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Timestamp: 2016-12-08 12:24:10+00:00

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ALGGET
BrowseInterestsBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultBrowse byBooksAudiobooksArticlesSheet MusicBrowse allUploadSign inJoinUniversidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica EléctricaALGORITMOS GENÉTICOS COMO SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE FLUJO DE POTENCIA
José Francisco Castro García Asesorado por el Ing. Enrique Edmundo Ruiz Carballo
ALGORITMOS GENÉTICOS COMO SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE FLUJO DE POTENCIA
DECANO VOCAL I VOCAL II VOCAL III VOCAL IV VOCAL V SECRETARIA Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Inga. Glenda Patricia García Soria Inga. Alba Maritza Guerrero de López Ing. Miguel Ángel Dávila Calderón Br. Kenneth Issur Estrada Ruiz Br. Elisa Yazminda Vides Leiva Inga. Marcia Ivonne Véliz Vargas
DECANO EXAMINADOR EXAMINADOR EXAMINADOR SECRETARIA Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Ing. Julio Rolando Barrios Archila Ing. Saúl Cabezas Durán Ing. Jorge Luis Pérez Rivera Inga. Marcia Ivonne Véliz Vargas
Algoritmos genéticos como solución al problema de flujo de potencia. el 8 de mayo de 2007.HONORABLE TRIBUNAL EXAMINADOR
José Francisco Castro García
Luis Rodolfo.
Francisco de Jesús Castro Palma y Dilia Amparo García de Castro.
Por su cariño y amistad sincera.AGRADECIMIENTOS A:
Por todo lo que me ha dado y las maravillas que hará en mí. Digby. dedicación y apoyo que siempre me han brindado. Marlon.
Por su colaboración en la realización de este trabajo de graduación. de alguna forma. Guisela. por el amor.
. por el apoyo y cariño de siempre.
A la Universidad de San Carlos de Guatemala. Erika y Conchita. me han ayudado a lo largo de toda mi vida.
una pareja ejemplar…
. aunque me alejé y me olvidé de su existencia. a Él sea la gloria. Él me encontró y me mostró el poder de su presencia… A mis queridos padres Francisco de Jesús y Dilia Amparo.A Dios.
25 Estructura de un algoritmo genético……………….3 Historia………………………………………………………………….………………13 1...ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES…….3 1..1 1.3..2.3.……...18
ALGORITMOS GENÉTICOS………………………………….2 Conceptos básicos de potencia……………………………………….….6 Modelado de elementos de un sistema de potencia………..………….…………….…………16 Objetivo de los estudios de flujo de potencia……….…………14 Tipos de barras en problemas de flujo de potencia……….7 Cantidades en por unidad……………………………………11
Estudio de flujo de potencia………………………….3 1..………28 Población………………………………………………………29 Función de aptitud……………………………….3....………………………….………………27 2.……..……………………….….……V GLOSARIO………………….2 1.1 2.VII RESUMEN………………………………………………………..……..2 Descripción General de un sistema de potencia…………….3.3 Codificación de datos en un cromosoma…………...1 2.3.15 Ecuaciones de flujo de potencia………………….2 2.2.3 Elementos básicos de un sistema de potencia……………..…………………XIII OBJETIVOS………………………………………………………………………….XV INTRODUCCIÓN……………………………………………….2 2...5 1..…………………………………………..1 1.4 Datos del problema de flujo de potencia……….……………21 2.3.3..1 1..……….23 Introducción a los algoritmos genéticos……………………….…..30
EL PROBLEMA DE FLUJO DE POTENCIA………………….2..2 1..1 1.
Selección………………………………………………………30 2.3.4.1 2.3.4.2 2.3.4.3 Selección por ruleta………………………….………30 Selección basada en el rango………………………32 Selección por torneo…………………………………32
Operadores genéticos………………………………………..33 2.3.5.1 2.3.5.2 Operador cruce…………………………………….....33 Operador mutación…………………………..………35
Funcionamiento de un algoritmo genético………………...………..36
ALGORITMOS GENÉTICOS ORIENTADOS A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FLUJO DE POTENCIA……………………….……41 3.1 3.2 3.3 Datos del problema……………………………………………….…..43 Objetivo del algoritmo…………………………………………………44 Diseño de la estructura………………………………...……………..45 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 Codificación de datos……………………………….………..46 Tamaño de la población………………………...……………47 Diseño de la función de aptitud………………..……………48 Método de selección…………………………….……………50 Diseño de operadores genéticos……………...…………….51 3.3.5.1 3.3.5.2 3.3.6 3.3.7 3.4 Cruce………………………………….……………….51 Mutación…………………………………….…………53
Ajuste del valor de los genes…………………..……………54 Sustitución de la población…………………………………..56
Funcionamiento…………………………………………….………….57
EJEMPLO DE SOLUCIÓN A UN PROBLEMA DE FLUJO DE POTENCIA……………………………………..........................61 4.1 4.2 Descripción del problema…………………………….………………62 Diseño del algoritmo genético………………………..………………64
Ejecución del programa……………………………...……………….68 Interpretación de la solución…………………………...…………….70
CONCLUSIONES…………………………………………………………………….73 RECOMENDACIONES………………………………………………………………77 REFERENCIAS……………………………………………………………..………..79 BIBLIOGRAFÍA………………………………………………….……………………81 APÉNDICE A………………………………………………………………………….83 APÉNDICE B…………………………………………………….……………………93
Estructura del cromosoma…………………………………….14 Cromosomas con genes de tipo binario. Método de cruce…………………………………………………….……………….7 Circuito equivalente del generador síncrono…………………………. 8.………9 Circuito equivalente del transformador………………………………………10 Circuito equivalente simplificado del transformador…………….……..…………. 3. Cruce en varios puntos……………………………………………………. Cruce uniforme……………………………………………….………62 17. Gráfica de tolerancia versus generaciones del ejemplo…….ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
1.….…………. 6. 9.10 Circuito equivalente de una línea de transmisión…………………….. entero y real…………………….28 Funcionamiento del método de selección por ruleta……………....…………………34 12.33
10.…………….………..……11 Circuito equivalente simplificado de un sistema de potencia………. 4.. Diagrama de flujo del programa…………………………….52 16. Diagrama unifilar del sistema de potencia de ejemplo…………….34 11.69
.. 5.67 18.………………46 15. Cruce aritmético………………………………………………...
Símbolos de los principales elementos de un sistema de potencia……….35 13. 7..………………. 2.…………31 Cruce en un punto……………………………………………………. Diagrama de flujo de un algoritmo genético…………………………………38 14.
70 Flujo de potencia en las líneas de transmisión…………... Datos de los transformadores……………………………….…………………71 Flujo de potencia en los transformadores……………………………………71
..63 Datos de las líneas de transmisión…………………………….……………. IV.64 Información de respuesta de las barras del ejemplo………………………..TABLAS
Datos de las barras del sistema de potencia………………………………. II..63
III. VI.……………….
como estrategia para resolver problemas de búsqueda y optimización.
Valor numérico asignado a un individuo de una población. que permiten resolver un problema. en estas barras se especifican como datos de entrada al problema de flujo de potencia.GLOSARIO
Conjunto ordenado de operaciones bien definidas.
Tipo de barra en la que únicamente se consume energía eléctrica. la potencia activa y reactiva que entran al sistema a través ellas. como líneas de transmisión.
etcétera. este individuo resuelve el problema. el cual indica que tan bien.
Técnica de programación que imita a los procesos que intervienen en la evolución biológica de las especies. generadores. transformadores.
Elemento conductor equipotencial que forma un terminal o punto de conexión entre diversos elementos de un sistema de potencia.
cómo se conectan las líneas de
transmisión con los aparatos asociados al sistema eléctrico. la magnitud del voltaje y la potencia activa que entra al sistema de potencia a través de ellas. En los algoritmos
genéticos. en el cual se codifican las posibles soluciones.
Barra de voltaje controlado
Tipo de barra a la que se conectan equipos capaces de controlar la magnitud del voltaje y la potencia activa.
Diagrama simplificado de un sistema eléctrico. es la estructura que agrupa a todas las variables del problema en un solo elemento. la magnitud y el ángulo de fase del voltaje. en la que se especifican como datos de entrada.Barra de compensación
Tipo de barra.
Régimen de operación de un sistema. en el cual se indica por una sola línea y por símbolos estándar.
Aproximarse a un valor numérico. en estas barras se especifican como datos de entrada.
Cada uno de ciertos corpúsculos en forma de filamentos que se encuentran en el núcleo de la célula y contienen el ADN. como generadores síncronos. en el que no ocurren cambios en las señales de entrada o la configuración del mismo. única en un problema de flujo de potencia.
Es el nivel de adaptación de un organismo con su medio ambiente. En los algoritmos genéticos. es el valor que toma un individuo de acuerdo a su aptitud para resolver el problema.
. a través de cambios producidos en generaciones sucesivas.
Serie de etapas en la que los descendientes reemplazan a los progenitores. que representa la combinación del valor eficaz de una magnitud senoidal y su ángulo de fase. en una parte de un circuito de corriente alterna. En un algoritmo genético.
Término que describe un valor complejo. en que la corriente desfasa al voltaje.Evolución
Proceso continuo de transformación de las especies.
Relación entre el consumo medio de potencia y la potencia aparente. es el resultado del coseno del ángulo.
Es cada una de las partículas dispuestas en un orden fijo a lo largo del ADN y que. determinan la aparición de los caracteres hereditarios en los organismos. es cada uno de los elementos del cromosoma que puede tomar un valor numérico.
en los genes de un individuo.
conductor por unidad de tiempo.
Agrupación de individuos con diferentes valores genéticos. en una generación determinada.
Sistema de conductores que permiten la transmisión de energía eléctrica de un lugar a otro. de una posible solución a un problema. En los
Procedimiento que permite resolver un problema.
. por medio de la repetición de una serie de pasos bien definidos.
Forma codificada.Generador
Máquina que convierte energía mecánica en energía eléctrica. es el cambio en el valor de uno o varios genes de un individuo.
Es la razón en la que se realiza un trabajo o se convierte energía de una forma a otra.
Uniones formadas cuando dos o más elementos de circuito se conectan por medio de sus terminales.
Cualquiera de las alteraciones producidas en la estructura genética de un organismo.
Acción de producir nuevos seres vivos a través del intercambio genético de los seres progenitores. es el producto de los valores eficaces del voltaje y la corriente.
Energía recibida en un punto del sistema por unidad de tiempo.
Competición que se realiza entre los miembros de una especie.Potencia activa
Energía que realmente se consume o se convierte de una forma a otra. es el
proceso en el cual se escoge a los individuos que integrarán las parejas que van a reproducirse. En un algoritmo genético. es el proceso en el cual se crean nuevos individuos a través del intercambio de información genética de las parejas formadas.
Energía total que es suministrada a una carga por unidad de tiempo. En un algoritmo genético.
Energía suministrada en un punto del sistema por unidad de tiempo. con el objetivo de poder llegar a reproducirse. por unidad de tiempo.
Es la razón en que la energía es almacenada y devuelta por un elemento inductivo o capacitivo.
sin alterar considerablemente el valor de la energía transferida. transporte y consumo de la energía eléctrica.
Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un circuito.
Relación entre el valor real de una magnitud eléctrica con su valor base.
Máquina estática que cambia los niveles de voltaje y corriente.Sistema eléctrico de potencia
permiten la producción.
Es aquel valor de corriente alterna que produce los mismos efectos que una corriente continua del mismo valor. Matemáticamente se obtiene
calculando la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos que toma la señal durante un período.
esto ha tenido como consecuencia que el esfuerzo que se ha dedicado al desarrollo de métodos de solución sea notable. de las magnitudes y ángulos de fase de los voltajes en las barras de un sistema de potencia. para calcular la potencia activa y reactiva que entra o sale del sistema de potencia a través de cada barra y también. el flujo de potencia activa y reactiva en todas las líneas de transmisión y transformadores del sistema. reproducción y mutación son realizados sobre una población de individuos que representan distintas posibles soluciones al problema.
Los procesos de selección. hasta que se encuentre la solución al problema. las cuales van evolucionando durante el algoritmo genético. La solución del problema de flujo de potencia es básica para la mayoría de los análisis que se realizan en sistemas eléctricos de potencia.
. como una alternativa a los métodos iterativos de NewtonRaphson y Gauss-Seidel. reproducción sexual y mutación que intervienen en evolución biológica de las especies. de forma que inicialmente. como estrategia para resolver problemas de búsqueda y optimización. que son los que se utilizan normalmente.RESUMEN
El problema de flujo de potencia consiste en el cálculo. para después utilizar estos valores de voltaje encontrados. de acuerdo a un conjunto de datos especificados de potencias y voltajes. Los
algoritmos genéticos son técnicas de programación que imitan a los procesos de selección.
Los problemas de flujo de potencia pueden resolverse por medio de algoritmos genéticos. en estado estacionario. se tiene una población de posibles soluciones.
Proporcionar información referente a la estructura y funcionamiento de los algoritmos genéticos.
Describir el problema de flujo de potencia. como una alternativa a los métodos iterativos normalmente utilizados.
Proporcionar las bases para la implementación de algoritmos genéticos capaces de resolver problemas de flujo de potencia.
Diseñar e implementar un algoritmo genético orientado a resolver problemas de flujo de potencia.
Realizar un ejemplo de solución a un problema de flujo de potencia. así como la información y los modelos utilizados en su planteamiento. por medio de algoritmos genéticos.
pero estos métodos no son totalmente infalibles. demostrando el poder de los principios evolutivos. para esto. se estudian los elementos que componen un sistema de potencia. Los algoritmos genéticos son técnicas de programación que aplican los procesos que intervienen en la evolución biológica como estrategia para resolver problemas de búsqueda y optimización. por esta razón. este método consiste en aplicar la teoría de los algoritmos genéticos para resolver este tipo de problemas. el modelado de estos elementos y la forma en que se analizan. calcular los flujos de potencia en las barras. líneas de transmisión y transformadores. involucra resolver un sistema de ecuaciones simultáneas no lineales. normalmente se utilizan los métodos iterativos de Newton-Raphson y Gauss-Seidel.INTRODUCCIÓN
La solución de problemas de flujo de potencia es básica en la mayoría de los análisis que se realizan en los sistemas eléctricos de potencia.
