Source: https://www.scribd.com/doc/103874908/El-Constructivismo-y-Las-Matematicas
Timestamp: 2017-12-14 16:32:19+00:00

Document:
El Constructivismo y Las Matematicas
Uploaded by gloria25
INTRODUCCIÓN 1. PLANTEAMIENTO CONSTRUCTIVISTA DE LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS 2. CLAVES DEL TRABAJO CONSTRUCTIVISTA EN EL AULA 2.1. Racionalización, ajuste y renovación 2.2. Alfabetización matemática y sentido numérico 2.3. Resolver todo tipo de situaciones problemáticas 2.4. La globalización y las matemáticas de y para la vida cotidiana 2.5. Los juegos 3. A MODO DE CONCLUSIONES
(*) Asesor de Etapa Infantil / Primaria del Berritzegune de Sestao
Bueno. como siempre pasa en toda buena película que se precie de serlo. en la práctica. quedó cercenado por la incapacidad que demostramos desde los servicios de asesoramiento y desde los propios centros de descender al nivel diario de aula. es conocida por diferentes expresiones: matemáticas y constructivismo. y lo que era el verdadero trabajo de asesoramiento en centros. Sin embargo. aunque si sabemos que sirvió para poner en común lenguajes pedagógicos. ¿a qué viene tanto lío con el término? ¿por qué a veces tenemos la sensación de ser o parecer bichos raros? ¿por qué nos miran así?. De tal manera que es imprescindible la comprensión y la actividad mental (idea de conflicto cognitivo y de resolución de problemas) en el proceso matemático.José Ramón Gregorio Guirles INTRODUCCIÓN Han pasado 10 años desde que la administración educativa del País Vasco pusiera en marcha el Plan Intensivo de Formación (PIF). ¿quiénes somos?. Lo que también sabemos es que apenas se pasó de este segundo nivel de concreción curricular. Esta corriente de trabajo. • Tener presente que el aprendizaje que uno puede interiorizar y construir está condicionado por lo que ya sabe y por la calidad del proceso de aprendizaje. LO MAS SIGNIFICATIVO DE ESTE PLANTEAMIENTO PASA POR: • Entender el aprendizaje de las matemáticas como un proceso de CONSTRUCCIÓN INDIVIDUAL(2) que se produce a través de las interacciones individuales y grupales que se realizan en el aula. e incluso para elaborar proyectos curriculares teóricos.). El grupo-clase y la escuela se convierten así en referentes y agentes básicos de aprendizaje. con el que pretendía introducir a los centros de Infantil y Primaria en la reforma educativa. los profesores/as se sintieran huérfanos de la reforma matemática y sin poder ver lo que representaban en la práctica de aula las matemáticas de las que hablamos. es decir la que tiene que ver con un planteamiento constructivista de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. para charlar sobre educación (algo que solía ser raro en los centros). • Respetar los diversos ritmos y maneras de construir los diferentes tipos de contenidos matemáticos (conceptos. 114 SIGMA Nº 21 • zk. y que una vez pasados los primeros momentos de “excitación pedagógica”...... otros más globales. constructivistas. la historia no acaba aquí. ¿por qué tenemos que estar continuamente respondiendo a la pregunta que de qué vamos? . El último pequeño paso fue dejar “archivado” el proyecto matemático de centro para mejor ocasión. además. Pero exactamente. 21 SIGMA . seminario de constructivismo. el de ser agentes de cambio educativo. pues ahí va un intento de explicación. Respondiendo a esta situación tan frustrante aparece hace ya unos años una nueva corriente que pretende responder a las carencias de la implementación de la reforma educativa en lo que se refiere a matemáticas. es la que aparece reflejada en el propio DCB. No tenemos valoración oficial de los resultados del plan. PLANTEAMIENTO CONSTRUCTIVISTA DE LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS En primer lugar hemos de reconocer que “nuestra” referencia teórica más clara (la de algunos al menos).. 1. Por resumir. todo el constructivismo y los principios metodológicos que aparecen en los diseños curriculares de Matemáticas(1) se quedaran en plasmaciones teóricas y formulaciones de principios. procedimientos y actitudes) y las diferencias en las maneras de construir y aprender de los propios alumnos/as (unos más analíticos. ¿qué nos une?. Ello supuso que.
