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June 9, 2019 | Author: Anonymous Ep7SKwePuE | Category: Mathematical Analysis, Mathematical Objects, Analysis, Differential Calculus, Mathematical Relations
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Introducción Teoría Métodos Runge-Kutta Búsqueda de propiedades Aplic Aplicación ación a proble problemas mas físi físicos cos Matla Matlabb EDO solv solvers ers Actua Actualidad lidad
Ejemplos de aplica Ejemplos aplicación ción del método Runge-Kutta Runge-Kutta a la resolución de problemas físicos con Matlab Andrea Santamaría García Universidad Autónoma de Madrid
Introducción Teoría Métodos Runge-Kutta Runge-Kutta Búsqueda de propiedades Aplicación a problemas fís físico icoss Mat Matlab lab EDO sol solve vers rs Act Actual ualida idadd
Introducción Descripción Lista de métodos Runge-Kutta Concepto Base de los métodos Runge-Kutta Teoría Deﬁnición teórica del método de Runge-Kutta Métodos Runge-Kutta Métodos de 1o orden Métodos de 2o orden Búsqueda de propiedades Integrador simpléctico Aplicación a problemas físicos Movimientos periódicos y cuasiperiódicos Ecuaciones no lineales Matlab EDO solvers
Descripción El método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos), cuyo objetivo es integrar ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO’s). Concretamente trata problemas de valor inicial.
Introducción Teoría Métodos Runge-Kutta Búsqueda de propiedades Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad
Desarrollado por los matemáticos alemanes C. Runge y W.H.Kutta en 1900
Lista de métodos Runge-Kutta El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos: Métodos explícitos
Método de Euler hacia delante Runge-Kutta de 2o orden Runge-Kutta de 3o orden Clásico Runge-Kutta de 4o orden Métodos implícitos
Método de Euler hacia atrás Métodos de Lobatto (IIIA, IIIB, IIIC)
Métodos adaptativos o semi-implícitos
Euler modiﬁcado Heun Bogacki-Shampine Cash-Karp Dormand-Prince Fehlberg
Concepto La resolución de EDOs se lleva a cabo reemplazando las derivadas por cocientes incrementales (diferencias ﬁnitas) con un paso temporal ∆t = t n +1 − t n = τ adecuado. EDO de orden s df s (t ) dt
= F (t , y 1 , y 2 ,...y s )
El método de RK parte de unos valores iniciales e itera mediante una relación de recurrencia que podemos obtener con: Desarrollo de Taylor 1 2 ′′ 1 3 ′′′ f (t + τ ) = f (t ) + τ f (t ) + τ f (t ) + τ f (t ) + O (τ 4 ) 2 6 1 1 f (t − τ ) = f (t ) − τ f ′ (t ) + τ 2 f ′′ (t ) − τ 3 f ′′′ (t ) + O (τ 4 ) 2 6 ′
Base de los métodos Runge-Kutta Diferencias hacia delante df (t ) f (t + τ ) − f (t ) 1 ′′ = − τ f (t ) + O (τ 3 ) τ dt 2
Base de los métodos Runge-Kutta Diferencias hacia delante df (t ) f (t + τ ) − f (t ) 1 ′′ = − τ f (t ) + O (τ 3 ) τ dt 2 Diferencias hacia atrás df (t ) f (t ) − f (t − τ ) 1 ′′ = + τ f (t ) + O (τ 3 ) 2 τ dt
Base de los métodos Runge-Kutta Diferencias hacia delante df (t ) f (t + τ ) − f (t ) 1 ′′ = − τ f (t ) + O (τ 3 ) τ dt 2 Diferencias hacia atrás df (t ) f (t ) − f (t − τ ) 1 ′′ = + τ f (t ) + O (τ 3 ) 2 τ dt Diferencias centrales 1o orden:
2o orden:
f (t +τ )−f (t −τ )
+ 16 τ 2 f ′′′ (t ) + O (τ 4 )
f (t +τ )−2f (t )+f (t −τ )
1 2 (4) τ f (t ) + O (τ 5 ) + 12
La aproximación por desarrollos en serie de Taylor implica un error de truncamiento O ( s +1 )
