Source: https://www.scribd.com/document/357640143/EOS-Pochulu
Timestamp: 2018-12-19 09:24:14+00:00

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cuadernillo matemática
Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento
y la Instrucción Matemática
Marcel D. Pochulu
En este capítulo presentamos las ideas teóricas centrales y algunas aplicaciones
que ha tenido el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción
Matemática (EOS), como línea de investigación en Didáctica de la Matemática,
que viene desarrollándose en España desde el año 1994 por Juan Díaz Godino
Es posible que un lector experto en el EOS juzgue de extremo el recorte que se
ha realizado, como así también, que las ideas que se explicitan son muy elementales
en sus fundamentos. Cabe aclarar que nuestra intención es introducir al futuro
profesor de Matemática en este enfoque, mostrando algunas de las herramientas
más importantes que le provee, ya sea para diseñar o analizar didácticamente una
clase, o para iniciarse en la investigación en Educación Matemática, pensando
que puede profundizarlas posteriormente si les resultan de interés.
Asimismo, exponemos las nociones teóricas que sustentan el EOS sin entrar
a debatir los fundamentos didácticos, filosóficos y epistemológicos que le dan
origen, o que justifican su razón de ser en esta línea de investigación, ni las
relaciones que existen con otros marcos teóricos de referencia de la Didáctica de
la Matemática. Para ello, se puede recurrir a un número importante de publica-
ciones (Godino y Batanero, 1994; Godino, Contreras y Font, 2006; Godino,
Batanero & Font, 2007; Godino, Font y Wilhelmi, 2008) donde se analizan
con detalles estas ideas y se indican los antecedentes en que están basadas.
3.2. Posicionamiento del EOS ante la Didáctica de la
Para el EOS, la Didáctica de la Matemática tiene que dar respuesta a dos
demandas fundamentales: (a) comprender los procesos de enseñanza y apren-
dizaje de la Matemática, y (b) guiar la mejora de los procesos de enseñanza y
Para la primera demanda se requiere de herramientas teóricas que permitan
la descripción, interpretación y/o explicación de los procesos de enseñanza y
aprendizaje de la Matemática. Esto exige realizar investigaciones de tipo teórico
que inducen a la creación y desarrollo de marcos teóricos. Al mismo tiempo,
estos marcos teóricos se aplican en el estudio de los procesos de enseñanza y
aprendizaje de la Matemática, lo que origina, a su vez, la ampliación del propio
marco teórico. En este sentido, el EOS pretende construir un marco teórico
que además de tener poder descriptivo también tenga poder explicativo.
Para el EOS, el marco teórico es el que orienta sobre lo que hay que observar
y cómo se debe realizar esa observación; y proporciona las herramientas para
realizar la misma, aunque esto no imposibilita utilizar métodos de investiga-
ción de tipo general, o desarrollados por otros enfoques teóricos diferentes. De
todos modos, por estar utilizando un determinado marco teórico, sabemos que
existe una determinada manera de entender los hechos y procesos didácticos,
y la explicación que se brinda de los fenómenos observados.
Para la segunda demanda se necesita realizar una valoración de los procesos
de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, y con base en ella, proponer
mejoras fundamentadas. En consecuencia, es necesario desarrollar métodos
para la valoración y mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la
Matemática. Para ello, el EOS propone criterios de idoneidad para las distintas
facetas implicadas en un proceso de estudio matemático.
En las secciones siguientes expondremos los desarrollos y aplicaciones más
importantes del EOS en torno a estas dos demandas que la Didáctica de la
Matemática debería atender.
3. y se dan definiciones muy particulares para conceptos teóricos como el de práctica. Como característica propia de este enfoque. 3. Consideramos apropiado presen- tarlas dentro de tres grandes tópicos. su relevancia. 2007). significado y comprensión. donde se describen con precisión sus características. 65 . vínculos que los interrelacionan. El aspecto ontológico se deriva del análisis de la existencia o inexistencia de entidades u objetos. y se le asigna un papel central al lenguaje. Herramientas teóricas del EOS El EOS propone una reconceptualización de algunos constructos básicos como la noción de objeto matemático.3. a los procesos de comunicación e interpretación y a la variedad de objetos intervinientes en la clase de Matemática. mientras que el aspecto semiótico se ocupa de descubrir y analizar la verdadera significación que se da a esos objetos o entidades. y otras particularidades que los hacen diferenciables. las situaciones y los factores que condicionan su desarrollo. así como el estudio de sus relaciones mutuas. Este modelo procura aportar herramientas teóricas para analizar en forma conjunta el pensamiento matemático. los ostensivos que le acompañan. • Teoría de Funciones Semióticas. se distinguen para dichos constructos dos dimensiones interdependientes: personales e institu- cionales. Los constructos teóricos elaborados por el EOS constituyen el modelo ontológico-semiótico que esbozaremos seguidamente. incluso donde pareciera que esas diferencias no pudieran o debieran manifestarse. Teoría de Significados Sistémicos Habitualmente asumimos que el significado de un objeto matemático está dado por su definición. donde se toma como no- ción primitiva la de situación-problema. y • Teoría de Configuraciones Didácticas. los que marcan en cierta forma la propia evolución que ha tenido esta línea hasta la fecha y que son: • Teoría de Significados Sistémicos. Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática 3. y tiene en cuenta aspectos del conocimiento matemático que pueden ayudar a confrontar y ar- ticular distintos enfoques de investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática (Godino et al.4. Las herramientas teóricas que provee el EOS se desarrollaron en diferentes etapas y se fueron refinando progresivamente. objeto (en sus facetas personal e institucional) y significado.
