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Timestamp: 2017-08-17 17:28:11+00:00

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ESTRATEGIAS DIDACTICAS PARA ENSEÑAR LA RESOLUCION DE PROBLEMAS MATEMATICOS A ESTUDIANTES DE 3º GRADO DE BASICA PRIMARIA
1.1 Diferencia entre problemas y ejercicio
1.2 Método de Polya
1.3 Métodos heurísticos
1.4 Situaciones que dan sentido a las operaciones aritméticas de números naturales
1.4.1 Estado- Estado- Estado (EEE)
1.4.2 Estado – Transformación – Estado (ETE)
1.4.3 Estado- Comparación- Estado (ECE)
1.4.4 Transformación- Transformación- Transformación (TTT)
1.4.5 Comparación- Transformación- Comparación (CTC)
1.4.6 Comparación- Comparación- Comparación (CCC)
1.5 Clasificación de los problemas multiplicativos
1.5.1 Situación multiplicativa de razón (ERE)
1.5.2 Situación multiplicativa de comparación (ECE)
1.5.3 Situación multiplicativa de combinación (EEE)
1.5.4 Situación multiplicativa de doble comparación (CCC)
3.1.1 Pensamiento numérico y sistema numérico
3.1.2 Pensamiento métrico y sistemas de medidas
3.1.3 Pensamiento aleatorio y sistemas de datos
3.1.4 Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
3.3 Procesos heurísticos
3.3.1 Decir lo mismo pero de otra forma
3.3.2 Contar la historia dando marcha atrás. (Los métodos de Análisis y síntesis)
3.3.3 ¿Qué puede calcularse con los datos conocidos?
3.3.4 ¿Qué datos son necesarios para poder contestar a la pregunta?
3.3.5 Inventar problemas
3.3.6 Relacionar datos y preguntas. Contarse un problema ¿Qué sé?
3.4 Esquemas sagitales
3.4.1 Presentar operaciones en la recta
3.4.2 Contemplar el esquema para visualizar globalmente los datos y la pregunta del problema
3.4.3 ¿Cuál de los dos esquemas está mal en cada caso? ¿Por qué?
3.5 Problemas propuesto
4.1 Procesos heurísticos
4.2 Ejemplos de problemas multiplicativos
4.2.1 Problemas de reparto equitativo
4.2.2 Problemas de factor N
4.2.3 Problemas de razón
4.2.4 Problemas de producto cartesiano
4.3.1 Medidas
4.3.2 Perímetro
4.3.3 Áreas
4.3.4 Razonamiento lógico
4.3.5 Problemas sobre azar
1.1. Diferencias entre problemas y ejercicios
Cuando se trabajan en el aula de forma sistemática, dando opción al alumno a que razone y explique cuál es su forma de afrontar y avanzar en el desarrollo de la actividad, salen a la luz las dificultades que el propio proceso de resolución de problemas conlleva. Dichas dificultades están relacionadas en algunos casos con la falta de asimilación de contenidos propios de los diferentes bloques del área; en otras ocasiones se basan en la comprensión lectora, en el uso del lenguaje o en el desconocimiento de conceptos propios de otras disciplinas que intervienen en la situación planteada. No obstante, suponen una importante fuente de información para dar a conocer los aspectos que se debieran retomar e incorporarlos nuevamente al proceso de enseñanza aprendizaje.
Un problema es una situación que un individuo o grupo quiere o necesita resolver y para la cual no dispone, en principio, de un camino rápido y directo que le lleve a la solución; consecuentemente eso produce un bloqueo. Conlleva siempre un grado de dificultad apreciable, es un reto que debe ser adecuado al nivel de formación de la persona o personas que se enfrentan a él. Si la dificultad es muy elevada en comparación con su formación matemática, desistirán rápidamente al tomar consciencia de la frustración que la actividad les produce. Por el contrario, si es demasiado fácil y su resolución no presenta especial dificultad ya que desde el principio ven claramente cuál debe ser el proceso a seguir para llegar al resultado final, esta actividad no será un problema para ellos sino un simple ejercicio. De este modo podemos decir que la actividad que para alumnos de ciertas edades puede concebirse como un problema, para otros no pasa de ser un mero ejercicio.
Generalmente tienen una sola solución, son actividades de entrenamiento, de aplicación mecánica de contenidos o algoritmos aprendidos o memorizados. Le sirven al profesor para comprobar que los alumnos han automatizado los conocimientos que él pretendía enseñarles y, a su vez, al alumno para consolidar dichas adquisiciones.
Hacer ejercicios en serie puede provocar aburrimiento, ya que generalmente son repetitivos y pueden resultar poco interesantes. Sin embargo, en algunas ocasiones sirven para motivar a los alumnos, pues de esa manera toman conciencia de los conocimientos que van adquiriendo. Son un tipo de actividades muy abundantes en los libros de texto. Como profesores/ as no debemos abusar de su realización, sino seleccionar cuidadosamente aquellos que nos resultan más útiles para evaluar el grado de comprensión de los conceptos y la adquisición de algoritmos matemáticos por parte de los alumnos.
Por contraposición, los problemas no se resuelven con la aplicación de una regla o receta conocida a priori. Exigen al resolutor sumergirse en su interior para navegar entre los conocimientos matemáticos que posee y rescatar de entre ellos los que pueden serle útiles para aplicar en el proceso de resolución. Puede servirse de experiencias anteriores que hagan referencia a situaciones parecidas, para rememorar cuál fue el camino o vía seguida, en caso de poder volver a utilizarlos en esta nueva situación.
