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Fundamentos del Análisis de Fourier - PDF
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1 Fundamenos del Análisis de Fourier Camilo José Carrillo González Deparameno de Enxeñería Elécrica Escola écnica Superior de Enxeñeiros Indusriáis Universidade de Vigo Vigo, 3
3 Índice Índice PRÓLOGO v I. LA RANSFORMADA DE FOURIER: UNA INRODUCCIÓN HISÓRICA II. SERIES DE FOURIER 5 II. Funciones periódicas 5 II. Serie de Fourier 6 II.. Obención de la Serie de Fourier 6 II.. Especro de frecuencia 7 II..3 Índices de disorsión 8 II..4 eorema de Parseval 8 II..5 Aproximación mediane una Serie de Fourier finia 9 II..6 El fenómeno de Gibbs II..7 Convergencia de la Serie de Fourier II.3 Análisis de formas de onda periódicas 3 II.3. Simerías de una función periódica 3 II.3. Funciones especiales 9 II.3.3 Evaluación de los coeficienes de Fourier por diferenciación II.4 Forma compleja de las series de Fourier 3 II.5 Serie de Fourier de un ren de pulsos 4 II.5. ren de Pulsos 4 II.5. Cálculo de los coeficienes de la Serie de Fourier 5 II.5.3 Forma de onda riangular 3 III. INEGRAL DE FOURIER Y ESPECROS CONINUOS 35 III. De la Serie de Fourier a la inegral de Fourier 35 III. Propiedades de la ransformada de Fourier 37 III.. Simería 37 III.. Linealidad 38 III..3 Desplazamieno emporal y Frecuencial 38 III..4 Escalado emporal y Frecuencial 38 III..5 Diferenciación e Inegración 39 III..6 Dualidad 39 III..7 eorema de Parseval 39 III..8 Modulación de ampliud 4 III.3 La Inegral de Convolución 4 III.3. Convolución con la función Impulso 4 III.3. eorema de Convolución 43 III.3.3 eorema de Modulación 43 III.4 Convergencia de la ransformada de Fourier 43 III.5 ransformada de Fourier de Funciones Especiales 44 III.5. ransformada de Fourier de un impulso 44 III.5. ransformada de Fourier del seno y del coseno 44 III.5.3 ransformada de Fourier del escalón uniario 45 III.5.4 ransformada de Fourier de un ren de impulsos 45 III.5.5 Señales Periódicas y la ransformada de Fourier 45 i
4 Índice IV. SISEMAS MUESREADOS 47 IV. Filro ideal y señales de banda limiada 47 IV.. Filro ideal 47 IV.. Señales de banda limiada 48 IV. Muesreo de señales 48 IV.3 eorema de muesreo 5 IV.4 El efeco del aliasing 5 IV.5 Muesreo con manenedor de orden cero 54 V. LA RANSFORMADA DE FOURIER DISCREIZADA (DF) 57 V. Inroducción 57 V. De la ransformada de Fourier a la DF 57 V.3 La Inversa de la ransformada de Fourier Discreizada (IDF) 6 V.4 Relación enre la ransformada de Fourier y la DF 6 V.5 Convolución Periódica Discrea 65 V.6 Propiedades de la DF 66 VI. LA RANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER 69 VI. Inroducción 69 VI. Formulación Maricial de la FF 69 VI.3 Desarrollo inuiivo 7 VI.4 La ransforma de Fourier en iempo real 76 VI.4. La DF recursiva 76 VI.4. La FF en iempo Real 77 VII. EMPLEANDO LA DF 79 VII. Consideraciones de índole prácico 79 VII. Reducción del error de la DF: el empleo de venanas 8 VIII. APLICACIÓN DE LA RANSFORMADA DE FOURIER AL ESUDIO DE SISEMAS LINEALES 87 VIII. Los sisemas lineales invarianes 87 VIII. La respuesa en esado esacionario 87 VIII.3 La respuesa de un sisema lineal 88 VIII.4 Aplicación de la ransformada de Fourier a la Resolución de Circuios Elécricos en Régimen Esacionario 89 VIII.5 Aplicación de la ransformada de Fourier a la Resolución de Circuios Elécricos en Régimen ransiorio 9 VIII.5. Ejemplo de aplicación 9 VIII.6 Aplicación de la DF a la resolución de sisemas lineales 94 VIII.6. Ejemplo de uilización de la DF a la resolución de un sisema lineal 95 VIII.6. Ejemplo de uilización de la DF a la resolución de un circuio elécrico 98 ii
