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Timestamp: 2017-07-26 06:37:22+00:00

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VADEMECUM DE ARITMETICA PREUNIVERSITARIA PDF
•	Establecer correctamente la noción de conjunto y su notación.
•	Utilizar adecuadamente los símbolos de pertenencia e inclusión y representar los conjuntos adecuadamente.
•	Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondiente cardinal.
•	Resolver problemas utilizando los Diagramas de Veen-Euler y Lewis Carroll.
Ejemplos: •	Los días de la semana
•	Los países del continente americano.
•	Los jugadores de un equipo de fútbol.
Notación Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minúsculas separadas por comas y encerrados con llaves.
Ejemplo:	A = los días de la semana
Integrante		conjunto
•	2  C
•	8  C
•	1,2  C
•	5  C
a)	Por Extensión o forma tabular.
Ejemplo:	A = a, e, i, o, u
b)	Por Comprensión o forma constructiva
Esquema	/ (se lee “tal que”)
Correspondencia	y/o característica
o forma general	(propiedad común)
C =	n²-1 / n  ZZ ,1  n  7
1.	Conjunto de los números naturales
IN = 1,2,3,4.... EJM 17  IN IN O = IN* = 0,1,2,3,....
2.	Conjunto de los Números Enteros
 ZZ , - 24  ZZ 3.	Conjunto de los Números Racionales
3  Q porque : 3 = 0,5  Q porque 0,5 = 0,333...  Q porque 0,333... =  = 3,141592...  Q porque   Aplicación I
*   B	* 1  B
* 1  B	* 3  B
* 1,2  B	*   B
Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A (es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el número de elementos del conjunto A y se denota como n (A) ó card (A)
Teniendo en cuenta una disposición de los elementos dentro del conjunto del cual forman parte, cada uno determina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido.
S = 7, a, , 13  ord (a) = 2, ord () = 3
a)	Universal: Se denota por “” y se lee “para todo” o “para cualquier”
Si P(x) es una función proposicional, , “ x  A; P(x)” es una proposición que será verdadera cuando para todos los valores de x  a se cumpla P(x) Ejemplo:
Luego	 x  A: x es un  par (V)  y  A: 3y – 2>4 (F)
b.	Existencial. Se denota por “” y se lee “existe por lo menos un” Si P(x) es una función proposicional, “ x  A/P(x)” es una proposición que será verdadera si existe por lo menos un elemento de A, que cumple P (x)
. a	. b
Diagrama Lineal	Diagrama Hasse
Subconjunto		Conjunto
Conjunto 	Conjunto
A = 3,5	B = 1,2,3,4,5,6,7
C = 2,4,6,7	D = 4,7
A = a+2, a+1	C = b+1, c+1
Ejemplo: C = x / x es un hombre
-	Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán diferentes.
-	Si dos conjuntos son diferentes entonces no siempre serán disjuntos.
Ejemplo A = Lima, Caracas, Bogota, Santiago
1.	Vacío o Nulo. Es aquel conjunto que carece de “elementos”.
Notación ;  . Ejm.:
2.	Unitario o Singleton (singular)
B = x/x > 0  x² = 9 = 3 Aplicación: Si los siguientes conjuntos son unitarios e iguales, calcule a + b + c.
3.	Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por U.
B = x+3/x es impar  0 < 10 Podrán ser conjuntos universales para A y B
4.	Conjunto de Conjuntos: También se le denomina familia de conjuntos o clase de conjuntos y es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.	Ejemplo:
* Los subconjuntos , x, y son denominados propios. Nº subconj. = n (P(A)) = 2n(A)
6.	Par Ordenado
Ejemplo:	A = 2,3,5, B = 1,7,5
Ejemplo:	A = 2,3,4,5,6
Ejemplo:	A = 8,7,6,5,4,2
1.	Idempotencia A U A = A
4.	Distributiva A U (B  C) = (A U B)  (A U C)
5.	De Morgán
(A U B)´ = A´  B´ (A  B)´ = A´ U B´ 6.	Del Complemento
7.	De la Unidad
A  U = U	A  U = A
A   = A	A   = 
8.	De Absorción
9.	Diferencia A – B = A  B´ 10.	Adicional (U)´ = 
1.	Dados los conjuntos unitarios
2.	Hallar el cardinal de A si A = 0,1,1,2,3,5,8,.... 55
3.	Dado el conjunto A = 5,3 3, 7, 9,11, 14
I. 5  A	IV. 3  A
II. 3  A	V. 9,11  A
III. 7,14  A	VI.   A
Resolución I.	5  a (V)
II.	3 = A (V)
III.	7,14  A (F) ya que la relación  se da sólo entre integrante (singular y su conjunto)
IV.	3  A (V)
V.	9,11  A (F)
VI.	  A (V)
4.	Si A = B
5.	¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto M?
Nº sub conjuntos = 2n(M)–1 = 26-1 = 63 Rpta.
propios de M
6.	Indicar el cardinal del conjunto
Resolución Para calcular el cardinal del conjunto R. Habrá que saber cuantos valores toma x de acuerdo a las restricciones dadas en el conjunto R. Para x < 17 y que verifique que entonces x = 2, 11 solamente Luego R = 2,11  n(R) = 2 Rpta. 7.	Dados el conjunto A = a a, , cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas. I.	a  A  a  A II.	a  A  a  A III.	  A    A IV.	  A    A
V.	a,  A  a,  A
Resolución I. a  A  a A ; pq (V)
P q VV II. a  A  a A ; pq (F)
P q VF III.   A   A ; pq (F)
P q VF IV.   A    A ; pq (V)
P q VV V. a,  A  a,  A pq (V)
VV Rpta. 3 son verdaderas 8.	En un salón de clase de 100 alumnos, hay diez hombres provincianos, hay 40 mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 a número de hombre limeños. ¿Cuántos hombre hay en el aula?
Provincianos	Limeños	10	X	Hombres
X+10	40	Mujeres
U: 100	Del Total 10 + x + x +10 + 40 = 100
 nº hombres = 10 + x = 30 Rpta 9.	Un conjunto tiene 1024 subconjunto en total. ¿Cuántos subconjuntos de 6 elementos tendrá?
Sabemos que: Nº subconjuntos de A = 2n(A)
Por datos: 1024 = 2n(A) 210 = 2n(A) entonces n (A) = 10  Nº Subconjuntos de 6 elementos
•	Realizar correctamente operaciones entre conjuntos
•	Utilizar de manera eficaz las leyes del álgebra de conjuntos.
•	Resolver problemas utilizando los diagramas de Veen-Eulery Lewis Carroll.
I.	Unión o Reunión La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de “A” con todos los elementos de “B”.
•	A  B = B  A (Conmutativa)
•	A  (B  C) = (A  B)  C (Asociativa)
•	A  A = A (Idempotencia)
•	A  U = U
•	A   = A (Elemento Neutro)
*	Si B  A  A  B = B
*	Si A y B son conjuntos disjuntos  A  B = 
•	A  B = B  A (Conmutativa)
•	A  (B  C) = (A  B)  C (Asociativa)
•	A  A = A (Idempotencia)
•	A  U = A
•	A   =  (Elemento Neutro)
Si:	A  B y C  D  (A  C)  (B  D)
Simbólicamente A – B x/x  A  x  B
•	Si B  A  B – A = 
•	Si A y B son disjuntos
A – B = A ;	B – A = B
A = 2,3,4	A – B = 2
B = 3,4,5,6	B – A = 5,6
•	A  B = (A - B)  (B - A)
•	A  B = (A  B) - (A  B)
•	A  A = 
•	A   = A
B = 4,5,3	A  B = 2,5
1.	(A´)´ = A	Involución
2.	´ = U
3.	A – B = A  B´
4.	A  A´ = U
5.	Leyes de Morgan
1.	n () = 0
2.	n(AB) = n(A) + n(B)–n(AB)
3.	Si A y B son conjuntos disjuntos n(AB) = n(A)+ n(B)
4.	n (A  B  C) = n(A) + n(B)+ n(C)–n(A  B)–n(A  C)–n(BC) + n(A  B  C)
Ejemplo: Aplicación
Hallar: Resolución
 x = y = Luego: Rpta.
Ejemplo:	Dados los conjuntos A y B
a	(a,c)	(a,d)	c	(c,a)	(c,b)
b	(b,c)	(b,d)	d	(d,a)	(d,b)
1.	A x B  B x A en general
2.	A x B = B x A  A = B
3.	n (A x B) = n (A) x n (B)
4.	n AxB–BxA=n AxB-nAxBBx A
a.	A x (B  C) = (A x B)  (A x C)
b.	A x (B  C) = (A x B)  (A x C)
c.	A x (B - C) = (A x B) - (A x C)
d.	Si: A  B  A x C  B x C , C
e.	Si: A  B y C  D
“Ocurre A o B”; A  B “Al menos uno de ellos” o “Por lo menos uno de ellos”
1.	Dados los conjuntos A = 6,2,  y
 P (A) =	6, 2, 
Además	B = , , 2, 6
2.	Dado el conjunto A
I.	1,2  A
II.	1,2  P (P(A))
III.	, 2  P (A)
a) VVV b) VFV c) VFF d) FVV e) VVF
II.	1,2  P(P(A))
	1, 2  P(A)
	1, 2  P(A)
	1, 2  A
	1  A  2  A = Verdadero
III.	, 2  P(A)
   A  2  A  Falso	Rpta. E
3.	De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de Aritmética, 53 no llevan álgebra y 27 no llevan álgebra ni aritmética. ¿Cuántos alumnos llevan uno de los cursos?
Sea	A : Aritmética
Luego a + c = 48	Rpta. E
4.	Durante un examen se observó en un aula que 15 alumnos miraban al techo y no usaban lentes, 10 usaban lentes y resolvían el examen. El número de alumnos que usaban lentes y miraban al techo era el doble de los que resolvían el examen y no usaban lentes. Si en el salón había 85 alumnos. ¿Cuántos resolvían su examen? (considere que los que no resolvían su examen miraban al techo) a) 20 b) 25 c) 24 d) 30 e) 36
En total: 3a + 25 = 85
 Resuelven el examen 30	Rpta. D
5.	Dados los conjuntos A, B y C
I.	B  C = 1,2,9,15,21
II	(B  C) tiene “7 elementos”
III	n (C – B) – n (B - C) = 2
IV.	n A – (B  C) = 9
a)	I, II y III	b)	I, III, IV
c)	II, III y IV	d)	I, II y IV
Resolución A = 1,2,3,4,5,6,....,21,22
I.	B  C = 1,2,9,15,21  (V)
II	n(B  C) = 7  (V)
III.	n (C - B) – n (B - c) = 2
4	1 = 3  (F)
IV.	n(A – (B - C)) = 9  (F)
n(A – (B  C)) = 10	Rpta. E
B = Calcular n P(A x B) – (B x A)
a) 220	b) 222	c) 224
d) 226	e) 228
B = B = 0,1,2,3,....,9
7.	De 308 personas interrogadas, se determinó que el número de los que leen solamente “EL AMAUTA” y “EL VOCERO” es:
a) 110	b) 121
c) 132	d) 99	e) 120
1.	Si: A = 5,6,5,6,8
¿Cuántas proposiciones son verdaderas? - 5  A	- 6  A
- 6  A	- 7  A
- 5  A	- 6  A
- 5,6  A	- 6,8 A
- 8  A	-   A
d) 4	e) Todas 2.	Dados los conjuntos:
[(A-B)  B]  (B-A) a) 1	b) 3 c) 1,3
d) 2,3	e) 1,2,3 3.	De un grupo de 100 estudiantes se obtuvo la siguiente información: 28 estudian Inglés; 30 estudian alemán, 42 estudian francés; 8 inglés y alemán; 10 inglés y francés: 5 alemán y francés; 3 los tres idiomas. ¿Cuántos estudiantes no estudian ningún idioma?
a) 15	b) 25 c) 10 d) 30 e) 20
4.	Una persona come pan con mantequilla o mermelada cada mañana durante el mes de febrero; si 22 días comió pan con mermelada y 12 días con mantequilla. ¿Cuántos días comió pan con mermelada y mantequilla?
a) 6	b) 8 c) 10	d) 12 e) 5
5.	En una competencia atlética con 12 pruebas participaron 42 atletas, siendo los resultados: 4 conquistaron medalla de oro plata y bronce; 6 de oro y plata, 8 de plata y bronce; 7 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medalla?
a) 18	b) 20 c) 23 d) 24 e) 25
6.	De una reunión de 100 personas se sabe de ellas que 40 no tienen hijos, 60 son hombres, 10 mujeres están casadas, 25 personas casadas tienen hijos, hay 5 madres solteras. ¿Cuántos hombres son padres solteros?
a) 30	b) 35 c) 40 d) 20 e) 25
7.	¿Cuántas de las siguientes proposiciones, para conjunto, son correctas? * A-B = A  B´
a) 1	b) 2 c) 3	d) 4	e) 5
8.	Para los conjunto A y B se tienen que: A  B tiene 128 subconjuntos, A-B tiene 64 subconjuntos y A x B tiene 182 elementos. Determinar el cardinal de A  B.
a) 10	b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
9.	Durante el mes de febrero, Juan visitó a su enamorada, fue a la Universidad o trabajo. Si no hubo día en que se dedicara a sólo dos actividades y además visitó 12 días a su enamorada, fue a la universidad 18 días y trabajó 20 días ¿Durante cuántos días sólo trabajó?
a) 1	b) 7 c) 9	d) 11	e) 6
10.	Considere 3 conjuntos A,B y C contenidos en U, tales que:
a) 120	b) 150 c) 180
11.	En una reunión hay 150 personas. Un grupo de ellos se retiran con sus respectivas parejas, de los que quedan los 2/9 son mujeres y los 3/14 son varones solteros. ¿Cuántas mujeres asistieron en total?
a) 28	b) 30 c) 36 d) 40	e) 48
12.	En una tienda se observó que el total de personas era 50, de las cuales:
* 4 vendedores usan mandil * 32 vendedores no usan mandil * 8 personas usan bigotes * 9 personas usan mandil ¿Cuántos no son vendedores, ni usan mandil, ni bigotes?
a) 7	b) 6 c) 5 d) 4	e) 3
13.	Sean los conjuntos: Calcular n [P(A  B)]
a) 216	b) 29 c) 212
d) 219	e) 221
14.	En el distrito de Bellavista – Callao se realizó una encuesta a 140 familias sobre el uso de algunos de los siguientes artefactos: TV, radio, refrigeradora. Se obtuvo la siguiente información: 85 familias tiene por lo menos 2 artefactos y 10 familias no disponen de ningún artefacto. ¿Cuántas familias tienen exactamente un sólo artefacto?
