Source: https://sia.unizar.es/doa/consultaPublica/look%5Bconpub%5DMostrarPubGuiaDocAs?entradaPublica=true&idiomaPais=es.ES&_codAsignatura=27402
Timestamp: 2020-04-07 00:39:00+00:00

Document:
27402 - Matemáticas I
2. Capacitación para la utilización de las matemáticas en los problemas que se le planteen en su futura profesión.
En la asignatura Matemáticas I se inicia al estudiante en el rigor, la precisión, la capacidad de abstracción y el método científico que caracterizan a la mayor parte de las asignaturas del grado. En cuanto al segundo objetivo, capacitación del estudiante para la resolución de problemas concretos, en esta asignatura se prepara al estudiante para la modelización y resolución de problemas sencillos utilizando técnicas el álgebra lineal y de cálculo diferencial e integral.
En concreto, la asignatura Matemáticas I tiene como objetivo ampliar los conocimientos matemáticos relativos al cálculo matricial y funciones de una variable e introducir el estudio de funciones de varias variables, preparando así al estudiante para asimilar en Matemáticas II las herramientas matemáticas más utilizadas en el análisis económico, fundamentalmente en el campo de la Teoría Económica y de la Econometría. Esta primera asignatura ayuda al estudiante a despegar de sus conocimientos fundamentalmente calculísticos, propios de las matemáticas en enseñanzas medias, hacia el rigor y la abstracción propios del campo científico de la Matemática, lo que le permitirá enfrentarse a otras asignaturas del grado que utilicen aparato matemático y a futuros retos dentro de su profesión. Al finalizar la asignatura el estudiante conocerá con cierta precisión el lenguaje matemático, que le permitirá entender conceptos económicos e interpretar resultados con cierto rigor, y conocerá un conjunto de instrumentos y métodos de cálculo que le permitirán la resolución de problemas económicos sencillos.
Matemáticas I es una asignatura de formación básica de 6 créditos ECTS que se imparte en el primer cuatrimestre del primer curso. Tiene su continuación en Matemáticas II impartida en el segundo cuatrimestre del mismo curso.
La docencia de esta materia está adscrita al departamento de Análisis Económico de la Universidad de Zaragoza que tiene además responsabilidad docente en otras materias estrechamente relacionadas con la Matemática, como son: Microeconomía, Macroeconomía y Econometría.
El objetivo general de estas materias es estudiar los problemas económicos desde un punto de vista formal, es decir, modelar la realidad económica para poder entenderla y dar una explicación científica de lo que ha ocurrido así como intentar predecir lo que va a ocurrir. En este marco, para poder alcanzar este objetivo, las matemáticas proporcionan.
Un lenguaje sin ambigüedad que permita definir conceptos económicos y resultados económicos con el rigor necesario.
Un conjunto de instrumentos y métodos de cálculo que faciliten la resolución de problemas económicos.
Un método de razonamiento que permita estructurar los enunciados y sus interrelaciones, precisando los supuestos iniciales y dando validez a las conclusiones obtenidas a partir de éstos por deducción.
Las asignaturas de matemáticas son, para los futuros graduados en economía, un instrumento metodológico de trabajo que debe servir de apoyo a otras asignaturas que forman el núcleo distintivo de su formación, como microeconomía, macroeconomía, econometría, etc. Se pondrá un empeño especial en acercar las matemáticas a los problemas de índole económico, lo que sin duda ayudará a una mejor comprensión de las matemáticas y, en consecuencia, a una mayor capacidad para su aplicación. Asimismo, se proporcionarán los fundamentos matemáticos necesarios para que el resto de materias puedan desarrollarse con éxito.
En este primer curso se abordarán los elementos constitutivos de un modelo: variables, constantes, parámetros, ecuaciones, identidades, dominios, tipos de funciones; sistemas de ecuaciones lineales y su resolución mediante técnicas de álgebra lineal. En la segunda parte de la asignatura se introduce el análisis estático-comparativo con el estudio del cálculo tanto en una variable como en varias, que se aplicará más adelante (en Matemáticas II y Microeconomía) en la resolución de problemas de optimización.
Es aconsejable que al inicio de esta asignatura los estudiantes tengan destreza en el manejo de operaciones aritméticas, de matrices y de funciones reales de una variable real, a nivel de los conocimientos adquiridos en la asignatura de Bachillerato Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Más concretamente, facilitará notablemente la comprensión de esta asignatura que los estudiantes hayan adquirido habilidad en:
Cálculo de raíces de polinomios con coeficientes reales.
La resolución de sistemas de ecuaciones no lineales de dos variables.
