Source: http://rpmatematicasegundoprim.blogspot.com/
Timestamp: 2015-04-25 15:55:53+00:00

Document:
RP en matemática de segundo de primaria
Blog sobre resolución de problemas matemáticos para segundo de primaria y toda la escolaridad
IV Jornada Pedagógica de Educación Matemática: Desafíos del docente frente a los resultados de las evaluaciones nacionales e internacionales de matemática
Hacia el desarrollo de la competencia matemática.PDF
Artículos citados durante la presentación:
Barrantes, Hugo: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
El Trabajo de Allan Schoenfeld: http://revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem/article/download/6971/6657
Ma, Liping. Conocimiento y enseñanza de las matemáticas elementales. La comprensión de las matemáticas
fundamentales que tienen los profesores en
China y los EE.UU.: http://www.academia-ciencias.cl/wp/wp-content/uploads/2012/05/Conocimiento-y-ense%C3%B1anza-de-las-matem%C3%A1ticas.pdf
Marcos y pruebas de evaluación de PISA 2012. Matemáticas, Lectura y Ciencias: http://www.mecd.gob.es/dctm/inee/internacional/pisa2012/marcopisa2012.pdf?documentId=0901e72b8177328d Publicado por
Matemática Innovadora
Presentación realizada: La resolución de problemas y la mejora en el proceso enseñanza aprendizaje
Este es el link para acceder a la presentación:
La resolución de problemas y la mejora en el proceso enseñanza aprendizaje. PDF
Bibliografía:Estas son las referencias de los artículos empleados para elaborar la presentación:
Conejo, Laura; Ortega, Tomás. Clasificación de los problemas propuestos en aulas de Educación Secundaria Obligatoria: http://www.redalyc.org/pdf/405/40529854006.pdf
Corbalán Yuste, F., Deulofeu Piquet, J. Polya, un clásico en
resolución de problemas:http://revistasuma.es/IMG/pdf/22/103-107.pdf de Guzmán, Miguel. Aventuras Matemáticas. Una ventana hacia el caos y otros episodios. (Pirámide, Madrid, 1995): http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/05edumat/geometriahoy/aventurasmat/aventmat.htm
García Cruz, J. La
Didáctica de las Matemáticas: una visión general: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm
Gaulin, C. Tendencias Actuales de la Resolución de Problemas: http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.eus/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_19/7_Tendencias_Actuales.pdf Aquí se puede acceder a un par de videos de la web sobre el método de Polya para la resolución de Problemas:
http://youtu.be/2Y4NCmmOfIA
http://youtu.be/919CQtH2H2w
IV Jornada Pedagógica de Educación Matemática
INTERESANTE!!:
Deducción de los Caracteres de Divisibilidad para primaria
Muchos de nosotros, en nuestros tiempos de estudiantes de primaria, tuvimos que "aprender de memoria algunas reglas" para poder saber cuándo un número era divisible entre dos tres, cinco, seis....
Seguramente las aprendimos.... pero también dejamos de aprender que la matemática es la ciencia de los patrones, que es posible identificarla en situaciones concretas; que es posible deducirla... que la matemática no se memoriza.... la matemática se hace....
Esta es una breve actividad para que los estudiantes puedan deducir los caracteres de divisibilidad (tan necesarios y útiles para transitar entre los números... o desarrollar el sentido numérico)... y a la vez aprender a "Hacer Matemática"....
de un número empleando el Tablero del Cien
de la actividad: Identificar patrones multiplicativos en el sistema decimal (desde 3° grado).
Descripción: Cada estudiante (o grupo) trabaja con
su Tablero del Cien, en papel. Se necesita además un lápiz de color (claro) para
pintar las celdas sin tapar los número del tablero. Se identifica en un tablero
por separado los múltiplos de los primeros números primos (y compuestos) y a
partir de la visualización, los mismos estudiantes pueden deducir los “caracteres
de divisibilidad” (del 2, 3, 4, 5, 6…). Procedimiento: A manera de ejemplo, se presenta un
procedimiento para identificar a los múltiplos de 2. Estos números son,
precisamente, divisibles exactamente entre dos. Se pregunta a los estudiantes: ¿Es posible repartir por igual 1 chapita entre
2 personas, exactamente? En este caso, se analizan las respuestas, el
profesor repregunta, pide explicaciones; es decir, orienta, no da respuestas. Si
es necesario, se emplea material concreto (como chapitas) para que los propios estudiantes
experimente y se convenzan.
Una vez que los estudiantes arriben al
convencimiento de que NO es posible dividir al 1 entre 2 exactamente, se deja
sin pintar ese número.
Seguidamente, se pregunta: ¿Se puede dividir al 2 entre 2, exactamente?
Una vez que se arribe al convencimiento de que sí
es posible dividir 2 entre 2, se pinta el casillero correspondiente a ese
número en el Tablero del cien).
A continuación, se pregunta: ¿Se puede dividir al 3 entre 2, exactamente?
convencimiento de que NO es posible dividir 3 entre 2, se deja sin pintar ese
Se pide a los estudiantes que sigan trabajando y
se les formula preguntas para que identifiquen patrones numéricos o geométricos
Luego de algunos intentos, los estudiantes empezarán a visualizar cuáles números si serán divisibles y cuáles no gracias a su posición en el Tablero del Cien....el docente siempre les debe preguntar por qué creen que sí o no cumplen; que lo prueben con chapitas, etc.
