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Timestamp: 2018-10-19 22:42:08+00:00

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Definiciones: Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, aq PowerPoint Presentation
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Definiciones: Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, aq
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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Definiciones: Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, aq - PowerPoint PPT Presentation
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Definiciones: Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, aquellas que adoptan la forma típica: ax ² +bx +c. O que son deducibles a esta forma por transformaciones algebraicas.
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Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, aquellas que adoptan la forma típica:
O que son deducibles a esta forma por transformaciones algebraicas.
En (1) x representa la incógnita y los coeficientes a, b, c son constantes.
Se supone a ‡ 0 pues, de lo contrario, la ecuación se reduciría a otra de primer grado ( si b ‡0)
Una ecuación cuadrática se obtiene igualando a cero un trinomio ( completo o incompleto) de segundo grado
Son ecuaciones de segundo grado las siguientes:
6x²-3x+5=0
4x²-0.2=0
x²+13x=0
Como hemos dicho, en una ecuación de segundo grado se supone siempre a ‡ 0.
También Son Ecuaciones de segundo grado la siguiente:
x (x+1)(x+3)= x³+2x-5 ,
Ya que por transformaciones algebraicas se obtiene sucesivamente:
x³+4x²+3x=x³+2x-5
4x²+x+5=0
Que es una ecuación en forma ax² +bx +c, en esta ecuación los coeficientes valen
a=4 , b=1 , c=5
Las ecuaciones incompletas de segundo grado se reducen a una de las formas siguientes:
ax²+c=0 (b=0)
ax²+bx=0 (c=0)
ax²=0 (b=c=0)
RESOLUCION DE ECUACIONES INCOMPLETAS
Cuando una ecuación de segundo grado es incompleta, sus soluciones o raíces se determinan fácilmente, como muestran los ejemplos siguiente:
Resolver la ecuación 9x²-1=0
Si se traslada el termino constante al segundo miembro, se tiene:
Despejando x²:
x²= 1 / 9
X= ± 1 / 3
La ecuación propuesta admite, pues, las dos raices
X1= +1/3 x2=-1/3
9(±1/3)²-1=9.1/9-1=1-1=0
Como demostraremos mas adelante, toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Para distinguir estas dos raíces afectaremos con subíndices la letra que designe la incógnita; y escribiremos, por ejemplo, como hicimos arriba,
x1 ( x sub. uno) para una de las raíces y
x2 ( x sub. dos) para la segunda raíz
Resolver la ecuación 3x²+2x=0
En este caso el termino constante es nulo. Sacando x, factor comun se tiene:
X(3x+2)=0
Ahora bien, un producto es cero cuando es cero uno cualquiera de sus factores. Por tanto, la ecuación anterior se satisfará en uno cualquiera de los casos siguientes:
La primera ecuación nos muestra que la ecuación propuesta se satisface para x1=0; la segunda que la ecuación propuesta se satisface para x2=-2/3
Obsérvese que no es licito dividir la ecuación por x pues se perdería la raíz x=0. En general, no debe dividirse una ecuación por un factor que contenga la incógnita pues entonces la ecuación obtenida no será equivalente a la propuesta.
La determinación de las raíces es inmediata, pues basta igualar a cero uno de los factores encontrados.
Como esos factores son de primer grado, la resolución de la ecuación de segundo grado queda reducida así a la resolución de dos ecuaciones simples de primer grado.
RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSISCION EN FACTORES.
Ya hemos visto que una ecuación incompleta de la forma ax²+bx=0, se resuelve sacando x factor común.
Cuando se tiene una ecuación completa de la forma ax²+bx+c=0 y el trinomio que forma el primer miembro de la ecuación puede descomponerse en factores por alguno de los métodos estudiado.
Las raíces encontradas por este procedimiento son las raíces de la ecuación propuesta, puesto que anulando uno de los factores, anulan el producto, es decir, el primer miembro de la ecuación.
Resolver la ecuación x²+5x-24=0
Aplican el método estudiado para, descomponer los trinomios de la forma x²+px+q, buscaremos dos numeros que multiplicados den -24 y sumados algebraicamente den 5.
Estos dos numeros son 8 y -3. por lo tanto, la ecuacion dada se puede escribir
Y resultan las siguientes ecuaciones
X+8 = 0 x-3 = 0
X1 = -8 x2 = 3
6x²-7X-3=0 Por cualquiera de los métodos estudiados anteriormente se encuentra:
(2x-3) (3x+1)= 0
e igualando a 0 cada factor
2x-3= 0 3x+1= 0
X1= 3/2 x2= -1/3
RESOLUCION POR EL MÉTODO DE COMPLETAR UN CUADRADO PERFECTO
(x+m/2)² = x²+mx+(m/2)²
A un binomio de la forma x²+mx (con m positivo o negativo)
( m/2)²
Paras ser un cuadrado perfecto
Por ejemplo, a x²+8x falta agregarle
(8/2)² = 16
Para que el trinomio resultante sea cuadrado perfecto. Análogamente, a x²-5x hay que agregar (-5/2)² = 25/4 para obtener el cuadrado perfecto.
x²-5x+25/4
La observación anterior es aprovechada para resolver cualquier ecuación de segundo grado, completando en el primer miembro de la ecuación un cuadrado perfecto.
En la forma que muestran los siguientes ejemplos:
x²+6x-7= 0
Si se pasa el último término al segundo miembro, se tiene
x²+6x= 7
De acuerdo con lo dicho antes, para completar un cuadrado perfecto en el primer miembro bastará agregarle ( 6/2)²= 3²= 9
Sumando 9 en ambos miembros resulta:
x²+6x+9= 7+9= 16
Si se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros se encuentra
x+3=4 o x+3=-4
Según se tome +4 o -4 para la raíz es 16 resolviendo estas ecuaciones se tiene:
X1=1 x2=-7
Estas son las dos raíces de la ecuación propuesta
1²+6(1)-7=0
(-7)²+6(-7)-7 = 49-42-7 = 0
Al extraer la raíz cuadrada en (1) se escribe usualmente x+3= +-4 de donde
X= -3+-4= [1-7]
No se obtendría nada nuevo anteponiento el signo menos al mienbro izquierdo de la ecuación pues de
-(x+3)=+-4
se deduce -x-3=4 , -x-3=-4
O bien cambiando los signos
X+3 =-4 , x+3=4
Que son las mismas ecuaciones obtenidas anteriormente
FORMULAS PARA RESOLVER LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
La ecuación con coeficiente literales
ax²+bx+c=0 (a‡0)
Representan cualquier ecuación de segundo grado. Así, por ejemplo, se convierte la ecuación 4x²-7x+3=0 si se toma a=4, b=-7 y c=3
Vamos a resolver la ecuación ax²+bx+c=0 por el método de completar el cuadrado perfecto.
De este modo obtendremos un resultado general o formula mediante la cual podemos resolver cualquier situación particular de segundo grado sustituyendo simplemente en esta formula los valores de los coeficientes.
Para resolver ax²+bx+c=0 comencemos por dividir ambos miembros de la ecuación por el primer coeficiente a, que es por hipótesis distinto de 0
x²+(b/a)x+c/a=0
Y pasamos ahora el ultimo término al segundo miembro
x²+(b/a)x=-c/a
De acuerdo con lo dicho anteriormente completaremos un cuadrado perfecto en el primer miembro añadiendo
(b/2a)²=b²/4ª
A ambos miembros de la ecuación; así se obtiene
x²+(b/a)x+b²/4a²=b²/4a²-c/a
Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros y anteponiendo el doble ± a uno de ellos:
X+b/2ª=±√b²-4ac/2ª
Y despejando x se obtiene finalmente:
X=-b/2a±√b²-4ac/2ª
Esta es la formula dse resolución de la ecuación general de un segundo grado
En una ecuación de segundo grado la formula ax²+bx+c la incognita es igual al coeficiente del segundo término con signo cambiado, mas o menos la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de este coeficiente y el cuadruplo del primero `por el tercero, dividido todo por el duplo del primer coeficiente.
-5±√5²-4(2)(-3)
-5±√49
-5±7
-5†7 1
-5-7 -12
EJERCICIOS:Resolver la ecuacion 2x²†5x-3=0En este ejemplo se tiene a=2,b=5,c=-3 sustituyendo estos valores en la formula se encuentra:
Se resuelve de la misma manera que las ecuaciones con coeficientes numéricos:
Completando un cuadrado perfecto
EJEMPLO:RESOLVER LA ECUACIÓN
x²-2mx = 3m²
Si se pasa 3m²al primer miembro, se ve que la ecuación puede escribirse también en la forma.
x²-2mx -3m²= 0
(x-3m)(x†m)=0
X-3m=0 , x†m=0
X1=3m , x2=-m
Sumando m²en ambos miembros de la ecuación dada, se obtiene
x²-2mx+m²=3m²+m²=4m²,
Y extrayendo raíz cuadrada
X-m=±2m;
X=m±2m
En el ejemplo propuesto se tiene a=1,
b=-2m, c=-3m². Por tanto,
2m±√4m²-4(1)(-3m²)
2m±√16m²
2m±4m
= {3m, -m
ECUACION CON RADICALES
Para resolver las ecuaciones con radicales se requieren tres pasos:
1.- Racionalizacion de la ecuación. Esto se consigue por elevaciones a potencias o mediante factores racionalizantes
2.-Resolución de la ecuación obtenida
3.-Verificación de las raíces encontradas en la ecuación original para desechar las raíces extrañas que se hayan podido introducir en el proceso de racionalización.
