Source: https://es.scribd.com/document/340053932/Inecuaciones-de-Primer-y-Segundo-Grado-1
Timestamp: 2019-04-21 19:02:04+00:00

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TÍTULO : ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER
Y SEGUNDO GRADO
ÍNDICE . como agradecimiento a su esfuerzo. por brindarnos la dicha de la salud y bienestar físico y espiritual A nuestras familias. amor y apoyo incondicional. durante nuestra formación tanto personal como profesional. AGRADECIMIENTO A Dios.
pueden consignarse de varias maneras. y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. calculadas a priori o medidas en un experimento. Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0. Estas magnitudes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a.  Ejemplo de inecuación condicional: . en particular. no solo los números. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s. . d = a·t2/2.66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t.1 Los valores que verifican la desigualdad. INTRODUCCIÓN Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes. existe una función que a cada polígono le asigna su número de lados. la variable independiente. son sus soluciones. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.) Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. Se dice qued es la variable dependiente de t. la distancia recorrida es una función entonces de a y t. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera. una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Por otro lado las inecuaciones vienen a ser Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación.  Ejemplo de inecuación incondicional: . Por ejemplo.
Por lo general. CAPÍTULO I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA A. los alumnos deben: . La tendencia de operar todos los datos presentados. El problema se agrava cuando se presentan los “problemas de aplicación” . Por otra parte. Como pauta general para resolver problemas matemáticos. Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las dificultades de comprensión lectora . aunque algunos no sirvan. resolver un problema. lo cual muchas veces les impide resolver algunos problemas que se les plantean. en la medida que los alumnos realizan ejercicios. Es importante notar que hay una diferencia básica entre el concepto "problema" y "ejercicio" . La respuesta suele ser única. No es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema. y otra. los alumnos requieren de conocimientos básicos de otras áreas. pero la estrategia resolutoria está determinada por factores madurativos o de otro tipo. ya que muchos de ellos están fuera de su entorno de conocimientos. este asunto plantea mayor dificultad que el poder despejar una ecuación. Una cosa es aplicar un algoritmo de forma más o menos mecánica. progresarán en la adquisición del conocimiento. evitando las dificultades que introduce la aplicación de reglas cada vez más complejas. los alumnos resuelven mejor los problemas si alguien se los lee que si los lee el mismo. certifica esta falta de comprensión global. CARACTERIZACIÓN DE LA PROBLEMÁTICA Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos es entender las matematicas y como tema en este caso es el de las inecuaciones . dar una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto. para aplicar conocimientos de matemáticas y poder proponer modelos de solución. La mejor recomendación es la práctica cotidiana.
Luego expresar el problema en lenguaje simbólico o matemátcio. OBJETIVO GENERAL Analizar con mayor detalle el concepto de función y inecuación a definir el conjunto de valores para los que una función dada está definida.Analizar y comprender el enunciado. por costumbre. es decir. para ello deben subrayar las palabras más significativas del mismo. OJETIVOS ESPECÍFICOS Conceptualizar a las inecuaciones de primer y segundo grado Conocer lo que es una función como segundo plano Aprender a resolver problemas sobre ecuaciones e inecuaciones C. JUSTIFICCIÓN E IMPORTANCIA al estudiar este tema de funciones y inecuaciones nos permitirá ampliar nuestros conocimientos además también sirve de mucho aprender este tema por que es para el beneficio de nosotros ya que para hacer los ejercicios se . crecen o decrecen varias veces a lo largo de su dominio de definición). 2. ciertos valores reales son imposibles). Las ecuaciones sirven a menudo para resolver problemas. Debemos recordar que en una ecuación la variable puede estar representada por cualquier letra. y a introducir el sentido de variación de una función o monotonía (la mayoría de las funciones raramente son monótonas. para defiinir aquellas que dan las órdenes. lo que llamamos su dominio de definición (si la variable está en el denominador o dentro de una raíz cuadrada. sino que cambian de tendencia. DELIMITACIÓN DE LOS OBJETIVOS 1. se usa "x". B.
no apareció hasta los inicios .  la indisponibilidad del alcance económico  la falta de tiempo CAPÍTULO II MARCO TEORICO A. toma en cuenta cada uno de sus pasos que niños ya que si no seguimos los pasos todo el ejercicio va a estar mal. susceptible de ser estudiado por sí solo. LIMITACIONES. ANTECEDENTES Historia El concepto de función como un objeto matemático independiente. D.
. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico. Clairaut. una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736. BASES TEORICAS INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CONTENIDO:  Desigualdad. del cálculo en elsiglo XVII.  Aplicaciones.  Inecuación de Primer Grado.1 René Descartes. o sin relación con ningún fenómeno natural. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números. Sin embargo. que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo. esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores. de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas. Leibniz en particular acuñó los términos «función». «constante» y «parámetro». y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto. «variable». y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. La notación f(x) fue utilizada por primera vez por A.  Inecuación de Segundo Grado.2 3 4 Inicialmente. B.C.
. Intervalos: Podemos expresar la solución de la inecuación mediante: a. Un intervalo.DESIGUALDAD: Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos: Símbol Se lee Ejemplo o < menor que 2x − 1 < 7 ≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7 > mayor que 2x − 1 > 7 ≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7 La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación. b. Una representación gráfica.
2x − 1 < 7  2x < 8  x<4 C. la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada. 2x − 1 ≤ 7  2x ≤ 8  x≤4 C. ∞) Criterios de equivalencia de inecuaciones: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número.S.Ejemplos: 1. . 2x < 6  2x ÷ 2 < 6 ÷ 2  x<3 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo.S. = (-∞. 4] 3. 3x + 4 < 5  3x + 4 − 4 < 5 – 4  3x < 1 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo. = (4.S.S. 4) 2. = (-∞. 2x − 1 > 7  2x > 8  x>4 C. = [4. 2x − 1 ≥ 7  2x ≥ 8  x≥4 C. la inecuación resultante es equivalente a la dada. ∞) 4. la inecuación resultante es equivalente a la dada.
3º Quitar denominadores. 7x – 3  0 b. 2º Quitar paréntesis. 4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. −2 ≤ 0 3 Estrategias para la Resolución de Inecuaciones de Primer Grado Ejemplos: a. −x < 5  (−x) × (−1) > 5 × (−1)  x > −5 INECUACION LINEAL O DE PRIMER GRADO Inecuación que se puede escribir dela siguiente forma: ax + b ≤ 0. 2 – 5x  0 x c. Consideremos la inecuación: La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1º Quitar corchetes. a≠0 Ejemplos: a. 5º Efectuar las operaciones .
S. 6º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1.S en forma de intervalo ¿ C . Obtenemos la solución como una desigualdad. = [3. la ¿ desigualdad cambia 2x 8 < −2 −2 ¿ x <−4 Represente gráficamente la solución.−4 ¿ .=¿−∞ . pero ésta también podemos expresarla: De forma gráfica: Como un intervalo: C. S . 7º Despejamos la incógnita. Resuelve 2 (3−x ) >14 Aplique la propiedad distributiva de la 6−2 x >14 multiplicación Reste 6 a ambos lados 6−2 x−6 >14−6 ¿−2 x> 8 Divida entre -2 para despejar la incógnita. +∞) b. Exprese el C. por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0 . 2 – 5x  0 x c. Consideremos la inecuación: x2− 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. −2 ≤ 0 3 Estrategias para la Resolución de Inecuaciones de Segundo Grado Ejemplos: a.INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Inecuación que se puede escribir dela siguiente forma: ax + b ≤ 0. x2 − 6x + 8 = 0 2º Representamos estos valores en la recta real. 7x – 3  0 b. a≠0 Ejemplos: a.
le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad. El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad. C. ∞) 2 b. = (-∞. la solución es . Resuelva: x + 2x +1 ≥ 0 Solución x2 + 2x +1 = 0 (x + 1)2 ≥ 0 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es Conjunto Solución x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0 x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2> 0 x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x=−1 x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2< 0 c. Resuelva: x2 + x +1 > 0 Solución x2 + x+1 = 0 Cuando no tiene raíces reales. 3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.S. no tiene solución. Conjunto Solución x2 + x +1 ≥ 0 x2 + x +1 > 0 x2 + x +1 ≤ 0 . 2) (4.
teniendo en cuenta que las raíces del denominador. independientemente del signo de la desigualdad. x2 + x +1 < 0 Inecuaciones racionales Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado. Ejemplos: a) Resuelve: Solución 1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. 3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: . x−2=0  x=2 x−4=0  x=4 2º Representamos estos valores en la recta real. tienen que ser abiertas. pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.
2) (7. ∞) Ejercicios 1 Resolver las siguientes inecuaciones a. = (-∞. 4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.S. . = (-∞. Hallamos las raíces del numerador y del denominador.S. C. −x + 7 = 0  x=7 x−2=0  x=2 Evaluamos el signo: C. 2] (4. ∞) b) Resuelva: Solución Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.
e. −x2 + 4x − 7 < 0 c. c. 1 7x2 + 21x − 28 < 0 6 Resolver la inecuación: b. b. 2 Resuelve el sistema : 3 Resolver las inecuaciones: a. 4x2 − 4x + 1 ≤ 0 b. 9 Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x2 − 6x + k = 0 sean b. 10 Resolver las inecuaciones de primer grado a. . x4 − 16x2 − 225 ≥ 0 8 Resuelve: 5 Resolver las inecuaciones: a. las dos reales y distintas. 4 Resuelve: 7 Resuelve: a. d. b. c. x4 − 25x2 + 144 < 0 c.
x2 + x +1 > 0 i. d. −x2 + 4x − 7 < 0 11 Resolver las inecuaciones de segundo f. c. x2 − 6x + 8 > 0 b. x4 − 16x2 − 225 ≥ 0 12 Resolver las inecuaciones racionales c. 4x2 − 4x + 1 ≤ 0 a. x2 + 2x +1 ≥ 0 h. . e. 7x2 + 21x − 28 < 0 j. e. grado g. x4 − 25x2 − 144 < 0 d. a. b.
Inversión: Una compañía invierte $30.000 de sus fondos excedentes a dos tasas de interés anual: 5 y 6. Encuentre el menor número de revistas que pueden ser publicadas sin pérdida (suponga que toda la emisión será vendida). determine el número mínimo de unidades que la compañía debe de vender para obtener utilidades. si los costos fijos son de $600. 2. Publicidad: El costo unitario de publicación de una revista es de $ 0.18 por kilómetro. 4.40 por unidad. el gasto general.000.65. 3. sin importar el volumen de ventas es de $5000. Ella puede rentar un automóvil por $400 mensuales (con una base anual). si comprase el carro el gasto fijo anual sería de $3000 más $0. Bajo este plan el costo por kilómetro (gasolina y aceite) es de $0.75%? .75%. ¿Cuál es el menor número de kilómetros que deberá conducir por año para que la renta no sea más cara que la compra. Si el precio para un mayorista es de $7. Renta versus compra:una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre los costos de compra y rentar un automóvil. determine el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que la compañía obtenga utilidades.10.000. Utilidades:Para producir una unidad de un producto nuevo. se vende al distribuidor a $0.50 y el de mano de obra es de $4.APLICACIONES: 1. 5. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que de invertir a la tasa de 6. una compañía determina que el costo de material es de $2.60 cada una y la cantidad que se recibe por publicidad es de 10% de lo recibido por todas las revistas vendidas arriba de las 10. Utididades:La compañía “Durini” fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de$20 y un costo unitario de $15.
suponga que pueda trabajar por $8. t  40 Suponga que el trabajo les toma t horas.50. Un método paga $12. para que valores de t el salario por hora es mejor? 9.50 la hora. El salario que reciba puede afectar la velocidad con la cual trabaje.000 por semana en mano de obra.00. o por $300 más $3 por cada hora por debajo de 40.750. Si . si completan el trabajo en menos de 40 horas. Compensación:Suponga que una compañía le ofrece un puesto de ventas y que usted elija dos métodos para determinar su salario. Por ejemplo.600. Asignación de ventas: Un fabricante tiene 2. ¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden ser vendidas en este mes.500 unidades no sea menor que $10. el costo de mano de obra para producir un reloj es de $2. el fabricante quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2.000 relojes esta semana. La compañía debe producir 11. El administrador ha decidido no gastar más de $25. Si .6. 8. Asignación de Producción: Una compañía produce relojes despertadores.500 unidades de un producto cuyo precio unitario es de $4. el próximo mes el precio por unidad se incrementará en $ 0.00. Sueldo por hora: A los pintores mayormente se les paga por hora o por obra terminada. claramente el sueldo por t  40 hora en mejor. ¿Para qué nivel de ventas anuales es mejor escoger el primer método? . más un bono de 2% sobre sus ventas anuales. El otro método paga una sola comisión del 8% sobre sus ventas. Durante una semana normal de trabajo. ¿Cuál es el número mínimo de relojes que deben ser producidos en una semana normal de trabajo? 7. pero si es hecho en tiempo extra su costo es de $3.
440 o un pago de $1. A lo más. Concierto en el campus:La rectora de la universidad está planeando que un grupo de rock realice un concierto en el campus.10. Es probable que 800 alumnos asistan.000 más el 40% de las entradas. El precio por el concierto sería un pago único de $2. ¿Cuánto podría cobrar la rectora por boleto de modo que la segunda forma de pago no sea más elevada que el pago único? Si se cobra este máximo ¿Cuánto dinero deberá de dejarse para publicidad. guardias y otros gastos del concierto? .
Resolución de inecuaciones de primer grado Consideremos la inecuación: La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1º Quitar corchetes. . Resolver una inecuación consiste en encontrar el valor o valores que la verifican. El método de resolución de inecuaciones de primer grado se similar a la resolución de ecuaciones salvo por el hecho de que si multiplicamos los dos miembros de una inecuación por un número negativo cambia el sentido de la inecuación. CAPÍTULO III ANÁLISIS Inecuación de primer grado simple Una inecuación es una expresión algebraica que consta de dos miembros separadospor una desigualdad. alcontrario de las ecuaciones de primer grado. las inecuaciones tienen infinitas soluciones agrupadas en un conjunto. ≤ . La desigualdad puede ser < . > . ≥.
2º Quitar paréntesis. por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. Obtenemos la solución como una desigualdad. 5º Efectuar las operaciones 6º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1. 3º Quitar denominadores. 4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. 7º Despejamos la incógnita. pero ésta también podemos expresarla: De forma gráfica: .
+∞) INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Consideremos la inecuación: x 2 − 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. x 2 − 6x + 8 = 0 2º Representamos estos valores en la recta real. Como un intervalo: [3. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: .
2) (4. S = (-∞. P(0) = 0 2 − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 5 2 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0 3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio. ∞) 2 + 2x +1 ≥ 0 x 2 + 2x +1 = 0 (x + 1) 2 ≥ 0 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es Solución x 2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1) 2 ≥ 0 .
no tiene solución. la solución es . Solución x 2 + x +1 ≥ 0 x 2 + x +1 > 0 x 2 + x +1 ≤ 0 x 2 + x +1 < 0 . x 2 + 2x +1 > 0 (x + 1) 2 > 0 x 2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1) 2 ≤ 0 x =− 1 x 2 + 2x +1 < 0 (x + 1) 2 < 0 x 2 + x +1 > 0 x 2 + x +1 = 0 Cuando no tiene raíces reales. El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad. le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad.
ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica. y creemos que también esta monografía nos será útil en la práctica. Tras el estudio de las nombradas funciones y inecuaciones matemáticas. ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las inecuaciones matemáticas de primer y segundo grado. en especial la física y la química. El objetivo planteado en la introducción se cumplió. CONCLUSIONES Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo. . nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática. podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias.
PURCELL. Editorial Mc Graw Hill. Grupo Editorial Iberoamericana S. Edwin J. Editorial Mc Graw Hill. Frank y Elliott Mendelson. FUENLABRADA. Cálculo. Matemáticas VI. Una Introducción a la Derivada a través de laVariación. Cálculo Diferencial. EditorialPrentice Hall. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA. de C. . FLORES. A. BIBLIOGRAFÍA AIRES. Crisólogo Dolores. Samuel. Preparatoria Abierta. Cálculo Diferencial e Integral con Geometría Analítica. MCATEE. John y otros. y Dale Varberg. Cálculo Diferencial e Integral. V.
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