15.	A y B son dos conjuntos tales que: n(A  B) = 12; n(A  B) = 7; n(A) = n(B) + 1; sabiendo que: n(A - B) = n([A  B)´ ].
16.	¿Cuántos de los 1600 alumnos están inscritos en teatro pero no en canto, sabiendo que: 600 están inscrito en teatro, 650 en canto, 250 en teatro y baile, 350 en canto y baile, 200 en teatro y canto; 950 en baile, 150 llevan los 3 cursos?
a) 400 b) 450 c) 500 d) 550	e) 600
17.	Simplificar la expresión conjuntista:
a) A	b) B c) BC
d) A  BC	e) A  B
18.	En un vagón de tren se realizan una encuesta sobre el uso de cigarrillos. De los 41 pasajeros, 21 personas están sentadas y hay 16 mujeres en total; de los que fuman 5 hombres están sentados y 2 mujeres están paradas; de los que no fuman 8 mujeres están sentadas y 10 hombres están parados. Hallar cuántas mujeres que están paradas no fuman si los que fuman en el total suman 19.
d) 4	e) 5 NUMERACIÓN:
MAYAS:  • •• 0 1 2 5 6 10 11
Actualmente: Ejemplo de numerales 5, IIII, , cinco, five
Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda. Ejemplo: Lugar	1º	2º	3º	4º
Número	1	9	9	9
Orden	4	3	2	1
Ejemplo: 4 8 3 6 orden 1 (unidades)
2. DE LA BASE Es un número referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior.
Sea “B” una base B  Z
Convención Referencial (subíndice)	Base 4 30(4) no sobra
REGLA DE SIGNOS En una igualdad de 2 numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base.
Se cumple: Z < x -	+
Se cumple:	F < E
Se cumple: F < P
3. DE LAS CIFRAS Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleadas o utilizadas.
cifra cifras significativas no significativa
•	El cero no tiene valor por si mismo sino únicamente valor posicional es decir por el orden que ocupa.
•	Así pues, cada cifra dentro de un numeral tiene un valor digital o valor absoluto y un valor de posición o valor relativo.
Es el valor que tiene la cifra por su apariencia o figura.
Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.
VA(2) = 2
VA(4) = 4
VA(5) = 5
VA(3) = 3
VR(5)=5x101=50 unidades=5 decenas VR(4)=4x102=400 unidades=4 centenas
VR(2)=2x103=2000 unidades=2 millares DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Viene a ser la suma de los valores relativos de cada una de sus cifras.
= ax103+ bx102+bx101+a
= an3+bn2+cn+d
DESCOMPOSICIÓN POLINOMICA POR BLOQUES = x 102 + = 101 = x 103+ = (1001)
= . +abn.1 = (n2+1)
CAMBIOS DE BASE 1) DE BASE N A BASE 10 (N  10)
* Expresar 3576(8) en base 10 Usando Ruffini 3	5	7	6
8	24 232 1912
3 29 239 1918
>35768 = 191810 * Expresar 13234 en base 10
por descomposición polinómica 13234 = 1.43 +3.42+2.41+3 = 123
Usando División Sucesiva 2437 5	487 5
Usando división sucesiva 8476 12
Ejemplo: A los numerales
sentido se le denomina PALINDROMAS
Numeral capicúa de 2 cifra, Numeral capicúa de 3 cifra, , Numeral capicúa de 4 cifra, , PROPIEDADES
1.	Calculo “x” si:
a) 2	b)3	c)4	d)5	e)6 Resolución
2.	Sabiendo que los numerales están correctamente escritos
, 43a; ; Hallar a+b+c
a) 15	b)16	c)17	d)18	e)19 Resolución 43a  4 < a  a < b 4 < a < b < c < 8  b < c   
 c < 8 5 6 7  a + b + c = 18 Rpta. Propiedad (2)
3. Si 13	= 2445
Aplicando Propiedad (2) y descomponiendo polinomicamente x + 20(3) = 2445
4.	Calcular a+b+n si:
= -  +	 5 < n < 7
= 1647  
7271	= 49 + 42 + 4  = 9510
Por división sucesiva 95 6
15 6	2
2356 = a=2 b=3
 a+b+n = 11 Rpta. PROBLEMAS PARA LA CLASE
1.	Si las siguientes numerales está bien representados. Calcular a + b + c
2.	Hallar (a + b) si:
a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 9
3.	Si Hallar a²
a) 9 b) 4 c) 8 d) 16 e) 1
4.	Hallar a + b si se cumple:
= 1106n
5.	Al escribir el número 4235 en base 10 obtenemos
6.	Cuántos números enteros son mayores que 234 pero menores que 326.
7.	Sean los numerales
213(m), Calcular m + n + p
8.	Si 11223 = Hallar a + b + c + d + e + f + n
9.	Dado el número
N = Calcular: P(a) si P(x) = x² + x + 2
9.	Si Hallar a x b
10.	Si y Calcular a + b + c + n + p
11.	Si se cumple que:
12.	Sabiendo que: “m” numerales	.
13.	Si Hallar “c” sabiendo que b > 4, m<9
14.	Sea el numeral .Halle la suma de cifras a base (6+a) sabiendo además que este numeral es el mayor posible.
15.	Si 2407n= 1687m calcular m + n
16.	Si se cumple:
17.	El siguiente numeral esta mal escrito 8989898. Halle la suma de cifras del numeral equivalente de la base 2
18.	Si Además a + b + c = 24
a) 2236	b) 2246	c) 2316 d) 2256 e) 2336
a) 7/24	b) 17/24 c) 27/24 d) 37/24	e) 27/124
20.	Si Hallar n
21.	Calcular a + b + c
Si a) 5 b) 6 c) 4 d) 10 e) 13
22.	Si se cumple:
*	Sucesión: Es una función cuyo dominio son los números entero positivos.
Ejemplo: f(n) = n	1	2	3	4	5	...	50
f(n)	3	2	5/3	3/2	7/5	...	26/25
*	Serie. Es la suma de los términos de una sucesión
*	Progresión Aritmética (P.A) de 1º Orden
Ejemplo: P.A. 4,6,8,10,12.......... (CRECIENTE)
a)	24, 27, 30, ..., 726
  término = 2)	Cuántos términos tiene la progresión aritmética
a)	7,9,11,...,421
b)	12,17,22,...527
p términos	q términos
i)	La suma de los términos equidistantes de los extremos siempre es constante
ii)	Término Central (ac)
*	Si n es impar
*	Si n es par y no hay término central
*	Progresión Aritmética 2º Orden
B  b0, b1, b2, b3, ......bn
A  c1, c1, c1, .........c1
S = Cantidad de cifras en una serie natural
Determinar la cantidad de cifras a)	Del 1 al 38
b)	Del 1 al 324
c)	Del 1 al 3999
a)	¿Cuántos números de 3 cifras existen?
b)	Cuántos numerales de esta forma existen
a)	¿Cuántos números pares de 3 cifras existen?
b)	¿Cuántos números capicúas de 5 cifras tienen un sólo “6” en su escritura?
c)	¿Cuántos números de la forma existen?
a) b) 1 0 0	1 0 6 2 1 2	2 1
3 2 4	3 2
. . 6	. .
. . 8	. .
9.10.5=450	. .
9 9 8. 9.1 = 72
c) 1	2
d)	¿Cuántos números de 3 cifras, se escriben con un 8, con 9 y algunas otra cifra diferente de los anteriores?
CASOS	8 9 a 8 a 9 a 8 9
0	0	1	1	1	2	2	2	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	7	7	7 Permutando	8x 8x 7x
8 y 9	2 2 2
1.	Calcular cuantas cifras tiene el término de lugar 77 de la siguiente progresión
2.	¿Cuántos términos tiene la siguiente secuencia
3.	Hallar el término de lugar de la siguiente progresión aritmética
a) 302	b) 303	c) 352 d) 402	e) 403
4.	¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética?
5.	¿Cuántos términos tiene la siguiente secuencia?
100111; 111122; 122133; .., a) 70 b) 80 c) 90 d) 101 e) 110
6.	Si los términos “a” y “a + 1” de una progresión aritmética son 251 y 259 respectivamente. Hallar la suma del primer y último término de la serie sabiendo que antes del término del lugar “a” hay 30 términos y después del término de lugar “a+1” hay 45 términos.
a) 330	b) 339	c) 397
d) 630	e) 679
7.	En la siguiente sucesión
Se cumple que la diferencia entre el 18avo y décimo término es 264. Calcular la suma de cifras correspondientes a la base duodecimal. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
8.	Hallar el máximo valor que puede tomar el último término de la siguiente progresión aritmética
9.	Si la siguiente progresión aritmética
10.	Los siguientes números se llaman “números triangulares”
a) 180	b)210	c) 215
d) 220	e) 246
11.	Determinar el número de términos de la siguiente progresión
a) 16	b)17	c)18	d)19	e)20
12.	Cuando tipos de imprenta se emplearon para imprimir la siguiente secuencia.
10077;	10078;10079;....;100300 a) 941 cifras	b)1321 cifras
c) 1426 cifras	d) 1584 cifras
e) 2403 cifras 13.	Si se escribe la serie de los números naturales a partir del 1, sin separar las cifras. ¿Cuál es en esta serie la cifra que ocupa el 1992º lugar?
a) 0	b)1	c) 2	d) 5	e)6
•	Deducir las operaciones de adición y sustracción como una relación binaria.
•	Establecer Relaciones Binarias con los elementos de dos conjuntos.
•	Deducir las propiedades que cumplen los elementos que forman parte de la adición y sustracción.
•	Aplicar las propiedades en situaciones concretas.
2 y 3 +	2 + 3
Pareja de Operación	Número elementos	Asignado como
2 , 3 (+)	2 + 3
Par Ordenado	Operación	Resultado
de adición	(Considere el orden)
Operador elemento de la adición
Ejemplo: 2	3 + 5 + 11 = 19	Sumandos	Suma	Ejemplo:3
Sumandos	Suma
475 + 321
1.	Clausura o Cerradura: La suma de dos o más números enteros resulta otro número
2.	Asociativa: Dadas ciertas cantidades de sumandos la suma total también resulta al hacer grupos de sumandos.
3.	Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma total
4.	Modulativa: Para todo número entero existirá su elemento neutro o módulo de la suma denotada por cero, talque se cumpla que a+0=a
5.	Uniformidad: Si se tienen varias igualdades, estas se pueden sumar miembro a miembro resultando otra igualdad
a = b c = d	a + c = b + d
6.	Monotonía:
a = b a < b	a > b
c < d	c < d	c < d
a+c, < ó =
Propiedades. Siendo K una constante:
1)	2)	3) Propiedad Telescópica
1.	Suma de los “n” primeros números naturales
2.	Suma de los cuadrados de los “n” primeros números
3.	Suma de los cubos de los “n” primeros números
4.	Suma de los números pares
5.	Suma de los números impares
6.	Suma de los cuadrados de los n primeros números pares.
7.	Suma de los productos de 2 números consecutivos
8.	S = a + a² + a3... + an = an+1 - 9.	Suma de términos en Progresión Aritmética
S = Donde:
Se tiene que: n = Luego S = Ejemplo (2)
B = B = Ejemplo 4
C = La Adición en otros Sistemas de Numeración
3	2	1	Orden
1	5(7)
6(7)	+
Orden	Procedimiento
1	5 + 4 + 6 = 15 = 2.7 + 1
2	3 + 6 + 1 + 2 = 12 = 1.7 + 5
3	4 + 1 + 4 + 1 = 10 = 1.7 + 3
4	3	5(7) +
1	6	4(7) 4	1	6(7) 1	3	5	1(7) Ejemplos para que practiques
1)	Efectuar
2)	Dado que a +b + c = 9
S = 3)	Sabiendo que:
U : D: C = Suma total:
1250	Rpta.  137250
6 . 5	= 30 números
U : D: Suma	:	168  U
Total	: 140	 D
168  C	Rpta.: 18368
1.	Hallar “C” en la siguiente suma
 el valor de c = 6	Rpta.
2.	Hallar la suma de cifras de la siguiente adición
Como los sumando son cercanos a potencias de 10 entonces 8 = 101 – 2
999...998 = 1050 – 2	S = 1111....1110–50(2)
Definición. Dados dos números a y b se llama diferencia de a y b y se denota (a-b) al número natural D, si existe a – b = D
1)	M – S = D
2)	M + S + D = 2M
•	Las cantidades que intervienen en una sustracción deben de ser homogéneas.
•	Toda sustracción puede ser expresada como una adición
•	•	También definen a la sustracción como la operación aritmética inversa a la adición que consiste en dada dos cantidades minuendo y sustraendo, se debe hallar una tercera que nos indique el exceso de la primera con respecto a la segunda, la cual se llamará “diferencia”.
1.	Clausura. En naturales es restrictiva. En enteros, la diferencia de 2 números enteros es otro número entero.
2.	Ley del Inverso Aditivo. Si se tiene un número “a” existirá uno y sólo un número denominado (-a) tal que: a + (-a) = 0
3.	Uniformidad. Dadas 2 igualdades estas se podrán restar miembro a miembro, dando como resultado otra igualdad.
4.	Monotonía
a = b	a < b
c < d	c = d .
a-c > b-d	a-c < b-d
a > b	a < b
c < d	c < d .
a-c > b-d	a-c ? b-d
? (El resultado no se puede anticipar pudiendo ser >, <, =)
Escolio: Si se restan miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, el resultado no puede anticiparse pudiendo ser una desigualdad o una igualdad.
Alteraciones del Minuendo y el Sustraendo
1.	Si el minuendo aumenta o disminuye una determinada cantidad y el sustraendo no varía, la diferencia queda aumentada o disminuida en la misma cantidad.
2.	Si el sustraendo aumenta o disminuye una cantidad cualquiera y el minuendo no varía, la diferencia disminuye en el primer caso y aumenta en el segundo caso dicha cantidad.
3.	Si el minuendo y el sustraendo aumentan o disminuyen a la vez una misma cantidad, la diferencia no varía.
4.	Si al minuendo se le agrega otra cantidad la diferencia disminuye en la suma de dichas cantidades.
1)	Si N = se cumple que
- = 9 (a-b)
2)	Sea N = , donde a>c
341 - 672-	993-
143	276	399
198	396	594
3)	Sea N = donde a > d
a)	Si b c : -  m +n + p + q = 18
b)	Si b = c: -  m + q = 9
4781 - 7552-	1847	2557	2907	4995
1.	Sabiendo que:
Incógnita: Toda sustracción se convierte en adición
De las unidades: a + 5 = Se deduce a = 7
	b – c = 2	 b = 6
Dato: b + c = 10	c = 4
Ejm. 1 Halle la diferencia de los siguientes números 432(5) y 143(5) Resolución
3º	2º	1º	 orden
Minuendo  4	3	2(5)
Sustraendo 	1	4	3(5)
Diferencia 	¿ ..............?
1	Como a “2” no se le puede disminuir “3” lo que se hace es regresar del orden 2 una vez a la base (es decir 5)
2	Como se ha regresado una vez la base, quiere decir que en este orden se tiene ahora 3-1 = 2 pero a 2 no le podemos disminuir en 4, luego del orden 3 regresamos una vez la base (es decir 5)
3	Aquí se tenía 4 veces la base, pero regresamos al orden anterior luego aquí quedo 4-1 = 3, entonces
4	3	2(5)	-
1	4	3(5)
2	3	4(5)
6438 -	5326-	7469-
3468 -	2356-	6479-
____	____	____	Se llega a la siguiente conclusión:
1)	Si Calcule a x b x c
2)	Si Hallar a – c + m + n 3)	Efectuar las siguientes sustracciones
5413 -	7241-	6113-
3145	1427	3116
6524(7) -	4132(5)-	1786(9)-
4526(7)	2314(5)	586(9)
Ejemplo:	Hallar el C.A. de 24
Ejemplo:	Hallar el C.A. de 327
CA	(7	4	8) = 252
9	9	9	10
CA (5	1	3	6)= 4864
9	9	10	CA (7	0	4	0)= 2960
8	8	9	CA (2	1	89) = 671(9)
Ejemplo: Excedencia de 18= 18-10 = 8
Siendo k el número de cifras que tiene N. OBJETIVOS:
•	Realizar la multiplicación y división en diferentes sistemas de numeración.
