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Timestamp: 2020-07-15 08:23:08+00:00

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Material Para El Docente. Matemática. Tercer Grado | Física y matemáticas | Matemáticas
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Estos materiales han sido producidos por los especialistas del área de Matemática del IIPE-UNESCO Buenos Aires:
Equipo del área de Matemática
Autores Silvana Seoane | Betina Seoane
Referentes María Mónica Becerril |Andrea Novembre | Beatriz Moreno | Mónica Urquiza | Alejandro Rossetti |Héctor Ponce | Inés Sancha | Horacio Itzcovich
Agradecemos el aporte de Ana Lía Crippa.
Coordinación general y edición Ruth Schaposchnik | Nora Legorburu
Corrección Pilar Flaster | Gladys Berisso
Diseño gráfico y diagramación Evelyn Muñoz y Matías Moauro - Imagodg
Seoane, Silvana Matemática material para docentes tercer grado educación primaria / Silvana Seoane y Betina Seoane. - 1a ed. - Ciudad Au- tónoma de Buenos Aires: Instituto Internacional de Planeamiento de la educación IIPE-Unesco, 2012. Internet.
ISBN 978-987-1836-84-0
1. Guía para Docentes. 2. Matemática. I. Seoane, Betina II. Título
IIPE - UNESCO Buenos Aires Agüero 2071 (C1425EHS), Buenos Aires, Argentina Hecho el depósito que establece la Ley 11.723 Libro de edición argentina. 2011
Permitida la transcripción parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras, según Ley 11.723, artículo 10, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente; si éste excediera la extensión mencionada deberá solicitarse autorización al Editor.
La producción de este material ha sido posible gracias a los intercambios desarrollados entre los referentes locales, los capacitadores y los docentes, a lo largo de toda esta experiencia. Esperamos resulte un aporte a la compleja tarea de enseñar y aprender matemática que permita ofrecer mayor cantidad de oportunidades a los niños para aventurarse en el desafío intelectual que se propicia.
Tucumán: Cecilia Catuara, Nora Fagre, María Irene Flores, Marta Lopez de Arancibia, Alicia Viviana Moreno, Luciana Neme, Patricio Smitsaart
santa Cruz: Gabriela Rodríguez, Viviana Mata, Marta Sanduay, Lía Vazquez, Valentina González, Norma Gómez, Alfredo Salvatierra, Sandra Manzanal
Corrientes: Mónica Miño, Zunilda Del Valle, Ana Benchoff
Virasoro: Elena Ayala, Andrea Paula Drews, José Pereyra, Irma Neves Benítez, Mónica Magdalena Rodríguez
Carlos Casares: Daniela Zermoglio, Mario Martin, Analía Cortona, Nilda Martin, Laura Delgado, Daniela Pere
Campana-Pilar-san Nicolás: Teresita Chelle, Ana Barone, Gloria Robalo Ana Felisa Espil, Miriam Cabral, Mirta Ricagno, Mónica Rinke, Graciela Borda
Córdoba: Felisa Aguirre, Laura Sbolci, Ana García
Ensenada: Cecilia Wall, Verónica Grimaldi, Mónica Escobar.
Es reconocida la complejidad que adquiere dicha práctica al momento de pensar la enseñanza: armado de planificaciones, carpetas didácticas, selección de libros de texto, elaboración de actividades, diseño de evaluaciones, etcétera. Y estos desafíos generalmen- te son poco considerados a la hora de valorar la labor de los docentes.
Los distintos tipos de recursos que constituyen este material se sustentan en un pro- yecto de enseñanza que considera la Matemática desde una perspectiva determinada. Es decir, se parte de la idea de que los alumnos tengan la oportunidad de reconstruir los conceptos matemáticos a partir de diferentes actividades intelectuales que se ponen en juego frente a un problema para cuya resolución resultan insuficientes los conocimientos de los que se dispone hasta el momento… Hay dos cuestiones centrales que también ha- cen al enfoque adoptado. En primer lugar, ayudar a los alumnos a concebir la Matemática como una disciplina que permite conocer el resultado de algunas experiencias sin necesi- dad de realizarlas efectivamente. Y por otro lado, para que la actividad matemática sea realmente anticipatoria de la experiencia, es necesario estar seguro de que esa anticipación fue realizada correctamente, en otras palabras, es necesario validar la anticipación. Es de- cir, se trata de generar condiciones que permitan a los alumnos producir recursos que les permitan obtener resultados frente a una amplia variedad de problemas, sin necesidad de recurrir a la experiencia empírica y producir argumentos que les permitan responsabilizar- se matemáticamente por la validez de esos resultados.
Estos lineamientos generales son los que fundamentan las selecciones desarrolladas en los materiales, los recortes establecidos, los ejemplos elaborados, los problemas selec- cionados.
MApAs CurrICulArEs orIENTATIvos
Para facilitar su identificación, los mapas curriculares se presentan en formato de pla- nillas, desplegados para cada grado y organizados por ciclos, de tal manera que cada escuela pueda analizar y establecer los contenidos en relación con el año de escolaridad y en correlación con años anteriores y posteriores, es decir que tenga presente la horizon- talidad del trabajo.
Asimismo, podrá orientar la labor de directivos para preservar la coherencia en la dis- tribución de contenidos en los grados y en los ciclos.
Se trata de propuestas de distribución de los contenidos de enseñanza a lo largo del año. Son ejemplos y, como tales, se podrán transformar en herramientas para que cada do- cente pueda pensar su propio recorrido anual, con el grado asignado y en función de sus alumnos.
Se trata de un ejemplo del desarrollo del trabajo a lo largo de una semana de clases. En este ejemplo, se explicitan las actividades propuestas para cada clase, las discusiones que se propiciarán con los alumnos, la organización del trabajo en el aula, los tiempos que deman- darán, las conclusiones a las que se pretende arribar y los aprendizajes esperables.
Se trata en este caso de ofrecer a los docentes insumos para pensar las evaluaciones. Al ser ejemplos, brindan la posibilidad de tomar decisiones: alterar el orden de las actividades, modificar algunos datos de los problemas, considerar diferentes criterios para su correc- ción, incorporar otros problemas, quitar alguno, etcétera.
EjEMplos DE CrITErIos DE CorrECCIóN
Se proponen también, a la luz de los ejemplos de evaluaciones y a raíz de un problema, di- ferentes maneras de pensar la corrección de las pruebas o problemas que se les presentan
los alumnos. Se parte de la idea de que la corrección debe ser un aporte a la enseñanza
al aprendizaje. Por eso, es insuficiente entregar los resultados de las pruebas y que allí
termine la tarea: ¿Qué se les dice a los alumnos? ¿Cómo se recuperan los resultados de las evaluaciones para que los alumnos sepan qué les pasó y por qué les pasó lo que les pasó?
¿Cómo se reorienta la enseñanza para que los alumnos avancen? ¿Qué aspectos o qué resultados se consideran para la promoción?
A su vez, para cada material recomendado, se indica el link del cual puede ser “ba- jado” para su estudio, ser impreso o disponer de él de la manera en que a cada docente
y a cada escuela le resulte más conveniente. En dichos links, hay otros materiales que también podrán resultar de interés, aunque no aparezcan en la lista confeccionada.
En función de la planificación anual, se presentan cuadernillos con problemas para trabajar con los alumnos, que recorren y acompañan esa planificación. Al tratarse de cuadernillos o carpe- tas independientes, el orden de uso será determinado por el docente, aunque cabe aclarar que ciertos contenidos son necesarios para abordar otros y que algunos cuadernillos recuperan conocimientos tratados en otros. En este sentido, el docente deberá cuidar que la propuesta conserve las relaciones entre los conocimientos y el avance en la profundidad del estudio.
Los cuadernillos están pensados para ser entregados a los alumnos para el estudio
teóricos que quedan en manos del docente. La intención es que, a medida que los alumnos resuelvan los problemas, el docente pueda gestionar debates sobre los procedimientos de resolución, buscar explicaciones que permitan interpretar errores, decidir si algo es correcto, analizar si un recurso puede ser vuelto a utilizar en otro problema, establecer generalidades, etcétera.
Los conocimientos matemáticos que pueblan las aulas responden habitualmente a tí- tulos reconocidos por los docentes: los números naturales y sus operaciones, los números racionales y sus operaciones, el estudio de las figuras y de los cuerpos geométricos, de sus propiedades; y aquellos aspectos relacionados con las magnitudes, las medidas y las proporciones.
