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Timestamp: 2017-02-28 02:27:51+00:00

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BrowseInterestsBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultBrowse byBooksAudiobooksNews & MagazinesSheet MusicBrowse allUploadSign inJoinIntroducción al análisis de estructuras con no linealidad geométricaJuan Tomás Celigüeta Departamento de Ingeniería Mecánica
Donostia - San Sebastian, Marzo de 2008
1 INTRODUCCIÓN 1.1 Planteamientos material y espacial 2 GRADIENTES DE DEFORMACIÓN 2.1 Tensor gradiente de deformación 2.2 Tensores gradiente de desplazamientos 2.3 Tensor derecho de Cauchy-Green. 2.4 Tensor izquierdo de Cauchy-Green 2.5 Descomposición polar del tensor gradiente de deformación 2.6 Variación de los tensores gradiente 3 DEFORMACIONES UNITARIAS 3.1 Tensor infinitesimal de deformaciones unitarias 3.2 Tensor de deformaciones unitarias de Green-Lagrange 3.3 Variación del tensor de Green – Lagrange 3.4 Tensor de deformaciones unitarias euleriano 3.5 Tensores incrementales 4 VELOCIDAD 4.1 Derivada temporal material 4.2 Tensor gradiente de velocidad 4.3 Derivada temporal del tensor de Green 4.4 Tasa de deformación 5 TENSIONES 5.1 Tensor de tensiones de Cauchy 5.2 Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff 5.3 Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff 6 ECUACIONES DE EQUILIBRIO 6.1 Equilibrio de fuerzas 6.2 Equilibrio de momentos 6.3 Principio del trabajo virtual 7 FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL 7.1 Trabajo virtual interior 7.2 Ecuaciones de equilibrio 7.3 Linealización de las ecuaciones de equilibrio 7.4 Ecuaciones de equilibrio incrementales 7.5 Formulación isoparamétrica 7.6 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores 8 FORMULACIÓN LAGRANGIANA ACTUALIZADA 1 2 4 4 5 6 7 7 10 11 11 12 14 15 16 18 18 18 19 19 21 21 21 21 24 24 24 25 28 28 29 30 33 34 38 39
1 8.1 Deformación axial y esfuerzo axial 11.2 Vector de fuerzas interiores 10.3 Método de Newton modificado 13.2 Deformaciones unitarias 12.4 Deformaciones unitarias de cortadura 12. Barra apoyada .3 Matriz de rigidez tangente 9.6 Vector de fuerzas interiores 12.1 Deformación unitaria 10. FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL 9.5 8.3 8.3 Deformaciones virtuales 11.2 8.deslizante
.1 Ejemplo 1.1 Método incremental puro 13.5 Matriz de rigidez tangente 12 FLEXIÓN DE PLACAS.8.2 Deformación y momentos de flexión 11. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL 11.3 Matriz de rigidez tangente 11 ELEMENTO VIGA PLANA.4 Formulación isoparamétrica 10 ELEMENTO BIARTICULADO.4 Trabajo virtual 11. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL 10.1 Deformación unitaria 9.5 Criterios de convergencia 14 MÉTODO DE LA LONGITUD DEL ARCO 15 EJEMPLOS ESTÁTICOS 15.7 Matriz de rigidez tangente 13 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES INCREMENTALES 13.3 Variación de la deformación unitaria 12.1 Campo de deformaciones 12.2 Método de Newton-Raphson 13.2 Vector de fuerzas interiores 9. FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL 12.6
Trabajo virtual Ecuación de equilibrio Linealización de las ecuaciones de equilibrio Ecuaciones de equilibrio incrementales Formulación isoparamétrica Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores
39 40 40 43 43 45 46 46 48 48 50 52 53 54 54 57 57 58 59 60 60 63 63 63 65 67 68 68 68 71 72 73 74 75 77 79 84 84
9 ELEMENTO BIARTICULADO.4 Métodos restringidos 13.5 Trabajo virtual interior 12.4 8.
3 Ejemplo 3.5
Ejemplo 2. PROCEDIMIENTOS MATLAB
.5 Métodos implícitos de integración de paso simple 16.1 Ejemplo 1.5 Teoremas de integración 21 ANEJO 3. Barra apoyada – deslizante 17.3 Gradiente 20.4 Estabilidad del método de diferencias centrales 16. Celosía Ejemplo 5. PRELIMINARES MATEMÁTICOS 20.15.3 Método explícito basado en diferencias centrales 16.4 15.2 15. Formulación lagrangiana total 16. Barra deslizante apoyada elásticamente Ejemplo 3. Cable pretensado 18 BIBLIOGRAFÍA 19 ANEJO 1.3 15.2 Traza 20.4 Divergencia 20. NOTACIÓN 20 ANEJO 2. Voladizo muy flexible Ejemplo 4.6 Criterios de convergencia 17 EJEMPLOS DINÁMICOS 17.2 Ecuaciones de equilibrio.1 Principio del trabajo virtual en dinámica 16. Pórtico biarticulado
87 88 90 91 94 94 94 95 96 99 102 103 103 104 106 108 109 110 110 111 111 112 113 115
16 DINÁMICA 16.1 Resumen de álgebra de vectores y tensores 20.2 Ejemplo 2. 17. Voladizo muy flexible.
En este contexto la respuesta del sólido es altamente no lineal pues por una parte no se conoce la posición deformada final y por otra la presencia de grandes deformaciones implica el uso de medidas de la deformación adecuadas que son esencialmente no lineales. de tal manera que no puede aceptarse la hipótesis de que la posición final deformada coincide con la posición inicial. Para una partícula cualquiera. por incrementos. ni siquiera siguiendo un proceso iterativo. En principio no se considerará aquí esta no linealidad debida al material. La figura 1 muestra el sólido referido a un sistema de coordenadas cartesiano. A esta no linealidad de origen geométrico se puede añadir la no linealidad debida a la ecuación constitutiva del material si es que este fenómeno se pone de manifiesto en el proceso. En el caso de que las cargas sean estáticas no tiene sentido hablar del parámetro tiempo en el sentido que tiene en dinámica. Es necesario seguir un proceso de carga incremental. la función φ define una transformación de coordenadas entre las dos configuraciones espaciales. pero por comodidad se le denominará así. y determinando la respuesta para cada uno de esos incrementos.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Se estudia la deformación de un medio continuo deformable bajo la acción de cargas exteriores que provocan grandes deformaciones. Para identificar los distintos pasos del proceso se empleará un parámetro de tiempo t. La posición de cada partícula queda ahora definida por unas coordenadas x
El movimiento entre t=0 y t se puede representar matemáticamente como una función:
x = φ(X. t )
Para cada instante de tiempo.
. aunque no se trate más que de un parámetro arbitrario. Al ser el sistema no lineal. la ecuación anterior proporciona su trayectoria temporal. La naturaleza no lineal del fenómeno hace que no pueda calcularse en general la situación deformada final en un sólo paso. inicial y final. la respuesta final depende del orden de aplicación de las mismas y se hace necesario el proceso de carga paso a paso. y en ella se identifican:   Configuración inicial en t=0. La necesidad de un proceso de carga incremental y de un parámetro al cual referir el mismo es importante asimismo cuando existen condiciones de carga diversas que pueden aplicarse en diferente orden. aplicando la totalidad de la carga. aplicando las cargas finales paso a paso. al cual se referirán todos los incrementos de carga y las distintas configuraciones deformadas. Configuración en un instante cualquiera t. Cada partícula queda definida por unas coordenadas x i agrupadas en un vector X . Por lo tanto la única diferencia entre los casos estático y dinámico está en la consideración o no de las fuerzas de inercia.
en el que es necesario incluir alguna ecuación constitutiva del comportamiento de las partículas del material. Un cambio en el tiempo en las ecuaciones anteriores implica que una determinada posición está ocupada por 2
. se trata de expresar las coordenadas finales de una partícula en función de sus coordenadas iniciales:
x = φ(X. t ) = x − φ−1(x.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
(X. t ) − X
En este planteamiento por lo tanto se persigue el movimiento de una misma partícula material cuya posición inicial X se conoce y se trata de obtener su posición final. • En el planteamiento Euleriano. El planteamiento Lagrangiano es adecuado al estudio de la mecánica de sólidos. • En el planteamiento Lagrangiano. es decir: X = φ−1(x.1
Planteamientos material y espacial
La resolución de un problema no lineal puede abordarse genéricamente de dos maneras distintas. o material. el comportamiento se refiere a la posición final x ocupada por una partícula y se trata de obtener la posición inicial que ocupaba dicha partícula.
1. t )
La deformación del sólido se trata de expresar asimismo en función de dichas coordenadas:
u(X. Un cambio en el tiempo en las ecuaciones anteriores implica que la misma partícula ocupa una posición diferente. t ) Las deformaciones se obtienen con respecto a esa posición deformada: u(X. t ) (3)
En este planteamiento se persigue una determinada posición en el espacio y se determina la posición inicial que tenían las partículas que pasan por dicha posición. t ) = φ(X.t)
u t=0 X x x2 x3 x1
Figura 1. dependiendo de a qué sistema de coordenadas se refieran las magnitudes fundamentales involucradas en el proceso. o espacial. Configuración inicial y deformada.
y se obtiene como la temperatura en esa posición a medida que pasa el tiempo (y posiblemente también pasen distintas partículas por ese punto):
T = T (x. en el planteamiento Euleriano espacial. se describe con respecto a una posición actual en el espacio. su valor se describe con respecto a la posición inicialmente ocupada por una partícula. • Por ejemplo. el valor la temperatura T. en el que no interesa tanto la evolución de las partículas sino la distribución espacial de las magnitudes. El planteamiento Euleriano es adecuado a problemas de mecánica de fluidos. como la temperatura T.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
una partícula diferente. t )
Figura 2. t )
Sin embargo. si consideramos una magnitud escalar cualquiera. y se obtiene como la temperatura en esa misma partícula a medida que pasa el tiempo (y posiblemente también cambie la posición de la partícula):
T = T (X. Planteamientos material y espacial.
. en el planteamiento Lagrangiano.
Denominamos ∇0 a dicho gradiente:
F = ∇0 x =
Cada uno de sus términos es:
Es un tensor definido positivo. Así entre la configuración inicial X y deformada x.1
GRADIENTES DE DEFORMACIÓN
Tensor gradiente de deformación
Es la magnitud fundamental en la definición de la deformación de un sólido. como se demuestra al estudiar la transformación del volumen. • El determinante del tensor gradiente de deformación F=|F| establece la relación entre los diferenciales de volumen en los estado 0 y t.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
dx = F dX
Por lo tanto el tensor gradiente de la deformación se define como el gradiente de las coordenadas deformadas x respecto de las coordenadas iniciales X. y establece la relación entre los elementos diferenciales de coordenadas en dos configuraciones. También se puede poner en notación de matrices como:
F = ∇0 xT
Siendo ∇0 la representación como vector del operador gradiente respecto de las coordenadas iniciales:
⎡ ∂ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ∂X 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂ ⎥ ⎥ ∇0 = ⎢ ⎢ ∂X ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ∂ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂X ⎥ ⎣ 3⎦
• La relación inversa entre ambos elementos diferenciales permite introducir el tensor gradiente de deformación inverso F-1:
dX = F−1 dx
T ∂X = (∇XT ) ∂x
Siendo ∇ el operador gradiente respecto de las coordenadas deformadas x. Consideremos el diferencial de volumen en el 4
2 Tensores gradiente de desplazamientos
El tensor gradiente de desplazamientos lagrangiano (o material) H se define como el gradiente de los desplazamientos u respecto de las coordenadas iniciales:
H = ∇0 u =
En su representación como matriz. El valor de este diferencial de volumen es el producto mixto de los tres vectores:
dv 0 = dX1 ⋅ (dX2 × dX3 )
Los vectores se transforman en el estado deformado a: dxi = F dXi El diferencial de volumen en el estado deformado es:
i = 1. Consideremos un elemento diferencial de área en el estado inicial dA0: es una cantidad vectorial cuyo módulo dA0 es igual al área de un paralelogramo definido por dos vectores dX1 y dX2. dX2. los términos de este tensor son:
• La transformación que sufre el diferencial de área a consecuencia de la deformación se
establece mediante el tensor gradiente inverso. dX3.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
estado inicial dv0 formado por un paralelepípedo cuyos lados están definidos por tres vectores diferenciales dX1. 3
dv = dx1 ⋅ (dx2 × dx 3 ) = FdX1 ⋅ (FdX2 × FdX3 )
Empleando la siguiente propiedad del producto mixto: Aa ⋅ (Ab × Ac) = A a ⋅ (b × c) se puede poner:
dv = FdX1 ⋅ (FdX2 × FdX3 ) = F dX1 ⋅ (dX2 × dX3 ) = F dv 0 dv = F dv 0
Como ambos diferenciales de volumen siempre deben ser positivos. el determinante del tensor gradiente de deformación también lo es. y cuya dirección n0 viene dada por su producto vectorial:
dA0 = n 0 dA0 = dX1 × dX2
El diferencial de área en el estado deformado es:
dA = n dA = dx1 × dx2 = (FdX1 ) × (FdX2 )
Empleando la propiedad del producto vectorial (A a) × (A b) = A A−T (a × b) se obtiene:
dA = F F−T (dX1 × dX2 ) = F F−T dA0 dA = J F−T dA0
Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
H = (∇0 uT )
⎡ ∂u1 ⎢ ⎢ ∂X 1 ⎢ ⎢ ∂u =⎢ 2 ⎢ ∂X ⎢ 1 ⎢ ∂u ⎢ 3 ⎢ ∂X ⎣ 1
∂ui ∂X j
∂u1 ∂X 2 ∂u2 ∂X 2 ∂u 3 ∂X 2
∂u1 ⎤⎥ ∂X 3 ⎥⎥ ∂u2 ⎥⎥ ∂X 3 ⎥⎥ ∂u 3 ⎥⎥ ∂X 3 ⎥⎦
Considerando la expresión del tensor F, y sustituyendo en ella el valor de x en función de los desplazamientos u se obtiene:
F = (∇0 xT ) = (∇0 (X + u)T ) = I + (∇0 uT )
F=I+
F= I+H
• Se puede definir asimismo el tensor gradiente de los desplazamientos respecto a las coordenadas deformadas x en el instante t (denominado gradiente de desplazamientos euleriano o temporal):
Ht = ∇u =
H tij =
∂u i ∂x j
• Para desarrollos posteriores, conviene representar ambos tensores gradiente de desplazamientos H y Ht, en forma de vectores H y Ht , de tamaño n2 siendo n el número de dimensiones. Para el caso de dos dimensiones, su expresión es:
⎧ ∂u1 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ⎪ X 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ X ⎪ ⎪ 2 ⎪ H=⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ∂ u 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ u ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ X ⎪ 2⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ∂u1 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ⎪ x 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ x ⎪ ⎪ 2 ⎪ Ht = ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ∂ u 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂x 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ u ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ x ⎪ 2⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Tensor derecho de Cauchy-Green.
• Este tensor permite determinar el alargamiento que sufre una fibra de material de longitud inicial ds 0 y cuya orientación inicial está dada por un vector unitario n 0 . Su longitud final será: 6
(ds ) = dxT dx = dXT FT F dX = dXT C dX
El alargamiento λ = ds / ds 0 vale:
⎛ ds ⎞ dXT dX ⎟ (λ)2 = ⎜ = C ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ds 0 ⎠ ds 0 ds 0
λ = n 0T C n 0
• Este tensor permite asimismo determinar el ángulo que forman en el estado deformado dos fibras que salen del mismo punto y cuyas direcciones vienen dadas por dos vectores unitarios n 0 y n 0 en el estado inicial. Sean ds y ds las longitudes finales de dichas fibras. Se cumple que:
dxT dx = ds ds cos θ
Introduciendo el tensor gradiente de deformación, y teniendo en cuenta que es el mismo para ambas direcciones (pues F es una magnitud del punto):
dXT FT FdX ds ds
dXT FT F dX ds ds
Introduciendo los vectores direccionales y los alargamientos se obtiene:
n 0T C n 0 λλ
Tensor izquierdo de Cauchy-Green
El tensor izquierdo de Cauchy-Green se define como:
El inverso de este tensor, denominado tensor de Finger, establece una relación entre la longitud inicial de una fibra y su estado deformado:
(ds 0 )
= dXT dX = dxT F−T F−1dx = dxT B−1dx
Descomposición polar del tensor gradiente de deformación
El gradiente de deformación F es definido positivo, luego se puede descomponer (considerando su representación como matriz) siempre en la forma siguiente:
Siendo R una matriz ortogonal, y U, V matrices simétricas. La primera descomposición representa que la deformación total se compone de un alargamiento, representado por la matriz U, seguido de una rotación como sólido rígido, representada por la matriz R. La segunda descomposición considera la deformación total como la rotación R seguida de un alargamiento V. 7
• Para evaluar estas matrices y profundizar en el significado de la descomposición polar, consideramos el tensor derecho de Cauchy-Green y aplicamos la primera descomposición:
C = FT F = UT RT R U
Al ser R ortogonal y U simétrica:
C = UU
2 Por ser C simétrica y definida positiva, tiene 3 autovalores positivos λα y sus vectores propios Nα son ortogonales y unitarios. Su descomposición espectral es:
α =1,3
Nα NT α = UU
Por lo tanto el tensor de alargamiento U tiene como autovalores a λα y como autovectores a los mismos Nα, y se puede poner en función de estas magnitudes:
Nα NT α
Conocido U, se puede obtener fácilmente R = F U-1. • Considerando la descomposición de F, se pueden relacionar las diversas matrices.
F = VR = RU
Sustituyendo la descomposición espectral de U:
V = R U RT
T R Nα NT αR
Considerando ahora el tensor izquierdo de Cauchy-Green y la descomposición de F:
B = F FT = V R RT VT = V V
Al ser B simétrica y definida positiva, tiene 3 vectores propios ortogonales unitarios nα y tres 2 autovalores positivos λα , con lo que su descomposición espectral es:
n α nT α = VV
Por lo tanto el tensor de alargamiento V tiene autovalores λα y autovectores nα, y se puede poner:
n α nT α
Comparando esta expresión con la obtenida anteriormente, y considerando que los vectores RNα son también vectores unitarios, se deduce que:
λα = λα
n α = R Nα
Esta ecuación indica que la matriz R rota los autovectores del tensor C en el estado inicial Nα a los autovectores del tensor B en el estado deformado nα, como muestra la figura siguiente.
• Considerando un vector dXα orientado en la dirección de un eje cualquiera α.
. de módulo dLα:
dXα = dLα Nα
En el estado deformado será:
dxα = FdXα = R U Nα dLα
Pero se cumple que U Nα = λα Nα luego:
dxα = λαdLα R Nα dxα = λαdLα n α
Luego el módulo del vector deformado es dlα = λαdLα . con lo que λα representa el alargamiento en la dirección α:
dlα dLα
• Es instructivo expresar el tensor F en función de las direcciones principales en ambos estados.3
R Nα NT α
α =1.3
Esto indica la naturaleza de F en el sentido de que involucra a las direcciones principales en los estados inicial y deformado. Descomposición polar del tensor gradiente de deformación.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 3. Para ello sustituimos el valor de U:
F = RU =
Considerando que n = R N.
Se aplica una variación virtual δu a dichos desplazamientos.6
Variación de los tensores gradiente
Consideramos un cuerpo en un estado deformado t. • La variación de los tensores gradiente de desplazamientos al variar los desplazamientos es sencillamente:
∂δ u ∂X
δH ij =
∂δui ∂X j ∂δui ∂x j
Si se emplea la definición en función de las coordenadas deformadas x la variación es:
δ Ht =
δH tij =
• La variación del tensor gradiente de la deformación es inmediata:
δF = δH
Esta expresión se puede poner en función de las coordenadas deformadas x efectuando la derivación en cadena:
δFij =
∂δ x i ∂δui ∂δui ∂x 1 ∂δui ∂x 2 ∂δui ∂x 3 = = + + ∂X j ∂X j ∂x 1 ∂X j ∂ x 2 ∂X j ∂x 3 ∂ X j
δ F = δ Ht F
Por lo tanto la variación del gradiente de deformación se puede poner:
. la cual produce una variación de los gradientes de deformaciones.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
2. sometido a unos desplazamientos u=x-X.
Por ejemplo. Es igual a la parte simétrica del tensor gradiente de desplazamientos Ht evaluado respecto de las coordenadas deformadas:
1 (Ht + HT t ) 2
Se puede representar en forma vectorial como:
⎧ ε11 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ε ⎪ ⎪ 22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ε ⎪ ⎪ 33 ⎪ ⎪ ε =⎨ ⎬ ⎪ 2ε12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ε 2 13 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ε 2 ⎪ ⎪ 23 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Dado su valor. la expresión detallada para el caso de dos dimensiones es:
⎧ ∂u1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪∂ ⎪ x ⎪ ⎪ ∂ u 1⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u1 ⎪ ∂x 1 ⎡ 1 0 0 0⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂x 2 ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ∂u 2 ⎪ ⎢ ε =⎨ ⎬ = ⎢ 0 0 0 1⎥ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ∂u 2 ⎪ ∂x 2 ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 1 1 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ∂ x ∂u1 ∂u2 ⎪ ⎣ ⎦⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ u ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ∂ x x 2 1⎭ ⎪ ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ x ⎪ 2⎪ ⎪ ⎩ ⎭
• La variación del tensor infinitesimal de deformaciones unitarias al variar los desplazamientos es:
1 (δ Ht + δ HT t ) 2
. Se define el tensor de deformaciones unitarias infinitesimales como:
∂u j ⎞ 1 ⎛ ∂u i ⎟ ⎟ ⎜ + εij = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜∂ ∂x i ⎠ ⎝ xj
Es un tensor lineal.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
3. se puede expresar siempre en la forma:
⎧ε ⎪ ⎫ ⎪ 11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ε =⎪ ⎨ ε22 ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ε 2 ⎪ 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
ε = AC Ht
Siendo AC una matriz constante. que corresponde al tensor de deformaciones unitarias empleado en el análisis con pequeñas deformaciones.1
Tensor infinitesimal de deformaciones unitarias
Sea u el campo de deformaciones existente en el sólido en el instante t.
.2 Tensor de deformaciones unitarias de Green-Lagrange
El cuadrado de la distancia entre dos puntos infinitamente próximos en los estados inicial y deformado es:
= dXT dX
(ds ) = dxT dx
El cambio en esta distancia al cuadrado se puede expresar como:
(ds ) − (ds 0 ) = dxT dx − dXT dX = dXT FT FdX − dXT dX = dXT FT F − I dX
Este cambio de la distancia al cuadrado referido a la distancia inicial define el tensor de deformación unitaria de Green – Lagrange entre los estados 0 y t:
(ds ) − (ds 0 ) = 2 dXT E dX
1 T 1 F F − I = (C − I) 2 2
Este tensor se puede expresar en función de los desplazamientos sustituyendo el valor del tensor gradiente de deformaciones F:
1⎡ T (I + H) (I + H) − I⎤⎥⎦ ⎢ ⎣ 2 1⎡ H + HT + HT H⎤⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 2
Sustituyendo el valor del gradiente de desplazamientos H:
T T ⎛ ∂u ⎞ 1 ⎡⎢ ∂u ⎛ ∂u ⎞ ∂u ⎤⎥ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ E= +⎜ + ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ∂X ⎥ ⎝ ∂X ⎠ 2 ⎢⎣ ∂X ⎝ ∂X ⎠ ⎦
⎞ ⎛ ∂u ∂ u ⎞ ∂u j 1 ⎛ ∂ui ⎟ ⎜ k k ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ Eij = ⎜ + + ⎟ ⎟ ∑ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎠ 2⎜ ∂X i ⎟ ⎝ ∂X i ∂ X j ⎠ k ⎜ ⎝ ∂X j
Los dos primeros sumandos corresponden al tensor infinitesimal lineal de pequeñas deformaciones. y el último término corresponde a los términos no lineales habituales en grandes deformaciones.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Cuyos términos valen:
∂δu j ⎞ 1 ⎛ ∂δui ⎟ ⎟ ⎜ δεij = ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ 2⎜ ∂x i ⎠ ⎝ ∂x j
En forma vectorial esta variación se puede poner:
δ ε = AC δ Ht
que es lineal. El tensor gradiente de deformación en el nuevo estado es:
Ft +Δt = R Ft
El tensor de deformaciones unitarias de Green – Lagrange en el nuevo estado es:
Et +Δt =
T T 1 ⎡ t +Δt T t +Δt 1 1 − I⎤⎥ = ⎡⎢(Ft ) RT R Ft − I⎤⎥ = ⎡⎢(Ft ) Ft − I⎤⎥ = Et F ) F ( ⎢ ⎦ 2⎣ ⎦ ⎦ 2⎣ 2⎣
3. sometido a un tensor de deformación Ft . en la forma:
⎧ ⎫ ⎡ ⎪ ⎪ ∂u1 ⎪ ⎪ ⎢ ∂u1 ⎪ ⎪ ⎢ ∂X 1 ⎪ ⎪ ∂X 1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u 2 ⎪ ⎪ 1 ⎢⎢ E=⎨ ⎬+ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ∂X 2 2⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ∂u ⎪ ∂u 2 ⎪ ⎪ 1 ⎢ ∂u1 ⎪ ⎪ + ⎪ ⎪ ⎢ ∂X ⎪ ⎪ ∂X 2 ∂ X 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ 2 ∂u 2 ∂X1 ⎧ ∂u1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤ ⎪∂X1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ∂u1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ∂X 2 ⎪ ⎪ ∂u 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ∂ u ∂X 2 ⎥⎥ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 1 ⎪ ⎪ ∂u2 ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ∂u 2 ⎪ ∂X 1 ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ X ⎪ ⎪ ⎩ 2⎪ ⎭
∂u1 ∂X 2 ∂u1 ∂X 1
∂u 2 ∂X 2
La estructura del primer término.1 Expresión vectorial del tensor de Green – Lagrange El tensor de Green-Lagrange se puede expresar en forma de vector en la forma siguiente. para problemas de 2 y 3 dimensiones (la barra sobre el símbolo indica una representación como vector):
⎧E ⎪ ⎫ ⎪ 11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E=⎪ ⎨ E22 ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 E ⎪ 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎧ E11 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E 22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E 33 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ E=⎪ ⎨ ⎬ ⎪ 2 E 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 E 13 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2E 23 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Donde se han multiplicado por 2 los términos fuera de la diagonal para poder sustituir el producto contracto de tensores de orden 2 por el producto escalar de vectores. permite expresarlo como:
.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• El tensor de Green – Lagrange es invariante ante rotaciones de sólido rígido. Agrupando los términos lineales y los no lineales se puede poner. Sea un sistema en un instante t.2. Entre t y t+Δt se aplica una rotación de sólido rígido definida por una matriz R. para el caso de 2 dimensiones.
3. la variación se puede poner:
1 δ HT F + FT δ H 2
. Se aplica una variación virtual δ u a dichos desplazamientos. Dado que se cumple que δ F = δ H . con tamaño 3x4 en 2 dimensiones y 6x9 en 3 dimensiones:
⎡ 1 0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ AC = ⎢ 0 0 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 1 0⎥ ⎥⎦ ⎣⎢
• La matriz A(H) depende del vector gradiente de desplazamientos H.1 Expresión en función del gradiente de desplazamientos.
⎡ ∂u1 ⎢ ⎢ ∂X 1 ⎢ ⎢ A=⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ∂u ⎢ 1 ⎢ ∂X ⎣ 2
3. Según (19). sometido a unos desplazamientos ui = x i − X i . la variación del tensor de deformaciones unitarias de Green Lagrange es:
1 δ FT F + FT δ F 2
3. sus términos son sencillamente una reordenación de los términos de H. pues como puede comprobarse.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎛ ⎡ ⎜ ⎢ ∂u1 ⎜ ⎜ ⎢ ∂X 1 ⎜⎡ ⎤ 1 0 0 0 ⎜ ⎢ ⎢ ⎥ ⎜ ⎜⎢ ⎥ 1 ⎢⎢ E=⎜ 0 0 0 1 ⎜ ⎢ ⎥+ ⎢ 0 ⎜⎢ 2⎢ ⎥ ⎜ ⎜ ⎢ 0 1 1 0⎥ ⎜ ⎢ ∂u ⎜⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎜ ⎢ 1 ⎜ ⎜ ⎢ ⎜ ⎝ ⎣ ∂X 2
∂u 2 ∂X 1
⎧ ∂u1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎞ ⎪∂ X ⎪ 1 ⎟ ⎪ ⎪ ⎥ ⎟ 0 ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎟ ⎟ ⎪ ∂u1 ⎪ ⎪ ⎥ ⎟⎪ ⎪ ⎟ ⎪ ⎥ ⎟ ∂ X ⎪ 2⎪ ⎪ ∂u 2 ⎥ ⎟ ⎪ ⎪ ⎟ ⎨ ⎬ ⎟ ⎥ ⎟⎪ ∂X 2 ⎥ ⎟ ⎪ ∂u2 ⎪ ⎪ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎟ ∂ X ∂u2 ⎥⎥ ⎟ ⎪ 1⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎟ ⎟⎪ ⎟ ⎪ ∂u 2 ⎪ ∂X1 ⎦⎥ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Esta expresión se puede poner en forma compacta definiendo dos matrices y recordando la forma vectorial del tensor de desplazamientos H:
⎛ 1 ⎞ E=⎜ A + A(H)⎟ ⎟H ⎜ ⎝ C 2 ⎠
• La matriz AC es constante. Precisamente la dependencia de A de la deformación es el origen de la no-linealidad del problema.3
∂u 2 ∂X1
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂u2 ⎥⎥ ∂X 2 ⎥⎥ ∂u2 ⎥⎥ ∂X1 ⎥⎦
Variación del tensor de Green – Lagrange
Consideramos un cuerpo en un estado deformado t.
3. Para ello se considera la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos infinitamente próximos. en función del tensor de Finger.3 Variación del tensor de Green-Lagrange en forma de vector La variación del tensor de Green-Lagrange en su forma de vector es:
1 1 δ E = AC δ H + A δ H + δ A H 2 2
Observando el valor de A se comprueba que se cumple que δ A(H) = A(δ H) . pero referidas al estado deformado final. también se comprueba fácilmente que:
A(δ H) H = A(H) δ H
De esta forma el último sumando de la expresión anterior se puede poner como:
1 1 1 δA H = A(δ H) H = A(H) δ H 2 2 2
Con lo que se obtiene que:
1 1 δ E = AC δ H + A δ H + A δ H = (AC + A) δ H 2 2
3.3. con lo que finalmente la variación del tensor de deformaciones de Green – Lagrange es:
δ E = FT δε F
1 1 (I − F−T F−1 ) = (I − B−1 ) 2 2
1 T 1 T T F δ HT F δ HT t F + F δ Ht F = t + δ Ht F 2 2
En esta expresión se identifica la variación del tensor infinitesimal de deformaciones unitarias δε en el instante t. Por otra parte.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
3. desarrollando las expresiones.2 Expresión en función del tensor infinitesimal de deformaciones unitarias La variación del tensor gradiente F es δ F = δ Ht F .4 Tensor de deformaciones unitarias euleriano
De forma análoga al tensor de Green-Lagrange se puede definir el tensor de deformación unitaria en el planteamiento euleriano e o tensor de Almansi.
(ds ) − (ds 0 ) = dxT dx − dXT dX = dxT dx − dxT F−T F−1dx
(ds ) − (ds 0 ) = dxT (I − F−T F−1 )dx
Con lo que se define este tensor euleriano.
pero referidas a estados de referencia distintos: uno emplea el estado inicial como referencia y el otro emplea el estado t como referencia. mientras que los dos últimos se deben a las deformaciones iniciales ya existentes en el material en el instante t. el tensor incremental se puede expresar como suma de dos tensores:
ˆ =ˆ ˆ E e+η
ˆ: El primer tensor contiene los términos lineales. referidas al estado inicial (por eso se añade el subíndice 0)
ˆ dX = (ds t +Δt )2 − (ds t )2 2 dXT E
con lo cual coincide con la diferencia entre los tensores en los instantes t y t+Δt:
ˆ dX = (ds t +Δt )2 − (ds 0 )2 − (ds t )2 − (ds 0 )2 2 dXT E
ˆ dX = 2 dXT (Et +Δt − Et )dX 2 dXT E
ˆ = Et +Δt − Et E
Sustituyendo el valor de los tensores en función de las deformaciones. resulta útil estudiar el incremento que sufre el tensor de Green – Lagrange al pasar desde una configuración t a otra t+Δt. en los estados t y t+Δt.5. El tensor no lineal en el incremento de deformación vale:
ˆij = η ˆk ∂u ˆk 1 ∂u 2 ∂X i ∂ X j
Tensores incrementales
Para el desarrollo de formulaciones incrementales. A estos efectos se emplean dos tensores incrementales que miden el incremento en el tensor de Green – Lagrange entre los estados t y t+Δt.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
3. Para ello ambos tensores emplean la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos próximos. los dos tensores se expresan en función de la deformación incremental entre los dos estados:
ˆ = xt +Δt − xt = ut +Δt − ut u
3. Para su empleo en las formulaciones incrementales.1 Tensor incremental de Green – Lagrange El tensor incremental de Green – Lagrange E 0 se define como la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos próximos. expresadas en los estados indicados. en relación al incremento de deformación u
⎞ ⎛ ∂u ∂ u ⎞ ⎛ ∂u ˆj ∂u ˆi ˆk ⎟ ˆk ∂uk ⎞ 1 ⎛ ∂u ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ k ⎟ ⎟ ⎜ ˆij = ⎜ ⎜ ⎜ e + + + ⎟ ⎟ ∑⎜ ⎟⎟ ∑ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∂X i ∂ X j ⎠ ⎜ ∂X i ∂X j ⎠⎠ 2 ⎝ ∂X j ∂X i ⎟ k ⎝ k ⎝
Los dos primeros términos son similares al tensor de deformaciones infinitesimales (aunque referidos a las coordenadas iniciales).
el tensor incremental actualizado se puede expresar como suma de dos tensores:
ˆ =ˆ ˆt E et + η t ˆ: El primer tensor contiene los términos lineales en relación al incremento de deformación u
ˆj ⎞ ∂u ˆi 1 ⎛ ∂u ⎟ ⎟ ˆtij = ⎜ ⎜ e + ⎟ ⎜ ⎟ x x 2 ⎜∂ ∂ ⎝ j i ⎠
El tensor no lineal en el incremento de deformación vale:
ˆtij = η ˆk ∂u ˆk 1 ∂u 2 ∂x i ∂ x j
3. en los estados t y t+Δt.2 Tensor incremental actualizado de Green – Lagrange El tensor incremental actualizado de Green – Lagrange Et se define como la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos próximos. referidas al estado t:
ˆ dx = (ds t +Δt )2 − (ds t )2 2 dxT E t
Sustituyendo el valor de los diferenciales en función de las coordenadas y de los incrementos de deformación.5.
Físicamente representa la velocidad de la partícula que ocupa la posición X en el instante t = 0. su derivada respecto al tiempo se define como:
σ (X. y está asociado al movimiento de la partícula que ocupa la posición x. 4. t ). t ) =
∂φ(X. la derivada temporal material requiere efectuar la derivación en cadena:
σ (x. 4. de la partícula que en el instante de tiempo t ocupa la posición x. vectorial o tensorial expresado en las coordenadas materiales σ(X. t ) ∂t
Por su definición resulta obvio que se trata de un campo vectorial material. t ) = dt ∂t
Y se conoce como la derivada temporal material de la magnitud σ. Si el campo σ está definido en función de la posición espacial x. t ) ∂σ(x. t )
Considerando el movimiento de una partícula cualquiera definida por su posición: Se define la velocidad material de la partícula como:
v (X. representa la velocidad en sentido clásico.
v (x.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
x = φ(X. t ) + ∂t ∂x ∂t ∂σ(x. Es importante notar que la velocidad espacial es la derivada temporal de ninguna función. a pesar de que se ha expresado en las coordenadas materiales de la partícula X. pues mide el cambio de σ asociado con la partícula material que está situada inicialmente en X.t). t )
Se trata de un campo espacial que físicamente. La velocidad es un campo espacial. t ) =
∂σ(x.2 Tensor gradiente de velocidad
Habiendo definido la velocidad v. t ) = v (φ−1 (x. t ) + (∇σ ) v ∂t
σ (x. t ) =
dσ ∂σ(X.1 Derivada temporal material
Sea un campo escalar. t ) ∂x(X. t ) =
El segundo término de esta expresión se denomina convectivo o de transporte. De hecho se puede definir la velocidad como una función de la coordenada espacial x. su derivada respecto a las coordenadas espaciales x define el tensor gradiente de velocidad L:
otra expresión del tensor gradiente de velocidad:
L = F F−1
Derivada temporal del tensor de Green
Se obtiene fácilmente a partir de su definición:
1 1 C = (FT F − FT F) 2 2
4. El tensor gradiente de velocidad permite obtener una expresión útil de la derivada temporal del gradiente de deformación:
d ⎛ ∂x ⎞ ∂ ⎛ ∂x ⎞ ∂v ∂ v ∂x ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ = = = = LF ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dt ∂X ∂X ∂t ∂X ∂x ∂ X
Esta expresión proporciona. t ) =
∂v(x.4
El tensor gradiente de velocidad se puede descomponer en sus componentes simétrica y antisimétrica:
1 1 (L + LT ) + (L − LT ) 2 2
∂v j ⎞ 1 ⎛ ∂v i ⎟ ⎟ ⎜ Dij = ⎜ + ⎟ ⎟ ⎜∂ 2⎜ x x ∂ ⎝ j i ⎠
• El tensor tasa de deformación D se define como la parte simétrica de L:
1 (L + LT ) 2
La parte antisimétrica de L define el tensor de giro W:
1 (L − LT ) 2
∂v j ⎞ 1 ⎛ ∂vi ⎟ ⎟ ⎜ Wij = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜∂ x x ∂ ⎝ j i ⎠
• La tasa de deformación D se relaciona con la derivada temporal del tensor de Green. t ) = ∇v ∂x
∂ vi ∂x j
Este tensor proporciona la velocidad relativa entre dos partículas situadas en puntos próximos P y Q. a su vez. mediante el siguiente desarrollo algebraico:
1 1 (L + LT ) = F F−1 + F−T FT 2 2 1 D = F−T FT F + FT F F−1 = F−T E F−1 2
• La tasa de deformación D es una medida de la variación con el tiempo del cuadrado de la longitud de un elemento diferencial:
L (x.
d d d d (ds 2 ) = (dxTdx) = dXT FT FdX = dXT C dX dt dt dt dt
d (ds 2 ) = dXT C dX = 2 dXT E dX = 2 dxT F−T E F−1dx dt
1d (ds 2 ) = dxT D dx 2 dt
dando lugar al primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff P:
df = P dA0 = P n 0 dA0
Por lo tanto este tensor proporciona la fuerza en el estado deformado. Según la fórmula de Cauchy esta fuerza es:
df = σ n dA
Supongamos que transformamos esta fuerza diferencial al estado original indeformado.3 Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff
Este tensor no tiene mucho significado físico. utilizando el tensor gradiente de la deformación (que puede usarse para transformar cualquier vector diferencial):
df 0 = F−1 df = F−1 σ n dA
Este vector de fuerzas ya transformado al estado indeformado puede expresarse. Es un tensor no simétrico. pero el siguiente proceso explica su naturaleza. El vector tensión en dicha área es la fuerza de tracción actuante por unidad de área:
La fórmula de Cauchy proporciona el valor de esta fuerza de tracción por unidad de área en función del tensor de tensiones en dicho punto y de la dirección normal:
5. Sea un elemento diferencial de área de módulo dA en el estado deformado. empleando un cierto tensor de tensiones que resulta ser el segundo tensor de Piola-Kirchhoff:
df 0 = S n 0dA0
. como puede deducirse de las ecuaciones de equilibrio de momentos de un cubo diferencial. en el estado indeformado.1
Tensor de tensiones de Cauchy
Este tensor σ representa las tensiones reales existentes en el material. definidas como las fuerzas internas por unidad de área en la situación deformada. definido por su vector normal n. sobre el cual la fuerza actuante es df. 5. Se trata de un tensor simétrico. La fuerza actuante sobre él es df. pero referida a la superficie sin deformar.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
5. mediante la fórmula de Cauchy. Sea un elemento diferencial de área en el estado deformado de módulo dA y dirección n.2 Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff
La fuerza df actuante sobre el diferencial de área deformada dA se puede referir al área inicial no deformada dA0 .
• El segundo tensor de Piola – Kirchhoff es invariante ante rotaciones de sólido rígido. es un tensor simétrico. Segundo tensor de tensiones de Piola. sometido a un tensor de deformación Ft . se debe cumplir que:
S = F F−1 σ F−T
Esta expresión permite transformar las tensiones reales en el estado deformado σ en el segundo tensor de tensiones de Piola – Kirchhoff S. Este tensor corresponde a la fuerza en el estado deformado. pero transformada al estado inicial y referida a la unidad de área del estado inicial. Entre t y t+Δt se aplica una rotación de sólido rígido definida por una matriz R. Sea un sistema en un instante t. El tensor gradiente de deformación en el nuevo estado es:
La tensión de Piola – Kirchhoff en el estado t+Δt es:
St +Δt = F t +Δt
(Ft +Δt )
σt +Δt (Ft +Δt )
Teniendo en cuenta que el determinante del gradiente de deformaciones es el mismo al aplicar la rotación de sólido rígido:
St +Δt = F t
RT σt +Δt R (Ft )
S n 0dA0 = F−1 σ n dA
La relación entre las áreas inicial y final es:
n dA = F F−T n 0 dA0
S n 0dA0 = F F−1 σ F−T n 0 dA0
Como esta expresión debe satisfacer para cualquier diferencial de área. df n dA n0 df 0
Figura 4. Como puede comprobarse en su expresión.
Durante la rotación de sólido rígido las tensiones se mantienen constantes en el sistema móvil y sufren dicha rotación de sólido rígido. Ello es debido a que se aplica la misma matriz de rotación a las tensiones de Cauchy y al gradiente de deformaciones.
. por lo tanto su valor es:
σt +Δt = R σt RT
Sustituyendo este valor se obtiene
St +Δt = F t (Ft ) RT R σt RT R (Ft ) St +Δt = F t (Ft )
σt (Ft )
≡ St
Es decir que las tensiones de Piola-Kirchhoff son las mismas que antes de efectuar la rotación de sólido rígido.
en el estado deformado en el instante t. de volumen v y área lateral s. El equilibrio estático de dichas fuerzas implica que:
dv + ∫ t ds = 0
Las fuerzas en la superficie t se pueden sustituir por las tensiones σ en la superficie empleando la fórmula de Cauchy.
∫ r×q
dv + ∫ r × t ds = 0
Las fuerzas en la superficie se pueden sustituir por las tensiones σ en la superficie empleando la fórmula de Cauchy:
dv + ∫ r × (σ n)ds = 0
La segunda integral se puede transformar en dos integrales de volumen empleando el teorema de integración y efectuando ciertos desarrollos algebraicos:
dv + ∫ r × div(σ) + ∫ e : σT dv = 0
.2 Equilibrio de momentos
Se considera de nuevo un trozo cualquiera de sólido.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
6. y se aplica la ecuación de equilibrio estático de momentos respecto de un punto cualquiera.
dv + ∫ σ n ds = 0
La segunda integral se puede transformar en una integral de volumen empleando el teorema de integración aplicado al tensor σ
dv + ∫ div(σ) dv = 0
Como el trozo de sólido es arbitrario.1
Se considera un trozo cualquiera de sólido. parte de estas fuerzas de superficie serán fuerzas aplicadas conocidas y otras serán fuerzas interiores desconocidas). 6. el integrando tiene que ser nulo siempre:
div(σ) + q v = 0
Esta es la ecuación de equilibrio estático del sólido. puesta en función de las tensiones de Cauchy. Sea r el vector que define la posición de la fuerza respecto del punto donde se toman momentos. en su forma más compacta. Sean qv las fuerzas de volumen aplicadas sobre él y t las fuerzas en su superficie circundante (al ser el trozo de sólido arbitrario.
Además. en el que existe un campo de deformaciones u y en el que se aplica una variación virtual δ u a dicho campo de deformaciones.
∫ r × (q
+ div(σ))dv + ∫ e : σT dv = 0
La primera integral es nula pues su integrando contiene la ecuación de equilibrio. empleando la fórmula de Cauchy q S = σ n
∫ δu ⋅ q
ds + ∫ δ u ⋅ σ n ds =
dv + ∫ (δ u σ) ⋅ n ds
La integral a la superficie se puede transformar en integral al volumen empleando el teorema de la divergencia:
dv + ∫ div(δ u σ) dv
El integrando de la segunda integral se puede desarrollar utilizando la propiedad indicada en el anejo:
div(δ u σ) = div(σ δ u) = δ u ⋅ div(σ) + σ : grad(δ u)
Sustituyendo y agrupando las integrales se obtiene:
∫ δ u ⋅ [q
+ div(σ)]dv + ∫ σ : ∇(δ u ) dv
El símbolo e representa el tensor alternador de orden 3. como el trozo de sólido es arbitrario. El trabajo virtual de las fuerzas exteriores aplicadas sobre el volumen y sobre la superficie es:
dv + ∫ δ u ⋅ q S ds
Las fuerzas de superficie se pueden sustituir por las tensiones de Cauchy σ en la superficie.k} es par.j.3 Principio del trabajo virtual
Sea un cuerpo en equilibro en un estado cualquiera t. el integrando de la segunda tiene que ser nulo siempre:
e : σT = 0
Desarrollando el producto contracto se obtiene un tensor de orden 1 (se contraen 2 índices):
⎧ ⎪ ⎪ σ32 − σ23 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ T ⎪ e : σ = ⎨σ13 − σ31 ⎪ ⎬=0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − σ σ ⎪ ⎪ 21 12 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Esta condición indica que el tensor de tensiones de Cauchy σ es simétrico. definido como eijk = 1 si la permutación {i. 6. -1 si la permutación es impar y 0 si hay índices repetidos.
con lo que se llega a:
∫ σ : δ(∇u) dv = ∫ σ : δε dv + ∫ σ : δΗ dv
∫ σ : δε dv
Recuperando la expresión inicial del trabajo virtual de las fuerzas exteriores se puede poner la siguiente expresión general del principio del trabajo virtual:
dv + ∫ δ u ⋅ q S ds =
El término de la derecha corresponde al trabajo virtual de las fuerzas interiores:
Por lo que de forma compacta se pude poner el principio del trabajo virtual como:
El principio del trabajo virtual aplicado a esa configuración indica que la condición necesaria y suficiente para que exista equilibrio es que el trabajo virtual de las fuerzas interiores δWI sea igual al trabajo virtual de las fuerzas exteriores δWE para cualquier variación virtual de las deformaciones δ u . El tensor de tensiones de Cauchy se puede poner en función del 2º tensor de Piola – Kirchhoff despejando de la ecuación (33) :
σ = F −1 F S FT
La variación del tensor de deformaciones unitarias se puede poner en función de la variación del tensor de Green-Lagrange según la ecuación (28) :
El integrando de la primera integral es nulo pues corresponde a la ecuación de equilibrio del sólido. con lo que:
∫ σ : δ(∇u ) dv
El tensor gradiente de la deformación ∇u se puede descomponer como suma de sus componentes simétrica y hemisimétrica. su producto contracto con la parte hemisimétrica es nulo. que es desconocido. Para resolver este problema se emplean las magnitudes de medida de tensión y deformación anteriormente definidas. el gradiente de la variación de deformación es igual a la variación del gradiente ∇(δ u) = δ(∇u) . En la segunda integral. pues tanto los tensores de tensiones σ. deformaciones infinitesimales ε como el volumen de integración se refieren al sólido en el estado deformado en el instante t. compatible con las condiciones de ligadura: Este principio es la herramienta fundamental para el desarrollo de una formulación de análisis no lineal. que se refieren a un estado conocido. Sin embargo su aplicación directa no es fácil. siendo la componente simétrica el tensor infinitesimal de deformaciones unitarias ε:
∇u = Ht = ε + Ht
Por ser el tensor σ simétrico.
δε = F−T δ E F−1
Sustituyendo estas expresiones en (35) se obtiene el siguiente valor del trabajo virtual interior:
∫ F (F S F ) : (F
δ E F−1 dv t
S : δ E dv t
La relación entre los diferenciales de volumen es dv t = F dv 0 Con lo que finalmente se obtiene:
∫ S : δE dv
Empleando la representación como vectores de los tensores S y E. la expresión final del trabajo virtual interior es:
∫ δE
S dv 0
Se ha obtenido así una expresión del trabajo virtual interior en el estado t. Esta expresión es la base de las formulaciones que se desarrollan a continuación
. por lo que su empleo es mucho más sencillo. pero en la que se emplean magnitudes de tensión (S) y de deformación unitaria (E) referidas al estado inicial conocido del cuerpo.
