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Guia Maestro 1o_fundam Castillo - Free Download PDF
September 14, 2017 | Author: bolivarjavier | Category: Decimal, Fraction (Mathematics), Numbers, Division (Mathematics), Evaluation
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ia ndar L u c e s ENTA
M F UNDA
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Dirección editorial: Adriana Beltrán Fernández • Subdirección editorial: Tania Carreño King • Gerencia de secundaria: Aurora Saavedra Solá • Gerencia de diseño: Renato Aranda • Cordinación editorial: Jannet Vázquez • Edición: Milosh Trnka Rodríguez, Alberto Lara y Karina Islas Ríos • Asistencia editorial: Erika López Galbraith • Supervisión de diseño: Gabriela Rodríguez Cruz • Coordinación de diseño: Carina J. Haro Vázquez • Diseño de interiores: Gustavo Hernández • Adaptación de diseño de portada: Renato Aranda • Diagramación: Rocío Mince • Supervisión de imagen: Tere Leyva • Investigación iconográfica: Édgar Estrella Juárez • Ilustración: Raúl Tena • Fotografía: Archivo digital • Digitalización y retoque: Juan Ortega Corona • Gerencia de producción: Alma Orozco • Coordinación de producción: Alma Ramírez Colaboración: Erick Rodríguez Castro Primera edición: mayo de 2012 Matemáticas 1 Guía para el maestro D.R. © 2012, del texto: Ediciones Castillo, S.A. de C.V. Todos los derechos reservados D.R. © 2012, Ediciones Castillo, S.A. de C.V. Castillo ® es una marca registrada Insurgentes Sur 1886, Col. Florida Deleg. Álvaro Obregón, C.P. 01030, México, D.F. Tel.: (55) 5128–1350 Fax: (55) 5128–1350 ext. 2899 Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan www.grupomacmillan.com www.edicionescastillo.com [email protected] Lada sin costo: 01 800 536 1777 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 3304
Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia, o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico
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Al maestro: La práctica docente exige cada día más y diferentes recursos para enfrentarla y lograr una educación de calidad. Por eso, Ediciones Castillo ha elaborado para usted esta Guía para el maestro, una herramienta que le facilitará el trabajo diario en el aula considerando los retos que plantea trabajar con el enfoque didáctico de los Programas de estudio 2011: • Abordar los contenidos desde contextos vinculados a la vida personal, cultural y social de los alumnos. • Estimular la participación activa de los alumnos en la construcción de sus conocimientos. • Contribuir al desarrollo de competencias para la vida, al perfil de egreso y a las competencias específicas de la asignatura. El trabajo con secuencias didácticas, entendido como una estrategia de enseñanza y de aprendizaje para construir y reconstruir el propio conocimiento, representa, en cuanto a su metodología, una manera radicalmente distinta a la forma tradicional de enseñanza. Es por esto que la guía que ponemos a su alcance tiene como principal objetivo acompañarlo en cada una de las etapas que conforman el proceso de trabajo con las secuencias, señalando, en primer lugar, los conceptos, habilidades y actitudes que se desarrollarán, y los antecedentes que sobre los contenidos tienen los estudiantes. En cada una de las etapas, inicio, desarrollo y cierre, encontrará la explicación de su intención didáctica, así como sugerencias didácticas complementarias y respuestas a cada una de las actividades que conforman la secuencia. Asimismo, en esta guía encontrará el solucionario correspondiente a las evaluaciones tipo pisa y enlace que aparecen en el libro del alumno y una evaluación adicional por bloque recortable con la que usted podrá, si lo considera conveniente, realizar una evaluación diferente a sus alumnos. Al inicio de cada bloque le sugerimos un avance programático que le ayudará a planear y organizar bimestralmente su trabajo en el aula y un resumen del bloque donde se especifican cuáles son los aprendizajes esperados y las competencias que se favorecerán. Se incluyen recomendaciones de otros recursos como el uso del CD Recursos digitales para el docente elaborado por Ediciones Castillo como otra herramienta de apoyo a su trabajo en el aula, páginas de Internet, audios, películas, videos, libros, museos, entre otros. Los que participamos en la elaboración de esta Guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.
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Bloque 3 / secuencia 13 Estructura de la Guía
El trabajo con secuencias didácticas Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados —a partir de un nivel de complejidad progresivo— en tres fases: inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje. Al inicio de cada lección del libro del alumno se presenta una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares. En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos de la secuencia; que se asegure de que sus estudiantes identifican la realidad que será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situación problemática. Posteriormente, en la fase de desarrollo se presenta un conjunto de actividades que constituyen un reto para los alumnos, y que promueve la construcción de los aspectos más relevantes con el fin de que logren la apropiación y la comprensión profunda de los mismos. En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas, lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad los procedimientos que se pueden seguir y los conocimientos que deben aplicar para actuar con eficiencia, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia otros más expertos. En todo momento, es conveniente que el maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos y el proceso de construcción de otros nuevos. En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los alumnos a la situación problemática. De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de actuación que los lleva al desarrollo de las competencias de la asignatura, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con su realidad, evalúe su progreso, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.
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Bloque 3 / secuencia Estructura de la Guía1
La evaluación La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo enlace y evaluación tipo pisa.
En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada lección vista en el bloque, y tendrán que responder si son falsos o verdaderos. Después deberán escribir una propuesta de verificación de su respuesta. A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar.
Las pruebas tipo enlace (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de cinco preguntas, con cuatro respuestas posibles para cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial.
En las pruebas tipo pisa (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder tres preguntas de análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y competencias adquiridas.
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Bloque 13 / secuencia 13
Bloque 1 C
• Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
• Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
• Resolver problemas de manera autónoma. • Comunicar información matemática. • Validar procedimientos y resultados. • Manejar técnicas eficientemente.
• Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
• Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
• Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.
Con algunas cintas métricas de costura se pueden medir decimales de centímetros y algunas fracciones de pulgada.
Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación de los estudios de la escuela primaria, en el primer contenido se estudian nuevos aspectos de los números fraccionarios y decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas de planteamiento de números fraccionarios. Por otra parte, el contenido referente a las sucesiones requiere la búsqueda de una regularidad matemática que exige al estudiante un nivel mayor de abstracción. Con respecto a la simbolización, comienza con el contenido en el que las literales corresponden a números generales. Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están dedicados al trazo de las figuras más elementales y de las líneas y puntos notables del triángulo, construcciones que por sí mismas son importantes en la geometría y que, además, resultan indispensables para abordar construcciones más complejas, como se verá en los siguientes bloques. Manejo de la información. En este bloque los contenidos introducen un par de temas de este eje: la proporcionalidad se aborda con el reparto proporcional, mientras que las nociones de probabilidad comienzan con la identificación y la práctica de juegos de azar sencillos. 21 SFUMA1TG_B1.indd 10
Bloque 3 / secuencia Bloque 1
Avance programático Aprendizajes esperados: • Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa. Semanas
1y2 Números y sistemas de numeración
Representación de números fraccionarios 2. Representaciones en y decimales en la recta numérica a partir la recta de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
Páginas 22 a 27
5. De letras y figuras
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.
6. Figuras de tres y cuatro lados
7. Las líneas del triángulo
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Conversión de fracciones a decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. viceversa
Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Al terminar esta secuencia, se espera que los alumnos conviertan números fraccionarios a decimales y viceversa. Conceptos principales: fracción decimal, fracción irreducible, número decimal periódico, truncamiento, redondeo. Materiales: calculadora. Antecedentes • Valor posicional de las cifras de un número decimal • Fracciones equivalentes • División entre números naturales con cociente decimal • Comparación de números naturales, fraccionarios y decimales • Reglas prácticas para multiplicar rápidamente por 10, 100, 1 000,… • Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximación de algunas fracciones no decimales mediante la notación decimal • Operaciones sencillas con números decimales Ideas erróneas 1. Es frecuente que los alumnos piensen que 81 es mayor que 1 por el hecho de que 8 es mayor que 4. 4 2. Algunos alumnos pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6. 3. Para encontrar una fracción equivalente a una dada, los alumnos pueden creer que sumando el mismo número tanto al numerador como al denominador se obtienen fracciones equivalentes; por ejemplo, + 2. que una fracción equivalente a 47 es 47 + 2
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Situación inicial (pág. 22) Se busca que el alumno intente comparar un número decimal con uno fraccionario, para que note que dicha comparación requiere que la fracción se exprese como número decimal o viceversa.
Explora y construye (págs. 22-27) Las actividades planteadas en esta sección tienen la intención de que el alumno obtenga procedimientos para convertir números decimales a fracciones y viceversa. Comenzará por expresar números decimales como fracciones decimales y después, empleando equivalencia de fracciones, deducirá un procedimiento para convertir números decimales a fracciones irreducibles. Después, aprenderá a convertir fracciones a números decimales mediante la división. Primero obtendrá números decimales finitos y después estudiará fracciones como 23 , así como los decimales periódicos. Para terminar, analizará la conversión de decimales periódicos puros y mixtos, donde se utilizan procedimientos como el redondeo y el truncamiento de cifras decimales.
Regresa y revisa (pág. 27) Se espera que el alumno resuelva la situación inicial convirtiendo la fracción a número decimal y el número decimal a fracción, y después sea capaz de analizar qué conversión le es más útil en la resolución del problema.
Solucionario y sugerencias didácticas Bloque
d) ¿Y al multiplicar 13.25 por 10? e) ¿Por qué número deben multiplicar 13.25 para obtener 1 325? f) ¿Por qué número deben multiplicar 21.349 para obtener 21 349?
g) ¿Por qué número deben dividir 21 349 para obtener 21.349?
h) Expresen la operación del inciso anterior como una fracción.
Décimos y fracciones de litro
i) ¿Qué fracción con denominador 100 tiene el mismo valor que 13.25?
1 Alejandro pintó un muro de su casa, para lo cual preparó un litro de pintura con 3
j) ¿Qué fracción con denominador 10 tiene el mismo valor que 0.1?
de litro de pintura amarilla y el resto de pintura blanca. Para pintar otro muro con el mismo tono, adquirió en la tienda 0.3 de litro de la misma pintura amarilla y completó el litro con pintura blanca. Los colores de los muros no quedaron iguales. Explica cuál fue el error de Alejandro.
Se llaman fracciones decimales aquellas cuyo denominador es 10 o sus múltiplos 100, 1 000, 10 000,...
Lo que ya sabes Para obtener fracciones equivalentes se pueden dividir (o multiplicar) el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número entero. Explica por qué 8 es equiva40 1 1 lente a 5 , y 5 es 3 equivalente a 15 . Entonces, ¿cómo son 8 y 3 entre 40 15 sí? ¿Por qué?
2 En grupo, escriban varios números decimales en el pizarrón y para cada uno den una fracción decimal que tenga el mismo valor.
Analiza 1. En parejas, respondan lo siguiente. 1
3 Haz la siguiente suma: 0.6 + 0.07 + 0.001.
a) ¿Qué representa 3 de una unidad? b) ¿Qué representa 0.3 de una unidad?
a) ¿Qué número obtienes?
c) ¿De qué manera pueden concluir que las cantidades de pintura amarilla de las dos
b) Escribe el número anterior como suma de tres fracciones decimales cuyo numerador conste de una sola cifra.
mezclas no son iguales?
c) Escribe el resultado de la suma anterior como una fracción con denominador
2. En grupo, discutan qué muro tiene un tono de color amarillo más fuerte y por qué.
1 000. Explora y construye
4 Escribe en tu cuaderno cómo convertir un número decimal a una fracción decimal y discute tu propuesta en grupo.
De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes
5 Haz lo siguiente. a) Escribe una fracción decimal que valga lo mismo que 0.5
En el sistema decimal, el valor de un dígito en un número depende de su posición en éste; es decir, el sistema decimal es posicional. 1 En parejas, respondan lo siguiente.
b) Encuentra una fracción equivalente a 10 con denominador 2. 5
c) Encuentra otra fracción que tenga el mismo valor que 10 y cuyo denominador sea distinto de 2.
a) El valor del dígito 2 es diferente en el número 0.2 que en el número 2. ¿En
d) Escribe al menos tres fracciones que tengan el mismo valor que el número
qué consiste esta diferencia?
0.5 y cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000,…
e) Convierte los siguientes números decimales a fracciones cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000,…
b) ¿Y cuál es la diferencia del valor de este dígito en los números 0.2 y 0.02?
• 12.76 = • 3.4 = • 5.78 = • 2.15 = f) ¿Es posible expresar el número 2.1 como una fracción cuyo denominador no
Un dígito vale la décima parte de lo que valdría si estuviera justo una posición a su izquierda.
c) ¿Qué obtienen al multiplicar 0.1 por 10? 22
sea 10, 100, 1 000,…? ¿Por qué?
22 g. pá
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23 g. pá 23
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b) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes de la unidad, y en 0.02 representa dos centésimas partes de la unidad. c) 1
Página 22 Décimos y fracciones de litro / Analiza 1. a) La tercera parte de la unidad. b) Tres décimas partes de la unidad. c) Mostrando que 31 es distinto de 0.3. 2. El muro con el tono amarillo más fuerte tiene mayor cantidad de pintura amarilla en la mezcla. Sugerencia didáctica. Se debe preguntar a los alumnos cómo creen que pueden comparar un número decimal con una fracción. En este ejercicio, si se presentan, se pueden discutir las ideas erróneas 1 y 2.
Página 23 d) 132.5 f) 1 000
e) 100 g) 1 000
349 h) 21 1 000
2. Sugerencia didáctica. Se debe preguntar a los alumnos de cuántas maneras se pueden encontrar fracciones equivalentes, y después, si se presenta, discutir la idea errónea 3. 3. a) 0.671 b) Si la pregunta se limita a fracciones con una sola 6 + 7 + 1 . cifra en el denominador, sería 10 1 000 100
c) 1671 000
1. a) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes de la unidad, y en el número 2 representa dos unidades. Además, 0.2 es la décima parte de 2.
4. El alumno debe deducir que si el número decimal tiene 1, 2, 3,… cifras decimales, entonces el denominador de la fracción será 10, 100, 1 000,…
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• ¿Cuál es el residuo de la división?
Se simplifica una fracción cuando el numerador y el denominador se dividen entre un mismo número distinto de 1 que no sea decimal. Si no es posible hacerlo, se dice que la fracción es irreducible.
• ¿Podrán llegar a obtener cero como residuo, es decir, terminar de dividir? ¿Por qué?
g) Convierte los siguientes números decimales a fracciones irreducibles. • 0.45 = • 3.6 = • 0.1 = • 2.25 = 6 En parejas, escriban en su cuaderno un procedimiento para convertir números decimales a fracciones cuyo denominador no sea 10, 100, 1 000, etc., en los casos que sea posible.
Como observaron, en los incisos a y b de la actividad 4, al convertir las fracciones en su equivalente en número decimal obtuvieron, al realizar la división, un residuo de cero. Este tipo de números se llaman números decimales finitos. 2
7 En grupo, escriban algunos números decimales en el pizarrón y conviértanlos en su equivalente en fracciones. Comenten cuántas fracciones con el mismo valor podrían encontrar para cada número decimal.
Por otro lado, en la actividad 5, al intentar convertir las fracciones 3 y 42 en su equivalente en número decimal no se puede obtener un residuo cero, aunque se siga dividiendo. A este tipo de números se les llama números decimales periódicos. 2
Si se divide 2 entre 3 para obtener el número equivalente a la fracción 3 se obtiene 0.666…, donde el dígito 6 se repite infinitamente. Lo mismo sucede para la fracción 5 , 42 ya que ésta vale lo mismo que el número 0.11904761…, en el que la agrupación de cifras 190476 se repite una infinidad de veces. Los números decimales anteriores se pueden 2 5 representar de la siguiente manera: 3 = 0.666… = 0.6 y 42 = 0.11904761… = 0.1190476, donde los dígitos que se encuentran bajo la raya se repiten una infinidad de veces.
De fracción a decimales 1 En parejas, y sin usar la calculadora, respondan lo siguiente. 2 en su equia) Dividan 2 entre 10 hasta que obtengan residuo cero y escriban 10
valente en número decimal. Los números decimales periódicos se dividen a su vez en dos tipos:
76 en forma decimal. b) Escriban 136 y 100 10
• Números decimales periódicos puros: aquellos que sólo repiten una misma cifra o un mismo grupo de cifras inmediatamente después del punto decimal; por ejemplo, 0.6.
2 Validen sus respuestas anteriores con la calculadora. 3 En grupo, discutan un procedimiento para convertir una fracción decimal en su equivalente en número decimal y escríbanlo en su cuaderno.
• Números decimales periódicos mixtos: aquellos en los que después del punto decimal aparecen cifras que no se repiten infinitamente y, después, una misma cifra o un mismo grupo de cifras que sí se repiten infinitamente. Un ejemplo es el número 0.1190476.
4 En parejas, realicen lo siguiente. a) Sin usar la calculadora, dividan 2 entre 5 hasta que obtengan residuo cero 2
y escriban 5 en su equivalente en número decimal.
la primera de las siguientes páginas la fracción equivalente a una expresión decimal y, en la segunda, el decimal equivalente a una fracción:
6 Encuentren el número decimal equivalente de cada una las siguientes fracciones.
b) Escriban las siguientes fracciones en su equivalente en número decimal. 1
• 4 = • 4 = • 8 = • 5 =
7 = b) 1 = a) 30 7
terminar de dividir? ¿Por qué? 5
8 En grupo, con ayuda de una calculadora obtengan tres fracciones de modo que una de ellas tenga como equivalente un número decimal finito, otra un número decimal periódico puro y la tercera un número decimal periódico mixto.
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b) 21 c) Cualquier fracción equivalente a d) Fracciones equivalentes a
3 4 6 6 , 8 , 12.
f) Sí, porque se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador de 21 por un número dife10 rente de 10, 100, 1 000,… para obtener una frac42 . ción equivalente, por ejemplo 20
Página 24 g) Fracciones irreducibles. Ejemplos: •
6. Un método es convertir el número decimal a una fracción decimal y, si es posible, simplificarla. De lo contario se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador por un número diferente de 10, 100, 1 000,… para obtener una fracción equivalente. 7. No hay un límite para el número de fracciones equivalentes, ya que hay una cantidad infinita de números (1, 2, 3,…) que pueden multiplicar al numerador y al denominador de una fracción dada.
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3. a) 0.4 b) • 0.25 • 0.75 • 0.125 • 0.8 4. a) No, porque en cada paso de la división se obtiene el mismo residuo, que es 2, y al ser éste distinto de cero el procedimiento no termina. b) • Después de la primera cifra decimal, que es 1, se repiten las cifras 190476.
Página 25 •8 • No, porque se repiten los residuos cada seis pasos. 6. a) 0.75 b) 2.14 c) 0.09 d) 0.6 7. a) Periódico puro. b) Periódico mixto. c) Finito. 8. Por ejemplo, decimal finito: puro:
y decimal periódico mixto:
9 . 105
Página 26 De decimales periódicos a fracciones 1. a) El 8 y el 2. b) Porque ese método sólo funciona para números decimales finitos. 207 . 250 207 070 707 . simplificada: 250 000 000
; fracción simplificada: c) 1828 000
De fracción a decimales
283 ; fracción d) 1828 000 000
1. a) 0.2 b) 13.6; 0.76 2. Un método es recorrer el punto decimal del numerador hacia la izquierda tantas cifras como ceros tenga el denominador.
