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Timestamp: 2020-01-25 12:24:36+00:00

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TRIGONOMETRIA4B | Pi | Rotación
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Guia Metodologica de Mm111 Trigonometria (Autoguardado)
Unidades Fund Amen Tales de Longitud
Guia 6 Derivadas-2
Sistema de Medidas Angula.
Ejercicios para Cálculo Vectorial
preguntas simulacros
Leccion 3 Medidas de Angulos y Drecciones
Cartilla Trigonometria
Trigonom_1
Trigonometría 7
1. Sistemas de medida de ángulos. Operaciones
7 Trigonometría Actividades 7
 = 45º y
Aprenderás a… 1. SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. 1 Recuerda la definición de radián y justifica si un 6 Dos de los ángulos de un triángulo miden A
ángulo de 1,5 radianes de amplitud es agudo, π
● Medir la amplitud de un OPERACIONES recto u obtuso. Compruébalo expresándolo en B = rad. ¿Cuánto mide el tercer ángulo? Exprésalo
ángulo utilizando el sistema 3
Emma ha dibujado un ángulo grados, minutos y segundos.
sexagesimal y el sistema en grados y en radianes.
en una circunferencia y
2 ¿Cuántos radianes mide un ángulo llano? Aproxima Clasifica el triángulo según sus ángulos y lados.
mide su amplitud en grados
Transformar una medida el resultado con dos decimales. Utilizando ese
● sexagesimales usando el 7 Un rombo tiene un ángulo de 105º 15’ 27”;
angular de uno a otro dato, determina, sin hacer operaciones, entre
transportador. determina el valor de los otros tres en grados,
sistema. qué dos números enteros se encuentra el valor de
Ha leído que los ángulos estos ángulos si los expresas en radianes. minutos, segundos y en radianes.
también se pueden medir a
a) 45º c) 150º 8 Calcula de forma razonada en grados y en radianes
partir de la longitud del radio.
b) 90º d) 215º el valor de los ángulos que se muestran.
Observa que el arco de dicho ángulo tiene la misma longitud que el radio de la
circunferencia. 3 Calcula la amplitud de estos ángulos en grados,
Recuerda minutos y segundos.
La medida de este ángulo recibe el nombre de radián. B̂
❚ Como la longitud de una 3π
En el dibujo, Emma comprueba que un radián es mayor que un grado, y para calcular a) 4,2 rad c) rad
circunferencia es 2πr, un 2 Â
a cuántos grados equivale:
radio cabe exactamente 2π
veces en la circunferencia. 1 Tiene en cuenta que una circunferencia abarca 360º y que su longitud es 2πr, b) rad d) 6 rad
donde r = 3 cm. 4 9 Un arco de una circunferencia de 5 m de radio mide
❚ Una circunferencia completa
mide 360º. 2 Establece la siguiente proporción entre la longitud de la circunferencia y el radio: 4 Copia y completa la tabla en tu cuaderno. 8 m. Indica de forma razonada entre qué dos números
enteros está la amplitud del ángulo correspondiente
2π ⋅ 3 3 3 ⋅ 360° º 30 45 60 90 120 135 150 180 en radianes.
= →n= ≈ 57,2858°
360 n 2π ⋅ 3
rad O O O O O O O O 10 El radio de una circunferencia mide 6 dm. ¿Cuál es
Por tanto, un radián equivale a 57,2858º. la amplitud en radianes de un ángulo que abarca un
arco de 2 dm? ¿Y si abarca uno de 12 dm? Exprésalo
Presta atención Observa que esta proporción no depende de la longitud del radio, por lo que
en radianes y en grados.
podemos utilizarla para determinar la equivalencia entre grados y radianes para EJERCICIO RESUELTO
Para expresar un número en forma cualquier ángulo. 11 En una circunferencia de 5 m de radio, averigua cuál
compleja con la calculadora, se
En el sistema sexagesimal, Emma expresa este ángulo en forma compleja y } Expresa la amplitud 56º 24’ 18” en radianes. es la longitud del arco de estos ángulos de:
utiliza la tecla °: Solución
obtiene: 57º 17’ 45” a) 2 rad b) 3 rad c) 1,5 rad d) 6 rad
57,2858º ° = Además, el radián es la unidad de medida de ángulos en el sistema internacional. ¿Y si el radio fuese de 7 m? ¿Y de 10 m? ¿Y si
= 57º 17’ 44,81” ≈ 57º 17’ 45”
fuese r? Escribe una fórmula para calcular un arco
❚ La unidad de referencia en el sistema sexagesimal es el grado (º). Sus mac4e25 de circunferencia a partir del radio y el ángulo en
submúltiplos son el minuto (’) y el segundo (”). radianes.
1º = 60’ 1’ = 60” Según los resultados obtenidos analiza si tiene alguna
Lenguaje matemático ventaja el sistema internacional sobre el sistema
❚ La unidad de referencia en el sistema internacional es el radián, que es la sexagesimal.
Al expresar un ángulo en amplitud del ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de un radio
radianes, lo indicamos con el
de longitud. 12 Un ángulo mide 2,5 rad y uno de los arcos que abarca
símbolo rad.
360° = 2π rad mide 10 cm. ¿Cuál es el radio de la circunferencia?
13 Calcula el área del sector circular.
} Expresa la amplitud de estos ángulos en la unidad que se indica.
5 Expresa en radianes la amplitud de estos ángulos.
a) 45º en radianes b) en grados a) 34º 27’ 9”
Solución b) 157º 6’ 36” Busca una fórmula para averiguar el área partiendo
Con la equivalencia de 360° = 2π rad, o lo que es lo mismo 180° = π rad, podemos establecer, en ambos casos, una c) 208º 30’ 27” del ángulo en radianes.
proporción y despejar de ahí la medida pedida.
→x =
45º ⋅π
180 º ⋅2π /3
180 º ⋅2 ⋅ π
180° 45º 180 º 180 º 4 180° x π 3⋅π
14 Nosotros medimos los ángulos en grados sexagesimales o en radianes, pero también existe el sistema de medida
45º = = 120° en grados centesimales. Investiga qué es un grado centesimal. ¿Qué significa la abreviatura que aparece en la
4 3 calculadora, Gra? ¿Por qué aparece esa unidad de medida? ¿Quiénes la usan?
En este primer epígrafe se recuerda el sistema sexagesimal y se Sería interesante incidir en la expresión en radianes de los án-
introduce la unidad del sistema internacional de medidas para gulos más representativos: 30º, 45º, 60º...
la amplitud de ángulos: el radián. Es importante que compren-
Vídeo. GRADOS Y RADIANES
dan la relación entre radián, radio y longitud de la circunfe-
rencia. En este curso seguiremos trabajando básicamente con En el vídeo se muestra cómo introducir la medida de amplitud
el sistema sexagesimal. Pero hemos de conseguir que tengan de un ángulo dada en grados, minutos y segundos en una cal-
culadora científica y cómo hallar la expresión correspondiente en
soltura en el cambio de uno a otro (proporción) y que identifi-
radianes. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explica-
quen de forma aproximada la amplitud de un ángulo cualquie- ción de la página anterior o como recurso para que los alumnos
ra entre 0 y 2π sin hacer el cambio de unidades. investiguen o repasen la utilización de su propia calculadora.
1 Recuerda la definición de radián y justifica si un ángulo de 1,5 radianes de amplitud es agudo, recto u obtuso. Compruébalo
expresándolo en grados, minutos y segundos.
Un radián es la amplitud de un ángulo central en una circunferencia que abarca un arco de un radio de longitud. Es un án-
gulo agudo puesto que una circunferencia entera mide 2π ≈ 6,28 radios, es decir, un cuarto de circunferencia, 90º, serían:
≈ 1,57  radios. Es decir un radián es menor de 90º.
Para determinar su medida en grados, minutos y segundos despejamos en la proporción entre los radios que caben en una
2π 1,5 360 ⋅1,5
circunferencia y los grados que mide: = →x = ≈ 85º 56' 37,21"
360° x 2π
2 ¿Cuántos radianes mide un ángulo llano? Aproxima el resultado con dos decimales. Utilizando ese dato, determina, sin hacer
operaciones, entre qué dos números enteros se encuentra el valor de estos ángulos si los expresas en radianes.
a)	45º	b)	90º c)	150º	d)	215º
Un ángulo llano abarca media circunferencia: 180° = π rad = 3,14 rad
a)	0 rad < 45º < 1 rad b)	1 rad < 90 º < 2 rad c)	2 rad < 150 º < 3 rad d)	3 rad < 215º < 4 rad
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO
3 Calcula la amplitud de estos ángulos en grados, minutos y segundos.
5π 3π
a)	4,2 rad	b)	rad c)	rad	d)	6 rad
⋅180
4,2 ⋅180 3π
a)	4,2 rad = = 240 º 38' 32,19" c)	rad = 2 = 270 º
5π 6 ⋅180
b)	rad = 4 = 225º d)	6 rad = = 343º 46' 28,84"
4 Copia y completa la tabla en tu cuaderno.
º 30 45 60 90 120 135 150 180
π π π π 2π 3π 5π
rad π
a)	34º 27’ 9”	b)	157º 6’ 36”	c)	208º 30’ 27”
a)	34 º 27' 9" = 0,6013095...	b)	157º 6' 36" = 2,742086... c)	208 º 30' 27" = 3,639142...
 = 45º y B = π rad. ¿Cuánto mide el tercer ángulo? Exprésalo en grados y en
6 Dos de los ángulos de un triángulo miden A
radianes. 3
Clasifica el triángulo según sus ángulos y lados.
! + B! + C! = 180 º → C! = 180 º −( 45º + 60 º ) = 75º = 75º ⋅π ≈ 1,3090 rad
El triángulo es acutángulo pues sus tres ángulos son agudos, y escaleno pues si sus tres ángulos tienen distintas amplitudes sus
lados tienen distintas longitudes.
7 Un rombo tiene un ángulo de 105º 15’ 27”; determina el valor de los otros tres en grados, minutos, segundos y en radianes.
Un rombo tiene los ángulos iguales dos a dos. Los ángulos consecutivos son complementarios:
A! + B! = 180 º → B! = 180° − (105º 15' 27" ) = 74 º 44' 33"
Los ángulos opuestos tienen la misma amplitud: A ! = C! = 105º 15' 27" = 1,837 rad B! = D
! = 74 º 44' 33" = 1,3045 rad
8 Calcula de forma razonada en grados y en radianes el valor de los ángulos que se muestran.
El ángulo A! es el ángulo central de un pentágono regular: A ! = 360 º = 72º = 1,2566 rad
Y B! es el ángulo interior, suma de los dos ángulos iguales del triángulo central, suplementario de A
B! = 180 º −72º = 108 º = 1,8850 rad
9 Un arco de una circunferencia de 5 m de radio mide 8 m. Indica de forma razonada entre qué dos números enteros está la
amplitud del ángulo correspondiente en radianes.
La longitud del arco está entre uno y dos radios: 5 m < 8 m < 2 ⋅ 5 m y por tanto la amplitud del ángulo estará entre 1 rad y
10 El radio de una circunferencia mide 6 dm. ¿Cuál es la amplitud en radianes de un ángulo que abarca un arco de 2 dm? ¿Y si
abarca uno de 12 dm? Exprésalo en radianes y en grados.
Si el ángulo abarca un arco de 2 dm que es la tercera parte del radio, mide rad.
2 dm = = ⋅ 6 = rad = 19º 5' 54,94"
Y si abarca 12 dm que es el doble del radio medirá 2 rad: 12 dm = 2 ⋅ 6 = 2 rad = 114 º 35' 29,61"
11 En una circunferencia de 5 m de radio, averigua cuál es la longitud del arco de estos ángulos de:
a)	2 rad	b)	3 rad	c)	1,5 rad	d)	6 rad
¿Y si el radio fuese de 7 m? ¿Y de 10 m? ¿Y si fuese r? Escribe una fórmula para calcular un arco de circunferencia a partir del
radio y el ángulo en radianes.
Según los resultados obtenidos analiza si tiene alguna ventaja el sistema internacional sobre el sistema sexagesimal.
2 rad 3 rad 1,5 rad 6 rad
r=5m 2 ⋅ 5 = 10 m 3 ⋅ 5 = 15 m 1,5 ⋅ 5 = 7,5 m 6 ⋅ 5 = 30 m
r=7m 2 ⋅ 7 = 14 m 3 ⋅ 7 = 21 m 1,5 ⋅ 7 = 10,5 m 6 ⋅ 7 = 42 m
r = 10 m 2 ⋅ 10 = 20 m 3 ⋅ 10 = 30 m 1,5 ⋅ 10 = 15 m 6 ⋅ 10 = 60 m
r 2⋅r 3⋅r 1,5 ⋅ r 6⋅r
Para determinar la longitud del arco basta con multiplicar los radianes por la longitud del radio: L arco = r ⋅ amplitud (rad) . Para
calcular longitudes sobre la circunferencia o trayectorias es más sencillo.
12 Un ángulo mide 2,5 rad y uno de los arcos que abarca mide 10 cm. ¿Cuál es el radio de la circunferencia?
L arco 10
Despejando de la fórmula obtenida en el ejercicio anterior: r = = = 4 cm
amplitud (rad) 2,5
Busca una fórmula para averiguar el área partiendo del ángulo en radianes.
Teniendo en cuenta el cambio de unidades:
π ⋅r2 π ⋅r2
Asector circular = ⋅ amplitud (º) = ⋅ amplitud (rad)
360 º 2π
amplitud (rad) 2
Entonces: A sector circular = ⋅r2 = ⋅ 52 = 25 dm2
14 Nosotros medimos los ángulos en grados sexagesimales o en radianes, pero también existe el sistema de medida en grados
centesimales. Investiga qué es un grado centesimal. ¿Qué significa la abreviatura que aparece en la calculadora, Gra? ¿Por qué
aparece esa unidad de medida? ¿Quiénes la usan?
Los grados centesimales, o gradianes (Gra), son una alternativa a los grados sexagesimales que representa de la circun-
ferencia. 400
Surge de la división del plano en 400 ángulos iguales con vértice común, de modo que un cuadrante corresponde a 100 grados
centesimales. La división en minutos y segundos se hace de 100 en 100 partes iguales, en lugar de 60 en 60.
Se utiliza en topografía e ingenería civil.
Aprenderás a… 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO 15 Traza tres triángulos rectángulos en posición de Tales 19 Coteja los resultados que has obtenido en el ejercicio
con C = 35° . Midiendo sobre el dibujo, halla, con los anterior con los que da la calculadora.
● Identificar las razones AGUDO tres, el seno, el coseno y la tangente de 35º.
trigonométricas de un ángulo 20 Halla las razones trigonométricas de los ángulos
La profesora de Matemáticas Observa que los resultados son casi iguales. agudos de los triángulos rectángulos cuyas medidas
de una clase de 4.º de ESO ha Compáralos con los valores que da la calculadora.
Calcular las razones son las siguientes.
● sacado a todos sus alumnos a
trigonométricas de un
la cancha de baloncesto del 16 Halla con la calculadora el valor de las siguientes a) Un cateto mide 5 m, y la hipotenusa, 7,5 m.
ángulo. razones trigonométricas. b) Los catetos miden 5 dm y 2,3 dm.
patio. La mitad permanece de
● Utilizar la calculadora para espaldas al sol. El resto mide a) sen 51º d) tg 23º
determinar las razones 21 Calcula los lados que faltan en un triángulo rectángulo
la estatura de su compañero y b) tg 89º e) sen (13º 22’ 14”)
trigonométricas de un ángulo si tg α ≈ 3,27 y el cateto adyacente a α mide 6,1 m.
la sombra que proyecta sobre c) cos 67º f) cos (34º 42’ 56”)
17 Sobre una hoja de papel milimetrado traza:
La profesora les indica que dividan la estatura de cada alumno entre la longitud de EJERCICIO RESUELTO
su sombra; resulta que todos los cocientes son iguales. ❚ Un segmento, AC, de 1 dm de longitud.
❚ Una perpendicular a él por A. } Determina el valor de todos los ángulos y los
❚ Un arco de 90º con centro en C y radio CA. lados del triángulo.
Con ayuda de un transportador, construye un ángulo
Esta igualdad se obtiene porque el Sol está tan lejos que sus rayos se pueden 17 cm
de 40º y prolonga ese lado hasta que corte a la
considerar paralelos. Es decir, el ángulo que forman con el suelo es igual para todos perpendicular en B. Nombra los puntos según se
los alumnos. muestra en la figura.
Como el terreno es llano, los triángulos formados por cada alumno y su sombra son
semejantes. Solución
Presta atención •B
Podemos establecer estas relaciones:
Si bajan en otro momento del día y • B’
repiten las mediciones, las sombras ⎪⎧⎪ A != A! ´ = 90 º
de todos serían diferentes y los ABC ∼ A’B’C’ pues ⎨⎪
⎪⎪ ! !
cocientes, por ejemplo, serían: ⎪⎩ C = C ´
estatura β = 40
Razón = = 1,7 c´ b´ c´ c • • •
= → b ⋅ c ´ = b´ ⋅ c → = = 0,8 C A’ A
c b b´ b
a) Fíjate en los triángulos ABC y A’B’C’; ¿son válidos
Son iguales entre sí, pero distintos
para calcular las razones trigonométricas de 40º?
a los del otro momento; es decir,
la estatura y su sombra son ¿Por qué? mac4e26
proporcionales en cada momento b) Con el triángulo ABC, y midiendo con el papel
Esa razón, que solo depende del ángulo que forman los rayos del sol con el suelo, es
del día. milimetrado, aproxima la tangente de 40º.
la tangente del ángulo C , que se expresa como tg C .
c) Con A’B’C’, y midiendo con el papel milimetrado, 22 Utiliza la calculadora para averiguar el valor del
De la misma manera, también son constantes estas otras razones asociadas a ese aproxima el seno y el coseno de 40º. ángulo α en cada caso.
ángulo. a) sen α = 0,4540
18 Utiliza la construcción del ejercicio anterior para
Estatura c Sombra b aproximar las razones trigonométricas de 10º, 20º, b) cos α = 0,3090
Distancia coronilla sombra a Distancia coronilla sombra a 30º… Anota los resultados en una tabla y contesta. c) tg α = 0,2309
a) Es necesario medir para cada razón los dos lados d) tg α = 19,0811
Decimos que la primera de ellas es el seno del ángulo C , y escribimos sen C , y que
implicados. ¿Por qué?
la segunda es el coseno del ángulo C , y escribimos cos C . 23 Determina el valor de todos los ángulos y los lados de
b) Analiza qué ventajas tiene cada uno de estos
los triángulos con estas medidas.
triángulos para calcular las razones de un ángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo, α, en un triángulo rectángulo son: a) Un cateto mide 5 m, y la hipotenusa, 5 2 m.
Presta atención c) ¿Entre qué valores se encuentran las razones
cateto opuesto B seno, coseno y tangente? Justifica por qué. b) Los catetos miden 10,4 dm y 15,3 dm.
Si a partir del seno de un ángulo, hipotenusa
α, queremos hallar la medida del
ángulo utilizamos la función: cateto adyacente Hipotenusa Investiga
arc sen hipotenusa
24 Averigua cuáles son las razones recíprocas de seno, coseno y tangente.
Análogamente, a partir del coseno cateto opuesto α
y de la tangente de un ángulo, α, tg α = C Cateto adyacente A a) Escribe cada una como razón de los lados del triángulo rectángulo.
podemos obtener la medida del cateto adyacente
b) Fijándote en cómo se calculan, averigua qué valores pueden tomar.
ángulo con las funciones arc cos y Las razones trigonométricas de los lados de un triángulo dependen del valor de
arc tg, respectivamente. sus ángulos agudos. c) Investiga cómo hallarlos con la calculadora.
En este epígrafe se muestran por primera vez las razones trigo-
Vídeo. LADOS Y ÁNGULOS
nométricas de un ángulo agudo. Después de haber repasado la
semejanza de triángulos en la unidad anterior, la utilizamos en En el recurso se resuelve paso a paso el ejercicio resuelto de la
este epígrafe para comprobar que la razón entre los lados de página de Actividades, aplicando el teorema de Pitágoras y re-
lacionando las longitudes de los lados mediante las razones tri-
un triángulo rectángulo es constante y solo depende del valor gonométricas para hallar la amplitud de los ángulos. El cálculo
del ángulo correspondiente y no del tamaño del triángulo. Para del ángulo cuya tangente se indica se realiza con la calculadora
que los alumnos comprendan que las razones están relaciona- científica usando la función inversa correspondiente. Puede re-
das con el valor del ángulo y ver cómo varía cada una de ellas es producirse en clase para completar la explicación de la página
interesante que manipulen con triángulos, con lápiz y papel o anterior o para que los alumnos repasen el procedimiento para
GeoGebra, como en el ejercicio 17. Ellos deben descubrir cómo resolver un triángulo rectángulo más tarde.
varían las tres razones dependiendo de la amplitud del ángulo.
 = 35° . Midiendo sobre el dibujo, halla, con los tres, el seno, el
15 Traza tres triángulos rectángulos en posición de Tales con C
coseno y la tangente de 35º.
Observa que los resultados son casi iguales. Compáralos con los valores que da la calculadora.
Respuesta abierta. La solución debería quedar así:
sen 35º = 0,5735764... → = 0,5725...; = 0,5733...; = 0,5737...
2,62 4,36 6,1 cm
2,15 3,57 4,99 m
cos 35º = 0,8191520... → = 0,8206...; = 0,8188...; = 0,8180... 6c
2,62 4,36 6,1
1,5 2,5 3,5 35º
tan 35º = 0,700207... → = 0,6976...; = 0,7002...; = 0,7014... 2,15 cm
2,15 3,57 4,99 3,57 cm
16 Halla con la calculadora el valor de las siguientes razones trigonométricas.
a)	sen 51º	c)	cos 67º	e)	sen (13º 22’ 14”)
b)	tg 89º	d)	tg 23º	f)	cos (34º 42’ 56”)
a)	sen 51º ≈ 0,777145961...	c)	cos 67º ≈ 0,390731128...	e)	sen (13º 22’ 14’’) ≈ 0,23124796...
b)	tg 89º ≈ 57,2899616...	d)	tg 23º ≈ 0,424474816...	f)	cos (34º 42’ 56’’) ≈ 0,821989453...
❚ Un segmento, AC, de 1 dm de longitud. •B
❚ Una perpendicular a él por A. • B’
❚ Un arco de 90º con centro en C y radio CA.
Con ayuda de un transportador, construye un ángulo de 40º y prolonga ese lado hasta que
corte a la perpendicular en B. Nombra los puntos según se muestra en la figura.
a)	Fíjate en los triángulos ABC y A’B’C’; ¿son válidos para calcular las razones trigonométricas • • •
de 40º? ¿Por qué? C A’ A
b)	Con el triángulo ABC, y midiendo con el papel milimetrado, aproxima la tangente de 40º.
c)	Con A’B’C’, y midiendo con el papel milimetrado, aproxima el seno y el coseno de 40º.
a)	Sí son válidos porque son triángulos rectángulos con un ángulo agudo de 40º de amplitud.
AB 8, 4 cm
b)	tg 40 º ≈ = = 0,84
A'B' 6, 4 cm CA' 7,65 cm
c)	sen 40 º ≈ = = 0,64, cos 40 º ≈ = = 0,765
CB' 10 cm CB' 10 cm
18 Utiliza la construcción del ejercicio anterior para aproximar las razones trigonométricas de 10º, 20º, 30º… Anota los resultados
en una tabla y contesta.
a)	¿Es necesario medir para cada razón los dos lados implicados? ¿Por qué?
b)	Analiza qué ventajas tiene cada uno de estos triángulos para calcular las razones de un ángulo.
c)	¿Entre qué valores se encuentran las razones seno, coseno y tangente? Justifica por qué.