Del mismo modo. A su vez. los sistemas de prácticas se pueden separar en diferentes clases de prácticas más específicas. donde aparecen valores conocidos o datos. Los sentidos. la realización de las prácticas matemáticas se formaliza con el soporte y condicionamiento de un conjunto de elementos y factores materiales. mientras que es no ostensivo (no perceptible por sí mismo) en “2x”.Marcel D. etc. una propiedad. un procedimiento. y desconocidos o incógnitas. soluciones. a todo aquello que se pueda individualizar en Matemática. etc. si se nos pregunta: ¿qué es una ecuación?. un concepto. se entiende por “práctica a toda actuación o manifestación (lingüística o no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos. relacionados mediante opera- ciones matemáticas. por ejemplo. tal como un símbolo. diríamos que es una igualdad entres dos expresiones algebraicas. Para el EOS resultaría insuficiente decir que el significado de “ecuación” está dado por su definición y de allí la necesidad de adoptar una teoría pragmática del significado. validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas” (Godino y Batanero. Asimismo. por lo cual no se puede reducir este significado a su mera definición matemática. una representación. diremos que la suma es un objeto matemático no ostensivo en 3 5 . de acuerdo a Font y Ramos (2005). potencian o limitan el desarro- 66 . a un objeto matemático se lo concibe como emergente de determinados tipos de prácticas. usos y aplicaciones. Incluso. es un objeto ostensivo (que se muestra públicamente) en la expresión “a. donde su significado está íntimamente ligado a los problemas y a la actividad realizada para su resolución. pueden ser interpretados como significados parciales. lo que permite hacer una distinción entre significado y sentido. llevadas a cabo en el seno de una institución.b”. comunicar a otros la solución. p. Pochulu atributos y las relaciones existentes entre los mismos. podríamos agregar algunos atributos más referidos a los tipos de ecuaciones. Así. biológicos y socioculturales que hacen posible. donde el significado de un objeto (conceptual) es entendido a través de un sistema de prácticas (matemáticas) que un sujeto (persona o institución) pone en juego y no sólo por su definición o concepto asociado al mismo. 4 La Teoría de los Significados Sistémicos se elaboró a partir de presupuestos antropológicos y pragmatistas para el conocimiento matemático.8). En este contexto. Por ejem- plo. el símbolo de multiplicación es un objeto matemático donde. Con la denominación “objeto matemático” se entiende. En consecuencia. que denominamos miembros. en el EOS. 1994. además.
que conforma el significado institucional pretendido. los conocimientos previos de los alumnos y los medios y recursos instruccionales disponibles. logramos un sistema de prácticas planificadas sobre el objeto matemático para cierto proceso instruccional. De este modo. cuando planificamos una clase sobre un objeto matemático para un grupo de estudiantes. ordenamos y deli- mitamos la parte específica que vamos a proponer a los estudiantes durante un proceso de estudio. Por ejemplo. las respuestas a una colección de tareas o cuestiones que incluimos en las pruebas de evaluación vienen a ser una muestra del significado institucional evaluado. a las orientaciones curriculares. y en un determinado período de tiempo. así como a los conocimientos personales previamente adquiridos. en los procesos de instrucción reales se mezclan e interactúan constantemente entre ellos. Este conjunto de prácticas que tuvieron lugar en la clase de Matemática sirven de referencia inmediata para el estudio de los alumnos y las evaluaciones de los aprendizajes. al desarrollar la clase volvemos a realizar ajustes y pueden existir diferencias entre lo que pretendíamos y lo que efectivamente ocurrió en el aula. el EOS lo denomina el “trasfondo ecológico de las prácticas matemáticas”. A todo este sistema de elementos. Con todo ello construimos un sistema de prácticas que el EOS llama significado institucional de referencia del objeto. No obstante. Por último. podría ser que los significados evaluados no estén completamente contenidos en los significados implementados. Por lo general. tomamos en cuenta el tiempo asignado a la materia. realizar un análisis didáctico de ellos nos puede aportar algunas pautas de dificultades que se presentan cuando damos clases. Los significados. 3. llevan a introducir una tipología básica que tiene un tri- ple condicionamiento: institucional. Esto guarda relación con las prácticas prototípicas que una persona o institución realiza en su intento por resolver un campo de problemas. A partir del significado de referencia. acudimos a los textos matemáticos correspondientes. seleccionamos. comenzamos a delimitar lo que dicen las insti- tuciones matemáticas y didácticas sobre el objeto. Por ejemplo. Posteriormente. Si bien conviene distinguir conceptualmente los cuatro tipos de significados institucionales. y vienen a constituir el significado institucional implemen- tado. Asimismo. entendidos como sistemas de prácticas y por su utilización en el análisis didáctico. personal y temporal. lo cual expli- 67 . Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática llo de la actividad matemática. a lo expresado por los “expertos” en las prácticas operativas y discursivas inherentes al objeto. razón por la cual no siempre es tan clara la línea que los separa en un momento dado.
con el que finalmente alcanzaron. Cuando los significados pretendidos/implementados no concuerdan con los significados de referencia. Nos encontramos en este caso con el significado personal declarado. Al abordar la enseñanza y aprendizaje de un objeto matemático particular. si analizamos el cambio que han sufrido los significados per- sonales que tuvieron lugar al inicio. si tenemos en cuenta a nuestros alumnos. Por otra parte. podríamos considerar la totalidad del sistema de prácticas personales que son capaces de manifestar potencialmente sobre un objeto matemático. Por último. a través de un conjunto de prácticas efectivamen- te expresadas en las evaluaciones y actividades de clase (sean éstas correctas o incorrectas) el significado que le confieren al mismo. nos encontraremos con un conjunto de prácticas ma- nifestadas que guardan relación con la pauta institucional establecida. o previos de los estudiantes.Marcel D. lo que constituye el significado personal logrado. y nos daría una muestra del significado personal global que cada uno de ellos tiene. los estudiantes darán cuenta. lo que involucra sus conocimientos previos. podemos encontrar errores que se introdujeron en los procesos de enseñanza y aprendizaje llevados a cabo. Pochulu caría algunas dificultades que tuvieron los alumnos. Esquemáticamente representamos a estos significados de la siguiente ma- nera: Figura 1: Tipos de significados institucionales y personales 68 .
estos seis objetos primarios se organizan en entidades más complejas para constituir sistemas conceptuales y teorías. los cuales pueden ser deductivos o de otro tipo. Godino (1996) plantea que la principal finalidad de la enseñanza sería el acoplamiento progresivo de los significados personales e institucionales. • Conceptos-definición: corresponden a aquellas construcciones o ele- mentos que son introducidos mediante definiciones o descripciones de un objeto. cuando los sistemas de prácticas son compartidos en el seno de una institución. definidas como las redes de objetos intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas y las relaciones que se 69 . • Situaciones-problemas: son las actividades. los que se presentan. o la validez de la solución a un problema. lo que supone una articulación pro- gresiva entre los significados personales e institucionales. gestual. Se relacionan entre sí formando configuraciones (figura 2). en sus diversos registros (escrito. • Argumentos: comprenden enunciados y razonamientos usados para validar. • Procedimientos: comprenden algoritmos. tanto extra-matemáticas como intra-matemáticas. también podemos hablar de “objetos institucionales”. mientras que si corresponden a una persona o sujeto. adquirirá los distintos elementos que componen el significado institucional. Teniendo en cuenta la faceta institucional y personal que poseen los significados. justificar o explicar las proposiciones y los procedimientos. 3. • Proposiciones: enunciados o afirmaciones sobre los conceptos. a su vez. pero. etc. El EOS considera la siguiente tipología de objetos matemáticos primarios: • Lenguaje: es entendido en este marco teórico como los términos. tareas o ejercicios. Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática La flecha central de la figura 1 representa las relaciones dialécticas que se establecen entre enseñanza y aprendizaje. gráficos. técnicas de cálculo o modos de ejecutar determinadas acciones. notaciones.. De los sistemas de prácticas matemáticas operativas y discursivas emergen nuevos objetos que provienen de las mismas y que dan cuenta de su organi- zación y estructura. oral. expresiones. Cuando un alumno ingresa a la escuela puede asignarle a un objeto matemático un significado diferente al que le otorga la institución. operaciones. A su vez.). etc. a través de un proceso gradual de acoplamiento. serán calificados como “objetos personales”.