Deﬁnición teórica del método de Runge-Kutta Sea una EDO de primer orden: r˙ (t ) = f (t , r (t )) ; f : Ω ⊂ R × Rn → Rn
con Ω conjunto abierto
y la condición de que el valor inicial de f sea: (t 0 , r 0 ) ∈ Ω
y la condición de que el valor inicial de f sea: (t 0 , r 0 ) ∈ Ω Expresión general del método RK de orden s r n +1 − r n
= ∑ b i k i ; k i = f t n + c i τ , r n + τ ∑ a ij k j i =1
τ =paso de la iteración τ ) (t n +1 = t n +
τ =paso de la iteración τ ) (t n +1 = t n + k i =términos de aproximación
a ij , b i y c i = coeﬁcientes propios del esquema numérico elegido
k i =términos de aproximación
RK consistente si i −1 ∑ j =1 a ij = c i , i = 2...s
Tabla de Butcher c 1 c 2
a s 1 b 1
a 1s a 2s
a s 2 b 2
a ss b s
⃗ c
A ⃗ b T
Los esquemas de RK se dividen en:
Los esquemas de RK se dividen en: Explícitos: si a ij es triangular inferior con a i = j = 0
1 k i = f t n + c i τ , r n + τ ∑ j i − =1 a ij k j → evaluación explícita de r n +1
usando r n
usando r n No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su región de estabilidad es muy pequeña
usando r n No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su región de estabilidad es muy pequeña Implícitos: a ij = ̸ 0 para j = i ,..., s r n + τ ∑ j s =1 a ij k j
→ en cada iteración hay que resolver un sistema de ecuaciones
k i = f t n + c i τ ,
→ en cada iteración hay que resolver un sistema de ecuaciones Aumenta el tiempo de computación
Regiones de estabilidad para métodos Runge-Kutta explícitos e implícitos
Métodos de 1o orden Método de Euler explícito (o hacia delante) ⃗ r (t + τ ) −⃗ r (t ) ⃗ v (t + τ ) −⃗ v (t ) F (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) ⃗ = v (t ) ; = m τ τ
Solución del o.armónico, N=1000 8 Euler explícito Solución exacta 6
n ó i c i s o P
Espacio de fases o.armónico, N=1000 8 Euler explícito Solución exacta 6
2 o t n e m o M
Solución del o.armónico, N=30000 1.5 Euler explícito Solución exacta
Espacio de fases o.armónico, N=30000 1.5 Euler explícito Solución exacta
0.5 o t n e m o M
Métodos de 1o orden Método de Euler implícito (o hacia atrás, o de Euler-Cromer) ⃗ r (t + τ ) −⃗ r (t ) ⃗ v (t + τ ) −⃗ v (t ) F (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) ⃗ = v (t + τ ) ; = m τ τ
Conocido por ser mucho más estable que el método de Euler
Solución del o.armónico, N=1000 1.5 Euler−Cromer Solución exacta
Espacio de fases o.armónico, N=1000 1.5 Euler−Cromer Solución exacta
Métodos de 2o orden: Método del punto medio Objetivo ⃗ r (t + τ ) −⃗ r (t ) τ = ⃗ v t + 2 τ
⃗ v (t + τ ) −⃗ v (t ) F (⃗ r t + τ 2 ,⃗ v (t ), t ) ; = m τ
Obtención de los pasos mitad τ
⃗ r t + 2 −⃗ r (t ) ⃗v t + τ 2 −⃗ v (t ) F (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) = ⃗ v (t ) ; = τ /2 τ /2 m
Resultado ⃗ r (t + τ ) −⃗ r (t ) r (t ),⃗ v (t ), t ) τ F (⃗ = ⃗ v (t ) + τ m 2
Métodos de 2o orden: Método del punto medio
Solución del o.armónico, N=1000 1.5 Punto medio Solución exacta
Espacio de fases o.armónico, N=1000 1.5 Punto medio Solución exacta
Conservación de la energía Conservación de la energía, N=1000 30 Euler explícito Euler implícito Punto medio
20 a í g r e n E
Conservación de la energía, N=1000 Conservación de la energía, N=1000 0.525 0.5025 Euler implícito Punto medio 0.52 0.502
0.515 0.51
0.5015 a í g r e n E
a í g r e n E
0.501 0.495 0.49
0.485 0.48
¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc.
¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc. Los métodos de Runge-Kutta están deﬁnidos para sistemas con espacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn
¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc. Los métodos de Runge-Kutta están deﬁnidos para sistemas con espacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)
¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc. Los métodos de Runge-Kutta están deﬁnidos para sistemas con espacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento) Todos los métodos de RK preservan invariantes lineales I (y ) = y 1 + y 2 (Ejemplo: masa total)
¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc. Los métodos de Runge-Kutta están deﬁnidos para sistemas con espacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento) Todos los métodos de RK preservan invariantes lineales I (y ) = y 1 + y 2 (Ejemplo: masa total) Sólo si b i a ij + b j a ji = b i b j se preservan invariantes cuadráticas I (y ) = y 1 2 + y 2 2 (Ejemplo: energía)
¿Qué métodos... ...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de la energía, del momento, del momento angular, de la reversibilidad temporal, de la estructura simpléctica etc. Los métodos de Runge-Kutta están deﬁnidos para sistemas con espacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento) Todos los métodos de RK preservan invariantes lineales I (y ) = y 1 + y 2 (Ejemplo: masa total) Sólo si b i a ij + b j a ji = b i b j se preservan invariantes cuadráticas I (y ) = y 1 2 + y 2 2 (Ejemplo: energía) Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o no lineales
Reversibilidad temporal y simetría Un método numérico de un paso es simétrico y reversible en el tiempo si cambiando r n ↔ r n +1 y τ ↔ −τ el método queda inalterado. Esto impone las condiciones: a ij + a s +1−i ,s +1− j = b j ; b −i = b s +1−i ; c i = 1 − c s +1−i
Simplecticidad y conservación del volumen
Simplecticidad y conservación del volumen Simpléctico:
� � � � ∂ r n +1 ∂ r n
∂ r n +1 ∂ r n
� � � �  � ∂ r n +1 ∂ r n
Conservación del volumen: det
�
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos → espacio de fases=variedad simpléctica
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos → espacio de fases=variedad simpléctica Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico que evoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si los puntos frontera evolucionan siguiendo transformaciones canónicas → volumen invariante bajo un ﬂujo Hamiltoniano
Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos → espacio de fases=variedad simpléctica Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico que evoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si los puntos frontera evolucionan siguiendo transformaciones canónicas → volumen invariante bajo un ﬂujo Hamiltoniano Como {H , H } = 0 el ﬂujo Hamiltoniano también se conserva Noether −→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano
Integrador simpléctico Método "leapfrog" ⃗ r (t + 2τ ) −⃗ r (t ) ⃗ v (t + τ ) −⃗ v (t − τ ) F (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) = ⃗ v (t + τ ) ; = 2τ 2τ m
Integrador simpléctico Método "leapfrog" ⃗ r (t + ⃗ v (t + + 2τ ) −⃗ r (t ) + τ ) −⃗ v (t − τ ) F ( (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) = ⃗ v (t + + τ ) ; = 2τ 2τ m
Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero pero con la malla de velocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0: Calculamos velocidades en t + + (2n − 1)τ
Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero pero con la malla de velocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0: Calculamos velocidades en t + + (2n − 1)τ Calculamos posiciones en t + + 2n τ τ
Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla de velocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0: Calculamos velocidades en t + (2n − 1)τ Calculamos posiciones en t + 2n τ En t=0 necesitamos conocer ⃗ v (−τ ) para conocer ⃗ v (τ ) → diferencias hacia atrás: r (t ),⃗ v (t ), t ) F (⃗ ⃗ v (−τ ) = ⃗ v (0) − τ m
Leapfrog en forma del método de paso mitad ⃗ v t + τ 2 −⃗ v t − τ 2 r (t ),⃗ v (t ), t ) F (⃗ ; = τ m
⃗ r (t + τ ) −⃗ r (t ) τ =⃗ v t + τ 2
r (0),⃗ v (0), 0) τ τ F (⃗ ⃗ v (− ) = ⃗ v (0) − 2 2 m
Es reversible en el tiempo
Es reversible en el tiempo Para un potencial con simetría esférica conserva el momento angular exactamente
Leapfrog en forma del método de paso mitad ⃗ v t + + τ 2 −⃗ v t − τ 2 F ( (⃗ r (t ),⃗ v (t ), t ) ; = τ m
⃗ r (t + + τ ) −⃗ r (t ) τ =⃗ v t + + τ 2
(⃗ r (0),⃗ v (0), 0) τ τ F ( ⃗ v (− ) = ⃗ v (0) − 2 2 m
Es reversible en el tiempo Para un potencial con simetría esférica conserva el momento angular exactamente Es simpléctico: no conserva la energia exactamente, pero es muy estable → bueno para tiempos largos
Introducción Teoría Métodos Runge-Kutta Búsqueda de propiedades Aplicación a problemas físicos Matla Matlabb EDO solv solvers ers Actua Actualidad lidad
Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio.
Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? b i a ij + b j a ji = b i b j
Órbitas planetarias con diferentes potenciales Utilizaremos el método del punto medio. ¿Simpléctico? i = j =1
b i a ij + b j a ji = b i b j →
1 × 12 + 1 × 12 = 1 = b 1 b 1
1 × 12 + 1 × 12 = 1 = b 1 b 1 
¿Reversibilidad temporal? a ij + a s +1−i ,s +1− j = b j
¿Reversibilidad temporal? i = j =1 a ij + a s +1−i ,s +1− j = b j → 12 + 12 = 1 = b 1
¿Reversibilidad temporal? i = j =1 a ij + a s +1−i ,s +1− j = b j → 12 + 12 = 1 = b 1 
¿Reversibilidad temporal? i = j =1 a ij + a s +1−i ,s +1− j = b j → 12 + 12 = 1 = b 1  b −i = b s +1−i
¿Reversibilidad temporal? i = j =1 a ij + a s +1−i ,s +1− j = b j → 12 + 12 = 1 = b 1  b −i = b s +1−i → b −1 = b 1 = 1
¿Reversibilidad temporal? i = j =1
a ij + a s +1−i ,s +1− j = b j → 12 + 12 = 1 = b 1  b −i = b s +1−i → b −1 = b 1 = 1
a ij + a s +1−i ,s +1− j = b j → 12 + 12 = 1 = b 1  b −i = b s +1−i → b −1 = b 1 = 1 c i = 1 − c s +1−i
a ij + a s +1−i ,s +1− j = b j → 12 + 12 = 1 = b 1  b −i = b s +1−i → b −1 = b 1 = 1 c i = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1
a ij + a s +1−i ,s +1− j = b j → 12 + 12 = 1 = b 1  b −i = b s +1−i → b −1 = b 1 = 1 c i = 1 − c s +1−i → 1 − 12 = 12 = c 1 
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes: Precesión del perihelio de Mercurio
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes: Precesión del perihelio de Mercurio Ec. de Henon- Heiles
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes: Precesión del perihelio de Mercurio Ec. de Henon- Heiles Problema de los 3 cuerpos
Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes: Precesión del perihelio de Mercurio Ec. de Henon- Heiles Problema de los 3 cuerpos Rotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno
Órbitas planetarias con diferentes potenciales n =3.5, v =0 AU/yr, v =5 AU/yr x
1 0.8 0.6 0.4 0.2 ) U A ( y