Una vez que hayan pintado todos los números divisibles entre dos en el Tablero del Cien, se puede trabajar la identificación del patrón geométrico y los estudiantes, con preguntas orientadoras, podrán arribar a una conclusión más general como el Carácter de divisibilidad
Luego, en otra hoja del Tablero del Cien, se puede hacer lo mismo con
los múltiplos de tres. Los patrones geométricos que se dibujan permitirán que
los propios estudiantes arriben al carácter de divisibilidad. Si se desea imprimir un tablero del Cien (en Tamaño A4), haz click aquí: Tablero del Cien
EL ENFOQUE CENTRADO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
A continuación se adjunta la presentación del tema realizada en el Taller de Huampaní: (hacer click)
[Presentación empleada]
Para los participantes del Taller se propone...
Esta es la actividad sugerida (tareíta):
Tarea 1. Tome una hoja de tamaño A4. Dibuje en cada esquina un cuadrado del mismo tamaño, recórtelos y doblando los costados de lo que queda de la hoja construya una caja sin tapa:
Busque las medidas que debe tener esta caja en cm, de manera que la caja tenga el mayor volumen posible.
Tarea 2. Reflexione sobre el siguiente punto (escriba su reflexión): ¿El aprendizaje debe ir de lo simple a lo complejo, o, más bien, de lo complejo a lo complejo, pero desde lo particular a lo general? (ESCALERA VERSUS CÍRCULOS CONCÉNTRICOS). (Tome como referencias la Taxonomía de Bloom y la Demanda cognitiva (Stein)
Nota: ¿Es posible resolver la primera tarea empleando los diferentes niveles de algebrización? ¿Qué secuencia didáctica sería conveniente seguir para asegurar que los estudiantes comprendan?
EL ENFOQUE CENTRADO EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS Y LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
Gustavo Cruz Ampuero - 20 de Noviembre de 2014
la actualidad, las concepciones y creencias del profesor han cobrado
importancia en la interpretación de las decisiones pedagógicas que toma. Así,
respecto de la importancia de este tema, Flores[1] afirma: “Desde este paradigma
basado en el pensamiento del profesor, se considera, pues, que la conducta cognitiva
del profesor está guiada por el sistema personal de creencias y valores, que le
confieren sentido a dicha conducta. Por su carácter inconsciente e impreciso,
Clark y Peterson (1986), entre otros, dicen que hay que ayudar al docente a
describir explícitamente el marco de referencia constituido por sus
concepciones y creencias sobre la enseñanza y aprendizaje. Thompson (1992) y Ernest
(1989a) destacan la importancia que tienen además las creencias sobre las matemáticas para los profesores de
matemáticas, y junto con Cooney y Shealy (1994) y Ponte (1992), indican que la
formación de profesores debe tomar en consideración la explicitación y cambio
de concepciones de los estudiantes para profesor de matemáticas”.
particular, las concepciones acerca de la matemática que tiene el profesor
tienen un papel fundamental en las decisiones pedagógicas que toma: para
programar su curso, elegir y priorizar temas, tareas; para determinar la ruta
de su sesión de aprendizaje; y, para
determinar qué y cómo evaluará el área.
concepciones son un tipo de conocimiento no siempre evidente para cada
individuo (implícito) que recoge lo que el sujeto “cree” o “considera” que es
algo. Moreano[2],
citando a Remesal afirma: “la concepción de un individuo acerca de una porción
de la realidad, tanto física como social, es el sistema organizado de creencias
acerca de esa misma porción de la realidad, entendidas estas como las
aseveraciones y relaciones que el individuo toma como ciertas en cada momento
determinado de su vida, que se originan y desarrollan a través de las
experiencias e interacciones” Remesal (2006, p. 67).
(1978) citado por Vilanova, nos presenta dos concepciones acerca de la
“…una distinción entre
matemática instrumental y matemática relacional, en base al tipo de concepción
que cada una refleja. El conocimiento instrumental de la matemática, es
conocimiento de un conjunto de "planes preestablecidos" para
desarrollar tareas matemáticas. La característica de estos "planes" es
que prescriben procedimientos paso a paso a ser seguidos en el desarrollo de
una tarea dada, en los cuales cada paso determina el siguiente. El conocimiento
relacional de la matemática, en contraste, está caracterizado por la posesión
de estructuras conceptuales que permiten a quien las posee construir diferentes
planes para desarrollar una tarea asignada. En el aprendizaje relacional los
medios se independizan de los fines a partir del aprendizaje de principios
inclusores adecuados para usarse en una multitud de situaciones o tareas”[3].
Por su parte Godino[4], muestra
los siguientes tipos de concepciones acerca de la matemática por parte de los
profesores: Concepción idealista-platónica: “… considera que el alumno
debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemáticas de forma
axiomática. Se supone que una vez adquirida esta base, será fácil que el alumno
por sí solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten.
Según esta visión no se puede ser capaz de aplicar las matemáticas, salvo en casos
muy triviales, si no se cuenta con un buen fundamento matemático. La matemática
pura y la aplicada serían dos disciplinas distintas; y las estructuras
matemáticas abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y
Sociedad. Las aplicaciones de las matemáticas serían un "apéndice" en
el estudio de las matemáticas, de modo que no se producirían ningún perjuicio
si este apéndice no es tenido en cuenta por el estudiante.” (Pág. 20)
Concepción constructivista: “… consideran que debe
haber una estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones a lo largo
de todo el currículo. Piensan que es importante mostrar a los alumnos la
necesidad de cada parte de las matemáticas antes de que les sea presentada. Los
alumnos deberían ser capaces de ver cómo cada parte de las matemáticas
satisfacen una cierta necesidad”. (Pág. 20 -21)
las investigaciones acerca de las concepciones acerca de la matemática han
tomado mucha importancia y permiten entender las razones por la que los
profesores toman decisiones pedagógicas. Así, un profesor “instrumentalista”,
se preocupará por enseñar prescriptivamente a sus alumnos los procedimientos de
una manera amplia, rigurosa y detallada. Teniendo mucha atención en cuál
procedimiento es mejor para cada caso y en la aplicación, por parte de los
alumnos, tal y como se les enseñó. Esto por sobre la enseñanza de las nociones
matemáticas a la base, las situaciones reales en las que se presenta y los
límites de estas nociones.
ejemplo: un profesor que trabaja en álgebra los sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas con sus estudiantes -desde una concepción
Instrumental- partirá presentándoles a sus alumnos los sistemas más elementales
y se preocupará de enseñarles los distintos procedimientos de resolución para
los sistemas de ecuaciones y de que sus estudiantes ganen pericia en usarlos de
manera rápida, en sistemas de ecuaciones cada vez más operativamente complejos.
Preocupándose que siempre sean sistemas compatibles y determinados… pues lo que
le importa es que sus estudiantes “dominen los métodos de resolución de
sistemas” y que estos tengan “respuestas válidas” (de preferencia, siempre una
sola respuesta). Por su parte, un profesor con una concepción “platónica”
priorizaría los analítico y subvaloraría los métodos gráficos, por particulares
y poco rigurosos.
otro lado, un profesor “relacional”, priorizará el sentido del asunto: en qué
situaciones se da, qué significa, cómo se representa. Incluso los límites de la
noción: cuándo es válida, hasta dónde, cuándo no. Por
ejemplo, para el caso de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas –desde una concepción relacional- se trabajaría de una manera más
inductiva las propiedades y las ecuaciones y la manera de emplearlas para deducir
una forma de resolver los sistemas. Desde una concepción constructivista, un
docente, presentaría situaciones realistas en las que se puede emplear sistemas
de ecuaciones para representarlas; haciendo énfasis en el sentido, en lo que
representan. En las diversas representaciones: verbal, analítica, gráfica….
Propondría sistemas de distinto tipo: compatibles y determinados, peor también,
compatibles indeterminados e incompatibles. Vería, a partir de la situación lo
que significa cada uno de estos tipos y el significado de la soluciones (una,
infinitas, ninguna).
la concepción constructivista de la matemática, Godino[5] señala: “En esta visión, las
aplicaciones, tanto externas como internas, deberían preceder y seguir a la
creación de las matemáticas; éstas deben aparecer como una respuesta natural y
espontánea de la mente y el genio humano a los problemas que se presentan en el
entorno físico, biológico y social en que el hombre vive. Los estudiantes deben
ver, por sí mismos, que la axiomatización, la generalización y la abstracción
de las matemáticas son necesarias con el fin de comprender los problemas de la
naturaleza y la sociedad. A las personas partidarias de esta visión de las
matemáticas y su enseñanza les gustaría poder comenzar con algunos problemas de
la naturaleza y la sociedad y construir las estructuras fundamentales de las
matemáticas a partir de ellas. De este modo se presentaría a los alumnos la
estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones”.
¿qué significa saber matemática?, tomando a Bohórquez, encontramos que desde
una posición instrumentalista, Thompson señala que, “saber matemática es
equivalente a ser hábil en desarrollar procedimientos e identificar los
conceptos básicos de la disciplina”. Mientras que si el docente entiende a la
matemática como una construcción social y cultural, entonces, “saber
matemática” es “hacer matemática”.
se puede apreciar, las concepciones acerca de la matemática influyen
grandemente en la tarea del profesor, por lo que es importante tomarla en
cuenta en la formación inicial y en servicio. Asimismo, estudios más recientes
han encontrado que es posible modificar estas concepciones tanto durante la
formación inicial, como la formación en servicio. Sin embargo, la concepción
acerca de la matemática que posee el profesor está acompañada de concepciones
acerca del aprendizaje, lo que influye también en su labor docente, como por
ejemplo en la formulación de las metas de aprendizaje, la secuencia didáctica y
la metodología que emplea. Llegando hasta las actividades que desarrolla en las
clases, las ayudas didácticas (recursos y materiales) que emplea y los tiempos
que le da a cada actividad.