•	Deducir las propiedades de la división inexacta.
•	Aplicar la multiplicación y división en la solución de problemas concretos.
ORIGEN: En una operación de adición, en donde todos los sumandos son iguales, tal como la siguiente, P= M + M + M + M + ... + M (m veces)
Se puede realizar una operación abreviada:
P = M x m
a esta operación se denomina multiplicación, donde:
m  multiplicador x  Símbolo (por)
Es decir la multiplicación es una operación directa cuyo origen proviene de la adición y consiste en dadas 2 cantidades, multiplicando y multiplicador se debe hallar una tercera cantidad llamada “producto” que contenga al multiplicando las mismas veces que el multiplicador contenga a la unidad.
Se cumple:	En el campo de los naturales, se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a,b) su producto a . b.
Multiplicando	5 2 4 x
Multiplicador	6 7
3 6 6 8	1er Producto Parcial 3 1 4 4	2do Producto Parcial
3 5 1 0 8	Producto Final
1.	Clausura. El producto de 2 números enteros es otro número entero.
2.	Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto.
3.	Asociativa: El producto de varios números no varía si se reemplaza dos o más factores por su producto parcial.
4.	Distributiva. El producto de un número por una suma o resta es igual a la suma o resta de los productos del número dado por cada uno de los términos
 P = a x b + a x c – a x d
5.	Uniformidad. Multiplicando miembro a miembro varias igualdades resulta otra igualdad.
Si: a = b
c = d	a x c = b x d
6.	Modulativa. Existe uno y sólo un elemento que se denota por 1 (denominado elemento neutro multiplicativo o módulo de la multiplicación) tal que siempre se cumple:
7.	Monotonía: a)	Multiplicando miembro a miembro desigualdades (relación de orden), todas del mismo sentido, con términos positivos y también multiplicando igualdades, resulta una igualdad del mismo sentido que las dadas.
*) Si:	a > b	*) Si: a < b
c > d	c = d
e = f	e < f
a.c.e>b.d.f.	a.c.e.< b	*) Si:	a > b
c < d	c > d
a x c < b x d	a . c > b. d
Escolio. Si se multiplica miembro a miembro desigualdades de sentido contrario, el resultado no puede anticiparse, pudiendo ser una desigualdad o una igualdad.
Si	a < b
a x c < b x d
a x c = b x d	a x c b x d
a x c > b x d Determinación de la cantidad de cifras de un producto
La cantidad de cifras de un producto de “n” factores será máxima cuando sea igual a la suma de la cantidades de cifras de cada factor y como mínimo dicha suma disminuida en (n-1)
P = A1 . A2 . A3 ...... An
Cuantas cifras como máximo y como mínimo puede tener P.
8 cifras	3 cifras
Dos números enteros escritos en el sistema decimal tienen 5 y 8 cifras respectivamente ¿Cuántas cifras tendrá el producto del cuadrado del primero por el cubo del segundo?
Sea	A  tiene 5 cifras
A² . B3 = A . A . B . B . B Producto de 5 factores
Nº de cifras	Máximo: 5+5+8+8+8=34
de A²B3	Mínimo: 34-(5-1) = 30
Cuando se multipliquen potencias enteras de números enteros se procederá del modo siguiente:
Para determinar el máximo número de cifras de su producto se suma todos los productos parciales de los exponentes por sus respectivas cantidades de cifras.
Para determinar la menor cantidad de cifras que acepta el producto, al máximo número de cifras se le sustraerá la suma de los exponentes de las potencias aumentándose la unidad.
Se dispone de 4 números enteros, los cuales se representan como A, B, C, D en el sistema decimal admitiendo 4,6,8 y 5 cifras. ¿Cuántas cifras tendrá E?
A  4 cifras	C  8	cifras
B  6 cifras	D  5 cifras
MULTIPLICACION EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACION
Procedimiento. Los términos son colocados en la forma siguiente, para efectuar la operación de acuerdo al orden que ocupan sus cifras.
3 2 1	 orden
2 4 3(7) x	multiplicando
3 6(7)	multiplicador
*	Para la cifra de orden 1 del multiplicador:
6 x 3 = 18 = 2 x 7 + 4  queda
*	Para la cifra de orden 2 del multiplicador:
Multiplicando	2 4 3(7) x
Multiplicador	3 6(7)
Productos	2 1 5 4(7)
Parciales	1 0 6 2(7)
Final	1 3 1 0 4(7)
Al multiplicar por 137 se observó que la suma de los productos parciales fue 3157. Calcule a + b + c
7 x  1º P.P.
3 x  2º P.P.
1 x  3º P.P.
7 + 3 + 1 = 3157
11 = 3157
	a = 2
Disminuyendo en 3 a los términos de la multiplicación, el producto disminuye en 231. Halle los factores si la diferencia de ellos es 36.
Sean M y N los términos de la multiplicación
DATO: 36 = M – N ....... (2)
Si Calcule la suma de los productos parciales.
= 1782312
= 2353344
Dando forma al numeral para aprovechar los datos.
= + = 10. Luego:
. = . efectuando : . =10 . + . al reemplazar los datos se tendrá que:
. =10(1782312)+ 2353344 Finalmente: . = 20176464 Suma de cifras: 2+0+1+7+6+4+6+4 = 30 Rpta.
Si se cumple que: . 99 = ...47253
Transformamos la multiplicación de .99 en una sustracción .99 = (100 -1)
.99 = - Luego: -
FORMAS CURIOSAS DE MULTIPLICAR
El método de multiplicación egipcia sobrevivió durante siglos esparciéndose en muchas civilizaciones. En las escuelas de la Antigua Grecia se lo enseñaba con el nombre de “Cálculo Egipcio”. En la Edad Media se enseñaban sus técnicas bajo el nombre de “DUPLATIO” para la duplicación y de “MEDIATIO” para la división en mitades. La multiplicación era considerada una operación muy difícil y hasta el siglo XVI sólo se enseñaba en las universidades.
  	1	12
     	2	24
     	     	4 	48
      
      	8 	96
He aquí un ejemplo tomado del papiro Rhind, de como un escriba egipcio hubiera multiplicado 12 x 12. Se empieza con 12. Después se duplica para que de 24, que a su vez es duplicado para dar 48 y otra vez duplicado para dar 96. Se dibujan tildes junto al 4 y al 8, para indicar que suman 12. Luego se suman sus cifras correspondientes, lo que nos da la respuesta 144.
El Método Egipcio de Multiplicación eliminaba la necesidad de memorizar las tablas, ya que se basaba fundamentalmente en la adición.
*	Los Romanos también utilizaron el método de duplicar y sumar. Ej. 342 x 25 = 8550
+	1368	4	1+8 + 16= 25
+	2736	8
+ 5472	16
MULTIPLICACIÓN COSACA O “A LA RUSA”
El conocimiento de la tabla de multiplicación no es muy extendida en la Estepa, se dice que los Mujic los más instruidos saben apenas más que una columna, la de los múltiplos de 2. Esto les basta sin embargo para efectuar el producto de dos números cualesquiera. Ellos emplean para esto un proceso muy curioso: ellos toman la mitad de uno de los factores con la unidad tomada por defecto y escriben al lado el doble del otro factor. Si esta mitad es un número impar, ellos marcan de un signo * el factor doblado. Continúan así, dividiendo por 2 los números de una columna, y doblando aquellos de la otra, la operación termina cuando se llega a 1 en la primera columna.
La suma de los números inscritos en la columna de los dobles, y que, son marcados del signo * es igual al producto buscado veamos tres ejemplos de este cálculo.
38 x 25	45 x 57 *
19	50 *	22 114
9	100 *	11	228 *
4	200	5	456 *
2	400	2	912
1	800 *	1	1824 *
38 x 25 = 950	45 x 27 = 2565
21	72 *
10	144 5	288 *
1	1152 *
Será suficiente escribir las operaciones para comprender el principio del método:
38 x 25 = 2 x 19 x 25 = 19 x 50 = (2 x 9 + 1) 50 = 9 x 100 + 50*
9 x 100 = (2 x 4 + 1) 100 = 4 x 200 + 100*
El famoso calculista Inaudi se sirve para la multiplicación de un método particular.
500 x 400	= 200000
500 x 68	= 34000
468 x 30	= 14040
468 x 2 = 936
TOTAL	= 248976
Para probar que el método seguido es exacto, bastará observar que:
532 x 468 = 500 x 400 + 500 x 68 + 30 x 468 + 2 x 468
Los chinos multiplicaban con varillas. Se cuentan los puntos de intersección en una misma diagonal empezando por los de abajo a la derecha. Después, se suman las unidades, las decenas, ......, empezando por la derecha.
Los árabes utilizaban una cuadrícula con diagonales Ejemplo: Multiplicar 23456 x 789
El multiplicando tiene 5 cifras y el multiplicador 3, formemos como en la figura un rectángulo conteniendo 5 x 3= 15 casilleros iguales, cada una de estas casillas siendo dividida en dos triángulos por una diagonal. Escribamos de izquierda a derecha cada cifra del multiplicando sobre cada una de las casillas de la línea horizontal superior y de abajo hacia arriba, cada una de las cifras del multiplicador en frente de cada una de las casillas de la línea vertical izquierda.
Multipliquemos ahora cada cifra del multiplicando por cada cifra del multiplicador y escribamos el resultado en la casilla colocada en la intersección de la hilera vertical y de la hilera horizontal relativas a las dos cifras consideradas y de tal modo que la cifra de las decenas del producto se halle en el triángulo inferior y la de las unidades en el triángulo superior.
Se observará que con este procedimiento es indiferente comenzar la multiplicación por la derecha o por la izquierda.
A continuación para tener el producto buscado, se suma a partir de la derecha las cifras comprendidas entre dos transversales consecutivas, cifras que representan unidades del mismo orden. Así se pone primeramente 4 . 5 más 5 más 8 dan 18, se pone 8 y se retiene 1 etc. Se halla así que el producto es 18506784.
DEFINICIÓN. Dado los números naturales D y d  0 se llama cociente de D y d. Se denota , si al número natural q, si existe tal que D = dq
Se llama “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares (D,d) de números naturales su cociente .
En otras palabras la división es una operación aritmética inversa a la multiplicación que tiene por objeto en dadas 2 cantidades llamadas dividendo y divisor, hallar una tercera cantidad llamada cociente que ponga en manifiesto las veces que el dividendo contiene al divisor.
PARÁMETROS Dividendo (D)
a)	División Exacta. Es cuando no existe presencia de resto
D d  D = dq
b)	División Inexacta. Es cuando existe presencia de resto y a su vez se sub clasifican en:
1)	Por defecto
3	 84 = 9.9 + 3
2)	Por exceso
D d - r´ q´ = q + 1
59 7 -4 8 + 1 x
85 4 22 x
1)	0 < r < d
2)	r + r´ = d
3)	q´ = q + 1
4)	rmin = 1
5)	rmax = d-1
1)	Ley de Uniformidad. Si se dividen miembro a miembro dos igualdades (con la segunda igualdad diferente de cero), el resultado es otra igualdad Si	a = b
c = d	a:c = b:d	2)	Ley del Inverso Multiplicativo.
Para todo número N diferente de cero, existe uno y sólo un elemento denominado inverso multiplicativo denotado por N-1 ó tal que:
3)	Ley Distributiva. El cociente de una suma o resta entre un número es igual a la suma o resta de los cocientes de cada uno de los términos entre el número dado
Si:	q = (a + b - c) : d
 q = A)	Ley de Monotonía
a)	Si : a < b	Si	a > b
c = d	c = d
a : c < b : d	a : c > b : d
b)	Si : a = b	Si	a = b
a : c > b : d	a : c < b : d
c > d	c < d
Si se dividen miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, el resultado no puede anticiparse, pudiendo ser una desigualdad o una igualdad.
Si : a < b
c < d	a : c ? b : d	?	a:c < b:d
I.	ALTERACIÓN DEL COCIENTE
1.	Si el dividendo de una división exacta se le multiplica (o divide) por un mismo valor entero el cociente queda multiplicado (o dividido) por el mismo valor entero
2.	Si al divisor de una división inexacta se le multiplica (o divide) por un valor entero, el cociente queda dividido (o multiplicado) por el mismo valor entero
3.	Si al dividendo y al divisor de una división exacta se les multiplica (o divide) por un mismo valor entero, el cociente no varía (INALTERABILIDAD DEL COCIENTE)
II.	ALTERACIÓN EN LA DIVISIÓN INEXACTA
a)	Por Adición de Unidades al Dividendo
Al sumarle un cierto valor al dividendo este mismo valor se suma al residuo. Si el nuevo residuo no es menor al divisor, se divide entre él, el cociente que se obtenga, será el número de unidades que aumente el cociente de la división inicial y el residuo que deja será el nuevo residuo de la división.
4735 21	4735 + 10 21
225	225 Cociente 10	1 0 + 10 no varia
División inicial	Residuo (20) < Divisor 4735+35 21	45 21
225	2 Cociente aumenta 10+35 = 45	3	en 2
Residuo > divisor	Nuevo Residuo 3
(45)	(21)
b)	Por Multiplicación de Unidades al Dividendo
b1.	Alterando el Divisor, si se multiplica al dividendo y al divisor por un mismo valor, el cociente no variará y el residuo queda multiplicado con el mismo valor.
n x D = n x d x q + n x R
Nuevo Nuevo Nuevo Dividendo Divisor	Residuo b2.	Alterando el cociente. Si se multiplica al dividendo y al cociente por un mismo valor, el residuo queda multiplicado por dicho valor.
Pero se señala las mismas observaciones que en el caso por adición.
n x D = d x n x q + n x R
Nuevo Nuevo Nuevo Dividendo Cociente	Residuo Donde:
n x R < d: la división queda como se indica.
n x R  d: Se dividen los valores señalados el cociente obtenido será lo que aumenta el cociente anterior y el residuo que deja será el residuo real.
43 7 43 x 3 7
6	6 x 3
1	1 x 3
División Residuo < divisor
Inicial	(3)	(7)
1 x 8 6 x 8	 8 7
Residuo > divisor	(8) (7)
•	El cociente 6 x 8 aumenta 1
•	El residuo real será 1
D = dq + 5 ...... (1)	d > 5
Pero	20 d	20 = dq´ + 2
2 q´	18 = dq´
nuevo residuo  d esta contenido en 18:d = 18,9,6 no más (d > 5)
3)	Hallar la suma de todos los números enteros que al ser divididos entre 25 originan un cociente que es el triple del residuo
Sean el esquema	D d = 25
R < 25	R q = 3R
Se conoce: D = d x q + R D = 25 (3R) + R = 76R
Pero el residuo es un valor no limitado. En una división inexacta o < R < 25
Como D = 76R, la suma de sus posibles valores será:
CANTIDAD DE CIFRAS DE UN COCIENTE
La cantidad de cifras del cociente de dos números , puede ser como mínimo igual a la diferencia entre las cantidades de cifras del dividendo y divisor y como máximo la diferencia aumentada en una unidad.