Operaciones elementales de matrices aplicadas al cálculo de rangos y a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Operaciones con funciones; en este sentido sería aconsejable además que el estudiante pudiera establecer con claridad la diferencia entre composición y producto de funciones y que para una función real de una variable real distinguiera entre afirmaciones del tipo “estar definida” y “ser continua” ...
La derivación de un amplio abanico de funciones y la representación gráfica de las mismas.
Cálculo de algunas primitivas elementales.
Con esta asignatura se pretende que el estudiante:
1. Desarrolle las siguientes competencias específicas:
E5. Identificar situaciones de optimización de recursos y costes
E16. Derivar de los datos información económica relevante
E17. Utilizar el razonamiento deductivo en conjunción con modelos para explicar los fenómenos económicos
E18. Representar formalmente los procesos de decisión económica
2. Desarrolle las siguientes competencias genéricas:
G6. Dominio de las herramientas informáticas y el lenguaje matemático
Más concretamente, cuando el estudiante supere la asignatura estará capacitado para:
Leer manuales de ésta y otras materias, ya que habrá tenido oportunidad de familiarizarse con la terminología básica de la asignatura, es decir, habrá adquirido el lenguaje apropiado para las matemáticas empresariales y el resto de disciplinas de corte analítico. Conocerá los conceptos, operaciones, teoremas y proposiciones básicas, y habrá desarrollado destreza en su uso. Tendrá hábitos de razonamiento deductivo. Habrá comenzado a desarrollar las capacidades de abstracción, generalización, análisis y síntesis.
Enfrentarse por sí solo a nuevas situaciones que le surgirán en su actividad profesional, ya que al haber trabajado en la asignatura en "la resolución de problemas concretos", habrá adquirido confianza en la aplicación de sus conocimientos matemáticos. Será capaz de buscar modelos matemáticos apropiados a los problemas derivados de la economía. Una vez planteado un cierto problema económico, el estudiante será capaz de formularlo en términos matemáticos, si su resolución así lo requiere, y resolverlo con los conocimientos matemáticos adquiridos. Finalmente, interpretará y analizará las soluciones obtenidas en términos del área de donde partiera el planteamiento.
Asimilar nuevas herramientas o ideas matemáticas que no hayan sido explicadas en los estudios de grado de manera explícita.
Aplicar, cuando lo necesite, procedimientos de cálculo en los que se utilice el ordenador para resolver problemas que requieran una gran complejidad de cálculo.
Trabajar en equipo, ya que habrá aprendido a cooperar con sus compañeros, compartir sus experiencias y llegar a conclusiones conjuntas.
Presentar y exponer trabajos, ya que habrá mejorado sus habilidades de comunicación. En la actualidad estas capacidades tienen cada vez más importancia en la vida profesional. Las habilidades de comunicación se extienden a la expresión escrita y a la expresión oral. No sólo es importante el contenido sino también la forma de presentación, con lo cual la formación también debería abarcar el aprendizaje de técnicas de presentación y exposición en público.
Seguir formándose mediante el autoaprendizaje (consultando libros, revistas especializadas, web,...), algo que será fundamental en el desarrollo de su vida laboral.
3. Utiliza la notación y el cálculo matricial para representar y resolver un problema de carácter económico en el que las relaciones entre las variables son lineales.
4. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales compatible utilizando el método más adecuado e interpreta sus soluciones en el contexto del que provenga si es el caso.
5. Identifica una matriz cuadrada diagonalizable.
6. Diagonaliza una matriz cuadrada cuando esto sea posible.
7. Aplica la diagonalización de matrices cuadradas en el contexto económico, por ejemplo en el estudio de un proceso dinámico a largo plazo.
8. Identifica una forma cuadrática y es capaz de determinar su signo con el procedimiento más adecuado.
9. Diferencia en un fenómeno económico las variables endógenas y exógenas y es capaz de representar mediante funciones las relaciones entre ellas.
10. Comprende el significado de los conceptos matemáticos de continuidad y diferenciabilidad en el contexto económico.
11. Tiene destreza en el cálculo de derivadas parciales y en su interpretación en el ámbito económico.
12. Reconoce la dependencia en cadena de diferentes variables y es capaz de calcular la variación de las variables finales respecto a cualquiera de las iniciales.
13. Reconoce si una función está dada en forma explícita o implícita y es capaz de obtener las derivadas parciales en cualquier caso.
14. Reconoce cuando una función es homogénea y las implicaciones de esta propiedad, en particular en el contexto de las funciones de producción.
