G3 + 305 = GN5. en ciertos sitios se puede marcar simplemente el lugar de una cifra con un punto o un asterisco. 209. 210. 207. 214. Para complicar las cosas. No sé en qué época se inventó. Éste tiene solución única: ABCDE x 4 = EDCBA. Es fácil ver que la criptaritmética es un procedimiento de cifrar por sustitución y que la clave es una regla matemática. cálculos largos y trabajosos que implican grandes riesgos de confusión. La criptaritmética consiste en reemplazar las cifras por letras en la transcripción de una operación de aritmética clásica. MUY FACILÓN. Reconstruir la suma: ABC23D + C4EFGB = B769C7. Resuelve: PAR + RAS = ASSA.Jesús Escudero Martín
La criptografía es un arte que desempeñó un importante papel en el desenvolvimiento de la historia. SUMA FÁCIL. pero los aficionados a las variedades comenzaron a interesarse por ellas en el primer congreso internacional de recreaciones matemáticas que se reunió en Bruselas en 1935. OTRA SUMA FÁCIL. Reconstruir la suma: 3AB32C + B2DECA = F51CD6. OTRO MUY FACILÓN. Reconstruir éste: PLAYA . 213.NADAR = 31744.65 -
. SEÑAL DE SOCORRO. sus soluciones no presentan dificultades matemáticas pero en cambio exigen numerosísimas hipótesis y. de una ecuación. en consecuencia. Los enunciados criptaritméticos son a veces seductores. La criptaritmética no es más que un juego. Reconstruir la suma: ABC52C + D31ECA = G45GH7. En el caso extremo solo quedan asteriscos.
el que se adelantaba marcaba exactamente una hora más que el otro. ¿Cuál es el método más rápido para cronometrar 9 minutos. Disponiendo de un reloj de arena de 7 minutos. OTROS DOS RELOJES DE ARENA. A partir de ahora la aguja de las horas va a tardar justo el triple de tiempo que el minutero para llegar al número 6. SONÓ EL DESPERTADOR. ¿Qué hora es? 221. DOS RELOJES DE ARENA. ¿Cuánto pudo descansar antes de que el despertador sonase? 219. el ángulo formado por la aguja horaria y el minutero del reloj es de 90Ε. Puse en marcha dos relojes al mismo tiempo y descubrí que uno de ellos se atrasaba dos minutos por hora y que el otro se adelantaba un minuto por hora. Para ello puso su despertador a las 10. LOS DOS RELOJES.Jesús Escudero Martín
En la resolución de problemas relativos a relojes se usan razonamientos matemáticos. Mi tío estaba tan cansado que se acostó a las 9 de la noche. Miro el reloj. ¿cuál es el método más rápido para controlar la cocción de un huevo.
215. Entre las 12 del mediodía y las 12 de la noche. Unos 20 minutos después de acostarse ya estaba dormido. ¿Cuánto medirá el ángulo diez minutos después? 217. EL RELOJ DE CUCO. EL MINUTERO TRES VECES MENOS. y de otro de 11 minutos. ¿Cuánto tardará en dar las 12? 218. Un reloj de cuco tarda 5 segundos en dar las 6. disponiendo de un reloj de arena de 7 minutos y otro de 4 minutos?
. Cuando volví a fijarme. A LAS TRES Y DIEZ. Siendo las tres en punto.66 -
. ¿cuántas veces pasa el minutero sobre la aguja horaria? 216. ¿Durante cuánto tiempo habían estado funcionando estos dos relojes? 220. que debe durar 15 minutos? 222. OJO AL MINUTERO. con la intención de dormir hasta las 10 de la mañana del día siguiente.
¿A qué edad murió? 227. Mi hermano me lleva 8 años. ¿Quién es mayor. vivió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento”. Bien.000. MI HERMANO Y YO. ¿cuándo nació? 225. ¿Qué edad tendrá Carlos en el año 2. "Yo tenía n años en el año n2". La edad de Juan es 1/6 la de su padre. ¿Qué edad tiene Juan? 228. 4.
223. ¿QUIÉN ES MAYOR? Dentro de dos años mi hijo será dos veces mayor que era hace dos años. Pero hace cinco años era cuatro veces más joven. muerto en 1971. Gómez a sus amigos. En una lápida podía leerse esta inscripción: “Aquí yace Pío Niro. Por lo general son extremadamente simples. La edad del padre dividida por 2.67 -
. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. si hace tres años era el triple? 229. el niño o la niña? 226. 6 y 8 da de resto 1. CARLOS EN EL AÑO 2. GÓMEZ. ¿Cuántos años tiene?
. gustaba decir el Sr. pero al dividirla por 5 da de resto cero. Y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor que era hace tres años.000 sabiendo que esa edad será igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento? 224. POBRE PÍO.Jesús Escudero Martín
Los problemas relativos a edades son siempre interesantes y ejercen cierta fascinación sobre los jóvenes con inclinaciones matemáticas. ¿Dentro de cuántos años su edad será el doble que la mía. LA EDAD DE MI HIJO. 3. LA EDAD DEL SR. LA EDAD DE JUAN.
¿Qué edad tiene cada uno de los miembros de la familia?
. El famoso cuadro Las Meninas fue pintado por Velázquez en 1656. Si se escribe tres veces seguidas su edad se obtiene un número que es el producto de su edad multiplicada por la de su mujer y la de sus cuatro hijos. El capitán dice a su hijo: tres veces el cuadrado de tu edad más 26 años dan el cuadrado de mi edad. donde se había instalado a los 4 años de casado. ¿Cuál es la edad del capitán? 232. Carlos frisa en la cuarentena.68 -
. ¿A qué edad se casó? 231.Jesús Escudero Martín
230. LA EDAD DEL CAPITÁN. LAS MENINAS. LA FAMILIA DE CARLOS. a los 57 años de edad. después de vivir 34 años en Madrid.
pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre". "Ni hermanos ni hermanas tengo. Marta y María son hermanas. ¿qué era él de Pedro? 235. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Teresa? 240. LAS HERMANAS. pero el tipo de razonamiento que se necesita para resolverlos es muy parecido al que usan a veces los matemáticos. HIJO DE LA HERMANA DE MI MADRE. ¿De quién era la fotografía que estaba mirando Carlos? 241. a lo que él contestó. Carlos hubiera contestado: "Ni hermanos. ¿Quién es esa persona? 234. que no son sobrinas de María. la suegra de la mujer de mi hermano. ¿QUIÉN ES ANTONIO? Antonio se preguntaba que si el hijo de Pedro era el padre de su hijo. ni hermanas tengo. LOS HERMANOS DE LA FAMILIA. La persona que más quiero en este mundo es. ¿Cómo puede ser esto? 238.
233.69 -
. pero el hijo de este hombre es el hijo de mi padre" ¿De quién sería la fotografía?
. precisamente. ¿Qué clase de pariente mío es el hijo de la hermana de mi madre? 236. Marta tiene dos sobrinas. ¿Quién es el hijo de tu padre que no es tu hermano? 237. SUEGRA FENOMENAL. OTRA VEZ CARLOS Y LA FOTO. El hermano de Teresa tiene un hermano más que hermanas. HIJO DE TU PADRE. ¿Cuántos son entre todos? 239. CARLOS Y LA FOTOGRAFÍA. Supongamos que en esa misma situación. Cada uno de tres hermanos tiene una hermana. HERMANDAD. Carlos estaba mirando un retrato y alguien le preguntó: "¿De quién es esa fotografía?".Jesús Escudero Martín
Estrictamente hablando los problemas de parentescos no forman parte de las Matemáticas.
242 . ¿Quién es la hermana de mi hermana que no es mi hermana?
. Una madre compró a su hija 25 libros y otra madre regaló a la suya 7 libros.70 -
.REGALAR CULTURA. HERMANA DE MI HERMANA. ¿Cómo se explica este fenómeno? 243. Entre las dos hijas aumentaron su capital literario en 25 libros.
¿Podría Vd. LOS CUATRO PERROS. TRES BOLAS. utilizar diferentes medios de transporte. sabemos que Alejandro no utiliza el coche ya que éste acompaña a Benito que no va en avión. LA NOTA MEDIA.