del aprendizaje, hay diferentes concepciones respecto a éste; desde el
asociacionismo (conductismo), pasando por el procesamiento de la información,
hasta el constructivismo. Cada una de estas posturas da como resultado
decisiones pedagógicas que toma el profesor al momento de planificar,
implementar o evaluar. Al respecto, Flores señala sobre el “… constructivismo psicológico
… considera que las competencias y concepciones son construidas por los
estudiantes. Aprender matemáticas es construirlas, hacer. Esta construcción es
planteada como respuesta a un conflicto cognitivo por los psicólogos
constructivistas sociales…” (Pág. 57).
a manera de resumen, encontramos que el docente se encuentra en una compleja
situación, pues debe lograr que sus alumnos aprendan matemática. Pero, entendiendo
el aprendizaje desde una concepción particular, por un lado. Y, por el otro,
entendiendo la matemática desde la propia concepción que él tiene de la misma. El enfoque
centrado en la resolución de Problemas
El mundo en que vivimos presenta como
característica esencial el cambio. Incluso algunos estudiosos afirman que, a
pesar de las diferencias específicas de cada sociedad, en la actualidad el
cambio es lo único que permanece como una constante. Asimismo, también podemos
identificar otras características relevantes de nuestro tiempo, como son el avance
de la ciencia y la creciente presencia de la tecnología en casi todos los
ámbitos de la vida cotidiana. Por esa razón, la escuela –entendida
como la institución encargada y especializada en la formación de personas--
debe prepararnos para enfrentar los innumerables retos que plantea un mundo en
constante cambio. Al respecto, los expertos coinciden en que las nuevas
generaciones deben ser capaces tanto de solucionar situaciones problemáticas
novedosas (problemas) como de seguir aprendiendo de manera permanente y
autónoma. Esto, desde una óptica más amplia, está inscrito en la meta de la
escuela de “educar integralmente” a las personas (lo que también puede ser
visto desde la perspectiva de “formar ciudadanos”)[6].
En ese sentido, consideramos que la
educación matemática es un derecho, en la medida en que aporta a la formación
de los ciudadanos y los prepara para desenvolverse adecuadamente en la
sociedad. Por ello, la educación matemática constituye parte fundamental de la
formación general básica que debe recibir todo estudiante de la Educación
Básica Regular (EBR). En este caso específico, el aporte a la formación se
focaliza en procurar que cada estudiante sea capaz de usar la matemática de
manera consciente y deliberada para cumplir las metas que se ha planteado. Por otro lado, el conocimiento
matemático se relaciona directamente con un conjunto de capacidades a ser
desarrolladas, como son la búsqueda y establecimiento de nuevas relaciones; la
proposición y verificación de conjeturas; la elaboración y revisión de
argumentos fundamentados y la formulación y resolución de situaciones
problemáticas. Asimismo,
creemos que también es necesario promover en los estudiantes determinadas
actitudes. Entre ellas se pueden destacar la curiosidad, la búsqueda de la
verdad, la persistencia, la creatividad, la minuciosidad, la valoración del
trabajo en equipo y la motivación por el logro, entre otras[7].
En la actualidad, la matemática es
entendida como una ciencia en permanente cambio y expansión y no una disciplina
rígida y acabada. Asimismo, desde una perspectiva histórica, podemos comprobar
que la ciencia matemática se ha desarrollado de manera paulatina, respondiendo,
en cada tiempo y sociedad, a los problemas concretos que se presentan.
Es decir, la matemática avanza
gracias a los intentos por dar respuesta –de manera colectiva o
individualmente- a problemas reales que se le presentan a cada colectivo o
cultura[8].
En ese sentido, afirmamos que el conocimiento matemático es un producto social,
y no solo un conjunto de conocimientos e ideas preexistentes, desconectados del
medio. A continuación, revisaremos algunos temas que consideramos
fundamentales, relacionados con la matemática y la educación matemática.
Hace algún tiempo, Paul Halmos se
preguntaba en qué consiste la matemática. “¿Consiste en aprender axiomas,
teoremas, definiciones, fórmulas, métodos?”. La matemática –afirmaba
Halmos— no podría existir sin esos ingredientes, que le son esenciales; sin
embargo, el matemático húngaro razonaba que es posible argüir que ninguno de
esos ingredientes está en el corazón del tema y que la principal razón para la
existencia de los matemáticos es resolver problemas. Con este raciocinio,
concluyó que la matemática realmente consiste en problemas y soluciones:
“Pienso que los problemas son el corazón de las matemáticas”. El tiempo se ha encargado de
confirmar la importancia y validez de esta propuesta, pues en la actualidad
existe cada vez más consenso en torno a llamar competente en matemática
a la persona que es capaz de resolver problemas. En efecto, hoy la resolución de
problemas es considerada como el proceso más importante de la educación
matemática. Como se sabe, este enfoque surgió en los años ochenta del siglo
pasado, a partir de la propuesta del National Council of Teacher of Mathematics
(NCTM)[9].