15. Reconoce la herramienta matemática que permite determinar una magnitud total a partir de la correspondiente parcial.
16. Comprende los conceptos de primitiva de una función e integral indefinida.
17. Identifica y aplica el método más adecuado para calcular la integral indefinida de una función.
18. Comprende el significado geométrico de la integral definida: integral de Riemann.
19. Aplica la regla de Barrow para el cálculo de la integral definida.
20. Identifica los elementos fundamentales en un problema de carácter económico, formaliza si es posible dicho fenómeno en un problema matemático, resuelve dicho problema matemático con el método o herramienta más adecuada e interpreta el resultado en el contexto económico original.
21. Es capaz de relacionar los distintos temas tratados en la asignatura.
Posibilitan la comprensión de conceptos y modelos teóricos que se estudian en otras disciplinas afines con las que el estudiante se va a encontrar a lo largo del grado. El papel de las matemáticas con esta finalidad es muy importante ya que facilita el análisis y la discusión de los modelos y conceptos analizados. En este sentido, las técnicas del algebra lineal permiten estudiar tanto sencillos modelos de equilibrio económico como teorías más sofisticadas relacionadas con el análisis intersectorial de una economía (modelos input-output). El cálculo diferencial en una y en varias variables permite introducir el enfoque marginalista en la economía. En este contexto, conceptos como los de función y relaciones funcionales (variable(s) exógena(s) y variables endógena(s)), elasticidad, productividad marginal, relación marginal de sustitución, rendimientos a escala,...etc., que van a formar parte de la jerga habitual del estudiante, se fundamentan gracias al cálculo (en especial, al cálculo diferencial). El cálculo integral permite también definir medidas del bienestar (como el excedente del consumidor) y es útil para el análisis de modelos financieros.
La evaluación será global, tanto en primera como en segunda convocatoria, y consistirá en un examen final a realizar en el periodo establecido por el Centro. Dicho examen se realizará de forma escrita y evaluará los resultados de aprendizaje propuestos mediante preguntas teóricas, prácticas y/o teórico-prácticas que se ajustarán a la materia impartida. Se puntuará sobre 10 puntos.
Además, en la primera convocatoria, cabe la posibilidad de realizar una prueba voluntaria intermedia valorada en 5 puntos. Esta prueba evaluará los conocimientos sobre la materia correspondiente a los temas 1 y 2 del programa, y se llevará a cabo en la fecha y lugar que el profesor, con suficiente antelación, indique en el aula y/o plataformas docentes del profesorado. Los estudiantes que obtengan en dicha prueba una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) podrán optar por eliminar dicha materia del examen global de la primera convocatoria y examinarse únicamente de los restantes contenidos (valorados en 5 puntos); en cuyo caso la nota correspondiente a la materia eliminada será traspasada a la nota del examen global. Para superar la asignatura el estudiante debe obtener un mínimo de 5 puntos sobre 10.
Para poder optar a esta forma de evaluación es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales, según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma.
La evaluación de los estudiantes de 5ª y 6ª convocatoria se realizará según el acuerdo del 22 de diciembre de 2010 del Consejo de Gobierno en el que se aprueba el reglamento de normas de evaluación del aprendizaje de la Universidad de Zaragoza.
Se evaluará si el estudiante ha adquirido los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. En particular, se valorarán los siguientes aspectos:
La elección del método adecuado para la resolución del problema.
1. Clases teóricas, en las que se combinará la clase magistral para exponer los conceptos y resultados de los contenidos de la asignatura con la resolución participativa de ejercicios, en los que se aplicará de forma inmediata los aspectos teóricos explicados para ayudar a los estudiantes a asimilarlos. Estas clases serán presenciales y se impartirán a todo el grupo. Cuantificación temporal: 1,2 créditos ECTS (30 horas).
2. Clases prácticas, en las que los estudiantes irán resolviendo, con la ayuda del profesor, ejercicios más completos y problemas de carácter económico en los que se apliquen los resultados matemáticos vistos.
Estos ejercicios estarán en las hojas de problemas de la asignatura que se podrán encontrar en la página web <http://dae.unizar.es/docencia/gradeco/mate1/mate1.html> y en su caso en la plataforma que indique el profesor. Se anunciará con antelación cuáles se van a resolver en cada clase práctica para que el estudiante los pueda preparar. Estas clases serán presenciales y se impartirán a la mitad del grupo.