Q =	A	 a cifras
B	 b cifras
¿Cuántas cifras como mínimo y como máximo puede tener “q”?
CUANDO EL NUMERADOR Y DENOMINADOR TIENEN VARIOS FACTORES
Primero se calcula la cantidad de cifras como máximo y como mínimo, tanto del numerador como denominador, mediante la regla del producto. Luego para hallar el máximo del cociente se compara el máximo del numerador con el mínimo del denominador, análogamente para hallar el mínimo del cociente se compara, el mínimo del numerador con el máximo del denominador, ambos mediante la determinación de la cantidad de un cociente.
Ejm. A, B y C tienen 12, 9, y 5 cifras respectivamente. ¿Cuántas cifras tiene E?
C4 Máx	:	4 (5) = 20
Min :	20 –(4-1) = 17
E = Máx :	51-17 + 1 = 35
Mín	: 47 – 20 = 27
DIVISIBILIDAD I. RESUMEN TEÓRICO 1.1	Número Divisibles Si A representa un número entero y B un número natural diferente de cero:
 A: B es exacta con cociente entero. a B se denominará Divisor de A
Ejemplo: 91: 13 = 7	 91 es divisible por 13 => 91 13
1.2	Múltiplos de un Número Natural	Múltiplos de n = n.K (K  Z)
SIMBOLOGÍA Notación de Leibnitz
1.3	Principios de Divisibilidad ¡Si A y B son divisibles por n!
(1)	“A + B es divisible por n”
Conclusión: + = (2)	“A – B es divisible por n”
- = (3)	“A.K es divisible por n”
.K = (n  ZZ ) (4)	“Am es divisible por n”
(5)	“Todo número es divisible por los factores naturales que contiene”
(6)	“Si A. B = , además: A y n tienen como único factor común la unidad
Entonces: B = * (Principio de Arquímedes)
Ejemplo: 7.B =  B = 2A + 4 B = 	A + 2B = 1.4	Expresar un Número como Múltiplo de otro Número.
400 	400 = +9
400 	400 = -14
1.5	Aplicaciones del Binomio de Newton
	A = + r
( + r)m = +rm	,	m  Z+
( - r´)m= +(r´)m,	m = # par
( - r´)m = -(r´)m ,	m = # impar
módulo = m potencias =	a0; a1; a2;.....
restos	=	r0; r1; r2;.......
Luego:	a0 = + r0
. LEY DE FORMACION DE LOS RESTOS POTENCIALES
(1)	“Cuando m y a contienen los mismos factores primos”
(2)	“Cuando todos los factores primos m son diferentes a los factores primos de a”
m = 28 = 22.7	a = 15 = 3.5
restos = 1. 15 , 1, 15, 1;......	Grupo Periódico: a su cantidad de elementos se llama GAUSSIANO
(3)	“Cuando m y a contienen algunos factores primos iguales y otros diferentes”
m = 40 = 23.5	a = 12 = 22.3 módulo = 40
resto= 1, 12, 24; 8; 16; 32; 24; 8; Grupo no periódico Grupo periódico
a)	¿Cuántos números de 3 cifras son 7?
100  K < 1000 7	7
 valores de K = 142 – 14 1
b)	En el problema anterior cuantos terminan en cifra 2
N = = 7K = K seleccionado = 16, 26, 36,...136
 valores de k seleccionado =	136–6 = 130 10 10
c)	¿Cuántos números de 3 cifras son y de pero no de ?
Utilizamos diagrama de Veen 3 cifras = 900 números
y de pero no =  -  y de pero no = 150- 30 = 120 
1.	Cuántos números de 3 cifras al ser divididos entre 4 y entre 7 dan como residuo 2 en ambos casos?
a) 31	b) 32	c) 30	d) 33	e) 34
N = N =mcm ( )+2	N = + 2
	= 28K + 2
Cantidad de valores Por lo tanto existen 32 
2.	Calcular la suma de todos los múltiplos de 7 comprendidos entre el 90 y el 318	a) 6699	b) 6700	c) 6723	d) 6721	e) 6800
3.	En un barco habían 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes, 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. Determinar cuantas personas murieron en dicho accidente.
a) 60	b) 65	c) 70	d) 75	e) 80
S + M = 180	Obs. S = sobreviviente
Fuman = Casados = S = Ingenieros = Luego S = Pero S = 105, 210...
4.	A una reunión de 2 países asistieron 400 personas. De los representantes del primer país, se sabe que los 2/5 son economistas, los 3/7 son agrónomos y los 3/8 son biólogos. ¿Cuántos representan al segundo país?
a) 280	b) 260	c) 120
d) 240	e) 140
5.	En una academia hay 510 alumnos. De los hombres, los ¾ eran menores de 17 años; los 2/5 estudiaron el ciclo anterior y los 4/9 quieren ser ingenieros. Si las mujeres están comprendidas entre 100 y 200. Hallar el número de hombres menores de 17 años.
a) 280	b) 200	c) 270
d) 150	e) 240
6.	En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas; la cantidad de niños asistentes era igual a la sétima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas están casadas, se desea saber cuántas damas no bailaban en dicho momento.
a) 55	b) 65	c) 45	d) 75	e) 80
7.	Si: a + b + c = 6.
Entonces: Siempre es múltiplo de:
a) 11	b) 74	c) 7	d) 13	e) 27
1.	Del 1 al 5000,cuántos números son:
a)646 b)672 c)696	d) 698 e) 692
2.	¿Cuántos números de cuatro cifras son divisibles entre 11?
a)800 b)809 c)810	d)819 e) 820
3.	Hallar cuántos números de tres cifras que terminan en 4 resultan ser múltiplos de 7
a) 72	b) 90	c) 29
d) 13	e) 10
4.	En un barco donde iban 100 personas ocurre un naufragio. De los sobrevivientes la onceava parte son niños y la quinta parte de los muertos eran casados. ¿Cuántos murieron?
5.	En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte del número de mujeres son rubias y la onceava parte del número de hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes?
a) 22	b) 28	c) 2
d) 20	e) 4
6.	En una división el divisor es el cociente y el resto . Entonces el dividendo es:
a) b) c) d) e) 7.	¿Cuántos números de dos cifras al ser divididos entre 21 el resto que se obtiene es 3?
8.	El número tiene como divisores a:
a) 11	b) 13	c) 7
d) 77	e) todas
9.	Calcule cuántos números positivos de 4 cifras hay tal que al expresado a base 5,6 y terminan en cifras 2, 3 y 4 respectivamente.
a) 38	b) 40	c) 41
d) 43	e) 68
10.	Si: Además Calcule cuántos valores tiene A.
a) 2	b) 1	c) 3
11.	Con S/.500 se compraron 100 artículos entre A, B y C, si los precios de cada uno son S/.50, S/.10 y S/.1 respectivamente. Calcule cuánto se compró de cada artículo.
a) 1; 39 y 60	b) 2; 40 y 59	c) 8, 36 y 56	d)5; 30 y 65	e) 8;34 y 58
12.	Halle el menor número de 4 cifras tal que al expresarlo en las bases 2; 5 y 9 sus cifras terminales respectivas fueron: 101;10, y 5 a) 1850	b) 1805	c) 1580	d) 1085	e) 1508
13.	Si la cuarta parte de los alumnos de un salón aprobaron aritmética y la novena parte aprobaron álgebra. ¿Cuántos alumnos hay en dicho salón si es menor que 50? a) 457	b) 458	c) 459
d) 460	e) 461
14.	Al dividir dos números entre 15 los residuos son 13 y 11. Hallar el residuo del producto de éstos números entre 15.
a) 16	b) 32	c) 42
d) 48	e) 8
15.	¿Cuántos números del uno al mil son múltiplos de 5 pero no de 25?
a) 200	b) 18	c) 150
16.	Del 1 al 1000 ¿Cuántos son 2 ó 3? Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número.
a) 15	b) 17	c) 21
d) 19	e) 23
17.	¿Cuántos números positivos no mayores que 5 000 son múltiplos de 5 y 6 a la vez pero no de 7?
a) 133	b) 143	c) 137
d) 166	e) 123
18.	Calcular cuántos números de 4 cifras son divisibles por 9 y por 15 pero no por 25.
a) 160	b) 170	c) 180
d) 150	e) 130
DIVISIBILIDAD II CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Llamados Criterios de Divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.
Un numeral es divisible entre 3 (o entre 9) si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 (o entre 9).
Ejercicio: Calcular el valor de “x” sabiendo que es divisible entre 9.
Resolución: Entonces:
6 + 7 + x + 4 + 1 + 4 = 22 + x =  x = 5
Ejercicio: ¿Cuál es el valor que debe tomar “y” para que el numeral sea divisible entre 11?
1- 4 + y – 1 + 7 = 3 + y =  y = 8
•	Un numeral es divisible entre 2; (21) sí y sólo sí su última cifra es par.
•	Un numeral es divisible entre 4; (22) sí y sólo sí el numeral formado por sus 2 últimas cifras es divisible entre 4.
•	Un numeral es divisible entre 8; (23) sí y sólo sí el numeral formado por sus 3 últimas cifras es divisible entre 8.
Ejercicio: ¿Qué valor debe asignársele a “z” para que el numeral sea divisible entre 8?
Resolución:	Como 8 = 23	:	 z = 2
•	Un numeral es divisible entre 5 sí y sólo sí su última cifra es 0 ó 5.
•	Un numeral es divisible entre 25 sí y sólo sí el numeral formado por sus 2 últimas cifras es divisible entre 25.
•	Un numeral es divisible entre 125 sí y sólo sí el numeral formado por sus 3 últimas cifras es divisible entre 125.
Ejercicio: ¿Cuál es el valor de la suma de los valores que deben reemplazar a “m” y “n” en el numeral para que sea divisible entre 125? Resolución:
Luego: m = 7	^	n = 5
Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ; 1 ; 3 ; 2 ; -1 ; -3 ; -2 ; 1 ; 3 ; ... y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 7.
Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “a” si el numeral es divisible entre 7?
- + Entonces:
- 2 – 9 – a + 6 + 21 + 2 = 18 – a =  a = 4
Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ; 1 ; -3 ; -4 ; -1 ; -3 ; 4 ; 1 ; -3 ; -4 ; ... y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 13.
Ejercicio: ¿Qué valor debe tomar “b” en el numeral si es divisible entre 13?
1 + 8 + 24 - b - 12 – 0 + 6 = 27 - b =  b = 1
•	Un numeral es divisible entre 33 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ; 1 ; 10 ; 1 ; 10 ; 1 ; ... y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 33.
•	Un numeral es divisible entre 99 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ;1 ; 10 ; 1 ; 10 ; 1 ; ... y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 99.
Ejercicio: Calcular (d + e) si el numeral es divisible entre 99.
10(5) + 1(6) + 10d + 1(0) + 10(1) + e	= 66 + = = -66
 d + e = 6
Criterio General de Divisibilidad Sea: N = z ........ edcbax Para que se cumpla que: N = + r
ar1 + br2 + cr3 + ...... = + r
Donde: r1;r2;r3 ....... son los restos potenciales de x, respecto al módulo m. (se considera el resto por defecto o por exceso cuyo valor absoluto sea menor).
“Deducir el criterio de divisibilidad por 7”
Sea N = módulo = 7
potencia = 100; 101; 102; 103; 104; 105; 106;.....
1.a+3.b+2.c-1.d-3.e-2f+....= Es decir:
“Para investigar la divisibilidad por 7, de derecha a izquierda se distribuyen los coeficientes:
Algunos Criterios de divisibilidad	Divisibilidad por 3 y 9
Sea: N = N= +rz + ....+ c + b + a= + r
N= +rz + ....+ c + b + a= + r
Divisibilidad por 7: (ya analizado)
 (a+c+e+...)-(b+d+f+...)= + r
N =  = N = N =  = N =  = N =  = Divisibilidad por 5; 25; 125; 625
N =  = N = N =  = N =  = N=  = ¡IMPORTANTÍSIMO!
¿COMO HALLAR RESTOS POTENCIALES?
“El residuo anterior se multiplica por la base y se divide entre el módulo”
R=1;7; ; ; ; ;
Potencia = 10; 101; 102; 103; 104; 105; 106;....
“Para investigar la divisibilidad por 13, de derecha a izquierda se distribuyen los coeficientes:
DE MANERA SIMILAR SE PUEDEN DEDUCIR CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD PARA OTROS NUMEROS
“Si N es divisible por A y B, lo será por su producto, siempre que A y B.
Tenga como UNICO DIVISOR COMUN la unidad”
 N = N
 N = etc.
“Si N es divisible por A; por B y por C, lo será por su producto, siempre que todas las combinaciones binarias posibles tengan como UNICO DIVISOR COMUN la unidad” por Ejemplo.
N	 N = Ejercicio:
Decir si la proposición es verdadera o falsa:
(1) 12113001054 = (2) 9446660023  (3) 1526701234 = +2
N = 1 2 1 1 3 0 0 1 0 5 4
21 =  N = (V)
N = 9 4 4 6 6 6 0 0 2 3
 N = - 2  (V)
N = 1 5 2 6 7 0 1 2 3 4
1 4 3 1 4 3 1 4 3 1
 N = -7  + 2	(F)
ECUACIONES DIOFÁNTICAS O DIOFANTINAS
Uno de los objetivos principales de la teoría de la divisibilidad, es el de resolver las ecuaciones diofánticas lineales, llamadas así en honor a DIOFANTO, matemático alejandrino (siglo III a.C.)
Una ecuación diofantina se identifica cuando todos sus términos (constantes y variable) son números enteros. Pueden ser de dos, tres o más incógnitas e incluso mayores que el primer grado; por ejemplo la ecuación diofantina:
Ax² + By² = C² (cuando A = B = 1) es llamada también ecuación pitagórica (Pitágoras estudió este tipo de ecuaciones paralelamente desde el punto de vista geométrico)
Examinemos particularmente la ecuación diofántica en dos variables:
La condición necesaria y suficiente para que tenga solución (I), es que el MCD de A y B sea un divisor de C.
Sea MCD (A y B) = d, entonces: Observación:
p y q son PESI (Primos entre sí) En particular sea xo e yo una solución, entonces:
Restando miembro a miembro (I) y (II), se obtiene:
A(x-xo)= B(yo-y); d.P(x-xo)=d.q (yo- y), entonces
Luego: p (xo - x) = (Por Arq. Euc.)
xo – x = . Entonces x – xo = q.t1 .. (IV)
q (yo - y) = , entonces yo – y = , yo – y = p . t2
P . q . t1 = q . p . t2, entonces t1 = t2 = t (entero cualquiera)
En (IV) x – xo = q . t	yo – y = p . t
Pero:	q = x = xo + Solución general
y = yo - En particular si A y B son PEPSI (d=1)
Resolver la ecuación 34x + 38y = 250 .... (I)
1.	Simplificando al máximo la ecuación, dividiendo miembro a miembro entre el MCD (34 y 38)=2
2.	Convenientemente expresemos la ecuación en función del múltiplo del menor coeficiente. De (II):	+ ( + 2) y + 6
 + + 2y = + 6
2(y-3) = , entonces y – 3 =  y = + 3
En particular si =0, entonces yo = 3
Basta reemplazar “t” por valores enteros, para determinar todas las soluciones posibles, así:
t	......	-2	-1	0	1	......
x	......	-34	-15	4	23	......
y	......	37	20	3	-14	......
