Source: https://www.scribd.com/doc/77391282/Calculo-Integral-ProceCC
Timestamp: 2016-02-11 14:25:40+00:00

Document:
Calculo Integral ProceCC
UploadSign inJoinBooksAudiobooksComicsSheet MusicScribd Selects BooksHand-picked favorites from our editorsScribd Selects AudiobooksHand-picked favorites from our editorsScribd Selects ComicsHand-picked favorites from our editorsScribd Selects Sheet MusicHand-picked favorites from our editorsTop BooksWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop AudiobooksWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop ComicsWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop Sheet MusicWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreCategoriesArts & IdeasBiography & MemoirBusiness & LeadershipChildren'sComputers & TechnologyCooking & FoodCrafts & HobbiesFantasyFiction & LiteratureHappiness & Self-HelpHealth & WellnessHistoryHome & GardenHumorLGBTMystery, Thriller & CrimePolitics & EconomyReferenceReligionRomanceScience & NatureScience FictionSociety & CultureSports & AdventureTravelYoung AdultCategoriesArts & IdeasBiography & MemoirBusiness & LeadershipChildren'sComputers & TechnologyCooking & FoodFantasyFiction & LiteratureHappiness & Self-HelpHealth & WellnessHistoryHome & GardenHumorLGBTMystery, Thriller & CrimePolitics & EconomyReferenceReligionRomanceScience & NatureScience FictionSociety & CultureSports & AdventureTravelYoung AdultCategoriesAdaptationsChildren’sCrime & MysteryFictionHumorMangaNonfictionRomanceSciFi, Fantasy & HorrorSuperheroesYoung AdultPublishersArcanaArchie ComicsBOOM! StudiosDynamiteIDW PublishingKingstone ComicsMarvel ComicsSpace Goat ProductionsTop Cow ComicsTop Shelf ProductionsValiant Comics ZenescopeDifficultyBeginnerIntermediateAdvancedMixedInstrumentBrassDrums & PercussionGuitar, Bass, and FrettedPianoStringsVocalWoodwindsGenreClassicalCountryFolkJazz & BluesMovies & MusicalsPop & RockReligious & HolidayStandardsP. 1Calculo Integral ProceCCCalculo Integral ProceCC|Views: 2,002|Likes: 23Published by David Sanchez CeballosMore info:Published by: David Sanchez Ceballos on Jan 06, 2012Copyright:Attribution Non-commercialAvailability:Read on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate content|Add to collectionSee moreSee lesshttps://www.scribd.com/doc/77391282/Calculo-Integral-ProceCC06/15/2013pdftextoriginalSectionsPRESENTACIÓN1.1. INTEGRAL1.1.1. Áreas por aproximación de límites de sumas1.1.2. Suma de Riemann1.1.3. Integral definida1.1.4. Teorema fundamental del cálculo1.1.5 Antiderivadas1.1.6. Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas2.1 INTEGRAL INDEFINIDA2.1.2. Reglas básicas de integración¿QUÉ HE APRENDIDO?3.1.1. Método de Integración por sustitución4.2. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA GEOMETRÍA4.4. DETERMINACIÓN DEL TRABAJO FÍSICO REALIZADO POR UNA FUERZAQUIERO SABER MÁS1Cu a d e r n i llo d e p r oc e d im ie n t os p a r a el a p r e n d iza j e CO N LA COLABO RACIÓN D E Ví c t o r Ma n u e l Mor a Go n zá l e z
(Ver s ión p a r a fa s e in ic ia l)
C ÁLC ULO INTEG RAL
2000. Secretaría de Educación Pública/ Dirección General del Bachillerato
COSTO DE RECUPERACIÓN $ 12.00
Presentación........................................................................................................................................................... 5
UNIDAD I. La integral como área bajo una curva................................................................................... 7
1.1. Integral.............................................................................................................................................................. 8
1.1.1. Áreas por aproximación de límites de sumas......................................................................................... 8
1.1.2. Suma de Riemann......................................................................................................................................... 11
1.1.3. Integral definida........................................................................................................................................... 11
1.1.4. Teorema fundamental del cálculo............................................................................................................. 14
1.1.5. Antiderivadas................................................................................................................................................. 16
1.1.6. Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas............................................................ 16
¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 19
Quiero saber más...................................................................................................................................................... 22
UNIDAD II. La integral indefinida................................................................................................................ 23
2.1. Integral indefinida........................................................................................................................................... 24
2.1.1. Antiderivada................................................................................................................................................... 24
2.1.2. Reglas básicas de integración................................................................................................................... 25
¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 28
Quiero saber más...................................................................................................................................................... 29
UNIDAD III. Métodos de integración.......................................................................................................... 30
3.1. Métodos de integración................................................................................................................................. 31
3.1.1. Método de Integración por sustitución................................................................................................. 31
3.1.2. Método de integración por partes........................................................................................................... 32
3.1.3. Aplicación de los métodos de integración por sustitución y de integración por
partes en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas................................................... 34
¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 38
Quiero saber más...................................................................................................................................................... 40
UNIDAD IV. Aplicaciones de la integral..................................................................................................... 41
4.1. Cálculo de volúmenes...................................................................................................................................... 42
4.2. Aplicaciones del Cálculo Integral en la Geometría................................................................................. 48
4.3. Aplicación del Cálculo Integral en la Física.............................................................................................. 50
4.4. Determinación del trabajo físico realizado por una fuerz...................................................................... 55
¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. 56
Quiero saber más...................................................................................................................................................... 57
La presente guía de aprendizaje de Cálculo Integral tiene como propósito ayudar
al estudiante inscrito en la modalidad de educación media superior a distancia
para que, mediante el estudio independiente y a través de las actividades que se
plantean, vaya adquiriendo paulatinamente el conocimiento suficiente del cálculo
integral y logre, entonces, aplicarlo como una herramienta sumamente útil y
poderosa en el análisis de diversos fenómenos y en la resolución de problemas
El programa de la Asignatura comprende cuatro unidades. En la unidad I, se
sientan las bases del cálculo integral relacionándolo de manera esencial con el
cálculo diferencial a través del teorema fundamental del cálculo. Estudiaremos a
la Integral como suma y a la vez, como la determinación del área que, en un
intervalo específico, se desarrolla bajo la curva representativa de una función. La
suma de Riemann se convertirá en un auxiliar muy valioso para poder llegar a la
determinación del área bajo la curva. La unidad concluye con una aplicación de lo
aprendido en la determinación del área entre dos curvas.
La integral indefinida se estudia en la Unidad II, entendiendo y aplicando
previamente las antiderivadas y la llamada constante de integración.
Aprenderemos algunas de las reglas básicas de la integración para poder resolver
algunos problemas elementales.
Los métodos de integración por partes y el de sustitución se estudian en la tercera
Unidad. El dominio de los mencionados métodos se aplicará en la integración de
funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas.
Por ultimo, en la Unidad IV se estudiarán algunas de las aplicaciones de la integral,
en primer lugar calculando volúmenes de figuras regulares o irregulares y después
en situaciones tan variadas como la determinación del centro de masa de un objeto,
la velocidad del flujo sanguíneo, la presión hidrostática sobre la cortina de una
presa, el cálculo del trabajo efectuado en un sistema físico, etcétera.
Como siempre, para poder abordar con éxito y provecho todos los contenidos del
curso es necesario que el estudiante posea una excelente disposición al trabajo,
puesto que en este caso, como en otras áreas de la vida, es la única manera de
triunfar. Por otro lado es fundamental que se lean detenidamente los textos
marcados en las actividades y que se tenga siempre a la mano un cuaderno para
tomar las notas pertinentes así como una calculadora científica para efectuar los
cálculos necesarios. Sugerimos ir realizando, simultáneamente a la lectura, los
ejercicios marcados en el texto y repetirlos una y otra vez hasta que se logre un
dominio suficiente del tema, puesto que en el cálculo, más importante que el
memorizar los procesos o las fórmulas es el entender qué es lo que se está haciendo
y hacia dónde se pretende llegar. En caso de que haya dudas habrá que volver
sobre el texto y solicitar la ayuda del Asesor.
Por último, puesto que siempre son bienvenidas y provechosas las observaciones
que respecto al presente trabajo pudieran tenerse, les suplicamos hacerlas llegar
a la Coordinación de Educación Media Superior a Distancia. De antemano, gracias.
Ubicación de la asignatura
La asignatura de Cálculo Integral se imparte en el VI bloque y forma parte tanto del campo de
conocimiento de las matemáticas como del área propedéutica, razón por la cual no solamente
complementa la formación del estudiante de la modalidad sino que también le prepara para abordar
estudios superiores en diversas ramas del conocimiento. Por otro lado cabe señalar que con Cálculo
Integral se cierra el campo de conocimiento matemático que comprende desde Matemáticas I, II, III
y IV hasta Cálculo Diferencial incluyendo asimismo, la presente asignatura.
Aplicar el Cálculo Integral a través del análisis del comportamiento gráfico de una función y determinar
el área baja de una curva utilizando los distintos métodos de integración, para la resolución de
UNIDAD I UNIDAD I
UNIDAD I UNIDAD I UNIDAD I
LA INTEGRAL COMO ÁREA BAJO UNA CURVA
Aplicar la integral definida, a través de la aproximación
sucesiva de las áreas de regiones en el plano y la antiderivada
de funciones polinomiales, para resolver problemas sencillos
en las diferentes áreas del conocimiento.
Al inicio del curso de Cálculo Diferencial se introdujo el concepto de la derivada con el auxilio
de su representación geométrica como la pendiente a una curva. En la presente unidad
comenzaremos también, de una manera intuitiva, a comprender qué es la integral al interpretarla
como el área bajo la curva representativa de una función. De manera previa se estudiará la
notación sigma o sumatoria para aplicarlo a la medición de áreas por aproximación de límites
de sumas. Una manera muy apropiada de lograrlo se conoce como suma de Riemann. Una vez
entendido lo anterior se podrá entender y aplicar la integral definida además de evaluar las
llamadas antiderivadas que son precisamente las operaciones inversas a la diferenciación.
Al terminar el estudio de la presente unidad, deberás estar capacitado para poder calcular
áreas de regiones comprendidas entre dos curvas de tal suerte que enfrentes con éxito la
resolución de algunos problemas sencillos.
El estudio de esta unidad requiere, por tu parte, que estés muy atento a las explicaciones que
proporciona el autor del texto que estaremos usando y, por otra parte, que hagas el esfuerzo de
resolver por cuenta propia, si es necesario con la ayuda del asesor, los problemas que te
sugeriremos y para los cuales hemos presentado, en algunos casos, no solo las soluciones, sino
también los desarrollos con las anotaciones que consideramos pertinentes para tu mejor
comprensión del proceso.
Las actividades para la sección ¿cómo aprendo? están referidas siempre, salvo que se indique lo
contrario, al siguiente texto:
Stewart, James.Cálculo, trascendentes tempranas. México, International Thomson Editores, 1998.
1.1. INTEGRAL
Determinar la antiderivada de funciones polinomiales, a través del análisis de la relación entre la
antiderivada y el área bajo la curva, para la solución de problemas sencillos.
1.1.1. Áreas por aproximación de límites de sumas
Después de efectuar una lectura atenta y cuidadosa de las páginas 322 a la 326 del
libro de Stewart, James.Cálculo, trascendentes tempranas. México, International Thomson
Editores, 1998. realiza las siguientes actividades:
1. Copia en tu cuaderno el esquema de la notación de sumatoria y escribe cómo se denota el
inicio y el término de la suma y cuál es el signo empleado para la sumatoria, (¿de qué idioma
proviene?).
2. Al revisar los ejemplos de la pagina 323 del libro citado, toma nota de la forma en que se van
sustituyendo los términos dentro de la función indicada al realizar la suma. Intenta expresar
por escrito, con tus propias palabras, el proceso empleado.
3. Anota en el siguiente cuadro los teoremas correspondientes a la sumatoria junto con un
TEOREMAS DE LA SUMATORIA
Teorema Ejemplo
4. Observa el desarrollo de los siguientes ejercicios tomados del texto de Stewart sección 5.1
y después intenta resolver los que se encuentran bajo el mismo nombre en la sección ¿Qué
En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en forma de
sumatoria, los siguientes ejemplos intentan aclarar cómo se procede:
Por ejemplo, en la siguiente suma:
7 6 5 4 3 + + + +
puedes darte cuenta de que el término
inicial es 3, por tanto i = 3 y el término final es 7. Por otro lado la función en la cual se
insertarán los términos es la raíz cuadrada, por ello la suma puede expresarse como sigue:
Ahora consideremos la siguiente suma: 1
+ + + + + ...
el término inicial es i = 1 y el
término final es i = 19, la variación que se presenta es que el denominador es mayor por una
unidad que el numerador, por ello, una posible representación de la sumatoria es:
Ejemplos de aproximación por límites de sumas
Primer ejemplo: Empleando la aproximación por límite de sumas, determina el valor del
área bajo la curva de la siguiente función:
x 16 f(x) − ·
1. [ ] 0.4 intervalo
puntos de partición 0 1 , , , , 2 3 4
dentro del i-ésimo intervalo: extremo izquierdo
Ejemplos de como desarrollar una sumatoria
3+1 + 1
Observa que el término inicial
es i=1 y el término final es
i = 6, por lo que al sustituir en
la expresión tenemos la
solución como se muestra.
En primer lugar hacemos:
4 = x 3 x 2 x 1 x x
y calculamos ∆ de la siguiente manera:
1 = 3 - 4 x
1 = 2 - 3 x
1 = 1 - 2 x
1 = 0 - 1 x
Por consiguiente, la norma de la partición se determina como sigue:
P = max , , , 1 1 1 1 1
Sustituyendo y procediendo a calcular la suma, tenemos:
i o ·
1 2 3 4 0 1 2 3 (
) ( ) ( ) ( ) ( ) x ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
= 16 (1) + 15 (1) + 12 (1) + 7 (1)
Ahora, verifica tu aprendizaje resolviendo los ejercicios que encontrarás en la sección
¿Qué he aprendido? Compara tus resultados con las soluciones. Si no coinciden vuelve a
repasar e insiste hasta llegar a la solución correcta.
1.1.2. Suma de Riemann
Lee de la pagina 328 a la 335 del libro Stewart, James. Op. cit. A partir de la lectura te
proponemos las siguientes actividades:
1. Asigna valores entre 0 y 1 para la función y = x
2 , elabora la tabla correspondiente y en
papel cuadriculado traza la curva que representa a la función (te sugerimos que para la
escala de cada eje, le asignes a cada cuadrito el valor de 0.05 unidades). Ahora intenta una
aproximación a la medida del área bajo la curva dentro del intervalo marcado, contando los
cuadritos que quedan dentro de dicho espacio (si seguiste la sugerencia, cada cuadrito tendrá
como superficie 0.0025 unidades). Compara tu estimación con los resultados de la suma de
Riemann que aparece como solución del ejemplo 1 (p. 328) y responde las siguientes
a) ¿Qué tanto te pudiste aproximar?
b) ¿Qué dificultades tuviste para lograr que tu estimación fuese lo más exacta posible?
c) ¿Qué tanto se acercó al resultado de la suma de Riemann?
2. Anota en tu cuaderno los conceptos de partición de un intervalo, norma de la partición y el
significado de x
* . Explica, con tus palabras, cuál es la repercusión en la medición del área
bajo la curva al considerar a x
* en el extremo derecho, en el extremo izquierdo o en el
punto medio del subintervalo Dx
.:, después responde:
a) ¿El área estimada será más grande que el área real?, ¿o más pequeña?, Justifica tus
3. Escribe en tu cuaderno tu apreciación en torno a que es lo que sucederá con el ancho de los
rectángulos de aproximación cuando la norma de la partición (|| P ||) tiende a cero.
1.1.3. Integral definida
Lee de la página 336 a la 344 del libro de Stewart, James. Op. cit., y partiendo de la
información que proporciona, realiza las siguientes actividades:
1. Anota en tu cuaderno la definición de una integral definida y explica la relación entre ella y
la Suma de Riemann.
2. Completa el siguiente cuadro:
ELEMENTOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Elemento Símbolo representativo
3. Responde en tu cuaderno: ¿La integral siempre representa a un área? Justifica tu respuesta.
4. Escribe los criterios para considerar a una función integrable.
5. Explica las ventajas de seguir la regla del punto medio para la medición del área bajo la
6. Copia en tu cuaderno y también en una ficha de trabajo las propiedades de la integral.
7. Revisa los siguientes ejemplos para la evaluación de integrales definidas poniendo especial
atención en los procedimientos:
Ejemplo 1. Evalúa la integral dentro de los límites que se establecen:
1 2+ -
= dx x
dx xdx 4 dx x 5 = dx
3 + 4xdx - x 5 3)dx 4x (5x
3(1) 2(1) -
- 3(2) 2(2) -
3x + 2x -
En primer lugar evaluamos la integral y
marcamos los límites dentro de los cuales s
está calculando su valor.
Sustituimos los valores en la expresión
+ - = + -
dy 3y) 2y (y
1.1.4. Teorema fundamental del cálculo
Lee de la página 347 a la 355 del libro de Stewart, James. Op. cit., y trabaja en las
1. Anota en tu cuaderno las definiciones de la primera y segunda parte del teorema fundamental
del Cálculo junto con un ejemplo ilustrativo y tus notas personales sobre el significado y la
aplicación de cada parte del teorema mencionado.
a) ¿Por qué razón se le da a este teorema el nombre de Teorema Fundamental del Cálculo?
b) ¿De qué manera se relaciona a la derivación y a la integración?
3. Observa los siguientes ejemplos correspondientes a la primera parte del teorema fundamental
del cálculo:
Ejemplo 1. Aplicando la primera parte del teorema fundamental del Cálculo, determina la
derivada de las siguientes funciones:
a) g(x) = 1
∫ (t
dt b) g(x) = t
∫ dt
como f(t) = (t
es continua, tenemos puesto que f(t) = t
g´(x) = (x
20 que es la solución. la solución es g´(x) = x
Ejemplo 2. Usa la segunda parte del teorema fundamental del Cálculo y evalúa la integral o
define si no existe.
(3x - 5) dx
Aplicando las fórmulas para integración inmediata y evaluando tenemos:
(3x - 5) dx =
24 20 6 10 4 16 12
x − ·
· − − + · − ·−
x dx x dx ·
(8) = 16
sent dt
∫ = −
= (- cos π
) - (- cos π
= (-0.5) - (-0.7071) = -0.5+0.7071
= 0.2021
La función de velocidad de un punto material que se mueve a lo largo de una recta está dada
por la expresión:
v(t) = 3t - 5
a) el desplazamiento
b) la distancia recorrida en el intervalo o ≤ t ≤ 3
Para determinar el desplazamiento del punto material integraremos la función de velocidad
dentro del intervalo marcado:
( ) 3 5
t − · −
Evaluamos dentro de los límites marcados:
· − ·−
4. Después de observar lo anterior, anota por lo menos 2 ejemplos de situaciones en los que se
aplica el teorema fundamental del cálculo.
Ahora intenta la resolución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he
aprendido? En caso de tener dudas revisa los ejercicios y consulta a tu asesor.
1.1.5 Antiderivadas
Seguramente, después del estudio de las secciones anteriores, habrás podido darte cuenta de
que la integración también puede recibir el nombre de antiderivación puesto que es la operación
inversa a la diferenciación.
Para poder entender mejor el concepto y las operaciones para llevar a cabo las
antiderivadas, lee de la página 307 a la 313 del libro de Stewart, James. Op. cit. y además
1. Escribe en tu cuaderno la definición de antiderivada.
2. Copia tanto en tu cuaderno como en una ficha de trabajo la tabla de fórmulas de
antidiferenciación.
3. Explica por qué razón se agrega una constante al calcular la antiderivada.
4. Explica cuál es el significado geométrico de asignar valores diferentes a la constante que
resulta al antiderivar.
1.1.6. Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas
Una aplicación muy importante del cálculo integral es la determinación del área comprendida
entre dos curvas. Este proceso, resuelto en forma aritmética resulta difícil y en ocasiones
imposible, es entonces cuando la integración se convierte en herramienta inapreciable para
lograr la solución. Para abordar este tema tan importante, realiza la lectura de las páginas 380
a la 385 del libro de Stewart, James. Op. cit. y con base en la información proporcionada,
1. Revisa atentamente cada ejercicio propuesto en el texto y elabora, por tu cuenta, la tabla
correspondiente asignándole valores, dentro del intervalo propuesto, a la variable x. Acto
seguido, traza la gráfica correspondiente en papel cuadriculado y evalúa la integral definida
dentro de los límites marcados.
2. Anota en tu cuaderno tu explicación de lo que cambia en el procedimiento cuando:
a) g(x) ≥
b) f(x) es a veces mayor y a veces menor que g(x)
c) resulta mejor cambiar el intervalo del eje XX´ al eje YY´.
3. Observa la resolución de los siguientes ejemplos y lee las notas explicativas para intentar
posteriormente la solución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he aprendido?
Ejemplo 1. Calcula el área de la región sombreada
Área de la región sombreada = ∫(x
+ 3)dx - ∫xdx en el intervalo de -1 a 1
Integrando resulta:
Sustituimos y calculamos con los valores indicados de -1 y 1, de lo cual tenemos:
A = ( ) ( ) 1
+ − − + − −
El área buscada es igual a 21
Para poder integrar, debemos tomar como variable independiente a y, por lo tanto, las
funciones se escriben de la forma siguiente:
y = x + 5 ∴ x = y - 5 , x = y
La curva que representa a la función y = x
está en una posición más alta que la recta que
representa a la función y = x.
Por otro lado, el área sombreada se encuentra
en el intervalo de -1 a 1, por lo que ya se puede
intuir que el cálculo del área sombreada se
podrá hacer de la siguiente manera:
Escribimos las integrales correspondientes:
A = y dy y dy −
Realizando la integración se tiene:
) 1 ( 5
) 2 ( 5
aprendido? En caso de tener dudas revisa los ejercicios y consulta a tu asesor
El libro de Stewart, James. Cálculo, trascendentes tempranas. México, International Thomson
Editores, 1998, tiene al final de cada capítulo una serie de problemas para aplicar lo aprendido.
Para aprovecharlos, resolvimos algunos en la sección ¿cómo aprendo? y te proponemos que
ahora intentes resolver los que te marcamos en esta sección (como ayuda te presentamos las
soluciones), esto te permitirá medir tu avance y, al mismo tiempo, detectar tus deficiencias en
aquellos contenidos en los cuales no has logrado un dominio suficiente. Te recomendamos que
si tienes dudas vuelvas sobre el texto y consultes a tu asesor.
Áreas por aproximación de límites de sumas
a) Desarrolla las siguientes sumas:
j n n n n
1 2 3 · + + + + + +
f x x f x x f x x f x x f x x
i i n n n n
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
· + + + +
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ i
= 1 2 3 4 5 6 7 + + + + + +
b) Expresa las siguientes sumas en notación de sumatoria:
2+ 4 +6. . . 2(n-1) + 2n Solución:
( i) i
+ − + + + −
(-1) x i i
Los ejercicios para este tema se encuentran en la sección 5.2 , página 335 del libro citado.
Compara tus respuestas y si no coinciden revisa el procedimiento de los ejemplos.
sea la función f(x) = 2x + 1,
los puntos de partición: {0,0.5,1,2,4}
el intervalo: [0,4]
= extremo izquierdo
Encontrar: la norma de la partición ¦¦P¦¦, la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación
y trazar la gráfica correspondiente
4 cos x
¦¦P¦¦= 2
sea la función f(x) = 4 cos x
los puntos de partición: {0,π/6, π/4, π/3, π/2}
el intervalo: [0, π/2]
y trazar la gráfica correspondiente.
¦¦P¦¦= π/6
Evalúa las siguientes integrales:
dt = Solución: = 11
Solución: = 6
3 2 2 ( ) −
Ejercicio 3 u u u du
Solución: = 29
Determinación del área entre dos curvas
Ejercicio 1: Determina el área de la región limitada por la curva y= x
-5x+6 el eje x
y las rectas x= -1 y x= 2 Solución: = 157
Ejercicio 2: Determina el área de la región limitada por la curva y = cos 2x y las rectas
y = 0, x= −
Solución: = 1
Ejercicio 3: Determina el área de la región limitada por las curvas y = x, y= x
y las rectas
x= -1, x= 1 Solución: ·
A lo largo de este capítulo hemos trabajado basándonos principalmente en las aportaciones de
un gran matemático alemán llamado Georg Friedrich Bernhard Riemann, autor, entre otras
cosas, de la llamada Suma de Riemann. Sin embargo, vale la pena conocer un poco más de su
vida y de sus aportaciones. He aquí, resumida, su vida.
Bernhard Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Brezelenz, Hannover (hoy Alemania)
y fue el segundo de seis hermanos. Fue educado por su padre hasta que alcanzó la edad de 10
años. A partir de entonces un profesor de la escuela local ayudó en su educación.
En 1840 Bernhard ingresó directamente en el tercer grado en el Liceo de Hannover. Mostró
un particular interés en el estudio de las matemáticas y el director del Liceo lo alentó para
dedicarse al estudio de las matemáticas prestándole textos de su biblioteca particular. Se cuenta
que en una ocasión le prestó a Bernhard el libro de Legendre sobre la teoría de los números y
leyó las 900 paginas en tan sólo seis días.
En la primavera de 1846, Riemann ingresó a la Universidad de Gotinga. Su padre, un ministro
luterano, lo había encaminado a estudiar teología, de tal suerte que se matriculó en la facultad
de teología. A raíz de haber participado en algunas lecciones de matemáticas le interesó tanto
estudiarlas que le pidió a su padre permiso para poder cambiar de carrera. Obtuvo el permiso
y se inscribió en la facultad de filosofía que, a la sazón, era donde se estudiaba matemáticas
bajo la cátedra de Moritz Stern y Gauss
Posteriormente Riemann se cambió a la Universidad de Berlín en la primavera de 1847 para
estudiar bajo la dirección de Steiner, Jacobi, Dirichlet y Eisenstein. Fue una época importante
para Riemann pues aprendió mucho de Eisenstein sobre el uso de las variables complejas en la
función elíptica. La persona que más influyó durante esta etapa de la vida de Riemann fue
Dirichlet puesto que no solo le enseñó con profundidad sobre una gran cantidad de materias,
sino que más aún, Riemann adoptó para sus estudios matemáticos el sistema de Dirichlet. Por
otra parte, Riemann trabajó sobre la teoría general de las variables complejas que formarían
las bases de su trabajo más importante.
En 1849 Riemann regresó a Gotinga y su trabajo doctoral fue dirigido por Gauss, quien al
dar su reporte sobre la tesis describió a Riemann como poseedor de una fértil y gloriosa
originalidad.Por recomendación de Gauss. Riemann obtuvo un puesto en la Universidad de
Gotinga. Durante ese tiempo elaboró trabajos que más tarde sirvieron a Einstein para dar
forma a la teoría relativista de la gravitación. A la muerte de Dirichlet, Riemann ocupó la
cátedra de Gauss. Enfermó de tuberculosis y pasó los últimos años de su vida tratando de
recuperar la salud. Por ello se trasladó a Selasca, Italia donde murió en 1866.
Las ideas de Riemann concernientes a la geometría del espacio tuvieron un profundo efecto en
el desarrollo de la física teórica moderna y proveyó de métodos y conceptos usados más tarde
en la teoría de la relatividad. Fue un pensador original desarrollando métodos, teoremas y
conceptos que trascendieron su existencia.
Aclaró la noción de integral al definir lo que conocemos como integral de Riemann y también
es famoso por la hipótesis que lleva su nombre y que no ha sido aún resuelta.
UNIDAD II UNIDAD II
UNIDAD II UNIDAD II UNIDAD II
Aplicar el concepto de integral, a través del empleo de las
antiderivadas y su interpretación para la resolución de
problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento.
En el capítulo anterior se estudiaron los fundamentos del cálculo integral y a la integral
definida, ahora dedicaremos nuestra atención de forma especial a la integral indefinida.
Seguramente habrás entendido que existe una notable diferencia entre ambas integrales, puesto
que por un lado, la integral definida es en realidad un número, mientras que la integral indefinida
es una función.
Un problema matemático frecuente es el encontrar, a partir de la derivada, la función original
correspondiente. Las antiderivadas nos permiten lograrlo mediante una serie de procedimientos
algebraicos y fórmulas establecidas que simplifican el proceso, razón por la cual se estudian en
primer lugar. La notación de integral maneja una serie de elementos que es necesario conocer
con detenimiento y el conocer las reglas básicas de integración nos prepara para aplicarlas en
la resolución de algunos problemas sencillos.
Los ejercicios que se resuelven dentro de la guía te ayudarán, así lo esperamos, para que
comprendas tanto el procedimiento como el sentido matemático y geométrico de la integral
definida. Procura seguirlos con atención e irlos resolviendo simultáneamente en tu cuaderno
de notas.
2.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Determinar la antiderivada de funciones sencillas mediante el análisis de la relación entre la
antiderivada y la integral definida, para la resolución de problemas.
2.1.1 Antiderivada
Estudia las páginas 307 a 313 del libro de Stewart, James. Cálculo, trascendentes tempranas.
México, International Thomson Editores, 1998 y partiendo de la información que
presenta, realiza las siguientes actividades:
1. Copia en tu cuaderno la definición de antiderivada e intenta explicar de forma breve y con
tus propias palabras, cuál es el significado de la antiderivada para una integral indefinida.
2. Explica cuál es la razón por la cual se agrega una constante arbitraria cuando se determina
una antiderivada general.
3. Anota en tu cuaderno la tabla de fórmulas de antidiferenciación y agrega un ejemplo de cada
una de ellas. Agrega las notas que te parezcan pertinentes.
4. Observa la resolución de los ejemplos siguientes y resuelve a continuación los que se proponen
en la sección ¿Qué he aprendido?
Determina la antiderivada más general de la función:
a) f(x) = 12x
+ 6x - 5
Empleando las fórmulas de la tabla, tenemos que:
f(x) =12(
) + 6(
) - 5x + C
- 5x + C
Se comprueba que la antiderivada es correcta puesto que al derivar F(x) obtenemos f(x)
b) f(x) = x
2.1.2. Reglas básicas de integración
Para poder abordar este tema, realiza las siguientes actividades:
1. Copia de la página 352 del texto de Stewart, James. Op. cit., la tabla de fórmulas de la
integral indefinida y completa el siguiente cuadro:
2. Revisa con atención los ejercicios que desarrollamos a continuación y que te presentamos
para que observes la aplicación de la tabla de integrales indefinidas. Consulta a tu asesor en
caso de tener dudas sobre los procedimientos y trata de resolver los ejercicios que se
encuentran en la sección ¿Qué he aprendido?
a) Integra: ∫4xdx
∫4xdx = 4∫x dx = 4(
) + C = 2x
Integral Ejemplo
b) Integra: ∫(3x
- 2x)dx
∫(3x
- 2x)dx = ∫3x
dx - ∫2x dx
= 3∫x
dx - 2∫x dx
= 3(
) - 2(
c) Integra: ∫x
+ ·− +
d) Integra: ∫ x dx
dx = ∫x
+ · + · +
e) Integra: ∫3x
∫3x
dx = 3∫x
dx = 3(
) + C = 3(
f) Integra:
· · + +
ln = ln x+1
g) Integra:
1 x u : donde u
= du u
− · + − ·
h) Integra: sen x dx
sen x dx = -cos x + c
i) Integra: cos 4 x dx
Para integrar u= 4x y du = 4 dx
Despejamos a dx y tenemos: dx= du
4x dx = u du
sen 4x + c
+ x c
j) ( )
dx 1 + x sec 2 - x
sec = dx 1 - x sec
( ) c + x x tan + x sec ln 2 - x tan = dx 1 + dx x sec 2 - dx x sec =
Aplica lo que aprendiste al estudiar este capítulo resolviendo los ejercicios que te proponemos.
Compara tu respuesta con la solución y si tienes dudas consulta nuevamente el texto y a tu
Integrales indefinidas.
a) ò (2x
- 3x + 4) dx
b) ò (
+ 2 - x
c) ò ( x +3x - 2) dx
d) ò (4x
- 2 x ) dx
Solución: 4
x x c - +
÷ ò
Solución: ln x c
f) ò
Solución: 1
ln + +
g) ò sen 2a xdx
Solución: - cos 2ax + C
h) ò (sec x -1)
Solución: tan x + 6 ln (sec x + tan x)
+ 9x + C
i) òsec
5x dx
Solución: 1/5 tan (sec
5x) + C
j) ò sec x( sec x + tan x) dx
Solución: tan x + sec x + C
k) ò (3 cos x - 4 sen x + 1
3 sen x + 4 cos x - 1
l) ò e
Solución: e
Fermat, Roberval y Cavalieri fueron 3 matemáticos que, curiosamente, nacieron con diferencia
de tres años uno después del otro. Asimismo, los tres hicieron contribuciones muy importantes
al Cálculo.
Cavalieri inventó su método de indivisibles basándose en los intentos hechos por Kepler
para lograr medir una región del plano. Tal parece que Cavalieri intentó determinar el área
bajo la curva considerándola como una serie infinita de componentes(de líneas) que, al ser
sumadas como un número infinito de indivisibles proporcionaban el resultado. Usando estos
métodos encontró que la integral de x
/n+1, una fórmula de integración inmediata que
es ampliamente conocida y que ya has usado al desarrollar los ejercicios contemplados en el
Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso en sus métodos
que Cavalieri. Roberval consideró el área bajo la curva como un número infinito no de líneas,
sino de tiras rectangulares angostas; al realizar la suma determinó con mayor precisión la
medida de la región del plano buscada.
