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Timestamp: 2019-02-23 17:52:44+00:00

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paau2006 Fisica
Teoria Tornillo Sin Fin
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos”
Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que
existen entre ellos, mediante leyes.
Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas
veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el
resultado de esto se le denomina potencia.
An  A x A x A x . . . . . . . x A
            .
3 4  3 x 3 x 3 x 3  81
1.      
2 6  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  64
2.          
nn  n x n x n x n . . . . . . . x n
3.           
 1  1  1  1  1  1
    x  x  x  x 
4.  2   2   2    2    2    2

 3 7
 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
                
Álgebra 38
1. Producto de Potencias de Igual Base
. xa . xb = xa+b .
23 . 24 = 23+4 = 27
2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2
.  x a b . x0
= 28–4 = 24
2. 2 6
= 2–6–(–5) = 2–1
3. Producto de Potencias de Diferente Base
. xa . ya = (x . y)a .
23 . 43 = (2 . 4)3
3 . 6 = (3 . 5)
Potencia de Potencia . Cociente de Potencias de Bases Diferentes a xa  x . x0 y0 xa  y   x  Ejemplos: 1 1.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 4.     .b . y0 ya  y Ejemplos: 3 43  4  1. OBSERVACIÓN: .   23  2  5. (XA)B = (XB)A = XA B 6. .c . 2 1  2 2 2  2  3 32 2. Exponente Negativo 1 a a  x   y  .       3  2 22 Álgebra 5 10 .  x   a b c  x a .      .   23  3  3 83  8  2. x a  .
x3 3 x2 5 2. Exponente Nulo o Cero . a y  a x .  2x     1   5   8. 3 5  3 4. Exponente Fraccionario a . b0 Ejemplos: 2 1. xb b xa . Ejemplos: 1.5  3 20 6 Álgebra . 3xy  0 1 0   3y   2. x0 = 1 . a x . Producto de Radicales Homogéneos .COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 7. x0 Ejemplos: 1. x3 3 x5 9. 3 4 .y .
aa . aa .  rad .  . . n B  n B  n B  .. . 4 3 10  3 4 10  12 10 12.b . n A m n A m n A m . a b c x  x . Potencia de un Radical . . .  . 3 4 x  24 x 2. OBSERVACIÓN: a b x bax Ejemplos: 1.c . .COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 1 5 5 5 1 5 5 5 2. Casos Especiales 1. . 11.  2 3 2 3 6 10.  rad  n 1 B . Raíz de Raíz a . . . . 3. . 2. . a a a Álgebra 7 . . . 5 . .c .  n 1 A M . x  a b c  a x b .
. . . x  x2 ECUACIONES EXPONENCIALES Definición: Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente. n n  1  n n  1  n  n  1 ..N  1. Bases Iguales Si: Nx = Ny  x = y OBSERVACIÓN: . 1.. .  rad . . . . . . .COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 4. ba a b b 2n n 1 8. . . ab .N > 0. 6. .  rad n  .  xnn xx x n  . x x x . n n  1  n n  1  n n  1  . 8 Álgebra . . . Se estudiarán aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores. . ..  .  n  1 5. 7.
 . Resolver: Resolución Buscando formas análogas: x  5 x 5    62 3  x5   x5  66 x5 6  x 56 Álgebra 9 . Formas Análogas Si: .MM = MN.M = N.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Ejemplo: Resolver: 9x – 1 = 27x – 2 Buscamos bases iguales: 32x – 2 = 3x – 6 Luego: 2x – 2 = 3x – 6  4 = x 2. OBSERVACIÓN: 1 1 M  M  2 4 Ejemplo: 5 x 5x  36 3 1.
10 Álgebra .COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Nota: Si: a1(x) = b1(x)  f(x) = 0 2. Resolver: 3x–7 = 5x–7 Resolución x–7=0  x=7 LA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA El ingeniero de sistemas tiene como función principal elaborar soluciones sobre la base de elementos tecnológicos (hardware. en todos sus niveles de gestión (operativa. táctica y estratégica). estas soluciones pueden corresponder a construcción. software y de comunicación). adaptación y/o implantación de dichos elementos integrados para satisfacer las necesidades de las empresas.
P=  285    35 8      Rpta. 6. 5. entonces: 92n es 2.   Rpta. Efectuar 8 x 256 5 5 E= 2n  5  2n 3  2n 1 2n  4  2n 2 n n Rpta. calcular 3. 7. 8.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Rpta. Calcular 4. Calcular: P = 3125 5 . Si: 3-n = 4– 1. 50  18 Rpta. Calcular: a a x ax E x 32  8  18 E= Rpta. hallar E = 8n + 1 1 2 3 2 3   3  27 3  81 4  125 3  16  2 Rpta. Si: 2n = 3. 256  8 Álgebra 11 . Siendo: x = 2a. igual a: Reducir: 8 5 58 Rpta. El valor de “x” es: 4 3 9.
10. Rpta. 10. Rpta. Hallar “x” (4x + 1)(8x . 12 Álgebra . Hallar “n”: 5 3n  5 = 729 13. Resolver: 14.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 12. Rpta. Resolver: n 3  1  2   2n  1  a n  2 2  n   a n   2n an  4x – 4x – 1 = 192      Rpta. Efectuar 15.1)= 16x + 3 8x + 2 – 8x = 126 Rpta. El valor: x – yx – y para x = 2. y = –2 Rpta. 11. Rpta. Reducir: (a-2 + b-2)-1 Rpta.
lanzando al mundo poblado de flores amarillas. ser MAESTRO afortunado. pero desenvolver un buen entendimiento. vulgares y repetidas. es como corregir y perfeccionar la obra de la naturaleza.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Ser padre. algo es. Ramón y Cajal Álgebra 13 . precioso y exquisito. una flor nueva y que acredite la marca de fábrica del jardinero de las almas. colaborar en sus triunfos es alcanzar la paternidad más alta y más noble. es más aún. y que se distinga de la muchedumbre de las flores humanas por un matiz rojo.
Efectuar: 2 2 1 1 1 3 . a 3 2 a ( 3)   a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 a) a b) 1 e) 14 c) a2 d) a3 e) a–1 14 Álgebra . Calcular: x 52x 1  25x 1 Calcular x 2 x M= 52x  5 x x a) 625 b) 27 a) –100 b) –10 8 c) 729 d) 3 c) –50 b) 5x e) 37 e) 5–x 2. Efectuar: 9n + 1 . Calcular: 5. 2 2. 27n – 1 = 81n + 3 3 1    a 3  2 2 . 2  2 1  2  2   2      3  5  7 a) 13 b) 12 c) 10 d) 11 a) 6 b) 8 e) 14 c) 4 d) 2 e) 3/2 3. 3  2 . Si: x x  3 4. Hallar “n”.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CASA x 1. si: 6. 2 . 3 .
E 4. A 7. C 2.3 0. B 3.5 0. D 8. 008) – 0. A 9.25  4  81  c) 3 d) 1/2 e) 5 a) 1 b) 2 11. C 6.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 10.25 a) 1 b) 2  9  625      + 810. D Álgebra 15 . Calcular: Calcular: (0. c) 1/2 d) 1/4 Calcular: e) –1 20n 1 5n 1  3n 1 1 n  n 1 4n 2  22n 2 51 n  31 n 4 8. Calcular:  625 243 a) 10 b) 9 a) 1 b) 1/2 c) 18 d) 20 c) 1/4 d) 1/5 e) 25 e) 1/3 CLAVES 1. B 10. 7. E 5.
