Source: https://es.scribd.com/doc/8765691/ANTOLOGIA-MATEMATICAS-1-1-1-CBTa
Timestamp: 2016-09-01 06:52:44+00:00

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ELABORADA POR: PROFR. HUMBERTO RODRIGUEZ CARRILLO. C.B.T.a. 31. MASCOTA, JAL. AGOSTO 2004.
(1) OBJETIVO ESPECÍFICO: El alumno aplicará las leyes que rigen el lenguaje algebraico en la resolución de cuestiones dadas.
Hoy gané lo doble de lo de ayer y, mañana, ganaré lo triple.
Hoy 2x Ayer x Mañana
ALGEBRA Es la parte de las matemáticas cuyo objeto es simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números. El álgebra como cada una de las disciplinas del saber tiene su propia simbología o lenguaje.
Aquí usamos palabra
Aquí usam os
EJEMPLOS: 1. Una persona: 2. Un número cualquiera: 3. Un número más el doble de otro número:
x n n + 2m
4. La diferencia de dos números cualesquiera: 5. 6. 7. 8. La semisuma de dos números cualesquiera: El triple de un número: El cociente de dos números: El cuadrado de un número menos el triple del mismo número:
a–b (2) x + y/2 3a a/b x2 – 3x
EJEMPLOS: Lenguaje algebraico. Lenguaje común. 1. 2(a – b) El doble de la diferencia de dos números. 2. n, n + 1 Dos números consecutivos. 3. a3 – b3 La diferencia de los cubos de dos números. 4. 2p + 3p El doble de un número más el triple del mismo número. 5. A = b . h Área igual a base por altura. 2 2 6. x – y La diferencia de los cuadrados de dos números. 7. 2ab Doble producto de dos números. 8. (a + b)2 La suma de dos números elevada al cuadrado. EJERCICIOS: I.- Escribe en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: 1. La suma de dos números menos el triple del primero. __________________ 2. La diferencia de dos números menos 5 unidades. __________________ 3. El producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos. __________________ 4. La suma de dos números elevada al cubo: __________________ 5. El producto de dos números consecutivos es igual a 12. __________________ 6. Área igual al doble producto de л por el radio al cuadrado. __________________ 7. El cuadrado de un número. __________________ 8. La diferencia de dos números al cuadrado. __________________ 9. El triple del cuadrado de un número más las dos terceraspartes de otro número es menor que 45. __________________ 10. El triple de la cuarta parte de un número. __________________ I.1 Invente cinco enunciados y tradúzcalos al lenguaje algebraico. II.- Traduce al lenguaje común las siguientes expresiones: 1. √n _______________________________________________________ 2. c + 5 _______________________________________________________ 3. (x + y) – x/2 _______________________________________________________ 4. 3m2 – n/3 _______________________________________________________ 5. a/2 – b/3 _______________________________________________________ 6. 3abc _______________________________________________________ 3 7. √2ab _______________________________________________________ 8. x/2 + x/3 = 8 _______________________________________________________ 9. z = x2 _______________________________________________________ 10. √x + 2 _______________________________________________________
II.1 Invente cinco expresiones algebraicas y tradúzcalas al lenguaje común. III.- Traduce los siguientes problemas: 1. Dos recipientes contienen la misma cantidad de litros de agua. Si se sacan 15 litros de un recipiente y se vierten en el otro, éste último tiene el triple de litros que el primero. ________________________________________ 2. Piensa un número, multiplícalo por dos, súmale 8, divide el resultado entre 2 y resta al resultado el número que pensaste. El resultado es cuatro. ________________________________________ 3. Diálogo entre burros en dos expresiones algebraicas: a) Si me das un costal de tu carga, yo tendré el doble de costales que tú --- dijo uno de los burros. ________________________________________ b) Si tu me das un costal a mi, ambos llevaremos la misma carga --- respondió el otro. ________________________________________ III.1 Invente un problema en lenguaje común y tradúzcalo a lenguaje algebraico. (3)
Elementos de que consta una expresión algebraica.
El signo expresa su Cualidad de positivo o Negativo. El exponente, expresa el Número de veces que la base O literal se toma
El coeficiente, indica el número de veces que e toma como sumando cada uno de los
La base o literal es la letra que hay en el término “x”
Monomio: Consta de un solo término: 3x, -3a, x2y Binomio: Consta de dos términos: xy + d, a2 – b2, 5x2/2 + 3y/2 Trinomio: Consta de tres términos: x + y + z, z2 + 2ab – c3, a/2 + b/3 + c/4. Polinomio: Expresión que contiene más de tres términos: x3 + z2 – w + 3xy2 – 5y.
(4) I.- Invente y escriba cinco ejemplo de cada una de las expresiones algebraicas estudiadas (monomio, binomio, trinomio y polinomio). II.- De los siguientes términos escriba cada uno de los elementos que los forman:
5a3 – 2b
OBJETIVO ESPECIFICO: El alumno resolverá problemas de suma, resta, multiplicación, división de polinomios, aplicando las leyes y procedimientos correspondientes así como el valor número de expresiones algebraicas.
Símbolos de agrupación.
Los más usuales son los siguientes: ( [ { ) Paréntesis redondo. ] Paréntesis rectangular o corchete. } Llave
EJEMPLO: {2x + y - [(3x – y) + z ] – 10 } NOTA: El símbolo de agrupación de mayor amplitud es la llave; luego, el corchete, y por último, el paréntesis circular.
Son los que tienen las mismas literales y los mismos exponentes y únicamente difieren en sus coeficientes numéricos.
a) b) c) d) e) 3xy, 4xy, xy 5x2y, -4x2y 3a2, 5a2 – a + 4a – 2a 3ab2 – 5ab2 + 6ab2
Suma y resta algebraicas.
En estas dos operaciones básicas, se deben considerar los siguientes aspectos: a) Términos semejantes con igual signo se suman y se les deja el mismo signo: 3ab + 2ab = 5ab -2x2 – 6x2 = - 8x2 b) Término semejantes con diferente signo se restan y se le deja al resultado el signo del término cuyo valor absoluto sea mayor. 5ab – 3ab = 2ab 4a2b – 7a2b = - 3a2b c) Al suprimir un paréntesis antecedido de un coeficiente positivo, no se modificarán los signos de los término colocados dentro del paréntesis: +(3x – y + 2z) = 3x – y + 2z +2(a + 2c – 3d) = 2a + 4c -6d d) Al suprimir un paréntesis antecedido de un coeficiente negativo, se modificarán los signos de los términos colocados dentro del paréntesis: -(-2x + 3y – 5c) = 2x – 3y + 5c -3(a – 2b + c) = -3a +6b – 3c e) Al suprimir símbolos de agrupación, primero se quitan los circulares, luego los rectangulares y al último las llaves.
EJEMPLOS: 1. 6x + 4x – 3x = 7x 2. 2a - 3b + 4c + d – a – 2b – 3c + d = a – 5b + c + 2d 2a – a = a -3b – 2b = -5b 4c – 3c = c d + d = 2d Esto es una reducción de términos semejantes.
EJEMPLOS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN.: • (3b +c – d) + (2b + 3c – 4d) + (- 4b + 4c – d) = 3b + c – d + 2b + 3c – 4d – 4b + 4c – d = b + 8c – 6d 2x2 + {y - [4x – 3 – (x2 + 5y) - 6] + 3x2 – 6y} = Se elimina el paréntesis circular: 2x2 + {y - [4x – 3 – x2 – 5y - 6] + 3x2 – 6y} = Se elimina el paréntesis rectangular: 2x2 + {y -4x + 3 + x2 + 5y + 6 + 3x2 - 6y} = Se elimina la llave: 2x2 + y – 4x + 3 + x2 + 5y + 6 + 3x2 – 6y = Se reducen los términos semejantes:
6x2 – 4x + 9 (6) • (2a + b – d) – ( -3a + 2b + 2d) = 2a + b – d + 3a - 2b -2d = 5a - b – 3d (2w – 3x + y) – (2w – 3x + y) + (-w + 6x + 3y) = 2w – 3x + y – 2w + 3x – y –w + 6x + 3y = -w + 6x + 3y 2g - 3{h – 5 [i + 3 (g – 2h + 3i) – g ] + 4h} + 3i = 2g - 3{h – 5 [i + 3g – 6h + 9i – g] + 4h} + 3i = 2g - 3{h – 5i – 15g + 30h - 45i + 5g + 4h} + 3i = 2g -3h + 15i +45g – 90h + 135i – 15g – 12h + 3i = 32g – 105h + 153i
Adición y sustracción: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 9x – 2x – 3x = 5x + 2y – 7x – y = (5a + 3b – 8c) + (2a + b – 6c) = (6x + 3y – 2z) + (3x – 5y) + (-5x + 4y – 5z) = (2p – 3a + 4r) + (-6p + 4a - 5r) = 2x + 3y – 4z 7. 8a - 5b + 7c 3x – 2y + 3z -4a - 3b – 3c 4x – 5y____ ___- 8b – 4c 7. 2s – 3a + 4w, 2w + 2a - 3s, 5a - 2w 8. 2b – 4u, 9s – 3u – 5b, 6u – 2s 9. (3x – 2y + 16) – ( -x – 5y – 9) = 10. ((5x2y – 8 + 4x) - (4x2y – 10 – 7x) – (5 + 3x2y + 8x) – (- 6x + 7 – 5x2y) = Resta la segunda expresión de la primera en los siguientes problemas: 11. 3a + 2b 12. 5a - 3b 13. -3x + 4y + 7z 2a + 3b -2a - 2b -2x – 3y + 5z 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. (4x2 – 3y2) – ( 2x2 – 3xy + 2y2) = –(11ax – 7ay + 4) – ( - 4ax + 8ay – 3) = 5y + 2x – (y + 5x + z) + (-2x + 3y) + 7z = 8a - [4b – 11c + 2 –(3b + 2c – 7) + 3a]= {7 - [ -8y + 3x – ( -x – 10y + 3) – 7x + 2 – 3y] } = -[ 5 – (6xy – z) + 2xy + 7z + 3] = 5a - { 3b – 8c - [ a + 2c + 6b – (b – c) – 3a] – 5c } =
Es el número que se obtiene al sustituir cada una de las literales de una expresión algebraica por un valor numérico arbitrario ya establecido y efectuar las operaciones indicadas. Dicha sustitución consiste en escribir en lugar de cada literal el número que previamente se le ha asignado.
(7) EJEMPLOS: Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones dadas para los valores asignados a sus literales. • • • • 2x2yz3, Cuando x = 2, y = 3 y, z = 1. 2(2)2(3)(1)3 = 2(4)(3)(1) = 24 4√bx3 , Cuando b = 8 y, x = 2. 4√(8)(2)3 = 4√(8)(8) = 4(8) = 32 5x2 – 3x + 8, Cuando x = 2 5(2)2 – 3(2) + 8 = 5(4) -6 + 8 = 22 8a + 5b2 – 2a2b =, Cuando a = 1, b = 2, y = 4. x y x2y 8(1) + 5(2)2 - 2(1)2(2) = 8 + 5 – _4 = 96 + 180 - 4 = 272 = 7 5/9 = 7.555 3 4 (3)2(4) 3 36 36 36
Evaluar las siguientes expresiones algebraicas. a) 3x2 + 5x – 11 b) 3x + 5y x–2 2 c) a + _b2 2b 2ª d) (x – 3y)(x – y) e) x3 – 3x2 + 5x + 7 f) 5xy + 2xy3 - 8x2y2 + 4y5 g) √ab - 2a + b2 h) y = 5x3 – 8x2 + 6x – 1 “x” -4 -3 “y” i) 3x2+ x2 - 5 “x” “y” 2 -2 -1 Cuando x = 2. Cuando x = 4, y = 2 Cuando a = 2, b = 1 Cuando x = 3, y = -1 Cuando x = - 1 Cuando x = 3, y = - 2 Cuando a = 9, b = 4. 0 1 2 3 4 5
j) 9x2 + 2x2 – 8x + 6x “x” 2 -5
“y” (8) k)
EXPRESION VALOR SUSTITUCION RESULTADO
3a – 5a + 6 4ab – 7c 7x3y – 2xy2 + 10 4m3n+5mn3+mn6 -14x3y6 7x3y
a=4 a= 8 b = -7 c = 15 x = -5 y = 16 m=2 n = 24 x=-6 y= 5
Productos y cocientes de polinomios.
Ordenación de un Polinomio: Un polinomio se ordena con respecto al exponente de una literal en forma ascendente y descendente. EJEMPLOS: • • -4x4 + 3x3 + 2x2 + x + 9 2a + 5a2 – 8a3 + a4 Ordenación descendente con respecto al exponente de “x”. Ordenación ascendente con respecto al – exponente de “a”.
Ordenar los polinomios como se indica en cada caso: 1. 2x3 – 8x5 + 7x4 2. 7a2b – 14ab3 + 11a4b2 3. -11m2n5 + 8m5n4 – 10 m3n7 4. 14a4bc5 + 7ab4c2 – 9a3b2c3 Creciente de “x”. Creciente de “b”, Decreciente de “a” Creciente de “m”, Decreciente de “n” Creciente de “a”, Decreciente de “b”
Multiplicación algebraica.