por ejemplo. procedimientos.Marcel D. que por su parte. El lenguaje. Los argumentos justifican los procedimientos y proposiciones que relacionan los conceptos entre sí. que tiene la Teoría de los Significados Sistémicos donde se integran los conceptos aborda- dos. Figura 2: Componentes de una configuración epistémica/cognitiva En las configuraciones epistémicas o cognitivas. Es de destacar que cada objeto matemático. sirve de instrumento para la comunicación. a modo de ejemplo. dependiendo del nivel de análi- sis. personal e institucional (Godino y Batanero. Tanto los sistemas de prácticas como las configuraciones se proponen como herramientas teóricas para describir los conocimientos matemáticos. puede poner en juego conceptos. por ejemplo el de función. por su parte. Un argumento. Pochulu establecen entre los mismos. Veamos ahora una aplicación práctica. y constituyen los elementos del significado de un objeto matemático. 1994). todo lo cual viene a regular el uso del lenguaje. Si deseamos determinar el significado de referencia o global que tiene un objeto matemático particular. en su doble versión. requiere realizar un 70 . o cognitivas si representan redes de objetos personales. sirve de instrumento para la acción. las situaciones-problemas son el origen o razón de ser de la actividad. proposiciones. puede estar compuesto por entidades de los restantes tipos. está soportado por el lenguaje. Estas configuraciones pueden ser epistémicas si son redes de objetos institucionales. y obviamente. y las que vienen a motivar el conjunto de reglas que aparecen en ella.
propie- dades de la derivabilidad y continuidad. etc. nos lleva a plantear situaciones-problemas donde se realicen estudios analíticos de la dependencia entre las variables. Si se plantean situaciones-problemas donde se pide la descripción general de cualquier tipo de relación. Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática estudio histórico-epistemológico sobre el origen y evolución del mismo. lo que conlleva a realizar operaciones entre conjuntos (acciones o procedimientos). donde subyacen los conceptos de dominio. función inyectiva. como así también. Figura 3: Configuración epistémica del objeto matemático función Si enseñamos funciones desde una configuración epistémica analítica. imagen o rango. es necesario tener en cuenta los seis elementos primarios que constituyen una configuración epistémica. con argumentos netamente deductivos. considerar la diversidad de contextos de uso donde se pone en juego dicho objeto. estaremos abordando un significado conjuntista de las funciones (ver figura 3). Para ello. y por tanto el significado institucional de referencia de función estará relacionado a ella. 71 . sobreyectiva. Los procedimientos o acciones básicos implicarán la manipulación algebraica y el cálculo de límites. biyectiva y las propiedades que las vinculan. 3. soportados por el lenguaje propio de la notación conjuntista.
etc. pero en este caso. puesto que brindamos como significado de un objeto matemático un sistema de prácticas en las que dicho objeto es determinante. siendo la definición (explícita o implícita) del concepto matemático sólo uno de los componentes de la configuración epistémica. y como consecuente al sistema de prácticas matemáticas realizadas por una persona (o compartida en el seno de una institu- ción) ante una cierta clase de situaciones–problemas. proposiciones. cuando los alumnos nos preguntan por cierto objeto matemático. la ecuación de una recta”. Cuando un sujeto realiza una práctica matemática es necesario que active un conglomerado formado por algunos (o todos) de los elementos primarios que componen un objeto y que mencionamos en la sección anterior: lenguaje. donde a un objeto matemático se lo debe entender en términos de lo que se puede hacer con él en una práctica matemática. se puede incorporar a otro par “Configuración 72 . Teoría de Funciones Semióticas Cuando desarrollamos nuestras clases de Matemática. se podrían determinar otras configuraciones epistémicas que nos brindarían los significados institucionales de referencia asociados al objeto matemático función y que se contemplan en la figura 3. nos hacemos entender en términos de lo que se puede hacer con él. para su realización. En consecuencia. la Teoría de las Funciones Semióticas establece que el significado de un objeto matemático es el par “Configuración epistémica / prácticas que posibilita”. Solemos expresar: “Sea y = ax + b.5. el significado de un objeto. “Sea ABCD un cuadrilátero”. 3. Más específicamente. Precisamente el EOS adhiere a esta última acepción de significado. considerado como “expresión” en una función semiótica. estableciendo una correspon- dencia implícita entre el objeto representante (expresión) y el representado (contenido). estaríamos adoptando una perspectiva sistémica. situaciones–problemas. Este posicionamiento no invalida que un concepto tenga otra definición equivalente. Esta correspondencia se realiza a través de una función semiótica que tiene por antecedente a un objeto matemático (o la expresión que puede designarlo). habitualmente usamos objetos matemáticos en representación de otros. o no. Incluso. con a y b números reales. conceptos.Marcel D. Pochulu De esta forma. En este último caso. los que a su vez se agrupan formando una configuración (personal o institucional). será el “contenido” de esta función semiótica. procedimientos y argumentos. y ha sido establecido por un sujeto siguiendo una regla o criterio de corresponden- cia.
o en la frase: “En el polinomio P(x) = anxn + an-1xn-1 + . la descripción verbal. an es el coeficiente principal”.. • Significado intensional: una función semiótica es intensional cuando su contenido es una generalidad. n! representa el producto n . el EOS valora al plano del contenido puesto en juego. Así. Por ejemplo. y viceversa.). En nuestro caso.2) . A su vez. + a1x + a0. pues la descripción que hacemos es un objeto diferente de la propia situación. por lo que se tendrían los siguientes tipos: • Significado notacional: una función semiótica es notacional cuando el objeto final. Por ejemplo.1) . Si bien el modelo teórico que subyace en la Teoría de Funciones Semió- ticas es más amplio que el descripto. analizaremos las prácticas matemáticas (operativas y discursivas) que ha realizado una estudiante de 18 años al iniciar sus estudios universitarios. • Significado extensional: una función semiótica es extensional cuando el objeto final es una situación-problema o fenomenología.. Si bien algunas de estas funciones pueden interpretarse como procesos cognitivos específicos (generalización. (n . Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática epistémica / prácticas que posibilita” diferente del considerado inicialmente. toda función semiótica intensional y extensional puede ser in- terpretada como función semiótica notacional. donde la palabra “polinomio” hace referencia a otro objeto ostensivo que se muestra en la expresión. Por ejemplo. ya que tanto las abstracciones como las situaciones-problemas son concretadas textualmente. Godino (2003) expresa que se puede entender a la comprensión en términos de funciones semióticas. mientras que el significado será el conjunto de todos los pares “Configuración epistémica / prácticas que posibilita” obtenidos. (n . A su vez. donde a y b son números reales”. es una notación o instrumento ostensivo.. 3. etc. cada par viene a constituir diferentes sentidos del concepto. El EOS concibe a la comprensión básicamente como competencia y no tanto como proceso mental (Godino. pues sostiene que un sujeto comprende un determinado objeto matemático cuando lo usa de manera competente en diferentes prácticas.1 ”. simbolización. cuando decimos: “Sea n un número natural. 2001). o contenido de la misma. tomaremos una posible aplicación de la misma referida a la comprensión que tienen los alumnos sobre las ecuaciones al terminar la escuela secundaria.. a quien se le ha propuesto la realización de un conjunto de ta- 73 . gráfica o mixta de una situación-problema. 2000. Font. cuando decimos: “Una función lineal es de la forma y = ax + b.