Qué entendemos por Problema:
Si bien la resolución de problemas ha sido considerada siempre una parte
importante de la educación matemática, es preciso definir lo que se entiende
actualmente por problema. Así, en la actualidad, se dice que un sujeto
(individual o colectivo) se encuentra frente a un problema cuando se le
presenta una situación inicial insatisfactoria o incompleta; cuando se tiene,
también, una situación satisfactoria o completa a la que se quiere llegar, y no
se conoce un procedimiento o camino para ir de la primera a la segunda
situación. Es decir, un problema es una situación ante la cual el sujeto no
tiene un camino conocido o automático para resolverlo. Qué entendemos por problema
la visión de la resolución de problemas[10] ha variado desde: 1) la tradicional enseñanza
“para” resolver problemas (que consiste en la enseñanza de una gran variedad de
problemas, dirigida a que los estudiantes resuelvan gran cantidad y variedad de
problemas a fin de que pudieran resolver los problemas planteados en los libros
y los exámenes); 2) pasando luego por los
importantes aportes de la enseñanza “sobre” la resolución de problemas (en la
que se incorpora el aprendizaje de las estrategias heurísticas); 3) hasta llegar a la enseñanza “a
través” de la resolución de problemas.
Visiones sobre la resolución de problemas
Enseñanza “para” resolver problemas
Enseñanza “sobre” la resolución de problemas
Enseñanza “a través” de la resolución de problemas
es enseñar una gran cantidad de problemas con el objetivo de que el
estudiante pueda aprender la forma en que se resuelve cada uno de los
problemas que aparecen en los libros y exámenes. La meta es enseñar acerca de los problemas, los pasos para resolverlos,
las estrategias heurísticas, formas de representar las situaciones
planteadas, etc.
es emplear a los problemas como la situación ideal para construir nuevas
nociones matemáticas. Al enfrentarse a problemas convenientemente
seleccionados por el docente, el estudiante se verá necesitado de descubrir y
emplear ciertas nociones matemáticas. Como vemos en la tabla
precedente, la función que cumple la resolución de problemas ha variado
considerablemente a partir de los avances que se han dado en la educación
matemática. En el caso de la primera visión
–enseñanza “para” resolver problemas-- nos encontramos ante una visión que más
que enseñar (en el sentido amplio y actual del término), busca “entrenar” a los
estudiantes para que “se aprendan” las “formas de resolución” de los “problemas
tipo”. Obteniéndose como producto, en el mejor de los casos, que el estudiante
“solo puede hacer lo que se le ha enseñado” (aplicar recetas) y no enfrentarse
a verdaderos problemas[11].
En el caso de la segunda visión
--enseñar “sobre” los problemas—subrayamos su principal aporte: la importancia
concedida a que el estudiante vaya desarrollando estrategias de resolución,
amplíe su concepción de matemática y desarrolle sus capacidades matemáticas. En el caso de la tercera visión
–enseñar “a través” de los problemas, también conocida como el ABP, Aprendizaje
Basado en Problemas-- la resolución de problemas se convierte en el contexto
ideal para la presentación, justificación, construcción y robustecimiento de
las nociones matemáticas, dejando de lado ese limitado rol de “problema de
aplicación” del contenido previamente enseñado. No obstante, se debe precisar que
según lo que se quiere lograr en particular –es decir, según cuál sea la meta
de aprendizaje- alguna de estas visiones podría ser más adecuada que otra. Cómo se
resuelve un problema En
relación a este punto, el matemático húngaro George Polya, autor del
fundamental libro Cómo plantear y resolver problemas –y reconocido como
el padre de la heurística moderna— introdujo las estrategias de resolución de
problemas (estrategias heurísticas) y una propuesta general para resolver los
problemas. Así, Polya propuso 4 pasos: Los cuatro pasos de Polya para la de
planteamiento es complementado con las propuestas de Alan Schoenfeld, quien
adiciona a las heurísticas más elementos, llamados por él aspectos, para la
resolución de problemas. Entonces, tenemos: ü Recursos
(conocimientos matemáticos) ü Heurísticas
(estrategias para la resolución de problemas) ü Control (mecanismo
metacognitivo que direcciona el proceso de resolución de problemas) ü Sistema de creencias
acerca de la matemática (es el “marco” que limita las posibilidades de lo que
puede ser válido para una persona en la resolución de un problema de
matemática. Lo que se puede hacer, o no) El quehacer matemático ü Este es el nombre que
recibe la actividad que despliegan los profesionales en la matemática –los
matemáticos-- cuando se encuentran desarrollando su ciencia; es decir, cuando
están dedicados a la labor de producir nuevo conocimiento matemático. En ese sentido,
el quehacer matemático es uno de los aportes fundamentales que la matemática
como ciencia puede hacer a la formación básica de cualquier ciudadano, siempre
y cuando consideremos que el quehacer matemático promueve el desarrollo de
actitudes y capacidades intelectuales fundamentales o relevantes. ü ¿Cómo debería ser,
entonces, el proceso de aprender matemática? Mejor, dejemos esta explicación a
Miguel de Guzmán: “¿Cómo debería tener lugar el proceso de aprendizaje
matemático a cualquier nivel? De una forma semejante a la que el hombre ha
seguido en su creación de las ideas matemáticas, de modo parecido al que el
matemático activo utiliza al enfrentarse con el problema de matematización de
la parcela de la realidad de la que se ocupa. Se trata, en primer lugar, de ponernos en contacto con la
realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemáticos que
queremos explorar con nuestros alumnos. … Puestos con nuestros estudiantes delante de las
situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestación de las ideas con las
que queremos ocuparnos, deberemos tratar de estimular su búsqueda autónoma, su
propio descubrimiento paulatino de estructuras matemáticas sencillas, de problemas
interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo natural.”[12]
Comparación entre la Matemática
Instrumental y la Matemática Relacional Como hemos vista al principio de este documento, las concepciones acerca
de la matemática son realmente determinantes para las decisiones pedagógicas
que toma el profesor. Sin embargo, es preciso precisar que si bien estas
concepciones pueden ser modificadas, su cambio no es algo muy sencillo, entre
otros por las ventajas que presenta. En ese sentido, presentamos un cuadro
comparativo elaborado a partir de la propuesta del propio Skemp, citado por
Godino[13]:
Ventajas de la matemática instrumental
Ventajas de la matemática relacional
1. Es usualmente más fácil de “aprender”; por ejemplo, es
difícil entender relacionalmente la multiplicación de dos números negativos,
o la división de fracciones, mientras que reglas como “Menos por menos, más”
y “para dividir por una fracción, multiplicas en cruz” se recuerdan con
facilidad. 1. Es más adaptable a nuevas tareas. Al saber no sólo qué método
funciona sino también por qué, el niño puede adaptar los métodos a los nuevos
problemas, mientras que si sólo tiene comprensión instrumental necesita aprender
un método diferente para cada nueva clase de problemas. 2. Debido a que se requieren menos conocimientos, permite
proporcionar la respuesta correcta de manera más rápida y fiable que la que
se consigue mediante un pensamiento relacional. 2. Las matemáticas relacionales son más fáciles de recordar,
aunque son más difíciles de aprender. Ciertamente es más fácil que los
alumnos aprendan que “el área de un triángulo = (1/2) base x altura”, que
aprender por qué eso es así. Ahora bien, tienen que aprender reglas separadas
para los triángulos, rectángulos, paralelogramos, trapecios; mientras que la
comprensión relacional consiste en parte en ver todas estas fórmulas con
relación al área del rectángulo. Si se sabe cómo están interrelacionadas se pueden
recordar mejor que como partes desconectadas. Hay más cosas que aprender –las
conexiones y las reglas separadas- pero el resultado, una vez aprendido, es
más duradero. Como se puede apreciar en el
cuadro anterior, la visión de la matemática relacional contrasta con la visión
instrumental —que es la más extendida entre los docentes—según la cual el
manejo de información, definiciones y procedimientos son el objetivo central de
la formación matemática. En contraposición, podría decirse que
la concepción relacional es naturalmente compatible con el enfoque centrado en
la resolución de problemas. Así, desde esta concepción queda claro que el mero
conocimiento de la información sobre un tópico matemático no asegura la
resolución de los problemas de dicho tópico, sino que es necesario el trabajo
de un conjunto de aspectos que llevarán al estudiante a ser competentes
matemáticamente. Esto quiere decir que hay que ser capaz de “poner en uso”
dichos conocimientos en situaciones problemáticas. Asimismo, podemos afirmar
que los aprendizajes de un sujeto no están circunscritos a lo que le “enseñaron
en la clase”, pues estos aprendizajes pueden ser adaptados a diversas
situaciones y contextos, según las necesidades de cada persona. Es decir, se
logran aprendizajes funcionales y transferibles.
Sobre la didáctica de la matemática La didáctica de la matemática es un
concepto complejo que se ha estudiado y redefinido varias veces. Así, Isabel
Vargas la define de la siguiente manera: “Ciencia
del desarrollo de planificaciones realizadas en la enseñanza de las
matemáticas. Los objetos que intervienen son: estudiantes, contenidos
matemáticos y agentes educativos. Sus fuentes de investigación son los alumnos,
situaciones de enseñanza-aprendizaje, puesta en juego de una situación
didáctica y los fenómenos didácticos. Tiene
como objetivo observar la producción de los alumnos y analizarla desde tres
puntos de vista: estructura matemática, estructura curricular y estructura
cognitiva y operacional.”[14] Por su parte, Vergnaud, citado por
D’Amore, dice lo siguiente, en relación a la didáctica: ”Se
necesita descartar todo esquema reduccionista: la didáctica no es reducible ni
al conocimiento de una disciplina ni a la psicología, ni a la pedagogía, ni a
la historia, ni a la epistemología. Supone todo eso, pero no se le puede
reducir; tiene su identidad, sus problemas, sus métodos. Este es ahora un punto
aceptado por los investigadores que se hallan empeñados en este camino”[15] Asimismo, Fandiño Pinilla, también
citado por D’Amore, presenta la siguiente reflexión: “La
investigación en didáctica tiene por lo tanto objetivos requeridos con base en
necesidades, con base en exigencias concretas que se pueden expresar por
ejemplo a través de las siguientes preguntas: ¿Qué se debe hacer y saber para
hacer más eficaz la enseñanza? ¿Cómo aprenden los estudiantes? ¿Cuáles son los
instrumentos metodológicos para adaptar la enseñanza a las capacidades
individuales? ¿Cómo valorar la eficacia de la elección metodológica? ¿Cómo y
con cuáles instrumentos evaluar?”[16]
En la actualidad, los estudios de didáctica también
coinciden al plantear la necesidad de entender a la matemática desde una
concepción relacional; asimismo, reconocen la fundamental importancia de la
resolución de problemas y plantean el quehacer matemático como un elemento
clave para la formación de los estudiantes (Schoenfeld[17],
Santos Trigo[18]). En conjunto, se busca
desarrollar en los estudiantes actitudes, habilidades y nociones matemáticas
que les permitan resolver situaciones problemáticas en diversos contextos, más
allá del ambiente escolar, mediante un trabajo que apunte a que el estudiante
construya aprendizajes funcionales que se constituyan en herramientas para un
adecuado desempeño en su medio (y no solo en los exámenes de matemática durante
su formación escolar). Sobre la demanda cognitiva La demanda
cognitiva puede ser descrita como la caracterización que se hace de las tareas
que se proponen al estudiante, según la complejidad de los procesos cognitivos
involucrados en la resolución de dicha tarea. También podría decirse que la
demanda cognitiva clasifica las tareas asignadas al estudiante según el “tipo
de pensamiento” que le exige la resolución de dicha tarea. Para poder
clasificar a los diferentes tipos de demanda cognitiva, se puede considerar
también la posibilidad de transferir lo aprendido; es decir, la posibilidad de
adaptación del nuevo aprendizaje a diversas situaciones o contextos. Respecto de las
categorías, algunos estudios identifican procesos de baja, media y alta demanda
cognitiva (TIMSS). Otros, aunque las mencionan con otro nombre (Tipos de
Competencia), identifican tareas de diferentes tipos: Reproducción, Conexiones
y Reflexión (PISA). A continuación se presenta la clasificación presentada por
Stein (2000), que presenta dos niveles[19]: - Las tareas de baja demanda
cognitiva están
constituidas tanto por la memorización/evocación de datos, símbolos,
terminología, como por la ejecución de los llamados procedimientos sin
conexiones. Por lo común, son las tareas rutinarias que se aprenden por
repetición. Por ejemplo, el aprendizaje —mediante la “ejercitación”— del
algoritmo para calcular por escrito la suma de varios números presentados uno
bajo el otro (sin contexto) u otros procedimientos, generalmente de cálculo[20].
En todo este conjunto de tareas, la característica común es que para su
ejecución no es necesaria la comprensión de las nociones matemáticas
involucradas, ni las razones, contextos o límites de su uso. Solo es necesario
“aprender el procedimiento” para ejecutarlas. - Las tareas de alta demanda
cognitiva son
aquellas que implican, por parte del estudiante, la comprensión de las
situaciones propuestas, relacionarlas con aprendizajes anteriores,
representarlas de alguna otra manera, adaptar lo aprendido, evaluar la
pertinencia de aplicar algún procedimiento, elaborar un nuevo producto (o forma
de hacer algo), etc. Dentro de este tipo de tareas se incluyen: los
procedimientos con conexiones (con contexto), la resolución de problemas no
rutinarios, el establecimiento y verificación de conjeturas, la generalización,
la construcción de definiciones o propiedades y el “hacer matemática” (usar la
matemática en situaciones, según los propios fines del estudiante). Se presenta, a continuación, un cuadro con algunos ejemplos de cada uno
de estos dos tipos de tareas:
Tareas de baja demanda cognitiva
Tareas de alta demanda cognitiva
Memorización: · de datos: π = 3,14 · de fórmulas: Área ð = base x altura · de definiciones: número impar es aquel que no es
divisible entre dos. Procedimientos sin
conexiones: · Calcula:
245 + 78 + 2 983 · Halla
el promedio de los siguientes números: 11; 12; 31; 46; Procedimiento con
conexiones: · Telefónica ha lanzado un celular post pago a S/. 25,00
mensuales. Tú deseas saber el costo en nuevos soles. ¿Cómo realizarías esta
tarea? Resolución de problemas no
rutinarios: · Tengo 3 monedas. ¿Cuánto dinero tengo? · Completa: 1; 1; 2; 3; 5; 8; … · Construye un cuadrilátero que tenga tres de sus lados
iguales y el cuarto lado diferente. La importancia de la demanda cognitiva en las tareas que
se presentan en la clase de Matemática estriba en que ésta puede hacer la
diferencia entre que los estudiantes accedan a una comprensión superficial o la
comprensión profunda de las nociones matemáticas. Es decir, las tareas de baja
demanda cognitiva por lo general están enfocadas a que el estudiante “aprenda”
el “cómo se hace” y no el para qué, por qué o en qué condiciones se puede
hacer, etc. Esto daría como resultado que los estudiantes accedieran a una
comprensión superficial de los conceptos matemáticos; es decir, que manejen
procedimientos sin entender de qué se trata y que, finalmente, los confundan u olviden.
otro lado, las tareas de alta demanda cognitiva aportan a la comprensión
profunda, pues están dirigidas a que los estudiantes construyan la noción
matemática que subyace, soporta y justifica una actividad, por ejemplo, de
cálculo. Las tareas de alta demanda cognitiva están dirigidas a que el
estudiante aprenda el por qué, para qué y cuándo usar un aprendizaje.
La resolución de problemas como
estrategia metodológica Un elemento que consideramos
imprescindible en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, es la
resolución de problemas. Esta actividad, realizada adecuadamente en las
sesiones de aprendizaje, propicia la construcción de aprendizajes
significativos, pues al resolver problemas, los estudiantes encuentran “el
lugar de cada noción matemática”, tanto en el medio que los rodea como entre
las nociones matemáticas que maneja. Además, encuentra un más profundo
significado de las nociones matemáticas involucradas, ya que es posible
identificar la relación entre los aprendizajes, su sentido en la realidad y,
por tanto, encontrar la finalidad de su aprendizaje. Por tanto, la actividad que realiza
un estudiante es comparable al quehacer de los propios matemáticos cuando
llevan a cabo sus investigaciones, ya que: ü Investiga y trata de
resolver problemas, predice su solución (formula conjeturas) ü Trata de probar que su
solución es correcta ü Construye modelos
matemáticos ü Usa el lenguaje y
conceptos matemáticos, incluso podría crear sus propias teorías ü Intercambia sus ideas
con otros y reconoce cuáles de estas ideas son correctas —conforme a la cultura
matemática—, y entre todas ellas elige las que le sean útiles. Referencias
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grupo de futuros profesores de matemática sobre su gestión del proceso de
enseñanza-aprendizaje en un ambiente de aprendizaje fundamentado en la
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[2] Moreano, G. et. al. Concepciones sobre la enseñanza de
Matemática en un grupo de docentes de primaria de escuelas estatales de Lima.
[3] Vilanova, S. et al. Concepciones y creencias sobre la
[4] Godino, J., et. al Fundamentos de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas para Maestros
[5] Ídem, Pág. 21
[6] También puede entenderse como la respuesta a la
aspiración a formar personas capaces de desenvolverse adecuadamente en la
sociedad y aportar al desarrollo de la misma teniendo como telón de fondo el
desarrollo sostenible y la democracia.
[7] El conocimiento matemático no es concebido como la
repetición de relaciones establecidas previamente por otros matemáticos, de la
aplicación descontextualizada de algoritmos o de la repetición de
demostraciones elaboradas por otros.
[8] Los ejemplos históricos son numerosos. Solo como
ilustración mencionamos que nuestros antepasados que vivieron en la época de
esplendor de la Cultura Nazca (Siglos I-IV d.C.), tuvieron que “hacer
matemática” para poder dar forma a las notables y conocidas Líneas de Nazca.
Estas líneas, trazadas con sorprendente maestría, nos evidencian que los
miembros de esta comunidad manejaron --entre otras-- nociones de medición,
geometría y proporcionalidad, además de técnicas para plasmar dichas nociones
en proporciones gigantescas. Así, se tiene que una de las líneas rectas que
compone la figura del Pájaro Gigante, que tiene una longitud aproximada de 300
metros, ostenta una desviación de solo 10 centímetros, lo que es un logro
tecnológico sorprendente.
[9] Organismo impulsor del llamado Enfoque centrado en la
[10] GARCÍA CRUZ, Juan Antonio. La Didáctica de las
Matemáticas: una visión general. Disponible en Internet en http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm [11] Que no se vaya a entender que se descarta totalmente
el valor de esta visión. Es decir, puede ser necesaria para el momento de
prepararse para una prueba de selección. Por ejemplo, para prepararse para un
examen de selección universitaria específico. Pero esta “preparación” tiene
sentido –y tendrá resultados- luego de haber pasado por otras fases previas y
[12] DE GUZMÁN, Miguel. Tendencias innovadoras en educación
matemática OEI para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Consultado: 12 de
marzo 2010. http://www.oei.es/edumat.htm [13] GODINO J. et al. Fundamentos de la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas para maestros, Pág. 59. Disponible en Internet
en: http://matesup.utalca.cl/modelos/articulos/fundamentos.pdf [14] VARGAS CALVERT, Isabel M. DIDÁCTICA I DE LA
MATEMÁTICA. http://mat.uv.cl/profesores/apuntes/archivos_publicos/7543144551_art_Didcactica%20de%20la%20matematica.doc [15] DÀMORE, Bruno. Didáctica de la matemática. Bogotá,
Cooperativa Editorial magisterio, Universidad de Bologna, 2006.Pág. 48. [16] Ídem, Págs. 47 y 48
[17] SCHOENFELD, Alan.
Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press, 1985 [18] SANTOS TRIGO, Luz Manuel. Principios y métodos de la
resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Grupo editorial
Iberoamericano, México, 1996. [19] Adaptado de: http://blog.pucp.edu.pe/item/15934 y de: http://www.grade.org.pe/download/pubs/ddt/ddt43.pdf [20] 30 Por tratarse de una propuesta para el nivel
primario, solo se presentan ejemplos sobre contenidos asociados a la primaria.
No se vaya a entender que el contenido, o la “complejidad” del mismo, determina
la pertenencia de una actividad a esta categoría. Presentamos, a continuación
algunos ejemplos para los niveles secundario y superior. Algunas tareas de baja
demanda cognitiva: aprenderse los “casos” de factorización, el procedimiento
para una división de polinomios, el procedimiento para levantar la indeterminación
de un límite finito, mediante la factorización y la cancelación del factor
presente en el numerador y denominador, etc.
IV Jornada Pedagógica de Educación Matemática: Des...

References: resolución 
 RESOLUCIÓN 
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