. y. etc..COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO POLINOMIOS NOTACIÓN FUNCIONAL Se utiliza para indicar las variables en una expresión algebraica. c  constantes Observación: . etc. G.. F. Se denominan constantes a lo símbolos que representan cantidades de valor fijo. .. También se utilizan frases denominadas parámetros. Para ello se utiliza generalmente el numeral. b.. .. b. etc. Ejemplo: P(x)  se lee P de x: x  variable F(x.). c.. VALOR NUMÉRICO 16 Álgebra .. z  variables a. . en este caso emplearemos las primeras letras del alfabeto (a.y)  se lee F de xy: x. y  variable x. Para ello se utilizan las últimas letras del alfabeto (z.). Par ello emplearemos letras como P. x. Se denominan variables a los símbolos que representan cantidades de valor fijo. . y..
y) Para x = 3. de P(x.2) = 3 + 5(2) + 20 = 39 GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS El grado es una característica de las expresiones algebraicas. si P(x. de: E = x2 + y3 + 3z Para x = 3. relacionado con los exponentes. El grado absoluto si se refiere a todas las variables y relativo si se refiere a una de las variables. y = 2 2 P(3. y = 2. “E” = (3)2 + (2)3 + 3(2) = 32 2.N.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Es el número que se obtiene al reemplazar las letras de una expresión por valores determinados. Hallar el V. Grado Absoluto (G.N. Hallar: P(3.y) = x2 + 5y + 20 Resolución P(3.N. Grado en un Monomio 1. Ejemplos: 1.) Álgebra 17 . que en una ecuación indica el número de valores que debe tener la incógnita. z = 5 Resolución V.A.2).2) es el V.
(P) = 10 3. G.A.(x) = 7 . G.(y) = 5 G.y) = 6x8y – 3x7y3 + 2xy5 G. Ejemplo: F(x. Ejemplo: P(x. Ejemplo: Si P(x) es de grado: a Si Q(x) es de grado: b tal que: a > b 18 Álgebra .(y) = 8 G.R.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Se obtiene al sumar los exponentes de las variables. Grado Relativo El grado relativo de una variable es el mayor exponente de dicha variable. 2.y) = a4x5y8 G.(F) = 8 + 5 = 13 Grado en un Polinomio 1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.R.(x) = 5 .) El grado relativo a una variable es el exponente de dicha variable.R. 2.R. Grado Absoluto Está dado por el mayor grado de sus términos.R. Cálculo de Grados en Operaciones 1. Grado Relativo (G.A.
10 = 90 5. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente Ejemplo: (x3y – x2y6 + z9)10 Resolución  Grado: 9 . Álgebra 19 . En la división los grados se restan xy 8  x 3 y 3  x 7 Ejemplo: x 4z  y 3  x 3y 3 Resolución  Grado: 9 – 6 = 3 4. Ejemplo: 3 xy 7  2x 3 y 6  7x 12 Resolución.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO  Grado [P(x)  Q(x)] = a 2. En la multiplicación los grados se suman Ejemplo: (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2) Resolución  Grado: 6 + 9 = 15 3. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical.
3. 2. si los exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo según sea el orden ascendente o descendente. Polinomios Homogéneos Son aquellos en los que todos los términos tienen igual grado. Ejemplo: x4y7 – x8y10 + x5y24 Está ordenado ascendentemente con respecto a y. Ejemplo: x3y2 – x5 + x2yz2 Es un homogéneo de grado 5.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 12  Grado 4 3 POLINOMIOS ESPECIALES 1. Propiedad: 20 Álgebra . Ejemplo: xy8 – y8 + x3y7 + x2y8 Es completo con respecto a x. Polinomios Ordenados Un polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables. Polinomios Completos Un polinomio será completo con respecto a una de sus variables si contiene todos los elementos de dicha variable desde el mayor hasta el cero inclusive.
el número de términos es equivalente al grado aumentado en uno. b = –5. c = 2 5. Es decir: Número de términos = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2 Como es completo: Número de términos = 6 4. Polinomios Idénticos Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. Ejemplo: ax + by + cz = 0 a = 0. Estando reducidas se cumple que cada coeficiente es igual a cero. c = 0 Álgebra 21 . Ejemplo: ax + by + cz = 8z + 2x – 5y a = 8. En dos polinomios idénticos los coeficientes y sus términos semejantes son iguales.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO En todo polinomio completo y de una sola variable. b = 0. Polinomios Idénticamente Nulos Son aquellas expresiones que son equivalentes a cero.
Rpta. Rpta. Simplificar: a +2b(a + 2b) – a – 2b (a + 2b) 3x2 – (x2 – [1 – (2x . Rpta. Sea: 4. {1 – (2x2 + [3 –(2x -1) ] . Simplificar: 2.2) } Calcular: 22 Álgebra . 8.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Halle la suma de los RPTA. 5.a)] – [5a – Q(x) = 2x2 + x – 1 (4ab . 2 De la suma de 2x + 5x – x2 – 2x+ 4 restar x  1 1 1  3 con   y  ( x  y)  x - 3  3 2 3  la diferencia de: x2 . Efectuar: 3. 7. 6.3) ] ) – x2 Rpta. polinomios: Simplificar: P(x) = 1 – x + x2 -5ab – [4b – (2ab .b) + 5b] 2 S(x) = 2 + 2x – x Rpta.6x + y 1 3 con 5 – 7x – 2x2  (x  y ) 2 3 Rpta. Simplificar: P(x) = x2 + 3x – 2.
9.2)3 + 3 Rpta. Sea el polinomio Ascendentemente. y) = xa–2b ya+b – 15xb y2b+a + 2xa-by8 es homogéneo. Hallar (a + b) (ab) sabiendo que: P(x. P(x)= xa+b +2xb+c + 3xc+d + 4xd+4 10. Calcular el término independiente de dicho polinomio 14.. hallar “a” Rpta. Si el polinomio 12. Dados: Rpta. términos es completo y 11. Si el siguiente polinomio de 14 Rpta. 15. ordenado: Sean: H(x.y) = 6x2ya P(x) = xn+4 + . Si el siguiente polinomio de 14 P(x) = 2x + 5. y) = 2xa + b + 3xb y 2a-3 P(x.. y Q(x) = 3x – 1 términos es completo y Hallar: P(3) + Q(3) ordenado: Rpta. Calcular a + b Rpta. 6 5 P(x) = (x . Rpta. 13.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO E = P(0) + P(1) Es un polinomio homogéneo.1) +(x + 1) + (x + Calcula: abcd 2)4 + 2(x . +xa-1 + xa-2 + xa-3 G(x.y) = 8xby4 Calcular: “a + n” Términos semejantes Rpta. Álgebra 23 .
1. Si los polinomios P(x) y Q(x) x 2  3x  2
3. Si: F(x) = .
son idénticos: x 2  3x  2
P(x) = a (x + 1)2 + b (x – 2)+2 E =
Q(x) = (x – 2)(x + 1) + (x + 3) (x + 2)
F (3)  2F (2)  F (0)  1
Calcular: “ab” F (3)  F (2)  2F (1)
a) 0 b) 1 a) 0 b) 1
c) 2 d) –1 c) 2 d) 3
e) –2 e) N.A.