. es bueno conocer otras formas de resolver este tipo de problemas.
El cálculo de los valores de voltaje en las barras. un problema de flujo de potencia consiste en calcular los valores de voltaje.
Este trabajo presenta un método alternativo para resolver problemas de flujo de potencia. en las barras de un sistema de potencia y a partir de esos valores.
En el primer capítulo se repasan los conceptos básicos de potencia. también se estudian los datos. tipos de barra y ecuaciones utilizadas en el planteamiento del problema de flujo de potencia y el objetivo de éste. en estado estacionario.
se describe la estructura y el funcionamiento de estos.En el segundo capítulo se estudia la teoría de los algoritmos genéticos. se desarrolla en Matlab. luego se realiza una introducción a los algoritmos genéticos y después.
. en este capítulo se indican los datos utilizados para resolver este tipo de problemas y el objetivo de este tipo de algoritmos. un programa capaz de resolver problemas de flujo de potencia. describiendo el diseño de la estructura de un algoritmo genético orientado a resolver problemas de flujo de potencia e indicando su funcionamiento. en el cuarto capítulo se plantea un problema de flujo de potencia de ejemplo.
En el tercer capítulo se estudia el diseño de algoritmos genéticos enfocados a resolver problemas de flujo de potencia. el cual es resuelto por medio de un algoritmo genético. para esto. en base a los fundamentos descritos en este trabajo. se principia con la historia de cómo fue desarrollándose esta teoría.
donde los flujos de potencia se resuelven para diferentes casos. en estado estacionario. localización de capacitores en las mismas o para evaluar las condiciones iniciales en estudios de fallas. por ejemplo. La información que se obtiene de un estudio de flujo de potencia está constituida por la magnitud y el ángulo de fase del voltaje en cada nodo. también como auxiliar en estudios de reconfiguración de redes de distribución. estos métodos se aplican en una variedad de problemas en grandes redes. El problema de flujo de potencia puede definirse como el cálculo. esto ha tenido como consecuencia que el esfuerzo que se ha dedicado al desarrollo de métodos de solución sea notable. en la evaluación de la seguridad. La solución del problema de flujo de potencia es básica para la mayoría de los análisis que se realizan en sistemas eléctricos de potencia. los cuales están asociados a la planeación. la potencia activa y reactiva que entran o salen del sistema a través de los nodos y las potencias que fluyen en las líneas de transmisión y transformadores. operación y control de sistemas eléctricos de potencia y distribución.
. de las magnitudes de los voltajes nodales junto con sus ángulos de fase y posteriormente.1
EL PROBLEMA DE FLUJO DE POTENCIA
Los estudios de flujo de potencia son de gran importancia en la planeación y diseño de los sistemas de potencia. el cálculo de los flujos de potencia a través de cada elemento de la red. donde se requiere de resolver situaciones ante contingencias. bajo la suposición de generación y carga conocidas. así como también. en la determinación de las mejores condiciones de operación de los sistemas existentes.
se demostró que las propiedades de convergencia del método iterativo de Newton-Raphson. son superiores a las propiedades de los métodos iterativos de Gauss. debido a que estos métodos numéricos no son infalibles al resolver el problema de flujo de potencia. divergencia. los métodos iterativos de Gauss y Gauss-Seidel resultaron adecuados. El trabajo se puede expresar como la fuerza aplicada a un objeto por la distancia en que éste es movido y la potencia se puede expresar como el trabajo realizado por unidad de tiempo. A finales de los años cincuenta y principios de los sesenta. antes de la aparición de las computadoras digitales. Al final de los años sesenta y principio de los setenta.
. Un trabajo se realiza cuando se aplica una fuerza a un objeto y ésta provoca su movimiento. aunque presentan problemas de convergencia lenta y en varios casos. se ha continuado con la búsqueda de alternativas. se estudiaron las propiedades numéricas del Jacobiano.
1. pero este método tiene la desventaja de usar mucha más memoria de computadora. las cuales no pueden ser resueltas mediante métodos matemáticos directos. Sin embargo.En los cálculos para la solución de problemas de flujo de potencia se ven involucradas funciones no lineales.1
Conceptos básicos de potencia
Potencia es la rapidez con la que se realiza un trabajo o se transfiere energía. el problema de flujo de potencia se resolvía en analizadores de redes con muchas limitaciones. al desarrollarse las computadoras digitales. tratando de lograr algoritmos eficientes y confiables. obteniéndose otras versiones del método de Newton-Raphson. ya que el espacio de memoria de computadora que se requiere es mínimo.
esta expresión se transforma en la siguiente:
Vmax ⋅ I max V ⋅I ⋅ cosθ ⋅ (1 + cos(2 ⋅ w ⋅ t )) + max max ⋅ senθ ⋅ sen(2 ⋅ w ⋅ t ) [1-3] 2 2
. w representa la frecuencia angular de la onda y θ representa el ángulo de fase en que la corriente atrasa al voltaje. Vmax e Imax representan el voltaje y la corriente pico de la onda senoidal. En corriente alterna senoidal. el voltaje es análogo a la fuerza aplicada a un objeto y los electrones son análogos al objeto al que se le aplica la fuerza. multiplicación del voltaje y la corriente: Así. que equivale a potencia multiplicada por tiempo. que equivale a voltaje multiplicado por intensidad de corriente eléctrica y la unidad básica de trabajo o energía es el Joule. la potencia instantánea es la
p(t ) = v(t ) ⋅ i (t ) = Vmax ⋅ I max ⋅ cos(w ⋅ t ) ⋅ cos(w ⋅ t − θ )
Al aplicar identidades trigonométricas. el voltaje y la corriente se pueden expresar matemáticamente mediante las siguientes expresiones:
v (t ) = Vmax ⋅ cos (w ⋅ t )
i (t ) = I max ⋅ cos (w ⋅ t − θ )
Donde v(t) e i(t) representan el voltaje y la corriente en función del tiempo. La unidad básica de potencia es el Watt. es lo que se conoce como Potencia Eléctrica.En electricidad. de forma que un voltaje puede producir un movimiento de electrones en un material (Intensidad de corriente eléctrica) y la rapidez con la que se realiza éste movimiento de electrones.
pero la Potencia Activa es la única que se consume en una carga. el primer término tiene un valor promedio de ½·Vmax·Imax·cosθ y se conoce como Potencia Activa. ya que α-β es igual al ángulo θ de las expresiones anteriores. se expresa el voltaje y la corriente en forma fasorial. ambos términos de potencia oscilan entre un valor positivo y negativo. expresada en forma rectangular se obtiene:
S = V ⋅ I ∗ = V ⋅ I ⋅ cos(α − β ) + j ⋅ V ⋅ I ⋅ sen(α − β )
Se puede observar en esta expresión. El cálculo de la potencia también se puede hacer en forma compleja.
. al coseno del ángulo de desfase entre el voltaje y la corriente (θ ó α-β) se le conoce como factor de potencia. se le conoce como Potencia Compleja o Potencia Aparente y se designa con la letra S.Se puede observar que esta expresión está compuesta por dos componentes. el segundo término tiene un valor promedio de cero y se conoce como Potencia Reactiva. que el primer término es la potencia activa. Una onda senoidal de la forma A·cos(w·t+Φ). también se observa. el producto del voltaje expresado en su forma fasorial por la corriente expresada en su forma fasorial conjugada es:
V ⋅ I ∗ = V ⋅ e jα × I ⋅ e − jβ = V ⋅ I ⋅ e j (α −β )
Al producto del voltaje por la corriente conjugada. Así. La potencia activa se designa con la letra P y la potencia reactiva se designa con la letra Q. para esto. que el segundo término es la potencia reactiva multiplicada por j. se puede expresar en forma fasorial como (A/√2)·ejΦ o simplemente como (A/√2)∟Φ.
las cuales son: generación. transporte y consumo de la energía eléctrica. así. toda la potencia se disipa en los elementos resistivos. Un factor de potencia unitario implica que la carga es puramente resistiva. transmisión y distribución. Un sistema eléctrico de potencia está formado por tres partes principales. la distribución está constituida por los elementos encargados de entregar la energía a los usuarios. encargados de transmitir la energía desde los centros de generación a los centros de consumo. un factor de potencia en atraso indica que la corriente se atrasa al voltaje. Un factor de potencia en adelanto indica que la corriente se adelanta al voltaje. por lo que se trata de una carga inductiva.
1. La generación es donde se produce la energía eléctrica. el voltaje y la corriente están en fase. La potencia aparente o compleja se mide en voltamperios o VA. la transmisión está constituida por los elementos interconectados.2
Descripción General de un sistema de potencia
Se le llama sistema eléctrico de potencia. por medio de centrales generadoras. al conjunto de elementos interconectados que permiten la producción. por lo tanto.Ya que los inductores y capacitores no consumen energía. finalmente. En el trabajo realizado por John Grainger1 se desarrollan los conceptos de potencia de una forma mas detallada. la potencia activa o real se mide en Watts o W y la potencia reactiva o imaginaria se mide en voltamperios reactivos o VAR. un factor de potencia menor que la unidad implica que la carga es tan inductiva o capacitiva como el valor del factor de potencia se acerque a cero. la potencia activa es la que se consume en los elementos resistivos y la potencia reactiva es almacenada y devuelta por los elementos inductivos y capacitivos.
. por lo que se trata de una carga capacitiva.
Elementos básicos de un sistema de potencia
Los principales elementos que forman un sistema eléctrico de potencia son: generadores y motores síncronos. es importante para el diseñador de sistemas eléctricos de potencia. cuyo conocimiento. 6
. en ésta figura no se muestra el símbolo de los elementos de compensación. cómo se conectan las líneas de transmisión con los equipos de un sistema eléctrico. Un sistema eléctrico de potencia se puede representar por medio de un diagrama fácil de entender y someter a diversos análisis. cargas y elementos de compensación. barras o nodos. comprendiendo que una sola línea representa el sistema trifásico balanceado y que dependiendo del tipo de análisis que se desee realizar. diagrama unifilar indica por una sola línea y por símbolos estándar. el propósito de un diagrama unifilar es suministrar en forma concisa. ya que las líneas trifásicas se sustituyen por una sola línea. a éste diagrama se le conoce como diagrama unifilar.2. transformadores. se adicionarán los equipos representados por su El correspondiente simbología. para una línea de transmisión puede usarse cualquiera de los dos símbolos mostrados en dicha figura. pero estos se representan por el símbolo de un capacitor.En un sistema eléctrico de potencia se tienen diversos componentes eléctricos. información significativa acerca del sistema de potencia. líneas de transmisión. tanto en su modelo como en sus características. interruptores. cuando se trata de bancos de capacitores y por el símbolo de una inductancia. cuando se trata de bancos de reactores.
1. En la figura 1 se pueden observar los símbolos utilizados en los diagramas unifilares para indicar los principales elementos de un sistema de potencia. eliminando las líneas que indiquen cada fase.
que suministran energía a los centros de carga por medio de líneas de transmisión y transformadores trifásicos. Símbolos de los principales elementos de un sistema de potencia
Modelado de elementos de un sistema de potencia
Los sistemas eléctricos de potencia poseen generadores trifásicos. idealmente todas las cargas se encuentran balanceadas.Figura 1. esto significa que las cargas tienen impedancias idénticas en sus tres fases.
se resuelven utilizando únicamente los voltajes y corrientes de línea. se calcula sumando la potencia en cada una de sus fases o simplemente multiplicando la potencia en cualquier fase por tres.Los voltajes y corrientes en un circuito trifásico balanceado. pero se encuentran desfasados 120 grados entre si. Los elementos de un sistema eléctrico de potencia se modelan en términos de inductancia. la potencia activa siempre estará dada por la siguiente ecuación:
P = 3 ⋅ V L ⋅ I L ⋅ cos θ P
Cuando se habla de un sistema trifásico se supone.
. ya que la potencia es la misma en todas las fases. Los circuitos trifásicos balanceados. determinar el comportamiento del sistema por medio del análisis del circuito resultante. La potencia absorbida por una carga trifásica balanceada. por lo que puede modelarse mediante su equivalente monofásico. la potencia entregada o absorbida en cada fase es la misma. que este se encuentra balanceado. por esta razón. que es un modelo aproximado del comportamiento eléctrico de dicho elemento. sustituyendo cada elemento del sistema por su circuito equivalente y así. por lo tanto. capacitancia y resistencia. en términos de sus voltajes y corrientes de línea. se puede analizar un sistema de potencia. los circuitos trifásicos balanceados se resuelven como si fueran una línea con un neutro. poseen igual magnitud en todas sus fases. aunque se tenga una conexión en estrella o en delta. a menos que se indique otra cosa. de esta forma. Cada elemento puede ser representado mediante su circuito equivalente de una fase. ya que.
Ya que la corriente de magnetización y la corriente de pérdidas en el núcleo de un transformador de potencia. Lp y Ls el flujo magnético disperso en el devanado primario y secundario respectivamente. Ei representa el voltaje interno generado por la bobina de campo. éste está constituido por una fuente de voltaje alterna en serie con la resistencia e inductancia síncrona. este circuito se puede simplificar al circuito de la figura 4. se muestra en la figura 3. en el cual R1 representa la resistencia y L1 el flujo magnético disperso de ambos devanados. son pequeñas en comparación a la corriente en el secundario. Gc representa las pérdidas en el núcleo del transformador y Bm el flujo de magnetización.
. Figura 2. Rp y Rs representan la resistencia del devanado primario y secundario respectivamente.El circuito equivalente de un generador o un motor síncrono es mostrado en la figura 2. Circuito equivalente del generador síncrono
El circuito equivalente de un transformador. RS representa la resistencia de las bobinas del estator y XS representa el flujo magnético disperso en el estator junto con el efecto de reacción de armadura.
XL representa la inductancia de la línea. Circuito equivalente del transformador
Figura 4. ésta se debe al campo magnético que produce la corriente que circula por la línea de transmisión.Figura 3. BC representa la capacitancia que se forma entre la línea de transmisión y la tierra. Circuito equivalente simplificado del transformador
En la figura 5 se muestra el circuito equivalente de una línea de transmisión. R representa la resistencia del conductor.
si se trata de una carga inductiva. los cálculos en valores por unidad. Circuito equivalente de una línea de transmisión
El tipo de carga determina su circuito equivalente. resultan mucho más sencillos que los cálculos con valores reales en voltios. amperios u ohmios. corrientes e impedancias en un sistema de potencia. éste pasa a ser un diagrama de reactancia.2. expresado como un decimal. El valor por unidad de una magnitud cualquiera. Al diagrama que se origina de la sustitución de los elementos del sistema de potencia. por su circuito equivalente monofásico. su circuito equivalente es una resistencia en serie con un capacitor.