La multiplicación algebraica es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto. Al multiplicando y al multiplicador también se les llama factores del producto. Signos con que se indica el producto. Signos X . Ejemplo 5a x 3b 4xy . 6x
( ) ( ) Simple yuxtaposición
(2z + b) (7z) 5xy (9)
Ley de los signos en la multiplicación. (+)(+)=+ (- )(- )=+ (+)(- )=(- )(+)=-
Ley de los exponentes. Para multiplicar potencia de la misma base, se pone la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores:
• • m2 . m 3 . m5 . m = m2+3+5+1 = m11 x3 . x = x4
Multiplicación de los monomios.
Se aplican los siguientes pasos: • • • Se multiplican los coeficientes. Se usa la ley de los signos. Se usa la ley de los exponentes.
Efectúa la siguiente operación: • • (2x2y3)(3xy5) = (2.3)(x2.x)(y3.y5) = 6 x2+1 y3+5 3 8 = 6x y 2 (-4xy )(5x2y4) = -20x3y6
Multiplicación de monomio por polinomio.
Aquí además de los tres pasos anteriores.se usa la propiedad distributiva de la multiplicación.
Efectúa las siguientes operaciones: (10) • (-2a) (a – b + c) = (-2a)(a ) + (-2a)(-b) + (-2a)(c) = -2a3 + 2ab – 2ac • (3x2y)(2x3y2 – 5xy2 + 4x2y2) = (3x2y)(2x3y2)+ (3x2y)(–5xy2)+(3x2y)(4x2y2) = 6x5y3 – 15x3y3 + 12x4y3
En este caso tenemos que considerar el resultado como la suma de los productos obtenidos al multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro.
Efectúa la siguiente operación: (2a + b) (3a - 2b) = Primero: 2a + b
3a - 2b 6a2 + 3ab Luego: 2a + b
Resultado del producto: (3a)(2a+b)
3a - 2b__ 6a2 + 3ab - 4ab – 2b2 Por último, 6a2 – ab – 2b2 Efectúa la siguiente operación: (x4 – 2x3 + 3) (x2 – 2x + 3) = Primero: x4 – 2x3 + 3
Resultado del producto: (-2b)(2a+b) Reducción de términos semejantes.
x2 – 2x + 3___ x6 – 2x5 + 3x2
(11) Luego: x4 – 2x3 + 3
x2 – 2x + 3___ x6 – 2x5 + 3x2 - 2x5 + 4x4 – 6x Después: x4 – 2x3 + 3
x2 – 2x + 3___ x6 – 2x5 + 3x2 - 2x5 + 4x4 – 6x + 3x4 - 6x3 + 9 6 5 2 4 x – 4x + 3x + 7x – 6x – 6x3 + 9
NOTA: El resultado se ordena en orden creciente o decreciente de las potencia de la variable.
Efectúa las operaciones indicadas a continuación: 1. (4x3y5)(2x2y4) = 2. (3m2n)(2mp2)(4n2p)= 3. (3x3y4)2 = 4. (4a4b3)4 = 5. a(2a – b) -2b(a – b) + ab(a + 3) = 6. xy((x – 3y) – x (y2 – 3x) –y (x2- y) = 7. 8a3 – 2a[ b – 2a(b – 2a) - b] = 8. 2a[3a - b(3a - b) – 3a - b2] = 9. 3x[4a - 2x(a – x) -3a(x + 2a) + 6a2 + 5ax ] = 10. (4x – a) (2x + 3a) = 11. (a + 2b) (a2- 3ab – b2) = 12. (3x – 2y) (2x2 – 5xy – y2) = 13. (x3 – x + 1) (x2 + x – 2) = 14. (x3 + x2 – x + 1) (x2 + x – 1) = 15. (3x2y – 6xy2 + 12x) ( -6x2 + 3x + 1) = 16. x - [3a + 2(-x + 1) ]= 17. –(a+b) -3[2a+b(-a+2) ]= 18. - [3x – 2y +(x – 2y) -2(x + y) -3(2x + 1) ] = 19. 4x2 - {-3x + 5 - [-x + x(2 – x) ] }= 20. a –(x + y) -3(x – y) +2[ - (x – 2y) -2(- x – y)] =
La división, también llamada cociente, es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), calcular el otro factor (12) (cociente). De lo anterior, se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo, siempre y cuando el residuo sea igual a cero. cociente divisor dividendo 0 dividendo equivale a ____________ divisor Por lo tanto: = cociente
dividendo = cociente . divisor
Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:
= cociente +
Ley de los signos. (+)÷(+)=(+) ( -)÷( -)=(+) (+)÷( -)=( -) ( -)÷(+)=( -)
Ley de los exponentes. Para dividir potencia de la misma base, se deja la misma base y se le pone por exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponentes del divisor.
am ÷ an = am = am-n si m > n an
a5 ÷ a3 = a5 = a5-3 = a2 a3
x3 ÷ x2 = x3 = x3-2 = x1 x2 (13)
Se aplican los siguientes pasos: • • • Dividir los coeficientes. Se usa la ley de los signos. Se usa la ley de los exponentes.
Efectúa la siguiente operación: -8a3
= -2a3-1 = -2a2
4ª Efectúa la siguiente operación: 24a5 b3 c2 = [ 24/8 ] [ a5/a3 ] [ b3/b2 ] [ c2/c2 ] * 8a3 b2 c2 = 3 a5-3 b3-2 c2-2 = 3a2b *c0 = 1
Además de los pasos mencionados en el caso anterior, aquí se usa la propiedad distributiva de la división.
Efectúa la siguiente operación: 12x4 – 8x3 – 4x2 = 12x4/4x – 8x3/4x – 4x2/4x = 3x3- 2x2 – x 4x Efectúa la siguiente operación: (12x4 – 8x3 y3 + 6x2 y2 – 2xy) ÷ ( 2xy ) = 12x4/2xy – 8x3y3/2xy + 6x2y2/2xy – 2xy/2xy = 6x3/y – 4x2y2 + 3xy – 1
Se aplican los siguientes pasos: (14) 1. Se ordenan los términos del dividendo y del divisor en potencias descendentes de una variable que aparezca en ambos polinomios. 2. Dividir el primer término del dividendo entre el primer términ del divisor para obtener el primer término del cociente. 3. Multiplicar el primer término del cociente por el divisor y restar el producto al dividendo. 4. Tratar el residuo obtenido en el paso anterior como el nuevo dividendo y repetir los pasos dos y tres. 5. Repetir el procedimiento hasta obtener un residuo de menor grado que el divisor en la variable escogida. 6. Expresar el resultado de la división en la forma siguiente.
Dividendo ÷ divisor = cociente + residuo Divisor EJEMPLO.
Efectúa la siguiente operación: 2a2 - a a2 – 3a - 2 2a4 – 7a3 – a2 + 2a -2a4 + 6a3 + 4a2____ - a3 + 3a2 + 2a + a3 – 3a2 – 2a 0 a2 – 3a – 2 X 2a2 – a_ 2a4 – 6a3 – 4a2 - a3 + 3a2 + 2a 2a4 – 7a3 - a2 + 2a
Efectúa la siguiente operación: ( x4 – 9x2 + x + 3) ÷ (x + 3) x3 – 3x2 + 1 x+3 x4 - 9x2 + x + 3 -x4 – 3x3 - 3x3 - 9x2 + 3x3 +9x2 +x+3
-x -3 0 (15)
Efectúa las siguientes divisiones indicadas: 1. 2. 3. 4. 5. x7/x4 = 10x9/5x2 = x6y7/xy6 = 24a3b7c4/18a2b3c2 = 24a2b4/6ab2 =
Divide la primera expresión entre la segunda en los siguientes ejercicios: 1. 2a2 – 7a + 6 ÷ a – 2 2. 2y3 – 7y2 + 9y – 3 ÷ y2 – 3y + 3 3. 5x3 – 14x2 + 9x – 2 ÷ x – 2 4. (x4 – 4x3 + x2 + 7x – 2) ÷ (x3 – 2x2 – 3x + 1) 5. (2x3 – x2 -8x – 2) ÷ (2x + 3) 6. (3x3- 5x2 – 3x – 1) ÷ ( x2 – x – 1) 7. (3x3 - 5x2 – 7x – 3) ÷ ( x2 – 3x + 1) 8. (-6x2 + 3x + 18) ÷ ( 2x + 3) 9. (5y8 – 3y7 -11y6 + 11y5 -17y4 -3y3 – 4y2 -2y) ÷ ( 5y4 – 3y3 + 4y2 + 2y) 10. (4x4+2x3 – 4x2 + 3x – 7) ÷ ( 2x – 1) 11. (2x4 – 5x3 – 2x2 + 11x – 6) ÷ ( x2 – 3x + 2) 12. (3x3 – 4x2 – x + 6) ÷ ( 3x + 2) 13. (2x4 –11x2 – 39x – 15) ÷ ( x2 + 3x + 5) 14. (x5 – 5x3 + 4x2 – 8) ÷ (x2 – x – 2) 15. (28x4- 4x3 -13x2 + 10x – 2) ÷ (4x2 – 3x + 6)
Objetivo Particular.- El alumno dominará las técnicas para el manejo de los productos notables, y resolverá problemas aplicando las leyes correspondientes.
Son ciertos productos que se efectúan directamente, basándose en reglas que al memorizarse su aplicación, nos permiten llegar al resultado sin necesidad de realizar la multiplicación..NOMBRE FORMA GENERAL CARACTERISTICAS EJEMPLO
Binomio al cuadrado Binomio al cubo Binomio Conjugado. Binomio con
(a+b)(a+b) ó (a+b)2 (a+b) (a+b) (a+b) ó (a+b)3 (a+b)(a-b) (a+b)(a+c)
Los 2 binomios son iguales. Los 3 binomios son iguales. Tiene un término igual y otro simétrico. Tiene un término
(3x2y+5x)(3x2y+5x) ó (3x2y+5x)2 (3x2y+5x)(3x2y+5x) (3x2y+5x) ó (3x2y+5x)3 (3x2y+5x)(3x2y-5x) (3x2y+5x)(3x2y+6x)
igual y otro semejante. (16)
1. Binomio al Cuadrado.Es un binomio que se multiplica dos veces por sí mismo. REGLA: 1. Primer término al cuadrado. 2. Doble productos del primer término por el segundo. 3. Segundo término al cuadrado.
Resuelva el siguiente binomio al cuadrado. (5x3y + 3xy2)2 = (5x3y)2 + 2(5x3y)( 3xy2) + (3xy2)2 = 25x6y2 + 30x4y3 + 9x2y4 NOTA: Al resultado de resolver un binomio al cuadrado se le denomina “Trinomio Cuadrado Perfecto”.
Desarrolle el cuadrado de los siguientes binomios. 1. (7x + 5yz)2 = 2. (2ab + 3c)2 = 3. (4mn + 8)2 = 4. (x2y – 3z)2 = 5. (2u2 – 6w)2 = 6. (5a2x – 3b2)2 = 7. (3ab – cd)2 = 8. (6xy – 1)2 = 9. (3m2n + 2xy)2 = 10. (x2y + 1)2 = 11. (4/3a - 2/5x)2 = 12. (m2 + 3/2)2 = 13. (1/2x + y2)2 = 14. (-2x2 – 6y2)2 = 15. (3a4b – 5ab3)2 = 16. (1 – x )2 = 17. (b – 3c)2 = 18. (3ab – 5x2)2 = 19. (5x3 + 6m4)2 = 20. (2a3 – 5b4)2 =
2. Binomio al Cubo.
Elevar al cubo un binomio equivale a multiplicarlo por sí mismo tres veces, obteniéndose como resultado un “polinomio de cuatro términos”. (17) REGLA: 1. 2. 3. 4. El cubo del primer término del binomio. El triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término. El triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término. El cubo del segundo término del binomio. SIGNOS ( +, +) = +, +, +, + ( -, - ) = -, -, -, ( +, - ) = +, -, +, ( -, + ) = -, +, -, +
Resuelva el siguiente binomio al cubo. • (2x3y4 + 5x2y6)3 = (2x3y4)2 + 3(2x3y4)2(5x2y6) + 3(2x3y4)( 5x2y6)2 + (5x2y6)3 = 8x9y12 + 60x8y14 + 150x7y16 + 125x6y18
Desarrolle el cubo de los siguientes binomios. 1. (2a + b)3 = 2. (x2 – y2)3 = 3. (4ab – 3c)3 = 4. (7a + b)3 = 5. (ab + cd)3 = 6. (4x2 – 5)3 = 7. (2mn – 4)3 = 8. (3 – a2)3 = 9. (bc + 4a2)3 = 10. (m3 – n3)3 = 11. (6a2 + 2b2)3 = 12. (x2 – ay)3 = 13. (x2 – 5y)3 = 14. (2a + 3)3 = 15. (–m2 – n2)3 = 16. (a3 + b3)3 = 17. (2x3y4 + 5x2y6)3 = 18. (-3/6mn6 + 1/5m4n2)3 = 19. (8x5y6 + 6xy2)3 =
20. (4x3y - 1/5xy6)3 =
(18) 3. Binomios Conjugados.
Se trata de dos binomios formados por los mismos términos y que cambian solamente en el signo. REGLA: Cuadrado del primer término menos cuadrado del segundo término.