5 Índice IX. LA RANSFORMADA DE FOURIER EN IEMPO DISCREO (DF) 3 IX. Señales básicas en iempo discreo 4 IX. Represenación de señales periódicas 8 IX.3 La ransformada de Fourier en iempo Discreo 9 IX.4 La ransformada de Fourier en iempo Discreo y la Serie de Fourier en iempo Discreo IX.5 Propiedades de la ransformada de Fourier en iempo Discreo IX.5. Periodicidad IX.5. Linealidad IX.5.3 Simería IX.5.4 Desplazamieno emporal y escalado en frecuencia IX.5.5 Diferenciación e Inegración IX.5.6 Convolución IX.5.7 eorema de Parseval IX.5.8 Dualidad 3 IX.6 Relación enre la DF y la DF 4 X. PROPIEDADES Y RANSFORMADAS DE FOURIER MÁS HABIUALES 5 X. Diferenes formas de la Serie de Fourier 5 X. Propiedades de la Serie de Fourier 5 X.3 Propiedades de la ransformada de Fourier 6 X.4 Propiedades de la DF 7 X.5 Propiedades de la Serie Fourier en iempo Discreo 8 X.6 Propiedades de la ransformada de Fourier en iempo Discreo 9 X.7 Series de Fourier de funciones periódicas X.8 ransformadas de Fourier X.9 ransformadas de Fourier en iempo Discreo X. Series y ransformadas de Fourier de Señales Periódicas en iempo Discreo 3 BIBLIOGRAFÍA 5 iii
7 Prólogo Prólogo Ese libro nace de la recopilación del maerial empleado durane la docencia e invesigación que he llevado a cabo en el Deparameno de Enxeñería Elécrica de la Universidade de Vigo. En él se recogen algunos de los aspecos fundamenales del análisis de Fourier, y como ales, se describen herramienas maemáicas como la Serie de Fourier, la ransformada de Fourier, la ransformada de Fourier Discreizada y, por úlimo, la Serie y ransformada de Fourier en iempo Discreo. No es objeo de esa obra el presenar un análisis exhausivo de cada una de las ransformaciones mencionadas, sino que se preende que sea una herramiena de apoyo para odos aquellos que deseen acercarse a las eorías de Fourier. La realización de la presene publicación ha requerido la colaboración de muchas personas. De enre ellas he de agradecer especialmene las conribuciones del profesor José Cidrás Pidre, principalmene en lo referene al análisis de circuios elécricos, al profesor Andrés Elías Feijóo Lorenzo, por ayudarme a hacer esos apunes mejores con sus comenarios y correcciones, y a la profesora Elena Albo López, por su conribución con medidas de campo y por desarrollar las series de Fourier de un ren de pulsos. Finalmene, quisiera expresar mi agradecimieno a odos los miembros del Grupo de Elecroecnia y Redes Elécricas del Deparameno de Enxeñería Elécrica de la Universidade de Vigo. Camilo José Carrillo González Vigo, de marzo de 3 v
8 vi Fundamenos del Análisis de Fourier
9 I. La ransformada de Fourier: una inroducción hisórica I. La ransformada de Fourier: una inroducción hisórica La ingeniería ha empleado a lo largo de la hisoria méodos de análisis que raaban de reducir la complejidad maemáica de un problema. Esas écnicas se basan en la ransformación maemáica de las ecuaciones. A modo de ejemplo, se puede ver en la Ilusración I- el del empleo de los logarimos para ese propósio. Análisis Convencional Problema Y=X/Z ransformación del problema ransformación log(y)=log(x)-log(z) Análisis complejo División Análisis simplificado Búsqueda en ablas y resa Solución ransformada inversa ablas de anilogarimos Ilusración I-: Empleo de ransformaciones para la simplificación de un problema al y como se puede apreciar en la figura anerior, con los logarimos se simplifica el proceso de análisis, ransformando un problema complejo como la división en uno más fácil como la resa. En general se puede decir que dichas ransformaciones permien reducir la complejidad de las ecuaciones a ravés de un proceso unívoco de cambio del dominio de la exisencia de las variables del problema (del dominio de las divisiones y muliplicaciones al de las sumas y las resas en el caso del logarimo). Una de esas ransformaciones es la ransformada de Fourier, que es una herramiena uilizada para obener la información frecuencial de una deerminada función. Ese ipo de ransformaciones en frecuencia ienen su represenación en la nauraleza, por ejemplo, cuando se escucha un sonido se sabe si ése es grave o agudo. El cerebro inerprea el conenido de la información que le esá llegando y es capaz de disinguir si esá compuesa de frecuencias predominanemene alas o si, por el conrario, las que la componen son predominanemene bajas. Ora muesra presene en la nauraleza es la de la descomposición de la luz solar en disinos colores, ya sea cuando se forma un arco iris o bien cuando ésa araviesa un prisma. En ese caso, una radiación luminosa de composición inciera es descompuesa en haces de luz coloreada, o señales, de frecuencia simple. Eso es en definiiva, lo que se persigue cuando se habla de la ransformada de Fourier, o de la Serie de Fourier. Una herramiena maemáica capaz de exraer la información frecuencial de una forma de onda una vez conocido su comporamieno emporal y viceversa. La hisoria moderna de esas ransformaciones comienza con Euler en 748, que esudió los movimienos vibraorios de una cuerda, ver Ilusración I-. Los modos normales son los que se muesran en la siguiene figura, y forman una serie sinusoidal armónica, es decir, su frecuencia es múliplo de una fundamenal. Euler afirmó que si la configuración de la cuerda en un insane deerminado se podía poner como combinación lineal de los modos normales, eso seguiría siendo válido en los insanes siguienes de iempo. Fue en 87, cuando Jean-Bapise-Joseph Fourier presenó en la Academia Francesa de las Ciencias, el resulado de unos esudios de la ransmisión del calor en los que incluía un méodo de resolución para las ecuaciones allí planeadas. Ese méodo es el conocido como
10 I. La ransformada de Fourier: una inroducción hisórica ransformada de Fourier. La presenación de su rabajo uvo ilusres oposiores como Euler, Laplace o Lagrange enre oros. Y aunque la academia le concedió un premio por su eoría, le acusó de ser poco riguroso en la obención de los resulados. Y fue así que la publicación de su rabajo no se llevó a cabo hasa 5 años después, con su libro iulado La eoría analíica del calor (8). f (x) x f (x) x f (x) x Ilusración I-: Modos normales de vibración de una cuerda En su rabajo, Fourier afirmaba que cualquier disribución calórica, en ese caso se raa de una disribución espacial aunque podría ser emporal, podía descomponerse en una suma de disribuciones espaciales sinusoidales. Eso es lo que se conoce como Serie de Fourier, aunque más arde generalizaría esa eoría para exenderla a señales aperiódicas, recibiendo el nombre de ransformada de Fourier. Las objeciones de sus coeáneos a esa eoría se cenraban en la proposición de que una función disconinua pudiera represenarse de esa manera. A pesar de esas rabas muchos invesigadores empezaron a generalizar el rabajo de Fourier, exrapolándolo a campos disinos del análisis del calor. Ilusración I-3: Jean Bapise Joseph Fourier (768-83) En 89, Dirichle esableció las condiciones bajo las cuales la función periódica puede represenarse mediane una Serie de Fourier. De forma que odas las magniudes físicas conocidas poseen caracerísicas que permien su análisis mediane las eorías de Fourier. Una de las múliples aplicaciones fue, a finales del siglo XIX, la de Lord Kelvin que diseñó una compuadora analógica con el fin de predecir el flujo y reflujo de las mareas, en la que se pone de manifieso la uilidad de las eorías propuesas por Fourier para obener la periodicidad de cieros fenómenos a ravés de su observación en el iempo. Parecía evidene que para
