Source: https://link.springer.com/article/10.1007/BF02410803
Timestamp: 2018-02-23 19:02:49+00:00

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Un teorema di esistenza per una equazione a derivate parziali non lineare del secondo ordine | SpringerLink
December 1965 , Volume 67, Issue 1, pp 1–31 | Cite as
Un teorema di esistenza per una equazione a derivate parziali non lineare del secondo ordine
Premesse alcune proprietà della soluzione in senso generalizzato del sistema di equazioni a derivate parziali del primo ordine
$$\begin{array}{*{20}c} {\mathop \Sigma \limits_{j = 1}^m a_{ij} (x,{\text{ }}y;{\text{ }}z_1 ,{\text{ }}...,{\text{ }}z_m )\frac{{\partial zj}}{{\partial x}} = fi(x,{\text{ }}y;{\text{ }}z_1 ,{\text{ }}..,{\text{ }}z_m ),{\text{ }}(i = 1,{\text{ }}...,{\text{ }}r{\text{ }}con{\text{ }}1 \leqslant r< m),} \\ {\mathop \Sigma \limits_{j = 1}^m a_{ij} (x,{\text{ }}y;{\text{ }}z_1 ,{\text{ }}...,{\text{ }}z_m )\frac{{\partial zj}}{{\partial y}} = fi(x,{\text{ }}y;{\text{ }}z_1 ,{\text{ }}..,{\text{ }}z_m ),{\text{ }}(i = r{\text{ }} + 1,{\text{ }}...{\text{ }}m),} \\ \end{array} $$
sotto ampie ipotesi è dimostrata l'esistenza di una soluzione del problema diDarboux per l'equazione a derivate parziali del secondo ordine non lineare di tipo iperbolieo
$$F(x, y, z, p, q, r, s, t) = 0.$$
La soluzione è ricercata nel campo delle funzioni continue con le derivate prime e con derivate seconde lipschitziane.
Cfr.M. Cinquini-Cibrario, S. Cinquini,Equazioni a derivate parziali di tipo iperbolico, Monografie del C. N. R., N. 12, Ed. Cremonese, Roma 1964, Cap. III,L'equazione del secondo ordine quasi lineare e non lineare; in particolare § 4,Il problema di Darboux e la teoria delle strísce caratteristiche, pp. 285–294. Rinviamo a tale volume per indicazioni bibliografiche.Google Scholar
H. Lewy, Über das Anfangswertproblem einer hyperbolischen nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen. — Mathematische Annalen 98 (1928) pp. 179–191.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
M. G. Cazzani Nieri, Un teorema di esistenza per un sistema di equazioni a derivate parziali del primo ordine. Rend. Ist. Lombardo di Scienze e Lettere. Vol. 97 (1963), pp. 455–481. Nel seguito tale lavoro sarà citato con (A).MATHMathSciNetGoogle Scholar
M. G. Cazzani Nieri, Un teorema di unicità per un sistema di equazioni a derivate parziali del primo ordine. Rend. Ist. Lombardo di Scienze e Lettere. Vol. 96 (1962), pp. 334–342.MATHMathSciNetGoogle Scholar
Circa la determinazione dei numeria, b cfr. (A), n. 2 b), disuguaglianze (20).Google Scholar
C. Carathéodory,Vorlesungen über reelle funktionen, Kap. XI. § 557. Satz 1. § 559. Satz 3.Google Scholar
C. Carathéodolory, l. c. in (7), Kap. XI, § 547, Satz 3, § 557, Satz. 1.Google Scholar
Circa la derivazione sotto il segno di integrale cfr.M. Cinquini Cibrario —S. Cinquini, « Sopra una forma più ampia del problema di Cauchy per l'equazione p=f(x, y, z q) », Annali di Matematica, Serie IV, T. XXXII (1951) pp. 121–155, a pag. 140. Le ipotesi sono un po' diverse ma la dimostrazione del teorema data nel l. c. vale anche nel presente caso.MathSciNetGoogle Scholar
Cfr. l. c. in (1), n. 11,a), pp. 285–286, n. 11,b), p. 287.Google Scholar
Cf. l. c. in (1) n. 12 α) pp. 288–289.Google Scholar
Cf. § 1, n. 5, Oss. II.Google Scholar
Cfr.C. Rademacher, Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variabeln und über die Transformation der Doppelintegrale. Mathematische Annalen, 79 (1919), pp. 340–359, cfr. p. 347.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
Cfr.M. Cinquini-Cibrario -S. Cinquini, Sopra una nuova extensione di un teorema di esistenza per equazioni a derivate parziali del primo ordine. Anuali di Matematica. T. XLIII (1957), pp. 51–81; cfr. p. 72. Dal l. c. segue che ad un insieme di misura superficiale nulla del rettangoloR corrisponde un insieme di misura superficialc nulla del campo δ e viceversa.MathSciNetGoogle Scholar
Facciamo presente che i calcoli che seguono sono ispirati a quelli sviluppati nel caso classico per il problema di Cauchy, con qualche considerazione supplementare dovuta alla maggiore generalità delle ipotesi; cfr. l. c. in (1) n. 9 β) pp. 276–281 e anche l. c. in (2) pp. 187–191.Google Scholar
Cfr.G. Sansone,Equazioni differenziali nel campo reale. Cap. I, § 5, n. 3.Google Scholar
Cfr. nota (21).MathSciNetGoogle Scholar
Cfr. l. c. in (1) n. 13a) p. 291.Google Scholar
Nieri, M.G.C. Annali di Matematica (1965) 67: 1. https://doi.org/10.1007/BF02410803
DOI https://doi.org/10.1007/BF02410803

References: § 4
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