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Timestamp: 2020-03-30 00:45:20+00:00

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Calcul différentiel topologique élémentaire | Wolfgang Bertram | download
Principal Calcul différentiel topologique élémentaire
Le calcul différentiel,dont l'origine remonte à Isaac Newton et Gottfried W. Leibniz,
est un chapitre fondamental que les étudiants de mathématiques, de physique, et
plus généralement de toute science exacte, se doivent de maîtriser. Pour autant, c'est
aussi un outil indispensable pour la recherche mathématique, non seulement en
analyse, mais également en géométrie et en algèbre.
Le présent ouvrage offre une approche nouvelle du sujet, qui en rend l'accès aisé
le plus vite possible, c'est-à-dire dès la deuxième année de faculté, une fois que l'on a
acquis l'essentiel de l'analyse des fonctions d'une variable, et sans attendre les
espaces de Banach généraux. Le renoncement à la dimension infinie ouvre
paradoxalement la voie à une approche plus générale, permettant une énorme
souplesse quant au corps de base, pour inclure, aux côtés de R et C, les corps
p-adiques et même la caractéristique positive. Séparant bien ce qui est propre au
calcul différentiel de ce qui est indispensable au calcul intégral, W. Bertram nous offre
là une monographie originale, qui fera évoluer les idées sur l'enseignement de la
matière. L'ouvrage se destine à deux publics, à savoir celui des étudiants, et à un
public plus savant, qui découvrira un territoire où des recherches actives et
passionnantes sont en train de prendre corps.
Les étudiants trouveront une présentation rigoureuse et simple d'une matière
souvent considérée comme difficile, et les experts découvriront un regard nouveau
sur une thématique classique. De nombreux exercices, en grande partie inédits,
permettent d'approfondir ce regard et d'offrir à tous une réconfortante vision de
l'unité des mathématiques.
Editorial: Calvage et Mounet
ISBN 10: 2916352236
ISBN 13: 9782916352237
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Exercices de calcul différentiel
François Rideau
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We'll Have Manhattan: The Early Work of Rodgers & Hart
Wolfgang Bertram if / Calcul différentiel topologique élémentaire m Calvage & Mounet
Mathématiques en devenir 101. — Jacques Faraut. Analyse sur les groupes de Lie. Une introduction 102. — Patrice Tauvel. Corps commutatifs et théorie de Galois 103. — Jean Saint Raymond. Topologie, calcul différentiel et variable complexe 104. — Clément de Seguins Pazzis. Invitation aux formes quadratiques 105. — Bruno Ingrao. Coniques projectives, affines et métriques 106. — Wolfgang Bertram. Calcul différentiel topologique élémentaire 107. — Henri Lombardi et Claude Quitté. Algèbre commutative. Méthodes constructives
Wolfgang Bertram Calcul différentiel topologique élémentaire HP Calvage & Mounet
Wolfgang Bertram est professeur à l'Université Henri Poincaré à Nancy, et membre de l'Institut Élie Cartan. Il est l'auteur de The Geometry of Jordan and Lie Structures, Springer Lecture Notes 1754, Berlin 2000, et de Differential Geometry Lie Groups and Symmetric Spaces over General Base Fields and Rings, Memoirs of the Amer. Math. Soc. 900, Providence 2008. Wolfgang.BertramOiecn.u-nancy.fr Mathematics Subject Classification (2010) - Primary : 97140 Differential calculus 58A05 Differentiable manifolds, foundations 58B10 Differentiability questions 46G05 Derivatives 46G20 Infinite-dimensional holomorphy 46H05 General theory of topological algebras 46K05 General theory of topological algebras with involution 46S10 Punctional analysis over fields other than R or C or the quater- nions ; non-Archimedean functional analysis 46A19 Other "topological" linear spaces 16W10 Rings with involution ; Lie, Jordan and other nonassociative structures 39A12 Discrète version of topics in analysis ISBN 978-2-91-635223-7 © Imprimé sur papier permanent © Calvage & Mounet, Paris, 2011
À la mémoire de Yannis Varouchas
Préface Ce livre présente, avant tout, un cours élémentaire de calcul différentiel de plusieurs variables, destiné à des étudiants de deuxième année d'études universitaires et au-delà. ; Il présente, également, une nouvelle approche à des aspects plus avancés du calcul différentiel, comme le cas de la dimension infinie ou le calcul différentiel sur d'autres corps que R ou C. Je m'adresse donc à la fois aux débutants et aux spécialistes, qu'ils soient chercheurs ou enseignants ou enseignants-chercheurs. Expliquons cette entreprise inhabituelle —d'abord aux débutants (I), et ensuite aux spécialistes (II)—. I. Calcul différentiel dans l'espace de dimension finie Sir Isaac Newton (1643-1727) fut non seulement, avec Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), le créateur du calcul différentiel et intégral, mais aussi celui qui l'appliqua avec un succès bouleversant à d'autres sciences : la formulation de la théorie de la gravitation par Newton et son explication des lois de Kepler pour les trajectoires des planètes fut la meilleure preuve de l'utilité et de la portée universelle de ce calcul. Sans vouloir passer notre monographie pour un ouvrage de physique, retenons de cet exemple que le calcul différentiel dont il est question dans une bonne moitié du présent texte et dont on a besoin en pratique (et pas seulement en mécanique) est le calcul différentiel dans l'espace, c'est-à-dire, le calcul qui traite de fonctions d'une variable « spatiale » à valeurs « spatiales », comme les courbes, les surfaces paramétrées, les potentiels, les champs de vecteurs, etc. Il est donc important de développer le calcul différentiel et intégral dès que possible dans Vespace (qui était tridimensionnel à l'époque de Newton et qui est devenu, plus tard, Rn). Autrement dit, au cours des études, après avoir appris l'analyse des fonctions réelles d'une variable1, il faudrait passer le plus rapidement possible à l'analyse des fonctions vectorielles de plusieurs variables, c'est-à-dire de fonctions f : U —> Rm, définies sur une partie U de Rn, où les dimensions m et n sont des entiers naturels quelconques. xQue l'on appelle communément « fonctions d'une variable réelle ». - VU -
vin Préface Quel est alors le meilleur moment pour ce passage de l'analyse des fonctions réelles d'une variable à l'analyse « vectorielle » ? La réponse est relativement simple : il importe, en premier, d'avoir acquis les notions élémentaires d'algèbre linéaire dans Rn que sont les notions de base, de sous-espace vectoriel, d'application linéaire, de la correspondance entre applications linéaires et matrices et de produit scalaire (et c'est tout ! On n'a ainsi vraiment pas besoin de théorie plus fine, telles la diagonalisation ou la trigonalisation des matrices). Au demeurant, il convient aussi, en analyse, de connaître Vintégrale simple2, la notion de dérivée et la relation fondamentale qui existe entre les deux : f f'(t) dt = f(b) — /(a), relation qui se généralise, via une intégration par parties répétée, en la formule de Taylor avec reste intégral. Pour répondre à la question posée ci-dessus, on peut alors dire que, une fois ces connaissances acquises, le meilleur moment est déjà là! Et qu'il ne faudrait plus tarder. Concrètement, il nous semble que ce moment se situerait plutôt en deuxième qu'en troisième année d'études (tel que décompté dans les universités françaises3). Même si, dans la pratique (toujours : dans les universités françaises), on procède le plus souvent autrement et l'on enseigne cette matière seulement en troisième année, nous avons choisi une présentation qui nous semble adaptée à un enseignement fructueux dès la deuxième année. Plus précisément, nous avons divisé la progression en deux ou trois « parcours ». - Un cours « élémentaire », qui pourrait correspondre à un enseignement de deuxième année : chapitres I, III, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XVII, XVIII, XIX, XX, en omettant toutes les sections marquées *, et complété par des exercices dans le style des « exercices élémentaires ». - Des approfondissements, en rajoutant les chapitres IV, V, XII, XIII et quelques sections marquées * ; les sujets correspondent pour la plupart à des contenus de la troisième année, et l'on pourra déjà, selon le niveau, s'attaquer à quelques « exercices avancés ». - Le reste du cours est pour faire plaisir au lecteur qui a mordu ferme à ces mathématiques : il s'agit des chapitres XIV, XV, XVI et des exercices avancés qui font référence plus ou moins directe à ces chapitres. L'ouvrage qui semble avoir eu la plus grande influence, en France, sur la présentation de cette matière est le livre « Calcul différentiel » de feu Henri 2 Nous empruntons cette notion au livre de Lang [21] ; cette intégrale peut être une intégrale de Riemann ou une autre intégrale. 3À l'ère de l'Europe sans frontières, il n'est peut-être pas inutile de citer l'exemple des universités allemandes, où l'on place, habituellement, « ce meilleur moment » en deuxième semestre de la première ( ! ) année d'études.
Préface rx Cartan ([2], cf. références bibliographiques), influence que l'on peut retrouver aussi bien dans les « éléments de mathématique » de N. Bourbaki [31] que dans le joli livre de Marc Chaperon [4], « Calcul différentiel et calcul intégral - 3eannée ». Se conformant au célèbre livre de Cartan, la plupart des auteurs développent le calcul différentiel dans les espaces de Banach généraux, autorisant ainsi la dimension infinie. C'est là, assurément, qu'il faut chercher la raison pour reléguer son enseignement en troisième année d'études : si pour un mathématicien professionnel cette généralisation du cadre semble ne pas coûter très cher4, son prix est beaucoup plus élevé pour un débutant, car cette généralisation exige une certaine maturité mathématique, maturité qui est nécessaire pour manipuler des structures algébriques et topologiques à la fois : en dimension infinie, la topologie est une donnée supplémentaire et non-triviale, tandis que les espaces M.n viennent avec une topologie naturelle et unique, ce qui rend les concepts plus simples dans ce cas. Il nous semble que cette maturité est difficile à acquérir avant la troisième année d'études —et, soyons sincères, même en troisième année—, car c'est trop demander aux étudiants que d'apprendre en même temps les concepts qui fondent le calcul différentiel et ceux qui fondent l'analyse fonctionnelle. Nous n'avons donc pas suivi cette approche : dans tous les chapitres du parcours « élémentaire » décrit ci-dessus, nous nous plaçons dans les espaces vectoriels de dimension finie, V = W1 et W = Rm. De manière paradoxale, ce renoncement ouvre la voie à une approche à la fois beaucoup plus générale et (nous semble-t-il) plus simple que celle donnée par les espaces de Banach : nous la désignons par « calcul différentiel topologique ». Expliquons. II. Calcul différentiel topologique Nous avons choisi le terme « calcul différentiel topologique » en opposition à ce que l'on pourrait appeler « calcul différentiel métrique ». Ce dernier terme pourra caractériser l'approche traditionnelle du calcul différentiel dans laquelle les notions fondamentales sont définies en faisant appel à une norme et sont donc, au moins en apparence, de nature métrique. L'aboutissement naturel de cette approche est le « calcul différentiel dans les espaces de Banach », tel qu'il est exposé, par exemple, dans le livre de Cartan cité ci-dessus. Si l'on veut pousser cette approche métrique au-delà du cadre des espaces de Banach, par exemple pour les espaces de Préchet, ou pour des espaces vectoriels localement convexes plus généraux, la théorie devient de plus en plus compliquée et les résultats de plus en plus faibles (cf. la monographie [34]). 4Cf. [4], p. viii, mais aussi le livre plus récent [25], qui s'adresse principalement aux étudiants en L3.
X Préface En contraste avec l'approche métrique, nous cherchons dans ce cours à définir toutes les notions fondamentales de manière purement topologique, c'est-à-dire en utilisant seulement la notion de continuité. Au fond, il s'agit simplement de prendre plus au sérieux des exercices obligatoires que l'on fait de manière automatique et sans grand plaisir au cours de l'approche usuelle : on y montre ainsi que le choix d'une norme équivalente mène à la même notion de « petit o de Landau » et donc à la même notion de différentielle, de classe (ë1, de développement limité et ainsi de suite. Tout ceci ne dépend donc que de la topologie sous-jacente. Aussi (et du coup l'exercice devient passionnant) devrait-il être possible de dire directement, en termes topologiques, ce que tous ces objets signifient et comment l'on peut les définir directement, sans invoquer une quelconque norme, qui de toute façon n'intervient qu'à équivalence près ! J'ai alors fait cet exercice, et le résultat en est le présent livre. Les avantages de cette approche topologique du calcul différentiel sont multiples. Tout d'abord, si « tout » est formulé en termes de la topologie seulement, « tout » est automatiquement valable dans les espaces vectoriels topologiques quelconques (séparés, pour garder l'unicité de limite), qu'ils soient de Banach, de Préchet ou localement convexes, qu'ils soient métrisables et complets ou non! Mieux encore, la théorie ne change pas de forme, contrairement au cas métrique où elle devient de plus en plus sophistiquée quand on généralise le cadre. Bien sûr, le lecteur qui se méfie de ce dessein de paradis facile a en partie raison : que se cache-t-il derrière le mot « tout » ? Réponse : tout ce qui relève vraiment du calcul différentiel et non du calcul intégral. Ou, de manière positive : toute la théorie jusqu'à la version « qualitative » de la formule de Taylor. Nous pouvons toujours différentier, mais pas toujours intégrer : par exemple, en général, il n'y a plus de théorème d'existence ou d'unicité pour les solutions d'équations différentielles ordinaires —pour anticiper, mentionnons que, sur les corps p-adiques Qp, il existe des fonctions lisses non-localement constantes telles que /' = 0—. Ainsi, l'« intégration d'une équation différentielle », fût-elle aussi triviale que /' = 0, relève effectivement du calcul intégral. Pour citer un autre exemple, le théorème d'inversion locale tout comme son jumeau, le théorème des fonctions implicites, contiennent une étape « d'intégration » qui permet d'étendre une propriété différentielle en une propriété locale. Étendre ces résultats à des espaces vectoriels plus généraux que les espaces de Banach est une tâche difficile, qui dépasse de loin le cadre de ce cours5. Mais nous pouvons en tirer une leçon pédagogique : dans l'enseignement du calcul différentiel et intégral, il existe un découpage très net entre « dif- férentiation » et « (éléments d')intégration » (cf. le sommaire). Les notions 5Le lecteur intéressé pourra consulter, à ce propos, les ouvrages [35] et [32].
