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Timestamp: 2016-12-07 11:52:57+00:00

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COMPETENCIAEN MATEMATICAS
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y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos. • Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo. además. transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana. modelar procesos y fenómenos de la realidad. de las otras ciencias y de las matemáticas mismas.
Los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas son: formular y resolver problemas. identiﬁcar lo relevante en ella. Estas actividades también integran el razonamiento.• Formular. como medios de validar y rechazar conjeturas. y avanzar en el camino hacia la demostración. reformular. • Usar la argumentación. expresar y representar ideas matemáticas. y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos. razonar.
En todas las áreas curriculares pueden considerarse procesos semejantes y en cada una de esas áreas estos procesos tienen peculiaridades distintas y deben superar obstáculos diferentes que dependen de la naturaleza de los saberes propios de la respectiva disciplina. plantear. Ello requiere analizar la situación. Este proceso general requiere del uso ﬂexible de conceptos. establecer relaciones entre sus componentes y con situaciones semejantes. formular distintos problemas. procedimientos y diversos lenguajes para expresar las ideas matemáticas pertinentes y para formular. posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir de ella. En los apartados siguientes se hará mención de cada uno de esos procesos generales desde las particularidades presentes en la actividad matemática que ocurre en su enseñanza y en su aprendizaje. razonar. que esta clasiﬁcación en cinco procesos generales de la actividad matemática no pretende ser
. tratar y resolver los problemas asociados a dicha situación. para utilizar y transformar dichas representaciones y. cuándo y por qué usarlos de manera ﬂexible y eﬁcaz. el ejemplo y el contraejemplo. • Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear. comunicar. Debe aclararse.
En la enumeración anterior se pueden ver con claridad –aunque en distinto orden– los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas: formular y resolver problemas. en tanto exigen formular argumentos que justiﬁquen los análisis y procedimientos realizados y la validez de las soluciones propuestas. formular y sustentar puntos de vista. formarse modelos mentales de ella y representarlos externamente en distintos registros. comunicar. Es decir dominar con ﬂuidez distintos recursos y registros del lenguaje cotidiano y de los distintos lenguajes matemáticos. modelar procesos y fenómenos de la realidad. la prueba y la refutación. con ellas. Así se vincula la habilidad procedimental con la comprensión conceptual que fundamenta esos procedimientos.
una imagen analógica que permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiación y manejo. La formulación. es decir. formulen y resuelvan problemas matemáticos. gráﬁco o tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más comprensible. o con enunciados narrativos o incompletos. en la medida en que las situaciones que se aborden estén ligadas a experiencias cotidianas y. en particular. Es una construcción o artefacto material o mental. por ende. analogías.
. que existen traslapes y relaciones e interacciones múltiples entre ellos. desplegar una serie de estrategias para resolverlos. Estos problemas pueden surgir del mundo cotidiano cercano o lejano.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
exhaustiva. en las que los estudiantes mismos inventen. Análogamente. que pueden darse otros procesos además de los enumerados. veriﬁcar e interpretar lo razonable de ellos. sin necesidad de manipularlos o dañarlos. todo modelo es una representación. tratamiento y resolución de problemas Este es un proceso presente a lo largo de todas las actividades curriculares de matemáticas y no una actividad aislada y esporádica. para los que los estudiantes mismos tengan que formular las preguntas. convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad. ni tampoco pretende ser disyunta. modiﬁcar condiciones y originar otros problemas. Es importante abordar problemas abiertos donde sea posible encontrar múltiples soluciones o tal vez ninguna. pues esa es la manera de producir nuevas metáforas. para apoyar la formulación de conjeturas y razonamientos y dar pistas para avanzar hacia las demostraciones. En ese sentido. aunque pueden estarse interpretando en un modelo. es clave para el desarrollo del pensamiento matemático en sus diversas formas. aunque cualquier sistema podría utilizarse como modelo. encontrar resultados. También es muy productivo experimentar con problemas a los cuales les sobre o les falte información. como sucede con las representaciones verbales y algebraicas que no son propiamente modelos. un sistema –a veces se dice también “una estructura”– que puede usarse como referencia para lo que se trata de comprender. que suelen ser sólo ejercicios de rutina. es decir. La modelación Un modelo puede entenderse como un sistema ﬁgurativo mental. pero también de otras ciencias y de las mismas matemáticas. como se verá a continuación. pero no todo sistema es un modelo. podría convertirse en el principal eje organizador del currículo de matemáticas. porque las situaciones problema proporcionan el contexto inmediato en donde el quehacer matemático cobra sentido. más aún. sean más signiﬁcativas para los alumnos. el tratamiento y la resolución de los problemas suscitados por una situación problema permiten desarrollar una actitud mental perseverante e inquisitiva. todo modelo es un sistema. La formulación. el proceso de formular y resolver problemas involucra todos los demás con distinta intensidad en sus diferentes momentos. Un modelo se produce para poder operar transformaciones o procedimientos experimentales sobre un conjunto de situaciones o un cierto número de objetos reales o imaginados. pero no toda representación es necesariamente un modelo. símiles o alegorías. el estudio y análisis de situaciones problema suﬁcientemente complejas y atractivas. Más bien que la resolución de multitud de problemas tomados de los textos escolares.
economía. que van desde una forma muy elemental.
. Este primer sentido de la matematización o modelación puede pues entenderse como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas. en los ordenadores y en la imaginación. Un buen modelo mental o gráﬁco permite al estudiante buscar distintos caminos de solución. demografía y similares. En una situación problema. que podemos llamar “modelos” o “patrones” (“patterns”). lo que posibilita establecer modelos matemáticos de distintos niveles de complejidad. científicas y matemáticas para reconstruirlas mentalmente. Lynn Arthur Steen propuso en 19886 una deﬁnición de las matemáticas que va más allá de la descripción usual de ellas como la ciencia del espacio y el número: considera que las matemáticas parten de una base empírica.
La matematización o modelación puede entenderse como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas. o si es imposible o no tiene sentido. esta primera manera de entender la matematización y la modelación es la que se utiliza en los Lineamientos Curriculares y en el presente documento de Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. 1988). estimar una solución aproximada o darse cuenta de si una aparente solución encontrada a través de cálculos numéricos o algebraicos sí es plausible y signiﬁcativa. Vol. gráﬁcamente o por medio de símbolos aritméticos o algebraicos. con un término introducido por Hans Freudenthal5. en el espacio. como creación de nuevos modelos y teorías matemáticas que permitan simular la evolución de una situación real en el tiempo. cómo se relaciona con otras y qué operaciones matemáticas pueden ser pertinentes para responder a las preguntas que suscita dicha situación. nuevas teorías y nuevas estructuras. ingeniería. Por lo tanto. la modelación permite decidir qué variables y relaciones entre variables son importantes. Esta expresión se suele tomar como sinónimo de “la modelación” y ambas pueden entenderse en formas más y más complejas. Mathematics as an educational task. 240 (29 April. H. utilizar procedimientos numéricos. pero para detectar en ella esquemas que se repiten. Las teorías matemáticas explican
Con respecto a la modelación. de tal manera que se pueda detectar fácilmente qué esquema se le puede aplicar. en la ciencia. L.La modelación puede hacerse de formas diferentes. La segunda forma de entender la matematización y la modelación es más propia de los cursos avanzados de física. cientíﬁcas y matemáticas para reconstruirlas mentalmente. obtener resultados y veriﬁcar qué tan razonable son éstos respecto a las condiciones iniciales. Steen. a partir de los cuales se pueden hacer predicciones. para poder formular y resolver los problemas relacionados con ella. D. A. Al respecto. (1988) “The science of patterns. gestualmente. Norwell. y en la multitud de esos modelos o patrones detectar de nuevo otros más y teorizar sobre sus relaciones para producir nuevas estructuras matemáticas. 611-616. pero la primera puede comenzarse desde el preescolar e irse complejizando en los sucesivos grados escolares. hasta una forma muy avanzada. Massachusetts. en la didáctica de las matemáticas se ha hablado también con frecuencia desde 1977 de “la matematización” de una situación problema. las matemáticas serían la ciencia de los modelos o patrones (“Mathematics is the science of patterns”). que simpliﬁcan la situación y seleccionan una manera de representarla mentalmente. como simpliﬁcación y restricción de la complejidad de una situación real para reducirla a una situación ya conocida. Reidel. sin poner límites a la producción de nuevos modelos mentales.” Science. (1977). Steen continúa así: “El matemático busca modelos o patrones en el número.
(Comp. reﬁnarse y comunicarse a través de diferentes lenguajes con los que se expresan y representan.). New York. 48-53. “Características problemáticas del currículo escolar de matemáticas” (en inglés). y puede trabajar directamente con proposiciones y teorías. se hablan y se escuchan. frases. Semiosis y pensamiento humano. 2 vols. dar explicaciones coherentes. México. al formular hipótesis o conjeturas. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales (2a.). MEN. aprecien la necesidad de tener acuerdos colectivos y aun universales y valoren la eﬁciencia. 237-239. sino que tienen sentido. págs. vol. La adquisición y dominio de los lenguajes propios de las matemáticas ha de ser un proceso deliberado y cuidadoso que posibilite y fomente la discusión frecuente y explícita sobre situaciones. pág. En esas situaciones pueden aprovecharse diversas ocasiones de reconocer y aplicar tanto el razonamiento lógico inductivo y abductivo. M. como el deductivo. métricos y geométricos. las matemáticas no son un lenguaje. al intentar comprobar la coherencia de una proposición con otras aceptadas previamente como teoremas. Handbook of research on curriculum: A project of the American Educational Research Association. no parece posible aprender y comprender dicho contenido9. axiomas. postulados o principios. son lógicas. Macmillan. R. ed. eﬁcacia y economía de los lenguajes matemáticos. hacer predicciones y conjeturas. Los modelos y materiales físicos y manipulativos ayudan a comprender que las matemáticas no son simplemente una memorización de reglas y algoritmos. Es conveniente que las situaciones de aprendizaje propicien el razonamiento en los aspectos espaciales. Pequeños aprendices. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. los operadores y los morﬁsmos conectan un tipo de modelos o patrones con otros para producir estructuras matemáticas perdurables” 7. Podría decirse con Raymond Duval que si no se dispone al menos de dos formas distintas de expresar y representar un contenido matemático.. Thomas (1992).). El razonamiento El desarrollo del razonamiento lógico empieza en los primeros grados apoyado en los contextos y materiales físicos que permiten percibir regularidades y relaciones. Ver también el artículo de Romberg. dibujos y otros artefactos.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
las relaciones entre modelos o patrones. pero suele apoyarse también intermitentemente en comprobaciones e interpretaciones en esos modelos. La comunicación A pesar de que suele repetirse lo contrario. gráﬁcos y símbolos. problemas. Duval. págs. se leen y se escriben. Wiske. en el que los estudiantes compartan el signiﬁcado de las palabras. materiales. proponer interpretaciones y respuestas posibles y adoptarlas o rechazarlas con argumentos y razones. (2004).
. justiﬁcar o refutar esas conjeturas. Cali. pero ellas pueden construirse. conceptos y simbolizaciones. potencian la capacidad de pensar y son divertidas. En: Philip W. o al intentar refutarla por su contradicción con otras o por la construcción de contraejemplos. Vinculación entre la investigación y la práctica. el razonamiento proporcional apoyado en el uso de gráﬁcas. de tal manera que la dimensión de las formas de expresión y comunicación es constitutiva de la comprensión de las matemáticas8. La enseñanza para la comprensión. las funciones y los mapas. el razonamiento se va independizando de estos modelos y materiales. cadenas argumentativas e intentos de validar o invalidar conclusiones. el razonamiento numérico y.). Peter Lang-Universidad del Valle. Directora General de la Obra. S. Ver también: República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). para tomar conciencia de las conexiones entre ellos y para propiciar el trabajo colectivo. conjeturas y resultados matemáticos no son algo extrínseco y adicionado a una actividad matemática puramente mental. formas que él llama “registros de representación” o “registros semióticos”. Paidós.
Ibid. sentidos. 616. 32-42 y 74-83. Barcelona. sino que la conﬁguran intrínseca y radicalmente. En los grados superiores. (2003). Buenos Aires. Jackson (ed. Las distintas formas de expresar y comunicar las preguntas. en particular. (Original francés publicado en 1995). 1. Bogotá. págs.
control. ejecución. Esto los prepara también para el manejo de calculadoras. segura y efectiva ejecución de los procedimientos. compararlos con el que se practica en clase y apreciar sus ventajas y desventajas. lo cual requiere atención. planeación. la elaboración de macroinstrucciones y aun para la programación de computadores. pero sí contribuye a adquirir destrezas en la ejecución fácil y rápida de cierto tipo de tareas. o aun hacerse obsoletas y ser sustituidas por otras. también llamados “algoritmos”. que requiere de la práctica repetida para lograr una rápida. así el docente decida practicar y automatizar un solo algoritmo para cada una de las operaciones aritméticas usuales. veriﬁcación e interpretación intermitente de resultados parciales. compararlos con el que se practica en clase y apreciar sus ventajas y desventajas. Uno de estos mecanismos es la alternación de momentos en los que prima el conocimiento conceptual y otros en los que prima el procedimental. el uso de hojas de cálculo. Esta reﬂexión exige al estudiante poder explicar y entender los conceptos sobre los cuales un procedimiento o algoritmo se apoya. Estas destrezas dan seguridad al alumno y pueden aﬁanzar y profundizar el dominio de dichos conocimientos.Este proceso implica comprometer a los estudiantes en la construcción y ejecución segura y rápida de procedimientos mecánicos o de rutina.
