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Timestamp: 2018-07-17 00:39:27+00:00

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Description: Marco Teórico del Seminario de Título, Propuesta Metodológica sustentada en la Teoría Cognitiva para el aprendizaje del significado de la Multiplicación en 3° año básico.
Marco Teórico del Seminario de Título, Propuesta Metodológica sustentada en la Teoría Cognitiva para el aprendizaje del significado de la Multiplicación en 3° año básico.
SOCIEDAD ACTUAL Y EDUCACIÓN.
Es evidente que la sociedad ha estado en constantes cambios y avances, en la actualidad ésta se encuentra caracterizada por los continuos adelantos científicos y tecnológicos, además de una globalización tanto económica como cultural. Producto de estos constantes progresos, la sociedad en la actualidad cuenta con una gran expansión de comunicación y sobre todo de información que día a día se nos ofrece y que está al alcance de todas las personas. Es así como la tecnología nos brinda información que se encuentra en todas partes, ya que, lo que está ocurriendo en una parte del planeta es comunicado al mundo entero, por ello hay un creciente conocimiento cultural que permite que la información y los nuevos conocimientos sean más asequibles y lleguen con mayor rapidez a la sociedad en general. Asimismo, es esta tecnología actual en nuestra sociedad, la que permite que se nos ceda o venda la información “como un elemento accesible, que se puede poseer, que da poder, que da conocimiento”1. Todas estas características conducen a que la sociedad sea denominada Sociedad del Conocimiento, puesto que tiene la capacidad de crear, adaptar, y usar el conocimiento para satisfacer las necesidades que se le presentan en el diario vivir e ir de esta manera construyendo el futuro, transformando esta creación y adaptación del conocimiento en un instrumento al cual la sociedad le va dando un adecuado uso y beneficio que son permanentes. Por ende la sociedad del conocimiento se convierte en un lugar donde; “el auge del trabajo mental no se extinguirá”2. Esto demanda en las personas ciertas habilidades y competencias como resolver problemas, tener una mayor toma de decisiones y autonomía, y poseer la capacidad de adaptarse continuamente a los nuevos requerimientos que van surgiendo. En este mismo sentido, la educación tiene como objetivo lograr el
http://www.educalibre.cl/node/584 TOFFLER, Alvin y Heidi.La creación de una nueva civilización; la política de la tercera ola. Plaza y Janes Editores S.A. 1995.49p.
desarrollo de toda la potencialidad de cada individuo que llegará, así, a transformarse en una persona integrada a la sociedad, con intereses propios y en permanente evolución autónoma. Por lo anterior, la educación cumple un rol fundamental, pero también es quien integra las nuevas tecnologías de la información con la cultura, colocándolas al alcance de las personas y dándole un enfoque que permita que los alumnos aprendan y conozcan de manera equilibrada los nuevos conocimientos que se van dando en la cotidianidad y entregando las herramientas necesarias para que se desenvuelvan y sepan desarrollar habilidades que les ayudarán a convivir en sociedad. Es la educación la instancia en que las personas pueden socializar e
integrarse, este es el papel de la educación en la actualidad. Además de entregar conocimientos y transmitir la información que llega de todas partes y que permite estar en constantes avances y mejoramientos en la calidad de vida de las personas, también da la instancia para que los alumnos desarrollen capacidades que le permitan manejar y darle un adecuado uso a todos los conocimientos y filtrar de manera correcta la información con la que se encuentra todos los días. Motivo de los múltiples cambios que a experimentado la sociedad es que la educación, también ha dado giros importantes, teniendo que situarse al alcance de ésta para satisfacer a las nuevas exigencias y necesidades. A causa de estas transformaciones, la educación ha debido resguardar que la información sea entregada en forma correcta y asertiva a los miembros de la sociedad, pero al mismo tiempo esta información debe ser comprensible, pues el conocimiento no es útil si sólo se posee y no se comprende.
Esquema N°1: Sociedad y Educación
El esquema muestra como la sociedad y la educación han ido avanzando, creando esta sociedad del conocimiento, que exige cambios. Por esto la educación en la actualidad a dado grandes mejoras, ha debido reformarse y renovarse totalmente en todos sus aspectos y dimensiones para dar respuestas que satisfagan los nuevos requerimientos que implican los cambios que ha experimentado la sociedad.
La educación chilena ha sufrido grandes cambios sociales, por lo que ha sido necesario reformar los principios educacionales para minimizar el desfase entre la educación y la sociedad. Desde los años sesenta, el objetivo principal de la reforma educacional chilena fue ampliar la cobertura de la educación básica y media, lo que ha significado que nuestro país ha cubierto de forma progresiva esta carencia de cobertura que se manifestó en años anteriores. Al aumentar la capacidad de cobertura educacional en Chile, van cambiando las prioridades de las políticas educativas. El centro de los intereses y objetivos educacionales ya no son los mismos, es decir, son un “paso desde núcleo puesto en insumos de la educación y aumento de la cobertura, a los procesos y resultados de aprendizaje como núcleo”3. Es así como en el gobierno de del Presidente Eduardo Frei Ruiz-Tagle se dio inicio a grandes cambios en el ámbito de la educación en el país, donde la calidad y la equidad son el gran objetivo. “En 1996, el presidente convoca a un proceso de Reforma Educacional que, junto con reafirmar las iniciativas y programas en marcha, agrega otros para lograr de ese modo un conjunto integral de cambios”4 Al centrarnos en el aprendizaje, este debe ser de calidad, esto significa dejar de lado aquellos aprendizajes repetitivos, mecánicos, sin comprensión y sin sentido para reemplazarlos por “requerimientos formativos, cognitivos y morales, distintos; se trata menos de aprender cosas y más de desarrollar capacidades y destrezas de aprendizaje (aprender a aprender, aprender a pensar, aprender a resolver problemas); menos de inculcar valores y más de incrementar Ia capacidad moral para discernir entre valores”5.
GARCIA-HUDOBRO, Juan Eduardo. La reforma Educacional Chilena. Madrid, Editorial Popular, 1999.27p 4 www.eclac.org/publicaciones/xml/8/19298/lcg2130e_5.pdf 5 GARCIA-HUDOBRO, Juan Eduardo. La reforma Educacional Chilena. Madrid, Editorial Popular, 1999.27p 8p
La Reforma se caracterizó por ser gradual, incremental y flexible a los cambios, “es una reforma que pretende afectar paulatina y en forma global todas las dimensiones del sistema: las formas de enseñar y aprender, los contenidos de la educación, la gestión de los servicios educativos, los insumos tanto de materiales educativos (biblioteca, informática educativa) como de infraestructura escolar, el financiamiento del sector, así como el mejoramiento sostenido de las condiciones de trabajo de los docentes”6 es por esto que la reforma no se identifica con un solo pilar que permita reconocerla como tal, puesto que para producir estas modificaciones se basó pilares fundamentales, los cuales son: • • • • Programas de mejoramiento e innovación pedagógica. Desarrollo profesional de los docentes. Jornada escolar completa (JEC). Reforma Curricular. en cuatro
Esquema N°2: Reforma Educacional
Continuos Adelantos
Programas de mejoramiento e innovación pedagógica
En el esquema se visualiza como la sociedad y la educación evolucionan a partir de continuos avances científicos y tecnológicos, por lo que surge la Reforma Educacional Chilena, en la cual se consideran cuatro pilares y entre ellos como pilar fundamental la Reforma Curricular, ya que es ésta la que propone los grandes cambios en el área pedagógica, particularmente en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los distintos sectores de aprendizaje.
La Reforma Curricular se genera en medio de un debate y preocupación por los desafíos que los procesos modernizadores y la globalización generan al sistema educativo. “Los cambios que se están produciendo en el contexto social impactan al sistema educativo, el cual, a su vez, ha estado experimentando transformaciones significativas a su interior”7. Tomando en cuenta estos procesos que son propios de la globalización, es necesario destacar que uno de los objetivos e ideas fuerzas de la Reforma Curricular se manifiesta en la manera que “los contenidos educativos son reconceptualizados superando la concepción lineal informativa y reproductiva del aprendizaje y adhiriendo a otra de corte socio-constructivista basada en el aprendizaje significativo, es decir en la construcción del conocimiento”8, permitiendo así el desarrollo cognitivo, es decir, desplegar la capacidad de pensar y razonar. Por lo anterior, el sistema educacional chileno se adapta a los cambios y aportes educacionales constantes de nuestra sociedad. En efecto, al centrarnos en la reforma curricular nos introducimos en un contexto pedagógico que planea amplias transformaciones en este ámbito. Es así como la reforma curricular, bajo la mirada de Bárbara Eyzaguirre (1999), plantea un conjunto de disposiciones que representan las acciones principales, la cuales pretenden “focalizarse hacia el conocimiento generativo, destacar la importancia del esfuerzo, respetar los principios mínimos del proceso de enseñanzaaprendizaje, presentar a los profesores las nuevas técnicas educativas con sus pros y contras, crear un banco de programas de estudio y diversificar la ofertas de textos escolares”9. Todas estas iniciativas enunciadas anteriormente, apuntan hacia un cambio global y profundo para mejorar la calidad y la equidad de la educación en el país.
http://www.piie.cl/secciones/actividades/proyectos/reforma_curricular.htm Reforma curricular y contenidos educativos, 1p. 9 www.cepchile.cl/dms/archivo_1577_389/rev76_eyzaguirre.pdf - Una mirada a la reforma curricular, Bárbara Eyzaguirre, 293p
Luego de haber señalado este conjunto de disposiciones, es necesario dar a conocer de qué se trata cada una de estas medidas. La primera iniciativa apunta hacia el conocimiento generativo, el cual pretende que los educandos exploten y aprendan que resumen el habilidades y contenidos éstos fundamentales son: y “retención activo para de de desenvolverse en nuestra sociedad. Según David Perkins, hay tres objetivos conocimiento de generativo, conocimientos, comprensión conocimientos uso
conocimientos”10. Estos tres propósitos construyen el conocimiento de forma activa y funcional ayudando a los individuos a que desarrollen su vida en el mundo. Posteriormente, la segunda medida persigue destacar la importancia del esfuerzo en el sistema educativo chileno. Éste se entiende como “horas de estudio independiente, insistir cuando no se encuentra la solución inmediata, buscar otros caminos si el elegido no lleva a la comprensión, destinar tiempo para dar tutorías a los alumnos lentos”11. Esta idea del esfuerzo adquiere gran relevancia al momento de que los estudiantes se enfrentan a los desafíos que trae consigo la tarea de aprender en las escuelas chilenas. No obstante, en el país hay realidades en las que no se asume el esfuerzo como herramienta para el progreso de los aprendizajes. En consecuencia, es necesario brindar gran cantidad de oportunidades de aprendizaje, que sean cognitivamente desafiantes. La tercera medida tiene la finalidad de respetar los principios mínimos del proceso de enseñanza-aprendizaje, esto refleja que las propuestas dadas por el Ministerio de Educación, se han dirigido a transformar las prácticas pedagógicas. En otras palabras, el acento se ha colocado en cambiar las prácticas eminentemente unidireccionales de los profesores, en ampliar el repertorio metodológico de los maestros y en presentar teorías hasta ahora poco difundidas en Chile. Además los programas de estudio del MINEDUC cumplen un rol fundamental, puesto que proponen una amplia diversidad de actividades que van más allá de las clases frontales y tradicionalistas.
