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8VO-EGB-TEXTO-MATEMATICA.pdf | Álgebra | Ecuador
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Guia Video 3 Identidad Cultural
BOLETIN-ALEYDA-3B
Guia Matematica 6basico Semana1 Lenguaje Algebraico Julio 2011
Opcion S 64 - Agosto de 2015
PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA PROYECTO LICITACIÓN MINISTERIO
Lenín Moreno Garcés DE EDUCACIÓN, ECUADOR 2016
Fander Falconí Benítez Dirección de contenidos editoriales Ecuador
Álvaro Sáenz Andrade Creación de contenidos
Luis Humberto Buitrón Aguas
Conceptualización del proyecto para el área
SUBSECRETARIA DE FUNDAMENTOS EDUCATIVOS (e)
Rubí Esperanza Morillo Tobar
SUBSECRETARIO DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR (e) Luis Fernando Hernández Castro
Hernán Rodrigo Heredia Carrión
DIRECTORA NACIONAL DE CURRÍCULO Yolanda Castillo, Sofía Garzón
DIRECTOR NACIONAL DE OPERACIONES Y LOGÍSTICA SM Ediciones Ecuador
Germán Eduardo Lynch Álvarez
Archivo SM Ediciones Ecuador, Archivo SM Ediciones
Colombia, Shutterstock
Roger Icaza L, Gisela Bohórquez, Mónica Medina
© Ministerio de Educación del Ecuador, 2017 Impreso en Ecuador
Av. Amazonas N34-451 y Atahualpa Primera impresión: agosto 2016
Quito, Ecuador Tercera impresión: mayo 2017
www.educacion.gob.ec © SMEcuaediciones, 2016
La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma y por Este texto fue revisado por la Universidad Politécnica
cualquier medio mecánico o electrónico, está permitida siempre y cuando
Ministerio de Educación el 8 de junio de 2016.
Impreso por: Medios Públicos EP
existan, se usará la forma masculina como genérica para hacer referencia tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta práctica
economía expresiva> para así evitar el abultamiento gráﬁco y la consiguiente ilegibilidad que ocurriría en el caso de utilizar expresiones como las y
E ste libro de texto que tienes en tus manos es una herramienta muy importante
para que puedas desarrollar los aprendizajes de la mejor manera. Un libro de tex-
to no debe ser la única fuente de investigación y de descubrimiento, pero siempre
es un buen aliado que te permite descubrir por ti mismo la maravilla de aprender.
El Ministerio de Educación ha realizado un ajuste curricular que busca mejores opor-
tunidades de aprendizaje para todos los estudiantes del país en el marco de un pro-
yecto que propicia su desarrollo personal pleno y su integración en una sociedad
guiada por los principios del Buen Vivir, la participación democrática y la convivencia
Para acompañar la puesta en marcha de este proyecto educativo, hemos preparado
varios materiales acordes con la edad y los años de escolaridad. Los niños y niñas
de primer grado recibirán un texto que integra cuentos y actividades apropiadas
para su edad y que ayudarán a desarrollar el currículo integrador diseñado para este
subnivel de la Educación General Básica. En adelante y hasta concluir el Bachillerato
General Unificado, los estudiantes recibirán textos que contribuirán al desarrollo de
los aprendizajes de las áreas de Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Lengua y Litera-
tura, Matemática y Lengua Extranjera-Inglés.
Además, es importante que sepas que los docentes recibirán guías didácticas que les
facilitarán enriquecer los procesos de enseñanza y aprendizaje a partir del contenido
del texto de los estudiantes, permitiendo desarrollar los procesos de investigación y
de aprendizaje más allá del aula.
Este material debe constituirse en un apoyo a procesos de enseñanza y aprendizaje
que, para cumplir con su meta, han de ser guiados por los docentes y protagoniza-
dos por los estudiantes.
Esperamos que esta aventura del conocimiento sea un buen camino para alcanzar
Jerarquía de las operaciones con potencias y raíces
Luis le dice a Sandra que para este tipo de ejercicios matemáticos, donde intervienen
Matemática Explora
paréntesis y varias operaciones, lo primero que se resuelve son las potencias, así:
14 2 {3 1 4 ? 3 2 [(22)2 ? 2 2 7]} 1 (32 1 6 2 6 ? 3) 1 3 2 (6 2 23 4 2)
Sandra debe solucionar la siguiente 5 14 2 {3 1 4 ? 3 2 [4 ? 2 2 7]} 1 (9 1 6 2 6 ? 3) 1 3 2 (6 2 8 4 2)
operación combinada:
Luego, se calculan los productos y cocientes como se muestra a continuación.
14 2 {3 1 4 ? 3 2 [(22)2 ? 2 2 7]} 1
(32 1 6 2 6 ? 3) 1 3 2 (6 2 23 4 2). 5 14 2 {3 1 12 2 [8 2 7]}1 (9 1 6 2 18) 1 3 2 (6 2 4)
Como no sabe cómo empezar, le Finalmente, se calculan las sumas y diferencias; primero las que están dentro de los
pide ayuda a su amigo Luis. paréntesis y después las que se obtienen de izquierda a derecha.
Destreza Luis
• ¿Qué le responde
El libro consta de seis
con acriterios
Sandra? de desempeño:
conosunidades
5 14conos
temáticas. Cada unidad desarrolla contenidos asociados
2 {15 2
y 1}
1 (23) 1a3partir
2 2 de patrones en dos dimensiones (redes) para calcular el área lateral y total de
5 14 2 14 1 (23) 1 3 2 2 522
a los Desarrolla
bloques tus
propuestos en el currículo nacional: álgebra y funciones,
Para efectuar operaciones combinadas con potencias y raíces, se sigue este
y medida y estadistica y probabilidad. Cada unidad consta de:
• Se resuelven las operaciones que estén dentro de los signos de agrupación. Si hay
varios, unos dentro de otros, se empieza por los internos.
• Se efectúan las potencias y raíces.
3 Dibuja un cilindro de 4 las
• Se realizan cmmultiplicaciones
de diámetro y 6 cm
y divisiones de altura.
de izquierda a derecha. 10 Un envase tiene forma de cilindro circular recto. El área Destreza con criterios de desempeño:
Calcular raíces de números enteros no negativos en la solución de ejerciciosnuméricos con operaciones combinadas,
• Se calculan las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha. atendiendo la jerarquía de la operación.
de cada base es de 1225 cm2 y su altura es de 12 cm.
Luego, calcula su área total. Actividad resuelta
Tecnologías de la 16
Ejemplo 1 Resolución
Bloque de Álgebra de problemas
Al resolver la operación [(22) ] 1 (236) 4 ], se verifica el orden mencionado.a. ¿Cuánto mide el diámetro de la base?
Destreza con criterios de desempeño: Calcular raíces de números enteros no negativos en la solución de ejerciciosnuméricos con operaciones combinadas, 1 Pedro recibió de su padre $ 6 250 y de su madre $ 350. A la mitad de lo
Jerarquía de las operaciones con 2potencias
3 y raíces atendiendo la jerarquía de la operación.
que recibió, él agregó $ 520 para pagarle a su hermana Claudia una deuda.
comunicación Ten en cuenta 4 Calcula el área de1.Selosresuelve cilindros cuyas dimensiones son: Luis le dice a Sandra que para este tipo de ejercicios matemáticos, donde intervienen Actividad resuelta ¿Cuánto dinero le debía Pedro a Claudia?
paréntesis y varias operaciones, lo primero que se resuelve son las potencias, así: Resolución de problemas
b. ¿Cuál es el área lateral del recipiente?
14 2 {3 1 4 ? 3 2 [(22)2 ? 2 2 7]} 1 (32 1 6 2 6 ? 3) 1 3 2 (6 2 23 4 2) 1 Pedro recibió de su padre $ 6 250 y de su madre $ 350. A la mitad de lo Solución:
la potencia y la raíz. = 4 1 (236) 4 3 Sandra debe solucionar la siguiente 5 14 2 {3 1 4 ? 3 2 [4 ? 2 2 7]} 1 (9 1 6 2 6 ? 3) 1 3 2 (6 2 8 4 2)
3 que recibió, él agregó $ 520 para pagarle a su hermana Claudia una deuda.
Para responder la pregunta, se realiza el siguiente procedimiento.
va a. Radio:del2,5 cm;2.Se
altura: 1,2 dm
¿Cuánto dinero le debía Pedro a Claudia?
Enlaces a sitios Sisignoun1,paréntesis
Luego, se calculan los productos y cocientes como se muestra a continuación. Solución:
precedido realiza la potencia y la división. = 64 1 (212)
5 14 2 {3 1 12 2 [8 2 7]}1 (9 1 6 2 18) 1 3 2 (6 2 4) Para responder la pregunta, se realiza el siguiente procedimiento. 6 250 1 350 Dinero que recibe Pedro de sus
c. ¿Cuánto mide su área total?
(32 1 6 2 6 ? 3) 1 3 2 (6 2 23 4 2).
se suprimirá manteniendo el Como no sabe cómo empezar, le
pide ayuda a su amigo Luis.
Finalmente, se calculan las sumas y diferencias; primero las que están dentro de los
paréntesis y después las que se obtienen de izquierda a derecha.
6 250 1 350 Dinero que recibe Pedro de sus
web que amplían signo b. contenga.
Diámetro: 4,8 cm; altura: 0,8 dm
3.Se calcula la suma. = 52 (6 250 1 350) 4 2 Mitad del dinero que recibió
de los términos que • ¿Qué le responde Luis a Sandra? 5 14 2 {15 2 1} 1 (23) 1 3 2 2
(6 250 1 350) 4 2 Mitad del dinero que recibió
[(6 250 1 350) 4 2] 1 520
Si un paréntesis va precedido del Ejemplo 2
Para efectuar operaciones combinadas con potencias y raíces, se sigue este [(6 250 1 350) 4 2] 1 520 Pedro agregó $ 520 a la mitad Pedro agregó $ 520 a la mitad
11 Una empresa de atún empaca doce latas por caja.
del dinero que recibió. del dinero que recibió.
signo −, al suprimir el paréntesis hay
5 Halla las áreas que Parase indican.
• Se resuelven las operaciones que estén dentro de los signos de agrupación. Si hay El valor de la expresión anterior se halla como sigue.
Área de secilindros y conos
varios, unos dentro de otros, se empieza por los internos. El valor de la expresión anterior se halla como sigue.
que cambiar el signo a todos los solucionar la operación = 300 2 [ 1 (23) ] 1 12 4 2 , • Se efectúan las potencias y raíces. [(6 250 12350) 4 2] 1 5202 5 [6 600 4
4 2] 1 520
Las dimensiones de cada lata y la disposición en la • Se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 5 3 300 1 520 [(6 250 1 350) 4 2] 1 520 5 [6 600 4 2] 1 520
aplica la jerarquía de las operaciones.
• Se calculan las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
términos que contenga. 5 3 820
5 3 300 1 520
a. Área total de 1.Se
un efectúa
cilindro recto de 8 cm de=altura
la raíz yActividades
las potencias. resueltas
300 2 [11 1 9] 1 144 4 16 que se vende el producto a los supermercados se
Al resolver la operación [(22)2]3 1 (236) 4 ], se verifica el orden mencionado.
Por lo tanto, Pedro le debía a su hermana $ 3 820.
un diámetro de2.Sela baseelde 5 cm. destrezas
Ten en cuenta Desarrolla tus destrezas Por lo tanto, Pedro le debía a su hermana $ 3 820.
1. Se resuelve la potencia y la raíz. = 43 1 (236) 4 3
Ejercitación Resolución de problemas
resuelve corchete y la división.
Resolución de problemas = 300 2 20 1 9 Si un paréntesis va precedido del
signo 1, se suprimirá manteniendo el
2. Se realiza la potencia y la división.
3. Se calcula la suma.
= 64 1 (212)
2 Resuelve las siguientes operaciones. 5 Laura y Lina han resuelto cada una la siguiente expre-
sión: 5 1 3 ? 4 1 10 2 2 ? 3. ¿Cuál de las dos la ha
signo de los términos que contenga. a. 2{2[(28 4 7) ? (44 4 4)]}
resuelto correctamente? Desarrolla tus destrezas
Si un paréntesis va precedido del b. (27 1 4)4 4 32 2 ? (22)
uncalcula
b. Área total de3.Se conola diferencia y la suma. = 289
recto 1 de La 2 dmdedeuna
altura altura y con
lata es de 10 cm y el diámetro de su base, 7 cm. Salvo las
que cambiar el signo a todos los
términos que contenga.
Para solucionar la operación
se aplica la jerarquía de las operaciones.
= 300 2 [ 1 (23)2] 1 122 4 24, c. 9 1 3 ? {32 4 8 1 4 ? [2 ? (4 4 4 1 1)]} 2 2
d. 25 2 {[(23)3 4 ] 2 12 4 (22)2} 1
5 1 3 ? 4 1 10 2 2 ? 3
8 ? 4 1 10 2 2 ? 3
32 1 10 2 2 ? 3
521 12Resuelve
1 10 2 6 las siguientes operaciones.
17 1 10 2 6
5 Laura y Lina han resuelto cada una la siguiente expre-
bases, la lata está recubierta de un papel en el que figuran la marca co-
1. Se efectúa la raíz y las potencias. = 300 2 [11 1 9] 1 144 4 16 e. [(214 2 4) 4 2 1 (213 2 3) 4 4] 1 9 ? 6 4 18
un diámetro de la base de 1 dm.
27a.22{2[(28 4 7) ? (44 4 4)]}
Ejemplo 3 7 cm 42 2 2 ? 3 6
resuelto correctamente?
por destrezas para
2. Se resuelve el corchete y la división. = 300 2 20 1 9 f. (28 1 3) ? 4 2 35 4 (23 22) 1 8 ? 6 4 4
40 ? 3 21
3. Se calcula la diferencia y la suma. = 289 3 Determina el punto de fusión de los siguientes ele- 120 b. (27 1 4) 4 3 2
Observa cómo se resuelve y otra
Ejemplo 3 general. ¿Qué superficie de papel, en metros mentos químicos (medidas dadas en grados Celcius.
a. Hierro: (2 ? 103) 2 462
6 Amanda recibe cierta cantidad de dinero, que se tripli-
c. 9 1 3 ? {32 4 8 1 4 ? [2 ? (4 4 4 1 1)]} 2 2
TECNOLOGÍAS d. 25 2 {[(23) 4 ] 2 12 4 (22) } 1 ca con respecto a la cantidad recibida el día anterior. 3 2
8 ? 4 1 10 2 2 ? 3 5 1 12 1 10 2 6
aplicar los contenidos
Observa cómo se resuelve la siguiente operación.
2 ? (3cuadrados,
2 5)3 1 [12 ? se necesitará para2 recubrir 1 000 latas? b. Calcio: (9 ? 102 2 13) 2 (9 ? 5)
de la comunicación 2 ? (3 2 5)3 1 [12 ? 4 6 ? (22)2
4 6 ? (22)2 2 12] e. [(214 2 4) 4 2 1 (213 2 3) 4 4] 1 9 ? 6 4 18 c. Cobre: 103 1 (10 ? 9) 2 7
Si el primer día Amanda recibe $ 10, ¿cuánto dinero
recibirá al cabo de cinco días?
32 1 10 2 2 ? 3 17 1 10 2 6
Razonamiento http://escuela2punto0.educarex.es/
5 2 ? (22)3 1 [12 ?
2? (28)
?1 [36(22) 1 [12 ?
4 6 ? 4 2 12]
d. Azufre: (2 ? 100) 2 92 1 (24)
e. Oro: 103 1 ( 9 ? 8) 2 8
7 Andrea desea comprar un libro. Ella tienef.$ 12,
(28 su 1
le duplicó esta cantidad, pero ella gastó $ 2 con sus 3,5 cm
3) ? 4 2 35 4 (23 22) 1 8 ? 6 4 4
42 2 2 ? 3
1 [12 ? 3 436 ? 4 2 12]
Matematicas/Matematicas-ESO-
555 2216 Solución:
amigas. Luego, recibió la mitad de lo que tenía en ese
3 Determina el punto de fusión de los siguientes ele- 120
http://escuela2punto0.educarex.es/ Extremadura/Numeros_enteros._ 4 6 ? 4 2 12] Razonamiento
momento su mamá. Si la mamá tenía en ese instante
6 Lee y responde.
Jerarquia_de_las_operaciones
Refuerza el tema de jerarquía 5 216 1 [6 ? 4 2 12] 4 Identifica el error de la operación y corrígela. $ 8, ¿cuánto dinero tiene Andrea para el mentos
libro? químicos (medidas dadas en grados Celcius.
Matematicas/Matematicas-ESO- 2 ?1 [24(28)
55 216 2 12] 1 [12 ? 3 4 6 ? 4 2 12] 6 Amanda recibe cierta cantidad de dinero, que se tripli-
Alateral 5 2 ? p ? r ? h 5 2F1 ? 3,14 ? 3,5 cm ? 10 cm 5 219,8 cm2 b.a. F6
3 ? 9 2 5 1 48 ? 3 2 8 1 6 ? 2 8 Un autobús hace tres paradas: en la primera se suben
APPLICA © EDICIONES SM
Hierro: (2 ? 10 ) 2 462 de las operaciones. 3
5 27 2 5 1 144 2 8 1 6 ? 2 ca con respecto a la cantidad recibida el día anterior.
trece personas, en la segunda se bajan siete y se suben
5 216 1 12
Calcio: (9 ? 10 2 13) 2 (9 ? 5) 5 27 2 5 1 144 2 2 ? 2 2
Extremadura/Numeros_enteros._ 55 24216 1 [36 4 6 ? 4 2 12] 5 27 2 5 1 144 2 4 5162
nueve, y en la tercera se suben cinco pasajeros. ¿Cuán-
tos pasajeros quedan después de la tercera parada?
Al girar el rectángulo de la FiguraPara
1 000 latas:del lado
219,8 AB 5 219 800 cm2
? 1 000 c. Cobre: 10 1 (10 ? 9) 2 7 3
Jerarquia_de_las_operaciones 3,5 cm d. Azufre: (2 ? 100) 2 9 1 (24)
56 57 2
7 Andrea desea comprar un libro. Ella tiene $ 12, su papá
Refuerza el tema de jerarquía 5 216 1 [6 ? 4 2 12] e. Oro: 10 1 ( 9 ? 8) 2 8 3 le duplicó esta cantidad, pero ella gastó $ 2 con sus
Se necesitandel
se obtiene un cilindro. Si se gira alrededor aproximadamente
lado AD se 22 m de papel para cubrir lasRazonamiento
1 000 latas. amigas. Luego, recibió la mitad de lo que tenía en ese
de las operaciones. 5 216 1 [24 2 12] 4 Identifica el error de la operación y corrígela.