Así el docente decida practicar y automatizar un solo algoritmo para cada una de las operaciones aritméticas usuales. por lo tanto. Todo ello estimula a los estudiantes a inventar otros procedimientos para obtener resultados en casos particulares. pero también pueden perder utilidad en la medida en que se disponga de ayudas tecnológicas que ejecuten dichas tareas más rápida y conﬁablemente. Para analizar la contribución de la ejecución de procedimientos rutinarios en el desarrollo signiﬁcativo y comprensivo del conocimiento matemático es conveniente considerar los mecanismos cognitivos involucrados en dichos algoritmos. es conveniente describir y ensayar otros algoritmos para cada una de ellas. esta automatización no contribuye directamente al desarrollo signiﬁcativo y comprensivo del conocimiento. Otro mecanismo cognitivo involucrado es la reﬂexión sobre qué procedimientos y algoritmos conducen al reconocimiento de patrones y regularidades en el interior de determinado sistema simbólico y en qué contribuyen a su conceptualización. es conveniente describir y ensayar otros algoritmos para cada una de ellas.
La formulación. Otro mecanismo cognitivo clave es la automatización. Por ello. comparación y ejercitación de procedimientos
. ampliarse y adecuarse a situaciones nuevas. seguir la lógica que lo sustenta y saber cuándo aplicarlo de manera ﬁable y eﬁcaz y cuándo basta utilizar una técnica particular para obtener más rápidamente el resultado. pueden modiﬁcarse. Esta comparación permite distinguir claramente la operación conceptual de las distintas formas algorítmicas de ejecutarla y el resultado de dicha operación conceptual del símbolo producido al ﬁnal de la ejecución de uno u otro algoritmo. procurando que la práctica necesaria para aumentar la velocidad y precisión de su ejecución no oscurezca la comprensión de su carácter de herramientas eﬁcaces y útiles en unas situaciones y no en otras y que.
Además de relacionarse con esos cinco procesos. ser matemáticamente competente se concreta de manera especíﬁca en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático. Tal vez en los deportes. y aun en el sentido restringido de “saber hacer en contexto”. al analizar el proceso general de razonamiento. el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numérico. No hay duda pues de que hay una estrecha relación entre el pensamiento lógico y el pensamiento matemático. Pero no puede pretenderse que las matemáticas son las únicas que desarrollan el pensamiento lógico en los estudiantes. y con éste –en cualquiera de sus tipos– se puede y se debe desarrollar también el pensamiento lógico. falta. ed. cuando hay diﬁcultades en la interpretación y la aplicación de los reglamentos de cada uno de ellos. Igualmente. De la lógica del niño a la lógica del adolescente.
. Estos procesos están muy relacionados con las competencias en su sentido más amplio explicado arriba. Paidós. que utiliza los dos anteriores pero tiene una relación diferente con la realidad y la experiencia. en la sección siguiente. en la ﬁlosofía. de la racionalidad y de la argumentación. es en donde muchos de los niños y las niñas empiezan a desarrollar competencias argumentativas y deductivas más complejas con el ﬁn de defender a su equipo o a su jugador favorito contra las acusaciones de fuera de lugar. en las ciencias naturales y sociales. J. eﬁcaz y eﬁciente en el desarrollo de cada uno de esos procesos generales. Barcelona. J. B.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Los aspectos referidos anteriormente con respecto a la expresión ser matemáticamente competente muestran la variedad y riqueza de este concepto para la organización de currículos centrados en el desarrollo de las competencias matemáticas de manera que éstas involucren los distintos procesos generales descritos en la sección anterior. en cualquiera de las áreas curriculares o de los ejes transversales del trabajo escolar se puede y se debe desarrollar el pensamiento lógico.). probar y refutar. (1978). Tanto el pensamiento lógico como el matemático se distinguirían del pensamiento físico. Introducción a la epistemología genética. (1985). en ﬁn. En la primera sección se enunciaron algunos argumentos clásicos y actuales con respecto a la contribución de la educación matemática a la formación integral de los estudiantes: el desarrollo del pensamiento lógico. En el aprendizaje del castellano y de las lenguas extranjeras. pues ser matemáticamente competente requiere ser diestro. en la lectura de textos literarios extensos y profundos. el espacial. Piaget. El pensamiento lógico y el pensamiento matemático A mediados del Siglo XX. El pensamiento matemático (2a. mano voluntaria u otra violación del reglamento. sino que el pensamiento lógico apoya y perfecciona el pensamiento matemático. el métrico o de medida. (Original francés publicado en 1955). Paidós. se mencionó el desarrollo de las competencias argumentativas que implican saber dar y pedir razones. I.
Inhelder. Es pues necesario dejar claro que el pensamiento lógico no es parte del pensamiento matemático. Buenos Aires. en los cuales cada estudiante va pasando por distintos niveles de competencia. y Piaget. Jean Piaget estudió la transición de la manera de razonar de los adolescentes de lo que él llamó “el pensamiento operatorio concreto” al “operatorio formal” y propuso un conjunto de operaciones lógico-matemáticas que podrían explicar ese paso10. En sus estudios previos sobre la lógica y la epistemología había propuesto que el pensamiento lógico actúa por medio de operaciones sobre las proposiciones y que el pensamiento matemático se distingue del lógico porque versa sobre el número y sobre el espacio11. dando lugar a la aritmética y a la geometría. el aleatorio o probabilístico y el variacional. (Original francés publicado en 1950). y ojalá avanzar hacia a demostración formal.
los cuales no necesitaban de las nociones métricas. aceleración. Conferencia en el Seminario de Educación Matemática. Al desarrollarse desde el Siglo XVII la teoría de la probabilidad y el cálculo diferencial e integral. En especial. y la manera de hacerlas con respecto al espacio: la geometría. La subdivisión del pensamiento matemático Para los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias podría haber bastado la división entre pensamiento lógico y pensamiento matemático. Estas dos maneras de hacer matemáticas sugieren pues una primera subdivisión del pensamiento matemático al menos en dos tipos: el pensamiento numérico y el espacial. ante todo. deﬁniciones y teoremas previos. temperatura.
. de (1995) “Tendencias e innovaciones en educación matemática”. se empezó a notar también que entre los estudiantes de matemáticas había algunos que sobresalían en los aspectos aritméticos y geométricos. la axiomatización y. sistematizada en el Siglo IV antes de nuestra era. señala al respecto que. Pareció pues conveniente distinguir también el pensamiento probabilístico o aleatorio y el pensamiento analítico o variacional como tipos de pensamiento matemático diferentes del numérico. La práctica de la deﬁnición cuidadosa de términos técnicos. lo concreto y lo abstracto y lo cotidiano y lo académico. la de la argumentación a partir de premisas de las que no se sabe si son verdaderas o no y la de la deducción formal basada en axiomas más o menos arbitrarios y aun contrarios a la intuición espacial o numérica se desarrollan más naturalmente con el aprendizaje de la geometría euclidiana y de las no euclidianas. la generalización. multiplicación y división. (Documento inédito disponible en la OEI). Miguel de Guzmán12. especialmente la física y la química (fuerza. Pero en toda la tradición griega y medieval ya se había distinguido entre la manera de hacer matemáticas con respecto al número: la aritmética. Bogotá. Para la aritmética se pensó durante siglos únicamente en los números de contar. sin subdividir este último. la geometría euclidiana es un campo muy fértil para el cultivo de la abstracción. más allá de las ramas tradicionales
Guzmán. sobre todo en lo que concierna a las argumentaciones y deducciones informales que preparan la demostración rigurosa de teoremas matemáticos a partir de axiomas. aunque muy relacionados con ellos. etc. área y volumen) sino también a lo temporal (duración y frecuencia) y a otras muchas disciplinas. una de las ﬁguras más inﬂuyentes en la educación matemática en España y en Latinoamérica. Para la geometría se pensó también durante siglos únicamente en la geometría euclidiana. masa. con las operaciones de adición y sustracción.). pero que tenían diﬁcultad en pensar en los conceptos de la probabilidad o en las variaciones continuas de los procesos físicos. se notó también que había aspectos espaciales más intuitivos y cualitativos que los de la geometría. peso. velocidad. de la deducción formal a partir de axiomas. “topos”). el espacial y el métrico. presión. M. de los que se desarrolló una ciencia abstracta del espacio (llamada “topología” por la palabra griega para el espacio o el lugar. la deﬁnición.Eso no quiere decir que las matemáticas no sean el lugar privilegiado para desarrollar algunos aspectos del pensamiento lógico. densidad. Con el desarrollo de las matemáticas y luego de la física. OEI. Se notó también que las nociones métricas no se aplicaban sólo a lo espacial (como en el caso de longitud. por tener una articulación óptima entre lo intuitivo y lo formal. Era pues conveniente distinguir también el pensamiento métrico del pensamiento numérico y del espacial. del álgebra abstracta y de otras ramas ya axiomatizadas de las matemáticas.
el espacial. la comprensión del sentido y signiﬁcado de las operaciones y de las relaciones entre números. puede verse la alusión al pensamiento lógico. llamado también hipotético-deductivo o pensamiento formal.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
de las matemáticas: la aritmética y la geometría. en la geometría. el pensamiento espacial y el métrico. Por ejemplo. mencionando simultáneamente los sistemas conceptuales y simbólicos con cuyo dominio se ejercita y reﬁna el tipo de pensamiento respectivo. en su devenir histórico “el espíritu matemático habría de enfrentarse con: • la complejidad del símbolo (álgebra) • la complejidad del cambio y de la causalidad determinística (cálculo) • la complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad. y en la probabilidad y estadística. • El pensamiento numérico y los sistemas numéricos Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas plantean el desarrollo de los procesos curriculares y la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los signiﬁcados de los números y de la numeración. el pensamiento métrico y el variacional. en la geometría. ﬁnalmente. pues –como se indicó arriba– en todos esos cinco tipos es necesario atender al uso y al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes y. en el álgebra y el cálculo. en los Lineamientos Curriculares se preﬁrió hablar de los cinco tipos de pensamiento matemático ya mencionados (el numérico. y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación. Dichos planteamientos se enriquecen si.
Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático enunciados en los Lineamientos Curriculares: en la aritmética.
Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático enunciados en los Lineamientos Curriculares: en la aritmética. en el álgebra y el cálculo. el progreso en el pensamiento lógico potencia y reﬁna los cinco tipos de pensamiento matemático. el aleatorio o probabilístico y el variacional). sin incluir en ellos el lógico. y en la probabilidad y estadística.
Por todo ello. se propone trabajar con las magnitudes. para el estudio de los números naturales. el pensamiento aleatorio. se trabaja con el conteo de cantidades discretas y. el pensamiento numérico. de la medida de magnitudes y cantidades continuas. el métrico o de medida.
. a su vez. a la vez que ellos se desarrollan y perfeccionan con los avances en dichos tipos de pensamiento. el pensamiento métrico y el variacional. estadística) • la complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemática)”. las cantidades y sus medidas como base para dar signiﬁcado y comprender mejor los procesos generales relativos al pensamiento numérico y para ligarlo con el pensamiento métrico. el pensamiento aleatorio. para el de los números racionales y reales. además. el pensamiento espacial y el métrico. el pensamiento numérico. Se describen a continuación uno por uno estos cinco tipos de pensamiento.
o por un decimal como “0. los racionales. y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo. y las operaciones usuales se asocian con ciertas combinaciones. los reales y los complejos. que signiﬁca “razón”). las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano. además de los naturales. las experiencias con las distintas formas de conteo y con las operaciones usuales (adición. la repetición y la repartición de cantidades discretas. las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano. el vigesimal y el sexagesimal para los naturales y sus extensiones a los racionales). o con la pareja. En cierto sentido. la decena o la docena como unidades complejas. Las otras situaciones llevan al número racional como razón. la numerosidad o cardinalidad de estas cantidades se está midiendo con un conjunto unitario como unidad simple. Es conveniente recordar. separaciones.En el caso de los números naturales. y otros sistemas de numeración antiguos y nuevos (como el binario. así como las notaciones algebraicas para los números irracionales. El paso del número natural al número racional implica la comprensión de las medidas en situaciones en donde la unidad de medida no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir o en las que es necesario expresar una magnitud en relación con otras magnitudes. el hexadecimal. la enseñanza de la aritmética escolar se redujo en la práctica al manejo de este sistema de numeración para los naturales y de su extensión para los racionales positivos (o “fraccionarios”). el octal. o por la abreviatura “3:4”. por ejemplo. se empezaron a estudiar los sistemas numéricos de los enteros. El paso del concepto de número natural al concepto de número racional necesita una reconceptualización de la unidad y del proceso mismo de medir. o “la relación de 3 a 4”. aunque de hecho se reﬁeren más bien a los números que resultan de esas mediciones. la separación.75”. representado usualmente por una fracción como “¾”. multiplicación y división) generan una comprensión del concepto de número asociado a la acción de contar con unidades de conteo simples o complejas y con la reunión. llamados precisamente “racionales” (por la palabra latina “ratio”. Las primeras situaciones llevan al número racional como medidor o como operador ampliador o reductor (algunos de estos últimos considerados a veces también como “partidores” o “fraccionadores” de la unidad en partes iguales). que durante la Edad Antigua y Media ni siquiera las razones entre dos números de contar se consideraban como verdaderos números. agrupaciones o reparticiones de estas cantidades. sustracción. Históricamente. y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo.
