Source: https://es.scribd.com/document/86601874/Ecuacion-parametrica
Timestamp: 2016-10-01 17:35:12+00:00

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, una parametrización tendrá la forma Una parametrización posible sería Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde "X" y "Y" equivaliesen a 2U y 4U
sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1 Curvas notorias Circunferencia Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que X
Una expresión paramétrica es Elipse Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el eje X en a y -
a, y con el eje Y en b y -b, verifica que Una expresión paramétrica es Representación paramétrica de una curva La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-
dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma , donde e
representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t) Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada. Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave. Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial , donde ê
representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima. Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma . Representación gráfica de curvas y superficies Los objetivos de esta práctica son: Representar gráficamente curvas planas descritas en forma paramétrica, implícita o polar. Representar gráficamente superficies en R3 dadas en forma paramétrica, implícita o en coordenadas cilíndricas o esféricas. Representar gráficamente superficies de revolución en R3. 1. Curvas planas Curvas dadas en forma explícita Entendemos por esto la gráfica de una función real de una variable. Aunque no vamos a precisar más, se suele imponer alguna condición a la función para llamar curva a su gráfica; por ejemplo, que sea continua, o que sea derivable o derivable a trozos, o que sea derivable hasta cierto orden prefijado. En las prácticas anteriores ya hemos visto cómo se representa una gráfica con las órdenes plot y display, y conocemos diversas opciones que nos permiten afinar la presentación, como color, thickness, discont, scaling,... Algunas de estas órdenes, en particular display, necesitan cargar antes el paquete plots. Veamos un ejemplo: > restart:with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > f:=x->(x^2+2)/(x-3); f := x x2 + 2 x 3 > curva:=plot(f(x),x=-15..25,y=-
10..30,color=red,thickness=3,di scont=true): > asint1:=plot(x+3,x=-15..-5,color=blue,thickness=2): > asint2:=plot(x+3,x=5..25,color=black,thickness=2): > display(curva,asint1,asint2,scaling=constrained); Curvas en forma paramétrica Una curva puede indicarse también en forma paramétrica, es decir, describiendo los puntos (x,y) de la curva mediante dos funciones: x = f(t), y=g(t). La variable t se suele llamar el parámetro de la curva. Por ejemplo, la circunferencia centrada en el origen y de radio 1 se puede describir mediante x = cos(t), y = sen(t) , donde t recorre el intervalo [0, 2 ] . En Maple pueden representarse curvas en forma paramétrica: > restart; > plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]); No parece una circunferencia, sino más bien una elipse. Eso es porque la escala no es la misma en los dos ejes y la figura aparece distorsionada. Realmente, lo que se ve es una elipse. Podemos pedir que la escala sea la misma con la orden scaling=constrained. Otras opciones que ya hemos visto también funcionan aquí. > plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained,color=blue ,thickness=2); Cualquier curva dada en forma explícita, es decir, como y = f(x), también se puede escribir trivialmente en forma paramétrica, como x = t , y = f(t). Veamos la curva y = x2 + 2 x 3 del apartado anterior. Observamos de paso que también aquí se puede usar la opción discont=true. > plot([t,(t^2+2)/(t-3),t=-15..25],view=[-15..25,-
10..30],scali ng=constrained,discont=true); También puede representarse más de una curva a la vez. Naturalmente, el parámetro no tiene por qué llamarse t. En este ejemplo se llama u en ambas gráficas, pero puede tener cualquier otro nombre (incluidos x e y), y también puede tener diferente nombre en cada curva. Así mismo, los parámetros pueden recorrer intervalos distintos en cada curva. > plot([[cos(u),sin(u),u=0..2*Pi],[2*cos(u),sin(u),u=-