Resuelva el siguiente binomio conjugado. • (2x + 6x3) (2x - 6x3) = (2x)2 – (6x3)2 = 4x2 – 36x6
Desarrolle los siguientes binomios conjugados: 1. (x + 8)(x – 8) = 2. (a + 3b)(a – 3b) = 3. (2x + 3y) (2x – 3y) = 4. (2x2 + y)(2x2 – y) = 5. (3x2 + 5y3)( 3x2 - 5y3) = 6. (5a4 + 3b2) (5a4 - 3b2) = 7. (11x5y8 + 13x4y6) (11x5y8 - 13x4y6) = 8. (4/7x3y4 + 1/6x5y6) (4/7x3y4 - 1/6x5y6) = 9. (7x + 5x2) (7x - 5x2) = 10. (4/3x3y2 + 6/5x5y6) (4/3x3y2 - 6/5x5y6) = 11. (7m3/3 + 8/6mn4) (7m3/3 - 8/6mn4) = 12. (5/4m6n2 + 8/3m2) (5/4m6n2 - 8/3m2) = 13. (6x2 – m2x) (6x2 + m2x) = 14. (y2 – 3y) (y2 + 3y) = 15. (1 – 8xy) (1 + 8xy) =
4. Binomios con término común.
Se trata de dos binomios que tienen un término igual y otro semejante. REGLA: 1. Elevar el término común al cuadrado. 2. Suma de los términos no comunes por el término común. 3. Producto ó multiplicación de los términos no comunes.
Resuelva el siguiente binomio con término común. (19) 1. (2x3y2 + 8x) (2x3y2 + 5x) = (2x3y2)2 + (8x + 5x) (2x3y2) + (8x)(5x) = 4x6y4+26x4y2+40x2
Desarrolle los siguientes binomios con término común: 1. (x + 6)(x – 3) = 2. (a – 2)(a – 5) = 3. (3 – k)(8 – k) = 4. (-7 + yz)(3 + yz) = 5. (3ax + 1)(3ax + 4) = 6. (4 – x2y)(6 – x2y) = 7. (7a3b2 + 15a4b5) (7a3b2 - 8a4b5) = 8. (3x3y5 – 16x4y) (3x3y5 – 11x4y) = 9. (2x + 3) (2x + 7) = 10. (5ax + 2)(5ax + 4) = 11. (3mn – 6)(3mn – 2) = 12. (4/3a3b2 + 1/2a4b) (4/3a3b2 + 6/5a4b) = 13. (4b + 3) (4b – 5) = 14. (11 + pq)(3 + pq) = 15. (3x – 6/5)(3x – 4/5) =
5. Cuadrado de un Polinomio.
Elevar al cuadrado un polinomio equivale a multiplicarlo por sí mismo. REGLA: Elevar al cuadrado un polinomio tiene como resultado, la suma de los cuadrados de cada término del polinomio, más el doble producto de todos los término tomados de dos en dos.
Elevar al cuadrado el siguiente polinomio. 1. (2x + 3y – 4z – 2w)2 = (2x)2 + (3y)2 + (- 4z)2 + (- 2w)2 + 2(2x)(3y) + 2(2x)(-4z) + 2(2x)(-2w) + 2(3y)(-4z) + 2(3y)(-2w) + 2(-4z)(-2w) = 4x2 + 9y2 + 16x2 + 4w2 + 12xy – 16xz – 8xw – 24yz – 12yw + 16zw.
Desarrolle los siguientes polinomios al cuadrado: 1. ( a +2b – 3c)2 = (20) 2. (2x – 3y – 5z) = 3. (u – v + w + 1)2 = 4. (a2b - mn2 + x2y2)2 = 5. (2a - 4b + 3c – d)2 = 6. (4a2 + 2bc – 5d2 – 3)2 = 7. (6x4 – 4x3 + 5x2 – 3x – 8)2 = 8. (1/4mn4 + 6/5m2n3 – 1/4m3n2 + 2/3m4n +2/5m5)2 = 9. (5x2y6 + 3x3y5 +2x4y4 + 6x5y3)2 = 10. (x + 6y + z + 2)2 =
FACTORIZACION. Objetivo: El alumno factorizará expresiones algebraicas aplicando los diferentes procedimientos de factorización. Concepto de factorización.
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de esta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los término que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. a) b) c) d) e) f) g) Factorización por factor común. (FFC) Trinomio cuadrado perfecto. (TCP) Diferencia de cuadrados. (DC) Expresiones de la forma x2 + bx + c. Expresiones de la forma ax2 + bx + c Cubo perfecto de binomios. Suma ó diferencia de cubos perfectos.
Descomponer (factorizar) la expresión en factores comunes. FFC = Factorización por factor común. • mx – my + mz = m(x – y + z) Resultado de la factorización.
Factor común. (21)
a) Factorización por factor común.
Si cada término de un polinomio tiene un factor común, su factorización será el producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común. REGLA: 1. Obtener el máximo común divisor MCD de los coeficientes de la expresión dada. 2. Escoger las literales de menor exponente que aparezcan en todos los términos. 3. Dividir la expresión propuesta entre los resultados del paso 1 y 2. 4. La factorización es el resultado de la división como primer factor y el divisor como segundo factor.
Factorizar 12x3y6 +24x5y2 +36x4y3 = 1. MCD = 12 2. x3y2 3. 12x3y6 +24x5y2 +36x4y3 12x3y2 4 2 4. y + 2x + 3xy R. = (12x3y2)(y4 +2x2 +3xy)
Factorizar las siguientes expresiones: 1. 3a2 – 6ab = 2. 8x2y - 12xy + 6xyz = 3. 10a2b – 5ab2 + 15ab – 20a2b2 = 4. 5x2 – 10x2y + 25x4 = 5. 84x5b4 – 108x4b5 = 6. 4m2n - 8mn 2 + 12m2n2 = 7. a2b2 – a3b2 + ab = 8. -20xy + 4x2y + 25y2 9. 12x2y – 2z2y +8w2y = 10. a2x + ax2 + ax = 11. 12m2n +24m3n2 – 36m4n3 + 48m5n4 = 12. 9a2 – 12ab + 15a3b2 – 24ab3 = 13. 16x3y2 – 8x2y -24x4y2 – 40x2y3 = 14. 14x2y2 – 28x3 + 56x4 = 15. 25x7 – 10x5 + 15x3 – 5x2 =
b) Factorización de un Trinomio cuadrado perfecto.
(22) Es un polinomio ordenado en el cual el primer y tercer términos aceptan la raíz cuadrada y el segundo término es el doble producto de las raíces. NOTA: El resultado de factorizar un TCP es un binomio al cuadrado. REGLA: 1. Se extrae raíz cuadrada del primer y tercer términos y se separa por el signo del segundo término. 2. La suma se eleva al cuadrado.
Factorizar el siguiente TCP : 4x2 – 20xy + 25y2 = √4x2 - √25y2 = 2x - 5y = (2x – 5y)2
Factorizar las siguientes expresiones TCP. 1. a2 + 2ab + b2 = 2. 36x2 + 24xy + 4y2 = 3. 9x2 – 30x + 25 = 4. 4a2b4 + 24a3b3 + 36a4b2 = 5. m2 + 2m + 1 = 6. 4x2 – 20xy + 25y2 = 7. 1 – 16ax2 + 64a2x4 = 8. x2 + bx + b2/4 = 9. 1/4 - b/3 + b2/9 = 10. 1 + 14x2y + 49x4y2 = 11. 1 + 2b/3 + b2/9 = 12. a4 – a2b2 + b4/4= 13. 9b2 – 30a2b + 25a4 = 14. 400x10 + 40x5 + 1 = 15. 16 – 104x2 + 169x4 = c) Factorización de una diferencia de cuadrados. DC.
Es el resultado de multiplicar binomios conjugados. Su expresión está formada por dos términos cada uno de los cuales está elevado al cuadrado y separados entre sí por el signo menos.
REGLA: 1. Extraer raíz cuadrada de ambos términos y repetirse en dos paréntesis separándolos por los signos ( + ) y ( - ). (23)
Factorizar la siguiente expresión. DC.: • 121x4y6 – 81a8b10 = √121x4y6, √81a8b10 = 11x2y3, 9a4b5 = (11x2y3 + 9a4b5) (11x2y3 - 9a4b5)
Factorizar las siguientes expresiones DC. 1. x2 – y2 = 2. 4a2 – 324 = 3. 49x4 – 16y2z8 = 4. 16x2 – 25b4 = 5. 4x2 – 81 = 6. x2/4 – 16 = 7. x2/25 – y2/36 = 8. 49x2y6z10 – a12 = 9. a2/4 – b4/9 = 10. a2n – 1964m = 11. 361x14 – 1 = 12. 1/4 - 9a2 = 13. 100 – x2y6 = 14. x2y4z6 – 144 = 15. 100m2n4 – 1/6x8 = d) Factorización de una expresión de la forma x + bx + c.
Estas expresiones no cumplen con las condiciones del TCP. Es el resultado de un binomio con término común. REGLA: 1. Abrir dos paréntesis. 2. Extraer raíz cuadrada de primer término y colocarla en ambos paréntesis. 3. Buscar dos números que multiplicados nos den el tercer término y sumados y/o restados el segundo término del trinomio.
Factorizar la siguiente expresión de la forma x2 + bx + c.:
x2 + 11x + 24 = ( x + 8) ( x + 3) Resultado de la factorización. = √x2 = x (8 + 3) = 11, (8)(3) = 24 NOTA: El resultado es un binomio con término común. (24)
Factorizar las siguientes expresiones de la forma x2 + bx + c. 1. x2 + 4x – 5 = 2. x2 + 5x + 6 = 3. a2 – 4a - 12 = 4. x2 + 3x – 40 = 5. x2 – 7x + 12 = 6. x2 + 2x – 15 = 7. x2 – 5x – 14 = 8. a2 – 13a + 40 = 9. x2 + 7x + 10 = 10. x2 + 7x + 6 = 11. x2 + x – 132 = 12. m2 – 2m – 168 = 13. x2 + 6x – 216 = 14. n2 + 28n – 29 = 15. x2 – 66x + 1080 = e) Factorización de una expresión de la forma ax + bx + c.
Del producto de dos binomios con términos semejantes, resulta un trinomio que no es cuadrado perfecto. REGLA: 1. “El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquéllos que multiplicados den como producto el primer término del trinomio dado; los segundos términos de los binomios son aquéllos que multiplicados den lugar al tercer término del trinomio, pero que el producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores, al sumarse algebraicamente den como resultado el término central del trinomio”.
Factorizar la siguiente expresión de la forma ax2 + bx + c.: • 6x2 + 11x + 3 = 6(6x2 + 11x + 3) = 36x2 + 6(11x) + 18 = √36x2 = 6x = 6x + 11(6x) + 18 = ( 6x + 9) (6x + 2)
(9+2) = 11, (9)(2) = 18 (3)(2)= 6
3 2 (2x + 3) (2x + 1)
Resultado de la factorización. (25)
Factorizar las siguientes expresiones de la forma: ax2 + bx + c. 1. 6x2 – 7x – 3 = 2. 20x2 + 7x – 6 = 3. 18a2 – 13a - 5 = 4. 7x2 – 9x + 2 = 5. 4x2 – 15x + 9 = 6. 6x2 – 5x – 6 = 7. 8x2 + 6x + 1 = 8. 3x2 – 5x – 2 = 9. 15m2 + 16m – 15 = 10. 2a2 + 3a – 2 = 11. 9x2 + 10x + 1 = 12. 20n2 – 9n – 20 = 13. 6x2 – 5x - 6 = 14. 8x2 – 14x - 15 = 15. 5m2 + 13m – 6 =
f) Factorización de un polinomio cubo perfecto.
Un polinomio ordenado en forma descendente con respecto a una literal, se considera como el cubo de un binomio, si cumple con los siguientes requisitos: a. El polinomio debe ser de cuatro términos. b. El primero y último término deben ser cubos perfectos, es decir, deben tener raíz cúbica exacta. c. El segundo término deber ser más ( + ) ó menos ( - ) el triple producto de la raíz cúbica del primer término al cuadrado por la raíz cúbica del último término. d. El tercer término debe ser más ( + ) el triple producto de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último término al cuadrado. Si todos los términos del polinomio son positivos, su factorización es el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primero y último término. Si los términos del polinomio son alternadamente positivos y negativos, su factorización es el cubo de la diferencia de las raíces cúbicas del primero y último términos. REGLA: 1. Extraer raíz cúbica del primer y cuarto términos y separarlos con los signos alternados que contengan.
2. Elevar el binomio al cubo. divide entre tres).
(Para extraer raíz cúbica de un exponente, éste se
NOTA: Su factorización es el resultado de elevar un binomio al cubo. (26)
Factorizar la siguiente expresión de un polinomio cubo perfecto.: • 27x3 + 54x2 + 36x + 8 = √27x3 = 3x, = ( 3x + 2 )3 √8 = 2 Resultado de la factorización.
Factorizar las siguientes expresiones de polinomios cubos perfectos. 1. 64x3 – 48x2 + 12x – 1 = 2. x3 - 3x2 + 3x – 1 = 3. 8m3 + 36m2 + 54m + 27 = 4. a3 + 6a2 +12a + 8 = 5. 8a3 + 60a2 + 150a + 125 = 6. 216x3 + 108x2 + 18x + 1 = 7. –m3 + 9m2 – 27m + 27 = 8. 8m3 + 12m2 + 6m + 1 = 9. 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3 = 10. 27c3 – 54c2d + 36cd2 – 8d3 = 11. 125x3y6 + 225x2y4z + 135xy2z2 + 27z3 = 12. 125m3 + 150m2n + 60mn2 + 8n3 = 13. 27m3 + 108m2n + 144mn2 + 64n3 = 14. x9 - 9x6y4 + 27x3y8 – 27y12 = 15. 64x3 + 240x2y + 300xy2 + 125y3 =
g) Factorización de una suma de cubos perfectos.
