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Timestamp: 2017-08-17 23:55:32+00:00

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Teoría y cálculo de
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Una estructura es un conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir un determinado
número de cargas hasta la cimentación, donde serán absorbidas por el terreno.
Para ello, la estructura se encuentra constituida por unas serie de barras enlazadas entre si por
medio de nudos. Estos nudos pueden ser articulados o rígidos según permitan o no el giro entre barras en
el punto donde confluyen. Si los nudos son rígidos los ángulos entre barras tras la deformación se
conservarán y la flecha será pequeña, mientras que si son articulados no transmitirán los momentos
flectores dado que su giro será libre.
El conjunto estructural básico es el pórtico, que se encuentra constituido por dos elementos
sustentadores verticales (pilares o columnas) sobre los que se apoya otro horizontal (viga o dintel) sobre
el que actúan las cargas verticales provenientes del forjado o de la cubierta que sostiene. Además, los
pórticos suelen recibir cargas horizontales debidas a la acción del viento.
Mientras que el forjado es el elemento encargado de repartir las cargas al resto de elementos
estructurales, la cubierta y demás cerramientos constituyen la envolvente del edificio, siendo su función la
de resguardar el espacio interior a la edificación.
En las edificaciones tipo nave industrial, la envolvente del edificio suele estar compuesta en su gran
mayoría por panel de chapa tipo sándwich, donde una serie de ondulaciones (grecas) la dan rigidez. Estos
paneles se apoyan en los pórticos por medio de una serie de correas, normalmente de acero conformado
en frío, que como elementos estructurales transversales al pórtico son los encargados de soportar los
cerramientos y transmitir su carga.
Las vigas y los pilares son los principales elementos estructurales, y mientras la funcionalidad del
primero es ofrecer resistencia a la flexión, la del segundo es ofrecerla a compresión.
Las vigas son generalmente prismáticas, en el caso de ser de hormigón, y sus dimensiones se
conocen como luz o largo para la dimensión principal, y base y canto para las de la sección, siendo la base
la longitud que define la superficie de apoyo. Cuando son de acero, presentan diferentes perfiles, como los
que presentan forma de I o H, donde se busca maximizar el momento de inercia de la sección al alejar de la
línea neutra las dos alas que se unen por medio de un alma.
El cálculo de una estructura se puede reducir, de forma genérica, a los siguientes tres pasos
fundamentales: cálculo de reacciones, cálculo de momentos y cálculo de desplazamientos y giros.
Cuando existan uniones articuladas, dado que
permiten libremente el giro entre las dos secciones
que unen, se tiene que la suma de momentos vista a
cada uno de los lados ha de ser nula, lo que añadirá
una nueva ecuación al sistema.
Cuando la estructura es hiperestática, o sea, el número de incógnitas es mayor que el de ecuaciones
( GH=I −E>0 ), se sustituyen las ligaduras necesarias por las reacciones correspondientes hasta
que el sistema sea isostático, y se igualan sus desplazamientos a cero.
Permite desplazamiento y
No permite ningún
Por norma general, los desplazamientos y giros debidos a
esfuerzos normales y cortantes serán despreciables frente a los
producidos por flexión o torsión, de tal modo que se puede reducir
el problema al cálculo de los momentos.
Para ello, se secciona la estructura por cada uno de los
tramos en que no existen cambios en los estados de carga y se
calculan los esfuerzos normales, cortantes, flectores y torsores en
cada una de las secciones según el criterio de signos adoptado.
Para el cálculo de los desplazamientos se aplican principalmente los teoremas de Mohr y
Castigliano, explicados más adelante.
Si existe una carga aplicada sobre una rótula, se
divide la estructura en dos y se suponen
aplicadas en cada parte de la estructura dos
cargas que sumarán finalmente la carga aplicada
y cuyos desplazamientos serán iguales en ambas
Dado que en una articulación el momento es nulo, de
modo que en ella sólo pueden aparecer los esfuerzos normal y
cortante, dividimos la estructura por las rótulas, de tal modo
Dado que no existen cargas horizontales no existirán esfuerzos normales, y dado que la carga está
centrada, ambas reacciones serán verticales e iguales de valor P.
La rigidez al giro de una barra relaciona el momento ejercido en un extremo con el giro efectuado,
de tal modo que K=
, y para barras con
Cuando en un determinado punto confluyen más de dos barras, se utilizan los coeficientes de
reparto ( C
) para determinar que parte del momento total aplicado sobre el nudo es absorbido por
cada una de las barras que concurren en el, de modo que:
Siendo ( K ) la suma de las rigideces de las barras que concurren en un nudo (rigidez del nudo),
dado que todos los extremos de barra que confluyen en un nudo rígido giran el mismo ángulo.
Cada solicitación produce un determinado esfuerzo normal o cortante que debe ser absorbido de
forma elástica por el material, de modo que la máxima tensión que debe soportar será la causada por la
suma de los esfuerzos debidos a cada una de las solicitaciones.
En la ecuación de Navier, dado que y es la distancia a la línea neutra, el esfuerzo normal
máximo se producirá en las zonas más alejadas del centro de gravedad de la sección, motivo por el cual los
perfiles laminados empleados en estructuras metálicas tienen esa forma en la que alejan del centro la
mayor cantidad posible de material.
Como esa distancia es una característica geométrica de la sección, al igual que el momento de
inercia, se caracteriza cada barra por medio de su módulo resistente:
Teniendo en cuenta que normalmente los
esfuezos debidos al cortante serán despreciables,
frente a los del normal y los del momento flector, se
tiene que el material debe verificar:
Así, el esfuerzo normal máximo se dará donde la suma de las tensiones debidas al normal y al
flector sea máxima, teniendo en cuenta los sentidos de las tensiones generadas según sean de tracción o
Dado que en el estudio resistente de los materiales se considera que son homogéneos, para
garantizar su resistencia en la práctica, hay que considerar un coeficiente de seguridad ( y ) sobre su
resistencia característica ( f
Determinar el perfil IPE necesario para que la viga de la figura, cuyas longitudes LAB y LBC son 4 y 1
metros respectivamente, verifique la condición de resistencia cuando la carga P es de 5000 kg, siendo la
tensión admisible ( c
El estudio de los esfuerzos y la determinación de
aquellos que sean máximos es lo que justifica la
determinación de los diagramas de
Condición de resistencia IPE 330
Un elemento se encontrará sometido a esfuerzos térmicos cuando sufra contracciones o
dilataciones por efecto de la variación de la temperatura y estas se encuentren impedidas.
Un caso habitual es en el que la temperatura provoca variaciones lineales de la longitud en función
de la variación de la temperatura, de modo que:
Cuando un elemento esbelto se encuentra sometido a compresión, típicamente pilares metálicos, se
puede producir el fenómeno conocido como pandeo.
El pandeo es la pérdida de equilibrio que
experimenta una barra prismática de cuerpo
elástico sometida a compresión axial. Cuando dicha
barra es suficientemente esbelta (larga y delgada), y
la carga sobrepasa un cierto valor denominado
carga crítica, la barra pasa a estar en equilibrio
inestable, lo que significa que la más mínima
alteración (que siempre existe) provoca el
agotamiento de la barra sin un nuevo incremento de
De modo que la carga crítica o de pandeo
representa el menor valor de la carga de compresión
que provoca que la barra pase del equilibrio estable
al inestable, pudiendo ceder aún cuando la tensión en el material no supere el límite elástico de
) se determina a partir de la expresión de la carga crítica de Euler (caso
fundamental), conociendo la longitud de pandeo ( L
), dado que es la longitud equivalente a la que
tendría en el caso fundamental.
Se denomina longitud de pandeo a aquella equivalente a la de una barra biarticulada sometida a un
esfuerzo normal de compresión que tenga la misma carga crítica que la considerada.
) viene dada por el coeficiente de pandeo ( ß ) según la longitud
Existen tres tipos de equilibrio a los que puede
estar sometido un cuerpo:
- Equilibrio estable: cuando se separa el
cuerpo de su posición de equilibrio de forma
infinitesimal este retorna a su antigua posición.
- Equilibrio indiferente: cuando se separa el
infinitesimal este permanece en su nueva
posición. (esfera sobre superficie plana)
- Equilibrio inestable: cuando se separa el
infinitesimal este se aleja más de su posición
inicial. (esfera sobre superficie convexa)
En el caso de piezas de sección constante
sometidas a compresión centrada, se tiene que:
Cuando un material se ve sometido a cargas alternantes, que provocan esfuerzos variables de forma
continuada, se pude producir su rotura aunque en ningún caso se haya sobrepasado su límite resistente.
A este fenómeno en el que un material dúctil sufre una rotura repentina y sin deformación plástica
(frágil) por debajo de su resistencia, o incluso de su límite elástico, se lo conoce como rotura por fatiga.
Para el acero se ha comprobado que existe una tensión por debajo de la cual el material no sufre la
rotura por fatiga. A esta tensión se la denomina límite de fatiga ( c
) y consideraremos que su valor
admisible vendrá dado por:
Acciones debidas al propio peso de las edificaciones y a aquellas
cargas cuyo carácter sea permanente, como en el caso de
determinados equipos industriales de ubicación fija.
Viento Las acciones de viento se contemplan como fuerzas perpendiculares a
la superficie expuesta y vienen determinadas por la presión dinámica
del viento (función del emplazamiento geográfico de la obra), por un
coeficiente de exposición (función de la altura del punto considerado y
del grado de aspereza del entorno) y por un coeficiente eólico de
presión (función de la forma y orientación de la superficie).
En construcciones diáfanas sin forjados intermedios (naves) hay que
considerar la superficie de huecos que presentan los cerramientos
dado que pueden dar lugar a succiones en el interior.
Nieve Dependen de la ubicación geográfica y de la altitud, y de un
coeficiente de forma de la cubierta que determina la acumulación de
Térmicas Acciones debidas a las tensiones que provocan, cuando se encuentran
impedidas, las dilataciones y contracciones causadas por las
Tanto en estructuras metálicas como de hormigón no se contemplan
mientras no existan elementos continuos de más de más de 40 m de
longitud, en cuyo caso, para evitar su aparición, se colocan juntas de
Las acciones debidas a movimientos sísmicos son contempladas por la
Norma de construcción sismorresistente (NCSE).
Las acciones producidas por un incendio son contempladas por el
documento básico de seguridad en caso de incendio (DB-SI).
Son cargas impulsivas (de aplicación instantánea) producidas,
normalmente, por la colisión de un vehículo, típicamente, en garajes y
El análisis del problema de impacto suele reducirse a la determinación
de la carga estática equivalente, o sea, aquella que aplicada sobre la
estructura provocaría la misma deformación que la de impacto.
A partir de las diferentes acciones posibles, se generan una serie de hipótesis de cálculo, por medio
de sumas ponderadas según el tipo de acción y efecto, favorable o desfavorable, que servirán para el
correcto diseño y dimensionado de la estructura.
Hay que tener presente que una fuerza produce un desplazamiento lineal en su mismo sentido,
mientras que un momento causa un giro. Así, la deformación 6
será aquella correspondiente a la
acción exterior F
, de modo que si se trata de una fuerza (P) es un desplazamiento (6), y si se trata de
un momento (M) es un giro (u).
Primer teorema de Mohr: El ángulo relativo girado entre dos secciones de una viga es igual al área
del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambas secciones, dividido por la rigidez a flexión
( E I
Segundo teorema de Mohr: El desplazamiento sufrido por una sección con respecto a la tangente
en un punto de la viga es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambos
puntos por la distancia desde su centro de gravedad al punto del que se quiere calcular su desplazamiento
relativo, dividido por la rigidez a flexión.
EJEMPLO: Determinar el desplazamiento y el giro en A de la viga empotrada en voladizo que
presenta una carga vertical uniformemente repartida de valor q.
Ambos teoremas son aplicables a torsión sin más que utilizar
momentos torsores ( M
Esta estructura puede ser descompuesta en dos, sabiendo que por el principio de superposición, los
efectos de las cargas combinadas son iguales a la suma de los efectos de las cargas aisladas. Así:
Partiendo del diagrama de momentos y por medio de la aplicación del primer y del segundo
teorema de Mohr se obtienen cada uno de los desplazamientos, que combinados, compondrán los de la
La determinación de los desplazamiento y/o giros absolutos por medio del tercer y cuarto teorema
de Mohr requiere la aplicación del teorema de la viga conjugada.
Dada una viga, a la que llamaremos primitiva, definimos la viga conjugada de la primera como
aquella de la misma longitud que la primitiva, cuya única carga sea repartida de valor en cada sección igual
al momento flector dividido por la rigidez ( E⋅I
a) Cuando los extremos de la viga primitiva están apoyados mediante articulaciones, los
extremos de la conjugada deben estarlo de igual forma.
b) Si un extremo de la viga primitiva está volado, el correspondiente extremo de la
conjugada debe estar empotrado, y viceversa.
c) Los apoyos en puntos intermedios de la viga primitiva deben sustituirse por
Tercer teorema de Mohr: El ángulo girado por una sección de la viga primitiva es igual al esfuerzo
cortante en la correspondiente sección de la viga conjugada, y su sentido de giro es dextrógiro cuando el
esfuerzo cortante en la sección de la viga conjugada es positivo.
Cuarto teorema de Mohr: La flecha de una sección de la viga primitiva es igual al momento flector
en la correspondiente sección de la viga conjugada, y su sentido es hacia abajo cuando el momento flector
en la sección de la viga conjugada es positivo.
Se calculan las reacciones en A y B y se obtiene el diagrama de momentos flectores que
proporcionará la carga a la que se encontrará sometida la viga conjugada.