Préface xi les plus élémentaires de topologie suffisent pour la première partie; c'est seulement dans la deuxième partie que les notions topologiques de connexité et de complétude interviennent. (Il en est de même pour la compacité] mais pour pouvoir comparer avec les notions classiques et métriques, il est indispensable d'introduire la compacité —au moins séquentielle— assez tôt dans le cours.) Cependant, il nous semble que le plus grand avantage de cette approche est une énorme souplesse quant au corps de base : tout ce que nous venons de dire n'utilise que les notions de corps, d'espace vectoriel sur ce corps et de topologie et est donc automatiquement vrai pour des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique (non-discret) quelconque, au lieu du corps R des nombres réels. Si le cas du corps C des nombres complexes est encore bien connu et peut être traité, comme classiquement, par un calcul différentiel métrique, l'approche traditionnelle marche beaucoup moins bien dans le cas des corps Qp des nombres p-adiques (cf. les monographies [38] et [37]). Pour sortir de l'impasse, Bourbaki ([31]) propose la notion de strictement différentiable, qui est encore métrique par sa définition, mais n'est au fond pas vraiment loin des notions de notre calcul différentiel topologique (nous discuterons de ce lien, pour le cas réel, dans le chapitre XVI). Mais le champ d'application de notre théorie ne s'arrête pas au cas p-adique : nous pouvons utiliser également des corps de base de caractéristique positive (notre version qualitative de la formule de Taylor peut être formulée sans division par des factorielles), et nous pouvons remplacer le corps topologique de base par un anneau topologique (toujours commutât if, et ayant un groupe dense d'éléments inversibles). Ceci ouvre une perspective tout à fait nouvelle du calcul différentiel quant aux changements et aux extensions des corps et anneaux de base et le rapproche de manière étonnante des méthodes utilisées en géométrie algébrique —voir notamment, à cet effet, les « exercices avancés » et la monographie [27]—. Finalement, l'approche topologique met aussi mieux en relief la notion de développement limité, notion qui joue déjà un rôle assez important dans le livre de Cartan, cité déjà à maintes reprises. Selon la terminologie utilisée par Cartan et adoptée depuis, les termes « une fonction / admet au point a un développement limité à l'ordre un » et « / est différentiable au point a » sont synonymes. En revanche, il nous semble plus judicieux de réserver le terme « différentiable » à une propriété locale, ayant lieu sur un ensemble U (qui est ouvert ou dont l'intérieur est dense), et de réserver le terme « développement limité » pour désigner des propriétés de / en un seul point. C'est la classe <ë1 qui est importante, tandis que la classe des fonctions « différentiables en tout point sans nécessairement être (ë1 » n'a
Xll Préface pas grand intérêt6 ; pour cette raison, je propose de considérer les termes « différentiable » et « de classe (ë1 » comme synonymes, quitte à traiter toutes les pathologies des fonctions « non (&k » dans un chapitre sur les développements limités, si l'on s'y intéresse vraiment. Avertissement au lecteur Bien entendu, l'approche que je viens d'esquisser reflète mon choix personnel —un choix pour l'algébrisation de l'analyse, pour l'abstraction et la conceptualisation7—. On pourra me reprocher que ce choix mènera à une négligence des arts traditionnels de l'analyse qui sont, selon Jean Dieu- donné [7] : « Majorer, Minorer, Approcher » ! Je ne nierai pas ce danger ; mais l'analyse, comme l'ensemble des mathématiques et de la société, vit d'un pluralisme d'idées, et la propagation d'une nouvelle approche contribue à la richesse du « réservoir génétique » des mathématiques. Du reste, pour reprendre une jolie comparaison du livre [20] (loc. cit., p. xi) : « This book is about mathematics for its own sake. It is a guided tour of a great but empty Opéra House. The guide is enthusiastic but interested only in sight-lines, acoustics, lighting and stage machinery. If you wish to see the stage filled with spectacle and the air filled with music you must corne at another time and with a différent guide ». Par exemple, les ouvrages [4], [14] et [24], renfermant dans leurs pages une riche collection d'exercices et de problèmes d'analyse, peuvent jouer le rôle de cet « autre guide ». Le terme « mathematics for its own sake » signifie aussi que l'organisation du matériel est imposée, avant tout, par la nature mathématique du sujet, et non par des « programmes officiels » décrétés par des instances administratives ou gouvernementales. Ainsi, je m'adresse aux étudiants et aux enseignants ayant l'esprit ouvert pour découvrir ou redécouvrir des sujets classiques sous une perspective nouvelle et quelque peu différente des programmes officiels. Je remercie vivement les collègues qui ont lu des versions préliminaires de ce texte. Leurs nombreuses remarques et leurs commentaires pertinents ont contribué grandement à améliorer le rendu final. Plusieurs points de vue exprimés ici reprennent des remarques et opinions de mon collègue défunt Yannis Varouchas, et l'approche topologique décrite ici a eu son point de départ lors de discussions avec lui. Je regrette qu'il ne soit plus de ce monde pour continuer ces discussions, et je souhaite dédier ce livre à sa mémoire. 6Cf. [4], p. 189 : c'est un « tribut à la tradition » que d'accorder une place trop importante à cette classe. 7Dans cette optique, le style du célèbre livre de Henri Cartan reste, à mon avis, exemplaire.
Table des matières Partie 1. Continuité I. Espaces métriques 1. L'espace euclidien Rn 3 2. Espaces vectoriels normes 4 3. Espaces métriques 6 4. Petit vocabulaire de topologie 7 II. Continuité 1. Applications continues 11 2. Exemples et constructions 14 3. Applications linéaires bornées 18 4. Équivalence de normes 20 III. Compacité 1. La propriété de Bolzano-Weierstrass 23 2. Les parties compactes de Rn 24 3. Applications de la compacité 25 4. *Limites presque radiales. Notation de Landau 27 5. *La propriété de Heine-Borel-Lebesgue 29 IV. ^Espaces topologiques 1. Espaces topologiques 31 2. Applications continues 33 3. Les structures algébriques topologiques 35 V. *Interlude : Convexité 1. Parties convexes 39 2. Fonctions convexes 42 - xiii -
xiv Table des matières Partie 2. Calcul différentiel VI. Les courbes différentiables 1. La courbe dérivée d'une courbe 49 2. Intégrale simple d'une courbe 51 3. La pente 53 VIL La classe 'é?1 et la différentielle 1. La dérivée directionnelle et la pente 58 2. La classe &1 59 3. La différentielle 61 VIII. La classe <^1 - exemples et règles de calcul 1. Exemples 65 2. Dérivées partielles et matrice jacobienne 70 3. *Convergence au sens (&1 72 IX. Les classes <ëk,k^2 1. La dérivée seconde 77 2. Symétrie 80 3. Les classes «*, k G NU {oo} 82 X. La formule de Taylor 1. Développement à l'ordre 0 86 2. Développement à l'ordre 1 87 3. Développement à l'ordre ^2 87 XL Analyse vectorielle 1. Champs de vecteurs 91 2. Les 1-formes 95 3. Gradients 97 4. Extrema locaux 99 XII. *Le cas complexe 1. L'espace métrique Cn 103 2. Applications holomorphes 103 3. Les équations de Cauchy-Riemann 107 XIII. *Le cas de la dimension infinie 1. La définition fondamentale 109 2. Résultats et mises en garde 111 3. Exemples fondamentaux 114
Table des matières xv XIV. **Autres corps de base 1. Corps topologiques 117 2. Calcul différentiel sur un corps topologique 120 3. La formule de Taylor abstraite 123 4. Cas d'un anneau topologique 128 5. Autres perspectives 129 XV. *Développements limités et différentiabilité en un point 1. Développement limité en norme 132 2. Développement limité radial 133 3. Différentiabilité à l'ordre 1 en un point 135 4. Les classes «£ 138 5. Visite dans le musée des contre-exemples 140 XVI. **Applications analytiques 1. Remarques introductives 141 2. Séries formelles 142 3. Convergence 145 4. Applications analytiques 149 5. En guise de conclusion 152 Partie 3. Eléments d'intégration XVII. Recherche de primitives. Connexité 1. Existence de primitives : le problème 155 2. Connexité 156 3. Condition nécessaire 158 4. Condition suffisante : lemme de Poincaré 159 5. *Intégrales curvilignes 161 6. *Primitives de fonctions holomorphes 164 XVIII. Le théorème du point fixe ; complétude 1. Espaces métriques complets 169 2. *Espaces de Banach 171 3. Théorème du point fixe 172 4. *Complétion 173 XIX. Inversion locale et fonctions implicites 1. Théorème d'inversion locale 177 2. Théorème des fonctions implicites 181 3. *Le théorème du rang constant 184
xvi Table des matières XX. Extremums liés 1. L'espace tangent 192 2. La méthode des multiplicateurs de Lagrange 193 A. Exercices élémentaires 1. Espaces métriques et topologiques 197 2. Calcul différentiel 207 3. Éléments d'intégration 219 4. Le lemme de Morse 225 5. Lois de Kepler et trajectoires des planètes 227 B. Exercices avancés 1. Bonnes algèbres topologiques 231 2. Corps et espaces ultramétriques 237 3. Calcul infinitésimal. I : nombres hyperréels 243 4. Calcul infinitésimal. II : nombres duaux 247 5. Retour sur les équations de Cauchy-Riemann 255 6. Courbes et différences divisées 259 7. Calcul différentiel dans les espaces vectoriels topologiques .... 262 8. Les sphères et les applications conformes 266 9. Espaces projectifs et applications projectives 270 10. Les bonnes droites projectives AP1 273 11. Crochet de Lie 275 12. Intégrales curvilignes et dérivée extérieure 278 Bibliographie 281 Notations 285 Index 287
Avant-propos Le sujet de ce cours est l'étude et l'analyse des fonctions de plusieurs variables, / : En ->■ Rm, ou, plus généralement / : V -> W, où V et W sont des espaces vectoriels sur E. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales. 1. Continuité : notions de base de la topologie générale. 2. Différentiation. 3. Éléments d'intégration. Les fonctions que nous allons étudier sont des fonctions « régulières ». Le premier degré de régularité, noté ^?°, est la continuité; le degré suivant, noté të1, est la continue différentiabilité; encore plus régulières sont les fonctions ^2, ^3, ..., puis ^^ (le cas «lisse»). Ces propriétés seront étudiées en détail dans les parties 1. et 2., où nous dirons aussi quelques mots sur les fonctions les plus régulières que sont les fonctions analytiques. Quant à la partie 3., comme dans le cas d'une variable, Y intégration a deux aspects, a priori complètement différents l'un de l'autre. D'abord, le calcul d'aires (ou de volumes) ; cet aspect est étudié dans la théorie de la mesure, qui constitue le sujet d'un cours distinct. Ensuite, l'intégration joue aussi le rôle d'une « réciproque de la différentiation » : elle permet de « retrouver le chemin parcouru à partir du relevé de vitesse ». Plus précisément, la recherche de primitives mène au problème beaucoup plus vaste d'« intégrer une équation différentielle », et la relation fondamentale qui existe entre la différentiation et l'intégration en une variable se généralise en les célèbres théorèmes de Gauss et de Stokes. Dans la partie 3., nous développons des outils nécessaires pour attaquer ces grands sujets, outils qui s'avèrent également utiles dans un grand nombre d'autres théories mathématiques. Passons en revue ces trois parties de l'analyse pour le cas des fonctions réelles d'une variable, et essayons de dégager quelques aspects importants qui serviront à comprendre la suite. - xvn -
XV111 Avant-propos Continuité Qu'est-ce qu'une fonction continue? Commençons par le contraire logique : qu'est-ce qu'une fonction discontinue? Une fonction / est discontinue au point a si elle présente un « saut » au point a, d'une certaine hauteur, notée e, où e est un nombre strictement positif. Cela veut dire que l'on peut trouver des points x aussi proches que l'on veut de a (séparés de a d'une distance plus petite que £, quel que soit ô > 0 donné à l'avance), tels que l'écart entre f(x) et f(a) soit toujours plus grand que e. Plus formellement, soit /:/—>• R une fonction définie sur un intervalle I. Pour simplifier la notation, nous écrivons d(x, y) = \x — y\ pour la distance entre deux points x et y de la droite réelle R et Br(x) = {y G R | d(x,y) < r} pour l'intervalle de centre x et de rayon r. Alors, / est discontinue au point a G I si (NC) (3e > 0) (V<J > 0) (3x G I n Bô(a)) d(f{x)J(a)) > e. Selon les règles, le contraire logique de (NC) est la propriété suivante : (C) (Ve > 0) (3S > 0) (Vx G / H Bs(a)) d(f(x),f(a)) ^ e. C'est la fameuse « définition epsilon-delta » de la continuité de / au point a. [Si l'on veut, on peut remplacer la dernière inégalité par l'inégalité stricte d(/(x),/(a)) < e, car si e parcourt R+, il en est de même pour 2e.] La définition de la continuité par la condition (C) est à la base de l'approche moderne de l'analyse ; elle est tellement fondamentale, que nous recommandons au lecteur de l'apprendre par cœur comme un poème pour pouvoir la réciter sans hésitation et en toute circonstance. Cette même définition garde tout son sens si, par exemple, d(x, y) désigne la distance entre deux points x et y du plan ou de Rn. On peut donc définir les applications continues de Rn dans Rm exactement de la même manière. On en parlera au cours des trois premiers chapitres. Dérivabilité Pour n'importe quelle fonction / : I —> R, définie sur un intervalle / de R, et x, y G / avec x ^ y, la pente est définie par P(x,y):=MzM. (1) On peut interpréter cette expression comme le coefficient directeur de la sécante de / déterminée par x et y, Le., de l'hypoténuse dans le triangle rectangle marqué par les trois points (x,/(x)), (y, f(y)) et (y, f(x)) du plan R2 (une fois muni de sa structure euclidienne canonique). Faisons tendre y vers x : on dit que / est dérivable en x si la « sécante tend vers la tangente », Le. :
Avant-propos xix (D) pour toute suite yn de points de / qui tend vers x, la limite de la pente f'{x) := limn-^oo P(x,yn) existe. [On écrit aussi f'{x) = liiay^x P(x,y)\ Mais il existe aussi une deuxième notion qui est tout aussi naturelle : on pourra faire bouger les deux extrémités du triangle caractéristique et faire tendre à la fois x et y vers un point a. Si tout va bien, la sécante devrait, là encore, tendre vers la tangente : (DS) pour toute suite (xn, yn) de points de Ixl qui tend vers (a, a) (et telle que xn ^ yn), la limite de la pente f'(x) := limn^oo P(xn, yn) existe. [On écrit aussi f'(a) = lim^.^-^co.a) P{x,y).\ x^y La surprise est alors que les deux notions ne coïncident pas ! Donnons un contre-exemple : la fonction /:R-+R, /(*) = ( *2sin(i) six^° J JK J \ 0 six = 0 est bien dérivable en tout point x G R : comme | sin( — ) | ^ 1, on trouve que f'(0) = 0, et pour x ^ 0, les règles usuelles de dérivation donnent f'(x) = 2xsin(^) — cos(^). Mais elle ne satisfait pas la condition (DS) : comme cos(^) a des oscillations de plus en plus rapprochées quand x tend vers 0, on peut trouver une suite de couples (xn, yn) telle que P{xn, yn) = | et telle que xn et yn tendent vers 0 pour n -> oo. Mais l'on peut construire de la même façon une suite avec des propriétés analogues, et telle que P(x'n, y'n) = — |. Pour la suite mixte obtenue en mettant ces deux suites ensemble, la pente n'admet donc pas de limite. Autrement dit, lim(x,y)-*(o,o) P{x,y) n'existe pas. Figure 1 : graphe de f Nous devons donc distinguer ces deux propriétés, et nous dirons que / est strictement dérivable en a si la condition (DS) est vérifiée. Et voici un résultat important d'analyse en une variable.