10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º
seno 0,17 0,34 0,5 0,64 0,765 0,865 0,94 0,98
coseno 0,985 0,94 0,865 0,765 0,64 0,5 0,34 0,17
tangente 0,175 0,36 0,58 0,84 1,19 1,73 2,75 5,67
a)	No, con un triángulo así construido, una de las dos longitudes es de un radio, 1 dm.
b)	Midiendo en centímetros, basta con dividir la longitud que no corresponde con un radio, entre 10.
c)	El seno y el coseno son razones entre las longitudes de los catetos y la hipotenusa y por tanto, positivas. Al ser esta el lado
más largo en un triángulo rectángulo, las razones serán siempre inferiores a 1. Es decir, los valores del seno y del coseno de
un ángulo agudo varían entre 0 y 1.
Para la tangente no están acotados los valores, su valor puede ser cualquier número positivo.
19 Coteja los resultados que has obtenido en el ejercicio anterior con los que da la calculadora.
seno 0,1736 0,342 0,5 0,6427 0,766 0,866 0,9396 0,9848
coseno 0,9848 0,9396 0,866 0,766 0,6427 0,5 0,342 0,1736
tangente 0,1763 0,3639 0,5773 0,839 1,1917 1,732 2,7474 5,6712
20 Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos cuyas medidas son las siguientes.
a)	Un cateto mide 5 m, y la hipotenusa, 7,5 m.
b)	Los catetos miden 5 dm y 2,3 dm.
a)	Llamamos a = 7,5 m, a la hipotenusa y b = 5 m, al cateto. Determinamos primero la longitud del cateto que falta aplicando
el teorema de Pitágoras: c = 7,52 − 52 ≈ 5,6 m
Así las razones de sus ángulos son:
b 5 c 5,6 b 5
B! → sen B! = = = 0,666...; cos B! = ≈ = 0,7466...; tg B! = ≈ = 0,892...
a 7,5 a 7,5 c 5,6
c 5,6 b 5 c 5,6
C! → sen C! = ≈ = 0,7466...; cos C! = = = 0,666...; tg C! = ≈ = 1,12
a 7,5 a 7,5 b 5
b)	Llamamos b = 5 dm, a un cateto y c = 2,3 dm, al otro. Determinamos primero la longitud de la hipotenusa aplicando el
teorema de Pitágoras: a = 52 + 2,32 ≈ 5,5 dm
b 5 c 2,3 b 5
B! → sen B! = ≈ = 0,9090...; cos B! = ≈ = 0, 4181...; tg B! = = = 2,1739...
a 5,5 a 5,5 c 2,3
c 2,3 b 5 c 2,3
C! → sen C! = ≈ = 0, 4181...; cos C! = ≈ = 0,9090...; tg C! = = = 0, 46
a 5,5 a 5,5 b 5
21 Calcula los lados que faltan en un triángulo rectángulo si tg a ≈ 3,27 y el cateto adyacente a a mide 6,1 m.
A partir de la tangente hallamos el valor del otro cateto y con él, el de la hipotenusa aplicando el teorema de el teorema de Pitágoras.
cateto opuesto cateto opuesto
tg α = → = 3,27 → cateto opuesto = 19,947 m
cateto adyacente 6,1
Hipotenusa = 6,12 + 19,9472 ≈ 20,859 m
22 Utiliza la calculadora para averiguar el valor del ángulo α en cada caso.
a)	sen α = 0,4540	b)	cos α = 0,3090	c)	tg α = 0,2309	d)	tg α = 19,0811
a)	α = arc sen 0, 4540 ≈ 27º b)	α = arc cos 0,3090 ≈ 72º c)	α = arc tg 0,2309 ≈ 13º d)	α = arc tg 19,0811 ≈ 87º
23 Determina el valor de todos los ángulos y los lados de los triángulos con estas medidas.
a)	Un cateto mide 5 m, y la hipotenusa, 5 2 m.	b)	Los catetos miden 10,4 dm y 15,3 dm.
a)	Con un cateto y la hipotenusa hallamos un ángulo agudo: senα = → α = arc sen = 45º
El otro ángulo será su complementario: β = 90 º − 45º = 45º 5 2 5 2
Al ser un triángulo isósceles el otro cateto mide también 5 m.
10, 4 10, 4
b)	Con los catetos calculamos uno de los ángulos agudos: tg α = → α = arc tg = 34 º 12' 19,65"
El otro ángulo será su complementario: β = 90 º −( 34 º 12' 19,65" ) = 55º 47' 40,35"
Para determinar la longitud de la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras: a = 10, 42 + 15,32 = 18,5 dm
24 Averigua cuáles son las razones recíprocas del seno, coseno y tangente.
a)	Escribe cada una como razón de los lados del triángulo rectángulo.
b)	Fijándote en cómo se calculan, averigua qué valores pueden tomar.
c)	Investiga cómo hallarlos con la calculadora.
a)	Las razones recíprocas son:
seno → cosecante: cosec α = =
senα cateto opuesto
coseno → secante: sec α = =
cos α cateto adyacente
1 cateto adyacente
tangente → cotangente: cotg α = =
tgα cateto opuesto
b)	Teniendo en cuenta la relación de tamaño entre los catetos y la hipotenusa, cosecante y secante tendrán valores estrictamen-
te mayores que uno y la cotangente tomará cualquier valor positivo.
c)	Las tres razones son las inversas con respecto a la multiplicación, se pueden calcular con el botón Q y a continuación la razón
3. Relaciones entre las razones trigonométricas de un triángulo
Aprenderás a… 3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES 25 Elige un ángulo agudo, α, y con ayuda de la calculadora comprueba que:
● Conocer las relaciones entre TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO a) sen2 α + cos2 α = 1 b)
las razones trigonométricas cos α
Luis, después de estudiar las
razones trigonométricas de un Compara tu ejemplo con el de tus compañeros. ¿Qué ángulo han elegido?
● Averiguar el valor de las ángulo, se pregunta si habrá ¿Importa el valor del ángulo para el resultado?
razones trigonométricas de alguna relación entre ellas.
un ángulo a partir de otras. 26 Decide de forma razonada si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
● Aplicar las relaciones entre a) Si sen α = cos α, entonces tg α = 1.
las razones trigonométricas Para comprobarlo:
b) Existe un ángulo, α, tal que sen α = 0,5 y cos α = 0,5.
de un ángulo para resolver 1 Relaciona las razones trigonométricas con los lados del triángulo rectángulo.
problemas. c) Si sen α = 0,9; entonces tg α > 1.
c b c 1
sen α = cos α = tg α = d) Si sen α = 2cos α, entonces tg α = .
2 Eleva al cuadrado el seno y el coseno y los suma. Después, aplica el teorema de
27 Si sen α = 0,3, aproxima los valores del cos α y tg α. Expresa los resultados con
Pitágoras por tratarse de un triángulo rectángulo.
4 cifras decimales.
⎛ c ⎞2 ⎛ b ⎞2 c 2 b2 c 2 + b2 a2
(sen α )2 + (cos α )2 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = + = = =1 28 Aproxima con cuatro decimales los valores del seno y el coseno de un ángulo cuya
⎝a⎠ ⎝ a⎠ a2 a2 a2 a2 tangente vale 4.
Comprueba así que la suma del seno al cuadrado y el coseno al cuadrado de 29 Calcula de forma aproximada todas las razones trigonométricas de los ángulos
un ángulo cualquiera es 1. Como ha operado sin tener en cuenta ningún valor cumplen que:
concreto, concluye que esta relación se cumple para cualquier ángulo.
a) sen α = 0,3420 b) cos α = 0,8930 c) tg α = 5
Se pregunta ahora si habrá alguna otra relación entre las razones trigonométricas y
observa que, en efecto, estas relacionan los lados de un triángulo de dos en dos y 30 Averigua para todos los apartados del ejercicio anterior cuál es el valor de α (tanto
c en radianes como en grados, minutos, segundos), utilizando tu calculadora.
que tg α = es el cociente de las otras dos: Comprueba después las soluciones, hallando sus razones de nuevo con la
b calculadora.
c b c ⋅a c sen α
sen α : = = tg α → = tg α
Lenguaje matemático a a a⋅b b cos α 4 3
31 Justifica si es posible que cos α = y tg α = . En caso afirmativo, ¿cuánto
El cuadrado de las razones cos α 5 4
trigonométricas se escribe:
valdría el seno? Presta atención
Las razones trigonométricas de un mismo ángulo, α, están relacionadas.
(sen α)2 = sen2α 1 En las expresiones que contengan
32 Si cos α = , determina los valores de sen α y tg α.
4 fracciones y radicales es preferible
(cos α)2 = cos2α Las dos relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un trabajar con ellos y no aproximar los
ángulo α son: resultados.
(tg α)2 = tg2α 1
sen α 33 Calcula las razones trigonométricas de un ángulo para el que tg α = .
sen2α + cos2α = 1 = tg α 3
34 Copia y completa la tabla, expresando las soluciones de forma exacta.
EJERCICIO RESUELTO 2 1
sen α O O
} Determina las razones trigonométricas que faltan a partir de la que se da.
a) sen α = 0,4226 b) tg α = 3 2
cos α O O O
a) Con el valor del seno calculamos cos α. b) La tangente relaciona seno y coseno. tg α O O O
sen2 α + cos2 α = 1 → 0,42262 + cos2 α = 1 sen α
= 3 → sen α = 3 ⋅ cos α
cos α = 1− 0, 42262 ≈ 0,9063 cos α 35 Busca las razones trigonométricas de un ángulo, α, cuyo seno valga el doble que
Con los valores de seno y coseno determinamos la Sustituyendo en la otra relación:
tangente. sen2 α + cos2 α = 1 → (3 ⋅ cos α)2 + cos2 α = 1 DESAFÍO
sen α 0, 4226 1 36 Demuestra con ayuda del teorema de Pitágoras que para cualquier ángulo, α, también se cumple:
= tg α → ≈ tg α 10 ⋅ cos α = 1 → cos α = ≈ 0,3162
cos α 0,9063 10 1
Luego: tg α = 0,4663 Y por tanto: sen α = 3 ⋅ 0,3162 ≈ 0,9486 cos2 α
En este epígrafe se demuestran las relaciones entre las razones Esto dará pie a la demostración formal.
trigonométricas de un ángulo. Como conocen la definición Los alumnos de este curso ya tienen capacidad para compren-
de las razones, podemos preguntarles si creen que existe al- der, y hacer, demostraciones. Tras analizar las demostraciones
guna relación entre ellas. Si van sugiriendo ideas aparecerá el que aparecen en la teoría sería bueno proponerles el Desafío y
teorema de Pitágoras y si, en todas las razones intervienen los ver si son capaces de seguir el razonamiento solos.
mismos números, el valor de una depende del de las otras.
25 Elige un ángulo agudo, α, y con ayuda de la calculadora comprueba que:
a)	sen2 a + cos2 a = 1	= tg α b)
Compara tu ejemplo con el de tus compañeros. ¿Qué ángulo han elegido? ¿Importa el valor del ángulo para el resultado?
Respuesta abierta. Deberían introducir toda la secuencia seguida para evitar los errores de aproximación. Que prueben con
distintas medidas. No importa el valor del ángulo elegido, las igualdades se cumplen.
26 Decide de forma razonada si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a)	Si sen a = cos a, entonces tg a = 1.	c)	Si sen a = 0,9; entonces tg a > 1.
b)	Existe un ángulo, α, tal que sen a = 0,5 y cos a = 0,5.	d)	Si sen a = 2cos a, entonces tg α = .
senα 2
a)	Verdadera. Si ambas razones son iguales, su cociente es la unidad: tg α = =1
b)	Falsa. Sabemos que sen2 α + cos2 α = 1 y sin embargo: 0,52 + 0,52 = 0,5 ≠ 1
c)	Verdadera. Si sen α = 0,9 → cos α = 1− sen2 α = 0,19 → tg α = = 2,06... > 1
senα 2cos α
d)	Falsa. Sería el inverso, esto es, sustituyendo en la igualdad: tg α = = =2
27 Si sen a = 0,3, aproxima los valores del cos a y tg a. Expresa los resultados con 4 cifras decimales.
Aplicando las relaciones fundamentales de la trigonometría:
sen α 0,3
cos α = 1− sen2 α = 1− 0,09 ≈ 0,9539 → tg α = = ≈ 0,3145
cos α 0,91
28 Aproxima con cuatro decimales los valores del seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 4.
sen α sen α
Aplicando las relaciones fundamentales de la trigonometría: tg α = →4= → sen α = 4 ⋅ cos α
sen2 α + cos2 α = 1 → 42 ⋅ cos2 α + cos2 α = 1 → 17 ⋅ cos2 α = 1 → cos α = = ≈ 0,2425
Y entonces: sen α = 4 ⋅ = ≈ 0,9701
29 Calcula de forma aproximada todas las razones trigonométricas de los ángulos que cumplen que:
a)	sen a = 0,3420	b)	cos a = 0,8930	c)	tg a = 5
sen α 0,3420
a)	cos α = 1− sen2 α = 1− 0,34202 ≈ 0,9397 → tg α = ≈ ≈ 0,3639
cos α 0,9397
sen α 0, 4501
b)	sen α = 1− cos2 α = 1− 0,89302 ≈ 0, 4501 → tg α = ≈ ≈ 0,5040
cos α 0,8930
c)	tg α = →5= → sen α = 5 ⋅ cos α
sen2 α + cos2 α = 1 → 52 ⋅ cos2 α + cos2 α = 1 → 26 ⋅ cos2 α = 1 → cos α = =
sen α = 5 ⋅ =
30 Averigua para todos los apartados del ejercicio anterior cuál es el valor de α (tanto en radianes como en grados, minutos, se-
gundos), utilizando tu calculadora. Comprueba después las soluciones, hallando sus razones de nuevo con la calculadora.
Los valores de los ángulos son por apartados:
a)	arc sen 0,3420 ≈ 19º 59' 55,58" → 0,3490 rad
b)	arc cos 0,8930 ≈ 26 º 44' 50,35" → 0, 4668 rad
c)	arc tg 5 ≈ 78 º 41' 24,24" → 1,3734 rad
31 Justifica si es posible que cos α = y tg α =
. En caso afirmativo, ¿cuánto valdría el seno?
Es posible, existe un valor para el seno, menor que uno, que cumple su relación con tangente y coseno.
sen α 3 sen α 3
tg α = → = → sen α = 5 =
cos α 4 4 4 5
32 Si cos α = , determina los valores de sen a y tg a.
⎛ 1 ⎞2 15 15 sen α
sen α = 1− cos2 α = 1− ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = = → tg α = = 4 = 15
⎜⎝ 4 ⎟⎠ 16 4 cos α 1
33 Calcula las razones trigonométricas de un ángulo para el que tg α = .
sen α 1 sen α
Aplicando las relaciones fundamentales de la trigonometría: tg α = → = → 3 ⋅ sen α = cos α
cos α 3 cos α
sen2 α + cos2 α = 1 → sen2 α + 32 ⋅ sen2 α = 1 → 10 ⋅ sen2 α = 1 → sen α = =
cos α = 3 ⋅ =
2 5 21 15
35 Busca las razones trigonométricas de un ángulo, α, cuyo seno valga el doble que el coseno.
sen α 2 ⋅ cos α
Si sen α = 2 ⋅ cos α: tg α = = =2
sen2 α + cos2 α = 1 → 22 ⋅ cos2 α + cos2 α = 1 → 5 ⋅ cos2 α = 1 → cos α = =
Y, por tanto: sen α = 2 ⋅ =
36 Demuestra con ayuda del teorema de Pitágoras que para cualquier ángulo, α, también se cumple:
Partiendo del primer miembro y aplicando las definición de tangente con los datos de la teoría:
c2 b2 c2 ⎛ a ⎞⎟2 ⎡⎢ ⎛ b ⎞⎟−1 ⎤⎥
b2 + c 2 a2 1 1
1+ tg α = 1+ 2
= + = = ⎜ ⎜
= ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = =
b 2 ⎜⎝ b ⎟⎠ ⎢ ⎝⎜ a ⎟⎠ ⎥ ⎛ b ⎞⎟ 2
⎣ ⎦ ⎜⎜ ⎟
⎜⎜⎝ a ⎟⎟⎠
Se les puede pedir que lo demuestren, también, aplicando las relaciones fundamentales.
4. Razones trigonométricas de ángulos notables y de ángulos complementarios
Aprenderás a… 4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 37 Utiliza la definición y un dibujo para explicar por qué el seno y el coseno de un
ángulo de 45º son iguales.
● Calcular de forma exacta las NOTABLES Y DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
razones de los ángulos que 38 Algunas calculadoras expresan los resultados de forma exacta, con radicales y
Gema quiere calcular de forma exacta las razones de los ángulos 45º, 30º y 60º. Para
miden 30º, 45º y 60º. fracciones. Busca ese modo en tu calculadora, y copia y completa la tabla en tu
ello, traza triángulos rectángulos que tengan esos ángulos agudos.
● Relacionar las razones cuaderno, expresando la amplitud de los ángulos en radianes.
trigonométricas de ángulos
❚ Para encontrar las razones del ángulo de 45º:
complementarios. 1 Divide un cuadrado por la diagonal, formando C B Grados 30º 45º 60º
dos triángulos rectángulos isósceles. Sus ángulos Radianes O O O
agudos son iguales y miden 45º. 45º
— sen α O O O
2 Halla la longitud de la hipotenusa. l
a2 = b2 + c 2 → a = l2 + l2 = 2l 2 = l 2 tg α O O O
45º 90º
3 Calcula las razones trigonométricas. D l A ¿Coincide con los resultados teóricos?
l 1 2 l 2 l 39 Calcula de forma exacta.
sen 45° = = = cos 45° = = tg 45° = =1 a) sen 30° + sen 30° c) cos 30° + cos 30° e) tg 30° + tg 30°
l 2 2 2 l 2 2 l
b) sen (30° + 30°) d) cos (30° + 30°) f) tg (30° + 30°)
❚ Para averiguar las razones trigonométricas de 30º y 60º: Con los resultados obtenidos razona: ¿es cierto, en general, que la razón del doble
1 Divide un triángulo equilátero por una altura. B de un ángulo coincide con el doble de dicha razón?
Obtiene, así, dos triángulos rectángulos
iguales cuyos ángulos agudos miden 30º y 60º, 3
30º 40 Halla todas las razones trigonométricas de 90° − α, si cos α = .
respectivamente. l l 5
2 Calcula la altura, que divide a la base por la mitad. l —–
2 41 Calcula los valores exactos del perímetro y del área de un hexágono inscrito en una
60º 90º circunferencia de radio 8 m sin aplicar el teorema de Pitágoras.
l2 3l 2 l
c 2 = a2 − b2 → c = l2 − = = 3 C —l A D
4 4 2 2 42 Determina el valor de x con las razones trigonométricas del ángulo adecuado.
3 Determina las razones de 30º y 60º de forma exacta. a) b)
Recuerda I /2 1 l 3 /2 3 x
sen 30° = = sen 60° = =
Dos ángulos, α y β, son
complementarios si: l 3 /2 3 l /2 1
cos 30° = = cos 60° = =
43 Esperanza quiere poner en la buhardilla una ventana con forma de triángulo
Entonces, α y 90° − α son l /2 1 3 l 3 /2 equilátero. Por razones estructurales, la altura de la ventana no puede superar los
tg 30° = = = tg 60° = = 3
complementarios. l 3 /2 3 3 l /2 120 cm de altura. ¿Cuál es el mayor lado que puede tener la ventana? Hállalo de
forma exacta aplicando que relaciones trigonométricas.
Observa que, dado que 30º y 60º son ángulos agudos del mismo triángulo rectángulo,
son complementarios, y, por tanto, sus razones trigonométricas están relacionadas. 44 Con una aplicación del móvil
Juanma ha medido que el
ángulo que forma el puente
Relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios
con una recta imaginaria hasta
1 el embarcadero es de 30°. ¿Qué
sen( 90° ) = cos cos( 90° ) = sen tg( 90° )=
tg distancia tendrá que recorrer
para llegar al embarcadero?
} Las razones trigonométricas de un ángulo, α, son: sen α = 0,6, cos α = 0,8 y tg α = 0,75. ¿Cuáles son las razones de DESAFÍO
su complementario?
45 Busca qué forma tiene el logo del metro de Madrid.
a) ¿Qué figura geométrica es? Dibújala en tu cuaderno.
El ángulo complementario de α es 90° − α, y sus razones son:
b) Traza las diagonales y mídelas sobre el dibujo. ¿En qué punto se cortan? ¿Qué figuras obtienes?
− α )−=αcos
sen(90°
❚ sen(90° sen(90° )−=ααcos
) == α = 0,8
0,8 α = 0,8
cos(90° α )−=αsen
−cos(90°
❚ cos(90° )−=ααsen
) == α = 0,6
tg(90° α )−=α )−=α )== = ≈=1,3333
❚−tg(90°
tg(90° ≈ 1,3333
≈ 1,3333 c) Utiliza estos datos para averiguar cuánto miden los ángulos interiores del logo. ¿Son especiales?
tg α tg α0,75
tg α0,750,75
d) Analiza la figura utilizada y qué propiedades tiene. ¿Por qué crees que se ha elegido dicha figura?
En este epígrafe seguimos trabajando las razones trigono- En los ejercicios se aplican estas razones partiendo de las figu-
métricas desde su definición y las demostraciones. Es útil que ras de las demostraciones.
aprendan las razones trigonométricas de los ángulos más re- El ejercicio 39 muestra la no linealidad de las razones trigonomé-
presentativos para agilizar el cálculo. Sin embargo, lo más inte- tricas aprovechando las razones de los ángulos notables. Es bási-
resante del epígrafe sería que comprendieran las demostracio- co que lo “vean”. Se puede enriquecer proponiéndoles alguna
nes de estos valores y sean capaces de seguir el razonamiento suma y resta utilizando la calculadora, 30º + 45º, 60º − 45º...
y reproducirlo sin aprendérselo de memoria.
37 Utiliza la definición y un dibujo para explicar por qué el seno y el coseno de un ángulo de 45º son iguales.
Para calcular las razones trigonométricas de 45º se utiliza un triángulo rectángulo isósceles, es decir, los catetos son iguales
b = lado del cuadrado. Según la definición de seno y coseno:
sen 45º = = = cos 45º
38 Algunas calculadoras expresan los resultados de forma exacta, con radicales y fraccio- Grados 30º 45º 60º
nes. Busca ese modo en tu calculadora, y copia y completa la tabla en tu cuaderno, π π π
expresando la amplitud de los ángulos en radianes. 6 4 3
¿Coincide con los resultados teóricos? 1 2 3
Sí, coincide con los resultados teóricos. La calculadora da los resultados de forma 2 2 2
exacta. 3 2 1
tg a 1 3
39 Calcula de forma exacta.
a)	sen 30° + sen 30°	c)	cos 30° + cos 30°	e)	tg 30° + tg 30°
b)	sen (30° + 30°)	d)	cos (30° + 30°)	f)	tg (30° + 30°)
Con los resultados obtenidos razona: ¿es cierto, en general, que la razón del doble de un ángulo coincide con el doble de dicha
a)	sen 30° + sen 30° = + = 1	d)	cos ( 30° + 30° ) = cos 60 º =
b)	sen ( 30° + 30° ) = sen 60 º = e)	tg 30° + tg 30° = + =
c)	cos 30° + cos 30° = + = 3	f)	tg ( 30° + 30° ) = tg 60 º = 3
40 Halla todas las razones trigonométricas de 90° − a, si cos α = .
⎛ 3 ⎞2 16 4 sen α 5 = 4
Hallamos primero las razones de α: sen α = 1− cos2 α = 1− ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = = → tg α = =
⎜⎝ 5 ⎟⎠ 25 5 cos α 3 3
Entonces, las razones del complementario, 90° − a: 5
sen ( 90° − α ) = cos α = cos ( 90° − α ) = sen α = tg ( 90° − α ) = cotg α = =
41 Calcula los valores exactos del perímetro y del área de un hexágono inscrito en una circunferencia de radio 8 m sin aplicar el
Para calcular el perímetro y el área necesitamos conocer el lado y la apotema del hexágono.
