Source: http://www.e-torredebabel.com/leyes/Bachillerato-Loe-Andalucia/matematicas-I-II-bachillerato-LOE-andalucia.htm
Timestamp: 2018-12-19 14:05:09+00:00

Document:
Matemáticas I y II - Bachillerato LOE - Comunidad de Andalucía
MATEMÁTICAS I Y II (BOJA. núm. 169, 26-8-2008, págs. 169-172)
El currículo de Matemáticas I y II incluye los objetivos, contenidos y criterios de evaluación establecidos estas materias en el Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, junto con las aportaciones específicas para la Comunidad Autónoma de Andalucía que se desarrollan a continuación.
El papel que desempeña el estudio de las matemáticas en bachillerato es principalmente estratégico y se manifiesta en tres aspectos: como base conceptual, como instrumento esencial de desarrollo de la Ciencia y la Tecnología y como valor inherente a la propia cultura. Además de todo eso, el alumnado de bachillerato debe aprender a apreciar la utilidad de las matemáticas, una utilidad relacionada con su capacidad para dar respuesta a la mayoría de las necesidades humanas. Para unos, las matemáticas son útiles porque enseñan a pensar y razonar con precisión, para otros porque llevan a la percepción y creación de la belleza visual, o porque permiten escapar de las realidades de la vida cotidiana, o porque son parte esencial del lenguaje de la ciencia.
Al finalizar el bachillerato el alumno o alumna debe desarrollar actitudes positivas hacia las matemáticas que le permitan identificar e interpretar los aspectos matemáticos de la realidad y acceder al mundo de las matemáticas, entendidas como parte esencial del desarrollo cultural y científico de nuestra sociedad. Esto, a la larga, le resultará mucho más interesante que la mera adquisición de un listado de contenidos en forma de programa extenso y ambicioso de conocimientos de los que a veces no comprende muy bien para qué sirven. Los jóvenes bachilleres deben conocer y reconocer la presencia de las matemáticas en el mundo actual para acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales, sus elementos, procedimientos y métodos científicos principales. Deben aprender a hacer matemáticas aprendiendo a entender y reconocer las matemáticas, a comprender de verdad su utilidad.
Para hacer posibles esos objetivos, es necesario que los procesos de enseñanza y aprendizaje se basen en tres pilares fundamentales: la resolución de problemas; la génesis y evolución de los propios conceptos y técnicas matemáticas y, finalmente, los modelos, métodos y fundamentos matemáticos. Estos tres aspectos deben constituir la base del diseño curricular de matemáticas para una enseñanza y aprendizaje adecuados. Con ellos se relacionan los núcleos temáticos que ahora se establecen para Andalucía.
Las matemáticas, como expresión de la mente humana, reflexionan activamente, moviéndose entre la razón contemplativa y el deseo de la perfección estética. Sus elementos básicos son la lógica y la intuición, el análisis y la construcción, la generalidad y la individualidad. La interacción entre estas fuerzas antitéticas y la lucha por lograr su síntesis constituye la vida, la utilidad y el valor supremo de las matemáticas. Por tanto, surgen dos cuestiones básicas que a lo largo de los siglos han resultado fundamentales sobre la naturaleza y método de las matemáticas: ¿qué podemos conocer? y ¿cómo avanza nuestro conocimiento?
Si las entendemos desde una óptica formalista, presentaremos unas matemáticas absolutamente distintas que si nos identificamos con la concepción constructiva de las mismas. Son el espíritu y la intuición los elementos funda-mentales que hay que potenciar en la enseñanza actual. De ahí el atractivo de un modelo educativo que recupera una enseñanza creativa que valora más el experimento mental en sí mismo que la expresión formal de la misma. La intuición, la representación, la manipulación real o virtual, la captación de la armonía, son elementos constitutivos de ese proceso, en el que debe iniciarse al alumnado.
Esta posición obliga a que las matemáticas se presenten como una ciencia que nos proporciona un conocimiento muy firme, basado en buenas razones, pero también cuestionable. El rigor propio de la ciencia no debe identificarse con cadenas deductivas aparentemente perfectas en un sistema axiomático, sino que, al hacer matemáticas, es imperativo buscar en el método deductivo la confirmación de los procesos constructivos que se han llevado a cabo con definiciones parciales, demostraciones informales y un lenguaje muchas veces representativo. Las teorías no son incuestionables. Una forma de hacer avanzar las matemáticas consiste en cuestionarse los axiomas de partida así como los resultados obtenidos mediante la búsqueda de contraejemplos. Un objetivo fundamental debe ser buscar respuestas a la pregunta: ¿cuándo un argumento matemático es correcto?
La modelización del problema, la elaboración de conjeturas y su comprobación o refutación, hará mucho más sencillo y atractivo el estudio y permitirá llegar sin demasiado esfuerzo al proceso de demostración, que será más cercano al alumno o alumna cuando se utilice un lenguaje propio y que de alguna manera le haya permitido construir un razonamiento. La racionalidad no debe ser exclusivamente reducida a la lógica formal. La naturaleza y la realidad, junto con las propias matemáticas, nos ofrecen después la posibilidad de llegar a la conceptualización matemática, a la creación de entes matemáticos mediante un proceso creciente de abstracción.
La resolución de problemas debe ocupar un lugar preferente en la enseñanza de las matemáticas, por ser la base fundamental del quehacer matemático, y debe mostrarse su potencial por una serie de razones que van desde su utilidad en la vida cotidiana hasta la preparación para estudios superiores, desde la percepción de la belleza hasta el simple placer alcanzado al resolver un problema. El estudio a través de la resolución de problemas fomenta la autonomía e iniciativa personal, promueve la perseverancia en la búsqueda de alternativas de trabajo y contribuye a la flexibilidad para modificar puntos de vista. Fomenta además la lectura comprensiva, la organización de la información, el diseño de un plan de trabajo y su puesta en práctica, así como la interpretación y análisis de resultados en un contexto determinado y la habilidad para comunicar con eficacia los procesos y resultados seguidos.
La resolución de problemas debe contribuir a introducir y aplicar los contenidos de forma contextualizada, a conectarlos con otras materias, contribuyendo a su afianzamiento, a la educación en valores y al desarrollo de destrezas en el ámbito lingüístico, ya que previamente al planteamiento y resolución de cualquier problema se requiere la traducción del lenguaje verbal al lenguaje formal propio del quehacer matemático y, más tarde, será necesaria la expresión oral o escrita del procedimiento empleado en la resolución y el análisis de los resultados. Por todo ello resulta fundamental en todo el proceso la precisión en los lenguajes y el desarrollo de competencias de expresión oral y escrita. Se debe abordar la re-solución de Problemas en Matemáticas tanto desde el aprender a resolver problemas como desde el aprender a través de la resolución de problemas, lo que permitirá poner el énfasis más en el «para qué» sirve lo que se aprende que en el simplemente «qué» se aprende.
Por otro lado, la modelización matemática ofrece un sentido práctico a las matemáticas, favoreciendo la motivación y el interés por ellas del alumnado de carreras científicas y tecnológicas, ofreciendo un nuevo carácter formativo de las mismas y a su vez fomentando el gusto por las matemáticas y por las carreras que contienen esta asignatura. Normalmente, los procesos de modelización en las enseñanzas del bachillerato son una sombra de la realidad. Para alentar el trabajo del alumnado conviene hacer algunas introducciones de carácter histórico de modelos que han ayudado al avance a lo largo de la evolución de la ciencia.
Las Tecnologías de la Información y Comunicación han cambiado de forma radical el mundo actual, por lo que es necesario adaptar los currículos y metodologías a esa realidad y responder así a las nuevas demandas sociales. El trabajo en las clases de matemáticas con estas tecnologías, ya sean calculadoras u ordenadores, favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar, diseñar experimentos bien construidos, conjeturar las razones profundas que yacen bajo los experimentos y los resultados obtenidos, reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar automáticamente con la ayuda de dichas tecnologías. Es un magnífico recurso para que el alumnado construya su propio conocimiento matemático, que es la mejor forma de aprenderlo.
MATEMÁTICAS I Y II - BACHILLERATO LOE - COMUNIDAD AUTÓNOMA DE ANDALUCÍA
ORDEN de 5 de agosto de 2008, por la que se desarrolla el currículo correspondiente al Bachillerato en Andalucía. Consejería de Educación - ANEXO I - ENSEÑANZAS PROPIAS DE LA COMUNIDAD AUTÓNOMA DE ANDALUCÍA PARA EL BACHILLERATO - II. MATERIAS DE MODALIDAD - B) MODALIDAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA - MATEMÁTICAS I Y II (BOJA. núm. 169, 26-8-2008, págs. 169-172)
En la línea de lo expuesto, el estudio de las Matemáticas en 1.º y 2.º de bachillerato de Ciencias y Tecnología incluye en Andalucía el estudio de cuatro núcleos temáticos que no deben considerarse compartimentos estancos y que deben estar presentes en los dos cursos. Corresponde a cada centro y departamento didáctico la decisión sobre la forma de organizar y presentar estos contenidos, pero sin olvidar que deben abordarse de forma cíclica, gradual y con atención a todos los bloques.
Esos núcleos temáticos son:
1. La resolución de problemas.
2. Aprender de y con la Historia de las Matemáticas.
3. Introducción a los métodos y fundamentos matemáticos.
4. Modelización matemática.
Es el elemento básico de la actividad matemática misma. Permite que el alumnado desarrolle una visión amplia y científica de la realidad, estimula la creatividad y la valoración de las ideas ajenas, facilita la habilidad para expresar las ideas propias con argumentos adecuados y el reconocimiento de los posibles errores cometidos.
La resolución de problemas constituye en sí misma la esencia del aprendizaje y debe estar presente en todos los núcleos temáticos de esta materia. Tiene estrecha relación con las materias de lengua y de filosofía en lo que atañe al uso correcto de la interpretación, expresión y argumentación del problema y de la solución y metodología seguida.
En todos los cursos deben abordarse situaciones relacionadas con núcleos de problemas estudiados en las otras materias del bachillerato de Ciencias y Tecnología.
El alumnado debe profundizar en lo trabajado en etapas anteriores, donde la resolución se basaba en cuatro aspectos fundamentales: comprender el enunciado, trazar un plan o estrategia, ejecutar el plan y comprobar la solución en el contexto del problema. Además de eso, el alumnado de bachillerato debe ser capaz de realizar un análisis crítico del proceso seguido que le permita realizar una reflexión y un afianzamiento formalizado, hasta el nivel conveniente, de posibles generalizaciones y aplicaciones a problemas diferentes y posibles transferencias de resultados, de métodos o de ideas.
Una secuencia metodológica basada en la exposición de contenidos seguida de una muestra de ejemplos, realización de ejercicios sencillos y después algo más complicados, para finalizar con la exposición y resolución de problemas relacionados con el bloque de contenidos, no parece la más adecuada para aprender a resolver problemas, pues prescinde de un aspecto esencial como el hecho de que un problema es en sí una situación para cuya resolución no existe, de entrada, un camino evidente. La primera cuestión a la que debe enfrentarse el alumno o alumna es la identificar y encontrar los conceptos subyacentes al problema, para encontrar el camino adecuado para resolverlo.
Desde esta perspectiva, la introducción de nuevos conceptos a través de situaciones-problema permite poner de manifiesto su interés práctico y funcional, facilitando la profundización en su conocimiento, manejo y propiedades. La enseñanza a través de la resolución de problemas implica seguir una serie de pasos:
- Propuesta de la situación-problema de la que surge el tema, que puede estar basada en aspectos históricos, en aplicaciones, modelos, juegos, etc.
- Investigación por parte del alumnado que conlleve una manipulación autónoma de la situación, que les permita familiarizarse con el problema y sus dificultades.
- Formulación y elaboración de estrategias que conduzcan a la solución, ensayos diversos realizados por el alumnado con ayuda de calculadoras u ordenadores, búsqueda de las diversas herramientas elaboradas a lo largo de la historia, etc.
- Aplicación de estrategias y obtención de resultados.
- Comprobación de que los resultados obtenidos se ajustan al planteamiento del problema.
- Análisis crítico del recorrido, incluyendo una reflexión y un afianzamiento sobre el proceso seguido y posibles generalizaciones y aplicaciones a nuevos problemas y posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas a otras aplicaciones.
Respecto a la evaluación de la resolución de problemas, además de los resultados que finalmente se obtengan, deben valorarse las destrezas que intervienen en el estudio de la situación-problema, tales como la lectura comprensiva del enunciado, formulación e interpretación de los datos, planteamiento de la estrategia a seguir, la realización de las operaciones o la ejecución del plan, la validación de los resultados obtenidos, la claridad de las explicaciones, especialmente en la presentación adecuada de las soluciones, y la capacidad de análisis crítico del proceso seguido y posibles generalizaciones.
El conocimiento de la génesis y evolución de los conceptos facilita el entendimiento de los mismos y, sobre todo, pone de manifiesto los objetivos con los que fueron desarrollados y la presencia que las matemáticas tienen en la cultura de nuestra sociedad. Las tecnologías de la información y comunicación brindan hoy recursos de fácil acceso, localización y reproducción para introducir en el aula los grandes momentos de los descubrimientos matemáticos de los conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado aprenda. Hay que ser conscientes de la relatividad inherente al conocimiento, y del hecho de que, a la larga, proporcionar a los alumnos y alumnas una visión adecuada de cómo la matemática contribuye y aumenta el conocimiento puede ser más valioso que la mera adquisición del mismo. En la observación de la evolución histórica de un concepto o una técnica, el alumnado encontrará que las matemáticas no son fijas y definitivas y descubrirá su contribución al desarrollo social y humano, permitiendo, a lo largo de la historia, resolver problemas y desarrollar aspectos de todas las ciencias y ámbitos del conocimiento, lo que le otorga un valor cultural e interdisciplinar inherente a la propia matemática. No se trata de dar simultáneamente un curso de matemáticas y de su evolución histórica, sino de utilizar la historia para contribuir a la contextualización, comprensión y aprendizaje de las matemáticas.
Al desarrollar los núcleos de contenidos propuestos en el Real Decreto 1467/2007, se pueden trabajar, entre otros, los siguientes aspectos históricos:
- Sobre Análisis: Historia de la caracterización de números reales, estructura y topología: Cauchy, Weierstrass y Dédekind. La influencia del método griego de exahusción en el descubrimiento de la derivada. La evolución del concepto de función desde Fermat a Euler. Derivadas y Fluxiones en Leibniz y Newton. La formulación del límite de D’Alembert a Cauchy. La continuidad y la derivada desde la rigorización del límite. La evolución del concepto de integral: Leibniz, Cauchy y Riemann.
- Sobre Álgebra: Del Álgebra de Viète a la representación gráfica de Descartes, Fermat y Wallis. Evolución del Álgebra lineal: desde los antecedentes en MacLaurin y Cramer hasta desarrollo en el siglo XIX de Gauss a Kronecker.
- El método iterativo para la resolución aproximada de ecuaciones polinómicas basada en la Regula Falsi. Primeras aproximaciones basadas en la falsa posición de Herón, las técnicas de Cardano, Viete, Kepler y Newton en el uso de la falsa posición.
- La trigonometría: la obra de Ptolomeo y el desarrollo espectacular de la matemática árabe, destacando el papel de Al-Andalus en el desarrollo de la trigonometría.
- Sobre Geometría: Las cónicas en las obras griegas: Apolonio y Arquímedes. El enfoque analítico de Descartes y Witt. Aplicaciones de cónicas por Kepler y Newton. Evolución de la geometría: La concepción geométrica de Euclides. La geometría descriptiva de Monge. Los Espacios Vectoriales de Cayley a Peano.
- Sobre Probabilidad: Los inicios del cálculo de probabilidades desde Pacioli a Gauss y su influencia en las distribuciones de probabilidad. Las formulaciones actuales dadas por Borel y Kolmogorov. La progresión de la estadística durante el siglo XX con la aplicación de la probabilidad.
Por sus características y carácter transversal, los contenidos de este núcleo temático deben aparecer integrados en el desarrollo de todos los demás, en función de los contenidos que se aborden en cada momento. El aprendizaje de y con la historia de las Matemáticas no consiste en disponer de una batería de biografías, historietas y anécdotas curiosas para entretener al alumnado, sino que debe programarse de forma que permita hacer aproximaciones históricas a los contenidos que sirvan para introducir y ayudar a la comprensión y evolución de los conceptos a través de una perspectiva histórica. El orden lógico no es necesariamente el histórico, ni tampoco el orden didáctico tiene por qué coincidir con ninguno de los dos.
Para estudiar la componente histórica de las matemáticas resulta especialmente indicado el uso de internet y de las herramientas educativas existentes para su aprovechamiento. En este nivel el alumnado debe introducirse en la lectura de textos seleccionados de autores clásicos, que pueden obtenerse, entre otras, de obras como: «Introducción al análisis de los infinitos» y «Cartas a una princesa alemana…» de Euler; «Continuidad y números irracionales» y «¿Qué son y para qué sirven los números?» de Dedekind; «Ciencia e Hipótesis» de Poincaré; «Lecciones sobre el desarrollo de la matemática en el siglo XIX» de Klein; «Discurso del Método» de Descartes, etc.
Los métodos y fundamentos de las matemáticas en bachillerato deben responder a la combinación de dos aspectos fundamentales: una deducción lógica legítima y una especificación inequívoca de los elementos utilizados. Estos fundamentos deberán expresarse principalmente con un lenguaje verbal en el que estén presentes la corrección de los términos utilizados y de la presentación lógico-deductiva, haciendo uso de reglas de inferencia correctas seguidas de un razonamiento lógico cuyas premisas han sido estudiadas en lo que antecede. Pero todo ello sin hacer uso de un lenguaje abstracto lógico proposicional cargado de símbolos de difícil comprensión y utilización. Debe darse respuesta preguntándose qué métodos podemos usar para construir argumentos matemáticos, evitando trasmitir la idea de que los métodos matemáticos consisten en el uso de un lenguaje formal constituido por unos cuantos signos fundamentales, de suerte que todos los razonamientos y demostraciones para ser válidos deben poderse transcribir en una sucesión de fórmulas expresadas en aquel lenguaje.
En su evaluación habrán de tenerse en cuenta los aspectos más relevantes de la lectura, interpretación y comprensión de textos matemáticos.
En lo concerniente a la expresión se valorará la utilización correcta de un discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, encadenar coherentemente los argumentos, comunicarse con eficacia y precisión, detectar incorrecciones lógicas y cuestionar aseveraciones carentes de rigor científico.
La modelización matemática puede entenderse en dos vertientes: por una parte la construcción de modelos y por otra, el uso de modelos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La construcción de modelos es de difícil compresión para quienes no tienen suficientes conocimientos matemáticos, tecnológicos y físicos, pero por otro lado, la construcción de modelos sencillos es útil en algunos contextos para la enseñanza pues refuerza la práctica de resolución de problemas como una componente creativa para la formación del alumnado: di-versas estrategias, cálculos, elementos imprescindibles para un futuro usuario de las matemáticas y para su futuro profesional.
La modelización se puede concretar en un esquema relativamente sencillo. Se parte de un problema real, se traduce a términos de la ciencia y la ingeniería en el cual se realiza un proceso de simplificación a la luz de las ciencias involucradas (Física, Química, Biología,etc.). Eso debe conducir a un planteamiento del problema en términos matemáticos. El siguiente paso es la resolución del problema matemático y, lo más importante, su interpretación a la luz del modelo y su comparación con la realidad para validar la capacidad predictiva del mismo.
La utilidad de este planteamiento en los procesos de enseñanza y aprendizaje se puede resumir en dos puntos: por un lado, la modelización refuerza el conocimiento multidisciplinar, a través de una actividad que involucra conceptos y métodos de diferentes ciencias; por otro lado, la modelización propicia una actividad creativa que implica el concurso de habilidades fundamentales para la formación del científico y el ingeniero: desarrollo del espíritu crítico, formulación de ideas en términos científicos, trabajo en equipo, búsqueda de información, etc.
Por sus características y carácter transversal, este núcleo temático debe estar presente en todos los demás, en función de los contenidos que se vayan abordando en cada momento y debe relacionarse con las demás asignaturas del bachillerato de Ciencia y Tecnología. Se recomienda iniciar al alumnado en la modelización, mostrando, en primer lugar, algunos modelos desarrollados en la historia de la ciencia, como por ejemplo en mecánica (caída libre, caída en planos inclinados, modelos del péndulo, modelos del movimiento planetario), que se encuentran íntimamente relacionados con la aparición del Cálculo en los contenidos antes indicados. También pueden presentarse otros modelos sencillos relacionados con la aplicación de las matemáticas en Biología, por ejemplo la dinámica de poblaciones (crecimiento exponencial, migraciones, modelo depredador-presa), e incluso llegar a introducir al alumnado en sistemas dinámicos sencillos.
Para la enseñanza y aprendizaje de la modelización matemática se recomienda la utilización de técnicas de trabajo en pequeños grupos que tengan que resolver y modelizar problemas sencillos a lo largo del curso escolar y realizar una exposición pública en clase en la que destaquen los aspectos más relevantes señalados anteriormente.
El proceso de modelización matemática puede implicar multitud de pasos según la complejidad del problema, pero para el alumnado de bachillerato sería suficiente con:
2. Identificar factores importantes y representar es-tos factores en términos matemáticos.
3. Usar técnicas matemáticas para obtener resultados.
4. Interpretar y evaluar los resultados matemáticos y ver cómo afectan al mundo real.
Se valorará la rigurosidad en el planteamiento de las cuestiones planteadas, la precisión en la exposición de los resultados obtenidos y la coherencia en las argumentaciones en los problemas investigados.
"Muchas son las voces,
tal es la norma de una vida agradable."
(Pitágoras, Versos Áureos)

References: Real Decreto 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Real Decreto 
 resolución 
 resolución 
 resolución