¿de qué claves estamos hablando?. explicar con la intención de enseñar. los juegos. por tanto. y lo conviertan en un conocimiento útil y funcional.El Constructivismo y las Matemáticas • Ser conscientes. Debemos intentar olvidar esa vieja creencia de que todo hay que explicarlo(3). la globalización y las matemáticas para la vida cotidiana. resta. multiplicación. Ni lo uno ni lo otro. de persona que dialoga para aprender. Sin duda podemos decir muchas y. CLAVES DEL TRABAJO CONSTRUCTIVISTA DE AULA Este planteamiento “teórico” de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas es el que aparece. en definitiva. de tener una actitud de reflexión. son un elemento básico para el aprendizaje. Los profesores.. incluidos por supuesto los omnipresentes y maltratados algoritmos (suma.. de definición y concreción curricular. el de definir cuáles son las claves del trabajo constructivista en la actividad diaria de aula. 2. podemos deducir que por este camino “no hay nada que rascar” o que aunque rasquemos no es este el lugar que pica. es más. y que muchos no aprendan nada con sentido. diferentes.. pleno de sentido y significado y que nos sirve para resolver distintos tipos de problemas en diferentes contextos educativos. la alfabetización matemática y el sentido numérico. además. el de dar clase todos los días y. debemos tener la suficiente paciencia pedagógica para dejar que sean nuestros alumnos/as lo que construyan y reconstruyan (las cosas nunca se aprenden de una vez) su conocimiento matemático. división. El problema de las matemáticas y el constructivismo no es. Pero yo voy a tratar de enunciar y desarrollar las siguientes: • • • • • la racionalización. Octubre 2002 • 2002 Urria 115 . por tanto. tanto por parte del profesor/a como del alumno/a. Creo además que buena parte del profesorado que imparte matemáticas comparte estas reflexiones teóricas. resolver problemas. ¿Por qué nuestros alumnos/as no aprenden todo lo que les enseñamos? Es una pregunta muy interesante. de discusión y de valoración de las opiniones y de los saberes de los demás (verdaderos elementos motivadores hacia las matemáticas). Unido a todo lo anterior. ajuste y renovación de contenidos matemáticos. ¿Cuáles serían estos elementos identificativos del constructivismo aplicado a las matemáticas?. que de simple y tradicional instructor que trata a los alumnos/as como ignorantes a los que debe transmitir sus conocimientos. debemos ser conscientes de que este modelo conlleva NE-CE-SARIA-MEN-TE.). y éste es el elemento nuclear de todo el planteamiento constructivista. Por tanto. con mejores o peores palabras. sino un problema más real. un cambio radical en la concepción del propio papel que el profesor/a debe desempeñar en el aula. Estamos hablando de valorar la importancia de las matemáticas en la vida. en la mayoría de los proyectos curriculares de los centros de Infantil y Primaria de nuestra comunidad. el aprendizaje cooperativo como el centro de la actividad y contexto de aprendizaje matemáticos. • Considerar. igual es que así es muy difícil aprender y construir nada. en ocasiones según el momento. Sabemos que esto no es fácil. • Promover acción matemática con el horizonte de la autonomía como referencia. Papel más de mediador en la cooperación. suele ser bastante común en matemáticas. de manera secular estamos convencidos de que explicar es sinónimo de enseñar y que enseñar lo es de aprender. de que las actitudes hacia las matemáticas.
ajuste y renovación de los contenidos matemáticos(4) estamos hablando de: • Disminuir la carga de algoritmos en el aula. jugar. que pueden ser construidos en la propia aula. Las operaciones o algoritmos si no sirven para resolver problemas carecen del más mínimo sentido. descubrir. capacidades y volúmenes. el alumnado pueda construir los conceptos de magnitud y unidad. • Favorecer la introducción y el uso continuado de la calculadora desde educación Infantil y a lo largo de educación Primaria. • Potenciar el cálculo mental. • Basar el trabajo de medida en experiencias de medición de longitudes. procurando disminuir la carga de trabajo en todo lo que se refiere a transformaciones de unidades.. Racionalización. Parece obvio decirlo. de lápiz y papel o de calculadora. la orientación y representación espacial. • Trabajar los números y las operaciones elementales en relación con la resolución de problemas aritméticos y con contextos propios. pero se dedica un tiempo excesivo a un tipo de trabajo matemático de importancia menor. manipular materiales para dibujar medir. para resolver problemas a los que no llegamos algorítmicamente o que suponen una pérdida innecesaria de tiempo son sólo algunas de las posibles aplicaciones de aula que tienen las calculadoras. fórmulas y ejercicios de cálculo con fórmulas. áreas. tanto en intensidad como en tiempo dedicado a ellos. cuándo el lápiz y papel y cuándo la calculadora. ángulos y tiempos. construir. 116 SIGMA Nº 21 • zk. y no en fichas descontextualizadas de operaciones y más operaciones. de un lado. la asociación tecla. estando como estamos además en la sociedad de la revolución informática. para trabajar el sentido numérico. pesos. Ajuste y Renovación Cuando decimos que es necesaria una racionalización. 21 SIGMA .José Ramón Gregorio Guirles 2. Hay que dedicar más tiempo al desarrollo de la visión espacial y de la intuición geométrica. primando la competencia frente a la acumulación. de otro. . • Trabajar la matemática del espacio frente a la geometría formal y analítica. Paso imprescindible para que. y. • Priorizar el trabajo práctico y oral y la comprensión. su utilización para el cálculo mental. utilizándolas en diferentes contextos y decidiendo en cada caso el tipo de cálculo a emplear: cálculo mental. localización y descripción de objetos en el espacio. como elementos básicos para “amueblar la cabeza” de nuestros alumnos/as. la aproximación y el tanteo y previsión/estimación de resultados de todo tipo de operaciones y problemas matemáticos. plantear problemas e investigaciones constituyen la base del trabajo geométrico. • Dominar funcionalmente (no es imprescindible el dominio conceptual(5)) las estrategias básicas de cómputo.. tener puntos de referencia claros que les sirvan de base para una buena estimación. • Estudiar los objetos de la vida cotidiana. • Unir en la práctica el trabajo de números y el de medida.1. número y voz (en las calculadoras parlantes). • Llegar a acuerdos en cada ciclo y etapa de cuándo y con qué operaciones utilizar (según el número de cifras y la dificultad) el cálculo mental. utilizando instrumentos de medida. La identificación de números.