Pi..Pi]], scaling=constrained,color=[red,blue]); También se puede usar la orden display. Seguramente, es aún más recomendable usarla en este caso, para que las órdenes queden más claras. Para usar esta orden hay que cargar el paquete plots. > circunferencia:=plot([cos(u),sin(u),u=0..2*Pi],color=red): > elipse:=plot([2*cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],color=blue): > recta:=plot((x+1)/2,x=-2..2,color=black): > with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > display(circunferencia,elipse,recta); Podemos añadir opciones para cambiar el aspecto de la gráfica. Por ejemplo: > display(circunferencia,elipse,recta,view=[-2..2,-
1..1],scalin g=constrained,tickmarks=[5,3]); Curvas en forma implícita Otra forma de indicar una curva plana es como las soluciones de una ecuación en dos variables: f(x,y) = 0. Por ejemplo, la circunferencia centrada en el origen y de radio 1 se puede indicar como x2 + y2 = 1. Esta manera de describir una curva se llama en forma implícita. Y aunque no podemos entrar aquí en detalles, hay que destacar que no todas las ecuaciones de este tipo definen lo que podemos entender por curva. En Maple se pueden representar los puntos (x, y) que cumplen la ecuación f(x,y) = 0, mediante la orden implicitplot, que pertenece al paquete plots. Veamos un ejemplo: > restart:with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > implicitplot(x^2+y^2=1,x=-2..2,y=-2..2); También se pueden añadir la mayoría de las opciones que ya conocemos. > implicitplot(x^2+y^2=1,x=-2..2,y=-
2..2,scaling=constrained,co lor=blue,thickness=3); Otro ejemplo, en el que mezclamos una curva en forma explícita, otra en forma paramétrica y una tercera en forma implícita. Aquí es inevitable usar la orden display: > explicita:=plot(1-x^2,x=-2..2,color=red,thickness=2): parametrica:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],color=blue,thickn ess=3): implicita:=implicitplot(x^2/4+y^2=1,x=-2..2,y=-2..3,color=bla ck,thickness=2): > display(explicita,parametrica,implicita,scaling=constrained,v iew=[-2..2,-1..1],tickmarks=[5,3]); Curvas en forma polar Otra forma habitual de describir una curva (o, en general, un subconjunto de R2), es en forma polar. En este caso, no se indican las coordenadas (x, y) de los puntos, sino su módulo ) y un argumento \ . Naturalmente, x, y, ), \ están relacionadas mediante x = ) cos(\) , y = ) sen(\) . O, en sentido contrario, ) = x2 + y2 , y fórmulas adecuadas para \ . Una forma cómoda de representar curvas dadas en forma polar es usar estas relaciones. Por ejemplo, la curva dada en forma polar mediante ) = 1 cos(\) : como ) = x2 + y2 y cos(\) = x ) , la ecuación en forma polar equivale a la forma implícita x2 + y2 = 1 x x2 + y2 . > restart:with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > implicitplot(sqrt(x^2+y^2)=1-x/sqrt(x^2+y^2),x=-3..3,y=-
3..3, scaling=constrained); Pero la orden implicitplot tiene también una opción específica que indica que la ecuación es la forma polar de la curva que se quiere representar. Es la opción coords=polar. La gráfica saldrá probablemente más fiel si la hacemos de esta manera. > implicitplot(r=1-
cos(theta),r=0..2,theta=0..2*Pi,coords=polar ,scaling=constrained); Otro ejemplo: la espiral ) = \ . Como curiosidad, añadimos la opción grid, que permite fijar la finura con que Maple hace las gráficas. Indica la resolución (en horizontal y en vertical) con que Maple hace la gráfica. Cuidado: cuantos más resolución se pida, más tiempo tarda Maple en calcular la gráfica. El valor por defecto es grid=[25,25], y en general es suficiente. > implicitplot(r=theta,r=0..40,theta=0..6*Pi+Pi/4,coords=polar, scaling=constrained,grid=[100,100]); 2. Superficies en R3 Superficies en forma explícita Así como y = f(x) es la forma explícita de describir una curva plana, una superficie en R3 en forma explícita es la gráfica de una función real de dos variables, es decir, z = f(x,y). Lo mismo que con las curvas, en general se imponen