La longitud del lado coincide con la longitud del radio en un hexágono regular: l = r = 8 m
La apotema es uno de los catetos de los triángulos rectángulos en que la altura divide a los triángulos centrales. Tienen un án-
gulo de 30º, otro de 60º y la hipotenusa es el radio de la circunferencia, así:
a 3 a 8 3
sen 60 º = → = →a = =4 3 m
r 2 8 2
P ⋅a 6⋅8⋅4 3
Y: P = 6 ⋅ l = 6 ⋅ 8 = 48 m A = = = 96 3 m2
42 Determina el valor de x con las razones trigonométricas del ángulo adecuado.
a)	x b)	5 cm
Ambas figuras son cuadrados, utilizamos las razones de 45º para buscar las longitudes pedidas.
x 2 x 5 2 5 2 5
a)	sen 45º = → = → 5 2 = 2x → x = cm b)	sen 45º = → = →x 2 = 10 → x = 5 2 cm
5 2 5 2 x 2 x
43 Esperanza quiere poner en la buhardilla una ventana con forma de triángulo equilátero. Por razones estructurales, la altura de
la ventana no puede superar los 120 cm de altura. ¿Cuál es el mayor lado que puede tener la ventana? Hállalo de forma exacta
aplicando las relaciones trigonométricas.
La altura de la ventana la divide en dos triángulos rectángulos con ángulos de 30º y 60º y de cateto mayor 120 cm e hipotenusa
el lado del triángulo. Para calcular la longitud del lado:
h 3 120 2 ⋅120
sen 60 º = → = →l = = 80 3 cm
La longitud máxima del lado es 80 3 cm, exactamente.
44 Con una aplicación del móvil Juanma ha medido que el ángulo que forma
el puente con una recta imaginaria hasta el embarcadero es de 30°. ¿Qué
distancia tendrá que recorrer para llegar al embarcadero?
La distancia que tiene que recorrer para llegar al embarcadero es el cateto
menor, c, del triángulo de la ilustración.
tg 30 º = → c = 450 ⋅ tg 30 º = 450 ⋅ = 150 3 ≈ 259,81 m
En total, 450 + 259,81 = 709,81 m.
Tendrá que recorrer unos 710 m para llegar al embarcadero.
a)	¿Qué figura geométrica es? Dibújala en tu cuaderno.
b)	Traza las diagonales y mídelas sobre el dibujo. ¿En qué punto se cortan? ¿Qué figuras obtienes?
c)	Utiliza estos datos para averiguar cuánto miden los ángulos interiores del logo. ¿Son especiales?
d)	Analiza la figura utilizada y qué propiedades tiene. ¿Por qué crees que se ha elegido dicha figura?
a)	Es un rombo cuyos ángulos obtusos miden 120º y los agudos 60º.
b)	Al trazar las diagonales estas se cortan perpendicularmente por el punto medio y obtenemos cuatro triángulos rectángulos.
c)	Los ángulos agudos son de 30º y 60º.
d)	La figura es simétrica y si la dividimos por la diagonal menor observamos que está formada por dos triángulos equiláteros, lo
que la hace estéticamente más armoniosa por su regularidad.
5. Resolución de triángulos rectángulos
Aprenderás a… 5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 46 Calcula los elementos de estos triángulos rectángulos.
a) B = 48° , c = 15 mm EJERCICIO RESUELTO
● Determinar todos los Arturo va a remodelar una fachada y, antes de colocar el andamiaje, revisa la entrada
b) C = 70° , b = 4,5 m
rectángulo conocidos dos
de los cables de telefonía.
} Jorge se acerca a una cala bajo un acantilado
El punto de entrada de los cables en el inmueble 47 en una barca. Quiere medir a qué distancia se
lados. Averigua todos los datos que faltan en los triángulos
está a 5,50 m de altura, pero hay un jardín que encuentra, así como la altura del acantilado. Para
rectángulos propuestos.
● Calcular todos los elementos no le permite apoyar en la fachada la escalera ello, toma dos medidas: primero ve el acantilado
de un triángulo rectángulo a) a = 37 cm, b = 25 cm con un ángulo de 30º y, tras navegar 50 m hacia
que ha traído. Necesita saber qué longitud ha
a partir de un ángulo y un b) b = 7,6 dm, c = 4,2 dm él, vuelve a medir y esta vez obtiene 60º.
de tener la escalera para poder llegar.
Mide con el móvil el ángulo bajo el que se ve, Escribe los ángulos en grados, minutos, segundos.
● Resolver problemas aplicando
triángulos rectángulos. desde el punto donde quiere apoyar la escalera, 48 Resuelve el triángulo rectángulo que tiene por
la entrada del cableado y obtiene 65º. ángulos agudos B = 40° y C = 50° .
Con el ángulo y la altura halla la longitud de la ¿Es posible? ¿Por qué? Completa el enunciado y
escalera a partir de la razón seno: encuentra alguna solución. ¿Cuántas hay?
sen 65° = →l= ≈ 6,07 m 49 Calcula los ángulos y la hipotenusa de un triángulo
l sen 65° rectángulo sabiendo que los catetos miden 18 dm y
Luego, con la tangente, determina a qué distancia del edificio apoyar la escalera: 24 dm, respectivamente. Solución
5,50 5,50 Halla después las proyecciones de los catetos sobre la A partir de los triángulos ABC y ABC’ podemos
tg 65º = →d = ≈ 2,56 m relacionar la altura del acantilado con las distancias
d tg 65° hipotenusa, aplicando:
utilizando las tangentes de 30º y 60º.
Así pues, utilizará una escalera de 6 m que apoyará a 2,56 m de la pared. Los ángulos a) El teorema del cateto.
h ⎪⎫⎪
que forma son de 65º con el suelo y de 90º − 65º = 25º con la pared. b) El coseno de B y C . tg 30 º = ⎪
¿Coinciden los resultados? d + 50 ⎪⎪ → tg 30 º ⋅ (d + 50 ) = h ⎫⎪⎪
Para rematar, tiene que enganchar el cableado un metro por debajo de la abertura por ⎬ ⎬
h ⎪⎪ tg 60 º ⋅ d = h ⎪⎪⎭
donde entra y quiere usar la misma escalera. El tg 60 º = ⎪⎪
50 Calcula el radio y la apotema de un pentágono d ⎪⎭
Lenguaje matemático ángulo que forme esta con el suelo no debe ser
regular de 6 cm de lado, así como los ángulos de los
menor de 45º para que quede bien anclada.
❚ Conociendo el valor de la triángulos que se forman. Se obtiene un sistema de dos ecuaciones y dos
razón podemos averiguar Teniendo esto en cuenta, calcula el valor del incógnitas que resolvemos por igualación:
a qué ángulo pertenece ángulo de la escalera con el suelo, utilizando 51 Héctor se pregunta a qué altura estará la cometa
tg 30 º ⋅ (d + 50 ) = tg 60 º ⋅ d
con las funciones 4,50 que está volando. Raquel pregunta cuánto hilo
recíprocas: de nuevo la razón seno: senα = = 0,75 ha soltado, mide el ángulo que forma este con la
6 50 ⋅ tg30 º 50 ⋅ 3 /3
◗ Arco seno horizontal y esboza el siguiente esquema. →d = = = 25 m
α = arc sen 0,75 ≈ 48,59° tg60 º −tg30 º 3 − 3 /3
◗ Arco coseno
Es decir, puede aprovechar la misma escalera
◗ Arco tangente colocándola en un ángulo de 49º con el suelo y Así: h = tg 60 º ⋅ d = 3 ⋅ 25 = 25 3 ≈ 43,30 m
❚ Decimos que resolvemos de 90º − 49º = 41º con la pared. La segunda vez se encuentra a 25 m de la cala. El
un triángulo rectángulo Ya solo le falta saber a Arturo a qué distancia de la pared colocar el pie de la escalera: acantilado mide 43,30 m, aproximadamente.
cuando calculamos las
medidas desconocidas de a = b + c → 6 = b + 4,50 → b =
36 − 20,25 ≈ 3,97 m 52 Martín y Jimena quieren averiguar la altura de la torre
de un castillo. Como está amurallado no se pueden
Para calcular los elementos de un triángulo rectángulo, se utiliza: acercar. Miden primero el ángulo bajo el que se ve
❚ Que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. la torre desde el foso, 43º. Después, tras alejarse
50 m, el ángulo es de 20º. Si Martín mide 1,65 m de
❚ El teorema de Pitágoras.
¿A qué altura está la cometa si Héctor la sostiene a estatura, ¿qué altura tiene la torre? ¿A qué distancia
❚ Las razones trigonométricas. está del exterior del foso?
1,8 m del suelo?
EJERCICIO RESUELTO DESAFÍO
} Halla los elementos desconocidos de este triángulo rectángulo. C 53 Observa las medidas que ha tomado
Alonso y calcula.
8c a) El desnivel con la calle al otro lado
Como los ángulos agudos son complementarios: B + C = 90° → C = 90° − 35° = 55° a= b del río.
Utilizando las razones trigonométricas de esos ángulos: 35º b) La altura del edificio que hay allí.
b = a ⋅ sen B → b = 8 ⋅ sen 35° ≈ 4,59 cm c = a ⋅ cos B! → c = 8 ⋅ cos 35° ≈ 6,55 cm
Y efectivamente: 4,592 + 6,552 = 63,97 ≈ 82
En este epígrafe aplicamos las razones trigonométricas recién En cada problema podemos invitar a los alumnos a trazar el
aprendidas para determinar todos los elementos de un trián- triángulo adecuado y pedirles que relacionen los datos que
gulo rectángulo y resolver problemas. conocen y piden con la razón trigonométrica adecuada. Insistir
en que utilicen una notación correcta y ordenada.
46 Calcula los elementos de estos triángulos rectángulos.
a)	B = 48° , c = 15 mm	b)	C = 70° , b = 4,5 m
a)	A! = 90 º , B! = 48 º , C! = 90 º −48 º = 42º
cos 48 º = → cos 48 º = →a = ≈ 22, 42 mm
a a cos 48 º
tg 48 º = → tg 48 º = → b = 15 ⋅ tg 48 º ≈ 16,66 mm
! = 90 º , C! = 70 º , B! = 90 º −70 º = 20 º
b 4,5 4,5
cos 70 º = → cos 70 º = →a = ≈ 13,16 m
a a cos 70 º
tg 70 º = → tg 70 º = → c = 4,5 ⋅ tg 70 º ≈ 12,36 m
47 Averigua todos los datos que faltan en los triángulos rectángulos propuestos.
a)	a = 37 cm, b = 25 cm
b)	b = 7,6 dm, c = 4,2 dm
Escribe los ángulos en grados, minutos, segundos.
a)	Hallamos B! y C! a través de sus razones trigonométricas:
sen B! = → B! = arc sen = 42º 30' 23,91" cos C! = → C! = arc cos = 47º 29' 36,09"
a 37 a 37
Y c aplicando el teorema de Pitágoras: c = 372 − 252 = 744 ≈ 27,28 cm
b)	Hallamos B! y C! a través de sus tangentes:
b 7,6 c 4,2
tg B! = → B! = arc tg = 61º 4' 24,87" tg C! = → C! = arc tg = 28 º 55' 35,13"
c 4,2 b 7,6
Y a aplicando el teorema de Pitágoras: a = 7,62 + 4,22 = 75, 4 ≈ 8,68 dm
 = 40° y C = 50° .
48 Resuelve el triángulo rectángulo que tiene por ángulos agudos B
¿Es posible? ¿Por qué? Completa el enunciado y encuentra alguna solución. ¿Cuántas hay?
No es posible porque no conocemos la longitud de ninguno de sus tres lados. Hay infinitos triángulos, todos semejantes, de
distintos tamaños y con los mismos ángulos.
La segunda pregunta tiene respuesta abierta, se puede fijar cualquier lado. Por ejemplo, si la hipotenusa es a = 10 m:
sen B! = → b = a ⋅ sen B! = 10 ⋅ sen 40 º ≈ 6, 43 m sen C! = → c = a ⋅ sen C! = 10 ⋅ sen 50 º ≈ 7,66 m
49 Calcula los ángulos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 18 dm y 24 dm, respectivamente.
Halla después las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, aplicando:
a)	El teorema del cateto.
b)	El coseno de B y C .
¿Coinciden los resultados?
Aplicando el teorema de Pitágoras: a = 182 + 242 = 900 = 30 dm
Y con las razones trigonométricas:
b 18 c 24
tg B! = → B! = arc tg = 36 º 52' 11,63" tg C! = → C! = arc tg = 53º 7' 48,37"
c 24 b 18
Hallamos las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
c2 242 b2 182
a)	Por el teorema del cateto: m = = = 19,2 dm n = = = 10,8 dm
a 30 a 30
b)	Aplicando la definición del coseno:
cos B! = → m = c ⋅ cos B! = 24 ⋅ cos ( 36 º 52' 11,63" ) = 19,2 dm
cos C! = → n = b ⋅ cos C! = 18 ⋅ cos ( 53º 7' 48,37" ) = 10,8 dm
50 Calcula el radio y la apotema de un pentágono regular de 6 cm de lado, así como los ángulos de los triángulos que se forman.
El ángulo central de un pentágono regular mide: = 72º
180 º −72º
Cada uno de los triángulos que se forman es isósceles y los ángulos iguales miden: = 54 º
La altura de ese triángulo lo divide en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es el radio y los catetos, la altura y la mitad
! = 90 º , B! = 54 º , C! = 90 º − 54 º = 36 º y c = 6 = 3 cm
del lado. Para este triángulo: A
Calculamos el radio y la altura utilizando las razones de 36º:
sen C! = → sen 36 º = → a = ≈ 5,10 cm es la medida del radio
a a sen 36 º
tg C! = → tg 36 º = → b = ≈ 4,13 cm es la medida de la altura
b b tg 36 º
51 Héctor se pregunta a qué altura estará la cometa que está volando.
Raquel pregunta cuánto hilo ha soltado, mide el ángulo que forma este
con la horizontal y esboza el siguiente esquema.
¿A qué altura está la cometa si Héctor la sostiene a 1,8 m del suelo?
La altura de la cometa desde la mano de Héctor junto con la longitud
del hilo nos dan el seno de 75º.
sen 75º = → h = 10 ⋅ sen 75º ≈ 9,66 m
Para calcular la altura total de la cometa debemos añadir la altura de
Héctor: 9,66 + 1,80 = 11, 46 m
La cometa está a una altura de unos 11,46 m.
52 Martín y Jimena quieren averiguar la altura de la torre de un castillo. Como está amurallado no se pueden acercar. Miden pri-
mero el ángulo bajo el que se ve la torre desde el foso, 43º. Después, tras alejarse 50 m, el ángulo es de 20º. Si Martín mide
1,65 m de estatura, ¿qué altura tiene la torre? ¿A qué distancia está del exterior del foso?
A partir de los triángulos que forman la torre del castillo con el suelo y las distintas posiciones en las que se encuentran Martín
y Jimena podemos relacionar la altura de la torre con las distancias utilizando las tangentes:
tg 20 º = ⎪⎪
d + 50 ⎪⎪ → tg 20 º ⋅ (d + 50 ) = h ⎪⎫⎪ ⎯ ⎯⎯⎯
→ tg 20 º ⋅ (d + 50 ) = tg 43º ⋅ d
⎬ ⎬
h ⎪⎪ tg 43º ⋅ d = h ⎪⎪⎭
tg 43º = ⎪⎪
d ⎪⎭
50 ⋅ tg 20 º
d= ≈ 32 m
tg 43º − tg 20 º
Sustituyendo: h = d ⋅ tg 43º = 32 ⋅ tg 43º ≈ 29,84 m
Sumándole la altura del observador, Martín, la torre mide: 29,84 + 1,65 = 31, 49 m
La torre tiene una altura de unos 31,5 m y está a una distancia del exterior del foso de unos 32 m.
53 Observa las medidas que ha tomado Alonso y calcula.
a)	El desnivel con la calle al otro lado del río.
b)	La altura del edificio que hay allí.
Determinamos primero la altura del edificio más el tro-
zo de muro:
h + h' ⎫⎪⎪
tg (13º + 38 º ) = ⎪
d + 4 ⎪⎪ → tg 51º ⋅ (d + 4 ) = h + h' ⎪⎫⎪
h + h' ⎪⎪ tg 64 º ⋅ d = h + h' ⎪⎪⎭
tg ( 21º + 43º ) = ⎪⎪
⎯ ⎯⎯⎯ → tg 51º ⋅ (d + 4 ) = tg 64 º ⋅ d
4 ⋅ tg 51º
d = ≈ 6,06 m
tg 64 º −tg 51º
Así: h + h' = d ⋅ tg 64 º = 6,06 ⋅ tg 64 º ≈ 12, 42 m
Luego la altura del trozo de muro exclusivamente es: tg 21º = → h' = d ⋅ tg 21º ≈ 6,06 ⋅ tg 21º ≈ 2,33 m
Entonces, la altura del edificio será la diferencia de las dos: h = 12, 42 − 2,33 = 10,09 m
Y la altura del desnivel es la suma del muro y la altura del observador, Alonso: 2,33 + 1,70 = 4,03 m
El edificio mide 10 m y el desnivel con la calle de 4 m.
6. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Aprenderás a… 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO 54 Expresa en radianes la amplitud de estos ángulos e 58 Indica en qué cuadrante se situaría un ángulo si:
indica a qué cuadrante pertenecen. a) ⎧⎪ tg α < 0 c) ⎧⎪ cos α < 0
● Extender el concepto de CUALQUIERA ⎨⎪ ⎨⎪
a) 167º 45’ 45” c) 13º 27’ 9” ⎪⎪⎩ sen α > 0 ⎪⎪⎩ tg α < 0
razón trigonométrica a un
Teo está observando una noria de agua y se ha fijado en que sus cestas giran al b) 300º 36’ 12” d) 215º 39’ 23”
ángulo cualquiera.
contrario de las agujas del reloj. La posición que ocupa cada cesta depende del b) ⎧⎪ cos α < 0 d) ⎧⎪ tg α > 0
Represéntalos en la circunferencia aproximadamente.
● Reconocer qué amplitud ángulo que ha girado hasta llegar ahí. ⎨⎪ ⎨⎪
puede tener un ángulo y en
Hace un esbozo y dibuja en él unos ejes con origen en el centro de la noria. Las 55 Indica qué signo tienen las razones trigonométricas ⎩⎪⎪ sen α < 0 ⎩⎪⎪ cos α < 0
qué cuadrante se encuentra,
según el signo de sus razones coordenadas de la cesta A dependen del ángulo de giro α (ángulo que forma el de los ángulos del ejercicio anterior. Determínalas 59 Considera una circunferencia goniométrica, y copia y
trigonométricas. brazo con la horizontal) y, por tanto, de sus razones trigonométricas. utilizando la calculadora en grados y en radianes.
completa esta tabla sin usar la calculadora.
Si considera que el radio de la circunferencia es una unidad, la hipotenusa del
EJERCICIO RESUELTO (º) 0º 90º 180º 270º 360º
triángulo OPA valdría 1 y las coordenadas, (x, y), de la cesta coincidirían con el
coseno y el seno, respectivamente: A (cos α, sen α) rad O O O O O
} Expresa los siguientes ángulos en su ángulo
sen α O O O O O
equivalente entre 0º y 360º. Indica su cuadrante
y determina sus razones trigonométricas. cos α O O O O O
a) 1 550º b) −160º
tg α O O O O O
60 Calcula el coseno y la tangente de un ángulo del
O P P´
a) Un ángulo de 1 550º equivale a cierto número
de vueltas completas a la circunferencia más un 21
segundo cuadrante para el que sen α = .
ángulo comprendido entre 0º y 360º. 29
❚ El sentido positivo de
1 550 º 360º
61 El coseno de un ángulo del cuarto cuadrante vale
giro es el contrario al → 1 550° = 4 ⋅ 360° + 110°
movimiento de las agujas 110 º 4 5 / 3. ¿Cuánto miden el seno y la tangente?
Traza una paralela al eje Y por el punto (1, 0) para representar la tangente en esta Es decir, 1 550º está en el segundo cuadrante y sus
❚ Un ángulo se mide en ese construcción. Prolonga el radio OA hasta cortar a la tangente y obtiene otro triángulo razones trigonométricas son las mismas que las de 62 La tangente de un ángulo vale un tercio, y su coseno
sentido. rectángulo. En este caso es el cateto adyacente el que mide 1 y el cateto opuesto: 110º. es negativo.
❚ Un ángulo medido en sen 1 550° = sen 110° ≈ 0,9397 ❚ ¿En qué cuadrante se encuentra?
sentido contrario es
P ´T P ´T
tg α = = = P ´T cos 1 550° = cos 110° ≈ −0,3420 ❚ Determina todas sus razones trigonométricas.
negativo. OP ´ 1
tg 1 550° = tg 110° ≈ −2,7475
Cuando la cesta, en su giro, pasa de los 90º y se sitúa en el segundo cuadrante, su 63 Decide si estas afirmaciones son verdaderas o falsas.
b) Un ángulo de −160º es equivalente a:
coordenada x es negativa. Si Teo extiende la interpretación geométrica anterior, el a) Si tg α > 0, α pertenece al primer cuadrante.
coseno de ese ángulo es negativo. 360° −160° = 200° → −160° = (−1) ⋅ 360° + 200°
b) Existe un ángulo, α, perteneciente al tercer
Ya no asocia las razones trigonométricas con un triángulo rectángulo, sino con las Es decir, −160º es un ángulo del tercer cuadrante y cuadrante para el que su seno es tres cuartos.
coordenadas de los puntos de la circunferencia goniométrica y las razones no sus razones trigonométricas son las de 200º.
c) La tangente de un ángulo del primer cuadrante
Presta atención solo toman valores entre 0 y 1. sen (−160°) = sen 200° ≈ −0,3420 está entre 0 y 1.
−1 ≤ sen α ≤ 1
La cesta prosigue su giro, y Teo ve cómo ahora ambas razones son negativas; cos (−160°) = cos 200° ≈ −0,9397 d) Hay algún ángulo en el segundo cuadrante para el
continúa, y x vuelve a ser positiva... De este modo, según el ángulo de giro, el punto tg (−160°) = tg 200° ≈ 0,3640 3
−1 ≤ cos α ≤ 1 A se sitúa en un cuadrante u otro, y sus coordenadas (razones trigonométricas) que cos α = − .
cambian su valor y su signo. 2
56 64 Traza en tu cuaderno una circunferencia goniométrica,
Expresa estos ángulos en radianes entre 0 y 2π. Indica
el número de vueltas completas y a qué cuadrante tomando como radio 1 dm. Busca todos los puntos
pertenecen. en ella que verifican que:
a) 750º b) −330º c) 3 060º d) −360º sen α = cos α
¿Qué signo tendrán sus razones trigonométricas? a) ¿Con qué ángulo se corresponde cada uno?