• los propios alumnos/as deben ser protagonistas de su aprendizaje. la experimentación. Debemos tener en cuenta que la primera cuestión en torno a las matemáticas.. áreas y volúmenes de figuras. Debemos tener presente que la capacidad de aplicar conocimientos matemáticos depende sobre todo. y en realidad en cada multiplicación hacían la tabla del número a multiplicar.es un elemento clave la admisión y tratamiento del error : el error como una fuente de información excepcional y como instrumento de aprendizaje.. De esta manera solucionaron muchos problemas matemáticos. Frente al ambiente de repetición mecánica de algoritmos. ¿ QUÉ EXPERIENCIAS HAY?. qué es lo accesorio y qué lo imprescindible. experimente. qué vamos a priorizar.El Constructivismo y las Matemáticas • Considerar seriamente la disminución de la carga de trabajo mecanicista y sin conexión con la realidad en lo referente a la parte más analítica.(distinguir lo ocasional o puntual de lo sistemático). Estoy hablando de: • investigaciones matemáticas. de cómo han sido construidos y utilizados en la escuela. A lo largo de la historia cada cultura ha utilizado las Matemáticas de manera diferente para entender y operar en su medio. Esto del descubrimiento. el SND y el cálculo ¿CÓMO SE HACE?. la construcción del conocimiento aplicado a los números.375 225 450 900 1. 2. Octubre 2002 • 2002 Urria 117 . El proceso de enseñanza-aprendizaje ha de ser significativo y eso exige que el alumno observe. entendidos como procesos de construcción y reconstrucción personal y de grupo-aula de los contenidos. • ambiente de especulación matemática constante como elemento clave en el aprendizaje.) para comentar e interpretar la información que contienen y representarla en tablas y gráficas.800 Egipcios Utilizaban la idea de factor.. se haga preguntas.2. equivalencias decimales y métricas y fórmulas En este contexto. es precisamente ponerse de acuerdo en los contenidos que debemos dar. • Utilizar informaciones de la vida cotidiana (periódicos. conjeture (proceso inductivo y construcción del conocimiento). . partiendo de los conocimientos matemáticos que tienen y priorizando la comprensión de todos los procesos.. la inducción. lo cual ha queda reflejado en las diferentes maneras de multiplicar y dividir a lo largo de la historia(7). Alfabetización Matemática y Sentido Numérico Es un elemento central el trabajo de alfabetización matemática y sentido numérico. 225 x 15 1 2 4 8 16 3. abstracta y de cálculo de perímetros. deben construirlo y no ser meros receptores de los conocimientos que les transmite su profesor/a(6). el tiempo que les vamos a dedicar.
pero no el proceso. La forma académica que les enseñamos. EL S.561: 9 = 2. ESTO NO ES LO QUE HACEMOS CON LOS NIÑOS Y NIÑAS CUANDO LES ENSEÑAMOS DE MANERA ACADÉMICA LOS NÚMEROS.José Ramón Gregorio Guirles 10 200 20 5 2. 2 5 5 Incluso hoy en día. La forma de calcular depende de los conocimientos que se poseen. 118 SIGMA Nº 21 • zk. Y los algoritmos cambian en la medida que cambian los conocimientos culturales y matemáticos.125 3. con una potencialidad del cálculo mental y del sentido numérico impresionantes.561:9 = 395 (resto = 6 5x9 90x9 300x9 316: 12 = 240 76 60 16 12 4 316: 12 = 26 (resto = 4) 1x12 5x12 20x12 Lo cual representa un soplo de aire fresco para el algoritmo de la división. y les sirvió para resolver todo tipo de problemas.N. sustracción y estimación): 3.000 200 50 2.375 Griegos Utilizaban la descomposición de números y la propiedad distributiva. no todos tenemos los mismos algoritmos para las operaciones de cálculo. 21 SIGMA . PUES BIEN. NO TIENE NINGÚN SIGNIFICADO para la gente que no tenga esos conocimientos. de manera que se controla tanto el proceso del cálculo como resultado.000 100 25 1. Por ejemplo. Y EL CÁLCULO. Vemos pues que el cálculo también tiene un proceso histórico que está unido a las culturas y su evolución. los holandeses dividen así(8) (por descomposición /construcción.000 300 75 3.770 861 810 51 45 6 3. el cual no entienden. Les enseñamos maneras de calcular que no se corresponden con sus conocimientos. que es el resultado de siglos de evolución matemática. 2 2 1 0 3 3 7 2 2 1 0 5 5 Turcos 5 1 Aplican las propiedades de los números y del sistema de numeración decimal.250 5 1. y en donde sólo controlan el resultado.D.