1. ésta se representa por una resistencia en serie con una inductancia. cuando se eliminan las resistencias de un diagrama de impedancia.3
Los voltajes. se le conoce como diagrama de impedancia. se define como la razón de su valor al valor base.Figura 5. se expresan frecuentemente en cantidades por unidad de un valor base o de referencia que se elige para cada magnitud. por ejemplo. si la carga es capacitiva.
la impedancia en por unidad de un elemento del sistema de potencia. se transforma dicho valor en por unidad a su valor real. de una base a otra. En el trabajo realizado por William Stevenson2 se presentan los conceptos básicos de un sistema de potencia en una forma más detallada. con sus correspondientes circuitos equivalentes. para la parte del sistema donde está localizado dicho elemento. indicando su forma de aplicación. de acuerdo a la base sobre la que se especificó dicho valor en por unidad y luego se transforma este valor real. convertir esa impedancia en por unidad.
. los voltajes base del resto del sistema se eligen según la relación de transformación entre la parte seleccionada y la actual. se expresa sobre una base distinta a la seleccionada. para esto. en su valor en por unidad sobre la base deseada.Para trabajar en cantidades por unidad. de acuerdo con el nivel de tensión de una parte del sistema de potencia delimitada por transformadores. los valores base de las magnitudes restantes. en este trabajo también se describen las cantidades por unidad. siendo necesario. inicialmente se selecciona la potencia base para todo el sistema. El valor por unidad de cualquier magnitud. describiendo sus principales elementos. luego se elige el voltaje base. se calcula por medio de la siguiente expresión:
Valor por unidad =
Algunas veces. se calculan de acuerdo a la relación de dichas magnitudes con el voltaje y la potencia base.
Matemáticamente. La solución del problema de flujo de potencia es básica para la mayoría de los análisis que se realizan en sistemas eléctricos de potencia. la potencia activa y reactiva que entra o sale del sistema a través de cada barra y los flujos de potencia real y reactiva en cada una de las líneas de transmisión y transformadores. el problema consiste en resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales. sino que requieren la solución de un gran número de ecuaciones simultáneas. en todas las barras de una red eléctrica y a partir de ese cálculo. Debido a que estos métodos numéricos no son infalibles.3
El problema de flujo de potencia puede definirse como el cálculo con precisión de las tensiones complejas de estado estacionario. esto ha tenido como consecuencia que el esfuerzo que se ha dedicado al desarrollo de métodos de solución sea notable. los métodos iterativos de Gauss Seidel y Newton Raphson resultaron útiles. tratando de lograr algoritmos eficientes y confiables.1. Cuando se desarrollaron las computadoras digitales. Los problemas de flujo de potencia no pueden resolverse mediante métodos matemáticos directos. pero estos métodos presentan problemas de convergencia lenta o necesitan de gran capacidad de memoria y pueden alejarse de la solución en varios casos. bajo la suposición de generación y carga conocidas. se ha continuado con la búsqueda de alternativas para resolver el problema de flujo de potencia convencional. no lineales respecto a las variables de interés (tensiones en los nodos).
. cuyo orden depende de la formulación utilizada.
3. los datos de entrada están constituidos por información de barras. Circuito equivalente simplificado de un sistema de potencia
Datos del problema de flujo de potencia
El punto de partida en la obtención de los datos necesarios para resolver un problema de flujo de potencia. consiste básicamente en los valores de impedancia serie y admitancia en paralelo de su circuito equivalente. El circuito equivalente simplificado del sistema de potencia debe tener una forma similar al mostrado en la figura 6. es el diagrama unifilar del sistema de potencia. La información de las líneas de transmisión. la información de los transformadores y generadores consiste básicamente en los valores de impedancia serie de sus circuitos equivalentes. Figura 6. de forma que exista solamente una admitancia entre dos barras y también una admitancia entre cada barra y tierra.1. debe simplificarse el circuito equivalente del sistema de potencia. transformadores y generadores. las fuentes de corriente indican la existencia de un generador o una carga en esa barra. líneas de transmisión. estos valores son utilizados para formar la matriz de admitancias de barra del sistema de potencia. Para obtener esta matriz de admitancias.
la potencia activa neta P y la potencia reactiva neta Q entregadas o tomadas del sistema de potencia.3. Con cada barra se encuentran asociadas cuatro variables. las cuales son: la magnitud de voltaje V. dos de estas cuatro variables se especifican como datos de entrada y las otras dos variables se calcularán al momento de resolver el problema de flujo de potencia.Los elementos de la matriz de admitancias de barra. el ángulo de fase δ. que en todas las barras del sistema de potencia se especifiquen las mismas variables. En el trabajo de William Stevenson3 se estudia de forma mas detallada la matriz de admitancias de
. como una regla general. mediante las siguientes reglas: • • Los elementos de la diagonal de la matriz Yjj son iguales a la suma de todas las admitancias que están directamente conectadas al nodo j.2
Tipos de barras en problemas de flujo de potencia
Físicamente no es posible establecer. Los elementos fuera de la diagonal Yij son iguales al negativo de la admitancia total conectada entre los nodos i y j. esto ha llevado a clasificar las barras según sus dos variables especificadas y sus dos incógnitas. Los valores en la diagonal de la matriz de admitancias de barra se llaman admitancias propias de los nodos y los valores que están fuera de la diagonal se llaman admitancias mutuas de los nodos. se obtienen a partir de las admitancias del circuito equivalente simplificado del sistema de potencia. barra. en todas las barras.
• Barra de compensación o barra oscilante: en un sistema de potencia. En esta barra no se especifica la potencia activa y reactiva neta. se especifica la magnitud del voltaje en la barra y la potencia activa neta.3
Ecuaciones de flujo de potencia
La potencia compleja entregada o recibida en la k-ésima barra del sistema de potencia.Cada barra puede clasificarse en uno de los tres tipos siguientes: • Barras de carga: las barras de este tipo. no podrá especificarse su potencia activa. de modo que para este generador. puede expresarse de la siguiente forma:
∗ S k = Pk + j ⋅ Qk = Vk ⋅ I k
. se puede incluir a aquellas que tienen instalados dispositivos capaces de controlar la magnitud del voltaje en sus terminales. • Barras de voltaje controlado: en este tipo de barras. A estas barras se les da el nombre de barras PV. mientras que no se especifica la potencia reactiva neta y el ángulo de fase del voltaje. las variables especificadas son la magnitud del voltaje en la barra y su ángulo de fase. tienen especificadas la potencia activa y reactiva neta. mientras que no se conoce la magnitud del voltaje y su ángulo de fase.3.
1. mediante la generación o absorción de potencia reactiva. en este caso. como generadores síncronos. el cual se usará como referencia para el ángulo de fase en las demás barras. debe existir un generador que absorba las pérdidas en las líneas de transmisión. las cuales no pueden conocerse antes de resolver el problema de flujo de potencia. A estas barras se les da el nombre de barras PQ. en este caso. por lo común se selecciona un ángulo de fase de 0°.
indica que la potencia está entrando o saliendo de la barra. se obtiene una expresión que relaciona los voltajes complejos con la potencia activa y reactiva neta en las barras. De la misma forma el signo de Ik. respectivamente. Pk o Qk. Vk es el voltaje en forma compleja de la k-ésima barra e Ik es la corriente en forma compleja que entra a la k-ésima barra. Pk es la potencia activa y Qk la potencia reactiva que entran a la k-ésima barra.Siendo el conjugado complejo de la expresión anterior. se puede calcular de la siguiente forma:
I k = ∑ Ykn ⋅ Vn
Donde Ykn es el elemento que se localiza en la fila k y columna n de la matriz de admitancias de barra del sistema de potencia y Vn es el voltaje en forma compleja de la n-ésima barra. La corriente que entra o sale de la k-ésima barra. en un sistema de potencia de N barras. Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación de la potencia compleja conjugada. indica si la corriente está entrando o saliendo de la barra. esta expresión es la siguiente:
Pk − j ⋅ Qk = V ⋅ ∑ Ykn ⋅ Vn
* k n =1
. El signo positivo o negativo de Sk. el siguiente:
* S k = Pk − j ⋅ Qk = Vk* ⋅ I k
Donde Sk es la potencia compleja.
1.Ya que los voltajes complejos se trabajan en forma polar.4
Objetivo de los estudios de flujo de potencia
El propósito del análisis de flujo de potencia es calcular con precisión la magnitud y ángulo de fase de los voltajes de estado estacionario en todas las barras de una red y a partir de ese cálculo. |Vn| y δn es la magnitud y ángulo de fase.
. obteniendo las siguientes expresiones:
Pk = ∑ Ykn ⋅ Vk ⋅ Vn ⋅ cos(θ kn + δ n − δ k )
Qk = − ∑ Ykn ⋅ Vk ⋅ Vn ⋅ sen (θ kn + δ n − δ k )
Donde |Ykn| es la magnitud del elemento que se localiza en la fila k y columna n de la matriz de admitancias de barra. respectivamente. del voltaje en la n-ésima barra. líneas de transmisión y transformadores. Las expresiones anteriores se conocen como ecuaciones de flujo de potencia en forma polar. |Vk| y δk es la magnitud y ángulo de fase. la expresión anterior puede separarse en su parte real e imaginaria. los flujos de potencia activa y reactiva en cada una de las barras. θkn es el ángulo de fase en forma polar de ese mismo elemento de la matriz. bajo la suposición de generación y carga conocidas.3. se puede observar que estas ecuaciones son no lineales y que para su cálculo directo es necesario conocer la magnitud y ángulo de fase del voltaje en todas las barras del sistema de potencia. respectivamente. del voltaje en la k-ésima barra.
resolviendo un igual número de ecuaciones de flujo de potencia simultáneas. en el trabajo realizado por John Grainger4 se estudia la solución al problema de flujo de potencia por medio de estos métodos iterativos. Para el cálculo de las variables de estado. se emplean métodos iterativos como el método de Gauss-Seidel o el método de Newton-Raphson. basadas en los datos especificados.Las magnitudes y ángulos de fase de los voltajes de barra que no se especifican en los datos de entrada. porque sus valores dependen de las cantidades especificadas en cada una de las barras. después de esto. como es el caso de la potencia activa y reactiva para la barra de compensación y la potencia reactiva para las barras de voltaje controlado. también se les llama variables dependientes. ya que describen el estado del sistema de potencia. Entonces. El estado completo del sistema de potencia se conoce hasta cuando se han calculado las variables de estado. pueden determinarse todas las demás cantidades que dependen de las variables de estado.
. se llaman variables de estado. el problema de flujo de potencia consiste en determinar los valores de todas las variables de estado.
buscan la solución a un problema. Muchos problemas no pueden resolverse matemáticamente en forma directa.
. Los métodos analíticos o basados en cálculos. eligiendo la mejor solución. resolviendo ecuaciones en forma directa o por medio de técnicas iterativas. métodos aleatorios y métodos heurísticos. aunque estos métodos tienen la ventaja de ser bastante simples. sin ningún criterio de selección y tratando de cubrir todas las zonas de este espacio. Existen cuatro tipos básicos de métodos de búsqueda y optimización. eligiendo la mejor solución que se haya explorado. la mejor solución o la única. aunque estos métodos son sencillos y no consumen demasiado tiempo. generalmente el espacio de búsqueda es demasiado grande como para buscar la solución punto por punto. variando la solución de forma relacionada con el gradiente local. recorren todo el espacio finito de posibles soluciones al problema.2
Los algoritmos de búsqueda y optimización son métodos capaces de encontrar. estos métodos presentan el problema de estancarse en máximos o mínimos locales y necesitan que la función objetivo sea diferenciable. Los métodos exhaustivos o enumerativos. estos son: métodos analíticos. pueden dar una solución que no sea la mejor. métodos exhaustivos. por lo que la búsqueda de la solución se realiza mediante iteraciones. Los métodos aleatorios o de búsqueda al azar. recorren de forma aleatoria varios puntos del espacio de búsqueda. en el espacio de todas las posibles soluciones a un problema.
. como sucede en la evolución biológica. los algoritmos genéticos han demostrado ser una estrategia enormemente poderosa y exitosa para resolver problemas. entre ellos están los algoritmos genéticos. Los algoritmos genéticos son métodos sistemáticos para la resolución de problemas de búsqueda y optimización. que permite valuar cuantitativamente a cada candidata. a cada individuo se le asigna un valor de aptitud. Aunque puede parecer asombroso y no intuitivo. las cuales pueden especificarse o generarse aleatoriamente. en un determinado espacio de búsqueda. para que los mejores individuos tengan mayor probabilidad de reproducirse. como estrategia para resolver problemas. que imita a la evolución biológica. En un algoritmo genético cada solución potencial constituye un individuo de la población. que aplican los mismos métodos de la evolución biológica. los cuales son: selección basada en la población. hasta encontrar la mejor solución al problema. También se puede decir que un algoritmo genético es una técnica de programación. Dado un problema específico a resolver. este conjunto de soluciones son sometidas a acciones aleatorias. estas soluciones son codificadas de alguna forma y evaluadas mediante una función de aptitud. reproducción sexual y mutación. transmitiendo parte de su información a sus descendientes. para encontrar la solución de un problema. semejantes a las que actúan en la evolución biológica. la entrada del algoritmo genético consiste en un conjunto de soluciones potenciales a ese problema. existen diversos métodos heurísticos de búsqueda y optimización.Los métodos heurísticos utilizan reglas y técnicas no rigurosas. demostrando el poder de los principios evolutivos.
demostrando que los genes mendelianos eran los que proporcionaban el mecanismo necesario para la evolución. a estos caracteres que podían tomar diferentes valores los llamó genes y a los valores que podían tomar los llamó alelos. una población tendría los mismos rasgos intermedios. las teorías de Mendel. es que pequeños cambios heredables en los seres vivos y la selección. La hipótesis de Darwin.2. En 1930. poco más adelante. el genetista inglés Robert Aylmer relacionó las teorías de Darwin y Mendel. el biólogo alemán Walther Flemming describió los cromosomas. y que se tomaban del padre o de la madre. que trabajó en total aislamiento. se olvidaron y no se volvieron a redescubrir hasta principios del siglo XX. como ciertos filamentos que contenían la cromatina del núcleo celular. en el famoso tratado “el origen de las especies por medio de la selección natural”. pero Darwin desconocía cual es la base de la herencia. que los caracteres se heredaban de forma discreta. son los dos hechos que provocan el cambio en la naturaleza y la generación de nuevas especies. Fue Gregor Johann Mendel quien descubrió en 1866. presentada junto con Alfred Russel Wallace.1
La teoría de la evolución fue descrita por Charles Robert Darwin en 1859. por la misma época. esta hipótesis tenía el problema de que al cabo de cierto tiempo. que llegó a las mismas conclusiones independientemente.
