Source: https://es.scribd.com/doc/65947176/Ecuacion
Timestamp: 2016-02-14 06:22:31+00:00

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La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de todos los valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple; y se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:
Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan. En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.
1 Ecuación polinomial o 1.1 Forma canónica o 1.2 Grado 2 Ecuación de primer grado o 2.1 Resolución de ecuaciones de primer grado
2.1.1 Transposición 2.1.2 Simplificación 2.1.3 Despeje o 2.2 Ejemplo de problema 3 Ecuaciones de segundo grado o 3.1 Ecuaciones de la forma ax² + c = 0 o 3.2 Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 o 3.3 Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0  3.3.1 Otro método  3.3.1.1 Demostración 4 Tipos de ecuación algebraica 5 Véase también 6 Enlaces externos
Una ecuación polinomial o polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:
[editar] Forma canónica
[editar] Grado
con a diferente de cero. Su solución es sencilla:
Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo. Dada la ecuación:
[editar] Transposición Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que: Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: Para despejar la x. si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. y los que no la poseen. todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual). han quedado a la derecha. ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Realizamos la simplificación del primer miembro:
[editar] Despeje Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo. sin cambiar de signo:
El ejercicio está teóricamente resuelto. simplificamos la fracción y ése es el resultado. si diera decimal. Sin embargo.
. como estaba multiplicando.La ecuación quedará entonces así:
Como puede verse. En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y. la igualdad no varía. por ser sólo constantes numéricas. Para lo cual recordamos que: Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número. lo hará dividiendo. [editar] Simplificación El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2). debemos simplificar. Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto.
el resultado es el mismo. vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5. más tres. si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:
El problema está resuelto. la solución es:
Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo. menos dos. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuación:
Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo? La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo. más tres que me dan. Así obtenemos:
Que. pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x. para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. simplificado. restar.
. dividir. que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación. elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número. resulta:
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra. simplificando. Esto significa que podemos sumar. multiplicar. quitándome dos.5263157894737) Por tanto. sin que ésta sufra cambios. es igual al doble de las canicas que tengo.En la ecuación. El enunciado está expresado. En este caso. es igual al doble de mis canicas.
o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones. En ellas todos los términos dependen de la variable incógnita o. al segundo miembro. convirtiéndolo en la operación opuesta. aunque a veces ambas pueden coincidir entre sí. lo que les confiere también una característica algebraica: el coeficiente c es nulo (c = 0).Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2). Esto hace que sea un tipo de ecuaciones muy sencillas de resolver mediante un método similar a las de primer grado. en las que no existe el término independiente. lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambos términos:
Son otro caso particular de ecuaciones de segundo grado. En este tipo de ecuaciones. tienen x. o sea que está elevada a la potencia 1). Tengamos:
Donde a = 3 y b = 9. b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes. Pasamos entonces −16 al segundo miembro:
Ahora pasamos el exponente 2. Nota: si −c/a fuera un número real negativo (cosa que no ocurre en este caso. lo que les confiere su principal característica algebraica: el coeficiente b es nulo (b = 0). o cuadrado. Tengamos por ejemplo:
Donde a = 1 y c = −16. donde es −c/a = 4) las raíces de la ecuación serían imaginarias y pertenecerían al campo de los números complejos. raíz cuadrada:
La ecuación ya está resuelta. coloquialmente. y c es el término independiente (el que no depende de la variable. Para su resolución tenemos que distinguir entre tres situaciones distintas:
Son un caso particular de ecuaciones de segundo grado en las que no existe el término lineal o término en x.
c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre). en el que existen los tres términos: cuadrático. las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y −3.
A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación. Si tenemos la ecuación cuadrática: Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:
Si sustituimos las letras por los números.Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0. uno de los dos factores tiene que ser igual a 0. b y c serán entonces no nulos o distintos de cero.