Se representa la viga conjugada con su carga correspondiente para poder aplicar el tercer teorema
Calculando la reacción vertical en A se obtiene el valor del giro a izquierdas que provoca el
El teorema de Castigliano permite determinar el desplazamiento en una sección determinada, dado
que vendrá dado por la derivada parcial de la energía interna del sistema con respecto a la acción causante
del desplazamiento en dicha sección.
La forma de aplicar el teorema de Castigliano es por medio de las integrales de Mohr, las cuales
simplifican enormemente los cálculos. Así:
1. Si no existe una carga donde se quiere calcular el desplazamiento correspondiente, se supone y al
final se iguala a cero.
2. Se calculan las solicitaciones, teniendo en cuenta que normalmente bastará con calcular el
momento flector, dado que el normal y el cortante suelen ser despreciables.
4. Se calculan las integrales de Mohr extendidas a toda la estructura, lo que nos dará la deformación
producida por cada solicitación.
NOTA: Cuando la acción del punto de desplazamiento tiene la misma designación simbólica que
alguna otra carga, habrá que cambiársela para poder realizar la derivación, así como asignársela si viene
dada por un valor numérico.
, donde por el teorema de Betti se sabe que los trabajos indirectos recíprocos
son iguales, o sea W
El cálculo de desplazamientos por Maxell-Betti consiste en establecer dos sistemas de acciones
distintas para una misma estructura, de tal modo que la suma de los productos de las acciones de uno de
los sistemas por los correspondientes desplazamientos en el otro, es igual a la suma de productos de los
desplazamientos en el primero por las correspondientes acciones del segundo.
1. Se establece una acción para el sistema de cargas (II) en el punto donde se quiere calcular el
2. Se calculan los desplazamientos sobre el sistema de cargas (II) en todos aquellos puntos donde
Como por el primer teorema de Mohr tenemos que el giro de A en el sistema II a derechas vale:
Uno de los conjuntos estructurales más recurrido, en las edificaciones industriales, es el pórtico
rígido biempotrado a dos aguas. Este tipo de estructura consta de dos pilares empotrados a la cimentación
y a los que se encuentra rígidamente unido el dintel.
Cuando el pórtico es metálico es necesaria la comprobación a pandeo, pero en el plano
perpendicular al mismo, el pandeo se encontrará impedido gracias a la acción de arriostramiento de las
correas y del muro de cerramiento perimetral.
Este conjunto presenta la particularidad de ser simétrico, tanto de material, como de geometría,
como de condiciones de sustentación, de modo que su resolución teórica se simplifica notablemente.
Cuando una estructura es simétrica puede ser descompuesta en dos, cuya suma será igual a la
primera. Una con un estado de cargas simétrico y la otra con uno antisimétrico (las cargas a un lado del eje
de simetría son de sentidos contrarios a los que le corresponderían si fuesen simétricas).
La simplificación que conlleva la descomposición del problema en dos, viene de que, en la sección
situada en el plano de simetría, en la parte simétrica el desplazamiento horizontal, el giro y el esfuerzo
cortante son nulos (δ
= φ = V = 0), mientras que en la parte antisimétrica lo son el desplazamiento
vertical, el esfuerzo normal y el momento flector (δ
A la estructura con carga simétrica se la denomina también como no traslacional, dado que sus
presenta una estructura constituida por pórticos rígidos a dos
aguas de 5 m de pilar y 6 metros de altura a cumbrera, con una separación entre los mismos de 5 m. La
cubierta se encuentra constituida por panel grecado tipo sandwich, que se apoya en la estructura a través
de una serie de correas de perfil en Z que se encuentran separadas 1,5 m. Esta edificación presentaría una
serie de acciones que para el cálculo estructural se consideran como cargas uniformemente repartidas y
directamente aplicadas sobre el pórtico.
Para el cálculo de la sobrecarga de uso, dado que la cubierta sólo es accesible para personal de
mantenimiento, según CTE (DB-SE AE), la sobrecarga puntual de uso para cubiertas ligeras sin forjado y
accesibles únicamente para conservación es de 1 kN.
Para convertir la carga puntual en distribuida se aplica un criterio de resistencia, de modo que el
momento máximo producido por la carga aplicada en el punto medio del vano sobre una correa debe ser
igual al producido por la carga distribuida equivalente.
Viga biarticulada con carga puntual en
Viga biarticulada con carga
Así, la carga distribuida que genera el mismo momento máximo que una puntual ( P = 100 kg)
viene dada por q=
Finalmente, como la distancia entre correas ( d ) será de 1,5 m y la carga es absorbida por una
única correa (
Las correas son los elementos resistentes cuya misión es soportar el peso de los cerramientos, en
particular, el peso de la cubierta. Para ello se apoyan sobre los dinteles constituyendo vigas continuas que
actuarán como soporte del faldón del tejado cuando la cubierta es inclinada. En este caso, el momento
flector no coincide con ninguno de los ejes principales de inercia del perfil, con lo que se trata de un caso
de flexión desviada, y por tanto, habrá que resolverlo por superposición.
De este modo, se tiene que la tensión máxima que debe soportar una correa de cubierta viene dada
por la suma de las tensiones producidas por las acciones descompuestas según los ejes del perfil.
Una viga que cubre tres o más vanos, o sea, que tiene más de tres apoyos, se la conoce como viga
continua, y su principal ventaja reside en que presenta una menor flexión, y por tanto una menor flecha,
aunque es muy sensible a los asientos diferenciales.
Las estructuras reticuladas o reticulares son aquellas que se encuentran constituidas por
entramados de barras unidos por nudos articulados. Debido a esto, si sólo existen cargas sobre los nudos,
las barras se encontrarán sometidas únicamente a esfuerzos normales, o sea, sólo trabajarán a tracción o a
compresión. Dado que mientras que con un nudo rígido todas las barras que confluyen en él sufrirán
desplazamientos y giros iguales, con nudos articulados los giros serán libres, lo que implica que el
momento flector en la misma sea nulo, y por tanto no se transmitirá.
Para la resolución de una estructura reticulada todas
las cargas deben estar aplicadas en los nudos, para de ese
modo considerar que todas las barras se encuentran
sometidas a tracción, siendo el signo el que indique si se
trata de un esfuerzo de tracción (+) o de compresión (-). Así,
cuando alguna barra se encuentre cargada, para resolver la
estructura, se trasladará la carga a la correspondiente sobre
los nudos, y cuando sea el momento de resolver el
desplazamiento o el giro de la barra cargada se tendrán en
cuenta los momentos flectores que aparecen sobre dicha
barra por el hecho de encontrarse cargada. Además,
recordar que cuando la barra está sometida a tracción, el
nudo lo está a compresión, y viceversa.
Si la estructura es hiperestática interiormente ( GH=3+b – 2⋅n > 0, donde b es el número
de barras y n el de nudos), para su resolución hay que eliminar un número de barra igual a GH y
sustituirlas por las fuerzas que ejercerían, fijando las condiciones que imponían sus coacciones.
Ilustración 2: Modelo estructural para
soporte de colectores solares
Si superponemos a los desplazamientos en equilibrio un campo de desplazamientos arbitrarios
compatible con las condiciones de vínculo y de magnitud infinitesimal (desplazamientos virtuales), el
incremento de trabajo hecho por las fuerzas externas durante la aplicación de los desplazamientos será
igual al experimentado por el trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, el trabajo virtual externo
será igual al trabajo virtual interno.
En estructuras reticulares con cargas únicamente en los nudos resulta sencilla la aplicación del P.T.V.
al sistema dado que el trabajo sólo será debido a los esfuerzos normales, de tal modo que:
1. Se determinan los esfuerzos normales sobre nuestro problema (sistema congruente de
2. Se calculan los esfuerzos normales sobre un sistema formado por la misma estructura pero con
una única carga de valor unitario y correspondiente al desplazamiento que se desea hallar
(sistema de fuerzas de equilibrio).
Recordemos que se entiende por correspondiente a una fuerza de la misma dirección y sentido, y
aplicada sobre la misma sección que el desplazamiento requerido, o a un momento de igual
dirección y sentido, y punto de aplicación que el giro que se busca.
3. Finalmente, por el principio de los trabajos virtuales, se tiene que para sistemas de nudos
articulados y cargas sobre los nudos, el desplazamiento correspondiente en el punto de aplicación
de la carga unitaria viene dado por:
- son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el sistema de
fuerzas real.
' - son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el sistema de
fuerzas virtual.
Un sistema estructural, constituido por un entramado de barras rectas de sección constante y que
cumplen las hipótesis de pequeñas deformaciones, se puede resolver por medio de la ecuación matricial
que relaciona las cargas en los nudos ( L ) y sus desplazamientos ( D ) a través de la matriz de
rigidez ( S ) de la estructura.
La definición de la matriz de rigidez se realiza de forma sistemática, de modo que el método se
sintetiza en una serie de etapas mediante las cuales se da solución al sistema estructural.
2. Cálculo de la matriz de rigidez de cada barra y del vector de
cargas nodales equivalente.
3. Cálculo de la matriz de rigidez global (ensamblaje) y del
vector de cargas global de la estructura.
5. Cálculo de desplazamientos y giros (solución del sistema de
ecuaciones).
La estructura se define respecto a un sistema de referencia global
(X, Y, Z) respecto al que se establecen las coordenadas de los nudos y sus
Sin embargo, cada barra presenta su propio sistema de referencia
local (x, y, z) respecto al cual se definen sus características, así como las
acciones aplicadas sobre ella. Este sistema presenta el eje x coincidiendo
con el geométrico de la barra, mientras que los ejes y y z lo hacen con los
ejes principales de la sección transversal de la barra.
Ilustración 3: Sistema de
) que sigue la orientación indicada por los nudos inicial ( 1 ) y final ( 2 ) de la barra se define de
forma única como:
Así, por medio de esta matriz quedan relacionadas las fuerzas en extremo de barra ( f ) con los
desplazamientos nodales en ejes locales ( d ).
Las cargas aplicadas sobre las barras deben ser sustituidas por unas equivalentes que, aplicadas en
los nudos, produzcan en la estructura los mismos efectos que las originales, siendo estas cargas
equivalentes ( p ) las reacciones de empotramiento perfecto cambiadas de signo.
Dado que una barra puede presentar una orientación arbitraria ( o ), medida en el sentido
levógiro, se define la matriz de rotación ( r= f ¦o) ) para convertir los vectores y matrices entre los
sistemas de referencia absoluto y local, de tal modo que:
La matriz de rigidez de la estructura ( S ) se construye como la suma de las rigideces
correspondientes a cada nudo y aportadas por cada barra. Para ello se identifican las submatrices que
componen la matriz de rigidez de la barra y se suman a su posición correspondiente en S.
El vector de cargas de la estructura ( L ) se construye como la suma de las cargas aplicadas en
cada nudo, incluyendo las producidas por cada barra.
Las filas y columnas de cada desplazamiento
impedido se ponen a cero, salvo el elemento de la
diagonal que se igual a uno, y se elimina la acción
(carga) correspondiente.
La resolución del sistema de ecuaciones proporciona el vector de desplazamientos nodales ( D )
en función de sus cargas ( L ), de tal modo que:
– Las solicitaciones ( f ) en los extremos de cada barra se calculan por medio de la matriz de
rigidez de la misma gracias a que los desplazamientos de sus extremos son conocidos, y se aplica
una transformación para expresar sus valores en el sistema de coordenadas local de la barra.
– Las reacciones ( R ) se expresan en el sistema de coordenadas global, siendo el resultado de
Para resolver estructuras reticuladas hay que
igualar los momentos de inercia a 0 ( I
sumar los esfuerzos de extremo de barra que confluyen en el nudo más las cargas que sobre el se
encuentran aplicadas.
Para comprobar los resultados obtenidos por el método de la rigidez se aplican las ecuaciones de
equilibrio global de la estructura, cargas frente a reacciones.
La precisión de la solución final se mide a través del cálculo del error cuadrático medio de los
errores determinados a través de las ecuaciones de equilibrio de cada barra.
Las reacciones de empotramiento perfecto son las que aparecen cuando una barra cargada se
encuentra empotrada.
Para el cálculo de las reacciones se expresa la carga distribuida como concentrada aplicada en el
Dado que la carga está aplicada de forma simétrica las reacciones y momentos generados son
iguales en ambos extremos, pero dado que los momentos tienen sentidos opuestos, los signos serán
distintos según sea levógiro (positivo) o dextrógiro (negativo).
La ley de momentos ( M¦ x) ) de una barra sometida a la acción de una carga uniformemente
distribuida ( q ) vine dada por:
La ecuación de la elástica o deformada ( y¦ x) ) se obtiene a partir de la ecuación diferencial de
la línea elástica:
Para calcular y dimensionar los elementos de una estructura hay que verificar que se cumplen los
criterios de tensión, flecha y esbeltez. Siendo el primero el criterio resistente, que indican que el material
soportará la tensión a la que se encontrará sometido en la estructura bajo las condiciones previstas, el
segundo el criterio de servicio, que responde a las deformaciones máximas admisibles bajo un
determinado uso, y el tercero el de estabilidad.
Así, para el dimensionado de los elementos estructurales habrán de verificarse los estados límite de
servicio (ELS) y último (ELU).
Se ha de comprobar que ninguna de las secciones bajo carga mayorada sobrepase la resistencia del
material minorada (tensión última del material).
siempre que V
Se ha de comprobar bajo cargas sin mayorar la limitación de flecha, la cual se especifica según
servicio en forma de flecha máxima relativa, que es aquella cuyo valor es función de la longitud del tramo.
La flecha de un elemento estructural es el desplazamiento en la dirección normal a su directriz,
siendo por tanto el valor puntual de la deformación ( y¦ x) ) que sufre una pieza sometida a flexión (
Se ha de comprobar, bajo cargas mayoradas, la resistencia a pandeo en aquellos elementos esbeltos
sometidos a compresión como los pilares metálicos. Dado que si se alcanza la carga crítica ( N
equilibrio del elemento estructural pasará a inestable y cualquier perturbación, por pequeña que sea,
provocará una curvatura inicial que irá creciendo hasta llegar al colapso de la pieza, dando lugar al
Así, se definen los coeficientes de pandeo ( ß ) según las condiciones de vínculo en los extremos,
con lo que se obtiene la longitud de pandeo ( L
Para que la teoría de Euler sea aplicable: \≥103,9 , aunque hay que tener en cuenta que se
recomienda que no supere 200.
En la antigua Norma Básica de la Edificación, la comprobación a pandeo se realiza por medio de la
determinación de unos coeficientes de pandeo ( o=
) tabulados, que se determinan en función de
la resistencia del material ( f
Para la implementación del método se utiliza el lenguaje Python junto a una serie de paquetes para
cálculo matricial (Numpy) y representación gráfica (matplotlib).
Con la unión de estos “softwares” se tiene una herramienta de programación similar a MATLAB,
multiplataforma, open source y con coste cero.
Aunque “MSA” se encuentra en desarrollo se puede descargar la última versión disponible en la
Dado que se trata de un proyecto totalmente abierto, se esperan sugerencias, comentarios,
Las estructuras reticulares sólo admiten cargas en los nudos, mientras que las de nudos rígidos,
también admiten cargas uniformemente distribuidas en el sentido perpendicular a la barra.
[ Requiere Python, Numpy y matplotlib ]
El problema consiste en resolver el cálculo de la estructura metálica de una marquesina, cuyo
modelo se plantea a continuación, aunque quedará pendiente el dimensionado de la placa de anclaje y de
la cimentación necesaria.
La estructura estará afectada por las acciones debidas al peso propio, la sobrecarga de nieve y la
sobrecarga de viento; estando afectadas cada una de ellas por el correspondiente coeficiente de
ponderación según su clase (acción permanente o variable) y efecto (favorable o desfavorable).
– Sobrecara de nieve sobre la cubierta dependiendo de su inclinación y de la altitud de la
Con lo que se tiene que la carga normal y cortante distribuida a lo largo de la longitud ( L ) de la
viga es:
El cálculo resistente responde a que las tensiones máximas no sobrepasen el umbral admisible por
el material, y dado que los valores máximos se producen en las mismas secciones, se tiene que:
Tanto el esfuerzo normal máximo como el momento flector se darán en la barra BC, justo antes del
Aunque el pilar (barra CD) se encontrará arriostrado por las correas de la cubierta se realizará su
comprobación a pandeo.
En el pilar hay que tener presente su orientación, dado que el módulo resistente encargado de
soportar el esfuerzo de flexión cambiará según esta.
Dado que el pilar se encuentra empotrado en su base y puesto que los efectos sobre el
desplazamiento tanto del normal como del cortante serán despreciables, se tiene que el desplazamiento
máximo de la estructura, que se da en el extremo B de la viga, será causado por el momento flector, de tal
Debido a que el hormigón de la cimentación no resistiría las tensiones transmitidas directamente
por el pilar metálico se utilizan bases de apoyo. De este modo, se aumenta la superficie de apoyo entre
pilar y cimentación hasta disminuir la tensión a valores admisibles para el hormigón.
Las placas de anclaje se encuentran formadas por la placa base a la que se suelda directamente el
pilar, las cartelas de rigidez y los pernos de anclaje que embebidos en el hormigón la fijan a la cimentación,
inmovilizando el pilar ante posibles tracciones.
– Placa base: se confecciona a partir de chapas cuyos espesores (e) más usuales se encuentran entre
22 mm y 40 mm (22, 25, 30, 40).
– Cartelas de rigidez: aumentan la rigidez de la placa base (a partir de espesores de placa de 30
mm), con unos espesores que se suelen encontrar entre los 12 y los 15 mm (12, 14, 15).
– Pernos: constituyen el elemento de unión entre el cimiento y la base, y por tanto, la fijan a la
cimentación. Se colocan, al menos, 4 pernos en pilares empotrados y 2 en apoyados (articulación),
con un diámetro mínimo de 20 mm (20, 25, 32).
El dimensionado de la placa consiste en la determinación de sus dimensiones (a, b), que dependen
de la resistencia del hormigón, y espesor (e), que depende de la resistencia a flexión de la placa.
Para la determinación de las dimensiones (a, b) de la placa se asume que la tensión de compresión
sobre el hormigón se distribuye uniformemente en una zona (y) cuya extensión es menor que 1/4 de la
longitud de la placa (a) y que la tracción (T) es absorbida por los pernos.
Así, si se establecen unas determinadas dimensiones para la placa se
puede resolver el sistema. Dado que se puede despejar “y” en la ecuación de
equilibrio de momentos para sustituirla en la de equilibrio de fuerzas, y de este
modo obtener la tensión que debe soportar el perno (T). Asumiendo que:
sólo habrá que comprobar que y < a/4 como se había supuesto. En caso contrario se aumentarán las
dimensiones de la placa hasta que se cumpla que y < a/4.
Para determinar el espesor de la placa (e) se ha de verificar su comportamiento a flexión. Para ello
se define el vuelo como: v=
Cuando el espesor sale mayor de 30 o 35 mm se debe pasar a poner cartelas, lo que aumentará el
módulo resistente de la placa.
[1] CTE-DB-SE-AE: Código técnico de la edificación. Documento básico. Seguridad estructural.
Los principales materiales estructurales son el acero, el hormigón armado y el hormigón
El hormigón armado se compone de hormigón y acero. El hormigón aporta la resistencia a
compresión y actúa como protección para la armadura de acero, tanto ante corrosión como ante el fuego,
que aporta la resistencia a tracción y a esfuerzos cortantes. La armadura está formada por barras de acero
corrugado para que se cumpla la necesaria adherencia entre el acero y el hormigón, que permite que este
material compuesto se comporte como un todo.
Rapidez de montaje y menor
peso para la misma
Problemas de corrosión,
resistencia al fuego, pandeo
Coste, rigidez y óptimo
comportamiento frente a efectos
atmosféricos y al fuego.
Rapidez de montaje y
Perfiles laminados (IPE,
HEB,...) o conformados y sus
Enlaces Uniones remachadas,
atornilladas o soldadas.
Para que el comportamiento
de las uniones sea el de un
nudo rígido se sueldan, en
los perfiles laminados de
acero, una serie de placas
metálicas para crear
continuidad, rigidizadores.
Nudos rígidos realizados in situ y
las juntas de dilatación para evitar
Cuando un material es sometido a esfuerzos de tracción o compresión presentará dos tipos de
comportamiento (elástico y plástico) según la magnitud de los esfuerzos a que se encuentre sometido.
En un primer lugar experimentará una deformación de carácter elástico, dado que el material
recupera su forma original cuando cesan las fuerzas externas que provocan su deformación. La resistencia
a la deformación, en caso de ser lineal el intervalo, viene dada por medio del módulo elástico ( E ), y su
relación se conoce como Ley de Hooke.
) del material, el cuerpo se
deformará de manera permanente o plástica.
), que es el
valor máximo de tensión que puede soportar un material sin que se produzca la estricción y posterior
rotura del material cuando se encuentra sometido a tracción.
Estos valores se leen sobre la curva que se obtiene al realizar el ensayo de tracción sobre una
muestra de material, curva convencional de tracción.
Así, en el ensayo de tracción realizado sobre una barra de acero corrugado de dimensiones iniciales:
100 mm de longitud y 8,03 mm de diámetro, se obtuvo la siguiente curva de tracción, cuyos valores de
tensión ( c ) y elongación ( e ) vienen dados por:
Tras la rotura, la probeta presentaba una longitud final entre los puntos calibrados de 113,39 mm y
un diámetro de 5,72 mm en la zona de estricción, siendo de este modo los valores finales obtenidos:
En materiales como el acero, debido a que el límite elástico no se encuentra bien definido, pero sin
embargo, se aprecia claramente la zona de cedencia
, se toma como valor representativo la tensión de
fluencia ( c
), dado que además, se comprueba que la resistencia a tracción suele estar en torno a 0,8
veces el límite de fluencia.
De este modo, para definir el esfuerzo normal máximo que puede soportar un material (admisible)
se define un coeficiente de seguridad ( C
) que garantizará que en ningún punto se excede su
resistencia a tracción, de tal modo que:
El comportamiento elástico lineal de un material queda caracterizado por tres parámetros
– El módulo elástico o módulo de Young ( E ) establece la relación entre el esfuerzo normal y la
deformación lineal provocada:
1 La región de cedencia es aquella que aparece al final de la región elástica y que se caracteriza por una
rápida deformación plástica del material sin un aumento de la carga.
– Cuando un material se alarga debido a estar sometido a un esfuerzo de tracción se observa que
además se estrecha, mientras que cuando se acorta por estar sometido a compresión se ensancha.
Así, se tiene que la deformación en la dirección de aplicación del esfuerzo provoca una variación
proporcional de la dimensión transversal que viene dada por el coeficiente de Poisson ( u ).
Un material dúctil es aquel que puede deformarse sin romper, mientras que es frágil cuando se
rompe con facilidad, mejor dicho, cuando se rompe sin deformación (rotura rápida y sin previo aviso).
Así, mientras que la rotura de un material dúctil se caracteriza por presentar una reducción de
sección denominada estricción, la de uno frágil se caracteriza por ser plana, dado que no existe
deformación plástica apreciable ya que la propagación de la fisura es muy rápida.
La tenacidad es la capacidad de un material para absorber energía en el intervalo plástico, y por
tanto indica la cantidad de trabajo que se puede hacer sobre un material antes de que se produzca la
Como consecuencia de la variación de la temperatura el material se deforma (contracción o
dilatación) proporcionalmente a un coeficiente de dilatación que produce la aparición de tensiones en su
interior si sus movimientos están impedidos.
Cuando un material se encuentra sometido a temperatura elevada y se le aplica un esfuerzo, puede
deformase y romper a cargas inferiores a las determinadas a través del ensayo de tracción. A este
fenómeno de deformación plástica por debajo del límite elástico cuando el material se encuentra sometido
a temperatura se lo denomina termofluencia.
) es una característica geométrica de la sección respecto a un eje,
normalmente el que determina la línea neutra, y se define como:
define como la suma de los productos de las áreas
elementales por los cuadrados de las respectivas
distancias al polo.
Las expresiones de algunos momentos típicos
Sección rectangular Sección circular
– Forjado unidireccional: es el forjado clásico formado por bovedillas que reparten el peso a las
viguetas, que son las encargadas de transmitir la carga a las vigas. Por encima del conjunto
vigueta-bovedilla va una capa de compresión formada por los negativos, el mallazo y el hormigón,
siendo los negativos las varillas de acero encargadas de soportar los momentos flectores
– Forjado reticular o bidireccional: es el forjado típico de plantas de aparcamiento, dado que
distribuye las cargas por igual a un lado y a otro (en ambas direcciones).
– Forjado colaborante: forjado utilizado junto a estructuras metálicas, dado que mejora la unión
– Placa alveolar: forjado prefabricado unidireccional de alta resistencia y aligerado mediante una
serie de alvéolos que los atraviesan longitudinalmente.
Las cimentaciones son las encargadas de transmitir las cargas al terreno, de tal modo que su
El teorema de Steiner puede facilitar el cálculo
del momento de inercia al simplificar la integral.
Dado que el momento de inercia de una sección
respecto a un eje e' que no pasa por el centro de
gravedad es igual al momento de inercia
respecto a un eje paralelo e que pase por el
centro de gravedad, mas el producto de la
sección total por el cuadrado de la distancia
entre esos dos ejes:
Así, el estudio geotécnico es el encargado de facilitar las características resistentes y de
composición del terreno, necesarios para el cálculo de la cimentación y selección de los materiales
utilizables según la agresividad química del terreno.
La capacidad de soporte del terreno viene dada por la presión admisible, siendo esta especificada a
partir de una determinada cota.
Para establecer la cota de referencia sobre la que se especificarán las diferentes condiciones del
terreno se suele utilizar la calle o la rasante de la parcela, de tal modo que, por ejemplo, la capacidad de
soporte del terreno vendría especificada como: el terreno nos ofrece una tensión admisible de 1,5 kg/cm
una vez superada la pequeña alteración superficial (-1,00 m) hasta (-2,00 m), cota a partir de la cual ya
contamos con 2,0 kg/cm
– Mediante zapatas corridas, en zanjas que alcancen como mínimo -1 m, rellenas de hormigón en
masa hasta la cota estructural admisible donde se apoyarán las definitivas zapatas.
De este modo se tiene que el ancho de las zapatas vendrá dado por la carga a transmitir y la tensión
admisible del terreno según la cota final de apoyo de la zanja.
2. Acondicionamiento del terreno: limpieza del terreno, nivelado, replanteo de cimentaciones y
excavación de los elementos de cimentación.
[L1] Tensiones y deformaciones en materiales elásticos. José Antonio González
1.1 Introducción................................................................................................1 1.2 Cálculo........................................................................................................1
1.2.1 Cálculo de reacciones........................................................................................2 1.2.2 Cálculo de solicitaciones....................................................................................2 1.2.3 Cálculo de desplazamientos y giros...................................................................2
1.3 Resolución de una estructura simple..........................................................2 1.4 Cálculo resistente........................................................................................4
1.5 Esfuerzos térmicos......................................................................................6 1.6 Pandeo........................................................................................................6
1.6.1 Cálculo a pandeo...............................................................................................7 1.6.2 Longitud de pandeo...........................................................................................7
1.7 Fatiga..........................................................................................................8 1.8 Acciones en la edificación...........................................................................8
2.1.1 Determinación de giros y desplazamientos relativos.......................................10 2.1.2 Determinación de giros y desplazamientos absolutos.....................................11
2.3 Potencial interno.......................................................................................13 2.4 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti...............................................14
3.1 Cálculo de acciones...................................................................................17 3.2 Cálculo de correas de cubierta..................................................................18
4.1 Introducción..............................................................................................19 4.2 Ejemplo.....................................................................................................19 4.3 Principio de los trabajos virtuales..............................................................20
5.1 Introducción..............................................................................................22 5.2 Método......................................................................................................22
5.2.1 Descripción estructural....................................................................................22 5.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente.................23
5.2.2.1 Matriz de rigidez de barra.......................................................................................23 5.2.2.2 Vector de cargas nodales........................................................................................23 5.2.2.3 Matriz de rotación...................................................................................................23 5.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructura............................................................................24 5.2.3.2 Vector de cargas de la estructura...........................................................................24
5.2.7.1 Equilibrio global......................................................................................................25 5.2.7.2 Equilibrio local.........................................................................................................25
Introducción de las condiciones de contorno...................................................24 Solución del sistema de ecuaciones.................................................................24 Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones...................24 Comprobación del equilibrio............................................................................25
5.3.1 Reacciones de empotramiento perfecto..........................................................25 5.3.2 Diagramas de esfuerzos..................................................................................26 5.3.3 Deformada.......................................................................................................26
5.4.1 Comprobación a resistencia.............................................................................27 5.4.2 Comprobación a deformación..........................................................................27 5.4.3 Comprobación a pandeo..................................................................................28
5.5 Implementación (MSA)..............................................................................28 5.6 Ejemplo.....................................................................................................29
5.6.1 Definición del problema...................................................................................29 5.6.2 Solución...........................................................................................................30
6.1.1 Parametrización...............................................................................................34 6.1.2 Hipótesis de carga...........................................................................................34
6.2.1 Peso propio......................................................................................................35 6.2.2 Carga de viento...............................................................................................36
6.4.1 Cálculo de la viga.............................................................................................37 6.4.2 Cálculo del pilar...............................................................................................38
6.5 Cálculo de desplazamientos......................................................................38 6.6 Placas de anclaje.......................................................................................39
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 Principales materiales estructurales.........................................................42 Propiedades mecánicas de los materiales elásticos..................................43 Parámetros elásticos del material.............................................................44 Otras características de los materiales.....................................................45 Momentos de inercia.................................................................................45 Forjados....................................................................................................46 Cimentaciones...........................................................................................46 Pasos para la ejecución de una edificación...............................................47 Matriz de rigidez local 3D..........................................................................48
Una estructura es un conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir un determinado número de cargas hasta la cimentación, donde serán absorbidas por el terreno. Para ello, la estructura se encuentra constituida por unas serie de barras enlazadas entre si por medio de nudos. Estos nudos pueden ser articulados o rígidos según permitan o no el giro entre barras en el punto donde confluyen. Si los nudos son rígidos los ángulos entre barras tras la deformación se conservarán y la flecha será pequeña, mientras que si son articulados no transmitirán los momentos flectores dado que su giro será libre. El conjunto estructural básico es el pórtico, que se encuentra constituido por dos elementos sustentadores verticales (pilares o columnas) sobre los que se apoya otro horizontal (viga o dintel) sobre el que actúan las cargas verticales provenientes del forjado o de la cubierta que sostiene. Además, los pórticos suelen recibir cargas horizontales debidas a la acción del viento. Mientras que el forjado es el elemento encargado de repartir las cargas al resto de elementos estructurales, la cubierta y demás cerramientos constituyen la envolvente del edificio, siendo su función la de resguardar el espacio interior a la edificación. En las edificaciones tipo nave industrial, la envolvente del edificio suele estar compuesta en su gran mayoría por panel de chapa tipo sándwich, donde una serie de ondulaciones (grecas) la dan rigidez. Estos paneles se apoyan en los pórticos por medio de una serie de correas, normalmente de acero conformado en frío, que como elementos estructurales transversales al pórtico son los encargados de soportar los cerramientos y transmitir su carga. Las vigas y los pilares son los principales elementos estructurales, y mientras la funcionalidad del primero es ofrecer resistencia a la flexión, la del segundo es ofrecerla a compresión. Las vigas son generalmente prismáticas, en el caso de ser de hormigón, y sus dimensiones se conocen como luz o largo para la dimensión principal, y base y canto para las de la sección, siendo la base la longitud que define la superficie de apoyo. Cuando son de acero, presentan diferentes perfiles, como los que presentan forma de I o H, donde se busca maximizar el momento de inercia de la sección al alejar de la línea neutra las dos alas que se unen por medio de un alma.
∑ M =0
), y se resuelven las incógnitas.
Cuando la estructura es hiperestática, o sea, el número de incógnitas es mayor que el de ecuaciones ( GH = I −E0 ), se sustituyen las ligaduras necesarias por las reacciones correspondientes hasta que el sistema sea isostático, y se igualan sus desplazamientos a cero.
Apoyo articulado móvil Permite desplazamiento y giro Permite giro No permite ningún desplazamiento
Apoyo articulado fijo
esfuerzos normales y cortantes serán despreciables frente a los producidos por flexión o torsión, de tal modo que se puede reducir el problema al cálculo de los momentos. Para ello, se secciona la estructura por cada uno de los
tramos en que no existen cambios en los estados de carga y se calculan los esfuerzos normales, cortantes, flectores y torsores en cada una de las secciones según el criterio de signos adoptado.
Calcular el desplazamiento y el giro en D para la estructura de la figura. 2
y para barras con L 3 . dividimos la estructura por las rótulas. y dado que la carga está centrada. Ahora se pueden representar los tramos AC y EG. Sabiendo que para barras empotradas  K= 4⋅E⋅I z .Cálculo de estructuras 2P A B C D E F G L L L L L L Dado que en una articulación el momento es nulo. de tal modo que K= M . ambas reacciones serán verticales e iguales de valor P. de tal modo que: P A B C E PL + P F G L L L L PL Mf - Mf + PL PL/2 K B= 3E I L K F= 4EI L La rigidez al giro de una barra relaciona el momento ejercido en un extremo con el giro efectuado. de tal modo que: 2P D Criterio de signos N>0 V>0 C E Mf>0 Mt>0 RC =P Mf RE=P Dado que no existen cargas horizontales no existirán esfuerzos normales. de modo que en ella sólo pueden aparecer los esfuerzos normal y cortante.
de modo que la máxima tensión que debe soportar será la causada por la suma de los esfuerzos debidos a cada una de las solicitaciones. 1.4 Cálculo resistente Cada solicitación produce un determinado esfuerzo normal o cortante que debe ser absorbido de forma elástica por el material. se puede utilizar para determinar el giro en el extremo de una barra. L Cuando en un determinado punto confluyen más de dos barras. dado que todos los extremos de barra que confluyen en un nudo rígido giran el mismo ángulo.Cálculo de estructuras apoyo articulado K= 3⋅E⋅I z . se utilizan los coeficientes de reparto ( C r ) para determinar que parte del momento total aplicado sobre el nudo es absorbido por cada una de las barras que concurren en el. motivo por el cual los perfiles laminados empleados en estructuras metálicas tienen esa forma en la que alejan del centro la mayor cantidad posible de material. Como esa distancia es una característica geométrica de la sección. Solicitaciones Tensiones generadas N Tracción / Compresión = N =E⋅ S = (Ley de Hooke) V MF Cortadura V⋅M e B⋅I z (Ecuación de Navier) Flexión = = M F⋅y Iz MT Torsión (barras cilíndricas) M T⋅r Ip (Teoría elemental de Coulomb) Tabla 1: Esfuerzos producidos por cada una de las solicitaciones En la ecuación de Navier. de modo que: Cr= K barra M barra = K M Siendo ( K ) la suma de las rigideces de las barras que concurren en un nudo (rigidez del nudo). se caracteriza cada barra por medio de su módulo resistente: W z= Iz y max 4 . al igual que el momento de inercia. dado que y es la distancia a la línea neutra. el esfuerzo normal máximo se producirá en las zonas más alejadas del centro de gravedad de la sección.
P A B C LAB LBC  B=0 ⇒ RB⋅L3 P⋅L BC⋅L2 P⋅L3 AB AB AB =  3EI 2E I 3EI R B= ⇒ 2 R B⋅L 3 =3 P L BC⋅L2 2 P⋅L3 ⇒ AB AB AB 3 P⋅L BC 2 P⋅L AB = 6875 kg 2 L AB 5 . se tiene que el material debe verificar: El estudio de los esfuerzos y la determinación de aquellos que sean máximos es lo que justifica la determinación de los diagramas de solicitaciones. y para el hormigón c =1. el esfuerzo normal máximo se dará donde la suma de las tensiones debidas al normal y al flector sea máxima. siendo la tensión admisible (  adm = 1600 kg/cm2). hay que considerar un coeficiente de seguridad (  ) sobre su resistencia característica ( f k ).5 .15 . Dado que en el estudio resistente de los materiales se considera que son homogéneos. cuyas longitudes LAB y LBC son 4 y 1 metros respectivamente. para garantizar su resistencia en la práctica. 1. N MF  ≤ adm S Wz Así.4. verifique la condición de resistencia cuando la carga P es de 5000 kg. teniendo en cuenta los sentidos de las tensiones generadas según sean de tracción o compresión. teniéndose que la tensión admisible (  adm ) vendrá dada por:  adm = fk  Siendo para el acero  s=1. frente a los del normal y los del momento flector.Cálculo de estructuras Teniendo en cuenta que normalmente los esfuezos debidos al cortante serán despreciables.1 Ejemplo Determinar el perfil IPE necesario para que la viga de la figura.
Debido a esta dilatación se producirá en la barra una tensión normal de valor: =⋅ T⋅E 1. 6 .46 kg/mm2 1.6 Pandeo Cuando un elemento esbelto se encuentra sometido a compresión.01 kg/mm2 max = 2.Cálculo de estructuras P A B RB LBC C LAB Mf + Condición de resistencia IPE 330 5000 kg·m 2500 kg·m  max = max = M max  adm Wz V max  adm  A 3  max = 7. de modo que: L f =Li 1⋅ T  donde  es el coeficiente de dilatación lineal térmica. se puede producir el fenómeno conocido como pandeo. Un caso habitual es en el que la temperatura provoca variaciones lineales de la longitud en función de la variación de la temperatura.5 Esfuerzos térmicos Un elemento se encontrará sometido a esfuerzos térmicos cuando sufra contracciones o dilataciones por efecto de la variación de la temperatura y estas se encuentren impedidas. típicamente pilares metálicos.
Equilibrio estable: cuando se separa el cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este retorna a su antigua posición. y la carga sobrepasa un cierto valor denominado carga crítica. dado que es la longitud equivalente a la que tendría en el caso fundamental.6. la longitud de pandeo ( L k ) viene dada por el coeficiente de pandeo (  ) según la longitud 7 . (esfera sobre superficie cóncava) .1 Cálculo a pandeo La carga crítica ( N cr ) se determina a partir de la expresión de la carga crítica de Euler (caso fundamental). 1.5 ). (esfera sobre superficie plana) .6. Cuando dicha barra es suficientemente esbelta (larga y delgada). Así. la barra pasa a estar en equilibrio inestable. Así. = Lp r gmin donde r gmin=  I min S es el radio de giro mínimo de la sección. pudiendo ceder aún cuando la tensión en el material no supere el límite elástico de compresión.Cálculo de estructuras El pandeo es la pérdida de equilibrio que experimenta una barra prismática de cuerpo elástico sometida a compresión axial.2 Longitud de pandeo Se denomina longitud de pandeo a aquella equivalente a la de una barra biarticulada sometida a un esfuerzo normal de compresión que tenga la misma carga crítica que la considerada. N cr = 2⋅E⋅I min L2 p donde I min es el momento de inercia mínimo de la sección.Equilibrio indiferente: cuando se separa el cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este permanece en su nueva posición.Equilibrio inestable: cuando se separa el cuerpo de su posición de equilibrio de forma infinitesimal este se aleja más de su posición inicial. lo que significa que la más mínima alteración la carga. la tensión crítica se define como :  cr = N cr 2⋅E = 2 S  1. Por medio del cálculo de la esbeltez (  ) se verifica que se puede aplicar la ecuación de Euler ( 105 ) y se establece el coeficiente de seguridad a pandeo ( C sp=3. (esfera sobre superficie convexa) al inestable. conociendo la longitud de pandeo ( L p ). De modo que la carga crítica o de pandeo representa el menor valor de la carga de compresión que provoca que la barra pase del equilibrio estable (que siempre existe) provoca el agotamiento de la barra sin un nuevo incremento de Existen tres tipos de equilibrio a los que puede estar sometido un cuerpo: .
Acciones debidas al propio peso de las edificaciones y a aquellas Peso propio cargas cuyo carácter sea permanente.7 β=2 L Barra empotrada. del Código Técnico de la Edificación. Acciones permanentes (G) Acciones que siempre se encuentran presentes. se lo conoce como rotura por fatiga.7 Fatiga Cuando un material se ve sometido a cargas alternantes. DB SE-AE. ad = e C siendo e= R 2 .5 β=1 β = 0. que provocan esfuerzos variables de forma continuada. o incluso de su límite elástico. Para el acero se ha comprobado que existe una tensión por debajo de la cual el material no sufre la rotura por fatiga. Acciones variables (Q) Acciones que por su carácter no son permanentes. 1.y R la tensión de rotura.8 Acciones en la edificación Las acciones que pueden aparecer sobre una edificación se dividen en tres grupos: – – – Acciones permanentes (G) Acciones variables (Q) Acciones accidentales (A) Y quedan recogidos en el documento básico. como en el caso de determinados equipos industriales de ubicación fija.7 β = 0.articulada: Barra empotrada-libre: =2 1.5 =0.Cálculo de estructuras real de la barra ( L ). A esta tensión se la denomina límite de fatiga (  e ) y consideraremos que su valor admisible vendrá dado por:  e . se pude producir su rotura aunque en ningún caso se haya sobrepasado su límite resistente. A este fenómeno en el que un material dúctil sufre una rotura repentina y sin deformación plástica (frágil) por debajo de su resistencia. se tiene que: – – – – Barra biarticulada: Barra biempotrada: =1 =0. de tal modo que: L k =⋅L En el caso de piezas de sección constante sometidas a compresión centrada. 8 .
Las acciones producidas por un incendio son contempladas por el documento básico de seguridad en caso de incendio (DB-SI). por la colisión de un vehículo. que servirán para el correcto diseño y dimensionado de la estructura. cuando se encuentran impedidas. y de un coeficiente de forma de la cubierta que determina la acumulación de nieve. Son cargas impulsivas (de aplicación instantánea) producidas. Tanto en estructuras metálicas como de hormigón no se contemplan mientras no existan elementos continuos de más de más de 40 m de longitud. para evitar su aparición. en garajes y naves. Acciones accidentales (A) Acciones cuyo carácter es fortuito y eventual. se generan una serie de hipótesis de cálculo. Sismo Incendio Impacto A partir de las diferentes acciones posibles. 9 . Las acciones debidas a movimientos sísmicos son contempladas por la Norma de construcción sismorresistente (NCSE). normalmente. las dilataciones y contracciones causadas por las variaciones térmicas.Cálculo de estructuras Sobrecarga de uso Viento Las acciones de viento se contemplan como fuerzas perpendiculares a la superficie expuesta y vienen determinadas por la presión dinámica del viento (función del emplazamiento geográfico de la obra). En construcciones diáfanas sin forjados intermedios (naves) hay que considerar la superficie de huecos que presentan los cerramientos dado que pueden dar lugar a succiones en el interior. o sea. típicamente. favorable o desfavorable. se colocan juntas de dilatación. por un coeficiente de exposición (función de la altura del punto considerado y del grado de aspereza del entorno) y por un coeficiente eólico de presión (función de la forma y orientación de la superficie). por medio de sumas ponderadas según el tipo de acción y efecto. aquella que aplicada sobre la estructura provocaría la misma deformación que la de impacto. Acciones climáticas Nieve Dependen de la ubicación geográfica y de la altitud. El análisis del problema de impacto suele reducirse a la determinación de la carga estática equivalente. Térmicas Acciones debidas a las tensiones que provocan. en cuyo caso.
q A B L A M f =−q⋅x⋅ x x 2 10 . mientras que un momento causa un giro. y si se trata de un momento (M) es un giro (). dividido por la rigidez a flexión ( E I z ). Determinación de desplazamientos y giros Hay que tener presente que una fuerza produce un desplazamiento lineal en su mismo sentido. Así. de modo que si se trata de una fuerza (P) es un desplazamiento ().1.Determinación de desplazamientos y giros 2. 2. B  B t =∫ x B A A MF dx E Iz Ambos teoremas son aplicables a torsión sin más que utilizar momentos torsores ( MT ) y la rigidez a torsión ( GIp ).1 Determinación de giros y desplazamientos relativos Primer teorema de Mohr: El ángulo relativo girado entre dos secciones de una viga es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambas secciones. dividido por la rigidez a flexión. EJEMPLO: Determinar el desplazamiento y el giro en A de la viga empotrada en voladizo que presenta una carga vertical uniformemente repartida de valor q. B  AB =∫ A MF dx E Iz Segundo teorema de Mohr: El desplazamiento sufrido por una sección con respecto a la tangente en un punto de la viga es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambos puntos por la distancia desde su centro de gravedad al punto del que se quiere calcular su desplazamiento relativo.1 Teoremas de Mohr 2. la deformación acción exterior k será aquella correspondiente a la F k .
que combinados. Además. 2. cuya única carga sea repartida de valor en cada sección igual al momento flector dividido por la rigidez ( E⋅I z ).2 Determinación de giros y desplazamientos absolutos La determinación de los desplazamiento y/o giros absolutos por medio del tercer y cuarto teorema de Mohr requiere la aplicación del teorema de la viga conjugada. sabiendo que por el principio de superposición. a la que llamaremos primitiva. M A P C B L L Esta estructura puede ser descompuesta en dos. y viceversa. compondrán los de la estructura inicial.Determinación de desplazamientos y giros φ q⋅x 2 q⋅L 3  A=∫ dx= 6E I 0 2E I L L δ  A=∫ 0 q⋅x q⋅L ⋅x dx= 2E I 8E I 2 4 EJEMPLO: Determinar el desplazamiento en B y el giro en A. Así: M A B P C (I) + C A B (II) Mf - M Mf - Partiendo del diagrama de momentos y por medio de la aplicación del primer y del segundo teorema de Mohr se obtienen cada uno de los desplazamientos.1. en la correspondiente sección de la primitiva. b) Si un extremo de la viga primitiva está volado. el correspondiente extremo de la conjugada debe estar empotrado. la viga conjugada debe cumplir las siguientes condiciones de sustentación: a) Cuando los extremos de la viga primitiva están apoyados mediante articulaciones. Dada una viga. los extremos de la conjugada deben estarlo de igual forma. los efectos de las cargas combinadas son iguales a la suma de los efectos de las cargas aisladas. definimos la viga conjugada de la primera como aquella de la misma longitud que la primitiva. c) Los apoyos en puntos intermedios de la viga primitiva deben sustituirse por PL 11 .
M A B M/L M/L M f= M ⋅x−M L Mf - Se representa la viga conjugada con su carga correspondiente para poder aplicar el tercer teorema de Mohr. M A B L Se calculan las reacciones en A y B y se obtiene el diagrama de momentos flectores que proporcionará la carga a la que se encontrará sometida la viga conjugada. y su sentido de giro es dextrógiro cuando el esfuerzo cortante en la sección de la viga conjugada es positivo. y viceversa. M/EI Calculando la reacción vertical en A se obtiene el valor del giro a izquierdas que provoca el momento M. ML/2EI M L/3 2L/3 12 . Tercer teorema de Mohr: El ángulo girado por una sección de la viga primitiva es igual al esfuerzo cortante en la correspondiente sección de la viga conjugada. EJEMPLO: Determinar el giro de A por el tercer teorema de Mohr.Determinación de desplazamientos y giros articulaciones en las correspondientes secciones de la conjugada. y su sentido es hacia abajo cuando el momento flector en la sección de la viga conjugada es positivo. Cuarto teorema de Mohr: La flecha de una sección de la viga primitiva es igual al momento flector en la correspondiente sección de la viga conjugada.
dado que el normal y el cortante suelen ser despreciables. Así: 1.2.1 Método de la acción unidad ∂U ∂Fk La forma de aplicar el teorema de Castigliano es por medio de las integrales de Mohr. 2. 3. Esta energía vendrá dada por la suma de los trabajos directos e indirectos del sistema.Determinación de desplazamientos y giros De modo que φ :  A= ML 3E I 2. se supone y al final se iguala a cero. de tal modo que: N 1= 4.2 Teorema de Castigliano El teorema de Castigliano permite determinar el desplazamiento en una sección determinada. las cuales simplifican enormemente los cálculos. ∂N ∂Fk MF= 1 ∂ MF ∂Fk MT = 1 ∂MT ∂ Fk Se calculan las integrales de Mohr extendidas a toda la estructura. Si no existe una carga donde se quiere calcular el desplazamiento correspondiente.3 Potencial interno Cuando un cuerpo es sometido a deformación se generan unas fuerzas internas que producirán un trabajo conocido como energía de deformación o energía interna. habrá que cambiársela para poder realizar la derivación. El trabajo directo es aquel que viene dado por la ecuación de Clapeyron: 13 .  N =∫ L N⋅N 1 dx S⋅E  M =∫ F L M F⋅M F dx E⋅I z 1  M =∫ f t T L M T⋅M T dx G⋅I p 1 NOTA: Cuando la acción del punto de desplazamiento tiene la misma designación simbólica que alguna otra carga. lo que nos dará la deformación producida por cada solicitación. Se derivan respecto a la carga. dado que vendrá dado por la derivada parcial de la energía interna del sistema con respecto a la acción causante del desplazamiento en dicha sección. así como asignársela si viene dada por un valor numérico. 2. teniendo en cuenta que normalmente bastará con calcular el momento flector. k = 2. Se calculan las solicitaciones.
Se establece una acción para el sistema de cargas (II) en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento. de tal modo que la suma de los productos de las acciones de uno de los sistemas por los correspondientes desplazamientos en el otro. U TOTAL=U N U V U M U M F T Como las energías de tracción y cortadura suelen ser despreciables cuando coexisten con las de flexión y torsión.4 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti El cálculo de desplazamientos por Maxell-Betti consiste en establecer dos sistemas de acciones distintas para una misma estructura. el problema se reducirá a la determinación de la energía interna debida a flexión. Por ejemplo. es igual a la suma de productos de los desplazamientos en el primero por las correspondientes acciones del segundo. donde por el teorema de Betti se sabe que los trabajos indirectos recíprocos son iguales. Sin embargo. para un sistema cargado con una fuerza y un momento: 1 1 1 2 1 2 U = P  A M  B= P ⋅ AA M ⋅ BBP⋅M⋅ AB 2 2 2 2 Como el potencial interno no es función lineal de las acciones. Se calculan los desplazamientos sobre el sistema de cargas (II) en todos aquellos puntos donde 14 . cuyas expresiones son: U N =∫ L N2 dx 2⋅E⋅S U M =∫ F L M2 F dx 2⋅E⋅I z M2 T ft dx 2⋅G⋅I p U V =∫ L V2 fc dx 2⋅G⋅S U M =∫ T L De modo que finalmente tendremos que la energía total del sistema vendrá dada por la suma de las producidas por cada solicitación. 2. la energía interna puede ser determinada por medio de la suma de las energías de deformación debidas a cada una de las solicitaciones. no es aplicable el principio de superposición a la energía interna. 2. ∑ F i  I ⋅i  II =∑ F j  II ⋅ j  I  Así: 1.Determinación de desplazamientos y giros 1 W ii = P i⋅ i 2 Y el trabajo indirecto o mutuo: W ij =P i⋅ij⋅P j . o sea W ij =W ji ∀i≠ j .
Se parte del sistema I y se define el sistema II para determinar el desplazamiento.Determinación de desplazamientos y giros existen cargas aplicadas en el sistema (I). M A B P C C (I) L A B (II) L L De este modo: L M⋅ A  II =P⋅ B  I  P C A B (II) Mf - Como por el primer teorema de Mohr tenemos que el giro de A en el sistema II a derechas vale:  A  II =−PL⋅L /2  B  I =− ML 2 2 Que como tiene signo menos. Se aplica Maxwell-Betti y se despeja el desplazamiento buscado. PL 15 . EJEMPLO: Determinar el desplazamiento de B en el sistema I aplicando el teorema de Betti. 3. significa que el desplazamiento será hacia arriba.
Este tipo de estructura consta de dos pilares empotrados a la cimentación y a los que se encuentra rígidamente unido el dintel. es el pórtico rígido biempotrado a dos aguas. en la sección situada en el plano de simetría. en las edificaciones industriales. el giro y el esfuerzo cortante son nulos (δH = φ = V = 0). Este conjunto presenta la particularidad de ser simétrico. cuya suma será igual a la primera. E B C 5 A D 15 Ilustración 1: Pórtico rígido Cuando el pórtico es metálico es necesaria la comprobación a pandeo. Cuando una estructura es simétrica puede ser descompuesta en dos. el pandeo se encontrará impedido gracias a la acción de arriostramiento de las correas y del muro de cerramiento perimetral. Pórtico simétrico Uno de los conjuntos estructurales más recurrido. dado que sus 16 .Pórtico simétrico 3. mientras que en la parte antisimétrica lo son el desplazamiento vertical. tanto de material. el esfuerzo normal y el momento flector (δV = N = Mf = 0). A la estructura con carga simétrica se la denomina también como no traslacional. como de condiciones de sustentación. en la parte simétrica el desplazamiento horizontal. viene de que. M B E 6 M C E B M + M C φ=0 δH = 0 V=0 δV = 0 N=0 Mf = 0 A D A D Simétrico Antisimétrico La simplificación que conlleva la descomposición del problema en dos. de modo que su resolución teórica se simplifica notablemente. como de geometría. pero en el plano perpendicular al mismo. Una con un estado de cargas simétrico y la otra con uno antisimétrico (las cargas a un lado del eje de simetría son de sentidos contrarios a los que le corresponderían si fuesen simétricas).
según CTE (DB-SE AE).1 Cálculo de acciones Una nave industrial de 15x30 m2 presenta una estructura constituida por pórticos rígidos a dos aguas de 5 m de pilar y 6 metros de altura a cumbrera.Peso de los paneles . Momento máximo (se produce en el centro x = L/2) P A B Viga biarticulada con carga puntual en el centro M c= L q P⋅L 4 Viga biarticulada con carga uniformemente repartida A B M c= L q⋅L2 8 17 . La cubierta se encuentra constituida por panel grecado tipo sandwich. Esta edificación presentaría una serie de acciones que para el cálculo estructural se consideran como cargas uniformemente repartidas y directamente aplicadas sobre el pórtico. ACCIONES Acciones permanentes (G) Peso propio (G) Acciones variables (Q) Sobrecarga de uso (Q1) Viento (Q2) Nieve (Q3) . de modo que el momento máximo producido por la carga aplicada en el punto medio del vano sobre una correa debe ser igual al producido por la carga distribuida equivalente. con una separación entre los mismos de 5 m. 3. la sobrecarga puntual de uso para cubiertas ligeras sin forjado y accesibles únicamente para conservación es de 1 kN. Para convertir la carga puntual en distribuida se aplica un criterio de resistencia.5 m. dado que la cubierta sólo es accesible para personal de mantenimiento. que se apoya en la estructura a través de una serie de correas de perfil en Z que se encuentran separadas 1.Pórtico simétrico nudos no sufren desplazamiento lineal si sólo se tiene en cuenta la flexión.Peso de las correas Para el cálculo de la sobrecarga de uso.Sobre carga de mantenimiento .
el momento flector no coincide con ninguno de los ejes principales de inercia del perfil. y por tanto una menor flecha. en particular.5 m y la carga es absorbida por una q ).Pórtico simétrico Así. q y q z qy = q·cos α α α q z = q·sen α De este modo. Para ello se apoyan sobre los dinteles constituyendo vigas continuas que actuarán como soporte del faldón del tejado cuando la cubierta es inclinada.67 kg/m2. con lo que se trata de un caso de flexión desviada. la carga distribuida que genera el mismo momento máximo que una puntual ( P = 100 kg) viene dada por q= 2⋅P . se tiene que la tensión máxima que debe soportar una correa de cubierta viene dada por la suma de las tensiones producidas por las acciones descompuestas según los ejes del perfil. y por tanto. Mz My   adm Wz Wy [flexión desviada] Una viga que cubre tres o más vanos. habrá que resolverlo por superposición. En este caso. o sea. se la conoce como viga continua. y su principal ventaja reside en que presenta una menor flexión. tendremos una sobrecarga superficial de 26.2 Cálculo de correas de cubierta Las correas son los elementos resistentes cuya misión es soportar el peso de los cerramientos. aunque es muy sensible a los asientos diferenciales. q L L L M max = q⋅L2 10 18 . el peso de la cubierta. como la distancia entre correas ( única correa ( d ) será de 1. d 3. de tal modo que para L = 5 m: L q = 40 kg/m Finalmente. que tiene más de tres apoyos.
con nudos articulados los giros serán libres. el nudo lo está a compresión. Además. para resolver la estructura. se trasladará la carga a la correspondiente sobre los nudos. las barras se encontrarán sometidas únicamente a esfuerzos normales. y por tanto no se transmitirá. fijando las condiciones que imponían sus coacciones. sólo trabajarán a tracción o a compresión. siendo el signo el que indique si se trata de un esfuerzo de tracción (+) o de compresión (-). si sólo existen cargas sobre los nudos.2 Ejemplo Determinar los esfuerzos normales en las barras. para su resolución hay que eliminar un número de barra igual a GH y sustituirlas por las fuerzas que ejercerían. Si la estructura es hiperestática interiormente ( de barras y Ilustración 2: Modelo estructural para soporte de colectores solares B L · sen(α) L A α C L · cos(α) GH =3b – 2⋅n > 0. 19 .Estructuras reticuladas 4. cuando alguna barra se encuentre cargada. donde b es el número n el de nudos). lo que implica que el momento flector en la misma sea nulo. Así. o sea. Debido a esto. Dado que mientras que con un nudo rígido todas las barras que confluyen en él sufrirán desplazamientos y giros iguales. Estructuras reticuladas 4. y cuando sea el momento de resolver el desplazamiento o el giro de la barra cargada se tendrán en cuenta los momentos flectores que aparecen sobre dicha barra por el hecho de encontrarse cargada. y viceversa. 4. recordar que cuando la barra está sometida a tracción. Para la resolución de una estructura reticulada todas las cargas deben estar aplicadas en los nudos. para de ese modo considerar que todas las barras se encuentran sometidas a tracción. cuando la barra que se encuentra cargada es la BC.1 Introducción Las estructuras reticuladas o reticulares son aquellas que se encuentran constituidas por entramados de barras unidos por nudos articulados.
20 .3 Principio de los trabajos virtuales Si superponemos a los desplazamientos en equilibrio un campo de desplazamientos arbitrarios compatible con las condiciones de vínculo y de magnitud infinitesimal (desplazamientos virtuales). Cálculo de reacciones. B qp·LAC D qv·LAB C A RHA RVA RVC R HA=q v⋅L AB q p⋅L2 q v⋅L2 AC AB RVA= − / L AC 2 2 RVC = q p⋅L AC qv⋅L AB  / L AC 2 2 2 2     4.Estructuras reticuladas qp B LAB A qv C LAC GH =3b – 2⋅n = 3 + 3 – 2·3 = 0 ⇒ Estructura isostática 1. o sea. el trabajo virtual externo será igual al trabajo virtual interno. el incremento de trabajo hecho por las fuerzas externas durante la aplicación de los desplazamientos será igual al experimentado por el trabajo realizado por las fuerzas internas.
el desplazamiento correspondiente en el punto de aplicación de la carga unitaria viene dado por: =∑ N i ' donde: N i⋅L SE N i  son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el sistema de fuerzas real. 3.T. al sistema dado que el trabajo sólo será debido a los esfuerzos normales. Finalmente. y aplicada sobre la misma sección que el desplazamiento requerido. o a un momento de igual dirección y sentido. N i '  son los esfuerzos de tracción soportados por cada una de las barras en el sistema de fuerzas virtual. de tal modo que: 1.V. al cálculo de desplazamientos En estructuras reticulares con cargas únicamente en los nudos resulta sencilla la aplicación del P. Se calculan los esfuerzos normales sobre un sistema formado por la misma estructura pero con una única carga de valor unitario y correspondiente al desplazamiento que se desea hallar (sistema de fuerzas de equilibrio).1 Aplicación del P. se tiene que para sistemas de nudos articulados y cargas sobre los nudos. 2.T. por el principio de los trabajos virtuales.3. y punto de aplicación que el giro que se busca. Recordemos que se entiende por correspondiente a una fuerza de la misma dirección y sentido. 21 . Se determinan los esfuerzos normales sobre nuestro problema (sistema congruente de desplazamientos).Estructuras reticuladas 4.V.
Este sistema presenta el eje x coincidiendo con el geométrico de la barra. z) respecto al cual se definen sus características.Método de la rigidez 5.2. Cálculo de la matriz de rigidez global (ensamblaje) y del vector de cargas global de la estructura. así como las acciones aplicadas sobre ella. 4. de modo que el método se sintetiza en una serie de etapas mediante las cuales se da solución al sistema estructural. 3. Sin embargo. Cálculo de desplazamientos y giros (solución del sistema de ecuaciones). 1. Y. 7. 2. Ilustración 3: Sistema de referencia local x z y h tw b 22 . L=S⋅D La definición de la matriz de rigidez se realiza de forma sistemática. Método de la rigidez 5. Introducción de las condiciones de contorno. Cálculo de reacciones. Entrada de datos Entrada de datos Algoritmo de cálculo Algoritmo de cálculo Salida de resultados Salida de resultados 5.2 Método 5. se puede resolver por medio de la ecuación matricial que relaciona las cargas en los nudos ( L ) y sus desplazamientos ( D ) a través de la matriz de rigidez ( S ) de la estructura. 6. cada barra presenta su propio sistema de referencia local (x. Z) respecto al que se establecen las coordenadas de los nudos y sus cargas. Descripción de la estructura. y. mientras que los ejes y y z lo hacen con los ejes principales de la sección transversal de la barra. constituido por un entramado de barras rectas de sección constante y que cumplen las hipótesis de pequeñas deformaciones. 5. Cálculo de solicitaciones en los extremos de las barras.1 Introducción Un sistema estructural.1 Descripción estructural La estructura se define respecto a un sistema de referencia global (X. Cálculo de la matriz de rigidez de cada barra y del vector de cargas nodales equivalente.
5. ) que sigue la orientación indicada por los nudos inicial ( forma única como: y . por medio de esta matriz quedan relacionadas las fuerzas en extremo de barra ( desplazamientos nodales en ejes locales ( d ). se define como: . aplicadas en los nudos. z 1 ) y final ( 2 ) de la barra se define de k= [ EA L 0 0 −E A L 0 0 0 12 E I L3 6E I 2 L 0 −12 E I L3 6E I L2 0 6EI L2 4E I L 0 −6 E I L2 2EI L −E A L 0 0 EA L 0 0 0 −12 E I L3 −6 E I 2 L 0 12 E I L3 −6 E I L2 0 6E I L2 2EI L 0 −6 E I L2 4EI L ] f ) con los 23 Así. de tal modo que: cos  sin  −sin  cos  0 0 r= 0 0 0 0 0 0 [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos  sin  0 0 −sin  cos  0 0 0 0 1 ] Así. se define la matriz de rotación ( r = f  ) para convertir los vectores y matrices entre los sistemas de referencia absoluto y local.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente 5.2. siendo estas cargas equivalentes ( p ) las reacciones de empotramiento perfecto cambiadas de signo. produzcan en la estructura los mismos efectos que las originales.2.2.2.3 Matriz de rotación Dado que una barra puede presentar una orientación arbitraria (  ).2 Vector de cargas nodales Las cargas aplicadas sobre las barras deben ser sustituidas por unas equivalentes que. la matriz de rigidez de la barra en el sistema de referencia global ( K ).2.1 Matriz de rigidez de barra La matriz de rigidez ( k ) de una barra respecto al sistema de referencia local ( x . 5.2. medida en el sentido levógiro.2.Método de la rigidez 5.
2.2.2 Vector de cargas de la estructura El vector de cargas de la estructura ( L ) se construye como la suma de las cargas aplicadas en cada nudo.2. como: t P=−r ⋅p 5.3.2. y se elimina la acción (carga) correspondiente. de tal modo que: D=S −1⋅L 5.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura 5. siendo el resultado de 24 .5 Solución del sistema de ecuaciones La resolución del sistema de ecuaciones proporciona el vector de desplazamientos nodales ( D ) en función de sus cargas ( L ). S=∑ K K= [ K 11 K 12 K 21 K 22 ] 5.2. y se aplica una transformación para expresar sus valores en el sistema de coordenadas local de la barra.3. F =K⋅D – f =r⋅F Las reacciones ( R ) se expresan en el sistema de coordenadas global. incluyendo las producidas por cada barra.Método de la rigidez K =r ⋅k⋅r Y el vector de cargas global de la barra.4 Introducción de las condiciones de contorno Las filas y columnas de cada desplazamiento impedido se ponen a cero. Para resolver estructuras reticuladas hay que igualar los momentos de inercia a 0 ( 5. Para ello se identifican las submatrices que componen la matriz de rigidez de la barra y se suman a su posición correspondiente en S. salvo el elemento de la diagonal que se igual a uno.1 Matriz de rigidez de la estructura La matriz de rigidez de la estructura ( t S ) se construye como la suma de las rigideces correspondientes a cada nudo y aportadas por cada barra. L=∑ P P= [ ] P1 P2 I z =0 ) 5.6 Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones – Las solicitaciones ( f ) en los extremos de cada barra se calculan por medio de la matriz de rigidez de la misma gracias a que los desplazamientos de sus extremos son conocidos.
R=∑ F 5.3 Barra con carga uniformemente distribuida Reacciones de empotramiento perfecto generadas por una carga uniformemente distribuida.7.Método de la rigidez sumar los esfuerzos de extremo de barra que confluyen en el nudo más las cargas que sobre el se encuentran aplicadas. ∑ F x =0 ∑ F y =0 ∑ M z=0 La precisión de la solución final se mide a través del cálculo del error cuadrático medio de los errores determinados a través de las ecuaciones de equilibrio de cada barra.7 Comprobación del equilibrio 5. Para el cálculo de las reacciones se expresa la carga distribuida como concentrada aplicada en el centro. q 1 2 L 5.2.2.2 Equilibrio local ∑ F Y =0 ∑ M Z=0 Para verificar la precisión del cálculo se plantean las ecuaciones locales de cada barra.2. 25 .1 Equilibrio global Para comprobar los resultados obtenidos por el método de la rigidez se aplican las ecuaciones de equilibrio global de la estructura. cargas frente a reacciones.7.3. ∑ F x =N 1N 2 F x1 F x2 ∑ F y=V 1V 2F y1 F y2 ∑ M z=M 1M 2M z1M z2V 2 – F y2  L 5.1 Reacciones de empotramiento perfecto Las reacciones de empotramiento perfecto son las que aparecen cuando una barra cargada se encuentra empotrada. ∑ F X =0 5.
3. pero dado que los momentos tienen sentidos opuestos. L] Y por tanto.Método de la rigidez q·L M1 V1 V2 M2 Dado que la carga está aplicada de forma simétrica las reacciones y momentos generados son iguales en ambos extremos. que es aquel donde la derivada vale cero: V 1 – q⋅x=0 ⇒ x= M max =M 1 5. el momento flector máximo. los signos serán distintos según sea levógiro (positivo) o dextrógiro (negativo).3 Deformada La ecuación de la elástica o deformada ( la línea elástica: V1 q V2 1 2⋅q y  x  ) se obtiene a partir de la ecuación diferencial de −M  x  E⋅I z y ' '  x = Integrando: 1 x2 x3 y '  x=− M 1 xV 1 q C 1 E⋅I z 2 6   26 . V 1=V 2=− M 1=−M 2= 5.3.2 Diagramas de esfuerzos q⋅L 2 q⋅L 12 2 La ley de momentos ( M  x  ) de una barra sometida a la acción de una carga uniformemente distribuida ( q ) vine dada por: M1 V1 x M  x =M 1V 1⋅x−q⋅x⋅ x 2 x ∈[0.
f  f adm La flecha de un elemento estructural es el desplazamiento en la dirección normal a su directriz. que indican que el material soportará la tensión a la que se encontrará sometido en la estructura bajo las condiciones previstas. flecha y esbeltez. siendo por tanto el valor puntual de la deformación ( y  x  ) que sufre una pieza sometida a flexión ( 27 . Estado límite último de pandeo. 5.4 Comprobaciones Para calcular y dimensionar los elementos de una estructura hay que verificar que se cumplen los criterios de tensión. para el dimensionado de los elementos estructurales habrán de verificarse los estados límite de servicio (ELS) y último (ELU). la cual se especifica según servicio en forma de flecha máxima relativa. 5. Así.Método de la rigidez 1 x2 x3 x4 y  x =− M 1 V 1 q C 1 xC 2 E⋅I z 2 6 24 y ' 0=C 1=1 y y 0=C 2 =1   5.2 Comprobación a deformación Se ha de comprobar bajo cargas sin mayorar la limitación de flecha. Así.4. que es aquella cuyo valor es función de la longitud del tramo. la resistencia de una sección a solicitación compuesta ( N + M + V ): f 1 V  Av yd 2 3 N Mz My   ≤f A Wz W y con yd siempre que f yd = fy = u y Av =h⋅t w  f y =275 Para el acero más típicamente usado en España. la tensión de límite elástica: N/mm2.4. que responde a las deformaciones máximas admisibles bajo un determinado uso. y el tercero el de estabilidad. – – – Estado límite último de resistencia.1 Comprobación a resistencia Se ha de comprobar que ninguna de las secciones bajo carga mayorada sobrepase la resistencia del material minorada (tensión última del material). Estado límite de servicio de deformación. S275JR. Siendo el primero el criterio resistente. el segundo el criterio de servicio.
5. Así.  I A [radio de giro] ≥103. Dado que si se alcanza la carga crítica ( N cr ). open source y con coste cero. aunque hay que tener en cuenta que se En la antigua Norma Básica de la Edificación. que se determinan en función de  cr f y ) y de la esbeltez mecáncia (  ) del perfil.5 Implementación (MSA) Para la implementación del método se utiliza el lenguaje Python junto a una serie de paquetes para cálculo matricial (Numpy) y representación gráfica (matplotlib). multiplataforma. la comprobación a pandeo: ≤ cr = = Lk i [esbeltez mecánica] i= Para que la teoría de Euler sea aplicable: recomienda que no supere 200. se definen los coeficientes de pandeo (  ) según las condiciones de vínculo en los extremos. y con ella la carga crítica de Euler: N cr =    2 ⋅E⋅I Lk 2⋅E 2  Finalmente.Método de la rigidez M  x  ).4. Con la unión de estos “softwares” se tiene una herramienta de programación similar a MATLAB. provocará una curvatura inicial que irá creciendo hasta llegar al colapso de la pieza. dando lugar al fenómeno de pandeo. 28 . por pequeña que sea. bajo cargas mayoradas.9 . Teniéndose: N⋅ M  ≤ u A Wz 5. la comprobación a pandeo se realiza por medio de la determinación de unos coeficientes de pandeo ( = la resistencia del material ( u ) tabulados. el equilibrio del elemento estructural pasará a inestable y cualquier perturbación. la resistencia a pandeo en aquellos elementos esbeltos sometidos a compresión como los pilares metálicos. con lo que se obtiene la longitud de pandeo ( L k =⋅L ).3 Comprobación a pandeo Se ha de comprobar.
colaboraciones.6 Ejemplo I = 0. N0.12 E = 29000 250 0 1 2 0 1 2.X[m].0.FX[N].0. M0. mientras que las de nudos rígidos.40 5.6.2.com/p/msapy/ Dado que se trata de un proyecto totalmente abierto.40.40 2.0.MZ[Nm]..1.29000.0.80.rj. Propiedades.80 . Numpy y matplotlib ] Las estructuras reticulares sólo admiten cargas en los nudos.0.Y[m].E[N/m2].Tipo. se esperan sugerencias.0.Iz[m4].Wz[m3].0. Nudos.FY[N].0. también admiten cargas uniformemente distribuidas en el sentido perpendicular a la barra.Método de la rigidez Aunque “MSA” se encuentra en desarrollo se puede descargar la última versión disponible en la página del proyecto: http://code.006.PROP. 5.1 Definición del problema El problema se define en el archivo “input. N1.330.0.0.0..fs.MAT.A[m2].google. comentarios. 29 1.12.006 A = 0.Tipo.001.csv” como: Material. Descarga MSA [ Requiere Python.Tipo. P0.fyd[N/m2].
-250. B1.12 Propiedades E Iz 29000 29000 0.2.0.4 0.40000 A 0.8 1.0. B0.fs.Tipo.2 Solución Informe de resultados Nudos 0 1 2 Coordenadas X [m] Y [m] 2.1.0.0. Barras.1.80. 5.0.00000 2.0 4.0 1.0.Método de la rigidez N2.80.PROP.8 FX [N] 0 0 0 Cargas FY [N] MZ [Nm] 0 0 0 0 0 0 Barras 1/0 0/2 L [m] 3.4.0060000 0.0060000 Cargas qy [N/m] 0 -250 30 .Nf.6.8 0.Ni.12 0.PROP.qy[N/m].
Método de la rigidez Nudos 0 1 2 RX [N] 0.49 Reacciones RY [N] MZ [Nm] 0.00 46.00 184.84 415.00 204.32 Esfuerzos 31 .49 -204.16 0.47 -247.
Método de la rigidez 32 .
MSA . 33 .149999 0.32 Desplazamientos Nudos 0 1 2 Desplazamientos dX [m] dY [m] gZ [rad] 0.49 V2 -25.141029 0.000000 0.84 M1 46.50 -204.000000 -0. Jorge Rodríguez Araújo (grrodri@gmail.582434 0. con la aplicación del método matricial de la rigidez.07 -247.Método de la rigidez Barras 1/0 0/2 N1 274.50 204.47 -29.Copyright 2009.18 184.000000 ______________________________ Informe generado mediante MSA.49 V1 25.000000 0.000000 -0.com).18 415.16 M2 29.07 N2 -274.000000 0.
la situación topográfica y la altura de la estructura.2 Hipótesis de carga La estructura estará afectada por las acciones debidas al peso propio. Carga permanente debida al peso de la cubierta y las correas que la soportan.1. Sobrecara de nieve sobre la cubierta dependiendo de su inclinación y de la altitud de la localización de la obra.1.1 Introducción El problema consiste en resolver el cálculo de la estructura metálica de una marquesina.1 Parametrización L a/cos α C A b/cos α B α b b·tan α a·tan α L·sen α a H D 6.Cálculo de una marquesina 6. Cálculo de una marquesina 6. para la determinación de las acciones actuantes se tendrán en cuenta: – – – – Peso propio de la estructura. CTE-DB-SE-AE Así. cuyo modelo se plantea a continuación. aunque quedará pendiente el dimensionado de la placa de anclaje y de la cimentación necesaria. 34 . Sobrecarga de viento según la zona eólica. estando afectadas cada una de ellas por el correspondiente coeficiente de ponderación según su clase (acción permanente o variable) y efecto (favorable o desfavorable). la sobrecarga de nieve y la sobrecarga de viento. 6.
2 Cálculo de reacciones 6.Cálculo de una marquesina qp B qv C A D Se descompone en dos y se aplica superposición: (I) + (II) 6.2.1 Peso propio qp B C A D (I) VD MD V D=q p⋅L M D= qp 2 2 ⋅ b −a  2⋅cos  35 .
2 Carga de viento B qv C A D (II) HD MD H D=q v⋅L⋅sin  qv 2 2 2 M D= ⋅tan ⋅ b −a  2 6. de modo que: (I) q α p (II) qp·cos α + α qv·sen α qp·sen α α qv·cos α qv α L·sen α Con lo que se tiene que la carga normal y cortante distribuida a lo largo de la longitud ( L ) de la viga es: w N =q p⋅sin qv⋅sin ⋅cos  w V =q p⋅cos  – qv⋅sin ⋅sin  36 .3 Cálculo de solicitaciones Para encontrar las solicitaciones internas se descomponen las cargas.Cálculo de una marquesina 6.2.
4 Cálculo resistente El cálculo resistente responde a que las tensiones máximas no sobrepasen el umbral admisible por el material.4.3.1 Diagramas de esfuerzos N B V B + C A + C A - D + D M B C A - D 6.1 Cálculo de la viga Tanto el esfuerzo normal máximo como el momento flector se darán en la barra BC. y dado que los valores máximos se producen en las mismas secciones. justo antes del nudo: x= b cos  [desde B] 37 .Cálculo de una marquesina 6. se tiene que:  max = N max M max  ≤ A Wz   adm  Nmax  Mmax 6.
de tal modo que:  B= C⋅bCB⋅cos  Por Mohr: L =∫ 0 L q x2 q L3 dx= 2E I 6E I =∫ 0 q x2 q L4 ⋅x⋅dx= 2E I 8E I 38 . que se da en el extremo B de la viga. Esfuerzo normal máximo: Momento flector máximo: N max =q p⋅L M max = wv 2⋅cos  2  b2 – a2 En el pilar hay que tener presente su orientación. desde los extremos al nudo.4.5 Cálculo de desplazamientos Dado que el pilar se encuentra empotrado en su base y puesto que los efectos sobre el desplazamiento tanto del normal como del cortante serán despreciables. vale: 6.Cálculo de una marquesina Esfuerzo normal máximo: b N max =w N⋅ cos  b2 M max =w v⋅ 2⋅cos2  M =−w v⋅ x 2 2 Momento flector máximo: Dado que el momento flector en la viga.2 Cálculo del pilar Aunque el pilar (barra CD) se encontrará arriostrado por las correas de la cubierta se realizará su comprobación a pandeo. 6. se tiene que el desplazamiento máximo de la estructura. será causado por el momento flector. dado que el módulo resistente encargado de soportar el esfuerzo de flexión cambiará según esta.
64 93.09 6.44 100000 14339.8 92.99 210000 84500 1160000 67488.78 0. se aumenta la superficie de apoyo entre pilar y cimentación hasta disminuir la tensión a valores admisibles para el hormigón.41 201502. De este modo.71 119.13 107467.09 6. Pilar Cartela Perno Placa de anclaje Zapata Hormigón de limpieza Las placas de anclaje se encuentran formadas por la placa base a la que se suelda directamente el pilar.6 Placas de anclaje Debido a que el hormigón de la cimentación no resistiría las tensiones transmitidas directamente por el pilar metálico se utilizan bases de apoyo. 39 .65 3 5 35 1 4 20000 5000 13820. las cartelas de rigidez y los pernos de anclaje que embebidos en el hormigón la fijan a la cimentación.76 18027.94 126. inmovilizando el pilar ante posibles tracciones.Cálculo de una marquesina Geometría H [m] L [m] α [º] a [m] b [m] Cargas qp [N/m] qv [N/m] w N [N/m] w V [N/m] Reacciones VD [N] HD [N] MD [N·m] Viga Perfil IPE Dimensión 400 E [N/mm²] A [mm²] Wz [mm 3 ] Nmax [N] Mmax [N·m] σNmax [N/mm²] σMmax [N/mm²] σmax [N/mm²] Pilar Perfil HEB Dimensión 300 E [N/mm²] A [mm²] Wz [mm 3 ] Nmax [N] Mmax [N·m] σNmax [N/mm²] σMmax [N/mm²] σmax [N/mm²] 210000 14900 1680000 100000 201502.
b). 40). 14. que quedarían definidas como: b H 40 . con unos espesores que se suelen encontrar entre los 12 y los 15 mm (12. al menos. – Cartelas de rigidez: aumentan la rigidez de la placa base (a partir de espesores de placa de 30 mm). la fijan a la cimentación. y por tanto. Así. que depende de la resistencia a flexión de la placa. b) de la placa se asume que la tensión de compresión sobre el hormigón se distribuye uniformemente en una zona (y) cuya extensión es menor que 1/4 de la longitud de la placa (a) y que la tracción (T) es absorbida por los pernos. se plantean las ecuaciones de equilibrio. Se colocan.Cálculo de una marquesina – Placa base: se confecciona a partir de chapas cuyos espesores (e) más usuales se encuentran entre 22 mm y 40 mm (22.6. Para la determinación de las dimensiones (a. 30. 32). y espesor (e). 25. con un diámetro mínimo de 20 mm (20. N M V a B d A 6. 4 pernos en pilares empotrados y 2 en apoyados (articulación). 15).1 Dimensionado de la placa El dimensionado de la placa consiste en la determinación de sus dimensiones (a. que dependen de la resistencia del hormigón. – Pernos: constituyen el elemento de unión entre el cimiento y la base. 25.
Dado que se puede despejar “y” en la ecuación de equilibrio de momentos para sustituirla en la de equilibrio de fuerzas. Acciones en la edificación. 6. Para ello se define el vuelo como: bp ap v= a – ap . Asumiendo que: a = 16 + ap + 16(cm. Documento básico. 41 .Cálculo de una marquesina N M d T  N =b⋅y⋅ c M N⋅ ∑ F =0 V σc y   a y −d =b⋅y⋅ c⋅ a−d − 2 2   ∑ M =0 T Así. y de este modo obtener la tensión que debe soportar el perno (T). En caso contrario se aumentarán las dimensiones de la placa hasta que se cumpla que y < a/4. Para determinar el espesor de la placa (e) se ha de verificar su comportamiento a flexión.) d = 6 cm sólo habrá que comprobar que y < a/4 como se había supuesto. dado que: b⋅ u M b⋅e2 ≤ u y W = . Seguridad estructural.) b = 8 + bp + 8 (cm. si se establecen unas determinadas dimensiones para la placa se puede resolver el sistema. de modo que: 2 Si y≤v : Si M =b⋅y⋅ c⋅ v –   y 2 y≥v : v M =b⋅ c⋅v⋅ 2 Teniéndose que: e≥  6⋅M . Documento básico.7 Referencias [1] CTE-DB-SE-AE: Código técnico de la edificación. Acero. W 6 Cuando el espesor sale mayor de 30 o 35 mm se debe pasar a poner cartelas. [2] CTE-DB-SE-A: Código técnico de la edificación. Seguridad estructural. lo que aumentará el módulo resistente de la placa.
resistencia al fuego.) o conformados y sus combinaciones. el hormigón armado y el hormigón prefabricado. en los perfiles laminados de acero. La armadura está formada por barras de acero corrugado para que se cumpla la necesaria adherencia entre el acero y el hormigón. una serie de placas metálicas para crear continuidad. Forjados. que permite que este material compuesto se comporte como un todo. Losas y vigetas. que aporta la resistencia a tracción y a esfuerzos cortantes. pandeo y fatiga HORMIGÓN ARMADO VENTAJAS: Coste.. rigidizadores.. Nudos rígidos realizados in situ y las juntas de dilatación para evitar esfuerzos térmicos. tanto ante corrosión como ante el fuego. ACERO Consideraciones VENTAJAS: del diseño Rapidez de montaje y menor peso para la misma resistencia DESVENTAJAS: Problemas de corrosión. Anexo 7. El hormigón aporta la resistencia a compresión y actúa como protección para la armadura de acero.1 Principales materiales estructurales Los principales materiales estructurales son el acero.Anexo 7. El hormigón armado se compone de hormigón y acero.. Enlaces Uniones remachadas. Pilares y vigas (porticos). Para que el comportamiento de las uniones sea el de un nudo rígido se sueldan. rigidez y óptimo comportamiento frente a efectos atmosféricos y al fuego. Tabla 2: Comparativa de los principales materiales estructurales Propiedades del acero Módulo de elasticidad (E) 210000 N/mm2 Módulo de rigidez (G) 81000 N/mm2 42 . atornilladas o soldadas. estructurales HEB. DESVENTAJAS: Menos espacios diáfanos HORMIGÓN PREFABRICADO VENTAJAS: Rapidez de montaje y elevada resistencia DESVENTAJAS: Precio elevado Elementos Perfiles laminados (IPE.
en caso de ser lineal el intervalo. en el ensayo de tracción realizado sobre una barra de acero corrugado de dimensiones iniciales: 100 mm de longitud y 8.2·10-5 1/ºC 7. Estos valores se leen sobre la curva que se obtiene al realizar el ensayo de tracción sobre una muestra de material. el cuerpo se deformará de manera permanente o plástica. cuyos valores de tensión (  ) y elongación (  ) vienen dados por: = F S0 = 2 L− L0 D . En un primer lugar experimentará una deformación de carácter elástico. se obtuvo la siguiente curva de tracción. Si el esfuerzo continua. Así. siendo S 0= 0 L0 4 43 .Anexo Coeficiente de Poisson (µ) 0. Si el esfuerzo sobrepasa un punto conocido como límite elástico ( Re ) del material. que es el valor máximo de tensión que puede soportar un material sin que se produzca la estricción y posterior rotura del material cuando se encuentra sometido a tracción. se alcanza el punto conocido como resistencia a tracción ( Rm ). y su relación se conoce como Ley de Hooke. curva convencional de tracción. La resistencia a la deformación. dado que el material recupera su forma original cuando cesan las fuerzas externas que provocan su deformación.3 Densidad (ρ) 7850 kg/m3 Coeficiente de dilatación térmica (α) 1. viene dada por medio del módulo elástico ( E ).03 mm de diámetro.2 Propiedades mecánicas de los materiales elásticos Cuando un material es sometido a esfuerzos de tracción o compresión presentará dos tipos de comportamiento (elástico y plástico) según la magnitud de los esfuerzos a que se encuentre sometido.
se comprueba que la resistencia a tracción suele estar en torno a 0. debido a que el límite elástico no se encuentra bien definido.68 MPa En materiales como el acero.25 0.20 0. 44 . para definir el esfuerzo normal máximo que puede soportar un material (admisible) se define un coeficiente de seguridad ( C s ) que garantizará que en ningún punto se excede su resistencia a tracción. se aprecia claramente la zona de cedencia1.72 mm en la zona de estricción. dado que además.3 Parámetros elásticos del material El comportamiento elástico lineal de un material queda caracterizado por tres parámetros interrelacionados: – El módulo elástico o módulo de Young ( E ) establece la relación entre el esfuerzo normal y la deformación lineal provocada: 1 La región de cedencia es aquella que aparece al final de la región elástica y que se caracteriza por una rápida deformación plástica del material sin un aumento de la carga. la probeta presentaba una longitud final entre los puntos calibrados de 113.65 MPa Módulo elástico ( E ) = 61.Anexo Curva de tracción Ensayo de tracción de una barra de acero corrugado 700 600 500 Rm Re f σ [MPa] 400 300 200 100 0 0.8 veces el límite de fluencia. se toma como valor representativo la tensión de fluencia (  f ). pero sin embargo.15 0.30 ε [m m/mm ] Tras la rotura. de tal modo que:  adm= f Cs 7. siendo de este modo los valores finales obtenidos: Límite elástico ( Re ) = 493.05 0. De este modo.00 0.10 0.39 mm y un diámetro de 5.02 MPa Resistencia a tensión ( Rm ) = 590.
dado que no existe deformación plástica apreciable ya que la propagación de la fisura es muy rápida. y se define como: 45 . Así. mejor dicho. mientras que la rotura de un material dúctil se caracteriza por presentar una reducción de sección denominada estricción. cuando se rompe sin deformación (rotura rápida y sin previo aviso).5 Momentos de inercia El momento de inercia ( I z ) es una característica geométrica de la sección respecto a un eje. A este fenómeno de deformación plástica por debajo del límite elástico cuando el material se encuentra sometido a temperatura se lo denomina termofluencia. y por tanto indica la cantidad de trabajo que se puede hacer sobre un material antes de que se produzca la fractura. Como consecuencia de la variación de la temperatura el material se deforma (contracción o dilatación) proporcionalmente a un coeficiente de dilatación que produce la aparición de tensiones en su interior si sus movimientos están impedidos. normalmente el que determina la línea neutra. Cuando un material se encuentra sometido a temperatura elevada y se le aplica un esfuerzo. puede deformase y romper a cargas inferiores a las determinadas a través del ensayo de tracción. se tiene que la deformación en la dirección de aplicación del esfuerzo provoca una variación proporcional de la dimensión transversal que viene dada por el coeficiente de Poisson (  ). 7. mientras que cuando se acorta por estar sometido a compresión se ensancha. se tiene que ambos se relacionan por medio del módulo de elasticidad transversal ( G ). la de uno frágil se caracteriza por ser plana.Anexo = E  – Cuando un material se alarga debido a estar sometido a un esfuerzo de tracción se observa que además se estrecha. = – contraccióntransversal alargamiento longitudinal Finalmente. mientras que es frágil cuando se rompe con facilidad. Así. La tenacidad es la capacidad de un material para absorber energía en el intervalo plástico.4 Otras características de los materiales Un material dúctil es aquel que puede deformarse sin romper. que proporciona el esfuerzo cortante que provoca una determinada deformación angular: G= E 21 =G  7.
6 Forjados Al menos existen cuatro tipos de forjado de hormigón armado. Dado que el momento de inercia de una sección respecto a un eje e' que no pasa por el centro de gravedad es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo e que pase por el centro de gravedad. siendo los negativos las varillas de acero encargadas de soportar los momentos flectores negativos. dado que mejora la unión entre ambos. de tal modo que su 46 . – Forjado reticular o bidireccional: es el forjado típico de plantas de aparcamiento. Por encima del conjunto vigueta-bovedilla va una capa de compresión formada por los negativos. – Placa alveolar: forjado prefabricado unidireccional de alta resistencia y aligerado mediante una serie de alvéolos que los atraviesan longitudinalmente.7 Cimentaciones Las cimentaciones son las encargadas de transmitir las cargas al terreno. mas el producto de la sección total por el cuadrado de la distancia entre esos dos ejes: El momento de inercia polar ( I p ) se define como la suma de los productos de las áreas elementales por los cuadrados de las respectivas distancias al polo.Anexo I z =∫ y 2 ds S El teorema de Steiner puede facilitar el cálculo del momento de inercia al simplificar la integral. dado que distribuye las cargas por igual a un lado y a otro (en ambas direcciones). – Forjado colaborante: forjado utilizado junto a estructuras metálicas. que son las encargadas de transmitir la carga a las vigas. 7. I p=∫ r 2 ds=I x I y S Las expresiones de algunos momentos típicos son: I e' = I e d 2 S Sección rectangular Sección circular Iz Ip I z= B⋅H 3 12 I z= I p= ⋅R 4 4 ⋅R4 2 Tabla 3: Momentos típicos 7. el mallazo y el hormigón. los cuales son: – Forjado unidireccional: es el forjado clásico formado por bovedillas que reparten el peso a las viguetas.
De este modo se tiene que el ancho de las zapatas vendrá dado por la carga a transmitir y la tensión admisible del terreno según la cota final de apoyo de la zanja. 7. Para establecer la cota de referencia sobre la que se especificarán las diferentes condiciones del terreno se suele utilizar la calle o la rasante de la parcela. necesarios para el cálculo de la cimentación y selección de los materiales utilizables según la agresividad química del terreno. rellenas de hormigón en masa hasta la cota estructural admisible donde se apoyarán las definitivas zapatas. 5. La capacidad de soporte del terreno viene dada por la presión admisible. por ejemplo.00 m) hasta (-2. cota a partir de la cual ya contamos con 2. el estudio geotécnico es el encargado de facilitar las características resistentes y de composición del terreno.8 Pasos para la ejecución de una edificación 1. aparcamientos y jardines 47 . con o sin arriostramiento. de tal modo que.5 kg/cm 2 una vez superada la pequeña alteración superficial (-1.0 kg/cm2. 9. 2. 6.Anexo tipología y dimensiones vendrán determinadas por las características de este. Así. Solicitud y concesión de permisos y licencias Acondicionamiento del terreno: limpieza del terreno. replanteo de cimentaciones y excavación de los elementos de cimentación. 3. Cimentaciones Estructura y forjados Cubierta y faldones Cerramientos y tabiquería (división interna) Pavimentos y solados Pintadas y alicatados (baños) Falsos techos y aislamientos térmicos y acústicos 10. 4. pero apoyadas a partir de la cota – 1 m. Mediante zapatas corridas. nivelado. 8. pudiendo ser: – – Mediante zapatas aisladas.00 m). Urbanización exterior. en zanjas que alcancen como mínimo -1 m. siendo esta especificada a partir de una determinada cota. la capacidad de soporte del terreno vendría especificada como: el terreno nos ofrece una tensión admisible de 1. Las cimentaciones típicas son superficiales. 7.
9 Matriz de rigidez local 3D k=  E⋅A L 0 0 0 0 0 −E⋅A L 0 0 0 0 0 0 12⋅E⋅I z L3 0 0 0 6⋅E⋅I z 2 L 0 −12⋅E⋅I z L 3 0 0 12⋅E⋅I y L 3 0 0 0 G⋅I p L 0 0 0 0 0 −G⋅I p L 0 0 0 0 −6⋅E⋅I y L 2 0 6⋅E⋅I z L2 0 0 0 4⋅E⋅I z L 0 0 0 −6⋅E⋅I z L 2 − E⋅A L 0 0 0 0 0 E⋅A L 0 0 0 0 0 0 −12⋅E⋅I z L3 0 0 0 −6⋅E⋅I z 2 L 0 12⋅E⋅I z L 3 0 0 −12⋅E⋅I y L 3 0 0 0 −G⋅I p L 0 0 0 0 0 G⋅I p L 0 0 0 0 6⋅E⋅I y L2 0 4⋅E⋅I y L 0 0 0 −6⋅E⋅I y L 2 0 6⋅E⋅I z L2 0 0 0 2⋅E⋅I z L 0 −6⋅E⋅I z L2 0 0 0 4⋅E⋅I z L 0 −6⋅E⋅I y L 2 0 4⋅E⋅I y L 0 0 6⋅E⋅I y L 2 0 2⋅E⋅I y L 0 0 0 0 −12⋅E⋅I y L3 0 −6⋅E⋅I y L2 0 0 0 0 12⋅E⋅I y L3 0 6⋅E⋅I y L2 0 0 0 0 6⋅E⋅I z L2 6⋅E⋅I y L2 0 2⋅E⋅I y L 0 0 0 0 2⋅E⋅I z L 0 0 0 −6⋅E⋅I z L2  48 .Anexo 7.
Enrique Nieto García.Bibliografía Libros [L1] Tensiones y deformaciones en materiales elásticos. i . Enlaces [E1] Cálculo de estructuras. Normativa [N1] Código técnico de la edificación (CTE). José Antonio González Taboada.
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