agilidad y cálculo mental.. sería el siguiente: • ¿Para qué sirve multiplicar? ¿las utilizamos en la vida real? ¿dónde? ¿qué es multiplicar y cuándo se usa? • Cada uno de los cinco compañeros de clase ha llevado 8 euros a la excursión. Pero también a lo largo de estos últimos años. además. siguiendo con la multiplicación y de manera muy esquemática. multiplicación. hay una constante que se repite: las formas básicas egipcias y griegas (además de otras muchas) aparecen y se repiten como formas de cálculo adecuadas a su nivel de conocimientos.. dialogando en el aula. Una ejemplificación de este proceso. en general. EXPERIENCIAS DE AULA en esta línea de trabajo hay muchas.de aquí se deriva nuestra siguiente acción / problema / investigación Realizamos otras invetigaciones similares. Octubre 2002 • 2002 Urria 119 . • ¿Qué pasa cuando una grupo de alumnos/as tiene que identificar. por ejemplo. Condiciones: no vale mirar resultados en otras tablas acabadas. de especular y de descubrir. se pueden hacer grupos y comparar y compartir resultados.El Constructivismo y las Matemáticas La cuestión es enseñar a los niños formas de cálculo que partiendo de sus conocimientos matemáticos les permitan controlar el proceso y el resultado del cálculo que están haciendo. la cual supone en la práctica la reconstrucción del saber matemático. resta. como 8 x 5 = Y otras con números diferentes: 6 x 7 = . • Vamos a construir nuestras tablas Cada uno la construye. ¿Cuánto dinero llevan entre todos? Partimos de que no saben multiplicar. II y III. a los que sólamente mediante la cooperación y la conversación serán capaces de dar respuesta. Kamii en su libros Reinventando la aritmética I. división. de reconstruir conocimientos. .es posible que aparezcan soluciones como 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40 (8 x 5) o también 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40 (5 x 8) .. nosotros no explicamos nada e iniciamos pequeñas investigaciones.. Euskadi y otras comunidades han desarrollado un sinfín de experiencias en esta misma línea de trabajo. Tan sólo tenemos que darles la oportunidad de respirar matemáticamente. pero no conoce y/o no domina el sistema de numeración? • ¿Qué pasa cuando un grupo de alumnos se tiene que enfrentar a la tarea de resolver un problema que se resolvería fácilmente mediante una multiplicación. cuándo el problema a resolver implica realizar una operación que no conocen algorítmicamente: suma. Esto es ALFABETIZACIÓN MATEMÁTICA.. Jugamos y estudiamos regularidades de la tabla . los profesores de distintos lugares de Cataluña. a la forma académica de la multiplicación. En todos los casos. . pero DESPUÉS DE UN PROCESO DE CONSTRUCCIÓN PERSONAL PLENO DE SIGNIFICADO MATEMÁTICO. conversando y poniéndose de acuerdo (socializando los saberes matemáticos). Quizás las más importantes son las desarrolladas por Constance K. y SEGUIR APRENDIENDO: imaginación y sentido numérico.. resulta fácil llegar con los alumnos. precios y números.. porque los contenidos matemáticos y su lugar en el mundo sólo tienen sentido y valor para los niños cuando los pueden reconstruir como una comunidad de niños/grupo-aula de aprendizaje. pero no saben multiplicar? • ¿O. En este proceso. interpretar. estamos iniciando acciones de investigación-acción(9) que suponen un problema matemático de primer orden para nuestros alumnos/as.? En todos los casos... comentar. Porque los niños “saben” y tienen conocimientos matemáticos con los que intentan resolver (cómo cada cultura a lo largo de la historia) problemas complejos.
Las tablas son una actividad de rango menor. 12 euros cada uno. 120 ( 100 100 ( • Memorizamos las tablas.trabajo individual y grupal. . • Si en el problema anterior somos diez los compañeros que vamos de excursión.. • En la siguiente salida que hacemos. . y ahora nos dejan llevar más dinero. que tiene una transferencia positiva con nuestro algoritmo de la multiplicación..nosotros no les enseñamos a hacerlos. ¿cuánto dinero llevaremos entre todos?. ¿Cuánto dinero podremos gastar entre todos? Resolvemos el problema con una investigación numérica final 25 x 12 Recordamos las condiciones: .25 x 8 = 20 x 8 + 5 x 8 = 160 + 40 = 200 COMPRENSIÓN del proceso.25 x 8 = 50 x 4 = 100 x 2 = 200 Esto es SENTIDO NUMÉRICO. 7 x 9 .José Ramón Gregorio Guirles (( (( ( 50 50 50 50 Forma primitiva pero válida. .No saber “las tablas” nunca debe ser un obstáculo para resolver problemas.Los juegos de cartas (tipo los que aparecen en los libros de Constance K. volvemos a ir los 25 de la clase. .conversación y aprendizaje dialógico. . • Resolvemos problemas de cálculo mental (que ofrecen un contexto real de resolución). utilizando procedimientos similares a los de multiplicar por una cifra .¿Y si somos 25 los que vamos de excursión? Iniciamos una nueva investigación numérica en torno a 25 x 8 = Posibles respuestas: 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 = 200 SIGMA Nº 21 • zk.. son un buen sistema para memorizar. Iniciamos otras investigaciones basadas en el ...) .La misma utilidad tiene la calculadora. con operaciones de una cifra por otra. siempre que se haga para resultados concretos (8 x 5. .sólo saben multiplicar por una cifra.. . A la vez que se consulta se aprende. problema: 8 x 10 = Y realizamos otras similares: 20 x 6 = Sacamos conclusiones como grupo.No es una actividad de un día para otro. .La chuleta que representa la tabla hecha por él/ella mismo/a vale como herramienta.o directamente con calculadora Después intentamos generalizar entre todos los conclusiones. Al estilo de los problemas de cálculo mental de David Barba. cada uno de los 25 lleva 10 euros. . Y resolvemos otras similares. ¿Cuánto llevamos entre todos? Resolvemos el problema con otra investigación numérica sencilla: 25 x 10. . • En la salida de fin de curso. 21 SIGMA . . ..La podemos hacer con lápiz y papel.deben buscar formas de llegar a la solución.. bingos multiplicativos../. Es un buen momento para trabajar descomposiciones de números y operaciones: “pon de dos formas diferentes la siguiente multiplicación 15 x 6” • Resolvemos problemas sencillos de lápiz y papel: otras posibles estrategias y soluciones. . ... Kamii.).
