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Teorías de Las Ecuaciones Matemáticas | Ecuaciones diferenciales | Ecuaciones
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8/8/2019 Teorías de las ecuaciones matemáticas - Monografias.
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3. Las Ecuaciones Lineales
4. Resolución de Ecuaciones
5. Importancia de las Ecuaciones y su aplicación
En este trabajo sobre las ecuaciones vamos a reseñar diferentes aspectos donde examinaremos estas operaciones matemáticas su sus formas más
Es a partir de la Segunda mitad del siglo VXII y siguientes donde surge el desarrollo de esta importante disciplina de las ciencias exactas, y definimos el
termino ecuación como una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para
determinados valores de las incógnitas, las cuales se representan por las últimas letras del alfabeto x, y, z x u v.
Destacándose para la época los matemáticos mas importantes y sobresalientes como Isaac Newton, Galilei Galileo, Sócrates Descartes y otros más.
Por esto en este contenido del presente trabajo sobre las ecuaciones vamos a ver el término ecuación sus diferentes definiciones, clasificación, su
importancia y su aplicación en la vida diaria.
Para esta facilitación hemos recopilado datos en diferentes fuentes tales como Algebra de Aurelio Baldor, Diccionario Enciclopédico Náutico Maior
"http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuasi%C3%B3nFolleto, Matemática Propedéutica.
Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para
determinados valores de las incógnitas, las cuales se representan por las últimas letras del alfabeto x, y, z x u v. Una ecuación es una igualdad que
contiene una o más incógnitas.
Ecuación: igualdad que solo se cumple para ciertos valores de la variable o variables desconocidas (incógnitas) que entran en ella. Pueden ser de una o
de varias incógnitas; estas pueden tener un número infinito (- determinado) o infinito (-indeterminado), de valores numéricos (raíces)
Ecuación Algebraica: Es la que se representa en forma polinómica, su grado viene determinado por el exponente que afecta a la incógnita en el
polinomio. Aquella que expresa la relación entre una o varias variables sus funciones o sus derivados.
Ecuación Química; Es la representación de una relación química
Ecuación Astronómica diferencia que hay entre el lugar o movimiento medio y el verdadero o aparente de un astro.
Ecuación. Igualdad entre dos expresiones matemáticas, sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados
miembros de la ecuación, el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo
lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos).
En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la ecuación a
cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que
se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la
incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en
lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones, se denominará inecuación.
a) Por el número de incógnitas. Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita,
la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar cómo puntos sobre
el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.
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b) Por el grado de la incógnita. Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más
alto de la incógnita).
Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2).
Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:
c) Por el número de términos: c1) Ecuaciones binómicos: Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicos. Llamándolas en
función del número de términos, se suelen llamar poli nómicas.
¿Cómo se resuelven las ecuaciones?
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja.
Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra. D' Alembert fue el primer matemático que diò una demostración, pero no era completa. Se
considera a Gauss como el primer matemático que diò una demostración rigurosa.
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo
igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la
ecuación de una forma más cómoda.
Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer grado, las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuación aparece
'disfrazada' de esta forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los términos por a, m = b/a y n = -c/a)
Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los exámenes. Quedareis muy bien si además citáis el libro en que apareció
por primera vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor: Girolamo Cardano).
El método más frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer la ecuación en factores (dividiendo la ecuación por los posibles
divisores), con lo que, si tenemos suerte, la ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado menor que ya podemos resolver por las
fórmulas anteriores.
A veces nos ponen una ecuación de segundo grado "disfrazada". Lo veréis con un ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuación si hacemos el cambio de
variable x2 = t, nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En este caso, hacéis el cambio de variable, resolvéis la ecuación de segundo grado y después despejáis la x
(calculando la raíz cuadrada del valor que hemos obtenido para t).
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Las ecuaciones que has encontrado hasta ahora responden en su mayor parte a la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes.
Cuando, por ejemplo, al buscar los máximos y los mínimos de funciones se resolvía una ecuación y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba
la velocidad de variación de una función, o cuando se considera el problema de hallar las raíces de un polinomio, se trata siempre de hallar números
Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incógnita es a
su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de
enfriamiento de un cuerpo hay que determinar cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de
una estrella o de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc.
Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de
ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y
primitivo de una ecuación funcional: las funciones implícitas.
La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que además de la función desconocida
aparecen también algunas de sus derivadas de diversos ordenes.
La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que
la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la
construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de
aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales.
Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí,
constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la
mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.
La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e
integral. En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos
En la Mecánica, la Astronomía, la Física y la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento
de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la
existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de
ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos
geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye
de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las
ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números
racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar al actual proceso de resolución
de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos
resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que
podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto.
En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas
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En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x = 24. La solución la obtenía por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la
falsa posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución,
si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.
Supongamos que fuera 7 la solución, al sustituir en la x nos daría: 7 + 1/7 · 7 = 8 , y como nuestra solución es 24 , es decir, 8·3 , la solución es 21 = 3 ·
7 , ya que 3 · (7 + 1/7 - 7) = 24.
Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias
(fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo
de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente.Los babilonios (el mayor
número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por
considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.
Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla
de multiplicar por 8 , encontramos 8 · 12/60 = 1 36/60 Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a
Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como hemos visto, mayor por la geometría. Sobre la vida de
Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice:
"Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta
parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años
después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle,
llorándole durante cuatro años. De todo esto, deduce su edad. "
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud,
anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud
= 7 manos longitud + anchura = 10 manos
Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo
utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:
Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una
fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.
Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como
hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de
un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.
Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que
resuelven tipos especiales de ecuaciones.
El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos
encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un
sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.
En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y
cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior lo introdujo el matemático
René Descartes en 1637.
Si voy al Correo con $500 y quiero despachar 3 cartas (franqueo nacional: $150) ¿qué vuelto recibiré? Si v representa el valor del vuelto, éste tiene que
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Una Ecuación Funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación
aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios. Para empezar realizaremos una ecuación de
primer grado sencilla:
1- Transposición: Lo primero que debemos hacer es colocar los términos con X en un lado, y los números en otro. Para ello, podemos ver que hay
algunos números que tendremos que pasar al otro término. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:
Como podrás comprobar, todos los monomios con X han quedado a la izquierda del signo igual, y todos los números enteros se han quedado en la
Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que
se nos plantea.
Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola; para ello volveremos a recurrir a la transposición.Es decir: en
nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 525/95. Sin
embargo, debemos simplificar esto.
Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si nos diera decimal, simplificamos la
fracción y ése es el resultado.
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Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos 2. ¿Cuántas canicas tengo? El
primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:
Primero se pasan todas las x al primer término y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier expresión pasa al
otro término haciendo la operación opuesta. Así obtenemos:
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos términos de una ecuación, el resultado
es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos términos de la ecuación por el mismo número, sin
que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos términos por -1 obtendremos:
Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones válidas. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que
distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a
cero (ésta es la primera solución), o:
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la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones.
Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la
investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo, navegación o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones
Hemos citado ejemplos de aplicación del análisis matemático en la rama de los fenómenos eléctricos y magnéticos al igual que en las teorías del calor y
de las ondas. Con estos ejemplos, el problema, naturalmente, no se agota.
Los métodos analíticos penetraron en muchas ramas de las ciencias naturales, adquiriendo en ellas el significado de medios operativos resolutivos. Casi
en primer lugar penetraron en la mecánica, determinando su contenido. La mecánica analítica adquirió su aspecto clásico precisamente como un
estudio sobre las ecuaciones diferenciales que expresan las propiedades de las trayectorias de cualquier sistema mecánico.
Como es conocido, a lo largo de la historia de las matemáticas, hasta el siglo XIX fueron pocas las mujeres que se dedicaron de una forma u otra a la
profundización del conocimiento científico, pues no se les era permitido por el simple hecho de ser mujer. A mediados del propio siglo XIX justamente
en el año 1850 nació en Moscú Sofía Vasilievna Kovalevskaya quien además de ser la primera mujer en el mundo profesor de matemáticas, brindó una
gran ayuda para el desarrollo de la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales. Según se conoce, los teoremas de existencia tuvieron en la historia de
las ecuaciones diferenciales un doble significado. Resolvían la cuestión sobre el rigor y la validez de su aplicación y al mismo tiempo, los métodos
brindaban la base para la elaboración de los métodos de integración numérica de las ecuaciones diferenciales.
Esta facilitación de Matemática Propedéutica y que en esta ocasión hemos tomado el tema sobre las ecuaciones ha sido para recordar, y
retroalimentarnos con esos conocimientos que habíamos adquirido y que ya habíamos olvidado,
Por esto ha sido tan importante volver a practicarlos y debemos profundizar aun mas en esta importante materia a través de las personalidades que se
encargaron de enriquecerla y dejarnos sus aportes para nuestros conocimientos y su aplicación.
El análisis matemático en el siglo XVIII se enriqueció con el potente y variado aparato del desarrollo de funciones en series de diferentes tipos. Este
aparato fue creado bajo la influencia directa de los problemas de la física matemática. La construcción de una teoría de series lo suficientemente general
y rigurosa se convirtió hacia finales de siglo en un problema de primera línea, de cuya solución dependían los éxitos prácticos del análisis matemático.
Las reglas de diferenciación en su gran mayoría fueron elaboradas ya en los trabajos de Leibniz y los hermanos Bernoulli. La ampliación de estas reglas
en relación con la ampliación de la clase de funciones investigadas no presentaba dificultades importantes.
Así, tras la expresión analítica de las funciones trigonométricas, exponenciales y otras clases de funciones, fueron inmediatamente obtenidas las
expresiones analíticas de sus derivadas.
Así vemos como las ecuaciones, su aplicación e importancia en la vida diaria son utilizadas de manera general en lo que es la investigación de diferentes
problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones.
investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo la navegación o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones
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