Source: http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/primer.html
Timestamp: 2013-05-26 02:07:24+00:00

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Reforma de la Educaci�n Secundaria. Asignaturas
Bloque 1 Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Conozcan las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición, número de símbolos) y establezcan semejanzas o diferencias respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales. 2. Comparen y ordenen números fraccionarios y decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos. 3. Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa. 4. Construyan figuras simétricas respecto de un eje e identifiquen cuáles son las propiedades de la figura original que se conservan. 5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas.
Examen correspondiente a los aprendizajes esperados
Los sistemas de numeración que utilizan o han utilizado diversos grupos sociales y culturales, como el romano, el sexagesimal de los babilonios o el vigesimal de los mayas, si bien permiten representar cualquier número, no ofrecen las posibilidades del sistema decimal de numeración para efectuar operaciones. Aunque el estudio de este tema se inicia desde los primeros grados de primaria, es necesario que en este curso de primer grado de secundaria se planteen actividades para que los alumnos analicen diferentes formas de representar y nombrar números, resaltando las ventajas y desventajas de cada sistema, así como las dificultades de su construcción a lo largo de la historia.
En el caso del sistema decimal de numeración es muy importante analizar el sistema oral (o escrito con letras), que a diferencia del escrito (en cifras), no es posicional y se descompone con base en potencias de mil, como puede verse en el nombre del siguiente número: 38 005 326 (treinta y ocho millones, cinco mil trescientos veintiséis):
38 (1 0002) + 5 (1 000) + 326 Si en el entorno sociocultural de los alumnos existe un sistema numérico o de medidas distinto del decimal, es conveniente dedicar tiempo a analizarlo, con base en las características que ya conocen, tanto del sistema decimal como de otros sistemas. Vínculos: Español. Tema: Escribir una monografía en la que se integre la información de resúmenes y notas.
La recta numérica se utiliza como recurso para dar sentido a los números fraccionarios. Cuando se aborde la representación de estos números deberá explicarse la necesidad de asignar el cero a un punto de la recta, de determinar una unidad y con base en ésta determinar la ubicación de cualquier número. Algunos ejemplos de problemas que se pueden plantear son:
• Ubiquen en la recta numérica 3
(previamente deben encontrarse representados
e intercalen entre ellos cinco fracciones.
El segundo ejemplo tiene que ver con dos nociones importantes: la densidad y el orden de fracciones. Respecto a la primera noción, se sugiere realizar una actividad que tome como referencia a la recta numérica para llevar a los alumnos a concluir que, dadas dos fracciones de valores diferentes, siempre es posible intercalar otra fracción. La segunda noción está presente también en esa actividad, ya que en cada etapa del proceso de intercalación están implicadas tres fracciones, la menor, la mayor y la que se intercala. Para determinar el orden de las fracciones podrán utilizarse recursos como las fracciones equivalentes, los productos cruzados y otros. Lo mismo puede hacerse con los números decimales. Nótese que para ubicar fracciones, las particiones dependen de los denominadores; en tanto que para ubicar decimales, siempre se puede partir en potencias de 10. En la resolución de estos problemas se tendrá oportunidad de revisar conceptos y procedimientos estudiados en la primaria, como los de fracciones reducibles e irreducibles, la simplificación de fracciones, la reducción de fracciones a un común denominador y conversión de una fracción a decimal y viceversa.
Significado y uso de las literales Subtema
1.3. Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.
Para continuar el desarrollo del pensamiento algebraico iniciado en la primaria con la construcción de fórmulas geométricas, se sugiere utilizar sucesiones numéricas y figurativas sencillas para encontrar la expresión general que define un elemento cualquiera de la sucesión. Por ejemplo, dada la siguiente sucesión de figuras:
5 Se pueden plantear preguntas como éstas:
• Si la cantidad de mosaicos que forman cada figura continúa aumentando en la misma forma: ¿Cuántos mosaicos tendrá la figura que ocupe el lugar 10?
¿Cuántos mosaicos tendrá la figura que va en el lugar 20?
¿Cuántos mosaicos tendrá la figura que va en el lugar 50?
• Dada una figura que representa un marco cuadrado que mide 15 cm por lado, ¿cómo se puede saber el perímetro del marco? (nótese que no se trata de calcular el perímetro sino de enunciar el procedimiento). Suponiendo que el lado del marco midiera 28 cm, ¿cómo se determina el perímetro del marco? ¿Y si midiera 35 cm? En general, ¿cómo se determina el perímetro de cualquier cuadrado?
Como en el caso de las sucesiones numéricas y figurativas, se insiste primero en que los alumnos expresen en forma verbal el procedimiento o fórmula en cuestión y luego algebraicamente.