Ibíd. 269p www.cepchile.cl/dms/archivo_1577_389/rev76_eyzaguirre.pdf - Una mirada a la reforma curricular, Bárbara Eyzaguirre. 283p
Efectivamente, “muchas de ellas ayudan a la comprensión y construcción de conceptos; otras ayudan a la ejercitación no mecánica; otras favorecen la transferencia de conocimientos a otros campos; otras están dirigidas a vivenciar y a hacer significativas las materias; otras a visualizar las implicancias de ciertos conceptos; otras a reflexionar sobre los propios procesos cognitivos; otras a desarrollar la motivación por los temas o el sentido de ser competente y el sentido de pertenencia”12. Esta medida de manera general, busca renovar las prácticas pedagógicas con el fin de minimizar el uso de las metodologías tradicionales que no permiten la participación activa y el desarrollo cognitivo de los alumnos y la innovación en las actividades de los profesores. La cuarta medida, es presentar a los profesores las nuevas técnicas educativas con sus pros y contras, esto indica que lo principal dentro de un marco de profesionalización implica “manejar mucha información e integrar información contradictoria”13, sobre materias pedagógicas que influyan en los espacios de reflexión y aprendizaje que experimentan los docentes. La última medida, es crear un banco de programas de estudio y diversificar las ofertas de textos escolares, esto busca desarrollar una autonomía curricular que permita que los establecimientos educativos construyan sus propios planes y programas que sean más pertinentes a las realidades educativas del país. Por otra parte, los textos escolares desempeñan una gran labor educativa que no deja de ser importante, ya que contribuyen en gran medida a especificar el currículo. En este sentido, es importante destacar que “el estado desde 1992 distribuye 3 libros para cada niño de primero a cuarto grado (lenguaje, matemáticas y texto integrado de ciencias naturales y sociales), y 4 libros para cada niño del quinto al octavo grado (lenguaje, matemática, ciencias sociales y ciencias naturales), para un 100% de la matrícula que asiste a escuelas subvencionadas, tanto Municipales como particulares. Lo señalado supone distribuir más seis millones de textos al año, lo que ha implicado casi triplicar la inversión promedio de los años ochenta en este rubro”14.
Ibíd. 287p www.cepchile.cl/dms/archivo_1577_389/rev76_eyzaguirre.pdf - Una mirada a la reforma curricular, Bárbara Eyzaguirre . 290p 14 GARCIA-HUDOBRO, Juan Eduardo. La reforma Educacional Chilena. Madrid, Editorial Popular, 1999, 49p
Tomando en cuenta lo anterior, la primera exigencia que propone abordar esta reforma, consiste en actualizar los contenidos y objetivos de la educación preescolar, básica y media, “considerando que los planes y programas vigentes habían sido elaborados a principios de los años 80”15.La segunda pretensión radica en impulsar una educación de calidad, que incorpore los más recientes avances en pedagogía, y actualice los programas de estudio de acuerdo con las necesidades del nuevo siglo. Por último, esta reforma aspira a introducir un nuevo procedimiento basado en la descentralización para idear el currículum escolar, esto quiere decir que los establecimientos cuentan con la libertad de crear sus propios planes y programas de acuerdo a sus propias necesidades. “Los programas de estudio pueden ser elaborados por los colegios, aunque la gran mayoría –tal como se esperaba- en una primera etapa han utilizado aquellos preparados por la Unidad de Currículum del MINEDUC”16 2.1.1. Visión Histórica de los Planes y Programas.
Los Planes y Programas utilizados antes de la reforma, consideraban solamente Objetivos Generales y Específicos en los cuales el profesor debía basarse para la enseñanza de la Matemática. En el año 1996, el Decreto Nº 40, establece objetivos fundamentales y contenidos mínimos obligatorios para la educación básica y fija normas generales para su aplicación. La LOCE (Ley Orgánica Constitucional de Enseñanza), en una de sus artículos instauró que debían establecerse los Objetivos Fundamentales de cada uno de los años de estudios de la enseñanza básica y de la enseñanza media, así como los Contenidos Mínimos Obligatorios que faciliten el logro de los citados Objetivos Fundamentales. En 1999, el Decreto Nº 240 modifica al Decreto Nº 40, debido a la creación de un nuevo régimen de trabajo escolar denominado Jornada Escolar Completa Diurna, por lo que es necesario introducir modificaciones en la Matriz
www.eclac.org/publicaciones/xml/8/19298/lcg2130e_5.pdf www.eclac.org/publicaciones/xml/8/19298/lcg2130e_5.pdf -
Curricular Básica de todos los niveles de la Enseñanza Básica, con el fin de ajustar los tiempos establecidos en ella a dicho régimen, como también en los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de 5º año (NB.3), 6º año (NB.4), 7º año (NB.5) y 8º año (NB.6), teniendo presente la articulación y secuencia que debe darse entre un nivel y otro y, en el caso de los de 8º año, entre los niveles de enseñanza básica y media. Después de seis años de aplicación de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios establecidos por el decreto Nº 240, se ha considerado necesario modificar a través del Decreto Nº 232, los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de los Subsectores de Aprendizaje: Lenguaje y Comunicación y Educación Matemática, correspondientes a los niveles NB.1 (1º y 2º año) y NB.2 (3º y 4º año) de la Enseñanza Básica; ya que dichas modificaciones definen con mayor precisión y especificación los objetivos y contenidos de esos subsectores, de modo de proporcionar orientaciones claras a los docentes sobre los aprendizajes que deben alcanzar los alumnos y alumnas en este ciclo. Para avanzar hacia una enseñanza efectiva en el marco de una reforma curricular y pedagógica, se requiere de recursos curriculares y didácticos que sirvan de referentes y que modelen el cambio esperado. Para lograrlo el Ministerio de Educación ha aprobado los programas de estudio, los cuales corresponden a “un instrumento o documento oficial que presenta los objetivos y contenidos de los sectores de aprendizaje registrados en el plan de estudio, en forma articulada y graduada. Generalmente presenta también las estrategias metodológicas que posibilitan alcanzar los objetivos establecidos”17.
Presentación del Programa de Educación Matemática NB2
En NB2, el aprendizaje de las matemáticas se basa fundamentalmente en los aprendizajes que los alumnos han logrado durante el Nivel Básico 1. “A partir de ellos y de las nuevas experiencias acumuladas por niños y niñas en su
http://www.cse.cl/public/Secciones/SeccionMundoEscolar/Mundo_Escolar_Programas_de_Estudio.aspx
interacción permanente con el mundo natural y social que les rodea, se van generando nuevos conocimientos y fortaleciendo y ampliando las habilidades y destrezas que se han venido desarrollando, desde el nivel parvulario, en el mundo de los números, operaciones y formas”18 El Programa de estudio de 3º año básico, además de poseer los componentes que se muestran en el esquema, está organizado en dos semestres, en cada uno de los cuales se abordan los cuatro ejes de este subsector en torno a un tema articulador que favorece la integración entre sectores curriculares. Estos ejes son: • • • • Números. Operaciones aritméticas. Forma y espacio. Resolución de problemas.
Planes y Programas de Educación Básica. http://www.curriculum- mineduc.cl/docs/fichas/3b03_matematica_.pdf
Esquema Nº 3: Programa del Subsector de Educación Matemática NB2 (Tercer y Cuarto básico)
PROGRAMA MATEMÁTICA NB2 (3º y 4º
El esquema presenta la disposición de los componentes generales de los planes y programas y de manera particular, los cuatro ejes de los temas articuladores de este subsector. En el eje Números, se considera fundamental que los niños y niñas comprendan que los números que ellos aprenden en la escuela son aquellos números que continuamente están viendo y usando en la realidad; se amplía el rango numérico hasta el millón; se incorpora la recta numérica y la comprensión del sistema decimal; se aplican en este contexto relaciones a partir de lo que se conoce y lo nuevo; se llevan a cabo relaciones entre el sistema de numeración decimal y el sistema monetario nacional y los sistemas decimales de medida de magnitudes; se integra en este nivel la composición y descomposición multiplicativa y aditiva; se promueve el desarrollo de habilidades tales como estimar, redondear y comparar, aplicables tanto a conjuntos de objetos como a mediciones de diversas magnitudes; se introducen las fracciones, el sentido de la cantidad y el trabajo con tablas. En el eje Operaciones Aritméticas se amplía el uso de las operaciones aritméticas de adición y sustracción a los nuevos rangos numéricos y se plantean situaciones problemáticas variadas que implican el uso de combinaciones de dichas operaciones; se profundizan y amplían las habilidades de cálculo mental y en cuanto al cálculo escrito, se incorpora el empleo de algoritmos resumidos en ambas operaciones; se introduce el uso de la calculadora para efectuar adiciones y sustracciones a fines del tercer año para resolver situaciones problemáticas y desarrollar el razonamiento lógico; se incorporan las operaciones de multiplicación y división asociadas a situaciones de proporcionalidad, arreglos bidimensionales, reparto equitativo y por agrupamiento, haciendo especial énfasis en la relación de reversibilidad que existe entre ellas; se van incorporando aprendizajes de procedimientos de cálculo de tipo mental y escrito, que se van graduando a lo largo de los diferentes semestres para finalizar con los procedimientos resumidos habituales. Culmina el trabajo en el ámbito de las operaciones con un estudio
comparativo de las características o propiedades asociadas a cada una de ellas y las relaciones que existen. En el eje Formas y Espacio se estudian las formas triangulares; se determinan sus características más relevantes; se establece una clasificación de las mismas y se dibujan y construyen empleando diversos medios. El estudio de las traslaciones y reflexiones se inicia en 3° Básico y en 4° Básico se complementa con rotaciones, ampliaciones y reducciones. Se inicia el estudio de la ubicación de posiciones y trayectos en el tercer año y se profundiza en el cuarto año. El eje Resolución de Problemas atraviesa los otros ejes ya descritos, en él se ponen a prueba los conocimientos adquiridos y se enfatiza en el desarrollo de la habilidad para resolver problemas; se trata de hacer que niños y niñas comprendan el contenido de los problemas; determinen qué información se tiene y cuál se debe encontrar; sean capaces de construir procedimientos y/o utilizar (o adaptar) los procedimientos conocidos, escogiéndolos tanto en función de las características del problema como de sus propias capacidades, conocimientos, formas de razonamiento; encuentren una o varias soluciones, las verifiquen y evalúen en función de las hipótesis iniciales y puedan, a partir del problema resuelto, plantearse y resolver nuevas preguntas o situaciones.
De los ejes que conforman el programa de estudio de NB2 del subsector Educación Matemática, nuestra investigación se centra principalmente en el eje de operatoria, en donde el niño de forma constante se relaciona y utiliza las operaciones aritméticas, que deben tener para él un significado, que le permitirá atribuirle sentido a lo que efectúa, es decir, se busca “comprender el significado de las operaciones, saber aplicarlas y captar su funcionalidad, conseguir su mecanización”19. De esta manera, la multiplicación se organiza en un conjunto de características específicas que dan un esquema general de dicho conocimiento matemático. Este grupo de objetivos representan a la multiplicación “como significado de repetición, de reiteración de sumandos”20. Dentro de esta repetición de sumandos se localiza el signo (X) que significa las veces. En cuanto al proceso didáctico de iniciación a la multiplicación, José Antonio Fernández Bravo, en su artículo “La Enseñanza de la Multiplicación Aritmética: una barrera epistemológica” considera que se debe asociar a la palabra «veces» el signo «x», que se lee: «multiplicado por», y de forma abreviada «por». En consecuencia, relacionar que la palabra «veces» es igual a «x», ejemplo: 6 x 4, es igual a decir 6 veces 4. Aparte de este elemento representativo existen otras unidades que componen la multiplicación estas son: “multiplicando, multiplicador y producto y su situación espacial”21.
Esquema Nº 4: La Multiplicación
FERNANDEZ, Baroja Fernanda; LLOPIS, Paret Ana María; PABLO, Marco Carmen. Matemáticas básicas: dificultades de aprendizaje y recuperación, Madrid, Editorial Santillana, 1991. 200p 20 Ibíd.200p. 21 FERNANDEZ, Baroja Fernanda; LLOPIS, Paret Ana María; PABLO, Marco Carmen. Matemáticas básicas: dificultades de aprendizaje y recuperación, Madrid, Editorial Santillana, 1991. 200p.
PO R PRODUCTO
Multiplicado r
El esquema grafica la visión que se posee de la multiplicación, como operación aritmética, pero con la finalidad de entender el significado de multiplicación de manera más íntegra, precisaremos tres perspectivas distintas de ver esta idea matemática, las cuales son: Los problemas de isomorfismo de medidas: Hacen alusión a relaciones de la multiplicación sustentadas en las proporciones que se generan entre dos cantidades de diferente magnitud. Estos tipos de problemas se caracterizan porque “en ellos aparecen escrituras numéricas correspondientes a medidas de dos magnitudes distintas: bolsas y caramelos, peso de naranjas y dinero, botellas de leche y dinero, etc.”22.
Ibíd.161p
Ejemplo: Si una bolsa de caramelos trae 7 golosinas, ¿Cuántas golosinas tendré en 6 bolsas? Número de bolsas 1 6 Número de golosinas 7 ?
El cuadro representa el planteamiento del problema, considerando los datos que se presentan en el planteamiento y la incógnita que se debe despejar. Es así como el cuadro indica que si una bolsa de golosinas tiene 7 caramelos, hay que resolver la incógnita de cuántos caramelos habrían en 6 bolsas. Los problemas de producto de medidas: se sustenta en las relaciones multiplicativas que se generan en “dos campos de medidas (que podrían ser el mismo en algún caso) que se componen para conformar otro, mediante un proceso análogo al producto cartesiano”23. Ejemplo: Si tengo 2 floreros con 4 claveles cada uno ¿Cuántas flores tengo en total? FLORES 2 3 4 8
El cuadro presenta una resolución de multiplicación a partir de dos factores que conocemos, de los cuales debemos obtener el producto. En el caso del planteamiento de este problema debemos saber cuántas flores hay en total, por lo que se multiplica 2 x 4 y se obtiene el resultado de 8. Los problemas con un espacio único de medidas: Este tipo de problemas se gestan de forma fundamental en las comparaciones que se producen en la multiplicación.
Ibíd. 166p.
Orientémonos mediante el siguiente ejemplo: Martín tiene 12 años y su mamá tiene 4 veces más su edad ¿Cuántos años tiene la mamá de Martín? Martín __________________Mamá de Martín 12 x4 = ?
Este cuadro plantea la resolución del problema al considerar que la edad de la mamá es el cuádruplo de la edad de Martín, por lo tanto para resolver el problema se debe multiplicar la edad de Martín por 4, para conseguir saber el resultado de la edad de la mamá. •Algoritmo de la Multiplicación Los algoritmos son modos de resolución de problemas, cabe aclarar que no sólo son aplicables a la actividad intelectual, sino también a todo tipo de problemas relacionados con actividades cotidianas. Para poder entender mejor el concepto de algoritmo se utilizará como ejemplo el cálculo de una multiplicación: Secuencia de pasos lógicos: 1. Escribir los dígitos por multiplicar: 4 x 4 2. Se sumarán 4 + 4 = 8 3. AI resultado se le volverá a sumar 4: 8 + 4 = 12. 4. A este nuevo resultado se le volverá a sumar 4: 12 + 4 5. El resultado es de 16. Todos estos pasos se deben seguir para poder realizar una multiplicación; los pasos se pueden simplificar siempre y cuando sigan el mismo orden. •Propiedades de la Multiplicación.
La multiplicación tiene propiedades que harán más fácil la resolución de problemas. Estas son las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva, de clausura, elemento neutro y elemento absorbente. Propiedad Conmutativa: consiste en que el resultado de dos cifras, siempre será el mismo, aunque se altere el orden de los factores, en lenguaje matemático esto se expresa de la siguiente manera: a*b=b*a. Ejemplo: 5x3 = 3x5. 15 = 15 Propiedad Asociativa: se basa en realizar la multiplicación a un par de números que son asociados efectuando esta misma operación con un tercer número, posteriormente se obtiene un producto. Existen dos maneras de poner en práctica esta propiedad. •La primera forma es: (a*b)*c, es decir, se deben multiplicar los dos primeros
que se encuentran en el paréntesis y luego el resultado de esta acción se multiplica por el tercer factor, que en este caso es: c. Ejemplo: (2x7) x 4 14 x 4 56
•La segunda forma de aplicar la propiedad asociativa es: a*(b*c), en esta
ocasión el orden de los paréntesis cambia para asociar en una primera instancia a dos factores que son: b*c, los cuales son multiplicados con la finalidad de conseguir un producto que es multiplicado por a. Ejemplo: 2 x (7x4) 2x 56 Propiedad Distributiva de la Multiplicación con respecto a la Adición: consiste en multiplicar una cifra por la adición de otros dos dígitos. Cuando se 28
aplica la adición entre dos números que están en un paréntesis y luego dicho resultado de la operación se multiplica por un tercer dígito, se logra un producto igual que si se multiplican los factores asociados en dos paréntesis distintos, por un mismo número y se suman los resultados conseguidos de la operatoria anterior. Esta propiedad se expresa de la siguiente manera: a x (b+c) = (a x b) + (a x c). Ejemplo: 2 x (4+3) = (2 x 4) + (2 x 3) 2x 14 7 = = 8 + 14 6
Propiedad de Clausura: el conjunto de los números naturales es cerrado respecto de la multiplicación. Esto significa que, dados dos números naturales cualesquiera en un cierto orden, su producto existe siempre y es a su vez un número natural. Esto se puede escribir, usando el símbolo de pertenencia, así: Si a Nyb N, entonces a x b N.
Elemento Neutro: Existe un número natural, llamado uno, que multiplicado por cualquier número natural da por resultado este mismo número natural. O sea, para cualquier número natural a se verifica: n x 1 = n. Ejemplo: 5x1=5
Se dice entonces que el número 1 es elemento neutro para la multiplicación.
Elemento Absorbente: El número 0 es el elemento absorbente del producto entre un factor y otro. El producto de cualquier factor multiplicado por 0 es igual a cero. nx0=0 Ejemplo: 8x0=0
Análisis del Programa de Educación Matemática NB2
A partir del contenido presentado anteriormente, se procede a realizar un análisis del Programa de Estudio de Educación Matemática, considerando solamente los contenidos que tengan directa relación con la investigación.
“Objetivos definidos en el marco curricular. Constituyen las metas que se desea alcanzar en cada nivel y orientan el trabajo a realizar”. 24 Los OFV relacionados con la multiplicación son los siguientes: Eje Números: • Reconocer que un número se puede descomponer multiplicativamente. Eje Operaciones aritméticas: • Identificar a la multiplicación como operación que pueden ser empleada para representar una amplia gama de situaciones y que permiten determinar información no conocida a partir de información disponible. • Realizar cálculos mentales de productos y cuocientes exactos, utilizando un repertorio memorizado de combinaciones multiplicativas básicas y estrategias ligadas al carácter decimal del sistema de numeración, a propiedades de la multiplicación.
Programas de Estudio Educación Básica. Nivel Básico 1. Volumen 1”. Ministerio de Educación. Chile. Junio 2003. 14p
Realizar cálculos escritos de productos, utilizando procedimientos basados en la descomposición aditiva de los números, en propiedades de la multiplicación, usando adecuadamente la simbología asociada a esta operación.
Formular afirmaciones acerca de propiedades de las operaciones de multiplicación, a partir de regularidades observadas en el cálculo de variados ejemplos de productos. Eje Resolución de Problemas:
Resolver problemas relativos a la formación y uso de los números en el ámbito correspondiente al nivel; al concepto de multiplicación, sus posibles representaciones, sus procedimientos de cálculo y campos de aplicación.
3.1.2. Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) “Contenidos definidos en el marco curricular para cada subsector. Se distribuyen por semestre”.25 Los CMO relacionados con la multiplicación son los siguientes:
Eje Números: • Composición y descomposición aditiva y multiplicativa de un número en unidades y múltiplos de potencias de 10. Eje Operaciones aritméticas: • Asociación de situaciones correspondientes a una adición reiterada, un
arreglo bidimensional, una relación de proporcionalidad y un reparto equitativo con las operaciones de multiplicación. • Utilización de multiplicaciones para relacionar la información disponible (datos) con la información no conocida (incógnita), al interior de una situación de carácter multiplicativo. • Descripción del significado de resultados de multiplicaciones en el contexto de la situación en que han sido aplicadas. • Manipulación de objetos y representación gráfica de situaciones
multiplicativas y utilización de técnicas tales como: adiciones reiteradas, para determinar productos. • Combinaciones multiplicativas básicas: Memorización paulatina de
multiplicaciones con factores hasta 10, apoyadas en manipulaciones y visualizaciones con material concreto. • • • Multiplicación de un número por potencias de 10.
Simbología asociada a las multiplicaciones escritas.
Cálculo escrito de productos en que uno de los factores es un número de una o dos cifras o múltiplos de 10,100 y 1.000.
Utilizando inicialmente estrategias basadas en la descomposición aditiva de los factores y en la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición.
Comparación de variados ejemplos de multiplicaciones que corresponden a situaciones inversas como: repartir equitativamente entre 5 y luego volver a juntar lo repartido, y formulación de afirmaciones que implican un reconocimiento de la relación inversa entre al multiplicación y la división.
Problemas de multiplicación: que consisten en inventar situaciones a partir de una multiplicación dada; que implican la evaluación de procedimientos de cálculo; que contribuyen al conocimiento del entorno. Eje Resolución de problemas:
Problemas de multiplicación: que implican la evaluación de procedimientos de cálculo. que contribuyen al conocimiento del entorno.
Aprendizajes Esperados e Indicadores.
Se entiende por aprendizajes esperados, “los conocimientos, habilidades, actitudes y formas de comportamiento que se espera el alumno logre en un período de tiempo dado (semestre). La totalidad de aprendizajes esperados lleva al logro de CMO, OFV y OFT.”26 Cada uno de estos aprendizajes presenta indicadores, que corresponden a “objetivos formulados para orientar y facilitar la evaluación según aprendizaje esperado semestralmente. Señala cuán lejos o cerca se está del logro de los aprendizajes esperados, entrega información sobre fortalezas y debilidades del alumno. Sus resultados orientan a alumnos y docentes en la acción”.27 Los aprendizajes esperados y sus indicadores relacionados con multiplicación son los que se presentan en la siguiente tabla:
Programas de Estudio Educación Básica. Nivel Básico 1. Volumen 1”. Ministerio de Educación. Chile. Junio 2003. 16p 27 Programas de Estudio Educación Básica. Nivel Básico 1. Volumen 1”. Ministerio de Educación. Chile. Junio 2003. 16p
Tabla N° 2: Aprendizajes Esperados e Indicadores
Aprendizajes Esperados Asocian la operación de multiplicación a una relación de proporcionalidad, en situaciones simples que permiten determinar información no conocida a partir de información disponible. Indicadores • Determinan el resultado de aumentar un cierto número de veces el valor de un elemento de un conjunto asociado a una cantidad de elementos de otro conjunto, a través de una multiplicación. (Ejemplo: en una mano hay 5 dedos, cuántos dedos hay en las dos manos; una bicicleta tiene dos ruedas, cuántas ruedas hay en 3 bicicletas). • Escriben una multiplicación que represente las relaciones entre los datos y la incógnita en un problema dado, relatan las acciones realizadas y el significado de los términos involucrados en cada una de ellas. • Encuentran el resultado de la multiplicación en que uno de los factores es un dígito efectuando las sumas reiteradas que corresponden. • Responden preguntas que implican evocar el producto de un número del 1 al 10 por 2, 5 y 10. • Utilizan las reglas relacionadas con el producto de un número del ámbito conocido por una potencia de 10
Manejan el cálculo mental de productos de un número del 1 al 10 por 2, 5, y 10, y las divisiones respectivas y las reglas asociadas al producto de un número por una potencia de 10. Asocian la operación de multiplicación a situaciones comunes que permiten determinar información no conocida a partir de información disponible.
Manejan el cálculo mental de productos en que un factor es 3, 6, 4, 8 y un múltiplo de 10. Manejan estrategias de cálculo escrito de productos.
En una situación dada, asociada a una relación proporcional entre dos variables, determinan información no conocida a partir del planteamiento de una multiplicación. • Escriben una multiplicación que represente las relaciones entre los datos y la incógnita en un problema dado, verbalizan las acciones realizadas e identifican el significado de cada uno de los términos involucrados. • Obtienen el resultado a través de cálculo mental o escrito. • Calculan el producto de un dígito por 3, 6, 4 y 8. • Calculan productos de un dígito por un múltiplo de 10, de 100, de 1 000, de 10 000 y de 100 000 a partir de productos ya conocidos. (Ej. a partir de 2 x 4 calculan 2 x 4 000 o 2 000 x 4). • Encuentran el resultado de la multiplicación en que uno de los factores es un dígito: - efectuando una descomposición aditiva del factor de más de una cifra y aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición.
4. CONCEPTO DE APRENDIZAJE Los seres humanos desde su génesis se han relacionado con el aprendizaje, ya sea por imitación, por necesidad, por curiosidad, entre otros motivos. El hombre desde la antigüedad hasta la actualidad ha vivido en constante e íntima vinculación con el aprendizaje. Por tal motivo, es relevante especificar que se entiende por aprendizaje a partir de las siguientes definiciones: “Es la circunstancia deliberada en que se coloca al sujeto de la educación para que exprese su respuesta conductual, en cuyo ámbito se considera una variedad de aspectos o condiciones influyentes e interactuantes, tales como: actividades, contenidos, métodos, material didáctico, lugar, tiempo, horario, estado anímico del profesor y del alumno, condiciones físicas y ambientales existentes, criterios evaluativos, etc. (medios operacionales de los objetivos)”28. El aprendizaje designa la manera y las modalidades según las cuales un sujeto aprende, es decir, adquiere una competencia –saber o saber hacer- que no poseía hasta entonces. El conocimiento de estas modalidades tiene una importancia capital para el educador, puesto que la enseñanza tiene como tarea, entre otras, la de facilitar los aprendizajes al sujeto, es decir, colocarlos y darles existencia según dispositivos más o menos ingeniosos. “El aprendizaje que hasta un período reciente designaba esencialmente las modalidades de adquisición de un oficio manual, cada vez tiende más a abarcar el conjunto de fenómenos conductuales que se producen a lo largo de las etapas de una adquisición de conocimientos, así como de hábitos… Un aprendizaje puede ser global y no repetitivo, puede desencadenarse a partir de una situación en la que el educador coloca al educando, situación que
ASTUDILLO, Castro Eduardo. Glosario Metódico, administrativo-técnico-educacional. Santiago, Fondo editorial educación moderna, 1981. 24p
comporta la presencia de objetos que desempeñan el papel de estímulos susceptibles de hacer reaccionar al sujeto que se interesa por ellos”29 Como se enunciaba en algunos párrafos anteriores el aprendizaje está sujeto a pautas o modalidades donde se adquieren conocimientos y destrezas. Este aprendizaje “en general, hace referencia al proceso o modalidad de adquisición de determinados conocimientos, competencias, habilidades, prácticas o aptitudes por medio del estudio o de la experiencia”30. Otra definición que se sugiere al concepto de aprendizaje señala que es un “proceso mediante el cual un sujeto adquiere destrezas o habilidades prácticas, incorpora contenidos informativos o adopta nuevas estrategias de conocimiento y/o acción. El aprendizaje es entendido como la ejecución o puesta en acción de lo aprendido (que es la conducta que realiza el sujeto, y a través de la cual se comprueba que efectivamente se ha producido el aprendizaje).”31.
Diccionario de Ciencias de la Educación. Barcelona, Oikos-Tau, s.a.-Ediciones, 1984. 36p. ANDER-EGG, Ezequiel. Diccionario de Pedagogía. Buenos Aires, 1997. 16p 31 Diccionario de Ciencias de la Educación. Madrid, Diagonal Santillana, 1983. 116p.
Esquema N°5: El Aprendizaje
Destrezas Respuestas conductuale s Competenci
Desenvolverse en su vida diaria
En síntesis, como lo grafica el esquema, el aprendizaje en su forma genérica es un proceso de cambio natural constante o inducido en donde el sujeto a través de estímulos, elabora respuestas conductuales y adquiere competencias, habilidades o destrezas que colocándolas en práctica le permiten incorporar conocimientos que le ayuden al ser humano desenvolverse en su vida diaria.
CONCEPTO DE ENSEÑANZA.
