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Timestamp: 2018-12-10 10:40:48+00:00

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XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS.
PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN
Mónica Ramírez García, Universidad Complutense de Madrid,
Carlos de Castro Hernández, Universidad Autónoma de Madrid,
Presentamos el desarrollo de dos sesiones de un taller de resolución de
problemas en primer curso de educación primaria. Describimos las estrategias
empleadas por los niños en un problema de multiplicación y otro de división,
antes de recibir instrucción formal sobre estas operaciones. Los niños construyen
significados sobre la estructura multiplicativa, que constituyen la base para la
comprensión en este ámbito matemático. Proponemos adelantar experiencias en
que los niños puedan construir ideas sobre conceptos o procedimientos antes de
su enseñanza formal. Planteamos la resolución de problemas como vía de
construcción de significados y no de aplicación de contenidos.
Este trabajo se enmarca en el aprendizaje de la resolución de problemas y su
relación con el de la aritmética. Vamos a comenzar exponiendo la relación que se
establece en los últimos currículos entre ambos temas y planteando la necesidad
de un cambio en el enfoque de estos aprendizajes matemáticos iniciales.
Con respecto a las operaciones aritméticas, en anteriores currículos, la suma y
resta se incluían en el primer curso, dejando la iniciación a las tablas de
multiplicar para el segundo curso y, de forma más completa, la multiplicación y
división para el segundo ciclo. El nuevo currículo de educación primaria del
Ministerio de Educación y Ciencia propone la “iniciación a la construcción de las
tablas de multiplicar” (MEC, 2014, P. 34069) en primer curso. En el borrador del
currículo de la Comunidad de Madrid se marca la memorización de las tablas de
multiplicar del 0, 1, 2 y 5 en el primer curso de Educación Primaria (Consejería
de Educación, Cultura y Deporte de la Comunidad de Madrid, 2014). Estas
medidas suponen que el aprendizaje formal de las tablas de multiplicar se
adelante un curso, con lo que implica dicho aprendizaje de memorización.
Desde hace ya unos años, tanto el Consejo Nacional de Profesores de
Matemáticas de Estados Unidos (en adelante, NCTM) en su publicación de los
Principios y Estándares de la Enseñanza y Aprendizaje de las matemáticas
(NCTM, 2003), como los informes PISA (OCDE, 2005) remarcan la importancia
de los procesos, como la resolución de problemas, el razonamiento y la
demostración, la articulación y la comunicación, el establecimiento de conexiones
y relaciones, la representación y modelización, para la competencia matemática.
En el currículo anterior aparecía la resolución de problemas como la actividad
PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMERO DE PRIMARIA. 1 de 10
métodos y actitudes en matemáticas” (MEC. nuestra propuesta es introducir los primeros problemas aritméticos verbales antes de su instrucción formal. XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. desde Educación Infantil. utilizando sus propias ideas. hechos y situaciones de la vida cotidiana. de problemas de estructura aditiva. los niños tendrán la oportunidad de construir significados propios de las operaciones aritméticas sin necesitar su instrucción formal. son conocimientos funcionales que pueden aplicar en situaciones de resolución de problemas nuevas (Carpenter y Lehrer. 1999). Rompemos así el uso de los problemas como tarea para comprobar la aplicabilidad de las operaciones aritméticas. con grupos iguales. 31559). adelantar la memorización de las tablas a primer curso no se ajusta bien a esta consideración del aprendizaje con comprensión. Además. En este trabajo consideramos el aprendizaje de las matemáticas con comprensión. Así. PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMERO DE PRIMARIA. Para el aprendizaje con comprensión. Castro. combinación y comparación. En este trabajo vamos a mostrar cómo los niños construyen sus propias estrategias ante problemas aritméticos verbales. 2007) y en el actual currículo se añade un bloque a los cuatro bloques de contenidos ya existentes llamado “Procesos. seleccionando las operaciones de suma y resta en los que intervengan números naturales (hasta tres dígitos) y utilizando los algoritmos básicos correspondientes… (MEC. simplemente utilizando estrategias inventadas por ellos. 2007. El modelo teórico que utilizamos se basa en la Instrucción Guiada Cognitivamente (en adelante. p. más concretamente de multiplicación y división (estructura multiplicativa). como se indica en el currículo de la LOE. Existe una clasificación de los problemas aritméticos verbales muy consensuada desde los años ochenta (Castro. relacionándolos y organizándolos de algún modo productivo que permitan ser accesibles para resolver nuevos problemas (Carpenter y Lehrer. éstos son capaces de resolverlos. “Resolver problemas sencillos relacionados con objetos. (2007 y 2009) ponen de manifiesto que los niños. competencia matemática. 