La idea de que es posible operar con la literal que representa una medida cualquiera se subraya cuando se pide a los alumnos que, por ejemplo en el caso del cuadrado, representen la fórmula del perímetro mediante una suma o un producto (l + l + l + l o bien 4l). De este modo se inicia también el trabajo con expresiones algebraicas equivalentes.
Puede seguirse un proceso similar para otras fórmulas sencillas, como las del área del cuadrado y del rectángulo, y las del perímetro de otros polígonos en los que dos o más lados sean del mismo tamaño (por ejemplo, polígonos regulares como el triángulo equilátero, los rombos, rectángulos y romboides).
Transformaciones Subtema
1.5. Construir figuras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.
En la primaria los alumnos llegan a explicitar las propiedades de la simetría axial sin utilizar la nomenclatura formal. En este grado se pretende que, dada una figura, analicen las propiedades que se conservan al construir su simétrica respecto de un eje (igualdad de lados y ángulos, paralelismo y perpendicularidad). Por ejemplo:
• Dada la figura ABCD y su simétrica A’B’C’D’ obsérvese que AD//BC como A’D’//B’C’
¿Qué otros segmentos son paralelos en la figura original? ¿Se conserva esta misma relación en la figura simétrica?
Actividad complementaria: “Propiedades de la simetría axial”, en Geometría dinámica. EMAT, México, sep, 2000, pp. 58-59.
Aunque este tipo de problemas se plantea desde la primaria, se trata ahora de profundizar en el análisis de los procedimientos que se utilizan y de avanzar en la formulación de las propiedades de una relación de proporcionalidad. Además de los procedimientos que emplean los alumnos de manera espontánea, conviene empezar a destacar el factor de proporcionalidad constante, es decir, que hay un factor por el cual se puede multiplicar cualquier elemento del conjunto x, para obtener el correspondiente del conjunto y. Es conveniente que en este primer bloque los factores constantes sean enteros o fracciones unitarias. Un ejemplo de los problemas que se pueden plantear es:
¿Cuánto duraría una vela de 1 cm?
¿Cuánto duraría una vela de 10 cm?
¿Y una de 11 cm?
Éste es otro tipo de problemas en el que se pone en juego el razonamiento proporcional, cuyo estudio se inicia en este grado, de manera que es importante favorecer el uso de procedimientos informales y discutirlos, incluso si los alumnos tienen en cuenta otros criterios ajenos a la proporcionalidad, tales como la amistad, la edad, etc. Un ejemplo típico de estos problemas es el siguiente:
Una variante del problema anterior, donde deben hacerse algunos cálculos para obtener la información necesaria, sería ésta:
• Supongan ahora que el premio es de $1 500.00; si uno de ellos aportó una séptima parte del costo del billete y los otros dos amigos, el resto en partes iguales, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno, si reparten el premio proporcionalmente?
1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.
Los alumnos han utilizado tablas y diagramas de árbol en la primaria para resolver problemas de conteo. En este grado se trata de sistematizar estos recursos y encontrar regularidades que permitan acortar caminos para encontrar soluciones. La dificultad de estos problemas tiene que ver, entre otras variables, con la cantidad y el tipo de elementos que se van a combinar. Algunos ejemplos sencillos son::
• Andrea, Bety, Caro y Daniela se citan en una cafetería. Las cuatro amigas llegaron a la cita de una en una. Determinar todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado.
Conviene plantear variantes de este problema para que los alumnos identifiquen regularidades en os procedimientos de solución y logren hacer generalizaciones. Una variante podría ser: Si Caro es la amiga que llegó primero, determina todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado las otras tres.
• En una caja hay cinco fichas marcadas con los números 1, 3, 5, 7 y 9. Se extrae una ficha de la caja y se anota su número. La ficha extraída se regresa a la caja y nuevamente se realiza una extracción. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar? Una variante de este ejemplo es: ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar si la primera ficha que se extrae no se regresa a la caja?
2.1. Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos.
En este grado los alumnos consolidarán el uso de los algoritmos al resolver problemas, con base en la equivalencia de fracciones, a la vez que echarán mano de recursos suficientemente flexibles como el cálculo mental y la estimación. Por ejemplo, al resolver la operación:
Los alumnos deberían saber que la suma es aproximadamente 1 , puesto que es casi , es casi cero y es casi uno.
En el cálculo estimativo con números decimales deberá distinguirse entre problemas en los que interesa considerar la parte decimal y otros en los que ésta puede no tenerse en cuenta, sin que ello afecte el resultado. Por ejemplo, si se estima el monto a pagar en la compra del supermercado, dejando de lado los centavos, puede haber una diferencia considerable con el resultado exacto, puesto que casi todos los precios incluyen 90 o 99 centavos.