A continuación veremos un cuadro característico entre ejercicios y problemas.
La finalidad es la aplicación mecánica de algoritmos.
Se resuelven en un tiempo relativamente corto.
No se establecen lazos especiales entre el ejercicio y la persona que lo resuelve.
Generalmente tienen una sola solución.
Son muy numerosos en los libros de texto.
La finalidad es ahondar en los conocimientos y experiencias que se poseen, para rescatar aquellos que son útiles para llegar a la solución esperada.
Requieren más tiempo para su resolución.
La persona que se implica en la resolución lo hace emocionalmente. El bloqueo inicial, debido a que la situación le desconcierta, dará paso a la voluntariedad y perseverancia
último, al grado de satisfacción una vez
que esta se ha conseguido
Pueden tener una o más soluciones y las
vías para llegar a ellas pueden ser variadas.
Suelen ser escasos en los libros de texto.
1.2. El método de Polya.
Existen muchos enfoques en la resolución de problemas dado el gran número de autores que han realizado estudios e investigaciones en este tema. La preocupación por conseguir buenos resolutores ha llevado a determinar diferentes fases en el proceso de resolución.
Polya, G. (1949) estableció cuatro etapas que después sirvieron de referencia para muchos planteamientos y modelos posteriores, en los que se fueron añadiendo nuevos matices, si bien el esquema básico de todos ellos se mantiene. Las etapas del proceso de resolución que determina Polya son las siguientes:
Concepción de un plan.
1.3. Los métodos heurísticos
De acuerdo con Monero y otros, (1995) los procedimientos heurísticos son acciones que comportan un cierto grado de variabilidad y su ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo como, por ejemplo, reducir el espacio de un problema complejo a la identificación de sus principales elementos (p. 20).
Mientras que Duhalde y González, (1997) señalan que un heurístico es “un procedimiento que ofrece la posibilidad de seleccionar estrategias que nos acercan a una solución” (p. 106).
Los métodos heurísticos pueden variar en el grado de generalidad. Algunos son muy generales y se pueden aplicar a una gran variedad de dominios, otros pueden ser más específicos y se limitan a un área particular del conocimiento. La mayoría de los programas de entrenamiento en solución de problemas enfatizan procesos heurísticos generales como los planteados por Polya, (1965) o Hayes, (1981).
Chi y colaboradores, (1981, 1982) señalan que entre el conocimiento que tienen los expertos solucionadores de problemas están los “esquemas de problemas”. Estos consisten en conocimiento estrechamente relacionado con un tipo de problema en particular y que contiene:
Diversos investigadores han estudiado el tipo de conocimiento involucrado en la resolución de un problema, encontrándose que los resultados apoyan la noción de que la eficiencia en la resolución de problemas está relacionada con el conocimiento específico del área en cuestión Maye, (1992) y Stenberg, (1987). En este sentido, estos autores coinciden en señalar que los tipos de conocimiento necesarios para resolver problemas incluyen:
• Conocimiento semántico: dominio del área relevante al problema, por ejemplo, saber que si Alvaro tiene 5 bolívares más que Javier, ésto implica que Javier tiene menos bolívares que Alvaro.
1.4. Situaciones que dan sentido a las operaciones aritméticas de números naturales.
Las operaciones aritméticas de aritméticas se construyen inicialmente como un medio de evitar los recuentos o procesos de medida en situaciones parcialmente cuantificadas. Si, por ejemplo, hemos contado 20 objetos por un lado y 35 por otro y nos preguntan que cuantos hay en total, podemos decir que hay 55 objetos en total, sin necesidad de efectuar ningún nuevo recuento, gracias a que “sabemos sumar”, y si nos preguntan qué diferencia hay entre el primeras colecciones de objetos, podemos decir que se diferencian en 15 objetos, sin necesidad de nuevos recuentos, gracias a que “sabemos restar”.
Las situaciones que dan sentido a la suma y a la resta de números naturales (situaciones aditivas de una sola operación) se clasifican ateniendo el papel que juegan los números que intervienen en ella, que es variable y puede ser:
Estado cuando los números del problema son el cardinal de un conjunto, el ordinal de un elemento o la medida de una cantidad de magnitud.
Transformación cuando un número expresa la variación que ha sufrido un estado.
Comparación cuando el número indica la diferencia que existe entre dos estados que se comparan entre sí.
Dependiendo de cuáles de estos papeles juegan los tres números que intervienen en situaciones aditivas de una sola operación, esto es, que se resuelven con una suma o una resta, obtenemos los siguientes tipos de situaciones:
En esta situación, tenemos una cantidad et que se refiere a un todo y dos cantidades ep1 y ep2 o partes en que se descompone el todo, es decir, tenemos la participación de un todo en dos partes. Se trata de una situación parte – todo en la que todos los números son estados. Se representa mediante el diagrama
Juan tiene 4 caramelos en la mano izquierda y 7 en la derecha. ¿Cuántos tiene en total?
Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de limón, los otros de fresa. ¿Cuántos tiene de fresa?
En esta situación tenemos una cantidad ei que se refiere al estado inicial de un objeto o colección de objetos y una cantidad ef que indica el estado final del objeto o la colección. La cantidad t cuantifica la transformación sufrida por el objeto. La situación se representa mediante el diagrama:
Paola es la quinta en una cola para coger entradas para el circo. Deja que tres amigos pasen delante de ella. ¿Qué lugar ocupa ahora?
ei = 5 (indica el puesto en el que Paola se encuentra)
t = 3 (indica los amigos (puestos) que deja pasar Paola delante de ella.
ef = 8 (indica el lugar en el que se encuentra Paola después de la transformación).
Juan tiene 7 caramelos. Regala 3 a su hermana. ¿Cuántos le quedan?
Es una situación en la que se comparan dos estados e1 y e2. La cantidad c cuantifica la relación entre dichas cantidades. La situación se representa mediante el diagrama:
Juan tiene 8 caramelos. Tiene 5 más que Pedro. ¿Cuántos tiene Pedro?
Juan tiene 8 caramelos. Pedro tiene 2 más. ¿Cuánto tiene Pedro?
Es una situación parte-todo en la que el objeto sufre una primera y después una segunda transformación. Las cantidades tp1 y tp2 se refieren a estas transformaciones y la cantidad tt indica la transformación total. La situación se representa mediante el diagrama:
Pedro gana 5 canicas por la mañana. Pierde 9 por la tarde. ¿Cuántas canicas ha ganado o perdido en total?
A María le dan $200 por la mañana. Le vuelven a dar $500 por la tarde. ¿Cuánto dinero le han dado en total?
Situación en la que se establece una comparación inicial c1 entre dos cantidades.
Posteriormente una de las cantidades sufre una transformación t y, por último, cf representa la comparación entre las cantidades finales. La situación se representa mediante el diagrama:
Pedro tiene 6 caramelos más que Juan. A Juan le dan algunos más y ahora tiene un caramelo más que Pedro. ¿Cuántos caramelos le han dado a Juan?
Pedro tiene 5 caramelos menos que Juan. A Juan le dan dos. ¿Quién tiene ahora menos caramelos? ¿Cuántos menos?-
Situación parte- todo en la que cp1 expresa la comparación entre una primera y una segunda cantidad, cp2 indica la comparación entre la segunda y una tercera cantidad y ct establece la comparación entre la primera y la tercera cantidad. La situación se representa mediante el diagrama:
Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 3 más que Juan. ¿Quién tiene más, Pedro o Juan? ¿Cuántos más?
Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 5 menos que Juan. ¿Quién tiene más, Pedro o Juan ¿Cuántos más?
1.5. Clasificación de los problemas multiplicativos
Así como las operaciones aritméticas de suma y resta se construyen inicialmente para abreviar los recuentos o procesos de medida, la multiplicación y división entera son un medio de abreviar los procesos de sumar (o restar) repetidamente una misma cantidad o repartir equitativamente una cantidad entre cierto número de seres u objetos. Por ejemplo, en lugar de sumar el número 6 nueve veces, decimos directamente que el resultado es 54, sin necesidad de efectuar las sumas repetidas, porque “sabemos multiplicar”.
multiplicativas de una sola operación) se puede clasificar atendiendo al papel que juegan los números que intervienen en ellas que pueden ser:
• Estado, cuando expresan el cardinal de un conjunto, el ordinal de un elemento o la medida de una cantidad de magnitud;
• Razón, cuando expresan un cociente entre cantidades de magnitudes diferentes;
• Comparación, cuando indican el número de veces que una cantidad de magnitud está contenida en otra cantidad de la misma magnitud.
Situación en la que intervienen dos estados E1 y E2 que hacen referencia a magnitudes distintas y una razón R que expresa el cociente de E2 respecto a E1. Cuando la incógnita está en la razón R podemos interpretar la situación en términos de reparto equitativo y cuando está en el estado E1 en términos de agrupamiento o descomposición en partes iguales.
• Juan compra 3 paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta 25 pesetas. ¿Cuánto ha pagado en total?
• Un coche recorre 180 km. en dos horas. ¿Cuál ha sido su velocidad media?
• María tiene $250 y su hermana Soledad $1.000. ¿Cuántas veces más dinero tiene Soledad que María?
• La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 7 veces más que la A. ¿Cuánto mide la varilla B?
• En un baile hay 3 chicos y algunas chicas. Se pueden formar 6 parejas distintas entre ellos.
• En un ortoedro el área de la base es de 9 m2 y la altura de 6 m. ¿Cuál es su volumen?
Situación en la que C12 expresa el número de veces que la primera cantidad de magnitud está contenida en la segunda, C23 indica el número de veces que la segunda cantidad de magnitud está contenida en la tercera y C13 establece el número de veces que la primera cantidad de magnitud está contenida en la tercera.
• Juan tiene un dinero. Ignacio tiene 4 veces el dinero de Juan. Paco tiene 5 veces el dinero de Ignacio. ¿Cuántas veces tiene Paco el dinero de Juan?
Las variables de los problemas multiplicativos, y los valores que pueden tomar, son los siguientes:
• Significado de los números: pueden ser cardinales, ordinales o medidas de cantidades de magnitud
• Papel de los números en la situación: pueden ser 'estados', 'razones' o 'comparaciones' (ya definidos al comienzo del apartado).
• Posición de la incógnita: puede ocupar uno cualquiera de los papeles adjudicados a las cantidades en la situación.
• Sentido de la comparación: indica si el primer término de la comparación es varias veces mayor o menor que el segundo término.
En las páginas siguientes se presenta una secuenciación de actividades correspondientes al curso de 3° de Educación Primaria, que ejemplifican en síntesis lo que puede ser una educación matemática basada en la resolución de problemas.