Hállalas con la calculadora.
b) Determina todas las razones trigonométricas de
57 Con ayuda de la circunferencia y un transportador, cada uno de ellos.
calcula todos los ángulos, entre 0º y 360º, tales que c) ¿Existe alguna relación entre las razones de unos
mac4e27
cos α = −1/2. ¿En qué cuadrantes están? y otros?
La circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio 1 centrada en DESAFÍO
el origen de coordenadas. Las coordenadas de los puntos de la circunferencia se
identifican con el coseno y el seno, respectivamente, del ángulo que forman el 65 Traza una circunferencia goniométrica y dibuja en ella un ángulo en cada cuadrante. Marca las razones
eje positivo de abscisas y el radio que une el centro con ese punto medido en trigonométricas de cada uno. Razonando en cada caso sobre el triángulo que corresponda, justifica si se
sentido contrario a las agujas del reloj. cumple sen2 α + cos2 α = 1 y por qué.
Extender el concepto de razón trigonométrica fuera de un Para ayudar a ver que las relaciones entre las razones trigo-
triángulo rectángulo es difícil de plantear al alumno. Para que nométricas se cumplen para cualquier ángulo es interesante
sea más fácil de comprender la única estrategia es mostrar comprobarlo con el Desafío.
siempre los ángulos en la circunferencia goniométrica. Prime-
ro definimos qué es la circunferencia goniométrica, después GeoGebra. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
identificamos un ángulo, agudo, con el punto que determi- En el recurso se muestra la circunferencia goniométrica y la repre-
na sobre la circunferencia goniométrica y sus razones con las sentación de las razones trigonométricas de un ángulo. Se puede
coordenadas de ese punto. Asociar la tangente con la medida mover el punto de la circunferencia determinado por la intersec-
del segmento P´T. (Es muy útil haber hecho antes en clase las ción de uno de los lados del ángulo y observar los signos de las
actividades 17 y 18). Por último, ayudándonos de GeoGebra, razones según las coordenadas correspondan a uno de los cuatro
vemos cómo varían los ángulos y con ellos los triángulos rec- cuadrantes. Puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación
de esta página o como recurso para que los alumnos repasen
tángulos, su posición y el valor de las razones. Resaltar que
los signos de las razones trigonométricas según la amplitud del
tanto el seno como el coseno varían solo entre −1 y 1, mien- ángulo más tarde.
tras la tangente toma cualquier valor real.
54 Expresa en radianes la amplitud de estos ángulos e indica a qué cuadrante pertenecen.
a)	167º 45’ 45”	b)	300º 36’ 12”	c)	13º 27’ 9”	d)	215º 39’ 23”
a)	167º 45’ 45’’ ≈ 2,9280 rad → Segundo cuadrante
b)	300º 36’ 12’’ ≈ 5,2465 rad → Cuarto cuadrante
c)	13º 27’ 9’’ ≈ 0,2348 rad → Primer cuadrante
d)	215º 39’ 23’’ ≈ 3,7639 rad → Tercer cuadrante
Comprobar que representan el ángulo en el cuadrante correspondiente y más o menos en su posición.
55 Indica qué signo tienen las razones trigonométricas de los ángulos del ejercicio anterior. Determínalas utilizando la calculadora
en grados y en radianes.
167º 45’ 45’’ 0,2120 −0,9773 −0,2169
300º 36’ 12’’ −0,8607 0,5091 −1,6907
13º 27’ 9’’ 0,2326 0,9726 0,2392
215º 39’ 23’’ −0,5829 −0,8125 0,7174
56 Expresa estos ángulos en radianes entre 0 y 2π. Indica el número de vueltas completas y a qué cuadrante pertenecen.
a)	750º	b)	−330º	c)	3 060º	d)	−360º
¿Qué signo tendrán sus razones trigonométricas? Hállalas con la calculadora.
a)	750 º = 2 ⋅ 360 º + 30 º → Primer cuadrante
sen 750 º = sen 30 º = cos 750 º = cos 30 º = tg 750 º = tg 30 º =
b)	−330 º → 360 º −330 º = 30 º → Primer cuadrante
sen ( −330 º ) = sen 30 º = cos ( −330 º ) = cos 30 º = tg ( −330 º ) = tg 30 º =
c)	3060 º = 8 ⋅ 360 º +180 º → Entre el segundo y el tercer cuadrante
sen 3060 º = sen 180 º = 0 cos 3060 º = cos 180 º = −1	tg 3060 º = tg 180 º = 0
d)	−360 º → 360 º −360 º = 0 º → Entre el cuarto y el primer cuadrante
sen ( −360 º ) = sen 0 º = 0 cos ( −360 º ) = cos 0 º = 1	tg ( −360 º ) = tg 0 º = 0
57 Con ayuda de la circunferencia y un transportador, calcula todos los ángulos, entre 0º y 360º, tales que cos α = −1/2. ¿En qué
cuadrantes están?
Marcamos − sobre el eje X y obtenemos dos ángulos:
❚❚ En el segundo cuadrante → 180 º − 60 º = 120 º ❚ En el tercer cuadrante → 180 º + 60 º = 240 º
58 Indica en qué cuadrante se situaría un ángulo si:
⎧⎪ tg α < 0 ⎧⎪ cos α < 0 ⎧⎪ cos α < 0 ⎧⎪ tg α > 0
a)	⎪⎨ b)	⎪⎨ c)	⎪⎨ d)	⎪⎨
⎪⎪⎩ sen α > 0 ⎪⎪⎩ sen α < 0 ⎪⎪⎩ tg α < 0 ⎪⎪⎩ cos α < 0
a)	Segundo cuadrante	b)	Tercer cuadrante	c)	Segundo cuadrante	d)	Tercer cuadrante
59 Considera una circunferencia goniométrica, y copia y completa esta tabla sin usar la calculadora.
(º) 0º 90º 180º 270º 360º
rad 0 π 2π
sen a 0 1 0 −1 0
cos a 1 0 −1 0 1
tg a 0 ∃ 0 ∃ 0
60 Calcula el coseno y la tangente de un ángulo del segundo cuadrante para el que sen α = .
⎛ 21 ⎞⎟2 20 sen α 29 = − 21
cos α = − 1− sen α = − 1− ⎜⎜ ⎟ = −⎟ → tg α = =
⎜⎝ 29 ⎟⎠ 29 cos α − 20 20
61 El coseno de un ángulo del cuarto cuadrante vale 5 / 3. ¿Cuánto miden el seno y la tangente?
⎛ 5 ⎞⎟2 2 sen α −2
sen α = − 1− cos α = − 1− ⎜⎜
⎟⎟⎟ = − → tg α = = 3 = −2 5
⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3 cos α 5 5
62 La tangente de un ángulo vale un tercio, y su coseno es negativo.
❚ ¿En qué cuadrante se encuentra?
❚ Determina todas sus razones trigonométricas.
Se encuentra en el tercer cuadrante pues su coseno es negativo y la tangente positiva.
1 10 ⎛ 10 ⎞⎟⎟ 3 10
sen2 α + cos2 α = 1 → sen2 α + 32 ⋅ sen2 α = 1 → 10 ⋅ sen2 α = 1 → sen α = − =− cos α = 3 ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟ = −
10 10 ⎜⎜⎝ 10 ⎟⎠ 10
63 Decide si estas afirmaciones son verdaderas o falsas.
a)	Si tg a > 0, α pertenece al primer cuadrante.
b)	Existe un ángulo, α, perteneciente al tercer cuadrante para el que su seno es tres cuartos.
c)	La tangente de un ángulo del primer cuadrante está entre 0 y 1.
d)	Hay algún ángulo en el segundo cuadrante para el que cos α = − .
a)	Falso. Podría pertenecer también al tercer cuadrante.
b)	Falso. Los ángulos del tercer cuadrante tienen el seno negativo.
c)	Falso. Es positiva pero puede tomar cualquier valor. También mayor que 1.
d)	Falso. No puede ser menor que −1.
64 Traza en tu cuaderno una circunferencia goniométrica, tomando como radio 1 dm. Busca todos los puntos en ella que verifican que:
sen α = cos α
a)	¿Con qué ángulo se corresponde cada uno?
b)	Determina todas las razones trigonométricas de cada uno de ellos.
c)	¿Existe alguna relación entre las razones de unos y otros?
a)	Son los ángulos: 45º, 135º, 225º, 315º. Comprobar que los alumnos tienen dibujados los ángulos en la mitad de cada cuadrante.
b)	(º) 45º 135º 225º 315º
sen a − −
cos a − −
tg a 1 −1 1 −1
c)	Todos están relacionados con 45º.
65 Traza una circunferencia goniométrica y dibuja en ella un ángulo en cada cuadrante. Marca las razones trigonométricas de cada
uno. Razonando en cada caso sobre el triángulo que corresponda, justifica si se cumple sen2 a + cos2 a = 1 y por qué.
En cada caso, no importa el cuadrante, se forma un triángulo rectángulo.
Considerando las longitudes de sus catetos, seno y coseno, en valor absoluto (el signo solo indica la posición)	y la hipotenusa,
radio de la circunferencia, han de cumplir el teorema de Pitágoras. Y por tanto:
sen2 α + cos2 α = r 2 = 1
7. Reducción de ángulos al primer cuadrante
Aprenderás a… 7. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER 66 Sin ayuda de la calculadora, y partiendo de las 73 Fíjate en el ejercicio anterior. Si hay más de una
razones de los ángulos notables, determina las solución, ¿cuál nos da la calculadora? Contesta y
● Relacionar las razones CUADRANTE razones trigonométricas de: completa la tabla en tu cuaderno.
Luna ha observado que los puntos de la circunferencia goniométrica son simétricos a) 120º d) 225º
cualquiera con las de un Calculadora Además…
por cuadrantes. b) 150º e) 300º
Y >0 O O
● Determinar las razones
❚ Si colocase un espejo en el eje Y, obtendría puntos c) 210º f) 315º sen α
trigonométricas de ángulos simétricos a los del primer cuadrante situados en <0 O O
Reflexiona sobre ello dibujando una circunferencia
suplementarios. el segundo cuadrante. Esos puntos tendrían la P’• •P
β y situando en cada caso el ángulo en el cuadrante >0 O O
misma ordenada, pero abscisas opuestas. cos α
● Definir las razones correspondiente. O O
trigonométricas de ángulos sen β = sen α cos β = −cos α 1
O X 67 Las razones trigonométricas de un ángulo son: O O
que se diferencian 180º. >0
Por tanto: tg α
Conocer las razones 2 7 <0 4.º cuadrante 2.º cuadrante
sen β −sen α sen α = cos α =
trigonométricas de ángulos tg β = = = −tg α 3 3
opuestos. cos β cos α Halla las razones de su suplementario.
Busca la relación entre el ángulo del segundo punto y el primero. Comprueba que α 68 Calcula las razones del opuesto del ángulo que
es lo que le falta a β para completar 180º. Se trata de ángulos suplementarios. 1
} Encuentra los ángulos tales que: cos β = −
α + β = 180° → β = 180° − α 3 3 Solución
sen α = tg α =
❚ Para los ángulos del cuarto cuadrante solo tiene Y 5 4 Hay dos ángulos con ese coseno: uno en el segundo
que situar el espejo sobre el eje X. Los puntos así ¿En qué cuadrante está situado cada uno? cuadrante, 180° − α, y otro en el tercero, 180° + α.
conseguidos tienen la misma abscisa y ordenadas •P 69 Busca un ángulo cuyas razones coincidan con las de La calculadora nos da el del segundo cuadrante:
opuestas. su opuesto.
β α ⎛ 1⎞
arc cos ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = 120°
sen β = −sen α cos β = cos α 1
O X ❚ ¿Cuál es? ⎝ 2⎠
De este modo, se cumple también que: ❚ ¿Cuáles son sus razones?
•P’ Sus razones están relacionadas con las de su
sen β sen α 70 Un ángulo del primer cuadrante tiene estas razones: suplementario: α + 180° − 120° = 60°
tg β = = = −tg α
cos β −cos α 12 5 El otro ángulo, el que ocupa el tercer cuadrante, será:
cos α = tg α =
13 12 β = 180° + 60° = 240°
Al fijarse, constata que los ángulos son iguales, pero medidos en sentido contrario;
son opuestos. Halla las razones del que resulta de sumarle 180º.
β = 360° − α = −α 71 Si sen 43° ≈ 0,6820, aproxima, sin usar la calculadora: 74 Indica cuántos ángulos entre 0º y 360º cumplen que:
❚ Los ángulos del tercer cuadrante son simétricos a) sen 317° c) sen 223° a) sen α = −0,342 c) tg α = 2 + 3
respecto del origen de coordenadas. Son •P b) sen 137° d) cos 47° b) cos α = 0,848
diametralmente opuestos. 72 Observa que a cada ángulo le corresponde un solo Hállalos. ¿En qué cuadrantes están?
Por tanto, sus coordenadas son opuestas. α 1 valor para el seno, otro para el coseno y otro para
O X 75 Determina con ayuda de la calculadora y la
sen β = −sen α cos β = −cos α la tangente. Sin embargo, al revés esto no es cierto.
circunferencia goniométrica un ángulo que cumpla:
• a) Traza en una circunferencia goniométrica todos
Por consiguiente, las tangentes son iguales. a) cos α = −0,656 en el tercer cuadrante.
los ángulos que cumplan que tg α = −1. ¿Cuántos
sen β −sen α hay? ¿En qué cuadrantes están? b) sen α = 0,327 en el segundo cuadrante.
tg β = = = tg α
cos β −cos α b) Determina con la calculadora el ángulo que tenga c) tg α = −11,43 en el segundo cuadrante.
tg α = −1. ¿Qué obtienes? ¿En qué cuadrante? Redondea los ángulos, en grados, a las unidades.
El ángulo del tercer cuadrante mide exactamente 180º más que el del primer
76 Abre una hoja en GeoGebra solo con los ejes de coordenadas y, a continuación:
Las razones trigonométricas de:
❚ Traza una circunferencia goniométrica. Amplíala para acercarla.
❚ Dos ángulos suplementarios cumplen que:
❚ Señala un punto, P, sobre la circunferencia en el primer cuadrante. Muestra sus coordenadas y traza en naranja
sen (180° − α ) = sen α cos (180° − α ) = −cos α tg (180° − α ) = −tg α el segmento del seno y en verde el del coseno.
❚ Dos ángulos que se diferencian en 180º cumplen que: ❚ Marca el ángulo correspondiente y llámalo α. Muestra su nombre y su valor.
sen (180° + α ) = −sen α cos (180° + α ) = −cos α tg (180° + α ) = tg α ❚ Gira P 90º. Repite con P’ el proceso realizado con P. Nombra el ángulo correspondiente, β.
❚ Dos ángulos opuestos cumplen que: Ahora pincha y arrastra P. Observa qué ocurre y contesta: ¿Qué relación hay entre α y β? ¿Qué relación hay
sen (−α ) = −sen α cos (−α ) = cos α tg (−α ) = −tg α entre las razones trigonométricas de α y β?
Para trabajar las relaciones entre las razones de ángulos suple- con Geogebra el alumno puede determinar cuáles son esas
mentarios, con 180º de diferencia y opuestos es imprescindible relaciones y expresarlas por escrito. Resaltar que no es necesa-
la representación gráfica. Utilizando las actividades que se dan rio memorizarlas si no recordar cómo deducirlo gráficamente.
66 Sin ayuda de la calculadora, y partiendo de las razones de los ángulos notables, determina las razones trigonométricas de:
a)	120º	b)	150º	c)	210º	d)	225º	e)	300º	f)	315º
Reflexiona sobre ello dibujando una circunferencia y situando en cada caso el ángulo en el cuadrante correspondiente.
a)	Segundo cuadrante → 120 º = 180 º − 60 º
sen 120 º = sen 60 º = cos 120 º = −cos 60 º = − tg 120 º = −tg 60 º = − 3
b)	Segundo cuadrante → 150 º = 180 º −30 º
sen (150 º ) = sen 30 º = cos 150 º = −cos 30 º = − tg 150 º = −tg 30 º = −
c)	Tercer cuadrante → 210 º = 180 º + 30 º
sen 210 º = −sen 30 º = − cos 210 º = −cos 30 º = − tg 210 º = tg 30 º = 3
d)	Tercer cuadrante → 225º = 180 º + 45º
sen 225º = −sen 45º = − cos 225º = −cos 45º = − tg 225º = tg 45º = 1
e)	Cuarto cuadrante → 300 º = −60 º
sen 300 º = −sen 60 º = − cos 300 º = cos 60 º = tg 300 º = −tg 60 º = − 3
f)	Cuarto cuadrante → 315º = −45º
sen 315º = −sen 45º = − cos 315º = cos 45º = tg 315º = −tg 45º = −1
67 Las razones trigonométricas de un ángulo son: sen α = cos α =
Halla las razones de su suplementario.
Determinamos primero las razones de α sabiendo que pertenece al primer cuadrante.
sen α 3 = 14
Aplicando las relaciones fundamentales de la trigonometría: tg α = =
cos α 7 7
Y entonces las razones del suplementario son: 3
sen (180 º − α ) = sen α = cos (180 º − α ) = −cos α = − tg (180 º − α ) = −tg α = −
68 Calcula las razones del opuesto del ángulo que cumple que: sen α = tg α =
¿En qué cuadrante está situado cada uno?
Si el seno y la tangente son positivos el ángulo α pertenece al primer cuadrante. Hallamos el coseno:
sen α 35 → cos α = 4
tg α = → =
cos α 4 cos α 5
Y entonces el opuesto pertenece al cuarto cuadrante y sus razones son:
sen (−α ) = −sen α = − cos (−α ) = cos α = tg (−α ) = −tg α = −
69 Busca un ángulo cuyas razones coincidan con las de su opuesto.
❚ ¿Cuál es?
❚ ¿Cuáles son sus razones?
Si las razones coinciden con las de su opuesto es porque:
sen (−α ) = −sen α = sen α → sen α = 0 tg (−α ) = −tg α = tg α → tg α = 0
Los ángulos cuyas razones coinciden con las de su opuesto son:
❚ 360º → sen ( −360 º ) = −sen 0 º = 0 cos ( −360 º ) = cos 0 º = 1 tg ( −360 º ) = −tg 0 º = 0
❚ 180º → sen ( −180 º ) = −sen 180 º = 0 cos ( −180 º ) = cos 180 º = −1 tg ( −180 º ) = −tg 180 º = 0
70 Un ángulo del primer cuadrante tiene estas razones: cos α = tg α =
Halla las razones del que resulta de sumarle 180º.
Si el coseno y la tangente son positivos el ángulo α pertenece al primer cuadrante. Hallamos el seno:
sen α 5 sen α 5
tg α = → = → = sen α
cos α 12 12 13
Y entonces las razones del obtenido tras sumar 180º son:
sen (180 º + α ) = −sen α = − cos (180 º + α ) = −cos α = − tg (180 º + α ) = tg α =
71 Si sen 43° ≈ 0,6820, aproxima, sin usar la calculadora:
a)	sen 317°	b)	sen 137°	c)	sen 223°	d)	cos 47°
a)	sen 317º = sen −43º = −sen 43º ≈ −0,6820 c)	sen 223º = sen (180 º + 43º ) = −sen 43º ≈ −0,6820
b)	sen 137° = sen (180° − 43º ) = sen 43º ≈ 0,6820 d)	cos 47° = cos ( 90 º − 43º ) = sen 43º ≈ 0,6820
72 Observa que a cada ángulo le corresponde un solo valor para el seno, otro para el coseno y otro para la tangente. Sin embargo,
al revés esto no es cierto.
a)	Traza en una circunferencia goniométrica todos los ángulos que cumplan que tg a = −1. ¿Cuántos hay? ¿En qué cuadrantes
b)	Determina con la calculadora el ángulo que tenga tg a = −1. ¿Qué obtienes? ¿En qué cuadrante?
a)	Obtenemos dos posibles ángulos, uno en el segundo cuadrante y otro en el cuarto.
b)	La calculadora solo nos da un valor: arc tg (−1) = −45º , en el cuarto cuadrante.
73 Fíjate en el ejercicio anterior. Si hay más de una solución, ¿cuál nos da
Calculadora Además...
la calculadora? Contesta y completa la tabla en tu cuaderno.
>0 1. cuadrante 2.º cuadrante
<0 4.º cuadrante 3.er cuadrante
>0 1.er cuadrante 4.º cuadrante
<0 2.º cuadrante 3.er cuadrante
>0 1.er cuadrante 3.er cuadrante
<0 4.º cuadrante 2.º cuadrante
74 Indica cuántos ángulos entre 0º y 360º cumplen que: a) sen a = −0,342 b) cos a = 0,848 c) tg α = 2 + 3
Hállalos. ¿En qué cuadrantes están?
En todos los casos hay dos soluciones:
a)	La calculadora da la solución del cuarto cuadrante: α = arc sen (−0,342) ≈ −20 º = 340 º
La del tercer cuadrante sería: β ≈ 180 º + 20 º = 200 º
b)	La calculadora da la solución del primer cuadrante: α = arc cos 0,848 ≈ 32º
La del cuarto cuadrante sería: β ≈ −32º = 328 º
c)	La calculadora da la solución del primer cuadrante: α = arc tg ( 2 + 3 ) = 75º
La del tercer cuadrante sería: β = 180 º + 75º = 255º
75 Determina con ayuda de la calculadora y la circunferencia goniométrica un ángulo que cumpla:
a)	cos a = −0,656 en el tercer cuadrante.
b)	sen a = 0,327 en el segundo cuadrante.
c)	tg a = −11,43 en el segundo cuadrante.
Redondea los ángulos, en grados, a las unidades.
a)	La calculadora da la solución del segundo cuadrante: α = arc cos (−0,656 ) ≈ 131º
La del tercer cuadrante sería: β = −131º = 229º
b)	La calculadora da la solución del primer cuadrante: α = arc sen 0,327 ≈ 19º
La del segundo cuadrante sería: β ≈ 180 º − 19º = 161º
c)	La calculadora da la solución del cuarto cuadrante: α = arc tg (−11, 43) ≈ −85º = 275º
La del segundo cuadrante sería: β ≈ 180 º − 85º = 95º
❚ Traza una circunferencia goniométrica. Amplíala para acercarla.
❚ Señala un punto, P, sobre la circunferencia en el primer cuadrante. Muestra sus coordenadas y
traza en naranja el segmento del seno y en verde el del coseno.
❚ Marca el ángulo correspondiente y llámalo α. Muestra su nombre y su valor.
❚ Gira P 90º. Repite con P’ el proceso realizado con P. Nombra el ángulo correspondiente, β.
Ahora pincha y arrastra P. Observa qué ocurre y contesta: ¿Qué relación hay entre α y β? ¿Qué
relación hay entre las razones trigonométricas de α y β?
Los ángulos son α y β = 90 º + α. Se observa que sus razones se relacionan de la siguiente manera:
sen ( 90° + α ) = cos α cos ( 90° + α ) = −sen α tan ( 90° + α ) = −
8. Teorema del seno y del coseno
Aprenderás a… 8. TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO 80 Calcula la medida del lado desconocido.
EJERCICIO RESUELTO a) a = 7 m, B = 32°, c = 6 m
● Conocer los enunciados Las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo que no sea rectángulo
 = 100°, c = 6,3 cm
b) b = 3,12 cm, A
del teorema del seno y del
no relacionan sus lados. Pero, si trazamos la altura sobre cualquiera de sus lados,
obtenemos dos triángulos rectángulos, AMC y MBC, y en ellos sí podemos aplicar
} Determina la medida C
de los elementos que 81 Resuelve estos triángulos aplicando el teorema del
● Resolver triángulos no las razones trigonométricas de sus ángulos agudos. faltan. coseno.
rectángulos con los teoremas
Solución a) a = 24 mm, C = 120°, b = 31 mm
del seno y del coseno. Teorema del seno C 100º
C = 180° − ( A
 + B ) = 180° −130° = 50°  = 82°, c = 3,6 cm
b) b = 5 cm, A
● Aplicar los teoremas del seno  y B :
Si se calcula el seno de A 30º
y del coseno a la resolución A a=6m
 + B ) = 180° −130° = 50° 82 En un triángulo cuyos lados miden a = 14 cm,
de problemas. h h b
=
sen A sen B = h’ a b = 17 cm, c = 24 cm, ¿es posible averiguar la
b a Y aplicando el teorema del seno tenemos:  ? Explica cómo lo haces.
amplitud del ángulo A
observamos que el cateto opuesto es el mismo. sen 100° sen 30° sen 50° 83 Aplica el ejercicio anterior para averiguar la amplitud
Si despejamos e igualamos las dos expresiones, = =
M B a b 6 de los ángulos de triángulos cuyos lados miden:
tenemos esta proporción:
a) a = 4 m, b = 5,3 m, c = 3 m
6 ⋅ sen 100° 6 ⋅ sen 30°
 = h ⎪⎫⎪   a= ≈ 7,71 m b= ≈ 3,92 m b) a = 15 mm, b = 17 mm, c = 22 mm
b ⋅ sen A  = a ⋅ sen B → sen A = sen B
⎪⎬ → b ⋅ sen A sen 50° sen 50°
⎪ a b
a ⋅ sen B = h ⎪⎭⎪ 84 Teresa tiene un anemómetro casero sujeto al tejado
 sen C de la casa y anclado al suelo con dos cables.
sen A 77 Resuelve los siguientes triángulos.
Al repetir el razonamiento con la altura h’ desde el vértice B: =
a c  = 51°, B = 46°, c = 12 cm
Es decir, la razón entre el seno del ángulo y la longitud del lado opuesto es igual para
los tres ángulos. b) B = 32°, C = 74°, a = 21,5 cm
78 Calcula el valor del ángulo α.
Teorema del seno. En un triángulo cualquiera, las longitudes de los lados son a) A = 50°, a = 8 cm, b = 10 cm → B = α
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
b) B = 65°, b = 46 dm, c = 32 dm → C = α
= = 79 Determina los elementos que faltan.
sen A sen B sen C
 = 73°, b = 5,4 m, a = 6,9 m
a) A Ha ido a comprar cable para cambiar la sujeción y ha
b) B = 21°, b = 32 mm, a = 40 mm encontrado que lo venden en tres formatos: de 6 m,
Teorema del coseno de 10 m y de 12 m. ¿Cuál debería comprar?
C Si aplicamos el teorema de Pitágoras a los dos triángulos, AMC y MBC, es posible 85 En la intersección de dos calles hay dos señales que
extender el teorema de Pitágoras a un triángulo cualquiera: EJERCICIO RESUELTO indican la distancia a sendas estaciones de metro.
AMC → b2 = h2 + m2 MBC → a2 = h2 + n2
a } Calcula la medida del C
h Como n = c − m, sustituyendo y operando en la segunda expresión: lado desconocido.
m n a2 = h2 + (c − m)2 → a2 = h2 + c 2 − 2mc + m2 → a2 = b2 + c 2 − 2mc
A M B Aplicamos el teorema 53º
c Dado que el triángulo AMC es rectángulo:
del coseno. A 7 dm B
 = m → m = b ⋅ cos A
cos A 
b2 = 72 + 3,52 − 2 ⋅ 7 ⋅ 3,5 ⋅ cos 53° ≈ 31,7611
Sustituimos m y conseguimos la generalización del teorema: b= 31,7611 ≈ 5,64 dm
a2 = b2 + c 2 − 2bc cos A ¿Qué separación hay entre las estaciones?
El razonamiento sería similar para los otros dos lados, trazando las alturas
correspondientes. DESAFÍO
86 Dos pueblos se encuentran a ambos lados de un monte. Solo
Teorema del coseno. En un triángulo cualquiera, un lado elevado al cuadrado es están comunicados por las carreteras que los conectan con la
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble de su producto vía principal. Para resolver este problema, están estudiando dos
por el coseno del ángulo que forman. proyectos para mejorar esta situación: hacer un túnel que atraviese
a2 = b2 + c 2 − 2bc cos A el monte o construir una carretera que bordee el monte por el
lado opuesto a la carretera en el que hay una ermita. ¿Cuánto
b2 = a2 + c 2 − 2ac cos B mediría el túnel? ¿Y la carretera?
c 2 = a2 + b2 − 2ab cos C
Extendemos el uso de las razones trigonométricas a cualquier La utilidad de la medida de triángulos puede servir como mo-
triángulo. Con estos dos teoremas podemos volver sobre la tivación de este epígrafe. En este nivel, aunque no las vayan a
introducción del tema. Midiendo ángulos y con una longitud aprender, conviene trabajar las demostraciones de estos resul-
conocida podemos determinar todos los lados de un triángulo. tados para que vean su validez y aprendan del razonamiento.
77 Resuelve los siguientes triángulos.
 = 51°, B = 46°, c = 12 cm
a)	A b)	B = 32°, C = 74°, a = 21,5 cm
sen 51º sen 46 º sen 83º ⎧⎪ a ≈ 9, 40 cm
a)	Teorema del seno: C! = 180 º −( 51º + 46 º ) = 83º = = → ⎪⎨
a b 12 ⎪⎪⎩ b ≈ 8,70 cm
! = 180 º −( 32º + 74 º ) = 74 º sen 74 º = sen 32º = sen 74 º → ⎪⎪⎨ b ≈ 11,85 cm
b)	Teorema del seno: A
21,5 b c ⎪⎪⎩c ≈ 21,5 cm
 = 50°, a = 8 cm, b = 10 cm → B = a
a)	A b)	B = 65°, b = 46 dm, c = 32 dm → C = a
sen 50 º sen B! 10 ⋅ sen 50 º
a)	= → B! = arc sen ≈ 73º 14' 48,69"
sen 65º sen C! 32 ⋅ sen 65º
b)	= → C! = arc sen ≈ 39º 5' 6,63"
79 Determina los elementos que faltan.
 = 73°, b = 5,4 m, a = 6,9 m
a)	A b)	B = 21°, b = 32 mm, a = 40 mm
sen 73º sen B! sen C! 5, 4 ⋅ sen 73º
a)	= =→ B! = arc sen ≈ 48 º 27' 11"
6,9 5, 4 c 6,9
6,9 ⋅ sen ( 58 º 32' 49" )
C! = 180 º −( 73º + 48 º 27' 11" ) = 58 º 32' 49" → c = ≈ 6,16 m
sen 73º
sen A! sen 21º sen C!
b)	= = →A ! = arc sen 40 ⋅ sen 21º ≈ 26 º 36' 46"
40 32 c 32
32 ⋅ sen(132º 23' 14" )
C! = 180 º −( 21º + 26 º 36' 46" ) = 132º 23' 14" → c = ≈ 65,95 mm
sen 21º
80 Calcula la medida del lado desconocido.
a)	a = 7 m, B = 32°, c = 6 m	 = 100°, c = 6,3 cm
b)	b = 3,12 cm, A
a)	Teorema del coseno: b = 72 + 62 − 2 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ cos 32º ≈ 3,71 m
b)	Teorema del coseno: a = 3,122 + 6,32 − 2 ⋅ 3,12 ⋅ 6,3 ⋅ cos 100 º ≈ 7,5 cm
81 Resuelve estos triángulos aplicando el teorema del coseno.
a)	a = 24 mm, C = 120°, b = 31 mm	 = 82°, c = 3,6 cm
b)	b = 5 cm, A
a)	c = 242 + 312 − 2 ⋅ 24 ⋅ 31⋅ cos 120 º ≈ 47,76 mm B! = 180 º − (120 º + 25º 47' 50" ) = 34 º 12' 10"
! sen B!
sen 120 º ! = arc sen 24 ⋅ sen 120 º ≈ 25º 47' 50"
24 31 47,76 47,76
b)	a = 52 + 3,62 − 2 ⋅ 5 ⋅ 3,6 ⋅ cos 82º ≈ 5,74 cm C! = 180 º − ( 82º + 59º 36' 36" ) = 38 º 23' 24"
sen 82º sen B! sen C! 5 ⋅ sen 82º
= = → B! = arc sen ≈ 59º 36' 36"
5,74 5 3,6 5,74
 ? Explica
82 En un triángulo cuyos lados miden a = 14 cm, b = 17 cm, c = 24 cm, ¿es posible averiguar la amplitud del ángulo A
⎛ 2 ⎞⎟ ⎛ 172 + 242 −142 ⎞⎟
! = arc cos ⎜⎜ b + c − a
Despejando en el teorema del coseno: A ⎟⎟ = arc cos ⎜⎜ ⎟⎟ ≈ 34 º 55' 48"
⎜⎜ 2 ⋅ b ⋅ c ⎟⎠ ⎜⎜ 2 ⋅17 ⋅ 24 ⎟⎠
83 Aplica el ejercicio anterior para averiguar la amplitud de los ángulos de triángulos cuyos lados miden:
a)	a = 4 m, b = 5,3 m, c = 3 m	b)	a = 15 mm, b = 17 mm, c = 22 mm
⎛ ⎞⎟ ⎛ 42 + 32 − 5,32 ⎞⎟
! = arc cos ⎜⎜ 5,3 + 3 − 4
a)	A ⎜⎜ 2 ⋅ 5,3 ⋅ 3
⎟⎟ ≈ 48 º 27' 18" B! = arc cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ≈ 97º 23' 51"
⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ 2⋅4 ⋅3 ⎟⎠
C! = 180 º − ( A
! + B! ) = 34 º 8' 51"
⎛ 2 ⎞⎟ ⎛ 152 + 222 −172 ⎞⎟
! = arc cos ⎜⎜ 17 + 22 −15
b)	A ⎜⎜
⎟⎟ ≈ 42º 53' 37" B! = arc cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ≈ 50 º 28' 44"
⎝ 2 ⋅17 ⋅ 22 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⋅15 ⋅ 22 ⎟⎠
! + B! ) = 86 º 37' 39"
84 Teresa tiene un anemómetro casero sujeto al tejado de la casa y an-
clado al suelo con dos cables.
Ha ido a comprar cable para cambiar la sujeción y ha encontrado
que lo venden en tres formatos: de 6 m, de 10 m y de 12 m. ¿Cuál
debería comprar?
Hallamos la longitud de los cables con el teorema del seno:
A! = 180 º −( 63º + 38 º ) = 79º
sen 79º sen 63º ⎪⎧ b ≈ 4,085 m
sen 38 º
= =→ ⎪⎨
4,5 b c ⎪⎪⎩c ≈ 2,822 m
La longitud total que precisa es de 6,907 m. Deberá comprar el rollo de 10 m.
85 En la intersección de dos calles hay dos señales que indican la distan-
cia a sendas estaciones de metro.
¿Qué separación hay entre las estaciones?
Hallamos la distancia con el teorema del coseno:
a= 5002 + 9002 − 2 ⋅ 500 ⋅ 900 ⋅ cos 110 º ≈ 1170
La separación entre las estaciones es de 1 170 m.
86 Dos pueblos se encuentran a ambos lados de un monte. Solo están comunicados por las carreteras que los conectan con la vía
principal. Para resolver este problema, están estudiando dos proyectos para mejorar esta situación: hacer un túnel que atraviese
el monte o construir una carretera que bordee el monte por el lado opuesto a la carretera en el que hay una ermita. ¿Cuánto
mediría el túnel? ¿Y la carretera?
Hallamos la longitud que tendría el túnel aplicando el teorema del coseno:
a= 42 + 52 − 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ cos 25º ≈ 2,179 km
Y la de la carretera aplicando el teorema del seno:
A! = 180 º − ( 30 º + 85º ) = 65º → sen 65º = sen 30 º = sen 85º → ⎪⎪⎨ b ≈ 1,202 km
2,179 b c ⎪⎪⎩ c ≈ 2,395 km
El túnel mediría 2,179 km y la carretera, en total, 3,597 km.
9. Resolución de triángulos cualesquiera. Aplicaciones
Aprenderás a… 9. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA. 87 Determina la medida de los elementos que faltan en 94 Halla el área y el volumen de un cilindro de 15 m de
estos triángulos. altura si el segmento entre dos puntos diametralmente
● Aplicar la trigonometría al APLICACIONES  = 59°, B = 46°, b = 8,5 dm opuestos de sus bases forma un ángulo de 60º con
cálculo de medidas en figuras la horizontal.
Un Ayuntamiento quiere conservar la fachada
y cuerpos geométricos. b) a = 3,2 cm, b = 5,1 cm, C = 37°
de cierto edificio declarado en ruina. Un técnico
Resolver problemas c) C = 73°, c = 80 m, b = 64 m 95 Calcula el volumen y el área de un cono de 24 cm
● municipal estudia cómo volver a reforzar la
utilizando trigonometría. de generatriz, 8 cm de radio de la base y 70º de
estructura para evitar su derrumbe. d) a = 15 mm, b = 9 mm, c = 7 mm
Ha medido un ángulo de inclinación con 88 Calcula una altura de cada uno de estos triángulos.
la vertical de 7º. Por tanto, el ángulo con la 96 En el patio del Louvre hay una pirámide de cristal
horizontal es el complementario, 83º. a) a = 6,7 dm, B = 67°, c = 5 dm de base cuadrada. Sus caras laterales son triángulos
b) b = 5,3 cm, a = 4,2 cm, B = 65° equiláteros de 35 m de lado. El arquitecto dio a sus
Se van a colocar unos puntales metálicos de
 = 35°, B = 70°
c) c = 15 m, A caras la misma inclinación que tienen las pirámides
3 m con la misma inclinación que el edificio.
de Egipto, 51º.
La distancia a la que han de colocar cada 89 Determina la longitud de las diagonales de un
puntal para conseguir esa inclinación la paralelogramo cuyos lados miden 8 dm y 5 dm
calcula aplicando el teorema del seno al sabiendo que su ángulo agudo es de 33º.
Recuerda triángulo formado por el edificio, el suelo y
90 Considera los triángulos cuyas medidas son:
los puntales.
Un paralelogramo es un ❚ a = 13 m, b = 17 m, C = 85°
cuadrilátero con los lados 
sen A sen B sen 83° sen 14° 3 ⋅ sen 14°
paralelos dos a dos. = → = →b= ≈ 0,73 m ❚ B = 75°, C = 40°, c = 5,9 cm
a b 3 b sen 83°
Algunas de sus características Calcula:
son: Así, deben colocar los puntales a 0,73 m del pie del edificio. a) El perímetro.
❚ Las diagonales se cortan en Sin acercarse, sobre una foto tomada desde una posición perpendicular a las b) La altura.
su punto medio. ventanas, comprueba que el ángulo de inclinación en ellas es el mismo. La sujeción, c) El área. a) ¿Cuánto mide la superficie acristalada?
❚ Los ángulos opuestos son en este caso, se hará con dos barras cruzadas en diagonal. b) ¿Cuál es su altura?
91 Averigua el perímetro y el área de este romboide
iguales. Aplicando el teorema del coseno, y teniendo en cuenta que las ventanas tenían unas c) ¿Y su volumen?
sabiendo que sus diagonales miden 12 cm y 9 cm
❚ Los ángulos consecutivos son dimensiones de 2,5 m por 1,5 m, averiguan qué longitud deben tener las barras. respectivamente. 97 Determina el volumen de este tronco de cono.
suplementarios. D C
Así, la primera barra mide:
AC = 1,52 + 2,52 − 2 ⋅1,5 ⋅ 2,5 ⋅ cos 83° ≈ 2,75 m
83º 110º
A 2,5 m B
b2 = a2 + c 2 − 2ac cos B
D C 12 cm
Análogamente, obtenemos que la segunda barra mide:
65º 8 cm
DB = 1,52 + 2,52 − 2 ⋅1,5 ⋅ 2,5 ⋅ cos 97° ≈ 3,07 m 97º 92 Calcula el área de un heptágono regular inscrito en
A 2,5 m B una circunferencia de 9 cm de radio.
En tu vida Por último, deciden cubrir las ventanas con una lona. Para determinar la superficie 93 Halla el radio de las circunferencias inscrita y ¿Es posible determinar su superficie? Justifica tu
diaria que hay que cubrir: circunscrita en un octógono regular de 6 cm de lado. respuesta y, en caso afirmativo, calcula su medida.
Podemos enc
ontrar 1 Calculan la variación en la altura utilizando el ángulo de 83º:
se mantienen h D C DESAFÍO
en pie aun esta sen 83° =
ndo 1,5
inclinados, un 98 La clase de Caridad ha salido con el profesor de Biología para hacer
ejemplo es la
torre de Pisa una ruta por una zona boscosa y conocer su flora y su fauna. A fin
. h = 1,5 ⋅ sen 83° ≈ 1, 49 m 83º de orientarse llevan una brújula y anotan en cada momento qué
A 2,5 m B dirección toman.
2 Determinan el área de la superficie a cubrir.
La ruta comienza en dirección norte. A los 6,5 km de marcha giran
A = b ⋅ h ≈ 2,5 ⋅1, 49 = 3,725 m 2
en dirección este-sur-este(ESE). Mantienen este rumbo durante 5 km
Para apuntalar esa ventana el técnico necesita dos listones: uno de 2,75 m y otro hasta que deciden volver al punto de partida donde tienen que coger
de 3,07 m. Por otro lado, la superficie estará cubierta por una lona de 3,725 m2. el transporte de vuelta al centro escolar.
a) Haz un esquema de la ruta completa y coloca los datos en ella. Ten
Al calcular longitudes desconocidas en figuras planas, se utilizan triángulos y las en cuenta los ángulos.
razones trigonométricas de sus ángulos. b) ¿Qué dirección deben tomar mirando la brújula?
Para ello, es necesario conocer tres de sus elementos y que al menos uno de ellos c) ¿Cuántos kilómetros tiene el recorrido completo?
En este último epígrafe aplicamos todos los conocimientos de esos contenidos es insistir en que organicen la información del
trigonometría a la resolución de problemas métricos. En cada problema, nombren de forma clara los elementos implicados y
caso deben decidir cuál de todos los contenidos de estas uni- expliquen el proceso seguido adecuadamente.
dades es útil para resolver el problema. Tan importante como
87 Determina la medida de los elementos que faltan en estos triángulos.
 = 59°, B = 46°, b = 8,5 dm
a)	A c)	C = 73°, c = 80 m, b = 64 m
b)	a = 3,2 cm, b = 5,1 cm, C = 37°	d)	a = 15 mm, b = 9 mm, c = 7 mm
sen 59º sen 46 º sen 75º ⎪⎧ a ≈ 10,13 dm
a)	C! = 180 º − ( 59º + 46 º ) = 75º → = = → ⎪⎨
a 8,5 c ⎪
⎪⎩ c ≈ 11, 41 dm
! sen B! sen 37º
b)	c = 3,2 + 5,1 − 2 ⋅ 3,2 ⋅ 5,1⋅ cos 37º ≈ 3,19 cm
= = ! ≈ 37º 8' 8"
3,2 5,1 3,19
B! = 180 º − ( C! + A! ) ≈ 105º 51' 52"
sen A sen B! sen 73º 64 ⋅ sen 73º
c)	= = → B! = arc sen ≈ 49º 54' 39"
a 64 80 80
! = 180 º − ( 73º + 49º 54' 39" ) = 57º 5' 21" → a = 70,23 m
⎛ 2 ⎞⎟ ⎛ 152 + 72 − 92 ⎞⎟
! = arc cos ⎜⎜ 9 + 7 −15
d)	A ⎟⎟ ≈ 138 º 56' 7" B! = arc cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ≈ 23º 12' 46"
⎜⎜ 2⋅9⋅7 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⋅15 ⋅ 7 ⎟⎠
! + B! ) = 17º 51' 7"
88 Calcula una altura de cada uno de estos triángulos.
a)	a = 6,7 dm, B = 67°, c = 5 dm c)	c = 15 m, A = 35°, B = 70°
b)	b = 5,3 cm, a = 4,2 cm, B = 65°
a)	La altura sobre a sería: sen B! = a → sen 67º = a → ha = 5 ⋅ sen 67º ≈ 4,60 dm
b)	La altura sobre c sería: sen B! = c → sen 65º = → hc = 4,2 ⋅ sen 65º ≈ 3,81 cm
c)	La altura sobre a sería: sen B! = a → sen 70 º = → ha = 15 ⋅ sen 70 º ≈ 14,10 m
89 Determina la longitud de las diagonales de un paralelogramo cuyos lados miden 8 dm y 5 dm sabiendo que su ángulo agudo
es de 33º.
El ángulo obtuso mide: 180 º −33º = 147º . Aplicando el teorema del coseno a los triángulos que forman las diagonales:
d = 82 + 52 − 2 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ cos 147º ≈ 12, 49 dm D= 82 + 52 − 2 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ cos 33º ≈ 4,68 dm
❚ a = 13 m, b = 17 m, C = 85°
❚ B = 75°, C = 40°, c = 5,9 cm
a)	El perímetro.	b)	La altura.	c)	El área.
a)	Hallamos el lado que falta: c = 132 + 172 − 2 ⋅13 ⋅17 ⋅ cos 85º ≈ 20, 48 m
Perímetro: P = a + b + c ≈ 13 + 17 + 20, 48 = 50, 48 m
La altura sobre a sería: sen C! = a → sen 85º = a → ha = 17 ⋅ sen 85º ≈ 16,94 m
a ⋅ ha 13 ⋅16,94
Área: A = ≈ = 110,11 m2
b)	Hallamos los lados que faltan:
A! = 180 º − ( 75º + 40 º ) = 65º → sen 65º = sen 75º = sen 40 º → ⎪⎪⎨ a ≈ 8,32 cm
a b 5,9 ⎪⎪⎩ b ≈ 8,87 cm
Perímetro: P = a + b + c ≈ 8,32 + 8,87 + 5,9 = 23,09 cm
La altura sobre a sería: sen B! = → sen 75º = → ha = 5,9 ⋅ sen 75º ≈ 5,70 cm
a ⋅ ha 8,32 ⋅ 5,70
Área: A = ≈ = 23,712 cm2
91 Averigua el perímetro y el área de este romboide sabiendo que sus diagonales miden D C
12 cm y 9 cm respectivamente.