.25 + 25 + 25 + 25 + ..... ES PONT..... 1r nivell.....25 x 12 = 50 x 6 = 100 x 3 = 300 Genial su sentido numérico .. • Resolvemos problemas de multiplicar: empezamos con ellos y cada investigación numérica debe estar basada en un problema real a resolver. el algoritmo............500 200 25 234 x 4 = 936 200 200 200 200 800 30 30 30 30 120 10 130 30 4 4 4 4 16 6 2000 150 2160 ( Octubre 2002 • 2002 Urria 121 . 2n cicle de Primaria. • Otros ejemplos de operaciones realizadas por alumnos/as cuando no sabían multiplicar..25 x 12 = 25 x 10 + 25 x 2 = 250 + 50 Esta fórmula. = 300 100 100 100 .....El Constructivismo y las Matemáticas Posibles soluciones . y de procedimientos y estrategias personales.. y que ilustran perfectamente el proceso que estamos comentando (Tomados del cuaderno “Estrategies que utilizam per fer operacions”..... tiene el valor de intermediar con nuestro algoritmo.. Antes debemos INSTITUCIONALIZAR el saber aprendido en el aula: sacar conclusiones de cada problema e investigación numérica. comentarlas....... 25 Sigue siendo un buen momento para realizar descomposiciones numéricas: x 12 25 x 14 = ( 48 x 12 = ( ( 8000 300 40 5 50 250 300 • “Nuestra” multiplicación......000 1........725 8000 300 40 5 8000 300 40 5 8000 300 40 5 8000 300 40 5 40.... escribirlas. y empiezan a aparecer coincidencias sorprendentes. C.. llena de comprensión numéricas. sería el último paso.. No debemos olvidar ni un momento que el objetivo de “saber multiplicar” es resolver problemas.P. El tránsito a nuestro algoritmo de la multiplicación estará lleno de sentido y significado. Curs 98-99: 432 x 5 = 2160 400 400 400 400 400 30 30 30 30 30 2 2 2 2 2 10 100 900 8345 x 5 = 41...
185 288.480 4.José Ramón Gregorio Guirles 324 x 6= 1944 300 20 x 4 6 1800 + 120 24 1944 425 x 13= 5525 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5.256 837 x 345 = 288. 21 SIGMA .765 344 x4 1.376 Estas experiencias suponen un DIALOGO constructivo de los niños/as con los misterios y claves del SND: ¿cómo podemos escribir los números? ¿cómo podemos calcular? ¿CÓMO ORIENTAR ESTE DIÁLOGO? 122 SIGMA Nº 21 • zk.100 837 x 40 = 837 x 5 = 33.765 837 x 300 = 251.525 5200 260 65 344 x 24= 8.880 6880 +1376 8.256 344 x20 6.
Por tanto. una de las claves del trabajo matemático será plantear en el aula este tipo de situaciones interesantes y funcionales: – – – – – – Elaboración de listas con números en la clase Carteles con números Proyectos: ¿dónde hay números y para qué sirven?. • La cuestión no es enseñar números. proyectos de investigación. Octubre 2002 • 2002 Urria 123 . facturas. pequeñas investigaciones.. discutir con los demás y de aprender compartiendo será suficiente para que se produzca el aprendizaje construido por los propios alumnos/as. la enseñanza del SND es el último paso a realizar. Sin embargo si le colocamos frente a la operación (en el primer ciclo de primaria): 19 Es posible que no la sepa hacer. con diversidad de situaciones. ¿qué relación hay entre números y cifras?¿cómo enseñar y cuándo el SND? Por ejemplo. cuando un niño/a escribe el ciento uno como 1001.. sino sensibilizar sobre el significado de los números. nos hemos dedicado a enseñar el código del sistema de numeración mediante la descomposición y el agrupamiento de los números (unidades. grafías.. en aulas no organizadas por los libros de texto. cantidades. esto indica que aunque puede entender lo que significan estos números y saber compararlos con otros.. y además con el algoritmo de la suma. Cuando un niño/a es capaz de sumar mentalmente 19 y 3. SND y cálculo (10) 1. . y decir que da 22. viajes.. . Resolución de problemas en contextos reales: situaciones de la vida cotidiana.. entradas de cine. centenas.) y operaciones.Cuando hablamos de actividades y situaciones de aula en torno a leer. ó el ciento diez como 10010. explicando analíticamente como cada cifra representa a un número diferente. permitiendo la construcción matemática por parte de los niños y de las niñas.. ¿cómo debemos plantear el trabajo matemático y la situaciones de aula cuando los alumnos/as todavía no saben cómo se hace?: • No hace falta utilizar los agrupamientos y descomposiciones de números para dominar la lectura y escritura de números.El Constructivismo y las Matemáticas Algunas ideas del trabajo constructivista en torno a números.. . Desde un punto de vista constructivista(12). pensar.. Con el trabajo matemático de especular.. pues supone la parte analítica y racional del sistema de numeración (igual que en la lectura y escritura el análisis de fonemas y letras supone el paso final). • Basta con crear en el aula situaciones funcionales. misterios matemáticos. siempre nos aparecen unidos a los números los temas de las cifras y el sistema de numeración decimal: ¿qué hacer con ellos?.. Otro ejemplo.. Tiendas en el aula. lo que no sabe o lo que le falta saber utilizar bien son las cifras(11) (los niños/as utilizan lo que saben para descomponer los números). proyectos. • Es necesario embarcar a los niños en proyectos de todo tipo.. Hasta ahora. escritura y comparación de números grandes (números con cifras). y es que en este caso está trabajando con cifras y con el +3 SND. y en un ambiente de clase libre. Situaciones con materiales como tiques. resolver una situación problemática para cuya resolución necesitan hacer una resta pero no saben su algoritmo. En realidad.. textos numéricos… en la que los alumnos/as tengan que intercambiar información y realizar ejercicios de lectura. que sirva para dotar de significado a los números (tamaños. especulativo e imaginativo/creativo..). escribir y comparar NÚMEROS. decenas.. está pensando y trabajando con números....
. 124 SIGMA Nº 21 • zk. Esto nos lleva al algoritmo de la división. • Debemos. – nos fijamos en el de delante (jerarquía de cifras).. Por tanto. estamos realizando el proceso de INSTITUCIONALIZACIÓN DEL SABER aprendido en el aula. – si contamos de 100 en 100 cambia el 3º.. pero seguimos en la concepción de que los que sabemos somos nosotros y los niños/as no saben nada.. hay que tener en cuenta que es un tipo de trabajo matemático diferente. Por ejemplo. manos. Cuando los números son pequeños no aparece la necesidad de usar las cifras (lo pueden resolver. proporciones. los niños utilizan recursos diferentes para calcular: dedos. en un grupo que está intentando aprender cosas de los números y sacar las regularidades del sistema de numeración.. 21 SIGMA ... lápiz. favoreciendo que construyan un valor para las cifras en el cálculo.para mediar en el aprendizaje... deberemos procurar plantear situaciones funcionales con números grandes que lleven a especular sobre las cifras. Esto. utilizar números y utilizar números con el valor de las cifras.. Además.. no aprenden segmentos por segmentos de números.). hablamos de crear situaciones. La ejemplificación realizada anteriormente con la multiplicación nos puede servir de modelo.. En la enseñanza tradicional. papel. • No es lo mismo operar con números grandes que con pequeños. sino en forma de red. aprenden las normas y el orden interno del SND.. multibases. Es un trabajo diferente que hay que hacer desde el principio. luego hasta el 1000. se utilizan ábacos. especular. Si estas conclusiones las escribimos en la pizarra.. sobre cómo se leen. los números pequeños tampoco son la antesala de los grandes. tener en cuenta que los niños no aprenden número por número.. – entre el 100 y el 200 hay cien números. (lo que se lee y lo que no se lee). por cálculo mental. investigar. calculadora... Los números grandes obligan a utilizar un código. – . . como ya hemos analizado es antihistórico y carece de sentido matemático desde todo punto de vista. 2. además. los niños tienen que enfrentarse a imaginar lo que puede ser mediante la especulación y la reflexión compartida. Desde el punto de vista constructivista.). Los niños/as lo que aprender es el LENGUAJE NUMÉRICO y por tanto todos los números al mismo tiempo. – si contamos de 1 en 1 cambia el número final. se explicaba el algoritmo como un mecanismo para que lo reprodujeran.Respecto al CÁLCULO. Pero en este caso la institucionalización o academización de los saberes matemáticos es el resultado final de un proceso de alfabetización matemática pleno de significado. – si contamos de 10 en 10 cambia el 2º número.José Ramón Gregorio Guirles • Frente a un problema. Esto nos sirve para entender que la enseñanza de los números no se puede hacer paso a paso en forma de escalera (en este curso hasta el 10. En la enseñanza activa. empiezan a aparecer algunas ideas: – si hay más números es más grande. • El algoritmo se puede introducir de modos diferentes dependiendo del método o concepción que esté por debajo. esto les llevará al algoritmo. Para hacer 366:2 tienen que operar con las cifras. – . – si son iguales nos fijamos en el segundo. en un cartel mural o hacemos un cuaderno contando lo que hemos aprendido.
porcentaje). buscar sentido y desarrollar estrategias personales. por 5. se tendrán que hacer también en pequeño grupo. Sentido Numérico (13) Cuando hablamos de sentido numérico hablamos de: • Hacer cálculos mentalmente y por aproximación siempre que sea posible. cálculo mental y sentido numérico antes de los algoritmos y el lápiz y papel). Teniendo en cuenta. • Dominio inteligente de las relaciones y REDES NUMÉRICAS BÁSICAS: mitad = 1/2 = 0. cuestionar. • Sentido común al manejar números en el contexto de rrpp (investigaciones numéricas). • Centrarse en la COMPRENSIÓN de un determinado problema desde múltiples puntos de vista (mejor que abarcar el mayor número de problemas que sea posible). • Investigación numérica y análisis y discusión de la ideas de los alumnos/as (participación activa): los alumnos/as discuten sus conjeturas y las comprueban (razonamiento). por 2. descomposiciones numéricas y propiedades de las operaciones . • Tienen la oportunidad de crear algoritmos y procedimientos para hallar una solución. El TRABAJO EN GRUPO Y LA CONVERSACIÓN con los alumnos y entre ellos son una herramientas importantes en el trabajo de construir matemáticas (aprendizaje dialógico). por 10. decimal. • Animar a los alumnos/as a explorar.El trabajo en el aula debemos procurar centrarlo en aquellos “conocimientos que el niño/a es capaz de usar pero no controla”.. eso sí. y capacidad de pensar en las operaciones y problemas de diferentes maneras. Y esto supone un alto grado de reflexión y de creatividad (contrapuesto a repetitivo o a habilidad mecánica). • Utilizar la estructura de SND para facilitar los cálculos (descomponer y recomponer números) y otras estrategias “personales”..5 = 50% (fracción. comprobar.. CONVERSAR es cooperar para aprender. que el trabajo constructivista pretende que cada uno construya lo máximo en función de sus posibilidades. Octubre 2002 • 2002 Urria 125 . Conversar en grupo implica resolver el problema y explicar cómo se ha resuelto. dobles/mitades. • Priorizar siempre la comprensión de significados matemáticos antes de proceder algorítmicamente (investigación matemática. y explorar diferentes maneras de encontrar soluciones mentalmente.El Constructivismo y las Matemáticas 3. y no se pueden reducir a conversaciones siempre en gran grupo.
. claves en la construcción del conocimiento de cada alumno/a. completos.. . interpretar . proceso de marcha atrás. problemas. Y merece la pena dedicar una líneas a los PROGRAMAS DE PROBLEMAS DE CÁLCULO MENTAL. Aunque ya hemos comentado algo obre ello con anterioridad. realizar diseños. mapas. mapas. mentalmente o con calculadora.). y deben permitir realizar un adecuado tratamiento educativo de la diversidad(14). ruletas.-) y la COMUNICACIÓN matemática (oral. . y posibilitando diferentes niveles de logro. • Utilizando todo tipo de materiales manipulativos en situaciones de investigación y de construcción de sentido numérico. lo leemos varias veces. tablas . Eso sí. escrito. • Trabajando la COMPRENSIÓN de textos numéricos y problemas matemáticos (identificar. . materiales para trabajar el espacio y la orientación (brújulas.. y ensayo-error. experiencias. juegos. resolviendo 5 problemas. con lápiz y papel. cálculo. para trabajar probabilidad y estadística.José Ramón Gregorio Guirles 2... gastos con IVA.. monedas. SND. para que la comprensión lectora no interfiera en el proceso. La particularidad de estos problemas es que ofrecen un contexto real para resolver una situación matemáticamente sin necesidad de ordenar y resolver con lápiz y papel. peonzas. tablas..).). conceptos. 21 SIGMA . de aprendizaje entre iguales y de cooperación. numéricas.. Estas situaciones y actividades de aula (ejercicios. gráficas. .. balanzas. comprobación de resultados. • Trabajando la lógica y poniendo en juego algunas estrategias y procesos heurísticos sencillos (conjeturas. para que realmente sea cálculo mental lo que hacemos. . gráfico . comparar.... investigaciones. 126 SIGMA Nº 21 • zk. no vale utilizar lápiz y papel. planos. cuentas bancarias. ángulos . hacemos sesiones intensivas de 10 minutos. es la finalidad básica que debemos perseguir. y con diferentes niveles de resolución: facturas. reconocer. Así mismo.... teniendo en cuenta los diferentes procesos. es muy interesante diferenciar entre problemas que pueden ser resueltos mentalmente y problemas de lápiz y papel.. Aprender a resolver problemas (entendidos como situaciones que no podemos resolver algorítmicamente o automáticamente y que precisan de una investigación y un pensar las cosas). informaciones -orales. instrumentos de medida de longitudes. capacidades. Resolver todo tipo de Situaciones Problemáticas • Presentadas de diferentes maneras (datos incompletos.. mapas.. ritmos y estilos de aprendizaje... viajes. gráficos. operaciones básicas. reformulación del problema. . y el que aparece en los libros de recursos de Primaria de Mare Nostrum. Existen diversos programas de este tipo... medir. presupuestos de obras domésticas..). calibradores.. escritas. Y esto es importante. • Poniendo en juego diferentes estrategias y habilidades de cálculo: aproximación o exactamente. entre los cuales están el programa de David Barba (desde Infantil a 4º de ESO).. cronómetros .). debemos intentar aislar al máximo la variable de cálculo mental siguiendo una serie de normas sencillas: • • • • leemos el problema en voz alta. .. operaciones. analogías. dados. y todos los demás contenidos matemáticos son herramientas al servicio de esta finalidad. deben potenciar la autonomía y el aprender a aprender. deben favorecer y crear un clima de respeto. carteles..).. esquemas. planos.. describir. . para intentar aumentar la atención. inconsistentes.. en formatos diversos (gráficas. y un par de veces a la semana..3. descuentos. .
4. ayudar a nuestros alumnos/as a ver las matemáticas que hay en la vida cotidiana. . • calculo mental. ¿se puede vivir sin ellos?. cifras y letras. ¿para qué sirven?. la televisión. además de potenciar el gusto por las Matemáticas. lluvias. investigando lo que ocurre si introducimos modificaciones en las reglas. Es difícil si miramos la realidad con esta clave. es un problema de educación. subidas de precios e IPC.El Constructivismo y las Matemáticas 2. en la naturaleza y en la vida cotidiana (deportes. buscando y analizando estrategias ganadoras y perdedoras. Uno de nuestros trabajos educativos básicos creo que debe ser este.. Enseñar Matemáticas de C.5. clasificaciones. la geometría en el arte. fútbol.. No obstante. Alsina y otros. dominós. a la vez. – Cartas. ábacos. loterías (primitiva.: quinielas. vuelta ciclista). Jordi Deulofeu. David Barba. Los Juegos Los cuales... Para ello podemos: • Utilizar la actualidad diaria de los medios de comunicación. – juegos de estrategia.. reparto.. en nuestros pueblos. tienen una importancia relevante tanto en educación infantil como en primaria. no encontrar situaciones globales y de la vida cotidiana en las que no aparezcan las matemáticas. medir. pesar. y lo que sucede en nuestro entorno. Matemáticas para la vida cotidiana. y en donde las matemáticas ocupan un lugar importante. de Fernando Corbalán.). pueden ser un contexto adecuado para: • memorización y aprendizajes numéricos básicos.) Existen también muchos ejemplos de materiales interesantes editados en este campo: Matemáticas para la vida cotidiana. Octubre 2002 • 2002 Urria 127 .. de navidad. la publicidad. La Globalización y las Matemáticas de y para la vida cotidiana(15) El objetivo es permitir relacionar los diferentes campos de las matemáticas y... • hablamos de: – juegos de mesa: cartas. olas de frío. • trabajar la resolución de problemas. escoba. – juegos con calculadora. – juegos con ordenador (clics y otras colecciones y aventuras matemáticas). construcciones. 2.. tiendas de contar.. CD Rutas Matemáticas. bordados. poner en juego todas las habilidades matemáticas orientadas a la resolución de problemas en un contexto que tiene sentido propio en la vida cotidiana. de Fernando Corbalán. Anton Aubanel (editado por Cuadernos de Pedagogía).. • dominio del SND y operaciones básicas. deportes y sus clasificaciones (baloncesto. En la línea de trabajo constructivista. tableros. monedas. de cálculos aproximados. de Claudi Alsina. porque muchos adultos siguen sin ver las matemáticas.. euros en la vida cotidiana • Plantear situaciones de investigación al respecto: ¿dónde hay números?.
A MODO DE CONCLUSIONES(16) El constructivismo no sirve para aprender lo mismo de siempre de una manera distinta (no es un método). y al rol del profesor/a que controla lo que los niños/as tienen que pensar y renunciar a sentirse en el aula el representante académico que todo lo explica. 128 SIGMA Nº 21 • zk. sino que sirve para aprender cosas distintas (hechas también de manera distinta). vacío de oasis y que no lleva a ninguna parte. que sólo se construye lo que se comprende y que sólo se interioriza cuando se comprende. matemáticamente hablando. sino en diseñar entornos sociales de aprendizaje y alfabetización matemáticas. además. “el resto es desierto curricular”. de diseñar un aula compleja. un largo desierto algorítmico.José Ramón Gregorio Guirles 3.. para terminar. El resto es sumar alumnos al conjunto de analfabetos funcionales. documenta al grupo lo que están haciendo e institucionaliza el saber. La enseñanza constructivista no se basa en diseñar ejercicios. Todo ello supone. emocionante y especulativa. organiza el grupo. Debemos pensar. 21 SIGMA . Y esta es la base de todo el aprendizaje matemático. o como decía un buen amigo. renunciar a los libros de texto ( al menos en su uso más tradicional y academicista). El docente debe ser el que diseña situaciones que generan problemas..
espaciales.. ¿Una alternariva frente al algoritmo usual de la división?”. existe un abuso de los juegos y programas matemáticos donde el modelo no cambia: el ordenador explica. 10 Basado Carlos Gallego. donde “parece” que se requiere otro tipo de inteligencia que no se la del tradicional “trabajador matemático labotioso-aplicador de reglas”. 9 Éste es uno de los trabajos que hemos realizado a lo largo de los dos últimos cursos con Carlos Gallego. 3 Ahora con la llegada de los ordenadores. . Oído y leído a Jesús Mari Goñi. y que en lo que se refiere al aprendizaje representa un modelo agotado. Será preciso adecuar la dificultad de los problemas. el número y la intensidad de los estímulos aumenta . muchos autores de los que he aprendido. multiplicaciones y divisiones! A renglón seguido es necesario decir que también existen buenos programas de construcción y aplicación matemáticas. David Barba. al igual que hacen los adultos. 8 Extraído del artículo de UNO. son capaces de jugar. magnitudes. de hacer cálculos sin comprender todos los entresijos algorítmicos . se puede entender de la misma manera escribir el 63. 7 Tomado de Carlos Gallego y del artículo “Maneras curiosas de sumar. 13 Siguiendo a David Barba y Juan Emilio García. en castellano o 3203. situaciones geométricas. profesor de la UPV. de Jean-Marie Kraemer. interpretación. poner 603. medidas.El Constructivismo y las Matemáticas NOTAS 1 El aprendizaje de las Matemáticas se contempla como un proceso en construcción más que como un saber cerrado y acabado. Reducir las Matemáticas a un conjunto de algoritmos es potenciar un tipo de inteligencia y de alumno que está en crisis”.. “Dividir construyendo los números (mentalmente). Jesús Mari Goñi y. análisis y resolución de problemas de la vida cotidiana en los que intervienen operaciones. 12 Teniendo en cuenta que el niño ya sabe mucho sobre los números. ya que su labor no consiste únicamente en transmitir conocimientos. 16 Con cariño para todo el profesorado y alumnado.Este artículo tiene.. Entre los más cercanos debo nombrar a Carlos Gallego. personas con las que tengo el placer de poder hablar y aprender con ellas. 14 No se debe renunciar a desarrollar la capacidad de resolver problemas. especular y operar con ideas que no dominan plenamente de forma conceptual: son capaces de diferenciar y de operar con números sin dominar el sistema de numeración decimal. 15 “Identificación. y a los que he copiado.” DCB. en realidad. que diariamente trabaja con las matemáticas NOTA FINAL. Santiago Fernández.. restas. 6 La actuación del profesorado irá encaminada a propiciar estos procesos. 2 “Sólo alimenta la comida que se come uno”. pero en lo básico sigue siendo un modelo que entiende la enseñanza como una transmisión de conocimientos.. de Luis Segarra (Aula 58). y que esta manera de proceder es una didáctica pensada para enseñar al que no sabe. Octubre 2002 • 2002 Urria 129 . en euskera. ¡Es francamente descorazonador ver a alumnos/as delante del ordenador haciendo sumas. por supuesto.. Jesús Mari Goñi. 4 “La sociedad el siglo XXI en la que vivimos. oyendo o leyendo. 11 Respecto a interpretación de errores en las grafías. multiplicar y dividir”. sino en presentarlos de manera que puedan suscitar conflictos y aprendizaje/construcción por los alumnos/as. restar. Juan Emilio García. 5 Los niños/as..
Lobac Nikolai .6) 792-185 evsky (1 h I.
Documents Similar To El Constructivismo y Las as
RESSSUMEN

References: resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución