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Timestamp: 2017-11-24 16:59:32+00:00

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Cargado por Pedro Humberto Faustino Alfaro
EL GEOESPACIO, UN RECURSO PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
Licenciado en Matemáticas y Maestro en Planeación Educativa Manuel Vara Orozco
Revisaron esta obra: Santiago Valiente Barderas y Santiago Rubio Ramírez
Introducción.............................................................................................. VII 1. La enseñanza de las Matemáticas en la Escuela Secundaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Propósitos en los Programas de Matemáticas en la Escuela Secundaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. La enseñanza de la Geometría en la Escuela Secundaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4. Características de las actividades para la enseñanza de la Geometría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. El geoespacio como recurso didáctico. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6. Características del cuaderno de actividades con el geoespacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 a) Postura psicopedagógica sobre el aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .21 b) Enfoque metodológico del cuaderno de actividades con el geoespacio. . . . . . . . . . . . . .23 c) Descripción de la secuencia didáctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7. Dialéctica herramienta-objeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 a) Antigua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 b) Nueva búsqueda implícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 c) Explicitación e institucionalización local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 d) Institucionalización-estatuto de objeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 e) Familiarización-reinversión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 f) La tarea o el nuevo problema se hace más complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Observaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8. Juegos de marcos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 1) Transferencia e interpretación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2) Correspondencias imperfectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 3) Mejoría de las correspondencias y progreso del conocimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4) Elementos para el análisis de la secuencia didáctica. Contenidos y grados de dificultad. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 9. El uso del geoespacio como apoyo en la enseñanza de la Geometría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Actividades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1. Un triángulo de dos unidades de base. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 2. Pirámide hexagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 3. Prisma triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4. Prisma cuadrangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5. Prisma pentagonal. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6. Prisma hexagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7. Prisma octagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 8. Tetraedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 9. Cubo-octaedro de Arquímedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 10. Pirámide cuadrangular, en dos geoespacios unidos por una cara. . . . . . . . . . . . . 83 11. Octaedro, auxiliándose de una estructura de cuatro geoespacios. . . . . . . . . . . . . 85 12. Otras de las actividades que se sugieren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 CONCLUSIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
Uno de los propósitos que se persigue con la enseñanza de la Matemática, a nivel secundaria, es desarrollar la imaginación espacial del alumno a través de la representación plana de sólidos, el cálculo de volúmenes y capacidades, así como aplicaciones sencillas de los teoremas de semejanza y de Pitágoras en la solución de problemas en el espacio. El “Libro para el Maestro” de educación secundaria propone que el alumno obtenga fórmulas para calcular el volumen de un sólido compuesto y si se pretende que se desarrolle la reversibilidad del pensamiento, entonces se pueden dirigir actividades donde no sólo se sumen volúmenes, sino también se resten. En el desarrollo de este trabajo se presentan actividades que buscan que el alumno aprenda geometría con el apoyo del geoespacio. Se describe el geoespacio y su uso en la enseñanza de la geometría, así como la postura psicopedagógica en la que se apoya. Los temas que se presentan son susceptibles de trabajarse con este material didáctico. Una de las propuestas del nuevo enfoque es la integración, tanto al interior de las Matemáticas, como en su relación con otras asignaturas. Así, al interior de las Matemáticas, podemos relacionar geometría con aritmética; una forma es pedirle al alumno que suponga que va llenado con cubos pequeños el geoespacio ya que con esta actividad el alumno aplica el concepto de fracciones; relacionamos también la geometría con el álgebra cuando dirigimos al alumno para demostrar el cuadrado de un binomio, por procedimientos algebraicos y con la demostración por áreas. Por otra parte, en páginas adelante mostraremos actividades que relacionan a la geometría con la Trigonometría y con la Presentación y Tratamiento de la Información. Además, la relación de las Matemáticas con otras asignaturas, se da claramente con la Física y la Química. Por ejemplo, cuando suponemos que vamos colocando cubitos llenos de algún líquido (agua, gasolina, éter, petróleo,...) dentro del geoespacio y, valiéndonos de las tablas de densidad de los líquidos, calculamos el peso de los cubitos y graficamos el número de éstos en relación con su peso en un plano cartesiano. El geoespacio es un material (y recurso didáctico) que está comprobado puede ayudar en el desarrollo de habilidades matemáticas, especialmente la imaginación espacial y de ello trata este fascículo, además de proponerlo como modelo del que se pueden desprender actividades para el aula que tienen que ver con la geometría de los sólidos. La gran ventaja del geoespacio es que incluye, por construcción, al geoplano como un recurso en el que se pueden materializar diversas y versátiles actividades geométricas en el plano. Es conveniente referir al lector que estas actividades que a lo largo del fascículo propongo son resultado de su aplicación con alumnos de la escuela secundaria.
CAPÍTULO 1 La enseñanza de las Matemáticas en la Escuela Secundaria
Las Matemáticas se usan en todas las áreas del quehacer humano, bien sea en lo cotidiano o en la investigación científica. El ama de casa aplica las Matemáticas al ir al mercado a comprar los alimentos y el niño hace lo mismo al comprar sus dulces en la tienda; los ingenieros y los arquitectos las aplican en la construcción de puentes, carreteras, edificios, maquinarias, e incluso en el diseño de computadoras y en la planeación de los viajes espaciales y los astrónomos en la observación del universo. Las Matemáticas contribuyeron al desarrollo de la Física desde la Antigüedad y durante el Renacimiento, con conocimientos retomados de los griegos; hoy son una herramienta importante para otras disciplinas científicas y técnicas, como la Biología y la Economía. En la cruza de especies se aplica el diagrama de árbol y la probabilidad; la estadística se aplica para observar la producción de bienes y servicios de diversos países. En la prestación de servicios y en la industria se recurre a las Matemáticas; por ejemplo, una persona que arregla autos debe tener en cuenta el dinero que paga por las refacciones que coloca al carro que compone, además de considerar que sus herramientas sufren desgaste y que en cierto tiempo deben ser sustituidas. También tendrá presente que le debe quedar ganancia para pagar la renta del local donde tiene su negocio establecido y para llevar el alimento a su familia. En la industria se invierte dinero en diseño, en mercadotecnia, en importación de materia prima o en la compra de insumos a otras empresas, ello lo toma en cuenta el productor al momento en que fija un precio a su mercancía. Las computadoras ayudan a las empresas para llevar el estado financiero del negocio, cobrar y pagar, hacer nóminas o inventarios. Actualmente las Matemáticas aparecen en casi todas las actividades de las sociedades desarrolladas. El ser humano necesita reforzar sus conocimientos matemáticos, sea un profesionista como el especialista o el simple ciudadano. Un contador lleva un control de los negocios que atiende o de las declaraciones de impuestos de sus clientes; un cardiólogo estará atento a la frecuencia de los latidos del corazón de su paciente y al electrocardiograma que le mandó hacerse; toda persona piensa en la hora a la que debe entrar al trabajo, en cómo aplicará su sueldo para cubrir sus necesidades o en cuánto gastará si quiere ir al cine o a ver un juego de fútbol. La Matemática es una ciencia que el hombre hace activa y dinámica; de ella emergen soluciones a problemas surgidos en diferentes disciplinas: por ejemplo, la Matemática se aplica en la Antropología para contabilizar y ubicar piezas encontradas en algún lugar; o se aplica para mejorar los diseños de motores de automóviles y de motocicletas. También se crean nuevas formas para resolver viejos problemas, por lo que se desarrollan no sólo las Matemáticas puras, sino
2 también las aplicadas; en diversos lugares geográficos de México se han tenido problemas serios de inundaciones, hoy se piensa en nuevas y diferentes formas de solución a las que dieron los mayas, los aztecas, los habitantes de la Nueva España o quienes diseñaron el proyecto del Tajo de Tequisquiac para desalojar el agua de nuestra ciudad. Los problemas prácticos nos llevan a la teoría y las Matemáticas puras nos conducen a nuevas aplicaciones. Es la sociedad en su conjunto la que contribuye a la creación de las Matemáticas; por ejemplo, el hombre primitivo hizo marcas en los troncos de los árboles para contar el paso de los días o para saber cuántas piezas de conejo, venado o mamut debía cazar para alimentarse y vestirse, y de aquí surgen los sistemas de numeración; de la necesidad de protegerse de los elementos naturales busca habitación y luego la embellece al aplicar la geometría a la arquitectura; aplica asimismo la geometría para decorar con grecas los utensilios donde toma sus alimentos. Como producto de las indeseables y desastrosas guerras, en el siglo XX se avanzó enormemente en la industria militar, apoyándose en los hombres de ciencia, como Becquerel, Bohr, Rutherford, Fermi, Pierre Curie, María Sladowska, Einstein, Werner von Braun, entre otros. Las Matemáticas son importantes para la educación. El aprendizaje y la creación matemática están al alcance de todo aquél que se lo proponga, con voluntad y disciplina. La enseñanza de la Matemática en la escuela secundaria busca que los alumnos obtengan una parte del acervo cultural de la humanidad, que desarrollen conceptos y nociones que les sean útiles para comprender su entorno y resolver problemas de la vida real. El profesor intentará que los alumnos adquieran conocimientos y habilidades de pensamiento, así como razonamientos necesarios para avanzar en el estudio de las Matemáticas y puedan acceder al conocimiento de otras disciplinas. Entre las muchas aplicaciones, por ejemplo, se usan en la Historia, para saber cuándo ocurrió un hecho; en la Geografía, para los usos horarios y el cálculo de la hora en cualquier lugar del mundo, para ubicar una nave según la latitud, la longitud y la altura respecto del nivel del mar, para medir la humedad, la velocidad del aire o la presión atmosférica en cierto lugar; en la Música, para las frecuencias de las notas o los tiempos, ayudándose del metrónomo; en la Biología, para las fórmulas de las flores y si éstas son tetrámeras o pentámeras, y si tienen estambres libres o soldados; en la Física, para calcular el movimiento o el alcance de un objeto, o qué forma debe tener una cúpula para lograr una óptima acústica; en la Química, para obtener compuestos, midiendo las cantidades adecuadas de las sustancias que intervienen en las reacciones químicas. Un propósito de primer orden de la enseñanza de las Matemáticas en la secundaria es desarrollar los aspectos formativo e informativo (habilidades operatorias, de comunicación y de descubrimiento en los alumnos).
3 De acuerdo al enfoque que maneja el Plan y Programas de estudio de 1993 para Educación Básica, en particular Secundaria, y también señalado en el Libro para el Maestro, para cumplir con este propósito, las actividades en clase deberán permitir: • Adquirir seguridad y destreza en el empleo de técnicas procedimientos básicos a través de la solución de problemas. y
Al tener seguridad en lo que hace, el alumno tendrá menos dudas y fallas, realizará las tareas con más confianza en sí mismo y así aumentará su autoestima; la destreza le disminuirá la dificultad para llevar a buen término sus trabajos, los hará con habilidad y rapidez. Por ejemplo, si el maestro pide al alumno calcular la longitud de la diagonal del salón entre dos vértices opuestos, dados el largo, el ancho y la altura; el alumno, luego de mirar el salón, hace un dibujo y aplica el teorema de Pitágoras, y podrá usar sin vacilaciones este método a problemas donde le pidan calcular la diagonal entre vértices opuestos de un cubo o de un paralelepípedo. • Reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un problema.
Teniendo en consideración que para resolver un problema es necesario: 1. Leer cuidadosamente el problema hasta comprenderlo. 2. Ser capaz de reconocer los datos, la incógnita y la condición o condiciones. 3. Concebir un plan para resolverlo; de no encontrarse una relación inmediata, pueden considerarse problemas auxiliares. Obtener finalmente un plan de solución. 4. Ejecutar el plan. 5. Examinar la solución obtenida. Para el caso del ejemplo del punto anterior, el alumno deberá estar familiarizado con el teorema de Pitágoras y con algunas de sus aplicaciones a la geometría plana; si no tiene conocimientos de geometría del espacio, se puede confiar en su intuición. Para que el alumno comprenda bien el problema, el maestro señalará el salón e indicará con sus manos lo que se desea, luego preguntará cuál es la incógnita, cuáles son los datos, qué notación se usará, cuáles son las condiciones que relacionan a la incógnita con los datos, si se entiende el problema y no son necesarias más condiciones, si se conoce un problema relacionado y si se puede usar, si el problema se puede enunciar de otra forma, si se puede resolver un problema relacionado porque no se puede con éste, si se han usado todos los datos, si se está usando toda la condición del problema, sí la incógnita aparece en un problema similar. El alumno relacionará el problema con triángulos y con teorema de Pitágoras; así que, teniendo el plan, lo aplicará y luego verificará si su solución es coherente.
Se aplica la fórmula del teorema de Pitágoras en dos ocasiones. Si el largo del salón mide 8 m. Identifica la hipotenusa y los catetos. Hace la comprobación.4 Como un ejemplo de lo dicho se presenta para el caso del cálculo de la diagonal entre vértices opuestos del paralelepípedo recto que es la forma que tiene su salón de clase: a d h D l h D d l a d El alumno hace los dibujos para reconocer la situación. d = a 2 +l 2 Con esta fórmula puede calcular la diagonal (d) del piso del salón de clases. el ancho 6 m y la altura 3 m.44 m Comprobación: . Obtiene el resultado. D = h 2 + d 2 = (3m) 2 + (10m) 2 = 9m 2 + 100m 2 = 109m 2 ≈ 10. Observa que se forman triángulos rectángulos. entonces se tiene: d = (6m) 2 + (8m) 2 = 36m 2 + 64m 2 = 100m 2 = 10 m Comprobación : (10 m)2 = (6 m)2 + (8 m)2 100 m2 = 36 m2 + 64 m2 100 m2 = 100 m2 Ahora puede calcular la diagonal (D) con apoyo en el cálculo anterior.