Los ángulos centrales miden: 110º y 180 º − 110 º = 70 º
O 70º
Hallamos la longitud de sus lados aplicando el teorema del coseno a los triángulos OAB y
OBC que forman las diagonales sabiendo que estas se cortan por su punto medio:
Lado mayor: AB = 62 + 4,52 − 2 ⋅ 6 ⋅ 4,5 ⋅ cos 110 º ≈ 8,64 cm A B
AB = 8,64 cm OB = 4,5 cm
Lado menor: BC = 62 + 4,52 − 2 ⋅ 6 ⋅ 4,5 ⋅ cos 70 º ≈ 6,15 cm BC = 6,15 cm OC = 6 cm
Luego el perímetro: P ≈ 2 ⋅ (8,64 + 6,15) = 29,58 cm
! = arc cos ⎜⎜ 8,64 + 6,15 − 9 ⎟⎟⎟ ≈ 72º 46' 25"
Necesitamos el ángulo en A, aplicando el teorema del coseno: A ⎜⎜ 2 ⋅ 8,64 ⋅ 6,15 ⎟
! = hAB → sen ( 72º 46' 25" ) = ha → h = 6,15 ⋅ sen ( 72º 46' 25" ) ≈ 5,87 cm
Así la altura sobre AB es: sen A a
DA 6,15
Y el área: A = AB ⋅ hAB = 8,64 ⋅ 5,87 ≈ 50,72 cm2
92 Calcula el área de un heptágono regular inscrito en una circunferencia de 9 cm de radio.
Necesitamos conocer la longitud del lado y la apotema. Los triángulos isósceles que se forman al trazar los radios tienen ángu-
! = 360 º ≈ 51, 4 º y B! = C! = 180 º − A = 450 ≈ 64,3º y lados iguales b = c = 9 cm
los: A
Determinamos el lado a con el teorema del seno:
sen A! sen B! sen C! sen 51, 4 º sen 64,3º 9 ⋅ sen 51, 4 º
= = → = →a = ≈ 7,81 cm
a b c a 9 sen 64,3º
Y la altura sobre a: sen B! = a → sen 64,3º = a → ha = 9 ⋅ sen 64,3º ≈ 8,11 cm
c 7,81
P ⋅a 7 ⋅ 7,81⋅ 8,11
Área: A = ≈ ≈ 221,69 cm2
93 Halla el radio de las circunferencias inscrita y circunscrita en un octógono regular de 6 cm de lado.
Los triángulos isósceles que se forman al trazar los radios del octógono tienen ángulos:
A! = 360 º ≈ 45º B! = C! = 180 º − A = 67,5º Lado desigual: a = 6 cm
Determinamos los lados b y c, radio de la circunferencia circunscrita con el teorema del seno:
sen A! sen B! sen C! sen 45º sen 67,5º sen 67,5º 6 ⋅ sen 67,5º
= = → = = →b =c = ≈ 7,84 cm
a b c 6 b c sen 45º
Y la apotema, radio de la circunferencia inscrita con la razón seno:
sen 67,5º = → apotema ≈ 7,84 ⋅ sen 67,5º ≈ 7,24 cm
El radio de la circunferencia inscrita mide 7,24 cm y el de la circunscrita 7,84 cm.
94 Halla el área y el volumen de un cilindro de 15 m de altura si el segmento entre dos puntos diametralmente opuestos de sus
bases forma un ángulo de 60º con la horizontal.
Si el segmento mayor que atraviesa el cilindro mide 15 m podemos determinar el diámetro de la base conociendo el ángulo:
tg 60 º = →d = ≈ 8,66 m
d tg 60 º
Y, entonces el área y volumen resultan:
A = 2πr 2 + 2πrh = 2πr ⋅ ( r + h ) ≈ 2 ⋅ π ⋅ 4,33 ⋅ ( 4,33 + 15) ≈ 525,90 m2
V = πr 2 h ≈ π ⋅ 4,332 ⋅15 ≈ 883,52 m3
95 Calcula el volumen y el área de un cono de 24 cm de generatriz, 8 cm de radio de la base y 70º de inclinación.
Calculamos la altura del cono: tg 70 º = → h = 8 ⋅ tg 70 º ≈ 21,98 cm
Y, entonces, el área y el volumen son:
A = πr 2 + πrg = πr ⋅ ( r + g ) ≈ π ⋅ 8 ⋅ (8 + 24 ) ≈ 804,25 cm2
πr 2 h π ⋅ 82 ⋅ 21,98
V = ≈ ≈ 1473,11 cm3
96 En el patio del Louvre hay una pirámide de cristal de base cuadrada. Sus caras laterales son triángulos equiláteros de 35 m de
lado. El arquitecto dio a sus caras la misma inclinación que tienen las pirámides de Egipto, 51º.
a)	¿Cuánto mide la superficie acristalada?
b)	¿Cuál es su altura?
c)	¿Y su volumen?
a)	La superficie acristalada es la suma de cuatro triángulos equiláteros de 35 m de lado. Su altura es:
35 ⋅
h 35 3 2
sen 60 º = → h = 35 ⋅ sen 60 º ≈ m → A acristalada = 4 ⋅ = 352 3 ≈ 2 121,76 m2
b)	La altura de la pirámide es: tg 51º = →H = ⋅ tg 51º ≈ 21,61 m
l ⋅H 35 ⋅ 21,61
c)	Y el volumen: V = ≈ ≈ 8 824,08 m3
97 Determina el volumen de este tronco de cono.
¿Es posible determinar su superficie? Justifica tu respuesta y, en caso afirmativo, calcula su
La altura de ambos conos es: tg 65º = → H = 8 ⋅ tg 65º ≈ 17,16 cm → h = 17,16 −12 = 5,16 cm
Y el radio menor: tg 65º = →r = ≈ 2, 41 cm
r tg 65º
π ⋅ R2 ⋅ H π ⋅ r2 ⋅ h π ⋅ ( 82 ⋅17,16 − 2, 412 ⋅ 5,16 )
Así el volumen: V = V1 − V2 = − ≈ ≈ 1118,69 cm3
Para el área determinamos las generatrices de los conos:
8 8 2, 41 2, 41
cos 65º = →G = ≈ 18,93 cm → cos 65º = →g = ≈ 5,70 cm
G cos 65º g cos 65º
A = ( πR2 + πr 2 ) + ( πRG − πrg ) ≈ ( π ⋅ 82 + π ⋅ 2, 412 ) + ( π ⋅ 8 ⋅18,93 − π ⋅ 2, 41⋅ 5,70 ) ≈ 651,92 cm2
98 La clase de Caridad ha salido con el profesor de Biología para hacer una ruta por una zona boscosa y conocer su flora y su fauna.
A fin de orientarse llevan una brújula y anotan en cada momento qué dirección toman.
La ruta comienza en dirección norte. A los 6,5 km de marcha giran en dirección este-sur-este (ESE). Mantienen este rumbo
durante 5 km hasta que deciden volver al punto de partida donde tienen que coger el transporte de vuelta al centro escolar.
a)	Haz un esquema de la ruta completa y coloca los datos en ella. Ten en cuenta los ángulos.
b)	¿Qué dirección deben tomar mirando la brújula?
c)	¿Cuántos kilómetros tiene el recorrido completo?
a)	Con una herramienta como GeoGebra podemos trazar la ruta y tenemos:
b)	Para volver, mirando la brújula deben ir dirección Sur-Oeste-Sur.
c)	Determinamos la longitud del lado que falta aplicando el teorema del coseno:
b= 52 + 6,52 − 2 ⋅ 5 ⋅ 6,5 ⋅ cos 67,5º ≈ 6,5 km
El recorrido total es de 5 + 6,5 + 6,5 = 18 km.
7 ¿QUÉ tienes que saber ? Actividades Finales 7
Medida de ángulos 107 Ayúdate de la calculadora para hallar qué ángulo
99 Razonadamente y sin cambiar de unidad, clasifica a) cos α = 0,2079 c) cos α = 0,9205
Ten en cuenta Razones trigonométricas de un ángulo agudo según su amplitud un ángulo de 3 rad. Después
b) tg α = 0,6009 d) sen α = 0,9205
Razones trigonométricas de un Determina las razones trigonométricas de los ángulos compruébalo expresándolo en grados, minutos y
ángulo agudo, α: agudos de este triángulo rectángulo, así como su β segundos.
cateto opuesto amplitud. ¿Existe alguna relación entre α y β? 13 cm
100 Expresa en radianes la amplitud de un ángulo de:
Relación entre las razones
sen α = 12 cm
hipotenusa Calculamos las razones trigonométricas. a) −60º c) 480º e) 600º trigonométricas de un ángulo
5 12 15 α
cateto adyacente ❚ Para α: sen α = cos α = tg α = b) −300º d) 720º f) 1 125º 108 Justifica si existe algún ángulo, α, para el que:
cos α = 15 cm
hipotenusa 13 13 12
101 Determina la amplitud de un ángulo que abarca un a) sen α = 1,5
12 5 12 arco de 1,5 m de longitud en una circunferencia de
cateto opuesto ❚ Para β: sen β = cos β = tg β = b) tg α = 2
tgα = 13 13 15 3 m de radio. Exprésalo en radianes y en grados.
cateto adyacente En caso afirmativo, calcula las restantes razones
5 5 102 Calcula de forma razonada trigonométricas.
Con la calculadora resulta: α = arc sen ≈ 22° 37´ 12´´ β = arc cos ≈ 67° 22´ 48´´
13 13 el valor de los ángulos B̂
señalados en la figura. 109 Razona, sin hacer operaciones, si es posible que:
Los ángulos agudos del triángulo son complementarios y sus razones están relacionadas. Â
1 ❚ En grados sen2α ⋅ cos2α = 2
sen α = cos β cos α = sen β tg α = Ĉ
tg β ❚ En radianes 110 Decide de forma razonada si las siguientes
Ten en cuenta Relaciones entre las razones trigonométricas a) Si tg α = 3, entonces: cos α = 3 ⋅ sen α
b) Existe un ángulo, α, tal que:
Relaciones fundamentales entre las
1 de un ángulo agudo
razones de un ángulo La tangente de un ángulo agudo vale . Calcula el seno y el coseno. 1 1
2 sen α = y cos α =
sen2 α + cos2 α = 1 103 Comprueba que los triángulos ABC y ABH son 2 3
sen α sen α 1 rectángulos.
senα La tangente relaciona seno y coseno: tg α = → = → 2 ⋅ sen α = cos α c) Si sen α = 0,4, entonces: cos α = 0,6
= tgα cos α cos α 2
cos α A d) Si sen α < cos α, entonces: tg α < 1
Sustituyendo en la relación sen2 α + cos2 α = 1 resulta:
1 5 15 m 20 m 111 ¿Existe algún ángulo para el que sen α = y
sen2 α + (2 ⋅ senα )2 = 1 → 5 ⋅ sen2 α = 1 → sen α = = 3
5 5 tg α = ? ¿Por qué?
⎛ 1 ⎞⎟2 4 2 5
⎜ ⎟⎟ = C B
Luego: cos α = 1− ⎜⎜⎜ = 9m H 16 m 112 Calcula todas las razones trigonométricas de los
⎝ 5 ⎟⎠ 5 5
Calcula las razones trigonométricas de B haciendo ángulos que cumplen que:
Como el ángulo es agudo, el seno y el coseno son positivos. uso de los dos triángulos. ¿Obtienes el mismo
resultado en ambos casos? ¿A qué se debe? a) cos α = c) sen α =
Ten en cuenta Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera 104 Halla las razones trigonométricas de los ángulos
agudos de estos triángulos rectángulos. 1 6
Ángulos suplementarios b) tg α = d) cos α =
3 1 a) c = 7 dm, b = 4,9 dm 2 3
sen (180° − α ) = sen α Si sen 60° = y cos 60° = , calcula: sen 120° cos 240° tg 300°
2 2 b) c = 2,5 cm, a = 5,9 cm Expresa todas las soluciones de forma exacta con
cos (180° − α ) = −cos α fracciones y con radicales.
❚ Dado que 120º pertenece al segundo cuadrante, se puede expresar como 180° − α. 105 Calcula los lados que faltan en este C
tg (180° − α ) = −tg α En este caso, α = 60°. triángulo si tg α ≈ 1,54. 113 Averigua el valor del seno de un ángulo para el que:
Ángulos que se diferencian en 180º 3 cos α = tg α
sen 120° = sen (180° − 60°) = sen 60° =
sen (180° + α ) = −sen α 2 a
13,4 m 114 Aplica las relaciones fundamentales para calcular de
cos (180° + α ) = −cos α ❚ El ángulo 240º está en el tercer cuadrante y se puede expresar como 180° + α. forma exacta todas las razones trigonométricas de
También en este caso, α = 60°. un ángulo que cumple que sen α = cos α. ¿De qué
tg (180° + α ) = tg α
B c A ángulo se trata?
Ángulos opuestos cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −
2 106 Determina la longitud de los lados que faltan en los 115 Determina todas las razones trigonométricas de 30º y
sen (−α ) = −sen α
❚ Puesto que 300º pertenece al cuarto cuadrante, se expresa como −α. siguientes triángulos rectángulos. Aproxima con dos 1
cos (−α ) = cos α cifras decimales. 60º partiendo solo de sen 30° = .
De nuevo, α = 60° y: 2
tg (−α ) = −tg α a) B = 62°, b = 5 dm
tg 300° = tg (360° − 60°) = tg (−60°) = −tg 60° = − 3 Básate en las relaciones fundamentales y en que
b) a = 10 cm, C = 37° 30° + 60° = 90°.
En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad.
En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Reconocer las razones trigonométricas de un ángulo agudo.
❚❚ Aplicar las relaciones entre las razones trigonométricas.
❚❚ Extender las razones trigonométricas a un ángulo cualquiera.
❚❚ Resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos.
99 Razonadamente y sin cambiar de unidad, clasifica según su amplitud un ángulo de 3 rad. Después compruébalo expresándolo
3 ⋅180
Un ángulo de 3 rad, algo menor que π, es un ángulo obtuso: 3 rad = ≈ 171º 53' 14,42"
a)	−60º	b)	−300º	c)	480º	d)	720º e)	600º	f)	1 125º
−60 º ⋅ π π 480 º ⋅ π 8 π 600 º ⋅ π 10 π
a)	−60 º = =− c)	480 º = = e)	600 º = =
180 º 3 180 º 3 180 º 3
−300 º ⋅ π 5π 720 º ⋅ π 1125º ⋅ π 25 π
b)	−300 º = =− d)	720 º = = 4π	f)	1125º = =
180 º 3 180 º 180 º 4
101 Determina la amplitud de un ángulo que abarca un arco de 1,5 m de longitud en una circunferencia de 3 m de radio. Exprésalo
L arco 1,5 1
Despejando de la fórmula obtenida en el ejercicio 12: amplitud (rad) = = = rad = 28 º 38' 52, 4"
102 Calcula de forma razonada el valor de los ángulos señalados en la figura.
❚ En grados B̂
❚ En radianes Â
El ángulo C! es el ángulo central de un hexágono regular:
360 º π
C! = = 60 º = rad
! es el ángulo interior, suma de los dos ángulos iguales del triángulo central, suplementario de C!.
A! = 180 º − 60 º = 120 º = 2π rad
120 º π
Por otro lado: B! = = 60 º = rad
103 Comprueba que los triángulos ABC y ABH son rectángulos. A
Calcula las razones trigonométricas de B haciendo uso de los dos triángulos. ¿Ob-
tienes el mismo resultado en ambos casos? ¿A qué se debe?
Si sus lados verifican el teorema de Pitágoras podemos afirmar que son rectángu- 15 m 20 m
los. Y ambos lo son:
ABC → 152 + 202 = ( 9 + 16 ) → 225 + 400 = 625
ABH → 122 + 162 = 202 → 144 + 256 = 400 C B
9m H 16 m
Si calculamos las razones trigonométricas de B! a partir de ABC:
sen B! = = 0,6 cos B! = = 0,8 tg B! = = 0,75
Y a partir de ABH: sen B! = = 0,6 cos B! = = 0,8 tg B! = = 0,75
En ambos casos obtenemos el resultado porque la razón no depende del tamaño del triángulo elegido si no del valor del ángulo.
Y como los triángulos son semejantes sus ángulos miden lo mismo.
104 Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de estos triángulos rectángulos.
a)	c = 7 dm, b = 4,9 dm	b)	c = 2,5 cm, a = 5,9 cm
a)	Determinamos la longitud de la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras: a = 72 + 4,92 ≈ 8,5 dm
b 4,9 c 7 b 4,9
B! → sen B! = ≈ = 0,5764... cos B! = ≈ = 0,8235... tg B! = = = 0,7
a 8,5 a 8,5 c 7
c 7 b 4,9 c 7
C! → sen C! = ≈ = 0,8235... cos C! = ≈ = 0,5764... tg C! = = = 1, 4285...
a 8,5 a 8,5 b 4,9
b)	Determinamos la longitud del cateto que falta aplicando el teorema de Pitágoras: b = 5,92 − 2,52 ≈ 5,3 cm
b 5,3 c 2,5 b 5,3
B! → sen B! = ≈ = 0,8983... cos B! = = = 0, 4237... tg B! = ≈ = 2,12
a 5,9 a 5,9 c 2,5
c 2,5 b 5,3 c 2,5
C! → senC! = = = 0, 4237... cos C! = ≈ = 0,8983... tg C! = = ≈ = 0, 4716...
a 5,9 a 5,9 b 5,3
105 Calcula los lados que faltan en este triángulo si tg a ≈ 1,54. C
A partir de la tangente hallamos el valor de cateto c y con él, el de la hipotenusa aplicando Pitágoras.
cateto opuesto 13,4 a
tg α = → = 1,54 → c ≈ 8,7 m
cateto adyacente c 13,4 m
Hipotenusa ≈ 13, 42 + 8,72 ≈ 16,0 m
106 Determina la longitud de los lados que faltan en los siguientes triángulos rectángulos. Aproxima con dos cifras decimales.
a)	B = 62°, b = 5 dm	b)	a = 10 cm, C = 37°
a)	Podemos determinar los lados que faltan con las razones en las que está involucrado el cateto opuesto:
sen 62º = → a = ≈ 5,66 dm tg 62º = → c = ≈ 2,66 dm
a sen 62º c tg 62º
b)	Podemos determinar los lados que faltan con las razones en las que está involucrada la hipotenusa:
sen 37º = → c = 10 ⋅ sen 37º ≈ 6,02 cm cos 37º = → b = 10 ⋅ cos 37º ≈ 7,99 cm
107 Ayúdate de la calculadora para hallar qué ángulo cumple que:
a)	cos a = 0,2079	b)	tg a = 0,6009	c)	cos a = 0,9205	d)	sen a = 0,9205
a)	arc cos 0,2079 ≈ 78 º b)	arc tg 0,6009 ≈ 31º c)	arc cos 0,9205 ≈ 23º d)	arc sen 0,9205 ≈ 67º
108 Justifica si existe algún ángulo, α, para el que:
a)	sen a = 1,5	b)	tg a = 2
En caso afirmativo, calcula las restantes razones trigonométricas.
a)	No, el valor del seno nunca es mayor que 1.
b)	Sí existe. Y sus razones son: tg α = →2= → sen α = 2 ⋅ cos α
sen2 α + cos2 α = 1 → 22 ⋅ cos2 α + cos2 α = 1 → 5 ⋅ cos2 α = 1 → cos α = = sen α = 2 ⋅ =
109 Razona, sin hacer operaciones, si es posible que: sen2a ⋅ cos2a = 2
No, las dos razones son números menores que 1 y así serán también sus cuadrados. Si multiplicamos dos números menores
que uno su producto no puede ser 2.
110 Decide de forma razonada si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a)	Si tg a = 3, entonces: cos a = 3 ⋅ sen a	c)	Si sen a = 0,4, entonces: cos a = 0,6
b)	Existe un ángulo, α, tal que: sen α = y cos α = d)	Si sen a < cos a, entonces: tg a < 1
a)	Falsa. Sería al revés: tg α = 3 → = 3 → sen α = 3 ⋅ cos α
⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞2 1 1 13
b)	Falsa. Se debería cumplir sen2 α + cos2 α = 1 y sin embargo: ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = + = ≠1
⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 4 9 36
c)	Falsa. sen α = 0, 4 → cos α = 1− 0, 42 = 0,84 ≠ 0,6
d)	Verdadera. Si sen α < cos α → tg α = < 1, pues el numerador es menor que el denominador.
111 ¿Existe algún ángulo para el que sen α = y tg α =
No existe un valor para el coseno menor que uno, que verifique la relación con la tangente y el seno.
2 5⋅ 2
sen α 2 3 → cos α = 3 = 5 >1
cos α 5 cos α 2 3
112 Calcula todas las razones trigonométricas de los ángulos que cumplen que:
a)	cos α = b)	tg α = c)	sen α = d)	cos α =
Expresa todas las soluciones de forma exacta con fracciones y con radicales.
⎛ 5 ⎞⎟2 2
a)	sen α = 1− cos α = 1− ⎜⎜
2 ⎜ ⎟⎟ = 4 = 2 → tg α = sen α = 3 = 2 5
⎜⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠ 9 3 cos α 5 5
b)	tg α = → = → 2 ⋅ sen α = cos α
sen2 α + cos2 α = 1 → sen2 α + 22 ⋅ sen2 α = 1 → 5 ⋅ sen2 α = 1 → sen α = = cos α = 2 ⋅ =
⎛ 5 ⎞2 11 11 sen α 5 11
c)	cos α = 1− sen2 α = 1− ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = = → tg α = = 6 =
⎜⎝ 6 ⎟⎠ 36 6 cos α 11 11
⎛ 6 ⎞⎟2 3
⎜ ⎟⎟ = 3 3 sen α 3 = 2
d)	sen α = 1− cos α =2
1− ⎜⎜ = → tg α = =
⎜⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠ 9 3 cos α 6 2
113 Averigua el valor del seno de un ángulo para el que: cos a = tg a
Si cos α = tg α → cos α = → cos2 α = sen α , y entonces:
cos α ⎪⎧⎪ −1+ 5
⎪⎪ sen α =
sen2 α + cos2 α = 1 → sen2 α + sen α = 1 → sen2 α + sen α −1 = 0 → ⎨ ⎪ 2
⎪⎪ −1− 5
⎪⎪ sen α = < −1, no válida
⎪⎪⎩ 2
Solo es válida la solución positiva.
114 Aplica las relaciones fundamentales para calcular de forma exacta todas las razones trigonométricas de un ángulo que cumple
que sen a = cos a. ¿De qué ángulo se trata?
Si sen α = cos α : tg α = = = 1:
sen2 α + cos2 α = 1 → sen2 α + sen2 α = 1 → 2 ⋅ sen2 α = 1 → sen α = = = cos α
Se trata del ángulo = 45º .
115 Determina todas las razones trigonométricas de 30º y 60º partiendo solo de sen 30° = .
Básate en las relaciones fundamentales y en que 30° + 60° = 90°.
1 ⎛ 1 ⎞2 3 3 sen 30 º 3
Si sen 30° = : cos 30 º = 1− sen2 30 º = 1− ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = = → tg 30 º = = 2 =
2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 2 cos 30 º 3 3
Como 30º y 60º son complementarios, verifican que:
sen 60 º = cos 30 º = cos 60 º = sen 30 º = tg 60 º = cotg 30 º = = 3
7 Trigonometría Actividades Finales 7
Resolución de triángulos 124 Traza una circunferencia goniométrica de 1 dm de Teorema del seno y teorema 139 Desde donde está situado, Ramón ve una torre
radio en cuaderno. Marca en ella: de 15 m de altura bajo un ángulo de 30º. ¿A qué
rectángulos del coseno distancia en línea recta se encuentra de ella?
a) Un ángulo cuyo seno valga 0,4.
116 Resuelve estos triángulos rectángulos. b) Un ángulo cuyo coseno valga −0,6. 133 Resuelve los triángulos de los que conocemos estos 140 Esta señal indica peligro por una
a) C b) A c) Un ángulo cuya tangente valga −2. datos. ¿Qué resultado utilizas? subida de fuerte pendiente.
A Indica en cada apartado cuántas soluciones hay y a  = 95º, a = 9 m, c = 7,5 m
a) A Significa que, por cada 100 m
b 40º C
9 cm 67º a qué cuadrantes pertenecen. b) A = 20º, C = 60º, b = 20 cm que avanzamos en horizontal, la
a = 200 m carretera presenta un desnivel de
B B 125 c) A = 25º, B = 75º, c = 16,2 dm
Copia y completa la tabla. 10 m en vertical. ¿Qué ángulo
d) C = 56º, c = 6,3 dm, a = 4,2 dm forma la carretera en ese momento con la horizontal?
117 Halla los elementos que faltan en estos triángulos Cuadrante 3º 2º 4º 3º
rectángulos. ¿Cuántos metros hemos subido en un trayecto de
134 Determina la medida de los elementos que faltan
B 500 m?
a) A b) 6 en los triángulos cuyos elementos conocidos son los
m sen α − O O O
3,6 3 siguientes. 141 ¿Qué área tiene un decágono regular inscrito en una
 = 37º, b = 5,4 cm, c = 6,5 cm
a) A circunferencia de 5 dm de radio?
B a C C b A cos α O O O b) a = 23 mm, b = 41 mm, c = 32 m 142 Blas y Raúl se han colocado en línea recta en lados
Expresa los ángulos en radianes. c) a = 9 cm, B = 55º, c = 7 cm opuestos de un generador eólico para medir su
5 altura. El terreno es llano y los dos amigos están
118 Calcula los datos que faltan en este triángulo tg α O − O 3 separados por 41 m. Cada uno desde su posición
2 Aplicaciones mide el ángulo con el que se ve el generador desde
A 135 el suelo. ¿Qué altura tiene el generador?
126 Observa la figura y Y 1 Considera los siguientes triángulos y calcula.
expresa en radianes los 120º 90º a) Su perímetro b) Una altura c) Su área
— ángulos que se muestran
b = 4 √3 cm c = 12 cm 150º 45º C
goniométrica. •
X 67º
❚ Además escribe O B’
sus razones 225º 330º m
Halla después la altura y las proyecciones de los catetos trigonométricas. 95º
300º 52º
sobre la hipotenusa con las razones trigonométricas
A B C’ A’ 143 Fátima está haciendo el esquema de un terreno que
de B y C . ¿Se verifica el teorema de la altura? c b’
hay que reforestar y ha tomado estas medidas.
119 Calcula el radio y la apotema de un octógono regular 3 136 Las diagonales de este paralelogramo miden 30 mm
127 Sabiendo que cos α = − , ¿cuáles son las razones y 24 mm. ¿Qué perímetro tiene? ¿Cuál es su área?
de 32 m de perímetro. 2
120 del ángulo suplementario de α?
Calcula el área de estos triángulos.
a) b) B 128 Dos de las razones de un ángulo son: 55º
cm 3 7
10 55º cos α = tg α =
A 25 cm C 9,4 dm
Averigua todas las razones del ángulo que resulta al ¿Se ajusta el esquema a la realidad? Halla las
Halla también su perímetro, si es posible. 137 Determina el área comprendida entre un heptágono
sumarle 180º. medidas que faltan y haz un esquema sabiendo
y su circunferencia circunscrita si el radio mide 10 cm. que ha mantenido pasos constantes de 1 m
Razones trigonométricas de un 129 Averigua las razones trigonométricas del opuesto de aproximadamente. ¿Cuáles son el perímetro y el área?
un ángulo del segundo cuadrante cuyo seno vale 0,6.
ángulo cualquiera Problemas de trigonometría 144 Durante la restauración de una antigua ermita se va
130 Calcula todas las razones trigonométricas de 31º a sustituir un capitel deteriorado por una pieza en
121 Expresa estos ángulos entre 0º y 360º. Indica el sabiendo que sen 149° ≈ 0,5150 y sin usar las teclas 138 ¿A qué altura forma de tronco de cono de las mismas dimensiones.
número de vueltas y a qué cuadrante pertenecen. trigonométricas de tu calculadora. sobre el suelo ¿Cuál será su volumen? Determina su peso si la
a) 420º c) 1 200º está trabajando el densidad del granito es de 2 600 kg/m3.
131 Sabiendo que tg 165° = −2 + 3 , determina las técnico?
b) −90º d) −225º
¿Qué signo tendrán sus razones trigonométricas? razones trigonométricas de 195º sin utilizar las teclas
Hállalas con la calculadora. de seno, coseno y tangente.
122 ¿Qué puedes decir de α si cos α = −0,8?
132 Considerando que cos 15° ≈ 0,9659, aproxima sin
usar la calculadora:
123 Indica a qué cuadrante pertenece el ángulo, α, si: a) sen 75° c) cos 345°
a) sen α < 0 b) cos α > 0 c) tg α < 0 b) cos 165° d) cos −165°
116 Resuelve estos triángulos rectángulos.
a)	C	b)	A
9 cm 67º a
! = 90 º , B! = 67º , C! = 90 º − 67º = 23º b b
tg 67º = → tg 67º = → b = 9 ⋅ tg 67º ≈ 21,20 cm
cos 67º = → cos 67º = →a= ≈ 23,03 cm
a a cos 67º
! = 90 º , C! = 40 º , B! = 90 º − 40 º = 50 º
b)	A sen 40 º = → sen 40 º = → c = 200 ⋅ sen 40 º ≈ 128,56 m
cos 40 º = → cos 40 º = → b = 200 ⋅ cos 40 º ≈ 153,21 m
117 Halla los elementos que faltan en estos triángulos rectángulos.
a)	A b)	B
Expresa los ángulos en radianes.
a)	Hallamos B! y C! a través de sus tangentes:
b 5 c 3
tg B! = → B! = arc tg = 59º 2' 10, 48" = 1,0304 rad tg C! = → C! = arc tg = 30 º 57' 49,52" = 0,5402 rad
c 3 b 5
Y a aplicando el teorema de Pitágoras: a = 32 + 52 = 34 ≈ 5,83 cm
b)	Hallamos B! y C! a través de sus razones trigonométricas:
c 10,5 c 10,5
sen C! = → C! = arc sen = 26 º 25' 4,5" cos C! = → C! = arc cos = 63º 34' 55,5"
a 23,6 a 23,6
Y b aplicando el teorema de Pitágoras: b = 23,62 −10,52 ≈ 21,14 m
118 Calcula los datos que faltan en este triángulo rectángulo. A
Halla después la altura y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
con las razones trigonométricas de B y C . ¿Se verifica el teorema de la altura? —
b = 4 √3 cm c = 12 cm
Hallamos B! y C! a través de sus tangentes:
b 4 3 c 12
tg B! = → B! = arc tg = 30 º tg C! = → C! = arc tg = 60 º C B
c 12 b 4 3 a
Y a aplicando el teorema de Pitágoras: a = ( 4 3 ) + 122 = 162 ≈ 13,86 cm
Hallamos las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, aplicando el coseno.
cos B! = → m = c ⋅ cos B! = 12 ⋅ cos 30 º = 6 3 cm cos C! = → n = b ⋅ cos C! = 4 3 ⋅ cos 60 º = 2 3 cm
Y la altura con el seno de cualquiera de los dos: sen B! = → h = c ⋅ sen B! = 12 ⋅ sen 30 º = 6 cm
Y verifican el teorema de la altura: h 2 = m ⋅ n → 62 = 6 3 ⋅ 2 3
119 Calcula el radio y la apotema de un octógono regular de 32 m de perímetro.
El ángulo central de un octógono regular mide: = 45º
180 º −45º
Cada uno de los triángulos que se forman es isósceles y los ángulos iguales miden: = 67,5º
La altura de ese triángulo lo divide en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es el radio y los catetos la altura y la mitad del
lado. Para este triángulo: A! = 90 º , B! = 67,5º , C! = 90 º − 67,5º = 22,5º y lado = 32 = 4 m → c = 4 = 2 m
Calculamos el radio y la apotema utilizando las razones de 22,5º:
sen C! = → sen 22,5º = → a = ≈ 5,23 cm es la medida del radio
a a sen 22,5º
tg C! = → tg 22,5º = → b = ≈ 4,83 cm es la medida de la apotema
b b tg 22,5º
120 Calcula el área de estos triángulos.
a)	B b)	B
A 25 cm C 55º
A 9,4 dm C
Halla también su perímetro, si es posible.
!= h ! = 10 ⋅ sen 35º = 5,74 cm
a)	Calculamos la altura con el seno de 35º: sen A → h = c ⋅ sen A
b ⋅h 25 ⋅ 5,74
Y con ella el área: A = ≈
= 71,75 cm2
Aplicando el teorema del coseno: a = 17,76 cm. Luego, el perímetro es: 10 + 25 + 17,76 = 52,76 cm
b)	Calculamos la altura con el seno de 55º: sen C! = → h = a ⋅ sen C! = 6,3 ⋅ sen 55º ≈ 5,16 dm
b ⋅ h 9, 4 ⋅ 5,16
Y con ella el área: A = ≈ ≈ 24,25 dm2
Aplicando el teorema del coseno: c = 7,75 dm. Luego, el perímetro es: 7,75 + 6,3 + 9,4 = 23,45 dm
121 Expresa estos ángulos entre 0º y 360º. Indica el número de vueltas y a qué cuadrante pertenecen.
a)	420º	b)	−90º	c)	1 200º	d)	−225º
a)	420 º = 1⋅ 360 º + 60 º → Primer cuadrante
sen 420 º = sen 60 º = cos 420 º = cos 60 º =
tg 420 º = tg 60 º = 3
b)	−90 º → 360 º − 90 º = 270 º → Entre el tercer y el cuarto cuadrante
sen ( −90 º ) = sen 270 º = −1	cos ( −90 º ) = cos 270 º = 0 tg ( −90 º ) = tg 270 º = ∃
c)	1200 º = 3 ⋅ 360 º +120 º → Segundo cuadrante
sen 1200 º = sen 120 º = cos 1200 º = cos 120 º = − tg 1200 º = tg 120 º = − 3
d)	−225º → 360 º −225º = 135º → Segundo cuadrante
sen (−225º )º = sen 135º = cos (−225º ) = cos 135º = tg (−225º ) = tg 135º = −1
El ángulo pertenece al segundo o tercer cuadrante.
123 Indica a qué cuadrante pertenece el ángulo, α, si:
a)	sen α < 0	b)	cos α > 0	c)	tg α < 0
a)	El ángulo pertenece al tercer o cuarto cuadrante.
b)	El ángulo pertence al primer o cuarto cuadrante.
c)	El ángulo pertenece al segundo o cuarto cuadrante.
124 Traza una circunferencia goniométrica de 1 dm de radio en tu cuaderno. Marca en ella:
a)	Un ángulo cuyo seno valga 0,4.
b)	Un ángulo cuyo coseno valga −0,6.
c)	Un ángulo cuya tangente valga −2.
Indica en cada apartado cuántas soluciones hay y a qué cuadrantes pertenecen.
En todos los apartados hay dos soluciones.
a)	Primero y segundo	b)	Segundo y tercero	c)	Segundo y cuarto
125 Copia y completa la tabla.
Cuadrante 3º 2º 4º 3º
6 5 29 2 2 3
sen a − − −
3 2 29 1 1
cos a − − −
tg a 2 − −2 2 3
126 Observa la figura y expresa en radianes los ángulos que se muestran sobre la circunferencia go- Y 1
niométrica. 120º 90º
❚ Además escribe sus razones trigonométricas. 150º 45º
(º) 45º 90º 120º 150º 225º 300º 330º 1
π π 2π 5π 5π 5π 11π
4 2 3 6 4 3 6 225º 330º
2 3 1 2 3 1 300º
sen a 1 − − −
cos a 0 − − −
tg a 1 ∃ − 3 − 1 − 3 −
127 Sabiendo que cos α = − , ¿cuáles son las razones del ángulo suplementario de α?
Determinamos primero las razones de α sabiendo que si su coseno es negativo y tiene suplementario, pertenece al segundo
⎛ 2 1
⎜⎜ 3 ⎞⎟⎟ 1 sen α 2 =− 3
sen α = 1− cos α = 1− ⎜ −
⎟⎟ = → tg α = =
⎜⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 cos α − 3 3
Y entonces las razones del suplementario son:
sen (180 º −α ) = senα = cos (180 º −α ) = −cos α = − tg (180 º −α ) = −tg α = −
128 Dos de las razones de un ángulo son: cos α = tg α =
Averigua todas las razones del ángulo que resulta al sumarle 180º.
Si el coseno y la tangente son positivos el ángulo α pertenece al primer cuadrante. Determinamos primero el seno aplicando la
sen α 7 sen α 7
relación: tg α = → = → = sen α
cos α 3 3 4
sen (180 º + α ) = −senα = − cos (180 º + α ) = −cos α = − tg (180 º + α ) = tg α =
129 Averigua las razones trigonométricas del opuesto de un ángulo del segundo cuadrante cuyo seno vale 0,6.
Aplicando las relaciones fundamentales de la trigonometría y teniendo en cuenta que α pertenece al segundo cuadrante:
sen α 0,6
cos α = − 1− sen2 α = − 1− 0,62 = −0,8 → tg α = = = −0,75
cos α −0,8
Y entonces las razones de su opuesto son:
sen (−α ) = −sen α = −0,6 cos (−α ) = cos α = −0,8 tg (−α ) = −tg α = 0,75
130 Calcula todas las razones trigonométricas de 31º sabiendo que sen 149° ≈ 0,5150 y sin usar las teclas trigonométricas de tu
Como 31º = 180 º − 149º aplicamos la relación entre las razones de un ángulo y su suplementario.
Determinamos primero las razones de 149º sabiendo que pertenece al segundo cuadrante. Aplicando las relaciones fundamen-
tales de la trigonometría:
sen 149º 0,5150
cos 149º = − 1− sen2 149º = − 1− 0,51502 ≈ −0,8572 → tg 149º = = ≈ −0,6008
cos 149º −0,8572
sen 31º = sen 149º ≈ 0,5150 cos 31º = −cos 149º ≈ 0,8572 tg 31º = −tg 149º ≈ 0,6008
131 Sabiendo que tg 165° = −2 + 3 , determina las razones trigonométricas de 195º sin utilizar las teclas de seno, coseno y tan-
Como 195º = −165º aplicamos las razones de un ángulo y su opuesto. Hallamos primero las razones de 165º sabiendo que
pertenece al segundo cuadrante. Aplicando las relaciones fundamentales de la trigonometría:
tg α = → −2 + 3 = → ≈ −0,2679 → sen α = −0,2679 ⋅ cos α
sen2 α + cos2 α = 1 → ( −0,2679 ) ⋅ cos2 α + cos2 α = 1 → 1,0718 ⋅ cos2 α = 1 cos α ≈ − ≈ −0,9659
Y, por tanto: sen α ≈ −0,2679 ⋅ (−0,9659) ≈ 0,2588
sen (−α ) = −sen α ≈ −0,2500 cos (−α ) = cos α ≈ −0,9659 tg(−α ) = −tg α = 2 − 3
132 Considerando que cos 15° ≈ 0,9659, aproxima sin usar la calculadora:
a)	sen 75°	b)	cos 165°	c)	cos 345°	d)	cos −165°
a)	sen 75° = sen 90 º −15º = sen 15º ≈ 0,2589
b)	cos 165° = cos (180° −15º ) = −cos 15º ≈ −0,9659
c)	cos 345º = cos ( −15º ) = cos 15º ≈ 0,9659
d)	cos ( −165º ) = cos (195º ) = cos (180 º + 15º ) = −cos (15º ) ≈ −0,9659
133 Resuelve los triángulos de los que conocemos estos datos. ¿Qué resultado utilizas?
a)	A = 95º, a = 9 m, c = 7,5 m c)	A = 25º, B = 75º, c = 16,2 dm
b)	A 
 = 20º, C = 60º, b = 20 cm d)	C = 56º, c = 6,3 dm, a = 4,2 dm
Todos estos triángulos se resuelven utilizando el teorema del seno.
sen 95º sen B! sen C! 7,5 ⋅ sen 95º
a)	= = → C! = arc sen ≈ 56 º 6' 55"
9 b 7,5 9
9 ⋅ sen( 28 º 53' 5" )
B! = 180 º − ( 95º + 56 º 6' 55" ) = 28 º 53' 5" → b = ≈ 4,36 m
sen 95º
sen 20 º sen 100 º sen 60 º ⎪⎧ a ≈ 6,95 cm
b)	B! = 180 º −( 20 º + 60 º ) = 100 º → = = → ⎪⎨
a 20 c ⎪
⎪⎩c ≈ 17,59 cm
sen 25º sen 75º sen 80 º ⎧⎪ a ≈ 6,95 dm
c)	C! = 180 º −( 25º + 75º ) = 80 º → = = → ⎪⎨
a b 16,2 ⎪⎪⎩ b ≈ 15,89 dm
! sen B! sen 56 º
= = →A ! = arc sen 4,2 ⋅ sen 56 º ≈ 33º 33' 7"
4,2 b 6,3 6,3
6,3 ⋅ sen ( 90 º 26' 53" )
B! = 180 º − ( 56 º + 33º 33' 7" ) = 90 º 26' 53" → b = ≈ 7,60 dm
sen 56 º
134 Determina la medida de los elementos que faltan en los triángulos cuyos elementos conocidos son los siguientes.
 = 37º, b = 5,4 cm, c = 6,5 cm
b)	a = 23 mm, b = 41 mm, c = 32 mm
c)	a = 9 cm, B = 55º, c = 7 cm
a)	a = 5, 42 + 6,52 − 2 ⋅ 5, 4 ⋅ 6,5 ⋅ cos 37º ≈ 3,92 cm
sen 37º sen B! sen C! 5, 4 ⋅ sen 37º
= = → B! = arc sen ≈ 56 º 26' 15"
3,9 5, 4 6,5 3,9
C! = 180 º − ( 37º + 56 º 26' 15" ) = 86 º 33' 45"
⎛ 2 ⎞⎟ ⎛ 2 ⎞⎟
! = arc cos ⎜⎜ 41 + 32 − 23
⎟⎟ ≈ 33º 58' 35" B! = arc cos ⎜⎜ 23 + 32 − 41
b)	A ⎟⎟ ≈ 94 º 59' 19"
⎜⎜ 2 ⋅ 41⋅ 32 ⎟⎠ ⎜
⎝ 2 ⋅ 23 ⋅ 32
! + B! ) = 51º 2' 6"
c)	b = 92 + 72 − 2 ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅ cos 55º ≈ 7,6 cm C! = 180 º −( 55º + 75º 56' 30" ) = 49º 3' 30"
! sen C!
sen 55º
= ! = arc sen 9 ⋅ sen 55º ≈ 75º 56' 30"
9 7,6 7 7,6
135 Considera los siguientes triángulos y calcula.
A c B C’ b’ A’
a)	Su perímetro	b)	Una altura c)	Su área
❚❚ Determinamos a y b con el teorema del seno:
sen 52º sen 61º sen 67º ⎧⎪ a ≈ 4,05 cm
B! = 180 º −( 52º + 67º ) = 61º → = = → ⎪⎨
a 4,5 c ⎪⎪⎩c ≈ 4,74 cm
Así el perímetro es: P = 4,05 + 4,5 + 4,74 = 13,29 cm
! = hc → sen 52º = hc → h = 4,5 ⋅ sen 52º ≈ 3,55 cm
La altura sobre c es: sen A c
c ⋅ hc 4,74 ⋅ 3,55
Y el área: A = = ≈ 8, 41 cm2
❚❚ Determinamos b’ con el teorema del coseno: b' = 322 + 452 − 2 ⋅ 32 ⋅ 45 ⋅ cos 95º ≈ 57, 45 m
Así el perímetro es: P = 32 + 57, 45 + 45 = 134, 45 m
! = ha' → sen 95º = ha' → h = 32 ⋅ sen 95º ≈ 31,88 m
La altura sobre a’ es: sen B' a'
c' 32
a' ⋅ ha' 32 ⋅ 31,88
Y el área: A = = ≈ 510,08 m2
136 Las diagonales de este paralelogramo miden 30 mm y 24 mm. ¿Qué perímetro tiene?
¿Cuál es su área? O
Los ángulos centrales miden: 55º y 180 º − 55º = 125º 125º
OBC que forman las diagonales sabiendo que estas se cortan por su punto medio: A B
AB = 23,99 mm OB = 15 mm
Lado mayor: AB = 152 + 122 − 2 ⋅15 ⋅12 ⋅ cos 125º ≈ 23,99 mm BC = 12,75 mm OC = 12 mm
Lado menor: BC = 152 + 122 − 2 ⋅15 ⋅12 ⋅ cos 55º ≈ 12,75 mm
Luego el perímetro: P ≈ 2 ⋅ (23,99 + 12,75) = 73, 48 mm
Para determinar el área hallamos el ángulo en A con el teorema del coseno:
⎛ 23,992 + 12,752 − 242 ⎞⎟
B! = arc cos ⎜⎜ ⎟⎟ ≈ 74,6 º
⎜⎝ 2 ⋅ 23,99 ⋅12,75 ⎟⎠
Así la altura sobre el lado AB es: sen B! = AB → sen ( 74 º 38' 9" ) = → ha = 12,75 ⋅ sen ( 74 º 38' 9" ) ≈ 12,29 mm
BC 12,75
Y el área: A = AB ⋅ hAB = 23,99 ⋅12,29 ≈ 294,84 mm2
137 Determina el área comprendida entre un heptágono y su circunferencia circunscrita si el radio mide 10 cm.
! = 360 º ≈ 51, 4 º y B! = C! = 180 º − A = 450 ≈ 64,3º y lados iguales b = c = 10 cm
! sen B! sen C!
sen A sen 51, 4 º sen 64,3º 10 ⋅ sen 51, 4 º
= = → = →a = ≈ 8,67 cm
a b c a 10 sen 64,3º
Y la altura sobre a: sen B! = → sen 64,3º = → ha = 10 ⋅ sen 64,3º ≈ 9,01 cm
P ⋅a 7 ⋅ 8,67 ⋅ 9,01
La diferencia entre las áreas es: A = π ⋅ r 2 − ≈ π ⋅102 − ≈ 40,75 cm2
138 ¿A qué altura sobre el suelo está trabajando el técnico?
La escalera forma con el suelo y el edificio un triángulo rectángulo. La altura y la distancia entre el
edificio y el pie de la escalera son los catetos. Podemos determinar la altura utilizando la tangente
de 60º:
tg 60 º =→ h = 1,5 ⋅ tg 60 º = 1,5 ⋅ 3 ≈ 2,60 m
El técnico trabaja a unos 2,60 m de altura.
139 Desde donde está situado, Ramón ve una torre de 15 m de altura bajo un ángulo de 30º. ¿A qué distancia en línea recta se
encuentra de ella?
La torre forma con el suelo y la visual un triángulo rectángulo. La altura de la torre y la distancia a la que se encuentra Ramón
son los catetos. Podemos determinar la altura utilizando la tangente de 30º.
tg 30 º = →d = = ≈ 25,98 m
d tg 30 º 3
Ramón se encuentra a unos 26 m de la torre.
140 Esta señal indica peligro por una subida de fuerte pendiente.
Significa que, por cada 100 m que avanzamos en horizontal, la carretera presenta un desnivel de 10 m
en vertical. ¿Qué ángulo forma la carretera en ese momento con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos
subido en un trayecto de 500 m?
El desplazamiento en vertical y en horizontal son los catetos de un triángulo rectángulo y determinan el
valor de la tangente de ese ángulo.
tg α = → α = arc tg ≈ 5º 42' 38,14"
Si el trayecto es de 500 metros habrá subido 50 metros pues los triángulos son semejantes.
141 ¿Qué área tiene un decágono regular inscrito en una circunferencia de 5 dm de radio?
