Source: http://matematicasn.blogspot.com/2015/12/trigonometria-esferica-ejercicios.html
Timestamp: 2019-01-16 17:21:41+00:00

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COORDENADAS POLARES espaciales
De la misma manera que en el sistema de coordenadas cartesianas se fija la posicion de un punto P cualquiera en el espacio mediante las tres proyecciones X , Y , Z, de dicho punto sobre tres ejes OX, OY y OZ perpendiculares entre sí .
VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS
Como puede apreciarse en la figura , el ángulo w debe estar comprendido entre 0° y 2p radianes.
El sistema de coordenadas esféricas coincide en todo con el sistema de coordenadas polares, con la unica diferencia de que en vez de tomarse el ángulo q como coordenada se toma el ángulo a f (fi) complementario del q.
Es la parte de la trigonometría que estudia la resolución de triángulos esféricos , es decir , figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos: los tres lados a , b , c , y los tres ángulos A , B y C. Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son
magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo, que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.
Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente forma para triángulos esféricos: La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes. Circunferencia Máxima : Es aquella circunferencia que se forma al ser cortada una superficie esférica por un plano , tal que pase por el centro de la misma. Circunferencia Mínima : Se genera cuando el plano que intersecta a la superficie esférica no pasa por el centro de ésta. Polos : Son los extremos del diámetro perpendicular al plano que contiene a una circunferencia máxima. En la figura P y P’ son los polos de la circunferencia máxima . Distancia polar es el arco de circunferencia máxima de todo los lugares que distan 90° de los polos. Ángulos diedros : Cuando dos planos se intersectan (tienen una recta común), entonces determinan ángulos diedros. Ángulo esférico : El ángulo formado en una esfera por dos arcos secantes de circunferencias máximas se denomina ángulo esférico. En la figura anterior se muestra un ángulo esférico cuya medida es q. La medida de un ángulo esférico viene dada por el ángulo diedro formado por los planos de las circunferencias máximas cuyos arcos constituyen los lados del ángulo esférico. TRIáNGULO ESFéRICO Es la porción de superficie esférica limitada por los arcos de tres circunferencias máximas secantes entre sí. Los arcos son los lados del triángulo esférico y los puntos de intersección de dichos arcos son los vértices del triángulo . Denominamos circunferencia máxima a la correspondiente a un círculo que pasa por el centro de la esfera * Introducir al estudiante en las nociones básicas relativas a los triángulos esféricos rectángulos y oblicuángulos. * Que el estudiante conozca y aplique las fórmulas relativas a los triángulos esféricos rectángulos y oblicuángulos en la resolución de estos triángulos. * Que el alumno conozca la definición de exceso esférico , la distancia más corta entre dos puntos situados sobre la superficie de una esfera. Cuando un barco se desplaza de una ciudad a otra utiliza dos referencias muy importantes que son la longitud y la latitud, con ellas queda definido un punto en la tierra; y si consideramos nuestro planeta como una esfera, podremos determinar la distancia entre dos ciudades utilizando la trigonometría esférica, y con relación a la velocidad del barco podremos determinar el tiempo de demora en viajar de una ciudad a otra. La trigonometría esférica utiliza relaciones entre ángulos y arcos máximos de la esfera con los cuales obtendremos triángulos esféricos; además, utilizando los teoremas de senos y cosenos podemos resolver los triángulos esféricos . 1.1 Diedros y Triedros 1.2 Propiedades y Definiciones 1.3 Triángulos esféricos 1.4 Propiedades de los triángulos esféricos 1.5 Clasificación de triángulos esféricos 1.6 Triángulos esféricos polares 1.7 Triángulos esféricos adyacentes y simétricos 1.8 Superficie de un triángulo esférico 1.9 Superficie de un polígono esférico 1.10 Ejercicios propuestos CAPÍTULO SEGUNDO: RELACIONES ENTRE LOS LADOS Y LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO ESFÉRICO 2.1 Teorema del seno 2.2 Teorema de coseno 2.3 Teorema de la cotangente 2.4 Teorema del coseno para los ángulos 2.5 Funciones de los ángulos mitad 2.6 Analogías de Gauss-Delambre 2.7 Analogías de Neper 2.8 Distancia esférica entre dos puntos 2.9 Ejercicios propuestos 30 CAPÍTULO TERCERO: TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTÁNGULOS Y RECTILÁTEROS 3.1 Triángulos rectángulos. Regla de Neper 3.2 Proposiciones 36 3.3 Resolución de triángulos rectángulos 3.4 Triángulos esféricos rectiláteros. Resolución PROBLEMA M,o 1 Es posible obtener un triángulo esférico ABC cuyos lados son: 11. 160° 30'; 100° 30'; 60° 30' Resolución Sea Por teoría: a+b+e
Aplicando la primera Regla de Neper :
‘‘El seno de la parte señalada es igual al producto de las tangentes de las partes adyacentes’’
Aplicando la segunda Regla de Neper :
En la resolución de triángulo esférico isósceles Se realiza en forma análoga a la de un triángulo isósceles plano , es decir dividiéndolo en dos triángulos esféricos rectángulos iguales por un arco de circunferencia máxima, trazado desde el vértice, perpendicular a la base.
RESOLUCION DE TRIANGULOS esfericos oblicuangulos
Se llama triángulo esférico oblicuángulo a un triángulo esférico que no es rectángulo.
Así por ejemplo :
A , B , C : ángulos del triángulo esférico
a , b , c : Lados del triángulo esférico
Un triángulo esférico oblicuangulo queda determinado cuando se conocen tres de sus elementos , según los siguientes casos :
I) Conocidos los tres lados .
II) Conocidos los tres ángulos .
III) Conocidos dos lados y el ángulo comprendido .
IV) Conocidos dos ángulos y el lado comprendido.
LEY DE SENOS :
En todo triángulo esférico , los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
LEY DE COSENOS PARA LOS LADOS
En todo triángulo esférico el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos lados , más el producto de los senos de esos dos mismos lados por el coseno del ángulo opuesto al primero .
LEY DE COSENOS PARA LOS ANGULOS
En todo triángulo esférico el coseno de un ángulo es igual a menos el producto de los cosenos de los otros dos ángulos , más el producto de los senos de esos dos mismos ángulos por el coseno del lado opuesto al primero .
El exceso esférico de un triángulo trirrectángulo es E.
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRíA ESFÉRICA en astronomia y navegación
El trabajo de un navegante consiste, fundamentalmente, en llevar una embarcación de un lugar a otro con seguridad para las personas y las mercancías que transporta. Esta tarea se ha realizado desde muy antiguo trazando la trayectoria a seguir sobre una carta de navegación (mapa) que represente la zona donde se navega, determinando cada cierto tiempo la posición de la embarcación y representándola en dicha carta, de manera que se puedan hacer las correcciones oportunas para seguir la trayectoria previamente decidida. De esto se deduce que hay dos aspectos fundamentales a tener en cuenta: las técnicas para la elaboración de las cartas marinas (la cartografía) y los métodos para determinar la posición del barco en el mar. En este trabajo se pretende explicar los rudimentos del uso de la Astronomía para determinar la posición en el mar.
Un ejemplo interesante del uso de la astronomía en la navegación es el método utilizado para la determinación de la LATITUD por medio de la altura de la estrella Polar. Como sabemos la Tierra gira alrededor de un eje de rotación que está orientado, aproximadamente, hacia la estrella Polar, la cual está tan lejos de nosotros que podemos considerar que todas las visuales trazadas desde cualquier punto de la Tierra hasta ella son paralelas, lo que nos permite deducir, como se ve en la siguiente figura, que el ángulo de latitud coincide con el ángulo de elevación (altura) de la Polar sobre el horizonte:
Al analizar a la Tierra , es decir, al hacer cálculos de distancia entre puntos sobre la Tierra consideramos a ésta como una esfera de 6370 km de radio. Básicamente tenemos que recordar que el movimiento rotacional de nuestro planeta, tiene como ejes de rotación al diámetro que pasa por los polos Norte(N) y Sur(S), además da una vuelta completa en 24 horas. Esto es, tarda 24 horas en girar 360° (cada hora gira 15°). Debemos recordar que el tiempo de 24 horas para que la Tierra dé una vuelta completa es una aproximación, ya que lo real es que dicho giro se realiza en 23 horas, 56 minutos y 4 segundos .
Círculo máximo en la superficie de un cuerpo, definido por la intersección de la superficie con el plano del ecuador.
Meridiano :
El meridiano de un lugar (A) es la semicircunferencia de la Tierra que pasa por los polos Norte y Sur.
Rumbo :
Cuando un navío o aeroplano recorre un arco de circunferencia máxima entre dos puntos, su rumbo es el ángulo que el recorrido forma con el meridiano del navío o del aeroplano (El rumbo se mide a partir del norte y con el sentido horario).
El Sistema de Coordenadas geográficas determina todas las posiciones de la superficie terrestre , mediante las coordenadas latitud () y longitud ().
Latitud () :
Es la distancia esférica (medida en su meridiano) que hay desde la línea ecuatorial hasta el círculo paralelo que contiene al lugar en observación, varía de 0° a 90° y hacia el norte o el sur.
Longitud () :
Es la distancia esférica que hay desde el meridiano de Greenwich (Inglaterra) hasta el meridiano que pasa por el lugar de observación, varía de 0° a 180° y hacia el este u oeste.
La distancia (d) más corta entre dos puntos situados sobre la superficie de una esfera es el menor arco (0° a 180°) de circunferencia máxima. Para dicho cálculo se puede utilizar el triángulo esférico .
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