Estas se descomponen en dos factores. REGLA. 1. Extraer raíz cúbica a la expresión propuesta. 2. Abrir un paréntesis y colocar las raíces cúbicas en forma de suma. 3. Abrir otro paréntesis y colocar el cuadrado de la primera raíz cúbica menos el producto de las dos raíces cúbicas más el cuadrado de la segunda raíz cúbica.
Factorizar la siguiente expresión de una suma de cubos perfectos.:
a3 + b3 = 3√a3 = a,
√b3 = b Resultado de la factorización. (27)
= (a + b) (a2 – ab + b2)
h) Factorización de una resta de cubos perfectos.
REGLA. 1. Extraer raíz cúbica a la expresión propuesta. 2. Abrir un paréntesis y colocar las raíces cúbicas en forma de resta. 3. Abrir otro paréntesis y colocar el cuadrado de la primera raíz cúbica más el producto de las dos raíces cúbicas más el cuadrado de la segunda raíz cúbica. • a3 - b3 = 3√a3 = a,
√b3 = b Resultado de la factorización
= (a - b) (a2 + ab + b2)
Factorizar las siguientes expresiones de suma y resta de cubos perfectos. 1. x3 + 64 = 2. 8 – a3 = 3. a3x3 – 125 = 4. b3 – 1 = 5. 27 + m3 = 6. c3 + 343x3 = 7. 27x3 – 8y3 = 8. 8a3 + y3 = 9. 8x3 – 27y3 = 10. a6 + 125b12 = 11. 1 + 729x6 = 12. x3y6 – 216y9 = 13. a3b3x3 + 1 = 14. 1 – 27a3b3 = 15. 27m6 + 343n9 = 16. x6 – 8y12 = 17. 1000x3 – 1 = 18. 8x6 + 729 = 19. 343x3 + 512y6 = 20. 64a3 – 729 =
El alumno aplicará las leyes de los exponentes y los radicales en la resolución de expresiones algebraicas dadas. (28)
Definición de exponente.
Si “n” es cualquier entero positivo, Entonces: an = a . a . . . . . . . . . a n factores al entero n se le llama exponente.
a3 = a . a . a a7 = a . a . a . a . a . a . a Nota: Es importante recordar que 5an siginifica 5(an), pero no (5a)n.
Si “a” y “b” son números reales y “m” y “n” son enteros positivos, entonces: 1. am . am = am+m 2. (ab)n = anbn 3. (am)n = amn am 4. ___ = am - n an am 5. ___ = an am 6. ___ = an 7. a n ___ = an ___ 1 1 ____ an – m n=m a≠0 n>m
b 8. a0 = 1
1 9. a – n = __ an
a3b4 2c3
8a2c3 2a2
a12b16 16c12
64a4c6 4a4
= 64a16b16c6 64a4c12 = a12b16 c6
Simplifica: (x – 5y3)2 (x3y – 2)4 (x – 5y3)2 (x3y – 2)4 = (x – 10y6) (x12y – 8) = y6_ x12 x10 y8 = x12y6 x10y8 = x2 y2
Elimina los exponentes negativos y simplifica: 8a3b -5 = 8a3 . a1 = 4a-1b2 4b2. b5 2a4 b7
Simplifica la expresión:
9x2a-1 3xa-1
1_ 3x2
= [ 3x(2a-1) – (a-1)]4 = (3xa)4 1__ 3x2a
1__ 3x2a
= (81x4a) = 81x4a 9x4a = 9
1__ 9x4a
3 2a2c3 15b4 30b6_ 4a2c2 3 = 2a2c3 30b6_ 15b4 4a2c2 3 = 60a2b6c3 60a2b4c2 3
= (b2c)3 = b6c3
Efectúa la operación siguiente y simplifica: 5-4 . 5-2 = 1 . 1 _ = _1 . 54 52 625 1 25 = 1___ 15625
Efectúa la operación siguiente y simplifica: 2-5 ÷ 2-3 = 2-5 = 23 = 2-3 25 1_ = 22 1 4 (31)
Simplifica: -2 9x b x3c -3
9x -2x4b – 6 x -6c6
= x4 . x6 = 92c6b6
x10 ___ 81c6b6
Simplifica: 2x – y __ = x -1 – 3y-2
2_ -y 2 – x2y 2 x = x2 __ 1 - 3 y2 – 3x 2 x y xy2 y2(2 – x2y)_ x (y2 – 3x)
xy2(2 – x2y) x2(y2 – 3x)
El alumno resolverá ejercicios y problemas que impliquen ecuaciones lineales con una incógnita. ECUACION.
Es una igualdad que sólo se verifica para un valor determinado (ó valores determinados) de la incógnita ; es decir, una ecuación es una igualdad condicional. Al conjunto de términos situados a la izquierda del signo igual se le llama primer miembro de la ecuación y al conjunto de términos que están a la derecha se le llama segundo miembro. Esto es una ecuación: 2x - 5 Primer Miembro = x+3 Segundo Miembro (32)
Propiedades de las ecuaciones.
1. Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la ecuación sigue siendo cierta. 2. Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo número, la ecuación sigue siendo cierta. 3. Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo número (excepto cero) la ecuación sigue siendo cierta.
Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la literal (ó literales); es una igualdad absoluta. Se escribe; 4a + 6a = 10a.
Raíz o solución de una ecuación.
Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación. Así la raíz de Porque: 3x – 9 = 5x – 23 3(7) – 9 = 5(7) – 23 12 Ξ 12 es x = 7
Ecuación literal.
Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están representadas por letras. ax + bx – c = 0 Son ecuaciones literales: x - 1+b=0 a
Ventajas de las ecuaciones literales.
Con las ecuaciones literales, se obtienen formulas aplicables no sólo a un problema determinado sino a todos los de su misma especie; generalizan por tanto los problemas, lo cual es una finalidad de álgebra. Así por ejemplo, en la fórmula del interés: i = ctn i = intéres. c = capital. t = tasa anual n = tiempo en años. (33) Esta ecuación se puede resolver con respecto a cualquiera de las literales, obteniéndose:
c = i_ tn
t = i_ cn
n = i_ ct
Ecuación de primer grado es aquella en que, después de efectuadas todas las reducciones posibles, el exponente de la incógnita es igual a la unidad.
Procedimiento para la solución de ecuaciones.
1. Efectuar las operaciones indicadas. (Multiplicaciones, divisiones, etc.) 2. Transponer los términos, reuniendo en un miembro los que tengan incógnita y en el segundo los que no tengan. 3. Reducir términos semejantes. 4. Despejar la incógnita y encontrar su resultado. 5. Comprobar.
Ejemplos de resolución.
Haciendo uso de las propiedad de las ecuaciones, resolver la siguiente ecuación. Súmese 3 a cada miembro Réstese 2x a cada miembro Divídase entre 3 5x – 3 = 2x + 12 +3= + 3_ 5x = 2x + 15 - 2x = -2x_____ 3x = 15 x = 3 raíz.
Comprobación: Sustituimos el valor de la raíz en la ecuación original y si se verifica la igualdad, entonces el problema está bien resuelto, si no se verifica, habrá que revisar nuevamente el procedimiento seguido. 5(5) – 3 = 2(5) + 12 25 – 3 = 10 + 12 22 Ξ 22
Resuelve: multiplicamos por 2: 2 5x + 4 = x + 13 2 5x + 4 = 2(x + 13) (34) restamos 2x: 5x + 8 = 2x + 26 -2x = -2x_____
restamos 8 :
3x + 8 = -8= 3x = x =
+ 26 - 8_ + 18 6
divídase entre 3: Comprobación:
5(6) + 4 = 6 + 13 2 15 + 4 = 6 + 13 19 Ξ19
Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimirse un término cualquiera en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico. Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro respetando la siguiente regla: • • • • • • Si el término está sumando pasa restando Si el término está restando pasa sumando Si el término está multiplicando pasa dividiendo Si el término está dividiendo pasa multiplicando Si el término está en forma de raíz pasa en forma de cuadrado. Si el término está en forma de cuadrado pasa en forma de raíz. + x ÷ √a a2 + ÷ x a2 √a
Intercambio de miembros.
Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre en el primer miembro de la ecuación. Así, las ecuaciones Conviene escribirlas 25 = 3x – 4 3x – 4 = 35 y y 12 = 2x + 3 12x + 3 = 12.
Cambio de signos.
En una ecuación cualquiera se pueden cambiar los signos de todos sus términos, lo que equivale a multiplicarlos por ( - ), con lo cual la igualdad no se altera. Esto es de gran utilidad según se ve a continuación: Forma original - 2x + 5 = -25 - 8x – 3 = x – 6 Forma preferible 2x – 5 = 25 8x + 3 = -x + 6
Ecuaciones con raíz negativa.
Existen ecuaciones cuya raíz es un número negativo; esto no implica ningún problema, se resuelven como ecuaciones que tienen por raíz un número positivo. Así: 7x – 5 = 3x – 25 7x – 3x = -25 + 5 4x = - 20 x = - 20 4 x = -5 Comprobación: 7(-5) – 5 = 3(-5) – 25 - 35 – 5 = - 15 – 25 - 40 Ξ - 40
Resolver: 16 + 7x – 5 + x = 11x – 3 – x 7x + x - 11 x + x = - 3 – 16 + 5 - 2x = - 14 x= 7 Comprobación: 16 + 7(7) – 5 + 7 = 11(7) – 3 -7 16 + 49 – 5 + 7 = 77 – 3 – 7 67 Ξ 67
Resolver las siguientes ecuaciones lineales ó de primer grado y comprobar: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 16x – 192 = 0 a = 12a – 44 x = 300 + 11x 2z + 96 = 15z – 8 – 5z 5c – 9 + c = 2c – 73 9y – 11 = - 10 + 12y (36) 7. 8x + 9 – 12x = 4x – 13 – 5x
8. 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y 9. 16 + 7x – 5 + x = 11x – 3 – x 10. 12m + 22 – 3m = 2m – 13 11. 720x – 2157 = x 12. x + 3 = 10 13. – 2x – 4x – 2 = 1 14. – 4x + x + 2 = 1 15. 5 – 5x = - 40 16. x – 7x = 2x + 1 17. 12x + 20 = 20 18. 2v – 3 = -12 19. – 7u – 4 = - 25 20. – 1.3z – 2.6 = 0 Resolver ecuación con operaciones adicionales (paréntesis): 15x + (- 6x + 5) – 2 – ( - x + 3) = - (7x + 23) – x + (3 – 2x) 15x – 6x + 5 – 2 + x – 3 = -7x – 23 – x + 3 – 2x 10x + 7x + x + 2x = - 23 – 5 + 2 + 3 + 3 20x = - 20 x=-1 Comprobación: 15(-1) + [-6(-1)+5] -2 – [-(-1)+3] = -[7(-1)+23] – (-1) + [3 – 2(-1) ] -15 + [ + 6 + 5 ] – 2 – [+ 1 + 3] = -[ -7 + 23] + 1 + [ 3 + 2] -15 + 11 – 2 – 4 = - 16 + 1 + 5 - 10 Ξ -10 Resolver ecuación con denominadores: • x_ + 4 = 10 6 6x + 24 = 60 6 x = 60 – 24 x = 36 Comprobación: 6(36) + 24 = 60 6 216 + 24 = 60 6 36 + 24 = 60 60 Ξ 60 (37) Resolver ecuación con denominadores:
Multiplicar toda la Ecuación por: 6 Reducir:
3x - 1 + 2x = 5 - 3x 4 5 4 20 60x - 20 + 40x = 100 - 60x 4 5 4 20 15x - 4 + 40x = 25 – 3x 15x + 40x + 3x = 25 + 4 58x = 29 x = 58/29 x = 1/2
Multiplicar por mcm: 20 Efectuar operaciones: Transponer:
Reducir términos semejantes: Despejar: Raíz Comprobar:
Resolver las siguientes ecuaciones lineales ó de primer grado con operaciones adicionales y comprobar: 1. 4(4x – 7) – (3x – 1)2 = - 5 2. 6x – 17 = 13(x – 1) – 4 3. 4(x – 4) – 1 = 3(2x – 7) 4. 12(x – 3) + 1 = 6(x + 1) 5. (2x – 7) - (7 – x) – 2x = 0 6. 2 [ 3(x + 2) + 5(x – 5) ] = 30(2x – 1) 7. 1/2[ 5(x + 4) - 6] = 2/3(x + 1) 8. 3x + [ - 5x –(x + 3) ] = 8x + (- 5x – 9) 9. ( x – 2)2 – (3 – x)2 = 1 10. 4x – (2x + 3)(3x – 5) = 49 – (6x – 1)(x – 2) 11. (5 – 3x) – (- 4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6) 12. 16x - [ 3x – (6 – 9x) ] = 30x + [ - (3x + 2) – (x + 3) ] 13. (2x – 4)2 – (6 – 2x)2 = 2 14. (x + 1)(x – 2) – (4x – 1)(3x + 5) = 6 ( 8x – 11) (x – 3)(x + 7) 15. x + 3(x – 1) = 6 - 4(2x + 3) 16. 2(x – 3)2 – 3(x + 1)2 + (x – 5)(x – 3) + 4(x2 – 5x + 1) = 4x2 – 12 17. 33 = 3(10x – 5) + 2(3x – 10x) 18. 2(x + 1) – (x – 1) = 0 19. 3(x – 2)2 (x + 5) = 3( x + 1)2 (x – 1) + 3 20. 7(x – 4)2 – 3(x + 5)2 = 4(x + 1)(x – 1) – 2
Resolver las siguientes ecuaciones lineales ó de primer grado con denominadores y comprobar: (38) 1. 3x – 1 - 2x – 1 = 10x – 13
2. 2x – 4 + x + 3 = x – 5 2 4 3. 8x - 5x - 12 = 0 9 6 4. 2_ - 5 = 7_ - 3_ + 1 3x x 10 2x 5. 3x - 2x + 1 = 0 5 3 5
6. 1/2 (x – 1) – (x – 3) = 1/3 (x + 3) + 1/6 7. 8. 8. 2 x+1 = 3 x–6 3 5 4 3 2x + 7 - 2(x2 – 4) - 4x2 – 6 = 7x2 + 6 3 5x 15x 3x2 2 - x – 1 = 2x – 1 - 4x – 5 40 4 8
9. 3x – 1 - 5x + 4 - x + 2 = 2x – 3 - 1_ 2 3 8 5 10 10. x – 4 - 5 = 0 3 11. 12. 13. 14. 15. 3x – 2 = 12 – 3x 3 4 - 3__ x–3 x–1 x–3 = x–2 x+2 x+8 2x – 1 - 3x – 2 = 11 3 4 12 x - 5x = - 54 + 3x 2 7 4 = 10____ (x – 3)(x – 1)
Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones de primer grado.
Un problema que se puede resolver mediante una ecuación comprende varias cantidades desconocidas (incógnitas), relacionadas con otras que se conocen (datos). En el enunciado de un problema se indica cómo se relacionan los datos con las incógnitas. El procedimiento general para resolver este tipo de problemas es designar por “x” la incógnita y luego expresar la relación matemática que hay entre los datos y las incógnitas por medio de una ecuación. La solución de esta ecuación es, evidentemente, la solución del problema.
¿Cuáles son los tres números consecutivos cuya suma es igual a 48? Primer número: x Segundo número: x + 1 Tercer número: x + 2 Condición: (x) + (x + 1) + (x + 2) = 48 x + x + 1 + x + 2 = 48 3x + 3 = 48 3x = 48 – 3 3x = 45 x = 45 3 x = 15 Los tres números son: 15, 16 y 17.
Secuencia didáctica 1. TEMA INTEGRADOR: “EL DEPORTE Y LA JUVENTUD”. Actividades de Apertura:
• Plantear al grupo el problema:
1. Se requiere trazar un campo de fútbol para llevar a cabo un torneo intramuros del plantel, para la realización de encuentros simultáneos, si el perímetro del campo de fútbol es de 300m. y la longitud del terreno es dos veces más que lo ancho. ¿Cuál es la longitud del campo de fútbol?. ¿Cuál es el ancho del campo de fútbol?. (40) 2. 100 balones son repartidos entre tres grupos de jóvenes que participan en la recolección de uvas.
El segundo grupo que inició sus trabajos a las 10 de la mañana, recibió 4 veces los balones que recibió el primer grupo que inició la recolección a las 12 del día. El tercer grupo, que estuvo trabajando en la recolección 6 hrs. Recibió 10 balones más que los recibidos por el segundo grupo. ¿Cuántos balones recibió el primer grupo? ¿Cuántos balones recibió el segundo grupo? ¿Cuántos balones recibió el tercer grupo? • En forma individual, determinar una estrategia de solución para dar respuesta a las preguntas formuladas.
Resuelva los siguientes problemas donde se utilicen ecuaciones lineales. 1. ¿Cuál es el número que aumentado en 20 se triplica?. 2. ¿Cómo se pagaría una deuda de $ 700.00 con 52 monedas, unas de $ 20.00 y otras de $ 10.00?. 3. Un padre de familia tiene 45 años y su hijo 20. ¿Dentro de cuánto tiempo será la edad del padre el doble de la del hijo?. 4. Una persona ha gastado la décima parte, los dos quintos y la cuarta parte de su dinero, y además $ 25.00, después de lo cual no le queda nada. ¿Cuánto dinero tenía?. 5. Un agricultor puede arar un terreno empleando un tractor en cuatro días; un ayudante suyo puede hacer el mismo trabajo con un tractor más pequeño en seis días, ¿en cuántos días pueden arar el campo si trabajan conjuntamente?. 6. Cuántos alumnos hay en una clase si la tercera parte de ellos están leyendo, la cuarta parte escribiendo y los otros 20 resolviendo problemas?. 7. Jorge dijo lo siguiente: El doble del dinero que tengo más la mitad de esa misma cantidad es $ 200.00. ¿Con cuánto dinero cuenta Jorge?. 9. Edgar tiene cierto número de pelotas. La mitad de ellas son rojas, la tercera parte azules y 20 amarillas. ¿Cuántas pelotas tiene Jorge?. 10. Eduardo le dijo a Joel: Dispongo del doble de dinero que tú, y si te doy $ 5.00, los dos tendremos lo mismo. ¿Cuánto tienen Eduardo y Joel?. 11. Emiliano le dijo a Raúl: Tengo el triple de dinero que tú, y si te doy $ 20.00, tu tendrá el triple que yo. ¿De cuánto dinero disponen Emiliano y Raúl?. 12. En la tumba de Pitágoras se encuentra la siguiente inscripción: “La sexta parte de la vida de Pitágoras constituyó su hermosa infancia. Había pasado además una duodécima parte de su vida cuando de vello cubrióse su barbilla. La séptima parte transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y a Pitágoras lo hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, quien entregó a la tierra su cuerpo su hermosa existencia que duró tan sólo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena, Pitágoras descendió a la sepultura habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.” (41) ¿Dime cuántos años había vivido Pitágoras cuando le llegó la muerte?. 13.Cada uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles es 12° mayor que el tercer ángulo; encontrar los ángulos, recordando que la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es 180°. 14.El ancho de un rectángulo es igual al lado de un cuadrado y el largo es seis unidades mayor que el ancho; encontrar las dimensiones del rectángulo si su área es 78 unidades cuadradas mayor que el área del cuadrado. 15.La suma de dos números es 225, y uno de los números excede al otro en 45; encontrar los números.
El alumno resolverá ejercicios y problemas que impliquen ecuaciones lineales con dos o más incógnitas.
Se llama sistema de ecuaciones al conjunto de ecuaciones independientes que tienen una o más soluciones comunes. También se llaman ecuaciones simultáneas.
Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfagan simultáneamente cada una de las ecuaciones.
Por suma o resta.
Por Igualación.
Consiste en trazar la gráfica que corresponde a cada ecuación y determinar con el máximo de precisión el punto de intersección de dichas rectas, para obtener el resultado de la ecuación. Regla: 1. Igualar incógnitas a cero (0), sustituir y despejar. 2. Encontrar pares ordenados para luego localizar en el sistema cartesiano, identificándolos con letras.
Resolver: (1) 2x – y = 6 (2) x – 4y = -4
Para la ecuación 1. x=0 2x – y = 6 2(0) – y = 6 y = 6/-1 y=-6 y=0 2x – y = 6 2x – 0 = 6 x = 6/2 x=3
Para la ecuación 2. x=0 x – 4y = - 4 0 – 4y = - 4 y = -4/-4 y=1 y=0 x – 4y = - 4 x – 4(0) = - 4 x=-4
PARES ORDENADOS. A = ( 0, - 6) B = ( 3, 0 ) C = ( 0, 1 ) D = (- 4 , 0)
1. x+y=4 x–y=2 x+y=3 x–y=1 x+y=5 x–y=1 4. 3x + 2y = 7 3x + y = 5 5. 3x – y = 4 x + 3y = - 2 6. 2x + y = 6 x–y=3 11. 3x + 5y = 7 10x – 5y = - 20 14. 3x + 2y = 22 2x + y = 14 7. 4x + 5y = - 32 3x – 5y = 11 8. x+y=8 x–y=2 x + 6y = 27 7x – 3y = 9
10. 3x – 2y = - 2 5x + 8y = - 60 13. x+y=6 5x – 4y = 12
12. 5x – 12y = 108 4x – 3y = 60 15. x+ y=4 x + 2y = 7 (43)
NOTA: Las graficas deberán formularse en papel milimétrico y bajo las siguientes observaciones.
En el centro de la parte superior: SOLUCION GRAFICA DEL SISTEMA: Ecuación (1) Ecuación (2) Trazo del Sistema Cartesiano. Desarrollo y comprobaciones al reverso de la hoja milimétrica. En la parte inferior izquierda se anotarán los Pares Ordenados. En la parte inferior derecha: (Número de gráfica, Nombre de la materia, Nombre de alumno, No. De lista, y el Centro de Bachillerato al que pertenece).
Solución por suma o resta ó Reducción.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de eliminación por suma o resta, se aplica el siguiente procedimiento: 1. Multiplicamos los dos miembros de una ecuación, o de de ambas, por factores tales que igualen los coeficientes de una misma incógnita y que tengan signos contrarios para poder eliminar una de las literales del sistema. 2. Sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos iguales y si tienen signos contrarios los restamos. 3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior, con lo cual obtenemos el valor de una incógnita. 4. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos para la otra incógnita. 5. Comprobamos ambas ecuaciones.
EJEMPLO. Resolver: (1) x + y = 4 (2) x – y = 2
2x = 6 x = 6/2 x=3 Sustituimos en (1) Solución ecuación resultante.
3+y=4 y=4–3 y=1 COMPROBACION:
3+1=4 4Ξ4
3–1=2 2Ξ2
EJEMPLO. Resolver: (1)
Multiplicamos la ecuación (2) por (- 1) y se la sumamos a la ecuación (1). x + 2y = 5 -x–y =-4 y=1 Sustituimos en (1): x + 2(1) = 5 x+2=5 x=5–2 x=3 COMPROBACIONES. (1) 3 + 2(1) = 5 3 +2 =5 5Ξ5 (2) 3 + (1) = 4 3+1=4 4Ξ4
EJEMPLO. Resolver: (1) 15x +20y = 10 (2) 25x –30y = 80
Multiplicamos la ecuación (1) por 30 y la ecuación (2) por 20. 450x + 600y = 300 500x – 600y = 1600 950x = 1900 x = 1900/950 x=2
Despejando “x” Solución ecuación resultante Sustituimos en la ecuación ( 1 ):
15(2) + 20y = 10 30 + 20y = 10 20y = 10 – 30 y = -20/20 y=-1 (1) 15(2) + 20(- 1) = 10 30 – 20 = 10 10 Ξ 10 COMPROBACIONES. (2) 25(2) – 30(- 1) = 80 50 + 30 = 80 80 Ξ 80 (45)
x–y=1 3x/4 – y = - 1
4x – 2y = 5 3x + 5y = 31 7a = 1 + 10b 16b = 10a – 1 5x – 6y = - 4 -3x + 4y = 0 6x – 5y = 27 x + 2y = - 4 15.
5x + y = 12 x + 5y = 36 7y – x = x - 17 2y + 3x = 38 4x – y = 15 4x + y = 9
4. 7x = 2y – 3 19y = 6x + 89 7. 10. 13. x + 6y = 8 2x + 5y = 2 3x + 2y = 6 x–y=7 7x – 4y = 5 9x + 8y = 13
12. 3x + 4y = - 10 2x + 5y = 5 14x – 11y = - 29 13y – 8x = 30
x + 6y = 27 7x – 3y = 9
El procedimiento para resolver sistemas por este método es el siguiente: 1. Despejamos una incógnita (cualquiera de las dos dadas para el sistema) en una de la ecuaciones. 2. Sustituimos la expresión que representa su valor en la otra ecuación. 3. Resolvemos la nueva ecuación con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. 4. Sustituimos el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resolvemos la ecuación resultante. 5. Comprobar ambas ecuaciones.
EJEMPLO. Resolver: (1) x + y = 23 (2) x – y = 7
Despejamos el valor de (y) en la ecuación (1): y = 23 – x …..(3) El valor de (y) obtenido en la ecuación (3) se sustituye en la ecuación (2): x – (23 – x) = 7 x – 23 + 7 = 7 2x = 7 + 23 2x = 30 x = 15 (46) Sustituimos en la ecuación (2): NOTA: Se podrá sustituir en cualquiera de las dos originales o en la ecuación resultante número (3).
