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Angèline Laroche
1 Les Obligations et le marché obligataire Auteur : Philippe GILLET
2 Les différentes formes d emprunt Emprunt indivis Emprunt obligataire Souscrit par une ou plusieurs banques Plusieurs souscripteurs Divisé en un nombre important de parts : les obligations Peuvent être cotés ou non
3 Les obligations Sont caractéristiques d une créance sur une entreprise, un Etat, une collectivité locale, une institution etc Elles sont appelées ainsi car leur émetteur a l obligation de les rembourser à l échéance et de payer les intérêts dûs. Ont une durée de vie connue (sauf dans certains cas très particuliers, comme la rente perpétuelle). Leur risque est moindre que celui des actions.
4 Mesure du risque pour différents types de titres. Rentabilités historiques sur le marché belge % 60% 50% 50% 40% 40% 30% 30% 20% 20% 10% 10% 0% 0% -10% -10% -20% -20% -30% % Belg. Equity Belg. Bonds Belg. Cash
5 La cotation des obligations Les obligations peuvent être cotées ou non sur des marchés organisés Obligations cotées: Grand nombre de souscripteurs Négociables Contraintes d information de l appel public à l épargne Non cotées : Leur émission est réservée à certains investisseurs Elles peuvent être négociables ou non cessibles Si elles sont négociables, cette négociation a lieu de gré à gré.
6 Les modalités d émission des obligations Syndication Un groupe de banques se réunit pour placer les obligations émises Syndicat de placement Commission de placement Syndicat de garantie Commission de garantie Adjudication Pour les gros investisseurs émettant au robinet EX: l Etat à travers de l Agence France Trésor
7 Les obligations Se caractérisent par leur extrême diversité En termes de durée de vie (de 5 à 50 ans) En termes de séquences de flux En termes d options possibles Restent assez liés à l environnement national Les OAT en France Les «Municipal bonds» aux USA Les «Private loans aux» aux Pays-Bas
8 La diversité des obligations Des caractéristiques multiples à taux fixe, variable ou révisable, convertibles ou non A durée de vie connue ou inconnue (TSDI) Des options nombreuses : d échange ou de souscription (OBSA, OBSO) de remboursement (ORA, ORO, obligations à fenêtre) Assimilables Avec ou sans prime d émission et/ou de remboursement.
9 Les données importantes d un emprunt obligataire (I) Nominal, C Nombre d obligations, N. Le capital initial est donc égal à K = N.C, sauf s il y a une prime de remboursement (K = N.R) La prime d émission Prix d émission E. Prime : Π E =C E >0 si C > E Prime : Π Ε =C E <0 si C < E Prix de souscription si la date de jouissance est différente de la date de règlement : Ps / Ps = E +/- v avec v =(i.c.nb)/365 La prime de remboursement Prix de remboursement R Prime : Π R = R C > 0 Taux d intérêt : i Durée de vie : n périodes
10 Les différents modes de remboursement d un emprunt obligataire Remboursement in fine Paiement des intérêts à la fin de chaque période Remboursement du capital en totalité à la dernière période. Zéro-coupon Aucun décaissement (ni intérêts ni capital) avant la dernière période. A la dernière période on rembourse le capital et les intérêts capitalisés. Remboursement par amortissement constant Remboursement le capital par fraction égale à la fin de chaque période. Paiement annuel des intérêts Annuités constantes A chaque période, on décaisse la même somme, constituée de remboursement et d intérêt Remboursement par séries égales Le capital est remboursé par fraction, mais pas à la fin de chaque période Par exemple, tous les deux ans. Ou tous les six mois.