EJERCICIOS 1.	¿Cuántos Valores puede tener “n” para que: sea divisible entre 2?
2.	Para que: , la suma de los valores de “a” es:
a) 7	b) 10	c) 12
3.	Si al ser dividido entre 9 el resto obtenido es 4. Hallar “a”
4.	Calcular el resto de dividir:
5.	Si se multiplica por 11 se obtiene . Hallar. a + b + c
6.	Hallar: a.b
Si: a) 4	b) 6	c) 8
d) 12	e) 20
7.	Hallar el valor de 10.a si el número de la forma: al ser dividido entre 7 de cómo resto por exceso 4.
a) 40	b) 30	c) 50
8.	Determinar el menor número de la forma. que sea divisible por 36. Dar como respuesta:
a) 7	b) 18	c) 2
d) 1	e) 6
9.	Si: Hallar la suma de todos los valores posibles de “b”
10.	Al dividir entre 36 el residuo es 34. Calcular: a + b
11.	Determinar el mayor numeral de la forma que es múltiplo de 35 e indicar el valor de a.b
a) 10	b) 35	c) 45
d) 40	e) 30
12.	Calcular el residuo de dividir entre 7 sabiendo que a) 2	b) 6	c) 1
13.	Si. Calcular “x”
a) 3	b) 2	c) 3
d) 1	e) 5
14.	Si: ¿Qué residuo se obtendrá al dividir entre 13?
15.	Sabiendo que:
16.	Hallar el mayor número de 3 cifras que sea igual a 27 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la cifra de orden 1
17.	Hallar el residuo que se obtiene al dividir: entre 11
a) 0	b) 1	c) 3
18.	Sabiendo que :
¿Cuál es el residuo de dividir entre 9?
El estudio de los números primos fue abordado por matemáticas desde hace mucho tiempo. Fue el matemático griego EUCLIDES el primero en descubrir que los números primos constituyen una serie infinita (Aprox. 350 A a.J.c).
En el campo de los enteros Z : = 0, + 1, + 2, + 3, ...
Se descubre inmediatamente la existencia de números p cuyos únicos divisores son los números 1, -1, p,-p números con esta propiedades y que no sean 1 y –1 se denominan primos. Podemos decir entonces que un número entero es primo si y sólo si posee exactamente 4 divisores.
(Aspectos de la teoría elemental de Números Enzo. R. Gentile (Universidad de Buenos Aires) Por muchos años ilustres matemáticos trataron de encontrar una formula para determinar a los números primos entre ellos:
Euler (1772) x2–x + 41 = primo, x = 0,1,2,..., 40 Legendre (1789) x2 +x+41 = primo, x = 0,1,2,..., 39
También Pierre Fermat conjeturo que los números Fn: = +1 eran primos para todos los n  N
Esta conjetura resultó errónea pues para n = 5, Euler probo que F5 es divisibles por 641. Se sabe que Fn es primo para 0  n  4 y compuestos para 5  n  19 y para muchos valores de n. Se ignora hasta el presente si existen infinitos primos de la forma Fn (primos de FERMAT). Como un dato actual ANDREW. J. Wiles Matemático Británico de la Universidad de PRINCETON, demostró el celebérrimo Teorema de Fermat en 1994, tras un decenio de concentrados esfuerzos en el cual Fermat afirmaba que no existían soluciones enteras no triviales para la ecuación an + bn = cn, donde n es un entero cualquiera mayor que 2. Wiles para completar su cálculo de 100 paginas necesito recurrir a muchas modernas ideas de la matemática y desarrollarlas más todavía.
En particular tuvo que demostrar la conjetura de Shimura – Taniyama para un subconjunto de curvas elípticas, objetos descritos por ecuaciones cúbicas tales como y2 = x3 + ax2 + bx + c
DEFINICIONES BÁSICAS 1.	Número Primo Absolutos: Definido en Z+ un número será primo absoluto si posee dos divisores distintos una de ellos la unidad y el otro el mismo número. Ejemplo 3,5,7,2 etc.
2.	Divisor:
Es aquel número entero y positivo que divide exactamente a otro número entero y positivo.
8 	1, 2, 4, 8
Divisores 16 	1, 2, 4, 8, 16
3.	Número Compuesto:
Es aquel número ZZ + que tiene más de dos divisores. Ejemplo 6: 1, 2, 3, 6
Determinar si los siguientes números son primos absolutos (P) o compuestos (c) 5 ( )	12 ( ) 17 ( )
9 ( )	13 ( ) 29 ( )
11 ( ) 23 ( ) 31 ( )
4.	Primos Relativos: Llamados también CO-PRIMOS o PRIMOS ENTRE SI son aquellos que al compararse poseen como único divisor a la unidad.
Ejemplo 2 y 13 por primos entre si
2 : , 2
13 : , 13
único divisor común Divisores
9 : , 3 9 20 : , 2, 4, 5, 10, 20
único divisor común En Z+ 5.	Números Simples:
Son aquellos números que tienen a lo más 2 divisores
6.	La Unidad:
Es el único número entero positivo que posee un solo divisor, él mismo.
i)	El conjunto de los números primos es infinito, y no existe formula alguna para determinar todos los números primos.
ii)	El 2 es el único número primo par.
iii)	Los únicos números primos que son números consecutivos son el 2 y 3.
iv)	Si “p” es un número primo, además p > 2 entonces p = +1 ó p = - 1 Ejemplo:	37 = + 1
19 = - 1
v)	Si “p” es un número primo, además p > 3, entonces: p = + 1 ó - 1
Ejemplo: 41= - 1 37 = + 1
29 = - 1
¿Cómo se determina si un número es primo o no?
Se divide al número entre cada uno de los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada aproximada. Si en ningún caso la división es exacta entonces el número es primo en caso contrario es compuesto (Criterio de la raíz cuadrada) Ejemplo:
Paso 1	Paso 2 # primos  14 2, 3, 5, 7, 11, 13
223	Como en ningún caso las divisiones son exactas, entonces 223 es un número primo.
Son aquellos números PESi, que al formar grupos de 2 con dichos números resultan también PESi. Ejemplo: 8,21 y 25 son PESi 2 a 2
Porque: 8 y 21 son PESi
•	Si un grupo de números son PESi. 2 a 2 entonces son PESi lo reciproco no siempre se cumple.
•	Dos números consecutivos siempre son PESi.
Ejemplo: 24 y 25 son PESi CRIBA DE ERATOSTENES
Eratostenes de cirene, nació en 276 A.C. en cirene (ahora Shahhat, Libia) y falleció en 197 A.C. en Alejandría, Egipto. Es recordado por su aporte en la teoría de los números primos. Y dio el método que nos da a conocer los primeros números primos absolutos de la siguiente manera: Se colocan los números naturales consecutivos a excepción de la unidad y se procede a eliminar los múltiplos de 2 excepto el 2, todos los múltiplos de 3 excepto el 3 y así sucesivamente hasta eliminar los múltiplos de la raíz cuadrada aproximada del número excepto esta, luego los números que quedan serán los primeros primos absolutos. Se tiene:
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA (Descomposición Canonica)
“Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes elevados para uno de ellos a exponente entero positivos”.
Esta representación es única y se le denomina como la descomposición Canónica de dicho número Ejemplo: Descomponer canónicamente.
45 3 15 3	45 = 32 x 5
1	Descomposición Canónica de un factorial
Ejemplo 20! = 2 x 3 x 5 x 7d x 11e x 13f x 17g 19h
 = 18	 = 8  = 18
 = 8
 = 4
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO 1.	Cantidad de Divisores de un Número N.	CD (N)
CDP =	Cantidad de divisores primos
También si la D. Canoníca del número N = Aa. Bb Cc  CD(N) = (a +1) (b +1) (c+1) ....
Hallar la CD200 200 2
50 2	200 = 23 x 52
2.	Suma de Divisores de un Número N SDN = A+1 –1. B+1 –1 . C+1 –1. A-1 B-1 C-1 SD100 = 22+1 –1 52+1–1
2-1 5 – 1 SD100 = 7 x 124
=	7x31 = 217
20 50 21 51
3.	Suma de Inversas de los Divisores SIDN
N SID100 = SID100 = 217 = 2,17
4.	Producto de los Divisores de un número N	PDN
PDN = = N CDN /2
5.	Indicador de Euler o Función de Euler
 (N)	N = a.b. c...
 (N) = N 1 -1 1 -1 1- 1 ... a b c
Ejemplo: Determinar cuantos números menores que 10 son primos con el Números menores que 10
X X X X Son primos con 10  1, 3, 7, 9
 (10) = (10) 1 - 1 1 – 1 = 4
1.	Si N = 15 . 30n tiene 294 divisores. Hallar “n”.
Haciendo la descomposición canónica de 15.30n se tiene:
Igualando factores se puede observar que “n” tomará el valor de 5.
2.	Si:4k+2 – 4k tiene 92 divisores, se puede calcular el valor de “k-1”.
a) 3	b) 10	c) 11	d) 12	e) 13
Descomponemos canónicamente al número
4k+2- 4k = 4k (4² - 1) = 4k . 15 = 4k.5.3 = (2²)k . 3 . 5 = 22k . 3.5
Reemplazando: 4(2k + 1) = 92
3.	¿Cuántos números de 3 cifras son primos relativos con 6?
a) 200	b) 150	c) 300
d) 400	e) 600
Calculando los números primos relativos con 6 por conjuntos; previamente calculamos los números de 3 cifras . Los : 100, 102, 104,......,998
 términos = Los : 102,105,108,....,999
 términos = Los se calculan de igual forma; pero más rápidamente: Al final se tiene:
1.	El número N = 24 . 15n . 155 tiene 8 divisores que son P.E. si con 12n. Cuántos divisores de N tiene un sólo factor primo.
a) 10 b) 12	c) 13 d) 14 e) 16
2.	Hallar n si M = 20n x 30n tiene 1725 divisores compuestos. a) 5 b) 6	c) 7 d) 8 e) 9	3.	Si A = 9 x 10n tiene 27 divisores. Hallar cuantas cifras tiene A3. a) 9 b) 7	c) 10 d) 12 e) 13
4.	Cuántos divisores tiene el número N2, siendo N = 72.
a) 25 b) 24	c) 28 d) 35 e) 36
5.	Cuántos divisores compuestos tiene N3, siendo N = 96
a) 54 b) 57 c) 61 d) 60 e) 64
6.	Calcular el valor del menor número que tenga 14 divisores. Indicar como respuesta la suma de sus cifras.
a) 12	b) 9 c) 6 d) 15 e) 18
7.	Cuántos divisores tiene E = 4n – 4 n-2 si 65n tiene divisores.
a) 48	b) 36 c) 72 d) 52 e) 64
8.	Hallar a + b si:
N = 3a x 2b tiene 28 divisores cuya suma de cuatro cifras es 9 y 30 divisores múltiplos de 4. a) 7	b) 8 c) 11 d) 14 e) 18
9.	Hallar el número A = 2a x 7b sabiendo si se divide entre 4, su número de divisores se reduce a su tercera parte y si se multiplica por 14 se duplica su número de divisores.
a) 14	b) 28 c) 98 d) 196 e) 1372
10.	El número A = 2 x 3ª x 7b tiene 40 divisores cuya suma de cifras es divisible por 9 y 30 divisores cuya cifra de menor orden es par. Hallar a + b.
a) 5	b) 7 c) 8 d) 9 e) 12
11.	Si el número E = 2 x 3 x 6n x 5 tiene 14 divisores compuestos determinar cuántos divisores de E son cuadrados perfectos. a) 1	b) 2 c) 3
12.	Cuántos ceros debe poseer N N = 2000 . . . . . . . 00
Para tener 870 divisores divisible entre 4
a) 29	b) 28 c) 30 d) 31 e) 248
13.	Al multiplicar N = 21 x 11a por 33 se duplica el número de divisores. Hallar “a”
a) 1	b) 2 c) 3 d) 4 e)5 EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES Se conoce que las operaciones de adición, sustracción y multiplicación están bien definidas en el conjunto de los números enteros Z, es decir que la suma, diferencia y producto de dos números enteros, es otro entero (Ley de clausura o cerradura).
Ejemplo: Sean los números enteros 13 y 7, Luego: *	13 + 7 = 20	........(20  ZZ ) *	13 - 7 = 6 ........( 6  ZZ )
*	13 . 7 = 91	........(91  ZZ )
Sin embargo la división es una operación que está parcialmente definida, pues el cociente no siempre es entero, por ejemplo:
*	= 4	(4  ZZ )
*	= c	(c  ZZ )
como en la vida diaria se van a dar estos casos, es necesario ampliar el conjunto de los números enteros.
Empezaremos tomando a los números enteros en pares ordenados, denotándolo a través de la división, como por ejemplo:
*	(5, 3) = * (-8, 2) = *	(0, 9) = * (7, 0) = Indeterminado Luego hay que tener cuidado que la segunda componente del par ordenado no sea cero.
Formemos el conjunto ZZ x ZZ *, donde: ZZ = (....-3,-2,-1,0,1,2,3,...)
ZZ * = (....-3,-2,-1,1,2,3, ....)
Gráficamente: Z x ZZ * = (a,b)/a  ZZ  b  ZZ *
*	(a,b) representa Observando algunos pares y denotando las componentes mediante la división: ...(2,4)	(4,8)	(6,12)....
La observación nos permite indicar que estos concientes son “equivalentes”, pero si nos preguntarán: ¿los cocientes y son “equivalentes”?
Necesitaríamos un fundamento teórico para responder dicha pregunta.
En el conjunto ZZ x ZZ *, definimos la siguiente relación  :
Luego = cuando aºd = bc
*  , porque 8 (10) = 16 (5)
* porque (-9)(-4)= 6(6)
Se puede probar que la relación  es una relación de equivalencia en el conjunto ZZ x ZZ *, por verificar las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.
Al ser  una relación de equivalencia, determina en Z x Z una clasificación en clases de equivalencia y en cada clase están todos los pares equivalentes entres sí. Por ejemplo: .... (-2,4)(-1,-2)(1,2)(2,4)(3,6)....
...  Luego todos ellos conforman una clase de equivalencia:
Asimismo cualquiera de ellos puede ser tomado como un representante de la clase, por ejemplo: y la notación sería en ese caso así:
En una clase de equivalencia de los infinitos representantes que tiene, hay uno en particular, aquel cuyas componentes son primos entre sí, el cual es denominado representante canónico.
Por ejemplo, en la siguiente clase de equivalencia:
es el representante del canónico de la clase, porque: 3 y 4 son PESI.