3. Seminarios (prácticas tipo P6), en los que se podrán realizar diversas actividades: seguimiento del desarrollo de un trabajo que se habrá propuesto a un grupo de estudiantes y defensa del mismo; tutorías colectivas de determinados temas; desarrollo de problemas de carácter económico en cuya resolución se utilicen herramientas matemáticas explicadas en la asignatura... Estos seminarios podrían dedicarse además a la ampliación de conocimientos mostrando a los estudiantes que estén interesados otras herramientas matemáticas que permitan resolver problemas más generales. Se pone así de manifiesto que tanto la Ciencia Matemática como la Ciencia Económica son ciencias vivas y por tanto con muchos aspectos para estudiar.
Cuantificación temporal: Pendiente de acuerdo de Consejo de Departamento.
4. Actividades no presenciales, 3,6 créditos ECTS .
1.1. : Determinantes. Aplicaciones: cálculo del rango de una matriz, cálculo de la matriz inversa y Regla de Cramer.
1.2. in : Sistemas generadores. Bases.
1.3. Diagonalización de matrices cuadradas:
1.3.1. Valores propios y vectores propios de una matriz cuadrada: definición y cálculo.
1.3.2. Diagonalización de una matriz cuadrada.
1.3.3. Aplicación al cálculo de potencias de matrices.
Tema 2. Formas cuadráticas reales
2.1. Formas cuadráticas: definición. Expresión matricial y expresión polinómica.
2.2. Expresión diagonal de una forma cuadrática.
2.3. Clasificación de una forma cuadrática según su signo.
2.4. Formas cuadráticas restringidas.
Tema 3. Funciones de in en im
3.1. Preliminares: conceptos topológicos.
3.2. Funciones: dominio, rango y grafo. Conjuntos de nivel de funciones escalares.
3.3. Continuidad de una función.
3.4. Derivación de una función. Derivadas parciales. Vector gradiente. Matriz jacobiana.
3.5. Función diferenciable. Derivada direccional de funciones diferenciables.
3.6. Derivación de funciones compuestas: Regla de la cadena. Diagramas de árbol.
3.7. Derivadas de orden superior. Teorema de Schwartz. Matriz hessiana. Teorema de Taylor.
3.8. Teorema de la función implícita. Derivación de funciones implícitas.
3.9. Funciones homogéneas. Teorema de Euler.
3.10. Métodos básicos de integración de una función de una variable. Regla de Barrow.
El día de la presentación de la asignatura se expondrá, en cada grupo, el calendario detallado de la asignatura según las características del curso académico:
Presentación de la asignatura en la primera sesión de clase.
Asistencia y aprovechamiento continuado a las clases teóricas y prácticas.
Asistencia a las prácticas P6 (según calendario del grupo).
Realización, según calendario indicado el día de la presentación de la asignatura, de pruebas intermedias de evaluación.
Examen final según calendario de los Centros.
Las actividades y fechas clave de la asignatura se anunciarán en el aula y/o plataformas docentes del profesorado.
BB Blanco García, Susana. Matemáticas empresariales I : enfoque teórico-práctico. Vol. 1, Algebra Lineal / Susana Blanco García, Pilar García Pineda, Eva del Pozo García . Madrid : Thomson : Editorial AC, cop. 2006
BB Blanco García, Susana. Matemáticas empresariales I : enfoque teórico-práctico. Vol. 2, Cálculo diferencial / Susana Blanco García, Pilar García Pineda, Eva del Pozo García . [1ª ed.] Madrid : Editorial AC, 2004
BB Heras Martínez, Antonio. Problemas de álgebra lineal para la economía / Antonio Heras Martínez, José Luis Vilar Zanón . Madrid : AC, 1988
BB Jarne Jarne, Gloria. Matemáticas para la economía : álgebra lineal y cálculo diferencial / Gloria Jarne Jarne, Isabel Pérez-Grasa, Esperanza Minguillón Constante . Madrid [etc] : McGraw-Hill, D.L. 2010
BB Matemáticas empresariales / Pedro Alegre Escolano... [et al.] . 1ª ed., 2ª reimpr. Madrid : Editorial AC, Thomson, D.L. 2005
BB Minguillón Constante, Esperanza. Matemáticas para la economía : álgebra lineal y cálculo diferencial. Libro de ejercicios / Esperanza Minguillón Constante, Gloria Jarne Jarne, Isabel Pérez-Grasa . Madrid [etc] : McGraw-Hill, D.L. 2010
BC Larson, Ron. Cálculo 1 : De una variable / Ron Larson, Bruce H. Edwards ; revisión técnica, Marlene Aguilar Abalo ... [et al.] ; [traducción: Joel Ibarra Escutia ... (et al.)]. 9ª ed. México [etc.] : McGraw Hill, cop. 2010
BC Larson, Ron. Cálculo 2 : De varias variables / Ron Larson, Bruce H. Edwards ; revisión técnica, Marlene Aguilar Abalo ... [et al.] ; [traducción: Joel Ibarra Escutia ... (et al.)]. 9ª ed. México [etc.] : McGraw Hill, cop. 2010
BC Matemáticas universitarias introductorias con nivelador Mymathlab tutor interactivo online / Franklin D. Demana ... [et al.] ; traductor, Víctor Hugo Ibarra Mercado, Javier Enríquez Brito ; revisión técnica, Ernesto Filio López, Luis Ángel Filio Rivera, Javier Alfaro Pastor . México [etc.] : Pearson Educación, 2009
BC Sydsaeter, Knut. Matemáticas para el análisis económico / Knut Sydsaeter, Peter Hammond ; traducción, Manuel Jesús Soto Prieto, José Luis Vicente Córdoba ; revisión técnica, Emilio Cerdá Tena , Xavier Martínez Guiralt . Última reimp. Madrid [etc.] : Prentice Hall, 2008
Actividad de aprendizaje a través del descubrimiento de errores en la asignatura "Matemáticas I" para los grados de carácter económico. Autores: G. Jarne, E. Minguillón, T. Zabal
[http://www.unizar.es/aragon_tres/MatI/erroresMI.htm]
Curso básico de matemáticas para estudiantes de economía (nivel preparatorio)
[http://www.unizar.es/aragon_tres/]
27402 - Mathematics I
The program offered to the students to help them achieve the learning results includes the following activities:
Theoretical lessons which will be based on lectures to present the concepts and results corresponding to the contents. At the same time, some exercises will be solved with the participation of the students to help them comprehend the theoretical concepts presented. These classes are face-to-face and will be given to the full group.
Time allotted: 1,2 ECTS credits (30 hours).
Practical lessons, in which the students will apply the theoretical results in order to solve, with the teacher’s help, more complete exercises, and problems of an economic nature. Problem sheets will be available for the students and the teacher will announce in advance the problems that will be solved in each practical lesson so that the students can prepare them beforehand. These classes are face-to-face and will be given separately to each subgroup.
Time allotted: 1.2 ECTS credits (30 hours each subgroup).
Seminars (practical classes P6), which may consist of a number of different activities designed to support the learning process, including: follow-up of some simple projects that had been assigned to small teams of students and the presentation of these projects; answering questions that students may have regarding some of the contents taught; solving problems of an economic nature by using some of the mathematical tools taught during the classes, etc. These seminars may also be devoted to the teaching of more advanced topics, intended for the students interested in learning some further mathematical tools that would allow them to deal with more general problems. In this way, the students are shown that both Mathematics and Economics are vibrant sciences with many facets to be studied.
Time allotted: Pending of the agreement of the Department Committee
4. Out of class work: 3.6 ECTS credits
The contents detailed in the program below will be developed in the theoretical and practical classes. Any variations in the order in which the topics will be taught will be indicated by the teacher in the presentation of the subject.
1.1. Determinants. Applications: calculation of the rank of a matrix, calculation of the inverse matrix and Cramer’s Rule
1.2. in: Spanning sets. Basis.
1.3. Diagonalization of square matrices
1.3.1 Eigenvalues and eigenvectors of a square matrix: definition and calculation.
1.3.2. Diagonalization of a square matrix.
1.3.3. Application to the calculation of matrix powers.
Chapter 2. Real quadratic forms
2.1. Quadratic forms: definition. Matrix expression and polynomial expression.
2.2. Diagonal expression of a quadratic form.
2.3. Classification of a quadratic form according to its sign.
2.4. Constrained quadratic forms.
Chapter 3. Functions from in to im
3.1. Preliminaries: topological concepts.
3.2. Functions: domain, range and graph. Level sets of scalar functions.
3.3. Continuity of a function.
3.4. Differentiation of a function. Partial derivatives. Gradient vector. Jacobian matrix.
3.5. Differentiability. Directional derivative of differentiable functions.
3.6. Differentiation of composed functions: Chain’s Rule. Tree diagrams.
3.7. Higher order derivatives. Schwarz’s Theorem. Hessian matrix. Taylor’s Theorem.
3.8. Implicit function Theorem. Differentiation of implicit functions.
3.9. Homogeneous functions. Euler’s Theorem.
3.10. Basic integration methods of function of one variable. Barrow’s Rule.
The calendar will be explained to the students in the presentation of the subject.
The recommended readings are usually available in the University Library's data base (go to 'bibliografia recomendada' in 'biblioteca.unizar.es').

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución