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Timestamp: 2017-03-28 23:38:07+00:00

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1 Deformación unitaria 9.5 8.1 Ejemplo 1.2 Vector de fuerzas interiores 10.2 Vector de fuerzas interiores 9.1 Método incremental puro 13. FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL 12.3 Variación de la deformación unitaria 12.7 Matriz de rigidez tangente 13 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES INCREMENTALES 13.1 Deformación unitaria 10.deslizante
.3 Matriz de rigidez tangente 11 ELEMENTO VIGA PLANA.4 Trabajo virtual 11.5 Trabajo virtual interior 12. FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL 9.5 Criterios de convergencia 14 MÉTODO DE LA LONGITUD DEL ARCO 15 EJEMPLOS ESTÁTICOS 15.1 8.8.2 Método de Newton-Raphson 13. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL 11.2 Deformaciones unitarias 12.4 8.2 8. Barra apoyada .3 Método de Newton modificado 13.2 Deformación y momentos de flexión 11.1 Deformación axial y esfuerzo axial 11. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL 10.4 Métodos restringidos 13.3 Deformaciones virtuales 11.4 Deformaciones unitarias de cortadura 12.6
9 ELEMENTO BIARTICULADO.3 Matriz de rigidez tangente 9.6 Vector de fuerzas interiores 12.4 Formulación isoparamétrica 10 ELEMENTO BIARTICULADO.5 Matriz de rigidez tangente 12 FLEXIÓN DE PLACAS.3 8.1 Campo de deformaciones 12.
2 15.5 Métodos implícitos de integración de paso simple 16.4 15.2 Traza 20.1 Principio del trabajo virtual en dinámica 16.5 Teoremas de integración 21 ANEJO 3. Celosía Ejemplo 5. NOTACIÓN 20 ANEJO 2. Voladizo muy flexible Ejemplo 4.2 Ejemplo 2.1 Resumen de álgebra de vectores y tensores 20.5
Ejemplo 2. Formulación lagrangiana total 16. Voladizo muy flexible. Pórtico biarticulado
16 DINÁMICA 16.4 Divergencia 20.1 Ejemplo 1. Barra deslizante apoyada elásticamente Ejemplo 3. PRELIMINARES MATEMÁTICOS 20.3 Gradiente 20. 17.4 Estabilidad del método de diferencias centrales 16.15.2 Ecuaciones de equilibrio. PROCEDIMIENTOS MATLAB
. Cable pretensado 18 BIBLIOGRAFÍA 19 ANEJO 1.3 15.3 Ejemplo 3. Barra apoyada – deslizante 17.6 Criterios de convergencia 17 EJEMPLOS DINÁMICOS 17.3 Método explícito basado en diferencias centrales 16.
Cada partícula queda definida por unas coordenadas x i agrupadas en un vector X . la respuesta final depende del orden de aplicación de las mismas y se hace necesario el proceso de carga paso a paso.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Se estudia la deformación de un medio continuo deformable bajo la acción de cargas exteriores que provocan grandes deformaciones. ni siquiera siguiendo un proceso iterativo. En este contexto la respuesta del sólido es altamente no lineal pues por una parte no se conoce la posición deformada final y por otra la presencia de grandes deformaciones implica el uso de medidas de la deformación adecuadas que son esencialmente no lineales. La necesidad de un proceso de carga incremental y de un parámetro al cual referir el mismo es importante asimismo cuando existen condiciones de carga diversas que pueden aplicarse en diferente orden. La naturaleza no lineal del fenómeno hace que no pueda calcularse en general la situación deformada final en un sólo paso. Configuración en un instante cualquiera t. pero por comodidad se le denominará así. de tal manera que no puede aceptarse la hipótesis de que la posición final deformada coincide con la posición inicial. En principio no se considerará aquí esta no linealidad debida al material. inicial y final. La posición de cada partícula queda ahora definida por unas coordenadas x
x = φ(X. y determinando la respuesta para cada uno de esos incrementos. Para identificar los distintos pasos del proceso se empleará un parámetro de tiempo t. A esta no linealidad de origen geométrico se puede añadir la no linealidad debida a la ecuación constitutiva del material si es que este fenómeno se pone de manifiesto en el proceso. Al ser el sistema no lineal.
. aplicando las cargas finales paso a paso. Es necesario seguir un proceso de carga incremental. La figura 1 muestra el sólido referido a un sistema de coordenadas cartesiano. aunque no se trate más que de un parámetro arbitrario. la ecuación anterior proporciona su trayectoria temporal. En el caso de que las cargas sean estáticas no tiene sentido hablar del parámetro tiempo en el sentido que tiene en dinámica. y en ella se identifican:   Configuración inicial en t=0. Para una partícula cualquiera. Por lo tanto la única diferencia entre los casos estático y dinámico está en la consideración o no de las fuerzas de inercia. la función φ define una transformación de coordenadas entre las dos configuraciones espaciales. aplicando la totalidad de la carga. por incrementos. t )
Para cada instante de tiempo. al cual se referirán todos los incrementos de carga y las distintas configuraciones deformadas.
Figura 1. t ) = x − φ−1(x. • En el planteamiento Euleriano. • En el planteamiento Lagrangiano. o espacial. El planteamiento Lagrangiano es adecuado al estudio de la mecánica de sólidos.
La resolución de un problema no lineal puede abordarse genéricamente de dos maneras distintas. en el que es necesario incluir alguna ecuación constitutiva del comportamiento de las partículas del material. o material. Configuración inicial y deformada. se trata de expresar las coordenadas finales de una partícula en función de sus coordenadas iniciales:
x = φ(X. t ) Las deformaciones se obtienen con respecto a esa posición deformada: u(X. es decir: X = φ−1(x. t ) (3)
En este planteamiento se persigue una determinada posición en el espacio y se determina la posición inicial que tenían las partículas que pasan por dicha posición. t ) = φ(X. el comportamiento se refiere a la posición final x ocupada por una partícula y se trata de obtener la posición inicial que ocupaba dicha partícula. Un cambio en el tiempo en las ecuaciones anteriores implica que una determinada posición está ocupada por 2
(X. Un cambio en el tiempo en las ecuaciones anteriores implica que la misma partícula ocupa una posición diferente. t ) − X
En este planteamiento por lo tanto se persigue el movimiento de una misma partícula material cuya posición inicial X se conoce y se trata de obtener su posición final. t )
u(X. dependiendo de a qué sistema de coordenadas se refieran las magnitudes fundamentales involucradas en el proceso.
. Planteamientos material y espacial. el valor la temperatura T. El planteamiento Euleriano es adecuado a problemas de mecánica de fluidos. t )
Sin embargo. y se obtiene como la temperatura en esa posición a medida que pasa el tiempo (y posiblemente también pasen distintas partículas por ese punto):
T = T (x. como la temperatura T. t )
Figura 2. si consideramos una magnitud escalar cualquiera. en el que no interesa tanto la evolución de las partículas sino la distribución espacial de las magnitudes. su valor se describe con respecto a la posición inicialmente ocupada por una partícula. • Por ejemplo. se describe con respecto a una posición actual en el espacio. y se obtiene como la temperatura en esa misma partícula a medida que pasa el tiempo (y posiblemente también cambie la posición de la partícula):
T = T (X. en el planteamiento Lagrangiano.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
una partícula diferente. en el planteamiento Euleriano espacial.
Es un tensor definido positivo.1
Es la magnitud fundamental en la definición de la deformación de un sólido. Consideremos el diferencial de volumen en el 4
. Así entre la configuración inicial X y deformada x. • El determinante del tensor gradiente de deformación F=|F| establece la relación entre los diferenciales de volumen en los estado 0 y t. es:
Por lo tanto el tensor gradiente de la deformación se define como el gradiente de las coordenadas deformadas x respecto de las coordenadas iniciales X. como se demuestra al estudiar la transformación del volumen. y establece la relación entre los elementos diferenciales de coordenadas en dos configuraciones. También se puede poner en notación de matrices como:
Siendo ∇ el operador gradiente respecto de las coordenadas deformadas x.
Como ambos diferenciales de volumen siempre deben ser positivos. el determinante del tensor gradiente de deformación también lo es. los términos de este tensor son:
estado inicial dv0 formado por un paralelepípedo cuyos lados están definidos por tres vectores diferenciales dX1.
establece mediante el tensor gradiente inverso. Consideremos un elemento diferencial de área en el estado inicial dA0: es una cantidad vectorial cuyo módulo dA0 es igual al área de un paralelogramo definido por dos vectores dX1 y dX2. y cuya dirección n0 viene dada por su producto vectorial:
2. dX2.2 Tensores gradiente de desplazamientos
i = 1. dX3.
Esto indica la naturaleza de F en el sentido de que involucra a las direcciones principales en los estados inicial y deformado. de módulo dLα:
Luego el módulo del vector deformado es dlα = λαdLα . Descomposición polar del tensor gradiente de deformación. Para ello sustituimos el valor de U:
Considerando que n = R N. con lo que λα representa el alargamiento en la dirección α:
sometido a unos desplazamientos u=x-X. la cual produce una variación de los gradientes de deformaciones. • La variación de los tensores gradiente de desplazamientos al variar los desplazamientos es sencillamente:
Consideramos un cuerpo en un estado deformado t. Se aplica una variación virtual δu a dichos desplazamientos.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Dado su valor. que corresponde al tensor de deformaciones unitarias empleado en el análisis con pequeñas deformaciones. Se define el tensor de deformaciones unitarias infinitesimales como:
Sea u el campo de deformaciones existente en el sólido en el instante t. la expresión detallada para el caso de dos dimensiones es:
Siendo AC una matriz constante.
3. y el último término corresponde a los términos no lineales habituales en grandes deformaciones.
sometido a un tensor de deformación Ft . El tensor gradiente de deformación en el nuevo estado es:
3.2. para el caso de 2 dimensiones. permite expresarlo como:
.1 Expresión vectorial del tensor de Green – Lagrange El tensor de Green-Lagrange se puede expresar en forma de vector en la forma siguiente. Agrupando los términos lineales y los no lineales se puede poner. en la forma:
La estructura del primer término.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• El tensor de Green – Lagrange es invariante ante rotaciones de sólido rígido. Sea un sistema en un instante t. para problemas de 2 y 3 dimensiones (la barra sobre el símbolo indica una representación como vector):
Donde se han multiplicado por 2 los términos fuera de la diagonal para poder sustituir el producto contracto de tensores de orden 2 por el producto escalar de vectores. Entre t y t+Δt se aplica una rotación de sólido rígido definida por una matriz R. que es lineal.
Consideramos un cuerpo en un estado deformado t.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• La matriz AC es constante. Según (19). Precisamente la dependencia de A de la deformación es el origen de la no-linealidad del problema. la variación se puede poner:
. la variación del tensor de deformaciones unitarias de Green Lagrange es:
3. sometido a unos desplazamientos ui = x i − X i . pues como puede comprobarse. Dado que se cumple que δ F = δ H .1 Expresión en función del gradiente de desplazamientos. Se aplica una variación virtual δ u a dichos desplazamientos. con tamaño 3x4 en 2 dimensiones y 6x9 en 3 dimensiones:
3. sus términos son sencillamente una reordenación de los términos de H.3.
también se comprueba fácilmente que:
3. con lo que finalmente la variación del tensor de deformaciones de Green – Lagrange es:
3. pero referidas al estado deformado final.3. en función del tensor de Finger.2 Expresión en función del tensor infinitesimal de deformaciones unitarias La variación del tensor gradiente F es δ F = δ Ht F . desarrollando las expresiones. como:
3. Para ello se considera la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos infinitamente próximos.3 Variación del tensor de Green-Lagrange en forma de vector La variación del tensor de Green-Lagrange en su forma de vector es:
Observando el valor de A se comprueba que se cumple que δ A(H) = A(δ H) .3.
Con lo que se define este tensor euleriano.4 Tensor de deformaciones unitarias euleriano
Para ello ambos tensores emplean la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos próximos.5.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
3. en los estados t y t+Δt.5
Para el desarrollo de formulaciones incrementales. pero referidas a estados de referencia distintos: uno emplea el estado inicial como referencia y el otro emplea el estado t como referencia. A estos efectos se emplean dos tensores incrementales que miden el incremento en el tensor de Green – Lagrange entre los estados t y t+Δt. los dos tensores se expresan en función de la deformación incremental entre los dos estados:
3. en relación al incremento de deformación u
Los dos primeros términos son similares al tensor de deformaciones infinitesimales (aunque referidos a las coordenadas iniciales). referidas al estado inicial (por eso se añade el subíndice 0)
Sustituyendo el valor de los tensores en función de las deformaciones.1 Tensor incremental de Green – Lagrange El tensor incremental de Green – Lagrange E 0 se define como la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos próximos. mientras que los dos últimos se deben a las deformaciones iniciales ya existentes en el material en el instante t. el tensor incremental se puede expresar como suma de dos tensores:
ˆ: El primer tensor contiene los términos lineales. El tensor no lineal en el incremento de deformación vale:
. resulta útil estudiar el incremento que sufre el tensor de Green – Lagrange al pasar desde una configuración t a otra t+Δt. Para su empleo en las formulaciones incrementales. expresadas en los estados indicados.
.5.2 Tensor incremental actualizado de Green – Lagrange El tensor incremental actualizado de Green – Lagrange Et se define como la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos próximos.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
3. en los estados t y t+Δt. referidas al estado t:
Sustituyendo el valor de los diferenciales en función de las coordenadas y de los incrementos de deformación.
representa la velocidad en sentido clásico. t ). t ) ∂t
Por su definición resulta obvio que se trata de un campo vectorial material. vectorial o tensorial expresado en las coordenadas materiales σ(X. Es importante notar que la velocidad espacial es la derivada temporal de ninguna función. t ) =
∂φ(X. 4. Físicamente representa la velocidad de la partícula que ocupa la posición X en el instante t = 0. y está asociado al movimiento de la partícula que ocupa la posición x. t )
El segundo término de esta expresión se denomina convectivo o de transporte.1 Derivada temporal material
Sea un campo escalar. Si el campo σ está definido en función de la posición espacial x.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
x = φ(X. t ) + ∂t ∂x ∂t ∂σ(x. t ) =
dσ ∂σ(X. De hecho se puede definir la velocidad como una función de la coordenada espacial x. t ) ∂σ(x. su derivada respecto a las coordenadas espaciales x define el tensor gradiente de velocidad L:
. de la partícula que en el instante de tiempo t ocupa la posición x. pues mide el cambio de σ asociado con la partícula material que está situada inicialmente en X. t ) ∂x(X. 4. La velocidad es un campo espacial. t ) =
∂σ(x. a pesar de que se ha expresado en las coordenadas materiales de la partícula X. su derivada respecto al tiempo se define como:
σ (X. t ) = v (φ−1 (x. t ) = dt ∂t
Y se conoce como la derivada temporal material de la magnitud σ. la derivada temporal material requiere efectuar la derivación en cadena:
σ (x. t )
Se trata de un campo espacial que físicamente.t).
v (x.2 Tensor gradiente de velocidad
Habiendo definido la velocidad v. t ) + (∇σ ) v ∂t
σ (x.
∂v(x.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
L (x. mediante el siguiente desarrollo algebraico:
. t ) = ∇v ∂x
Este tensor proporciona la velocidad relativa entre dos partículas situadas en puntos próximos P y Q. otra expresión del tensor gradiente de velocidad:
4. a su vez. El tensor gradiente de velocidad permite obtener una expresión útil de la derivada temporal del gradiente de deformación:
Esta expresión proporciona.4
Sea un elemento diferencial de área de módulo dA en el estado deformado. dando lugar al primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff P:
Supongamos que transformamos esta fuerza diferencial al estado original indeformado. sobre el cual la fuerza actuante es df. pero el siguiente proceso explica su naturaleza. utilizando el tensor gradiente de la deformación (que puede usarse para transformar cualquier vector diferencial):
Este vector de fuerzas ya transformado al estado indeformado puede expresarse. pero referida a la superficie sin deformar. 5. en el estado indeformado.3 Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff
Este tensor no tiene mucho significado físico. mediante la fórmula de Cauchy. Se trata de un tensor simétrico. La fuerza actuante sobre él es df. definidas como las fuerzas internas por unidad de área en la situación deformada. empleando un cierto tensor de tensiones que resulta ser el segundo tensor de Piola-Kirchhoff:
. El vector tensión en dicha área es la fuerza de tracción actuante por unidad de área:
5. como puede deducirse de las ecuaciones de equilibrio de momentos de un cubo diferencial.2 Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff
La fuerza df actuante sobre el diferencial de área deformada dA se puede referir al área inicial no deformada dA0 . Sea un elemento diferencial de área en el estado deformado de módulo dA y dirección n.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Este tensor σ representa las tensiones reales existentes en el material. definido por su vector normal n. Es un tensor no simétrico.
Como puede comprobarse en su expresión. Segundo tensor de tensiones de Piola.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Como esta expresión debe satisfacer para cualquier diferencial de área. Sea un sistema en un instante t. Entre t y t+Δt se aplica una rotación de sólido rígido definida por una matriz R. se debe cumplir que:
Esta expresión permite transformar las tensiones reales en el estado deformado σ en el segundo tensor de tensiones de Piola – Kirchhoff S. es un tensor simétrico. El tensor gradiente de deformación en el nuevo estado es:
. sometido a un tensor de deformación Ft . df n dA n0 df 0
• El segundo tensor de Piola – Kirchhoff es invariante ante rotaciones de sólido rígido. Este tensor corresponde a la fuerza en el estado deformado. pero transformada al estado inicial y referida a la unidad de área del estado inicial.
2 Equilibrio de momentos
Se considera de nuevo un trozo cualquiera de sólido. en el estado deformado en el instante t. Sean qv las fuerzas de volumen aplicadas sobre él y t las fuerzas en su superficie circundante (al ser el trozo de sólido arbitrario.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Se considera un trozo cualquiera de sólido. y se aplica la ecuación de equilibrio estático de momentos respecto de un punto cualquiera. Sea r el vector que define la posición de la fuerza respecto del punto donde se toman momentos. puesta en función de las tensiones de Cauchy. de volumen v y área lateral s.
Como el trozo de sólido es arbitrario. en su forma más compacta. El equilibrio estático de dichas fuerzas implica que:
Las fuerzas en la superficie t se pueden sustituir por las tensiones σ en la superficie empleando la fórmula de Cauchy. el integrando tiene que ser nulo siempre:
Esta es la ecuación de equilibrio estático del sólido. parte de estas fuerzas de superficie serán fuerzas aplicadas conocidas y otras serán fuerzas interiores desconocidas).
El trabajo virtual de las fuerzas exteriores aplicadas sobre el volumen y sobre la superficie es:
Las fuerzas de superficie se pueden sustituir por las tensiones de Cauchy σ en la superficie. definido como eijk = 1 si la permutación {i.3 Principio del trabajo virtual
Sea un cuerpo en equilibro en un estado cualquiera t. 6. el integrando de la segunda tiene que ser nulo siempre:
Esta condición indica que el tensor de tensiones de Cauchy σ es simétrico. como el trozo de sólido es arbitrario.
La primera integral es nula pues su integrando contiene la ecuación de equilibrio. en el que existe un campo de deformaciones u y en el que se aplica una variación virtual δ u a dicho campo de deformaciones. -1 si la permutación es impar y 0 si hay índices repetidos.k} es par. Además.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
El símbolo e representa el tensor alternador de orden 3.j. empleando la fórmula de Cauchy q S = σ n
deformaciones infinitesimales ε como el volumen de integración se refieren al sólido en el estado deformado en el instante t. con lo que:
El tensor gradiente de la deformación ∇u se puede descomponer como suma de sus componentes simétrica y hemisimétrica.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
El integrando de la primera integral es nulo pues corresponde a la ecuación de equilibrio del sólido. que es desconocido. Sin embargo su aplicación directa no es fácil. con lo que se llega a:
. Para resolver este problema se emplean las magnitudes de medida de tensión y deformación anteriormente definidas. compatible con las condiciones de ligadura: Este principio es la herramienta fundamental para el desarrollo de una formulación de análisis no lineal. el gradiente de la variación de deformación es igual a la variación del gradiente ∇(δ u) = δ(∇u) . En la segunda integral. su producto contracto con la parte hemisimétrica es nulo. que se refieren a un estado conocido. siendo la componente simétrica el tensor infinitesimal de deformaciones unitarias ε:
Por ser el tensor σ simétrico. pues tanto los tensores de tensiones σ.
Empleando la representación como vectores de los tensores S y E. por lo que su empleo es mucho más sencillo. pero en la que se emplean magnitudes de tensión (S) y de deformación unitaria (E) referidas al estado inicial conocido del cuerpo. la expresión final del trabajo virtual interior es:
en el caso plano (el primer superíndice especifica el nudo):
1 1 2 n U = U1 U2 U 12 U 2 . U 2
La matriz G0 contiene las derivadas de las funciones de interpolación con respecto a las coordenadas iniciales y no depende de las deformaciones... nos centramos en el estudio de un solo elemento e introducimos la hipótesis de discretización del método de los elementos finitos: el campo de deformaciones se aproxima por interpolación de las deformaciones de los nudos U.
Las derivadas de los desplazamientos contenidas en H se pueden expresar en función del campo de deformaciones a través de un operador de derivación ∂ 0 . que en el caso plano es:
7. Su tamaño en problemas de dos dimensiones es de 4 filas y tantas columnas como grados de libertad tiene el elemento. a través de unas funciones de interpolación N:
El vector U contiene las deformaciones de los nudos en el instante t y es.