1999). y problemas de estructura multiplicativa. 2014 principal en las clases de matemáticas (MEC. Así. 2014). estas estrategias son la base para una buena comprensión a la hora de recibir la enseñanza formal sobre las operaciones aritméticas. Por tanto. antes de la memorización de las tablas de multiplicar. 2008). Fennema et al. Este modelo de enseñanza muestra que planteando problemas aritméticos verbales en un contexto significativo para los niños. Cañadas y Castro-Rodríguez (2013) indican que los niños pueden resolver situaciones aritméticas sencillas desde los 3 años. desarrollando así el aprendizaje con comprensión. Se plantea así invertir el sentido habitual de la organización de las tareas en el aula donde normalmente se introduce una operación aritmética y a continuación se plantea problemas verbales para su aplicación. comparación. 9). Trabajos como De Castro et al. Estas estrategias son informales ya que no son el resultado de una instrucción sino que los niños. sin una instrucción formal sobre los contenidos aritméticos. y la resistencia a incluirlos estas situaciones a esta edad. CGI) para el aprendizaje de la aritmética y algunos aspectos del sistema de numeración (Carpenter. 1999). y por tanto. La competencia matemática valora más la comprensión que la memorización. producto cartesiano. establecen relaciones entre las cantidades según la estructura semántica del problema y lo resuelven. como los problemas de cambio. 2 de 10 . puede provocar no dotar de significado el algoritmo que aprenden en primaria (p. como la actividad mental que permite construir por sí mismo significados para conceptos y procedimientos matemáticos. son capaces de resolver problemas aritméticos verbales. desde en un enfoque cognitivo.
donde los niños saben que deben explicar sus estrategias. El contexto que utilizamos para los problemas debe ser significativo para los niños y hemos utilizado la literatura infantil. 2014 2. Con todas estas fases. donde los niños sin ninguna indicación resuelven el problema con el material que les proporcionamos encima de las mesas. Además una persona externa les envía una carta semanalmente pidiendo ayuda para resolver el problema en cuestión. En el momento de la sesión se lee el cuento. una a la semana en dos aulas del mismo centro. una de multiplicación y otra de división.  Planteamos problemas de estructura multiplicativa. El resto de las clases de matemáticas siguen una metodología tradicional utilizando el libro de texto. en el trabajo De Castro et al. Abarca un curso escolar con un total de 25 sesiones. 2007 y 2009). 3 de 10 . (2009) observamos como los niños resolvían problemas de estructura multiplicativa en un aula de segundo curso de Educación Infantil. 2012). En concreto.  Lectura de la carta de la persona externa. Vamos a describir dos de las sesiones en las que se plantean problemas de estructura multiplicativa.  Escribir una carta con la resolución del problema a la persona externa. para que los niños construyan sus primeros significados sobre estas operaciones. Es importante remarcar que en el taller no se les da instrucción ninguna de cómo deben resolverlos y se les proporciona distintos materiales para que ellos elijan su estrategia.  Planteamos problemas aditivos con números de dos cifras para que los niños tenga la oportunidad de construir estrategias en las que la comprensión del valor posicional de los números les facilitará su resolución.  Resolución individual. PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMERO DE PRIMARIA. en la que se plantea el problema y se pide que expliquen como lo han hecho. XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. de multiplicación y división. Dentro de nuestro proyecto planteamos problemas aritméticos verbales desde Educación Infantil (De Castro et al. Los problemas que se plantean son:  Planteamos problemas de multiplicación y división con grupos de 10 para trabajar la decena y así tener que contar distintas unidades dentro del sistema de numeración decimal (Ramírez y De Castro. Así las fases del taller son:  Lectura del cuento.  Puesta en común de las estrategias. El taller que describimos aquí es la continuación de estos alumnos al llegar a primero de Educación Primaria. Cada cuento infantil sirve de contexto para dos sesiones. Además los niños podrán relacionar el algoritmo de la suma y resta trabajando en las clases tradicionales con las estrategias desarrolladas en el taller. UN TALLER DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. El taller tiene como objetivos didácticos desarrollar estrategias informales para problemas aritméticos aditivos y multiplicativos considerando algunos contenidos que toman importancia en Educación Primaria. aunque las tutoras lo leen con ellos un par de veces durante la semana antes del taller. los niños desarrollan los procesos indicados en la competencia matemática.
Figura 1. el problema es el siguiente: “El gato tragón se comió 7 niñas. Hay niños que utilizan los dedos para ir construyendo los grupos añadiendo el número de elementos por grupos cada vez que se considera un grupo. Agrupamiento por grupos con objetos (a). en este problema que hay 7 grupos (niñas) con 2 elementos en cada grupos (brazos). Estrategia de modelización en la que los niños representan grupos de objetos con el número de elementos por grupo que viene en el enunciado. Otros niños dibujan 7 grupos de dos brazos con dos rayitas “/ \” y luego los cuentan todos. Agrupamiento por grupos con dedos (a). los niños hacen 7 grupos con 2 elementos en cada grupo. por cada niña se señalan dos numerales hasta llegar a contar 7 grupos de dos numerales. PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMERO DE PRIMARIA. 2014 3. En la Figura 2. SESIÓN 1. En la cuarta sesión del taller se plantea un problema de estructura multiplicativo de grupos iguales de multiplicación. sin representante de grupo (a). Las estrategias observadas son las siguientes: Agrupamiento por grupos. En la Figura 1 se puede observar como un niño realiza 7 grupos de 2 contadores cada uno y luego los cuenta todos. Representando los elementos por grupos. XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. PROBLEMA DE MULTIPLICACIÓN. Estos problemas están compuesto por un número de grupos y en cada grupo hay el mismo número de elementos. Si cada niña tiene 2 brazos. 3. 4 de 10 . También se puede observar esta estrategia en la tabla 100 (Figura 3). ¿Cuántos bracitos se comió el gato?”. Vamos a ver varias formas de realizar esta estrategia.1. un niño va añadiendo 2 dedos cada vez que cuenta una niña hasta completar las siete niñas. Figura 2. En la figura solo se ve hasta las 3 primeras niñas. EL DESARROLLO DE LAS SESIONES DEL TALLER. Basado en el cuento “El Gato Tragón”. Es decir.
2014 Figura 3. XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. Agrupamiento por grupos con Tabla 100 (a). Figura 4. En la Figura 5. un niño representa con numerales las niñas y luego va contando dos puntos al lado de cada numeral. un niño utiliza una representación icónica de las niñas y escribe la secuencia de numerales sobre los brazos. en la que se colocan 7 contadores que son las niñas y por cada uno de ellos dos contadores más que son los brazos. Utilizando un representante por cada grupo y por los elementos por grupo (b). 5 de 10 . También se puede observar en las representaciones gráficas de algunos niños. Dentro de esta estrategia hay niños que representan también con un contador los grupos como vemos en la Figura 4. Figura 6. Figura 5. En la Figura 6. Agrupamiento por grupos con representante para cada grupo con objetos (b). PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMERO DE PRIMARIA. Agrupamiento por grupos con representante para cada grupo con distintas representaciones (b). Agrupamiento por grupos con representante para cada grupo con distintas representaciones (b).
Otra variedad de esta estrategia se da al representar con un objeto cada grupo y contar cada grupo el número de veces que indica el número de elementos por grupo. y cuento otras siete… porque cada niña tiene dos brazos” (Figura 10). 2014 Utilizar representante de grupo y sin representante de elementos por grupo (figural) (c). 6 de 10 . una niña cuenta a la derecha y a la izquierda de cada bola de plastilina.. En la Figura 7 y 8. representando los siete brazos izquierdos y derechos de las niñas. un niño pone en el rekenrek 7 bolas en cada fila. dos veces. Figura 7. se observa que los niños solo representan el número de grupos (7) y cuentan cada uno de ellos dos veces. Agrupamiento con solo representante para cada grupo con plastilina (c). PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMERO DE PRIMARIA. Agrupamiento por cada elemento por grupo. en este problema hay 7 grupos (las niñas) con 2 elementos en cada grupo (brazos). Estrategia de modelización en la que los niños representan el número de grupos por cada elemento que contiene el grupo. Agrupamiento con solo representante para cada grupo con rekenrek (c). XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. Los niños hacen 2 grupos de 7 elementos. ¿no?. Otra niña utiliza la tabla 100 contando primero siete numerales y luego otros siete: Dice “hay siete niñas.. En la Figura 9. otra niña cuenta cada una de las 7 bolas. Figura 9. En la figura 8. Figura 8. Agrupamiento por cada elemento del grupo con el rekenrek. En la figura 7. por lo que se representa un grupo de 7 por un brazo de cada niña y otro grupo de 7 por del otro brazo. Es decir.
Reparto de objetos de uno en uno sin contar inicialmente la cantidad total (a). SESIÓN 2. En la Figura 12 se puede observar como un niño coge primero 18 contadores y luego los reparte de uno en uno en dos grupos. Figura 12. XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. PROBLEMA DE DIVISIÓN.2. Agrupamiento por cada elemento del grupo con Tabla 100. Finalmente comprueba los objetos que hay en cada grupo. 3. Basado en el cuento “Un regalo diferente”. En este caso conocemos el número total de elementos y el número de grupos. así sabe que los dos tienen lo mismo. A continuación mostramos las diferentes variantes de esta estrategia: Reparto de objetos de uno en uno sin contar inicialmente la cantidad total hasta que entre los grupos tienen el total de elementos (a). pero no conocemos el número de elementos por grupo. ¿Cuántos se comió cada uno?”. En la Figura 13 una niña reparte de uno en uno los objetos en los grupos cogiéndolos a la vez. En la Figura 11. Una observación importante es que todos los niños intentaron repartir de forma equitativa los buñuelos aún sin que el enunciado indicase de ninguna forma que los dos comían el mismo número de buñuelos. el problema es el siguiente: “Marcel y Tristán se comieron 18 buñuelos de crema. En la quinta sesión del taller se plantea un problema de estructura multiplicativo de grupos iguales de división partitiva. Reparto de objetos de uno en uno contando inicialmente la cantidad total (b). PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMERO DE PRIMARIA. 2014 Figura 10. 7 de 10 . Las estrategias observadas se basan todas en el Reparto de objetos. Figura 11. Reparto de uno en uno contando primero el total de elementos y luego repartiendo en los grupos de uno en uno (b). un niño coge un montón de unidades y las reparte en dos grupos de uno en uno hasta que entre los dos grupos suman 18 objetos.
Figura 15. Figura 16. un niño construye una barra con 18 centicubos y estima con los dedos donde está la mitad y parte la barra por ahí. XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. En la Figura 15 un niño coge primero 18 objetos y luego los va repartiendo de 3 en 3. Reparto de objetos de uno en uno contando inicialmente la cantidad total (b). Al ser un problema en el que se debe dividir en dos grupos. PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMERO DE PRIMARIA. 2014 Figura 13. Después comprueba si hay los mismos en las dos barras resultantes. muchos niños buscaron la mitad de los objetos representados. En la Figura 16. Reparto por la mitad (d) con objetos. En la Figura 14 mostramos la hoja de trabajo en la que dos niños hacen el reparte por medio de un dibujo uniendo por líneas los buñuelos con cada personaje. 8 de 10 . Reparto en bloques contando primero el total de elementos y luego repartiendo en bloques (c). Reparto de objetos en bloques contando inicialmente la cantidad total (c). Reparto de objetos de uno en uno contando inicialmente la cantidad total (b). Finalmente comprueba los objetos que hay en cada grupo. Figura 14. Reparto por la mitad (d).
LEVI. E. y LEHRER. SEIEM. A través de la resolución de problemas hemos conseguido que los niños razonen y modelicen situaciones aritméticas. En R. Blanco (Eds. T. 19–32). (1999). 2014 En la Figura 17 puede observarse esta estrategia en una representación gráfica en la que dibujan los 18 buñuelos y buscan la mitad. marcándola con una raya y comprobando lo que queda a ambos lados. In E. Fennema. P. Mahwah. CASTRO. E. R. NJ: Erlbaum. (2008). Camacho y L. Teaching and learning mathematics with understanding.. B.B. REFERENCIAS. Figura 17. Resolución de problemas: ideas.L. Más que pasar la memorización de algunas tablas de multiplicar a primero de Educación Primaria. Romberg (Eds. pudiendo establecer así relaciones entre los conocimientos que tienen con los de los compañeros. Parafraseando a Kamii. abogamos por introducir situaciones en las de los niños puedan construir significados para la multiplicación y la división para su comprensión. (1999). Nuestra opción consiste en proponer experiencias que ayuden a desarrollar los conocimientos informales. L. Children’s mathematics: Cognitively guided instruction. CARPENTER.. Mathematics classrooms that promote understanding (pp. la contraria a la adoptada en el nuevo currículo de primaria.. sino como vía para desarrollar la comprensión de los contenidos matemáticos. Pensamos que la línea a seguir en la enseñanza de las matemáticas debe ser. tendencias e influencias en España. Este implicará aprendizaje con comprensión de estos contenidos matemáticos y por lo tanto competencia matemática. 9 de 10 . 113-140). CONCLUSIONES. y EMPSON. Introducir la resolución de problemas antes de la instrucción formal. en algunos aspectos. Ya hace años que Kamii (1995) escribía sobre el efecto perjudicial de los algoritmos que al introducirse demasiado pronto “fuerzan a los niños a renunciar a su propio pensamiento numérico” (p. PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMERO DE PRIMARIA.). Gómez. XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. CARPENTER. M.P. FENNEMA. articulen sus ideas para comunicarlas al resto de la clase. T. FRANKE. M. Investigación en educación matemática XII (pp. 4. Portsmouth: Heinemann. En los talleres realizados se ha observado que la mayoría de los niños resolvían problemas de multiplicación y división utilizando estrategias propias sin tener ningún conocimiento formal sobre dichas operaciones aritméticas. 49). Badajoz: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática. más que adelantar conocimientos formales. Reparto por la mitad (d) con dibujo. creemos que adelantar las tablas de multiplicar fuerza a los niños a renunciar a su propio pensamiento multiplicativo. implica romper con el uso de la resolución de problemas para aplicar conocimientos nuevos.). Luengo. & T. S. A.
C. por la que se establece el currículo de la Educación Primaria para el ámbito de gestión del Ministerio de Educación. K.. M. Valencia: Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universitat de València y SEIEM. 10 de 10 . C. Borrador del Currículo de Educación Primaria. 2(2). 20 de julio). "Dos de todo": El cuento chino de los problemas de comparación multiplicativa en la Educación Infantil.pdf DE CASTRO.. Reinventando la aritmética III. V. E.php/edma0-6/article/view/32 CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN. Resolución de problemas aritméticos verbales en la Educación Infantil: una experiencia de enfoque investigativo. Madrid: Santillana.C. Arnau. CULTURA Y DEPORTE (2014. por la que se establece el currículo y se regula la ordenación de la Educación primaria.ucm. (2013). Informe PISA 2003: Aprender para el mundo del mañana. 33827-34369. XV CONGRESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. Investigaciones en Pensamiento Numérico y Algebraico e Historia de la Matemática – 2012 (pp-109). pp. Cultura y deporte y se regula su implantación. 2014 CASTRO. 106. Boletín de Estudios e Investigación (Monografía IX).edma0-6. pp. B. Madrid: Visor.es/index. y ESCORIAL. OCDE (2005). GONZALEZ. (2012). CAÑADAS. El aprendizaje de algunos aspectos del sistema de numeración decimal a través de problemas aritméticos verbales al inicio de educación primaria. C. Disponible en http://eprints. 33-42. Principios y Estándares para la Educación Matemática. (2009). NCTM (2003). RAMIREZ. y CASTRO-RODRÍGUEZ. BOE.feccoo-madrid. Maz (Eds. C. y A. SALVADOR.). J. Epsilon: Revista de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática "Thales" 73 (3). C.es/12643/ DE CASTRO. En D.. MINISTERIO DE EDUCACIÓN. JUVENTUD Y DEPORTE DE LA COMUNIDAD DE MADRID (2014). Sevilla: Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales. 31487-31566. Pensamiento numérico en edades tempranas. E. Recuperado el 15- 05-2014 de: http://www. 1 de mayo). así como la evaluación y determinados aspectos organizativos de la etapa. J. WALSH. Edma 0-6: Educación Matemática en el Infancia.org/comunes/recursos/15708/1823565- Borrador_de_Curriculum_de_Educacion_Primaria. 1-11. Indivisa. M. E. de 12 de julio. Lupiáñez. Orden ECD/686/2014. y DE CASTRO. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA (2007.L..es/25470/ PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN PRIMERO DE PRIMARIA. 23-48.. 173.ucm. B. Disponible en: http://eprints. y ESCORIAL. DEL COSO. ORDEN ECI/2211/2007. BOE. de 23 de abril. KAMII. En http://www. (1995). (2007).
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