207 070 707 2. a) 250 000 000
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• Fracción decimal • Escritura decimal de un número • Fracción irreducible
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e) Fracciones no decimales. Ejemplos: •
Toma nota Localiza los siguientes conceptos en el glosario (págs. 272-276) y anota con tus propias palabras una explicación y un ejemplo de cada uno:
5 5. a) 10
51 = c) 12
b) Consideren la fracción 42 . Dividan 5 entre 42, sin usar la calculadora, hasta obtener 13 cifras después del punto decimal.
d) 3 =
7 Indiquen si el número decimal equivalente de cada una de las siguientes fracciones es finito, periódico puro o periódico mixto. Luego, sin usar la calculadora, verifiquen su respuesta.
a) Analicen la fracción 3 dividiendo 2 entre 3 sin usar calculadora. ¿Pueden
www.edutics.mx/ ZoK
c) 11 =
c) Verifiquen sus respuestas a los incisos anteriores con la calculadora. 5 Respondan lo siguiente.
www.edutics.mx/ Zoz
b) 99 =
b) Sí será más cercano. Ningún redondeo será exactamente igual porque para cada aproximación se puede obtener una aproximación mejor. 3. a) 0.2666
b) Ahora trunquen el mismo número hasta 6 cifras y escriban a continuación, para los truncamientos hasta 4 y 6 cifras del número 0.26, su equivalente en
1 En parejas, consideren el número decimal 0.82 y respondan lo que se pide.
a) ¿Cuáles son los dígitos que se repiten?
c) ¿El cociente de alguna de las fracciones anteriores es igual al número 0.26?
b) ¿Por qué no se puede convertir ese número decimal en su equivalente en
fracción con el método que aprendieron en la sección “De decimales a frac-
d) ¿Hay una cantidad de cifras decimales hasta la que se pueda truncar el número
ciones decimales y sus equivalentes”?
0.26 de modo que la fracción equivalente al número resultante tenga el mismo
valor que 0.26? ¿Y si en lugar de truncar se redondea? Justifiquen su respuesta.
Una opción para hacer este tipo de conversiones es partir de una aproximación del número decimal periódico. Se puede aproximar ese número redondeándolo o truncándolo. El signo de aproximación es “≈”. Para redondear un número a cierta cantidad de cifras, se considera el dígito que le sigue a la última cifra. De ahí hay tres casos: • Si ese dígito es menor que 5, el dígito anterior permanece igual. Por ejemplo, 1.422 ≈ 1.42 • Si el dígito es mayor que 5, al dígito anterior se le suma un 1. Por ejemplo, 1.428 ≈ 1.43 • Si el dígito es igual a 5, se considera el dígito anterior y se acostumbra que: i) Si ese dígito es par, permanece igual. Por ejemplo, 24.525 ≈ 24.52 ii) Si ese dígito es impar, se le suma un 1. Por ejemplo, 24.535 ≈ 24.54
4 En grupo, hagan lo que se indica. a) Expresen los siguientes números decimales periódicos en su equivalente en fracción. Los cocientes de las fracciones deben tener por lo menos 4 cifras después del punto decimal. • 24.15 =
• 0.456 =
• 4.7 =
• 0.11432 =
b) Discutan cuáles son las dificultades para convertir un número decimal periódico en su equivalente en fracción y comenten el error que se genera al hacer aproximaciones.
c) Redondeen 0.82 a 3 cifras después del punto decimal y escriban a continuación ese número en su equivalente en fracción. d) Ahora redondéenlo a 6 y 9 cifras después del punto decimal y expresen los
números obtenidos en sus respectivos equivalentes en fracción.
1. Responde lo siguiente en tu cuaderno. a) ¿Cuáles son las fracciones decimales que no pueden simplificarse? 15 b) El número 1.5 tiene el mismo valor que la fracción 10 . Escribe la fracción que vale lo mismo que 1.5 cuyo denominador es: 100, 1 000 y 10 000. c) Escribe cuatro fracciones que tengan el mismo valor que el número 45.375 y cuyos denominadores sean múltiplos de 10.
2 En grupo, respondan lo siguiente. a) Comparen los cocientes de las fracciones de los incisos c y d del ejercicio anterior, señalen cuál se aproxima más al número 0.82 y expliquen por qué. b) ¿Creen que si el redondeo se hace con más cifras después del punto el resultado será más cercano al número 0.82? ¿Y en algún momento será exactamente Regresa y revisa
igual a ese número? Justifiquen sus respuestas.
1 Lee nuevamente la situación inicial y responde en tu cuaderno. 1 a) Expresa 3 en su equivalente en número decimal, redondeado a 4 cifras decimales, y compáralo con el número 0.3. 1 b) Convierte el número 0.3 en su equivalente en fracción y compáralo con 3 . c) ¿Con qué conversión te parece más sencillo concluir que la cantidad de pintura que usó Alejandro para pintar cada muro no es la misma? ¿Por qué?
3 En parejas, consideren el número decimal 0.26 y respondan lo siguiente. a) Escriban el número 0.26 con 4 cifras después del punto decimal. A la acción realizada en el inciso anterior se le llama truncar un número hasta 4 cifras después del punto decimal. Un número decimal periódico se puede truncar hasta la cantidad de cifras que se desee. A diferencia del redondeo, no se toma en cuenta si el último dígito es mayor, menor o igual a 5.
2 En grupo, discutan que pasaría si expresaran 3 en su equivalente en número decimal, redondeado a una cifra decimal, y lo comparan con el número 0.3.
26 g. á p
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Página 27 b) Fracciones simplificadas:
48 303 2 000 47 777 10 000
22 833 50 000 1 143 243 10 000 000
fracción correspondiente a un número decimal periódico, pero requieren conocimientos de niveles académicos posteriores.
1 313 ; 131 313 . 5 000 500 000
c) No, porque al hacer las divisiones correspondientes se obtienen números decimales finitos. d) No, porque al truncarlo el resultado es un número menor. Tampoco se puede truncar si se redondea, ya que el resultado es un número mayor o menor. 4. a) Fracciones simplificadas:
27 g. á p
Reflexiona 1. a A  quellas que en el numerador tengan un número que no se pueda dividir entre 2 o 5. Esto se debe a que los divisores de 10 son 2 y 5, y los denominadores de las fracciones decimales son de la forma 10, 100, 1 000,… 150 ; b) 100
b) El redondeo y el truncamiento son procedimientos para obtener aproximaciones. Para obtener una fracción cuyo valor sea el mismo que un número decimal finito, sería necesario considerar todas las cifras que están después del punto decimal.
1 500 ; 15 000 1 000 10 000 375 , 453 750 , 4 537 500 . c) Ejemplos: 45 1 000 10 000 100 000
Regresa y revisa Página 27 1. a) 0.3333, el cual es mayor que 0.3.
Sugerencia didáctica. Se debe discutir con el alumno que el error de la aproximación que se obtiene al redondear o truncar puede hacerse tan pequeño como se quiera. Esto se logra considerando una cantidad mayor de dígitos al efectuar alguno de los procedimientos. Es importante comentar que hay procedimientos para obtener de manera exacta la
3 , el cual es menor que 1 . b) 10 3
c) La respuesta dependerá de cada alumno. 2. Da el mismo resultado. Es la aproximación menos exacta al ser la menor en cuanto a número de dígitos considerados.
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Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Se espera que al terminar esta secuencia los alumnos conozcan y utilicen las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
Situación inicial (págs. 28-29) En esta sección se busca que el alumno utilice sus conocimientos previos para ubicar en la recta números decimales (con distintas cantidades de cifras decimales) y fracciones, y comparar sus valores.
Conceptos principales: recta numérica, unidad como referencia de medida, densidad numérica.
Explora y construye (págs. 29-32)
Antecedentes • Valor posicional de las cifras de un número decimal • Fracciones equivalentes • Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica • Identificación de una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales. Acercamiento a la propiedad de densidad de los racionales, en contraste con los números naturales
La intención de esta parte de la secuencia es que los alumnos aprendan a ubicar un número decimal o fraccionario en la recta si se conoce la posición de al menos otro par de números: se destaca que al definir la posición del cero y la unidad queda determinada la de cualquier otro número natural, decimal o fraccionario. Finalmente, concluirán que siempre es posible encontrar un número entre cualesquiera otros dos.
Ideas erróneas 1. Es frecuente que los alumnos piensen que 81 es mayor que 1 porque 8 es mayor que 4. 4 2. Algunos estudiantes pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6. 3. Es probable que algunos piensen que, una vez definida la posición de dos números, la de un tercero se puede determinar de manera arbitraria. 4. Los alumnos pueden pensar, si no reflexionan sobre ello, que entre ciertos decimales o fracciones no hay más números: por ejemplo, entre 1 y 2 o entre 10 10 0.25 y 0.26.
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Regresa y revisa (págs. 32-33) El alumno deberá representar mediante ampliaciones de una recta numérica números con una mayor cantidad de cifras decimales respecto a los de la situación inicial.
2. Representaciones en la recta
c) ¿De qué modo usaron la información del primer kilómetro (fig. 1.2.1) para saber cómo ubicar los puntos solicitados del kilómetro representado en la fig. 1.2.2?
d) Para localizar a la corredora que va en segundo lugar, ¿en cuántas partes tuvieron
que dividir el segmento entre los kilómetros 5 y 6?
La carrera Corredora
e) ¿A qué otras corredoras pueden localizar dividiendo el segmento como en el inciso Posición
En una carrera de maratón, las seis corredoras que llevaban la delantera habían recorrido en los primeros 20 minutos las distancias que se muestran en el cuadro 1.2.1.
anterior? f) ¿Qué necesitaron hacer para localizar al resto de las corredoras?
g) De las seis corredoras, ¿cuáles ya pasaron por el puesto de hidratación que se en-
A lo largo del trayecto, cada 5 de kilómetro había una cámara de seguimiento de la carrera, y cada 1 km un 2 puesto de hidratación.
cuentra entre los kilómetros 5 y 6? 2. Completen el cuadro 1.2.2, de modo que expresen en fracciones con denominador 100 las distancias que han alcanzado las corredoras.
Cuadro 1.2.1.
a) ¿Entre Diana y Lucía, quién va ganado?
b) ¿Y entre Karina y Renata quién lleva la delantera?
Con decimales o fracción
Con fracción de denominador 100
2 Completa la tercera columna del cuadro 1.2.1.
3 Ubica en la siguiente recta los puestos de hidratación y las cámaras que se encuentren entre los kilómetros 0 y 1.
Lucía Renata Alicia
3. En grupo, a partir de las conversiones anteriores, propongan un procedimiento para verificar si ubicaron correctamente las posiciones de las corredoras en la figura 1.2.2 y aplíquenlo.
4 Ubica en la siguiente recta los puestos de hidratación y las cámaras que se encuentren entre los kilómetros 5 y 6. Después, ubica las posiciones de las corredoras.
Cuadro 1.2.2.
El cero y la unidad en la recta
5 Verifica que las posiciones que anotaste en el cuadro 1.2.1 correspondan a lo marcado en la figura 1.2.2.
1 En la siguiente recta, marca los puntos donde se localizan 2 y 2.
Analiza 1. En parejas, respondan lo siguiente.
a) ¿En cuántas partes tuvieron que dividir la distancia que hay entre los kilómetros 0 y 1
2 Ubica el 0 en una posición diferente a la que tiene en la recta de la figura 1.2.3, y ubica el número 1 de modo que la distancia entre éste y el 0 sea diferente a la que hay entre ellos en la figura 1.2.3.
para saber dónde están los puestos de hidratación? b) ¿Y en cuántas hubo que dividirla para localizar las cámaras?
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1. a) En 2.
1. Sugerencia didáctica. Si se presentan, las ideas erróneas 1 y 2 se pueden discutir. b) Karina. a) Diana. 2. Posición
Distancia (km) Con decimales o fracción
Fecha Trabajo extraclase
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c) Se puede repetir el procedimiento, ya que son segmentos de igual longitud y con extremos enteros. d) Basta con 20 pasos. e) A Nancy, a Diana y a Karina. f) Por ejemplo, para localizar a las demás corredoras hay que dividirlo en 100 partes iguales. g) Renata y Karina, corredoras que van en 2° y 1er lugar, respectivamente.
3. Las cámaras van en las siguientes posiciones: 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8 km; el puesto de hidratación debe estar a la mitad del segmento que va de 0 a 1 km. Pida que observen que, aunque no se pidió ubicarla, también hay una cámara en el kilómetro 1. 4. Las cámaras van en las siguientes posiciones: 5.2, 5.4, 5.6 y 5.8 km; el puesto de hidratación debe estar a la mitad del segmento que va de los 5 a los 6 km. Aunque no se pidió ubicarlas, también hay cámaras en los kilómetros 5 y 6.
1 3 ¿De qué depende la posición que tienen el 2 y el 2 en la figura 1.2.3 y en la
figura 1.2.4? 
1 En parejas, hagan y respondan lo siguiente.
a) Ubiquen las fracciones 2 y 5 en la recta. 3
4 Ubica los números 8 y 5 en las rectas de las figuras 1.2.3 y 1.2.4. En parejas, 3 4 comenten qué diferencias observan entre las posiciones de estos números de una recta a otra.
Fig. 1.2.9. 0 1 b) ¿Qué fracciones con denominador 21 son equivalentes a las anteriores?
5 Con base en las rectas anteriores, discutan en grupo de qué depende la posición
c) Observen los numeradores de las fracciones anteriores y verifiquen que hayan
de cualquier número en la recta y escriban sus conclusiones.
ubicado correctamente 2 y 5 en la figura 1.2.9. Expliquen cómo lo hicieron.
Fracciones y decimales en la recta
d) Consideren las fracciones que obtuvieron en el inciso b y expliquen por qué en
1 En la lección anterior viste que 10 = 0.1. La unidad de la siguiente recta está dividida en 10 partes iguales. Señala sus valores en números decimales.
ese caso no es posible encontrar una fracción entre ellas con denominador 21.
e) ¿Qué fracciones con denominador 42 son equivalentes a las iniciales, es decir,
a 2 y 5 ?
2 Explica cómo ubicarías en la recta anterior el número 0.25 y márcalo en ella.
f) Consideren las fracciones que obtuvieron en el inciso anterior y obtengan
una intermedia a ellas con denominador 42.
3 En la siguiente recta ubica el 0.11.
Fig. 1.2.6.
2 En grupo, discutan si siempre es posible encontrar otra fracción entre cualquier par de fracciones y por qué. 0.1
3 Señala en la recta numérica el número 0.218.
4 Explica en tu cuaderno qué harías para ubicar el 0.112 en la recta anterior.
0.21 0.22 4 Señala un número en la recta anterior que esté entre el 0.21 y el 0.218.
5 En grupo, verifiquen sus respuestas de los ejercicios 1 a 4 usando fracciones decimales.
Fig. 1.2.10.
5 ¿Siempre es posible encontrar otro número entre cualquier par de números 6 En parejas, ubiquen en cada recta los números que se indican.
decimales? ¿Por qué?
a) 2 y 3.2. Fig. 1.2.7.
b) 3 , 1.4, 2 y 3.
1. En equipos de tres, respondan lo siguiente. a) Además de usar la recta numérica, ¿de qué otra manera pueden comparar fraccio-
Fig. 1.2.8.
nes o números decimales?
7 Revisen sus respuestas del ejercicio anterior en grupo y discutan qué pasos realizaron para localizar cada punto. 30
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31 g. pá
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06/03/12 11:19
3. Un método es dividir el segmento de recta en 100 partes iguales. Sugerencia didáctica. Se puede preguntar al alumno por qué algunas veces es más práctico ubicar un número decimal a partir de su equivalente en fracción. Por ejemplo, para localizar el número 5.25 se tiene que dividir el segmento entre 5 y 6 en 100 partes iguales, pero, si se toma en cuenta su equivalente en fracción (21) y se expresa como fracción propia (5 1 ), 4 4 sólo hay que dividir el mismo segmento en cuatro partes iguales. Una manera de obtener mayor precisión en la localización de números de varias cifras decimales es aumentar la escala de la recta.
Explora y construye Página 30
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Sugerencia didáctica. Se pueden plantear otras situaciones en las que la posición de dos números esté definida, y pedirle al alumno que localice otras cantidades. Fracciones y decimales en la recta 1. De izquierda a derecha: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9. 2. Dividiendo a la mitad el segmento entre 0.2 y 0.3; el número 0.25 es el punto medio. 4. Se puede dividir el segmento entre 0.11 y 0.12 en 10 partes iguales y marcar la segunda división. 5. Sugerencia didáctica. Se le pueden plantear al alumno otras situaciones en las que, para ubicar números decimales en la recta, sea más fácil considerar sus equivalentes en fracciones. 7. Por ejemplo, se pudo iniciar dividiendo el segmento en cuatro partes iguales para obtener la unidad y después hacer más divisiones, como en los ejercicios anteriores.
El cero y la unidad en la recta 3. Depende de la medida de la unidad, es decir, de la distancia entre el 0 y el 1 y de la posición del 0. Sugerencia didáctica. Se puede discutir, si es que se presenta, la idea errónea 3, preguntándole a los alumnos cuál es el error si, una vez definida la posición de dos números, la ubicación de un tercero se determina de manera aleatoria. 4. Que el lugar en el que se ubican es diferente en ambas rectas, pues depende de la unidad establecida. 5. La posición de cualquier número en la recta depende tanto de la posición del 0 como de la distancia entre el 0 y el 1.
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Página 31 1. b)
c) Se puede dividir el segmento de 0 a 1 en 21 partes y situar las dos fracciones donde correspondan; éstas deben coincidir con las fracciones originales ( 2 y 5 ). 3 7 d) Porque los numeradores son 14 y 15, y no hay ningún número entero entre ellos. e)
2. Sugerencia didáctica. En caso de aparecer, se puede discutir la idea errónea 4. Si el alumno no responde
2 De acuerdo con la recta numérica de la figura 1.2.11, ¿cuáles son los puntos en los que se encuentran Fernanda, Elisa y Diana, representadas con las letras F, E y D respectivamente?
b) En su cuaderno, intenten ubicar el número 2.3 en la recta. 2. En grupo, respondan las siguientes preguntas. a) ¿Cuándo convendría usar la recta para comparar números?
3 En equipos de cuatro, comparen sus respuestas y discútanlas si hay diferencias.
b) ¿Cuál es la dificultad para ubicar el número 2.3 en la recta?
4 En grupo, comenten si el método usado es práctico para localizar el número 21.7428647 y discutan cuándo es útil el cambio de escala en la recta numérica. Escriban sus conclusiones a continuación. Regresa y revisa
En la carrera del problema inicial, a 1 hora y 20 min del comienzo las tres corredoras punteras han recorrido las siguientes distancias.
Cuadro 1.2.3.