Cada una de las clases de equivalencias determinadas en ZZ x ZZ * es denominado número racional.
Introducción Los babilónicos ya habían conocido muy bien la tabla de los cuadrados de los números, tal como lo prueba la tabla de los cuadrados hallados por los arqueólogos a orillas del Eufrotes, en un lugar donde existió un templo.
1.	La semisuma de los dos factores la elevan al cuadrado.
2.	La semidiferencia de dichos factores la elevaban al cuadrado.
3.	La diferencia de estos dos cuadrados obtenidos era el resultado final.
1.	La semisuma de 26 y 18 es 22, y el cuadrado de 22 es 484
2.	La semidiferencia de 26 y 18 es 4, y el cuadrado de 4 es 16.
3.	La diferencia de 484 y 16 es 468, que viene hacer el producto de 26 por 18.
Tenemos que: Kn = an x bn x cn
8² es una potencia M = 8 x 8 = 64	perfecta de grado 2
43 es una potencia perfecta de grado 3
	64 es una potencia de grado 6 (26 = 64)
1.	Potencia Perfecta de grado 2 o cuadrado perfecto (K²)
Sea	a . b . c	D.C.
tenemos	k² = a2.b2.c2
Ejm. P =	2² x 3² x 116 = k²
Q =	25 x 31 x 63 = 25 x 31 x 23 x 33 Q = 28 . 34= k²
2.	Potencia perfecta de grado 3 o cubo perfecto (k3)
tenemos	k3 = a3.b3.c3
Ejm.	R = 312 x 59 x 116 = k3
S = 37 x 5 x 15² = 37 x 5 x 32 x 52 S = 39 x 53 = k3
24 x 53 x 34 x N = K6 Se deduce N = 22 x 53 x 35 = 4500
1.	Según la última cifra K	..0	...1	..2	..3	..4	..5	..6	..7	..8	..9
K2	..0	...1	..4	..9	..6	..5	..6	..9	..4	..1
K3	..0	...1	..8	..7	..4	..5	..6	..3	..2	..9
•	Si un número termina en 2,3,7 u 8 no es cuadrado perfecto.
•	Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.
*	*	*	b.	Por su terminación en ceros
*	ab...pq 000...0 = k²; n = N²	n ceros
Ejemplo: ¿Cuáles son cuadrados perfectos?
•	1690000 = 13² x 104 = k²
•	22500 = 15² x 10² = k²
•	1950000 = 195 x 104  k²
c.	Por su terminación en cifra 5
•	25² = 625
•	85² = 7225
•	145² = 21025
d = 2 n(n+1)
•	153 = 3375
•	253 = 15625
•	653 = 274625
d.	Por criterios de Divisibilidad
*	Todo número: n  Z+
*	También se cumple
N3   - 1, , + 1
Ejemplos: Cuales no son cubos perfectos.
*	(NO)  82  , -1, +1
*	42875 = 353
*	373248 = 723
Ejm:	Observación:
1.	Raíz Cuadrada:
Se clasifica en: a)	Exacta: Ejm: por que: 225 = 152
b)	Inexacta: (r  0)
Por defecto Por exceso  230 = 15² + 5	 230 = 16² -26
 N = K² + rd	N = (k+1)²-re
Observaciones: 1.	rmin = 1
2.	rmax = 2k
k² + rd = (k+1)²-re	rd+re=2k+1
2.	Raíz Cúbica: a)	Exacta: Ejm: Luego:
Por defecto Por exceso  83 +100 = 612	612 = 93 – 117
 N = K3 + rd	N = (k+1)3-re
1)	rmin = 1
2)	rmax = 3k(k+1) = 3)	k3 + rd = (k+1)3 – re  rd + re = 3k (k+1) + 1
1.	RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO CON ERROR MENOR QUE m/n
2.	RAÍZ CÚBICA DE UN NÚMERO CON ERROR MENOR QUE m/n
1.	Extraer la raíz cúbica de en menos de Resolución:
La raíz cúbica exacta de Cumple: Despejando:
n3  n3 < 39,9 < (n + 1)3
La raíz buscada será: 3 x REGLA PARA EXTRAER LA RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO
*	Para hallar la raíz cuadrada entera de un número mayor que 100, se divide el número en períodos de 2 cifras empezando por la derecha.
*	Se halla la raíz cuadrada entera del primer período que tendrá una o dos cifras y ella será la primera cifra de la raíz. *	Se resta mentalmente su cuadrado del primer período a la derecha de la diferencia se baja el período siguiente, del número así obtenido se separa su última cifra de la raíz.
*	El cociente entero obtenido se escribe a la derecha del número que sirvió de divisor y el número obtenido se multiplica por el referido cociente entero mentalmente y se resta del primer resto seguido del segundo período.
*	Si la resta puede efectuarse, la cifra de dicho cociente es buena y será la segunda cifra de la raíz y la resta no puede efectuarse, se rebaja la cifra en una unidad y se somete a análogas comprobaciones hasta obtener la cifra verdadera.
*	A la derecha del resto se baja el período siguiente y así se contínua hasta bajar el último período y encontrar la última cifra de la raíz.
6²  3 6	2 x 6 = 12
125x5 6 2 5	2 x 65 = 130
6 8 4	1300 x 0
6 5 0 2 5	13005 x 5
8-	- - -
9² 8 1 	182 x 2
3 6 4	184 4 x 4
*	Para hallar la raíz cúbica entera de un número de más de 3 cifras se divide en períodos de tres cifras empezando por la derecha.
*	Se halla por la tabla de los cubos de los 9 primeros números, la raíz cúbica entera del primer período y la cifra que resulta es la primera cifra de la raíz, se eleva ésta al cubo, se resta del primer período, a la derecha de la diferencia se escribe el segundo período, se separan las dos últimas cifras de la derecha y el número que queda a la izquierda se divide por el triple del cuadrado de la primera cifra de la raíz.
*	Se tantea por la regla dada dicho cociente entero, si tiene una cifra, o la cifra 9 si el cociente tuviese más de una cifra y se va rebajando de unidad en unidad, hasta obtener la segunda cifra de la raíz; a la derecha del resto obtenido se escribe el período siguiente, del número resultante, se separan las dos últimas cifras de su derecha y se divide el número que queda a la izquierda por el triple del cuadrado del número formado por las dos cifras ya halladas de la raíz.
*	Este triplo del cuadrado se forma sumando tres números que son:
*	El primero: el producto de la última cifra hallada de la raíz por el número que resulta de escribir a la derecha del triplo del número que forman todas las cifras antes calculadas. La última cifra hallada.
*	El segundo, es el resultado de sumar el primero con el triplo del cuadrado del número que forman las cifras halladas de la raíz menos la última.
*	El tercero. Es el cuadrado de la última cifra de la raíz.
*	El cociente entero que este triplo del cuadrado será igual a mayor que la tercera cifra de la raíz, se tantea este cociente entero por la regla para comprobar la cifra hasta obtener la tercera cifra de la raíz, a la derecha del resto se escribe el período siguiente y así sucesivamente se continúa hasta hallar la última cifra de la raíz. Sabemos:
13	 1 	3x1²x100x9= 2700+
6 5 2 9	3x1x3x10x9²= 2430
5 8 5 9	93 = 6 7 0 5 3 7
63 = PROBLEMAS RESUELTOS
1.	Si = k3
Reemplazando :	= 113.t3
 b – a = 2	Rpta. b
2.	¿Cuántos números cuadrados perfectos de 3 cifras en base 6 existen?
a) 6	b) 7	c) 8	d) 9	e) 10
Del problema	= k²
 Habrá 9 números Rpta. D
3.	Si Hallar a) 88	b) 81	c) 82	d) 94	e) 96
Resolución Del problema:	- 1 = k²
= k² + 1
Haciendo la descomposición polinómica por bloques 101 ² = k² + 1
101( -1) = (k + 10) (k - 10)
Se diferencian en 20
- 1 = 121  = 122 (Absurdo)
-1 = 81 = 82 Rpta. c
4.	¿Cuántos cubos perfectos existen en:
a) 8	b) 4	c) 12	d) 15	e) 9
Por condición:	15.18.n = k3
Con lo cual:	n = 2² . 5² . t3 = 100t3
 Habrá 4 números	Rpta. B
5.	Hallar un cubo perfecto de 5 cifras de tal manera que la suma de sus cifras de ordenes impares sea 19 y que la suma de las cifras de ordenes pares sea 8. dar la cifra de las centenas.
a) 6	b) 7	c) 9	d) 8	e) 5
Del problema: = k3
Por dato: 	= = 99n = 3² x 11 x n
= 35937.t3
 = 35937
C = 9	Rpta. C
6.	Para pavimentar un patio cuadrado se emplean locetas de 50 x 50cm. Si el patio tuviera un metro mas por cada lado se habrá necesitado 140 locetas más. ¿Cuánto mide cada lado del patio?
a) 12	b) 12,50	c) 19.50	d) 16	e) 17
Locetas	:	L²	Iniciales	2500 cm²
Locetas	:	(L + 100)²
Finales	2500 cm²
L²	-	L²	= 140
2500 cm²	2500
 L = 17	Rpta. E
1.	Hallar (a + b) si: es un cuadrado perfecto.
2.	Si: son cuadrados perfectos. Hallar (a - b)
a) 7	b) -7	c) 6	d) 3	e) 4
3.	Si: , hallar (a+b+m+n)
a) 23	b) 24	c) 26	d) 33	e) 30
4.	Si: tal que:
a) 21	b) 18	c) 20	d) 12	e) 15
5.	Si: son cuadrados perfectos. Hallar a.b
a) 6	b) 12	c) 20	d) 36	e) 18
6.	Si: es un cuadrado perfecto y , hallar (a+b+c+d)
a) 16	b) 17	c) 18	d) 19	e) 20
Es frecuente encontrarnos en nuestra vida cotidiana con situaciones como las siguientes:
•	El costo de un artículo hace un mes era de S/. 48 actualmente es de S/.52.
•	La temperatura en Lima es de 20ºC y en Punto de 8ºC
•	La altura de dos edificios son de 30 m y 22,5 m
•	Un automóvil inicia su desplazamiento con una velocidad de 20 m/s
En los casos anteriores se observa que el costo, temperatura, altura y velocidades son susceptibles de ser medidos de allí que se les define como magnitud matemática, se nota también que toda magnitud matemática viene asociada a una cantidad, lo cual nos permite hacer comparaciones y es precisamente ello lo que vamos a estudiar.
Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división, lo cual nos induce a señalar que se tiene dos clases de razón.
Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades de la otra.
Los automóviles A y B se desplazan con velocidades de 24 m/s y 20 m/s respectivamente, comparemos sus velocidades:
Razón Aritmética la razón 24m/s – 20m/s = 4m/s
Antecedente Consecuente Interpretación:
La velocidad del automóvil “A” excede en 4 m/s a la velocidad del automóvil “B”
Es la que se obtiene mediante la división y consiste en determinar cuantas veces cada una de las cantidades contienen la unidad de referencia.
Los edificios M y N tienen una altura de 48 m y 36 m respectivamente, comparemos sus alturas (en ese orden):
Razón Geométrica 
Antecedente  48m 4 Consecuente  36m	3
*	Las alturas de los edificios M y N son entre sí como 4 es a 3 porque: Altura de M: 4(12m) Donde: 12m es la unidad de referencia. Altura de N: 3(12m)
*	Altura de N: 3(12m) *	Por cada 4 unidades de 48 m hay 3 unidades de 36 m *	Las alturas de los edificios M y N están en la relación de 4 a 3
Magnitud Cantidades x a y b RAZON
Aritmética	Geométrica
Cuando en el texto se mencione solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón
Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase.
Proporción aritmética Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones aritméticas.
Se tiene cuatro artículos cuyos precios son: S/.15, S/.13, S/.9, S/.7. Los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo: S/.15–S/.13 = S/.2
Términos Medios Interpretación: El precio S/. 15 excede a precio de S/. 13 tanto como el de S/. 9 excede al de S/.7.
Forme una proporción aritmética con las edades de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años y 14 años.
Medios Llevando los extremos y medios a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente: Extremos	Medios
Extremos	Medios
De donde podemos concluir que en toda proporción aritmética:
Dependiendo del valor que asumen los términos medios las proporciones aritméticas presentan dos tipos. A.	Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las alturas de 4 edificios y que son: 25m; 18m; 42m y 35m.
Ejemplo: Halle la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son: S/. 50, S/.34 y S/.29
NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción aritmética en el orden como se presenta en el texto B. Continua.
Cuando los valores de los términos medio son iguales.
Forme una proporción aritmética continua con los volúmenes de 4 recipientes y que son: 19 cm3, 15 cm3 y 11cm3.
1.	Calcule la media diferencial de las temperaturas 35º y 17º 2.	Halle la tercera diferencial de los pesos 41 kg. y 35 kg.
Resumiendo PROPORCION ARITMÉTICA
Discreta	Continua Extremos
d: Cuarta diferencial de a, b y c Extremos
b: media diferencial de a y c c: Tercera diferencial de a y b
Proporción geométrica Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas.
Ejemplo: Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son: 21L 7L; 15L y 9L, las cuales se comparan mediante la división del siguiente modo:
Interpretación: La capacidad de 21L es a la capacidad de 7L como la de 15L es al de 5L.
Forme una proporción geométrica con las velocidades de 4 automóviles y que son: 15m/s; 20m/s; 9m/s y 12m/s.
a) Extremo: 15 m/s y 12 m/s
Valor de cada razón geométrica: b) Extremo: 20 m/s y 9 m/s
Valor de cada razón geométrica: * Llevando los términos medios y extremos a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente
Extremos Medios
180 =180	Extremos Medios
180 =180	De donde podemos concluir que en toda proporción geométrica:
* Dependiendo del valor que asumen los términos medios, las proporciones geométricas presentan dos tipos:
A.	Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes.
Formar una proporción geométrica discreta con las notas de 4 estudiantes y que son: 20; 16; 15 y 12
NOTA Convencionalmente se asumen los términos de la proporción en el orden como se presentan en el texto. Ejercicio:
Calcule la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes y que son: 1,6 m; 1,2m y 1,4m.
B.	Continúa. Cuando los valores de los términos medios son iguales Ejemplo.
Forme una proporción geométrica continua con las medidas de tres ángulos y que son: 12º, 18º y 27. Ejercicios:
1.	Halle la media proporcional de las obras realizadas por dos obreros y que fueron: 20m2 y 45m2.
2.	Calcule la tercera proporcional de la longitud de dos pizarras y que son: 1,6m y 2,4m.
Resumiendo:	PROPORCION GEOMÉTRICA Discreta	Continua
proporcional de a, b y c b: Media
de a y b. Propiedades de la Proporción Geométrica * Al efectuar las operaciones de adición y/o sustracción con los términos de cada razón en una proporción, estas mismas operaciones se verifican con los términos de la otra razón
ó o o APLICACIONES
1.	Si 5 es la cuarta proporcional de a,6 y b además b es la cuarta proporcional de a,9 y 30, halle a+b..............................Rpta 33
2.	Halle la cuarta proporcional de 56, m y n, sabiendo que m es la media proporcional de 28 y 7 y “n” es la tercera proporcional de 9 y 12.............................Rpta 4
3.	La suma de todos los términos de una proporción geométrica es 415. Si se sabe que la razón de esta proporción es , calcule la suma de los consecuentes
4.	En una proporción geométrica continua se sabe que la suma de los extremos es 60. Determine la diferencia de los consecuentes sabiendo que el valor de la razón es .............................Rpta 24
5.	El producto de los antecedentes de una proporción geométrica es 15. Calcule la suma de los consecuentes, si la cuarta proporcional es 10, además se sabe que los términos son números enteros mayores que la unidad................Rpta 16 ó 150
En algunas oportunidades nos encontramos con razones geométricas que tienen el mismo valor numérico, como:
Las cuales pueden igualarse del siguiente modo:
, la cual es llamada serie de razones geométricas equivalentes.