−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1
Órbitas planetarias con diferentes potenciales n =4, v =0 AU/yr, v =5 AU/yr x
Órbitas planetarias con diferentes potenciales n =2, v =0 AU/yr, v =5 AU/yr x
Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa) dx dt
= x α − β xy ;
= δ xy − y γ
Con y = no de predadores, x = no de presas xy= probabilidad de encontrarse
α = nacimiento medio -
muerte media β = interacción (eﬁciencia de caza del depredador)
y γ = muerte natural
(depredadores = competencia)
(depredadores = competencia) δ xy = tasa de reproducción por presa comida
Parámetros para la simulación α = 1 ; β = 0. 5 ; γ = 0. 25 ; δ = 0. 2
Ecuaciones de Lotka-Volterra Presas iniciales=5, Predadores iniciales=4 12 Predadores Presas 10 s e r o d a d e r p y s a s e r p e d º N
Ecuaciones de Lotka-Volterra Presas iniciales=5, Predadores iniciales=4 12
s e r o d a d e r p e d º N
3 Nº de presas
Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D Utilizaremos el método "leapfrog"
Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D Utilizaremos el método "leapfrog" Paquete de ondas: Ψ
−(x −x 0 )2 −(y −y 0 )2 = C exp ( σ 2 ) exp ( σ 2 ) exp (ik 0 x )
C = 10 ; x 0 = 0. 025 ; y 0 = 0. 5 ; σ 2 = 0. 01 ; k 0 = 40
Pozo de potencial: V = 0 x 0. 5
Paso de iteración: τ = 0. 00001 , No de iteraciones=200 , resolución espacial ∆x = 1/200
Paso de iteración: τ = 0. 00001 , No de iteraciones=200 , resolución espacial ∆x = 1/200 Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria
Paso de iteración: τ = 0. 00001 , No de iteraciones=200 , resolución espacial ∆x = 1/200 Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria Función creada previamente calcula la parte imaginaria en τ t = t + τ , t + 3 2 2 ...
Paso de iteración: τ = 0. 00001 , No de iteraciones=200 , resolución espacial ∆x = 1/200 Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria Función creada previamente calcula la parte imaginaria en τ t = t + τ , t + 3 2 2 ... Función creada previamente calcula la parte real en t = t + τ , t + 2τ ...
Paso de iteración: τ = 0. 00001 , No de iteraciones=200 , resolución espacial ∆x = 1/200 Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria Función creada previamente calcula la parte imaginaria en τ t = t + τ , t + 3 2 2 ... Función creada previamente calcula la parte real en t = t + τ , t + 2τ ... Calculamos |Ψ|2
Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D
Pared de potencial
Matlab EDO solvers
Aplicaciones actuales (las guays)
Hybrid Monte Carlo (HMC)→ Molecular Dynamics → Leapfrog http://arxiv.org/pdf/1109.3030.pdf
El grupo de Butcher (relacionada con el álgebra de Hopf) fue formulado para describir los métodos de Runge-Kutta
El grupo de Butcher (relacionada con el álgebra de Hopf) fue formulado para describir los métodos de Runge-Kutta Hoy en día estos conceptos se usan en teoría de renormalización de QFT perturbativas y geometría no conmutativa
El grupo de Butcher (relacionada con el álgebra de Hopf) fue formulado para describir los métodos de Runge-Kutta Hoy en día estos conceptos se usan en teoría de renormalización de QFT perturbativas y geometría no conmutativa http://www.impmc.upmc.fr/~brouder/BIT.pdf http://arxiv.org/pdf/hep-th/9904044.pdf
Report "2012-12-01-runge-kutta.pdf"
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References: resolución 
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 resolución 
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