15 – y = 7 - y = 7 – 15 -y=-8 y = -8/-1 y=8 COMPROBACIONES: (1) 15 + 8 = 23 23 Ξ 23 (2) 15 – 8 = 7 7Ξ7
EJEMPLO. Resolver: (1) (2) 2x + y = 3 3x -7y = 30
Despejamos (y) en la ecuación (1): y = 3 – 2x…..(3) Sustituimos ecuación (3) en la ecuación (2): 3x – 7(3 – 2x) = 30 3x -21 + 14x = 30 17x = 30 + 21 17x = 51 x=3 Sustituimos en ecuación (3): y = 3 – 2(3) y=3–6 y=-3 COMPROBACIONES: (1) 2(3) + (-3) = 3 6–3=3 3Ξ3 (2) 3(3) – 7(-3) = 30 9 + 21 = 30 30 Ξ 30
1. 5x – 7y = - 1 3x + 4y = 24 4. x – y = 37 2x + 3y = 31x + 13y 7. x – 4y = 2 3x – 3y = 24 10. 4x + 3y = 8 8x – 9y = - 77 13. 10x + 18y = - 11 16x – 9y = - 5
2. 5y + x = 7 5x – 3y = 3 + 2x 5. x – y = 1 2x/5 + 3y/4 = 5 8. x + 3y = 6 5x – 2y = 13 11. x – 5y = 8 - 7x + 8y = 25 14. -13y + 11x = - 163 - 8x + 7y = 94
3. 2x – y = y + 6 x + 2y = 4y + 3 6. 4x + 5y = 104 5x + 3y = 84 9. 5x + 7y = - 1 - 3x + 4y = - 24 12. 15x + 11y = 32 7y – 9x = 8 15. 3x + 2y = 6 x–y=7
Solución por igualación.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultáneas, eliminando por el método de igualación, aplicamos el siguiente procedimiento: 1. Despejamos en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar. (cualquier incógnita para el sistema dado en ambas ecuaciones). 2. Igualamos las dos expresiones del paso anterior. 3. Resolvemos la ecuación resultante de la igualación, con lo cual obtenemos el valor de una de las incógnitas. 4. Sustituimos el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita y resolvemos para ella.
EJEMPLO. Resolver: (1) (2)
x + y = 12 x - y = 8
Despejamos a (x) en ambas ecuaciones e igualamos: (1) x = 12 – y (2) x=8+y 12 – y = 8 + y - y – y = 8 – 12 - 2y = - 4 y = - 4/-2 y=2 Sustituimos en ecuación (2): x–2=8 x=8+2 x = 10 (1) 10 + 2 = 12 12 Ξ 12 COMPROBACIONES: (2) 10 – 2 = 8 8Ξ8 (48)
Resolver: (1) (2)
5x - 2y = 40 -2x+ 5y = 26
Despejamos (y) en ambas ecuaciones: (1) - 2y = 40 – 5x y = 40 – 5x -2 Igualamos: (2) 5y = 26 + 2x y = 26 + 2x 5
40 – 5x = 26 + 2x -2 5 Multiplicamos por (5) 200 – 25x = - 52 – 4x Multiplicamos por (2) - 25x + 4x = - 52 - 200 - 21x = - 252 x = -252/-21 x = 12 Sustituimos en (1). Recuerde se puede sustituir en las dos originales y en la tercera resultante. 5(12) – 2y = 40 60 – 2y = 40 - 2y = 40 – 60 - 2y = - 20 y = -20/-2 y = 10 (1) 5(12) – 2(10) = 40 60 – 20 = 40 40 Ξ 40 COMPROBACIONES: (2) -2(12) + 5(10) = 26 - 24 + 50 = 26 26 Ξ 26
1. 4x – 5y = 2 5x + 3y = 21 4. 6x + 2y = - 3 5x - 3y = - 6 7. x – 4y = 2 3x – 3y = 24 10. 3x + 5y = 7 2x – y = - 4 13. 15x - 11y = - 87 -12x – 5y = - 27 2. 2y - 11x = 67 2x + 5y = 20 5. 22x + 15y = 9 18x + 25y = 71 8. x + 6y = 27 7x – 3y = 9 11. 7x – 4y = 5 9x + 8y = 13 14. 7y + 9x = 42 12x + 10y = - 4 3. 3x + 7y = 2 7x + 8y = - 2 6. 7x + 4y = 13 5x - 2y = 19 9. 3x - 2y = - 2 5x + 8y = - 60 12. 14x - 11y = - 29 13y – 8x = 30 15. 6x - 18y = - 85 24x – 5y = - 5
Solución por el método de matrices y determinantes.
Antes de entrar a la resolución de ecuaciones simultáneas por determinantes, veamos qué es un determinante y cómo se resuelve.
Determinante de segundo orden. Es la ordenación cuadricular de 4 números y
se desarrolla de la manera siguiente. a c b = ad - bc d
Calcula el valor del siguiente determinante: 3 -2 5 = (3)(7) – (5)(-2) = 21 + 10 = 31 7
Determinante del tercer orden. Es una ordenación cuadricular de números, que
consta de 3 columnas y 3 renglones y se desarrolla de la manera siguiente: a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 = c3 a2 a3 a1 a2 a1 b2 b1 c2 b3 b1 b2 c3 c1 c2 c1
= a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a1b2c3 – a2b3c1 – a3b1c2
Calcula el valor del siguiente determinante: 3 -5 1 2 0 3 4 7 = 5 1 3 -5 3 2 0 5 4 7 (50) 3 -5 2 0 4 7
= (3)(0)(5) + (-5)(3)(4) + (1)(2)(7) – (4)(0)(1) – (7)(3)(3) – (5)(2)(-5) = 0 - 60 + 14 – 0 – 63 + 50 = - 59
Veamos ahora la aplicación de los determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas. El procedimiento es el siguiente: 1. Se ordenan las ecuaciones de tal modo que las constantes aparezcan en el miembro de la derecha y las variables a la izquierda. 2. Calculamos el valor del determinante formado por la ordenación cuadricular de los coeficientes de las incógnitas; a dicho determinante le llamaremos ∆ (delta). 3. En el determinante (∆) sustituimos la primer columna (correspondiente a los coeficientes de la primer incógnita) por la columna de las constantes de las ecuaciones y calculamos el valor de este nuevo determinante al cual le llamaremos ∆x (delta equis). Si sustituimos la segunda columna en (∆) por la columna de las constantes, entonces tendremos a ∆y (delta ye) y así sucesivamente. 4. Aplicamos las siguientes fórmulas: x = ∆x ∆ y = ∆y ∆ z = ∆z ∆
NOTA: Si en lugar de x, y, z las incógnitas tuvieran otras literales, únicamente haremos las modificaciones pertinentes.
Resuelve por determinantes: 2x + 3y = 8 3x – y = 1 2 ∆= 3 -1 3 = (2)(-1) – (3)(3) = -2 – 9 = - 11
8 ∆x = 1 2 ∆y = 3
3 = (8)(-1) – (1)(3) = - 8 – 3 = - 11 -1 8 = (2)(1) – (3)(8) = 2 – 24 = - 22 1 y = ∆y = - 22 = 2 ∆ - 11 COMPROBACIONES: x=1 y=2 (51)
x = ∆x = - 11 = 1 ∆ - 11
2(1) + 3(2) = 8 2 +6 = 8 8Ξ8
3(1) – (2) = 1 3 - 2 =1 1Ξ1
Resuelve por determinantes: 3x + 2y - z = 12 x+ y+z=6 x – 2y – z = - 2 3 2 1 1 1 -2 3 2 1 1 -1 1 -1 -1 1
= (3)(1)(-1)+(1)(-2)(-1)+(1)(2)(1) – (-1)(1)(1) – (1)(-2)(3) –(-1)(2)(1) = - 3 + 2 + 2 + 1 + 6 + 2 = 10
12 2 -1 12 2 3 12 -1 3 12
6 1 1 6 1 1 6 1 1 6
-2 -2 -1 -2 -2 1 -2 -1 1 -2
= (12)(1)(-1)+(2)(1)(-2)+(-1)(6)(-2) – (-2)(1)(-1)-(-2)(1)(12)-(-1)(6)(2) = - 12 – 4 + 12 – 2 + 24 + 12 = 30
= (3)(6)(-1)+(12)(1)(1)+(-1)(1)(-2) – (1)(6)(-1)-(-2)(1)(3)-(-1)(1)(12) = - 18 + 12 + 2 + 6 + 6 + 12 = 20
1 -2 -2 1 -2
= (3)(1)(-2)+(2)(6)(1)+(12)(1)(-2) – (1)(1)(12)-(-2)(6)(3)-(-2)(1)(2) = - 6 + 12 – 24 – 12 + 36 + 4 = 10
x = ∆x = 30 = 3 ∆ 10
y = ∆y = 20 = 2 ∆ 10
z = ∆z = 10 = 1 ∆ 10
x=3 y=2 z=1 3 -2(2) – 1 = - 2 3–4–1=-2 -2Ξ-2 (52)
COMPROBACIONES: (1) (3)(3) + (2)(2) – (1) = 12 9+ 4 - 1 = 12 12 Ξ 12 (2) 3+2+1=6 6=6 6Ξ6 (3)
Solución de ecuaciones simultáneas con más de dos incógnitas por el método de reducción.
Para resolver estos sistemas se puede escoger cualquiera de los métodos vistos anteriormente.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: 2x – 6y – 5z = - 11…….(1) 10x + 9y – 3z = 50………(2) 4x – 8y + z = 15………(3) Para eliminar a (y) de las ecuaciones (1) y (2), multiplicamos la ecuación (1) por 9 y la ecuación (2) por 6 y sumamos ambas expresiones: 18x – 54y – 45z = - 99 60x + 54y – 18z = 300 78x - 63z = 201……(4) Ahora multiplicamos la ecuación (2) por 8 y la ecuación (3) por 9 y las sumamos: 80x + 72y – 24z = 400 36x – 72y + 9z = 135 116x - 15z = 535…….(5) Ahora hacemos simultáneas las ecuaciones (4) y (5). Eliminamos a (z) multiplicando la ecuación (4) por - 15 y la ecuación (5) por 63 y luego sumamos: - 1170x + 945z = - 3015 7308x – 945z = 33705 6138x = 30690 Despejando (x) x = 30690/6138 x=5 Se sustituye la raíz encontrada en cualquiera de las ecuaciones (4) ó (5). Sustituimos en la ecuación (5): 116(5) - 15z = 535 580 – 15z = 535 - 15z = 535 – 580 - 15z = - 45 z=3 Se sustituyen las raíces encontradas en cualquiera de las ecuaciones originales (1), (2) ó (3).
Sustituimos en la ecuación (1): 2(5) – 6y – 5(3) = - 11 10 – 6y – 15 = - 11 -6y – 5 = - 11 -6y = - 11 + 5 -6y = - 6 y=1 COMPROBACIONES: (1) 2(5) – 6(1) – 5(3) = - 11 10 - 6 – 15 = - 11 - 11 Ξ – 11 (3) (2) 10(5) + 9(1) – 3(3) = 50 50 + 9 – 9 = 50 50 Ξ 50
x=5 y=1 z=3
4(5) – 8(1) + 3 = 15 20 – 8 + 3 = 15 15 Ξ 15
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de determinantes: 1. 2x – y = 4 3x – 4y = 1 4. 3x + 2y = 22 2x + y = 14 7. 3x – 2y = - 2 5x + 8y = -60 10. 8x + 7y = 29 11x + 5y = 26 2. 3x + y = 5 2x – 3y = 7 5. x+y=6 5x – 4y = 12 8. 20x – 14y = 14 16x – 14y = -14 11. 7x + 4y = 13 5x – 2y = 19 3. 4x + 3y = - 2 x - y=-4 6. x + y = 8 x–y=2 9. 5x – 12y = 108 4x – 3y = 60 12. 5x – 3y = 20 6x – 4y = 16
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones 3 x 3 por el método de determinantes: 1. 3x – 2y + 4z = 1 4x + y – 5z = 2 2x – 3y + z = - 6 4. x + y + z = 11 2x – y + z = 5 3x + 2y + z = 24 2. 3x + 5y + 2z = 2 4x + 2y – 3z = - 1 2x – y + 5z = - 11 5. 2x – y + 3z = 9 3x + y + 2z = 11 x–y+z=2 3. x – y + z = 7 x+y–z=1 -x + y + z = 3 6. 2x – 3y + 4z = 6 3x + 2y – 3z = 9 x + 2y + 4z = 3
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones 3 x 3 por el método de sumas y restas o reducción. 1. 7x + 3y – 4z = -35 x + y – 6z = - 27 3x – 2y + 5z = 38 2. 5x – 2y + z = 24 2x + 5y – 2z = - 14 x – 4y + 3z = 26 3. 9x + 4y – 10z = 6 6x – 8y + 5z = - 1 12x + 12y – 15z = 10 (54)
3x + 3y – 7z = 5 2x + 2y – 2z = 3 4x – 3y – 6z = 1
5. x – 4y + 5z = - 4 x + 3y + z = 6 2x – 3y – 2z = - 6
6. 2x – 3y – 2z = 3 3x – 2y + 3z = - 3 4x – 4y + z = - 1
Solución de problemas que dan lugar a ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas. EJEMPLO.
Dividir el número 132 en dos partes tales que los 5/7 de la una y los 3/5 de la otra, sumen 88. Primera parte: x Segunda parte: y Condiciones: x + y = 132 …..(1) 5/7x + 3/5y = 88….(2) Multiplicamos la ecuación (1) por (- 3/5) y luego sumamos con la ecuación (2): - 3/5x – 3/5y = - 396/5 5/7x + 3/5y = 88___ 5/7x – 3/5x = 88 – 396/5 25x – 21x = 3080 – 2772 4x = 308 x = 77 y = 132 – 77 y = 55
Doña Lupe vende artículos de barro. Un cliente pagó, con un billete de $ 50.00, 2 ollas y 3 cazuelas. Como doña Lupe no tenía cambio, le dio 2 jarritos de $ 1.00. Otro cliente compró por $ 100.00, 5 ollas y 5 cazuelas. ¿Cuánto cuestan las ollas y cuánto las cazuelas?. x = ollas. y = cazuelas. Cliente (1) 2x + 3y + 2 = 50…..(1) Cliente (2) 5x + 5y = 100…..(2) Multiplicando la ecuación (1) por (-5) y la ecuación (2) por 2 y luego sumamos: - 10x – 15y = -240 10x + 10y = 200 -5y = - 40 y = -40/-5 y=8 (55)
Sustituimos en ecuación (2): 5x + 5(8) = 100 5x + 40 = 100 5x = 100 – 40 5x = 60/5 x = 12 Por lo tanto: Las ollas cuestan a $ 12.00 y las cazuelas a $ 8.00.
