Source: https://es.scribd.com/doc/178660310/Resolucion-de-Problemas-Matematicos
Timestamp: 2017-01-24 19:37:58+00:00

Document:
NavegarInteresesBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultNavegar porLibrosAudio librosArtículosPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseJESÚS ESCUDERO MARTÍN (Profesor coordinador) CARLOS GONZÁLEZ RODRIGO, ÁNGEL OREJA MARTÍN, GUILLERMO CASTÁN BREZNES, JUAN JESÚS IGLESIAS RUÍZ (Alumnos de 4º de ESO)
.P. S.N.R. desarrollo curricular y materiales didácticos.B.S.La serie Documentos curriculares del Centro de Profesores y Recursos e Salamanca pretende difundir las experiencias de los profesores con na finalidad práctica y divulgará temas de innovación educativa.
© C. investigación. Salamanca y los autores Diseño de cubierta: Jesús Luengo I.: 84-89005-25-7 Depósito Legal: S.A.
Problemas. 7 8 11 13 17 29 73 97
. tendencias. Pautas a seguir en la resolución de problemas. creencias. Bibliografía. Soluciones. Desarrollo de algunas estrategias de resolución de problemas. etc. sobre la resolución de problemas. Rasgos que caracterizan a los buenos problemas.ÍNDICE
Introducción Ideas.
y. conciso y sin ambigüedades” (según la formulación del Informe Cockroft. En el caso del idioma matemático. lo cual no significa ausencia de esfuerzo. Supone un pilar básico de la enseñanza en todos ellos.
“Quien quiere hacer algo encuentra un medio. desde luego. por todos los medios. y no seríamos buenos profesores si no procuráramos. La causa fundamental de esa universal presencia hay que buscarla en que las matemáticas constituyen un idioma “poderoso. Pero sobre todo se necesitan situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese idioma. hasta conseguir que lo "hablen". de unas técnicas para hacerlo. y por su aplicación a situaciones muy sencillas y ajenas a sus vivencias (los ejercicios).
. pero la enseñanza no debe ser una tortura. alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces”. Ese idioma se pretende que sea aprendido por nuestros alumnos. sino.Jesús Escudero Martín
INTRODUCCIÓN. transformar este sufrimiento en goce.7 -
. (Proverbio chino) “La matemática ha constituido. a esforzarse en lograrlo. En general por medio de la contemplación de cómo los hacen otros (sus profesores). por el contrario. 1958)
Matemáticas es la única asignatura que se estudia en todos los países del mundo y en todos los niveles educativos. (Puig Adam. por supuesto. tradicionalmente. la tortura de los escolares del mundo entero. La utilización de un idioma requiere de unos conocimientos mínimos para poder desarrollarse. 1985). y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario. quien no quiere hacer nada encuentra una excusa”. una de las técnicas fundamentales de comunicación son los métodos de Resolución de Proble-
ETC. en una palabra. Escher y Bach.8 -
. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones.T. • El N. señala que “enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar
. siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella). se dice que “las capaci-
dades básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas. de Estados Unidos. Mediante la resolución de problemas.M. el corazón de las matemáticas.C. gran matemático español y además muy interesado en su didáctica. CREENCIAS. • El párrafo 243 del Informe Cockroft señala en su punto quinto que la enseñanza de las Matemáticas debe considerar la “resolución de problemas. SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. la vida propia de las matemáticas”.
• Santaló (1985).
La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación matemática. TENDENCIAS. actitudes. los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea.
• En el libro de Hofsdadter. hace conjeturas y sugiere explicaciones”.Jesús Escudero Martín
IDEAS. con razón. declaraba hace más de diez años que “el
objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas”. incluyendo la aplicación de las mismas situaciones de la vida diaria”.
• M. hábitos. de Guzmán (1984) comenta que “lo que sobre todo deberíamos propor-
cionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos. ideas para el desarrollo de herramientas. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado. pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. Gödel. sino como un proceso en el que el alumno estima.
. Pero. se aplica y basta. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la educación matemática”. la proliferación de ejercicios en clase de matemáticas ha desarrollado y arraigado en los alumnos un síndrome generalizado. Ahí acaban. según hayan localizado o no el algoritmo apropiado. en general. hay que poner a punto relaciones nuevas. No aportan mucha claridad las definiciones de los diccionarios generales. qué es lo que entendemos por problema. los que llevan dentro una cierta "historia".Jesús Escudero Martín
a resolver problemas. para entendernos es interesante delimitar.
• En España. Pero no es el único aspecto a destacar. y no siempre de matemáticas. contengan problemas. una vez localizado. como la palabra "problema" se usa en contextos diferentes y con matices diversos. que se pueden contar. tras una somera reflexión. especialmente desde los contenidos de procedimientos y actitudes. Los que abren las ventanas del aula y hacen un puente (aunque sea frágil) entre las matemáticas y la vida.
justificado que todos los textos de matemáticas. que pueden conocer o ignorar. y desde luego no está codificado y enseñado previamente. Nos acerca más al sentido de qué es un problema la expresión de "problema de letra" que los alumnos emplean con frecuencia: son aquellos que hacen referencia a contextos ajenos a las matemáticas propiamente dichas. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas”. En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no. También hay que caracterizar los "problemas" por oposición a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnos porque constituye el núcleo fundamental de su quehacer matemático). en cuanto se les plantea una tarea a realizar. incluso puede haber varios. En los problemas no es evidente el camino a seguir. contestan: "lo sé" o "no lo sé". Pero. hay que relacionar saberes procedentes de campos diferentes. Justamente. y quizás parezca superfluo. sus elucubraciones. haremos un esfuerzo por clarificar a qué nos referimos.9 -
. Hay que apelar a conocimientos dispersos. siquiera sea en grandes rasgos. se trata de aplicar un algoritmo. el currículo del Área de Matemáticas en Primaria y Secundaria concede extraordinaria importancia al tema dedicándole mucha atención. Aunque no es sencillo.
Pero además tiene que ser una cuestión que nos interese. todavía creemos conveniente añadir algunos comentarios adicionales sobre los mismos: • Los algoritmos que se suelen explicar en clase. Pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto personal y decidimos en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar resolverlos. Lo que pasa es que si no situamos previamente los problemas a los que responden. porque de cómo se plantea la cuestión. y la importancia que tiene la manera en que se nos presenten para que lo asumamos como tales. en un porcentaje muy importante. matemáticos o no. Resaltemos una vez más la fuerte componente de compromiso personal en los problemas. por utilizar la expresión de Koestler (1983). Los problemas los alumbramos nosotros. una tarea a la que estemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. y buscar relaciones nuevas entre ellos. el contexto en que se sitúe y de la "tecnología" expositiva utilizada depende. resuelven grupos enteros de problemas.Jesús Escudero Martín
Por tanto. Todo ello es de particular interés en la enseñanza. Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema están descritos en el párrafo anterior. sino que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos. nos proporciona relaciones nuevas entre lo que ya sabíamos o nos aporta otros puntos de vista de situaciones ya conocidas. que nos provoque las ganas de resolverla. el que un problema pase a ser considerado como tal por nuestros alumnos. en los avances que vamos realizando. también en el proceso de búsqueda. un "problema" sería una cuestión a la que no es posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad. Como consecuencia de todo ello. o que aparecen en los libros de texto. una vez resuelta nos proporciona una sensación considerable de placer. encontraremos una componente placentera. • Las situaciones existen en la realidad. estamos dando la respuesta antes de que exista la pregunta. Y en ese contexto no es difícil de adivinar el poco interés con que se recibe la misma.
. y que logra. • La resolución de un problema añade algo a lo que ya conocíamos. Suponen el aporte de la chispa de la creatividad. aquella que aparece de cuando en cuando. E incluso. que dos y dos son cinco.10 -
. sin haber acabado el proceso. sin haber logrado la solución.
Reseñamos y comentamos los más importantes (Grupo Cero.11 -
. los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que. tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento. Lo mismo sucede con los buenos problemas. No son cuestiones con trampas ni acertijos. 2. seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún tipo de truco o de "magia". Pueden o no tener aplicaciones. y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión. 3. Es importante hacer esta distinción en la enseñanza porque los alumnos. cuando se les plantean problemas. 1984): 1.Jesús Escudero Martín
. aunque si se tienen que señalar cuáles son. Pero a pesar de ello. Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. más tarde. pero el interés es por ellos mismos. Así como hay otras cuestiones cuya importancia proviene de que tienen un campo de aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan). Pasa como con los chistes que nos gustan. 4. Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su
vez intenten resolverlos. es bien dificultoso hacerlo. Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad. La práctica sistemática resolviendo problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando. se pueden aplicar a muchos otros campos. el interés de los problemas es por el propio proceso. que los
contamos enseguida a otros. los hay mejores y peores. Y se tiende a pensar que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los matemáticos. vamos a referirnos a los rasgos que caracterizan a los buenos problemas.
• ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? • ¿Se puede hallar alguna otra solución? • Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado. Exploración. que agrupa en tres fases. 3. Schoenfeld da una lista de técnicas heurísticas de uso frecuente. 3. con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca. 2. 1. Comprobación de la solución obtenida. • Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas. Examinar problemas esencialmente equivalentes. 1. 2. Examinar problemas ampliamente modificados. Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya. que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás. Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. Probar a simplificar el problema. Examinar casos particulares. 1. Examinar problemas ligeramente modificados. Trazar un diagrama.15 -
. y que extractamos: Análisis. ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?: • ¿Utiliza todos los datos pertinentes? • ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? • ¿Resiste a ensayos de simetría. ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?: • ¿Es posible obtener la misma solución por otro método? • ¿Puede quedar concretada en caso particulares?
. análisis dimensional o cambio de escala? 2.
no sólo a nivel teórico. La segunda. Fernández (1992) serían: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Ensayo-error. porque si no. pero vistos en acción. Reformular el problema. tanto para determinar el éxito o fracaso en la resolución de los mismos.16 -
. Hacer esquemas. como para incidir en el futuro de la relación entre las matemáticas y los alumnos.
Para terminar sólo queremos hacer dos consideraciones. que parece una perogrullada. es un conocimiento vacío. Deducir y sacar conclusiones. tablas. Empezar por el final (dar el problema por resuelto). Según S. Hacer recuente (conteo). Experimentar y extraer pautas (inducir). Analizar los casos límite. dibujos (representación). Utilizar un método de expresión adecuado: verbal. Cambio de estados. tiene una gran importancia.
. Empezar por lo fácil. numérico (codificar. algebraico. Conjeturar. Sacar partido de la simetría. Manipular y experimentar manualmente. comunicación). Principio del palomar. resolver un problema semejante más sencillo. Suponer que no (reducción al absurdo). Luego. expresión. Resolver problemas análogos (analogía). que por parte de los profesores se tienden a considerar como irrelevante o. Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar). hacemos una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas. es que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas. Seguir un método (organización). gráfico.Jesús Escudero Martín
• ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? • ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido? Finalmente. hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática. La primera hace referencia a que el contexto en el que se sitúen los problemas. al menos como poco significativo. es muy bueno conocer técnicas y procedimientos.
B. Las estrategias que tendremos ocasión de aprender y ejercitar son: A. etc.. regularidades. Supongamos que no es así. Es la misma forma de transmisión que la de cualquier otro arte. pero no se sabe cómo. Polya)]
A veces no sabremos si la herramienta adecuada para la situación está entre la colección de técnicas que dominamos o ni siquiera si se ha creado una técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. G. H. Dibujar una figura. Inducción. Comenzar resolviendo un problema semejante más fácil. ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra vida normal. entonces resolver un problema es precisamente aclarar dicha situación y encontrar algún camino adecuado que lleve a la meta. La destreza para resolver genuinos problemas es un verdadero arte que se aprende con paciencia y considerable esfuerzo. C. observando los modos de proceder. en matemáticas y en cualquier otro campo. comparándolos con los de los expertos y procurando ajustar adecuadamente los procesos de pensamiento a los de ellos. Supongamos el problema resuelto. de sortear un obstáculo. Escoger un lenguaje adecuado. utilizando los medios adecuados”.
Si consideramos un problema como una situación que se presenta en la que se sabe más o menos. Esta es precisamente la circunstancia del investigador. Hacer conjeturas. como el de la pintura. o con toda claridad. F. busca pautas. E. conseguir el fin deseado. D. Hacer experimentos..Jesús Escudero Martín
DESARROLLO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Tratar de demostrarlas. un diagrama. por otra parte. que no se consigue de forma inmediata. encontrar la forma de salir de una dificultad. [“Resolver un problema es encontrar un
camino allí donde no se conocía previamente camino alguno. un esquema.17 -
. observar. (G. a dónde se quiere ir. sin angustias. aplíquémosla. a multitud de problemas diversos. Si tenemos una receta y estamos seguros de que se ajusta al problema. una notación apropiada. la música. tratando de sacar el mejor partido posible de los muchos seguros fracasos iniciales. enfrentándose con tranquilidad.
Incluso. Empezamos animándonos con el probable éxito. obtenemos varios provechos: a. La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño.. Procediendo así.Jesús Escudero Martín
A. por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. De orden psicológico. sin necesidad de cambiar marchas. aunque parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica. De orden racional. Empieza con un triciclo para atender primero el problema de los pedales y del volante. b. sino también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto. nos lanzamos más lejos. luego pasamos a un polinomio y cuando sentimos cierta familiaridad con el proceso. debemos resolver un problema semejante lo más sencillo posible. y en descampado. c. Para empezar.. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:
. Manipulación más fácil. . Luego lo complicaremos hasta llegar al propuesto inicialmente. principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del problema inicial. . En matemáticas sucede lo mismo. La manipulación efectiva en un problema de pocas piezas es más fácil que en uno de muchas. Si se aprende a conducir un coche. Ya vendrán luego los problemas conduciendo en la calle. para poder jugar con el volante.
Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias. Luego vendrá el problema del equilibrio y se ensayará con dos ruedas. El niño que aprende a andar en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran velocidad. lo mejor es circular primero despacio. Si estudiamos derivadas. se comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva. UNA MOSCA ANTOJADIZA. primero. Un problema puede resultar difícil por su tamaño. En el problema sencillo suelen aparecer. más transparentes. la de un monomio como x2.18 -
. COMENZAR RESOLVIENDO UN PROBLEMA SEMEJANTE MÁS FÁCIL. las haremos sencillas.
Probemos con 3x3=9 monedas. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente. (0. (-1. a los otros. impares. sería: Impar ⇒ Par ⇒ Impar ⇒ Par ⇒ .
.-1) (1.0).0) (1. lo tiene imposible. en el caso de 3x3=9 monedas. (1. Son muchas 25 monedas. por ejemplo.-1). la suma de las coordenadas es impar. Vamos a probar con menos. Así: O O O O O O O O O Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas. habría igual número de las dos clases. la mosca tiene el camino bien fácil. Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido. Así: O O O O Es obvio que se pose donde se pose.0)! En ellos.0) (-1. pero. Si terminase en impar. El paseo de la mosca. también. Ambas cosas son falsas. la suma de las coordenadas es par. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?
Solución. con 2x2=4 monedas.1). y otras no.Jesús Escudero Martín
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? Señalemos los centros de las monedas con coordenadas: (-1.1) (0. habría más vértices impares que pares. Si se posa en el centro...0) (0. En los restantes. empezando por un vértice impar.1) (1.19 -
.-1) Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0. Hay cuatro vértices impares y cinco pares. Si terminase en par. Llamaremos pares a estos vértices y.-1) (0. a veces se puede hacer el paseo. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar! Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. como fácilmente se observa. Pero si se posa en cualquier otra moneda.1) (-1. pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. Así.
al igual que en el resto de las ciencias.. Con el experimento y la observación surge la conjetura... Los siguientes ejemplos dan una idea de la variedad de experimentos que se pueden llevar a cabo. hay que modificar la conjetura inicial hasta dar con una que cubra todos los casos observados.Jesús Escudero Martín
B. ¿Cuántas nueces pudieron partir con sus saludos?
Solución.. Saludos = 18x11 = 198. Luego vendrá la tarea de dar con la razón por la cual la conjetura se verifica siempre. con la demostración de la conjetura. Se construye otro ordenando sus cifras de mayor a
. Cuando van a saludarse a Isidro se le ocurrió una feliz idea: Aprovechemos cada apretón de manos para partir una nuez. tratando de contrastar.20 -
. Los 18 socios de la Cofradía de Nogaleros Unidos reciben en su local de Villafría de la Sierra a los 11 miembros de la Hermandad de la Buena Nuez. dibujos. Entonces se sabrá que la conjetura tiene que verificarse en todos los casos posibles. imágenes. para hablar de sus problemas comunes. HACER EXPERIMENTOS. del pueblo vecino. Se elige un número cualquiera de 3 cifras. TRATAR DE DEMOSTRARLAS. por ejemplo 373. Así lo hicieron.. . Ve aumentando el número de socios . a fin de enlazar diversas situaciones y de establecer conexiones que sospechamos que existen entre los objetos que manipulamos. HACER CONJETURAS. BUSCAR PAUTAS. NOGALEROS Y NUECES ROTAS. Si en algún caso no sucede lo que se espera. Haz el diagrama de saludos.
UN NÚMERO MÁGICO. • Mirar ciertas figuras. Si también en ellos sucede lo que se barrunta. OBSERVAR. la conjetura va adquiriendo más fuerza. REGULRIDADES. no todas iguales. Los hay de muy diversos tipos: • Ensayos en casos particulares la aparición de una cierta propiedad. Imagina que la cofradía tiene 4 socios y sus visitantes son 3. Pero los experimentos matemáticos son mucho más fáciles de realizar y menos costosos. cambiándolas. de poner a prueba la conjetura.
En matemáticas las buenas ideas surgen muy a menudo a través de experimentos. Se sigue experimentando con nuevos casos. introduciendo elementos auxiliares.
4. Así: n9. 37. si: k = 4i + s . La cosa es muy sencilla en estos casos. ahora está claro que. Es decir.. 7. termina en lo mismo que 723 y así nuestro problema se reduce a ver en qué dígito terminan: 123.
CONTANDO DIAGONALES. de esta experimentación que hemos hecho resulta que.337 = 396. 6. 823. Enseguida surge la idea de que 3723. Al restar estos dos números se obtiene: 733 . 33. 623. 32. Experimentamos un poco más haciéndonos una tabla de la cifra final de las potencias sucesivas para los primeros números.. 786 termina en lo mismo que 72. en: 1. 8. n17. 2. 923 terminan. 423.3. En su resolución. 623 termina en 6. pero no hay ordenador que nos proporcione números tan enormes. 223. ¿Qué se observa? ¿Cuál es la razón? ¿Qué pasa con un número de dos o de cuatro cifras al hacer un proceso semejante? DÍGITOS FINALES DE LAS POTENCIAS. 36. respectivamente. la experimentación juega un papel decisivo. al aumentar exponente en 4 unidades. Es decir: 123. pues 86=21x4+2. 35.2. n13. 923 Experimentando un poco. 723. por ejemplo. por ejemplo. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de 85 lados?
. s=1. Así. 9 Además. Se repite la operación unas cuantas veces con el resultado 396 y los sucesivos.4 entonces nk termina en lo mismo que ns. 523. 223. 3. Podría uno pensar en calcular tales potencias. 5. 523 termina en 5. 323. Sin necesidad de seguir con la tabla. 38 y 39?
Solución. resultan los mismos dígitos finales. 323. 34. .. 786 termina en 9. n21 23 terminan en n y n termina en lo mismo que n3.Jesús Escudero Martín
menor: 733.21 -
. ¿Cuáles son los dígitos finales de las potencias de exponente 23 de los números 31. Ahora se las ordena de menor a mayor: 337. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 n termina en 1 4 9 6 5 6 9 4 1 n3 termina en 1 8 7 4 5 6 3 2 9 n4 termina en 1 6 1 6 5 6 1 6 1 5 n termina en 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n6 termina en 1 4 9 6 5 6 9 4 1 Y así sucesivamente. vemos que 123 termina en 1.
Por eso es muy aconsejable. Y y Z?