En el primer nivel, se trabajará de manera intensiva a nivel oral y en grupo, resolviendo las actividades conjuntamente los estudiantes con el profesor. Las sesiones no deben ser muy largas, organizadas de forma que vayan familiarizándose con la forma de trabajo y el tipo de actividades. Poco a poco se irá dando entrada a la lectura y la escritura. Es muy importante dedicar parte del taller a abordar diferentes actividades encaminadas a favorecer el desarrollo de la capacidad de comprensión de las situaciones en ellas descritas.
Como se dijo anteriormente, las actividades del primer nivel serán modificadas de acuerdo a los estudiantes a quienes vayan dirigidas
En el segundo nivel, se centrará más en lo que es propiamente reconocimiento y aplicación de las diferentes fases del proceso. Se dará más importancia al trabajo por parejas, aunque se den también situaciones en las que la actividad se plantee en y para el grupo. Se comenzará con sesiones cortas y luego se irá pasando a situaciones en las que los estudiantes, en sesiones más largas, vayan adoptando un mayor protagonismo.
Inicialmente, y con el fin de recordar lo trabajado en el nivel anterior, se resolverán las actividades en el que el docente actuará como modelo de buen resolutor sólo en aquellos problemas que sean más novedosos en su tipología o que presenten mayor dificultad.
Para ello expresará verbalmente los pensamientos y razonamientos asociados a las diferentes fases (comprensión, planificación, ejecución y comprobación del resultado obtenido), así como los procesos mentales que tienen lugar desde el momento en que se entra en contacto con el enunciado del problema hasta que se da por válida y terminada su resolución.
En estos casos, las actividades presentadas irán seguidas de otras similares para que los estudiantes las resuelvan de modo semejante a como lo hizo el docente. La primera de ellas se planteará en grupo, siguiendo el modelo, y el resto en parejas.
Conforme avanzamos en el taller de segundo nivel, veremos cómo de vez en cuando se combinan problemas con ejercicios que refuerzan los aprendizajes adquiridos en el de primer nivel. Así, mediante esta secuencia vamos desglosando los objetivos del presente proyecto y suministrando las herramientas más eficientes y eficaces para la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos.
A medida que se resuelven actividades solos y otras en parejas, podremos dedicar la sesión entera a que ellos trabajen de esta manera.
En primer nivel es recomendable la utilización de diagramas sagitales para la resolución de problemas aritméticos. Para ello, en la recta numérica se representarán los datos y sus relaciones de forma que se mantengan las proporciones, es decir, sin basarse en divisiones gráficas previas que puedan servir al estudiante para resolver el problema a través del método del conteo y no por la aplicación de la operación correspondiente. Así por ejemplo, una situación que se resuelva por medio de la operación 5 + 7 se representará con un diagrama sagital de la siguiente forma:
Es preciso trabajar el uso y la representación de esquemas gráficos, de forma gradual. Comenzar por representar primero operaciones aritméticas (adición, sustracción, multiplicación y división) fuera del contexto de los problemas, después continuar con esquemas incompletos asociados a enunciados para que el estudiante los termine, por último será labor del resolutor la elaboración del esquema en su totalidad.
Se introducirán otro tipo de situaciones como son las de razonamiento lógico, de azar y de probabilidad entre otros, para que los estudiantes vayan ampliando su capacidad de resolver cualquier tipo de problema que se le presente.
Debido a que estas actividades son extrapolables, puede ser utilizada para cualquier grado.
Sin embargo es importante resaltar que el docente debe contar con buen material de actividades, adecuadas al nivel de los alumnos, de ese modo podría utilizarlo en diferentes ocasiones, cuando considere que los problemas que vienen en textos no son suficientes o cuando no recogen todas las posibilidades que en Educación Primaria debieran abordarse.
3.1. Pensamiento numérico y sistema numérico
Identifico si a la luz de los datos de un problema, los resultados obtenidos son o no razonables.
3.2. Pensamiento métrico y sistemas de medidas
Realizo estimaciones de medidas requeridas en la resolución de problemas relativos particularmente a la vida social, económica y de las ciencias.
Reconozco el uso de las magnitudes y sus unidades de medida en situaciones aditivas y multiplicativas.
3.3. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.
3.4. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.
Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráficas.
Las actividades que vienen a continuación tratan de ir conduciendo a los estudiantes poco a poco hasta la interiorización de la estrategia general que se va a proponer para abordar la resolución de cualquier problema. Para ello, previamente, se propondrán unas tareas preparatorias, encaminadas a desarrollar capacidades que faciliten la adquisición del método de resolución propuesto.
En primer curso se puede comenzar por actividades pensadas para practicar lo que en el apartado de procesos heurísticos, se ha denominado la escucha analítica.
Con ellas se pretende desarrollar la capacidad lógica, la expresión oral a través de giros lingüísticos de formas alternativas a una relación numérica, situacional o cualitativa dada… Cuando los estudiantes hayan conseguido cierta agilidad y comprensión lectora se les podría volver a presentar esto mismo por escrito y en ese caso poner en práctica la lectura analítica. Algunos ejemplos de este tipo de tareas se exponen a continuación. Cada grupo de actividades se engloba bajo un epígrafe que resume qué es lo que se pretende trabajar por medio de ellas.
3.2. Procesos heurísticos
3.3.1 Decir lo mismo pero de otra forma.
LA NIÑA SE LLAMA CARLA Y EL NIÑO SE LLAMA MANUEL
- Manuel es más alto que Carla.
Carla es más baja que Manuel.
- Manuel tiene menos años que Carla.
Carla tiene…............................................................................................................
- Manuel está delante de Carla.
Carla está................................................................................................................
- Carla tiene tres años más que Manuel.
Manuel tiene...............................................................................................................
- Manuel pesa menos que Carla.
Carla pesa...................................................................................................................
PEDRO Y SU HERMANA PATRICIA
- Pedro tiene más caramelos que su hermana Patricia
Su hermana Patricia tiene……………………………………………………………..
-Pedro es mayor que su hermana Patricia
Su hermana Patricia es…..…………………………………………………………….
-Patricia es más delgada que Pedro
Pedro es mas……………………………………………………………………………
-Alejandro es más gordo que Pedro
Pedro es………………………………………………………………………………
La siguiente actividad desarrolla en el estudiante la capacidad de recordar en orden dos o tres acciones encadenadas, contadas siguiendo una secuencia, así como que sean capaces de contarlas al revés, deshaciendo lo hecho.
Pedro se levantó de la cama. Se puso las zapatillas y entró en la cocina.
Pedro entró en la cocina se puso las zapatillas y se levanto de la cama
Camilo entró a clase. Se sentó en la silla y sacó el libro.
Camilo.......................................................................................................................
Mi papá entró en el coche. Lo arrancó y lo sacó del garaje.
Mi papá.................................................................................................................
Paola cogió un CD. Entró en su habitación y encendió la grabadora.
Paola.........................................................................................................................
María se juntó con su amiga. Se puso los patines y salió a la calle.
María...........................................................................................................
Carlos salió del baño, se puso la toalla y se cambió
Carlos………………………………………………………………………………..
En el siguiente bloque de actividades, el estudiante debe analizar qué es lo que se puede calcular a partir de los datos que se presentan en el enunciado. Se proponen dos tipos de problemas:
- Aquellos en los que los estudiantes deben formular preguntas, primero oralmente y después también por escrito, que se respondan a partir de los datos recogidos en el enunciado.
- Problemas en los que, dados unos datos y varias preguntas, los estudiantes deben determinar cuáles de ellas pueden contestarse a partir de la información proporcionada.
Ayer tenía nueve canicas en el bolsillo. Hoy en el recreo he ganado algunas canicas .Cuando iba para mi casa se me perdieron 3.
¿Si cuento las canicas que tengo en el bolsillo después del recreo, puedo saber las canicas que he ganado?
Una señora lleva en la cartera $25.000. Entra en una tienda de ropa y compra 3 pantalones que le cuestan $4500 cada uno, dos blusas a $1500 la unidad.
¿Cuánto dinero se gasta la señora en pantalones?
¿Cuánto dinero se gasta la señora en blusas?
¿Cuánto dinero se gasta la señora en total?
¿Cuánto dinero le queda a la señora?
¿Cuánto dinero dejó guardado en su casa?
En el parque había 10 niños y 4 niñas. Tres niñas se fueron a casa.
Pablo tiene 10 hermanos. Camilo tiene 2 hermanos.
Aun partido de futbol asisten 34 mujeres, 25 niños y 57 hombres.
¿………………………………………………………………………………………..?
¿………………………………………………………………………………………...?
La distancia de mi casa a la de un amigo es de 350m. Salgo de mi casa y recorro 150m.
¿………………………………………………………………………………………….?
¿…………………………………………………………………………………………..?
Otras actividades con las que se pueden trabajar son aquellos problemas en los que se dan unos datos y una pregunta formulada, de tal manera que los estudiantes deben pensar que datos además de los dados, son necesarios para contestar dicha pregunta.
Estos problemas se podrían alternar con otros en los que se den más información que la necesaria para poder responder a la pregunta. En este caso los estudiantes deben discriminar los datos necesarios de los que no son.
3.3.4 ¿Qué datos son necesarios para poder responder la pregunta?
Estoy viendo por televisión una carrera de coches.
Cada coche debe dar 18 vueltas al circuito.
En un frutero había 5 naranjas, 4 manzanas y 3 bananos.
Entre María y su hermano han comido de 3 manzanas y dos bananos.
¿Cuántas frutas se comió María?
En el bolsillo tengo 150 pesos.
He comprado un caramelo.
Felipe tiene 2550 pesos y compra un helado.
Carlos tiene 6 años más que María.
Para empezar, es conveniente presentar a los estudiantes unos puntos en los que se recoge una situación. En primer lugar, ellos deben observarlas y después analizar la información gráfica que les ofrecen. A partir de ahí tendrán que elaborar textos completos, primeramente orales y luego por escrito, que constituyan el enunciado de un problema. Deberán aportar los datos necesarios y además formular correctamente la pregunta.
3.3.5 Inventar problemas.
3.3.6 Relacionar datos y preguntas. Contarse un problema ¿Qué sé? ¿Qué me preguntan?
Dentro de esta actividad se contempla también la posibilidad de darles problemas para que, en primer lugar, los lean despacio, después se lo cuenten unos a otros con sus propias palabras, los reformulen y finalmente desglosen lo que saben, es decir, los datos de lo que tienen que calcular.
En clase somos 30 estudiantes, 6 de ellos están enfermos y se han quedado en casa.
¿Cuántos estudiantes han ido hoy a clase?
SÉ QUE: Hay conmigo 30 estudiantes y hoy no llegaron 6.
TENGO QUE CALCULAR: Cuántos estudiantes hay hoy en clase
Para mi fiesta de cumpleaños he utilizado 10 globos azules y 6 globos amarillos.
¿Cuántos globos he utilizado en total?
SÉ QUE..........................................................................................................
TENGO QUE CALCULAR..........................................................……………..
Las actividades que se han propuesto hasta ahora hacen referencia fundamentalmente a la comprensión de la situación planteada tanto verbalmente como por escrito gráficamente, en cuyo caso se está trabajando la comprensión lectora. A partir de este momento, en el taller se va a dar mayor importancia al proceso de resolución de problemas, destacando de un modo especial el proceso heurístico de la realización de esquemas gráficos que ayuden no solo a comprender la situación planteada, sino además a establecer relaciones entre los datos aportados en el enunciado para poder llegar a la solución.
3.3. ESQUEMAS SAGITALES
3.4.1 Presentar en la recta las siguientes operaciones.
"Habían 16 y se fueron 13"
Poco a poco las actividades se irán complicando. Siguiendo este proceso se les pedirá a los estudiantes que relacionen los datos y la pregunta del problema y completen el esquema que lo representa.
3.4.2 Completar el esquema para visualizar globalmente los datos y las preguntas del problema.
Al salir del cine Lina tenía 10 caramelos. Durante la película se comió 5. ¿Cuántos caramelos tenía Lina al entrar al cine?
¿Cuántas páginas tiene el libro que me regalaron, si he leído ya 47 y todavía me faltan 24 páginas para terminar el libro?
3.4.3 ¿Cuál de los esquemas está mal en cada caso? ¿Por qué?
¿Cuántos caramelos tiene Pedro si tenía 20 y compro 5 más?
En un juego participan 10 niños y 5 niñas. ¿Cuántos niños en total participan en el juego?
Es preciso que los problemas que se le presenten a los estudiantes se resuelvan con los cuatros pasos del método que plantea Polya. Es una manera de ayudarles para que memoricen y practiquen la estrategia. El esquema debe ser realizado por el estudiante, con ayuda del profesor, que actuará como modelo.
Adela tenía ahorrado algún dinero en la alcancía. Por sus cumpleaños su abuelo le dio 15 pesos y ahora comprueba que tiene en total 34 pesos.
¿Cuánto dinero tenía en la alcancía al principio?
Leo el problema dos o tres veces. Cierro los ojos y me lo cuento.
Regalo: $15
Tengo en total $34
19 películas entre José y yo
Yo tengo 8 películas
¿Cuántas películas tiene mi amigo?
SOLUCIÓN:….................................................................……………..
A continuación se presenta una serie de problema que se resuelven de acuerdo a los pasos mencionados anteriormente. Se le pide al docente que sea un modelador para aquellos ejercicios que sean novedosos para el estudiante, de esta manera no se verá frustrado si no encuentra la manera de resolverlo.
3.4. Problemas propuestos
1. Mi amigo Amadeo es un poco despistado y no se acuerda de cuánto dinero tenia ahorrado. Ayer cogió todo el dinero de la alcancía para comprarse un libro que le costó 457 pesos y aun le sobraron 230 pesos. ¿Cuánto dinero tenia ahorrado?
2. Pedro y Amalia son hermanos. Amalia es la menor, tiene 12 años. Pedro tiene 11 años más que Amalia. ¿Cuántos años tiene Pedro?
3. El abuelo de Alicia tiene 65 años. Tiene exactamente 7 años menos que su abuela Petrona. ¿Cuántos años tiene su abuela?
4. Amalia tiene una colección de tarjetas postales. Su primo Alejandro tiene 15 tarjetas pero como no las colecciona se las va a regalar a Amalia. Entonces Amalia tendrá 62 tarjetas en su colección. ¿Cuántas tarjetas tenía Amalia antes de que su primo le regalara las de él?
5. Cesar es un compañero de clases. En el descanso él compró lo mismo que yo, un helado de $200 y una galleta de $350, al pagar a él le quedaron $450 y a mi 200. ¿Cuánto dinero tenía Cesar y yo al principio?
6. Los 528 estudiantes de primaria participaron en los juegos deportivos de la escuela.
a) Si en la escuela hay 325 niñas, ¿Cuántos niños hay en la escuela?
b) De las 325 niñas 158 juegan micro y las restante baloncesto. ¿Cuántas juegan baloncesto?
7. Alberto le dijo a Pedro. En la biblioteca de mi casa tengo 106 libros. Pedro le respondió:- Pues yo casi tengo tantos como tu. Si a ti no te hubiesen regalado 14 libros, tendríamos la misma cantidad. ¿Cuántos libros tiene Pedro?
• Descubro el dato que sobra y luego resuelvo:
8. En un parqueadero hay 53 carros azules, 25 rojos y 37 negros.
¿Cuántos carros hay entre azules y negros?
Datos: ___________
Dato que sobra______
Pregunta__________________________________________
Operación___________________
Solución____________________
Comprobación_______________
9. En la fiesta de Felipe se inflaron 50 bombas azules, 47 bombas blancas y 38 bombas rosadas. ¿Cuántas bombas hay entre azules y rosadas?
10. En mi salón de clases hay 17 niñas, 14 niños y 16 pupitres de dos puestos cada uno. ¿Cuántos estudiantes hay en total?
• Descubro el dato que falta, le doy valor y hallo la respuesta.
11. En una granja hay 54 pollitos, 36 gallinas y patos. ¿Cuántas aves hay en total?
12. Una caja tiene 24 cuadernos rayados y cuadriculados. ¿Cuántos cuadernos hay en la caja?
13. Una caja tiene 60 lápices y otra 120. Si la tercera caja es más pequeña, ¿Cuántos lápices hay en las tres cajas?
Es conveniente insistir, desde el principio, en la importancia de seguir todos los pasos. En muchas ocasiones es necesario ejercer de modelos de resolutores, "verbalizar" todos aquellos procesos mentales que se considere necesario para que los estudiantes tomen conciencia de ello. No hay que olvidar que el ser humano aprende por imitación y que nuestra misión es acompañarles en el proceso.
Método general para la resolución de problemas
SÉ........................................................................
QUIERO CALCULAR...........................................
ESCRIBO LA OPERACIÓN A REALIZAR...
HALLO EL RESULTADO DE LA OPERACIÓN...
LLEVO LA SOLUCIÓN, COMO UN DATO MÁS, AL TEXTO
DEL PROBLEMA... YA NO HAY PREGUNTA...
A continuación se presenta unos modelos que pueden servir como base para lo que sería un segundo nivel en el curso de tercero, se introduce como novedad los problemas de multiplicación- división en el que los diagramas rectangulares jugaran un papel muy importante.
3.5. Procesos heurísticos
En este nivel se siguen aplicando procesos heurísticos que se iniciaron de forma sistemática en el nivel anterior, al tiempo que se irán presentando otros nuevos.
- Se continúa con el desarrollo de estrategias que favorecen la lectura analítica:
• Decir lo mismo pero de otra forma.
• Deducir qué se puede calcular a partir de unos datos conocidos.
• Dados ciertos datos y operaciones realizadas con ellos, determinar qué
• A partir de una situación propuesta y un esquema sagital o rectangular,
• Presentados un enunciado y varias operaciones, señalar la que resuelve
Siempre que se inicie una tipología de problema diferente, es recomendable que el docente explique y realice varios ejemplos para que los estudiantes se familiaricen con el tema.
Los esquemas gráficos, que en primer nivel son fundamentalmente sagitales, se han ampliado con otras modalidades, Los primeros esquemas son propios de las operaciones de adición y sustracción, es preciso el uso de diagramas de tipo rectangular, árbol entre otros en los que se ponen en relación dos magnitudes.
3.6. Ejemplos de problemas multiplicativos-división
En clase somos 30 estudiantes. La profesora ha decidido armar grupos de 5 estudiantes para realizar un trabajo de matemáticas. ¿Cuántos grupos formaremos en total?
Número de estudiantes en total: 30
Número de estudiantes por grupo: 5
¿Cuántos grupos formaremos en total?
Número de integrantes de cada grupo
Formaremos 6 grupos
Si hay 6 grupos con 5 integrantes cada uno, en el salón de clases hay 30 estudiantes.
Otros esquemas gráficos que nos ayudan a representar este tipo de problemas son los diagramas de árbol, según la situación planteada.
Carlos, Felipe, cesar y yo, tenemos 3 juguetes cada uno. ¿Cuántos juguetes hay en total?
Carlos tiene 3 juguetes
Felipe tiene 3 juguetes
Cesar tiene 3 juguetes
Yo tengo 3 juguetes
Si mis tres amigos y yo, tenemos 3 juguetes cada uno, en total habrá 12 juguetes
La mayoría de los problemas se resuelven a partir de una serie de pasos intermedios, que permiten obtener otros datos y avanzar hasta llegar a la solución final. El procedimiento de dividir un problema de modo consciente y sistemático en partes y resolver cada una de ellas, es una estrategia muy utilizada a medida que los problemas van siendo más complejos. La búsqueda de estos problemas intermedios se hace a partir del análisis conjunto de los datos que nos dan y lo que nos pide calcular.
A continuación se muestran algunos ejemplos de problemas de multiplicación-división, con el correspondiente esquema rectangular para representar en él los datos del enunciado y la incógnita.
Tengo 50 chupetas para repartir entre mis 5 amigos ¿Cuántas chupetas recibe cada uno?
Lo que tengo: 50 chupetas (cantidad a repartir)
Cantidad de amigos con los que voy a repartir las chupetas: 5 amigos
¿Cuántas chupetas recibe cada amigo?
Cada uno recibió 10 chupetas.
Si reparto 50 chupetas entre 5 amigos, cada uno recibirá 10 chupetas.
Carlos tiene el doble de la edad de su hermana. Si su hermana tiene 8 años. ¿Cuál es la edad de Carlos?
Edad de la hermana de Carlos: 8 años
Edad de Carlos: dos veces la edad de su hermana
¿Cuál es la edad de Carlos?
La edad de Carlos es 16 años.
Carlos tiene el doble o dos veces 8 años que es la edad de su hermana, entonces la edad de Carlos serán 16 años.
Un autobús viaja de Santa marta al Banco a una velocidad de 80Km/h. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido al cabo de 4 horas?
Velocidad del bus: 80Km/h
¿Cuántos kilómetros habrá recorrido al cabo de 4 horas?
El bus recorrió 320Km en 4 horas.
Si el bus recorre 80 Km en 1hora, entonces en 4 horas habrá recorrido 320Km.
Número de camisetas: 3 camisetas
Número de pantalones: 2 pantalones
¿Cuántos trajes para un equipo de baloncesto se pueden formar?
Se pueden formar 6 trajes.
Al combinar 3 camisetas con 1 pantalón obtengo 3 trajes, y si combino nuevamente las tres camisetas con otro pantalón obtendré 3 trajes más, en total con 3 camisetas y 2 pantalones puedo formar 6 trajes.
Es recomendable trabajar con diagramas de árbol para este tipo de situaciones, ya que muestra una mejor interpretación de datos.
3.7. Problemas propuestos
Ana Andrea y yo tenemos $3000. Ana y yo tenemos la misma cantidad. Andrea tiene $1200. ¿Cuánto dinero tengo yo?
Alba se va a mudar y esta empacando todas sus cosas. Con todos los libros que tiene a llenado 6 cajas colocando 12 libros en cada una de ellas. ¿Cuántos libros tiene Alba?
Una rueda mecánica que da 457 vueltas por hora ha estado girando durante 7 horas. ¿Cuántas vueltas ha dado la rueda?
Un lechero gana $5 en la venta de un litro de leche. ¿Cuánto ganará al vender 340 litros de leche?
Queremos vaciar un depósito que contiene 54 litros de agua utilizando un cubo en el que caben 9 litros. ¿Cuántos viajes tendremos que hacer?
¿Cuál es el área de un rectángulo cuyos lados miden 8 y 6 cm, respectivamente?
¿Cuántas celdas tiene una tabla de 5 columnas y 3 filas?
La edad de Pedro es el doble de la edad de Amadeo. Si Amadeo tiene 15 años. ¿Cuántos años tiene Pedro?
Para celebrar un cumpleaños se han hecho varias bolsas. En cada una de ellas hay 5 paquetes de caramelos. Cada paquete tiene 6 caramelos. ¿Cuántos caramelos hay en cada bolsa?
Dos automóviles han dado respectivamente cuatro y ocho vueltas a un circuito. El segundo recorrió 24.800 metros. ¿Cuál es la longitud del circuito? ¿Cuánto recorrió el primer coche?
El triplo de la edad de Manuel es 27 años. ¿Cuál es la edad de Manuel?
Un carro transportó 81 sacos de papa. En cada viaje llevaba 9 sacos. ¿Cuántos viajes hizo?
Un comerciante compró 20 cajas de galletas a $57.300 cada una. Otro compró 12 cajas a $60.500 cada una. ¿Cuánto gastó cada comerciante?
Cuatro hermanos decidieron repartirse sus ahorros. A cada uno le correspondieron $63.500. ¿Cuánto dinero habían ahorrado entre los cuatro?
En el almacén hay 530 carros de juguete para guardar en 5 cajas. ¿Cuántos carritos se deberían guardar en cada caja para que quede la misma cantidad en cada una de ellas?
La ganadora de un concurso recibió como premio 3810 monedas de chocolates y quiso repartirlas entre 15 compañeros. ¿Cuántas monedas de chocolate le dio a cada uno?
Juan necesita decidir que bebida comprar para calmar la sed. Sabe que 5 litros de agua cuestan $1.650 y 1 litro de gaseosa cuesta $800.
¿Es más costoso 1 litro de agua o un litro de gaseosa?
Si él se decidió por lo más económico, ¿llevó 5 litros de agua o 5 litros de gaseosa?
La longitud del cordón de mis zapatos es de 3dm.¿Cuántos centímetros mide el cordón de mis zapatos?
La correa de Carlos mide 2dm más que la de Juan, y la de Juan mide 1dm más que la de Pedro. Si la correa de Juan mide 40cm. ¿cuánto mide la correa de Carlos y la de Pedro?
El lápiz de Juan mide 15cm y el de María mide 5cm menos que el de Juan. ¿Cuánto mide el lápiz de María?
3. Halla el perímetro de las siguientes figuras sabiendo que sus lados son congruentes:
1. Si cada baldosa mide 4dm2, ¿Cuántas baldosas se necesitarían para cubrir un salón de 3720cm2?
2. El área de un lote mide 300m2, si uno de sus lados más largo mide 25m. ¿Cuánto medirá uno de los lados más corto?
3. Calculo el área de las siguientes figuras:
El siguiente diagrama muestra las mascotas preferidas por los niños del salón de clases:
¿Cuál es el animal que mas prefieren los niños?
¿Cuál es el animal que menos prefieren los niños?
Después de los conejos ¿Qué animal prefieren?
Se recomienda no solo abordar problemas de tipo aritmético sino también introducir otro tipo de situaciones como son las de razonamiento lógico, de azar y de probabilidad entre otros, para que los estudiantes vayan ampliando su capacidad de resolver cualquier tipo de problema que se le presente.
Sustituye cada figura por un número, de forma que las sumas verticales y horizontales sean correctas. La misma figura corresponde siempre al mismo número
Observo el número que le corresponde a cada figura.
Descubro y escribo los números escondidos.
____ ____ ___ ___ ___ ____ _______________
___ ____ ___ ___ ___ ____ _______________
___ ___ ___ ____ ____ ____ ______________
Si lanzas otra vez la moneda ¿qué crees que te saldrá? _____________________
Haz la prueba, ¿has acertado? _________________________________________
¿Crees que es fácil acertar lo que va a salir? ______________________________
¿Por qué__________________________________________________________
Que esta tarde celebres un cumpleaños _________________________________
N° Tirada 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°
en el papel? ______________________________________________________
¿Son muy diferentes? ________________________________________________
Publicado por eavp en 8:35 No hay comentarios:
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