condiciones (por ejemplo, de continuidad) a la función f , que ahora no vamos a tratar. Veamos un ejemplo: > restart: > f:=(x,y)->x^2+y^2; f := (x, y) x2 + y2 La gráfica de esta función es un subconjunto de R3. La representamos mediante la orden plot3d: > plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2); Lo mismo que plot, esta orden admite muchas opciones. No vamos a examinarlas con detalle. Pero con las gráficas en R3 tenemos otra manera de modificarlas muy interesante: con el ratón, situamos el cursor sobre la gráfica, picamos y, sin soltarlo, lo movemos en cualquier dirección. También, una vez que hemos picado sobre la gráfica, podemos modificar su aspecto con los botones del menú. Superficies en forma paramétrica Son superficies cuyos puntos (x, y, z) vienen dados en la forma x = f(t, u) , y = g(t,u) , z = h(t,u) . Se representan de forma parecida a las curvas planas, aunque los corchetes se colocan de distinta manera. En el ejemplo siguiente, f(t, u) = t , g(t,u) = u t , h(t,u) = t2 + 3 u2 + 8 ¸ ´ ¦¦ | . || sen t2 + u2 4 . > plot3d([t,u-t,t^2+3*u^2+8*sin((t^2+u^2)/4)],t=-4..10,u=-
6..6) ; Superficies en forma implícita Son superficies cuyos puntos (x, y, z) son las soluciones de una ecuación de la forma f(x,y,z) = 0. Como en el caso de las curvas, hay que imponer ciertas condiciones a la función f para que se trate de lo que entendemos por una superficie. Pero no entraremos aquí en detalles. En Maple se representan mediante la orden implicitplot3d. Esta orden pertenece al paquete plots. > restart:with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined Por ejemplo, representemos el elipsoide de ecuación 2 x2 + 3 y2 + 4 z2 = 8. > implicitplot3d(2*x^2+3*y^2+4*z^2=8,x=-2..2,y=-1.7..1.7,z=-
1.5 ..1.5); Si en la orden anterior variamos el rango de las variables x , y , z , la superficie es la misma (o un trozo de ella) pero la resolución con que se dibuja puede variar un poco. Superficies en coordenadas cilíndricas De manera análoga a lo que sucede en el plano, en R3 cada punto (x, y, z) se puede representar de la siguiente manera: x = ) cos(\) , y = ) cos(\) , z . Aquí, ) = x2 + y2 es la distancia del punto al eje z. Esta manera se denomina coordenadas cilindrícas. A continuación representamos la superficie z = )2, con ) en el intervalo [0, 3] y \ en el intervalo ¹ ¦¦ ( ¸ (( , 3 4 3 4 . Es un trozo de paraboloide. > restart:with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > implicitplot3d(rho^2=z,rho=0..3,theta=-
3*Pi/4..3*Pi/4,z=0..9, coords=cylindrical,grid=[15,15,15]); Superficies en coordenadas esféricas Cada punto de R3 se puede escribir como (x, y, z) , donde x = ) cos(|)sin(\) , y = ) sin(|)sin(\) , z = ) cos(\) . Esta manera se llama en coordenadas esféricas. Aquí, ) es la distancia al origen y se puede encontrar un \ en el intervalo [0, ] y un | en el intervalo [, ] . Cambiando grados por radianes, \ viene a tener el mismo papel que la latitud de un punto en una esfera (solo que se toma latitud 0 en el polo norte y latitud en el polo sur), y | tiene el papel de la longitud. > restart:with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined > implicitplot3d(rho=sin(phi)*2^(theta/2),theta=-
2*Pi..2*Pi,phi =0..Pi,rho=0..5,coords=spherical); Superficies de revolución En torno al eje de ordenadas > restart:with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined Consideremos una curva plana f : A ---> R. Por ejemplo, > f:=x->136*x^3/375-78*x^2/25+107*x/15; plot(f(x),x=0..5,y=0..5.1,scaling=constrained); f := x + 136 375 x3 78 25 x2 107 15 x Si imaginamos que la figura gira alrededor del eje de ordenadas (vertical), la curva da lugar a una superficie, que se denomina de revolución (en torno al eje y). Representemos la curva en R3 antes de girar: > spacecurve([0,y,f(y)],y=0..5,scaling=constrained,axes=norm al,color=red,orientation=[15,60]); Ob