Al igual que con los números fraccionarios, los alumnos deben distinguir entre los problemas en los que es suficiente una estimación y los que exigen un resultado exacto. Se aprovechará el proceso de resolución de problemas para, en caso necesario, revisar las nociones de números fraccionarios, sus usos y significados en diversos contextos.
2.2.Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.
Éste es un contenido nuevo para los alumnos, puesto que no se incluye en los programas de primaria. Los problemas que llevan a efectuar multiplicaciones o divisiones se ubican en el contexto de la proporcionalidad. Por ello el estudio de estas operaciones se relaciona estrechamente con el eje Manejo de la información. Para plantear un problema que implique multiplicar o dividir, puede buscarse una relación proporcional entre dos magnitudes y decidir cuál de estos términos se va a calcular. Algunos ejemplos de problemas que se pueden plantear son:
• Tres niños tienen 2 l de jugo de naranja cada uno. ¿Cuántos litros tienen en total? • Una lancha recorre 38 km en 1 horas. ¿Qué distancia puede recorrer en una hora?
• En un examen aprobaron partes de los estudiantes que lo presentaron. Si lo presentaron 240 alumnos, ¿cuántos lo aprobaron? Los casos más complejos son aquellos donde ambos términos de la multiplicación o de la división son fracciones y es muy importante que los alumnos tengan la posibilidad de justificar los resultados con procedimientos distintos de los algoritmos, como en el siguiente caso:
• Las partes de un terreno se usaron para construcción y el resto para jardín; del jardín tiene pasto y el resto otras plantas. ¿Qué parte del terreno completo tiene pasto?
1 kg de jamón cuesta $80; compré 2 kg de jamón; en total pagué $200. Se pueden formular dos problemas de división y uno de multiplicación. En el segundo caso conviene que los alumnos se den cuenta de que la división ÷ equivale a la multiplicación x Planes de clase Eje
2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.
En la primaria, los alumnos utilizaron la multiplicación de números decimales al resolver problemas de proporcionalidad directa, en particular mediante el uso del valor unitario. En ese contexto reflexionaron sobre el significado de esa operación y de su resultado. Ahora se trata de fortalecer esos significados y extenderlos a otros contextos. Para ello puede pedirse a los alumnos que elaboren una tabla que represente una situación de proporcionalidad directa. Por ejemplo, la siguiente:
• El hierro pesa 0.88 veces lo que pesa el cobre. Una pieza de cobre pesa 7.20 gramos. ¿Cuánto pesa una pieza de hierro del mismo tamaño? ¿Por qué el resultado es menor que 7.20 gramos?.
Se sugiere explorar las ideas que tienen los alumnos de recta, semirrecta y segmento. En caso de haber confusión, es necesario que el maestro explique cuál es la diferencia entre ellas, de manera que haya un lenguaje común en la clase. En relación con la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, se sugiere que los alumnos, a partir del trazo, describan las características de cada una de estas figuras y elaboren definiciones. El maestro puede apoyarlos con preguntas y contraejemplos hasta que logren definiciones precisas. De esta manera, los alumnos podrán utilizar la definición que mejor convenga según el problema que se les presente y argumentar su uso según la situación. Ejemplos:
• Dibujar un segmento y su mediatriz. Construir un triángulo con dos de sus vértices en los extremos del segmento. El tercer vértice sobre la mediatriz. ¿Qué tipo de triángulo es?.
2.5. Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones.
El desarrollo de esta habilidad no sólo es importante en sí misma, sino que ayuda a consolidar el conocimiento sobre las propiedades de las figuras. Se sugiere presentar una variedad de maneras de construir polígonos. Por ejemplo, haciendo un nudo con una tira de papel; con compás, regla y transportador (a partir de la medida del ángulo central); con regla graduada y transportador (a partir de la medida de un ángulo interior); con regla y compás (se basa en el trazo de mediatrices, bisectrices y perpendiculares); con escuadras graduadas.
Se puede iniciar el estudio planteando las siguientes actividades:
• Construyan un hexágono regular, teniendo en cuenta que en esta figura el radio de la circunferencia que la circunscribe es igual a la medida de un lado. ¿Qué instrumentos de geometría se necesitan para hacer dicha construcción? Dividan el hexágono regular en triángulos congruentes que tengan un vértice común(centro de la circunferencia circunscrita). ¿Qué tipo de triángulos se forman al subdividir el exágono? Justifiquen la respuesta.
•Construyan un cuadrado inscrito en una circunferencia considerando su diámetro. ¿Cómo construyen un octágono a partir del cuadrado inscrito?
Actividad complementaria: “Construcción del paralelogramo”, en Geometría dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 50-51.