Resuelva los siguientes problemas: 1. La suma de dos números es 20 y su diferencia es 6. ¿Cuáles son los números?. 2. El triple de un número menos el doble de otro es igual que dos. Si el segundo equivale a dos terceras partes del primero, ¿cuáles son los números?. 3. En una función de teatro se vendieron 750 boletos. Si los boletos de luneta valían $ 30.00 y los de palco $ 50.00 c/u y la recaudación fue de $ 27,100.00, ¿cuántos boletos se vendieron de cada precio?. 4. Luis y Jorge tienen juntos $ 2,650.00. La mitad de lo que posee Luis más la cuarta parte de lo que tiene Jorge es igual al dinero de Luis menos $ 245.00, ¿cuánto dinero tiene cada uno?. 5. Se cambia un cheque de $ 5,000.00 en billetes de $ 100.00 y $ 50.00. Sabiendo que en total entregaron 70 billetes., ¿cuántos billetes de cada clase hay?. 6. Adivina: si sabes que hay 56 patas (extremidades) entre pollos y conejos y te dicen que pertenecen a 19 animales., ¿cuántos pollos y cuántos conejos hay?. 7. El largo de un rectángulo es igual al ancho aumentado en un 40%. Si el perímetro es de 48m, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?. 8. Diana pagó $ 15.00 por dos pastas de dientes y 3 jabones. Adriana compró una pasta de dientes y cuatro jabones por $ 10.00, ¿cuánto cuesta cada jabón y cada pasta?.
El alumno resolverá ejercicios y problemas que impliquen ecuaciones de segundo grado y reducibles a segundo grado.
Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática cuando después de reducida a su más simple expresión, el más alto grado de la incógnita es dos.
Toda ecuación de segundo grado con una incógnita puede reducirse a la forma general:
En donde “a” es el coeficiente de la incógnita al cuadrado, “b” es el coeficiente de la incógnita a la primera potencia y “c” es el término independiente.
Ecuación cuadrática completa.
Una ecuación de segundo grado es completa cuando consta de tres términos uno en que aparece la incógnita al cuadrado, otro en que aparece la incógnita a la primer potencia y un término independiente.
Ecuación cuadrática incompleta.
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando carece del término independiente o del término con la incógnita a la primera potencia.
Ecuación cuadrática pura y cuadrática mixta.
Es cuadrática pura Son cuadráticas mixtas ax2 + bx + c = 0 ax2 + c = 0 ax2 + bx = 0
Resolución de las ecuaciones cuadráticas puras.
En toda cuadrática pura, la incógnita es igual a más menos la raíz cuadrada del cociente del término independiente entre el coeficiente de “x2”, con el signo cambiado. ax2 + c = 0 ax2 = - c x2 = - c/a Por lo tanto: x = + √ - c/a
Resolver la siguiente ecuación: 3x2 – 12 = 0 3x2 = 12 x2 = 12/3 x2 = 4 x = √4 x=+ 2
Comprobación: 3(2)2 – 12 = 0
3(4) – 12 = 0
0Ξ0 (57)
Resuelve la siguiente ecuación: 2x2 + 7 = 5x2 + 19 4 Convertimos a ecuación entera multiplicando la ecuación por 4. 8x2 + 28 = 5x2 + 76 8x2 – 5x2 + 28 – 76 = 0 3x2 - 48 = 0 - 48 Por lo tanto x = + √ - 3 = + √ 16 = + 4 COMPROBACION: 2(-4)2 + 7 = 5(-4)2 + 19 4 2(16) + 7 = 5(16) + 19 4 32 + 7 = 80 + 19 4 32 + 7 = 20 + 19 39 Ξ 39 x1 = 4 x2 = - 4
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas puras. 1. 4x2 – 16 = 02 2. 9x2 + 25 = 0 3. x2 = 4 4. x2 = 9 5. 3x2 = 12 6. x2 – 25 = 0 7. x2 – 16 = 0 8. 2x2 = 98 9. 3x2 – 48 = 0 10. 5x2 – 605 = 0 11. x2 – 625 = 0 12. 1/4 x2 – 9 = 0 13. 4x2 – 64 = 0 14. (2x - 3)(2x + 3) – 135 = 0 15. 2x2 = 15 + 3 16. x2 - 5 + 4x2 – 1 – 14x2 – 1 = 0 3 5 15 17. (x + 5)(x – 5) = - 7 18. (2x – 1)(x + 2) – (x + 4)(x – 1) + 5 = 0 19. 4x2 – 36 = 0 20. (x + 1/3)(x – 1/3) = 1/3
Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas.
La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente tiene una raíz nula (igual a cero), y la otra es igual al cociente formado por el coeficiente del término en “x” con signo contrario entre el coeficiente de “x2”. ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x=0 (ax + b) = 0 x1 = 0 x = - b/a
Resolver la siguiente ecuación: x2 – 9x = 0 x(x – 9) = 0 x1 = 0 x–9=0 x2 = 9 x1 = 0 x2 = 9
Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas completas.
Los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas mixtas completas son:
Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas completas por el método gráfico.
Procedimiento: 1. 2. 3. 4. Igualamos la ecuación cuadrática a una nueva variable “y”. Tabulamos: dando valores a “x” calculamos los valores que adopta “y”. Graficamos. Los valores de “x” para los cuales “y” vale cero, serán las raíces solución de la ecuación. (59)
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática mixta completa por el método gráfico: x2 + x – 2 = 0 y = x2 + x – 2 Tabulación x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 4 0 -2 -2 0 4 10 Punto A B C D E F G
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas completas por el método gráfico: Nota: Se te proporcionan los valores que adopta “x” para facilitar la solución. 1. x2 – 3x – 10 = 0 2. x2 – 5x + 6 = 0 3. x2 – 2x – 3 = 0 4. x2 – 6x + 5 = 0 5. x2 + 4x – 5 = 0 6. x2 + x – 6 = 0 7. x2 – 3x – 10 = 0 8. . x2 – 3x – 4 = 0 9. . x2 – 9 = 0 10. x2 – 4 = 0 “x” desde “x” desde “x” desde “x” desde “x” desde “x” desde “x” desde “x” desde “x” desde “x” desde - 3 hasta 6. - 1 hasta 6. - 3 hasta 5. - 1 hasta 7. - 6 hasta 2. - 4 hasta 3. - 3 hasta 6. - 2 hasta 5. - 4 hasta 4. - 5 hasta 5.
Resolución de las ecuaciones cuadráticas por factorización.
Factorizar: Tiene por objeto descomponer un número o expresión algebraica en dos o más factores que al multiplicarse entre sí nos dan por resultado el número o expresión propuesta.
Resolución de las ecuaciones cuadráticas por factorización de factores comunes. F.F.C.
Por éste método se resolverán ecuaciones mixtas incompletas. Procedimiento: 1. Factorizar la ecuación.
(60) 2. Igualar cada factor a cero. 3. Despejar. 4. Comprobar.
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática mixta incompleta por factorización de factores comunes: • 8x2 + 2x = 0 (4x + 1)2x = 0 4x + 1 = 0 4x = - 1 x1 = - 1/4
2x = 0 x = 0/2 x2 = 0 COMPROBACIONES:
8(-1/4)2 + 2(- 1/4)2 = 0 1/2 - 1/2 = 0 0Ξ0 NOTA: EN TODA ECUACION CUADRÁTICA SIEMPRE ENCONTRAREMOS DOS VALORES QUE SATISFACEN A LA ECUACIÓN.
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas por factores comunes: 1. 5x2 – 7x = 0 4. 5x2 – 30x = 0 7. 2x2 + 8x = 0 10. 7x2 + 14x = 0 13. x2 – 3x = 3x2 – 4x 2. 7x2 – 28x = 0 5. 2x2 – 3x = 0 8. 6x2 + 5x = 0 11. 3x2 = 48x 14. 3x2 + 12x = 0 4 2 3. 6x2 – 18x = 0 6. 16x2 – 36x = 0 9. 15x2 – 30x = 0 12. 4x2 = - 32x 15. 5__ - 1__ = 7_ 2x2 6x2 12
Resolución de las ecuaciones cuadráticas por factorización de una Diferencia de cuadrados. D.C.
Por éste método sólo se resolverán ecuaciones cuadráticas puras. Procedimiento: 1. 2. 3. 4. Factorizar la ecuación. Igualar factores a cero. Despejar. Comprobar.
Resolver la siguiente ecuación cuadrática por factorización de una D.C.: • 81x2 – 64 = 0 (9x + 8)(9x – 8) = 0 9x + 8 = 0 9x – 8 = 0 9x = - 8 9x = 8 x1 = - 8/9 x2 = 8/9
COMPROBACIONES: 81(-8/9)2 – 64 = 0 81(64/81) – 64 = 0 5184/81 – 64 = 0 64 – 64 = 0 0Ξ0
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas puras por factorización de una D.C.: 1. 25x2 – 49 = 0 4. 100x2 – 25 = 0 7. 9x2 - 4 = 0 10. 25x2 = 100 81 2 13. 81x – 121 = 0 2. 16x2 – 36 = 0 5. 81x2 – 121x = 0 49 64 2 8. 49x - 81 = 0 25 36 11. (x + 5)(x – 5) = - 9 14. 4x2 - 16 = 0 3. 9x2 – 64 = 0 6. 16x2 – 324 = 0 9. 4x2 – 25 = 0 12. (2x – 3)(2x + 3) – 135=0 15. 225x2 – 100 = 0
Resolución de factorización
1. Factorizar la ecuación. 2. Igualar cada factor a cero y resolver para la incógnita en cada caso obteniéndose así las raíces de la ecuación. 3. Comprobar.
Resuelva la ecuación: • x2 + x – 20 = 0 (x + 5)(x – 4) = 0 x+5=0 x–4=0 x1 = - 5 x2 = 4_ (62)
Resuelva la ecuación: • 2x2 - 5x – 3 = 0 2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0 (x – 3)(2x + 1) = 0 x–3=0 2x + 1 = 0 x1 = 3 2x = - 1 x = - 1/2
Resolución de las ecuaciones factorización de un T.C.P.
Por éste método sólo se resolverán cuadráticas mixtas completas.
Resuelva la ecuación: • 9x2 + 24x + 16 = 0 (3x + 4)2 = 0 (3x + 4) (3x + 4) 3x + 4 = 0 3x + 4 = 0 x1 = - 4/3 x2 = - 4/3
COMPROBACIONES: 9(-4/3)2 + 24(-4/3) + 16 = 0 9(16/9) – 96/3 + 16 = 0 144/9 – 96/3 + 16 = 0 16 – 32 + 16 = 0 0Ξ0
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas completas por factorización de un T.C.P.: 1. 25x2 – 70x + 49 = 0 4. 64x2 + 176x + 121 = 0 7. x2 – 2x + 1 = 0 10. 25x2 + 20x + 4 = 0 13. 36a2 – 24a + 4 = 0 2. 4x2 + 12x + 9 = 0 5. x2 + 4/3x + 4/9 = 0 8. x2 – 10x + 25 = 0 11. 4/9x2 + 2/3 + 1/4 = 0 14. 4/25m2 + 4/15m + 1/9=0 3. 81x2 – 126x + 49 = 0 6. x2 + 24x + 144 = 0 9. 9x2 – 30x + 25 = 0 12. 9/16x2 – x + 4/9 = 0 15. 16x2 – 6x + 9/16 = 0
Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas completas factorización de una expresión de la forma x2 + bx + c.
Por éste método sólo se resolverán cuadráticas mixtas completas que no cumplen con la condiciones del T.C.P. Procedimiento: 1. Factorizar la ecuación. 2. Igualar cada factor a cero y resolver para la incógnita en cada caso obteniéndose así las raíces de la ecuación. 3. Comprobar.
Resuelva la ecuación: • x2 + 7x + 10 = 0 (x + 5)(x + 2) = 0 x+5=0 x+2=0 x = -5 x=-2 2) (-2)2 + 7(-2) + 10 = 0 4 – 14 + 10 = 0 0Ξ0
COMPROBACIONES: 1) (-5)2 + 7(-5) + 10 = 0 25 - 35 + 10 = 0 0Ξ0
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas completas por factorización de una expresión de la forma x2 + bx + c.: 1. x2 – 3x - 40 = 0 4. x2 + 16x + 55 = 0 7. x2 + 5x - 14 = 0 10. x2 + 11x = 18 13. a2 – 8a + 12 = 0 2. x2 - 13x + 36 = 0 5. a2 + 6a - 432 = 0 8. b2 – 9b + 20 = 0 11. x2 - 13 = 30 14. m2 + 4m + 3 = 0 3. x2 + 4x - 21 = 0 6. m2 - 9m+ 20 = 0 9. x2 – 4x - 32 = 0. 12. x2 + 2x - 8 = 0 15. x2 + 13x + 36 = 0
Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas completas factorización de una expresión de la forma ax2 + bx + c.
Resuelva la ecuación: • 6x2 + 11x + 3 = 0 36x2 + 6(11x) + 18= 0 Multiplicamos por el coeficiente del término cuadrático y en el segundo término se deja indicada. 6x + 11(6x) + 18 = 0 Extraemos raíz al término cuadrático e invertimos los factores del segundo término. (6x + 9) (6x + 2) = 0 Se factoriza la expresión. 3 2 Dividimos entre el coeficiente del término cuadrático. (si es necesario se factoriza). (2x + 3) (3x + 1) = 0 Cociente resultante. 2x + 3 = 0 3x + 1 = 0 Igualando a cero. 2x = - 3 3x = - 1 Despejando. x1 = -3/2 x2 = - 1/3 2) 6(-1/3)2 + 11(-1/3) + 3 = 0 6(1/9) – 11/3 + 3 = 0 6/9 – 11/3 + 3 = 0 0Ξ0
COMPROBACIONES: 1) 6(-3/2)2 + 11(-3/2) + 3 = 0 6(9/4) – 33/2 + 3 = 0 54/4 – 33/2 + 3 = 0 0Ξ0
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas completas por factorización de una expresión de la forma ax2 + bx + c.: 1. 7x2 – 9x + 2 = 0 4. 8x2 + 6x + 1 = 0 7. 4x2 + 7x + 3 = 0 10. 15x2 + x – 6 = 0 2. 4x2 - 15x + 9 = 0 5. 2a2 - a - 10 = 0 8. 3b2 – 5b - 2 = 0 11. 8x2 + 6x 1 = 0 3. 6 x2 - 5x - 6 = 0 6. 7m2 - 4m + 3 = 0 9. 8x2 – 14x - 15 = 0. 12. 20x2 + 7x - 6 = 0
Resolución de las ecuaciones cuadráticas por la fórmula general.
FORMULA GENERAL: x = - b + √ b2 – 4ac 2a Por este método se resuelven ecuaciones cuadráticas mixtas completas, mixtas incompletas y puras. Para resolverse se identifican de la ecuación cuadrática dada, los coeficientes para las literales “a”. “b”, “c”, dichos valores se sustituyen en la Fórmula General, determinándose las raíces de la ecuación.
Resuelva la ecuación: (a) (b) (c) • x2 + 9x + 20 = 0 a = 1, b = 9, c = 20 Se toman los valores de los coeficientes.
x = - b + √ b2 – 4ac 2a x = - 9 + √ (9)2 – (4)(1)(20) 2(1) x = - 9 + √ 81– 80 2 x=-9+ √ 1 2 x=-9+1 2 x1 = - 9 + 1 2 x2 = - 9 - 1 2 = - 8/2 = - 4_ = - 10/2 = - 5_ Raíz 1. Raíz 2. COMPROBACIONES: 2) (- 5)2 + 9( - 5) + 20 = 0 25 – 45 + 20 = 0 0Ξ0 (66) Resolviendo Sustituyendo los valores en la fórmula general.
1) (- 4)2 + 9(- 4) + 20 = 0 16 - 36 + 20 = 0 0Ξ0
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por la Fórmula General.: 1. 2x2 – 3x - 2 = 0 4. x2 = 108 – 3x 7. 3x2 - 27 = 0 10. 9x+1=3(x2-5)-(x-3)(x+2) 13. (a+4)2=2a(5a-1)-7(a-2) 2. 3x2 + 2x - 5 = 0 5. 20a2 - 27a = 14 8. b2 + 7b - 18 = 0 11. (2x-3)2 – (x+5)2 = - 23 14. m(m+3)2 = 5x + 3 3. x2 - 6x + 8 = 0 6. 5m2 - 5 = 0 9. 2x2 +7x - 4 = 0. 12. (x+4)3 – (x – 3)3 = 343 15. 4x2 - 16 = 0
Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas completando el cuadrado. EJEMPLO.
Resuelva la ecuación: • x2 + 6x – 16 = 0 1. Cambiar el término independiente al segundo miembro. x2 + 6x = 16 2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de “x” elevado al cuadrado (la mitad de 6 es 3, que al cuadrado da 9), por lo tanto, x2 + 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25 3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado. ( x + 3 )2 = 25 4. Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. x + 3 = + √ 25 x=+5–3 x1 = +5 – 3 x2 = -5 – 3 COMPROBAR.
x1 = +2 x2 = - 8
Resuelva la ecuación: • x2 + 11x – 60 = 0
1. Cambiar el término independiente al segundo miembro. x2 + 11x = 60 2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de “x” elevado al cuadrado (la mitad de 11 es 11/2, que al cuadrado da 121/4), por lo tanto, x2 + 11x + 121/4 = 60 + 121/4 x2 + 11x + 121/4 = 361/4 3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado. ( x + 11/2 )2 = 361/4 4. Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. (x + 11/2)2 = + √ 361/4 x + 11/2= + 19/2 x1 = +19/2 – 11/2 x2 = - 19/2 – 11/2 COMPROBAR.
x1 = + 4__ x2 = - 15_
Resuelva la ecuación: • 2x2 + 9x – 5 = 0
1. En este caso se divide toda la ecuación entre el coeficiente del término de segundo grado para que el coeficiente de x2 se la unidad. 2x2 + 9x – 5 = 0 2 2 x + 9/2x – 5/2 = 0 2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de “x” elevado al cuadrado (la mitad de 9/2 es 9/4, que al cuadrado da 81/16), por lo tanto, x2 + 9/2x = 5/2 x2 + 9/2x + 81/16 = 5/2 + 81/16 (68) (9/2÷2)2 = (9/4)2 = 81/16
3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado. ( x + 9/4 )2 = 121/16 4. Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. (x + 9/4)2 = + √ 121/16 x + 9/4= + 11/4 x1 = + 11/4 – 9/4 x2 = - 11/4 - 9/4 COMPROBACIONES.
x1 = + 1/2__ x2 = - 5 _
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de completar cuadrados.: 1. x2 + 4x - 21 = 0 4. 3x2 – 5x – 3 = 0 7. x2 – 2x – 15 = 0 10. 16x2 + 10x – 9 = 0 13. 4x2 – 9x + 2 = 0 2. x2 - 7x + 12 = 0 5. 5x2 – 100x + 500 = 0 8. 2x2 – 6x – 3 = 0 11. 11x2 – 9x = 0 14. 6x2 – 9x – 15 = 0 3. 8x2 - 6x + 1 = 0 6. 2x2 – x – 3 = 0 9. x2 +7x + 9 = 0. 12. 8x2 – 24x = 0 15. 2x2 + 5x + 3 = 0
Resolución de problemas que implican segundo grado. EJEMPLO.
ecuaciones cuadráticas o de
Hallar un número tal que sumado con su cuadrado de 2550.
Número pedido : x Condición: x + x2 = 2550 Ecuación a resolver: : x + x2 – 2550 = 0 Se resuelve y se comprueba por cualquiera de los métodos conocidos.
Resuelve las siguientes problemas que implican ecuaciones cuadráticas, por el método que considere usted sea el más adecuado. 1. Si al cuadrado de un número le agregamos el quíntuplo de dicho número, se obtiene 36. Hallar el número. (69)
2. Un campo rectangular es tal que su longitud es el triple de la anchura. Si se aumenta la longitud en 20m. y la anchura en 8 m. el área resulta triplicada. ¿Cuál es la superficie del campo?. 3. Edgar es dos años mayor que Ernesto y la suma de los cuadrados de ambas edades es 514 años. Hallar ambas edades. 4. El área de un rectángulo es 88 m2, ¿Cuáles son sus dimensiones si su largo es 3m. mayor que su lado ancho?. 5. Un automóvil viaje 15 km/h más rápido que un autobús y cubre una distancia de 220 km. En una hora y media menos que la requerida por el autobús para recorrer la misma distancia. Hallar la velocidad de cada vehículo. 6. El producto de dos números impares consecutivos es 143. Hallar los números. 7. La longitud de un terreno rectangular es doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40m y el ancho en 6 m. el área se hacer doble. Hallar las dimensiones del terreno. 8. Una persona vende un caballo en $ 24,000, perdiendo un % sobre el costo del caballo igual al número de pesos que le costó el caballo. ¿Cuánto le había costado el caballo?. 9. Joel es dos años mayor que Emiliano y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Hallar ambas edades. 10. Alonso compró cierto número de sacos de arroz por $ 2,400. Si hubiera comprado 3 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado $ 40 menos. ¿Cuántos sacos compró y a qué precio?.
El alumno aplicará las leyes que rigen a las desigualdades en la resolución de cuestiones dadas.
Una desigualdad es una proposición de acuerdo con la cual una cantidad real es mayor o menor que otra.
a≠b a>b a<b Significa que “a” es diferente de “b”. Significa que “a” es mayor que “b”. Significa que “a” es menor que “b”.
Generalidades sobre desigualdades.
Los términos a la izquierda de la desigualdad constituyen el primer miembro, y los que están a la derecha, el segundo miembro. De la definición de desigualdad se deducen las siguientes consecuencias: 1. Todo número real positivo es mayor que cero. • 5 > 0, 7 > 0, 3 > 0. (70)
2. Todo número real negativo es mayor que cero. • - 3 < 0, - 2 < 0, - 10 < 0. 3. De dos números reales negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. • - 20 > - 25, - 5 > - 7, -3>-7
Una desigualdad válida para todos los valores reales de la variable es una desigualdad absoluta. Una desigualdad válida sólo para algunos valores reales de la variable es una desigualdad condicional. Desigualdad absoluta: Desigualdad condicional: x2 + 2 > x 3x – 5 > 0
Las desigualdades condicionales también se llaman INECUACIONES.
1. Una desigualdad no se afecta cuando se le suma o resta un mismo número a cada miembro. Sea: x>b x mayor que b Entonces: x + a > b + a También: x – a > b + a 2. Una desigualdad no se afecta cuando sus dos miembros se multiplican o dividen por un mismo número positivo. Sea: x<b x menor que b Entonces: ax < ab También: x/a < b/a 3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican o se dividen sus dos miembros por un mismo número negativo. Sea: x>b Entonces: - ax < - ab También: - x/a < - b/a 4. Si ambos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no se afecta. Sea: x>b Entonces: x2 > b2 5. Si ambos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a potencia impar la desigualdad no se afecta, pero hay cambio de sentido en la desigualdad si el grado de la potencia es par. Sea: -x > -b 3 Entonces: - x > - b3 (71)
Sea: Entonces:
-x > -b b2
6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta una desigualdad del mismo sentido que aquellas. Sea: x > a, y > b, z > c Entonces: x + y + z > a + b + c 7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo. Sea: (a > b) – (c < d) Resulta: a – c > b – d
Resolución de las inecuaciones.
La solución de una desigualdad consiste en encontrar los valores de la variable para los cuales la desigualdad es válida. En el procedimiento para resolver inecuaciones utilizaremos las propiedades vistas anteriormente. El método algebraico para resolver inecuaciones es muy semejante al de las ecuaciones y consta de los siguientes pasos: 1. Cambiamos al miembro de la izquierda los términos que contienen a la variable, y al miembro de la derecha los términos constantes. 2. Sumamos los términos en cada miembro. 3. Dividimos ambos miembros de la desigualdad obtenida en el paso anterior, entre el coeficiente de la variable, teniendo cuidado de que si dicho coeficiente es negativo, debe cambiarse el signo de la inecuación.
Resuelve: 4x + 5 > 2x – 3 4x – 2x > - 3 – 5 2x > - 8 x > - 4.
La inecuación se verifica para cualquier valor mayor que – 4. Comprobación: 4(-3) + 5 > 2(-3) – 3 -12 + 5 > - 6 – 3 - 7 > - 9.
Resuelve: x + 4 > 5x – 8 x – 5x > - 8 – 4 - 4x > - 12 4x < 12 La inecuación se verifica para cualquier valor x < 3. menos que 3. (72)
(2) + 4 > 5(2) – 8 2 + 4 > 10 – 8 6 > 2.
Resuelve: 8 + x < 3x – 2 3 5 5(8 + x) < 3(3x – 2) 40 + 5x < 9x – 6 5x – 9x < - 6 – 40 - 4x < - 46 x > 46/4 La inecuación se verifica para cualquier “x” x > 23/2. mayor que 23/2. 8 + 12 < 3(12) – 2 3 5 20 < 36 – 2 3 5 20/3 < 34/5
Resuelve: x —+2 3 < 4
La inecuación se satisface sólo si se satisfacen las dos siguientes desigualdades: x — +2 <4 3 x — 3 < 2 y x — +2 > -4 3 x — > -6 3 x > - 18
x < 6 Entonces, la solución es:
- 18 < x < 6.
Resuelve: x -4 < 2 x–4 < 2 x < 6 x–4 > -2 x > 2 2_< x < 6 (73)
Resolver las siguientes inecuaciones: 1. ( x + 5) > 3 – 3x 2. 3 — + 5x > 7x + 4 2 x 42 x — > — + — 5 3 2
4. 3x + 5 < 7x – 1 5. 3 – 2x > 2x – 5 6. 7. 8. 9. 10. x -1 5x + 3 2x – 3 x + 2 -5+3 < 2 > 2 > 3 < 1 < 2
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