Una de sus conjeturas puede ser la generalización del teorema de Pitágoras al calcular la diagonal entre vértices opuestos.44 m • Elaborar conjeturas. El alumno comentará sus formas o métodos de solución. procedimientos y resultados en forma clara y concisa. hará el dibujo donde muestre cómo se forman los triángulos rectángulos. En el ejemplo anterior. a partir de indicios y observaciones. empleando el vocabulario adecuado para que sus compañeros le entiendan. El alumno formará juicios probables sobre relaciones matemáticas entre elementos de un problema.44 m)2 = (3 m)2 + (10 m)2 108. podrá ver que su resultado cae en un rango posible.9936 m2 = 9 m2 + 100 m2 108. El alumno trazará acciones para resolver un problema. de acuerdo a las medidas del salón. El alumno encontrará semejanzas entre problemas distintos. En el caso dado. • Reconocer situaciones análogas. los comentará con el maestro y con sus compañeros. • Escoger o adaptar estrategias de solución. al socializar el conocimiento se dará cuenta de si su razonamiento es correcto. dibujará primero la diagonal sobre el piso del salón para obtener un triángulo rectángulo y luego trazará una segunda diagonal que quedará en el espacio y formará un segundo triángulo rectángulo. Por ejemplo. comunicarlas y validarlas. . el alumno recordará el cálculo de las dimensiones de un triángulo rectángulo. colocará una notación adecuada y mencionará correctamente la hipotenusa y los catetos. reconocerá una situación análoga en un paralelepípedo. En el ejemplo mencionado. • Comunicar estrategias. luego de calcular la diagonal entre vértices opuestos de un cubo.9936 m2 ≈ 109 m2 109 m2 = 109 m2 A partir de aquí puede generalizar y decir que para obtener la diagonal mayor se usa la fórmula siguiente: D= D= l 2 + a2 + h2 (8m) 2 + (6m) 2 + (3m) 2 = 64m 2 + 36m 2 + 9m 2 = 109m 2 ≈ 10.5 (10.
que la diagonal del salón entre vértices opuestos será mayor que el largo. podrá generalizar que en lugar de aplicar dos veces el teorema de Pitágoras es mejor extraer la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las tres dimensiones. consta de explicaciones. El razonamiento es una secuencia lógica de proposiciones que llevan a demostrar algo y se hace con orden y método. la altura y la diagonal sobre el piso. por ejemplo. • Desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo. . argumentos o motivos. y conocer cuál es el orden de magnitud que deberá tener el valor numérico del resultado. Si se conocen aplicaciones diversas del teorema de Pitágoras ello puede ser un incentivo para hacer la demostración geométrica formal del teorema.6 • Predecir y generalizar resultados. El alumno puede decir algo sobre el resultado sin haber llegado a él. el ancho.
lectura de números. decenas. Entre muchas otras cosas. por aproximaciones sucesivas. La aproximación le dará idea de qué respuesta debe obtener. Para operaciones laboriosas es mejor comprender los métodos de resolución y emplear la calculadora. • Conocer la idea de aproximación a través del cálculo de la raíz cuadrada y la estimación de errores en algunos casos sencillos..7 CAPÍTULO 2 Propósitos en los Programas de Matemáticas en la Escuela Secundaria Las actividades que se desarrollen en la escuela secundaria deberán ser variadas y ricas en posibilidades. decenas. Dados algunos números se pueden descomponer en unidades. La aproximación. Para el cálculo de la raíz cuadrada se manejarán diversos formas: método babilónico. centenas. ya sea en operaciones de compra-venta. Para estimación de errores se manejarán tanto el error absoluto como el error relativo. lo que se pagará por los productos tomados y al recibir el boleto de pago vean qué tan precisa fue su estimación. esta práctica continua mejorará su habilidad para llegar a resultados bastante aproximados. Puede pedirse a los alumnos que al ir de compras con sus padres vayan calculando mentalmente. . por lo que deben ejercitarse para desarrollar esta habilidad. con valor aproximado. el redondeo y el conteo son importantes para que el alumno llegue pronto a resultados correctos. obteniendo factores primos. El profesor puede empezar por proponer contextos distintos donde se usen números. Practicar procedimientos para realizar operaciones rápidamente. entre otros. los procedimientos de cálculo (y avanzar en su adquisición permanente). deberán permitir: • Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas muy variados. estimación mental de resultados y el uso inteligente de la calculadora (auxiliarse de ella en la solución de problemas). y ello le servirá para resolver problemas en su vida diaria..). es porque no identifican adecuadamente las posiciones de cada dígito (unidades. centenas. lectura de la sección financiera o de economía de los periódicos. resultados de operaciones. • Practicar los algoritmos de las operaciones.. Si los alumnos tienen problemas para leer correctamente números. por medio de la estimación y el cálculo mental. método usual.
Aquí son útiles los problemas donde interviene el precio de un producto y debe calcularse el de una cierta cantidad de productos iguales. las gráficas y su interpretación para utilizarlos en la solución de problemas. censos). las tablas. Lo mismo ocurre en cualquier experimento científico: en cualquier medición también se obtienen números aproximados. • Familiarizarse a través de ejemplos con el uso de literales.5 cm y al tomar uno al azar de entre la producción se observa que mide 2. Los cálculos realizados con números aproximados producen resultados aproximados. usarlos constantemente y encontrar criterios para pasar de unos a otros: la escritura simbólica. automóviles. En muchas situaciones de cálculo de la vida cotidiana no se exige exactitud.8 • Fuente de errores en los cálculos.52 cm. En cuanto a los errores pueden hacerse ejercicios con producción industrial. la diferencia entre el valor que resulta de la medición (valor aproximado) y el valor conocido (valor exacto) es el error absoluto. lo que indica su carácter aproximado. . Para la raíz cuadrada pueden resolverse problemas donde intervengan terrenos de superficie cuadrada y luego se calcule la longitud del lado del terreno. Se llama porcentaje de error al error relativo expresado como tanto por ciento. A esto se le llama acotación de error. Cuando se mide una cantidad conocida. • Acotación de errores. Luego familiarizarse también con otros medios de expresión matemática. sino una aproximación con un razonable margen de error. En todas las informaciones estadísticas (sobre producción industrial. Veamos a continuación un ejemplo: la longitud de un tornillo debe ser 2. los datos se dan en cientos o miles redondeados. de paréntesis y con otros temas que preparan el acceso al álgebra. • Iniciarse gradualmente en el razonamiento proporcional y sus aplicaciones. que se ofrecen por la radio o la prensa. como manufactura de tornillos. El error relativo se obtiene dividiendo el error absoluto entre el valor conocido. esto es. tienen un margen de error. es decir. puesto que los distintos aparatos de medición contienen cierto error. el error relativo y el porcentaje de error. a partir de estos datos se calcula el error absoluto. o el recorrido que hace un móvil en cierto tiempo y cuánto recorrerá en otro tiempo si la velocidad es constante. deben establecerse los límites aceptables de ese error.
de Pitágoras y la trigonometría para resolver diversos problemas de cálculo geométrico. resolver problemas que conduzcan al cálculo de perímetros y áreas de figuras usuales y combinadas. paralelepípedos y cuerpos formados por su combinación. entre otros recursos. • Plantear problemas que conduzcan a ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas. también podrán calcular el perímetro y el área de una cara (o de todo el cubo) o el volumen del geoespacio (cubo). Al emplear el geoespacio. dada la intención de este trabajo: • Practicar los trazos geométricos como una forma de acostumbrarse y perfeccionar el uso de los instrumentos de dibujo y medición. intersección de parábolas y/o circunferencias. ya que en él pueden construirse diversos sólidos y simular cortes para obtener secciones. Usar las fórmulas. así como emplear las fórmulas para ello. el método de la balanza y pueden sugerirse problemas de edades de dos personas. Por ejemplo. y resolverlas por diversos métodos. así como aplicar los productos notables a la factoración o factorización de polinomios de segundo grado. usarán el juego de geometría y se les enseñará el vocabulario geométrico correcto. Los tres puntos siguientes son los más importantes. Se recomienda usar. Lo mismo podrán hacer con diversos poliedros. luego de ver que el geoespacio es un cubo. cuadráticas (parábolas) e hipérbolas. usando el geoespacio. el alumno . así como la observación de secciones al cortar un sólido por un plano y el cálculo de volúmenes. Los alumnos dibujarán figuras sencillas para posteriormente trazar figuras compuestas. podrán planteárseles también problemas de cálculo de perímetros.9 Los alumnos deben elaborar tablas y gráficas de expresiones algebraicas. • Desarrollar la imaginación espacial a partir de la construcción y manipulación de modelos de sólidos y la representación plana de cubos. El teorema de Pitágoras se aplicará para calcular longitudes de diagonales donde se formen triángulos rectángulos. El geoespacio ayuda a visualizar y desarrollar la imaginación espacial. aplicando el isométrico. áreas y volúmenes. valor de objetos con ciertas condiciones y teniendo el precio total. prismas o pirámides. empezando con casos sencillos como y = mx + b. Las gráficas serán de funciones lineales (rectas). Luego de resolver ejercicios con diversos sólidos. los teoremas de semejanza. podrán dibujarlo en su cuaderno. explorar las propiedades de las figuras y apropiarse gradualmente del vocabulario básico de la geometría.
de los cuadriláteros. en el geoespacio podrá observar las propiedades de los paralelogramos. ambos de igual base y altura. Se harán experimentos con urna de Bernoulli. Por ejemplo. población y muestra. con las nociones de censo. monedas. • Iniciarse en el razonamiento deductivo y aplicarlo en situaciones geométricas y en otras situaciones matemáticas. Utilizar las reglas de la suma y el producto para hacer cálculos sencillos con probabilidades. tablas. Explorar y aplicar las nociones frecuencial y clásica de la probabilidad por medio de diversas actividades. . como la simulación. o la relación de volumen que hay entre un prisma y una pirámide. dados. las cuales podrá realizarlas luego de solucionar problemas variados usando el geoespacio. baraja y dominó.10 llegará a obtener la habilidad para resolver problemas ya sin el uso de este material didáctico. Para estos ejercicios pueden usarse las gráficas y porcentajes presentados en periódicos o en los libros de Geografía. • Conocer ejemplos de crecimiento geométrico o exponencial y compararlo con el crecimiento aritmético o lineal. • Familiarizarse con la noción de azar y algunas de las situaciones ideales de la probabilidad por medio del registro y la enumeración a priori de los resultados de experimentos aleatorios. así como utilizar el diagrama de árbol para enumerar y describir los posibles resultados de una experiencia aleatoria. cantidades absolutas y relativas. Utilizar el razonamiento deductivo para hacer demostraciones geométricas formales. encuesta. • Conocer el uso de porcentajes. gráficas y otras formas usuales de organizar y presentar la información. Se harán gráficas de rectas y parábolas o se verá el crecimiento de las poblaciones.
hacer preceder al curso racional un curso de carácter experimental donde los axiomas encuentren sus raíces naturales. para seguir un razonamiento lógico se necesitan memoria y lenguaje y el niño todavía tiene incipientes estas facultades. debemos. Si nos basamos en la hipótesis de que el ente geométrico se forma en la mente humana por abstracción. El educando no sólo se da cuenta de la necesidad de demostrar una proposición. Antes de iniciar un curso formal de geometría. A partir de la observación de figuras geométricas elementales. del mundo de las propiedades y relaciones de las figuras geométricas. Al trazar un triángulo. el niño observará el contorno de la figura y no dentro de ella porque no tiene la preparación para dar una interpretación general. en las ciencias. a partir de observaciones de objetos reales y de experiencias sobre éstos. Debe avanzarse de lo concreto a lo abstracto: observar. es necesario uno de geometría intuitiva. descubrirá que un cuadrado puede convertirse en rombo. el alumno irá descubriendo sus características y dará definiciones. porque le proporciona un conocimiento útil en la vida cotidiana. Por ejemplo. pero necesitará desarrollar un cierto grado de abstracción. y por su solo esfuerzo llegará a la definición. El curso formal de geometría consiste en adquirir el vocabulario y los conceptos propios de la materia. El material que se use con los adolescentes debe ser manejable y tal que se puedan hacer construcciones con él: será de carácter operativo.11 CAPÍTULO 3 La enseñanza de la Geometría en la Escuela Secundaria Es importante el estudio de la geometría en el nivel básico porque desarrolla la imaginación espacial del alumno y su capacidad para explorar. El material . en las técnicas y en diversos campos de la actividad humana. y porque lo prepara para razonar y demostrar conjeturas y comprender mejor las ideas relacionadas con el número. El curso de geometría debe dividirse en ciclos. representar y describir su entorno. accionar y manipular el objeto. si al niño se le dan tiras de madera articuladas con tornillos. aunque no profunda. se justificarán. Existe la imposibilidad de desarrollar para alumnos entre 11 y 14 años un curso de geometría formal porque carecen todavía de ciertas estructuras mentales necesarias para la comprensión abstracta. que permita a los niños tener las bases sobre las que se construirá el primero. para que el joven que deja la escuela a los 14 años tenga una idea completa. es decir. sino que sigue con dificultad razonamientos simples de carácter hipotético-deductivo. la medición y otras partes de las Matemáticas. sobre el plano didáctico.
relacionar. las construcciones con regla y compás son inútiles a una edad en que no pueden manejarse manualmente. . Para enseñar geometría hay que fijar objetivos mínimos en función de los cuales se programarán las actividades Los conceptos geométricos aparecerán y reaparecerán. y relacionar las magnitudes de longitud y área. crear o resolver problemas reales.Comparar. .Clasificar los triángulos y los cuadriláteros. el tema de escala puede enseñarse para hacer vestidos o mapas. Por ejemplo. . tener representaciones plurales. de procedimientos y de actitudes. .Objetivos conceptuales (6 – 12 años). por ejemplo. . pero sin someterse a una moda.12 debe ser artificial y transformable por continuidad para lograr ir de lo concreto a lo abstracto.. En la enseñanza de la geometría será deseable aquello que sea útil con rango futurible y pueda motivarse desde la actualidad: razonar correctamente (deductiva e inductivamente)...). 1. . y sólo así podrán consolidarse los conceptos. pero existen objetivos generales que toda persona debiera alcanzar luego de su formación básica: tener una cultura geométrica con visión histórica e interdisciplinar. Algoritmos de cálculo de áreas. .Objetivos de procedimientos (6 – 12 años). . deberán traducirse en diversos lenguajes. describir y contar los elementos de una figura plana. .Comparar y ordenar según longitudes y áreas. No debe enseñarse lo inútil: lo extraordinariamente inútil es aquello no adecuado ni al nivel ni a la capacidad del que aprende. clasificar y resolver.Conocer las transformaciones elementales del plano y sus propiedades más simples. . representar. abstraer. debe enlazar conceptos y motivaciones actuales. identificar y relacionar figuras según criterios diversos. pero no tendría sentido enseñar un juego gráfico de cambio de escala en la computadora. puesto que seguramente será obsoleto en unos cuantos años.Medir ángulos de polígonos.Enumerar. La enseñanza matemática debe estar ligada con el concepto de futuro y los cambios sociales se dan a velocidad vertiginosa. . Cuando el profesor enseña..Localizar figuras planas en los entornos reales.Generar figuras a partir de otras y diseccionar figuras. usar los diferentes lenguajes y representaciones. aplicar conocimientos geométricos para modelar. 2. Los objetivos que se persiguen en la enseñanza de la geometría son de tres tipos: conceptuales.Poseer nociones y métodos de medida. Bueno será plantearse objetivos que vayan de acuerdo a los ciclos 6-12 años y 12-16 años.Distinguir figuras y encontrar relaciones geométricas entre ellas que posibiliten clasificaciones sencillas (igual longitud o área. . etc.
Objetivos de actitudes (6 – 12 años).Definir conceptos y enunciar propiedades geométricas.Distinguir figuras lineales. . entre dichos elementos mediante el lenguaje adecuado. fenómenos y experiencias con diferentes lenguajes geométricos (palabras. elementos y relaciones geométricas. . .Reconocer la elaboración de modelos facilita el estudio de la realidad. . perpendicularidad. incidencia. Un comentario puede ser oportuno: nótese que se enfatiza en esta propuesta el estudio de la geometría plana y de la medida en longitud y área. .Mostrar inclinación por interrogarse y buscar respuestas a las cuestiones planteadas. expresiones. figuras o gráficas).. . compás. . . superficies y volúmenes.. semejantes o equivalentes según un criterio dado (en área o volumen). planas y espaciales.Inquirir.). . Construir modelos de figuras lineales. . Pitágoras. fórmulas. etc.. simetría. describiendo sus elementos y hallando las relaciones de igualdad. 3.. pero en absoluto se niega la vivencia del espacio tridimensional. .Conocer los términos que designan figuras.Valorar el esfuerzo y la planificación para descubrir y conocer.13 Emplear transformaciones geométricas planas para generar y clasificar figuras.. signos.. preguntar hasta obtener 1a información suficiente y organizarla para ser utilizada.Reconocer magnitudes y conocer unidades en el caso de longitudes. tanto planas como espaciales. . planas y espaciales. que es el gran objetivo de la geometría. Iniciarse en la utilización correcta de instrumentos de dibujo para representar figuras planas (regla.Objetivos de conceptos (12 – l6 años). .Utilizar correctamente los instrumentos geométricos para representar figuras planas y resolver problemas.).Describir situaciones reales. Se trata de una estrategia para llegar a él. 4. y toda actividad de construcción de modelos espaciales (que incluyan figuras planas conocidas) o de ver movimientos reales es absolutamente enriquecedora.. símbolos. . sabiendo deducir o inducir algunas fundamentales. Elaborar planos y representaciones sencillas. .Enunciar y explicar las relaciones métricas del triángulo y las propiedades sobre las que éstas se basan (Thales. escuadra. sabiendo métodos directos e indirectos para medir.Reconocer y explicar figuras congruentes. Aplicar las nociones y métodos de medida de longitud y área al resolver problemas reales y al deducir algoritmos de cálculo (fórmulas). ángulos.
.Hacer construcciones gráficas planas con instrumentos de dibujo. Valorar positivamente el uso correcto de vocabulario estudiado.Hacer representaciones planas del espacio. . gráfica y analíticamente con especial énfasis en los triángulos. Valorar positivamente las actividades destinadas a resolver cuestiones o descubrir hechos. etcétera. esquematizarlas y expresarlas en diferentes lenguajes (símbolo.. .. por método analítico y por método gráfico. tipos distintos de papel. fórmula. escogiendo la unidad adecuada e indicando el grado de precisión obtenido. .Estudiar figuras geométricas. formulando hipótesis y comprobarlas experimentalmente o razonarlas.Realizar observaciones sistemáticas. figura. .). . diseñar experiencias. 6. El alumno aprendió algunos elementos de geometría en la primaria o la desarrolló espontáneamente.14 Conocer y situar en el tiempo aspectos relevantes de la historia de la geometría y su relación con el progreso de la humanidad. .. ángulos.Usar los métodos inductivos y deductivos. .Objetivos de procedimientos (12 – 16 años). 5. los alumnos . . . Criticar la información que se recibe procurando contrastarla con los métodos o información que se posea. Mostrar disposición a interrogarse en cualquier situación. . generar y analizar figuras.Objetivos de actitudes (12 – 16 años). . superficies y volúmenes. .) sabiendo realizar los cambios de lenguaje. . etc. Reconocer la necesidad de utilizar instrumentos de medida y dibujo. en orden a conseguir claridad y concisión. palabra. . mapas.Usar las transformaciones geométricas (isometrías y semejanzas) para clasificar. Aquí. .. La enseñanza debe retomar este conocimiento y hacerlo evolucionar gradualmente hacia temas más avanzados. . clasificarlas...Construir modelos de figuras lineales. planas y espaciales. Abordar las situaciones problemáticas haciendo uso de todas las técnicas a su alcance: medir.Interpretar representaciones y deducir datos de las mismas (planos..Resolver problemas por tanteo.Clasificar y ordenar figuras planas y espaciales.Relacionar la geometría con las otras disciplinas.Aplicar la proporcionalidad directa o inversa a la resolución de problemas geométricos.Usar y calcular funciones trigonométricas. realizando la comprobación de las soluciones obtenidas y la discusión de las mismas. lo que incluye planificar. construir.Medir por métodos directos e indirectos longitudes. buscar medios adecuados. dibujar.
teoremas y demostraciones para que ellos las memoricen. sólidos y fórmulas para calcular sus perímetros. • Iniciarlos gradualmente al razonamiento deductivo a través de la demostración. comunicarlas y validarlas. áreas y volúmenes. Le presentan al estudiante las situaciones espaciales dibujadas en un plano y no es fácil apreciar el espacio en un plano. Con este modelo podrá el estudiante jugar e incluso crear situaciones propias. se sugiere en este trabajo el uso de un modelo físico espacial. Los propósitos principales de la enseñanza de la geometría en la escuela secundaria son: • Dar a los alumnos experiencias geométricas que les sirvan para entender. Proporcionarles conocimientos que les sirvan para resolver problemas cotidianos y para adquirir conocimientos de otras materias. Es difícil lograr un aprendizaje significativo de la geometría porque se obliga al alumno a memorizar y ello no nos lo pide el programa de secundaria. describir y representar su entorno y el mundo que habitan. por ello. La solución de problemas de geometría debe desarrollar en el estudiante la capacidad para producir conjeturas. la Historia. la Química. entre otras. y se les deben dar ejemplos muy variados de aplicaciones concretas. No es suficiente que se aprendan figuras. que pretende permita entender la geometría de una manera más accesible. . como la Física.15 deben conocer y usar con propiedad el lenguaje de la geometría. sino que deben poder explorar e investigar sus propiedades geométricas a través de su uso en numerosas oportunidades para resolver problemas con una realidad. No se conseguirá que los alumnos lleguen a la geometría formal dándoles definiciones.
Las aplicaciones muestran la utilidad de los conocimientos en la vida cotidiana. en las matemáticas y en otras disciplinas. como se restó 6 veces el 3. deben ser interesantes y que se puedan resolver con conocimientos previos. 3 – 3 = 0.16 CAPÍTULO 4 Características de las actividades para la enseñanza de la Geometría Situaciones didácticas y recomendaciones. 15 – 3 = 12. 6 – 3 = 3. si se recorta el tiempo asignado a una actividad planificada no se lograrán los propósitos que se hayan establecido. El objetivo de las actividades didácticas planificadas es ayudar al alumno a apropiarse de los conocimientos básicos y a que adquiera seguridad y destreza en la aplicación de algunas técnicas y procedimientos. . Los problemas de exploración y búsqueda son necesarios para formar conceptos. según sean acertadas o incorrectas. 18 y no funciona la tecla ÷ . 12 – 3 = 9. se plantearán preguntas a partir de casos particulares para llegar a generalizaciones. comunicar y justificar sus afirmaciones. deben contener elementos que permitan a los alumnos validar o rechazar sus propias conjeturas y soluciones. Para resolver un problema se necesita tiempo y debe contemplarse que éste alcance para que se desarrolle totalmente el trabajo. Por ejemplo. considerarse el ritmo de trabajo propio de los alumnos y se les animará a crear sus propios problemas. 9 – 3 = 6. La conjetura y el razonamiento. y con ello se dará cuenta que la multiplicación es una suma abreviada. Los problemas propuestos deben lograr que su resolución enriquezca lo aprendido y que se comprendan y asimilen nuevos conocimientos. orientada a proponer conjeturas y posibles soluciones. se puede proponer al alumno que 3 reste repetidas veces 3 a 18 hasta llegar a cero: 18 – 3 = 15. para desarrollar la capacidad de trabajo personal del alumno y de sus aptitudes para investigar. entonces el resultado de la división es 6 y el alumno concluye que la división es una resta abreviada. en todo momento. Si se quiere dividir Deberá. si el alumno quiere hacer la multiplicación de 5 × 8 y no le sirve la tecla x. deben provocar inmediatamente una actitud de búsqueda. por falta de una planeación adecuada. podrá resolver sumando 5 veces el 8: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40. desde la exploración hasta la apropiación del conocimiento. debe seguirse la actividad del alumno al resolver un problema para verificar que aplica sus conocimientos previos y que sus conjeturas van de acuerdo al propósito inicial de la actividad.
el uso de diferentes medios de expresión matemática para solucionar problemas: lenguaje simbólico. no se deben remarcar los errores del alumno. Otras actividades que se deben desarrollar en la clase son las siguientes: Procedimientos de cálculo. sino aprovecharlos. al dar ejemplos y contraejemplos reflexionarán más sobre los conocimientos y los procedimientos aplicados. . tablas y representaciones gráficas. Al alumno se le debe dar la oportunidad de expresar sus ideas. Es bueno diseñar actividades que se relacionen con otras materias para que el alumno observe la aplicación de las matemáticas en diversos campos. y luego todo el juego de geometría. el uso de la calculadora como un auxiliar para solucionar problemas. los alumnos pueden organizarse por equipos para discutir y comparar sus soluciones. incluyendo el cálculo y la estimación mental de resultados. los trazos y las construcciones geométricas. la iniciación gradual al razonamiento deductivo. a través de un análisis. para una mejor comprensión de los temas. Debe ponerse atención a los equipos para que todos trabajen.17 Para ello. primero usando sólo el compás y la regla sin graduar. comunicarlas y discutirlas.
2) Sean materiales claros y objetivos que se acerquen a la realidad. como las representaciones. como las películas. Pueden clasificarse en tres grandes grupos: ! ! ! Materiales audibles. Emma Castelnuovo ha dicho que “es mejor construir que describir”. como transparencias y fotos fijas.18 CAPÍTULO 5 El geoespacio como recurso didáctico Los recursos didácticos son todos aquellos medios que se utilizan para proporcionar al alumno las experiencias sensoriales en una introducción natural y segura del conocimiento. Se trata de una tabla cuadrada o rectangular. que pudiese considerarse dentro de las maquetas. como las grabaciones y el radio. carteles y maquetas. en la que se hace una red de cuadrados. que estimulan específicamente el sentido del oído. . se transforman o se anulan. El geoespacio es un material visual y manipulable. Dentro de la variedad de materiales didácticos para la enseñanza de la geometría. o no proyectados. como pizarrón. porque para el aprendizaje matemático hacen falta “bases reales”. que estimulan simultáneamente los sentidos de la vista y del oído. La efectividad en el uso de los recursos didácticos depende de que: 1) Se seleccionen de manera tal que ayuden en la enseñanza. las marionetas y las excursiones. que facilitan el aprendizaje a través de estímulos al sentido de la vista y que pueden ser proyectados. adecuado y versátil es el geoespacio. de tamaño variable (25 cm x 25 cm para niños. Materiales audiovisuales. uno que tiene las características de ser simple. El inconveniente es que no materializa los “barridos” (de ángulos. en cuyos vértices se clavan puntas-alfileres de cabeza pequeña. Materiales visuales. pueden ser proyectados. Con ligas de colores se realizan las figuras. los sonoramas y los programas de la televisión. o no proyectados. En el geoplano se construyen figuras vivas. un material que dimensiona el estudio experimental y dinámico del espacio: es el geoplano. por ejemplo) como en el cine. 3) Propicien una mayor actividad en los alumnos. puede someterse el plano (materializado en el geoplano) a un movimiento global. El doctor egipcio Caleb Gattegno preparó en 1921. 75 cm x 75 cm para el maestro). Realizada la figura.
Con trozos de alambre se materializan las figuras del espacio. y con una medida de 24 centímetros por arista. así. la formación matemática debe procurar que los niños sean capaces de hallar en las cosas “lo matemático”. Emma Castelnuovo. lo han llamado geoespacio y sus posibilidades son sensiblemente menores. la distancia entre una argolla y otra será de cuatro centímetros. particularmente las poliédricas. que a continuación se detallan: Descripción. El geoespacio tiene algunas reglas: 1. menciona en su libro "Didáctica de la Matemática" (Florencia. Se propone como el modelo más conveniente para trabajar con los alumnos el geoespacio de siete argollas en cada arista. Las unidades lineales se miden de argolla a argolla. El geoespacio es una estructura cúbica que lleva un sistema de argollas dispuestas en las aristas. Aquí se presenta con algunas adecuaciones. Italia) el uso de una jaulilla de forma cúbica. Pudiéramos hacer la consideración de que el geoespacio está formado por seis geoplanos (un geoplano en cada cara del geoespacio). Como ha dicho Puig Adam. “la formación matemática realiza una tarea inversa a la técnica”. El geoespacio es ortogonal: las aristas son perpendiculares a los planos que forman el geoespacio. están impregnados de matemática. 2. recordando a Puig Adam. . lo que puso el técnico. todos los productos industriales tienen una índole matemática. cuyos lados han sido hechos con red metálica para poder estudiar cortes o secciones.19 Pescarini y Puig Adam presentaron en 1935 una modificación del geoplano para hacer posible el estudio del espacio de tres dimensiones. donde podrán colocarse ligas de colores para formar sólidos y presentar diversas situaciones didácticas. Consta de tres paredes de tela metálica fina formando un triedro. auxiliándose del rayo de luz de un proyector. El estudio del espacio tiene numerosas ayudas en los productos de la técnica.
Cuando en un análisis concreto se tienen rectas oblicuas se aplica el teorema de Pitágoras para determinar su medida. por equipos o grupalmente. observar y experimentar. 4. puede manipular. la razona y responde ciertas preguntas que lo lleven a lograr el objetivo de la lección. el alumno arma el geoespacio. dirigido adecuadamente por el profesor. coloca ligas en él para formar la figura que se le indica. intercambiará puntos de vista con sus compañeros y con el profesor. El geoespacio ayuda a enseñar algunos contenidos de geometría y lleva al alumno a la curiosidad de explorar. bien sea en el plano o en el espacio. ya sea individual. Para iniciar la actividad. para ello. .20 3. 5. dibuja la situación que armó.
en un formato que pueda usarse. debemos tener una teoría del funcionamiento intelectual para evaluar la posibilidad de que las presentaciones pedagógicas específicas lleguen a formar la comprensión adecuada. al igual que otros educadores. mostró interés por los procesos cognoscitivos humanos: “los medios por los que los organismos consiguen. Bruner. . Bruner defendió la relación entre psicólogos. y sus experimentos se refirieron sobre todo al aprendizaje de las matemáticas. Dicho de otra forma. educadores y matemáticos. hay que hacer algo más que señalar dichas estructuras. así que estudió a niños individualmente. Estudió las estrategias que usan los adultos para ordenar y clasificar. buscaba desarrollar procedimientos elegantes para la enseñanza de las matemáticas e intentaba demostrar la capacidad de los niños para comprender conceptos matemáticos sofisticados. retienen y transforman la información” . De allí. también se deben determinar qué capacidades cognoscitivas aportan los niños al aprendizaje de las matemáticas. Bruner desarrolló un programa extenso de estudios de laboratorio sobre los procesos cognoscitivos propios del pensamiento y del aprendizaje. Bruner puso atención a los procesos cognoscitivos de los niños y se interesó en cómo ellos representan mentalmente los conceptos e ideas que van aprendiendo. El producto final de tal sistema de codificación y procesamiento es lo que podemos llamar representación. en condiciones experimentales de enseñanza. y se enfocó muy en especial al desarrollo conceptual. Bruner decía que lo importante de la memoria no es el almacenamiento de la experiencia pasada. sino la recuperación de lo relevante. Estos estudios se vieron opacados por la influencia de la psicología conductista durante varias décadas. para que sea relevante y aprovechable en el presente cuando se necesite.20 CAPÍTULO 6 Características del cuaderno de actividades con el geoespacio a) Postura psicopedagógica sobre el aprendizaje Para que los estudiantes más jóvenes comprendan las estructuras matemáticas. y cómo se interrelacionan con las capacidades de los niños los actos de enseñanza que presentan dichas estructuras. Esto depende de cómo se codifica y se procesa la experiencia anterior. Jeroneme Bruner combinó los objetivos de la psicología experimental con los del estudio del trabajo en el aula.
y finalmente. Aquí también se necesitan las facultades de la vista y el tacto para ubicar al estudiante en el terreno del aprendizaje multisensorial. de esta forma irá desarrollando sus estructuras mentales. Las imágenes mentales no incluyen todos los detalles sucedidos. Se cree que este modo es el único por el cual los niños pequeños pueden recordar las cosas (Piaget llama a esta etapa la sensoriomotriz). Por ejemplo. El niño puede dibujar o trazar los materiales con los que se trabajó en la primera etapa. El modo icónico es el paso de lo concreto y lo físico para entrar en el campo de las imágenes mentales. cada modo depende del anterior y exige . Se desarrollan en ese orden. tanto escolar como extraescolar. Los materiales deben ser de fácil manipulación para que construya sus propios conocimientos. aquí. La representación simbólica se da por la aparición de la competencia lingüística. El desarrollo de estas tres etapas llevará al alumno a la aplicación del proceso enseñanza-aprendizaje en su vida diaria. según Bruner. luego podrá imaginarlo para hacer operaciones o manipulaciones. El alumno simbolizará los objetos que manipuló y dibujó en las etapas anteriores. con lo que pasa de lo concreto y lo físico al terreno de las imágenes mentales. un niño cuenta cubos tal como lo aprendió dando un golpecito a cada uno. que ubican naturalmente al joven en el terreno del aprendizaje multisensorial. icónica o gráfica y simbólica o abstracta. siguiendo cada paso para representar en el papel lo percibido con la manipulación. pero no tiene por qué parecerse a ella. a partir de la acción con objetos fisicos. esta primera aproximación incluye las facultades de la vista y el tacto. El alumno debe tener un primer acercamiento a los objetos de estudio por medio de la manipulación y la percepción. y dibujará algo de lo percibido en la manipulación.21 Hay diferentes formas de representación y Bruner describe tres formas de representación: enactiva o concreta. llegando así a la abstracción del conocimiento. al cual puede ver y tocar (aprendizaje multisensorial). Uno de los recursos didácticos a usar para que el alumno incorpore nuevos conocimientos es el geoespacio porque trabajará con un modelo concreto. un símbolo representa una cosa. Los símbolos los inventan las personas para referirse a objetos y se comparten porque se ponen de acuerdo en ello. simbolizará el objeto manejado en las etapas anteriores para lograr la abstracción del conocimiento. Los tres modos de representación se relacionan evolutivamente. el niño “se imagina” una operación o manipulación para recordar el acto y para recrearlo mentalmente cuando sea preciso. La etapa enactiva es un modo de representar situaciones pasadas mediante una respuesta motriz adecuada. sino que abrevian los sucesos representando sólo sus características importantes.
así como sus conocimientos matemáticos y geométricos aplicados en las diferentes actividades. Se pueden combinar los procesos psicológicos y matemáticos en la enseñanza basada en la estructura. hay formas de presentar los conceptos complicados de tal manera que los niños de cualquier edad los puedan entender en un nivel adecuado a sus capacidades intelectuales y a su experiencia. las regletas de Cuisenaire o los geoplanos de Gattegno. En la primera etapa. Además de hacer los dibujos y contestar las preguntas relacionadas. La forma en que los seres representan mentalmente las cosas se pueden traducir a formas de representar los conceptos en el aula. Para Bruner. En el segundo. En la tercera etapa llegará a la abstracción al simbolizar el geoespacio. el individuo utiliza el pensamiento lógico todo lo posible. Estos materiales se pueden recordar de forma icónica. las propiedades y las fórmulas. cuentas) permite la representación enactiva de los conceptos numéricos. Para evaluar el profesor al alumno. el alumno manipulará un objeto. bastoncitos. Esta formulación de Bruner equivale a una teoría de las etapas de desarrollo del intelecto. lo observará a lo largo de las clases y verá su trabajo. una percepción no basada en el razonamiento) de algo que no está totalmente entendido. En el primero.22 mucha práctica en el mismo para pasar al siguiente. Esta vaga percepción le impele a un esfuerzo constructivo o creador para conformar la intuición por medio del razonamiento lógico. el sujeto adquiere una percepción intuitiva (es decir. que es el geoespacio. El geoespacio es un material didáctico. Hay distinciones entre pensamiento analítico y pensamiento constructivo. también resolverá un cuestionario breve al final de cada lección. La manipulación de objetos (cubos. tanto individual como por equipo. En la segunda etapa dibujará lo que manipuló y tendrá una representación gráfica. de modo que sus conceptos están claramente definidos y formulados antes de usarlos. y los códigos de color del valor posicional de las cifras enriquecen las imágenes mentales. . Para enseñar se deben presentar conceptos que respondan a los modos hipotéticos de representación. así como los bloques aritméticos multibase (BAM) de Dienes.
otras serán de iniciación en ciertos temas y algunas más servirán para reafirmar los conocimientos adquiridos. Desarrolla un espíritu crítico y reflexivo. se pide a los alumnos que coloquen ligas en las argollas del geoespacio para armar cierta figura. Resolver problemas permite aplicar conocimientos previos y entenderlos mejor. El alumno puede crear nuevos problemas a partir de alguno que resuelve. Resolver un problema permite aplicar conocimientos y adquirir rapidez o habilidad. La resolución de problemas es un medio integrador del conocimiento porque: Construye conceptos. se presenta el dibujo de un geoespacio para que en él se trace la situación dada. ángulos entre paralelas cortadas por una transversal en el segundo grado y el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones en el tercer grado. Se discutirán situaciones geométricas. El geoespacio le permite al alumno razonar sobre las actividades que resuelve porque visualiza lo que de otra forma no haría. los diferentes tipos de triángulos en el primer grado. El geoespacio ayudará a entender. El aprendizaje necesita ser de mantenimiento e innovativo. meditar y reflexionar sobre cómo llegar a la solución. Algunas actividades tendrán la intención de saber qué conocimientos previos tienen los estudiantes. finalmente se tiene un breve cuestionario para evaluar al estudiante. pero también aritméticas y algebraicas. Para resolver un problema se debe razonar. se le pedirá que verifique sus respuestas con la información dada. se hacen preguntas sobre la actividad y se presenta información sobre el tema en un recuadro sombreado. luego de que se armó. que platique sus experiencias con este material y se les preguntará sobre los conceptos teóricos aplicados en las actividades con el geoespacio. reglas. además de observar su trabajo a lo largo de la clase. conceptos y resolución de problemas. Desarrolla la creatividad. fórmulas. Para enseñar y aprender Matemáticas se consideran hechos. Resolviendo actividades con el geoespacio se desarrolla la imaginación espacial. Para evaluar al alumno. . Desarrolla habilidades matemáticas. por ejemplo. algoritmos. ya que el alumno verá físicamente el modelo espacial (ver figuras que aparecen más adelante).23 b) Enfoque metodológico del cuaderno de actividades con el geoespacio Las características del conjunto de ejercicios son las siguientes: Se dan en un recuadro el nombre o titulo del tema y el objetivo que se persigue.
485281374 u Ahora.485u ) = 36u 2 + 72u 2 = 108u 2 ≈ 10. entonces d = (6u ) 2 + (6u ) 2 = 36u 2 + 36u 2 = 72u 2 ≈ 8.24 Por ejemplo. para calcular la medida de la diagonal entre vértices opuestos de un cubo: D l d l Se analiza primero la base para obtener la diagonal d: l l d l l l d Si l = 6 u.39230485 u 2 l D d Esto puede permitir intuir la generalización para obtener la diagonal entre vértices opuestos consistente en obtener la raíz cuadrada de la suma de los . para obtener D: D = (6u ) 2 + (8.
Promueve el desarrollo gradual del razonamiento. como son la adición. así como tiene miedo a lo desconocido. al jugar el alumno con un material didáctico. el alumno puede explicarlos de manera clara. Teniendo enfrente un problema se pensará en los datos y qué método puede ser útil para su resolución. se pide al estudiante . Pensando en la forma de resolver un problema se logrará resolver otros. Esto es correcto porque. que se propician con la resolución de problemas: El cálculo mental. si las entienden les gustarán y su actitud será de aceptación. Al visualizar las situaciones. Influye en la formación de valores y de actitudes positivas hacia las Matemáticas. Al tener un modelo físico. el alumno entenderá los conceptos y podrá aplicarlos para resolver problemas. al alumno se le facilitará llegar a las demostraciones geométricas formales. A continuación se mencionan algunas habilidades matemáticas. Al entender conceptos. y cada vez se le dificultará menos. el estudiante pensará en diversas formas para resolver los problemas presentados. D= (6u ) 2 + (6u ) 2 + (6u ) 2 = 36u 2 + 36u 2 + 36u 2 = 108u 2 ≈ 10. Para la adquisición de destrezas se promoverá el uso de instrumentos de dibujo. Apoya el descubrimiento de relaciones y procedimientos. el aprendizaje será divertido y el estudiante adquirirá la disciplina para estudiar. Los alumnos pueden detestar las Matemáticas si no existen personas que se las muestren de forma agradable.25 cuadrados de largo. Entre las destrezas que desarrollará el joven estará la rapidez para aplicar métodos de resolución de problemas matemáticos. hace una actividad que le gusta. Al tener frente a si un problema se piensa sobre la forma o formas en que éste se puede resolver.3923 u Promueve el uso de estrategias. Favorece los procesos de comunicación de ideas. ancho y altura. la multiplicación y la división. de medida y de cálculo. Da seguridad y confianza en sí mismo. Ayuda a la adquisición de destrezas. sin necesidad de usar lápiz y papel o calculadora. A través del cálculo mental se darán resultados de operaciones aritméticas. la sustracción. Teniendo un modelo físico. Cuando el alumno conoce algo se siente seguro.
o colocará en diversas posiciones su geoespacio para visualizar mejor la situación problemática. de paralelogramos o sólidos. como las de ángulos. Permita descubrir o generar nuevos conocimientos. Algunas características que hacen que un enunciado sea un problema. ordenar elementos por sus características La generalización. de cuadriláteros. La estimación. La reversibilidad de pensamiento. Permite abstraer algo que es común a varias cosas para formar un concepto general que las comprenda a todas. verá situaciones espaciales en un modelo físico. podrá descomponer o reunir superficies o sólidos para recorrer posibles soluciones en ambos sentidos. si no encuentra solución por un camino. La clasificación.26 resolver operaciones sencillas mentalmente y poco a poco se le van proponiendo operaciones con números mayores o más complicadas. La flexibilidad de pensamiento. Algunas de las estrategias a usar pueden ser: . Permite diferenciadoras conocidas. Una vez resuelto un problema puede tomarse el camino inverso para comprenderlo y verificar que la respuesta es correcta. Permita usar diversas estrategias de resolución. realizará algunas clasificaciones. de triángulos. Permita el desarrollo de habilidades matemáticas. buscará por otros. como la del teorema de Pitágoras al aplicarlo al espacio. Estas habilidades se promoverán con este material al pedir al alumno que haga cálculos o estimaciones mentales para que tenga idea de en qué rango se ubicará su respuesta. Su solución no sea inmediata. las cuales quizá se le dificulten al verlas en un dibujo porque éste se encuentra sólo en dos dimensiones. Ponga en juego las experiencias previas del estudiante. realizará generalizaciones resolviendo problemas. La imaginación espacial. Se desarrolla a partir de la construcción y la manipulación de modelos de sólidos y la representación plana de sólidos. es que presente una situación que: • • • • • • Sea un reto. Esto permite enfocar de diversas formas un problema para encontrar su solución. Usando los algoritmos se hacen cálculos aproximados de operaciones.
Reconocimiento de un patrón. Modelar el problema. Representar la información por medio de diagramas y gráficas. Experimentar con la calculadora. Elaborar listas. Establecer analogías. Uso de tablas. . Ir de atrás hacia delante. Recurrir a dibujos. Se pretende que entre alumnos y maestro experimenten cada una de ellas y otras posibles.27 • • • • • • • • • • • Ensayo y error. Formular y probar hipótesis.
Una misma herramienta se puede adaptar a diversos problemas o varias herramientas a un solo problema. Calcular el área de varios entre ellos. • Los conocimientos buscados por el aprendizaje (contenido o método) son herramientas adaptadas al problema. hay un rectángulo de área igual a 70 cm2. uno de área de 72 cm2.. ¿hay de área comprendida entre 70 cm2 y 72 cm2? P = 2(a + l) = 2(6 cm + 11 cm) = 2(17 cm) P = 34 cm a = 6 cm l = 11 cm a = 7 cm P = 2(7 cm + 10 cm) = 2(17 cm) = 34 cm A = al = (7 cm)(10 cm) = 70 cm2 l = 10 cm .. En el aprendizaje. En los problemas se tiene: • El enunciado (contexto y preguntas) tiene sentido para los alumnos. Douady se basa en tres puntos: la dialéctica herramienta-objeto. • El problema puede formularse al menos en dos marcos diferentes (pudiera ser el algebraico. los alumnos pueden iniciar un procedimiento de solución.). la dialéctica antigua-nueva y los juegos de marcos. Supóngase que se tiene el siguiente problema: Se trata de los rectángulos de perímetro P fijado en 34 cm ó 36 cm. Para organizar la enseñanza. ¿Puede el área adquirir valores tan grandes como se quiera o bien hay un valor que es el mayor posible? Para P = 34 cm. el geométrico.. consideramos los trabajos “desequilibrios-reequilibrios”. se expondrán algunas ideas de Douady (1984) sobre los juegos de marcos y dialéctica herramienta-objeto. el aritmético. los cuales se engranan a partir de problemas que responden a varias condiciones.27 c) Descripción de la secuencia didáctica Para explicar la secuencia didáctica. Se ordenan los rectángulos según el área de la menor a la mayor. y el alumno debe ser capaz de usar sus conocimientos para resolver situaciones. • De acuerdo a sus conocimientos. pero no pueden resolver completamente el problema.
pero no conociendo ni los decimales ni la multiplicación de dos fracciones.28 a = 8 cm P = 2(8 cm + 9 cm) = 2(17 cm) = 34 cm A = al = (8 cm)(9 cm) = 72 cm2 l = 9 cm Es interesante el problema porque se maneja el parámetro P y los alumnos ya conocen los enteros (operaciones y orden) y las fracciones. saben calcular el área de rectángulos que tienen dimensiones enteras. tienen una concepción geométrica del área en el caso en que las dimensiones no sean enteras. El objetivo del aprendizaje es la extensión de la multiplicación a los números fraccionarios: .
al tomar la medida ⎜ 8 + ⎟ cm. como en el caso de un rectángulo que responda a una condición suplementaria: área comprendida en un intervalo fijo o tomando un valor máximo.29 CAPÍTULO 7 Dialéctica herramienta-objeto Dado un problema. pero hay que modificar la práctica. los alumnos a quienes se dirige el problema. pueden mostrar rectángulos aceptables cuyas dimensiones son enteras. numéricamente es menor que 2⎠ ⎝ 9 cm. la dialéctica herramienta-objeto es el proceso siguiente. una de 81 cm2. 9 cm? 2⎠ ⎝ ¿Cómo comparar esas dos áreas?: ¿geométricamente? ¿por el cálculo? Se necesitaría determinar el área del cuadrado ¿cómo hacerlo? Esas nuevas preguntas llevan a los alumnos a tratar de adaptar nuevos medios. con varias fases que cubren funciones diferentes. Pero la investigación puede también avanzar bajo la sola responsabilidad de los alumnos. 1⎞ ⎛ Por ejemplo. Así. b) Nueva búsqueda implícita Los alumnos encuentran dificultades para resolver completamente el problema si la estrategia primitiva se vuelve muy costosa (muchas operaciones. 9 cm es el de área más grande. para P = 34 cm sucede que el rectángulo de dimensiones 8 cm. A un lado de 8 cm corresponde un área de 64 cm2 y a un lado de 9 cm. Los cambios de puntos de vista y los juegos de marcos son medios a disposición del enseñante para hacer avanzar la etapa de búsqueda en forma fructuosa. En esta etapa de se habla de lo "nuevo implícito". ¿Tendría 1⎞ ⎛ el cuadrado de lado ⎜ 8 + ⎟ cm un área mayor que el rectángulo 8 cm. El área buscada es intermedia. Los progresos eficaces provienen de un cambio de marcos y ello permite poner en acción nuevas herramientas por la extensión del campo de intervención o por su misma naturaleza. . y para cada uno de ellos calcular el área y luego ordenar los resultados. llamando a y b a las medidas de los lados. Limitándose a los rectángulos de dimensiones enteras. Pero para P = 36 cm se encuentra que es el cuadrado de 9 cm de lado. mucho tiempo. a) Antigua Los conceptos se usan como herramientas para resolver al menos parcialmente el problema. peligro de error e incertidumbre sobre el resultado) o ya no funciona y se plantean nuevos problemas. que 2a + 2b = 34 ó a + b = 7.