Fermat, investigó los máximos y mínimos de una función al considerarlos como la recta paralela
al eje de las x y tangente a la curva en cuestión. Escribió a Descartes proporcionándole el
método usado hasta el día de hoy para el cálculo mencionado. Por esta razón, Lagrange, célebre
matemático francés, llegó a considerar a Fermat como el inventor del Cálculo.
A lo largo del desarrollo del curso hemos estado utilizando las aportaciones hechas por estos
tres grandes matemáticos, lo mismo que otras personas que, basándose en ellas, han impulsado
el desarrollo de las matemáticas para comprender mejor el maravilloso mundo en el que vivimos.
UNIDAD III UNIDAD III
UNIDAD III UNIDAD III UNIDAD III
Aplicar el concepto de integración de funciones algebraicas y
trigonométricas, a través del empleo de los métodos por partes
y sustitución para la resolución de problemas sencillos en las
diferentes áreas del conocimiento.
Es un hecho que, a diferencia de otras operaciones matemáticas, la integración no se puede
reducir a la mera aplicación de una serie de fórmulas. Más aún, se podría afirmar que cada
integral tiene su propio procedimiento para ser resuelta. Sin embargo, los métodos de
integración que estudiaremos en esta unidad nos proveerán de elementos suficientes para
poder resolver un gran número de casos en los que con toda probabilidad tendríamos grandes
Los mencionados métodos de integración se aplicarán en la última parte de la unidad, para
resolver problemas sencillos en diversas áreas. Un ejemplo tomado de la medicina podría ser
el cálculo del volumen de aire respirado por una persona durante un ciclo respiratorio completo
desde la inhalación hasta la exhalación. El débito del flujo del aire hacia los pulmones puede
ser representado por una función de la forma f(t) = ½ sen(2π/5), esto quiere decir que al
realizar la integración seríamos capaces de saber si la capacidad pulmonar de una persona en
particular, corresponde al volumen de aire inhalado por la misma y de esta forma determinar
el estado de salud que presenta. Otra situación en la que se aplica la integración es en el
cálculo de la producción de un determinado artículo. Es interesante saber que el proceso puede
ser representado por una función y la integración de ella nos permitirá saber con precisión
cuándo se ha llegado al punto óptimo y cuál debiera ser el total de artículos producidos en una
La integración se aplica, aunque parezca poco creíble, a fenómenos estudiados por la ornitología
(la ciencia que estudia a las aves, especialmente a los pájaros). Se afirma que algunas especies
de aves migratorias tienden a evitar volar sobre grandes extensiones de agua durante el día.
La razón parece ser que el vuelo en tal situación requiere un mayor gasto de energía debido a
que durante el día el aire sube de la tierra y desciende sobre el agua. Ahora bien, de una
manera instintiva las aves tienden a economizar su energía para poder volar mayores distancias
y esto, también puede ser representado por una función que, una vez integrada, nos permitirá
conocer la distancia máxima que un ave puede recorrer en un determinado tiempo, el trabajo
realizado al volar sobre tierra o sobre el agua, etcétera.
Estos comentarios pretenden que percibas al cálculo integral y a los métodos que se van a
estudiar, como herramientas que se pueden utilizar no sólo como materia de examen sino
también en el análisis de muchos fenómenos de tu propia vida y de diversas áreas del
conocimiento. Así pues, te invitamos a seguir esforzándote en el estudio del cálculo integral.
3.1 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Calcular integrales no inmediatas o por transformaciones algebraicas sencillas, aplicando los métodos
más usuales de integración por partes y sustitución trigonométrica, para la resolución de problemas
teórico-prácticos.
3.1.1. Método de Integración por sustitución
Realiza la lectura de las páginas 359 a la 364 del libro de Stewart, James. Cálculo,
trascendentes tempranas, México, International Thomson Editores, 1998 y efectúa las
1. Anota en tu cuaderno la regla de sustitución y expresa con tus palabras cuál es su significado.
2. Copia también la regla de sustitución para integrales definidas y expresa por escrito la
relación que tiene con las integrales de funciones simétricas que se mencionan dentro del
mismo texto.
3. Con respecto a las integrales de funciones simétricas es muy importante que se distinga
cuando una función es par o impar para poder aplicar la regla. ¿Cuál es el criterio? Justifica
4. Además de observar atentamente la solución de los ejemplos que proporciona el autor, te
sugerimos que revises los siguientes desarrollos y leas las notas que lo acompañan, después
intenta resolver los ejercicios correspondientes que encontrarás en la sección ¿Qué he
aprendido? Si tienes dudas vuelve sobre el texto y consulta a tu asesor.
Ejemplo 1. Evalúa la siguiente integral efectuando la sustitución prescrita.
∫x(x
dx u = x
Si u = x
- 1 entonces du = 2x dx y x dx = du/2
Por tanto la integral puede escribirse como sigue:
dx = ½∫(u)
Al aplicar las reglas de integración resulta:
½∫(u)
du = 1
C u + ·
Sustituyendo la función original tenemos:
Ejemplo 2. Evalúa la siguiente integral efectuando la sustitución indicada
dx u = 2 + x
Si u = 2 + x
3 entonces du = 3x
dx y x
dx = du/3
Al sustituir, la integral original se transforma de la siguiente manera:
Y aplicando las reglas de integración tenemos:
C u 2
Insertamos en lugar de u a la función original y la solución es:
dx = C
Intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido?,
comparando tus resultados con las soluciones que se proporcionan
3.1.2. Método de integración por partes
Realiza la lectura de las páginas 416 a 421 del libro de Stewart, James. Op. cit, y a partir
de la información que proporciona, efectúa las siguientes actividades:
1. Anota en tu cuaderno la fórmula de integración por partes acompañándola de notas
elaboradas por ti sobre su significado y las condiciones básicas necesarias para poderla
2. Copia en una tarjeta la plantilla que aparece en la pág. 418 del texto para poderla utilizar en
la resolución de los ejercicios.
3. Mientras realizas la lectura, ve resolviendo en tu cuaderno los ejemplos planteados por el
autor y haciendo las anotaciones que consideres pertinentes.
4. Revisa atentamente las integrales de la primera columna y completa lo que falta en el
5. Una vez que hayas completado el cuadro, sustituye los elementos en la fórmula de integración
para cada caso, por ejemplo:
= xe
- ∫e
x xdx
lnx dx
3 cos =
Integral u du v dv
2 x e
dx cos 3xdx
Función trigonométrica Identidad
½(1 + cos 2x)
sen A cos B
sen A sen B
cos A cos B
6. Después de sustituir en la fórmula de integración por partes, terminemos la solución para
cada caso, por ejemplo:
lnx - ∫
lnx - ½∫xdx
lnx -
Para comprobar tu aprendizaje, intenta la resolución de los ejercicios correspondientes
en la sección ¿Qué he aprendido?, comparando tus resultados con las soluciones que se
partes en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas
Los métodos de integración por partes y de sustitución muestran su eficacia cuando se intenta
aplicarlos a la resolución de expresiones más complejas. En tales casos no basta tan solo aplicar
las fórmulas de integración directa sino tener la suficiente habilidad para lograr la integración
a través de los referidos métodos. En esta sección tendremos la oportunidad de tener un
acercamiento a su aplicación en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas.
Para comenzar a entender lo referente a las funciones trigonométricas, lee de la página
423 a 427 y de la 429 a la 434 del libro de Stewart, James. Op. cit. Partiendo de la lectura
1. Busca las identidades trigonométricas correspondientes y completa el siguiente cuadro:
2. A continuación anota los procedimientos y las identidades trigonométricas para evaluar las
integrales en los siguientes casos:
Integración por sustitución trigonométrica
Lee de la pág. 429 a la 434 del libro de Stewart, James. Op. cit. y partiendo de la lectura
1. Copia la tabla de sustituciones trigonométricas:
2. Tomando en cuenta que estas sustituciones trigonométricas se basan en el teorema de
Pitágoras coloca las letras x y a donde correspondan:
Caso Procedimiento Identidad
trigonométrica a utilizar
Cuando la potencia del
coseno es impar.
seno es impar.
Si las potencias de seno y
coseno son pares.
Si la potencia de la secante
Si la potencia de la
tangente es impar.
Expresión Sustitución Identidad
3. Responde:
a) Si en el caso 1 relacionamos x y a
¿A qué funciones trigonométricas se refieren?
¿Cómo se puede expresar x en función de a y de θ
________ θ
__________ θ
x = ________ x = __________
b) De acuerdo al caso 2, relacionando x y a tenemos que las funciones trigonométricas son:
_________ θ
Expresando a x en función de a y de θ
x=___________ x=__________
c) Para el caso 3, las funciones trigonométricas son:
Y tenemos que x expresado en función de a y θ
x=__________ x=___________-
4. Revisa el ejemplo 1 que se encuentra en la página 430 del libro citado y responde lo siguiente:
a)¿Porqué utiliza el autor como sustitución x = 3 sen
? ¿De dónde obtiene el 3?
b) ¿Cuál es el rango en el que la sustitución se está aplicando?
c) El autor poner como equivalente 9 9
− · sen θ θ 9 cos
¿Cuál es la identidad trigonométrica que está usando?
d) Una vez realizada la integración ¿Cuál es el procedimiento que utiliza el autor para regresar
a la función original?
5. Partiendo del ejemplo 2 (pp. 450-451 Op. cit.) responde lo siguiente:
a) El autor usa dos identidades trigonométricas ¿Cuáles son?
− sen cos Θ Θ Θ = cos
2 identidad:
1 2 Θ Θ do· +
b) ¿Qué procedimiento empleó el autor para no tener que regresar a la variable original?
Ahora intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he
aprendido?
Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales
Lee de la página 435 a la 442 del libro de Stewart, James. Op. cit. y realiza las actividades
1. A manera de resumen completa el siguiente cuadro sobre las funciones racionales:
2. Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cómo se determina el grado de un polinomio?
b) ¿En qué caso se le llama «propia» a una función racional?
c) Si la función racional es impropia, ¿cuáles son los tres pasos para la integración?
3. Explica cuál es la razón principal para descomponer una función racional en fracciones
parciales al realizar la integración.
Aplica lo aprendido resolviendo los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he
Caso Enunciado Ejemplo
En este capítulo revisamos los métodos de integración, ahora aplica lo aprendido en la resolución
de los siguientes ejercicios. Compara tu solución con las respuestas. Si tienes dudas te
recomendamos volver sobre el texto y consultar a tu asesor.
a) Evalúa las siguientes integrales aplicando la sustitución descrita:
x x dx C
1 1 u= x Sol. u
dx x C
u= 2+x Sol. 2
sen4x dx C
+ u= 4x Sol. - cos4x
u= 2x+1 Sol. -
u= x +6x Sol. -
b) Aplicando la fórmula para la integración por partes, realiza las siguientes integrales:
ln Sol. x lnx -x +C x dx
x sen x dx Sol. -xcos + sen x + C
x dx e Sol. xe -e +C
( C + x) cos senx + x
Sol. dx x cos
x x dx x C 1
x 1+x / /
c) Calcula las siguientes integrales:
arc sen x -1
2 x 1-x +C 2
dx C
Sol. x
arc tan x-
Sol. ln 2 x
arc sec x
d) Calcula las siguientes integrales:
Sol. ln x + 2 ln(x+1) + 2 ln(x+2) + C
+ ln( )
Sol. ln
x x ( )( ) + +
A lo largo de esta unidad estudiamos el método de integración por partes, por lo cual resulta
interesante conocer al inventor de dicho método, al matemático Brook Taylor.
Brook Taylor (1685-1731) nació en Inglaterra y a los 23 años produjo una solución al problema
del centro de oscilación, el cual, debido a que se publicó hasta 1714, produjo una disputa sobre
su paternidad con Johann Bernoulli, uno de los más famosos y belicosos matemáticos que
hayan existido.
Taylor publicó en 1715 su libro Methodus incrementorum directa e inversa ( Método de los
incrementos directos e inversos) que representó un notable avance para lo que ahora se conoce
en matemáticas como el cálculo de las diferencias finitas y además inventó el método de
integración por partes. La misma obra contiene la celebrada fórmula conocida como serie de
Taylor, cuya importancia permanece todavía sin reconocerse hasta 1772 cuando Lagrange lo
coloca como principio básico del Cálculo Diferencial.
Además de lo anterior, Taylor desarrolló los principios básicos de la perspectiva, que ahora
tanto utilizan los arquitectos y los artistas. Diseñó experimentos para descubrir la ley de la
atracción gravitacional además de inventar métodos para calcular, o más bien dicho, para
aproximarse a las raíces (soluciones) de una ecuación por medio de logaritmos.
En 1712, Taylor fue electo como miembro de la Real Sociedad y participó en el comité que se
formó para dirimir la cuestión de la invención del Cálculo entre Newton y Leibniz.
Debido a las importantes aportaciones que realizó este matemático se le ha dado su nombre a
uno de los cráteres lunares con el propósito de perpetuar su recuerdo.
UNIDAD IV UNIDAD IV
UNIDAD IV UNIDAD IV UNIDAD IV
Aplicar el concepto de integral, a través del uso del Teorema
Fundamental del Cálculo, para la solución de problemas
geométricos, físicos, biológicos, en la economía y la
Preguntas que frecuentemente se hacen los estudiantes de bachillerato al abordar el Cálculo
son: ¿y para qué me va a servir estudiar esto?, ¿en qué lo voy a aplicar? Aparentemente el
Cálculo no es más que una asignatura que se tiene que cursar porque está en el Plan de Estudios
y por la que quiérase que no habrán de transitar con mayor o menor éxito.
Sorprendentemente, sin embargo, el Cálculo se aplica en el análisis de un sinnúmero de
fenómenos. El estudio de la presente Unidad nos hará aplicar lo que ya aprendimos en el curso,
a situaciones tales como la determinación de volúmenes de sólidos de revolución, es decir, de
aquellos sólidos que son generados al hacer girar una curva o intersección de curvas en torno
a un eje determinado. Aprenderemos también a calcular la superficie, la cáscara de un sólido.
En el campo de la Física aplicaremos nuestros conocimientos del Cálculo para ubicar el llamado
centroide o centro de masa de un cuerpo, es decir, el punto en el cual se considera concentrada
la masa de un cuerpo y a partir del cual se puede equilibrar el cuerpo mencionado. Procederemos
a calcular el trabajo desarrollado al estirar un resorte, o al vaciar un tanque.
En el campo de la medicina aplicaremos el Cálculo para determinar el flujo sanguíneo y en el
campo de la economía tendremos oportunidad de conocer, a través del Cálculo, el valor presente
de una corriente de ingresos.
Lo anterior no es más que una pequeña muestra de los campos en los que se aplica nuestra
asignatura. Es probable que según avances en tus estudios y en tu vida particular encuentres
oportunidades para aplicar el Cálculo Integral de manera que puedas comprender más
profundamente lo que sucede en nuestro mundo.
4.1. CÁLCULO DE VOLÚMENES
Determinar área y volumen a través de la aplicación de la integral definida para la resolución de
problemas geométricos, biológicos, físicos, en la economía y probabilidad.
Lee de la página 387 a la 395 del libro Stewart, James. Cálculo, trascendentes tempranas,
México, International Thomson Editores, 1998 y partiendo de la lectura realiza las
1. Anota en tu cuaderno la fórmula para el cálculo de volúmenes e intenta relacionarla con las
fórmulas que se utilizan en geometría para el cálculo de volúmenes de sólidos regulares (de
forma particular con los cilindros). ¿En qué se parecen?
2. Describe con tus palabras por qué razón se le puede llamar a este sistema el método del
disco y explica en qué aspectos se parece a la determinación del área bajo la curva por
medio de la suma de Riemann.
3. Explica en qué consiste el método de la arandela y cuál es la diferencia con respecto al
método del disco.
4. Revisa los siguientes ejemplos resueltos y anota tus observaciones para comentarlas con tu
asesor. Te sugerimos que por tu cuenta, asignando los valores adecuados a la función, elabores
una tabla y dibujes la gráfica correspondiente en papel cuadriculado, una vez hecho esto,
ilumina con un lápiz de color o plumón el área bajo la curva y recorta por la línea exterior.
Pega la figura resultante a un palillo o a un pedazo recto de alambre y hazlo girar con tus
dedos. ¿Percibes la forma del sólido de revolución que se genera?
Ejemplo 1. Determina el volumen generado por la curva y = x
, dentro de los límites x=1, y
= 0 al girar alrededor del eje x.
En primer lugar calculamos el área del disco i-ésimo tomando a x
como radio y aplicando la
fórmula: A = π(x
= πx
Para ayudarnos a visualizar la figura, elaboremos la gráfica y un diagrama del sólido de
revolución que se genera al girar en torno al eje x:
Y después determinamos el volumen aplicando la fórmula:
unidades cúbicas (por tratarse de un volumen)
Ejemplo 2. Determina el volumen del sólido de revolución generado por la función y
acotada por las rectas x=4, y = 0 al girar alrededor del eje x.
x = 4 y = 0
Calculamos el área en primer lugar y posteriormente aplicamos la fórmula para determinar el
x x A π π · ·
V = 64π
unidades cúbicas
dx x dx xx
Determina el volumen del sólido de revolución generado al girar la curva de la función
y = x alrededor del eje x, en el área acotada por y = 0, x = 1.
La fórmula para calcular el volumen es:
( ) ( [ ] dx x f V
Aplicando la fórmula, tenemos:
= xdx = dx x V
π π ·
El volumen es igual a 2
Ejemplo 4. Determina el volumen del sólido generado al girar la curva y = x
, acotada por las
rectas y= 8, y = 0 en torno al eje y.
= dy y = dy y V
π π π ·
) 32 ( 3
) 8 ( 3
· π · π ·
Ejemplo 5. Determina el volumen del sólido generado por la curva y
, alrededor del eje
x y acotado por las rectas x = 4, y = 0.
Puesto que las condiciones del problema indican que gira en torno al eje x expresamos y
y x x · ·
Ahora dibujemos un diagrama que nos ayude a mostrar cómo se comporta la función en el
primer cuadrante. Las condiciones del problema marcan los límites para integrar la función y
calcular el volumen (x=4, y=0).
Al girarlo en torno al eje x resultaría una figura de la siguiente forma:
Ahora bien, aplicando la fórmula para calcular el volumen tenemos:
( ) π ·
− π ·
x dx x dx x V
A continuación veamos un ejemplo de un sólido de revolución que se genera al rotar la curva
de la función y x ·
y=4, x = 0, x=2, alrededor del eje y comencemos la solución del problema
entendiendo las condiciones: la función y= x
debe expresarse como :
x= y = y
1/2 debido a que rota en torno al eje y la función se encuentra acotada por x= 0,
x= 2, y =4 lo que nos indica lo siguiente:
Al girarla en torno al eje y, tenemos:
x y ·
4 x ·
y x ·
4 7 10 13 16 19 21 23
Aplicamos ahora la fórmula del volumen:
y = dy y = dy y V
El volumen buscado es: 8π
Un caso diferente es el que presentamos a continuación: nos dan las ecuaciones de las curvas,
pero no se indican los puntos de intersección. ¿Cómo se resuelve?
Realmente es sencillo si se considera a las funciones como un sistema de ecuaciones. Las
soluciones a dicho sistema nos darán los puntos de intersección y podremos entonces calcular
el volumen buscado.
Ejemplo: Determina el volumen del sólido de revolución generado al girar la región comprendida
entre las curvas y
= x, x = 2y.
Igualamos las ecuaciones y resolvemos por fórmula general:
2 = 2y
ac 4 b b -
- 2y = 0
= 2 y
Una intersección se da en (4, 2) y la otra en el origen (0, 0)
Con estos datos y tabulando trazamos la gráfica correspondiente:
Como la figura rota sobre el eje y tenemos una figura similar a la siguiente:
Procedemos a calcular el volumen aplicando la fórmula:
( ) ( ) [ ] ( )
- p - p =
dy y y 4 = dy y 2y V
- p =
p = ÷
Ahora resuelve los ejercicios que te presentamos en la sección ¿Qué he aprendido?
Confronta tus resultados con las soluciones. En caso de duda, repasa el texto, los ejercicios
y consulta a tu asesor.
4.2. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA GEOMETRÍA
Área de una superficie de revolución
Lee de la página 500 a la 504 del libro de Stewart, James. Op. cit. Partiendo de la
información que proporciona realiza las siguientes actividades:
1. Anota en el siguiente cuadro las fórmulas correspondientes para ubicar las coordenadas del
centro de masa de un sistema.
2. Observa el desarrollo de los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1. Calcula el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva 9 x 4 , x y ≤ ≤ · en
torno al eje x.
Hacemos x 2
x y 1/2 −
+ 1 x 2 = dx
+ 1 y 2 S
Sustituyendo queda:
+ π · +
π · π ·
dx 1 x 4 dx 1 x 4
2 = dx 2
+1 4x
= u u
Ahora hacemos: u= (4x+1)
du= 4 dx
dx = 4
Realizamos la sustitución cambiando los límites, para ello aplicamos los límites iniciales en:
u = 4x+1.
nuevo límite superior: 4 (9) + 1 = 37
nuevo límite inferior: 4 (4) + 1 = 17
La integral se escribe ahora:
Y al realizar la integración se tiene: Porque:
· Al calcular con los límites tenemos la solución:
( ) 17 17 37 37
S − ·
Ejemplo 2. Calcula el área de la superficie obtenida al hacer girar sobre el eje y la curva y =
en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2
Puesto que: y = x
dx 3x = dy 3x
( ) dx 3x + 1 x 2 dx
1 y 2 s
+ π ·
dx x 9 + 1 x 2 dx x 9 1 x 2
π · + π ·
hagamos: u = 1 + 9x
du= 36 x
dx = 36
Calculamos los nuevos límites y sustituimos:
] ( ) 1 145 145
¸ π
La solución, por tanto es:
( ) 1 145 145
4.3. APLICACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL A LA FÍSICA
Determinación del momento y centro de masa de un cuerpo
Realiza la lectura de las páginas 505 a la 510 del libro de Stewart, James. Op. cit. y
efectúa las siguientes actividades:
1. Contesta en tu cuaderno:
¿A qué se le llama centro de masa de un cuerpo?
¿Qué son los momentos de la masa de un cuerpo?
Escribe la ecuación para determinar el centro de masa y su explicación.
Para un sistema de varias dimensiones ¿cómo se define el centro de masa?
¿Qué es un centroide?
Escribe las ecuaciones para determinar las coordenadas del centroide de un cuerpo.
Si el cuerpo es simétrico, de acuerdo al principio de simetría, ¿dónde se ubica el centroide ?
Después de revisar con atención los ejemplos resueltos anota en forma de lista los pasos para
ubicar las coordenadas del centroide.
2. Observa la solución de los siguientes ejemplos y luego intenta resolver los correspondientes
a la sección ¿Qué he aprendido?
Ejemplo 1. Calcula los momentos M
y encuentra el centro de masa del sistema.
=4 m
= 8 P
1 (-1,2) P
Elaboremos un diagrama que nos ayude a entender mejor el problema:
40 32 8 ) 4 ( 8 ) 2 ( 4 M
12 16 4 ) 2 ( 8 ) 1 ( 4 M
: Tenemos
y m M
x m M
· + · + ·
· + − · + − ·
∑ ·
Dado que la masa total del sistema (m) es: m
= 4 +8 = 12 tenemos que las coordenadas
del centro de masa son:
Calcula los momentos Mx y My y encuentra el lugar del centro de masa del sistema:
=3 p
=8 p
=6 p
(-6, -5)
(-1,3)
Centro de masa (1, )
En primer lugar ubiquemos los puntos:
Calculamos los momentos:
Mx = 3(0) + 3(8) + 8 (-4) + 6 (-5) = 24-32-30= -38
My = 3(0) +3 (1) + 8 (3) + 6 (-6) = 3+24-36 = -9
La masa total (m) = 3+3+8+6= 20
Por lo que las coordenadas del centro de masa son:
Ejemplo 3. Localiza el centroide de la región limitada por las curvas: y =x
, y =0 x=2
Es recomendable trazar la gráfica para entender mejor el problema. Después de tabular, tenemos:
El área de la región es:
= dx x A
(-6,-5)
Aplicamos las fórmulas:
dx fx x
[ ] dx x
dx ) (x
= dx f(x)
Las coordenadas del centroide son, por tanto ,
o también (1.5, 1.2).
Ejemplo 4. Localiza el centroide de la región limitada por las curvas:
y = cos 2x y = 0 4
= x 4
Tracemos la gráfica correspondiente:
Calculamos el área:
cos2xdx A
y=co s 2x
Para integrar hacemos: u = 2x
du = 2dx 2
dx · ∴
= cosudu
· + · − − ·
Aplicamos las fórmulas para determinar las coordenadas del centroide:
x = 0 Porque de acuerdo al principio de simetría y puesto que es una figura simétrica,
el centroide se ubica en el eje de simetría, que en este caso corresponde a x=0.
[ ] 2xdx cos
dx 2x cos
cos4x
cos2(2x) 1
cos2x 1
4xdxs cos
4x cos
+ dx
Observa que para integrar cos 4xdx hacemos:
u= 4x
du= 4 dx ∴ dx= 4
( )] 4
sen4x
= 4xdx cos
cos4xdx
4x sen
· · +
Por tanto, las coordenadas del centroide son ,
Ahora intenta resolver los ejercicios que te presentamos en la sección ¿Qué he aprendido?
y compara tu respuesta con las soluciones.
4.4. DETERMINACIÓN DEL TRABAJO FÍSICO REALIZADO POR UNA FUERZA
Lee de la página 403 a la 406 del libro de Stewart, James. Op. cit. Partiendo de la lectura
1. Contesta las siguientes preguntas:
a) En el ámbito de la Física, ¿cómo se define al trabajo?
b) ¿Cuál es la fórmula para calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es constante?
c) ¿Por qué razón se expresa la aceleración como 2
? ¿De qué manera se relaciona el
desplazamiento (s) con la aceleración a través de esta expresión matemática?
d) ¿Cuál fórmula se emplea para calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es variable?
e) En la fórmula anterior, ¿cómo se expresa la distancia?, ¿a qué equivale dentro de la integral?
2. Siguiendo con atención cada ejemplo desarrollado por el autor en el texto base, resuelve los
ejercicios que te proponemos en la sección ¿Qué he aprendido?
Intenta resolver los siguientes ejercicios para comprobar tu grado de dominio sobre los
contenidos que se manejan en la presente Unidad. Recuerda que en caso de tener dudas o
muchas dificultades, conviene regresar sobre el texto y consultar a tu Asesor.
a) Determina el volumen del sólido generado, haciendo girar sobre el eje de las x la superficie
limitada por los siguientes lugares geométricos:
y = 0, x = 2 Solución: V = 128p/7
y= sen x x = 0, x = p/2 Solución: V = ½ p
+ 16y
= 144 Solución: V = 48p
b) Determina las coordenadas del centro de masa para cada uno de los siguientes casos:
El sistema formado por los puntos A(-1,3), B(2,1) y C(3, -1) con masa de 1, 2 y 3 kg
respectivamente Solución: (2, 1/3)
La parábola y = 4  x
y el eje x Solución: (0, 8/5)
Las curvas y = x3 y y= 4x en el primer cuadrante Solución: (
c) Trabajo
Una fuerza de 8 N estira un resorte de su longitud natural de 4 m a una longitud adicional de
50 cm. Determina el trabajo realizado al estirar el resorte de su longitud natural hasta una
longitud de 5 m.
Solución: 8 Joules
En muchos campos del conocimiento se emplean modelos matemáticos que implican ecuaciones
diferenciales que contienen potencias de e. Esto sucede, por ejemplo, en la Física, Química,
Biología,P sicología, Administración, Economía y Sociología.
En los campos mencionados, se estudian con frecuencia fenómenos que implican crecimiento y
decrecimiento, es decir, son fenómenos en los cuales la tasa de variación de una cantidad con
respecto al tiempo es proporcional a la cantidad presente en un instante dado. Un ejemplo se
da en la biología cuando, bajo ciertas circunstancias, la tasa de crecimiento de un cultivo de
bacterias es proporcional a la cantidad de bacterias existente en cualquier momento específico.
En una reacción química, la tasa de la velocidad de reacción con frecuencia es proporcional a la
cantidad de reactivos presente en un instante dado. Esto se aplica, por ejemplo cuando se
estudia a un elemento radioactivo como el radio. Los químicos saben bien que la tasa de
desintegración del mencionado elemento depende de la cantidad presente en un momento
En el tiempo presente, cuando el aumento de la población preocupa alarmantemente a los
sociólogos y a los organismos que estudian este fenómeno, podemos preveer que de acuerdo a
lo anterior, la tasa de crecimiento de una comunidad dependerá, de acuerdo a las circunstancias,
de la cantidad de población existente en una época determinada.
El cálculo integral nos ayuda a determinar de manera particularmente precisa, el desarrollo
de los fenómenos citados y de muchos otros que presentan tanto el crecimiento o el
decrecimiento exponencial. Tal es el caso de algunas decisiones financieras que toman los
economistas cuando se trata de colocar una cierta cantidad de dinero para poder obtener un
capital futuro. También se aplica el cálculo en el campo de la Física cuando se emplea la ley del
enfriamiento de Newton, la cual establece que la tasa a la cual un cuerpo cambia de temperatura
es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente.
En la Psicología industrial el cálculo se aplica al estudiar la aptitud con la que una persona
realiza una tarea. Conforme la experiencia de la persona aumenta, la aptitud se incrementa
rápidamente al principio y después disminuye, debido a que la experiencia adicional tiene poco
efecto sobre la habilidad con la cual se efectúa la tarea. Concretamente, tal situación se describe
por medio de una curva de aprendizaje que al ser evaluada a través de la integración, proporciona
el análisis requerido y ayuda a la toma de decisiones al respecto, sobre el entrenamiento del
Cuadernillo de procedimientos para el Aprendizaje 2000. Secretaría de Educación Pública/ Dirección General del Bachillerato COSTO DE RECUPERACIÓN $ 12.00
Presentación........................................................................................................................................................... UNIDAD I. La integral como área bajo una curva................................................................................... 1.1. Integral.............................................................................................................................................................. 1.1.1. Áreas por aproximación de límites de sumas......................................................................................... 1.1.2. Suma de Riemann......................................................................................................................................... 1.1.3. Integral definida........................................................................................................................................... 1.1.4. Teorema fundamental del cálculo............................................................................................................. 1.1.5. Antiderivadas................................................................................................................................................. 1.1.6. Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas............................................................ ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. Quiero saber más...................................................................................................................................................... UNIDAD II. La integral indefinida................................................................................................................ 2.1. Integral indefinida........................................................................................................................................... 2.1.1. Antiderivada................................................................................................................................................... 2.1.2. Reglas básicas de integración................................................................................................................... ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. Quiero saber más...................................................................................................................................................... UNIDAD III. Métodos de integración.......................................................................................................... 3.1. Métodos de integración................................................................................................................................. 3.1.1. Método de Integración por sustitución................................................................................................. 3.1.2. Método de integración por partes........................................................................................................... 3.1.3. Aplicación de los métodos de integración por sustitución y de integración por partes en funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas................................................... ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. Quiero saber más...................................................................................................................................................... UNIDAD IV. Aplicaciones de la integral..................................................................................................... 4.1. Cálculo de volúmenes...................................................................................................................................... 4.2. Aplicaciones del Cálculo Integral en la Geometría................................................................................. 4.3. Aplicación del Cálculo Integral en la Física.............................................................................................. 4.4. Determinación del trabajo físico realizado por una fuerz...................................................................... ¿Qué he aprendido?................................................................................................................................................. Quiero saber más...................................................................................................................................................... 5 7 8 8 11 11 14 16 16 19 22 23 24 24 25 28 29 30 31 31 32 34 38 40 41 42 48 50 55 56 57
a presente guía de aprendizaje de Cálculo Integral tiene como propósito ayudar al estudiante inscrito en la modalidad de educación media superior a distancia para que, mediante el estudio independiente y a través de las actividades que se plantean, vaya adquiriendo paulatinamente el conocimiento suficiente del cálculo integral y logre, entonces, aplicarlo como una herramienta sumamente útil y poderosa en el análisis de diversos fenómenos y en la resolución de problemas sencillos. El programa de la Asignatura comprende cuatro unidades. En la unidad I, se sientan las bases del cálculo integral relacionándolo de manera esencial con el cálculo diferencial a través del teorema fundamental del cálculo. Estudiaremos a la Integral como suma y a la vez, como la determinación del área que, en un intervalo específico, se desarrolla bajo la curva representativa de una función. La suma de Riemann se convertirá en un auxiliar muy valioso para poder llegar a la determinación del área bajo la curva. La unidad concluye con una aplicación de lo aprendido en la determinación del área entre dos curvas. La integral indefinida se estudia en la Unidad II, entendiendo y aplicando previamente las antiderivadas y la llamada constante de integ ración. Aprenderemos algunas de las reglas básicas de la integración para poder resolver algunos problemas elementales. Los métodos de integración por partes y el de sustitución se estudian en la tercera Unidad. El dominio de los mencionados métodos se aplicará en la integración de funciones algebraicas, potencias y funciones trigonométricas. Por ultimo, en la Unidad IV se estudiarán algunas de las aplicaciones de la integral, en primer lugar calculando volúmenes de figuras regulares o irregulares y después en situaciones tan variadas como la determinación del centro de masa de un objeto, la velocidad del flujo sanguíneo, la presión hidrostática sobre la cortina de una presa, el cálculo del trabajo efectuado en un sistema físico, etcétera. Como siempre, para poder abordar con éxito y provecho todos los contenidos del curso es necesario que el estudiante posea una excelente disposición al trabajo, puesto que en este caso, como en otras áreas de la vida, es la única manera de triunfar. Por otro lado es fundamental que se lean detenidamente los textos marcados en las actividades y que se tenga siempre a la mano un cuaderno para tomar las notas pertinentes así como una calculadora científica para efectuar los cálculos necesarios. Sugerimos ir realizando, simultáneamente a la lectura, los ejercicios marcados en el texto y repetirlos una y otra vez hasta que se logre un dominio suficiente del tema, puesto que en el cálculo, más importante que el memorizar los procesos o las fórmulas es el entender qué es lo que se está haciendo y hacia dónde se pretende llegar. En caso de que haya dudas habrá que volver sobre el texto y solicitar la ayuda del Asesor. Por último, puesto que siempre son bienvenidas y provechosas las observaciones que respecto al presente trabajo pudieran tenerse, les suplicamos hacerlas llegar a la Coordinación de Educación Media Superior a Distancia. De antemano, gracias. 5
Por otro lado cabe señalar que con Cálculo Integral se cierra el campo de conocimiento matemático que comprende desde Matemáticas I. Objetivo de la asignatura Aplicar el Cálculo Integral a través del análisis del comportamiento gráfico de una función y determinar el área baja de una curva utilizando los distintos métodos de integración. II. III y IV hasta Cálculo Diferencial incluyendo asimismo. razón por la cual no solamente complementa la formación del estudiante de la modalidad sino que también le prepara para abordar estudios superiores en diversas ramas del conocimiento. la presente asignatura.
.Ubicación de la asignatura La asignatura de Cálculo Integral se imparte en el VI bloque y forma parte tanto del campo de conocimiento de las matemáticas como del área propedéutica. para la resolución de problemas.
. Las actividades para la sección ¿cómo aprendo? están referidas siempre. 1998.
Al inicio del curso de Cálculo Diferencial se introdujo el concepto de la derivada con el auxilio de su representación geométrica como la pendiente a una curva. James. Una manera muy apropiada de lograrlo se conoce como suma de Riemann. de una manera intuitiva. por tu parte. a través de la aproximación sucesiva de las áreas de regiones en el plano y la antiderivada de funciones polinomiales. en algunos casos. al siguiente texto: Stewart. que estés muy atento a las explicaciones que proporciona el autor del texto que estaremos usando y. De manera previa se estudiará la notación sigma o sumatoria para aplicarlo a la medición de áreas por aproximación de límites de sumas. sino también los desarrollos con las anotaciones que consideramos pertinentes para tu mejor comprensión del proceso. no solo las soluciones. salvo que se indique lo contrario. por otra parte. deberás estar capacitado para poder calcular áreas de regiones comprendidas entre dos curvas de tal suerte que enfrentes con éxito la resolución de algunos problemas sencillos. México. si es necesario con la ayuda del asesor. los problemas que te sugeriremos y para los cuales hemos presentado. Al terminar el estudio de la presente unidad. que hagas el esfuerzo de resolver por cuenta propia. International Thomson Editores. Una vez entendido lo anterior se podrá entender y aplicar la integral definida además de evaluar las llamadas antiderivadas que son precisamente las operaciones inversas a la diferenciación. trascendentes tempranas. El estudio de esta unidad requiere. para resolver problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento.¿QUÉ VOY A APRENDER?
Aplicar la integral definida. a comprender qué es la integral al interpretarla como el área bajo la curva representativa de una función. En la presente unidad comenzaremos también.
INTEGRAL Objetivo: Determinar la antiderivada de funciones polinomiales. (¿de qué idioma proviene?). 1998. Áreas por aproximación de límites de sumas Después de efectuar una lectura atenta y cuidadosa de las páginas 322 a la 326 del libro de Stewart. el proceso empleado. realiza las siguientes actividades: 1.1. a través del análisis de la relación entre la antiderivada y el área bajo la curva. trascendentes tempranas. para la solución de problemas sencillos. 2. México. International Thomson Editores. con tus propias palabras.1.
T eorema T EO RE MA S D E LA SUMA T OR IA Ejem plo
. 1. Anota en el siguiente cuadro los teoremas correspondientes a la sumatoria junto con un ejemplo ilustrativo. Al revisar los ejemplos de la pagina 323 del libro citado.1. James. 3.¿CÓMO APRENDO?
1. Intenta expresar por escrito. Copia en tu cuaderno el esquema de la notación de sumatoria y escribe cómo se denota el inicio y el término de la suma y cuál es el signo empleado para la sumatoria. toma nota de la forma en que se van sustituyendo los términos dentro de la función indicada al realizar la suma.Cálculo.
1 y después intenta resolver los que se encuentran bajo el mismo nombre en la sección ¿Qué he aprendido? Ejemplos de como desarrollar una sumatoria
1 1 å i +1 = 1 + 1 +
i =1 6 3 3 3 å i = 4 +5 + 6 3 6
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1+ 1 + 1+ 1 + 1 2+1 3+1 4+1 5 + 1 6+1 2 3 4 5 6 7
Observa que el término inicial es i=1 y el término final es i = 6. en la siguiente suma: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 puedes darte cuenta de que el término inicial es 3. por ello la suma puede expresarse como sigue:
1 Ahora consideremos la siguiente suma: 2 + 2 + 3 + 4 +. 1. 2. 3. por ello.4.+ 19 el término inicial es i = 1 y el 3 4 5 20 término final es i = 19. una posible representación de la sumatoria es:
i ∑ i +1
i =1 19
Ejemplos de aproximación por límites de sumas Primer ejemplo: Empleando la aproximación por límite de sumas. 4
         
punto x * dentro del i-ésimo intervalo: extremo izquierdo i
. Por otro lado la función en la cual se insertarán los términos es la raíz cuadrada. Observa el desarrollo de los siguientes ejercicios tomados del texto de Stewart sección 5. los siguientes ejemplos intentan aclarar cómo se procede: Por ejemplo. la variación que se presenta es que el denominador es mayor por una unidad que el numerador. por lo que al sustituir en la expresión tenemos la solución como se muestra..
i =4 8
x5 + x6 + x7 + x8
En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en forma de sumatoria. intervalo [0. por tanto i = 3 y el término final es 7. determina el valor del área bajo la curva de la siguiente función:
f(x) = 16 − x
1.4] puntos de partición 0..
2 = 1 ∆x 4 = 4 .0 = 1 ∆x 2 = 2 .
. 1. Si no coinciden vuelve a repasar e insiste hasta llegar a la solución correcta.En primer lugar hacemos: y calculamos ∆ de la siguiente manera:
x 0 = 0 x1 = 1 x 2
2 x3 = 3 x4 = 4
∆x1 = 1 . tenemos:
∑ f (xi*) ∆xi = f (0)∆x + f (1)∆x + f (2)∆x + f (3)∆x
1 2 3 i=o
= 16 (1) + 15 (1) + 12 (1) + 7 (1) = 50 Ahora. la norma de la partición se determina como sigue:
  P = max 1. 1 = 1      
Sustituyendo y procediendo a calcular la suma.3 = 1
Por consiguiente. 1.1 = 1 ∆x 3 = 3 . verifica tu aprendizaje resolviendo los ejercicios que encontrarás en la sección ¿Qué he aprendido? Compara tus resultados con las soluciones.
2. le asignes a cada cuadrito el valor de 0. Justifica tus respuestas.2. 1.0025 unidades).05 unidades). Integral definida Lee de la página 336 a la 344 del libro de Stewart.1. cuál es la repercusión en la medición del área bajo la curva al considerar a xi* en el extremo derecho. 328) y responde las siguientes preguntas: a) ¿Qué tanto te pudiste aproximar? b) ¿Qué dificultades tuviste para lograr que tu estimación fuese lo más exacta posible? c) ¿Qué tanto se acercó al resultado de la suma de Riemann? 2. en el extremo izquierdo o en el punto medio del subintervalo Dxi. James.1. Op. Suma de Riemann Lee de la pagina 328 a la 335 del libro Stewart. con tus palabras. Explica. 3. ¿o más pequeña?. y partiendo de la información que proporciona. Anota en tu cuaderno la definición de una integral definida y explica la relación entre ella y la Suma de Riemann. Anota en tu cuaderno los conceptos de partición de un intervalo. realiza las siguientes actividades: 1. norma de la partición y el significado de xi* .:. Op. Compara tu estimación con los resultados de la suma de Riemann que aparece como solución del ejemplo 1 (p.3.. elabora la tabla correspondiente y en papel cuadriculado traza la curva que representa a la función (te sugerimos que para la escala de cada eje. A partir de la lectura te proponemos las siguientes actividades: 1. James. cit.1. Ahora intenta una aproximación a la medida del área bajo la curva dentro del intervalo marcado. Escribe en tu cuaderno tu apreciación en torno a que es lo que sucederá con el ancho de los rectángulos de aproximación cuando la norma de la partición (|| P ||) tiende a cero. Asigna valores entre 0 y 1 para la función y = x2 . cit. Completa el siguiente cuadro:
ELEMENTOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA Elemento Símbolo representativo Integral Integrando Límite superior Límite inferior
. después responde: a) ¿El área estimada será más grande que el área real?. contando los cuadritos que quedan dentro de dicho espacio (si seguiste la sugerencia. cada cuadrito tendrá como superficie 0.
Evalúa la integral dentro de los límites que se establecen:
ò1 x dx =
x x .1 =-
.ê ë 3 û ë 3 û = é 40 24 18 ù é 5 6 9 ù =ê + ú-ê .
2 2 dx ò1 (5x .4 ò1 xdx + 3ò1 dx =
5x 3 2 .÷=. 4.4x + 3)dx = ò5 5x . 7. Explica las ventajas de seguir la regla del punto medio para la medición del área bajo la curva.2+1
1ù =.ç.ú xû1
En primer lugar evaluamos la integral y marcamos los límites dentro de los cuales s está calculando su valor.+ ú 3 û ë3 3 3û 3 ë3 æ 34 ö æ 8 ö 26 = ç ÷-ç ÷= è 3 ø è 3ø 3
.2 +1 .+ 2 è 1ø 2 2 1 = 2
Sustituimos los valores en la expresión encontrada.3. Y este es el resultado final. Revisa los siguientes ejemplos para la evaluación de integrales definidas poniendo especial atención en los procedimientos: Ejemplo 1.2x 2 + 3x]1 3 é 5(2) 3 ù é 5(1) 3 ù =ê . 5.
Ejemplo 2.ò1 4xdx + ò1 3 2 2 2
= 5 ò1 x 2 dx .2(1) 2 + 3(1)ú .
1 æ 1ö 1 2 . 6. Responde en tu cuaderno: ¿La integral siempre representa a un área? Justifica tu respuesta.2(2) 2 + 3(2)ú . Escribe los criterios para considerar a una función integrable. Copia en tu cuaderno y también en una ficha de trabajo las propiedades de la integral.
y 10 2y 6 3y 2 ù (y .2y + 3y) dy = + ò ú 10 6 2 û0
1 y 10 y 6 3y 2 ù = + ú 10 3 2 ú0 û é 1 1 3ù =ê .Ejemplo 3.+ ú-0 ë10 3 2 û é 3 10 45 ù =ê + ë 30 30 30 ú û 4 38 19 = = =1 15 30 15
Anota en tu cuaderno las definiciones de la primera y segunda parte del teorema fundamental del Cálculo junto con un ejemplo ilustrativo y tus notas personales sobre el significado y la aplicación de cada parte del teorema mencionado. James.5) dx
(3x . Op.4.5) dx =
4 
 3x ∫ (3x −5)dx = 2 −5x  −2      
   2 2 = 3(4) −5(4) −  3(−2) − 5(− 2) 2 2       = (24 − 20) − (6+10) = 4 −16 = −12
 −2
. tenemos g´(x) = (x2 . Responde en tu cuaderno: a) ¿Por qué razón se le da a este teorema el nombre de Teorema Fundamental del Cálculo? b) ¿De qué manera se relaciona a la derivación y a la integración? 3.
(3x . Observa los siguientes ejemplos correspondientes a la primera parte del teorema fundamental del cálculo: Ejemplo 1.1. Aplicando la primera parte del teorema fundamental del Cálculo. determina la derivada de las siguientes funciones:
a) g(x) =
(t2-1)20 dt
∫ t +1 dt
como f(t) = (t2-1)20 es continua.. 2.
puesto que f(t) =
t 2 +1
la solución es g´(x) =
Ejemplo 2. cit.1)20 que es la solución. Teorema fundamental del cálculo Lee de la página 347 a la 355 del libro de Stewart.1. Usa la segunda parte del teorema fundamental del Cálculo y evalúa la integral o define si no existe. y trabaja en las siguientes actividades: 1.
(.(-0.7071) = -0.2021 Ejemplo 3 La función de velocidad de un punto material que se mueve a lo largo de una recta está dada por la expresión: v(t) = 3t .2 (0)3/2 3 3 = 2 (8) = 16 3 3 = 16 3
 3 ∫ sent dt = −cost π 3
 4
= (.5+0.cos π ) 3 4 = (-0.5) .b)
∫ x dx = ∫ x 2 dx
4 4 4 1 + 2  3  3  x 2 2  = x 2  = 2 x 2  1+ 2  3  3   2 2 0 2 0 0
evaluando = 2 (4)3/2 .cos π ) .7071 = 0.5 Calcula: a) el desplazamiento b) la distancia recorrida en el intervalo o ≤ t ≤ 3 Solución: Para determinar el desplazamiento del punto material integraremos la función de velocidad dentro del intervalo marcado:
 t ∫ (3t −5)dt = 32 −5t 0
3
Acto seguido.6. y además realiza las siguientes actividades: 1. 2. Op. dentro del intervalo propuesto. cit. Escribe en tu cuaderno la definición de antiderivada. Copia tanto en tu cuaderno como en una ficha de trabajo la tabla de fórmulas de antidiferenciación. realiza la lectura de las páginas 380 a la 385 del libro de Stewart. 3. habrás podido darte cuenta de que la integración también puede recibir el nombre de antiderivación puesto que es la operación inversa a la diferenciación.1. cit. realiza las siguientes actividades: 1. por tu cuenta. James. es entonces cuando la integración se convierte en herramienta inapreciable para lograr la solución. 4. Para poder entender mejor el concepto y las operaciones para llevar a cabo las antiderivadas. lee de la página 307 a la 313 del libro de Stewart. 1. 1.5 Antiderivadas Seguramente. resuelto en forma aritmética resulta difícil y en ocasiones imposible.
. y con base en la información proporcionada. Después de observar lo anterior. Explica por qué razón se agrega una constante al calcular la antiderivada. Ahora intenta la resolución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he aprendido? En caso de tener dudas revisa los ejercicios y consulta a tu asesor. James. anota por lo menos 2 ejemplos de situaciones en los que se aplica el teorema fundamental del cálculo. la tabla correspondiente asignándole valores. a la variable x. Revisa atentamente cada ejercicio propuesto en el texto y elabora. Explica cuál es el significado geométrico de asignar valores diferentes a la constante que resulta al antiderivar.1.Evaluamos dentro de los límites marcados:
=  3(3) − 5(3) −  3(0) −5(0) 2 2        
   
27 30 3 − =− m 2 2 2
4. Este proceso. Para abordar este tema tan importante. Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas Una aplicación muy importante del cálculo integral es la determinación del área comprendida entre dos curvas. Op. traza la gráfica correspondiente en papel cuadriculado y evalúa la integral definida dentro de los límites marcados. después del estudio de las secciones anteriores.
de lo cual tenemos:
(−1)2  13 12   (−1)3 A = 3 + 3(1) − 2  −  3 + 3(−1) − 2  = 21 3
      
El área buscada es igual a 21 3 Para poder integrar. Por otro lado. el área sombreada se encuentra en el intervalo de -1 a 1. debemos tomar como variable independiente a y. 3. por lo tanto.∫xdx en el intervalo de -1 a 1 Integrando resulta:
3 2 A = x + 3x − x 3 2 −1 1
Sustituimos y calculamos con los valores indicados de -1 y 1. las funciones se escriben de la forma siguiente: y=x+5
. Observa la resolución de los siguientes ejemplos y lee las notas explicativas para intentar posteriormente la solución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he aprendido? Ejemplo 1. Anota en tu cuaderno tu explicación de lo que cambia en el procedimiento cuando: a) g(x) ≥ f(x) b) f(x) es a veces mayor y a veces menor que g(x) c) resulta mejor cambiar el intervalo del eje XX´ al eje YY´. Calcula el área de la región sombreada
y = x2 + 3
La curva que representa a la función y = x2 + 3 está en una posición más alta que la recta que representa a la función y = x. x = y2
.2. por lo que ya se puede intuir que el cálculo del área sombreada se podrá hacer de la siguiente manera:
Área de la región sombreada = ∫(x2 + 3)dx .
Escribimos las integrales correspondientes: A= Realizando la integración se tiene:
y2 −5y − y3 2 A= 2 3 −1   2 (−1)3  2 23   (−1) 101 A =  − 5(2) −  −  − 5(−1)3 =− 6 2 3  2 3   
y − 5dy − y2dy
Ahora intenta la resolución de los ejercicios que te marcamos en la sección ¿Qué he aprendido? En caso de tener dudas revisa los ejercicios y consulta a tu asesor
2 . Áreas por aproximación de límites de sumas a) Desarrolla las siguientes sumas:
∑j =
2 j=n n
n2 + (n +1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)2
∑ f (x )∆x =
i i i =1 7 i= 3
Solución: f ( x1)∆x1 + f ( x2) ∆x2+.¿QUÉ HE APRENDIDO?
El libro de Stewart. la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación y trazar la gráfica correspondiente Ejercicio A
.+ −1 ∩x∩
Solución: Solución: Solución:
∑ ( 2i) ∑
1 i2
i i ∑ (-1) x
Suma de Riemann Los ejercicios para este tema se encuentran en la sección 5.4] x*i = extremo izquierdo Encontrar: la norma de la partición ||P||. 2(n-1) + 2n
1 1 1 1 1 1+ + + + + 4 9 16 25 36 1+ x2 − x3 + x4 +. International Thomson Editores. Compara tus respuestas y si no coinciden revisa el procedimiento de los ejemplos. Cálculo. página 335 del libro citado. México. Datos: sea la función f(x) = 2x + 1.2.0. esto te permitirá medir tu avance y.. detectar tus deficiencias en aquellos contenidos en los cuales no has logrado un dominio suficiente. resolvimos algunos en la sección ¿cómo aprendo? y te proponemos que ahora intentes resolver los que te marcamos en esta sección (como ayuda te presentamos las soluciones). .1..+ f ( xn−1)∆xn −1 + f ( xn)∆xn Solución:
1 + 2 + 3 + 4+ 5 + 6 + 7
∑ i =
b) Expresa las siguientes sumas en notación de sumatoria: 2+ 4 +6. 1998. los puntos de partición: {0.5. Te recomendamos que si tienes dudas vuelvas sobre el texto y consultes a tu asesor. James. Para aprovecharlos. tiene al final de cada capítulo una serie de problemas para aplicar lo aprendido.. .4} el intervalo: [0.. al mismo tiempo. trascendentes tempranas.
π/3.4 0.5 Ejercicio B Datos: sea la función f(x) = 4 cos x los puntos de partición: {0.8 3.5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 4 cos x
.4 2. π/2] x*i = extremo izquierdo Encontrar: la norma de la partición ||P||.π/6. la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación y trazar la gráfica correspondiente.6 0 2 4
A = 14.5 1 0.5 3 2.2 3.Solución: ||P||= 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0. π/2} el intervalo: [0. π/4. SOLUCIÓN: ||P||= π/6
4 3.8 1.6 2.5 2 1.2 1.
2x2 -5x+6 el eje x y las rectas x= -1 y x= 2 Solución: = 157 12
Ejercicio 2: Determina el área de la región limitada por la curva y = cos 2x y las rectas y = 0. x= 1 Solución: =
. x= − π 4 Solución: = 1
Ejercicio 3: Determina el área de la región limitada por las curvas y = x.Integral definida Evalúa las siguientes integrales: Ejercicio 1
t − t2 dt = t4
Solución: =
x2 +1 dx = x
Solución: = (3 2 − 2)
  ∫ u  u +3 u  du =
Determinación del área entre dos curvas Ejercicio 1: Determina el área de la región limitada por la curva y= x3 . y= x3 y las rectas x= -1.
entre otras cosas. Fue una época importante para Riemann pues aprendió mucho de Eisenstein sobre el uso de las variables complejas en la función elíptica. sino que más aún. teoremas y conceptos que trascendieron su existencia. A la muerte de Dirichlet. resumida. autor. lo había encaminado a estudiar teología. Fue un pensador original desarrollando métodos. a la sazón. Por ello se trasladó a Selasca. En 1840 Bernhard ingresó directamente en el tercer grado en el Liceo de Hannover. Sin embargo. Dirichlet y Eisenstein.
. He aquí. Hannover (hoy Alemania) y fue el segundo de seis hermanos. vale la pena conocer un poco más de su vida y de sus aportaciones. Riemann adoptó para sus estudios matemáticos el sistema de Dirichlet. Durante ese tiempo elaboró trabajos que más tarde sirvieron a Einstein para dar forma a la teoría relativista de la gravitación. era donde se estudiaba matemáticas bajo la cátedra de Moritz Stern y Gauss Posteriormente Riemann se cambió a la Universidad de Berlín en la primavera de 1847 para estudiar bajo la dirección de Steiner. Se cuenta que en una ocasión le prestó a Bernhard el libro de Legendre sobre la teoría de los números y leyó las 900 paginas en tan sólo seis días. quien al dar su reporte sobre la tesis describió a Riemann como poseedor de una fértil y gloriosa originalidad. En 1849 Riemann regresó a Gotinga y su trabajo doctoral fue dirigido por Gauss. Bernhard Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Brezelenz. Obtuvo el permiso y se inscribió en la facultad de filosofía que. Enfermó de tuberculosis y pasó los últimos años de su vida tratando de recuperar la salud. Riemann trabajó sobre la teoría general de las variables complejas que formarían las bases de su trabajo más importante. Por otra parte. su vida. Riemann ingresó a la Universidad de Gotinga. Riemann obtuvo un puesto en la Universidad de Gotinga. La persona que más influyó durante esta etapa de la vida de Riemann fue Dirichlet puesto que no solo le enseñó con profundidad sobre una gran cantidad de materias. Su padre. Fue educado por su padre hasta que alcanzó la edad de 10 años.Por recomendación de Gauss. A partir de entonces un profesor de la escuela local ayudó en su educación.QUIERO SABER MÁS
A lo largo de este capítulo hemos trabajado basándonos principalmente en las aportaciones de un gran matemático alemán llamado Georg Friedrich Bernhard Riemann. de la llamada Suma de Riemann. Las ideas de Riemann concernientes a la geometría del espacio tuvieron un profundo efecto en el desarrollo de la física teórica moderna y proveyó de métodos y conceptos usados más tarde en la teoría de la relatividad. un ministro luterano. A raíz de haber participado en algunas lecciones de matemáticas le interesó tanto estudiarlas que le pidió a su padre permiso para poder cambiar de carrera. Riemann ocupó la cátedra de Gauss. Aclaró la noción de integral al definir lo que conocemos como integral de Riemann y también es famoso por la hipótesis que lleva su nombre y que no ha sido aún resuelta. En la primavera de 1846. Italia donde murió en 1866. Jacobi. Mostró un particular interés en el estudio de las matemáticas y el director del Liceo lo alentó para dedicarse al estudio de las matemáticas prestándole textos de su biblioteca particular. de tal suerte que se matriculó en la facultad de teología.
Aplicar el concepto de integral. razón por la cual se estudian en primer lugar. La notación de integral maneja una serie de elementos que es necesario conocer con detenimiento y el conocer las reglas básicas de integración nos prepara para aplicarlas en la resolución de algunos problemas sencillos. Un problema matemático frecuente es el encontrar. Seguramente habrás entendido que existe una notable diferencia entre ambas integrales. Procura seguirlos con atención e irlos resolviendo simultáneamente en tu cuaderno de notas. puesto que por un lado. para que comprendas tanto el procedimiento como el sentido matemático y geométrico de la integral definida. la función original correspondiente. la integral definida es en realidad un número. Las antiderivadas nos permiten lograrlo mediante una serie de procedimientos algebraicos y fórmulas establecidas que simplifican el proceso. ahora dedicaremos nuestra atención de forma especial a la integral indefinida.
. a partir de la derivada.
En el capítulo anterior se estudiaron los fundamentos del cálculo integral y a la integral definida. así lo esperamos. Los ejercicios que se resuelven dentro de la guía te ayudarán. a través del empleo de las antiderivadas y su interpretación para la resolución de problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento. mientras que la integral indefinida es una función.
cuál es el significado de la antiderivada para una integral indefinida. James. realiza las siguientes actividades: 1.1 INTEGRAL INDEFINIDA Objetivo: Determinar la antiderivada de funciones sencillas mediante el análisis de la relación entre la antiderivada y la integral definida. México. Explica cuál es la razón por la cual se agrega una constante arbitraria cuando se determina una antiderivada general. 4. Agrega las notas que te parezcan pertinentes. trascendentes tempranas. 1998 y partiendo de la información que presenta. 2. Cálculo. International Thomson Editores.1 Antiderivada Estudia las páginas 307 a 313 del libro de Stewart. Observa la resolución de los ejemplos siguientes y resuelve a continuación los que se proponen en la sección ¿Qué he aprendido? Determina la antiderivada más general de la función: a) f(x) = 12x2 + 6x .1. Anota en tu cuaderno la tabla de fórmulas de antidiferenciación y agrega un ejemplo de cada una de ellas.1
x100 x50 f(x) = 100 − 250 − x +C x = 100 − x − x + C 25
.5 Empleando las fórmulas de la tabla. 2. Copia en tu cuaderno la definición de antiderivada e intenta explicar de forma breve y con tus propias palabras.2x49 . 3.¿CÓMO APRENDO?
2.5x + C 3 2 = 4x3 + 3x2 . para la resolución de problemas. tenemos que: f(x) =12( x ) + 6( x2 ) .5x + C Se comprueba que la antiderivada es correcta puesto que al derivar F(x) obtenemos f(x) b) f(x) = x99 .
la tabla de fórmulas de la integral indefinida y completa el siguiente cuadro:
TABLA DE INTEGRALES INDEFINIDAS Integral Ejemplo
2. Reglas básicas de integración Para poder abordar este tema.. Consulta a tu asesor en caso de tener dudas sobre los procedimientos y trata de resolver los ejercicios que se encuentran en la sección ¿Qué he aprendido? a) Integra:
∫4xdx ∫4xdx
= 4∫x dx = 4( x ) + C = 2x2 + C 2
. realiza las siguientes actividades: 1. Copia de la página 352 del texto de Stewart. Op.2.1. James. cit.2. Revisa con atención los ejercicios que desarrollamos a continuación y que te presentamos para que observes la aplicación de la tabla de integrales indefinidas.
2+1 + C = u-1 + C − 2 +1
u .∫2x dx = 3 ∫x2 dx .b) Integra:
∫(3x2
.2( x ) + C 2 3
= x3 .x2 + C c) Integra:
∫x-2 dx ∫x-2
−1 x−2 +1 dx = − + + C = x + C =− 1 + C x −1 2 1
d) Integra:
x 2 + 2 + C = x 2 + C = 2x 2 + C 1/2 ∫ x dx = ∫x dx = 1 + 2 3 3 2 2 2
e) Integra:
∫3x1/3 dx
x3+ 3 1/3 1/3 ∫3x dx = 3∫x dx = 3( 1 + 3 ) + C 3 3
4 x3 = 3( 4 ) + C = 3( 3x 3 ) + C 4 3
= 9x + C
∫ x +1
∫ x +1 = ∫ u = lnu + C = ln
x+1 + C
∫ (x + 1)
∫ (x + 1) = ∫ u
donde : u = x + 1
-1 u .2x)dx
∫(3x2 -
2x)dx = ∫3x2 dx .du =
1 1 = − +C = − +C u X +1 26
.2 ∫x dx = 3( x ) .
2 ln (sec x + tan x ) + x + c
.h) Integra: ∫ sen x dx
∫ sen x
i) Integra: ∫ cos 4 x dx Para integrar u= 4x y du = 4 dx Despejamos a dx y tenemos: dx= du 4 Sustituimos:
dx = -cos x + c
∫ cos 4x dx = ∫ cos u
du 1 = cos u du 4 4∫ 1 = sen 4x + c 4 1 = sen 4 x + c 4
∫ (sec x .2 ∫ sec x dx + 1 ∫ dx = tan x .2 sec x +1  dx   = ∫ sec2 x dx .1)
dx = ∫ sec2 x .
a) ò (2x3 .+ c
c) ò ( x +3x .x2 ) dx
Solución: x4 .3x2 + c
Solución: x5 3x 4 x3 + +2x .x3 .x2 .3x + 4) dx b) ò ( x4 + 3x3 + 2 .¿QUÉ HE APRENDIDO?
Aplica lo que aprendiste al estudiar este capítulo resolviendo los ejercicios que te proponemos.2) dx d) ò (4x2 .x 3/ 2 + c
ö ÷ ÷ ÷ ø
ò 4x
æ ç ç ç è
x3 ö÷÷ dx
Solución: ln x4 + c
æ ç ç è ö ÷ ÷ ø
ò 2+ x
Solución: 1 ln 2 + x 3 + c
æ ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ø
g) ò sen 2a xdx h) ò (sec x -1)2 dx i) òsec2 5x dx j) ò sec x( sec x + tan x) dx
1 k) ò (3 cos x . Compara tu respuesta con la solución y si tienes dudas consulta nuevamente el texto y a tu asesor.4 sen x + x2 ) dx
Solución: . Integrales indefinidas.2 x ) dx e) f)
Solución: 2x 3/ 2 3x 2 + -2x + c
Solución: 4 x 3 .1 + C x Solución: ex + C
l) ò exdx
.cos 2ax + C Solución: tan x + 6 ln (sec x + tan x) + 9x + C Solución: 1/5 tan (sec2 5x) + C Solución: tan x + sec x + C Solución: 3 sen x + 4 cos x .
Usando estos métodos encontró que la integral de xn es xn+1/n+1.QUIERO SABER MÁS
Fermat. curiosamente. Roberval y Cavalieri fueron 3 matemáticos que. nacieron con diferencia de tres años uno después del otro.
. llegó a considerar a Fermat como el inventor del Cálculo. Por esta razón. Tal parece que Cavalieri intentó determinar el área bajo la curva considerándola como una serie infinita de componentes(de líneas) que. al realizar la suma determinó con mayor precisión la medida de la región del plano buscada. sino de tiras rectangulares angostas. A lo largo del desarrollo del curso hemos estado utilizando las aportaciones hechas por estos tres grandes matemáticos. Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso en sus métodos que Cavalieri. una fórmula de integración inmediata que es ampliamente conocida y que ya has usado al desarrollar los ejercicios contemplados en el curso. los tres hicieron contribuciones muy importantes al Cálculo. célebre matemático francés. Escribió a Descartes proporcionándole el método usado hasta el día de hoy para el cálculo mencionado. investigó los máximos y mínimos de una función al considerarlos como la recta paralela al eje de las x y tangente a la curva en cuestión. basándose en ellas. Lagrange. Roberval consideró el área bajo la curva como un número infinito no de líneas. han impulsado el desarrollo de las matemáticas para comprender mejor el maravilloso mundo en el que vivimos. Cavalieri inventó su método de indivisibles basándose en los intentos hechos por Kepler para lograr medir una región del plano. Asimismo. Fermat. lo mismo que otras personas que. al ser sumadas como un número infinito de indivisibles proporcionaban el resultado.
Más aún. corresponde al volumen de aire inhalado por la misma y de esta forma determinar el estado de salud que presenta. para resolver problemas sencillos en diversas áreas. a través del empleo de los métodos por partes y sustitución para la resolución de problemas sencillos en las diferentes áreas del conocimiento.¿QUÉ VOY A APRENDER?
Aplicar el concepto de integración de funciones algebraicas y trigonométricas. Los mencionados métodos de integración se aplicarán en la última parte de la unidad. La integración se aplica. Es interesante saber que el proceso puede ser representado por una función y la integración de ella nos permitirá saber con precisión cuándo se ha llegado al punto óptimo y cuál debiera ser el total de artículos producidos en una línea de producción. esto quiere decir que al realizar la integración seríamos capaces de saber si la capacidad pulmonar de una persona en particular. como herramientas que se pueden utilizar no sólo como materia de examen sino también en el análisis de muchos fenómenos de tu propia vida y de diversas áreas del conocimiento. te invitamos a seguir esforzándote en el estudio del cálculo integral. a diferencia de otras operaciones matemáticas. una vez integrada. el trabajo realizado al volar sobre tierra o sobre el agua. de una manera instintiva las aves tienden a economizar su energía para poder volar mayores distancias y esto. nos permitirá conocer la distancia máxima que un ave puede recorrer en un determinado tiempo. Se afirma que algunas especies de aves migratorias tienden a evitar volar sobre grandes extensiones de agua durante el día. los métodos de integración que estudiaremos en esta unidad nos proveerán de elementos suficientes para poder resolver un gran número de casos en los que con toda probabilidad tendríamos grandes dificultades. a fenómenos estudiados por la ornitología (la ciencia que estudia a las aves. Así pues. Sin embargo. Ahora bien. Estos comentarios pretenden que percibas al cálculo integral y a los métodos que se van a estudiar.
. se podría afirmar que cada integral tiene su propio procedimiento para ser resuelta. Otra situación en la que se aplica la integración es en el cálculo de la producción de un determinado artículo. especialmente a los pájaros). etcétera.
Es un hecho que. El débito del flujo del aire hacia los pulmones puede ser representado por una función de la forma f(t) = ½ sen(2π/5). Un ejemplo tomado de la medicina podría ser el cálculo del volumen de aire respirado por una persona durante un ciclo respiratorio completo desde la inhalación hasta la exhalación. también puede ser representado por una función que. La razón parece ser que el vuelo en tal situación requiere un mayor gasto de energía debido a que durante el día el aire sube de la tierra y desciende sobre el agua. la integración no se puede reducir a la mera aplicación de una serie de fórmulas. aunque parezca poco creíble.
2.1 entonces du = 2x dx
y x dx = du/2
∫x(x2-1)99dx
= ½∫(u)99 du
u100 + C ½∫(u)99du = 2 (100) + C = 200 1 u100 1
∫x(x2-1)99 dx
1 = 200 (x2 .1. Anota en tu cuaderno la regla de sustitución y expresa con tus palabras cuál es su significado. 1998 y efectúa las siguientes actividades: 1. Cálculo. 4. James.1)100 + C 31
. México. te sugerimos que revises los siguientes desarrollos y leas las notas que lo acompañan. para la resolución de problemas teórico-prácticos. ¿Cuál es el criterio? Justifica tu respuesta.¿CÓMO APRENDO?
3. International Thomson Editores. trascendentes tempranas. Además de observar atentamente la solución de los ejemplos que proporciona el autor. después intenta resolver los ejercicios correspondientes que encontrarás en la sección ¿Qué he aprendido? Si tienes dudas vuelve sobre el texto y consulta a tu asesor.1 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Objetivo: Calcular integrales no inmediatas o por transformaciones algebraicas sencillas. 3. 3. Evalúa la siguiente integral efectuando la sustitución prescrita. Con respecto a las integrales de funciones simétricas es muy importante que se distinga cuando una función es par o impar para poder aplicar la regla. Copia también la regla de sustitución para integrales definidas y expresa por escrito la relación que tiene con las integrales de funciones simétricas que se mencionan dentro del mismo texto.
u = x2 . Método de Integración por sustitución Realiza la lectura de las páginas 359 a la 364 del libro de Stewart. Ejemplo 1.1.1
Si u = x2 . aplicando los métodos más usuales de integración por partes y sustitución trigonométrica.
Evalúa la siguiente integral efectuando la sustitución indicada
Si u = 2 + x 3 entonces
x2 dx 2 + x3
u = 2 + x3 y x2 dx = du/3
du = 3x2 dx
Al sustituir.Ejemplo 2. comparando tus resultados con las soluciones que se proporcionan
. la integral original se transforma de la siguiente manera:
x2 dx = 1 ò du u 3 2 + x3
    1 du 1 − 1 1  u − 12 + 2  1 u 1  1 2 2 1 2 ∫ u = 3 ∫ u du = 3  1 2  + C = 3  1  + C = 3 (2u 2 ) + C 3 − +         2 2  2  2 2 u = u2 + C = +C 3 3
3 x2 dx = 2 u + C = 2 2 + x + C 3 3 2 + x3
Intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido?.
Anota en tu cuaderno la fórmula de integración por partes acompañándola de notas elaboradas por ti sobre su significado y las condiciones básicas necesarias para poderla utilizar. 3. sustituye los elementos en la fórmula de integración para cada caso.2. efectúa las siguientes actividades: 1. 2. cit. 4. 418 del texto para poderla utilizar en la resolución de los ejercicios. ve resolviendo en tu cuaderno los ejemplos planteados por el autor y haciendo las anotaciones que consideres pertinentes. por ejemplo:
∫ xe ∫ x lnxdx = ∫
  
= xe2x . Revisa atentamente las integrales de la primera columna y completa lo que falta en el siguiente cuadro: Integral
ò xe dx ò x lnxdx ò ln x dx ò x cos3xdx
æ ç è ö2 ÷ ø
v e2x
e2xdx
ln x 3x2dx cos 3xdx
5. y a partir de la información que proporciona. Copia en una tarjeta la plantilla que aparece en la pág.∫e2xdx
lnx dx =
∫ x cos3xdx =
.1.3. Método de integración por partes Realiza la lectura de las páginas 416 a 421 del libro de Stewart. Mientras realizas la lectura. Op. James. Una vez que hayas completado el cuadro.
.1. En esta sección tendremos la oportunidad de tener un acercamiento a su aplicación en funciones algebraicas. Busca las identidades trigonométricas correspondientes y completa el siguiente cuadro: Función trigonométrica cos2 x x sen x cos x sec2 x sen A cos B sen A sen B cos A cos B
Identidad ½(1 + cos 2x)
sec2 x . James. terminemos la solución para cada caso. 3. por ejemplo:
∫ x lnxdx =
x2 2 lnx x2 2 lnx x2 2 lnx
x -∫2
.3. Para comenzar a entender lo referente a las funciones trigonométricas. potencias y funciones trigonométricas Los métodos de integración por partes y de sustitución muestran su eficacia cuando se intenta aplicarlos a la resolución de expresiones más complejas.½∫xdx x2 4
∫ xe ∫
Para comprobar tu aprendizaje. intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido?. Partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. Op. Después de sustituir en la fórmula de integración por partes. En tales casos no basta tan solo aplicar las fórmulas de integración directa sino tener la suficiente habilidad para lograr la integración a través de los referidos métodos.6. comparando tus resultados con las soluciones que se proporcionan. lee de la página 423 a 427 y de la 429 a la 434 del libro de Stewart. Aplicación de los métodos de integración por sustitución y de integración por partes en funciones algebraicas. cit. potencias y funciones trigonométricas.
Si la potencia de la secante es par. James. y partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. cit.x2
. Si las potencias de seno y coseno son pares. Tomando en cuenta que estas sustituciones trigonométricas se basan en el teorema de Pitágoras coloca las letras x y a donde correspondan: caso 1 caso 2 caso 3
a2 .x2
x 2 .2. Op. Integración por sustitución trigonométrica Lee de la pág.a2
a2 . Si la potencia de la tangente es impar. 429 a la 434 del libro de Stewart. A continuación anota los procedimientos y las identidades trigonométricas para evaluar las integrales en los siguientes casos: Caso Cuando la potencia del coseno es impar. Cuando la potencia del seno es impar. Copia la tabla de sustituciones trigonométricas: Expresión Sustitución Identidad Procedimiento Identidad trigonométrica a utilizar
relacionando x y a tenemos que las funciones trigonométricas son:
a = _________ θ x x = __________ θ a
Expresando a x en función de a y de θ : x=___________ x=__________
c) Para el caso 3.3. Revisa el ejemplo 1 que se encuentra en la página 430 del libro citado y responde lo siguiente: a)¿Porqué utiliza el autor como sustitución x = 3 sen θ ? ¿De dónde obtiene el 3? b) ¿Cuál es el rango en el que la sustitución se está aplicando? c) El autor poner como equivalente ¿Por qué? ¿Cuál es la identidad trigonométrica que está usando? d) Una vez realizada la integración ¿Cuál es el procedimiento que utiliza el autor para regresar a la función original?
9 − 9 sen2θ = 9 cos2θ
. Responde: a) Si en el caso 1 relacionamos x y a ¿A qué funciones trigonométricas se refieren? ¿Cómo se puede expresar x en función de a y de θ ?
a = ________ θ x x = __________ θ a
x = ________
b) De acuerdo al caso 2. las funciones trigonométricas son:
a = __________ θ x x = _________ θ a
Y tenemos que x expresado en función de a y θ queda así: x=__________ x=___________-
) responde lo siguiente: a) El autor usa dos identidades trigonométricas ¿Cuáles son?
a 2 − a 2 sen2 Θ = a 2 cos2 Θ a2 cos2Θ
identidad: identidad:
1 cos2 Θdo= 1+ cos2Θ 2
b) ¿Qué procedimiento empleó el autor para no tener que regresar a la variable original? Ahora intenta la resolución de los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido? Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales Lee de la página 435 a la 442 del libro de Stewart. Partiendo del ejemplo 2 (pp. y realiza las actividades siguientes: 1. Op. ¿cuáles son los tres pasos para la integración? 3. James. Responde las siguientes preguntas: a) ¿Cómo se determina el grado de un polinomio? b) ¿En qué caso se le llama «propia» a una función racional? c) Si la función racional es impropia. cit. Aplica lo aprendido resolviendo los ejercicios correspondientes en la sección ¿Qué he aprendido? Enunciado Ejemplo
. cit. 450-451 Op.5. Explica cuál es la razón principal para descomponer una función racional en fracciones parciales al realizar la integración. A manera de resumen completa el siguiente cuadro sobre las funciones racionales: Caso I II III IV 2.
Sol. x lnx -x +C Sol. -xcos + sen x + C Sol. 2 2 + x 3 + C 3 Sol. xex -ex +C Sol. Si tienes dudas te recomendamos volver sobre el texto y consultar a tu asesor.¿QUÉ HE APRENDIDO?
En este capítulo revisamos los métodos de integración. cos4x 2 +C 4 1 +C 4x+2 1 2 x + 6x
      
∫ sen4x dx ∫ 2x +1
u= 4x u= 2x+1
2   
u= x2 +6x
Sol. -
Integración por partes b) Aplicando la fórmula para la integración por partes. Sol.
u +C 200
x2 2+ x
u= 2+x3
Sol. ahora aplica lo aprendido en la resolución de los siguientes ejercicios. realiza las siguientes integrales:
∫ ln x dx ∫ x sen x dx ∫x e
Sol. Compara tu solución con las respuestas. 1 (x + senx cos x) + C 2
1+ x dx
3/2 5/ 2 2  4 x 1+x − 1+ x + C 3 15
Integración por sustitución trigonométrica c) Calcula las siguientes integrales:
x2 1− x 2
Sol. Integración por sustitución a) Evalúa las siguientes integrales aplicando la sustitución descrita:
  ∫ x x2 −1 dx
u= x2 −1
1 1 2 arc sen x -1 x 1-x +C 2 2
3 + ln( x x 1) + C x +
∫ x + x2 dx
 x 2 + x +1 1 2 x2 + x ∫ (x +1)2(x2 + x +1) dx Sol. ln x + 2 ln(x+1) + 2 ln(x+2) + C Sol. ln (x +1)2  − x +1+C
dx ∫ (x +1)(x +2)
x +1 Sol. ln x + 2 + C
           
Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales d) Calcula las siguientes integrales:
∫ x − x −2x dx
5x2 + 3x − 2 x− 3
Sol.  arc tan x 2 2 
               
1 x arc sen + C 2 4
        
2 x +1  x +C Sol.∫ ∫ ∫ ∫ ∫
dx 16− x 2 x 2 +1 dx x dx x +x
Sol. ln 2 x + x + 2 x +1 + C
dx x x 2 − 25 dx 16− x 2
1 x arc sec + C 5 5 1 x arc sen + C 2 4
Taylor publicó en 1715 su libro Methodus incrementorum directa e inversa ( Método de los incrementos directos e inversos) que representó un notable avance para lo que ahora se conoce en matemáticas como el cálculo de las diferencias finitas y además inventó el método de integración por partes. Brook Taylor (1685-1731) nació en Inglaterra y a los 23 años produjo una solución al problema del centro de oscilación. Taylor fue electo como miembro de la Real Sociedad y participó en el comité que se formó para dirimir la cuestión de la invención del Cálculo entre Newton y Leibniz. debido a que se publicó hasta 1714.QUIERO SABER MÁS
A lo largo de esta unidad estudiamos el método de integración por partes. al matemático Brook Taylor. que ahora tanto utilizan los arquitectos y los artistas. Además de lo anterior. En 1712. Debido a las importantes aportaciones que realizó este matemático se le ha dado su nombre a uno de los cráteres lunares con el propósito de perpetuar su recuerdo. Taylor desarrolló los principios básicos de la perspectiva. o más bien dicho. produjo una disputa sobre su paternidad con Johann Bernoulli. La misma obra contiene la celebrada fórmula conocida como serie de Taylor. para aproximarse a las raíces (soluciones) de una ecuación por medio de logaritmos. cuya importancia permanece todavía sin reconocerse hasta 1772 cuando Lagrange lo coloca como principio básico del Cálculo Diferencial. por lo cual resulta interesante conocer al inventor de dicho método. Diseñó experimentos para descubrir la ley de la atracción gravitacional además de inventar métodos para calcular. el cual.
. uno de los más famosos y belicosos matemáticos que hayan existido.
Aprenderemos también a calcular la superficie. Lo anterior no es más que una pequeña muestra de los campos en los que se aplica nuestra asignatura. Es probable que según avances en tus estudios y en tu vida particular encuentres oportunidades para aplicar el Cálculo Integral de manera que puedas comprender más profundamente lo que sucede en nuestro mundo. Procederemos a calcular el trabajo desarrollado al estirar un resorte. es decir. a situaciones tales como la determinación de volúmenes de sólidos de revolución. Sorprendentemente. físicos. para la solución de problemas geométricos.
Preguntas que frecuentemente se hacen los estudiantes de bachillerato al abordar el Cálculo son: ¿y para qué me va a servir estudiar esto?. en la economía y la probabilidad. ¿en qué lo voy a aplicar? Aparentemente el Cálculo no es más que una asignatura que se tiene que cursar porque está en el Plan de Estudios y por la que quiérase que no habrán de transitar con mayor o menor éxito. a través del Cálculo. el valor presente de una corriente de ingresos. sin embargo. el punto en el cual se considera concentrada la masa de un cuerpo y a partir del cual se puede equilibrar el cuerpo mencionado. biológicos. es decir. El estudio de la presente Unidad nos hará aplicar lo que ya aprendimos en el curso. el Cálculo se aplica en el análisis de un sinnúmero de fenómenos. En el campo de la medicina aplicaremos el Cálculo para determinar el flujo sanguíneo y en el campo de la economía tendremos oportunidad de conocer. En el campo de la Física aplicaremos nuestros conocimientos del Cálculo para ubicar el llamado centroide o centro de masa de un cuerpo. a través del uso del Teorema Fundamental del Cálculo. la cáscara de un sólido.
. o al vaciar un tanque.¿QUÉ VOY A APRENDER?
Aplicar el concepto de integral. de aquellos sólidos que son generados al hacer girar una curva o intersección de curvas en torno a un eje determinado.
4. México. dentro de los límites x=1. biológicos. físicos. International Thomson Editores. ¿En qué se parecen? 2. ¿Percibes la forma del sólido de revolución que se genera? Ejemplo 1. en la economía y probabilidad. Describe con tus palabras por qué razón se le puede llamar a este sistema el método del disco y explica en qué aspectos se parece a la determinación del área bajo la curva por medio de la suma de Riemann. En primer lugar calculamos el área del disco i-ésimo tomando a x2 como radio y aplicando la fórmula: A = π(x2)2= πx4
. trascendentes tempranas. Explica en qué consiste el método de la arandela y cuál es la diferencia con respecto al método del disco. Lee de la página 387 a la 395 del libro Stewart. ilumina con un lápiz de color o plumón el área bajo la curva y recorta por la línea exterior. 1998 y partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. Determina el volumen generado por la curva y = x2. James. una vez hecho esto. 3. Anota en tu cuaderno la fórmula para el cálculo de volúmenes e intenta relacionarla con las fórmulas que se utilizan en geometría para el cálculo de volúmenes de sólidos regulares (de forma particular con los cilindros). y = 0 al girar alrededor del eje x. Te sugerimos que por tu cuenta. Revisa los siguientes ejemplos resueltos y anota tus observaciones para comentarlas con tu asesor. 4. Cálculo. elabores una tabla y dibujes la gráfica correspondiente en papel cuadriculado. asignando los valores adecuados a la función. Pega la figura resultante a un palillo o a un pedazo recto de alambre y hazlo girar con tus dedos.1. CÁLCULO DE VOLÚMENES Objetivo: Determinar área y volumen a través de la aplicación de la integral definida para la resolución de problemas geométricos.
y2 = x3 x = 4y = 0 y= x 3 = x 3/2
Calculamos el área en primer lugar y posteriormente aplicamos la fórmula para determinar el volumen:
A =π
( x ) = πx
x4 V = ∫π x = π ∫ x = π 4 0 0 4 0 V =π −  4 4 
 256   = π  = 64π    4  
V = 64π unidades cúbicas
.4 0. elaboremos la gráfica y un diagrama del sólido de revolución que se genera al girar en torno al eje x:
x2 1 0. acotada por las rectas x=4.6 0.6 0.4 0. y = 0 al girar alrededor del eje x.8 0 1
Y después determinamos el volumen aplicando la fórmula: V=
V = π unidades cúbicas (por tratarse de un volumen) 5
1 πx5  ∫0 πxx dx = π ∫0x dx = 5   0
Ejemplo 2.2 0.2 0 0.8 0. Determina el volumen del sólido de revolución generado por la función y2 = x3 .Para ayudarnos a visualizar la figura.
Determina el volumen del sólido generado al girar la curva y = x3. Puesto que las condiciones del problema indican que gira en torno al eje x expresamos y2 = x3 de la siguiente manera:
y = x 3 = x3 / 2
V=∫ π
1 π x2  π x dx = ∫ π xdx =  =2 0 2 0
El volumen es igual a
p unidades cúbicas 2
Ejemplo 4. Determina el volumen del sólido de revolución generado al girar la curva de la función y = x alrededor del eje x.Ejemplo 3. y = 0. x = 1. alrededor del eje x y acotado por las rectas x = 4. La fórmula para calcular el volumen es:
V = ∫a π [(f (x)] dx
Aplicando la fórmula. en el área acotada por y = 0. y = 0 en torno al eje y. Determina el volumen del sólido generado por la curva y2 = x3.
V=π∫
8 8  5y 5/2    dy = π ∫ y 3/2 dy = π   2  0  0
V=π
3(8) 3(32) 96π =π = 5 5 5
Ejemplo 5. acotada por las rectas y= 8.
Las condiciones del problema marcan los límites para integrar la función y calcular el volumen (x=4. x=2. aplicando la fórmula para calcular el volumen tenemos:
V=∫
( x ) dx = π ∫
4  44 04  π x4   256  x dx =  = π  4 − 4  = π  4  = 64 π 4 0    
A continuación veamos un ejemplo de un sólido de revolución que se genera al rotar la curva de la función y = x2 y=4. y=0). y x= 2. tenemos:
y x=0
x=2 x
. alrededor del eje y comencemos la solución del problema entendiendo las condiciones: la función y= x2 debe expresarse como : x= y = y1/2 debido a que rota en torno al eje y la función se encuentra acotada por x= 0. y =4 lo que nos indica lo siguiente:
Al girarla en torno al eje y.
3 y = x
Ahora bien. x = 0.Ahora dibujemos un diagrama que nos ayude a mostrar cómo se comporta la función en el primer cuadrante.
0) Con estos datos y tabulando trazamos la gráfica correspondiente:
. Ejemplo: Determina el volumen del sólido de revolución generado al girar la región comprendida entre las curvas y2 = x. 2) y la otra en el origen (0. pero no se indican los puntos de intersección. ¿Cómo se resuelve? Realmente es sencillo si se considera a las funciones como un sistema de ecuaciones. Igualamos las ecuaciones y resolvemos por fórmula general: y2 = 2y y2 .Aplicamos ahora la fórmula del volumen:
4 π y2  π (4)2 π (0)2 π16 y dy = ∫ π ydy =  = − = = 8π 0 2  2 2 2 0
El volumen buscado es: 8 π Un caso diferente es el que presentamos a continuación: nos dan las ecuaciones de las curvas.2y = 0
y= y= .b ± b 2 − 4ac 2a 2± 4 − 0 2± 2 = 2 2
y1= 2
Una intersección se da en (4. Las soluciones a dicho sistema nos darán los puntos de intersección y podremos entonces calcular el volumen buscado. x = 2y.
÷ = pç p ÷= 5 ø è 3 è 15 ø 15
ò (4y
.5 ÷ ú = p ç 3 .5 ÷ú øû0 è øú 0 è û æ 160 .Como la figura rota sobre el eje y tenemos una figura similar a la siguiente:
V = p ò (2y ) .96 ö 64 æ 4(8) 32 ö =p ç . En caso de duda.
.y 4 )dy
Ahora resuelve los ejercicios que te presentamos en la sección ¿Qué he aprendido? Confronta tus resultados con las soluciones. los ejercicios y consulta a tu asesor. repasa el texto.(y 2 ) dy = p
2 2 æ 4(2))3 (2 )5 öù æ 4y3 y 5 ö ù ÷ ç =p ç ÷ ç 3 .
Partiendo de la información que proporciona realiza las siguientes actividades: 1. cit.4.
dy 1 −1/2 1 = = x dx 2 2 x
Hacemos y = x
9  dy  S = ∫ 2 y 1 +   dx = 2 4  dx  2
 1  x 1+   dx 2 x 
= 2π ∫
1 dx 4x
1+ 1 4x + 1 4x + 1 4x + 1 = = = 4x 4x 4x 2 x
9 4x + 1 4x +1 1 9 dx = 2π∫4 dx = 2π  ∫4 4x + 1dx = π 2 x 2 2
4x + 1dx
. James. 4 ≤ x ≤ 9 en torno al eje x.2. Op.
2. Observa el desarrollo de los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Anota en el siguiente cuadro las fórmulas correspondientes para ubicar las coordenadas del centro de masa de un sistema. Calcula el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva y = x . APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA GEOMETRÍA Área de una superficie de revolución Lee de la página 500 a la 504 del libro de Stewart.
Ahora hacemos:
u= (4x+1) du= 4 dx dx =
Realizamos la sustitución cambiando los límites. nuevo límite superior: 4 (9) + 1 = 37 nuevo límite inferior: 4 (4) + 1 = 17 La integral se escribe ahora:
π 37 π 37 1/ 2 ∫17 u du = 4 ∫17 u du 4
Y al realizar la integración se tiene:
37 2π 3/2  37 π π  2 3/2   37 =  u  = u  = U u] 17 4 3 17 6  17 4 (3)
Porque: u3/2 = u2/2u1/2 =u u
Al calcular con los límites tenemos la solución:
π (37 37 − 17 17 ) 6
Ejemplo 2. Calcula el área de la superficie obtenida al hacer girar sobre el eje y la curva y = x3 en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2 Puesto que: Aplicando la fórmula:
s = ∫ 2π y
0 2 2 2 dy 1 +   dx = ∫ 2π x3 1 + (3x 2 ) dx   0  dx  2
dy = 3x 2 dx
= ∫ 2 π x3
1 + 9x 4 dx = 2π ∫ x3 1 + 9 x4 dx
u = 1 + 9x4 du= 36 x3 dx y x3 dx =
. para ello aplicamos los límites iniciales en: u = 4x+1.
James. m1 =4 m2= 8 P1 (-1. APLICACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL A LA FÍSICA Determinación del momento y centro de masa de un cuerpo Realiza la lectura de las páginas 505 a la 510 del libro de Stewart. por tanto es:
π (145 145 − 1) 27
4. ¿dónde se ubica el centroide ? Después de revisar con atención los ejemplos resueltos anota en forma de lista los pasos para ubicar las coordenadas del centroide.3. Para un sistema de varias dimensiones ¿cómo se define el centro de masa? ¿Qué es un centroide? Escribe las ecuaciones para determinar las coordenadas del centroide de un cuerpo. cit. Calcula los momentos Mx y My y encuentra el centro de masa del sistema.2)
P2 (2.4)
. Contesta en tu cuaderno: ¿A qué se le llama centro de masa de un cuerpo? ¿Qué son los momentos de la masa de un cuerpo? Escribe la ecuación para determinar el centro de masa y su explicación. de acuerdo al principio de simetría. y efectúa las siguientes actividades: 1.Calculamos los nuevos límites y sustituimos:
= π 145 2π 145 u du = ∫ u1/ 2 du 36 ∫1 18 1
= 145 π  2 3/ 2   π 145 π = 145 145 − 1 u u1 =  U  27 18  3 27  1
La solución. 2. Si el cuerpo es simétrico. Op. Observa la solución de los siguientes ejemplos y luego intenta resolver los correspondientes a la sección ¿Qué he aprendido? Ejemplo 1.
-4) p4 (-6. 10) 3
(-1. -5)
.4) m2 Centro de masa (1.3) m1
n M y = ∑ mix i =1 n Mx = ∑ m iy Tenemos : My = 4(−1) + 8(2) = −4 + 16 = 12 Mx = 4(2) + 8(4) = 8 + 32 = 40
Dado que la masa total del sistema (m) es: m1 +m2 = 4 +8 = 12 tenemos que las coordenadas del centro de masa son:
My 12 = =1 m 12 Mx 40 20 10 y= = = = m 12 6 3 x=
Ejemplo 2.Elaboremos un diagrama que nos ayude a entender mejor el problema:
Y (2.8) p3 (3. Calcula los momentos Mx y My y encuentra el lugar del centro de masa del sistema: m1=3 m2=3 m3=8 m4=6 p1 (0.0) P2 (1.
8) m2
(0.En primer lugar ubiquemos los puntos:
Y (1.0) m1
m3 (3. Después de tabular.-4) m4 (-6. y =0 x=2 Es recomendable trazar la gráfica para entender mejor el problema. Localiza el centroide de la región limitada por las curvas: y =x 2 . tenemos: El área de la región es:
 8 0 = 3 
.-5)
Calculamos los momentos: Mx = 3(0) + 3(8) + 8 (-4) + 6 (-5) = 24-32-30= -38 My = 3(0) +3 (1) + 8 (3) + 6 (-6) = 3+24-36 = -9 La masa total (m) = 3+3+8+6= 20 Por lo que las coordenadas del centro de masa son:
My − 9 = m 20 Mx − 28 19 y= = =− m 20 10 x=
5. 1. por tanto  2 .Aplicamos las fórmulas:
x= 1 2 1 2 2 ∫0x(fx) dx = 8 ∫0x(x )dx A 2 4 2  x4   3 2 3 3  3x  ∫0 x dx =    = 8 32  8 4   0  0 = y= 1 A
48 3 = 32 2 1 2 2 3 1 2 (x ) dx =   ∫ x 4 dx   0 2 8  2 0
1 1 ∫ 2 [f(x)] dx = 8 ∫
2 3 2 4 3 x5  3 32 96 = ∫ x dx = ( ) =   =   0 16 16 5  16  5  80 0 = 48 24 12 6 = = = 40 20 10 5 3 6
Las coordenadas del centroide son. Localiza el centroide de la región limitada por las curvas: y = cos 2x y = 0 x = −
y= co s 2x
π 4 π − 4
cos2xdx =
.2).   Ejemplo 4. 5  o también (1.
cos2 x =
π 1 π 1 4 [cos 2x]2 dx = 1 ∫−4π 1 cos2 2xdx π A ∫− 4 2 1 4 2
π 1 π  1 cos4x  1 4 1 + cos2(2x) dx = ∫ 4π  +  dx π 2 −4  2 2 ∫− 4 2 2  π π 4 π − 4
1 + cos2x 2
1 1 1 = ∫ 4π dx + 2 −4 2 2
cos 4x 1  x  4 1 dx =    + ∫ 4π cos 4xdxs 2 2  2  π 4 − 4
Observa que para integrar cos 4xdx hacemos: u= 4x du= 4 dx ∴ dx= De manera que:
1 4 11 ∫− π4 cos4xdx = 4  4  4  
4 1 (sen4x)] cos 4xdx = π 16 4
x 4 sen 4x  4 =  + =  π 4 − 16  − π 
2π π π π = + +0= = 16 16  16 8  
. el centroide se ubica en el eje de simetría. que en este caso corresponde a x=0.Para integrar hacemos: u = 2x du = 2dx ∴ dx =
π π π 1 4 1  4 = 1 sen2x 4 A = ∫ π cosudu = sen u  π 2 −4 2  −π 2 − 4 4
 π π   = 1 sen 24 −sen  − 24  = 1 [1+1] = 1   2 2   
A= 1 Aplicamos las fórmulas para determinar las coordenadas del centroide: x=0 Porque de acuerdo al principio de simetría y puesto que es una figura simétrica.
¿a qué equivale dentro de la integral? 2. ¿cómo se define al trabajo? b) ¿Cuál es la fórmula para calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es constante? c) ¿Por qué razón se expresa la aceleración como
d s dt
desplazamiento (s) con la aceleración a través de esta expresión matemática? d) ¿Cuál fórmula se emplea para calcular el trabajo cuando la fuerza aplicada es variable? e) En la fórmula anterior.4.  Por tanto.π   4  
Ahora intenta resolver los ejercicios que te presentamos en la sección ¿Qué he aprendido? y compara tu respuesta con las soluciones. resuelve los ejercicios que te proponemos en la sección ¿Qué he aprendido?
. 4. ¿cómo se expresa la distancia?. Siguiendo con atención cada ejemplo desarrollado por el autor en el texto base. Contesta las siguientes preguntas: a) En el ámbito de la Física. DETERMINACIÓN DEL TRABAJO FÍSICO REALIZADO POR UNA FUERZA Lee de la página 403 a la 406 del libro de Stewart. Partiendo de la lectura realiza las siguientes actividades: 1. James. Op. cit. las coordenadas del centroide son  0.
8/5) Solución: (
16 64 . ) 15 21
. B(2. 2 y 3 kg respectivamente Solución: (2. haciendo girar sobre el eje de las x la superficie limitada por los siguientes lugares geométricos: y = x3 y = 0. 1/3) La parábola y = 4  x 2 y el eje x Las curvas y = x3 y y= 4x en el primer cuadrante c) Trabajo Una fuerza de 8 N estira un resorte de su longitud natural de 4 m a una longitud adicional de 50 cm.1) y C(3.3). Determina el trabajo realizado al estirar el resorte de su longitud natural hasta una longitud de 5 m.¿QUÉ HE APRENDIDO?
Intenta resolver los siguientes ejercicios para comprobar tu grado de dominio sobre los contenidos que se manejan en la presente Unidad. conviene regresar sobre el texto y consultar a tu Asesor. x = 2 Solución: V = 128p/7 Solución: V = ½ p2 Solución: V = 48p
y= sen x x = 0. a) Determina el volumen del sólido generado. x = p/2 x2 + 16y2 = 144
b) Determina las coordenadas del centro de masa para cada uno de los siguientes casos: El sistema formado por los puntos A(-1. -1) con masa de 1. Recuerda que en caso de tener dudas o muchas dificultades. Solución: 8 Joules Solución: (0.
la tasa de crecimiento de una comunidad dependerá. Biología. es decir. Tal es el caso de algunas decisiones financieras que toman los economistas cuando se trata de colocar una cierta cantidad de dinero para poder obtener un capital futuro. se estudian con frecuencia fenómenos que implican crecimiento y decrecimiento. bajo ciertas circunstancias. Conforme la experiencia de la persona aumenta.QUIERO SABER MÁS
En muchos campos del conocimiento se emplean modelos matemáticos que implican ecuaciones diferenciales que contienen potencias de e. tal situación se describe por medio de una curva de aprendizaje que al ser evaluada a través de la integración. Esto sucede. la tasa de crecimiento de un cultivo de bacterias es proporcional a la cantidad de bacterias existente en cualquier momento específico. El cálculo integral nos ayuda a determinar de manera particularmente precisa. Los químicos saben bien que la tasa de desintegración del mencionado elemento depende de la cantidad presente en un momento determinado. También se aplica el cálculo en el campo de la Física cuando se emplea la ley del enfriamiento de Newton. son fenómenos en los cuales la tasa de variación de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad presente en un instante dado. de la cantidad de población existente en una época determinada. proporciona el análisis requerido y ayuda a la toma de decisiones al respecto. la aptitud se incrementa rápidamente al principio y después disminuye. por ejemplo cuando se estudia a un elemento radioactivo como el radio. Química. cuando el aumento de la población preocupa alarmantemente a los sociólogos y a los organismos que estudian este fenómeno. debido a que la experiencia adicional tiene poco efecto sobre la habilidad con la cual se efectúa la tarea. la tasa de la velocidad de reacción con frecuencia es proporcional a la cantidad de reactivos presente en un instante dado. En la Psicología industrial el cálculo se aplica al estudiar la aptitud con la que una persona realiza una tarea. la cual establece que la tasa a la cual un cuerpo cambia de temperatura es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente. Economía y Sociología. sobre el entrenamiento del personal. En una reacción química. el desarrollo de los fenómenos citados y de muchos otros que presentan tanto el crecimiento o el decrecimiento exponencial. podemos preveer que de acuerdo a lo anterior. Un ejemplo se da en la biología cuando.P sicología. En los campos mencionados. Concretamente. en la Física. En el tiempo presente. de acuerdo a las circunstancias. por ejemplo.
. Administración. Esto se aplica.
More From This UserPLANEACION 4TO BIMESTREPLANEACION 4TO BIMESTREMódulo2_S..Módulo2_S..Actividade Spara El Primer Dia de ClaseActividade Spara El Primer Dia de ClaseA Revision of the Typical Crab-spiders Misumeninae of America North of MexicoA Revision of the Typical Crab-spiders Misumeninae of America North of MexicoabpabpHistoria de La QuimicaHistoria de La Quimica

References: resolución 
 resolución 

resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución

 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución