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Timestamp: 2018-02-18 22:50:34+00:00

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6to basico santillana parte 2 - profesor by juan albornoz - issuu
Unidad 2 Guia 6:Maquetación 1
Potencias Propósito de la unidad En esta unidad se propone que los y las estudiantes comprendan e interpreten el concepto de potencia como una multiplicación iterada. Los contenidos de esta unidad estarán centrados en aquellas potencias con base y exponente natural, donde los alumnos y alumnas podrán calcular potencias e interpretar su significado dependiendo del contexto. Además, aprenderán a multiplicar y dividir potencias, y en relación a este contenido serán presentadas y enseñadas las potencias de base 10, como un caso particular de las potencias, cuya utilidad radica, entre otras, en la expresión de grandes números con potencias de 10, en la multiplicación y división por potencias de 10, etc. La resolución de problemas permitirá conectar todos los contenidos enseñados en la unidad con la presencia de las potencias en diferentes contextos, cotidianos y más científicos como por ejemplo biológicos y económicos, como una forma de motivar y acercar este contenido matemático a la vida real, y con esto lograr que los alumnos y alumnas obtengan aprendizajes más significativos y profundos. A continuación, se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los Aprendizajes Esperados y los Indicadores de la unidad, que le permitirán evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas.
Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) Interpretación de potencias de base natural y exponente natural, multiplicación y división de una potencia de 10 por otra potencia de 10, multiplicación y división de un número natural o decimal positivo por una potencia de 10.
Aprendizajes esperados • Interpretar potencias como • • • •
Empleo de potencias de 10 en la descomposición canónica de un número natural, simplificación de la escritura de números grandes expresándolos como producto en que uno de sus factores es una potencia de 10, e interpretación de las unidades de área como el producto de una unidad de longitud por sí misma.
Guía Didáctica Matemática 6
multiplicación iterada. Escribir multiplicaciones como potencias. Calcular potencias de base y exponente natural. Multiplicar y dividir por potencias de 10. Utilizar las potencias de 10 en la escritura de grandes números.
• Descomponer números utilizando
potencias de 10. • Escribir grandes números como un
producto en que uno de sus factores es una potencia de 10.
Indicadores • Interpretan potencias como una
multiplicación iterada. • Escriben multiplicaciones como
potencias. • Calculan potencias de base y
exponente natural. • Multiplican y dividen por potencias
• Escriben grandes números utilizando
potencias de 10. • Expresan números como productos
en donde uno de los factores es una potencias de 10. • Interpretan unidades de área como el producto de una unidad de longitud por sí misma.
Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años • Leer y escribir números naturales de más de seis cifras, fracciones y números decimales positivos,
representarlos en la recta numérica, establecer relaciones entre ellos, reconocer algunas de sus propiedades, interpretar información expresada a través de dichos números y utilizarlos para comunicar información. • Utilizar procedimientos de cálculo mental y escrito, empleando herramientas tecnológicas para efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números naturales, y adiciones y sustracciones con fracciones y números decimales positivos. • Formular y verificar conjeturas simples y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos que requieren el uso de los contenidos del nivel. • Comprender el significado de potencias de base natural y exponente natural, multiplicar y dividir por
potencias de 10, y aplicar la notación de potencias en situaciones diversas. • Formular conjeturas, verificar proposiciones simples y aplicar habilidades del proceso de resolución de
problemas en contextos diversos utilizando los contenidos del nivel. • Interpretar potencias de exponente natural y cuya base es un número fraccionario o decimal positivo y
potencias de 10 con exponente entero, efectuar multiplicaciones con este tipo de potencias y aplicarlas en situaciones diversas. • Comprender el significado y calcular la raíz cuadrada de un número entero positivo y aplicarla en la resolución de problemas. • Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos utilizando los contenidos del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos. • Comprender el significado y calcular potencias que tienen base entera y exponente natural, y aplicar sus
propiedades. 8º Básico
• Modelar situaciones o fenómenos en los que se dan relaciones de proporcionalidad o porcentaje, verificar
proposiciones simples y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar opiniones, tomar decisiones y aumentar la confianza en sí mismo.
Esquema de la unidad Resolución de problemas Representación
División Par
Impar Unidad 2
Cómo subsanarlos
El concepto de potencia suele provocar confusión en los alumnos y alumnas, ya que en un comienzo creen que tiene el mismo comportamiento que la multiplicación, por ejemplo piensan que 32 es equivalente a 3 · 2.
• Para evitar este tipo de error es conveniente presentar a
La operatoria combinada produce dificultades por el mal uso de las prioridades de las operaciones, especialmente ahora que se agregan las potencias.
• Se sugiere presentar ejercicios que presentan errores en
En la resolución de problemas que involucran potencias se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • Dificultades en la comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación y posterior resolución. • Utilización incorrecta de los datos que entrega un problema. • Entregar sólo una respuesta numérica, sin incluir una unidad asociada. • Análisis de las estrategias utilizadas y soluciones encontradas.
• Para evitar este tipo de inconvenientes es fundamental
los y las estudiantes el concepto de potencia a través de situaciones reales que sean familiares para ellos, pues de este modo es más fácil comprender el concepto. También resultaría de gran utilidad emplear material concreto como fichas, botones, etc. y, de este modo, ilustrar diversos casos.
los procedimientos de resolución y explicar por qué es incorrecto. También pedirles que identifiquen los errores en ejercicios resueltos y que luego sean desarrollados correctamente.
que todos los contenidos de la unidad estén relacionados con una situación problemática apropiada, para que sus estudiantes se familiaricen con la resolución de problemas. • Es importante incentivar la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar, resolver y revisar. Con esto sus estudiantes identificarán los datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, ejecutar la estrategia de resolución, dar solución al problema y analizar la solución.
BIBLIOGRAFÍA • Guzmán R., Ismenia. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Chile. • Rencoret B., María del Carmen. (2002). Iniciación matemática. Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Chile. Sitios webs Todo sobre potencias y sus propiedades. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/index.htm El portal de la educación. www.educarchile.cl El paraíso de las matemáticas. www.matematicas.net Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.
Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos El crecimiento y decrecimiento exponencial son aplicaciones de las potencias que se pueden representar con mayor precisión utilizando un procesador de textos o planilla de cálculo. A continuación, mostramos, paso a paso, cómo representar el crecimiento de una población de bacterias utilizando la herramienta graficar, usando un procesador de textos. La siguiente tabla muestra, por períodos de 20 minutos, la cantidad de bacterias de una población cualquiera. Período de 20 minutos
1. Con el mouse seleccionar insertar, luego imagen y después gráfico. En tipo de gráfico, seleccionar un gráfico de líneas y luego, el primer subtipo de gráfico. Borrar toda la información que está contenida en el ejemplo, para poder ingresar los nuevos datos. 2. Ingresar los períodos de tiempo (del 1 al 10) partiendo justo donde comienza la columna A. A su vez, escribir la frase “número de bacterias” y las cantidades partiendo desde la primera posición de la fila 1. En la pantalla se observará lo siguiente:
3. Ahora, en opciones de gráfico, ingresar en título gráfico: Crecimiento de una población de bacterias; en el eje de categorías (X): Período de 20 minutos y en el eje de valores (Y): Número de bacterias. Observar las opciones que muestra el programa para poder hacerle las modificaciones correspondientes al gráfico. Por último, en pantalla se verá:
La introducción a la unidad que aparece en el Texto para el Estudiante, tiene como propósito conectar a los alumnos y alumnas con las potencias a través de grandes números, ya que con ellas es posible expresarlos de forma simplificada. Para ello, son utilizados ejemplos del mundo astronómico como la cantidad de estrellas que hay en la Vía Láctea y la masa de la Tierra, y del ámbito económico a través del presupuesto de Chile. Con estas situaciones los alumnos y alumnas pueden conocer la presencia y aplicación real de las potencias en la vida cotidiana, como las mencionadas anteriormente y otras relacionadas con el ámbito científico (biológico, físico y químico), estadístico, etc. Además, este preámbulo permitirá tener información sobre los conocimientos y experiencias previas de sus estudiantes.
ACTIVIDAD INICIAL Comente con los y las estudiantes las situaciones planteadas en la introducción. Puede guiar la conversación con preguntas como las siguientes: • ¿En qué situaciones has visto o escuchado sobre grandes números? • ¿Has escuchado hablar sobre potencias? • ¿Qué sabes de las potencias? • ¿Sabes como se representa una potencia? • ¿Sabes qué significa cada parte de una potencia? Para ampliar la información y las preguntas del Texto para el Estudiante puede conversar sobre las bacterias y su directa relación con las potencias. Para apoyar esta conversación y motivar a sus estudiantes podría mostrar imágenes o fotografías de diversos tipos de bacterias, y más aún bacterias en proceso de reproducción, para que puedan ver y analizar su comportamiento exponencial.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Para favorecer la comprensión del problema y potenciar a los alumnos con más habilidades visuales, puede pedir que representen la situación a través de algún diagrama o esquema. • Como una forma de desarrollar habilidades superiores, pida a sus estudiantes que expliquen el método utilizado para organizar la información y cómo encontraron las respuestas a las preguntas planteadas. • Es importante enfatizar en el orden en que se organiza la información, por ejemplo en un diagrama de árbol, ya que de eso depende que el esquema diseñado represente correctamente la situación que se quiere modelar.
Texto para el Estudiante 38 y 39
CONVERSEMOS DE… Actividad 1, 2 y 3
Habilidades que se desarrollan Conectar.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar las actividades presentes en el Texto puede pedir a sus alumnos y alumnas que realicen las siguientes actividades: • Eduardo está enfermo y con un examen médico observaron que en su estómago habían dos bacterias que causaron una infección estomacal. Si este tipo de bacterias se duplica cada una hora, ¿cuántas bacterias tendrá Eduardo estómago después de 3 horas?, ¿después de 4 horas?, ¿y después de 5 horas? (Habilidades que desarrollan: conectar y representar). • Las Potencias favorecen la conexión con otras áreas del conocimiento, como la Biología. Por ello proponga a sus estudiantes investigar sobre otros microorganismos que se reproduzcan de forma exponencial y presentar al curso su investigación con fotografías o imágenes.
INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA AL DOCENTE
(Habilidad que desarrollan: conectar y analizar).
• Esta unidad presenta las potencias como una forma de expresar una multiplicación iterada de un mismo factor. Además, son enseñadas con el objeto de ampliar y profundizar los conocimientos y habilidades adquiridos por los alumnos y alumnas en el eje de números. El trabajo de esta unidad se centra en potencias cuya base y exponente pertenecen al conjunto de los números naturales. • Además de fomentar en los alumnos y alumnos la resolución de problemas, en este nivel cobra gran importancia desarrollar otras habilidades superiores como probar, fundamentar, explicar, justificar resultados obtenidos y algunas propiedades matemáticas, por ello es importante que constantemente promueva y facilite este tipo de instancias con sus estudiantes. • Es importante que los alumnos adquieran aprendizajes profundos y significativos, ya que como se mencionó en el párrafo anterior, las potencias volverán a ser estudiadas en séptimo básico, pero con un nivel de complejidad superior, ya que se amplía el conjunto numérico donde operar y, además, se agrega el conocimiento y aplicación de nuevas propiedades. Unidad 2
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ¿CUÁNTO SABES? Ítem
Habilidades que se evalúan
Calcular y representar.
3, 4 y 5 6
Calcular. Calcular y representar.
Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Escribir el número correspondiente a cada descomposición aditiva. Ítem 2: Escribir la descomposición aditiva correspondiente a cada número. Ítem 3: Resolver multiplicaciones de números naturales. Ítem 4: Resolver divisiones de números naturales. Ítem 5: Resolver operatorias combinadas con números naturales. Ítem 6: Escribir como multiplicación y resolver.
Escribe el número correspondiente todas las descomposiciones aditivas.
Escribe el número correspondiente a más de tres de las descomposiciones aditivas.
Escribe la descomposición aditiva correspondiente a todos los números.
Escribe la descomposición aditiva correspondiente de más de cuatro de los números.
Resuelven correctamente todas las multiplicaciones de números naturales.
Resuelven correctamente más de cinco de las multiplicaciones de números naturales.
Resuelven correctamente todas las divisiones de números naturales.
Resuelven correctamente más de cuatro de las divisiones de números naturales.
Resuelven correctamente todas las operatorias combinadas con números naturales.
Resuelven correctamente más de seis de las operatorias combinadas con números naturales.
Escriben correctamente todas las multiplicaciones y resuelven correctamente.
Escriben correctamente más de dos de las multiplicaciones y resuelven correctamente.
Texto para el Estudiante 40 y 41
Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ejercicio 5, se podría presentar una dificultad relacionada con las prioridades de las operaciones, ya que es posible que los y las estudiantes no recuerden cuáles son estas. Para evitar este inconveniente que recuérdeles cuáles son estas. Es importante que al finalizar la evaluación realice una revisión individual de la evaluación para que conozca las realidades de cada estudiante. También sería interesante y conveniente que realizara una revisión general en el pizarrón, para que sus estudiantes conozcan las respuestas correctas y las formas de resolución. Además, con esta instancia de revisión los alumnos y alumnas pueden realizar aportes significativos al desarrollo de la corrección de la evaluación y de esta forma se pueden reforzar y potenciar sus conocimientos previos.
Escribe el número correspondiente a tres de las descomposiciones aditivas.
Escribe el número correspondiente a menos de tres de las descomposiciones aditivas.
Escribe la descomposición aditiva correspondiente de cuatro de los números.
Escribe la descomposición aditiva correspondiente de menos de cuatro de los números.
Resuelven correctamente cinco de las multiplicaciones de números naturales.
Resuelven correctamente menos de cinco de las multiplicaciones de números naturales.
Resuelven correctamente cuatro de las divisiones de números naturales.
Resuelven correctamente menos de cuatro de las divisiones de números naturales.
Resuelven correctamente seis de las operatorias combinadas con números naturales.
Resuelven correctamente menos de seis de las operatorias combinadas con números naturales.
Escriben correctamente dos de las multiplicaciones y resuelven correctamente.
Escriben correctamente menos de dos de las multiplicaciones y resuelven correctamente. Unidad 2
CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Interpretación de potencias de base natural y exponente natural, multiplicación y división de una potencia de 10 por otra potencia de 10, multiplicación y división de un número natural o decimal positivo por una potencia de 10.
ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR tienen por objetivo explorar y están orientadas a introducir el concepto de razón como la comparación entre dos cantidades por medio de una división.
EN TU CUADERNO Habilidades que se desarrollan
2y3 4
Representar y calcular. Aplicar y calcular.
EN EQUIPO Actividad 1, 2 y 3
Habilidades que se desarrollan Analizar y justificar.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientos utilizados; de esta manera podrán ver distintos procedimientos para llegar a las respuestas. • En la actividad 4 se presentan dos problemas de aplicación de potencias, en donde se espera que los y las estudiantes lo resuelvan utilizando potencias directamente, pero es posible que muchos lo hagan por medio de multiplicaciones sucesivas sin comprender que están involucradas potencias. Por ello, es conveniente que pida a sus alumnos y alumnas que expresen los datos del problema como potencias y que luego realicen los cálculos necesarios, pues de esta forma en problemas futuros identificarán con más facilidad situaciones problemáticas que pueden ser resueltas con potencias. • En la situación relacionada con lanzamientos de dados, sería interesante que muestre a sus estudiantes que al lanzar dos dados se obtiene el mismo resultado que al lanzar un dado dos veces. Lo mismo ocurre con otras cantidades de lanzamientos.
Texto para el Estudiante 42 y 43
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar las actividades del Texto puede realizar las siguientes actividades: • Al lanzar un dado equilibrado puedes obtener 6 resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. – ¿Cuántos resultados posibles hay si se lanzan dos dados a la vez? Escríbelos. – ¿Y tres dados a la vez? – ¿Qué relación tienen tus resultados con las potencias? – ¿Cuántos resultados posibles habría si se lanzan 8 dados a la vez? – Expresa todos los resultados obtenidos como potencias. (Habilidades que desarrollan: calcular y analizar). • ¿Cuál es el valor de 24?, ¿y el de 42?, ¿cómo son estos resultados?, ¿por qué crees que sucede esto? (Habilidades que desarrollan: calcular, analizar y justificar). • Une con una línea cada potencia con el resultado correcto. 53
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO
• Es importante que recalcar a sus estudiantes las diferencias entre enunciados como: “dos elevado a cuatro” y “cuatro elevado a dos”, pues:
Significa multiplicar la base 3, 4 veces por si misma, resultando 81. Significa multiplicar la base 4, 3 veces por si misma, resultando 64.
• Un error frecuente que cometen los y las estudiantes es pensar que una potencia significa multiplicar la base por el exponente. Por ello, es fundamental enfatizar en que ab no es multiplicar a por b, sino que ab es multiplicar a por si mismo “b veces”.
64 15 (Habilidad que desarrollan: calcular).
ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial propuesta en el Texto tiene por objetivo mostrar a los y las alumnas que situaciones problemáticas que se pueden resolver utilizando potencias, también pueden ser abordadas utilizando un recurso visual muy clarificador: el diagrama de árbol. Es importante que los alumnos y alumnas comprendan el comportamiento de las bacterias. Para ello pueden analizar la forma del árbol presentado en el Texto y puede explicar lo siguiente: – Después de 1 período de 1 minutos, hay 2 bacterias (2 = 21) – Después de 2 períodos de 1 minutos, hay 4 bacterias (4 = 22) – Después de 3 períodos de 1 minutos, hay 8 bacterias (8 = 23) – Después de 4 períodos de 1 minutos, hay 16 bacterias (16 = 24) – etc. Es esencial es que los alumnos y alumnas descubran la relación entre número de períodos de 1 minuto y exponente de la potencia. Destaque que la base es 2, porque en cada período las bacterias se dividen en 2 nuevas bacterias. Sabiendo esto, puede plantear a sus estudiantes preguntas como: ¿Cuál sería la base de la potencia si cada cinco minutos las bacterias se dividen en 3?, ¿y en 5?
EN TU CUADERNO Actividad 1, 2 y 3
Habilidades que se desarrollan Aplicar, representar y calcular.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Es importante que cada uno de los ejercicios planteados en el Texto sean revisados por el curso para verificar si los alumnos y alumnas están comprendiendo la forma de completar este tipo de diagramas. Una forma atractiva para los niños y niñas de hacerlo es pedir que salgan al pizarrón a completarlo. Usted podría partir con la base del árbol y luego cada uno de ellos continúa con las ramas de los distintos árboles armados para los diferentes ejercicios presentados. • Procure la participación de todos sus alumnos y aproveche de preguntarles por qué esa rama debe estar ubicada en ese lugar y no en otro, pues de esta forma conocerá los razonamientos utilizados por sus estudiantes y, además, se asegurará de que cada uno está comprendiendo el contenido.
Texto para el Estudiante 44 y 45
EN EQUIPO Actividad
Aplicar, usar herramientas y representar.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar y reforzar las actividades del texto puede realizar las siguientes actividades: • Rodrigo baja desde Internet 4 canciones cada hora, él se conecta 4 horas diarias, 4 días a la semana y cada canción dura 4 minutos. Si cada mes tiene 4 semanas: – Haz un diagrama de la situación. – ¿Cuántos minutos baja de música al mes? – ¿A cuántas horas corresponden? (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular). • Para trabajar regularidades, puede pedirles que con la ayuda de su calculadora encuentre el valor de las cuatro primeras potencias dadas. Luego, que descubran la regularidad que en ellas se presenta y que escriban el valor de las demás potencias.
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • El diagrama de árbol es una herramienta visual que sirve para representar y observar el comportamiento de distintas situaciones problemáticas relacionadas con potencias y también con otro contenido matemático que los y las estudiantes conocerán en los próximos años: probabilidades. Por ello, es fundamental que los y las alumnas se familiaricen con su construcción y además que noten la utilidad y la importancia de realizar diagramas de árbol o algún otro tipo de diagrama para ilustrar una situación, ya que este tipo de recursos nos muestra cómo estamos comprendiendo un problema.
112 1112 1 1112 11 1112 111 1112 1 111 1112 (Habilidades que desarrollan: calcular, usar herramientas y conectar).
ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas puedan descubrir algunas regularidades presentes en las potencias dependiendo del tipo de base que tenga cada una de ellas: par o impar. Esta actividad pretende que los alumnos y alumnas a través de la observación de regularidades numéricas puedan llegar a la conclusión, pues de esta forma lograrán una mejor comprensión de ellas.