servemos que hay un cambio de notación, ya que el eje vertical es ahora el eje z, la curva está en el plano zy, y el giro va a ser en torno al eje z. Con este cambio de notación, la curva tiene la ecuación z = f(y), x=0. Es decir, los puntos de la curva son de la forma (0, y, f(y)). Además, y pertenece al conjunto A; en nuestro ejemplo, al intervalo [0,5]. Un punto (0, r, f(r)) , al girar, recorre los puntos de la forma (x, y, z), donde x2 + y2 = r2 , z = f(r) . Dicho de otra forma, la ecuación de la superficie es z = f( x2 + y2) . Además, hay que imponer que x2 + y2 pertenezca al conjunto A; en nuestro ejemplo, al intervalo [0,5]. > plot3d(f(sqrt(x^2+y^2)),x=-5..5,y=-sqrt(25-x^2)..sqrt(25-x ^2),view=[-5..5,-5..5,0..5.1],scaling=constrained); También se puede representar la superficie en coordenadas cilíndricas; en este caso, las ecuaciones que describen la superficie se convierten en x = ) cos(\) , y = ) sen(\) , z = f()) . > implicitplot3d(z=f(rho),rho=0..5,theta=0..2*Pi,z=0..5.1,co ords=cylindrical,grid=[20,20,20]); En torno al eje de abscisas Ahora hagamos girar también la curva alrededor del eje de abscisas. Representamos de nuevo la curva antes de girar: > spacecurve([0,y,f(y)],y=0..5,scaling=constrained,axes=norm al,color=red,orientation=[15,60]); Re
cordemos que, después de un cambio de notación, los puntos de la curva son de la forma (0, y, f(y)), donde y pertenece al conjunto A (en nuestro ejemplo, el intervalo [0,5]). Ahora, el giro es alrededor del eje horizontal y. Al girar, un punto (0, r, f(r)) recorre los puntos (x,y,z), donde y = r , x2 + z2 = f(r)2. Dicho de otra forma, la superficie tiene la ecuación x2 + z2 = f(y)2. Además, hay que imponer que y pertenezca al conjunto A; en nuestro ejemplo, al intervalo [0,5]. > implicitplot3d(x^2+z^2=f(y)^2,x=-5..5,y=0..5,z=-5..5,scali ng=constrained); Una parametrización posible sería
Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde "X" y "Y" equivaliesen a 2U y 4U2 sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1
Curvas notorias
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que X2 + Y2 = r2
Una expresión paramétrica es
Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el eje X en a y a, y con el eje Y en b y -b, verifica que
Representación paramétrica de una curva
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio ndimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma , donde ei representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)
implícita o en coordenadas cilíndricas o esféricas... si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada. por ejemplo. f := x  x2 2 x 3 > curva:=plot(f(x). thickness. donde êi representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima.Es común que se exija que el intervalo [a. Veamos un ejemplo: > restart:with(plots):
Warning. se suele imponer alguna condición a la función para llamar curva a su gráfica. o que sea derivable o derivable a trozos. Representar gráficamente superficies en R3 dadas en forma paramétrica. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma . the name changecoords has been redefined
> f:=x->(x^2+2)/(x-3). en particular display. como color...y=10.25. que sea continua. Aunque no vamos a precisar más. necesitan cargar antes el paquete plots.
Representación gráfica de curvas y superficies
Los objetivos de esta práctica son: Representar gráficamente curvas planas descritas en forma paramétrica. y = sen t. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.. Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial . las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t.x=-15. discont. implícita o polar. Algunas de estas órdenes. En las prácticas anteriores ya hemos visto cómo se representa una gráfica con las órdenes plot y display. Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0.30. scaling.
1. o que sea derivable hasta cierto orden prefijado. y conocemos diversas opciones que nos permiten afinar la presentación.thickness=3.color=red. Representar gráficamente superficies de revolución en R3. Curvas planas
Curvas dadas en forma explícita Entendemos por esto la gráfica de una función real de una variable. Por ejemplo.di
. b] sea tal que a cada punto le corresponda un punto distinto de la curva.
Por ejemplo.x=-15. En Maple pueden representarse curvas en forma paramétrica: > restart.asint2.scont=true): > asint1:=plot(x+3. y=g(t)..
. 2 ] .sin(t).t=0.. La variable t se suele llamar el parámetro de la curva.asint1.-5. es decir.scaling=constrained).. donde t recorre el intervalo [0.25.color=blue.2*Pi]). la circunferencia centrada en el origen y de radio 1 se puede describir mediante x cos(t). y sen(t) .thickness=2): > asint2:=plot(x+3.thickness=2): > display(curva.color=black.y) de la curva mediante dos funciones: x = f(t). > plot([cos(t). describiendo los puntos (x. Curvas en forma paramétrica Una curva puede indicarse también en forma paramétrica.x=5.
. sino más bien una elipse.2*Pi]. lo que se ve es una elipse.. Realmente. > plot([cos(t).color=blue . Otras opciones que ya hemos visto también funcionan aquí.thickness=2).t=0.sin(t).No parece una circunferencia. Eso es porque la escala no es la misma en los dos ejes y la figura aparece distorsionada.scaling=constrained. Podemos pedir que la escala sea la misma con la orden scaling=constrained.
como y f(x). > plot([t.
. Veamos la curva y  x2 2 x 3 del apartado anterior. Observamos de paso que también aquí se puede usar la opción discont=true..view=[-15.scali ng=constrained.. también se puede escribir trivialmente en forma paramétrica. como x t .t=-15.25. es decir.discont=true). y f(t).25]..30].(t^2+2)/(t-3).10.Cualquier curva dada en forma explícita.
sin(u). el parámetro no tiene por qué llamarse t.u=0.u=Pi.También puede representarse más de una curva a la vez. y también puede tener diferente nombre en cada curva.2*Pi].blue]).
.Pi]]. scaling=constrained. > plot([[cos(u). pero puede tener cualquier otro nombre (incluidos x e y). los parámetros pueden recorrer intervalos distintos en cada curva.. En este ejemplo se llama u en ambas gráficas. Naturalmente.color=[red.sin(u). Así mismo.[2*cos(u)..
es aún más recomendable usarla en este caso. Para usar esta orden hay que cargar el paquete plots.
.u=0.2. the name changecoords has been redefined
> display(circunferencia.sin(t).x=-2.2*Pi]. Seguramente.2*Pi].También se puede usar la orden display.color=black): > with(plots):
Warning. > circunferencia:=plot([cos(u)..sin(u).color=red): > elipse:=plot([2*cos(t).t=0...recta). para que las órdenes queden más claras.elipse.color=blue): > recta:=plot((x+1)/2.
.view=[-2. Por ejemplo: > display(circunferencia.elipse.scalin g=constrained..1.
.tickmarks=[5.3]).recta.2.Podemos añadir opciones para cambiar el aspecto de la gráfica.1].
Por ejemplo. Veamos un ejemplo: > restart:with(plots):
Warning. Y aunque no podemos entrar aquí en detalles.x=-2. the name changecoords has been redefined
> implicitplot(x^2+y^2=1.
.y=-2. Esta manera de describir una curva se llama en forma implícita.2.Curvas en forma implícita Otra forma de indicar una curva plana es como las soluciones de una ecuación en dos variables: f(x. mediante la orden implicitplot..y) 0.2). y) que cumplen la ecuación f(x. que pertenece al paquete plots. En Maple se pueden representar los puntos (x.y) 0.. hay que destacar que no todas las ecuaciones de este tipo definen lo que podemos entender por curva. la circunferencia centrada en el origen y de radio 1 se puede indicar como x2 y2 1.
También se pueden añadir la mayoría de las opciones que ya conocemos..scaling=constrained.co lor=blue. > implicitplot(x^2+y^2=1.y=2.2.
.2.x=-2.thickness=3)..
color=blue. Aquí es inevitable usar la orden display: > explicita:=plot(1-x^2.2.2*Pi].thickness=2): > display(explicita.implicita.y=-2...2.3.1].Otro ejemplo. en el que mezclamos una curva en forma explícita.scaling=constrained.t=0..color=red.-1.parametrica.x=-2.thickn ess=3): implicita:=implicitplot(x^2/4+y^2=1.x=-2. otra en forma paramétrica y una tercera en forma implícita.
.v iew=[-2.tickmarks=[5.thickness=2): parametrica:=plot([cos(t)....2.3]).sin(t).color=bla ck.
están relacionadas mediante x cos() . en general. un subconjunto de R2). sino su módulo y un argumento .Curvas en forma polar Otra forma habitual de describir una curva (o.y=3. scaling=constrained). en sentido contrario. Una forma cómoda de representar curvas dadas en forma polar es usar estas relaciones. x.3. > restart:with(plots):
Warning. the name changecoords has been redefined
> implicitplot(sqrt(x^2+y^2)=1-x/sqrt(x^2+y^2).. O. y) de los puntos. Por ejemplo. la ecuación en forma polar equivale a la forma implícita x2 y2 1  x x2 y2 .3. Naturalmente. x2 y2 . la curva dada en forma polar mediante 1 cos() : como x2 y2 y cos()  x  .x=-3.
. no se indican las coordenadas (x. y sen() . y. es en forma polar. .. En este caso. y fórmulas adecuadas para .
Pero la orden implicitplot tiene también una opción específica que indica que la ecuación es la forma polar de la curva que se quiere representar..
.coords=polar .r=0.2.2*Pi.scaling=constrained). > implicitplot(r=1cos(theta). La gráfica saldrá probablemente más fiel si la hacemos de esta manera.theta=0. Es la opción coords=polar..
más tiempo tarda Maple en calcular la gráfica. Como curiosidad. Cuidado: cuantos más resolución se pida. scaling=constrained.r=0.theta=0.coords=polar.6*Pi+Pi/4. que permite fijar la finura con que Maple hace las gráficas. El valor por defecto es grid=[25. Indica la resolución (en horizontal y en vertical) con que Maple hace la gráfica.. y en general es suficiente.
.Otro ejemplo: la espiral .grid=[100..40.100]). añadimos la opción grid. > implicitplot(r=theta.25].
2).2. La representamos mediante la orden plot3d: > plot3d(f(x.x=-2. de continuidad) a la función f .y=-2. Superficies en R3
Superficies en forma explícita Así como y f(x) es la forma explícita de describir una curva plana. es decir.. f := (x.y). y) x2 y2 La gráfica de esta función es un subconjunto de R3.2.. que ahora no vamos a tratar.y)->x^2+y^2.y). una superficie en R3 en forma explícita es la gráfica de una función real de dos variables. Lo mismo que con las curvas. Veamos un ejemplo: > restart: > f:=(x. z f(x.
. en general se imponen condiciones (por ejemplo.
u) u t . f(t.t=-4. Se representan de forma parecida a las curvas planas. Pero con las gráficas en R3 tenemos otra manera de modificarlas muy interesante: con el ratón. z h(t.u) . sin soltarlo.
. z) vienen dados en la forma x f(t. una vez que hemos picado sobre la gráfica. No vamos a examinarlas con detalle. u) .10. g(t.6) .t^2+3*u^2+8*sin((t^2+u^2)/4)]. > plot3d([t. h(t. y. picamos y.u=6. u) t . Superficies en forma paramétrica Son superficies cuyos puntos (x.u-t. esta orden admite muchas opciones.u) t2 3 u2 8     sen t2 u2 4 . podemos modificar su aspecto con los botones del menú. y g(t.u) . lo movemos en cualquier dirección. También..Lo mismo que plot. En el ejemplo siguiente. situamos el cursor sobre la gráfica. aunque los corchetes se colocan de distinta manera..
x=-2.1. la superficie es la misma (o
.z=1.7. y. Pero no entraremos aquí en detalles.z) 0.5 . Esta orden pertenece al paquete plots.5).y. En Maple se representan mediante la orden implicitplot3d. representemos el elipsoide de ecuación 2 x2 3 y2 4 z2 8. z) son las soluciones de una ecuación de la forma f(x. Como en el caso de las curvas. the name changecoords has been redefined
Por ejemplo.Superficies en forma implícita Son superficies cuyos puntos (x. > implicitplot3d(2*x^2+3*y^2+4*z^2=8.7.2.1. hay que imponer ciertas condiciones a la función f para que se trate de lo que entendemos por una superficie...y=-1. y .. > restart:with(plots):
Warning. z .
Si en la orden anterior variamos el rango de las variables x .
3] y en el intervalo     .3*Pi/4. es la distancia al origen y se puede encontrar un en el intervalo [0.. y. coords=cylindrical.
Superficies en coordenadas esféricas Cada punto de R3 se puede escribir como (x. con en el intervalo [0.grid=[15. x2 y2 es la distancia del punto al eje z. y sin()sin() . Es un trozo de paraboloide.un trozo de ella) pero la resolución con que se dibuja puede variar un poco.15]). y 
. Esta manera se llama en coordenadas esféricas. Aquí. Aquí. en R3 cada punto (x. ] .15.9. z) se puede representar de la siguiente manera: x cos() . viene a tener el mismo papel que la latitud de un punto en una esfera (solo que se toma latitud 0 en el polo norte y latitud en el polo sur). z cos() .rho=0.theta=3*Pi/4. 3  4 3  4 .. Esta manera se denomina coordenadas cilindrícas. ] y un en el intervalo [. z) .z=0. A continuación representamos la superficie z 2. y. y cos() .. z .3. donde x cos()sin() . > restart:with(plots):
Warning. Superficies en coordenadas cilíndricas De manera análoga a lo que sucede en el plano. the name changecoords has been redefined
> implicitplot3d(rho^2=z. Cambiando grados por radianes.
. the name changecoords has been redefined
> implicitplot3d(rho=sin(phi)*2^(theta/2)..coords=spherical).
f := x  136 375 x3 78
.x=0.5.5..Pi.5. > restart:with(plots):
Warning.rho=0..
En torno al eje de ordenadas
Warning.scaling=constrained)..2*Pi. > f:=x->136*x^3/375-78*x^2/25+107*x/15. plot(f(x).phi =0.y=0.1.theta=2*Pi. the name changecoords has been redefined
Consideremos una curva plana f : A ---> R.tiene el papel de la longitud. Por ejemplo.
-5. Representemos la curva en R3 antes de girar: > spacecurve([0.5.5.y=-sqrt(25-x^2). f(r)) . la curva da lugar a una superficie. en nuestro ejemplo.5]. z f(r) .5. Es decir. y el giro va a ser en torno al eje z.axes=norm al. Un punto (0. Ob
servemos que hay un cambio de notación.y=0.orientation=[15. la curva está en el plano zy. > plot3d(f(sqrt(x^2+y^2)). f(y)). la curva tiene la ecuación z = f(y). recorre los puntos de la forma (x.60]). que se denomina de revolución (en torno al eje y).x=-5.y. z). y.. Con este cambio de notación.f(y)].scaling=constrained). y.1].
.scaling=constrained. hay que imponer que x2 y2 pertenezca al conjunto A...0. Además. la ecuación de la superficie es z f( x2 y2) . al intervalo [0.sqrt(25-x ^2). los puntos de la curva son de la forma (0.5. y pertenece al conjunto A. r. al girar..5. x=0. Dicho de otra forma..color=red.. ya que el eje vertical es ahora el eje z. en nuestro ejemplo.view=[-5. donde x2 y2 r2 .25 x2 107 15 x Si imaginamos que la figura gira alrededor del eje de ordenadas (vertical). al intervalo [0.5]. Además.
.20]).
. > implicitplot3d(z=f(rho).2*Pi.theta=0.rho=0. en este caso.5.1.También se puede representar la superficie en coordenadas cilíndricas.5.. las ecuaciones que describen la superficie se convierten en x cos() . z f() .co ords=cylindrical.z=0.. y sen() .20.grid=[20.
5. Representamos de nuevo la curva antes de girar: > spacecurve([0.axes=norm al.orientation=[15. Ahora. los puntos de la curva son de la forma (0. al intervalo [0.60]). hay que imponer que y pertenezca al conjunto A.
. Además.x=-5.. Al girar. > implicitplot3d(x^2+z^2=f(y)^2.f(y)].En torno al eje de abscisas
Ahora hagamos girar también la curva alrededor del eje de abscisas.5. donde y r . un punto (0. Re
cordemos que.z). r. f(r)) recorre los puntos (x.5.scali ng=constrained). el giro es alrededor del eje horizontal y.5])..z=-5. x2 z2 f(r)2.y. el intervalo [0.5]. donde y pertenece al conjunto A (en nuestro ejemplo.color=red..y=0.y=0.y. la superficie tiene la ecuación x2 z2 f(y)2.5. en nuestro ejemplo. después de un cambio de notación. Dicho de otra forma..scaling=constrained. f(y)). y.
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