Donde: *	10; 14;6 y 142 son los antecedentes *	5; 7; 3; y 6 son los consecuentes *	2 es la constante de proporcionalidad Realicemos algunas operaciones con los términos: a. b. En ambos casos se observa que la constante de proporcionalidad no ha variado lo cual nos induce a:
= c) d) Se puede observar que al multiplicar los antecedentes y consecuentes la constante de proporcionalidad se ve afectada de un exponente que numéricamente es igual a la cantidad de razones consideradas para la multiplicación.
En general para “n” razones de igual valor numérico se tiene:
Donde:	Además ai = antecedente a1 =c1k
ci = consecuente	a2 =c2k
K = constante de proporcionalidad	a3 =c3k
En el cual se cumplen las siguientes propiedades:
1. Textualmente:
2. Textualmente: Donde: “E” es el número de razones que se multiplican
NOTA En las siguientes series de rezones geométricas
* * Se observa que el primer consecuente es igual al segundo antecedente, el segundo consecuente igual al tercer antecedente y así sucesivamente. A este tipo de serie se le denomina: serie de razones geométricas continuas equivalentes.
En general PROMEDIO
El origen de la palabra promedio se remonta a la época en que los viajes por mar implicaban gran riesgo, era frecuente que los barcos durante una tormenta tiraran una parte de la carga.
Se reconoció que aquellos cuyos bienes se sacrificaban podían reclamar con justicia una indemnización a expensas de aquellos que no habían sufrido disminución en sus bienes.
El valor de los bienes perdidos se pagaba mediante un acuerdo entre todos los que tenían mercadería en el mismo buque.
El daño causado por el mar se conocía como “havaria” y la palabra llegó a aplicarse naturalmente al dinero que cada individuo tenia que pagar como compensación por el riesgo.
De esta palabra latina se deriva la moderna palabra average (promedio). La idea de un promedio tiene por raíces en los primitivos “seguros”
Dado un conjunto de datos es frecuente calcular un valor referencial (que represente a dichos datos) cuyo valor se encuentra comprendido entre los valores extremos (mínimo y máximo dato) o es igual a uno de los extremos y se le denomina promedio.
A una ama de casa se le pregunta sobre el gasto diario que realiza den una semana y contesta: Lun.	Mar.	Mié.	Jue.	Vier.	Sáb.	Dom.
S/.13	S/.17	S/.15	S/.16	S/.14	S/.18	S/.19
A lo cual ella agregará: En “promedio” mi gasto diario es de S/. 16. La señora lo que ha hecho es reunir todos los gastos diarios y dividirlo entre 7:
y precisamente, esa facilidad para obtener un valor referencial de los datos que se tiene hace que este promedio sea el más utilizado, además se puede notar que:
Gasto	Gasto Gasto Mínimo Promedio Máximo
Alumno	Notas	Promedio
Beto	12 13 11 12	12
Arturo	10 10 10 18	12
Sin embargo aquí se podría señalar que no es justo que Arturo tenga igual promedio que Beto, pues sus notas reflejan que no ha sido buen estudiante, esto nos lleva a pensar que debe haber otro procedimiento (y no el de la suma de datos y dividirlo entre el número de datos) que nos permita hallar el valor que sea realmente representativo de los datos.
Las edades de 7 personas son: 12,19,18,11,15,21,14 y 9. ¿Cuáles de las siguientes alternativas no pueden ser un promedio de las edades.
a) 13,5	b) 17	c) 9 d) 23	e) 8,9	f )16 En general: Para “n” dato a1  a2  a3 ...  an se tiene que:
Promedio Aritmético o Media Aritmética ( )
Ejemplo 1: Calcule el promedio aritmético de las temperaturas de 5 ciudades y que son: 14º,13º,11º,12º y 15º
= El más sencillo y ya lo habíamos trabajado en ejemplos anteriores en general para “n” datos:
= Ejemplo 2:
4 comerciantes han vendido 13 polos cada uno. Calcule el promedio aritmético de las cantidades de los polos vendidos.
Cinco vendedores de fruta tienen: 18;30;24;13 y 15 frutas cada uno ¿Qué sucede con el promedio aritmético original? NOTA
Para determinar la variación que experimenta el promedio aritmético de un conjunto de datos sólo es necesario considerar el incremento o disminución en la suma de los datos.
El promedio de 20 datos es 70 y de otros 30 datos es 40. Calcule el promedio de los 50 datos.
Cuando de un Conjunto de datos se conoce su promedio implícitamente ya se tiene la suma de los datos.
* (n datos)=ksuma (n datos)= n(k)
Ejemplo 5: Un auxiliar de educación tiene el siguiente informe sobre las aulas a su cargo.
Aula	Aulas a Cargo
Nº de estudiantes	45	40	60	55
Promedio notas	16	15	11	12
Halle el promedio de las notas de los 200 estudiantes
Datos: a1	a2	a3 ... ak P1	P2	P3 ... Pk Ejemplo 6: Al finaliza el primer ciclo un cachimbo recibe su boleta de notas, que a continuación se detalla:
Curso	Nº de Crédito	Nota
Matemática	4	16
Lenguaje	2	18
Física I	6	14
Química	8	13
Promedio Geométrico O Media Geométrica ( )
Es un promedio que permite promediar índices y tasas de crecimientos y el procedimiento para calcularlo es:
Ejemplo 1: En una comunidad campesina se ha observado el crecimiento poblacional de los 3 últimos años y los datos son:
Año :	1 998 1999 2000
Crecimiento	:	125	343 512 Ejemplo 2:
El índice de crecimiento de niños vacunado contra la tifoidea en los últimos 5 años ha sido:
Año	1996	1997	1998	1999	2000
Tanto Por Ciento	84%	150%	210%	315%	490%
Promedio Armónico o Media Armónica ( ) Es la inversa del promedio aritmético de los recíprocos de los datos.
Es un promedio que representa el punto medio de los datos para determinarlo el procedimiento es el siguiente:
Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente.
a. Si el número de datos es impar, la mediana es el dato central.
b. Si el número de datos es par, la mediana es el promedio aritmético de los datos centrales.
Halle la mediana de las temperaturas de 5 ciudades y que son 12º, 15º, 13º 36º y 9º
Se ha recopilado las notas de 12 estudiantes los cuales son:
13;15;16;18;7;8;15;10;5;20;15;7. Calcule la mediana.
Resolución Ordenamos en forma decreciente:
18 16 15 15 15 13 10 8 7 7 5
Luego: Me = Conclusión: El 50% de los estudiantes tienen 14 como nota máxima.
Es el valor más frecuente o el que más se repite en un conjunto de datos.
Calcule la moda del coeficiente intelectual de un grupo de estudiantes siendo los coeficientes 100; 90; 100; 120; 100; 95.
Se observa que el dato que más se repite es 100.
Conclusión: La mayoría de los estudiantes tienen un coeficiente intelectual aproximado a 100.
Ejemplo 2: Halle la moda de los ingresos diarios de un grupo de trabajadores, siendo los ingresos: S/15; S/.8; S/.10; S/.15; S/.10; S/.15; S/.17
Cuando el conjunto de datos tiene dos modas se le llama bimodal y si tiene más de dos modas se le conoce con el nombre de multimodal
Se ha realizado una encuesta sobre las preferencias por un determinado curso y los datos fueron:
Curso	Estudiante
* Química	35
Propiedades (Para la )
Ejemplo: Los precios de tres artículos son: S/. 12; S/.8 y S/.18. Calcule los promedios de precios.
Cuando los datos son iguales se cumple que: INTRODUCCIÓN Un grupo de mecánicos deciden realizar el siguiente experimento: Medir las distancias recorridas por un automóvil que tiene una velocidad constante y los lapsos de tiempo correspondiente. Estas mediciones se indican en la tabla siguiente: Tiempo
(horas)	0,5	1,5	2,5	3,5
Distancia (km)	50	150	250	350
Lo que han realizado los mecánicos es analizar el comportamiento de la distancia respecto al tiempo (denominados magnitudes) y experimentalmente han llegado a la conclusión que a mayor distancia la demanda de tiempo es mayor y matemáticamente se cumple que el cociente de los valores correspondientes es constante. El proceso realizado por los mecánicos es el mismo que realizan los investigadores científicos, el cual consiste en la búsqueda de la verdad; de una verdad que ya existe, pero que tenemos que descubrir.
Precisamente ello es lo que vamos a estudiar en este capítulo, es decir el comportamiento de magnitudes que en la naturaleza existen. MAGNITUD
Cantidad Es un estado particular de la magnitud en un determinado momento de análisis, el cual resulta de medir (cuantificar) la variación, expresado en ciertas unidades de medida.
Relación entre dos Magnitudes Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar uno de ellos entonces la otra también varía en la misma proporción. Analicemos los siguientes casos:
Sombra Proyectada (cm)	4	6	12	36	48
Altura de cada estaca (cm)	2	3	6	18	24
De la cual surge la gráfica siguiente Donde los puntos corresponden a una recta que pasa por el origen de coordenadas, la cual presenta una inclinación respecto al eje horizontal (llamada pendiente) que numéricamente es igual a la razón geométrica de los valores correspondientes a las magnitudes.
A D.P. B  NOTA
1.	La gráfica de dos magnitudes D.P., son puntos que pertenecen a una recta que pasa por el origen de coordenadas.
2.	En cualquier punto de la gráfica (excepto el origen de coordenadas) el cociente de cada par de valores resulta una constante.
También: f(x) = mx	y = valor de la magnitud A
Número de obreros	10	20	24	30	40	50
Tiempo (días)	60	30	25	20	15	12
De donde: Gráficamente: Cada sector rectangular que se genera con un punto de la gráfica y los ejes tienen la misma superficie y que físicamente corresponde a la obra realizada.
Notación AIPB=(valor de A)(valor de B)=constante
NOTA 1.	La gráfica de dos magnitudes IP, son puntos que pertenecen a una rama de una hipérbola equilátera. 2.	En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores correspondientes resulta una constante.
Observación y = valor de la magnitud A x = valor de la magnitud B  yx = k k = constante
De donde se obtiene la función: y = Propiedad: Cuando se tienen más de 2 magnitudes como A,B,C y D se analizan dos a dos, tomando a una de ellas como referencia para el análisis y manteniendo a las otras en su valor constante.
* A DP B (C y D constantes) * A IP C (B y D constantes)  * A DP D (B y C constantes)
REPARTO PROPORCIONAL Es un procedimiento que tiene como objetivo dividir una cantidad en partes que sean proporcionales a ciertos valores, llamados índices
1.	Reparto simple: Se llama así porque intervienen sólo dos magnitudes proporcionales, puede ser.
Analicemos el siguiente caso: Un padre quiere repartir S/. 2 000 entre sus tres hijos, cuyas edades son 8, 12 y 20 años el padre piensa, con justa razón, que su hijo de 20 años tiene mayores necesidades económicas que su otro hijo de 8 años, entonces decide hacer el reparto D.P. a las edades de sus hijos. Esto implica que aquel hijo que tenga más edad recibirá más dinero, y el que tenga menos edad, recibirá menos dinero. Veamos lo que sucede. Sean las partes A,B, y C tales que cumplan las siguientes condiciones:
A+B+C=S/. 200 Entonces: 8K+12K+20K = 2000
Luego, a c/u le corresponde A = 8.50  A = S/. 400
A) S/. 39000	B) C) K = Obsérvese que los números que representan las faltas de estos 3 empleados se colocan invertidos (recuerdo que el reaparto es I.P.), luego si a c/u de estos se les multiplicara por 12, la relación de proporcionalidad no se altera. Lo que se realiza a continuación es lo mismo que se ha descrito en el caso anterior (reparto directo).
2.	Reparto Compuesto
A) S/. 42000	B) C) K = Observe a pesar que el tener empleado gana más (S/. 5400) no es él quien recibe más gratificación. Esto se debe a que sus faltas (9 días) son muchas, causando una disminución en la gratificación que recibió.
1.	REGLA DE TRES SIMPLE Es un método en el cual intervienen dos magnitudes proporcionales, que tiene como objetivo hallar un cuarto valor, dado tres valores correspondientes a estas dos magnitudes. Clases:
1.1	Directa: (Cuando intervienen dos magnitudes directamente proporcionales)
Esquema: D.P.
A	B  x = b1 # huevos Costo (S/.)
 La fracción queda invertido debido a que se relaciona dos magnitudes D.P.
# Obreros	#días  x = 45.  x = 20 días.......Rpta.
2.	REGLA DE TRES COMPUESTA
D.P.:	Diferente escritura
ya que se invierte la fracción
I.P.: Igual escritura Ejemplo: Con 18 obreros se puede hacer una obra en 42 días. ¿En cuántos días 15 obreros 6 veces más rápidos que los anteriores, harán una obra cuya dificultad es el quíntuple del a anterior?
Solución Colocaremos en dos filas los datos correspondientes a cada una de estas magnitudes, es decir:
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE 1.	Si H hombres realizan un trabajo en n días cuantos demoraría en realizado un solo hombre. a) nH	b) H/n	c) n/H	d) Es imposible calcular e) Faltan datos
2.	Si “h” hombres hacen un trabajo en “d” días h + r lo harán en .......(días).
d) d – r	e) 3.	15 obrero han hecho la mitad de un trabajo en 20 días en ese momento abandonaron el trabajo 5 obreros. Cuántos días tardaron en terminar los obreros que quedan.
a) 24 días	b) 30 días c) 36 días
d) 32 días e) 28 días 4.	Alexander de cada 5 tiros al blanco acierta 1, si no acertó 96 tiros ¿Cuántos acertó? a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
5.	Un reloj tiene 3 minutos de retraso y sigue retrasándose a razón de 3 segundos por minuto de ¿Cuántos minutos debes transcurrir para que el reloj marque una hora de retrazo? a) 1 140´ b) 120´ c) 1300´
d) 180´	e) 1200´
6.	4 huevos de gallinas cuestan 9 soles y 5 huevos de pata cuestan 11 soles. Encontrar la razón entre el precio de un huevo de gallina y un huevo de pata.
a) 1: 1,5	b) 45.44	c) 1:4
d) 44:45	e) 1,5:1
7.	Un caballo atado a una cuerda de 2m de longitud puede comer todo el pasto que esta a su alrededor en 5hr. En cuantas horas comerá el pasto que esta a su alcance si la longitud de la cuerda fuera 3 veces mayor.
a) 75 h	b) 80 h	c) 85 h.