La enseñanza es una actividad en la cual participan de manera conjunta y a través de la interacción, tres elementos los cuales corresponden a un profesor, uno o varios alumnos y el objeto de conocimiento. Según las antiguas percepciones que se tenían de la enseñanza, esta se trataba de una actividad en donde el docente “transmite sus conocimientos al o a los alumnos a través de diversos medios, técnicas y herramientas de apoyo; siendo él, la fuente del conocimiento, y el alumno un simple receptor ilimitado del mismo”.32 La RAE considera ,a través de sus distintas acepciones, que es la acción y el efecto de enseñar, que es un sistema o método de dar instrucción enseñando conocimientos, principios, ideas, etc. Para la pedagogía, la enseñanza es “el proceso de asimilación de conocimientos y habilidades, así como de métodos para la actividad cognoscitiva, que se realiza bajo la dirección de un educador durante la práctica docente. Este proceso es organizado y abarca la transmisión del contenido de la instrucción y el aprendizaje, así como la apropiación activa por parte del alumno y dirige la actividad cognoscitiva del educando, para posibilitar en este la asimilación de conocimientos, hábitos y habilidades.”33 Otras fuentes definen la enseñanza como “la influencia ordenada y voluntaria ejercida sobre una persona para formarle o desarrollarle”34 En resumen, se aprecia en el esquema N° 6, que la enseñanza puede ser entendida como una actividad o proceso organizado, en la cual participa quien enseña y quien aprende, y tiene como objetivo formar a la persona
http://es.wikipedia.org/wiki/Ense%C3%B1anza http://www.waece.org/diccionario/index.php
http://www.monografias.com/trabajos14/sistemaseducativos/sistemaseducativos.shtml
transmitiéndole conocimientos, principios y habilidades con el fin de que los asimile a través de la actividad cognoscitiva. Esquema N°6: La Enseñanza
Conocimientos Quien enseña Principios Habilidades Quien aprende
APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA: SITUACIÓN
HISTÓRICA. La sociedad se ciñe a un itinerario histórico que contiene una gran cantidad de sucesos que hacen que ésta interactúe con los procesos de enseñanzaaprendizaje de la educación matemática. Desde principios del siglo XX, la teoría de absorción cobra gran valor al concentrar todos sus esfuerzos en la memorización de datos y en el desarrollo de procedimientos de cálculo aritmético. Elementalmente, la matemática bajo este punto de vista teórico es considerada como “una colección de datos y procedimientos relacionados con la aritmética, la geometría y ciertas aplicaciones cotidianas, es decir: datos aritméticos, procedimientos de cálculo y definiciones de carácter básico”35. Los pilares de esta teoría se centran en la instrucción directa, transmitir conocimientos y la realización de ejercicios. Abundan en esta teoría las explicaciones frontales que carecen de significado para los alumnos, ya que el centro no es el niño, sino el profesor y su manera de enseñar. Paulatinamente la teoría de absorción o visión tradicional de la matemática fue quedando obsoleta porque no respondió de forma satisfactoria a las demandas y dificultades de aprendizaje que se iban gestando en la sociedad. Incluso los Estados Unidos a mediados del siglo XX, reprenden a este enfoque teórico dando a conocer que “las matemáticas tradicionales eran incomprensibles, pesadas, irrelevantes y hasta espantosas para demasiados niños”36. Dicho acontecimiento deja al descubierto una gran necesidad de cambio en este ámbito. En un esfuerzo por solucionar las graves deficiencias de la matemática, surge en la segunda mitad del siglo XX un movimiento que es la matemática moderna, el cual destaca un factor propio de la matemática; su estructura. Al
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 50p. 36 Ibíd.56p.
volcar el interés en la estructura de la matemática, se pone énfasis en los componentes que son esenciales y elementales que forman parte de esta ciencia. Sin embargo, al considerar sólo los aspectos formales y primordiales que construyen la estructura de la matemática, se dejó de lado un factor fundamental que es el pensamiento matemático del niño. Por ende, este movimiento matemático “no tuvo adecuadamente en cuenta los factores internos y, en consecuencia, no tuvo mayor significado para los niños que la enseñanza más tradicional”37. Posteriormente a estos dos enfoques de enseñanza matemática, nace la teoría cognitiva. Esta es una corriente teórica que se ha ido gestando desde hace varias décadas hasta la actualidad. De forma concreta, esta teoría apunta hacia la comprensión del sistema de ideas matemáticas por parte del niño y en consecuencia, desarrollar el pensamiento matemático de éste. Más específicamente, “el principal objetivo de las matemáticas escolares debe ser el cultivo de la comprensión y el empleo inteligente de las relaciones y principios matemáticos”38. La posición cognitiva centra su foco en los procesos de aprendizaje que generen vínculos entre el conocimiento y las estructuras mentales de los niños. En esto es fundamental la comprensión, la cual se edifica desde el interior de los alumnos. Dentro de este mismo plano, los niños se apoyan en relaciones que resumen grandes cantidades de información, a partir de normas, principios y propiedades matemáticas. Lo precedido se ve representado en varios ejercicios de las combinaciones básicas de la adición utilizando el 0: 5+0=5, 6+0=6, 0+4=4. Estos ejercicios están relacionados entre sí bajo una misma regla que indica “siempre que uno de los sumandos es 0, el otro permanece invariable”39. Esta regla matemática es una entre tantas, que permiten al educando aprender relaciones que en este caso particular de la norma del 0, le ayudarían a resolver gran cantidad de problemas u operaciones que incluyan 0 en la adición.
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 58p 38 Ibíd.51p 39 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 25p
Actualmente la sociedad demanda en las personas ciertas habilidades y competencias que deben poseer para desarrollarse como individuo. Algunas de estas capacidades son: resolver problemas, tener una mayor toma de decisiones y autonomía, y poseer la capacidad de adaptarse continuamente a los nuevos requerimientos que van surgiendo. La Educación actual propone a través de la Reforma Curricular, que los alumnos desarrollen capacidades que le permitan manejar y darle un adecuado uso a todos los conocimientos, que resuelvan problemas, que sean capaces de adaptarse a nuevas experiencias y conocimientos, que posean un pensamiento convergente y divergente, que sean protagonistas de su aprendizaje. Por esto la educación en la actualidad se ha visto en la necesidad de reformarse y renovarse totalmente en todos sus aspectos y dimensiones, para dar respuestas que satisfagan los nuevos requerimientos que implican los cambios que ha experimentado la sociedad. A partir de lo mencionado anteriormente, consideramos que la teoría más coherente y pertinente para el contexto actual que presenta la educación y la sociedad, es la teoría cognitiva.
Esquema N°7: Teoría Cognitiva
TEORIA COGNITIV A
C co one qu n l xió n los e o alu ya mn sa os be n
Tratamient o profundo de la informació n
El esquema presenta los distintos componentes que caracterizan tanto el aprendizaje como la enseñanza según la teoría cognitiva. Siguiendo estos componentes, se deben lograr los propósitos en cuanto a la Educación Matemática.
an eñ s t En za ren e h Co e
Estímulo a la metacogni -ción de los alumnos
T co are a n s ec s c ta mu on e da l n rea do l
id tun a or ar Op d p der t n en a re ap ivam t e ac
Esta teoría con respecto al aprendizaje, indica que los alumnos deben lograr un aprendizaje significativo, deben ser capaces de resolver problemas, aplicar estrategias de pensamiento en la resolución de problemas y que el alumno participe activamente en la construcción de su aprendizaje.
El aprendizaje en cuanto a la teoría cognitiva, se caracteriza a partir de los siguientes puntos: • • • • • • Aprendizaje gradual desde la matemática informal a la matemática formal. Aprendizaje significativo. Pensamiento estratégico. Construcción y participación activa por parte del alumno a través de juegos. Rol del alumno. Rol del profesor.
7.1. matemática
Aprendizaje gradual desde la matemática informal a la formal.
Desde la antigüedad nuestras manos han sido un modelo para contar y resolver problemas matemáticos. En este mismo sentido, contar a través de estas pautas digitales es fundamental para el progreso numérico que ha construido el hombre. Dentro de esta invención humana que se gesta en transcurso de la historia, se instalan métodos concretos para contar que se basan principalmente en la correspondencia biunívoca y en la equivalencia.
Posteriormente, estos métodos concretos para llevar la cuenta son puestos a prueba, ya que aumenta la cantidad de los números, por lo que la empresa se vuelve más difícil. Precisamente, el proceso de contar se convierte en una tarea más compleja, por esto el ser humano inventa sistemas de numeración capaces de simbolizar grandes cantidades. Durante el itinerario de la historia, los seres humanos inventan diversos sistemas de numeración para facilitar las tareas complejas de contar una gran cantidad de números, algunos de éstos son: el babilónico, egipcio, romano y árabe. Dentro de todos los sistemas de numeración, el más común y cercano a nuestra realidad es el sistema de base diez. Contar con los dedos no sólo forma parte de un acontecimiento relevante de la historia de la humanidad, sino que también es un elemento, herramienta y experiencia esencial en el desarrollo de la matemática informal de los niños. Este proceso concreto de contar tiene directa relación con el concepto del número, puesto que “contar con los dedos puede enlazar los aspectos cardinal y ordinal del número”40. Esto significa que se mezcla el aspecto cardinal que le asigna un nombre al número y al conjunto de elementos, y el aspecto ordinal que representa al orden que se establece en una secuencia numérica. La historia nos proporciona diversos antecedentes sobre el proceso de contar, el concepto del número, los sistemas de numeración, entre otros conocimientos. No obstante, estos grandes avances que son producto de la mente del hombre no se generaron de un día para otro, sino que tomaron miles de años en formarse para llegar a la matemática compleja y formal de la actualidad. Este desarrollo histórico que experimentó la matemática, ocurre de forma similar con los niños, puesto que para alcanzar una matemática formal éstos pasan por otros estados de aprendizaje informales. A partir de sus primeros años, los niños ponen en práctica conocimientos matemáticos informales por medio de su comprensión y acción intuitiva. En consecuencia, “la matemática informal de los niños es el paso intermedio
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 37p
crucial entre su conocimiento intuitivo, limitado e impreciso y basado en su percepción directa, y la matemática poderosa y precisa basada en símbolos abstractos que se imparte en la escuela”41. El medio social y tecnológico en el cual se desarrollan niños, influye directamente en su progreso del aprendizaje matemático informal. Incluso, los niños a muy temprana edad “aprenden mucha matemática informal de la familia, los compañeros, la televisión y los juegos, antes de llegar a la escuela”42. Al llegar a la escuela, la teoría cognitiva da a entender que los niños poseen gran cantidad de conocimiento que forma parte de su matemática informal. Todo este conocimiento previo no formal, es construido activamente por los alumnos mediante diversas experiencias concretas. Según este enfoque teórico, el conocimiento informal es fundamental al momento de establecer relaciones con una enseñanza formal, puesto que se debe planificar la instrucción escolar en función de estos conocimientos previos y de la comprensión que los niños tienen de la matemática. Sin embargo, es necesario considerar que la matemática informal padece de limitaciones concretas cuando las cantidades de números aumentan en su magnitud. Debido a esta complejidad, la matemática de los niños cada vez contiene más limitaciones y se convierte en herramienta poco útil. Frente a esta dificultad matemática que vivencian los niños, viene ayudar la matemática formal, dando un conjunto de elementos simbólicos basados en relaciones y principios para que los educandos superen sus limitaciones del conocimiento informal. Esta visión traslada al niño a otro mundo, donde “la matemática formal permite a los niños pensar de una manera más abstracta y poderosa, y abordar con eficacia los problemas en los que intervienen números
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 46p. 42 Ibíd.
grandes”.43 A los niños les cuesta pensar de manera formal, dejando de lado procesos como contar y reemplazarlo por la utilización del sistema de base diez.