Ahora bien, con estos mismos “títulos”, podrían desarrollarse en cada escuela pro- yectos de enseñanza con características muy diferentes y, por ende, el aprendizaje de los alumnos también sería distintos. ¿Por qué afirmamos esto?
Desde la perspectiva que adoptamos, hay muchas maneras de conocer un concep- to matemático. Estas dependen de cuánto una persona (en este caso, cada uno de sus alumnos) haya tenido la oportunidad de realizar con relación a ese concepto. O sea, el conjunto de prácticas que despliega un alumno a propósito de un concepto matemático constituirá el sentido de ese concepto para ese alumno. Y si los proyectos de enseñanza propician prácticas diferentes, las aproximaciones a los conocimientos matemáticos que tendrán los alumnos serán muy diferentes.
¿Cómo se determinan estas prácticas? Algunos de los elementos que configuran estas prácticas son:
Las elecciones que se realicen respecto de los tipos de problemas, su secuenciación, los modos de presentación que se propongan a los alumnos.
Las interacciones que se promuevan entre los alumnos y las situaciones que se les pro- pongan.
Las modalidades de intervención docente a lo largo del proceso de enseñanza.
De allí que en este Proyecto, los contenidos de enseñanza esbozados para cada grado están formados tanto por esos títulos fácilmente reconocibles (los números, las opera- ciones, etc.), como por las formas en que son producidos y las prácticas por medio de las cuales se elaboran. La intención es acercar a los alumnos a una porción de la cultura mate- mática identificada no solo por las relaciones establecidas (propiedades, definiciones, for- mas de representación, etc.), sino también por las características del trabajo matemático. Por eso, las prácticas también forman parte de los contenidos a enseñar y se encuentran estrechamente ligadas al sentido que estos contenidos adquieren al ser aprendidos.
¿Cuáles son algunas de las marcas que se pueden identificar como parte de las prác- ticas matemáticas?
El avance de la Matemática está marcado por problemas externos e internos a esta disciplina que han demandado la construcción de nuevos conocimientos. Una caracte- rística central entonces del trabajo matemático es la resolución de diferentes tipos de problemas.
Para que los alumnos también puedan involucrarse en la producción de conocimientos matemáticos, será necesario –aunque no suficiente– enfrentarlos a diversos tipos de proble- mas. Un problema es tal en tanto y en cuanto permite a los alumnos introducirse en el de- safío de resolverlo a partir de los conocimientos disponibles y les demanda la producción de ciertas relaciones en la dirección de una solución posible, aunque esta, en un principio, resulte incompleta o incorrecta.
Otra característica de la actividad matemática es el despliegue de un trabajo de tipo exploratorio: probar, ensayar, abandonar, representar para imaginar o entender, tomar decisiones, conjeturar, etcétera. Algunas exploraciones han demandado años de trabajo a los matemáticos e, incluso, muchas de las preguntas y de los problemas elaborados hace mucho tiempo siguen en esta etapa de exploración porque aún no han sido resueltos.
Por lo tanto, en la escuela se deberá ofrecer a los alumnos –frente a la resolución de problemas– un espacio y un tiempo que posibilite el ensayo y error, habilite aproximaciones a la resolución que muchas veces serán correctas y otras tantas incorrectas, propicie la bús- queda de ejemplos que ayuden a seguir ensayando, les permita probar con otros recursos, etcétera. Explorar, probar, ensayar, abandonar lo hecho y comenzar nuevamente la búsque- da es parte del trabajo matemático que este Proyecto propone desplegar en el aula.
Otro aspecto del trabajo matemático posible de identificar es la producción de un modo de representación pertinente para la situación que se pretende resolver. A lo largo de la historia, las maneras de representar también han sido una preocupación para los matemáticos. Los diferentes modos de representación matemática forman parte del co- nocimiento en cuestión.
Será necesario entonces favorecer en la escuela tanto la producción de representacio- nes propias por parte de los alumnos durante la exploración de ciertos problemas, como el análisis, el estudio y el uso de diversas formas de representación de la Matemática. El establecimiento de puentes entre las representaciones producidas por los alumnos y las que son reconocidas en la Matemática será también objeto de estudio.
Muchos problemas o preguntas que han surgido a lo largo de la historia de la Mate- mática han admitido respuestas que no podían ser probadas inmediatamente, y otras aún no tienen demostración. Estas respuestas, hasta que adquieren carácter de verdad, son reconocidas con el nombre de “conjeturas”.
En las interacciones que se propicien en el aula, a raíz de la resolución y análisis de diferentes problemas, se promoverá que los alumnos expliciten las ideas que van elabo- rando (las respuestas que encuentren, las relaciones que establezcan, etc.), aun cuando no sea claro para ellos, desde el principio, si son del todo ciertas. Estas ideas y las respues- tas provisorias que producen los niños son conjeturas o hipótesis que demandarán más conocimientos para que dejen de serlo.
El quehacer matemático involucra también determinar la validez de los resultados ob- tenidos y de las conjeturas producidas, es decir, recurrir a los conocimientos matemáticos para decidir si una afirmación, una relación o un resultado son válidos o no y bajo qué condiciones. Es necesario entonces que los alumnos puedan progresivamente “hacerse cargo” –y, usando diferentes tipos de conocimientos matemáticos, dar cuenta de la verdad o false- dad de los resultados que se encuentran y de las relaciones que se establecen.
Determinar bajo qué condiciones una conjetura es cierta o no implica analizar si aque- llo que se estableció como válido para algún caso particular funciona para cualquier otro caso o no. A veces, la validez de una conjetura podrá aplicarse a todos los casos y podrá elaborarse entonces una generalización. Otras veces la conjetura será válida solo para un conjunto de casos. Generalizar o determinar el dominio de validez es también parte del trabajo matemático.
Una última característica a destacar del trabajo matemático es la reorganización y el establecimiento de relaciones entre diferentes conceptos ya reconocidos. Reordenar y sis- tematizar genera nuevas relaciones, nuevos problemas y permite producir otros modelos matemáticos.
Se comunican los modos de producción –o las prácticas matemáticas– asociados a los “títulos” a los que se hacía referencia inicialmente con la intención de promover prácticas de enseñanza que favorezcan que los conocimientos de los alumnos se carguen de un cier- to sentido. No se trata de enseñar en la escuela primaria algunos rudimentos y técnicas para que luego, más adelante, solo algunos alumnos accedan a las maneras de pensar y producir en Matemática; sino de intentar que desde los primeros contactos con esta dis- ciplina, el estudio de la Matemática sea una forma de acercarse a sus distintas maneras de producir. En este Proyecto, se adopta la idea de que enseñar Matemática es también introducir a los alumnos en las prácticas y en el quehacer propio de esta disciplina.
Una cuestión que ha dado lugar a muchas discusiones en distintos momentos de la enseñanza de la Matemática se refiere al lugar que ocupa –sobre todo en los primeros gra- dos– la utilización de “material concreto” para producir resultados o para comprobarlos. Hay distintas maneras de recurrir al uso de este tipo de materiales. Supongamos por ejem- plo que, en primer grado, se les propone a los alumnos la siguiente situación: un niño pasa al frente y pone, a la vista de todos, 7 chapitas en una caja; después pasa otro niño y pone, también a la vista de todos, 8 chapitas. Se les pide a los niños que encuentren una manera de saber cuántas chapitas hay en la caja. Utilizando diversas estrategias, los niños arriba- rán a un resultado. Si para constatarlo los niños cuentan las chapitas de la caja, estarán haciendo una comprobación empírica. Si, en cambio, se excluye la posibilidad de acción efectiva sobre los objetos y se les pide a los chicos que muestren mediante argumentos que su resultado es correcto, sin corroborarlo empíricamente, estarán haciendo una validación de tipo argumentativo.
Es necesario señalar que, cuando las comprobaciones son de tipo empírico, es impres- cindible proponer la anticipación de los resultados que luego se leerán en la comprobación (en la situación de la caja los niños primero anticipan y luego corroboran). De esta ma- nera, en este juego de anticipación-validación argumentativa-corroboración empírica, los
niños irán descubriendo que los resultados que obtienen son una consecuencia necesaria de haber puesto en funcionamiento ciertas herramientas del aparato matemático. Sin esta anticipación, los niños manipulan material, y los resultados que obtienen son producto de una contingencia (se obtuvieron estos, pero podrían haberse obtenido otros). En otras palabras, si no hay articulación entre anticipación y comprobación empírica, esta última se plantea solo con relación a ella misma, y sus resultados no se integran a ninguna orga- nización de conocimiento específica.