. o por un porcentaje como “el 75%”. Entre los Siglos XIV y XIX. Hoy día se aceptan como una nueva clase de números. los reales y los complejos. así como una extensión del concepto de número.
Estas extensiones sucesivas de los sistemas numéricos y de sus sistemas de numeración representan una fuerte carga cognitiva para estudiantes y docentes y una serie de diﬁcultades didácticas para estos últimos. o “3 por cada 4”.
Históricamente. en particular. Pero durante el Siglo XX hubo una proliferación muy grande de otros contenidos matemáticos en la Educación Básica y Media. expresado a veces por frases como “3 de 4”.
El fracaso en la medición de ciertas longitudes cuando se tomaba otra como unidad llevó al concepto de número irracional. sino que también obliga a cambios conceptuales en las operaciones y las relaciones entre ellos. “racionales positivos” (o “fraccionarios”). y por ende. “reales” y “complejos”. “enteros”. los cuales permiten conﬁgurar las estructuras conceptuales de los diferentes sistemas numéricos necesarios para la Educación Básica y Media y su uso eﬁcaz por medio de los distintos sistemas de numeración con los que se representan. El concepto de número negativo es el resultado de la cuantiﬁcación de ciertos cambios en las medidas de una magnitud. cero o negativo. modelos y teorías en diversos contextos. este paso de los números racionales a los números reales requiere del uso y comprensión de diferentes tipos de representaciones numéricas. en los países europeos éstos no se aceptaron como números hasta bien entrado el Siglo XVII. o de la medida relativa de una magnitud con respecto a un punto de referencia. El pensamiento aritmético opera mentalmente sobre sistemas numéricos en interacción con los sistemas de numeración.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Algo parecido sucede con el paso del concepto de número natural al de número entero más general. que complementó el de número real y llevó a pensar en un sistema uniﬁcado de números llamados “complejos”. mucho menos los demás. Éstos. “racionales”. Se fueron conﬁgurando así sistemas numéricos llamados “naturales”. conceptos. conﬁgurando así sistemas numéricos diferentes. tanto por medio de decimales inﬁnitos como de símbolos algebraicos. identiﬁcado con el cero. o negativo. y sin estos últimos no se hubieran podido perfeccionar ni siquiera los sistemas numéricos naturales. que complementó el de número racional y llevó a pensar en un sistema uniﬁcado de números racionales e irracionales llamados “reales”. que también puede ser positivo. cero. completitud y continuidad. El complejo y lento desarrollo histórico de estos sistemas numéricos y simbólicos esbozado arriba sugiere que la construcción de cada uno de estos sistemas conceptuales y el manejo competente de uno o más de sus sistemas simbólicos no puede restringirse a grados especíﬁcos del ciclo escolar. que puede ser positivo. Este paso de los números naturales a los números enteros positivos y negativos (con el cero como entero) y a los números racionales positivos y negativos (con el cero como racional) no sólo amplía el concepto de número. sobre todo. llamado “imaginario”. Igualmente. a su vez. Así pues. la construcción de las nociones de inconmensurabilidad. el desarrollo del pensamiento numérico exige dominar progresivamente un conjunto de procesos. irracionalidad. proposiciones. y del concepto de número racional positivo (también llamado “número fraccionario”) al de número racional más general. las relativas a los números irracionales. Aunque los chinos e hindúes empezaron a explorar números negativos hace más de mil años. sino que todos ellos se van construyendo y
. El fracaso en la solución de ciertas ecuaciones algebraicas llevó a la conceptualización de un nuevo tipo de número. cada uno de ellos con operaciones y relaciones extendidas a los nuevos sistemas numéricos a partir de su signiﬁcado en los naturales y con sus sistemas de numeración o sistemas notacionales cada vez más ingeniosos. requieren de diferentes tipos de representaciones y una extensión de las operaciones y las relaciones entre estos nuevos números complejos. con sus operaciones y relaciones apropiadamente extendidas a los nuevos números. Las conceptualizaciones relativas a los números reales implican la aritmetización de procesos inﬁnitos.
pág. Posteriormente. sino también a su relación con esos espacios14. de un lado. sino las relaciones entre los objetos involucrados en el espacio. Aportes y Reflexiones. y sus diversas traducciones o representaciones materiales”13 contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el espacio. Matemáticas. Didáctica de las matemáticas. sino que es necesario determinar qué tan cerca o qué tan lejos está. Grecia (1988). sus transformaciones. etc. en un tercer momento. Esto signiﬁca un salto de lo cualitativo a lo cuantitativo. MEN.). Lineamientos curriculares. En: Cecilia Parra e Irma Saiz (comps. “La geometría. las relaciones topológicas. Gálvez. Lo anterior implica relacionar el estudio de la geometría con el arte y la decoración. De esta manera. En este primer momento del pensamiento espacial no son importantes las mediciones ni los resultados numéricos de las medidas. y la ubicación y relaciones del individuo con respecto a estos objetos y a este espacio. las relaciones entre ellos.
utilizando paciente y progresivamente a lo largo de la Educación Básica y Media.• El pensamiento espacial y los sistemas geométricos El pensamiento espacial. de otro lado. en teoremas de la geometría euclidiana. sino también a sus medidas y a las relaciones entre ellas. desarrollar variadas representaciones y. Un acompañamiento pedagógico paciente y progresivo de los estudiantes puede lograr que la gran mayoría de ellos logre la proeza de recorrer doce milenios de historia del pensamiento numérico en sólo doce años de escolaridad. Bogotá. con el diseño y construcción de objetos artesanales y tecnológicos. los deportes y la danza. entre otras muchas situaciones posibles muy enriquecedoras y motivadoras para el desarrollo del pensamiento espacial. Buenos Aires. reﬁriéndose no sólo al tamaño de los espacios en los que se desarrolla la vida del individuo. en particular. en un segundo momento se hace necesaria la metrización. entendido como “… el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio. hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales. a través de la coordinación entre ellas. 56. el reconocimiento y ubicación del estudiante en el espacio que lo rodea.). se convertirán en conocimientos formales de la geometría.
Ministerio de Educación Nacional (1998). lo cual hace aparecer nuevas propiedades y relaciones entre los objetos. Desde esta perspectiva se rescatan. la percepción geométrica se complejiza y ahora las propiedades de los objetos se deben no sólo a sus relaciones con los demás. en lo que Grecia Gálvez ha llamado el meso-espacio y el macro-espacio. Esto requiere del estudio de conceptos y propiedades de los objetos en el espacio físico y de los conceptos y propiedades del espacio geométrico en relación con los movimientos del propio cuerpo y las coordinaciones entre ellos y con los distintos órganos de los sentidos. Paidós Educador. representaciones a escala de sitios o regiones en dibujos y maquetas. pues ya no es suﬁciente con decir que algo está cerca o lejos de algo. y a medida que se complejizan los sistemas de representación del espacio. con la educación física. en tanto reﬂexión sistemática de las propiedades de los cuerpos en virtud de su posición y su relación con los demás y. El estudio de estas propiedades espaciales que involucran la métrica son las que. con la observación y reproducción de patrones (por ejemplo en las plantas. La psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría en la escuela primaria”. animales u otros fenómenos de la naturaleza) y con otras formas de lectura y comprensión del espacio (elaboración e interpretación de mapas.
regiones y ﬁguras planas con sus fronteras. Los sistemas geométricos pueden modelarse mentalmente o con trazos sobre el papel o el tablero y describirse cada vez más ﬁnamente por medio del lenguaje ordinario y los lenguajes técnicos y matemáticos. entre los propósitos principales de su estudio está deﬁnir. con los cuales se pueden precisar los distintos modelos del espacio y formular teorías más y más rigurosas. de las superﬁcies. MEN. y del estudio de lo que cambia o se mantiene en las formas geométricas bajo distintas transformaciones. El trabajo con objetos bidimensionales y tridimensionales y sus movimientos y transformaciones permite integrar nociones sobre volumen. entre otras. para razonar sobre ellos y con ellos y. los sistemas geométricos. en donde se destacan los procesos de localización en relación con sistemas de referencia. y las relaciones o nexos entre ellos. 57. área y perímetro. líneas rectas y curvas. La geometría euclidiana fue la primera rama de las matemáticas en ser organizada de manera lógica. las tados pueden considerarse como los elementos de complicados sistemas de ﬁguras. para producir nuevos reﬁnamientos en los sistemas geométricos. justiﬁcar. operaciones y transformaciones con las que se transformaciones y relaciones espaciales: combinan. Los puntos. Estos modelos con sus teorías se suelen llamar “geometrías”. gestos. Lineamientos curriculares. letras y palabras que se utilizan como registros de representación diferentes que se articulan en sistemas notacionales o sistemas simbólicos para expresar y comunicar los sistemas geométricos y posibilitar su tratamiento. Matemáticas. Así. pág. de cada cuerpo sólido o hueco con sus formas y con sus caras. Bogotá. El trabajo con la geometría activa puede complementarse con distintos programas de computación que permiten representaciones y manipulaciones que eran imposibles con el dibujo tradicional. La geometría euclidiana puede considerarse como un punto de encuentro entre las matemáticas como una práctica social y como una teoría formal y entre el pensamiento espacial y el pensamiento mé-
Ministerio de Educación Nacional (1998). lados y vértices. bordes y vértices. regiones planas o curvas limitadas o ilimitadas y los Como todos los sistemas. la geometría activa se presenta como una alternativa para reﬁnar el pensamiento espacial. tampoco se hubiera podido perfeccionar el trabajo con los sistemas geométricos y. y las relaciones o nexos entre ellos. deducir y comprender algunas demostraciones. El pensamiento espacial opera mentalmente sobre modelos internos del espacio en interacción con los movimientos corporales y los desplazamientos de los objetos y con los distintos registros de representación y sus sistemas notacionales o simbólicos. a su vez. en tanto se constituye en herramienta privilegiada de exploración y de representación del espacio15. semejanza y congruencia. maneja.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Así pues. los geométricos tienen tres aspectos: los elementos de que constan.
. Como todos los sistemas. la apropiación por parte de los estudiantes del espacio físico y geométrico requiere del estudio de distintas relaciones espaciales de los cuerpos sólidos y huecos entre sí y con respecto a los mismos estudiantes. Sin estos últimos. los geométricos tienen cuerpos sólidos o huecos limitados o ilimitres aspectos: los elementos de que constan. reﬁnar el pensamiento espacial que los construye. en consecuencia. lo cual a su vez posibilita conexiones con los sistemas métricos o de medida y con las nociones de simetría. transforma y utiliza. Estos sistemas se expresan por dibujos. Por ello. las operaciones y transformaciones con las que se combinan.
de patrones y de instrumentos y procesos de medición. el pensamiento espacial y el métrico encuentran en la geometría euclidiana un lugar privilegiado –aunque no exclusivo– para el desarrollo del pensamiento lógico y éste. más recientemente. Históricamente. En los Lineamientos Curriculares se especiﬁcan conceptos y procedimientos relacionados con este tipo de pensamiento. • La comprensión de los procesos de conservación de magnitudes. como el francés. el ruso. se empezó a diseñar un sistema decimal de pesos y medidas que tuvo varias etapas y conﬁguraciones. • La selección de unidades de medida. 63. tomadas al comienzo de partes del cuerpo y por tanto muy diversas en cada región y cultura. Otros aspectos importantes en este pensamiento son la integración de la estimación con los procedimientos numéricos de truncamiento y redondeo. Así pues. el pensamiento mé-
Ibid. el inglés y su variante norteamericana y. el tratamiento del error. el SI (Sistema Internacional de unidades y medidas). Por ello. pág. después de la Revolución Francesa. Sin embargo. a su vez. En relación con los anteriores conceptos y procedimientos. como el sistema CGS (centímetro-gramo-segundo) y el MKS (metro-kilogramo-segundo) y. • La apreciación del rango de las magnitudes. que es el más extendido actualmente. en contextos en los que no se requiere establecer una medida numérica exacta. • La estimación de la medida de cantidades de distintas magnitudes y los aspectos del proceso de “capturar lo continuo con lo discreto”. • La diferencia entre la unidad y los patrones de medición. potencia y reﬁna los dos primeros.
. como se dijo al tratar sobre el pensamiento lógico. Se conﬁguraron en distintas regiones y países muchos sistemas de unidades y medidas o sistemas métricos. que fueron luego estandarizadas para el comercio y la industria. • La asignación numérica. es importante destacar que la estimación de las medidas de las cantidades y la apreciación de los rangos entre los cuales puedan ubicarse esas medidas trascienden el tratamiento exclusivamente numérico de los sistemas de medidas y señalan la estimación como puente de relaciones entre las matemáticas. su medición y el uso ﬂexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes situaciones. como: • La construcción de los conceptos de cada magnitud. • El papel del trasfondo social de la medición16. el español.. las demás ciencias y el mundo de la vida cotidiana. el pensamiento métrico se perfeccionó con el reﬁnamiento de las unidades de medida de longitud. así como la expresión de medidas grandes y pequeñas por medio de la notación cientíﬁca.• El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas Los conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades. el inglés y el norteamericano siguen siendo muy utilizados en todo el mundo y muchos de los antiguos sistemas locales subsisten más o menos adaptados a las unidades internacionales. la valoración de las cifras signiﬁcativas y el uso de técnicas de encuadramiento.
todo lo relacionado con los servicios públicos. abordándolos con un espíritu
. y entre la precisión y la exactitud de una medición. amperio. de azar. en tanto conviene tener elementos conceptuales claros para hacer un uso racional de los servicios públicos.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
trico no puede trabajar sin sistemas de medidas o métricos. etc. algunas de las cuales. El estudio de esas primeras magnitudes muestra que el pensamiento métrico no se limita a las matemáticas. identiﬁcar cuándo se está haciendo un gasto innecesario de ellos. centi-. abreviaturas y otros sistemas notacionales o simbólicos. etc. De esta manera. centena. de riesgo o de ambigüedad por falta de información conﬁable. ayuda a tomar decisiones en situaciones de incertidumbre. sino que se extiende también a las ciencias naturales y sociales. milésima. la densidad. etc. en particular. registros. hecto-. etc. En cada conjunto de unidades del SI para cada magnitud hay una unidad que sirve de base a las otras. es importante el reconocimiento del conjunto de unidades de medida que se utilizan para cada una de las diferentes magnitudes (la velocidad. kilovatio. tablas.) y submúltipos (deci-. mili-. Esas relaciones entre el sistema de numeración decimal y cada sistema de unidades del SI para una determinada magnitud (por ejemplo la longitud) se indican por los preﬁjos que expresan los múltiplos (deca-. Así se construyen herramientas conceptuales para el análisis y la ejercitación de la equivalencia entre medidas expresadas en distintas unidades y la explicitación de las relaciones pertinentes del SI con el sistema de numeración decimal en sus diversas formas escriturales: con coma. en particular del SI. como ya se indicó arriba. De especial importancia son aquellas magnitudes que tienen estrecha relación con aspectos claves de la vida social. que son mayores (múltiplos) o menores (submúltiplos) de dicha unidad básica. el volumen y la amplitud angular). etc. unidad de mil. voltio. centésima. El pensamiento aleatorio se apoya directamente en conceptos y procedimientos de la teoría de probabilidades y de la estadística inferencial. la temperatura.) y con las unidades inferiores (décima. como por ejemplo.) de la unidad básica (en este caso. en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar. del metro) y su correspondencia con las unidades superiores del sistema métrico decimal (decena. el pensamiento métrico está estrechamente relacionado con las disciplinas cientíﬁcas naturales y sociales y con las competencias ciudadanas. con punto y en notación cientíﬁca. sus procesos de medición y facturación y las unidades respectivas (litro.). el área. kilovatio-hora). desbordan el campo de las matemáticas y requieren del desarrollo del pensamiento cientíﬁco y del aprendizaje de algunos contenidos de la física. el gas y la energía eléctrica. y no sólo de las magnitudes más relacionadas con la geometría: la longitud. en una interacción dialéctica constante y cambiante. metro cúbico. Igualmente. En lo que respecta al aprendizaje de sistemas de medida y.. explicar las razones por las cuales pudo haberse incrementado el gasto y proponer medidas eﬁcaces para el ahorro del agua. e indirectamente en la estadística descriptiva y en la combinatoria. entre unidades y patrones de medida. • El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos Este tipo de pensamiento. Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura. con lo que al cuidado del medio ambiente se reﬁere. ni éstos reﬁnarse sin las notaciones. vatio. es necesario establecer diferencias conceptuales entre procedimientos e instrumentos de medición. llamado también probabilístico o estocástico. kilo-.
y asignar 1 a la necesidad o a la máxima probabilidad de ocurrencia. analizar y utilizar los resultados que se publiquen en periódicos y revistas. esas situaciones y procesos pueden modelarse por medio de sistemas matemáticos relacionados con la teoría de probabilidades y la estadística. Más tarde. y otras veces con las situaciones en las que se ignora cuáles puedan ser esos patrones. como es el caso de los estados del tiempo. Estas estimaciones conforman una intuición inicial del azar y permiten hacer algunas asignaciones numéricas para medir las probabilidades de los eventos o sucesos.
En las experiencias cotidianas que los estudiantes ya tienen sobre estos sucesos y estos juegos. junto con el registro de diferentes resultados de un mismo juego.
El azar se relaciona con la ausencia de patrones o esquemas específicos en las repeticiones de eventos o sucesos. asignar ½ a cualquiera de dos alternativas que se consideran igualmente probables. y el estudio de los sistemas de datos por medio del pensamiento aleatorio llevó a la estadística inferencial y a la teoría de probabilidades. hoy día ya no es tan importante para los estudiantes el recuerdo de las fórmulas y la habilidad para calcular sus valores. así sean inicialmente un poco arbitrarias. de los resultados de dispositivos como los que se usan para extraer esferas numeradas para las loterías y de las técnicas para efectuar los lanzamientos de dados o monedas o para el reparto de cartas o ﬁchas en los juegos que por esto mismo se llaman “de azar”. huracanes u otros fenómenos de la naturaleza. El manejo y análisis de los sistemas de datos se volvió inseparable del pensamiento aleatorio. de las elecciones por votación. y otras veces con las situaciones en las que se ignora cuáles puedan ser esos patrones. la simulación de experimentos y la realización de conteos. fallas mecánicas. como es el caso de los estados del tiempo.
de exploración y de investigación mediante la construcción de modelos de fenómenos físicos. Los sistemas analíticos probabilísticos y los métodos estadísticos desarrollados durante los siglos XIX y XX se han reﬁnado y potenciado en los últimos decenios con los avances de la computación electrónica y. de la ocurrencia de los terremotos. como sí lo es el desarrollo del pensamiento aleatorio. si acaso existen. que les permitirá interpretar. desarrollan en los estudiantes la distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias o azarosas y permiten reﬁnar las mediciones de la probabilidad con números entre 0 y 1. de los accidentes.
. si acaso existen. sociales o de juegos de azar y la utilización de estrategias como la exploración de sistemas de datos. que se presenten en la televisión o que aparezcan en pantalla o en hojas impresas como productos de los distintos programas de análisis de datos. así como los intentos de interpretación y predicción de los mismos a partir de la exploración de sistemas de datos. epidemias y enfermedades.El azar se relaciona con la ausencia de patrones o esquemas especíﬁcos en las repeticiones de eventos o sucesos. empiezan a tomar conciencia de que su ocurrencia y sus resultados son impredecibles e intentan realizar estimaciones intuitivas acerca de la posibilidad de que ocurran unos u otros. por ello. Las situaciones y procesos que permiten hacer un conteo sistemático del número de combinaciones posibles que se puedan asumir como igualmente probables. que comienzan con asignar probabilidad 0 a la imposibilidad o a la máxima improbabilidad de ocurrencia. El empleo cada vez más generalizado de las tablas de datos y de las recopilaciones de información codiﬁcada llevó al desarrollo de la estadística descriptiva.
sucesos. En particular la relación con otros pensamientos aparece con mucha frecuencia. la unidad que se repite con regularidad da lugar a un patrón. la varianza o la desviación estándar. las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas. De esta manera. del sistema de los números reales. requieren de conceptos y procedimientos relacionados con distintos sistemas numéricos (en particular. formas o sonidos. así como en dominar los conceptos y procedimientos necesarios para recoger. para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y. porque la variación y el cambio. hojas de cálculo y otros programas de análisis de datos. el de medida o métrico y el aleatorio o probabilístico) y con otros tipos de pensamiento más propios de otras ciencias. en especial a través del proceso de modelación de procesos y situaciones naturales y sociales por medio de modelos matemáticos. Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos signiﬁcativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos. icónicos. el espacial. con el ﬁn de intentar predecir dentro de ciertos rangos el curso de los acontecimientos respectivos y de tomar decisiones lo más razonables posibles ante la imposibilidad de saber con certeza lo que va a pasar. estudiar. • El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos Como su nombre lo indica. a su vez. El pensamiento variacional se desarrolla en estrecha relación con los otros tipos de pensamiento matemático (el numérico. Al identiﬁcar en qué se parecen y en qué se diferencian los términos de estas sucesiones o secuencias. sino avanzar gradualmente en el desarrollo de habilidades combinatorias para encontrar todas las situaciones posibles dentro de ciertas condiciones.
. en la Educación Media. estimar si son o no igualmente probables y asignarles probabilidades numéricas. pueden presentarse en forma estática o en forma dinámica y variacional. Las regularidades (entendidas como unidades de repetición) se encuentran en sucesiones o secuencias que presentan objetos. la percepción. este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento. Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio. aunque se representan usualmente por medio de sistemas algebraicos y analíticos. ya sean verbales. uno detrás de otro en un orden ﬁjado o de acuerdo a un patrón. y en la modelación de procesos de la vida cotidiana. gráﬁcos o algebraicos. fundamentales en la construcción de las funciones de variable real). geométricos. modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos. así como con su descripción. se desarrolla la capacidad para identiﬁcar en qué consiste la repetición de mismo patrón y la capacidad para reproducirlo por medio de un cierto procedimiento. resumir y diagramar sistemas de datos estadísticos y tratar de extraer de ellos toda la información posible con la ayuda de calculadoras. la identiﬁcación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos. algoritmo o fórmula. El desarrollo de este pensamiento se inicia con el estudio de regularidades y la detección de los criterios que rigen esas regularidades o las reglas de formación para identiﬁcar el patrón que se repite periódicamente. del cálculo diferencial e integral.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Por ello. de medidas y de datos y porque todos estos sistemas. no es ya necesario aprender las fórmulas y procedimientos matemáticos para calcular la media o la mediana.
. Las actividades de generalización de patrones numéricos. El estudio de las relaciones funcionales que pueden detectarse en la vida cotidiana. Barcelona. números o letras. pero éstas también se expresan por medio de otros tipos de representaciones como las gestuales. Pensar matemáticamente. el sistema de representación más directamente ligado con las variaciones es el sistema algebraico. las gráﬁcas (diagramas) y las icónicas. como las relaciones entre edad y altura de un niño (o entre edad y masa o peso corporal). Esta primera aproximación a la noción la función es la de dependencia funcional entre magnitudes variables. que actúan como intermediarias en la construcción general de los procedimientos. algoritmos o fórmulas que deﬁnen el patrón y las respectivas reglas que permiten reproducirlo. así como con las relaciones de desigualdad y el manejo de ecuaciones e inecuaciones. permite coordinar cambios de una magnitud Y con cambios de una magnitud X. J.
Mason. hacer conjeturas sobre la forma o el valor del siguiente término de la secuencia. y Stacey. como constante. las siguientes actividades: analizar de qué forma cambia. entre la temperatura a lo largo de un día y la hora que marca un reloj. etc.. las numéricas (tablas). calcular los siguientes términos. llegar a precisar la magnitud de los cambios y aun la tasa de cambio en relación con el tiempo. aumenta o disminuye la forma o el valor en una secuencia o sucesión de ﬁguras.
. como las lineales y las aﬁnes (o de gráﬁca lineal). sucesos.
El estudio del cambio también se puede iniciar en la Educación Básica Primaria a través del análisis de fenómenos de variación (por ejemplo. (1992). Labor. K. función. algoritmo o fórmula que permita reproducir el mismo patrón. dependencia e independencia de una variable con respecto a otra. razón o tasa de cambio.Para desarrollar este pensamiento desde los primeros niveles de la Educación Básica Primaria son muy apropiadas. Burton. procurar expresar ese término. las polinómicas y las exponenciales. e intentar formular un procedimiento. El estudio de los patrones está relacionado con nociones y conceptos propios del pensamiento variacional. uno detrás de otro en un orden fijado o de acuerdo a un patrón. oralmente o por escrito. conﬁrmar o refutar las conjeturas iniciales e intentar generalizarlas. las del lenguaje ordinario o técnico.
Las regularidades (entendidas como unidades de repetición) se encuentran en sucesiones o secuencias que presentan objetos. En la Educación Básica Secundaria. y con los distintos tipos de modelos funcionales asociados a ciertas familias de funciones. entre otras. Por el análisis cuidadoso de esas representaciones se puede identiﬁcar la variación que ocurre y. o mejor los dos o tres términos siguientes. Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formulación verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expresión algebraica. en algunos casos. L. el crecimiento de una planta durante un mes o el cambio de la temperatura durante el día o el ﬂujo de vehículos frente a la institución durante una mañana) representados en gráﬁcas y tablas. variable. o por medio de dibujos y otras representaciones. Esta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico mucho antes de llegar al séptimo y octavo grado. geométricos y de leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los números y las ﬁguras involucran la visualización. formas o sonidos. Esta manera de acercarse al pensamiento variacional está muy relacionada con el manejo de los sistemas de datos y sus representaciones. exploración y manipulación de los números y las ﬁguras en los cuales se basa el proceso de generalización17.
El desarrollo del pensamiento variacional. o el carácter simétrico y transitivo de la igualdad y el carácter antisimétrico y transitivo de la desigualdad). como por ejemplo los términos algebraicos. ecuaciones.– que permiten tratar con situaciones de variación y dependencia en la resolución de problemas. La relación del pensamiento variacional con el manejo de los sistemas algebraicos muestra que el álgebra es un sistema potente de representación y de descripción de fenómenos de variación y cambio y no solamente un juego formal de símbolos no interpretados. se reconstruyen como representaciones de funciones y las ecuaciones e inecuaciones se reinterpretan como igualdades o desigualdades entre funciones. constantes. para lo cual es necesario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sistemas numéricos (como la conmutativa y la asociativa de la adición y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición. dadas sus características. las variables que intervienen. por ejemplo). todo lo cual se relaciona con el pensamiento lógico y el pensamiento cientíﬁco. en las situaciones de aprendizaje que fomentan el desarrollo de este tipo de pensamiento. en el cual se sitúa el
. inecuaciones o desigualdades. Los objetos algebraicos. Además. Un aspecto importante en el aprendizaje del álgebra corresponde a la utilización con sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos (variables. Es importante también tener en cuenta que las funciones permiten analizar y modelar distintos fenómenos y procesos no sólo en problemas y situaciones del mundo de la vida cotidiana. pero indispensable para caracterizar aspectos de la variación tales como lo que cambia y lo que permanece constante. parámetros. De esta manera. etc. Es necesario señalar que el desarrollo de este pensamiento debe también atender al estudio de las actividades matemáticas propias de los procesos inﬁnitos. también se dan múltiples oportunidades para la formulación de conjeturas. su generalización y la argumentación para sustentar o refutar una conjetura o una propuesta de generalización. pues son éstos los que caracterizan el campo conceptual del análisis matemático. los sistemas de ecuaciones o de inecuaciones. el cálculo algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en situaciones de variación de los valores de las mediciones de cantidades relacionadas funcionalmente. el campo de variación de cada variable y las posibles relaciones entre esas variables. De aquí que las múltiples relaciones entre la producción de patrones de variación y el proceso de modelación –y particularmente el estudio de las nociones de variable y de función– sean las perspectivas más adecuadas para relacionar el pensamiento variacional con el cálculo algebraico en la Educación Básica Secundaria y con la geometría analítica y el cálculo diferencial e integral en la Educación Media. términos. es lento y complejo. fórmulas y otras expresiones algebraicas como las ecuaciones e inecuaciones. sino también de las ciencias naturales y sociales y de las matemáticas mismas. tablas. por útiles. El desarrollo del álgebra en los Siglos XVI y XVII y el del cálculo diferencial e integral en los Siglos XVII y XVIII mostraron también que el pensamiento variacional no se podía reﬁnar sin los sistemas algebraicos y analíticos ni éstos sin aquél.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Es importante distinguir las funciones lineales de las no lineales y conectar el estudio de la proporcionalidad directa con las funciones lineales. ingeniosos e interesantes que sean dichos juegos. la puesta a prueba de las mismas. Esto se logra a través de la elaboración e interpretación de ciertas representaciones matemáticas –gráﬁcas.
y por tanto. a la vez. lo cual se logra articulando la búsqueda de soluciones no exactas. • El tratamiento de las magnitudes y sus procesos de medición se constituyen en la base conceptual sobre la cual se organizan los procesos conceptuales de cada pensamiento. de intervalos de valores aceptables. sino también. Así. pero ganarían mucho en ﬂexibilidad y generalidad y atraerían más el interés de los estudiantes si se presentan en forma dinámica y variacional. todo lo cual prepara a los estudiantes para conceptualizar el límite.cálculo diferencial e integral que se suele introducir en el grado 11.
. la derivada como tasa de cambio instantánea y la integral deﬁnida como límite de una suma. Relaciones entre los cinco tipos de pensamiento matemático Los cinco tipos de pensamiento descritos anteriormente tienen elementos conceptuales comunes que permiten el diseño de situaciones de aprendizaje –y en particular de situaciones problema– que integren los diferentes pensamientos y que. En este sentido. Por tal razón es necesario incorporar tempranamente a los estudiantes en el estudio de los conceptos fundamentales de ese campo y de las técnicas y métodos de estimación y de aproximación. El estudio de la variación hace necesaria una referencia a la identiﬁcación de variables. se proponen como procesos de abstracción y generalización a partir del análisis de lo que es invariante en medio de los aspectos variables de un conjunto de situaciones. la continuidad. sobre las cantidades y magnitudes que ellos representan en el contexto del problema que se pretende resolver) y de las relaciones entre ellos (al comparar números es conveniente comparar longitudes de segmentos y trazos o marcas en una recta numérica). el estudio de las propiedades de los números y sus operaciones y de la manera como varían sus resultados con el cambio de los argumentos u operandos. Muchos de los conceptos de la aritmética y la geometría se suelen presentar en forma estática. químicos y físicos que utilicen expresiones algebraicas. así como el cálculo del área del círculo. de problemas de estimación de posibles valores en el contexto de medidas de longitudes. Ya desde el comienzo de la Básica Secundaria cobra especial importancia el estudio de los números decimales como sistemas de representación de valores aproximados y como expresiones inﬁnitas para números racionales e irracionales. de las operaciones entre números (al operar no solo se opera sobre números. por ejemplo. al reconocimiento de las magnitudes y de las medidas de las cantidades asociadas. o de los objetos de la geometría y sus características y de la manera como cambian las medidas de las cantidades asociadas con las transformaciones de esos objetos. de los volúmenes de cilindros. ya se señaló a propósito del pensamiento numérico cómo el tratamiento de las magnitudes cobra fuerza en el aprendizaje del concepto de número (medir y contar como base para su aprendizaje). Se refuerza así a la estimación como núcleo conceptual importante en el desarrollo del pensamiento numérico. conos y esferas y de las áreas exteriores de los mismos. áreas y volúmenes y de modelos matemáticos de procesos biológicos. posibilitan que los procesos de aprendizaje de las matemáticas se den a partir de la construcción de formas generales y articuladas de esos mismos tipos de pensamiento matemático. Entre los elementos integradores de mayor relevancia se pueden destacar: • El estudio de la variación como una base fundamental para acceder a los procesos de generalización propios de cada uno de los pensamientos.
Igualmente. principalmente al numérico. procesos y procedimientos relativos a cada pensamiento. al igual que el recurso a los conceptos numéricos. discriminar entre las variables independientes y las dependientes. dentro de las posibilidades del fenómeno. nacional e internacional– como al contexto intermedio de la institución escolar –en donde se viven distintas situaciones y se estudian distintas áreas– y al contexto inmediato de aprendizaje preparado por el docente en el espacio del aula. esta aproximación hace que los conceptos relativos al pensamiento métrico se relacionen de manera directa con el numérico y sirvan de puente para el estudio de las disciplinas cientíﬁcas naturales y sociales. se reﬁere tanto al contexto más amplio –al entorno sociocultural. • El tratamiento de las situaciones que involucran fenómenos estocásticos hace necesario el recurso a conceptos relacionados con el pensamiento variacional. argumentar y construir conocimiento en forma signiﬁcativa y comprensiva. puedan entenderse como funciones de otras magnitudes más simples. formular. que hay al menos tres tipos o niveles de contexto o. al métrico y al aleatorio. muebles
Ministerio de Educación Nacional (1998). creado por la disposición de las paredes.. De otra parte. volumen. págs. y ayudan a organizar formas de pensamiento ﬂexibles asociadas a contextos particulares. densidad. Lineamientos curriculares. etc. con las demás ciencias y con otros ámbitos de las matemáticas mismas. si se preﬁere.
. sino ante todo sociocultural– desde donde se construye sentido y signiﬁcado para las actividades y los contenidos matemáticos. Por ello también se podría decir. a la vida escolar y al mismo entorno sociocultural. aceleración. a otras áreas. Ellas son elementos fundamentales en la construcción de los conceptos.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
• La estimación y la aproximación son dos procesos presentes en los diferentes pensamientos. Matemáticas. con la creación de situaciones referidas a las matemáticas. llaman la atención sobre el carácter inexacto e incompleto de muchos de los resultados de las matemáticas y de otras ciencias.. Bogotá. velocidad. con las demás actividades de la institución educativa y. MEN. o a situaciones hipotéticas y aun fantásticas. al ambiente local. 38. 41 y 42. la distribución de las variables independientes para predecir el posible comportamiento de las variables dependientes para distintos rangos de valores de las dependientes. regional. La palabra contexto. a partir de las cuales los alumnos puedan pensar. • El tratamiento de los conceptos relativos a la medida de magnitudes compuestas a partir de las relaciones funcionales con respecto a las magnitudes fundamentales que las componen hace que conceptos como el de área. etc. ventanas. tal como se utiliza en los Lineamientos Curriculares18. 36. discutir. que hay tres contextos distintos pero muy relacionados entre sí: el contexto inmediato o contexto de aula. como se dijo con respecto a los procesos generales y a los tipos de pensamiento. desde donde se establecen conexiones con la vida cotidiana de los estudiantes y sus familias.
El contexto del aprendizaje de las matemáticas es el lugar –no sólo físico. y por lo tanto. en tanto que se deben identiﬁcar variables. determinar su comportamiento a lo largo de su posible conjunto de valores. en particular. y determinar. muestran que en la mayoría de las situaciones cotidianas lo que se necesita es tener una buena estimación del rango de magnitud de un resultado y no tanto un resultado exacto.
empleados administrativos y directivos. la arquitectura escolar. el país y el mundo. las ciencias sociales y las naturales. de las cuales pueden tomarse provechosamente muchos temas y situaciones muy bien contextualizadas para el trabajo matemático. Esta recomendación suele entenderse como la búsqueda de una relación cercana con el contexto extraescolar o sociocultural de los estudiantes. y el contexto extraescolar o contexto sociocultural. en las que es necesario tomar continuamente en el curso de la misma y en las que se toman después de ella como resultado de la evaluación que el docente hace de sus alumnos y del éxito de la actividad misma. en cada situación problema. proyectos de aula. así como por el PEI. de la región. se suele decir que éstas deben ser adaptadas al contexto o tomadas del contexto. constelaciones y galaxias son tan cercanas a su interés y a sus afectos como los accidentes geográﬁcos de sus pueblos y ciudades. en particular con las actividades que ocurren en las clases de distintas áreas curriculares como el lenguaje. y se reﬁeren a los contextos en los cuales se pueden alcanzar y ojalá superar los niveles de competencia seleccionados como estándares para cada conjunto de grados. Esta útil recomendación de tener muy en cuenta el contexto extraescolar o sociocultural para el diseño y planeación de las actividades y situaciones de clase no puede servir de excusa para no trabajar también situaciones problema relacionadas con el contexto escolar o institucional. pues para muchos estudiantes el espacio. sino que se extiende al país y a todo el planeta Tierra. el currículo explícito de las distintas áreas curriculares y el llamado “currículo oculto” de la institución. los conceptos y procedimientos de las matemáticas.
. ante todo en la toma de decisiones previas a la realización de cada actividad. Igualmente. Cuando se habla de preparar situaciones problema. el contexto escolar o contexto institucional. los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas se distribuyen según los tipos de pensamiento y sus sistemas. los contextos. por las normas explícitas o implícitas con las que se trabaja en clase y por la situación problema preparada por el docente. los tipos de pensamiento con sus sistemas conceptuales y simbólicos más aﬁnes y los procesos generales de la actividad matemática se entrecruzan en cada clase. conﬁgurado por los escenarios de las distintas actividades diarias. los planetas. las estrellas. unidades o proyectos integrados. al municipio. Así pues. docentes. pero involucran también los procesos generales. pero que pueden estar muy bien contextualizadas en el ambiente de estudio e investigación matemática que el docente ha logrado crear en el contexto inmediato de su aula. el sistema solar. las tradiciones y los saberes de los estudiantes.y materiales. dicha relación es importante para despertar su interés y permitirles acceder a las actividades con una cierta familiaridad y comprensión previa. la educación física y la artística. proyecto de aula o período académico. al departamento o a la región. la competencia profesional del docente de matemáticas se muestra precisamente en su manera de navegar en medio de tantas corrientes y vientos cruzados. pero no puede olvidarse que este contexto extraescolar o sociocultural no se reduce al vecindario. dentro del ambiente de trabajo que se crea en la clase de matemáticas se pueden diseñar situaciones problema que a un observador externo le pueden parecer puramente teóricas y alejadas del contexto extraescolar o del sociocultural. conformado por todo lo que pasa fuera de la institución en el ambiente de la comunidad local. A su vez. en cada unidad temática. y tal vez al universo entero. En la misma forma. reﬂejan los que tradicionalmente se habían llamado “los contenidos del área”. o sea. actividades y otras situaciones de aprendizaje. las normas de convivencia.
En la comunidad de educadores matemáticos se distingue hoy claramente entre situación y actividad. representativos y tecnológicos. en otras ciencias y en los contextos cotidianos y que en su tratamiento generan el aprendizaje de los estudiantes. Para comprender de forma más detallada cómo y qué aspectos deben impulsarse. explicar. en una palabra: en las competencias matemáticas. como los que median a través del ambiente de aprendizaje y el clima institucional y los que provienen del contexto extraescolar. justiﬁcar (y aun demostrar) o refutar sus conjeturas e hipótesis. a continuación se describen y analizan algunas maneras de dinamizar estas interacciones. etc. analizar. por tanto. la enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de variados procesos mediante los cual el docente planea. En esta interpretación intervienen tanto factores sociales y culturales propios de la clase de matemáticas. el conocimiento surge en ellos como la herramienta más eﬁcaz en la solución de los problemas relacionados con la misma. conjeturas o hipótesis. gestuales. comparar y discutir resultados producidos con o sin computador.
Las situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo en las matemáticas escolares son situaciones que superan el aprendizaje pasivo. gracias a que generan contextos accesibles a los intereses y a las capacidades intelectuales de los estudiantes y. utilizar materiales manipulativos. profesores y materiales para reconstruir y validar personal y colectivamente el saber matemático. La situación problema apunta siempre a distintos contenidos y hacia diversas estructuras matemáticas. etc. modelar y reformular la situación. redactar y presentar informes. calcular con lápiz y papel o emplear calculadoras y hojas de cálculo u otros programas de computador.). formular estrategias de solución y usar productivamente materiales manipulativos. construcciones. en las habilidades y en las actitudes de los estudiantes. En sus experiencias con el tratamiento de una situación bien preparada. instrucciones y relatos que se elaboran basados en las matemáticas. En este sentido. pero éstos no son evidentes en sí mismos. el aprendizaje y la evaluación
Conforme a los planteamientos expuestos en el apartado anterior. producir. la actividad estimulada por la situación permite avanzar y profundizar en la comprensión. gráﬁcas. proyectos. gestiona y propone situaciones de aprendizaje matemático signiﬁcativo y comprensivo –y en particular situaciones problema– para sus alumnos y así permite que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen con sus compañeros. investigaciones. formular preguntas y problemas. tales como deﬁnir estrategias para interpretar. Por situación se entiende el conjunto de problemas. sino que tienen que ser interpretados activamente por los estudiantes. tabulares. Por su parte. Es importante señalar que un mismo contenido matemático
. les permiten buscar y deﬁnir interpretaciones. algebraicas. interpretar y transformar representaciones (verbales.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Sobre la enseñanza. modelos y problemas. la actividad se reﬁere al trabajo intelectual personal y grupal de los estudiantes.
genera en él una posición activa y una actitud positiva para enfrentar esos nuevos aprendizajes. son la base de su proceso de aprendizaje. estos saberes previos deben ampliarse a redes conceptuales más generales. son la base de su proceso de aprendizaje.
puede –y en ocasiones debe– presentarse a través de diversas situaciones. que el estudiante vive en la tensión entre lo que ya sabe o cree saber y lo que se le propone para aprender. o incluso descartarse como inútiles por el mismo estudiante. seguridad y confianza hacia las matemáticas
Al momento de iniciar el aprendizaje de un nuevo concepto. por los materiales utilizados y por las formas de enseñanza. Por ello se enfatiza en el diseño de situaciones matemáticas que posibiliten a los estudiantes tomar decisiones. guía y apoyo de los docentes que median en el tratamiento de la misma. sus potencialidades y sus actitudes. o sea. Estas formas de interacción tienen importancia capital para la comunicación y la negociación de signiﬁcados. generar discusión y desarrollar la capacidad de justiﬁcar las aﬁrmaciones con argumentos. Todo ello conlleva a incluir en la organización del aprendizaje matemático el trabajo en equipo y a fomentar la cooperación entre los estudiantes. sus concepciones previas. lo que el estudiante ya sabe sobre ese tema de las matemáticas ( formal o informalmente). grados y colegios. no dispone de otra base para que el estudiante mismo inicie activamente sus procesos de aprendizaje. la cual no excluye momentos de competición sana y leal entre ellos o con otros cursos. Es necesario señalar que las actividades de los estudiantes están inﬂuenciadas por el tipo de instrucciones con que se presentan las situaciones. En ocasiones. a incrementar las potencialidades y a modiﬁcar las actitudes para que el progreso en los saberes conceptuales y procedimentales le vaya dando la seguridad y la conﬁanza en que puede avanzar hacia nuevos aprendizajes. sus potencialidades y sus actitudes. sus concepciones previas. Sólo a partir de ellas puede empezar a cuestionar las preconcepciones. Así al docente le parezca que las concepciones previas son erróneas. Esta construcción y reconstrucción de sentidos y signiﬁcados matemáticos. reconstruirse.
Al momento de iniciar el aprendizaje de un nuevo concepto.
El aprendizaje se propone como un proceso activo que emerge de las interacciones entre estudiantes y contextos. entre estudiantes y estudiantes y entre estudiantes y profesores en el tratamiento de las situaciones matemáticas.
Fomentar en los estudiantes actitudes de aprecio. exponer sus opiniones y ser receptivos a las de los demás. las potencialidades mínimas y las actitudes negativas.La importancia de la naturaleza y la variedad de situaciones es un aspecto determinante para la calidad de las actividades de los estudiantes. de las fracciones y sus diversas interpretaciones. como es el caso de la multiplicación y sus diversos signiﬁcados. pero en ningún caso descaliﬁcarse o ser objeto de burla o reprensión por parte de profesores y compañeros. etc. o sea. lo que el estudiante ya sabe sobre ese tema de las matemáticas (formal o informalmente). por el tipo de preguntas que se proponen en ellas.
orientadas a alcanzar las dimensiones políticas. De igual modo. pedagógicos y didácticos.
Los recursos didácticos. y actitudes del estudiante pone de maniﬁesto –entre otras– dos cuestiones importantes: de un lado. centradas en el desarrollo de las competencias matemáticas. El reconocimiento de nociones y conocimientos previos. desarrollar las competencias matemáticas supone organizar procesos de enseñanza y aprendizaje basados en estructuras curriculares dinámicas que se orienten hacia el desarrollo de competencias. profundizar. que ojalá los lleven mucho más allá de lo que proponen los estándares para cada conjunto de grados. en particular con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias. o de grupos informales de autoformación y de investigación. potencialidades. el reconocimiento de su papel activo cuando se enfrenta a las situaciones problema propuestas en el aula de clase. de otro. dejará atrás las propuestas de los textos escolares y de los documentos oﬁciales en el avance de los docentes hacia el perfeccionamiento de sus conocimientos matemáticos. culturales y sociales de la educación matemática. en particular. disponible hoy en día en múltiples formatos (impresos y digitales) que se pueden obtener a través del Ministerio de Educación Nacional. la consulta en Internet y el intercambio con otros colegas. también es necesario reconocer que es una característica distintiva de muchas otras propuestas actuales en la pedagogía de las matemáticas y. sino como todo tipo de soportes materiales o virtuales sobre
. Se trata de generar la necesidad de mirar críticamente la amplia oferta de textos escolares que se encuentra en el mercado. de sus potencialidades y de sus actitudes hacia las matemáticas es característica de una posición constructivista del aprendizaje.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Si bien esta consideración cuidadosa y respetuosa de las concepciones previas del estudiante.
Como se mencionó antes. Estos elementos imprimen nuevas dinámicas a las prácticas escolares de enseñar y aprender matemáticas que ayudan a estructurar los procesos curriculares y a planear las actividades de aula. y por que no. Se trata también de ampliar. de tal forma que se tenga una vigilancia crítica por parte de los docentes sobre la pertinencia. las bibliotecas y centros de documentación de las alcaldías y universidades. el reconocimiento de que el estudiante nunca parte de cero para desarrollar sus procesos de aprendizaje y. de las teorías del aprendizaje signiﬁcativo y de la enseñanza para la comprensión. de sus estrategias de enseñanza y del logro de aprendizajes signiﬁcativos y comprensivos en sus estudiantes. es necesario ampliar la visión sobre los textos escolares y las directivas ministeriales como los únicos medios para hacer explicitas las exigencias del cambio. la conformación de grupos de trabajo por departamento en cada institución. entendidos no sólo como el conjunto de materiales apropiados para la enseñanza. Así mismo. Esto obliga al diseño de procesos. las Secretarías de Educación Departamental y Municipal. de trascender los textos escolares y los documentos oﬁciales a través de una amplia documentación bibliográﬁca. situaciones y actividades contextualizadas en situaciones que portan una visión integral del conocimiento matemático. concordancia y coherencia de éstos con los ﬁnes de la educación y las políticas del sistema educativo.
Pequeños aprendices. entre éstos y los materiales y recursos didácticos y sobre los procesos generales de la actividad matemática tanto individual como grupal. 95-107. La enseñanza para la comprensión. que bien pueden estar presentes desde los primeros años de la Educación Básica. permite recrear ciertos elementos estructurales de los conceptos y de los procedimientos que se proponen para que los estudiantes los aprendan y ejerciten y.
La evaluación formativa ha de poner énfasis en la valoración permanente de las distintas actuaciones de los estudiantes cuando interpretan y tratan situaciones matemáticas y a partir de ellas formulan y solucionan problemas.). Ver también: República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). págs. Buenos Aires. modelos en cartón. la cual se referencia en la Bibliografía. software especializado. puede poner a su alcance problemáticas antes reservadas a otros niveles más avanzados de la escolaridad19. los recursos se hacen mediadores eﬁcaces en la apropiación de conceptos y procedimientos básicos de las matemáticas y en el avance hacia niveles de competencia cada vez más altos. a través de las situaciones. etc. gráﬁcas. madera o plástico. diseñarlos y construirlos. deben ser analizados en términos de los elementos conceptuales y procedimentales que efectivamente permiten utilizarlos si ya están disponibles. Entre estos recursos. Paidós. Estas actuaciones se potencian cuando el docente mantiene siempre la exigencia de que los estudiantes propongan interpretaciones y conjeturas. págs. (Comp. esa situación ayuda a profundizar y consolidar los distintos procesos generales y los distintos tipos de pensamiento matemático. Los recursos didácticos pueden ser materiales estructurados con ﬁnes educativos (regletas. Estos ambientes informáticos. obtenidas de diversas fuentes de información y de
Respecto a este tema de los medios informáticos en la enseñanza de las matemáticas existe una amplia documentación publicada por el MEN. Para obtener información de calidad sobre las actividades de los estudiantes es necesario precisar los criterios de referencia acordes con lo que se cree es el nivel exigible de la actividad matemática del estudiante en el conjunto de grados al que pertenece. 2 vols. en muchos casos. ﬁchas. (2003). Bogotá.Dicho de otra manera. vol. ecuaciones. etc.
los cuales se estructuran las situaciones problema más apropiadas para el desarrollo de la actividad matemática de los estudiantes. o tomados de otras disciplinas y contextos para ser adaptados a los ﬁnes que requiera la tarea. 115-120. etc. juegos. 1.). cartas. Directora General de la Obra. Todo esto facilita a los alumnos centrarse en los procesos de razonamiento propio de las matemáticas y. Vinculación entre la investigación y la práctica. M. argumenten. pues no sólo realizan de manera rápida y eﬁciente tareas rutinarias.
. S. modelaciones. Wiske. páginas interactivas de Internet. así. puestos en escena a través de una situación de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo. proporcionen explicaciones y ampliaciones.). justiﬁquen y expliquen los procedimientos seguidos o las soluciones propuestas20. pueden destacarse aquellos conﬁgurados desde ambientes informáticos como calculadoras. México. proponen nuevos retos y perspectivas a los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas en tanto que permiten reorganizaciones curriculares. La evaluación formativa como valoración permanente integra la observación atenta y paciente como herramienta necesaria para obtener información sobre la interacción entre estudiantes. Barcelona. No puede olvidarse que la calidad de los juicios que se emitan sobre el avance en los niveles de competencia de los estudiantes depende de un amplio número de evidencias de las actuaciones de los estudiantes. cada conjunto de recursos. sino que también integran diferentes tipos de representaciones para el tratamiento de los conceptos (tablas. simulaciones. En este sentido.). o si no existen. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. MEN.
métrico. Los estándares presentados a continuación no deben pues entenderse como metas que se puedan delimitar en un tiempo ﬁjo determinado. aleatorio y variacional. complementado con los registros que cada estudiante debe llevar de su propio trabajo –carpetas para la Básica Primaria y diarios de clase y portafolios para la Básica Secundaria y la Media– ayuda para que los estudiantes se apropien de su propio avance y asuman la responsabilidad conjunta en su aprendizaje. a ir mucho más allá de lo especiﬁcado en los estándares de ese conjunto de grados.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
distintas situaciones que estimulen las producciones orales. sino que éstos identiﬁcan niveles de avance en procesos graduales que. pictóricas y escritas. El registro de las evidencias por parte del docente. se debe
. incluso. ojalá. si en un conjunto de dos grados se proponen 12 estándares para un determinado pensamiento. cuarto a quinto. no son terminales en el conjunto de grados para el que se proponen. y formular. gestuales. ni menos todavía puede pensarse en una separación por periodos del año escolar claramente delimitados para cada uno de esos estándares. modelar procesos y fenómenos de la realidad.
Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas seleccionan algunos de los niveles de avance en el desarrollo de las competencias asociadas con los cinco tipos de pensamiento matemático: numérico. seis para un grado y seis para el otro). cada estándar de cada columna pone el énfasis en uno o dos de los cinco procesos generales de la actividad matemática que cruzan dichos tipos de pensamiento (formular y resolver problemas. con el ﬁn de ir superando niveles de complejidad creciente en el desarrollo de las competencias matemáticas a lo largo del proceso educativo. ello no signiﬁca que éstos pueden dividirse por partes iguales entre los grados de dicho conjunto (por ejemplo. aunque muchos de esos estándares se reﬁeran también a otros tipos de pensamiento y a otros sistemas. sexto a séptimo. Por ello aparecen en cinco columnas que corresponden a cada uno de dichos tipos de pensamiento y a los sistemas conceptuales y simbólicos asociados a él. octavo a noveno y décimo a undécimo) para dar mayor ﬂexibilidad a la distribución de las actividades dentro del tiempo escolar y para apoyar al docente en la organización de ambientes y situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo que estimulen a los estudiantes a superar a lo largo de dichos grados los niveles de competencia respectivos y. Dicho de otra manera. El conjunto de estándares debe entenderse en términos de procesos de desarrollo de competencias que se desarrollan gradual e integradamente. En forma semejante. Los estándares se distribuyen en cinco conjuntos de grados (primero a tercero. pero suele referirse también a otros procesos generales que pueden practicarse en distintos contextos para contribuir a superar el nivel seleccionado como estándar. comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos). Por el contrario. razonar. comunicar. espacial.
teorías y procedimientos de diferentes áreas. Una propuesta de integración curricular. de igual manera.
. narraciones o proyectos productivos21. E. proposiciones. El saber tiene sentido. Se trata. pues en la práctica del diseño de situaciones de aprendizaje es conveniente que se integren estándares de varios tipos de pensamiento matemático y de una o más áreas diferentes.. esta organización responde exclusivamente a una necesidad analítica. que están encabezadas por el tipo de pensamiento respectivo y los sistemas asociados a él. los estándares están distribuidos por columnas correspondientes a cada tipo de pensamiento y a sus sistemas asociados. en cada institución se pueden coordinar docentes de distintas áreas para proponer proyectos integrados que integren dos o más de ellas a lo largo de actividades programadas para resolver problemas de la institución o del entorno. ver también: Vasco. los estudiantes pueden avanzar con mucha motivación y satisfacción en distintas competencias relacionadas con varias áreas y llegar a superar varios de los estándares de esas áreas para un conjunto de grados y aun para otros conjuntos de grados más avanzados. se reﬁeren también a la siguiente estructura: Procesos generales Conceptos y procedimientos matemáticos Contextos
La estructura descrita es evidente en tanto los cinco procesos generales que se proponen en los Lineamientos Curriculares para toda actividad matemática y que se describieron arriba (formular y resolver problemas. distintos tipos de pensamiento matemático y todos los procesos generales. En una misma situación problema del área de matemáticas –y más todavía en proyectos integrados de dos o más de ellas– usualmente se involucran conceptos. entonces. para aprovechar de esta forma en cada situación las posibilidades de relacionar los distintos estándares y los diferentes tipos de pensamiento matemático. MEN. Bogotá.). 2 vols. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. Directora General de la Obra. los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas que aparecen en cada una de las cinco columnas. Bogotá. Sobre integración curricular. comunicar. en coherencia con su PEI. además. T. debe buscar el desarrollo de un trabajo integrado en los distintos pensamientos. Negret. C. razonar. Bermúdez. CINEP..
procurar una organización del trabajo escolar que garantice un trabajo integrado de todos los estándares correspondientes a mismo grupo de grados y que atienda a su conexión con los estándares de los grados anteriores y de los siguientes (ver más abajo la sección sobre coherencia vertical y horizontal de los estándares). y en el aprendizaje de un determinado concepto es necesario ubicarlo y utilizarlo en los distintos contextos. de comprender que la organización curricular de cada institución. A. (1999). Pequeños aprendices.
República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). C. comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos) constituyen las actividades intelectuales que van a permitir a los estudiantes alcanzar y superar un nivel suﬁciente en las competencias. más que el progreso en cada uno de ellos independientemente de los demás. modelar procesos y fenómenos de la realidad. y León. Así mismo. o articuladas alrededor de tópicos generadores. H.. y formular. Esto se logra si el desarrollo del trabajo en el aula se piensa desde las situaciones de aprendizaje –y en particular desde las situaciones problema– más que desde los contenidos.Si bien en este libro el capítulo de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas se encuentra separado de los de otras áreas y del de las competencias ciudadanas y. A través de uno solo de estos proyectos integrados debidamente diseñado y gestionado. Escobedo. J.
Así.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
tal como se ha descrito. métrico. del mismo modo. Los estándares para cada pensamiento están basados en la interacción entre la faceta práctica y la formal de las matemáticas y entre el conocimiento conceptual y el procedimental. para superarlos ampliamente. como por ejemplo. pueden alcanzarse usualmente por más de una vía. ojalá. los distintos signiﬁcados de las fracciones o los signiﬁcados de la multiplicación presentes en la estructura multiplicativa. para darles oportunidad de avanzar en los niveles de competencia matemática señalados en los estándares del conjunto de grados respectivo y. la complejidad conceptual de sus conocimientos no se evidencia sólo en los aspectos formales de la disciplina que ellos pueden expresar verbalmente o por escrito. espacial. el desarrollo de las competencias es mediado por diferentes contextos. la lectura y escritura de números). variacional y aleatorio). de las ﬁguras geométricas. se requiere entretejer los hilos de aprendizaje para construir contextos y situaciones que permitan avanzar hacia las matemáticas formales. si bien es necesario distinguir procesos y procedimientos asociados a cada uno de esos tipos (por ejemplo. las representaciones de relaciones entre dos variables por medio de gráﬁcas cartesianas o las representaciones en gráﬁcos de barras en los sistemas de datos. los contextos y situaciones dentro de los cuales los estudiantes pueden desplegar su actividad matemática pueden y deben involucrar mayores niveles de complejidad y ofrecerles desafíos cada vez más retadores.
La complejidad conceptual y la gradualidad del aprendizaje de las matemáticas a las que ya se hizo mención exigen en los estándares una alta coherencia tanto vertical como horizontal. ambientes y situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo de las matemáticas. Esta propuesta requiere reconocer que si bien el aprendizaje de las matemáticas se inicia en las matemáticas informales de los estudiantes en contextos del mundo real y cotidiano escolar y extraescolar. la representación de conceptos geométricos por medio de ﬁguras. que un concepto matemático admite diversas aproximaciones. como es el caso de los procedimientos asociados a las representaciones gráﬁcas. eﬁcacia y actitud positiva. La segunda está
. también es necesario reconocer que algunos son transversales a varios de ellos. pues el uso de gráﬁcas incluye la representación lineal de los números en la recta numérica. tal como se ha descrito en cada pensamiento. en donde procesos generales como la comunicación y el razonamiento son esenciales para todos ellos. las proposiciones acerca de las propiedades de las operaciones numéricas. A medida que los estudiantes vayan disponiendo de mejores comprensiones conceptuales. sino también en el tipo de procesos generales de la actividad matemática que pueden realizar con solvencia.. La primera está dada por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento en los otros conjuntos de grados. El tejido de estos hilos requiere aceptar. A medida que los estudiantes avanzan en la Educación Básica y Media. etc. para el numérico. En cuanto a cada uno de los cinco tipos de pensamiento (numérico. van a poder desarrollar procesos de mayor complejidad y estarán en capacidad de enfrentar el tratamiento de situaciones de mayor nivel de abstracción.
como sí es importante en las gráﬁcas circulares. De 4º a 5º: Selecciono unidades. la coherencia vertical se hace evidente en el primer ejemplo. porque –si bien el contenido matemático es el mismo: la medición– aquello que varía en los estándares de pensamiento métrico de un conjunto de grados a otro es la complejidad y precisión del proceso de medición o la de las unidades utilizadas. Pensamiento Aleatorio: Represento datos relativos a mi entorno usando objetos concretos. pictogramas y diagramas de barras.. si en los pictogramas o en las gráﬁcas de barras es importante sólo la altura o también el área de la barra. De 6º a 7º: Identiﬁco relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. Pensamiento Geométrico: Reconozco congruencia y semejanza entre ﬁguras (ampliar. de acuerdo al contexto.
dada por la relación que tiene un estándar determinado con los estándares de los demás pensamientos dentro del mismo conjunto de grados. en donde los resultados de las mediciones implican el pensamiento numérico). apropiadas para diferentes mediciones. De 8º a 9º: Justiﬁco la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias.
Pensamiento Numérico: Describo. etc. Así. que toma distintos estándares relacionados con el pensamiento métrico. lo que involucra el pensamiento espacial) y seleccionar los tipos de gráﬁcas y las convenciones necesarias para traducir los datos numéricos de las tablas de datos en el tipo de gráﬁca seleccionado (pensamiento aleatorio). la hora del día. porque en los procesos de medición (pensamiento métrico) es necesario describir la situación numéricamente (por ejemplo un área o volumen.
De 10º a 11º: Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión especíﬁcos.Un ejemplo de la coherencia vertical y de la horizontal se presenta en el diagrama siguiente. reducir). comparo y cuantiﬁco situaciones con números.
Pensamiento métrico Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados. tanto convencionales como estandarizadas.
. tener en cuenta las características geométricas de los patrones y gráﬁcos usados para describir los datos (por ejemplo. la temperatura del salón. en diferentes contextos y con diversas representaciones. La coherencia horizontal también es clara en el ejemplo siguiente.
• Resuelvo y formulo problemas en situaciones de variación proporcional. • Reconozco y aplico traslaciones y giros sobre una ﬁgura. conteo.) en diferentes contextos. ábacos. comparo y cuantiﬁco situaciones con números. reducir). etc. en diferentes contextos y con diversas representaciones.). paralelismo y perpendicularidad en distintos contextos y su condición relativa con respecto a diferentes sistemas de referencia. etc. localización entre otros). • Identiﬁco regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes instrumentos de cálculo (calculadoras. si a la luz de los datos de un problema. • Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para explicar el valor de posición en el sistema de numeración decimal.
• Reconozco signiﬁcados del número en diferentes contextos (medición. comparación.
• Diferencio atributos y propiedades de objetos tridimensionales. • Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para realizar equivalencias de un número en las diferentes unidades del sistema decimal. • Reconozco congruencia y semejanza entre ﬁguras (ampliar. codiﬁcación. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición y de transformación. los resultados obtenidos son o no razonables. • Describo situaciones de medición utilizando fracciones comunes. etc. distancia y posición en el espacio.) y relaciones entre ellos (ser mayor que. • Uso diversas estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. • Reconozco nociones de horizontalidad. ser divisible por. • Reconozco propiedades de los números (ser par. ser múltiplo de. • Desarrollo habilidades para relacionar dirección. bloques multibase.. • Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas. verticalidad.
. • Describo. • Represento el espacio circundante para establecer relaciones espaciales. • Identiﬁco. ser menor que. ser impar..COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar tercer grado. • Reconozco y valoro simetrías en distintos aspectos del arte y el diseño. • Realizo construcciones y diseños utilizando cuerpos y ﬁguras geométricas tridimensionales y dibujos o ﬁguras geométricas bidimensionales. • Dibujo y describo cuerpos o ﬁguras tridimensionales en distintas posiciones y tamaños.
peso y masa) y.