249. Dos ajedrecistas de igual maestría juegan al ajedrez.71 -
. Éste último come más que el galgo. De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B. SILENCIO. una bola que no devuelven. Si Carlos no va acompañado de Darío ni hace uso del avión. 248. ¿Qué es más probable: ganar dos de cuatro partidas o tres de seis partidas? (Los empates no se toman en consideración)
. ¿Quién lleva más ventaja: el primero. calcular el orden de llegada? 246. un par de problemas de probabilidad. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. a veces. podría Vd. por orden. La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido de 6. cada dos. ¿habla Ángela más alto o más bajo que Celia? 245. Los tres van sacando. PARTIDAS DE AJEDREZ. ¿Cuál de los cuatro será más barato de mantener?
Para finalizar. Andrés viaja en avión. y D ha llegado en medio de A y C. Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden. Quien saque la bola blanca gana. pero éste come más que el podenco.Jesús Escudero Martín
Los problemas de lógica. Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa. pueden ser verdaderos rompecabezas. SEIS AMIGOS DE VACACIONES.
244. en los cuales la solución no es la que parece a primera vista. Tenemos cuatro perros: un galgo. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados? 247. Para elegir a un muchacho entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. LOS CUATRO ATLETAS. un dogo. el alano come más que el galgo y menos que el dogo. decirnos en qué medio de transporte llega a su destino Tomás. un alano y un podenco. el segundo o el tercero? 250.
EL PRECIO DE LA BOTELLA. PILOTO DE FÓRMULA 1. 5 ptas. los segundos pasan a ser minutos y los minutos. ANTONIO. MENUDA RAZA DE GIGANTES. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. ¿CUÁNTO BENEFICIO? 2 ptas. La botella 1 Kg. PEDRO Y LOS LIMONES. Al multiplicar por 60. 5. ENTRE PASTORES. Por tanto bastará multiplicar por 4 el valor de la pesa para tener el resultado. 9.
. La botella 50 centavos. LA CUADRILLA. LOS TANTOS POR CIENTO. 1. 13. Entonces: 4 x 3/4 = 3 hombres. GATOS Y LOROS. El ladrillo entero pesa 3 kilos. El primero 5 y el segundo 7. 10 ptas. y 5 gramos. 16. horas. 14. 2. El tapón 10 ptas. Las tres cuartas partes de hombre es el cuarto que le falta a la cuadrilla.73 -
. Antonio 24 y Pedro 30 limones. 10. 7.300 duros. EL PESO DE UN LADRILLO. Como ya tenemos en un platillo 3/4 de ladrillo. Igual. 20 metros. 4. PROPINAS AL ACOMODADOR. 17. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. 12. 8. PERROS. 6. El tapón 5 gramos. ¿CUÁNTOS NUEVES? Veinte. La botella 40 ptas. 3. Un perro. 15. 138 ojos. Una hora y 23 minutos. un gato y un loro. El vino 9 dólares y 50 centavos. ACABÓ LA GUERRA. 11.Jesús Escudero Martín
1. la pesa representará el cuarto que falta. EL MISMO DINERO.
LA ALTURA DEL ÁRBOL. cada una ha sufrido un desgaste de 4/5 de 5000 Km. EL PRECIO DEL OBJETO. 30.. ESCRIBIENDO A MAQUINA. 25. 26. ya se ha dividido en dos. 18 duros. DOMINÓ. OTRO LADRILLO. MANOS Y DEDOS. Medio día. y sabemos que dos amebas llenan el tubo en dos horas. No. 23. 32. LA AMEBA. 29.
. ¿QUÉ HORA SERÁ? Las 6 de la tarde. 6 Kg. DINERO DE JUAN Y PEDRO. 36. Las caras opuestas se pintan del mismo color. Cada cubierta se utiliza 4/5 partes del tiempo total. Por tanto. Pedro es el más alto. pues le falta lo mismo para llegar a la de Pedro. x=1 metro.74 -
. El primero 5 y el segundo 7. 12. Juan 24 ptas y Pedro 30 ptas. DÍAS Y SEGUNDOS. 35. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. x=3x-2. 20. 19.Jesús Escudero Martín
18. Tres colores. 34. Nueve. EL CUBO PINTADO. 27. ENTRE PASTORES. DOCENAS DE HUEVOS. Dos horas y un minuto. 31. 28. 72 . Es frecuente que se conteste 100. 33. 40 segundos. 22. EL CEREZO. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. ¿CUÁNTA TIERRA? 100/9 Ha. 2 cerezas. 24. 21. PINTANDO UN CUBO. x=altura del árbol. En efecto: 100/9 – 10/9 = 90/9 = 10 Ha. 4000 Km. Transcurrido sólo un minuto. 50. es decir. ESCALA DE ESTATURAS. Juan y Antonio tienen igual estatura.72 = 0.
y encajan las cuatro medias medias dos a dos. 44. que no encajan para formar ni siquiera una media porque las medias medias sean todas punteras. 11 pares. 2 cerezas. pero las otras dos medias medias no. 41. LA TORRE EIFFEL. dispuestos uno junto al otro. Dieciséis duros y medio. Siete reales y medio. 42. constituyen un metro. Tres minutos. LAS 16 CERVEZAS. 47.75 -
. o cualesquiera mezclas heterogéneas pero incoherentes de estas dichas. o inferiores (calcetas). PAN. Si hechos al azar pueden darse tres casos: a) Puede que sean cuatro medias medias sueltas. si quiere ponerse el par. si tiene Vd. cómo en el caso a). c) Si está Vd.
. Dos fumadores. 1. Por lo tanto. de mucha suerte. MILÍMETROS CUADRADOS. LAS CERVEZAS. 39. mil millares formarán mil metros. LO DE LOS ARENQUES. A-C y B-C. sino también su ancho y su profundidad. 45. A MODO DE CHIMENEAS. Depende de cómo hayan sido los cortes. o mitades superiores (musleras). PAN Y PAN. puede llegar a ser dueño (o dueña) de un par de medias. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. MEDIAS MEDIAS. 43. 46. Cada mil mm2. LO DE LA SARDINA. la suerte de que dos de ellas encajen para venir a darle una media. LOS TATUADORES. 38. JUGANDO AL AJEDREZ. Cada uno jugó dos partidas: A-B. No sólo se reduce la altura de la torre. 50. Dos tatuadores y medio. OTRO CEREZO. 49. NIÑOS Y MOSCAS. o talones. más desgraciado. 40. por lo que su peso disminuye a un octavo del peso original. 12 peniques (1 chelín). b) Pueden ser una media y dos medias medias. 48. 24 cervezas.Jesús Escudero Martín
37. la línea formada tendrá un kilómetro de longitud. En un metro cuadrado hay un millón de milímetros cuadrados. En este caso. 5 y 7 cervezas. 875 toneladas. 3. tendrá que coser.
Cada gallina tiene que poner 6 huevos. pues se pide la distancia a la que se encuentran antes de chocar. EL GRAN CHOQUE. B=9. el cliente recibe un bote de detergente con el cupón correspondiente. CURIOSA PELÍCULA.
. Así: 10=B+1. no lo olvidemos. Sea n el número de gatos. El agua derramada le habría durado ocho días al hombre que murió. 57.Jesús Escudero Martín
51. 61. OJO QUE ES UN CIRCUITO. EL TIRO AL BLANCO. MULAS Y BURROS. 56. Tenemos: n = 7/8·Αn + 7/8 ⇒ n=7. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? 50 ptas. es irrelevante. 60. lo que se consigue al cabo de 9 días. Sea n el número de focas. El dato de 5. es decir la altura mide 4 cm. LOS GATOS DE MARGARITA. Había 7 focas en el zoológico. La distancia será: 8 + 12 = 20 km. El tercer lado entonces será la hipotenusa. Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos.. 23 palomas. Largo 120 m. Nueve cupones. 53. A 15. ancho 60 m. Por 10 cupones. 63. 54. 58. ¿CUÁNTA AGUA SE DERRAMÓ? El quinto día. Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos. cm.000 km. 59. TRABALENGUAS. pero un minuto antes de chocar. LAS FOCAS DEL ZOO. Como el área de un triángulo es máxima cuando sea máxima la altura. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. la altura máxima se conseguirá cuando el otro lado esté perpendicular al anterior. Tenemos: n=4/5·Αn+4/5 ⇒ n=4. considerando como base uno de los lados iguales. es decir. Margarita vive con 4 gatos. quedaba agua para ocho días. 64.76 -
32 = 5'65
. Siendo B=coste en cupones de un bote de detergente. Nueve veces. así que se derramaron ocho litros. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. LA GALLINA PONEDORA. CONEJOS Y PALOMAS. 55. antes de que se derramara el agua.000 ptas. 62. 52.
70. tres loros. Así que dos periquitos valen 20 dólares. Así que la diferencia entre comprar cinco loros y tres periquitos o comprar tres loros y cinco periquitos es igual que la diferencia entre comprar trece periquitos y comprar once periquitos. Tres centauros tienen 3x6 = 18 extremidades. 69. 68. 60 chicos. cinco loros valen lo que diez periquitos. EL CABALLO Y EL MULO.77 -
. y=10 francos. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x=5. cinco loros más tres periquitos valen lo que trece periquitos. (6 x 6 + 5 x 4 = 36 +20 = 56). fue padre a los 38 años. ahora quedan seis galletas. 74. 73. las seis galletas restantes son para los perros. perdió a su hijo a los 80 años y murió a los 84. EN DOS DADOS.521. 15 de cada clase. Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita. 72.8. lo que significa que un periquito vale 10 dólares y un
. y puesto que cada perro ha de recibir una galleta más. 84. y=7. Por tanto. 2x-40=20y. debe haber seis perros y cuatro gatos. LOS CHICOS DE LA FERIA. x=Precio de cada barril.9. y=Impuesto aduanero. más cinco periquitos valen lo que once periquitos. Px=60 ⇒ P=60/x P'(x-2)=60 ⇒ P'=60/(x-2) Pero P'=P+12/12 60/(x-2) = 60/x + 1 = (60+x)/x ⇒ 60x=60x-120+x2-2x ⇒ x2-2x-120=0 ⇒ x=12. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. 67. Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: x=8.6. Sabemos que la diferencia es de 20 dólares. 42. 66. Resolviendo el sistema: x=120 francos. Sea x el número de huevos y P y P' los precios inicial y resultante tras la rotura.5.3.4. Puesto que un loro vale lo que dos periquitos. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA. 76. El caballo llevaba 5 sacos y el mulo 7 sacos. 71. conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años. COMERCIANTES DE VINOS. que es dos periquitos. Primero damos cinco galletas a cada uno de los diez animales.Jesús Escudero Martín
65. LOS DIEZ ANIMALES. z=5. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. LOS CUATRO HERMANOS. Por tanto. Por otro lado.10) + 1 = 2.7. t=20. los gatos ya han recibido su parte. Bien. LA VIDA DE DIOFANTO. MITOLOGÍA. 5x+40=64y. y=12. LOROS Y PERIQUITOS. mcm (2. 75.
En los 25 minutos de más. es decir.550 son los puntos que cada amigo tiene que hacer de más por faltar uno de los amigos. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. 84.750 por 6 = 471. por los cuatro cuadernos. 78. Para conseguir partida necesitan 392. 10≅4+30≅2=40+60=100. Luego un tintero cuesta 12 ptas. 60 debe ser la mitad del número total de Ha. La tierra tiene 120 Ha. 77. Como 4 manzanas y 6 melocotones se equilibran con 10 melocotones. Sea "x" el precio de un limón expresado en duros. Como cada minuto ambas mondan en común 2+3=5 patatas. la segunda trabajó 70+25=95 minutos. luego 70-60=10 ptas.750 = 78. Restando estas 50 patatas de las 400. la diferencia disminuye en dos.500 puntos.78 -
. la segunda persona mondó 2≅25=50 patatas. hallamos que cada una trabajó 70 minutos. 539750/78550 son 5 veces los puntos en cuestión. EL PRECIO DE LOS LIMONES. 3≅70+2≅95=400. Reducimos todo a sesentavos. 36x2 = 16. Es evidente que hay que hacer 10 sustituciones de este tipo para que la diferencia se reduzca a cero.Jesús Escudero Martín
loro 20 dólares. el número total de ruedas sería 80.
. hallamos que. 20 menos que en realidad. 80. Por consiguiente. Si todos los vehículos hubieran sido motos. x2 = 16/36. 36x = 16/x. 81. 36.300 . TINTEROS Y CUADERNOS. 79. La sustitución de una moto por un coche hace que el número total de ruedas aumente en dos. 36 limones cuestan 36x duros.300 por 5 = 2. x = 2/3 duros. (5 loros + 3 periquitos = 130 dólares. 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60. LAS MANZANAS DEL HORTELANO. 83. LAS TIERRAS DEL GRANJERO. dividiendo 350 entre 5. Por tanto una pera se equilibra con 7 melocotones. 3 loros + 5 periquitos = 110 dólares). entonces una manzana pesa lo mismo que un melocotón. LA MAQUINA DE PETACOS. Por lo tanto se repararon 10 coches y 30 motos. y como 13 es la mitad de 26. Por 16 duros dan 16/x limones. COCHES Y MOTOS.392. trabajando el mismo tiempo las dos mondaron 350 patatas. 13/60 de la tierra es 26. Este es el tiempo real que trabajó la primera persona. La diferencia 471. Esto deja 13/60 para el cultivo de maíz. Antonio pagó 60 ptas.356. o sea que un cuaderno cuesta 10/4 = 2'50 ptas. MONDANDO PATATAS. Luego los amigos eran inicialmente eran 6. por los tinteros. Dos tinteros cuestan 70-46=24 ptas. 82. es decir.
. En total había 12 pasteles. 92. LOS PASTELES. el número de huevos que trajo al mercado era siete. Ana 24.110 ptas.encarece 10% .. Al principio Ana tenía 9 y Carlos 3. ⇒ 1P = 2 ptas. Sabemos que 1G = 3P. Pero en el regimiento sólo había 4.110x/100 ptas.99. Está claro que el resto completo eran tres huevos. obtenemos la mitad de los que tenía la campesina al principio. PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS.. . MÁS PASTELES.
. el 700/11 % de los que quedan tiene carnet de conducir. 90.000 soldados. 93. por lo que N=3. Es decir. 7G + 4P = 21P + 4P = 25P 4G + 7P = 12P + 7P = 16P 25P . En general: x . El porcentaje sobre el recargo que se gana Manuel es del 50%. SOLDADOS DEL REGIMIENTO. 12 limones valen 8 duros. Por lo tanto. el proceso es: 100 ptas .256 soldados. Después de que la segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que quedaban más medio huevo. Si N es el número de los que quedan.abarata 10% . PASTELES PARA LOS INVITADOS. 87. un huevo y medio constituyen la segunda mitad de lo que le quedó después de la primera venta..256=744. pues. a la campesina sólo le quedó un huevo. Así N es múltiplo de 296≅11=3. Por tanto N debe ser múltiplo de 11. Carlos 8 y Diego 4. Siempre es más barata después de abaratarla. . se han licenciado 4.2297297. 88.Jesús Escudero Martín
Luego. Había 32 pasteles. Por tanto N también debe ser múltiplo de 296. 89.256.abarata 10% .. Carlos comió 10 y Diego 14. = 700/11. Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas. Había 10 invitados preferidos.63636363. Así. Añadiendo medio huevo. 10Α4 + 20Α3 = 40 + 60 = 100. LA REVENTA.000-3.99x/100. Igualmente como. 92.19P = 6P = 12 ptas. tienen carnet de conducir 700/11·1/100·N = 7N/11. Luego es más barata después de abaratarla.encarece 10% .79 -
. 86. 85. Ana tiene que darle a Carlos 2 pasteles.=6825/74 entonces: 6825/74·1/100·N = 273N/296 no llevan gafas. VENGA PASTELES. VENTA DE HUEVOS. Como 63. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. ⇒ 1G = 6 ptas. 91.
200 pesetas por todos ellos. Le quedaron 5 hámsteres cuyo valor al venderlos será de 1.770 pesetas. vendió por el 90% de lo que pagó. y además y no puede ser mayor que 7. Ambas podrían ser soluciones del problema si olvidamos el hecho de que los periquitos se compraron por pares. Por lo tanto concluimos que y es 5.abarata 10% . y el de los periquitos. que es 990 dólares.99.Jesús Escudero Martín
94.abarata 10% . el proceso es: 100 ptas . Por tanto pagó 1100 dólares. y el 10% de 1100 es 110.
. El número de hámsteres vendidos a 200 pesetas cada uno. . lo que hace un total de 300x pesetas. Su pérdida neta fue de 20 dólares. Como x e y han de ser enteros positivos. Veamos por qué: Consideremos primero el cuadro que vendió con un beneficio del 10%. tras aumentar en un 10% el precio de compra. GANANCIA Y PÉRDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. tras de lo cual se obtiene la siguiente ecuación diofántica con dos incógnitas enteras: 3x = 11y + 77. es igual a x-y. El costo de compra de los hámsteres es por tanto 200x pesetas.80 -
. y una pareja de periquitos. así que los igualamos y simplificamos. En general: x . y recibió 990 dólares. sino el 10% de lo que pagó. Solamente hay dos: 5 y 2. Podemos ahora dar la solución completa.. ¿cuánto pagó por él? El beneficio no es el 10% de 990.99x/100 ptas. Este dato permite desechar la solución y=2. es cosa sencilla tantear con los ocho valores posibles (incluido el 0) de y a fin de determinar las soluciones enteras de x. Por consiguiente sacó 90 dólares con el primer cuadro. Los hámsteres vendidos han reportado 220(x-y) pesetas y los periquitos 110(x-7+y) pesetas.90 ptas. Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas. Se nos dice que estos dos totales son iguales. El número de periquitos será entonces 7-y. Por consiguiente perdió 110 dólares con el segundo cuadro. hizo el 10% de 900 dólares. 96.200 pesetas. así que lo vendió por 1100 menos 110.110y . ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. pagando en total 13. lo que hace un total de 330x . lo que le da un beneficio de 1. Consideremos ahora el segundo cuadro: Perdió el 10% de lo que pagó por él. que da para x el valor impar de 33. El tratante no calculó bien: No se quedó igual que estaba.99x/100. Luego es más barata después de encarecerla. que es la solución del problema. por los que recibirá 220. y ganó sólo 90 con el primero. 95. Esto significa que pagó 900 dólares. recaudando un total de 13. y el número de periquitos vendidos (a 110 pesetas cada uno) es evidentemente x-7+y. 100x pesetas. El pajarero compró 44 hámsteres y 22 parejas de periquitos. de modo que lo. Sea x dicho número. Llamaremos y al número de hámsteres que quedan entre los animalitos aún no vendidos. Por el cuadro le dieron 990 dólares. perdió 20 dólares ese día. De modo que 990 dólares es el 110% de lo que pagó.100 pesetas. que es 90 dólares. Se compraron inicialmente tantos hámsteres como periquitos.encarece 10% . Vendió 39 hámsteres y 21 parejas de periquitos. Siempre es más barata después de encarecerla.encarece 10% . . HÁMSTERES Y PERIQUITOS.320 pesetas.
La cantidad de espárragos del manojo es aproximadamente proporcional a la superficie del círculo formado por el bramante. Sean x las horas que tarda el inglés en beber todo el barril. con velocidad uniforme de salida cada uno. 102. MIDIENDO UN CABLE. también lo será el 95%. Ana encontró 30 = (14+1)2. PASTELES SOBRE LA MESA. Los dos juntos en dos horas habrán bebido 2(1/x+1/y) parte del barril. Blas encontró 14 = (6+1)2. Cuando se dobla la longitud del bramante se dobla el radio del círculo. el procedimiento más fácil para hallar la cantidad correspondiente al 95% es buscar un número. 98. Un número cuyo 5% sea un número natural ha de ser 20 o múltiplo de 20. El máximo es 3x26=78. 59 metros. entre 1 y 36. luego 16/4=4. En 4 horas y 40 minutos el inglés bebe: (4+2/3)·1/y. cuyo 5% (100-95) sea un número natural. PASTELES COMO PAGO. Diego encontró 2 = 1+1. Es decir. Cada día que holgazanea pierde 4 (3 que no recibe y 1 que da). JUEGO EN FAMILIA. y la superficie de ese círculo está multiplicada por 4 (S=πR2). e las horas que tarda el alemán. Combinaciones de factores posibles: (x+y): 45. Número total de aprobados: 20. 9 con (x-y):1. 15. 103. LOS DOS BEBEDORES.Jesús Escudero Martín
97. 2(1/x+1/y) + (2+4/5)·1/y = 1 2(1/x+1/y) + (4+2/3)·1/x = 1 Sistema que se resuelve fácilmente tomando como incógnitas 1/x=x' y 1/y=y'. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. Por holgazanear perdió 16. (x-y)(x+y)=45. Carlos encontró 6 = (2+1)2. Ganó sólo 62. En este caso. fracciones de personas). 5. En 2 horas y 48 minutos el alemán bebe: (2+4/5)·1/y. 3. y=6. Si el 5% es una cantidad exacta. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO.81 -
. 104. Número de aprobados de Salamanca capital (el 95%): 19. de donde x=10. Holgazaneó 4 días y trabajó 22 días. solo es posible el 20. En este caso. 99. VESTIDOS A GOGÓ. el alemán se bebería el barril en 6 horas y el inglés en 10 horas. Supongamos que un padre dispara x tiros y que su hijo dispara y tiros: x2-y2=45. en vivo. 101. 30 pasteles. Se puede considerar a los personajes como desagües de un barril.
. 6. El 95% del número de aprobados ha de ser un número natural (no existen. De suerte que los nuevos manojos contienen cuatro veces más espárragos y su precio debería ser 80 x 4 = 320 ptas. 100.
y por la mitad de la gente en el resto de la jornada... 0 0 . EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. 0 1
0 0 0 ... se deduce que media cuadrilla en medio día segó 1/3 del prado... Si esto se completa con a) resulta que un collar se cambia por un escudo. 1 1 . Día 291 Día 301 0 0 0 ... y como tienen lo suficiente como para conseguir 7 vacas más.. De b) y c) se obtiene que una lanza se cambia por 2 escudos... y con 0 la moneda que tiene el hombre. le quedan 175 pollos. 105.. LIBROS DESHOJADOS. Un caballo vale sesenta pollos. 1 1
1 1 0 1 . Luis: 2 tiros.. Por consiguiente. que valen 475 pollos. Cuatro chovas y tres estacas. Día 161 Día 171 .. EL VASO DE VINO. 0 0 . en el prado chico quedaba sin segar 1/2-1/3=1/6.. 110.. Indicando con 1 la moneda que tiene la patrona..Jesús Escudero Martín
De donde.. Pablo: 7 tiros.. Juan: 23 tiros. José: 6 tiros.15 8 da Día 11 Día 21 Día 31 . Se tiraron 39 tiros y se marcaron 1183 puntos. la situación diaria se puede expresar como sigue: Valor de la mone.... LA CUADRILLA DE SEGADORES. Si un segador siega en un día 1/6 del prado y si fueron segados 6/6+2/6=8/6. 4... 2.82 -
4 0 0 0 .. NEGOCIANDO POLLOS. (Conviene hacer un dibujo) 109. 8 y 15 denarios de valor. Si el prado grande fue segado por todo el personal de la cuadrilla en medio día.. fácilmente: Yo: 9 tiros.. 108.. 1 1
. Las piezas son de 1. su hijo. Ya deben haber elegido 5 caballos y 7 vacas. 124 páginas el primero y 232 páginas el segundo. PAGO EXACTO Y PUNTUAL. una lanza equivale a dos collares. 1 1
2 0 1 1 . Tomemos como unidad de medida el prado grande. Julio: 22 tiros. su hijo.. 1 0 . Una vaca vale 25 pollos.. esto quiere decir que había 8 segadores. 107. 1 1
. lo que haría un total de 650. 0 1 . Por tanto. 106. LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. mi hijo. 111. Una cuarta parte.
n=70. N=9x5=45 cámaras robadas. SE QUEDÓ SIN DISCOS. La única posibilidad es x=8. TRANSPORTE DE UN TESORO. 115.000 + (C-100000)/5 El 21 recibió: 200. 119.480 dólares.30 3er intento: 20 . n=9. LOS LADRONES Y LAS TELAS.40 Finalmente: 20 . LOS LADRONES Y LOS CUADROS. Como n es un número entero (157-3x) ha de ser múltiplo de 19.(C-100000)/25 ⇒ C = 1. x=13 ladrones. Si x es el número de maestros y n el de alumnos que le eran asignados antes de la modificación. 117. cada uno. Los ladrones eran.(C-100000)/5 . 118. LOS LADRONES Y LAS CÁMARAS DE FOTOS. MAESTROS Y ESCOLARES.60. Fin del 1er año: 4/3·x – 4/3·100 Fin del 21 año: 1x – 28/9·100 Fin del 3er año: 64/27·x – 148/27·100 = 2x de donde x=1. 1er intento: 20 . 116.000 + C/5 . 13. El hecho de que los ladrones disminuyan cada uno en una pieza de tela su parte (6 en lugar de 7) hace que queden trece piezas disponibles (5+8). siendo al mismo tiempo.30 .30 .20 21 intento: 20 . y=83 rollos de tela. 7x=y+8.000) .30 . Las edades de las niñas están en la proporción 9:12:14. + n = n(n+1)/2 En el segundo reparto: N = 5n n(n+1)/2 = 5n por lo tanto n(n-9)=0..40 . podemos escribir: xn+(19-x)(n-30)=1. Luego: 4 herederos a 400.000 + 1/5 [(C-100. NEGOCIANTE METÓDICO. 36 discos entre 6 y dio 6 discos a cada uno. que había 8 maestros y 11 maestras. EL REPARTO DE LA HERENCIA. pues.20 .000 ptas. 114. 120. x<19. Siendo C el importe total de la herencia. 112. En el primer reparto: N = 1 + 2 + 3 + . Las niñas recibieron: 198..20 .83 -
Este cuadro hace evidente que el estado contable en cualquier día puede deducirse de la expresión binaria (en base 2) del número correspondiente.30 .570 ⇒ n=10/19 (157-3x). Cada maestro atendía
. 264 y 308 castañas.000 .600. Es decir.000 ptas.200. 6x+5=y.000 ⇒ 19n+30x=1. EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS.40 . Sea n el número de ladrones y N el número de aparatos robados. Sea x el capital buscado.000] Igualando lo recibido por cada uno se obtiene: (C-100000)/5 = 100. El 11 recibió: 100.48 113.
D=Número de días que le duraría con los pollos que tiene. un huevo y medio constituyen la segunda mitad de lo que le quedó después de la primera venta. 123. 560 en total. LAS PERLAS DEL RAJÁ. Pastor B = 0 monedas. se reparten entre los 8 maestros. tocando pues a 59 alumnos. Llevó al mercado 101 gansos. Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. VENTA DE GANSOS.6 7
6x . Resolviendo: P=300. Con la variación cada maestra atiende 48 niños. (51 + 17 + 9 + 5 + 19) 127.84 -
36 = 6 hijas
125. A/(P-75)=D+20. Después de que la segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que quedaban más medio huevo. 472. La mayor coge: 1+ La 20 coge: 2+[ 1+
x -1 7 7
. 122. Es decir: 300 pollos con pienso para 60 días. 121. Así. LOS GUARDIANES DE LAS NARANJAS. ORIGINAL TESTAMENTO. El método para resolver problemas de este tipo es el de hacer el camino inverso.6
6x . quiere decir que llegó a él con 23.20 49
x -1 7
6x . A/P=D. Y si del primero salió con 11.
. VENTA DE HUEVOS. P=Pollos que tiene actualmente. 440 en total. LOS 3 PANES Y LAS 3 MONEDAS. Pues que salió con 2. EL GRANJERO Y LOS POLLOS. lo que hace un total de 528 alumnos para las maestras. a la campesina sólo le quedó un huevo. x=perlas. el número de huevos que trajo al mercado era siete. al tercer guardián llegó con 5. quedan: x-[1+
6x . Está claro que el resto completo eran tres huevos. pues. obtenemos la mitad de los que tenía la campesina al principio. al segundo llegó con 11. Por esto. da 1800 ducados para cada uno. Pastor A Pastor B Cazador Panes que aporta 2 1 0 Parte que come 3/3 3/3 3/3 Parte que regala 3/3 0 0 Parte del dinero 3 0 Pastor A = 3 monedas. El resto. repartida entre 5 hijos. A/(P+100)=D-15. Es decir. Añadiendo medio huevo. 126.Jesús Escudero Martín
a 70 niños. La hacienda de 9000 ducados.20 49
⇒ x=36 perlas. Cada maestra atendía 40 niños. 124. Sean A=Cantidad total de pienso (en unidades pollos-día).
Lo que impresionó a su nuevo patrón no fue. Si nacía niño. 12x+6y+100-xy=300. 72 ovejas) (15 vacas. éste heredaba doble que la madre. VACAS. su modestia. madre=2x.. No hay solución. niña=x. 135. Niño=8 vacas. 66 ovejas) (10 vacas. CERDOS Y OVEJAS (2). Perelman)
. cobraba un salario más elevado que sus compañeros. había tomado en consideración todas las condiciones del problema. dólares. LOS ASPIRANTES AL PUESTO DE TRABAJO. niño=4x. Estos llegaron precipitadamente a la conclusión de que un aumento de 50 dólares cada semestre equivalía a otro de 100 dólares anuales. (En página 215-216 de Mat.050 21 año:575 + 575 = 1. pero aquél. Al nacer niño y niña mantengamos esta proporción entre los tres. 10x+3y+2(100-x-y)=100.300700 + 750 = 1.Jesús Escudero Martín
128. 136. 7 cerdos. 134. en la caja hay 3 arañas y 5 escarabajos.85 -
. Madre=4 vacas. 18 cerdos. ésta heredaba la mitad que la madre. El reparto fue así: Niña=2 vacas. y estudió las dos posibilidades de este modo: 150 de aumento anual50 de aumento semestral 1er año:500 + 500 = 1. Ni mucho menos. 10x+4y+100-x-y=200. 78. 11x+5y=200. 20x+6y+100-x-y=200. 9x+3y=100.250 3er año:650 + 650 = 1. 130. pues. 19x+5y=100. 132. CERDOS Y OVEJAS (1). 1 cerdo. 29 cerdos.450800 + 850 = 1. En realidad. 175 y 100 ptas. Recreativas de Y. Si nacía niña. CERDOS Y OVEJAS (3). VACAS. CURIOSA PARTIDA (2).000500 + 550 = 1. sino su despierta inteligencia. 7x=1. . 94 ovejas) 131. 42 y 24 reales.450 41 año:725 + 725 = 1. 150. CURIOSA PARTIDA (1).650 De esta forma se dio cuenta inmediatamente de que su sueldo excedería al de los otros en los años subsiguientes. VACAS. 4x+2y+1/3 (100-x-y)=100.150600 + 650 = 1. y como le correspondía por su cargo. Así.. 78 ovejas) 133. 200. x=1/7. ARAÑAS Y ESCARABAJOS. ya que el aumento anual que a él le correspondía siempre sería 50 dólares mayor que el de ellos. 4x+2x+x=1. (5 vacas. 325. en 50. NEGOCIO PARA TRES. CURIOSO TESTAMENTO. 129. 100. Hay que saber que las arañas tienen 8 patas y que los escarabajos tienen 6 patas. (5 vacas. 5x+2y+2(100-x-y)=100.
LA BASE DESCONOCIDA.
. luego ninguno de los cuatro números es divisible por 5 ni por 10. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. 20) Dividir por 1001 de forma disfrazada. porque si fuera par.
147. ¿QUE NÚMERO SOY? El 1001 que en numeración binaria corresponde al 9. 138. 6=
17658 2943
. 438. PRIMERA ESCRITURA DEL CIEN. 219. lo que es imposible. Sea n el número desconocido.024 no acaba ni en 0 ni en 5. 144. 100 = 33x3+(3:3) 100 = 5x(5x5-5). etc. 9=
57429 6381
. 2b2+5b+3=136 ⇒ b=7. 8=
25496 3187
. Ya que n dividido por 2 da resto 1. 140. TODOS LOS PRIMOS. 3=
17469 5823
. Evidentemente los buscados son 6-7-8-9.CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. AÑO DE NACIMIENTO. 7 x 11 x 13 = 1001. Así: n+1=60. Obviamente debe dar el número de partida. 141. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. 5 y 6 es 60. 100 = 111-11. 100 = 5x5x5-5x5. Sea b la base desconocida.86 -
. n+1 es divisible por 2. porque P tiene los factores 2 y 5. 142. 7=
16758 2394
. 3. Sea mcdu es el año de nacimiento.000. DIVISIONES EXACTAS. las dos únicas operaciones que hacemos son: 10) Multiplicar por 1001 el número de partida. 657. 100 = (5+5+5+5)x5 146. n+1 es divisible por 3. n+1 es divisible por 4. Con 8 divisores el 24. P sería múltiplo de 4. Es decir. 5=
13485 2697
. 3. el producto sería mayor que 10.(m+c+d+u) = 999m + 99c + 9d que es múltiplo de 9. 5 y 6. Ahora bien. el mínimo común múltiplo de 2. 4. Con 7 divisores el 64. a) Termina en 0. abcabc = abc x 1001. 139. EL MENOR CON X DIVISORES. Luego solamente tenemos como posibles soluciones 1-2-3-4 y 6-7-8-9. 1000m + 100c + 10d + u .
abcabc 7x11x13
abcabc 1001
= abc.Jesús Escudero Martín
137. 143. 234 x 1001 = 234234 ⇒ 234234 : 1001 = 234. b) La cifra de las decenas es impar. 145. Luego n=59. ya que al dividir n por 3 da resto 2. Si los números fueran mayores que 10. De la misma manera. MENOR NÚMERO.
542.Jesús Escudero Martín
149.683.
.542.937 x 142.857. ALFA COMO PISTA. Es el número de barritas que se encienden en la calculadora en la formación de cada dígito. 1 = 5 = 3+ 8=
= 3–3+
3 3 + 3 3 3 3
3+3+3 3
3x3 + 3 3
6 = 3+3+3-3 = (3+3)x 9 = 3x3x
7 = 3+3+
10 = 3x3+
155. 100 = 7x7x(7+7):7+(7:7)+(7:7). SEGUNDA ESCRITURA DEL CIEN. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. CON 4 CINCOS. Ejemplo: 987. 100 = 444:4-4-4-4+(4:4). CURIOSA PROPIEDAD. desde el 0 hasta el 9. 159. Son algunos de los números de la ruleta.143 = 141077562569648991. El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142. 100 = 5x5x5-(5x5)+5-5+5-5. 151. .937..857. 1 = 5 = 5+ 8=
= 5-5+
5+5+5 5
5x5 .562. tal como se suceden en la rueda. 273=19. 100 = (99+99):(9+9)x9+(9:9) 153.569. 154.077. PRINCIPIO Y FIN.991 150. El 26 y el 27.937 : 7 = 141.. CON CALCULADORA MEJOR. 263=17. SECUENCIA QUE RUEDA.648. 100 = 66+(6x6)-[(6+6):6x(6:6)]. 2592 = 2592. ERROR MECANOGRÁFICO. 100 = 88+8+[8x8x8:8:(8+8)]. Números cuyos nombres empiezan y terminan con la misma letra.987.576.143 se puede obtener dividiendo el citado número de 9 cifras duplicado entre 7. Se ha obtenido así: 987. 152. 158.5
156.542.87 -
. 157. 100 = 22x2x2+2+(2x2x2)+2. 100 = 111-11+11-11. 100 = 333:3-(3x3)-3+(3:3).5 5
5-5 5 5!
5x5 + 5 5 5 5
7 = 5+ 10 =
5+5 5 5
9 = 5+5-
55 . CON 4 TRESES. Son los números del 0 al 9 escritos por orden alfabético.
Así entre A y C hay 1 (la B). entre A y D. cuando volvamos a coger hay que dejar al contrario los siguientes números en cada fila: 1-1-1 ó 2-2-0 ó 3-3-0 ó 4-4-0 ó 5-5-0 ó 3-2-1 ó 5-4-1 ó 6-4-2. SOND y SOND. 16 3 5 10 9 6 4 15 2 11 7 14 13 8 12 1 1 5 9 8 3 4
170. SUMA 24. 161.. ORDEN 3. NI EN UNA SEMANA. Noviembre y Diciembre.88 -
. Tachar los números cuyo nombre no tenga tres letras. SON PARIENTES. DE HOLA RAFFAELA EN TVE. SUMA 18. ORDEN 3. Después. 7-4-3 ó 7-5-2. 163. NUEVE CONSECUTIVOS. 2. . La estrategia ganadora es: Coger primero un número de cualquiera de las filas.. 6 7 5 6 6 6 6 5 7
. La estrategia ganadora es: . Son las últimas letras de los días de la semana.. DE ORDEN 4. 168...Jesús Escudero Martín
160. 162. 166. 167. 12 8 4 5 10 9 7 6 11 171. 6 7 2 169. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA. Cada palabra empieza con el nombre de una nota musical. EXTRAÑA PARTIDA DE AJEDREZ.. y así hasta las 14 que hay entre D y R. DE ORDEN 3. 164. VAYA CRITERIO. Septiembre. Octubre. 165. Así se consigue dejar al contrario para que elija: 6-53. El número indica la cantidad de letras que hay en el abecedario entre las dos letras que aparecen. TRES CONSECUTIVOS. LLEGAR A 50.
. 3. el montón pesaría: 10(1+2+3+. CON SÓLO DOS PESAS. Si todos los vasallos hubieran entregado piezas de 10 gr. La solución es. etc. lo que es siempre posible. dos del segundo. B. 177. D. COMPLETA 3x3... p=2n+1. siendo ahora 13 el tope superior: 3n+1=13. n=1. y 30 del trigésimo. el camino seguido para hallar la solución nos permite ver rápidamente cuál sería la combinación de pesas en cada caso. p=9. Por lo tanto: K=37. 175. b=1.. por tanto: 1. E.. . 173. C. Como el extremo de nuestro margen de medida es 40. p=27. n=4.. .. pondremos: 3n+1=40. CALCULA: A. p=2n+1. el resto es sencillo. Las tres restantes han de permitirnos pesar desde 1 hasta 13. para pesar ahora cualquier carga que valga p+x ó p-x (siendo x un número de 1 hasta n). 9 y 27 Kg. es el trigésimo. A COMPLETAR.. Es suficiente pesar un montón de monedas de oro formado por una pieza entregada por el primer vasallo. LAS PESAS DEL MERCADER.Jesús Escudero Martín
172. De la misma forma: 3n+1=4. 176.. 67 b K 73 67 + b + 43 = b + K + 73 = 3K. No tendremos más que repetir el razonamiento. que si tenemos un juego de pesas que nos permita pesar desde 1 hasta n. tres del tercero. LAS 30 MONEDAS DE ORO. 67 1 43 61 13 37 43
31 73 7 Tiene la particularidad de estar compuesto sólo por números primos. Si faltan 30.. Incidentalmente. 10 pesada: Se reparten los 1.. Si falta 1 gr. Si faltan 2. aumentar el campo de pesada hasta 3n+1 Kg. Observemos primero. n=13.+30) = 10≅465 = 4650 gr. no tendremos más que poner el peso p en el platillo opuesto a la carga y añadir la combinación de pesas necesarias para compensar la diferencia x entre los dos platillos. puesto que con las primitivas pesas podíamos pesar desde 1 hasta n. podemos mediante una nueva pesa de p=2n+1 Kg. p=3. p=2n+1.
. Una vez visto esto.800 gramos en dos bolsas de 900 gramos cada una. es el segundo. Debiendo ser la cuarta pesa p=n=1. el culpable es el primer vasallo. pues equivale a pesar una carga comprendida entre 1 y n. 174. En efecto..
PROMEDIANDO. Hacemos tres grupos de nueve bolas. Hacemos tres grupos de nueve bolas.90 -
. Hacemos tres grupos de 27 bolas. = 40 km/h. es: T = D/2 + D/6 = 2D/3. LAS 27 BOLAS. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. 60.400 gramos. 180. = 120 km. LAS 81 BOLAS. llamando d a la distancia recorrida en cada uno de los viajes de ida y de vuelta. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada.Jesús Escudero Martín
20 pesada: Una bolsa de 900 gramos se reparte en dos bolsas de 450 gramos. La velocidad media: Vm = 2D/T = 3 km/h.
184. hubiera tardado 1 hora en el viaje de ida y 2 horas en el de vuelta. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. de ventaja por cada hora de viaje. AL CAMPO DE MERIENDA. durante la media hora que los Gómez estuvieron esperándole. A la velocidad de 60 km/h. El resto de las semillas pesa 1. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. 179. El coche de los Gómez le saca al de los Arias 10 km. 182. 30 pesada: Con las dos pesas se retiran 50 gramos de una de las bolsas anteriores y en ella quedan 400 gramos. Hacemos tres grupos de tres bolas. ENGAÑANDO A LA BALANZA. El tiempo empleado en subir será D/2 y en bajar D/6. 178. LAS 9 BOLAS. El total.. En general. partamos del supuesto que fuese de 60 km. 64 y 65 kilos. por lo que la velocidad media sería: v = (60+60) km. 181. el coche de los Arias recorre 30 km. Las niñas pesan 56. por consiguiente. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos. Hacemos tres grupos de tres bolas. Hacemos tres grupos de tres bolas. UN ALTO EN EL CAMINO. el tiempo total de viaje sería: t = y la velocidad media: v = 2d :
40d d
= 40 km/h. : 3 h. Como no sabemos le distancia recorrida. 58.
. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. 183. Llamemos D a la longitud de la cuesta. : (1+2) h. En este caso.
187. de cualquier fuerza y dirección con tal de que permanezcan constantes. Lado del rombo = 9 m.91 -
. éste no es el caso.A.BA. 10B + A . = 210 km. tal parámetro carece de importancia en este problema. Tienen la misma área.10B . 185. EL LADO DEL ROMBO. pues en cada hora conseguía la ventaja de 10 km. Madrid estaba a 210 km. para lograrlo ha de bajar en un tiempo cero. son iguales en longitud. 5. Sin embargo.Jesús Escudero Martín
Estos 30 km.10A . Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectángulo. 186. A. ¡sería descender en tiempo nulo! Al principio puede parecer que habrá que tener en cuenta las distancias recorridas al subir y bajar la ladera. el coche de los Gómez tuvo que circular durante 3 horas. Basta recordar que todo triángulo rectángulo puede inscribirse siempre en un círculo cuyo diámetro CB=a=10 es la hipotenusa.
. pues el tiempo durante el cual la velocidad del avión se incrementa es menor que el tiempo durante el cual sufre retardo.AB = A0B . 106. 61. Como el viento aumenta la velocidad del avión en la mitad del recorrido en la misma cantidad en que la disminuye en el trayecto de regreso. B=6. 4. TRIÁNGULOS ORIGINALES. Desea descender con tal velocidad que su velocidad media en el recorrido de ida y vuelta sea doble que la primera. El tiempo total de vuelo con viento. el trayecto fue de: 70 km/h. 188. EL BÓLIDO Y LOS TRES MOJONES. Como es obvio. así que AM=radio=5.B = 100A + B . no hay forma de que su velocidad media pase de 5 km/h a 10 km/h. con una cierta velocidad. EL ESQUIADOR FRUSTRADO. Para conseguirlo tendría que hacer dos veces la distancia primitiva en el mismo tiempo que invirtió en el ascenso. x 3 h. Los números que llevan los mojones son: 16. representan la ventaja total de un coche sobre otro. Sin embargo. EL AVIÓN Y EL VIENTO. Por tanto. es siempre mayor que si no hubiera viento. 190. Como esto es imposible. Velocidad del bólido: 45 Km/h. Cuesta creerlo. resulta tentador suponer que el tiempo total invertido en el viaje de ida y vuelta no sufrirá modificación. diferente de 0 no puede ser sino 1. Para obtenerla. de distancia de la primera parada. 189. Por lo tanto. así que el efecto total es de retraso. Ambos pueden dividirse por la mitad para dar lugar a dos triángulos 3. EL VALOR DE LA MEDIANA. BA . pero la única forma de que el promedio de subida y bajada alcanzase los 10 km/h. El esquiador asciende una cierta distancia.
Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ. y como hay tres rectángulos mientras que la línea continua no tiene más que dos extremos. no. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN. ya que si no. 60Ε. EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES. Puesto que es isósceles: B = C = Por lo tanto: x= 180°-C = 180 . la respuesta es 8 cm.A 2
= 65°.Jesús Escudero Martín
191.92 -
. Basta observar que se trata de un triángulo equilátero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara. obtenemos los puntos R y S.
180° . Como cada vez que se cruza un segmento se pasa de dentro a fuera del rectángulo o viceversa. El problema no tiene solución. surge la respuesta. cada uno de los tres rectángulos mayores de la figura tiene un número impar de segmentos. en los vértices inferiores
194. quiere decirse que en los tres debe de haber una terminación de la línea en su interior para que la línea cruce el número impar de segmentos una sola vez. EL CRUCE DE LA RED. EL RADIO DEL CÍRCULO. Todo vértice en el que concurren un número impar de líneas ha de ser comienzo o fin del trazado. Dado que la diagonal de 8 cm.
192. GOLPE DE VISTA. 196. En efecto. EL ÁNGULO EXTERIOR. Aunque el segundo parece el más complicado de dibujar. por cada entrada ha de haber un salida. la realidad es que puede dibujarse en las condiciones estipuladas.65 = 115°. MN = 6 centímetros. En la segunda figura. tiene la misma longitud que el radio del círculo. la solución del problema es imposible. El primero en cambio.
193. DIBUJANDO SOBRES.
Los triángulos ABC y CDE son iguales. En total hay 30. SEIS FILAS. LOS SEIS PALILLOS. TRES MONEDAS. CUADRADOS QUE SE CORTAN. En los vértices poner dos monedas. 198. los ángulos 4 y 5 miden 20Ε cada uno. 207. 208. Por tanto el ángulo 7 mide 40Ε.
. 202. El ángulo 2 mide 20Ε. luego uno puede ser comienzo y el otro fin del dibujo. 203. S=1. 199. NUEVE ÁNGULOS. Colocar una moneda cualquiera encima de otra. EN 4 PIEZAS IDÉNTICAS. pues el ángulo total abarca el diámetro. SEIS SOLDADOS. Por tratarse de un triángulo isósceles (dos lados son radios) los ángulos 4 y 5 son iguales. 16 + 8 + 4 + 1 = 30. A=1. 21978 x 4 = 87912. SEÑAL DE SOCORRO. Los 16 pequeños.
200. 205.Jesús Escudero Martín
ocurre esto. LAS DOCE MONEDAS. 209. el ángulo 6 mide 140Ε. 8+P=13 La suma completa es 518 + 813 = 1331. R=8. De la segunda. Formar un tetraedro. 206. 3 y 4 es 90Ε. (Ver figura) En el primer sobre son cuatro los vértices en los que concurren un número impar de líneas. 4 de nueve pequeños cada uno y el envolvente. A+A+1=S. una encima de la otra. 201. El área comprendida entre ambos siempre es la cuarta parte de la de un cuadrado. 197. 91+10=101. La suma de los ángulos 2. el ángulo 7 mide 50Ε y los ángulos 8 y 9 son rectos. DOS FILAS. 204.93 -
⇒ P=5. 332364 + 483455 = 815819. FACILÓN. ÚNICA SOLUCIÓN. ⇒ S=3. I=9. MUCHOS CUADRADOS. Y el ángulo 7 es igual a dos veces el ángulo 4. Formar un hexágono. De estas dos condiciones se obtiene que la suma de los ángulos 2 y 4 es igual al ángulo 7. S+R=11. 9 de cuatro cuadrados cada uno. es imposible dibujarlo en las condiciones propuestas. De donde el ángulo 2 es la mitad del ángulo 7. PARA PRINCIPIANTES.