$ 8, ¿cuánto dinero tiene Andrea para el libro?
obtiene otro cilindro. ¿Tienen5la misma
1 12 área?
Ejercitación 3 ? 9 2 5 1 48 ? 3 2 8 1 6 ? 2 8 Un autobús hace tres paradas: en la primera se suben
Las actividades también
5 27 2 5 1 144 2 8 1 6 ? 2 trece personas, en la segunda se bajan siete y se suben
2 24Calcula el área total del tronco de cono representado en la Figura 6. 5 27 2 5 1 144 2 2 ? 2 nueve, y en la tercera se suben cinco pasajeros. ¿Cuán-
calculando ambas
5 áreas. 5 27 2 5 1 144 2 4 5162 tos pasajeros quedan después de la tercera parada?
Solución: 57
están clasificadas por
Atotal 5 p ? (r1 1 r2) ? g 1 p ? r 1 1 p ? r 2 2 2
Atotal 5 3,14 ? (5 cm 1 3 cm) ? 10 cm 1 3,14 ? (5 cm)2 1 3,14 ? (3 cm)2
Figura 9 nivelde de
Bloque complejidad.
Atotal 5 251,2 cm2 1 78,5 cm2 1Destreza con criterios
28,26 cm2 5de357,96
desempeño: 2 Construir conos y cilindros a partir de patrones en dos dimensiones (redes) para calcular el área lateral y total de
cm conos y cilindros.
15 Figura 6
Destreza con criterios de desempeño: Construir conos y cilindros a partir de patrones en dos dimensiones (redes) para calcular el área lateral y total de
Área de cilindros y conos a. ¿Cuáles tusson las dimensiones de la caja? Intermedio
Actividades resueltas Desarrolla tus destrezas
3 Dibujab. Sidese quiere etiquetar latienesuperficie lateral de las latas
1 La altura de una lata es de 10 cm y el diámetro de su base, 7 cm. Salvo las
Figura 7 superficie de papel, en metros D bases, la lata está recubierta de un papel en el que figuran la marca co- Ejercitación un cilindro 4 cm de diámetro y 6 cm de altura. 10 Un envase forma de cilindro circular recto. El área
de cada base es de 1 225 cm y su altura es de 12 cm. 2
Halla el área total de un tronco de conomercial
conCy otrasela calculadora
para recubrir 1 000 latas?científica
general. ¿Qué Luego, calcula su área total.
3 4Dibuja un de atún,
cilindro cuyasde¿cuánto
4 cm papel
son: de diámetro yse6 cm necesitade altura.para10
tresUncajas deltiene forma de cilindro circular recto. El área
cuadrados, necesitará
Calcula el área de los cilindros dimensiones
a. ¿Cuánto mide el diámetro de la base?
a. Radio: 2,5 cm; altura: 1,2 dm
En tu calculadora
Ejercitaciónpuedes obtener el área de un cilindro, de un cono o de un tronco Luego, b. Diámetro: producto?
4,8 cm; altura:su área total.
0,8 dm
Alateral 5 2 ? p ? r ? h 5 2F1
c. ¿Cuánto mide su área total? de cada base es de 1225 cm2 y su altura es de 12 cm.
? 3,14 ? 3,5 cm ? 10 cm 5 219,8 cm2 F6
Para 1 000 latas: 219,8 ? 1 000 5 219 800 cm2
de cono de manera más aproximada, ya que se tienen en cuenta más cifras decimales 5 Halla las áreas que se indican. 11 Una empresa de atún empaca doce latas por caja.
Se necesitan aproximadamente 22 m2 de papel para cubrir las 1 000 latas.
Las dimensiones de cada lata y la disposición en la
7 Calcula el área total de los
del número p. En la mayoría de las calculadoras conos cuyas
sedel tronco
utilizade conola dimensiones se
teclaen la Figura combinada 4
con Calcula el área de los cilindros
a. Área total de un cilindro recto de 8 cm de altura y con
que sedimensiones
vende el producto a losson:
Ejercitación supermercados se
un diámetro de la base de 5 cm.
Eltotalradio
12b. Área de un cono rectode de 2 dm un
de altura ycono
1,2condm mide 2,5 cm y la generatriz, 7 cm.
2 Calcula el área total representado 6. muestra en la Figura 9.
una tecla enpresentan a continuación.
la que se identifica el númeroA 5p; p ? (rpara
1 r ) ? g 1esta
p ? r 1 calculadora
p?r es la tecla . a. Radio:
un diámetro de 2,5 cm;
la base altura:
de 1 dm.
Calcula su área total. c. ¿Cuánto mide su área total?
desafiantes encontrarás
área total de un tronco de cono 6b.LeeDiámetro: 4,8 cm; altura: 0,8 dm Razonamiento 3,5 cm
• Observa a. el procedimiento
Radio: 2,5 cm;para calcular el dm
generatriz: 1,2
A 5 251,2 cm 1 78,5 cm 1 28,26 cm 5 357,96 cm y responde. total
5 cm Figura 6
Al girar el rectángulo de la Figura 7 alrededor del lado AB
11 Una empresa de atún empaca doce latas por caja. 3,5 cm
empleando la fórmula
es 4 cm, lab.generatriz
Diámetro: es
correspondiente, si se sabe que el radio de la base superior
12 24 cm cm; y elaltura
radio 1,6
de la dmbase
Halla el área total de un tronco de cono con la calculadora científica
inferior es 6 cm.
13 las áreas que se indican.
se obtiene un cilindro. Si se gira alrededor del lado AD se
obtiene otro cilindro. ¿Tienen la misma área?
Compruébalo calculando ambas áreas.
de un cono mide 12 cm y suLasaltura es de cada lata y la disposición en la
dimensiones el ícono PAI (Proyecto
de Activación de las
En tu calculadora puedes obtener el área de un cilindro, de un cono o de un tronco
de cono de manera más aproximada, ya que se tienen en cuenta más cifras decimales
de 8 cm. Calcula su área total. A que se vende el producto a los supermercados se
decalculadora es la teclaEn pantalla:
del número p. En la mayoría de las calculadoras se utiliza la tecla
Para hallar el área lateral
una tecla en delel número
la que se identifica tronco p; para esta
. un diámetro de la base de 5 cm. muestra en la Figura 9.
cono Construye
8 empleando • Observa elyprocedimiento
la fórmula determina para calcular el el área
área total total
de un tronco de cono del tronco de cono b. Área total de un cono recto de 2 dm de altura y con
Inteligencias). a. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
empleando la fórmula correspondiente, si se sabe que el radio de la base superior
14 La galleta de un cono de helado se cubre con una
b. Si se quiere etiquetar la superficie lateral de las latas
representado en la Figura 8.
es 4 cm, la generatriz es 12 cm y el radio de la base inferior es 6 cm.
p ? (r1 1 r2) ? gPara en π × 4 ²+ π × 6² D
hallar ellaárea calculadora, Ense
de atún, ¿cuánto papel se necesita para tres cajas del
lateral del tronco de pantalla: un diámetro de la base de 1 dm.
Ejercitación producto?
digita la secuencia:
cono empleando la fórmula
163.362818 servilleta como la de la Figura 10. Si el área de la servilleta
7 Calcula el área total de los conos cuyas dimensiones se
Presenta una herramienta p ? (r 1 r ) ? g en la calculadora, se π × 4 ² + π × 6² 12 El radio de un cono mide 2,5 cm y la generatriz, 7 cm.
1 2 presentan a continuación.
digita la secuencia: Calcula su área total.
1 63 .3 628 1 8
es 110 cm , ¿cuánto mide el radio?
a. Radio: 2,5 cm; generatriz: 1,2 dm
b. Diámetro: 24 cm; altura 1,6 dm 7 cm 13 El diámetro de un cono mide 12 cm y su altura es
informática que enriquece
Elige la aproximación que requieres y F1 F2 F3 F4 F5 F6
de 8 cm. Calcula su área total.
La calculadora registra:
suma los valores anteriores. Si quieres
sumar en la calculadora los valores
6 8Lee
Elige la aproximación que requieres yy responde.
Construye F1 el área
F2 total del
F4 F5 14 LaF6galleta de un cono de helado se cubre con una
aproximados a las centésimas, digita:
suma los valores anteriores. Si quieres servilleta como la de la Figura 10. Si el área de la servilleta 3 cm
Al girar el rectángulo de la Figura 7es alrededor del lado AB
el quehacer matemático π × (4+ 6)× 1 2
6 cm 110 cm , ¿cuánto mide el radio? 3,5 cm
3 7 6. 99 1 1 1 8 4
En la pantalla se observa:
se obtiene un cilindro. Si se gira alrededor del lado AD se 6 cm
mediante el uso de la Para hallar el área de las bases del tronco
de cono empleando la fórmula
p ? r12 1 p ? r22, se digita:
1 6 3 . 3 6 + 3 7 6 . 9 9 aproximados a las centésimas, digita:
5 40 .3 5
obtiene otro cilindro. ¿Tienen la misma área? 5 cm Figura 8
π×(4+ 6)×1 2
Por consiguiente, el área total del
tronco de cono es 540,35 cm2.
Figura 8 9 Los radios de las bases de un tronco de cono miden
5 cm y 2 cm, respectivamente, y su altura mide 4 cm.
de cono. 2 cm B Figura 10
3 7 6.99 1 1 1 8 4
Calcula el área total del tronco A
190190 191 Figura 9
Resolución de problemas En la pantalla se observa:
Para hallar el área de las bases del tronco
9 Los radios de las bases de un tronco1 6 de 3.36cono miden
+ 3 7 6 .9 9 a. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
p ? r12 5
p ? yr222, se
cm, respectivamente, y su altura mide 4 cm.
digita: b. Si se quiere etiquetar la superficie lateral de las latas
Los temas siguen una ruta didáctica clara y secuencial que empieza con un texto
540.35 Figura 7
Figura 10 de atún, ¿cuánto papel se necesita para tres cajas del
Calcula el área total del tronco de cono. Ejercitación producto?
(Explora) para captar tu atención e interés. Continúa con el desarrollo Por consiguiente,del tema,
el área total del
12 El radio de un191
apoyado por ejemplos y actividades resueltas. Al finalizar cadatronco de cono es 540,35 cm .
cono mide 2,5 cm y la generatriz, 7 cm.
tema podrás presentan a continuación.
Calcula su área total.
a. Radio: 2,5 cm; generatriz: 1,2 dm Pensamiento espacial
encontrar variados ejercicios en190 Desarrolla tus destrezas. Estrategia que desarrolla habilidades
13 El diámetro de un cono mide 12 cm y su altura es
b. Diámetro: 24 cm; altura 1,6 dm
Cuadriláteros para hacer cálculos
8 Construye y determina el área total del tronco de cono
sencillos, que
representado en la Figura 8. ser empleadas engalleta
14 La cálculos
de un cono de helado se cubre con una
servilletaPensamiento numérico
como la de la Figura 10. Si el área de la servilleta 3 cm
De acuerdo con su definición, un polígono está formado por segmentos que no se
intersecan más que en los extremos y, si dos de ellos tienen un extremo común, no
es 110decm los paralelogramos
, ¿cuánto mide el radio? 2
con su definición, un polígono está formado por segmentos que no se
Un cuadrilátero es un polígono de 2.2 Propiedades de los paralelogramos
son colineales. 6 cm 1. La diagonal de un paralelogramo de-
más que en los extremos y, si dos de ellos tienen un extremo común, no
cuatro lados. Contenido
En este caso, la Figura 5.26 está formada por cuatro segmentos, pero AD yQBC se
2 2 fine dos triángulos congruentes. En la
es. Explora B
1.intersecan de un
en el punto paralelogramo
P, que no corresponde ade-
ninguno de los extremos de estos 5 cm Figura 8
Figura 5.28, la diagonal QN del parale- 11 cm
2 2 fine dosPor
segmentos. triángulos congruentes.
lo tanto, la figura Encuadrilátero.
ABCD no es un la logramo NMQP determina:
o, la Figura 5.26 está formada por cuatro segmentos, pero ADinicial
yA BC se Actividad resuelta Figura 5.28
2 Resolución de problemas MQN > PQN
ResoluciónFigura 5.28, laesdiagonal de del
QN parale-
en el punto P, que no corresponde a ninguno de quelosse
extremos de estos
sitúa en Undecuadrilátero
problemas un polígono cuatro lados. En este se identifican pares de
9 Los radios de las bases de un tronco de cono miden Cálculo mental Bloque de Geometría y Medida
logramo NMQP (que determina:
no tienen puntos en común) y pares de lados consecutivos
109 Para
Por lo tanto, la figura ABCD no es un cuadrilátero. cocinar
Cuadriláteros una torta, María utilizará los ingredientes 5 cm y 2que se mencionan
cm, respectivamente, abajo.
y su altura mide 2.
Destreza con criterios de desempeño: Clasificar cuadriláteros según sus lados y ángulos.
un contexto Los lados opuestos de un paralelogra- Pensamiento numérico
(que tienen unconpunto
De acuerdo su definición, unen común,
polígono está formadoel vértice).
por segmentos que no se 9.2 Propiedades de los paralelogramos Figura 5.28 Denominador 9, 99, 999, 9 999... Figura 10
¿Cuál bolsa MQN
contiene>cada ingrediente?
M Calcula el área total del tronco deNcono. mo son congruentes. En la Figura 5.29
Ten en191cuenta
PQN
lados. En este relacionado con de el C
son colineales.
ilátero es un polígono de cuatro
190 se identifican pares En un cuadrilátero dos
En este caso, la Figura 1 está ángulos
formada por cuatroson opuestos
1. La diagonal de un paralelogramo
pero AD y BC sesi solo comparten define dos vértices
dos triángulos congruentes. del cua-
Si el denominador
se observa que: de una fracción está Actividad resuelta
Resolución de problemas Cálculo mental
drilátero, 3ysegmentos. D4paralelogramo NMQP determina:
Un cuadrilátero es un polígono de En la Figura 3, la diagonal QN del 10 Para cocinar una torta, María utilizará los ingredientes que se mencionan abajo.
intersecan en el punto P, que no corresponde a ninguno de los extremos de estos
consecutivos si comparten un lado del cuadrilátero. C
Denominador 9, 99, 999, 9 999...
a. Harina: de kilo b. Sal: de kilo
¿Cuál bolsa contiene cada ingrediente?
compuesto2 por
2 nueves, el número
estos (que no tienen puntos en común) y parestema.
de lados consecutivos Por lo tanto, la figura ABCD no es un cuadrilátero. Si el denominador de una fracción está
•	¿Se puede afirmar que la figura
2 4lados B
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. En este se identifican pares de
10 MQN > PQN
AB > DC y AD > BC
3 de kilo
a. Harina: 2
1 de kilo
4 de kilo
b. Sal: 2
compuesto por nueves, el número
decimal correspondiente es periódico
Texto que activa
B Figura 5.29
2. Los lados opuestos de un paralelogra-
c. Mantequilla: 2
d. Azúcar: 2
D C y su periodo tiene tantas cifras como
n un punto en común, el vértice). opuestos (que no tienen puntos en común) y pares de lados consecutivos
ABCD es un cuadrilátero? Ejemplo 6 1
2. Los lados opuestos de un nueves hay en el denominador.
(que tienen un punto en común, el vértice).
mo de kilo
28 de la FiguraEn5.27laseFigura
En un cuadrilátero dos ángulos son opuestos si solo comparten dos vértices del
paralelogramo son0,125
En la Figura 4 se observa
Kilos que: 0,2
9 5 0, 2
999 5 0, 032
3. Los ángulos opuestos de un paralelo- S
y su periodo tiene tantas cifras como
Kilos Kilos Figura
cuadrilátero, y consecutivos si comparten un lado del cuadrilátero.
En el cuadrilátero identifican los siguientes elementos:
Figura •	Expresa como número decimal los nú-
rilátero dos ángulos son opuestos si solo comparten dos vértices del cua- previos o refuerza
AB > DC y AD > BC 12 y 225
se•	observa que: gramo son congruentes. En el paralelo-
C A B meros racionales 2
Figura 1 Solución: 99 999 .
Ejemplo 1 Se toma la fracción que indica la cantidad de cada ingrediente y se efectúa la
consecutivos si comparten un lado del cuadrilátero.
Los vértices (puntos P, Q, R y S).
• ¿Se puede afirmar que la figura
ABCD es un cuadrilátero?
En el cuadrilátero de la Figura 2 se identifican los siguientes elementos:
3. Los ángulos opuestos
división de unpara hallar su expresiónS decimal.
paralelogramo son 3congruentes.
Q3la4 4 5 0,75 kilos nueves
gramo hay
PSRQ de en el 5.30
la Figura denominador.
a. Harina: 2 de kilo 5
• Los vértices (puntos P, Q, R y S). En el paralelogramo4 PSRQ de
•	Los lados
( PQ ,2
QR , RS2 SP ). 2
• Los lados ( PQ , QR , RS y SP ).
Figura 5 se tiene 2
4 de kilo 5 4 410 5 0,4 kilos
b. Sal: que:
que: P R
AB > DC y AD > BC Figura 5.29
90° 120° 1 de kilo 5 1 4 8 5 0,125 kilos
Invita a descargar una 0,125
120° • Las diagonales ( PR y QS ). ]P > ]R y ]S >8 ]Q
90° Figura 5
facilitando el 5.30 Ten en cuenta
d. Azúcar: 2 de kilo 5 1 4 5 5 0,2 kilos Q
]P > ]R y ]S > ]Q
•	Las diagonales ( PR y QS ).
• Los lados opuestos ( PQ y RS , QR y PS ). Ten en cuenta Figura
4. Las diagonales la harina está en la última bolsa, la sal en la tercera,
un paralelogra- P la mantequilla en la
• Los pares de lados consecutivos 90° 60° primera y el azúcar en la segunda.
9 5 0, 2 999 5 0, 032
mo se intersecan en un punto Si las diagonales de un cuadrilátero se
app desde la Play Store
Ten en cuenta 2 2 2 2
( PQ y QR , RS y SP son S P
medio. En la Figura 6 se observa T menor bisecan y son perpendiculares entre sí,
Si las diagonales de un cuadrilátero se
Ten en cuenta •	Los lados opuestos
3. Los ángulos opuestosKilos ( PQ y RS , QR y PS ).
de un paralelo- 90° Kilos S
La suma de los ángulos internos de un algunos de ellos). que las Desarrolla
diagonales MQ
2 y2 PA se
tus competencias diagonal
entonces el cuadrilátero es un rombo.
drilátero de la Figura 5.27 se identifican los siguientes elementos: 2 Kilos Figura 2.4
cuadrilátero es 360°. • Los ángulos interiores del cuadrilátero (]P, ]Q, ]R y ]S); con 360° como la intersecan en T. De acuerdo con
Ejercitación A
MComunicación 4. Las diagonales de un paralelogramo se Q P bisecan y son perpendiculares entre sí,
•	Expresa como número
En la Fi-decimal los nú-
de un dispositivo móvil 60° suma de sus medidas. esta propiedad,
11 Escribeselatiene que:decimal correspondiente a cada uno
La suma de los ángulos internos de un •	Los pares
gramo sondecongruentes.
En el( PQparalelo- 60º 1 90º 1 90º 1 120º 5 360º 2 de los
AT > PT y MT > QT
2 racionales.
13 Relaciona cada fracción con su expresión decimal.
intersecan en un punto medio. diagonal entonces el cuadrilátero es un rombo.
2 2 y 2 son algunos de ellos). S P • Los ángulos opuestos (]S y ]Q) y los ángulos consecutivos (]S y ]P). 13
a. 2 13
25 menor
rtices (puntos P, Q, R y S). 12 y 2
gura 5.31 se observa que las diagonales T
y QR ,PSRQ
cuadrilátero es 360°. RS SP Figura 5.27 E F
R para profundizar sobre gramo de la Figura 5.30 se tiene El cuadrilátero PSRQ se simboliza hPSRQ.
meros racionales 2 99acuer- 999 .
5. Pares de ángulos
d. 2 2 8 consecutivos
e. 2 263
f. 2 8
12 7 9 b. 2 0,16
Q Solución:
un paralelogramo 5 son suplementa-
MQ y PA se intersecan en T. De
2 2 2 2 •	Los ángulos interiores del cuadrilátero (]P, ]Q, ]R y ]S);
P con 360° como la R
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. rios, es decir,g. la2suma
de sus medidas
c. 2 0,25
dos ( PQ , QR , RS y SP ).
es igual a 180º.j. 2En
2la Figura 7:k. 2
723 472 639
los temas vistos.120° mayor
D l. 2 G
do con esta propiedad, se tiene que:
100 100 1 000
Se tomasuma la fracción que indica la cantidad de cada ingrediente y se efectúa la
de sus medidas. Polígonos
Abre la aplicación Las figuras
9.1 Paralelogramos m]D 1 m]E 5 180º
m]E 112m]F 5si180º
Indica cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
Resolución de problemas A M
2 2 2Ten2
Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son paralelos. 14 Andrea, Natalia, Juan, Carlos y Fernanda desean ingresar
geo-métricas e identifica las
60º 1 90º 1 90º 1 120º 5 360º m]F 1 m]G 180º decimal de 2
> ]R y ]S > ]Q
a. La 5
gonales ( PR y QS ). división que]P
propiedades y elementos de los
polígonos. para hallar su expresión decimal. Los cuadriláteros de la Tabla 1 son paralelogramos. Figura 5.30 AT > PT y MT > QT
m]G 1 m]D 5 180º
150 es 1,5.
b. 23,45 es la expresión decimal de 22
a la “Casa encantada”, a la cual pueden ingresar personas
con al menos 1,60 metros de estatura. 2 2
100 . ( ) Decide cuáles de ellos pueden ingresar si sus estaturas
•	Los ángulosCuadrado
(]SRombo y ]Q) yRomboide los ángulos consecutivos Ejemplo 2 (]S y ]P).
32 son:
2 y 2 , 2 y 2 ).
100 es equivalente a 23,2. ( )
3 de metro, Natalia 2
Andrea 2 5 de metro, Juan 2
dos opuestos ( PQ RS QR PS
La Figura 8 muestra el paralelogramo PQSR con m]P = 120º. Como el ángulo Q 456 .
d. 45,6 es la expresión decimal de 2 ( ) 4 de metro y Fernanda 9 de metro.
a. Harina: de kilo 3 4 0,75 kilos
metro, Carlos 2
2 PSRQ 5 se simboliza
4 5hPSRQ. es suplementario con el ángulo P, entonces:
5. Pares de ángulos consecutivos de un para- E
10 3 P25 Q
4. Las diagonales
4Todos sus lados son de un paralelogramo se QEl ángulo S es el suplemento del ángulo Q;Ppor tanto:
m]Q 5 180º 2 120º 5 60º
lelogramo bisecan y son perpendiculares
son suplementarios, es decir, la entre sí, 120°
res de lados consecutivos ( PQ
Los4 cuadriláteros
Los ángulos y los
intersecan sus ángulos en un
tienen se punto
sonclasifican enmedio.
paralelogramos, En la Fi-
trapecios y trapezoides. diagonal suma de sus entonces el cuadrilátero es un rombo.
congruentes y todos Todos sus ángulos Todos sus lados lados opuestos son
b. Sal: 2 dela misma
kilo medida.5 4 410 5 0,4
rectos. son congruentes.
m]S 5 180º 2 60º 5 120º
medidas es igual a 180º. En la
2 y 2 son algunos de ellos). S
P 10 5.31 se observa que las diagonales
congruentes. Como los ángulos opuestos de un paralelogramo
T 5 m]Q 5 60º
son congruentes, se tiene que:
menor Figura 5.32: R S
m]R Tabla 1 Figura 8
Polígonos 1 de kilo 5 1 4 8 5 0,125 kilos
Las figuras geo- c. Mantequilla:
MQParalelogramos
PA se 2 diagonalm]D 1 m]E 5 180º
gulos interiores del cuadrilátero (]P, ]Q, ]R y ]S); con 360° Abre como la
la aplicación 8 intersecan en T. De acuer- Figura 5.32
métricas e identifica las propieda- mayor m]E 1 m]F 5 180º
de sus medidas. des y elementos de los polígonos.
d. Azúcar: 2 con1 esta
kilo es5un 1 4 se
5 cuyos
0,2 que:
kilos de lados opuestos son Aparalelos. M m]F 1 m]G 5 180º
5 Figura 5.31
60º 1 90º 1 90º 1 120º 5 360º Los cuadriláteros
2está de 2
5.4 son paralelogramos.
Así, la harina AT > en PT lay MTúltima> QT bolsa, la sal en la tercera, la mantequilla en la
gulos opuestos (]S y ]Q) y los ángulos consecutivos (]S y ]P). Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
primera y el azúcar en la segunda. Ejemplo 7
átero PSRQ se simboliza hPSRQ. 5. Pares de ángulos consecutivos de un para- E FLa Figura 5.33 muestra el paralelogramo PQSR con m]P = 120º. Como el ángulo Q
es suplementario con el ángulo P, entonces:
lelogramo son suplementarios, es decir, la 120°
láteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. m]Q 5 180º 2 120º 5 60º
Desarrolla sumatus de sus medidas es igual a 180º. En la
competencias El ángulo S es el suplemento del ángulo Q; por tanto:
Todos sus5.32:
lados son Los ángulos y los
congruentes y todos Todos sus ángulos Todos sus lados son lados opuestos son m]S 5 180º 2 60º 5 120º
Ejercitación respectivamente Comunicación
lelogramos sus ángulos tienen la son rectos.
m]D 1 m]E 5 180º
congruentes. D
Como los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes, se tiene que:
11 Escribe la expresión
m]E 1 m]F 5 180º
decimal correspondiente a cada uno 13 Relaciona cada fracción con su expresión decimal.
m]R 5 m]Q 5 60º
logramo es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son166 paralelos. de losm]F siguientes
1 m]G números
5 180ºracionales. 167
13 m]G 1 m]D b. 5 180º 13 5 1
teros de la Tabla 5.4 son paralelogramos. a. 2 5
c. 2 11 4
1 Números enteros 8-9 2 Números racionales 66-67
Bloque de Álgebra y Funciones Bloque de Álgebra y Funciones
1	Números relativos  10-11 1	Números racionales  68-69
1.1	Punto de referencia 1.1	Fracciones equivalentes y fracciones irreducibles
1.2	Números relativos 1.2	El conjunto de los números racionales
2	Números enteros  12-15 2	Expresión decimal de los números racionales  70-71
2.1	El conjunto de los números enteros 2.1	Números decimales exactos
2.2	Opuesto de un número entero 2.2	Números decimales periódicos
2.3	Números enteros en la recta numérica
3	Fracción correspondiente a una expresión decimal  72-75
3	Valor absoluto de un número entero  16-17 Fracción generatriz de una expresión decimal exacta
4	Orden en los números enteros  18-19 Fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura
5	Adición de números enteros 
Fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta
5.1	Adición de números enteros del mismo signo
5.2	Adición de números enteros de diferente signo 4	Números racionales en la recta numérica  76-77
5.3	Propiedades de la adición de números enteros 5	Relación de orden en los números racionales  78-79
5.4	Adición de varios números enteros
6	Adición de números racionales  80-83
6.1	Adición de números racionales en expresión fraccionaria
6	Sustracción de números enteros  24-25 6.2	Adición de números racionales en expresión decimal
7	Igualdades, ecuaciones e inecuaciones en Z  6.3	Propiedades de la adición de números racionales
7.1	Igualdades 7	Sustracción de números racionales  84-85
7.2	Propiedades de las igualdades Sustracción de números racionales en expresión fraccionaria
7.3	Ecuaciones Sustracción de números racionales en expresión decimal
7.4	Ecuaciones aditivas y multiplicativas 8	Multiplicación y división de números racionales  86-89
7.5	Inecuaciones Multiplicación de números racionales en expresión fraccionaria
8	Problemas con ecuaciones e inecuaciones 30-31 Multiplicación de números racionales en expresión decimal
9	Ecuaciones con estructura aditiva  32-33
División de números racionales en expresión fraccionaria
Practica más  34 8.5	División de números racionales en expresión decimal
Resolución de problemas  35 Practica más  90
10	Multiplicación de números enteros  36-39 Resolución de problemas  91
10.1	Regla de los signos
9	Ecuaciones con números racionales  92-93
10.2	Propiedades de la multiplicación de números enteros
10	Potenciación de números racionales  94-97
11	División exacta de números enteros  40-41
12	Ecuaciones con estructura multiplicativa  42-43 Propiedades de la potenciación de números racionales
13	Operaciones combinadas con números enteros  44-47 Potenciación de números racionales en expresión decimal
13.1	Operaciones sin paréntesis MatemaTICS
13.2	Operaciones con paréntesis
11	Radicación de números racionales  98-101
11.1	Raíz de un número racional
14	Potencias de base entera y exponente natural  48-51 11.2	Propiedades de la radicación de números racionales
14.1	Potencias de base un número entero negativo MatemaTICS
14.2	Operaciones con potencias de la misma base
12	Operaciones combinadas con números racionales  102-103
14.3	Operaciones con potencias del mismo exponente
15	Raíces cuadradas  52-55
15.1	Raíz cuadrada exacta
15.2	Raíz cuadrada entera
15.3	Producto de raíces cuadradas
15.4	Cociente de dos raíces cuadradas exactas
15.5	Potencia de una raíz cuadrada
16	Jerarquía de las operaciones con potencias y raíces 56-57
Prueba Ser Estudiante  104-105
Prueba Ser Estudiante  58-59
Construyendo la Cultura del Buen Vivir
La importancia de cuidar los recursos naturales 106-107
Conociendo qué son los recursos 60-61
Presenta tus ideas en PowerPoint 108-109
Diseña un folleto en Canva 62-63
Evaluación de la Unidad  110-111
Evaluación de la Unidad  64-65
3 Cuerpos geométricos
y figuras planas	 112-113 4 Semejanza y Medición 144-145
Bloque de Geometría y Medida Bloque de Geometría y Medida
1	Figuras congruentes y figuras semejantes  146-147
1	Poliedros  114-115
1.1	Figuras congruentes
2	Primas  1.2	Figuras semejantes
3	Pirámides  118-119 2	Teorema de Tales  148-149
3.1	Clasificación de las pirámides
3	Criterios de semejanza de triángulos  150-151
3.2	Troncos de pirámides
4	Construcción de polígonos semejantes  152-153
4	Poliedros regulares  120-121 4.1	Razón de semejanza de figuras y áreas
Practica más  122 MatemaTICS
Resolución de problemas  123 5	Líneas de simetría en figuras geométricas  154-155
6	Homotecias  156-157
5	Cuerpos redondos  124-127
5.1	Cilindros 7	Perímetro de figuras planas  158-159
5.2	Conos
8	Unidades de superficie  160-161
5.3	Troncos de cono
8.1	Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado
5.4	Esferas
8.2	Conversión de unidades de superficie
5.5	Casquetes esféricos
9	Área de figuras planas  162-163
6	Polígonos  128-131
10	Teorema de Pitágoras  164-165
6.1	Elementos de un polígono
6.2	Clasificación de polígonos según su forma 11	Área de polígonos regulares  166-167
6.3	Clasificación de polígonos según su número de lados
Practica más  168
7	Cuadriláteros 132-135 Resolución de problemas  169
7.1	Paralelogramos
7.2	Propiedades de los paralelogramos
12	Longitudes y áreas de figuras circulares  170-173
7.3	Trapecios 12.1	Longitud de la circunferencia
7.4	Trapezoides 12.2	Longitud de un arco de circunferencia
12.3	Área de figuras circulares
13	Área de prismas y pirámides  174-177
13.1	Área de prismas regulares
13.2	Área de pirámides regulares
13.3	Área del tronco de una pirámide regular
14	Área de cilindros y conos  178-181
14.1	Área del cilindro
14.2	Área del cono
14.3	Área del tronco de cono
Prueba Ser Estudiante  136-137 Prueba Ser Estudiante  182-183
Construyendo la Cultura del Buen Vivir Construyendo la Cultura del Buen Vivir
El valor del dinero: ¿Es un medio o un fin? 138-139 Conoce los efectos de la transformación de los ecosistemas  184-185
Explica tus ideas con emaze 140-141 Crea tu propio blog 186-187
Evaluación de la Unidad  142-143 Evaluación de la Unidad  188-189
5 Estadística y probabilidad 190-191 6 Leyes de la lógica y funciones  232-233
Bloque de Estadística y Probabilidad Bloques de Geometría y Medida - Álgebra y Funciones
1	Variables, datos y frecuencias  192-195 1	Proposiciones  234-235
1.1	Proposiciones simples
2	Datos agrupados  196-199 1.2	Negación de proposiciones simples
3	Gráficas estadísticas  200-203 2	Proposiciones compuestas  236-240
3.1	Gráficas estadísticas para datos no agrupados 2.1	Conjunción
3.2	Gráficas estadísticas para datos agrupados 2.2	Disyunción
MatemaTICS 2.3	Implicación
2.4	Equivalencia
4	Media aritmética  204-207 2.5	Tautología, contingencia y contradicción
4.1	Media ponderada
3	Números y letras  241-242
4.2	Media aritmética de datos agrupados
3.1	Lenguaje algebraico
3.2	Uso de letras para expresar relaciones
5	Moda y mediana  208-209
4	Expresiones algebraicas  243-244
5.1	Moda y clase modal
4.1	Valor numérico de una expresión algebraica
5.2	Mediana y clase mediana
5	Sistema de coordenadas cartesianas  245-248
6	Medidas de dispersión  210-213
5.1	Parejas ordenadas con números enteros
6.1	Rango
5.2	Parejas ordenadas con números racionales
6.2	Desviación media
6.3	Varianza y desviación típica 6	Funciones  249-253
6.1	Relaciones
Practica más  214
6.2	Fórmulas, tablas y gráficas
Resolución de problemas  215 6.3	Concepto de función
6.4	Representación gráfica de funciones
7	Experimentos aleatorios. Sucesos  216-219
7.1	Experimentos aleatorios
7.2	Espacio muestral
7	Funciones de proporcionalidad directa  254-255
7.3	Sucesos aleatorios
7.4	Tipos de sucesos
Practica más  256
7.5	Sucesos compatibles, incompatibles y contrarios Resolución de problemas  257
7.6	Sucesos equiprobables
8	Funciones de proporcionalidad inversa  258-259
8	Probabilidad  220-223
8.1	Asignación de probabilidades. Regla de Laplace
8.2	Escala de probabilidades
8.3	Propiedades de la probabilidad
Prueba Ser Estudiante  260-261
Los beneficios de organizar un presupuesto  262-263
Usa una animación para comunicar tus ideas 264-265
Evaluación de la Unidad  266-267
Análisis de prejuicios sobre las diferencias  268-271
Prueba Ser Estudiante  224-225 Evaluación Final  272-279
Los recursos y el futuro  226-227 Elabora un vitral con las piezas de un tangram  280-281
Habilidades digitales Glosario  282-283
Elabora un documento en Google Drive y edítalo en grupo 228-229
Evaluación de la Unidad  230-231
Existen evidencias que revelan que los chinos y los hindúes empezaron a utilizar los números nega-
tivos desde el siglo V para representar deudas; sin embargo, estos números no fueron admitidos en
Occidente sino hasta el siglo XVIII. En la actualidad, los números enteros son utilizados para medir
y Funciones la altitud, el tiempo y la temperatura, entre otros.
• ¿Por qué crees que los números enteros tardaron tantos años en ser aceptados universalmente?
Consiste en ayudar a alguien de manera espontánea, como una actitud permanente de
colaboración hacia los demás.
• ¿De qué manera han servido los números enteros al desarrollo de los sistemas financieros
Aprenderás... Recursos digitales
• Números enteros y sus operaciones
• Ecuaciones de estructura aditiva y
e promedio, los mares de la Tierra tienen 4 000 metros de
profundidad (el lugar más profundo, según lo que sabemos, es la
Fosa Mariana en el Pacífico, a 11 000 metros de profundidad). Todo
lo que se halla debajo de los 200 metros de la superficie es clasificado
como “mar profundo”, y en general sigue siendo un misterio. Hasta la
fecha apenas hemos explorado 10 kilómetros cuadrados de los 300
millones de kilómetros cuadrados de los lechos marinos del planeta.
Lo poco que hemos encontrado es fascinante. Para empezar, el lecho
de los océanos, igual que la Tierra, tiene planicies y fosas, cordilleras,
volcanes y gargantas. Las temperaturas pueden alcanzar extremos:
mientras por la mayoría los mares profundos son helados, en algunos
lugares las aguas están hirviendo. En estos respiraderos hidrotermales,
las grietas en el lecho del mar vomitan agua tóxica hirviente. Mas
pese al calor y a los sulfuros tóxicos, muchas criaturas –incluso
gusanos tubulares gigantes, almejas y microorganismos– viven en sus
El obstáculo principal para llegar a conocer más sobre los mares
profundos es la dificultad de llegar a estas profundidades, explica
Ron Douglas, de la Universidad de Cambridge y la City University de
Londres. Los humanos apenas podemos bucear entre 30 y 40 metros de
profundidad sin ayuda especializada. La presión aumenta 1 atmósfera
por cada 10 metros. Y la oscuridad es total: el sol solo penetra a
1 000 metros debajo de la superficie.
Revista Tunza. (consultado en Noviembre 2015)Misterios profundos.
Océanos y costas.Tomo 3, Nº4. pp 6.
Recuperado de http://www.ourplanet.com/tunza/issue0304sp/pdfs/06.pdf
1. ¿Cuáles han sido los obstáculos que le han impedido a la humanidad
explorar las profundidades marinas?
2. ¿Por qué crees que la humanidad ha invertido más esfuerzos en conocer
el espacio que el fondo del mar?
3. La cima del monte Everest se encuentra a 8 848 m de altura, mientras
que el abismo de Challenger se encuentra a 10 971 m de profundidad.
¿Se alcanzaría a sumergir por completo el monte Everest en este abismo?
4. ¿Qué métodos propondrías para facilitar la exploración de los grandes
abismos del océano?
1.1 Punto de referencia
La situación planteada se puede representar como en la Figura 1.
Casa de Camilo Parque Casa de Sara
Camilo y Sara viven sobre la misma
calle en la que se encuentra un
parque. La casa de Camilo está tres
cuadras antes del parque, y la de
Sara está tres cuadras después del
parque. del parque
Si se toma la ubicación del parque como punto de referencia, se puede afirmar
que las casas de Camilo y de Sara están en posiciones opuestas.
Al fijar un punto de referencia es posible determinar dos sentidos u
• ¿Cómo son las posiciones de las
casas de Camilo y Sara en relación
con la ubicación del parque? 1.2 Números relativos
Los números que indican una cantidad con respecto a un punto de referencia
se denominan números relativos.
Los números relativos se escriben acompañados por el signo más (+) o por el
signo menos (–). Se ha convenido utilizar el signo más para las cantidades que
expresan situaciones como “a la derecha de”, “encima de”, “sobre el nivel del mar”,
etc., y se utiliza el signo menos para las cantidades que se refieren a situaciones
como “antes de”, “a la izquierda de”, “bajo cero”, “bajo el nivel del mar”, entre otras.
Un punto de referencia determina Por lo tanto, para indicar que Camilo vive tres cuadras antes del parque se utiliza
dos sentidos. Se utiliza al establecer el número –3, y para indicar que Sara vive tres cuadras después del parque se
expresiones como: utiliza el número +3.
• Arriba de – abajo de Ejemplo 1
• Sobre el nivel – bajo el nivel
• Antes de – después de La ciudad de Esmeraldas fue fundada en 1526 por Bartolomé Ruiz, la ciudad
de el Tena fue fundada en 1560 por Gil Ramírez Dávalos y la ciudad de Quito
• Atrás de – adelante de
fue fundada en 1534 por Sebastián de Benalcázar. Si se toma como punto de
• A la izquierda de – a la derecha de referencia el año de fundación de Quito, ¿cuántos años antes fue fundada la
• Por debajo de – por encima de ciudad de Esmeraldas y cuántos años después el Tena?
• Menos que – más que
En la línea de tiempo de la Figura 2, en la que el año 1534 es el punto de
• Encima de – debajo de
referencia, se observa que la ciudad de Esmeraldas fue fundada 8 años antes
que Quito. Tal situación puede representarse con el número –8.
Esmeraldas Tena
1500 1520 1530 1540 1540 1550 1560 1570 1580 1590
El Tena fue fundada 26 años después que Quito, situación que se puede
representar con el número +26.
Los números –8 y +26 son números relativos.
Destreza con criterios de desempeño: Reconocer los elementos del conjunto de números enteros Z, ejemplificando situaciones reales en las que se utilizan
los números enteros negativos.
1	La Figura 3 representa la ubicación de un helicóptero y de un submarino
con respecto al nivel del mar. Si el helicóptero está a 30 m de altura y el
submarino está a 40 m de profundidad, ¿cuáles son los números relativos
que indican la cantidad de metros a los que se encuentra cada vehículo
En este caso, el punto de referencia es el nivel del mar; por lo tanto, la
posición “30 m de altura” se expresa mediante el número relativo +30 m,
mientras que la posición “40 m de profundidad” se escribe como –40 m.
Desarrolla tus destrezas
2	Observa la Figura 4 y escribe los números relativos 5	Expresa con números relativos cuántos años antes o
que expresan la altura de la montaña y la profundi- después del fin de la Segunda Guerra Mundial (1945)
dad de la fosa marina. ocurrieron estos acontecimientos.
a.	Fundación del Estado de Israel (1948)
b.	Primer hombre en la Luna (1969)
Montaña Figura 4
2000 m c.	Revolución de Octubre en Rusia (1917)
.	Guerra Civil Española (1936)
del agua e. Guerra Fría (1953)
Ejercitación 6	Escribe con números relativos cuántos años antes o
después ocurrió el nacimiento de cada uno de los
3	Escribe en la Tabla 1 el punto de referencia y el pintores que se muestran en la Tabla 2, tomando
número relativo correspondiente en cada caso. como punto de referencia el año de nacimiento de
Punto de Número Paul Cézanne.
referencia relativo
Hace seis años Jorge Pintor Fecha de nacimiento
estuvo en Grecia. Leonardo da Vinci 1452
de casarme tuve mi
primer hijo. Giotto di Bondone 1267
El avión vuela a 600 m Paul Cézanne 1839
de altura. Rembrandt van Rijn 1606
El buzo se encuentra a
Diego Velázquez 1599
25 m de profundidad.
4	Representa estas temperaturas con números Resolución de problemas
7	Marcela nació en el año 1994. Terminó la secundaria
a.	11 °C sobre cero	b.	23 °C bajo cero en el 2010 y su carrera universitaria en el 2015. Si se
c.	6 °C sobre cero	d.	72 °C sobre cero considera como punto de referencia el año en el que
terminó la secundaria, ¿cuáles son los números relati-
e.	42 °C bajo cero	f.	19 °C bajo cero vos que indican cuántos años antes nació y cuántos
g.	38 °C bajo cero	h.	7 °C sobre cero años después terminó su carrera universitaria?
2.1 El conjunto de los números enteros
En ocasiones no es suficiente el conjunto de los números naturales para
representar matemáticamente situaciones de la vida cotidiana. Por esta razón,
los matemáticos de la antigüedad consideraron necesario ampliar este conjunto
Santiago realizó los siguientes y comenzar a utilizar los números negativos.
movimientos en su cuenta bancaria:
Esta decisión dio origen al conjunto de los números enteros (Z), el cual incluye
el lunes consignó $ 300, el martes
los enteros negativos (Z2), los enteros positivos (Z1) y el 0.
retiró $ 120, el miércoles retiró $ 95
y el jueves consignó $ 80. Los números enteros negativos van precedidos por el signo menos (2).
Z2 5 h…24, 23, 22, 21j
Los números enteros positivos van precedidos por el signo más (1).
Z1 5 h11, 12, 13, 14…j
Así, los números enteros permiten diferenciar la manera en que se registran
algunas situaciones como: deudas y haberes, temperaturas sobre cero y
•	Representa matemáticamente temperaturas bajo cero, alturas sobre el nivel del mar y profundidades, entre
estos movimientos bancarios. otras.
En el caso de los movimientos bancarios, se acostumbra a representar las
consignaciones precedidas con el signo más y los retiros con el signo menos.
Por lo tanto, los movimientos en la cuenta bancaria de Santiago se pueden
representar como se muestra en la Tabla 1.
Movimientos Lunes Martes Miércoles Jueves
Consignación 1$ 300 1$ 80
Retiro 2$ 120 2$ 95
El conjunto de los números enteros está formado por los enteros negativos,
•	El 0 es el único número entero que los enteros positivos y el 0.
no tiene signo: no es positivo ni Z 5 Z2 < Z1 < h0j
Z 5 h…24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14…j
•	Los números enteros positivos
coinciden con los números
naturales; por eso, es común que al Ejemplo 1
escribir un número entero positivo Al tomar 0 ºC como punto de referencia (temperatura nula), se puede
se omita el signo más (1). representar una temperatura de 13 ºC bajo cero con el número entero
negativo 213 ºC y una temperatura extrema de 38 ºC como 138 ºC.
Para expresar la fecha de ocurrencia de diferentes acontecimientos, se ha
convenido tomar como referencia o punto 0 el año de nacimiento de Cristo.
Por esta razón, las fechas anteriores al nacimiento de Cristo se escriben
precedidas por el signo menos (2) y, las posteriores, con el signo más (1).
Por ejemplo, el suceso “Euclides, geómetra griego, nació en el año 306 a. C. y
murió en el año 283 a. C.” se puede expresar así: “Euclides, geómetra griego,
nació en el año 2306 y murió en el año 2283”.
En las tablas 2 y 3 se registró la altura y la profundidad (respectivamente) de
algunos lugares del mundo. En ambos casos se emplearon números enteros.
Picos más altos del
Altura profundos del Profundidad
Dhaulagiri (Nepal) 18 167 m Pozo de Kola (Rusia) 213 km
Perforación sub-
18 156 m marina (Nueva 22 km
Mina del Cañón de
18 125 m Bingham (Estados 21,2 km
Cueva de Vrtoglavi-
Annapurna (Nepal) 18 091 m 2603 m
ca (Eslovenia)
Tabla 2 Tabla 3 Pico Annapurna (Nepal): 8 091 m de altura
2.2 Opuesto de un número entero
Cada elemento del conjunto de los enteros positivos tiene un opuesto en
el conjunto de los enteros negativos, y viceversa. El opuesto de un número
entero a se simboliza como 2a.
23 110 18 26 Ten en cuenta
es el opuesto de es el opuesto de es el opuesto de es el opuesto de El siguiente mapa conceptual representa
la relación que existe entre los números
enteros y los números naturales.
13 210 28 16
Ejemplo 5 enteros
Las expresiones 2(29) y 2[2(27)] son respectivamente equivalentes a 19
y 27, porque el opuesto de 29 es 19 y el opuesto de 2(27) es 27. Conjunto formado por
2.3 Números enteros en la recta numérica Números Números
Los números enteros se pueden representar en la recta numérica como sigue. negativos naturales
1. Sobre una recta horizontal se marca un punto que represente el 0.
que son a su vez
2. Se fija la distancia del 0 al 1. Esta medida se toma como unidad y se traslada formado por
a la derecha y a la izquierda del 0 tantas veces como sea necesario (Figura 1).
2`,...,24,23, El cero Números
22,21 positivos
Figura 1 que son
3. Se sitúan a la derecha del 0 los números enteros positivos y a la izquierda los
números enteros negativos (Figura 2).
1, 2, 3, 4,..., `
28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Números enteros negativos (Z2) Números enteros positivos (Z1)
Ten en cuenta En la recta de la Figura 3 se marcaron los números enteros 8, 24, 29, 5, 21
y 0. Observa.
El cero (0) tardó mucho tiempo
en utilizarse. En la mayoría de los 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
sistemas numéricos antiguos no existía
este número. Se cree que fueron los Ejemplo 7
hindúes los que lo utilizaron por En la Figura 4 se ubicaron los números enteros comprendidos entre 27 y 5.
primera vez hacia el año 650 d. C.
27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5
En la representación de la recta numérica se observa que dos números
enteros opuestos están a la misma distancia de 0, pero en lados contrarios.
Por ejemplo, en la Figura 5 se representan los números opuestos24 y 4 .
24 23 22 21 0 1 2 3 4 Figura 5
Se observa que la distancia entre 24 y 0 es la misma que entre 0 y 4: 4 unidades.
1	Determina el valor de verdad de cada afirmación. Justifica tu respuesta.
a	.	El conjunto de los números naturales está contenido en el de los
.	El 0 es un número entero positivo.
c	.	Z , Z2
.	2[2(210)] 5 210
El valor de verdad de cada afirmación es:
a	.	Verdadero. Todo número natural es entero positivo.
.	Falso. El 0 es el único número entero que no es positivo ni negativo.
c	.	Falso. El conjunto Z2 está contenido en el conjunto Z.
.	Verdadero. El opuesto de [2(210)] es 210.
2	Escribe un número entero que exprese la cantidad 3	Explica el significado de los números enteros utilizados
mencionada en cada caso. en las siguientes expresiones.
a.	La cima de la montaña está a 568 m de altura. a.	La temperatura mínima registrada hoy fue de 23 ºC.
b.	Pitágoras nació en el siglo VI a. C. b.	El buzo se encuentra a 250 m.
c.	El alpinista está a 1600 m.
c.	El submarino está a 120 m de profundidad.
d.	El ascensor quedó detenido en el piso 22.
d.	La temperatura de la ciudad es de 5 ºC bajo cero.
e.	La Edad Media comenzó aproximadamente hacia el
e.	Pablo consignó $ 500 en su cuenta de ahorros. año 1476.
f.	Sofía debe $ 350 al banco. f. El estado de cuenta es de $ 700.
4	Escribe [ o Ó, según corresponda. 8	Observa la Figura 13 y resuelve.
a.	225 Z 2
b.	34 Z 1
c.	267 Z1	d.	58 Z2 30
e.	246 Z1	f.	31 Z1 20
g.	215 Z2	h.	72 Z2
5	Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). 20
a.	El opuesto de un entero negativo es negativo.	( )
b.	El opuesto del opuesto de un número positivo es 50
negativo.	( ) 60
c.	La distancia entre dos números opuestos es el doble Figura 13
de la distancia entre uno de los números y el 0.	( )
a.	¿A qué profundidad con respecto al nivel del mar
.	El opuesto de un número entero positivo es
se encuentra cada uno de los buzos?
negativo.	( )
b.	¿A qué altura con respecto al nivel del mar se
6	Determina y escribe el número entero que debe ir en encuentra el avión?
cada casilla. c.	¿A qué profundidad con respecto al nivel del mar
a.	se encuentra el pez amarillo?
.	¿En qué punto con respecto al nivel del mar se
Figura 6 encuentra el barco?
b.	e.	¿Qué distancia separa el avión del pez más
6 4 2 0 1 3
Figura 7 Resolución de problemas
9	Analiza cada situación y responde las preguntas.
15 5 0 5 15 25 40 a.	¿Qué número se encuentra 4 unidades a la
Figura 8 izquierda de 21? ¿Cuál es su opuesto?
.	b.	El entero m está 5 unidades a la izquierda de n. Si
n 5 22, ¿cuál es el valor de m?
80 60 50 30 10 0 20
c.	Desde a hasta b hay 8 unidades. Si a 5 23, ¿qué
valores puede tener b?
7	Ubica los números de cada grupo en la recta numérica. d
.	Los enteros m y n están separados por 10
unidades. Si la distancia de m a 0 es de 3
a.	5, 26, 24, 3, 22, 6 unidades, ¿cuáles son las posibles distancias de n
e.	Un número positivo está al doble de unidades
de 0 que un número negativo, y los dos están
b.	210, 26, 8, 4, 22, 12 separados por 27 unidades. ¿Cuáles son esos
Figura 11 10	Para atrapar un pez, dos gaviotas se sumergen en el
c.	212, 218, 29, 6, 15, 26 mar. La primera se sumerge a 45 cm y la otra, a 60 cm.
Si el pez se encuentra a 50 cm de profundidad, ¿cuál
0 3 de las dos gaviotas está más cerca de alcanzarlo?
La ubicación de los ciclistas se puede representar en una recta numérica como
la de la Figura 1.
Recorrido del primer ciclista Recorrido del segundo ciclista
Dos ciclistas parten de un mismo 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60
punto en sentidos opuestos y Figura 1
hacen un recorrido en línea recta. Punto de partida
Se observa que, después de una hora de recorrido, el primer ciclista se encuentra a
250 km del punto de partida, mientras que el segundo está a 150 km. Sin
embargo, los ciclistas están a la misma distancia del punto de partida, es decir,
Se dice entonces que los números enteros 250 y 150 tienen el mismo valor
absoluto, pues en la recta numérica están a igual distancia de 0.
•	Si los dos van a una velocidad de El valor absoluto de un número entero es la distancia que separa al número
50 km/h, ¿qué distancia separa a del cero en la recta numérica. Esta medida siempre es una cantidad positiva.
cada ciclista del punto de partida El valor absoluto de un número entero a se simboliza como |a|.
al cabo de una hora de recorrido?
El valor absoluto de 114 es 14 porque, en la recta numérica, la distancia de
114 a 0 es de 14 unidades. Se escribe u114u 5 14. Observa la Figura 2.
26 24 22 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Ten en cuenta Actividades resueltas
El valor absoluto de un número entero
1	Calcula los siguientes valores absolutos. Justifica en cada caso.
a se representa simbólicamente de la
siguiente manera: a	.	u26u	b. u112u	c. u27u	d. u0u
uau = 
a	.	u26u 5 6, ya que 26 está a 6 unidades de 0 en la recta numérica.
.	u112u 5 12, porque entre 112 y 0 hay 12 unidades de distancia.
c	.	u27u 5 7, puesto que hay 7 unidades entre 27 y 0.
.	u0u 5 0, porque entre 0 y el mismo hay 0 unidades.
2	Escribe el número entero que cumple cada condición.
a. Su valor absoluto es 7 y está entre 210 y 3.
b. Su valor absoluto es 9.
c. Su valor absoluto es igual al de 24.
d. Es el opuesto del número cuyo valor absoluto es 6.
a	.	27	b. 9 o 29
c	.	4	d. 6 o 26
Ejercitación Razonamiento
3	Determina estos valores absolutos. 9	Señala con una X si la afirmación es verdadera o falsa.
a.	u23u	b.	u54u
c.	u0u V F
.	u2(211)u
d e.	u26u	f.	u2(25)u a.	u21u 5 1 (	) (	)
g.	u2au
h.	u2xu	i.	u1 1 0u b.	u1u 5 21 (	) (	)
c.	u8 2 6u 5 u6 2 8u (	) (	)
4	Calcula el resultado de cada operación.
a.	u23u ? u8u	b.	u29u 1 u213u d.	u0 2 3u 5 u3 2 0u (	) (	)
c.	u225u 4 |5|	d.	u230u 4 |210| e.	u26 1 3u 5 u3 2 6u (	) (	)
e.	u28u ? u24u	f.	u25u1 u210u f.	2u5u 5 25 (	) (	)
g.	u2u ? u29u	h.	u224u 4 |6|
g.	2u5u 5 5 (	) (	)
5	Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). 10	Escribe el número que cumple simultáneamente estas
a.	El valor absoluto de un número siempre es un
entero positivo.. ( ) a.	Su valor absoluto es mayor que 5 y menor que 9.
b.	El valor absoluto de 0 es 1. ( ) b.	Está comprendido entre 210 y 7.
c.	El valor absoluto de un número entero a positivo c. Su valor absoluto es menor que 5 y mayor que 3.
siempre es 2a. ( )
11	Explica cuál puede ser la ubicación de dos puntos A y B
6	Halla el valor de x para que cada expresión sea sobre la recta numérica, si:
verdadera. uA 2 Bu 5 13
a.	uxu 5 15	b.	u23u 5 x
c.	u2xu 5 7	d.	uxu 5 0 Resolución de problemas
e.	u8u 5 x	f.	u2(213)| 5 x 12	Buscando una dirección, Alejandro caminó inicialmente
g.	ux 2 3u 5 12	h.	uxu 5 211 siete cuadras en una dirección. Luego, se desplazó tres
cuadras en la dirección contraria. ¿Cuántas cuadras
Comunicación caminó en total?
7	Encuentra, en cada caso, el número entero que cumple
la condición dada. 13	Valeria hizo la siguiente afirmación: “Mi hermano
a.	Su valor absoluto es 8 y está a la izquierda de 0. recorre una distancia de 2400 m de la casa hacia el
colegio”. ¿Consideras que la afirmación es correcta o
b.	Su valor absoluto es 3 y está situado entre 24 y 22. incorrecta? Explica.
c.	Su valor absoluto es igual que el de su opuesto.
d.	Su valor absoluto es 15 y es menor que 9. 14	Un vehículo sale del estacionamiento y se desplaza
e.	Su valor absoluto es 4 y se representa en la recta 40 m al norte. Luego, se devuelve sobre la misma calle
numérica a la derecha de 212. y se traslada 70 m hacia el sur y, finalmente, se mueve
20 m hacia el sur. ¿Cuántos metros recorrió en total el
f.	Su valor absoluto es 12.
g.	El valor absoluto de su opuesto es 7.
15	Un pájaro elevándose en el aire, y un buzo sumergido
8	Responde. en el mar, se encuentran a la misma distancia del nivel
 Si a es un número entero, ¿cuál es el valor absoluto de del mar. ¿A qué altura se encuentra el pájaro y a qué
2[2(2a)]? profundidad el buzo, si los separan 86 m?
Para determinar en cuál de los cuartos hace más frío, se pueden representar las
temperaturas en una recta numérica y luego comparar su ubicación (Figura 1).
Explora B C A
Sofía registró en la Tabla 1 la tem- 28 25 22 0 Figura 1
peratura de tres cuartos fríos de un
laboratorio. Cuando se comparan dos números enteros en la recta numérica, se deduce que
es mayor el número que se encuentra ubicado a la derecha del otro. A su vez, es
Cuarto Temperatura menor el que se encuentra ubicado a la izquierda.
A 22 ºC De acuerdo con lo anterior, se pueden establecer las siguientes relaciones de orden:
B 28 ºC • Como 22 está a la derecha de 25, entonces 25 , 22.
C 25 ºC • Como 25 está a la derecha de 28, entonces 28 , 25.
• Como 22 está a la derecha de 28, entonces 28 , 22.
Esto quiere decir que el orden de las temperaturas es:
Temperatura Temperatura del Temperatura del
del cuarto B cuarto C cuarto A
28 ºC	,	25 ºC	,	22 ºC
Por lo tanto, en el cuarto B es en el que hace más frío.
•	Según esta información, ¿en cuál
de los tres cuartos hace más frío? Si dos números enteros a y b están representados en la recta numérica, entonces
a . b, siempre que a esté ubicado a la derecha de b.
Otros criterios que permiten determinar la relación de orden existente entre dos
números enteros son:
• Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
• Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor
Ten en cuenta absoluto.
El cero es menor que cualquier entero • Un número positivo siempre es mayor que cualquier número negativo.
positivo y mayor que cualquier entero
negativo. Actividad resuelta
21 01 8 6 4 2 0 22 42 62 82 012 212 412
1	Escribe cuatro afirmaciones verdaderas en relación con la información de la
214 212 210 28 26 24 22 0 2 4 6 8 10 12
Algunas afirmaciones que se pueden emitir con respecto a la información
de la recta numérica son las siguientes:
• 28 , 24, ya que 24 está a la derecha de 28.
• 6 es el mayor de los números representados, puesto que está ubicado a
la derecha de todos los demás.
• 3 . 29, porque un número positivo siempre es mayor que cualquier
• El orden de los números de menor a mayor es:
29 , 28 , 24 , 3 , 6
Destreza con criterios de desempeño: Establecer relaciones de orden en un conjunto de números enteros utilizando la recta numérica y la simbología
matemática (=, <, ≤, >, ≥).
2	Representa cada pareja de números enteros en la recta 6	Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
numérica. Luego, escribe . o ,, según sea el caso. a.	3 está entre 1 y 21.	( )
a.	23 1 b.	21 está entre 23 y 0.	( )
0 1 c.	22 está entre 0 y 5.	( )
b.	4 26 d.	2 está entre 21 y 1.	( )
e.	3 está entre 25 y 5.	( )
c.	25 28
7	Escribe un número que cumpla la condición que se
enuncia en cada caso.
d.	6 23
Figura 5 a.	26 , b.	. 25 .
c.	u28u 5 d.	221 , ,
2 0 e.	24 , , 8	f.	22 , ,0
3	Escribe el signo . o ,, según corresponda. 8	Representa en la recta numérica los números enteros
a.	14 11	b.	21 26 que cumplan cada una de las condiciones dadas.
c.	0 13	d.	28 12 a.	Son mayores que 212 y menores que 16.
e.	22 0	f.	15 29 b.	Son menores que 124 y mayores que 21.
g.	278 26	h.	227 249 c.	Son menores que 18 y mayores que 27.
i.	47 38	j.	19 229 d.	Son menores que 27 y mayores que 224.
k.	218 36	l.	254 229
.	45 236	n.	29 298
9	En la Tabla 3 se presentan los puntos de ebullición apro-
ñ.	219 218	o.	0 22 ximados de algunos elementos de la tabla periódica.
Comunicación Elemento químico Punto de ebullición (ºC)
4	Completa la Tabla 2. Flúor 2188
Anterior Número Siguiente Hidrógeno 2253
2210 Argón 2186
1245 Helio 2269
262 Nitrógeno 2196
1299 Neón 2246
a.	¿Cuál es el elemento químico con el mayor punto de
2302 ebullición? ¿Y con el menor?
b.	Ordena, de menor a mayor, los elementos periódicos
5	Ordena de menor a mayor los números de cada grupo. de la tabla según sus puntos de ebullición.
a.	25, 232, 24, 21, 0, 212
10	Tres fosas marinas tienen una profundidad de 25 534 m,
b.	12, 7, 220, 16, 213 26 524 m y 24 321 m, respectivamente. ¿Cuál de las tres
c.	254, 678, 2249, 14, 224, 0, 190 fosas marinas tiene mayor profundidad? ¿Cuál de las
d.	32, 56, 17, 28, 241 fosas es menos profunda?
5.1 Adición de números enteros del mismo signo
Para resolver la situación, se pueden sumar las distancias recorridas por el buzo en su
descenso; es decir, se efectúa una adición de números enteros.
Explora Primer Segundo
En una exploración del fondo marino, descenso (m) descenso (m)
un buzo se sumerge, en un primer
momento, a 45 m de profundidad y 245	1	(227)
al cabo de una hora desciende otros
En la Figura 1 se muestra la representación de esta adición.
Segundo descenso Primer descenso
281 272 263 254 245 236 227 218 29 0 9 18 27
Nivel del mar Figura 1.
245 1 (227) 5 272
Analíticamente, el resultado anterior es equivalente a la suma de los valores absolutos
de los sumandos, precedida por el signo común de los números 245 y 227. Esto es:
Suma de los valores absolutos de los sumandos
Signo común	2 (u245u 1 u227u) 5 2 (45 1 27) 5 2 72
•	En total, ¿cuántos metros
descendió el buzo durante la Se deduce entonces que el buzo descendió 72 m en total.
En la adición de números enteros del mismo signo, se suman los valores
absolutos de los sumandos y a esta suma se le antepone el signo que tienen en
5.2 Adición de números enteros de diferente signo
En la adición de números enteros de diferente signo, se restan los valores
absolutos de los sumandos y a la suma se le antepone el signo del sumando que
tenga el mayor valor absoluto.
Para efectuar la operación 29 1 12 se procede así:
a. Se calculan los valores absolutos de
u29u 5 9 y u12u 5 12
los dos sumandos.
Ten en cuenta b. Al mayor valor absoluto se le resta el
12 2 9 5 3
La notación (1) y (2) para los números
enteros positivos y negativos fue pro- c. Al resultado se le antepone el signo
puesta por el matemático alemán Stifel del sumando que tenga el mayor va- 29 1 12 5 13
(1487 2 1567) en el siglo XVI. lor absoluto.
La suma 29 112 se puede representar como en la Figura 2.
21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Destreza con criterios de desempeño: Operar en Z (adición) de forma numérica, aplicando el orden de operación.
5.3 Propiedades de la adición de números enteros
La adición de números enteros cumple con las propiedades que se presentan en
Propiedad Descripción Ejemplo
La adición de dos o más números enteros es
Clausurativa
otro número entero.
(220) 1 (239) 5 259 también se denomina inverso aditivo.
En la adición de números enteros, el orden de (225) 1 45 5 45 1 (225)
los sumandos no altera la suma. 20 5 20
• (223 1 24) 1 (24)
Se pueden asociar los sumandos de 51 1 (24) 5 23
varias formas y el resultado no se altera. • 223 1 [24 1 (24)]
5 223 1 20 5 23
Todo número entero sumado con el 0 da 0 1 (212) 5 (212) 1 0
como resultado el mismo número entero. 212 5 212
Todo número entero sumado con su opuesto 25 1 (225) 5 (225) 1 25
aditivo da como resultado 0. 050
5.4 Adición de varios números enteros
Las propiedades de la adición de números enteros permiten efectuar la adición de
tres o más números enteros de dos maneras equivalentes.
• Se suman los números de dos en dos, • Se suman por separado los números
de forma consecutiva. positivos y los negativos, y luego se
resuelven las operaciones resultantes.
25 1 (232) 1 (212) 1 23
5 27 1 (212) 1 23
5 25 1 23 1 (232) 1 (212)
5 219 1 23
5 48 1 (244)
1	Luis hizo dos compras con su tarjeta de crédito: una por $ 296 y otra por TECNOLOGÍAS
$ 103. Antes de hacer las compras tenía un saldo a favor de $ 229, entonces de la información y la
abonó a la tarjeta $ 130. ¿Qué saldo tiene después del abono?
Solución: http://www.ematematicas.net/
Para resolver el problema, se puede efectuar la siguiente adición de núme- openteros.php?op=suma
ros enteros aplicando las propiedades. Practica la adición de números
Saldo a favor Costo de la primera Costo de la segunda Abono enteros.
229 1	(2296)	1	(2103)	1	130
5 229 1 130 1 (2296) 1 (2103)
5 359 1 (2399)
Por tanto, Luis tiene un saldo en contra de $ 40.
Calcula con números negativos
Identifica en tu calculadora científica las teclas y . Estas te permitirán intro- F1 F6
ducir cualquier adición de números enteros.
Ahora, observa la secuencia que debes ingresar en tu calculadora para efectuar la operación
18 1 (227) 1 (219).
Con ello obtendrás el siguiente resultado:
Ejercitación Comunicación
2	Relaciona cada adición con la representación en la 4	Completa la Tabla 2.
recta numérica que le corresponde.
a b a1b a 1 (2b)
a.	24 1 (23 )	b.	6 1 5
c.	22 1 7	d.	28 1 5
29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 18 31
Figura 3 225 217
5	Escribe, en cada caso, el valor de la letra y la propiedad
de la adición que se utilizó.
28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 a.	15 1 (28 1 x) 5 [15 1 (28)] 1 (27)
b.	13 1 y 5 0
( ) c.	223 1 54 5 x 1 (223)
d.	27 1 (227) 5 z
24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6
Figura 6 Ejercitación
3 Calcula la suma en cada caso. 6	Efectúa las siguientes adiciones.
a.	19 1 (212)	b.	282 1 9 a. (14) 1 (26) 1 (28) 1 (110) 1 (22)
c.	6 1 (227)	d.	18 1 (22) b.	(18) 1 (260) 1 (116) 1 (15) 1 (24)
e.	28 1 4	f.	212 1 (211) c.	(210) 1 (28) 1 (11) 1 (26) 1 (230)
g.	37 1 (27)	h.	219 1 (213) d
.	(210) 1 (12) 1 (25) 1 (16) 1 (28)
i.	25 1 (217)	j.	289 1 (21) e.	(17) 1 (22) 1 (19) 1 (13) 1 (22)
Comunicación 11	Encuentra y corrige el error en las siguientes adiciones de
7	Responde. números enteros.
	¿Qué obtienes si al número entero 349 le sumas 85 y al a.	213 1 46 1 (217) 1 8 1 (15)
resultado le sumas 2434? ¿Qué propiedad de la adición  213 1 (217) 1 46 1 5 1 8
cumple este resultado?
 30 1 59
Razonamiento  89
8	Completa la pirámide numérica de la Figura 7. Ten en b.	245 1 4 1 (27) 1 8 1 (25)
cuenta la información de la pirámide de la izquierda. 5 4 1 8 1 (245) 1 (27) 1 (25)
5 212 1 57
ab 6
12	Tres niñas recibieron de sus padres cierta cantidad de
a b 2 dinero para ir de compras. La primera recibe $ 55, la
segunda $ 5 más que la primera y la tercera recibe la suma
de las otras dos juntas. ¿Cuánto recibió cada niña?
9	Completa cada cuadrado mágico con números enteros
de tal manera que la suma de sus columnas, filas y 13	Pitágoras, famoso filósofo y matemático griego, nació en
diagonales sea la misma. el año 571 a. C. Según la historia, este personaje murió a
los 85 años de edad. ¿En qué año murió Pitágoras?
5 28 14	La invención de la escritura data del año 3 000 a. C.
¿Cuántos años han transcurrido hasta hoy?
15	La temperatura actualmente es de 5 °C pero la radio
10 23 2 dice que descenderá 9 °C más. ¿Cuál será entonces la
temperatura al cabo de un rato?
16	Tomás abordó un ascensor en el primer piso de un
edificio e hizo este recorrido: subió hasta el piso 22, luego
subió cinco pisos más, descendió seis pisos, subió tres y,
finalmente, descendió nueve. ¿A qué piso llegó Tomás?
5 23 24 28
17	Un termómetro marca 23 ºC a las 5:00 a. m.; dos horas
después, la temperatura aumenta 2 ºC. A las 11:00 a. m.
10	Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si es falsa. el termómetro señala una temperatura de 19 ºC, y tres
horas después marca 13 ºC. ¿Qué variación sufrió el
a.	El opuesto del opuesto de un número es igual al termómetro entre las 7:00 a. m. y las 2:00 p. m.?
mismo número. ( )
b.	Al adicionar números enteros que están a la izquierda 18	Tiberio Claudio César Augusto Germánico, historiador y
del 0, se obtiene un número entero negativo. ( ) político romano, nació el 1 agosto del año 11 a. C. y murió
c.	La suma de dos enteros negativos es negativa. ( ) el 13 octubre del año 54 d. C. ¿Cuántos años vivió?
d.	La suma de dos enteros positivos es positiva. ( )
19	La adición de dos números es –17. Calcula el número
e.	Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos menor, si el mayor es –8.
como resultado 1. ( )
Para averiguar el año de nacimiento de Cleopatra, se puede efectuar la siguiente
Año en que Edad a la que
falleció falleció
Cleopatra, famosa reina de Egipto, 230	2	39
falleció en el año 30 a. C., cuando
tenía 39 años de edad. Una sustracción de números enteros es equivalente a la adición del minuendo
con el opuesto del sustraendo. En este caso,
230 2 39 es equivalente a 2 30 1 (239)
230 2 39 5 2 30 1 (239) 5 269
Según el anterior resultado, Cleopatra nació en el año 69 a. C.
Si a y b son dos números enteros, entonces la sustracción entre a y b expresada
como a 2 b es equivalente a a 1 (2b).
La sustracción 23 2 45 se puede efectuar como se muestra a continuación.
23 2 45 5 23 1 (245) 5 222
Una sustracción de números enteros se puede expresar como una adición y,
por tanto, se puede representar en la recta numérica. Observa.
•	¿En qué año nació Cleopatra?
a. 12 2 (210) 5 12 1 10 5 22
b. 36 227 5 36 1 (227) 5 9
Es una cualidad de algunas
personas que se manifiesta 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
con la colaboración Figura 2
c. 216 2 24 5 216 1 (224) 5 240
desinteresada hacia los demás.
•	Describe dos situaciones en
las que consideres que has
servido a tus compañeros. 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0 4
d. 28 2 (25) 5 2 8 1 5 5 23
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
Destreza con criterios de desempeño: Operar en Z (sustracción) de forma numérica, aplicando el orden de operación.
1	La temperatura de un refrigerador es de 12 ºC bajo cero. Si dicha tempera- Ten en cuenta
tura disminuye 7 ºC más, ¿cuál es la nueva temperatura del refrigerador? El signo menos tiene dos
Solución: significados:
La situación se puede resolver efectuando una sustracción. Operación
Temperatura inicial Disminución de la
del refrigerador (ºC) temperatura (ºC) 12 2 (25)
2 12	2	7
2 12 2 7 5 2 12 1 (27) 5 219
Se concluye que la nueva temperatura del refrigerador es 19 ºC bajo cero.
2	Escribe cada sustracción de números enteros como 6 Un termómetro marcaba 25 ºC a las 5:00 a. m. y 12 ºC
una adición equivalente y resuélvela. al mediodía. ¿Cuál fue la variación de la temperatura?
a.	19 2 (212)	b.	(282) 2 9
c.	2 6 2 (227)	d.	18 2 (22) 7	Si en una sustracción el minuendo es 2125 y la diferen-
cia es 2125, ¿cuál es el sustraendo?
e.	(218) 2 4	f.	(212) 2 (211)
g.	37 2 (27)	h.	(219) 2 (213)
8	Karl Wilhelm, famoso matemático suizo, murió en el año
de 1891, a los 74 años. ¿Cuándo nació este personaje?
3	Efectúa las siguientes operaciones.
a.	[(228) 2 (142)] 2 (213) 9	La Tabla 2 muestra el número de goles a favor y en con-
tra de los cuatro equipos que participaron en un cam-
b.	[(215) 2 (26)] 2 (223)
peonato de fútbol.
c.	[(145) 2 (24)] 2 (117)
Goles a Goles en Diferencia
d.	[(127) 2 (218)] 2 (272) Equipos
favor contra de goles
7A 35 38
4	Completa la Tabla 1.
7B 28 25
Fecha de Fecha de 7C 52 43
Personaje de años
vividos 7D 46 49
Pitágoras 2571 2497 Tabla 2
Euclides 2275 55 a.	Completa la columna de la diferencia de goles con
Zenón 2495 65 los números enteros correspondientes.
Arquímedes 2287 2212 b.	¿Qué equipo tuvo la mayor diferencia de goles?
Tabla 1 c.	¿Qué equipo tuvo la menor diferencia de goles?
5	Haz lo que se indica en cada caso. d.	¿Qué equipo no tuvo diferencia de goles?
a.	Resta 200 de 280	b.	A 2540 réstale 2120 e.	Ordena los equipos desde el que obtuvo el primer
lugar hasta el que ocupó el último puesto.
c.	De 850 resta 21 070	d.	Resta 22 945 de 2980
Igualdades, ecuaciones e inecuaciones en Z
7.1 Igualdades
Para solucionar el reto se utilizan igualdades.
Explora En forma horizontal se verifica que: Por tanto, el problema se resuelve
Observa el siguiente esquema. 11455 de esta forma:
1 5 31255
2 5 En forma vertical se tiene: 3 2 2 5 1
5 5 5 13353 5 5 5
1 5 44252
•	Escribe en cada círculo un núme-
ro entre 1 y 5 (todos salvo uno se Una igualdad es una relación entre dos expresiones matemáticas que representan el
usan dos veces) de forma que se mismo valor. Las igualdades tienen dos miembros separados por el signo igual (5).
cumplan todas las igualdades.
Una igualdad actúa como una balanza en equilibrio, como se sugiere en la
Los siguientes son ejemplos de igualdades matemáticas. En todos se obtiene 16
utilizando diferentes operaciones.
8 3 2 5 16	5 1 5 1 6 5 16	32 4 2 5 16
7.2 Propiedades de las igualdades
Si a, b y c son números naturales cualesquiera, tales que a 5 b, entonces se
satisfacen las siguientes igualdades:
•	a 1 c 5 b 1 c para todo a, b y c y a 2 c 5 b 2 c para a . c y b . c.
•	a 3 c 5 b 3 c	y	a 4 c 5 b 4 c para c Þ 0 (a y b múltiplos de c).
La primera propiedad menciona que al adicionar o sustraer la misma cantidad en
ambos miembros de una igualdad, la igualdad se conserva.
La segunda propiedad indica que al multiplicar o dividir ambos miembros de una
igualdad por la misma cantidad (diferente de cero), la igualdad se conserva.
Dada la igualdad 15 1 3 5 18, al adicionar 6 en ambos miembros de la igualdad
Figura 1 las expresiones obtenidas siguen siendo iguales.
15 1 3 1 6 5 18 1 6
Igualmente, al multiplicar por 2 ambos miembros de la igualdad, esta se conserva.
2 3 (15 1 3) 5 2 3 18
2 3 15 1 2 3 3 5 36
30 1 6 5 36
Al restar 8 a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.
15 1 3 5 18
15 1 3 2 8 5 18 2 8
Destreza con criterios de desempeño: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en Z en la solución de problemas.
7.3 Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos
desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa
generalmente por letras minúsculas del abecedario.
La ecuación se resuelve cuando se encuentra el valor o los valores de la o las
incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de solución.
La igualdad x 1 25 5 36 es una ecuación porque uno de sus términos es
desconocido. La incógnita en este caso está representada por la letra x.
Al reemplazar la incógnita por 11 se verifica la igualdad 11 1 25 5 36, lo que Es posible combinar ecuaciones
significa que x 5 11 es la solución de la ecuación. aditivas y multiplicativas.
Esas ecuaciones generalmente tienen
Ejemplo 4 la forma a 3 x 1 b 5 c.
Para que 2 3 m 1 5 5 21, m debe reemplazarse por 8, ya que: 2 3 8 1 5 5 21.
Cualquier otro valor de m hace que no se conserve la igualdad.
Por ejemplo, si m 5 1, se tiene que 2 3 1 1 5 no es igual a 21.
7.4 Ecuaciones aditivas y multiplicativas
Existen dos tipos de ecuaciones: aditivas y multiplicativas.
•	Las ecuaciones aditivas tienen alguna de las formas:
a1x5b	x2a5b	a2x5b
•	Las ecuaciones multiplicativas tienen alguna de las formas:
a 3 x 5 b	x4a5b	a4x5b
La ecuación x 1 15 5 30 es aditiva, mientras que la ecuación 3 3 y 5 21 es una
ecuación multiplicativa.
Ejemplo 6 Si quieres resolver ecuaciones combinadas
Para solucionar la ecuación x 1 15 5 30, se resta 15 en ambos miembros de la de la forma a 3 x 1 b 5 c, puedes usar
igualdad. El resultado es: x 5 15. el cálculo mental para “deshacer” las
operaciones: primero restas b a ambos
Ejemplo 7 lados para deshacer la suma y luego,
Para solucionar la ecuación 3 3 y 5 21, se divide por 3 en ambos miembros de divides el resultado del lado derecho
la igualdad y se obtiene y 5 7. entre a para deshacer la multiplicación.
•	Usa tu cálculo para resolver la
Ejemplo 8 ecuación 5 3 x 1 8 5 43.
A continuación se muestra la solución de algunas ecuaciones.
a.	38 2 m 5 25	b.	3 3 b 1 7 5 28
38 2 m 1 m 5 25 1 m	b 3 3 1 7 2 7 5 28 2 7
38 1 0 5 25 1 m	(b 3 3) 4 3 5 21 4 3
38 2 25 5 25 1 m 2 25	b57
38 2 25 5 m 1 0
7.5 Inecuaciones
Una desigualdad es una expresión que compara dos cantidades que no son
iguales. Así como la igualdad se representa mediante una balanza en equilibrio,
una desigualdad se representa como una balanza inclinada hacia alguno de los
Una desigualdad que contiene al menos una variable se denomina inecuación.
Expresiones como 4 . 3; 6 , 10, y 6 1 9 . 8 son desigualdades, mientras
que otras como x 1 7 . 12; 7 , z; y 5 1 m . 13 son inecuaciones.
Las soluciones de una inecuación son los valores que puede tomar la incógnita, de
manera que al sustituirlos en la inecuación hacen que la desigualdad sea cierta.
La inecuación x 1 7 . 12 es cierta para todos los valores mayores que 5. Si se
toma x 5 6 por ejemplo, se tiene que 6 1 7 . 12; pero si se toma un valor menor
que 5, como por ejemplo 4, la desigualdad es falsa porque 4 1 7 , 12.
La solución de esta inecuación se puede representar sobre una semirrecta
Ten en cuenta numérica repasando con un color todos los valores mayores que 5, como se
Otros símbolos que aparecen en las muestra en la Figura 2.
inecuaciones son > y <, que se leen 0 1 2 3 4 5 6...
“mayor o igual” y “menor o igual”, res-
El círculo blanco sobre el 5 indica que este número no está incluido dentro de la
Cuando aparecen estos símbolos, el
valor extremo hace parte de la solu- Para resolver una inecuación se deben tener en cuenta un par de reglas básicas:
ción. Así, la inecuación x 1 7 > 12 es Regla de la suma. Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les
válida para 5 y todos los valores mayo- resta un mismo número, se obtiene una inecuación equivalente.
res que 5, y su solución se representa Regla del producto. Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o se
de la siguiente manera: dividen por un mismo número natural, se obtiene otra inecuación equivalente.
Para solucionar la inecuación 5 1 m . 13, se resta 5 a lado y lado de esta, de
El círculo negro indica que 5 hace parte manera que: 5 1 m 2 5 . 13 2 5, de donde m . 8.
1	Resuelve la inecuación 4 3 m 1 5 > 13.
Solución:
Primero se resta 5 a lado y lado de la inecuación.
4 3 m 1 5 2 5 > 13 2 5
43m>8
Ahora, se divide al lado derecho e izquierdo por 4.
43m44>844
La representación gráfica de la solución se muestra en la Figura 4.
Destreza con criterios de desempeño: Resolver ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una incógnita en Z de manera analítica en la solución de
ejercicios numéricos y problemas.
2 Determina si cada igualdad es correcta. 7	Califica como verdadera (V) o falsa (F) cada afirmación.
a.	45 1 27 5 31 1 36 a.	Todas las igualdades son ecuaciones.
b.	(3 3 12) 5 (72 4 2) b.	Todas las inecuaciones son desigualdades.
c.	43 5 82 c.	Todas las inecuaciones tienen infinitas soluciones.
d.	(64 2 26 1 12) 5 3 3
d.	Todas las ecuaciones tienen solución.
e.	(256 4 16) 1 14 5 30 3 10 e.	Las ecuaciones equivalentes tienen la misma solución.
f.	34 1 28 2 19 2 20 1 18 5 32 f.	La solución de t 1 10 5 10 es t 5 1.
g.	La solución de la ecuación h 4 3 5 17 es h 5 51.
3	Resuelve cada ecuación y verifica su solución.
a.	23 1 x 5 52 b. 3 3 n 5 51 h.	Las ecuaciones g 1 4 5 5 y g 2 2 5 1 tienen la
c.	8 1 y 2 12 5 1 d. 5 3 p 5 30
e.	50 5 t 2 1 f. 64 4 8 1 u 5 30
8	Plantea una ecuación o una inecuación, según
g.	r 5 24 2 12 4 4 h. 56 4 8 2 7 5 j corresponda en cada caso, resuélvela y dibuja su solución
i.	543 1 762 1 h 5 2 653 j. 144 4 s 5 12 sobre una semirrecta numérica.
Comunicación a.	La diferencia entre un número y 8 es 10.
4	Resuelve cada inecuación y dibuja su solución sobre una b.	El doble de un número es mayor que 18.
semirrecta numérica.
c.	Un número sumado a 4 es igual a 11.
a.	x . 7	b.	y 1 8 . 11
d.	El producto de 9 con cierto número es al menos 18.
c.	n 2 12 . 20	d.	u 1 8 > 16
e.	p 1 5 < 10 f.	f 1 12 . 21 e.	La diferencia entre un número y 12 es máximo 10.
g.	4 3 r 1 5 < 9 h. 7 3 g 2 4 . 10 f.	El cociente de un número y 8 es mínimo 2.
Modelación Razonamiento
5	Escribe una ecuación que cumpla las condiciones dadas 9	Lee y soluciona.
en cada caso.  Mauricio Andrés interpretó el enunciado “cinco veces
a.	Su solución es t 5 14. un número más dos es igual a 17” mediante la ecuación
5 3 (p 1 2) 5 17. Por su parte, Adriana lo interpretó
b.	Su solución es y 5 24.
mediante la expresión 5 3 p 1 2 5 17.
c.	Es aditiva y su solución es 9.
a.	¿Cuál de ellos hizo la interpretación correcta?
d.	Su solución es f 5 14 y su lado izquierdo es 5 3 f.
b.	¿Cuál es la solución de la ecuación?
e.	Su solución es h 5 13 y el término de la derecha es
h 2 12. Resuelve.
Comunicación ¿En qué es diferente el gráfico de y 1 5 , 12 con respecto
6	Escribe dos inecuaciones cuya solución sea la que se al gráfico de y 1 5 < 12?
representa en cada semirrecta numérica de la figura 5 a Resolución de problemas
la figura 8. 11	Luis quiere correr por lo menos 20 kilómetros cada
a. Figura 5 semana. Representa gráficamente su recorrido semanal.
Figura 6 12	En una calle de la ciudad se permite manejar a 35 kilómetros
b. 0 5 10 15 20 por hora o menos. Usa la variable s para representar la
c. Figura 7 velocidad en kilómetros por hora. Luego, escribe una
inecuación que describa las velocidades permitidas.
d. Figura 8 Finalmente, representa la solución de la inecuación.
Problemas con ecuaciones e inecuaciones
Como el área A de un rectángulo es el producto de su base por su altura, se tiene
que: A 5 a 3 b.
Explora Por otra parte, que esta área sea máximo de 30 cm2 indica que es 30 cm2 o menos,
así que la expresión buscada es la inecuación a 3 b < 30.
El área de este rectángulo es máxi-
mo de 30 cm2. El lenguaje matemático se utiliza para plantear y resolver problemas matemáticos
b a partir de expresiones cotidianas.
En la solución de cualquier problema que involucre el planteamiento de
ecuaciones o inecuaciones se sugiere seguir estos pasos:
Paso 1. Leer y comprender el enunciado.
Paso 2. Designar la incógnita.
Figura 1 Paso 3. Plantear la ecuación o la inecuación.
•	¿Cuál expresión permite interpre- Paso 4. Resolver la ecuación o la inecuación.
tar dicho enunciado? Paso 5. Verificar la solución.
Paso 6. Contestar.
Marcos sacó del galpón entre el lunes y el jueves 78, 72, 87 y 90 huevos,
respectivamente. ¿Cuántos huevos debe sacar el viernes para completar por lo
menos 400?
Paso 1: ¿Qué debes encontrar?
Un número mínimo de huevos para completar como mínimo 400.
Paso 2: Asigna una variable a la cantidad de huevos buscada.
Llámala p.
Ten en cuenta Paso 3: Plantea una inecuación.
Ya en el siglo XVI a. de C. los egipcios De acuerdo con el enunciado,
resolvían problemas cotidianos con la 78 1 72 1 87 1 90 1 p > 400.
ayuda de ecuaciones que tenían que Paso 4: Resuelve la inecuación.
ver con la repartición de víveres, de co-
sechas y de materiales. 327 1 p > 400 y obtienes p > 73.
Paso 5: Comprueba la solución.
Se verifica que a partir de p 5 73 se cumple que: 78 1 72 1 87 1 90 1 p > 400.
Paso 6: Contesta la pregunta.
Marcos debe sacar del galpón al menos 73 huevos el viernes.
1	Julio y Manuel juegan en el mismo equipo de fútbol. El sábado pasado Julio
marcó 3 goles más que Manuel, pero entre ambos marcaron menos de 9
goles. ¿Cuántos goles pudo haber marcado Manuel?
Si j es el número de goles que marcó Julio y m es el número de goles que
Gabriela Buitrón
marcó Manuel, entonces j 1 m , 9.
Pero, además, j 5 m 1 3; por tanto, m 1 3 1 m , 9, de donde:
2 3 m 1 3 , 9. Al resolver la inecuación se obtiene m , 3. Por consiguiente,
Manuel pudo haber marcado 0, 1 o 2 goles.
Destreza con criterios de desempeño: Resolver y plantear problemas de aplicación con enunciados que involucren ecuaciones o inecuaciones de primer
grado con una incógnita en Z e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del
Comunicación 8	¿Qué edad tiene Amanda si su hijo tiene 12 años y ella le
2	Relaciona las expresiones de la columna de la izquierda lleva 24 años?
con sus correspondientes interpretaciones en el lenguaje
9	¿Qué edad tiene Camilo si se sabe que dentro de 12 años
matemático de la columna de la derecha.
tendrá 64 años?
El doble de un número.	m3
1 10 Andrés tiene tres
El triple de un número.	2 3m juguetes más que
1 Santiago. Si Santiago
El cuádruplo de un número.	2 3m tiene 16 juguetes,
La mitad de un número.	m ¿cuántos juguetes
4 tienen entre los dos?
Un tercio de un número. 23m
Un cuarto de un número.	m2 11 ¿Qué número tiene que multiplicarse por 17, y al
Un número al cuadrado.	33m producto sumarle 34, para obtener 68?
Un número al cubo.	43m 12	Si un rollo de cinta cuesta $ 1 1, ¿cuántos rollos puede
3	Determina si la ecuación dada interpreta cada enunciado. comprar Sonia con al menos $ 55?
Si es así, resuélvela. 13 ¿Cuántas camisas puede comprar Rolando con al menos
a.	Cuando dupliqué mi dinero d quedé con $ 400. $ 125 si cada una cuesta $ 25?
Ecuación: 2 3 d 5 400
14 Jessica necesita un promedio de 85 puntos durante
b.	La tercera parte de la edad de Juan, que es t, es 57.
todo el bachillerato para optar por una beca. Durante
Ecuación: t 3 3 5 57
los primeros cinco años de bachillerato sus promedios
c.	Si al número natural que le sigue a g se le suma 34 se fueron 87, 81, 85, 90 y 78. ¿Cuál es la nota mínima que
obtiene 45. debe obtener Jessica para ganar la beca?
Ecuación: g 1 1 1 34 5 45
d.	La diferencia de un número k y 45 es 78. 15 Si a cinco veces un número se le incrementa en cuatro, el
Ecuación: k 2 45 5 78 resultado es al menos 19. Encuentra el menor valor que
satisface esas condiciones.
16 De ocho cachorritos de perros hay más hembras que
4 Viviana compró algunas cajas de donas. Hay 16 donas en machos. ¿Cuántas hembras puede haber?
cada caja, y ella compró 80 donas en total. Escribe una
ecuación que le permita saber a Viviana cuántas cajas de
donas compró.
5 En cierto tiempo, Jaime condujo el doble de distancia
que Helena. Si entre los dos condujeron 90 kilómetros,
encuentra la distancia que condujo cada uno.
6 El largo de un rectángulo es de 15 cm y su perímetro es
50 cm. Encuentra el ancho del rectángulo.
7	El perímetro de un lote triangular mide 72 metros. Un 17 Un camión pesa 875 kg. La diferencia entre el peso del
lado mide 16 metros y el otro mide el doble que el camión vacío y el peso de la carga que lleve no debe ser
primero. Encuentra la longitud del tercer lado. inferior a 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajas iguales,
¿cuánto puede pesar, como máximo, cada una de ellas
Figura 2 para poder llevarlas en el camión?
18 En una caja hay tornillos defectuosos y no defectuosos.
Si se sabe que en total hay 200 tornillos y que el doble de
defectuosos es menor que el número de no defectuosos,
¿cuántos tornillos defectuosos puede tener la caja?
Ecuaciones con estructura aditiva
La situación se puede representar mediante la siguiente ecuación:
Deuda inicial Abono Deuda actual
x 1	750 5	2800
Violeta tiene una deuda con el
banco. Para resolver esta ecuación, se utilizan las propiedades de la adición y de las
igualdades como se muestra a continuación.
Se suma el opuesto de 750 en ambos lados de la igualdad.
x 1 750 1 (2750) 5 2800 1 (2750)
Se obtiene 0 como sumando en el lado izquierdo (Propiedad invertiva).
x 1 0 5 21 550
Se despeja x en el lado izquierdo de la igualdad (Propiedad modulativa).
x 5 21 550
•	Si hace un abono de $ 750 y aún
debe $ 800, ¿cuál era su deuda Según lo anterior, la deuda inicial de Violeta era de $ 1 550.
inicial con el banco?
Una ecuación de estructura aditiva se caracteriza porque su operación
principal es una adición o una sustracción. Estas ecuaciones son de la forma:
x 1 a 5 b o x 2 a 5 b
La letra x es la incógnita de la ecuación.
Las siguientes ecuaciones tienen estructura aditiva. Observa cómo se resuelven.
• 3 1 m 5 212
3 1 (23) 1 m 5 212 1 (23) Se suma el opuesto de 3 en ambos lados de
Ten en cuenta 0 1 m 5 215 Se aplica la propiedad invertiva de la adición.
La propiedad uniforme (de las igualda- Se aplica la propiedad modulativa de la adición
m 5 215 y se obtiene el valor de la incógnita.
des) establece que si en ambos miem-
bros de una igualdad se suma un mis- • n 2 18 5 223
mo número, la igualdad se mantiene. Se suma el opuesto de 218 en ambos lados
n 1 (218) 1 18 5 223 1 18 de la igualdad.
n 1 0 5 25 Se aplica la propiedad invertiva de la adición.
Se aplica la propiedad modulativa de la adición
n 5 25 y se obtiene el valor de la incógnita.
1	Al sustraer 14 de cierto número, se obtiene 9. ¿Cuál es ese número?
Si se denomina a al número buscado, entonces la ecuación que modela la
situación es a 2 14 5 9. Así, al resolver la ecuación se obtiene:
 a 1 (214) 5 9
 a 1 (214) 1 14 5 9 1 14
 a + 0 5 9 1 14
 a 5 23
El número es 23.
Razonamiento Comunicación
2	Determina cuáles de las siguientes expresiones son 6	Escribe un problema que se pueda modelar con cada
ecuaciones y cuáles no. Justifica tu respuesta. ecuación y resuélvelo.
a.	40 1 x 5 215 a. x 2 6 5 219	b.	7 5 x 1 (25)
b.	27 1 40 1 16 5 83 c. 28 1 x 5 32	d.	17 1 x 5 24
c.	p 2 89 5 46
7	Indica el error que se cometió al resolver la ecuación.
.	h[3 1 2 2 (9 2 7) 1 (3 1 4)]j
d Luego, corrígelo.
e.	m 1 25 1 32 5 291
f.	32 2 51 2 36 5 255 	60 2 37 5 84 1 x
g.	y 2 3 5 27 	22 5 84 1 x
	22 1 (284) 5 84 1 (284) 1 x
Comunicación 	2 62 5 0 1 x
3	Relaciona cada ecuación con su solución. 	262 5 x
a.	5 1 x 5 0	( ) 25
b.	217 1 x 5 0	( ) 27 Resolución de problemas
c.	30 1 x 5 0	( ) 25 8	Cierto número más 8 es igual a 24. ¿Cuál es el número?
.	x 1 (227) 5 0	( ) 30
9	La suma de las edades de dos hermanos es 32. Si el
e.	x 1 35 5 0	( ) 17
menor tiene 15 años, ¿cuántos años tiene el mayor?
f.	225 1 x 5 0	( ) 235
g.	x 1 (230) 5 0	( ) 230 10	Dos niños reúnen nueve libros. Si uno de ellos aporta
cuatro libros, ¿cuántos libros aporta el otro?
4	Resuelve las ecuaciones aplicando las propiedades de
la adición de números enteros. 11	La suma de dos números enteros es 340. Si uno de los
sumandos es 2130, ¿cuál es el otro sumando?
a.	x 2 3 5 25	b.	x 1 9 5 2234
c.	29 5 2x 1 12	d.	215 5 x 2 8 12	La suma de dos números es 85. Si el mayor es 49, ¿cuál
e.	x 2 23 5 278 f.	x 1 6 5 222 es el menor?
g.	19 5 x 2 6	h.	214 2 x 5 20
13	¿Qué número se le debe adicionar a 232 para obtener
i.	x 2 5 5 29 j.	1 2 8 5 623 1 x 28 en el resultado?
k. 22 5 x 2 723 l.	29 5 x 2 25
14	La edad de un padre sumada con la edad de su hijo es
Modelación igual a 61 años. Si el hijo tiene 15 años, ¿cuál es la edad
5	Traduce cada enunciado en una ecuación y resuélvela. del padre?
a.	17 menos un número es 79.
15	Con el dinero que tengo y $ 24 700 más, podría
b.	Un número disminuido en 23 es igual a 40. pagar una deuda de $ 52 500 y me sobrarían $ 3 700.
c.	Si a 21 se le suma cierto número, se obtiene 103. ¿ Cuánto dinero tengo?
.	La edad de una persona dentro de 7 años será 45.
16	Las edades de Javier y Juanita suman 37 años. Si Javier
e.	La temperatura actual aumentada en 9 grados da tiene 15 años, ¿cuántos años tiene Juanita?
una lectura de 38 grados.
f.	Si a un número se le suma 29, se obtiene 24. 17	¿Cuántos pisos faltan para subir al piso 42, si te
g.	32 disminuido en cierto número es igual a 289. encuentras en el 17?
Números relativos Valor absoluto. Orden en los números enteros
1.	Representa con números relativos las temperaturas 5.	Lee cada afirmación y escribe un ejemplo o un
promedio de una ciudad registradas en la Tabla 1 contraejemplo, según corresponda.
tomando como punto de referencia las temperaturas a.	El valor absoluto de un número entero positivo es
que se indican en cada literal. un número entero negativo.
L Ma Mi J V S D b.	Entre dos números negativos es mayor el que tiene
8 ºC 10 ºC 13 ºC 11 ºC 18 ºC 17 ºC 22 ºC mayor valor absoluto.
Tabla 1 c.	El opuesto de un número negativo siempre es
a.	12 ºC	b.15 ºC menor que el número dado.
Resolución de problemas d.	Dos números enteros opuestos tienen diferente
2.	En el golf un par indica el número de golpes que un
golfista debe requerir para meter la bola en un hoyo. En e.	Todo número negativo es menor que 0.
la Tabla 2 se registra la cantidad de golpes que realizan Comunicación
varios golfistas al enfrentarse al hoyo 5.
6.	Determina y escribe los números por los que se puede
Golfista Golpes reemplazar cada letra para que los grupos de números
Luis 2 queden ordenados.
Juan 6 a.	215, A, 210, B, 0, C, 3
Ana 7 b.	6, |A|, 0, B, 28, C
Jaime 1 c.	2|A|, 26, 0, 2, |B|, 5
d.	213, 2|A|, 28, 2|B|, 0, C, 2
 tiliza números relativos para representar cuántos
golpes menos o cuántos golpes más dio cada golfista a Adición y sustracción de números enteros
la pelota si el hoyo es par cuatro. Ejercitación
Números enteros 7.	Calcula el resultado de cada operación.
Comunicación a.	25 1 6 2 (26) 1 7 2 (28)
3.	Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). b.	9 1 (26) 1 (26) 2 (25)
a.	El conjunto de los números naturales es un c.	8 1 2 1 (210) 2 (29)
subconjunto de los números enteros.	d.	(212) 1 (215) 2 8 1 (28)
b.	El 26 es un número natural.	Ecuaciones
( ) Resolución de problemas
c.	El opuesto de un entero positivo es negativo.	8.	La suma de dos números es 3 650. Si uno de los su-
( ) mandos es 2 145, selecciona dentro de los siguientes el
d.	El 0 es un número entero positivo.	otro sumando.
( ) a.	1 505	b.	1 205	c.	1 405	d.	1 705
4.	Representa en la recta numérica el opuesto de cada 9.	A un número se le resta 128 y a su diferencia se le
grupo de números. suma 546. Al final, se obtiene 2 304 como resultado.
Elige el número inicial.
a.	26, 9, 21, 0, 8
a.	1 786	b.	1 886	c.	1 986	d.	2 016
b.	23, 22, 7, 211, 10 10.	Una taza de azúcar pesa 1 763 g. Si la taza vacía pesa
12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 459 g, ¿cuánto pesa el azúcar?
Estrategia: U
 tilizar la información de una Aplica la estrategia
tabla 1.	La Tabla 3 registra los movimientos de la cuenta
Problema bancaria de Patricia en una semana.
Una ciudad ha experimentado temperaturas extre- Día Consignación Retiro
mas como las que se registran en la Tabla 1. lunes $ 320 $ 180
Año Mínima Máxima martes $ 240 $ 570
2011 22 ºC 18 ºC miércoles $ 640 $ 450
2012 25 ºC 19 ºC jueves $ 120 $ 120
2013 24 ºC 22 ºC viernes $ 210 $ 230
2014 27 ºC 21 ºC
¿Cuál es el saldo de Patricia al finalizar la semana?
2015 23 ºC 23 ºC
Tabla 1 a.	Comprende el problema
¿En qué año la ciudad experimentó la mayor varia-
ción en la temperatura?
1.	Comprende el problema b	.	Crea un plan
•	¿Qué información se puede obtener de la tabla?
R: Las temperaturas máximas y mínimas que ha experimentado
la ciudad desde el 2011 al 2015.
c.	Ejecuta el plan
•	¿Qué se debe averiguar?
R: El año en el que se presentó la mayor variación de la
temperatura en la ciudad.
.	Comprueba la respuesta
2.	Crea un plan
•	Analiza la información de la tabla y calcula la dife-
rencia entre los números enteros correspondientes
a la temperatura máxima y mínima de cada año. Resuelve otros problemas
2.	El monte Pissis tiene 6 793 m de altura, ¿cuántos
3.	Ejecuta el plan metros más o cuántos metros menos de altura
tienen los montes de la Tabla 4 con respecto al
•	Calcula la variación de la temperatura en cada año. monte Pissis?
Año Variación Monte Aconcagua Huascarán
2011 18 2 (22) 5 18 1 2 5 20 °C
Altura (m) 6 962 6 768
2012 19 2 (25) 5 19 1 5 5 24 °C Tabla 4
2013 22 2 (24) 5 22 1 4 5 26 °C 3.	Ordena de menor a mayor los puntos de fusión de los
2014 21 2 (27 ) 5 21 1 7 5 28 °C elementos químicos registrados en la Tabla 5.
2015 23 2 (23 ) 5 23 1 3 5 26 °C Elemento Nitrógeno Helio Bromo Fósforo Neón
Tabla 2 Punto de
R:	La mayor variación de temperatura fue de 28 ºC y fusión 2219 2270 27 44 2249
se presentó en el 2014.
4.	Comprueba la respuesta Formula problemas
4.	Plantea y resuelve un problema que se solucione em-
•	Compara las variaciones de temperatura de los 5
años y verifica que 28 °C . 20 °C , 28 °C . 24 °C y pleando la ecuación:
28 °C . 26 °C. x 2 34 5 225
Una manera de averiguar cuántos litros de agua habrá en el tanque a las 11:00 a. m.,
consiste en hacer el cálculo de los litros que se vertieron durante las tres horas y, a
esta cantidad, restarle la cantidad de litros que se extrajeron en ese mismo tiempo.
Explora •	Al representar en la recta numérica la cantidad de litros de agua que se vierten en
Desde las 8:00 a. m., a un tanque va- el tanque, se obtiene la Figura 1.
cío se le vierten 28 L de agua cada
hora y se le extraen simultánea- 128 128 128
mente 5 L. 0 28 56 84 112 140
(13) ? (128) 5 184 Figura 1
Según lo anterior, después de 3 horas se habrán depositado 84 L de agua en el tanque.
•	Por otra parte, el número de litros que se extraen del tanque puede representarse
como en la Figura 2.
•	¿Cuántos litros de agua habrá en 225 220 215 210 25 0 5 10 15
el tanque a las 11:00 a. m.? (13) ? (25) 215 Figura 2
Entonces, al cabo de tres horas habrán salido del tanque 15 L de agua.
•	Finalmente, para calcular la cantidad de litros que habrá en el tanque a las 11:00 a.m.
se realiza la resta.
84 L 2 15 L 5 69 L
Para calcular el producto de dos números enteros, se multiplican los valores
absolutos de los factores. El producto es positivo si los factores tienen el mismo
El signo de la multiplicación (3) se signo, o es negativo si los factores tienen diferente signo.
puede reemplazar por el punto (?) para
evitar confusiones con otros signos
matemáticos. Por ejemplo, 10.1 Regla de los signos
738 Se puede determinar el signo del producto de dos números enteros si se aplica la
regla de los signos, que se resume como sigue.
7?8 •	El producto de dos números •	El producto de dos números enteros
enteros de igual signo es positivo. de diferente signo es negativo.
(1) ? (1) 5 1 (1) ? (2) 5 2
(2) ? (2) 5 1 (2) ? (1) 5 2
Multiplicar 3 ? (24) significa moverse hacia la izquierda en la recta numérica y
hacer tres saltos, avanzando 4 unidades en cada uno (Figura 3).
220 216 212 28 24 0 4 8 12
3 ? (24) Figura 3
Así, 3 ? (24) 5 212. Se verifica que, como los factores son de diferente signo, el
resultado sea negativo.
Destreza con criterios de desempeño: Operar en Z (multiplicación) de forma numérica, aplicando el orden de operación.
Ejemplo 2 Cálculo mental
Observa el resultado de estas multiplicaciones. Multiplicar por números cercanos
•	7 ? (28) 5 256	•	(26) ? 9 5 254 a las potencias de 10
•	(212) ? (23) 5 136	•	11 ? 4 5 44 Para multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es
decir, por una potencia de 10 menos 1
(o más 1), se descompone en sumas
10.2 Propiedades de la multiplicación de números enteros o restas de manera conveniente.
En el conjunto de los números enteros, la multiplicación cumple ciertas propiedades. Por ejemplo:
En la Tabla 1 se describe cada una de ellas. 28 ? 99 5 28 ? S100 2 1D
Propiedad Definición Ejemplo 5 2 800 2 28 5 2 772
La multiplicación de dos o más núme- •	Realiza las multiplicaciones.
Clausurativa ros enteros es otro número entero. S22) ? S29D 5 18 a. 37 ? 9
En general: a ? b 5 c, c [ Z
b. 223 ? 101
En toda multiplicación de números
enteros, el orden de los factores no S25) ? 4 5 4 ? S25D c. 57 ? 11
altera el producto. 220 5 220
En general: a ? b 5 b ? a
FS23D ? 4G ? (27)
Se pueden asociar los factores de 5 S212) ? (27)
distintas formas y el producto no se 5 84
altera. S23) ? [4 ? (27)]
En general: (a ? b) ? c 5 a ? (b ? c) 5 S23) ? (228)
El elemento neutro de la multiplicación
es 1, pues el producto de un número 1 ? (215) 5 (215) ? 1
entero por 1 es el mismo número. 5 215
En general: a ? 1 5 1 ? a 5 a
El producto de un número entero con
Elemento nulo 0 es 0. (25) ? 0 5 0
En general: a ? 0 5 0 ? a 5 0
2 ? (215 1 3)
La multiplicación de un número por
Distributiva de 5 2 ? (212) 5 224 El servicio
una suma es igual a la suma de los
la multiplicación Servir y mostrar solidaridad a
productos de dicho número por cada 2 ? (215) 1 2 ? 3
uno de los sumandos. los compañeros y compañeras
adición 5 (230) 1 6
En general: a ? (b 1 c) 5 a ? b 1 a ? c es fundamental para trabajar en
5 224 equipo.
•	¿Por qué consideras necesario
tener una actitud servicial al
1	Karina tiene ahorrados $ 2 752, pero debe $ 345 a cada uno de sus cinco
amigos. Indica, con un número entero, el saldo del que dispone Karina.
•	Primero se toma la cantidad de dinero que debe Karina y se multiplica por
5, que son los amigos a los que les adeuda.
(234 5) ? 5 5 2172 5
•	Luego, de los ahorros se resta la deuda.
2 752 2 1 725 5 1 027
Por lo tanto, Karina dispone de un saldo de 1$ 1 027.
Ejercitación 7	Resuelve y completa la Tabla 3.
2	Calcula estos productos. a b c a?b?c a ? c ? (21)
a.	(28) ? (24)	b.	(231) ? (24) 27 231 9
c.	(213) ? (242)	d.	(223) ? (26) 29 20 22
e.	42 ? (27)	f.	(218) ? (235) 5 213 0
g.	34 ? (22)	h.	(256) ? (236) 212 8 28
i.	(25) ? 19	j.	(24) ? 9 16 14 211
k.	(23) ? 24	l.	(27) ? 6 Comunicación
3	Halla el número que falta para obtener el resultado que 8	Escribe la multiplicación que se representó en cada caso.
se muestra en cada caso. a.
a.	7 ? 5 35	b.	(23) ? 5 224
c.	9 ? 5 2540	d.	? (215) 5 0 Figura 4
e.	? 25 5 2100	f.	? 200 5 2400 23 23 23 23 23 23
g.	12 ? 5 12	h.	(217) ? 5251 221 218 215 212 29 26 23 0 3
i.	9 ? 5 272	j.	? (235) 5 140 azonamiento
9 Resuelve.
4	Completa la Tabla 2. a.	(22) ? (22) ? (22)
b.	(22) ? (22) ? (22) ? (22)
Número 212 26 213 21 232 4
c.	(22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22)
d.	¿Qué signo tiene el resultado de multiplicar
(22) por sí mismo 981 veces?
e.	¿Cuál es el signo del siguiente producto?
(21) ? (22) ? (23) ? (24)… ? (21 056)
5	Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
a.	El producto de dos números enteros es otro número 10	Reemplaza en las operaciones las letras por sus valores
entero. ( ) correspondientes. Luego, calcula los resultados.
b.	El producto de dos números enteros negativos es un m 5 22 n55 p 5 27 q 5 210
número entero negativo. ( )
c.	El número 0 es el elemento neutro de la a.	(m ? q) ? (n ? p)	b.	m ? (n 1 p)
multiplicación de los números enteros. ( ) c.	(m 1 p) ? (n 2 q)	d.	(2m) ? p ? (2n) ? q
d.	La multiplicación de números enteros no cumple la e.	2p ? (q 1 p)	f. (m 2 q) ? p
propiedad conmutativa. ( )
Razonamiento 11	Lee cada situación y justifícala dando un ejemplo.
6	Escribe como producto de dos factores los siguientes a.	Si multiplicas dos números enteros que no tienen el
resultados (puede haber más de una solución). mismo signo, ¿qué resultado obtendrás?
a.	214	b.	300 b.	Si multiplicas dos números enteros negativos, ¿qué
resultado obtendrás?
c.	6	d.	84
c.	Si multiplicas dos números enteros, ambos positivos,
e.	225	f.	290 ¿el resultado será un número entero positivo o un
g.	275	h.	105 número entero negativo?
i.	88	j.	249
12	Completa las casillas de cada cuadrado con números enteros, 16	Completa las pirámides de las figuras 6 y 7, teniendo
de forma que el producto por filas y columnas sea el mismo. en cuenta que la casilla superior es el resultado de la
multiplicación de las dos casillas inferiores.
a. 22 a.
b. 25 3
23 2 21 22
13	Busca el camino más corto desde el punto A hasta el b.
punto B, de tal manera que cada número sea el doble del
anterior. El camino puede ser de manera vertical, horizontal
o diagonal.
A 212 16 35 77 21
27 24 46 24 12 25
214 228 43 56 112 45
28 256 2112 12 289 90
56 221 2224 2448 21 216 457
2 24 2 21 4
30 264 448 2896 21 792 2 516
60 128 2235 21 624 23 584 B
14	Resuelve. Si p y q son números enteros, encuentra las 17	¿Cuál es el resultado de la multiplicación entre la suma
posibles soluciones para cada ecuación. de (27) y (26) y la resta entre (24) y (24)?
a.	p ? q 5 245	b.	p ? q 5 2448
c.	p ? q 5 232	d.	p ? q 5 54 18	Si el producto de dos números es 248 y la diferencia
entre el entero mayor y el entero menor es 16, ¿cuáles
e.	p ? q 5 86	f.	p ? q 5 296 son los dos números?
15	Encuentra y corrige el error en las siguientes multiplicaciones
19	En la tienda de don Juan hay una nueva nevera. Si la
de enteros.
temperatura desciende 4 ºC cada hora una vez conectada
a.	[(21) ? 4 ? (217)] ? (8 ? 5) la máquina, y la temperatura actual es de 16 ºC, ¿cuál será
5 (268) ? 40 la temperatura dentro de ocho horas?
5 22 720
20	Al triplicar la temperatura registrada en un día muy
b.	[(25) ? 4 ? (27) ? (28)] ? (23) caluroso se obtiene 69 ºC. ¿Cuál era la temperatura inicial?
5 1 120 ? (23)
5 3 360 21	Una piscina se llena a razón de 250 L por hora. ¿Cuántos
litros de agua tiene la piscina después de 7 horas?
Para resolver la situación, se puede dividir la temperatura final entre la cantidad
de grados Celsius en los que disminuye la temperatura cada hora.
(278) 4 (213)
En cierto experimento científico se En este caso, se debe dividir una cantidad negativa entre otra cantidad negativa.
debe disminuir la temperatura de Para ello, se efectúa la división del valor absoluto del dividendo entre el valor abso-
una sustancia a razón de 13 ºC cada luto del divisor, y al cociente se le pone signo positivo.
(278) 4 (213) 5 16
Este resultado significa que habrán transcurrido 6 horas desde el inicio del experi-
mento hasta alcanzar la temperatura final.
Para calcular el cociente de dos números enteros, se divide el valor absoluto
del dividendo entre el valor absoluto del divisor. El cociente es positivo si el
dividendo y el divisor tienen el mismo signo, y es negativo si dichos términos
tienen diferente signo.
La regla de los signos tiene una versión correspondiente en la división exacta
•	Si el experimento da inicio con
una temperatura de 0 ºC, ¿cuántas •	El cociente de dos números ente- •	El cociente de dos números enteros
horas habrán transcurrido cuando ros de igual signo es positivo. de diferente signo es negativo.
la temperatura alcanza los 78 ºC (1) 4 (1) 5 1 (1) 4 (2) 5 2
bajo cero? (2) 4 (2) 5 1 (2) 4 (1) 5 2
La definición de división exacta permite calcular cocientes como los siguientes.
En la calculadora •	18 4 (26) 5 23, ya que (26) ? (23) 5 118.
Dividir números enteros •	(245) 4 (29) 5 15, porque (29) ? (15) 5 245.
Para dividir dos números en la calcula- •	(296) 4 8 5 212, pues 18 ? (212) 5 296.
dora sin emplear paréntesis, se utiliza
•	108 4 12 5 9, porque 112 ? (19) 5 1108.
la tecla . Por ejemplo, para realizar
la división (228) 4 (24), digita:
•	Verifica en tu calculadora los cocien- Si se sabe que el producto de dos números enteros es 156 y uno de los factores es
tes obtenidos en los ejemplos 1 y 2. 212, para averiguar cuál es el otro factor se efectúa la división:
156 4 (212) 5 213
Si un buzo se sumerge en el mar 15 m cada hora, se puede averiguar cuánto
tiempo ha transcurrido si el buzo se encuentra a 275 m efectuando la siguiente
275 4 (215) 5 15
Según lo anterior, han transcurrido 5 horas.
Destreza con criterios de desempeño: Operar en Z (división) de forma numérica, aplicando el orden de operación.
1	En cierta ciudad se registró una temperatura de 24 ºC bajo cero a las 3:00 p. m.
Si a las 7:00 a. m. del mismo día la temperatura era tres veces mayor, ¿cuál sería
la temperatura a esa hora?
Para responder la pregunta, se puede dividir la temperatura presentada a
las 3:00 p. m. entre 3, así:
(224) 4 3 5 28
Lo anterior permite concluir que la temperatura presentada en la ciudad
a las 7:00 a. m. fue de 8 ºC bajo cero.
2	Calcula los cocientes. 5	Halla el valor de x para que cada expresión sea verdadera.
a.	144 4 (212)	b.	(282) 4 2 a.	156 4 x 5 13	b.	x 4 (215) 5 11
c.	(226) 4 (22)	d.	18 4 (26) c.	714 4 (221) 5 x	d.	2(21 4 7) 5 x
e.	(220) 4 4	f.	(212) 4 (212) Resolución de problemas
g.	35 4 (27)	h.	(2190) 4 (210) 6	¿Qué cociente se obtiene al dividir el cuádruplo
i.	25 4 (25)	j.	(285) 4 (25) de (212) entre (26)?
k.	98 4 (22)	l.	(212) 4 6 7	¿Cuál es el número entero x que dividido entre 4
da como resultado 215?
3	Completa la Tabla 1 según las operaciones indicadas.
Escribe una X cuando no se trate de una división exacta. 8	Un buzo se sumerge a una velocidad de 20 m por
minuto. ¿Cuántos minutos tarda en alcanzar 900 m de
a b a4b 22b a 4 (2b) profundidad?
224 23 9	Thomas tiene una deuda de $ 1 2 00 que debe pagar
16 24 en 24 cuotas mensuales iguales. ¿Cuánto debe pagar
225 2 Thomas mensualmente?
26 66 10	Un avión se aproxima a tierra perdiendo 12 000 pies de
32 8 altura en 15 minutos. ¿Qué altura pierde el avión por
6 218 cada minuto?
11	Una piscina tiene 2 056 L de agua. Si se vacía a razón
Comunicación de 257 L por hora, ¿cuántas horas demorará en
4	Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). vaciarse completamente?
a.	Todo número entero dividido por otro entero, 12	La familia Martínez está integrada por cuatro
siempre da un número entero. ( ) personas. Entre todos compraron un automóvil por
b.	Si el dividendo es múltiplo del divisor, el resultado un costo de $ 38 000, que pagarán en cuotas iguales
siempre es un número entero. ( ) durante dos meses. ¿Cuánto dinero deberá pagar
cada integrante de la familia el primer mes?
c.	La división de números enteros es conmutativa. ( )
13	Susana compró tres artículos: A, B y C. El artículo C le
d.	La división de números enteros no es asociativa. ( )
costó $ 540; el artículo A le costó el doble del artículo C
e.	Para que el cociente sea entero, basta que el dividido en 3, y el artículo B le costó 5 veces el precio de C
dividendo sea mayor que el divisor. ( ) dividido en 10. ¿Cuánto pagó por cada artículo?
Una manera de encontrar solución al problema consiste en plantear una ecua-
ción como la que se muestra a continuación.
Explora (215) ? x 5 300
El producto de dos números es 300. En esta ecuación, la incógnita x representa el número que se debe hallar. Para
•	Si uno de los factores es 215, resolverla, se aplican tanto las propiedades de las igualdades como las de la mul-
¿cuál es el otro? tiplicación de números enteros.
(215) ? x 5 300 Ecuación
x ? (215) 5 300 Se aplica la propiedad conmutativa de
x ? (215) 4 (215) 5 300 4 (215) Se divide en ambos lados de la igualdad
entre (215).
Ten en cuenta x ? 1 5 220 Se realizan las divisiones indicadas en
ambos lados de la igualdad.
En general, a ? b se puede escribir x 5 220 Se aplica la propiedad modulativa de la
como ab o ba. multiplicación y se obtiene la solución.
Por lo tanto, el número buscado es 220.
Las ecuaciones de estructura multiplicativa se caracterizan porque su
operación principal es una multiplicación o una división.
Son de la forma: a ? x 5 b ; x 4 a 5 b, donde x es la incógnita de la ecuación.
Al resolver ecuaciones de estructura multiplicativa, conviene tener en cuenta
la siguiente equivalencia.
Si:	Dividendo	Divisor
se prueba que:
Dividendo 5 Cociente ? Divisor 1 Residuo
De acuerdo con lo anterior, para resolver una ecuación como x 4 (29) 5 12,
se puede encontrar la multiplicación equivalente.
x 4 (29) 5 12 es equivalente a x 5 (29) ? 12
Por lo tanto, al resolver la última ecuación se obtiene que:
x 5 (29) ? 12 5 2108; es decir, x 5 2108.
Abre la aplicación Orco y practica
1	Resuelve la ecuación 213x 1 65 5 39.
las operaciones con números en-
teros. Solución:
Se observa que la ecuación propuesta tiene una estructura a la vez aditiva
y multiplicativa. Entonces:
213x 1 65 5 39 Ecuación dada.
Se adiciona el opuesto de 65 en am-
⇔ 213x 1 65 2 65 5 39 2 65
bos lados de la ecuación.
⇔ 213x 1 0 5 226 Propiedad invertiva de la adición.
⇔ 213x 5 226 Propiedad modulativa de la adición.
⇔ x ? (213) 4 (213) 5 226 4 (213) Se divide por 213 en ambos lados
⇔x?152⇔x52 Propiedad modulativa de la
Destreza con criterios de desempeño: Expresar enunciados simples en lenguaje matemático (algebraico) para resolver problemas.
Resolución de problemas Ten en cuenta
2	El cociente exacto entre dos números enteros es 134. Si el divisor es 228,
¿cuál es el dividendo? Dos ecuaciones se denominan
equivalentes si tienen la misma
 se designa con x al dividendo, entonces se puede plantear la siguiente
x 4 (228) 5 134
A su vez, esta ecuación es equivalente a:
x 5 134 ? (228)
x 5 23 752
a. 2x 5 48, sol: x 5 24 b. 800 2 2x 5 670, sol: x 5 65
c. 3x 27 5 219, sol: x 5 24 d. 3x 2 12 5 x 2 4, sol: x 5 4
Ejercitación Modelación e. 2x-8=12, sol: x=10 f. 2x 5 x 2 8, sol: x 5 28
3	Determina cuáles de las siguientes expresiones son 6	Traduce los siguientes enunciados en ecuaciones y
ecuaciones multiplicativas y cuáles no. Justifica tu resuélvelas.
respuesta. a.Sí b. No c. No d. Sí e. No f. Sí. a.	El doble de un número es 48.
a.	40x 5 2120	b.	2 1 60 1 x 5 83 b.	Si a 800 se le resta el doble de cierto número, se
obtiene 670.
c.	x 2 89 5 46	d.	100x 5 100 000 c.	El triple de un número adicionado con 27 equivale
e.	x 1 25 5 245	f.	214x 5 112
d.	El triple de un número disminuido en 12 es igual al
número menos 4.
4	Relaciona cada ecuación con su respectiva solución.
e.	Dos veces un número disminuido en 8 equivale a
a.	24x 5 248	( )	248 12.
f.	El duplo de un número equivale al mismo número
b.	22x 5 96	( )	4 disminuido en 8.
c.	24 5 x ? 6	( )	8 Resolución de problemas
7	Si al dinero que tengo le sumo su doble y le resto $ 3 500,
d.	58x 5 464	a. 22 ( )	5
me quedan $ 19 000. ¿Cuánto dinero tenía?
b. 248 Tenía $ 7 500
e.	12x 5 60	c. 4 ( )	22 8	En una finca se va a construir una piscina de dos metros
d. 8 de profundidad, doce metros de largo y x metros de
f.	5x 5 2120	( )	224 ancho. Si el volumen de la piscina será de 192 m3. ¿ Cuál
g. 25 será la medida del ancho de la piscina?
g.	36x 5 2180	( )	25 8m
9	¿Cuál es el área de un triángulo que tiene 9 cm de base
y 18 cm de altura? A 5 81 cm2
5	Resuelve cada ecuación. Luego, verifica la solución hallada.
10	Un padre tiene 38 años y su hijo 10. ¿Al cabo de cuántos
a.	5x 5 25	b.	2x 5 2234 años será la edad del padre tres veces mayor que la edad
del hijo? En 4 años
c.	2120 5 x ? 8	d.	224x 5 296
11	Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de
e.	68x 5 2204	f.	25x 5 29x 2 24 la mañana parte de la ciudad A un automóvil hacia la
ciudad B con una velocidad de 80 km/h, y de la ciudad
g.	5 1 2x 5 5x 2 7	h.	1 1 4x 2 3 5 6x 1 8 B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de
i.	25x 5 120 2 5x 1 10x	j.	8 ? (x 2 2) 5 4 ? (x 1 3) 70 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo se encontrarán los
automóviles y qué hora será en ese momento?
a. x 5 5 b. x 5 2117 c. x 5 215 d. x 5 4 e. x 5 23 Los automóviles se encontrarán al cabo de 2 y serán las 11:00
f. x 5 26 g. x 5 4 h. x 5 25 i. x 5 6 j. x 5 7 a.m 43
13.1 Operaciones sin paréntesis
Para resolver operaciones combinadas con números enteros, se les da prioridad
a algunas operaciones con respecto a otras; es decir, existe una jerarquía de las
operaciones que indica el orden en que estas deben ser efectuadas.
Observa cómo se resuelve la si-
En este caso, el orden correcto en el que se debe resolver la operación presentada
guiente operación de dos maneras
es: primero se realiza la división y luego la adición.
I.	15 1 18 4 (23)
15 1 18 4 (23)
5 33 4 (23) 5 15 1 (26) 5 9
Para efectuar operaciones combinadas con números enteros, se sigue este
II.	15 1 18 4 (23) orden:
5 15 1 (26) 1.	Se resuelven las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
59 2.	Se resuelven las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
•	¿Cuál es el resultado correcto de
Observa el orden en el que se realizan las operaciones en cada caso.
•	12 1 3 ? 18 2 29
5 12 1 54 2 29 Se resuelve primero la multiplicación.
5 37 Se efectúan la adición y la sustracción.
•	96 4 4 2 2 ? (29)
Se resuelven primero la división y la
5 24 1 18 multiplicación de izquierda a derecha.
5 42 Se efectúa la adición.
•	(27) ? (24) 1 9 ? (23)
Un polinomio aritmético es una 5 28 2 27 Se resuelven las multiplicaciones.
expresión en la que intervienen varias 51 Se efectúa la adición.
multiplicaciones y/o divisiones ligadas
por los signos 1 y 2. Ejemplo 2
Cuando en un polinomio aritmético hay dos o más operaciones del mismo
orden, estas se efectúan según aparezcan de izquierda a derecha, como en el
(230) 4 5 ? 3
5 (26) ? 3 Se realiza primero la división.
5 218 Se resuelve la multiplicación.
Ten en cuenta el proceso para resolver la siguiente operación.
2 1 20 4 5 1 5 ? 3 1 4 2 5 ? 4 2 8 1 4 ? 2 2 16 4 4
5 2 1 4 1 15 1 4 2 20 2 8 1 8 2 4
5 2 1 4 1 15 1 4 1 8 2 20 2 8 2 4
5 33 2 32
Destreza con criterios de desempeño: Realizar operaciones combinadas en Z aplicando el orden de operación y verificar resultados utilizando la tecnología.
13.2 Operaciones con paréntesis
Los signos de agrupación se emplean
Cuando hay operaciones combinadas en las que aparecen signos de agrupación, para indicar que las cantidades en-
el orden para resolverlas es el siguiente: cerradas en ellos deben considerarse
1.	Se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis. Si hay unos como una sola cantidad.
dentro de otros, se empieza por los internos. Estos signos se eliminan uno a uno,
2.	Se efectúan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. empezando por el que esté situado
más adentro, y siguiendo el orden
3.	Se realizan las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
propio de las operaciones que hay
que efectuar, es decir, despejar de
Ejemplo 4 adentro hacia afuera.
Observa cómo se efectúa esta operación.
(15 2 6) 1 3 2 [(20 2 5 ? 2) 1 (5 1 24 4 4)] 2 (23)
5 9 1 3 2 [(20 2 10) 1 (5 1 6)] 2 (23) Se aplica la jerarquía de las
operaciones en los paréntesis.
Se continúa con las operaciones que
5 9 1 3 2 [10 1 11] 2 (23) se encuentran entre paréntesis.
Se resuelven las operaciones de los
5 9 1 3 2 21 2 (23) corchetes. Ten en cuenta
5 9 1 3 2 21 1 3 Se eliminan los signos de agrupación. El signo menos (2) antes de un
paréntesis es la forma abreviada de
5 26 Se efectúan adiciones y sustracciones. multiplicar por (21). Esto es:
2(a 1 b) 5 21 ? (a 1 b).
Ten en cuenta cómo los signos de agrupación determinan el resultado de
una operación combinada con números enteros, a pesar de tener los mismos

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