XX Avant-propos Théorème de la pente. Pour une fonction f : I —>■ R, les assertions suivantes sont équivalentes. (1) La fonction f est dérivable en tout point de I, et f : I —>• R est continue. (2) La fonction f est strictement dérivable en tout point de I. (3) 77 existe une fonction continue de deux variables fK1> : / x / —> R telle que f<1>(x,y) = P(x,y) si x ^y. Sous ces conditions, on a f<1>(x,x) = ff(x). On dit alors que / est de classe <ël. Nous allons esquisser la preuve de ce théorème tout de suite. La preuve la plus simple utilise le théorème des valeurs intermédiaires ; mais cette preuve ne peut pas être généralisée au cas de Rn. Pour cette raison, nous lui préférons une autre, dont l'outil principal est V intégrale et sa relation avec le calcul différentiel. La relation fondamentale entre différentiation et intégration Le lecteur reconnaîtra la « formule reine » du calcul différentiel et intégral en une variable : si / : I -» R est continûment dérivable dans l'intervalle I et x, y G /, f" f(t)dt = f(y)-f(x). (2) Jx Nous supposons connues quelques propriétés simples de l'intégrale, à savoir : (a) toute fonction continue / : [a, b] —)• R est intégrable ; (b) normalisation : fa 1 du = b — a ; (c) l'intégrale est linéaire : / {f+9){u)du = / f{u)du-\- l g(u)du et / Xf{u)du = À / f{u)du\ (d) l'intégrale est « monotone » : | f f{u)du\ ^ J \f(u)\ du. Mais (vu qu'il y a plusieurs façons de se procurer la notion d'intégrale, qu'elle soit de Riemann ou de Lebesgue ou autre) nous n'allons pas interroger le lecteur sur les origines de son savoir. De toute manière, la formule (2), ci-dessus, est une conséquence des propriétés a) - d). Si, dans cette formule, on fait un changement de variables u = ^^, on peut la récrire f(y) - f(x) = {y-x) / /'(x + u(y - x)) du, Jo de sorte que pour la pente on obtient P(x,y)=f{y) f{x) = f' f'(x + u(y-x))du. y — x Jo (3)
Avant-propos xxi Si Ton suppose que f est continue et que x et y tendent vers a, alors la fonction u \-+ ff(x + u(y — x)) tend uniformément sur l'intervalle [0,1] vers la constante /'(a), et donc l'intégrale tend vers /'(a). Ainsi, P(x,y) tend vers une limite /'(a), et donc / est strictement différentiable en a. Nous venons de démontrer l'implication 1) => 2) du théorème de la pente. L'implication 3) => 1) est banale : si la fonction continue fKl> existe, il s'ensuit que fKl>(x,x) = limy-+x fK1>(x,y) — X\my^xP(x,y)\ la limite existe donc, et alors f<1>(x,x) = f'(x) est continue en x, car f<x> est continue. Il reste à démontrer l'implication 2) => 3). Nous en donnons, sous la forme d'un exercice (cf. exercice A-2.1), une preuve élémentaire, dans le sens où elle ne fait pas intervenir de nouvelles idées. Revenons au théorème lui-même, en oubliant sa preuve. D'une certaine façon, il ramène la notion de dérivabilité (de classe (&1) à la notion plus primitive de continuité : une fonction /est (&1 si, et seulement si, on peut prolonger sa pente en une fonction continue de deux variables (x, y) € Ixl. A priori, la pente n'est pas définie sur la diagonale {(x, x) | x G 1} de / x i", mais, si / est <^1, on peut « boucher les trous » en prenant la dérivée /'(x) comme valeur8. Comme nous venons de le voir, pour des fonctions comme f(x) = x2 sin(^), la situation est moins agréable et il faut s'attendre à des complications. Pour cette raison, nous écartons de telles fonctions, et nous nous concentrons sur des fonctions de classe (ë1. Alors, le théorème de la pente peut servir comme modèle aussi dans le cas de fonctions de plusieurs variables. Dans ce cas, on ne peut plus écrire la pente sous la forme P(x,y) = (car on x y ne peut pas diviser par le vecteur x — y), mais l'on peut écrire le quotient suivant *(X,v,t):=fix + tv)t-fix\ (4) où x et v sont des variables « vectorielles » et t est une variable réelle (le « temps »). Pour mémoriser le rôle particulier de chacune des ces trois variables, on pourra dire qu'elles correspondent aux trois questions suivantes : - où suis-je ? (x) - dans quelle direction je veux aller ? (v) - pendant combien de temps je veux aller dans cette direction ? (t) Alors, 3>(x, v, t) représente le taux de changement de / entre le début et la fin de ce voyage. Si l'on peut prolonger l'expression (4), qui est initialement définie pour t ^ 0, par continuité jusqu'à t = 0, on trouve la dérivée 8Dans [16], p. 236, cette façon de ramener la notion de dérivabilité à celle de continuité est attribuée à C. Carathéodory, au moins dans le cas où l'on fixe l'une des deux variables. Voir aussi, à ce sujet, l'exercice A-2.2.
XXII Avant-propos directionnelle dvf(x) qui est ainsi le taux de changement momentané de / au point x en direction de v9. À ceci près, le théorème de la pente (ainsi que sa preuve) se généralise au cas de Rn : la fonction /est <ë1 si, et seulement si, sa pente se prolonge en une fonction continue du triplet (x,v,i), pour t = 0 inclus. En résumant, on pourra dire que, pour faire du calcul différentiel, il nous faut deux choses : une structure d'espace vectoriel (ou d'espace affine), pour pouvoir écrire des quotients de la forme (4), et la notion de continuité. Tout le calcul différentiel peut être développé à partir de ces postulats simples : c'est la conclusion de la deuxième partie du cours (cf. le chapitre XIV). Il va sans dire que, malgré cette simplicité et uniformité des fondations, les applications et interprétations du calcul différentiel sont d'une richesse inouïe. Nous espérons que le lecteur aura occasion de constater ce fait tout au long de ses études et de sa carrière scientifique. En particulier, le calcul différentiel a des liens profonds avec la géométrie. La branche mathématique qui met ce lien dans un contexte systématique s'appelle la géométrie différentielle. Pour une première approche sérieuse, mais non- technique, nous recommandons vivement le grand classique [5]. Pour terminer cette introduction, revenons au sujet de l'intégration.-L'intégrale a déjà fait son apparition au cours de la preuve du théorème de la pente, plus précisément dans les implications (1) => (2) et (1) => (3). Si l'on utilisait, dès le départ, la propriété (3) pour définir la classe Çg1, on pourrait développer toute la théorie sans avoir besoin de l'intégrale simple. Il en est de même pour le calcul différentiel en plusieurs variables, jusqu'au chapitre XVI inclus. C'est seulement à partir du chapitre XVII que nous entrons dans un domaine de nature différente où l'intégration apparaît comme un problème sérieux : d'une part, nous considérons le problème de détermination de primitives (chapitre XVII) ; d'autre part, le problème d'étendre certaines propriétés de la différentielle (des propriétés que l'on peut formuler dans le langage de l'algèbre linéaire) en des propriétés locales (chapitres XIX et XX). Nous présentons ces problèmes sous leur forme la plus simple et de manière assez concise, en espérant fournir au lecteur un bagage qui, sans être trop lourd, lui permettra de partir en voyage dans l'univers de l'analyse. 9 Le lecteur connaîtrait peut-être la notion de dérivée partielle ^f-/(^) '- on l'obtient à partir de dvf(x) si l'on choisit pour v le ie vecteur e^ de la base canonique de Rn ; mais nous essayons, dans ce cours, d'éviter autant que possible l'utilisation de la base canonique de M.n.
Première partie Continuité Nous venons d'évoquer la définition de la notion fondamentale de continuité en avant-propos : en des mots simples, on pourra la résumer par « petite cause, petit effet ». Dans l'espace euclidien, on mesure la « taille » de la cause et de l'effet en termes de la distance euclidienne. En généralisant les propriétés de cette distance, on arrive à la définition d'espace métrique et des applications continues entre eux (chapitre I). Les applications continues ne préservent pas les structures « rigides » de la géométrie euclidienne (droites, segments, triangles, ...) : elles les « déforment sans les déchirer ». Les structures qui restent de ces formes géométriques, après déformation continue, sont beaucoup plus primitives. On définit ce genre de structures en termes de la théorie des ensembles : voisinage d'un point, partie ouverte, partie fermée, adhérence... Finalement, en oubliant la distance et en retenant seulement ces notions ensemblistes, on arrive aux notions basiques de la topologie générale —c'est une branche des mathématiques que l'on peut qualifier de « géométrie molle » ou de « géométrie de caoutchouc »—. Le chapitre correspondant (chapitre IV) peut être omis lors d'une première lecture. En revanche, le lecteur qui souhaite eh savoir plus, trouvera toute une bibliothèque sur ce sujet extraordinairement riche qu'est la topologie —nous nous bornons ici au stricte minimum ; le livre [25] pourra servir à guider le lecteur un peu plus loin—. Cependant, pour fonder le calcul différentiel, nous devons rajouter un peu de rigidité à cette « géométrie molle » : il faut y ajouter une structure d'espace vectoriel sur M. Cette combinaison de structures, appelé espace vectoriel topologique, joue un rôle important dans les mathématiques modernes. Nous donnons les définitions de base, sans entrer dans leur théorie, pour préparer le cadre très général du calcul différentiel développé dans les chapitres XIII et XIV. Le chapitre V, qui lui aussi peut être omis lors d'une première lecture, est logiquement indépendant du reste du cours, mais servira à faire la transition de la topologie vers le calcul différentiel. -1-
Chapitre I Espaces métriques L'espace euclidien est l'espace vectoriel Rn une fois muni de structures que l'on appelle métriques, comme la distance ou le produit scalaire. Si l'on retient seulement la notion de distance et l'on oublie tout le reste, on arrive à la définition d'un espace métrique : c'est un ensemble muni d'une application qui à un couple de points (x, y) associe leur distance d(x, y). Par exemple, toute partie M de Rn, munie de la distance induite par l'espace ambiant Rn, est un espace métrique. 1. L'espace euclidien ]Rn Nous appelons indifféremment points ou vecteurs les éléments x, y,.... de l'espace vectoriel Rn et les écrivons sous forme de vecteurs colonnes ( x-i \ ( î/i ' x — \XnJ \yn, La distance euclidienne entre deux points rr, y G Rn est donnée par la formule célèbre suivante, qui remonte à Pythagore : d(x,y) = Nous notons la norme euclidienne de v G Rn par IMI = d(o,t,)= f>*' -3-
4 I. Espaces métriques de sorte que d(x,y) = \\x — y\\. La norme est liée au produit scalaire canonique de Rn (x, y) = ^2 Xi^ = xtV i=l (où xl est la matrice transposée de x ; c'est donc une matrice ligne, et il s'agit d'un produit matriciel de type « ligne x colonne » qui donne toujours un scalaire réel). Alors, on a IMI = VM- 1.1. Proposition. La norme euclidienne a les trois propriétés suivantes. Pour tout v,w eRn et r G R, (NI) \\v\\ ^ 0, et \\v\\ = 0 si, et seulement si, v = 0; (N2) \\rv\\ = |r|-|M|; (N3) ||v + ti>||^|M| + |MI- On constatera que les propriétés (NI) et (N2) sont triviales, et que (N3) découle facilement de Y inégalité de Cauchy-Schwarz (revoir cette inégalité, si nécessaire!). 2. Espaces vectoriels normes 2.1. Définition. Soit V un espace vectoriel sur R (de dimension finie ou infinie). On appelle norme (sur V) toute application N : V —ï R, v i-> N(v) qui satisfait les propriétés (NI) N(v) ^ 0, et N(v) = 0 si, et seulement si, v = 0 ; (N2) N(rv) = \r\ • N(v) ; (N3) N(v + w)^ N(v) + N(w). Un espace vectoriel norme est un espace vectoriel réel V muni d'une norme N sur V. S'il n'y pas de risque de confusion, nous écrivons encore \\v\\ au lieu de N(v) ; il faut être cependant conscient du fait que, sur un même espace, il peut exister plusieurs (voire une infinité de) normes. Pour le cas de V = Rn, le lecteur vérifiera que les formules suivantes définissent des normes sur Rn (pour les exemples (1) et (3), c'est un exercice facile; l'exemple (4) est plus difficile et sera traité dans le chapitre V) : (i) IMk :=£?=i W; (2) ||t>||2 := (X^Li Kl2)1/2 (la norme euclidienne) ; (3) IMIoo := niaxi=i n \vi\ (la norme sup) ;
§2. Espaces vectoriels normes 5 (4) ||v||p := (]Ci=i lv*lp)1^p Pour P e [1j °°[ fixé 0a p-norme) ; (5) |M|p,A := ||-Av||p, où A est une matrice inversible de taille n x n. (6) Pour des exemples en dimension infinie, voir les exercices A-1.17 et A-1.20. On peut visualiser une norme 11 • 11 en dessinant sa boule unité B1(0) = {xeV\ \\x\\ <1}. Voici le dessin dans le plan R2 des boules unités des normes || • ||p pour p=l, —,2,5etoo. Remarquons que la forme de la « boule » dépend fortement de la norme, et qu'elle n'est pas toujours « ronde » : Figure 2 : boules unités dans R2 Supposons maintenant que (V, || • ||) soit un espace vectoriel norme. On définit la distance d(x, y) entre x, y € V par d(x,y) := ||x-y||, 2.2. Proposition. Pour tout x,y,z G V', (Ml) d(x, y) ^ 0, et d(x, y) = 0 si et seulement si x = y ; (M2) d(x, y) = d(y, x) (symétrie) ; (M3) d(x, z) ^ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire). Démonstration. La propriété (Ml) vient de (NI), la propriété (M2) du fait que | — 1| = 1 et (M3) est obtenue en utilisant (N3) : d(x,z) = \\x- z\\ = \\x-y + y- z\\ ^ \\x - y\\ + \\y - z\\ = d(x,y) + d(y,z). D
6 I. Espaces métriques 3. Espaces métriques 3.1. Définition. Un espace métrique est un ensemble M muni d'une application d : M x M —» R, (x,y) i->- d(x,y), encore appelée distance, telle que, pour tout x, y, z G M, (Ml) d(x, y) ^ 0, et d(x, y) = 0 si, et seulement si, x = y ; (M2)d(x,y) = d(y,x); (M3)d(x,z)<d(x,y) + d(j/,z). 3.2. Définition (Boules, ouverts, voisinages). Soit (M,d) un espace métrique. Les trois notions suivantes seront fondamentales pour tout ce qui suit. (1) La boule ouverte (centrée en x G M et de rayon r G R+) est l'ensemble Br(x) = {y e M \ d(x,y) < r}. (2) Une partie U de M est dite ouverte si, pour tout x G M, il existe une boule de rayon strictement positif, centrée en x, qui soit entièrement incluse dans U : VxeU:3e>0: B£(x) C U. (Le rayon s dépend de x ; on pourra écrire ex pour le souligner.) Intuitivement, il faut penser à des ouverts comme des parties « grosses » ou « épaisses ». (3) Soit x e M. Un voisinage ouvert de x est un ouvert U de M qui contient x. Une partie V de M est un voisinage de x si V contient un voisinage ouvert U de x : x G U C V. (On n'exige pas que V soit ouvert.) 3.3. Exemple. D'après la proposition 1-2.2, tout espace vectoriel norme donne lieu à un espace métrique. Prenons V = Mn, muni de l'une de normes décrites ci-dessus. Pour n = 2, le dessin des boules Br(x) se déduit de celui des boules i?i(0), et l'on vérifie facilement que si xi > 0, le demi-plan U := {(ti,t2)\ti > 0} est un voisinage ouvert de x, quelle que soit la norme utilisée. Le demi-plan fermé V := {(£1,^2) I *i ^ 0} est un voisinage de x qui n'est pas ouvert. Un autre exemple de voisinage ouvert est la boule Br(x) elle-même. 3.4. Lemme. Dans un espace métrique, les boules ouvertes Br(x) sont des parties ouvertes. Démonstration. C'est une simple application de l'inégalité triangulaire (voir l'exercice A-1.2.) D D'autres exemples d'espaces métriques sont obtenus par les deux constructions suivantes.
§4. Petit vocabulaire de topologie 7 Sous-espaces métriques. Toute partie A d'un espace métrique M est elle-même un espace métrique, en posant d^(x,y) := d(x,y) si x,y G A. (Les propriétés (Ml) - (M3) pour cU sont vérifiées, car elles sont vraies dans M et que A est une partie de M.) Nous dirons alors que A est un sous-espace métrique de M, et gU est la métrique induite par la métrique de M. Par exemple, la sphère Sn C Rn+1 devient ainsi un espace métrique, et une boule dans Sn est l'intersection d'une boule de Rn+1 avec Sn. Produit cartésien d'espaces métriques. Si (Mi,di) et (M2,Gb) sont deux espaces métriques, on vérifie facilement que, sur le produit cartésien M = Mi x M2, on peut définir une métrique par d((xi,x2),(yi,2/2)) :=max{di(xi,yi),d2(^2,2/2)}, dite la métrique produit. Quelle est alors la forme des boules ouvertes pour cette métrique ? Par définition, Br((xux2)) = {(2/1,2/2) G Mi x M2 | di(xi,2/i) < r,d2(z2,2/2) < r} = Br{xi) x Br(x2). Si, par exemple, Mi = R = M2, les boules dans Mi x M2 = R2 sont des carrés. En effet, la métrique produit n'est rien d'autre que celle provenant de la norme || • ||oo. De même, on définit une métrique sur un produit d'un nombre fini de n espaces métriques. En particulier, le produit de R avec lui-même (n fois) est Rn muni de la métrique d^. Une boule ouverte dans (Rn,doo) est un produit cartésien d'intervalles ouverts. 4. Petit vocabulaire de topologie Les notions de boule, ouvert et voisinage ont déjà montré leur utilité. Ce n'est que le début d'une collection de vocables concernant les notions dites « topologiques ». (1) La topologie. L'ensemble de toutes les parties ouvertes d'un espace métrique M s'appelle la topologie de M. En partant de la définition d'une partie ouverte, on montre facilement que les ouverts de M ont les propriétés suivantes : (OUI) l'ensemble M est un ouvert, et 0 est un ouvert ; (OU2) si (Ui)iei est une famille quelconque d'ouverts, alors la réunion Uie/ Ui est un ouvert ; (OU3) si (£/i,... ,Z7n) est une famille finie d'ouverts, alors l'intersection fir=i Ui est un ouvert.
8 I. Espaces métriques Démontrons, par exemple, (OU3). Soit, à cet effet, x G HlLi ^* Comme chaque Ui est ouvert, il existe Si > 0 tel que Be.(x) C Ui. Alors, pour s := mini=iv..)n £i, on a utilement B£(x) C HlLi ^- (Noter bien que e > 0 ; pour une intersection infinie, l'argument échoue en ce point.) (2) Parties fermées. On dit qu'une partie F C M est fermée si son complémentaire Fc = M\F est un ouvert. En vertu des lois de De Morgan, les fermés vérifient des propriétés « duales » à (OUI), (OU2), (OU3), à savoir : (FE1) l'ensemble M est un fermé, et 0 est un fermé ; (FE2) si (Fi)iei est une famille quelconque de fermés, alors l'intersection C\iei Fi est un fermé ; (FE3) si (Fi,..., Fn) est une famille finie de fermés, alors la réunion UlLi ^ est un fermé. (3) L'adhérence A d'une partie A de M est le plus petit fermé qui contient A. Un tel fermé existe toujours, car il peut être défini comme l'intersection de la famille de tous les fermés contenant A : FDA Fferme On remarquera qu'une partie A est fermée si, et seulement si, A = A. Dans la pratique, une caractérisation « séquentielle » (en termes de suites) est souvent utile. (4) Suites convergentes. On dit qu'une suite (xn)ne^ de points xn G M converge dans M s'il existe un point x G M tel que d(xn, x) -> 0 (n —> co). En utilisant des quantificateurs, cela s'écrit : \/e > 0 : 3N G N : Vn > iV : d(x, xn) < e. On note alors xn —)» x (n —>- oo) ou limn-^oo xn = x. Remarquons que la limite d'une suite est unique, si elle existe : si x = limn^.ooXn et x' = limn^ooXn, alors d(x,x') < d(x,xn) +d(x',xn) pour tout n, et, en prenant la limite, on trouve que d(x, x') = 0, et ainsi x = x''. 4.1. Exemple. Si M = Rm, nous écrivons le terme général d'une suite sous la forme x^ au lieu de xn, pour éviter une confusion éventuelle avec les composantes d'un vecteur x G Mm. Munissons Rm de la distance d^. Alors, les assertions ci-après sont équivalents : - la suite (x^)ne^ converge vers x ; - la suite (maxi=ij...>m {x^ — Xi\)n^ converge vers 0 ; - la suite (\x\n) — Xi\)ne^ tend vers 0 pour chaque i = 1,..., m ;
§4. Petit vocabulaire de topologie 9 - pour i = l,...,ra, la suite (x\n))ne^ converge dans M, et admet pour limite Xi. De même, si M = M\ x • • • x Mm est un produit cartésien de m espaces métriques, alors les deux assertions suivantes sont équivalentes : - (x^n),...,x^}) ->- (xi,...,xm) (n^oo); - Xi -ï Xi pour tout i = 1,..., m. 4.2. Lemme. Soit M un espace métrique et A une partie de M. (i) L'adhérence A est Vensemble des points de M qui peuvent être décrits comme limites de suites d'éléments de A : A = {x G M I 3(xn)nGN5 suite conv. dans M, xn G A, x = lim xn\. n—>-oo (ii) La partie A est fermée dans M si, et seulement si, pour toute suite (£n)neN qui converge dans M, la limite x = limn^.oo xn appartient à A. Démonstration. L'assertion (ii) est une conséquence de (i). Soit B l'ensemble figurant dans le membre de droite dans (i), et démontrons l'inclusion B C A. S'il existe x G B tel que x £ A, alors x appartient à l'ouvert U = M\ A. Comme U est ouvert, il existe e > 0 tel que Be{x) C U, et donc B£(x) fl A est vide. Or, dans ce cas il n'existe pas de suite (xn) d'éléments de A qui converge vers x, et donc x £ B : contradiction! Démontrons l'inclusion A C B. S'il existe x G A tel que x £ B, alors il existe e > 0 tel que B£(x) fl A = 0. Dans ce cas, F := A Pi (B£(x))c est un fermé qui contient A: mais qui est strictement plus petit que A : contradiction! Il s'ensuit que A = B. □ Exemple : dans l'espace Rn muni d'une métrique d quelconque, nous avons Br(x) = {x G Rn | d(x, 0) ^ r} (exercice A-1.2), mais dans un espace métrique général, seule une inclusion est toujours vérifiée et l'autre peut devenir fausse (exercice A-1.1) ! (5) L'intérieur A° d'une partie A de M est le plus grand ouvert contenu dans A. Un tel ouvert existe toujours, car il peut être défini comme la réunion de la famille de tous les ouverts inclus dans A : A°= (J U. U<ZA t/ouvert On remarquera que A est ouvert si, et seulement si, A = A°. (6) La frontière topologique dA d'une partie A de M est dA = A \ A°.
10 I. Espaces métriques (7) Parties denses. Une partie A d'un espace métrique (M, d) est dite dense dans M si A = M. Cela signifie que tout point de M est limite d'une suite d'éléments de A. Par exemple, Q est dense dans R, et R\Q l'est aussi. Ainsi, Q = R, Q° = 0 et dQ = R (cf. exercice A-1.2). (8) Sous-espace métrique. Nous avons déjà noté en section 1-3 qu'une partie A de M, munie da sa métrique induite gU5 est encore un espace métrique. Remarquons qu'une partie U de A est ouverte dans (A, d^) si, et seulement si, il existe un ouvert V de M tel que U = A H M. (En effet, si U est ouvert dans A, alors pour V on peut prendre V = [JxeUB£x(x), où ex > 0 est tel que {y £ A | d(x,y) < ex} C U. Réciproquement, si V est ouvert dans M et x G A fl y, alors il existe e > 0 tel que B£(x) C V et donc {y G A | d(s, y) < ex} C -A fl V.) (9) Produit d'espaces métriques. Nous avons déjà défini en section 1-3 le produit direct [M\ x M2, d) de deux espaces métriques (M^, g^), i = 1,2. Remarquons qu'une partie U de M± x M2 es£ ouverte si, et seulement si, pour tout (#1,2:2) £ £A ^ existe un ouvert Ui de Mi contenant x^ (= 1,2,) tel que U\ x U2 C C/. (La preuve, facile, est laissée au lecteur.)
Chapitre II Continuité Dans ce chapitre nous étudions les applications entre deux espaces métriques (M,d) et (M',df). D'un point de vue géométrique, les applications intéressantes sont celles qui préservent les distances —i.e., d'(f(x), f(y)) = d(x, y)—, dites les isométries, mais notre point de vue est celui de l'analyse : nous nous intéresserons à la classe infiniment plus riche des applications continues. Elles ne préservent pas toujours les distances, mais respectent les relations de voisinage : « si x est proche de y, alors f(x) est proche de f(y) ». La fameuse « définition epsilon-delta » de la continuité est la formalisation de cette propriété (cf. avant-propos). 1. Applications continues 1.1. Définition. Une application f : M -ï M' entre espaces métriques (M, d) et (M', d') est dite continue au point a; € M si, pour tout s > 0, il existe ô > 0 tel que, si d(y,x) < 5, alors d!(/\y), /'(x)) < s. Autrement dit, si y G Bô(x), alors f(y) G Be(f(x)), ou encore f(Bô(x)) C B£(f(x)) —rappelons que, pour une partie A de M, f(A) := {f(a) \ a G A} désigne V image directe de A par /—. On dit que / est continue (sur M) si / est continue en tout point x G M. Ici et dans la suite, l'inégalité stricte d'(f(y), f(x)) < s peut être remplacée par l'inégalité au sens large d''(/(y), /(x)) ^ s (cf. avant-propos). 1.2. Théorème. Soit f : M —» M' une application entre espaces métriques et soit x £ M. Alors, les assertions suivantes sont équivalentes. (1) L'application f est continue au point x. (2) Pour tout e > 0, il existe ô > 0 tel que f(Bô(x)) C Be(f(x)). (3) Pour tout voisinage V de f(x), il existe un voisinage W de x tel que f{W) C V. (4) Pour toute suite (xn) qui converge vers x, la suite (f(xn)) converge vers f(x). -11-
12 IL Continuité Démonstration. L'équivalence entre (1) et (2) a été examinée ci-dessus. Montrons que (2) implique (3). Soit V un voisinage de f(x). Cela signifie qu'il existe e > 0 tel que i?e (/(#)) C V. Choisissons ô avec la propriété du point (2) et posons W := Bs(x). Alors, W est bien un voisinage de x, et f(W) C B£(f(x)) C V. Ainsi, (3) est vérifié. Montrons que (3) implique (4). Soit (xn) une suite qui converge vers x, et soit e > 0. Comme V := Be(f(x)) est un voisinage de x, il existe, d'après (3), un voisinage W de x tel que f(W) C Be(f(x)). Comme W est un voisinage de x, il existe ô > 0 tel que B$(x) C W. Choisissons N G N tel que xn G B$(x) pour tout n > N. Ainsi, pour n > AT, /(xn) € /(£*(*)) C /(W) C B£(f(x)), et donc d'(f(xn),f(x)) < e. En résumé, /(xn) —> f(x) (n —>• oo), et l'assertion (4) est vérifiée. Montrons finalement par contraposition que (4) implique (1). La négation de (1) est : il existe e > 0 tel que, pour tout ô > 0, il existe y G M tel que d(x,y) < 5 et d'(/(a;),/(y)) ^ e. (« La fonction / a un saut de hauteur e en x ». ) Ainsi, si l'assertion (1) est fausse, avec e comme ci-dessus, pour S = —, il existe yn tel que d(x,yn) < — et df(f (x), f (yn)) > e. La suite (yn) converge donc vers x, mais (f(yn)) ne converge pas vers /(x), et (4) est fausse. □ La propriété (4) s'énonce aussi sous la forme lim f(y) = f(x), en utilisant la définition qui suit. 1.3. Définition. Soit / : M —)» M' une application entre espaces métriques, x0 G M et a G M'. Nous écrivons a = lim /(x), X—YXq si, pour toute suite (xn) avec xn ^ xo et qui converge vers xo, la suite (f(xn)) converge vers a. Nous dirons alors que l'application f admet une limite au point xo (Comme pour les limites de suites, on remarquera que cette limite est alors unique.) Le théorème suivant est l'analogue « global » du résultat précédent. Il est formulé en termes de Y image réciproque d'une partie B de M' par /, dont nous rappelons la définition : f~1(B) = {x G M \ f(x) G B}.
§1. Applications continues 13 1.4. Théorème. Soit f : M —> M' une application entre espaces métriques. Alors, les deux assertions suivantes sont équivalentes. (1) La fonction f est continue sur M. (2) Pour tout ouvert U de M', Vimage réciproque /_1(Î7) est un ouvert de M. Démonstration. (1) => (2). Supposons que / est continue sur M et U est un ouvert de M'. Si /_1(C7) est vide, alors c'est une partie ouverte (l'ensemble vide est toujours ouvert). Si /-1(î/) est non vide, soit x G /_1(Î7), i.e., f(x) G U. Comme / est continue en x et U est un voisinage de /(x), il existe un voisinage W de x tel que f(W) C U, i.e. W C /_1(I7). Or, W est un voisinage de x ; il existe donc 5 > 0 avec B$(x) C W C jf-1(Z7), ce qui montre que /_1(C/) est un ouvert de M. (2) => (1). Supposons que / satisfait (2), et soit x G M. Pour montrer que / est continue en x, vérifions la propriété (3) du théorème précédent. Soit à cet effet V un voisinage de f(x) et soit U := B£(f(x)) C V. Comme C/ est ouvert, il s'ensuit que /_1(/7) est ouvert. Or, x G /_1(/7), et donc ^ := /-^tf) est un voisinage tel que f(W) = /(/_1(^)) CU CV. D Il ne faut pas confondre la propriété du point (2) avec la propriété suivante. 1.5. Définition. On dit qu'une application / : M —>» M' entre espaces métriques est une application ouverte si, pour tout ouvert V de M, son image directe f(V) = {y G M' \ 3x G M : /(x) = y} est un ouvert de M'. Par exemple, toute fonction constante / : M -> M, x ^ c avec c G M est continue (car /_1([7) est, soit vide, soit égal à M, donc toujours ouvert), mais elle n'est pas ouverte (car f(V) est toujours un singleton, et les sin- gletons ne sont pas ouverts dans R). 1.6. Remarque. Par dualité entre ouverts et fermés, on peut également caractériser la continuité d'une application / : M —>• Mf entre espaces métriques en termes de parties fermées : / est continue si, et seulement si, pour tout fermé F de Mf, Vimage réciproque f~1(F) est fermée dans M. En effet, cela découle du théorème II-1.4 et du fait que f~1(Mf \ F) = M \ f~1(F). On en déduit, par exemple, que, si / : M -> R est continue, alors, pour tout r G R, les « ensembles de (sous-) niveau » /-*(] - oo, r]) = {x € M | f(x) < r}, /^({r}) = {x € M \ f(x) = r} sont fermés (voir l'exercice A-1.10).
14 IL Continuité 2. Exemples et constructions Dans ce paragraphe nous cherchons à construire, de manière systématique, des grandes classes d'exemples d'applications continues. La remarque suivante y est souvent utile. 2.1. Remarque. S'il existe une constante C < oo telle que Vx,s/GM: d(/(x),/(y))<Cd(x,y), on dira que / est C-lipschitzienne. Alors, / est continue : en effet, soit e > 0 donné, alors il suffit de choisir S = -p- pour vérifier que / est continue. 2.2. Exemple. Si (V, iV) est un espace vectoriel norme, alors la norme N : V -» R est lipschitzienne avec C = 1. Autrement dit, on a |tf(s)-tf(y)| = |N|- ^ \\x-y\\ =d(x,y). Pour démontrer cette inégalité, on écrit ||x|| = \\x — y + y\\ ^ ||x — y|| + | donc ||x|| — ||y|| ^ \\x — y\\, et l'on échange ensuite les rôles de x et y. De la même façon, on montre que l'application d : M x M —> R pour un espace métrique quelconque est 2-lipschitzienne, donc continue (voir l'exercice A-1.7). 2.3. Exemples. Les applications suivantes sont continues (V désigne un espace vectoriel norme, et les produits cartésiens sont toujours munis de la métrique produit) : ay : my or mR X . VxV -^V, : R x V -» F, : R x R -> R, : R x R -* R, R \ {0} -+ R, (li, V) l->" lfc + V (r, v) !->• r • v (r, 5) i->- r + 5 (r, s) i-» r • s r M- r-1 ÎR À titre d'exemple, démontrons la continuité de l'application my. Soit 0*o>^o) G R x V et (r,v) dans un voisinage borné de (r0,vo), le. |r| < Ci et |H| < C2. Alors, d(r0v0,rv) = ||r0i>o — rv|| = ||(r0 - r)v0 + r(v0 - v)\\ ^ ko - r\ ||vo|| + |r| |K - v|| ^ C2 |r0 - r\ + Ci ||v0 - v||. À partir de cette majoration, on peut vérifier facilement les critères du théorème II-1.2 : si l'on aime les suites, on remplace (r, v) par une suite {^n^n) qui tend vers (ro,i/o), et l'on conclut que d{r^v^rnvn) tend vers
§2. Exemples et constructions 15 zéro; si l'on préfère en revanche le critère epsilon-delta, on constate que my est lipschitzienne sur un voisinage borné de (ro, ^o) (avec constante de Lipschitz C = 2max(Ci, C2)) ; en tout cas, my est bien continue. Pour ay, la preuve de la continuité est encore plus simple, et les applications a^ et mi ne sont rien d'autre que le cas particulier V = R. Finalement, pour l'application zr, si t, s G Mx, il existe p > 0 avec |t| > p et \s\ > p et en utilisant la majoration ,1 lx ,1 lx |5-«| 1 on conclut comme ci-dessus. Pour montrer qu'une application est continue, nous allons souvent la « dévisser » en une composée, somme, produit ou quotient d'autres applications continues, en utilisant les résultats suivants. 2.4. Proposition (Composée). Soit f : Mi -> M2, g : M2 -+ M3 des applications entre espaces métriques (Mi,di), i = 1, 2 et 3. (a) Si f est continue au point x et g est continue au point f(x), alors go f est continue au point x. (b) Si f est continue et g est continue, alors g o / est continue. (c) L'identité idjw : M —ï M est continue (à condition de prendre la même métrique sur Vespace du départ et sur Vespace d'arrivée). Démonstration, (a) Vérifions le critère (3) du théorème II-1.2. Soit à cet effet V un voisinage de g(f(x)). Comme g est continue en /(x), il existe un voisinage W de f(x) tel que g(W) C V. Comme / est continue en x, il existe aussi un voisinage U de x tel que f(U) C W. Par conséquent, 9(f(U)) C g(W) C V, et le critère est vérifié. Le point (b) est une conséquence de (a), et (c) est trivial. D 2.5. Définition. Une application continue et bijective / telle que l'application réciproque /-1 soit aussi continue, est appelée un homéomorphisme. (En vertu du théorème II-1.4, cela équivaut à dire que la bijection / est une application continue et ouverte.) On peut se demander si la continuité d'une bijection / entraîne automatiquement la continuité de /_1. Or, ceci est faux : un contre-exemple est donnée en exercice A-1.8.
16 IL Continuité 2.6. Corollaire (Groupe des homéomorphism.es). Les homéomor- phismes f : M -» M forment un groupe pour la loi de composition. Démonstration. L'application réciproque d'un homéomorphisme en est un, et la composée de deux homéomorphismes en est un, d'après la proposition précédente. Ainsi, la loi de groupe est interne, et l'élément neutre idM est un homéomorphisme. Les homéomorphismes forment donc un sous-groupe du groupe des bijections de M. □ 2.7. Proposition (L'algèbre des fonctions continues). Soit V en espace vectoriel norme, M un espace métrique et f,g : M —»• V deux applications continues. Alors, les applications f + g:M^V, x^(f + g)(x):=f(x)+g(x), rf : M -> F, x h-> (r/)(x) := r • f(x) (où r G R) sont aussi continues. Ainsi, Vensemble ^{M^V) des applications continues de M dans V est un espace vectoriel sur R. Si V = M., le produit de deux fonctions continues est continu, et si f est continue et partout non-nulle, la fonction j est continue. Démonstration. Soit x G M et (xn) une suite qui converge vers x. Comme f et g sont continues en x et que l'application ay (exemple II-2.3) est continue, il s'ensuit que (f + g)(xn) = av(f(xn),g(xn)) ->av(f(x),g(x)) = (f + g)(x), si xn —y x (n —» oo), et donc f + g est continue en x. La preuve de la continuité de rf est encore plus simple, et ainsi ^(M, V) est stable par addition et multiplication par des scalaires. Comme le vecteur nul (la fonction constante = 0) appartient aussi à ^?(M, V), c'est donc un sous- espace vectoriel de l'espace de toutes les fonctions de M dans V. Finalement, pour V = R, la continuité de / • g et de j découle, de manière analogue, de la continuité du produit, resp. du passage à l'inverse, dans R.D 2.8. Théorème. Munissons V = Rn de sa norme \\ • ||oo. Alors, toute fonction polynomiale f : V —> R est continue. Rappelons les définitions suivantes du cours d'algèbre : une fonction polynomiale p : Rn —>■ R, homogène de degré A:, est une fonction qui s'écrit sous la forme P(x)= Yl a«-^-c. a) a = (a !,...,an)€Nn <*i-\ \-an = k où les coefficients aa appartiennent à R. Une fonction polynomiale / :
§2. Exemples et constructions 17 Rn —> R est une application de la forme f(x) = ^2i=oPi(x) ou cnaciue Pi : Rn —» M, z = 0,..., k est polynomiale homogène de degré 2. Démonstration. La fonction p définie par (1) est de la forme a€Nn où pr^ : Rn —>■ R, x i-> x^ est la ie projection. Or, ^(P^(x),pr^(y)) = \xi-yi\ ^ ||x-y||oo = d(x,y), et pr^ est ainsi 1-lipschitzienne, donc continue. La fonction pr?* est le produit ai fois de cette fonction avec elle-même, donc toujours continue d'après la proposition précédente. Ainsi, p est une combinaison linéaire de fonctions continues et est donc continue, et la fonction polynomiale / à son tour aussi. D Nous allons généraliser le théorème précédent pour les applications poly- nomiales entre Rn et Rm. Par définition, une application / : Rn —> Rm est dite polynomiale si chaque composante fi : Rn —>• R est une fonction polynomiale. 2.9. Lemme (Continuité des composantes). Soit N, M\ et M2 des espaces métriques. (1) Une application f : N -> M\ x M2, x *-> f(x) = (fi(x), f2{x)) est continue si, et seulement si, les deux composantes fi : N —>• Mi, i = 1,2, sont continues. (2) Les deux projections pr^ : M\ x M2 —> Mi, (xi,x2) •->• Xi, i = 1,2, sont continues. Démonstration. (1) Soit x G N et (xn) une suite qui converge vers x. Alors, f(xn) = (fi(xn)J2(xn)) -> f(x) = (fi(x),f2(x)) si, et seulement si, la suite (jfi(xn)) converge vers fi(x) et que la suite (f2(xn)) converge vers f2(x) (cf. l'exemple 1-4.1). (2) Comme ci-dessus, on montre que pr^ est 1-lipschitzienne. D Par une récurrence simple, le lemme se généralise au cas d'une application / : N -)■ Mi x • • • x Mn. En particulier, une application / : N —)> Rn (muni de la norme || • ||oo) est continue si, et seulement si, toutes ses composantes fi : N —>■ R sont des fonctions continues. 2.10. Remarque. Si la continuité de / : N —>» Rn se réduit aussi facilement à la continuité des composantes fi : N —» R, que peut-on dire de la continuité d'une application / : Rn -» N? Il est clair que, si cette application
18 IL Continuité est continue, alors les applications partielles R ->» N, t*-> f(xi,...,Xi-Ut, xi+i,..., xn), (où l'index i et les valeurs Xj pour j^ son^ fixés), étant composées d'applications continues, sont toujours continues. Réciproquement, si toutes les applications partielles sont continues, peut-on conclure que / est continue ? La réponse est « Non! » —voir l'exercice A-1.4—. 2.11. Théorème. Soient V = Rn et W = Rm7 munis de leurs normes Il • ||oo respectives. Alors, toute application polynomiale f : V —>• W est continue. En particulier, toutes les application linéaires et toutes les application affines f : V -» W sont continues. Démonstration. D'après le théorème II-2.8, chaque composante fi de /, étant une fonction polynomiale, est continue. Le lemme II-2.9 implique alors que / est continue. Rappelons qu'une application affine / : V —» W n'est autre qu'une application polynomiale de degré au plus un, et qu'une application linéaire n'est autre qu'une application affine sans terme constant. Ce sont par conséquent des applications polynomiales, donc continues. □ Nous allons voir plus tard que ce théorème est vrai pour n'importe quelles normes sur Rn et Rm (théorème III-3.2), mais faux en dimension infinie. 3. Applications linéaires bornées 3.1. Théorème (Applications linéaires continues). Soit (V, || • ||y) et (W, Il • ||w) des espaces vectoriels normes et f : V —>• W une application linéaire. Alors, les assertions suivantes sont équivalents : (1) lJapplication linéaire f est continue; (2) Vapplication f est continue au point 0 ; (3) il existe une constante C < oo telle que, pour tout x G V, \\f(x)\\w<C\\x\\v Démonstration. L'implication (1) => (2) est triviale. Montrons que (2) implique (3). Si / est continue en 0, alors pour s = 1, il existe S > 0 tel que ||x|| ^ S force ||/(x)|| < 1. Ainsi, pour tout x ^ 0, n/(*)ii = -^ll/di^n-*)!! < +INI. à » v \\x\\ /M à il « m i puisque 8\\ ^ 5. Ainsi, la constante C := — convient.
§3. Applications linéaires bornées 19 Montrons que (3) implique (1). En effet, si (3) est vérifiée, alors d(f(x)J(y)) = \\f(x)-f(y)\\ = \\f(x-y)\\ ^C\\x-y\\=Cd(x,y). Ainsi, / est C-lipschitzienne, donc continue (remarque II-2.1). □ 3.2. Définition. Une application linéaire entre espaces vectoriels normes est dite bornée si elle vérifie les conditions du théorème précédent. Dans ce cas, la « constante optimale » H/Hop := inf{C G R | Vx G V : ||/(x)||w < C||x||v} est appelée la norme d'opérateur de f. 3.3. Proposition. Soit L(V, W) Vespace vectoriel des applications linéaires continues de V dans W. (1) Pour tout f G L{V,W) etxeV, \\f{x)\\ < ||/||op||x||, et Il fil -„n ll/WH / op = sup ; x#o \\x\\ (2) La norme d'opérateur f i-> ||/||0p est une norme sur L(V, W) ; (3) Pour deux applications linéaires continues /, g : V —» V, \\9of\\oP^\\9\\oP'\\f\\oP. Démonstration. (1) Soit A := {C G R | Vx G V : ||jf(x)||w < C|Mlv} et J := inf A. Ainsi, ||/(#)||w ^ C||x||y pour tout C G A, et en prenant Vinfimum, ||/(x)||iy ^ I\\x\\v = H/llopNI- 11/0*011 Soit maintenant S := supx^0 —rTTi— • P°ur ^t^05 n°us venons de voir que 11/0*011 llxll ——-— ^ /. En prenant le supremum pour tous les x ^ 0, S ^ I. IfII \\f(x)\\ D'autre part, ,, ,," < S, donc ||/(x)|| < 5||x|| pour tout x ^ 0. Ainsi, INI S G A et donc 5 ^ inf A = I. Ceci montre que S = I. (2) D'après le théorème précédent, la quantité ||/||op est bien définie si / G L(V,W). La vérification des propriétés (NI), (N2), (N3) d'une norme est alors facile et est laissée comme exercice (exercice A-1.14). (3) Voir exercice A-1.14. □ Si A G M(n,m;R) est une matrice et / : Rn -» Rm, x \-+ Ax l'application \\Ax\\ linéaire correspondante, on définit ||-A||op := \\f\\oP = suPx^o • ^a NI norme ainsi définie sur M(n, m; R) est souvent utile ; observons aussi qu'elle ne provient pas d'un produit scalaire sur M(n,ra;R) (exercice A-1.14).
20 IL Continuité Finalement, on peut définir de manière analogue une norme sur l'espace L(V, V; W) des applications continues bilinéaires b : V x V —>» W (exercice A-1.15). 4. Équivalence de normes 4.1. Définition (Équivalence de normes). Soit || • ||i et || • H2 deux normes sur un espace vectoriel réel V. On dit que ces deux normes sont (topologiquement) équivalentes s'il existe des constantes Ci, C2 G ]0,00[ telles que, pour tout x£F, Ci||x||i<||x||2^C2||x||i. 4.2. Exemple. Sur V = Rn, les normes ||x||i = J^ \x\i et ||£||2 = y/Ylixi et H^Hoo — max^ |x|i sont toutes équivalentes entre elles : on montrera (exercice A-1.12) que ttIMIi ^ ||x||oo ^ \\x\\i 4^||x||i^||x||2 ^ ||x||i. Pour n = 2, ces inégalités correspondent au fait que l'on peut emboîter les boules correspondantes selon le schéma suivant : Figure 3 : équivalence de normes Plus généralement, pour deux normes || • ||i et || • ||2 sur V, si Br(y) est la boule Br(y) par rapport à la distance di(x,y) = \\x — y\\i, i = 1,2, la condition d'équivalence signifie que, pour tout r £ R+ B$r{0)cB?\0)cB%r{0). 4.3. Proposition. Deux normes \\-\\i et \|• 112 sur un espace vectoriel réel V sont équivalentes si, et seulement si, elles définissent la même topologie
§4. Équivalence de normes 21 sur V (Le., un ouvert par rapport à la distance d\ est aussi un ouvert par rapport à o^? et inversement). Démonstration. Remarquons d'abord que deux normes || • ||i et || • H2 définissent la même topologie sur V si, et seulement si, l'application identité / = id : (V, Il • ||i) —> (V, Il • H2) est un homéomorphisme (Le., continue dans le deux sens), où l'on prend la norme || • ||i dans l'espace de départ et Il • H2 dans l'espace d'arrivée. Or, d'après le théorème II-3.1, / est continue si, et seulement si, il existe une constante C2 < 00 telle que, pour tout x G V, ||x||2 = ||/(x)||2 ^ C^IMIi- En prenant x ^ 0, on constate que cette constante est non-nulle. En échangeant les rôles des deux normes, nous constatons que id : (V, || • H2) —>• (V, || • ||i) est continue si, et seulement si, il existe K\ G ]0,00[ telle que, pour tout x G V, ||a?||i ^ i^i||x||2. Ainsi, / = id : (V, Il • ||i) -* (V, Il • H2) est un homéomorphisme si, et seulement si, les deux normes sont équivalentes (avec C\ = -— ) • □ L'équivalence de normes vérifie les trois propriétés d'une relation d'équivalence : symétrie, réflexivité, transitivité (ceci est une conséquence immédiate de la proposition précédente!), et ainsi l'ensemble des normes sur V est partitionné en des classes de normes équivalentes. Dans le chapitre suivant nous démontrerons un résultat important qui généralise l'exemple II-4.2 : pour V = Rn, il n'existe qu'une seule classe d'équivalence de normes. Autrement dit, toutes les normes surW1 sont équivalentes (théorème ÏII-3.2). En revanche, si la dimension de V est infinie, la situation est beaucoup plus compliquée. 4.4. Exemple. Soit V — ^([0,1],R) l'espace vectoriel des fonctions continues de [0,1] dans R. En utilisant des résultats connus de l'analyse en une variable, on montre que l'écriture ||/||oo:=sup|/(x)| et H/H! := xei définit deux normes || • ||oo et || • ||i sur V (exercice A-1.17). Nous avons |/(t)|«ft<SUp|/(x)| = ||/||oo, xei et ainsi l'identité id : (V, 11 - ||oo) —>• (V,\\ • ||i) est 1-lipschitzienne, donc continue. En revanche, l'identité id : (V, || • ||i) —>• (V, || • ||oo) n'est pas continue. Considérons à cet effet fn(%) = %n- Alors, ||/n||i = :p, et donc fn -► 0 dans (V, || • ||i), alors que ||/n||oo = 1- Ainsi, la suite (jfn)neN converge dans (V, || • ||i) vers la fonction nulle, mais pas dans (V, || • ||oo), et les deux normes || • ||oo et || • ||i sur V ne sont donc pas équivalentes. 1 Jo \m\dt n/iii= /
Chapitre III Compacité Parmi les espaces métriques, les espaces compacts jouent un rôle qui est comparable à celui des ensembles finis en théorie des ensembles. Il existe deux versions de cette « propriété de finitude topologique » : une version séquentielle (section III-l) et une version ensembliste (section III-5). 1. La propriété de Bolzano—Weierstrass 1.1. Définition. Soit (M,d) un espace métrique. On dit que M est séquentiellement compact, ou encore que M possède la propriété de Bolzano- Weierstrass, si (BW) toute suite (#n)neN de points de M admet une sous-suite (xnk)keN qui est convergente dans M. Une partie A de M est dite séquentiellement compacte si elle l'est en tant que sous-espace métrique de M (z.e., toute suite de points de A admet une sous-suite qui converge dans A). 1.2. Exemples. Pour montrer qu'une partie A n'est pas séquentiellement compacte, il revient à trouver une suite qui n'admet pas de sous-suite convergente, comme par exemple : -M = Rm, iW = (n,0,...,0); -A=]a,b[cR, xn = a+-^; - A = Br(0) C Em, x(n) = (r - ^-)x, avec x E M171 tel que ||x|| = 1 . -23-
24 III. Compacité 1.3. Exemples. Il est toujours plus difficile de donner des exemples positifs, car il s'agit alors d'établir une propriété pour toutes les suites. - Si le cardinal de M est fini, toute suite dans M prend au moins une valeur une infinité de fois, et vérifie donc (BW) ; - l'intervalle fermé [0,1] est séquentiellement compact : c'est une conséquence du théorème classique de Bolzano-Weierstrass dans R, qui exprime qu'une suite bornée dans R admet une sous-suite convergente (le lecteur se souviendra que la preuve de ce théorème repose essentiellement sur la complétude de R ; cf. le chapitre XVIII pour d'autres considérations à ce sujet). 1.4. Théorème. Soit f : M —> N une application continue entre espaces métriques. Si A C M est séquentiellement compact, alors l'image directe f(A) est séquentiellement compacte. Démonstration. Soit (yn) = {f(xn)), avec xn G A, une suite dans f(A). Comme A est séquentiellement compact, (xn)neN admet une sous-suite convergente (xnk)keN- Soit x G A sa limite. Par continuité de /, il s'ensuit que lim/e^oo f(xnJ = f(x), et donc (ynJfc€N = (f(^nk))keN est une sous- suite de (yn) qui converge dans f{A). □ 2. Les parties compactes de Rn 2.1. Lemme. Si A C M est séquentiellement compact, alors A est fermé et borné1. Démonstration. Montrons que A est fermée : soit x G A. Alors il existe une suite (xn) dans A qui converge vers x (lemme 1-4.2). Comme A est séquentiellement compacte, il existe une sous-suite (xnk)keN qui converge dans A. Comme (xn) est convergente dans M, la limite de la sous-suite est la même que celle de (xn), et donc x = lim/^oo xnk appartient à A. Nous avons montré que A = A, donc A est fermée. Montrons que A est bornée. Dans le cas contraire, on pourrait trouver xo G M et une suite (xn) dans A avec d(xo, xn) > n pour tout n G N. Or, on ne peut pas extraire de sous-suite convergente d'une telle suite : pour tout y G M, la boule B£(y) est incluse dans Bn(xo) pour N suffisamment grand (iV > d(xo,y) + e). Comme Bn(xo) ne contient qu'un nombre fini d'éléments de la suite (xn), il en est de même pour B£(y), et donc aucune sous-suite ne peut converger vers y. Ainsi, A ne serait pas séquentiellement compact : contradiction. □ 1Une partie A C M est bornée s'il existe xq G M et R < oo tels que A C Br(xq).
§3. Applications de la compacité 25 2.2. Exemple. La réciproque du lemme est fausse. Soit à cet effet M = Q et A = [0,2] D Q = {x G Q | 0 < x ^ 2}. Alors, A est clairement borné et fermé dans M, mais n'est pas séquentiellement compact : soit xn le rationnel obtenu par troncature de l'écriture décimale de y/2 en position n ; alors xn G A, mais la suite (#n)neN n'admet pas de sous-suite convergente (car la limite d'une telle sous-suite devrait être \/2, mais \/2 est irrationnel et n'appartient donc pas à A). 2.3. Théorème (Bolzano—Weierstrass). On munit V = Wl de la norme II^Hoo = maxi=iv..>n \xi\. Pour une partie E de W1, les propriétés suivantes sont équivalentes. (1) La partie E est séquentiellement compacte. (2) La partie E est fermée et bornée. Démonstration. L'implication (1) => (2) découle du lemme précédent. Démontrons l'autre implication. Soit E une partie fermée et bornée de Rn et soit (x^) une suite dans E. Comme E est bornée, chaque suite de composantes ((x^)i)^ pour i = l,...,n fixé, est une suite bornée dans R. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass classique dans R (exemple III-1.3), on peut donc extraire une sous-suite telle que la première composante (x(kj))i converge dans R, puis de nouveau une sous-suite telle que la deuxième composante converge dans R, etc. On trouve ainsi une sous-suite (x(mjS))jef$ telle que toutes les composantes convergent dans R. Alors, cette suite converge dans Rn vers une limite x. Comme E est fermée, cette limite x appartient à £?, et donc la sous-suite converge bien dans E. D Le théorème nous donne beaucoup d'exemples de parties séquentiellement compactes. Ainsi dans R, les segments, les réunions finies de segments, l'ensemble {0} U { —, n G N*} sont séquentiellement compacts. Dans Rn, on tombe facilement sur les boules fermées, les sphères, les pavés fermés et sur bien d'autres parties plus compliquées qu'on laisse au lecteur le soin de proposer. Sans plus attendre, nous allons montrer que le résultat énoncé dans le théorème reste vrai pour une norme quelconque sur Rn, au lieu delHIoo. 3. Applications de la compacité 3.1. Théorème (Théorème du maximum et du minimum). Soit M un espace métrique séquentiellement compact et f : M —>• R une fonction continue. Alors, f possède un maximum (Le., il existe p G M tel que f{x) ^ f(p) pour tout x G M) et un minimum.
26 III. Compacité Démonstration. D'après le théorème III-1.4, l'image f(M) est séquentiellement compacte dans R, et d'après le théorème III-2.3, c'est une partie fermée et bornée de R. Comme f{M) est bornée, m := sup/(M) existe dans R. Comme f(M) est fermée, m appartient à /(M), c'est-à-dire qu'il existe p G M tel que m = f(p). Ainsi, / possède un maximum. Pour le minimum, on applique le même raisonnement. □ 3.2. Théorème (Unicité de la topologie de Wn). Sur un espace vectoriel V de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Cela revient à dire2 que toutes les normes définissent la même topologie sur V. Démonstration. Fixons une base (ei,..., en) de V et identifions V avec Rn en utilisant cette base. Fixons aussi la norme || • ||oo sur V = Rn comme « norme de référence ». Soit 11 • 11 une deuxième norme et montrons qu'elle est équivalente à notre norme de référence. Soit C := YJl=i Ile*||- Alors, pour tout x G Rn, n n n INI = ||y^e*|| ^ Y]\xi\ INI ^ y^lkill max \xi\ =C||x||oo, i=l i=l z=l ce qui donne la première des inégalités cherchées. Pour établir la deuxième inégalité, remarquons (cf. l'exemple II-2.2) que IWxW-WylW^Wx-yW^CWx-ylU Ainsi, la norme / : Rn -> R, x t-> \\x\\ est lipschitzienne, donc continue. Or, la sphère S = {x G Rn | |N|oo = 1} es^ bornée et fermée, c'est-à-dire encore séquentiellement compacte (th. III-2.3), et la fonction continue / atteint du coup un minimum m sur S. Ce minimum est strictement positif, car 11 • 11 est une norme. Il s'ensuit finalement que, pour tout x/0, Hxll= IItt^—Il INIoo<HNIoo, ll^lloo car —7;— G 5, ce qui donne la deuxième inégalité cherchée. □ INloo Il faut bien noter qu'en dimension infinie les normes n'ont aucune raison d'être toutes équivalentes - cf. exercice A-1.20. 3.3. Définition. Soit M et N deux espaces métriques et / : M —> N une application. Nous dirons que / est uniformément continue si, pour tout e > 0, il existe S > 0 tel que, pour tout x,y G M, d(x,y) < ô implique d(f(x)J(y))<e. 2Se reporter à la proposition II-4.3.
§4. *Limites presque radiales. Notation de Landau 27 Noter que cette propriété est plus forte que la continuité usuelle : on peut trouver ô qui convient pour tout x. Par exemple, l'application R* —>- R, t h* — est continue, mais pas uniformément continue. Une application C-lipschitzienne est uniformément continue : voir la remarque II-2.1. 3.4. Théorème (Continuité uniforme). Soit M et N deux espaces métriques, avec M supposé séquentiellement compact, et soit f : M —>■ N continue. Alors, f est uniformément continue. Démonstration. Par l'absurde : si / n'est pas uniformément continue, alors il existe e > 0 tel que, pour tout 5 > 0, il existe x,y € M avec : d(x,y) < S et d(f(x)1f(y)) > e. En particulier, c'est vrai pour ô = ^. Ainsi, il existe xn,yn G M avec d(xn,yn) < £ et d(f(xn),f(yn)) ^ e. Comme M est séquentiellement compact, la suite (xn) admet une sous-suite convergente (xnk). Soit x sa limite; alors (ynk) tend également vers x. Comme / est continue, limfc->oo f{xnje) = f(x) = limk^oo f(ynk). D'autre part, d(f(xnk), f(ynk)) ^ e- Donc, en passant à la limite, d(f(x), f{x)) ^ e > 0 ; contradiction ! □ 4. *Limites presque radiales. Notation de Landau Nous donnons une dernière application de la compacité dans Rn. Soit U un voisinage de l'origine dans V = Rn. On pose U* = U\ {0} et U = {(#, t) G F x R | tx G U*}. Remarquons que U est un ouvert de l'espace produit V xR. 4.1. Lemme (Limites presque radiales). Soit U un voisinage de Vorigine dans V = Rn et h : U* -> W = Rm une application. Les deux assertions suivantes sont alors équivalentes. (1) lim^o h(v) = a. (2) Pour tout vecteur vo G V, lim h(tv) = a. (v,t)eû Démonstration. (1) => (2) est trivial. (2) => (1) : par l'absurde. Si (1) est faux, il existe e > 0 et une suite vn —» 0, ^n 7^ 0, telle que, pour tout n G N, ||ft(vn) — all > £- Comme la sphère 5 de Rn est séquentiellement compacte, la suite normalisée tt^tt admet une sous-suite Wk := M nkw qui converge dans S. Soit wGSsa limite et posons \vrii.
28 III. Compacité tk '= IKJI- Alors, limjb-^ootfc = 0, et d'après (2), lim^oo (h(tkwk)-a) = 0. D'autre part, pour tout k G N, \\h(tkwk) - a\\ = \\h(vnk) - a|| > e- Contradiction ! D Pour interpréter le lemme précédent, on pourra dire qu'une limite de la forme lim^o h(tvo) pour un vecteur vq non-nul fixé est une limite radiale, tandis que la limite lim(Vjt)_j.(VOjo) h(tv) est presque radiale : si (vn,tn) —> t v (vo, 0) (n —)» oo), la suite (tnvn) tend vers 0 et son vecteur directeur n n \\tnvn\\ tend vers celui de vq. Ainsi, une fonction sur Rn admet une limite en un point si, et seulement si, les limites presque radiales en toutes les directions en ce point existent et coïncident. En revanche, dans cet énoncé on ne peut pas omettre le mot « presque » —voir exercice A-1.9 pour un contre- exemple—. 4.2. Définition (La notation de Landau). Soit U un voisinage de l'origine et / : U* —>• W une application. On dit que / est un o(||x||) si lim M = 0. *-* INI Par exemple, la fonction f(x) = \\x\\Œ avec a > 1 est un o(||x||). A priori, cette notion dépend de la norme choisie sur V. Donnons, toujours pour V = Rn, une autre caractérisation de cette propriété qui n'utilise que la notion de continuité. 4.3. Théorème. Fixons une norme sur V = M.n. Soit U un voisinage de Vorigine dans V et f : U* —>> W une application. Alors, les deux propriétés suivantes sont équivalentes. (1) L'application f est un o{\\x\\). (2) Pour tout vecteur vq eV, on a lim **)=„. (v,t)eû f(x) Démonstration. On applique le lemme III-4.1 à la fonction h(x) = ——— .D La propriété (2) est formulée uniquement en termes de la topologie de V: et l'on constate de la sorte que la notation de Landau ne dépend, en dimension finie, que de la topologie. En dimension infinie, l'implication (1) => (2) reste
§5. *La propriété de Heine-Borel-Lebesgue 29 vraie, tandis que l'autre implication devient fausse. La notation de Landau est un outil très pratique dans la main d'un mathématicien expérimenté, mais pour un débutant le risque de confusion ou d'abus est assez important. C'est pourquoi, dans ce cours, nous ne l'utiliserons pas. 5- *La propriété de Heine-Borel-Lebesgue 5.1. Définition. Une partie A C M d'un espace métrique M est dite compacte si elle possède la propriété de Heine-Borel-Lebesgue suivante : (HBL) tout recouvrement ouvert de A (z.e., une famille d'ouverts (Ui)iei telle que A C (Jiej Ui, où I est un ensemble d'indices non spécifié) possède un sous-recouvrement fini (ie., il existe un nombre fini d'indices I tels que A C U?=i^)3- 5.2. Exemples (1) Les parties A = R ou A =]0,1[ de M = R (avec la métrique usuelle) ne sont pas compactes (exercice A-1.33). (2) L'intervalle fermé [0,1] possède la propriété (HBL). (Voir à cet effet l'exercice A-1.33 pour la preuve, dont la clef est la complétude de R —tout comme la preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass—.) Cet exemple est d'autant plus important qu'il est l'élément-clef dans la preuve du théorème suivant. 5.3. Théorème (Heine—Borel—Lebesgue). Dans un espace métrique M, les propriétés (HBL) et (BW) sont équivalentes : une partie A C M est compacte, si et seulement si, elle est séquentiellement compacte. En particulier, une partie E de Rn est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. Démonstration. Montrons que (HBL) => (BW). Supposons que (BW) est en défaut : il existe alors une suite (xn)nG^, xn G A, sans sous-suite convergente dans A. Autrement dit, tout point p G A possède un voisinage ouvert Vp C M tel que l'ensemble {n G N | xn G Vp} soit fini. Or, la famille (yp)veM est un recouvrement ouvert de A. On peut donc, si la partie A satisfait (HBL), en extraire un sous-recouvrement fini VPi, i = l,...,n. Comme A C UlLi ^' ^ s'ensuit que l'ensemble {n G N | xn G A} est fini, ce qui est absurde. 3 Le lecteur se sera aperçu sans doute que la compacité est intrinsèque à l'espace topologique A, puisqu'elle consiste exactement à dire que de tout recouvrement de A par une famille de ses propres ouverts on peut extraire un.sous-recouvrement fini.
30 III. Compacité Nous ne démontrerons pas ici l'implication (BW) => (HBL) dans le cas général (le lecteur intéressé trouvera la preuve, par exemple, dans [8], [21], [25] ou dans tout autre traité de topologie générale), et nous nous bornons au cas de Rn (que nous supposons muni de sa norme || • ||oo). Il s'agit donc de montrer qu'une partie fermée et bornée E C Rn satisfait la propriété (HBL). Ce sera une conséquence des deux lemmes suivants. 5.4. Lemme. Soit M compact et A C M fermé. Alors, A est compact. 5.5. Lemme. Soient M\ et M^ des espaces métriques et Ai C Mi compact pour i = 1,2. Alors, Ai x A<i est compact. La preuve de ces lemmes est laissée aux bons soins du lecteur (voir les exercices A-1.32, resp. A-1.35). Terminons dès lors la preuve du théorème. Puisque E est fermée borné, c'est une partie fermée dans une boule fermée B = {x G Rn | ||x||oo < R}. D'après le premier lemme, il suffit alors de montrer que B cRn est compacte. Or, B est un produit d'intervalles fermés [—R, i?]n, et il revient donc, d'après le deuxième lemme, de montrer qu'un intervalle fermé [—i2, R] est compact. Mais ceci est exactement l'affirmation du théorème classique de Heine-Borel (se reporter à l'exemple III-5.2 (2) ci-dessus). □
Chapitre IV ^Espaces topologiques Les espaces topologiques généralisent les espaces métriques. Pour plusieurs raisons cette généralisation est importante : pour nous, la raison principale est que la notion de continuité ne dépend pas vraiment de la métrique, mais plutôt de la notion d'ouvert et de voisinage (théorèmes II-1.2 et II-1.4). Si l'on ne retient que ces notions et leurs propriétés, on arrive à la notion d'espace topologique. Un espace métrique donne ainsi lieu à un espace topologique « sous-jacent ». 1. Espaces topologiques 1.1. Définition. Un espace topologique est un couple (M, <^~), où M est un ensemble et £T une collection de parties de M. Les éléments de & sont appelés les ouverts, et l'on exige qu'ils vérifient les propriétés (OUI), (OU2) et (OU3) suivantes : (OUI) l'ensemble M est un ouvert, et 0 est un ouvert ; (OU2) si (Ui)iei est une famille d'ouverts (où I est un ensemble quelconque d'indices), alors la réunion (JieI U% est un ouvert ; (OU3) si (Ui,...,Un) est une famille finie d'ouverts, alors l'intersection PlILi Ui est un ouvert. Si, de plus, la propriété (H) pour tout x,y G M avec x ^ y, il existe des ouverts Ux et Uy tels que x e Ux et y e Uy et Ux n Uy = 0 est vérifiée, on dit que l'espace topologique (M, &) est séparé on un espace de Hausdorff. -31-
32 IV. *Espaces topologiques 1.2. Exemples. (1) Soit (M,d) un espace métrique et ST sa topologie (mentionnée dans 1-4 (1)). Alors, (M, ST) est un espace topologique séparé. (En effet, nous avons vu que les ouverts d'un espace métrique satisfont bien les propriétés (OUI) - (OU3), et la propriété (H) est facile à établir (exercice A-1.21).) (2) Soit M un ensemble quelconque. La topologie grossière est définie par & = {M, 0}, i.e., il existe seulement deux ouverts : l'ensemble vide et M lui-même. Si le cardinal de M est au moins 2, alors cette topologie n'est pas séparée, et ne provient donc pas d'une métrique (exercice A-1.21). (3) Si M est un ensemble quelconque, la topologie discrète, ëF = £P (M) est la collection de toutes les parties de M, z.e., toute partie de M est ouverte. Cette topologie est séparée. De plus, elle peut être définie par une métrique (exercice A-1.1). 1.3. Définition. Reprenons rapidement le vocabulaire déjà connu pour les espaces métriques (section 1-4). (1) Voisinage d'un point x G M : c'est une partie V C M qui contient un ouvert U avec x G U. (2) Partie fermée de M : c'est une partie F C M telle que M \ F est ouvert. Noter que, si M est séparé, alors les singletons {x} sont des parties fermées (exercice A-1.21). (3) Adhérence A d'une partie A de M : plus petit fermé qui contient A. Attention : les caractérisât ions séquentielles comme le lemme 1-4.2 ne sont plus disponibles dans les espaces topologiques généraux (cf. remarques ci- dessous). (4) Intérieur A° d'une partie A de M : plus grand ouvert contenu dans A. (5) Frontière topologique dA = A \ A°. (6) La partie A est dense dans M si A = M. (7) Sous-espace topologique : si A C M est une partie quelconque d'un espace topologique M et si U C A, on dira que U est ouvert dans A s'il existe un ouvert V de M tel que U = A fl V. (Exercice : vérifier que ceci définit une topologie sur A: dite la topologie induite.) On dira que A, muni de cette topologie, est un sous-espace topologique de M. (8) Produit cartésien de deux espaces topologiques (Mi,&[) et (M2, ëT2) : on dira que U C M\ xM2 est un ouvert si, pour tout (#i, x2) G U, il existe un voisinage ouvert U\ de x\ dans M\ et un voisinage ouvert U2 de x2 dans M2 tels que U\ x U2 C U. (Exercice A-1.22 : vérifier que ceci définit une topologie sur M\ x M2 et étudier ses propriétés.) De même,
§2. Applications continues 33 on définit le produit d'un nombre fini n d'espaces topologiques. (Nous ne parlerons pas ici de produits infinis.) (9) Compacité. C'est une notion très importante en topologie générale, que nous n'allons pas approfondir dans ce cours : un espace topologique séparé M est dit séquentiellement compact s'il possède la propriété de Bolzano-Weierstrass (BW), et il est dit compact s'il possède la propriété de Heine-Borel-Lebesgue (HBL). L'implication (HBL) => (BW) est toujours vraie, mais non sa réciproque. 1.4. Définition (Limites de suites dans les espaces topologiques). On dit qu'une suite (xn) dans un espace topologique est convergente (vers une limite x) si, pour tout voisinage U de x, il existe N G N tel que, pour tout n > N, on a xn G U. Prenons l'exemple de M muni de sa topologie grossière (cf. IV-1.2 (2)) : le seul voisinage d'un point x G M est R lui-même, et donc n'importe quelle suite (xn)nGN converge vers n'importe quel point x G M. Cette situation pathologique est due au fait que la topologie grossière n'est pas séparée. 1.5. Lemme. Supposons que M est un espace topologique séparé et que (#n)neN est une suite convergente. Alors, la limite de cette suite est déterminée de façon unique. Démonstration. Si (xn) converge vers x et vers y avec x^y, nous choisissons Ux et Uy comme dans la propriété (H). Alors il existe N G N tel que, pour tout n > N, xn eUx. Comme Ux C\ Uy est vide, seulement un nombre fini de xn peut être dans Uy : contradiction. □ Pour garantir l'unicité des limites, dans toute la suite, quand nous parlons d'espaces topologiques, nous supposons qu 'ils sont séparés (on dit aussi que ce sont des espaces de Hausdorffj. 2. Applications continues 2.1. Définition. Une application / : M —¥ M' entre deux espaces topologiques (M, ëF} et (M', &') est continue au point x G M si, pour tout voisinage V de j{x) dans M', il existe un voisinage V de x dans M tel que V C jf_1(^')- Autrement dit, / est continue en x si l'image réciproque de tout voisinage de f(x) est un voisinage de x. La fonction / est dite continue (sur M) si / est continue en tout point x G M. Nous retrouvons avec cette définition la propriété (3) du théorème II-1.2, énoncée dans le cadre des espaces métriques.
34 IV. *Espaces topologiques Le résultat suivant est l'analogue du théorème II-1.4 ; sa preuve, facile, est laissée au lecteur. 2.2. Théorème. Soit f : M -¥ M' une application entre espaces topologiques. Alors, les deux propriétés suivantes sont équivalentes. (1) La fonction f : M —» M' est continue. (2) Pour tout ouvert U de M', l'image réciproque f~l(U) est un ouvert de M. Il est vrai aussi que si / est continue en x, alors pour toute suite (xn) qui converge vers x, la suite (f(xn)) tend vers f(x). Soit à cet effet U un voisinage de f(x). On choisit un voisinage W de x tel que f(W) C U\ comme (xn) converge vers x, il existe N G N tel que, pour tout n > AT, xn G W, et donc aussi f(xn) G f(W) C U ; cela veut dire que (f{xn)) converge vers f(x). En revanche, la réciproque n'est plus vraie en général. Autrement dit, la caractérisation « séquentielle » de la continuité, si pratique dans les espaces métriques, cesse d'être possible dans les espaces topologiques plus généraux. Dans beaucoup de cas, le lemme suivant sert à remplacer ces arguments séquentiels. 2.3. Lemme (Principe du prolongement des identités). Supposons que f : M —>> N et g : M —>■ N soient deux applications continues qui coïncident sur une partie dense A de M. Alors, f = g sur M. Démonstration. Montrons que l'ensemble E = {x G M | f(x) = g(x)} est un fermé de M. Soit x G M \E: i.e. f(x) ^ g(x). Comme N est supposé séparé, il existe des voisinages ouverts Ui de f(x) et U2 de g(x) tels que U\ fi C/2 = 0- L'ensemble U = /-1(£/i) n g~1(U2) est un voisinage ouvert de x. La condition y G U implique que f(y) ^ g (y) et donc U C M \ E. Ainsi, M \ E est ouvert et donc E est fermé. Par hypothèse, E contient la partie dense A de M, et donc M = ~ C ~Ë = E, donc M = E et / = g sur M. D L'énoncé et la preuve du résultat suivant sont exactement les mêmes que ceux de la proposition II-2.4. 2.4. Proposition. La composée d'applications continues est continue. L'application identité d'un espace topologique est continue.
§3. Les structures algébriques topologiques 35 2.5. Remarque sur les catégories. Chaque fois que Ton rencontre une structure mathématique (espace vectoriel ; espace métrique ; espace topologique, etc.), on cherche à définir des morphismes de cette structure (application linéaire = morphisme d'espaces vectoriels ; isométrie — morphisme d'espaces métriques; application continue = morphisme d'espaces topologiques, etc.), et à démontrer une version de la proposition précédente (« la composée de morphismes est un morphisme », « l'identité est un morphisme »). Alors nous dirons que les objets en question, avec leurs morphismes, forment une catégorie. Nous ne donnons pas ici une définition formelle de cette notion, mais il est utile de s'habituer à cette façon de parler. Les définitions suivantes sont de bon sens. - Un isomorphisme est un morphisme / : M —> N tel qu'il existe un morphisme f~l : N —» M avec / o /_1 = id;v et /_1 o / = idM- (Dans le cadre topologique, on les appelle aussi homéomorphismes .) - Un automorphisme est un isomorphisme / : M —>- M d'un objet sur lui-même. Par exemple, les espaces métriques, eux aussi, forment une catégorie. Leurs morphismes sont les applications qui préservent la distance, appelées aussi des isométries : à!(/\x), /"(y)) = d(x,y). Une telle application est lipschit- zienne, donc continue, mais la classe des applications continues est infiniment plus grande que la classe des isométries. Or, en analyse, ce sont les applications continues qui nous intéressent, et donc la catégorie topologique est la catégorie naturelle pour faire de l'analyse. Les isométries sont plus intéressantes du point de vue géométrique, et donc la catégorie des espaces métriques est souvent bien adaptée pour faire de la géométrie. 3. Les structures algébriques topologiques En combinant une structure algébrique avec une structure topologique on obtient des concepts puissants et de grande importance dans les mathématiques modernes. 3.1. Définition (GT) Un groupe topologique est un groupe G muni d'une topologie S" telle que la multiplication de groupe m : G x G —)• G, (g, h) h-» m(g, h) = gh et le passage à l'inverse j : G —>• G, g ^ g-1 sont des applications continues. (EVT) Un espace vectoriel topologique (sur M.) (en abrégé : e.v.t. ou encore evt) est un espace vectoriel V sur R, muni d'une topologie £T: telle
36 IV. *Espaces topologiques que les applications a : V x V -> V, (u, v) t-> u + v m:RxV ^V, (r, v) «-* r • v sont continues. (AT) Un anneau topologique est un anneau (A, +, •) muni d'une topologie telle que l'addition + : A x A —> A et la multiplication • : A x A -ï A sont continues. (CT) Un corps topologique est un corps (K, +, •) muni d'une topologie telle que l'addition + : K x K —>► K, la multiplication • : K x K —>» K et le passage à l'inverse j : Kx —> Kx sont continues (où Kx = K\ {0} ; c'est clairement un ouvert, car {0} est un fermé). Partout dans ces définitions, les produits cartésiens tels que G x G, V x R etc. sont munis de leur topologie produit. Dans tous les cas, on définit les morphismes comme étant les morphismes algébriques (i.e., les applications compatibles avec la structure algébrique) qui sont de plus continus. Il est alors commun de vérifier l'analogue de la proposition IV-2.4. Cela dit, nous venons de définir quatre catégories, notées respectivement (GT), (EVT), (AT) et (CT). Les concepts qui s'y rapportent sont exagérément riches et il serait justifié de consacrer à chacune d'elles toute une monographie. Nous donnons quelques avant-goûts de ces concepts-là dans les chapitres XIII et XIV et les exercices A-1.24, A-1.23 et A-5.7. 3.2. Exemples (EVT) Tout e.v. norme est un e.v.t. (exemple II-2.3) ; il existe des e.v.t. dont la topologie ne provient pas d'une norme (exercice B-7.3). (GT) Le groupe (Rn,+), le groupe général linéaire GL(n, C) et ses sous- groupes Sl(n,R), O(n), ... sont des groupes topologiques (exercice A-1.23). (AT) Les anneaux de matrices M(n, R) et les quotients d'anneaux de polynômes, tels que M[x]/{p) pour p un polynôme non nul, sont des anneaux topologiques (exercice A-1.24). (CT) Les corps K = R, C, Q ou tout autre sous-corps de C (avec la topologie induite par C) fournissent des exemples de corps topologiques. Nous allons évoquer quelques aspects simples des e.v.t. dans le chapitre XIII et de même pour les corps et anneaux topologiques dans le chapitre XIV et dans les exercices avancés. Citons juste, pour terminer, un énoncé qui met en relief une fois de plus l'unicité de la topologie des espaces vectoriels de dimension finie (voir [39], Chapitre 9, pour une preuve détaillée de ce résultat).
§3. Les structures algébriques topologiques 37 3.3. Théorème (Les e.v.t. de dimension finie). Soit V un espace vectoriel topologique de dimension finie n sur R. Alors, V est isomorphe, en tant qu 'espace vectoriel topologique, à Rn. Plus précisément, pour n'importe quelle base (&i,..., bn) deV, r application Rn -> V, (n,...,rn) i->ri6i + --- + est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques.
Chapitre V ^Interlude : Convexité La notion de convexité est à la charnière entre la topologie et la géométrie « classique ». Même si, d'un point de vue strictement théorique, nous n'en aurons pas besoin dans la suite, elle est omniprésente dans les applications, et elle permet de mieux comprendre la géométrie des espaces vectoriels réels. Dans ce chapitre, nous présentons les faits fondamentaux avec leur preuve et donnons quelques compléments sous forme d'exercice. 1. Parties convexes 1.1. Définition. Soit V un espace vectoriel réel. Rappelons que, si p et q sont deux points de V, le segment [p, q] est donné par M = {P + t{q-p) | t G [0,1]} = {(1 - t)p + tq | t € [0,1]}. Une partie C C V est dite convexe si, pour tout p,çeC, le segment [p,q] est entièrement dans C : p,qeC => \ft e [0,1] : (1 - t)p + tqeC. Figure 4 • deux parties de R2 -39-
40 V. *Interlude : Convexité 1.2. Proposition. Si N : V —» M est une norme sur V, alors les boules Br(x) sont convexes. Démonstration. On peut se ramener au cas x = 0. Alors, pour tout p, q G Br(0) et t G [0,1] (ainsi t > 0 ou 1 -1 > 0), en appliquant (N3), puis (N2) N((l - t)p + tq) ^ N((l - t)p) + N(tq) = (1 - t)N(p) + tN(q) < (1 — t)r -\-tr = r. □ 1.3. Exercice (Réciproque de la proposition). Soit V = Rn et fixons une norme de référence. Soit U un voisinage ouvert et borné de 0 qui est convexe et symétrique par rapport à l'origine (x G U <& — x G U). Montrer qu'il existe une norme N : V —>• M telle que U = {x G V \ N(x) < 1}. Indication. Si x = 0, poser N(x) := 0. Si x ^ 0, montrer que l'ensemble {t G M | tx G U} est un intervalle ouvert, non-vide et borné, soit ]—ax,ax[. En posant N(x) := -r—, démontrer que iV(x + y) ^ iV(x) + i\T(y) (il sera utile de montrer d'abord que N(x) = inf{£ G M+ | x G ££/}). 1.4. Définition. Une semi-norme sur F est une application N : V -» R telle que, pour tout v, ti; G V, (SN1) N(v)^0; (SN2) iV(n;) = |r| • i\T(v) ; (SN3) A^(^ + w) ^ N(y) + N(w). Les ensembles Br{x) = {y €V \ N(x — y) < r} sont appelés les semi-boules (ouvertes) de cette semi-norme. Remarquons que toute norme est une semi-norme, mais la réciproque est fauss

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