. como no puede haber más que un fin y un comienzo. De la primera columna O=0. LOS SEIS CUADRADOS. Formar un cubo.
222. 132234 + 244693 = 376927. 317 + 173 + 305 = 795. Hay otra solución más larga (que precisa de 22 minutos en total). al mismo tiempo que echamos el huevo en el agua hirviente. de modo que después de veinte horas estará una hora adelantado. SUMA FÁCIL. le damos la vuelta (han pasado 4
. Se ponen a contar los dos relojes a la vez. Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos. SONÓ EL DESPERTADOR. Así. 218. 213. Se ponen a contar los dos relojes de 7 y 11 minutos. OTROS DOS RELOJES DE ARENA. Las 5 y 15. Casi todo el mundo dice que 11 veces. 217. LOS DOS RELOJES. OTRO MUY FACILÓN. Entonces le damos la vuelta otra vez al reloj de 7 minutos. mientras que el horario tarda 45 minutos. DOS RELOJES DE ARENA. Mi tío durmió solamente 40 minutos. échele un vistazo a su reloj. Se ponen ambos en marcha simultáneamente y. 314524 + 231043 = 545567. 53161 . 215. obliga a dar dos vueltas a uno de los relojes.94 -
. pero la solución correcta son 10. Si no le parece cierto. 325324 + 526142 = 851466.21417 = 31744. le damos la vuelta. 220. 211. Si un reloj de pared tarda 5 segundos en dar las 6. 221. 212. Al agotarse por segunda vez la arena de este reloj habrán transcurrido 15 minutos.Jesús Escudero Martín
210. le damos la vuelta y esperamos a que se agote el de 11. es que los intervalos entre campanadas son de un segundo. OTRA SUMA FÁCIL. Aunque la solución anterior es la que menos tiempo requiere. pero más sencilla en el sentido de que sólo es necesario voltear una vez uno de los relojes. 216. El minutero tarda desde aquí 15 minutos en llegar al número 6. EL RELOJ DE CUCO. Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos. transcurridos los primeros 7 minutos se inicia la cocción del huevo. Cuando se agote la arena en el reloj de 11 minutos. en dar las 12 tardará 11 segundos. MUY FACILÓN. Cuando se agote también la arena habrán transcurrido 15 minutos. OJO AL MINUTERO. 214. Uno de los relojes se adelanta tres minutos con respecto al otro por cada hora. 219. OTRA SUMA FÁCIL. EL MINUTERO TRES VECES MENOS. A LAS TRES Y DIEZ. 35º.
16). no conviene exagerar. GÓMEZ. 1+9+8+1=19. Se instaló en Madrid a los 57-34=23 años. SUEGRA FENOMENAL. CARLOS EN EL AÑO 2.. Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos. Le damos la vuelta una vez más. ¿QUIÉN ES ANTONIO? Su hijo. 231. Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos. LA FAMILIA DE CARLOS. LA EDAD DE MI HIJO. Cuando se termine la arena. LA EDAD DE JUAN. nunca múltiplo de 3 más 2. Se casó a los 234=19 años. Es cierto que caben otras soluciones. MI HERMANO Y YO. un cuadrado será múltiplo de 3 o múltiplo de 3 más 1.4. Como el mcm(2. HIJO DE LA HERMANA DE MI MADRE. 229. Edades actuales: (7.). Sea x la edad del padre. Sea ab la edad de Víctor. Así: 25 es la edad del padre y 25/6=4 años y 2 meses la edad de Juan. 223.6. Dentro de un año.000.11. el reloj de 7 minutos ha funcionado durante 1 minuto. LAS MENINAS. 233.95 -
.. Padre 45 años.3. Nació en 1892. 15=45/3. Nació en 1953. QUIÉN ES MAYOR? Son mellizos y tienen 6 años. Se tendría: a2 = 3b2 + 26 = 3n + 2. Murió a los 18 años. 3. LA EDAD DEL SR. le damos la vuelta (han pasado 7 minutos). pero implican para el padre edades superiores a 144 años. 224. 15-7=8. Nació en 1981. Edades hace 3 años: (4. Primo. (k=6. pues hubiese engendrado el hijo después de 120 años y. 15-5=10=4x40 230. 227.15). 7 y 13 años. 6+3=9=3x3. 235. ababab = ab0000 + ab00 + ab = 10101 x ab = 1 x 3 x 7 x 13 x 37 x ab. 8x2=16. Edades dentro de un año: (8.
. Hijo 15 años. Carlos tiene 39 años. tenía 44 años en el año 442=1936.. Mi madre. por segunda vez le damos la vuelta (han pasado 8 minutos). 226. 4x3=12. POBRE PÍO. No existe solución. han transcurrido los 9 minutos.12). 225.Jesús Escudero Martín
minutos). su mujer 37 y sus hijos 1. Prueba: 6+2=8=2x4. 19 años. 232. 228.8)=24 ⇒ x = 24k+1 = 25h (h entero) que se cumple para k=1. 234. LA EDAD DEL CAPITÁN. Pero. lo que las excluye.
TRES BOLAS. p(11) = 1/3. Cuatro. SILENCIO. su madre y su abuela. LOS HERMANOS DE LA FAMILIA. 242. Luego los tres tienen la misma probabilidad. 245. 237. Yo. Los personajes son: una hija. 244. REGALAR CULTURA. De su padre. PARTIDAS DE AJEDREZ. 248. 240.Jesús Escudero Martín
236. De su hijo. Tú. 249. El galgo. Más bajo. OTRA VEZ CARLOS Y LA FOTO.
. 250. P(2 de 4) = 6/16 P(3 de 6) = 20/64 = 5/16. 243. separó 7 para dárselos a su hija. 247. 241. p(21) = 2/3·1/2 = 1/3.96 -
. 246. LOS CUATRO PERROS. HERMANA DE MI HERMANA. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. 239. Ocho. LAS HERMANAS. HERMANDAD. CARLOS Y LA FOTOGRAFÍA. En coche. HIJO DE TU PADRE. p(31) = 2/3·1/2·1 = 1/3. LA NOTA MEDIA. LOS CUATRO ATLETAS. 238. B-C-D-A. Luego es más probable ganar dos de cuatro partidas. Teresa tiene tres hermanos más que hermanas. De los 25 libros que la madre recibió de la abuela. Porque las sobrinas de Marta son precisamente las hijas de María.
Marcombo. Barcelona. . con ellos? Marcombo. (1982) Mataix. I. . Barcelona. M.Magia matemática. Alianza.Cajón de sastre matemático. Marcombo.Juegos de recreación mental para los muy intelig.Fácil. .Nuevos divertimientos matemáticos. M. Alianza.Divertimientos lógicos y matemáticos. Barcelona. Barcelona. (1976) Holt. M. Lábor. Alianza. Marcombo. (1987) Guzmán. M. Gedisa. M. (1988) Holt. M. . (1987) Corbalán. Madrid.Matemáticas recreativas 2. . Barcelona. M. Barcelona. (1985) Mataix. Barcelona. M. Martínez Roca. M.Festival mágico-matemático.Matemáticas mágicas. . Barcelona. M.Carnaval matemático. Barcelona.¡Ajá! Paradojas que hacen pensar. . Barcelona. Marcombo. (1980) Gardner..Circo matemático. J.¡Ajá! Inspiración ¡Ajá! Lábor. . (1980) Gardner. . Ilustraciones.Ruedas vida y otras div. M.Nuevos juegos de ingenio y entret. . Barcelona. M. . Gedisa. (1979) Mataix.Juegos matemáticos para secundaria y Bach. Barcelona. F.Mirar y ver. P. R. M. M.¿Se atreve Vd. (1981) Gardner. Marcombo. Barcelona. . de . Marcombo. Marcombo. Gedisa. M. (1983) Gardner. . . .Nuevos pasatiempos matemáticos. matemáticas. . Barcelona. N. . (1981) Mataix. M. (1989)
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