Son el caso más general de ecuaciones de segundo grado. lineal e independiente. las soluciones son números complejos. Los tres coeficientes a. o el primer factor (x) es igual a cero (lo que constituye una de las soluciones). [editar] Otro método También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:
. siendo: a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo. por lo tanto. b = coeficiente de la incógnita elevada a uno. que son: -2 y -3 Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo. Así es que. o lo es el segundo:
Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas. resulta:
m y n son por lo tanto dos números cuya suma resulta igual a −b. y cuyo producto coincide con c. obtenemos: Luego. luego. En el ejemplo anterior. m = -2 y n = -3. radicales y otras. para a = 1. entonces la expresión:
siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución. la ecuación se llama id
. puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 × 3 = 6. como polinomios. expresiones racionales. x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. la igualdad:
Partiendo de la igualdad: operando. Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones.Si hallamos dos números m y n tales que al sumarlos y multiplicarlos entre sí resulten coincidir respectivamente con −b y c.
es decir. búsqueda
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales. Una forma común de ecuaciones lineales es:
Donde representa la pendiente y el valor de donde la recta corta al eje y).
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad. Las ecuaciones en las que aparece el término consideradas lineales. que no contiene productos entre las variables. la enciclopedia libre (Redirigido desde Ecuación lineal) Saltar a: navegación. una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. involucrando una o más variables a la primera potencia. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
determina la ordenada al origen (el punto
(llamado rectangular y son
. En el sistema cartesiano representan rectas.Ecuación de primer grado
mientras x e y son variables. Representa una línea en el cartesiano. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente. cada una en la variable t.
Aquí ni E ni F no pueden ser cero.
1 Formas de ecuaciones lineales 2 Ecuación lineal en el espacio n-dimensional 3 Sistemas de ecuaciones lineales 4 Linealidad 5 Véase también
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. 2.
. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan. Las letras mayúsculas representan constantes. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando. Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea.
Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones
[editar] Ecuación lineal en el espacio n-dimensional
Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. todas las variables fueron canceladas. Así una función lineal de dos variables de la forma
representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen n-dimensional. Un ejemplo podría ser: .
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. ya que lo satisface todo par de números reales x e y. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos
. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje. interceptando el eje X en E.
Un caso especial es la forma estándar donde y . es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente.
Otro caso especial de la forma general donde vertical. dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. Adicionalmente podría haber más de dos variables. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo). El gráfico es una línea
En este caso. en ecuaciones simultaneas.
ecuaciones con dos incógnitas). También se llama a f operador lineal
{{subst:Aviso PA|Ecuación de segundo grado|referencias|wikificar}} ~~~~
donde a es cualquier escalar. Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución. planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas).
El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos. son las soluciones reales de la ecuación cuadrática. b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. una ecuación cuadrática en es de la forma:
con n un número natural y a distinto de cero. permiten modelar un gran número de relaciones y leyes. la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0. ya que junto con las ecuaciones lineales.
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática. Normalmente. si los hubiese.Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o). Expresada del modo más general.
cero o negativo. b y c son distintos de cero. en su Liber embadorum. 2.  
1 Historia 2 Clasificación 3 Solución general de la ecuación de segundo grado o 3. La fórmula general se deduce más adelante. o dos números complejos conjugados. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia. dos números reales e iguales (un número real doble). La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya. En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.1 Deducción de la fórmula general 2 o 3.. dependiendo del valor que tome el discriminante
ya sea positivo.2 Deducción para resolver la ecuación de la forma x + mx + n o 3. Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes..
La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:[cita requerida] 1.Incompleta pura: Es de la forma:
. por el método de completar el cuadrado o por fórmula general.3 Teorema de Cardano-Viète 4 Solución mediante cambio de variable 5 Véase también 6 Enlaces externos
La ecuación de segundo grado y la solución tiene origen antiguo.Completa: Tiene la forma canónica:
donde los tres coeficientes a. Se resuelven por factorización. respectivamente.
llamadas raíces.donde los valores de a y de c son distintos de cero.Incompleta mixta: Es de la forma:
donde los valores de a y de b son distintos de cero.
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones.
son soluciones. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x). muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es. no necesariamente distintas. que pueden ser reales o complejas. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. dadas por la fórmula general:
. Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):
1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:
con a distinto de cero. No tiene solución en números imaginarios. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo.. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental. por supuesto.
. x = 0 3.
se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal. 3. de multiplicidad dos. si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x). podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.2. Una solución real doble. podemos dividir entre a cada término de la ecuación:
Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
por lo que sumamos
en ambos miembros de la ecuación:
. para completar el cuadrado en el miembro izquierdo. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan). o más brevemente.
Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática). Sea dada la ecuación:
donde grado. dicho de otro modo.
para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo
Como a es distinto de cero.
Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general con solo suponer que a=1. aquél en el cual va el signo negativo antes del radical.Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros:
Es trivial el orden en que se toman los valores de x. algunos autores prefieren colocar en primer término el valor menor de x. Sin embargo.
[editar] Deducción para resolver la ecuación de la forma x2 + mx + n
Esta forma de ecuación cuadrática se caracteriza por que el coeficiente del término en x2 es 1. es decir. se sugiere resolver cada ecuación empleando todos los pasos de la deducción cada vez para tener dominio del método de completar el cuadrado. como se
. pero existe para ellas una fórmula particular que vamos a deducir. Antes de aplicar indiscriminadamente la fórmula general en la solución de ecuaciones de segundo grado particulares.
es tan similar a la fórmula original que no significa un gran ahorro de tiempo respecto a la fórmula general.demostrará. La ecuación es: Transponiendo n:
Descomponiendo el primer término el cual es un trinomio cuadrado perfecto:
[editar] Teorema de Cardano-Viète
el cambio de variable necesario es del tipo .Producto de raíces
Además se puede hacer uso de la identidad de Legendre para obtener la diferencia de raíces. debemos forzar a que . Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero. es decir
Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Aplicando el cambio de variable anterior. obtenemos la ecuación
y desarrollándola queda
(1). como ya se ha dicho. (2)
Esta nueva ecuación está en la forma que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable. y que.
[editar] Solución mediante cambio de variable
Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo . Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo . tiene una solución inmediata del tipo
1 El caso general 2 Discriminante 3 El caso real o 3. obtenemos la solución de la ecuación original
El artificio de esta demostración. usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos. b. en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata. consiste. que es
.1 Ejemplo 1
. c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo. queda
Dado que con variable en
.Por tanto.1 Raíces reales de la ecuación cúbica 4 Raíces múltiples o 4. y que . por tanto. despejando la variable en la ecuación (2).
. del cuerpo de los números complejos. vemos aparecer el
término Se obtiene:
. con p y q números del cuerpo que tienen las siguientes expresiones
. para suprimir el término cuadrado.
Proceder al cambio de incógnita
. En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. En
efecto. compensado exactamente por
. donde se pueden extraer raíces. propiedad que hará posible resolver la ecuación. por ejemplo.  
5 Segundo ejemplo 6 Véase también 7 Enlaces externos
Sea un cuerpo conmutativo. Se obtiene:
. al desarrollar
con la identidad precedente. que significa Gran Arte o Arte Magno) por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) que publico en el año de 1545. razón por la cual se le llama método de Cardano.
. Este es el caso. Los pasos de la resolución son:
Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín. según el Teorema Fundamental del Álgebra.
Así. si y y
(que verifican
finalmente En el cuerpo por supuesto
son estas raíces cúbicas. .
Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z).
. que se sabe resolver. que implica . Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación . Concretamente: . y . . la astucia genial: escribir . Desarrollando: Reagrupando: Factorizando:
. entonces las otras son . las parejas
. . una raíz cúbica de la unidad. con .y
Como el producto uv está fijado .
Y ahora. la ecuación precedente da
. es posible imponerse una condición adicional.
son raíces cúbicas de .
Pongamos porque auxiliar
.. Entonces tenemos
el número de raíces reales no es siempre 3. Las raíces cúbicas no plantean problemas.
Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. extensión algebraica cerrada de R. El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado.Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto .
. Las demás son complejas conjugadas.
Demostración de la discriminante equivalencia de la ecuación auxiliar
mediante transformaciones de
Trasformación equivalente
al miembro derecho
Demostrado que cuando la ecuación posee raices Reales dobles. por lo tanto.
Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar
Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las que faltan se encuentran en C.
Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Como son funciones contínuas. todas reales. entonces podemos obtenerlas fácilmente como
De modo que si queremos calcular las tres raíces de la ecuación cúbica completa . ahora la raíz doble se puede presentar si y sólo si se cumple la condición de que
. pero donde se calculan como posee tres raíces reales cuando el posee cualquier valor y signo. por el teorema de los valores intermedios. En la figura siguiente se registra todos los casos. según los signos de a y de Δ. Aunque lo más fácil es resolverla con el método Newton-Raphson ya que sabemos que al menos habrá una solución real. para donde el signo positivo se usa si esta dada por y el signo negativo se usa si . 
Si Δ = 0 existe una raíz múltiple real: una raíz triple o una doble y otra simple. esto es. que dos o tres de las raíces sean iguales entre sí. Las raíces de multiplicidad unitaria ya fueron descritas antes. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. para
En cualquier ecuación cúbica es posible que se presenten raíces múltiples. tienen que pasar por cero. es decir.
La ecuación cúbica incompleta discriminante . Tales raíces
. raíces de multiplicidad dos y tres.
Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Rafael Bombelli quien fue. U = u³. U y V son las raíces de X² + X . en pleno siglo XVI). el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento.15x .1. procedamos a resolverla. V = v³ y nos imponemos U + V = . con Cardano. La ecuación es x³ .
Sea la ecuacuón cúbica .1 = 0.4 = 0. reemplazando: . luego
(al dividir por 2) Con x = t + 1. sigamos los pasos descritos en el primer párrafo.
. y desarrollando:
x = u + v. es decir t = x .y las raíces de la ecuación cúbica incompleta serán
. Para ello.1 y UV = .
que se puede observar mediante el cambio de variable x=z+k. En conclusión.Estudiando la función x → x³ . Hallamos U = 2 . Los dos primeros pasos son inútiles.4X + 125 = 0. Con esto podemos encontrar otra fórmula general para las ecuaciones cúbicas. Las otras raíces son x' = j(2 . Pasamos al tercero: x = u + v. lo que se verifica de inmediato. Nota: Toda ecuación cúbica completa tiene otra equivalente incompleta o completa condicionada (familia de cúbicas).i. y se toma la raíz cúbica del módulo).
U y V son las raíces de X² . U = u³. Por lo tanto no tiene raíces reales.i) + j²(2 + i) = .2 + √3 y x" = j²(2 . y v es su conjugado: v = 2 + i. recordando que uv = -p/3).i) + j(2 + i) = . U y V son conjugados.
. Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Este método nos permite encontrar las raíces. Por lo tanto debería ser más fácil que en el primer ejemplo encontrar una. V = v³.b³ = . ¡ Es paradójico ! Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones. pasando obligatoriamente por los complejos.11 (parte imaginaria) a² + b² = 5 (módulo)
Obtenemos a = 2 y b = -1. y por lo tanto también lo son u y v (con tal de bien escoger la raíz cúbica.11i equivale al sistema: a³ . y de hecho también x' y x". que emplea las partes real e imaginaria: Pongamos u = a + bi.15x .11·i y V = 2 + 11·i.3ab² = 2 (parte real) 3a²b . Hay dos métodos: uno geométrico. diferente a las fórmulas de Cardano o Tartaglia.2 . aunque sólo tengan soluciones reales. así estamos seguros de obtener un x real.4 o calculando el discriminante Δ = -13068 < 0. nos damos cuenta que esta ecuación tiene tres raíces ( vean el cuadro 3 de la figura).
u³ = 2 .√3. x = u + v = (2 . que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres. todas reales.i) + (2 + i) = 4. y otro algebraico. ecuación cuyo discriminante ya hemos calculado y que es negativo. Cuando Δ es negativo. o sea u = 2 .