2. Si el polinomio 4. Siendo F (2x + 1) = x
R(x,y) = (m + n)x y + 3x y – Encontrar “x” en F(x - 1) = 0
11x3y5 + (n – m)x5y3, es
idénticamente nulo. Calcule a) 1 b) –1
n.m c) 2 d) –2
c) 16 d) 24 5. Si:
F(x + 1) = x4 + ax2 – 5x
G(x + 2) = 2x3 – x – a + 1
24 Álgebra
a) x + 1 b) –4
Encontrar “a” si F(2) = G(3) c) –4x d) x – 1
e) – (x + 1)
c) 2 d) 3 7. Determine el coeficiente
e) 40 de:
6. Si: P(x) = ax m
R(x; y) =   . 9n . x3m +
Además 2n
y 5m – n
P(x + a) = P (x + b) + P(x + c)
Encontrar el valor de “x” Sabiendo que su grado
absoluto es 10 y el grado
a) a2 – b – c relativo a “x” es 7
b) a – b + c
c) a + b + c a) 25 b) 26
d) a – b – c c) 27 d) 28
e) N.A. e) N.A.
7. Se tiene: 8. Dados lo monomios:
P(x + 2) = 3x + 8 2
M1(x; y)= 3px n . Y17
Q(x – 1) = 5x + 3
M2(x; y)= 5(p – q)xp . ya
M3(x; y)= 13qx n . Y3n + 14
P (x )  Q (x )  22 Donde: M1, M2, M3 tienen el
P (x  1)  Q (x  1) mismo grado absoluto.
Encontrar la suma de
Álgebra 25
coeficientes de los tres ( 2n 1 ) ( 3n 1)
monomios P(x) =
( 3n 1)
n24 x
a) 142 b) 143 Es de sexto grado. Calcular el
c) 144 d) 145 coeficiente de dicho monomio
e) 146 a) 25 b) 1/5
c) 1/25 d) 1/5
9. Si el monomio: e) 1/27
En la vida la paciencia ha de ser
el pande cada día; pero la
necesitamos en particular para
nosotros, porque nadie se nos hace
tan pesado como nosotros mismos.
26 Álgebra
Álgebra 27
de personas y de tecnología.. competitividad y calidad. Es importante que la administración de negocios internacionales esté dirigida por expertos con visión estratégica que responda a criterios de productividad.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO ¿SABÍAS QUÉ. LA CARRERA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES La globalización y la modernidad han permitido a la naciones desarrollar redes de relaciones multilaterales que facilitan la integración económica internacional.. 28 Álgebra . que permita ver el mundo como una verdadera aldea global y propicie un fuerte intercambio de mercaderías.
2  5 2   2 2   8 10 . a2 – b2 = (a + b) (a – b) . PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES 1. 7  56 10 2. 5 = 20a   5 2   4 5 2  4 8. Identidades de Legendre  (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)  (a + b)2 – (a – b) = 4ab  (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2) Ejemplos:   3 2  2   3 2 2 3 2   2 2  32 6 2  52 6  (a + 5)2 – (a – 5)2 = 4a . (a  b)2 = a2  2ab + b2 . 5 . Diferencia de Cuadrados .C. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.) .P.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO PRODUCTOS NOTABLES CONCEPTO Son los resultados de cierta multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa. Ejemplos:  (x + 2) (x – 2) = x2 – 4 Álgebra 29 .
3 + 3 . 6. 2 . (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) . . . 22 . Trinomio al Cuadrado . (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) . 5. . (x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x – abc . (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x + abc . Trinomio al Cubo .  a  b  3  a 3  b 3  3ab  a  b  a  b  3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3 . 32 + 33 (2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27 (2 + 3)3 = 125 4.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO   2 1   2 1  21  1   5 2  5  2  5 2  3 3. a  b  3  a 3  b 3  3ab  a  b  Ejemplo:  (2 + 3)3 = 23 + 3 . Binomio al Cubo  a  b  3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3 . Producto de Tres Binomios con Término Común . 7. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab . 30 Álgebra . . Producto de Binomios con Término Común . (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a) .
a3 – b3 = (a – b) (a2 – ab + b2) . . . a3 + b3 + c3 = 3abc Amigos son los que en las prosperidades acuden al ser llamados y en las adversidades sin serlo Álgebra 31 . (x2m + xmyn + y2n) (x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n . En general . (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc + ca) – 3abc . . . (a + b) (b + c) (c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc + ac) . (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 . Suma y Diferencia de Cubos . Se verifican: . . (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc 8. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) . 10. (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4 . 9. (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 . Identidades de Argan’d 29 . a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) . Identidades Condicionales Si . . a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) . 11. Identidades de Gauss . COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO . a + b + c = 0 .
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Demetrio I 32 Álgebra .
z)2 T= (x2+5x+5)2 . (x+3) (x+4) 7. R (x  10)(x  9)  ( x  18)(x  3) Rpta.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.1) -16 ( x  9) 2  ( x  13)(x  5) Rpta. 1 (x + 1) – x 10. Reducir: 9. Reducir: (x + y . Reducir: . 8. Reducir: Álgebra 33 .    3 m m  m 3  n 6     5. Simplificar: 3.(x . Reducir: E = (x + 2)3 –(x + 3)(x + 2) Rpta. 4. Si: m = 1998 y n = 2 Calcular: E = (x–1) (x+1) (x+2) (x+4) + 2x (x+3)2 E=   3 m m  m 3  n 6  Rpta.z) (x – y -z). Reducir: Rpta. Reducir:  5 x  x 2  y 10  E = (x2+x+3) (x2+x+7) + E=    (x2+x+2) (x2+x+8)  5 x  x 2  y 10     Rpta. Rpta.(x+1)(x+2) Rpta. Si: x = 3 3 Rpta. (2x + 3)2–(2x + 1)2+(2x -3)2 (2x 2 2. Calcular: 6.
xy(x 2  y 2 ) Rpta. Si: a + b + c = 6 Rpta. para: 10. y  4 2 1 a2 + b2 + c2 = 300. la alegría inocente se desborda en una catarata cristalina que brota a plena garganta. Generalmente. Calcular el valor de: E = (a + b)(a + c)(b+c) 4 4 ( x  y)  ( x  y ) E= . para x = 20 11. Si: a + b + c = 20 x= 4 3 + 1. a3 + b3 + c3 = 24 Calcular: 12. E = (a + b)2+(a + c)2+(b + c)2 13.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO E= 9x 2  36x 2  12x  1    E  18 19 x  1 x 2  1 x 4  1  1 Rpta. Calcular: E = x5 + x–5 9. Calcular: Rpta. Si: x + x-1 = 5 Rpta. la risa de un niño es como la loca música de la infancia. hombre risueños son sanos de corazón. La risa es la sal de la vida. ¡Triste hogar es aquel donde no resuena la amable sonrisa infantil! Rubén Darío PROBLEMAS PARA LA CASA 34 Álgebra . Calcular el valor numérico de: Rpta.
Reducir: x  3x  9 2 e) 216 a) x + 3 b) x – 3 6. Hallar: A .COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 1. (x + a) (x + b) = x2 + abx + a Es una diferencia de cubos +b a) –2 b) 2 d. Si: x + y + z = xy + xz + yz = 5.y) = 2(x + y ) 2 (x + A)(x2 + 2x + B) c. B.x )= x2 – x. 2 2 2 (x + y) +(x. Si: (x + y + z)2 = x2 +y2 + z2 (x2+xy+y2)2 Álgebra 35 . ¿Cuál de las siguientes a) 4x3y3 b) 3x3y3 proposiciones es incorrecta? c) 2x3y3 d) x3y3 e) 4xy a. Efectuar: c) 15 d) 20 e) 25 (x+y)2 (x2-xy+y2)2 – (x–y)2 7. Si se cumple (a + b)3 = a3 + b3 c) III d) IV Hallar a/b e) V a) 32 b) 27 x  27 3 c) 0 b) 36 2. (x + y)2 – (x . c) x + 27 d) x – 27 Calcular: x2 +y2 +z2 e) x – 9 a) 5 b) 10 3.y)2 = 4xy e) 8 a) I b) II 5. (x + x )(x . x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y) c) 4 d) –8 e.  x>0 4. sabiendo que: b.
D 3. C 2. C 6. B 10. D 9. A 8.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 4n (x  y )(x  z )  x y z Calcular:  3  = 27n + 2 x  xyz  a) x b) xy c) x/y d) 1 e) xyz a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 7. calcular 3n “n” de: CLAVES 1. Si: 3 x  3 y  3 z = . B 4. entonces: 9. y. Si: x3 – y3 = m. ¿Cuál es el valor de “xy”? a) x3 + y3 + z3 = –8xyz b) x3 + y3 +z3 = 3xyz m3  n m  n3 2 2 c) x + y + z = xyz 2 a) b) 3n 3 d) x2 +y2 + z2 = 4xyz m  n3 m2  n 3 c) d) 3n n 3 3 3 e) x + y + z =0 m  n3 e) 8. x + y +z = 0 se cumple: entonces. C 36 Álgebra . B 7. D 5. x – y = n. z son enteros e) 2 diferentes de cero. Si: x.
y financieros de las organizaciones para mejorar la calidad. hace uso de métodos e instrumentos científicos y tecnológicos para optimizar el potencial humano. asesora y presta consultoría a organizaciones.. LA CARRERA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN El Licenciado en Administración. Álgebra 37 . competitividad..COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO ¿SABÍAS QUÉ. tecnológicos. promueve y desarrolla empresas e instituciones que ofrecen bienes o servicios a los diferentes mercados. organiza. eficacia y eficiencia. los recursos materiales. económicos. Realiza investigaciones administrativas. Gerencia. formula y administra proyectos de inversión.
(d(x)) Gdo. (d(x)) Además: Máximo Gdo. (Q(x)) = Gdo.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO DIVISIÓN ALGEBRAICA DIVISIÓN ALGEBRAICA Operación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO. Donde: D(x) : Dividendo d(x) : Divisor Q(x) : Cociente R(x) : Residuo o Resto Propiedades de la División Gdo. (d(x)) Gdo. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) . (R(x)) < Gdo. Horner 38 Álgebra . (D(x)) – Gdo. (D(x))  Gdo. conociendo otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la relación: . (d(x)) – 1 PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN Método de William G. (R(x)) = Gdo.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Pasos a seguir: 1. completo o completado. Los coeficientes del cociente se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. OBSERVACIÓN: La línea divisoria se colocará separando tantos términos de la parte final del dividendo como grado Álgebra 39 . con signo contrario salvo el primero. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal. Los coeficientes del residuo que se obtienen de sumar la columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes. Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable completo o completado. Coeficiente del divisor ordenado decrecientemente en una variable. 2. 4. 3.
2. completo o completado. 3. 4. luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por (2). y colocado en la siguiente columna. Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna OBSERVACIÓN: Si el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero. Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO del divisor: Método de Paolo Ruffini Pasos a seguir: 1. con respecto a una variable. Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna. el cociente obtenido se deberá dividir 40 Álgebra .
Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor potencia de la variable. OBSERVACIÓN: Después de realizar el reemplazo. Víctor Hugo Álgebra 41 . se inclina por su propio peso. para que sea reemplazada en el dividendo. Teorema del Resto Se utiliza para obtener el resto de una división. arraiga profundamente en todo nuestro ser y a veces sigue verdeciendo en las ruinas del corazón. Ejemplo: x 3  2x  10 x 2 Resolución d(x) = x – 2 = 0  x = 2 Reemplazo “x” en D(x): R(x) = (2)3 + 2(2) – 10  R(x) = 2 El amor semeja a un árbol.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO entre este valor. debe comprobarse que el grado del polinomio obtenido sea mayor que el grado del divisor.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 42 Álgebra .
Calcular la suma de Rpta. Calcular el resto de la división: x 4  2x 3  7x 2  ax  b . Rpta. Álgebra 43 . Calcular el cociente de: x2 1 Señale el residuo. Calcular el cociente de: división: x2 1 sea exacta. 30x  18x  7x  2  x 5 2 3 Rpta. RPTA. coeficientes del residuo de dividir: 2. La división: 5. (3 – x + 2x4 – 2x3)  (x + 2) RPTA. 3. 10x 3  6  x Rpta.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.n” para que la x 4  5x 2  nx  m 4. 8.x2 + x + 1)  (x2 + 1) x 2  3x  5 Rpta. Al dividir: . x 3  3x 2  7x  5 7. es (x5 + x4 . Calcular “m . Calcular el residuo de: 4x 4  5x 3  2x 2  3x  1 x 6  6x 3  2x 5  7 x 2  4x  6 x 2  2x  1 x 4  3x 2  2 Rpta. exacta Calcular: “a + b” 6.
Calcular el valor de (m + n) en de : B A A  B la siguiente división exacta. x2  x 1 11. Rpta. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO RPTA. Si el residuo de la siguiente división: es exacta. 44 Álgebra 41 . Es indivisible entre: Rpta. En la división exacta: 3x 2  2x  1 Ax 48x  2 . 3x 2  5x  7 12. si el x2 Si: 2x5+ 3x4+ 3x3+ 2x2+ mx + n residuo es 4. 9. Calcular “a + b”. calcular dicho residuo. Calcular “m + n” x 5  2x 4  3x 3  2x   . 3x 3  4x 2  5x  6 14. si la división: Rpta. Calcular el valor de “” en: 13. 3x 4  x 3  2x 2  ax  a no RPTA x2  x 1 es de primer grado. Calcular el resto: Rpta. Hallar el valor Rpta. ax 4  bx 3  bx 2  41x  28 . x 5  x 4  mx 3  1 x3  x n 15. x2 – 2x + 3 10.
A. resto de 5x+2. La siguiente división: a) 1 b) 2 x 4  ax 3  bx  c c) 4 d) 6 . Calcular la suma de coeficientes del cociente. Calcular: “a b” si el residuo de coeficientes del cociente y dividir: 4x4 + 3x3 + ax + b entre residuo en la siguiente x2 + 4 es 2x + 79 división a) 62 b) 63 4x 6  2x 5  2x 4  4x 2  4x  7 c) 64 d) 65 2x 3  x 2  3x  1 e) 84 4. Deja un x2 1 e) N. a) 4 b) 5 luego de dividir: c) 60 d) 7 e) N.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Calcular “m . x2 1 e) N. Si la siguiente división: a) 6 b) 7 4x 4  4x 3  mx 2  nx  2 c) 8 d) 9 .A. calcular ”b – a + c” 2. 5x 5  x 4  6x 3  7 x  3 5x 2  6x  2 5. Es exacta. Encontrar la suma de 3.A. n” Álgebra 45 .
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 8. Calcular “A . En el siguiente esquema de a) 24 b) 23 una división por Horner c) 22 d) 21 e) N. 2 6 13 r s 3 9 n q 6 2 6. 46 Álgebra . Calcular “a +b + c” si la Luego de dividir división a 8 6 9 1 t b c p q x 5  x 4  (a  3)x 3  (b  3)x 2  (c  2)x  2 5 r x 3  3x  2 11 22 Es exacta 4 5 11 22 32 a) 4 b) 5 a) 1 b) 5 c) 6 d) 7 c) 3 d) 4 e) 8 e) N. Encuentre: a  b c p  q  r t e) 7 7.A.B” si la división m p 0 0 21x 4  Ax 3  Bx 2  26x  12 Indicar m + n + p + q + r + s 7x 2  2x  6 a) 1 b) 5 Es exacta. c) 10 d) 14 e) N.A.A. a) 5 b) 25 c) 42 d) 28 9.
A Hay que mostrar mayor rapidez en calmar un resentimiento que en apagar un incendio. porque las consecuencias del primero son infinitamente más peligrosas que los resultados del último. A 10. D 4. mientras que el resentimiento puede causar guerras crueles.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 10. el incendio finaliza abrazando algunas casas a lo más. Heráclito Álgebra 47 . A 9. A 7. E 6. A 2. E 8. con la ruina y destrucción total de los pueblos. En el siguiente esquema por Calcular: k +m + n + p + q + r Horner. a) 37 b) 38 1 3 a 5 b c) 39 d) 40 a k p e) 41 b q s k m n t CLAVES 1. E 3. B 5.
y culturales. Estudia y promueve la cultura nacional y universal y la creatividad artística. analiza y explica los sistemas de significación de los discursos estéticos. Ámbito de Trabajo: Centros de investigación y docencia universitaria.. Interpreta y valora textos literarios. Aplica conocimientos técnicos para la producción. LA CARRERA PROFESIONAL DE LITERATURA El profesional de esta disciplina describe.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO ¿SABÍAS QUÉ. empresas editoras y promoción cultural. 48 Álgebra .. edición y promoción de textos.
Condiciones que debe cumplir: xm ym x y Donde x. Ramón y Cajal Álgebra 49 . Si: R = 0   qx    cociente completo x y x y Ser padre.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO COCIENTES NOTABLES CONCEPTO Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de división. vulgares y repetidas. colaborar en sus triunfos es alcanzar la paternidad más alta y más noble.) x y xm yn R x  2. es más aún. una flor nueva y que acredite la marca de fábrica del jardinero de las almas. m  2 CASOS xm yn 1.N. pero desenvolver un buen entendimiento. Si: R = 0   qx   cociente entero o exacto (C. lanzando al mundo poblado de flores amarillas. algo es. y bases iguales m Z+. y que se distinga de la muchedumbre de las flores humanas por un matiz rojo. precioso y exquisito. es como corregir y perfeccionar la obra de la naturaleza. ser MAESTRO afortunado.
N.ny n 1 ....N.  n (cociente completo) x y x y  x n 1  x n 2y  x n 3y 2  ..COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO También según la combinación de signos se puede analizar 4 casos. n impar C...) x y xn yn 2y n =xn-1+xn-2y+xn-3y2+.  y  x  y ...n impar c x y n 3 2  CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C...n par coc x y n 1 n 2 n 3 2 n 1   x n 1  x n 2 y  x n 3y 2  . xn yn   2y n  x  x y  x y  . r  Z+ p x y q 50 Álgebra . xn yn    n 1 n  2 n 1 2y n  x  x y  x y  .  n (C.  y n 1.+yn-1+. n par C. xm yn m n De: q se debe cumplir: p   r .  y  x  y .N.. Deducción de los Cocientes DIVISIÓN INDICADA COCIENTES SEGÚN SU FORMA n  Z+ x y n n =xn-1+xn-2y+xn-3y2+.+yn-1+ .N..
Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los C. sin necesidad de conocer los demás. y  2do.. Donde: tk  término del lugar k x  1er.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C. tk = xn–kyk–1 . Álgebra 51 . De la división: xn yn x y 1. 2. Si d(x) = x+y: . Si d(x) = x – y: . término del divisor.N.N. término del divisor. tk = (–1)k–1xn–kyk–1 .
N.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO m  número de términos de q(x) Ejemplos: x5 y5  x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy 3  y 4 (C.) x3 y3 52 Álgebra .) x y x4 y4 2y 4  x 3  x 2 y  xy 2  y 3  (Cociente Completo) x y x y x 12  y 12  x 6  x 6 y 3  x 3 y 6  y 8 (C.N.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Álgebra 53 .
= 1  9z 2 7y 2  4 10. = x  11 49x 4n 2  36 8. = x  y  z w 49y 4  16 5. = z 1 4x 2n 2  9y 4n 7. = 5x  1 x  y 2   z  w  2 9. = x9 64x 6  81z 2 6.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO EJEMPLOS DE APLICACIÓN Hallar el cociente de: x 2  81 1. = 7 x 2n 1  6 25x 2  1 4. = 8x 3  9z z 2 1 2. Wortley Mantague 54 Álgebra . = 2x n 1  3y 2n x 2  121 3. = 1  3z Nunca están los hombres más cerca de la estupidez como cuando se creen sabios. M.
Rpta 4. 6. + 72n+ 1 origina un C.. (xn+1 -y )  (x – y ) 3n-4 2 5. Señalar la suma de 2. Señalar la equivalencia de: Álgebra 55 .a4n b + a2n b2 – b3 división: Rpta.N. Dar el equivalente de: 7 + 73 + 75 + 77 + . Para qué valor de “n” la a6n ..1)n. Dar el equivalente de: de la división: x 245  y m x x 20 18 . Rpta.. Rpta.. en término central x p  y2 x4  y3 es xq y24. En el desarrollo del coeficiente 3.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. coeficientes del coeficiente de Cuántos términos posee el dividir: cociente notable originado [(x-2)2n+(x . calcular: m + p + q Rpta. Rpta. 7.1](x2 –3x+2) por: n  N*  x a  8  y a 2  91  n > 1997    (x2 + y) Rpta.
13.  1  del desarrollo de: x4 y4 es: Rpta. M(x.. Rpta. Simplificar la expresión 14. (m.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 8. Hallar el término término 37.z) = x9 z4 10.  1 x 100  y 100 P= x 90  x 72  x 54  . x 2n  9  y 2n  5 x  R – {x = y} m < 32 Rpta. La suma de todos los x  exponentes de las variables 102  x 96  x 90  . es ax b24 a b z 2 x 180  z 80 Rpta. Rpta. Hallar el valor numérico del 15.. Hallar el número de términos notable que tendrá el cociente notable n2 1 2  x n29  7 n  29  7 n nn 1 generado por:  (y )   . Hallar x + y + z. 27 1 x 27  81 1 y9 x 5m 10  y 5m 50 ... de la siguiente división 12. 11.n)  N. 9.. Hallar el número de términos Rpta. Rpta. si el término Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el a b75 y desarrollo de: central de .. para x = -1/5 de independiente respecto a “x” en el cociente notable (5x  9)43  (5x ) 43 generado por: 10x  9 56 Álgebra .
x 2  1 segundo está a dos lugares 2 del primero.  2 x 1 término central dicho C. generado por obtiene al dividir. Los términos x26 a15.. x22 a25 pertenecen a un C..n = y9-n Rpta. x 40  y 10 .. x PROBLEMAS PARA LA CASA 1. el x 78  x 76  x 74  x 72  . Resolver: 2. hallar el término x 3n 2  y 5n 1 x4 y x 2  y n 5 A...COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO   x  y  yn n .. Hallar el grado absoluto del décimo primer término en el Álgebra 57 . ¿Cuál es el x 38  x 36  x 34  x 32  . sabiendo que es entero ? a) x20 – 1 b) x80 – 1 c) x80 – 1 b) x40 – 1 a) x16a40 b) x30a10 e) x60 – 1 c) –x28a20 b) x20a50 e) x24a20 5.N. En el cociente notable generado por la división: 3. si t10 .N. a) 25 b) 30 a) x9y8 b) x4y8 c) 40 d) 60 c) –x8y9 b) –x4y8 e) 66 e) x8y8 4.N. Sin A es un penúltimo término cociente notable que se del C.
x m 1  y m  3 8. calcular el valor número del a) 2 . + x a –x a + . valor de “m” e 8xy (x 2  y 2 ) indicar el número de genera un cociente notable... términos. Si la división (x  y )100  (x  y )100 determinar el.. generado por (a  b )22  (ab )11 7. ¿Qué lugar ocupa el término c) 70 d) 80 de la forma R[ab(a + b)2]n del e) 40 C. 26 6. 23 término central para x = 3 e y c) 6 . Hallar el número de términos a) 1 b) 2 del siguiente cociente c) –1 d) –2 notable.. e) 3 195 140 190 147 .. 22 b) 4 .N.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO x 20m 35  y 20m 57 ... 24 d) 8 .. a) 50 b) 60 9. La siguiente división ? a 2  3ab  b 2 16 3 4  8 2 genera un 3 4 2 a) 3 b) 6 c) 9 d) 8 C. cuyo término racional es: e) 5 a) 16 b) 8 c) a y b d) 34 e) 18 58 Álgebra . 25 =2 2 e) 10 .N.
C 3. B 6. B 8. D 9. Si al efectuar: x 4  x 4 se x  x 1 a) 7 b) 7 3 encontró que: c) 7 2 d) 2 T(100) .COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 4 4 Determinar “x” 10. todo. C CÓMO DEMOSTRAR CUALQUIER COSA Bertrand Russell estaba tratando sobre los enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa. T(200) . T(250)= 2-47 e) 3 CLAVES 1. B 2. B 10. A 4. entonces es usted el Papa? Russell contestó afirmativamente y dio la divertida "prueba" que sigue: Álgebra 59 . B 5. A 7. Un filósofo escéptico le preguntó: ¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5.
tenemos que 3 = 2 y restando 1 de cada lado. nos da 2 = 3. entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la ecuación. nos da 2 = 1. que como el Papa y yo somos dos personas. Luego. yo soy el Papa. Invirtiendo los términos. entonces el Papa y yo somos uno. y 2 = 1.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Si suponemos que 2 + 2 = 5. De modo. 60 Álgebra .
recuperación. rehabilitación y administración de salud del sistema estomatognático. tratamiento. promoción. centros educativos.. policlínicos.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO SABÍAS QUÉ. servicios de sanidad. clínicas.. de diagnóstico. seguros. hospitales militares – policiales. tanto a nivel individual como de la comunidad. Álgebra 61 . consultorios particulares e instituciones odontológicas. Desarrolla acciones de carácter integral. Ámbito de Trabajo: Sector salud. empresas industriales. servicios odontológicos. prevención. LA CARRERA PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA El odontólogo trata las afecciones y enfermedades buco–dentales y conexas.
Racionales dentro del mismo campo. Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel polinomio que no se puede descomponer en otros factores.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO FACTORIZACIÓN Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentada como el productos de dos o más factores algebraicos. por lo cual también es llamado divisor. (x + b). Ejemplo: El proceso (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab es una multiplicación. Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lo divide exactamente. En cambio el proceso x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b) es una factorización Donde: (x + a). 62 Álgebra . son factores primos.
Por lo general. Ejemplo: Factorizar E = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2 El factor común monomio será x2y2. elevada a su menor exponente. se encuentra luego de agrupar términos y bajo los siguientes criterios: Álgebra 63 .COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO MÉTODO DE FACTORIZACIÓN Factor Común Monomio Consiste en extraer la parte que se repite en todos los términos para lo cual se extrae la expresión repetida. Luego de dicho proceso se tendrá: Factor Común Polinomio Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más términos. para lo que queda en el polinomio. Ahora dividiremos cada uno de los términos entre dicho factor común.
Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO . De acuerdo a los coeficientes de los términos: Ejemplo: Factorizar E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12 Como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de 2 en 2 y en forma ordenada. Ahora dividamos cada agrupación entre el factor común polinomio. . tiene un único divisor que es sí mismo 64 Álgebra . De acuerdo al número de términos Ejemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4. En cada uno de los tres grupos: E = x6(x4 + y4) + y8(x4 + y4) Factor Común Polinomio (x4 + y4).
Álgebra 65 .COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Esta expresión tendrá 2 factores primos Método de las Identidades Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas.C. es T. SE CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE DEL PRODUCTO DE LA RAÍZ DE DOS DE SUS TÉRMINOS ES IGUAL AL TERCER TÉRMINO: Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado. Recordemos los siguientes: A) Trinomio Cuadrado Perfecto A2  2AB + B2 = (A  B)2 OBSERVACIÓN: EL TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUADRADO. Ejemplo: Luego.P.
Factorizar: x4 – 4b2 Resolución Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b) 2. Factorizar: x2 + 2xy + y2 – z6 Resolución x2 + 2xy + y2 – z6  (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3) (x + y – z3) C) Suma o Diferencia de Cubos A3  B3 = (A  B) (A2  AB + B2) Ejemplo: Factorizar: 27x3 – 8 Resolución (3x)3 – 23 = (3x .2) (9x2 + 6x + 4) 66 Álgebra .COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO B) Diferencia de Cuadrados A2 – B2 = (A + B) (A – B) Ejemplos: 1.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO ASPA SIMPLE Se utiliza para factorizar expresiones trinomios o aquella que adopten esa forma: Ax2m + Bxmyn + Cy2n Ejemplos: Factorizar: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab .28 (a + b)2 + 3(a + b) – 28  (a + b + 7) (a + b – 4) ASPA DOBLE Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F Ejemplos: 1. Factorizar: Álgebra 67 .
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO La expresión factorizada es: (5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1) 2. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente. se calcula la suma del producto en aspa. Regla: 1. Factorizar: La expresión factorizada es: (3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z) ASPA DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E. 68 Álgebra .
Pr incipal de P  x  Álgebra 69 . indep. La expresión agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomio Ejemplo: 1. se pueden encontrar: Posibles Divisores T. entonces: (x.x0) es un factor primo de P(x). A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central. Factorizar P(x) = (x2 + 3x – 5) (x2 + 2x + 3) MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS Con éste método se busca uno o más factores binomios primos Además: 1. Si P(x0) = 0. de P  x   x0 ceros Divisores Coef. Los valores que anulan a P(x). Los demás factores se encuentran al efectuar: x  x0 3. P x  2.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 2.
2. para x = 1 por Ruffini R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego un factor es (x – 1) Luego: P(x) = (x – 1) (x2 – 5 x + 6) x –3 x –2  P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2) MÉTODO DE SUMAS Y RESTAS Se inspecciona el dato. comparándolo con alguna identidad conocida. Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia de cuadrados. la mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos para constituir en forma completa aquella identidad sugerida por el dato. 6) Probando con uno de ellos.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Ejemplo: Factorizar: P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6 Divisores 6 Posibles ceros   Divisor de 1 Posibles ceros =  (1. Ejemplo: Factorizar: x4 + 64y4 70 Álgebra . suma de cubos o diferencia de cubos. naturalmente que aquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterar el origen. 3.
12. Rpta.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO  x4 + 64y4 + 16x2y2 – 16x2y2 x4 + 16x2y2 + 64y4 – 16x2y2  (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 Donde: (x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy) PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Factorizar: x3 + 8 13. 8.1 Rpta. Factorizar: x2 . Factorizar: 1 + 3a2 – 3a – a3 Rpta. 3ax– 2bv – 2bx – 6a + 3ay +4b 5. Factorizar: Rpta. Factorizar: 4x2 + 12xy + 9y2 Rpta. 9. 2. Factorizar: 27x3 . Rpta. Factorizar: x3 . 4. Factorizar: 1 – 6m -8m3 + 12m2 7. Rpta. Factorizar: x3 +1 Rpta.125 Rpta. 6.25 11. 3. Factorizar: 9m4 + 6m2n + n2 Factorizar: 37m6 -1 Rpta. Rpta. 10. Álgebra 71 . Rpta.4 Factorizar: mn + pq + n + mq +pn + q Rpta. Factorizar: x2 .
Rpta.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 14.b 15. 72 Álgebra . Factorizar: N = ax2+ bx2– a . Factorizar: P = ax2 +a2x + bx + xb – a -x Rpta.
x + 4y – 2 c. 2x + 3y + 6 Dar la suma de coeficientes 5. x – 3y + 2 independiente: c. x – 2y + 5 e. Indicar el factor primo que a. d. x + 4y + 5 3. 2x + 3x – 2 tiene el mayor término b. 2x + 5y + 3 23xy + 17(x + y) + 6(2x2 + 1)+5y2 e. Factorizar: a. 2x – 3y + 4 mayor suma de coeficientes. Dar un factor primo de: de un factor primo (x + y)2 –9y(y + 1)-7(x +y)+ 10 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 a.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CASA 1.1) – 5xy Álgebra 73 . 3x + 5y + 3 b. x + 2y + 3 e) 5 b. Factorizar: c. 4x – 2y +– 1 2 2 6x – 7xy – 3y + 14x – 10y + 8 e. 3x + y + 4 Indicar el factor primo de c. 3x – 2y + 3 4x(x + 2) . 4x + 3y + 2 4. 2x – 3y + 8 a. 3x – 5y + 5 d. 2x + 5y + 5 2. 2x + y + 4 6(x2+y2)–13(xy+1)–3(4x–y)–5 b.6y(y . 3x – y – 4 e. Indicar un factor de: d. x – 2y + 2 d.
(x2 + 3x)2 – 14(x2 +3x) + 40 7. x–2 9. 10x2 + 10x – 1 b.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 6.47(x + x-1)-78 c) 7 d) 2 e) 4 Indique su factor primo 10. N. 3x2 + 3x – 1 x(2x . Factorizar: a) 3 b) 5 2 2 2 30(x + x + 1) . Indique un factor de: R(x) = 4(x2-5x)2 +27(x2-5x)+ 18 (2x2 . Indicar un factor primo de: a.A. Dar la suma de coeficientes d. 4x2 – 20x + 3 de un factor primo de: e. x + 3 e) x + 3 b. Factorizar: 8.x)2 – 9(2x2 .x) + 18 Indique cuál no es un factor: a) x – 2 b) x – 1 c) 2x + 1 d) 4x – 3 a. 3x2 + 3x + 1 c) 2x – 1 d) x – 1 e) 2 74 Álgebra .4)(5 – 2x) c. 3x2 – 3x + 1 d. x – 3 c.5)2 – (12x . 2x2 + 2x + 1 a) x – 4 b) 2x + 5 e.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO CLAVES 1. adaptación y/o implantación de dichos elementos integrados para satisfacer las necesidades de las empresas. táctica y estratégica). A 2. A 4. B 5. B 6. Álgebra 75 . D 3. C 8. estas soluciones pueden corresponder a construcción. en todos sus niveles de gestión (operativa. C 7. software y de comunicación). B 10. E 9. C LA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA El ingeniero de sistemas tiene como función principal elaborar soluciones sobre la base de elementos tecnológicos (hardware.
B. – M.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO M.M.C) = (x2+1)6 (x–2)4 (x+3)4 (x+7)6 (x+5)6 76 Álgebra .C.D.C. (A.) El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios.) El Máximo Común Divisor de 2 o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se obtiene factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicación de factores primos comunes afectado de sus menores exponentes.C. de los polinomios: A(x) = (x+3)4 (x2+1)6 (x–2)2 (x+7)6 B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (x–2)4 (x+5)8 C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (x–2)3 (x+3)3 Rpta: como ya están factorizados el: M.B. Se obtiene factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.D.C. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C) = (x2+1)2 (x–2) M.D. (A.M.M.C.D. y M.C.M. – FRACCIONES MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M. Ejemplo: Hallar el M.C.C.
C. .COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Propiedad: Solo para dos polinomios: A(x). D(x): polinomio denominador (no constante) Ejemplo: x 2  1 x 4  1 x 2  2x  48 .D. Signo del Denominador: – c. Signo de la fracción propiamente dicha: – Álgebra 77 . B(x) FRACCIONES ALGEBRAICAS Fracción Algebraica Una fracción algebraica.C. (A.M. B(x). x 2 x 7 2 x 4 Signos de una Fracción a. Se cumple: M. Signo del Numerador: + b. N x  Denotado: Dx  Donde: N(x): polinomio numerador (no nulo). M. se obtiene como la división indicada de dos polinomios N(x) y D(x) siendo D(x) polinomios no constante.B) .B) = A(x) . (A.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO x F  y OBSERVACIONES: SI INTERCAMBIAMOS UN PAR DE SIGNOS POR UN MISMO SIGNO EL VALOR DE LA FRACCIÓN NO SE ALTERA EN EL EJEMPLO ANTERIOR. ES DECIR: x x x x F     y y y y También: A A A   B B B Ejemplo: Sumar: x0 x y x x S     x  y y  x x  y x  y  x y S  1 x y Regla para Simplificar Fracciones Debemos factorizar el numerados y denominador para luego eliminar los factores comunes: Ejemplo: Simplificar 78 Álgebra .
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO F  x   9  x  1 2 x  6x 2  11x  6 3 Resolución Factorizando y Simplificando: F   x  3 x  3 x  1  x 3  x  1 x  2 x  3 x 2 Operaciones con Fracciones 1. Se presentan los siguientes casos: A) Para fracciones homogéneas: Ejemplo: x y z x y z    x 2 x 2 x 2 x 2 B) Para fracciones heterogéneas: Ejemplo: a c e adf  bfc  bde    b d f bdf C) Para 2 fracciones Álgebra 79 . Adición o Sustracción Es preciso dar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores.
d . Ejemplo: a c a d   . . . . se invierte la segunda fracción y luego se efectúa como una multiplicación.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Regla practica: x z wz  yz   y w yw 2.  b d f b . . División En este caso. ..f x x  7 x 2 x 1 x  7 . Multiplicación En este caso se multiplican los numeradores entre sí y lo mismo se hace con los denominadores. Debe tenerse en cuenta que antes de efectuar la operación puede simplificarse cualquier numerador con cualquier denominador (siempre que sean iguales).. Ejemplo: a c e a . invirtiendo b d b c a b  ad c bc d Fracción Independiente ax 2  bxy  cy 2 F x .c .e .  x 1 x 2 x x 7 x 7 3. También se puede aplicar el producto de extremos entre el producto de medios. y   a1x 2  b1 xy  c1 y 2 80 Álgebra .
de los polinomios P(x) = x5 – x3 + x2 – 1 Q(x) = x6 – 1 M(x.C. P(x. PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. de Rpta.C. Hallar el M. Determinar el número de factores primos del M.C. de los A(x) = x2 – 15x + 36 siguientes polinomios B(x) = x2 – 9 C(x) = x3 + 6x2 + 63x + 108 P(x) = 2x4 – x3 – 3x2 + 3x – 9 Rpta.C.y) 72xn–1ym–1 3.D. los polinomios: 5.M.D. Q(x) = x3 + 3x2 + 5x + 3 2.M. Q(x) = 10x3 – 9x2 + 17x – 6 4. de los Dar como respuesta la suma polinomios: de los coeficientes P(x) = x3 + x2 + x + 1 Rpta.y) = 48xn–2ym+1zn N(x. Determinar el grado del M. de los polinomios: Álgebra 81 .D.C.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Es independiente x e y- a b c    k a 1 b1 c 1 k  cte.y) = 36xnym Rpta. Hallar la suma de los coeficientes del M. Si el M.
a: 2x2 + 2x + 1.C. 9.D. entonces m2 – n2 8.C. de los polinomios 10.D. de dos polinomios en x es (x2 + 1)2 – 4x2. además el Rpta.C. es: 3 2 R(x) = 2mx + 2nx + px – q Rpta.M y es: M.C.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO es 12x2y3. admiten como M.D. y x 82 Álgebra . Hallar el M.C.y) = 3x3 + 5x2y + xy2 – y3 xy xy 2 R(x. Rpta. A partir de: P(x. Si el cociente del M. Si los polinomios (x6 + 1)2 – 4x6 P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n Entonces el M. 7.y) = x4 + 3x3y + 3x2y2 + xy3 determinar el equivalente de: x y  Rpta.y) = x4 + xy3 + x3y + y4  2xy y x  y   n x  y   Q(x. producto de ellos es: 6. Simplificar Hallar un divisor de R(x) 16a 4  28a 2  11a  36 4 a 3  8a 2  26a  5a 2  12a  18 4 a 2  6a  9 Rpta.D.
. y. x n  2x n 1  3xn 2  .   n  2 x 3   n  1 x 11. Al reducir la expresión:     x 1 x 1 Rpta. Simplificar la siguiente x n 2   n  2  x  n  1 fracción: Rpta.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO Rpta. mx   m  7  x   m  8 x   m  1 3 2 mx 3   m  9  x 2   m  16 x   m  7  15. Álgebra 83 . Hallar la expresión más a 2  b2  p2  m2 simple de la fracción. Si la fracción Rpta. si x  1 en términos de k. Sabiendo que la fracción admite simplificación ¿cuál es el denominador que se  ax  by  2 obtiene si se efectúa dicha p2 x 2  2m2 xy  m2 y 2 simplificación? toma un valor constante de k k  0.   1 1  x 1 1 x 1  1  x 1  x 1  x 1 x 1 12. xy  0. para todo valor de x. 13.. Rpta. Hallar a 2  b2  p2  m2 .     2 n  1 8  n  2   2n  4   1  1  4n  8 3 3 2n  3  1  2n  3  1 3 2 3 2 14. nN Rpta.
sorbo a sorbo. 84 Álgebra . lo mismo que un vino de alto precio. Incluso el mejor vino pierde su encanto y no acertamos ya a apreciarlo cuando lo engullimos como su fuera agua Feueerbach.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO La vida. debe ser saboreada con oportunas interrupciones.
 x  4  2  4  4  25x 2  2x  2 2  x2 x2   4x  2 2  A  Calcular   B  C  3  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 a) –1 b) 1 e) 5 1 c) 3 d) 3 5 4. Reducir A  donde A. Simplificar: 2a a a  2 2 2  a  a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 ax ax  1 ax  2 ax  3  1 1  ax 1  2ax 1  3ax   a 4 x 4 e) 4 ax  1 a) b) 5. c) d) 1 2x 2  x  1 x  2a se transforma en otra a e) equivalente a x B C 3. Reducir ax  2 ax 1 2 4 8  2   a  2x 1a 1a 1a 4 1  a8 Álgebra 85 . C son constantes reales. Efectuar: e) 3 x  a 2 x  a 2 x  a 2   2. Si la fracción . x  1 2x  1 b.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CASA 4x 2  2x  3 xa 1.
X 3 + y3 + z3 en fracciones parciales. y D son a 1 los numeradores de las 1 e) 2 fracciones parciales en que a 1 puede ser descompuesta la 6. C. dar la b. Efectuar: siguiente fracción: 4x 3  x 2  3x  2  4 2  x  x 2  x  1 2  2   1  3   x x   x 8 1 2 Hallar: A + B + C + D x  2x a) 1 + x b) 1 – x a) 2 b) –6 c) 1 d) 1 + x2 c) 1 d) –1 e) 1 – x2 e) 0 7. 0 1 2 8. B. xyz 86 Álgebra . Reducir 9. a 1 a 1 xyz c) 1 d) b.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 1 1 x4  y4  z4 a) b) a. Luego de descomponer 4 z2 x2 y2 x  y 4  z 4  y z  x  5 1 1 1 x y z  x  1  x 5  1 5 yz xz xy a. (x + y + z) 3 suma de sus numeradores c. Sabiendo que A.
D 8. A 3. B 6. D 7. E Álgebra 87 . D 2. Si x 1 y x  1 1 cuando n  0 x  m 1 1 1 m a) m + n b) m – n 1 1  c) m – n – 2 d) m – n – 1 1 e) 1 y 1 1 n 1 1 1 n  CLAVES 1.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 Hallar el equivalente de e) –1 x2  x  1 y2  y  1 R  10.
B 9. D 5. E 88 Álgebra . A 10.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO 4.
M. – M.D. Teoría de Exponentes 7 Polinomios 17 Productos Notables 28 División Algebraica 41 Cocientes Notables 51 Factorización 51 M.C. – Fracciones 51 Álgebra 89 .C.COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Reino de los Cielos” CUARTO AÑO ÍNDICE Pág.
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