Vínculos: Español. Tema: Revisar reportes sobre observaciones de procesos, por ejemplo, observar y describir los procesos que se siguen para construir polígonos regulares.
Si bien este tema se aborda desde primaria, en este grado es importante que los alumnos aprendan a reconstruir las fórmulas, si no las recuerdan, para lo cual es necesario que tengan diversas experiencias en la transformación de unas figuras en otras mediante el recorte y pegado o la unión de figuras, a sabiendas de que el área se conserva o se duplica. Por ejemplo, al unir dos trapecios isósceles congruentes se forma un romboide cuya base es la suma de las dos bases del trapecio y la altura se mantiene. Esto explica por qué la fórmula es base mayor más base menor por altura entre dos.
En este caso se trata de continuar el trabajo realizado en el bloque 1, pero volviendo aún más compleja la tarea mediante el uso de factores constantes de proporcionalidad fraccionarios. El desarrollo de esta habilidad va de la mano con la resolución de problemas que implican multiplicar o dividir números fraccionarios del eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Conviene hacer notar la relación que existe entre la constante de proporcionalidad y el valor unitario. Por ejemplo: “ por cada uno” equivale a “por ”. A continuación se muestra un ejemplo de los problemas que se pueden plantear:
En caso de que en el grupo no surja el uso del factor de proporcionalidad, que en este caso es , por el cual se puede multiplicar las medidas originales para obtener las nuevas medidas, el profesor puede sugerir este procedimiento y solicitar a los alumnos que lo prueben con otros problemas similares.
2.8. Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
El desarrollo de esta habilidad favorece la comprensión del factor constante fraccionario, que ahora se puede ver como la composición de dos operadores enteros. Por ejemplo, “por ” puede interpretarse como la composición de “por 3 entre 4”, o bien, “entre 4, por 3”. Esta misma idea puede extenderse a dos o más factores fraccionarios o para la multiplicación por decimales: “por 0.17” equivale a “por ” y esto a su vez a “por 17, entre 100”. Para el desarrollo de esta habilidad resultan adecuados los problemas de escala, en los cuales se pueden plantear diversos problemas, como los siguientes:
• Una fotografía se reduce con una escala de y enseguida se reduce nuevamente con una escala de . ¿Cuál es la reducción total que sufre la fotografía original?
• Una fotografía se amplía con una escala de 3 a 1 y enseguida se reduce con una escala de . ¿Cuál es el efecto final en relación con la fotografía original?
Puede vincularse este tema con los problemas de área del eje Forma, espacio y medida. Por ejemplo, si la fotografía original es un rectángulo de 216 cm2, ¿qué área tendrá la fotografía reducida?
Bloque 3 Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas que implican efectuar divisiones con números decimales. 2. Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas:
x + a = b ; ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. 3. Resuelvan problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. 4. Resuelvan problemas que implican el cálculo de cualquiera de los términos de las fórmulas para calcular el área de triángulos, romboides y trapecios. Asimismo, que expliquen la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras. 5. Interpreten y construyan gráficas de barras y circulares de frecuencias absolutas y relativas. 6. Comparen la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos aleatorios para tomar decisiones.
3.1. Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.
Son dos los componentes fundamentales de esta habilidad: saber efectuar la operación que modela el problema e interpretar correctamente el resultado. El primer componente implica que los alumnos enfrenten una diversidad de casos en los que sea pertinente usar la propiedad de multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número, a sabiendas de que el resultado no cambia:
Esta propiedad se vincula con la equivalencia de fracciones y con la idea de proporción.
El segundo componente se refiere al significado de los números decimales, que se ha trabajado ampliamente en la primaria, pero vale la pena repasar porque muy probablemente muchos alumnos siguen pensando que, por ejemplo, 2.5 horas son dos horas con cinco minutos, cuando en realidad se trata de dos horas con treinta minutos.
A diferencia de la división con números fraccionarios, en este caso hay muchos problemas cercanos al entorno de los alumnos que ellos mismos pueden plantear. Por ejemplo:
3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales o decimales.
Las ecuaciones son una herramienta básica para la resolución de problemas cuando los procedimientos aritméticos resultan poco eficaces. En este grado el esfuerzo debe enfocarse a que los alumnos logren identificar el valor desconocido del problema, lo representen con una literal, planteen la ecuación correspondiente, interpreten la ecuación como una expresión que sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema y, finalmente, que sean capaces de resolver la ecuación. Hay que tener en cuenta que los alumnos se enfrentan por primera vez a la necesidad de traducir el texto del problema al código algebraico y a la resolución de ecuaciones. Se sugiere entonces planear una sucesión de actividades que favorezca el uso de procedimientos informales y poco a poco familiarice a los estudiantes con el uso de las propiedades de la igualdad. Un ejemplo interesante del tipo de problemas que se pueden plantear es el siguiente:
La gran ventaja de este tipo de problemas es que se pueden simplificar o complejizar tanto como se quiera,de modo que los alumnos vean las ventajas de utilizar ecuaciones.