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Actividad
Analizar y justificar.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En las actividades propuestas es importante que los alumnos y alumnas se ayuden con ejemplos para saber si las afirmaciones son verdaderas o falsas, y no tan solo dejar los ejemplos para mostrar que son falsas. Trabajar con ejemplos en estos niveles es muy clarificador para los y las estudiantes, ya que están acostumbrados a trabajar con situaciones numéricas. Además, es importante que enfatice en lo fundamental que es la comprensión lectora para lograr respuestas y conclusiones acertadas. • Para concluir podría pedir a sus estudiantes que completen una tabla como la siguiente indicando si un resultado es par o impar, dependido de la base y el exponente de la potencia. Base Par Impar 82
Exponente Par
Texto para el Estudiante 46 y 47
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para reforzar y complementar las actividades presentadas en el texto, puede pedir a sus alumnos que desarrollen la siguiente actividad: • Escribe como potencia la factorización prima de los siguientes números. Guíate por el ejemplo. 36 = 6 • 6 = 3 • 2 • 3 • 2 = 32 • 22 18 = 99 = 100 = 49 =
45 = 72 = 63 = 81 =
(Habilidades que desarrollan: representar y calcular). • Resuelve las siguientes operatorias combinadas. 52 – 5 • 3 + 1= (7 • 3 – 15)2 : 6 = (12 – 3) • (5 – 3)2 = (Habilidad que desarrollan: calcular). • Escribe el signo >, < ó =, según corresponda: 42 + 32 _________ (4 + 3)2 73 + 32 ______ (7 – 3)2
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante que recuerde a sus estudiantes los conceptos de número par e impar. Siendo los números pares aquellos números que son divisibles por 2, y los números impares aquellos que no son divisibles por dos. Para verificar que comprendieron estos conceptos pregunte si determinados números son pares o impares. También puede pedir que mencionen números pares mayores que 50 y menores que 64; y números impares mayores que 61 y menores que 82, etc. • Aprovechando esta instancia podría recordar a sus estudiantes el concepto de números primos. Para ello en ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS se propone una actividad que mezcla los conceptos de potencias y números primos que permitirán ejercitar y comprender mejor estos contenidos. • También es importante que recuerde a sus estudiantes las prioridades de las operaciones que siempre están presentes en la vida escolar de sus alumnos y alumnas, sobre todo ahora que incluimos potencias que tienen un importante orden de las operaciones: paréntesis, potencias, multiplicación y división, adición y sustracción.
(5 • 6)2______ 52 • 32 (Habilidad que desarrollan: calcular y clasificar).
CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS Interpretación de potencias de base natural y exponente natural, multiplicación y división de una potencia de 10 por otra potencia de 10, multiplicación y división de un número natural o decimal positivo por una potencia de 10. Empleo de potencias de 10 en la descomposición canónica de un número natural, simplificación de la escritura de números grandes expresándolos como producto en que uno de sus factores es una potencia de 10, e interpretación de las unidades de área como el producto de una unidad de longitud por sí misma.
ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas asocien potencias de exponente 2 con áreas de cuadrados, donde la base indica la medida del lado del cuadrado y el exponente las dimensiones de éste.
EN TU CUADERNO Actividad
Aplicar y calcular.
ESTRATEGIA MENTAL Actividad 1
Habilidades que se desarrollan Calcular.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ejercicio 1 sería interesante plantear a sus estudiantes qué otras cantidades se pueden formar con los cuadraditos dados. Por ejemplo, con 30 cuadraditos se pueden formar cuadrados de 1, 4, 9, 16 y 25 cuadraditos. • Además, podría preguntar qué cuadrados se pueden formar en total con una cantidad de cuadraditos dada. Por ejemplo, con 30 cuadraditos se pueden formar cuadrados de 25 cuadraditos (5 por lado), cuadrados de 4 cuadraditos (2 por lado) y un cuadrado de 1 cuadradito. Observar que esto se debe a que 1 + 4 + 25 = 30 (suma de cuadrados perfectos), pero esta es solo una combinación, así que sería buen ejercicio preguntar a sus estudiantes por todas las posibilidades existentes con un número determinado de cuadraditos. • Para hacer más lúdica estas propuestas y el ejercicio 1 del Texto, podría utilizar material concreto y pedir que formen cuadrados, de esta forma quedará más claro cuáles son todas las opciones disponibles. Para ello podría armar cuadrados con papel lustre u otro tipo de papel.
Texto para el Estudiante 48 y 49
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para potenciar y reforzar los aprendizajes de sus estudiantes, puede plantear problemas adicionales como las siguientes: • ¿Cuántas baldosas cuadradas caben en un lado de un cuadrado si para cubrir toda la superficie se utilizan 169 baldosas? (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). • Completa la siguiente frase: La última cifra de un cuadrado perfecto puede ser 0, ___, 4, ____, ó 9. (Habilidad que desarrolla: analizar). • Alejandra leyó el número 1 933 y sin hacer ningún cálculo supo que no podía ser un cuadrado perfecto. ¿Cómo lo supo? (Habilidad que desarrolla: aplicar).
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante que los alumnos y alumnas asocien el exponente 2 de una potencia, como la representación del área de un cuadrado. Si considera necesario y apropiado puede hablar con sus estudiantes sobre el volumen de cubos y su relación con una potencia cuyo exponente es tres, que trabajarán en Séptimo Año Básico. Esto debido a las dimensiones del cubo (ancho, alto, fondo).
ACTIVIDAD INICIAL El propósito de esta actividad es introducir a sus estudiantes en la descomposición de números utilizando potencias de 10, basándose en lo aprendido en años anteriores sobre la descomposición multiplicativa de números naturales. Es fundamental que los alumnos y alumnas se acostumbren a trabajar de forma ordenada y completa, realizando los procedimientos correspondientes de manera razonada, y de esta forma favorecer la comprensión y no la mecanización de procedimientos.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES EN TU CUADERNO Actividad
• Para los ejercicios 1 y 2, es importante que mencione a sus estudiantes que todo número natural elevado a 0 es 1. El próximo año podrá explicar a sus estudiantes esta propiedad apoyándose por ejemplo en la división de potencias de igual base. Por ahora es suficiente que ellos conozcan esta propiedad y que la apliquen cuando corresponda. • Es importante que continuamente revise el trabajo realizado por sus alumnos y alumnas, especialmente los correspondientes a la sección MI PROGRESO, pues de esta forma podrá obtener información sobre los aprendizajes de sus estudiantes y también podrá detectar debilidades en ellos, y podrá tomar decisiones importantes para mejorar sus aprendizajes.
Texto para el Estudiante 50 y 51
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para apoyar el aprendizaje del contenido de estas páginas y fomentar la resolución de problemas, puede plantear a sus estudiantes las siguientes actividades: • Escribe los siguientes números utilizando potencias de 10. Verifica tus resultados utilizando una calculadora científica. 1 727 = 26 250 = 205 000 = 965 482 = 1 709 542 = (Habilidades que desarrollan: calcular). • Une con una línea cada descomposición con el resultado correspondiente. 8 · 105 + 1 · 104 + 9 · 103 + 7 · 102 + 5 · 101 + 3 · 100 1 · 105 + 8 · 104 + 9 · 103 + 7 · 102 + 5 · 101 + 3 · 100 8 · 105 + 1 · 104 + 9 · 103 + 7 · 102 + 3 · 101 + 5 · 100
819 735 198 735 189 753 819 753
(Habilidades que desarrollan: calcular).
EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • La descomposición puede provocar confusión en los alumnos y alumnas debido a la utilización de potencias de 10. Para favorecer la comprensión y el aprendizaje de sus alumnos y alumnas puede comenzar la enseñanza de este contenido formando las equivalencias de potencias de 10. Por ejemplo, 100 = 1, 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1 000, etc. • La idea es que los y las estudiantes descubran que en una potencia de base 10 con exponente positivo, el exponente indica la cantidad de ceros que acompañan a la unidad. • También podría utilizar una tabla que indique las posiciones de las potencias de 10 y pedir que ubiquen cada dígito de un número dado en la posición de las potencias correspondiente. Además, colocar dígitos en la tabla y pedir que indiquen a que número corresponde. Todo esto favorecerá la comprensión del contenido debido a la relación entre la potencia de 10 y el número ubicado en la misma columna.
Al terminar la actividad propuesta, pida a sus estudiantes que revisen las respuestas en el solucionario del Texto. Si respondieron alguna en forma incorrecta, pídales que identifiquen cuál fue el error y que lo corrijan. Además, pida que reflexionen acerca de los contenidos que aprendieron hasta acá, que hagan un listado con los conceptos que entendieron, que escriban y aclaren las dudan que aún tienen. Unidad 2
CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Interpretación de potencias de base natural y exponente natural, multiplicación y división de una potencia de 10 por otra potencia de 10, multiplicación y división de un número natural o decimal positivo por una potencia de 10. Empleo de potencias de 10 en la descomposición canónica de un número natural, simplificación de la escritura de números grandes expresándolos como producto en que uno de sus factores es una potencia de 10, e interpretación de las unidades de área como el producto de una unidad de longitud por sí misma.
ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la introducción presentada en el Texto es mostrar a los y las estudiantes que existe una forma sencilla y abreviada de representar grandes números, y para ello es necesaria la utilización de potencias de 10. Es importante que recuerde a sus estudiantes algunas equivalencias de unidades, por ejemplo: 1 metro = 100 cm 1 kilómetro = 1 000 metros 1 kilogramo = 1 000 gramos
EN TU CUADERNO Actividad 1y2
Reconocer, seleccionar y conectar.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Quizás para algunos estudiantes no será tan fácil transformar un número en su descomposición como producto entre un número natural y potencias de 10. Es recomendable que permita la realización de procedimientos intermedios, cuando lo requieran, para llegar a la respuesta correcta. De esta forma tendrá más sentido para ellos el procedimiento directo.
Texto para el Estudiante 52 y 53
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para reforzar y potenciar los aprendizajes de sus estudiantes puede plantear las siguientes actividades: • Averigua las distancias pedidas y completa la tabla descomponiendo cada distancia como producto entre un número natural y una potencia de 10. Lugares
Luna – Tierra Sol – Mercurio Sol – Marte Sol – Neptuno
(Habilidades que se desarrollan: aplicar y calcular).
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • En muchas ocasiones los alumnos y alumnas se encontrarán con grandes números, es importante mencionar la relevancia que tiene expresar este tipo de números como producto entre un número natural y una potencias de 10, no solo como una forma más simple de expresar estas cantidades, sino porque más adelante será necesario para simplificar los procedimientos relacionados con multiplicar y dividir grandes números.
ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial que plantea el Texto es mostrar a los alumnos y alumnas una forma rápida de multiplicar un número natural o decimal por una potencia de 10. Para ello plantea una situación inicial donde los alumnos deben multiplicar para llegar a las respuestas correctas. Es conveniente que los alumnos y alumnas multipliquen de forma convencional, y luego cuando todos tengan los resultados, puede preguntar que observan entre los resultados y los factores a multiplicar. Luego usted haga una comparación entre los resultados obtenidos y las potencias de 10 involucradas en cada ejercicio, para analizar la relación entre ellos y además como una forma de formalizar y sintetizar este contenido. De este modo, sus estudiantes comprenderán mejor y darán más sentido a la regla que será enseñada.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Para verificar que sus estudiantes están comprendiendo el proceso para multiplicar números con potencias de 10, podría pedir que en la actividad 1 escriban una multiplicación con resultado equivalente al obtenido en cada ítem. Por ejemplo: 457 · 100 = 45 700 y 4 570 · 10 = 45 700.
Texto para el Estudiante 54 y 55
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar las actividades presentes en el Texto, puede presentar los siguientes problemas: • La luz viaja a una velocidad de 3 · 105 kilómetros por segundo. – ¿A cuánto equivale este número? – ¿Cuál es la velocidad de la luz en metros por segundo? – ¿Cuál es la velocidad de la luz en centímetros por segundo? – ¿Cuál es la velocidad de la luz en milímetros por segundo? (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). • Escribe una equivalencia para los siguientes enunciados: – Los biólogos afirman que una persona tiene aproximadamente 35 · 1012 células en su cuerpo. – Los astrónomos han calculado que la masa del Sol es aproximadamente 1 983 · 1030 gramos. (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • La aplicación de estas reglas para multiplicar números por potencias de 10 es bastante cómoda y eficiente, pues permiten obtener un resultado rápidamente. Sin embargo, es fundamental que los alumnos y alumnas no olviden la forma convencional de multiplicar, sobre todo cuando hay números decimales involucrados, ya que eso suele olvidarse. Por ello, es aconsejable que pida que verifiquen las respuestas obtenidas multiplicando de manera tradicional, por lo menos, en algunos de los ejercicios dados.
ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto para es mostrar a los alumnos y alumnas una forma rápida para dividir números naturales o decimales por una potencia de 10. Para esto el texto plantea un problema donde es necesario dividir para responder las preguntas planteadas. Al igual que en el caso de la multiplicación, se aconseja que los alumnos y alumnas dividan de manera tradicional y luego analizar con ellos los resultados obtenidos para cada división dada, es decir, hacer una comparación entre las respuestas y las potencias de 10 involucradas en cada división, para poder establecer las relaciones entre ellas. Esto permitirá formalizar y sintetizar este contenido, y además sus estudiantes lograrán comprender la regla y darán más sentido al procedimiento que deben realizar.
EN TU CUADERNO Actividad 1
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Para verificar que sus estudiantes están comprendiendo el proceso para dividir números con potencias de 10, podría pedir que en el Ejercicio 1 escriban una división con resultado equivalente al obtenido en cada ítem. Por ejemplo, 392 : 1 000 = 0,392 y 3 920: 10 000 = 0,392.
Texto para el Estudiante 56 y 57
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar las actividades presentes en el Texto, puede presentar la siguiente actividad: • Completa la siguiente tabla: a
(Habilidad que desarrollan: calcular). • Une cada división con el resultado correcto. 25 : 103 250 : 102 2 500 : 10 250 000 : 106 2 500 : 102
0,25 25 250 0,025 2,5 2 500
(Habilidad que desarrollan: calcular).
EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO Ítem
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • La división es una operatoria que suele provocar confusión y problemas a muchos estudiantes, especialmente cuando hay números decimales involucrados. Por ello es importante que continuamente los alumnos estén realizando divisiones de manera tradicional a pesar de conocer una forma sencilla y rápida de hacerlo. Por ello es aconsejable que pida que verifiquen las respuestas obtenidas dividiendo de manera tradicional, por lo menos, en algunos de los ejercicios dados.
BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad 1y2
Habilidades que se desarrollan Aplicar, calcular y verificar.
La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en cada unidad del Texto; sin embargo, en estas páginas se presenta una estrategia de resolución específica de problemas con contenidos de la unidad para que los y las estudiantes la aprendan, la practiquen en otros problemas y luego que busquen otras estrategias distintas, pero considerando los siguientes pasos: comprender, planificar, resolver y revisar.
Texto para el Estudiante 58 y 59
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para apoyar las actividades del texto, puede plantear el siguiente problema que debe ser resuelto utilizando los pasos vistos para la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar. • La velocidad de la luz es de 300 000 km/seg. Un año luz es la distancia que recorre un rayo de luz en un año. Se necesitan 100 000 años luz para recorrer la Vía Láctea. – Escribe en metros la distancia correspondiente a un año luz. – ¿Cuántos kilómetros habría que viajar para recorrer la Vía Láctea? (Habilidad que desarrollan: aplicar, calcular y verificar). Pida a sus estudiantes que inventen un problema que involucre uno o más contenidos de la unidad, que lo intercambien con algún compañero o compañera y que lo resuelvan utilizando las estrategias para la resolución de problemas aprendidos. (Habilidad que desarrollan: aplicar, calcular y verificar).
INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO • Es importante que mencione a sus estudiantes que hay varias formas de resolver el problema planteado en el Texto, como por ejemplo haber calculado cada distancia dejándola expresada como número natural y luego sumar y restar para obtener la mayor y la menor distancia entre los planetas respectivamente. Sin embargo, este proceso es más largo y poco eficiente. • Enfatice que si los exponentes de las potencias de 10 no son iguales no es posible operar con ellos en adiciones y sustracciones. • Puede ocurrir que a algunos de sus estudiantes les cueste comprender el problema. En este caso, podría resultar conveniente que realice dos esquemas sencillos de cuándo se produce la mayor y la menor distancia entre los planetas, y con estos comenzar a explicar nuevamente el problema.
CONEXIONES Habilidades que se desarrollan Aplicar y conectar.
Esta conexión tiene como propósito mostrar que la Matemática es fuente de inspiración para otras actividades, así como mostrar la necesidad de crear nombres nuevos, a medida que cambia el conocimiento, en particular, con los avances de la tecnología.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para potenciar la actividad propuesta en el Texto, puede pedir a sus alumnos y alumnas que busquen palabras nuevas y/o nombres de productos que estén inspirados en elementos matemáticos que ellos conozcan. Por otra parte, puede conversar con ellos sobre la noción de infinito. ¿Cuál es el número más grande que pueden imaginar? ¿Qué es mayor: el número de granitos de arena en la Tierra o el número de estrellas en el Universo? (Habilidades que se desarrollan: seleccionar y analizar).
Texto para el Estudiante 60 y 61
SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permite a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en la Unidad.
SÍNTESIS Habilidades que se desarrollan Recordar y conectar.
SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad realice preguntas como las siguientes:
TÉCNICAS DE ESTUDIO A continuación te presentamos otra técnica de estudio que le puede enseñar a sus alumnos y alumnas: la tabla Esta técnica consiste en organizar los contenidos que hemos visto en la unidad en una tabla. Puede guiar su construcción de la siguiente forma: • Hacer una tabla con 4 columnas y el número de filas según la cantidad de contenidos que quiera ubicar en ella. • Las columnas deben incluir los contenidos, datos del contenido, definición del contenido y un ejemplo del contenido. • Para que la tabla este completada con todos los contenidos necesarios sería apropiado que el profesor les indique cuáles son los contenidos que debe ubicar en la primera columna.
• ¿Qué es una potencia? • ¿Con qué relacionas una potencia de base 2? • ¿De qué depende que el resultado de una potencia sea par o impar? • ¿Cómo podrías descomponer el número 54 454 utilizando potencias de 10? • ¿Cuál es el resultado de 24 + 3 • 52 – 13? • ¿Cuál es el valor de 50? ¿de 70? ¿30? ¿210? ¿qué concluyes? (Habilidades que se desarrollan: recordar y conectar).
EVALUACIÓN SUMATIVA ¿QUÉ APRENDÍ? Ítem
Aplicar, representar y calcular.
Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8) considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente seis o siete preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente cuatro o cinco preguntas. No logrado, si contesta correctamente menos de cuatro preguntas.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ejercicios 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las estudiantes es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que puede ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítemes de selección múltiple, se sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo podemos detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En los problemas 9 y 10 podría ocurrir algo similar, ya que los y las estudiantes podrían contestar algunas preguntas sin realizar algún desarrollo escrito, situación que dificulta la detección de errores. Por ello también se sugiere pedirles que resuelvan cada problema, mostrando los pasos que siguieron para llegar a la solución.
Texto para el Estudiante 62 y 63
EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que usted puede utilizar como evaluación sumativa de la unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la unidad de ecuaciones lineales, y con esta información seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta unidad. El tiempo estimado para la realización de la prueba es 40 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem
Aplicar, calcular y analizar.
2 puntos cada una.
Aplicar, analizar y calcular.
Puntaje total de la evaluación
Potencias Nombre:
I. Marca la alternativa correcta. 1. El resultado de 52 · 7 es: A. 125 B. 150 C. 160 D. 175
2. Al calcular 01 + 10 – 20 + 02, resulta: A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
3. Si a · n = an, entonces 2 · 3 + 3 · 2 = A. 12 B. 17 C. 24 D. 27
4. El producto entre 0,234 y 102 es: A. 0,234 B. 2,34 C. 23,4 D. 234
100 Guía Didáctica Matemática 6
5. ¿Por cuánto se tiene que dividir 46,24 para obtener 4,624? A. 101 B. 102 C. 103 D. 104 6. La mitad de 4 · (32 – 23) es: A. 4 B. 2 C. 0 D. 1
7. La expresión 5 · 104 + 3 · 103 + 4 · 102 es: A. 534 B. 5 340 C. 53 400 D. 534 000
8. El número 25 000 es equivalente a: A. 25 • 100 B. 25 • 1 000 C. 2,5 • 1 000 D. 250 • 1 000
II. Resuelve los siguientes problemas mostrando el desarrollo. 1. Un restaurante ofrece un menú para la cena que consta de un aperitivo, una ensalada, un plato de fondo, un plato y un bajativo. MENÚ Aperitivo: Pisco Sour, Vaina o Jugo natural. Ensaladas: Lechuga con palta, Chilena o Choclo con pimentón. Plato de fondo: Cazuela de vacuno, Pastel de Choclo o Costillar de cerdo con puré de papas. Postre: Torta helada, Tartaleta de frutas o Melón relleno. Bajativo: Café, Té o Agua de hierbas a) Dibuja el diagrama árbol correspondiente a las opciones del menú. b) ¿De cuántas maneras distintas puede cenar una persona que va a ese restaurante? 2. En un tipo de casa hay 6 puertas. Una villa está formada por 6 manzanas y cada manzana tiene 6 casas. a) ¿Cuántas casas hay en una manzana? b) ¿Cuántas casas hay en una villa? c) ¿Cuántas puertas se necesitaron para construir todas las casas del mismo tipo en la villa?
3. Una bacteria se reproduce cada 6 minutos. Si se coloca una bacteria en un recipiente a las 12:17 horas: a) ¿Cuántos minutos han pasado para que en el recipiente hayan 32 bacterias?, ¿cómo lo calculaste? b) ¿A qué hora habrá 128 bacterias en el recipiente?, ¿cómo lo supiste? c) ¿Cuántas preguntas debió contestar correctamente para tener el 80% de aciertos?
Unidad 2 101
Unidad 3 Guia 6:Maquetación 1
Ángulos Propósito de la unidad El objetivo de esta unidad es que los alumnos y alumnas descubran regularidades presentes en triángulos, cuadriláteros y otros polígonos, relacionadas con las medidas de sus ángulos. La intención es que puedan aplicar las propiedades presentes en diversas figuras en la resolución de problemas provenientes de diferentes contextos. Esta unidad es una continuación de contenidos geométricos vistos en años anteriores y, además, es una preparación para futuros aprendizajes. Por ello, es fundamental que sus estudiantes adquieran diversas habilidades para obtener aprendizajes profundos y significativos. Al igual que en otras unidades, esta es presentada a través de variadas situaciones problemáticas, con el objeto de que los alumnos y alumnas puedan vincular este contenido matemático con diversos problemas y su correspondiente resolución. A continuación, se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los Aprendizajes Esperados y los Indicadores de la unidad, que le permitirán evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas.
Identificación de ángulos opuestos por el vértice en rectas que se cortan en el plano y de los ángulos que forman al cortar rectas paralelas por una transversal y verificación de las igualdades de medida que se dan en estos casos.
• Reconocer y obtener la medida de
Formulación y verificación de conjeturas relativas a la suma de los ángulos interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros, y su generalización al caso de polígonos.
• Comprender y obtener la medida de
• Calculan la medida de los ángulos
los ángulos interiores y exteriores en un triángulo. • Conjeturar y comprobar propiedades respecto de la suma de las medidas de ángulos interiores y exteriores, en triángulos, cuadriláteros y polígonos. • Distinguir los polígonos regulares e irregulares. • Comprender y obtener la medida de los ángulos interiores y exteriores en polígonos regulares.
interiores y exteriores en un triángulo. • Aplican propiedades respecto de la suma de las medidas de ángulos interiores y exteriores, en triángulos, cuadriláteros y polígonos. • Distinguen polígonos regulares e irregulares. • Calculan la medida de los ángulos interiores y exteriores en polígonos regulares.
Resolución de problemas en contextos diversos relativos al cálculo de la medida de ángulos interiores y exteriores en polígonos regulares.
• Resolver problemas en contextos
• Resuelven problemas de diferentes
102 Guía Didáctica Matemática 6
ángulos opuestos por el vértice. • Reconocer y obtener la medida de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
diversos relativos al cálculo de la medida de ángulos interiores y exteriores en polígonos regulares.
• Reconocen y calculan la medida de
ángulos opuestos por el vértice. • Reconocen y calculan la medida de
ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
contextos relacionados con el cálculo de la medida de ángulos interiores y exteriores en polígonos regulares.
Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años • Diseñar y aplicar estrategias para la obtención del área de triángulos, rectángulos y paralelogramos en
contextos diversos, comunicando los resultados en las unidades de medida correspondientes. • Formular y verificar conjeturas simples y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de
problemas en contextos diversos que requieren el uso de los contenidos del nivel. • Establecer relaciones y comprobar teoremas relativos a la medida de ángulos en polígonos y rectas paralelas
cortadas por una transversal. • Formular conjeturas, verificar proposiciones simples y aplicar habilidades del proceso de resolución de
problemas en contextos diversos utilizando los contenidos del nivel. • Caracterizar elementos lineales en triángulos y verificar algunas de sus propiedades mediante construcciones
geométricas. 7º Básico
• Comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en situaciones concretas. • Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar habilidades básicas del proceso de resolución
de problemas en contextos diversos y significativos utilizando los contenidos del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos. • Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas en el plano, reconocer algunas
de sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichas transformaciones. • Modelar situaciones o fenómenos en los que se dan relaciones de proporcionalidad o porcentaje, verificar proposiciones simples y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar opiniones, tomar decisiones y aumentar la confianza en sí mismo.
Esquema de la unidad Triángulos
Suma de ángulos interiores Resolución de problemas
Suma de ángulos exteriores Ángulos
Tipos de ángulos Trayectorias
Arte Opuestos por el vértice
Externos Unidad 3 103
Si los conocimientos sobre básicos sobre elementos de geometría: punto, recta, semirrecta, rayo, ángulo, etc.; se pueden producir complicaciones en la profundización del concepto de ángulo, y su presencia en triángulos, cuadriláteros y otros polígonos regulares e irregulares.
• La evaluación diagnóstica le permitirá conocer los
Problemas para identificar figuras geométricas cuando son presentadas en posiciones no estándar o a través de definiciones formales.
• Para evitar este tipo de inconvenientes procure mostrar
Dificultades para obtener información espacial, debido a la capacidad de pensar mediante imágenes.
• Para que esta complicación no se produzca, permita que
En la resolución de problemas que involucran ángulos se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • Dificultades en la comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación y posterior resolución. • Utilización incorrecta de los datos que entrega un problema. • Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir una unidad asociada (grados). • Análisis de las estrategias utilizadas y soluciones encontradas.
104 Guía Didáctica Matemática 6
conocimientos y experiencias previas de sus alumnos y alumnas. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que presenten. Si considera necesario debería volver a explicar los conceptos básicos de geometría, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la unidad
continuamente diversas figuras geométricas en distintas posiciones, de esta forma desarrollará mejor sus habilidades espaciales.
sus estudiantes realicen una representación gráfica en aquellas actividades que no presenten imágenes (si es que lo requieren). Por ejemplo, al hablar de las diagonales desde un vértice de un hexágono regular, para algunos no es fácil imaginarse esto, por ello el dibujo correspondiente facilitará la comprensión y la posterior resolución de un problema y el logro de mejores aprendizajes.
que todos los contenidos de la unidad estén relacionados con una situación problemática apropiada, para que sus estudiantes se familiaricen con la resolución de problemas. • Es importante que incentive la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar, resolver y revisar. Con esto, sus estudiantes identificarán los datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, ejecutar la estrategia de resolución, dar solución al problema y analizar la solución.
BIBLIOGRAFÍA • Guzmán R., Ismenia. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Chile. • Rencoret B., María del Carmen. (2002). Iniciación matemática. Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Chile. Sitios webs Diferentes recursos de Geometría. http://www.sectormatematica.cl/geometria.htm Todo sobre Geometría. http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/index.htm El portal de la educación. www.educarchile.cl El paraíso de las matemáticas. www.matematicas.net Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.
Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos Un ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que comparten un mismo origen llamado vértice. Cada semirrecta recibe el nombre “lado del ángulo”. Ejemplo A
El ángulo anterior se puede nombrar utilizando la notación ⭿AOB, de medida α, siendo O el vértice del ángulo. Clasificación de ángulos según sus medidas Según sus medidas un ángulo se puede clasificar en: Ángulo
0° ⬍ α ⬍ 90°
90° ⬍ α ⬍ 180°
Unidad 3 105
La presentación de la unidad que aparece en el Texto tiene como propósito conectar a los alumnos y alumnas con la geometría, en particular con los ángulos en distintas figuras geométricas, a través de la presencia que tiene esta parte de la matemática en el arte. De esta forma, los alumnos y alumnas pueden ver que ambas áreas del conocimiento están muy ligadas, aunque a veces no lo notemos. Además, esta introducción permitirá tener información sobre los conocimientos y experiencias previas de sus estudiantes
ACTIVIDAD INICIAL Comente con los y las estudiantes la presencia de la Geometría en el arte, así como en otras áreas del conocimiento. Puede guiar la conversación con preguntas como las siguientes: • • • • •
¿Conoces alguna obra de arte que utilice la Geometría en su creación? ¿Qué figuras geométricas conoces? ¿Cuáles de ellas has visto en alguna obra de arte? ¿Recuerdas qué es un ángulo? Dibuja los tipos de ángulos que conoces. ¿Qué nombre recibe cada ángulo?
Es importante que refuerce, complemente y corrija las respuestas que entregan sus estudiantes cuando sea necesario, de este modo la actividad y activación de conocimientos previos será más productiva y permitirá que el aprendizaje de los contenidos de la unidad sean más profundos y significativos.
106 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 64 y 65
CONVERSEMOS DE… Actividad 1y2
Habilidades que se desarrollan Recordar y conectar.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Para ampliar la información sobre los conocimientos de sus estudiantes y además para lograr una mayor motivación, puede pedir que realicen una “galería de arte” que incluya determinados elementos y figuras geométricas, como por ejemplo: ángulos, triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, romboides, trapecios, etc. Para el desarrollo de esta actividad es necesario que pida: hoja de bloc, témperas o lápices de colores. También podría pedir que realicen un collage de diferentes figuras geométricas, para lo cual necesitarán revistas. Cuando los alumnos y alumnas terminen esta actividad realicen una presentación de los trabajos realizados, preguntando por las diversas figuras geométricas que ahí aparecen y sus características. (Habilidades que desarrollan: recordar y conectar).
INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA AL DOCENTE • Esta unidad se centra en el estudio de ángulos y sus características, relacionadas con diferentes elementos y figuras geométricas, como ángulos entre rectas paralelas, ángulos presentes en triángulos, en cuadriláteros y en polígonos regulares e irregulares. • Tal como en las otras unidades, es fundamental poner énfasis en la fundamentación y en el desarrollo de razonamientos sistemáticos y ordenados en distintas situaciones problemáticas. En años anteriores el centro de la enseñanza de la geometría estaba en el dibujo y en la construcción de figuras, ahora estas representaciones están dadas y el objetivo es que los y las estudiantes desarrollen conocimientos y habilidades relacionadas con observar, analizar, comparar, fundamentar y concluir sobre diferentes situaciones geométricas planteadas y sus características, de modo que en futuros aprendizajes los y las estudiantes estén preparados para recibir nuevas características y propiedades geométricas y puedan visualizar el comportamiento general de ellas. Unidad 3 107
Recordar e identificar.
Representar y usar herramientas.
Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Explicar los conceptos geométricos dados. Ítem 2: Identificar lados, vértices y ángulos en figuras geométricas dadas. Ítem 3: Indicar el nombre correspondiente a cada ángulo dado. Ítem 4: Medir ángulos dados con transportador. Ítem 5: Dibujar figuras geométricas dadas. Ítem 6: Dibujar ángulos dados.
Explica correctamente todos los conceptos dados.
Explica correctamente más de tres de los conceptos dados.
Identifica correctamente lados, vértices y ángulos en todas las figuras geométricas dadas.
Identifica correctamente lados, vértices y ángulos en dos de las figuras geométricas dadas.
Indica el nombre correspondiente a todos los ángulos dados.
Indica el nombre correspondiente a tres de los ángulos dados.
Mide correctamente todos los ángulos dados con transportador.
Mide correctamente más de tres de los ángulos dados con transportador.
Dibuja correctamente todas las figuras geométricas dadas.
Dibuja correctamente tres de las figuras geométricas dadas.
Dibuja correctamente todos los ángulos dados.
Dibuja correctamente dos de los ángulos dados.
108 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 66 y 67
Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ítem 1, es importante exigir a los alumnos y alumnas la realización de un dibujo de cada elemento geométrico que está definiendo para que tenga certeza de lo que sus estudiantes están pensando sobre cada elemento geométrico. Si considera necesario podría pedir que primero dibujen y luego definan a partir del dibujo realizado, de esta forma los alumnos y alumnas podrán explicar con mayor facilidad cada concepto. Con todo esto podrá verificar si cada estudiante recuerda y reconoce las principales características de los conceptos pedidos. Es importante que al finalizar la evaluación realice una revisión individual de la evaluación para que conozca las realidades de cada estudiante. También sería interesante y conveniente que realizara una revisión general en el pizarrón, para que sus estudiantes manifiesten oralmente sus conocimientos, realizando aportes significativos al desarrollo de la corrección de la evaluación y de esta forma se pueden reforzar y potenciar sus conocimientos previos, y con ello prepararlos de mejor forma para el estudio de esta unidad.
Explica correctamente tres de los conceptos dados.
Explica correctamente menos de tres de los conceptos dados.
Identifica correctamente lados, vértices y ángulos en una de las figuras geométricas dadas.
Identifica incorrectamente lados, vértices y ángulos en todas las figuras geométricas dadas.
Indica el nombre correspondiente a dos de los ángulos dados.
Indica el nombre correspondiente a menos de dos de los ángulos dados.
Mide correctamente tres de los ángulos dados con transportador.
Mide correctamente menos de tres de los ángulos dados con transportador.
Dibuja correctamente dos de las figuras geométricas dadas.
Dibuja correctamente menos de dos de las figuras geométricas dadas.
Dibuja correctamente uno de los ángulos dados.
Dibuja incorrectamente todos los ángulos dados.
Unidad 3 109
CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Identificación de ángulos opuestos por el vértice en rectas que se cortan en el plano y de los ángulos que forman al cortar rectas paralelas por una transversal y verificación de las igualdades de medida que se dan en estos casos.
ACTIVIDAD INICIAL La sección PARA DISCUTIR se realiza con el objeto de explorar y están orientadas a introducir el concepto ángulos opuestos por el vértice. La actividad EN EQUIPO tiene como propósito que los alumnos y alumnas trabajen de forma grupal, promoviendo el trabajo colaborativo entre los compañeros y compañeras de curso. La actividad específica presentada en el Texto está orientada a que los y las estudiantes comprendan cuáles son los ángulos opuestos por el vértice y, además, descubran la propiedad de estos tipos de ángulos.
EN EQUIPO Actividad 1, 2, 3 y 4
Habilidades que se desarrollan Reconocer/Identificar y analizar.
Reconocer/Identificar.
Reconocer/Identificar y calcular.
110 Guía Didáctica Matemática 6
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En los ejercicios 1 y 2, para favorecer la identificación de ángulos opuestos por el vértice, puede proponer a sus estudiantes que utilicen lápices de colores para marcarlos, de esta forma será más fácil la visualización de ellos. En ACTIVIDADES se propone una situación relacionada con lanzamientos de dados. Sería interesante que muestre a sus estudiantes que al lanzar dos dados se obtiene el mismo resultado que al lanzar un dado dos veces. Lo mismo ocurre con otras cantidades de lanzamientos. • Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientos utilizados; de esta manera podrán ver distintos procedimientos para llegar a las respuestas.
Texto para el Estudiante 68 y 69
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Para complementar las actividades del Texto puede dibujar rectas en las que se formen ángulos opuestos por el vértice y pedir a sus estudiantes que verifiquen que tienen igual medida. (Habilidades que desarrollan: usar herramientas y verificar).
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • El desarrollo de una perspectiva visual es algo que provoca problemas en algunos estudiantes. Por ello es importante que en geometría, y en particular en este tema, presente figuras con distintas orientaciones, de este modo pueden adquirir más habilidades espaciales.
Unidad 3 111
ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial propuesta en el Texto tiene por objetivo que los alumnos y alumnas descubran las regularidades presentes en ángulos entre paralelas. Para ello, se pide que los y las estudiantes encuentren relaciones entre ángulos utilizando un transportador y que utilicen los conocimientos sobre ángulos opuestos por el vértice aprendidos en las páginas anteriores. Para que sus estudiantes puedan concluir que las propiedades que se cumplen en ángulos entre paralelas podría pedir a sus estudiantes que dibujen un diagrama como el que muestra el Texto y que midan con transportador los ángulos que se forman. De esta forma los alumnos y alumnas podrán ver con mayor facilidad las relaciones que se forman en este tipo de situaciones.
Habilidades que se desarrollan Reconocer/identificar.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Para que los alumnos y alumnas puedan visualizar de mejor forma los ángulos, si considera necesario puede pedirles que en la actividad 2 identifiquen de un mismo color aquellos ángulos que presentan una característica específica. Por ejemplo, marcar de color rojo los ángulos alternos internos y de color azul los ángulos alternos externos. Con esta metodología, al tener un ángulo marcado con más de un color, los alumnos y alumnas podrán ver con mayor claridad que un ángulo puede tener distintas características dependiendo de los ángulos con los cuales se compare. • Es importante que cada una de las actividades planteadas en el Texto, se revise con el curso para verificar si los alumnos y alumnas están comprendiendo la relación entre los distintos tipos de ángulos. • También podría ser atractivo para sus estudiantes que presente en el pizarrón una figura que involucre rectas paralelas y transversales, pida a ellos que salgan al pizarrón y que lo completen.
112 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 70 y 71
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar y reforzar las actividades del Texto puede dibujar rectas paralelas cortadas por una transversal y pedir a sus estudiantes que identifiquen cuáles de esos ángulos son: • Alternos externos. • Alternos internos. • Correspondientes. (Habilidad que desarrolla: reconocer e identificar.)
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Sería interesante y de mucha utilidad que pregunte a sus estudiantes qué sucedería con los ángulos entre paralelas, si la recta transversal es perpendicular a las rectas paralelas. Para que las respuestas sean más fáciles de encontrar puede pedir a sus estudiantes que realicen en el cuaderno una figura que represente esta situación. Luego, para sintetizar y concluir puede dibujar usted una figura en el pizarrón y explicar por qué cada uno de los ángulos involucrados mide 90º.
Unidad 3 113
ACTIVIDAD INICIAL Las actividades presentadas en el Texto son una continuación de las presentadas en las páginas anteriores, donde el propósito es que los y las estudiantes apliquen lo aprendido sobre ángulos entre paralelas en el cálculo de ángulos y en la resolución de problemas relacionados con trayectorias.
Reconocer/identificar y analizar.
Reconocer/identificar, analizar y usar herramientas.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Es importante que los alumnos y alumnas tengan presente en la actividad 5 que los ángulos adyacentes suman 180º. Esta información les sirve para obtener medidas de ángulos y también para comprobar si las medidas obtenidas son correctas. • Los y las estudiantes cuando comienzan a trabajar con ángulos, como están acostumbrados a medirlos con transportador, suelen confundirse y muchas veces miden en vez de calcular con la información dada. En relación a esto, es importante aclarar a los alumnos y alumnas que siempre que les pidan calcular medidas de ángulos deben basarse en la información numérica dada y no en la apariencia de los ángulos. Por ejemplo, muchas veces los y las estudiantes asumen que ángulos son rectos por su apariencia, sin considerar la información que tienen.
114 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 72 y 73
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Pida a sus estudiantes que calquen las figuras de la página 73 y que a partir de cortes y dobleces verifiquen sus respuestas. (Habilidad que desarrolla: verificar).
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Aprovechando la enseñanza de este contenido, podría ser una buena oportunidad mencionar a los alumnos y alumnas los conceptos de ángulos complementarios y suplementarios, ya que se encuentran relacionados con el tema que se está trabajando y, además, son conceptos muy utilizados en geometría, tanto en este nivel como en los siguientes. • Sería interesante que preguntara a sus estudiantes que otras relaciones en los ángulos entre paralelas pueden observar. Por ejemplo, podría preguntar cuáles suman 180º.
Unidad 3 115
CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS Formulación y verificación de conjeturas relativas a la suma de los ángulos interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros, y su generalización al caso de polígonos.
ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas descubran cuánto suman los ángulos interiores de cualquier triángulo. Para ello se propone la realización de una simple actividad lúdica que permitirá motivar a los y las estudiantes y además mostrar esta importante propiedad. Es importante que los alumnos y alumnas dibujen los tres tipos de triángulos: acutángulo, rectángulo y obtusángulo, pues de esta forma verán con mayor facilidad que esta propiedad es válida para cualquier tipo de triángulo.
EN TU CUADERNO Actividad 1 2y3 4
Habilidades que se desarrollan Calcular y analizar. Analizar. Aplicar y calcular.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1 es importante que pregunte a sus alumnos y alumnos por qué en algunos casos no es posible construir un triángulo. El propósito de este ejercicio es que calculen la suma de los ángulos interiores y concluyan que solo es posible la construcción cuando la suma obtenida es exactamente 180º. • En la actividad 2 se propone que los y las estudiantes analicen si es posible la construcción de triángulos con medidas de ángulos específicos, como dos ángulos rectos, dos ángulos obtusos o dos ángulos agudos. Es importante que aclare a sus alumnos que en el primer y segundo caso no es factible formar triángulos ya que la suma de los ángulos dados es 180º o más de 180º; en el tercer caso será posible si el tercer ángulo es agudo y, además, la suma de los tres ángulos agudos es 180º, en caso contrario no se puede construir.
116 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 74 y 75
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para potenciar y reforzar los aprendizajes de sus estudiantes, puede pedirles que determinen cuánto mide el ángulo que falta en cada triángulo. a)
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Podría complementar la enseñanza de estos dos nuevos contenidos aprendidos (la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º), para mostrar que la suma de dos ángulos interiores en un triángulo es igual a la medida del ángulo exterior no adyacente. Para facilitar la comprensión de esta nueva propiedad puede pedir a sus alumnos que construyan una figura como la presentada en la actividad 3 del Texto, luego pedir que recorten los ángulos interiores y exteriores y que junten dos ángulos interiores y los coloquen sobre el ángulo exterior no adyacente y prueben que coinciden. Repetir el procedimiento para los otros ángulos. De esta forma verificarán la validez de esta propiedad para cada ángulo exterior de la figura construida.
Unidad 3 117
ACTIVIDAD INICIAL El propósito de esta actividad es que sus estudiantes descubran relaciones entre la suma de los ángulos interiores y exteriores de diferentes cuadriláteros. Para ello se plantean preguntan que permitirán llegar a las propiedades mencionadas anteriormente. Si sus estudiantes no recuerdan cuánto miden los ángulos interiores en cuadrados y rectángulos puede pedir que construyan estas figuras y que luego midan sus ángulos con un transportador. Esta estrategia es más productiva para sus alumnos y alumnas en vez de decirle, sin trabajo alguno, que cada ángulo en ambas figuras mide 90º.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Fundamental es que pida a sus estudiantes que muestren un desarrollo en cada ejercicio de selección múltiple, pues de esta forma puede conocer los razonamientos que están realizando sus alumnos y alumnas, y podrá corregir aquellos procesos y razonamientos incorrectos; además de poder potenciar los correctos. • Es importante que continuamente revise el trabajo realizado por sus alumnos y alumnas, especialmente los correspondientes a la sección MI PROGRESO, pues de esta forma podrá obtener información sobre los aprendizajes de sus estudiantes y también podrá detectar debilidades en ellos, y podrá tomar decisiones importantes para mejorar sus aprendizajes.
118 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 76 y 77
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Pida que justifiquen cada una de las respuestas obtenidas en la sección PARA DISCUTIR dibujando en papel distintos cuadriláteros, de manera similar a como lo hicieron con los triángulos en la página 75 del Texto. (Habilidades que desarrollan: usar herramientas, representar, verificar y calcular).
EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO Ítem 1, 2 y 3
Habilidades que se evalúan Calcular.
Al terminar la actividad propuesta, pida a sus estudiantes que revisen las respuestas en el solucionario del Texto. Si respondieron alguna en forma incorrecta, pídales que identifiquen cuál fue el error y que lo corrijan. Además, pida que reflexionen acerca de los contenidos que aprendieron hasta acá, que hagan un listado con los conceptos que entendieron, que escriban y aclaren las dudan que aún tienen.
• Con los contenidos aprendidos en estas páginas puede aprovechar de enseñar a sus estudiantes que en un rombo y un romboide los ángulos opuestos son iguales, y los contiguos suman 180º. Para que los alumnos y alumnas comprendan estas propiedades puede explicarlo basándose en lo aprendido sobre ángulos entre rectas paralelas y bien construyendo estas figuras, cortando los ángulos, comparar los opuestos (superponiéndolos) y unir los contiguos (formando ángulos extendidos). • Del mismo modo puede pedir a sus estudiantes que descubran relaciones angulares presentes en distintos tipos de trapecios (escaleno, isósceles y rectángulo) y trapezoides (simétrico y asimétrico).
Unidad 3 119
CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Formulación y verificación de conjeturas relativas a la suma de los ángulos interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros, y su generalización al caso de polígonos.
ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la introducción presentada en el Texto es mostrar a los y las estudiantes la suma de los ángulos interiores de diferentes polígonos. Para ello se propone dividir el polígono dado en triángulos formados por diagonales que se pueden trazar desde un vértice, y a partir de esto determinar la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Este procedimiento resulta muy clarificador para los alumnos y alumnas, ya que ellos saben que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Es importante que los alumnos y alumnas trabajen de forma ordenada y detallada, para evitar errores en los cálculos y obtener conclusiones acertadas. Al finalizar la actividad, sería interesante que analizar con el curso los procedimientos para obtener la suma de los ángulos interiores de las figuras presentadas en la actividad 4. La idea es que sus estudiantes noten que una figura puede dividirse de diferentes formas y obtener obviamente el mismo resultado. Además, pueden observar que una manera de dividir una figura puede ser más sencilla que otra, y por lo tanto, la suma de los ángulos interiores se puede obtener más fácilmente.
120 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 78 y 79
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para reforzar y potenciar los aprendizajes de sus estudiantes pídales que dibujen tres polígonos, que los intercambien con un compañero o compañera, que midan los ángulos interiores y que verifiquen que su suma es igual a (n – 2) • 180º. (Habilidades que se desarrollan: aplicar, verificar y calcular).
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para que los alumnos y alumnas comprendan con más facilidad este contenido puede pedir que construyan varios polígonos de distinto número de lados y que repitan el proceso planteado en el texto. Es importante que los alumnos y alumnas relacionen el número de lados del polígono con la cantidad de triángulos en que se puede dividir el polígono. De esta forma pueden comprender de mejor forma que la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados está dada por 180 (n – 2). • Puede complementar los contenidos presentados en el Texto, explicando a sus estudiantes que el número total de diagonales que se pueden trazar n (n – 3) . Esta fórmula se debe a que n – 3 es la en un polígono de n lados es 2 cantidad de diagonales desde un vértice, como son n vértices, sería n (n – 3), pero como una diagonal es la misma para dos vértices, la cantidad total se n (n – 3) reduce a la mitad, quedando: . 2 Unidad 3 121
CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Resolución de problemas en contextos diversos relativos al cálculo de la medida de ángulos interiores y exteriores en polígonos regulares.
ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial que plantea el Texto es mostrar a los alumnos y alumnas las principales diferencias entre polígonos regulares e irregulares. Para ello se plantea una situación inicial donde los alumnos deben comparar dos grupos de polígonos en relación a las medidas de sus lados, ángulos, y suma de sus ángulos interiores. Todo esto con el propósito de ampliar los conocimientos de los alumnos y alumnas y mostrar otras propiedades presentes en los polígonos regulares.
Usar herramientas y analizar.
Calcular y analizar.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Al finalizar la actividad es conveniente que revise con el curso las respuestas obtenidas, los procedimientos utilizados y los razonamientos realizados. De esta forma, podrá ayudar a aquellos estudiantes con más dificultades y también podrá potenciar a los alumnos y alumnas más avanzados. Un buen ejercicio es pedir a los y las estudiantes que expliquen la forma en que resolvieron determinado problema o cómo llegaron a una determinada conclusión. Puede practicar esto con las preguntas presentadas en la actividad 2, luego de completar la tabla que aparece en el Texto.
122 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 80 y 81
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Dado el hexágono regular ABCDEF, calcula: – El número de diagonales que se pueden trazar desde el vértice A. _________________________ – La suma de los ángulos interiores. _________________________ – La medida de cada uno de sus ángulos. ______________________ – El número total de diagonales. ____________ – La suma de las medidas del ángulo ⭿ABC + ⭿BCD + ⭿CDE. ________ A
(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para sintetizar y comparar ambos tipos de polígonos (regulares e irregulares), podría presentar a los y las estudiantes una tabla y completarla en conjunto de acuerdo a lo que han ido descubriendo con la actividad inicial del Texto, obteniendo respuestas como las siguientes:
Unidad 3 123
ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto es unir los contenidos de la unidad con el uso de tecnologías, a través de la utilización de un software geométrico en donde se pueden realizar distintas construcciones y calcular diversas medidas.
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Habilidades que se desarrollan Aplicar y usar herramientas.
ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Para el buen desarrollo de la actividad es importante que sus estudiantes lean atentamente y sigan cada uno de los pasos detallados en el Texto para la construcción de un pentágono regular. De esta forma será más fácil la construcción de otros polígonos.
INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • El uso de herramientas tecnológicas, en especial, un programa computacional, es un recurso muy potente para los alumnos y alumnas, ya que permitirá que sus estudiantes se interesen más por el aprendizaje de la matemática, y en particular con la geometría, que muchas veces suele ser una parte de la asignatura no muy querida por los y las alumnas.
124 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 82 y 83
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar las actividades presentes en el Texto, puede presentar la siguiente actividad: • Utilizando el mismo programa computacional, realiza las siguientes construcciones, calcula la suma de sus ángulos interiores y verifica que es igual a la obtenida con la fórmula 180 (n – 2). – Construye un octágono regular y otro irregular. – Construye un eneágono regular y otro irregular. • Averigua que otras funciones tiene el programa que estás utilizando para construir. (Habilidad que desarrollan: aplicar y usar herramientas).
EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO Ítem • Es importante que converse con sus estudiantes sobre las ventajas de usar tecnologías en matemática, en cuanto al tiempo utilizado, la precisión entregada, la visualización permitida, etc. Mencionar la fortuna de tener esta oportunidad, ya que años atrás esto no era posible, debido a que el desarrollo tecnológico no estaba tan avanzado. Incluso grandes cálculos con funciones matemáticas específicas debían hacerse de forma manual (utilizando tablas) ya que las calculadoras no existían o las características de ellas eran muy básicas. • Permita a sus estudiantes explorar un nuevo programa computacional, de esta forma ellos pueden descubrir de forma independiente nuevas funciones y de esta forma se interesan más en el uso de tecnológicas para diversos ámbitos del conocimiento y no solo como un recurso de entretenimiento. Está inspección permitirá que desarrollen y descubran distintas habilidades relacionadas con la matemática, la geometría y la computación.
Unidad 3 125
CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS Resolución de problemas en contextos diversos relativos al cálculo de la medida de ángulos interiores y exteriores en polígonos regulares.
BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad 1
INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO • No olvide mencionar a sus estudiantes que un mismo problema puede ser resuelto de diversas maneras, llegando con más o menos trabajo al mismo resultado. Por ejemplo, una forma sencilla y rápida de haber calculado la cantidad total de diagonales de un octágono regular habría sido dibujar el polígono y luego trazar todas las diagonales posibles y luego contarlas. Esta forma de resolución es la que muchos de sus estudiantes habrían optado por realizar, ya que se obtiene la respuesta con un procedimiento sencillo y rápido. Sin embargo es importante que mencione a sus estudiantes que este método es apropiado cuando el polígono tiene pocos lados, pero es ineficiente este procedimiento cuando el número de lados del polígono es mayor, ya que el proceso se vuelve más engorroso. Por ello es importante inculcar a los alumnos y alumnas la generalización de procesos, ya que algo sencillo para un caso en particular no siempre es efectivo para la generalidad.
126 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 84 y 85
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para apoyar las actividades del Texto, puede plantear el siguiente problema que debe ser resuelto utilizando los pasos vistos para la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar. • Si en un polígono se pueden trazar 50 diagonales desde un vértice: – ¿Cuántos lados tiene el polígono? – ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total? – ¿Cuánto es la suma de todos los ángulos interiores del polígono? – Si el polígono fuera regular, ¿cuánto mediría cada ángulo interior? (Habilidad que desarrollan: aplicar, calcular y verificar).
Unidad 3 127
CONEXIONES Actividad 1, 2 y 3
Habilidades que se desarrollan Aplicar y analizar.
Esta conexión tiene como propósito vincular los ángulos con nuestro mundo real. Para ello se presenta en el Texto una noticia actual relacionada con la creación de un dispositivo electrónico que permite calcular medidas de ángulos, las que aparecen en una moderna pantalla LCD. Este artículo permitirá que usted converse con sus alumnos y alumnas sobre la importancia de saber medir ángulos y de la utilidad que tienen en distintas áreas del conocimiento como la ingeniería, la construcción, etc. y lo necesarios y aplicables que son estos contenidos matemáticos para el desarrollo de determinadas actividades.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Para potenciar la actividad propuesta en el texto y los aprendizajes de los alumnos y alumnas, puede pedir a sus alumnos y alumnas que investiguen sobre el funcionamiento de este dispositivo, sus principales características, quienes son los tipos de personas que necesitan de ellos, etc. Además, podrían investigar sobre lo últimos avances tecnológicos relacionados con el mundo de las ciencias. (Habilidad que desarrollan: conectar).
128 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 86 y 87
SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad puede complementar las preguntas del texto con las siguientes:
TÉCNICAS DE ESTUDIO A continuación, proponemos otra forma de estudiar los contenidos trabajados en esta unidad: el resumen. El resumen consiste en destacar los puntos principales de cada tema trabajando en la unidad, y a través de estos puntos obtener toda la información necesaria para saber de qué se trata el contenido que estudiamos, destacando las ideas fundamentales. • La creación del resumen debe realizarse de manera individual y se sugiere realizarla en clases, para que oriente y guíe a sus estudiantes en su trabajo. • El resumen debe incluir todos los contenidos trabajados en la unidad. • Para resumir cada contenido debe incluir lo siguiente: – Definición del contenido. – Características del contenido. – Ejemplo numérico del contenido y su resolución. – Un problema de aplicación del contenido y su resolución utilizando los pasos enseñados.
• ¿Si α y β son ángulos opuestos por el vértice y β mide 46º, ¿cuánto mide a? • ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?, ¿de un cuadrilátero? • ¿Cómo se puede calcular la suma de ángulos interiores de cualquier polígono? • ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de cualquier polígono? • ¿Es posible saber cuánto mide un ángulo interior de un polígono irregular sin usar transportador y solo sabiendo que es un octágono?, ¿por qué? • ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular?, ¿y cada ángulo exterior? • ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice en un heptágono? • ¿Cuántas diagonales en total se pueden trazar en un icoságono? (Habilidades que se desarrollan: recordar y conectar).
Unidad 3 129
Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 6) considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente cuatro o cinco preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente tres preguntas. No logrado, si contesta correctamente menos de tres preguntas.
Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ejercicios 1 a 6, la información que entrega la respuesta de los y las estudiantes es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que puede ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítemes de selección múltiple, se sugiere pedirles que muestren sus cálculos y desarrollos de cada pregunta en las figuras correspondientes o en el espacio disponible para ello. De de esta forma podemos detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En la actividad 7, se sugiere que pida a sus alumnos y alumnos lo mismo que para los ítems de selección múltiple, ya que los y las estudiantes podrían contestar algunas preguntas sin realizar algún desarrollo escrito, situación que dificulta la detección de errores.
130 Guía Didáctica Matemática 6
Texto para el Estudiante 88 y 89
Analizar y calcular.
Unidad 3 131
Ángulos Nombre:
I. Marca la alternativa correcta. 1. En la figura L1 // L2, los ángulos α y β son: A. Alternos internos B. Alternos externos C. Correspondientes D. Opuestos por el vértice
5. Si L1 // L2 // L3, el valor de los ángulos α y β es: A. α = 125º y β = 55º B. α = 115º y β = 65º C. α = 75º y β = 105º D. α = 55º y β = 125º
2. ¿Cuánto mide x + y?
A. 248º B. 96º C. 138º D. 132º
3. En un polígono regular de 13 lados se pueden trazar en total: A. 130 diagonales B. 65 diagonales C. 130 diagonales D. 110 diagonales E. 55 diagonales
4. Un ángulo interior de un polígono regular de 9 lados mide: A. 140º B. 70º C. 23,4º D. 234º
132 Guía Didáctica Matemática 6
6. La suma de los ángulos interiores de un pentágono regular es: A. 180º B. 360º C. 540º D. 720º
7. En un octágono se pueden trazar desde un vértice: A. 8 diagonales B. 7 diagonales C. 6 diagonales D. 5 diagonales
8. Un ángulo exterior de un decágono regular mide: A. 10º B. 144º C. 36º D. 180º
II. Resuelve los siguientes problemas mostrando el desarrollo. 1. Las calles Mac Iver y Miraflores son paralelas y ambas se intersectan en la calle Esmeralda. Dos personas caminan por la calle Esmeralda desde el este hacia el oeste. Luego, cada una dobla hacia calles paralelas entre sí, como muestra el dibujo.
Marca el ángulo de giro en cada caso. ¿Cuál es la medida del ángulo de giro en ambos casos? ¿Qué relación existe entre ambos ángulos?, ¿por qué? Si el ángulo de giro del niño mide 77º, ¿cuánto mide el ángulo de giro de la niña?
2. Completa la tabla para los valores dados. Considera que β + γ = 80º α
30 25 50 70
3. Calcula la medida del ángulo señalado en cada caso.
Unidad 3 133
TALLER 1:Maquetación 1
TALLER DE EVALUACIÓN 1 El objetivo de esta evaluación es obtener información sobre los aprendizajes alcanzados por los alumnos y alumnas en las últimas tres primeras unidades del Texto: Números, Potencias y Ángulos.
Calcular y aplicar.
Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Para los ejercicios del ítem I (1 a 20) considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente entre más de catorce preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente entre diez y catorce preguntas. No logrado, si contesta correctamente menos de diez preguntas.
134 Guía Didáctica Matemática 6
Para la evaluación de ítem II considere los siguientes criterios: Ítem II
Si responde correctamente todas las preguntas relacionadas con multiplicación de números decimales.
Si responde correctamente dos de las preguntas relacionadas con multiplicación de números decimales.
Si responde correctamente una de las preguntas relacionadas con multiplicación de números decimales.
Si responde incorrectamente todas las preguntas relacionadas con multiplicación de números decimales.
Si responde correctamente todas las preguntas relacionadas con potencias.
Si responde correctamente dos de las preguntas relacionadas con potencias.
Si responde correctamente una de las preguntas relacionadas con potencias.
Si responde incorrectamente todas las preguntas relacionadas con potencias.
Si responde correctamente todas las preguntas relacionadas con el polígono regular dado.
Si responde correctamente más de tres de las preguntas relacionadas con el polígono regular dado.
Si responde correctamente tres de las preguntas relacionadas con el polígono regular dado.
Si responde correctamente menos de tres de las preguntas relacionadas con el polígono regular dado.
POSIBLES DIFICULTADES EN LA EVALUACIÓN Y REMEDIALES En los ejercicios 1 a 20, al ser ítemes de selección múltiple, la información que entrega la respuesta de los y las estudiantes es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que se puede deber a que no saben cómo responder la pregunta o porque se equivocaron al marcar la alternativa, entre otras. Para mejorar este inconveniente en los ítemes de selección múltiple, se sugiere que pida a sus estudiantes que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo podemos detectar en qué se están equivocando y posteriormente podemos reforzar los contenidos donde presentan debilidades. En los problemas de desarrollo podría ocurrir algo similar, ya que los y las estudiantes podrían contestar algunas preguntas sin realizar algún desarrollo escrito, situación que dificulta la detección de errores. Por ello también se sugiere pedirles que resuelvan cada problema, mostrando los procedimientos que realizaron para llegar a la solución de cada problema. Después que conozca los resultados obtenidos por sus estudiantes en esta evaluación, se recomienda que revise en conjunto con ellos cada una de las preguntas presentadas en esta evaluación, para aclarar todas las dudas y los y las estudiantes se den cuenta de los errores que cometieron en la evaluación y no vuelvan a cometerlos. Si luego de esto considera que sus estudiantes requieren un apoyo adicional, tenga presente la opción de volver a enseñar aquellos contenidos que no alcanzaron un nivel de logro apropiado, porque en el futuro un aprendizaje no alcanzado puede afectar la comprensión y el aprendizaje de otros.
Taller de evaluación 1 135
TALLER DE EVALUACIÓN 1 I. Marca la alternativa correcta. 1. Cuatro quintos de dos tercios es equivalente a: A.
2. La división
15 8 10 12
10 8 : es igual a: 5 4
2 1 – es igual a: 5 3
11 B. 15
1 D. 15
4. 0,45 kilogramos equivalen a: A. B. C. D.
45.000 gramos 45 gramos 450 gramos 4,5 gramos
5. Si el valor del dólar es US$ 634,5, ¿cuánto debería pagar una persona que quiere comprar 150 dólares? A. B. C. D.
95.175 95.155 85.165 85.175
136 Guía Didáctica Matemática 6
37,5 cm 375 cm 12,5 cm 125 cm
7. El resultado de 32 · 5 es:
3. La expresión 7 ·
6. Al dividir una cinta de 3 metros en 8 partes iguales, ¿Cuánto mide, en centímetros, cada trozo de cinta?
30 45 75 225
8. Al calcular 03 – 14 + 25 – 70, resulta: A. B. C. D.
6 34 24 30
9. Si b · n = bn, entonces 3 · 4 – 4 · 3 = A. B. C. D.
17 0 24 145
10. El producto entre 0,753 y 102 es: A. B. C. D.
75,3 753 0,753 7,53
11. ¿Por cuánto se tiene que dividir 83,38 para obtener 8,338? A. B. C. D.
12. Un quinto de 2 · (53 + 52) es: A. B. C. D.
13. ¿Alicia demora 2,5 días en armar un rompecabezas de 2000 piezas. ¿A cuántas horas equivalen? A. B. C. D.
24 horas 48 horas 60 horas 72 horas
14. La expresión 7 · 105 + 8 · 104 + 9 · 103 es: A. B. C. D.
789 7 890 78 900 789 000
15. Si L1 // L1 // L1, el valor de los ángulos α y β es: A. B. C. D.
α = 51º y β = 139º α = 41º y β = 139º α = 139º y β = 51º α = 139º y β = 41º
17. En un triángulo se pueden trazar en total: A. B. C. D.
0 diagonales 1 diagonal 2 diagonales 3 diagonales
18. ¿Cuánto miden los ángulos x e y, respectivamente?
117º y 63º 63º y 117º 73º y 117º 117º y 73º
II. Resuelve los siguientes problemas mostrando el desarrollo correspondiente. 1. Una constructora le ofrece a Claudia un departamento a 2 750 UF. El Estado otorga un subsidio de renovación urbana de 200 UF. Si Claudia decide comprar hoy al contado la casa con el precio de cada UF a es $ 21 345,27. a) ¿A cuánto dinero en pesos equivale el subsidio de renovación urbana? b) ¿Cuánto tendría que pagar Claudia sin este beneficio? c) ¿Cuánto pagaría finalmente por la casa, considerando el subsidio del Estado? 2. Una bacteria se reproduce cada 10 minutos. Si se coloca una bacteria en un recipiente a las 17:05 horas.
16. La figura L1 // L2, entonces β mide:
a) ¿Cuántos minutos han pasado para que en el recipiente hayan 128 bacterias? b) ¿A qué hora habrá 256 bacterias en el recipiente? 3. La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 2 340.
124º 66º 56º No se puede determinar.
¿Cuántos lados tiene el polígono? ¿Cuánto mide cada ángulo interior? ¿Cuánto mide cada ángulo exterior? ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice? e) ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total? Taller de evaluación 1 137
6to basico santillana parte 2 - profesor
• Interpretan potencias como una multiplicación iterada. • Escriben multiplicaciones como potencias. • Calculan potencias de base y exponent...

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