EjemploResolver la ecuación:
√x+7 +1=2x
Si se pasa el 1 al segundo miembro para aislar el radical se tiene:
√x+7 =2x-1
Y elevando al cuadrado ambos miembros,
x+7=4x²-4x+1
De donde resulta la ecuacion de segundo grado
4x²-5x-6=0
5± √25+96
5± 11
={ 2 , -3/4
RESOLUCION GRAFICA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Se llama funcion cuadratica la funcion:
Para graficar una función cuadrática se deben tener por lo menos tres puntos, "las raices" y el vértice.
Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3
Puesto que en la ecuacion de segundo grado: ax²+bx+c=0
Siempre se supone a≠0, se puede dividir la ecuacion por este coeficiente y escribirla en la forma:
ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Para poder entender esta aplicación vamos a considerar alginos ejemplos simples de ecuaciones de grado superior que son reducibles a ecuaciones de segundo grado de la forma:av²+bv+c=0
4x^4-13x²+3=0
x²=v
Se obtiene la ecuacion de segundo grado:
4v²-13v+3=0
Resolviendo esta ecuacion tenemos:
13±√169-48
V={ 3 , ¼
Sustituyendo estos valores de v en x²=v resulta:
x²=3 , x²=1/4 ,
x1:= √3
X2= - √3
X3= ½
X4= -1/2
Estos cuatro valores son todos raices de la ecuacion propuesta.
El numero de las raices de una ecuacion algebraica es siempre igual al grado de la ecuacion.
En general, las ecuaciones de la forma:ax^4+bx²+c=0
Se llaman bicuadradas.
Haciendo x²=vse reduce a la ecuacion cuadratica
av²+bx²+c=0
La cual da:
Coomo formula de la ECUACION BICUADRATICA
SISTEMAS CUADRATICAS
Se laman sistemas cuadraticas los sistemas de ecuaciones que contienen al menos una ecuacion de segundo grado y ninguna ecuacion de segundo grado superior al segundo.
4X²-3XY=18
x²+xy+y²=3
2x²-y²=1
El primer sistema contiene una ecuacion de segundo grado y una de primero. El segundo sistema se compone de dos ecuaciones de segundo grado.
EJEMPLOS:RESOLVER EL SISTEMA:
En este caso las ecuaciones del sistema contienen solamente los cuadrados de las incognitas. Estos sistemas se resuelven como los lineales, resultando al final ecuaciones de segundo grado incompletas de la forma x²=a
Asi, en el ejmplo propuesto, comenzaremos por eliminar x² para lo cual multiplicaremos la segunda ecuacion por 2:
(1) {3} 2x²-3y²=15
(2) X 2 {4} 2x²+4y²=22
7y²=7
Y=1 ó y=-1
Sustituyendo y=1 en {2} resulta:
x²+2=11 , x²=9,
X=+3 ó x=-3
Sustituyendo y=-1 en {2} se obtiene otra vez x²=9, x=+3 ó x=-3
En resumen, el sistema admite las soluciones que se indican en el cuadro siguiente:
RESOLVER ES SISTEMA:
{1} x²+y²=25
{2} x+y=1
Los sistemas que se componen de una ecuacion de segundo grado y una de primero se resuelven pro sustitucion, despejando una de las incognitas en la ecuacion de primer grado y sustituyendo su valor en la otra ecuacion. Asi, en el caso anterior, despejando y en {2} se tiene:
{3} y=1-x
Y sustituyendo en {1}:
x²+(1-x) ²=25
x²+1-2x+x²=25
X2: -3
Sustituyendo x1=4 en {3} se obtiene
Y1=1-4=-3,
Y sustituyendo x2=-3
Y2= 1+3=4.
Se tienen, pues, las soluciones:
Los sistemas cuadráticos, lineales, pueden resolverse representando gráficamente cada una de las ecuaciones del sistema y determinando sobre el papel las coordenadas de los puntos de intersección.
Para representar gráficamente la ecuación del sistema estudiado anteriormente, comenzamos por despejar la y el la forma
Y=±√25-x²
Y dando los valores a x establecemos la tabla que se observa al lado de la figura
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