Para conducir al niño gradualmente desde su matemática informal al logro o dominio de la matemática formal, se debe tener en cuenta como se genera el aprendizaje significativo. Esquema Nº8: De la Matemática Informal a la Matemática Formal.
Conocimiento previo Matemática informal
Conocimiento nuevo Matemática formal
Tomando en cuenta lo que expresa el esquema Nº8, se puede señalar que la matemática informal del niño actúa como un conocimiento previo fundamental que sirve de base para el nuevo conocimiento adquirido a través de la matemática formal, con el fin de producir un aprendizaje significativo. El currículum educacional debe adaptarse a este conocimiento previo e informal, aprovechándolo como base con la finalidad de efectuar aprendizajes significativos. Cuando la enseñanza o instrucción formal no se relaciona con los conocimientos informales de los alumnos se producen dificultades de aprendizajes y otras secuelas que van en desmedro de los aprendizajes del niño. Este aislamiento entre la matemática formal y la matemática informal, causan que los alumnos se aferren a un aprendizaje memorístico sin sentido y sin significado verdadero.
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 46p
El aprender es un proceso que implica “adquirir información, retenerla y recuperarla en un momento dado”44. Pero aprender significativamente implica en este caso, que el alumno adquirirá un nuevo contenido entrelazándolo con los saberes que ya tenía interiorizados. De esta forma se produce una relación entre los nuevos contenidos y los conocimientos ya adquiridos, entre la matemática informal con la matemática formal. “Las relaciones permiten el recuerdo, lo que no se relaciona no se aprende verdaderamente, pasa desapercibido o se olvida.”
De esta manera se establecen conexiones entre
lo que se aprende, lo que ya se sabe y el mundo real.
Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p 45 http://www.educacioninicial.com/ei/contenidos/00/1450/1451.ASP
El aprendizaje significativo consta de una serie de principios que serán explicados a continuación: 7.2.1. Enseñanza coherente “Coherencia implica interconexiones”46 El aprendizaje significativo se basa en la conexión, unión o enlaces de contenidos, tanto de aquellos que ya se tenían, como los que se esperan adquirir. De esta manera las temáticas serán ideas vagas, sueltas sin una conexión real. Se les enseña a los alumnos que busquen ideas y/o temas claves para “conectar las parcelas del conocimiento, las destrezas, los conceptos y las ideas que necesitan para alcanzar un aprendizaje significativo” 47. En otras palabras estaríamos hablando de una estrategia de pensamiento que les facilite el estudio y comprensión a los educandos. Podemos destacar que “el descubrimiento de relaciones subyace al aprendizaje significativo y estimula la aptitud para el pensamiento”48. Como se ha dicho anteriormente, encontrar y establecer relaciones ayudará a que los educandos puedan crear estrategias de aprendizaje que les ayuden a obtener aprendizajes de calidad.
Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p 47 Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p 48 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005.
Conexión con lo que los alumnos ya saben
“Investigaciones recientes sobre el cerebro revelan lo que desde hace tiempo se sospechaba: mientras más conexiones se puedan hacer respecto de un tópico determinado más son las posibilidades de recordar y utilizar este conocimiento”49. De esta manera, podemos decir que mientras más conexiones o relaciones realicen los alumnos de una determinada temática, es más probable que no lo olviden y lo interioricen (que lo hagan suyo), permitiendo de esta manera entrelazarlo con un contenido futuro. Es necesario que como docentes sepamos lo que nuestros alumnos ya conocen, cuáles son sus conocimientos antes de abordar una temática nueva, pues de esta manera tomaremos estos conceptos como base para abordar los nuevos temas. 7.2.3. Tratamiento profundo de la información
Es necesario profundizar en los temas y contenidos que se enseñarán, ya que, cantidad no es lo mismo que calidad. Muchas veces se piensa que por tratar más temas los alumnos saben más, pero no es así. Es necesario interiorizar cada temática, trabajarla a fondo y lograr el verdadero aprendizaje, no ver una pincelada sino que profundizar en ello. “Es necesario destinar más tiempo a los temas importantes y enseñarlos con variadas formas de explicación”.50 Lo importante es destinar el tiempo necesario para afianzar el contenido y por sobretodo tratarlo desde diversas perspectivas, distintas miradas, puesto que no todos los alumnos aprenden de la misma manera, muchas veces es necesario que expliquemos nuevamente las cosas o intentemos ver el tema desde otro ángulo para que el niño pueda comprender sobre que se le está hablando.
Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p 50 Ibíd.
Oportunidades para aprender activamente
El ser humano tiene una serie de maneras de aprender, pues para algunos es más fácil escuchar la materia, para otros es necesario escribir, otros en cambio aprenden tocando, vivenciando lo que se quiere enseñar, o simplemente hay un grupo que necesita dibujar, subrayar o aplicar color a lo que se está tratando. “Mientras más sean los sentidos que se ponen en acción, mayores serán las conexiones que podrán establecerse entre el conocimiento anterior y el conocimiento nuevo.51 7.2.5. Tareas conectadas con el mundo real
“Se considera que alguien es capaz cuando puede usar sus conocimientos apropiadamente en situaciones para las cuales esa capacidad es necesaria” 52. Siempre es necesario enfocar los conocimientos a la realidad de los alumnos, hacerlos trabajar con temas de la vida cotidiana, con cosas conocidas por ellos, enfocarlos a su realidad. Es más fácil aprender algo que nos es familiar antes que algo desconocido, por lo que es necesario destacar que “los alumnos son propensos a olvidar la información que carece de significado personal”,53 por eso debemos darle una utilidad a lo que se está enseñando; mostrar para que se está tratando cierto contenido y que ellos reconozcan la utilidad en su vida diaria. 7.2.6 Estímulo a la metacognición de los alumnos
Se entiende por metacognición “la capacidad que tenemos de autoregular el propio aprendizaje, es decir de planificar qué estrategias se han de utilizar en cada situación, aplicarlas, controlar el proceso, evaluarlo para detectar posibles fallos, y como consecuencia... transferir todo ello a una nueva actuación”.
Este proceso implica ser capaz de tomar conciencia del funcionamiento de
Ibíd. Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p 53 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 54 http://www.monografias.com/trabajos34/metacognicion-escuela/metacognicion-escuela.shtml#metac
nuestra manera de aprender y comprender los factores que explican que los resultados de una actividad, sean positivos o negativos. “Si queremos que nuestros alumnos entiendan y usen la información que les proporcionamos, es importante que puedan examinar lo que sienten que saben o no saben y además cuales son sus estilos y sus dificultades para aprender”55, ésta es una buena oportunidad de auto-examinarse para los alumnos, que sepan en que están fallando y en que deben poner más dedicación, con el fin de conocer sus falencias y sus aciertos.
Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p
Las estrategias son entendidas como una guía de las acciones que hay que seguir y como tal, son intenciones conscientes dirigidas a un objetivo relacionado con el aprendizaje, por lo tanto el pensamiento estratégico se puede considerar como una acción estratégica en donde un individuo crea alternativas, utiliza técnicas, reflexiona y desarrolla nuevas formas de saber y de saber hacer, con el fin de mejorar el aprendizaje. La oportunidad de reflexionar sobre cuándo y por qué debe emplearse un procedimiento y de hecho sobre cualquier tipo de contenido, distingue el pensamiento rutinario o mecánico del pensamiento estratégico.
Considerando lo anterior, la teoría cognitiva afirma que “el conocimiento no es una simple acumulación de datos. La esencia del conocimiento es la estructura: elementos de información conectados por relaciones, que forman un todo organizado y significativo”56. Por lo tanto el aprendizaje, debe buscar refuerzos en el pensamiento estratégico, con el fin de que los alumnos sean capaces de resolver problemas a partir de la elección de técnicas o alternativas que faciliten su adquisición. Razonar nos permite ordenar las ideas en la mente para llegar a una conclusión, y la teoría cognitiva busca que los alumnos a través de este ordenamiento de ideas sean capaces de buscar relaciones, principios, reglas o regularidades entre los contenidos. En la multiplicación no es necesario memorizar cada una de las combinaciones básicas que contemplan una cantidad de 90 combinaciones, que a través de la memorización presentan una dificultad para su aprendizaje. Una relación que se puede aplicar en cuanto a la multiplicación es la propiedad de la absorción, en cuanto cualquier número multiplicado por cero, es cero (nx0 = 0 ó 0xn = 0). Esta propiedad permite que el alumno automáticamente sea capaz de resolver cualquier multiplicación que contenga el cero (5x0 = 0; 135.000x0 = 0). También se puede aplicar la
Anderson, 1984 en BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 24p
propiedad del elemento neutro considerando que cualquier número que sea multiplicado por uno, no se modifica (nx1 = n ó 1xn = n). Los alumnos a partir de esto, podrán resolver todos los problemas que contengan una combinación básica que tome en cuenta el número uno, además de cualquier otro problema que lo contenga dentro de una multiplicación. Tomando en cuenta la propiedad de la conmutatividad, los alumnos al aprender una combinación, ya están aprendiendo la combinación inversa (6x8 = 48 y 8x6 = 48), por lo que no es necesario aprender de memoria todas las combinaciones básicas, ya que cada una de ellas posee un inverso, por lo tanto es necesario solamente aprender una de las dos combinaciones. A partir de las propiedades mencionadas anteriormente, podemos sacar como conclusión, que del total de 90 combinaciones multiplicativas básicas que deberían aprender de memoria los alumnos, aplicando estos principios a través del pensamiento estratégico, esta cantidad se reduce a tan sólo 36 combinaciones. Según la teoría cognitiva, “las relaciones generales resumen muchos casos particulares y ofrecen una base sólida para almacenar y recordar lo que, de no ser así, sería una cantidad enorme de información”57. Las relaciones son claves básicas en el aprendizaje, “cuando descubrimos una relación, obtenemos un poderoso instrumento para recordar un conocimiento independientemente de su longitud”58. Se indica también en esta teoría, que la memoria en general no es fotográfica, “normalmente no hacemos una copia exacta del mundo exterior almacenando cualquier detalle o dato. En cambio, tendemos a almacenar relaciones que resumen la información relativa a muchos casos particulares”59. De esta manera, la memoria puede almacenar una mayor cantidad de información de manera eficaz y económica.
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 23p 58 Ibíd. 24p 59 Ibíd.
Construcción y participación activa por parte del alumno a
través de juegos. Según la teoría cognitiva, un auténtico y significativo aprendizaje demanda una comprensión por parte del alumno, comprensión que debe nacer y construirse activamente desde un proceso interior, en el cual el niño va formando relaciones y conexiones entre información nueva con otras que ya posee o conoce, así va complementando la información y va enriqueciendo su aprendizaje. En la construcción del conocimiento participan activamente la asimilación e integración de datos que el niño debe aprender, puesto que además de comprender lo que esta aprendiendo debe conectarlo o asociarlo a lo que experimenta en la vida cotidiana. De esta forma el niño va dándole sentido a la información que va interiorizando y va haciendo suyo el conocimiento. Esta construcción exige al alumno una participación conciente y activa, ya que desde su interior es en donde se está realizando el proceso de comprensión y aprendizaje. “el crecimiento del conocimiento significativo, sea por asimilación de una nueva información, sea por integración de información ya existente, implica una construcción activa”60. Si existe una real y significativa comprensión, se logrará una construcción del conocimiento de forma activa porque el alumno es el que construyó su aprendizaje y adquiere un sentido útil y significativo para su vida. Cabe mencionar que este proceso, en el cual el niño va interiorizando los nuevos conocimientos y los va haciendo propios, se debe dar en forma gradual y acorde a su proceso psicológico. Es aquí donde juegan un rol fundamental los juegos y actividades concretas colocando al niño en situaciones problemáticas para que sean del interés de él.
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 25p
Los juegos y actividades permiten que el niño vaya enriqueciendo su aprendizaje. Para el alumno es motivador aquellas actividades que ve más cercanas y le permitan aprender de manera más entretenida y lúdica. Junto con esto, el juego es una forma de que vaya construyendo su aprendizaje de manera activa. A pesar de que la utilización de los juegos en las salas de clases es desaprobada por algunas personas, hay que destacar de manera positiva que “los juegos brindan a los niños la oportunidad natural y agradable de establecer conexiones y dominar técnicas básicas, y pueden tener un valor incalculable para estimular tanto el aprendizaje significativo como la memorización”61. Es importante dar al niño la posibilidad de explorar diversas formas de aprender y el juego desde siempre ha significado para el niño una actividad atrayente. Todas las actividades deben ser guiadas y con propósitos determinados, que planten un desafió, es por ello que el juego debe ayudar a que el niño resuelva situaciones problemáticas para acrecentar su aprendizaje. En el área de la matemática, el juego y actividades concretas proporcionan al niño una cercanía hacia el aprendizaje y lo motiva a aprender. Los juegos no garantizan un verdadero aprendizaje, si es que el profesor no sabe aplicarlo, por lo que debe tomar en cuenta que las actividades que se realicen deben se dirigidas, con un propósito determinado y definido sobre que es lo que se pretende lograr con la actividad. En cuánto al aprendizaje, el alumno debe encontrar el significado y comprensión de lo que se le enseña, es por eso que en el caso de la multiplicación, si el niño no comprende el sentido de “tantas veces otro número” o las combinaciones básicas de las tablas de multiplicar, nunca entenderá y no tendrá significado para él la operación, ya que sólo será un proceso mecánico de memorización, pero no existirá por su parte un aprendizaje activo y participativo ya que el aprenderse las tablas de memoria implicará en el niño
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 31p
una actividad pasiva y receptiva en donde su capacidad cognitiva no estará participando. Es por esto que para que el niño comprenda el significado de la multiplicación se debe tomar en cuenta los juegos, actividades concretas y situaciones problemáticas, ya que acentúan y proporcionan participación activa de aprender en el alumno. interés y
En cuanto a la escuela, “en este período mejora el rendimiento escolar y los niños empiezan a manifestar habilidades no reveladas”62 Considerando el desarrollo del lenguaje y el pensamiento, el niño en esta edad, entra en el denominado estadio de operaciones concretas. “Piaget llama operaciones concretas a las transformaciones mentales basadas en las reglas de la lógica. El niño, pues, poco a poco se hace más lógico”63. El propósito de la enseñanza según la teoría cognitiva es que el alumno deberá descubrir relaciones y construir conocimientos a través del ejercicio del razonamiento matemático para adoptar aptitudes que le permitan resolver problemas. Para lograr este propósito es necesario identificar y caracterizar al alumno de 3° año básico para el cual está dirigido este punto. Principalmente, hay que tomar en cuenta que “tal vez este es el nivel más tranquilo del primer ciclo de enseñanza básica”, por lo que cualquier actividad motivadora será mucho más fácil aplicar en este curso que en cualquier otro del primer ciclo. “Los alumnos de este grupo están terminando de consolidar los aprendizajes de lectura y escritura” permitiendo realizar actividades que impliquen leer instrucciones o escribir resultados. Con respecto a la evolución personal y a la conducta motriz, en los niños de ocho años “es remarcable su afán por participar”64 Los alumnos no se deben limitar solamente a absorber y memorizar datos sin significado para ellos, sino que al contrario, los alumnos necesitan comprender las actividades que realizan, y para este grupo de alumnos en particular, “la ejemplificación de los contenidos que el profesor desea que sus alumnos aprehendan debe ser muy concreta; por lo tanto, se deben evitar los ejemplos abstractos”, considerando
Biblioteca práctica para padres y educadores. Pedagogía y particulares subvencionadosicología infantil “La infancia”. Madrid, Cultural S.A., 2000. 216p 63 Ibíd. 239 p 64 Biblioteca práctica para padres y educadores. Pedagogía y particulares subvencionadosicología infantil “La infancia”. Madrid, Cultural S.A., 2000. 215p
que el desarrollo del lenguaje y el pensamiento del niño en esta edad, entra en el denominado estadio de operaciones concretas. “Piaget llama operaciones concretas a las transformaciones mentales basadas en las reglas de la lógica. El niño, pues, poco a poco se hace más lógico”65 Los alumnos a través de su participación, pueden lograr comprender por sí solos o con la ayuda del profesor las relaciones que se establecen en la matemática. También pueden conectar información nueva con otra anteriormente existente, o establecer una conexión entre piezas de información previamente aisladas, logrando la asimilación e integración de conocimientos, pues“en este período mejora el rendimiento escolar y los niños empiezan a manifestar habilidades no reveladas”66
Ibíd. 239 p Ibíd. 216p
El papel del maestro en la teoría cognitiva implica generar y revisar constantemente hipótesis sobre las dificultades y problemas de aprendizaje que surgen en la diversidad de alumnos de las escuelas, particularmente de su curso. Dentro de este gran abanico de educandos subyacen marcadas diferencias individuales, es decir, existen estudiantes que son más aventajados que otros en términos cognoscitivos y en el manejo de la matemática informal. Frente a esto, el rol del docente es muy importante, ya que éste debe reorganizar, flexibilizar y adaptar el currículo formal a las características de los conocimientos informales que poseen los niños sobre la matemática. En virtud de lo anterior, es tarea de los profesores crear y estimular ambientes donde los niños sean capaces de construir ideas matemáticas más complejas y enfrentarse a la resolución de problemas. Los niños que experimentan aprendizajes significativos son capaces de participar y construir activamente su conocimiento. En este sentido el docente debe tener un elevado cuidado con la psicología del niño, con sus constructos, intereses y significados personales. La interacción y constante intercambio de significados es una de las claves dentro de los procesos de aprendizaje que se llevan a cabo entre la psicología del niño (factores internos) y la matemática escolar (factores externos). “El maestro actúa como intermediario, es decir, como alguien que contribuye a amalgamar los factores externos con los internos”67 Después de haber caracterizado la teoría cognitiva a través del aprendizaje, es necesario hacerlo también, desde el punto de vista de la enseñanza. Este proceso es considerado como una herramienta que le permite al alumno participar activamente en este proceso con el fin de descubrir por sí solo, técnicas que le permitan desarrollar el pensamiento estratégico y lograr aprendizajes significativos. Es importante que se considere la enseñanza a través del método inductivo y de la comprensión entre los significados. Este
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 52p
proceso debe permitirle al profesor evaluar los resultados que han obtenido sus alumnos y si se lograron los objetivos propuestos. En cuanto a enseñanza, la teoría cognitiva se caracteriza a través de los siguientes puntos: • • • • • Aprendizaje por descubrimiento. Método inductivo. Comprensión de relaciones entre significados Actividades que favorecen el razonamiento matemático Verificación del proceso de comprensión
7.7. Aprendizaje por Descubrimiento La actual sociedad demanda personas educadas en la creatividad, ya que se verán constantemente enfrentados a requerimientos propios de una sociedad del conocimiento e información que exige personas con gran flexibilidad y adaptación y con capacidad de innovar. Es por eso que la educación debe facilitar nuevas formas de enseñanza en donde el niño sea capaz de ir descubriendo sus propios conocimientos y que vaya construyendo su propio aprendizaje. Este aprendizaje por descubrimiento, obliga al niño a hacer uso de todas sus capacidades de atención, de relación y de inferencia, para lograr un aprendizaje efectivo. En todo el proceso, es necesario que el alumno apele a su creatividad para dar solución a diversas situaciones planteadas en la sala de clases. Este tipo de aprendizaje requiere de los alumnos una mayor participación ya que es él quien debe ir construyendo su propio aprendizaje. El profesor no muestra los contenidos de una manera terminada, su actividad se dirige a mostrar el final que ha de ser alcanzado y servir de mediador y guía, para que sean los alumnos quienes recorran y alcancen los objetivos propuestos. El
aprendizaje por descubrimiento constituye un aprendizaje bastante útil, pues cuando se lleva a cabo de modo eficaz, certifica un conocimiento significativo y promueve hábitos de investigación. Una característica importante de este tipo de aprendizaje, es que el alumno no recibe los contenidos de forma pasiva; descubre los conceptos y sus relaciones y los reordena para adaptarlos a su esquema cognitivo. Las matemáticas juegan un rol muy importante en este tipo de enseñanza, ya que por años para los alumnos este subsector parece ser poco entendida, “…el aprendizaje por descubrimiento explota la curiosidad natural de los niños, fomenta el entusiasmo por las matemáticas y por la enseñanza en general…”68 Es por esto que la enseñanza de las matemáticas se ha ido traduciendo de manera que los niños puedan comprenderlas e ir construyendo relaciones que le permitan dar significado y oportunidades a desarrollar un pensamiento matemático. Dentro de la matemática, en la enseñanza de la multiplicación es de suma relevancia que el alumno vaya descubriendo y asociando el significado y utilidad de las combinaciones multiplicativas básicas. El profesor juega un papel fundamental en esta tarea, puesto que él debe crear y estructurar las oportunidades necesarias para que el alumno vaya construyendo su aprendizaje y le dé valor y significado a la multiplicación y su utilización. La función del docente es la preparación de materiales y situaciones adecuadas para cumplir su objetivo. Cabe mencionar que la enseñanza por descubrimiento pone en primer plano el desarrollo de las destrezas de investigación y se fundamenta en el método inductivo y en la resolución de problemas. Es por esto que la enseñanza de la matemática da una oportunidad para desarrollar y estimular la capacidad de pensar y construir aprendizajes significativos.
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 59p
7.8. Método Inductivo El método inductivo es el razonamiento que, partiendo de casos particulares, se eleva a conocimientos generales. En otras palabras, este método consiste en establecer enunciados universales verdaderos a partir de la experiencia, esto es, escalar lógicamente a través del conocimiento científico desde la observación y la experiencia de la realidad, para generalizar y llegar a una teoría. “El método inductivo crea leyes a partir de la observación de los hechos, mediante la generalización del comportamiento observado; en realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que por medio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones”69 El método de inducción se caracteriza, además, por ser muy intuitivo y puede aplicarse en gran variedad de problemas. Este método se relaciona con el aprendizaje por descubrimiento puesto que el alumno construye su conocimiento a partir de una experiencia particular llegando a generalidades.
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7.9. Comprensión de relaciones entre significados La teoría cognitiva concibe el aprendizaje matemático, como un proceso de compresión e intuición que se elabora desde el interior del sujeto. Precisamente en este proceso surge un conjunto de interacciones continuas entre diversos significados y conocimientos, que persiguen la concretización eficaz de la resolución de problemas. Dentro de esta teoría, las relaciones forman parte fundamental en los procesos de aprendizaje. En efecto, “la esencia del conocimiento es la estructura: elementos de información conectados por relaciones, que forman un todo organizado y significativo”70. Son estas relaciones las que unen información y la resumen. Este entramado de relaciones se elabora por medio de la construcción activa del conocimiento, la cual demanda comprensión por parte del individuo, esta edificación se genera desde el interior del individuo, el cual conecta “informaciones nuevas con la que ya se conoce” 71. De forma directa, esto es la unidad sustancial que determina a la asimilación. Por otro lado, dentro de este mismo concepto (construcción activa) se instala la integración, que se genera a partir de la producción y conexión activa del conocimiento “entre piezas de información conocidas, pero aisladas previamente”72. Asimilación e integración, son dos procesos esenciales para que se efectúe una verdadera comprensión de relaciones entre significados. Asimismo estos dos elementos forman parte importante del aprendizaje significativo y de la construcción activa de conocimiento. En consecuencia, lo anterior se combina entre sí para reestructurar de forma continua las pautas de pensamiento, logrando con esta acción un verdadero aprendizaje. Las relaciones significativas, entre las estructuras de conocimiento que se poseen y las nuevas que se incorporan, son las que
BAROODY, Arthur. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Editorial Machado Libros. Madrid.2005.24p. 71 Ibíd.25p. 72 Ibíd.
permiten modificar de forma directa y constante las estructuras de pensamiento. Los cambios que son producto de reorganización de pensamiento generan transformaciones tanto cuantitativas como cualitativas en el desarrollo cognitivo del niño. La reorganización de las estructuras del pensamiento matemático en los niños se construye poco a poco. De forma paralela y similar, los alumnos comprenden gradualmente el conocimiento, por ende, los procesos de construcción activa del conocimiento se concretizan en un periodo prolongado, no exento de dificultades de aprendizaje. Muchas veces los métodos o estrategias de pensamiento de los niños no coinciden con la enseñanza y tampoco ésta se corresponde con su manera de resolver problemas. En efecto, es así como pueden surgir reales dificultades de aprendizaje entre la matemática informal de los educandos y la formal que pertenece a los profesores. Por esto, gran cantidad de niños ven limitado su aprendizaje porque no poseen los conocimientos previos adecuados para enfrentar los desafíos de aprendizaje. Es necesario comunicar que los procesos de comprensión y verdadero aprendizaje están subordinados en gran medida del conjunto de significados personales de los educandos porque “la comprensión y el aprendizaje significativo dependen de la preparación individual”73. Estos procesos de comprensión precisan un alto nivel de complejidad, que implica que el niño regule sus propios aprendizajes. Por lo mencionado, la matemática vista desde la perspectiva de la teoría cognitiva, deja de lado una gran variedad de limitantes que reducen y atomizan los procesos de aprendizaje-enseñanza de esta ciencia, a un aprendizaje memorístico no comprensivo y no significativo. Para considerar que “el principal objetivo de las matemáticas escolares debe ser el cultivo de la comprensión y el empleo inteligente de las relaciones y principios matemáticos”74
BAROODY, Arthur. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Editorial Machado Libros. Madrid.2005.27p. 74 Ibíd.51p.
Fijar y cultivar la atención en el aprendizaje de relaciones y principios, resumen gran cantidad de conocimiento, lo que posibilita que el aprendizaje de la matemática escolares no sean un ideal irrealizable, si no, que se convierten en algo que se puede llevar a cabo. En este sentido los maestros al momento de planificar la enseñanza deben tener en cuenta que la psicología del niño, las relaciones y los principios matemáticos son elementos fundamentales, al momento de tomar decisiones educativas. A partir de estas implicaciones en la enseñanza, la matemática escolar no son consideradas un producto acabado, si no, que son vistas como “un proceso orientado a estimular una mayor sofisticación en la comprensión y el razonamiento matemáticos, así como en la resolución de problemas” 75
7.10. Actividades que favorecen el razonamiento matemático. Según la teoría cognitiva, la enseñanza tiene como propósito que los alumnos “construyan una representación más exacta de las matemáticas y desarrollen pautas de pensamiento más maduras”76, por lo cual, los alumnos deberán ser capaces de realizar actividades que les permitan descubrir relaciones y construir conocimientos a través del ejercicio del razonamiento matemático para adoptar aptitudes que le permitan resolver problemas, por lo que es de suma importancia que los alumnos tengan una participación activa en cuanto al aprendizaje con el fin de comprender las matemáticas y desarrollar pautas de pensamiento. Para favorecer el ejercicio del razonamiento matemático, se proponen algunas actividades que deben ser tomadas en cuanta al momento de enseñar matemáticas, pues de esta manera se asegura la participación de los alumnos. Una de las actividades que con frecuencia recomienda la teoría cognitiva son los juegos matemáticos, ya que “los juegos pueden proporcionar una vía interesante y significativa para aprender gran parte de las matemáticas elementales”77. Debemos considerar que los niños poseen un interés natural por los juegos, por lo que esta actividad se convierte en una herramienta muy útil al momento de enseñar matemáticas puesto que “todos los tipos de juegos ofrecen oportunidades para aplicar y practicar técnicas aritméticas básicas”78. Los juegos dentro del aula son vistos como distracción según lo considera la teoría de la absorción, ya que el rol del alumnos es abrir su mente a los nuevos conocimientos a través de la memorización de datos, sin considerar que “los juegos brindan a los niños la oportunidad natural y agradable de establecer conexiones y dominar técnicas básicas, y pueden tener un valor incalculable para estimular tanto el aprendizaje significativo como la memorización”79.
BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 51p 77 Ibíd .31p 78 Ibíd. 79 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 31p
Otra actividad que favorece el razonamiento en los alumnos es la manipulación de objetos concretos. “La manipulación es apropiada, si es graduada en el sentido de la percepción y si es multifacética y variada. Hay que usar distintos objetos, uno detrás de otro, para que el niño ignore la especificidad de cada clase de objetos y descubra lo común en todas las operaciones en el sentido matemático. Esta es la forma para la interiorización y la generalización”80. En cuanto a la resolución de problemas, la teoría cognitiva plantea que “cuando los niños participan voluntariamente en una tarea que tiene significado para ellos, buscan y emplean relaciones y controlan y ajustan sus acciones de una manera espontánea”81, puesto que cuando los alumnos participan en una tarea matemática como son los problemas, tienden a comportarse de una manera inteligente. “cuando los alumnos participan activamente en las tareas que realizan, comprueban su trabajo y corrigen sus errores sin que haga falta decírselo”82.
http://www.educared.edu.pe/modulo/upload/73831424.doc BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 55p 82 Ibíd.
7.11. Verificación del proceso de comprensión. Al introducirnos en el sistema de resolución de problemas, los docentes deben investigar mediante el método científico para descubrir las dificultades de aprendizaje en los niños. A partir de esta indagación profunda, los docentes deben efectuar constantemente suposiciones fundadas orientadas a plantear y verificar hipótesis sobre las maneras de aprender de los educandos. Lo anterior nos brinda antecedentes relevantes sobre el proceso de aprendizaje para planificar y organizar la enseñanza en función del educando. Los profesores deben indagar profunda y constantemente en los procesos de enseñanza-aprendizaje que presentan a sus alumnos. El llevar a cabo esta tarea es fundamental, pues ”hace responsable al docente no sólo de impartir clases de matemáticas, sino de investigar y explicar razonablemente (con bases teóricas válidas) qué ocurre en su salón de clases”83 . Al analizar y aplicar esta perspectiva teórica en las aulas, se gestan cambios que alcanzan aprendizajes de calidad en las estructuras cognitivas de los niños y se toman decisiones curriculares argumentadas por parte de los profesores para mejorar los procesos de aprendizaje y desarrollar el pensamiento matemático. “En esencia, la enseñanza de las matemáticas consiste en traducirlas a una forma que los niños puedan comprender, ofrecer experiencias que permitan a los niños descubrir relaciones y construir significados, y crear oportunidades para desarrollar y ejercer razonamiento matemático y las aptitudes para la resolución de problemas”84.
Constructivismo en tres patadas, Víctor Larios Osorio, Revista Electrónica de Didáctica de las matemáticas.7p. 84 BAROODY. Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Editorial Machado Libros: Madrid. 2005. 51p.
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