11 I. La ransformada de Fourier: una inroducción hisórica aumenar la exaciud de los resulados sólo había que aumenar el número de componenes de frecuencia calculadas, de forma que si la señal analizada se reconsruía a parir de esas componenes el error sería ano más pequeño cuano mayor fuese el número de ésas. Esa suposición se venía abajo cuando se rabajaba con señales disconinuas. Se llega a un puno a parir del cual, por mucho que se eleve el número de componenes calculadas el error permanece consane. En 899, Josiah Willard Gibbs confirmó eóricamene ese resulado, deduciendo que el error queda confinado a las inmediaciones de la disconinuidad y iende a cero en el reso de los punos. Lo cual sigue poniendo de manifieso la validez de dicha ransformada, ya que dicho error se limia a una zona muy esrecha y su energía asociada es muy pequeña. A medida que el uso de la ransformada de Fourier se fue exendiendo se fueron haciendo necesarias herramienas numéricas que permiiesen su implanación en compuadoras, para así faciliar el análisis de formas de onda complicadas, las cuales podrían ser inabordables analíicamene. La carga de cálculo en la realización de una ransformada de Fourier es un parámero muy imporane, ya que por ejemplo el número de muliplicaciones depende del cuadrado del número de muesras empleadas. Para acelerar ese proceso se fueron desarrollando compuadoras cada vez más poenes y algorimos de cálculo cada vez más eficienes. De esos úlimos, quizás el más popular es el desarrollado en 965 por James W. Cooley, del Cenro de Invesigación homas J. Wason pereneciene a la empresa IBM, y por John W. ukey, de los Laboraorios Bell. El rabajo de ambos dio lugar a un algorimo conocido como ransformada Rápida de Fourier o Fas Fourier ransform (FF). La FF logra economizar el iempo de cálculo reduciendo el número de muliplicaciones necesarias para el análisis frecuencial. Esa economía de cálculo ha permiido la implanación de sisemas que calculan la FF en iempo real. La ransformada de Fourier es una herramiena poderosa ya que proporciona méodos para la resolución de ecuaciones difíciles de manejar, como por ejemplo, las respuesas dinámicas de sisemas elécricos, lumínicos y érmicos. En oros casos permie idenificar las aporaciones de índole regular a una señal flucuane. Son muchas las ramas de la ciencia en las que la ransformada de Fourier se emplea coidianamene. De hecho, la forma de doble hélice del ADN fue descubiera en 96 gracias a las écnicas de difracción de Rayos X y el análisis de Fourier. ambién se puede emplear en el raamieno de imágenes (ver Ilusración I-4), para mejorar su conenido o resalar alguna de la información presene en la misma, en biología, Ilusración I-4: Ejemplo de raamieno de imágenes donde se han realzado los bordes de la imagen mediane un filro paso alo Con la ransformada de Fourier lo que se consigue es un cambio de dominio, o sea, el paso de la información conenida en una señal del dominio emporal, o espacial, al de la frecuencia y viceversa, de modo que permia mejorar el análisis de dicha señal. Es una herramiena muy exendida y acepada con innumerables seguidores, hasa al puno que en 867 Lord Kelvin llegó a afirmar: El eorema de Fourier no es solamene uno de los resulados más hermosos del análisis moderno, sino que puede decirse además que proporciona un insrumeno indispensable en el raamieno de casi odas las cuesiones de la física moderna, por recóndias que sean. 3
12 4 I. La ransformada de Fourier: una inroducción hisórica
13 II. Series de Fourier II. Series de Fourier La aplicación más inuiiva de la eoría de Fourier es aquella que se refiere al raamieno de las señales periódicas, ya que sus resulados ienen una sencilla inerpreación física, al y como se verá a coninuación. II. Funciones periódicas En primer lugar es necesario definir el concepo de función periódica como aquella cuyos valores se repien a inervalos regulares, el iempo enre las sucesivas repeiciones es lo que se conoce como período. Maemáicamene, podemos decir que una función emporal es periódica cuando se cumple la siguiene relación: f = f( + ) (II.) para odo valor de. La consane mínima que saisface la anerior relación es denominada período () que, en el caso de funciones emporales, se expresa en segundos. A la pare de la función que abarca un iempo equivalene a un período se le denomina ciclo. f() Ilusración II-: Represenación de una onda periódica En una función periódica se define la frecuencia como la inversa de período, o sea, como el número de ciclos por segundo: fr = (II.) Su unidad es el Hercio (Hz). Si se supone que un ciclo equivale a π radianes, enonces el número de radianes en un segundo es lo que se conoce como pulsación o frecuencia angular en rad/s o en /s: ω = π (II.3) Generalmene a los érminos frecuencia y pulsación se les sueles denominar indisinamene como frecuencia aunque se ha de ener en cuena que sus unidades son disinas. En una onda periódica se definen el valor de pico máximo F p+ y el valor de pico mínimo F p- como sus valores máximo y mínimos en un período, respecivamene. El valor de pico a pico F pp es la diferencia enre ambos: F p+ F p { ()} { ()} = max f F = F F = min f pp p+ p Unos valores ípicamene asociados a una función periódica son el de su valor medio: (II.4) Los presenes apunes se cenrarán en el esudio de funciones emporales, aunque la eoría de Fourier se puede aplicar en disinas disciplinas con disinos ipos de variables. 5
14 II. Series de Fourier y su valor eficaz o RMS: Fm = f( τ) dτ (II.5) F Frms f d = = τ τ (II.6) donde las inegrales se han definido enre y, aunque es válido cualquier inervalo que abarque un período, p.e. de / a +/. Una de las ondas periódicas más represenaivas es la sinusoidal (ver Ilusración II-), cuya expresión es: f = Asen ω +θ (II.7) siendo A lo que se conoce como ampliud y θ su fase inicial. En ese caso el valor de pico (máximo y mínimo) es F p = A y el valor de pico a pico F pp = A. Asimismo, el valor medio para esa forma de onda es igual a cero y su valor eficaz A. II. Serie de Fourier II.. Obención de la Serie de Fourier La eoría de Fourier afirma que cualquier función periódica f(), ya sea más o menos compleja, se puede descomponer en suma de funciones simples, sinusoidales, cuya frecuencia es múliplo de la función periódica. Eso es, dicha función se puede descomponer en una serie armónica infinia (ver Ilusración II-) expresada como: a f() = + ancosnω + bnsennω = C + Cncos( nω θn) (II.8) n= n= donde: o ω (o fr =ω π) es la frecuencia de la función periódica y recibe el nombre de frecuencia fundamenal o a n, b n, C n y θ n son los coeficienes de la Serie de Fourier que definen las senoides cuya frecuencia es múliplo de la fundamenal La componene de la Serie de Fourier cuya frecuencia coincide con la fundamenal (n=) recibe el nombre de componene fundamenal: acos ω + bsen ω o Ccos ( ω θ ). Al reso de las componenes se les denomina componenes armónicas, así el armónico de orden n o enésimo sería aquel cuya frecuencia es n veces la fundamenal: a n cosnω + b n sennω o Cncos( nω θ n). Igualmene, la frecuencia de las componenes armónicas recibe a su vez el nombre de frecuencia armónica. En el caso de C n y θ n, ésas se suelen llamar además ampliud armónica y ángulo de fase. Los valores de a / y C represenan el valor medio de la función f() a lo largo de un período por lo que reciben el nombre de componene coninua. Para el cálculo de los coeficienes de Fourier se emplean las inegrales: a = f() d; an = f() cos( nω ) d; bn = f() sen( nω) d Además de las siguienes relaciones: (II.9) Es habiual enconrar el valor eficaz denominado con sus siglas en inglés RMS (Roo Mean Square) 6
15 II. Series de Fourier a C = ; Cn = an + b n; θ n = an ( bn an) (II.) donde la noación de d 3 significa que esá exendida a un período cualquiera de la función periódica f(), por ejemplo de -/ a +/, ó de a, Alernaivamene, la Serie de Fourier se puede represenar de forma que incluya los valores eficaces de los disinos armónicos: donde cada coeficiene n n n= f() = C + C cos( nω θ ) (II.) C n represena el valor eficaz del armónico de orden n, es decir: C = C (II.) n n II.. Especro de frecuencia Las expresiones aneriores ponen de manifieso que una función periódica queda descompuesa en una serie infinia de funciones sinusoidales que ienen diferenes frecuencias, odas ellas múliplos de la frecuencia de la función ω, al y como se muesra en Ilusración II-. Onda Cuadrada Periódica Componene fundamenal Nivel de Coninua ercer armónico Armónicos Ilusración II-: Onda cuadrada con sus 7 primeros armónicos represenación emporal.5 especro de frecuencia iempo en s frecuencia en Hz Ilusración II-3: Represenación de una onda cuadrada de frecuencia Hz con su correspondiene especro armónico 3 Para hacer la noación más sencilla se empleará la mayor pare del iempo la inegral enre -/ y +/, pero no debe olvidarse que el cálculo de los coeficienes se puede realizar sobre cualquier período. 7
16 II. Series de Fourier La represenación de la ampliud C n o el valor eficaz C n de los disinos armónicos en función de la frecuencia, o del orden del armónico, es lo que se conoce como especro de frecuencia (Ilusración II-3) II..3 Índices de disorsión En cieras áreas de la ingeniería es ineresane esablecer un parámero que permia evaluar cuáno se aleja una forma de onda periódica de una sinusoidal de la misma frecuencia, de forma que cuando una forma de onda no es sinusoidal se dice que esá disorsionada. Uno de los parámeros más empleados para evaluar la disorsión es la asa de disorsión armónica oal (HD 4 ) la cual relaciona la ampliud (o el valor eficaz) de los armónicos de una forma de onda con el de su componene fundamenal, y se define como: N HD = C C n= ( n ) (II.3) donde el valor de N es el número del armónico máximo que se va a ener en cuena para el cálculo del HD. Por ejemplo, en ingeniería elécrica ese valor es ípicamene 4, o sea, que se evalúa la disorsión de una forma de onda, de ensión o inensidad, eniendo únicamene en cuena los 4 primeros armónicos. Según esa definición una onda sinusoidal iene un valor de HD del %, mienras que para una onda cuadrada (como la mosrada en la Ilusración II-3) ese valor es del 48.3%. La asa de disorsión se puede dar de forma individual para cada armónico, de esa forma, la asa de disorsión armónica HD para el armónico de orden n es: HD = Cn C (II.4) Oro parámero que se puede emplear para indicar el alejamieno enre una forma de onda sinusoidal y una función periódica cualquiera es el Facor de Cresa o CF 5 : CF = Fp F (II.5) donde F p es el valor de pico de la función y F su valor eficaz. En el caso de una onda sinusoidal su valor es de. II..4 eorema de Parseval En general para la energía de una función f() en un inervalo de iempo (a, b) se puede poner como: b () (II.6) a E= f d Esa ecuación inegral expresa que si f() es la corriene que circula por una resisencia de Ω, enonces E es la energía disipada en esa resisencia en el inervalo de iempo (a, b). En el caso de una función periódica se puede hablar de energía media por período o poencia media P cuya expresión es: P = f() d (II.7) donde es el período. El eorema de Parseval afirma que la poencia media se puede poner en función de los coefcienes de Fourier como: 4 Del inglés oal Harmonic Disorion 5 Del inglés Cres Facor 8
17 II. Series de Fourier a (II.8) f() d ( an bn) C Cn = + + = + 4 n= n= Si se emplean los valores eficaces de las componenes armónicas definidos en (II.), enonces: f() d C ( Cn) = + (II.9) n= Aplicando esa propiedad a la definición del valor eficaz en (II.6), se obiene: a F a b C C C C rms = + n + n = + n = + 4 n= n= n= n ( ) (II.) De esa forma se puede afirmar que el valor eficaz al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los valores eficaces de las componenes armónicas. II..5 Aproximación mediane una Serie de Fourier finia En la expresión de la descomposición en Serie de Fourier de una función periódica aparece un sumaorio que incluye un número ilimiado de elemenos. En ese aparado se verá cómo ponderar cada uno de ellos, de forma que el esudio se pueda limiar a un número finio de componenes armónicas. De esa forma surge el concepo de Serie de Fourier Finia, S K (), que es aquella descomposición armónica en la que se ienen en cuena sólo los primeros K elemenos de la Serie de Fourier, o sea: K K a S a cos n b sin n C C cos n (II.) () = + ( ω ) + ( ω ) = + ( ω θ ) K n n n n n= n= Ilusración II-4: Evolución de una Serie de Fourier finia hacia una onda cuadrada Si se aproxima la función f() mediane la serie finia de Fourier S K (), se obiene la expresión: a f a cos n b sin n K n n K (II.) n= () = + ( ω ) + ( ω ) +ε donde ε K () es el error debido a la aproximación mediane la Serie de Fourier de K érminos. Para deerminar la calidad de la aproximación es más adecuada una medida cuaniaiva del error global por período, para ello se uiliza el error cuadráico medio: + + K() = εk() () K() = (II.3) E d f S d 9
18 II. Series de Fourier Se puede demosrar que la mejor aproximación que se puede alcanzar, minimizando el error cuadráico medio recién descrio, mediane una serie armónica finia es, precisamene, la que viene dada por los coeficienes de Fourier. A medida que se van incluyendo érminos de la Serie de Fourier en el sumaorio de S K () el valor del error cuadráico va disminuyendo, hasa que el límie obenemos que: lim E K k = (II.4) O sea, que cuando la Serie de Fourier incluye odos sus érminos en el sumaorio, la energía del error comeido al aproximar una función por dicha descomposición es nula. E K Ora forma de dar el error es: Ilusración II-5: Evolución del error cuadráico medio. + K a E () = f() d ( a + b ) (II.5) K n n 4 n= Si la expresión anerior se lleva al límie se obiene la expresión (II.8) del eorema de Parseval, con la que se calcula la energía de la función f() por período, o poencia, a parir del conocimieno de los coeficienes de la Serie de Fourier. De esa forma, aendiendo a su energía, podemos esimar la imporancia relaiva de cada armónico, o serie finia de ellos. Por ejemplo, ver Ilusración II-6, se puede elegir como crierio el de escoger como represenaiva de la señal original aquella serie finia que represene el 95% de la energía por período. K Energía por período (% del oal) 5 Energía por Armónico Energía de los K primeros Armónicos Orden del Armónico Ilusración II-6: Evolución de la energía por período
19 II. Series de Fourier II..6 El fenómeno de Gibbs Cuando una función dada se aproxima mediane una Serie de Fourier Finia, habrá un error considerable en la vecindad de la disconinuidad, no impora cuanos érminos se quieran emplear. Ese efeco se conoce como el fenómeno de Gibbs. Para ilusrar ese fenómeno se puede ver en la Ilusración II-7 el resulado de aproximar una onda cuadrada por una serie finia de Fourier. sobreoscilación debida al fenómeno de Gibbs Ilusración II-7: Aproximación de una onda cuadrada por sus primeros armónicos. Para una disconinuidad de alura unidad, se obiene una sobreoscilación de valor.9. A medida que aumena el número de elemenos de la serie finia de Fourier que aproxima a la función, la sobreoscilación se va comprimiendo más hacia la disconinuidad aunque su valor permanezca prácicamene consane. Aforunadamene, la energía asociada a esa sobreoscilación (error cuadráico medio), que es lo que realmene da la medida de su imporancia, se va haciendo cero. Eso hace que su presencia carezca de imporancia. Por ejemplo, si se esán esudiando sisemas lineales, la escasa energía en la sobreoscilación difícilmene quedará reflejada en la respuesa del sisema, por lo que el análisis por Fourier será an válido como cualquier oro (emporal, Laplace, ). II..7 Convergencia de la Serie de Fourier Para la obención de los coeficienes de la Serie de Fourier, se emplean las ya conocidas inegrales mosradas en (II.9). Sin embargo, en ocasiones las inegrales descrias pueden divergir, o sea, puede que algún coeficiene (a n o b n ) ienda a. Además, aunque los coeficienes sean finios, puede ocurrir que al susiuirlos en la Serie de Fourier ésa no converja. No obsane, las funciones coninuas no presenan problemas de convergencia, y eso es ambién ciero para muchas señales con disconinuidades. Pueso que el empleo de funciones disconinuas es muy úil, por ejemplo la onda cuadrada, se ha de esudiar más deenidamene el fenómeno de la convergencia. Las condiciones para asegurar esa convergencia se deben a Dirichle, y pueden resumirse en: Condición nº La función ha de ser absoluamene inegrable, o sea: De esa forma garanizamos que: a < ; a n < ; bn < + f() d< (II.6)
20 II. Series de Fourier / Ilusración II-8: Función que incumple la ª condición. Condición nº En cualquier inervalo de iempo la función iene un nº finio de máximos y mínimos. sin(π/) Ilusración II-9: Función que incumple la ª condición. Condición nº 3 En cualquier inervalo finio de iempo hay un número finio de disconinuidades, y además han de ser de ampliud finia. Ilusración II-: Función que incumple la 3ª condición. Las funciones que no cumplen las condiciones aneriores no son usuales y, por lo ano, no son paricularmene imporanes en el esudio de señales y sisemas. Se ha de decir que odas las funciones periódicas asociadas a sisemas físicos cumplen dichas condiciones y, por lo ano, son suscepibles de ser esudiadas mediane las Series de Fourier. Si la función cumple las condiciones aneriores, enonces se puede descomponer en Serie de Fourier, y, por lo ano, debido a la convergencia de la Serie de Fourier se cumple que: lim a n lim bn n = n = (II.7) Ese resulado invia al empleo de las Series Finias de Fourier en los análisis numéricos mediane series de Fourier, ya que la energía asociada a armónicos de orden elevado, o sea, de frecuencia elevada, es muy baja, al y como ya se había indicado en el aparado anerior.
21 II. Series de Fourier a n +b n n Ilusración II-: Coeficienes de la descomposición de una onda cuadrada En las condiciones recién mencionadas se hace referencia a la convergencia de las series de Fourier aún en presencia de disconinuidades finias. En dichas disconinuidades, la función aproximada por su descomposición en Serie de Fourier (ver Ilusración II-) viene dada por: + fsf ( ) = f( ) + f( ) (II.8) donde: o es el insane en el que la función presena la disconinuidad o y + son los insanes anerior y poserior de la disconinuidad o o f sf () es la Serie de Fourier f() es la función original, a parir de la cual se calculan los coeficienes de la Serie de Fourier A pesar de ese resulado se admie la descomposición en Serie de Fourier como equivalene a la función periódica que represena. f() función f() f( + ) fsf ( ) f( ) aproximación mediane la Serie de Fourier Ilusración II-: Aproximación de la Serie de Fourier en las disconinuidades II.3 Análisis de formas de onda periódicas En ese ema se verán odas aquellas condiciones que facilian el esudio de una función periódica. Las primeras de ellas son simerías que permien la deducción de los valores de algunos de los coeficienes de Fourier, a la vez que simplifican sus cálculos. II.3. Simerías de una función periódica A coninuación se muesran las principales condiciones de simería de una función periódica, que son: 3

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