11 Périod e Tableau d amortissement d un emprunt obligataire Capital restant dû en début de période obligation s encore vivantes Intérêt Obligati ons amortie s amortiss ement 1 D 0 = K =N.C N i. D 0 = µ 1 m 1 = µ 1.C a 1= i.n.c m 1 +inc 2 D 1 = D 0 -m 1 N- µ 1 I = i. (N- µ 1 )C p D p-1 = D p-2 - m 1 Ν Σµ p-1 I= D p-1.i µ p m p a p= m p +I p m 2 Annuité µ 2 a 2= m 2 +i. D 1 n-1 D n-2 =m n + m n- 1 µ n +µ n-1 i.c.(µ n +µ n- m n-1 +I n-1 1 ) µ n-1 a n-1 = D n-2 n D n-1 =m n µ n I n = i. D n-1 µ n m n a n = m n +i m n = m n.(1+i)
12 In fine Tous les amortissements sont nuls, sauf le dernier. Les intérêts sont payés annuellement. La totalité des obligations sont remboursées à la dernière période. L avantage est que l ensemble des obligataires sont remboursées simultanément. Les emprunts in fine constituent plus de 80% des emprunts obligataires émis si Ici : n = 7ans, i=5%, N=1.000, C=E=R = 500. période Capital restant dû Nombre d'oblig. Restant à amortir Intérêt Amortissement Nbre d'oblig. amorties Annuités
13 In fine avec prime d émission et de remboursement Les primes d émission n ont pas d impact sur les tableaux d amortissement. Les primes de remboursement doivent être intégrées au capital restant dû en début de période. L intérêt doit être calculé sur la base du nombre de titres restant à amortir * C* i. Ici : n = 7ans, i=5%, N=1.000, C=500 E=503 R = 550. période Capital restant dû Nombre d'oblig. Restant à amortir Intérêt Amortissement Nbre d'oblig. amorties Annuités
14 Zéro-coupon Toutes les annuités sont nulles, sauf la dernière Les intérêts annuels sont ajoutés au capital restant dû à la période suivante. La totalité des fonds (capital + intérêts capitalisés) est versée à la dernière période. On peut également penser que la totalité de la rémunération des préteurs est versée sous la forme de prime de remboursement. Ici : n = 7ans, i=5%, N=1.000, C = 500. période Capital restant dû Nombre d'oblig. Restant à amortir Intérêt Amortisseme nt Nbre d'oblig. Amorties Annuités
15 Amortissement constant Le même montant du capital est remboursé sur chaque période Ici : n = 7ans, i=5%, N=1.000, C = 500. Le nombre d obligations amorties est toujours un entier! La prime de remboursement est incluse dans le capital restant dû L intérêt est toujours calculé sur la base du nominal période Capital restant dû Nombre d'oblig. Restant à amortir Intérêt Amortissem ent Nbre d'oblig. Amorties Annuités
16 Séries égales Le même montant du capital est remboursé périodiquement, mais pas tous les ans. Ici : n = 6ans, i=5%, N=1.000, C = 500, amortissement tous les 2 ans. Le nombre d obligations amorties est toujours un entier! La prime de remboursement est incluse dans le capital restant dû L intérêt est toujours calculé sur la base du nominal période Capital restant dû Nombre d'oblig. Restant à amortir Intérêt Amortissement Nbre d'oblig. amorties Annuités
17 Annuités constantes La même somme devrai être versée chaque année Ici : n = 4 ans, i=6%, N=8.000, C = 500. L amortissement est déduit, année par année, de la différence entre Annuité et Intérêt. Le nombre d obligations amorties est toujours un entier : il y a donc arrondi. La prime de remboursement est incluse dans le capital restant dû L intérêt est toujours calculé sur la base du nominal On calcule un taux apparent tel que i =i.c/r période Capital restant dû Nombre d'oblig. Restant à amortir Intérêt Amortissement Nbre d'oblig. amorties Annuités
18 Annuités constantes Pour trouver l nnuité, on part de l équation traditionnelle : a = r K 1 (1 + r) n a 0,06 = (1 + 0,06) = ,97 En cas de prime de remboursement, on utlisera le taux apparent i =ic/r en lieux et place de i. L amortissement est déduit, année par année, de la différence entre Annuité et Intérêt. m = a I = , = ,97 Le nombre d obligations amorties est toujours un entier : il y a donc arrondi. µ , = = 1828,73194 soit 1829 titres On ajustera ainsi progressivement les amortissements année après année. Les annuités ne sont donc pas réellement constantes La prime de remboursement éventuelle est incluse dans le capital restant dû L intérêt est toujours calculé sur la base du nominal On calcule un taux apparent tel que i =i.c/r
19 Principales propriétés 1 ') (1 '. 1 + = n i i N µ )..(1 1 R C i p p + = + µ µ t t i i N C N E n n + + = ) (1 1. ) ( ) ' (1 + = p p i µ µ. ) (1 1. ) (1 1 i i C E t t n n + = +
20 Le Taux Actuariel Brut Le taux actuariel Brut (TAB) est le taux exact de rémunération de l emprunt : Il est tel que : n t= 1 a t (1 + TAB) t = N. E Le taux actuariel brut est égal au taux nominal lorsqu il n y a ni prime d émission ni prime de remboursement. Le rechercher revient à trouver la racine unique d une équation de degré n : il n y a pas d algorithme de recherche. On utilise des itérations successives et, éventuellement une interpolation linéaire.
21 Taux actuariel net Il tient compte de la fiscalité La fiscalité ne porte que sur la partie «intérêts» Il suppose que tous les obligataires sont soumis à la même fiscalité. Il est égal à : n t= 1 m t + I (1 + TAN) t (1 τ ) t = N. E
22 Taux de rendement Il ne concerne qu un seul obligataire ou une groupe d obligataires remboursés simultanément. Si tous les obligataires sont remboursés simultanément, le taux de rendement de chacun des actionnaires est égal au TAB Dans les autres cas, le TAB est la moyenne des taux de rendement de l ensemble des obligataires: n t= 1 a (1 + i, t r) t = N. E
23 Taux de revient Il concerne exclusivement le prêteur. Il tient compte des frais de placement et/ou de garantie qu il a dû débourser et qui diminue le montant emprunté. Il s git donc du taux r qui valide l équation : n t= 1 a i, t (1 + r') t = N. E f
24 Le risque des obligations Les obligations sont soumises à deux types de risque : Le risque de taux Le valeur des obligations à taux fixe diminue lorsque les taux montent. La valeur des obligations à taux fixe angmente lorsque les taux diminuent. Le risque de défaillance Le risque existe que l émetteur ne puisse payer les intérêts et/ou rembourser le capital à l échéance La valeur des obligations diminue lorsque le risque de défaillance de l émetteur augmente
25 Où est le risque sur la dette? Valeur de l obligation Intérêts Emprunts à Taux fixe Variable Stables Emprunts à Taux variable Stable Variables Le risque est sur la capital Le risque est sur le revenu
26 Le prix des obligations Le prix des obligations dépend donc de quatre facteurs : L évolution générale des taux d intérêt Le prix baisse si les taux montent et le prix monte si les taux baissent Les variations du risque de défaillance Le prix baisse si le risque de défaillance de l émetteur augmente et le prix augmente si le risque de défaillance de l émetteur baisse. Le prix baisse si l aversion au risque des investisseurs augmente et le prix augmente si l aversion au risque des investisseurs diminue. Le passage du temps Le prix augmente à l approche du détachement du coupon pour baisser par la suite. La préférence des investisseurs pour la liquidité
27 valeur d une obligation Le prix d une obligation, comme celui de tout titre financier, est égal à la somme actualisée des cash-flow qu il génère. Le taux d actualisation utilisé est le taux d intérêt qui serait exigé par les investisseurs pour acquérir une obligation d un risque équivalent sur le marché primaire au moment de l évaluation. Lorsque le taux d intérêt i est égal au taux d actualisation r, la valeur de l obligation est égale à son nominal n V = Σ CF t (1+r) -t +R (1+r) -n t=1
28 La courbe des taux d intérêt Taux Maturité Les taux d intérêt au 17/03/2000 Taux 3 mois Taux 10 ans Taux 30 ans 3,47% 5,35% 5,67%
29 valeur d une obligation Les cash flows sont constitués de l intérêt et du remboursement du capital On ne doit pas tenir compte des flux antérieurs à la date de l évaluation. C est le principe de novation. Pour avoir le prix d une seule obligation dans le cas d emprunts à remboursements différenciés (amortissements constants, annuités constants), il convient de diviser le prix de l emprunt par le nombre d obligations encore vivantes à la date d évaluation. On prend pour hypothèse que le taux d actualisation restera constant dans le temps. Sinon, on utilisera successivement plusieurs taux d actualisation. Ce modèle d évaluation reste simple. Il ne tient pas compte : Des données concernant le risque (variation du risque de l émetteur ou de l aversion au risque des investisseurs). De la préférence des investisseurs pour certaines portions de la courbe des taux. De la préférence des investisseurs pour la liquidité.
30 valeur d une obligation ( à partir de l usufruit et de la nue-propriété) La valeur d une obligation peut également être calculée à partir de son usufruit et de sa nue-propriété. La nue-propriété correspond à la valeur actuelle du remboursement de l obligation L usufruit correspond à la valeur actuelle de la somme des intérêts restant à recevoir. La valeur de l obligation est égale à la somme de l usufruit et de la nue-propriété. V = U+P L usufruit unitaire va être défini comme suit : u = U K. i La nue-propriété p = P/K Il existe une relation entre usufruit unitaire et la nue-propriété unitaire : ut+p =1 On peut finalement écrire : V = K.i.u+ K.pouV = K.i.u+ R.psiΠ R >0
31 valeur de u et de p pour quelques emprunts usuels In fine : p =(1+t) -n Amortissements constants p = P K = 1 1 (1 + t). n t n Annuités constantes p = i 1 (1 + i) n (1 + i). n (1 + t) t i n Rente perpétuelle p =0
32 Emprunts obligataires On détermine la valeur moyenne d une obligation à partir de : L usufruit moyen Um calculé à partir des obligations encore vivantes N v au moment de l évaluation ; La nue-propriété moyenne Pm calculée à partir des obligations encore vivantes Nv au moment de l évaluation ; On en vient à: V U V m = U m + Pm = = + N N v v P N v i i Vm = C. i. u + C. p = C + (1 ) p ou Vm = C. i. u + t t R. p en cas de prime de remboursement On rappelle que la nue-propriété est la somme actualisée des remboursements, qui incluent donc la prime de remboursement s il y en a une, d où l utilisation de la nuepropriété p=pm/r et de i =ic/r dans les emprunts à annuités constantes et primes de remboursement.
33 Cotation des obligations à taux fixe Les obligations sont cotées en pourcentage du nominal, afin de pouvoir comparer rapidement les prix d obligations de nominal différent. Obligation A : Nominal : 250 Cours : 205 En pourcentage du nominal : 82% Obligation B, nominal 200 Cours : 190 En pourcentage du nominal : 95% B est plus chère que A, même si P B < P A
34 Utilisation de u et p pour la détermination des taux de rendement Taux de rendement : E = Ciu + Rp Taux de revient : (E f) = Ciu+Rp
35 Cotations des obligations à taux fixe Les obligations à taux fixe sont cotées au pied du coupon. La part du coupon couru est calculée à part et versée au vendeur en fonction de la date de la transaction rapportée à la date de jouissance. Cc = i * n/365 avec : Cc coupon couru i intérêt nominal n = (Date de transaction Date de Jouissance n-1) Ainsi, des obligations n ayant pas la même date d échéance sont comparables. Les cours sont indépendants du coupon couru.
36 Prix (dirty price)d une obligation (coupon couru) en fonction du temps Prix de l obligation coupon inclus P 0 Montant du coupon payé Prix de l obligation au pied du coupon Date de jouissance Pt = P 0 + Cc Temps
37 Cotation des obligations à taux fixe Soit une obligation de nominal 500, i = 4% cotée le 17/11 : P : 92, Cc : 3,227% Le prix à payer est de : 500 * (0,92 + 0,03227) = 476,13 On peut aussi connaître la date de jouissance : n 365 0,03277 = ; n = 0, La date de jouissance est donc le 17/ jours, soit le 22 janvier.
38 Cotation des obligations à taux fixe Le nombre de jours de référence est celui de l année en cours (365 ou 366). Il peut être nécessaire de tenir compte de jours de valeurs Les obligations convertibles et les obligations à taux variables/révisables (prédéterminés) sont cotées en euros.
39 2.3. Le marché de la dette Deux composantes du taux d intérêt La rémunération du temps Renonciation à la consommation Varie avec la durée de la renonciation Taux sans risque La rémunération du risque Le risque de non remboursement dépend : De la qualité de la signature ; cf. la notation De l échéance du remboursement ; cf. la courbe des taux Prime de risque
40 Exemple Une obligation de remboursable in fine et coupon unique dans 5 ans 4 combinaisons pour un même taux actuariel I II III IV Prime d'émission Prime de remboursement Taux d'intérêt nominal 5% 4% 4,5% 4,2% Taux actuariel 5% 5% 5% 5%
41 Les agences de notation Les agences se diversifient aujourd hui : Fourniture d informations financières, d indices (S&P s), Notation éthique Notation de sociétés de portefeuille (Fitch) Les agences de notation sont des entreprises privées et indépendantes qui évaluent à la demande de l émetteur le risque lié au remboursement d un emprunt émis sur les marchés financiers. Dans certains cas, des notations peuvent être attribuées sans sollicitations des émetteurs Emprunts d Etat par exemple. Le recours aux agences de notation est souvent indispensable : Il est obligatoire dans certains cas (émission de Billets de Trésorerie) Il est de toute manière incontournable, les emprunts non notés ne trouvant pas preneurs Les principales agences de notation sont anglo-saxonnes : Standard and Poor s Moody s Fitch
42 Notations : grilles de long terme Standard & Poor's Moody's Fitch AAA Aaa AAA AA+ Aa1 AA AA Aa2 A AA- Aa3 Investment grades A+ A1 BBB A A2 BB A- A3 B BBB+ Baa1 BBB Baa2 CCC BBB- Baa3 CCC BB+ Ba1 CCC BB Ba2 DDD BB- Ba3 DD B+ B1 D B B2 Speculative grades B- B3 CCC+ Caa CCC Ca CCC- C CC C
43 La duration La duration d un emprunt obligataire est peut être définie comme la durée de vie moyenne des flux de l emprunt. Elle permet d immuniser les portefeuilles contre la variation des taux d intérêt. En cas de variation de taux, lorsque la duration est atteinte, la perte en capital a totalement compensé le gain en intérêt (ou le gain en capital a totalement compensé la perte en intérêts) L immunisation, si elle évite toute perte, ne permet aucun gain. La duration est le premier terme d un développement limité de Taylor. La duration permet une immunisation contre un déplacement parallèle de la courbe des taux, et non contre une déformation de la courbe. Pour se prémunir contre une déformation de la courbe, on utilise la convexité, qui est le second terme d un développement limité de Taylor
44 La duration La duration d un emprunt obligataire est égal à la somme actualisés de ces flux pondérés par le temps. La duration s exprime en périodes de temps (généralement en années). t n d = = 1 t. Ft t (1 + r) Ft t (1 + r) La duration d un portefeuille est égale à la somme pondérée des obligations qui le composent n D p = : X t. d t i = 1. avec : n t = 1 X t = 1
45 La sensibilité La sensibilité permet de mesurer l évolution du prix d une obligation pour une variation unitaire du taux d intérêt. On peut écrire : s = V / V r = V r 1. V La sensibilité augmente en fonction : De la maturité de l emprunt : plus la maturité est importante, plus la sensibilité est élevée Du taux nominal : plus le taux nominal est élevé, plus la sensibilité est grande. Du mode d amortissement : plus les remboursements sont éloignés dans le temps, plus la sensibilité est grande.
46 La sensibilité Les gestionnaires de portefeuille taux font donc des paris en sensibilité Plus ils anticipent une baisse des taux d intérêt, plus ils choisissent des obligation sensibles Plus ils anticipent une hausse des taux, moins ils choisissent des obligations sensibles La sensibilité est liée à la duration par l équation suivante : D = -(1+r).s
Les Obligations et le marché obligataire
Les Obligations et le marché obligataire Les obligations et le marché obligataire Partie 1. Les obligations 1.1 Définition différents types d obligations 1.2. Les tableaux d amortissement des emprunts
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Table des matières. I Mathématiques financières 1. Préface
Table des matières Préface v I Mathématiques financières 1 1 Calculs de dates et de durées 3 1.1 Nombre de jours séparant 2 dates............. 3 1.1.1 Base 30 / 360 : Méthode allemande........ 4 1.1.2
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