. • Construyo secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números y de las ﬁguras geométricas. • Comparo y ordeno objetos respecto a atributos medibles. musical. su duración. geométrico. • Reconozco el uso de las magnitudes y sus unidades de medida en situaciones aditivas y multiplicativas. área. de acuerdo al contexto. pictogramas y diagramas de barras. • Realizo estimaciones de medidas requeridas en la resolución de problemas relativos particularmente a la vida social. • Represento datos relativos a mi entorno usando objetos concretos.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Reconozco en los objetos propiedades o atributos que se puedan medir (longitud. • Resuelvo y formulo preguntas que requieran para su solución coleccionar y analizar datos del entorno próximo. económica y de las ciencias. • Explico –desde mi experiencia– la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de eventos cotidianos. • Reconozco y genero equivalencias entre expresiones numéricas y describo cómo cambian los símbolos aunque el valor siga igual.
• Clasiﬁco y organizo datos de acuerdo a cualidades y atributos y los presento en tablas. • Predigo si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro. • Describo situaciones o eventos a partir de un conjunto de datos.
• Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico. • Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados. volumen. • Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural. dibujos y gráﬁcas. en los eventos. • Identiﬁco regularidades y tendencias en un conjunto de datos. • Analizo y explico sobre la pertinencia de patrones e instrumentos en procesos de medición. capacidad. entre otros). • Interpreto cualitativamente datos referidos a situaciones del entorno escolar.
Al terminar quinto grado. • Identiﬁco y uso medidas relativas en distintos contextos. • Construyo y descompongo ﬁguras y sólidos a partir de condiciones dadas. • Justiﬁco el valor de posición en el sistema de numeración decimal en relación con el conteo recurrente de unidades.
• Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición. la necesidad de un cálculo exacto o aproximado y lo razonable de los resultados obtenidos.
• Comparo y clasiﬁco objetos tridimensionales de acuerdo con componentes (caras.
. • Modelo situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa. inclinaciones. • Conjeturo y veriﬁco los resultados de aplicar transformaciones a ﬁguras en el plano para construir diseños. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa. comparación e igualación. razones y proporciones. • Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones. sus relaciones y operaciones. relaciones parte todo. vértices) y características. • Utilizo la notación decimal para expresar fracciones en diferentes contextos y relaciono estas dos notaciones con la de los porcentajes. aberturas. cociente. lados) y propiedades. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición. • Construyo objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y puedo realizar el proceso contrario en contextos de arte. • Identiﬁco. • Utilizo sistemas de coordenadas para especiﬁcar localizaciones y describir relaciones espaciales. • Justiﬁco regularidades y propiedades de los números. • Identiﬁco la potenciación y la radicación en contextos matemáticos y no matemáticos. represento y utilizo ángulos en giros. transformación. en el contexto de una situación. ﬁguras. • Comparo y clasiﬁco ﬁguras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos... diseño y arquitectura. • Identiﬁco. puntas y esquinas en situaciones estáticas y dinámicas. inversa y producto de medidas. • Uso diversas estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. • Identiﬁco y justiﬁco relaciones de congruencia y semejanza entre ﬁguras.
temperatura) y de algunas de las unidades que se usan para medir cantidades de la magnitud respectiva en situaciones aditivas y multiplicativas. apropiadas para diferentes mediciones. • Selecciono unidades. diagramas circulares). • Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varían en el tiempo con cierta regularidad en situaciones económicas. • Construyo igualdades y desigualdades numéricas como representación de relaciones entre distintos datos. propiedades o atributos que se puedan medir (longitudes. • Uso e interpreto la media (o promedio) y la mediana y comparo lo que indican. geométrica o gráﬁca. diagramas de líneas. duración de eventos o procesos. áreas de superﬁcies. sociales y de las ciencias naturales. tanto convencionales como estandarizadas. cuando se ﬁja una de estas medidas. • Reconozco el uso de algunas magnitudes (longitud. rapidez. (pictogramas. económica y de las ciencias. peso y masa.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Diferencio y ordeno. respecto a las dimensiones de ﬁguras y sólidos. • Interpreto información presentada en tablas y gráﬁcas. • Justiﬁco relaciones de dependencia del área y volumen. • Describo y argumento relaciones entre el perímetro y el área de ﬁguras diferentes. diagramas circulares).
• Represento datos usando tablas y gráﬁcas (pictogramas. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos provenientes de observaciones. área. gráﬁcas de barras. volúmenes de cuerpos sólidos. • Represento y relaciono patrones numéricos con tablas y reglas verbales. • Utilizo diferentes procedimientos de cálculo para hallar el área de la superﬁcie exterior y el volumen de algunos cuerpos sólidos. pesos y masa de cuerpos sólidos. duración. utilizando rangos de variación. consultas o experimentos. • Utilizo y justiﬁco el uso de la estimación para resolver problemas relativos a la vida social.
• Describo e interpreto variaciones representadas en gráﬁcos. capacidad. amplitud de ángulos). • Describo la manera como parecen distribuirse los distintos datos de un conjunto de ellos y la comparo con la manera como se distribuyen en otros conjuntos de datos. gráﬁcas de barras. volumen. en objetos y eventos. • Predigo patrones de variación en una secuencia numérica. • Comparo diferentes representaciones del mismo conjunto de datos. distancias. diagramas de líneas. • Conjeturo y pongo a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos. volúmenes de líquidos y capacidades de recipientes.
• Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.) y de las operaciones entre ellos (conmutativa.. multiplicación. en diferentes contextos y dominios numéricos. reﬂexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre ﬁguras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte. • Identiﬁco características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográﬁca. sustracción. etc. • Justiﬁco la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas.
• Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas. • Justiﬁco la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas. • Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simétrica. etc. • Justiﬁco procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. • Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación. utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal. • Justiﬁco la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números naturales a la representación decimal usual de los números racionales. • Justiﬁco el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa. división y potenciación. • Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. • Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales.
• Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas. las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición. • Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situaciones diversas de conteo.
. decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida. razones. • Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar séptimo grado. rotaciones. en sus distintas expresiones (fracciones. transitiva. • Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números. asociativa. • Utilizo números racionales. • Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones..) en diferentes contextos. utilizando calculadoras o computadores. • Clasiﬁco polígonos en relación con sus propiedades. • Identiﬁco y describo ﬁguras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de objetos tridimensionales. como las de la igualdad.
) en relación con la situación que representan. diagramas circulares. por ejemplo) para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia de un evento. • Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de ﬁguras y cuerpos. • Resuelvo y formulo problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas. complementación) en la solución de ecuaciones. produzco y comparo representaciones gráﬁcas adecuadas para presentar diversos tipos de datos.
• Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas. • Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación. formadas por segmentos. diagramas circulares. entrevistas). diagramas de barras.
. • Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables. revistas. • Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación). mapas). • Utilizo métodos informales (ensayo y error. • Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación. expresiones verbales generalizadas y tablas). (diagramas de barras. de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos. mediana. consultas. • Predigo y justiﬁco razonamientos y conclusiones usando información estadística. • Identiﬁco las características de las diversas gráﬁcas cartesianas (de puntos. televisión. • Uso modelos (diagramas de árbol. etc. • Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabilidad. • Identiﬁco relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. moda) para interpretar comportamiento de un conjunto de datos.) • Uso medidas de tendencia central (media.
• Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa. experimentos. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de ﬁguras planas y cuerpos con medidas dadas. continuas. • Interpreto.
• Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.
. la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas. • Aplico y justiﬁco criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas. • Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar noveno grado. • Identiﬁco y utilizo la potenciación.
• Conjeturo y veriﬁco propiedades de congruencias y semejanzas entre ﬁguras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.. • Resuelvo problemas y simpliﬁco cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. • Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.. • Utilizo la notación cientíﬁca para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.
• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. evento. consultas. experimentos. técnicas de conteo). de información y al nivel de la escala en la que esta se representa (nominal. • Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema. • Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados. • Identiﬁco diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. consultas. • Identiﬁco y utilizo diferentes maneras de deﬁnir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación. • Analizo los procesos inﬁnitos que subyacen en las notaciones decimales. ordinal.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos. • Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa. (prensa. mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría. televisión. • Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico. • Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes.
• Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones. exponenciales y logarítmicas. • Interpreto y utilizo conceptos de media.). • Analizo en representaciones gráﬁcas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones especíﬁcas pertenecientes a familias de funciones polinómicas. volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados. • Justiﬁco la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias. revistas.
• Identiﬁco relaciones entre propiedades de las gráﬁcas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. televisión. entrevistas). independencia. • Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.
. • Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. entrevistas. diagramas de árbol. racionales. • Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral. áreas de superﬁcies. • Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas. de intervalo o de razón). • Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas. revistas. etc. experimentos. • Identiﬁco la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráﬁcas que las representan.
. • Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.11
• Identiﬁco en forma visual. • Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos. • Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir. • Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos.
• Analizo representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
10 . • Utilizo argumentos de la teoría de números para justiﬁcar relaciones que involucran números naturales. manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. diagonales y transversales en un cilindro y en un cono. cilíndricos y esféricos) y en particular de las curvas y ﬁguras cónicas. • Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de ﬁguras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas ﬁguras. • Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales. gráﬁca y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales.. enteros. geométricos y algebraicos. • Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada. En las tablas anteriores aparece la versión original planteada por los expertos que se encargaron de estructurar los estándares.
. La publicación de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas realizada por el MEN en 2003 salió con algunos errores que se cometieron al momento de diseñar la cartilla. • Identiﬁco características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares.
localización. • Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen deﬁnir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes. la aceleración media y la densidad media. • Uso comprensivamente algunas medidas de centralización.
. • Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones. • Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas. • Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos. muestreo aleatorio. • Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas. varianza. • Justiﬁco o refuto inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. distribución de frecuencias. dispersión y correlación (percentiles. naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta. centralidad. rangos de variación y límites en situaciones de medición. muestra. • Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas. variable aleatoria. espacio muestral. • Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. • Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.
• Utilizo las técnicas de aproximación en procesos inﬁnitos numéricos. • Justiﬁco resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva. parámetros y estadígrafos). cuartiles. distancia.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión especíﬁcos. • Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráﬁcas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas. covarianza y normalidad). rango. • Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población. como la velocidad media. permutaciones. muestreo con remplazo).
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Carlos Eduardo Vasco U. Pontiﬁcia Universidad Javeriana . Universidad Distrital “Francisco de Paula Santander” .Ángela Duarte P. Universidad del Cauca .. Universidad del Valle .Gilberto Obando Z..Grupo de Maestros del Cadel Suba . Universidad Distrital Francisco José de Caldas . Coordinación General Ascofade.Pedro Javier Rojas G.Carlos Alberto Trujillo S.Pedro Javier Rojas G..Jorge Castaño. Universidad Externado de Colombia .Grupo de Maestros del Distrito Capital de Bogotá . consultora Ascofade..Grupo de Maestros del Colegio José Acevedo y Gómez. consultor Ascofade . Universidad de Antioquia El texto ha sido elaborado con base en un documento preliminar redactado por el grupo que elaboró los estándares y otro que tuvo como autoras a: Cecilia Casasbuenas.Silvia Bonilla J...Carlos Alberto Trujillo S..Ligia Amparo Torres R.. Medellín. Universidad Externado de Colombia .Ana Celia Castiblanco P.Carlos Eduardo Vasco. Universidad del Cauca . Universidad de Antioquia . Virginia Cifuentes. . consultor independiente . Se agradecen los comentarios y aportes a dicho texto de: .Miryam Ochoa.Gilberto Obando Z.Secretaría de Educación Distrital . Universidad de Antioquia . consultora Ascofade .Beatriz Espinosa B. Normal Superior Farallones de Cali .Gloria García O.Ligia Amparo Torres R.Orlando Mesa B.Myriam Acevedo M. Universidad Nacional de Colombia .Grupo de Maestros de Antioquia .Cecilia Casasbuenas S.... Colegio Nacional “Magdalena Ortega de Nariño”..Diego Garzón C.. consultor Ascofade Texto sobre los referentes conceptuales de los estándares (páginas 46 a 79) ... MEN
. Universidad del Cauca Participantes en el proceso de validación nacional . consultora Ascofade . Universidad del Valle . Universidad Pedagógica Nacional .Grupo de Maestros de la Normal Superior Farallones de Cali ..Créditos de Estándares Básicos de Competencias de Matemáticas
Gloria García O.Colegio Champagnat ..Ivan Obregón Sanín. Colegio Nacional Magdalena Ortega de Nariño . Universidad del Valle. Universidad Nacional de Colombia ... consultora Ascofade y Beatriz Espinosa B. Subdirección de Estándares y Evaluación.Grupo Educación Matemática.Myriam Acevedo M... Universidad Pedagógica Nacional Formulación de los estándares .
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COMPETENCIAEN MATEMATICAS by caeclina139 viewsEmbedDownloadRead on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)List price: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMore informationShow less
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