7.. cuya determinación se deja para más adelante:
Empleando el valor detallado de las fuerzas interiores..⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . ... El trabajo virtual interior vale:
En esta expresión se define el vector de fuerzas nodales equivalentes a los esfuerzos interiores en el elemento..⎥ ⎥ ⎦
que proporciona la relación entre la variación de las deformaciones de los nudos y la variación de las deformaciones unitarias de Green. .2
El trabajo virtual de las fuerzas exteriores se sustituye por el trabajo virtual producido por las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores P. . ...⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ... la ecuación de equilibrio resulta:
......⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ..Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎤ .
forma lineal. según (38):
En esta expresión se ha mantenido. tanto en S como en E. dada la similitud entre variaciones e incrementos:
ˆ contiene los incrementos en las deformaciones nodales del elemento. la matriz de rigidez tangente:
Sustituyendo este incremento de la deformación unitaria. proporcional al incremento de la deformación de los nudos del elemento U empleando para ello una matriz de rigidez constante. Por otra parte.3
Suponemos conocido el equilibrio en el instante t y buscamos el equilibrio en t + Δt .Kirchhoff. por lo que procedemos a linealizarlo con respecto a un incremento de ˆ. El término no lineal corresponde al trabajo virtual interior. y el incremento de dicha deformación tiene una expresión similar. resulta aceptable suponer que el incremento de dicha tensión es proporcional al incremento en las deformaciones de Green-Lagrange:
La matriz C es constante y representa la ecuación constitutiva del material en términos incrementales.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
7. Esta aproximación es válida para materiales elásticos e incluso para otros comportamientos más sofisticados. la deformación de los nudos del elemento finito que denominaremos U Desarrollando en serie alrededor del punto anterior t cuyo equilibrio se conoce:
El segundo sumando es el incremento en el trabajo virtual interior. Para su resolución efectuamos un planteamiento incremental. es necesario establecer un valor del incremento en la tensión de Piola . la variación en la deformación de Green-Lagrange viene dada por (43). que viene dado por el principio del trabajo virtual en dicho instante:
La resolución directa de esta ecuación es muy difícil. en el que buscamos obtener el equilibrio en t+Δt a partir del equilibrio conocido en t. que deseamos ponerlo en ˆ. y ser los incrementos de deformaciones pequeños. la notación de vectores para el primer término y la de tensores para el segundo. • Para evaluar la primera integral de (49). pues es no lineal. se obtiene el valor del primer término en el incremento del trabajo virtual interior:
. Al estar empleando un método incremental. dada por la ecuación (43). así como su variación. por conveniencia para desarrollos posteriores.
su variación δH e incremento ΔH tienen la misma expresión que ˆ respectivamente.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• Para calcular la segunda integral de (49) es necesario establecer una expresión del incremento de la variación de la deformación unitaria de Green . Al ser S simétrica. Al ser H lineal en las deformaciones (ver (9)). pero sustituyendo u por δu y por su incremento u dimensiones la integral queda:
. este incremento es:
En ambas integrales la matriz que multiplica a S es la misma transpuesta. Para el caso de 2 H. ambos productos contractos son iguales:
La evaluación del integrando en esta forma resulta complicada para la implementación práctica. por lo que se desarrolla en función del valor de los tensores H y S.Lagrange. Apoyándose en la ecuación (27).
que consiste en una agrupación diagonal del 2º tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff tantas veces como dimensiones tenga el problema. El último factor corresponde a las derivadas de los ˆ y define un nuevo vector incrementos de las deformaciones u
En esta expresión se ha definido la matriz S . que tiene dos sumandos. Nótese su similitud con la matriz de rigidez en el análisis lineal. aunque ahora la matriz B es dependiente de las deformaciones existentes. La primera Esta expresión define la matriz de rigidez tangente K ˆ corresponde a la rigidez asociada al incremento de las tensiones.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ˆ . sobre un material matriz K D dado.
la ecuación de equilibrio en t + Δt queda:
En el término de la derecha. con lo que queda:
Al ser arbitraria la variación de las deformaciones. El término de la izquierda representa el incremento aproximado de fuerza interior que se obtiene al aplicar un incremento a la deformación. el trabajo virtual de las fuerzas interiores en el instante conocido t viene dado por (45).Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ˆ se denomina habitualmente matriz de rigidez geométrica y La segunda matriz K σ corresponde a la rigidez asociada al incremento de las deformaciones unitarias actuando sobre un estado de tensiones ya existente. ˆ ≡ K σ
Tras la linealización del trabajo virtual interior. No depende de las propiedades del material sino sólo del estado de tensiones (a través de S) y de la geometría (a través de G). de ahí su nombre. mientras que el trabajo virtual de las fuerzas exteriores se sustituye por sus fuerzas nodales equivalentes Pt+Δt. se debe cumplir:
O también. El término de la derecha representa el desequilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas en t+Δt y la fuerzas interiores existentes en t. en forma compacta
Asumiendo una formulación isoparamétrica para el elemento.5.5. que se interpolan con respecto a las de los nudos (el superíndice k indica el nudo):
7. resulta sencillo desarrollar el proceso para obtener la matriz de rigidez tangente y el vector de fuerzas interiores. para la derivada de una función de interpolación:
. Sistema linealizado.
7.3 Transformación de derivadas Las derivadas de las distintas magnitudes involucradas se transforman entre el sistema local normalizado y el general por medio de la matriz jacobiana habitual. Se supone un sistema de coordenadas normalizadas ξi local al elemento. 7.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 5.5. en el que se definen las funciones de interpolación. Para las deformaciones en el instante t la interpolación es:
7.1 Interpolación de coordenadas En principio sólo son necesarias las coordenadas en el estado inicial.2 Interpolación de deformaciones. Por ejemplo.
Gn G2 0 0⎥ ⎦
.4 Matriz G Está formada por una serie de tantos bloques como nudos tiene el elemento.5.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
7. cada uno de los cuales contiene las derivadas de una función de interpolación respecto de las coordenadas iniciales...
Los valores de estas matrices se obtienen fácilmente a partir de las A.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
7. AC y G. ordenados de otra manera:
7.5.5 Vector de gradiente de los desplazamientos H Su cálculo es asimismo inmediato. la matriz B se puede descomponer en dos sumandos:
El primer sumando proviene de los términos lineales en la deformación y da lugar a la matriz constante BL 0 . El segundo es proporcional al estado de deformaciones existente a través de la matriz A y da lugar a la matriz no lineal BN 0 . similar a la de G. un bloque para cada nudo.5.6 Matriz A En realidad esta matriz sólo contiene los términos del tensor H. y requiere conocer las deformaciones de los nudos en el estado conocido t:
7. Tienen una estructura de bloques.5.7 Matriz de rigidez tangente Su expresión tiene dos sumandos:
• En la primera integral. Para la matriz constante:
B( B(2) L0 L0 ⎥ ⎦
n) ⎤ . 7. ˆ =K ˆ +K ˆ +K ˆT + K ˆ K D D0 D1 D1 D2
• El segundo sumando de la matriz tangente corresponde a la matriz de rigidez geométrica y se puede evaluar directamente.8 Vector de fuerzas interiores Su expresión general es:
Es sencillo de evaluar..Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
n) ⎤ ..5. B( B(2) N0 N0⎥ ⎦
ˆ El primer sumando corresponde a la matriz de rigidez lineal K D 0 y los 3 restantes a la componente no lineal... en base a la matriz B y al vector de tensiones de Piola-Kirchhoff S en el estado conocido t:
. las variaciones de deformación se pueden poner en función de las variaciones de deformación nodales:
La evaluación de estas fuerzas no es posible pues no se conoce ni el volumen ni la superficie en t+Δt. El proceso requiere sustituir el diferencial de volumen empleando para ello el determinante del tensor F y el diferencial de área. peso propio. En caso contrario. Se obtiene la siguiente expresión:
t t En esta expresión q tv+Δ y q tS+Δ son los valores de las fuerzas de volumen y superficie en el 0 0 instante t+Δt. En el instante t+Δt su valor es:
Introduciendo la interpolación de deformaciones. empleando la fórmula de Nanson.e. pero referidas al volumen y superficie iniciales. concentradas. la presencia de fuerzas dependientes de la deformación origina nuevos términos en las ecuaciones de equilibrio que no han sido tenidos en cuenta.6
Estas expresiones son válidas si las fuerzas no dependen de la deformación. etc. como es el caso de muchas fuerzas habitualmente (p.).Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
7. Para poderlas evaluar se transforman al estado inicial.
que empleando las magnitudes en forma de vectores. puede escribirse:
A su vez.1
El equilibrio en el instante t viene dado por el principio del trabajo virtual. que en el caso plano es:
La matriz Gt contiene las derivadas de las funciones de interpolación con respecto a las coordenadas deformadas x y no depende de las deformaciones. Su tamaño en problemas de dos dimensiones es de 4 filas y tantas columnas como grados de libertad tiene el elemento.
8. las derivadas de los desplazamientos contenidas en Ht se pueden expresar en función del campo de deformaciones a través de un operador de derivación ∂ t .
⎤ . .. . . procedemos a linealizar el trabajo virtual ˆ .⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .. según (35):
... ..2
En esta expresión se ha definido el vector de fuerzas nodales equivalentes a los esfuerzos interiores en el instante t..⎥ ⎥ ⎦
8.. en la dirección de un incremento de la deformación u t ˆ mediante una matriz de rigidez tangente K :
El trabajo virtual es..3
Suponemos conocido el equilibrio en el instante t y buscamos el equilibrio en t + Δt ...⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ... expresándolo interior en el punto t.
Finalmente. al ser arbitraria la variación de los desplazamientos.⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .. que viene dado por el principio del trabajo virtual en dicho instante:
De la misma manera que en la formulación anterior. la ecuación de equilibrio resulta:
y su variación se obtiene el valor del primer término en el incremento del trabajo virtual interior:
Sustituyendo en la segunda integral. Esta aproximación es válida para materiales elásticos e incluso para otros comportamientos más sofisticados. La variación en la deformación unitaria viene dada por (66). Al estar empleando un método incremental. resulta aceptable suponer que el incremento de la tensión es proporcional al incremento en las deformaciones unitarias:
La matriz C es constante y representa la ecuación constitutiva del material en términos incrementales. dada la similitud entre variaciones e incrementos:
ˆ contiene los incrementos en las deformaciones nodales del elemento. trasponiendo el segundo sumando y considerando que el tensor de tensiones σ es simétrico.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• Para evaluar la primera integral. y ser los incrementos de deformaciones pequeños. Para el caso 2D:
. es necesario establecer un valor del incremento en la tensión. se obtiene:
La evaluación del integrando en esta forma resulta complicado para la implementación práctica. Donde el vector U
Sustituyendo el incremento de la deformación. por lo que se desarrolla en función del valor de los tensores. y el incremento de dicha deformación tiene una expresión similar.
ˆ se puede Efectuando el mismo desarrollo que para el vector Ht . puesta en forma de vector. que tiene dos sumandos. el valor del vector H t expresar en función de los incrementos de las deformaciones de los nudos (ver (65)):
. pues ahora la matriz primera matriz K D Bt es constante y coincide con la matriz empleada en dicho análisis lineal. La En esta expresión se ha definido la matriz de rigidez tangente K ˆ coincide con la matriz de rigidez en el análisis lineal.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
El primer factor de esta expresión es la variación del tensor Ht. El último factor del integrando corresponde al gradiente de los incrementos de las deformaciones:
que tienen la misma expresión general que en aquel caso.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ˆ tiene una estructura muy similar a la correspondiente en La matriz de rigidez geométrica K σ al formulación Lagrangiana total.5. introduciendo el vector de fuerzas interiores:
8.5. y sólo se diferencia en los valores de la matriz de rigidez tangente y del vector de fuerzas interiores. Por ejemplo.1 Interpolación de coordenadas En principio sólo son necesarias las coordenadas en el estado t:
Estas coordenadas se deben ir actualizando a medida que progresa el análisis incremental. 8.4
Efectuando el mismo desarrollo que en la formulación lagrangiana total se llega a las ecuaciones de equilibrio incrementales. en forma compacta.
O también.5. aunque empleando la tensión de Cauchy en lugar de la de Piola Kirchhoff.3 Transformación de derivadas Las derivadas de las distintas magnitudes involucradas se transforman entre el sistema local normalizado y el general por medio de la matriz jacobiana habitual. ˆ ≡ K σ
8.2 Interpolación de deformaciones Para las deformaciones en el instante t la interpolación es:
. y evaluando todos sus términos en el estado t en lugar de en el estado inicial. a base de añadirles las deformaciones obtenidas en cada paso de carga.
