Source: https://www.scribd.com/document/30475108/Numero-y-operaciones2
Timestamp: 2017-07-27 09:33:34+00:00

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Numero y operaciones2Uploaded by Prof Stella MenéndezRelated InterestsNumbersNatural NumberMultiplicationSubtractionWritingRating and Stats0.0 (0)Document ActionsDownloadShare or Embed DocumentEmbedView MoreCopyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentnapEl reconocimiento y uso de los números naturales, de su designación oral y representación escrita y de la organización del sistema de numeración en situaciones problemáticas. El reconocimiento y uso de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en situaciones problemáticas.
Para que los alumnos puedan aprender los saberes incluidos en los núcleos, en la escuela tendremos que proponer situaciones de enseñanza en las que se pongan en juego distintos aspectos de estos. Se trata de que los conocimientos matemáticos se introduzcan en el aula asociados con los distintos problemas que permiten resolver para luego identificarlos y sistematizarlos. Esto es:
• Usar números naturales de una, dos, tres y más cifras, a través de su designación oral y representación escrita, al comparar cantidades y números. • Identificar regularidades en la serie numérica y analizar el valor posicional en contextos significativos al leer, escribir, comparar números de una, dos, tres y más cifras, y al operar con ellos. • Usar las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con distintos significados. • Realizar cálculos exactos y aproximados de sumas y restas con números de una, dos y tres cifras eligiendo hacerlo en forma mental o escrita en función de los números involucrados articulando los procedimientos personales con los algoritmos usuales. • Usar progresivamente resultados de cálculos memorizados (sumas de decenas enteras, complementos a 100, dobles) y las propiedades de la adición y la multiplicación para resolver otros. • Explorar relaciones numéricas1 y reglas de cálculo de sumas, restas y multiplicaciones, y argumentar sobre su validez. • Elaborar preguntas o enunciados de problemas y registrar y organizar datos en listas y tablas a partir de distintas informaciones.
Las relaciones numéricas que se exploren estarán vinculadas con los conocimientos disponibles sobre el sistema de numeración decimal y/o las operaciones.
En este apartado, intentamos precisar el alcance y el sentido de los conocimientos que se priorizan en el Eje “Número y Operaciones” con ejemplos de actividades para desarrollar en el aula y de producciones de los niños. Además, presentamos posibles secuencias de enseñanza que muestran el tipo de trabajo matemático propuesto desde el enfoque explicitado en el apartado “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”. Para leer y escribir los números naturales Los números naturales se usan en diferentes situaciones, por ejemplo, para determinar la cantidad de elementos de una colección (aspecto cardinal), para saber en qué posición se encuentra un objeto dentro de una lista ordenada (aspecto ordinal), y también para anticipar resultados de una transformación en la cantidad de objetos de una colección pero sobre los cuales se tiene alguna información. Por ejemplo, si sabemos sumar 4 + 3 = 7 no es necesario realizar un conteo efectivo para conocer cuántos chicos hay en una plaza donde había 4 jugando y después llegaron 3. En 2o año/grado también se usan los números para expresar medidas. En general, las medidas se indican con números racionales, que se escriben con expresiones fraccionarias o decimales. En algunos casos, como al indicar que un recorrido es de 5 baldosas o de 4 pasos, se escribe un número natural, que también es racional (5 = 10 = … ; 4 = 400 = … ). 2 100 En cuanto a las formas de representar los números naturales, consideramos tanto su designación oral, es decir, la forma de nombrarlos y leerlos, como su escritura convencional con cifras. Para aprender los números, es necesario, en principio, que los chicos los usen en diferentes situaciones y discutan las relaciones que establecen entre esas dos formas de representación. Para que los alumnos continúen avanzando en el conocimiento de la representación de los números naturales, es necesario que ofrezcamos una amplia y variada gama de problemas en tramos de la serie numérica cada vez más amplios. Para dicho trabajo, es conveniente plantear situaciones como las que se desarrollan en este apartado que den lugar a que los chicos puedan contar de 1 en 1, de 2 en 2 y de 10 en 10, registrar cantidades y posiciones, analizar escrituras, comparar y ordenar números en distintos intervalos de la serie. En cuanto a las situaciones donde usen números para anticipar el resultado de una transformación de la cantidad de elementos, desarrollaremos algunos ejemplos en el apartado “Plantear situaciones para sumar y restar con distintos significados”.
Cuando se apunte al trabajo con regularidades y se consideren distintos tramos de la serie numérica, el trabajo de reflexión sobre qué se repite y qué varía en cada uno se apoyará en la posibilidad de leer y escribir los números y a la vez contribuirá a ampliar estos conocimientos. Plantear situaciones para determinar cantidades y posiciones El avance en el dominio del conteo se puede dar en la medida en que planteemos situaciones que apunten a la extensión de la serie numérica, es decir que tengan que contar hasta números más grandes que los conocidos. Estas situaciones podrán requerir contar de 1 en 1 a partir de 1 o desde un número cualquiera, descontar desde cualquier número, y también contar de 2 en 2, de 5 en 5 o de 10 en 10. Para este último caso, se podrá proponer, por ejemplo, la siguiente actividad, basada en un juego clásico y bastante difundido. “El que mueve pierde”: contar de 2 en 2, de 5 en 5 y de 10 en 10 Materiales: para cada grupo, un juego de palitos chinos o 30 palitos de madera pintados de 3 colores diferentes. A cada color se le asignará un puntaje, por ejemplo: 2 para el rojo, 5 para el verde y 10 para el azul. Organización del grupo: se divide la clase en grupos de 2, 3 o 4 alumnos. Desarrollo: en cada grupo, un alumno toma con una mano todos los palitos, los coloca en posición perpendicular a la mesa y luego los deja caer. Los palitos quedarán entonces sobre la mesa, superpuestos o no, y en distintas posiciones. Respetando el orden de la ronda, cada jugador levanta de a uno los palitos sin mover los demás. En el momento en que mueve alguno, debe dejar el turno al siguiente jugador. Cuando no quedan palitos sobre la mesa, cada uno cuenta el puntaje obtenido teniendo en cuenta el valor de cada palito. Se asigna 20 puntos extras al primero que obtiene su puntaje total. En la primera vuelta, probablemente los chicos usarán variadas estrategias para averiguar el puntaje total; las intervenciones tendrían que apuntar a la conveniencia de organizar los palitos obtenidos por colores y luego realizar el conteo. Más adelante en el año, se puede proponer que jueguen varias vueltas y que el conteo parta desde el número registrado en la vuelta anterior.
Otros juegos en los que hay que hacer un recuento de puntaje pueden dar lugar al uso de distintas escalas. Por ejemplo, en un tiro al blanco donde los diferentes puntajes están en el blanco y cada acierto en un sector vale 10 puntos, en otro, 5 puntos y en el tercero, 2 puntos, o en un juego de embocar objetos en una lata donde los distintos puntajes se asignan a los colores de los objetos que se tiran, por ejemplo pelotitas de papel o chapitas. También podemos presentar situaciones en las que sea necesario contar los elementos ordenados de una colección numerosa, como las sillas ordenadas en filas de 10 en el salón de actos, los bancos puestos de a 5 en cada mesa en el comedor de una escuela, los ravioles en las planchas, los tutores de plantas colocados con una distancia fija entre ellos. Otras situaciones propicias para contar colecciones numerosas que, en principio, no están ordenadas, son los votos de todos los alumnos de la escuela o de varios grados cuando se elige el nombre de la biblioteca o del periódico escolar, los tomates recogidos en una huerta o los troncos de árboles talados.2
Recomendación de lectura: se recomienda la lectura de la secuencia “El coleccionista” desarrollada en el Cuaderno para el aula: Matemática 1, en la que los alumnos tienen que contar “grandes colecciones” desordenadas. Las citas completas de los textos mencionados en este Eje se encuentran en la “Bibliografía”, al final de este Cuaderno.
Luego de contar los elementos de las colecciones, podemos tanto analizar los procedimientos utilizados como las dificultades encontradas. Es probable que algunos alumnos, al contar los elementos de 1 en 1, hayan “perdido la cuenta” en más de una oportunidad mientras que otros pueden armar grupos o montoncitos con los objetos, o descubrir la regularidad de los elementos en la repetición (por ejemplo, 5 sillas por mesa o 10 butacas por fila). Así, los alumnos pueden llegar a descubrir las ventajas de ciertos procedimientos a partir del intercambio sobre cómo lo hizo cada uno, ya que agrupar los objetos facilita y permite que se haga más rápido el conteo de la colección. Convendrá también proponer situaciones en las que tenga sentido contar para atrás o descontar, como para indicar el momento exacto para comenzar una actividad a partir de la “cuenta regresiva”, por ejemplo, prepararse para una carrera y cuando se llega a 0 salir corriendo. Plantear situaciones para analizar la escritura de los números En 2o año/grado, debemos tener en cuenta que un mismo niño, al apoyarse en la información que extraen de la forma de nombrar los números, puede representar convencionalmente algunos números y otros de manera no convencional. Las investigaciones didácticas muestran que el aprendizaje de la escritura convencional de los números no sigue el orden de la serie numérica, es decir, primero los más chicos y luego los más grandes. Los niños aprenden primero a escribir algunos nudos o números redondos (10, 20, …, 100, 200, …, 1000, etc.) y después se apropian de la escritura de los números que se ubican en los intervalos entre los nudos. Veamos unos ejemplos.
En este caso, podemos preguntarnos qué sabe Diego de los números. Conoce cómo se escriben convencionalmente algunos de dos y tres cifras (54 y 154) y también algunos nudos (400 y 500). Para escribir 354, Diego se apoya en la información que extrae de la “numeración hablada”, el 354 se lee trescientos cincuenta y cuatro, lo que da cuenta de la descomposición aditiva 300 + 50 + 4. Entonces, Diego comienza a escribir el “trescientos” pero continúa escribiendo el 54 de manera convencional porque ya lo conoce. Estas escrituras erróneas aparecen al plantear como problema la escritura de números “grandes”, que todavía no han sido objeto de enseñanza y, en algunos casos, subsisten aun cuando se hayan trabajado. Es posible entonces,
desde el enfoque que planteamos, aprovechar estas producciones para que los chicos avancen en el conocimiento de la serie al confrontar las distintas escrituras que aparecen.3 Un problema a plantear para analizar escrituras tanto si esas escrituras se han producido en clase como si esto no ha ocurrido sería: al escribir trescientos cincuenta y cuatro y cuatrocientos, unos chicos lo hicieron de este modo; ¿están bien escritos así?
Se podría generar un espacio de intercambio en el cual los alumnos pueden explicitar y discutir sus ideas. Ellos, en general, ya saben que el 400 es mayor que el 354 y también que los números más grandes tienen igual o más cifras, por lo que pueden llegar a la conclusión de que si el cuatrocientos es mayor que el trescientos cincuenta y cuatro, este último no puede tener mayor cantidad de cifras. A partir de la confrontación entre las diferentes escrituras numéricas de los alumnos y entre las argumentaciones con que ellos las fundamentan, es posible que sus hipótesis entren en contradicción y que avancen hacia la notación convencional.
Recomendación de lectura: para profundizar en el conocimiento de las hipótesis de los alumnos acerca de la escritura de los números, se recomienda la lectura de Lerner, D. y Sadovsky, P., “El sistema de numeración. Un problema didáctico”, en: Parra, C. y Saiz, I. (comps.) (1994).
Otra manera de discutir sobre este tipo de escrituras consistiría en dar “pistas”, es decir, cierta información que les permita acercarse a la escritura convencional. Por ejemplo, se puede escribir en el pizarrón:
y preguntar: ¿cómo se escribirá el 330? ¿y el 340? ¿y el 350? ¿Les sirve esto para revisar cómo está escrito el trescientos cincuenta y cuatro? En este año/grado, las actividades de análisis de la escritura de números incluirán, por lo menos, los que tienen una, dos y tres cifras. Estas tareas podrán plantearse a propósito de situaciones de la vida cotidiana de la escuela y que, aunque no es frecuente que los chicos participen de su resolución, pueden ser tomadas por el docente para generar en el grupo la necesidad de leer y escribir números. Si bien en algunas de estas los chicos también tendrían que operar, deberán pasar primero por una instancia de registro de cantidades y por otra de interpretación de números. Esto puede ocurrir, por ejemplo, si hay que hacer una compra de útiles escolares o de cubiertos, vasos o platos para el comedor. En tal caso, podemos preguntar qué datos son necesarios para decidir la compra, organizar maneras de generar información, operar eventualmente con ella y registrarla. Luego, al realizar la compra y ante la caja de los platos, se podrá analizar qué datos de la información de la etiqueta pueden ser útiles, por ejemplo, el número de platos envasados o el número de artículo para que todos sean iguales.4
En el apartado “Los contextos” de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno se ha reflexionado sobre los múltiples factores que determinan las decisiones que tomamos en nuestra vida cotidiana. Por lo tanto, es conveniente que desarrollemos un intenso trabajo de análisis de la información disponible que puede influir en la toma de decisiones cotidianas.
En todos los casos, es necesario que los contextos no matemáticos en los que trabajemos con los números tengan sentido para los alumnos. Por ejemplo: rifas de un talonario, figuritas en un álbum, precios, distancias entre distintas localidades.
La lectura y escritura de números también se puede asociar con el registro o la interpretación de información que derive del trabajo en otras áreas o proyectos particulares en los cuales se manejen cantidades de tres cifras, por ejemplo, las distancias entre ciudades en Ciencias Sociales.
También se pueden analizar las escrituras cuando los números no se refieran a cantidades de objetos, como en un juego de lotería con números de tres cifras en el que uno del grupo canta los números y los demás ponen los porotos correspondientes en los cartones. Es frecuente que presentemos actividades de completamiento de escalas, lo que requiere contar y descontar y también analizar las escrituras numéricas. Para evitar que esto se convierta en una actividad tediosa y sobre la cual los alumnos no tienen indicios de cómo la van realizando, es conveniente que ofrezcamos una cantidad limitada de números, que los alumnos sean los que deban descubrir de a cuánto se avanza o retrocede, e incluir algunos números intercalados que les permitan evaluar si los completamientos realizados fueron correctos. Por ejemplo,
Descubrí cómo está armada cada serie de números sabiendo que la regla para pasar de cada número al siguiente es siempre la misma, y luego completá los espacios que faltan. 410 - 415 - …… - …… - …… - 435 600 - 500 - …… - …… - 200 - ……
En actividades como las siguientes, los alumnos, además de leer y escribir números de dos y tres cifras, escribir intervalos numéricos y encuadrar números entre otros dos, tendrán ocasión de analizar las escrituras. Podemos plantear la siguiente consigna para que resuelvan en pequeños grupos.
Un grupo de 10 chicos integrantes de un equipo de voleibol organizaron una rifa para recaudar fondos para viajar al encuentro anual. El talonario empieza en el 0 y termina en el 199. Los chicos deciden que cada uno va a vender 20 rifas y las reparten de modo de recibir números consecutivos. El primero recibió desde el 0 a 19. Indiquen desde qué número y hasta qué número le corresponde a cada chico.
Al hacer la puesta en común de lo realizado por los grupos, hay que comparar las respuestas de cada uno, ya que algunos habrán escrito todos los números de cada chico y otros solo los de los extremos. Luego se puede presentar una actividad a partir de un cuadro como el siguiente, sugiriendo que otros alumnos también han organizado una rifa y anotaron en un cuadro la información del reparto de los números. Estos chicos vendían 50 rifas cada uno e indicaron solo el primero y el último número del talonario que recibió cada uno.
Completá los números que faltan. Bruno 0-49 José …-… Juan 50-99 Marco 300 - … Dan 100 - … Martín …-… Luis 150 - … Pedro …-… Pepe … - 249 Diego … - 499
Respondé. La tía de Juan quiere las rifas con los números 424 y 205; ¿a quiénes deberá comprárselas?
Plantear situaciones para comparar y ordenar cantidades y números Avanzar en la comprensión del orden de la serie numérica requiere de la comparación tanto de cantidades como de números de igual o diferente cantidad de cifras. Por ejemplo, para que los chicos comparen cuatro números de tres cifras se puede presentar el siguiente juego. “Armando el mayor”: comparar números Materiales: un mazo de 40 cartas con las cifras del 0 al 9 cada cuatro jugadores. Organización: la clase se divide en grupos de 4 alumnos.
Desarrollo: se reparten al azar 3 cartas a cada integrante y se les solicita que cada uno arme el mayor número posible. Luego, comparan los números logrados y se anota un punto el que armó el mayor. Al cabo de cuatro vueltas, el ganador es el que obtiene más puntos. Luego de jugarlo varias veces, será posible abrir un espacio de discusión para que los alumnos expliciten las razones por las que pueden afirmar que un número es mayor o menor que otro. En este sentido, sería interesante que queden registradas en los cuadernos de clase algunas conclusiones como: el que tiene un número más grande a la izquierda es mayor o cuando dos números empiezan igual nos tenemos que fijar en el número siguiente para saber cuál es el más grande. Esto permitirá volver a ellas en el caso de que alguna nueva situación así lo requiera. Podemos introducir variantes a este juego modificando la consigna, es decir, se puede indicar que ganará la mano aquel que logre formar “el menor número posible” o “un número que esté en un intervalo determinado, por ejemplo, entre 300 y 500”. Esto les permitirá arribar a nuevas conclusiones.5 Después de jugar, se pueden plantear problemas que simulan situaciones de juego en los que deberán tener en cuenta las conclusiones a las que arribaron en la discusión posterior. Martín recibió tres cartas con las cifras 3 - 5 - 7. Indicá cuál es el mayor número y cuál el menor que puede formar. • Con las cartas 2 - 4 - 9, escribí todos los números diferentes que se pueden armar y ordenalos de mayor a menor. • Nico sacó las cartas con las cifras 3 - 6 - 8. Indicá todos los números del intervalo 500 - 800 que pudo escribir. • Juan armó el número 973, Dani el 954 y María sacó un 9 y un 7. ¿Cuál es la tercera carta que le tocó si formó un número que está entre el que armó Juan y el de Dani? ¿Hay una única posibilidad?
En el apartado “Los contextos” de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” en este Cuaderno se plantea la necesidad de articular el juego con otras actividades para que este pueda constituirse en un recurso de enseñanza.
Luego, se pueden proponer otros problemas que permitan establecer relaciones del mismo tipo. Por ejemplo:
Completá la cifra que falta para que los tres números estén ordenados de menor a mayor 123 3_3 590 345 705 3_7 _04 389 806
Al finalizar la resolución individual, y en función de la confrontación de las respuestas de los alumnos, se puede generar una discusión acerca de la cantidad de soluciones que admiten estas situaciones. Para iniciar el debate se puede plantear: un chico me dijo que encontró tres soluciones para el segundo caso, ¿es posible? ¿Y para los otros? Otro tipo de actividad que permite a los alumnos establecer relaciones entre los números de un cierto intervalo seleccionado convenientemente es el siguiente. “Averiguar el número”: establecer relaciones entre números Organización del grupo: en equipos de hasta 4 participantes. Desarrollo: el maestro piensa un número perteneciente a un intervalo determinado previamente; por ejemplo, entre 0 y 100. Los participantes de cada grupo tendrán que realizar preguntas que se puedan responder por “sí” o por “no” para averiguar el número pensado. Cada grupo puede anotar lo que necesite para registrar su trabajo. Esas preguntas y sus respuestas no deben ser escuchadas por el resto de los grupos. Gana el grupo que averigua el número con menor cantidad de preguntas. A partir de este juego se pretende que los chicos utilicen relaciones como “es mayor que…”, “está entre… y …”, “es menor que…”, “termina en…”, “empieza con…”. En el transcurso, el docente podrá tomar información acerca de las relaciones que usan los alumnos, es decir, cuáles tienen efectivamente disponibles para la resolución del juego. La representación en una banda de números o una recta numérica del intervalo inicial y los fragmentos que se van descartando es un modo de registro que, si no es utilizado por los niños, puede ser introducido por el docente.
Después de dos o tres partidas, es posible pedirles que anoten las preguntas que van haciendo, sus respuestas y los números que fueron descartando a partir de ellas. Al finalizar el juego, se podrá entonces discutir respecto de cuáles son las mejores preguntas para ganar, es decir, cuáles son las que permiten descartar mayor cantidad de números. Para conocer el sistema de numeración El sistema de numeración decimal es un modo de representar cantidades que tiene características propias: usa un conjunto de diez símbolos entre los cuales el cero tiene una función especial y cada símbolo tiene un valor distinto según la posición que ocupe en el número. Para escribir una cantidad en este sistema, es necesario respetar algunas reglas: cuando se usa más de un símbolo, estos se escriben en forma horizontal, y en cada posición, el valor del símbolo es 10 veces mayor que en la posición a su derecha. Al abordar en la escuela el trabajo de interpretación y escritura de números, habitualmente se presentan las unidades, las decenas como grupos de 10 unidades, las centenas como grupos de 100 unidades (o de 10 decenas), etc. Este abordaje se centra en la idea de agrupamiento y en la descomposición del número en unidades, decenas y centenas, según la posición de cada cifra. Así, comprender que 345 es 3 centenas, 4 decenas y 5 unidades implica pensar el 345 como 3 x 100, 4 x 10 y 5 x 1. Esta descomposición, aunque se escriba solo como 3 c, 4 d y 5 u es una descomposición que involucra la multiplicación y es frecuente que se utilice antes de haber iniciado la enseñanza de la multiplicación. Otra manera de iniciar el estudio de la serie es considerar como punto de partida las ideas de los niños cuando tienen que interpretar números. Ellos, en general, para decidir cuánto vale una cifra en cada posición, se apoyan en la forma de nombrarlos: hay un lugar para los “dieces”, otro para los “cienes”, etcétera. Esto puede aprovecharse para relacionar la “numeración hablada” (la forma de decir los números) con la escrita. Así, es posible proponerles que exploren tramos de la serie numérica escrita para establecer relaciones entre los números y analizar regularidades. Las características que se repiten en cada tramo se dan tanto en lo oral como en lo escrito. Por ejemplo, a 31, 32, 33, corresponden a los “treinti”: treinta y uno , treinta y dos, treinta y tres. Esto no ocurre en el tramo del 11 al 15 porque sus nombres no comienzan con “dieci” ni en el caso de los “veinti...” ya que no se asocian con el 2 del mismo modo que los “treinti...” con el 3 o los “ochenti...” con el 8. La forma de nombrar los números da lugar a pensarlos como ya planteamos, como la suma de sus “partes”. Esta forma de descomposición, denominada aditiva, resulta más adecuada a las posibilidades que tienen los niños para iniciarse en el conocimiento del sistema de numeración.
Consideremos el siguiente cuadro como una presentación de los cien primeros números naturales en donde es más sencillo reconocer las primeras regularidades:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
Las regularidades de la serie numérica a la que nos referimos son las siguientes: los números que aparecen escritos en la primera fila son de una cifra y van cambiando desde 0 hasta 9. En la segunda fila, el primer número termina en 0, el segundo en 1 y el último en 9, mientras que la primera cifra no se modifica. Esta misma situación se repite en las filas siguientes. Al decir los números, entonces, todos los de una fila, a partir de la del 20, empiezan igual y terminan con la serie de uno a nueve: “veintiuno, veintidós, veintitrés,...”, “treinta y uno, treinta y dos, treinta y tres...”, etcétera. En las columnas, lo que cambia es el inicio del número, mientras que la última cifra se mantiene constante. Así, los números de la primera columna terminan en 0, en la segunda terminan en 1, etc. Al decir los números de una columna, todos empiezan pero terminan igual: “veintiuno, treinta y uno, cuarenta y uno”, etcétera. La explicitación y el análisis de las regularidades de nuestro sistema de numeración, así como la composición y descomposición aditiva de números irán dando lugar a que los chicos elaboren la idea de valor posicional de un modo incipiente, teniendo en cuenta que llevará varios años de la escolaridad lograr una comprensión más acabada de esta noción. Plantear situaciones para analizar regularidades El trabajo respecto de las regularidades de la serie se puede continuar en 2o año/grado con el mismo recurso utilizado en 1o, el cuadro de números de 0 a 100.
Luego, se pueden introducir nuevos cuadros para extender el estudio a otros intervalos numéricos, por ejemplo: de 100 a 200 o de 400 a 500 con los números aumentando de 1 en 1, o donde los números cambien de 10 en 10 (entre 1 y 1000).6 Las diversas actividades que presentamos apuntan al reconocimiento de la escritura de números y a la toma de conciencia del valor diferente que tiene cada cifra en el número escrito. En este sentido, es conveniente acercar nuestro lenguaje al que usan los chicos al nombrar las posiciones “cienes”, “dieces” y “unos”, pues esos son los términos significativos para ellos. Los contextos apropiados para presentar situaciones con estos cuadros numéricos suelen ser diferentes según el intervalo que se desee trabajar. Así, los números de 0 a 100 pueden identificar, además de números de una rifa, las habitaciones de un gran hotel o las posiciones en un juego de la lotería de cartones que se completa al sacar bolillas de una bolsa. Si se tratara de números mayores que 100, los cuadros pueden usarse como control de la venta de talonarios de rifas de más números, o de las figuritas que se completan en un álbum, o de los libros que un bibliotecario tiene inventariados en un fichero, o de un fotógrafo que tiene su material clasificado, etcétera. 7
Recomendación de lectura: según cuál sea el dominio de la serie de 1 a 100 alcanzado por los alumnos, se puede retomar el tratamiento de este tema por medio de las propuestas planteadas en el Cuaderno para el aula: Matemática 1, en el apartado “”Plantear situaciones para analizar regularidades”. Recomendación de lectura: para profundizar en el análisis de las actividades con cuadros numéricos se sugiere la lectura de: Parra, C. (1992), Los niños, los maestros y los números, Desarrollo curricular 1º y 2º grados.
En este cuadro, al igual que el que va desde 0 hasta 100, los números cambian de 1 en 1, la última cifra va cambiando desde 0 hasta 9 mientras la cifra del medio se mantiene igual en 10 números seguidos antes de cambiar al siguiente, en el que también realiza un recorrido de 0 a 9, etc. En cuanto a la tercera cifra comenzando desde la derecha, se mantiene igual para las10 filas. Luego de interactuar con el cuadro de números, es esperable que los alumnos comiencen a establecer ciertas relaciones que pueden ser enunciadas con frases como en esta columna todos los números terminan en...; en esta fila todos comienzan con...; todas las filas terminan en 9; después de los casilleros terminados en 9 viene uno que termina en 0; en esta fila el número del medio es...; si bajo un casillero es lo mismo que sumar 10; si subo un casillero es lo mismo que quitar 10, etcétera. Una primera actividad que se puede presentar con el cuadro anterior consiste en tapar algunos números, por ejemplo: 104, 112, 129, 137, 154, 173, 185 y preguntar: ¿cuáles son los números tapados? ¿Cómo se dieron cuenta? La consigna no solo requiere que los alumnos escriban o nombren cuál es el número: también es importante que fundamenten cómo se dieron cuenta a qué número corresponde cada casillero. Por ejemplo, algunos chicos podrían afirmar: es el 154 porque viene después del 153 y/o antes del 155; porque está en la fila del ciento cincuenta y conté cuatro lugares; porque está en la fila del 150 y en la columna de los que terminan con 4. Es a partir de la confrontación de las argumentaciones que se podrán generar discusiones acerca de la conveniencia de utilizar una u otra estrategia de acuerdo con el número en cuestión. Por ejemplo, comenzar a contar desde 100 puede resultar eficaz para averiguar los números más pequeños que estén tapados (104 o 112), pero no cuando se trata de números más grandes como el 185. Para continuar, se pueden proponer tablas con menos información presentando un cuadro con los números que encabezan las filas y las columnas, como el siguiente.
Completá los casilleros marcados.
300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400
Por ejemplo, para escribir 346, los chicos pueden establecer relaciones entre los números que encabezan la fila y la columna: está en la fila de los que empiezan con 3 y 4 y la columna de los que terminan con 6. Otras consignas que es posible proponer con el mismo cuadro son las que siguen.
Ubicá el 344 y todos los números que lo rodean. Escribí los cinco números que siguen al 388. Completá la columna de los que terminan en 7.
Ya avanzados en el trabajo, podemos presentarles aún menos información, proporcionando solo fragmentos de cuadros para completar a partir de un dato correcto con consignas tales como las siguientes.
En esta parte de un cuadro de números completá los casilleros remarcados.
En esta parte de un cuadro de números encontrá los “intrusos”, es decir, aquellos que no están bien ubicados sabiendo que el número remarcado está en el lugar que le corresponde.
Al presentar estos recortes de cuadros, es necesario hacer hincapié en que se presenta solo una parte de un cuadro y no un cuadro de cinco por cinco, pues de lo contrario pueden suponer que en el lugar del 510 tendría que estar el 505. En 2o año/grado, es conveniente que las actividades se realicen también en cuadros en los que las variaciones entre casilleros vecinos en sentido horizontal sean de 10 en 10, como el siguiente.
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800 810 820 830 840 850 860 870 880 890 900 910 920 930 940 950 960 970 980 990 1000
Este cuadro se puede hacer en un afiche y colgarlo en el aula a la vista de todos para que los chicos puedan recurrir a él cuando necesiten obtener información al escribir distintos números. A partir del mismo cuadro se pueden proponer diferentes preguntas: ¿qué cambia en el número cuando se aumenta de a 10? ¿Qué cambia en el número cuando se baja un casillero? ¿Qué números del cuadro pueden ayudar para saber si ochocientos quince está bien escrito de la siguiente manera: 815? o ¿Les sirve saber cómo se escribe 810, 820, 830 para escribir 815?
Teniendo en cuenta que los conocimientos numéricos de un grupo escolar son siempre heterogéneos es conveniente que propongamos, además de tareas iguales para todos los niños, otras diferenciadas para que cada uno pueda avanzar de acuerdo con sus conocimientos disponibles. Así, mientras algunos grupos pueden trabajar completando lugares en el cuadro incompleto, otros pueden hacerlo con fragmentos de cuadros, y, en este último caso, con tres o cuatro números como información o solo con uno. En todas las situaciones, es necesario que, durante la clase, interactuemos con diferentes alumnos y también que promovamos la interacción de ellos entre sí. Al exponer en las puestas en común cómo pensó cada uno para resolver, todos pueden descubrir estrategias nuevas. Además, es necesario buscar semejanzas y diferencias entre las estrategias empleadas para precisar sus características, delimitar sus posibilidades de uso y, tal vez, utilizarlas en nuevas situaciones. Plantear situaciones para componer y descomponer números Continuando el trabajo realizado en 1er año/grado, presentamos propuestas para que los alumnos realicen composiciones y descomposiciones aditivas de números y, también, para que se inicien en la descomposición multiplicativa. Estas actividades se pueden plantear en una variedad de contextos. Algunos de ellos son los que proporcionan los juegos con dinero o aquellos en los que se van sumando puntos, como los de emboque, tiro al blanco o dados, etcétera. En el caso de usar el dinero, una cantidad se expresa mediante la suma de los valores de los billetes y monedas. Para trabajar con la composición de los números en el sistema decimal conviene elegir solo billetes de $ 100, $ 10 y monedas de $ 1, como se verá en la secuencia que presentamos. En el caso de los juegos de emboque o tiro al blanco, las composiciones de cantidades tendrán como sumandos los valores que demos a cada tiro o dado. Así, por ejemplo, si queremos que el puntaje total resulte como suma de cienes, dieces y unos, o productos donde intervienen esos números, en un blanco con tres regiones circulares concéntricas podemos restringir los valores de cada región a 1, 10 y 100. Por ejemplo, 143 puntos pueden ser: – la suma del valor de cada uno de los tiros: 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1; – la suma de los totales de puntaje de cada círculo: 100 + 40 + 3; – el total de cada círculo expresado como producto entre el puntaje de cada uno y el número de tiros en él: 1 x 100 + 4 x 10 + 3 x 1.
Antes de iniciar el trabajo con descomposiciones aditivas o multiplicaciones del tipo descrito, se puede proponer un juego como el siguiente, que permite a los chicos avanzar en el conocimiento de un número por medio de las diferentes formas de escribirlo con adiciones de números cualesquiera. “Tutti fruti de cálculos”: escribir números con sumas y restas Materiales: por alumno, una tabla para completar con 9 columnas y 8 filas. Se usa una fila por mano. Organización del grupo: se juega en grupos de cuatro jugadores. Desarrollo: por turno, un jugador va contando “para adentro” y otro del grupo debe decir “alto ahí”. Cuando esto ocurre, el que contaba dice el último número al que llegó. Luego, todos escriben el número cantado en la primera columna y deben completar la primera fila de todas las columnas con cuentas de sumar o restar que den ese número. El primero que termina dice “basta” y el resto de los integrantes interrumpe su tarea solo si ya han escrito por lo menos cuatro cuentas. Por último, se procede a asignar puntos del siguiente modo: las cuentas cuyo resultado no sea el número cantado valen 0, las que sean compartidas por dos o más chicos valen 5 puntos, y las no repetidas valen 10 puntos. Gana el jugador que, al cabo de 4 vueltas, obtuvo el mayor puntaje.
Secuencia para componer y descomponer números: “El juego del cajero” 8 Los propósitos de esta secuencia son: utilizar descomposiciones aditivas y multiplicativas ligadas con la numeración, comprender y utilizar las reglas de la numeración oral, y hacer funcionar los cambios 10 por 1 en dos niveles: diez monedas de 1 se cambian por un billete de 10, y diez billetes de 10 se cambian por uno de 100. En las primeras actividades, las descomposiciones y cambios se hacen con las monedas y billetes, sin que los alumnos tengan que registrar los valores pues están escritos en estos.
Adaptación de una actividad propuesta en el libro Apprentissages numériques et résolution de problémes. Cours préparatoire, del Grupo ERMEL (1991).
Actividad 1 Los materiales 9 para cada grupo de 4 niños son: 30 monedas de $ 1; 30 billetes de $ 10; 6 billetes de $ 100. Los billetes y monedas pueden ser fotocopiados de billetes auténticos o extraídos de algún juego de mesa, o fabricado con rectángulos de papel de diferentes tipos o colores. El cajero debe tener tres cajas para guardar las distintas clases de billetes y 22 cartones, cada uno con un número del 8 al 30. La clase se organiza en grupos de 4 niños. En cada grupo se nombra un alumno que será el cajero y que tiene los billetes de $ 1, $ 10 y $ 100. Se juegan tres vueltas y será ganador el que tenga menos dinero al finalizar. Por turno, cada alumno del grupo que no es cajero va extrayendo un cartón y pidiendo al cajero la cantidad de dinero expresada allí, especificándole qué billetes desea. Cada chico conserva los cartones y los billetes que extrajo. Al finalizar las tres vueltas, cada uno dice cuánto dinero tiene. Si un alumno extrae, por ejemplo, el cartón que dice 27, puede pedir 27 billetes de $ 1, o 1 de $ 10 y 17 de $ 1 o 2 de $ 10 y 7 de $ 1. Para averiguar el total, los chicos suelen usar procedimientos diferentes: agrupar los billetes según su valor, contar cuántos billetes de cada clase tiene y sumar, o agrupar y pedir cambio al cajero por billetes más grandes, o hacer la suma con los números escritos en los cartones. Cuando todos los grupos tengan un ganador, podemos organizar la puesta en común de los diferentes procedimientos para calcular el total de ganancias, pidiendo a los niños que los expliciten. Es conveniente insistir en la verificación de la actividad preguntando si los cambios son correctos, si hay una correspondencia entre el total y los billetes, y entre el total con los números de los cartones, e invitando a los niños a controlar el dinero que han ganado de las dos maneras.10 Por último, podemos proponer al conjunto de la clase una actividad para resolver en el cuaderno, con preguntas como las siguientes.
Estos materiales se pueden obtener de Chemello, G. (coord.), Agrasar, M. y Chara, S. (2001). En el apartado “La gestión de la clase”, de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno, precisamos el sentido de los intercambios grupales en las puestas en común.
Mariana ha extraído los cartones que dicen 15, 20 y 8. Ella dice que en total ha obtenido 42. ¿Es correcto? • Lucio tiene los siguientes billetes y monedas. ¿Cuánto dinero tiene?
Sumando sus cartones, Melisa ha obtenido 56. ¿Qué billetes puede ser que tenga? Escribí distintas posibilidades. • Los cartones de Carolina suman 66. ¿Qué billetes tiene? Proponé dos posibilidades.
Actividad 2 Una vez que los alumnos conocen el juego, es posible avanzar para lograr que el total que se gane pueda pasar el 100. Para ello, la partida será de cinco turnos por niño. A continuación, se pueden volver a proponer actividades de cuaderno similares a las anteriores. Actividad 3 Se trata de una actividad de comunicación en la que cada grupo de alumnos tendrá que elaborar e interpretar un mensaje. La clase se organiza en una cantidad par de grupos, por ejemplo, 6. En la primera parte de la clase, todos los grupos elaboran un mensaje y, luego, cada uno intercambiará su mensaje con otro grupo previamente establecido. El material que proponemos armar para cada grupo consiste en un sobre con una cierta cantidad de billetes y monedas. Por ejemplo, que contengan respectivamente las cantidades siguientes: dos sobres con $ 43, dos con $ 56 y dos con $ 133. Cada par de sobres con la misma cantidad de dinero formada con billetes distintos será entregada al par de grupos que intercambiarán los mensajes. Así, los sobres pueden tener: $ 43 $ 56 $ 133 billetes de { 3 billetes de 10 y 13billetes de 1.1. 4 billetes de 10 y 3
{ 3 billetes de 10 y 26 billetes de 1. { 1 billete de 100, 2 de 10 y 13 billetes de 1.
1 billete de 100, 3 de 10 y 3 de 1.
4 billetes de 10 y 16 billetes de 1.
Les damos un sobre con una cierta cantidad de billetes y una posible consigna para la tarea sería: Deben escribir un mensaje al otro grupo que diga cuánto dinero tienen ustedes y cuántos billetes de cada clase, para que ellos formen después la misma cantidad de dinero con los mismos billetes. Luego de recibir el mensaje, el otro grupo tiene que reunir en un sobre vacío que le vamos a dar lo mismo que hay en el sobre de ustedes. Después se reúnen para ver si los dos sobres tienen los mismos billetes. No vale dibujar los billetes en el mensaje. Los mensajes que podrían escribir serían, por ejemplo, como los siguientes:
Indica el valor de cada uno de los billetes sin incluir signos de suma.
Suma los valores de los distintos billetes.
Indica la cantidad de cada tipo de billete.
Cuando los grupos comprueban que los sobres tienen la misma cantidad de dinero y de billetes, el docente propone una puesta en común, de modo de arribar a conclusiones como las siguientes: – Una cantidad de dinero se puede formar con distintos billetes. – Hay una manera de formar la cantidad de dinero con billetes de 10 y de 1 que se obtiene “mirando las cifras” de la cantidad a formar; en los ejemplos del juego, esa descomposición es la que utiliza la menor cantidad de billetes posibles. – Para obtener otra descomposición de más billetes, hay que cambiar 1 billete de 10 por 10 monedas de $ 1, con lo cual se obtiene una descomposición con 9 billetes más.
Con los registros de cada uno de los grupos, podremos proponerles que encuentren parecidos y diferencias entre las distintas escrituras. En los dos primeros casos, el armado del 43 se apoya en los aspectos aditivos del número y, en la última, comienzan a aparecer los aspectos multiplicativos (3 de 10 + 13 de 1, es 3 x 10 + 13 x 1). No pretendemos que los alumnos reconozcan los aspectos multiplicativos de nuestro sistema de numeración, sino que empiecen a utilizarlos al resolver problemas. Actividad 4 Se propone el mismo juego que en la Actividad 2 con la siguiente variante: en cada pedido, el cajero no puede dar más de 9 billetes de una misma clase y el pedido se realiza por escrito. Se trata de lograr que al finalizar la clase, en la síntesis colectiva, se llegue a la idea de que mirando la escritura del número sobre el cartón se sepa lo que hay que pedir al cajero. Cuando se extrae un cartón como el 23, por ejemplo, se podría pedir 1 billete de $ 10 y 13 de $ 1 o 2 billetes de $ 10 y tres de $ 1, pero solo esta última forma respeta la restricción. Luego, podemos plantear ejercicios sistemáticos en el cuaderno, escribiendo algunos números en el pizarrón y que los niños escriban los billetes que hay que pedirle al cajero. Actividad 5 Por medio de los problemas que siguen se busca descomponer los números aditiva y multiplicativamente. En estos será necesario poner en común de qué manera la escritura convencional del número informa acerca de algunas descomposiciones.
Joaquín le pide al cajero del banco cambio de $ 1000. Le pide diez billetes de $ 10 y el resto, de $ 100. Mariana, en cambio, le pide cambio de $ 1000, pero todo en billetes de $ 100. ¿Qué billetes le dará el cajero a cada uno? Completalo en la siguiente tabla.
Billetes de 100 Joaquín Mariana Billetes de 10 Billetes de 1
Nicolás pide que le paguen los $ 130 en billetes de $ 10. ¿Cuántos billetes le dará el cajero? • ¿Cómo formar $ 500 con 3 billetes de $ 100 y el resto de $ 10? • ¿Cómo formar $ 500 con 3 billetes de $ 100, 15 de $ 10 y el resto de $ 1? • Laura tiene 3 billetes de $ 100 y tiene que pagar justo $ 135. Va a pedir cambio al banco, pero quiere la menor cantidad posible de billetes. ¿Qué billetes le darán?
En las primeras actividades de esta secuencia, los chicos componen números hasta 30 con diferentes sumandos. También hacen sumas, manipulando billetes o no según sus conocimientos, que no van a superar el 90 en la primera y el 150, en la segunda. En la tercera, los alumnos establecerán relaciones entre dos maneras de formar una cantidad, siendo una de ellas la composición donde hay tantos “dieces” y “unos” como indica el número. En la cuarta, continúan trabajando con esta descomposición, respondiendo a la restricción de no tener más de 9 billetes de cada tipo, con lo que cada número se puede relacionar con su descomposición multiplicativa (es posible pensar 3 de 10 y 5 de 1 como 3 x 10 + 5 x 1, sin escribirlo aún de esta forma). En la quinta, se vuelve sobre estas descomposiciones, pero sin usar los billetes. La secuencia, entonces, permite que los alumnos avancen en su comprensión de nuestro sistema de numeración. Su desarrollo puede pensarse a lo largo de varias semanas de clase, como parte de una unidad de trabajo en la que se incluyan otras actividades. También puede retomarse en 3o o 4o años/grados trabajando fundamentalmente sobre situaciones hipotéticas y ampliando el campo numérico. Teniendo en cuenta que estas actividades de composición y descomposición se puedan realizar en una variedad de contextos, proponemos a continuación una actividad de juego de emboque, que también da lugar a que los alumnos establezcan relaciones aditivas y multiplicativas. Plantear situaciones para el mismo conocimiento en nuevos contextos favorece que las relaciones establecidas se independicen de ellos y, por lo tanto, se favorece la posibilidad de su transferencia a otras situaciones. Una opción de juego es la siguiente:
“A embocar”: componer y descomponer números con sumas Materiales: una lata, una mesa y cinco pelotitas o bollitos de papel encintados para cada grupo. Organización de la clase: grupos de 4 a 6 jugadores. Desarrollo: cada jugador debe tirar las cinco pelotitas y anotar el puntaje obtenido al caer. Por cada acierto adentro de la lata, se obtienen 100 puntos; si caen sobre la mesa, 10 puntos, y si caen en el piso, 1 punto. Al cabo de cuatro vueltas de cinco tiros cada una, deberán averiguar quién es el ganador calculando el total de puntos obtenidos. Luego de jugar varias veces, se podrán presentar situaciones para resolver en los cuadernos tales como las que siguen.
• Juan anotó su puntaje en una tabla como la de abajo. Completá donde
1er tiro 2o tiro 3er tiro 4o tiro 5o tiro 100 3 1 2 4 10 1 1 1 1 1 3 2 401 50 Total
• Según los puntajes obtenidos, indicá cuántas pelotitas cayeron en cada
Martín Nico Tati Dana 100 10 1 Total 302 320 41 140
Según los conocimientos disponibles de los alumnos, es posible plantear el mismo juego con solo dos niveles de puntajes, 10 para el emboque en la lata y 1 para el fuera de ella, o incorporando más latas con valores diferentes: 1000, 100, 10 y 1, respectivamente. Para operar al resolver problemas con distintos procedimientos Respecto de las cuatro operaciones básicas con números naturales (suma, resta, multiplicación y división), debemos considerar en la enseñanza dos aspectos: por un lado, los procesos que llevan a la construcción de los diferentes algoritmos de cada operación y, por otro, los distintos significados a los que pueden asociarse en los problemas que resuelven. Se sugiere abordar ambos aspectos a la vez, en una misma unidad didactica, ya que los procedimientos que los alumnos ponen en juego frente a un problema están ligados a la interpretación que ellos hacen de la situación.11 Es importante señalar que, con un mismo cálculo, se pueden resolver problemas aritméticos de diferente complejidad para el alumno, pues en cada caso se deben establecer relaciones distintas, por ejemplo, cuando se trata de restar 23 – 14 para la resolución de los problemas siguientes. – En el colectivo están viajando 23 pasajeros; bajan 14; ¿cuántos pasajeros siguen viaje? – En el aula de 2o hay 23 varones y 14 chicas; ¿cuántos varones más que chicas hay? – Para ganar en el juego necesito 23 puntos; si ya tengo 14, ¿cuántos puntos más debo obtener? La misma cuenta de restar tiene significados diferentes: en el primer caso, está asociada con el significado de sacar una cantidad de otra; en el segundo, con el de comparar dos colecciones y, en el último caso, se resta para averiguar lo que le falta a una cantidad para llegar a otra.
En el apartado “Los contextos”, de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno, hemos planteado la importancia de que los enunciados incluyan preguntas que aludan a situaciones reales o verosímiles.
El tipo de números involucrados y el lugar de la incógnita12 son otros elementos del problema que, para los chicos, cambian el nivel de dificultad al resolverlos. Presentar múltiples situaciones para resolver y reflexionar acerca de la diversidad de significados de cada operación facilitará la comprensión de los alcances y límites de cada una de estas. Es importante señalar que las categorías que aquí mencionamos son de uso didáctico y apuntan a enriquecer nuestra mirada sobre los problemas que es necesario presentar. Plantear situaciones para sumar y restar con distintos significados Las operaciones de suma y resta con números naturales deben constituirse paulatinamente para los alumnos en un recurso disponible que resuelve situaciones con distintos significados. Para ello, presentaremos un conjunto de problemas que denominamos “aditivos”, pues para solucionarlos se puede recurrir a una suma o a una resta como procedimientos más económicos. Los alumnos podrán resolver estos problemas de distintas formas y, luego, es conveniente discutir si alguna de ellas es más eficaz. Para 2o año/grado, por ejemplo, podremos plantear problemas para: – calcular el costo de una compra o el puntaje total en un juego de varias manos (unir); – calcular cuánto hay que pagar si algo que costaba un valor aumenta de precio, o la cantidad de revistas que alguien tiene si antes de su cumpleaños poseía una cantidad y le regalaron otra (agregar); – determinar cuánto dinero quedó después de hacer una compra o cuántas bolitas quedaron después de perder algunas (quitar); – averiguar cuánto más cuesta un producto que otro o qué diferencia de edad tienen varios hermanos entre sí (diferencia); – determinar si es posible agregar un artículo más a la compra, sabiendo que se dispone de una cierta cantidad de dinero; – o en cuánto puede aumentar la altura de un camión para poder pasar por debajo de un puente (complemento). Para la resolución de estas situaciones, los alumnos pueden, según la intención del docente al plantear el problema, manejar diversos materiales que esta-
En el apartado “Los significados”, en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno se desarrollan con más detalles los diferentes significados que pueden asociarse con una misma noción.
rán disponibles para quienes los requieran. Por ejemplo, chapitas u otros elementos de desecho con el fin de representar las cantidades, o réplicas de monedas y billetes para actuar de manera efectiva, pagando, dando vueltos y realizando canjes. Los chicos también pueden usar otras representaciones, como son las escrituras de diverso tipo, incluyendo dibujos como números sueltos o sumas o restas.13 Los niños de 2o año/grado suelen reconocer sin dificultad la posibilidad de usar la resta en un problema donde significa “quitar”, pero les resulta más complejo reconocer que se puede usar esa operación en los problemas de comparación con significado de “complemento” o “diferencia”. En 1o, probablemente resolvían estos últimos problemas con sumas y, en 2o, se podrá debatir con ellos si alguna cuenta de restar permite obtener un resultado que sea respuesta al problema. En todos los casos, el tipo de procedimiento de resolución que utilizarán los alumnos y la conveniencia de cada uno de ellos dependerá de los números involucrados en cada situación.14 Consideremos algunos de los procedimientos que podrían utilizar los chicos al resolver un problema como el siguiente en el tienen que completar la información.
Del total de 200 sillas que necesito para completar el salón para la fiesta del 25 de Mayo tengo 185. Me faltan … sillas.
Probablemente, la mayoría de los niños resolverá este caso pensando cuánto le falta a 185 para llegar a 200. Algunos alumnos recurrirán al conteo desde 185, 186, 187… así hasta el 200; otros utilizarán ciertos resultados memorizados, como, por ejemplo: 185 + 5 = 190, 190 + 10 = 200 y, luego, 185 + 5 + 10 = 200. Después de que los niños hayan resuelto el problema, se podrá promover la comparación de los procedimientos de conteo y sumas sucesivas. En este caso, los procedimientos resultan económicos.
Recomendación de lectura: se puede encontrar un interesante análisis sobre el uso de material concreto en la enseñanza de las operaciones en 1er año/grado en el material de la Secretaría de Educación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires, Pensando en la enseñanza. Preguntas y respuestas, Buenos Aires, Secretaría de Educación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires. En Internet: http://www.buenosaires.gov.ar/educacion/docentes/planeamiento/txareas_mate.php 14 Recomendación de lectura: para ampliar la información sobre la complejidad de las situaciones de la suma y la resta, se recomienda la lectura del primer capítulo de Las operaciones en el Primer Ciclo. Aportes para el trabajo en el aula, de Broitman, C. (1999), Buenos Aires, Novedades Educativas.
Para que los procedimientos que no implican la resta resulten más complicados, es posible modificar los números que intervienen en el problema. El enunciado transformado podría ser como el que sigue.
Del total de 238 sillas que necesito para colocar en el salón, tengo 173. Me faltan … sillas.
Si aún se mantiene la suma como procedimiento de resolución, el docente podrá preguntar: ¿es posible resolver esta situación con una resta? o bien comentar: un alumno resolvió esta situación haciendo 238 – 173; ¿es correcto el procedimiento que usó? Es posible plantear otras actividades para trabajar problemas de sumas y restas a partir del uso de la calculadora. Si bien este uso a veces se cuestiona con el argumento de que de este modo los chicos no aprenderán a calcular, el tipo de problemas en los que presentamos esta herramienta mostrará claramente que no se trata de reemplazar el trabajo que es posible desarrollar con los algoritmos. Se trata, en cambio, de desplegar un trabajo de anticipación de resultados que puede ser verificado rápidamente. Conocer el funcionamiento de la calculadora demanda una serie de actividades iniciales. Los niños espontáneamente suelen interrogarnos o probar con qué tecla se enciende y con cuál se apaga, cuáles son las teclas de las diferentes operaciones, intentan borrar si se equivocan o preguntan el significado de diferentes teclas aunque no las utilicen. Después de estas actividades, los alumnos podrán empezar a resolver problemas para aprender más sobre las operaciones o sobre el sistema de numeración. Por ejemplo, es posible plantear problemas que permitan analizar la relación entre la suma y la resta cuando se tienen como datos dos cantidades, como en el siguiente ejemplo.
Buscá usando la calculadora qué número hay que sumarle a 17 para obtener 30.
Luego de que se resuelven problemas de este tipo, se puede dar lugar a una reflexión en la que los alumnos expliciten la relación entre la suma 17 + … = 30 y la resta 30 – 17 = ... Muchos pueden encontrar el número realizando sumas parciales hasta llegar al solicitado, como, por ejemplo, 17 + 5 + 5 + 2 + 1. Otros niños pueden reconocer que es posible hacer 30 – 17. Es factible que la relación entre estos procedimientos sea objeto de trabajo para todos los alumnos.
Con la intención de que los niños resuelvan problemas para los cuales la resta es un medio de resolución se puede presentar el siguiente problema.
Buscá en la calculadora un cálculo de resta cuyo resultado sea 75.
Es importante destacar que, en este caso, los chicos inician la exploración con la calculadora conociendo el resultado del cálculo, entonces podríamos preguntarnos cuál es el propósito de plantear esta actividad. Pues bien: pretendemos que los alumnos piensen la resta como una operación que permite averiguar la diferencia entre dos números. Al proponer, el uso de la calculadora como forma de búsqueda de dicho cálculo, estamos inhibiendo en los chicos el empleo de otros procedimientos, como el uso del papel o el conteo de uno en uno. En cambio, ante este problema, los chicos anticipan un cálculo y luego de realizarlo efectivamente con la calculadora, comienzan a hacer rectificaciones de alguno de los números en función del resultado obtenido. Otros alumnos descubrirán que el cálculo puede encontrarse sumando cualquier número al 75 y luego escribiendo el resultado menos el número agregado. Serán necesarios varios problemas similares para que toda la clase recurra a la resta para resolverlos. Hemos planteado también que es conveniente presentar problemas “moviendo” el lugar de la incógnita. Por ejemplo, consideremos los siguientes enunciados. – Juan tiene 22 estampillas nuevas y ya pegó 8. Ahora le falta pegar… – Juan tiene algunas estampillas nuevas para su colección. Ya pegó 8 y le falta pegar 14 . ¿Cuántas estampillas nuevas tiene? – Juan tiene 22 estampillas nuevas. Pegó algunas y le falta pegar 14. ¿Cuantas pegó ya? Con el primer problema, se apunta a averiguar la cantidad final luego de una transformación negativa. Como se produce una disminución en la cantidad inicial de 12 estampillas, es fácil reconocer la resta como el procedimiento más conveniente. Si, en cambio, proponemos el segundo problema, el dato a averiguar está en el estado inicial, es decir, en cuántas estampillas tenía al comienzo. La transformación es positiva, ya que por el regalo recibido aumentó esta colección inicial; sin embargo, no es tan habitual que los alumnos reconozcan que si en el problema se produce una transformación positiva la resta puede ser un procedimiento posible y económico.
En el tercer problema, se conoce el estado inicial y el estado final y se debe buscar la transformación que es negativa y se puede hallar a partir de la resta. Es ciertamente importante que los alumnos resuelvan gran cantidad de problemas en los cuales las incógnitas se presenten en distintos lugares y las transformaciones sean positivas y negativas para que no establezcan relaciones lineales y estereotipadas, como, por ejemplo: si me regalan tengo que sumar o si perdí tengo que restar. Será el análisis de los datos y de las relaciones que se establecen entre sí lo que permitirá a los chicos elegir, entre diversos procedimientos posibles, alguno más económico. Al proponer una variedad de problemas, hemos planteado que uno de los aspectos que cambian su complejidad es el tipo de números involucrados. Si los alumnos de 2o resuelven los problemas aditivos y sustractivos utilizando procedimientos gráficos como los que se explicitan en el Cuaderno para el aula: Matemática 1, siempre teniendo en cuenta las diferencias entre los alumnos, podremos promover el pasaje a los procedimientos numéricos aumentando el tamaño de los números involucrados para que el dibujo de todos los elementos resulte un procedimiento poco económico. A modo de cierre de este apartado, queremos subrayar algunas cuestiones. La organización de los alumnos en la clase para la resolución de problemas puede realizarse de diversas maneras, y no siempre en forma individual. Combinar opciones es una práctica frecuente y puede ser un camino fructífero. Así, en algunos casos se puede comenzar proponiendo directamente un trabajo en pequeños grupos y en otras oportunidades pedir inicialmente la resolución individual de las situaciones para que todos los chicos se involucren en la resolución, por cierto, de diversas maneras. El encuentro del pequeño grupo, en un segundo momento, puede tener sentido en la medida en que contrasten los procedimientos de resolución utilizados por cada uno e identifiquen entre ellos el o los más convenientes. Es decir, que comiencen a comparar los resultados obtenidos y descarten los procedimientos errados para que luego empiecen a discutir sobre las coincidencias y las diferencias. En la puesta en común, entre todos, se puede continuar trabajando sobre los distintos procedimientos: los más frecuentes, los más largos, los más seguros, etc. Si centramos la “mirada” en coincidencias o diferencias entre procedimientos, esta última trama suele ser de gran riqueza, para lo cual, sabemos por experiencia, no es necesario que todos los grupos expongan. Nuestra habitual recorrida nos habrá dado pistas sobre la variedad de procedimientos en uso y podremos, sobre esa base, llegar a los que resulten interesantes para una dis-
cusión entre los chicos. Preguntas del estilo: ¿quiénes usaron un procedimiento diferente? suelen ser organizadoras de este diálogo sobre las estrategias puestas en juego. Plantear situaciones para multiplicar y dividir con distintos significados Para abordar la multiplicación, también es conveniente incluir problemas que hagan referencia a distintos significados. Recurriremos con ese propósito a un conjunto de problemas que denominamos multiplicativos, es decir, aquellos que pueden resolverse con una multiplicación o con una división como procedimientos más económicos. ¿Qué significados sería posible abordar en 2o año/grado? Los problemas que usualmente se presentan se pueden denominar casos sencillos de proporcionalidad, e incluyen aquellos que admiten una organización rectangular de los elementos. Por otro lado, los problemas denominados de combinatoria, se introducen en 2o año/grado, pero se abordarán con mayor profundidad en 3º. Es habitual iniciar este trabajo con problemas de proporcionalidad sencillos. Por ejemplo, si conocemos que 1 chocolate tiene 4 tabletas y queremos saber cuántas tabletas tienen 6 chocolates iguales para repartirlos entre amigos, se está planteando un problema en el que uno de los datos –la cantidad de tabletas de uno de los chocolates– es una constante de proporcionalidad. Otra posibilidad sería averiguar cuántas tabletas tienen 3 chocolates si conocemos que en 6 chocolates hay 24 tabletas, y si, en este caso, se cumple que 3 chocolates, que es la mitad de 6 chocolates, tendrán la mitad de 24, o sea 12. En ambas resoluciones es posible usar distintas propiedades de la proporcionalidad, y aunque en este Ciclo no se trata de hacer un trabajo específico para reconocerlas, sí es conveniente que empiecen a utilizarlas intuitivamente para resolver problemas. Los problemas que remiten a organizaciones rectangulares son también problemas de proporcionalidad pero, en este caso, los elementos se presentan ordenados en filas o columnas, por ejemplo, si sabemos que en cada fila se colocan 5 sillas y queremos averiguar cuántas sillas necesitamos para completar 4 filas. Los problemas de combinatoria son aquellos en los que hay que combinar elementos de diferentes colecciones. Por ejemplo: para ir a un baile de disfraces, dos hermanas encontraron tres vestidos de diferentes colores –rojo, amarillo y azul– y dos sombreros, uno con plumas y otro con moño. Se fueron probando la ropa de todas las maneras posibles para ver cuál les gustaba más. Lo que se les pide a los chicos que averigüen es cuántas maneras diferentes de vestirse encontraron.
Analicemos ahora algunos procedimientos que suelen usar los alumnos que aún no disponen de recursos de cálculo multiplicativo para resolver estos problemas.15 Por ejemplo, un problema como el que sigue:
Si para armar un auto necesito 4 ruedas, para armar 5 autos necesitaré … ruedas.
Llega a 20 luego de haber efectuado el conteo.
Reemplaza cada rueda por un palito y luego realiza el conteo.
Llega a 20 como resultado de sumar 4 + 4 + 4 + 4 + 4.
En el apartado “La gestión de la clase”, en: “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno señalamos la necesidad de promover la diversidad de producciones y de analizarlas con todo el grupo.
Se apoya en procedimientos de cálculo dominados por él.
Suele ser frecuente y también parte del proceso constructivo que algunos chicos intenten resolver esta situación haciendo 5 + 4. Su elección puede interpretarse en función de considerar que la suma, seguramente, ha sido un procedimiento eficaz hasta ese momento, e intentan generalizarlo sin poder aún reconocer lo que es distinto en este nuevo tipo de problema. Constituye parte del mismo proceso que los chicos tiendan a no reconocer que los números involucrados son magnitudes que corresponden a cantidades diferentes (autos y ruedas). Para generar un espacio en el cual puedan reconocer el cálculo adecuado, se puede escribir en el pizarrón 4 + 5 y 4 + 4 + 4 + 4 + 4 y decirles por ejemplo: diferentes chicos escribieron estos cálculos para resolver esta situación, expliquen con cuál están de acuerdo y por qué. Para que los chicos avancen en el establecimiento de relaciones de semejanzas y diferencias entre la suma y la multiplicación, tanto desde el cálculo como en el nivel de los significados, podemos también proponer otras situaciones. Por ejemplo, una actividad de producción de mensajes como la siguiente que permite, a la vez, introducir el signo x. Organizamos la clase en una cantidad par de grupos con 3 o 4 alumnos y entregamos a cada grupo una cantidad de sobres iguales que contengan la misma cantidad de fichas. Por ejemplo, para un grupo, 4 sobres con 5 fichas, para otro, 7 sobres con 3 fichas, etc. A continuación, se les solicita: Escriban un
mensaje, lo más corto posible, para que otro grupo averigüe cuántos sobres recibieron y cuántos fichas tiene cada uno. En el mensaje no pueden incluir dibujos.16 Luego, cada par de grupos intercambia los mensajes elaborados y cada equipo debe interpretarlo y decir cuántos sobres de cuántas fichas había recibido el otro grupo inicialmente. A partir de la reflexión en torno de los mensajes, que podrían estar escritos en lenguaje coloquial “5 sobres de 3 fichas cada uno” o bien en lenguaje simbólico como “3 + 3 + 3 + 3 + 3” se puede explicar que, con el propósito de abreviar estos cálculos de sumandos iguales, se usa el signo x y escribimos 5 x 3. Con la misma intención, también es posible plantear la siguiente situación y hacer que la resuelvan en pequeños grupos.
Indicá con cuál de estos cálculos resolverías cada uno de los siguientes problemas. 3+2+4 5+5+5
– María tiene 3 primos varones y 5 mujeres. ¿Cuántos primos tiene? – En la calesita hay 5 autitos y se sentaron 3 chicos en cada auto. ¿Cuántos chicos se sentaron en autos? – En el campamento, cada chico llevó golosinas para compartir con los compañeros de la carpa. Nicolás trajo 3 caramelos, Bruno 2 chupetines y Marcos 4 chocolates; ¿cuántas golosinas tienen?
Tomado de Ermel (1986).
En el intercambio posterior, y tomando en cuenta las respuestas de los distintos grupos, se espera que los chicos logren reconocer, por un lado, que hay sumas que se pueden expresar como una multiplicación y que la escritura correspondiente es 5 x 3 y, por otro, que hay otras sumas que no pueden expresarse como multiplicación porque sus sumandos no son iguales, como en 3 + 2 + 4. Luego podrá iniciarse el reconocimiento de la propiedad conmutativa a partir de una actividad en la que los alumnos discutan la diferencia entre 5 x 3 y 3 x 5, expresando ambos productos como sumas diferentes, pero de igual resultado. Otra actividad posible consiste en presentar tarjetas dibujadas para que los niños indiquen la operación conveniente para averiguar la cantidad de elementos presentes en cada una.
Escribí un cálculo que te permita averiguar cuántos lápices hay en cada tarjeta.
Para presentar problemas de proporcionalidad, podremos también organizar la información en tablas que requieran que los chicos las completen. Por ejemplo, si les planteamos la siguiente situación.
Un fabricante de rodados arma cada mes distintas cantidades de bicicletas y triciclos. Para registrar la cantidad de ruedas que tiene que fabricar hace marcas en tablas como las siguientes. Completá las tablas.
1 2 1 3 2 4 2 6 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10
Bicicletas Ruedas Triciclos Ruedas
En el intercambio que luego promoveremos podremos preguntar cómo pensaron para completar las tablas. Las verbalizaciones de diferentes niños frente a este problema dan cuenta de los procedimientos que ponen en juego. En varias oportunidades hemos escuchado a los chicos afirmar: para cada nuevo triciclo, le pongo 3 ruedas más, o yo voy sumando 3 en cada casillero y completo la tabla, o al doble de triciclos, el doble de ruedas: O bien: yo uso la escala del 3: 3, 6, 9… Todas las formas de resolver son adecuadas y en ese momento se puede destacar la posibilidad de encontrar diferentes maneras para pensar la solución. En este año/grado aún no resulta necesario organizar el repertorio de productos en las “tablas de multiplicar”. Sin embargo, una vez que los niños hayan explorado una variedad suficiente de problemas y descubierto distintos productos, será conveniente registrar los resultados que se conocen y organizar esta información para tenerla disponible al resolver nuevos problemas. Es más, algunas maneras de organizar estos productos permiten poner en evidencia determinadas relaciones que facilitan la memorización. Por ejemplo:
Algunos contextos que remiten a organizaciones rectangulares de los elementos son los timbres en los porteros eléctricos, los asientos en el teatro, las baldosas en un piso, etc. En este sentido, se puede solicitar a los alumnos:
Averiguá la cantidad de baldosas necesarias para completar un piso como el del dibujo.
Algunos niños podrán dibujar las baldosas y luego contarlas; otros apelarán a la suma de baldosas que hay en cada fila (5 + 5 + 5 + 5) o en cada columna (4 + 4 + 4 + 4 + 4). Es esperable que, a partir del trabajo realizado y del aumento de la cantidad de baldosas, con uno de los números de dos cifras como en 15 x 6 o en 34 x 5 encuentren en la multiplicación un procedimiento más económico que la suma. Este tipo de problemas puede variarse cambiando el lugar de la incógnita, dando el producto y pidiendo que encuentren posibles factores, lo que implica relacionar la multiplicación con la división. Por ejemplo, se puede pedir a los alumnos que armen un piso rectangular con 18 baldosas. Al confrontar las diversas producciones, ya sean gráficas o con forma de cálculos, empezarán a tomar conciencia de la variedad de respuestas posibles (2 x 9, 3 x 6, etc.). También para la iniciación en la división es conveniente incluir problemas que nos permitan abordar diferentes significados: los de reparto y los de partición. Estos problemas surgen de cambiar de lugar la incógnita de la multiplicación. En los problemas de reparto, se conoce la cantidad total de elementos a repartir y la de partes, pero no cuántos elementos corresponden a cada una de las partes. Teniendo en cuenta que los repartos pueden ser equitativos o no, es necesario que presentemos enunciados de problemas con el fin de que los niños analicen si es condición el realizar un reparto en partes iguales. Por ejemplo:
• Tengo 16 libros para repartir en 4 estantes. ¿Cuántos libros
colocaré en cada uno?
Esta situación admite variadas respuestas ya que se pueden colocar 8 en uno, 4 en otro y 2 en cada uno de los restantes. También se pueden repartir en 6, 5, 4 y 3, ya que no hay nada en el enunciado que indique que el valor de cada parte deba ser el mismo. En el caso de que los alumnos resuelvan la situación colocando en cada estante 4 libros, una posible intervención que cuestiona dicha resolución sería: un alumno de otro 2o lo resolvió colocando 3, 5, 2 y 6, respectivamente; ¿está bien lo que hizo? ¿Por qué? Luego de un espacio de discusión, es posible pedir que indiquen qué modificaciones podrían hacer al enunciado para que el reparto equitativo de libros sea una condición. Otro aspecto a considerar de un modo colectivo es qué se hace cuando, luego de efectuado el reparto, sobran elementos. Nos referimos aquí a los problemas en los que el resto es diferente de cero. Discutir si lo que sobra puede seguir repartiéndose o no supone considerar la naturaleza de los números involucrados: ya que no es lo mismo que sobren chocolates o libros. Los niños de 2o año/grado estarán en condiciones de resolver problemas de reparto utilizando distintos procedimientos. Por ejemplo, como en estos casos los chicos podrán resolver un problema como el siguiente, con los procedimientos que se indican. 17
Para un juego, se deben repartir 20 cartas en partes iguales entre 4 jugadores. ¿Cuántas cartas recibirá cada uno?
Recurre a la representación gráfica para efectuar el reparto de 1 en 1 y luego cuenta cuántas cartas le dio a cada jugador.
En el apartado “Las representaciones” en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno comentamos sobre la evolución de las representaciones que usan los alumnos.
Sustituye el dibujo de las cartas por palitos y continúa igual que en el primer caso.
Utiliza el número 1 para representar cada una de las cartas que se reparten.
Tanteando, prueba con diferentes sumas sucesivas hasta llegar a 20.
Dijimos que en algunos problemas la división se asocia con una partición. Por ejemplo:
• Tengo 20 cartas y quiero darle 4 a cada uno de mis amigos. ¿Para
cuántos amigos me alcanzan? Las cantidades en juego son las mismas que en el problema anterior, pero, en este caso, se conoce el valor de cada parte (4 cartas a cada amigo) y se
pregunta por la cantidad en las que puede repartirse la colección (en el ejemplo, de cartas). En este tipo de problemas, los alumnos no pueden recurrir al procedimiento de repartir de a uno los elementos. En cambio, podrán utilizar estrategias de resolución como las siguientes.
Realiza restas sucesivas: va quitando de a 4 tantas veces como necesita hasta arribar al resultado.
Cuenta de 4 en 4 hasta llegar a 20.
En el caso de organización rectangular de los elementos, también se pueden plantear problemas donde la división tenga ambos significados. El primero de los siguientes problemas será necesario pensarlo como una partición, pero el segundo se podrá pensar como un reparto: – Para un acto debemos acomodar 48 asientos en filas de 8 asientos cada una. ¿Cuántas filas deberemos armar? – Para un acto debemos acomodar 48 asientos en 8 filas. ¿Cuántos asientos tendrá cada fila?
En 2o año/grado no es conveniente avanzar en la resolución de estos problemas de división utilizando el algoritmo convencional de la división. Esto responde a dos motivos: por un lado, los chicos aún no han incorporado un repertorio de cálculos que permita resolver ese algoritmo y, por otro, los problemas que les presentaremos no justifican su uso ya que tendrán números pequeños. Es importante presentar, en los diferentes momentos del año, situaciones que requieran de las distintas operaciones para su resolución y no trabajar exclusivamente con aquellas que apunten a la operación que se está abordando en un período determinado. Por otro lado, en el conjunto de problemas que se presentan para usar cada operación con distintos significados, es interesante incluir algunos en los cuales la información esté vinculada con la vida cotidiana, ya sea por medio de recortes de diario con publicidades de ofertas, facturas o comprobantes que informan sobre lo comprado, boletos, calendarios y otros, es decir, distintos portadores de datos numéricos referidos a contextos que resulten familiares a nuestros chicos. En el apartado “Para trabajar con la información” desarrollaremos algunos ejemplos. Para calcular de diferentes formas Un propósito de toda la escolaridad es el trabajo con variados procedimientos y técnicas de cálculo de modo que, a lo largo del tiempo, los alumnos puedan ir disponiendo de un repertorio memorizado de cálculos, de diferentes maneras de hacerlos por escrito y de un uso inteligente de la calculadora. Si pretendemos que esto sea posible para todos los chicos, es necesario que destinemos un tiempo importante del trabajo en el aula para que se identifiquen las diferentes estrategias personales de resolución, se expliciten y, luego, se sistematicen. De este modo, favoreceremos que puedan volver a utilizarlas en nuevas situaciones. Si bien este tipo de cálculo interviene en la resolución de distintos problemas y se encuentra presente como herramienta útil frente a variadas situaciones –tal como lo hemos planteado en el apartado anterior–, también debe ser abordado como “objeto de estudio” en sí mismo. Una idea importante es que un mismo cálculo puede resolverse con diferentes procedimientos y que el más rápido y económico para un caso puede no serlo para otro; esto dependerá de los números que intervengan. A diferencia del algoritmo convencional que todos realizamos de la misma manera, el cálculo al que nos estamos refiriendo admite una diversidad de estrategias que pueden coexistir en el aula. Y, en este sentido, el que resulte más “cómodo” para un alumno puede no serlo para otro.
Los algoritmos tienen, entonces, un nuevo lugar en la enseñanza: son formas de cálculo con las que culmina un trabajo previo de producción y análisis de distintos procedimientos originales de los mismos alumnos.18 Plantear situaciones para pasar de los distintos procedimientos para sumar y restar a los algoritmos usuales El dominio de los algoritmos tradicionales es el punto de llegada de un trabajo a largo plazo. En un comienzo, para la suma y la resta se plantean situaciones como las ya presentadas en el año anterior y que los chicos resolvieron elaborando distintos procedimientos personales.19 En este año/grado, avanzaremos con números más grandes, lo que también dará lugar a la producción de diferentes procedimientos numéricos originales. Veamos algunas producciones de alumnos. – Para la suma:
Recomendación de lectura: para ampliar la propuesta sobre cálculo mental, se recomienda la lectura de “El Cálculo mental” en Parra, C. (1994). 19 Tal como se ha planteado en el apartado “Las representaciones”, en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno, cuando el alumno produce una solución, utiliza representaciones personales que pueden o no coincidir con las convencionales.
– Para la resta:
Para que esta variedad de procedimientos sea posible, debemos proponer paralelamente actividades cuyo fin sea que los alumnos memoricen un conjunto de resultados de cálculos, como suma de dígitos, de decenas y de centenas enteras. En la medida en que estos conocimientos estén disponibles, los chicos podrán elaborar esos diferentes procedimientos y tener, además, al aprender el algoritmo, algún control sobre los resultados.
Resulta de particular interés generar espacios de puesta en común para que los chicos compartan los distintos procedimientos utilizados y expliquen cómo los han pensado. Se apunta a que los alumnos conozcan otros procedimientos, analicen en qué se parecen y se diferencian, y puedan así realizar cada vez procedimientos más avanzados. Primero, en relación con la pertinencia, es decir, si el procedimiento permite llegar o no al resultado correcto. En otro momento, y de acuerdo con la cantidad de pasos, la reflexión podrá girar en torno de la economía de tiempo o de esfuerzo de los distintos procedimientos. Es importante que, en las distintas ocasiones, promovamos el análisis de procedimientos tanto acertados como erróneos. Si algún procedimiento determinado no surgiera espontáneamente en el grupo y resultara interesante su análisis, se puede presentar como realizado por otros alumnos. Cuando los niños resuelven sumas y restas con diversos procedimientos, están usando las propiedades conmutativa y asociativa de las operaciones como instrumentos. Sin embargo, en este Ciclo no es conveniente aún “poner-
les nombre”. En la medida en que analicemos las producciones de los alumnos, podremos reconocer los conocimientos matemáticos que ellos usan en forma implícita para poder intervenir adecuadamente. Por ejemplo, es probable que desde 1er año/grado, los niños hayan usando en forma indistinta 3 + 4 y 4 + 3, pero pueden haber considerado que 2 + 8 es más difícil que 8 + 2. Del mismo modo, en 2o, pueden usar 70 + 20 más fácilmente que 20 + 70 ó 23 + 7 en lugar de 7 + 23. Una intervención posible frente al uso de la propiedad de manera espontánea es plantear una actividad de investigación donde se discuta si en una cuenta de sumar siempre es posible cambiar el orden de los números sin que cambie el resultado, o cuál de los sumandos conviene poner primero para facilitar el cálculo. Así, es posible que las propiedades se utilicen como reglas prácticas que el grupo acepta y que, más adelante, serán explicitadas como tales. Otros problemas donde las propiedades funcionan como instrumento de resolución de manera implícita son aquellos en los que los alumnos deben construir procedimientos originales para resolver cálculos o explicar los propuestos por otros. En ellos, si fuera necesario, podrán cambiar los números de lugar para asociarlos según les convenga en función de los cálculos que tengan memorizados. Es decir, los alumnos estarán usando las propiedades conmutativa y asociativa. Por ejemplo:
Aquí, además de conmutar, utilizan las sumas que dan 10 para realizar este cálculo de manera más rápida.
Veamos otro ejemplo donde los alumnos descomponen los números, conmutan y asocian usando resultados conocidos de sumas de decenas enteras.
Progresivamente, debemos plantear situaciones más complejas que inviten a los alumnos a buscar estrategias más claras y económicas, entre las que se hallan los algoritmos convencionales. En un principio, el pasaje a la “cuenta parada” no debe estar tan alejado de las producciones que son del dominio de los niños. En este sentido, procedimientos como los que se muestran a continuación podrían resultar “algoritmos intermedios” entre los cálculos horizontales y la cuenta convencional. – Para la suma: + 48 35 83 40 + 8 30 + 5 70 + 13 70 + 10 + 3 80 + 3 = 83 + 48 35 70 + 13 = 83 + 48 35
+ 13 70 83
– Para la resta: – 75 54 21 70 + 5 50 + 4 20 + 1 Otro ejemplo: – 86 29 57 80 + 6 20 + 9 70 + 16 20 + 9 50 + 7
Estas maneras de resolver los cálculos ponen en evidencia las relaciones entre los números, las que permanecen implícitas en el algoritmo convencional. Investigaciones realizadas en las aulas muestran que estas producciones son posibles si, como mínimo, los alumnos han trabajado un año sobre las regularidades del sistema de numeración, comparado cálculos “fáciles” y “difíciles” –explicitando por qué los consideraron de un modo u otro–, y una variedad de problemas de suma y resta en los que esas operaciones hayan tenido diferentes significados.20 Solo después de un intenso trabajo sobre los procedimientos personales propios y de otros que les permita a los alumnos tener un claro control sobre el resultado, es conveniente plantear otras actividades centradas en la articulación de este último con el algoritmo usual basado en agrupamientos. Por tanto, y retomando lo explicitado al comenzar en “Para calcular de diferentes formas”, hoy los algoritmos usuales no son el punto de partida, sino una de las tantas formas de cálculo; y es esperable que se conozcan luego de un intenso trabajo de producción y análisis de distintos procedimientos originales, sugeridos por los mismos alumnos. Es decir, que luego de desplegar el trabajo explicitado precedentemente, podremos introducirlo explicando cómo se hace y diciendo que es una forma de resolver esta cuenta que usan muchas personas y solicitarles que la comparen con las que ellos conocen.
Recomendación de lectura: se sugiere la lectura de “Algunas reflexiones en torno a la enseñanza de la Matemática en el Primer Ciclo de la EGB” de H. Itzcovich (coord.) (1999).
Otra opción consiste en pedirles que investiguen la manera en que los chicos más grandes o sus familiares resuelven “estas cuentas”. En cualquiera de las dos opciones, al hacer el análisis de los algoritmos usuales se debe tratar de establecer, en la medida de lo posible, relaciones con los procedimientos construidos por ellos. Las diferentes formas de cálculo se irán complejizando en tanto se modifiquen los números involucrados. La estimación es un procedimiento que permite controlar el resultado de las cuentas realizadas con cualquier procedimiento, lo que puede hacerse antes o después de la operación. Por lo tanto, sea que el problema consista solo en inventar un modo de hacer el cálculo o que se trate de un problema en contexto de la vida cotidiana, el control del resultado puede promoverse como un modo de trabajar en matemática que permite asegurarse de lo realizado. De esta manera, estaremos promoviendo que los niños consideren la razonabilidad del resultado en función de la situación y de los datos. Por otra parte, estimar también es un procedimiento muy utilizado en diferentes contextos de la vida cotidiana en los que es suficiente efectuar un cálculo aproximado, por ejemplo: para anticipar el dinero que debemos llevar para realizar una compra de alimentos, para calcular los gastos mensuales, los ingredientes que necesitaremos para preparar una comida, etc. En estos casos, se suelen usar procedimientos diferentes a los algoritmos convencionales. Por ejemplo, en el problema siguiente:
• Martín ahorró $ 100 y quiere saber si le alcanza para comprar elementos
para la computadora que cuestan $ 54 y $ 37. Para realizar un cálculo aproximado, se puede encuadrar cada número –el 54 está entre 50 y 60, y el 37 entre 30 y 40– y redondear a la decena más cercana, para operar con ellas. En este caso, 50 está más cerca de 54 que de 60, y 40 está más cerca de 37 que de 30; entonces, como 50 + 40 = 90, podemos decir que con los $ 100 que ahorró Martín le alcanza, pues tendrá que gastar aproximadamente $ 90.
Además de estos problemas, es posible trabajar diferentes propuestas de estimación como la siguiente.
Decidí, sin hacer la cuenta, si los resultados de estos cálculos son mayores de 50: a) 28 + 42 b) 25 + 19 Fundamentá tus respuestas.
En el caso a) es esperable que los niños digan: el resultado de 30 + 40 se pasa del 50, y para el caso b) veinti y pico más un número cercano al veinte tiene que dar cuarenta y pico, es decir, menos que cincuenta, etcétera. Plantear juegos para memorizar cálculos Al igual que en 1er año/grado, en 2o es necesario seguir promoviendo la práctica del cálculo mental con el objetivo de que progresivamente los alumnos retengan un conjunto de resultados numéricos y de estrategias de cálculo relativos a la adición y sustracción, como: 1er año/grado Sumas de sumandos iguales de una cifra (1 + 1, hasta 9 + 9). Sumas de decenas enteras iguales (10 + 10, hasta 90 + 90). Las sumas que dan 10 (1 + 9; 2 + 8, etc.). Sumas de números terminados en 0 que dan 100 (20 + 80). 2o año/grado Sumas de sumandos distintos de una cifra (4 + 3, ...; 8 + 6, etc.). Sumas de decenas (40 + 30; 70 + 60, etc.). Complementos a 100 (80 + ... = 100; 40 + ... = 100, etc.). Sumas y restas de múltiplos de 5 (35 + 15; 50 – 15, etc.). Dobles y mitades (el doble de 20 es...; la mitad de 80 es...). Sumas de decenas enteras más unidades (10 + 8; 20 + 5, etc.). Para este tipo de actividades, y durante todo el Ciclo, hay que destinar un tiempo considerable, por ejemplo, una clase semanal, ya que una buena práctica de cálculo mental y la reflexión sobre los procedimientos empleados es el punto de partida de otros tipos de cálculo.
Una clase podría consistir en pedir a los alumnos que, en grupos, busquen y discutan diferentes maneras de resolver un cálculo. Luego, un representante de cada grupo deberá socializar para el total de la clase la producción de su grupo. Finalmente, se podrá comenzar con una instancia de análisis en la que formularemos preguntas del tipo: cuál procedimiento les resultó más fácil, más rápido, etc. para orientar el debate. La intención no es encontrar el “mejor procedimiento” sino que cada niño encuentre la manera más “cómoda” de resolver el cálculo, a diferencia del algoritmo convencional en el que todos lo resolvemos de la misma manera. Una vía de acceso interesante para el trabajo con el cálculo mental es el juego reglado. Pero, cabe aclarar que el juego en sí mismo no es una herramienta suficiente para garantizar una situación de aprendizaje. Será nuestra intención como docentes lo que diferencie el uso didáctico del juego de su uso social. Para el alumno, el objetivo en el juego reglado, generalmente, será ganar. En cambio, para el docente, será que el alumno aprenda un nuevo conocimiento. Para ello es necesario que gestionemos momentos de análisis conjunto a propósito del desarrollo de cada propuesta lúdica. Preguntas tales como: ¿todos lo jugaron de la misma manera?, ¿qué estrategias utilizó cada uno?, ¿cuál les pareció la forma más rápida?, ¿cuál permitió cometer menor cantidad de errores?, etc. suelen ser típicas para orientar a los niños a que reflexionen sobre el contenido que se pretendió abordar. Algunas propuestas21 para construir estrategias y memorizar cálculos son las siguientes. “Casita del 100”: sumar números terminados en 0 y 5 que dan 100 Materiales: para cada grupo, un mazo con 40 cartas con dos de estas con cada uno de los números terminados en 5 y en 0, desde el 5 hasta el 95, excepto del 50, de las que debe haber 4. Organización: la clase se podrá dividir en grupos de 4 niños. Desarrollo: tal como se juega a la “Casita Robada”, pero teniendo en cuenta que lo que permite levantar una carta del pozo es que sumen 100. Es decir, que se reparten 3 cartas a cada niño y se colocan 4 boca arriba sobre la mesa.
Recomendación de lectura: para ampliar el repertorio de juegos, se recomienda la consulta del material recortable para los alumnos y material para el docente en el libro de Chemello, G. (coord.), Agrasar, M. y Chara, S. (2001), El juego como recurso para aprender y Juega y aprende matemática de Fuenlabrada, I. (2000).
A su turno, cada jugador intentará sumar 100 entre una de sus cartas y una de la mesa. En caso de no poder hacerlo, desecha una de sus cartas, colocándola junto a las otras cartas sobre la mesa, boca arriba. Gana el jugador que al final tiene más cartas en su pozo. “Descartar 100”: calcular sumas que dan 100 Materiales: para cada grupo, el mismo mazo que para el juego anterior y una carta cualquiera que no tenga pareja. Organización de la clase: en grupos de 4. Desarrollo: se reparten las 41 cartas entre los 4 jugadores sabiendo que al primer jugador le tocará una carta de más. En un momento inicial, cada uno debe deshacerse de todas las parejas de cartas que sumen 100. Entre todos, verificarán que los pares armados sean correctos. A continuación, el jugador que tiene más cartas “pide” una carta que le permita descartarse de un par. El jugador que la tiene está obligado a entregársela pasando a ser el próximo participante que pedirá una carta al resto del grupo. Gana el primero que se queda sin cartas. “El que se pasa de 100, pierde”: calcular dobles Materiales: un dado en cuyas caras se observen los números 2, 3, 5, 7, 8 y 9. Organización de la clase: en grupos de 2 o 3 alumnos. Desarrollo: un jugador tira el dado y dice el doble del número obtenido. A continuación y, siguiendo la ronda, los otros jugadores van duplicando el número enunciado por el jugador anterior. Pierde el participante que supera el número 100. “El más grande pierde”: calcular + 1; – 1; + 10; – 10; + 5, y – 5 Materiales: un dado con etiquetas en cuyas caras se pueda leer +1; –1; + 10; – 10; + 5, y – 5. Papel y lápiz para cada jugador. Organización de la clase: en grupos de 2 o 3 alumnos. Desarrollo: para comenzar, cada grupo elige con qué número comenzar y lo escribe en su hoja. En su turno, cada jugador tira el dado y hace con el número lo que se le indica. Pierde el jugador que al cabo de 5 tiros obtuvo el número más alto.
Otro recurso interesante para trabajar las estrategias de cálculo mental y las propiedades de las operaciones es la calculadora,22 a partir de situaciones que exigen analizar los números involucrados y apoyarse en las relaciones entre estos. Por ejemplo, en 2o año/grado:
Escribí en la calculadora el número 55. Con una única resta, logra que aparezca 45, luego 35, luego 25, etcétera. Colocá el número 37. Haciendo únicamente una suma, lográ que en el visor aparezca el número 100.
Secuencia para memorizar cálculos: “Cada punto vale diez” En esta secuencia, se presentan actividades que permiten trabajar la memorización de un grupo de cálculos. Nos proponemos que los alumnos reutilicen algunos de los cálculos sugeridos en 1er año/grado para memorizar, es decir, las sumas de dos dígitos iguales, las que dan 10, las de decenas enteras y unidades, y que los puedan usar para resolver nuevos cálculos de sumas de decenas, por ejemplo: 80 + 50. Actividad 1 “Guerra con dados”: sumar decenas enteras. Materiales: dos dados por grupo. Organización de la clase: en grupos de 4. Desarrollo: cada alumno tira los dos dados y, teniendo en cuenta que cada punto del mismo vale 10, dice el resultado considerando la suma obtenida. Se anota 10 puntos el que obtiene la suma mayor. Los alumnos realizarán un registro de todos los cálculos para decidir el ganador después de cinco jugadas. En este caso, se apunta a que construyan un repertorio aditivo con sumandos hasta 60: 40 + 20; 30 + 30; 50 + 10. Luego se les solicita a los alumnos que registren en un afiche los distintos cálculos que fueron registrando.
Recomendación de lectura: para profundizar en el uso de la calculadora en el aula y conocer variedad de propuestas, se recomienda la lectura del material Matemática. Aportes didácticos para el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB de la Dirección General de Cultura y Educación de la provincia de Buenos Aires (2001).
Actividad 2 Esta propuesta se puede presentar a continuación de la anterior, pero si el tiempo de atención de los chicos ya fue suficiente, se recomienda hacerlo en otro momento. Usando los registros realizados en la Actividad 1, se les solicita a los alumnos que en pequeños grupos armen dos columnas separando los cálculos que les parecieron fáciles de los que les resultaron más difíciles. Es probable que muchos niños digan “todos son fáciles”, por eso es necesario que, previamente, generemos un espacio para aclarar entre todos a qué llamamos “fáciles” y a qué, “difíciles”. Es esperable que consideren como fáciles aquellos que pueden resolver más rápidamente y difíciles a aquellos en los que deben “pensar un poco más” o no pueden resolverlos tan rápidamente. Es condición para esta actividad que en cada grupo se pongan de acuerdo; por lo tanto, no alcanzará con resolverlos sino que será necesario que expliciten los procedimientos que utilizaron. Entre los procedimientos que pueden aparecer en el debate, veremos que algunos alumnos contarán de a 1, otros irán agregando de a 10, otros podrán decir “como yo sé que 4 + 5 es 9, entonces 40 + 50 es 90. Si los alumnos no lo plantearan, se podrá preguntar cuál es más fácil: 10 + 60 o 60 + 10. Es probable que los chicos que cuentan de 10 en 10 digan que es más fácil el segundo y los que resuelven este cálculo como una extensión de 1 + 6 y 6 + 1 los encontrarán igualmente sencillos de resolver.
Estos juegos son fácilmente adaptables para alumnos con distintos conocimientos de partida; por ejemplo, algunos grupos podrán jugar considerando que cada punto vale 1 mientras que para otros valdrá 100; también se podrán modificar los números de las caras del dado. En este sentido, es posible presentarlos a los chicos del Primer Ciclo en aulas de plurigrado.
Actividad 3 Se introduce como variante del juego anterior que cada alumno tire en su turno 3 veces los dos dados y registre los valores obtenidos. Luego de cada ronda, determinan el ganador sumando los puntos obtenidos. En algunos casos podrán reutilizar los cálculos trabajados en la Actividad 2 al obtener el puntaje de cada vuelta pero, al aumentar la cantidad de tiros y al obtener el puntaje total, los chicos se enfrentarán con sumas de más números y con números mayores, por ejemplo, 40 + 90 + 110.
En el cierre de la actividad se podrá discutir sobre las distintas estrategias que permiten resolver estos cálculos con números más grandes. En estos casos, conmutar y asociar convenientemente los puede llevar a pensar 110 +90 = 200 y 200 + 40 = 240. Otros podrán pensar 110 + 40 = 150 y luego, considerando que 90 es lo mismo que sumar 100 y restar 10, hacer 150 + 100 – 10 = 240. Actividad 4 Se dará lugar a la resolución de problemas que simulan situaciones presentadas en el juego. Por ejemplo:
Indicá qué puntaje anotó Mariela después de cada tirada y en total.
En nuevas propuestas, es posible presentar los cálculos en forma descontextualizada. Por ejemplo:
Completá los siguientes cálculos. 70 + … = 130 70 + … = 120 70 + … = 110 ¿Qué relación podés establecer entre estos cálculos?
Las cuatro actividades de la secuencia no se han pensado como cuatro clases seguidas sino como cuatro momentos. A partir de los observado en el grupo, en función de sus conocimientos previos y de los avances logrados, tomaremos distintas decisiones: podremos hacer las Actividades 1 y 2 en un mismo día, en días sucesivos, y a veces volveremos a realizar la Actividad 1 luego de la Actividad 2 para que los chicos puedan implementar algunas de las estrategias discutidas. Para contribuir a que los niños desarrollen las posibilidades de “controlar” los resultados obtenidos en ciertas cuentas, se puede trabajar en la aproximación de los sumandos a la decena cercana, por medio de propuestas como las que siguen.
Marcá el resultado que más se aproxime a los cálculos siguientes. 90 170 100 180 120 200
62 + 35 48 + 134
Plantear situaciones para explorar relaciones numéricas Además de presentar variadas actividades de cálculo, es conveniente que algunas propuestas les permitan a los alumnos establecer relaciones y reglas sobre las que se apoyarán para la resolución de nuevos cálculos. De esta manera, es probable que amplíen el repertorio aditivo y sustractivo. Por ejemplo:
Completá los casilleros de cada columna y después pensá con un compañero qué le dirían a otro para que pueda resolverlos más rápido sin hacer la cuenta.
+ 10 245 150 759 26 – 10 45 370 709 98 + 100 – 100
En los casos de sumas y restas del tipo de las planteadas en las tablas o con + 20, + 200, – 20, – 200, los alumnos podrán arribar a conclusiones tales como: si sumo 10 aumenta 1 la cifra de los dieces, si sumo 100 aumenta 1 la cifra de los cienes, etcétera. También podemos proponerles completar tablas proporcionales elaboradas a propósito de otros problemas resueltos con anterioridad. A partir de estas, se podrán generar espacios de discusión sobre las relaciones entre los números
involucrados que permitan arribar a conclusiones como: para completar las tablas fuimos dando saltos de 2 en 2, de 3 en 3, …; dentro de cada tabla siempre sumamos el mismo número.
No de sándwiches No de panes No de personas No de sándwiches 1 2 1 3 2 4 2 6 3 6 3 4 5 6 7 8 9 10
Las conclusiones que se extraen de estas propuestas se pueden escribir en los cuadernos o en carteles en la sala, y es conveniente considerarlas como parte de los logros alcanzados por el grupo. De esta manera, estarán siempre disponibles y, ante nuevas situaciones, pediremos a los chicos que busquen esas conclusiones y evalúen si las están teniendo en cuenta. Para trabajar con la información Dentro de la variedad de actividades que implica resolver problemas, es importante centrarnos en el análisis de los diferentes aspectos que algunas involucran: interpretar la información según el soporte en el que se presenta, ya sea un enunciado verbal, gráfico, tabla, etc.; diferenciar los datos de las incógnitas y seleccionar la información. Asimismo, en este año, será posible iniciar un trabajo de recolección, organización y construcción de nueva información, en función de un contexto problemático que lo requiera. El trabajo que proponemos apunta a construir condiciones que faciliten en los niños los procesos de comprensión de los enunciados de los problemas, y de la tarea que pueden desarrollar para resolverlos. En este sentido, se trata de que puedan llevar adelante una práctica diferente de aquella más o menos estereotipada de búsqueda de una palabra “clave” en el enunciado que indique la operación que permitirá resolver la situación. Por ejemplo, los alumnos piensan que cada vez que en un problema aparece la palabra “perder” hay que restar. ¿Qué tipo de situaciones problemáticas pueden ayudar a cuestionar y repensar esa hipótesis de los chicos? Es necesario, entonces, presentar enunciados como: en el torneo de salto en largo, en el primer salto, perdieron 8 participantes y, en el segundo, otros 16. ¿Cuántos alumnos quedaron descalificados en total?, donde para encontrar la respuesta es necesario sumar 8 y 16, y en el enunciado aparece la palabra “perdieron”.
Otra idea que usan los niños es que “todos los datos numéricos incluidos en el enunciado de un problema deben ser usados en el orden en que aparecen”. En este caso, podemos proponer problemas que incluyan más datos de los necesarios, con el fin de que los alumnos tengan que evaluar cuál o cuáles son pertinentes para la resolución de la situación. En estas oportunidades, es conveniente anticipar a los niños que hay que seleccionar los datos que permiten responder las preguntas planteadas entre la información que se presenta en el enunciado, para que no piensen que se trata de un problema “con trampa”. Los chicos también suelen pensar que la respuesta a la pregunta es el resultado de la cuenta que hagan. Para que esto se modifique, habrá que formular preguntas que, por ejemplo, se respondan analizando el resto de la división, como en el siguiente caso: para salir de paseo los maestros de 2o grado contratan micros que pueden llevar 30 pasajeros. Si deben viajar 73 chicos y 3 maestros, ¿cuántos micros deben contratar? ¿Y si faltan 10 chicos? Finalmente, otra idea que los chicos usan al resolver los problemas es que siempre existe una única solución. En este sentido, conviene presentar problemas con una, varias y ninguna respuesta posible.23 Plantear situaciones para establecer relaciones entre datos e incógnitas El trabajo de establecer relaciones entre datos e incógnitas y el análisis del número de soluciones obtenidas al resolverlo contribuye con la comprensión del sentido de las operaciones. Para ello, se hace necesario presentar distintos tipos de situaciones. Un problema como el siguiente permite pensar varias respuestas posibles.
En un kiosco venden helados chicos a $ 4, y grandes a $ 5. Si una persona gastó $ 20, ¿cuántos helados pudo haber comprado?
Si a este enunciado le agregamos más información pero no preguntas, puede servirnos para otro propósito, por ejemplo, analizar las relaciones entre las preguntas y los datos necesarios para responderlas. Para ello, escribiremos el enun-
Explicitamos la importancia de generar condiciones para que los alumnos se enfrenten con distintos tipos de problemas en el apartado “Las relaciones entre datos e incógnitas” en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno.
ciado en el pizarrón y por grupos tendrán que formular preguntas que se puedan responder a partir del texto anterior. Además, nosotros podremos agregar otras como las siguientes:
• ¿Quién compró más helados? • ¿Cuáles son los helados más caros? • En un kiosco venden helados chicos a $ 4, y grandes a $ 5.
Todos los helados cuestan $ 1 menos los días miércoles. La abuela Rosa les compró helados chicos a sus ocho nietos el día miércoles. Mirta gastó el sábado $ 30. Daniel compró el domingo helados chicos para él y sus tres sobrinos. • ¿Cuantos helados pudo haber comprado Mirta? En un primer momento, centraremos la reflexión en si es posible o no responder las preguntas. Para complejizar la propuesta y avanzar en el análisis de las preguntas, podremos solicitar que diferencien aquellas preguntas que se contestan con solo leer el enunciado de las que para responderlas requieren de un cálculo. También se puede presentar una actividad similar a partir de una lámina que contenga información numérica como:
En este último caso, esperamos que los chicos puedan avanzar en la formulación de preguntas cada vez más complejas a partir de atender distintas condiciones, como:
- Con solo ver la lámina: ¿Cuántos caramelos te dan por $ 1? - Relacionando datos: ¿Qué cuesta más caro: el chocolate grande o el helado chico? - Haciendo cálculos: ¿Cuánto deberá pagar una familia que toma 2 helados grandes y dos helados chicos? ¿Cuánto más barato es el helado chico que el grande los días miércoles? - No se puedan contestar: ¿Cuántos caramelos se vendieron? La misma propuesta de inventar preguntas a partir de un enunciado y de una lámina se puede realizar mediante otros portadores de información, como listas de precios, comprobantes de compra, programas de espectáculos, folletos publicitarios de distinto tipo, boletos, menús, etc. Tanto para formular las preguntas como para responderlas, se requiere que los chicos aprendan a “leer” la información matemática incluida y a seleccionar aquella que resulta útil. Por ejemplo, si se trata de una entrada a un cine, se podrá preguntar: ¿a qué hora empieza la película?, ¿en qué cine la dan?, ¿cuánto costó la entrada?, etcétera. La experiencia de muchos docentes nos muestra que solicitar a los chicos que inventen problemas contribuirá a que puedan seleccionar la información, a clasificarla y a analizar la manera más conveniente de organizarla: en cuadros, tablas o gráficos. Un modo de instrumentar esta propuesta en el aula es solicitando a los niños que inventen un problema que, luego de ser resuelto por otros compañeros, deberán corregir. De esta manera, al inventar el problema, cada chico podrá anticipar el tipo de operación que utilizará para la resolución. A la vez, al enfrentar la resolución que otros desarrollaron, comprobará si su anticipación fue adecuada. En escuelas con plurigrado, este tipo de actividad resulta muy interesante, pues habrá aún mayor diversidad en la puesta en común de las preguntas inventadas por los alumnos.24
Recomendación de lectura: otras actividades para trabajar con la información se encuentran en Equipo de Matemática de Gestión Curricular ( 2000), Propuestas para el aula. Material para docentes. Matemática EGB 1.
Plantear situaciones para obtener y organizar datos Hemos planteado que en 2o año/grado también es posible desarrollar un trabajo de recolección y organización de datos. Para ello, se puede plantear alguna pregunta que otorgue sentido a la actividad. Por ejemplo, relatar que se quieren preparar regalitos para el Día del Niño y que se necesita saber cuántos varones y cuántas nenas hay en cada año/grado, o que se va a hacer una campaña en el barrio o el pueblo donde viven para pedir entre los vecinos libros que no usen con el fin de completar las bibliotecas de 1o, 2o y 3er años/grados. Antes de hacerlo, para poder orientar el pedido, necesitarían saber qué material y de qué tipo dispone la escuela. Por eso, les pediremos que averigüen la cantidad de libros que hay para 1o, 2o y 3er años/grados, según sean de cuentos, de historietas, de textos escolares, etcétera. Tendremos que debatir con los niños cuál es la manera más conveniente de recabar la información necesaria y cómo organizar y registrar los resultados obtenidos. Una buena posibilidad sería una tabla, como la que sigue.
Año \ Libros 1O 2O 3O Total
Preguntar a la clase qué le parece que significa “Total” en ambos lugares de la tabla; qué datos pondrían en cada lugar; qué habría que hacer si, al recabar la información, se encuentran con libros de un género que no se había anticipado por ejemplo, libros para aprender a contar en 1er año/grado; cómo modificarían esta tabla para que le sirviera a una escuela que tiene dos secciones por grado, etc., favorecerá una mejor interpretación.
Otra manera de registrar la información recolectada es pintando, en una hoja cuadriculada, cuadraditos uno arriba del otro, o presentando la información en un gráfico del tipo del que aparece a continuación.
Si no se hubiera realizado la recolección de información, podríamos presentarlo como el registro de datos de otra escuela y pedir que interpreten la información contenida a partir de preguntas orientadoras: ¿de cuál tipo de libros tienen mayor cantidad?, ¿de cuál tienen menos?, ¿podemos saber la cantidad que hay de cada uno?, ¿cómo volcarían esta información en una tabla?, ¿podemos saber la cantidad de libros que hay en este grado?, y, luego, ¿qué conviene utilizar en este caso: la tabla o el gráfico?, ¿por qué?
A modo de cierre de este apartado, es oportuno aclarar que el análisis de la información presentada bajo diferentes formas en función de la pregunta que se quiere responder es una práctica siempre presente en la resolución de problemas. En este sentido, es una forma de trabajo a promover permanentemente en matemática.
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