8.	20 operarios pueden producir 240 zapatos en 18 días. Cuantos operarios pueden producir 80 pares de zapatos en 24 días. a) 7	b) 8	c) 9	d) 10	e) 11
9.	Un Albañil ha construido un muro en 16 días. Si hubiera trabajado 4 horas menos habría empleado 8 días más para hacer el muro ¿Cuántas horas hubiera trabajado por día? a) 6h	b) 12h	c) 10h	d) 8h	e) 16h
10.	Si 4 hombres y 5 mujeres hacen un trabajo en 54 días ¿En cuantos días realizaran el mismo trabajo 5 hombres y 6 mujeres. Sabiendo que el trabajo de una mujer son los 2/3 del trabajo de un hombre?
a) 66	b) 67	c) 48
d) 44	e) 49
11.	Una fuente que da 120 lt. Cada 6 minutos llena 1 tanque de agua en 4h 30´ ¿Qué tiempo tardará en llenar el tanque conjuntamente con otra fuente que da 20 litros cada 75 segundos?
a) 3h	b) 2.5h	c) 3.5h
d) 2h	e) 4h
12.	Si 36 obreros cavan 120m de 1 zanja diaria. ¿Cuál será el avance diario cuando se ausenten 9 obreros?
a) 70m	b) 60m	c) 80m
d) 90m	e) 100m
13.	Si 60 obreros trabajando 8h/d construyen 320 m de 1 obra en 20 días. En cuantos días 50 obreros trabajando 6 horas diarias harán 300m de la misma obra.
a) 40 días	b) 30 días c)35 días
d) 28 días	e) 36 días 14.	Se ha calculado que 750m de una zanja pueden ser excavados en 10 días. Si 7 obreros hicieron 350m y posteriormente con 5 ayudantes concluyen la obra en el plazo fijado los días trabajados por los ayudantes son:
15.	Una cuadrilla de 12 obreros pueden cavar un techo en 8 horas. ¿Qué tiempo tardarían 15 obreros en elevar el mismo techo?
a) 6,5 hr	b) 6,3 hr	c) 6,9 hr
d) 6,4 hr	e) 6,2 hr
16.	Un ingeniero puede construir 600m de carretera con 40 hombres en 50 días trabajado 8h/d ¿Cuántos días tardaría este ingeniero den construir 800m, de carretera con 50 obreros doblemente eficiente que los anteriores en un terreno de triple dificultad trabajando 2hr más por día?
a) 80 días	b) 65 días	c)74 días
d) 64 días	e) 22 días 17.	Se ha estimado que 45 obreros pueden construir una obra en 36 días. Pasado 12 días, se accidentaron 6 de ellos y no pudieron continuar laborando 8 días más tarde se tuvo que contratar otros obreros y si entregan la obra en la fecha establecida. ¿Cuántos obreros se contrataran sabiendo que son de la misma eficiencia que los accidentados?
a) 6	b) 7	c) 9	d) 8	e) 10
18.	Una cuadrilla de obreros puede hacer una obra en 18 días. En los primeros 10 días trabajo solamente la mitad de la cuadrilla para terminar la obra trabajan 13 obreros durante 24 días ¿Cuántos obreros construyen la cuadrilla?
a) 18	b) 20	c) 24	d) 25	e) 21
19.	Una bomba puede llenar un tanque en 10h 25´ cuando se ha llenado la quinta parte del tanque se malogra la bomba y reduce su rendimiento en 1/3 de su valor. ¿En que tiempo total se llenó el tanque?
a) 12 h 30min	b) 12h 05 min	c) 11h 45min	d) 11H 30 min
20.	Un grupo de obreros en número de 30 se comprometió hacer una obra en 40 días trabajando 8h/d. Después de hacer ¼ de la obra se acordó que la obra quedará terminada 10 días antes del plazo estipulado y así se hizo. Con cuántos obreros deberán reforzarse si ahora todos trabajada 10h/d.
a) 36	b) 14	c) 18	d) 6	e) 10
21.	La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comieran en 24 días, 30 vacas en 60 días ¿Cuántas vacas se comieron toda la hierba en 96 días?
a) 24	b) 20	c) 25	d) 28	e) 32
REGLA DE TANTO POR CIENTO Definición
“a por ciento de N” Obs:	Nótese que para efecto de solución el % es un operador matemático que significa “POR 1/100%”.
20% de 450 = REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA OPERACIÓN DE TANTO POR CIENTO Si: “P es el a por ciento N”
CONSIDERACIONES a)	8% significan que de cada 100 unidades se consideran 8.
1.	Cual es el 5% de 700
2.	Hallar el 125% de 80
3.	Que tanto por ciento de 3000 representan 45.
4.	920 es el 20% de que cantidad 920 = .N  N = 4600
20% menos  80% APLICACIONES COMERCIALES
Pv: Precio de Venta PL: Precio Marcado o de lista Pc: Precio de Costo	G: Gasto
P : Perdida	GB: Ganancia Bruta
2) Pv = Pc – P	4) Pfijado -D = P.V.
5) GN = GB -G TANTO POR CIENTO En la regla de porcentaje consideramos respeto a 100 pero si refiere a otro número cualquiera se tiene la regla del tanto por ciento.
Resolución: ¾ x 200 = 150 PROBLEMAS PROPUESTOS
1.	Calcular EL 30% de 8000
a) 3600	b) 4800	c) 2400	d) 1200	e) 2600
2.	Hallar el 10% de 90% del 50% de 200.
a) 3	b) 6	c)12	d) 9	e)10
3.	El 60% de que número es 42
a) 50	b) 60	c) 40	d) 30	e) 70
4.	Que porcentaje de 400 es 320
a) 60% b) 80% c) 105%	d) 50%	e) 90%
5.	El área de un rectángulo se disminuye un 30% y resulta 350 cm2 ¿Cuál era el área original?
a) 250 cm2 b) 420 cm2 c) 500 cm2
d) 699 cm2 e) 700 cm2
6.	Actualmente Carlos tienen x años, dentro de 5 años su edad habrá aumentado en 20% ¿Cuál es su edad actual?
a)10 años b)15 años c) 20 años d) 25 años e) 30 años 7.	Hace 1 mes el kg. de azúcar costaba S/5; actualmente cuesta S/. 7 ¿En qué porcentaje ha aumentado el precio del azúcar?
8.	En una reunión se encuentran 20 hombre adultos, 30 mujeres adultas y 75 años niños ¿Qué porcentaje de los reunidos no son niños?
a) 40%	b) 50%	c) 10%	d) 20%	e) 30%
9.	Un balde lleno de agua pesa 5kg. Cuándo se extrae la mitad del agua, el peso inicial queda reducido en un 40% ¿Cuál es la capacidad del balde? a) 2 lt	b) 4 lt c) 3lt d) 1 lt e) 5lt
10.	Un automóvil demora normalmente un cierto tiempo para llegar de A a B pero llegarían en 2 horas menos si variase su velocidad en un 40% ¿Cuánto tarda ese automóvil en llegar normalmente de A a B?
a) 4hr	b) 5hr c) 6hr	d) 7 hr e) 8hr
11.	Un empleado gana 30% mas de lo que gana su ayudante. El sueldo del empleado aumenta en 40% y el de su ayudante en 20% Luego de estos aumentos el sueldo de ambos suman S/ 9060 ¿Cuál era el sueldo del ayudante antes del aumento?
a) S/ 200	b) S/ 2000 c) S/ 3000
d) S/ 2300	e) S/ 3200
12.	Gaste el 60% de lo que no gaste ¿Cuanto tenía sabiendo que no gaste S/ 120 más de lo que gaste?
a) 180	b) 240	c) 360
d) 480	e) 560
13.	En una reunión de 150 personas, las mujeres constituyen el 605 de los presentes ¿Cuántas parejas deben llegar esta reunión, para que el número de hombre constituyen el 45% de todos los asistentes?
a) 50 b) 65	c)70	d)75	e)80
14.	Después de una de sus batallas Atilo observo que el 5% de sus soldados había muerto y el 20% de los que quedaron vivos estaban heridos, además había 608 sanos.
a) 10	b)20	c)30	d)40	e)50
15.	José y Rubén le invitaron el almuerzo a Cristina en su cumpleaños, cubrían José al 40% de los gastos y Rubén el resto, en dicho almuerzo estuvieron solo presentes los 3. Otro día en agradecimiento y el recompensa Cristina le regala un reloj valorizado en S/.300. Si José quiere quedarse con el reloj.
¿Cuánto dinero tiene que darle por parte Rubén? a) S/120	b)S/180	c)S/150	d) S/240	e)S/ 60
16.	De los estudiantes de 1 salón de clases, el número de varones es el 80% del de las mujeres. Si el 75% de los varones de este salón, se van de paseo con el 40% de las mujeres ¿Qué porcentaje de los hombres que se quedaron constituyen el 10% de las mujeres que no fueron de paseo?
a) 30%	b) 60%	c) 50%	d) 40%	e) 80%
DEFINICIÓN Se llama interés ó rédito, a la suma o ganancia que produce un capital prestado, durante tiempo y según una tasa fijada (en porcentaje).
FORMULA PARA CALCULAR EL INTERES SIMPLE Sabiendo que un capital de S/.100 prestado durante 1 año produce un capital C al cabo de t años.
Causa Circunstancia	efecto Capital	Tiempo	Interés
100 l r c t l
100.l.i = C. t.r. I = Notación:
C: Capital	r: Tasa %
1.	La formula para calcular el interés no es estática, el denominador varía de acuerdo a como esta expresado el tiempo. Si el préstamo es en: Denominador Años  100
Meses	 1200
*	En el comercio se considera que el año contiene 12 meses de 30 días cada uno. 1 mes = 30 días 1 año = 360 días 2.	La tasa (r) porcentual que intervienen en la formula debe ser anual. Si estuviese en otro período de tiempo se debe considera una tasa anual equivalente.
% Semestral x 2 = r Anual % Trimestral x 4 = r Anual % Bimestral x 6 = r Anual % Semanal x 52 = r Anual 3.	El monto representa la suma del capital más el interés.
M = C + M = C CALCULO DEL INTERES EN FUNCION DEL MONTO
Como I- M = C + I = I + Despejando:
I = DESCUENTO
Valor Nominal. Es el valor impreso en el (Vn) documento (Letra, cheque, pagaré)
Valor Actual. Es el valor tasado en el momento (VA) de realizar la transacción comercial.
VA = Vn - DC Dc = DR = Vn = PROBLEMAS
1.	Calcular el interés producido por S/. 2000 impuesto al 20% durante 5 años.
a) 500	b) 1000	c) 2000 d) 1500	e) 2500	2.	Determinar el interés generado al depositar S/. 1200 al 10% trimestral durante 6 meses. a) S/.120	b)S/.150 c)S/. 180 d) S/. 210	e) S/. 240	3.	Cuál es el capital que se coloca al 30% durante 2 años para obtener un interés de S/. 120
a) S/.180	b) S/.200 c) S/. 210 d) S/.250	e) S/.400	4.	A que tasa de interés la suma de S/. 20000 llegaría a un monto de 21200 colocada a interés simple en 9 meses? a) 5%	b) 6%	c) 7% d) 8%	e) 9%	5.	Un capital estuvo impuesto al 9% de interés anual y después de 4 años se obtuvo un monto de S/. 10200. ¿Cuál es el valor del capital?
a) S/. 6528	b) S/. 12000
c) S/. 13872	d) S/.	9260
e) S/. 7500	6.	¿Cuál es la suma que al 5% de interés simple anual se convierte en 3 años en S/. 31747?
a) S/.2760	b) S/.2116 c) S/.1055
d) S/.1380	e) S/.2670	7.	Si 10000 soles se dividen en 2 partes, de tal modo que al ser impuestos una de las partes al 42% y la otra al 54% anual producen igual interés. Hallar la parte impuesta al 42%.
a) S/. 6250	b) S/.5000 c) S/.4375
d) S/.3475	e) S/.5625	8.	Los 2/5 de un capital han sido impuesto al 30%, 1/3 al 35% y el resto al 40%. El interés total es de 41200 soles anuales. Calcular el capital.
a) S/. 75000	b) S/. 90000
c) S/. 62000	d) S/.120000
e) S/. 15000	9.	Calcular el interés producido por un capital de s/. 40000 durante 4 años al 60% anual.
a) 98000	b) 96000	c) 48000
d) 72000	e) 54000	10.	Calcular el interés producido por un capital de S/. 60000 impuesto durante 30 meses al 40% anual.
a) 40000	b) 60000	c) 50000
d) 70000	e) 30000	11.	Calcular el interés que produce un capital de S/. 3000 impuesto al 1,5 mensual durante 1 año 3 meses.
a) 765	b) 635 c) 965 d) 975 e) 875	12.	Un capital de 2100 soles impuesto al 6% anual ha dado un monto de S/. 2400. Calcular el tiempo.
a) 2 años 5 meses 15 días, 2 hr b) 2 años 4 meses 17 días 3 3/7 hr c) 3 años 2 meses 17 días 2 1/2 hr d) 2 años 4 meses 27 días 2 1/7 hr e) 2 años 4 meses 19 días 3 hr 13.	Se han colocado las 2/7 partes de un capital al 6% y las 3/5 al 10% y el resto al 9%. Si se obtiene una renta de S. 12000 ¿Calcular el capital?
a) 137 254.90	b) 137854.90
c) 147 254.80	d) 133250.70
e) 137454.60	14.	Se han colocado a interés simple 2/3 de un capital al 5% y del otro tercio al 4.5%, se han retirado al cabo de un año S/. 15725 entre capital e interés. Hallar el capital. a) 13000	b) 14000	c) 15000	d) 17000 e) 19000
15.	Un capital colocado durante 2 años y medio entre capital e interés es de 2728 nuevos soles, el interés ha sido 1/10 del capital. Calcular la tasa.
16.	Se deposito un capital al 8% mensual de interés. Al cabo de que tiempo se debe retirar el capital más el interés para que la suma depositada represente el 75% de lo que se retira.
a) 110	b) 125	c) 130
d) 140	e) 150	17.	Una persona presta dinero cobrando un interés diario D.P. al número de días transcurrido, al cabo de 14 días se le paga entre lo prestado e interés 4 veces la suma prestada ¿Cuánto tiempo desde el primer día debe transcurrir para que el interés de un solo día sea igual al dinero prestado?
a) 21	b) 24 c) 28 d) 32 e) 5	18.	Hallar el monto que produce un capital de 10800 soles al ser colocado al 5% durante 2 años, 3 meses, 20 días.
a) 11220	b) 12045	c) 1245
d) 11145	e) 13045	19.	Durante cuanto tiempo estuvo depositada un capital al 12% anual si el interés producido alcanza el 60% del capital.
a) 2 años	b) 4 años	c) 3 años d) 5 años e) 6 años
20.	Un capital aumenta la mitad de su valor al cabo de cierto tiempo. Cual es este, sabiendo que expresado en años es igual a la mitad del tanto por ciento al cual se impuso el capital. a) 4 años b) 5 años c) 3 años d) 1 año	e) 6 años	Obtener vínculo

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