Solución. Dibujamos las dos posibilidades de la situación. debe. esquematizar y dibujar. De esta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos importantes del problema y de ahí muy a menudo. incorporar los datos relevantes y suprimir los superfluos que pueden conducir a confusión. están jugando a las cartas. los elementos que aparecen en la situación estudiada. Z=Española. símbolos solamente. UN ESQUEMA. Posibilidad A Posibilidad B X X=Arg Y Z=Arg=Bra Z Y=Bra Descartada Aceptada Luego: X=Argentina. Pensamos mucho mejor con el apoyo de las imágenes que con el de palabras. una argentina. Posibilidad A Posibilidad B X X Y Z Z Y Introduzcamos el dato: "La señora Y ha pasado a la argentina". números. UN DIAGRAMA. JUGANDO A LAS CARTAS.
Las matemáticas se comprenden a través de los sentidos. Cada una ha pasado una carta a la que se sienta a su derecha. Las señoras X. Y. de alguna forma sencilla. una española y una brasileña. a fin de dar con ideas buenas que sirvan para resolver el problema. aunque no por este orden. Posibilidad A Posibilidad B X X=Arg Y Z=Arg Z Y Introduzcamos el dato: "La señora X ha pasado una carta a la señora que ha pasado una carta a la brasileña".
. La señora Y ha pasado a la argentina. Z. pues “no hay nada en el intelecto que no haya estado primero en los sentidos”. se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación.22 -
. ¿Cuál es la nacionalidad de X. para mayor claridad. sentadas alrededor de una mesa camilla. (Aristóteles) Hay muchos problemas que se hacen muy transparentes cuando se logra encontrar una representación visual adecuada de los elementos que en él intervienen. Y=Brasileña.Jesús Escudero Martín
C. DIBUJAR UNA FIGURA. incluso pintar de colores. La señora X ha pasado una carta a la señora que ha pasado una carta a la brasileña. La imagen o diagrama que fabriquemos de un problema.
A Josephus y otro amigo la idea no les gustaba.23 -
. En su libro De Bello Judaico. ¿Será bueno utilizar un lenguaje geométrico. Lo que es un lenguaje adecuado o un lenguaje inadecuado. UNA NOTACIÓN APROPIADA. por hacerse una gráfica de la caminata del monje en cada uno de los días. a las 9 de la mañana. replicando exactamente el camino de bajada que el monje real hace al día siguiente. Sucede muchas veces que el ser o no capaz de resolver un problema depende fundamentalmente de que el estilo de pensamiento aplicado sea o no el adecuado al problema. ESCOGER UN LENGUAJE ADECUADO. pero con orden. Se colocarían en círculo y se irían suicidando contando tres a partir de un entusiasta que a toda costa quería ser el primero. EL MONJE EN LA MONTAÑA.
Usar una buena notación es muy útil en álgebra. y a mayor velocidad. Josephus y otros cuarenta judíos se refugiaron en una cueva. Con un poco de trabajo verá. decidir que no estaban de acuerdo con la automasacre?
. Por eso hay que pensar bien antes de empezar a trabajar..? La adopción de un modo apropiado de encarar un problema tiene su importancia. ¿En qué lugares se colocaron Josephus y su amigo para ser los dos últimos y. es claro que a alguna hora se encuentran en el camino. Como salen a la misma hora. la luz. seguramente. en el mismo día que el monje real sube. Allí decidieron los 41 judíos suicidarse antes que entregarse.. Al ir bajando. o tal vez vendrá bien aquí un lenguaje algebraico. o analítico? ¿Tal vez lo que venga bien sea una modelización con papel. cartón. Tiene pocos datos para ello. se puede entender en los siguientes ejemplos. Hegesipo cuenta que cuando los romanos capturaron la ciudad de Jotapat. Sale de la ermita a las 9 de la mañana y después de caminar todo el día llega a la cumbre. una vez en mayoría absoluta. se pregunta: ¿Habrá algún punto del camino en el que hoy esté a la misma hora que estuve ayer?
Solución. . Allí pasa la noche y a la mañana siguiente.. tal vez.. Se los inventa. emprende el camino a su ermita por el mismo sendero.
EL PROBLEMA DE JOSEPHUS. Las matemáticas están de sobra.Jesús Escudero Martín
D. o bien un simple diagrama. Un monje decide subir desde su ermita a la montaña para pasar allí la noche orando. Una mente menos inclinada matemáticamente puede tener la idea de hacer descender a un monje ficticio. Una mente inclinada matemáticamente comienza. Propusieron hacerlo.
41 cada uno y luego ir simulando los suicidios para ver qué dos papelillos quedan los últimos..40.1 2 x 3 x 4 x 5 = 120 = 112 . Si se utiliza un diagrama o un esquema. que si se quiere obtener un resultado general con m judíos que se suicidan contando de n en n. sin detalles superfluos que pueden perturbar la comprensión y oscurecer lo verdaderamente importante. ponen bien en claro lo más relevante del problema. ésta debe representar. Pero resulta más sencillo colocar en círculo 41 papelillos con un número 1. Se colocaron en los lugares 16 y 31. hay que procurar que éste incorpore lo esencial del problema. El producto de cuatro números enteros consecutivos se puede expresar así: a(a+1)(a+2)(a+3) con a entero.. hay que prestar atención a la notación empleada.24 -
.1 3 x 4 x 5 x 6 = 360 = 192 . su producto es: (M-3/2)(M-1/2)(M+1/2)(M+3/2) = (M2-9/4)(M2-1/4) = (M2-5/4)2-1 y es fácil ver que M25/4 es un entero.
Una vez decidido el modo de pensamiento.1 ¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos es siempre un cuadrado perfecto menos 1?
Solución.. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. En lo posible. hay que dedicar un rato a pensar en la forma concreta de aplicarlo. Si el enfoque es algebraico.3. Naturalmente.
. hay que acudir a consideraciones más matemáticas.2. El problema tiene sabor matemático y se pueden ensayar herramientas matemáticas. parece engorroso. la simetría. Por ejemplo así: M2-5/4 = (x+1/2)2-5/4 = x2+1/4+x-5/4 = x2+x-1. Los siguientes ejemplos ponen de manifiesto la importancia de una elección adecuada del lenguaje y de la notación. con p entero. los datos del problema y su posible vinculación con lo que se busca. Observemos las igualdades: 1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 52 . Si M es el centro de los cuatro enteros. de la forma más cómoda y manejable. de una forma más sencilla.Jesús Escudero Martín
Solución. Normalmente hay que buscar la simplicidad. Probar que esto es p2-1. los elementos que..
en fila india..
Solución. Entonces. Podemos considerar los números 1. tiene la propiedad P. tienen la propiedad.
La inducción matemática es uno de los métodos de demostración utilizados con mayor frecuencia en algunos campos de la matemática. entonces también h+1 tiene la propiedad P. o sea: 1+3+5+. El número 1 tiene la propiedad. entonces también el siguiente la tiene.. INDUCCIÓN. cae seguro la siguiente. el 1. El número 1 (o tal vez el 25). pero no el 1. Si h tiene la propiedad P.25 -
. ¿Qué pasará? ¡Se caerán todas! Esto viene a ser la inducción.
Repasemos el esquema de la demostración precedente: Primero comprobamos que la propiedad P era válida para k=1.. 3. Un gracioso tira la primera hacia la segunda. De estas dos cosas concluimos que la propiedad P es verdadera para todos los números naturales.
. que si uno cualquiera de estos números tiene una cierta propiedad P. 4. se concluye que todos.. como las fichas del dominó.. ¿Conclusión? Claramente todos los números naturales tienen la propiedad P.. claro está..Jesús Escudero Martín
E. a partir del 25. hay dos cosas importantes de las que cerciorarse: a. 1+3+5+.+(2k-1)+[2(k+1)-1]. 2... + (2k-1) = k2. A continuación nos aseguramos de que el primero. La idea se entiende con facilidad: Imaginemos delante de nosotros las 28 fichas del dominó colocadas de pie.+(2k-1) = k2 (hipótesis inductiva).. La suma de los primeros k+1 impares es: 1+3+5+. . Suponemos seguro. b. pues 1 = 12. Supongamos que k tiene la propiedad. A veces se puede probar que el número 25 tiene la propiedad P. y de forma que si cae una. SUMA DE IMPARES. Luego demostramos que si la propiedad P era cierta para k (hipótesis inductiva) entonces era también cierta para k+1. demostrar. tiene la propiedad P. Resumiendo. El siguiente ejemplo indica la forma de proceder y es útil para practicar. Demostrar que la suma de los n primeros números naturales impares es igual a n2.+(2k-1)+[2(k+1)-1] = k2+[2(k+1)-1] = k2+2k+1 = (k+1)2 y por lo tanto k+1 tiene esa propiedad. Es decir: 1 + 3 + 5 + . Si usamos la hipótesis inductiva.
Probablemente las matemáticas nos han habituado ya a la siguiente forma de razonar para demostrar que una cierta situación A es verdadera. Por tanto.
2 NO ES UN NÚMERO RACIONAL.. pues el número en cuestión no es divisible por ninguno de los números primos inferiores a P. Es decir. En efecto: Supongamos que (*) es falsa. Pero si a y b son pares. teorema o hipótesis que se da por cierto. Entonces b2 es par. elevando al cuadrado que 2b2=a2.b) es distinto de 1. Demostrar que hay infinitos números primos. que (a. por ejemplo. además. Luego. Entonces a2 = 4k2. Si es compuesto. que A es verdadero. no puede haber un número finito de números primos. admitirá un divisor primo.26 -
. El número (2≅3≅5≅7≅11≅. tratando de llegar a una contradicción con algún hecho. Contradicción. Entonces a2 es un número par. con una que dice algo absurdo.b) = 1 racional. sea P el mayor primo obtenido. Entonces está claro que nuestro punto de partida NO A es falso. Supuesta formada una tabla de números primos. luego b es par. (*) es verdadera.≅P)+1 es mayor que P. Entonces a = 2k. Vamos deduciendo correctamente consecuencias de NO A y nos encontramos. Si se consigue.. (a. ya que en todas las divisiones se obtiene resto igual a 1.
Solución. que 2=3. Este es un proceso de pensamiento muy usual en la resolución de problemas. entonces b2 = 2k2. que se verifica NO A. ¿Cómo demostrar que la conjetura P es cierta? Se parte de NO P y se analiza qué se deduce de ahí. por fin. SUPONGAMOS QUE NO ES ASÍ. (*)
NÚMEROS PRIMOS. principio. Tal vez a través de una serie de experimentos hemos llegado a la conjetura de que se verifica una cierta situación P.
. Podemos suponer. Entonces a es un número par. Si este número es primo ya está demostrado. y este divisor primo será mayor que P. Tenemos que
2 = a/b con a y b enteros. se ha terminado. Suponemos que no lo es. es decir. Es decir: (es decir que la fracción a/b fue simplificada todo lo posible).Jesús Escudero Martín
F. Se tiene. Demostremos que hay un número primo mayor que P.
aunque un poco caro. En la resolución de problemas. Lo llamamos x y sabemos que tiene que pasar que x + x2 = 30 y ahora nos las ingeniamos para hallar x.
Se aplica muchísimo en construcciones geométricas. ni siquiera sabemos si lo habrá. consiste en colocarse arriba con un helicóptero y desde allí estudiar los caminos posibles. No sabemos cuál es.27 -
Solución. Lo llamamos a y sabemos que si en él hay un mínimo. pero procedemos como si lo supiéramos. SUMAR SU CUADRADO.
MÍNIMO RELATIVO. SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO. Buscar un valor donde la función f(x)=x3-3x+1 tenga un mínimo relativo.
. Buscar un número tal que si le sumamos su cuadrado resulte 30. Así sólo tenemos que mirar si en a=1 ó en a=-1 hay un mínimo relativo. entonces la derivada f' en ese punto es 0. pero procedemos como si lo supiéramos.Jesús Escudero Martín
G. f(a)=3a2-3=0. No sabemos cuál es. Un buen modo de descubrir el mejor camino para escalar una montaña. este procedimiento es barato y de uso corriente.
¿Cuánto dinero recibe el acomodador? 7. lo vendió por 8. Una cuadrilla de segadores está compuesta por sus tres cuartas partes más tres cuartos de hombre. y que todos son loros menos dos? 2. y la otra mitad. éste tendrá que encargar los números para hacer el trabajo. Sin pensarlo dos veces. PERROS. GATOS Y LOROS. sin lápiz ni papel y en un tiempo prefijado. ¿Cuánto beneficio sacó?
. De 138 soldados vueltos del frente. ¿Cuántos animales tengo en casa. ¿cuánto miden? 3. nada.Jesús Escudero Martín
Problemas para resolver mentalmente. sabiendo que todos son perros menos dos. ¿CUÁNTO BENEFICIO? Un comerciante compró un artículo por 7 ptas. Se llama a un fabricante de números para que ponga números a todas las casas del uno al cien. En el Libro del Delirium Tremens se habla de una raza de gigantes muy especial. generalmente unos cuantos segundos. lo volvió a comprar por 9 y lo vendió finalmente por 10. Si un ladrillo se equilibra con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo. Del 87% restante. En un cine hay 1. ¿cuánto pesa un ladrillo? 4. ¿Cuántos ojos quedaron? 6. ¿CUÁNTOS NUEVES? En una calle hay 100 edificios. casi el 43% perdió un ojo y el 50% de los restantes perdió ambos ojos. ACABÓ LA GUERRA.
1. PROPINAS AL ACOMODADOR. todos son gatos menos dos.. la mitad le ha dado 10 ptas. ¿Cuántos hombres componen la cuadrilla? 5. Da la casualidad que la altura media de estos gigantes es diez metros más que la mitad de su altura. MENUDA RAZA DE GIGANTES.31 -
. LA CUADRILLA. ¿Cuántos nueves necesitará? 8.300 espectadores. de propina al acomodador. El 13% de ellos le ha dado 5 ptas. EL PESO DE UN LADRILLO.
¿Cuánto cuesta cada uno? 14. Antonio: Si me das tres limones. Pedro: Si tú me das seis limones. Los dos juntos cuestan 50 ptas. Una botella cuesta 30 ptas. ¿Cuántos limones llevaba cada uno? 18. El vino cuesta nueve dólares más que la botella. tú tendrás el doble de las que yo tengo. ENTRE PASTORES. Un viajante recorrió en coche 5000 Km. La botella pesa 1 Kg. ¿Cuánto pesa la botella? ¿Y el tapón? 15. Un piloto de Fórmula 1 completó una vuelta del circuito del Jarama en un minuto veintitrés segundos. más que su tapón. ¿Cuánto valen 10 agujas de coser a 1000 ptas. tendré el doble de los que te quedan. A este ritmo. el millar? 10. más que Arturo? 16. ¿Qué es más. tendríamos las mismas”. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. Una botella de vino cuesta 10 dólares. PILOTO DE FÓRMULA 1. PEDRO Y LOS LIMONES. ¿cuánto habrá de tardar en completar 60 vueltas? 11. Antonio y Pedro se encuentran teniendo cada uno de ellos una carga de limones. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. ANTONIO. más que el tapón. permutando regularmente las ruedas (incluida la de repuesto) para que todas sufrieran igual desgaste. EL PRECIO DE LAS AGUJAS.Jesús Escudero Martín
9. LOS TANTOS POR CIENTO. Al terminar el viaje. EL PRECIO DE LA BOTELLA. Pero si tú me das una de las tuyas. y 10 gramos. ¿Cuánto cuesta la botella? 13. el 25% de 75 o el 75% de 25? 12.. ¿durante cuántos kilómetros ha sido utilizada cada rueda?
. EL MISMO DINERO. ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 17. ¿Cuánto tiene que dar Arturo a Benito para que Benito tenga 10 ptas. Una botella y su tapón pesan 1 Kg.32 -
. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. Arturo y Benito tienen la misma cantidad de dinero. Un pastor le dijo a otro: “Si te regalo una de mis ovejas. tendremos cada uno la misma carga.
o bien el problema no se ha comprendido correctamente. LA AMEBA. ¿Cuántos dedos hay en 10 manos? 24. DOMINÓ. MANOS Y DEDOS. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones. EL PRECIO DEL OBJETO. en 2 manos hay 10 dedos.. ¿cuántas le quedan?
En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar. ¿Cuánto tiempo le llevará a una sola ameba llenar otro tubo de ensayo de la misma capacidad? 23. Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el mismo tiempo. Al granjero le quedaron 10 Ha. DOCENAS DE HUEVOS. ¿Cuánta tierra tenía al principio? 21. Del juego del dominó se separan las fichas que tienen un 6. éste con el 5-4. antes de intentar calcularlo.
. es decir el 2-3 puede ir empalmado con el 3-5. Una ameba se divide en dos (y así se reproduce) exactamente cada minuto. ¿QUÉ HORA SERÁ? ¿Qué hora será. ESCRIBIENDO A MÁQUINA. o bien la pregunta carece de solución. ¿Cuánto vale el objeto? 27. Por un objeto se pagan 9 duros más la mitad de lo que vale. ¿CUÁNTA TIERRA? Cierto pequeño granjero no tenía dinero para pagar sus impuestos.Jesús Escudero Martín
19. 26. si quedan del día la tercera parte de las horas que han pasado? 25. Como consecuencia. Hallar la diferencia entre media docena de docenas de huevos y seis docenas de huevos. etc. Si un pastor tiene 15 ovejas y se le mueren todas menos nueve. Quieres colocar sobre la mesa las 21 fichas que quedan siguiendo las reglas del juego. el recaudador real de impuestos le quitó un décimo de sus tierras.33 -
. ¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360 caracteres en total? 20. Dos amebas en un tubo de ensayo pueden llenarlo por completo en dos horas. ¿podrás hacerlo? 22. En una mano hay 5 dedos... LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS.
¿Cuánto pesa un ladrillo y medio? 29.200 segundos? 32. luego se sierra en 27 cubitos de 10 cm. ni cerezas dejé. A real y medio la sardina y media. ¿Cuántas partidas jugó cada uno? 39. Juan y Antonio? 33. EL CUBO PINTADO.34 -
. ¿Cuántas cerezas había? 37. ¿Cuántos días hay en 43. A un cerezo trepé. A un cerezo subí. LO DE LA SARDINA. OTRO LADRILLO. ni cerezas toqué. ¿Qué relación hay entre las estaturas de Pedro. que con cerezas hallé. de lado cada uno. ¿Qué altura tiene un árbol. ENTRE PASTORES. mas cerezas no dejé. y medio ladrillo. ESCALA DE ESTATURAS. JUGANDO AL AJEDREZ. DINERO DE JUAN Y PEDRO. tendríamos las mismas. Pedro tiene la estatura que tendrá Juan cuando crezca lo que le falta a Antonio para tener la estatura de Pedro. yo cerezas no comí. tú tendrás el doble de las que yo tengo. tendré tantas como a ti te quedan. EL CEREZO. Si un ladrillo pesa 2 kg. PINTANDO UN CUBO. Pedro: Si tú me das 6 tendré el doble de las que a ti te quedan. ¿Cuántas cerezas había? 38. Un pastor le dijo a otro: si te regalo una de mis ovejas. ¿Cuántos serán los cubitos serrados que presentarían sólo dos caras pintadas? 36.Jesús Escudero Martín
28. Pero si tú me das una de las tuyas. OTRO CEREZO. que cerezas tenía. de lado se pinta completamente de rojo. ¿Cuánto dinero tienen Juan y Pedro? 35. LA ALTURA DEL ÁRBOL. Tres amigos jugaron al ajedrez. En total jugaron tres partidas. DÍAS Y SEGUNDOS. Un cubo de madera de 30 cm. ¿Cuál es el mínimo número de colores para pintar un cubo de forma que dos caras adyacentes no tengan el mismo color? 34. que es 2 metros más corto que un poste de altura triple que la del árbol? 30. Juan: Si me das 3 ptas. ¿cuánto costarán siete sardinas y media?
. ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 31.
pan y pan. ¿cuántas cervezas beberán seis hombres en seis días? 45. ¿cuánto pesaría? 49.Jesús Escudero Martín
40. Si construyéramos un modelo perfectamente a escala. PAN Y PAN. LAS CERVEZAS. La torre Eiffel tiene 320 metros de altura y pesa 7. dividido en cuadraditos de un milímetro. A MODO DE CHIMENEAS. ¿cuántos pares de medias son? 44. Si un arenque y medio cuesta tres medios peniques. Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y medio. y tres panes y medio. Cuatro amigos se reúnen en un bar y consumen entre todos 16 cervezas. 50. Pan. en los brazos de dos marineros y medio en dos horas y media. ¿cuántos panes son? 43. Docena y media de huevos cuestan dieciséis duros y medio. Dos fumadores consumen 3 cajetillas diarias. LO DE LOS ARENQUES. NIÑOS Y MOSCAS. pan y pan y medio. Calcule mentalmente qué longitud se obtendría si colocásemos todos los cuadraditos en línea. ¿Cuánto tardarán treinta niños en cazar treinta moscas? 47.000 toneladas. Si tres niños cazan tres moscas en tres minutos. Cuando piden la cuenta pretenden pagar cada uno lo suyo. LA TORRE EIFFEL. Supongamos un cuadrado de un metro de lado. ¿Cuántos tatuadores se necesitarán para tatuar 24 sirenas. PAN. MEDIAS MEDIAS. MILÍMETROS CUADRADOS. con el mismo material y que tuviera la mitad de su altura.35 -
. ¿Cuánto costarán 18 huevos? 41. ¿Cuántos fumadores de las mismas características serán necesarios para consumir 90 cajetillas en 30 días? 48. adosados unos a otros. cuatro medios panes. LOS TATUADORES. LAS 16 CERVEZAS. Cuatro medios pares de medias medias. ¿cuánto costarán doce arenques? 42. en los brazos de 24 marineros en 24 horas? 46.
. Dos tatuadores y medio pueden tatuar dos sirenas y media. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS.
Sabiendo que Antonio tiene doble que Luis y éste tres veces más que Pedro. OJO QUE ES UN CIRCUITO. CONEJOS Y PALOMAS. Sólo siete octavos de las focas más siete octavos de foca. ¿Cuántas focas había? 54. Cada vez que un tirador da en el blanco gana 500 puntos. En una jaula con conejos y palomas. ¿cuántas aves hay exactamente? 55. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? Entre Pedro. Vi focas pero no había muchas.36 -
. ¿cuántas veces hizo diana exactamente? 58.Jesús Escudero Martín
¿Cuántas cervezas debe pagar cada amigo sabiendo que cada uno de ellos tomó dos cervezas más y/o dos cervezas menos que otro? 51. rabioso aficionado al cine descubrió que una película de Buñuel duraba una hora y veinte minutos. pero cuando hace ese mismo camino en sentido contrario sólo tarda 80 minutos." ¿Con cuántos gatos vive Margarita? 53. CURIOSA PELÍCULA. MULAS Y BURROS. los días pares. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 4 cm. ¿a qué precio se vendieron cada uno de ellas? 57. LAS FOCAS DEL ZOO. ¿Qué longitud deberá tener el tercer lado para conseguir que el triángulo tenga la máxima área posible? 52. Sabiendo que después de 15 disparos obtuvo 2. Cuando se le pregunta a la vieja Margarita con cuántos gatos vive. EL TIRO AL BLANCO. y cada vez que falla pierde 300. y sólo ochenta minutos. Un caracol tarda una hora y veinte minutos en recorrer un circuito en sentido horario. Con estos datos. ¿A qué se debe esa diferencia? 59. responde melancólicamente: "Con los cuatro quintos de mis gatos más cuatro quintos de gato.000 duros. Sabiendo que los burros los pagan al doble que las mulas. Estuve el otro día en el zoológico. Mi amigo Bonifacio.700 puntos. hay 35 cabezas y 94 patas. LOS GATOS DE MARGARITA. ¿cuánto tiene Pedro? 56. ¿A qué será debido?
. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. Luis y Antonio tienen 500 ptas. Se han vendido 9 burros y 7 mulas y se ha cobrado por ellos 75. los impares.
MITOLOGÍA. ¿Cuántas monedas de cada clase tengo? 67. En un rectángulo. por minuto y la otra a 12 km/minuto. y entre las dos tengo 90 ptas. Se recaudaron 180 dólares. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿CUÁNTA AGUA SE DERRAMÓ? La tripulación de un barco hundido tenía agua sólo para trece días. Suponiendo que en este momento están exactamente a 5. el largo es el doble del ancho y el perímetro es de 360 m. EN DOS DADOS. un litro al día por persona.Jesús Escudero Martín
60. El agua duró exactamente lo que se esperaba. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA. ¿Cuántos cupones vale un bote de detergente? 62. ¿Cuántas extremidades tienen 3 centauros? 68.000 km. Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. Una vez reunidos 10 cupones. ¿Cuántos puntos hay en total en un par de dados?
. ¿Cuánta agua se derramó? 64. El quinto día se derramó algo de agua sin querer y murió uno de los hombres. Tengo igual cantidad de monedas de 5 ptas. Con cada bote de detergente la casa fabricante incluye un cupón de regalo.37 -
. ¿Cuántos chicos fueron a la feria? 66. de distancia. EL GRAN CHOQUE. TRABALENGUAS. Los adultos pagan 2 dólares y los chicos 1 dólar de entrada. ¿cuánto distarán una de otra un minuto antes de estrellarse? 61. LOS CHICOS DE LA FERIA. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 65. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. Una de ellas viaja a 8 km. A la feria benéfica de la escuela cada chico debía concurrir con un adulto. que de 1 pta. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? 63. LA GALLINA PONEDORA. el cliente puede canjearlos por un nuevo bote de detergente.
se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos.Jesús Escudero Martín
Álgebra. Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema. que datan del año 1900 a.38 -
. Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales. C. He aquí alguno de ellos:
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación: 64x-14800=54x ⇒ 10x=14800 ⇒ x=1480. Así.
. a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
El idioma del álgebra es la ecuación.. del inglés u otra lengua al idioma algebraico” También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes. Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia.
en cambio. por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. x Y los números pueden mostrar. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo. por el procedimiento de resolución. por su enunciado. mi carga sería el doble que la tuya. en traducir “la lengua vernácula a la algebraica”. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto. como se verá. cuán larga fue su vida. a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco. sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. x/12 cuando de vello cubriose su barbilla. EL CABALLO Y EL MULO. ¡oh milagro!. y cuántos el mulo?
. su hermosa existencia. Y la séptima parte de su existencia transcurrió x/7 en un matrimonio estéril. con frecuencia. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. 70. por la solución. Problemas más o menos originales. si yo te doy un saco. que duró x/2 tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra. En cambio.
69. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga. habiendo . Reproducimos esta inscripción: Usando En lengua vernácula álgebra ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad. Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste. plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento 5 de su precioso primogénito. tarea fácil. LA VIDA DE DIOFANTO. tu carga se igualaría a la mía”. notable matemático de la antigüedad. inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Y con profunda pena descendió a la sepultura. cuya sexta parte constituyó su infancia. .39 -
. efectivamente. que entregó su cuerpo.Jesús Escudero Martín
La solución de una ecuación es. etc. . x/6 Había transcurrido además una duodécima parte de su vida.
Dos comerciantes de vinos entraron en París llevando 64 y 20 barriles de vino respectivamente. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO.40 -
.. t/2 a todos les quedará la misma cantidad de euros. el del segundo se reduce en 2 duros. ¿Cuál era el precio de cada barril y su impuesto aduanero? 73. dos. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. LOS CUATRO HERMANOS. Si las cuenta de dos en dos. ¿Cuánto dinero tenía cada uno? En lengua vernácula Usando álgebra Los cuatro hermanos tienen 45 euros. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3.. x+2 = y-2 = 2z = t/2 72. con lo que el precio le resultó 12 ptas. le sobra 1. todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. más caro por docena.Jesús Escudero Martín
En lengua vernácula Si yo te tomara un saco mi carga sería el doble que la tuya. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones? 74. mientras que el segundo dio 2 barriles. etc. el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad.. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia?
. el primero de ellos dio 5 barriles y 40 francos. recibiendo 40 francos como cambio. Cuatro hermanos tienen 45 duros. Y si te doy un saco. tu carga se igualaría a la mía
71. Como no tenían dinero suficiente para pagar los derechos de aduana. hasta de 10 en 10. por los que pagó 60 ptas. de 4 en 4. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos. con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. COMERCIANTES DE VINOS. x+y+z+t=45 Si al dinero del primero se le agregan 2 euros x+2 al del segundo se restan 2 euros y-2 el del tercero se duplica 2z y el del cuarto se divide por.
por 3 tinteros y 4 cuadernos. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon? 78. un quinto al cultivo de judías. Unos amigos. antes de echar una moneda en una máquina de petacos. cada animal es un perro o un gato. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. LOROS Y PERIQUITOS. para obtener la deseada partida. ¿Cuántos eran. Uno de ellos ha tenido que marcharse antes de comenzar a jugar con lo que. COCHES Y MOTOS. MONDANDO PATATAS. los restantes amigos deben de conseguir 471.300 puntos cada uno. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay? 76. ¿Cuál es el precio de cada pájaro? 77. Dos personas mondaron 400 patatas. Luis ha pagado 46 ptas. cada loro se vende a dos veces el precio de un periquito. inicialmente. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20 dólares menos. ¿Cuántas hectáreas tenía en total? 82. y 6 melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. LOS DIEZ ANIMALES. En un taller fueron reparados 40 vehículos. LAS TIERRAS DEL GRANJERO. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. Cierta tienda de animales vende loros y periquitos. entre coches y motos. Entró una señora y compró cinco loros y tres pequeños. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. ¿Cuántos melocotones serán necesarios para equilibrar una pera? 81. han calculado que. Antonio ha comprado 5 tinteros y 4 cuadernos por 70 ptas. ¿Cuánto vale un tintero y un cuaderno? 80.750 puntos cada uno. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones. tienen que conseguir 392. y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz. cinco. Un granjero tenía algunas tierras. la otra dos. ¿Cuánto tiempo trabajó cada una? 79. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales.Jesús Escudero Martín
75. un cuarto al cultivo de guisantes.41 -
. TINTEROS Y CUADERNOS. los amigos? ¿Cuántos puntos necesitan para hacer partida?
. para hacer partida. una de ellas mondaba tres patatas por minuto. LA MÁQUINA DE PETACOS. Un tercio lo destinaba al cultivo del trigo.
% tiene carnet de conducir y que el 92. Ana y Carlos están merendando pasteles. Se licencian un cierto número de ellos. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno? 90..636363. Ana tiene triple de pasteles que Carlos. Quedaron 8 pasteles para Ana. dio uno de sus pasteles a Carlos. Ahora todavía tenía el doble que Carlos. decidió dar 4 pasteles a cada uno de los invitados preferidos. La primera clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. Carlos no estaba muy conforme. VENGA PASTELES. LAS MANZANAS DEL HORTELANO. ¿Cuántos eran sus invitados preferidos? 88. Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. la mitad de las que le quedan más dos y. MÁS PASTELES. la mitad de las sobrantes más dos. porque la campesina no tenía más huevos.% no usa gafas. En lugar de cortar ningún . ¿Cuántos soldados se licenciaron? 86. De los que quedan sabemos que el 63. al tercero. SOLDADOS DEL REGIMIENTO.. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. la mitad de las manzanas más dos. Tres docenas de limones cuestan tantos duros como limones dan por 16 duros. EL PRECIO DE LOS LIMONES. Encuentra a tres amigos y las da.Jesús Escudero Martín
83. Tenía 100 pasteles para repartir entre ellos. Ana tiene el triple que Carlos.. La tercera clienta sólo compró un huevo. Cierto día Ana estaba atendiendo a 30 invitados. Carlos se comió 5/16 de los pasteles que había en la mesa..42 -
. VENTA DE HUEVOS. Un hortelano lleva un canasto con manzanas.2297297297. Ana. ¿Cuánto vale la docena de limones? 85. A continuación Diego se comió 7/11 de los pasteles restantes. A regañadientes. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina? 87. En un regimiento hay 4. LOS PASTELES. Con esto terminó la venta. y tres a cada uno de los demás invitados.pastel a trozos. Diego tiene la mitad que Carlos. Aún sobró una manzana. al primero. ¿Cuántas llevaba al principio? 84. ¿Cuántos pasteles comió cada uno de los otros dos?
. ¿Cuántos pasteles más tiene que darle Ana a Carlos para que cada uno tenga los mismos? ¿Cuántos pasteles había en total? 89.000 soldados. PASTELES PARA LOS INVITADOS. al segundo.
Una mercancía encareció un 10% y luego abarató en un 10%. GANANCIA Y PÉRDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. descubrió que había recibido por los ya vendidos exactamente lo mismo que había pagado por todos ellos inicialmente. ¿Cuándo era más barata. Para su venta al público. y 100 por cada periquito. Con uno sacó un beneficio del 10% y con el otro sufrió una pérdida del 10%. se gana un 5% sobre el recargo que pagó. Un tratante de arte americano vendió un día dos cuadros por novecientos noventa dólares cada uno. se dijo. PASTELES SOBRE LA MESA. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. más que cuatro grandes y siete pequeños. Todos los residentes en Salamanca capital consiguieron plaza y su número representaba el 95% del total de aprobados. ¿De acuerdo? 93. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. ¿Estaba en lo cierto? 96. ¿Cuántos aprobaron y cuántos eran de Salamanca capital? 98. Ana se comió la mitad y uno más. Cuando tan sólo le quedaban siete animalitos por vender. ¿Cuál es el posible beneficio? 97. ¿Cuánto cuesta un pastel grande? 92. pues. LA REVENTA. Pagó los hámsteres a 200 pesetas cada uno. PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. antes de encarecerla o después de abaratarla? 94. Su posible beneficio viene. Una mercancía se abarató un 10% y luego se encareció en un 10%. dado por el valor colectivo de los siete animales restante. Si las vende ahora con un 15% de incremento sobre el precio de taquilla. A unas oposiciones al Ayuntamiento de Salamanca. "Eso significa que hoy me he quedado igual que estaba". antes de abaratarla o después de encarecerla? 95. Manuel ha comprado dos entradas para ir al fútbol con un 10% de recargo.Jesús Escudero Martín
91. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. HÁMSTERES Y PERIQUITOS. Sobre la mesa había una cierta cantidad de pasteles.43 -
. ¿Cuándo era más barata. Blas se comió la mitad de los que que. recargó el precio de compra en un 10 por ciento. se presentaron 37 candidatos. Siete grandes y cuatro pequeños cuestas 12 ptas. El dueño de una pajarería compró cierto número de hámsteres y la mitad de ese número de parejas de periquitos.
. sino que tendría que darle uno a la empresa.Jesús Escudero Martín
daban y uno más. en consecuencia. Cada uno marcó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo (es decir: si alguien tiró 10 tiros anotó diez puntos en cada tiro). pero por cada día que holgazaneara no sólo no recibiría ninguno. Una empresa contrató a un empleado para trabajar durante 26 días. ¿Cuántos días trabajó? 100. ¿Cuántos vestidos tiene Sonia? 103. cada uno. Con esto se acabaron los pasteles. habría tardado en vaciar el barril 4 horas y 40 minutos. Mis amigos Juan y Pablo. ¿Calculaba bien la verdulera? ¿Qué precio debería pedir por cada manojo de espárragos? 101. Diego se comió la mitad de los que quedaban y uno más. JUEGO EN FAMILIA. Sonia tiene un número de vestidos igual a los que posee Alicia divididos por los que tiene Ana. PASTELES COMO PAGO. Si de 5 en 5 me sobraban 4 metros. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. vendía sus manojos de espárragos a 160 ptas. MIDIENDO UN CABLE. VESTIDOS A GOGÓ. observé lo siguiente: Si medía de 2 en 2 metros me sobraba 1 metro. Un inglés y un alemán beben de un barril de cerveza por espacio de dos horas. al cabo de las cuales el inglés se queda dormido y el alemán se bebe lo que resta en 2 horas y 48 minutos. José y Luis. Si de 4 en 4 me sobraban 3 metros. Cada padre se anotó 45 puntos más
. LOS DOS BEBEDORES. con nuestros hijos Julio. Carlos se comió la mitad de los que quedaban y uno más. ¿Cuántos había sobre la mesa? 99. El empleado terminó ganando 62 pasteles. pero si el alemán se hubiera dormido en vez del inglés y éste hubiese continuado bebiendo. Al tratar de medir un cable que tenía en casa. de longitud y formaba así manojos que vendía a 80 ptas. recibiría 3 pasteles. Una verdulera de legumbres tenía la costumbre de atar sus espárragos con un bramante de 30 cm. Si de 6 en 6 me sobraban 5 metros. ¿Cuántos metros medía? 102. dio en utilizar bramantes de doble longitud y. Estipularon que por cada día que trabajara. Estaba seguro de que el cable medía menos de 100 metros. ¿En cuánto tiempo se lo hubiera bebido cada uno? 104. Cómo esos manojos le parecían demasiado pequeños. Alicia posee 42. pero tendría 8 veces los que tiene Gema si tuviera 14 más. cada uno. Si medía de 3 en 3 metros me sobraban 2 metros. disparamos con dardos sobre una diana con número en cada casilla.
Yo disparé 7 tiros más que Luis y Julio 15 más que Pablo. 356 páginas.. EL VASO DE VINO. Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla en el prado grande. entre los dos.
. Se supone que 5 caballos tienen el mismo valor que 12 vacas. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla? 109. y el del segundo de 17x12. Paco llena un vaso de vino y bebe una cuarta parte. cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. NEGOCIANDO POLLOS. El formato del primero es de 20x15 cm. hay una chova que se queda sin estaca. LA CUADRILLA DE SEGADORES. se tienen las siguientes equivalencias de cambio: a) Un collar y un escudo se cambian por una lanza. c) Dos escudos se cambian por tres cuchillos. b) Una lanza se cambia por tres cuchillos. Lo llena por segunda vez de agua y entonces bebe la mitad del vaso. Un granjero y su buena esposa están en el mercado para negociar sus aves de corral por ganado. una mitad de la gente quedó en el prado grande. Si en cada estaca se posa una chova. ¿Cuánto vino puro le queda por beber. y la otra mitad trabajó en el pequeño. Llegaron las chovas y se posaron en estacas. LIBROS DESHOJADOS. ¿Cómo se llama mi hijo? ¿Quién es el hijo de Juan? ¿Cuántos puntos se marcaron? ¿Cuántos tiros se tiraron? 105. EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. Durante esa tarde fueron terminadas las dos siegas. cubrirían 4'2264 m2. Pero si en cada estaca se posan dos chovas en una de las estacas no habrá chova. uno tenía doble superficie que el otro. a excepción de un reducido sector del prado pequeño. vuelve a llenarlo con agua y bebe una tercera parte de la mezcla. donde todavía subsiste el trueque. En una tribu del Amazonas. Un escritor ha compuesto dos libros que suman.45 -
que su hijo. considerando la capacidad del vaso? 106. después de la comida. Si extendiesen las hojas de los dos libros. Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados. ¿Cuántas páginas tiene cada libro? 108. ¿A cuántos collares equivale una lanza? 110. ¿Cuántas eran las chovas y cuántas las estacas? 107. sobre la base de que 85 pollos equivalen a un caballo y una vaca. LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS.
Esposa: Llevemos otros tantos caballos como los que ya hemos elegido. Un negociante separa al principio de cada año 100 dólares para los gastos del año y aumenta todos los años su capital en 1/3. PAGO EXACTO Y PUNTUAL. a otro dos discos y 1/7 de todos los restantes. Este huésped no tenía otro dinero. Pero al cargarlo de nuevo. a un tercero. y tendríamos la cantidad exacta de pollos para hacer el canje. Entonces Granjero: Creo que deberíamos tener más vacas que esas. ¿Cuántos pollos llevaron al mercado el granjero y su esposa? 111. hasta que repartió todos sus discos. ni ella a él. Un hombre tomó una posada por 30 días. Al cabo de 3 años se encuentra duplicado su capital. Cada vez que María se quedaba con 4 castañas. De primera intención los cuatro cargaron con pesos iguales. sino 5 piezas de plata que todas ellas valían 30 denarios. tres niñas las repartieron de modo que las cantidades recibidas guardaran proporción con sus edades.
duplicáramos el número de vacas que hemos elegido. TRANSPORTE DE UN TESORO. pero los tres mayores vieron que podían con más. A uno le regaló un disco y 1/7 de los restantes. y no le quedaba debiendo nada a la patrona. ¿Cuántos discos tenía y entre cuántos amigos los repartió?