Es necesario señalar que, cuando la comprobación es empírica, esa relación de nece- sariedad entre las acciones realizadas para anticipar, y los resultados leídos en la corrobo- ración, no puede independizarse del contexto particular en el que se desarrolló. ¿Resulta esta afirmación un argumento para descartar las comprobaciones empíricas? De ninguna manera hacemos esa aseveración. Las comprobaciones de tipo experimental hacen posible una interacción entre los modelos matemáticos que los niños van elaborando y los aspec- tos de la realidad que son modelizables a través de las herramientas matemáticas. Sin esta interacción, ellos no tendrían posibilidad de hacer funcionar esos modelos, de ponerlos a prueba. Concluimos entonces que, cuando las constataciones empíricas se plantean como una verificación de aquello que se ha anticipado, se empieza a hacer observable la potencia de la Matemática como herramienta que permite anticipar los resultados de experiencias no realizadas.
Circula en algunos medios una concepción instrumentalista de la enseñanza de la
Matemática que sostiene dos principios fundamentales: 1) Su enseñanza se justifica por la utilidad que tienen los saberes matemáticos para resolver problemas cotidianos
y 2) los problemas cotidianos son la única vía para que los niños encuentren el senti-
do de la Matemática. Esta concepción es, desde nuestra perspectiva, objeto de varios
Nos interesa que el niño comprenda que la Matemática es una disciplina que ofrece herramientas para resolver ciertos problemas de la realidad. Pero centrarse exclusiva- mente en la utilidad hace perder de vista a la Matemática como producto cultural, como práctica, como forma de pensamiento, como modo de argumentación. Pensamos con Bkouche que:
Hay una motivación tanto o más fundamental que la utilidad: el desafío que plantea al alumno un problema en tanto tal. Lo que es importante para el alumno no es conocer la solución, es ser capaz de encontrarla él mis- mo y de construirse así, a través de su actividad matemática, una imagen de sí positiva, valorizante, frente a la Matemática. La recompensa del pro- blema resuelto no es la solución del problema, es el éxito de aquel que lo ha resuelto por sus propios medios, es la imagen que puede tener de sí mismo como alguien capaz de resolver problemas, de hacer matemática, de aprender. (
Por otra parte, pensar en las aplicaciones como única fuente de sentido es renunciar
a que el niño comprenda que el conocimiento matemático también se produce para dar
respuestas a problemas que surgen del interior de la disciplina y esta renuncia minimiza las posibilidades de comprender la lógica interna de la Matemática.
Hay una tercera cuestión que es necesario señalar: el hecho de que el problema se plantee en un contexto extra matemático no siempre aporta a la comprensión o a la reso- lución del problema. Tomamos la opción de privilegiar los contextos de aplicación extra matemática cuando estos ofrecen al alumno elementos para pensar, abordar, resolver o validar los problemas que están enfrentando. Volvemos a citar a Bkouche:
Ahora bien, lo que da profundamente sentido en la actividad matemática, no
es que es curiosa, útil, entretenida, sino que se enraíza en la historia personal y social del sujeto. Toda situación de aprendizaje, más allá de aspectos espe- cíficamente didácticos, plantea dos preguntas ineludibles. ¿Cuál es el sentido de esta situación para aquel que aprende? ¿Cuál es la imagen de sí mismo, de sus capacidades, de sus oportunidades de éxito en esta situación? En térmi- nos más triviales: ¿qué hago acá?, ¿soy capaz?, ¿vale la pena? Esta relación con el saber pone en juego los deseos, el inconsciente, las normas sociales, los modelos de referencia, las identificaciones, las expectativas, los pareceres
sobre el porvenir, los desafíos personales. (
Es muy reductor invocar sim-
plemente aquí palabras tan vagas como “curiosidad” o incluso “motivación”. El problema no es suscitar la curiosidad, sino proponer a los jóvenes las ac- tividades, las prácticas, los itinerarios de formación que toman sentido en una red compleja de deseos, de expectativas, de normas interiorizadas y que contribuyen a reestructurar esa red.
Los aspectos destacados en estos párrafos están considerados implícita o explíci- tamente en la organización y distribución de contenidos que ofrecemos como ejemplo. En dicha selección, se han considerado, de alguna manera, no solo los títulos que constituyen los objetos de enseñanza, sino las marcas de las prácticas matemáticas que asociadas a ellos, se propicia desplegar en las aulas.
Muchos niños desde el jardín de infantes se inician en el trabajo escolar en el área de Ma- temática. Pero es en el Primer Ciclo, sin duda, cuando se establece una relación entre los alumnos y un trabajo más sistemático con esta área de conocimiento. De allí la trascen- dencia que adquiere, ya que será en esta etapa donde la Escuela puede llegar a condicionar el resto de la experiencia matemática de los niños.
Como todos los docentes de 1.º grado saben, los alumnos que entran en primer grado tienen un cierto bagaje de conocimientos matemáticos, gran parte de ellos, producto de sus experiencias e interacciones sociales fuera de la escuela o vinculadas a su paso por el jardín de infantes. Es un punto de partida que resulta necesario tratar de recuperar dismi- nuyendo al máximo posible las rupturas, tanto con lo aprendido en el nivel inicial como con los conocimientos que los niños construyen constantemente en su vida social.
Se trata entonces de propiciar un tipo de trabajo que les permita a los alumnos comenzar a identificar qué características contempla la práctica matemática en el aula. Podrán apren- der, por ejemplo, que una buena parte de la labor consiste en resolver problemas (que po- drán ser presentados de diferentes maneras: a modo de juego, a modo de actividad, a modo de enunciado oral o escrito, etc.); que estos problemas les demandan a ellos un trabajo, que las respuestas no son producto del azar, que se pueden resolver de diferentes maneras (men- talmente, escribiendo o dibujando, contando u operando, etc.), que pueden encontrar varias soluciones, que tienen que aprender a buscar con qué recursos cuentan para resolverlos. En esta etapa, es muy importante que los alumnos se sientan animados a tomar iniciativas, a ensayar –sin temor a equivocarse–, a revisar sus producciones.
Es decir, se busca que los alumnos aprendan, junto con los títulos que constituyen un proyecto de enseñanza, los “modos de hacer matemática” y los “modos de aprender Ma- temática” asociados a esos títulos reconocidos, tales como los números, las operaciones, las formas y las medidas.
Un desafío consiste entonces en desplegar diversas propuestas que permitan a los alumnos aprender Matemática “haciendo matemática”. Iniciarse en el trabajo matemáti- co de esta manera es bien diferente de pensar que primero se enseñan los “elementos”, los “rudimentos” para usarlos más tarde, cuando empiece “la Matemática en serio”. Se trata, por el contrario, de hacer matemática “en serio” desde el inicio.
Sabemos que la Matemática ha sido y es fuente de exclusión social. A veces, lo que aprenden muy rápidamente los niños es que “la matemática no es para ellos”, “es para
otros”. Por el contrario, la preocupación es cómo llegar a más niños, cómo generar las me- jores condiciones para que todos los alumnos se apropien de un conjunto de conocimien- tos, de un tipo de prácticas y, a la vez, tengan una actitud de interés, desafío e inquietud por el conocimiento.
En esta entrada de los alumnos en la actividad matemática, es fundamental el rol del maestro, ya que es quien selecciona y propone actividades a los niños para que usen lo que tienen disponible y produzcan nuevos conocimientos, propicia momentos de discusión entre los alumnos y de reflexión para que todos encuentren un tiempo y un espacio para pensar los problemas, buscar las soluciones, etcétera. A su vez, es quien favorece los in- tercambios, las discusiones, organiza las puestas en común de tal manera de hacer lo más explícitas posible las relaciones matemáticas que circularon y que, tal vez, no todos los niños hayan identificado. Es quien puede lograr que –producto del trabajo desarrollado, los problemas resueltos y los debates desplegados– los alumnos reconozcan los nuevos conocimientos producidos en las clases para que estos puedan ser utilizados en clases siguientes o fuera de la escuela. También el docente es quien tiene la posibilidad de ofrecer nuevos momentos de trabajo –así como de solicitar a los equipos directivos colaboración– de manera de garantizar nuevas oportunidades a aquellos niños que más lo necesiten.
los EjEs CENTrAlEs DEl TrAbAjo MATEMÁTICo EN El prIMEr CIClo
Un eje característico del Primer Ciclo lo constituye el estudio de los números naturales. Una primera cuestión estará dada por la posibilidad de uso y exploración de los números en los contextos sociales en los que se usan números. Simultáneamente, se busca profun- dizar en el estudio de una porción de estos números, en función del año de escolaridad, a la luz de problemas que demanden leer, escribir y comparar cantidades.