1 Caso general o 1. c. la enciclopedia libre Saltar a: navegación. usualmente a .Ecuación de cuarto grado
donde a.1 Método de Descartes 2 Ecuaciones bicuadradas o 2.1 Otro caso particular: Ecuaciones casi-simétricas 3 Véase también 4 Enlaces externos
[editar] Caso general
Gráfico de una ecuación de cuarto grado. d y e (siendo los reales o los complejos
) son números que pertenecen a un cuerpo.
En un cuerpo algebraicamente cerrado. lo
Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios. En con la identidad precedente. pues fue dado por el matemático francés René Descartes (1596-1650) en el año de 1637 en su célebre libro "La Geometría". Se obtiene:
. se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. En este cuerpo. Este método es llamado "método de Descartes". para suprimir el término cúbico. la idea genial: factorizar lo anterior en que es posible porque no hay z³ en el polinomio. (4) método de Lagrange y (5) método de Álcala. (2) método de Descartes. El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. después de un largo cálculo.
[editar] Método de Descartes
Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a.
. Aunque existen hasta 5 métodos distintos de resolver las ecuaciones cuárticas. Tras
. es posible factorizar por todo a. y la identidad siguiente es válida:
. compensado exactamente por que aparece en sustituir x y operando con las identidades notables. estos son: (1) método de Ferrari. donde
. Es el caso del cuerpo de los complejos. eso sí. donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuarto orden.Sea K un cuerpo.
. q y r números del cuerpo. obtenemos las condiciones:
. con p.
Proceder al cambio de incógnita efecto. (3) método de Euler. se obtiene: . vemos aparecer el término . pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas).
Y ahora. según el Teorema Fundamental del Álgebra.
Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. no se olvide que .
grado en la variable
Luego se encuentra α. que resulta ser una ecuación de tercer y que se puede resolver usando el método de Cardano. Entonces:
[editar] Ecuaciones bicuadradas
Éstas son un caso particular de las anteriores. pero si miramos bien. Su forma polinómica es:
Ahora bien. α sólo aparece con potencias pares.
. esto no nos da las cuatro soluciones esperadas.(coeficiente de x²) (coeficiente en x) (término constante)
Después de algunos cálculos. y se resuelven para rematar. Pongamos A = α2. β y γ. Aún hemos de deshacer el cambio de variable. hallamos : Es una ecuación del sexto grado. Así las cuatro soluciones serán:
z1 y z2 Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones de 2o grado:
. puede ser resuelto así:
Esta ecuación da 2 raíces. se obtiene
. donde Al dividir la ecuación por x2.[editar] Otro caso particular: Ecuaciones casi-simétricas El siguiente tipo de ecuación
c. Es de la forma general:
donde a.Si a0 no es 1 en este método es de todas formas aplicable. b. se denomina ecuación quíntica o de quinto grado a una ecuación polinómica en que el exponente de la variable independiente de mayor grado es cinco.
Polinomio de 5º grado con cuatro puntos extremos. que. e y f son miembros de un cuerpo (habitualmente el de los números racionales. la enciclopedia libre Saltar a: navegación. y x3. x2. las define: si x1.