. ¿Cuántos denarios valía cada pieza? ¿Cómo se pagaba con ella? 112. En total se llevaron entre los cuatro 138 kg. de oro. el mayor se atrevió aún a añadir una quinta parte más de lo que llevaba. por precio de un denario cada día. creo que si
tendremos tan sólo 17 caballos y vacas que alimentar durante el invierno. ¿Cuál era el capital al empezar el primero de estos años? 114. Y con estas piezas cada día pagaba la posada. y por cada 6 que recibía María.46 -
. Susana tomaba 7. SE QUEDÓ SIN DISCOS. EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS. Más aún. Tras recoger 770 castañas. NEGOCIANTE METÓDICO. y aumentaron su carga con la mitad de lo que habían tomado. Antonio repartió entre sus amigos los discos que tenía. Todavía los dos mayores se vieron capaces de aumentar su carga con un tercio de la que ya llevaban y así lo hicieron. tendríamos en total 19 vacas y caballos. Lola tomaba 3. tres discos y 1/7 de los restantes y así sucesivamente. ¿Cuánto cargó cada uno? 113. ¿Cuántas castañas recibió cada niña? 115. Cuatro muchachos se encontraron un enorme tesoro de monedas de oro.
¿Cuántas cámaras fotográficas habían robado? 118. más la quinta parte del nuevo resto.000 ptas. LOS LADRONES Y LAS TELAS. con lo que nuestras reservas de pienso nos durarán 15 días menos”. EL GRANJERO Y LOS POLLOS. lo que nos permitirá terminar la campaña sin más abastecimientos. ¿Cuántos eran los ladrones? (Resolverlo sin utilizar el álgebra) 119. MAESTROS Y ESCOLARES.Jesús Escudero Martín
116. Cada maestro atiende 30 alumnos más que cada maestra. Los ladrones se rebelaron contra esta injusticia y el más audaz de ellos dijo: "Tomaremos cinco cámaras cada uno". EL REPARTO DE LA HERENCIA.000 más que el anterior y la quinta parte del resto. al morir. El siguiente 200. tal vez convenga comprar 100 pollos. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo 100. Un granjero le dice a su mujer: “No sé qué hacer. Últimamente se decidió aumentar en 8 alumnos más la clase de cada maestra. Si cada uno de nosotros toma seis. Curiosamente todos los amigos recibieron la misma cantidad de discos.47 -
. el del grado inmediatamente superior se quedará con dos. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada uno? 117. Un padre. LOS LADRONES Y LOS CUADROS. ¿Cuántos ladrones y cuántos rollos de tela había? 120. dejó establecido que el hijo mayor recibiría 100. Pero como los pollos se pagan bien. que ahora están difíciles. Si vendo 75 pollos. Si repartían 6 para cada uno les sobraban 5. el jefe les dijo: "El de menor grado se quedará con una cámara. Si repartían 7 para cada uno les faltaban 8. quedarán cinco piezas. más la quinta parte del resto. Y así se hizo. En una comunidad existen 1.000 ptas. las reservas de pienso que tenemos nos durarán 20 días más de lo previsto. Pero si cada uno de nosotros quiere siete. Una noche después de haber robado una partida de cámaras fotográficas. ¿A cuántos niños atiende ahora cada maestro? 121. Unos ladrones robaron varios rollos de tela. Al final todos recibieron igual cantidad.000 alumnos que son atendidos por 19 personas entre maestros y maestras. nos faltarían ocho". el de tercer grado con tres y así sucesivamnente". En una banda de ladrones cada uno tenía un grado diferente. LOS LADRONES Y LAS CÁMARAS DE FOTOS. reduciéndose así las de los maestros. El jefe de unos bandidos decía a sus hombres: "Hemos robado unas piezas de tela.
Después de esto el ladronzuelo se vio en campo libre y en posesión de dos naranjas. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina?
. dejando ciertos hijos. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. la 2ª dos perlas más 1/7 de las restantes. compadecido por su necesidad. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto. LAS PERLAS DEL RAJÁ. y 600 ducados más. Muerto el padre. pero dándole también la mitad de las naranjas que tenía más media naranja. y hallaron que tanto vino al uno como al otro. VENTA DE HUEVOS.Jesús Escudero Martín
Dejando al granjero que resuelva el dilema con su mujer. y al tercero la sexta parte del restante y 900 ducados más. le dejó pasar haciéndole entregar la mitad de las naranjas que llevaba y otra media naranja.48 -
. y 300 ducados más al uno que al otro. ¿Cuántas naranjas había cogido al principio? 124. partieron la hacienda. ¿Cuántas hijas y perlas había? 125. Un vagabundo furtivo entró en un huerto ajeno para apropiarse algunas naranjas. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. ordenando que al hijo primero le diesen la sexta parte de la hacienda. y 300 ducados más. Con esto terminó la venta. ¿cuántos pollos tiene el granjero? 122. porque la campesina no tenía más huevos. La tercera clienta sólo compró un huevo. 123. les dijo que todas ellas se llevarían el mismo número de perlas. Tenían que repartírselas de una forma muy especial. y cuanto vino por cada uno. Con el segundo guardián consiguió por lástima de sus ruegos. ORIGINAL TESTAMENTO. una perla más 1/7 de las restantes. El juez. que también le dejase pasar. Cada hija recibiría: La mayor. Un mercader estando enfermo hizo testamento. y cierta cantidad de hacienda. la 3ª tres perlas más 1/7 de las restantes. Al salir tropezó con un guardián que. tras contar las perlas. y así sucesivamente todas las demás hijas. dando siempre a cada uno la sexta parte del restante. Un rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de perlas. La primera clienta le compró la mitad de los huevos más medio huevo. Y lo mismo exactamente le sucedió con un tercer guardián. y con este orden en los demás. LOS GUARDIANES DE LAS NARANJAS. y al segundo la sexta parte del restante. cuánta hacienda. Pídese cuántos hijos dejó el padre.
Un chiquillo cazó varias arañas y escarabajos. en total ocho. 2. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores? 128. LOS 3 PANES Y LAS 3 MONEDAS.Jesús Escudero Martín
126. ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 131. Un pastor tiene 2 panes y otro 1 pan. 3. CERDOS Y OVEJAS (2). Para complicar las cosas. CERDOS Y OVEJAS (1). Al tercer cliente un cuarto de los que le quedaban más tres cuartos de ganso. medio dólar. disponiendo en su testamento lo siguiente: "Si la criatura que va a nacer es niño. cada cerdo. ésta se llevará 1/3 y 2/3 la madre. Se encuentran con un cazador que no lleva comida. Un hombre. y cada oveja. un cerdo. niño y niña. Juntan los 3 panes y los tres comen partes iguales. ¿Cómo deben repartirse las 14 vacas entre los tres? 129. 127. Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. cada cerdo. Al segundo cliente la tercera parte del resto más un tercio de ganso. y una oveja. muere. cada cerdo. VACAS. CERDOS Y OVEJAS (3). y los guardó en una caja. Volvió a casa con 19 gansos que le sobraron. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca. Cada vaca le costó 5 dólares. un cerdo. Si es niña. VACAS. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca. CURIOSO TESTAMENTO. VACAS. Al cuarto cliente un quinto de los que le quedaban más un quinto de ganso. Al despedirse. medio dólar. éste se llevará 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 132. VENTA DE GANSOS. 2. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales resultan 54 patas. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja? 130. ARAÑAS Y ESCARABAJOS. Cada vaca le costó 4 dólares.
. y cada oveja. sucedió que nacieron mellizos.Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. Un campesino fue al mercado a vender gansos. y una oveja. cuya mujer está a punto de dar a luz. ¿Cuántos gansos llevó al mercado el campesino? Hay que tener en cuenta que ningún ganso fue dividido. Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases." Las posesiones del padre eran únicamente 14 hermosas vacas. Cada vaca le costó 10 dólares. el cazador les deja 3 monedas. Vendió al primer cliente la mitad de los gansos más medio ganso.49 -
Tres jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Jugaron siete partidas y cada vez perdió un jugador distinto. CURIOSA PARTIDA (2). Una gran empresa proyectaba abrir una sucursal en cierta ciudad y puso anuncios solicitando tres empleados. ¿Con cuántos reales habían llegado a la feria? 134. pagándole a cada uno tantos reales como ellos tienen. díganme que prefieren. y 80 céntimos. Tres feriantes tienen cada uno un cierto número de reales. Al acabar todos tenían el mismo dinero: 12 pesetas. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca. LOS ASPIRANTES AL PUESTO DE TRABAJO. Inmediatamente lo pusieron al frente de los otros dos. de 1. pero. perdieron todos ellos. un cerdo. Si su trabajo es satisfactorio y decidimos que sigan. es decir. el tercero compra aceite a los otros dos. Por último. pagándoles tantos reales como ellos tienen. y una oveja.50 -
. se les aumentará el sueldo. pagaderos por semestres. ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 133. Siete jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros seis. después de pensarlo. CURIOSA PARTIDA (1). Después de haber perdido todos ellos una partida.Jesús Escudero Martín
y cada oveja. cada jugador se retira con 200 ptas. Después. eligió la segunda. Terminados estos negocios se vuelven a su casa con 48 reales cada uno. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno el juego?
. ¿Por qué? ¿Fue acaso que al gerente de personal le gustó su modestia y su aparente deseo de ahorrarle dinero a la compañía? 135. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego? 136. pagando a cada uno tantos reales como ellos tienen. El primero compra vino a los otros dos. pero el tercero.000 dólares anuales. el segundo compra garbanzos a los otros dos. y les dijo: "Sus sueldos han de ser. El gerente eligió a tres jóvenes que parecían prometer. NEGOCIO PARA TRES. al empezar. un tercio de dólar. ¿un aumento de 150 dólares anuales o uno de 50 dólares cada semestre?" Los dos primeros aceptaron la primera alternativa.
y el tercero es triple del primero. Se obtiene un resultado divisible por 9. Los números primos detectados hasta ahora son muchísimos. ¿Cuál es esta base? 144. imagine que alguien ya hizo esa multiplicación por Vd. El producto de cuatro números enteros consecutivos es 3. tengo cuatro cifras. 3. 5 y 6 da respectivamente los restos 1. Mi hijo ha aprendido a contar según una base no decimal. 3. Llamemos al resultado P.024.Jesús Escudero Martín
Problemas sobre números. El segundo es el doble del primero. del 2 al 10 sólo hay un divisor mío. ¿Qué número soy? 140. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. curiosidades numéricas. 138. TODOS LOS PRIMOS. AÑO DE NACIMIENTO. ¿Cuál es el menor número con 7 divisores y no más? ¿Y. ¿Cuál es el menor número que. a) ¿Con qué cifra del 0 al 9 termina P? b) La segunda cifra (la de las decenas). pero algunos me ven como si fuera un 9. No. LA BASE DESCONOCIDA.
137. ¿QUE NÚMERO SOY? Soy capicúa. ¿Por qué? 141. pero hay una cantidad finita de ellos. de manera que en lugar de escribir 136 escribe 253. 4 y 5? 142. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. EL MENOR CON X DIVISORES. Encuentra los tres números.
. dividido por 2. Escribe el número 100 empleando cinco cifras iguales. Multipliquémoslos todos entre sí. Las nueve cifras de los tres números: ABC DEF GHI son distintas. 2. PRIMERA ESCRITURA DEL CIEN. Restad a vuestro año de nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. MENOR NÚMERO. ¿Cuáles son estos números? 145. con 8 divisores? 143. 4.51 -
. ¿es par o impar? 139. etc. no se ponga a multiplicar.
. 151. escribió 5423. por último. EL NÚMERO 25.000. Si ahora sumamos las cifras del resultado 4+9+1+3. Lo mismo ocurre con el 18.143. 8 y 9. 173=4. ERROR MECANOGRÁFICO. 3. dividiendo entre 4. El producto de cualquier número entero por 100 da como resultado el citado número con dos ceros más a su derecha.857. Ejemplo. 149. -. Por ejemplo: 234234. CURIOSA PROPIEDAD. El producto de cualquier número por 25. : y ( ). CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. 1. El producto de cualquier número de 9 cifras por 1.001 da como resultado el citado número de 9 cifras duplicado. que gozan de la misma propiedad. encontrar otras cuatro cifras. 183=5. Obtienes divisiones parciales exactas y al final tu número inicial. que es muy distinto. 2. 2. El cociente de 1.832. Divide este número entre 7. Una mecanógrafa inexperta estaba copiando un libro de matemáticas. Encuentra fracciones similares que den por resultado 3.Jesús Escudero Martín
Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +. volvemos a tener el 17. para que ambos modos de escribir signifiquen el mismo número? (En este caso el error mecanográfico no hubiese tenido importancia en el resultado). Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. x. 357419 x 25 = 8935475.913.143. ¿cómo se puede obtener rápidamente sin tener que realizar la multiplicación? 150. Los números del 2 al 9 pueden ser expresados como fracciones en las cuales cada dígito. ¿verdad? ¿Por qué? 147. el citado número con dos ceros más a su derecha. 4=15768/3942.000. 5. 3. 1.857.001 entre 7 da como resultado el número 142.000. 7. El cociente de 100 entre 4 da como resultado el número 25. El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142. aparece una y sólo una vez. se puede obtener.143. después el cociente entre 11 y. Obtenido así: 35741900 : 4 = 8935475. DIVISIONES EXACTAS. ¿Podría Vd. EL NÚMERO 142. 6.52 -
.857. 146.000. Por ejemplo: 2=13458/6729. No muy lejos de ellos hay otros dos números. 148. consecutivos. 5+8+3+2=18. donde debía escribir 5423. excepto el 0. el nuevo cociente entre 13.
Empleando cuatro cincos (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos +..
. CON 4 TRESES. SEGUNDA ESCRITURA DEL CIEN. : y ( ). potencias.) expresar todos los números del 1 al 10.53 -
. Todavía lo practican algunos árabes de ciertas regiones. b) 5432 x 9876. x. CON 4 CINCOS. -.=3/9.
Realiza por este método: a) 789 x 1358.5=5/10. Se puede usar la notación anglosajona 0'3=.. 155.Jesús Escudero Martín
152.3=3/10.5555. potencias. !. También se admite: 0. Empleando cuatro treses (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+. En el ejemplo se muestra el producto de 346 x 2674 = 925204. Se puede usar la notación anglosajona 0'5=. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. /.) expresar todos los números del 1 al 10.3 período=0.3333. x. 154. .=5/9. También se admite: 0.. 153. -. !. /. etc. Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas.. . x. c) 1234 x 56789. etc.5 período=0. -.
EXTRAÑA PARTIDA DE AJEDREZ. si al final quedan únicamente 1. SOND y SOND. S. 15. S. Las letras iniciales de los números 7.
. ¿Las iniciales de qué otros cuatro elementos. CON CALCULADORA MEJOR. 9. ¿Qué representa la siguiente secuencia? O. ¿Cuál es el criterio. NI EN UNA SEMANA. 159. A2D. sucesiones. secuencias. 8.Jesús Escudero Martín
SERIES . O. S. 66. 9 y 10 forman la secuencia SOND.. ¿Qué emparenta a todas estas palabras? DOLOR .SIGLO 161. 2. R1T. 4. 3. 160. 76. 62. 34.SECUENCIAS
Problemas sobre series.FAZ . 7. . ¿De qué se trata entonces? 164. 2 y mil? 163. 6. S.LAGO . 84. 15. 19. 8. S. 72. 4. dan la misma secuencia? 162. VAYA CRITERIO. 13. 1.54 -
. P3T... ¿Qué representa la siguiente secuencia? 6. Las siguientes anotaciones parecen corresponder a una partida de ajedrez. ALFA COMO PISTA.. 8. 5. ¿Qué representa la siguiente secuencia? 0. D14R. 2.SOLAR . 2. SECUENCIA QUE RUEDA. 63. 6. 5. SON PARIENTES. Siguiendo un criterio lógico. ni en una semana. 7. 17. tomados también en orden. ¿Qué representa la siguiente secuencia? 0. 5. Pero la última es más bien extraña.. 21.RESTA . . 5.MILLAR . 157. se tachan los números naturales que no cumplan ese criterio. 158. 32. 6. 6. A1C. 4.. 73. . 81. ¿Qué representa la siguiente secuencia? 6. 3. 27. PRINCIPIO Y FIN.
156. Apuesto a que no lo saca Vd.
¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?
165. El que se lleve el último gana. consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. ¿Cuál es la estrategia ganadora? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 166. Suelen ser muy interesantes. El juego. que es para competir dos jugadores entre sí. El juego. DE HOLA RAFFAELA EN TVE.55 -
. que es para competir dos jugadores entre sí. consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA. Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 5.Jesús Escudero Martín
No podrían faltar los problemas que surgen a partir de los juegos de estrategia. ¿Cuál es la estrategia ganadora? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 167. Veamos una partida: Primer jugador 3 4 1 5 4 5 1 Segundo jugador 5 4 3 5 4 1 5 Suma total 3 8 12 16 17 20 25 30 34 38 43 44 45 50 ¡Gana el segundo jugador! Después de jugar algunas partidas. El primer jugador que consigue sumar exactamente 50 es el ganador. y los suman a los números elegidos anteriormente. Es un juego para dos jugadores. Los números del 1 al 16 están escritos en cuatro filas como se muestra más adelante. Los números del 1 al 15 están escritos en tres filas como se muestra más adelante. LLEGAR A 50. El que se lleve el último pierde.
Veamos un modo de construir fácilmente cuadrados mágicos de orden impar. de tal modo que la suma de cada una de sus filas. Los chinos y los indios los conocían antes del comienzo de la era cristiana. se sigue por la primera celda. a partir de la izquierda. realicemos un cuadrado mágico de quinto orden:
. entonces se llaman "cuadrados latinos". El origen de los cuadrados mágicos es muy antiguo.56 -
. 3) Si al hacer esto se sale del cuadrado por el límite superior del contorno del mismo. el número consecutivo de la serie se coloca en la celda inmediatamente inferior a la del número precedente. si se sale por la derecha. 1) Tomemos una serie aritmética cualquiera. Como ejemplo.Jesús Escudero Martín
Los cuadrados mágicos son ordenaciones de números en celdas formando un cuadrado. de la fila superior. Así. uno con 5 celdas se dice que es de quinto orden. comenzando así un nuevo camino en la dirección de la diagonal. 4) Cuando la celda siguiente está ocupada. de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales dé el mismo resultado. saltaremos a la celda de la columna siguiente hacia la derecha y en su fila inferior. 2) La cifra consecutiva a una cualquiera debe colocarse en la celda que le sigue diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha. para mayor comodidad la serie de los números naturales. Si la condición no se cumple para las diagonales. Los cuadrados mágicos se clasifican de acuerdo con el número de celdas que tiene cada fila o columna. y coloquemos el número 1 en la celda central de la fila superior.
172. D. Hallar A. CALCULA: A. en esta forma el llenado de las casillas. A COMPLETAR. o les añadimos un mismo sumando. de manera que la suma de las filas y la suma de las columnas sea 18. SUMA 24. puesto que las sumas siguen siendo iguales entre si cuando multiplicamos todos los números de las casillas por un mismo factor. de manera que la suma de las filas y la de las columnas sea 24. ORDEN 3. Completa los casilleros que faltan para que resulte mágicos el siguiente cuadrado: 7 5 8 11 9 174. DE ORDEN 4. COMPLETA 3x3. NUEVE CONSECUTIVOS. 171. Coloca tres números consecutivos en un cuadrado de 3x3. B. (Suma=34) 170. ORDEN 3. (Suma=15) 169.
168. 67 43 73 173. es claro que podemos alterar fácilmente. C. E. Coloca nueve números consecutivos en un cuadrado de 3x3.Jesús Escudero Martín
. SUMA 18. DE ORDEN 3. Construye un cuadrado mágico de 4x4. TRES CONSECUTIVOS. Completa el siguiente cuadrado para que sea "mágico". Construye un cuadrado mágico de 3x3. D y E en el siguiente cuadrado mágico: 15 A 35 50 B C 25 D E
116 y 114. Se tienen 27 bolas semejantes. 123. Encontraron que de a pares pesaban 129 kilos.
175. 120. 121. (Tres pesadas 181. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante tres pesadas solamente. rompiéndose en 4 pedazos cuyos pesos respectivos eran números exactos de kilos. identificar al culpable. un rey espera que cada uno de sus 30 vasallos le entregue 30 monedas de oro. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante cuatro pesadas solamente. ENGAÑANDO A LA BALANZA. Un mercader tenía una pesa de 40 Kg. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante dos pesadas solamente. 118. 178. Se tienen 9 bolas semejantes. (Cuatro
. LAS 30 MONEDAS DE ORO. 179. entre las cuales hay una más pesada que las otras. Descubre el peso de cada una por separado. Pero sabe que uno de ellos ha adoptado la triste costumbre de darle monedas de 9 gr. entre las cuales hay una más pesada que las otras. y por medio de los cuales podía pesar cualquier carga que fuese. realizadas en una balanza que carece de pesas. CON SÓLO DOS PESAS. LAS 81 BOLAS. realizadas en una balanza que carece de pesas. un número exacto de kilos comprendido entre 1 y 40 ambos inclusive. con el fin de cortarle la cabeza? 177. realizadas en una balanza que carece de pesas. separa 1.400 gramos. una de 10 gramos y la otra de 40 gramos. En su resolución se usan razonamientos matemáticos. LAS 9 BOLAS. con una sola pesada. Como cada año. 176. y no de 10 como él ordena. Cinco gruesas niñas que descubrieron que pesándose de a dos e intercambiándose de a una por vez. ¿Cómo podrá. El juego de pesas de una balanza consta sólo de dos pesas.800 gramos de semillas en dos bolsas de 400 y 1. asimismo. En sólo tres pesadas. 125. Determinar el peso de cada uno de los 4 pedazos en que se rompió la pesa inicial. 122. (Dos pesadas
180.58 -
. LAS PESAS DEL MERCADER. que se le cayó. podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda. Se tienen 81 bolas semejantes.Jesús Escudero Martín
Los problemas sobre pesas y pesadas suelen ser muy interesantes. LAS 27 BOLAS. entre las cuales hay una más pesada que las otras.
Estos fueron con una velocidad media de 60 km/h. inicia el descenso) 183. ¿Cuál será la velocidad media para el recorrido total? (Se supone. Un automóvil pasa frente a un mojón que lleva el número kilométrico AB. y a continuación regresa también en línea recta desde B hasta A. PROMEDIANDO. ¿sufrirá alguna modificación el tiempo invertido en el trayecto de ida y vuelta? 187. La velocidad media de cualquier viaje se calcula siempre dividiendo la distancia total por el tiempo total. y al de 6 km/h al bajarla. Un esquiador sube en telesilla a 5 km/h. cuando fuimos al campo de merienda. ¿Qué velocidad media conseguí en el viaje completo? 184. manteniendo el motor siempre en el mismo régimen. UN ALTO EN EL CAMINO. ¿Qué números tienen los mojones y cuál es la velocidad (constante) del automóvil?
. EL AVIÓN Y EL VIENTO. Si soplara un fuerte viento de A hacia B. Los Gómez y los Arias.59 -
182. EL BÓLIDO Y LOS TRES MOJONES. claro está. Parten a la vez de Madrid. y los Gómez con una velocidad media de 70 km/h. Viaja con aire en calma. AL CAMPO DE MERIENDA. Hay que tener mucho cuidado al calcularlas. y el número de revoluciones se mantiene como antes. ¿A qué velocidad tendrá que descender esquiando para conseguir una velocidad de 10 km/h. ¿A cuántos kilómetros de Madrid estaba situada la primera parada? 185. Una hora después pasa frente al mojón BA. cuando llegó el coche de los Arias. y fijan el lugar de la primera parada. Llevaban esperando media hora los Gómez. y el de vuelta. Una persona camina al ritmo de 2 km/h al subir una cuesta. EL ESQUIADOR FRUSTADO. que tan pronto alcanza la cima. a 30 km/h. El otro día. acuerdan realizar un viaje al alimón. una hora más tarde frente al mojón A0B.Jesús Escudero Martín
La mayor parte de la gente se hace con facilidad un lío en los problemas relativos a velocidades medias. Un avión vuela en línea recta desde el aeropuerto A hasta el aeropuerto B. en el recorrido total? 186. el viaje de ida lo hice a una velocidad media de 60 km/h.
seguida invariablemente. 6 o uno con lados 5. de manera que el propietario pagase la parte proporcional del impuesto. Quizá tenga que ver con la sorpresa de lo inesperadamente sencillo. que vivió en Grecia en el siglo V antes de Cristo. De esta forma. Por la riqueza de sus aspectos visuales. No podemos decir exactamente qué entienden por "precioso" los matemáticos. Herodoto. Es frecuente que la resolución de problemas geométricos resulte prácticamente trivial atinando a usar uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclídea. me parece. relata el origen de la geometría (palabra que en griego significa medición de la tierra). con la misma claridad con que se aprecia la belleza de las personas. 5. de la exclamación: "¡Precioso!".
188. casi siempre manifiesta admiración.Jesús Escudero Martín
Creer que una ciencia existe a partir de determinado momento o de tal acontecimiento parece una ingenuidad. TRIÁNGULOS ORIGINALES. con la intención de cobrar la renta por medio de un impuesto que sería recaudado anualmente. que se difundió más tarde por la Hélade”. en sus Historias. 8?
. la geometría guarda un tesoro de hermosos teoremas y preciosas demostraciones. un triángulo con lados 5. Pero cuando el paso del Nilo redujese una porción.60 -
. se originó la geometría. que controlasen la reducción del terreno.
Cuando un matemático se tropieza por primera vez con teoremas como algunos de los que veremos a continuación. ¿Cuál tiene una superficie mayor. Sin embargo. Pero todos los matemáticos perciben la belleza de un teorema. el súbdito correspondiente debía acudir al rey para notificarlo. otorgando a cada uno un rectángulo de igual tamaño. 5. “Se cuenta también que el rey Sesostris dividió la tierra entre todos los egipcios. o de la demostración de un teorema. Entonces éste mandaba a sus inspectores.
El segmento PQ mide 3 cm. a menudo se complica de un modo inverosímil. ¿Cuánto mide el lado del rombo?
191. EL RADIO DEL CÍRCULO.
Hay problemas que nos dejan perplejos porque la respuesta elemental.61 -
. según la figura. Dos circunferencias secantes tienen por centros respectivos P y Q. ¿Cuánto mide MN?
194. EL ÁNGULO EXTERIOR. GOLPE DE VISTA. la hipotenusa a=10. Teniendo en cuenta la figura. el cateto b=8 y el cateto c=6.
192. hallar el radio del círculo.Jesús Escudero Martín
189. se quiere construir un estanque de forma rómbica. Por uno de los puntos (O) donde se cortan las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. En el triángulo ABC. EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES. rectángulo en A. EL VALOR DE LA MEDIANA. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
190. En una plaza circular de R=9 m. EL LADO DEL ROMBO. Hallar en 30 segundos el valor de la mediana AM. ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos diagonales de las caras del cubo?
.. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50º.
NUEVE ÁNGULOS. Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos. En la figura tenemos dos sobres ligeramente diferentes ya que el segundo tiene una línea más. que marca la doblez de cierre. CUADRADOS QUE SE CORTAN. de modo que dicha línea cruce cada uno de los 16 segmentos que componen la red una vez solamente. y sin pasar más de una vez por el mismo trazo. evidentemente una solución del problema. ¿Es posible dibujar cada uno de los sobres sin levantar el lápiz del papel. Se ha dibujado solamente a fin de hacer patente el significado del enunciado del problema. La línea continua dibujada no es. Calcula el valor de todos los ángulos de la figura sabiendo que el ángulo 1 vale 70Ε.Jesús Escudero Martín
197. de manera que un vértice de uno está siempre en el centro del otro. DIBUJANDO SOBRES. EL CRUCE DE LA RED.
. ya que deja un segmento sin cruzar. Se trata de trazar una línea continua a través de la red cerrada de la figura.
196. ¿En qué posición el área comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible?
Formar con 12 cerillas 6 cuadrados iguales. con palillos. . LAS DOCE MONEDAS. Formar 6 filas. monedas. Colocar 4 monedas como si fueran los vértices de un cuadrado. polígonos. Con seis palillos formar cuatro triángulos equiláteros. SEIS FILAS. 202. de tal modo que en cada lado haya 4 monedas. de 6 soldados cada una. cerillas. empleando para ello 24 soldados.
200. Divide la figura adjunta en cuatro piezas idénticas. 203.
199. Con 12 monedas formamos un cuadrado. trasposiciones. Moviendo sólo una de ellas. trapecios. divisiones. 205. Se trata de disponerlas igualmente formando un cuadrado. DOS FILAS. pero con 5 monedas en cada lado del cuadrado. SEIS SOLDADOS. EN 4 PIEZAS IDÉNTICAS. MUCHOS CUADRADOS. 201. TRES MONEDAS. cuadrados. triángulos. conseguir dos filas con tres monedas cada una. LOS SEIS CUADRADOS. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?
. etc. 204..Jesús Escudero Martín
Construcciones..63 -
. LOS SEIS PALILLOS.
Si el correo era capturado sólo tenía que quitar el hilo del disco y el mensaje desaparecía. entran en una de las dos categorías siguientes: transposición o sustitución. Pero posteriormente este procedimiento se perdió. otras palabras u otros signos. Su objeto es transformar un mensaje claro en un mensaje secreto que en principio sólo podrá ser leído por su destinatario legítimo (operación de cifrar). el arte de las escrituras secretas. las palabras o las frases del texto claro. B por E.
. a esto sigue la operación inversa llevada a cabo por el destinatario (operación de descifrar). Julio César se limitaba a utilizar un alfabeto desplazado en tres puntos: A era reemplazada por D. Los romanos emplearon un procedimiento muy ingenioso indicado por Eneas el Tácito (siglo IV a de C. La tira desenrollada mostraba un texto sin relación aparente con el texto inicial. de conformidad con cierta ley. Todos los procedimientos de cifrar antiguos y modernos. las letras. La sustitución consiste en reemplazar esos elementos por otras letras. Sobre esa tira se escribía el mensaje en columnas paralelas al eje del palo. discutidos y discutibles.Jesús Escudero Martín
La criptografía es. El procedimiento consistía en enrollar un hilo en un disco que tenía muescas correspondientes a las letras del alfabeto. el procedimiento criptográfico más antiguo que se conoce es la escitala de los lacedemonios. las cifras. Por Suetonio conocemos la manera en que Julio César cifraba las órdenes que enviaba a sus generales.64 -
. de la que Plutarco nos dice que fue empleada en la época de Licurgo (siglo IX antes de nuestra era). etc. como lo indica su etimología. Para leer el mensaje bastaba con conocer su primera letra. sus talentos de criptógrafo no igualaban a los del general. pero que podía leerse volviendo a enrollar la tira sobre un palo del mismo diámetro que el primero. Si dejamos de lado los textos bíblicos en cifra. La transposición consiste en mezclar. Restablecer el texto claro partiendo del texto cifrado sin que de antemano se conozca el procedimiento de cifras es el desciframiento. Hoy el arte de cifrar utiliza las técnicas de la electrónica y ya no tiene ninguna relación con los procedimientos que acabamos de describir.) en una obra que constituye el primer tratado de criptografía conocido. otras cifras. La escitala era un palo en el cual se enrollaba en espiral una tira de cuero. a pesar de su diversidad y de su número ilimitado.
Reconstruir la suma: 3A2ABC + C8A4DD = E1DE19. OTRA SUMA FÁCIL. Para complicar las cosas. ÚNICA SOLUCIÓN. OTRO MUY FACILÓN. SEÑAL DE SOCORRO. SUMA FÁCIL. Es fácil ver que la criptaritmética es un procedimiento de cifrar por sustitución y que la clave es una regla matemática. 211. El problema consiste en hallar las cifras que están "bajo" las letras. Éste tiene solución única: ABCDE x 4 = EDCBA. pero los aficionados a las variedades comenzaron a interesarse por ellas en el primer congreso internacional de recreaciones matemáticas que se reunió en Bruselas en 1935. Los enunciados criptaritméticos son a veces seductores. de una ecuación. 213. Reconstruir la suma: ABC23D + C4EFGB = B769C7.
206. En el caso extremo solo quedan asteriscos. Resuelve: PAR + RAS = ASSA. Reconstruir el siguiente: R1G + 1G3 + 305 = GN5. Reconstruir la suma: 3AB32C + B2DECA = F51CD6. 209. Reconstruir éste: PLAYA . FACILÓN.
. en ciertos sitios se puede marcar simplemente el lugar de una cifra con un punto o un asterisco. Por eso se aconseja que se dediquen a este género de problemas sólo los lectores pacientes y minuciosos. 214. 207. Resolver: IS + SO = SOS. OTRA SUMA FÁCIL. No sé en qué época se inventó. La criptaritmética no es más que un juego.NADAR = 31744. sus soluciones no presentan dificultades matemáticas pero en cambio exigen numerosísimas hipótesis y.Jesús Escudero Martín
La criptografía es un arte que desempeñó un importante papel en el desenvolvimiento de la historia.65 -
. en consecuencia. Reconstruir la suma: ABC52C + D31ECA = G45GH7. 210. PARA PRINCIPIANTES. 212. 208. La criptaritmética consiste en reemplazar las cifras por letras en la transcripción de una operación de aritmética clásica. MUY FACILÓN. cálculos largos y trabajosos que implican grandes riesgos de confusión.
OTROS DOS RELOJES DE ARENA. ¿cuál es el método más rápido para controlar la cocción de un huevo.66 -
. el que se adelantaba marcaba exactamente una hora más que el otro. Puse en marcha dos relojes al mismo tiempo y descubrí que uno de ellos se atrasaba dos minutos por hora y que el otro se adelantaba un minuto por hora. ¿cuántas veces pasa el minutero sobre la aguja horaria? 216. el ángulo formado por la aguja horaria y el minutero del reloj es de 90Ε. y de otro de 11 minutos. ¿Cuánto tardará en dar las 12? 218. que debe durar 15 minutos? 222. ¿Cuánto pudo descansar antes de que el despertador sonase? 219. Un reloj de cuco tarda 5 segundos en dar las 6.
215. Siendo las tres en punto. EL MINUTERO TRES VECES MENOS. Entre las 12 del mediodía y las 12 de la noche. disponiendo de un reloj de arena de 7 minutos y otro de 4 minutos?
. DOS RELOJES DE ARENA.Jesús Escudero Martín
En la resolución de problemas relativos a relojes se usan razonamientos matemáticos. LOS DOS RELOJES. Miro el reloj. Disponiendo de un reloj de arena de 7 minutos. ¿Cuánto medirá el ángulo diez minutos después? 217. Mi tío estaba tan cansado que se acostó a las 9 de la noche. A LAS TRES Y DIEZ. A partir de ahora la aguja de las horas va a tardar justo el triple de tiempo que el minutero para llegar al número 6. Para ello puso su despertador a las 10. OJO AL MINUTERO. ¿Durante cuánto tiempo habían estado funcionando estos dos relojes? 220. ¿Qué hora es? 221. ¿Cuál es el método más rápido para cronometrar 9 minutos. Cuando volví a fijarme. EL RELOJ DE CUCO. Unos 20 minutos después de acostarse ya estaba dormido. con la intención de dormir hasta las 10 de la mañana del día siguiente. SONÓ EL DESPERTADOR.
Mi hermano me lleva 8 años. LA EDAD DE MI HIJO. Y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor que era hace tres años.Jesús Escudero Martín
Los problemas relativos a edades son siempre interesantes y ejercen cierta fascinación sobre los jóvenes con inclinaciones matemáticas. ¿Cuántos años tiene?
. muerto en 1971.
223. ¿A qué edad murió? 227. si hace tres años era el triple? 229. 6 y 8 da de resto 1. 3. gustaba decir el Sr. La edad de Juan es 1/6 la de su padre. Por lo general son extremadamente simples. "Yo tenía n años en el año n2". ¿Dentro de cuántos años su edad será el doble que la mía. ¿Qué edad tiene Juan? 228. En una lápida podía leerse esta inscripción: “Aquí yace Pío Niro.000 sabiendo que esa edad será igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento? 224. ¿Qué edad tendrá Carlos en el año 2. CARLOS EN EL AÑO 2. Bien. ¿Quién es mayor. el niño o la niña? 226. pero al dividirla por 5 da de resto cero. Gómez a sus amigos. POBRE PÍO.67 -
. LA EDAD DE JUAN. MI HERMANO Y YO. LA EDAD DEL SR. ¿cuándo nació? 225. vivió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento”. GÓMEZ.000. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. Pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿QUIÉN ES MAYOR? Dentro de dos años mi hijo será dos veces mayor que era hace dos años. La edad del padre dividida por 2. 4.
LA FAMILIA DE CARLOS. donde se había instalado a los 4 años de casado. El famoso cuadro Las Meninas fue pintado por Velázquez en 1656. a los 57 años de edad. ¿Cuál es la edad del capitán? 232. ¿A qué edad se casó? 231. Si se escribe tres veces seguidas su edad se obtiene un número que es el producto de su edad multiplicada por la de su mujer y la de sus cuatro hijos. después de vivir 34 años en Madrid. ¿Qué edad tiene cada uno de los miembros de la familia?
. LAS MENINAS.Jesús Escudero Martín
230. El capitán dice a su hijo: tres veces el cuadrado de tu edad más 26 años dan el cuadrado de mi edad. LA EDAD DEL CAPITÁN.68 -
. Carlos frisa en la cuarentena.
CARLOS Y LA FOTOGRAFÍA.
233. a lo que él contestó. pero el hijo de este hombre es el hijo de mi padre" ¿De quién sería la fotografía?
. ¿qué era él de Pedro? 235. pero el tipo de razonamiento que se necesita para resolverlos es muy parecido al que usan a veces los matemáticos. que no son sobrinas de María. ¿Cuántos son entre todos? 239. HIJO DE LA HERMANA DE MI MADRE. Cada uno de tres hermanos tiene una hermana. Carlos estaba mirando un retrato y alguien le preguntó: "¿De quién es esa fotografía?".Jesús Escudero Martín
Estrictamente hablando los problemas de parentescos no forman parte de las Matemáticas. SUEGRA FENOMENAL. HIJO DE TU PADRE. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Teresa? 240. ¿Quién es el hijo de tu padre que no es tu hermano? 237. Marta tiene dos sobrinas. Supongamos que en esa misma situación. ¿Qué clase de pariente mío es el hijo de la hermana de mi madre? 236. Marta y María son hermanas. ¿De quién era la fotografía que estaba mirando Carlos? 241. LAS HERMANAS. ni hermanas tengo. La persona que más quiero en este mundo es. El hermano de Teresa tiene un hermano más que hermanas. HERMANDAD. pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre". LOS HERMANOS DE LA FAMILIA. la suegra de la mujer de mi hermano. precisamente. OTRA VEZ CARLOS Y LA FOTO.69 -
. "Ni hermanos ni hermanas tengo. ¿Quién es esa persona? 234. Carlos hubiera contestado: "Ni hermanos. ¿QUIÉN ES ANTONIO? Antonio se preguntaba que si el hijo de Pedro era el padre de su hijo. ¿Cómo puede ser esto? 238.
Una madre compró a su hija 25 libros y otra madre regaló a la suya 7 libros.Jesús Escudero Martín
242 .REGALAR CULTURA. ¿Quién es la hermana de mi hermana que no es mi hermana?
. Entre las dos hijas aumentaron su capital literario en 25 libros. HERMANA DE MI HERMANA. ¿Cómo se explica este fenómeno? 243.
LOS CUATRO ATLETAS. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. 248. por orden. Si Carlos no va acompañado de Darío ni hace uso del avión. cada dos. pero éste come más que el podenco. un par de problemas de probabilidad. Éste último come más que el galgo.
249. ¿habla Ángela más alto o más bajo que Celia? 245. SILENCIO. a veces. Para elegir a un muchacho entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. un dogo. Los tres van sacando. podría Vd. La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido de 6. Quien saque la bola blanca gana. pueden ser verdaderos rompecabezas. Andrés viaja en avión.71 -
. Tenemos cuatro perros: un galgo. LOS CUATRO PERROS. ¿Quién lleva más ventaja: el primero. decirnos en qué medio de transporte llega a su destino Tomás. calcular el orden de llegada? 246. una bola que no devuelven. ¿Cuál de los cuatro será más barato de mantener?
Para finalizar. el alano come más que el galgo y menos que el dogo. y D ha llegado en medio de A y C. Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden.
244. en los cuales la solución no es la que parece a primera vista. Dos ajedrecistas de igual maestría juegan al ajedrez. LA NOTA MEDIA.Jesús Escudero Martín
Los problemas de lógica. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. ¿Qué es más probable: ganar dos de cuatro partidas o tres de seis partidas? (Los empates no se toman en consideración)
. De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B. Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa. utilizar diferentes medios de transporte. el segundo o el tercero? 250. ¿Podría Vd. un alano y un podenco. TRES BOLAS. PARTIDAS DE AJEDREZ. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados? 247. sabemos que Alejandro no utiliza el coche ya que éste acompaña a Benito que no va en avión.
horas. PEDRO Y LOS LIMONES. EL MISMO DINERO. La botella 40 ptas. Un perro. LOS TANTOS POR CIENTO. 5. 8. PILOTO DE FÓRMULA 1. 17. 11. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. la pesa representará el cuarto que falta. ENTRE PASTORES.300 duros. 16. El ladrillo entero pesa 3 kilos. GATOS Y LOROS. ¿CUÁNTOS NUEVES? Veinte. un gato y un loro. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. Como ya tenemos en un platillo 3/4 de ladrillo. 15. 3. 14. LA CUADRILLA. los segundos pasan a ser minutos y los minutos. El tapón 5 gramos. PROPINAS AL ACOMODADOR. Una hora y 23 minutos. 9. 12. ¿CUÁNTO BENEFICIO? 2 ptas. La botella 50 centavos. Antonio 24 y Pedro 30 limones. Las tres cuartas partes de hombre es el cuarto que le falta a la cuadrilla. y 5 gramos. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. 5 ptas. Al multiplicar por 60. El primero 5 y el segundo 7. EL PESO DE UN LADRILLO. PERROS. 4. 6.
. 10 ptas.73 -
. ANTONIO. 10. El tapón 10 ptas. Igual. El vino 9 dólares y 50 centavos. 7.Jesús Escudero Martín
1. Entonces: 4 x 3/4 = 3 hombres. La botella 1 Kg. MENUDA RAZA DE GIGANTES. 138 ojos. 2. 20 metros. Por tanto bastará multiplicar por 4 el valor de la pesa para tener el resultado. ACABÓ LA GUERRA. EL PRECIO DE LA BOTELLA. 13. 1.
21. y sabemos que dos amebas llenan el tubo en dos horas. Nueve. Dos horas y un minuto. cada una ha sufrido un desgaste de 4/5 de 5000 Km. 72 . EL CEREZO. x=altura del árbol. LA AMEBA. 2 cerezas.. 35. Medio día. En efecto: 100/9 – 10/9 = 90/9 = 10 Ha. Tres colores. 22. 27.74 -
. 19. x=3x-2. Por tanto. 20. ya se ha dividido en dos. OTRO LADRILLO. ESCRIBIENDO A MAQUINA. Juan 24 ptas y Pedro 30 ptas. DOMINÓ. DÍAS Y SEGUNDOS. es decir. 12. 6 Kg. x=1 metro. 40 segundos.72 = 0. Cada cubierta se utiliza 4/5 partes del tiempo total. ¿QUÉ HORA SERÁ? Las 6 de la tarde. 32. DOCENAS DE HUEVOS.Jesús Escudero Martín
18. ESCALA DE ESTATURAS. pues le falta lo mismo para llegar a la de Pedro. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. ¿CUÁNTA TIERRA? 100/9 Ha. LA ALTURA DEL ÁRBOL. Las caras opuestas se pintan del mismo color. 26. EL CUBO PINTADO. 28. 4000 Km. 33. 24. 34. EL PRECIO DEL OBJETO. 36.
. Es frecuente que se conteste 100. 18 duros. PINTANDO UN CUBO. ENTRE PASTORES. Pedro es el más alto. 29. DINERO DE JUAN Y PEDRO. MANOS Y DEDOS. 50. 30. Juan y Antonio tienen igual estatura. El primero 5 y el segundo 7. 31. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. 23. Transcurrido sólo un minuto. No. 25.
JUGANDO AL AJEDREZ. 5 y 7 cervezas. LOS TATUADORES. tendrá que coser. 2 cerezas. PAN Y PAN. Dieciséis duros y medio. Depende de cómo hayan sido los cortes. 3. LA TORRE EIFFEL. por lo que su peso disminuye a un octavo del peso original. 875 toneladas. 41. 45.75 -
. 40.Jesús Escudero Martín
37. En un metro cuadrado hay un millón de milímetros cuadrados. la línea formada tendrá un kilómetro de longitud. 44. Tres minutos. 24 cervezas. o talones. Cada uno jugó dos partidas: A-B. 38. A MODO DE CHIMENEAS. No sólo se reduce la altura de la torre. 50. de mucha suerte. c) Si está Vd. o cualesquiera mezclas heterogéneas pero incoherentes de estas dichas. mil millares formarán mil metros. si tiene Vd. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. PAN. que no encajan para formar ni siquiera una media porque las medias medias sean todas punteras. 49. pero las otras dos medias medias no. más desgraciado. b) Pueden ser una media y dos medias medias. sino también su ancho y su profundidad. MEDIAS MEDIAS. A-C y B-C. LAS 16 CERVEZAS. 42. Por lo tanto. Cada mil mm2. dispuestos uno junto al otro. En este caso. 12 peniques (1 chelín). constituyen un metro. Si hechos al azar pueden darse tres casos: a) Puede que sean cuatro medias medias sueltas. LAS CERVEZAS. Dos fumadores. 47. LO DE LOS ARENQUES. Siete reales y medio. NIÑOS Y MOSCAS. 46. la suerte de que dos de ellas encajen para venir a darle una media. 1. LO DE LA SARDINA. y encajan las cuatro medias medias dos a dos. o inferiores (calcetas). MILÍMETROS CUADRADOS. puede llegar a ser dueño (o dueña) de un par de medias. si quiere ponerse el par.
. 48. cómo en el caso a). 39. 43. Dos tatuadores y medio. OTRO CEREZO. 11 pares. o mitades superiores (musleras).
. pues se pide la distancia a la que se encuentran antes de chocar. considerando como base uno de los lados iguales. 64. CURIOSA PELÍCULA. EL GRAN CHOQUE. 57. antes de que se derramara el agua. OJO QUE ES UN CIRCUITO. el cliente recibe un bote de detergente con el cupón correspondiente. 23 palomas. Por 10 cupones. LOS GATOS DE MARGARITA. es decir la altura mide 4 cm. lo que se consigue al cabo de 9 días. Tenemos: n=4/5·Αn+4/5 ⇒ n=4. TRABALENGUAS. Nueve cupones. pero un minuto antes de chocar. 55. El agua derramada le habría durado ocho días al hombre que murió. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. 60. El dato de 5. Nueve veces. Tenemos: n = 7/8·Αn + 7/8 ⇒ n=7. es irrelevante. Siendo B=coste en cupones de un bote de detergente. es decir. Sea n el número de gatos. Como el área de un triángulo es máxima cuando sea máxima la altura.000 ptas. cm. 53. CONEJOS Y PALOMAS. ancho 60 m. B=9. 56. Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos. 61. EL TIRO AL BLANCO. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? 50 ptas.Jesús Escudero Martín
51. MULAS Y BURROS. LAS FOCAS DEL ZOO. ¿CUÁNTA AGUA SE DERRAMÓ? El quinto día. Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos. no lo olvidemos. así que se derramaron ocho litros. LA GALLINA PONEDORA. la altura máxima se conseguirá cuando el otro lado esté perpendicular al anterior. 52. Margarita vive con 4 gatos. 58. A 15. 59. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. Cada gallina tiene que poner 6 huevos. Así: 10=B+1. 54. Había 7 focas en el zoológico.
. quedaba agua para ocho días. La distancia será: 8 + 12 = 20 km.000 km. Sea n el número de focas. 62. Largo 120 m.76 -
. 63. El tercer lado entonces será la hipotenusa.
Sabemos que la diferencia es de 20 dólares. las seis galletas restantes son para los perros. LOS CHICOS DE LA FERIA. 72. debe haber seis perros y cuatro gatos. EL CABALLO Y EL MULO. Tres centauros tienen 3x6 = 18 extremidades. 73. y=7. 60 chicos. los gatos ya han recibido su parte. Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita. Así que la diferencia entre comprar cinco loros y tres periquitos o comprar tres loros y cinco periquitos es igual que la diferencia entre comprar trece periquitos y comprar once periquitos. 67. perdió a su hijo a los 80 años y murió a los 84.3. COMERCIANTES DE VINOS. EN DOS DADOS.6. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. ahora quedan seis galletas. 70. 68. LOS CUATRO HERMANOS. Primero damos cinco galletas a cada uno de los diez animales. 2x-40=20y. z=5.77 -
. lo que significa que un periquito vale 10 dólares y un
. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x=5. Px=60 ⇒ P=60/x P'(x-2)=60 ⇒ P'=60/(x-2) Pero P'=P+12/12 60/(x-2) = 60/x + 1 = (60+x)/x ⇒ 60x=60x-120+x2-2x ⇒ x2-2x-120=0 ⇒ x=12. 71. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA. fue padre a los 38 años. cinco loros más tres periquitos valen lo que trece periquitos. 42.8. Por tanto. Puesto que un loro vale lo que dos periquitos. Así que dos periquitos valen 20 dólares.7. Por tanto. LOROS Y PERIQUITOS. LA VIDA DE DIOFANTO. más cinco periquitos valen lo que once periquitos. 69. MITOLOGÍA. y=12. y=10 francos. t=20.Jesús Escudero Martín
65.5. 5x+40=64y. Resolviendo el sistema: x=120 francos. Por otro lado. 66. y puesto que cada perro ha de recibir una galleta más. Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: x=8. 15 de cada clase. 76. mcm (2. (6 x 6 + 5 x 4 = 36 +20 = 56). 75. El caballo llevaba 5 sacos y el mulo 7 sacos.4. x=Precio de cada barril.10) + 1 = 2. Bien. Sea x el número de huevos y P y P' los precios inicial y resultante tras la rotura. cinco loros valen lo que diez periquitos. que es dos periquitos. 84. LOS DIEZ ANIMALES. conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años.521. y=Impuesto aduanero.9. 74. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. tres loros.
x2 = 16/36. es decir. 36. LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Por 16 duros dan 16/x limones. Es evidente que hay que hacer 10 sustituciones de este tipo para que la diferencia se reduzca a cero. la diferencia disminuye en dos. Luego un tintero cuesta 12 ptas. 3≅70+2≅95=400. Restando estas 50 patatas de las 400. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. entonces una manzana pesa lo mismo que un melocotón. la segunda trabajó 70+25=95 minutos. LAS MANZANAS DEL HORTELANO. hallamos que cada una trabajó 70 minutos. la segunda persona mondó 2≅25=50 patatas. 539750/78550 son 5 veces los puntos en cuestión. 77. y como 13 es la mitad de 26.750 por 6 = 471. 13/60 de la tierra es 26. La tierra tiene 120 Ha.Jesús Escudero Martín
loro 20 dólares.300 . LA MAQUINA DE PETACOS. 83. Esto deja 13/60 para el cultivo de maíz. trabajando el mismo tiempo las dos mondaron 350 patatas. o sea que un cuaderno cuesta 10/4 = 2'50 ptas. dividiendo 350 entre 5. Sea "x" el precio de un limón expresado en duros. En los 25 minutos de más.550 son los puntos que cada amigo tiene que hacer de más por faltar uno de los amigos. hallamos que. luego 70-60=10 ptas. 81. TINTEROS Y CUADERNOS. por los tinteros. x = 2/3 duros.750 = 78. 36x2 = 16. La diferencia 471. 84. 79. 60 debe ser la mitad del número total de Ha. Como 4 manzanas y 6 melocotones se equilibran con 10 melocotones. Por tanto una pera se equilibra con 7 melocotones. La sustitución de una moto por un coche hace que el número total de ruedas aumente en dos. Antonio pagó 60 ptas.356. el número total de ruedas sería 80. 78. COCHES Y MOTOS. Si todos los vehículos hubieran sido motos.
. 82. Para conseguir partida necesitan 392. 80.500 puntos. 36x = 16/x.392. Luego los amigos eran inicialmente eran 6. 36 limones cuestan 36x duros. 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60. Reducimos todo a sesentavos. es decir. Por lo tanto se repararon 10 coches y 30 motos.300 por 5 = 2. Por consiguiente. 10≅4+30≅2=40+60=100. 20 menos que en realidad. EL PRECIO DE LOS LIMONES. MONDANDO PATATAS. Como cada minuto ambas mondan en común 2+3=5 patatas. por los cuatro cuadernos. 3 loros + 5 periquitos = 110 dólares). Dos tinteros cuestan 70-46=24 ptas. Este es el tiempo real que trabajó la primera persona.78 -
. (5 loros + 3 periquitos = 130 dólares.
Ana tiene que darle a Carlos 2 pasteles.256. PASTELES PARA LOS INVITADOS. LA REVENTA. Había 10 invitados preferidos. 92. el 700/11 % de los que quedan tiene carnet de conducir. 85. pues.. En general: x . 92. Como 63. Si N es el número de los que quedan. Luego es más barata después de abaratarla.=6825/74 entonces: 6825/74·1/100·N = 273N/296 no llevan gafas.. Así. VENGA PASTELES.2297297. 90. 12 limones valen 8 duros. En total había 12 pasteles. Al principio Ana tenía 9 y Carlos 3. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%.110 ptas. un huevo y medio constituyen la segunda mitad de lo que le quedó después de la primera venta. Siempre es más barata después de abaratarla. por lo que N=3. Por tanto N debe ser múltiplo de 11. tienen carnet de conducir 700/11·1/100·N = 7N/11.79 -
. Añadiendo medio huevo. Por tanto N también debe ser múltiplo de 296. 89. Después de que la segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que quedaban más medio huevo. 87. Está claro que el resto completo eran tres huevos. 10Α4 + 20Α3 = 40 + 60 = 100. el número de huevos que trajo al mercado era siete.encarece 10% .. Carlos 8 y Diego 4. se han licenciado 4. Pero en el regimiento sólo había 4. a la campesina sólo le quedó un huevo. 86. 91..63636363. Es decir. LOS PASTELES.110x/100 ptas.256 soldados. obtenemos la mitad de los que tenía la campesina al principio. 93. PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. . Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas.99x/100.. Así N es múltiplo de 296≅11=3.encarece 10% . 88. SOLDADOS DEL REGIMIENTO. ⇒ 1P = 2 ptas.
. . = 700/11. VENTA DE HUEVOS. MÁS PASTELES.abarata 10% . 7G + 4P = 21P + 4P = 25P 4G + 7P = 12P + 7P = 16P 25P . El porcentaje sobre el recargo que se gana Manuel es del 50%.Jesús Escudero Martín
Luego.000 soldados. Ana 24. Carlos comió 10 y Diego 14. Había 32 pasteles. Igualmente como.99. Sabemos que 1G = 3P.256=744. el proceso es: 100 ptas . Por lo tanto. ⇒ 1G = 6 ptas.000-3.19P = 6P = 12 ptas.abarata 10% .
En general: x . y una pareja de periquitos. Por consiguiente sacó 90 dólares con el primer cuadro.
. que es 90 dólares. y ganó sólo 90 con el primero. Ambas podrían ser soluciones del problema si olvidamos el hecho de que los periquitos se compraron por pares. tras de lo cual se obtiene la siguiente ecuación diofántica con dos incógnitas enteras: 3x = 11y + 77. Sea x dicho número.110y . El costo de compra de los hámsteres es por tanto 200x pesetas. que es la solución del problema.encarece 10% . Le quedaron 5 hámsteres cuyo valor al venderlos será de 1. Como x e y han de ser enteros positivos. Por el cuadro le dieron 990 dólares. y el de los periquitos. Este dato permite desechar la solución y=2. GANANCIA Y PÉRDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. así que lo vendió por 1100 menos 110.200 pesetas. Llamaremos y al número de hámsteres que quedan entre los animalitos aún no vendidos.770 pesetas. Esto significa que pagó 900 dólares.. tras aumentar en un 10% el precio de compra. hizo el 10% de 900 dólares. es cosa sencilla tantear con los ocho valores posibles (incluido el 0) de y a fin de determinar las soluciones enteras de x. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. Consideremos ahora el segundo cuadro: Perdió el 10% de lo que pagó por él. Luego es más barata después de encarecerla. que es 990 dólares. Su pérdida neta fue de 20 dólares. El número de hámsteres vendidos a 200 pesetas cada uno. Podemos ahora dar la solución completa.encarece 10% . De modo que 990 dólares es el 110% de lo que pagó.99x/100 ptas. Se nos dice que estos dos totales son iguales. Se compraron inicialmente tantos hámsteres como periquitos. perdió 20 dólares ese día. 95.abarata 10% .90 ptas. de modo que lo. por los que recibirá 220. vendió por el 90% de lo que pagó. Siempre es más barata después de encarecerla. Por tanto pagó 1100 dólares. El tratante no calculó bien: No se quedó igual que estaba.99x/100. y recibió 990 dólares.99. es igual a x-y. lo que le da un beneficio de 1.Jesús Escudero Martín
94. que da para x el valor impar de 33. lo que hace un total de 330x . Vendió 39 hámsteres y 21 parejas de periquitos. y el número de periquitos vendidos (a 110 pesetas cada uno) es evidentemente x-7+y.320 pesetas. Los hámsteres vendidos han reportado 220(x-y) pesetas y los periquitos 110(x-7+y) pesetas.abarata 10% . recaudando un total de 13. el proceso es: 100 ptas . 96.100 pesetas. y el 10% de 1100 es 110. ¿cuánto pagó por él? El beneficio no es el 10% de 990. Veamos por qué: Consideremos primero el cuadro que vendió con un beneficio del 10%. El pajarero compró 44 hámsteres y 22 parejas de periquitos. Por lo tanto concluimos que y es 5. HÁMSTERES Y PERIQUITOS. 100x pesetas. Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas.80 -
. pagando en total 13. sino el 10% de lo que pagó. El número de periquitos será entonces 7-y. Por consiguiente perdió 110 dólares con el segundo cuadro. . lo que hace un total de 300x pesetas. . así que los igualamos y simplificamos. Solamente hay dos: 5 y 2.200 pesetas por todos ellos. y además y no puede ser mayor que 7.
15. Ana encontró 30 = (14+1)2. De suerte que los nuevos manojos contienen cuatro veces más espárragos y su precio debería ser 80 x 4 = 320 ptas. luego 16/4=4.81 -
. también lo será el 95%. En este caso. Holgazaneó 4 días y trabajó 22 días. 101. PASTELES SOBRE LA MESA. Cuando se dobla la longitud del bramante se dobla el radio del círculo. Número total de aprobados: 20. Cada día que holgazanea pierde 4 (3 que no recibe y 1 que da). en vivo. cuyo 5% (100-95) sea un número natural. fracciones de personas). En 4 horas y 40 minutos el inglés bebe: (4+2/3)·1/y. el alemán se bebería el barril en 6 horas y el inglés en 10 horas. 99. y=6. Por holgazanear perdió 16. 6. Si el 5% es una cantidad exacta. Los dos juntos en dos horas habrán bebido 2(1/x+1/y) parte del barril. Supongamos que un padre dispara x tiros y que su hijo dispara y tiros: x2-y2=45. El 95% del número de aprobados ha de ser un número natural (no existen. 103. MIDIENDO UN CABLE. 3. 30 pasteles. PASTELES COMO PAGO. La cantidad de espárragos del manojo es aproximadamente proporcional a la superficie del círculo formado por el bramante. El máximo es 3x26=78. JUEGO EN FAMILIA. entre 1 y 36. VESTIDOS A GOGÓ. Blas encontró 14 = (6+1)2. Número de aprobados de Salamanca capital (el 95%): 19. Se puede considerar a los personajes como desagües de un barril. 2(1/x+1/y) + (2+4/5)·1/y = 1 2(1/x+1/y) + (4+2/3)·1/x = 1 Sistema que se resuelve fácilmente tomando como incógnitas 1/x=x' y 1/y=y'. 98. LOS DOS BEBEDORES. 9 con (x-y):1. En este caso. Es decir. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. 100. Sean x las horas que tarda el inglés en beber todo el barril. 5. 104. Carlos encontró 6 = (2+1)2. En 2 horas y 48 minutos el alemán bebe: (2+4/5)·1/y.Jesús Escudero Martín
. con velocidad uniforme de salida cada uno. (x-y)(x+y)=45. el procedimiento más fácil para hallar la cantidad correspondiente al 95% es buscar un número. Ganó sólo 62. Combinaciones de factores posibles: (x+y): 45. solo es posible el 20. e las horas que tarda el alemán. Diego encontró 2 = 1+1. y la superficie de ese círculo está multiplicada por 4 (S=πR2). 102. 59 metros. Un número cuyo 5% sea un número natural ha de ser 20 o múltiplo de 20. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. de donde x=10.
0 1 .. 110.. 108.. 0 0 . esto quiere decir que había 8 segadores. que valen 475 pollos. Por tanto. y por la mitad de la gente en el resto de la jornada. 105.. 106. Día 161 Día 171 . Por consiguiente.. mi hijo. 0 1
. 124 páginas el primero y 232 páginas el segundo... (Conviene hacer un dibujo) 109... 1 1
2 0 1 1 .. 8 y 15 denarios de valor. Cuatro chovas y tres estacas.... su hijo.. 111. Las piezas son de 1.. José: 6 tiros. EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. una lanza equivale a dos collares. Indicando con 1 la moneda que tiene la patrona.15 8 da Día 11 Día 21 Día 31 . 1 0 . Pablo: 7 tiros.. y como tienen lo suficiente como para conseguir 7 vacas más. De b) y c) se obtiene que una lanza se cambia por 2 escudos. EL VASO DE VINO... Julio: 22 tiros. y con 0 la moneda que tiene el hombre. la situación diaria se puede expresar como sigue: Valor de la mone. Si esto se completa con a) resulta que un collar se cambia por un escudo. Ya deben haber elegido 5 caballos y 7 vacas. Un caballo vale sesenta pollos. 0 0 .. Día 291 Día 301 0 0 0 . fácilmente: Yo: 9 tiros.. 1 1 . LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. 107. le quedan 175 pollos. 4. PAGO EXACTO Y PUNTUAL. Una vaca vale 25 pollos. Una cuarta parte.Jesús Escudero Martín
De donde. NEGOCIANDO POLLOS. en el prado chico quedaba sin segar 1/2-1/3=1/6. Juan: 23 tiros..82 -
4 0 0 0 . Si un segador siega en un día 1/6 del prado y si fueron segados 6/6+2/6=8/6. Tomemos como unidad de medida el prado grande. Luis: 2 tiros... LA CUADRILLA DE SEGADORES.. 1 1
. Si el prado grande fue segado por todo el personal de la cuadrilla en medio día.. Se tiraron 39 tiros y se marcaron 1183 puntos.... 2. lo que haría un total de 650. se deduce que media cuadrilla en medio día segó 1/3 del prado... LIBROS DESHOJADOS. su hijo. 1 1
x<19. En el primer reparto: N = 1 + 2 + 3 + . Luego: 4 herederos a 400. podemos escribir: xn+(19-x)(n-30)=1.30 .600. SE QUEDÓ SIN DISCOS.480 dólares.20 21 intento: 20 .83 -
. EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS.000 + C/5 . LOS LADRONES Y LOS CUADROS. Como n es un número entero (157-3x) ha de ser múltiplo de 19. El 11 recibió: 100. y=83 rollos de tela.000 . LOS LADRONES Y LAS CÁMARAS DE FOTOS.. 120.(C-100000)/25 ⇒ C = 1.. 1er intento: 20 .570 ⇒ n=10/19 (157-3x). La única posibilidad es x=8.(C-100000)/5 . 6x+5=y.40 Finalmente: 20 .000 ⇒ 19n+30x=1. TRANSPORTE DE UN TESORO. MAESTROS Y ESCOLARES. + n = n(n+1)/2 En el segundo reparto: N = 5n n(n+1)/2 = 5n por lo tanto n(n-9)=0. pues. 118.60. Es decir. N=9x5=45 cámaras robadas. Fin del 1er año: 4/3·x – 4/3·100 Fin del 21 año: 1x – 28/9·100 Fin del 3er año: 64/27·x – 148/27·100 = 2x de donde x=1. Siendo C el importe total de la herencia.200. n=70.000 + 1/5 [(C-100. 36 discos entre 6 y dio 6 discos a cada uno.000 ptas.000 + (C-100000)/5 El 21 recibió: 200.000 ptas. 119. 116.30 3er intento: 20 .000) . 115.40 . Si x es el número de maestros y n el de alumnos que le eran asignados antes de la modificación. EL REPARTO DE LA HERENCIA.30 . 117. NEGOCIANTE METÓDICO. que había 8 maestros y 11 maestras. Las edades de las niñas están en la proporción 9:12:14. El hecho de que los ladrones disminuyan cada uno en una pieza de tela su parte (6 en lugar de 7) hace que queden trece piezas disponibles (5+8).48 113. Los ladrones eran. 112. 7x=y+8. LOS LADRONES Y LAS TELAS. n=9. Sea x el capital buscado. 114. cada uno.Jesús Escudero Martín
Este cuadro hace evidente que el estado contable en cualquier día puede deducirse de la expresión binaria (en base 2) del número correspondiente. Cada maestro atendía
. x=13 ladrones.20 . Las niñas recibieron: 198.20 . 264 y 308 castañas. 13.30 .30 .000] Igualando lo recibido por cada uno se obtiene: (C-100000)/5 = 100. siendo al mismo tiempo.40 . Sea n el número de ladrones y N el número de aparatos robados.
a la campesina sólo le quedó un huevo. 123. (51 + 17 + 9 + 5 + 19) 127.84 -
. LOS GUARDIANES DE LAS NARANJAS. 124. Está claro que el resto completo eran tres huevos. Así. da 1800 ducados para cada uno. Con la variación cada maestra atiende 48 niños. al segundo llegó con 11. 472. 560 en total. un huevo y medio constituyen la segunda mitad de lo que le quedó después de la primera venta. LOS 3 PANES Y LAS 3 MONEDAS. A/P=D. Pastor B = 0 monedas. 440 en total. A/(P-75)=D+20. La mayor coge: 1+ La 20 coge: 2+[ 1+
6x . se reparten entre los 8 maestros. quiere decir que llegó a él con 23. El resto. ORIGINAL TESTAMENTO.
125. Añadiendo medio huevo. obtenemos la mitad de los que tenía la campesina al principio.20 49
6x .6 7
6x . quedan: x-[1+
6x . Después de que la segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que quedaban más medio huevo. 122. LAS PERLAS DEL RAJÁ. Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. A/(P+100)=D-15. Sean A=Cantidad total de pienso (en unidades pollos-día). Por esto. Es decir. VENTA DE HUEVOS. 121.
. lo que hace un total de 528 alumnos para las maestras.Jesús Escudero Martín
a 70 niños. La hacienda de 9000 ducados. Pues que salió con 2. P=Pollos que tiene actualmente.20 49
⇒ x=36 perlas. el número de huevos que trajo al mercado era siete. Es decir: 300 pollos con pienso para 60 días. 126. D=Número de días que le duraría con los pollos que tiene. EL GRANJERO Y LOS POLLOS. repartida entre 5 hijos. pues. x=perlas. Cada maestra atendía 40 niños. al tercer guardián llegó con 5. El método para resolver problemas de este tipo es el de hacer el camino inverso. Resolviendo: P=300. tocando pues a 59 alumnos. Llevó al mercado 101 gansos. Y si del primero salió con 11. Pastor A Pastor B Cazador Panes que aporta 2 1 0 Parte que come 3/3 3/3 3/3 Parte que regala 3/3 0 0 Parte del dinero 3 0 Pastor A = 3 monedas. VENTA DE GANSOS.
ya que el aumento anual que a él le correspondía siempre sería 50 dólares mayor que el de ellos. 18 cerdos. 7x=1. CURIOSO TESTAMENTO. 1 cerdo. 72 ovejas) (15 vacas. 11x+5y=200. 132.150600 + 650 = 1. Así. CERDOS Y OVEJAS (3). . pero aquél. madre=2x. y como le correspondía por su cargo. 130. 12x+6y+100-xy=300. LOS ASPIRANTES AL PUESTO DE TRABAJO. y estudió las dos posibilidades de este modo: 150 de aumento anual50 de aumento semestral 1er año:500 + 500 = 1.000500 + 550 = 1. 136. Ni mucho menos. Si nacía niño.300700 + 750 = 1. CERDOS Y OVEJAS (2). (En página 215-216 de Mat. pues. niña=x. su modestia. éste heredaba doble que la madre. VACAS. 42 y 24 reales. 10x+3y+2(100-x-y)=100. Estos llegaron precipitadamente a la conclusión de que un aumento de 50 dólares cada semestre equivalía a otro de 100 dólares anuales. 150. Perelman)
. 129.Jesús Escudero Martín
128. niño=4x. Madre=4 vacas. 135. en 50.050 21 año:575 + 575 = 1. El reparto fue así: Niña=2 vacas.250 3er año:650 + 650 = 1. en la caja hay 3 arañas y 5 escarabajos. cobraba un salario más elevado que sus compañeros.450 41 año:725 + 725 = 1.85 -
. 4x+2y+1/3 (100-x-y)=100. 9x+3y=100. CURIOSA PARTIDA (2). dólares. Si nacía niña. 94 ovejas) 131. 66 ovejas) (10 vacas. 7 cerdos.450800 + 850 = 1. había tomado en consideración todas las condiciones del problema. 78. 20x+6y+100-x-y=200. ARAÑAS Y ESCARABAJOS. No hay solución. 19x+5y=100. ésta heredaba la mitad que la madre. 78 ovejas) 133. sino su despierta inteligencia. Niño=8 vacas. 10x+4y+100-x-y=200. CERDOS Y OVEJAS (1). x=1/7. CURIOSA PARTIDA (1). (5 vacas. 175 y 100 ptas. 200. 134. (5 vacas. En realidad. 325.650 De esta forma se dio cuenta inmediatamente de que su sueldo excedería al de los otros en los años subsiguientes.. Hay que saber que las arañas tienen 8 patas y que los escarabajos tienen 6 patas. Lo que impresionó a su nuevo patrón no fue. Recreativas de Y. VACAS. NEGOCIO PARA TRES. 4x+2x+x=1. 5x+2y+2(100-x-y)=100. 29 cerdos.. VACAS. 100. Al nacer niño y niña mantengamos esta proporción entre los tres.
138.86 -
.024 no acaba ni en 0 ni en 5. ya que al dividir n por 3 da resto 2. a) Termina en 0. 140. 5 y 6. 20) Dividir por 1001 de forma disfrazada. luego ninguno de los cuatro números es divisible por 5 ni por 10. 7=
. 143.(m+c+d+u) = 999m + 99c + 9d que es múltiplo de 9.
= abc. ¿QUE NÚMERO SOY? El 1001 que en numeración binaria corresponde al 9. porque P tiene los factores 2 y 5. 139. AÑO DE NACIMIENTO. De la misma manera.Jesús Escudero Martín
137. 3. EL MENOR CON X DIVISORES. n+1 es divisible por 3. Evidentemente los buscados son 6-7-8-9. Con 8 divisores el 24. etc.000. 438. Obviamente debe dar el número de partida. 145. 219. Ahora bien.CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. 6=
. b) La cifra de las decenas es impar. LA BASE DESCONOCIDA. 234 x 1001 = 234234 ⇒ 234234 : 1001 = 234. 100 = 5x5x5-5x5. Si los números fueran mayores que 10. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. 2b2+5b+3=136 ⇒ b=7. lo que es imposible. P sería múltiplo de 4. 4. 100 = (5+5+5+5)x5 146. 9=
. el mínimo común múltiplo de 2. Así: n+1=60. 100 = 111-11. n+1 es divisible por 4. TODOS LOS PRIMOS. 7 x 11 x 13 = 1001. 5 y 6 es 60. 8=
. DIVISIONES EXACTAS. Sea b la base desconocida. Sea mcdu es el año de nacimiento. PRIMERA ESCRITURA DEL CIEN. 100 = 33x3+(3:3) 100 = 5x(5x5-5). 5=
. Es decir. las dos únicas operaciones que hacemos son: 10) Multiplicar por 1001 el número de partida. 1000m + 100c + 10d + u . abcabc = abc x 1001. 144. n+1 es divisible por 2. Luego n=59. Sea n el número desconocido. MENOR NÚMERO. Con 7 divisores el 64. porque si fuera par.
147. 141. 657. 142.
. Luego solamente tenemos como posibles soluciones 1-2-3-4 y 6-7-8-9. 3=
. el producto sería mayor que 10. Ya que n dividido por 2 da resto 1. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. 3.
SEGUNDA ESCRITURA DEL CIEN.143 se puede obtener dividiendo el citado número de 9 cifras duplicado entre 7.857. 100 = 7x7x(7+7):7+(7:7)+(7:7).542. . 100 = 22x2x2+2+(2x2x2)+2.987.937 : 7 = 141.576. desde el 0 hasta el 9. 1 = 5 = 3+ 8=
155.542. CURIOSA PROPIEDAD. El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142. 158.
. tal como se suceden en la rueda. 159. 100 = 88+8+[8x8x8:8:(8+8)].5
156. 263=17.648. Ejemplo: 987. 100 = 5x5x5-(5x5)+5-5+5-5. CON CALCULADORA MEJOR. 154.143 = 141077562569648991. 100 = 444:4-4-4-4+(4:4). 100 = 111-11+11-11. Son los números del 0 al 9 escritos por orden alfabético. 151. 100 = 66+(6x6)-[(6+6):6x(6:6)]. Es el número de barritas que se encienden en la calculadora en la formación de cada dígito. 2592 = 2592. ERROR MECANOGRÁFICO. SECUENCIA QUE RUEDA. PRINCIPIO Y FIN. CON 4 CINCOS. CON 4 TRESES. 273=19. Son algunos de los números de la ruleta.5 5
55 . ALFA COMO PISTA. 100 = 333:3-(3x3)-3+(3:3).542.937 x 142.562. El 26 y el 27..857.683. Se ha obtenido así: 987. 1 = 5 = 5+ 8=
5x5 .. 152.Jesús Escudero Martín
149.077.569. 100 = (99+99):(9+9)x9+(9:9) 153. Números cuyos nombres empiezan y terminan con la misma letra.937.991 150. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN.87 -
167. DE HOLA RAFFAELA EN TVE. cuando volvamos a coger hay que dejar al contrario los siguientes números en cada fila: 1-1-1 ó 2-2-0 ó 3-3-0 ó 4-4-0 ó 5-5-0 ó 3-2-1 ó 5-4-1 ó 6-4-2. 6 7 5 6 6 6 6 5 7
. La estrategia ganadora es: Coger primero un número de cualquiera de las filas.. 2. Octubre. Después. 7-4-3 ó 7-5-2. SOND y SOND. DE ORDEN 3. VAYA CRITERIO. 161. 6 7 2 169. El número indica la cantidad de letras que hay en el abecedario entre las dos letras que aparecen. 166. 16 3 5 10 9 6 4 15 2 11 7 14 13 8 12 1 1 5 9 8 3 4
170.. ORDEN 3. SUMA 18.. EXTRAÑA PARTIDA DE AJEDREZ. 163. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA. NI EN UNA SEMANA. NUEVE CONSECUTIVOS. 164. 165. TRES CONSECUTIVOS. 12 8 4 5 10 9 7 6 11 171. SON PARIENTES. Noviembre y Diciembre. LLEGAR A 50. SUMA 24.88 -
. Septiembre. ORDEN 3. DE ORDEN 4. Tachar los números cuyo nombre no tenga tres letras. La estrategia ganadora es: . . Así entre A y C hay 1 (la B). 162.Jesús Escudero Martín
160. Así se consigue dejar al contrario para que elija: 6-53. y así hasta las 14 que hay entre D y R.. Son las últimas letras de los días de la semana.. 168.. Cada palabra empieza con el nombre de una nota musical. entre A y D.
10 pesada: Se reparten los 1. 177. Por lo tanto: K=37. COMPLETA 3x3. Observemos primero.. 9 y 27 Kg. Incidentalmente. CALCULA: A. Si faltan 30. p=27. siendo ahora 13 el tope superior: 3n+1=13. p=2n+1. p=3. En efecto. No tendremos más que repetir el razonamiento. De la misma forma: 3n+1=4. aumentar el campo de pesada hasta 3n+1 Kg. Debiendo ser la cuarta pesa p=n=1.. es el trigésimo... B. Si faltan 2. p=9.800 gramos en dos bolsas de 900 gramos cada una. E. pues equivale a pesar una carga comprendida entre 1 y n. 3. D.. pondremos: 3n+1=40...+30) = 10≅465 = 4650 gr. el resto es sencillo. LAS PESAS DEL MERCADER. Si falta 1 gr. n=13. etc. el culpable es el primer vasallo.89 -
. Las tres restantes han de permitirnos pesar desde 1 hasta 13. b=1.
. puesto que con las primitivas pesas podíamos pesar desde 1 hasta n. Si todos los vasallos hubieran entregado piezas de 10 gr.. es el segundo. dos del segundo. 174.Jesús Escudero Martín
172. CON SÓLO DOS PESAS.. p=2n+1. el montón pesaría: 10(1+2+3+. 173. . para pesar ahora cualquier carga que valga p+x ó p-x (siendo x un número de 1 hasta n). C. A COMPLETAR. el camino seguido para hallar la solución nos permite ver rápidamente cuál sería la combinación de pesas en cada caso. p=2n+1. no tendremos más que poner el peso p en el platillo opuesto a la carga y añadir la combinación de pesas necesarias para compensar la diferencia x entre los dos platillos.. LAS 30 MONEDAS DE ORO. 67 1 43 61 13 37 43
31 73 7 Tiene la particularidad de estar compuesto sólo por números primos. Como el extremo de nuestro margen de medida es 40. lo que es siempre posible. por tanto: 1. y 30 del trigésimo. podemos mediante una nueva pesa de p=2n+1 Kg. 176. 175. La solución es. Es suficiente pesar un montón de monedas de oro formado por una pieza entregada por el primer vasallo. . Una vez visto esto.. 67 b K 73 67 + b + 43 = b + K + 73 = 3K. n=4. que si tenemos un juego de pesas que nos permita pesar desde 1 hasta n. n=1. tres del tercero.
PROMEDIANDO. En general. hubiera tardado 1 hora en el viaje de ida y 2 horas en el de vuelta. Hacemos tres grupos de tres bolas. Llamemos D a la longitud de la cuesta. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. El tiempo empleado en subir será D/2 y en bajar D/6. El total. : (1+2) h. el tiempo total de viaje sería: t = y la velocidad media: v = 2d :
= 40 km/h. AL CAMPO DE MERIENDA.
. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos. UN ALTO EN EL CAMINO. el coche de los Arias recorre 30 km. 30 pesada: Con las dos pesas se retiran 50 gramos de una de las bolsas anteriores y en ella quedan 400 gramos. : 3 h. 64 y 65 kilos. 60. En este caso. LAS 27 BOLAS.90 -
. llamando d a la distancia recorrida en cada uno de los viajes de ida y de vuelta. Como no sabemos le distancia recorrida. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos. Hacemos tres grupos de 27 bolas. ENGAÑANDO A LA BALANZA. 58. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. A la velocidad de 60 km/h. por lo que la velocidad media sería: v = (60+60) km. Hacemos tres grupos de nueve bolas. 182.. Hacemos tres grupos de tres bolas. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada.
184.400 gramos. = 40 km/h. Hacemos tres grupos de nueve bolas. 181. La velocidad media: Vm = 2D/T = 3 km/h. 180. = 120 km. El coche de los Gómez le saca al de los Arias 10 km. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos. 179. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Las niñas pesan 56. es: T = D/2 + D/6 = 2D/3. de ventaja por cada hora de viaje. 183. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada.Jesús Escudero Martín
20 pesada: Una bolsa de 900 gramos se reparte en dos bolsas de 450 gramos. Hacemos tres grupos de tres bolas. LAS 9 BOLAS. partamos del supuesto que fuese de 60 km. El resto de las semillas pesa 1. por consiguiente. durante la media hora que los Gómez estuvieron esperándole. LAS 81 BOLAS. 178.
Sin embargo.A. Para conseguirlo tendría que hacer dos veces la distancia primitiva en el mismo tiempo que invirtió en el ascenso. es siempre mayor que si no hubiera viento. Ambos pueden dividirse por la mitad para dar lugar a dos triángulos 3. de cualquier fuerza y dirección con tal de que permanezcan constantes. x 3 h. pues en cada hora conseguía la ventaja de 10 km. éste no es el caso. 106. 189. Madrid estaba a 210 km. EL BÓLIDO Y LOS TRES MOJONES.BA. el trayecto fue de: 70 km/h. Sin embargo. 190. BA . Tienen la misma área. Lado del rombo = 9 m. 61. Basta recordar que todo triángulo rectángulo puede inscribirse siempre en un círculo cuyo diámetro CB=a=10 es la hipotenusa. Por lo tanto. Cuesta creerlo. de distancia de la primera parada. 185. B=6. EL LADO DEL ROMBO. Como esto es imposible. El esquiador asciende una cierta distancia. Para obtenerla. Como es obvio.Jesús Escudero Martín
Estos 30 km. pues el tiempo durante el cual la velocidad del avión se incrementa es menor que el tiempo durante el cual sufre retardo. no hay forma de que su velocidad media pase de 5 km/h a 10 km/h. Como el viento aumenta la velocidad del avión en la mitad del recorrido en la misma cantidad en que la disminuye en el trayecto de regreso. EL AVIÓN Y EL VIENTO. así que el efecto total es de retraso. Por tanto. para lograrlo ha de bajar en un tiempo cero. Desea descender con tal velocidad que su velocidad media en el recorrido de ida y vuelta sea doble que la primera.91 -
. Velocidad del bólido: 45 Km/h. 186. con una cierta velocidad. diferente de 0 no puede ser sino 1.B = 100A + B .10A . resulta tentador suponer que el tiempo total invertido en el viaje de ida y vuelta no sufrirá modificación.10B . 5. 187. pero la única forma de que el promedio de subida y bajada alcanzase los 10 km/h. tal parámetro carece de importancia en este problema.AB = A0B . representan la ventaja total de un coche sobre otro. 188. son iguales en longitud. TRIÁNGULOS ORIGINALES. Los números que llevan los mojones son: 16. A. EL VALOR DE LA MEDIANA. Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectángulo.
. EL ESQUIADOR FRUSTRADO. = 210 km. ¡sería descender en tiempo nulo! Al principio puede parecer que habrá que tener en cuenta las distancias recorridas al subir y bajar la ladera. El tiempo total de vuelo con viento. 10B + A . 4. el coche de los Gómez tuvo que circular durante 3 horas. así que AM=radio=5.
obtenemos los puntos R y S. la respuesta es 8 cm. no.
193. y como hay tres rectángulos mientras que la línea continua no tiene más que dos extremos.
192. Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ.A 2
= 65°. 60Ε.
194. El problema no tiene solución. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN. Basta observar que se trata de un triángulo equilátero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara. Puesto que es isósceles: B = C = Por lo tanto: x= 180°-C = 180 . Dado que la diagonal de 8 cm. MN = 6 centímetros. El primero en cambio. Como cada vez que se cruza un segmento se pasa de dentro a fuera del rectángulo o viceversa. la realidad es que puede dibujarse en las condiciones estipuladas. la solución del problema es imposible. 196. ya que si no.92 -
. DIBUJANDO SOBRES. En la segunda figura. EL ÁNGULO EXTERIOR. Todo vértice en el que concurren un número impar de líneas ha de ser comienzo o fin del trazado.Jesús Escudero Martín
191. surge la respuesta. en los vértices inferiores
. EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES.65 = 115°.
195. En efecto. EL RADIO DEL CÍRCULO. EL CRUCE DE LA RED. cada uno de los tres rectángulos mayores de la figura tiene un número impar de segmentos.
180° . quiere decirse que en los tres debe de haber una terminación de la línea en su interior para que la línea cruce el número impar de segmentos una sola vez. GOLPE DE VISTA. tiene la misma longitud que el radio del círculo. por cada entrada ha de haber un salida. Aunque el segundo parece el más complicado de dibujar.
ÚNICA SOLUCIÓN. En total hay 30. 198. SEÑAL DE SOCORRO. DOS FILAS. De la segunda. 206.93 -
⇒ P=5. el ángulo 7 mide 50Ε y los ángulos 8 y 9 son rectos. Colocar una moneda cualquiera encima de otra. De la primera columna O=0. SEIS FILAS. es imposible dibujarlo en las condiciones propuestas. Y el ángulo 7 es igual a dos veces el ángulo 4. PARA PRINCIPIANTES. LOS SEIS CUADRADOS. SEIS SOLDADOS. LAS DOCE MONEDAS. I=9. EN 4 PIEZAS IDÉNTICAS. NUEVE ÁNGULOS. 203. el ángulo 6 mide 140Ε. 4 de nueve pequeños cada uno y el envolvente. A=1. A+A+1=S. De estas dos condiciones se obtiene que la suma de los ángulos 2 y 4 es igual al ángulo 7. 209. TRES MONEDAS. los ángulos 4 y 5 miden 20Ε cada uno.
. S+R=11. La suma de los ángulos 2. 205. FACILÓN. Por tratarse de un triángulo isósceles (dos lados son radios) los ángulos 4 y 5 son iguales. Formar un cubo. MUCHOS CUADRADOS.
. 197. 207. 202. De donde el ángulo 2 es la mitad del ángulo 7. En los vértices poner dos monedas. ⇒ S=3. 199. una encima de la otra. 91+10=101. El ángulo 2 mide 20Ε. Los triángulos ABC y CDE son iguales. 332364 + 483455 = 815819. 21978 x 4 = 87912. pues el ángulo total abarca el diámetro. 204. CUADRADOS QUE SE CORTAN. 201. LOS SEIS PALILLOS. como no puede haber más que un fin y un comienzo. 9 de cuatro cuadrados cada uno. Por tanto el ángulo 7 mide 40Ε. El área comprendida entre ambos siempre es la cuarta parte de la de un cuadrado. S=1. Los 16 pequeños.Jesús Escudero Martín
ocurre esto. (Ver figura) En el primer sobre son cuatro los vértices en los que concurren un número impar de líneas. 208. 3 y 4 es 90Ε. 16 + 8 + 4 + 1 = 30. R=8. luego uno puede ser comienzo y el otro fin del dibujo. 8+P=13 La suma completa es 518 + 813 = 1331. Formar un tetraedro. Formar un hexágono.
221. LOS DOS RELOJES. 314524 + 231043 = 545567. 213. Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos. 219. 217. Se ponen a contar los dos relojes de 7 y 11 minutos. EL MINUTERO TRES VECES MENOS. le damos la vuelta (han pasado 4
210. Entonces le damos la vuelta otra vez al reloj de 7 minutos. en dar las 12 tardará 11 segundos. le damos la vuelta. échele un vistazo a su reloj. SONÓ EL DESPERTADOR. OTRA SUMA FÁCIL. Si no le parece cierto. Se ponen ambos en marcha simultáneamente y. Al agotarse por segunda vez la arena de este reloj habrán transcurrido 15 minutos. 325324 + 526142 = 851466. OTRA SUMA FÁCIL. es que los intervalos entre campanadas son de un segundo. 222. Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos. MUY FACILÓN. Hay otra solución más larga (que precisa de 22 minutos en total). 53161 . 35º. de modo que después de veinte horas estará una hora adelantado. Casi todo el mundo dice que 11 veces. Cuando se agote también la arena habrán transcurrido 15 minutos. 214. El minutero tarda desde aquí 15 minutos en llegar al número 6. 220.21417 = 31744. OJO AL MINUTERO. 212. Si un reloj de pared tarda 5 segundos en dar las 6. SUMA FÁCIL. mientras que el horario tarda 45 minutos. 215. obliga a dar dos vueltas a uno de los relojes. 132234 + 244693 = 376927. Se ponen a contar los dos relojes a la vez.94 -
. 317 + 173 + 305 = 795. 211. Aunque la solución anterior es la que menos tiempo requiere. pero la solución correcta son 10. 218. Las 5 y 15. le damos la vuelta y esperamos a que se agote el de 11. Así. A LAS TRES Y DIEZ. EL RELOJ DE CUCO. Mi tío durmió solamente 40 minutos. Uno de los relojes se adelanta tres minutos con respecto al otro por cada hora. 216. pero más sencilla en el sentido de que sólo es necesario voltear una vez uno de los relojes. al mismo tiempo que echamos el huevo en el agua hirviente. transcurridos los primeros 7 minutos se inicia la cocción del huevo. Cuando se agote la arena en el reloj de 11 minutos. DOS RELOJES DE ARENA. OTRO MUY FACILÓN. OTROS DOS RELOJES DE ARENA.
8x2=16. Edades dentro de un año: (8.8)=24 ⇒ x = 24k+1 = 25h (h entero) que se cumple para k=1. le damos la vuelta (han pasado 7 minutos). 6+3=9=3x3. ¿QUIÉN ES ANTONIO? Su hijo.
. Nació en 1981. pues hubiese engendrado el hijo después de 120 años y.. tenía 44 años en el año 442=1936. 15-5=10=4x40 230. 15=45/3. Le damos la vuelta una vez más. un cuadrado será múltiplo de 3 o múltiplo de 3 más 1. 15-7=8. su mujer 37 y sus hijos 1. Se tendría: a2 = 3b2 + 26 = 3n + 2.4. Hijo 15 años. 223. Pero..). 227. Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos. nunca múltiplo de 3 más 2. Nació en 1892. 235. 233. Como el mcm(2. Murió a los 18 años. No existe solución. 1+9+8+1=19. POBRE PÍO. LA FAMILIA DE CARLOS. el reloj de 7 minutos ha funcionado durante 1 minuto. HIJO DE LA HERMANA DE MI MADRE. MI HERMANO Y YO. Sea x la edad del padre. Mi madre. Padre 45 años. QUIÉN ES MAYOR? Son mellizos y tienen 6 años. ababab = ab0000 + ab00 + ab = 10101 x ab = 1 x 3 x 7 x 13 x 37 x ab. 224. 4x3=12. han transcurrido los 9 minutos. LA EDAD DE MI HIJO. (k=6. Así: 25 es la edad del padre y 25/6=4 años y 2 meses la edad de Juan.11. por segunda vez le damos la vuelta (han pasado 8 minutos).. 19 años. Dentro de un año. 7 y 13 años. CARLOS EN EL AÑO 2. 232. pero implican para el padre edades superiores a 144 años.6. Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos. 229. LA EDAD DEL CAPITÁN.Jesús Escudero Martín
minutos). Edades actuales: (7.15). Sea ab la edad de Víctor. LAS MENINAS. Primo.12). 225. Cuando se termine la arena. Se instaló en Madrid a los 57-34=23 años. 234. 3. Carlos tiene 39 años. 228. Se casó a los 234=19 años. no conviene exagerar. LA EDAD DE JUAN. LA EDAD DEL SR.16). Prueba: 6+2=8=2x4. SUEGRA FENOMENAL. Edades hace 3 años: (4. GÓMEZ. 231.3. Nació en 1953. lo que las excluye.000. 226.95 -
. Es cierto que caben otras soluciones.
244. Teresa tiene tres hermanos más que hermanas. 247. Los personajes son: una hija. 239. En coche.96 -
. LA NOTA MEDIA. De su hijo. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. 243. B-C-D-A. El galgo. p(31) = 2/3·1/2·1 = 1/3. CARLOS Y LA FOTOGRAFÍA. LOS CUATRO PERROS. HIJO DE TU PADRE. 241. P(2 de 4) = 6/16 P(3 de 6) = 20/64 = 5/16. 249.
. HERMANA DE MI HERMANA. separó 7 para dárselos a su hija. su madre y su abuela. OTRA VEZ CARLOS Y LA FOTO. Luego es más probable ganar dos de cuatro partidas. 237.Jesús Escudero Martín
236. LOS CUATRO ATLETAS. LOS HERMANOS DE LA FAMILIA. Cuatro. 240. SILENCIO. PARTIDAS DE AJEDREZ. De los 25 libros que la madre recibió de la abuela. 238. LAS HERMANAS. p(21) = 2/3·1/2 = 1/3. HERMANDAD. Luego los tres tienen la misma probabilidad. 245. De su padre. 248. 242. Tú. Más bajo. Ocho. TRES BOLAS. REGALAR CULTURA. 246. 250. p(11) = 1/3. Porque las sobrinas de Marta son precisamente las hijas de María. Yo.
(1984) Allem.97 -
. Barcelona. R.Ocio matemático. Barcelona. . Ilustraciones.Acertijos Clásicos. . Barcelona. Marcombo.Matemáticas recreativas 2. Barcelona. M.Divertimientos lógicos y matemáticos. . M. M. (1982) Mataix. Barcelona. (1984) Mataix. (1994) Berrondo. Madrid. menos fácil y difícil. . M. Alianza. Madrid. M. Marcombo. Lábor. P. Barcelona. P. Barcelona.El discreto encanto de las matemáticas. . N. Barcelona. M. (1983) Mataix. F. Barcelona. (1981) Mataix. (1986) Fixx.Carnaval matemático. (1984) Barry Townsend. . .¡Ajá! Paradojas que hacen pensar. (1988) García Solano. Barcelona. Lábor. Lábor. Madrid. Barcelona. Marcombo.Juegos matemáticos para secundaria y Bach. (1985) Gardner. (1984) Gardner.Nuevos juegos de ingenio y entret.. Barcelona. Barcelona.Droga matemática. . . I.¡Ajá! Inspiración ¡Ajá! Lábor. . (1981) Allem.Festival mágico-matemático. Marcombo. (1984) Guzmán. Marcombo.Juegos y enigmas de otros mundos.¿Se atreve Vd. Alianza. J. . J. de . M. Escuela Española. M.Paradojas y juegos.Matemáticas recreativas 3. . M. . M. Alhambra. . . J. . Barcelona. (1981) Gardner. Charles. (1980) Gardner.Cuentos con cuentas.Juegos de ingenio y entretenimiento mat. Síntesis. (1983) Gardner.Nuevos pasatiempos matemáticos. Barcelona. (1987) Guzmán. con ellos? Marcombo. M. M. (1980) Gardner. M. M.Ruedas vida y otras div. Alianza. M.Magia matemática. (1988) Lánder.Cajón de sastre matemático. Barcelona. Gedisa. . Barcelona. Barcelona. M. Barcelona. .Problemas para no dormir.Juegos de recreación mental para los muy intelig. Barcelona. (1985) Mataix. (1979) Mataix. (1987) Mataix. Gedisa. Marcombo. (1983) Gardner. . (1989)
.Circo matemático. . . Gedisa.Nuevos divertimientos matemáticos.Fácil.En busca de la solución. Barcelona. Barcelona. Lábor. Barcelona. (1988) Holt. M. (1978) Mataix. Gedisa.Jesús Escudero Martín
Albaiges Olivart J. (1994) Falleta. Marcombo. Martínez Roca. . . (1976) Holt. Marcombo. Barcelona. de . . Barcelona. . . mat. Alianza. (1980) Mataix. M. M. M. . Reverté. matemáticas. Gedisa. . M.Matemáticas mágicas.. Martínez Roca.Mirar y ver. Selector. (1987) Corbalán.Los juegos matemáticos de eureka. Barcelona. Marcombo. . . M. M. Barcelona. (1988) Gardner.
K. Moscú. (1977) Paraquín. (1988) Smullyan.Juegos visuales. Barcelona. Madrid.¿Cómo se llama este libro? Cátedra. Y. Madrid. Barcelona. (1977) Perelman. . . .Álgebra recreativa. (1996) Estos problemas y muchos más se encuentran en Internet en la siguiente dirección:
http://platea.Problemas y experimentos recreativos.98 -
.Diversiones matemáticas. Barcelona. (1986) Rodríguez Vidal. (1983) Rodríguez Vidal. (1983) Smullyan. México. Y. (1996) Northrop. Moscú. (1978) Perelman. I. . R. Euler. Mir.Alicia en el país de las adivinanzas.Laboratorio de matemáticas. E. Martínez Roca. Reverté. I. I. Alhambra. . Cátedra.Jesús Escudero Martín
Mathematical Association of America . Uteha. Barcelona.pntic. (1981) Smullyan.Primos o algunos dislates sobre números. R. .Matemáticas recreativas. Mir. Y. .ICE. R. Lábor. Zaragoza. Grao. (1983) Rodríguez Vidal. . . Madrid.Concursos de mat. Reverté. (1984) Thio de Pol.¿La dama o el tigre? Cátedra. R. Revistas: UNO . Barcelona. Madrid. (1976) Revistas: SUMA. Barcelona. Reverté. . R. .mec. Madrid.Enjambre matemático.Cuentos y cuentas de los mat. . H. . S. (1978) Perelman. R. P.Paradojas matemáticas.es/jescuder/
Leer más sobre este usuarioconceptos narrativaGuias Cuarto5to a 8vo Basico ShoaDieta de 50 díasmitos_leyendasResumen No PerderResumen No PerderGuia SextosProblemas Verbales CombinadosGuia SextosEnsayo ViernresFuerza y MovimientoFuerza y Movimiento4° BÁSICO - CUADERNO DE TRABAJO LENGUAJE Y COMUNICACIÓNuso-del-diccionario-5°Propuesta actividad naturalezauso-del-diccionario-5°59056663 58318726 Fichas Refuerzo Santillana57522291-REFUERZO-Y-AMPLIACION-DE-LENGUA-6ºSeres Vivos Cuarto GuiaREVISAR ACTIVIDADES LUDICASComprensiones BrevesSujetoypredicado OriginalGuia Social Cuarto Lista
Sign up to vote on this titleUsefulNot usefulResolucion de Problemas Matematicos por Lore Lore LoreInsertarDescargaLeer en Scribd móvil: iPhone, iPad y Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Precio de lista: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMás informaciónMostrar menos
RelacionadoPreguntas de Matematicas Saber 11 Marzo 29 2016por Eugenio1- Tic y Matematicaspor JuanLezcanoResolucion de Problemas Matematicos (Vol 3)por Jack NaiperExploracion de Algunos Conceptos No Convencionales Del Triangulo Con Cabripor EugenioMartín Gardnerpor belem0301Escudero 2por alberto rojasSimulacro de Examen de Razonamiento Verbalpor Eling Camones BazánCuestionario Matematicas Noveno Gradopor EugenioAPTITUD NUMÉRICApor Carlos Andres Diaz RamirezSimulacro Prueba Aptitud Matemática Concurso Docente Colombiapor EugenioEXAMEN SIMULACRO DOCENTEpor Antonio MoralesPRUEBA APTITUD MATEMATICApor EugenioRevista Olimpiada 2012por Pedro CorchoTeoria de Numeros Segunda Partepor Jorge SantosPensamiento numérico del preescolar hasta primariapor Jice MarceCONCURSO MERITOSpor api-3827058Libro de Matematicaspor Radaid Pérez LópezTeoria de Numeros Primera Partepor Jorge SantosEvaluación de matemáticaspor EugenioGuia Orientacion Para El Ingreso de Docentes Final 281016por Asprilla CésarOlimpiada Matemática Mayopor Eliana Berrios OlivaresEvaluación Inecuacionespor EugenioGuia Algebrapor Villa UlisesNuevos Puntos y Rectas Notables en Un Triangulopor Eugenio Therán PalacioguiaProfesor4topor Rina Garate RoblesSolucion de Problemaspor Jonnathan ValbuenaOlimpiadas Matemáticaspor Annie 6203-Guía_de_Problemas_-_Electricidad_y_Magnetismo_por antoniorixSimilar to Resolucion de Problemas MatematicosPreguntas de Matematicas Saber 11 Marzo 29 20161- Tic y MatematicasResolucion de Problemas Matematicos (Vol 3)Exploracion de Algunos Conceptos No Convencionales Del Triangulo Con CabriMartín GardnerEscudero 2Simulacro de Examen de Razonamiento VerbalCuestionario Matematicas Noveno GradoAPTITUD NUMÉRICASimulacro Prueba Aptitud Matemática Concurso Docente ColombiaEXAMEN SIMULACRO DOCENTEPRUEBA APTITUD MATEMATICARevista Olimpiada 2012Teoria de Numeros Segunda PartePensamiento numérico del preescolar hasta primariaCONCURSO MERITOSLibro de MatematicasTeoria de Numeros Primera ParteEvaluación de matemáticasGuia Orientacion Para El Ingreso de Docentes Final 281016Olimpiada Matemática MayoEvaluación InecuacionesGuia AlgebraNuevos Puntos y Rectas Notables en Un TrianguloguiaProfesor4toSolucion de ProblemasOlimpiadas Matemáticas6203-Guía_de_Problemas_-_Electricidad_y_Magnetismo_ConcursoDocentesManual Word 2003Resolucion de Problemas Matematicos

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 RESOLUCIÓN 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 RESOLUCIÓN 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución