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Timestamp: 2017-06-24 23:39:35+00:00

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Ecuaciones de MaxwellUploaded by jlnlimaRelated InterestsMaxwell's EquationsElectromagnetismEuclidean VectorUnits Of MeasurementElectricityRating and Stats0.0 (0)Document ActionsDownloadShare or Embed DocumentEmbedView MoreCopyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)List price: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentElectromagnetismo - 2004 1-1Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Introducción En este Capítulo haremos una introducción general a los problemas que se desarrollarán a lo lar-
go del texto. Muchas descripciones serán necesariamente cualitativas ya que los detalles y apli-
caciones a la ingeniería serán material de Capítulos posteriores. El electromagnetismo ha sido la base de la llamada Segunda Revolución Industrial, fundamen-
talmente en los aspectos de la conversión electromecánica de energía y las comunicaciones. Ac-
tualmente las aplicaciones electromagnéticas dominan toda la técnica moderna y la miniaturiza-
ción y creciente velocidad de los circuitos electrónicos hacen cada vez más necesaria la modela-
ción de estos fenómenos mediante la teoría de campos. El electromagnetismo es una teoría de campos, es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes físicas cuya descripción matemática son campos vectoriales de-
pendientes de la posición en el espacio y del tiempo. La característica vectorial dificulta nota-
blemente las resolución de las ecuaciones que describen el comportamiento, por lo que se trata en la medida de lo posible de simplificar el problema a ecuaciones escalares, y si no es posible, se utilizan sofisticados métodos numéricos que han explotado en número y variedad en los últi-
mos años. Este texto presentará formulaciones analíticas en casos simples que brindan un tras-
fondo conceptual y modelos simplificados cuando sea posible, y finalmente daremos una breve introducción a los métodos numéricos de mayor uso en bajas y altas frecuencias. El objetivo es que el lector adquiera la comprensión conceptual de los problemas que deberá enfrentar en aplicaciones de la ingeniería electromagnética así como las herramientas de modela-
ción más adecuadas para las variadas situaciones. Por otra parte, se dará énfasis a las aplicacio-
nes a la ingeniería y, cuando sea el caso, a las normas de diseño y seguridad vigentes en la explo-
tación de sistemas y equipos electromagnéticos. Una vez analizados los modelos y problemas generales, cada Capítulo siguiente analizará en detalle teoría, modelos y aplicaciones en cada caso particular, desde los casos más sencillos hasta los más elaborados. Esta organización permite profundizar en los temas de mayor interés y pasar por alto temas y aplicaciones que no son prioritarios, y al lector, una vez que ha dominado las ideas fundamentales, estudiar en detalle las aplicaciones de su interés. Así, una primera parte se ocupa de los campos estáticos y/o de baja frecuencia, que pueden mo-
delarse mediante circuitos de constantes concentradas, una segunda parte presenta teoría y apli-
caciones de los sistemas descriptos por circuitos de parámetros distribuidos (líneas de transmi-
sión) y una tercera parte presenta los sistemas donde es necesaria la teoría de campos, como la propagación libre y guiada y la generación de ondas electromagnéticas. Finalmente se destina un último Capítulo a problemas de compatibilidad electromagnética y a analizar los posibles riesgos de los campos electromagnéticos sobre la salud humana. 1 - Ecuaciones de Maxwell Electromagnetismo - 2004 1-2 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Ecuaciones de Maxwell Todos los fenómenos electromagnéticos clásicos (no cuánticos) se pueden describir a partir de las ecuaciones de Maxwell
: donde generalmente las incógnitas son los campos vectoriales: o E: campo eléctrico (V/m), o D: campo de desplazamiento (C/m
), o H: campo magnético(A/m) y o B: campo de inducción magnética (T). Estos campos conforman el campo electromagnético. Las dos ecuaciones del rotor (Faraday y Maxwell-Ampère) aseguran que hay una dependencia mutua entre campos eléctricos y magné-
ticos variables en el tiempo, de manera que en este caso ambos campos están interrelacionados. Sólo en el caso de campos estáticos (que no varían en el tiempo) campo eléctrico y magnético son independientes entre sí. Llamamos fuentes de campo a los sistemas físicos que crean campos en el espacio. En el caso electromagnético, cargas y corrientes eléctricas crean campo
. En las ecuaciones de Maxwell las fuentes de campo son entonces: o ρ: la densidad de carga eléctrica (C/m
) y o j: la densidad de corriente (A/m
). En nuestra descripción consideramos a cargas y corrientes como funciones continuas de la posi-
ción. Sin embargo, se conoce que la carga eléctrica se presenta en unidades elementales (a las energías de interés en las aplicaciones tecnológicas actuales) cuyo valor es la carga del electrón: C e
× ≈ Esta estructura granular de la carga eléctrica no admitiría la descripción de su distribución como una función continua de la posición, pero la extrema pequeñez de los portadores elementales de carga, en relación al tamaño de los objetos de interés tecnológico, permite usar funciones conti-
nuas entendidas como un promedio sobre un gran número de entes discretos, en volúmenes pe-
queños frente al tamaño de esos objetos, pero grandes en relación al tamaño de los portadores de carga elementales. Podemos escribir entonces: ( ) ( )e t N t , , r r = ρ donde N(r,t) es el número de portadores ele-
mentales de carga por unidad de volumen. El mismo razonamiento se aplica a las funciones continuas que describen la distribución de co-
rrientes, que son en última instancia grupos de cargas elementales en movimiento. Todas las cantidades que intervienen en las ecuaciones de Maxwell se describen, entonces y en general, como funciones de la posición espacial y del tiempo. 1
En el Apéndice 1 se presenta un resumen de los operadores vectoriales usados en las ecuaciones de Maxwell. 2
Hay otras fuentes de campo electromagnético que no se describen en las ecuaciones de Maxwell ya que dependen de fenómenos no electromagnéticos "puros", como baterías, pilas solares, etc. ) , ( ) , ( t t r r D ρ = • ∇ (ley de Gauss eléctrica) 0 ) , ( = • ∇ t r B (ley de Gauss magnética) 0 ) , ( ) , ( =
+ × ∇ t
t r B r E (ley de Faraday) ) , ( ) , ( ) , ( t t
t r j r D r H =
− × ∇ (ley de Maxwell-Ampère) Electromagnetismo - 2004 1-3 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Este es un conjunto de ecuaciones diferenciales vectoriales lineales acopladas inhomogéneas. En general su resolución es bastante difícil, por lo que gran parte de nuestra presentación se de-
dicará a presentar modelos simplificados que permitan soluciones sencillas. Una primera propiedad que se deduce de las ecuaciones de Maxwell es que las fuentes de campo (cargas y corrientes) están generalmente ligadas entre sí. Si tomamos la divergencia de la ley de Maxwell-Ampère obtenemos: ( )
• ∇ − × ∇ • ∇ = • ∇ ⇒ • ∇ =
− × ∇ • ∇ ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( t
t r D r H r j r j r D r H Pero la divergencia de un rotor siempre es cero, con lo que queda: |
• −∇ = • ∇ ) , ( ) , ( t
t r D r j La expresión del segundo miembro dice que hay que realizar primero la derivada temporal de D y luego las derivadas espaciales. Pero como el tiempo y las variables espaciales son independien-
tes entre sí se puede cambiar el orden de la derivación: ( ) ) , ( ) , ( t
t r D r j • ∇
− = • ∇ Usamos ahora la ley de Gauss eléctrica para escribir: ( ) ) , ( ) , ( t
t r r j ρ
− = • ∇ de donde finalmente nos queda la llamada ecuación de continuidad: 0 = ∂ ∂ + • ∇ t ρ j Esta ecuación indica que las fuentes de campo (cargas y corrientes eléctricas) están interrelacio-
nadas en el caso dependiente del tiempo. Como veremos en el Capítulo de corrientes eléctricas, esta ecuación representa el principio de conservación de la carga eléctrica. Soluciones de las ecuaciones de Maxwell. Potenciales retardados En el vacío es posible hallar una solución general de las ecuaciones de Maxwell en términos de los potenciales electrodinámicos o potenciales retardados vectorial A y escalar Φ
, que se pue-
den deducir de las ecuaciones de Maxwell: Estos potenciales no son independientes entre sí
, sino que están relacionados por la llamada condición de Lorentz: 0
+ • ∇
t ε µ
A Con la introducción de los potenciales electrodinámicos, las ecuaciones de Maxwell llevan a las siguientes ecuaciones de onda vectoriales inhomogéneas: donde 0 0
1 ε µ = c . Estas ecuaciones tienen las soluciones particulares: La figura ilustra el significado de los símbolos. Los campos se miden u observan en el punto campo, definido por sus coordenadas espacio-temporales (r, t), mientras que las integrales se 3
Capítulo 10. 4
Esta relación surge de la relación entre las fuentes de campo, que se explicita en la ecuación de continuidad. ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( t t t
t t r A r B r A r r E × ∇ =
− Φ −∇ = ) , ( ) , (
t r j r A r A
r r µ
φ φ − =
− ∇ − =
− ∇ ∫ ∫
Electromagnetismo - 2004 1-4 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar En la representación en el dominio del tiempo campos y fuentes dependen de la posición y del tiempo: ) , , , ( ) , ( t z y x F t F F = = r realizan sobre los puntos fuentes, de coordenadas (r', t'). Se usa esta doble notación porque el denominador de los integrandos usa la distancia entre punto fuente y punto campo r r R ′ − = = R . La particularidad fundamental de estas expresiones es que el tiempo en el punto fuente y el tiempo en el punto campo no son iguales: c R t t / − = ′ . Por lo tanto, las variaciones en la fuente en el instante t' se reflejan en un instante pos-
terior t en el campo observado. Hay un retardo entre causa y efecto, por lo que estos potenciales se llaman po-
tenciales retardados. Este retardo se explica por el prin-
cipio de que existe una velocidad máxima de propagación de las interacciones (principio de relatividad), que es la velocidad de la luz en el vacío. El intervalo c R t / = ∆ es el tiempo que tarda la interacción en trasladarse desde el punto fuente al punto campo. Maxwell obtuvo este resultado en 1864 y como s m c / 10 3 1
× ≈ = ε µ , que es un valor similar al valor medido de la velocidad de la luz en el vacío, formuló la tesis que la luz era un fenómeno electromagnético, tesis recién corroborada experimentalmente por Hertz en 1887. El retardo de tiempo entre la señal fuente y el campo producido es un hecho fundamental en la modelación de los fenómenos de radiación, como se muestra en el Capítulo 10. El modelo de campo presentado en esta sección es el modelo más general, aplicable a todas las situaciones
, aunque en situaciones prácticas sólo es posible obtener las soluciones mediante métodos numéricos. Representación en los dominios del tiempo y de la frecuencia Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son campos vectoriales cuyas componentes son funciones de la posición y del tiempo. Decimos en este caso que los campos están representados en el dominio del tiempo: donde F es una componente cualquiera de los campos. Debido a que las ecuaciones de Maxwell son lineales, una forma de simplificar su resolución es utilizar la representación en el dominio de la frecuencia. En esta técnica se usa la representación de Fourier
(transformada de Fou-
rier) de las componentes de los campos: 5
Eventualmente en medios donde los parámetros dependen de la frecuencia se desarrolla la función temporal fuente en una integral de Fourier y se calculan los campos para cada armónica, como se describe en la siguiente sección. 6
En el Apéndice 1 se presenta un breve resumen sobre sistemas lineales y la representación de Fourier. ∫
ℑ = ⇒ ℑ ⇔ ω ω ω
d e t F t F
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( r r r r r r’ R (r,t) V (r',t') Punto fuente y punto campo La notación de punto fuente (posición donde hay fuente de campo - va-
riables primadas descriptas por el vector posición r') y punto campo (posición donde se desea calcular el campo - variables no primadas des-
criptas por el vector posición r) que introdujimos en esta sección es bási-
ca en muchos cálculos del electromagnetismo y será usada consecuente-
mente a lo largo del texto. Electromagnetismo - 2004 1-5 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar (salvo un factor de normalización). Se ve fácilmente que: ) , ( ) , ( ) , ( ω ω ω r r r ℑ ⇔
⇒ ℑ ⇔ i
t F y las ecuaciones de Maxwell quedan: donde todos los campos son las transformadas de los campos electromagnéticos. Como el con-
texto evita habitualmente confusiones, usamos la misma notación para el campo en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Parámetros dependientes de la frecuencia En la representación en el dominio de la frecuencia es posible establecer otras relaciones entre los campos que simplifican la resolución. Estas relaciones se denominan leyes o relaciones constitutivas y dependen del medio en el que se desarrollan los fenómenos y de la frecuencia: En general estos parámetros son tensores (matrices) que relaciones dos campos vectoriales, de-
pendientes de la posición en medios inhomogéneos y de la dirección en el espacio para medios anisótropos. En este texto analizaremos fundamentalmente medios isótropos y que se pueden dividir en regiones macroscópicas donde las propiedades son homogéneas. En estos casos los parámetros materiales se reducen a escalares funciones de la frecuencia
. Un caso particular importante es el medio vacío (el aire puede considerarse como vacío, desde el punto de vista electromagnético) donde los parámetros constitutivos son constantes: ε
≈ 8.85×10
F/m µ
Hy/m σ
= 0 lo que simplifica aún más la resolución de las ecuaciones de Maxwell. Con estas relaciones, y si se conocen las fuentes, las ecuaciones de Maxwell tienen dos incógni-
tas: el campo E y el campo H. Las aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell pueden clasificar-
se en dos tipos: o dadas las fuentes, hallar los campos (problema directo); o dados los campos, hallar las fuentes (problema inverso). Los problemas directos son los más comunes y sencillos para resolver, y surgen en todo tipo de situaciones tecnológicas. Los problemas inversos ocurren en situaciones donde se desea hallar la fuente de perturbaciones y son habitualmente mucho más difíciles que los problemas directos. 7
Analizamos algunos modelos sencillos de la respuesta de medios materiales a los campos electromagnéticos en el Capítulo 8, modelos que llevan a parámetros dependientes de la frecuencia. ∇•D(r,ω) = ρ(r,ω) ∇•B(r,ω) = 0 ∇×E(r,ω) + iωB(r,ω) = 0 ∇×H(r,ω) - iωD(r,ω) = j(r,ω) D(r,ω) = ε
E(r,ω) ε : permitividad (dieléctrica) j(r,ω) = σ
E(r,ω) σ : conductividad B(r,ω) = µ
H(r,ω) µ : permeabilidad (magnética) Electromagnetismo - 2004 1-6 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Fasores La integral de Fourier representa la superposición o adición de un número indefinido de funciones armónicas elementales ℑ(r,ω) e
. Para distintos valores de ω estas funciones son independientes y ortogonales, porque forman un conjunto base (ver el Apéndice 1). Cada uno de estos términos es en general una cantidad compleja, pero su suma debe ser real porque lo es la función original. Por la linealidad de las ecuaciones de Maxwell y de la mayoría de las operaciones realizadas sobre los campos
es posible escribir, para la aplicación de un operador lineal a la función en el dominio del tiempo: | | | |
ℑ = ℑ =
£ £ £ ω ω ω ω
d e d e t F
) , ( ) , ( ) , ( r r r de donde vemos que: En el caso de una operación lineal, la representación de Fourier nos permite trabajar con cada armónica de la representación por separado y al final recomponer por superposición el resultado, lo que habitualmente simplifica notablemente los cálculos. Esto lleva a que el análisis de las propiedades de las señales armónicas sea de interés y será el tipo de señales que usaremos en el texto con mayor frecuencia. En la electrotecnia se denomina fasores a las funciones armónicas, porque se las puede pensar como un cantidad cuya fase varía en el tiempo. Por ejemplo: ) cos( ) (
θ ω + = t g t g representa un fasor de amplitud g
y fase inicial θ
. Podemos pensar que el fasor se mueve en un plano complejo, de modo que las proyecciones so-
bre el eje real y el eje imaginario son, respectivamente: ¹
) sen( )] (
) cos( )] (
e g t g
Luego se ve que: )] (
Re[ ) ( t g t g = . En muchas aplicaciones de los fasores se deben aplicar sobre ellos operadores lineales. Como para dos complejos cualesquiera, ( ) ( ) ( )
Re Re Re z z z z + = + se puede operar con los fasores y tomar la parte real para reconstruir las funciones físicamente significativas al final de la opera-
ción. Como los fasores tiene exponenciales complejas, es más fácil generalmente trabajar con ellas que con las operaciones trigonométricas asociadas a las funciones originales. Sin embargo: Promedio temporal En muchas ocasiones la cantidad físicamente significativa es el promedio temporal o valor 8
Existe la muy importante excepción de los cálculos que involucran potencia y energía, que son productos de cam-
pos y por lo tanto operaciones no lineales. la aplicación de un operador lineal a la función en el dominio del tiempo equivale a la superposición de la aplicación del operador a las armónicas de la representación. La suma algebraica, la derivación y la integración son operaciones lineales y en ellas se pueden usar fasores. El producto de dos funciones no es una ope-
ración lineal, y por lo tanto se debe trabajar desde el principio con la forma real de las funciones. g
0 ωt+θ
0 Re Im Electromagnetismo - 2004 1-7 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar medio de las magnitudes en estudio: Se puede demostrar que, para dos funciones armónicas de igual frecuencia representadas por fasores: { }
Re ) ( y { }
Re ) ( el promedio temporal es: Para demostrar esta propiedad consideremos dos funciones armónicas de igual frecuencia: { }
Re ) ( que expresamos por los fasores t i
, respectivamente, donde sobreen-
tendemos que se debe tomar la parte real. Las cantidades 0
g son generalmente complejas a fin de introducir un eventual ángulo de fase inicial. Queremos calcular el valor medio temporal del producto ) ( ) ( t g t f , que es: ∫
con ω π = / 2 T Podemos escribir la parte real de los fasores como: { } | |
e f e f e f t f
ω − ω ω
Re ) ( Luego: | || |
+ + = >= <
dt e g e g e f e f
y tenemos: | |
+ + + >= <
dt e g f g f g f e g f
Las integrales que tienen los factores exponenciales tienen valor medio cero, y entonces: | | { } { }
g f g f g f g f fg = = + >= < que es lo que queríamos demostrar. Ejemplo 1-1: La tensión sobre una carga tiene una dependencia temporal: ) / 2 cos( ) (
T t V t V π = con t en s. a) Calcular el valor medio de la tensión sobre la carga. b) Cal-
cular el valor medio de la potencia disipada en la carga. a) Para calcular el valor medio de la tensión dato usamos su definición: 0 ) / 2 cos(
= = >= <
dt T t V
V π ya que la integral del coseno sobre un periodo completo es cero. b) La potencia instantánea disipada en la carga es: ) / 2 ( cos
t P π = = Y la potencia media puede calcularse mediante definición o usando la notación fasorial. Por definición: | | { } { }
g f g f g f g f dt t g t f
= = + = >= <
o Si f(t) es una función periódica de periodo T, definimos el valor medio como: ∫
o Si f(t) es una función no periódica, definimos el valor medio como: ∫
lim Electromagnetismo - 2004 1-8 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar ∫ ∫ ∫
) / 2 ( cos ) / 2 ( cos
π π Si hacemos el cambio de variables: u = 2πt/T ⇒ du = 2π dt/T nos queda: R
= = = >= <
donde hemos definido la tensión eficaz: 2 /
= Para usar la notación fasorial, escribimos la tensión en forma fasorial: { }
e V e V e t V
) ( = ℜ = donde sobreentendemos que debe tomarse la parte real. Usando esta notación podemos escribir: { } { } { }
= ℜ = ℜ = ℜ = > <
es real. Se ve que obtenemos el mismo valor que antes, como debe ser. Entornos de modelación en el dominio de la frecuencia Las ecuaciones de Maxwell y sus soluciones generales permiten describir cualquier problema electromagnético, pero la resolución práctica de estas soluciones es difícil y habitualmente no es posible obtener soluciones analíticas. Por otra parte, el mismo nivel de generalidad de este análisis esconde a veces las características fundamentales de los fenómenos que son las que habitualmente importan desde el punto de vista del análisis y diseño en la ingeniería. Por ello se introducen, cuando es posible, modelos que lle-
van a simplificar el tratamiento matemático y a enfatizar las propiedades esenciales del compor-
tamiento del fenómeno en estudio. La modelación en el dominio de la frecuencia es la técnica más usada por su sencillez conceptual y matemática. El comportamiento de los sistemas en distintas frecuencias lleva a los paradigmas usuales en la ingeniería eléctrica. Siempre debe tenerse en cuenta que el modelado en el dominio de la frecuencia describe el comportamiento dominante en un cierto ancho de banda, pero tal modelo no es universal y puede ser inaplicable si cambia la frecuencia de los fenómenos o se generan fenómenos no deseados por interferencia o inexactitudes del diseño. Por ejemplo, un circuito cuyo objetivo es amplificar señales de audio se diseñará aplicando el modelo circuital cuasi-estacionario que describimos más abajo, pero la eventual presencia de oscilaciones de alta frecuencia por caminos de realimentación no puede describirse mediante este modelo. Veremos a lo largo del texto tres entornos de modelado fundamentales de los fenómenos elec-
tromagnéticos: el modelo o entorno cuasi-estático (bajas frecuencias), que puede describirse mo-
delando al sistema mediante un circuito de parámetros concentrados, el modelo de parámetros distribuidos y finalmente el modelo de campos. A continuación describimos las características esenciales de cada modelo. Caso estático Consideramos primero como introducción el caso estático puro: los campos y sus fuentes no dependen del tiempo. Se trata de distribuciones de cargas en reposo
y corrientes estacionarias o continuas. Las ecuaciones de Maxwell se escriben en este caso: 9
En reposo en un sistema de referencia inercial. Electromagnetismo - 2004 1-9 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar y se ve que los campos eléctrico y magnético están desacoplados. La mutua dependencia que surge de las leyes de Faraday y de Maxwell-Ampère sólo opera cuando los campos dependen del tiempo. El campo eléctrico (electrostático) depende solamente de la distribución de cargas y el campo magnético (magnetostático) depende solamente de la distribución de corrientes (estacio-
narias o continuas). En el caso general estas distribuciones están acopladas entre sí por la ecua-
ción de continuidad, pero en el caso estático no: En términos de los potenciales electrodinámicos, los campos se pueden escribir como: y los potenciales electrodinámicos se convierten en los correspondientes potenciales estáticos: Obsérvese que toda referencia al tiempo se ha eliminado y ya no existe retardo entre la fuente y el campo. Existe una acción a distancia instantánea. Por otra parte, al estar desvinculadas las distribuciones de cargas y corrientes, estos potenciales estáticos son independientes, como lo son los campos entre sí. De estas ecuaciones surgen las propiedades de los circuitos eléctricos elementales de corriente continua, como veremos en el Capítulo 2. Modelo cuasi-estático o cuasi-estacionario La teoría de circuitos es sencilla, fácil de visualizar y ha sido durante años el paradigma básico del análisis de los equipos electrónicos. Pero sólo es rigurosamente válida para frecuencia cero (fenómenos estáticos o estacionarios). Para fenómenos variables en el tiempo se requiere el análisis de campos con los potenciales retardados, las corrientes dejan de ser estacionarias, y las reglas de Kirchhoff dejan de cumplirse. Sin embargo, podemos pensar que para frecuencias muy bajas el comportamiento de los sistemas no debe diferir demasiado del comportamiento a corriente continua, y que el pasaje de los fenómenos circuitales puros a los fenómenos de radia-
ción debe ser gradual y paulatino a medida que aumenta la frecuencia. Este razonamiento nos lleva a analizar el caso cuasi-estático o cuasi-estacionario, donde la frecuencia es tan baja que podemos aproximar las ecuaciones de Maxwell a su formato estáti-
co/estacionario, pero conservando la dependencia temporal: Obsérvese que ha desaparecido la distinción entre tiempo fuente y tiempo campo, es decir que en la aproximación cuasi-estática los efectos son instantáneos, como en el caso estático. Como las ecuaciones que dan lugar a la teoría de circuitos se mantienen en esta aproximación, ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( r j r H r E r B r r D = × ∇ = × ∇ = • ∇ = • ∇ ρ 0 0 = • ∇ ⇒ = ∂ ∂ + • ∇ j j t ρ
) ( ) ( ) ( ) ( r A r B r r E × ∇ = Φ −∇ =
= ⇒ = ∇
= Φ ⇒ = ∇
r A r j r A
) , ( ) , ( t t r r D ρ = • ∇ 0 ) , ( = • ∇ t r B 0 ) , ( ≈ × ∇ t r E ) , ( ) , ( t t r j r H ≈ × ∇ 0 ≈ • ∇ j ) ( ) ( ) ( ) ( r A r B r r E × ∇ = Φ −∇ = ∫
= ⇒ ≈ ∇
≈ Φ ⇒ ≈ ∇
Electromagnetismo - 2004 1-10 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar sigue siendo válidas las reglas de Kirchhoff, aunque ahora los elementos de circuito incorporan reactancias. Este es el modelo de los circuitos de parámetros concentrados, que introducimos en el Capítulo 5. La aproximación cuasi-estática es válida para bajas frecuencias, pero ¿cuán baja debe ser la fre-
cuencia para que esta aproximación sea válida? La clave para responder esta pregunta reside en analizar la validez del uso de potenciales elec-
trodinámicos cuasi-estáticos. Veamos el potencial escalar para variaciones armónicas de la fuen-
te de frecuencia f = ω/2π: c R t t V d
con: c R i t i
′ = ′ = ′ ′ r r r Entonces:
con k = ω/c Para pasar a la descripción cuasi-estática se debería eliminar el retardo ∆t = R/c o lo que es lo mismo, el factor e
. Una posible situación donde esto ocurre es cuando el punto de observación (el punto campo) se halla muy cerca del recinto de integración, con lo que R es pequeño. Sin embargo, aún en este caso el retardo será diferente para distintos puntos fuente. Se ve en la figura que: ∆t
/c ≠ ∆t
/c Esta diferencia de retardo se traduce en una diferencia de fase kR
, que, en general, pro-
ducirá interferencia. En el caso estático no hay retardo ni interferencia. Esta interferencia se vuelve despreciable cuando la separación entre los puntos fuente más aleja-
dos es suficientemente pequeña para que kR
<< 2π. Sea D la máxima dimensión de la fuente. Como para una señal armónica de frecuencia angular ω : λ
π π ω D
kD R R k
= ≤ − ⇒ = = = y entonces: 1 2
<< ⇒ << − λ D π R R k Esta es la condición para que el defasaje introducido por la posición relativa de los puntos fuente no genere interferencias en el punto campo, y todo ocurre como si la velocidad de propagación de las interacciones fuera infinita. Concluimos que es posible aplicar la aproximación cuasi-estática cuando la máxima dimensión de la fuente de campo es muy pequeña frente a la longitud de onda de los campos emitidos. ¿Qué sucede cuando tenemos una señal no armónica? En este caso descomponemos la señal por Fourier y aplicamos la condición que acabamos de hallar en el peor caso: la mínima longitud de onda (máxima frecuencia) significativa del espectro. Si la condición de cuasi-estaticidad se cum-
ple para esa armónica se cumplirá también para toda otra armónica del espectro. En resumen: ¿Cuánto es muy grande? La respuesta depende de la precisión que se desee para el análisis. En la práctica se toma habitualmente λ
≥ 10D como valor testigo. r R
1 (r,t) V R
t′ ′ r
Es posible aplicar la aproximación cuasi-estática o cuasi-estacionaria de las ecuaciones del electromagnetismo cuando la mínima longitud de onda signi-
ficativa del espectro de Fourier de los campos involucrados (que en medios lineales es el espectro de Fourier de la fuente de campo), es muy grande frente a las dimensiones de la fuente: λ λλ λ
>> D Electromagnetismo - 2004 1-11 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Tres entornos El estudio precedente de la validez de la aproximación cuasi-estática define tres entornos de mo-
delación diferentes en el dominio de la frecuencia: • Las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeñas frente a la mínima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente. Este es el caso de la aproximación cuasi-estática. Vale la teoría de circuitos y se modela el sistema mediante elementos de parámetros concen-
trados (resistores, capacitores, inductores, etc.). • Dos de las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeñas frente a la mínima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente. En este caso se modela al sistema como una cascada de elementos de longitud infinitesimal a lo largo de la dimensión que no cumple la condición cuasi-estática. Como cada elemento infinitesimal de la cascada cumple esta con-
dición, se lo modela mediante un circuito equivalente. Se tiene entonces un modelo de pará-
metros distribuidos. El caso típico es el de las líneas de transmisión. • Al menos dos de las tres dimensiones no cumplen la condición cuasi-estática. Se requiere usar el modelo de campo en toda su generalidad. Esto ocurre por ejemplo en antenas y circuitos de microondas. A lo largo del texto analizaremos los modelos utilizados en estos tres entornos en el dominio de la frecuencia. Electromagnetismo - 2004 1-12 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Apéndice 1 - Sistema Internacional de Unidades Introducción matemática Sistema Internacional de Unidades Para el estudio científico o el desarrollo de tecnologías, se separa del universo el grupo de obje-
tos de interés. Este grupo constituye un sistema físico, y el resto del universo se considera el ambiente o medio ambiente en que el sistema en estudio se encuentra. En el análisis del siste-
ma se desea hallar una descripción del comportamiento del sistema y/o de sus interacciones con el ambiente. En la síntesis de un sistema se desea diseñar tal sistema de manera que, por sí mis-
mo y/o en interacción con su medio ambiente produzca una serie de respuestas a determinados estímulos. Para describir estas respuestas de utilizan las magnitudes físicas del sistema. Una magnitud física define una dada característica observable de un sistema físico. Son magni-
tudes físicas la longitud, la velocidad, la fuerza, el campo eléctrico, etc. A cada magnitud le corresponde una unidad de medida, de manera de poder expresar cuantitati-
vamente su valor en una medición o cálculo referido a un sistema físico. Un sistema de unida-
des es el conjunto de unidades asignadas a cada magnitud básica o derivada que se use en la ciencia o la técnica. La normalización internacional de pesos y medidas se halla bajo el control de la Conferencia General de Pesos y Medidas. Las conferencias se realizan en la actualidad cada cuatro años. La Conferencia designa el Comité Internacional de Pesos y Medidas, formado por 18 miembros de países diferentes, se reúne cada año y controla la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bu-
reau International des Poids et Mesures - BIPM), que es el organismo encargado de asegurar la unificación mundial de las mediciones físicas. El BIPM se creó en 1875 con la adhesión de 17 estados. Actualmente (1997) 47 estados, entre ellos la Argentina, adhieren al sistema. Debido a la creciente complejidad de la definición, control y adecuación de los patrones de medida a los avances científicos, la Conferencia ha creado Comités Consultivos (nueve, en la actualidad) so-
bre diferentes aspectos metrológicos y desde 1965 publica una revista científica propia, llamada Metrologia, además de las publicaciones realizadas por sus expertos en distintas revistas científi-
cas internacionales y los distintos informes de sus cuerpos consultivos y laboratorios propios. En 1960 la Conferencia General de Pesos y Medidas adoptó el llamado Sistema Internacional de Unidades (SI) que fue adoptado luego por cada país adherente con particularidades propias. En la Argentina se adoptó el SI con la denominación SIMELA (Sistema Métrico Legal Argen-
tino) en el año 1972, por ley 19511, agregando algunas unidades derivadas de uso habitual en el país. Debe notarse que las unidades del SIMELA conservan la grafía del SI cuando el original deriva del nombre de una persona (p.ej., debe decirse volt y no voltio, watt y no vatio, etc.). El SI (y el SIMELA) tiene unidades básicas (consideradas por convención dimensionalmente independientes) y derivadas (que surgen algebraicamente de combinaciones de las unidades bá-
sicas): Electromagnetismo - 2004 1-13 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Unidades básicas Magnitud Unidad Definición Longitud metro (m) Longitud del camino recorrido por la luz en el vacío en un intervalo de 1/299 792 458 segundos
. Tiempo segundo (s) Duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo cesio-133 a 0K. Masa kilogramo (kg) Masa del prototipo internacional, un cilindro de platino-iridio conservado por el BIPM en Sévres, Francia. Este es el único artefacto o patrón que defi-
ne una unidad básica del SI. Corriente eléc-
trica ampere (A) Corriente eléctrica constante que, si se mantiene en dos conductores rectos paralelos de longitud infinita y despreciable sección circular recta, separados en 1 metro, produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2x10
tons por unidad de longitud. Temperatura termodinámica kelvin (K) Es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua
. Intensidad luminosa candela (cd) Es la intensidad luminosa, en una dada dirección, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540x10
hertz y que tiene una inten-
sidad radiante en esa dirección de 1/683 watt por esterradián. Cantidad de sustancia mol (mol) Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades ele-
mentales como el número de átomos en 0.012 kilogramos de carbono-12. Nótese que los nombres (no el símbolo, que se da entre paréntesis) de las unidades se escriben en minúsculas. Unidades derivadas Las unidades derivadas se obtienen de las básicas mediante combinaciones dadas por leyes cien-
tíficas. Hay unidades derivadas que tienen nombres especiales (p.ej., la unidad de fuerza newton: 1 N = 1 Kg.m/s
, la de energía: 1 joule = 1 N.m = 1 Kg.m
, etc.). Hay otras que no tienen nombres especiales (p.ej., la unidad de aceleración: 1 m/s
). La legislación sólo da ejemplos de estas unidades, dado que nuevas unidades derivadas pueden agregarse a medida que el uso las hace necesarias y que distintas magnitudes a veces comparten las mismas unidades (p.ej., joule/K corresponde a la magnitud capacidad calorífica y a la magnitud entropía). La Conferencia realizada en 1960, que creó el SI, incluyó al radián (unidad de ángulo plano) y al esterradián (unidad de ángulo sólido) como una clase separada de unidades, llamadas unidades complementarias. La Conferencia de 1996 eliminó esta categoría de unidades e incluyó al radián y al esterradián dentro de la clase de unidades derivadas, en una subclase especial, llamada de unidades con nombres y símbolos especiales. Prefijos Además de las unidades, el SI (y el SIMELA) define los prefijos de múltiplos y submúltiplos de las unidades, y recomienda que estas cantidades se presenten en cifras de 10
. De esta forma, se prefiere expresar longitudes en m, mm o km y no usar las unidades intermedias, aunque éstas se siguen usando en la práctica. Los prefijos tabulados son: Prefijo Valor Símbolo Prefijo Valor Símbolo yotta 10
24 Y 12
-1 d zetta 10
-2 c exa 10
18 E mili 10
¡Esto convierte a la unidad de longitud en una especie de unidad derivada de la de tiempo!… 11
Nótese que el signo de grados (°) no se usa en kelvin. Se define también en el SI la temperatura Celsius como: t (°C) = T(K) - T
donde T es la temperatura en kelvin y T
= 273.16. 12
No existe en el SIMELA. Electromagnetismo - 2004 1-14 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar peta 10
15 P micro 10
-6 µ tera 10
12 T nano 10
-9 n giga 10
9 G pico 10
-12 p mega 10
6 M femto 10
-15 f kilo 10
3 K atto 10
-18 a hecto 10
2 h deca 10
1 da Unidades eléctricas Las unidades eléctricas fundamentales son las unidades de corriente (unidad básica), de carga eléctrica, de diferencia de potencial y fuerza electromotriz, de resistencia, de capacidad, de in-
ductancia y de flujo magnético (unidades derivadas) que se describen en la Resolución 2 de la Conferencia de 1946 de la siguiente manera: Magnitud Unidad Definición Carga coulomb Cantidad de electricidad transportada en 1 segundo por una corriente de 1 ampere. ddp y fem volt Diferencia de potencial entre dos puntos de un alambre conductor que lleva una corriente constante de 1 ampere, cuando la potencia disipada entre estos dos puntos es igual a 1 watt. Resistencia ohm Resistencia eléctrica entre dos puntos de un conductor cuando una ddp cons-
tante de 1 volt, aplicada entre estos puntos, produce en el conductor una corriente constante de 1 ampere. El conductor no debe ser el sitio de ninguna fem. Capacidad farad Capacidad de un capacitor entre cuyas placas aparece una ddp de 1 volt cuando se carga con una cantidad de electricidad de 1 coulomb. Inductancia henry Inductancia de un circuito cerrado en el que se produce una fem de 1 volt cuando la corriente eléctrica en el circuito varía uniformemente a ra-
zón de 1 ampere por segundo. Flujo magnético weber Flujo magnético que, concatenado por un circuito de una sola vuelta, produ-
ciría sobre él una fem de 1 volt si se redujera a cero a velocidad uniforme en 1 segundo. La realización práctica del ampere (unidad básica) y del volt y del ohm (unidades derivadas) para obtener una buena precisión a partir de sus definiciones es difícil y laboriosa, por lo que diversas Conferencias han recomendado la búsqueda de métodos más precisos y reproducibles. En los últimos años se han desarrollado dos métodos basados en fenómenos cuánticos: el efecto Josephson (que da un estándar para el volt) y el efecto Hall cuántico (que da un estándar para el ohm). Estos métodos dan mayor reproducibilidad y estabilidad que los métodos tradicionales. En 1962 Brian Josephson, entonces estudiante de posgrado del Trinity College, Cambridge, In-
glaterra, predijo que los electrones pueden agruparse en pares de Cooper para pasar por efecto túnel una barrera aislante delgada (unos pocos nm) colocada entre dos superconductores. Si se aplica una corriente alterna de frecuencia f a esta juntura Josephson se observa un conjunto de niveles discretos de diferencias de potencial continua entre los dos superconductores de la juntu-
ra, proporcionales a la frecuencia de la corriente aplicada: J n
K f n f e h n V / ) 2 / ( = = ∆ . Para una corriente de microondas de 10 GHz el salto entre niveles adyacentes es de unos 41.4 µV. Se ha asignado para propósitos metrológicos en la Conferencia de 1988 el valor a la constante de Josephson K
= 2e/h = 483 597.9 GHz/V. Se pueden crear chips con muchas junturas Josephson conectadas en serie (figura) para producir estándares de 1V y 10V, que se usan actualmente en varios laboratorios metrológicos como estándares primarios de tensión. Se han logrado precisiones de al-
rededor de 1 parte en 10
. En 1980 el físico alemán Klaus Von Klitzing descubrió un nuevo fenómeno en el efecto Hall generado por estructuras MOS de AsGa/AlAsGa a bajas temperaturas en altos campos magnéti-
Electromagnetismo - 2004 1-15 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar cos. Observó que la ddp de Hall se cuantifica en niveles proporcionales a la corriente que circula. La resistencia de Hall (cociente de la ddp de Hall y la corriente circulante) resulta: n R n e h R
/ / ) / (
= = . Debido a la generalización del uso de este efecto para producir patrones de resistencia, la Conferencia de 1988 ha asignado para propósitos metrológicos a la constante de Von Klitzing el valor R = 25812.807 Ω . Este método permite lograr precisiones de alrededor de 1 parte en 10
. La adopción de estos métodos como definiciones del volt y el ohm modificarían el status de µ
de ser una constante con un valor exactamente definido - modificando así la definición del ampe-
re - y produciría unidades eléctricas incompatibles con la definición del kilogramo y las unidades derivadas de él. Sin embargo, para usar estos métodos nuevos se han dado en la Conferencia de 1988 valores convencionales a las constantes de Josephson y von Klitzing que aparecen en los efectos cuánticos en relación al volt y al ohm. En 1991 la Conferencia recomendó continuar la investigación básica en la teoría del efecto Josephson y el efecto Hall cuántico. Enlaces a sitios de interés Bureau International des Poids et Mesures (BIPM): http://www.bipm.fr National Institute of Standards and Technology (NIST): http://physics.nist.gov/cuu/Units Depto. de Patrones Nacionales de Medida - INTI: http://www.inti.gov.ar/dpnm (aquí se puede consultar una traducción al castellano de la séptima edición del original francés (brochure-si.pdf) y de la correspondiente versión en inglés (1998) y del Suplemento 2000, elabo-
radas por el BIPM. Este documento no incluye la traducción del Anexo 2: Realización Práctica de las Definiciones de las Principales Unidades ni las notas al margen del documento original). El archivo SI.ZIP, ubicado en el ftp de la materia, contiene los siguientes documentos: • Brochure-si.pdf. Publicación oficial del BIPM. 7ma. Edición (1998). En francés. • Si-supplement2000.pdf. Publicación oficial del BIPM. En francés e inglés. • SP330.PDF. Publicación del NIST (National Institute of Standards and Technolo-
gy, USA):Describe el SI. Edición 2001. En inglés. • SP811.PDF. Publicación del NIST. Es una guía de uso. El uso correcto del SI no es trivial y hay un número de reglas para su utilización en publicaciones técnicas o científicas. Edición 1995. Electromagnetismo 2004 1-16 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Introducción Matemática La siguiente introducción no reemplaza a textos especializados. Su objetivo es tener un resumen de conocimientos necesarios empleados en el texto e introducir la notación usada. Campos escalares y vectoriales. Notación. Si el valor asignado es un escalar (un único número - real o complejo) se dice que el campo es escalar (p.ej., el campo de temperaturas en una barra uno de cuyos extremos se halla dentro de una llama: a cada punto de la barra el campo le asigna un número real asociado a la propiedad temperatura). Si el valor asignado es un vector (un ente que tiene magnitud, dirección y sentido - generalmente definido por sus tres componentes en un sistema de referencia) decimos que el campo es vecto-
rial (p.ej., el campo gravitatorio en los alrededores de un planeta, el campo eléctrico generado por un cuerpo conductor cargado, etc.). En este texto usaremos una notación para distinguir escalares de vectores. Las cantidades escala-
res se escribirán en cursiva, mientras que las cantidades vectoriales se escribirán en negrita. Por ejemplo, el campo de temperaturas en la barra será dado por la función escalar T(r) donde r es el vector de posición que define la posición de cada punto de la barra respecto de un sistema de coordenadas dado. Los versores (vectores de magnitud unitaria) se distinguen usando un acento circunflejo: 1 ˆ ˆ = ⇒ x x Operaciones con vectores Suma algebraica de vectores: C = A ± B. A - B = A + (-B) La suma algebraica de dos (o más) vectores es otro vector. En un sistema de coordenadas dado se puede expresar un vector como la suma de sus componentes, que son los vectores proyec-
ción sobre cada dirección coordenada. Por ejemplo, en coordena-
das cartesianas: z y x F ˆ ˆ ˆ
F F F + + = La suma algebraica de dos (o más) vectores implica sumar alge-
braicamente sus componentes homólogas: z y x B A ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) (
B A B A B A ± + ± + ± = ± Multiplicación de un vector por un escalar: C = λ A. Es otro vector cuya magnitud es λ veces la del vector original: C = λ A, y se conserva la dirección (el vector resultante es paralelo al vector original). El sentido del vector resultante coincide con el del vector original o cambia según λ sea positivo o negativo. A B A + B A - B - B Un campo es una función que asigna un valor de una propiedad física o matemática a cada punto del espacio. x F
λA Electromagnetismo 2004 1-17 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Producto escalar: f = A • B = A B cos α donde α es el ángulo formado entre A y B. Es un escalar. Ejemplo: trabajo de una fuerza. La expresión del producto escalar según las componentes de los vectores es: A • B = A
A partir del producto escalar se puede obtener el ángulo entre dos vectores: |
cos α Producto vectorial: C = A × ×× × B ⇒ C = C = A B sen α. donde α es el ángulo formado entre A y B. El producto vectorial es un vector, cuyo sentido surge de la regla de la mano derecha. Ejemplo: momento de una fuerza. La expresión del producto vectorial según las componentes de los vec-
tores es: ( ) ( ) ( )z y x
B A ˆ ˆ ˆ
A A A − + − + − = = × Producto mixto: ) ( ) ( ) ( B A C A C B C B A × • = × • = × • Es un escalar. Doble producto vectorial: ) ( ) ( ) ( B A C C A B C B A • − • = × × . Es un vector. Los paréntesis son importantes: C B A C B A × × ≠ × × ) ( ) ( Sistemas de referencia o referenciales La posición de eventos en el espacio se define respecto de un punto fijo llamado origen de co-
ordenadas. La definición de un origen de coordenadas y un origen de tiempos
crea un sistema de referencia o referencial. El vector posición es el vector que se dirige desde el origen de co-
ordenadas hasta la posición a definir. La posición de un punto en el espacio respecto a un origen de coordenadas se determina mediante el vector posición. Por las necesidades de la descripción de los campos, es necesario distinguir entre las posiciones de puntos fuente y puntos campo. 13
En este texto consideraremos solamente referenciales inerciales, donde se cumplen las ecuaciones de la mecánica de Newton. Dentro de la perspectiva de las aplicaciones a la ingeniería, consideramos solamente velocidades pe-
queñas respecto a la velocidad de la luz, por lo que no es necesario usar correcciones relativistas y entonces la po-
sición y el tiempo siguen las reglas de la mecánica de Newton. ||.| \| • = − B A B A 1 cos α A
r r’ R E(r) V El punto fuente describe la posición de las fuentes de campo (p.ej., las cargas). Se distingue por coordenadas primadas: ) , , ( z y x ′ ′ ′ = ′ r El punto campo describe la posición del punto donde se desea calcular el campo. Se distingue por usar coordena-
das no primadas: ) , , ( z y x = r Electromagnetismo 2004 1-18 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Sistemas de coordenadas: cartesiano, cilíndrico y esférico. Para operar en un sistema de referencia es útil definir coordenadas, que son variables escalares que permiten expresar los campos escalares y vectoriales así como los elementos de arco, super-
ficie y volumen que aparecen en las ecuaciones integrales. La elección de un sistema de coordenadas depende de la simetría del problema físico en cues-
tión. En general se trata de elegir un sistema donde las superficies de potencial y/o campo cons-
tante sean superficies de coordenadas constantes. Por ejemplo, en un problema electrostático donde hay un conductor esférico cargado es conveniente usar un sistema de coordenadas esférico centrado en el conductor, ya que la superficie esférica del conductor (que en tal elección de co-
ordenadas es una superficie de coordenada r constante) es una superficie equipotencial. En mu-
chos problemas de ingeniería no existen estas superficies físicas de alta simetría y entonces es necesario recurrir a métodos numéricos. Sin embargo, el estudio de los sistemas de alta simetría brinda un marco conceptual para definir aproximaciones y criterios cualitativos para el análisis preliminar de los problemas. De los múltiples sistemas de coordenadas que se pueden definir, la práctica ha privilegiado aque-
llos sistemas llamados de coordenadas separables. Estos son sistemas que permiten pasar de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales, que surgen de las ecuaciones físicas (en nuestro caso las ecuaciones de Maxwell), a ecuaciones diferenciales a derivadas totales, que son más sencillas de resolver, como veremos en los Capítulos dedicados a la resolución numérica de las ecuaciones del electromagnetismo. Para cada ecuación diferencial a derivadas parciales, hay un número limitado de sistemas donde la ecuación es separable. Por ejemplo, para las ecuaciones de Laplace y Helmholtz, que son las esenciales en el análisis de los problemas electromagnéticos, hay 11 sistemas separables que corresponden a superficies de coordenada constante en la forma de cuádricas confocales
. De estos sistemas los más conocidos y usados en la práctica de la in-
geniería son los sistemas cartesiano, cilíndrico y esférico. En el sistema cartesiano la posición de un punto P en el espacio se describe mediante las proyecciones del vector posición sobre tres ejes rectos mutuamente perpendiculares que se cruzan en el origen de coordenadas
: P = (x
) Las superficies de coordenada constante son en este caso planos normales a la coordenada constante, como el indicado de coorde-
nada x constante. En el sistema cilíndrico la posición de un punto P en el espacio se describe mediante las proyecciones del vector posición sobre un eje recto (que habitualmente se asocia al eje z del sistema cartesia-
no correspondiente) y el plano perpendicular al eje antedicho que pasa por el origen de coordenadas y además por el ángulo formado por la proyección sobre el plano y un eje recto del plano que pasa por el origen de coordenadas (que habitualmente se asocia al eje x del sistema cartesiano correspondiente): P = (z
) Las superficies de coordenada constante son en este caso planos "horizontales" normales a la coordenada z constante, planos "ver-
ticales" que contienen al eje z para la coordenada φ constante y cilindros coaxiales de radio variable ρ y eje coincidente con z, como el indicado en la figura. 14
P.M. Morse y H. Feshbach, "Methods of Theoretical Physics", McGraw-Hill Book Co., New York, (1953) p.518. 15
En la figura se muestra una terna derecha, que es la que usaremos a lo largo del texto. x y z x
P O ρ
O Electromagnetismo 2004 1-19 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar En el sistema esférico la posición de un punto P en el espacio se describe mediante el módulo del vector posición y los ángulos que forma con dos ejes perpendiculares que pasan por el origen de coordenadas, que coinci-
den con los ejes z y x del sistema cartesiano correspondiente. P = (r
) Las superficies de coordenada constante son en este caso conos de eje z y cuyo vértice pasa por el origen de coordenadas para θ constante, planos "verticales" que contienen al eje z para la coordenada φ constante y esfe-
ras de radio variable r y origen en el origen de coordenadas, como la indicada en la figura. En un sistema de coordenadas, los vectores se expresan por sus componentes escalares y los ver-
sores asociados a cada coordenada: 3 3 2 2 1 1
ˆ ˆ ˆ e e e F F F F + + = . z y x F ˆ ˆ ˆ
F F F + + = r F z F ˆ ˆ ˆ
F F F = + = ρ
Cartesiano Cilíndrico Esférico En el sistema cartesiano los versores son constantes (no dependen de la posición). En los sis-
temas cilíndrico y esférico los versores sí dependen de la posición. Veamos las expresiones matemáticas del vector posición y los elementos de arco, superficie y volumen en los tres sistemas coordenados básicos: Vector posición Elementos de arco, área y volumen El subíndice en los elementos de área representan la coordenada normal a la superficie en consi-
deración. En el siguiente cuadro se presentan las relaciones entre las coordenadas de los distintos sistemas básicos: P φ
La dependencia de los versores con la posición en sistemas de coordenadas distintos del cartesiano debe tenerse en cuenta al integrar una función vectorial. CARTESIANAS CILINDRICAS ESFERICAS r r z r z y x r r z z y x = + ρ ρ = + + = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ CARTESIANAS CILINDRICAS ESFERICAS φ θ θ φ ρ ρ
φ θ θ φ ρ
φ θ θ φ ρ ρ
d d dr r dV dz d d dV dz dy dx dV
d dr r dS d d dS dy dx dS
d dr r dS dz d dS dz dx dS
d d r dS dz d dS dz dy dS
d r d r dr dz d d dz dy dx
+ + = + + = + + = φ θ r dl z φ ρ dl z y x dl
φ z F
x xˆ
F φ θ φ
Electromagnetismo 2004 1-20 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Análisis vectorial Gradiente Definición: Sea f(r) un campo escalar diferenciable. El gradiente de f(r) es un campo vecto-
rial que se define a través del cambio de la función en un desplazamiento diferencial: dz grad(f) dy grad(f) dx grad(f) f df r f
+ + = • = ⇒ dr grad ) ( ) ( El operador gradiente se puede escribir usando el operador vectorial nabla o del: dr z y x • ∇ = ⇒ ∇ = ⇒
= ∇ f df f f
) ( grad ˆ ˆ ˆ
Las expresiones del gradien-
te en los sistemas básicos de coordenadas se muestran en la tabla de la derecha: CARTESIANAS CILINDRICAS ESFERICAS
θ r z z
φ θ r φ ρ y
φ θ r φ ρ x
sen ˆ cos ˆ ˆ
sen cos ˆ sen sen ˆ cos ˆ sen ˆ
cos cos ˆ cos sen ˆ sen ˆ cos ˆ
cos sen cos θ θ
φ φ θ φ θ φ φ
φ θ φ ρ
CILINDRICAS CARTESIANAS ESFERICAS θ r z z
y x φ
θ r y x ρ
ˆ cos ˆ ˆ
cos ˆ ˆ ˆ cos ˆ
sen r y x
ESFERICAS CARTESIANAS CILINDRICAS ( ) ( )
φ y x φ
z ρ z y x θ
z ρ z y x r
ˆ ˆ cos ˆ ˆ
ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ cos cos
ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ ˆ cos ˆ
/ cotan
/ cos / cos
θ θ θ φ θ φ θ
z z y x r
El producto escalar entre el vector gradiente de una función escalar y el diferencial de arco es igual al diferencial de la función escalar de la que se calcula el gradiente. CARTESIANAS z y x ˆ ˆ ˆ
CILINDRICAS zˆ
ESFERICAS φ
Electromagnetismo 2004 1-21 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Propiedades del campo gradiente Una equipotencial del campo escalar f(r) es una superficie espacial tal que para todos sus pun-
tos: f(r) = f
(constante). Si el vector elemental dr pertenece a una superficie equipotencial, 0 = • ∇ = dr f df y se deduce que el vector gradiente es normal a dr. Como dr es cualquiera, el gradiente es normal a la superficie misma. La circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva c (abier-
ta o cerrada) en el espacio es una integral de línea cuyo integrando es la proyección del campo vectorial sobre el elemento de arco punto a punto a lo largo de la línea. En la figura se ilustran dos circulaciones, una sobre una curva abierta y otra sobre una curva cerrada, que puede inter-
pretarse como la suma de dos circulaciones sobre dos curvas sucesivas. Cuando el campo que circula es un gradiente, por definición: ∫ ∫
− = = • ∇
f f df f
y la circulación del gradiente depende exclusivamente de los valores del campo escalar origen en los extremos del intervalo. En particular: Campos conservativos: Un campo vectorial se dice conservativo si su circulación entre dos puntos no depende del camino que se use: 0 2 1
= • ⇒ • = •
dl F dl F dl F Por lo tanto el gradiente es un campo conservativo. En resumen: Flujo y divergencia Flujo de un campo vectorial: El flujo de un campo vectorial a través de una superficie (abierta o cerrada) se define como la integral donde el integrando es la proyección del campo vectorial sobre la normal a la superficie punto a punto de la misma. La propiedad matemática más importante del flujo de una campo vectorial es el ∫
dl F dl F dl F
dr ∇ ∇∇ ∇f f(r) = f
0 El gradiente del campo escalar f(r) es un campo vectorial normal a las superficies equipotenciales de f(r) en todo punto. 0 = • ∇
f dl Gradiente: • campo vectorial normal en todo punto a las superficies equipotenciales de la función escalar origen. • campo vectorial conservativo. Teorema de Gauss: ∫ ∫ ∫
• ∇ = = •
dV dV div dS F F n F ˆ ∫
• = Φ
F nˆ
F Electromagnetismo 2004 1-22 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar nˆ
C S Este teorema lleva a la definición de la divergencia de un campo vectorial cuando V → 0. Interpretación física: Fuente Sumidero Una carga eléctrica produce un campo eléctrico. A su vez, las líneas de campo producen flujo a través de una superficie cerrada. Si la superficie encierra carga, el flujo es no nulo, y su signo coincide con el signo de la carga encerrada. Si la superficie no encierra carga, el flujo es cero. Por lo tanto el flujo (y la divergencia) está asociado a existencia de carga o fuente de campo. En general podemos demostrar que: que significa que la divergencia del campo es proporcional a la densidad de fuentes escalares de campo punto a punto. La siguiente tabla presenta las expresiones de la divergencia en los dis-
tintos sistemas coordenados básicos: Decimos que un campo es solenoidal si su divergencia es nula: 0 = • ∇ F En este caso no existen fuentes escalares del campo, y como las líneas de campo no tienen fuentes o sumideros, deben ser cerradas. Un ejemplo de campo solenoidal es el campo magnético. Rotor El teorema de Stokes lleva a la definición del rotor de un campo vectorial cuando S → 0. En esta expresión es impor-
tante notar que: • La superficie S es abierta. Se “apoya” en la curva C • El sentido de circulación y el sentido de la normal están ligados entre sí por la regla de la mano derecha. Interpretación física Así como la divergencia está asociada a las fuentes escalares del campo, el rotor está asociado a sus fuentes vectoriales: Fuentes vectoriales del campo: ) ( ) ( r A r F
Teorema de Stokes: ∫ ∫ ∫
• × ∇ = • = •
dS dS rot n F n F dl F ) (
+ - nˆ
+ 0 > Φ 0 < Φ 0 = Φ
Fuentes escalares del campo: ) ( ) ( r r F
div ρ =
CARTESIANAS z
= • ∇ F CILINDRICAS z
φ ρ 1
F ESFERICAS φ ∂
1 ) (sen
F Electromagnetismo 2004 1-23 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar En la siguiente tabla se presentan las expresiones del rotor en los sistemas coordenados básicos: Decimos que un campo es irrotacional cuando su rotor se anula: 0 = × ∇ F En este caso no existen fuentes vectoriales del campo. Un ejemplo de campo irrotacional es el campo eléctrico. Por el teorema de Stokes un campo irrotacional da circulación nula sobre una curva cerrada. En-
tonces decir que un campo es irrotacional es lo mismo que decir que es conservativo. Laplaciano El laplaciano es el operador que resulta de tomar la divergencia del gradiente. Opera sobre un campo escalar: ( ) | | | | ) ( ) ( ) (
r r r f f f ∇ • ∇ = = ∇ grad div El laplaciano es un operador fundamental delas ecuaciones del electromagnetismo. La siguiente tabla presenta las expresiones del laplaciano en los sistemas de coordenadas bási-
: CARTESIANAS z y x
F ˆ ˆ ˆ
CILINDRICAS z
φ ρ ρ
ESFERICAS φ |
F r rF F
CARTESIANAS 2
= Ψ ∇ CILINDRICAS 2
= Ψ ∇
ESFERICAS 2
Electromagnetismo 2004 1-24 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Ecuaciones de Poisson y Laplace La ley de Gauss de la electrostática y la relación entre el campo y el potencial electrostáticos lleva a la ecuación de Poisson: ( ) | | ( )
− = φ ∇ ⇒
= φ ∇ − • ∇ ⇒
r E La ecuación de Poisson relaciona el potencial eléctrico con sus fuentes escalares. Para puntos del espacio sin fuentes, se obtiene la ecuación de Laplace: ( ) 0
= ∇ r φ Desde el punto de vista matemático, la ecuación de Poisson es una ecuación diferencial lineal inhomogénea. Su solución general es la suma de la solución general de la ecuación homogénea (ecuación de Laplace) más una solución particular de la ecuación inhomogénea original: ) ( ) ( ) (
φ + φ = φ ⇒
La solución particular más usada es la llamada integral de Poisson: r r
r ′ − =
) ( donde el recinto de integración debe contener por completo a las fuentes de campo cuya influencia se quiera determinar y se ha usado la notación de punto fuente (donde están distribuidas las fuentes) y punto campo (donde se desea calcular el efecto, o sea el potencial). Teorema de Green Las llamadas identidades de Green son expresiones matemáticas derivadas del teorema de la divergencia que son de utilidad para analizar problemas de potencial y de radiación. Sea V una región cerrada del espacio cuya frontera es S. Sean además φ(r) y ψ(r) dos campos escalares que junto con sus derivadas primeras y segundas son funciones continuas dentro de V. Consideremos el teorema de la divergencia aplicado al campo vectorial ψ∇φ : ( ) ( )
• ∇ = ∇ • ∇
dS dV nˆ φ ψ φ ψ Como: ( ) φ ψ φ ψ φ ψ
∇ + ∇ • ∇ = ∇ • ∇ se obtiene la llamada primera identidad de Green: ( )
= • ∇ = ∇ + ∇ • ∇
dS dV dV
ψ φ ψ φ ψ φ ψ nˆ
donde n ∂ ∂ψ es la derivada direccional normal a la superficie. Consideremos ahora en esta expresión que ψ = φ, y que φ sea solución de la ecuación de Laplace dentro de V, de manera que nos queda: ( ) ( )
= • ∇ = ∇
φ φ φ φ nˆ
Intercambiamos los roles de los campos escalares, y escribimos ahora la primera identidad de Green al campo vectorial φ∇ψ : ∫ ∫ ∫
= ∇ + ∇ • ∇
φ ψ φ ψ φ
Restamos las dos expresiones de la primera identidad para obtener la segunda identidad o teo-
rema de Green: ( )
= ∇ − ∇
ψ ψ φ φ ψ
Electromagnetismo 2004 1-25 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Fuentes del campo y teorema de Helmholtz El teorema de Helmholtz, que presentamos sin demostración
, relaciona a un campo vectorial con sus fuentes: Identidades vectoriales A continuación se presenta una tabla de identidades matemáticas que surgen de la aplicación de los operadores vectoriales vistos. 16
Ver, por ejemplo, W.K.H.Panofsky & M.Phillips, “Classical Electricity and Magnetism”, 2
. Ed., Addison-
Wesley, Reading, Massachussets (1962), p.2-5. El teorema de Helmholtz muestra que todo campo vectorial está unívoca-
mente definido si se conocen su divergencia (fuentes escalares) y su rotor (fuentes vectoriales). ∇ ∇∇ ∇×(∇ ∇∇ ∇f) = 0 ∇ ∇∇ ∇•(∇ ∇∇ ∇×F) = 0 ∇ ∇∇ ∇•r = 3 ∇ ∇∇ ∇×r = 0 ∇ ∇∇ ∇r = r/r ∇ ∇∇ ∇(1/r) = -r/r
3 ∇ ∇∇ ∇(φψ) = φ∇ ∇∇ ∇ψ + ψ∇ ∇∇ ∇φ ∇ ∇∇ ∇•(φF) = φ∇ ∇∇ ∇•F + F•∇ ∇∇ ∇φ ∇ ∇∇ ∇× (φF) = φ∇ ∇∇ ∇×F - F×∇ ∇∇ ∇φ ∇ ∇∇ ∇•(F×G) = G•(∇ ∇∇ ∇×F) - F•(∇ ∇∇ ∇×G) ∇ ∇∇ ∇× (F×G) = F(∇ ∇∇ ∇•G) - G(∇ ∇∇ ∇•F) + (G •∇ ∇∇ ∇) F - (F •∇ ∇∇ ∇) G ∇ ∇∇ ∇(F•G) = F× (∇ ∇∇ ∇×G) + G× (∇ ∇∇ ∇×F) + (G •∇ ∇∇ ∇) F + (F •∇ ∇∇ ∇) G ∇ ∇∇ ∇
F = ∇ ∇∇ ∇(∇ ∇∇ ∇•F) - ∇ ∇∇ ∇× (∇ ∇∇ ∇×F) (Laplaciano vectorial) Expresiones integrales: Gauss ∫ ∫
dV dS F n F ˆ
dV f dS f nˆ
Stokes ( )
dS n F dl F ˆ ( )
× ∇ = ×
dV dS F F n Si ) ) r r F ( ( λ = • ∇ y ) ) r k r F ( ( = × ∇ Entonces ) ) ) r K r r F ( ( ( × ∇ + Ψ −∇ = con V d
′ − = ′ − =
x x R r r Electromagnetismo 2004 1-26 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Sistemas lineales Muchos fenómenos físicos pueden describirse matemáticamente mediante magnitudes funciones del espacio y del tiempo. En muchas situaciones podemos separar estas magnitudes como estí-
mulos (causas) y respuestas (efectos). También en muchas situaciones de interés tecnológico la relación causal entre estímulos y respuestas es lineal, es decir, la respuesta a un conjunto de es-
tímulos aplicados simultáneamente es la suma de las respuestas obtenidas si cada estímulo opera-
ra en solitario. Estas relaciones se pueden implementar matemáticamente mediante mapeos li-
neales entre el conjunto de funciones estímulo y el conjunto de funciones respuesta. Estos ma-
peos son la representación matemática del fenómeno y se conocen como sistemas lineales. La posibilidad de describir fenómenos de la naturaleza mediante sistemas lineales es ventajosa porque existe una amplia y relativamente sencilla doctrina matemática para tratar a estos siste-
mas, fundamentalmente mediante la representación de las magnitudes como la suma de funcio-
nes elementales cuyas respuestas son bien conocidas o pueden ser estimadas con facilidad. Las magnitudes que representan el fenómeno pueden ser magnitudes descriptas mediante funcio-
nes reales de sus argumentos o magnitudes descriptas mediante funciones complejas. En el pri-
mer caso podemos señalar la óptica de procesos incoherentes, y en el segundo la óptica de proce-
sos coherentes, donde es necesario usar campos con módulo y fase. Como el tratamiento vecto-
rial es más general, lo usaremos en nuestra introducción a los sistemas lineales. Consideremos entonces un sistema definido por un mapeo S entre un conjunto de funciones es-
tímulo
: f(r,t) = [f
(r,t), f
(r,t), …, f
y un conjunto de funciones respuesta: g(r,t) = [g
(r,t), g
(r,t), …, g
Todas estas funciones deben considerarse, en general, funciones complejas de sus argumentos reales. Entonces, la relación causal se escribe: g(r,t) = S { f(r,t)} donde el operador matemático S { } representa la relación. Esta relación entre ambos conjuntos de funciones es del tipo "muchas a una", es decir, diversos conjuntos estímulo pueden llevar al mismo conjunto repuesta. Autovalores y autofunciones Consideremos una función estímulo que depende de sus variables y de un cierto parámetro α: f
(r,t). Decimos que esta función estímulo es una autofunción de un cierto operador lineal £ si: { } ) , ( ) ( ) , ( £ t H t r f r f
α = donde H(α) es un valor complejo dependiente de α pero independiente de las variables r y t, llamado autovalor asociado con la autofunción. Como el autovalor es una constante compleja, se puede escribir en forma polar: ) (
= donde A(α) es la amplitud y φ(α) es la fase del complejo H(α). Entonces: { } ) , ( ) ( ) , ( £ t H t r f r f
α = ⇒ { }
) , ( ) ( ) , ( £
= r f r f 17
Usamos la notación vectorial para los conjuntos de funciones estímulo y respuesta porque es la más natural. En el caso de un sistema lineal: g(r,t) = £ { f(r,t)} el operador lineal £ { } satisface la propiedad básica: { } { } { }
£ £ £ f f f f α α α α + = + donde α
son constantes (respecto de los argumentos de las funciones) generalmente complejas. Electromagnetismo 2004 1-27 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar y se observa que la aplicación de un operador lineal a una autofunción tiene como resultado una versión escalada y eventualmente desfasada de esta misma autofunción. Otro aspecto fundamental de los sistemas lineales surge de la posibilidad de la representación de estímulos y respuestas mediante superposición de funciones más sencillas. Consideremos que podemos expresar el estímulo como una suma o superposición de funciones (ejemplificamos para una relación estímulo-respuesta escalar): ∑
t h t f ) , ( ) , ( r r α
Si g(r,t) = £ { f(r,t)} representa un sistema lineal, entonces podemos escribir: { } { }
t h t h t f t g ) , ( £ ) , ( £ ) , ( £ ) , ( r r r r α α
Se ve entonces que: Esto es sumamente conveniente desde el punto de vista del cálculo ya que se puede elegir el con-
junto de funciones elementales que representa a la función estímulo original de manera que sean sencillas las respuestas obtenidas al aplicar el operador. Representación de funciones por conjuntos completos de funciones ortogonales Las representaciones más útiles son las que utilizan conjuntos completos de funciones ortogo-
nales. En general, existen representaciones en el dominio del tiempo y representaciones en el dominio del espacio. Habitualmente, las funciones matemáticas que se usan en la descripción de sistemas de ingeniería son separables, es decir, podemos escribir para cualquiera de ellas: f(r,t) = f
(r) T(t) donde el subíndice "s" indica que la función describe el comportamiento espacial, y entonces la representación de la función original como superposición de funciones elementales resulta en un producto de dos series que pueden considerarse por separado. Dado que es común en los cursos de ingeniería la representación en el dominio del tiempo (re-
presentación de Fourier) ejemplificaremos esta sección con representaciones en el dominio del espacio, menos conocidas. Así tenemos, entonces la representación: ) ( ) (
h f α dentro de un recinto V del es-
pacio, donde todas las cantidades son generalmente complejas. Decimos que dos funciones φ
(r) y φ
(r) son ortogonales en V si: ∫
de dentro ) ( ) ( si 0
donde el asterisco simboliza el complejo conjugado. Si además la integral vale 1 cuando las dos funciones coinciden, se dice que las funciones son ortonormales. La linealidad permite representar una función estímulo mediante una suma o superpo-
sición lineal de otras funciones elementales, calcular la respuesta para cada estímulo elemental y luego sumar los resultados para obtener la respuesta original. Electromagnetismo 2004 1-28 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Suponemos en lo que sigue que el conjunto de funciones {h
(r)} de la representación son orto-
gonales: ∫
dV h h
Entonces los coeficientes α
del desarrollo se pueden calcular sencillamente: calculamos k k
dV h h dV h h dV f h α α α ∆ = =
r r r r r r de donde: ∫
dV f h ) ( ) (
r r α Definimos el error cuadrático medio de la representación como: dV h f
r r α ε Si el conjunto de funciones {h
(r)} es completo, entonces el error cuadrático medio tiende a cero para todo punto dentro de V para cualquier función f
(r) a representar. Tenemos entonces una prescripción de cómo representar la función estímulo dentro de un dado recinto con error mínimo, cualquiera sea la función. Existen múltiples conjuntos completos de funciones ortogonales. Cuál se elija para una aplicación específica depende del operador lineal que permite hallar la respuesta. Delta de Dirac La delta de Dirac es una funcional, es decir, es un objeto matemático definido por un conjunto de propiedades. En el caso de la delta espacial en una dimensión δ(x), las propiedades son: ¹
≠ = −
] , [ si 0
] , [ si ) (
para 0 ) (
b a x x f
dx x x x f
Por ejemplo, la función definida por intervalos: ¹
] , [ si / 1
x x se comporta como una delta de Dirac cuando ε→0. La primera propiedad se cumple ya que en el límite el úni-
co punto en que la función no es cero es x
. La segunda propiedad se cumple por el teorema del valor medio del cálculo integral:
a b dx x ) ( ) ( ) ( ξ φ φ donde ) , ( b a ∈ ξ . Luego: ∫
¦ ∈ +
] , [ ] , [ intervalo el si ) (
δ Tomando el límite para ε→0 se llega a las propiedades de la delta. La definición de la delta ilustra la propiedad de muestreo: su aplicación permite tener una muestra de la función en el punto de definición de la delta. En tres dimensiones espaciales se puede escribir: δ
(x) x 1/ε x
+ε x
f(x) Electromagnetismo 2004 1-29 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar ¹
donde la notación convencional de la delta significa, p.ej., en cartesianas: dz dy dx z z y y x x dV ) ( ) ( ) ( ) (
− − − = − δ δ δ δ r r Una operación que lleva a una delta de Dirac en tres dimensiones es: (
grad div Demostramos esta propiedad usando por comodidad coordenadas cartesianas: | |
∇ • ∇
ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( 1
r r = la operación no está definida. Luego se satisface la primera propiedad de la delta. Para probar la segunda, usamos el teorema de la divergencia: ( )
− = •
d dS dS dV
que indica que la integral es igual al ángulo sólido medido desde el punto 0
r .  Si el recinto de integración incluye a este punto, el resultado de la última in-
tegral vale 4π (figura de la izquierda).  Si el recinto de integración no incluye a este punto, la integral es nula, lo que se ve a partir del flujo de la anteúltima integral (figura de la derecha). Finalmente: ( )
∇ • ∇ δ π En nuestro curso la funcional delta de Dirac se utiliza en la representación de objetos puntuales, lineales o superficiales como objetos tridimensionales en las integrales de los campos. En otras aplicaciones la funcional delta temporal δ(t - t
) tiene mucha utilidad en el análisis de los circuitos y sistemas de control, como se muestra en la siguiente sección. Representación Delta De las propiedades de la Delta de Dirac podemos escribir: ∫
t d t t t f t f δ en el dominio del tiempo dentro del intervalo [t
]. ∫
dV f f ) , ( ) ( ) ( r r r r δ en el dominio del espacio dentro del recinto V. 0
Electromagnetismo 2004 1-30 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar Estas ecuaciones representan la función como una superposición de sus valores muestreados en los sucesivos puntos del recinto de integración. Aunque esta representación - la representación delta - parece trivial, vemos a continuación que su aplicación a sistemas lineales nos da un me-
canismo de estudio de este tipo de problemas. Supongamos que estas funciones son estímulo de un cierto sistema lineal simbolizado por el ope-
rador £ { }: g = £ { f }. En el dominio del tiempo, la respuesta es: { } { }
) , ( £ ) ( ) , ( ) ( £ ) ( £ ) (
t d t t t f t d t t t f t f t g δ δ Obsérvese que el operador £ actúa sobre el tiempo no primado. Definimos la respuesta impulsiva del sistema como: { } ) , ( £ ) , ( t t t t h ′ = ′ δ Y entonces la respuesta del sistema ante el estímulo f(t) será: { }
) , ( ) ( ) ( £ ) (
t d t t h t f t f t g En el dominio del espacio nos queda: Las integrales de las representaciones delta, llamadas integrales de superposición, definen completamente la respuesta del sistema en base a su respuesta impulsiva en todos los puntos del intervalo (recinto) de representación. En la óptica, la respuesta al impulso se conoce como “point spread function”. Esta metodología de superposición de los efectos creados por fuentes elementales se usa a lo largo del texto en todas las aplicaciones. En la teoría del potencial se conoce como método de la función de Green, ya que la respuesta impulsiva del sistema se conoce como función de Green del mismo. Este esquema da lugar a distintos algoritmos numéricos de cálculo de campos en problemas del electromagnetismo. Sistemas lineales invariantes Decimos que un sistema lineal es invariante en el tiempo (en el espacio), si la respuesta al im-
pulso en un instante t (en una posición r) para un impulso excitador aplicado en el instante τ (en la posición r´) sólo depende del intervalo [t - τ] (de la distancia vectorial r - r´). Esto significa que distintos intervalos de tiempo (distintas regiones del espacio) llevan al mismo comporta-
miento siempre que los intervalos (distancias vectoriales) entre estímulo y respuesta sean iguales. El sistema no cambia a medida que pasa el tiempo o en distintas regiones del espacio. Para sistemas lineales invariantes podemos entonces escribir: y las integrales de superposición resultan así: { }
dV h f f g ) , ( ) ( ) ( £ ) ( r r r r r con { } ) , ( £ ) , ( r r r r ′ = ′ δ h { } ) ( £ ) ( ) , ( t t t t h t t h − ′ = − ′ = ′ δ { } ) ( £ ) ( ) , ( r r r r r r − ′ = − ′ = ′ δ h h { } h f t d t t h t f t f t g
⊗ = ′ − ′ ′ = =
) ( ) ( ) ( £ ) ( { } h f dV h f f g
⊗ = − ′ ′ = =
) ( ) ( ) ( £ ) ( r r r r r En el caso de un sistema físico la representación delta espacial tiene la interpretación de que la respuesta (habitualmente los campos) está completamente definida especificando la posición de puntos fuentes equivalentes a la distribución de fuentes. De esta forma utilizamos un método de superposición (válido porque las ecuaciones de Maxwell son lineales) para calcular los campos creados por distintas distribuciones de fuentes. Electromagnetismo 2004 1-31 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar que son productos convolución entre la función estímulo y la respuesta impulsiva. Como vere-
mos en las siguientes secciones, utilizando la transformación de Fourier el producto convolución de dos funciones del tiempo (del espacio) se transforma al producto directo de las respectivas transformadas. Esto permite trabajar sencillamente en el campo transformado con los sistemas lineales invariantes. En el electromagnetismo la mayoría de los sistemas son invariantes en espacio y tiempo. Resumen de la representación de Fourier en una dimensión En el electromagnetismo la representación más usada es la de Fourier, por lo que centraremos nuestro análisis en su uso. En esta sección hacemos un breve resumen de las propiedades básicas de la representación de Fourier en una dimensión, tomando como ejemplo funciones del tiempo. La transformada de Fourier de una función g(t) es: | |
= ℑ = dt e t g t g f G
ft j π 2
) ( ) ( ) ( y es una función generalmente compleja de la frecuencia f. También definimos la transformada inversa de Fourier de una función de la frecuencia como: | |
= ℑ = df e f G f G t g
ft j π 2 1
) ( ) ( ) ( g(t) y G(f) forman un par de transformación según Fourier: g(t) ↔ G(f). g(t) se conoce como representación en el dominio del tiempo y G(f) se conoce como represen-
tación en el dominio de la frecuencia. Existen reglas matemáticas de existencia de esta transformación que pueden consultarse en cual-
quier texto matemático dedicado a estos temas. En nuestro contexto basta decir que la función g(t) debe cumplir las siguientes propiedades para que exista su transformada: • ser absolutamente integrable sobre su dominio: ∫
< M dt t f
) ( , • sólo se admite un número finito de discontinuidades finitas y extremos en cualquier intervalo finito del dominio, • no debe tener discontinuidades infinitas. Propiedades básicas La transformada de Fourier es una representación lineal, de manera que cumple propiedades de los sistemas lineales. Las siguientes son las propiedades básicas más importantes: • Linealidad. | | | | | | ) ( ) ( ) ( ) (
t g t g t g t g β β α β α ℑ + ℑ = + ℑ donde α y β son constantes cualesquiera. • Similaridad. | | ( ) α
α f G t g
) ( = ℑ donde α es una constante cualquiera. Un “estiramiento” en la escala del tiempo implica una “compresión” en la escala de frecuencias y viceversa, además de un cambio global en la am-
plitud del espectro. • Corrimiento. Si ( ) | | ) (t g f G ℑ = entonces: | | ( )
e f G t g
= − ℑ donde τ es un real. Un corrimiento en el dominio del tiempo implica un cambio de fase en el dominio de la frecuencia. • Teorema de Rayleigh-Parseval. Si ( ) | | ) (t g f G ℑ = entonces: Electromagnetismo 2004 1-32 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar ∫ ∫
= df f G dt t g
) ( ) ( estas integrales se interpretan como el contenido energético de la “señal”. • Convolución. Si ( ) | | ) (
t g f G ℑ = y ( ) | | ) (
t g f G ℑ = entonces: | | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
f G f G t g t g d t g t g = ⊗ ℑ =
τ τ es decir que la transformada de la convolución en el dominio del tiempo es igual al producto de las transformadas individuales. • Autocorrelación. Si tomamos en la convolución: ) ( ) (
t g t g = , ) ( ) (
t g t g − =
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f G t g t g d t g t g = ⊗ ℑ =
τ τ y en forma similar: | |
− = ℑ ξ ξ d f G f G t g ) ( ) ( ) (
Las propiedades de singularidad y corrimiento son fundamentales en el tratamiento de funciones por tramos, donde se utilizan "transformadas parciales" que representan a las funciones por par-
tes, ya sea en el dominio temporal o el dominio espacial. Electromagnetismo 2004 1-33 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar En la representación en el dominio del tiempo campos y fuentes dependen de la posición y del tiempo: ) , , , ( ) , ( t z y x F t F F = = r RESUMEN En este Capítulo se han presentado los modelos básicos de los fenómenos electromagné-
ticos y la notación y las herramientas matemáticas fundamentales que se requieren a lo largo del texto. Ecuaciones de Maxwell Los campos pueden expresarse a partir de los potenciales electrodinámicos vectorial A y escalar Φ: que están ligados entre sí por la llamada calibración de Lorentz: 0
A En el vacío, con el uso de estos potenciales, las ecuaciones de Maxwell llevan a ecuacio-
nes de onda inhomogéneas: con soluciones (
ε µ = c ): Hay un retardo entre causa y efecto ( c R t t / − = ′ ), por lo que estos potenciales se llaman po-
tenciales retardados. Los campos pueden representarse en el dominio del tiempo: o en el dominio de la frecuencia utilizando la tranformación de Fourier: ) , ( ) , ( t t r r D ρ = • ∇ (ley de Gauss eléctrica) 0 ) , ( = • ∇ t r B (ley de Gauss magnética) 0 ) , ( ) , ( =
− × ∇ (ley de Maxwell-Ampère) Campos Fuentes ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( t t t
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( r r r r ∇•D(r,ω) = ρ(r,ω) ∇•B(r,ω) = 0 ∇×E(r,ω) + iωB(r,ω) = 0 ∇×H(r,ω) - iωD(r,ω) = j(r,ω) Electromagnetismo 2004 1-34 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar que son las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia. En esta representación, es posible establecer otras relaciones entre los campos que simplifican la resolución. Estas relaciones se denominan leyes o relaciones constitutivas y dependen de la frecuencia: Tres entornos Existen tres entornos de modelación diferentes en el dominio de la frecuencia: • Las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeñas frente a la mínima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente. Este es el caso de la aproximación cuasi-estática. Vale la teoría de circuitos y se modeliza el sistema mediante elementos de parámetros con-
centrados (resistores, capacitores, inductores, etc.). • Dos de las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeñas frente a la mínima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente. En este caso se modela al sistema como una cascada de elementos de longitud infinitesimal a lo largo de la dimensión que no cumple la condición cuasi-estática. Como cada elemento infinitesimal de la cascada cumple esta con-
metros distribuidos. El caso típico es el de las líneas de transmisión. • Al menos dos de las tres dimensiones no cumplen la condición cuasi-estática. Se requiere usar el modelo de campo en toda su generalidad. Esto ocurre por ejemplo en antenas y circuitos de microondas. D(r,ω) = ε
H(r,ω) µ : permeabilidad (magnética) Electromagnetismo 2004 1-35 Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar PROBLEMAS 1.1) Expresar los siguientes vectores en coordenadas cilíndricas y esféricas: y z G y x F ˆ ˆ 2 ˆ 2 ˆ 3
x xy z x + = + = 1.2) Calcular la masa de un cubo de arista a = 10 cm cuya densidad es: ρ = 3(Kg/cm
. 1.3) Calcule la masa de una esfera de radio a = 5 cm cuya densidad es: ρ = 3 (Kg/m
. 1.4) Calcule la carga de los siguientes sistemas: a) dos esferas concéntricas de densidades ρ = cte para r < a y ρ = A r
para a<b<r< c. b) dos cilindros coaxiales de densidad: ρ = λ para r < a y ρ = -A r
z para a < b < r < c. Nota: [λ] = [g/cm] 1.5) Dados los tres vectores: z y x C z y x B z y x A ˆ ˆ ˆ ˆ 5 ˆ 4 ˆ 3 ˆ ˆ 2 ˆ 3 + − = − − = − + = a) Calcular A ± B, B ± C, A ± C b) Calcular A • B, B • C, A • C c) Calcular A × B, B × C, A × C d) Verificar que (A × B) • C = A • (B × C) e) Verificar que A × (B × C) = B(A • C) – C(A • B) f) Calcular el ángulo entre los tres pares de vectores. 1.6) Hallar el gradiente de los siguientes campos escalares: a) f(x) = 10 x b) g(x,y,z) = 10 x + 15 xy + 20 xz
c) f(r) = 25/r d) g(ρ,φ, z) = 10 cos φ - 5 ρz sen φ 1.7) Calcular la circulación de los campos y x F y x F ˆ ˆ ˆ ˆ
x y x xyz − = + = y a lo largo del camino rectangular desde (0,1) a (1,1) a (1,2) a (0,2) y vuelta a (0,1). Repetir para el camino triangular dado por (0,0), (0,1), (1,1). ¿Son los campos conservativos? 1.8) Calcule el flujo de los vectores del problema 1.1) a través de un paralelepípedo de lados 2, 3 y 5 con un vértice en el origen de coordenadas. 1.9) Calcule el flujo del campo z F ˆ cos
cos sen ˆ
φ ρ + φ φ φ + ρ ρ = z a través de un cilindro de altura 4, radio de la base 3, centrado en el origen de coordenadas. 1.10) Calcular la divergencia y el rotor de los campos: a) z y x F ˆ ˆ ˆ
xz y x + + = b) z F ˆ cos
φ ρ + φ φ φ + ρ ρ = z c) )
ˆ ( cos sen
φ + θ + φ θ = r r F 1.11) Comprobar el teorema de Stokes para el contorno frontera en el plano xy que se muestra en la figura con un campo vectorial z z r A ˆ
− φ = . Comprobar el re-
sultado para a) la superficie circular plana en el plano xy ; b) para la superficie hemisférica limitada por el contorno y c) para una super-
ficie cilíndrica de altura h limitada por el contorno. 1.12) Calcular el laplaciano de las funciones del problema 1.6. 1.13) Demostrar que la expresión: ( )
se convierte en una delta de Dirac para a → 0. 1.14) Demostrar que: ( ) ( ) ( )
x x a − = − δ δ 1.15) Demostrar que la exponencial compleja t i
es una autofunción de cualquier sistema lineal invariante que opera sobre funciones del tiempo. R x y z
Todos los fenómenos electromagnéticos clásicos (no cuánticos) se pueden describir a partir de las ecuaciones de Maxwell1: ∇ • D(r, t ) = ρ(r, t ) ∇ • B (r , t ) = 0 ∂ ∇ × E(r, t ) + B(r, t ) = 0 ∂t ∂ ∇ × H (r, t ) − D(r, t ) = j(r , t ) ∂t (ley de Gauss eléctrica) (ley de Gauss magnética) (ley de Faraday) (ley de Maxwell-Ampère)
donde generalmente las incógnitas son los campos vectoriales: o E: campo eléctrico (V/m), o D: campo de desplazamiento (C/m2), o H: campo magnético(A/m) y o B: campo de inducción magnética (T). Estos campos conforman el campo electromagnético. Las dos ecuaciones del rotor (Faraday y Maxwell-Ampère) aseguran que hay una dependencia mutua entre campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo, de manera que en este caso ambos campos están interrelacionados. Sólo en el caso de campos estáticos (que no varían en el tiempo) campo eléctrico y magnético son independientes entre sí. Llamamos fuentes de campo a los sistemas físicos que crean campos en el espacio. En el caso electromagnético, cargas y corrientes eléctricas crean campo2. En las ecuaciones de Maxwell las fuentes de campo son entonces: o ρ: la densidad de carga eléctrica (C/m3) y o j: la densidad de corriente (A/m2). En nuestra descripción consideramos a cargas y corrientes como funciones continuas de la posición. Sin embargo, se conoce que la carga eléctrica se presenta en unidades elementales (a las energías de interés en las aplicaciones tecnológicas actuales) cuyo valor es la carga del electrón: e ≈ 1.602 × 10 −19 C Esta estructura granular de la carga eléctrica no admitiría la descripción de su distribución como una función continua de la posición, pero la extrema pequeñez de los portadores elementales de carga, en relación al tamaño de los objetos de interés tecnológico, permite usar funciones continuas entendidas como un promedio sobre un gran número de entes discretos, en volúmenes pequeños frente al tamaño de esos objetos, pero grandes en relación al tamaño de los portadores de carga elementales. Podemos escribir entonces: donde N(r,t) es el número de portadores eleρ (r, t ) = N (r, t ) e mentales de carga por unidad de volumen. El mismo razonamiento se aplica a las funciones continuas que describen la distribución de corrientes, que son en última instancia grupos de cargas elementales en movimiento. Todas las cantidades que intervienen en las ecuaciones de Maxwell se describen, entonces y en general, como funciones de la posición espacial y del tiempo.
En el Apéndice 1 se presenta un resumen de los operadores vectoriales usados en las ecuaciones de Maxwell. Hay otras fuentes de campo electromagnético que no se describen en las ecuaciones de Maxwell ya que dependen de fenómenos no electromagnéticos "puros", como baterías, pilas solares, etc. Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
Este es un conjunto de ecuaciones diferenciales vectoriales lineales acopladas inhomogéneas. En general su resolución es bastante difícil, por lo que gran parte de nuestra presentación se dedicará a presentar modelos simplificados que permitan soluciones sencillas. Una primera propiedad que se deduce de las ecuaciones de Maxwell es que las fuentes de campo (cargas y corrientes) están generalmente ligadas entre sí. Si tomamos la divergencia de la ley de Maxwell-Ampère obtenemos:
  ∂  ∂ ∇ • ∇ × H(r , t ) − D(r , t ) = ∇ • j(r, t ) ⇒ ∇ • j(r , t ) = ∇ • (∇ × H(r , t ) ) − ∇ •  D(r , t )    ∂t    ∂t 
Pero la divergencia de un rotor siempre es cero, con lo que queda: ∇ • j(r, t ) = −∇ •  
 D(r, t )    ∂t 
La expresión del segundo miembro dice que hay que realizar primero la derivada temporal de D y luego las derivadas espaciales. Pero como el tiempo y las variables espaciales son independientes entre sí se puede cambiar el orden de la derivación:
∇ • j(r, t ) = − ∂ ∂t
(∇ • D(r, t ) )
Usamos ahora la ley de Gauss eléctrica para escribir: ∇ • j(r, t ) = −
(ρ (r, t ) )
∇ • j + ∂ρ ∂t = 0
de donde finalmente nos queda la llamada ecuación de continuidad:
Esta ecuación indica que las fuentes de campo (cargas y corrientes eléctricas) están interrelacionadas en el caso dependiente del tiempo. Como veremos en el Capítulo de corrientes eléctricas, esta ecuación representa el principio de conservación de la carga eléctrica.
Soluciones de las ecuaciones de Maxwell. Potenciales retardados
En el vacío es posible hallar una solución general de las ecuaciones de Maxwell en términos de los potenciales electrodinámicos o potenciales retardados vectorial A y escalar Φ3, que se pueden deducir de las ecuaciones de Maxwell:
E(r, t ) = −∇Φ(r, t ) −
∂ A (r , t ) ∂t
B (r , t ) = ∇ × A (r , t )
Estos potenciales no son independientes entre sí4, sino que están relacionados por la llamada 1 ∂Φ ∇•A + =0 condición de Lorentz: µ 0ε 0 ∂t Con la introducción de los potenciales electrodinámicos, las ecuaciones de Maxwell llevan a las siguientes ecuaciones de onda vectoriales inhomogéneas: ∇ 2 φ (r , t ) − donde c = 1 1 ∂2 c 2 ∂t 2
φ (r , t ) = −
ρ (r , t ) ε0
∇ 2 A (r , t ) −
1 ∂2 c 2 ∂t 2
A (r, t ) = − µ 0 j(r, t )
µ 0ε 0 . Estas ecuaciones tienen las soluciones particulares:
Φ (r , t ) = 1 4πε 0
ρ (r ′, t ′) dV ′ R
j(r ′, t ′) dV ′ R
La figura ilustra el significado de los símbolos. Los campos se miden u observan en el punto campo, definido por sus coordenadas espacio-temporales (r, t), mientras que las integrales se
Capítulo 10. Esta relación surge de la relación entre las fuentes de campo, que se explicita en la ecuación de continuidad. Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar
como se describe en la siguiente sección.variables no primadas descriptas por el vector posición r) que introdujimos en esta sección es básica en muchos cálculos del electromagnetismo y será usada consecuentemente a lo largo del texto. El modelo de campo presentado en esta sección es el modelo más general.2004
(r. t ) =
∫ ℑ(r. y . t ) = F ( x.ω ) e
Eventualmente en medios donde los parámetros dependen de la frecuencia se desarrolla la función temporal fuente en una integral de Fourier y se calculan los campos para cada armónica. Maxwell obtuvo este resultado en 1864 y como c = 1 µ 0ε 0 ≈ 3 × 10 8 m / s . que es un valor similar al valor medido de la velocidad de la luz en el vacío.ar
. Debido a que las ecuaciones de Maxwell son lineales. El retardo de tiempo entre la señal fuente y el campo producido es un hecho fundamental en la modelación de los fenómenos de radiación. Este retardo se explica por el principio de que existe una velocidad máxima de propagación de las interacciones (principio de relatividad). Hay un retardo entre causa y efecto.
Punto fuente y punto campo
La notación de punto fuente (posición donde hay fuente de campo . (r'.t)
realizan sobre los puntos fuentes.Electromagnetismo .fi. t').
Representación en los dominios del tiempo y de la frecuencia
Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son campos vectoriales cuyas componentes son funciones de la posición y del tiempo. aunque en situaciones prácticas sólo es posible obtener las soluciones mediante métodos numéricos. tesis recién corroborada experimentalmente por Hertz en 1887.variables primadas descriptas por el vector posición r') y punto campo (posición donde se desea calcular el campo . t ) donde F es una componente cualquiera de los campos. El intervalo ∆t = R / c es el tiempo que tarda la interacción en trasladarse desde el punto fuente al punto campo. t ) ⇔ ℑ(r. En esta técnica se usa la representación de Fourier6 (transformada de Fourier) de las componentes de los campos:
F (r . por lo que estos potenciales se llaman potenciales retardados. Por lo tanto.t') r La particularidad fundamental de estas expresiones es que el tiempo en el punto fuente y el tiempo en el punto campo V no son iguales: t ′ = t − R / c . formuló la tesis que la luz era un fenómeno electromagnético. z. aplicable a todas las situaciones5. las variaciones r’ en la fuente en el instante t' se reflejan en un instante posterior t en el campo observado. Se usa esta doble notación porque el denominador de los integrandos usa la distancia entre punto fuente y punto R campo R = R = r − r ′ . como se muestra en el Capítulo 10. una forma de simplificar su resolución es utilizar la representación en el dominio de la frecuencia. Decimos en este caso que los campos están representados en el dominio del tiempo: En la representación en el dominio del tiempo campos y fuentes dependen de la posición y del tiempo: F = F (r. que es la velocidad de la luz en el vacío. ω ) ⇒ F (r .Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. de coordenadas (r'. Juan C. Fernández . 6 En el Apéndice 1 se presenta un breve resumen sobre sistemas lineales y la representación de Fourier.uba.
Juan C. Con estas relaciones. Fernández . Estas relaciones se denominan leyes o relaciones constitutivas y dependen del medio en el que se desarrollan los fenómenos y de la frecuencia: D(r.ω) = ρ(r. o dados los campos. desde el punto de vista electromagnético) donde los parámetros constitutivos son constantes: εω = ε0 ≈ 8. hallar los campos (problema directo).fi. Parámetros dependientes de la frecuencia En la representación en el dominio de la frecuencia es posible establecer otras relaciones entre los campos que simplifican la resolución. y surgen en todo tipo de situaciones tecnológicas. Se ve fácilmente que:
F (r . t ) ⇔ ℑ ( r .ω) = µωH(r.2004
(salvo un factor de normalización). Las aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell pueden clasificarse en dos tipos: o dadas las fuentes. Los problemas inversos ocurren en situaciones donde se desea hallar la fuente de perturbaciones y son habitualmente mucho más difíciles que los problemas directos.iωD(r.85×10-12 F/m µω = µ0 = 4π×10-7 Hy/m σω = 0 lo que simplifica aún más la resolución de las ecuaciones de Maxwell. y si se conocen las fuentes. Como el contexto evita habitualmente confusiones.ω) = εωE(r.ω) donde todos los campos son las transformadas de los campos electromagnéticos. ω ) ∂t
y las ecuaciones de Maxwell quedan: ∇•D(r.ω) ∇•B(r.ω) j(r.ω) = 0 ∇×E(r.ω) B(r. modelos que llevan a parámetros dependientes de la frecuencia.Electromagnetismo . En este texto analizaremos fundamentalmente medios isótropos y que se pueden dividir en regiones macroscópicas donde las propiedades son homogéneas.ω) ε : permitividad (dieléctrica) σ : conductividad µ : permeabilidad (magnética)
En general estos parámetros son tensores (matrices) que relaciones dos campos vectoriales. usamos la misma notación para el campo en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.ω) . dependientes de la posición en medios inhomogéneos y de la dirección en el espacio para medios anisótropos.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.ω) = j(r.
Analizamos algunos modelos sencillos de la respuesta de medios materiales a los campos electromagnéticos en el Capítulo 8. las ecuaciones de Maxwell tienen dos incógnitas: el campo E y el campo H. En estos casos los parámetros materiales se reducen a escalares funciones de la frecuencia7.ω) = 0 ∇×H(r. Los problemas directos son los más comunes y sencillos para resolver.ar
. ω ) ⇒ ∂F ⇔ iω ℑ ( r .ω) = σωE(r.ω) + iωB(r. Un caso particular importante es el medio vacío (el aire puede considerarse como vacío. hallar las fuentes (problema inverso).uba.
la derivación y la integración son operaciones lineales y en ellas se pueden usar fasores.2004
ωt+θ0
La integral de Fourier representa la superposición o adición de un número indefinido de funciones armónicas elementales ℑ(r. es más fácil generalmente trabajar con La suma algebraica. para la aplicación de un operador lineal a la función en el dominio del tiempo:
∞ iωt ∞
£ [F (r.ar
. Por ejemplo: g (t ) = g 0 cos(ω t + θ 0 ) representa un fasor de amplitud g0 y fase inicial θ 0. Sin embargo:
En muchas ocasiones la cantidad físicamente significativa es el promedio temporal o valor
Existe la muy importante excepción de los cálculos que involucran potencia y energía. respectivamente: ~  Re[ g (t )] = g 0 cos(ωt + θ 0 ) ~ g (t ) = g 0 e i (ωt +θ 0 ) ⇒  ~  Im[ g (t )] = g 0 sen(ωt + θ 0 ) ~ Luego se ve que: g (t ) = Re[ g (t )] . En muchas aplicaciones de los fasores se deben aplicar sobre ellos operadores lineales.Electromagnetismo . Para distintos valores de ω estas funciones son independientes y ortogonales. lo que habitualmente simplifica notablemente los cálculos. En la electrotecnia se denomina fasores a las funciones armónicas. Como los fasores tiene exponenciales complejas. ω )e iωt dω
de donde vemos que: la aplicación de un operador lineal a la función en el dominio del tiempo equivale a la superposición de la aplicación del operador a las armónicas de la representación. Podemos pensar que el fasor se mueve en un plano complejo. de modo que las proyecciones sobre el eje real y el eje imaginario son. Como para dos complejos cualesquiera. y por lo tanto se debe trabajar desde el principio con la forma real de las funciones.uba. que son productos de campos y por lo tanto operaciones no lineales. t )] = £∫ ℑ(r. En el caso de una operación lineal. Por la linealidad de las ecuaciones de Maxwell y de la mayoría de las operaciones realizadas sobre los campos8 es posible escribir. porque forman un conjunto base (ver el Apéndice 1). ω )e dω = ∫ £ ℑ(r. Re(z1 + z 2 ) = Re(z1 ) + Re(z 2 ) se puede operar con los fasores y tomar la parte real para reconstruir las funciones físicamente significativas al final de la operación. Cada uno de estos términos es en general una cantidad compleja. pero su suma debe ser real porque lo es la función original. ellas que con las operaciones trigonométricas asociadas a las funciones originales. porque se las puede pensar como un cantidad cuya fase varía en el tiempo. Fernández . la representación de Fourier nos permite trabajar con cada armónica de la representación por separado y al final recomponer por superposición el resultado.fi.ω) eiωt. Esto lleva a que el análisis de las propiedades de las señales armónicas sea de interés y será el tipo de señales que usaremos en el texto con mayor frecuencia. El producto de dos funciones no es una operación lineal. Juan C.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.
respectivamente.Electromagnetismo .Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. Las cantidades f 0 y g 0 son generalmente complejas a fin de introducir un eventual ángulo de fase inicial.uba.ar
. Por definición: Juan C. < fg >=
∫[f e
* + f 0* e −iωt g 0 e iωt + g 0 e −iωt dt
1 f 0 e iωt + f 0* e − iωt 2
Ejemplo 1-1: La tensión sobre una carga tiene una dependencia temporal: V (t ) = V0 cos(2πt / T ) con t en s. b) La potencia instantánea disipada en la carga es:
cos 2 ( 2πt / T )
Y la potencia media puede calcularse mediante definición o usando la notación fasorial. a) Para calcular el valor medio de la tensión dato usamos su definición:
∫ V (t ) dt = T ∫ V T
cos(2πt / T ) dt = 0
ya que la integral del coseno sobre un periodo completo es cero. a) Calcular el valor medio de la tensión sobre la carga.fi. donde sobreen~ ~ tendemos que se debe tomar la parte real. Fernández . y entonces: < fg >=
1 1 1 * * f 0 g 0 + f 0* g 0 = Re f 0 g 0 = Re f 0* g 0 4 2 2 que es lo que queríamos demostrar. b) Calcular el valor medio de la potencia disipada en la carga.
Queremos calcular el valor medio temporal del producto f (t ) g (t ) . definimos el valor medio como: 1 T < f >= lim ∫ f (t ) dt T →∞ T 0
Se puede demostrar que. que es:
< fg >= 1 T f (t ) g (t ) dt T 0
Podemos escribir la parte real de los fasores como: Luego: y tenemos: < fg >= 1 T
f (t ) = Re f 0 e iωt =
f (t ) g (t ) dt =
1 T * * f 0 g 0 e i 2ωt + f 0 g 0 + f 0* g 0 + f 0* g 0 e −i 2ωt dt 4T 0 Las integrales que tienen los factores exponenciales tienen valor medio cero. definimos el valor medio como: 1 T < f >= ∫ f (t ) dt T 0 o Si f(t) es una función no periódica. para dos funciones armónicas de igual frecuencia representadas por f (t ) = Re{ f 0 e iωt } y g (t ) = Re{g 0 e iωt } fasores: el promedio temporal es:
< fg >=
∫ f (t ) g (t ) dt = 4 [ f
* g 0 + f 0* g 0 =
1 1 * Re{f 0 g 0 }= Re{f 0* g 0 } 2 2
Para demostrar esta propiedad consideremos dos funciones armónicas de igual frecuencia: f (t ) = Re f 0 e iωt y g (t ) = Re g 0 e iωt w ~ ~ ~ que expresamos por los fasores f (t ) = f 0 e iωt y g (t ) = g 0 e iωt .2004
medio de las magnitudes en estudio: o Si f(t) es una función periódica de periodo T.
A continuación describimos las características esenciales de cada modelo.fi.ar
. como debe ser.Electromagnetismo .
Entornos de modelación en el dominio de la frecuencia
Las ecuaciones de Maxwell y sus soluciones generales permiten describir cualquier problema electromagnético.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. pero tal modelo no es universal y puede ser inaplicable si cambia la frecuencia de los fenómenos o se generan fenómenos no deseados por interferencia o inexactitudes del diseño. el mismo nivel de generalidad de este análisis esconde a veces las características fundamentales de los fenómenos que son las que habitualmente importan desde el punto de vista del análisis y diseño en la ingeniería. un circuito cuyo objetivo es amplificar señales de audio se diseñará aplicando el modelo circuital cuasi-estacionario que describimos más abajo. Se trata de distribuciones de cargas en reposo9 y corrientes estacionarias o continuas. Por ello se introducen. Se ve que obtenemos el mismo valor que antes. La modelación en el dominio de la frecuencia es la técnica más usada por su sencillez conceptual y matemática. cuando es posible. pero la eventual presencia de oscilaciones de alta frecuencia por caminos de realimentación no puede describirse mediante este modelo. Juan C. escribimos la tensión en forma fasorial:
V (t ) = ℜe V0 e i 2πft = V 0 e i 2πft
donde sobreentendemos que debe tomarse la parte real. Por ejemplo. Siempre debe tenerse en cuenta que el modelado en el dominio de la frecuencia describe el comportamiento dominante en un cierto ancho de banda. Veremos a lo largo del texto tres entornos de modelado fundamentales de los fenómenos electromagnéticos: el modelo o entorno cuasi-estático (bajas frecuencias). modelos que llevan a simplificar el tratamiento matemático y a enfatizar las propiedades esenciales del comportamiento del fenómeno en estudio. el modelo de parámetros distribuidos y finalmente el modelo de campos. El comportamiento de los sistemas en distintas frecuencias lleva a los paradigmas usuales en la ingeniería eléctrica. pero la resolución práctica de estas soluciones es difícil y habitualmente no es posible obtener soluciones analíticas. Las ecuaciones de Maxwell se escriben en este caso:
En reposo en un sistema de referencia inercial. Por otra parte. Fernández . Usando esta notación podemos escribir:
ℜe{ V * }= V
ℜe{ 0 e i 2πft V0* e −i 2πft }= V
ℜe V 0
{ }= V
ya que V0 es real.2004
< P >= 1 T
∫ P(t ) dt =
cos 2 ( 2πt / T ) dt =
cos 2 ( 2πt / T ) dt
Si hacemos el cambio de variables: u = 2πt/T ⇒ du = 2π dt/T nos queda:
V02 T RT 2π
cos (u ) du =
V02 2πR
V02 2R
donde hemos definido la tensión eficaz:
Vef = V0 / 2
Para usar la notación fasorial. Caso estático Consideramos primero como introducción el caso estático puro: los campos y sus fuentes no dependen del tiempo. que puede describirse modelando al sistema mediante un circuito de parámetros concentrados.uba.
∇ × E(r. La mutua dependencia que surge de las leyes de Faraday y de Maxwell-Ampère sólo opera cuando los campos dependen del tiempo. Este razonamiento nos lleva a analizar el caso cuasi-estático o cuasi-estacionario. t ) = 0 ∫ 4π V R
∇ 2 φ (r . t ) ε0
⇒ Φ (r .
Modelo cuasi-estático o cuasi-estacionario
La teoría de circuitos es sencilla. t ) ≈ µ 0 j(r. t )
∇ • B (r . t ) = ρ (r . En el caso general estas distribuciones están acopladas entre sí por la ecuación de continuidad. t ) ≈ j(r. y las reglas de Kirchhoff dejan de cumplirse. Por otra parte.uba.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. y que el pasaje de los fenómenos circuitales puros a los fenómenos de radiación debe ser gradual y paulatino a medida que aumenta la frecuencia. fácil de visualizar y ha sido durante años el paradigma básico del análisis de los equipos electrónicos. t ) ≈
Obsérvese que ha desaparecido la distinción entre tiempo fuente y tiempo campo. t ) dV ′ ∇ 2 A(r. pero conservando la dependencia temporal:
∇ • D(r . como lo son los campos entre sí. las corrientes dejan de ser estacionarias. como en el caso estático. De estas ecuaciones surgen las propiedades de los circuitos eléctricos elementales de corriente continua. Como las ecuaciones que dan lugar a la teoría de circuitos se mantienen en esta aproximación.Electromagnetismo . Para fenómenos variables en el tiempo se requiere el análisis de campos con los potenciales retardados. los campos se pueden escribir como: E(r ) = −∇Φ (r ) B ( r ) = ∇ × A (r ) y los potenciales electrodinámicos se convierten en los correspondientes potenciales estáticos:
1 ρ (r ) ρ (r ′) ⇒ Φ (r ) = ∫V R dV ′ 4πε 0 ε0 µ j(r ′) dV ′ ∇ 2 A(r ) = µ 0 j(r ) ⇒ A(r ) = 0 ∫ 4π V R ∇ 2 φ (r ) =
Obsérvese que toda referencia al tiempo se ha eliminado y ya no existe retardo entre la fuente y el campo. Sin embargo.ar
. donde la frecuencia es tan baja que podemos aproximar las ecuaciones de Maxwell a su formato estático/estacionario. t ) ≈ 0
∇ × H(r.2004
∇ • D(r ) = ρ (r ) ∇ • B(r ) = 0 ∇ × E(r ) = 0 ∇ × H(r ) = j(r )
y se ve que los campos eléctrico y magnético están desacoplados. t )
∇• j≈0
E(r ) = −∇Φ (r )
B (r ) = ∇ × A (r )
ρ (r ′. Pero sólo es rigurosamente válida para frecuencia cero (fenómenos estáticos o estacionarios). pero en el caso estático no:
∇ • j + ∂ρ ∂ t = 0 ⇒ ∇ • j = 0
En términos de los potenciales electrodinámicos. t ) ≈
ρ (r . estos potenciales estáticos son independientes.fi. Fernández . t ) ⇒ A(r. al estar desvinculadas las distribuciones de cargas y corrientes. es decir que en la aproximación cuasi-estática los efectos son instantáneos. t ) dV ′ 4πε 0 V R µ j(r ′. como veremos en el Capítulo 2. Existe una acción a distancia instantánea.
Juan C. El campo eléctrico (electrostático) depende solamente de la distribución de cargas y el campo magnético (magnetostático) depende solamente de la distribución de corrientes (estacionarias o continuas). podemos pensar que para frecuencias muy bajas el comportamiento de los sistemas no debe diferir demasiado del comportamiento a corriente continua.
En resumen: k= Es posible aplicar la aproximación cuasi-estática o cuasi-estacionaria de las ecuaciones del electromagnetismo cuando la mínima longitud de onda significativa del espectro de Fourier de los campos involucrados (que en medios lineales es el espectro de Fourier de la fuente de campo).fi. que introducimos en el Capítulo 5. Sea D la máxima dimensión de la fuente.
Se ve en la figura que: ∆t1 = R1/c ≠ ∆t2 = R2/c Esta diferencia de retardo se traduce en una diferencia de fase kR1 . pero ¿cuán baja debe ser la frecuencia para que esta aproximación sea válida? La clave para responder esta pregunta reside en analizar la validez del uso de potenciales electrodinámicos cuasi-estáticos. t′ ) cuando el punto de observación (el punto campo) se halla muy cerca del recinto de integración. Fernández .R2.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. t ′) 1 t ′ = t − R / c con: Φ(r. y todo ocurre como si la velocidad de propagación de las interacciones fuera infinita. producirá interferencia. Este es el modelo de los circuitos de parámetros concentrados. La aproximación cuasi-estática es válida para bajas frecuencias. Sin embargo.
Juan C. es muy grande frente a las dimensiones de la fuente: λmin >> D ¿Cuánto es muy grande? La respuesta depende de la precisión que se desee para el análisis. aún en este caso el retardo será diferente para distintos puntos fuente. aunque ahora los elementos de circuito incorporan reactancias. t′ ) r 1 4πε 0 ∫V R D Para pasar a la descripción cuasi-estática se debería eliminar el retardo ∆t = R/c o lo que es lo mismo. t ) = dV ′ con k = ω/c (r1′. con lo que R es pequeño. En la práctica se toma habitualmente λmin ≥ 10D como valor testigo.t) ρ (r ′. t ′) = ρ s (r ′) e iωt ′ = ρ s (r ′) e iωt e −iωR / c R1 ρ s (r ′) e − ikR e iωt Entonces: Φ(r. Una posible situación donde esto ocurre es ′ 2 (r2 . ¿Qué sucede cuando tenemos una señal no armónica? En este caso descomponemos la señal por Fourier y aplicamos la condición que acabamos de hallar en el peor caso: la mínima longitud de onda (máxima frecuencia) significativa del espectro. Como para una señal armónica de frecuencia angular ω : D ω 2π 2π = = ⇒ k R1 − R2 ≤ kD = 2π c cT λ λ k R1 − R2 << 2π ⇒ D λ << 1 y entonces: Esta es la condición para que el defasaje introducido por la posición relativa de los puntos fuente no genere interferencias en el punto campo.Electromagnetismo . Concluimos que es posible aplicar la aproximación cuasi-estática cuando la máxima dimensión de la fuente de campo es muy pequeña frente a la longitud de onda de los campos emitidos. el factor e-ikR. Veamos el potencial escalar para variaciones armónicas de la fuente de frecuencia f = ω/2π: ρ (r ′. t ) = ∫V R dV ′ 4πε 0 (r. que. Esta interferencia se vuelve despreciable cuando la separación entre los puntos fuente más alejados es suficientemente pequeña para que kR1 .ar
. En el caso estático no hay retardo ni interferencia. en general.R2<< 2π.uba.2004
sigue siendo válidas las reglas de Kirchhoff. Si la condición de cuasi-estaticidad se cumple para esa armónica se cumplirá también para toda otra armónica del espectro.
Este es el caso de la aproximación cuasi-estática. Se requiere usar el modelo de campo en toda su generalidad.ar
Juan C. inductores.fi.2004
El estudio precedente de la validez de la aproximación cuasi-estática define tres entornos de modelación diferentes en el dominio de la frecuencia: • Las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeñas frente a la mínima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente. se lo modela mediante un circuito equivalente. A lo largo del texto analizaremos los modelos utilizados en estos tres entornos en el dominio de la frecuencia.Electromagnetismo .). Se tiene entonces un modelo de parámetros distribuidos. • Dos de las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeñas frente a la mínima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente. Como cada elemento infinitesimal de la cascada cumple esta condición. Esto ocurre por ejemplo en antenas y circuitos de microondas. etc. El caso típico es el de las líneas de transmisión.uba. Vale la teoría de circuitos y se modela el sistema mediante elementos de parámetros concentrados (resistores.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. capacitores. • Al menos dos de las tres dimensiones no cumplen la condición cuasi-estática. Fernández . En este caso se modela al sistema como una cascada de elementos de longitud infinitesimal a lo largo de la dimensión que no cumple la condición cuasi-estática.
y el resto del universo se considera el ambiente o medio ambiente en que el sistema en estudio se encuentra. por ley 19511. el campo eléctrico. de manera de poder expresar cuantitativamente su valor en una medición o cálculo referido a un sistema físico. formado por 18 miembros de países diferentes. Debe notarse que las unidades del SIMELA conservan la grafía del SI cuando el original deriva del nombre de una persona (p. la Conferencia ha creado Comités Consultivos (nueve. En la síntesis de un sistema se desea diseñar tal sistema de manera que. watt y no vatio.ar
. llamada Metrologia. por sí mismo y/o en interacción con su medio ambiente produzca una serie de respuestas a determinados estímulos.. control y adecuación de los patrones de medida a los avances científicos. Este grupo constituye un sistema físico. agregando algunas unidades derivadas de uso habitual en el país. en la actualidad) sobre diferentes aspectos metrológicos y desde 1965 publica una revista científica propia. Debido a la creciente complejidad de la definición. El SI (y el SIMELA) tiene unidades básicas (consideradas por convención dimensionalmente independientes) y derivadas (que surgen algebraicamente de combinaciones de las unidades básicas):
Juan C. El BIPM se creó en 1875 con la adhesión de 17 estados. La normalización internacional de pesos y medidas se halla bajo el control de la Conferencia General de Pesos y Medidas. Un sistema de unidades es el conjunto de unidades asignadas a cada magnitud básica o derivada que se use en la ciencia o la técnica. Una magnitud física define una dada característica observable de un sistema físico. etc. Fernández . Para describir estas respuestas de utilizan las magnitudes físicas del sistema. adhieren al sistema. En la Argentina se adoptó el SI con la denominación SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino) en el año 1972. debe decirse volt y no voltio. se separa del universo el grupo de objetos de interés. se reúne cada año y controla la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures . Son magnitudes físicas la longitud. A cada magnitud le corresponde una unidad de medida. En 1960 la Conferencia General de Pesos y Medidas adoptó el llamado Sistema Internacional de Unidades (SI) que fue adoptado luego por cada país adherente con particularidades propias.uba. En el análisis del sistema se desea hallar una descripción del comportamiento del sistema y/o de sus interacciones con el ambiente.fi.ej.Electromagnetismo . La Conferencia designa el Comité Internacional de Pesos y Medidas.BIPM). etc.2004
Apéndice 1 . la velocidad. la fuerza. Las conferencias se realizan en la actualidad cada cuatro años. además de las publicaciones realizadas por sus expertos en distintas revistas científicas internacionales y los distintos informes de sus cuerpos consultivos y laboratorios propios.).Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. que es el organismo encargado de asegurar la unificación mundial de las mediciones físicas. Actualmente (1997) 47 estados. entre ellos la Argentina.Sistema Internacional de Unidades Introducción matemática
Para el estudio científico o el desarrollo de tecnologías.
. aunque éstas se siguen usando en la práctica. Los prefijos tabulados son:
Prefijo yotta zetta exa
Valor 1024 1021 1018
Símbolo Y 12 Z5 E
Valor 10-1 10-2 10-3
¡Esto convierte a la unidad de longitud en una especie de unidad derivada de la de tiempo!… Nótese que el signo de grados (°) no se usa en kelvin. Es la fracción 1/273. la unidad de aceleración: 1 m/s2).ej.Electromagnetismo .
Juan C. la de energía: 1 joule = 1 N. que se da entre paréntesis) de las unidades se escriben en minúsculas..
Nótese que los nombres (no el símbolo. el SI (y el SIMELA) define los prefijos de múltiplos y submúltiplos de las unidades.ampere (A) trica Temperatura kelvin (K) termodinámica Intensidad candela (cd) luminosa Cantidad de sustancia mol (mol)
Definición Longitud del camino recorrido por la luz en el vacío en un intervalo de 1/299 792 458 segundos10. Masa del prototipo internacional. mm o km y no usar las unidades intermedias.
Además de las unidades. Fernández .012 kilogramos de carbono-12. y recomienda que estas cantidades se presenten en cifras de 103 o 10-3. produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2x10-7 newtons por unidad de longitud.ej. llamada de unidades con nombres y símbolos especiales.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. en una subclase especial.16.m = 1 Kg. la unidad de fuerza newton: 1 N = 1 Kg. La legislación sólo da ejemplos de estas unidades. Es la intensidad luminosa. etc.).16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua11. 12 No existe en el SIMELA. La Conferencia de 1996 eliminó esta categoría de unidades e incluyó al radián y al esterradián dentro de la clase de unidades derivadas. Se define también en el SI la temperatura Celsius como: t (°C) = T(K) .T0 donde T es la temperatura en kelvin y T0 = 273. que creó el SI. si se mantiene en dos conductores rectos paralelos de longitud infinita y despreciable sección circular recta. un cilindro de platino-iridio conservado por el BIPM en Sévres. dado que nuevas unidades derivadas pueden agregarse a medida que el uso las hace necesarias y que distintas magnitudes a veces comparten las mismas unidades (p.2004
Magnitud Longitud Tiempo Masa Unidad metro (m) segundo (s) kilogramo (kg)
Corriente eléc. Hay unidades derivadas que tienen nombres especiales (p. joule/K corresponde a la magnitud capacidad calorífica y a la magnitud entropía). llamadas unidades complementarias. de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540x1012 hertz y que tiene una intensidad radiante en esa dirección de 1/683 watt por esterradián. se prefiere expresar longitudes en m.m/s2. incluyó al radián (unidad de ángulo plano) y al esterradián (unidad de ángulo sólido) como una clase separada de unidades.
Las unidades derivadas se obtienen de las básicas mediante combinaciones dadas por leyes científicas. en una dada dirección. Este es el único artefacto o patrón que define una unidad básica del SI. separados en 1 metro.fi.. Duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo cesio-133 a 0K.m2/s2. Corriente eléctrica constante que.uba. La Conferencia realizada en 1960. Hay otras que no tienen nombres especiales (p.. De esta forma. Francia.ej. Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como el número de átomos en 0.
cuando la potencia disipada entre estos dos puntos es igual a 1 watt.fi.2004
peta tera giga mega kilo hecto deca 1015 1012 109 106 103 102 101 P T G M K h da micro nano pico femto atto 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 µ n p f a
Unidades eléctricas Las unidades eléctricas fundamentales son las unidades de corriente (unidad básica). de capacidad. proporcionales a la frecuencia de la corriente aplicada: ∆Vn = n(h / 2e) f = n f / K J . Resistencia eléctrica entre dos puntos de un conductor cuando una ddp constante de 1 volt. En 1980 el físico alemán Klaus Von Klitzing descubrió un nuevo fenómeno en el efecto Hall generado por estructuras MOS de AsGa/AlAsGa a bajas temperaturas en altos campos magnétiJuan C.9 GHz/V. Para una corriente de microondas de 10 GHz el salto entre niveles adyacentes es de unos 41.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. entonces estudiante de posgrado del Trinity College. por lo que diversas Conferencias han recomendado la búsqueda de métodos más precisos y reproducibles. de resistencia. de carga eléctrica. Fernández . Diferencia de potencial entre dos puntos de un alambre conductor que lleva una corriente constante de 1 ampere. Se pueden crear chips con muchas junturas Josephson conectadas en serie (figura) para producir estándares de 1V y 10V.4 µV. produce en el conductor una corriente constante de 1 ampere. El conductor no debe ser el sitio de ninguna fem. predijo que los electrones pueden agruparse en pares de Cooper para pasar por efecto túnel una barrera aislante delgada (unos pocos nm) colocada entre dos superconductores. aplicada entre estos puntos. Inglaterra. Cambridge.Electromagnetismo . que se usan actualmente en varios laboratorios metrológicos como estándares primarios de tensión. Estos métodos dan mayor reproducibilidad y estabilidad que los métodos tradicionales. En los últimos años se han desarrollado dos métodos basados en fenómenos cuánticos: el efecto Josephson (que da un estándar para el volt) y el efecto Hall cuántico (que da un estándar para el ohm). Inductancia de un circuito cerrado en el que se produce una fem de 1 volt cuando la corriente eléctrica en el circuito varía uniformemente a razón de 1 ampere por segundo.uba. concatenado por un circuito de una sola vuelta. de inductancia y de flujo magnético (unidades derivadas) que se describen en la Resolución 2 de la Conferencia de 1946 de la siguiente manera:
Magnitud Carga ddp y fem Resistencia Unidad coulomb volt ohm Definición Cantidad de electricidad transportada en 1 segundo por una corriente de 1 ampere. Si se aplica una corriente alterna de frecuencia f a esta juntura Josephson se observa un conjunto de niveles discretos de diferencias de potencial continua entre los dos superconductores de la juntura. En 1962 Brian Josephson. Flujo magnético que.
Capacidad Inductancia
La realización práctica del ampere (unidad básica) y del volt y del ohm (unidades derivadas) para obtener una buena precisión a partir de sus definiciones es difícil y laboriosa. de diferencia de potencial y fuerza electromotriz. Se ha asignado para propósitos metrológicos en la Conferencia de 1988 el valor a la constante de Josephson KJ = 2e/h = 483 597. Capacidad de un capacitor entre cuyas placas aparece una ddp de 1 volt cuando se carga con una cantidad de electricidad de 1 coulomb. produciría sobre él una fem de 1 volt si se redujera a cero a velocidad uniforme en 1 segundo. Se han logrado precisiones de alrededor de 1 parte en 1010.ar
Debido a la generalización del uso de este efecto para producir patrones de resistencia. Publicación del NIST.
Juan C. USA):Describe el SI. El uso correcto del SI no es trivial y hay un número de reglas para su utilización en publicaciones técnicas o científicas.fi. La resistencia de Hall (cociente de la ddp de Hall y la corriente circulante) resulta: R = (h / e 2 ) / n = RK / n . para usar estos métodos nuevos se han dado en la Conferencia de 1988 valores convencionales a las constantes de Josephson y von Klitzing que aparecen en los efectos cuánticos en relación al volt y al ohm. elaboradas por el BIPM.pdf.gov. Fernández .nist. En inglés. Publicación oficial del BIPM. En francés e inglés. Sin embargo. • SP330. • SP811. Publicación del NIST (National Institute of Standards and Technology. la Conferencia de 1988 ha asignado para propósitos metrológicos a la constante de Von Klitzing el valor R = 25812. contiene los siguientes documentos: • Brochure-si. Edición (1998).modificando así la definición del ampere . Este documento no incluye la traducción del Anexo 2: Realización Práctica de las Definiciones de las Principales Unidades ni las notas al margen del documento original).Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. Observó que la ddp de Hall se cuantifica en niveles proporcionales a la corriente que circula. 7ma.2004
cos. En francés.ZIP. Publicación oficial del BIPM.fr National Institute of Standards and Technology (NIST): http://physics.PDF. ubicado en el ftp de la materia.ar/dpnm (aquí se puede consultar una traducción al castellano de la séptima edición del original francés (brochure-si. El archivo SI.ar
. Este método permite lograr precisiones de alrededor de 1 parte en 1010. La adopción de estos métodos como definiciones del volt y el ohm modificarían el status de µ0 de ser una constante con un valor exactamente definido . de Patrones Nacionales de Medida . Edición 1995. Enlaces a sitios de interés Bureau International des Poids et Mesures (BIPM): http://www.pdf) y de la correspondiente versión en inglés (1998) y del Suplemento 2000. Edición 2001.pdf. • Si-supplement2000.y produciría unidades eléctricas incompatibles con la definición del kilogramo y las unidades derivadas de él. En 1991 la Conferencia recomendó continuar la investigación básica en la teoría del efecto Josephson y el efecto Hall cuántico.INTI: http://www.PDF.inti.Electromagnetismo . Es una guía de uso.uba.bipm.807 Ω .gov/cuu/Units Depto.
Las cantidades escalares se escribirán en cursiva. y se conserva la dirección (el vector resultante es paralelo al vector original). en coordenaF das cartesianas: ˆ ˆ ˆ F = Fx x + Fy y + Fz z
La suma algebraica de dos (o más) vectores implica sumar algebraicamente sus componentes homólogas: ˆ ˆ ˆ A ± B = ( Ax ± B x ) x + ( Ay ± B y ) y + ( Az ± B z ) z C = λ A. dirección y sentido .B = A + (-B)
Suma algebraica de vectores: B A+B A A-B -B C = A ± B.generalmente definido por sus tres componentes en un sistema de referencia) decimos que el campo es vectorial (p. el campo gravitatorio en los alrededores de un planeta. Si el valor asignado es un vector (un ente que tiene magnitud. Por ejemplo.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. En este texto usaremos una notación para distinguir escalares de vectores. Notación.
Campos escalares y vectoriales.uba. El sentido del vector resultante coincide con el del vector original o cambia según λ sea positivo o negativo. etc.
Multiplicación de un vector por un escalar:
Es otro vector cuya magnitud es λ veces la del vector original: C = λ A. el campo de temperaturas en la barra será dado por la función escalar T(r) donde r es el vector de posición que define la posición de cada punto de la barra respecto de un sistema de coordenadas dado. Su objetivo es tener un resumen de conocimientos necesarios empleados en el texto e introducir la notación usada.
La suma algebraica de dos (o más) vectores es otro vector. Los versores (vectores de magnitud unitaria) se distinguen usando un acento circunflejo: ˆ x ⇒ ˆ x =1 A . el campo eléctrico generado por un cuerpo conductor cargado. Fernández .ar
Un campo es una función que asigna un valor de una propiedad física o matemática a cada punto del espacio.Electromagnetismo 2004 Introducción Matemática
La siguiente introducción no reemplaza a textos especializados. mientras que las cantidades vectoriales se escribirán en negrita.
Juan C. que son los vectores proyección sobre cada dirección coordenada. En un sistema de coordenadas dado se puede expresar un vector como la suma de sus componentes. Por ejemplo.). el campo de temperaturas en una barra uno de cuyos extremos se halla dentro de una llama: a cada punto de la barra el campo le asigna un número real asociado a la propiedad temperatura).ej...real o complejo) se dice que el campo es escalar (p. Si el valor asignado es un escalar (un único número .ej.fi.
z ′)
El punto campo describe la posición del punto donde se desea calcular el campo. La expresión del producto vectorial según las componentes de los vectores es: ˆ ˆ y z ˆ ˆ ˆ Ay Az = (Ay B z − Az B y )x + ( Az B x − Ax B z ) y + (Ax B y − Ay B x )z By Bz A • (B × C) = B • (C × A ) = C • ( A × B) A × ( B × C) = B ( A • C) − C( A • B ) . es necesario distinguir entre las posiciones de puntos fuente y puntos campo. por lo que no es necesario usar correcciones relativistas y entonces la posición y el tiempo siguen las reglas de la mecánica de Newton. donde α es el ángulo formado entre A y B.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. Es un escalar. Juan C. y. las cargas).uba. y ′.
Los paréntesis son importantes: A × (B × C) ≠ ( A × B) × C
Sistemas de referencia o referenciales
La posición de eventos en el espacio se define respecto de un punto fijo llamado origen de coordenadas. Se distingue por coordenadas primadas:
r ′ = ( x ′. donde se cumplen las ecuaciones de la mecánica de Newton.Electromagnetismo 2004
Producto escalar: f = A • B = A B cos α
donde α es el ángulo formado entre A y B.. consideramos solamente velocidades pequeñas respecto a la velocidad de la luz. cuyo sentido surge de la regla de la mano derecha. La definición de un origen de coordenadas y un origen de tiempos13 crea un sistema de referencia o referencial. Dentro de la perspectiva de las aplicaciones a la ingeniería. El vector posición es el vector que se dirige desde el origen de coordenadas hasta la posición a definir. El producto vectorial es un vector. Es un escalar. Ejemplo: momento de una fuerza. Por las necesidades de la descripción de los campos. Es un vector. z )
En este texto consideraremos solamente referenciales inerciales. La posición de un punto en el espacio respecto a un origen de coordenadas se determina mediante el vector posición.fi.ej. La expresión del producto escalar según las componentes de los vectores es:
A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz A partir del producto escalar se puede obtener el ángulo entre dos vectores:
B A α  A•B  α = cos −1   AB   
   A • B    AB
ˆ x A × B = Ax Bx Producto mixto:
Producto vectorial: C = A × B ⇒ C = C = A B sen α.
E(r) R r V r’
El punto fuente describe la posición de las fuentes de campo (p. Se distingue por usar coordenadas no primadas: r = ( x.ar
. Fernández . Ejemplo: trabajo de una fuerza.
en un problema electrostático donde hay un conductor esférico cargado es conveniente usar un sistema de coordenadas esférico centrado en el conductor. z En el sistema cartesiano la posición de un punto P en el espacio zP se describe mediante las proyecciones del vector posición sobre P tres ejes rectos mutuamente perpendiculares que se cruzan en el origen de coordenadas15: P = (xP. cilíndrico y esférico. Estos son sistemas que permiten pasar de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. Juan C. hay 11 sistemas separables que corresponden a superficies de coordenada constante en la forma de cuádricas confocales14. que son más sencillas de resolver. Morse y H. Fernández . ya que la superficie esférica del conductor (que en tal elección de coordenadas es una superficie de coordenada r constante) es una superficie equipotencial. (1953) p. En muchos problemas de ingeniería no existen estas superficies físicas de alta simetría y entonces es necesario recurrir a métodos numéricos.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. como veremos en los Capítulos dedicados a la resolución numérica de las ecuaciones del electromagnetismo. la práctica ha privilegiado aquellos sistemas llamados de coordenadas separables. Por ejemplo. planos "verticales" que contienen al eje z para la coordenada φ constante y cilindros coaxiales de radio variable ρ y eje coincidente con z. cilíndrico y esférico. φP) φP Las superficies de coordenada constante son en este caso planos ρP "horizontales" normales a la coordenada z constante. Por ejemplo. De los múltiples sistemas de coordenadas que se pueden definir.uba. Feshbach. x xP En el sistema cilíndrico la posición de un punto P en el espacio se z describe mediante las proyecciones del vector posición sobre un eje recto (que habitualmente se asocia al eje z del sistema cartesiazP no correspondiente) y el plano perpendicular al eje antedicho que P pasa por el origen de coordenadas y además por el ángulo formado por la proyección sobre el plano y un eje recto del plano que pasa por el origen de coordenadas (que habitualmente se asocia al eje x del sistema cartesiano correspondiente): O P = (zP. La elección de un sistema de coordenadas depende de la simetría del problema físico en cuestión. a ecuaciones diferenciales a derivadas totales.
P. zP) Las superficies de coordenada constante son en este caso planos yP y normales a la coordenada constante. como el indicado de coordeO nada x constante. De estos sistemas los más conocidos y usados en la práctica de la ingeniería son los sistemas cartesiano. como el indicado en la figura.518.. que son las esenciales en el análisis de los problemas electromagnéticos. Sin embargo. el estudio de los sistemas de alta simetría brinda un marco conceptual para definir aproximaciones y criterios cualitativos para el análisis preliminar de los problemas. En general se trata de elegir un sistema donde las superficies de potencial y/o campo constante sean superficies de coordenadas constantes. que son variables escalares que permiten expresar los campos escalares y vectoriales así como los elementos de arco. "Methods of Theoretical Physics".ar
Para operar en un sistema de referencia es útil definir coordenadas. superficie y volumen que aparecen en las ecuaciones integrales. McGraw-Hill Book Co. yP. ρP. En la figura se muestra una terna derecha. que es la que usaremos a lo largo del texto. para las ecuaciones de Laplace y Helmholtz. que surgen de las ecuaciones físicas (en nuestro caso las ecuaciones de Maxwell). New York. Para cada ecuación diferencial a derivadas parciales. hay un número limitado de sistemas donde la ecuación es separable.Electromagnetismo 2004
Sistemas de coordenadas: cartesiano.M.fi.
superficie y volumen en los tres sistemas coordenados básicos:
CARTESIANAS ˆ ˆ ˆ r = xx+ yy+zz CILINDRICAS ˆ ˆ r = ρρ+ z z ESFERICAS
Elementos de arco. como la indicada en la figura. los vectores se expresan por sus componentes escalares y los versores asociados a cada coordenada: F = F1 e1 + F2 e 2 + F3 e 3 . planos "verticales" que contienen al eje z para la coordenada φ constante y esferas de radio variable r y origen en el origen de coordenadas. φP) φP Las superficies de coordenada constante son en este caso conos de eje z y cuyo vértice pasa por el origen de coordenadas para θ constante. P = (rP. θP.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. área y volumen
CARTESIANAS ˆ ˆ ˆ dl = dx x + dy y + dz z dS x = dy dz dS y = dx dz dS z = dx dy
CILINDRICAS ˆ ˆ ˆ dl = d ρ ρ + ρ d φ φ + dz z dS ρ = ρ d φ dz dS φ = d ρ dz dS z = ρ d ρ d φ
dV = ρ d ρ d φ dz
ESFERICAS ˆ ˆ ˆ dl = dr r + r d θ θ + r sen θ d φ φ 2 dS r = r sen θ d θ d φ dS θ = r sen θ dr d φ dS φ = r dr d φ dV = r 2 sen θ dr d θ d φ
El subíndice en los elementos de área representan la coordenada normal a la superficie en consideración.fi. que coinciθP den con los ejes z y x del sistema cartesiano correspondiente.uba. Fernández .ar
. La dependencia de los versores con la posición en sistemas de coordenadas distintos del cartesiano debe tenerse en cuenta al integrar una función vectorial. En el siguiente cuadro se presentan las relaciones entre las coordenadas de los distintos sistemas básicos:
Juan C. En un sistema de coordenadas. En los sistemas cilíndrico y esférico los versores sí dependen de la posición. ˆ ˆ ˆ
Fz θ F
F Fx x Fz
F = Fx x + F y y + Fz z ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ F = Fρ ρ + Fz z
ˆ F = Fr r
Cartesiano Cilíndrico Esférico En el sistema cartesiano los versores son constantes (no dependen de la posición).Electromagnetismo 2004
En el sistema esférico la posición de un punto P en el espacio se describe mediante el módulo del vector posición y los ángulos que forma con dos rP ejes perpendiculares que pasan por el origen de coordenadas. Veamos las expresiones matemáticas del vector posición y los elementos de arco.
fi.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.uba. Fernández .ar
. El gradiente de f(r) es un campo vectorial que se define a través del cambio de la función en un desplazamiento diferencial: f ( r ) ⇒ df = grad( f ) • dr = grad(f)x dx + grad(f) y dy + grad(f)z dz El producto escalar entre el vector gradiente de una función escalar y el diferencial de arco es igual al diferencial de la función escalar de la que se calcula el gradiente. El operador gradiente se puede escribir usando el operador vectorial nabla o del:
∇= ∂ ∂x ˆ x+ ∂ ∂y ˆ y+ ∂ ∂z ˆ z ⇒ grad( f ) = ∇f ⇒ df = ∇f • dr
CARTESIANAS Las expresiones del gradiente en los sistemas básicos de coordenadas se muestran en la tabla de la derecha: CILINDRICAS ESFERICAS
∂f ∂f ∂f ˆ ˆ ˆ x+ y+ z ∂x ∂y ∂z
∂f 1 ∂f ˆ ∂f ˆ ˆ ρ+ φ+ z ∂ρ ρ ∂φ ∂z
∂f 1 ∂f ˆ 1 ∂f ˆ ˆ r+ θ+ φ r ∂θ r sen θ ∂φ ∂r
Juan C.Electromagnetismo 2004
CARTESIANAS x y z ˆ x ˆ y ˆ z CILINDRICAS
z ρ ˆ φ ˆ z ˆ
CILINDRICAS = ρ cos φ = ρ sen φ =z ˆ ˆ = cos φ ρ − sen φ φ ˆ ˆ = sen φ ρ + cos φ φ ˆ =z CARTESIANAS
= = z = cos φ x + sen φ y ˆ ˆ = − sen φ x + cos φ y ˆ ˆ =z ˆ x2 + y2
ESFERICAS = r sen θ cos φ = r sen θ sen φ = r cos θ ˆ ˆ ˆ = sen θ cos φ r + cos θ cos φ θ − sen φ φ ˆ + cos φ φ ˆ ˆ = sen θ sen φ r + cos θ sen φ θ ˆ ˆ − sen θ θ = cos θ r ESFERICAS
= r sen θ =φ = r cos θ ˆ = sen θ r + cos θ θ ˆ = φˆ ˆ = cos θ r − sen θ θ ˆ
= =φ = sen θ ρ + cos θ z ˆ ˆ = cos θ ρ − sen θ z ˆ ˆ =φ ˆ
ρ 2 + z2
r ˆ ˆ θ φ ˆ
= cos −1 (z / r )
= cotan −1 (x / y ) = sen θ cos φ x + sen θ sen φ y + cos θ z ˆ ˆ ˆ = cos θ cos φ x + cos θ sen φ y − sen θ z ˆ ˆ ˆ = − sen φ x + cos φ y ˆ ˆ
Definición: Sea f(r) un campo escalar diferenciable.
el gradiente es normal a la superficie misma.
dr f(r) = f0
El gradiente del campo escalar f(r) es un campo vectorial normal a las superficies equipotenciales de f(r) en todo punto.ar
∫cFA•→dlB
∫cF • dl = ∫cF • dl + ∫cF • dl 1 2
Cuando el campo que circula es un gradiente. Fernández .Electromagnetismo 2004
Propiedades del campo gradiente
Una equipotencial del campo escalar f(r) es una superficie espacial tal que para todos sus puntos: f(r) = f0 (constante).Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. La propiedad matemática más importante del flujo de una campo vectorial es el ˆ Teorema de Gauss: F • n dS = div F dV = ∇ • F dV
Juan C. En resumen: Gradiente: • campo vectorial normal en todo punto a las superficies equipotenciales de la función escalar origen. Como dr es cualquiera.
La circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva c (abierta o cerrada) en el espacio es una integral de línea cuyo integrando es la proyección del campo vectorial sobre el elemento de arco punto a punto a lo largo de la línea. una sobre una curva abierta y otra sobre una curva cerrada. por definición:
f ∫c∇→•2dl = ∫ df = f 2 − f1 1
y la circulación del gradiente depende exclusivamente de los valores del campo escalar origen en los extremos del intervalo. • campo vectorial conservativo.uba. Si el vector elemental dr pertenece a una ∇f superficie equipotencial.fi. En particular:
∫c∇f • dl = 0
Campos conservativos: Un campo vectorial se dice conservativo si su circulación entre dos puntos no depende del camino que se use:
dl • dl ∫cFA•→ B = ∫cF A→ B 1 2
∫cF • dl = 0
Por lo tanto el gradiente es un campo conservativo. df = ∇f • dr = 0 y se deduce que el vector gradiente es normal a dr. En la figura se ilustran dos circulaciones. que puede interpretarse como la suma de dos circulaciones sobre dos curvas sucesivas.
ΦF = ˆ ∫ F • n dS
El flujo de un campo vectorial a través de una superficie (abierta o cerrada) se define como la integral donde el integrando es la proyección del campo vectorial sobre la normal a la superficie punto a punto de la misma.
∫ F • dl = ∫ (rot F) • n dS = ∫ ∇ × F • n dS
El teorema de Stokes lleva a la definición del rotor de un campo vectorial cuando S → 0.uba. Interpretación física:
Φ > 0 Fuente Φ < 0 Sumidero Φ=0 Una carga eléctrica produce un campo eléctrico. el rotor está asociado a sus fuentes vectoriales: Fuentes vectoriales del campo:
rot F(r ) = A F (r )
Juan C. A su vez. Si la superficie no encierra carga. el flujo es no nulo. En esta expresión es importante notar que: • La superficie S es abierta. y su signo coincide con el signo de la carga encerrada. las líneas de campo producen flujo a través de una superficie cerrada. En general podemos demostrar que: Fuentes escalares del campo: div F(r ) = ρ F (r )
que significa que la divergencia del campo es proporcional a la densidad de fuentes escalares de campo punto a punto.Electromagnetismo 2004
Este teorema lleva a la definición de la divergencia de un campo vectorial cuando V → 0.fi. Fernández . Por lo tanto el flujo (y la divergencia) está asociado a existencia de carga o fuente de campo.ar
. Un ejemplo de campo solenoidal es el campo magnético. deben ser cerradas. Si la superficie encierra carga. y como las líneas de campo no tienen fuentes o sumideros. La siguiente tabla presenta las expresiones de la divergencia en los distintos sistemas coordenados básicos: CARTESIANAS CILINDRICAS ESFERICAS ∂Fx ∂F y ∂Fz + + ∂x ∂y ∂z 1 ∂ (ρFρ ) 1 ∂Fφ ∂Fz ∇•F = + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z 2 1 ∂Aφ 1 ∂ (r Ar ) 1 ∂ (sen θ Aθ ) ∇•F = 2 + + ∂r ∂θ r sen θ r sen θ ∂φ r ∇•F =
Decimos que un campo es solenoidal si su divergencia es nula: ∇ • F = 0 En este caso no existen fuentes escalares del campo. el flujo es cero. Se “apoya” en la curva C • El sentido de circulación y el sentido de la normal están ligados entre sí por la regla de la mano derecha.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.
Interpretación física Así como la divergencia está asociada a las fuentes escalares del campo.
Fernández .Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. Opera sobre un campo escalar: ∇ 2 f (r) = div[grad( f (r) )] = ∇ • [∇f (r )] El laplaciano es un operador fundamental delas ecuaciones del electromagnetismo.ar
El laplaciano es el operador que resulta de tomar la divergencia del gradiente.fi. Por el teorema de Stokes un campo irrotacional da circulación nula sobre una curva cerrada.uba. La siguiente tabla presenta las expresiones del laplaciano en los sistemas de coordenadas básicos : ∂2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ CARTESIANAS ∇2Ψ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 1 ∂  ∂Ψ  1 ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ρ + CILINDRICAS ∇2Ψ = + ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂φ 2 ∂z 2   1 ∂  2 ∂Ψ  1 ∂  ∂Ψ  ∂ 2Ψ 1 ESFERICAS ∇2Ψ = 2 r  sen θ + 2 + 2 ∂θ  r sen 2 θ ∂φ 2 r ∂r  ∂r  r sen θ ∂θ 
En la siguiente tabla se presentan las expresiones del rotor en los sistemas coordenados básicos: CARTESIANAS ˆ x ∂ ∇×F = ∂x Fx CILINDRICAS ˆ ˆ ρ ρφ 1 ∂ ∂ ∇×F = ρ ∂ρ ∂φ Fρ ρFφ ESFERICAS ˆ r ∂ 1 ∇×F = 2 r sen θ ∂r Fr = ˆ rθ ∂ ∂θ rFθ ˆ r sen θ φ ∂ ∂φ r sen θ Fφ  1  1 ∂Fr ∂(rFφ )  ˆ 1  ∂(rFθ ) ∂Fr  r +    ˆ r  sen θ ∂φ − ∂r θ + r  ∂r − ∂θ φ      ˆ z ∂  1 ∂Fz ∂Fφ   ∂Fρ ∂Fz  ˆ 1  ∂ (ρFφ ) ∂Fρ φ +  ρ +  ˆ − − = −  ∂φ ∂ρ  ρ  ∂ρ ∂z  ρ ∂φ ∂z   ∂z     Fz  z ˆ 
ˆ y ∂ ∂y Fy
ˆ z ∂  ∂Fz ∂F y = − ∂z  ∂y ∂z  Fz
  ∂Fx ∂Fz   ∂F y ∂Fx x +  ˆ − − y +  ˆ ∂y ∂x   ∂x    ∂z
 z ˆ 
1  ∂(sen θ Fφ ) ∂Fθ  − ∂θ ∂φ r sen θ  
∇×F=0 En este caso no Decimos que un campo es irrotacional cuando su rotor se anula: existen fuentes vectoriales del campo. Entonces decir que un campo es irrotacional es lo mismo que decir que es conservativo. Un ejemplo de campo irrotacional es el campo eléctrico.
de manera que nos queda: ∂φ 2 ˆ ∫ (∇φ ) dV = ∫ (φ∇φ ) • n dS = ∫ φ ∂n dS V S S Intercambiamos los roles de los campos escalares. Consideremos el teorema de la divergencia aplicado al campo vectorial ψ∇φ : ˆ ∫ ∇ • (ψ∇φ ) dV = ∫ (ψ∇φ ) • n dS
Como: Green:
∇ • (ψ∇φ ) = ∇ψ • ∇φ + ψ∇ 2φ
se obtiene la llamada primera identidad de ∂φ 2 ˆ ∫ ∇ψ • ∇φ dV + V ψ∇ φ dV = ∫ (ψ∇φ ) • n dS = ∫ψ ∂n dS ∫ V S S
donde ∂ψ ∂n es la derivada direccional normal a la superficie. la ecuación de Poisson es una ecuación diferencial lineal inhomogénea. Sea V una región cerrada del espacio cuya frontera es S. y que φ sea solución de la ecuación de Laplace dentro de V. Consideremos ahora en esta expresión que ψ = φ. o sea el potencial).ar
. Sean además φ(r) y ψ(r) dos campos escalares que junto con sus derivadas primeras y segundas son funciones continuas dentro de V.uba.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. Fernández . se obtiene la ecuación de Laplace: ∇ 2φ (r ) = 0 Desde el punto de vista matemático.Electromagnetismo 2004
La ley de Gauss de la electrostática y la relación entre el campo y el potencial electrostáticos lleva a la ecuación de Poisson:
∇ • E(r) = ρ(r) ε ⇒ ∇ • [− ∇φ(r )] = ρ(r) ε ⇒ ∇ 2φ(r ) = − ρ(r ) ε
La ecuación de Poisson relaciona el potencial eléctrico con sus fuentes escalares.fi. Su solución general es la suma de la solución general de la ecuación homogénea (ecuación de Laplace) más una solución particular de la ecuación inhomogénea original: ∇ 2 φ(r ) = − f (r )  ⇒ φ(r ) = φ h (r ) + φ p (r ) ∇ 2 φ h (r ) = 0  La solución particular más usada es la llamada integral de Poisson: f (r ′) 1 con φ p (r ) = dV R = r − r′ 4π R
donde el recinto de integración debe contener por completo a las fuentes de campo cuya influencia se quiera determinar y se ha usado la notación de punto fuente (donde están distribuidas las fuentes) y punto campo (donde se desea calcular el efecto.
Las llamadas identidades de Green son expresiones matemáticas derivadas del teorema de la divergencia que son de utilidad para analizar problemas de potencial y de radiación. y escribimos ahora la primera identidad de Green al campo vectorial φ∇ψ : ∂ψ 2 ∫ ∇φ • ∇ψ dV + V φ∇ ψ dV = ∫ φ ∂n dS ∫ V S Restamos las dos expresiones de la primera identidad para obtener la segunda identidad o teo∂ψ   ∂φ 2 2 rema de Green: ∫ (ψ∇ φ − φ∇ ψ )dV = ∫ ψ ∂n − φ ∂n  dS  V S 
Juan C. Para puntos del espacio sin fuentes.
Phillips.K. 2nd.G(∇•F) + (G •∇) F . ∇×(∇f) = 0 ∇ ∇•r = 3 ∇•(∇×F) = 0 ∇ ∇×r = 0 ∇r = r/r ∇•(φF) = φ∇•F + F•∇φ ∇ ∇ ∇(1/r) = -r/r3 ∇ ∇× (φF) = φ∇×F .
A continuación se presenta una tabla de identidades matemáticas que surgen de la aplicación de los operadores vectoriales vistos. p.2-5.H.Panofsky & M.Electromagnetismo 2004
Fuentes del campo y teorema de Helmholtz
El teorema de Helmholtz. W. “Classical Electricity and Magnetism”.F•(∇×G) ∇ ∇ ∇× (F×G) = F(∇•G) .fi.ar
.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. por ejemplo.F×∇φ ∇
∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ ∇ ∇
∇•(F×G) = G•(∇×F) . Fernández . Massachussets (1962). Reading. AddisonWesley.uba..(F •∇) G ∇ ∇ ∇ ∇ ∇(F•G) = F× (∇×G) + G× (∇×F) + (G •∇) F + (F •∇) G ∇ ∇ ∇ ∇ ∇2F = ∇(∇•F) . relaciona a un campo vectorial con sus fuentes: Si Entonces con donde ∇ • F(r ) = λ(r ) F(r ) = −∇Ψ(r ) + ∇ × K (r ) Ψ (r ) = 1 y ∇ × F(r ) = k (r ) 1 k (r ′) R
λ (r ′)
K (r ) =
R = r − r′ =
∑ (x − x′)
El teorema de Helmholtz muestra que todo campo vectorial está unívocamente definido si se conocen su divergencia (fuentes escalares) y su rotor (fuentes vectoriales).∇× (∇×F) ∇ ∇ Expresiones integrales: Gauss Stokes (Laplaciano vectorial)
ˆ ∫ F • n dS = ∫ ∇ • F dV
ˆ f n dS = ∫ ∇f dV
ˆ ∫ F • dl = ∫ (∇ × F ) • n dS
∫ (n × F ) dS = ∫
∇ × F dV
Ver. que presentamos sin demostración16. Juan C. Ed.
t )} = H (α )f α (r. La posibilidad de describir fenómenos de la naturaleza mediante sistemas lineales es ventajosa porque existe una amplia y relativamente sencilla doctrina matemática para tratar a estos sistemas. En el primer caso podemos señalar la óptica de procesos incoherentes. Como el tratamiento vectorial es más general. es decir. diversos conjuntos estímulo pueden llevar al mismo conjunto repuesta.t).t)} el operador lineal £ { } satisface la propiedad básica: α £{ 1f1 + α 2 f 2 } = α 1 £{f1 } + α 2 £{f 2 } donde α1 y α2 son constantes (respecto de los argumentos de las funciones) generalmente complejas. t )} = A(α ) f α (r. funciones complejas de sus argumentos reales. la relación causal se escribe: g(r.fi. t ) donde H(α) es un valor complejo dependiente de α pero independiente de las variables r y t. t ) e − iφ (α )
Usamos la notación vectorial para los conjuntos de funciones estímulo y respuesta porque es la más natural.t)} donde el operador matemático S { } representa la relación. Estos mapeos son la representación matemática del fenómeno y se conocen como sistemas lineales. Las magnitudes que representan el fenómeno pueden ser magnitudes descriptas mediante funciones reales de sus argumentos o magnitudes descriptas mediante funciones complejas. También en muchas situaciones de interés tecnológico la relación causal entre estímulos y respuestas es lineal. Estas relaciones se pueden implementar matemáticamente mediante mapeos lineales entre el conjunto de funciones estímulo y el conjunto de funciones respuesta. Entonces: £{f α (r. Juan C. g2(r. Autovalores y autofunciones Consideremos una función estímulo que depende de sus variables y de un cierto parámetro α: fα(r. Fernández . en general. se puede escribir en forma polar: H (α ) = A(α ) e − iφ (α ) donde A(α) es la amplitud y φ(α) es la fase del complejo H(α).ar
. Consideremos entonces un sistema definido por un mapeo S entre un conjunto de funciones estímulo17: f(r.Electromagnetismo 2004 Sistemas lineales
Muchos fenómenos físicos pueden describirse matemáticamente mediante magnitudes funciones del espacio y del tiempo.t).t) = [f1(r. gM(r. En muchas situaciones podemos separar estas magnitudes como estímulos (causas) y respuestas (efectos). Como el autovalor es una constante compleja. la respuesta a un conjunto de estímulos aplicados simultáneamente es la suma de las respuestas obtenidas si cada estímulo operara en solitario. y en el segundo la óptica de procesos coherentes. En el caso de un sistema lineal: g(r. fN(r. es decir. Entonces.t)]T Todas estas funciones deben considerarse. llamado autovalor asociado con la autofunción. …. donde es necesario usar campos con módulo y fase. t ) ⇒
£{f α (r. t )} = H (α )fα (r.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. ….t). f2(r.t). fundamentalmente mediante la representación de las magnitudes como la suma de funciones elementales cuyas respuestas son bien conocidas o pueden ser estimadas con facilidad.uba.t) = [g1(r.t) = £ { f(r. Esta relación entre ambos conjuntos de funciones es del tipo "muchas a una".t).t) = S { f(r. lo usaremos en nuestra introducción a los sistemas lineales.t)]T y un conjunto de funciones respuesta: g(r. Decimos que esta función estímulo es una autofunción de un cierto operador lineal £ si: £{f α (r.
fi.t) = £ { f(r.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. Así tenemos. se dice que las funciones son ortonormales. calcular la respuesta para cada estímulo elemental y luego sumar los resultados para obtener la respuesta original. es decir. t )} = £   
∑α h (r.uba. t )
Si g(r. Esto es sumamente conveniente desde el punto de vista del cálculo ya que se puede elegir el conjunto de funciones elementales que representa a la función estímulo original de manera que sean sencillas las respuestas obtenidas al aplicar el operador. Si además la integral vale 1 cuando las dos funciones coinciden. t ) =
∑α h (r. podemos escribir para cualquiera de ellas: f(r. existen representaciones en el dominio del tiempo y representaciones en el dominio del espacio. t )}  
Se ve entonces que: La linealidad permite representar una función estímulo mediante una suma o superposición lineal de otras funciones elementales. entonces podemos escribir:
  g (r. t ) = £{ f (r.t)} representa un sistema lineal. entonces la representación:
f s (r ) =
∑α h (r)
n n n =0
dentro de un recinto V del es-
pacio. Habitualmente. t ) = ∑α £{h (r. Dado que es común en los cursos de ingeniería la representación en el dominio del tiempo (representación de Fourier) ejemplificaremos esta sección con representaciones en el dominio del espacio. Consideremos que podemos expresar el estímulo como una suma o superposición de funciones (ejemplificamos para una relación estímulo-respuesta escalar):
f (r . y entonces la representación de la función original como superposición de funciones elementales resulta en un producto de dos series que pueden considerarse por separado. las funciones matemáticas que se usan en la descripción de sistemas de ingeniería son separables. Representación de funciones por conjuntos completos de funciones ortogonales Las representaciones más útiles son las que utilizan conjuntos completos de funciones ortogonales.ar
. Otro aspecto fundamental de los sistemas lineales surge de la posibilidad de la representación de estímulos y respuestas mediante superposición de funciones más sencillas.t) = fs(r) T(t) donde el subíndice "s" indica que la función describe el comportamiento espacial.Electromagnetismo 2004
y se observa que la aplicación de un operador lineal a una autofunción tiene como resultado una versión escalada y eventualmente desfasada de esta misma autofunción. Fernández . menos conocidas.
Juan C. En general. Decimos que dos funciones φ1(r) y φ2(r) son ortogonales en V si:
∫ φ (r)φ (r)dV = ≠ 0 
= 0
φ1 (r ) ≠ φ2 (r ) φ1 (r ) = φ2 (r )
dentro de V dentro de V
donde el asterisco simboliza el complejo conjugado. donde todas las cantidades son generalmente complejas.
= 0 * hn (r )hm (r )dV =  = ∆ n n≠m n=m
Suponemos en lo que sigue que el conjunto de funciones {hn(r)} de la representación son ortogonales:
Entonces los coeficientes αn del desarrollo se pueden calcular sencillamente: calculamos de donde:
∞  hk (r ) f s (r ) dV = hk (r )  α n hn (r ) dV =    n =0  V V
∑α ∫ h (r )h (r ) dV = ∆ α
n k n n=0 V
1 ∆k
∫ h (r ) f (r ) dV
Definimos el error cuadrático medio de la representación como:
∞ 1   ε = ∫  f s (r ) − ∑α n hn (r ) dV n=0  VV 2
Si el conjunto de funciones {hn(r)} es completo.ar
. es un objeto matemático definido por un conjunto de propiedades. b]
δε(x)
1/ε f(x)
Por ejemplo. La segunda x propiedad se cumple por el teorema del valor medio del
cálculo integral: φ ( x ) dx = φ (ξ ) (b − a ) donde ξ ∈ ( a. b ) . x0 + ε ] ∈ [ a. x0 + ε ] 1 / ε si δ ε ( x − x0 ) =  si x 0 ∉ [ x0 . entonces el error cuadrático medio tiende a cero para todo punto dentro de V para cualquier función fs(r) a representar.
∫ f ( x) δ ( x − x0 ) dx =  
 f (ξ ) 0
si el intervalo [ x0 .uba. x0 + ε ] 0 se comporta como una delta de Dirac cuando ε→0.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. Cuál se elija para una aplicación específica depende del operador lineal que permite hallar la respuesta. Existen múltiples conjuntos completos de funciones ortogonales. cualquiera sea la función. b] si x 0 ∉ [a . Tenemos entonces una prescripción de cómo representar la función estímulo dentro de un dado recinto con error mínimo.
La delta de Dirac es una funcional. es decir. b] si no
Tomando el límite para ε→0 se llega a las propiedades de la delta. las propiedades son:
δ ( x − x0 ) = 0
para x ≠ x 0
∫ f ( x )δ ( x − x
 f ( x0 ) ) dx =  0
si x 0 ∈ [a .fi. En el caso de la delta espacial en una dimensión δ(x). En tres dimensiones espaciales se puede escribir:
Juan C. Fernández . La definición de la delta ilustra la propiedad de muestreo: su aplicación permite tener una muestra de la función en el punto de definición de la delta. la función definida por intervalos: x ∈ [ x0 . La primera propiedad se cumple ya que en el límite el único punto en que la función no es cero es x0.
Luego se satisface la primera propiedad de la delta. t ) dt ′
en el dominio del tiempo dentro del intervalo [t1. Si el recinto de integración no incluye a este punto.ej..t0) tiene mucha utilidad en el análisis de los circuitos y sistemas de control. usamos el teorema de la divergencia:   1    ˆ  dV = ∇ 1  • n dS = − (r − r0 ) • n dS = − dΩ ∇ • ∇ ∫   r − r  ∫  r −r  ˆ ∫ r −r 3 ∫ r0 V S S 4π 0  0  0    que indica que la integral es igual al ángulo sólido medido desde el punto r0 . Fernández . t2]. En otras aplicaciones la funcional delta temporal δ(t . la integral es nula. Representación Delta De las propiedades de la Delta de Dirac podemos escribir:
f (t ) = f (r ) =
∫ f (t′)δ (t ′. lo que se ve a partir del flujo de la anteúltima integral (figura de la derecha). p. en el dominio del espacio dentro del recinto V. el resultado de la última integral vale 4π (figura de la izquierda).fi. en cartesianas:
δ (r − r0 ) dV = δ ( x − x 0 )δ ( y − y 0 )δ ( z − z 0 ) dx dy dz
Una operación que lleva a una delta de Dirac en tres dimensiones es:      1   = ∇ • ∇ 1  div  grad     r −r  0    r − r0        Demostramos esta propiedad usando por comodidad coordenadas cartesianas:
  1  ˆ ˆ ˆ ( x − x0 ) x + ( y − y0 ) y + ( z − z 0 ) z =− ∇  r −r  3/ 2   0  1 1  ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = ⇒  r − r0   1   ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 si r ≠ r0  ∇ • ∇ r − r  = 0    0      
Si r = r0 la operación no está definida.ar
∫ f (r′)δ (r′. Finalmente:
  1 ∇ • ∇     r − r0
 1   = ∇ 2   r −r  0   
  = −4π δ (r − r0 )  
En nuestro curso la funcional delta de Dirac se utiliza en la representación de objetos puntuales. lineales o superficiales como objetos tridimensionales en las integrales de los campos.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. Si el recinto de integración incluye a este punto.Electromagnetismo 2004
δ (r − r0 ) = 0
para r ≠ r0  f (r ) f (r ) δ (r − r0 ) dV =  0 0
si r0 ∈V si r0 ∉ r0
donde la notación convencional de la delta significa. como se muestra en la siguiente sección. Para probar la segunda. r) dV
Juan C.uba.
dt ′ = f ⊗ h de Física)–= £{ f (r )de= ∫ f (r′) h(r′ − r) dV = f ⊗ h = ∫ f ′) h(t ′ − t Departamento
Universidad de Buenos Aires – www. r )} δ
Las integrales de las representaciones delta. la respuesta al impulso se conoce como “point spread function”.(tFernández ). Esto significa que distintos intervalos de tiempo (distintas regiones del espacio) llevan al mismo comportamiento siempre que los intervalos (distancias vectoriales) entre estímulo y respuesta sean iguales. vemos a continuación que su aplicación a sistemas lineales nos da un mecanismo de estudio de este tipo de problemas. De esta forma utilizamos un método de superposición (válido porque las ecuaciones de Maxwell son lineales) para calcular los campos creados por distintas distribuciones de fuentes. r) dV
h(r′.parece trivial. En la teoría del potencial se conoce como método de la función de Green. Aunque esta representación . t ) = h(t ′ − t ) = £{δ (t ′ − t )} h(r′. Para sistemas lineales invariantes podemos entonces escribir:
h(t ′. t ) = £{ (t ′. Supongamos que estas funciones son estímulo de un cierto sistema lineal simbolizado por el operador £ { }: g = £ { f }. si la respuesta al impulso en un instante t (en una posición r) para un impulso excitador aplicado en el instante τ (en la posición r´) sólo depende del intervalo [t . En el dominio del tiempo.uba. Este esquema da lugar a distintos algoritmos numéricos de cálculo de campos en problemas del electromagnetismo. r ) = h(r′ − r ) = £{δ (r′ − r )}
y las integrales de superposición resultan así:
g (r Facultad } Ingeniería g (t ) = £{ f (t )}Juan C.la representación delta .Electromagnetismo 2004
Estas ecuaciones representan la función como una superposición de sus valores muestreados en los sucesivos puntos del recinto de integración. En el caso de un sistema físico la representación delta espacial tiene la interpretación de que la respuesta (habitualmente los campos) está completamente definida especificando la posición de puntos fuentes equivalentes a la distribución de fuentes. El sistema no cambia a medida que pasa el tiempo o en distintas regiones del espacio.fi. En la óptica. t )} δ Definimos la respuesta impulsiva del sistema como: Y entonces la respuesta del sistema ante el estímulo f(t) será: g (t ) = £{ f (t )} = ∫ f (t ′) h (t ′. r ) = £{ (r′. llamadas integrales de superposición.ar
. h(t ′. la respuesta es:
t 2  t2   g (t ) = £{ f (t )} = £  f (t ′) δ (t ′. Esta metodología de superposición de los efectos creados por fuentes elementales se usa a lo largo del texto en todas las aplicaciones.τ] (de la distancia vectorial r .r´). t ) dt ′ = f (t ′) £{ (t ′. t ) dt ′
En el dominio del espacio nos queda:
g (r ) = £{ f (r )} =
∫ f (r′) h(r′. definen completamente la respuesta del sistema en base a su respuesta impulsiva en todos los puntos del intervalo (recinto) de representación. t )}dt ′ δ  t1  t1  
Obsérvese que el operador £ actúa sobre el tiempo no primado. ya que la respuesta impulsiva del sistema se conoce como función de Green del mismo. Sistemas lineales invariantes Decimos que un sistema lineal es invariante en el tiempo (en el espacio).
sólo se admite un número finito de discontinuidades finitas y extremos en cualquier intervalo finito del dominio. además de un cambio global en la amplitud del espectro. tomando como ejemplo funciones del tiempo.
Propiedades básicas La transformada de Fourier es una representación lineal.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. Las siguientes son las propiedades básicas más importantes: • Linealidad. • Teorema de Rayleigh-Parseval.uba. Fernández . de manera que cumple propiedades de los sistemas lineales. Resumen de la representación de Fourier en una dimensión En el electromagnetismo la representación más usada es la de Fourier. En el electromagnetismo la mayoría de los sistemas son invariantes en espacio y tiempo. Si G ( f ) = ℑ[g (t )] entonces: ℑ[g (t − τ )] = G ( f )e − j 2πfτ donde τ es un real. Un corrimiento en el dominio del tiempo implica un cambio de fase en el dominio de la frecuencia. utilizando la transformación de Fourier el producto convolución de dos funciones del tiempo (del espacio) se transforma al producto directo de las respectivas transformadas. La transformada de Fourier de una función g(t) es:
G ( f ) = ℑ[g (t )] =
∫ g (t ) e
y es una función generalmente compleja de la frecuencia f. En esta sección hacemos un breve resumen de las propiedades básicas de la representación de Fourier en una dimensión.fi. Si entonces: G ( f ) = ℑ[g (t )]
Juan C. Como veremos en las siguientes secciones. Esto permite trabajar sencillamente en el campo transformado con los sistemas lineales invariantes.
α donde α es una constante cualquiera.Electromagnetismo 2004
que son productos convolución entre la función estímulo y la respuesta impulsiva. Existen reglas matemáticas de existencia de esta transformación que pueden consultarse en cualquier texto matemático dedicado a estos temas. 1 ℑ[g (α t )] = G ( f α ) • Similaridad. Un “estiramiento” en la escala del tiempo implica una “compresión” en la escala de frecuencias y viceversa. • Corrimiento. En nuestro contexto basta decir que la función g(t) debe cumplir las siguientes propiedades para que exista su transformada:
ser absolutamente integrable sobre su dominio:
f (t ) dt < M . no debe tener discontinuidades infinitas. por lo que centraremos nuestro análisis en su uso. También definimos la transformada inversa de Fourier de una función de la frecuencia como:
g ( t ) = ℑ −1 [G ( f )] =
∫ G( f ) e
g(t) y G(f) forman un par de transformación según Fourier: g(t) ↔ G(f). g(t) se conoce como representación en el dominio del tiempo y G(f) se conoce como representación en el dominio de la frecuencia. ℑ[αg1 (t ) + βg 2 (t )] = αℑ[g1 (t )] + βℑ[βg 2 (t )] donde α y β son constantes cualesquiera.
estas integrales se interpretan como el contenido energético de la “señal”. y entonces: Convolución. ya sea en el dominio temporal o el dominio espacial. donde se utilizan "transformadas parciales" que representan a las funciones por partes.fi.
Juan C.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. Si G1 ( f ) = ℑ[g1 (t )] G2 ( f ) = ℑ[g 2 (t )] ∞  ℑ ∫ g1 (t ) g 2 (t − τ )dτ  = ℑ[g1 (t ) ⊗ g 2 (t )] = G1 ( f ) G2 ( f ) −∞  es decir que la transformada de la convolución en el dominio del tiempo es igual al producto de las transformadas individuales.ar
. g 2 (t ) = g ∗ (−t ) ∞  2 ℑ ∫ g (t ) g ∗ (t − τ )dτ  = ℑ g (t ) ⊗ g ∗ (t ) = G ( f ) −∞ 
y en forma similar:
ℑ g (t )
]= ∫ G( f )G (ξ − f )dξ
∞ ∗ −∞
Las propiedades de singularidad y corrimiento son fundamentales en el tratamiento de funciones por tramos. Autocorrelación.uba. Si tomamos en la convolución: g1 (t ) = g (t ) . Fernández .
∂Φ =0 µ 0ε 0 ∂t 1
B (r . t ) ∇ • B( r . z . t ) = −∇Φ(r. t ) − 1 ∂2 ρ (r.ω ) eiωt dω
∇•B(r.uba.ω) . las ecuaciones de Maxwell llevan a ecuaciones de onda inhomogéneas:
∇ 2φ (r.iωD(r. t ) = ρ(r.ω)
F (r . Fernández . t ) ∂t Campos (ley de Gauss eléctrica) (ley de Gauss magnética) (ley de Faraday) (ley de Maxwell-Ampère)
Los campos pueden expresarse a partir de los potenciales electrodinámicos vectorial A y
escalar Φ:
E(r.ω)
Juan C.Electromagnetismo 2004 RESUMEN
En este Capítulo se han presentado los modelos básicos de los fenómenos electromagnéticos y la notación y las herramientas matemáticas fundamentales que se requieren a lo largo del texto. t ) =
ℑ(r .
Los campos pueden representarse en el dominio del tiempo:
En la representación en el dominio del tiempo campos y fuentes dependen de la posición y del tiempo: F = F (r .ar
.ω) = ρ(r. y .ω) + iωB(r.fi.ω) = j(r. t ) + B(r. t ) c 2 ∂t 2
con soluciones ( c = µ 0 ε 0 ):
Φ (r .ω) = 0 ∇×E(r. t ) = j(r. t ) = 0 ∂ ∇ × E(r. t ) −
∂ A (r . t ) = 2 2 c ∂t ε0 1 4πε 0 ∇ 2 A (r . ω ) ⇒ F (r . t ) =
j(r ′. t ) − D(r. t ) = µ 0 j(r.
Ecuaciones de Maxwell ∇ • D(r. t ) = ∇ × A (r .ω) = 0 ∇×H(r. por lo que estos potenciales se llaman potenciales retardados. t ) =
ρ (r ′. t ) φ (r. t ′) dV ′ R
Hay un retardo entre causa y efecto ( t ′ = t − R / c ). t )
o en el dominio de la frecuencia utilizando la tranformación de Fourier:
∇•D(r.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www. t ) ⇔ ℑ(r. t ) = F ( x . t ) − 1 ∂2 A (r. t ′) dV ′ R
A (r . t ) = 0 ∂t ∂ ∇ × H(r. t )
que están ligados entre sí por la llamada calibración de Lorentz:
∇•A +
En el vacío. con el uso de estos potenciales.
• Al menos dos de las tres dimensiones no cumplen la condición cuasi-estática.Electromagnetismo 2004
que son las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia. Este es el caso de la aproximación cuasi-estática.).fi. • Dos de las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeñas frente a la mínima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente. inductores. El caso típico es el de las líneas de transmisión. se lo modela mediante un circuito equivalente. Se requiere usar el modelo de campo en toda su generalidad. En este caso se modela al sistema como una cascada de elementos de longitud infinitesimal a lo largo de la dimensión que no cumple la condición cuasi-estática.
En esta representación.uba. Fernández .ω) j(r.ω) = σωE(r. capacitores. Se tiene entonces un modelo de parámetros distribuidos. es posible establecer otras relaciones entre los campos que simplifican la resolución.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.ω) = µωH(r.ar
. Vale la teoría de circuitos y se modeliza el sistema mediante elementos de parámetros concentrados (resistores. Como cada elemento infinitesimal de la cascada cumple esta condición. etc. Estas relaciones se denominan leyes o relaciones constitutivas y dependen de la frecuencia: D(r.ω) B(r.
Juan C.ω) ε : permitividad (dieléctrica) σ : conductividad µ : permeabilidad (magnética)
Existen tres entornos de modelación diferentes en el dominio de la frecuencia: • Las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeñas frente a la mínima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente.ω) = εωE(r. Esto ocurre por ejemplo en antenas y circuitos de microondas.
¿Son los campos conservativos? 1. R 1. 1.1) Expresar los siguientes vectores en coordenadas cilíndricas y esféricas: ˆ ˆ F = 3x x + 2 z 2 y ˆ ˆ G = 2 xy z + x 2 y
1.4) Calcule la carga de los siguientes sistemas: a) dos esferas concéntricas de densidades ρ = cte para r < a y ρ = A r2 para a<b<r< c.2) Calcular la masa de un cubo de arista a = 10 cm cuya densidad es: ρ = 3(Kg/cm3) x y2 z1/2.fi. ˆ ˆ ˆ 1.10) Calcular la divergencia y el rotor de los campos: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b) F = ρ 2 z ρ + sen φ cos φ φ + ρ 2 cos 2 φ z a) F = x x + y 2 y + xz z 2 ˆ ˆ ˆ c) F = r sen θ cos φ (r + θ + φ) 1. 1. 3 y 5 con un vértice en el origen de coordenadas.Electromagnetismo 2004 PROBLEMAS
1.8) Calcule el flujo de los vectores del problema 1.2) y vuelta a (0.φ. Repetir para el camino triangular dado por (0.1). radio de la base 3.1).6) Hallar el gradiente de los siguientes campos escalares: a) f(x) = 10 x b) g(x.Departamento de Física – Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires – www.11) Comprobar el teorema de Stokes para el contorno frontera en el plano xy que se muestra ˆ ˆ en la figura con un campo vectorial A = r φ − z z . 1.0).12) Calcular el laplaciano de las funciones del problema 1.5 ρz sen φ ˆ ˆ ˆ ˆ 1.7) Calcular la circulación de los campos F1 = xyz x + x 2 y y F2 = y x − x y a lo largo del camino rectangular desde (0.6. A × C d) Verificar que (A × B) • C = A • (B × C) e) Verificar que A × (B × C) = B(A • C) – C(A • B) f) Calcular el ángulo entre los tres pares de vectores. z) = 10 cos φ . (0. b) dos cilindros coaxiales de densidad: ρ = λ para r < a y ρ = -A r2z para a < b < r < c. b) para la superficie hemisférica limitada por el contorno y c) para una superficie cilíndrica de altura h limitada por el contorno. Fernández . B • C.z) = 10 x + 15 xy + 20 xz2 c) f(r) = 25/r d) g(ρ.1) a través de un paralelepípedo de lados 2.ar
Juan C.y.3) Calcule la masa de una esfera de radio a = 5 cm cuya densidad es: ρ = 3 (Kg/m3) r2. B × C. 1.1) a (1. A ± C b) Calcular A • B.5) Dados los tres vectores: A = 3 x + 2 y − z B = 3x − 4 y − 5 z C=x−y+z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a) Calcular A ± B.15) Demostrar que la exponencial compleja e i 2πξt es una autofunción de cualquier sistema lineal invariante que opera sobre funciones del tiempo.2) a (0.1). δ (a ( x − x 0 )) = 1 δ ( x − x 0 ) a
( x − x0 )2
1. 1. (1. centrado en el origen de coordenadas.9) Calcule el flujo del campo F = ρ 2 z ρ + sen φ cos φ φ + ρ 2 cos 2 φ z a través de un cilindro de altura 4.13) Demostrar que la expresión: f ( x ) =
1. A • C c) Calcular A × B.1) a (1. Nota: [λ] = [g/cm] 1. B ± C.14) Demostrar que:
2π a se convierte en una delta de Dirac para a → 0. Comprobar el rez sultado para a) la superficie circular plana en el plano xy .uba.
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