El ángulo central de un decágono regular mide: = 36 º
180 º −36 º
Cada uno de los triángulos que se forman es isósceles y los ángulos iguales miden: = 72º
La altura lo divide en dos triángulos rectángulos de hipotenusa, el radio y catetos: la altura y la mitad del lado. En este triángulo:
A! = 90 º , B! = 72º , C! = 90 º −72º = 18 º y la hipotenusa es igual al radio, a = 5 dm .
Calculamos la apotema y el lado utilizando las razones de 18º:
sen C! = → sen 18 º = → c = 5 ⋅ sen 18 º ≈ 1,55 dm es la mitad del lado → l = 2 ⋅1,55 = 3,10 dm
cos C! = → cos 18 º = → b = 5 ⋅ cos 18 º ≈ 4,76 dm es la medida de la apotema
P ⋅a 10 ⋅ 3,10 ⋅ 4,76
De ahí, el área es: A = ≈ = 73,78 dm2
142 Blas y Raúl se han colocado en línea recta en lados opuestos de un
generador eólico para medir su altura. El terreno es llano y los dos
amigos están separados por 41 m. Cada uno desde su posición mide
el ángulo con el que se ve el generador desde el suelo. ¿Qué altura
tiene el generador?
A partir de los triángulos que forman el generador con el suelo y las
distintas posiciones en las que se encuentran Blas y Raúl podemos
relacionar la altura del generador con las distancias utilizando las tan-
h ⎫⎪⎪
tg 60 º = ⎪
41− d ⎪⎪ → tg 60 º ⋅( 41− d ) = h ⎫⎪⎪ ⎯ ⎯⎯⎯
→ tg 60 º ⋅ ( 41− d ) = tg 45º ⋅ d → d =
41⋅ tg 60 º
h ⎪
⎪⎪ tg 45º ⋅ d = h ⎪
⎪⎭ tg 45º + tg 60 º
tg 45º = ⎪⎪⎭
Sustituyendo: h = d ⋅ tg 45º = 26 ⋅ tg 45º ≈ 26 m
Como la altura de ellos es muy pequeña podemos considerar que la altura del generador es de 26 m.
143 Fátima está haciendo el esquema de un terreno que hay que refores-
tar y ha tomado estas medidas.
¿Se ajusta el esquema a la realidad? Halla las medidas que faltan y haz
un esquema sabiendo que ha mantenido pasos constantes de 1 m
aproximadamente. ¿Cuáles son el perímetro y el área?
El esquema está desproporcionado. En el dibujo ha trazado los lados
Si los pasos son de 1 m aproximadamente, aplicando el teorema del
coseno, el lado que falta mide:
c = 502 + 802 − 2 ⋅ 50 ⋅ 80 ⋅ cos 70 º ≈ 78,51 m → P = 50 + 80 + 78,51 = 208,51 m
La altura sobre el lado de 80 m sería: sen C! = a → sen 70 º = a → ha = 50 ⋅ sen 70 º ≈ 46,98 m
a ⋅ ha 80 ⋅ 46,98
Y el área: A = ≈ = 1879,38 m2
El perímetro del terreno es de, aproximadamente, 209 m y el área de unos 1 879 m2.
144 Durante la restauración de una antigua ermita se va a sustituir un capitel deteriorado por una pieza en forma de tronco de cono
de las mismas dimensiones. ¿Cuál será su volumen? Determina su peso si la densidad del granito es de 2 600 kg/m3.
Aplicamos semejanza para conocer la altura del cono mayor y menor:
h H h h + 30
= → = → 40 h = 30 h + 900 → h = 90 cm → H = 120 cm
r R 30 40
Así el volumen es:
π ⋅ R2 ⋅ H π ⋅ r2 ⋅ h π ⋅ ( 402 ⋅120 − 302 ⋅ 90 )
V = V1 − V2 = − ≈ ≈ 116 238,93 cm3 ≈ 0,116 m3
Y el peso: 2600 ⋅ 0,116 = 301,6 kg
Pesa unos 300 kg.
Matemáticas vivas. La distancia del horizonte
MATEMÁTICAS VIVAS La distancia del horizonte
Gala está con sus amigos observando el mar y el
horizonte desde el mirador en un acantilado de 3 Gala cree que los barcos que divisa quizá estén un poco más lejos aún,
100 m de altura. Se preguntan cuál es el punto más puesto que no se encuentran a nivel del mar, sino que tienen cierta altura. El
lejano del horizonte que se alcanza a ver desde allí triángulo del que se sirvió para calcular la distancia de la línea del horizonte
o la distancia más lejana a la que podrán ver barcos ya no es válido; ahora hay dos triángulos: el del observador y el del barco.
a. Copia y completa en este dibujo los triángulos que relacionan el barco y el
observador. ¿Qué datos puedes averiguar?
COMPRENDE MODELIZA
1 Para calcular la distancia a la que está la línea del horizonte, es necesario tener en cuenta la altura a la b. Averigua a qué distancia se habría divisado desde la torre de Compte y desde Cap des Jueu un barco de
que nos encontramos y el tamaño de la Tierra. corsarios cuyo palo mayor tuviera una altura de 12 m.
a. ¿Verán el horizonte a la misma distancia una persona sentada en la orilla del mar que otra que esté sentada en RESUELVE
un acantilado? ¿Quién podrá ver más lejos?
PIENSA Y RAZONA c. El punto más alto de la isla de Ibiza es la cima de Sa Talaia, que se alza a 475 m de altitud sobre el nivel del mar.
Averigua a qué distancia se avistaría el barco desde allí.
b. ¿De qué depende la distancia del horizonte? COMUNICA
c. La línea entre nuestros ojos y el punto en el que vemos desaparecer un barco por
el horizonte forma un ángulo recto con el radio terrestre. Con esta información
d. Calcula el ángulo que forma en ese punto la hipotenusa con la visual. ¿Qué variación hay con los anteriores?
copia un esquema de la figura y traza un triángulo que una los ojos del
observador, la línea del horizonte y el centro de la Tierra. e. Sobre un mapa de Ibiza traza la circunferencia con el radio más grande de avistamiento desde cada punto. Usa
la escala del mapa para determinar qué radio debes medir en él. ¿Se alcanza a ver Formentera desde Ibiza?
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO REPRESENTA
d. ¿Qué tipo de triángulo es? La distancia a la que se encuentra la línea del horizonte ¿qué elemento es del
triángulo? f. Imagina un barco pirata que navegase a una velocidad de 5 nudos. ¿De cuánto tiempo dispondrían los habitantes
e. Coloca sobre el triángulo que has dibujado los datos que conozcas. ¿A qué distancia está la línea del horizonte de la isla para reaccionar desde que lo divisaran?
para Gala? Explica cómo has encontrado esa distancia.
RELACIONA TRABAJ IVO
COOPE TAREA
2 En muchas islas del Mediterráneo se construyeron torres y atalayas de vigilancia cerca de la línea de ❚ Averiguad con el mismo procedimiento a qué distancia está la línea
costa para defenderlas de incursiones piratas. Se edificaron altas torres y cuando era posible se situaban del horizonte desde el pico más alto del Teide. ¿Hasta dónde se vería
también en puntos de cierta altitud. Las de Compte y Cap des Jueu son torres de vigilancia ubicadas al en un día claro?
sudoeste de la isla de Ibiza con cotas de 12 m y 200 m, respectivamente.
❚ Buscad cuál es el pico más alto de Lanzarote y su altitud, así como la
a. Dibuja el triángulo correspondiente a cada torre y sitúa los datos. ¿Hay mucha diferencia entre los lados distancia entre este punto y el Teide. Razonad si es posible divisar ese
conocidos del triángulo? Con los datos que obtuviste para la altitud de Gala, aventura qué diferencia crees que punto de Lanzarote desde el Teide.
habrá entre la línea del horizonte que se alcanza desde una y otra. ❚ Explicad el proceso seguido a vuestros compañeros.
b. Calcula a qué distancia se ve efectivamente el horizonte desde cada una.
c. ¿Hay mucha diferencia entre las alturas de ambas torres? ¿Cuánto? ¿Y entre las distancias? ¿Es proporcional la
distancia del horizonte y la altura? ¿Por qué?
d. Fijándote en el ángulo del vértice en el que se sitúa el observador, ¿qué razón trigonométrica relaciona los dos
lados que lo forman? Calcula en cada caso el valor de ese ángulo. ¿Son semejantes los triángulos?
En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una
situación práctica en la que se utiliza la medida de triángulos.
En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competen-
cias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Comunica, Utiliza el lenguaje matemático, Representa, Resuelve,
Modeliza o Argumenta.
Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es
Búsqueda de información, de Mel Silberman.
Para desarrollar esta tarea, los alumnos investigarán sobre aspectos geográficos del Teide y otros picos, y obtendrán ciertos datos
siguiendo el mismo procedimiento utilizado en la actividad anterior.
¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos realizarán la tarea en pequeños grupos y, finalmente, examinarán sus respuestas con el
resto de la clase, y las elaborarán para ampliar los resultados.
Gala está con sus amigos observando el mar y el horizonte desde el mirador en un acantilado de 100 m de altura. Se preguntan cuál
es el punto más lejano del horizonte que se alcanza a ver desde allí o la distancia más lejana a la que podrán ver barcos navegando.
1 Para calcular la distancia a la que está la línea del horizonte, es necesario tener en cuenta la altura
a la que nos encontramos y el tamaño de la Tierra.
a)	¿Verán el horizonte a la misma distancia una persona sentada en la orilla del mar que otra
que esté sentada en un acantilado? ¿Quién podrá ver más lejos?
b)	¿De qué depende la distancia del horizonte?
c)	La línea entre nuestros ojos y el punto en el que vemos desaparecer un barco por el horizonte
forma un ángulo recto con el radio terrestre.
Con esta información copia un esquema de la figura y traza un triángulo que una los ojos del observador, la línea del horizonte
d)	¿Qué tipo de triángulo es? La distancia a la que se encuentra la línea del horizonte ¿qué elemento es del triángulo?
e)	Coloca sobre el triángulo que has dibujado los datos que conozcas. ¿A qué distancia está la línea del horizonte para Gala?
Explica cómo has encontrado esa distancia.
a)	Alcanzará a ver más lejos la persona que se encuentra a mayor altura.
b)	La distancia a la que se encuentra el horizonte que vemos depende de la altura a la que estamos.
d)	Es un triángulo rectángulo. La distancia a la que se encuentra la línea del horizonte es uno de los catetos del triángulo.
e)	El radio terrestre es uno de los catetos, 6 378 km, y la hipotenusa es, esta distancia más la altura a la que se encuentra
Gala, 6 378,1 km. Aplicando el teorema de Pitágoras determinamos el otro cateto, distancia a la que se encuentra el ho-
Horizonte = 6 378,12 − 6 3782 ≈ 35,72 km
2 En muchas islas del Mediterráneo se construyeron torres y atalayas de vigilancia cerca de la línea de costa para defenderlas
de incursiones piratas. Se edificaron altas torres y cuando era posible se situaban también en puntos de cierta altitud. Las de
Compte y Cap des Jueu son torres de vigilancia ubicadas al sudoeste de la isla de Ibiza con cotas de 12 m y 200 m, respecti-
a)	Dibuja el triángulo correspondiente a cada torre y sitúa los datos. ¿Hay mucha diferencia entre los lados conocidos del trián-
gulo? Con los datos que obtuviste para la altitud de Gala, aventura qué diferencia crees que habrá entre la línea del horizonte
que se alcanza desde una y otra.
b)	Calcula a qué distancia se ve efectivamente el horizonte desde cada una.
c)	¿Hay mucha diferencia entre las alturas de ambas torres? ¿Cuánto? ¿Y entre las distancias? ¿Es proporcional la distancia del
horizonte y la altura? ¿Por qué?
d)	Fijándote en el ángulo del vértice en el que se sitúa el observador, ¿qué razón trigonométrica relaciona los dos lados que lo
forman? Calcula en cada caso el valor de ese ángulo. ¿Son semejantes los triángulos?
a)	No hay mucha diferencia entre los datos, que los alumnos estimen a qué H Compte H Cap des Jueu
distancia creen ellos que estará el horizonte en cada caso. Los triángulos di-
bujados solo son un esquema, no están hechos a escala, ya que los datos son
muy parecidos y no se verían bien.
b)	Aplicamos el teorema de Pitágoras como en el ejercicio anterior:
Horizonte en Compte = 6 378,0122 − 6 3782 ≈ 12,37 km
Horizonte en Cap des Jueu = 6 378,22 − 6 3782 ≈ 50,51 km
c)	Entre la altura de Compte y la de Gala hay 88 m de diferencia y 23,35 km entre las distancias al horizontes. Entre Gala y Cap
des Jueu la diferencia entre las alturas es 12 metros mayor y sin embargo la diferencia de distancias es menor. Los puntos del
horizonte en este caso se diferencian en 14,79 km. No son proporcionales.
d)	Ambas distancias están relacionadas por la razón seno del ángulo que forman la visual del observador y la línea que le une
con el centro de la tierra.
6 378 6 378
Compte: α = arc sen ≈ 89º 53' 19,88" Cap des Jueu: β = arc sen ≈ 89º 32' 46,54"
6 378,012 6 378,2
Los triángulos no son semejantes, sus ángulos no son iguales.
3 Gala cree que los barcos que divisa quizá estén un poco más lejos aún, puesto que no se en-
cuentran a nivel del mar, sino que tienen cierta altura. El triángulo del que se sirvió para calcular
la distancia de la línea del horizonte ya no es válido; ahora hay dos triángulos: el del observador
y el del barco.
a)	Copia y completa en este dibujo los triángulos que relacionan el barco y el observador. ¿Qué
datos puedes averiguar?
b)	Averigua a qué distancia se habría divisado desde la torre de Compte y desde Cap des Jueu
un barco de corsarios cuyo palo mayor tuviera una altura de 12 m.
c)	El punto más alto de la isla de Ibiza es la cima de Sa Talaia, que se alza a 475 m de altitud
sobre el nivel del mar. Averigua a qué distancia se avistaría el barco desde allí.
d)	Calcula el ángulo que forma en ese punto la hipotenusa con la visual. ¿Qué variación hay con los anteriores?
e)	Sobre un mapa de Ibiza traza la circunferencia con el radio más grande de avistamiento desde cada punto. Usa la escala del
mapa para determinar qué radio debes medir en él. ¿Se alcanza a ver Formentera desde Ibiza?
f)	Imagina un barco pirata que navegase a una velocidad de 5 nudos. ¿De cuánto tiempo dispondrían los habitantes de la isla
para reaccionar desde que lo divisaran?
a)	Se pueden determinar el cateto que une el punto del horizonte con el centro terrestre, y las
hipotenusas que tendrán esta longitud más las alturas a las que se encuentran el observador y
el punto más alto del barco.
b)	Para averiguar la distancia a la que está el barco en cada caso hay que determinar la distancia del horizonte desde el punto
más alto del barco y sumarle la del observador al punto del horizonte.
Horizonte desde el barco = 6 378,0122 − 6 3782 ≈ 12,37 km
Desde Compte el barco se ve a: 12,37 + 12,37 = 24,74 km de distancia.
Desde Cap des Jueu esa distancia es de: 12,37 + 50,51 = 62,88 km.
c)	Desde Sa Talaia: Horizonte en Sa Talaia = 6 378, 4752 − 6 3782 ≈ 77,84 km
Luego el barco se divisaría a 12,37 + 77,84 = 90,21 km de distancia.
d)	El ángulo que se forma en ese caso es menor: γ = arc sen ≈ 89º 18' 2,72"
6 378, 475
e)	Sobre un mapa de Ibiza localizar los tres puntos y los círculos con las distancias de avistamiento de un barco. Que se den
cuenta de que en un día claro es posible ver naves que se acercan a gran distancia.
f)	La velocidad de 5 nudos es aproximadamente de 9,26 km/h. Es decir, el barco tardaría: = 9,741... ≈ 9 h 45 min
❚ Averiguad con el mismo procedimiento a qué distancia está
la línea del horizonte desde el pico más alto del Teide. ¿Hasta
dónde se vería en un día claro?
❚ Buscad cuál es el pico más alto de Lanzarote y su altitud, así
como la distancia entre este punto y el Teide. Razonad si es
posible divisar ese punto de Lanzarote desde el Teide.
❚ Explicad el proceso seguido a vuestros compañeros.
Avanza. Ecuaciones trigonométricas
En la sección Avanza de esta unidad se introducen las ecua-
AVANZA Ecuaciones trigonométricas ciones trigonométricas. Con ejemplos sencillos se avanza su
Se dice que una ecuación es trigonométrica cuando la incógnita forma parte del argumento, ángulo, de una
razón trigonométrica. Y 1
resolución que se trabajará en el curso próximo.
1 Para resolverlas, necesitamos que la igualdad sea cos x = − 135º
entre una razón y su valor. 2
⎛ 2 ⎟⎟⎞ 1
2 Averiguamos el argumento utilizando la ⎜
x = arc cos ⎜⎜ − ⎟ = 135° •
calculadora o los ángulos notables. ⎝ 2 ⎠⎟ O
3 Situamos todos los ángulos que tengan esa razón Hay dos ángulos que tienen
con ayuda de la circunferencia goniométrica. ese coseno: 135º y 225º
4 La ecuación tiene infinitas soluciones. Si damos También son solución:
vueltas completas a la circunferencia, en sentido 135° + 360°, 135° + 2 ⋅ 360°…
positivo o negativo, obtenemos nuevas soluciones.
225° + 360°, 225° + (−2) ⋅ 360°…
⎧x ⎪
⎪ ⎧=x1355º
= 1355º
+ k ⋅+360°
k ⋅ 360°
En el ejemplo las soluciones son: ⎪
k ∈ k∈ 
⎪ ⎪=x2225º
= 225º
⎩ 2⎩
A1. Resuelve estas ecuaciones trigonométricas. A2. Halla todas las soluciones de estas ecuaciones
a) cos x = c) sen x = − a) sen x = cos x (Divide la ecuación entre cos x).
b) cos2 x + 2 ⋅ sen2 x = 2 (Usa sen2 x + cos2 x = 1).
b) tg x = 1 d) 4 ⋅ cos2 x = 3
GEOMETRÍA EN EL ARTE Giros en arquitectura: Torre Espacio
El rascacielos de Torre Espacio, en Madrid, tiene una forma interesante. Parte de una base
cuadrada, pero planta a planta, y tiene 57, se va transformando en la intersección de dos
cuartos de circunferencia empezando por una planta cuadrada, recortando en cada planta un
poco para terminar en una planta curva.
Para saber cuánto hay que recortar en cada planta, se Y
utilizan métodos trigonométricos. Este esquema muestra
y = 42,6 × 1 – cos —– × —
x = 42,6 × sen —– × —
cómo se determina la forma de cada planta a partir de la 176 2
altura, en metros, h. Las otras medidas son la altura total
del edificio, 176 m, y la longitud del lado del cuadrado de
la base, 42,6 m.
Esa forma de levantar el edificio hace que cada piso tenga —– × —
una planta diferente. Y por eso, cuando lo observamos
desde la calle, vemos esa curva que describe su fachada y
que está relacionada con el seno, vista desde su fachada •
sur, y con el coseno, desde la fachada este. •
O 42,6 m X
G1. Fíjate en el esquema y contesta.
a) ¿En qué unidades están medidos los ángulos?
b) ¿Qué amplitud tiene, en radianes y en grados, el ángulo de giro a 100 m de altura?
c) Averigua las coordenadas del punto P(x, y) a esa altura.
d) Resuelve los apartados b y c para otras alturas que tú elijas.
A1.	Resuelve estas ecuaciones trigonométricas.
a)	cos x = b)	tg x = 1	c)	sen x = − d)	4 ⋅ cos2 x = 3
1 1 ⎪⎧ x = 60 º + k ⋅ 360 º
a)	cos x = → x = arc cos → ⎪⎨ 1 , con k ∈ !
2 2 ⎪⎪ x = 300 º + k ⋅ 360 º
⎧⎪ x = 45º + k ⋅ 360 º
b)	tg x = 1 → x = arc tg 1 → ⎪⎨ 1 , con k ∈ !
⎪⎪ x = 225º + k ⋅ 360 º
2 ⎛ 2 ⎞⎟⎟ ⎪⎧⎪ x1 = 225º + k ⋅ 360 º
c)	sen x = − → x = arc sen ⎜⎜ − ⎟→⎨ , con k ∈ !
2 ⎜⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ ⎪⎪ x = 315º + k ⋅ 360 º
⎪⎧⎪ 3 ⎪⎧ x = 30 º + k ⋅ 360 º
⎪⎪ x = arc cos → ⎪⎨ 1
3 ⎪ 2 ⎪⎪ x = 330 º + k ⋅ 360 º
d)	4 ⋅ cos2 x = 3 → cos x = ± → ⎪⎨ ⎩ 2 , con k ∈ !
2 ⎪ ⎛ ⎞
3 ⎟⎟ ⎧⎪⎪ x 3 = 150 º + k ⋅ 360 º
⎪⎪ ⎜⎜
⎪⎪ x = arc cos ⎜⎜ − ⎟⎟ → ⎨
⎪⎩ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎪⎪⎩ x 4 = 210 º + k ⋅ 360 º
A2.	Halla todas las soluciones de estas ecuaciones trigonométricas.
a)	sen x = cos x (Divide la ecuación entre cos x).
b)	cos2 x + 2 ⋅ sen2 x = 2 (Usa sen2 x + cos2 x = 1).
a)	sen x = cos x ⎯ ⎯⎯ :cos x
→ tg x = 1 → x = arc tg 1 → ⎪⎨ 1 , con k ∈ !
⎪⎧ x = arc sen 1 → x1 = 90 º + k ⋅ 360 º
b)	cos2 x + 2 ⋅ sen2 x = 2 → 1+ sen2 x = 2 → sen x = ±1 → ⎪⎨ , con k ∈ !
⎪⎪ x = arc sen (−1) → x = 270 º + k ⋅ 360 º
Geometría en el arte. Giros en arquitectura: Torre Espacio
Para finalizar la unidad se ve la presencia de la Trigonometría en nuestra cultura a través de la arquitectura. Se analiza la construcción
del edificio Torre Espacio de Madrid en el que se perciben claramente el uso de las razones trigonométricas en su diseño.
G1.	Fíjate en el esquema y contesta.
a)	¿En qué unidades están medidos los ángulos?
b)	¿Qué amplitud tiene, en radianes y en grados, el ángulo de giro a 100 m de altura?
c)	Averigua las coordenadas del punto P(x, y) a esa altura.
d)	Resuelve los apartados b y c para otras alturas que tú elijas.
—– × —
a)	Los ángulos se dan medidos en radianes.
100 π 25
b)	A 100 metros de altura el ángulo es de: ⋅ = π rad = 51º 8' 11"
176 2 88
c)	Las coordenadas del punto son:
⎛ 25 ⎞ ⎫⎪
x = 42,6 ⋅ sen ⎜⎜⎜ π ⎟⎟⎟ ≈ 33,17 m ⎪⎪
⎜⎝ 88 ⎟⎠ ⎪⎪
⎬ → P (33, 17; 15, 87)
⎡ ⎛ 25 ⎞⎟ ⎤ ⎪
y = 42,6 ⋅ ⎢1− cos ⎜⎜ π ⎟⎟ ⎥ ≈ 15,87 m ⎪⎪⎪
⎢ ⎜⎝ 88 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎪⎪⎭
d)	Respuesta abierta. Sustituyendo la altura elegida como en los apartados anteriores.
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