FIGUGRAS PLANAS
3.3. Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.
• Dados dos segmentos que deben ser iguales a dos lados de un triángulo, ¿se pueden dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos triángulos distintos se pueden dibujar con base en esta información?
• Si en un grupo de 40 alumnos cada uno define tres segmentos para construir un triángulo, ¿cuántos triángulos distintos podrían construirse en el grupo?
• Dados dos segmentos que representan la base y la altura de un romboide, ¿se puede construir un romboide? ¿Cuántos romboides distintos se pueden construir con base en esta información?
3.4. Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superficie.
• Si el área de un triángulo es 27 cm2, y la altura 9 cm, ¿cuánto mide la base?.
• Encuentren las medidas enteras de los lados de todos los rectángulos cuya área es 24 cm2 y calculen el perímetro de cada uno. • Si uno de los vértices de un triángulo se desplaza sobre una recta paralela a la base, ¿qué sucede con el área de cada uno de los triángulos que se forman? ¿Qué sucede con el perímetro? ¿Por qué creen que suceda esto? • Si la base menor de un trapecio se desplaza sobre una recta paralela a la base mayor, ¿qué sucede con el área de cada uno de los trapecios que se forman? ¿Qué sucede con el perímetro?
3.5. Resolver problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos.
Los alumnos ya han resuelto una gran variedad de problemas del tipo valor faltante mediante procedimientos muy diversos. Conviene entonces hacer una especie de recapitulación para subrayar el uso de procedimientos expertos tales como: el valor unitario, la constante de proporcionalidad y la muy nombrada regla de tres. En este último caso es importante que los alumnos conozcan al menos una explicación de dicha regla, que puede ser mediante la igualdad de cocientes en las situaciones de proporcionalidad directa.
3.6. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresión fraccionaria o decimal.
El desarrollo de esta habilidad tiene un antecedente muy importante en la primaria y un campo de trabajo privilegiado por su amplio uso social. De manera que vale la pena utilizar situaciones de la vida real, tales como el cálculo del IVA, el aumento de precios y salarios, las operaciones bancarias, etc., para profundizar en este tema. Los tipos de problemas que se pueden plantear son:
Aplicar el porcentaje a una cantidad: ¿Cuánto es el 12% () de 25?
• Si 575 es el total a pagar, incluido el 15% de IVA, ¿cuál es la cantidad sin IVA? Es conveniente plantear problemas en los que el porcentaje es mayor que 100, como el siguiente:
• Un productor de piña vende su cosecha al distribuidor en $0.75 el kilogramo. En el supermercado se vende a $4.50 el kilogramo. ¿En qué porcentaje se incrementa el precio?
3.7. Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
En cuanto a la comunicación de información, es conveniente plantear preguntas que logren despertar el interés de los alumnos para realizar un estudio completo de la situación, desde la organización para recopilar los datos hasta el análisis y la presentación de resultados, de manera que las tablas o gráficas que se utilicen como medios de representación sean motivo de análisis por parte de los alumnos.
Se sugiere vincular este tema con el estudio de porcentajes que se plantea en el primer apartado de este eje y bloque.
3.8. Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.
Al analizar la información que se presenta en gráficas circulares es conveniente reflexionar en torno a la relación entre los porcentajes señalados y las fracciones de área del círculo que ocupan. Las situaciones que llevan a esta reflexión de manera obligada son aquellas en las que las cantidades corresponden a un todo (no son porcentajes) y se pide una representación circular. En tales casos es necesario calcular los porcentajes y traducirlos a ángulos, sabiendo que 360° corresponden al 100%, o bien, establecer directamente una relación proporcional entre las cantidades y los ángulos. En este caso al total le corresponden 360°.
Es importante considerar que en un problema los “todos” pueden ser distintos. Por ejemplo:
Vínculos: Español. Tema: Interpretar la información en tablas, gráficas y diagramas. Geografía, unidad temática 3: Composición actual de la población en México y su comparación con las tendencias demográficas de otros países del mundo. Planes de clase
3.9. Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.
La determinación del espacio muestral en una situación de azar se relaciona estrechamente con los problemas de conteo. La dificultad que enfrentan los alumnos para enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria influye poderosamente en el cálculo de la probabilidad de un evento. Por esto se sugiere plantear problemas en los que se vincule el conteo con la probabilidad. Por ejemplo:.
• Si en un salón hay 10 mujeres y 20 hombres y en otro hay 15 mujeres y 5 hombres, ¿cuántas parejas distintas se pueden formar tomando una persona de cada salón? (Problema de conteo)
• ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar, al azar, una persona de cada salón, se alternen un hombre y una mujer? (Problema de probabilidad).
Además, es conveniente realizar diversas actividades con el propósito de reflexionar y discutir sobre las razones por las que se obtienen resultados diferentes al utilizar la probabilidad empírica o frecuencial y la probabilidad clásica o teórica.
Con el fin de favorecer la reflexión sobre la escala de valores de la probabilidad y la comparación de probabilidades de dos o más eventos, conviene plantear preguntas como las siguientes: ¿Se podría dar el caso de que el número de eventos favorables sea mayor que el número de eventos posibles? ¿Cuál es el mayor valor que puede tener la medida de la probabilidad? ¿Y el menor valor? ¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad cero de ocurrir? ¿Y qué significa que la probabilidad sea uno? Si un fenómeno tiene probabilidad uno de ocurrir, hablamos de azar? La recta numérica y el primer cuadrante del plano cartesiano son buenos recursos gráficos para reflexionar sobre las preguntas anteriores. Planes de clase
Bloque 4 Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Identifiquen, interpreten y expresen, algebraicamente o mediante tablas y gráficas, relaciones de proporcionalidad directa. 2. Resuelvan problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales. 3. Construyan círculos que cumplan con ciertas condiciones establecidas. 4. Justifiquen y usen las fórmulas para calcular el perímetro o el área del círculo. Examen correspondiente a los aprendizajes esperados
4.1. Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.
La importancia de este tema radica en el hecho de conocer un nuevo tipo de números que permite resolver problemas para los cuales no hay solución en los números naturales y en la diversidad de contextos en los que se utilizan, tales como temperaturas, ganancias y pérdidas, plano cartesiano, etcétera.
Un ejemplo de problema que se puede plantear es el siguiente:
• Con base en la información de la tabla, resuelve las siguientes situaciones:
–7º Además de los enteros, otros números con signo que deberán utilizarse en este grado son las fracciones y los decimales. La recta numérica es un recurso útil para dar sentido a estos números, y deberá emplearse como apoyo en la elaboración y justificación de procedimientos para compararlos y ordenarlos. Los problemas que se planteen supondrán el conocimiento de las convenciones: la posición del cero, la unidad de medida y el orden. Por ejemplo, se puede pedir a los alumnos que ubiquen en la recta numérica el –1 y , a partir de la posición de otros números que se les proporcionen, digamos 1 y . Se sugiere además introducir las nociones de números opuestos y valor absoluto. Planes de clase
4.2. Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
Los alumnos deben comprender que la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto constituye una aproximación. Se puede recurrir a contextos geométricos para discutir este hecho; por ejemplo, cabe preguntar cuál es la medida del lado de un cuadrado de 40 cm2 de área.
Algunos recursos de aproximación a la raíz cuadrada de números naturales y decimales mediante algoritmos son, por ejemplo, el uso de procedimientos recursivos y de ensayo y error. Es conveniente que los alumnos comparen las soluciones alcanzadas con los resultados que obtengan al emplear la calculadora. Se sugiere generalizar la idea de que la potenciación y la radicación son operaciones inversas, puesto que si un número se eleva a una potencia n y al resultado se le extrae la raíz n dicho número no se altera.
Además de la realización directa de cálculos, se pueden proponer problemas como los siguientes:
• Comparen, sin realizar las operaciones correspondientes: 0.52 y 0.052; la raíz cuadrada de 0.09 y 0.0625
4.3. Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En particular la expresión de la relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.
En los bloques anteriores los alumnos han producido expresiones algebraicas al definir reglas de sucesiones numéricas o al expresar fórmulas geométricas.
Ahora se trata de expresar algebraicamente una relación entre dos cantidades que varían. La proporcionalidad directa es un caso particular de las funciones lineales, que al representarse gráficamente en el plano cartesiano da como resultado una recta que pasa por el origen.
Como en los casos anteriores, se sugiere que antes de que los alumnos representen algebraicamente una relación, la identifiquen y la expresen verbalmente; esto les ayudará a que la simbolización tenga significado. El uso de representaciones tabulares facilita descubrir las regularidades que se manifiestan entre las cantidades relacionadas. Por ejemplo:
A una cisterna le quedan 50 litros de agua. Al abrir la llave de llenado, caen 10.5 litros por minuto. Elaboren una tabla que represente la relación entre el número de minutos y la cantidad de agua que hay en la cisterna. Si se representa con la letra x el número de minutos y con la letra y el de los litros, ¿qué expresión algebraica representa (modela) esta situación?
Si los alumnos tienen la posibilidad, pueden utilizar la hoja electrónica de cálculo para resolver este problema. El código utilizado en las fórmulas escritas en Excel es muy similar al algebraico, por lo que constituye un lenguaje intermedio entre éste y el natural. Se sugiere contrastar la situación anterior con la siguiente:
• Luis tiene cinco años y su hermana Patricia tiene dos más que él. Elaborar una tabla y una expresión algebraica que represente la relación entre ambas cantidades a partir del nacimiento de Luis.
Nótese que las dos situaciones anteriores pueden representarse mediante una expresión algebraica de la forma y = ax + b. Es importante que los alumnos contrasten y expresen las diferencias entre estas situaciones y las de proporcionalidad (y = kx) del eje Manejo de la información en este mismo bloque. También se pueden realizar actividades que impliquen la elaboración de tablas a partir de la expresión algebraica de una función lineal.
Actividad complementaria: “Variación lineal (1)”, en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 53-55.
4.4. Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.
Usualmente un círculo se construye a partir de la medida del radio, pero es importante que los alumnos sepan determinar esta medida con base en otros datos y ubicar el centro del círculo para que éste cumpla con ciertas condiciones. Por ejemplo:
JUSTIFICACIÓN DE FÓRNMULAS
4.5. Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
Aunque este aspecto se trabaja en la primaria, es necesario que en este grado se profundice en el análisis sobre la relación entre la circunferencia y su diámetro y que los alumnos se familiaricen con la diversidad de problemas que se pueden plantear. Por ejemplo:
• ¿Cuánto aumenta la longitud de la circunferencia si la longitud del diámetro aumenta al doble? ¿Y si aumenta al triple? ¿Y si aumenta cuatro veces? ¿Qué conclusión se obtiene de este hecho?
Este tipo de problemas permite vincular la geometría con la proporcionalidad directa.
La justificación del área del círculo puede hacerse gráficamente o mediante cálculos algebraicos derivados de la fórmula para calcular el área de polígonos regulares.
4.6. Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.
Como ocurre con el estudio de las otras figuras, no sólo se trata de calcular el área y el perímetro, sino también, conocidos el perímetro y el área, se debe calcular la longitud del radio o del diámetro, así como resolver problemas de cálculo de áreas sombreadas (corona circular);
también se debe analizar la relación entre la longitud del radio y el área del círculo, como punto de contraste con la relación entre la longitud del diámetro y la longitud de la circunferencia.
Actividad complementaria: “Relación entre la longitud de una circunferencia y el área del círculo”, en Geometría dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 68-70.
4.7. Explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.
Los alumnos ya saben resolver diversas situaciones de proporcionalidad, han analizado sus propiedades y saben expresar algebraicamente dichas relaciones. Ahora se trata de vincular los conjuntos de valores y la expresión algebraica con la representación gráfica, principalmente para analizar las características de ésta y ver las posibilidades que brinda para calcular valores. Es conveniente que antes de representar gráficamente una situación de proporcionalidad, se dedique tiempo para que los alumnos se familiaricen con la ubicación de puntos en el plano cartesiano.
Para entrar en el desarrollo de esta habilidad se sugiere dar a los alumnos una gráfica ya construida, que represente, por ejemplo, la relación entre litros de gasolina y costo en pesos. Algunas de las preguntas que se pueden plantear en relación con dicha gráfica son: Si el precio de un litro de gasolina aumentara o disminuyera, ¿de qué manera se reflejaría este hecho en la gráfica? Si se representa con la letra k el precio del litro de gasolina, ¿cuál es la expresión general que modela esta situación? ¿Cuál es la razón de que una recta que modela una situación de proporcionalidad siempre pasa por el origen?
Bloque 5 Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas aditivos que implican el uso de números con signo. 2. Expliquen las razones por las cuales dos situaciones de azar son equiprobables o no equiprobables. 3. Resuelvan problemas que implican una relación inversamente proporcional entre dos conjuntos de cantidades. 4. Resuelvan problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central. Examen correspondiente a los aprendizajes esperados
5.1. Utilizar procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.
Aunque es posible abordar el estudio de los números enteros a partir de situaciones en las que éstos se utilizan, la comprensión de este campo numérico necesita algo más que situaciones concretas. Se han propuesto modelos aritméticos, algebraicos y geométricos como vía de acceso a los enteros. En los aritméticos, los números negativos son el resultado de sustracciones en las que el sustraendo es mayor que el minuendo; en los algebraicos, los números negativos aparecen como soluciones de ecuaciones imposibles de resolver con los naturales; en los geométricos, los números negativos se abordan como magnitudes dirigidas en la recta numérica.
En el último de estos modelos, la suma se puede interpretar como un avance (a partir del primer sumando) de tantas unidades como indique el segundo sumando, a la derecha si es positivo, o a la izquierda si es negativo. Ejemplo:
Restar es siempre encontrar un sumando desconocido: a – b = x significa que b + x = a • Así, (+2) – (–3) significa que (–3) + x = +2. Por tanto, en la recta numérica la solución de la resta (+2) – (–3) = +5 se representa como un avance de 5 unidades a la derecha para llegar de –3 a +2
Esta manera de interpretar la sustracción de números con signo es importante porque los alumnos la pueden derivar de la sustracción de números positivos. Sin embargo, como procedimiento podría resultar ineficaz en casos como (+2) – (–3); por ello, se sugiere introducir la sustracción como la operación inversa de la adición, esto es, restar significa sumar el opuesto del sustraendo.
Así, la expresión (+2) – (–3) significa sumar el opuesto de –3 al número +2 : (+2) – (–3) = (+2) + (+3) = +5 La idea de operaciones inversas se aplicará más adelante como parte de las técnicas de resolución de ecuaciones.
5.2. Analizar los vínculos que existen entre varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situación, e identificar las que son de proporcionalidad
La posibilidad de representar una misma situación de diferentes maneras es una habilidad importante en todo el estudio de la matemática. Por ello, una vez que los alumnos han resuelto problemas mediante el uso de tablas, mediante la expresión algebraica y con la representación gráfica, hay que integrar estos tres aspectos, planteando problemas que permitan analizar las características que los hacen comunes para una misma situación.
Un ejemplo de estos problemas es el siguiente:
• Las coordenadas de uno de los puntos de la gráfica de una relación de proporcionalidad directa son (20, 50). ¿Cuál es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1? ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta gráfica?
a) En una librería hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. ¿De qué grosor es cada libro?.
5.3. Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas figuras planas y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras.
Puesto que éste es el último bloque de primer grado, se sugiere plantear problemas que impliquen el uso de diversos conceptos geométricos y de medida.
Para ello se pueden presentar problemas de cálculo del área en situaciones cotidianas, así como calcular el área sombreada de las siguientes figuras.
• ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente figura, si el punto M es el punto medio del lado del cuadrado?
• ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente figura, si el radio del círculo mide 1 metro?
Actividad complementaria: “Resolución de problemas de áreas de figuras conocidas”, en Geometría dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 100-101.
5.4. Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.
Este tipo de problemas es interesante porque los alumnos tienen la posibilidad de anticipar una respuesta y, enseguida, buscar algún procedimiento que les permita verificarla. Las razones para establecer si un juego es equitativo o no pueden ser muy variadas y conviene considerarlas y discutirlas, con el fin de que los alumnos se animen a expresar sus ideas. Poco a poco, con la intervención de los propios compañeros o del maestro, tendrán en cuenta las restricciones que impone el texto del problema. Un ejemplo de las situaciones que se pueden plantear es el siguiente:
• Carmen y Daniel juegan a lanzar dos dados. Las reglas son las siguientes: En cada lanzamiento se calcula la diferencia entre los puntos de ambos dados, si es 0, 1 o 2, Carmen gana una ficha. Si resulta 3, 4 o 5, Daniel gana una ficha. El juego se inicia con un total de 20 fichas, de las que se toma una cada vez que gana un jugador. El juego termina cuando no quedan más fichas. Si tuvieran que jugar, ¿qué jugador preferirían ser? ¿Por qué?
5.5. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.
Para ejercer con éxito esta habilidad conviene que los alumnos comparen el comportamiento de las variables que son directamente proporcionales con las que son inversamente proporcionales. Es importante que descubran que mientras en un caso los cocientes son constantes, en el otro los productos son constantes. Un ejemplo de una relación de proporcionalidad inversa es el siguiente:
• Una persona da 420 pasos de 0.75 m cada uno para recorrer cierta distancia. ¿Cuántos pasos de 0.70 m cada uno necesitaría para recorrer la misma distancia?
MEDICIONES DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN
5.6. Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.
En la escuela primaria los alumnos estudiaron las medidas de tendencia central tomando como base conjuntos de datos numéricos. En este grado se pretende profundizar en la comprensión del significado de estas medidas, y no limitarse a su cálculo, para lo cual se puede iniciar el trabajo interpretando gráficas ya elaboradas. Este tratamiento implica reconocer, en un contexto gráfico, las medidas de tendencia central, por ejemplo:
¿Cuál es el mes en que más llueve en ambos estados?
¿Cuál es el promedio de precipitación pluvial en cada estado?
¿En qué mes la precipitación pluvial fue igual en ambos estados?
¿Cuál de los dos estados es menos lluvioso?

References: resolución 
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