Una cuestión a identificar es que el análisis del valor posicional del sistema de numera- ción en términos de unidades, decenas y centenas no forma parte de los contenidos consi- derados por este Proyecto para Primer Ciclo, ya que exige un dominio de la multiplicación y de la división por potencias de 10. Por ejemplo, para los alumnos de Primer Ciclo, sí es posible poner en juego, en problemas y cálculos que 48 = 40 + 8, o bien que para pagar $728 se pueden usar 7 billetes de cien, 2 de diez y 8 monedas de 1. Pero comprender que en el número 357 hay 35 decenas y 7 unidades (pues 35 × 10 = 350), o que 962 puede ser pensado como 9 × 100 + 6 × 10 + 2 × 1 (para interpretar 9 centenas, 6 decenas y 2 unidades) son, sin duda, operaciones posibles para el Segundo Ciclo; así como identificar que 748 = 7 × 10 2 + 4 × 10 1 + 8 × 10 0 será objeto de trabajo en el Tercer Ciclo. No se trata de que los alumnos memoricen nombres de posiciones (unidad, decena, centena) caren- tes de relaciones. Comprender en forma profunda la estructura del sistema de numeración demandará varios años de trabajo a los alumnos y, en cada grado, se abordarán algunos aspectos en función de la complejidad y de los conocimientos que se requieran.
Las ideas mencionadas sobre la numeración impactan sobre la propuesta en torno a la enseñanza de las operaciones, ya que no se espera que los alumnos realicen cálculos algorítmicos a partir de la descomposición en unidades, decenas y centenas. El trabajo que puede propiciar el docente en torno a las operaciones convendría que se centre en dos grandes cuestiones vinculadas entre sí: la diversidad de tipos de problemas para cada una de las operaciones y la variedad de recursos de cálculo, también asociados a cada opera-
ción. El estudio de las clases de problemas y de sus estrategias de resolución permitirá a los alumnos ir construyendo diversos sentidos para cada operación así como un modo de hacer frente a esos desafíos. A su vez, el avance en el estudio de las estrategias de cálculo redundará en un mayor conocimiento de los números y de las operaciones, a raíz de una mirada más “interna” de su funcionamiento. Se propone entonces que el cálculo mental sea la vía de entrada para el abordaje de las operaciones y, luego de que los alumnos ten- gan un cierto dominio del cálculo mental exacto y aproximado, del uso de la calculadora y de ciertos resultados disponibles, se propiciará el análisis de diversos algoritmos –y no uno solo– relacionados con los recursos de cálculo ya tratados y con el estudio del sistema de numeración. Se propone que los algoritmos sean usados exclusivamente en aquellos casos en los que resulte más conveniente que el cálculo mental.
El segundo eje lo constituye el trabajo con las figuras y cuerpos geométricos. En este eje, también se propondrá el avance en los conocimientos de los alumnos a partir de en- frentarlos a problemas. Inicialmente, se favorecerá la exploración de una gran variedad de figuras geométricas que permitan una primera caracterización. Simultáneamente al es- tudio de algunas figuras –cuadrado y rectángulo–, se podrá propiciar que los alumnos se enfrenten a diferentes clases de problemas que les exijan poner en juego diferentes propie- dades mediante el copiado de figuras, la descripción, la construcción y el uso de algunos instrumentos geométricos. El trabajo en torno a los cuerpos geométricos también se po- drá abordar inicialmente a través de problemas que favorezcan una exploración de sus ca- racterísticas y se avance progresivamente hacia problemas que exijan analizar desarrollos planos de algunos cuerpos. Tanto para las figuras como para los cuerpos, el gran desafío del Primer Ciclo es enfrentar a los alumnos a que aprendan a “ver” características de estos objetos no “visibles” desde un principio. El conocimiento de algunas características de las figuras geométricas les permitirá a los alumnos comenzar a anticipar resultados, antes de hacer dibujos, antes de armar cuerpos.
Finalmente, el estudio de la medida permitirá ofrecer a los alumnos una variedad de problemas con el objeto de identificar el significado de ‘medir’ (seleccionar una unidad pertinente y determinar cuántas veces entra en el objeto que se pretende medir), así como conocer algunas unidades de medida de uso social y el inicio en el tratamiento de algunas equivalencias sencillas para longitudes, capacidades, pesos y tiempo.
¿CuÁlEs poDrÍAN sEr lAs ExpECTATIvAs DE logro EN El prIMEr CIClo?
Si la escuela ha generado ciertas condiciones para la producción, difusión y reorganización de los conocimientos matemáticos, los alumnos al finalizar el Primer Ciclo deberían poder:
Analizar los problemas que se les planteen y utilizar los recursos pertinentes para su re- solución.
Usar estrategias personales y apropiarse de las estrategias de otros –cuando sea conveniente– para resolver problemas.
Identificar que un mismo problema puede ser resuelto mediante diferentes recursos.
Usar la serie numérica aproximadamente hasta 10.000 o 15.000, identificando y ana- lizando las regularidades en la serie oral y en la serie escrita, para leer, escribir y or- denar números.
Resolver problemas que involucran analizar el valor posicional (en términos de “unos”, “dieces”, “cienes” y “miles”).
Resolver diferentes tipos de problemas asociados a cada una de las operaciones: suma, resta, multiplicación y división de números naturales.
Elaborar y usar recursos de cálculo para cada una de las operaciones aritméticas a partir de diferentes descomposiciones de los números.
Elaborar recursos de cálculo a partir de componer y descomponer números en forma aditiva o usando la multiplicación por 10, 100 y 1000.
Realizar diferentes tipos de cálculos (exacto y aproximado, mental, con cuentas y con calculadora), según el problema y los números involucrados.
Identificar características de figuras y cuerpos en situaciones que involucren descrip- ciones, copiados y construcciones.
Usar instrumentos de medida y unidades de uso social –convencionales o no– para estimar o determinar longitudes, capacidades, pesos y tiempo.
15.000, aproxi-
de las o regularidades
numérica hasta
y en la y serie
oral escribir
• Uso de la serie
la serie leer,
Exploración de las regularidades en la serie numérica oral escrita, intercambiando ideas acerca del nombre, la escri-
tura y la comparación de números de diversa cantidad de
Resolución de problemas que requieran reconocer y analizar
ros) por medio de diversas estrategias intercambiando ideas
Resolución de problemas que involucren distintos sentidos
dos núme-
valor posicional de las cifras (en números de 0 a 10.000).
(juntar, agregar,
y la resta retroceder
suma perder,
de la quitar,
acerca de los procedimientos de resolución y escribiendo los
cálculos que representan la operación realizada.
Resolución de problemas que involucren diversos sentidos
diferentes estrategias. intercambiando ideas acerca de los
mismo organizaciones
de repetidas
de resulta
y escribiendo los cálculos que
situa- y
si hay resto,
exijan analizar
(repartos que
de la división equitativas
ciones de organizaciones rectangulares, averiguar cuántas
veces entra un número en otro) por medio de diferentes es-
que procedimien-
ideas los
de las o 1.500
• Uso de la Identificación
de las regularidades
la comparación de números de diversa cantidad de cifras.
Resolución de problemas que inicien en el reconocimiento
sumas y de la serie en numérica
y la posición que ocupa
en el establecimiento de relaciones con la escritura del
de 0 la a cifra
apoyados en y las
relación (en
de los procedimientos de resolución y escribiendo los cálcu-
había al principio)
agregar, sacar,
perder, determinar
números, estrategias.
(ganar,
los que representan la operación realizada.
Resolución de problemas que involucren diversos sentidos de
columnas), inicialmente, por estrategias diversas y, en forma
la multiplicación (series que se repiten, organizaciones en filas
progresiva, reconociendo el cálculo de la multiplicación como
una operación que los soluciona.
Exploración y uso de diversas estrategias de resolución de
problemas de repartos y particiones equitativas.
jetos y exploración de las regularidades en la serie numé-
rica oral y escrita en números hasta el orden del 100 o
Resolución de problemas, conteo de colecciones de ob-
Usos cotidianos de los números.
Uso de la serie numérica aproximadamente hasta 100 o
150. Identificación de regularidades en la serie oral y en
la serie escrita.
Descomposición y composición de números de manera
contextos, apoyados en las regula-
Problemas que impliquen leer, escribir y ordenar números.
aditiva, de
acerca de los procedimientos de resolución y escritura de
Resolución de problemas que involucren los sentidos más
y retroceder)
y resta (juntar,
los cálculos que representan la operación realizada.
suma Intercambio
Resolución de problemas que impliquen analizar datos,
preguntas y la cantidad de soluciones.
Construcción y uso de variadas estrategias de cálculo
(mental, aproximado, con calculadora) de acuerdo con
la situación y con los números involucrados.
con una estrategia los resultados obtenidos por
Construcción, selección y uso de variadas estrategias de
con involucrados,
situación y con
con la algorítmico,
Resolución de situaciones que impliquen analizar datos,
preguntas y cantidad de soluciones en los problemas.
Resolución de problemas que impliquen identificar y formular
algunas características y elementos de las figuras geométricas.
entre distintas figuras geométri-
y rectángulos).
(cuadrados, triángulos
Identificación de propiedades de figuras geométricas para su
reproducción utilizando hojas lisas, regla y escuadra.
textos que describan las figu-
a través de e un
Identificación y formulación de características y elementos de
distintas figuras geomé-
rectán-
triángulos/pirámide,
y cuerpos (cuadrados/cubo,
gulo/prisma y círculo/cono o cilindro).
capacidades según
y no convencionales,
acuerdo (mental,
con calculadora)
situación y con los números involucrados.
y uso de variadas
preguntas y cantidad de soluciones.
espaciales y para
• Uso de relaciones
objetos, y con la representación del espacio, a través
de un vocabulario específico.
Resolución de problemas que impliquen identificar, usar
y analizar las propiedades de las figuras y los cuerpos
de algunas características y
de las y figuras
triángulos entre
(cuadrados,
Uso de propiedades de las figuras geométricas para su
reproducción utilizando una regla graduada.
Formulación de algunas características y elementos de los
entre las (cuadrados/cubos,
las caras de los cuerpos
y • Establecimiento
y círculos/co-
rectángulos/prismas
triángulos/pirámides,
nos o cilindros).
Resolución de problemas que impliquen realizar estima-
ciones y mediciones, empleando diferentes instrumentos
de medición y usando unidades de medidas convenciona-
les y no convencionales usuales.
Establecimiento de relaciones entre distintas figuras y las
caras de los cuerpos geométricos (cuadrados/cubo, trián-
gulos y cuadrado/ pirámide, rectángulos y cuadrados/
les y no convencionales usuales de longitud, capacidad y
tiempo (1 hora = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos, ½ hora
Exploración del modo de uso de distintos instrumentos de
Reconocimiento y uso de las equivalencias entre unidades de
las = principales
1.000 m;
Adecuación de la unidad de medida a la cantidad a medir.
Estimación de medidas de longitud y peso.
medición de longitud, capacidad y peso.
= 30 minutos, ¼ hora = 15 minutos).
1 m = 100 cm; 1 kg = 1.000 g).
Estudio de de medida
convencionales y no convencionales, según lo requiera la
• Identificación de distintas magnitudes y unidades de
y peso. instrumentos de medición de longitud,
unidades de de
• Comparación de longitudes en forma directa.
a partir de y la pesos,
medida capacidades
• Uso de distintos
• Números hasta el 1.000. Rectas numéricas hasta el 1.000.
• Análisis de regularidades del sistema. Grillas de 100 en 100.
• Valor posicional. Trabajo con la calculadora.
Problemas de suma y resta. Análisis de los cálculos implicados en la resolución de esos problemas.
Números hasta el 10.000. Leer, escribir y ordenar hasta el
Regularidades en el sistema de numeración. Series de núme-
ros que se saltean.
Problemas que implican varios cálculos de suma y resta.
Estimar resultados a partir de la observación de los números implicados en un cálculo o en un problema.
Problemas que involucran sumas de números iguales.
Diferentes sentidos de la multiplicación. Uso de cálculos
conocidos (dobles, triples, mitades) para resolver otros desconocidos.
• Multiplicar mentalmente apelando a cálculos conocidos.
• Construcción colectiva de una tabla pitagórica a partir de
diferentes tipos de problemas y apelando a las propiedades.
• Multiplicaciones por 10, 20, 30, etc.
Identificación de cuerpos geométricos a partir de una des- cripción oral o escrita de sus características.
• Construcción o armado de cuerpos geométricos.
Inicio al estudio de la división: cuántas veces entra un número en otro.
Resolución de problemas de división mediante diferentes pro- cedimientos: sumas, restas, multiplicaciones.
Significado de “lo que sobra” en cada uno de los sentidos.
Estimar resultados de divisiones a partir de la observación de los números.
Controlar el resultado de la cuenta de dividir.
Resolución de problemas de multiplicación y división me- diante diferentes procedimientos.
• Desplazamientos breves en un plano: explicitación de un
Uso del algoritmo de multiplicación.
• Copiado y descripción de figuras.
• Reconocimiento de figuras dadas sus características.
• Construcción de figuras a partir de un mensaje oral y escrito.
Resolución de problemas de multiplicación y división de di- ferentes sentidos.
• Medidas de longitud, peso, capacidad y tiempo.
• Conveniencia del uso de diferentes magnitudes.
Uso de billetes y simulación en problemas que impliquen sumas y restas.
de números hasta 1.000.
Copiar figuras en papel cuadriculado ha-
ciendo eje en paralelismo y perpendiculari- dad, y en la idea de segmento que aparece en diferentes figuras.
Cuadros de 1 en 1, cuadros de 10 en 10 y de 100 en 100.
• Palitos chinos con valores de 3 cifras.
• Cálculos mentales sencillos de 3 y más dígitos:
• Anterior y posterior.
100 + 100; 200 + 200; 2.000 + 2.000; etc.
de números: 523 = 500 + 20 + 3.
Problemas de sumas y restas (cuánto le falta a un número para alcanzar a otro).
Problemas de multiplicación: dobles, triples, cuádruples, mitades; x 5 y x 8.
• Los números del 1.000 en
Problemas de multiplicación de proporcionali-
Actividades de descripción de figuras para
adelante. Conteos de 10 en 10, de 100 en 100 y de 1.000 en
dad y organizaciones rectangulares.
que otro la, dibuje que incluyan ángulos rec- tos y perpendicularidad.
Multiplicaciones x 6 en función de multiplicar x 2
Composición y descomposi-
Problemas de división en situaciones de reparto
ción de números:
con relación a las tablas de multiplicar tratadas.
2.345 = 2.000 + 300 + 40 + 5.
Problemas que impliquen el es-
Problemas que impliquen multiplicar x 9; x 10;
Problemas en los cuales se deban deter-
tudio del valor posicional usan- do la calculadora: si se ve el 234, cómo hacer para que aparezca el 203 sin borrar nada.
20; x 50; etc.
minar longitudes e identificar unidades de
Descomponer números usando multiplicacio-
nes y divisiones; por ejemplo: 26 = 2 x 10 + 6.
medida convenientes.
Problemas que demanden divisiones por 10 y por 20.
Problemas de multiplicar x 7; x 12; x 24 : por ejemplo: 3 x 24 = 3 x 20 + 3 x 4.
Análisis de características de prismas de
base cuadrada, de base triangular, de base rectangular y pentagonal. Desarrollos planos de algunos de ellos.
Problemas de dividir por 20, por 40, por 50, por 100.
• Problemas de distancias entre números.
Problemas donde haya que relacionar minutos y horas.
Billetes y juegos con puntos
de 1.000, 100, 10 y 1 para pro- fundizar el valor posicional y las
• Algoritmo de multiplicar.
• Algoritmos varios de dividir.
descomposiciones de números.
• Problemas de división y multiplicación.
Luego de un primer trabajo con diferentes tipos de problemas que permitan a los alum- nos identificar los sentidos de la multiplicación vinculados a la proporcionalidad y las organizaciones rectangulares, se propiciará una instancia destinada a reflexionar sobre los cálculos. Durante el período en el que se trabaja con la multiplicación, es necesario abarcar cada uno de los tipos de problemas en los que esta operación está implicada: las situaciones problemáticas asociadas a la proporcionalidad, a las organizaciones rectangu- lares y a la combinatoria.
Diferentes sentidos de la multiplicación. Uso de cálculos conocidos (dobles, triples, mitades) para resolver otros desconocidos. Multiplicar mentalmente apelando a cálculos conocidos. (Primera semana) Construcción colectiva de una Tabla Pitagórica a partir de diferentes tipos de problemas y apelando a las propiedades. (Segunda y tercera semanas) Multiplicaciones por 10, 20, 30, etcétera. Estimación de resultados. (Cuarta semana)
A partir de los diferentes tipos de problemas que se les proponga a los alumnos, del debate y
de la reflexión sobre los procedimientos de resolución, de los intercambios promovidos por
el docente, los alumnos podrían:
Establecer relaciones entre cálculos de los cuales conocen los resultados y de otros que aún no conocen.
Disponer de diferentes recursos para recuperar los resultados de multiplicaciones (cálculos memorizados, usar dobles, triples, mitades, etc.).
Identificar las relaciones entre los resultados obtenidos en las tablas de multiplicar y los resultados de multiplicar por la unidad seguida de ceros (10, 20, 30, etc.).
Presentación de situaciones problemáticas. Promoción de resoluciones autónomas por parte de los alumnos.
Registro de procedimientos de resolución. Elaboración de afiches con resultados de multiplicaciones.
Construcción conjunta de la Tabla Pitagórica para que quede disponible en el aula.
Análisis colectivo de relaciones al interior de las tablas (entre multiplicar por 4 y mul- tiplicar por 2, etc.).
Participación en las producciones colectivas e individuales.
CoNTENIDos Problemas de multiplicación: aproximación a los diferentes sentidos.
Para esta propuesta de trabajo semanal, se consideran aproximadamente 6 horas de clase y para cada bloque de 80 minutos, se proponen dos problemas para dar tiempo a que los alumnos no solo encuentren diferentes maneras de resolverlos, sino que también puedan explicitar sus estrategias.
Se propone ofrecer a los alumnos situaciones problemáticas habituales en las que está involucrada esta operación, que son las de proporcionalidad directa.
problema 1 Si en una bolsa tengo 5 manzanas, ¿cuántas tengo en 3 bolsas iguales?
problema 2 Completá la tabla siguiente.
puesta en común Finalizado el trabajo, se podrán debatir con los alumnos los modos de resolución que pudieron desplegar y se podrá elaborar un registro para tenerlo disponible para la clase siguiente en el que se identificarán posibles errores y sus motivos.
Se proponen ahora problemas que involucran organizaciones rectangulares. Es espe- rable que varios alumnos vuelvan a sumar o hacer dibujos, ya que no identifican aún la multiplicación como la herramienta más idónea.
problema 1 En el balcón de mi casa, hay 5 filas con 3 baldosas cada una. ¿Cuántas baldosas hay?
problema 2 Para los actos, la portera de mi escuela coloca en el patio 8 filas de 6 sillas cada una. ¿Cuánta gente cabe sentada en los actos?
puesta en común Luego de la resolución, se podrá propiciar un debate en torno a los procedimientos de
resolución desarrollados por los alumnos apuntando a analizar qué aspectos del problema pueden estar relacionados con la multiplicación. Por otro lado, los números involucrados en los problemas de la primera clase permiten asociarlos a los de la segunda clase.
Se trata ahora de avanzar en el reconocimiento de los cálculos, por parte de los alum- nos, en función de los problemas propuestos.
problema 1 En un edificio, se ven desde la calle 8 ventanas en cada piso. Si el edificio tiene 12 pisos, ¿cuá- les de los siguientes cálculos permite saber cuántas ventanas se ven en total desde la calle?
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8
12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12
problema 2 En un micro de media distancia, los asientos están ubicados así:
¿Cuánta gente viaja sentada en ese micro?
problema 3 El patio de mi escuela tiene 63 filas de 12 baldosones cada una. Si hay que reemplazar la mitad por baldosones nuevos, ¿cuántos hay que encargar?
problema 4 Matías guarda sus CD en una caja. Dentro de la caja, hay 5 espacios. En cada espacio ,entran 15. ¿Cuántos CD puede guardar en esa caja?
puesta en común El debate final deberá ocuparse principalmente de aquellos aspectos relativos a cada problema que permiten darse cuenta de que se pueden resolver multiplicando.
2.º AÑo/grADo
Se presenta, a continuación, un ejemplo de evaluación que se les podría proponer a los alumnos al finalizar el cuadernillo de actividades correspondiente a Números y Opera- ciones II. Se incluyen, para cada problema, criterios de corrección en función de posibles respuestas de los niños.
problema 1 Ordená los siguientes números de menor a mayor. 4.509 – 9.405 – 4.059 – 5.904 – 5.490 – 9.045 – 4.954 – 4.905 – 5.094
Se considerará correcta la respuesta si la totalidad de los números están ubicados correctamente.
Se considerará parcialmente correcta la respuesta si el alumno ordena 6, 7 u 8 núme- ros correctamente.
Se considerará incorrecta la respuesta en la que estén correctamente ubicados 1, 2, 3, 4 o 5 números o menos de esa cantidad.
problema 2 Juan y Ernesto van a vender rifas para su club. A Juan le tocó un talonario que va del 3.500 al 3.549 y a Ernesto, el que va del 3.550 al 3.599. Decidí cuál de los dos vendió cada uno de los siguientes números. Colocá una J al lado de los que vendió Juan y una E al lado de los que vendió Ernesto.
Se considerará correcta la respuesta en la que la totalidad de los números esté ubicada en el grupo que le corresponde.
Se considerará parcialmente correcta si un número de cada grupo está en el grupo equivocado.
Se considerará incorrecta si dos o más números están en el grupo equivocado.
problema 3 Con billetes de $100, $10 y monedas de $1, Alejo quiere pagar $476 de luz y $321 de gas. ¿Cuántos billetes y monedas de cada tipo va a usar para pagar los dos servicios?
Se considerará correcta aquella respuesta en la que el alumno haya efectuado la suma del costo de ambos servicios y exprese su equivalente en billetes, cualquiera sea su conformación.
Se considerará parcialmente correcta la respuesta si:
el alumno resuelve correctamente la suma mediante cualquier procedimiento, obtiene 797 y expresa el equivalente en dinero con error de no más de un billete o moneda de cada valor.
el alumno utiliza correctamente los billetes para pagar cada servicio, pero no considera la suma.
el alumno resuelve correctamente la suma mediante cualquier procedimiento, ob- tiene 797 y expresa el equivalente en dinero de uno solo de los servicios.
el alumno resuelve incorrectamente la suma, pero su margen de error es de un dí- gito; y este valor que obtiene lo representa correctamente con billetes y monedas.
Se considerará incorrecta la respuesta si:
la suma es incorrecta y su equivalencia en billetes es incoherente con el resultado obtenido.
la suma es correcta, pero no aparece ningún tipo de expresión de equivalencia en billetes.
problema 4 En el patio de la escuela, sacaron algunas baldosas rotas. Mirando el dibujo, de- cidí cuántas nuevas hay que comprar.
Se considerará correcta la respuesta si el alumno encuentra un procedimiento para expresar, a través de una o más sumas o una o más multiplicaciones, o restando desde el total, la forma de expresar correctamente las baldosas faltantes.
Se considerará parcialmente correcta la respuesta que involucre una o más sumas o multiplicaciones, pero el resultado es incorrecto.
Se considerará incorrecta si en la respuesta no aparece ninguna operación que permita calcular la cantidad de baldosas faltantes, y el resultado es incorrecto.
problema 5 En el cine del barrio, hay 11 filas de 16 butacas cada una. ¿Cuánta gente sentada cabe en el cine?
Se considerará correcta la respuesta que involucre una o más multiplicaciones (16 x 10 + 16 x 1, por ejemplo) o sumas que permitan arribar al resultado correcto.
Se considerará parcialmente correcta la respuesta en la que esté involucrada una serie de sumas sucesivas y el resultado sea correcto, o aquella respuesta en la que la estrategia de resolución sea correcta pero el resultado resulte incorrecto.
Se considerará incorrecta cualquier respuesta en la que no se vea implicada ninguna estra- tegia aditiva ni multiplicativa, y el resultado sea incorrecto.
problema 6 Agustina necesita 90 caramelos para llenar sus bolsitas de cumpleaños. Cada bolsa de 36 caramelos cuesta $16.
a) ¿Cuántas bolsas tiene que comprar?
b) ¿Cuánto dinero va a gastar?
c) ¿Le sobrarán caramelos? ¿Cuántos?
Ítem a) Se considerará correcta la respuesta,si el alumno efectúa una suma o una multiplicación para determinar el número de bolsas necesarias para conseguir 90 caramelos. Se considerará parcialmente correcta aquella respuesta en la que se efectúe una suma o una multiplicación pertinente, pero el resultado sea incorrecto. Se considerará incorrecta aquella respuesta en la que no haya ninguna operación que permi- ta obtener el total de bolsas.
Ítem b) Se considerará correcta toda respuesta que involucre una suma o una multiplicación y se obtenga el resultado correcto. Se considerará parcialmente correcta aquella respuesta que involucre una suma o una multi- plicación pertinente pero el resultado sea incorrecto. Se considerará incorrecta aquella respuesta que no involucre una suma o una multiplicación, y la respuesta sea incorrecta.
Ítem c) Se considerará correcta aquella respuesta que involucre una resta o un descuento desde el to- tal de caramelos comprados hasta el total de caramelos necesarios, o cualquier otro recurso pertinente, y se obtenga una respuesta correcta. Se considerará parcialmente correcta, si se desarrolla un procedimiento pertinente, pero se obtiene un resultado incorrecto. Se considerará incorrecta, aquella respuesta en la que no se observe ninguna resolución rela- cionada con un descuento ni una resta.
problema 7 Malena va a comprar para su casa nueva una cocina que cuesta $890 y un lavarropas que cues- ta $1.750. Si tiene ahorrados $2.000, ¿cuánto dinero le falta para comprar los dos productos?
Se considerará correcta aquella respuesta en la que se efectúe una suma de ambos electro- domésticos y luego se reste ese valor a 2.000, o se reste el valor de cada uno al total en forma separada, y se obtenga un resultado correcto.
Se considerará parcialmente correcta aquella respuesta en la que se desarrolle un procedi- miento pertinente, pero no se obtenga un resultado correcto.
Se considerará incorrecta la respuesta en la que no se encuentre ninguno de los procedimien- tos descriptos arriba.
continuación, se propone una selección de problemas que podrían servir como ejemplos para
elaboración de una prueba de fin de 3.º año. Puede ser utilizada total o parcialmente, o imple-
mentada en más de un día, dada su extensión.
1. Con billetes de $100, $10 y monedas de $1, Pablo tiene que pagar los servicios de su casa. Al
lado de cada cantidad, dibujá o escribí cuántos billetes de cada tipo va a necesitar Pablo.
Electricidad: $376
Cuota del auto: $1.230
Tarjeta de crédito: $1.058
2. En la siguiente recta numérica, ubicá aproximadamente los números 457, 432, 402, 475 y 499.
3. Melina está leyendo un libro y va por la página 98. Si el libro tiene 279 páginas, ¿cuántas pá-
ginas le falta leer para terminarlo?
4. A Julieta le encargaron 350 empanadas para una peña. En cada fuente para horno, Julieta pue-
de poner 8 filas de 4 empanadas cada una. Si ya cocinó 6 bandejas, ¿cuántas bandejas le faltan
cocinar para llegar a la cantidad que le pidieron?
5. En el patio de la casa de Juan, hay 9 filas de 8 baldosas cada una. Si quiere comprar baldosas
nuevas del mismo tamaño, ¿cuántas debe comprar? Si cada baldosa sale $13, ¿cuánto dinero va a gastar?
En un restaurante, hay platos playos blancos, platos playos de color, platos cuadrados y
platos de postre. También hay copas altas, copas bajas y copas azules. ¿De cuántas formas di- ferentes se puede poner una mesa?
7. En una juguetería, quieren acomodar 42 animalitos de peluche en 6 estantes de manera que
en cada estante haya la misma cantidad de muñecos. ¿Cuántos deben colocar en cada estante?
8. Betina compró 65 chupetines y quiere armar bolsas de 6 chupetines cada una. ¿Cuántas bol-
sas podrá armar? ¿Sobran chupetines?
9. Fernando trabaja en una fábrica de alfajores. Tiene que envasar 472 alfajores en cajas de 6.
¿Cuántas cajas puede completar con esa cantidad de alfajores? ¿Sobran alfajores? ¿Cuántos?
10. En la panadería de Teresa, con una bolsa de 10 kilos de harina, fabrican 22 kilos de pan. Si
por día fabrican 50 kilos de pan, ¿es cierto que usan más de 3 bolsas de harina?
11. Mario compró 415 ladrillos y los quiere apilar en 8 grupos. ¿Cuántos ladrillos hay que poner
12. Dibujá una figura siguiendo estas instrucciones:
Trazá una línea horizontal de 8 cm de largo.
Desde cada uno de los extremos, trazá líneas verticales (perpendiculares a la que ya trazaste) de 3 cm de largo.
Trazá una línea horizontal que una los extremos sueltos de las líneas que acabás de trazar.
A continuación, presentamos una colección de materiales editados en libros o accesible en páginas
de Internet que podrían resultar interesantes para docentes y directivos .
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1. Estos números corresponden a las páginas que se salieron del diccionario. Ordenalos.
618 – 614 – 609 – 617 – 610 – 613 –
616 – 611 – 615 – 610 – 612
2. Jonás es disk jockey y tiene los CD ordenados en una estantería. En cada cajita del estante guarda 10 CD, según sus números. Después de una fiesta, quedaron estos discos sin guardar:
131 – 439 – 311 – 574 – 278 – 562 – 450
Pintá con rojo las cajas en las que debería guardar los CD que sobraron.
Pintá con verde la caja de la que se debe sacar el CD con el número 220.
¿De qué caja se deberá sacar el CD con el número 345?
En esta grilla, se pueden ubicar todos los números entre el 600 y el 699.
b) Escribí en la grilla el anterior y el posterior de cada número ubicado en los casos en que sea
c) Ubicá el seiscientos trece, el seiscientos cuarenta y nueve y el seiscientos noventa y siete.
d) Completá la fila del 670.
e) Completá la columna de los terminados en 4.
4. La cajera del banco debe pagar a algunos clientes las cantidades que están escritas en la colum- na izquierda. Uní con flechas esas cantidades con sus equivalentes de la columna de la derecha.
5. En las siguientes adivinanzas de números hay algunas que se pueden resolver y otras que no.
a) Rodeá con color las que no puedas resolver y respondé las que sí puedas.
Adivinúmero 1 Estoy entre el 300 y el 400. Termino en 5. Soy más grande que el 350. Soy más chico que el 390.
Adivinúmero 3 Estoy entre el 550 y el 650. Termino en 0. Si me suman 10 me convierto en el 620.
Adivinúmero 5. Estoy entre el 500 y el 600. En el lugar de los dieces hay un 5. En el lugar de los unos hay un número que está entre el 6 y el 8.
Adivinúmero 2 Estoy entre el 600 y el 700. Termino en 8. Soy mayor que el 630. Soy menor que el 640.
Adivinúmero 4 Estoy entre el 590 y el 600. No termino en 7 ni en 8.
b) Ahora, completá los adivinúmeros que no pudiste resolver para que puedan resolverse. Agregá
los datos que te parezcan necesarios.
6. Para resolver 85 + 29, los chicos de 3.º pensaron de diferentes formas.
Lisandro pensó así:
85 + 30 = 105 105 – 1 = 104
¿Están de acuerdo con lo que pensó? ¿Y con el resultado?
7. Paula quiere resolver el cálculo 120 – 25. ¿Cuáles de las siguientes cuentas podrían servir para
resolverlo? ¿Cómo las usarías vos?
120 – 20
Marcelo quiere comprar 6 almohadones que cuestan $28 cada uno. Apenas ve el precio, sabe
que con los $200 que tiene le alcanza y le sobra. ¿Qué habrá pensado?
9. Un promotor dejó 300 entradas con descuento en una escuela. Mirando la siguiente lista y sin escribir cuentas, ¿podés decir si alcanzan las entradas?
1. o A: 28 ALUMNOS
2. o A: 19 ALUMNOS
3. o A: 26 ALUMNOS
4. o A: 32 ALUMNOS
5. o A: 24 ALUMNOS
6. o A: 27 ALUMNOS
10. Claudia tiene una colección de cajitas de fósforos repartidas en 4 bolsas. En una, tiene 70 caji-
tas; en otra 120; en la tercera, 85; y en la última, 100. Sin escribir cuentas, ¿podrías decir si Claudia
tiene más o menos de 400 cajitas en su colección?
11. Indicá, para cada uno de los siguientes problemas, si se resuelve con una suma o con una
a) Julia tiene 76 figuritas y para completar el álbum le faltan 122. ¿Cuántas figuritas tiene el álbum
b) Juan está leyendo un libro de 254 páginas y va por la 99. ¿Cuántas páginas le faltan para
c) Paula tiene un billete de $100 para pagar en el mercadito. Si gastó $63, ¿cuánto dinero le darán
d) Inés tiene 178 bolitas de vidrio y su hermano,121. ¿Cuántas bolitas más tiene Inés que su hermano?
e) Para una rifa del club, Mariano vendió 167 rifas y Violeta, 204. ¿Cuántas rifas vendieron entre
f) Ramiro tiene 78 figuritas repetidas y le va a regalar 45 a su primo. ¿Con cuántas figuritas se va a
quedar Ramiro?
12. En esta línea de tiempo, ubicá aproximadamente los años 1812, 1860 y 1910.
13. En un supermercado se venden 390 botellas de gaseosa los días de semana y 450 cada día del
fin de semana. ¿Cuántas gaseosas se venden en la semana completa?
14. Resolvé mentalmente los siguientes cálculos.
a) 600 + 200 =
e) 450 + 650 =
i) 483 – 83 =
b) 300 + 500 =
f) 650 + 250 =
j) 483 – 483 =
c) 400 + 600 =
g) 550 + 950 =
k) 483 – 400 =
d) 500 + 400 =
h) 350 + 550 =
l) 1.483 – 1.000 =
Verificá los resultados anteriores con la calculadora. Si te equivocaste en alguno, hacé las cuentas nuevamente.
TrAbAjAr CoN lA CAlCulADorA
15. Martina escribió el 673 en la calculadora, pero tenía que escribir el 603. ¿Cómo puede arreglar
el número sin borrar?
16. Carla quiso escribir el 4.327, pero escribió el 4.627. Dice que restando lo puede arreglar. ¿En
qué resta está pensando Carla?
17. En la calculadora de Raúl, no funciona la tecla del 7. Quiere escribir el 972. ¿Cómo puede
18. En la calculadora de Juana, se perdió la tecla del 5. Dice que puede escribir el 352 como una
suma. ¿En qué suma estará pensando? ¿Hay una única posibilidad? ¿Cómo lo resolverías vos?
1. Ordená los siguientes números de menor a mayor.
¿Cómo decidiste cuál de los números es el menor? ¿Y el mayor?
2. En esta grilla, están los números desde el 1.100 al 1.600 ubicados de 10 en 10.
a) Ubicá en la grilla el 1.370 y el 1.470. ¿Te sirve saber dónde va uno para saber dónde va el otro?
¿Se puede ubicar en la grilla el 1.590? ¿Dónde?
¿Se puede ubicar en la grilla el 1.374? ¿Por qué?
En la siguiente recta numérica, ubicá el 7.100, el 7.150 y el 7.600.
7.000 7.200
4. Julio hizo un trabajo y cobró $4.040. Por el mismo trabajo, Alberto cobró $4.400. ¿Cuál de los
dos cobró más?
5. Para arreglar la casa, María le pidió presupuesto al albañil:
- Lijado de puertas y ventanas: $700
- Barnizado de puertas y ventanas: $1.650
- Revoque del baño: $450
- Colocación de revestimientos
en el baño: $1.300
a) ¿Cuánto dinero va a gastar María si de-
cide hacer todos los arreglos?
b) ¿Y si decide dejar el barnizado de puer-
tas y ventanas para otro momento?
6. En el baño de la casa de María, hay 6 filas de 8 baldosas cada una.
Si quiere comprar baldosas nuevas del mismo tamaño, ¿cuántas debe comprar?
Si cada baldosa sale $10, ¿cuánto dinero va a gastar?
El juego de los saltos del sapo
En este juego, participan dos o más jugadores, necesitan 2 dados, fichas de distintos colores para cada jugador y un tablero como el siguiente.
Uno de los dados indica cuántos saltos va a dar el sapo, y el otro, el tamaño de cada salto. Por ejemplo, si un jugador saca 3 y 2, puede elegir entre dar 3 saltos de 2 en 2 o 2 saltos de 3 en 3.
Julieta se sacó un 2 y un 5, y decidió que su sapo va a dar 5 saltos de 2 espacios cada uno. ¿A qué número va a llegar?
Carmen se sacó un 3 y un 4. Su sapo ¿va a llegar más lejos que el de Julieta?
Patricio tiró por primera vez y llegó al 12. ¿Qué números podrán haberle salido en los dados? ¿Hay una sola posibilidad?
Jonathan se sacó un 2 y un 5, pero decidió que su sapo va a dar 2 saltos de 5 espacios cada uno. ¿Llegará más lejos que Julieta? ¿Por qué?
¿Cuál es el número más grande al que se puede llegar con el primer tiro? ¿Hay otra posibilidad?
Gonzalo estaba parado en el 73, y en este tiro, se sacó dos 6. ¿Llega al final de la grilla? ¿Cómo supiste?
8. En un comercio mayorista, tienen los siguientes precios.
BUZOS: $25
PANTALONES: $70
MEDIAS: $8
PULÓVERES: $60
REMERAS: $20
a) Camila compró para su negocio 6 panta-
lones, 10 remeras y 5 buzos. Mirando la lis- ta de precios, calculá cuánto dinero gastó. b) Mauro quiere comprar dos pulóveres, dos pantalones y 3 remeras. ¿Le alcanza- rá con $300? ¿Le falta o le sobra dinero? ¿Cuánto?
c) Después de pagar con $100, a Mirta le
dieron $30 de vuelto. ¿Qué pudo haber comprado? ¿Hay una sola posibilidad?
9. Al pasar por un puesto de flores, Pablo ve el siguiente cartel: “Rosas, $25 la docena”. Si tiene $100, pero no quiere gastar todo, ¿cuál es el máximo posible de docenas que puede comprar?
10. Carla y Juan quieren comprar electrodomésticos para su nueva casa. Un lavarropas cuesta
$2.600 al contado, pero también lo ofrecen en 6 cuotas de $500 cada una. ¿Cuánto más deberán
pagar Carla y Juan si eligen comprar en cuotas?
11. La heladera con freezer que quiere Carla cuesta $1.950 y el microondas, $675. Si compra los
dos electrodomésticos juntos, ¿le alcanza con los $2.500 que llevó? Decidilo sin escribir cuentas y explicá cómo lo pensaste.
12. Resolvé los siguientes cálculos mentalmente.
a) 560 + 520 =
e) 8.520 – 4.500 =
b) 2.100 + 2.300 =
f) 9.600 – 300 =
c) 450 + 650 =
g) 7.200 – 250 =
d) 1.550 – 300 =
h) 10.000 – 5.000 =
13. Para una fiesta, decidieron ubicar a 6 personas en cada mesa. Si hay 8 mesas, ¿cuántas sillas
deben colocar en total?
14. En cada estante de la ferretería, caben 18 cajas metálicas. Si Miguel tiene 5 estantes, ¿cuántas
cajas puede ubicar?
15. Marcela tiene 10 cajas con 22 CD cada una. ¿Cuántos CD tiene?
16. En el cine de mi barrio, hay 25 filas de 15 butacas cada una. Si está lleno, ¿cuánta gente está
mirando la película?
17. En el patio de la escuela, hay 35 filas de 12 baldosas, y la mitad se rompieron en un arreglo.
¿Cuántas hay que comprar?
18. Laurita tiene 3 pantalones y cinco remeras, como los del dibujo.
¿De cuántas formas diferentes puede combinar pantalón y remera?
19. Papá, mamá, el abuelo y yo queremos sacarnos una foto. ¿De cuántas formas diferentes
podemos sentarnos?
1. Un paquete de yerba cuesta $6. ¿Cuánto gasta una persona que compra 3 paquetes?
2. Un par de medias cuesta $9. Martina compró 4 pares y pagó con $50. ¿Le tienen que dar vuelto?
3. Mauro tiene 5 años, y su hermano tiene el triple. ¿Cuál es la cuenta que permite saber la edad
del hermano de Mauro?
Sin contar las baldosas, decidí con cuál de estos cálculos es posible saber cuántas baldosas hay:
5. En un edificio hay 6 ventanas que dan a la calle en cada uno de los 8 pisos. Para calcular cuántas
ventanas dan a la calle, Claudia pensó así:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6+ 6 + 6 = 48
Mariela, en cambio, pensó así:
6 x 2 = 12 12 + 12 + 12 + 12 = 48
Nahir hizo esta cuenta:
a) Decidí si todas las resoluciones son correctas.
b) Explicá lo que pensó Mariela.
c) ¿Cuál es la cuenta que te resulta más sencilla a vos?
d) ¿Es la cuenta más corta?
6. Cada cuadro muestra la relación entre cantidad de artículos y sus precios en pesos.
a) Completalos.
b) ¿Se pueden encontrar los resultados de estos cálculos en las tablas que completaste? Marcá con
una cruz los que sí se pueden encontrar.
7. A partir de la información que aparece en el siguiente cuadro, respondé las preguntas que se
a) ¿Por qué número se multiplicó a los números de la primera fila para obtener los de la se-
gunda fila?
¿Cuáles de las siguientes multiplicaciones se pueden resolver utilizando el cuadro?

References: artículo 10
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