En matemática. y . entonces x3x4 = m necesariamente
De Wikipedia. luego de dividir la ecuación entre a0. por otra parte. entonces x1x2 = m. el de los reales o los complejos). Dado que el producto de las 4 raíces es m2. d. Las ecuaciones cuasi simétricas poseen la siguiente propiedad.x4 son las raíces de la ecuación.
la gráfica de las funciones quínticas normales se parece a la de las funciones cúbicas normales. Este resultado también se cumple para ecuaciones de mayor grado. también hay fórmulas que proporcionan las soluciones. divisiones y extracciones de raíces. que puede escribirse como (x2 + 1)(x + 1)(x − 1)2 = 0. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podría ser resuelta mediante factorización. mediante un número finito de sumas. que fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en el álgebra. restas. Sin embargo. Otras quínticas como x5 − x + 1 = 0 no pueden factorizarse de manera sencilla. lo que dio pie al campo de la teoría de Galois. La derivada de una función quíntica es una función cuártica. como por ejemplo x5 − x4 − x + 1 = 0. excepto en que pueden poseer un máximo y un mínimo locales adicionales. George Paxton Young y Carl Runge mostraron en 1885 que cualquier quíntica resoluble irreducible en forma de Bring-Jerrard. John Stuart Glashan.
.3 Métodos numéricos 2 Véase también 3 Referencias 4 Enlaces externos
Algunas ecuaciones de quinto grado se pueden resolver mediante factorización de radicales.2 Otros métodos analíticos o 1. publicado en 1824. La resolución de ecuaciones lineales. multiplicaciones.
1 Búsqueda de raíces de una ecuación quíntica o 1. Esto lo probó por primera vez el teorema de Abel-Ruffini.1 Factorización de radicales o 1. cúbicas y cuárticas mediante factorización de raíces es bastante sencilla cuando las raíces son racionales o reales. Usando esta teoría. cuadráticas.Debido a que son de grado impar. no hay una fórmula general en términos de raíces para las ecuaciones de quinto grado sobre los racionales.
con . usando un enfoque similar al más familiar usado al resolver ecuaciones cúbicas mediante funciones trigonométricas.donde μ y ν son racionales. Dado que haciendo un uso juicioso de las transformaciones de Tschirnhaus se puede convertir una quíntica a forma de Bring-Jerrard. En 1858 Charles Hermite mostró que el radical de Bring se podía caracterizar en términos de las funciones theta de Jacobi y sus funciones modulares elípticas asociadas. Leopold Kronecker desarrolló una manera más sencilla de derivar el resultado de Hermite usando Teoría de grupos. las raíces reales de t5 + t − a siendo a un número real. Jerrard mostró alrededor de 1835 que las quínticas se pueden resolver usando ultraradicales (también conocidos como radicales de Bring). En 1994. La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 puede verse definiendo la expresión
y obtenemos la primera parametrización usando el caso negativo de la raíz cuadrada. esto da una condición necesaria y suficiente para que se pueda resolver mediante raíces. mientras que el caso positivo nos da la segunda con ε = − 1.
También existen otros métodos para resolver quínticas. prácticamente al mismo tiempo que Francesco Brioschi. Por tanto esto es una condición necesaria (pero no suficiente) para que la quíntica resoluble irreducible
siendo a e y racionales. Spearman y Williams dieron una alternativa. Más
la teoría de Galois y las funciones modulares elípticas que aparecen en la solución de Hermite. dando una explicación de por qué deben aparecer. o si se sabe que las soluciones comprenden sólo expresiones sencillas (como en exámenes). El matemático mexicano Graciano Ricalde Gamboa (1873-1942) descubrió un método para la resolución de la ecuación de quinto grado mediante el uso de funciones elípticas. También se pueden usar otros métodos como el de Laguerre o el de Jenkins-Traub para encontrar numéricamente las raíces de una quíntica de forma más fiable.
. y desarrolló su propia solución en términos de las funciones hipergeométricas generalizadas.adelante. Felix Klein llegó a un método particularmente elegante que relaciona las simetrías del icosaedro.

References: Resolución 
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