Marcel D. Luego logro que me quede mi variable sola en compañía de su coeficiente. Estos actos de semiosis llevaron a establecer una correspondencia entre objetos matemáticos (expresión-contenido) a través de una función semiótica. Finalmente pasamos hacia el otro término con la operación inversa el coeficiente. lo que permitió valorar la comprensión que tiene sobre el objeto matemático ecuaciones. Así obtenemos un número concreto de x. 74 . Como resultado final obtuvimos una aproximación a la configuración cognitiva de la alumna. destacamos que para efectuar un análisis profundo de la comprensión que se tiene de ecuaciones se requeriría realizar una entrevista clínica mucho más profunda. Entonces debo comenzar a pasar los números independientes con el signo opuesto y resolverlos con el que se encuentra del otro lado. junto a las argumentaciones que dio la alumna al consultársele sobre lo realizado y seguidamente las interpreta- ciones efectuadas. posi- cionados en el EOS. De todos modos. Analizar la comprensión que tiene la alumna sobre las ecuaciones. La descripción que haremos se centra en identificar las interpretaciones que ha realizado la estudiante de los objetos primarios que intervienen en la configuración epistémica asociada a ecuaciones. nos lleva a determinar si reconoce el campo de problemas en que se involucra este objeto matemático. para la cual se ha seguido una regla o criterio de correlación dada por nuestra experiencia como docentes e investigadores. remarcando los elementos primarios del objeto matemático. y utiliza lenguaje y ar- gumentos apropiados en sus explicaciones. Escogimos este caso puesto que su examen estaría aprobado si sólo se hiciera una valoración de los procedimientos realizados. aplica y recuerda (implícitamente en la mayoría de los casos) los conceptos. la cual hemos omitido en este caso. Si está multiplicando lo pasamos dividiendo o viceversa. propiedades y procedimientos que se requieren para llevar a cabo exitosamente las tareas. Transcribimos los episodios colocando la resolución de algunos ejercicios que juzgamos como los más representativos. Entrevistador: Te pedimos que nos expliques lo que hacés para resolver estas ecuaciones Alumna: Primero debo analizar la ecuación para de- terminar qué es lo que me conviene hacer primero para lograr obtener un resultado concreto de la x. Pochulu reas referidas a ecuaciones.
“números independientes” y “signo opuesto. en su argumentación. y como sólo tenemos radicandos de un término. entre otras. Sin embargo. la suma. según Abrate. “quede mi variable sola en compañía de su coeficiente”. Interpretación: La alumna aplica en forma correcta la transposición de términos (procedimiento) para resolver las ecuaciones. la suma”. A su vez. 3. alude a proposiciones que son enunciadas en términos de metáforas operacionales. como “radicandos de un término”. Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática Alumna: Para comenzar el ejercicio tenemos que saber que la raíz no es distributiva con respecto a la suma y resta. 75 . Pochulu y Font (2009): “pasamos hacia el otro término con la operación inversa”. directamente pasamos la raíz como exponente cuadrado (lo contrario) al número que se encuentra del otro lado. En este último caso. “pasamos la raíz como exponente cuadrado”. utiliza la expresión “término” (concepto) como sinónimo de “miembro” de una ecuación (concepto). Luego despejamos el último número que está restando pasándolo con el signo opues- to. Asimismo. se pone de ma- nifiesto que no advierte la diferencia entre “signo” y “operación” (conceptos). aparecen elementos lingüísticos incorrectos. Resolvemos y obtenemos el valor de x. “Si está multiplicando lo pasamos dividiendo o viceversa”. Resolvemos lo que podemos. reconoce propiedades de la radicación y opera (procedimiento) adecuadamente con números enteros.
considera que toda ecuación tiene solución (proposición). No comprende lo que es solución de una ecuación (concepto) y lo inter- preta como el final de un procedimiento. Alumna: Los procedimientos fueron incorrectos. Sin embargo. estaría desconociendo el concepto de ecuación equivalente y que existen ope- raciones elementales (propiedades) que no garantizan la equivalencia. Entrevistador: Esta es la resolución de una ecuación que realizó un alumno en un parcial de Matemática. le ha dado la denominación de “resultados” y no “soluciones” (conceptos). Te pedimos que nos expliques lo que se ha realizado en cada paso e indiques si son correctos los procedimientos que se utilizaron. Como no ha sido el final de un procedimiento aplicado a la ecuación. que eran positivo y el otro negativo en un término y manteniendo el otro. 76 . En consecuencia.Marcel D. ecuación irracional (ejercicio b) y ecuación fraccionaria (ejercicio c). reconoce el orden de las operaciones (propiedad) establecidas por los términos que conforman cada miembro de una ecuación (concepto). parece desconocer que teniendo el producto de dos factores iguales a cero. En el siguiente paso se agregó el 2 como divisor en los números de ambos lados. Aquí se agregó en ambos términos el monomio –3x. Finalmente se simplificaron ambos términos y como resultado obtuvo un valor de x. entonces se lo agrupó a un lado con el término semejante y del otro se lo resolvió. Incluso. En la resolución de la ecuación de segundo grado recurrió al uso de una fórmula (procedimiento) que le arrojó dos valores. cancelando dos de ellos. ya que tres veces se agrega- ron en cada término números iguales y luego se los resolvía. siendo que así lo hizo con los otros dos ejercicios. A su vez. Luego nuevamente se agregaron a ambos términos +6. uno de ellos o ambos es igual a cero (propiedad) y que el cero es absorbente en la multiplicación (propiedad). razón por la cual no se cerciora si efectivamente el valor marcado la satisface (ejercicios b y c). dejándolos como numeradores. Pochulu Interpretación: La alumna aplica procedimientos apropiados en la resolución de una ecuación de segundo grado (ejercicio a). se los resolvió.
A su vez. se le propuso la resolución de 3 ecuaciones de segundo grado que eran equivalentes en su conjunto solución: x2 . en todas ellas procedió a aplicar una fórmula (procedimien- to). No conoce las propiedades de la igualdad. En ejercicios posteriores. Sin embargo. 3. Interpretación: La alumna aplicó una regla (procedimiento) para encon- trar el cuadrado de un binomio (concepto) cometiendo errores en el segundo ejercicio. Designa con la expresión “pro- cesos” (lenguaje) a las ecuaciones equivalentes (concepto) que se obtuvieron por aplicación de una operación elemental (propiedad y procedimiento). Interpretación: La alumna distingue objetos matemáticos como “monomio” y “término semejante” (conceptos) pero no el de “miembro de una ecuación”. razón por la cual juzga de incorrectos los procedimientos utilizados a pesar de dar por válida la solución (concepto) que se indicaba en el ejercicio. a quien designa como “término”.5x + 6 = 0. y . 77 . desconoce el concepto de ecuación equivalente y por este motivo sólo advierte la presencia de una sola ecuación (concepto). Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática Entrevistador: ¿Cuántas ecuaciones identificás en el ejercicio? Alumna: Una Entrevistador: ¿Por qué? Alumna: El resto es el desarrollo de los procedimientos de esa ecuación. sin advertir la equivalencia (propiedad). -x2 . interpreta que la expresión obtenida es una ecuación de segundo grado (concepto) e intenta encontrar el conjunto solución (con- cepto) aplicando una fórmula (procedimiento) que dejó inconcluso por falta de tiempo.5x + 6 = 0 . Sin embargo.
6. 2007. en todos los casos.Marcel D. 3. ecuación equivalente. retomando nuestra pregunta inicial ¿qué comprensión tiene esta estudiante sobre las ecuaciones al terminar la escuela secundaria? Podemos decir que no ha distinguido. Godino. miembros de una ecuación. 4) Identificación del sistema de normas y metanormas. 3) Análisis de las trayectorias e interacciones didácticas. y analizarlas en cinco niveles (figura 4). el campo de problemas de las ecuaciones en un contexto intra-matemático. entre otros) se han propuesto y desarrollado cinco niveles para el análisis didáctico de procesos de estudio: 1) Identificación de prácticas matemáticas (significados sistémicos). Font y Wilhelmi. Ha tenido dificultades al realizar algunos procedimientos necesarios para encontrar el conjunto solución de una ecuación. 2006. 2006. Desconoce algunas propiedades y procedimientos que se involucran en la reso- lución de las ecuaciones. entre otros. 2006. Font y Godino. Muchos de sus argumentos no han sido adecuados y ha introducido lenguaje que no se encontraría en una configuración epistémica asociada a ecuaciones. Teoría de Configuraciones Didácticas El objetivo principal que subyace en la Teoría de Configuraciones Didácticas es identificar en un proceso de instrucción matemática seis dimensiones o facetas que interactúan entre sí. términos de una ecuación. 2009. 2) Elaboración de las configuraciones de objetos y procesos matemáticos. No le resultan claros los conceptos de ecuación. Godino. Pochulu Finalmente. Este primer nivel se puede entender como la 78 . Font. 5) Valoración de la idoneidad didáctica del proceso de estudio. Godino. Esto permite realizar un análisis de tipo microscópico de episodios instruccionales y dispo- ner de información detallada de los hechos que ocurren para emitir juicios de adaptación. pertinencia o eficacia tendientes a dotar de idoneidad didáctica a un proceso de enseñaza-aprendizaje estudiado. Esta valoración nos lleva a decir que la alumna no tiene una comprensión cabal del objeto matemático ecuaciones. Font y Godino. solución. El primer nivel de análisis explora las prácticas matemáticas realizadas en un proceso de estudio matemático. Bencomo. En diversos trabajos realizados en el marco del EOS (D’Amore. Wilhelmi y Castro. Contreras y Font.
El cuarto nivel de análisis. así como los que emergen de ellas. Estas configuraciones y trayectorias están condicionadas y soportadas por una trama de normas y metanormas. que no sólo regulan la dimensión epistémica de los procesos de estudio (niveles 1 y 2). pretende estudiar esta trama de normas y metanormas. 3. Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática narración que haría un profesor para explicar a otro profesor lo que ha sucedido desde el punto de vista matemático. Figura 4: Niveles de análisis didáctico de un proceso de estudio 79 . en tanto. sobre todo. Dado que la ense- ñanza y aprendizaje de la Matemática están bajo la coordinación de un profesor que interactúa con los estudiantes. etc. La finalidad de este nivel es describir la com- plejidad ontosemiótica de las prácticas matemáticas como factor explicativo de los conflictos semióticos anecdóticos o consustanciales a su realización. El segundo nivel de análisis se centra en los objetos y procesos matemáticos que intervienen en la realización de las prácticas. afectiva. sino también otras dimensiones de estos procesos (cognitiva. que a su vez evolucionan hacia el estudio de las configuraciones didácticas y su articulación secuencial en trayectorias didácticas (nivel 3).). a las configuraciones de objetos y procesos matemáticos que posibilitan dichas prácticas (nivel 2). el análisis didáctico debe progresar desde la situación problema y las prácticas matemáticas necesarias para su resolución (nivel 1). El tercer nivel de análisis didáctico está orientado. a la descripción de los patrones de interacción y relación con los aprendizajes.
Del análisis resultaría una tabla donde cada fila contemplaría los diferentes aspectos que se han analizado. Este último nivel se basa en los cuatro análisis previos y es una síntesis orientada a la identificación de mejoras potenciales del proceso de estudio en nuevas implementaciones.Marcel D. mien- tras que la cuarta columna nos indica los procesos activados. 80 . pero debe tenerse en cuen- ta que el proceso de análisis es mucho más complejo que el presentado en esta sección. 2006a). Pochulu Los cuatro primeros niveles de análisis son herramientas para una didáctica descriptiva-explicativa. M. Las herramientas de los cuatro primeros niveles de análisis propuestos en el EOS permiten descomponer una transcripción de una sesión de clase en una trayectoria de configuraciones didácticas. Ejemplificaremos globalmente los niveles de análisis para lograr formar una idea general de estas herramientas que provee el EOS. La novena informa de los conflictos semióticos producidos o potenciales. La octava sirve para tipificar la configuración didáctica de acuerdo con el tipo de interacción. mientras que las columnas 5-9 nos informan de la interacción. En esta configuración la práctica matemática realizada es la ejemplificación de una ecuación lineal. Tomaremos como contexto de análisis una clase de Matemática donde se enseña el tema “ecuaciones” a niños del sexto grado de una escuela primaria2. 2 El análisis completo de la clase se encuentra en: Pochulu. La séptima nos informa sobre los patrones de interacción. Las columnas 2-4 nos informan de los aspectos epistémicos de la configuración didáctica. mientras que la última. mientras que el quinto nivel se centra en la valoración de la idoneidad didáctica (Godino et al. sobre las normas y metanormas que han regulado la configuración didáctica. estudiar diferentes aspectos. la columna tres nos indica los objetos de la configuración epistémica que se han puesto en juego en dichas prácticas (ecuación lineal. V. Sólo se presenta la imagen con el fin de mostrar cómo se puede organizar la información. números y suma). y para cada configuración. 3 No pretendemos que el lector distinga el contenido de cada celda de la tabla. La quinta y la sexta nos dicen lo que han hecho el alumno y el profesor en la interacción que se ha producido. y Font. (2011). como por ejemplo3: La primera columna nos informa que la configuración didáctica octava (CD8) va de la línea 49 de la transcripción a la 64.
Por tanto.6. Al discriminar los objetos presentes en la práctica y estructurarlos en la configuración epistémica se logran resaltar ciertos aspectos que con otro tipo de herramientas no se muestran tan claramente. además de institucionalizar algunos resultados. En consecuencia. procedimientos y argumentos. Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática 3. De- tallamos a continuación algunos de ellos. sobre todo en las primeras configuraciones didácticas. Finalmente. conceptos. Identificación de objetos y procesos matemáticos Identificar los objetos presentes en la clase lleva a discriminar entre los seis elementos primarios que considera el EOS: situaciones-problema.2. Los alumnos. y propone una serie de ejercicios para afianzar lo trabajado en la clase. guiados por la profesora a través de interacciones dialógicas. La profesora. 3. proposiciones. 3. terminan siendo incorrectos o. muy confusos. La temática no ha sido abordada pre- viamente por el grupo de alumnos y es la primera clase de la unidad didáctica. de solución entera positiva. la profesora institucionaliza algunos conceptos que emergen de la resolución de ecuaciones lineales por transposición de términos. en el mejor de los casos. lo alumnos logran resolver ecuaciones lineales por transposición de términos. • Cuando los alumnos manifiestan dudas. En esta clase la profesora pretende enseñar la técnica de resolución de ecua- ciones por transposición de términos. con el primer nivel de análisis se pretende identificar prácticas matemáticas realizadas en el proceso de estudio analizado. 81 . los cuales se articu- lan en una configuración epistémica. los argumentos que esgrime la docente con la intención de conseguir la comprensión. Posteriormente. en niños del sexto grado de una escuela primaria. hace intervenciones relacionadas con la valoración de las prácticas matemáticas realizadas y descarta las que proponen otros alumnos. y para este caso particular: • Las situaciones-problemas que presenta la profesora para iniciar el tema pertenecen estrictamente a un contexto intra-matemático.1 Identificación de prácticas matemáticas Como mencionamos anteriormente. lenguajes.6. realizan la práctica de resolver una ecuación por cálculo mental. podemos decir que la clase analizada se centra en la enseñanza de ecuaciones lineales con una incógnita. la práctica matemática realizada por la docente y los alumnos es la resolución de ecuaciones.
sin ninguna justificación matemática de por medio. Dado que los procesos son densos en la actividad matemática. personal y dialógica). Planas y Godino.Marcel D. los alumnos y la profesora van adoptando tanto el rol de proponente como el de oponente. 82 . • Las propiedades relevantes del tema (en este caso las propiedades de las ecuaciones equivalentes) no se dan explícitamente y se presentan en forma de reglas a seguir. solución de una ecuación y del proceso de resolución de este tipo de ecuaciones por el método de transposición de términos. cuyo estudio se aborda en el cuarto nivel de análisis. los objetos matemáticos que emergen del proceso de generalización sólo se reducen a la formalización de las reglas que inicialmente había institucionalizado la profesora para poder resolver los casos particulares que presenta. no mostraremos el estudio exhaustivo de ellos y por tanto. A su vez. sin ningún tipo de justificación matemática. Análisis de las trayectorias e interacciones didácticas Godino et al (2006b) describen. Asimismo. nos limitaremos a realizar una síntesis con los más relevantes. En la trayectoria argumentativa que lleva a la institucionalización y mecaniza- ción. puesto que son ejemplificaciones del procedimiento a seguir. y un proceso de algorit- mización (mecanización) de dicho procedimiento de resolución.6. cuatro tipos teóricos de configuraciones (magistral. cuya finalidad es ir de una particularización –fuertemente apoyada en la algoritmización– hasta una generalización de los procedimientos. El análisis detallado de las prácticas realizadas en la clase muestra que se ponen en juego muchos de los procesos matemáticos que se consideran en el EOS (Font. el análisis de la clase muestra que esencialmente se realiza un proceso de institucionalización de los objetos matemáticos: ecuación lineal de primer grado con una incógnita. De todos modos. utilizando como criterio el tipo de interac- ción. Pochulu • Los argumentos son típicamente conductistas o mecanicistas. Las configuraciones reales que acontecen en una clase están más o menos próximas a estas configuraciones teóricas. además de otros. En general. 2010). a-didáctica.3. esta trayectoria argumentativa –nutrida por ejemplificaciones más que por justificaciones de los procedimientos y propiedades– se enlaza en una serie de procesos de problematización provocados por la profesora. incógnita. 3. tanto la profesora como los alumnos llevan a cabo procesos de valoración que están sustentados por normas y metanormas.
sin intervención alguna de los alumnos. En este caso. Si bien el registro completo de la sesión muestra un constante diálogo entre la profesora y los alumnos. te doy las reglas generales. Otro tipo teórico de configuración didáctica se tiene cuando el estudiante resuelve la situación-problema sin intervención directa del docente. seguida de ejercicios de aplicación de los contenidos presentados. Por otra parte. quienes han tenido ocasión de asumir la tarea.31). después tú las aplicas”. 25 de las configuraciones didácticas (de un total de 27) se han considerado del tipo magistral-interactivo. Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática Una configuración se considera a-didáctica cuando el alumno y el docente logran que el primero asuma el problema planteado como propio. seguida de ejercicios de aplicación de los contenidos presentados. estaríamos frente a una decisión topogenética: “primero. Pensamos que este modelo de enseñanza deja la responsabilidad a los alumnos de dar sentido a los objetos matemáticos que se introducen a través de los ejemplos y ejercicios que se van mostrando. familiarizarse con ella y posiblemente de esbozar alguna técnica de solución. sin ser guiado por lo que pudiera suponer que el profesor espera. mientras que los alumnos se responsabilizan de la exploración. y entre en un proceso de búsqueda autónomo. La institucionalización (regulación). dada la gran diversidad de interacciones didácticas que pue- den ocurrir en cualquier proceso de instrucción. Si tenemos en cuenta los procesos que se presentaron en la clase que ha sido nuestro objeto de estudio. ejemplificaremos sólo algunas que se han centrado en las interacciones en torno a conflictos del tipo semiótico 83 . se habla de configuración teórica dialógica. p. Se trata de un tipo de configuración didáctica en la que predomi- na el estudio personal y que el EOS denomina configuración didáctica personal. Una variante intermedia entre los tipos anteriores puede definirse cuando el profesor se encarga de la formulación y validación. Como expresan Godino et al (2006b. un análisis más detallado revela que las interacciones se circuns- criben a que los estudiantes asuman las tareas. Por dicho motivo. Esto ocurre cuando los alumnos resuelven ejercicios propuestos por el profesor o incluidos en el libro de texto. el profesor. podemos notar que básicamente se enseña Ma- temática con exposición. lo cual podría llevarnos a situar a la clase en una configu- ración dialógica. yo. La configuración teórica magistral se basa en la manera tradicional de enseñar Matemática con exposición. formulación y validación quedan exclusivamente a cargo de la profesora. se familiaricen con ellas y se esboce la técnica de resolución de ecuaciones. que es el objetivo que deducimos persigue la docente. 3. La institucionalización tiene lugar mediante un diálogo entre el docente y los alumnos.
en el sentido que los alumnos no lo manifiestan. Cuando la disparidad se produce entre las prácticas (discursivas y operativas) de dos sujetos diferentes en interacción comunicativa (por ejemplo. que acontecen en la sesión de clase estudiada. mientras que si la disparidad se produce entre prácticas que forman el significado personal de un mismo sujeto se designan como conflictos semióticos de tipo cognitivo.Marcel D. pues dependiendo de la perspectiva desde donde se enfoque. ¿a qué es igual? [58] Alumnos: A dos [59] Profesora: Entonces una x más otra x es igual a…? [60] Alumnos: A dos [61] Profesora: ¿Dos qué? [62] Alumnos: Dos equis 84 . un mismo conflicto puede ubicarse en un tipo u otro. Si la disparidad se produce entre significados institucionales se habla de conflictos semióticos de tipo epistémico. A continuación. [57] Profesora: Si tengo un caramelo más otro caramelo. Aquí aparecen involucrados los conceptos de “cantidad” y “varia- ble”. Un conflicto semiótico en el EOS es cualquier dispa- ridad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o instituciones). Hay que notar que estos tres tipos de conflicto semiótico no son excluyentes. los objetos y procesos involucrados en dichas prácticas y los patrones de interacción y las normas que intervienen en la misma. pero se ve comprometida la construcción de significados por la presencia de un conflicto. Conflicto semiótico (cognitivo): En la trascripción estamos en presencia de un conflicto semiótico (“un caramelo más otro caramelo es igual a dos” pero “una x más otra x es igual a dos x”) potencial. Pochulu y de fácil individualización. presentamos sólo dos conflictos semióticos. alumno- alumno o alumno-profesor) se habla de conflictos (semióticos) interaccionales. extraídos de Pochulu y Font (2011). pues hay que relacionarlo con las prácticas matemáticas que se llevan a cabo en ella. Es importante destacar que el análisis de cada uno de los conflictos puede comprenderse mejor si se tiene en cuenta la configuración didáctica en la que se enmarca (de allí la importancia de la tabla que proponíamos para sistematizar la información del registro completo de la clase).
pero eso no lo vemos en la EGB 2. Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática [63] Alumno3: ¿El valor puede ser siempre par? [64] Profesora: ¡No!. De acuerdo con estos investigadores.4. se le asignan valores distintos a una misma variable. cognitiva. interaccional.). el aspecto del proceso de ins- trucción a que se refieren (epistémica. las cuales regulan la práctica matemática en un marco institucional específico. 85 . 3. [65] Profesora: (dibuja un cuadrilátero en la pizarra): ¿Cuál es el perímetro? [66] Alumnos: Perímetro igual a lado más lado más lado más lado. Ejemplificamos algunas normas transcribiendo las inferencias que hemos realizado al tener en cuenta las frases que ha dicho la profesora en su discurso: • Los razonamientos en Matemática se han de plasmar por escrito si- guiendo determinadas reglas (norma metaepistémica). definiciones. Conflicto semiótico (cognitivo): El conflicto vuelve a ser potencial y se pre- senta si analizamos las validaciones que realiza la profesora y sus explicaciones posteriores. sociedad. lenguaje. afectiva y ecológica).6. etc. [67] Profesora: (escribe en la pizarra) P = L + L + L + L [68] Profesora: Por ejemplo si P = 30cm = 10cm + 5cm + 6cm + L = (en la pizarra) [69] Profesora: Para encontrar la incógnita sirven las ecuaciones. mediacional. escuela. proposiciones. implementación y evaluación). en la ejemplificación. pues acepta que una expresión adecuada para perímetro de un cuadrilátero es P = L + L + L + L. las normas epistémicas se encuentran en los elementos de las configuraciones de objetos: situaciones-problema. y sin embargo. tales como: el momento en que intervienen (diseño curricular. procedimientos y argumentos. su origen (disciplina. Identificación del sistema de normas y metanormas En D’Amore et al (2007) y en Godino et al (2009) se muestran diferentes cri- terios de clasificación de las normas que acontecen en un proceso de enseñanza y aprendizaje. 3. etc. Siempre varía. planificación. aula. • Determinados temas en Matemática se completan en cursos superiores (norma metaepistémica).
antes de iniciar el proceso de instruc- ción. Pochulu • Para comprender determinados temas en Matemática hay que esperar a cursos superiores (norma metacognitiva). cognitiva. 4. 3. distribución y finalización de intervenciones que se producen en la clase. 2. o admitir otra clasificación. si los aprendizajes logrados se acercan a los que se pretendían enseñar. si lo que se quiere enseñar está a una distancia razonable de lo que saben los alumnos y. conseguir una sola idoneidad parcial es relativamente fácil. Idoneidad cognitiva. • Los ejercicios de Matemática se hacen de determinada manera (meta- norma metaepistémica). interaccional y ecológica. los alumnos intervienen cuando no entienden algo. para valorar si las matemáticas que se enseñan son unas “buenas matemáticas”. La identificación favorable de estas seis idoneidades parciales en un proceso de instrucción permite considerarlo un proceso idóneo. emocional. constructivistas. No obstante. etc. En Font et al (2010. para valorar la adecuación de recursos materiales y temporales utilizados en el proceso de instrucción. Idoneidad mediacional. p. 86 . pero es difícil lograr la presencia equilibrada de las seis idoneidades parciales. Valoración de la idoneidad didáctica del proceso de instrucción Godino et al (2006a) consideran que como mínimo se pueden proponer seis criterios para valorar la idoneidad didáctica de los procesos de instrucción matemática: epistémica. después del proceso.. Idoneidad interaccional.Marcel D.5. Idoneidad epistémica. puesto que las mismas son comunes a muchas de las prácticas de Matemática. para valorar si la interacción ha resuelto dudas y dificultades de los alumnos. la profesora tiene un papel determinante en el inicio. • Para aprender Matemática hay que hacer muchos ejercicios (norma metacognitiva).6.102) se describen dichos criterios parciales de la siguiente manera: 1. más allá de ser conductistas. No citamos el conjunto de normas que regulan las interacciones y que implí- citamente aparecen en la clases. como por ejemplo: la profesora interviene para resolver dificultades de los alumnos. para valorar. mediacional. 3.
Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática 5. Con la Teoría de Funciones Semióticas presentamos herramientas para evaluar 87 . El análisis realizado. entre otras evidencias. se hallan ocultos ante una mirada general y prematuramente valorativa de una práctica matemática (Pochulu y Font. no han tenido en cuenta esta complejidad. mostramos que la Teoría de Significados Sistémicos puede resultar de utilidad a la hora de buscar un significado de referencia sobre un objeto matemático. 3.7. las condiciones del entorno social y profesional. las directrices curriculares. a través de los conflictos semióticos (muchos de ellos potenciales) que se presentaron en la clase y que no se resolvieron. 6. 2011). etcétera. para valorar la implicación (interés. motivación) de los alumnos en el proceso de instrucción. Por otra parte. A modo de cierre En este capítulo hemos presentado algunas herramientas teóricas que provee el EOS con la convicción de que podrían estar ayudando al futuro profesor de Ma- temática en sus actividades de docencia e investigación. si realizamos un análisis ontosemiótico a priori que ponga de manifiesto las diferentes configuraciones epistémicas que forman el significado de referencia del objeto ecuación. se podría observar que las configuraciones didácticas implementadas. además de describir detalladamente lo que ha sucedido. Idoneidad emocional. y que éstas se observan. podemos afirmar que los alumnos tienen di- ficultades para entender la resolución de ecuaciones. en esta clase. Por último. penetra en la estructura interna de la clase resaltando aspectos y matices. para valorar la adecuación del proceso de instrucción al proyecto educativo del centro. Idoneidad ecológica. 3. Entre las aplicaciones. y la trama de funciones semióticas que se han de activar para relacionar entre sí los elementos de las configuraciones y las configuraciones entre ellas. los cuales generarán dificultades como las que describen las investigaciones realizadas en Didáctica de la Matemática sobre el objeto “ecuación”. se pueden hacer predicciones sobre lo que probablemente sucederá en un proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática cuya estructura sea semejante: se producirán conflictos semióticos parecidos. nos brinda explicaciones de por qué se presentan determinadas dificultades en los alumnos. Por una parte. que si bien pue- den parecer obvios después de haber sido encontrados. Este análisis didáctico que catalogaríamos de minucioso.
88 . (2001). Pochulu. (1996). D. J. Pochulu.. (2005) “Objetos personales matemáticos y didácticos del profesorado y cambio institucional. D. o que quieren iniciarse en investigación. D. Godino. 309-346. Font. J. Puig & A. 67-98. (2007). Pochulu la comprensión que logran los alumnos sobre un objeto matemático. D. (2009). In L. (2010) Modelo para el análisis didáctico en educación matemática. V. D’Amore. Por último. Mathematical objects: their meanings and understand- ing. El caso de la contextualización de funciones en una facultad de ciencias económicas y sociales”. N. Biaix 19. y Godino.. J.8. B. y Ramos. Visokolskis (Eds. y Font. con la Teoría de Configuraciones Didácticas planteamos que se puede hacer un análisis didáctico minucioso. Gutierrez (Eds. Educaço Matematica Pesquisa 8(1). Por una parte. 33-36. V. y Godino.417- 424). Planas. Font. R. Font. reflexionar y sugerir acciones de mejora sobre procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática. de una clase de Matemática. Abrate y S. Font.) La Metáfora en la Educación: descripción e implicaciones (pp. 3. Infancia y Aprendizaje 33(1). V. V.) Proceedings of the 20th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp. Por otra parte. R. Paradigma 28 (2). orienta a los profesores en formación a desarrollar competencias didácticas y matemáticas al valorar. V. V. explicar y valorar los procesos de enseñanza y aprendizaje. Font. al igual que una radiografía. Processos mentals versus competencia. ayuda al colectivo de profesores que están interesados en reflexionar sobre su propia práctica. En M. M. España: Universidad de Valencia. Referencias bibliográficas Abrate.Marcel D.95-126). Metáforas en contextos de resolución de ecuaciones. 49-77. J. A. y Godino. para llegar a describir. Revista de Educación 338. Villa María: Eduvim.. La noción de configuración epistémica como herramienta de análisis de textos matemáticos: su uso en la formación de profesores. La dimensión metadidáctica en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática. analizando las prácticas operativas y discursivas realizadas por una estudiante sobre tareas que se le propusieron. Creemos que estas herramientas del EOS pueden ser útiles en dos aspec- tos. (2006).
. 59-76. V. D.es/agodino/funciones-semioticas/ monografiatfs. Godino. J. (2008). Godino. . D. V. Significado institucional y personal de los objetos matemáticos. UNO 25. Godino. Análisis del funcionamiento de una clase de matemáticas no significativa. Un enfoque ontológico- semiótico de la cognición e instrucción matemática. D. y Wilhelmi. J.. 3. 89 . D. Godino. Font. y Wilhelmi. Análisis de procesos de instruc- ción basado en el enfoque ontológico-semiótico de la cognición matemática. D. M. C. D. V. M. Bencomo. (2009). y Font. (1994).ugr. Significado y comprensión en matemáticas. J. Análisis didáctico de procesos de estudio matemático basado en el enfoque ontosemiótico.pdf. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. (2000). J. Contreras. Publicaciones 38. Pochulu. (2003). The onto-semiotic approach to research in mathematics education. V. C. Batanero. Extraído el 2 de febrero de 2011 de http://www. y Font. 77-87. Recherches en Didactique des Mathématiques 14(3). & Font. D. A. V. M. 325-355... Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 39(1-2). J. Godino.. Font. (2006b). 4 (3). M. Font. Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática Godino. Paradigma 27(2). 221-252. (2011). 25-49. J. J. V. D. Enseñanza de las Ciencias 27(1). Departamento de Didáctica de la Matemática. Godino. D. Recherches en Didactiques des Mathematiques 26(1). Análisis y valo- ración de la idoneidad didáctica de procesos de estudio de las matemáticas. (2007). Universidad de Granada.Teoría de las funciones semióticas. (2006a). y Castro. C. 39-88.. y Batanero. Aproximación a la dimensión normativa en didáctica de las matemáticas desde un enfoque ontosemiótico. Godino. 127-135. Wilhelmi. J. 361-394.
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