Resuelve y practica
1. Explica por qué en la recta el número 0.25 se encuentra en el mismo 7
punto que 28 .
1 Ubica en la recta la posición de cada corredora. Para ello, usa las rectas numéricas de la figura 1.2.11, las cuales representan: • • •
2. Inventa una situación problemática cuya solución se obtenga al comparar 3 y 0.92 en la recta y pídele a un compañero que la resuelva.
Localiza recta numérica en el glosario (págs. 272-276) y anota con tus propias palabras una explicación y un ejemplo del término.
La distancia entre el kilómetro 21 y el 22. La ampliación correspondiente a la distancia de los 21.7 km a los 21.8 km. La ampliación de la distancia de los 21.74 km a los 21.75 km.
(Las letras F, E y D las utilizarás más adelante.)
3. Encuentra tres números entre cada una de las siguientes parejas. 8
a) 0.5 y 4 .
b) 4 y 9 .
c) 0.12 y 0.76. 5
d) 11 y 11 . 4. A partir de la ubicación de los números 0.5 y 0.7 en la recta de la figura 1.2.12, determina la posición de las siguientes letras.
• Y. • Z.
Z Fig. 1.2.12.
5. En tu cuaderno, traza una recta numérica y las ampliaciones necesarias para localizar los números 5.65, 7.13 y 10.87. Fig. 1.2.11.
33 g. á p
32 g. á p
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cómo puede encontrar una fracción entre cualquier par de fracciones, se le puede pedir que encuentre más entre 28 y 30 . Para esto, pregunte por las frac42 42 ciones equivalentes con denominador mayor a 42 de esas dos fracciones. 5. Sí; por ejemplo, se puede sumar los dos números y dividir el total entre 2 para encontrar otro que se encuentre a la mitad de ellos.
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Sugerencia didáctica. Como en la lección anterior, es importante comentar que hay procedimientos para obtener de manera exacta la fracción correspondiente a un número decimal periódico, pero requieren conocimientos de niveles académicos posteriores.
Regresa y revisa Página 33
Reflexiona 1. a) Un método es el sugerido en el ejercicio 1 de la página 31. Para comparar los numeradores hay que modificar las fracciones de modo que tengan el mismo denominador. En el caso de los decimales, se pueden comparar dígito a dígito, de izquierda a derecha, hasta encontrar cuál es mayor.
Página 32 2. a) Cuando el número sea un decimal finito, o cuando ubicarlo no requiera una división de la recta en muchas partes. b) No sirve dividir el segmento comprendido entre los números 2 y 3 en una cantidad finita de partes. Al pasar 2.3 a su forma de fracción sólo se obtiene una aproximación, pues hay que redondearlo o truncarlo.
2. • 21.73 • 21.741 • 21.743 4. Se necesita un cambio de la escala cada vez que se considere un dígito más a la derecha del punto; por lo tanto, implica muchas rectas a escala. Resuelva y practica 1. 0.25 es equivalente a 2. R. L. 3. a) Ejemplos: 3 , 1, 5 ,
c) Ejemplos: 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6. d) Ejemplos: 51 ,
52 ,…, 58 , 59 . 110 110 110 110
4. • 0
Planeación Trabajo extraclase
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6 7 , . 4 4 4 4 10 11 12 , ,…, 22 , 23 . b) Ejemplos: , 36 36 36 36 36
Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado de la lección 1 del bloque 5: resolver problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.
Situación inicial (pág. 34) En primaria, los alumnos aprendieron a efectuar sumas y restas sencillas de números fraccionarios, por lo que con esta situación inicial se busca que se den cuenta de que, para hallar la solución a ciertos problemas, a veces es necesario hacer más de una conversión para obtener el mismo denominador y así poder efectuar la operación.
Conceptos principales: suma y resta de fracciones. Materiales: calculadora. Antecedentes • Fracciones equivalentes • Cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones con números fraccionarios • Resolución de problemas de suma o resta de fracciones con denominadores diferentes • Resolución de problemas aditivos con números fraccionarios Ideas erróneas 1. En una suma o resta de fracciones, algunos alumnos pueden sumar o restar por una parte los valores del numerador y por otra los del denominador para obtener los valores de cada elemento. 2. Algunos alumnos pueden pensar que si dos fracciones son iguales, la parte del total que representan es igual aunque los totales sean diferentes; por ejemplo, que 31 de 10 sea igual a 31 de 20.
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Explora y construye (págs. 34-37) La intención de las actividades de esta sección es que el alumno logre plantear ciertos problemas y realice las conversiones necesarias para hacer las sumas y restas que conduzcan a la solución. Algunas veces, antes de hacer el planteamiento, se le pedirá hacer estimaciones mentales. El alumno también inventará algunos problemas que impliquen sumas y restas de números fraccionarios. Con todo lo anterior se busca que haga una correcta interpretación del significado de las fracciones en los problemas.
Regresa y revisa (pág. 37) En esta sección se busca que el alumno sepa interpretar que el valor que representa una fracción depende del valor del total.
todas del mismo tamaño. Cinco personas comieron, cada una, una rebanada de pastel de fresa y otra de durazno, y cuatro personas sólo comieron una rebanada de pastel de fresa cada una. Usando sólo fracciones respondan lo siguiente en su cuaderno. • ¿Qué parte del pastel de dos pisos representan todas las rebanadas de pastel de fresa que sobraron? • ¿Qué parte del pastel de dos pisos representan todas las rebanadas de pastel de durazno que sobraron? • Escriban una suma de fracciones que permita determinar qué parte del pastel sobró. Después, realicen la suma. • A partir del número total de rebanadas que se consumieron, escriban una resta de fracciones que permita determinar qué parte del pastel sobró, y verifiquen que hayan obtenido el mismo resultado del punto anterior.
Consumo de agua En casa de Rosario almacenan el agua en un tinaco, el cual se llena al inicio de cada día y después no vuelve a recibir agua. El líquido se usa diariamente de esta manera: la mitad de la capacidad del tinaco en el baño, una cuarta parte de su capacidad en lavar la ropa y una octava parte de su capacidad en la cocina. ¿Qué parte del tinaco queda al final de cada día?
c) Jorge le pidió prestada a su tío su camioneta para entregar mercancía. Cuando empezó a usar el vehículo, el tanque tenía 43 de su capacidad de gasolina. Luego de un recorrido, Jorge notó que había gastado 61 de la ca3 de pacidad total del tanque. Si durante el resto del día se consumieron 10 la capacidad total del tanque:
Analiza 1. En parejas, respondan lo siguiente. a) Si un día no se lava ropa, ¿qué parte del tinaco sobraría?
• Calculen qué fracción de la capacidad total del tanque gastó
b) Si un día no se usa agua en la cocina, ¿qué parte del tinaco sobraría?
Jorge ese día.
2. Resuelvan el problema inicial y justifiquen su respuesta.
• Calculen qué fracción de la capacidad total del tanque quedó después del recorrido. Explora y construye
d) En una balanza de dos platos se coloca un objeto de peso desconocido en el derecho y una carga formada por varias pesas con un total de 5 kg en el plato izquierdo. Pero la balanza no queda equilibrada; para lograrlo, se le quitan al plato izquierdo dos pesas de 31 kg y una de 81 kg y se le agregan dos pesas de 21 kg y una de 1 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la carga del plato derecho? 4
Acopio, reparto, carga, equilibrio… 1 En parejas, resuelvan los siguientes problemas. a) En una escuela se realiza una recolección de periódicos viejos para venderlos y donar lo que se obtenga a la Cruz Roja. El primer día, un equipo de cuatro 6 kg, 1 kg y 2 kg. alumnos llevó las siguientes cantidades de papel: 37 kg 10 2 3 •
Para encontrar más problemas de fracciones, consulta Claude Irwin Palmer et al. (2003). Matemáticas prácticas. Barcelona. Reverté.
Cada uno estime mentalmente la suma de las cantidades anteriores y, a partir de ello, diga cuánto falta para completar un número entero de
kilogramos. •
el siguiente libro información sobre la resolución de problemas con fracciones en el antiguo Egipto: Miguel Ángel Pérez García (2009). Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes. Madrid. Visión Libros.
Hagan los cálculos necesarios para obtener el total del periódico juntado
y cuánto falta para formar paquetes de 1 kg de papel cada uno. Expresen Fig. 1.3.1.
su respuesta como fracción. •
2 En grupo, hagan lo siguiente. a) Redacten dos problemas cuya resolución implique operaciones de suma y resta de fracciones. Antes de hacer los cálculos respectivos estimen mentalmente los resultados y después resuelvan los problemas. b) Discutan cuál es la utilidad de estimar resultados mentalmente. c) Analicen qué otro problema o problemas del ejercicio anterior podrían haberse resuelto mediante estimación y expliquen por qué.
Expliquen cómo determinaron cuál es la cantidad que falta para formar un número entero de paquetes.
Usen la calculadora para comprobar sus resultados.
b) En un grupo de primero de secundaria tres alumnas festejaron su cumpleaños. Para, ello sus compañeros compraron un pastel de dos pisos del mismo tamaño: uno de fresa y otro de durazno. Se cortaron 10 rebanadas por piso,
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Consumo de agua / Analiza 3 8
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2. Queda una octava parte del total de la capacidad del tinaco pues 1 – 21 – 41 – 81 = 81 . Sugerencia didáctica. El problema implica tres restas; es necesario verificar que en cada caso se haga correctamente la conversión necesaria para obtener el mismo denominador, y así restar las fracciones. Es posible que algún alumno convierta todos los números para tener el mismo denominador. Si la idea errónea 1 aparece, se puede discutir.
Explora y construye Página 34 Acopio, reparto, carga, equilibrio… 1. a) • Es muy probable que respondan que es difícil hacerlo mentalmente.
Página 35 3 20 5 = 1 • 20 4 1 5 = 6 = 3 • 20 + 20 20 10 14 = 6 = 3 • 1 – 20 20 10 1 3 7 14 c) • 6 + 10 = 30 = 15 7 = 17 • 43 – 15 60 1 1 d) 5 – 3 – 3 – 81 + 21 + 21 + 41 =
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11 kg 5 24
2. a) R. L. b) Sirve cuando no se requiere una respuesta exacta para resolver un aspecto de una situación; por ejemplo, para saber si una cantidad fue menor o mayor a otra especificada.
41 kg. Faltan 169 para hacer paque • Se juntaron 2 210 210 tes de 1 kg. • A una unidad, en este caso 1 kg, se le resta la cantidad fraccionaria del total recolectado.
Página 34 1. a)
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d) Comenten lo que hicieron para resolver los problemas. Identifiquen cuándo usaron restas de fracciones y cuándo sumas de fracciones, y por qué fue así.
5 Cada quien plantee un problema con la operación que eligió. 6 Expliquen el planteamiento a sus compañeros de equipo.
3 En equipos de tres, resuelvan el siguiente problema. Alejandra hizo un librero de madera y le sobró una tabla. Su amigo Isaías le pidió la quinta parte de la tabla para terminar de construir una mesa; Tere quiso dos quintas partes de la tabla para una repisa y Rodolfo, una quinta parte de la tabla para hacer un joyero para su esposa.
7 Elijan juntos uno de los problemas, resuélvanlo y explíquenlo al grupo. Reflexiona
b) ¿Qué parte de la tabla le quedaba antes de darle la quinta parte a Rodolfo?
1. José leyó que hay un límite de dobleces de una hoja de papel sobre sí misma. Toma cualquier hoja de papel y dóblala sobre sí misma el mayor número de veces que puedas y después responde lo siguiente.
c) ¿Qué parte de la tabla le quedó?
a) ¿Qué fracción de la hoja de papel representa el tercer doblez?
a) ¿Qué parte de la tabla en total regaló Alejandra?
4 En grupo, consideren que la longitud de la tabla de Alejandra era de 3 metros y respondan lo siguiente en su cuaderno. a) Como Isaías recibió 51 de tabla, entonces la longitud de su pedazo es de 3 metros. Expresen con fracciones de metro las longitudes de los pedazos 5 de Tere y Rodolfo. b) Expliquen cómo obtendrían la longitud del pedazo que le quedó a Alejandra en fracciones de metro.
b) ¿Y el cuarto doblez? c) Si sumamos las fracciones que resultan en los primeros cuatro dobleces de la hoja, ¿el resultado será mayor o menor que la unidad? Explica tu respuesta.
d) Verifica tu respuesta al inciso anterior efectuando la suma de las fracciones.
Invención de problemas Regresa y revisa
1 En equipos y con base en las imágenes siguientes, respondan las preguntas.
Regresa y revisa 1 En parejas, lean la situación inicial y el siguiente planteamiento. Después, respondan.
Fig. 1.3.2.
El tinaco de la casa de Rosario tiene una capacidad de 1 200 L. Los vecinos tienen un tinaco de 2 000 L de capacidad que también se llena al inicio del día y después no vuelve a recibir agua; ellos emplean el agua del tinaco cada día de la siguiente forma: la mitad de la capacidad del tinaco en el baño, una cuarta parte de su capacidad en lavar la ropa y una octava parte de su capacidad en la cocina. a) Observen la figura 1.3.3, la cual representa a los dos tinacos, y dibujen qué parte de la capacidad de cada uno de los tinacos se ocupó para el baño, cuál para lavar ropa y cuál para la cocina.
a) ¿Qué fracción del círculo representa su área sombreada? • I.
b) ¿Qué fracción de cada círculo no está sombreada? • I.
b) ¿Qué fracción de la capacidad del tinaco de
2 Cada integrante del equipo elija un círculo de la figura 1.3.2, plantee un problema a partir de él y explique su planteamiento a sus compañeros.
qué difieren el consumo de agua de la familia
b) 87 – 37 + 71
c) 87 – 41 + 23
d) 45 – 35 – 81
e) 57 – 61 – 23
f) 25 + 57 + 51
Nivel de 1 200 L
de Rosario y el de los vecinos
4 En equipos de tres, cada uno elija una de las siguientes operaciones. a) 4 21 + 31 – 45
Nivel de 2 000 L
los vecinos queda al final del día? 2 En grupo, respondan en qué se parecen y en
3 Elijan uno de los problemas que plantearon en el ejercicio 2, resuélvanlo y explíquenlo al grupo.
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Página 36 4 5 6 a) 5
b) Ejemplo: le queda 51 de la tabla, lo mismo que le dio a Isaías, así que es la misma longitud, es decir, 3 metros. 5 Sugerencia didáctica. Se le puede preguntar al alumno qué sucedería si la longitud de la tabla fuera, por ejemplo, de 4, 5, o 6 metros. Si surge la idea errónea 2, discútanla. Invención de problemas a) • I. 21
• II. 41
b) • I. 21
• II. 43
2. Por ejemplo, para el círculo I: Juan compró una gelatina circular para celebrar su cumpleaños en la escuela. Si al final del día se consumió el área sombreada, ¿qué parte de la gelatina sobró? 3. Solución del problema anterior: sobró la mitad.
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c) Depende de cada alumno, aunque en general es necesario escribir los cálculos para esos problemas.
Fig. 1.3.3.
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Página 37 5. Por ejemplo, Roberto tiene que llenar un contenedor de 5 litros de agua. Primero agregó 4 21 litros, después 1 4 3 de litro. Si retiró 5 de litro de lo que había en el contenedor, ¿cuántos litros hacen falta para llenarlo por completo? 29 de litro. 7. Respuesta del ejemplo anterior: le faltan 30 Reflexiona 1 8 1 b) 16
c) Menor, pues siempre falta la mitad del valor representado en cada doblez para completar la unidad. 1 15 d) 21 + 41 + 81 + 16 = 16
Regresa y revisa Página 37 1. b) 81 2. Se parecen en que las fracciones de consumo del volumen total de los tinacos son las mismas en ambos casos. Difieren porque los tinacos no tienen la misma capacidad. Sugerencia didáctica. Si aparece aquí la idea errónea 2, se puede discutir.
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Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Se espera que al terminar esta secuencia los alumnos representen sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada, y viceversa. Conceptos principales: sucesiones, elemento de una sucesión, consecutivo en una sucesión, progresión aritmética, progresión geométrica. Materiales: para cada equipo de cuatro, aproximadamente medio kilogramo de frijoles o algún otro tipo de semilla; calculadora. Antecedentes • Identificación y aplicación de la regularidad de sucesiones de números o figuras que tengan progresión aritmética o geométrica, así como sucesiones especiales • Construcción de sucesiones a partir de la regularidad • Resolución de problemas que implican identificar la regularidad de sucesiones con progresión aritmética, geométrica o especial Ideas erróneas 1. Algunos alumnos pueden confundir las sucesiones con progresión geométrica con las sucesiones especiales, por ejemplo, la sucesión 1, 4, 9, 16, 25,…, que se forma al elevar al cuadrado los números naturales, tiene un cociente diferente entre cada par de términos sucesivos.
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Situación inicial (pág. 38) Se propone una actividad en la que los alumnos usarán como ejemplo una sucesión sencilla de figuras para hacer sus propias sucesiones con semillas. Mediante preguntas se analizará la sucesión dada para tener una aproximación de la regularidad con la que está formada.
Explora y construye (págs. 39-44) A lo largo de varias actividades, el alumno repasará las similitudes y diferencias entre las sucesiones, de figuras y de números, con progresión aritmética y progresión geométrica. Se le pedirá que analice cómo se relacionan los términos de una sucesión y que obtenga, a partir de esa relación y en lenguaje común, la regla que define la sucesión. También construirá sucesiones a partir de una regla dada en lenguaje común.
Regresa y revisa (pág. 44) El objetivo de esta actividad, en la que se presenta una sucesión de figuras que no tiene progresión aritmética ni geométrica, es que el alumno determine la regla que define la sucesión, y sea capaz de encontrar un término específico.
1 Dibuja los elementos que faltan en cada una de las siguientes sucesiones.
Con semillas II
I En equipos de cuatro, realicen lo siguiente. 1 Lleven a clase aproximadamente medio kilogramo de frijoles o de algún otro tipo de semilla. 2 Observen el siguiente ejemplo de una sucesión cuyos elementos son figuras.
III Fig. 1.4.2.
2 Utiliza las semillas para reproducir las sucesiones y construye las figuras correspondientes a los lugares 5º y 6º de cada sucesión. Fig. 1.4.1.
3 En parejas, respondan Io siguiente sobre la sucesión I. 3 Divídanse en dos parejas y cada una proponga cómo construir una nueva sucesión cuyos elementos sean figuras.
a) ¿Cómo se construye el segundo elemento de la sucesión?
4 Construyan las primeras cuatro figuras de la sucesión que planteó la otra pareja.
b) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa una figura y el número de frijoles
5 Asegúrense de que las construcciones que realice la otra pareja sean correctas. Si no lo son, repítanles la explicación para que las rehagan.
que tiene la fila de su base? c) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa una figura y el número de frijoles que se necesitan para su construcción?
a) ¿Qué entiendes por sucesión?
d) ¿Cómo y con cuántos frijoles construiste la sexta figura de la sucesión?
b) Describe el primer elemento de la sucesión de la figura 1.4.1.
4 En grupo, expliquen cómo construir una figura de la sucesión I a partir de la figura que la antecede.
c) ¿Cómo se construye el segundo elemento de la figura 1.4.1?
5 En parejas, respondan lo siguiente sobre la sucesión II. a) ¿Cómo se construye el cuarto elemento de la sucesión?
d) ¿Cuántas semillas más tiene el segundo elemento respecto al primero?
e) ¿Cuántas semillas más tiene el tercer elemento respecto al segundo?
f) Señala la regularidad que hay en el aumento del número de semillas en esa sucesión.
que tiene la fila de su base? c) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa una figura y su número de filas
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Situación inicial Página 38 Con semillas 3 a 5. Sugerencia didáctica. Hay que verificar que las construcciones hechas por los alumnos sigan una regla. De no ser así, se les puede orientar con preguntas que guíen el análisis de la diferencia o el cociente entre cada par de términos consecutivos de la sucesión. Analiza 1. a) Una posible respuesta es: una sucesión es una colección de números o figuras que se forma a partir de una regla dada. b) Un frijol solo (o semilla). c) Se agregan dos frijoles más (o semillas) a la derecha del frijol inicial, formados en línea vertical. d) 2 e) 2 f) En cada paso se agregan 2 frijoles.
Explora y construye Página 39 Sucesiones de figuras 3. a) Se coloca una columna de 2 frijoles a la izquierda del frijol inicial. b) El número de frijoles que hay en la base y el lugar que ocupa son iguales. c) Es la suma de los números desde 1 hasta el lugar que ocupa la figura.
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horizontales?
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d) Con 21 frijoles. Se coloca un frijol, después se agrega una columna de 2 a la izquierda del primero; luego una de 3 a la izquierda de los anteriores, y así sucesivamente hasta agregar una columna de 6 frijoles. 4. Se puede emplear el procedimiento anterior. 5. a) Se colocan 8 frijoles en dos columnas juntas, de 4 frijoles cada una. b) La fila de la base siempre tiene dos frijoles, así que no hay relación. c) El número de filas de frijoles y el lugar que ocupa son iguales.
Página 40 d) El número de frijoles necesarios es el doble del lugar que ocupa la figura. e) Con 12 frijoles. Se colocan dos frijoles en una fila, después se agregan arriba filas de 2 frijoles, y así sucesivamente hasta obtener 6 filas. 6. Se puede emplear el procedimiento anterior. 7. a) 5 b) 3 c) En el primer lugar es igual. En el segundo es igual al lugar que ocupa más 1. En el tercero es igual al lugar que ocupa más 2, y así sucesivamente. d) El número de frijoles necesarios es el lugar que ocupa la figura multiplicado por sí mismo. e) Con 25 frijoles. Se coloca un frijol, después una fila de tres frijoles debajo, dejando el frijol inicial en el centro; después se coloca otra fila debajo, dejando la fila de 3 frijoles en el centro, y así sucesivamente.
d) ¿Qué relación hay entre el número de frijoles que se necesitan para construir
f) El número 248 se encuentra en el lugar 124 de la sucesión. ¿Qué número se
una figura de esta sucesión y el lugar que ocupa?
encuentra en el lugar 125? Justifiquen su respuesta.
e) ¿Cómo y con cuántos frijoles se construye la sexta figura de la sucesión?
En una sucesión, el elemento que le sigue a otro es el consecutivo de ese elemento.
g) ¿Qué diferencia hay entre dos elementos consecutivos cualesquiera de la
6 En grupo, expliquen cómo construir cualquier figura de la sucesión II.
sucesión? 7 En parejas, respondan lo siguiente sobre la sucesión III. 2 En grupo, discutan cuál es la regla para formar la sucesión anterior.
a) ¿Cuántos frijoles tiene la fila de la base de la figura que se encuentra en el tercer lugar de la sucesión?
A las colecciones de números o figuras que están ordenados a partir de una regla se les llama sucesiones.
b) ¿Cuántas filas horizontales tiene esa figura? c) ¿Qué relación hay entre el lugar que ocupa una figura y el número de frijoles
3 Compara la definición anterior de sucesión con la que diste en el inciso a de la sección Analiza.
que tiene en la fila de su base? d) ¿Qué relación hay entre una figura y el número de frijoles que se necesitan
4 En parejas, analicen la siguiente sucesión: 6, 10, 14, 18, 22,…, y respondan las preguntas.
para su construcción?
a) ¿Qué número está en el lugar 10 de la sucesión?
e) ¿Cómo y con cuántos frijoles se construye la quinta figura de la sucesión?
Busca en... www.edutics.mx/ ZoH actividades y ejercicios acerca de sucesiones.
b) ¿Qué número está en el lugar 20 de la sucesión?
c) ¿Pertenece el número 37 a la sucesión anterior? Argumenten su respuesta.
8 En grupo, expliquen cómo construir una figura de la sucesión III a partir de la figura que la antecede.
d) ¿Qué relación hay entre un número de la sucesión y el lugar que ocupa en la
9 Anota en cuál de las tres sucesiones la diferencia entre la cantidad de frijoles de dos
misma? e) ¿Qué diferencia hay entre un elemento y su consecutivo en la sucesión?
figuras consecutivas es siempre la misma. 10 En parejas, diseñen una sucesión de frijoles en la cual la cantidad de semillas aumente siempre lo mismo de figura a figura y dibújenla en su cuaderno.
f) ¿Cómo pueden obtener el número que se encuentra en el décimo lugar a
11 En grupo, comparen sus sucesiones y expliquen su construcción.
partir del número que se encuentra en el noveno lugar?
Sucesiones con progresión aritmética 5 En grupo, hagan lo siguiente. a) Discutan cuál es la regla para formar la sucesión del ejercicio anterior. b) Propongan otras tres sucesiones donde la diferencia entre dos elementos consecutivos sea la misma que en la sucesión del ejercicio anterior, y discutan cuántas sucesiones con esa característica podrían construir.
1 En parejas, analicen la siguiente sucesión de números: 2, 4, 6, 8, 10, 12,…, y respondan las preguntas. a) ¿Cuál es el primer elemento de la sucesión? b) ¿Qué número hay en el tercer lugar de la sucesión?
A las sucesiones que tienen una diferencia constante entre sus elementos consecutivos se les llama sucesiones con progresión aritmética. Por ejemplo, 4, 7, 10, 13, 16,… es una sucesión de esta clase, pues cada uno de sus elementos se obtiene al sumar 3 unidades al anterior.
c) ¿Qué número está en la décima posición de la sucesión? d) ¿Qué número está en el lugar 50 de la sucesión? e) ¿Qué relación hay entre un número de la sucesión y el lugar que ocupa? 40
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8. Se puede emplear el procedimiento anterior. 9. En la sucesión II. 10. Una sucesión con esas características es la que se da con la siguiente regla: primer paso, colocar un frijol; segundo paso, agregar una columna de 2 frijoles a la derecha del frijol inicial; tercer paso, agregar una columna de 2 frijoles a la figura del paso dos, y así sucesivamente. Sucesiones con progresión aritmética 1. a) 2 b) 6 c) 20 d) 100 e) El número de la sucesión es el doble del lugar que ocupa.
Página 41 f) 250, ya que es el doble de 125, es decir, del lugar que ocupa. g) 2 2. La sucesión se puede generar sumándole 2 al término anterior, o multiplicando por 2 la posición que ocupa el número.
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Página 42 6. a) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 b) No. Todos los números acaban en 5 o en 0. c) 90 d) Un procedimiento es multiplicar 79 × 5.
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3. Sugerencia didáctica. Es importante verificar que los alumnos comprendan que las sucesiones tienen una regla que define cómo obtener un término a partir de otro. 4. a) 42 b) 82 c) No. Todos los números de la sucesión son pares. d) El número es igual al lugar que ocupa en la sucesión multiplicado por 4 más 2. e) El consecutivo es igual al anterior más 4. f) Se le suma 4 al noveno término. 5. a) Se empieza por el número 6. Luego se le suma 4 a cada paso. b) Algunos ejemplos son: 1, 5, 9, 13, 17,… 2, 6, 10, 14, 18,… 11, 15, 19, 23,…
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6 Ahora escriban los primeros cinco términos de dos sucesiones geométricas dis-
tintas cuyo primer término sea 6.
Oprime en una calculadora básica la secuencia de teclas . El número que apareció es el primer elemento de una sucesión cuyos elementos suce… sivos se obtienen al oprimir las teclas ¿Qué sucesiones se obtienen con las siguientes secuencias de teclas? … … = = = … Escribe una secuencia de teclas para obtener tu propia sucesión y compártela con un compañero.
7 En grupo, escriban en el pizarrón al menos cinco sucesiones geométricas. Un compañero puede decir el término inicial y otro, la diferencia entre los términos consecutivos.
Reflexiona 1. ¿ Tiene la sucesión 2, 4, 16, 256,… una progresión aritmética, una geométrica o ninguna de las dos? Justifica tu respuesta.
6 En parejas, respondan lo siguiente. a) ¿Cuáles son los primeros 10 elementos de la sucesión formada por los núGlosario múltiplo de un número. Aquel que se obtiene al multiplicar ese número por un número natural (1, 2, 3, 4,…).
meros que son múltiplos de 5? b) ¿Es el 19 un número de esa sucesión? Justifica tu respuesta.
1 Analiza la sucesión y responde las preguntas.
c) ¿Qué número se encuentra en el lugar 18 de la sucesión? d) Escriban en su cuaderno un procedimiento para determinar qué número ocu-
Fig. 1.4.3.
pa el lugar 79 de la sucesión.
a) Describe cómo se construye esta sucesión.
Toma nota Localiza elemento de una sucesión en el glosario (págs. 272-276) y anota con tus propias palabras su explicación y un ejemplo. Puedes auxiliarte investigando en un libro.
7 En parejas, escriban lo siguiente. a) Los primeros 10 elementos de la sucesión 4, 6, 8,…, la cual está formada por los números impares más tres unidades. b) Los primeros 10 elementos de la sucesión formada por los números pares múltiplos del número 5. c) Además del 5, ¿de qué otros números son múltiplos los elementos de esta sucesión?
b) Escribe los primeros 10 elementos de una sucesión formada por la cantidad de frijoles que utilizas en la construcción de cada figura. c) ¿Tiene progresión aritmética la sucesión que escribiste?
d) ¿Tiene progresión geométrica? e) ¿Cómo determinas cada elemento de la sucesión?
8 En grupo, escriban los primeros 10 elementos de la sucesión formada por los
f) ¿Qué número se encuentra en el lugar 15 de la sucesión de números que
múltiplos impares de 5, más 3 unidades.
escribiste? g) Describe el procedimiento que utilizaste para encontrar el número.
Sucesiones con progresión geométrica
1 En parejas, analicen las siguientes sucesiones numéricas, comparen sus comportamientos y respondan las preguntas. • 2, 4, 6, 8, 10,… • 2, 4, 8, 16, 32,… a) ¿Cuál o cuáles de estas sucesiones tienen progresión aritmética? Argumenten su respuesta. 42
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Resuelve y practica 1. Determina si las sucesiones 3, 6, 9,... y 6, 18, 54,... tienen una progresión aritmética o una geométrica y describe sus diferencias en tu cuaderno. 2. Construye los primeros quince elementos de la sucesión formada por los múltiplos
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pares de 3.
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7. a) 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 b) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 c) Son múltiplos tanto de 2 como de 10. 8. 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
1. a) La primera, ya que la diferencia entre sus elementos consecutivos siempre es 2.
Página 43 b) En la primera la diferencia entre números consecutivos es constante, y en la segunda no. 2. a) Multiplicando el primero por 2. b) Multiplicando el segundo por 2. c) Multiplicando el tercero por 2. d) Todos los cocientes son 2. 3. Multiplicando el elemento anterior por el cociente entre dos términos consecutivos. 4. a) Tienen progresión geométrica. b) El cociente entre sus términos consecutivos es 3. c) Difieren término a término. 5. Por ejemplo: 5. 5, 15, 45, 135, 405,…
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1. No. Es una progresión especial, pues no cumple con las definiciones de los otros dos tipos de sucesiones.
1. a) Una manera es formar cuadrados con un número de semillas por lado igual al lugar que ocupen en la sucesión. b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 c) No. d) No. Sugerencia didáctica. Puede ser que aquí surja la idea errónea 1. De ser así se puede comentar y analizar que la diferencia o el cociente entre dos términos consecutivos no es constante. e) Por ejemplo, multiplicar el lugar que ocupa en la sucesión por sí mismo. f) 225 g) Por ejemplo, multiplicar 15 por 15. Resuelve y practica
Página 44 6. Por ejemplo: 6, 12, 24, 48, 96; 6, 60, 600, 6 000, 60 000. 7. Por ejemplo: a) 2, 4, 8, 16, 32,… b) 3, 12, 48, 192,… c) 4, 40, 400, 4 000,… d) 5, 25, 125, 625,… e) 10, 110, 1 210, 13 310,…
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1. La primera tiene progresión aritmética, la segunda, geométrica. 2. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90
De letras y figuras
Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado de la lección 3 del bloque 3: resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales o decimales. Conceptos principales: fórmulas de perímetros y áreas de figuras geométricas, literal. Antecedentes • Construcción de las fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros • Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de un rectángulo • Construcción de una fórmula para calcular el perímetro de polígonos Ideas erróneas 1. Es posible que algunos alumnos crean que en una fórmula sólo se pueden utilizar ciertas literales. En esta lección se mostrará que se puede utilizar cualquier literal para representar una dimensión; puede explicarse a los alumnos que algunas se usan por convención o costumbre.
Situación inicial (pág. 45) La intención de esta actividad es que el alumno reflexione acerca de cómo obtener una expresión general con literales para calcular el perímetro de cualquier rectángulo.
Explora y construye (págs. 45-50) Con las actividades de esta sección se busca que el alumno comprenda que se pueden plantear expresiones generales que representen el perímetro y el área de figuras geométricas (fórmulas) usando literales, las cuales pueden representar cualquier medida. El alumno describirá cómo calcular el perímetro de figuras a partir de un rectángulo que construirá. Después, analizará de qué manera se puede expresar el perímetro y el área de triángulos, cuadrados y rectángulos cuando se desconocen sus medidas. Finalmente, estudiará que las fórmulas dependen de las características de las figuras y no de sus medidas.
Regresa y revisa (pág. 50) La intención de las actividades es que usando literales el alumno exprese el perímetro de las figuras que reprodujo en la actividad 2 (págs. 45-46) y sea capaz de calcular el perímetro de las figuras que hicieron otros compañeros. También se busca que, a partir de una figura dada, pueda conocer el perímetro y el área para diferentes valores expresados con literales.
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Solucionario y sugerencias didácticas Lección
5. De letras y figuras Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.
Situación inicial III
IV Fig. 1.5.2.b.
Elvira quiere decorar con cenefa dorada el contorno del marco que se muestra en la figura 1.5.1. V 53 cm
1 Responde lo siguiente. a) ¿Cuántos metros de cenefa necesita para el
Glosario perímetro. 1. Contorno de una figura geométrica. 2. Medida de ese contorno.
marco? b) Si tiene otro marco de 120 cm por 60 cm, ¿cuántos metros de cenefa necesita para de-
a) ¿Podrías calcular el perímetro de las figuras que trazaron tus compañeros siguiendo el procedimiento que propones? Justifica tu respuesta.
Fig. 1.5.1.
corarlo?
3 Escribe en tu cuaderno un procedimiento para determinar el perímetro de cada una de las figuras que trazaste, sin medir sus lados y considerando sólo las dimensiones del rectángulo inicial.
a) ¿Habrá una expresión general que sirva para determinar los metros de cenefa nece-
1 Responde lo siguiente. a) Supón que los lados no paralelos de un rectángulo miden L y A. Dibuja a continuación dos rectángulos diferentes y marca con esas letras cada uno de sus lados.
sarios para decorar el contorno de cualquier marco? b) Si es así, ¿cuál es?
A partir de un rectángulo 1 Traza en tu cuaderno un rectángulo que tenga de largo el doble que de ancho, compáralo con el de tus compañeros y contesta. a) ¿Cuánto miden el largo y el ancho de tu rectángulo? b) ¿Trazaron tus compañeros un rectángulo igual al tuyo? 2 Usa el rectángulo que trazaste para reproducir en tu cuaderno las construcciones de las figuras 1.5.2.a y 1.5.2.b.
b) ¿Cuáles serían sus perímetros? La expresión 2a significa “la suma de a más a” o “el producto de 2 por a”. La expresión ab significa “el producto de a por b”.
c) ¿Tu respuesta al inciso b es equivalente a la expresión 2L + 2A? ¿Por qué? I
Fig. 1.5.2.a.
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Analiza b) Sumar la longitud de todos sus lados.
Explora y construye Página 45 A partir de rectángulos 1. b) Lo más probable es que se tracen diferentes rectángulos.
Página 46 3. Por ejemplo, para obtener el perímetro de la figura I se puede sumar 4 veces la medida del largo, 4 veces la mitad del largo (2 veces la medida inicial) y 6 veces la del ancho, es decir, 6 largos + 6 anchos. Otra opción es hacerlo sólo en función del largo (un ancho mide medio largo): 4 largos más 4 mitades de largo (2 largos) más 6 anchos (3 largos), es decir, 9 largos. Se puede obtener el perímetro también en función de los anchos. a) Sí, porque los procedimientos no dependen de las medidas de los rectángulos sino sólo de la relación establecida entre el largo y el ancho.
1. b) L + L + A + A
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46 g. pá
c) Sí, pues L + L = 2L y A + A = 2A, así que L + L + A + A = 2L + 2A.
Página 45 1. a) 2.4 m
d) Sí, pues sólo se necesitan las medidas de los lados y el cálculo es el mismo. e) Cualquier valor. 3. a) Multiplicando la longitud de su largo por la de su ancho. b) L × A o LA 5. a) • 2k + 2m • km b) Por ejemplo, ab, xy, lt. 6. a) Iguales. b) a × a = a2 c) Sustituyendo la letra a por 5, es decir, 52. d) El área sería 32. e) El área sería 5002. 7. Se sustituye a por el valor de la longitud del lado del cuadrado, y se hace la multiplicación.
Página 48 8. a) Una base y la altura correspondiente. Sugerencia didáctica. Se puede recordar al alumno que un triángulo tiene tres bases y tres alturas que se relacionan por parejas. Generalmente se toma como base el lado horizontal del triángulo. b) Por ejemplo, c puede representar la base y f, la altura. c) Por ejemplo: cf . 2 9. a) Por ejemplo: e puede representar la base y g, la altura. 2×5 2 b) Por ejemplo, eg 2 = 2 =5u . 2×5 = 5 u2. c) Por ejemplo, cf 2 = 2
8 Responde lo siguiente. a) ¿Qué elementos de un triángulo necesitas conocer para calcular su área?
b) Escoge de la siguiente lista una literal para representar cada uno de los elementos que anotaste en el inciso anterior: c, d, e, f, g, w, y, z.
c) Escribe con las literales elegidas una expresión que te permita calcular el área
de cualquier triángulo.
9 Reúnete con un compañero y haz lo siguiente.
Fig. 1.5.3.b.
a) Pídele que te explique con cuáles letras representó los elementos del triángulo.
b) Respondan lo siguiente acerca del primer elemento de las sucesiones.
b) Ocupa la expresión que escribió para calcular el área de un triángulo cuya
• ¿Qué polígono es?
base mide 2 unidades y cuya altura mide 5 unidades.
• ¿Cómo determinaron su perímetro?
c) Calcula la misma área pero con la expresión que tú escribiste.
• ¿Cuál sería el perímetro de la primera figura de las sucesiones si sus lados
10 En grupo, comenten si el valor del área de un triángulo se ve afectada por las literales que se ocupan en la fórmula y escriban sus conclusiones a continuación.
midieran k unidades de longitud? c) Respondan lo siguiente acerca del segundo elemento de las sucesiones. • ¿Qué polígono es? • ¿Cómo determinaron su perímetro? • ¿Cuál es el área de estos polígonos?
Perímetros y sucesiones
• ¿Cuál sería el perímetro de la segunda figura de las sucesiones si sus lados
1 En parejas, resuelvan la siguiente secuencia. a) Escriban los primeros 7 elementos de las sucesiones formadas por los perímetros de cada uno de los polígonos regulares de las figuras 1.5.3.a y 1.5.3.b.
• ¿Cuál sería su área?
midieran k unidades de longitud?
d) Respondan lo siguiente acerca del tercer elemento de las sucesiones. • ¿Qué polígono es?
Busca en... la siguiente página una aplicación que te permitirá conocer el área de algunas figuras de forma interactiva: www.edutics.mx/ ZoV
• ¿Cómo determinaron su perímetro? • ¿Cuál sería el perímetro de la tercera figura de las sucesiones si los lados 1
de cada polígono midieran k unidades de longitud?
e) Escriban los primeros diez elementos de la sucesión correspondiente a los perímetros de los polígonos regulares cuyos lados miden k unidades.
2 A partir de su respuesta anterior, expliquen en grupo cómo se pueden obtener las sucesiones del ejercicio 1.
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Fig. 1.5.3.a.
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10. Una conclusión sería: el área no depende de las literales escogidas.
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Reflexiona a) 4t + 2w
c) 2t × 3w
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• 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 b) • Un triángulo equilátero. • Una manera es sumar la medida de sus lados. También se puede multiplicar la longitud de uno de sus lados por tres. • 3k c) • Un cuadrado. • Una manera es sumar la medida de sus lados. También se puede multiplicar la longitud de uno de sus lados por cuatro. • 1, 41 y 4, respectivamente. • 4k • k2 d) • Un pentágono regular. • Una manera es sumar las medidas de sus lados. También se puede multiplicar la longitud de uno de sus lados por cinco. • 5k e) 3k, 4k, 5k, 6k, 7k, 8k, 9k, 10k, 11k, 12k 2. Multiplicando el número de lados por la longitud de uno.
1. a) PI
2a + 12b
7a + 12b
12a + 2b
b) Sí. Basta sustituir la a por la medida de los largos, y la b por la medida de los anchos de los rectángulos. Resuelve y practica 1.
2. 2a + 2b o a + a + b + b
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b) 2t + 6w
Perímetros y sucesiones 1. a) • 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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Figuras de tres y cuatro lados
Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye al aprendizaje que se espera que alcance el alumno en la lección 5 del bloque 2: resolver problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros. Conceptos principales: triángulos, cuadriláteros, regla, compás, transportador, escuadra. Materiales: juego de geometría. Antecedentes • Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros que se forman al unir dos triángulos • Clasificación de cuadriláteros con base en sus características (lados, ángulos, diagonales, ejes de simetría) • Problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros
Situación inicial (pág. 51) La intención de esta actividad es que el alumno analice la utilidad de un compás para trazar ciertas figuras geométricas, en este caso, un triángulo equilátero.
Explora y construye (págs. 52-58) A lo largo de esta sección habrá diversas actividades con las que el alumno construirá triángulos y cuadriláteros: en algunos casos hará trazos y en otros, aproximaciones, de acuerdo con los instrumentos del juego de geometría con los que cuente. Podrá analizar algunas similitudes y diferencias entre triángulos equiláteros, isósceles y escalenos, así como entre cuadrados, rectángulos, deltoides, rombos, romboides y trapecios.
Regresa y revisa (pág. 58) En esta sección el alumno podrá concluir qué figuras geométricas se pueden trazar con su juego de geometría.
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En esta sección deberás hacer los trazos que se indican utilizando únicamente las herramientas solicitadas en cada caso.
Una tarea con un juego de geometría incompleto Carlos tiene la tarea de trazar en su cuaderno, con su juego de geometría, un triángulo equilátero a partir de un segmento de recta que será uno de los lados. Sin embargo, sólo cuenta con un compás y una regla sin graduar. ¿Cómo lo trazarías tú con estas herramientas?
1 Responde lo siguiente. a) ¿Cuántos vértices tiene un triángulo?
Triángulos equiláteros Glosario
1 En parejas, tracen en su cuaderno, con regla graduada, un triángulo equilátero cuyos lados midan 4 cm cada uno.
segmento de recta. Porción de recta que queda delimitada por dos de sus puntos, llamados extremos del segmento.
2 Comenten en grupo las dificultades para hacer el ejercicio anterior. 3 En parejas, respondan lo siguiente.
b) ¿Cuántos vértices hay en un lado de un triángulo?
a) ¿Para qué sirve el transportador?
2 Carlos encontró en un libro el siguiente procedimiento para trazar el triángulo. Lleva a cabo los pasos y contesta las preguntas.
b) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo de la situación inicial? 4 Tracen en su cuaderno un triángulo equilátero cuyos lados midan 5 cm utilizando transportador y regla graduada.
▶ Traza en tu cuaderno un segmento de recta, que será la base de un triángulo equilátero. Señala con rojo dónde estarían los vértices de ese lado. ▶ Traza una circunferencia con centro en uno de los extremos del segmento y con un radio que mida lo mismo que el segmento.
5 Describan en su cuaderno el procedimiento que utilizaron. 6 El juego de geometría incluye dos escuadras como las de la figura 1.6.1. Midan con el transportador los ángulos de cada una de ellas y anoten sus valores en la misma.
a) ¿Por qué el otro vértice del triángulo debe estar en algún punto de la circunferencia que trazaste? ▶ Traza una circunferencia con centro en el otro extremo del segmento de recta y con un radio que mida lo mismo que el segmento. b) ¿Dónde se encuentra el otro vértice del triángulo?
▶ Traza el triángulo y después verifica con una regla graduada que sea equilátero.
7 En parejas, tracen en su cuaderno, con escuadras y regla graduada, un triángulo equilátero de 5 cm.
8 En grupo, discutan las ventajas de cada uno de los siguientes procedimientos para trazar un triángulo equilátero. Después, respondan las preguntas. • Con compás y regla sin graduar. • Con transportador y regla graduada. • Con escuadras y regla graduada.
1. En grupo, discutan lo siguiente. a) Su respuesta al inciso b del ejercicio 2. b) ¿Por qué con el procedimiento del ejercicio 2 se pueden construir dos triángulos
a) ¿Miden lo mismo los ángulos de cualquier triángulo equilátero?
equiláteros diferentes?
b) ¿Cómo validarían la respuesta anterior?
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Situación inicial Página 51 Una tarea con un juego de geometría incompleto 1. a) 3 b) 2 2. a) Porque la distancia de ese otro vértice al vértice del triángulo usado como centro de la circunferencia trazada debe ser uno de sus radios. b) En la intersección de las dos circunferencias. Analiza 2. b) Porque hay dos puntos de intersección entre las circunferencias trazadas.
Explora y construye Página 52 Trazo de triángulos Triángulos equiláteros
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3. a) Para medir ángulos. b) 60 grados (60°). 5. Se puede trazar un segmento de recta de 5 cm y luego, desde uno de sus extremos, otro de 5 cm a 60° del primero con ayuda del transportador. Por último, se traza el tercer lado uniendo los extremos libres de los otros dos lados. 6. La primera escuadra de la figura 1.6.1 tiene dos ángulos de 45° y uno de 90°; la segunda escuadra tiene un ángulo de 30°, uno de 60° y otro de 90°. 7. Se puede utilizar el método de la actividad 5, pero en vez de transportador se usa la escuadra que tiene un ángulo de 60°. 8. Sugerencia didáctica. El trazo con regla y compás es el más preciso. Los otros métodos están sujetos a errores de medición. a) Sí, 60°. b) Una posible respuesta es: hacer algunos triángulos equiláteros de diferentes tamaños y verificar que sus ángulos midan lo mismo.
2. El trazo del tercer lado depende del trazo del segundo, es decir, se hacen por “prueba y error”.
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onstruye
1 Anota cómo son entre sí los ángulos de un triángulo isósceles.
1 Construye en tu cuaderno, con regla graduada y compás, un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 6 cm y 8 cm. 2 Explica tu construcción del ejercicio anterior a tres compañeros y comparen sus
2 Traza en tu cuaderno, con regla graduada y escuadras, un triángulo isósceles cuyo lado diferente mida 6 cm y cuyos ángulos iguales sean de 45°.
construcciones. ¿Qué observan?
3 Revisa tu trazo con un compañero y escriban las medidas de los lados iguales y 3 Traza en tu cuaderno, con escuadra y transportador, un triángulo cuyos ángulos midan 15°, 25° y 140° y compáralo con los trazados por dos compañeros.
el ángulo diferente del triángulo trazado. 4 En grupo, discutan por qué en todos los triángulos trazados deberían obtenerse las mismas medidas.
4 Discutan en grupo cuántos triángulos se pueden obtener en los ejercicios 1 y 3, respectivamente.
5 En equipos de tres, trazarán en su cuaderno, con regla graduada y transportador, tres triángulos isósceles. Para ello, observen el cuadro 1.6.1 y sigan los pasos.
5 En grupo, analicen cuántos triángulos se pueden trazar a partir de las siguientes características. a) Un ángulo de 30° y otro de 70°, que comparten un lado de 4 cm. b) Un lado de 4 cm y otro de 7.5 cm que formen un ángulo de 37°.
Triángulo Medida
Ángulo diferente de cada triángulo
Lados iguales de cada triángulo
Llama triada a un conjunto de tres números que correspondan a las longitudes de tres segmentos; por ejemplo, la triada (1, 2, 3) se refiere a segmentos que miden 1 cm, 2 cm y 3 cm.
Ángulos iguales de cada triángulo
6 En parejas, tracen en su cuaderno, con el juego de geometría, el triángulo correspondiente a cada una de las siguientes triadas: (5, 3, 3), (6, 3, 7) y (4, 6, 5).
Lado diferente de cada triángulo
7 En grupo, expliquen por qué las siguientes afirmaciones son verdaderas. • Con una triada de la forma (a, a, a) no es posible construir un triángulo escaleno. • Es posible construir un triángulo rectángulo con una triada de la forma (a, a, b).
Cuadro 1.6.1. Medidas de tres triángulos isósceles.
▶ Tracen los tres triángulos a partir de las medidas anteriores. ▶ Midan los ángulos y lados de los triángulos resultantes y completen los espacios blancos del cuadro anterior.
Trazo de cuadriláteros
6 Propongan otra longitud para los lados iguales de un triángulo isósceles con la misma medida del ángulo diferente del cuadro anterior y tracen el triángulo.
En esta sección también deberás hacer los trazos que se indican utilizando únicamente las herramientas solicitadas en cada caso.
7 Expliquen qué relación hay entre los ángulos de los cuatro triángulos.
Cuadrados 1 En parejas, respondan lo siguiente. 8 Comparen el ejercicio anterior con el de otro equipo y observen cómo son los lados y los ángulos de los triángulos que ellos trazaron.
a) Si el lado del cuadrado A mide 3 cm y el del cuadrado B mide 5 cm, ¿entonces los ángulos del cuadrado A miden menos grados que los del cuadrado B? ¿Por
9 En grupo, discutan lo siguiente. a) Dado un ángulo, ¿cuántos triángulos isósceles pueden trazarse si consideran que ese ángulo se encuentra entre los lados iguales? Expliquen. b) Dado el ángulo que se encuentra entre los lados iguales de un triángulo isósceles, ¿cambiará la medida de los otros dos ángulos si cambia la longitud de esos lados?
qué? 2 Planteen un procedimiento para trazar un cuadrado de 4 cm con una regla graduada y escuadras, y llévenlo a cabo.
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Página 53 Triángulos isósceles 1. En un triángulo isósceles hay dos ángulos que son iguales. 2. Se puede trazar un segmento de 6 cm y, con ayuda de la escuadra que tiene un ángulo de 45°, trazar un segmento desde cada vértice del segmento inicial hacia el mismo punto y a 45°. 3. El ángulo diferente mide 90° y los lados iguales, 4.2 cm. 4. El lado y los ángulos dados determinan el vértice opuesto del triángulo y, con ello, la medida de los otros lados y el ángulo que se forma entre ambos. 5. Medida
7. Los ángulos de los cuatro triángulos miden uno a uno lo mismo. 9. a) Una infinidad de triángulos. b) No, siempre mide lo mismo.
Página 54 Triángulos escalenos 1. Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 5 cm. Con ayuda del compás, trazar una circunferencia de 6 cm de radio y centro en uno de los extremos del segmento. Luego trazar una circunferencia
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3 Discutan sus procedimientos en grupo. 54
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de 8 cm de radio y centro en el otro extremo del segmento. Uno de los dos puntos de intersección de las circunferencias será el tercer vértice del triángulo. 2. Que todos los triángulos tienen las mismas medidas. 4. En el ejercicio 1 se puede obtener un solo triángulo. En el ejercicio 3 no hay límite, pues se puede cambiar la medida de uno de los lados del triángulo y la medida de los otros lados también cambia. 5. a) Sólo se puede trazar uno. b) Sólo se puede trazar uno. 6. Basta repetir la construcción desarrollada en el ejercicio 1, con las medidas señaladas. 7. • Con la triada (a, a, a) sólo se puede construir triángulos equiláteros. • Los segmentos que miden a unidades tienen que ser perpendiculares; esta medida determina la medida de b. Sugerencia didáctica. Mencione un ejemplo de lo anterior: si dos lados miden 2 unidades, el otro lado queda determinado por la perpendicularidad de ellos, y mide aproximadamente 2.83 unidades; su triada es (2, 2, 2.83). Aunque sí existe un triángulo formado por la triada (2, 2, 1), no corresponde a un triángulo rectángulo. Trazo de cuadriláteros Cuadrados 1. No. Porque los cuatro ángulos de un cuadrado miden 90°. 2. Una posible construcción sería: trazar un segmento de 4 cm con la regla; con la escuadra, trazar dos segmentos perpendiculares de 4 cm que tengan como extremos los del segmento inicial y que vayan hacia
4 A Carlos le dejaron otra tarea: trazar un cuadrado usando sólo un compás y una regla sin graduar. Para ello, partió de un segmento de recta al que llamó AB, que sería uno de los lados del cuadrado (en la figura 1.6.2, corresponde al segmento azul). Lee los pasos que siguió para obtener un lado adyacente al primero y analízalos en la figura. ▶ Prolongar con rojo el segmento AB por ambos extremos, con longitudes al menos iguales a la de dicho segmento. ▶ Trazar una circunferencia (de color verde) con centro en A y con un radio que mida menos que AB. ▶ Llamar C y D a los puntos donde la circunferencia corta al segmento AB y su prolongación. ▶ Trazar dos circunferencias de radio CD: una con centro en C y otra con centro en D. ▶ Trazar una recta sobre los puntos donde se cortan las dos circunferencias de igual tamaño. ▶ Trazar otra circunferencia con centro en A y radio AB. ▶ Marcar el punto de intersección de la circunferencia con la última recta trazada y llamarlo E.
Rectángulos 1 Responde lo siguiente. a) ¿Cómo se relacionan entre sí las medidas de los lados de un rectángulo?
lados adyacentes. Aquellos que comparten un vértice.
b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos de un rectángulo?  2 Supón que cuentas con un transportador y una regla graduada y quieres trazar un rectángulo. a) ¿Qué propiedad de los rectángulos justifica el uso del transportador?
b) ¿Cómo trazarías con estos instrumentos un rectángulo cuyos lados midan 5 y 7 cm? Propón un procedimiento y verifícalo en tu cuaderno.
Deltoides y rombos 1 Realiza el procedimiento siguiente y responde las preguntas. ▶ Traza un segmento AB de 5 cm en el centro de una página de tu cuaderno. ▶ Sobre el segmento AB traza dos circunferencias, una con centro en A y otra con centro en B, cuyos radios cumplan lo siguiente. • Que midan lo mismo. • Que su longitud sea mayor que la mitad de la del segmento AB, de modo que las circunferencias se intersequen en dos puntos. ▶ Marca el punto de intersección de las circunferencias que se encuentra por arriba del segmento AB; llámalo C. ▶ Traza otras dos circunferencias cuyos radios midan lo mismo, con centro en cada uno de los extremos del segmento AB; la longitud de los radios debe ser mayor que la de los radios de las otras circunferencias. ▶ Marca el punto de intersección de ambas circunferencias que se encuentra por debajo del segmento AB y llámalo D. ▶ Traza con rojo los segmentos AC, CB, BD y DA.
B Fig. 1.6.2.
5 Responde lo siguiente. a) ¿Cómo es el ángulo entre el segmento AB y la última recta trazada? b) ¿Cómo son ambas rectas entre sí? c) ¿Pasa la última recta trazada por el punto A? d) ¿Por qué el segmento AE mide lo mismo que el segmento AB?
Busca en... www.edutics.mx/ Zoj actividades y ejercicios acerca de la construcción de triángulos.
a) ¿Qué forma tiene el cuadrilátero que construiste? Describe sus lados y ángulos.
b) ¿Cómo son los lados y ángulos de un rombo?  e) ¿Qué parte de la última recta trazada corresponde al nuevo lado del cuadrado?
2 La figura que trazaste en el ejercicio 1 se llama deltoide. Básate en el procedimiento que permite trazar un deltoide para escribir en tu cuaderno los pasos con los que se construye un rombo. 3 Después, en grupo, revisen este procedimiento.
6 Con base en el procedimiento de Carlos, traza en tu cuaderno un cuadrado de 6 cm de lado. 7 Verifica que se cumplan las propiedades de esta figura geométrica respecto a la longitud de sus lados, así como la dimensión de sus ángulos. Si no es así, revisa la actividad con algún compañero cuyos trazos sí las cumplan. 8 Revisen en grupo las dudas respecto a la construcción anterior.
4 Lee lo siguiente y responde: “en un cuadrilátero, una diagonal es la recta que va de un vértice al otro que no se encuentra en un lado adyacente”. ¿Cuántas diagonales tiene un rombo? 
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el mismo lado (se puede usar la regla como apoyo de la escuadra, de modo que la primera quede justo junto al segmento inicial), y trazar el lado restante para obtener un cuadrado.
Página 55 5. a) Es un ángulo recto. b) Perpendiculares. c) Sí. d) Coinciden en el extremo A y los otros puntos están en la circunferencia de radio AB. e) El segmento AE.
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1. a) Los lados opuestos miden lo mismo, pero los lados adyacentes tienen distinta longitud. b) Miden 90°. 2. a) La medida de sus ángulos. b) Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 5 cm; con la regla y el transportador trazar segmentos perpendiculares de 7 cm que tengan
como extremos los del segmento inicial y que vayan hacia el mismo lado, y trazar el lado restante. Deltoide y rombo 1. a) Tiene dos pares de lados iguales. Tiene un par de ángulos opuestos iguales y los otros dos son diferentes. b) Los lados de un rombo son todos iguales y sus ángulos opuestos miden lo mismo. 2. Una posible construcción, a partir del procedimiento del ejercicio 1, es usar sólo uno de los pares de circunferencias cuyo radio es el mismo y unir sus puntos de intersección con los extremos del segmento. 4. Un rombo tiene dos diagonales.
5 a) 3.54 cm b) 90° c) Las diagonales del cuadrilátero resultante son las rectas que se trazaron al principio. 6. Se trata de un cuadrado. 7. Basta repetir el procedimiento del ejercicio 5 pero con rectas de distinta longitud.
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5 Traza en tu cuaderno dos rectas perpendiculares de 5 cm que se intersequen en su punto medio y únelas por sus extremos.
5 En grupo, discutan cómo trazarían un romboide para que dos de sus ángulos sean de 75° y 105° y dos de sus lados midan 4 cm y 7 cm.
a) ¿Cuánto miden los lados del cuadrilátero resultante?
b) ¿Cuánto miden sus ángulos?
1 En equipos de tres, hagan lo siguiente. a) Tracen tres triángulos isósceles con dos lados de 7 cm y uno de 6 cm usando compás y regla graduada. b) Con cada uno de los triángulos anteriores tracen un trapecio isósceles cuya base mayor sea de 6 cm. El primer trapecio debe tener una altura de 2 cm; el segundo, una de 3 cm, y el último, una de 4 cm. Usen escuadras y regla graduada. c) Obtengan la base menor de los tres.
c) ¿Cuáles son las diagonales en tu trazo? 6 En parejas, revisen los trazos del ejercicio anterior y digan de qué cuadrilátero se trata. 7 En grupo, modifiquen el procedimiento anterior para obtener un rombo.
2 En grupo, verifiquen que obtuvieron las longitudes correctas de las bases menores; de lo contrario, revisen en qué parte del procedimiento se equivocaron.
8 Haz lo siguiente. ▶ Marca los puntos medios de los lados del cuadrado y del rectángulo siguientes. ▶ Une los puntos marcados con los puntos de los lados adyacentes. ▶ Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros resultantes.
Reflexiona 1. Discutan en grupo si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y justifiquen cada respuesta. a) Con dos segmentos de recta se puede trazar un único triángulo. b) Se puede construir un único triángulo si se conoce la longitud de su base y su altura.
9 En parejas, respondan lo siguiente. a) ¿Qué figura obtuvieron dentro del cuadrado?
1 En equipos, analicen los trazos que hicieron en la lección. Elaboren un cartel con una tabla de dos columnas: en la primera dibujen un instrumento del juego de geometría y en la segunda redacten sus aplicaciones en el trazo de triángulos y cuadriláteros. Incluyan todas las herramientas con que trabajaron.
b) ¿Qué figura obtuvieron dentro del rectángulo? 10 En grupo, discutan cuáles son las diferencias y similitudes entre un cuadrado y un rombo respecto a sus lados, ángulos y diagonales.
1. Traza los siguientes cuadriláteros en tu cuaderno, mide sus lados y ángulos, e identifica de qué figura se trata en cada caso. ▶ Sus diagonales miden 5 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio. ▶ Sus diagonales miden 5 cm, no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio. ▶ Sus diagonales miden 5 y 8 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio. ▶ Sus diagonales miden 5 y 8 cm, no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto medio. 2. Una diagonal siempre divide a un cuadrilátero en dos triángulos. Si los triángulos en que un cuadrilátero quedó dividido por su diagonal son equiláteros, ¿de qué tipo de cuadrilátero estamos hablando? ¿Hay varias posibles respuestas a esta pregunta?
1 Prueba este procedimiento para trazar rectas paralelas usando dos escuadras: ▶ Mantén fija una de las escuadras. ▶ Coloca la otra escuadra de manera que uno de sus lados se deslice sobre uno de los lados de la escuadra fija, como se muestra en la figura 1.6.4. ▶ Traza una recta con alguno de los lados de la escuadra móvil que no está en contacto con la escuadra fija. ▶ Arrastra la escuadra móvil y traza otras rectas paralelas a la primera. 2 En tu cuaderno, describe los lados y ángulos de un romboide. 3 En grupo, discutan un procedimiento para trazar, con regla graduada y dos escuadras, un romboide cuyos lados iguales midan 4 cm y 7 cm, respectivamente. 4 En parejas, tracen en su cuaderno el romboide y midan sus ángulos internos.
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9. a) Un cuadrado. b) Un rombo. 10. En el cuadrado y en el rombo todos los lados miden lo mismo. Todos los ángulos de un cuadrado miden 90°, mientras que en un rombo los ángulos opuestos miden lo mismo, pero su medida es distinta respecto al otro par. Las diagonales de un cuadrado miden lo mismo, mientras que las de un rombo son distintas. En ambos cuadriláteros las diagonales son perpendiculares.
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Trapecios 1. c) Las bases menores son aproximadamente: 4.1 cm, 3.2 cm y 2.2 cm, respectivamente. Reflexiona 1. a) Es falsa. Con distintos ángulos entre los dos segmentos se obtienen distintos triángulos. b) Es falsa. Se puede desplazar la colocación del tercer vértice de modo que se obtengan triángulos distintos.
Romboides 2. Los lados opuestos miden lo mismo y los ángulos opuestos también, pero en ambos casos su medida es distinta respecto al otro par. 3. Un procedimiento correcto sería: trazar un segmento de 4 cm, con el procedimiento descrito en 1 trazar desde cada extremo del segmento de 4 cm un segmento de 7 cm, que sean paralelos, y trazar el lado restante.
Página 58 5. Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 4 cm; con ayuda del transportador, desde uno de sus extremos trazar una segmento de 7 cm a 75°; trazar otro segmento de 7 cm a 105° desde el otro extremo del primer segmento, y trazar el segmento restante.
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Regresa y revisa Página 58 Resuelve y practica 1. a) Un cuadrado. b) Un rectángulo. c) Un rombo. d) Un romboide. 2. El cuadrilátero sería un rombo en el que una de las diagonales mide lo mismo que sus lados. No hay ninguna otra respuesta posible.
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Las líneas del triángulo
Situación inicial (pág. 59)
Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado de la lección 5 del bloque 2: resolver problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros. Conceptos principales: alturas y medianas de un triángulo, mediatrices y bisectrices en un triángulo; ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro. Materiales: juego de geometría. Antecedentes • Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros que se forman al unir dos triángulos • Problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros • Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría Ideas erróneas 1. El alumno puede pensar que los triángulos rectángulos sólo tienen una altura, pues las otras dos coinciden con los lados.
Con esta actividad se busca que el alumno reflexione y explore cómo localizar un punto que equidiste de otros tres.
Explora y construye (págs. 60-67) A lo largo de las actividades que se presentan en esta sección el alumno estudiará, mediante su construcción, las rectas notorias del triángulo: alturas, medianas, mediatrices y bisectrices; conocerá sus propiedades y aprenderá el nombre de los puntos en los que se intersecan. Hará trazos libres de triángulos rectángulos, obtusángulos y equiláteros para compararlos entre sí y con los de sus compañeros, con el fin de generalizar sus propiedades.
Regresa y revisa (pág. 67-68) En esta sección el alumno, además de resolver la situación inicial, trazará ciertas rectas notorias para consolidar los conocimientos adquiridos a lo largo de la secuencia.
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1 Escribe enseguida una definición de la altura de un triángulo.
Distancia equitativa en un servicio Se desea construir un hospital en la zona costera que se muestra en la imagen, el cual debe estar a la misma distancia de los tres poblados señalados con las letras A, B y C. ¿Dónde debe situarse el hospital? 2 En grupo, recuerden qué propiedades tienen los triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos. En el pizarrón, dibujen algunos ejemplos de cada uno.
3 Haz los siguientes trazos y responde las preguntas. ▶ En el siguiente espacio traza un triángulo rectángulo, uno obtusángulo y uno equilátero, de manera que en cada uno la base sea de color rojo, el lado izquierdo, verde, y el lado derecho, azul.
Fig. 1.7.1.
Analiza a) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo que forman los tres poblados?
▶ Traza con rojo la altura de los triángulos anteriores correspondiente a la base roja. Si no es posible hacerlo en el libro para alguno de los triángulos, cálcalo en una hoja de modo que puedas hacerlo en ella.
b) ¿Qué tipo de triángulo es? c) ¿Cómo encontrarías el punto donde debe ubicarse el hospital?
a) ¿Qué hiciste para trazar las alturas?
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Situación inicial Página 59 Distancia equitativa de un servicio / Analiza a) El ángulo ABC = 104°, BCA = 34° y CAB = 42°. b) Es un triángulo escaleno. c) Una respuesta es trazar el triángulo que forman los tres poblados y la mediatriz de dos (o tres) de sus lados. Sugerencia didáctica. La mayoría de los alumnos desconocen lo que es la mediatriz de un segmento. Se les puede preguntar dónde estaría el hospital si sólo hubiera dos poblados.
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1. Una respuesta es: la altura de un triángulo es el segmento que va de un vértice al lado opuesto y lo corta perpendicularmente. 2. El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto; en el acutángulo todos los ángulos son agudos, y el obtusángulo tiene un ángulo obtuso. Sugerencia didáctica. De ser necesario se le puede recordar al alumno que un ángulo agudo mide menos de 90° y uno obtuso, más de 90°.
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3. Sugerencia didáctica. Aquí se puede abordar la idea errónea 1 si ésta se presenta. a) Hay que trazar, desde un vértice, un segmento perpendicular al lado opuesto. Si se trata de un triángulo obtusángulo, cuando sea necesario hay que prolongar el segmento que es la base del triángulo.
Página 61 b) Tiene 3, una por cada lado. c) En el caso de los triángulos obtusángulos. 4. En los triángulos rectángulos dos alturas son lados del triángulo y la tercera está dentro; en los triángulos acutángulos las tres alturas están dentro del triángulo, y en los triángulos obtusángulos dos alturas están fuera del triángulo y una dentro. 7.
Página 60 Alturas de un triángulo
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Ubicación del ortocentro respecto al triángulo
El ortocentro es el vértice de los lados que forman el ángulo recto
9. Una respuesta es que la ubicación del ortocentro depende de los ángulos del triángulo y no de las medidas de los lados.
▶ Marca el punto en que la recta negra corta otro de los lados de cada triángulo y llámalo P.
b) ¿Cuántas alturas tiene un triángulo?
▶ Gira tu libro y acomódalo de manera que el segmento azul sea ahora la base de cada triángulo y traza con azul la altura correspondiente. ▶ Repite el procedimiento anterior suponiendo ahora que el lado verde es la base en cada triángulo y traza con verde la altura. c) ¿En qué casos alguna altura está fuera del triángulo?
4 En parejas, comparen los triángulos y las alturas que trazaron. Analicen qué relación hay entre la clasificación del triángulo y la ubicación de las alturas.
5 Reúnanse con otra pareja y verifiquen que sus conclusiones del ejercicio anterior también se cumplan en los triángulos que ellos trazaron. 6 En los triángulos que trazaron, prolonguen las alturas hasta que se intersequen. El punto en que se intersecan las alturas de un triángulo se llama ortocentro.
7 Completen el siguiente cuadro.
2 Responde lo siguiente. a) ¿En qué casos coincidieron la línea punteada y la recta negra?
Triángulo Equilátero Rectángulo
b) Completa el siguiente cuadro.
Cuadro 1.7.1. Triángulo
8 En equipos de cinco integrantes, verifiquen que las conclusiones del cuadro anterior se cumplan para todos los triángulos trazados.
9 En grupo, comenten por qué se cumplen los resultados del cuadro sin importar el tamaño de los triángulos.
Mediatrices en un triángulo
Cuadro 1.7.2.
AP BP DP EP GP HP
c) En cada triángulo, ¿cómo son entre sí las longitudes de los segmentos traza-
1 Haz los trazos que se indican a continuación en el recuadro de la página siguiente. ▶ Traza un triángulo rectángulo, uno obtusángulo y uno equilátero. La base de todos debe ser roja, el lado izquierdo, verde, y el lado derecho, azul. ▶ Marca los vértices que corresponden al lado rojo de la siguiente manera: A y B en el triángulo rectángulo, D y E en el obtusángulo, y G y H en el equilátero. ▶ Traza con una línea roja punteada la altura que corresponde a la base de ese color. ▶ Con tu juego de geometría, determina el punto medio del lado rojo en cada triángulo. ▶ Traza con negro una recta paralela a la línea punteada que pase por el punto medio que encontraste.
dos desde el punto P a cada extremo del lado rojo? d) Ahora, en cada triángulo toma un punto diferente a P sobre la recta negra, llámalo Q y mide la longitud de los segmentos formados desde Q hasta cada uno de los extremos de la base. ¿Qué observas?
e) Verifica si pasa lo mismo para cualquier otro punto sobre la recta negra.
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2. a) En el triángulo equilátero. b) Los datos dependen de los trazos del alumno. c) Son iguales. d) Que los segmentos desde Q a cada extremo miden lo mismo. e) Sí pasa lo mismo, pues es la mediatriz.
9. En el triángulo equilátero coinciden; en los demás no. 11. Una respuesta posible es: en el triángulo rectángulo isósceles una altura y una mediatriz coinciden; el ortocentro y el circuncentro están sobre el triángulo pero el ortocentro está en el vértice de los lados que forman el ángulo recto, y el circuncentro está en el lado opuesto. Si es un triángulo obtusángulo, ambos puntos notorios están fuera del triángulo. 12. Son iguales.
3. Una posible respuesta es que cualquier punto sobre la recta negra equidista de los extremos del segmento rojo. 4. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio. 6.
13. No es posible trazar otra, pues sólo ese punto equidista de los tres vértices del triángulo.
Sobre el lado opuesto al vértice de los lados que forman el ángulo recto
Medianas de un triángulo 1. a) En dos triángulos. b) Es la mitad del área del triángulo original trazado por el alumno.
Página 65 c) Son iguales. 3. Con esa recta, el área de un triángulo se divide en dos partes iguales.
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▶ Traza una circunferencia cuyo centro sea el circuncentro y cuyo radio sea la distancia del centro a cualquier vértice.
3 En parejas, comparen sus triángulos y los trazos que hicieron en ellos. Analicen si obtuvieron los mismos resultados en los incisos anteriores y escriban sus observaciones.
A la circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo se le llama circunferencia circunscrita del triángulo.
La recta negra que trazaron es la mediatriz del segmento rojo. 13 En grupo, comenten si es posible trazar otra circunferencia circunscrita en cada triángulo.
4 Investiga en un diccionario la definición de mediatriz y escríbela en el recuadro.
Medianas de un triángulo 1 Haz los siguientes trazos y responde las preguntas. ▶ En el siguiente espacio, traza un triángulo rectángulo, uno obtusángulo y uno equilátero, de manera que en cada uno la base sea de color rojo; el lado izquierdo, verde; y el lado derecho, azul, y realiza lo siguiente.
5 Repite el procedimiento del ejercicio 1 para trazar las mediatrices de los lados azul y verde de cada triángulo; después de trazarlas, prolonga las rectas hasta que se intersequen. El punto en que se intersecan las mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.
6 Completa el cuadro. Triángulo
Ubicación del circuncentro respecto al triángulo
Equilátero Rectángulo Obtusángulo
Cuadro 1.7.3.
7 En equipos de cinco integrantes, verifiquen que las conclusiones del cuadro anterior se cumplan para todos los triángulos trazados. 8 En pareja, tracen en sus cuadernos un triángulo rectángulo, un equilátero y un obtusángulo diferentes a los que trazaron en el ejercicio 1. Obtengan el ortocentro y circuncentro de cada uno. 9 En grupo, establezcan en qué triángulos coinciden estos puntos y escríbanlos a continuación. 10 En parejas, tracen en su cuaderno un triángulo rectángulo que sea isósceles. Marquen sus tres alturas y sus tres mediatrices. Prolónguelas hasta que se intersequen.
▶ En cada triángulo, traza con tu lápiz un segmento de recta que vaya del punto medio del lado rojo al vértice opuesto.
11 Analicen y redacten las diferencias entre las intersecciones de las alturas y las de las mediatrices de un triángulo rectángulo que sea isósceles y otro que no lo sea. Después, verifiquen sus conclusiones con el resto del grupo.
a) ¿En qué figuras queda dividido cada triángulo?
12 En cada triángulo que trazaste en la página 62, haz lo que se indica. ▶ Mide las distancias del circuncentro a cada vértice. a) ¿Qué relación hay entre estas distancias?
b) Calcula el área de cada una de ellas.
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4. a) Sí se intersecan. b) En ninguno, siempre queda dentro. 6. a) 2 b) Sí, pasa lo mismo para las otras dos medianas. 8. a) El segmento más grande mide 12 unidades, y el otro, 6. b) Lo divide en dos partes: una mide 23 de lo que mide la mediana y la otra, 31 . 10. El baricentro es el punto de equilibrio de un triángulo, pues lo divide en tres áreas iguales.
Página 66 Bisectrices en un triángulo 2. a) Sí se intersecan. b) El incentro es el punto en donde se intersecan las bisectrices. c) Se ubica siempre dentro del triángulo. 3. a) Son iguales. b) En uno solo.
Página 67 4. No es posible trazar otra pues sólo ese punto equidista de los tres lados del triángulo. Reflexiona 1. a) Sólo en el triángulo equilátero los puntos notables coinciden.
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b) En un triángulo equilátero cualquiera de las rectas notables coinciden. En uno isósceles sucede en uno de los tres lados.
Regresa y revisa Página 67 1. Una respuesta posible es: trazar un triángulo que tenga por vértices los tres poblados y hallar su circuncentro, punto que equidista de cada vértice. 2. No es posible, pues el circuncentro se encuentra en el agua. 3. a) Es un triángulo rectángulo. c) Son dos triángulos rectángulos, pues la altura corta a AB en un ángulo recto. d) El ortocentro es el punto D.
Página 68 Resuelve y practica 1. a) Se trata de un triángulo equilátero, por lo que todas las rectas notorias del triángulo coinciden. b) Son medianas porque van del punto medio de los lados al vértice opuesto. Una de ellas (la recta vertical) también puede ser mediatriz, bisectriz y altura, pues es un triángulo isósceles. c) Son bisectrices, ya que el punto en el que se intersecan equidista de los lados. d) Son medianas porque van del punto medio de los lados al vértice opuesto.