8 + )? 8 8 De igual forma. se tiene que el A B C área buscada es (72 + D 1 ) cm2 4 El área del cuadrado es más grande. Por ejemplo. Se 64 15 necesitan 15 para cubrir el rectángulo pequeño. ¿cuál es el área del 5 3 rectángulo que corresponde a (8 + . b) no enteros y tales que a + b = 17 Cada pareja de números proporciona las medidas de los lados de un rectángulo del que quiere conocerse el área.30 En el campo geométrico. a buscar parejas de números (a. El área de éste es cm2 (15 64 1 × ). se trata de adición de áreas: se tienen cuatro partes: área del cuadrado: 64 cm2 1⎞ ⎛ área de los rectángulos B y C ⎜ 8 + ⎟ : 4 cm2 2⎠ ⎝ 1 1 1 área del rectángulo D: × = cm2 2 2 4 Al sumar las cuatro partes. pero en la cercanía del cuadrado. El rectángulo es descompuesto en q s cuatro partes de las que saben calcular el área de cada una por medios diferentes . en el marco numérico. el rectángulo se descompone en cuatro partes y surge el 3 5 problema de si el rectángulo pequeño es el que corresponde a (8 + . El área de un cuadrado pequeño es cm2. Los alumnos puntualizan un método que les permite obtener el área de un 64 p r rectángulo de dimensiones m + . pero un pequeño cuadrado cabe un número de veces exacto en el rectángulo pequeño y en el cuadrado unidad. ¿habría allí un área aún más grande? Los alumnos son llevados a extender la correspondencia entre longitudes y áreas en medidas no enteras. n + . Ello lleva. Se necesitan 64 cuadrados pequeños para 1 cubrir el cuadrado unidad. Ese 8 8 rectángulo pequeño no cabe un número entero de veces en el cuadrado unidad. 8 + ).
En las situaciones de comunicación. Esta novedad a retener está destinada a funcionar ulteriormente en tanto que antigua. la estructuración personal es de primera importancia en matemáticas . d) Institucionalización-estatuto de objeto El enseñante expone lo que es nuevo y debe relacionarlo con las conversaciones usuales. y para cada uno una manera de señalar su propio saber y con ello asegurarse la progresión. demostraciones. el cuadrado tiene la mayor área. Aún cuando el grupo ha resuelto el problema. el saber se difunde diversamente según los alumnos. En realidad. n × p × 1 1 . teoremas. Esa es la finalidad de la fase siguiente. el enseñante tiene el cargo de dar un estatuto de objeto a los conceptos utilizados en su aspecto de herramienta. darles un estatuto de objeto matemático es una condición de homogeneización y de constitución de un saber de la clase. Se trata aquí de un nuevo explícito que puede ser re-usado y hacerse familiar.31 y adaptados de los ejemplos descritos antes: m × n. Se puede también tratar de convicciones que hayan sido el objeto del debate y dando lugar a la formulación argumentada: por ejemplo.m× r× . el producto (m + ) × (n + ) es la suma de los q q s cuatro términos anteriores. Oficializar conocimientos que hasta el momento sólo han sido herramientas. gracias a un juego entre el marco geométrico y el marco numérico. no todos han reaccionado igual ante las herramientas movilizadas. Por convención. los alumnos extienden la multiplicación a los números fraccionarios. Así. entre los rectángulos que tienen un perímetro fijo. pero aún no ha llegado el momento. × ( Numéricamente. Son formulados en términos de objeto o de práctica con sus condiciones de empleo para el momento. de su propiedad de aproximar con la precisión tan grande como se desee una medida que no se sabe expresar exactamente con los números conocidos. En el caso de la escritura con números decimales.p× r q s p 1 r × s). de su comparación. En esta fase se discute colectivamente la validez de los trabajos y las propuestas de los alumnos. c) Explicitación e institucionalización local. señalando lo esencial y lo secundario. Algunos elementos han sido importantes en la fase anterior y pueden ser apropiados ahora para los alumnos. marcos a la vez autónomos y en relación gracias a la medida. Expone la clase presentando de manera organizada y estructurada las definiciones.
cuyo estudio de variaciones permite situar 402 entre los valores del producto a x b y distinguir cada vez más el rectángulo buscado. La referencia al cuadrado de igual perímetro que el rectángulo buscado lleva a una conjetura y una argumentación geométrica que cierra el asunto. f) La tarea o el nuevo problema se hace más complejo El enseñante propone a los alumnos resolver un problema más complejo. donde a + b = 41. b) a a × b. Por ejemplo. Falta ponerlos a prueba en situaciones más complejas. integran el saber social confrontándolo a su saber particular.32 para que haya efectivamente saber. Para perfeccionar esta estructuración. e)Familiarización-reinversión El enseñante pide a los alumnos que resuelvan ejercicios variados que necesitan las nociones recientemente institucionalizadas. incluso rebasar 402 cm2. Al proceder. Los alumnos han resuelto para otros valores numéricos. el alumno debe poner a prueba por él mismo los conocimientos que cree haber adquirido y hacer el balance sobre lo que sabe. Aquí la herramienta esencial es la función donde se va de (a. eso nos lleva a buscar explicaciones en el marco geométrico y formular el problema de otra manera: el área puede ser bastante grande para alcanzar. A partir de aquí. El conocimiento de la clase se enriquece con un teorema. . donde los alumnos podrán probar y desarrollar su dominio de las nuevas adquisiciones. Pero los alumnos los abordan con conceptos que han evolucionado y que les permiten considerar un campo más amplio de problemas. Se vuelve ahora objeto de estudio en el caso general. buscar un rectángulo donde: • el semi-perímetro sea igual a 41 cm y el área 402 cm2 • el semi-perímetro sea igual a 39 cm y el área 402 cm2 Los números decimales serán una herramienta técnica. pertinentes en relación al problema y entonces el estudio se traducirá en cálculos sobre los números decimales elegidos por su comodidad de cálculo. los alumnos desarrollan hábitos y habilidades. Esos ejercicios sólo ponen en juego lo conocido. Si se fracasa en el procedimiento de a + b = 39. Deberán hacerse preguntas más precisas. Ese es el objetivo de la fase siguiente. el objeto estudiado es susceptible de situarse como antiguo para un nuevo ciclo de la dialéctica herramienta-objeto.
. 3) Por la experiencia que se tiene.33 Observaciones 1) A veces más de un ciclo (a. c. otras pueden ser objeto de un aporte directo por el enseñante o por la lectura de un manual. puede llegarse a la siguiente hipótesis: mientras que suficientes nociones buscadas por el aprendizaje sean introducidas por la dialéctica herramienta-objeto. Un problema didáctico importante es el de criterios de selección.. de la organización y de la articulación de las nociones según su modo de introducción. b. Es el caso de las funciones y las representaciones gráficas. c. a.) es necesario antes del desarrollo de un ciclo de la dialéctica herramienta-objeto. b. 2) Puede ocurrir que hábitos y prácticas familiares necesiten años antes de dar lugar a objetos de saber. ..
Con ello hacen correspondencia entre distintos marcos (entre objetos y entre relaciones). hechos a iniciativa del enseñante. Para acercarse a la respuesta pueden primero buscar soluciones aproximadas y buscan parejas de números cuya suma es 41 y esperan que el producto sea cercano a 402. cuyo perímetro y área tienen medidas impuestas. 402. pero la gráfica tiene limites de visibilidad. Se trata del desarrollo de un procedimiento donde se distinguen tres fases: 1) Transferencia e interpretación Los alumnos se enfrentan a un problema dentro de un cierto marco. prácticas y hábitos. en ocasión de problemas escogidos convenientemente. que no lo hubieran logrado sin la representación gráfica. 3) Mejoría de las correspondencias y progreso del conocimiento La comunicación entre marcos es un factor de re-equilibración.34 CAPÍTULO 8 Juegos de marcos Los juegos de marcos son cambios de marcos. 2) Correspondencias imperfectas Las correspondencias entre los marcos son imperfectas por razones matemáticas o por conocimientos insuficientes de los alumnos. 41. la situación es fuente de desequilibrio entre sus convicciones y lo que saben hacer. Esto los puede llevar a una conjetura: cuando se reduce la diferencia . Al hacer ensayos buenos y malos. y el producto. De acuerdo a sus conocimientos. b) y seleccionarán nuevas parejas mejores. Traducen numéricamente ese problema por la búsqueda de dos números de quienes conocen la suma. Están a punto de manipular implícitamente funciones que sus conocimientos matemáticos no permiten controlar. Han podido así visualizar la variación del producto en función de la pareja (a. El problema de buscar un rectángulo de 41 cm de semi-perímetro y un área de 402 cm2 está formulado en el marco geométrico. Representan gráficamente parejas de números en una cuadrícula y en cada punto encontrado anotan el producto a × b. Alumnos que no hicieron esto también llegaron al resultado. los puntos son alineados. A base de ensayos no lo van a encontrar y deben organizar las respuestas para elegir correctamente los siguientes ensayos. para hacer avanzar las fases de investigación y hacer evolucionar los conceptos de los alumnos. el análisis del problema los lleva a traducirlo todo o parte de él a otro marco e interpretar ciertas cuestiones. Los alumnos buscan una superficie plana de cierta forma y que saben dibujar.
cuando aumenta la diferencia el producto disminuye. Para trabajar con los alumnos se verá qué conocimientos previos tienen y . esto los lleva a encontrar parejas cada vez mejores. la reequilibración participa del aprendizaje. Los juegos de marcos son fuente de desequilibrio. También hay que reconocer que otras formas de trabajo podrían adaptarse mejor para otros alumnos. Efecto de la escala en el volumen.35 entre a y b el producto aumenta. Contenidos y grados de dificultad Los temas que se abarcan en este trabajo son en general los del programa de Geometría de Secundaria. Los alumnos no han adquirido todos sus conocimientos a través de la dialéctica herramienta-objeto. Los juegos de marcos tienen un papel motor en una de las fases de la dialéctica. Rotación y translación de figuras en el plano. La interpretación geométrica permite a los alumnos elaborar una prueba y las interacciones entre marcos permiten hacer avanzar el conocimiento en cada uno de ellos. Algunos de los que no se incluyen son: Los referentes a círculo y circunferencia. Con el ejemplo dado se busca la extensión de la multiplicación de fracciones y la introducción de números decimales. Lo que nos permite decir que con el geoespacio se pretenden cubrir una buena parte de los temas del programa de secundaria. La dialéctica herramienta-objeto produce significado. Homotecia. b) Existe un umbral crítico de interrogación debajo del cual la reflexión no se encadena. 4) Elementos para el análisis de la secuencia didáctica. No debemos olvidar que: a) Existe una masa crítica de conocimientos antiguos y de hábitos en cada uno de los marcos involucrados. Mediatrices y bisectrices. pero para la mayoría de ellos los conocimientos se han anclado en una armadura de conocimientos adquiridos por el juego de marcos y la dialéctica herramienta-objeto.
por sus ángulos internos y externos. auxiliándose del razonamiento deductivo. . Los dibujos y trazos geométricos serán útiles para estudiar el efecto de la escala en el área. a los triángulos se les estudia por su clasificación. ayudará a la justificación de algunas fórmulas. El conocimiento del plano cartesiano permitirá utilizar el teorema de Pitágoras para calcular distancias en dicho plano. en secciones transversales. aunado al uso del geoespacio. ayudándose de la lógica y del razonamiento deductivo. Por ejemplo. Las características de los sólidos y el teorema de Pitágoras apoyarán el cálculo de áreas superficiales totales y volúmenes de dichos sólidos. Los ejercicios a realizar ayudarán a desarrollar las habilidades mencionadas con anterioridad. el tema de paralelas y perpendiculares servirá posteriormente para conocer los ángulos formados entre dos paralelas cortadas por una transversal. que luego se usará en ejes de simetría. y probabilidad. La clasificación de ángulos se aplicará en la clasificación de triángulos y en ángulos internos y externos de un triángulo. y todo ello se podrá aplicar a la demostración geométrica formal. trigonometría. que a su vez ayudará a la comprensión y realización de demostraciones geométricas formales. Este trabajo se enfoca más a la geometría. presentación y tratamiento de la información. por ejemplo. pero ello no indica que no pueda usarse en aritmética. Algunos temas van evolucionando en la profundidad con la que se les estudia. por sus características y condiciones para su construcción. El conocimiento de los polígonos se aplicará en el recubrimiento del plano. El grado de dificultad va evolucionando de conocimientos previos a adquisición de nuevos conocimientos y aplicación de ellos a la resolución de problemas. en congruencia y en perímetros y áreas equivalentes. El conocimiento de las características de los polígonos y sólidos.36 luego se realizarán actividades de iniciación y reafirmación. álgebra.
por dos puntos del espacio pasa una y sólo una recta. En el geoespacio pueden representarse un punto. postulados y teoremas: por un punto del espacio pueden pasar una infinidad de rectas. se puede ver si son paralelos.35 CAPÍTULO 9 El uso del geoespacio como apoyo en la enseñanza de la Geometría Los materiales didácticos son los modelos que se usan para la enseñanza de ciertos conceptos y contenidos. si está fuera de él. En esta situación una recta l interseca a un plano P y pasa por un punto Q. Estas otras figuras muestran propiedades: Están determinados un punto Q. ¿qué ocurre si los tres puntos están alineados? En un geoespacio pueden localizarse líneas paralelas. si se intersecan o si son perpendiculares. si es paralela o perpendicular. una recta. Pueden analizarse propiedades de la geometría. uno o varios planos. si lo interseca. Se puede hacer pasar un plano por tres puntos dados. perpendiculares y puede establecerse si una recta pertenece al plano. el material didáctico es un medio y un fin para enseñar un concepto. una recta l y un punto P. y en cuanto a planos. secantes. una recta que interseque a un plano. . Las figuras siguientes muestran algunas de esas situaciones: Modelo del geoespacio.
Otras situaciones que se visualizan en el geoespacio son: .36 Por 3 puntos alineados pasa una recta y sólo una.
Una vez obtenida la sección. haciendo cortes que permitan llegar a esto. y luego hagan los dibujos en isométrico o perspectiva.37 Puede pedirse a los alumnos que obtengan diversas secciones. También se les puede pedir que formen diversos sólidos. pueden ser prismas o pirámides. cuadradas. lo cual les será explicado por el profesor para que dominen la técnica correspondiente. que calculen las áreas laterales. áreas totales y volúmenes de dichos cuerpos. rectangulares. triangulares. calcularán su perímetro y su área en aquellas en que ello sea posible con los datos y los conocimientos de que se disponga. ayudándose de las ligas. trapezoidales o hexagonales. deberán usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de las . En todos los sólidos que formen los alumnos en el geoespacio.
.38 diagonales donde se formen triángulos rectángulos o aquellas ideas que vaya desarrollando el grupo y se aprecie que son viables. El geoespacio es un buen recurso para aplicar las fórmulas de áreas y volúmenes para sólidos y figuras geométricas.
luego se calculará el área de cada triángulo formado. A continuación se explicarán algunas actividades y se verá la forma en que se pueden trabajar. donde se lleva de la mano al lector. ya que muchas veces se nos explica cómo resolver. Resultarán 24 triángulos y los valores correspondientes de sus áreas se graficarán en el plano cartesiano.39 Actividades Ya se explicó que el geoespacio ayuda a plantear y resolver problemas. este vértice recorrerá los 24 puntos de dicha cara opuesta (de C a Y). . El alumno podrá visualizar las situaciones presentadas y luego dedicarse a buscar procedimientos para resolverlos. La intención que se tiene al presentar posibles soluciones es que tanto el profesor como el alumno vean algunos métodos en forma detallada. colocando los números de los triángulos en el eje horizontal y sus áreas correspondientes en el eje vertical. La curva obtenida permite ver la variación del área de los triángulos. no siendo soluciones únicas las aquí presentadas. pero no se detallan los pasos intermedios. 1) Un triángulo de dos unidades de base Se forma un triángulo de dos unidades de base (AB) en una de las caras del geoespacio y el tercer vértice se ubica en la cara opuesta a aquélla donde está la base del triángulo.
Entonces el área es: A = = = 6 u2 2 2 Al formarse el triángulo ABJ. ABH y ABI. Para el triángulo ABC.40 T U V X Y C D E W S R Q P K J O N M L Ñ F G H I α A B β El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. ABF. esta altura es la misma para los triángulos ABD. esta base es la misma para los otros seis bh (2u )(6u ) triángulos mencionados. ABG. su altura es βJ y se calcula por medio del teorema de Pitágoras: I J β βJ = (IJ )2 + (βI )2 = (1u ) 2 + (6u ) 2 = 1u 2 + 36u 2 = 37u 2 ≈ 6. ABE. la altura es αC.08 u . La base del triángulo ABC es AB.
41 El área del triángulo ABJ es: (2u )(6. La altura del triángulo ABÑ es la misma para los triángulos ABO.08 2 u2 En los siguientes triángulos puede uno valerse de figuras similares a la anterior. el área será la misma del triángulo ABÑ para los seis triángulos.32 u2. el área del triángulo ABY es igual al área del triángulo ABJ = 6.21 u Su área es 7. por lo tanto.08u ) = 6.485 u2.485 u Su área es 8.81 u2 Triángulo ABÑ: su altura es βÑ = (6u ) 2 + (6u ) 2 = 36u 2 + 36u 2 = 72u 2 ≈ 8.70 u Su área es 6.08 u2. ABQ.708 u2.32 u2 Triángulo ABL: su altura es βL = (3u ) 2 + (6u ) 2 = 9u 2 + 36u 2 = 45u 2 ≈ 6.81 u Su área es 7. para ir calculando las alturas de dichos triángulos. el área del triángulo ABV es igual al área del triángulo ABM = 7. ABP. el área del triángulo ABW es igual al área del triángulo ABL = 6. por lo tanto. Áreas de los 24 triángulos: . I K I L I M I N I Ñ β β β β β Triángulo ABK: su altura es βK = (2u ) 2 + (6u ) 2 = 4u 2 + 36u 2 = 40u 2 ≈ 6. De igual forma. ABR. La altura del triángulo ABU es la misma que la del triángulo ABN. ya que están en el mismo plano.32 u Su área es 6.21 u2.81 u2. el área del triángulo ABX es igual al área del triángulo ABK 6.708 u2 Triángulo ABM: su altura es βM = (4u ) 2 + (6u ) 2 = 16u 2 + 36u 2 = 52u 2 ≈ 7.21 u2 Triángulo ABN: su altura es βN = (5u ) 2 + (6u ) 2 = 25u 2 + 36u 2 = 61u 2 ≈ 7. ABS y ABT. el área del triángulo ABU es la misma que la del triángulo ABN = 7.
81 u2 21) Δ ABV ≈ 7.81 u2 13) Δ ABÑ ≈ 8.485 u2 20) Δ ABU ≈ 7.485 u2 17) Δ ABR ≈ 8.708 u2 23) Δ ABX ≈ 6.485 u2 19) Δ ABT ≈ 8. .32 u2 24) Δ ABY ≈ 6.21 u2 22) Δ ABW ≈ 6.485 u2 16) Δ ABQ ≈ 8.485 u2 15) Δ ABP ≈ 8.32 u2 10) Δ ABL ≈ 6.08 u2 Estos datos se graficarán de manera continua para ver la variación del área de los 24 triángulos y de otros que tengan como vértice cualquier punto de las aristas superiores del geoespacio.42 l) Δ ABC ≈ 6 u2 2) Δ ABD ≈ 6 u2 3) Δ ABE ≈ 6 u2 4) Δ ABF ≈ 6 u2 5) Δ ABG ≈ 6 u2 6) Δ ABH ≈ 6 u2 7) Δ ABI ≈ 6 u2 8) Δ ABJ ≈ 6.708 u2 11) Δ ABM ≈ 7.485 u2 18) Δ ABS ≈ 8.485 u2 14) Δ ABO ≈ 8.08 u2 9) Δ ABK ≈ 6.21 u2 12) Δ ABN ≈ 7.
en la figura se pueden ver señalados la arista de la pirámide (ap). que va del vértice de la pirámide a cualquier vértice de la base de la pirámide. ya que se puede formar otra pirámide hexagonal opuesta y simétrica a la primera. También se calculan los volúmenes de las pirámides triangulares que quedan filera de la pirámide hexagonal (tres) y las relaciones de volumen entre el geoespacio.42 2) Pirámide hexagonal Se forma una pirámide hexagonal regular tomando como vértice de ella un vértice del geoespacio y colocando los vértices de la base en los puntos medios de las aristas del geoespacio. Para comprobar que todo se calculó correctamente se suman los volúmenes de la pirámide hexagonal y de las tres pirámides triangulares. y también se formarán tres pirámides triangulares fuera de ella. Se calculan el lado de la base. La pirámide hexagonal tiene una base en forma de hexágono regular y seis caras triangulares. la altura de la pirámide se mide del centro de la base al vértice de ella. la distancia entre dos vértices opuestos del geoespacio y su mitad es la altura de la pirámide. esto se multiplica por dos y resultará el volumen del geoespacio. el apotema lateral de la pirámide. con estos datos se calcula el área de la base de la pirámide. la pirámide tiene un vértice y la base seis vértices. el apotema lateral (a1). que va del vértice de la pirámide al punto medio de cualquier lado del hexágono (base de la . y el apotema de la base. la arista de la pirámide. el volumen y el área superficial total de ella. la pirámide hexagonal y la pirámide triangular.
535533906 u)2 = 12.60660172 u l 7. .5u 2 = 112. Lado de la base de la pirámide hexagonal: 5u 5u l l = (5u ) 2 + (5u ) 2 = 25u 2 + 25u 2 = 50u 2 ≈ 7.43 pirámide) y el apotema de la base (ab).18033989 u 5u ap a1 a1 ap l l 2 a1= 125u 2 − 12.071067812 u Arista de la pirámide: 10 u ap ap = (10u ) 2 + (5u ) 2 = 100u 2 + 25u 2 = 125u 2 ≈ 11.5u 2 ≈ 10.535533906 u 2 2 (3. que va del centro de la base al punto medio de un lado de la base de la pirámide.5 u2 La altura de la pirámide hexagonal es la mitad de la diagonal entre vértices opuestos.071u ≈ ≈ 3.
123u )(7.071u ) ≈ 129.9u 2 (8.5u 2 − 75u 2 = 37.6066u )2 − (8.66u )2 = 112.5u 2 ≈ 6.66u ) ≈ = 375 u3 3 3 ( ) .32050808u ≈ 8.9038106 u2 2 2 P=6l Volumen de la pirámide hexagonal: V= Volumen del cubo: V = l 3 = (10 u)3 = 1000 u 3 Ab h 129.660254038 u 2 a1 ab h ab = a l − h 2 = 2 (10.44 D l l l d = l 2 + l 2 = 2l 2 = l 2 = (10u )(1.1421u ) = 100u 2 + 200u 2 = 300u 2 ≈ 17.32050808 u 2 d h= 17.4142 ) = 14.14213562 u D = l 2 + d 2 = (10u ) 2 + (14.123724357 u Área de la base de la pirámide: Ab = Pa 6la = = 3la ≈ (3)(6.
Se calculará el volumen de las tres secciones que no pertenecen a la pirámide. Para una de las secciones. entonces el volumen de las tres es: 3V = 3(41. se tiene que se forma una pirámide triangular. Ab h 12. con los dos lados de la base formando un ángulo recto.666 u3 3 3 3 Ab = b=h bh (5u )(5u ) 25u 2 = = = 12.45 Relación entre ambos volúmenes: R= Vp Vc = 375u 3 3u 3 = 3 = 0. .375 1000u 3 8u El volumen de la pirámide es las tres octavas partes del volumen del cubo.5 u2 2 2 2 ( ) 10 u 5u 5u l= h=5u l= 50u 2 50u 2 b=5u Siendo tres secciones piramidales semejantes. ya que su altura es la mitad de la diagonal entre vértices opuestos del cubo. La pirámide está ocupando la mitad del cubo.666 u3) = 125 u3. El volumen de la pirámide hexagonal es 375 u3. La suma de los volúmenes de las tres pirámides triangulares y del volumen de la pirámide hexagonal es: 125 u3 + 375 u3 = 500 u3.5u 2 (10u ) 125u 3 V= = = ≈ 41.
dos veces el volumen de la pirámide hexagonal más dos veces el volumen de las tres pirámides triangulares que están fuera de la pirámide hexagonal resultará el volumen del cubo. . 2(375 u3) + 2(125 u3) = 750 u3 + 250 u3 = 1000 u3.46 La pirámide está ocupando la mitad del cubo. entonces.
Y para el de un prisma se utiliza la fórmula V = AbH El área de la base. Un prisma de base triangular que se puede formar en el geoespacio es el que se muestra en la figura siguiente: Algunos de los elementos de esta figura que se pueden calcular son: El volumen. El área de un cuadrado se calcula con la fórmula A = l2 = (6 u)2 = 36 u2 A1 A2 A3 .46 3) Prisma triangular. que corresponden a dos triángulos y un trapecio. A2 y A3. la cual se obtiene restándole al área de la cara cuadrada del geoespacio las áreas A1.
47 A1 = bh 3ux 4u 12u 2 = = = 6 u2 2 2 2 A1 bh 3ux5u 15u 2 A2 = = = = 7.5 u2 2 2 2 A2 Para obtener A3 se usa la fórmula para obtener el área de un trapecio: ( B + b)h (2u + 1u )6u 3ux6u 18u 2 A3 = = = = = 9 u2 2 2 2 2 A3 Entonces. 5 u2 La altura del prisma es la medida de la arista del geoespacio: 6 u2 El volumen del prisma triangular es VPT = 13.5 u2 = 13.5 u2 El área de la base del prisma triangular es igual al área de la cara cuadrada del geoespacio menos la suma de las áreas A1 .5 u2 x 6 u = 81 u3 Una forma para comprobar el resultado es la siguiente: . A1 + A2 + A3 = 6 u2 + 7. A2 y A3: Ab = 36 u2 – 22.5 u2 + 9 u2 = 22.
48 Se suman los volúmenes de los tres prismas que se forman fuera del prisma triangular con el volumen de este último.5 u2 × 6 u = 45 u3 V3 = A3H = 9 u2 × 6 u = 54 u3 . y el resultado debe ser el volumen del geoespacio: VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3 V1 = A1H = 6 u2 × 6 u = 36 u3 V2 = A2H = 7.
considerando las figuras de los triángulos que se usaron para calcular A1 y A2: l1 = l2 = (3u ) 2 + (4u ) 2 = 9u 2 + 16u 2 = 25u 2 = 5 u (3u ) 2 + (5u ) 2 = 9u 2 + 25u 2 = 34u 2 ≈ 5.49 V1 + V2 + V3 = 36 u3 + 45 u3 + 54 u3 = 135 u3 VG = V1 + V2 + V3 + VPT = 135 u3 + 81 u3 = 216 u3 Con esto se comprueba que los resultados son correctos. por Teorema de Pitágoras. Para obtener el área superficial total del prisma triangular. luego se suman todas. Se calculan los lados l1 y l2. a partir de la figura del trapecio que se usó para calcular A3: l3 = (1u ) 2 + (6u ) 2 = 1u 2 + 36u 2 = 37u 2 ≈ 6. se calcula el área de las tres caras rectangulares y de las dos bases del prisma triangular.83 u Para calcular l3.08 u Si se desdobla el prisma triangular. se aísla la siguiente figura. se tiene la siguiente plantilla: .
5 u2 × 2 = 27 u2 El área superficial total del prisma triangular es: AT = Al + 2Ab ≈ 101.50 El área de los tres rectángulos es: Ar1 = l1 H = 5 u × 6 u = 30 u2 Ar2 = l2 H ≈ 5.48 u2 .48 u2 + 27 u2 ≈ 128.5 u2 El área lateral del prisma triangular es: Al = Ar1 + Ar2 + Ar3 ≈ 30 u2 + 34.83 u × 6 u ≈ 34. el área de ambas es 13.08 u × 6 u ≈ 36.5 u2 ≈ 101.5 u2 Como el prisma tiene dos bases.48 u2 El área de la base del prisma es Ab = 13.99 u2 Ar3 = l3 H ≈ 6.99 u2 + 36.
375 VG 216u 3 8u .51 Calculemos la relación de volúmenes entre el prisma triangular y el geoespacio: R= VPT 81u 3 3u 3 = = 3 = 0.
Por ello. . y puesto que la altura del prisma y la del geoespacio es la misma. Para obtener el volumen del prisma de la figura puede uno valerse del siguiente razonamiento: Veamos la cara del geoespacio donde queda la base del prisma cuadrangular: Nótese que uno de los lados del cuadrado interior divide en dos triángulos de igual área a uno de los cuatro cuadrados trazados en la figura.52 4) Prisma cuadrangular. el área del cuadrado interior es la mitad del área de la cara del geoespacio.
53 entonces el volumen del prisma cuadrangular es la mitad del volumen del geoespacio. . éste se desdobla.24 u El área de la base del prisma cuadrangular se obtiene así. El volumen del geoespacio es: VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3 El volumen del prisma cuadrangular es: VPC = VG 216u 3 = = 108 u3 2 2 Otra forma de obtener el volumen del prisma cuadrangular es aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la medida del lado de la base del prisma cuadrangular. l= (3u ) 2 + (3u ) 2 = 9u 2 + 9u 2 = 18u 2 ≈ 4.24 u)2 = 18 u2 El volumen del prisma será: V = AbH = l2H = (18 u2)(6 u) = 108 u3 Para obtener el área superficial total del prisma cuadrangular. puesto que es un cuadrado: Ab = l2 = (4.
5 VG 216u 3 2u 3 . o sea: 4A ≈ 4(25.82 u2 Si calculamos la relación entre el volumen del prisma cuadrangular y el del geoespacio se tiene: R= VPC 108u 3 1u 3 = = = 0.82 u2 + 36 u2 ≈ 137.54 El área de una base del prisma cuadrangular es 18 u2 El área de las dos bases es 2(18 u2) = 36 u2 El área de una cara del prisma cuadrangular es: A = (6 u)( 18u 2 ) ≈ (6u )(4.82 u2 El área superficial total se obtiene sumando el área lateral y el área de las dos bases: AT = Al + 2Ab ≈ 101.46 u2) ≈ 101.24u ) ≈ 25.46 u2 El área lateral del prisma cuadrangular es el área de las cuatro caras.
y así se obtiene el área del pentágono. Para calcular el volumen del prisma pentagonal. el área resultante se resta al área del cuadrado: Ac = (6 u)2 = 36 u2 . primero se calculan las áreas A1. A3. quizá al los polígonos regulares: A = 2 alumno se le ocurra la triangulación. no se puede aplicar la fórmula de área que se usa para Pa . Al no ser pentágono regular. así que hay que buscar otro método. y se suman. A1 = bh 3ux3u 9u 2 = = = 4.55 5) Prisma pentagonal. Se debe hacer ver al alumno que los lados de este prisma pentagonal no son todos de la misma medida. A4.5 u2 2 2 2 . A2. por lo que no se trata de un pentágono regular.
por lo que el prisma V2 es igual al prisma V4.5 u2 El volumen de un prisma se obtiene multiplicando el área de la base por la altura: V = Ab h = 23.5 u2 Ap = Ac – A = 36 u2 – 12. calculamos el volumen de los cuatro prismas triangulares que se forman fuera del prisma pentagonal.56 A2 = 3u × 2u 2 =3 u 2 A3 = 1u × 4u = 2 u2 2 2u × 3u = 3 u2 2 A4 = A = A1 + A2 + A3 + A4 = 4.5 u2 = 23. Obsérvese que el área A2 es igual al área A4.5 u2 × 6 u = 141 u3 Si queremos comprobar que nuestro resultado es correcto.5 u2 + 3 u2 + 2 u2 + 3 u2 = 12. sumamos estos cuatro volúmenes con el volumen del prisma pentagonal y nos debe dar el volumen del geoespacio. A continuación se presentan los prismas. . V2 V1 V3 Para calcular el volumen de un prisma se usa la fórmula V = AbH.
57 Puesto que las áreas de la base de los cuatro prismas son A1. A2. entonces los volúmenes serán: V1 = A1H = 4.125 VG 216u 3 8u 18u 3 1u 3 ≈ 0.5 u2 × 6 u = 27 u3 V2 = A2H = 3 u2 × 6 u = 18 u3 V3 = A3H = 2 u2 × 6 u = 12 u3 V4 = A4H = 3 u2 × 6 u = 18 u3 La suma de los volúmenes de los cuatro prismas es: V4P = V1 + V2 + V3 + V4 = 27 u3 + 18 u3 + 12 u3 + 18 u3 = 75 u3 El volumen del prisma pentagonal es 141 u3 y la suma de los cuatro prismas triangulares y del prisma pentagonal es: VG = V4P + VPP = 75 u3 + 141 u3 = 216 u3 El volumen del geoespacio es 216 u3.65277 R= Vg (6u )3 216u 3 72u 3 O las relaciones entre los volúmenes de los prismas triangulares y del geoespacio: R1G = V1 27u 3 1u 3 = = 3 = 0.0833 = 216u 3 12u 3 R2G = R4G = R3G = 12u 3 1u 3 = ≈ 0. por lo que el resultado es correcto.055 216u 3 18u 3 . A3 y A4. Puede calcularse la relación existente entre el volumen del prisma pentagonal y el volumen del geoespacio: V pp 141u 3 141u 3 47u 3 = = = ≈ 0.
aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener las longitudes de los lados del pentágono.191489361 R1PP = = = VPP 141u 3 47u 3 R2PP = R4PP = 18u 3 6u 3 ≈ 0.085106382 = 141u 3 47u 3 Desdoblando el prisma pentagonal. que es la base del prisma: .127659574 = 141u 3 47u 3 R3PP = 12u 3 4u 3 ≈ 0.58 O las relaciones entre los volúmenes de los prismas triangulares y el prisma pentagonal: V1 27u 3 9u 3 ≈ 0. podremos obtener su área superficial total: Apoyándonos en la segunda figura de esta ejercicio.
6 u Se sustituyen los valores de los cinco lados y de las dos bases en la fórmula del área total: AT = 2(23.46 u2 .6 u2 + 4.5768 u2 (6) ≈ 47 u2 + 111.6 u l3 = (1u ) 2 + (4u ) 2 = 1u 2 + 16u 2 = 17u 2 = 4.6 u2 + 3.46 u2 ≈ 158.59 AT = 2 Ab + (l1 + l2 + l3 + l4 + l5) h l1 = (3u ) 2 + (3u ) 2 = 9u 2 + 9u 2 = 18u 2 = 4.6 u2) 6 AT ≈ 47 u2 + 18.5 u2) + (4.24 u l 2 = (3u ) 2 + (2u ) 2 = 9u 2 + 4u 2 = 13u 2 = 3.24 u2 + 3.12 u l4 = 3 u l5 = (2u ) 2 + (3u ) 2 = 4u 2 + 9u 2 = 13u 2 ≈ 3.12 u2 + 3 u2 + 3.
por lo que se trata de un hexágono irregular y para calcular su área no puede aplicarse la fórmula que se usa para un polígono regular: A= Pa 2 Para calcular el área de la base. que es un hexágono.60 6) Prisma hexagonal. la fórmula que se aplica es: V = AbH La altura H es 6. usaremos la siguiente figura: . Se debe hacer observar al alumno que el hexágono no tiene todos sus lados iguales: 2 de ellos miden 2 unidades y los otros cuatro miden más. que es lo que mide de arista el geoespacio. Para obtener el volumen de un prisma.
A3 y A4. que es un cuadrado. se calcula así: A = l2 = (6 u)2 = 36 u2 Se calculan las áreas A1. el volumen del prisma hexagonal es: VPH = 24 u2 × 6 u = 144 u3 .61 El área de la cara del geoespacio. A2 . las cuales son iguales entre sí: A1 = bh 2u × 3u = = 3 u2 2 2 La suma de estas cuatro áreas es: 4A1 = 4 × 3 u2 = 12 u2 Del área del cuadrado se restan estas cuatro áreas y se obtiene el área del hexágono. que es el área de la base del prisma hexagonal: Ab = 36 u2 – 12 u2 = 24 u2 Entonces.
debe obtenerse el volumen del geoespacio: VG = 4VPT + VH = 72 u3 + 144 u3 = 216 u3 La comprobación se da y el resultado.66 = = R= VG 216u 3 3u 3 . Aquí se presenta la figura de uno de ellos: El volumen de uno de los cuatro prismas triangulares es: VPT = AbH = 3 u2 x 6 u = 18 u3 El volumen de los cuatro prismas triangulares es: 4VPT = 4 x 18 u3 = 72 u3 Al sumar el volumen de los cuatro prismas triangulares y el del prisma hexagonal. es correcto.62 Una forma de comprobar lo correcto del resultado es la siguiente: Se calcula el volumen de los cuatro prismas triangulares que se forman fuera del prisma hexagonal. Veremos a continuación algunas relaciones entre volúmenes: Relación entre los volúmenes del prisma hexagonal y del geoespacio: VPH 144u 3 2u 3 ≈ 0. por lo tanto.
63 Relación entre los volúmenes de un prisma triangular y del geoespacio: R= V PT 18 1 ≈ 0.0833 = = VG 216 12 Relación entre los volúmenes de los prismas triangular y hexagonal: R= VPT 18u 3 1u 3 = = 3 = 0.125 VPH 144u 3 8u Para calcular el área superficial total del prisma hexagonal. lo desdoblamos: El área de una de las bases del prisma hexagonal es: Ab = 24 u2 El área de las dos bases es: 2Ab = 2 x 24 u2 = 48 u2 .
53 u2 .53 u2 Al sumar las áreas de las seis caras se tiene que el área lateral del prisma hexagonal es: Al ≈ 24 u2 + 86.53 u2 ≈ 110. El área de una de estas caras es: A = bh = 2 u × 6 u = 12 u2 El área de las dos caras es: 2A = 2 x 12 u2 = 24 u2 Las otras cuatro bases de las caras laterales del prisma hexagonal miden lo mismo.53 u2 + 48 u2 ≈ 158. l 2u La medida de una de estas cuatro bases se calcula por Teorema de Pitágoras: l= (2u ) 2 + (3u ) 2 = 4u 2 + 9u 2 = 13u 2 ≈ 3.64 Para calcular el área lateral del prisma hexagonal: Dos de las caras laterales del prisma hexagonal miden 2 unidades de base y 6 unidades de altura.63 u2 La suma de las áreas de estas cuatro caras iguales es: 4A ≈ 4 x 21.6 u) ≈ 21.53 u2 El área superficial total es la suma del área lateral y del área de las dos bases: AT = Al + 2Ab ≈ 110.63 u2 ≈ 86.6 u 3u El área de una de estas cuatro caras del prisma hexagonal es: A = bh = (6 u)( 13 u) ≈ (6 u)(3.
¿Son de igual medida un lado cualquiera y el lado contiguo? Algún alumno observará que los lados en diagonal son mayores que los lados verticales y horizontales. Muestra el geospacio a los alumnos de forma que miren la base octagonal del prisma y pregunta si observan alguna característica especial del octágono. Luego se pregunta: ¿Cuánto mide l2 ? . Ya formado el prisma octagonal. o aún mejor. ante todos los alumnos. el profesor pregunta si están mirando los lados del octágono. dispone de varios geospacios y ligas y los reparte al grupo para que trabajen en equipos. ¿Cuánto mide el lado más corto? Al lado corto lo llamaremos l1 Los alumnos observarán que l1 mide 2 unidades. el profesor coloca las ligas del geospacio. muestra el geospacio a todos y lo hace circular entre ellos. Al iniciar la clase. o solicita que algunos de ellos lo hagan. Si ningún alumno hace algún comentario.65 7) Prisma octagonal. A continuación se pregunta. mientras él los dirige.
se hace un dibujo en el pizarrón y luego se aísla el triángulo isósceles en otro dibujo para que se les facilite le visualización de lo que queremos.66 Los alumnos. les preguntamos si ya observaron que l1 es diferente de l2.83 u Ya calculado l2 ≈ 2. podrán contestar. ¿Entonces. A continuación se pregunta: ¿Cuál es la fórmula para obtener el área de un octágono regular? La fórmula es A = Pa 2 El perímetro de un octágono ¿cómo se calcularía?: P = 8 × l Entonces se sustituye el perímetro en el área y se obtiene: . si tienen previamente el conocimiento del teorema de Pitágoras.83 u. si no lo hacen. l1 l2 l2 l1 l1 l2 2u 2u l2 l1 l2 Se pide a alguien que calcule l2 l2 = (2u ) 2 + (2u ) 2 = 4u 2 + 4u 2 = 8u 2 = 4 × 2u 2 = 4 2u 2 = 2 2 u ≈ 2. qué tipo de octágono tenemos? El alumno deberá captar que el octágono es irregular porque no miden lo mismo todos los lados.
como son 4 triángulos. el área . por lo que tiene un área de 4 u2. y el área total es de 28 u2. Al formar triángulos. cada triángulo tendrá 2 u2. que son la mitad de un cuadrado. tienen igual área. como los triángulos de las cuatro esquinas son iguales. A= bh 2u × 2u = = 2 u2 2 2 Vuelve a preguntarse cómo calcularían el área del octágono y tal vez a un alumno se le ocurra triangular toda la cara del geospacio e ir sumando las áreas de todos los triángulos que pertenecen al octágono. A algún alumno se le ocurrirá que puede calcular el área de un triángulo y. ¿De qué manera podríamos calcular el área de este octágono irregular? Si no hay ideas de los alumnos. se trata de un octágono irregular y no se puede aplicar la fórmula anterior. Como hay 5 cuadrados. entonces se tienen 8 u2.67 A= 8la = 4la 2 ¿Puede aplicarse esta fórmula al octágono que tenemos en el geospacio? Si el octágono del geospacio tiene lados de diferente medida. se tiene un área de 20 u2. Se señala que esa es una posible opción y se pregunta si hay una estrategia alternativa más eficaz o más rápida. y se les pregunta cómo calcularían el área de dicho triángulo. se les sugiere que observen el triángulo formado en una esquina de la cara del geospacio. Cada cuadrado tiene 2 unidades por lado.
La siguiente figura muestra uno de los prismas. se pregunta cómo puede calcularse el volumen del prisma octagonal. que se restará al área total de la cara cuadrangular del geospacio para así obtener el área del octágono irregular. Área de un triángulo: 2 u2 Área de los 4 triángulos de las esquinas: 4 × 2 u2 = 8 u2 Área del cuadrado: l2 = (6 u)2 = 36 u2 Área del cuadrado menos área de los 4 triángulos: 36 u2 – 8 u2 = 28 u2 Ya teniendo el área del octágono. se tiene: . V = AbH = (28 u2)(6 u)= 168 u3 Para comprobar que el volumen del prisma octagonal es correcto. 2u 2u 6u 6u 2u Volumen del prisma triangular: VPT = AbH Para calcular el área de la base del prisma triangular.68 calculada se multiplica por 4 y se tiene el área de los 4 triángulos. pueden calcularse los volúmenes de los cuatro prismas triangulares formados fuera del prisma octagonal (en las aristas del geoespacio).
Se pide a los alumnos calcular el área lateral del prisma octagonal.69 Ab = bh 2u × 2u = = 2 u2 2 2 Se observa que la altura del prisma triangular es la misma que la del prisma octagonal: H=6u Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el volumen del prisma triangular: VPT = 2 u2 x 6 u = 12 u3 La suma de los volúmenes de los cuatro prismas triangulares es: 4 VPT = 4 x 12 u3 = 48 u3 El volumen del geoespacio es la suma del volumen del prisma octagonal más el volumen de los cuatro prismas triangulares. El área de un rectángulo es igual a base por altura o a largo por ancho. Hay dos tipos de rectángulos. o simplemente mostrando el geospacio. Se señala. si es posible con dibujos en el pizarrón. el de l1 y el de l2 Para l1. Volumen del geoespacio: VG = VPO + 4VPT = 168 u3 + 48 u3 = 216 u3 El volumen del geoespacio es el volumen de un cubo de 6 u de arista: VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3 De esta forma se comprueba que los cálculos son correctos. el rectángulo tiene un área de 2 u × 6 u = 12 u2 El largo del rectángulo es 6 u. que es la altura o arista del geospacio. que las caras de éste son rectangulares (igual que las de todo el prisma). que es .
El área del octágono es 28 u2. el área es 2. el área de las 2 bases será 2 × 28 u2 = 56 u2.97 u2 Hay 4 rectángulos de ancho igual a l1 y el área de los 4 rectángulos es 4 x 12 u = 48 u2 2 El área de los 4 rectángulos de ancho igual a l2 es: 4 x 16.88 u2 También se calcularán algunas relaciones entre los volúmenes de las figuras: .83 u × 6 u = 16.88 u2 = 115. Para l2.97 u2 = 67.88 u2 La suma de las áreas de los 8 rectángulos es: 48 u2 + 67.88 u2 y ésta es el área lateral. Entonces el área total del prisma octagonal es la suma del área lateral más el área de las dos bases: AT = 115.70 cúbico.88 u2 + 56 u2 = l71.
3.055 = = VG 216u 3 18u 3 Relación entre el volumen del prisma triangular y el volumen del prisma octagonal: R3 = VPT 12u 3 1u 3 ≈ 0.071428571 = = VPO 168u 3 14u 3 Relación entre el volumen de los cuatro prismas triangulares y el volumen del prisma octagonal: 4VPT 48u 3 2u 3 ≈ 0. como triangulares (figuras 1.285714285 R4 = = = VPO 168u 3 7u 3 Relación entre el volumen de los cuatro prismas triangulares y el volumen del geoespacio: R5 = 4VPT 48u 3 2u 3 = = 3 ≈ 0.71 Relación entre el volumen del prisma octagonal y el volumen del geoespacio: R1 = VPO 168u 3 7u 3 ≈ 0. Desarrollar similarmente estas actividades como se hizo con el prisma octagonal. 2. 2 .22 VG 216u 3 9u Se sugieren otras actividades: Formar diversos prismas.77 = = VG 216u 3 9u 3 Relación entre el volumen del prisma triangular y el volumen del geoespacio: R2 = VPT 12u 3 1u 3 ≈ 0. 1 Fig. Fig. 4) o pentagonales (figuras 5 y 6).
5 Fig. 6 . 3 Fig.72 Fig. 4 Fig.
8) Tetraedro
l=6u Por teorema de Pitágoras: d= (6u ) 2 + (6u ) 2 = 36u 2 + 36u 2 = 72u 2 = 8.485 u
La diagonal del cuadrado es arista del tetraedro. La fórmula para obtener el área total de un tetraedro es: A = 1.1178 a2 = 1.7321 (8.485 u)2 = 1.7321 × 72 u2 = 124.7 u2 La fórmula para obtener el volumen de un tetraedro es: V = 0.1178 a3 = (0.1178) (8.485 u)3 = 71.966 u3 ≈ 72 u3 La relación existente entre el volumen del tetraedro y el del geoespacio es: R=
Vt 72u 3 1u 3 = = 3 ≈ 0.33 Vg 216u 3 3u
Otra forma para calcular el área total del tetraedro es la siguiente: Se tiene una cara del tetraedro.
l = 8.485 u h h
b 4.2425 u Aplicando el teorema de Pitágoras: h= l 2 − b 2 = (8.485u ) 2 − (4.2425u ) 2 = 72u 2 − 18u 2 = 54u 2 ≈ 7.348469228 u Se calcula el área de la cara: A= A=
bh = 2 72u 2 54u 2 = 2 3888u 2 = 2
(4u )(972u ) = 2u
972u 2 = 972 u2 2
22 x32 × (3u ) 2 × (3u ) 2 = 2 × 3 × 3 u × 3 u = 18 u 3u 2 ≈ 31.17691454 u2
El área del tetraedro de 4 veces el área de una cara: 4A = (4) (18 u
3u 2 ) = 72 u
3u 2 ≈ 124.7076581 u2
9) Cubo-octaedro de Arquímedes
Se calcula la medida de la arista por medio del teorema de Pitágoras: a= (3u ) 2 + (3u ) 2 = 9u 2 + 9u 2 = 18u 2 = (2u )(9u ) = 9u 2 2 = 3u 2 ≈ 4.24 u
3u 3u Para calcular el área de una cara cuadrada del cubo-octaedro de Arquímedes: A = l2 = a2 = (4.24 u)2 = 18 u2
l = a ≈ 4.24 u
El área de las seis caras cuadradas del cubo-octaedro de Arquímedes es: 6 × 18 u2 = 108 u2
24 u h l/2 l 4. El geoespacio es un cubo de 6 u de arista y su volumen es: V = a3 = (6 u)3 = 216 u3 .8 u2 2 2 El área de las ocho caras triangulares del cubo-octaedro de Arquímedes es: 8 × 7.67u ) bh ≈ ≈ 7.12 u 2 2 El área de la cara triangular del cubo-octaedro de Arquímedes es: A= (4.24u ) 2 − (2. pero no la altura.12u ) 2 = 18u 2 − 4.24u ≈ ≈ 2.35 u2 Para calcular el volumen del cubo-octaedro de Arquímedes se resta al volumen total del geoespacio el volumen de las ocho pirámides triangulares que se forman en los vértices del geoespacio.5u 2 = 13.8 u2 ≈ 62.24u )(3.5u 2 ≈ 3.35 u2 ≈ 170.75 El área de una cara triangular del cubo-octaedro de Arquímedes es: A= bh 2 Conocemos la base. Para calcular la altura del triángulo se aplica el teorema de Pitágoras: h= (4.67 u a = l ≈ 4.35 u2 El área total del cubo-octaedro de Arquímedes es la suma de las áreas de las caras cuadrangulares y las caras triangulares: A ≈ 108 u2 + 62.
por ejemplo.5 u3 = 36 u3 Para calcular el volumen del cubo-octaedro: VCO = VG – VP = 216 u3 – 36 u3 = 180 u3 Para manejar fracciones comunes pueden calcularse algunas relaciones de volumen. la relación existente entre el volumen del cubo-octaedro de Arquímedes y el del geoespacio es: VCO 180u 3 5u 3 R= = = ≈ 0.76 Para calcular el volumen de una pirámide triangular se recurre a los siguientes dibujos: 3u 4.833 VG 216u 3 6u 3 .24 u H=3u h=3u 3u El área de la base es: Ab = b=3u bh (3u )(3u ) 9u 2 = = = 4.5 u3 V= b = 3 3 El volumen de las ocho pirámides es 8 x 4.5 u2 2 2 2 El volumen de la pirámide es: A h (4.5u 2 )(3u ) = 4.
puesto que la base es un cuadrado: Ab = l2 = (6 u)2 = 36 u2 La altura de la pirámide es lo que mide la arista del geoespacio: h=6u Se sustituyen los valores del área de la base y de la altura en la primera fórmula: V= (36u )(6u ) = 216u 2 3 3 3 = 72 u3 . La fórmula para obtener el volumen de una pirámide es: Ab h l 2 h V= = 3 3 Para obtener el área de la base. auxiliándose de dos geoespacios unidos por una cara Se calcularán el volumen y el área superficial total de la pirámide cuadrangular. ya que un geoespacio no tiene un punto de apoyo al centro de una de sus caras.77 10) Pirámide cuadrangular. así como las relaciones de volumen de la pirámide y del geoespacio. En este ejercicio se unen dos geoespacios para tener el vértice de la pirámide.
5 u2 El área total de la pirámide se obtiene sumando el área de la base más el área de las 4 caras laterales: AT = Ab + A1 = 36 u2 + 80. Veamos la figura anterior y aislemos el triángulo rectángulo que incluye al apotema lateral: al h=6u 3u Se calcula el apotema lateral de una de las caras de la pirámide cuadrangular. que en este caso es el apotema lateral.7u ) = = ≈ 20. ya que la pirámide es cuadrangular. que es 36 u2 Para calcular el área lateral.5 u2 La relación existente entre el volumen de la pirámide y el del geoespacio es: 72u 3 1u 3 R= = = ≈ 0.78 Para obtener el área total. Para poder calcular el área de una de las caras de la pirámide. se calcula el área de una cara y luego se multiplica por 4.33 Vg 216u 3 3u 3 Vp .7 u Área de una cara de la pirámide: A = bh lal (6u )(6. que es la altura de la cara.5 u2 ≈ 116. la cual es triangular: a1 = (6u ) 2 + (3u ) 2 = 36u 2 + 9u 2 = 45u 2 ≈ 6.12 u2 ≈ 80.12 u2 2 2 2 El área de las 4 caras de la pirámide es: 4 × 20. se calcula el área lateral y se suma al área de la base. debemos conocer la altura de ella.
auxiliándose de una estructura de cuatro geoespacios d= (6u ) 2 + (3u ) 2 = 36u 2 + 9u 2 = 45u 2 ≈ 6.79 11) Octaedro.7 u Para calcular la magnitud de la arista: a= 45 + 36 = 81 = 9 u Cálculo del apotema lateral de la cara de 12 u de base: .
el volumen de cada pirámide es la tercera parte del geoespacio: .8 u2 Para obtener el volumen del octaedro.8 u2 El área total del octaedro es: AT = 161 u2 + 101.7 u El área de la cara de 12 u de base es: A= bh (12u )(6.485 u Para calcular el área de una cara de 6 u de base: A= bh (6u )(8.4558 u2 ≈ 101.25 u2 ≈ 161 u2 Para calcular el apotema lateral de una cara de 6 u de base: a1 = 81u 2 − 9u 2 = 72u 2 ≈ 8.7u ) = ≈ 40. en cada geoespacio hay una pirámide cuadrangular de 6u de altura.4558 u2 2 2 El área de las 4 caras iguales de 6 u de base: 4 × 25.25 u2 2 2 El área de las 4 caras iguales de 12 u de base es: 4 × 40.8 u2 ≈ 262. por lo tanto.80 a1 = (9u ) 2 − (6u ) 2 = 81u 2 − 36u 2 = 45u 2 ≈ 6.485u ) = ≈ 25.
81 V= 216u 3 = 72 u3 3 Multiplicando por 4. La relación entre el volumen de la pirámide y los 4 geoespacios es: Vo 288u 3 1u 3 ≈ 0. que son las 4 pirámides existentes en los 4 geoespacios: Volumen de los 4 geoespacios: V = 4 × 72 u3 = 288 u3.33 R= = = Vg 864u 3 3u 3 .
cubos equivalen a 108 Para raíz cuadrada: Si se tienen 36 cuadritos en una cara del geoespacio. que equivalen a ½ del volumen total del geoespacio. Al sumar las áreas se observa que coinciden perfectamente el método algebraico y el método geométrico. Álgebra: Pueden explicarse productos notables: cuadrado y cubo de un binomio. Son 63 = 216 cubitos. se tendrán 6 cubitos por arista del geoespacio. Si lleno el geoespacio a la mitad tendré 108 cubitos. 54 cubitos es ¼ del volumen del geoespacio. . El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término. se tendrán 6 lados de cuadrito por cada lado de una cara del geoespacio. El cuadrado de un binomio da origen a un trinomio cuadrado perfecto. Para raíz cúbica: Si se tienen 216 cubitos dentro del geoespacio. y preguntar al alumno el número de cubitos que hay en el geoespacio. más o menos el doble producto del primero por el segundo.81 12) Otras de las actividades que se sugieren Para Aritmética: Se propone llenar de cubitos el geoespacio. más el cuadrado del segundo. 50 25 del volumen del geoespacio. seis por arista.
más o menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo. más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo. Vt = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 + V8 (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3 3 2 a + 3a b + 3ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .82 a a A1 A2 b 1=a+b b A3 A4 At = A1 + A2 + A3 + A4 (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3a2b + b3 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = a2 + 2ab + b2 El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término. más o menos el cubo del segundo.
Cuando se vea este tema. El volumen de un prisma cuadrangular es igual al área de la base del prisma multiplicada por su altura. Como la base es cuadrada. un segundo cubo de arista b y su volumen es b3 . su área es lado por lado o lado al cuadrado y la fórmula para obtener el volumen se podrá escribir así: V = l2h El teorema de Pitágoras se aplica a triángulos rectángulos y nos dice que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos: c2 = a2 + b2 Si a = 3 y b = 4 . auxiliándose del teorema de Pitágoras. V = Abh. tres prismas cuadrangulares donde el lado de sus bases mide a y su altura mide b. ya se le debió haber explicado al alumno toda la parte teórica sobre las funciones trigonométricas. y tres prismas cuadrangulares donde el lado de sus bases mide b y su altura mide a. se obtienen seis triángulos equiláteros. entonces 52 = 32 + 42 25 = 9 + 16 25 = 25 En Trigonometría: Podrán calcularse los ángulos de la base de una pirámide hexagonal. A uno de los triángulos se le traza la altura y se tendrá un .83 En este ejercicio vemos que se forma un cubo de arista a y su volumen es a3 . Si un hexágono regular se triangula a partir de su centro. La fórmula para obtener el volumen de un prisma cuadrangular es. Donde Ab es el área de la base del prisma y h es la altura del prisma.
dicha altura es el apotema del hexágono y se calcula con el teorema de Pitágoras: a= 4 2 l2 3 2 3 ⎛l⎞ l −⎜ ⎟ = l − = l = l 4 4 4 2 ⎝2⎠ 2 2 3 l catetoopuesto a 2 = 3 = = sen B = hipotenusa l l 2 B = arc sen 3 = 60° 2 Para Presentación y Tratamiento de la Información: Se sugiere la siguiente actividad: Se puede suponer que se llena el geoespacio con cubitos y que se pintan todas las caras del geoespacio.84 triángulo rectángulo escaleno (los ángulos agudos son de 30° y 60°). luego se sacan todos los cubitos del geoespacio y se pregunta: .
.789 g)(9. de dos.7 g y su peso es: P = mg = (2. V g La densidad del alcohol etílico es 0. éste tiene una masa de 2. con una cara pintada. agua salada. Un ejercicio para gráficas es suponer que el geoespacio se llena con cubitos de agua y se pide calcular el volumen de un cubo.7 g)(9. P = mg).8 gm m ) =26.7322 dinas.8 2 ) = 7.7 g cm 3 Si se tiene un cubo de aluminio de 1 cm3.789 cm 3 3 Si se tiene 1 cm de alcohol etílico.46 dinas. se supone que todos los cubitos se colocan en una urna de Bernoulli y se calcula la probabilidad de extraer un cubo: sin ninguna cara pintada.7322 2 =7. éste tiene una masa de 0. ahora se usarán cubitos de petróleo. etc. y que el alumno se ayude de una tabla de densidades de líquidos para hacer gráficas de m peso o de masa (d = . mercurio.85 ¿Cuántos cubos no tienen ninguna cara pintada? ¿Cuántos cubos tienen pintada sólo una cara? ¿Cuántos tienen dos caras pintadas? ¿Cuántos tienen tres caras pintadas? ¿Cuántos tienen al menos una cara pintada? En Probabilidad: Con la misma actividad. .789 g y su peso es: gm m P = mg = (0. 2 s s Las posibilidades que da el geoespacio son muchas y los profesores y los alumnos las enriquecerán según su imaginación y dedicación. de tres. éter. etc. alcohol. s s Igualmente pueden manejarse sólidos: La densidad del aluminio es 2. con dos caras pintadas o con tres caras pintadas. En lugar de suponer que el geoespacio se llena con cubitos de agua. y que esto se grafique en el plano cartesiano..46 2 = 26.
Cada equipo coloca sus butacas en círculo y. En lugar de hacer muchos dibujos o borrar y volver a trazar. 60. en la Escuela Secundaria Diurna N°. el profesor deberá buscar cuál es el más útil. Siempre se trabajó con el geoespacio por equipos. Para diseñar las actividades del cuadernillo se revisaron los contenidos del programa y se fueron creando actividades para cada tema. se les pidió que opinaran sobre él. Lo que puede observar es que el estudiante sí aprende a resolver ciertos problemas porque el modelo físico le permite entender e internalizar ciertos conceptos. Esto es muy diferente a que el profesor llegue al salón y sólo llene el pizarrón con números y letras.86 Conclusiones Este material se ha aplicado durante ocho años a grupos de segundo y tercer grado de secundaria. Hasta lo que hoy han investigado los psicólogos y los matemáticos no se ha podido demostrar que el aprendizaje mejora con cierto material. desde 1996 hasta 2003. tan sólo quito y pongo ligas para corregir lo que quiero. Turno Matutino. Sí se recomienda el trabajo por equipos porque permite la socialización del conocimiento y habrá mayor posibilidad de descubrir más estrategias entre tres estudiantes que con uno solo. de acuerdo a los procesos cognitivos de sus alumnos y a los factores que existen alrededor del proceso de enseñanza-aprendizaje. pero sería pretencioso afirmar que este material es la panacea y hará que cualquier alumno aprenda lo que el profesor desea. Se observó que los alumnos pasaban más agradablemente la clase y que asimilaban mejor contenidos como el conocimiento y aplicación del teorema de Pitágoras y el descubrimiento de las propiedades de los sólidos. pero se observó que . “República de Honduras”. Trabajando con el geoespacio entiendo mejor que si simplemente observo dibujos. se mueven para observar alguna explicación del maestro. Algunos cálculos los entiendo mejor usando el geoespacio. a continuación se presentan algunas de esas opiniones: • • • • • Me es más divertida y menos aburrida la clase manejando el geoespacio. si es necesario. Luego de que los estudiantes lo usaron.
y no necesitará hacer dibujos repetidas veces. Geometría (incluye Trigonometría). son que el profesor enseñará a sus alumnos. con esto. desarrollará su habilidad psico-espacial. . Presentación y Tratamiento de la Información. el alumno. circunferencia. el uso del juego de geometría y los dibujos ortogonal e isométrico. Otras ventajas que se tienen al usar el geoespacio. además del aspecto teórico de la geometría. esfera y otros. cuatro o más geoespacios se pueden trabajar nuevos y más complicados sólidos. cilindro. pero las figuras obtenidas aparecen un poco deformes. El geoespacio puede servir a la enseñanza de contenidos de los cinco ejes: Aritmética. como bisectrices.87 algunos no se pudieron integrar debido a las limitantes del material. además de crear figuras novedosas. El geoespacio tiene otras posibilidades. al montar estructuras de dos. como son las estructuras de geoespacio. Probabilidad. círculo. Álgebra. cono. Entre las limitantes que tiene este material es que no existen puntos de apoyo fuera de las aristas y uno de los recursos que subsanan esta situación es recurrir a las ligas auxiliares. Entre las ventajas que da este material es que para el alumno resulta muy sencillo quitar o poner ligas.
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