. a través de unas funciones de interpolación N:
El vector U contiene las deformaciones de los nudos en el instante t y es. que en el caso plano es:
⎡ ∂ ⎢ ⎢ ∂X 1 ⎢ ⎢ ∂ ⎢ ⎢ ∂X 2 H=⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥⎪ ⎧u1 ⎪ ⎫ ⎪ ⎥⎪ ⎨ ⎬ = ∂0 u u ∂ ⎥⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎥ ∂X 1 ⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎥ ∂X 2 ⎥⎦
A partir de este punto.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
7. en el caso plano (el primer superíndice especifica el nudo):
1 1 2 n U = U1 U2 U 12 U 2 . Su tamaño en problemas de dos dimensiones es de 4 filas y tantas columnas como grados de libertad tiene el elemento..1
FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL
Trabajo virtual interior
El equilibrio en el instante t viene dado por el principio del trabajo virtual:
S dv 0 = δWE
La variación de la deformación unitaria viene dada por (29)
δ E = (AC + A) δ H
Las derivadas de los desplazamientos contenidas en H se pueden expresar en función del campo de deformaciones a través de un operador de derivación ∂ 0 . nos centramos en el estudio de un solo elemento e introducimos la hipótesis de discretización del método de los elementos finitos: el campo de deformaciones se aproxima por interpolación de las deformaciones de los nudos U. U 2
H = ∂ 0 u = ∂ 0 N U = G0 U
La matriz G0 contiene las derivadas de las funciones de interpolación con respecto a las coordenadas iniciales y no depende de las deformaciones..
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ..
7.. El trabajo virtual interior vale:
∫ δU
BT S dv 0 = δ UT ∫ BT S dv 0
En esta expresión se define el vector de fuerzas nodales equivalentes a los esfuerzos interiores en el elemento.2
El principio del trabajo virtual queda:
δWI = δ UT Q = δWE
El trabajo virtual de las fuerzas exteriores se sustituye por el trabajo virtual producido por las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores P.. .....⎥ ⎥ ⎦
La variación de las deformaciones unitarias queda por lo tanto:
δ E = (AC + A) G0 δ U = B δ U
Donde se ha definido la matriz
B = (AC + A) G0
que proporciona la relación entre la variación de las deformaciones de los nudos y la variación de las deformaciones unitarias de Green..... .. .⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . cuya determinación se deja para más adelante:
δWE = δ UT P
Al ser arbitraria la variación de los desplazamientos se cumple que:
Empleando el valor detallado de las fuerzas interiores. ..Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎡ ∂N 1 ⎢ ⎢ ∂X 1 ⎢ ⎢ ∂N 1 ⎢ ⎢ ∂X G0 = ⎢ 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
0 0 ∂N 1 ∂X1 ∂N 1 ∂X 2
∂N 2 ∂X 1 ∂N 2 ∂X 2 0 0
0 0 ∂N 2 ∂X 1 ∂N 2 ∂X 2
⎤ ...⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . la ecuación de equilibrio resulta:
S dv 0 = P
se obtiene el valor del primer término en el incremento del trabajo virtual interior:
. que viene dado por el principio del trabajo virtual en dicho instante:
δWIt +Δt = δWEt +Δt
La resolución directa de esta ecuación es muy difícil. por conveniencia para desarrollos posteriores. que deseamos ponerlo en ˆ. resulta aceptable suponer que el incremento de dicha tensión es proporcional al incremento en las deformaciones de Green-Lagrange:
ΔS = C ΔE
La matriz C es constante y representa la ecuación constitutiva del material en términos incrementales. Para su resolución efectuamos un planteamiento incremental. así como su variación. la variación en la deformación de Green-Lagrange viene dada por (43). • Para evaluar la primera integral de (49). según (38):
Δ (δWI ) =
ΔS dv 0 + ∫ Δ (δ E) : S dv 0
En esta expresión se ha mantenido. en el que buscamos obtener el equilibrio en t+Δt a partir del equilibrio conocido en t. El término no lineal corresponde al trabajo virtual interior. forma lineal. proporcional al incremento de la deformación de los nudos del elemento U empleando para ello una matriz de rigidez constante. es necesario establecer un valor del incremento en la tensión de Piola .Kirchhoff. pues es no lineal.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
7. Donde el vector U
Sustituyendo este incremento de la deformación unitaria. Esta aproximación es válida para materiales elásticos e incluso para otros comportamientos más sofisticados. la notación de vectores para el primer término y la de tensores para el segundo. la matriz de rigidez tangente:
Δ (δWI ) = δ UT ΔQ = δ UT
∂Q ˆ ˆ U ˆ U = δ UT K ∂U
El incremento en el trabajo virtual interior es. por lo que procedemos a linealizarlo con respecto a un incremento de ˆ. tanto en S como en E. dada la similitud entre variaciones e incrementos:
ˆ ΔE = B U
ˆ contiene los incrementos en las deformaciones nodales del elemento. la deformación de los nudos del elemento finito que denominaremos U Desarrollando en serie alrededor del punto anterior t cuyo equilibrio se conoce:
δWIt +Δt ≈ δWI + Δ (δWI )
El segundo sumando es el incremento en el trabajo virtual interior. y ser los incrementos de deformaciones pequeños. y el incremento de dicha deformación tiene una expresión similar. dada por la ecuación (43). Al estar empleando un método incremental.3
Linealización de las ecuaciones de equilibrio
Suponemos conocido el equilibrio en el instante t y buscamos el equilibrio en t + Δt . Por otra parte.
por lo que se desarrolla en función del valor de los tensores H y S. este incremento es:
Δ(δ E) =
Dado que ΔF = ΔH queda:
1 δ HT ΔF + ΔFT δ H 2
La segunda integral es:
1 δ HT ΔH + ΔHT δ H 2
∫ Δ(δE) : S dv
1 δ HT ΔH + ΔHT δ H : S dv 0 ∫ 2
Transponiendo el segundo sumando
T 1 1 0 T T : : S dv 0 δ H Δ H S dv + δ H Δ H ∫ ∫ 2 2
En ambas integrales la matriz que multiplica a S es la misma transpuesta. Para el caso de 2 H. Apoyándose en la ecuación (27). ambos productos contractos son iguales:
∫ (δH
ΔH : S dv 0
La evaluación del integrando en esta forma resulta complicada para la implementación práctica.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ˆ ΔS dv 0 = δ UT ∫ BT C B dv 0 U
• Para calcular la segunda integral de (49) es necesario establecer una expresión del incremento de la variación de la deformación unitaria de Green . su variación δH e incremento ΔH tienen la misma expresión que ˆ respectivamente. pero sustituyendo u por δu y por su incremento u dimensiones la integral queda:
⎡ ∂δu1 ⎢ ⎢ ∂X1 ⎢ ⎢ ∂δu2 ⎢ ⎢⎣ ∂X1
∂δu1 ⎤ ⎥ ∂X 2 ⎥ ⎥ ∂δu2 ⎥ ⎥ ∂X 2 ⎥⎦
⎡ ∂u ˆ ⎢ 1 ⎢ ∂X 1 ⎢ ⎢ ∂u ˆ ⎢ 2 ⎢⎣ ∂X1
ˆ1 ⎤ ∂u ⎥ ∂X 2 ⎥ ⎡⎢S11 S12 ⎤⎥ 0 ⎥: dv ˆ2 ⎥ ⎢⎢S12 S 22 ⎥⎥ ∂u ⎦ ⎥ ⎣ ∂X 2 ⎥⎦
Desarrollando los productos se puede demostrar que es posible poner el integrando en la forma siguiente:
⎧ ∂δu1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X ⎪ ∂ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ u ∂ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ∂δu2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X ∂ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ u ∂ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎡S11 S12 0 ⎢ ⎢S ⎢ 12 S 22 0 ⎢ 0 S11 ⎢0 ⎢ ⎢0 0 S12 ⎣⎢
⎧ ˆ1 ⎫ ∂u ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X ⎪∂ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎤⎪ ⎪ ˆ u ∂ ⎥⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 2 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬ dv ⎪ ⎪ S12 ⎥ ⎪ ∂u ˆ2 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ∂X 1 ⎪ ⎪ S 22 ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎦⎪ ⎪ ˆ2 ⎪ u ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 2 ⎪ ⎭ ⎩
. Al ser H lineal en las deformaciones (ver (9)). Al ser S simétrica.Lagrange.
. que consiste en una agrupación diagonal del 2º tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff tantas veces como dimensiones tenga el problema.
⎡S11 S12 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢S ⎥ 0 0 S 12 22 ⎢ ⎥ S=⎢ ⎥ 0 S11 S12 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ 0 S S 12 22 ⎥ ⎢⎣ ⎦
ˆ se puede expresar en función de los incrementos de las deformaciones de los El vector H nudos efectuando el mismo desarrollo que para el vector H (ver (41)):
ˆ =∂ u ˆ ˆ H 0 ˆ = ∂ 0 N U = G0 U
Finalmente la segunda integral queda:
∫ Δ (δE) : S
dv 0 = (δ U)
ˆ S G0 dv 0 U
• El incremento del trabajo virtual queda por lo tanto:
ˆ + δ UT GT S G dv 0 U Δ (δWI ) = δ UT ∫ BT C B dv 0 U ∫ 0 0 ˆ
ˆ U ˆ + δ UT K ˆ U ˆ = δ UT K ˆ U ˆ Δ (δWI ) = δ UT K σ D
ˆ . La primera Esta expresión define la matriz de rigidez tangente K ˆ corresponde a la rigidez asociada al incremento de las tensiones. aunque ahora la matriz B es dependiente de las deformaciones existentes. Nótese su similitud con la matriz de rigidez en el análisis lineal. sobre un material matriz K D dado. El último factor corresponde a las derivadas de los ˆ y define un nuevo vector incrementos de las deformaciones u
⎧ ∂u ⎫ ˆ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ ⎪ X 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ˆ1 ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 2 ⎪ ⎪ ⎪ ˆ ⎪ ⎪ H=⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ˆ ∂ u 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ˆ2 ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ X ⎪ 2⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Siendo los incrementos de deformación:
⎧u ⎫ ˆ1 ⎪ ⎪ ⎪ ˆ =⎪ u ⎨ ⎬ ⎪ ˆ⎪ u ⎪ ⎩ 2⎪ ⎭
Con lo que la segunda integral queda:
∫ δH
ˆ dv 0 S H
En esta expresión se ha definido la matriz S . que tiene dos sumandos.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
El primer factor del integrando es la variación del vector H (representación como vector del tensor gradiente de la desplazamiento H).
ˆ U ˆ = δ UT Pt +Δt − δ UT BT S dv 0 δ UT K ∫
Al ser arbitraria la variación de las deformaciones. El término de la derecha representa el desequilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas en t+Δt y la fuerzas interiores existentes en t. de ahí su nombre.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ˆ ≡ K D
∫ B C B dv
ˆ se denomina habitualmente matriz de rigidez geométrica y La segunda matriz K σ corresponde a la rigidez asociada al incremento de las deformaciones unitarias actuando sobre un estado de tensiones ya existente. El término de la izquierda representa el incremento aproximado de fuerza interior que se obtiene al aplicar un incremento a la deformación. en forma compacta
ˆ U ˆ = Pt +Δt − Q K
Esta expresión es la ecuación incremental de equilibrio del elemento finito. ˆ ≡ K σ
S G0 dv 0
Ecuaciones de equilibrio incrementales
Tras la linealización del trabajo virtual interior. se debe cumplir:
ˆU ˆ = Pt +Δt − BT S dv 0 K ∫
O también. el trabajo virtual de las fuerzas interiores en el instante conocido t viene dado por (45). mientras que el trabajo virtual de las fuerzas exteriores se sustituye por sus fuerzas nodales equivalentes Pt+Δt. la ecuación de equilibrio en t + Δt queda:
t +Δt δWIt +Δt ≈ δWI + Δ (δWI ) = δWE
Sustituyendo el incremento linealizado del trabajo virtual y reordenando:
ˆ U ˆ = δW t +Δt − δW δ UT K E I
En el término de la derecha.
. No depende de las propiedades del material sino sólo del estado de tensiones (a través de S) y de la geometría (a través de G).
2 Interpolación de deformaciones.5
Formulación isoparamétrica
Asumiendo una formulación isoparamétrica para el elemento.3 Transformación de derivadas Las derivadas de las distintas magnitudes involucradas se transforman entre el sistema local normalizado y el general por medio de la matriz jacobiana habitual. Se supone un sistema de coordenadas normalizadas ξi local al elemento. 7. para la derivada de una función de interpolación:
.1 Interpolación de coordenadas En principio sólo son necesarias las coordenadas en el estado inicial. Sistema linealizado.5. resulta sencillo desarrollar el proceso para obtener la matriz de rigidez tangente y el vector de fuerzas interiores. Por ejemplo.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
^ u Qt
7. Para las deformaciones en el instante t la interpolación es:
ui = ∑ N k U ik
Para los incrementos de deformaciones se emplea una expresión similar:
ˆk ˆi = ∑ N k U u i
ˆ ˆ = NU u
7.5.5. que se interpolan con respecto a las de los nudos (el superíndice k indica el nudo):
X i = ∑ N k X ik
7. en el que se definen las funciones de interpolación.
⎡ ∂N k ⎢ ⎢ ∂X 1 ⎢ ⎢ ∂N k ⎢ ⎢ ∂X 2 k G0 = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂N k ⎥ ⎥ ∂X1 ⎥ ⎥ ∂N k ⎥ ⎥ ∂X 2 ⎥⎦
G0 = ⎡⎢G1 ⎣ 0
⎤ .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎡ ∂N k ⎤ ⎡ ∂X1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ∂ξ1 ⎥ ⎢ ∂ξ1 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ∂N k ⎥ ⎢ ∂X1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ ∂ξ2 ⎥⎦ ⎢⎣ ∂ξ2
∂X 2 ⎤ ⎡ ∂N k ⎤ ⎥⎢ ⎥ ∂ξ1 ⎥ ⎢ ∂X1 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ∂X 2 ⎥ ⎢ ∂N k ⎥ ⎥⎢ ⎥ ∂ξ2 ⎥⎦ ⎢⎣ ∂X 2 ⎥⎦
∂N k ∂N k = J0 ∂ξ ∂X
Los distintos términos de la jacobiana se obtienen mediante la interpolación de coordenadas y las derivadas de las funciones de interpolación en coordenadas locales:
J 0ij =
∂X j ∂ξi =∑
∂N k k Xi ∂ξi
Es necesaria asimismo la transformación de coordenadas inversa:
∂N k 1 ∂N k = J− 0 ∂X ∂ξ ⎧ ⎧ ∂N k ⎫ ∂N k ∂N k ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + ( J− ( J− 0 )11 0 )12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ξ ξ X ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎪ 1 1 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N N N ∂ ∂ ∂ 1 1 − − k⎪ k k⎪ ⎪ ⎪ + ( J0 )22 J0 )21 ( ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ξ1 ∂ξ2 ⎪ ⎪ ∂X 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
7. cada uno de los cuales contiene las derivadas de una función de interpolación respecto de las coordenadas iniciales...5.4 Matriz G Está formada por una serie de tantos bloques como nudos tiene el elemento. Gn G2 0 0⎥ ⎦
Su cálculo es inmediato empleando la transformación de coordenadas inversa:
⎡ −1 ∂N k ⎢( J0 )11 ⎢ ∂ξ1 ⎢ ⎢ −1 ∂N k ⎢( J0 )21 ⎢ ∂ξ1 k G0 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
∂N k ∂ξ2 ∂N k 1 + ( J− 0 )22 ∂ξ2
1 + ( J− 0 )12
∂N k (J ) ∂ξ1 ∂N k 1 ( J− 0 )21 ∂ξ1
−1 0 11
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ∂N k ⎥ −1 ⎥ + ( J0 )12 ∂ξ2 ⎥ ⎥ ∂N k ⎥ −1 ⎥ + ( J0 )22 ∂ξ2 ⎥⎦ 0
7. la matriz B se puede descomponer en dos sumandos:
B = (AC + A) G0 = AC G0 + A G0 = BL 0 + BN 0
El primer sumando proviene de los términos lineales en la deformación y da lugar a la matriz constante BL 0 . Los valores de estas matrices se obtienen fácilmente a partir de las A.5.7 Matriz de rigidez tangente Su expresión tiene dos sumandos:
ˆ = K
0 + ∫ GT 0 S G0 dv
• En la primera integral. y requiere conocer las deformaciones de los nudos en el estado conocido t:
⎧ ∂u1 ⎪ ⎫ ⎪ ⎧ ∂N k k ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ U1 ⎪ ∑ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X1 ⎪ ⎪ ⎪∂ ⎪ k ∂X 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧H 11 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ u1 ⎪ ∂N k k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ U ⎪ ⎪ ⎪ ∑ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 2 ⎪ ⎪ ⎪ k ∂X 2 ⎬ H=⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬=⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ H u N ∂ ∂ k⎪ 21 ⎪ k 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ U2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∑ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X X ∂ ∂ k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 H ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 22 ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u N ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ k⎪ k 2 ⎪ ⎪ ⎪ U2 ⎪ ∑ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂X 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k ∂X 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
7. Para la matriz constante:
. ordenados de otra manera:
⎡H 0 ⎤⎥ ⎢ 11 0 H 21 ⎢ ⎥ 0 H 22 ⎥ A = ⎢ 0 H 12 ⎢ ⎥ ⎢H 12 H 11 H 22 H 21 ⎥ ⎥⎦ ⎣⎢
7. un bloque para cada nudo.6 Matriz A En realidad esta matriz sólo contiene los términos del tensor H.5.5.5 Vector de gradiente de los desplazamientos H Su cálculo es asimismo inmediato. similar a la de G. AC y G. El segundo es proporcional al estado de deformaciones existente a través de la matriz A y da lugar a la matriz no lineal BN 0 . Tienen una estructura de bloques.
. B( B(2) N0 N0⎥ ⎦
k) B( N0
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ k = A G0 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂N ⎢ k ⎢ ∂X 2 ⎣ ˆ = K D
ˆ = K D
∂N k H 11 ∂X1 ∂N k H 12 ∂X 2 ∂N k H 11 + H 12 ∂X 1
⎤ ∂N k ⎥ H 21 ⎥ ∂X 1 ⎥ ⎥ ∂N k ⎥ H 22 ⎥ ∂X 2 ⎥ ⎥ ∂N k ∂N k H 21 + H 22 ⎥⎥ ∂X 2 ∂X 1 ⎦
Sustituyendo en la primera integral se obtiene el primer sumando de la matriz tangente:
+ BN 0 ) C (BL 0 + BN 0 )dv 0
∫B +∫ B
0 C BL 0 dv 0 + ∫ BT L 0 C BN 0 dv 0 C BL 0 dv 0 + ∫ BT N 0 C BN 0 dv
ˆ El primer sumando corresponde a la matriz de rigidez lineal K D 0 y los 3 restantes a la componente no lineal. 7. ˆ =K ˆ +K ˆ +K ˆT + K ˆ K D D0 D1 D1 D2
• El segundo sumando de la matriz tangente corresponde a la matriz de rigidez geométrica y se puede evaluar directamente.5.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
BL 0 = AC G0 = ⎡⎢ B(1) ⎣ L0
n) ⎤ . B( B(2) L0 L0 ⎥ ⎦
k) B( L0
⎡ ∂N k ⎢ ⎢ ∂X 1 ⎢ ⎢ ⎢ 0 = AC Gk = 0 ⎢ ⎢ ⎢ ∂N ⎢ k ⎢ ∂X 2 ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂N k ⎥⎥ ∂X 2 ⎥⎥ ∂N k ⎥⎥ ∂X1 ⎥⎦
Para la matriz no lineal:
BN 0 = A G0 = ⎡⎢B(1) ⎣ N0
n) ⎤ ...8 Vector de fuerzas interiores Su expresión general es:
Es sencillo de evaluar.... en base a la matriz B y al vector de tensiones de Piola-Kirchhoff S en el estado conocido t:
(AC + A) S dv 0
la presencia de fuerzas dependientes de la deformación origina nuevos términos en las ecuaciones de equilibrio que no han sido tenidos en cuenta. El proceso requiere sustituir el diferencial de volumen empleando para ello el determinante del tensor F y el diferencial de área. En caso contrario. como es el caso de muchas fuerzas habitualmente (p.
. Se obtiene la siguiente expresión:
Pt +Δt =
t t 0 q tv+Δ dv 0 + ∫ NT q tS+Δ 0 0 ds s0
t t En esta expresión q tv+Δ y q tS+Δ son los valores de las fuerzas de volumen y superficie en el 0 0 instante t+Δt. Para poderlas evaluar se transforman al estado inicial. peso propio. concentradas. etc. pero referidas al volumen y superficie iniciales. En el instante t+Δt su valor es:
δWEt +Δt =
qtv+Δt dv t + ∫ δ uT q tS+Δt ds t = δ UT Pt +Δt
Introduciendo la interpolación de deformaciones.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
7.e. las variaciones de deformación se pueden poner en función de las variaciones de deformación nodales:
δWEt +Δt = δ UT ∫ NT qtv+Δt dv t + δ UT ∫ NT q tS+Δt ds t = δ UT Pt +Δt
Por lo tanto las fuerzas nodales equivalentes son:
vt +Δt
NT qtv+Δt dv t +Δt +
s t +Δt
NT qtS+Δt ds t +Δt = Pt +Δt
La evaluación de estas fuerzas no es posible pues no se conoce ni el volumen ni la superficie en t+Δt.
Estas expresiones son válidas si las fuerzas no dependen de la deformación.). empleando la fórmula de Nanson.6
Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores
Las fuerzas nodales P equivalentes a las fuerzas exteriores producen el mismo trabajo virtual que ellas.
las derivadas de los desplazamientos contenidas en Ht se pueden expresar en función del campo de deformaciones a través de un operador de derivación ∂ t .1
FORMULACIÓN LAGRANGIANA ACTUALIZADA
El equilibrio en el instante t viene dado por el principio del trabajo virtual. que empleando las magnitudes en forma de vectores. puede escribirse:
∫ δε
σ dv t = δWE
La variación de la deformación unitaria se relaciona con la variación de las derivadas de los desplazamientos por la ecuación (18):
A su vez. Su tamaño en problemas de dos dimensiones es de 4 filas y tantas columnas como grados de libertad tiene el elemento. que en el caso plano es:
⎡ ∂ ⎢ ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ ∂ ⎢ ⎢ ∂x 2 Ht = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥⎪ ⎧u1 ⎪ ⎫ ⎪=∂ u ⎥⎪ ⎨ t u2 ⎬ ∂ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎥⎩ ∂x 1 ⎥ ⎥ ∂ ⎥ ⎥ ∂x 2 ⎥⎦
Se introduce la interpolación de deformaciones apoyándose en las deformaciones de los nudos U y en las funciones de interpolación N:
Ht = ∂ t u = ∂ t N U = Gt U
La matriz Gt contiene las derivadas de las funciones de interpolación con respecto a las coordenadas deformadas x y no depende de las deformaciones.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
en la dirección de un incremento de la deformación u t ˆ mediante una matriz de rigidez tangente K :
ˆ U ˆ δWIt +Δt ≈ δWI + Δ (δWI ) = δWI + δ UT K
El trabajo virtual es.⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .2
El trabajo virtual interior vale:
δWIt =
t T T t T BT t σ dv = δ U ∫ Bt σ dv = δ U Q V
En esta expresión se ha definido el vector de fuerzas nodales equivalentes a los esfuerzos interiores en el instante t.. según (35):
.... .. expresándolo interior en el punto t... procedemos a linealizar el trabajo virtual ˆ . que viene dado por el principio del trabajo virtual en dicho instante:
De la misma manera que en la formulación anterior.. .⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ....
σ dv t
Finalmente..⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .⎥ ⎥ ⎦
δ ε = AC Gt δ U = Bt δ U
Donde se ha definido la matriz que relaciona la variación de las deformaciones de los nudos y la variación de las deformaciones unitarias:
Bt = AC Gt
8... . la ecuación de equilibrio resulta:
σ dv t = P
Suponemos conocido el equilibrio en el instante t y buscamos el equilibrio en t + Δt .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎡ ∂N 1 ⎢ ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ ∂N 1 ⎢ ⎢ ∂x Gt = ⎢ 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
0 0 ∂N 1 ∂x 1 ∂N 1 ∂x 2
⎤ . .. al ser arbitraria la variación de los desplazamientos..
Esta aproximación es válida para materiales elásticos e incluso para otros comportamientos más sofisticados. Donde el vector U
Sustituyendo el incremento de la deformación. resulta aceptable suponer que el incremento de la tensión es proporcional al incremento en las deformaciones unitarias:
Δσ = C Δ ε
La matriz C es constante y representa la ecuación constitutiva del material en términos incrementales. por lo que se desarrolla en función del valor de los tensores.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Su incremento es:
Δσ dv t + ∫ Δ (δε) : σ dv t
• Para evaluar la primera integral. dada la similitud entre variaciones e incrementos:
ˆ Δ ε = Bt U
ˆ contiene los incrementos en las deformaciones nodales del elemento. y ser los incrementos de deformaciones pequeños. es necesario establecer un valor del incremento en la tensión. se obtiene:
ΔHt : σ dv t
La evaluación del integrando en esta forma resulta complicado para la implementación práctica. trasponiendo el segundo sumando y considerando que el tensor de tensiones σ es simétrico. y el incremento de dicha deformación tiene una expresión similar. Para el caso 2D:
⎡ ∂δu1 ⎢ ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ ∂δu2 ⎢ ⎢⎣ ∂x 1
⎡ ∂u ˆ ⎢ 1 ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ ∂u ˆ ⎢ 2 ⎣⎢ ∂x 1
ˆ1 ⎤ ∂u ⎥ ∂x 2 ⎥ ⎡σ11 ⎥:⎢ ˆ2 ⎥ ⎢⎣σ12 ∂u ⎥ ∂x 2 ⎦⎥
σ12 ⎤ ⎥ t σ22 ⎥ dv ⎦
. y su variación se obtiene el valor del primer término en el incremento del trabajo virtual interior:
t ˆ Δσ dv t = δ UT ∫ BT t C Bt dv U Vt
• Para la segunda integral se emplea el incremento de la variación de la deformación unitaria:
Δ(δε) =
1 T δ HT t ΔHt + ΔH t δ Ht 2
Sustituyendo en la segunda integral. Al estar empleando un método incremental. La variación en la deformación unitaria viene dada por (66).
⎧ ∂δu1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ ∂ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂δu1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ∂ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ δ u ∂ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂x 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ u ∂ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ∂ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎡σ11 ⎢ ⎢σ12 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣
⎧ ˆ1 ⎫ ∂u ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪∂ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎤⎪ ⎪ ˆ1 ⎪ ∂u ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ 0 ⎥⎪ ∂x 2 ⎪ ⎪ ⎪ t ⎪ ⎪ ⎨ ⎬dv ⎥ σ12 ⎥ ⎪ ˆ2 ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ x ∂ σ22 ⎥ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎦⎪ ⎪ ˆ2 ⎪ u ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ∂ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎭ ⎩
El primer factor de esta expresión es la variación del tensor Ht. que tiene dos sumandos. puesta en forma de vector. El último factor del integrando corresponde al gradiente de los incrementos de las deformaciones:
⎧ ∂u ⎫ ˆ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x1 ⎪ ⎪∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ˆ u ∂ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ x ⎪ ⎪ 2 ˆ =⎪ ⎪ H ⎨ ⎬ t ⎪ ⎪ ˆ ∂ u 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂x 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ˆ2 ⎪ ∂ u ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ x ⎪ 2⎪ ⎪ ⎩ ⎭
ˆ dv t σ H t
Donde se ha definido la matriz σ que consiste en una agrupación diagonal del tensor de tensiones tantas veces como dimensiones tenga el problema.
. pues ahora la matriz primera matriz K D Bt es constante y coincide con la matriz empleada en dicho análisis lineal. el valor del vector H t expresar en función de los incrementos de las deformaciones de los nudos (ver (65)):
ˆ =∂ u ˆ ˆ H t t ˆ = ∂ t N U = Gt U
∫ Δ (δε) : σ
t ˆ dv t = δ UT ∫ GT t σ Gt dv U
• El incremento del trabajo virtual queda finalmente como:
t ˆ T T t ˆ Δ (δWI ) = δ UT ∫ BT t C Bt dv U + δ U ∫ Gt σ Gt dv U
ˆ +K ˆ )U ˆ = δ UT K ˆ U ˆ Δ (δWI ) = δ UT (K D σ
ˆ . ˆ se puede Efectuando el mismo desarrollo que para el vector Ht . La En esta expresión se ha definido la matriz de rigidez tangente K ˆ coincide con la matriz de rigidez en el análisis lineal.
5.5.1 Interpolación de coordenadas En principio sólo son necesarias las coordenadas en el estado t:
x it = ∑ N k x ikt
Estas coordenadas se deben ir actualizando a medida que progresa el análisis incremental.2 Interpolación de deformaciones Para las deformaciones en el instante t la interpolación es:
8. aunque empleando la tensión de Cauchy en lugar de la de Piola Kirchhoff. 8. ˆ ≡ K σ
8. para la derivada de una función de interpolación:
. que tienen la misma expresión general que en aquel caso. Por ejemplo.5. a base de añadirles las deformaciones obtenidas en cada paso de carga.3 Transformación de derivadas Las derivadas de las distintas magnitudes involucradas se transforman entre el sistema local normalizado y el general por medio de la matriz jacobiana habitual.5
8. y sólo se diferencia en los valores de la matriz de rigidez tangente y del vector de fuerzas interiores. en forma compacta.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
C Bt dv t
ˆ tiene una estructura muy similar a la correspondiente en La matriz de rigidez geométrica K σ al formulación Lagrangiana total. y evaluando todos sus términos en el estado t en lugar de en el estado inicial. introduciendo el vector de fuerzas interiores:
σ Gt dv t
Efectuando el mismo desarrollo que en la formulación lagrangiana total se llega a las ecuaciones de equilibrio incrementales.
ˆU ˆ = Pt +Δt − BT σ dv t K ∫ t
⎡ ∂N k ⎤ ⎡ ∂x 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ∂ξ1 ⎥ ⎢ ∂ξ1 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ∂N k ⎥ ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ ∂ξ2 ⎥⎦ ⎢⎣ ∂ξ2
∂x 2 ⎤ ⎡ ∂N k ⎤ ⎥⎢ ⎥ ∂ξ1 ⎥ ⎢ ∂x 1 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ∂x 2 ⎥ ⎢ ∂N k ⎥ ⎥⎢ ⎥ ∂ξ2 ⎥⎦ ⎢⎣ ∂x 2 ⎥⎦
∂N k ∂N k = Jt ∂ξ ∂x
J tij = ∂x j ∂ξi =∑
∂N k ∂N k = Jt−1 ∂x ∂ξ ⎧ ⎧ ∂N k ⎫ ∂N ∂N ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ( Jt−1 )11 k + (Jt−1 )12 k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ξ ξ x ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎪ 1 1 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N N N ∂ ∂ ∂ − − 1 1 k⎪ k k⎪ ⎪ ⎪ + ( Jt )22 Jt )21 ( ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ξ1 ∂ξ2 ⎪ ⎪ ∂x 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
8.4 Matriz G Está formada por una serie de tantos bloques como nudos tiene el elemento. cada uno de los cuales contiene las derivadas de la función de interpolación de ese nudo respecto de las coordenadas en el instante t.5.
⎡ ∂N k ⎢ ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ ∂N k ⎢ ⎢ ∂x 2 k Gt = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂N k ⎥ ⎥ ∂x 1 ⎥ ⎥ ∂N k ⎥ ⎥ ∂x 2 ⎥⎦
Gt = ⎡⎢G1 Gt2 … Gtn ⎤⎥ ⎣ t ⎦
5 Matriz tangente Su expresión tiene dos sumandos:
t C Bt dv t + ∫ GT t σ Gt dv
La matriz B es constante y tiene una estructura de bloques similar a la de G.. Btn ⎤⎥ ⎦
⎡ ∂N k ⎢ ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ k k Bt = AC Gt = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ∂N ⎢ k ⎢ ∂x ⎣ 2
8.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎡ −1 ∂N k ⎢( Jt )11 ⎢ ∂ξ1 ⎢ ⎢ −1 ∂N k ⎢( Jt )21 ⎢ ∂ξ1 k Gt = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
∂N k ∂ξ2 ∂N k + ( Jt−1 )22 ∂ξ2 + ( Jt−1 )12 0 0 ∂N k (J ) ∂ξ1 ∂N ( Jt−1 )21 k ∂ξ1
−1 t 11
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ∂N k ⎥ −1 ⎥ + ( Jt )12 ∂ξ2 ⎥ ⎥ ∂N k ⎥ −1 ⎥ + ( Jt )22 ∂ξ2 ⎥⎦ 0
8.6 Vector de fuerzas interiores
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂N k ⎥⎥ ∂x 2 ⎥⎥ ∂N k ⎥⎥ ∂x 1 ⎥⎦
Su expresión es sencilla de obtener.
+Δt +Δt qtvt dv t + ∫ NT q tSt ds t
. las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores se evalúan con los valores en el instante t+Δt pero referidas al área y volumen de la posición conocida t..6
Al igual que en la formulación total. con un bloque para cada nudo:
Bt = AC Gt = ⎡⎢ B1 ⎣ t Bt2 . en base a la matriz B y al vector de tensiones σ en el estado conocido t:
σ dv t =
t AT C σ dv
9. FORMULACIÓN LAGRANGIANA
Consideramos un elemento biarticulado plano. Elemento de celosía plana. definido en su posición inicial mediante las coordenadas de sus nudos extremos 1 y 2:
Xe = X1 Y1 X 2 Y2
Las deformaciones de los nudos en el instante t son:
U = U 1 V1 U 2 U 2
En su posición deformada en el instante t.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ELEMENTO BIARTICULADO.1
La longitud inicial del elemento es:
2 L2 Y2 −Y1 )2 = XT 0 = (X 2 − X 1 ) + ( 21 X21
Siendo el vector de diferencias entre las coordenadas:
X21 = (X 2 − X1 )
La longitud final deformada del elemento es:
(Y2 −Y1 )
. Formulación lagrangiana. las coordenadas de los nudos son:
xe = x 1 y1 x 2 y2
xe = Xe + U
la matriz B resulta ser:
B = BL + BN =
1 L2 0
⎡(−X −U ) (− Y21 −V21 ) (X 21 + U 21 ) (Y21 + V21 )⎤⎥ 21 21 ⎢⎣ ⎦
2 2 T T L2 t = (x 2 − x 1 ) + (y 2 − y1 ) = x21 x21 = (X21 + U21 ) (X21 + U21 )
Siendo. análogamente. se puede poner en función de las deformaciones de los nudos:
E11 = BL U +
Siendo BL una matriz constante que depende de las coordenadas iniciales de los nudos y A una matriz constante:
⎡−X Y21 X 21 Y21 ⎤⎥ ⎢⎣ 21 − ⎦
⎡+1 0 −1 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 +1 ⎥ 0 1 − ⎢ ⎥ A=⎢ ⎥ 0 +1 0⎥ ⎢ −1 ⎢ ⎥ ⎢ 0 −1 0 +1⎥ ⎣ ⎦
 La variación de la deformación unitaria de Green-Lagrange es:
δE11 = BL δ U +
2 T U A δU 2L2 0
δE11 = BL δ U + BN δ U = B δ U
Siendo BN una matriz proporcional a las deformaciones de los nudos:
1 T 1 V1 −V2 ) (U 2 −U 1 ) ( V2 −V1 )⎤⎥ U A = 2 ⎡⎢(U 1 −U 2 ) ( 2 ⎣ ⎦ L0 L0 BN = 1 L2 0 ⎡− V21 U 21 V21 ⎤⎥ ⎢⎣ U 21 − ⎦
Sumando las expresiones de la parte lineal y no lineal. los vectores de diferencias entre las coordenadas finales y entre las deformaciones:
x21 = (x 2 − x 1 )
(y2 − y1 )
= X21 + U21
U21 = (U 2 −U 1 )
(V2 −V1 )
El tensor de deformación unitaria de Green .Lagrange es un escalar:
2 L2 (X21 + U21 )T (X21 + U21 ) − XT t − L0 21X21 = 2 2 2L0 2L0
⎞ 1⎛ T 1 ⎟ ⎜X U + UT 21U21 ⎟ 2 ⎜ 21 21 ⎠ L0 ⎝ 2 1 T U AU 2L2 0
9. se emplea su definición como derivada del vector de fuerzas interiores:
ˆ = ∂Q K ∂U
Derivando en la expresión de las fuerzas interiores:
∂Q ∂BT T ∂S ˆ ˆ +K ˆ = A0 L0 B + SA0 L0 =K K= D σ ∂U ∂U ∂U
La primera matriz se debe a la variación de la tensión S al deformarse la barra. Como B es constante dentro del elemento la integración es inmediata:
⎧ ⎫ ⎪−(X 21 + U 21 )⎪ ⎪ −x 21 ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y − −(Y21 + V21 )⎪ S A0 ⎪ 21 ⎪ ⎪ S A L ⎪ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Q = S A0 L0 BT = ⎨ ⎬= ⎨ x ⎬ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ L0 ⎪ X 21 + U 21 ⎪ L0 ⎪ 21 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y21 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Y V + ⎩ ⎭ 21 21 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
9.3 Matriz de rigidez tangente
Para su obtención.2 Vector de fuerzas interiores
∫BS
Siendo S la tensión de Piola – Kirchhoff en la barra. pero evaluada en la situación deformada. Por lo tanto:
∂(E E11 ) ∂E11 ˆ = A L BT ∂S = A L BT K = EA0 L0 BT 0 0 0 0 D ∂U ∂U ∂U
La derivada de la deformación unitaria de Green-Lagrange es:
∂E11 ∂U
2 T U A = BL + BN = B 2L2 0
ˆ = EA L BT B K D 0 0
. Se supone que dicha tensión de Piola es proporcional a la deformación unitaria de Green siendo la contante de proporcionalidad el módulo de elasticidad del material E.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎡−x ⎤ ⎢⎣ 21 −y21 x 21 y21 ⎥⎦
Que corresponde a la misma expresión que la componente lineal. en lugar de aplicar las expresiones detalladas ya obtenidas.
Si ambas longitudes son muy similares (lo cual puede suponerse siempre que los alargamientos sean pequeños). pero introduciendo el factor de proporción entre las longitudes. Considerando que el seno y coseno del ángulo final de la barra θ valen sθ ≡ sin θ = y21 / L y cθ = cos θ = x 21 / L . En la expresión (76) puede desarrollarse el valor de B:
ˆ = EA L (BT + BT )(B + B ) = EA L (BT B + BT B + BT B + BT B ) K D L N L N L L L N N L N N 0 0 0 0
Y se obtienen cuatro sumandos. salvo por el empleo del área y longitud iniciales. pero evaluada en la posición deformada. el primero de los cuales corresponde a la matriz de rigidez lineal de la barra en su posición inicial:
2 2 ⎡X 21 X 21Y21 −X 21 −X 21Y21 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ Y21 Y21 ⎥ −X 21Y21 − EA0 ⎢⎢ ⎥ = EA0L0 BT L BL = 2 L0 ⎢⎢ sim X 21 X 21Y21 ⎥⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ Y21 ⎣ ⎦
ˆ K D0
Los sumando 2 y 3 son traspuestos uno del otro y corresponden a los términos lineales en las deformaciones:
ˆ K D1
⎡ X 21U 21 X 21V21 −X 21U 21 −X 21V21 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢YU ⎥ Y V Y U Y V − − 21 21 21 21 21 21 21 21 EA0 ⎢ ⎥ T = EA0L0 BL BN = ⎢ ⎥ X 21V21 ⎥ L0 ⎢−X 21U 21 −X 21V21 X 21U 21 ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ − Y U Y V Y U Y V 21 21 21 21 21 21 ⎥ ⎢⎣ 21 21 ⎦
El último sumando es cuadrático en la deformación:
. la matriz anterior se puede poner:
2 2 ⎡cθ cθsθ −cθ ⎢ 2 3 ⎢ sθ −cθsθ ⎢ ⎛ ⎞ EA L ⎟ 0 ⎜ ˆ = ⎢ ⎟ K ⎜ D ⎟ 2 ⎟ ⎢ L ⎜ Sim cθ ⎝ L0 ⎠ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
−cθsθ ⎤ ⎥ 2 ⎥ −sθ ⎥ ⎥ cθsθ ⎥⎥ ⎥ 2 ⎥ sθ ⎦
Que coincide con la matriz convencional de la barra biarticulada evaluada en su posición deformada.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
2 2 ⎡x 21 x 21y21 −x 21 −x 21y21 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ y21 −x 21y21 −y21 ⎥ ⎢ ˆ = EA0 ⎢ ⎥ K D 2 ⎢ ⎥ L3 Sim x x y 0 21 21 21 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ y21 ⎥ ⎣ ⎦
Esta matriz coincide con la matriz de rigidez convencional de una barra biarticulada. ambas matrices coinciden.
2 2 ⎡U 21 U 21V21 U 21 U 21V21 ⎤ − − ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ V21 U 21V21 V21 ⎥ − − EA0 ⎢⎢ ⎥ = EA0L0 BT = B N N 2 L0 ⎢⎢ sim U 21 U 21V21 ⎥⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ V21 ⎣ ⎦
ˆ K D2
La segunda matriz es la matriz de rigidez geométrica. son las habituales para la interpolación lineal.4 Formulación isoparamétrica
Aunque no es necesario. Las interpolaciones de coordenadas y desplazamientos son:
X = N Xe u = NU
Las funciones de interpolación para el elemento de dos nudos. empleando la coordenada normalizada ξ que varía entre -1 en el nudo inicial y +1 en el nudo final:
⎡1 − ξ ⎢ ⎢ N=⎢ 2 ⎢ 0 ⎢ ⎣
0 1− ξ 2
1+ξ 2 0
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 + ξ ⎥⎥ 2 ⎥⎦
La deformación unitaria de Green-Lagrange vale:
E11 = dxT dx − dXT dX 2 dXT dX
Los diferenciales son:
dX = dX dξ dξ
. se puede formular el elemento de celosía empleando funciones de interpolación y la formulación isoparamétrica estándar en el método de los elementos finitos. 9. que pueden emplearse para elementos más complejos. y su valor es:
T T ˆ = SA L ∂B = SA L ∂BN = SA L 1 AT = SA0 AT K 0 0 0 0 0 0 2 σ ∂U ∂U L0 L0
⎡+1 0 −1 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 +1 ⎥ 0 1 − SA0 ⎢ ⎥ ˆ Kσ = ⎢ ⎥ 0 +1 0⎥ L0 ⎢−1 ⎢ ⎥ ⎢ 0 −1 0 +1⎥ ⎣ ⎦
Obsérvese que esta matriz es independiente de la orientación de la barra y sólo depende de su nivel de esfuerzo y de su longitud. Ello permite obtener expresiones más generales de las propiedades del elemento.
⎛ dX d u ⎞ dx = d (X + u) = ⎜ + ⎟ ⎟d ξ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ dξ dξ ⎠
Con lo que el valor de la deformación de Green-Lagrange es:
1 ⎛ dXT du 1 duT du ⎞ ⎟ ⎜ + ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ λ ⎝ dξ dξ 2 dξ dξ ⎠
La constante λ2 representa la expresión del denominador de la deformación unitaria:
λ2 = dXT dX dXT dX = dξ dξ dξ dξ
Sustituyendo las interpolaciones de deformaciones y coordenadas se obtiene:
T 1 ⎛ 1 T dNT dN ⎞ eT dN dN ⎜ X U + U U⎟ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ λ ⎝ 2 dξ dξ dξ dξ ⎠
λ 2 = XeT
La variación de la deformación unitaria es:
dNT dN e X dξ dξ
δE11 =
T T ⎞ 1⎛ ⎟ ⎜XeT dN dN δ U + UT dN dN δ U⎟ ⎜ 2 ⎜ ⎟ λ ⎝ dξ dξ dξ dξ ⎠
Esta expresión define las dos matrices B:
1 eT dNT dN X dξ dξ λ2 1 dNT dN U dξ dξ λ2
Para el elemento de dos nudos sus expresiones son:
⎡ 1 1 ⎤ 0 + 0 ⎥ ⎢− dN ⎢ 2 2 ⎥ =⎢ 1 ⎥⎥ dξ ⎢ 0 −1 0 + ⎥ ⎢ 2 2⎦ ⎣
X XT dNT dN e L2 X = 21 21 = 0 dξ dξ 4 4
1 eT dNT dN 1 X = 2 2 λ dξ dξ L0
1 T dNT dN 1 U U 21 − V21 U 21 V21 ⎤⎥ = 2 ⎡⎢− 2 ⎣ ⎦ λ dξ dξ L0
Son las mismas expresiones ya obtenidas antes de forma directa.
. para este caso particular.
La formulación co-rotacional (CR) por su parte emplea un sistema de ejes asociado a cada elemento de la estructura. Elemento de celosía plana. que en este caso consta únicamente de un alargamiento axial. habiéndose empleado diversos métodos para ello.
La figura muestra un elemento plano.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
10 ELEMENTO BIARTICULADO. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL
La formulación lagrangiana. emplea un único sistema de ejes global al cual se refieren todos los movimientos y deformaciones del sólido. placas y cáscaras. y con él de tal manera que el eje x pasa por la posición deformada de ambos nudos. La limitación principal de la formulación CR está en que se supone a priori que la deformación del elemento respecto del sistema co-rotacional es de pequeña magnitud comparada con el movimiento global. La definición de la posición del sistema co-rotacional de ejes para el caso de problemas en 3 dimensiones requiere de técnicas adecuadas. El movimiento total se descompone en una parte de sólido rígido. Formulación co-rotacional. vigas. la cual queda definida por la deformación del nudo inicial u1.
Figura 7. en el que se define un sistema de ejes co-rotacional x .
u1 = L − L0
. Esta limitación hace que esta formulación sea de aplicación más limitada. de tal manera que este sistema de ejes contiene el movimiento de sólido rígido del elemento y se mueve con él. En tercer lugar se produce la deformación de la barra. caracterizada por el movimiento del sistema de ejes co-rotacional y una parte de deformación del sólido con respecto a dicho sistema de ejes. El movimiento total de la barra se puede descomponer en tres fases: en primer lugar una traslación desde la posición inicial hasta hacer coincidir el nudo inicial con su posición deformada. cuya magnitud es u1 . seguida a continuación por una rotación de valor α hasta alcanzar la orientación deformada final. tanto en su planteamiento total como actualizado. empleándose para el estudio de barras.
La variación del alargamiento de la barra a consecuencia de la variación de las deformaciones nodales es:
δu1 = δU 2 cos β + δV2 sin β − δU 1 cos β − δV1 sin β
Donde β es el ángulo que forma la barra con respecto al eje x en su posición deformada. La figura siguiente muestra la configuración una vez aplicada una variación virtual cualquiera. medido en el sistema co-rotacional:
L − L0 u = 1 L0 L0
δu1 L0
Para obtener la variación del alargamiento. que consiste en imponer una variación a las deformaciones de los nudos y determinar cuánto varía el alargamiento a consecuencia de ella. Esta expresión se puede poner:
. Celosía plana. por lo que es más fácil emplear un método más geométrico. por lo que en la práctica es mejor emplearla en la forma:
u1 = (L − L0 )
L + L0 L2 − L2 0 = L + L0 L + L0 = 2 ⎛ T 1 ⎞ ⎟ ⎜ X21 U21 + UT 21 U21 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ 2 L + L0
(X21 + U21 )T (X21 + U21 ) − XT 21 X21
10.1 Deformación unitaria En esta formulación emplearemos la deformación unitaria ingenieril cuyo valor es. V2 u1
Figura 8. el empleo directo de su expresión resulta complejo.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
u1 = ⎡⎣(X21 + U21 )T (X21 + U21 )⎤⎦
⎤ − ⎡⎣ XT 21X21 ⎦
Esta expresión tiene una mala condición numérica. Variación virtual de las deformaciones.
δu1 = ⎡⎢− cos β − sin β cos β ⎣
⎧ δU 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ V ⎪ 1⎪ ⎪ ⎤ sin β ⎥ ⎨ ⎪ = rT δ U ⎦ ⎪δU 2 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ V 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
10. 10.3 Matriz de rigidez tangente La matriz tangente se puede obtener derivando la expresión de las fuerzas interiores:
ˆ = ∂Q = r ∂N + N ∂r = K ˆ +K ˆ K D σ ∂U ∂U ∂U
• La primera matriz tangente vale:
ˆ = r ∂N = r EA ∂u1 K D L0 ∂U ∂U La derivada del alargamiento axial se obtiene fácilmente a través de la expresión de su variación:
∂u1 δ U = rT δ U ∂U
∂u1 = rT ∂U
ˆ = r ∂N = EA r rT K D L0 ∂U
.2 Vector de fuerzas interiores El trabajo virtual de las fuerzas interiores está producido únicamente por la fuerza axial en la barra N (supuesta positiva a tracción):
δWI = δu1 N = (δ U) r N
La definición del vector de fuerzas interiores es:
δWI = (δ U) Q
Con lo que su valor es:
⎧ −N cos β ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −N sin β ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Q=rN =⎨ ⎬ ⎪ N cos β ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N sin β ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Que es la expresión obvia de las componentes cartesianas de la fuerza axial.
⎡ c2 sc −c 2 −sc ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 2⎥ s −sc −s ⎥ ⎢ sc ˆ = EA ⎢ ⎥ K D L0 ⎢⎢−c 2 −sc c 2 sc ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢−sc −s 2 sc s2 ⎥ ⎣ ⎦
Donde se ha empleado c = cos β
s = sin β .
. la matriz de rigidez geométrica es:
ˆ = N ∂r = N ∂r ∂β K σ ∂U ∂β ∂ U
La primera derivada es inmediata:
⎧ sin β ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cos β − ⎪ ⎪ ∂r ⎪ ⎪=z =⎨ ⎬ ⎪ ∂β ⎪− sin β ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ cos β ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
La segunda derivada en la expresión de la matriz geométrica es la derivada del ángulo de orientación β respecto a las deformaciones de los nudos y se obtiene fácilmente estudiando la variación de dicho ángulo:
δv2 1 = (δV2 cos β − δU 2 sin β − (δV1 cos β − δU 1 sin β )) L L δβ =
1 T z δU L
∂β 1 = zT ∂U L
v2 V2 U2
Por lo tanto la derivada buscada es:
1 T ∂β δU z δU = L ∂U
Figura 9. Celosía plana. • Por su parte. pero evaluada en su posición deformada. Esta expresión coincide con la matriz de
rigidez habitual de la barra biarticulada plana. Variación de la orientación.
La matriz de rigidez geométrica del elemento en esta formulación es:
⎡ s 2 −sc −s 2 sc ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 2⎥ sc c sc c − − ⎢ ⎥ ˆ = N z zT = N ⎢ ⎥ K σ L L ⎢⎢−s 2 sc s 2 −sc ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ sc −c 2 −sc c 2 ⎥ ⎣ ⎦
11 ELEMENTO VIGA PLANA. Viga plana. no hay que considerar deformación lateral de la barra. la cual queda definida por la deformación del nudo inicial u1. Formulación co-rotacional.1 Deformación axial y esfuerzo axial
La deformación axial en el sistema co-rotacional es u1 y su determinación es exactamente igual que para el elemento de celosía. de tal manera que el eje x pasa siempre por la posición deformada de ambos nudos. pues ésta está tenida en cuenta en la rotación α. x
u1 L0
L + L0 L2 − L2 0 u1 = (L − L0 ) = L + L0 L + L0 u1 =
2 ⎛ T 1 ⎞ ⎟ ⎜X21 U21 + UT 21 U21 ⎟ ⎜ ⎠ 2 L + L0 ⎝
. Al haberse tomado los ejes co-rotacionales pasando por la posición deformada de los nudos. que en este caso consta de dos efectos: un alargamiento axial en la dirección del eje x y una deformación por flexión. En tercer lugar se produce la deformación de la barra. caracterizada por los giros de los dos extremos θ1 y θ2.
El movimiento total de la barra se puede descomponer en tres fases: en primer lugar una traslación desde la posición inicial hasta hacer coincidir el nudo inicial con su posición deformada. Los grados de libertad del elemento son:
U = U 1 V1 θ1 U 2 V2
11. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL
La formulación de este elemento emplea un sistema de ejes x . y co-rotacional con él. En segundo lugar una rotación de valor α hasta alcanzar la orientación deformada final del eje co-rotacional x .
medida en el sistema corotacional. θ1 y θ2. Deformaciones de flexión. medidos respecto de la orientación inicial de la barra. La definición empleada para el eje co-rotacional x hace que no haya deformaciones laterales en los nudos. vale
El valor del esfuerzo axial (supuesto positivo a tracción) producido por esta deformación.2 Deformación y momentos de flexión La deformación producida por la flexión de la viga queda definida por los dos giros en los extremos. suponiendo un comportamiento elástico es:
N = Aσ = AE ε =
AEu1 L0
11. Estos giros se suponen de pequeña magnitud. por lo que la energía de flexión está asociada únicamente a los giros de los nudos relativos a dicho eje co-rotacional θ1 y θ2 . los momentos flectores en ambos extremos de la barra se relacionan con los giros correspondientes mediante la ecuación de rigidez:
⎧θ1 ⎪ ⎫ ⎧ M ⎫ EI ⎡ 4 2⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪= ⎪ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 4 M θ ⎪ 2⎭ ⎪ L0 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪ ⎩ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎩ ⎭
. Estos giros valen:
θ1 = θ1 − α
θ2 = θ2 − α
Empleando la teoría de Euler – Bernouilli de la flexión.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
La deformación unitaria ingenieril debida al alargamiento axial. Viga plana.
3 Deformaciones virtuales La variación del alargamiento axial es:
Efectuando el mismo desarrollo que para el elemento biarticulado. como se efectuó para el elemento biarticulado:
δα = δβ =
1 δv2 = (δV2 cos β − δU 2 sin β − (δV1 cos β − δU 1 sin β )) L L δα = 1 T z δU L
Siendo ahora:
z = sin β − cos β
0 − sin β cos β
La variación de los ángulos de rotación relativos en ambos extremos es:
⎧ ⎫ ⎪δθ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧δθ ⎫ ⎪ ⎧δα⎫ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬−⎨ ⎬ = ⎪ ⎪ ⎪δα⎪ δθ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪δθ2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎪ 2⎭ ⎪ ⎩
⎡ zT ⎤ ⎡ 0 0 1 0 0 0⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 1⎥ δ U − L ⎢ zT ⎥ δ U = A δ U ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
⎡0 0 1 0 0 0⎤ 1 ⎡ zT ⎤ ⎥− ⎢ ⎥ A = ⎢⎢ 0 0 0 0 0 1⎥⎥ L ⎢⎢ zT ⎥⎥ ⎣⎢ ⎦ ⎣ ⎦
Agrupando las tres deformaciones virtuales en un vector δ p se puede definir la matriz B del elemento:
⎧ ⎪ ⎪ δu1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δ p = ⎨ δθ1 ⎪ ⎬= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δθ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎡ rT ⎤ ⎢ ⎥ δU = B δU ⎢A⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
. La variación del ángulo de orientación β al variar las deformaciones de los nudos se obtiene fácilmente por consideraciones geométricas. esta variación se puede poner como:
δu1 = ⎡⎢− cos β − sin β ⎣
⎧δU 1 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δV1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δθ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = rT δ U 0 cos β sin β 0⎤⎥ ⎪ ⎨ ⎦ ⎪δU 2 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δV2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δθ2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭
Siendo β el ángulo que forma la barra con respecto al eje x en su posición deformada final.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
En consecuencia.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
11.4 Trabajo virtual El trabajo virtual de las fuerzas interiores está producido por la fuerza axial y los dos momentos en los extremos. actuando sobre sus correspondientes deformaciones virtuales:
δWI = δu1 N + δθ1 M 1 + δθ2 M 2
Las tres fuerzas interiores independientes se agrupan en un vector:
⎧N ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Q = ⎨M 1 ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ M ⎪ 2⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎩
Con lo que el trabajo virtual de dichas fuerzas interiores se puede poner como:
δWI = δu1 N + δθ1 M 1 + δθ2 M 2 = δ pT Q = (δ U)T BT Q
El vector de fuerzas interiores del elemento es:
δWI = (δ U) BT Q = (δ U) Q
Q = BT Q
11.5 Matriz de rigidez tangente Se puede obtener derivando la expresión de las fuerzas interiores:
∂Q ∂BT T ∂Q ˆ ˆ +K ˆ =B + K= Q=K D σ ∂U ∂U ∂U
• La relación entre los 3 esfuerzos internos y las deformaciones locales se puede poner en forma compacta como:
⎧N ⎪ ⎫ ⎡ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢A 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪M ⎬ ⎪ E ⎢⎢ 0 4I ⎨ 1 = ⎪ ⎪ L0 ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ 0 2I ⎪ ⎪ M ⎪ ⎢⎣ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Q = Cp
Y por lo tanto su derivada es:
⎧u ⎫ ⎪ 0 ⎤⎥ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ 2I ⎥ ⎨θ1 ⎬ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4I ⎥⎥ ⎪ ⎪θ2 ⎪ ⎪ ⎦⎩ ⎪ ⎭
∂Q ∂p =C = CB ∂U ∂U
El segundo paso es evidente en base a la definición de la δ p . la primera matriz tangente vale:
ˆ = BT ∂Q = BT C B K D ∂U
 Considerando que B1 = rT .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Esta expresión coincide con la matriz de rigidez habitual de la viga plana. y se requiere obtener sus derivadas respecto de los grados de libertad del elemento. pero evaluada en su posición deformada. la matriz de rigidez geométrica es:
T T T T ˆ = ∂B Q = ∂B1 N + ∂B2 M + ∂B3 M K 1 2 σ ∂U ∂U ∂U ∂U
Donde Bi es la fila i-sima de la matriz B.  Por su parte. el primer sumando de la matriz geométrica es:
∂BT ∂r 1 1 = = z zT ∂U ∂U L
La derivada de la segunda fila requiere derivar la primera fila de A transpuesta:
∂BT ∂AT ∂ ⎛ 1 ⎞ 1 ∂z ∂(1/ L) 2 1 ⎜ = = − z⎟ =− −z ⎟ ⎜ ∂U ∂U ∂U ⎝ L ⎠ L ∂U ∂U ∂BT 1 ∂z ∂ β 1 ∂L 2 =− +z 2 ∂U L ∂β ∂U L ∂U
. la primera derivada es:
∂BT ∂r ∂r ∂β 1 = = ∂U ∂U ∂ β ∂ U
La derivada del vector r es inmediata y corresponde al vector z ya conocido:
⎧ sin β ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − cos β ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ∂r ⎪ ⎪=z =⎨ ⎬ ⎪ − β sin ∂β ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ β cos ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
La derivada del ángulo de orientación β respecto a las deformaciones de los nudos se puede obtener a partir de su variación que ya ha sido calculada anteriormente:
1 T z δU L ∂β 1 = zT ∂U L
∂β 1 T z δU = δU L ∂U
Las derivadas necesarias son:
⎧ cos β ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ β sin ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ∂z ⎪ ⎪ = −r =⎨ ⎬ ⎪ ∂β ⎪− cos β ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − β sin ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
∂L ∂u = 1 = rT ∂U ∂U
Con lo que la derivada de la segunda fila queda:
∂BT 1 1 2 = 2 r zT + 2 z rT ∂U L L
La derivada de la tercera fila es igual que la de la segunda:
∂BT 1 1 3 = 2 r zT + 2 z rT ∂U L L
Agrupando los distintos valores se obtiene la expresión de la matriz de rigidez geométrica del elemento en esta formulación:
ˆ = N z zT + (M 1 + M 2 ) r zT + z rT K σ L L2
θy alrededor de los ejes X. Se supone que las fuerzas transversales producen una flexión lateral con unos desplazamientos laterales de magnitud suficiente para no ser despreciables.1 Campo de deformaciones Estudiamos la flexión de placas inicialmente planas. Campo de deformaciones en una placa. El campo de deformaciones en el plano medio de la placa está compuesto por tres desplazamientos (dos contenidos en el plano de la placa u. Las deformaciones en un punto P situado a una distancia z del plano medio son:
uP = u + z θy vP = v − z θx wP = w
Figura 12. Por lo tanto el problema tiene 5 deformaciones incógnitas:
uT = u v w θx
Nota: con objeto de simplificar la notación se emplea la nomenclatura clásica para las coordenadas x ≡ x 1 y ≡ x 2 y para las deformaciones u ≡ u1 v ≡ u2 w ≡ u 3 .
12. Y. FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL
12. con lo que en el estado deformado la placa deja de estar contenida en su plano inicial. despreciando en él los términos cuadráticos en las deformaciones contendidas en el
. v y uno perpendicular a ella w).2 Deformaciones unitarias Se considera una versión degenerada del tensor de deformaciones unitarias de Green – Lagrange. Estos desplazamientos laterales dan lugar a su vez a deformaciones unitarias en el plano de la placa. Empleando la teoría de MindlinReissner. estas rotaciones no son las derivadas de la deformación transversal. que se suman a las producidas por las fuerzas contenidas en su plano. sometidas a fuerzas tanto transversales como contenidas en el plano de la placa. y por dos rotaciones θx .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
12 FLEXIÓN DE PLACAS.
plano de la placa, como p.e.: (∂u ∂x ) . Se obtienen de esta manera las conocidas como deformaciones unitarias de Von Kármán, que son válidas para análisis con deformaciones laterales moderadas (en terminología inglesa shallow). Su expresión es:
2 2 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 1⎛ ∂u P ∂w ⎞ ⎪ ⎪ ⎟ ⎜ + ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ x 2 x ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ v 1 w ∂ ∂ ⎪ ⎪ P ⎟ ⎜ + ⎜ ⎟ E=⎨ ⎬ ⎟ ⎜ ⎪ ⎪ y 2 y ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u P ∂v P ∂w ∂w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + + ⎪ ⎪ ⎪ ∂y ∂x ∂ x ∂y ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
En esta expresión no se han incluido las deformaciones unitarias de cortante, que se estudian más adelante. Sustituyendo las deformaciones en función de las del plano medio:
2 ⎧ ⎫ ∂θy ⎪ ⎪ ⎛ ∂w ⎞ 1⎜ ∂u ⎪ ⎪ ⎟ +z + ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ x x 2 x ∂ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ v 1 w ∂ ∂ θ ∂ ⎪ x ⎟ ⎜ z − + E=⎪ ⎟ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎪ ⎪ 2 ⎝ ∂y ⎠ ∂y ∂y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ θ ∂ ⎪ ⎪ u v θ w w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y x ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ + +z⎜ − + ⎟ ⎪ ⎪ ⎟ ⎪ ⎜ ⎪ y x y x x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Agrupando los términos correspondientes a las diferentes deformaciones las deformaciones unitarias se pueden poner en la forma:
⎧ ⎫ ⎧ ∂u ⎪ ⎫ ⎡ ⎪ ∂θy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ∂w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂θx ⎪ 1 ⎢ E=⎪ ⎨ ⎬+z⎪ ⎨ − ⎬+ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎢ y y ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ∂v ⎪ ⎪ ⎪ ∂θy ∂θ ⎪ ⎪ ⎢ ∂w ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ + − x⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ∂y ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎩ ∂ y ∂x ⎪ ⎭ ⎪ ∂y ⎪ ⎩ ⎭ 1 E = AC1 H + z AC2 H + A H 2
⎤ 0 ⎥⎥ ⎧ ⎫ ⎪ ∂w ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ∂w ⎥ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬ w ∂ ⎥ ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ∂w ⎥ ⎪ ⎪ ∂y ⎭ ⎪ ⎥⎩ ∂x ⎥⎦
En esta expresión, el vector de derivadas de las deformaciones es:
⎧ ∂u ⎪ HT = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ∂x ⎩
∂θx ∂x
∂θx ∂y
∂θy ∂x
∂θy ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ∂y ⎪ ⎪ ⎭
Las dos matrices AC1 y AC2 son constantes, de tamaños 3x10:
⎡ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0⎥ ⎥⎦ ⎣⎢
⎡0 0 0 0 0 0 0 0 1 0⎤⎥ ⎢ ⎢ ⎥ = ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 ⎥ ⎥⎦ ⎣⎢
⎤ 0 0 0 0⎥⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0 0⎥ ⎥⎦
La matriz A es lineal en las derivadas de la deformación lateral:
⎡ ⎢ 0 0 0 0 ∂w ⎢ ∂x ⎢ ⎢ A = ⎢0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ ∂w ⎢0 0 0 0 ⎢⎣ ∂y 0 ∂w ∂y ∂w ∂x
12.3 Variación de la deformación unitaria Aplicando una variación a la expresión anterior se obtiene:
1 δ E = AC1 δ H + z AC2 δ H + δ A H 2
La matriz A es tal que el último sumando se puede poner:
1 1 1 1 1 1 1 δ A H = δ A H + A δ H = A(δ H) H + A δ H = A δ H + A δ H = A δ H 2 2 2 2 2 2 2
δ E = AC1 + z AC2 + A δ H
Las 10 derivadas de las deformaciones contenidas en H se pueden expresar mediante un operador de derivación de tamaño 10 x 5:
H = ∂u
El campo de deformaciones se interpola a partir de las deformaciones de los nudos en la forma habitual, empleando una matriz de funciones de interpolación N, de tamaño 5 x 5n para un elemento de n nudos:
El vector de grados de libertad de los nudos tiene 5 de ellos para cada nudo:
U = U 1 V1 W1
θx 1 θy 1 U 2 ... θyn
Las derivadas de las deformaciones quedan por lo tanto relacionadas con los grados de libertad de los nudos:
H = ∂ NU = GU
Siendo G una matriz de tamaño 10 x 5n, formada por n bloques, uno para cada nudo, cuya estructura es: 65
G = ⎡⎢G1 ... Gk ⎣
⎡ ∂N k ⎢ ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ∂N k ⎢ ⎢ ∂y ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ k G = ⎢⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 0 ∂N k ∂x ∂N k ∂y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ∂N k ∂x ∂N k ∂y 0 0 0 0
... Gn ⎤⎥ ⎦
0 0 0 0 0 0 ∂N k ∂x ∂N k ∂y 0 0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ ∂N k ⎥⎥ ∂x ⎥⎥ ∂N k ⎥⎥ ∂y ⎥⎦
Como G no depende de las deformaciones, la variación de las deformaciones unitarias es:
δ E = AC1 + z AC2 + A G δ U δ E = AC1 G + z AC2 G + A G δ U
δ E = BM + z BF + BS δ U = B δ U
• La matriz BM es constante y corresponde a las deformaciones en el plano de la placa. Está compuesta por tantos bloques como nudos tiene el elemento, cada uno de los cuales es:
⎡ ∂N ⎢ k ⎢ ∂x ⎢ ⎢ k BM = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ ∂N k ⎢ ⎢⎣ ∂y 0 ∂N k ∂y ∂N k ∂x ⎤ 0 0 0⎥⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥⎦
• La matriz BF es constante y corresponde a las deformaciones en el plano de la placa. Está compuesta por tantos bloques como nudos tiene el elemento, cada uno de los cuales es
⎡ ⎢0 0 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ ∂N k ⎢ 0 0 − Bk F = 0 ⎢ ∂y ⎢ ⎢ ∂N k ⎢0 0 0 − ⎢⎣ ∂x
∂N k ⎤⎥ ∂x ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂N k ⎥ ⎥ ∂y ⎥⎦
• La matriz BF es lineal en las derivadas de la deformación vertical. Cada uno de sus bloques tiene la forma:
⎡ ∂w ∂N k ⎢0 0 ⎢ ∂x ∂ x ⎢ ⎢ ∂w ∂N k ⎢ 0 Bk S = 0 ⎢ ∂y ∂y ⎢ ⎢ ∂w ∂N k ∂w ∂N k ⎢0 0 + ⎢⎣ ∂y ∂ x ∂x ∂y ⎤ 0 0⎥⎥ ⎥ ⎥ 0 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 0⎥ ⎥⎦
12.4 Deformaciones unitarias de cortadura Su expresión es la misma que en el régimen lineal. y corresponden a la diferencia entre el giro y la derivada de la deformación transversal:
⎧ ∂v P ⎫ ⎧ ⎫ ∂w P ⎪ ∂w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + −θx + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ γ ⎧ ⎫ yz ⎪ ⎪ z y y ⎪ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ γ=⎪ ⎨γ ⎪ ⎬=⎪ ⎨ ⎬=⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ∂w P ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ∂w ⎪ xz ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ + P⎪ + θy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂z ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂x ⎭ ⎪ ⎩ ∂x ⎭
Efectuando el mismo desarrollo que en régimen lineal las deformaciones unitarias de cortadura se pueden expresar en función de las deformaciones de los nudos:
⎡ ∂ ⎢0 0 ⎢ ∂y γ=⎢ ⎢ ∂ ⎢0 0 ∂x ⎣⎢
⎧u ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪ v ⎪ ⎪ ⎪ −1 0 ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪w ⎪ ⎥⎨ ⎪ ⎬ = ∂Q u = ∂Q N U = BQ U ⎪ ⎥⎪ ⎪θx ⎪ ⎪ 0 +1⎥ ⎪ ⎪ ⎦⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ θ⎪ ⎪ ⎪ y⎪ ⎪ ⎩ ⎭ −N k 0 ⎤ 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Nk ⎥ ⎦⎥
⎡ ∂N k ⎢0 0 ⎢ ∂y k BQ =⎢ ⎢ ∂N k ⎢0 0 ⎢⎣ ∂x
Su variación es:
δγ = BQ δ U
12. Para ello se desarrolla su integrando.6 Vector de fuerzas interiores
Su expresión se obtiene directamente del principio del trabajo virtual. pues z está medida desde el centro de gravedad y los demás términos del integrando son independientes de z.5 Trabajo virtual interior Teniendo en cuenta los dos tipos de deformaciones unitarias existentes.Kirchhoff y τ el vector de tensiones de cortadura. El incremento en la variación de la deformación unitaria sólo depende de la variación de la matriz A:
. cuyo valor es:
⎧ τyz ⎪ Gγ ⎫ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ yz ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨τ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ xz ⎭ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪G γxz ⎭ ⎪
12. las dos últimas integrales son nulas.7 Matriz de rigidez tangente
S dv +
τ dv
El incremento del trabajo virtual interior es:
∫ (δE) ∫ (δE)
ΔS dv + ∫ Δ(δ E)T S dv + ∫ (δγ)T Δτ dv
• La primera integral proporciona el primer sumando de la matriz de rigidez tangente:
∫ (δE)
ΔS dv =
ˆ = (δ U)T K ˆ U ˆ C ΔE dv = (δ U)T ∫ BT C B dv U D
El valor de esta matriz es:
∫ B C B dv = ∫ (B
T T M S T M S
+ z BF + BS )T C (BM + z BF + BS )dv
∫ (B + B ) C (B ∫ z (B + B ) C B
+ BS )dv + ∫ z 2 BFT C BF dv + dv + ∫ z BFT C (BM + BS )dv
Efectuando la integración en la coordenada z. su valor es:
S dv + ∫ δγT τ dv
Siendo S el vector de tensiones de Piola . sustituyendo las variaciones de las deformaciones unitarias por sus valores en función de las deformaciones nodales:
12. Por lo tanto la matriz de rigidez tangente es:
h (BM + BS )T C (BM + BS )dA + ∫
h3 T BF C BF dA 12
• La segunda integral proporciona la matriz de rigidez geométrica.
⎤ 0 0⎥ ⎥ ⎥ 0 0⎥⎥ ⎥⎦
⎧ ∂δw ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = BW δ U ∂ δ w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y ∂ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
. empleando la interpolación de deformaciones en la forma:
∂N k ˆ ⎫ ⎧ ∂w ⎫ ⎧ ˆ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Wk ⎪ ⎪ ⎪ ∑ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ x ⎪ ⎪ ∂ x ⎪ k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ˆ ⎨ ˆ⎬=⎨ ⎬ = BW U ∂ w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N ∂ k ˆ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Wk ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∑ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ y ∂ y ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎪ k ⎪ ⎭
La matriz BW es de tamaño 2 x 5n. sólo depende del incremento de la deformación lateral w
⎡ ˆ ⎢ 0 0 0 0 ∂w ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ΔA = ⎢ 0 0 0 0 0 ⎢ ⎢ ⎢ ˆ ∂w ⎢0 0 0 0 ⎢⎣ ∂y 0 ˆ ∂w ∂y ˆ ∂w ∂x ⎤ 0 0 0 0⎥⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0 0⎥ ⎥⎦
El incremento en la variación de la deformación unitaria es por lo tanto:
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ˆ ∂δw ∂w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x x ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ˆ ∂δw ∂w ⎪ ⎪ Δ(δ E) = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ∂y ∂ y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ˆ ˆ δ δ w w w w ∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪ ⎪ y x x y ∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Finalmente. el integrando vale:
⎧ ⎪ ∂δw Δ(δ E)T S = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ∂x ⎩ ∂δw ⎫ ⎪ ⎡⎢S11 ⎪ ⎬⎢ ∂y ⎪ ⎪ ⎣⎢S12 ⎭ ⎧ ˆ⎫ ∂w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ S12 ⎤ ⎪ ⎪ ∂ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬ ⎥ ˆ ∂ w ⎪ ⎪ S 22 ⎥ ⎪ ⎪ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂y ⎭ ⎪ ⎩
Las derivadas del incremento de la flecha lateral se pueden poner. cada uno de los cuales es de la forma:
⎡ ∂N k ⎢0 0 ⎢ ∂x k BW =⎢ ⎢ 0 0 ∂N k ⎢ ∂y ⎢⎣
De forma análoga.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Δ(δ E) = 0 + 0 + Δ(A) δ H
ˆ: El incremento de A. y está compuesta por n bloques.
Esfuerzos en el plano en una placa. dado que BW no depende de z. se obtiene:
ˆ = K σ
⎡N 11 (BW )T ⎢⎢ ⎢⎣N 12
N 12 ⎤ ⎥ B dA N 22 ⎥⎥ W ⎦
Donde N11 y N22 son los esfuerzos axiales y N12 el esfuerzo cortante en el plano de la misma. que tiene la misma expresión que en caso lineal.
• La tercera integral proporciona la matriz de rigidez asociada al esfuerzo cortante.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Con lo que el incremento del trabajo virtual interior se puede poner como:
⎡S11 S12 ⎤ ⎥ B dv U ˆ Δ(δ E)T S dv = (δ U)T ∫ (BW )T ⎢⎢ ⎥ W S S 12 22 ⎥⎦ ⎣⎢ ⎡S11 S12 ⎤ ⎥ B dv (BW )T ⎢⎢ ⎥ W S S 12 22 ⎥⎦ ⎣⎢
Esta expresión define la matriz de rigidez geométrica:
Efectuando la integración en z.
∫ (δγ)
ˆ Δτ dv = (δ U)T ∫ BT Q G BQ dv U ˆ = K Q
G BQ dv
La matriz de rigidez tangente del elemento es:
ˆ =K ˆ +K ˆ +K ˆ K D σ Q
. por unidad de anchura:
N ij =
∫ S dz
S12 N22 N12
la carga en un paso cualquiera será:
Pn = n PP
Siendo PP la carga aplicada en cada paso. Si se desea aplicar una cantidad variable de carga en cada incremento. La obtención de la respuesta de un sistema no lineal se efectúa en la práctica empleando un proceso incremental.. por incrementos y en cada uno de dichos incrementos se busca el estado de equilibrio. linealizada en un instante cualquiera t. El vector U ˆ es la el incremento de deformación entre t y t + Δt en todos los nudos de la estructura y K matriz de rigidez tangente en el instante t.. En el primer caso.
.1. De esta manera se obtiene toda la respuesta de la estructura ante un sistema de cargas creciente. ésta se representa en la forma:
Pn = λn P
En este caso λ es un parámetro sin dimensiones que define el valor real de la fuerza en el paso n. en un solo paso entre el instante inicial t =0 y el instante final no es posible en general.2. que define los valores relativos entre las distintas componentes de la fuerza.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
13 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES INCREMENTALES
La ecuación incremental de equilibrio de un elemento finito. La resolución de la ecuación anterior para la carga total aplicada. Esta expresión es válida tanto para el planteamiento total como para el actualizado. en el que las cargas se van aplicando de forma paso a paso. de tal manera que al final del paso de carga n se obtienen las deformaciones en el instante n+1:
Un +1 = Un + ΔUn
siendo ΔUn el incremento de la deformación que se produce en el paso de carga n. Las cargas aplicadas en el paso n se denominan Pn y puede considerarse que el incremento de carga aplicado en cada caso es constante o variable. se ha obtenido en la forma:
ˆe U ˆ e = Pe (t +Δt ) − Qe K
ˆ et la matriz de rigidez tangente del elemento. Pet el vector de fuerzas exteriores y siendo K et Q el vector de fuerzas interiores (se ha añadido el superíndice e para indicar que se trata de magnitudes propias de un elemento). y P es un vector de fuerzas de referencia. y sólo cambian en ellos los valores concretos de la matriz tangente y del vector de fuerzas interiores. Cada paso de carga de la secuencia se identifica mediante un subíndice n=0.
Ensamblando los términos correspondiente a los distintos elementos finitos se obtiene la ecuación incremental de equilibrio de toda la estructura:
El término independiente contiene las fuerzas exteriores aplicadas P en el instante t + Δt y ˆ contiene las fuerzas interiores Q en los elementos de la estructura en el instante t.
Esta predicción va seguida seguido de un proceso de corrección de las deformaciones. Fase de predicción y corrección. pero no se efectúa ningún proceso de corrección del error cometido. pues no se satisface el equilibrio en los distintos puntos obtenidos. que se encarga de buscar el equilibrio al final de dicho paso de cargas. hasta satisfacer el equilibrio en la nueva posición. Se trata de un método no exacto. Método incremental. es decir para t ≡ tn :
ˆ ΔU = P − Q K n n n +1 n
El incremento de deformación así obtenido tiene un error. lo cual permite estimar el error producido. Puede mejorarse fácilmente a base de calcular el residuo no equilibrado en cada iteración y añadirlo a las fuerzas a aplicar al siguiente incremento.
corr. los cuales permiten garantizar el equilibrio.1 Método incremental puro En este método se efectúa la fase de predicción de las deformaciones en el incremento de carga. El incremento de deformación ΔUn producido en un incremento de carga se calcula apoyándose en la ecuación incremental al comienzo de dicho paso de carga. Kn
Pn+1-Qn
. En función de cómo se haga la fase de corrección se plantean diversos métodos.
13. El proceso iterativo consta de un primer paso de predicción del incremento de deformaciones producido por el incremento de cargas aplicado.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Todos los métodos de resolución combinan el proceso incremental de aplicación de cargas con un proceso iterativo dentro de cada paso de cargas. sólo puede emplearse con incrementos de carga muy pequeños. Al ser el error acumulativo. que se va acumulando a medida que se aplican nuevos incrementos de carga. al final del cual lógicamente no habrá equilibrio. y en cualquier caso es más ventajoso emplear los métodos que se explican a continuación.
13.…).Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
U Un Un+1 Un+2
Figura 15. mediante una secuencia de iteraciones (k=1. Las deformaciones en el instante n+1 se calculan por aproximaciones sucesivas.2. la derivada del residuo sólo corresponde a la −1 derivada de las fuerzas internas Qk n +1 :
−1 ⎞ ⎛ ∂Qk k −1 n +1 ⎟ ˆ k ⎜ ⎟U = 0 Rk ≈ R − ⎜ n +1 n +1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ∂U ⎠
La derivada de las fuerzas internas respecto de las deformaciones proporciona la matriz de ˆ k −1 : rigidez tangente K n +1
−1 ∂Qk n +1 ˆ k −1 =K n +1 ∂U
. apoyándose en la solución conocida en el instante anterior n. al final de la iteración k.2 Método de Newton-Raphson En este método se emplea un proceso iterativo completo de predicción – corrección hasta alcanzar el equilibrio en el instante n+1. Si las fuerzas no dependen de la deformación. Para un instante cualquiera (k) de la iteración las ecuaciones de equilibrio se pueden poner en forma de residuo:
k Rk n +1 = P n +1 − Qn +1 = 0
Desarrollando este residuo en serie alrededor del punto de iteración anterior (k-1) se obtiene:
−1 ⎞ ⎛ ∂R k k −1 n +1 ⎟ ˆ k ⎜ ⎟ Rk ≈ R + U =0 ⎜ n +1 n +1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ∂U ⎠
ˆ k es el incremento de deformación producido en la iteración k: En esta expresión U
ˆ k = Uk − Uk −1 U n +1 n +1
y Uk n +1 es la estimación de las deformaciones en el instante n+1. Método incremental puro.
no para los valores al inicio de la misma. que debe efectuarse en cada paso de la iteración.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Por lo tanto la ecuación a resolver en la iteración k es:
k −1 ˆ k −1 ˆ k Rk n +1 ≈ P n +1 − Qn +1 − Kn +1 U = 0
ˆ k −1 U ˆ k = P − Qk −1 K n +1 n +1 n +1
ˆ k −1 y el vector de fuerzas interiores Qk −1 están En esta ecuación la matriz tangente K n +1 n +1 evaluados para la última estimación conocida (k-1) de las deformaciones en el instante n+1 −1 que son las de la iteración anterior Uk n +1 . Método de Newton-Raphson. Por lo tanto la ecuación de la iteración es:
. la parte más costosa es la factorización de la matriz de rigidez tangente. tanto para la formulación total como para la actualizada.3 Método de Newton modificado En el método de Newton-Raphson. en el cual la matriz de rigidez tangente en la primera iteración se utiliza en todas las iteraciones posteriores.
Figura 16. Nótese que ambas magnitudes se evalúan para los últimos valores actualizados de las deformaciones calculados a medida que progresa la iteración (al final de la iteración anterior). Como alternativa e dicho método.
13. pues la diferencia entre ambas formulaciones está en la situación que se toma como referencia para las distintas magnitudes. pero no en el estado que se toma como inicio en el incremento.
Como condiciones para el comienzo de la iteración se emplean las del último estado de equilibrio conocido:
0 Un +1 ≡ Un 0 Qn +1 = Qn
Nótese que la iteración se inicia apoyándose en el último estado de equilibrio conocido. que siempre es el último conocido. se plantea el método de Newton-Raphson modificado.
a base de aumentar la fuerza exterior paulatinamente.4 Métodos restringidos La combinación del proceso incremental de carga y de la iteración de Newton es muy eficiente para obtener la respuesta de sistemas no lineales cuando ésta es creciente. En una estructura cuya respuesta sea como la de la figura estos métodos fallan en las proximidades del punto A.
Figura 17. Sin embargo en muchísimas aplicaciones. La determinación de la curva fuerza deformación completa en estos casos requiere por del empleo de técnicas que permitan identificar la presencia de un punto límite y pasarlo eficazmente. incluso simples. basados en dos ideas: el control de fuerza y el control de desplazamiento. Dependiendo del costo de la factorización y de las restantes operaciones. es decir que se puede aumentar la carga aplicada y se obtiene un aumento de deformación. el sistema no tiene ese tipo de respuesta monótona. Se han desarrollado muchos algoritmos que permiten pasar puntos límites. sino que existen puntos límites en los que la respuesta pasa de ser creciente a decreciente o viceversa y la estructura muestra fenómenos de snap-through o snapback. pero se aumenta el número de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia. pero al llegar al punto B este método fallará también. Los principales problemas que plantean los algoritmos de control de desplazamiento son la
. Los algoritmos de control de fuerza corresponden a lo ya explicado anteriormente. pues la iteración de Newton falla en las proximidades de los puntos límite. En estos casos no es posible aplicar una estrategia simple de aumentar de forma continua la carga. Método de Newton-Raphson modificado. este método puede ser más ventajoso que el inicial o no.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ˆ0 U ˆ k = P − Qk −1 K n +1 n +1 n +1
Este método tiene un menor costo computacional en cada iteración. A partir del punto A puede emplearse un método de control de desplazamiento.
aunque ésta muestre cambios de dirección. la cual se introduce como dato en el método. se limita el máximo incremento a efectuar por medio de Δs y de la ecuación de restricción se determina la λ (es decir la carga) a aplicar. El valor de esta variable.
. que está definido por el parámetro λ. es decir el nivel de carga.4. 13. y su dificultad para tratar fenómenos de snap-back.
Para resolver estos problemas se han desarrollado los denominados métodos restringidos. se considera dicho nivel de carga. es decir que los nuevos incrementos de deformación se buscan en la intersección con dicha perpendicular a la tangente. La ecuación de restricción φ relaciona el incremento de desplazamiento que es posible alcanzar en cada iteración ΔUk n con alguna distancia máxima en la curva de respuesta de la estructura Δs. Control de fuerza y de desplazamiento. que se diferencian en la ecuación de restricción que añaden al sistema.1 Método del plano normal En este método la iteración para obtener el nuevo equilibrio en el instante n+1 (es decir la fase de corrección) se efectúa sobre la perpendicular a la tangente al último equilibrio alcanzado n.
Figura 18. Para poder modificar el nivel de carga aplicada.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
elección del desplazamiento usado para controlar el proceso. Existen varios métodos restringidos. como una variable más del problema.
φ (ΔUk n . En todos ellos la variable que define el nivel de carga se actualiza en cada iteración del proceso en la forma:
k k −1 ˆk λn = λn +λ
ˆk el incremento del parámetro que define la carga en la iteración k del paso de carga Siendo λ n. dentro de la curva de respuesta del sistema. se determina añadiendo una ecuación de restricción que obligue al método iterativo a moverse hacia la posición de equilibrio. Δs ) = 0
Así pues en estos métodos restringidos. La idea fundamental en que se apoyan es modificar el nivel de carga aplicada en cada paso del proceso incremental de carga en vez de mantenerlo constante.
13.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 19.5 Criterios de convergencia Para terminar la iteración de búsqueda del equilibrio es necesario emplear un criterio adecuado. y en él la iteración para obtener el nuevo equilibrio se efectúa sobre la perpendicular a la tangente en la última iteración efectuada k-1. con lo que se consigue localizar mejor los puntos límites. Método del plano normal. • El método más simple consiste en imponer que la norma del incremento de desplazamiento producido en una iteración sea muy inferior a la norma de la deformación total al final del caso de carga.2 Método del plano normal actualizado Este método es una variante del anterior. Método del plano normal actualizado.4.
Figura 20. En la práctica pueden emplearse varios de ellos. Es decir:
ˆk U
≤ εD Un +1
. que indique que se ha llegado a la convergencia de la solución. que se basan en comparar la norma de alguna magnitud con algún valor de referencia considerado despreciable.
Por ejemplo se puede imponer que la norma del residuo al final de la iteración sea despreciable frente al residuo con el que se comenzó la iteración:
Rk n +1
k Pn +1 − Qn +1
0 ≤ εR Rn +1
≤ εR Pn +1 − Qn
El principal problema de este método es que no considera la contribución de la deformación al criterio de terminación. pero continúa cambiando durante muchos pasos. pero no garantiza el equilibrio de fuerzas. se aproxima por el último valor de ella que se haya calculado:
≤ εD Uk n +1
En algunos casos la solución obtenida con este método puede estar lejos de la convergencia. Como la deformación al final del paso de carga no es conocida. • Para evitar los problemas de los métodos anteriores. pero las deformaciones sigan aumentado en cada paso de carga.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Donde εD es la tolerancia. • El cumplimiento del criterio anterior garantiza en todo caso que las deformaciones cambian poco. como ocurre cuando la deformación cambia muy poco en cada paso de carga. como ocurre en el caso de materiales con un módulo de endurecimiento por deformación muy bajo en los que las fuerzas cambien muy poco. y se compara con el incremento de energía interna inicial en el paso de carga:
ˆ ) (P (U
k T n +1
ˆ1 − Qk n +1 ) ≤ εE (U ) (P n +1 − Qn )
. se puede usar un criterio en el que se evalúa el incremento de energía interna en cada iteración (es decir el trabajo hecho el incremento de deformación y por las fuerzas no equilibradas). Por eso resulta interesante introducir un criterio basado en la fuerza no equilibrada durante la iteración.
El planteamiento de Crisfield se desarrolla a continuación.
La ecuación de equilibrio en un instante cualquiera n+1 del proceso de carga puede ponerse en forma de residuo Rn+1. Este método fue propuesto inicialmente por Riks y Wempner y posteriormente modificado por Crisfield. Sea k una iteración cualquiera (k=1. que son desconocidas. Método de la longitud del arco. y al ser no lineal. pueden expresarse en la forma:
Pn +1 = λn +1 P
Donde λ es un parámetro sin dimensiones que define el valor real actual de la fuerza.…) en la búsqueda del equilibrio para el estado de carga n+1. el conocido como método de la longitud del arco es uno de los más usados en la práctica. En ambos casos se puede emplear el método de Newton normal o el modificado. y buscar los nuevos incrementos de deformación en la intersección con dicho círculo. la ecuación de equilibrio es:
k k k Rk n +1 = λn +1 P − Qn +1 (Un +1 ) = 0 k k Donde λn +1 es el valor de λ en la iteración k del caso de carga n+1 y Un +1 son las deformaciones totales tras la iteración k del caso de carga n+1.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
14 MÉTODO DE LA LONGITUD DEL ARCO
Entre los métodos restringidos. se resuelve por iteraciones sucesivas. P
Figura 21. que son funciones no lineales de las deformaciones Un+1. como:
Rn +1 = Pn +1 − Qn +1 = 0
Siendo Pn +1 las fuerzas exteriores aplicadas y Qn +1 las fuerzas interiores producidas por las tensiones en los elementos. Las fuerzas exteriores. suponiendo que son independientes de la deformación. El residuo queda:
Rn +1 = λn +1P − Qn +1 = 0
Esta ecuación se debe satisfacer en cualquier instante. y P es un vector de fuerzas de referencia. Consiste en utilizar un círculo de radio Δs con centro en el último equilibrio obtenido. que define los valores relativos entre las distintas componentes de la fuerza.2.
es decir que se limita el incremento de
. y por lo tanto el valor del incremento • Suponiendo por el momento conocido el valor de λ k ˆ en esta iteración.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• Considerando que el residuo es una función de dos variables. las deformaciones U y el parámetro λ. se procede a actualizar los valores de las incógnitas.
De manera análoga se actualiza el parámetro λ:
k k −1 ˆk λn +1 = λn +1 + λ
ˆk se efectúa introduciendo una ecuación que imponga la condición de • El cálculo de λ distancia máxima recorrida en este paso de carga. Las derivadas necesarias son:
−1 ⎞ ⎛ ∂R k n +1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= P ⎟ ⎜ ⎝ ∂λ ⎠ −1 ⎞ −1 ⎞ ⎛ ∂R k ⎛ ∂Qk n +1 ⎟ n +1 ⎟ ⎜ ⎜ ˆ k −1 ⎟ ⎟ = − = −K ⎜ ⎜ n +1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ∂U ⎠ ⎝ ∂U ⎠
Luego la ecuación a resolver en cada iteración es:
ˆ k −1 U ˆ k = Rk −1 + P λ ˆk K n +1 n +1
Despejando el incremento de deformación se obtiene:
ˆ k = (K ˆ k −1 ) Rk −1 + (K ˆ k −1 ) P λ ˆk = Uk + Uk λ ˆk U n +1 n +1 n +1 n +1 n +1
El primer sumando del incremento de deformación se puede calcular fácilmente y representa la deformación producida por la parte del residuo no equilibrado en la iteración anterior:
ˆ k −1 Rk −1 Uk n +1 = (Kn +1 ) n +1
El segundo sumando no puede evaluarse hasta no conocer el valor de λ pero su coeficiente puede evaluarse con sencillez. sino que puede mantenerse el del primero. ˆ . de deformación U Para las deformaciones la actualización es:
k −1 ˆk ΔUk +U n = ΔUn
−1 Donde ΔUk es el incremento de deformación acumulado a lo largo de las (k-1) iteraciones n anteriores. no es necesario recalcular este término a cada paso de la iteración. De forma similar ΔUk n es el incremento de deformación acumulado tras efectuarse la iteración k. se puede desarrollar en serie de Taylor alrededor de su valor en la iteración anterior:
−1 ⎞ −1 ⎞ ⎛ ∂R k ⎛ ∂R k k −1 n +1 ⎟ ˆk n +1 ⎟ ˆ k ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ Rk ≈ R + + λ ⎜ ⎜ n +1 n +1 ⎟ ⎟U = 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ∂U ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ ⎝
ˆk el incremento de la variable λ y U ˆ k el incremento de las deformaciones al Siendo λ efectuarse la iteración k. y representa la deformación producida por las fuerzas básicas:
ˆ k −1 P Uk n +1 = (Kn +1 )
Obsérvese que si se emplea el método de Newton modificado.
que de alguna manera estima el ‘ángulo’ entre ambos vectores:
−1 T k k −1 T k −1 k ˆk ΔUn + Uk (Δs ) cos ϕ1 = (ΔUk n ) ΔUn (1) = (ΔUn ) n +1 + Un +1 λ(1) 2 2
−1 T k k −1 T k −1 k k ˆk ΔUn + Un (Δs ) cos ϕ2 = (ΔUk n ) ΔUn (2) = (ΔUn ) +1 + Un +1 λ(2)
Se elige aquélla solución que produzca el menor ángulo.
ˆk = λ ˆk λ (i ) i = indice(max(cos ϕ1.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
deformación acumulado en todas las iteraciones efectuadas en este caso de carga. De entre ellas se elige aquélla Resolviendo esta ecuación se obtienes dos raíces λ (1) (2) que producirá un incremento de deformación acumulado más próximo al incremento de deformación acumulado en la iteración anterior. Para ello. que será un escalar. cos ϕ2 ))
. en primer lugar se determina cuál sería el incremento de deformación producido por cada una de las soluciones:
k −1 k ˆk ΔUk + Uk n (1) = ΔUn n +1 + Un +1 λ(1) k −1 k ˆk ΔUk + Uk n (2) = ΔUn n +1 + Un +1 λ(2)
A continuación se calcula la proyección de dichos incrementos de deformación sobre el incremento de la iteración anterior. Si se denomina Δs a la distancia máxima a recorrer. es decir el mayor valor del coseno de ϕ. la condición es:
T k (Δs )2 = (ΔUk n ) (ΔUn )
Sustituyendo los incrementos por sus valores y operando:
−1 ˆ k )T (ΔUk −1 + U ˆk) (Δs )2 = (ΔUk +U n n −1 k k −1 k ˆk T ˆk + Uk + Uk (Δs )2 = (ΔUk n n +1 + Un +1 λ ) (ΔUn n +1 + Un +1 λ ) −1 k T k −1 k −1 k T k k T k ˆk ˆk 2 + Un + Uk + Un (Δs )2 = (ΔUk +1 ) (ΔUn +1 ) Un +1 λ + (Un +1 ) Un +1 (λ ) n n +1 ) + 2(ΔUn
ˆk : La ecuación anterior es una ecuación de segundo grado en λ
ˆk )2 + a λ ˆk + a = 0 a1(λ 2 3
T k a1 = (Uk n +1 ) Un +1 T k −1 a2 = 2(ΔUk + Uk n n +1 ) Un +1 T k −1 −1 2 a 3 = (ΔUk + Uk + Uk n n +1 ) (ΔUn n +1 ) − (Δs )
ˆk y λ ˆk .
ˆ0 U ˆ 1 = P λ1 K 1 1
1 Al ser conocido λ1 se obtienen los incrementos de desplazamiento iniciales:
ˆ 1 = (K ˆ 0 )−1 P λ1 = U1 λ1 U 1 1 1 1
La condición de longitud de arco máximo es:
ˆ 1) U ˆ 1 = U1 (Δs )2 = (U 1
1 1 2 U1 (λ1 )
De esta expresión se puede obtener el Δs a emplear en este caso de carga. En su lugar es más sencillo definir un valor de λ al comienzo de la iteración. Muchas veces se supone λ1 = 1 .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
k n+1 k k-1 n+1
Figura 22. suponiendo que las deformaciones iniciales U0 son nulas y por lo tanto las fuerzas interiores también son nulas.
14. y en base a él determinar el Δs. En la primera iteración del primer caso de carga (n=0. que no resulta fácil pues depende del problema estudiado.1. a partir del valor de 1 λ1 supuesto:
⎡ Δs = ⎢ U1 ⎢⎣ 1
⎤ U1 1 ⎥ ⎥⎦
. La ecuación de equilibrio incremental en esta primera iteración del primer caso. Iteración en el método de la longitud del arco. k=1) se toma λ10 = 0 como punto de partida y se define como dato el valor de la carga aplicada en esta primera iteración.1 Comienzo de la iteración en el primer caso de carga Una pequeña dificultad del método está en la definición del valor de Δs. ˆ1 . con lo cual en esta definiendo para ello el valor de λ11 = λ 1 primera iteración se aplica toda la carga básica.
14.1.2 Comienzo de la iteración en los restantes casos de carga En todos los casos de carga salvo en el primero ( n ≥ 1 ), el comienzo de la iteración se apoya en el valor de Δs ya conocido de los casos de carga anteriores. En todo caso, es habitual emplear una técnica para adaptar este valor de Δs a la situación de la estructura. Sencillamente se amplía y reduce el valor de Δs en función del número de iteraciones que haya sido necesario efectuar en el caso de carga anterior, en comparación con un número de iteraciones deseado, según la expresión:
⎛ ϑdes Δsn = Δsn −1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ϑ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ n −1 ⎠
Donde ϑn −1 es el numero de iteraciones en el paso de carga anterior, ϑdes el número de iteraciones deseado (normalmente 3 a 5) y γ un coeficiente que oscila entre 0.5 y 1. Al tratarse de la primera iteración (k=1), el estado anterior es de equilibrio, y por lo tanto el 0 residuo anterior es nulo. Rn = Rn +1 = 0 . Esto simplifica las ecuaciones del proceso, de tal forma que sólo existe uno de los dos términos del incremento pues
0 ˆ0 U1 Rn n +1 = (Kn +1 ) +1 = 0 −1 0 El incremento acumulado también es nulo en esta primera iteración ΔUn =0
Con estos valores, los coeficientes de la ecuación que proporciona λ son:
T 1 a1 = (U1 n +1 ) Un +1
a 3 = −(Δsn )2
1 λn +1 =
Δsn ⎡ ± ⎢ U1 ⎢⎣ 1
⎤ U ⎥ ⎥⎦
De los dos signos posibles, se toma el positivo si la matriz tangente es definida positiva, y el negativo si dicha matriz tiene un pívot negativo, lo que indica que se ha pasado por un punto límite y se está en una zona descendente en la respuesta de la estructura. En todo caso este método tan simple no es adecuado para tratar casos de bifurcación del equilibrio, o de múltiples pivots negativos, lo cual requiere técnicas especiales.
15 EJEMPLOS ESTÁTICOS
15.1 Ejemplo 1. Barra apoyada - deslizante La estructura de la figura se modeliza con un elemento de celosía, en formulación lagrangiana total. La configuración inicial es:
Xe = 0 0 X 2 Y2
X21 = X 2 Y2
El estado deformado queda definido por un solo grado de libertad V:
U= 0 0 0 V
u 21 = 0 V
xe = 0 0 X 2 (Y2 + V )
x21 = X 2 (Y2 + V )
Y L 2 L0 X2
Figura 23. Barra apoyada - deslizante.
El vector de fuerzas interiores es, según (75):
⎧ ⎫ −X 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − − Y V S A ⎪ ⎪ 2 0 e ⎪ ⎪ Q = ⎨ ⎬ ⎪ X L0 ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + Y V ⎪ ⎪ ⎩ 2 ⎭
Por lo tanto la fuerza exterior que hay que aplicar es:
e F = Q2 Y =
S A0 L0
(Y2 + V )
La deformación unitaria de Green Lagrange vale:
1 T 1 U A U = 2 ⎡⎢−X 2 − Y2 2 L0 ⎣ 2L0 E11 =
1 X 2 Y2 ⎤⎥ U + 2 UT A U ⎦ 2L0
1 1 Y2 V + 2 V 2 2 L0 2L0
Nota. La deformación unitaria ingenieril para este caso es:
2 L2 0 + 2Y2 V + V L − L0 ε= = L0 L0
Se trata de una expresión mucho más complicada que la de Green Lagrange al incluir la raíz cuadrada. Sin embargo, desarrollando en serie para V se obtiene:
2 2 L − L0 Y2 V 1 V 2 1 Y2 V ≈ 2 + − + O (V 3 ) ε= 4 L0 L0 L 2 L2 2 0 0
Despreciando el último término (lo cual es válido para el caso Y2<<L0) se obtiene la deformación de Green-Lagrange. Suponiendo un comportamiento elástico lineal del material, la tensión de Piola – Kirchhoff se supone proporcional a la deformación unitaria de Green:
S = E E11 =
E⎛ 1 ⎞ ⎜Y V + V 2 ⎟ ⎟ 2 ⎜ 2 ⎟ L0 ⎝ 2 ⎠
La fuerza exterior, en función de la deformación V es:
EA0 ⎛ 1 ⎞ ⎟(Y2 + V ) ⎜Y V + V 2 ⎟ 3 ⎜ 2 L0 ⎝ 2 ⎠
Empleando la relación entre la deformación vertical V y la coordenada inicial, el valor de la fuerza se puede poner en la forma:
⎛Y2 ⎞ ⎟ F = EA0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜L ⎠ ⎝
2 3⎞ ⎛V ⎞ ⎛V ⎞ 3⎛ V 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Y + 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ Y 2 Y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ 2 2 ⎝ 2 ⎠
Para valores positivos de la deformación V, la fuerza F es siempre positiva y creciente. Sin embargo, para valores negativos de V, la fuerza tiene el valor que se indica en la figura. Existen dos puntos donde la fuerza es nula: el primero para V /Y2 = −1 corresponde a la posición horizontal de la barra y el segundo para V /Y2 = −2 a la posición simétrica de la inicial. En el tramo AC de la curva de respuesta existen dos posibles deformaciones para un mismo valor de la carga exterior. Si la estructura se carga incrementando de forma monótona la fuerza exterior, al llegar al punto A se producirá probablemente un salto brusco a la posición C, fenómeno conocido como snap-through. En un modelo numérico este fenómeno se traducirá en problemas de convergencia al llegar al punto A, que requieren el empleo de técnicas especiales en la manera de aplicar las cargas para ser evitados.
pero es más flexible a compresión.
. arroja el siguiente resultado para la relación fuerza – deformación:
⎛Y2 ⎞ ⎟ ⎟ = EA0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝L ⎠
⎛V lin ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝Y ⎠
Se observa que esta respuesta lineal corresponde al primer término de la solución no lineal.4 -0.5 0 0.6 -0.m.2 -0.2 0 -0.8 0.5 -1 -0. El modelo no lineal muestra que la estructura es más rígida a tracción que en el modelo lineal.
El análisis lineal de esta estructura.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
F EA0
L0 Y2
V/Y2
-2 -1.4 0. Respuesta de la barra apoyada – deslizante.5
Figura 24. además de presentar el fenómeno de la inestabilidad. suponiendo que el estado deformado coincide con el inicial.6 0. El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante el procedimiento nolin está en el archivo modelo1.8 -1 -2.
disminuye la zona descendente de la curva de respuesta.
Figura 25. de constante KM.
El desarrollo es el mismo. Se observa que se mantiene la posibilidad del snap-through.
. pero apoyada en un muelle lineal. salvo que a la fuerza exterior se le debe sumar la fuerza necesaria para deformar el muelle:
⎛Y2 ⎞ ⎟ ⎟ F = EA0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝L ⎠
2 3⎞ ⎛V ⎞ ⎛V ⎞ 3⎛ V 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + K MV ⎜ ⎟ ⎜Y + 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ Y 2 Y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ 2 2 ⎝ 2 ⎠
La rigidez del muelle se puede representar en forma relativa a la rigidez de la barra mediante la constante K :
KM EA0 (Y2 )2 =K (L0 )3
Con esto la respuesta del sistema es:
3 2 3⎞ ⎛V ⎛ L0 ⎞ F ⎜ 3⎛ V⎞ 1⎛ V⎞ V ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ K =⎜ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ ⎜Y2 ⎠ ⎜Y2 ⎠ ⎜Y2 2 ⎝ EA0 ⎜ 2⎝ Y2 ⎟ ⎝Y2 ⎠ ⎝
La figura siguiente muestra la respuesta. Barra deslizante apoyada elásticamente Se estudia la misma barra que en el ejemplo anterior.2 Ejemplo 2. en función de la rigidez del muelle. Barra apoyada elásticamente. de tal forma que a medida que se aumenta su rigidez.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
15. aunque ahora la respuesta es mucho más suave a consecuencia de la presencia del muelle.
000 kg/cm2. Número de incrementos de carga: 50 El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante el procedimiento nolin está en el archivo modelo5.m. Longitud total: 500 cm Módulo de elasticidad: 800.3 Ejemplo 3. horizontal +20 kg.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 26. La figura siguiente muestra el proceso de deformación de la viga.
. sin la técnica del seguimiento de path y se han encontrado problemas de convergencia. Respuesta de la barra apoyada elásticamente. con incrementos fijos de la carga. ancho 2 Fuerzas máximas en el extremo: vertical -50 kg. y sometida a dos fuerzas puntuales en su extremo. Número de elementos viga: 15 Dimensiones transversales: canto 2.
15. Se ha utilizado un método de Newton puro. Voladizo muy flexible Se estudia una viga en voladizo vertical. modelizada con elementos viga de dos nudos en formulación co-rotacional.
UX . Las deformaciones finales de este punto son DX= 356 cm y DY=-643 cm. UY
La figura siguiente muestra la relación fuerza / desplazamiento para el punto extremo de la viga. Deformación de un voladizo flexible. Curvas fuerza – deformación de un voladizo flexible.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Todas las barras son de las mismas propiedades.
El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante el procedimiento nolin está en el archivo modelo6.
Figura 29. uno vertical debido a la barra 8-9 y otro horizontal más flexible formado por las 6 barras horizontales. Celosía Este ejemplo corresponde a una celosía muy simple. con EA = 3 ⋅ 106 N . Tiene forma de L. número de iteraciones deseado J des = 5 .000 N. apoyada en dos muelles. La figura siguiente muestra la relación entre la fuerza aplicada y la deformación horizontal del nudo 1. y el nudo 9 está fijo.5. con 6 barras horizontales una a continuación de la otra.4 Ejemplo 4. Celosía simple. exponente γ = 5. y finalmente una barra vertical. estudiada por varios autores.
1 Se ha empleado el método del seguimiento del path. seguidas por una barra inclinada. en la que puede verse que presenta un fenómeno de snap-back. Con esta disposición.
En el nudo 1 se aplica una fuerza horizontal. con λ1 = 1 .m. la estructura se puede considerar formada por una barra. En cada iteración se ha limitado el incremento de λ a 0.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
15. En total hay 8 barras y 9 nudos. La carga de referencia aplicada en cada paso de carga es de 40. la barra inclinada.
de 12 cm de longitud. A = 6 cm 2 . Todas las barras son de las mismas propiedades. Tanto el poste como la viga se han modelizado con 10 elementos viga iguales. I = 2 cm 4 . dando un total de 20 vigas y 21 nudos.
15. con E = 720 kN/cm2 . El modelo de esta estructura está en el archivo lee_frame.m. a 24 cm del poste.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Nudo: 1 4 x 10 3 2 Fuerza X 1 0 -1 -2
Figura 30. El valor de referencia aplicado en cada paso de carga es de 100 N. de 120 cm de lado.
. Pórtico biarticulado Este ejemplo corresponde a un pórtico biarticulado en L. Respuesta con snap-through de una celosía flexible.5 Ejemplo 5. La estructura está sometida a una carga puntual vertical situada sobre la viga. estudiado por Lee.
La figura siguiente muestra la relación entre la fuerza aplicada y la deformación vertical del nudo sobre el que se aplica la fuerza (nudo 13). número de iteraciones deseado J des = 5 .
Figura 32. Deformación del pórtico biarticulado flexible.
1 Se ha empleado el método del seguimiento del path. exponente γ = 5. en la que puede verse una respuesta muy no lineal y un claro fenómeno de snap-back.
. Pórtico biarticulado. con λ1 = 1 .
La figura siguiente muestra la evolución de la estructura en los primeros incrementos de carga.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
P=100 24
10 vigas de 12 cm 120 cm
10 vigas de 12 cm
120 cm Figura 31. En cada iteración se ha limitado el incremento de λ a 2.
Figura 33. Respuesta del pórtico biarticulado flexible.
compatible con las condiciones de ligadura:
δWI + δWIN = δWE
• El trabajo virtual de las fuerzas de inercia en el instante t es:
δWIN = −∫ δ uT ρ u dv t
Esta expresión se puede referir al estado inicial considerando la conservación de la masa:
ρ dv t = ρ 0 dv 0
δWIN = −∫ δ uT ρ 0 u dv 0
• El trabajo virtual de las fuerzas interiores puede ponerse en función de las magnitudes en el estado t. dando lugar a una respuesta dinámica en la que las deformaciones del sólido varíen con el tiempo. teniendo sentido la derivada respecto a él. 16.2 Ecuaciones de equilibrio. Formulación lagrangiana total Considerando un elemento finito. El parámetro t. la hipótesis de discretización permite establecer las relaciones entre los campos de deformaciones y aceleraciones dentro del elemento y los valores nodales de dichas deformaciones y aceleraciones:
u = NU u = NU
δu = N δU
Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas de inercia es: 94
.1 Principio del trabajo virtual en dinámica El principio del trabajo virtual en régimen dinámico indica que la condición necesaria y suficiente para que exista equilibrio es que la suma del trabajo virtual de las fuerzas interiores δWI y el trabajo virtual de las fuerzas de inercia δWIN sea igual al trabajo virtual de las fuerzas exteriores δWE para cualquier variación virtual de las deformaciones δ u . (tensiones de Cauchy y deformaciones unitarias infinitesimales) o de las magnitudes en el estado inicial (deformaciones de Green-Lagrange y tensiones de Piola-Kirchhoff)
16. juega por lo tanto ahora el papel de tiempo.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
16 DINÁMICA
Se considera en este apartado el caso de que las cargas aplicadas sean variables con el tiempo. apareciendo en el sólido un campo de velocidades u y uno de aceleraciones u que dan lugar a las correspondientes fuerzas de inercia.
La idea es considerar conocido el equilibrio en el instante tn. que supondremos constante:
MU + C U + Q = P
16. que es constante y se evalúa en el estado inicial:
NT Ndv 0
El trabajo virtual interior se expresa en función del vector de fuerzas nodales equivalentes a los esfuerzos interiores en el elemento Q:
δWI = δ UT Q
El trabajo virtual de las fuerzas exteriores define el vector de fuerzas exteriores nodales equivalentes P:
Sustituyendo en la expresión del principio del trabajo virtual y considerando que la variación de las deformaciones nodales es arbitraria se obtiene la ecuación de equilibrio del elemento:
MU + Q = P
Finalmente.3 Método explícito basado en diferencias centrales Para la integración numérica de las ecuaciones de equilibrio. uno de los métodos más habituales es el método de las diferencias centrales. son de la misma forma que las de un elemento. pero corresponden a toda la estructura. cuya contribución a las ecuaciones de equilibrio se representa mediante una matriz de amortiguamiento C. Para mayor generalidad. Para un instante de tiempo cualquiera t. en la forma:
1 Un −1 − 2 Un + Un +1 h2
1 (Un +1 − Un−1 ) 2h
Un −1 ≡ Ut −h
En estas expresiones se ha introducido la notación:
Un ≡ Ut
Un +1 ≡ Ut +h
El mismo criterio de notación se aplica a las demás magnitudes. las ecuaciones diferenciales de equilibrio de la estructura completa se obtienen por ensamblado de las ecuaciones de los distintos elementos finitos. calcular las deformaciones en el instante tn + h aproximando la aceleración y velocidad en tn mediante un operador de diferencias centrales. se considera la posibilidad de que sobre el sistema existan también efectos de amortiguamiento. y a partir de él.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
t δWIN = −∫ (δ ut )T ρ 0 ut dv 0 = −(δ Ut )T ∫ ρ 0 NT Ndv 0 Ut v0 v0
En esta expresión se ha definido la matriz de masas del elemento. Sustituyendo (101) y (102) en la ecuación de equilibrio en tn y reordenando se obtiene: 95
no es necesario ensamblar la matriz de rigidez. y si las matrices de M y C son diagonales. en el que la respuesta muestra claramente un crecimiento incontrolado si no se satisface el criterio de estabilidad. obteniéndose:
Un +1 = Un + hUn + h2 Un 2
Esta ecuación indica que la deformación en n+1 se puede determinar directamente a partir del estado en n. aunque si esto se hace así. por lo que el método es explícito. Dicho paso crítico vale:
Tmin π
Siendo ωmax la máxima frecuencia propia existente en la malla de elementos finitos. El proceso de integración es una secuencia de pasos iguales en el tiempo. se obtiene apoyándose en el equilibrio en t. lo cual suele ser habitual en formulaciones de masas consistentes. y a continuación la velocidad y aceleración se obtienen de (102) y (101). es decir que se debe emplear un tamaño de paso inferior a un paso crítico para que el método sea estable. Esta naturaleza se pone de manifiesto si de las dos ecuaciones (101) y (102) se despeja la deformación en n+1.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎛1 1 ⎞ 2 ⎛1 1 ⎞ ⎜ 2 M+ C⎟ Un +1 = Pn − Qn + 2 M Un − ⎜ M − C⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎟ Un −1 ⎜ ⎝h ⎝h 2h ⎠ 2h ⎠ h
De esta ecuación se obtiene la deformación en tn+h. El método no requiere ninguna iteración para alcanzar el equilibrio. Desde el punto de vista de la implementación. es necesario a continuación utilizar la ecuación de equilibrio en n+1 para hallar la aceleración en el nuevo estado. por lo que el método tiene un carácter explícito. Este método es un caso particular de la familia de métodos de Newmark. que se corresponde con el menor periodo de oscilación Tmin. En esto la respuesta es diferente al análisis estático. no se observa un fenómeno de inestabilidad obvio en la solución total. Tiene pues innumerables ventajas que explican su amplia utilización. Nótese que la respuesta en tn+h. los requerimientos de almacenamiento de datos son muy pequeños. sin necesidad de aplicar ninguna ecuación de equilibrio. Además esta condición debe satisfacerse en todos los instantes de tiempo durante la simulación. De hecho puede plantearse el método empleando la ecuación (104) en lugar de la (103) para calcular la deformación en el paso siguiente.
. En el caso de que M y C sean diagonales. 16. pues casi todas las operaciones se pueden efectuar a nivel de elemento. Si la condición de estabilidad no se cumple durante unos pocos de pasos del proceso total.4 Estabilidad del método de diferencias centrales El principal inconveniente del método explícito de diferencias centrales es que es condicionalmente estable. aplicando de forma repetitiva las ecuaciones anteriores. ni siquiera es necesario resolver ningún sistema de ecuaciones. que distorsiona la solución total obtenida. pero en dichos pasos se acumula un gran error en la solución. sino únicamente el vector de fuerzas interiores. ni es necesario emplear la matriz de rigidez tangente.
resulta del máximo interés determinar el valor de la frecuencia máxima presente en la malla de elementos.1 Paso de integración crítico en problemas unidimensionales Consideramos un problema unidimensional.
K φi = ωi2 M φi
2 ωmax = max (ωi2 )
Sean Ke y Me las matrices de masas y rigidez de los distintos elementos de la malla. solución de los problemas de autovalores individuales de los distintos elementos:
Ke φie = (ωie ) Me φie
La mayor de todas estas frecuencias de los distintos elementos desacoplados es:
E (ωmax )2 = max (ωie ) e .
Empleando una formulación lagrangiana total.4. modelizado con elementos de dos nudos. cuyo ensamblaje da lugar a las K y M anteriores. y no la lateral. el problema de autovalores que proporciona las frecuencias propias de un elemento finito de este tipo es:
ˆ (K
ˆ ) φ = ω2 M φ +K σ
. y para la cual existen de hecho soluciones analíticas.
Figura 34. y sean ωie las frecuencias propias del elemento e. y sean ω2 las frecuencias propias de dicho sistema. cuyo cálculo tiene un costo prohibitivo y sea ωmax la mayor de todas estas frecuencias. lo cual resulta prohibitivo en las aplicaciones reales. Sean K y M las matrices de rigidez y masas del sistema estructural estudiado. 16. Esto implicar resolver un problema de valores y vectores propios de tamaño igual al número de gados de libertad del sistema. Por esta razón se trata de obtener estimaciones o límites superiores de dicha frecuencia máxima que sean fáciles de calcular. Elemento unidimensional. Esto proporciona un límite superior de la frecuencia máxima del sistema ωmax que es muy fácil de evaluar. los cuales corresponden al elemento biarticulado ya estudiado.i 2
Por aplicación del cociente de Rayleigh se puede demostrar que se cumple siempre que:
2 E 2 ωm ax ≤ (ωmax )
Es decir que la máxima frecuencia individual que presentan los distintos elementos finitos desacoplados unos de otros es mayor que la máxima frecuencia del sistema ensamblado. pero considerando sólo la deformación axial.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
A la vista del paso crítico para garantizar la estabilidad de los métodos.
La segunda corresponde a la frecuencia máxima del elemento y su valor resulta ser:
2c0 L0
Siendo c0 la velocidad de propagación de las ondas elásticas en el material:
⎛ E (L / L0 )2 + S ⎞ ⎟ ⎟ c0 = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ρ0 ⎝ ⎠
En principio esta velocidad depende del nivel de tensión y de la longitud deformada. la primera es ω=0. despreciando por una parte la variación de la longitud y por otra la tensión S frente al módulo de elasticidad E:
⎛ E (L / L0 )2 + S ⎞ ⎟ ⎟ c0 = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ρ0 ⎝ ⎠ 2 ωmax
Por lo tanto el paso crítico para un modelo unidimensional con este tipo de elemento es:
Esta expresión se suele denominar condición de Courant.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Considerando sólo los términos correspondientes a la deformación en la dirección del elemento y empleando la matriz de masas diagonal.4. quien la formuló para modelos de diferencias finitas. Elemento Unidimensional de 2 nudos Unidimensional de 2 nudos Matriz M Diagonal Consistente
ωe max 2c L 2 3c L
L c L 3c
. para otros tipos de elementos finitos sencillos en los que se conozca la expresión analítica de sus matrices de rigidez y masas. la ecuación anterior es:
⎛ ⎛ L ⎞2 ⎞ ⎧ ⎫ ⎪φ1X ⎪ ⎪ A0 ⎜ ⎟ ⎢⎡ 1 −1⎥⎤ ⎪ ⎜ ⎜ 2 ρ0A0L0 ⎟ ⎟ ⎟ E S + = ω ⎜ ⎟ ⎟ ⎨ ⎬ ⎜ ⎢ ⎥ ⎟ ⎟ φ ⎪ L0 ⎜ 2 ⎟ ⎣⎢−1 1 ⎥⎦ ⎪ ⎝ L0 ⎠ ⎝ ⎜ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ 2X ⎭
⎫ ⎡ 1 0⎤ ⎧ ⎪φ1X ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎢ 0 1⎥ ⎪φ ⎬ ⎪ 2X ⎪ ⎪ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎩ ⎭
Esta ecuación tiene dos soluciones. que no interesa. En cada caso se obtiene el valor de la frecuencia máxima del elemento.2 Pasos críticos de integración para diversos elementos finitos Se puede efectuar un análisis similar al efectuado para el elemento unidimensional. Esta condición lo que especifica es que el paso de integración debe ser como mínimo aquel tiempo que permita la propagación de una onda elástica de velocidad c0 dentro del elemento de longitud L0. que condiciona el paso crítico del método de las diferencias centrales. 16. La tabla siguiente muestra los valores más habituales. aunque habitualmente se simplifica.
La familia de Newmark. Despejando la aceleración de (106) se obtiene su valor en función de las deformaciones:
Un +1 =
⎛1 ⎞ 1 1 ⎟U ⎜ − 1⎟ U − Un ) − Un − ⎜ n 2 ( n +1 ⎟ ⎜ 2 βh βh β ⎝ ⎠
Sustituyendo este valor en (105) se obtiene la velocidad en función de las deformaciones:
. 16. Se debe comprobar además el valor correspondiente a la deformación axial.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Unidimensional de 3 nudos Viga plana de 2 nudos
Diagonal Diagonal Diagonal
2 6c L
L 6c A L2 48I c L 1−ν c
Cuadrado plano. lo cual implica la realización de un proceso iterativo para hallar la solución. se obtienen diferentes métodos. β=1/4 y γ=1/2 corresponde a una aceleración media constante en el intervalo y es el método originalmente propuesto por Newmark. Si se emplea β=1/6 y γ=1/2 se obtiene un método con interpolación lineal de las aceleraciones. mediante un desarrollo en serie de los mismos hasta términos de orden 2. se caracteriza por calcular los desplazamientos y velocidades en el instante tn+h apoyándose en el estado conocido anterior. en la forma:
Un +1 = Un + ∫ U(τ )d τ
Un +1 = Un + h Un + ∫ U(τ )(h − τ )d τ
Las integrales se evalúan mediante una regla de cuadratura. que es incondicionalmente estable. Tensión plana.5 Métodos implícitos de integración de paso simple Todos los métodos empleados para la integración numérica de ecuaciones diferenciales de segundo orden pueden emplearse para la resolución de problemas no lineales. De entre ellos. que es condicionalmente estable. En todos ellos se plantea el equilibrio en el instante tn+h. Así. con lo que las aproximaciones de posición y velocidad son
Un +1 = Un + (1 − γ ) h Un + γ h Un +1 Un +1 = Un + h Un + h2 2 ⎡(1 − 2β ) U + 2β U ⎤ n n +1 ⎥ ⎢⎣ ⎦
Adoptando diferentes valores de los parámetros β y γ. como en un elemento de 2 nudos.
(1) Corresponde sólo al efecto de flexión. la familia de métodos de Newmark o el método de Wilson son unos de las más populares.
Así. • El valor de la matriz de rigidez efectiva se obtiene derivando (109) (particulariza para k-1 en vez de k) y es:
Kn +1 =
−1 −1 k −1 k −1 ∂R k ∂Uk ∂Un ∂Qn n +1 n +1 +1 +1 M C = + + k −1 k −1 k −1 k −1 ∂Un +1 ∂Un +1 ∂Un +1 ∂Un +1
Se ha supuesto que las fuerzas exteriores P no dependen de las deformaciones.. al final de la iteración k. por lo que debe emplearse un proceso iterativo para obtener la respuesta en el instante n+1. en una cualquiera de ellas las ecuaciones de equilibrio se pueden poner en forma de residuo:
k k k Rk n +1 ≡ M Un +1 + C Un +1 + Qn +1 − P n +1 = 0
• Desarrollando este residuo en serie alrededor del punto de iteración anterior (k-1) se obtiene:
−1 ⎞ ⎛ ∂R k −1 k −1 n +1 ⎟ ⎜ ⎟ Uk − Uk Rk ≈ R + ⎜ n +1 n +1 n +1 ) = 0 k −1 ⎟ ( n +1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ∂Un +1 ⎠
La derivada del residuo respecto de las deformaciones define la matriz de rigidez efectiva del sistema:
−1 ∂Rk k −1 n +1 = Kn +1 k −1 ∂Un +1
Por lo tanto la ecuación a resolver en cada iteración es:
k −1 ˆ k = −Rk −1 Kn +1 U n +1
y Uk n +1 es la estimación de las deformaciones en el instante n+1. El último sumando introduce la matriz de rigidez tangente:
Kn +1 = M
−1 −1 ∂Uk ∂Uk n +1 n +1 ˆ k −1 C + +K n +1 k −1 k −1 ∂Un +1 ∂Un +1
Las derivadas de las deformaciones que aparecen en esta expresión se pueden obtener derivando las aproximaciones del método de integración. Sea k=1.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Un +1 = Un + (1 − γ ) h Un + Un +1 =
γ βh
(Un +1 − Un )− Un − γh ⎜ ⎜ ⎜
⎛γ ⎞ ⎛γ ⎞
⎛1 ⎞ − 1⎟ ⎟ ⎟ Un ⎝ 2β ⎠
⎜ − 1⎟ − 1⎟ ⎟ ⎟ (Un +1 − Un ) − ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ Un − h ⎝ ⎟ Un ⎜β ⎜ 2β βh ⎝ ⎠ ⎠
Las ecuaciones anteriores deben combinarse con la ecuación de equilibrio dinámico del sistema.. la secuencia de iteraciones. derivando (107) respecto de las deformaciones Un+1 se obtiene:
. que es no lineal.2. apoyándose en la solución conocida en el instante anterior n.
Un . Un . por lo que ese sistema de ecuaciones lineales puede resolverse y proporciona el valor del incremento de deformación a aplicar en la iteración k.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
−1 ∂Uk 1 n +1 = k −1 ∂Un +1 βh 2
⎡ ∂Uk −1 ⎢ n +1 − ∂Un k −1 ⎢ ∂Uk −1 ∂Un +1 ⎢⎣ n +1
⎤ ⎞ ∂Un 1 1 ⎥ − 1 ∂Un − ⎛ ⎜ I = − 1⎟ ⎟ ⎜ − 1 k ⎥ βh ∂Uk −1 ⎟ ⎜ βh 2 ⎝ 2β ⎠ ∂Un +1 n +1 ⎥⎦
Derivando (108) se obtiene:
−1 −1 ⎛γ ⎞ ∂Un ⎛γ ⎞ ∂Uk γ ∂Uk γ ∂Un n +1 n +1 ⎟ ∂Un = γ I ⎜ − 1⎟ = − −⎜ − 1⎟ −h⎜ ⎟ ⎜ − 1 −1 k −1 k −1 k −1 k ⎟ ⎟ ⎜ ∂Un +1 βh ∂Un +1 βh ∂Un +1 ⎜ βh ⎝β ⎠ ∂Un +1 ⎝ 2β ⎠ ∂Uk n +1
Por lo tanto el valor final de la matriz de rigidez efectiva es:
1 γ ˆ k −1 M+ C+K n +1 2 βh βh
• El término independiente de la ecuación (110) es el residuo al final de la iteración. que depende del estado anterior y de última estimación de las deformaciones en el estado actual:
k −1 −1 k −1 ˆ k = Pk Kn +1 U n +1(Un . para k=1.2.… hasta alcanzar la convergencia. cambiado de signo:
−1 k −1 k −1 k −1 Rk n +1 = M Un +1 + C Un +1 + Qn +1 − P n +1
La expresión de la aceleración en la iteración k-1 está dada por (107):
−1 Uk n +1 =
⎛1 ⎞ 1 1 ⎟U ⎜ − 1⎟ Uk −1 − Un ) − Un − ⎜ n 2 ( n +1 ⎟ ⎜ βh βh ⎝ 2β ⎠
El valor de la velocidad en la iteración k-1 viene dado por (108):
k −1 ⎜ (Un +1 − Un ) − ⎜ ⎜
⎛γ
⎞ ⎞ γ ⎟U − h ⎛ ⎟U ⎜ − 1⎟ − 1⎟ ⎜ n n ⎟ ⎟ ⎜ ⎝β ⎠ ⎝ 2β ⎠
Sustituyendo los valores de la aceleración (114) y la velocidad (115) en la expresión del residuo (113). Se puede poner en forma compacta. Como punto de partida del mismo. se emplea:
0 Un +1 = Un
Se observa que la ecuación a resolver para efectuar la integración de las ecuaciones diferenciales de equilibrio dinámico es del mismo tipo que la ecuación obtenida en el análisis 101
. agrupando todos los sumandos del término independiente en un vector de fuerzas efectivas. y éste a continuación en la ecuación de la iteración (110) se obtiene:
⎛1 ⎞ k −1 ⎟M U ˆ k = P − Qk −1 − 1 M (Uk −1 − U ) + 1 M U + ⎜ ⎜ − 1⎟ Kn +1 U n +1 n +1 n +1 n n n ⎟ ⎜ 2β βh 2 βh ⎝ ⎠ ⎛γ ⎞ ⎛γ ⎞ γ −1 ⎜ − 1⎟ C (Uk C Un + h ⎜ − − 1⎟ ⎟ ⎟ ⎜ n +1 − Un ) + ⎜ ⎟ ⎟ C Un ⎜β ⎜ 2β βh ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Todos los sumandos del término independiente son conocidos. Un +1 )
Este sistema de ecuaciones lineales se emplea en un proceso iterativo k=1. bien del último paso de integración n o de la iteración anterior.
6 Criterios de convergencia Para finalizar la iteración de búsqueda del equilibrio se pueden emplear los mismos tipos de criterios de convergencia empleados en el caso estático.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
estático. en el caso de emplear un criterio basado en el incremento de energía interna en cada iteración se deben añadir los términos correspondientes a dichas fuerzas. debe considerarse en él los términos correspondientes a las fuerzas de inercia y amortiguamiento:
k k Pn +1 − Qk n +1 − M Un +1 − C Un +1
≤ εR Pn +1 − Qn − M Un − C Un
De la misma forma. 16.
k k k ˆ 1 P − Q − MU − C U − Qn n +1 n n n +1 − MUn +1 − C Un +1 ≤ εE (U ) T
. excepto por los valores de la matriz y el vector de fuerzas efectivas. que ahora incluyen términos debidos a la inercia y al amortiguamiento. Por lo tanto todos los métodos y estrategias de iteración empleados en el análisis estático para este tipo de sistemas de ecuaciones son aplicables en este caso dinámico. En el caso de emplear un criterio basado en el residuo.
aplicada en forma escalón en t=0. es decir:
Se aplica una carga exterior vertical de valor -800 kg.1. En la respuesta se observa un periodo de oscilación del orden de 0.m. Barra apoyada – deslizante Se trata de la misma barra estudiada en el apartado 15. pero sometida a una carga dinámica.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
17 EJEMPLOS DINÁMICOS
17. La figura siguiente muestra la evolución de la deformación vertical del punto de aplicación de la carga. con un factor de proporcionalidad de valor 5.013 s. la cual produce el paso de integración crítico de valor 2/481=0.
Las propiedades de la barra son: A0: 2 cm2 E: 2.004 s c (E / ρ)
El modelo numérico para su simulación mediante el procedimiento dynex se encuentra en el archivo modelo1D. El amortiguamiento se supone proporcional a la matriz de masas. que corresponde a una frecuencia máxima en la estructura de valor 483 rad/s.1 Ejemplo 1. con paso de integración h=0.0041 s
. Barra apoyada . Al ser la carga aplicada superior al valor que provoca el snap-through. La configuración geométrica particular estudiada se muestra en la figura siguiente:
Figura 35.1 106 kg/cm2
ρ=7860 kg/cm3
La matriz de masa se ha supuesto diagonal.32 cm. hasta alcanzar el equilibrio con una deformación final de 43.002 s.deslizante. la cual coincide con el valor hallado estáticamente. Se ha efectuado una simulación dinámica empleando un integrador explícito basado en diferencias centrales. se observa un salto brusco en la fase inicial de la respuesta. El paso mínimo para garantizar la estabilidad es
hcr ≥ L L = = 0.
β=1/4 (procedimiento dynim). con un factor de proporcionalidad de valor 5.2 Ejemplo 2. es decir:
Se aplican las mismas fuerzas que en caso estático (FY=-50 kg y FX=20 kg.4 0.9 1
Figura 36. El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante los procedimientos dynex y dynim está en el archivo modelo5D. La viga está modelizada mediante elementos viga de dos nudos en formulación co-rotacional. en el extremo superior de la viga) en forma escalón en t=0. • Un integrador implícito de Newmark con γ=1/2.3). con paso de integración h=1 10-3 s.Nudo 2
-60 0 0.5 0. Deformación vertical de la barra apoyada .3 0. El paso mínimo para garantizar la estabilidad es hCR=6.8 0.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Deformación Y . con paso de integración h=6 10-5 s.deslizante. Se estudia la respuesta dinámica de la viga en voladizo vertical ya analizada en un ejemplo anterior en régimen estático (apartado 15.18 10-5 s. La densidad empleada es ρ=2700 kg/cm3 . Voladizo muy flexible. El amortiguamiento se supone proporcional a la matriz de masas.
.2 0. y sus propiedades son las mismas que en el análisis estático. La matriz de masa se ha supuesto diagonal. Los resultados obtenidos en ambos casos son prácticamente iguales.7 0.6 0. Se han efectuado simulaciones dinámicas empleando: • Un integrador explícito basado en diferencias centrales (procedimiento dynex).m.
17.1 0.
y la estructura adopte una configuración deformada final estática.
La figura siguiente muestra el proceso de deformación de la viga.
La figura siguiente muestra la evolución en el tiempo de la deformación horizontal del extremo superior de la viga.
Figura 37. La presencia de amortiguamiento hace que con el paso del tiempo la velocidad y aceleración se anulen. Evolución dinámica del voladizo vertical. que lógicamente coincide con la obtenida en el análisis estático.
y se modeliza mediante un total de 20 barras biarticuladas. Cable pretensado Se estudia un cable pretensado y sometido a una carga transversal distribuida que varía linealmente con el tiempo. Se emplea la matriz de masa diagonal y no se considera el amortiguamiento.3 Ejemplo 3. según la ley:
Ftot = 10000 t (kg / s ) . con una resultante total que varía linealmente con el tiempo.
Figura 39. Se aplica una carga exterior transversal al cable. Cable pretensado.
Las propiedades del cable son: A0: 2 cm2 E: 2 ⋅ 106 kg/cm2
La fuerza de pretensión es N0 = 2000 kg.
Figura 38. Deformación dinámica del extremo superior de la viga. El cable tiene una luz de 20 m. distribuida en toda su longitud.
que muestra un comportamiento muy no lineal desde los primeros instantes del movimiento (la respuesta lineal es una cúbica. requiriendo un número medio 2 de iteraciones por cada paso. Con ambos integradores los resultados son coincidentes. β=1/4 (procedimiento dynim). observándose una diferencia en la posición del orden del 0.6 0. con paso de integración h=1. mostrada a efectos comparativos). El paso mínimo para garantizar la estabilidad es hCR=2. El modelo numérico para la simulación se encuentra en el archivo cableD. • Un integrador implícito de Newmark con γ=1/2.
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Tiempo (s) 0. Se han efectuado dos simulaciones dinámicas empleando: • Un integrador explícito basado en diferencias centrales (procedimiento dynex).
. tras 0. esta carga total se ha aplicado sobre los nudos.15%.5 0. La resolución del sistema de ecuaciones no lineales en cada paso de integración se efectúa por el método de Newton.5 10-4 s.7 s de integración.3 0. con paso de integración h=1 10-3 s.1 0. 10-4 s. concentrado en cada uno de ellos la parte de cable que le corresponde.2 0. Deformación vertical del punto central del cable pretensado.4 0.7 Deformación vertical (cm) Nudo central Lineal
Figura 40.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
En la implementación del modelo.m. La Figura 40 muestra la evolución de la deformación vertical del punto central del cable.
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intuitivas. 19. NOTACIÓN
La mayor parte de las magnitudes empleadas en mecánica de sólidos tienen carácter tensorial. con lo que las expresiones son mucho más compactas y fáciles de recordar. y para su manejo existen distintas notaciones. En este caso los subíndices no se muestran explícitamente. y a los de orden 2 o superior con negrilla en mayúsculas. que normalmente son aplicables sólo en coordenadas cartesianas. Corresponde a una representación directa de la notación de tensores. Tiene las ventajas de su generalidad y la facilidad de transformarse en algoritmos implementables en lenguajes de programación. en cuyo caso se añade a la representación vectorial una barra sobre el símbolo. En ambos casos se emplea la negrilla para vectores y matrices. en los cuales la nomenclatura de subíndices es imprescindible. las expresiones obtenidas son válidas en sistemas de coordenadas no cartesianos.1. Además. fácil implementación y compacidad similar a la notación de tensores estricta. y en muchas ocasiones las expresiones obtenidas son casi iguales. para no complicar la notación. En algunos casos puede producirse alguna confusión entre la representación tensorial y matricial. al ser las magnitudes tensoriales independientes del sistema de referencia. el ‫ ׃‬para el producto contracto (contracción de dos índices) y el ⊗ para el producto tensorial. o fáciles de transformar en algoritmos. Por otra parte cada una de de ellas tiene ventajas e inconvenientes respecto a ser más o menos compactas. donde el primer índice corresponde a la fila. Además. como matricial: el tipo de representación quedará definido por el contexto y por los operadores empleados. 19.1 Notación de subíndices Es muy empleada en los textos de mecánica de los medios continuos. 19. Su principal inconveniente es que da lugar a expresiones muy farragosas. unido al hecho de la escasa formación en su utilización más allá de los casos simples. Como es habitual se supone que los tensores de orden 1 (vectores) se representan como una matriz de una columna.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
19 ANEJO 1.1.2 Notación de tensores Es muy utilizada asimismo en textos de mecánica de los medios continuos. Se empleará sólo cuando sea necesario. se empleará la misma letra o símbolo para denominar a una misma magnitud tanto en su representación tensorial.3 Notación de matrices Es la más habitual en textos de ingeniería mecánica y de estructuras por su equilibrio entre claridad. y es la que se empleará preferentemente. Sin embargo existen muchísimas excepciones. En esta notación suele ser habitual denominar a los tensores de orden 1 con letras negrillas minúsculas.1. y los tensores de orden 2 como una matriz de 2 dimensiones.
. que en ocasiones son diferentes y otras veces coincidentes. En esta notación se introducen símbolos específicos para las operaciones entre tensores: el ⋅ para el producto escalar (contracción de un índice).
2 Operaciones entre tensores de orden 2 • Producto ordinario.1 Resumen de álgebra de vectores y tensores A continuación se resume la notación empleada para las operaciones más importantes. Contrae dos índices. -1 si la permutación es impar y 0 si hay índices repetidos.1 Operaciones entre vectores • Producto escalar de vectores. definido como eijk = 1 si la permutación {i. • Producto tensorial de vectores. para dar lugar a un escalar.1. Notación de tensores: c = a × b Notación de matrices: c = a b La notación a corresponde a la matriz hemisimétrica asociada el vector a. Se emplean minúsculas para los tensores de orden 1 y mayúsculas para los de orden 2. Notación de subíndices: Dij = ai bj Notación de tensores: D = a ⊗ b Notación de matrices: D = a bT 20. muchas veces se omite el símbolo ⋅ entre los tensores. Notación de subíndices: ci = ∑ eijk ai bj El símbolo e representa el tensor alternador de orden 3. o composición de tensores. Notación de tensores: D = A ⋅ B Notación de matrices: D = A B Notación de subíndices: Dij = ∑ Aik Bkj En la notación de tensores. • Producto contracto o producto escalar de dos tensores de orden 2. 20.j. o producto diádico.k} es par.k i
s = A : B = ∑ Aij Bij = B : A
i.1. PRELIMINARES MATEMÁTICOS
20. Produce un tensor D de orden 2. Se emplea la misma expresión en notación de tensores y notación de matrices:
k j . Da lugar a otro tensor del mismo orden. Notación de subíndices: s = ∑ ai bi Notación de tensores: s = a ⋅ b = b ⋅ a Notación de matrices: s = aT b = bT a • Producto vectorial de vectores.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
20 ANEJO 2. j
. pero es más claro ponerlo para indicar que se contrae un índice entre ambos tensores.
es un vector definido por las tres derivadas parciales del escalar respecto a las tres coordenadas del espacio.1. se define como el escalar:
s = tr(A) = A : I = ∑ Aii
tr(A) = tr(AT ) tr(A B) = tr(B A) tr(a ⊗ b) = tr(a bT ) =
∑ (a ⊗ b)
= ∑ aibi = a ⋅ b = aT b
Empleando la traza. Pueden emplearse las notaciones siguientes:
⎧ ⎪ ⎪ ∂f ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ∂ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ∂f ⎪ ⎪ ∂f ⎪ ∇f = grad( f ) = =⎪ ⎨ ⎬ ∂x ⎪ ∂x 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎪ ∂ 3 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Puede pensarse en el gradiente ∇ como un operador vectorial (no se añade la barra pues no ha lugar a confusión):
. Notación de tensores: c = A ⋅ b Notación de matrices: c = A b En la notación de tensores. pero es más claro ponerlo para indicar que se contrae un índice. j
20. muchas veces se omite el símbolo ⋅ entre los tensores.3 Gradiente • El gradiente de un campo escalar f. el producto contracto se puede poner como:
A : B = ∑ Aij Bij = tr(AT B) = tr(B AT ) = tr(A BT ) = tr(BT A)
i. de un tensor de orden 2 por un vector.3 Operaciones entre vectores y tensores • Producto ordinario.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
20.2 Traza Para un tensor de orden 2. 20.
grad(v)= ∇ ⊗ v
∂ vi ei ⊗ e j ∂x j
• El gradiente de un tensor D de orden 2 es otro tensor T. cada uno de cuyos términos es la derivada de las componentes del tensor respecto de las tres coordenadas. de orden 3. Pueden emplearse varias notaciones:
d = div(v)=tr(∇v) = ∇v : I = ∇ ⋅ v d = div(v)=∇T v
. que se obtiene aplicando el operador gradiente a cada una de las componentes escalares del vector:
grad(v) = ∇v =
∂v i ∂x j
En notación de subíndices y matrices se representa como:
(grad(v))ij = (∇v)ij =
grad(v)= ∇ vT
Si consideramos tres vectores ei que definen una base ortogonal para las coordenadas x. es decir a la traza del gradiente del vector.
T=∇D = grad(D) = T= = ∑
∂D ∂x
∂Dij ∂x k
ei ⊗ e j ⊗ ek
20. j .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎧ ⎪ ⎪ ∂ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ∂ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∇=⎨ ⎬ ⎪ ∂x 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂x 3 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
• El gradiente de un campo vectorial v es un tensor de orden 2.4 Divergencia • La divergencia de un vector v es un escalar d definido por:
∂vi ∂x i
Esta suma de las tres derivadas direccionales de las componentes de vector corresponde a la suma de los términos de la diagonal del gradiente del vector.
Se trata de hallar la divergencia del producto de ambos b=D a (que será un escalar):
div(D a)=div(b)=∑
∂b j ∂x j ⎞ ⎛ ∂a i ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ + ∑ ∑⎜ ⎟ ⎜ ai ⎟ D ⎟ ji ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x ∂ ⎠ j i ⎝ j ⎠
Sustituyendo el valor del término de bj:
⎛ ∂ ⎜ ⎜ div(D a)=∑ ⎜ ⎝ ∂x j j ⎜
⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ∑D a ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ∑ ∑⎝ ⎜ ∂x
ji i i j i
⎛ ∂Dji
Reordenando y empleando la traspuesta de D:
T ⎞ ⎛ ∂Dij ⎛ ⎞ ⎟ T ∂a i ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ div(D a)=∑ ai ∑ ⎜ D + ∑ ∑ ⎟ ⎟ ij ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∂x j ⎠ ⎜ ∂x j ⎠ j i ⎝ j i ⎝
En el primer término se identifica el término i de la divergencia de DT.5 Teoremas de integración • La integral a un volumen V del vector gradiente de una función escalar f es igual al flujo de dicho escalar en la superficie ∂V que rodea al volumen (n es el vector normal a la superficie):
. Descomponiendo el gradiente en sus componentes simétrica y hemisimétrica
∇v = (∇v)sim + (∇v)hem
div(v) = tr(∇v) = tr(∇v)sim + tr(∇v)hem = tr(∇v)sim + 0
• La divergencia de un tensor D de orden 2 es un vector d definido como la traza del gradiente de dicho tensor
d=div(D)=tr(∇D) = (∇D) : I = ∇ ⋅ D
Puesto en forma matricial su expresión es:
d = div(D) = ∇T DT
{div(D)}i = ∑
∂Dij ∂x j
• A continuación se desarrolla una propiedad de la divergencia que resulta útil para ciertos desarrollos teóricos.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
La divergencia afecta a la parte simétrica del gradiente del vector.
T div(D a)=∑ ai (div(DT ))i + ∑ ∑ Dij (grad(a))ij j j i
En el primer sumando se identifica el producto escalar del vector a por la divergencia de DT.j del gradiente del vector a. Sea D un tensor de orden 2 y a un vector. y en el segundo el producto contracto del ardiente de a por DT:
div(D a)=a ⋅ div(DT ) + DT : grad(a)
20. y en el segundo se identifica el término i.
y el de la derecha es el flujo de dicho vector.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
∫ ∇f dV = ∫ f n dS
• Aplicando la ecuación anterior a un vector v. • Para el caso de un tensor D de orden 2. que establece que la divergencia del vector en un volumen V es igual al flujo de dicho vector en la superficie circundante de V. Tomando la traza del tensor se obtiene una igualdad escalar:
∫ tr(∇v)dV = ∫ tr(v ⊗ n)dS
El término de la izquierda es la divergencia del vector v.
∫ div(v) dV = ∫ v ⋅ n dS
∫ ∇ ⋅ v dV = ∫ v ⋅ n dS
Estas expresiones constituyen el teorema de la divergencia para un vector cualquiera. la expresión es:
∫ div(D) dV = ∫ D ⋅ n dS
∫ ∇ ⋅ D dV = ∫ D ⋅ n dS
. componente a componente:
∫ ∇v dV = ∫ v ⊗ n dS
Cada integral proporciona un tensor.
con paso fijo. Procedimiento dynim Este procedimiento permite efectuar la simulación dinámica no lineal de estructuras planas compuestas por barras biarticuladas o vigas planas (no se pueden mezclar). completa o modificada. completo o modificado. Implementa el método de la longitud del arco y la iteración de Newton. Procedimiento dynex Este procedimiento permite efectuar la simulación dinámica no lineal de estructuras planas compuestas por barras biarticuladas o vigas planas (no se pueden mezclar). Implementa el método explícito de diferencias centrales. El proceso iterativo para alcanzar el equilibrio en cada paso de integración en el tiempo se efectúa mediante el método de Newton. Implementa el método implícito de Newmark. con paso fijo.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
21 ANEJO 3.
. PROCEDIMIENTOS MATLAB
Procedimiento nolin Este procedimiento permite efectuar la simulación estática no lineal de estructuras planas compuestas por barras biarticuladas o vigas planas (no se pueden mezclar).
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