Source: https://www.scribd.com/document/57103142/el-papiro-de-Rhind
Timestamp: 2019-01-19 08:44:26+00:00

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Uploaded by Chinita Anilom
Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________
INDICE: 1. INTRODUCCIÓN. 2. EL PAPIRO DE RHIND.
2.1. PROBLEMAS Y RESOLUCIÓN DE LOS MÁS REPRESENTATIVOS.
1 4 12 31 35 37 41 41 44 45 46 51 57 62 65 67 72 73
3. EL PAPIRO DE MOSCÚ.
3.1. PROBLEMAS MÁS INTERESANTES.
4. OTROS PAPIROS DE INTERÉS. 5. CONTENIDOS MATEMÁTICOS DE LOS PAPIROS.
5.1. NÚMEROS CARDINALES. 5.2. LOS NOMBRES DE LOS NÚMEROS 5.3. NÚMEROS ORDINALES. 5.4. ARITMÉTICA. OPERACIONES BÁSICAS. 5.5. FRACCIONES. 5.6. ARITMÉTICA DE FRACCIONES. 5.7. EL ÁLGEBRA. 5.8. REPARTOS PROPORCIONALES, REGLA DE TRES Y PROGRESIONES. 5.9. GEOMETRÍA. Calculo de areas. 5.10. TRIGONOMETRÍA. 5.11. UNIDADES, PESOS Y MEDIDAS.
Los conocimientos que tenemos sobre la matemática egipcia se basan
en 2 documentos: el papiro de Moscú, y el papiro de Rhind. El primero se encuentra en un museo de la ciudad de Moscú y el segundo en el Museo Británico de Londres. Este último debe su nombre al anticuario escocés Henry Rhind. Los papiros están compuestos de planteamientos de problemas y su resolución. En el papiro de Moscú tenemos 25 y 87 en el papiro Rhind. Es de suponer que ambos tenían una intención puramente pedagógica, con ejemplos de resolución de problemas triviales. Los papiros datan del año 1650 a.C. (Rhind) y 1800 a.C. (Moscú), pero los conocimientos que en ellos aparecen bien podrían fecharse en el años 3000 a.C. El papiro Rhind es también conocido como papiro de Ahmes, escriba autor de la obra y comienza con la frase: "Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios". El papiro de Moscú es de autor desconocido. Otros papiros complementarios son el rollo de cuero, con 26 operaciones de sumas de fracciones de numerador 1, y los de Kahun, Berlín, Reiner y Ajmin. Como en todos los aspectos cotidianos los egipcios fueron fieles a sus tradiciones, y la evolución producida a lo largo de 2000 o 3000 años fue mínima. En matemáticas los conocimientos demostrados a mediados del primer milenio eran posiblemente los mismos que en el tercer milenio. Las
operaciones se realizaban de una determinada forma porque siempre se había hecho así. Los antiguos métodos de sumas, divisiones o resolución de ecuaciones simples se seguían empleando durante el Reino Nuevo, y hasta la llegada de la matemática griega. Ciertamente sobre la base de los 2 papiros más importantes de matemáticas no podemos sacar unas conclusiones claras de los conocimientos reales de los escribas egipcios en cuestiones de cálculo. Ya hemos dicho que los papiros tenían una intención puramente pedagógica muy básica. Está básicamente destinado a la enseñanza de contabilidad a los funcionarios del estado, y no es para nada una obra de conocimientos matemáticos. De ellos no podemos extraer mas que conocimientos básicos de matemáticas. No sabemos si realmente los egipcios conocían sistemas mas avanzados de cálculo, pero sí que la base de sus matemáticas era bastante árida. Como ya veremos más adelante los métodos empleados para el cálculo de sumas de fracciones o multiplicaciones básicas no eran para nada sencillas. No se puede afirmar que los conocimientos matemáticos egipcios se cerrasen con lo que aquí vamos a explicar, o lo que aparece en el papiro Rhind, pero tampoco tenemos pruebas de que fuesen más allá ni de que existiesen sistemas más avanzados, si bien es cierto que debían conocerlos, al menos los arquitectos y técnicos. En el papiro Rhind tenemos operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números enteros y fracciones, potencias, raíces cuadradas, resolución de problemas con una incógnita, áreas de triángulos y trapecios y cálculo de algunos volúmenes. Los métodos se usaban tal y como durante generaciones se habían aprendido sin más. Existía una fórmula para el cálculo de ciertas áreas o volúmenes igual que existía un método para sumar o restar, pero esa fórmula cometía los mismos errores de precisión que 1000 años antes y nadie se debió molestar en encontrar otra más precisa. ¿Por qué?. ¿Quiere esto decir que la fórmula era lo bastante exacta para las mediciones cotidianas?. ¿Existía algún sistema de corrección de estos errores?. El cálculo de la superficie del círculo se realizaba como el cuadrado de 8/9 del diámetro. Si consideramos un círculo de radio 100 obtendríamos un valor de la superficie de 7901.23. Esto nos daría un valor de pi de 3.160492. pi es un número
el error cometido es aproximadamente 2 centésimas (3. el sistema de numeración egipcio presentaba algunas dificultades aritméticas. fueron los primeros en observa que uniendo con forma de triángulo. también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos. Los Papiros nos han dejado constancia de que los egipcios situaban correctamente tres cuerpos geométricos: el cilindro. y las fracciones 2/3 y 3/4.1625).. Los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es uno y cuyo denominador es 2. Sin embargo. Los anuladores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir. ___________________________________________________________________________________ 5 . entre otras cosa.1415926. El valor obtenido por los egipcios es realmente cercano. La multiplicación se realizaba a partir de duplicaciones y sumas. entre las que destacaba la práctica imposibilidad de organizarlos para multiplicar. Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anuladores. era un sistema decimal (de base 10) por yuxtaposición. y con ellas conseguían hacer cálculos fraccionarios de todo tipo. Aunque la suma funcionaba bien. el tronco de la pirámide y la pirámide. El sistema de numeración egipcio. la multiplicación y las fracciones no tenían secretos para ellos.. consiguieron que la aritmética fuera su fuerte. considerando los primeros 7 decimales de 3..3.4.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ irracional con un valor. La utilidad de cálculo volumétrico resultaba fácil: se precisaba. Resolvían ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas para aplicarlas a los problemas de áreas.. y el la división utilizaba la multiplicación a la inversa. cuerdas de distintas longitudes se obtiene un ángulo recto. para conocer el número de ladrillos necesarios para una construcción.
Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas. Desgraciadamente en esa época gran parte del papiro se había perdido. El papiro mide unos 6 metros de largo y 33 cm de ancho.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 2. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el 1650 a. Henry Rhind visitó Egipto por motivos de salud (padecía tuberculosis) y compró en Luxor el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes. ecuaciones lineales y trigonometría básica. reglas de tres. según reivindica Ahmes al principio del texto. En 1858 el egiptólogo escocés A. ___________________________________________________________________________________ 6 . repartos proporcionales. cálculo de áreas. Actualmente se encuentra en el Museo Británico de Londres. aunque nos resulta imposible saber qué partes corresponden a estos textos anteriores y cuáles no. EL PAPIRO RHIND. Rhind murió 5 años después de la compra y el papiro fue a parar al Museo Británico.C. progresiones. a partir de escritos de 200 años de antigüedad. consta de 87 problemas y su resolución. fracciones. volúmenes. Comienza con la frase "Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios". Escrito en hierático. aunque 50 años después se encontraron muchos fragmentos en los almacenes de la Sociedad histórica de Nueva York. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que se conoce. y que se encontró en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas.
Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ * Papiro de Rhind. ___________________________________________________________________________________ 7 .
Se conoce muy poco sobre el objetivo del papiro. Se ha indicado que podría ser un documento con claras intenciones pedagógicas, o un cuaderno de notas de un alumno. Para nosotros representa una guía de las matemáticas del Antiguo Egipto, pues es el mejor texto escrito en el que se revelan los conocimientos matemáticos. En el papiro aparecen algunos errores, importantes en algunos casos, que pueden deberse al hecho de haber sido copiados de textos anteriores. Aunque en la resolución de los problemas aparecen métodos de cálculo basados en prueba y error, sin formulación y muchas veces tomadas de las propias experiencias de los escribas, representa una fuente de información valiosísima. En realidad, se puede considerar este papiro como un tratado de aritmética. Una especie de "Manual del calculista". Tiene partes teóricas, en particular sobre las progresiones, y da ejemplos de problemas algebraicos que llevan a ecuaciones de primer grado. En buenas cuentas, no da ningún método para resolver los problemas sino que, solamente, se encuentran sus soluciones. No se ve en ellos un procedimiento deductivo sino, únicamente, muestran una especie de tablas o recetas para resolverlos. Así, por ejemplo, aparece en el papiro mencionado la costumbre egipcia de expresar toda fracción en una suma de fracciones de numerador la unidad. De esta forma, aparece la fracción 2/47 descompuesta de la siguiente forma 2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470 Es necesario hacer notar que ellos no escribían 2/47 sino que la descomposición anotada. Esto nos induce a pensar que tenían el concepto de solo una parte alícuota (1/47) pero no de dos (2/47). Aparece una serie de fracciones de esta forma, algunas son correctas y otras falsas. No había, por supuesto, un procedimiento general para hacer estas descomposiciones sino que, sin duda, se ha procedido solo por tanteos. Contiene el papiro una tabla que da la descomposición de todas las fracciones de la forma 2/(2n-1) siendo 1< n < 49. Es decir todas las fracciones de denominador impar desde 2/3 hasta 2/97.
Por otro lado, presenta una especie de álgebra de aspecto muy pintoresco, existiendo una serie de símbolos para representar a los actuales. En efecto, se encuentra que nuestros signos + y – estaban representados por dos piernas en actitud de caminar y dirigidas hacia la derecha e izquierda, respectivamente. Hay en esto, pues, un principio de dirección, de un sentido geométrico. El signo de la incógnita estaba representado por un montón o bien por un ibis escarbando el suelo. La igualdad estaba representada por ³ , o por un escarabajo, símbolos del devenir. Ahora, el símbolo indicado significa "mayor o igual". Las fórmulas que aparecen en este papiro son solo aproximadas. Se toma en cuenta la forma de las figuras, rectilínea o circular, y la longitud de las líneas que la limitan. Las figuras que aquí se encuentran limitadas por rectas son, en su mayoría, triángulos rectángulos, triángulos equiláteros y trapecios isósceles. Una de las formulas que da referente al triangulo isósceles de lado a y base c es su área S =ac/2. Para un trapezoide de lados a, b, c y d aparecen la formula S = (a+c)/2 · (b+d)/2. Pero esta formula es exacta cuando el trapezoide se transforma en un rectángulo. Para la superficie del circulo se encuentra la expresión S = (8/9 d)2, siendo d el diámetro. Si en esta fórmula se expresa el diámetro en función del radio, obtenemos S=256/81 r2, la cual implica el valor 256/81 para nuestro p, que da aproximadamente 3,1604. La formula dada por los egipcios es empírica y puede decirse que, prácticamente tiene el mismo valor de la que usamos nosotros. Asimismo, se encuentran en el papiro la resolución de otros problemas que se basan en la semejanza de figuras. Se sabe, además que las parcelaciones eran rectangulares y que, por lo tanto, tenían la necesidad de trazar ángulos rectos. Para este fin, se valían de
un instrumento especial que consistía en un triangulo rectángulo hecho de cordeles, el cual les permitía construir perpendiculares en el terreno. Los lados de este triangulo estaban en la razón 3:4:5. En un cordel, ellos aplicaban a partir de un punto tres veces cierta magnitud cualquiera, y hacían un nudo; enseguida, la aplicaban cuatro y después cinco veces, haciendo cada vez un nudo. Según lo dicho, se podría pensar que ellos conocían el Teorema de Pitágoras, pero la verdad es que no se tiene ni se ha encontrado entre ellos un triangulo rectángulo que este construido por otros lados que no sean los mencionados anteriormente. En consecuencia, no cabe duda que el triangulo rectángulo que usaron lo encontraron por experiencias, prácticamente. Los especialistas en el manejo de esta cuerda con nudos eran los Harpedonautas, que corresponden a los agrimensores o literalmente a los "estiradores de cuerda". Aparecen también, en este papiro, problemas sobre el calculo de alturas de pirámides, mediante procedimientos gráficos. Por ejemplo, para el caso de una pirámide triangular, de la cual al conocerse sus caras puede determinarse su altura: separaban las caras y las colocaban en un plano.
El contenido del papiro Rhind, publicado por Richard J. Gillins en "Mathematics in the Time of the Pharaohs" es el siguiente: Problemas 1- 6 7 - 20 21 - 23 Reparto de 1,2,6,7,8 y 9 barras entre 10 hombres Multiplicación de fracciones Sustracción
Búsqueda de números (28 y 29) y ecuaciones resueltas por “regula falsi” (24 a 27) Ecuaciones divisiones. Ecuaciones lineales más complicadas resueltas mediante la regla de la falsa posición Progresiones aritméticas Volúmenes Tabla de fracciones de 1 hekat en fracciones ojo de Horus Áreas de triángulos, rectángulos., trapecios y círculos Pendientes, alturas y bases de pirámides Tabla de una regla para encontrar 2/3 de impares y fracciones unitarias Peso de metales preciosos Repartos proporcionales Progresión aritmética División proporcional de granos en grupos de hombres Intercambios, proporción inversa, cálculos de "pesu" Progresión geométrica Tablas de fracciones ojo de Horus de grano en términos de hinu lineales más complicadas resueltas mediante
35 - 38 39 - 40 41 - 46 47 48 - 55 56 - 60 60 - 61B 62 63 64 65 69 - 78 79
82 - 84 85
Problemas, no claros, sobre cantidades de comida de gansos, pájaros y bueyes Escritura enigmática. En el papiro aparece al revés.
66 79 60.318.66 13 8.58.28 6.126 65 39.124.174.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 86 .536 69 46.30 17 12.87 Memorandum de ciertas cuentas e incidentes. Estas tablas son las siguientes: Tabla 2/n 5 7 9 3.236.138 71 40.162 ___________________________________________________________________________________ 12 .76.54 29 24.219.237. Antes de proponer el primer problema Ahmes da una tabla de descomposición de n/10 para n = 1.244.276 25 15.42 23 12.710 73 60.232 77 44.531 61 40.316.195 67 40..308 31 20.75 27 18.488.790 81 54.9.104 15 10.330 57 38.15 4.335.52. gran parte perdida.292.155 33 22..18 53 30.365 75 50.795 55 30..568..51.610 63 42.114 59 36.114 21 14.68 19 12. para facilitar los cálculos de los siguientes problemas y otra en la que se expresan todas las fracciones de numerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 como suma de fracciones unitarias.150 11 6.
415.890 43 42.202.534.141.470 49 28.78 41 24.102 93 62.606 Tabla 1/10 1/ 10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 1/10 1/5 1/5 + 1/10 1/3 + 1/5 1/2 1/2 + 1/10 2/3 + 1/30 2/3 + 1/10 + 1/30 2/3 + 1/5 + 1/30 ___________________________________________________________________________________ 13 .186 95 60.86.301 91 70.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 35 30.679.498 85 51.198 101 101.90 47 30.356.130 45 30.332.174 89 60.196 51 34.303.246.42 37 24.570 97 56.129.296 39 26.111.255 87 58.328 83 60.776 99 66.380.
Esta es la resolución del problema: Cada hombre recibe 1/10 de hogaza. aunque nos parezca una comprobación innecesaria. ___________________________________________________________________________________ 14 . Problemas 1 a 6: Reparto de 1.6. Efectivamente. pero debemos tener en cuenta que los egipcios no manejaban los conceptos aritméticos tal y como podemos hacerlo ahora que nuestra instrucción es superior. En ellos el escriba da el resultado y se limita a comprobar que la solución es la correcta. pues 10 * 1/10 = 1.9 hogazas de pan entre 10 hombres. 8 y 9 barras entre 10 hombres. Nos llama la atención la forma en la que Ahmes comprueba el resultado para el caso de n=1. Problema 3. Vemos que Ahmes parece complicarse un poco la vida con este tipo de demostraciones. 2. hay que tener en cuenta que es lo que se enseñaba a los niños de hace 4000 años. Los problemas 1 a 6 se refieren a repartos de 1. PROBLEMAS Y RESOLUCIÓN DE LOS MÁS REPRESENTATIVOS.1.7. Repartir 6 barras de pan entre 10 hombres.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 2. el problema 1. Multiplica hazlo 1 2 4 8 de 1/10 1/5 1/31/15 2/3 1/10 1/30 En efecto siguiendo el método de multiplicación hace 8 + 2 = 10 1/5 + 2/3 + 1/10 + 1/30 = 1 luego la solución es correcta. 6. 7. aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3.2. Aquí Ahmes da como resultado 1/2 + 1/10 y así lo escribió: 1 *2 1 1 1/10 1/5 1/10 esta por 10 forma.8.
Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 4 *8 10 2 4 1/3 1/15 2/3 1/10 1/30 6 luego el resultado es correcto. con multiplicación directa y empleo de los números rojos.1/2 1/4 1/8 1/14 1/28 1/56 y suma los resultados parciales obteniendo como producto1. La suma queda reducida ahora a 1/2 1/4 1/8 1/8 y después realiza sumas equivalentes para poder aplicar el método de reducción 1/ 1/4 1/8 1/8 = 1/2 1/4 1/4 = 1/2 1/2 = 1 ___________________________________________________________________________________ 15 . Reproducimos aquí los problemas 9 y 14. Problema 9: Multiplica 1/2 + 1/14 por 1+1/2+1/4 Reproducimos este problema porque en él aparece aplicada la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. El método empleado es sumar primero 1/14 1/28 1/56 ( = 1/8). 1----------. afirmando que el resultado es 2/3 + 1/5 + 1/30 y verificando que al multiplicar el resultado anterior por 10 se obtiene 9. Repartir 9 barras de pan entre 10 hombres. Son problemas referidos a multiplicaciones de números expresados mediante fracciones unitarias. Problemas 7 a 20: Multiplicación de fracciones. El escriba multiplica 1/2 + 1/14 por cada uno de los multiplicandos y luego suma los resultados. En este caso Ahmes sólo da la solución al problema. Problema 6.1/2 + 1/14 1/2---------1/4 + 1/28 1/4---------1/8 + 1/56 ___________________ 1 1/2 1/4 ---.
¿El alumno.1 + 1/2 + 1/4 2 ------------. Es difícil responder. pero si fuese así logicamente el método de la multiplicación lo debía tener totalmente asumido y en ese caso ___________________________________________________________________________________ 16 . EN este problema el escriba hace uso de los números rojos.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Problema 14: Debe multiplicarse 1/28 * ( 1 + 1/2 + 1/4). pero quizás el "profesor" pudiese ver más allá. Ahora nos encontramos con una solución bastante sencilla. El inicio de la solución emplea el mismo método anterior 1----------1/28 1/2-------1/56 1/4-------1/128 Y ahora en lugar de proceder como en el caso anterior selecciona el "número rojo" 28. en otros casos no es tan obvia. o se limitaban a aplicar lo que les habían enseñado. cambiando los números según las necesidades?.28 Luego el número buscado en este caso es el 16. y comprender el procedimiento. de forma que al aplicarlo a las fracciones de la derecha pueda obtener fracciones sencillas. Esto significa que la solución del problema es 16. El razonamiento es: 1 ------------.7 8 -------------14 16 ----------. es decir hemos de buscar un número tal que al multiplicarlo por 1 + 1/2 + 1/4 nos de 28. El razonamiento es el siguiente: 1/28 partes de 28 es 1 1/56 partes de 28 es 1/2 1/128 partes de 28 es 1/4 Y ahora debemos determinar cuantas partes de 28 son iguales a 1 + 1/2 + 1/4. aunque para el alumno no debía existir solución sencilla. explicados anteriormente. e incluso el escriba comprendían lo que estaban haciendo.3 + 1/2 4 ------------. y se limitaba a aplicar lo que le habían enseñado.
Ahmes toma como número rojo el 15 (buscando la simplificación) y aplica: 2/3 de 15 = 10 1/15 de 15 = 1 Entonces ahora tenemos que 2/3 de 15 + 1/15 de 15 es 11. Como 30 supera a 21 en 9 unidades debemos determinar el número de partes de 30 que dan un total de 9. hemos de calcular el número de partes de 15 que da un total de 4. es decir debemos dividir 9/30. Problema 21: Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/15 para obtener la unidad. el número rojo. supera a 10 en 4 unidades. Averigua la cantidad que falta a 2/3 + 1/30 para obtener 1 En este caso se toma como número rojo el 30. es decir 4:15.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ deberían haber encontrado una forma más sencilla de resolver este tipo de problemas. Problemas 21 a 23: Sustracción. 22 y 23 son de sustracciones de fracciones y los 3 se resuelven mediante el uso de los números rojos. Problema 13. 1 1/10 1/5 1/15 15 1 1/2 3 1 como 4 (el dividendo) = 3 + 1 --> 4/15 = 1/5 + 1/15 Problema 22. Los problemas 21. Siguiendo el procedimiento ___________________________________________________________________________________ 17 . Como 15. Según "la teoría de los números rojos" se aplica el razonamiento: 2/3 + 1/30 de 30 es 21. Multiplica 1/16 + 1/112 por 1 + 1/2 + 1/4 En este problema se da el resultado 1/8.
es decir faltan 6 + 1/8 para llegar a 30 ( el valor correspondiente a 2/3 con el número rojo 45). Problema 23. o lo que es lo mismo dividir 6 + 1/8 entre 45. 1 45 1/10 4 1/2 ___________________________________________________________________________________ 18 . 1/4 de 45 es 11 + 1/4 1/8 de 45 es 5 + 1/2 + 1/8 1/10 de 45 es 4 + 1/2 1/30 de 45 es 1 + 1/2 1/45 de 45 es 1 2/3 de 45 es 30 Sumando ahora las cantidades correspondientes al enunciado obtenemos 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 = 23 + 1/2 + 1/4 + 1/8. Ahora hemos de averiguar cuantas partes de 45 son 6 + 1/8. y aplica la misma teoría anterior. La solución no siempre es tan sencilla. Completa 1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45 hasta 2/3 En este caso Ahmes selecciona el 45 como número rojo. y en ocasiones las operaciones se complican bastante.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ habitual para la división obtenemos: 1 30 1/10 3 1/5 6 Entonces 6+3 = 9 -> 9/30 = 1/10 + 1/5 que es la solución buscada.
Entonces ahora para averiguar el valor real hay que encontrar un número N tal que al multiplicarlo por el resultado de aplicar el valor estimado nos de 19. no debe pensarse que el escriba llegaba a estas conclusiones tan fácilmente. Una cantidad mas 1/7 de la misma da un total de 19. Se refieren a ecuaciones lineales de una incógnita. tal y como aparecen en el original. El método empleado para la resolución es el "regula falsi". y posiblemente necesitase gran cantidad de operaciones intermedias que no aparecen reproducidas en el papiro. El valor buscado entonces será 7*N 1 2 8 16 1/2 4 1/4 2 1/8 1 ___________________________________________________________________________________ 19 . Problemas 24 a 29: Búsqueda de números. o regla de la falsa posición. es decir hay que dividir 19/8. Problema 24. ecuaciones resueltas por “regula falsi” (24 – 27).Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 1/20 2 1/4 1/40 1 1/8 1/9 5 5 + 1 + 1/8 = 6 + 1/8 que es la cantidad buscada -> la solución es 1/9 + 1/40 A pesar de que aquí he puesto los cálculos directos. El sistema consiste en calcular el valor buscado a partir de uno estimado. ¿Cúal es la cantidad? El problema se limita a resolver la ecuación x +x/7 = 19 Ahmes parte en este caso de un valor estimado de 7 y calcula 7 + 7/7 = 8.
en total 15" ___________________________________________________________________________________ 20 . Reproducimos los pasos del papiro. Una cantidad y su cuarto se convierten en 15. es decir 5*N = 15. el más sencillo para anular la fracción."Multiplica 3 por 4 obteniendo 12" El valor buscado es el resultado de multiplica la N anterior por el valor estimado inicial. y se pide calcular la cantidad.Ahmes escribe: 1.. Este es el valor a multiplicar por 7 para obtener la x buscada. Para nosotros este problema se traduce en resolver la ecuación x + 1/4x = 15. en total 5" Ahmes parte en este caso de un valor estimado de x=4. estos es 3 x 4 que es la cantidad buscada. y más abajo la explicación de cada uno de ellos... N=15/5 = 3 3."Divide entre 5 15 y obtienes 3" Ahora para averiguar el valor real hay que encontrar un número N tal que al multiplicarlo por el resultado de aplicar el valor estimado nos de 15.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 16 + 2 + 1 = 19 ---> 19/8 = 2 + 1/4 + 1/8. y calcula 4+ 1/4 *4 = 5. 2."Toma el 4 y entonces se hace 1/4 de él en 1. 1 2+1/4+1/8 2 4+1/2+1/4 4 9+1/2 Entonces el valor buscado es 2 + 1/4 + 1/8 + 4 + 1/2 + 1/4 + 9 + 1/2 = 16 + 1/2 + 1/8 Problema 26. Ahmes sigue después: "cuyo (referido al 12 anterior) 1/4 es 3.
Este problema tiene gran importancia por 2 razones. para obtener el área de figuras más complicadas. sus 2/3. x=cantidad Ahmes resuelve el problema mediante complicadas operaciones de división. Problema 31.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Problemas 30 a 34: Ecuaciones lineales mas complicadas resueltas mediante divisiones. Problemas 48 a 55: Áreas de triángulos. Literalmente dice: "Una cantidad. Problema 48. rectángulos. La resolución es la siguiente: ___________________________________________________________________________________ 21 . Estos 8 problemas se refieren al cálculo de áreas de triángulos. su 1/7. su 1/2. y por otra parte puede ser la fuente del cálculo del área del círculo con un valor de = 3. trapecios y círculos. rectángulos. ya que es en estos en los que calcula el área del círculo. trapecios y círculos. Comparar el área de un círculo con la del cuadrado circunscrito. Reproducimos el 51 y el 52 correspondientes a áreas de triángulos y los problemas 48 y 50 por ser unos de los más importantes del papiro. su totalidad asciende a 33" Para nosotros esto significa una ecuación 2x/3 + x/2 + x/7 + x = 33 . Por una parte representa el primer intento de una geometría basada en la utilización de figuras sencillas. cuyo área se conoce.1605 que aparece en el problema 50. Se refieren a ecuaciones lineales mas complicadas resueltas mediante divisiones.
que da 64. Ahmes dice: Resta al diámetro 1/9 del mismo. Según se ve en la figura del problema. Este es el área del círculo. El escriba está empleando la siguiente fórmula A = ( d-1/9d)2 Si comparamos esta fórmula con la real.4 * (3*3)/2 = 63. No se sabe como Ahmes llega a esta aproximación.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ El escriba considera un diámetro igual a 9 y calcula el área del círculo como la de un cuadrado de lado 8 ( como hace en el problema 50). Aquí Ahmes se limita a calcular el área del círculo considerándolo igual a la de un cuadrado de lado 9. Calcular el área de un campo circular cuyo diámetro es 9 jet. ¿Cuál es el área de un triángulo de lado 10 jet y base 4 jet? ___________________________________________________________________________________ 22 . en el cuadrado de 9 jet de lado se dividen los lados en tres partes iguales formando luego un octógono.1605 o como aparece en muchos sitios 4*(8/9)2. La diferencia es 8. Ahora multiplica 8 veces 8. Quizás Ahmes pensó que el área del círculo circunscrito era algo mayor que la del octógono representado. Problema 50. Obtiene asi un valor de 64 setat. Ahmes elimina los triángulos formados en los vértices del cuadrado. A = ( *d2 )/4 se obtiene un valor para = 256/81 = 3. Problema 51. Este mismo valor 4*(8/9)2 es empleado posteriormente para resolver un problema en el que se pide hallar el volumen de un cilindro de diámetro 9 y altura 6. que es 1. El área del octógono es A = 92 . y se ha considerado que quizás sea la resolución del problema 48 la que le lleva a estas conclusiones.
se obtiene 10. ¿Cuál es el área de un triángulo truncado de 20 jet de lado. Multiplica 10 veces 2 y el resultado 20 es el área buscada. para formar un rectángulo. con las que forma un rectángulo. 6 jet de base y 4 jet en su línea de sección? Ahmes lo resuelve de la siguiente manera: Suma su base a su segmento de corte.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Según esta resuelto el problema. que es 5. Problema 52. parece que el triángulo es isósceles y queda dividido en 2 partes iguales por la altura. En el siguiente dibujo. siendo la altura lo que Ahmes llama lado. podemos verlo ___________________________________________________________________________________ 23 . Si observamos la resolución se deduce que el triángulo truncado es un trapecio isósceles obtenido mediante una recta paralela a la base. Toma la mitad de 10. no a escala. El escriba lo resuelve así: Toma la mitad de 4 para formar un rectángulo. a partir de la cual se construye el rectángulo. 100. es el área buscada. Multiplica a continuación 20 veces 5 y el resultado.
El problema 56 es importante porque contiene aspectos de trigonometría semejanza de triángulos. alturas y bases de pirámide. que equivalía a 1/7 del codo.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Problemas 56 a 60: Pendientes.Multiplica 250 hasta obtener 180. Multiplica ahora 7 por 1/2 + 1/5 + 1/50 que da 5 + 1/25. y de una cierta teoría de Problema 56. Luego el seqt es 5+1/25 palmos por codo Si representamos una figura con los datos del problema: ___________________________________________________________________________________ 24 . Pendientes. ¿Cuál es el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 cubits de lado en la base?.Un cubit son 7 palmos. que da 1/2 + 1/5 + 1/50.Calcula 1/2 de 360 que da 180. El seqt es lo que hoy conocemos por pendiente de una superficie plana inclinada. alturas y bases de pirámides. La resolución presentada por Ahmes es: . . . En mediciones verticales se utilizaba como unidad de medida el codo y en horizontales la mano o palmo.
El valor total es de 84 shaty. Se da el valor por deben de cada uno de los metales. Se pide calcular el valor de cada metal y se resuelve asi: Valor total = 84 shaty Valor total para 1 deben de oro. pero con una salvedad. 1 deben de plata y 1 deben de plomo = 21 shaty Peso de cada metal = 84/21 = 4 deben Valor del oro = 12*4 = 48 shaty Valor de la plata = 6*4 = 24 shaty Valor del plomo = 3*4 = 12 shaty Problema 63 Repartos proporcionales. el escriba olvidó multiplicar el resultado de dividir la mitad e la base entre la altura por 7. 1/3 y 1/4 Como ya vimos en el capítulo 8 los cálculos para repartos proporcionales se basan en las propiedades de las proporciones numéricas. 1/2. Pesado de metales preciosos Este problema es el único del papiro Rhind en el que se mencionan pesos. x/a = y/b = z/c = ( x+y+z) /(a+b+c) ) N/(a+b+c) La solución que da Ahmes es la siguiente: ___________________________________________________________________________________ 25 . Problema 60. ¿Cuál es el seqt de una pirámide de 15 cubits de base y 30 cubits de altura?. Problema 62 . Una bolsa contiene el mismo peso de oro. El resultado que da es por tanto erróneo. siendo el oro 12 shaty. plata y plomo.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ El seqt efectivamente coincide con la cotangente de α. Repartir 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes proporcionales a 2/3. hay un error. Este problema es resuelto de la misma forma que el anterior. la plata 6 shaty y el plomo 3 shaty. es decir es la pendiente de las caras laterales de la pirámide.
Entonces ahora debe determinarse que cantidad hay que multiplicar por 1 + 1/2 + 1/4 para obtener 1/8. y este es el número buscado.Multiplica cada uno de los repartos por 400 se obtiene el resultado buscado: 400 * 2/3 = 266 + 2/3 400 * 1/2 = 200 400 * 1/3 = 133 + 1/3 400 * 1/4 = 100 Problema 64.Multiplica el resultado por 700 1 700 1/2 350 1/4 50 700 *(1/2 + 1/14 ) = 350 + 50 = 400. .Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ .Halla la suma 2/3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1 + 1/2 + 1/4 . Progresión aritmética. Divide 10 hekat de cebada entre 10 hombres de manera que la diferencia entre cada hombre y el siguiente sea 1/8 de hekat. . Toma 8 como número rojo.Divide 1 / ( 1 + 1/2 + 1/4 ) 1 1 + 1/2 + 1/4 1/2 1/2 + 1/4 + 1/8 Considerando 1/2 el resultado de la división es 1/2 + 1/4 + 1/8 con una diferencia de 1/8. ¿Que parte le corresponde a cada hombre? ___________________________________________________________________________________ 26 . Entonces tenemos 8*(1+1/2+1/4) = 14 8*1/8 = 1 por lo que la cantidad buscada es 1/14---> 1 / ( 1 + 1/2 + 1/4 ) = 1/2 + 1/14. Ahora solo queda repartir.
. Entonces multiplica 3 1/2 por 320 1 2 1/2 320 640 160 luego en 3 1/2 hekats habrá 1120 ro. 1/2+1/4+1/8+1/16. Si términos precisamente Problemas 69 a 78: Intercambios. aunque Gillins establece una familia de problemas iguales. todos los 1+1/4+1/16. una menos que el número de hombres.Para obtener las partes restantes resta sucesivamente la diferencia 1/8 a esta cantidad.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Si aplicamos la formulación actual para progresiones aritméticas tenemos que si a son los n términos de la progresión. se puede hacer una subdivisión. proporción inversa. Para resolver el problema Ahmes lo primero que hace es averiguar el número de ro in 3 1/2 hekats. cálculos de “pesu”. 9*1/16 = 1/2 + 1/16 . en los que se emplea también el pesu. 1+1/16. 1/2+1/16.Suma este resultado al promedio de las partes 1 +1/2 + 1/16 . proporción inversa. Hace: . Encuentra la cantidad de harina en cada barra y el pesu. no sabemos si por propio razonamiento lógico o aplicando una formulación conocida. 3 1/2 hekats de harina dan lugar a 80 barras. d la diferencia y S la suma: S = (a1 + an)*n/2 -> an = S/n + (n-1) * (d/2) Así es. obtenemos 1+1/8+1/16. 1/2+1/8+1/16. ___________________________________________________________________________________ 27 . 1/4+1/8+1/16. 10. sumamos 1+1/4+1/8+1/16. 1/2+1/4+1/16.Multiplica este número por la mitad de la diferencia (1/16). como lo resuelve Ahmes. Aquí. Se obtiene: 1+1/2+1/16. exactamente.El número de diferencias es 9. Los 4 primeros problemas se refieren a cálculos de pesu de pan o cerveza y el resto a intercambios. En cada hekat hay 320 ro. Problema 69. Intercambios.
En una jarra de cerveza se tira 1/4 del contenido que se reemplaza por agua.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Ahora divide 1120 entre 80 barras 1 10 2 4 80 800 160 320 luego 1120 = 800 + 320 --> 1120/80 = 10 + 4 = 14 Tiene por tanto 14 ro por cada barra. Este problema es importante por el uso del inverso. 1 10 20 2 2/3 1/21 1/7 3 1/2 35 70 7 2 1/3 1/6 1/2 80 / (3 1/2) = 20 + 2 + 2/3 + 1/21 + 1/7 70 + 7 + 2+ 1/3 + 1/6 + 1/2 = 80 = 22 2/3 1/7 1/21 es el pesu. Debemos dividir 1/ (1/4 + 1/8) ___________________________________________________________________________________ 28 . suponiendo que la cerveza original era el producto de medio hekat de grano. El escriba no apunta como se obtiene ese inverso aunque podemos hacer los cálculos según el sistema ya conocido. Problema 71. Se pide averiguar el nuevo pesu de la cerveza.(1/4 * 1/2) = 1/4 + 1/8 hekat y ahora este resultado se divide 1 entre este resultado obteniendo un pesu de 2 + 2/3. Ahora para determinar el pesu de cada barra divide 80 entre 3 1/2. Se resta 1/4 del original (1/2) a 1/2 1/2 . Este es un problema curioso sobre pesu.
Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 1 2 2/3 1/4 + 1/8 1/2 + 1/4 1/6 + 1/12 1/ (1/4 + de la columna derecha obtenemos 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1 1/8) = 2 + 2/3 Problema 72. 100/10 = x/45 = (x-100) / (45 -10) x = 100 + ( ( 45-10)/10) * 100 Tenemos que 100 hogazas de pesu 10 se obtienen a partir de 100/10 = 10 hekat de harina 10 hekat de harina producirían 10x45 = 450 hogazas de pesu 45 Pero Ahmes efectúa los pasos a partir del exceso de pesu: . En este problema. que se resolvería actualmente por una simple regla de tres. 35 . Este es un típico problema de intercambio comercial. ¿Cuántas hogazas de pesu 45 equivalen a 100 hogazas de pesu 10?. El enunciado es "100 barras de pesu 10 se intercambian por barras de pesu 15.Suma 100 a esta última cantidad y ese es el resultado (450) Problema 73. Ahmes complica el proceso y aplica el siguiente criterio (lógicamente no aparece así representado en el papiro).Multiplica 100 * ( 3 + 1/2) = 350 total de exceso sobre las 100 barras . ¿Cuántas barras de pesu 15 debe haber?" ___________________________________________________________________________________ 29 .Divide 35 / 10 para obtener el exceso por barra 1 2 10 20 1/2 5 35/10 = 3 + 1/2 es el exceso por barra .Halla el exceso de 45 respecto de 10.
16807 medidas de grano". Se trata de una progresión geométrica en la que el primer término es 7 y la razón también 7. luego con 10 hekats se hacen 100 barras. Este es el único problema sobre progresiones geométricas en el Antiguo Egipto que nos hes conocido. luego con 10 hekats se obtendrán 150 barras. 343 ratones. Lo que si parece constituir este problema es la base de la canción infantil: Según iba a St.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Ahmes escribe: "Calcula la cantidad de harina en las 100 barras. pues la suma de todos los términos no es un objetivo lógico. 2401 espigas de trigo. en el que en cada casa hay 7 gatos. pero planteado de una forma extraña. Hay que suponer que Ahmes se refería a un problema. Al tratarse de un intercambio lo que hace Ahmes es igualar en hekats. cada uno de los cuales se ha comido 7 espigas de grano. cada saco tenía 7 gatos. y ese es el número. luego este es el número de barras de pesu 15 que se deben intercambiar". posiblemente ya conocido. Problema 79. Para igualar el intercambio deben emplearse al menos esos mismos 10 hekats. 1 barra de pesu 10 significa que con 1 hekat se hacen 10 barras. El número de barras de pesu 15 de 10 hekats es 150. Realmente es difícil interpretar el objetivo del escriba con este problema. Ives encontré a un hombre con 7 esposas cada esposa tenía 7 sacos. Progresiones geométricas. cada una de las cuales había producido 7 hekat de grano. esto nos da 10 hekats. Ahmes aquí no sólo da la cantidad de hekat de grano ahorrado sino que además da la suma del número de casas mas gatos mas ratones mas espigas mas hekat. Para ello basta con calcular los hekats empleados en las 100 barras de pesu 10. 49 gatos. cada uno de los cuales se come 7 ratones. Es decir divide 100 entre 10. Una barra de pesu 15 significa que por cada hekat se obtienen 15 barras. En el problema se dice " 7 casas. además del primer ejemplo de matemática recreativa del que se tiene noticia. ___________________________________________________________________________________ 30 .
Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ cada gato tenía 7 gatitos Gatitos. deben recibir sólo 1hekat de grano. En el problema 83 el mismo número de pájaros. debido a su menor actividad. no claros. Problemas 82 a 84: Problemas. y los pájaros enjaulados 1/4. El mayor interés estriba en la información que dan sobre la cantidad de comida a cada animal bajo diferentes condiciones. gatos. en pan. ___________________________________________________________________________________ 31 . Estos problemas son relativos a la alimentación de ganado y pollos. En el 82b el coeficiente es la mitad. sobre cantidades de comida. El problema 82 da el ejemplo de 10 gansos que son engordados por alimentación por fuerza y que reciben 2+1/2 hekat de harina. sin un tratamiento especial. de gansos. por día. pájaros y bueyes. sacos y esposas.
se conoce como Papiro de Moscú. por otra parte. Aparece una expresión exacta para el volumen de un tronco de pirámide de bases cuadradas.C. Es. y tan sólo 8 cm de anchura consta de 25 problemas. Un arqueólogo demasiado entusiasta. (XII dinastía) por un escriba desconocido. El papiro de Moscú. De esta coincidencia era imprudente decir que se trataba de una cuadratura aproximada del circulo. es junto con el de Rhind el más importante documento matemático del Antiguo Egipto. que el perímetro de la base era aproximadamente el de un circulo de radio igual a p . con el número 4576. El valor de p =4/sqrt(k) donde k es el número áureo fue utilizado (probablemente de modo inconsciente) por los egipcios.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 3. Originalmente se le conocía como Papiro Golenishchev pero posteriormente. ___________________________________________________________________________________ 32 . realizada por los sabios faraones como testimonio de su ciencia. etc. muy buena. cierto que quisieron que las caras de la pirámide estuvieran formadas por las dos mitades de un rectángulo áureo. Con 5 metros de longitud. en la construcción de la gran pirámide de Kheops. que no era tan meticuloso como Ahmes. Fueron estas propiedades geométricas las que utilizaron los antiguos arquitectos egipcios en la construcción de sus monumentos y en el trazado de bóvedas. que buscaba por todas partes mensajes científicos en la famosa tumba. cuando fue a parar al Museo de Bellas Artes de Moscú. En la imagen que mostramos se puede ver el original en hierática y la traducción en jeroglífico. en 1917. en efecto. El papiro fue escrito en hierática en torno al 1890 a. pero esta elección determinaba la altura total del monumento. EL PAPIRO DE MOSCÚ. cúpulas. una de las personas que descubrió el escondite de momias reales de Deir el-Bahari. el escriba del papiro Rhind. jugando con los números que había acumulado. Fue comprado por Golenishchev en el año 1883. Se desconoce el objetivo con el que fue escrito. aunque algunos se encuentran demasiado dañados para poder ser interpretados. a través de Abd-el-Radard. observo.
Este último es uno de los problemas más complicados de entender. pues no está clara la figura. que aparece en la imagen anterior).Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ De los 25 problemas de que consta hay 2 que destacan sobre el resto. y si la figura buscada fuese un cesto o un hemisferio entonces sería el primer cálculo de tal superficie conocido. y el área de una superficie parecida a un cesto (problema 10). son los relativos al cálculo del volumen de una pirámide truncada (problema 14. ___________________________________________________________________________________ 33 .
Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ * Papiro de Moscú. ___________________________________________________________________________________ 34 .
Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ El contenido del Papiro de Moscú publicado por Richard J. Gillins en "Mathematics in the time of the pharaons" es el siguiente Problema 1-2 3 4 5 6 7 8-9 10 11 12 13 14 15-16 17 18 19 Descripción Ilegibles Altura de un poste de madera Área de un triángulo "Pesus" de barras y pan Área del rectángulo Área de un triángulo "Pesus" de barras y pan Área de una superficie curva "Barras y cestos" (?) "Pesu" de cerveza "Pesu" de barras y cerveza Volumen de una pirámide truncada "Pesu" de cerveza Área de triángulo Mediciones en palmos y codos. Ecuación lineal ___________________________________________________________________________________ 35 .
El resultado final que aparece es de 32 unidades.5. calcula 1/8 de 20. PROBLEMAS MÁS INTERESANTES. pero la verdad es que es así de oscuro). era el valor empleado.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 20 21 22 Fracciones de Horus Mezcla de pan sacrificatorio "Pesus" de barras y cerveza Cálculo del trabajo de un zapatero. en el capítulo referente a geometría. Si tenemos en cuenta que (1 . sería el primer resultado de cálculo del ___________________________________________________________________________________ 36 . (Si a primera vista no lo entiendes no te preocupes.5. Si te dicen 20 medidas como 1/8 de hekat y 40 medidas como 1/16 de un hekat. siendo x = 4. Resulta 1/12. Divide 5 entre 60. Una prueba de ello es el problema número 21. referente al cálculo de pan para sacrificios.1/9)2 es el valor correspondiente a /4 para =3 1/6 que como hemos visto. Entonces la mezcla es 1/12. En este problema se pide calcular el área de una superficie que en principio parece un cesto de diámetro 4. El resultado es ahora 60. entonces la superficie a analizar podría corresponderse perfectamente con una semiesfera de diámetro 4. En este problema el escriba dice: Método para calcular la mezcla de pan para sacrificios. El total de ambas mitades es 5. La resolución parece emplear la fórmula S = (1 . Oscuro Intercambios Ecuación 2x+x = 9 23 24 25 Los problemas que aparecen en el papiro de Moscú no están tan trabajados como los que escribió Ahmes.1. Calcula ahora la suma de las otras mitades.5.1/9)2 (2x)*x. Problema 10: Área de una superficie curva. Resulta 2 1/2. 3. tal y como se pensó originalmente en 1930. Resulte 2 1/2. Si esto fuese asi. Calcula ahora 1/16 de 40.
es 56. anterior en 1500 años a los primeros cálculos conocidos sobre el área de una esfera. Posteriormente se sugirió que la figura que aparece representada podría ser un tejado semicilíndrico de diámetro 4. en la inferior un 4 y dentro de la figura un 56 y un 6. Problema 14: Volumen de una pirámide truncada.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ área de un hemisferio. El desarrollo es el siguiente: . Alrededor de la figura pueden verse los signos hieráticos que definen las dimensiones. Según se desarrolla el problema. Si consideramos ahora b=0. En la parte superior aparece un 2. y 2 y 4 las bases superior e inferior.Sumar los resultados anteriores . como se hace en el cálculo del volumen que aparece representado en Edfú. La figura parece ser un trapecio isósceles.Elevar al cuadrado 2 y 4 .Multiplicar 2 por 4 . pero realmente se refiere a un tronco de pirámide cuadrangular.Multiplicar el resultado anterior por un tercio de 6.5 y longitud 4. parece ser que lo que se busca es calcular el volumen del tronco de pirámide cuadrangular de altura 6. En este problema se pide calcular el área de la figura. cuya resolución es más lógica y sencilla que la de la esfera. ___________________________________________________________________________________ 37 . lo has calculado correctamente". tanto si se trata de un hemisferio como de un tejado semicilíndrico lo que si es cierto es que es uno de los primeros intentos de cálculo del área de una superficie curvilínea.5. El resultado es 56 El escriba finaliza diciendo "Ves. entonces se obtiene el volumen de una pirámide. Analizando el desarrollo vemos que lo que se ha aplicado es la fórmula: V = h(a2 + b2 + ab) / 3 Que por supuesto no aparece escrita en el papiro. En cualquier caso.
El lado de uno de ellos es 1/2 + 1/4 del otro. Supón que uno de los cuadrados tiene lado 1 codo. . Te dicen que el área de un cuadrado de 100 codos cuadrados es igual a la suma de la de otros 2 cuadrados más pequeños.Papiro de Berlín: Debemos destacar la resolución de 2 problemas que suponen un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 4. Desarrollamos la solución tal y como aparece en el papiro. y los lados de los cuadrados buscados. El papiro plantea la resolución por aproximación inicial. una de las cuales es además de segundo grado. Problema. Averigua los lados de los cuadrados. El otro entonces será de 1/2 + 1/4 de codo. Para nosotros este problema se transforma en resolver el sistema de ecuaciones: x2 + y2 = 100 y = (1/2 + 1/4 )x con x. Las áreas son: para el primero 1 codo cuadrado y para el segundo el resultado de elevar al cuadrado 1/2 + 1/4: 1 1/2 1/4 1/2 1/4 1/8 1/4 1/8 1/16 ___________________________________________________________________________________ 38 . Aunque los problemas son muy sencillos y de resolución directa no por eso tienen menos importancia. pues son la única prueba de intentos de resolver problemas de sistemas de ecuaciones y una demostración del empleo de raíces cuadradas. OTROS PAPIROS DE INTERÉS.
1 8 1/2 4 1/4 2 Entonces el otro cuadrado tendrá un lado de 6 codos. Rhind al mismo tiempo que el Papiro de Ahmes.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Aplicando el método de multiplicación el resultado es : 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/16 = 1/2 + 1/16.Rollo de Cuero: Fue comprado por A. Entonces la suma de las 2 áreas de los cuadrados es 1 + 1/2 + 1/16 de codo. La raíz cuadrada de esta suma es 1+1/4. Reproducimos algunas de las que aparecen en el texto: ___________________________________________________________________________________ 39 . 1 1 1/4 2 2 1/2 4 5 8 10 El número buscado es 8. Es decir hay que dividir 100 entre 1+ 1/4. Dividido en 4 partes. No aporta conocimientos matemáticos y parece ser el cuaderno de notas de un estudiante. Entonces x = 8. Como la raíz cuadrada de 100 es 10 debemos encontrar un número N tal que al multiplicarlo por 1+1/4 nos de 100. . es un trabajo sobre equivalencias de fracciones unitarias (26). En muy mal estado no fue analizado hasta 60 años después de su compra y es un duplicado de otra obra matemática. Para calcular el otro cuadrado se multiplica 1/2 + 1/4.H.
........... 1/21 + 1/42 = 1/14 ................................. 1/4 + 1/12 = 1/3 1/5 + 1/20 = 1/4 1/6 + 1/30 = 1/5 . Actualmente se encuentra en el Museo de El Cairo............................... . ........ .... por lo que pertenece al periodo de dominación persa..................................Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Primer grupo 1/3 + 1/ 3 = 2/3 1/6 + 1/6 = 1/3 1/10 + 1/10 = 1/5 Segundo grupo 1/9 + 1/18 = 1/6 1/12 + 1/24 = 1/8 Tercer grupo 1/4 + 1/12 = 1/3 1/5 + 1/20 = 1/4 1/15 + 1/30 = 1/10 1/10 + 1/40 = 1/8 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 1/18 + 1/36 = 1/12 ........... Papiro de Ajmin: Escrito en 2 tablillas de madera y fechado en el 400 a......... 1/45 + 1/90 = 1/30 ..... ................................. ......... ........... ........ actualmente se encuentra en Londres...................... - Papiro de Kahun: Perteneciente a la XII dinastía... ___________________________________________________________________________________ 40 ....C..... ........................ 1/30 + 1/60 = 1/20 ......... 1/96 + 1/192 = 1/64 .. ................. 1/48 + 1/96 = 1/32 ... ............................ 1/24 + 1/48 = 1/16 .................... ...
5.000 100. Representación de números cardinales Los egipcios utilizaban para sus cálculos el sistema decimal. por lo que un número como 2235 no se escribiría ___________________________________________________________________________________ 41 . Este sería el método más básico. centenas.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 5. Los símbolos empleados para la numeración fueron los siguientes: 1 10 100 1. etc. CONTENIDOS MATEMÁTICOS DE LOS PAPIROS. El sistema es en base 10 pero no es posicional. Tenían 7 símbolos básicos que representaban las unidades.000 1. Al igual que en la escritura se intentaba obtener una mejor representación gráfica.000. infinito Para representar un número se incluían estos símbolos escribiéndolos de derecha a izquierda.000 10. NÚMEROS CARDINALES.000.1. Así para representar el número 52 se escribía 2 veces uno y 5 veces 10 dando lugar a . y representando tantos de cada uno como unidades tuviese el número. decenas. sino aditivo.
pero nunca si el número es 1 ó 2. Si encontramos una representación del tipo: sería 966. que incluye símbolos para las primeras 9 unidades. En la siguiente tabla se da una relación desde el 1 al 9000: ___________________________________________________________________________________ 42 .Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ sino como Vemos como incluso en la escritura de números se complica la transliteración precisamente por ese intento de que las representaciones fuesen lo más estéticas posibles. o si se refiere a indicaciones de tiempo o medida. Hemos visto la representación jeroglífica de los números cardinales. Cuando el número a representar va seguido de un sustantivo se escribía primero el símbolo correspondiente al nombre y luego el número (en transcripciones se escriben los números 1 y 2 detrás del nombre y el resto antes que este ). El jeroglífico empleado para un millón se empleaba para designar también infinito o mucho. 9 centenas. en singular. 9 decenas. Así para representar 2 jarras emplearíamos: operaciones El nombre puede aparecer en su forma singular o plural. sino que se trata de un sistema numeral codificado. Este pronto cayó en desuso y se empleó otro método. Cuando aparece más de un símbolo cardinal el conjunto debe leerse de arriba a abajo. consistente en representar el número como una serie de aritméticas (sumas y multiplicaciones) de valores inferiores. En estos casos aparece. como regla general. En este caso el sistema ya no es aditivo. etc. La escritura hierática y la demótica diferían bastante de la jeroglífica.
en hierática se escribiría como: ___________________________________________________________________________________ 43 .Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Para representar el número 5417.
LOS NOMBRES DE LOS NÚMEROS. desde el número 50 son plurales de las unidades equivalentes ( 70 = Sefejiu.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 5. A continuación. Este período es considerado como el clásico y se mantuvo en literatura.000 Ja (xA) ___________________________________________________________________________________ 44 . damos una tabla con los nombres de algunos de los números según aparecen en los textos de las pirámides. 2. 1 Ua (wa) 2 Senu (Snw) 3 Jemet (xmt) 4 Fedu (fdw) 5 Diu (diu) 6 Seresu (SrSw) 7 Sefej (Sfx) 8 Jemenu (xmn) 9 Pesedyu (pSD) 10 Medyu (md) 20 Dyebati 30 Maba (mabA) 40 Jem (Hm) 50 Diiu (diyw) 60 Seresiu (Sr) 70 Sefejiu (Sfx) 80 Jemeniu (xmn) 90 Pesedyiu (pSDyw) 100 Shet (St) 1. 7 = Sefej). Al final de la página aparece la representación jeroglífica de los números extraida del libro "La Momia" de Wallis Budge. Puede observarse en la tabla que las decenas. textos religiosos e inscripciones monumentales hasta la llegada de los griegos. Los nombres de los números raramente se emplearon y las excepciones están referidas casi siempre al Egipcio Medio correspondiente al lenguaje escrito del I Período Intermedio y el Reino Medio.
000 Dyeba (Dba) 100. El resto de números del 2 al 9 se formaban añadiendo ___________________________________________________________________________________ 45 . el primero era "tepi"(tpy).000 Jefen (xfn) 1. Los números ordinales se empleaban fundamentalmente en fechas.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 10. 3.000. NÚMEROS ORDINALES.000 Jej (xx) 5.
si se excedía de 9 se ___________________________________________________________________________________ 46 . Para sumar simplemente se añadían los símbolos correspondientes.4. Como ya hemos visto en la introducción las matemáticas egipcias se basaban en un sistema decimal. como el nuestro. La adición era la base del conocimiento matemático. puesto que las operaciones de multiplicación y división se basaban en adiciones. sino aditivo. así cuarto era fedunu y tercero jemetnu. A partir del décimo se formaban con el prefijo "mH" (masculino ) (femenino) o "mHt" Ejemplos: Segundo Sexta Décima Esta es la norma general en la construcción de los ordinales. OPERACIONES BÁSICAS. ARITMÉTICA. Como los símbolos se podían repetir desde 1 a 9 veces. pero no posicional. al cardinal correspondiente.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ la terminación "nu" (nw) para masculinos o nut ( nwt) para femeninos. Las operaciones básicas de sumar y restar se limitaban a una combinación o cancelación de símbolos. pero en algunas ocasiones puede verse tercero escrito como y segundo como 5.
el sistema es el siguiente: . Si se quiere multiplicar n x m la primera fila consta del número 1 y m. que quizás los egipcios ya hubiesen descubierto por métodos empíricos. Si has usado alguna vez un ábaco chino. La segunda se compondrá del 2 y 2*m. con símbolos. Por ejemplo para multiplicar n x m se escribirá: 1 2 m m1=2*m ___________________________________________________________________________________ 47 . La tabla se construye hasta que el siguiente valor es mayor que n. El sistema se basa en la propiedad de que cualquier número natural puede expresarse como una suma de potencias de 2. Cada fila se obtiene por duplicación de la anterior. Así: + Al obtener 11 símbolos equivalente ( ) obteniendo = no hay más que eliminar 10 y añadir el Como se ve el sistema es bastante trivial. El resultado de la operación n x m es logicamente la suma de todos los miembros de la segunda columna o de los equivalentes a los que suman n en la primera columna. Para multiplicar se empleaba un sistema de duplicaciónadición. Si queremos multiplicar por ejemplo n x m. el funcionamiento es exactamente el mismo. pero en lugar de con columnas. Las operaciones de multiplicación y división se basaban en el mismo proceso aditivo.Se escribe una tabla de 2 columnas por n filas.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ eliminaban todos y se añadía el siguiente. que requiere un poco de práctica. El funcionamiento es similar al ábaco. Para la resta sencillamente se eliminaban los símbolos a restar. entonces se puede obtener el número n como suma de todos o algunos de los números de la primera columna.
Para conseguirlo se resta al valor n el último obtenido.. 2**(i+1)> n. de manera que el número de sumandos sea el menor posible.. 2**i mi=2*m(i-1) La tabla continúa hasta que el siguiente valor es mayor que n.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 4 8 .. Una vez hecho esto se trata de descomponer el número n como suma de jnúmeros de la primera columna. Empieza ahora el método de sustracción... Ahora a 9 hay que ___________________________________________________________________________________ 48 . y así sucesivamente hasta obtener el 0. por lo que no se continúa con la tabla.Se construye la tabla: 1 59 2 118 4 236 8 472 16 944 32 1888 2. Se trata de encontrar la forma de expresar 41 como suma del menor número de sumandos. Para ello se resta al valor original 41 el último (32) obteniendo 9..El siguiente valor 64 es mayor que 41..... Como ejemplo el Papiro de Rhind recomienda que para multiplicar 41 x 59 se realicen las siguiente operaciones: 1. m2=2*m1 m3=2*m2 .. y a este resultado el mayor posible de la tabla. El resultado de la multiplicación será entonces la suma de los elementos de la segunda columna equivalentes a los de la primera que suman n.
1 . Como ya hemos comentado el sistema se basa en la multiplicación.8 = 1. pero no tenemos pruebas de divisiones en las que aparezca.1000. pero ahora es el divisor el número que se duplica. Cuando se tenía que efectuar una multiplicación por 10.. 9 .1 = 0 -> 41 = 32 + 8 + 1 -> 41 x 59 = 1888 + 472 + 59 = 2419 Lo primero a tener en cuenta en este sistema es elegir como multiplicando el más pequeño de los 2 números a multiplicar. Se genera una tabla de 2 columnas que tiene en la primera fila el número 1 y el denominador (m). La idea se basa en obtener en la columna de la derecha el número n con la construcción de sucesivas filas obtenidas por duplicación o división. unidades hacia la derecha según la tabla siguiente. 100. x = El método empleado para la división es realmente curioso. El dividendo se obtiene.. No podemos asegurar que desconociesen totalmente el resto.32 = 9. entonces. y el cociente es la suma de los números elegidos en la columna base de la duplicación.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ restarle el mayor posible de la columna de la izquierda. pues se simplifica el número de potencias de dos y por tanto el de operaciones a realizar. tres . obteniendo 1 y se repite la operación hasta que el resultado de 0. Por ejemplo para dividir 21 / 3 se hacía: 1 3 ___________________________________________________________________________________ 49 .. dos. Se basa en la multiplicación y siempre se obtenían cantidades enteras o fracciones exactas. en este caso 8.. Si se quiere dividir n/m entonces la idea consiste en obtener el número de m y de partes de m que suman n. sencillamente se desplazaban todos los símbolos una. como la suma de los elementos duplicados de la columna del divisor. 41 .
En el capítulo referente a fracciones se explica la representación y los métodos empleados para realizar operaciones aritméticas con fracciones ___________________________________________________________________________________ 50 . dividiendo por 2.5 (*) Ahora ya no tiene sentido poner 4--->24 porque 24 > 21.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 2 6 4 12 Al igual que en la multiplicación el siguiente número sería 8 y correspondería a 24 que es mayor que 21. pues la división es entera. (1/2. El problema surgía cuando no se obtenían divisiones enteras.. 1/4.. entonces ya está.. Por tanto no se sigue con la tabla. se continúa la tabla. En este caso 12 + 6 + 3 = 21 -> 21 / 3 = 4 + 2 + 1 = 7 Este ejemplo es el más sencillo. ¿Qué pasa si llegamos a un punto en el que no tenemos números enteros en la columna de la derecha?. por tanto se continúa con divisiones. Si el número 21 se puede obtener como suma de los valores de la columna de la derecha. Para dividir 21 / 6 se hacía el mismo proceso anterior. si este no se puede obtener como suma de valores de la columna de la derecha.. Como veremos en el capítulo siguiente el uso de fracciones se basaba en la reducción a fracciones de numerador 1. Tampoco se puede obtener el valor 21 como suma de valores de la columna de la derecha. y había que utilizar fracciones. 1 2 6 12 1/2 3 (*) 6 + 12 + 3 = 21 -> 21/6 = 1+2+1/2 = 3. pero cuando se obtiene un número mayor que el numerador...) Lógicamente el tema se puede complicar bastante más.
Si empleamos el método de la duplicación llega un momento en el que no podemos continuar y aquí es donde se presenta el problema.. El problema es el número 65 del papiro Ahmes que se resuelve de la siguiente forma. pero debieron emplear un método para seleccionar los números. Por ahora simplemente vamos a emplear estos métodos para resolver el la división 100 /13.Obtenemos la tabla inicial 1 2 4 13 26 52 2/3 8 + 2/3 1/13 1 1/39 1/3 2.13 + 26 + 52 + 8 + 2/3 + 1/3 = 100 -> 100/13 = 1 + 2 + 4 + 2/3 + 1/39 Como puede apreciarse el mayor problema lo representa la elección de los números. ¿por qué?. Si analizamos la resolución advertimos que el uso de 1/3 es innecesario. sin embargo el escriba lo emplea. el de duplicación. Hemos visto que se emplean números enteros innecesarios para seguir un método. 1. El empleo de fracciones innecesarias nos lleva a pensar que ___________________________________________________________________________________ 51 . Los escribas no dejaban constancia de los procedimientos intermedios que seguían. ¿Qué número elegir?..Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ que pueden aclarar este punto.
1/4 y 3/4. pero desgraciadamente se desconoce cual era. Estas fracciones eran: Las cejas equivalían a 1/8. Era muy frecuente el uso de las fracciones denominadas “fracciones ojo de Horus". nunca de un cardinal. El uso de fracciones es sin duda el rasgo más peculiar de la matemática egipcia. En aritmética sólo se usaba la fracción 2/3. FRACCIONES. Así Ahmes en el Papiro de Rhind escribe 2/5 como 1/3 + 1/15 y nunca se podría emplear 1/5 + 1/5. Se traduciría. respectivamente. la parte izquierda de la pupila era 1/2. 2/3. con numerador 1. raramente se empleó el de 3/4. la parte inferior vertical bajo el ojo era 1/32 y la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64. La propia expresión 2/5 no tenía sentido en ___________________________________________________________________________________ 52 . Las únicas excepciones eran 1/2. se representaba el símbolo anterior seguido por el valor numérico del denominador. que en hierática se representaba como . Cuando se quería escribir un valor fraccionario. y que significaba "parte". la pupila era 1/4. todas distintas. El método empleado por los escribas egipcios para operar con fracciones es mucho más complicado que el nuestro. pero siempre los sumandos tenían que ser diferentes. 2/3 y 1/4 si son frecuentes. Así como los signos para 1/2. La base de la representación de una fracción se encontraba en la descomposición como suma de fracciones de numerador 1. En la representación de fracciones se empleaba el símbolo (r) que en hierática se convirtió en un punto. Las fracciones con numerador distinto de 1 se reducían a sumas de fracciones conocidas.5.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ efectivamente se empleaba un método para seleccionar los números. como "parte 5". = 1/5 (jeroglífica) = 1/5 (Hierática) y tenía el sentido de un ordinal. que representaban cada una de las partes en las que fue seccionado el ojo de Horus durante su batalla con Seth. que se representaban con un jeroglífico especial: (rwy) (Hsb) y (gs) "lado". 5. la parte derecha de la pupila era 1/16. literalmente.
15 4. 5 7 9 3.195 67 40. Cualquier cantidad se expresaba como una parte entera mas una suma de fracciones unitarias.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ el pensamiento egipcio. al principio. por lo que se limitaban a emplear tablas ya escritas o a efectuar el proceso de división aprendido.330 57 38.18 53 30.318. sino que se limitaba a dividir 5 entre 8 utilizando la técnica de este tipo de fracciones El Papiro de Rhind incluye. Actualmente conocemos y podemos encontrar algoritmos de cálculo que nos permiten tales adiciones. El símbolo "+" no se empleaba y las fracciones aparecían secuencialmente.114 ___________________________________________________________________________________ 53 .536 11 6.488.68 19 12.795 55 30.610 63 42.30 17 12.126 65 39. Como es lógico se eliminan las descomposiciones en las que el denominador es par. y a lo sumo 2/3.236.244.51.28 6.66 13 8.531 61 4.76.114 59 36. Lógicamente el problema era encontrar estas reducciones. Cuando un egipcio se encontraba con una fracción 5/8 no pensaba ¿como puedo tranformar 5/8 en una suma de fracciones unitarias?.52. una tabla en la que se expresan todas las fracciones de numerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 como suma de fracciones unitarias. pero hace 4000 años los escribas no conocían un método rápido para efectuar las transformaciones.335. La siguiente tabla es una reproducción de la escrita por Ahmes.104 15 10. En la primera y tercera columna aparecen los denominadores de las fracciones 2/n y en la segunda y cuarta las fracciones unitarias cuya suma da 2/n.
276 25 15.570 97 56.237.246. ___________________________________________________________________________________ 54 .102 93 62.75 27 18.568.138 71 40.292.86.130 45 30.124.534.162 83 60.316.219.141.498 85 51.66 35 30.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 21 14.776 99 66. sino que sigue un razonamiento lógico.174 89 60. pero si podemos sacar algunas conclusiones del sistema de reducción.890 43 42.710 73 60.42 37 24.202.174.415.328 79 60.186 95 60.679.58.150 29 24.198 101 101.129.296 39 26.301 91 70.78 41 24.90 47 30. No pretendemos aquí hacer un análisis de la tabla 2/n de Ahmes.232 77 44.470 49 28.155 33 22.332.54 69 46.356.255 87 58.111.196 51 34.365 75 50.380.303.606 Posiblemente la tabla escrita por Ahmes no fuese producto de métodos empíricos.308 31 20.42 23 12.790 81 54.
No se trata de encontrar la reducción más simple sino de emplear el método que se había enseñado durante milenios y que no había razón para cambiar.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ • Lo primero que vemos es que todas las fracciones de la forma 2/3k están expresadas como suma de fracciones unitarias de la forma 1/2 + 1/6k. aunque estos 2 ejemplos nos hacen pensar que conocían ciertas relaciones matemáticas y quizás algún método para generar la tabla en el caso de números mayores. Ahmes emplea la tabla para convertir 2/29 en suma de fracciones de numerador 1. Estos 2 ejemplos anteriores no son únicos. Actualmente no existen evidencias de que conociesen y aplicasen un método para la construcción de la tabla. pero en las operaciones nunca se empleaban fracciones iguales. pero ¿Cómo los egipcios descubrieron y elaboraron estas tablas?. y con un poco de esfuerzo pueden sacarse más conclusiones. Para expresar 2/61 la tabla da el siguiente valor: = 1/4 + 1/244 + 1/ 488 + 1/610 El método más sencillo para descomponer una fracción del tipo 2/n es como 1/n + 1/n. ___________________________________________________________________________________ 55 . Así para escribir la fracción 7 divido por 29 (traducción literal del papiro ) realiza las siguientes operaciones: 7/29 . pero el propósito de este artículo no es analizar matemáticamente la tabla de Ahmes. Ahmes reduce todas las fracciones a sumas de fracciones de numerador 1 y 2. 7 = 2 + 2 +2 + 1 . • El segundo grupo lo forman las fracciones de la forma 2/5k en las que la reducción es 1/3k + 1/5k excepto la correspondiente a 2/95 (k= 19). Con las sustituciones correspondientes y las posteriores adiciones obtiene: 7/29 = 1/6 + 1/24 + 1/58 + 1/87 + 1/232 Ahora bien 7/29 = 1/29 + 1/5 + 1/145 pero en la tabla sólo aparecen fracciones de numerador 2 por lo que el escriba emplea este método y no otro.
. ¿Existía realmente un método para seleccionar una u otra fracción?. Pero nos quedaría por resolver una cuestión importante. luego 1/6. Los escribas tenían que ser unos virtuosos de la duplicación y mediación de fracciones. Siguiendo el método de la división obtenemos: 1 2 4 8 2/3 1/10 365 730 1460 2920 243 1/3 36 1/2 1/2190 1/6 Entonces 3200/365 = 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190. Si ahora intentamos dividir 3200 entre 365 siguiendo este método de duplicidad o división por 2 llegamos a un punto en el que necesitamos el conocimiento de las fracciones para poder obtener un resultado. pero no para las pruebas de fracciones.. la ___________________________________________________________________________________ 56 . ¿Por qué probar con la fracción 1/10 y no con 1/4?. Existía un método claro de empleo de números enteros por duplicidad (se usaban hasta que la siguiente duplicidad excedía el numerador).Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Hemos visto en el capítulo dedicado a la aritmética el método empleado en la división. luego 1/4. puesto que 2920 + 243 + 1/3 + 36 + 1/2 + 1/6 = 3200. aunque en los papiros que han llegado hasta nosotros parece que acertaban a la primera en la selección. En ningún sitio vemos una regla genérica que por ejemplo diga usa primero 2/3. No.. desconocemos totalmente el criterio de selección de estas fracciones unitarias.. y. Realmente parece que las operaciones de división se basaban en la práctica.
pero existen divisiones en las que no parece que se haya empleado este método. Realmente es difícil suponer una aritmética basada en fracciones unitarias hoy en día. Quizás también aproximasen en el caso de operaciones extremadamente largas o complicadas. pero si aplicamos el método de fracciones unitarias a 3/5 obtenemos 3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15 por lo que para empezar podemos dividir un pan en tres partes iguales.. siendo ei enteros y fi fracciones unitarias. En matemática moderna se emplea el uso de fracciones unitarias en determinadas situaciones. Se han dado diferentes teorías para justificar el uso de este tipo de fracciones en Egipto.. Hemos de suponer que no siempre obtenían un resultado para la división. pero para los egipcios esto parecía representar un problema.1 y f1 + f2 + . Este concepto es más sencillo para un niño que facilmente aprende a dividir un todo en n partes iguales y tomar una de ellas que un intento de aplicar 3/5 directamente o bien como suma de 2/5 + 1/5.+ en + f1 + f2 + . Actualmente el concepto 3/5 nos es familiar.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ realidad tuvo que ser bastante diferente y para realizar una división tendrían que probar gran cantidad de fracciones.. y en tal caso ¿qué hacían?. los otros 2 en 5 partes y luego cada una de las 5 partes de uno de estos últimos la dividimos a su vez en 3 partes. y tales que e1 + e2 + . y en ocasiones debían aproximarlos. Se ha propuesto como posible método intentar expresar el numerador como una suma de enteros mas fracciones unitarias que sumen 1.. porque es obvio que los egipcios en algún momento se encontraron con los números irracionales.. Si tenemos 3 panes y queremos dividirlos entre 5 personas. ¿Por qué usaban los egipcios las fracciones unitarias en sus cálculos?.. y el argumento más convincente para el empleo por parte de los egipcios es la facilidad de dividir un todo en n partes.fm.. Es decir si necesito dividir N debo buscar una descomposición tal que N = e1 + e2 + . nosotros aceptamos que a cada persona le corresponde exactamente 3/5 del total. Si intentamos desarrollar la división siguiendo el método de fracciones unitarias podemos perder mucho tiempo en encontrar una combinación adecuada. ___________________________________________________________________________________ 57 .. fm = 1.+ en = N . Además estos métodos no nos resuelven todas las divisiones que se nos pueden plantear en la vida cotidiana.
6. Para multiplicar (1/2+1/14)*(1+1/2+1/4) se multiplica cada fracción del primer multiplicando por cada una de las del segundo. ARITMÉTICA DE FRACCIONES. Los problemas 7 al 20 del Papiro de Rhind se refieren a estas operaciones y pueden verse en la descripción de problemas. Vamos a analizar en este capítulo los métodos de multiplicación. división y sustracción de fracciones y números expresados como suma de fracciones unitarias. La multiplicación de expresiones fraccionarias se hacía de manera directa o mediante el empleo de los "números rojos". 1 1/2 + 1/14 1/2 1/4 + 1/28 1/4 1/8 + 1/56 ___________________________________________________________________________________ 58 .Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Por último damos a continuación 3 ejemplos de sumas de fracciones del Papiro de Rhind. Estos son unos números auxiliares que aparecen de color rojo en el papiro. extraídos del libro "Egyptian Grammar" de Sir Alan Gardiner 5 + 1/2 + 1/7 + 1/14 = 5 + 5/7 2 + 1/2 + 1/4 + 1/14 + 1/28 = 2 + 6/7 2 + 2/3 + 1/6 + 1/12 + 1/36 + 1/54 = 2 + 26/27 En la descripción de los problemas del Papiro de Rhind pueden verse más ejemplos de problemas con fracciones. El método directo aparece en el problema número 9 y consiste en aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. 5.
siguiendo el método aprendido. la siguiente tabla (hemos reproducido la notación egipcia. eliminando el signo + de la columna de la derecha) ___________________________________________________________________________________ 59 . se selecciona un número tal que al aplicarlo a estas se obtengan otras más sencillas. es decir 1. esto es ¿cuál es el número por el que hay que multiplicar 1+1/2+1/4 para obtener 28?. Se hace. entonces. El método de los números rojos es algo más complicado. Es decir hay que dividir 28 entre 1+1/2+1/4. Aparece por ejemplo en el problema 14 en el que el escriba propone calcular 1/28 * (1+ 1/2 + 1/4). que tan bien manejaban los egipcios y los resultados parciales constan de fracciones sencillas. El ejemplo anterior es uno de los más sencillos pues no hay más que aplicar las divisiones por 2. Este es el procedimiento seguido: Se aplica el método normal obteniendo: 1 1/28 1/2 1/56 1/4 1/112 Ahora en lugar de sumar las fracciones de la derecha. En este caso se selecciona el 28 y el razonamiento es el siguiente: 1/28 partes de 28 es igual a 1 1/56 partes de 28 es igual a 1/2 1/112 partes de 28 es igual a 1/4 Y hay que conseguir saber cuántas partes de 28 son iguales a 1+1/2+1/4.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ y el resultado es la suma de los resultados parciales de la columna. Consiste en aplicar un número auxiliar (el número rojo) a cada una de las fracciones de la columna derecha cuando en esta se obtienen resultados no sencillos.
como 6+3 = 9 -> la respuesta es 1/5 + 1/10. pero hay que tener en cuenta que aunque los egipcios controlaban las fracciones una expresión como la obtenida en el primer ejemplo sí era fácil. y en todos se emplean los "números rojos". 1 30 1/10 3 1/5 6 .Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ 1 1 1/2 1/4 2 3 1/2 4 7 8 14 16 28 y el resultado es 16 1/16 partes de 28 es precisamente 1+1/2+1/4.Se elige como número auxiliar el 30 . Para hacer la operación 1 . ___________________________________________________________________________________ 60 .2/3 + 1/30 partes de 30 es 21 . mientras que el concepto de 1/16 si podían controlarlo La resta de fracciones está explicada con ejemplos en los problemas 21 a 23 del Papiro de Rhind.30 > 21 en 9 unidades -> Hay que obtener cuantas partes de 30 dan 9. Para una mentalidad actual el método de los números rojos puede parecer una forma absurda de complicarse la vida.(2/3 + 1 /30) se siguen los siguientes pasos . pero una del tipo 1/28 1/56 1/112 no era considerada manejable.
D = 2/3 + 1/10 Para obtener el resultado se hace lo siguiente: 1 2/3 + 1/10 2 1 + 1/3 + 1/5 4 3 + 1/15 8 6 + 1/10 + 1/30 ___________________________________________________________________________________ 61 . el método consiste en efectuar las duplicaciones sucesivas del denominador hasta que la siguiente duplicidad exceda el numerador. En el capítulo dedicado a los problemas del Papiro de Rhind puedes ver ejemplos más complejos del método. Si queremos dividir N/D siendo D una fracción. Se selecciona la mejor aproximación al numerador como suma de los valores obtenidos en la columna de la derecha. Por ejemplo en el problema 30 hay que dividir 10 / (2/3 + 1/10). Se calcula la diferencia que resta (N-C) y ahora se trata de saber cuantas partes de D son iguales a C. El resultado final será la suma de las cantidades de la columna de la izquierda mas este valor F. En este caso N = 10. No son problemas directos de divisiones. En todos los problemas el escriba hace uso de los números rojos. que llamaremos C. sino problemas en los que hay que aplicar estas divisiones. que llamaremos F. La división de fracciones aparece en los problemas 30 a 34 del Papiro de Rhind. pero los cálculos pueden complicarse enormemente siguiendo este método. como en el proceso de división de números enteros.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Lógicamente esta es la "teoría".
___________________________________________________________________________________ 62 . sin dar ninguna explicación sobre por qué usar el procedimiento. Por supuesto no se empleaba esta notación que usamos nosotros sino que se pedía por ejemplo buscar un número.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Si ahora sumamos los valores de la derecha obtenidos para 1.. pero el escriba que quisiese hacer este problema aplicando los métodos que conocía hasta ese momento debía realizar gran cantidad de operaciones de multiplicaciones y restas de fracciones antes de obtener el resultado final. EL ÁLGEBRA. que ellos llamaban "aha" o montón tal que.. El problema más conocido del Papiro de Rhind sobre estas cuestiones es el número 24 en el que se pide calcular el valor del aha si el aha y una séptima parte del aha es 19. es decir cuantas partes de 2/3 + 1/10 son iguales a 1/30 Se selecciona ahora el número rojo 30 y hacemos el proceso anterior: 2/3 + 1/10 de 30 es 23 y 1/30 de 30 es 1-> 1/23 partes de 2/3 + 1/10 es igual a 1/30. Este tipo de problemas aparecen resueltos con unas someras instrucciones que llevan al resultado buscado. El egipcio no distinguía entre problemas meramente aritméticos y estos en los que se pide resolver ecuaciones lineales de la forma x + ax = b o x + ax + bx = c. Para él todo eran matemáticas y se limitaba a seguir procedimientos aritméticos. En los papiros que se conservan con problemas matemáticos existe un grupo que podríamos incluir dentro del concepto de álgebra actual. -> F = 1/23 El resultado de la división será por tanto 8 + 4 + 1 + 1/23 = 13 + 1/23 Como en ejemplos anteriores en este caso hemos llegado a esta conclusión directamente para no reproducir todos los pasos necesarios. 5.4 y 8 obtendremos 2/3 + 1/10 + 3 + 1/15 + 6 + 1/10 + 1/30 = 9 + 2/3 + 1/5 + 1/15 + 1/30 -> C = N 9 + 2/3 + 1/5 + 1/15 + 1/30 -> C = 1/30 Hay que ver ahora cuantas partes de D son iguales a C.7.
Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ La resolución de estos problemas se efectúa por el método que hoy conocemos como "regla de la falsa posición" o "regula falsi". porque una vez efectuadas las operaciones se comparan el resultado con el que debería obtenerse y con el uso de proporciones se halla el valor correcto. y el valor buscado será x=7*n. Ahora se efectúa la multiplicación: 1 2 + 1/4 + 1/8 2 4 + 1/2 + 1/4 4 9 + 1/2 luego x = 16 + 1/2 + 1/8 ___________________________________________________________________________________ 63 . Por ejemplo en el problema 24 hay que resolver la ecuación x + x/7 = 19. Efectuando las operaciones de división obtenemos: 1 2 8 16 1/2 4 1/4 2 1/8 1 16 + 2 + 1 = 19 19/8 = 2 + 1/4 + 1/8 -> n = 2 + 1/4 + 1/8 .> x = 7 * n x = 7 * (2 + 1/4 + 1/8). Se supone un valor de 7 (el más fácil de aplicar) x + x/7 = 8 y ahora basta con calcular un número n tal que 19 = 8*n. Se divide 19/8. pero tampoco importa. Este método consiste en presuponer un valor para el aha y efectuar las operaciones de la ecuación. A menos que tengas mucha suerte no acertarás con el valor del aha a la primera.
El problema al que antes nos hemos referido consiste en 5. Curiosamente se utiliza la raíz cuadrada para resolver el problema. pero llaman la atención especialmente dos problemas del Papiro de Berlín que representan un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. bastante más simple.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Visto el empleo de este procedimiento podemos apreciar que los problemas de división de cantidades fraccionarias podrían resolverse también siguiendo este mismo método. Lo que sí sabemos es que existía un símbolo especial para representarla ( resolver: x2 + y2 = 100 y = (1/2 + 1/4)x ) conocido como 'la esquina'. Pero no sabemos por qué se elegía uno u otro. del tipo ax2=b o incluso en el de 2 incógnitas una de ellas se da en función de la otra. en el que hay que resolver la ecuación: x + (2/3)x + (1/2)x + (1/7)x = 37 Para resolverla factoriza el primer miembro y divide luego 37 entre ( 1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) obteniendo un valor de x = 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776. calculadas por un simple procedimiento de multiplicación del número por él mismo. ___________________________________________________________________________________ 64 . aunque no tenemos constancia de si tenían procedimientos para calcularlas. una de las cuales es además de segundo grado. y que podrían leerse en ambos sentidos de modo que permitirían calcular raíces cuadradas.8. REGLA DE TRES Y PROGRESIONES. REPARTOS PROPORCIONALES. Ahmes emplea un método de factorización en el problema 30. con lo que el problema queda reducido igualmente a uno del tipo ax2=b. Algunos autores suponen que debieron existir tablas de números cuadrados. ni si el escriba lo hacía dependiendo de algún factor. Los problemas de ecuaciones lineales son frecuentes en la matemática egipcia y aparecen en varios papiros. en la mayoría de los casos. Estos problemas son los más sencillos. A pesar de que este es el método más empleado en la resolución de ecuaciones lineales.
Se calcula la suma C C = 2/3 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1 + 1/2 + 1/4 2.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Además de los problemas sobre aritmética básica y ecuaciones lineales.. en los templos. n2 . 1/2. 1. En el capítulo dedicado al Papiro de Rhind se da una explicación más detallada de las operaciones.Se aplica el número d a cada una de las partes El ejemplo siguiente corresponde al problema número 63 de Ahmes. En él hay que repartir 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes proporcionales a 2/3. 1/3 y 1/4. por ejemplo. progresiones aritméticas y aplicación de la regla de tres. existe una serie de problemas referidos a repartos proporcionales. x2 y x3 expresan cada una de esas partes proporcionales entonces: x1/n1 = x2/n2 = x3/n3 = (x1+x2+x3 / (n1 + n2 +n3) = C / (n1 +n2 +n3) El papiro sigue este mismo método. n2 y n3..... Para distribuir una cantidad N en partes proporcionales n1.Se multiplica este valor D por N obteniendo el numero d 4. donde no todo el mundo recibía la misma cantidad de comida y bebida.Se suman las partes proporcionales n1+n2+n3+n4 obteniendo C 2. Estos cálculos eran muy importantes a la hora de distribuir las raciones.. El método para resolver repartos proporcionales está basado en las propiedades de las proporciones numéricas.Se divide 1 / C = D 3.Se calcula D = 1/C 1 1 + 1/2 + 1/4 1/2 1/2 + 1/4 + 1/8 ___________________________________________________________________________________ 65 . si x1. Para repartir una cantidad C en partes proporcionales a 3 números n1.n3 y n4: 1.
suma v2 + e3 y esa es la solución.. Sencillamente aplicaban lo que habían aprendido en la Casa de la Vida o en situaciones similares. Empleaban el método cuando los problemas se presentaban de forma similar a prácticas que habían realizado.Se aplica d a cada fracción 2/3 de 400 = 266 + 2/3 1/2 de 400 = 200 1/3 de 400 = 133 + 1/3 1/4 de 400 = 100 La regla de 3 aparece en el problema 72 del Papiro de Ahmes.v1 x ...Se multiplica este resultado por 700 y resulta un valor de d = 400..v2)/ (n1 .Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ D = 1/C = 1 / ( 1 + 1/2 + 1/4) = 1/2 + 1/14. Como veremos en el capítulo dedicado a la resolución de los problemas.v1) . Ahmes se hace un pequeño lío en la búsqueda de la solución de la regla de 3. pero posiblemente el concepto de regla de 3 se les escapase totalmente.multiplica e2 por v2 (e3) 4. por lo que el reparto será: 4. Los egipcios no encontraban diferencia entre la aplicación de este método para la resolución de problemas y la aritmética.> x = v2 + ( (n1 . 2. 3.. 1.v1)/v1) * v2 ___________________________________________________________________________________ 66 .v2 Ahmes hace lo siguiente.. obteniendo un valor e1.Halla el exceso de n1 respecto de v1.divide ahora e1 entre v1 y obtiene e2 3. Para calcular la siguiente regla de 3 n1 . Realmente está aplicando el siguiente criterio v2/v1 = x/n1 = (x .
. Después de ver las grandes construcciones que llevaron a cabo los egipcios deberíamos esperar una geometría muy avanzada. debido a la necesidad de los agrimensores o "tensadores de cuerda".100 * ( 3+ 1/2) = 350 4.35 / 10 = 3 + 1/2 3.9. si son lo suficientemente aproximados para cubrir las necesidades de la vida cotidiana.. y las únicas fuentes que podemos analizar son el papiro Ahmes y el papiro de Moscú. pero quizás fuese el hecho de haber aprendido cómo hacer los cálculos. v2 = 100. ___________________________________________________________________________________ 67 .El exceso de 45 respecto de 10 es 35 2. No sabemos si la resolución responde a la aplicación de una fórmula o simplemente a planteamientos lógicos. como los llamó Heródoto. Cálculo de áreas. pero como puede verse en el capítulo dedicado al Papiro de Rhind el escriba sigue perfectamente el método que emplearíamos actualmente para resolver el problema.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ El problema 72. para recalcular las lindes de los campos tras la inundación anual del Nilo. La geometría es quizás la aplicación más importante de la matemática egipcia. 5. Además no existe distinción entre los cálculos exactos y los aproximados por lo que no sabemos si pensar que consideraban todos como exactos o sencillamente que no se planteaban el error que cometido. Con los datos que tenemos en estos 2 papiros no descubrimos aspectos especiales de la geometría y lo único que nos aportan son algunos datos para el cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas muy básicas. lo resuelve como 1. que es una regla de 3 con n1 = 45 .Solución = 350 + 100 = 450 Las progresiones aritméticas aparecen reflejadas en el problema 64 del papiro. v1 = 10. sin demostración de ningún tipo y sin plantearse si estaban bien o mal. Los cálculos.. lo que les llevaba a cometer estos errores. Pero desgraciadamente no es así. aunque no correctos.. GEOMETRÍA. Como veremos en el artículo algunos de estos errores son realmente importantes.
b y c. En los muros del templo de Edfú aparece este método. Este método consistía en obtener el área de la figura multiplicando entre sí las semisumas de las longitudes de lados opuestos. A pesar de que según Heródoto la geometría se desarrolló ante la necesidad de recalcular las lindes tras la inundación del Nilo.c. Incluso se utiliza para campos triangulares. en las que el método empleado es muy erróneo. Se dice que para calcular el área de un campo de lados a. y todas las ramas se englobaban dentro de una misma.b. no parece que sea así. Los Babilonios por ejemplo tenían una geometría muy similar a la desarrollada en Egipto y sin embargo no tenían necesidad de agrimensura. Indudablemente ésta era una de las aplicaciones más importantes pero desde luego no la única. en los que se afirma que debe tomarse el lado "d" como "nada". al igual que en Babilonía. o la matemática en general. pertenecientes a campos de cultivo.d siendo a. Llama la atención el hecho de haber encontrado inscripciones en las que se calcula el área de figuras cuadrangulares. y únicamente aproximado en el caso de campos que se aproximan a un rectángulo.d los lados opuestos se siga la regla A = (a+b)/2 * (c+d)/2 Lógicamente esta fórmula es exacta para figuras rectangulares. pero cuanto más irregular sea la figura más error se comete. Como vemos no se puede afirmar que tuviesen una geometría muy ___________________________________________________________________________________ 68 . volúmenes y algún otro problema geométrico. limitándose a aplicar la aritmética al cálculo de áreas.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ En primer lugar hay que tener en cuenta que hasta la llegada de los griegos. no existía una división entre la geometría y la aritmética.
Como es lógico el escriba no emplea los términos base. Curiosamente Ahmes describe el triángulo como "un pedazo de tierra de una cierta anchura en un extremo y que llega a un punto". de manera que el desplazamiento de uno de ellos da lugar a un rectángulo con lados de la misma longitud que el triángulo de partida. base menor 4 y distancia 20. Veremos este método en el cálculo del área del círculo. Es quizás un primer paso hacia la demostración geométrica y un intento de encontrar las relaciones mutuas entre figuras geométricas. El error es grande si consideramos un triángulo isósceles. Cuando Ahmes habla de altura no emplea más que un término genérico llamado "línea". pero en el caso de triángulos con todos los lados diferentes. y al que nunca se le ha dado la importancia que tiene. Un sistema de cálculos parciales cuya suma permita obtener el área de la figura inicial. No tenemos claro si el escriba quería referirse. Por este método se justifica el cálculo del área de un triángulo isósceles Según Ahmes debe dividirse la mitad de la base y multiplicarlo por la altura. pero que se quedó ahí.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ avanzada pues todo se basa en aproximaciones muy groseras a las fórmulas reales. Pero hay que plantearse qué se podía considerar base y qué lado. aunque por los cálculos que aparecen en otros problemas parece más bien este último caso. Realmente resulta difícil que con una definición así se pueda determinar el área de la figura. altura o isósceles para expresarse. en un primer paso. El problema 52 del mismo papiro trata sobre el área de un trapecio isósceles de base mayor 6. En el papiro Ahmes vemos que el cálculo de áreas tendía a emplear la conversión de la figura a analizar en "algo parecido a una figura conocida" que permita llegar al área buscada. con este término. a la altura del triángulo o a un lado. Para resolverlo toma la semisuma de las bases "de forma que se transforme en un rectángulo" y lo multiplica por la distancia 20. afirmando que debe multiplicarse la base por la "línea". Ahmes justifica este cálculo afirmando que puede considerarse el triángulo formado por 2 triángulos rectángulos. pero por la figura y la explicación que da debemos pensar que se trata de un triángulo isósceles. ___________________________________________________________________________________ 69 .
pues la razón del perímetro a la altura es de 44/7 = 2*22/7. si bien es cierto que muchos autores han destacado esta aproximación de para afirmar que los egipcios conocían una matemática "oculta" mucho más desarrollada que la que actualmente aceptamos de las escasa fuentes que poseemos. Según el papiro Rhind (problema número 50) Ahmes acepta que el área de un círculo de diámetro 9 es la misma que la de un cuadrado de lado 8. Quizás la más llamativa y conocida es la que afirma que el perímetro de la base se planeó de manera que coincidiese con la circunferencia cuyo radio es la altura de la pirámide.14 y no 3. Además hay que tener en cuenta que los egipcios no empleaban pi como una constante. Según los egipcios la relación entre el área de un círculo y su circunferencia es la misma que la razón entre el área y el perímetro del cuadrado circunscrito. es un valor calculado en base a una geometría muy básica.1605 ( 4(8/9)**2 ).Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Es quizás el cálculo del área del círculo la parte de la geometría de la que más se ha escrito. pero se ha considerado que el problema 48 del mismo papiro puede ser la respuesta.. para un valor de valor para de 3. Esto nos lleva a aceptar un valor para de 3.1415926. es decir anulando los 4 triángulos formados en las esquinas. Esta es una muy buena aproximación del valor real de 3.16 que sabemos que empleaban. dividiendo cada lado en 3 partes y uniendo las esquinas. En este vemos que Ahmes construye un octógono a partir del cuadrado de lado 9 unidades. pero lo cierto es que aunque la aproximación no es mala.14. Sin duda esta afirmación es mucho más importante geométricamente hablando que la aproximación de . No sabemos cómo se llegó a esta aproximación.. aunque esta ultima afirmación tampoco podemos tomarla al pie de la letra puesto que no ___________________________________________________________________________________ 70 . con una muy buena aproximación. Se ha dicho que los egipcios conocían el valor de . sin duda por el misterio que rodea al número pi. Entonces el área del octógono es aproximada al área del círculo de diámetro 9. En muchas ocasiones se ha tratado de crear leyendas en torno a las relaciones geométricas de la gran pirámide.. que siempre ha llamado la atención. Posiblemente mayor importancia que la buena aproximación de tenga la afirmación egipcia de las relaciones entre área y perímetro del círculo y el cuadrado. que nos da un de 3. Esta relación es efectivamente cierta.
Este método supone emplear un valor de de 3. como es de suponer. ). Para ver la resolución exacta que da.. b = lados entonces tenemos : V = h/3 ( a**2 + b**2 +ab) Según el papiro de Moscú el volumen de un tronco de pirámide de bases 4 y 2 y altura 6 es 56. pero se calcula el volumen exacto. pero en otros los cálculos son correctos. consulta el capítulo dedicado al Papiro de Moscú. ya que no lo aplicaban por ejemplo al calcular el volumen de un cilindro.1605 que vimos empleaban en el cálculo de áreas. Si empleamos una notación moderna la fórmula es la siguiente: h = altura a. sino que se explica con un ejemplo en el que se dice "Divide 18 entre 12. También disponemos de información de las reglas empleadas por los egipcios para el cálculo de volúmenes del cubo. La fórmula. paralelípedo. Lo curioso es que el escriba resuelve el problema aplicando los pasos que nos llevan a la fórmula anterior..Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ parece que empleasen pi como una constante y posiblemente el propio concepto y su relación con el círculo les era desconocido totalmente. El problema es el número 14 del Papiro de Moscú. suma 7 y 4 . lo cual supone un error considerable que nos lleva a pensar en el empleo de métodos empíricos para llegar a tales conclusiones. puesto que lo que si podemos afirmar es que no se empleaba pi como constante. frente al 3. es la referida al cálculo del volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada. no aparece en el papiro. Si se ___________________________________________________________________________________ 71 . Los papiros dan como fórmula para calcular el volumen de un tronco de cono de altura h y circunferencias D y d: V = h/12 [ 3/2 (D+d)] ** 2 Lógicamente no existe en los papiros una formulación así. Sin duda alguna la regla más importante. En algunos casos estos métodos conducen a aproximaciones. por lo que hemos de deducir que tampoco se conocía su relación con el perímetro o el área del círculo.. por su precisión. cilindro y figuras sencillas.
era necesario disponer de algún mecanismo trigonométrico para resolver ciertos problemas de construcción. Para el cálculo del volumen del tronco parece más viable que descompusieran.10. de trigonometría sólo disponemos del problema 56 del Papiro de Rhind. y la única prueba está reflejada en los cálculos de áreas de ciertos triángulos y trapecios. TRIGONOMETRÍA. queremos en este capítulo dar a conocer lo que podría denominarse una trigonometría rudimentaria y una pequeña teoría de triángulos semejantes que aparece en el papiro Rhind. Un problema esencial en la construcción de estas era el de mantener la pendiente uniforme en cada una de las caras. Si nos planteamos las grandes edificaciones que llevaron a cabo los egipcios. y a su vez la misma en las 4 caras. pero ciertamente no hay nada que lo demuestre y tampoco parece que el uso de una geometría basada en descomposiciones de figuras más sencillas prosperase en Egipto. se ha afirmado que podría tener su origen en métodos experimentales. prismas o pirámides. En mediciones verticales empleaban el "codo" y en horizontales la mano. Tal como aparece en el problema 56 del ___________________________________________________________________________________ 72 . tal y como están construidas. el tronco en figuras más sencillas como paralelípedos. Quizás esta necesidad es lo que llevó a los egipcios a emplear lo que denominaron "seqt".Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ considera b=0 se obtiene la fórmula para calcular el volumen de una pirámide. tal y como aparece representada en el contrato de Edfú. Aunque no se puede hablar de una trigonometría en un ámbito general de la matemática egipcia. equivalente a lo que hoy conocemos por pendiente de una superficie plana inclinada. como ya hemos visto. fundamentalmente la construcción de pirámides. pero desde luego no es un método que resulte fácil. hay que tener en cuenta que. al menos mentalmente. que a su vez se descomponen en bloques rectangulares que podrían llevar a la fórmula. No se sabe cómo los egipcios pudieron llegar a estos resultados. 5. aunque sean escasas. que equivalía a 1/7 del codo. Así como en lo relativo a la aritmética o la geometría disponemos de diferentes fuentes.
Damos a continuación un glosario de las unidades y términos empleados en la matemática egipcia. He intentado poner las equivalencias con unidades del S. Hay que tener en cuenta que las unidades variaron a lo largo del tiempo y su equivalencia no siempre fue la misma.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ papiro de Ahmes en el que se pide calcular el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 de lado sería 5 1/25 manos por codo. En mediciones más grandes. considerando el ojo derecho ___________________________________________________________________________________ 73 . En el caso de la pirámide de Keops el seqt es 5 1/2 manos por codo. representado como el Ojo de Horus.8 litros. UNIDADES. Medidas de superficie La unidad básica de superficie era el setat (sTAt) que equivalía a un cuadrado de lado 100 codos. Cada una de las partes del Ojo de Horus era una fracción de heqat y se conocen como fracciones "Ojo de Horus". por ejemplo para almacenes. es decir 100 codos cuadrados. La división era. Medidas de volumen La unidad de capacidad era el heqat (HqAt). PESOS Y MEDIDAS. 5. Se empleaba para medir el trigo y la cebada fundamentalmente y equivalía a unos 4. se empleaba una unidad que podríamos llamar "100 heqat cuádruples". el hebes (Hbs) (1/4 de setat) y el sa (sA)(1/8 de setat). Cuando no aparece esta equivalencia es porque no se conoce. Los valores que aparecen en el SI son los más corrientes. Para superficies menores se empleaban el remen (rmn) (1/2 setat).I.11. y además existía una medida llamada jata (xAtA) que equivalía a 100 setat y se empleaba en grandes mediciones.
1/8. puesto que sólo se empleaban fracciones unitarias. y por tanto nunca se utilizaba 1/128 de heqat sino 2 1/2 ro.22 litros. Cuando se medía el grano en heqats se usaban las fracciones ojo de Horus : 1/2. es decir 19. 1/4.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Las cejas equivalían a 1/8. El ro (r) equivalía a 1/320 de heqat. Existía además una unidad llamada Henu (hnw) que aparece en el papiro Rhind definida como 1/10 de heqat. es decir un jar eran 20 heqats (en algunos textos he visto la equivalencia a 16 heqats) y a 2/3 de codo cúbico.48 litros. la parte inferior vertical bajo el ojo era 1/32 y la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64. Se empleaba el signo seguido del denominador de la fracción. la pupila era 1/4. Nombre Heqat Equivalencia 4. Esta unidad se empleó sólo en medidas de grano. 1/64 y para medidas inferiores a 1/64 de heqat se empleaban múltiplos de ro.48 l 15 cc ___________________________________________________________________________________ 74 . empleada en la medición de perfumes normalmente aunque parece que también se utilizó en medidas de grano. 5 Oipes formaban un jar (XAr)(~ 96 litros).22 l Jar Henu Ro 96 l 0. por tanto unos 0. 1/32. El Oipe o ipet (ipt)contenía 4 heqat. de modo que un ro contenía 5 medidas de 1/64 de heqat. la parte derecha de la pupila era 1/16. que era también el término empleado para designar las fracciones. la parte izquierda de la pupila era 1/2. 1/16.8 l Oipe o ipet 19. Una unidad común en la medida de grano era 100 oipes ( 20 jar).
durante el periodo grecoromano se emplearon el codo griego (~ 462.000 codos) . como el dedo ( yeba) que representaba 1/28 de codo. A partir de la III dinastía se tomó como unidad de medida el codo real. Medidas de longitud Cada división de la regla corresponde a un dedo La unidad básica de longitud era el codo o cubit (mH). Para el vino se empleaba el Hebenet. El codo se dividía en 7 palmos o manos (shesep). Para el incienso usaban el Men (mn)y el Hebenet (hbnt). El demen era una unidad un tanto curiosa. El nebiu era un codo y medio y la vara (jet) o cuerda representaba 100 codos.5 mm) y el codo romano (~ 443. el doble demen equivalía a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 codo. Esta última era de muy poco contenido. aunque en algunos textos esta unidad aparece como inferior. El codo original medía unos 457 mm. No conozco las equivalencias en el SI. Para medidas de longitud grandes se empleaba el rio ( iteru) equivalente a 10. . que es el codo mas un palmo y equivalía a unos 523 mm.5 km (unos 20. Sería el equivalente a la raíz cuadrada de 2 codos. es decir 0.5 mm). es decir un cuarto de mano.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Medidas especiales de líquidos Para medir líquidos se empleaban el Des (ds) o el Secha para la cerveza.739 metros ___________________________________________________________________________________ 75 . Posteriormente. Existían además otras unidades fraccionarias del codo.
Un deben de plata contiene 6 shaty y un deben de plomo (?) equivale a 3 shaty.87 cm 52. Cuanto mayor es el pesu peor calidad tiene el producto fabricado. Shaty: Esta unidad es sólo conocida a través del papiro Rhind. aunque el valor de los productos podía aparecer expresado en debenes de oro o plata. era una décima parte de un deben. Otras Unidades Pesu: Unidad que expresa la calidad del pan o la cerveza. Seqt: Pendiente de una superficie plana inclinada. que equivalía a 1/7 del codo. entonces su pesu era 20.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ Nombre Nombre egipcio Equivalencia Codo Palmo Dedo Vara Rio Medidas de peso La unidad fundamental de peso era el Deben.471 cm 1. En mediciones verticales empleaban el codo y en horizontales la mano.523 m 7. En el problema 62 de este papiro se le asigna un valor de 1/12 de un deben de oro. Setat: El setat era una medida de superficie y equivalía a un jet ___________________________________________________________________________________ 76 Meh Shesep Yeba Jet Iteru 0. El Shat o anillo equivalía a medio deben. se refiere al número de panes fabricados por unidad de peso de grano. El qedety.3 m 10. Si con un heqat de grano se fabricaban 20 barras de pan. empleada para intercambios y equivalía a 91 gramos. El seqt se daba en manos por codos. normalmente de cobre. También se conoce como "fuerza". Se media por el número de unidades que se fabricaban con un heqat.5 Km .
1/4 y 1/8 de setat.000 codos cuadrados.Historia del Papiro de Rhind y similares Angel Pulpón Zarco ____________________________________________________________________________________ cuadrado. Además en el papiro Rhind se emplean signos especiales para denotar 1/2. A veces se emplea el término griego aurora para designar el setat. es decir 10. ___________________________________________________________________________________ 77 . que posiblemente tuvieron nombres especiales.
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