4 Matriz G Está formada por una serie de tantos bloques como nudos tiene el elemento.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
8. cada uno de los cuales contiene las derivadas de la función de interpolación de ese nudo respecto de las coordenadas en el instante t.5.
en base a la matriz B y al vector de tensiones σ en el estado conocido t:
.6 Vector de fuerzas interiores
Su expresión es sencilla de obtener.6
Bt = AC Gt = ⎡⎢ B1 ⎣ t Bt2 .5 Matriz tangente Su expresión tiene dos sumandos:
La matriz B es constante y tiene una estructura de bloques similar a la de G. las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores se evalúan con los valores en el instante t+Δt pero referidas al área y volumen de la posición conocida t.5.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
8. Btn ⎤⎥ ⎦
definido en su posición inicial mediante las coordenadas de sus nudos extremos 1 y 2:
En su posición deformada en el instante t. Formulación lagrangiana.1
9.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ELEMENTO BIARTICULADO. Elemento de celosía plana. las coordenadas de los nudos son:
Consideramos un elemento biarticulado plano.
.Lagrange es un escalar:
El tensor de deformación unitaria de Green .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Sumando las expresiones de la parte lineal y no lineal.
pero evaluada en la situación deformada.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Que corresponde a la misma expresión que la componente lineal. Se supone que dicha tensión de Piola es proporcional a la deformación unitaria de Green siendo la contante de proporcionalidad el módulo de elasticidad del material E. en lugar de aplicar las expresiones detalladas ya obtenidas. Como B es constante dentro del elemento la integración es inmediata:
9. 9. se emplea su definición como derivada del vector de fuerzas interiores:
La primera matriz se debe a la variación de la tensión S al deformarse la barra.3 Matriz de rigidez tangente
Siendo S la tensión de Piola – Kirchhoff en la barra. Por lo tanto:
la matriz anterior se puede poner:
Que coincide con la matriz convencional de la barra biarticulada evaluada en su posición deformada. salvo por el empleo del área y longitud iniciales. pero introduciendo el factor de proporción entre las longitudes. Considerando que el seno y coseno del ángulo final de la barra θ valen sθ ≡ sin θ = y21 / L y cθ = cos θ = x 21 / L . Si ambas longitudes son muy similares (lo cual puede suponerse siempre que los alargamientos sean pequeños). pero evaluada en la posición deformada. En la expresión (76) puede desarrollarse el valor de B:
Y se obtienen cuatro sumandos. ambas matrices coinciden. el primero de los cuales corresponde a la matriz de rigidez lineal de la barra en su posición inicial:
Esta matriz coincide con la matriz de rigidez convencional de una barra biarticulada.
son las habituales para la interpolación lineal. Las interpolaciones de coordenadas y desplazamientos son:
Las funciones de interpolación para el elemento de dos nudos. que pueden emplearse para elementos más complejos. 9. se puede formular el elemento de celosía empleando funciones de interpolación y la formulación isoparamétrica estándar en el método de los elementos finitos.4 Formulación isoparamétrica
Aunque no es necesario. Ello permite obtener expresiones más generales de las propiedades del elemento. y su valor es:
Obsérvese que esta matriz es independiente de la orientación de la barra y sólo depende de su nivel de esfuerzo y de su longitud. empleando la coordenada normalizada ξ que varía entre -1 en el nudo inicial y +1 en el nudo final:
que en este caso consta únicamente de un alargamiento axial. de tal manera que este sistema de ejes contiene el movimiento de sólido rígido del elemento y se mueve con él. en el que se define un sistema de ejes co-rotacional x . la cual queda definida por la deformación del nudo inicial u1. cuya magnitud es u1 . En tercer lugar se produce la deformación de la barra.
Figura 7. Formulación co-rotacional. y con él de tal manera que el eje x pasa por la posición deformada de ambos nudos. La limitación principal de la formulación CR está en que se supone a priori que la deformación del elemento respecto del sistema co-rotacional es de pequeña magnitud comparada con el movimiento global. tanto en su planteamiento total como actualizado. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL
La formulación lagrangiana.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
10 ELEMENTO BIARTICULADO.
. empleándose para el estudio de barras. La formulación co-rotacional (CR) por su parte emplea un sistema de ejes asociado a cada elemento de la estructura. La definición de la posición del sistema co-rotacional de ejes para el caso de problemas en 3 dimensiones requiere de técnicas adecuadas. vigas. placas y cáscaras. emplea un único sistema de ejes global al cual se refieren todos los movimientos y deformaciones del sólido. caracterizada por el movimiento del sistema de ejes co-rotacional y una parte de deformación del sólido con respecto a dicho sistema de ejes. Elemento de celosía plana. El movimiento total de la barra se puede descomponer en tres fases: en primer lugar una traslación desde la posición inicial hasta hacer coincidir el nudo inicial con su posición deformada. Esta limitación hace que esta formulación sea de aplicación más limitada. El movimiento total se descompone en una parte de sólido rígido. seguida a continuación por una rotación de valor α hasta alcanzar la orientación deformada final. habiéndose empleado diversos métodos para ello.
La figura muestra un elemento plano.
Celosía plana. por lo que en la práctica es mejor emplearla en la forma:
10. V2 u1
Figura 8. el empleo directo de su expresión resulta complejo.
Donde β es el ángulo que forma la barra con respecto al eje x en su posición deformada.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Esta expresión tiene una mala condición numérica. Variación virtual de las deformaciones. medido en el sistema co-rotacional:
Para obtener la variación del alargamiento.1 Deformación unitaria En esta formulación emplearemos la deformación unitaria ingenieril cuyo valor es. por lo que es más fácil emplear un método más geométrico. Esta expresión se puede poner:
. que consiste en imponer una variación a las deformaciones de los nudos y determinar cuánto varía el alargamiento a consecuencia de ella. La figura siguiente muestra la configuración una vez aplicada una variación virtual cualquiera.
3 Matriz de rigidez tangente La matriz tangente se puede obtener derivando la expresión de las fuerzas interiores:
. 10.2 Vector de fuerzas interiores El trabajo virtual de las fuerzas interiores está producido únicamente por la fuerza axial en la barra N (supuesta positiva a tracción):
pero evaluada en su posición deformada. • Por su parte.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
. Celosía plana. Esta expresión coincide con la matriz de
rigidez habitual de la barra biarticulada plana. la matriz de rigidez geométrica es:
Figura 9. Variación de la orientación.
. pues ésta está tenida en cuenta en la rotación α.1 Deformación axial y esfuerzo axial
La deformación axial en el sistema co-rotacional es u1 y su determinación es exactamente igual que para el elemento de celosía. En segundo lugar una rotación de valor α hasta alcanzar la orientación deformada final del eje co-rotacional x . de tal manera que el eje x pasa siempre por la posición deformada de ambos nudos.
El movimiento total de la barra se puede descomponer en tres fases: en primer lugar una traslación desde la posición inicial hasta hacer coincidir el nudo inicial con su posición deformada.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
11 ELEMENTO VIGA PLANA. Los grados de libertad del elemento son:
11. la cual queda definida por la deformación del nudo inicial u1. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL
La formulación de este elemento emplea un sistema de ejes x . En tercer lugar se produce la deformación de la barra. Viga plana. no hay que considerar deformación lateral de la barra. caracterizada por los giros de los dos extremos θ1 y θ2. x
Figura 10. y co-rotacional con él. Formulación co-rotacional. Al haberse tomado los ejes co-rotacionales pasando por la posición deformada de los nudos. que en este caso consta de dos efectos: un alargamiento axial en la dirección del eje x y una deformación por flexión.
Viga plana. medidos respecto de la orientación inicial de la barra. Deformaciones de flexión. θ1 y θ2. suponiendo un comportamiento elástico es:
11.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
La deformación unitaria ingenieril debida al alargamiento axial.
Empleando la teoría de Euler – Bernouilli de la flexión. Estos giros valen:
Figura 11. medida en el sistema corotacional.2 Deformación y momentos de flexión La deformación producida por la flexión de la viga queda definida por los dos giros en los extremos. Estos giros se suponen de pequeña magnitud. los momentos flectores en ambos extremos de la barra se relacionan con los giros correspondientes mediante la ecuación de rigidez:
. La definición empleada para el eje co-rotacional x hace que no haya deformaciones laterales en los nudos. vale
El valor del esfuerzo axial (supuesto positivo a tracción) producido por esta deformación. por lo que la energía de flexión está asociada únicamente a los giros de los nudos relativos a dicho eje co-rotacional θ1 y θ2 .
11. La variación del ángulo de orientación β al variar las deformaciones de los nudos se obtiene fácilmente por consideraciones geométricas. como se efectuó para el elemento biarticulado:
.3 Deformaciones virtuales La variación del alargamiento axial es:
Efectuando el mismo desarrollo que para el elemento biarticulado. esta variación se puede poner como:
Siendo β el ángulo que forma la barra con respecto al eje x en su posición deformada final.
4 Trabajo virtual El trabajo virtual de las fuerzas interiores está producido por la fuerza axial y los dos momentos en los extremos. la primera matriz tangente vale:
. actuando sobre sus correspondientes deformaciones virtuales:
11. En consecuencia.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
El segundo paso es evidente en base a la definición de la δ p .
la primera derivada es:
En consecuencia. pero evaluada en su posición deformada. el primer sumando de la matriz geométrica es:
.  Considerando que B1 = rT . y se requiere obtener sus derivadas respecto de los grados de libertad del elemento.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Esta expresión coincide con la matriz de rigidez habitual de la viga plana.  Por su parte. la matriz de rigidez geométrica es:
Donde Bi es la fila i-sima de la matriz B.
12. Las deformaciones en un punto P situado a una distancia z del plano medio son:
Figura 12. Y. sometidas a fuerzas tanto transversales como contenidas en el plano de la placa. v y uno perpendicular a ella w). Campo de deformaciones en una placa. θy alrededor de los ejes X. Empleando la teoría de MindlinReissner. despreciando en él los términos cuadráticos en las deformaciones contendidas en el
. con lo que en el estado deformado la placa deja de estar contenida en su plano inicial. que se suman a las producidas por las fuerzas contenidas en su plano. Estos desplazamientos laterales dan lugar a su vez a deformaciones unitarias en el plano de la placa.2 Deformaciones unitarias Se considera una versión degenerada del tensor de deformaciones unitarias de Green – Lagrange. El campo de deformaciones en el plano medio de la placa está compuesto por tres desplazamientos (dos contenidos en el plano de la placa u. y por dos rotaciones θx . estas rotaciones no son las derivadas de la deformación transversal. Por lo tanto el problema tiene 5 deformaciones incógnitas:
Nota: con objeto de simplificar la notación se emplea la nomenclatura clásica para las coordenadas x ≡ x 1 y ≡ x 2 y para las deformaciones u ≡ u1 v ≡ u2 w ≡ u 3 .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
12 FLEXIÓN DE PLACAS. Se supone que las fuerzas transversales producen una flexión lateral con unos desplazamientos laterales de magnitud suficiente para no ser despreciables.1 Campo de deformaciones Estudiamos la flexión de placas inicialmente planas.