A la circunferencia que toca en un solo punto a cada uno de los tres lados de un triángulo se le llama circunferencia inscrita del triángulo.
Resuelve y practica 1. Justifica en tu cuaderno qué tipo de rectas están trazadas en cada caso. Sólo puedes utilizar regla graduada.
4 En grupo, comenten si es posible trazar otra circunferencia inscrita en cada triángulo.
Reflexiona 1. Dibuja en tu cuaderno lo siguiente. a) Un triángulo en el que todos los puntos notables estudiados en la lección coincidan en uno solo. b) Un triángulo en el que todas las rectas notables estudiadas en la lección coincidan en una sola. 2. Compartan en grupo sus respuestas a lo anterior y obtengan una conclusión.
1 En tu cuaderno, explica cómo resolverías el problema de la situación inicial. 2 En grupo, comenten si es posible construir el hospital a la misma distancia de los tres poblados. 3 En equipos de tres, realicen las siguientes actividades. a) Determinen cómo se clasifica el triángulo ABC en relación con la medida de sus ángulos. b) Tracen las tres alturas del triángulo y señalen su ortocentro. c) Llamen D al punto donde la altura que pasa por el vértice C corta al segmento AB. El segmento de recta CD divide al triángulo en dos triángulos. Sin medir los ángulos de los triángulos ACD y DCB, determinen cómo se clasifican según la medida de sus ángulos. Justifiquen su respuesta en su cuaderno. d) Localicen, sin trazar las alturas de estos triángulos, el ortocentro de los triángulos ACD y DCB. e) Verifiquen su respuesta trazando las alturas de ambos triángulos. C
c) Fig. 1.7.3.
2. Traza con tu juego de geometría de rojo las alturas, de azul la mediatrices, de verde las medianas y de negro las bisectrices en un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 10 cm y 14 cm.
Toma nota Localiza los siguientes conceptos en el glosario (págs. 272-276) y anota con tus propias palabras una explicación y un ejemplo de cada uno: • Alturas de un triángulo • Medianas de un triángulo • Mediatrices en un triángulo • Bisectrices en un triángulo
B Fig. 1.7.2.
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2. Sugerencia didáctica. Las rectas azules (mediatrices) deben prolongarse hacia abajo para encontrar el circuncentro, y las rectas rojas (alturas) deben prolongarse hacia arriba para encontrar el ortocentro.
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Bloque 1 / LECCIÓN 8
Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado de la lección 6 del bloque 5: resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario. Conceptos principales: proporción, reparto proporcional. Materiales: calculadora. Antecedentes • Resolución de problemas de proporcionalidad del tipo valor faltante (suma término a término, cálculo de un valor intermedio, aplicación del factor constante) • Identificación y aplicación del factor constante de proporcionalidad (con números naturales) • Problemas de valor faltante en los que la razón interna o externa es un número natural Ideas erróneas 1. Los alumnos pueden pensar que una repartición en partes iguales es una manera justa de hacer un reparto aun cuando no todas las aportaciones hayan sido iguales.
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Situación inicial (pág. 69) En la actividad de inicio se busca que el alumno analice que en ciertas situaciones una repartición en partes iguales no es justa, y así tenga que buscar sus propios métodos para obtener una repartición que sí lo sea.
Explora y construye (págs. 69-72) En el desarrollo de la secuencia, el alumno tendrá que resolver diversas situaciones en las que usará reparto proporcional. Analizará qué criterios hacen justa una repartición, y cuáles no. Escribirá como fracción la proporción que cada parte aportó respecto al total, y la usará para resolver esos problemas.
Regresa y revisa (pág. 72) En esta sección el alumno analizará si los criterios para una repartición justa son también válidos en una situación en la que no hay ganancias sino pérdidas.
a) Si la cantidad de dinero destinada a la vigilancia es de $5 000 por semana, ¿cuánto le deben de pagar a cada uno de ellos por su trabajo de la semana pasada? ¿Por qué?
3 Rosa, Javier y Herminio hicieron 100 tamales oaxaqueños. Para comprar los ingredientes aportaron las cantidades de $80, $120 y $200, respectivamente, y se repartieron el trabajo de manera equitativa. En parejas, analicen cómo se deben repartir los tamales, respondiendo las preguntas.
Tres amigos: Alfonso, Tere y Rocío, se asociaron para poner una tienda de buceo y para ello aportaron diferentes cantidades de dinero. Alfonso puso $40 000; Tere, $60 000, y Rocío, $100 000. Si al final del primer año tuvieron ganancias de $60 000, ¿cómo deben repartirse ese dinero de acuerdo con lo que aportó cada uno?
a) ¿Consideran que se deben repartir los tamales en cantidades iguales? ¿Por qué?
b) Rosa, Javier y Herminio tienen 33, 32 y 35 años de edad, respectivamente.
1. En parejas, respondan las siguientes preguntas en su cuaderno. a) Si los amigos se repartieran las ganancias en partes iguales, ¿cuánto dinero le tocaría a cada uno? b) ¿Consideran que las ganancias deben repartirse en partes iguales entre los tres? ¿Por qué? c) ¿Qué parte del total del dinero para iniciar el negocio aportó cada uno de los socios? d) De acuerdo con su respuesta anterior, ¿qué parte de las ganancias le corresponde a cada uno de los socios? Expliquen su respuesta.
¿Cuántos tamales le tocan a cada uno si la distribución se hace de manera proporcional a sus edades? c) ¿Piensan que es justo repartir los tamales según sus edades? ¿Por qué?
d) ¿Cuántos tamales le tocan a cada uno si la distribución se hace proporcionalmente al aporte monetario para la compra de los ingredientes?
e) ¿Cuántos tamales le tocan a cada uno si la distribución se hace proporcio-
nalmente al aporte de trabajo para hacer los tamales?
Repartición justa Es probable que hayas participado en un reparto equitativo. En la primaria se resuelven problemas donde la distribución es así, pero pregúntate si eso es justo en todos los casos.
4 En grupo, verifiquen sus procedimientos y analicen si los distintos criterios señalados en el problema, como el trabajo hecho por cada persona, la edad de cada uno o el aporte económico para comprar los ingredientes, son igualmente válidos.
1 Considera el problema de la situación inicial y responde lo siguiente. a) Si las ganancias hubieran sido de $50 000, ¿cómo se repartirían?
Dinero y chocolates
b) Si las aportaciones iniciales hubieran sido: $100 000 de Alfonso, $120 000
1 En parejas, resuelvan los siguientes problemas. a) Cada uno de los cinco integrantes de una familia ahorró durante un año para pagar un viaje a la playa. Aportaron las siguientes cantidades.
de Tere y $100 000 de Rocío, y las ganancias al final del primer año hubieran sido de $60 000, ¿cómo debería repartirse ese dinero de modo proporcional
a lo que aportó cada uno? 2 Una unidad habitacional contrató a David y Daniel como vigilantes para trabajar de lunes a viernes. David lo hará de 6 am a 6 pm y Daniel, de 6 pm a 6 am. La semana pasada, David trabajó dos turnos que le tocaban a Daniel.
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Cuadro 1.8.1.
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Situación inicial Tienda de buceo / Analiza 1. a) $20 000 b) Se espera que el alumno responda que no, porque aportaron cantidades diferentes. 1 5
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3 , y Rocío, 1 . parte del total; Tere, 10 2
d) A Alfonso le correspondería 51 parte, es decir, 3 partes, o sea, $18 000, y, a $12 000; a Tere, 10 Rocío, la mitad, que equivale a $30 000. Sugerencia didáctica. Aquí se puede tratar, si se presenta, la idea errónea 1 para determinar por qué en este caso no es justo hacer una repartición en partes iguales.
Explora y construye Página 69 Repartición justa 1. a) Las proporciones se conservarían. A Alfonso le
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2. a) De los diez turnos que trabajaron entre los dos, David trabajó siete y Daniel tres; por lo tanto, a Da7 partes ($3 500) y a Daniel, vid le corresponden 10 3 partes ($1 500). 10 3. a) Se espera que el alumno responda que no, pues las aportaciones no fueron equitativas. b) La suma de sus edades es igual a la cantidad de tamales que prepararon; entonces, a Rosa le tocan 33; a Javier, 32, y a Herminio, 35. c) Se espera que el alumno responda que no, pues la edad no es un criterio justo para hacer la repartición. d) A Rosa le tocarían 20; a Javier le tocarían 30 y a Herminio, 50. e) Se repartieron el trabajo de manera equitativa, así que a cada uno le tocaría la misma cantidad, es decir, 100 tamales entre 3.
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corresponderían $10 000; a Tere, $15 000, y a Rocío, $25 000. b) A Alfonso y a Rocío les corresponderían $18 750 a cada uno, mientras que a Tere le tocarían $22 500.
c) Alfonso puso
María Rogelio
• En la primera celda de la tercera columna del cuadro anterior, escriban “Cantidad aportada respecto al total reunido” y completen el resto de la columna con las fracciones correspondientes.
• Si al regresar del viaje les sobraron $2 000, ¿cómo se deben repartir ese dinero? • Anoten en la cuarta columna cuánto le tocaría a cada quien y verifiquen sus resultados con el resto del grupo.
Localiza reparto proporcional en el glosario (págs. 272-276) y anota con tus propias palabras una explicación y un ejemplo del término.
1. En el problema de los tamales oaxaqueños (ejercicio 2 de la página 70), si Rosa y Herminio hubieran aportado cada quien 200 pesos para los ingredientes y Javier no hubiera dado dinero pero hubiera hecho todos los tamales él solo, ¿cómo repartirías los 100 tamales? ¿Qué dificultad plantea esa repartición?
b) Jorge, Rocío y Samuel compraron una caja de chocolates con 60 piezas. Rocío aportó la mitad del costo total; Jorge, la tercera parte, y Samuel, el resto. Si se repartieran las piezas de manera proporcional a su aportación:
Regresa y revisa 1 En equipos de tres, lean nuevamente la situación inicial y analicen el siguiente planteamiento. Respondan las preguntas en su cuaderno.
• ¿Cuántos chocolates le tocarían a cada uno?
Después del primer año, los tres amigos querían hacer crecer su negocio e invitaron a Julieta y Esther a asociarse con ellos para así tener más capital. Las dos aceptaron y cada una aportó $25 000. Los cinco amigos trabajaron por igual pero, al finalizar el año, no hubo ganancias sino pérdidas. Además de perder el dinero de la inversión, tenían que pagar $100 000 entre todos.
• Expliquen en su cuaderno el procedimiento que usaron para obtener la respuesta anterior. c) Juan y Carlos, dos compañeros de trabajo, compraron un boleto de un sorteo y ganaron $20 000. El reparto del premio se hizo de manera proporcional de acuerdo con lo que aportaron y a Juan le tocaron $7 500.
a) Propongan una manera para repartir el pago entre los socios y expliquen por qué lo decidieron así. b) Si los amigos hubieran decidido repartir el pago pendiente de manera proporcional a la cantidad que cada quien invirtió, ¿cuál de los cinco habría tenido que pagar más? ¿Cuánto hubiera pagado cada uno?
• ¿Qué parte del costo del boleto aportó Juan? • ¿Y qué parte aportó Carlos? • Si el boleto costó $600, ¿cuánto dinero aportó cada uno de ellos?
2 En grupo, discutan sus respuestas anteriores y expliquen en qué situaciones es aplicable el reparto proporcional.
• Expliquen en su cuaderno qué hicieron para determinar el resultado de las preguntas anteriores. d) El gobierno federal asigna $800 000 al año al municipio de Santiago Huauclilla, Oaxaca, el cual está conformado por cuatro pueblos: Santiago Huauclilla (239 habitantes), San Bartolomé Zotula (66 habitantes), San Juan Tlalixtlahuaca (52 habitantes), Santiago Ixtlahuaca (103 habitantes). La distribución del dinero se hace de manera proporcional al número de habitantes de cada pueblo. Respondan las siguientes preguntas. • ¿Qué parte del total del dinero asignado le corresponde a cada uno de
el siguiente enlace actividades y ejercicios sobre reparto proporcional:
Participación de los trabajadores en las utilidades de las empresas (ptue) Por ley, las empresas deben repartir parte de sus ganancias anuales a sus trabajadores. Una compañía repartirá este año $90 000. Para calcular cuántas utilidades le corresponden a cada una de las 15 personas que laboran en ella, se usaron dos criterios: • Reparto proporcional a los días trabajados. La mitad de la utilidades disponibles ($45 000) se repartió considerando los días laborados en el año, que se acumularon entre los 15 trabajadores (3 761 días); es decir, cada uno recibirá $11.96 por día trabajado individualmente, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 3 761. • Reparto proporcional al salario recibido. La otra mitad se repartió considerando el total de los salarios pagados por la compañía en el año ($523 100); es decir, cada empleado recibirá 0.086 de su salario individual recibido ese año, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 523 100. a) ¿Qué criterio favorece más a los empleados? b) Consulta la Ley Federal del Trabajo (artículo 117 en adelante) para conocer más sobre la ptue (www.diputados.gob.mx/LeyesBiblio/).
www.edutics. mx/Zoy
los cuatro pueblos? • ¿Qué cantidad de dinero le toca a cada pueblo? 2 En grupo, respondan las preguntas del inciso d del ejercicio anterior pero ahora consideren una asignación de un millón de pesos. Fuentes: “Santiago Huauclilla”, en Enciclopedia de los Municipios de México. En www.e-local.gob.mx/ work/templates/enciclo/oaxaca/municipios/20463a.htm Consultada el 14 de diciembre de 2011. “Santiago Huauclilla”. En www.nuestro-mexico.com/Oaxaca/Santiago-Huauclilla Consultada el 14 de diciembre de 2011.
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Dinero y chocolates 1.
Concepción Sergio
Devolución 7 43 8 43 8 43
Página 71 a) El dinero que sobró debería ser repartido de manera proporcional a lo que aportaron. b) • A Rocío le tocarían 30 piezas; a Jorge, 20, y a Samuel, 10. • Un procedimiento consiste en multiplicar la fracción del costo total que aportó cada uno por la cantidad de piezas que tiene la caja de chocolates. c) • Juan aportó 83 del costo del boleto. • Carlos aportó
del costo del boleto.
• Juan aportó $225 y Carlos, $375. •S  e puede dividir el total de dinero que ganaron ($20 000) entre la cantidad que ganó Juan ($7 500) para obtener la fracción del total que aportó él. Luego se calcula la fracción que aportó Carlos, haciendo la resta de la unidad menos la parte que aportó Juan. Finalmente, se multiplican esas fracciones por el costo del boleto ($600). d) • Al pueblo de Santiago Huauclilla le corres239 ponden 460 del total; a San Bartolomé Zotula, 66 52 460 ; a San Juan Tlalixtlahuaca, 460 , y a Santiago 103 Ixtlahuaca, 460 .
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• A Santiago Huauclilla le tocan $415 652.17; a San Bartolomé Zotula, $114 782.6; a San Juan Tlalixtlahuaca, $90 434.78, y a Santiago Ixtlahuaca, $179 130.43. 2. A Santiago Huauclilla, $519 565.22; a San Bartolomé Zotula, $143 478.26; a San Juan Tlalixtlahuaca, $113 043.47, y a Santiago Ixtlahuaca, $223 913.04.
Página 72 Reflexiona 1. Una posible respuesta es que los tamales se podrían distribuir en partes iguales si se sustituyera la aportación económica por el trabajo. Nuevamente habría que repartir 100 entre 3.
Regresa y revisa Página 72 1. a) Una manera es repartir las pérdidas de manera proporcional, de acuerdo con lo que cada quien invirtió. b) Julieta y Esther tendrían que pagar $10 000 cada una; Alfonso, $16 000; Tere, $24 000, y Rocío, $40 000. Observa y relaciona a) El primer criterio favorece a todos por igual, mientras que el segundo favorece más a los que tienen un sueldo mayor.
Bloque 1 / LECCIÓN 9
Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado de la lección 8 del bloque 1 de Matemáticas de 2° de secundaria: comparar cualitativamente la probabilidad de eventos simples. Conceptos principales: juegos de azar, procesos aleatorios. Materiales: bolsa de plástico, canicas (cuatro blancas, cuatro verdes y cuatro negras por pareja), monedas y un dominó por pareja. Ideas erróneas 1. Hay situaciones en las que se toma en cuenta el orden de una combinación y otras en las que no. Generalmente depende del contexto o se especifica en las indicaciones de la actividad. Por ejemplo: los números 1 y 2, como pares de números son diferentes, es decir, (1, 2) ≠ (2, 1), pero si fueran fichas de dominó representarían la misma pieza.
Situación inicial (pág. 73) En esta actividad, el alumno deberá notar que en algunos juegos de azar se tiene mayor posibilidad de obtener algunos resultados que otros.
Explora y construye (págs. 73-76) Esta sección tiene la intención de que el alumno analice y distinga las situaciones en las que un resultado está completamente condicionado a un proceso aleatorio de las situaciones en las que no es así. Primero identificará los juegos de azar. Luego, mediante una serie de actividades, podrá analizar en cuáles hay un resultado favorito y en cuáles no. Finalmente, podrá concluir cuáles son las estrategias para elegir un número con más posibilidades de ser ganador.
Regresa y revisa (págs. 76-77) Se busca que el alumno elija entre varios resultados el que sea favorito o, cuando sea el caso, concluya que todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir, basándose en la cantidad que hay de cada uno.
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1 Escribe en tu cuaderno: a) Dos juegos en los que intervengan procesos aleatorios. b) Dos situaciones en las que el resultado de un juego dependa más de las habilidades de los participantes que de los procesos aleatorios.
9. Juegos de azar Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
2 En grupo, lean los juegos y las situaciones de dos compañeros y comenten cómo intervienen los procesos aleatorios en ellos.
1 En equipos de cinco personas, hagan lo siguiente y respondan lo que se pide.
3 En equipos de tres personas, analicen la siguiente situación y respondan las preguntas. Jugador Turno
En un grupo de primero de secundaria se elegirán dos representantes para el comité de protección civil de la escuela. Los candidatos propuestos fueron Catalina, Natalia, José, Pablo y Laura. La elección de los representantes se hará mediante sorteo: en una bolsa cada candidato meterá un papel de un mismo tamaño y doblado a la mitad, con su nombre. Sin ver dentro de la bolsa, otro alumno sacará dos papeles y con ello se obtendrá el nombre de los representantes elegidos. ¿Creen que el par Pablo-José gane el sorteo? ¿Por qué?
Corten 31 pedazos de papel del mismo tamaño y escriban un número en ellos de la siguiente manera: en 20, anoten el número 1; en cinco, el número 2; en otros cinco, el número 3, y en uno, el número 4.
Doblen los papeles en dos y métanlos en una bolsa de plástico. Tomen un papel por turno y anoten el número escrito en él en el cuadro de la derecha. Devuélvanlo a la bolsa doblado de nuevo en dos. Después de sacar 70 veces los papeles (14 por jugador), sumen los puntos obtenidos para saber quién es el ganador. 2 Respondan lo siguiente. a) ¿Qué número apareció más veces?
a) ¿Qué otros pares se pueden formar?
b) ¿Los pares José-Laura y Laura-José son diferentes? ¿Por qué?
c) Si se simula el sorteo varias veces, ¿creen que se pueda saber quiénes serán
los representantes? ¿Por qué?
Cuadro 1.9.1.
b) ¿Cuál apareció menos? c) ¿Por qué algunos números aparecen más que otros?
4 Simulen el sorteo varias veces de la siguiente manera. En diferentes papeles, escriban el nombre de los interesados en participar en el comité. Doblen los cinco papeles, revuélvanlos y tomen dos. Escriban en el cuadro 1.9.2 el par elegido. Devuelvan los papeles a la bolsa y revuélvanlos. Repitan este procedimiento 14 veces. Utilicen las letras C, N, J, P y L para representar en el cuadro, respectivamente, los nombres de Catalina, Natalia, José, Pablo y Laura.
Analiza 1. En grupo, respondan lo siguiente. a) Si se juega de nuevo, ¿el resultado será el mismo? ¿Por qué? b) ¿Es posible que en el juego el número 3 aparezca más veces que el 1? ¿Por qué? Turno
Cuadro 1.9.2.
5 Usen la información de la tabla para responder lo siguiente.
Procesos aleatorios Cuando se tira un volado, hay dos resultados posibles; cuando se lanza un dado de seis caras, hay seis resultados posibles; si se juega a la lotería, hay un número determinado de resultados posibles. Pero, aunque se puedan conocer todos los resultados posibles de estos juegos, no se sabe cuál se obtendrá cada vez. Esto es lo que sucede en los procesos aleatorios. En un juego de azar intervienen procesos aleatorios.
a) ¿Qué resultado de los siguientes aparece más veces: hombre-mujer, mujermujer u hombre-hombre? b) ¿Creen que si se repitiera cien veces el procedimiento la respuesta al inciso anterior sería la misma? ¿Por qué?
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Situación inicial Página 73 Un juego de números 2. a) El resultado no tiene que ser el mismo para todos, pero el número que puede aparecer más veces es el 1. b) El número que puede aparecer menos es el 4. c) Porque hay más papeles con esos números. Analiza 1. a) El resultado puede no ser el mismo porque se pueden extraer otros papeles. b) Sí es posible, aunque es muy poco probable que suceda, pues hay menos papeles con el número 3 que con el número 1.
Explora y construye Página 74 1. a) Por ejemplo, tirar un dado o sacar una carta de una baraja. b) Por ejemplo, lanzar dardos a un tablero o encestar un balón. Sugerencia didáctica. Se puede explicar la similitud entre el juego de dardos y el juego de sacar papelitos de la bolsa de plástico. En ambos se obtienen números, pero en el juego de dardos el participante más hábil acertará a los valores más altos, mientras que en el juego de los papeles no importa la habilidad.
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3. Es posible que el par Pablo-José gane; otras posibilidades son cualquier otro de los pares mencionados en el siguiente inciso. a) Catalina-Natalia, Catalina-José, Catalina-Pablo, Catalina-Laura, Natalia-José, Natalia-Pablo, NataliaLaura, José-Laura y Pablo-Laura. b) No. Son el mismo par porque están integrados por las mismas personas. Sugerencia didáctica. Si aquí se presenta la idea errónea 1, se puede discutir para explicar que lo que se tiene en cuenta es la pareja elegida y no el orden en el que se toma el papel con el nombre. c) Una respuesta es que no se puede saber, ya que cada vez que se simule el sorteo pueden ser representantes distintos. 5. a) La respuesta más probable es hombre-mujer, aunque puede ser cualquier par. b) Una respuesta es: sí, pues hay más combinaciones hombre-mujer que las otras dos combinaciones.
Página 75 6 a) Hombre-mujer. Sugerencia didáctica. Si hay tiempo, se puede preguntar a los alumnos cuál resultado de esa actividad se puede repetir más veces cuando hay, por ejemplo: • dos mujeres y tres hombres, • dos mujeres y dos hombres, • tres mujeres y un hombre, y • cuatro mujeres y un hombre.
6 En grupo, discutan y respondan lo siguiente. a) ¿Cuál de los siguientes resultados creen que se obtendría más si se repitiera el sorteo mil veces: hombre-mujer, mujer-mujer u hombre-hombre? b) ¿Es relevante para el resultado que el número de mujeres que quieren integrar el comité sea mayor que el de hombres? ¿Por qué?
5 Comparen sus resultados con los de los demás equipos del grupo y discutan lo siguiente. a) Si se tratara de adivinar qué color saldrá más en el juego de las canicas, ¿por cuál apostarías? b) ¿Hay alguna estrategia para ganar en el juego anterior? ¿Por qué?
Más juegos de azar 1 En parejas, tomen una moneda y cada uno láncela al aire 25 veces. Anoten lo que sale en cada lanzamiento en el cuadro 1.9.3. Pueden utilizar la letra A para representar el resultado que sea “águila” y S para el que sea “sol”. Ganará quien obtenga más veces “águila”.
6 Repitan los ejercicios 4 y 5, pero ahora usen cuatro canicas blancas, tres verdes y una negra. Registren sus resultados y respuestas en su cuaderno.
¿Sólo azar?
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un simulador de un lanzamonedas.
Cuadro 1.9.3.
2 En la penúltima columna, donde aparece A, anoten el número total de veces que salió “águila” como resultado del volado y, en la última columna, el número de veces que salió “sol”.
Para jugar dominó, las fichas se reparten de manera aleatoria. 1 En parejas, respondan lo siguiente. a) Si es su turno en una partida de dominó, ¿qué deben considerar para tirar una ficha? b) ¿Sabrían con exactitud qué ficha van a tirar en el siguiente turno? ¿Por qué?
a) ¿La habilidad de cada jugador intervino en el resultado del juego?
c) ¿Ganar una partida de dominó depende de la habilidad de los jugadores?
b) ¿Algún resultado salió más veces? 2 En grupo, comenten algunos juegos donde ganar depende tanto del azar como de la habilidad de cada jugador.
c) ¿Por qué consideran que sucedió eso?
3 En grupo, verifiquen sus respuestas y discutan lo siguiente: si repitieran el juego, ¿saldrían águilas y soles en cantidades similares?
1. José y Santiago estaban discutiendo de futbol. José decía que el resultado del juego se define sólo por la habilidad de los jugadores, pero Santiago decía que además depende del azar. ¿Tú qué opinas?
4 En parejas, hagan lo siguiente y después respondan las preguntas. Coloquen en una bolsa que no sea transparente canicas de igual tamaño de los siguientes colores y en las cantidades indicadas: blanco (cuatro), verde (cuatro) y negro (una). En el cuadro 1.9.4, anoten sus nombres en las primeras dos celdas vacías. Por turno, cada quien sacará una canica, anotará su color en la tabla y la regresará a la caja. Gana quien obtenga más canicas del mismo color. a) ¿Quién ganó y con qué color? b) ¿Quién perdió y cuál fue el color que más obtuvo?
Jugador Turno 1
1 Responde lo siguiente en tu cuaderno. a) En el juego de las canicas (ejercicio 4 de la página 75), si se tratara de adivinar el color que saldrá más en el juego, ¿cuál no debes elegir? ¿Por qué? b) ¿Consideras que si un resultado tiene más posibilidades de salir, elegirlo te da ventajas para ganar? ¿Por qué?
2 En grupo, discutan si el único factor para ganar un juego es elegir el resultado que tiene el mayor número de posibilidades de salir.
9 10 Cuadro 1.9.4.
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b) Sí es relevante, pues define el número de posibles combinaciones. Más juegos de azar 2. a) No. b) Sí. Algún resultado tiene que salir más veces. c) Porque hay un número impar de lanzamientos. Sugerencia didáctica. Se le puede preguntar al alumno qué jugador iba ganando después del segundo turno. Es muy probable que alguna pareja de jugadores esté empatada después del segundo turno, y pueden hacer un análisis acerca de por qué hay situaciones en las que conviene un número impar de lanzamientos para evitar el empate. Incluso se puede mencionar el conocido “dos de tres”. 3. No necesariamente; alguno de los dos puede salir más veces. 4. a) y b) Los resultados varían de pareja a pareja, pero los colores que aparecerán más veces serán el blanco y el verde.
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b) No hay una estrategia para ganar, aunque elegir la canica negra es la peor opción. 6. a) Por la canica blanca. b) Una estrategia es elegir la canica blanca, aunque no hay certeza de que se ganará. ¿Sólo azar? a) Una posible respuesta es: primero hay que considerar cuáles fichas se pueden tirar en ese turno; luego, analizando las demás fichas que se tienen, decidir cuál da alguna ventaja. b) No se puede saber cuál ficha tirar en el siguiente turno, pues depende de lo que tiren los demás, aunque en ciertas situaciones sí es posible saberlo. c) No depende exclusivamente de la habilidad de cada jugador, pero sí es un factor importante. 2. Por ejemplo, el póquer y el backgammon. Reflexiona 1. El futbol es un deporte en el que la habilidad de los jugadores es primordial para obtener un resultado positivo. Sin embargo, eso no significa que un equipo con jugadores más hábiles siempre ganará: el resultado depende también de otros factores.
5. a) Por la blanca o la verde.
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Resuelve y practica 1. En parejas, hagan lo siguiente y respondan las preguntas. Coloquen las fichas de un juego completo de dominó boca abajo y revuélvanlas. Saquen una ficha y registren en su cuaderno la suma de todos sus puntos, regrésenla boca abajo con las otras fichas y vuelvan a revolver todas. Repitan este procedimiento 50 veces. a) A partir de los resultados, ¿cuál suma consideran que tiene más posibilidades de salir: 6 u 8? b) Si les pidieran adivinar la suma de los puntos de una ficha de dominó elegida al azar de entre el total de las fichas, ¿cuál propondrían? ¿Por qué?
2. En equipos de tres, hagan lo siguiente. Cada quien elija uno de estos pares de números: 1 y 2; 3 y 4; 5 y 6. De acuerdo con ello, anoten su nombre en las celdas de inicio de columna del cuadro que aparece más adelante. Lancen un dado sobre una superficie plana. Anoten una G en la celda ganadora del primer turno. Hagan lo mismo hasta el último turno. Gana el jugador que acumule más turnos ganadores. Nombre del jugador (puntos elegidos) Turno
Nombre del jugador (puntos elegidos) Turno 13
y revisa
24 Cuadro 1.9.5.
Ahora respondan las preguntas. a) ¿Qué pares de números resultaron ganadores? b) ¿Consideran que en este juego interviene la habilidad del jugador? 3. Comparen en grupo los resultados de todos los equipos y contesten lo siguiente. a) ¿Coinciden los pares ganadores de todos los equipos? ¿Por qué?
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Regresa y revisa Página 76 1. a) El negro, porque sólo hay una canica de ese color, mientras que hay cuatro canicas de cada uno de los otros colores; es decir, la canica negra saldrá menos veces. b) Sí, porque hay más posibilidades de obtener ese resultado. 2. No es el único factor, pues no hay una certeza de que el resultado elegido será el ganador, aunque sí es una buena estrategia.
Página 77 Resuelve y practica
Sugerencia didáctica. Algunos alumnos escribirán que 8 es la suma que tiene más posibilidades, pues así sucedió en su experimento. Es importante comparar varias respuestas y analizar que hay más combinaciones que permiten obtener el número 6 que combinaciones que permiten obtener el 8. b) El número 6, pues se obtiene con más sumas que los demás números: con las fichas (0, 6), (1, 5), (2, 4) y (3, 3). 2. a) Depende de cada equipo, pues no hay números favoritos. b) No, pues es un juego de azar y todos los números tienen la misma posibilidad de salir. 3. a) Lo más seguro es que no, pues es un experimento aleatorio con la misma posibilidad para todos los resultados.
1. a) La respuesta que se espera es 6.
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Bloque 1 / Evaluaciones
1 Lee cada uno de los siguientes enunciados. 2 Señala si es falso (F) o verdadero (V). 3 Explica cómo verificarías tu respuesta. Enunciado
a) 5 es igual a 0.26.
20 5 = 100 = 0.20 ≠ 0.26. 12
b) Si un número a es menor que 5 y otro
3 número b es mayor que , entonces, en 5 la recta numérica, a está a la izquierda de b.
7 c) Si en un rectángulo el perímetro es de 3 cm y uno de los lados mide 3 cm, entonces el otro 4 5 cm. lado mide 12
d) La sucesión 7, 9, 11,… es de progresión geométrica.
Calcular el perímetro con los datos que se indican: (L + L + A + A =) 3 + 3 + 5 + 5 = 9 + 9 + 5 + 5 = 28 4
g) En un triángulo con un ángulo obtuso, el ortocentro siempre se ubica fuera de él.
h) Cecilia trabajó tres días de 8 am a 1 pm, y
Usar la fórmula para calcular el área de un triángulo ( b x h ) y multiplicar por 2 la altura.
Los extremos del segmento son los vértices del triángulo; para encontrar el tercer vértice se trazan dos circunferencias, cada una con centro en un extremo del segmento, con un radio igual a la medida de éste; esas circunferencias se intersecan en dos puntos, y cualquiera de ellos es el tercer vértice del triángulo equilátero.
Se trazan varios triángulos obtusángulos y sus ortocentros.
Hay que repartir una cantidad de dinero entre las dos personas, pero Cecilia trabajó 15 horas en total y Juan, 20, por lo que les corresponden cantidades de dinero diferentes.
Al lanzar un dado todos los resultados tienen la misma posibilidad de salir, por lo que no hay forma de predecir el resultado del tiro número 11, es decir, no hay ninguna estrategia.
i) Si se va a lanzar 11 veces un dado, una
4 En la página 85 podrás revisar cuáles enunciados son falsos y cuáles verdaderos. Revisa en tu libro los temas de las respuestas erróneas; de ser necesario, replantea tus propuestas de verificación y aplícalas.
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= 7 , por lo tanto, el enunciado es cierto.
7 Los cocientes 9 y 11 son distintos, por lo tanto, no es una sucesión con progresión geométrica.
f) Dado un segmento, es posible construir un triángulo equilátero sólo usando compás y regla no graduada.
estrategia para adivinar el número que caerá en el volado número 11 consiste en elegir el número que caiga más veces en los primeros 10 tiros.
Como en la recta numérica el número a se localiza a 3 3 la izquierda de 5 (pues a es menor que 5 ), y como el número b se localiza a la derecha de 3 (pues b es 5 3 mayor que 5 ), entonces a está a la izquierda de b.
e) Si un triángulo de base m y altura z aumenta su altura al doble, entonces el área del triángulo resultante es m por z.
Juan, dos días de 8 am a 6 pm, por lo cual a ambos deben pagarles la misma cantidad de dinero.
Propuesta de verificación
ENLACE 1 ¿Cuál es el numerador de la fracción con denominador 3 que ocupa la misma posición que 0.3 en la recta numérica? a) b) c) d)
8 12 1 No existe tal fracción.
2 Observa la siguiente recta numérica.
¿Qué número corresponde a la posición b? 13
a) 5 5 b) 8 8
c) 5 d) 1.3 3 Tres personas compraron un boleto de lotería en $60 y ganaron un premio de 1.5 millones de pesos. Si el reparto se hizo proporcionalmente y a una le tocó medio millón de pesos, ¿cuánto aportó dicha persona? a) b) c) d)
4 La intersección de las mediatrices de un triángulo se encuentra en el punto medio de uno de sus lados cuando el triángulo es… a) b) c) d)
equilátero. isósceles. rectángulo. escaleno.
5 Una fórmula para preparar una mezcla dice lo siguiente: “En un matraz aforado 5 de un litro mezcle 8 de litro de la solución A y 0.1 litros de alcohol etílico. Complete la mezcla con agua destilada hasta 1 litro”. ¿Cuántos litros se necesitan de agua destilada? 2
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1 Para hacer unos bastidores, un carpintero utilizará clavos que miden 8 de pulgada, de modo que al clavarlos queden fuera de la madera 0.1 pulgadas para colocar unas abrazaderas. Determina cuánto mide la parte de cada clavo que quedará dentro de la madera. La parte del clavo que queda dentro de la madera es
2 Indica en la regla correspondiente la longitud de cada uno de los clavos cuyas medidas se presentan a continuación.
3 de pulgada 4
5 de pulgada 8
Centímetros X
3 En un centro comercial se apilan latas de duraznos del siguiente modo.
a) ¿Cuántas latas habrá apiladas en un arreglo con 20 niveles? b) ¿Y en uno de 100 niveles?
210 latas.
5 050 latas.
Respuestas de la autoevaluación de la página 83. Enunciados falsos: a, d, h, i; enunciados verdaderos: b, c, e, f, g.
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B1 Evaluación Nombre del alumno  Grupo
Subraya la respuesta correcta. 1. Cecilia compró un terreno. Ocupó una tercera parte para hacer un balneario, puso una sexta parte en renta y ocupará una octava parte para sembrar. ¿Qué parte del terreno quedará disponible? 1 a) 17 9 b) 24 15 c) 24
d) 17 3 2. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un rectángulo cuyos lados miden L y 2L? a) 3 × L b) 2L × L c) 4L + 2L d) L × L + 2L × 2L 3. Saúl y José compraron un boleto de lotería con el que ganaron $900. Saúl puso 23 del costo del boleto y José lo demás. Si se distribuyeron la ganancia de manera proporcional, ¿cuánto dinero le tocó a José? a) $300 b) $900 c) $600 d) $0 4. De las siguientes opciones, ¿cuál es un juego de azar? a) Volados. b) Ajedrez. c) Dardos. d) Rayuela.
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5. En un triángulo, las alturas son: a) las rectas que pasan por un vértice y dividen en dos partes iguales su lado opuesto. b) las rectas que dividen un ángulo interior en dos partes iguales. c) los segmentos que van de un vértice a su lado opuesto y lo cortan perpendicularmente. d) los segmentos que unen el punto medio de un lado con el vértice opuesto. 6. Cuando se comparan dos números racionales con el mismo denominador, la manera más sencilla de saber cuál es más grande consiste en: a) multiplicar por el denominador común y simplificarlas. b) observar qué numerador es mayor. c) identificar el más cercano al cero en la recta numérica. d) reducirlas a su mínima expresión y compararlas. 7. Un paquete de cuatro donas se repartió en partes iguales entre cinco personas. ¿Qué fracción le tocó a cada quién? a) 0.8 b) 0.45 c) d)
8. ¿Cuál de los siguientes números se encuentra entre 0.001 y 0.002? a) 0.0010 b) 0.0110 c) 0.0012 d) 0.0120 9. ¿Cuál enunciado describe adecuadamente el sentido de la expresión 3n + 2? a) La tercera posición se multiplica por n y al resultado se le suman dos unidades. b) Tres veces la suma de la posición n más 2. c) Se suma 3 más 2 y el resultado se multiplica por la posición n. d) Se multiplica 3 por el número n y al resultado se le suma 2. 12 ? 10. ¿Cuál de las fracciones es equivalente irreducible de 42 24 a) 84 6 b) 21
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Respuestas a las evaluaciones BLOQUE 1
A B C D
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