. Cada uno de sus bloques tiene la forma:
12.4 Deformaciones unitarias de cortadura Su expresión es la misma que en el régimen lineal.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
pues z está medida desde el centro de gravedad y los demás términos del integrando son independientes de z. El incremento en la variación de la deformación unitaria sólo depende de la variación de la matriz A:
Siendo S el vector de tensiones de Piola .6 Vector de fuerzas interiores
Su expresión se obtiene directamente del principio del trabajo virtual. Para ello se desarrolla su integrando. sustituyendo las variaciones de las deformaciones unitarias por sus valores en función de las deformaciones nodales:
• La segunda integral proporciona la matriz de rigidez geométrica.7 Matriz de rigidez tangente
Efectuando la integración en la coordenada z.5 Trabajo virtual interior Teniendo en cuenta los dos tipos de deformaciones unitarias existentes. cuyo valor es:
12. las dos últimas integrales son nulas.Kirchhoff y τ el vector de tensiones de cortadura.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
empleando la interpolación de deformaciones en la forma:
La matriz BW es de tamaño 2 x 5n. y está compuesta por n bloques. se cumple que:
. el integrando vale:
ˆ: El incremento de A. sólo depende del incremento de la deformación lateral w
Donde N11 y N22 son los esfuerzos axiales y N12 el esfuerzo cortante en el plano de la misma. por unidad de anchura:
Figura 13. dado que BW no depende de z.
• La tercera integral proporciona la matriz de rigidez asociada al esfuerzo cortante. que tiene la misma expresión que en caso lineal.
Efectuando la integración en z. Esfuerzos en el plano en una placa.
de tal manera que al final del paso de carga n se obtienen las deformaciones en el instante n+1:
siendo ΔUn el incremento de la deformación que se produce en el paso de carga n. Las cargas aplicadas en el paso n se denominan Pn y puede considerarse que el incremento de carga aplicado en cada caso es constante o variable. La resolución de la ecuación anterior para la carga total aplicada. y sólo cambian en ellos los valores concretos de la matriz tangente y del vector de fuerzas interiores. que define los valores relativos entre las distintas componentes de la fuerza.. en el que las cargas se van aplicando de forma paso a paso. El vector U ˆ es la el incremento de deformación entre t y t + Δt en todos los nudos de la estructura y K matriz de rigidez tangente en el instante t. Esta expresión es válida tanto para el planteamiento total como para el actualizado. De esta manera se obtiene toda la respuesta de la estructura ante un sistema de cargas creciente. La obtención de la respuesta de un sistema no lineal se efectúa en la práctica empleando un proceso incremental. linealizada en un instante cualquiera t.2.. la carga en un paso cualquiera será:
Siendo PP la carga aplicada en cada paso. ésta se representa en la forma:
En este caso λ es un parámetro sin dimensiones que define el valor real de la fuerza en el paso n. se ha obtenido en la forma:
ˆ et la matriz de rigidez tangente del elemento.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
La ecuación incremental de equilibrio de un elemento finito. Pet el vector de fuerzas exteriores y siendo K et Q el vector de fuerzas interiores (se ha añadido el superíndice e para indicar que se trata de magnitudes propias de un elemento). por incrementos y en cada uno de dichos incrementos se busca el estado de equilibrio.
. y P es un vector de fuerzas de referencia.
El término independiente contiene las fuerzas exteriores aplicadas P en el instante t + Δt y ˆ contiene las fuerzas interiores Q en los elementos de la estructura en el instante t. Cada paso de carga de la secuencia se identifica mediante un subíndice n=0.1. En el primer caso. Si se desea aplicar una cantidad variable de carga en cada incremento. en un solo paso entre el instante inicial t =0 y el instante final no es posible en general.
al final del cual lógicamente no habrá equilibrio. y en cualquier caso es más ventajoso emplear los métodos que se explican a continuación. El proceso iterativo consta de un primer paso de predicción del incremento de deformaciones producido por el incremento de cargas aplicado.
13. Método incremental. hasta satisfacer el equilibrio en la nueva posición. pues no se satisface el equilibrio en los distintos puntos obtenidos. pero no se efectúa ningún proceso de corrección del error cometido.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Todos los métodos de resolución combinan el proceso incremental de aplicación de cargas con un proceso iterativo dentro de cada paso de cargas. es decir para t ≡ tn :
El incremento de deformación así obtenido tiene un error. que se encarga de buscar el equilibrio al final de dicho paso de cargas. Fase de predicción y corrección. lo cual permite estimar el error producido. Esta predicción va seguida seguido de un proceso de corrección de las deformaciones. Al ser el error acumulativo. los cuales permiten garantizar el equilibrio. El incremento de deformación ΔUn producido en un incremento de carga se calcula apoyándose en la ecuación incremental al comienzo de dicho paso de carga. que se va acumulando a medida que se aplican nuevos incrementos de carga. Puede mejorarse fácilmente a base de calcular el residuo no equilibrado en cada iteración y añadirlo a las fuerzas a aplicar al siguiente incremento.1 Método incremental puro En este método se efectúa la fase de predicción de las deformaciones en el incremento de carga. sólo puede emplearse con incrementos de carga muy pequeños.
. En función de cómo se haga la fase de corrección se plantean diversos métodos. Kn
Figura 14. Se trata de un método no exacto.
apoyándose en la solución conocida en el instante anterior n. Si las fuerzas no dependen de la deformación.
13. Las deformaciones en el instante n+1 se calculan por aproximaciones sucesivas.2.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 15. Para un instante cualquiera (k) de la iteración las ecuaciones de equilibrio se pueden poner en forma de residuo:
y Uk n +1 es la estimación de las deformaciones en el instante n+1. al final de la iteración k.…). mediante una secuencia de iteraciones (k=1. la derivada del residuo sólo corresponde a la −1 derivada de las fuerzas internas Qk n +1 :
.2 Método de Newton-Raphson En este método se emplea un proceso iterativo completo de predicción – corrección hasta alcanzar el equilibrio en el instante n+1. Método incremental puro.
pues la diferencia entre ambas formulaciones está en la situación que se toma como referencia para las distintas magnitudes. en el cual la matriz de rigidez tangente en la primera iteración se utiliza en todas las iteraciones posteriores. que siempre es el último conocido.3 Método de Newton modificado En el método de Newton-Raphson. no para los valores al inicio de la misma. tanto para la formulación total como para la actualizada. Nótese que ambas magnitudes se evalúan para los últimos valores actualizados de las deformaciones calculados a medida que progresa la iteración (al final de la iteración anterior).Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ˆ k −1 y el vector de fuerzas interiores Qk −1 están En esta ecuación la matriz tangente K n +1 n +1 evaluados para la última estimación conocida (k-1) de las deformaciones en el instante n+1 −1 que son las de la iteración anterior Uk n +1 . Como alternativa e dicho método.
13. Método de Newton-Raphson. que debe efectuarse en cada paso de la iteración. la parte más costosa es la factorización de la matriz de rigidez tangente.
Nótese que la iteración se inicia apoyándose en el último estado de equilibrio conocido. se plantea el método de Newton-Raphson modificado. pero no en el estado que se toma como inicio en el incremento. Por lo tanto la ecuación de la iteración es:
4 Métodos restringidos La combinación del proceso incremental de carga y de la iteración de Newton es muy eficiente para obtener la respuesta de sistemas no lineales cuando ésta es creciente. A partir del punto A puede emplearse un método de control de desplazamiento. pues la iteración de Newton falla en las proximidades de los puntos límite. el sistema no tiene ese tipo de respuesta monótona. Método de Newton-Raphson modificado. incluso simples. este método puede ser más ventajoso que el inicial o no. sino que existen puntos límites en los que la respuesta pasa de ser creciente a decreciente o viceversa y la estructura muestra fenómenos de snap-through o snapback. Dependiendo del costo de la factorización y de las restantes operaciones. En una estructura cuya respuesta sea como la de la figura estos métodos fallan en las proximidades del punto A. Los algoritmos de control de fuerza corresponden a lo ya explicado anteriormente.
Figura 17. Sin embargo en muchísimas aplicaciones. a base de aumentar la fuerza exterior paulatinamente. pero al llegar al punto B este método fallará también.
13. En estos casos no es posible aplicar una estrategia simple de aumentar de forma continua la carga. Se han desarrollado muchos algoritmos que permiten pasar puntos límites.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Este método tiene un menor costo computacional en cada iteración. pero se aumenta el número de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia. basados en dos ideas: el control de fuerza y el control de desplazamiento. es decir que se puede aumentar la carga aplicada y se obtiene un aumento de deformación. La determinación de la curva fuerza deformación completa en estos casos requiere por del empleo de técnicas que permitan identificar la presencia de un punto límite y pasarlo eficazmente. Los principales problemas que plantean los algoritmos de control de desplazamiento son la
Figura 18. como una variable más del problema. Existen varios métodos restringidos.
φ (ΔUk n . es decir que los nuevos incrementos de deformación se buscan en la intersección con dicha perpendicular a la tangente.4.
Para resolver estos problemas se han desarrollado los denominados métodos restringidos. y su dificultad para tratar fenómenos de snap-back. La ecuación de restricción φ relaciona el incremento de desplazamiento que es posible alcanzar en cada iteración ΔUk n con alguna distancia máxima en la curva de respuesta de la estructura Δs. la cual se introduce como dato en el método. El valor de esta variable. aunque ésta muestre cambios de dirección. Control de fuerza y de desplazamiento. Para poder modificar el nivel de carga aplicada.1 Método del plano normal En este método la iteración para obtener el nuevo equilibrio en el instante n+1 (es decir la fase de corrección) se efectúa sobre la perpendicular a la tangente al último equilibrio alcanzado n.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
elección del desplazamiento usado para controlar el proceso. se limita el máximo incremento a efectuar por medio de Δs y de la ecuación de restricción se determina la λ (es decir la carga) a aplicar. Δs ) = 0
Así pues en estos métodos restringidos. que está definido por el parámetro λ. es decir el nivel de carga. En todos ellos la variable que define el nivel de carga se actualiza en cada iteración del proceso en la forma:
ˆk el incremento del parámetro que define la carga en la iteración k del paso de carga Siendo λ n. que se diferencian en la ecuación de restricción que añaden al sistema. 13. La idea fundamental en que se apoyan es modificar el nivel de carga aplicada en cada paso del proceso incremental de carga en vez de mantenerlo constante. dentro de la curva de respuesta del sistema. se considera dicho nivel de carga. se determina añadiendo una ecuación de restricción que obligue al método iterativo a moverse hacia la posición de equilibrio.
• El método más simple consiste en imponer que la norma del incremento de desplazamiento producido en una iteración sea muy inferior a la norma de la deformación total al final del caso de carga. Método del plano normal.
13. En la práctica pueden emplearse varios de ellos. que se basan en comparar la norma de alguna magnitud con algún valor de referencia considerado despreciable.2 Método del plano normal actualizado Este método es una variante del anterior. con lo que se consigue localizar mejor los puntos límites.5 Criterios de convergencia Para terminar la iteración de búsqueda del equilibrio es necesario emplear un criterio adecuado. Método del plano normal actualizado. que indique que se ha llegado a la convergencia de la solución. Es decir:
. y en él la iteración para obtener el nuevo equilibrio se efectúa sobre la perpendicular a la tangente en la última iteración efectuada k-1.
• El cumplimiento del criterio anterior garantiza en todo caso que las deformaciones cambian poco. pero continúa cambiando durante muchos pasos. se puede usar un criterio en el que se evalúa el incremento de energía interna en cada iteración (es decir el trabajo hecho el incremento de deformación y por las fuerzas no equilibradas). se aproxima por el último valor de ella que se haya calculado:
En algunos casos la solución obtenida con este método puede estar lejos de la convergencia.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Donde εD es la tolerancia. y se compara con el incremento de energía interna inicial en el paso de carga:
. • Para evitar los problemas de los métodos anteriores. pero las deformaciones sigan aumentado en cada paso de carga. Por eso resulta interesante introducir un criterio basado en la fuerza no equilibrada durante la iteración. Como la deformación al final del paso de carga no es conocida. pero no garantiza el equilibrio de fuerzas. Por ejemplo se puede imponer que la norma del residuo al final de la iteración sea despreciable frente al residuo con el que se comenzó la iteración:
El principal problema de este método es que no considera la contribución de la deformación al criterio de terminación. como ocurre cuando la deformación cambia muy poco en cada paso de carga. como ocurre en el caso de materiales con un módulo de endurecimiento por deformación muy bajo en los que las fuerzas cambien muy poco.
El residuo queda:
Esta ecuación se debe satisfacer en cualquier instante. pueden expresarse en la forma:
Donde λ es un parámetro sin dimensiones que define el valor real actual de la fuerza. y buscar los nuevos incrementos de deformación en la intersección con dicho círculo.
. Método de la longitud del arco. Las fuerzas exteriores. el conocido como método de la longitud del arco es uno de los más usados en la práctica. que son funciones no lineales de las deformaciones Un+1. P
Figura 21. que son desconocidas.2. Este método fue propuesto inicialmente por Riks y Wempner y posteriormente modificado por Crisfield. que define los valores relativos entre las distintas componentes de la fuerza. se resuelve por iteraciones sucesivas. Consiste en utilizar un círculo de radio Δs con centro en el último equilibrio obtenido. Sea k una iteración cualquiera (k=1. y al ser no lineal. El planteamiento de Crisfield se desarrolla a continuación. En ambos casos se puede emplear el método de Newton normal o el modificado.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Entre los métodos restringidos. suponiendo que son independientes de la deformación. y P es un vector de fuerzas de referencia.
La ecuación de equilibrio en un instante cualquiera n+1 del proceso de carga puede ponerse en forma de residuo Rn+1.…) en la búsqueda del equilibrio para el estado de carga n+1. la ecuación de equilibrio es:
k k k Rk n +1 = λn +1 P − Qn +1 (Un +1 ) = 0 k k Donde λn +1 es el valor de λ en la iteración k del caso de carga n+1 y Un +1 son las deformaciones totales tras la iteración k del caso de carga n+1. como:
Siendo Pn +1 las fuerzas exteriores aplicadas y Qn +1 las fuerzas interiores producidas por las tensiones en los elementos.
ˆ .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• Considerando que el residuo es una función de dos variables. es decir que se limita el incremento de
. y representa la deformación producida por las fuerzas básicas:
Obsérvese que si se emplea el método de Newton modificado. de deformación U Para las deformaciones la actualización es:
−1 Donde ΔUk es el incremento de deformación acumulado a lo largo de las (k-1) iteraciones n anteriores. y por lo tanto el valor del incremento • Suponiendo por el momento conocido el valor de λ k ˆ en esta iteración. no es necesario recalcular este término a cada paso de la iteración.
ˆk se efectúa introduciendo una ecuación que imponga la condición de • El cálculo de λ distancia máxima recorrida en este paso de carga. De forma similar ΔUk n es el incremento de deformación acumulado tras efectuarse la iteración k. sino que puede mantenerse el del primero. se puede desarrollar en serie de Taylor alrededor de su valor en la iteración anterior:
ˆk el incremento de la variable λ y U ˆ k el incremento de las deformaciones al Siendo λ efectuarse la iteración k. Las derivadas necesarias son:
El segundo sumando no puede evaluarse hasta no conocer el valor de λ pero su coeficiente puede evaluarse con sencillez. se procede a actualizar los valores de las incógnitas. las deformaciones U y el parámetro λ.
Para ello. que será un escalar. cos ϕ2 ))
. Si se denomina Δs a la distancia máxima a recorrer. es decir el mayor valor del coseno de ϕ. que de alguna manera estima el ‘ángulo’ entre ambos vectores:
deformación acumulado en todas las iteraciones efectuadas en este caso de carga. la condición es:
ˆk y λ ˆk . en primer lugar se determina cuál sería el incremento de deformación producido por cada una de las soluciones:
A continuación se calcula la proyección de dichos incrementos de deformación sobre el incremento de la iteración anterior. De entre ellas se elige aquélla Resolviendo esta ecuación se obtienes dos raíces λ (1) (2) que producirá un incremento de deformación acumulado más próximo al incremento de deformación acumulado en la iteración anterior.
De esta expresión se puede obtener el Δs a emplear en este caso de carga.
14. suponiendo que las deformaciones iniciales U0 son nulas y por lo tanto las fuerzas interiores también son nulas. Muchas veces se supone λ1 = 1 . k=1) se toma λ10 = 0 como punto de partida y se define como dato el valor de la carga aplicada en esta primera iteración. La ecuación de equilibrio incremental en esta primera iteración del primer caso.1. ˆ1 .1 Comienzo de la iteración en el primer caso de carga Una pequeña dificultad del método está en la definición del valor de Δs.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 22. que no resulta fácil pues depende del problema estudiado. En la primera iteración del primer caso de carga (n=0. con lo cual en esta definiendo para ello el valor de λ11 = λ 1 primera iteración se aplica toda la carga básica. a partir del valor de 1 λ1 supuesto:
. En su lugar es más sencillo definir un valor de λ al comienzo de la iteración. Iteración en el método de la longitud del arco. y en base a él determinar el Δs.
4 0. El modelo no lineal muestra que la estructura es más rígida a tracción que en el modelo lineal.5 0 0. El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante el procedimiento nolin está en el archivo modelo1.6 0.8 -1 -2.2 0 -0. además de presentar el fenómeno de la inestabilidad.4 -0.2 -0.
. pero es más flexible a compresión.5
-2 -1. arroja el siguiente resultado para la relación fuerza – deformación:
Se observa que esta respuesta lineal corresponde al primer término de la solución no lineal.5
Figura 24. Respuesta de la barra apoyada – deslizante.m. suponiendo que el estado deformado coincide con el inicial.5 -1 -0.6 -0.8 0.
. pero apoyada en un muelle lineal. en función de la rigidez del muelle.
Figura 25. aunque ahora la respuesta es mucho más suave a consecuencia de la presencia del muelle.2 Ejemplo 2. Barra apoyada elásticamente. disminuye la zona descendente de la curva de respuesta. Se observa que se mantiene la posibilidad del snap-through. Barra deslizante apoyada elásticamente Se estudia la misma barra que en el ejemplo anterior. salvo que a la fuerza exterior se le debe sumar la fuerza necesaria para deformar el muelle:
La figura siguiente muestra la respuesta. de constante KM.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
El desarrollo es el mismo. de tal forma que a medida que se aumenta su rigidez.
Número de incrementos de carga: 50 El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante el procedimiento nolin está en el archivo modelo5. Número de elementos viga: 15 Dimensiones transversales: canto 2. La figura siguiente muestra el proceso de deformación de la viga. sin la técnica del seguimiento de path y se han encontrado problemas de convergencia. con incrementos fijos de la carga. horizontal +20 kg.m.3 Ejemplo 3. Voladizo muy flexible Se estudia una viga en voladizo vertical. modelizada con elementos viga de dos nudos en formulación co-rotacional.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
15. y sometida a dos fuerzas puntuales en su extremo. Se ha utilizado un método de Newton puro. Longitud total: 500 cm Módulo de elasticidad: 800.000 kg/cm2. Respuesta de la barra apoyada elásticamente. ancho 2 Fuerzas máximas en el extremo: vertical -50 kg.
La figura siguiente muestra la relación fuerza / desplazamiento para el punto extremo de la viga.
. Las deformaciones finales de este punto son DX= 356 cm y DY=-643 cm.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 27. Curvas fuerza – deformación de un voladizo flexible.
UX . Deformación de un voladizo flexible.
seguidas por una barra inclinada. Tiene forma de L.4 Ejemplo 4. y el nudo 9 está fijo. Todas las barras son de las mismas propiedades.
En el nudo 1 se aplica una fuerza horizontal. Con esta disposición. estudiada por varios autores. Celosía Este ejemplo corresponde a una celosía muy simple. apoyada en dos muelles. la estructura se puede considerar formada por una barra.m. con 6 barras horizontales una a continuación de la otra.
1 Se ha empleado el método del seguimiento del path.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
15. con λ1 = 1 . número de iteraciones deseado J des = 5 .5. Celosía simple. En cada iteración se ha limitado el incremento de λ a 0. En total hay 8 barras y 9 nudos.
Figura 29. La figura siguiente muestra la relación entre la fuerza aplicada y la deformación horizontal del nudo 1. y finalmente una barra vertical.
. La carga de referencia aplicada en cada paso de carga es de 40. con EA = 3 ⋅ 106 N .000 N. uno vertical debido a la barra 8-9 y otro horizontal más flexible formado por las 6 barras horizontales. la barra inclinada.
El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante el procedimiento nolin está en el archivo modelo6. exponente γ = 5. en la que puede verse que presenta un fenómeno de snap-back.
15. Respuesta con snap-through de una celosía flexible. A = 6 cm 2 .5 Ejemplo 5. con E = 720 kN/cm2 . a 24 cm del poste. de 120 cm de lado. estudiado por Lee. La estructura está sometida a una carga puntual vertical situada sobre la viga. I = 2 cm 4 . Todas las barras son de las mismas propiedades. Pórtico biarticulado Este ejemplo corresponde a un pórtico biarticulado en L. El valor de referencia aplicado en cada paso de carga es de 100 N. El modelo de esta estructura está en el archivo lee_frame. dando un total de 20 vigas y 21 nudos. de 12 cm de longitud.
.m. Tanto el poste como la viga se han modelizado con 10 elementos viga iguales.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
120 cm Figura 31. en la que puede verse una respuesta muy no lineal y un claro fenómeno de snap-back. exponente γ = 5. con λ1 = 1 .
1 Se ha empleado el método del seguimiento del path. Deformación del pórtico biarticulado flexible.
La figura siguiente muestra la evolución de la estructura en los primeros incrementos de carga.
. En cada iteración se ha limitado el incremento de λ a 2.
La figura siguiente muestra la relación entre la fuerza aplicada y la deformación vertical del nudo sobre el que se aplica la fuerza (nudo 13). número de iteraciones deseado J des = 5 . Pórtico biarticulado.
. Respuesta del pórtico biarticulado flexible.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
2 Ecuaciones de equilibrio. compatible con las condiciones de ligadura:
• El trabajo virtual de las fuerzas interiores puede ponerse en función de las magnitudes en el estado t. 16. teniendo sentido la derivada respecto a él. Formulación lagrangiana total Considerando un elemento finito. dando lugar a una respuesta dinámica en la que las deformaciones del sólido varíen con el tiempo. juega por lo tanto ahora el papel de tiempo.1 Principio del trabajo virtual en dinámica El principio del trabajo virtual en régimen dinámico indica que la condición necesaria y suficiente para que exista equilibrio es que la suma del trabajo virtual de las fuerzas interiores δWI y el trabajo virtual de las fuerzas de inercia δWIN sea igual al trabajo virtual de las fuerzas exteriores δWE para cualquier variación virtual de las deformaciones δ u .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Se considera en este apartado el caso de que las cargas aplicadas sean variables con el tiempo. apareciendo en el sólido un campo de velocidades u y uno de aceleraciones u que dan lugar a las correspondientes fuerzas de inercia. la hipótesis de discretización permite establecer las relaciones entre los campos de deformaciones y aceleraciones dentro del elemento y los valores nodales de dichas deformaciones y aceleraciones:
. El parámetro t. (tensiones de Cauchy y deformaciones unitarias infinitesimales) o de las magnitudes en el estado inicial (deformaciones de Green-Lagrange y tensiones de Piola-Kirchhoff)
calcular las deformaciones en el instante tn + h aproximando la aceleración y velocidad en tn mediante un operador de diferencias centrales. en la forma:
El mismo criterio de notación se aplica a las demás magnitudes. Para mayor generalidad. se considera la posibilidad de que sobre el sistema existan también efectos de amortiguamiento. Sustituyendo (101) y (102) en la ecuación de equilibrio en tn y reordenando se obtiene: 95
. son de la misma forma que las de un elemento. las ecuaciones diferenciales de equilibrio de la estructura completa se obtienen por ensamblado de las ecuaciones de los distintos elementos finitos. cuya contribución a las ecuaciones de equilibrio se representa mediante una matriz de amortiguamiento C.3 Método explícito basado en diferencias centrales Para la integración numérica de las ecuaciones de equilibrio. que es constante y se evalúa en el estado inicial:
Finalmente. que supondremos constante:
16. La idea es considerar conocido el equilibrio en el instante tn.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
En esta expresión se ha definido la matriz de masas del elemento. Para un instante de tiempo cualquiera t. uno de los métodos más habituales es el método de las diferencias centrales. y a partir de él. pero corresponden a toda la estructura.
sin necesidad de aplicar ninguna ecuación de equilibrio. y a continuación la velocidad y aceleración se obtienen de (102) y (101). En el caso de que M y C sean diagonales. Desde el punto de vista de la implementación. no es necesario ensamblar la matriz de rigidez. sino únicamente el vector de fuerzas interiores. aplicando de forma repetitiva las ecuaciones anteriores. Nótese que la respuesta en tn+h. pero en dichos pasos se acumula un gran error en la solución. El proceso de integración es una secuencia de pasos iguales en el tiempo.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
De esta ecuación se obtiene la deformación en tn+h. aunque si esto se hace así. Este método es un caso particular de la familia de métodos de Newmark. en el que la respuesta muestra claramente un crecimiento incontrolado si no se satisface el criterio de estabilidad. Si la condición de estabilidad no se cumple durante unos pocos de pasos del proceso total. Además esta condición debe satisfacerse en todos los instantes de tiempo durante la simulación. obteniéndose:
Esta ecuación indica que la deformación en n+1 se puede determinar directamente a partir del estado en n. De hecho puede plantearse el método empleando la ecuación (104) en lugar de la (103) para calcular la deformación en el paso siguiente. ni siquiera es necesario resolver ningún sistema de ecuaciones. los requerimientos de almacenamiento de datos son muy pequeños. que distorsiona la solución total obtenida. por lo que el método es explícito. no se observa un fenómeno de inestabilidad obvio en la solución total. es decir que se debe emplear un tamaño de paso inferior a un paso crítico para que el método sea estable. ni es necesario emplear la matriz de rigidez tangente. 16. por lo que el método tiene un carácter explícito.4 Estabilidad del método de diferencias centrales El principal inconveniente del método explícito de diferencias centrales es que es condicionalmente estable. que se corresponde con el menor periodo de oscilación Tmin. Tiene pues innumerables ventajas que explican su amplia utilización.
. se obtiene apoyándose en el equilibrio en t. Esta naturaleza se pone de manifiesto si de las dos ecuaciones (101) y (102) se despeja la deformación en n+1. Dicho paso crítico vale:
Siendo ωmax la máxima frecuencia propia existente en la malla de elementos finitos. y si las matrices de M y C son diagonales. El método no requiere ninguna iteración para alcanzar el equilibrio. es necesario a continuación utilizar la ecuación de equilibrio en n+1 para hallar la aceleración en el nuevo estado. pues casi todas las operaciones se pueden efectuar a nivel de elemento. En esto la respuesta es diferente al análisis estático. lo cual suele ser habitual en formulaciones de masas consistentes.
y para la cual existen de hecho soluciones analíticas. y no la lateral. los cuales corresponden al elemento biarticulado ya estudiado. Esto implicar resolver un problema de valores y vectores propios de tamaño igual al número de gados de libertad del sistema. cuyo cálculo tiene un costo prohibitivo y sea ωmax la mayor de todas estas frecuencias. Por esta razón se trata de obtener estimaciones o límites superiores de dicha frecuencia máxima que sean fáciles de calcular. cuyo ensamblaje da lugar a las K y M anteriores.
Empleando una formulación lagrangiana total. resulta del máximo interés determinar el valor de la frecuencia máxima presente en la malla de elementos. Sean K y M las matrices de rigidez y masas del sistema estructural estudiado. lo cual resulta prohibitivo en las aplicaciones reales.i 2
Es decir que la máxima frecuencia individual que presentan los distintos elementos finitos desacoplados unos de otros es mayor que la máxima frecuencia del sistema ensamblado. 16. y sean ω2 las frecuencias propias de dicho sistema. Esto proporciona un límite superior de la frecuencia máxima del sistema ωmax que es muy fácil de evaluar. y sean ωie las frecuencias propias del elemento e. el problema de autovalores que proporciona las frecuencias propias de un elemento finito de este tipo es:
. solución de los problemas de autovalores individuales de los distintos elementos:
E (ωmax )2 = max (ωie ) e .1 Paso de integración crítico en problemas unidimensionales Consideramos un problema unidimensional.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
A la vista del paso crítico para garantizar la estabilidad de los métodos. Elemento unidimensional.
Sean Ke y Me las matrices de masas y rigidez de los distintos elementos de la malla. pero considerando sólo la deformación axial.
Figura 34.4. modelizado con elementos de dos nudos.
que condiciona el paso crítico del método de las diferencias centrales. para otros tipos de elementos finitos sencillos en los que se conozca la expresión analítica de sus matrices de rigidez y masas.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Considerando sólo los términos correspondientes a la deformación en la dirección del elemento y empleando la matriz de masas diagonal.2 Pasos críticos de integración para diversos elementos finitos Se puede efectuar un análisis similar al efectuado para el elemento unidimensional. 16. despreciando por una parte la variación de la longitud y por otra la tensión S frente al módulo de elasticidad E:
Esta expresión se suele denominar condición de Courant. la ecuación anterior es:
Esta ecuación tiene dos soluciones. aunque habitualmente se simplifica. quien la formuló para modelos de diferencias finitas. la primera es ω=0. Esta condición lo que especifica es que el paso de integración debe ser como mínimo aquel tiempo que permita la propagación de una onda elástica de velocidad c0 dentro del elemento de longitud L0.4. Elemento Unidimensional de 2 nudos Unidimensional de 2 nudos Matriz M Diagonal Consistente
. La tabla siguiente muestra los valores más habituales. En cada caso se obtiene el valor de la frecuencia máxima del elemento. La segunda corresponde a la frecuencia máxima del elemento y su valor resulta ser:
En principio esta velocidad depende del nivel de tensión y de la longitud deformada. que no interesa.
Despejando la aceleración de (106) se obtiene su valor en función de las deformaciones:
. mediante un desarrollo en serie de los mismos hasta términos de orden 2. Tensión plana. la familia de métodos de Newmark o el método de Wilson son unos de las más populares. De entre ellos. que es incondicionalmente estable. 16. Se debe comprobar además el valor correspondiente a la deformación axial. Así. Si se emplea β=1/6 y γ=1/2 se obtiene un método con interpolación lineal de las aceleraciones. En todos ellos se plantea el equilibrio en el instante tn+h. lo cual implica la realización de un proceso iterativo para hallar la solución. La familia de Newmark. se obtienen diferentes métodos. β=1/4 y γ=1/2 corresponde a una aceleración media constante en el intervalo y es el método originalmente propuesto por Newmark.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Cuadrado plano.
(1) Corresponde sólo al efecto de flexión. como en un elemento de 2 nudos.5 Métodos implícitos de integración de paso simple Todos los métodos empleados para la integración numérica de ecuaciones diferenciales de segundo orden pueden emplearse para la resolución de problemas no lineales. en la forma:
Las integrales se evalúan mediante una regla de cuadratura. con lo que las aproximaciones de posición y velocidad son
Adoptando diferentes valores de los parámetros β y γ. que es condicionalmente estable. se caracteriza por calcular los desplazamientos y velocidades en el instante tn+h apoyándose en el estado conocido anterior.
Sea k=1. Así.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Las ecuaciones anteriores deben combinarse con la ecuación de equilibrio dinámico del sistema.2. apoyándose en la solución conocida en el instante anterior n. • El valor de la matriz de rigidez efectiva se obtiene derivando (109) (particulariza para k-1 en vez de k) y es:
. en una cualquiera de ellas las ecuaciones de equilibrio se pueden poner en forma de residuo:
y Uk n +1 es la estimación de las deformaciones en el instante n+1. por lo que debe emplearse un proceso iterativo para obtener la respuesta en el instante n+1.. al final de la iteración k.. que es no lineal. la secuencia de iteraciones. El último sumando introduce la matriz de rigidez tangente:
Las derivadas de las deformaciones que aparecen en esta expresión se pueden obtener derivando las aproximaciones del método de integración.
Un +1 )
Este sistema de ecuaciones lineales se emplea en un proceso iterativo k=1. por lo que ese sistema de ecuaciones lineales puede resolverse y proporciona el valor del incremento de deformación a aplicar en la iteración k. Un .2. que depende del estado anterior y de última estimación de las deformaciones en el estado actual:
k −1 −1 k −1 ˆ k = Pk Kn +1 U n +1(Un .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• El término independiente de la ecuación (110) es el residuo al final de la iteración.… hasta alcanzar la convergencia. y éste a continuación en la ecuación de la iteración (110) se obtiene:
Todos los sumandos del término independiente son conocidos. agrupando todos los sumandos del término independiente en un vector de fuerzas efectivas. Se puede poner en forma compacta. para k=1. cambiado de signo:
Sustituyendo los valores de la aceleración (114) y la velocidad (115) en la expresión del residuo (113). Como punto de partida del mismo. bien del último paso de integración n o de la iteración anterior. se emplea:
16. en el caso de emplear un criterio basado en el incremento de energía interna en cada iteración se deben añadir los términos correspondientes a dichas fuerzas. Por lo tanto todos los métodos y estrategias de iteración empleados en el análisis estático para este tipo de sistemas de ecuaciones son aplicables en este caso dinámico. debe considerarse en él los términos correspondientes a las fuerzas de inercia y amortiguamiento:
De la misma forma. que ahora incluyen términos debidos a la inercia y al amortiguamiento.
.6 Criterios de convergencia Para finalizar la iteración de búsqueda del equilibrio se pueden emplear los mismos tipos de criterios de convergencia empleados en el caso estático. excepto por los valores de la matriz y el vector de fuerzas efectivas.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
estático. En el caso de emplear un criterio basado en el residuo.
pero sometida a una carga dinámica. la cual produce el paso de integración crítico de valor 2/481=0. El paso mínimo para garantizar la estabilidad es
hcr ≥ L L = = 0.1 106 kg/cm2
La matriz de masa se ha supuesto diagonal. hasta alcanzar el equilibrio con una deformación final de 43.002 s.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
17. con paso de integración h=0. Barra apoyada – deslizante Se trata de la misma barra estudiada en el apartado 15. con un factor de proporcionalidad de valor 5. El amortiguamiento se supone proporcional a la matriz de masas. aplicada en forma escalón en t=0. Barra apoyada . En la respuesta se observa un periodo de oscilación del orden de 0.deslizante. la cual coincide con el valor hallado estáticamente. Se ha efectuado una simulación dinámica empleando un integrador explícito basado en diferencias centrales. se observa un salto brusco en la fase inicial de la respuesta.013 s. La configuración geométrica particular estudiada se muestra en la figura siguiente:
Figura 35. La figura siguiente muestra la evolución de la deformación vertical del punto de aplicación de la carga.
Se aplica una carga exterior vertical de valor -800 kg.32 cm.1. que corresponde a una frecuencia máxima en la estructura de valor 483 rad/s.0041 s
.004 s c (E / ρ)
El modelo numérico para su simulación mediante el procedimiento dynex se encuentra en el archivo modelo1D.1 Ejemplo 1.m. Al ser la carga aplicada superior al valor que provoca el snap-through.
La matriz de masa se ha supuesto diagonal. y sus propiedades son las mismas que en el análisis estático.3 0.18 10-5 s.7 0. Se estudia la respuesta dinámica de la viga en voladizo vertical ya analizada en un ejemplo anterior en régimen estático (apartado 15.8 0.3).m.2 0.1 0.9 1
Figura 36. es decir:
Se aplican las mismas fuerzas que en caso estático (FY=-50 kg y FX=20 kg. El paso mínimo para garantizar la estabilidad es hCR=6.5 0.
.2 Ejemplo 2. La densidad empleada es ρ=2700 kg/cm3 . Voladizo muy flexible. en el extremo superior de la viga) en forma escalón en t=0. La viga está modelizada mediante elementos viga de dos nudos en formulación co-rotacional. β=1/4 (procedimiento dynim).Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Deformación Y .4 0. El amortiguamiento se supone proporcional a la matriz de masas.6 0. Se han efectuado simulaciones dinámicas empleando: • Un integrador explícito basado en diferencias centrales (procedimiento dynex). con paso de integración h=6 10-5 s. Los resultados obtenidos en ambos casos son prácticamente iguales. con paso de integración h=1 10-3 s. Deformación vertical de la barra apoyada . El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante los procedimientos dynex y dynim está en el archivo modelo5D.Nudo 2
-60 0 0.deslizante. con un factor de proporcionalidad de valor 5. • Un integrador implícito de Newmark con γ=1/2.
. Evolución dinámica del voladizo vertical. y la estructura adopte una configuración deformada final estática. La presencia de amortiguamiento hace que con el paso del tiempo la velocidad y aceleración se anulen. que lógicamente coincide con la obtenida en el análisis estático.
La fuerza de pretensión es N0 = 2000 kg. y se modeliza mediante un total de 20 barras biarticuladas. distribuida en toda su longitud.3 Ejemplo 3.
. El cable tiene una luz de 20 m. Se emplea la matriz de masa diagonal y no se considera el amortiguamiento. Cable pretensado. Se aplica una carga exterior transversal al cable. con una resultante total que varía linealmente con el tiempo. Deformación dinámica del extremo superior de la viga.
17.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 38. Cable pretensado Se estudia un cable pretensado y sometido a una carga transversal distribuida que varía linealmente con el tiempo.
requiriendo un número medio 2 de iteraciones por cada paso.
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Tiempo (s) 0. con paso de integración h=1.3 0.15%. Deformación vertical del punto central del cable pretensado. β=1/4 (procedimiento dynim).1 0. La Figura 40 muestra la evolución de la deformación vertical del punto central del cable. El paso mínimo para garantizar la estabilidad es hCR=2. 10-4 s.7 Deformación vertical (cm) Nudo central Lineal
Figura 40.5 10-4 s. que muestra un comportamiento muy no lineal desde los primeros instantes del movimiento (la respuesta lineal es una cúbica.5 0. El modelo numérico para la simulación se encuentra en el archivo cableD. concentrado en cada uno de ellos la parte de cable que le corresponde. Se han efectuado dos simulaciones dinámicas empleando: • Un integrador explícito basado en diferencias centrales (procedimiento dynex). La resolución del sistema de ecuaciones no lineales en cada paso de integración se efectúa por el método de Newton.7 s de integración.m.2 0. observándose una diferencia en la posición del orden del 0. tras 0.4 0. mostrada a efectos comparativos). • Un integrador implícito de Newmark con γ=1/2.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
En la implementación del modelo. esta carga total se ha aplicado sobre los nudos. Con ambos integradores los resultados son coincidentes. con paso de integración h=1 10-3 s.6 0.
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y los tensores de orden 2 como una matriz de 2 dimensiones. 19. NOTACIÓN
La mayor parte de las magnitudes empleadas en mecánica de sólidos tienen carácter tensorial. y en muchas ocasiones las expresiones obtenidas son casi iguales.2 Notación de tensores Es muy utilizada asimismo en textos de mecánica de los medios continuos. y para su manejo existen distintas notaciones.3 Notación de matrices Es la más habitual en textos de ingeniería mecánica y de estructuras por su equilibrio entre claridad. 19. Su principal inconveniente es que da lugar a expresiones muy farragosas. Por otra parte cada una de de ellas tiene ventajas e inconvenientes respecto a ser más o menos compactas. Sin embargo existen muchísimas excepciones. Tiene las ventajas de su generalidad y la facilidad de transformarse en algoritmos implementables en lenguajes de programación.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
19 ANEJO 1. En este caso los subíndices no se muestran explícitamente. Como es habitual se supone que los tensores de orden 1 (vectores) se representan como una matriz de una columna. En esta notación suele ser habitual denominar a los tensores de orden 1 con letras negrillas minúsculas. y es la que se empleará preferentemente. para no complicar la notación. al ser las magnitudes tensoriales independientes del sistema de referencia. Corresponde a una representación directa de la notación de tensores. 19. intuitivas. en los cuales la nomenclatura de subíndices es imprescindible.1. las expresiones obtenidas son válidas en sistemas de coordenadas no cartesianos. En algunos casos puede producirse alguna confusión entre la representación tensorial y matricial.1 Notación de subíndices Es muy empleada en los textos de mecánica de los medios continuos. En ambos casos se emplea la negrilla para vectores y matrices. En esta notación se introducen símbolos específicos para las operaciones entre tensores: el ⋅ para el producto escalar (contracción de un índice). donde el primer índice corresponde a la fila. con lo que las expresiones son mucho más compactas y fáciles de recordar. Se empleará sólo cuando sea necesario.
. se empleará la misma letra o símbolo para denominar a una misma magnitud tanto en su representación tensorial. que en ocasiones son diferentes y otras veces coincidentes. en cuyo caso se añade a la representación vectorial una barra sobre el símbolo.1. unido al hecho de la escasa formación en su utilización más allá de los casos simples. Además. el ‫ ׃‬para el producto contracto (contracción de dos índices) y el ⊗ para el producto tensorial. Además. y a los de orden 2 o superior con negrilla en mayúsculas. como matricial: el tipo de representación quedará definido por el contexto y por los operadores empleados. o fáciles de transformar en algoritmos. que normalmente son aplicables sólo en coordenadas cartesianas. fácil implementación y compacidad similar a la notación de tensores estricta.1.
1. Contrae dos índices. • Producto tensorial de vectores. Notación de subíndices: Dij = ai bj Notación de tensores: D = a ⊗ b Notación de matrices: D = a bT 20. muchas veces se omite el símbolo ⋅ entre los tensores. -1 si la permutación es impar y 0 si hay índices repetidos. 20. Notación de subíndices: s = ∑ ai bi Notación de tensores: s = a ⋅ b = b ⋅ a Notación de matrices: s = aT b = bT a • Producto vectorial de vectores. • Producto contracto o producto escalar de dos tensores de orden 2. definido como eijk = 1 si la permutación {i.1 Operaciones entre vectores • Producto escalar de vectores.j. Notación de subíndices: ci = ∑ eijk ai bj El símbolo e representa el tensor alternador de orden 3. Notación de tensores: c = a × b Notación de matrices: c = a b La notación a corresponde a la matriz hemisimétrica asociada el vector a. o composición de tensores.k} es par. Da lugar a otro tensor del mismo orden. Produce un tensor D de orden 2.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
20 ANEJO 2.1. para dar lugar a un escalar.2 Operaciones entre tensores de orden 2 • Producto ordinario. Se emplean minúsculas para los tensores de orden 1 y mayúsculas para los de orden 2.1 Resumen de álgebra de vectores y tensores A continuación se resume la notación empleada para las operaciones más importantes. o producto diádico. Notación de tensores: D = A ⋅ B Notación de matrices: D = A B Notación de subíndices: Dij = ∑ Aik Bkj En la notación de tensores. pero es más claro ponerlo para indicar que se contrae un índice entre ambos tensores. PRELIMINARES MATEMÁTICOS
20. Se emplea la misma expresión en notación de tensores y notación de matrices:
k j .k i
pero es más claro ponerlo para indicar que se contrae un índice.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
20. muchas veces se omite el símbolo ⋅ entre los tensores.3 Gradiente • El gradiente de un campo escalar f. Notación de tensores: c = A ⋅ b Notación de matrices: c = A b En la notación de tensores. es un vector definido por las tres derivadas parciales del escalar respecto a las tres coordenadas del espacio.1.2 Traza Para un tensor de orden 2. 20. se define como el escalar:
Empleando la traza. de un tensor de orden 2 por un vector. Pueden emplearse las notaciones siguientes:
20.3 Operaciones entre vectores y tensores • Producto ordinario. el producto contracto se puede poner como:
Pueden emplearse varias notaciones:
20. j . que se obtiene aplicando el operador gradiente a cada una de las componentes escalares del vector:
Si consideramos tres vectores ei que definen una base ortogonal para las coordenadas x. j
• El gradiente de un tensor D de orden 2 es otro tensor T.
i . de orden 3. cada uno de cuyos términos es la derivada de las componentes del tensor respecto de las tres coordenadas. es decir a la traza del gradiente del vector.4 Divergencia • La divergencia de un vector v es un escalar d definido por:
i.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
j del gradiente del vector a. y en el segundo el producto contracto del ardiente de a por DT:
20. Se trata de hallar la divergencia del producto de ambos b=D a (que será un escalar):
En el primer término se identifica el término i de la divergencia de DT. y en el segundo se identifica el término i. Sea D un tensor de orden 2 y a un vector.5 Teoremas de integración • La integral a un volumen V del vector gradiente de una función escalar f es igual al flujo de dicho escalar en la superficie ∂V que rodea al volumen (n es el vector normal a la superficie):
En el primer sumando se identifica el producto escalar del vector a por la divergencia de DT.
Estas expresiones constituyen el teorema de la divergencia para un vector cualquiera. Tomando la traza del tensor se obtiene una igualdad escalar:
El término de la izquierda es la divergencia del vector v. y el de la derecha es el flujo de dicho vector.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• Aplicando la ecuación anterior a un vector v. la expresión es:
. que establece que la divergencia del vector en un volumen V es igual al flujo de dicho vector en la superficie circundante de V. • Para el caso de un tensor D de orden 2.
completo o modificado. completa o modificada.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
21 ANEJO 3. El proceso iterativo para alcanzar el equilibrio en cada paso de integración en el tiempo se efectúa mediante el método de Newton. Implementa el método de la longitud del arco y la iteración de Newton. Procedimiento dynex Este procedimiento permite efectuar la simulación dinámica no lineal de estructuras planas compuestas por barras biarticuladas o vigas planas (no se pueden mezclar).
. Implementa el método implícito de Newmark. con paso fijo. PROCEDIMIENTOS MATLAB
Procedimiento nolin Este procedimiento permite efectuar la simulación estática no lineal de estructuras planas compuestas por barras biarticuladas o vigas planas (no se pueden mezclar). con paso fijo. Procedimiento dynim Este procedimiento permite efectuar la simulación dinámica no lineal de estructuras planas compuestas por barras biarticuladas o vigas planas (no se pueden mezclar). Implementa el método explícito de diferencias centrales.
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