. En realidad. se descubrió que las células de cada especie viviente tenían un número fijo y característico de cromosomas. dependiendo de su carácter dominante o recesivo. pensaba que los rasgos de un ser vivo eran como un fluido y que los fluidos de los dos padres se mezclaban en la descendencia.
La molécula de ADN es una cadena alargada en forma de doble hélice. único para cada ser vivo. los genes de los padres son Finalmente. creando diversidad genética. diseñada para maximizar flujo. citosina. además. el ADN está contenido dentro de los cromosomas y por tanto. ya que un organismo más evolucionado puede estar en desventaja competitiva con uno de sus antepasados. La evolución puede definirse como el proceso de cambio en los genes de una población. la combinación y secuencia de estas bases forma el código genético. los genetistas y biólogos evolutivos afirman que la evolución no optimiza. la mezclados y transmitidos a los hijos. guanina y timina. Según los informáticos evolutivos. En el proceso de reproducción. selección es el proceso de competición entre los individuos de la población. evolución no significa progreso. hasta el metabolismo.
. los genes están dentro de los cromosomas. compuesta por adenina. puesto que va creando seres cada vez más perfectos cuya cumbre es el hombre. para sobrevivir y poder heredar parte de sus genes a sus descendientes. mutación y selección. La mutación consiste en la alteración de los genes en forma aleatoria. Sin embargo. si ambos se colocan en el ambiente del último. indicios de esta optimización se encuentran en el organismo de los animales. desde el tamaño y tasa de ramificación de las arterias. cuando el genetista estadounidense James Dewey Watson y el británico Francis Harry Compton Crick descubrieron que la base molecular de los genes está en el ácido desoxirribonucleico (ADN). sino que adapta y optimiza localmente en el espacio y el tiempo. Todos estos hechos forman hoy en día la teoría del neo-darwinismo. que afirma que la historia de la mayoría de la vida está causada por una serie de procesos que actúan en las poblaciones. éstos son: reproducción. que optimiza la cantidad de energía extraída de los alimentos. la evolución optimiza.Fue hasta 1953.
2. además. xn de un problema.…. La agrupación de valores numéricos asignados a cada una de las variables x1. para desarrollar soluciones a problemas de igual o mayor complejidad que los abordados por los diseñadores humanos.….…. pudiendo ser esta función. Actualmente se utilizan algoritmos genéticos en una amplia variedad de campos. Los algoritmos genéticos tratan de resolver problemas que consisten básicamente en encontrar un grupo de valores x1. más elegantes o más complejas. tomando la decisión de aplicar estas ideas para desarrollar programas bien adaptados para un fin determinado.En los años 60. tales que la función F(x1. continua o discontinua con respecto a cada una de sus variables. x2. que una. se conoce como genotipo. no lineal. x2. En un algoritmo genético. que un ingeniero humano produciría. escrito por el biólogo evolucionista Ronald A. lineal. las soluciones que consiguen son a menudo más eficientes. Holland junto con otras personas. Fisher. John Holland leyendo el libro “la teoría genética de la selección natural”. genotipo constituye el material genético de un individuo de la población. x2. un genotipo representa una solución al problema en forma codificada y puede verse como un arreglo de valores numéricos. xn) sea máxima. xn.2
Un algoritmo genético es un método de búsqueda dirigida basada en probabilidad. xn del cromosoma. comenzó a descubrir que la evolución era una forma de adaptación más potente que el simple aprendizaje. se llama cromosoma a la agrupación de todas las variables x1. x2. En los años 70.…. crearon las ideas que más tarde se convertirían en los algoritmos genéticos. Cada
…. según su fenotipo. se crea un determinado número de parejas de individuos al azar. xn) que permita evaluar que tan buena es una solución. por medio de la función de aptitud.
. Después de que cada individuo tiene asignado un valor de probabilidad. La población inicial consiste en un grupo de soluciones al problema (individuos) codificadas en genotipos.…. después debe construirse la función de aptitud F(x1. sin importar si ya fue seleccionado en otra pareja. en la creación de cada pareja. Cuando se tiene la población inicial. Para resolver un problema mediante un algoritmo genético. xn constituyen el cromosoma del algoritmo genético. que constituyen un intercambio de la información de los padres. el fenotipo consiste en un valor numérico que indica que tan buena es esa solución al problema. todos los individuos de la población.…. se llama fenotipo del individuo. x2. para determinar el fenotipo de cada individuo. x2. al evaluarla con el grupo de valores x1. estos genotipos pueden especificarse o ser generados aleatoriamente entre un intervalo determinado de valores para cada variable del cromosoma. produciendo un determinado número de hijos. x2. xn) se le conoce como función de aptitud y el valor que esta función devuelve. luego cada pareja se reproduce. de forma que los mejores individuos de la población tengan mayor valor de probabilidad. primero se debe determinar de que parámetros depende el problema y asignar una variable a cada parámetro. x2. se evalúan todos los genotipos de los individuos.A la función F(x1. luego se asigna un valor de probabilidad a cada individuo. estas variables x1. según la probabilidad de cada uno y pudiendo participar.…. xn del genotipo de un individuo.
se habrá formado una nueva población o generación de individuos. también puede calcularse el fenotipo de estos nuevos individuos. la probabilidad de mutación de un individuo debe ser baja.
. estos nuevos individuos pueden sustituir a todos los de la generación anterior o solamente a los que tengan menor valor de probabilidad. puede verse que los individuos de cada generación compiten para ver cuál constituye la mejor solución al problema. luego de su creación. después se vuelve a realizar el mismo proceso de emparejamiento. Cuando los nuevos individuos han sustituido a otros de la generación anterior.3
Un algoritmo genético contiene una serie de procesos. Los hijos de todas las parejas de individuos formarán parte de la segunda generación. para un funcionamiento adecuado de un algoritmo genético. similares a los observados en la evolución biológica de las especies. pueden sufrir mutaciones. que permiten solucionar un problema.
2. al igual que en la evolución de las especies. para que sólo los mejores sustituyan a otros de la generación anterior.Los hijos de todas las parejas. hasta que aparezca el individuo que constituya la solución al problema. éstos se describen a continuación. de forma que sólo los mejores sobrevivan o leguen parte de su material genético (genotipo) a las siguientes generaciones. cambios en los valores de su genotipo. esto es. reproducción y sustitución de individuos de la población. De lo anterior.
a cada posible solución representada en un cromosoma se le conoce como genotipo. Figura 7. cuando las variables de las que depende el problema son discretas. los genes pueden ser de tipo entero o binario.3. otro con genes de tipo entero y otro con
. Se llaman genes a los componentes individuales del cromosoma.2. los genes son de tipo real. estas variables pueden ser discretas o continuas y sus valores deben estar dentro de un intervalo determinado para cada variable.1
Codificación de datos en un cromosoma
El cromosoma es la estructura que nos permite representar las posibles soluciones al problema dentro del algoritmo genético. entero y real En la figura 7 se muestra un cromosoma con genes de tipo binario. Para diseñar la estructura del cromosoma deben considerarse todas las variables de las que depende la solución del problema. genes de tipo real. Cromosomas con genes de tipo binario. cuando estas variables son continuas.
Los individuos que constituyen la población van cambiando durante el funcionamiento del algoritmo genético.El diseño correcto de la estructura del cromosoma puede ser la clave para resolver adecuadamente el problema. es que las variables relacionadas entre sí. pero el tamaño de la población permanece constante.
.3. La población inicial generalmente es creada asignando valores aleatorios a los genes de cada individuo. deben de estar cercanas en el cromosoma. no existe una regla para determinar el tamaño óptimo de la población.
2. tomando en cuenta la cantidad de genes del cromosoma y el intervalo de valores que éstos pueden adquirir. por lo que éste se determina según el criterio del diseñador. El tamaño de la población de un algoritmo genético debe ser suficiente para garantizar la diversidad de las soluciones. estos individuos constituyen posibles soluciones al problema. esto permite que la población inicial abarque todo el espacio de búsqueda. El tamaño del cromosoma varía con cada problema a resolver.2
La población es el conjunto de individuos con los que se trabaja en el algoritmo genético. ya que éste es proporcional a la cantidad de variables de las cuales depende la solución del problema. un criterio usado para diseñar la estructura del cromosoma. dentro de un intervalo determinado y con la misma probabilidad de ocurrencia.
se escogen los individuos que integrarán las parejas que van a reproducirse.3. es la medida de cómo un
2. La selección se realiza al azar y los métodos más comunes son la selección por ruleta. individuo resuelve el problema.4
La selección es el proceso en el cual.3.
. todos los individuos pueden participar en la formación de dichas parejas. ésta debe asignar un valor numérico a cada individuo. como se dijo anteriormente. de acuerdo con el valor de su fenotipo y de forma que la suma de las probabilidades de todos los individuos sea uno. esta función tiene como entrada el genotipo de un individuo y su salida es el fenotipo de ese individuo. se asigna un valor de probabilidad a cada individuo. El fenotipo es la medida de la adaptación de un individuo o dicho de otra forma.3. que permita comparar su aptitud para resolver el problema.
Función de aptitud
La función de aptitud es la herramienta que permite medir que tan buena es una solución.1
Selección por ruleta
En este método.4. selección basada en el rango y selección por torneo. el fenotipo de un individuo es obtenido por medio de la función de aptitud.2. La función de aptitud debe ser diseñada para cada problema de manera específica. con el resto de la población.
Después de que cada individuo tiene un valor de probabilidad. Figura 8. este valor de probabilidad puede obtenerse mediante la siguiente expresión:
Probabilid ad i =
Fenotipoi
∑ Fenotipo j
Donde Probabilidadi es la probabilidad del i-ésimo individuo. se selecciona el individuo correspondiente al punto en el cual la ruleta deja de girar. debe considerarse que los individuos mejor adaptados deben tener mayor valor de probabilidad. Funcionamiento del método de selección por ruleta
. en ella puede observarse que los individuos mejor adaptados tienen mayor probabilidad de ser seleccionados.Al asignar a cada individuo su valor de probabilidad. Fenotipoj es el fenotipo de j-ésimo individuo y N es el número de individuos en la población. Fenotipoi es el fenotipo de i-ésimo individuo. se construye un modelo que imite a una ruleta que está dividida en porciones que corresponden a cada individuo y que el tamaño de las porciones sea proporcional al valor de probabilidad de los individuos. en la figura 8 se muestra el funcionamiento de este método de selección.
Para programar este método de selección. por ejemplo. Este método puede hacer que el algoritmo genético converja lentamente a la solución. se realiza el mismo procedimiento utilizado en el método de ruleta.2
Selección basada en el rango
En este método los individuos son ordenados. desde cero hasta uno. se asigna a cada individuo un intervalo de valores. de acuerdo con su valor de probabilidad. es proporcional a su aptitud para resolver el problema. luego con los nuevos fenotipos.
2. asignándoles un número entero correlativo desde el peor hasta el mejor.3
Selección por torneo
En este método se toma de la población un determinado número de individuos de forma aleatoria y se escoge el mejor de ellos.3. ya que no existirá mucha diferencia entre los mejores y los peores individuos. el individuo seleccionado será aquel cuyo intervalo contenga ese valor generado. el peor tendrá un valor de 1 y el mejor tendrá un valor de n. este método es el más utilizado en los algoritmos genéticos. de acuerdo a su fenotipo.4. luego se genera un valor aleatorio entre cero y uno.
. ya que la probabilidad de que un individuo sea seleccionado.
2. El método de ruleta también es conocido como selección proporcional. si se tienen n individuos.4. este número correlativo reemplaza al fenotipo de cada individuo.3.
3.2. Los operadores más utilizados son: operador cruce y operador mutación. éstos permiten crear nuevos individuos en base a los existentes.3. Figura 9. los valores de los genes del primer padre hasta un punto de corte y el resto copiarlo del segundo padre. El cruce en un punto consiste en copiar en el hijo. En la figura 9 se muestra el cruce en un punto de dos individuos con genes de tipo entero. Cruce en un punto
Operador cruce
El operador cruce realiza la reproducción de cada pareja de individuos. este operador nos permite crear individuos nuevos y mejor adaptados. combinando el material genético de los padres. cruce uniforme y cruce aritmético. Existen muchas formas de cruzar dos individuos. entre ellas están: cruce en un punto. el cromosoma es dividido en dos partes por el punto de corte. ser seleccionado al azar en cada cruce. éste puede ser un punto fijo o bien.5.
Los operadores genéticos son los que introducen diversidad genética en la población. cruce en varios puntos.
para cada gen del cromosoma se selecciona al azar de cual padre se copiará el valor respectivo. Cruce uniforme
. Figura 11. la diferencia consiste en que existen varios puntos de corte que dividen al cromosoma en varias partes.El cruce en varios puntos es similar al cruce en un punto. los valores copiados en el hijo se alternan entre un padre y otro en cada punto de corte. En la figura 11 se muestra el cruce uniforme de dos individuos cuyos genes son de tipo entero. Figura 10. En la figura 10 se muestra el cruce en tres puntos de dos individuos con genes de tipo entero. Cruce en varios puntos
En el cruce uniforme.
pero en promedio contribuyen a la diversidad genética.2
Operador mutación
El operador mutación cambia el valor de uno o varios genes de un individuo.El cruce aritmético consiste en obtener los valores de los genes del hijo por medio de operaciones aritméticas con los valores de los genes de los padres. copiar una parte del genotipo del primer padre y obtener la otra parte promediando los valores de los genes de ambos padres.5.3. en algunos casos producen la muerte del organismo. En la figura 12 se muestra el cruce aritmético de dos individuos con genes de tipo real en el cual se promediaron los valores de sus genes.
2. Cruce aritmético
También se pueden diseñar formas de cruce en las cuales se combinen los métodos anteriores. como por ejemplo. Figura 12. alterando su material genético.
. en los algoritmos genéticos las mutaciones tienen la misma función y su probabilidad de ocurrencia debe ser baja. en la evolución biológica de las especies. las mutaciones son sucesos bastante poco comunes.
un conjunto de individuos que representen soluciones aproximadas al problema. a cada uno. ésta constituye la primera generación de individuos. Existen muchas formas de mutar un individuo. con diferentes características a los actuales.4
Funcionamiento de un algoritmo genético
El funcionamiento de un algoritmo genético comienza generando la población inicial. ya que puede reducir el algoritmo genético a una búsqueda aleatoria. generalmente la probabilidad de mutación es de una en mil. la probabilidad de mutación se establece según el criterio del diseñador. según el criterio del diseñador.
2. decidiendo al azar si se cambiará su valor. recorrer cada uno de los genes del individuo. se construyen las parejas de individuos que van a reproducirse. Después de tener las parejas de individuos. utilizando un método de selección. luego. una de ellas consiste en seleccionar un gen al azar y cambiar su valor. obtenidas por algún otro método de búsqueda.El operador mutación se aplica. a los individuos recién creados por el operador cruce. se evalúan todos los individuos por medio de la función de aptitud y se le asigna. también puede utilizarse como población inicial. con muy baja probabilidad. la cantidad de parejas es determinada por el diseñador del algoritmo genético. esto permite obtener un nuevo grupo de individuos. su valor de fenotipo. pero ésta debe ser bastante baja. otra forma puede ser. se realiza la reproducción utilizando un operador de cruce. Cuando se tiene la población inicial.
los hijos de las parejas pueden sustituir a la población actual completa o a una parte de ella.
. la estructura del cromosoma. todos los individuos de esta nueva población son evaluados para determinar si alguno soluciona el problema. también se puede evaluar a los nuevos individuos con la función de aptitud y que los mejores sean los que sustituyan a los peores de la población actual. al aplicar el operador. la forma de sustituir una población por otra y la condición de parada. se determina aleatoriamente. cambiando el orden de los padres. la función de aptitud. la cantidad de hijos la determina el criterio del diseñador del algoritmo genético. debe determinarse la forma más adecuada de codificar las soluciones en el cromosoma. el número de parejas. se repite todo el proceso anterior sobre la nueva población. generalmente se obtienen dos hijos de cada pareja y se aplica un operador de cruce. formada por hijos de la población anterior y talvez por los mejores individuos de dicha población. Esta nueva población. hasta que un individuo solucione el problema.Los hijos de cada pareja pueden ser obtenidos de la aplicación de uno o varios operadores de cruce. utilizando la probabilidad de mutación. en caso de no existir dicho individuo. el tamaño de la población. para obtener cada hijo. el número de hijos de cada pareja. Después de la reproducción. Antes del funcionamiento del algoritmo genético. los operadores de cruce mas adecuados. la probabilidad de mutación. si se aplica el operador mutación a cada uno de los hijos de las parejas. la cual debe determinar si algún individuo soluciona el problema. constituye la segunda generación de individuos. Cuando se han aplicado los operadores genéticos.
sino únicamente la propia función objetivo y se rigen mediante reglas probabilísticas. los algoritmos genéticos buscan la solución a partir de una población de puntos.
. en lugar de reglas deterministas. no utilizan derivadas ni propiedades de la función objetivo. en lugar de un solo punto.El funcionamiento de un algoritmo genético se resume en el diagrama de flujo mostrado en la figura 13. Figura 13. Diagrama de flujo de un algoritmo genético
A diferencia de otros métodos de búsqueda y optimización.
todos los individuos que se producen.Ya que la operación de cruce consiste en intercambiar o mezclar los genes de dos individuos que representan soluciones válidas al problema. para resolver este inconveniente. dependiendo de la forma como se codifiquen las soluciones válidas en los genotipos de los individuos. El ajuste que debe realizarse al genotipo de cada individuo. los individuos que resulten de este cruce. aunque en algunos casos sus valores se ajustan para evitar que la población se aleje de la solución. En algunas aplicaciones. el tipo de operación de cruce que se utilice y del tipo de problema que se intenta resolver. En muchas aplicaciones se presenta el caso. luego de la operación de cruce y mutación. el objetivo de este ajuste es hacer que la solución.
. ya que esta operación altera los valores genéticos de los individuos. este ajuste consiste en alterar los genes del individuo. que el individuo representa. varía con el tipo de problema que se intenta resolver. debe ajustarse el genotipo de cada individuo. luego de aplicar las operaciones de cruce y mutación. La operación de mutación también podría producir individuos que representen soluciones válidas e inválidas al problema. sea válida. pueden representar soluciones válidas e inválidas al problema. no representan soluciones válidas al problema. que los individuos creados mediante la operación de cruce o alterados por la operación de mutación. en estas aplicaciones no es necesario ajustar los genotipos de los individuos. contienen soluciones válidas al problema. de forma que sea válida la solución que éste represente.
pero si se trabaja con valores en por unidad. es el problema de flujo de potencia. en base a valores de potencia activa y reactiva que entran o salen de estas barras. Un problema que puede ser resuelto por medio de algoritmos genéticos. estos intervalos de valores son utilizados únicamente para generar la población inicial. como solución a diferentes tipos de problemas. todos los voltajes de las barras del sistema de potencia. así como los ángulos de fase de los voltajes en las barras de voltaje controlado. en los algoritmos genéticos deben especificarse los intervalos de valores. por lo que su puede fijar un intervalo de valores alrededor de la unidad. ya que éste consiste básicamente en encontrar las magnitudes y ángulos de fase de los voltajes en las barras. 41
. mientras que las magnitudes de los voltajes podrían adquirir valores que escapen de un intervalo fijado. las magnitudes y ángulos de fase de los voltajes en las barras de carga. Para resolver el problema de flujo de potencia por medio de algoritmos genéticos. A diferencia de los métodos iterativos de Newton-Raphson y Gauss-Seidel. Los valores de los ángulos de fase varían en el intervalo de -π a π. a partir de las magnitudes y ángulos de fase de los voltajes en las barras. deben codificarse en un cromosoma. en lugar de indicar los valores iniciales de estas magnitudes y ángulos de fase. siendo conocidas las funciones que permiten calcular estas potencias.3
ALGORITMOS GENÉTICOS ORIENTADOS A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FLUJO DE POTENCIA
Los algoritmos genéticos son métodos de búsqueda y optimización que pueden utilizarse en diversos campos de aplicación. que pueden tomar las magnitudes y ángulos de fase de los voltajes en las barras. deben tener una magnitud cercana a la unidad.
En base a los valores de magnitud y ángulo de fase de los voltajes en las barras, que contiene cada individuo, se calculan los valores de potencia activa y reactiva en las barras de carga y los valores de potencia activa en las barras de voltaje controlado; si todos los valores de potencia obtenidos, son idénticos a los proporcionados en el problema, ese individuo constituye la solución al problema y sus valores de voltaje en las barras son los correctos; si los valores de potencia calculados no son iguales a los proporcionados, se calculan las diferencias en dichos valores y en base a estas diferencias, se determina si un individuo es mejor que otro. Los algoritmos genéticos funcionan de forma muy diferente a los métodos iterativos normalmente utilizados en la solución del problema de flujo de potencia, proporcionándonos una alternativa en la solución de este tipo de problemas. Una ventaja de los algoritmos genéticos es que no necesitan hacer uso de derivadas parciales de las ecuaciones de flujo de potencia, ni necesitan realizar cálculos matriciales complejos, lo que los hace más sencillos de programar en un computador; otra ventaja es que los algoritmos genéticos buscan la solución a partir de una población de puntos en el espacio de búsqueda, no como los métodos iterativos de Newton-Raphson y Gauss-Seidel, que buscan la solución moviéndose solamente en un punto. Ya que los algoritmos genéticos se rigen mediante reglas probabilísticas, la forma en que se llega a la solución, variará cada vez que se ponga a funcionar el algoritmo, a diferencia de los métodos iterativos tradicionales, en los cuales siempre se llega a la solución de la misma forma, debido a que éstos se rigen mediante reglas deterministas.
En un problema de flujo de potencia se proporciona toda la información de los elementos del sistema, que permita obtener la matriz de admitancias de barra del sistema de potencia; en las barras de carga se proporcionan los valores de potencia activa y reactiva que entran o salen de dichas barras; en las barras de voltaje controlado se proporcionan las magnitudes de voltaje y los valores de potencia activa que entran o salen de esas barras; debe existir solamente una barra de compensación, en la cual se especifica la magnitud y el ángulo de fase de su voltaje, este ángulo de fase se utiliza como referencia para el resto de las barras. En el problema de flujo de potencia, se suponen valores para las magnitudes y ángulos de fase de los voltajes en las barras de carga y también para los ángulos de fase en las barras de voltaje controlado; estos valores, junto con la magnitud y ángulo de fase del voltaje en la barra de compensación y la magnitud de los voltajes en las barras de voltaje controlado, permiten calcular los valores de potencia activa y reactiva en las barras de carga, junto con los valores de potencia activa en las barras de voltaje controlado, que corresponderían a esos valores supuestos de voltaje. Para este cálculo se utilizan las ecuaciones de flujo de potencia en forma polar, las cuales fueron deducidas en el capítulo 1 y con fines didácticos se repiten a continuación:
Los valores de potencia calculados se comparan con los valores de potencia que se proporcionan, para determinar si los valores supuestos de voltaje son correctos o no. Todos los valores utilizados en un algoritmo genético orientado a solucionar problemas de flujo de potencia, son números reales; esto complica la búsqueda de una solución, ya que los valores de potencia calculados difícilmente serán idénticos a los proporcionados; por tal razón, debe especificarse el valor máximo en que puedan diferir los valores de potencia calculados con los proporcionados, para que una solución se considere correcta; este valor máximo se conoce como tolerancia en el valor de las potencias de la solución. Además de los datos que son proporcionados con el problema de flujo de potencia, deben determinarse los intervalos de valores de magnitud de voltaje en las barras, los cuales son utilizados para generar la población inicial del algoritmo genético. Ya que se utilizarán valores en por unidad, todas las magnitudes de los voltajes en las barras deben estar cercanas a la unidad, por lo que estos intervalos pueden especificarse entre 0.5 y 1.5.
El objetivo del algoritmo genético es solucionar el problema de flujo de potencia, el cual consiste en obtener la magnitud y el ángulo de fase de los voltajes en las barras de carga, el ángulo de fase de los voltajes en las barras de voltaje controlado y los valores de potencia activa y reactiva neta en todas las barras; también deben calcularse los flujos de potencia en las líneas de transmisión y transformadores, utilizando la información de éstos, junto con los valores de magnitud y ángulo de fase de los voltajes en todas las barras.
utilizando los valores codificados en el genotipo del individuo solución. utilizando estos valores. los valores desconocidos de magnitud y ángulo de fase de los voltajes en las barras. los procesos del algoritmo genético deben adaptarse a este tipo de problemas. mediante las ecuaciones de flujo de potencia en forma polar. La aptitud de un individuo para resolver el problema. es encontrar un individuo cuyos valores de potencia calculados difieran de los proporcionados. se determina por la cercanía entre los valores de potencia proporcionados y los calculados para ese individuo.
3. en un valor inferior a la tolerancia especificada.
. otros de estos procesos se diseñan especialmente para resolver problemas de flujo de potencia. algunos de estos procesos no varían mucho de los utilizados en otro tipo de problemas. se calculan todas las potencias netas que entran o salen de las barras y los flujos de potencia en las líneas de transmisión y transformadores. El principal objetivo de un algoritmo genético orientado a solucionar problemas de flujo de potencia. en forma codificada. se calcularán los valores de potencia proporcionados. Luego de encontrar un individuo que solucione el problema.Cada individuo de la población contendrá. como es el caso del diseño de la estructura del cromosoma para la codificación de datos. La estructura del cromosoma debe permitir codificar las magnitudes y ángulos de fase desconocidos de los voltajes en las barras y la función de aptitud debe ser capaz de medir que tan cerca de la solución se encuentra un individuo. como es el caso del método de selección y la sustitución de individuos en la población.3
Al utilizar algoritmos genéticos para resolver problemas de flujo de potencia. el diseño de la función de aptitud y los operadores de cruce.
deben estar cercanas en el cromosoma de un algoritmo genético.3. El orden en que se colocan los valores de voltaje en las barras. son la magnitud y el ángulo de fase de los voltajes en las barras de carga. el ángulo de fase de los voltajes en las barras puede colocarse en radianes o en grados como en la figura anterior.3. Figura 14. Estructura del cromosoma
Los valores de magnitud de los voltajes en las barras se colocan en por unidad. todos los genes del cromosoma serán de este tipo. de esta forma. los datos que se codificarán.1
En un algoritmo genético orientado a resolver problemas de flujo de potencia. ya que las variables que se relacionan entre sí. dependerá del número asignado a cada barra. puede suponerse que todos los voltajes desconocidos tienen valores cercanos a la unidad al momento de generar la población inicial. junto con el ángulo de fase de los voltajes en las barras de voltaje controlado. ya que estos valores de voltaje son de tipo real. se colocará la magnitud del voltaje en las barras de carga junto a su respectivo ángulo de fase. La estructura del cromosoma de un algoritmo genético orientado a resolver problemas de flujo de potencia se muestra en la figura 14. Cada gen del cromosoma contendrá un valor de magnitud o ángulo de fase del voltaje en una barra. 46
. utilizando la estructura del cromosoma.
se supone que todos los voltajes del sistema de potencia deben tener valores cercanos a uno.3. ya que la búsqueda de la solución no mejorará al aumentar demasiado el tamaño de la población y si la población es muy pequeña. por lo que para resolver un problema de flujo de potencia con una gran cantidad de barras. ya que al aumentar la cantidad de genes. las magnitudes de los voltajes en las barras de carga pueden generarse aleatoriamente entre un intervalo de valores alrededor de la unidad. Al establecer el tamaño de la población.3. el tiempo requerido por el algoritmo genético para encontrar la solución será mayor. por lo cual.2
No existe un método definido para establecer el tamaño óptimo de la población en un algoritmo genético. también debe aumentarse el tamaño de la población. debe tomarse en cuenta el tamaño del cromosoma. ya que se utilizan cantidades por unidad. al tener una mayor población. se necesita de una población mayor que la necesaria para resolver un problema con menor cantidad de barras.
. la cantidad de genes depende de la cantidad de barras en el sistema de potencia y del tipo de estas barras. En la resolución de problemas de flujo de potencia. los ángulos de fase de los voltajes en las barras de carga y voltaje controlado. El tamaño de la población debe establecerse cuidadosamente. el algoritmo genético no podrá encontrar la solución al problema. luego generar la población inicial con valores aleatorios cercanos a los valores aproximados de los voltajes en las barras. La población inicial se genera en forma aleatoria. pueden generarse al azar en el intervalo de -π a π. Para obtener mejores resultados pueden estimarse los valores desconocidos de los voltajes en las barras o calcularse en forma aproximada por medio de métodos rápidos. por lo que éste se determina según el criterio del diseñador.
para este cálculo se utilizan las ecuaciones de flujo de potencia en forma polar. este valor nos permitirá comparar dos individuos y determinar que tan bueno es uno de ellos respecto al otro.3.3
Diseño de la función de aptitud
La función de aptitud debe asignar un valor numérico a cada individuo. Para calcular los valores de potencia activa y reactiva correspondientes a cada individuo. La diferencia que exista entre los valores de potencia especificados y los correspondientes a un individuo. Para determinar si un individuo soluciona el problema de flujo de potencia. de acuerdo a su cercanía con la solución del problema. Ya que no se especifican los valores de potencia activa y reactiva en todas las barras. las magnitudes especificadas para los voltajes en las barras de voltaje controlado y los valores de voltaje codificados en el genotipo del individuo. solucionan el problema de flujo de potencia. si todos los valores de potencia calculados. son iguales a los especificados en el problema. para el voltaje en la barra de compensación.
.3. se utilizará la magnitud y el ángulo de fase especificados. en las barras de voltaje controlado solamente se calcularán sus valores de potencia activa y en la barra de compensación no se calcularán sus valores de potencia. en caso de que los valores calculados sean diferentes a los proporcionados. se deben calcular los valores de potencia correspondientes a los valores de voltaje codificados en el genotipo del individuo. en su capacidad para resolver el problema. para conocer que tan lejos se encuentra ese individuo de la solución. en las barras de carga se calcularán sus valores de potencia activa y reactiva. se deben calcular las diferencias entre ellos. los valores de voltaje codificados en el genotipo del individuo. nos indicará que tan bueno es ese individuo para resolver el problema.
entre los valores de potencia especificados y los correspondientes al individuo. así el valor de aptitud de un individuo debe ser inversamente proporcional al valor medio y máximo de las diferencias de potencia explicadas anteriormente. Al diseñar la función de aptitud debe considerarse que un buen individuo debe poseer un mayor valor de aptitud que un mal individuo. estas diferencias de potencia deben ser pequeñas en un individuo que se considere aceptable. la aptitud de un individuo se puede medir en base a la diferencia media y máxima. Qek es la potencia reactiva especificada en las barras de carga. ΔPk y ΔQk son las diferencias entre las potencias especificadas y las correspondientes al individuo. ya que estos valores de diferencia de potencia son varios.
. La aptitud de un individuo se determina por la cercanía entre todas las potencias especificadas y las correspondientes a dicho individuo.Las diferencias entre las potencias especificadas y las potencias correspondientes a los valores de voltaje codificados en el genotipo del individuo. pueden calcularse utilizando las siguientes expresiones:
ΔPk = Pek − ∑ Ykn ⋅ Vk ⋅ Vn ⋅ cos(θ kn + δ n − δ k )
ΔQk = Qek + ∑ Ykn ⋅ Vk ⋅ Vn ⋅ sen (θ kn + δ n − δ k )
Donde Pek es la potencia activa especificada en las barras de carga y voltaje controlado. La capacidad de un individuo para solucionar un problema de flujo de potencia se mide en las diferencias entre las potencias especificadas y las correspondientes a ese individuo.
es preferible utilizar el método de selección por ruleta. a cada individuo se le asigna una probabilidad de selección por medio de la siguiente expresión:
Probabilidad i =
Aptitud i
∑ Aptitud j
Donde Probabilidadi es la probabilidad de selección del i-ésimo individuo. max(ΔPk. Aptitudj es el valor de aptitud del j-ésimo individuo y N es el número de individuos en la población.ΔQk) es la diferencia media entre los valores de potencia ¯ especificados y los correspondientes al individuo. ΔQk ) + max(ΔPk .
3. se puede utilizar cualquier método de selección para escoger a los individuos que integrarán las parejas que van a reproducirse. ΔQk )
Donde Х(ΔPk. En el método de selección por ruleta. Aptitudi es el valor de aptitud del i-ésimo individuo. ya que éste asigna a cada individuo una probabilidad de selección de acuerdo con su valor de aptitud.4
En la resolución de problemas de flujo de potencia por medio de algoritmos genéticos.Tomando en cuenta lo anterior.3.ΔQk) es la máxima diferencia entre esos valores de potencia y Aptitud es el valor de aptitud asignado a ese individuo. la función de aptitud puede diseñarse de la siguiente forma:
Aptitud =
1 Χ (ΔPk . 50
El operador mutación debe tener una baja probabilidad de aplicación.
3.3. en un algoritmo genético orientado a resolver problemas de flujo de potencia. se debe asignar a cada individuo un intervalo. ya que éste debe crear nuevos individuos.5
Diseño de operadores genéticos
Los operadores genéticos deben ser capaces de acercar el algoritmo genético a la solución del problema. Para realizar la selección por ruleta. se genera un número aleatorio entre cero y uno. de magnitud igual a su probabilidad de selección. con buenas capacidades para solucionar el problema.3. esto puede hacerse calculando la probabilidad acumulada de los individuos de la población y tomando como límites para el intervalo de cada individuo.El resultado de la suma de las probabilidades de selección de todos los individuos de la población debe ser uno. a partir de dos individuos. siendo elegido el individuo cuyo intervalo contenga al número generado. Después de que cada individuo tiene asignado un intervalo de valores. a partir de dos individuos existentes. su valor de probabilidad acumulada y el valor de probabilidad acumulada del individuo anterior.
3. mejore su aptitud para resolver el problema. los genes de los individuos poseen valores de tipo real.
. otros individuos mejores que los anteriores. el mas importante de éstos es el operador cruce. este operador debe alterar un gen de un individuo de forma que éste o su descendencia. pudiendo ser operados aritméticamente. entre cero y uno.5.1
El operador cruce debe ser capaz de crear.
dos o tres. un número aleatorio que puede tomar los valores uno. los cuales representan magnitudes y ángulos de fase de voltajes en las barras. para acercar el algoritmo genético a la solución. si el número es dos. se copiará en el hijo el valor del gen de un padre. se promediará el valor del gen de ambos padres y se copiará el resultado en el hijo. si el número es tres. se pueden intercambiar o promediar los valores de sus genes. Figura 15. El cruce puede ser uniforme o realizarse en uno o varios puntos y además de intercambiar los valores de los genes de los padres. si el número generado es uno. se copiará en el hijo el valor del gen del otro padre. este método de cruce se muestra en la figura 15. Método de cruce
. El método de cruce utilizado para resolver problemas de flujo de potencia puede variar según el criterio del diseñador.En un problema de flujo de potencia. para que el algoritmo genético pueda acercarse a la solución del problema. este método consiste en generar. pero dependerá de un cruce adecuado. para cada gen del cromosoma. el método que aquí se explica es una mezcla entre el cruce uniforme y el cruce aritmético. a partir de dos buenos individuos. que se obtenga la solución del problema. también se deben promediar estos valores.
siempre generando. esta operación debe alterar. pero lo recomendable es solamente alterar un gen y variar su valor en una cantidad pequeña. luego de su creación.Al utilizar este método de cruce pueden crearse tres hijos de cada pareja. entonces cambia el orden en que los hijos reciben estos valores.2
La operación de mutación se aplica a los nuevos individuos. ya que de no ser así. pero en cada cruce puede crearse la cantidad de individuos que se desee. En la mutación de un individuo se puede alterar la cantidad de genes que se desee. si se genera un determinado número. el valor de aptitud de ese individuo podría decrecer grandemente y esto provocaría que el individuo desapareciera sin legar su material genético.
3. El objetivo de la mutación es generar nuevos tipos de soluciones que podrían acercar el algoritmo genético a la solución del problema. uno de los hijos tomará el valor de un padre. es decir que de cada mil nuevos individuos uno de ellos mutará. pero es común asignarle una probabilidad de 0.001.5.
. la probabilidad de mutación se escoge según el criterio del diseñador del algoritmo genético. generalmente se crean dos nuevos individuos en el cruce de cada pareja. El número de hijos que cada pareja produce en una operación de cruce lo determina el criterio del diseñador. un número aleatorio que puede tomar tres valores. si se genera otro número. el valor de un gen escogido al azar. para cada gen del cromosoma. en una pequeña cantidad. otro el valor promedio y el último el valor del otro padre.3.
3. se deben ajustar los valores genéticos de los nuevos individuos.6
Ajuste del valor de los genes
Ya que los nuevos individuos se producen a través del intercambio y promediado de los valores de voltaje de dos individuos cercanos a la solución y una poco probable variación en uno de estos valores. Vn es el voltaje en forma compleja de la n-ésima barra y N es la cantidad de barras del sistema de potencia. es posible que estos nuevos individuos adquieran valores de voltaje que produzcan valores de potencia mas cercanos a algunos de los valores especificados. luego de la operación de cruce y mutación. esto hace que el algoritmo genético se aleje de la solución del problema. el ajuste debe hacerse de forma que se mantengan iguales las diferencias en los valores de potencia especificados y los correspondientes al individuo. esto se logra por medio de una expresión que permite obtener los nuevos valores de voltaje a partir de los valores que se producen luego de las operaciones de cruce y mutación.3. Vk es el voltaje en forma compleja de la k-ésima barra. la cual fue deducida en el capítulo uno y con fines didácticos se repite a continuación:
Donde Pk es la potencia activa que entra a la k-ésima barra. pero mas lejanos a otros. Qk la potencia reactiva que entra a la k-ésima barra. Para evitar que el algoritmo genético se aleje de la solución.
. Ykn es el elemento que se localiza en la fila k y columna n de la matriz de admitancias de barra. Esta expresión se obtiene a partir de la ecuación de flujo de potencia en forma compleja.
primero se calcula la potencia reactiva. en el cálculo de la potencia reactiva en las barras de voltaje controlado. el lado derecho de esta expresión representa los valores especificados. contenidos en el genotipo del individuo. junto con los valores actuales de voltaje.La ecuación anterior también puede escribirse de la siguiente forma:
N ⎛ Pk − j ⋅ Qk ⎞ ⎜ − ∑ Ykn ⋅ Vn + Ykk ⋅ Vk ⎟ ⎜ ⎟ Vk* n =1 ⎝ ⎠
1 Vk = Ykk
La expresión anterior es la que se utiliza para ajustar los valores de los voltajes codificados en el genotipo de cada nuevo individuo.
. los valores de magnitud y ángulo de fase del voltaje en las barras de carga. el lado izquierdo de esta expresión es el valor ajustado de voltaje en forma compleja para la k-ésima barra. Para ajustar los valores genéticos de los nuevos individuos. mientras que para calcular el ángulo de fase del voltaje en las barras de voltaje controlado. este valor se ignora. por medio de una de las ecuaciones de flujo de potencia en forma polar y luego se calcula el ángulo de fase del voltaje. también se utilizan los valores especificados. La expresión anterior permite calcular un valor de magnitud de voltaje para las barras de voltaje controlado. Los valores ajustados de los voltajes en forma compleja. se calculan únicamente por medio de la expresión anterior. ya que el valor correcto fue especificado en el planteamiento del problema. junto con los valores actuales de voltaje. contenidos en el genotipo del individuo. utilizando la expresión anterior. deben separarse en sus magnitudes y ángulos de fase. para que puedan ser codificados en el genotipo de cada nuevo individuo y reemplacen a los valores genéticos anteriores.
3. es reemplazar los peores individuos de la población actual por los mejores individuos nuevos. Después de varias generaciones puede darse el caso de que todos los individuos de la población posean genes muy similares y aún no se haya alcanzado la solución del problema. puede hacerse sin comparar la aptitud de los individuos nuevos con la de los actuales.3. otra forma de sustitución de la población. que contengan el valor actual para cada gen. los individuos nuevos.7
Sustitución de la población
En los algoritmos genéticos. en este caso se debe tratar de reemplazar como mínimo la mitad de la población.
. valores aleatorios dentro de intervalos de magnitud pequeña. de ser así se debe generar otra población. asignando a los genes de cada individuo. También se pueden agrupar los individuos actuales con los nuevos y elegir a los mejores individuos para que formen parte de la siguiente generación. ya que permite conservar a los mejores individuos de cada generación. de esta forma serán reemplazados todos los individuos de la población actual que tengan menor aptitud que los individuos nuevos. van sustituyendo a la población actual en cada generación. La sustitución de una parte de la población actual. solamente seleccionar cierta cantidad de los peores individuos actuales y sustituirlos por una igual cantidad de los mejores individuos nuevos. es reemplazar a todos los individuos actuales por los nuevos individuos. mejorando la búsqueda de la solución. en los algoritmos genéticos. esta forma de sustitución es mas recomendable que la anterior. creados a través del cruce de parejas de individuos actuales y posibles mutaciones. una forma de pasar de una generación a otra. de lo contrario el algoritmo genético tardará demasiado tiempo en encontrar la solución. a la conservación de los mejores individuos de una población se le conoce como elitismo.
debe generarse la población inicial en forma aleatoria.4 por unidad. como sucede en los métodos de Newton-Raphson y Gauss-Seidel cuando se asignan mal los valores iniciales del voltaje en las barras. el algoritmo genético podría no encontrar la solución al problema o podría encontrar una solución que no es la deseada.
. transformadores y generadores que permita calcular la matriz de admitancias de barra del sistema de potencia. debido a que se trabaja con valores en por unidad y podría encontrarse una solución no deseada.3. la cual contenga voltajes por debajo de 0. debido a que si la solución no se encuentra dentro de este intervalo. valores aleatorios entre un gran intervalo. líneas de transmisión. potencia activa y reactiva tomadas o ingresadas al sistema de potencia en las barras. En la población inicial de un algoritmo genético orientado a resolver problemas de flujo de potencia. generalmente.6 por unidad o por arriba de 1. algunas veces la solución se encuentra rápidamente y otras veces el algoritmo genético necesita mayor cantidad de tiempo para encontrar la solución. el tipo de cada barra. ya que la población inicial se genera asignando a los genes de cada individuo.4
Un algoritmo genético orientado a solucionar problemas de flujo de potencia debe principiar obteniendo los valores de magnitud y ángulo de fase de los voltajes en las barras. los ángulos de fase de los voltajes en las barras se generan en el intervalo de –π a π y las magnitudes de los voltajes en las barras se generan en el intervalo de 0.6 a 1. Debe tenerse cuidado al momento de definir los intervalos de valores en los que se generará la población inicial. así como la información de barras.4. la cual será utilizada en el cálculo de la aptitud de los individuos. luego de calcular la matriz de admitancias de barra.
Después de lo anterior y utilizando el valor de aptitud asignado a los individuos. se evalúa la aptitud de todos los individuos de la población. se puede utilizar cualquiera de los cruces que fueron explicados anteriormente. para después calcular el valor de aptitud de cada individuo. siempre que se promedien e intercambien los valores de los genes de los padres. Luego de crear un nuevo grupo de individuos con el operador cruce y aplicar aleatoriamente el operador mutación. Cuando se tienen las parejas de individuos. al valor de un gen seleccionado al azar. se les aplica el operador cruce y luego se aplica aleatoriamente el operador mutación a los individuos creados. el operador mutación utilizado en los algoritmos genéticos orientados a solucionar el problema de flujo de potencia. de la forma que fue descrita anteriormente. porque de ser así. para esto se calculan las potencias correspondientes a los valores de voltaje codificados en el genotipo de cada individuo. consiste en sumar o restar una pequeña cantidad. por medio de cualquiera de los métodos de selección que se explicaron anteriormente. estos valores genéticos ajustados sustituyen a los anteriores en el genotipo de cada individuo. los nuevos individuos que se produzcan en el cruce serán una copia exacta de ese mismo individuo y esto no ayudará al buen funcionamiento del algoritmo genético. los nuevos valores genéticos se calculan por medio de la expresión que fue explicada anteriormente.
. debe tenerse cuidado de que cada pareja no este constituida por el mismo individuo. eligiendo a los individuos.Después de generar la población inicial. luego se calcula la diferencia media y máxima entre estos valores de potencia calculados y los especificados. se ajustan los valores genéticos de este nuevo grupo de individuos. se forman las parejas de individuos que van a reproducirse.
hasta que se encuentre un individuo cuya diferencia máxima entre las potencias especificadas y las correspondientes a sus valores codificados. se determinan sus valores de aptitud. se toman sus valores de voltaje codificados en su genotipo y se calculan las potencias activas y reactivas tomadas o ingresadas al sistema de potencia en las barras. Debido a que un algoritmo genético realiza muchas operaciones aleatorias. Cuando se necesita una buena exactitud en la búsqueda de la solución a un problema de flujo de potencia utilizando algoritmos genéticos. de la forma que se explicó anteriormente.Cuando se han ajustado los valores genéticos de todos los nuevos individuos. se busca en la población actual. el algoritmo genético necesita mayor cantidad de tiempo. Cuando se ha encontrado un individuo que soluciona el problema. junto con los flujos de potencia activa y reactiva en las líneas de transmisión y transformadores. Después de la sustitución de individuos. un individuo que constituya una solución aceptable. la sustitución de la población puede realizarse en cualquiera de las formas que fueron explicadas anteriormente. son necesarias muchas generaciones de individuos para encontrar la solución adecuada.
. de acuerdo con sus correspondientes valores de aptitud. en algunas ocasiones la solución del problema se encuentra rápidamente y en otras ocasiones. se repite el mismo proceso. sea menor que la tolerancia requerida. después los individuos nuevos sustituyen a los individuos actuales en la población. si no existe una solución aceptable.
no será necesario volver a calcular el valor de aptitud de los individuos que aún permanecen de la generación anterior. deben guardarse los valores de aptitud de cada individuo. es cuando se calculan los valores de potencia activa y reactiva en las barras.La etapa que demora más tiempo en un algoritmo genético orientado a resolver problemas de flujo de potencia. así en la siguiente generación.
. para mejorar el tiempo utilizado para procesar una generación.
EJEMPLO DE SOLUCIÓN A UN PROBLEMA DE FLUJO DE POTENCIA
Como se explicó anteriormente, los algoritmos genéticos son métodos de búsqueda y optimización basados en probabilidad, los cuales imitan los métodos que intervienen en la evolución biológica, como estrategia para resolver problemas; los algoritmos genéticos pueden utilizarse en diferentes aplicaciones, entre las cuales se encuentra la solución a problemas de flujo de potencia. Un problema de flujo de potencia consiste básicamente en encontrar las magnitudes y ángulos de fase de los voltajes en las barras de un sistema de potencia, para después calcular la potencia activa y reactiva que entra o sale del sistema a través de cada barra, junto con los flujos de potencia en las líneas de transmisión y transformadores. Los problemas de flujo de potencia normalmente se resuelven por los métodos iterativos de Newton-Raphson y Gauss-Seidel; los algoritmos genéticos constituyen una alternativa a estos métodos, para resolver este tipo de problemas. Para poner en práctica la teoría que se ha expuesto en este trabajo, en este capítulo se desarrolla un algoritmo genético orientado a resolver problemas de flujo de potencia, en base a los fundamentos que fueron descritos en los capítulos anteriores; este algoritmo genético es utilizado para resolver un problema de flujo de potencia, planteado en el libro Sistemas de Potencia escrito por Duncan Glover y Mulukutla Sarma5; este problema se describe a continuación.
En la figura 16 se muestra el diagrama unifilar de un sistema de potencia de cinco barras, identificadas por números; la barra uno, a la cual está conectado un generador de 400 MVA, es la barra de compensación; la barra tres, a la cual están conectados un generador de 800 MVA y una carga, es una barra de voltaje controlado; las barras dos, cuatro y cinco son barras de carga. Figura 16. Diagrama unifilar del sistema de potencia de ejemplo
Fuente: Duncan Glover y Mulukutla Sarma, Sistemas de potencia, análisis y diseño. Pág. 277
Se debe calcular la magnitud de los voltajes en las barras de este sistema de potencia, junto con sus respectivos ángulos de fase, las potencias que entran y salen del sistema a través de cada barra y los flujos de potencia en las líneas de transmisión y transformadores. Los datos de las barras, líneas de transmisión y transformadores de este sistema de potencia, se muestran en las tablas I, II y III respectivamente.
Tabla I. Datos de las barras del sistema de potencia
Magnitud Barra Tipo de Barra de Voltaje en p.u. Ángulo de Voltaje en grados Potencia Activa Generada en MW Potencia Reactiva Generada en MVAR Potencia Activa de Carga en MW Potencia Reactiva de Carga en MVAR
Compensación Carga Voltaje Controlado Carga Carga
1.00 1.05 -
0 800 80 0 0
0 280 40 0 0
Fuente: Duncan Glover y Mulukutla Sarma, Sistemas de potencia, análisis y diseño. Pág. 278
Tabla II. Datos de las líneas de transmisión Barra a Barra 2-4 2-5 4-5 Resistencia R en p.u. 0.00900 0.00450 0.00225 Reactancia Susceptancia X en p.u. 0.1000 0.0500 0.0250
Capacidad Máxima (MVA) 1,200 1,200 1,200
B en p.u. 1.720 0.880 0.440
Fuente: Duncan Glover y Mulukutla Sarma, Sistemas de potencia, análisis y diseño.
Sistemas de potencia. Datos de los transformadores Barra a Barra 1-5 3-4 Resistencia R en p. se ajustan los valores genéticos de los nuevos individuos y se evalúa su aptitud.000
Fuente: Duncan Glover y Mulukutla Sarma. análisis y diseño. como parte de un programa que resuelve problemas de flujo de potencia. después se seleccionan los individuos que formarán las parejas que van a reproducirse.u. 0.u. de un archivo de texto. lee los datos del problema que va a resolver.Tabla III. 0. en este trabajo se utilizó el software Matlab versión 6. luego se cruzan estas parejas y se mutan algunos de los nuevos individuos. se vuelve a seleccionar individuos para formar las parejas que se reproducirán y se repite el proceso hasta que se encuentre la solución del problema.2
Diseño del algoritmo genético
Un algoritmo genético puede implementarse utilizando cualquier lenguaje de programación.5 desarrollado por Math Works para implementar el algoritmo genético orientado a solucionar problemas de flujo de potencia.00075
Pág. luego se sustituye la población y se revisa si se encontró la solución. cuyo nombre se ingresa como único parámetro al ejecutar el programa en Matlab. si no se encontró.00150 0. Este programa inicialmente. después de esto.
. luego de esto. 278
Reactancia X en p. este algoritmo genético se implementó en base a los fundamentos que se describieron en el capítulo 3.020 0.010
Capacidad Máxima (MVA) 600 1. se genera la población inicial y se evalúa la aptitud de estos individuos.
debe tener el formato que se describe a continuación: En la primera línea. la potencia base en MVA y la tolerancia en el cálculo de las potencias. el tipo de barra. después de esto. se calculan las potencias activa y reactiva que entran o salen del sistema de potencia a través de cada barra. la potencia reactiva generada en MVAR. en el tipo de barra se coloca “CP” para la barra de compensación. todo esto se indica de acuerdo al siguiente formato:
BARRA [Nombre] [Tipo] [Volt] [P_Gen] [Q_Gen] [P_Car] [Q_Car] [Q_Ban]
. en cada una.u.Cuando se ha encontrado una solución aceptable. se indica el nombre de la barra. utilizando los voltajes encontrados por medio del algoritmo genético. esto se hace de la siguiente forma:
[Nombre] [S_Base] [Tolerancia]
Después se especifica la información de las barras. también se calculan los flujos de potencia activa y reactiva en las líneas de transmisión y transformadores. la potencia activa generada en MW. se indica el nombre del sistema de potencia. Para que el archivo de texto con los datos del problema sea leído por este programa. la magnitud del voltaje en p. la potencia activa de carga en MW. “PV” para las barras de voltaje controlado y “PQ” para las barras de carga. la potencia reactiva de carga en MVAR y la potencia reactiva compensada por bancos de capacitores o inductores en MVAR. se generan los reportes con la solución del problema..
4 por unidad. el programa utiliza los datos correspondientes a los circuitos equivalentes simplificados de éstos. para que ésta no sea leída por el programa. la reactancia en serie de su circuito equivalente en p. ya que el programa asumirá que éste es cero. la resistencia en serie de la línea en p. En las barras de carga se coloca una magnitud de voltaje deseada. Para las líneas de transmisión y transformadores.0 por unidad. colocando el carácter “%” al inicio de la línea.
. la resistencia en serie de su circuito equivalente en p. el intervalo utilizado para generar la población inicial será esta magnitud de voltaje deseada +/. la barra donde está conectado su secundario. en cada línea. y la capacidad máxima de potencia de la línea en MVA.u.u. se indica la barra donde está conectado el primario del transformador.. en cada uno. la reactancia en serie de la línea en p.u. En la información de las barras. generalmente 1..u. la barra donde termina.. la susceptancia en paralelo en p. de acuerdo al siguiente formato:
[Inicia ] [Termina ] [R_Serie] [X_Serie] [B_Paral ] [S_Max]
Al final se especifica la información de los transformadores.Después se especifica la información de las líneas de transmisión.u. se indica la barra donde inicia la línea.0. no se especifica el ángulo de fase del voltaje en la barra de compensación. y la capacidad máxima de potencia en MVA del transformador. de acuerdo al siguiente formato:
[Primar ] [Secund ] [R_Serie] [X_Serie] [S_Max]
Se pueden escribir comentarios en cualquier línea del archivo de texto.
. Figura 17.El diagrama de flujo de este programa que soluciona problemas de flujo de potencia por medio de algoritmos genéticos se muestra en la figura 17. Diagrama de flujo del programa
Leer los datos del Archivo de texto
Generar la población inicial
Evaluar la aptitud de la población inicial
Seleccionar los individuos que formarán las parejas
Crear individuos nuevos mediante cruce y mutación
Ajustar los valores genéticos de los individuos
Evaluar la aptitud de los nuevos individuos ¿Un individuo de la población soluciona el problema?
Sustituir la población
Calcular las potencias en las barras
Calcular los flujos de potencia en líneas y transf.
después de crear el archivo de texto.86 0.00 800. se escribió en la ventana de comandos de Matlab.00 0.0000 -22.txt Generando los siguientes resultados:
Respuesta Aceptable | | Numero Resultados de flujo de potencia del sistema de potencia Ejemplo1 Obtenidos en 90 generaciones Nombre Magnitud del Angulo de Generación en MW y MVAR PG 1 2 3 4 5 Uno Dos Tres Cuatro Cinco 1.00 0.
4.00 0.29 0.5482 394.3
Para resolver.txt y su contenido se muestra en el apéndice B.00 -0.El código fuente de este programa se presenta en el apéndice A.48 0.00 80.0500 1.00 QG 114. se creó un archivo de texto con la información de este problema y de acuerdo a las especificaciones descritas anteriormente. por medio de este programa. el problema de flujo de potencia que se describió al inicio de este capítulo.u.01 QL 0.00 280.0000 0.00 Banco de Cap.4069 -0.00 0.00 0.9743 0.5980 -2.00 -0. a este programa se le nombró genflupot y para utilizarse debe escribirse en la ventana de comandos de Matlab genflupot seguido del nombre y extensión del archivo de texto.00 0.00 0. lo siguiente: >> genflupot Ejemplo.01 0.00 337.8338 1.00 40.8345 -4. QC 0.00 Carga en MW y MVAR PL 0.99 0.00 519.) Fase (Grados)
.0193 0. que contiene la información del problema de flujo de potencia que se va a resolver.00 | |
|=============================== Información de Barras ===============================| de Barra de Barra Voltaje (p. a este archivo se le nombró Ejemplo.
36 -182.54 -140.89 263.84 303.50 531.02 150.07 Q en MVAR -139.49 297. en la figura 18 se muestra la gráfica de cómo el programa se fue acercando a la tolerancia aceptable durante su ejecución.48 -271.05 411.10 527.68 -508. Gráfica de tolerancia versus generaciones del ejemplo
.12 515. después de generar los reportes.11 121.80 201. esta gráfica fue generada por el programa.53 114.|================ Información de Flujo de Potencia en Líneas y Transformadores================| Tipo Línea Línea Línea Línea Línea Línea Transformador Transformador Transformador Transformador >> Barra Dos Cuatro Dos Cinco Cuatro Cinco Uno Cinco Tres Cuatro a Barra Cuatro Dos Cinco Dos Cinco Cuatro Cinco Uno Cuatro Tres P en MW -291.07 400.59
El resultado se obtuvo en 90 generaciones. con una población de 300 individuos y 150 cruces en cada generación.34 394.33 587. Figura 18.67 134.99 -438.86 -392.66 226.89 S en MVA 323.16 525.29 -80.38 -133.30 327.33 439.
luego conforme avanzaron algunas generaciones éste se acercó a la solución en forma exponencial.6 0 0
Carga PL en MW 0 800 80 0 0 QL en MVAR 0 280 40 0 0
1.4 0 337.050 1.000 -22. se encuentra en el libro Sistemas de Potencia escrito por Duncan Glover y Mulukutla Sarma6.000 0. esta información se muestra en las tablas IV.019 0. el algoritmo genético se encontraba bastante lejos de la solución.834 1.4
En la gráfica de la figura 18 se puede observar que al inicio.834 -4.407 -0. V y VI.597 -2.8 0 520 0 0
0. Ángulo de fase en grados Activa Potencia Reactiva Activa Reactiva
Generación PG en MW QG en MVAR 114. análisis y diseño.u. Información de respuesta de las barras del ejemplo Voltaje Número de Barra Magnitud en p. Sistemas de potencia. La respuesta del problema de flujo de potencia. hasta que la encontró en la generación número noventa. 288
Fuente: Duncan Glover y Mulukutla Sarma. descrito al inicio de este capítulo. Tabla IV.4.
Flujo de potencia en los transformadores Número de Transformador Potencia Barra a Barra Activa en MW 1a5 5a1 3a4 4a3 394.8 263. V y VI.6
Fuente: Duncan Glover y Mulukutla Sarma. análisis y diseño. análisis y diseño.
. Flujo de potencia en las líneas de transmisión Número de Línea 1 2a4 4a2 2a5 5a2 4a5 5a4 Barra a Barra Activa en MW -292.4 297.2
Pág.2 515.
Tabla VI. 288
Potencia Reactiva en MVAR -139.6 -272.2 121.4 531. Sistemas de potencia.6 -140.6 -508.8 -392. Sistemas de potencia.2 527.Tabla V.0
Aparente en MVA 411.
Al comparar los resultados obtenidos por el programa con la información de las tablas IV.0
Fuente: Duncan Glover y Mulukutla Sarma.4 -133.0 303.4 -80.4 Aparente en MVA 323.2 400. se observa que el programa resolvió correctamente este problema de flujo de potencia y con esto se demuestra la capacidad de los algoritmos genéticos para resolver este tipo de problemas.6 201.0
Pág.0 -438.0 525.6 226.4 -182.2 327.2 150.6 134.4 440.2 587. 288
Reactiva en MVAR 114.
esto elevará la magnitud del voltaje y suministrará parte de la potencia reactiva demandada por la carga conectada a esta barra. aunque se necesitó de muchas generaciones para encontrar una solución dentro de la tolerancia aceptable.05 por unidad.95 a 1. los algoritmos genéticos constituyen una alternativa para resolver problemas de flujo de potencia cuyo funcionamiento es muy diferente a los métodos iterativos normalmente utilizados. para solucionar esto. la desventaja de los algoritmos genéticos es que podrían ser un poco tardados. podrían necesitar de muchas generaciones para llegar a la solución. lo que hizo que la ejecución del programa fuera un poco tardada. En este ejemplo se demostró que los algoritmos genéticos son capaces de resolver problemas de flujo de potencia. por esta razón podría preferirse el uso de otros métodos para resolver este tipo de problemas. ya que el tamaño de la población es proporcional al número de barras y debido a que estos se rigen por reglas probabilísticas. pero la magnitud del voltaje en la barra 2 se encuentra por debajo del rango aceptable que es de 0.
. A pesar de esto. se debe conectar a esta barra un banco de capacitores.En el ejemplo que se resolvió se puede notar que no se excedió la capacidad de las líneas de transmisión y transformadores. Los algoritmos genéticos tienen las ventajas de buscar la solución a partir de una población de puntos y no necesitar de derivadas de las ecuaciones de flujo de potencia.
reproducción sexual y mutación que intervienen en la evolución biológica de las especies. una posible solución al problema. para después utilizar estos valores de voltaje encontrados. con su propio grupo de valores para los voltajes desconocidos.
2. de acuerdo a un conjunto de datos especificados de potencias y voltajes. cada uno.
Un problema de flujo de potencia consiste en encontrar los valores de magnitud y ángulo de fase de los voltajes en las barras de un sistema de potencia en estado estacionario. como estrategia para resolver problemas de búsqueda y optimización. para calcular la potencia activa y reactiva que entra o sale del sistema de potencia a través de cada barra y también el flujo de potencia activa y reactiva en todas las líneas de transmisión y transformadores del sistema.CONCLUSIONES
3. como una alternativa a los métodos iterativos de Newton-Raphson y Gauss-Seidel.
. siendo este grupo de valores. constituyendo una buena alternativa en la resolución de este tipo de problemas y demostrando el poder de los principios evolutivos.
Los algoritmos genéticos son técnicas de programación que imitan a los procesos de selección.
Los algoritmos genéticos pueden ser utilizados para resolver problemas de flujo de potencia. obteniendo la solución por medio de la evolución de una población de individuos.
siendo medida la capacidad de cada individuo por medio de la función de aptitud.
. esto provoca que aumente el tiempo de búsqueda de la solución al aumentar el número de barras o disminuir el valor de la tolerancia aceptable.
6. los algoritmos genéticos poseen las ventajas de buscar la solución a partir de una población de puntos que representan posibles soluciones y no necesitar hacer uso de derivadas parciales de las ecuaciones de flujo de potencia. la desventaja de los algoritmos genéticos es que podrían demorar mucho tiempo en encontrar la solución.
En la resolución de problemas de flujo de potencia. debido a que el tamaño de la población es proporcional al número de barras del sistema y que éstos se rigen por reglas probabilísticas. consiste en que los mejores individuos tienen mayor probabilidad de reproducirse y heredar su información genética a las nuevas generaciones.
El principio de optimización utilizado por los algoritmos genéticos.
En la resolución de problemas de flujo de potencia. siendo menos susceptibles a caer en máximos locales y mas sencillos de programar en un computador. mientras que los peores individuos tienden a desaparecer sin heredar sus valores genéticos.
dos generadores y dos cargas.7. el programa presenta la solución de cada problema por medio de reportes generados al final de su ejecución. dos transformadores.
Se demostró la capacidad de los algoritmos genéticos para resolver problemas de flujo de potencia por medio de un ejemplo.
8. en base a los fundamentos descritos en este trabajo. obteniendo los resultados correctos. tres líneas de transmisión.
. escritos de acuerdo a un formato específico. a partir de un archivo de texto con los datos de entrada. este problema se resolvió por medio de un programa desarrollado en base a los fundamentos descritos en este trabajo. este programa se desarrolló en el software Matlab.
Se desarrolló un programa que permite resolver problemas de flujo de potencia. en el cual se resolvió un problema de flujo de potencia para un sistema de cinco barras. por medio de algoritmos genéticos.
intervalos alrededor de la unidad o valores iniciales de 1 por unidad.
Al resolver problemas de flujo de potencia por medio de cualquier método.
Los algoritmos genéticos pueden utilizarse para resolver diversos problemas de búsqueda u optimización. pero con niveles de voltaje indeseables.
4. principalmente la evaluación del individuo por medio de la función de aptitud y la operación de cruce. para esto hay que adaptar a cada aplicación.
. tomando en cuenta que éstos funcionan de forma muy diferente a los métodos iterativos normalmente utilizados para resolver este tipo de problemas. ya que existen soluciones que permiten obtener los mismos valores de potencias especificadas. los procesos descritos en el capítulo dos. se debe escoger adecuadamente los intervalos o valores iniciales para las magnitudes de voltaje desconocidas. lo recomendable es seleccionar para las magnitudes de voltaje.
2. un valor numérico que represente su cercanía con la solución del problema y permita compararlo con otros individuos.RECOMENDACIONES
La función de aptitud debe diseñarse en forma específica para cada tipo de aplicación.
Los algoritmos genéticos deben considerarse una alternativa para resolver problemas de flujo de potencia. esta función debe asignar a cada individuo.
6. generadores. puede utilizarse para resolver cualquier problema de este tipo. a causa de existir inconvenientes para realizar derivadas parciales o que la solución tienda a caer en máximos locales.5.
8. líneas de transmisión y transformadores. en este trabajo se utilizó el software Matlab. por ser el más popular en el campo de la ingeniería eléctrica. siempre que el archivo de texto se elabore de acuerdo al formato que se explicó en este trabajo.
El programa para resolver problemas de flujo de potencia que se desarrolló en el capítulo cuatro.
Se pueden utilizar algoritmos genéticos para resolver problemas de flujo de potencia con cualquier cantidad de barras. cargas. pero para disminuir el tiempo de búsqueda de la solución.
Los algoritmos genéticos deben considerarse un buen método de solución en aquellas aplicaciones que no pueden ser resueltas por los métodos de búsqueda tradicionales. pero debe considerarse que el tiempo de ejecución del algoritmo aumentará con el número de barras del sistema.
Un algoritmo genético puede implementarse utilizando cualquier lenguaje de programación. es preferible utilizar otro lenguaje de programación como por ejemplo C++.
1.. pp. 1988) pp. 2004) pp. 5. Duncan Glover y Mulukutla S. Grainger. Sarma.
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2. Análisis y diseño. 309-353 J. 108-132 Ibid.
6. Algoritmos genéticos. 1.
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6)==1) %Si es información del sistema if(sistema==0) sistema=1.Tipo=1. %Potencia Base en MVA Tolerancia=0. else error('No puede existir mas de un sistema').1)==1) %Si se trata de un comentario comentario=comentario+1. %numero de comentarios numbarras=0. %numero de barras nbarpq=0. if (strcmpi(palabra{3}. Barra(numbarras).'%'. Base=str2num(palabra{3}).0001. comentario=0. elseif (strncmpi(palabra{1}. % Abrir el archivo con los datos del problema en modo lectura if (fid==-1) %fid = -1 cuando hay error en la lectura del archivo mensaje =strcat('ERROR: No se puede abrir el archivo: '. %numero de barras pq nbarpv=0. end elseif (strncmpi(palabra{1}. NomSistema=palabra{2}. los datos deben ser ingresados por medio de un archivo de texto que se ingresa %como parámetro al utilizar este programa. else %Si no hay error en la lectura del archivo linea=fgetl(fid).'%s').'PQ')==1) %Si es Barra de Carga nbarpq=nbarpq+1.'PV')==1) %Si es Barra de Voltaje controlado
. %Separa las palabras en esa linea if (strncmpi(palabra{1}. Barra(numbarras). Tolerancia=str2num(palabra{4}). %Si existe la informacion del sistema de potencia NomSistema=''.5)==1) %Si es información de una barra numbarras=numbarras+1. %numero de barras pv numconec=0. %numero de lineas y transformadores sistema=0. %lee una linea while feof(fid) == 0 %hasta que finalice de leer el archivo de entrada palabra=strread(linea. %Nombre del Sistema de potencia Base=100.'r').'SISTEMA'. utilizado en el ejemplo del capítulo 4. para resolver un problema de flujo de potencia %se debe teclear en la ventana de comandos: genflupot('nombre del archivo'). para resolver problemas de flujo de potencia por medio de algoritmos genéticos. error(mensaje). %Tolerancia en las potencias calculadas %Lectura de la informacion del archivo de entrada fid= fopen(nomarchivo.
function genflupot(nomarchivo) %José Francisco Castro García %Trabajo de Graduación previo a obtener el titulo de Ingeniero Electricista %Este programa calcula el flujo de potencia en un sistema de potencia utilizando algoritmos %genéticos.APÉNDICE A
A continuación se presenta el código fuente del programa realizado en Matlab.'BARRA'. elseif (strcmpi(palabra{3}.Nombre=palabra{2}.nomarchivo).
Tipo=3.Conexion(c).Tipo=2.QG+Barra(numbarras).'LINEA'. b=1.R=str2num(palabra{4}). Conexion(numconec).Ndesde=palabra{2}. end Barra(numbarras). elseif (strncmpi(palabra{1}. Conexion(numconec).13)==1) %Si es información de un transformador numconec=numconec+1. end Conexion(c). Barra(numbarras). Barra(numbarras). Barra(numbarras). Conexion(numconec). Barra(numbarras).Nombre.Desde=b.Ang=0. Conexion(numconec). Barra(numbarras). Conexion(numconec). Conexion(numconec). Barra(numbarras). while(strcmpi(Barra(b).Conexion(c).Ndesde=palabra{2}.PG-Barra(numbarras).QL=str2num(palabra{8})/Base. Conexion(numconec). %Cierra el archivo de entrada %Colocar a las líneas los números de barras de inicio y fin for c=1:1:numconec b=1.'TRANSFORMADOR'. elseif (strncmpi(palabra{1}.QG=str2num(palabra{6})/Base. Barra(numbarras).PG=str2num(palabra{5})/Base. Conexion(numconec).Nhacia=palabra{3}. end linea=fgetl(fid).QL.X=str2num(palabra{5}).Nhacia)==0)&&(b<numbarras) b=b+1. Conexion(numconec).QC=str2num(palabra{9})/Base.Capacidad=str2num(palabra{7}). end
.Nombre. while((strcmpi(Barra(b). Conexion(numconec).5)==1) %Si es información de una línea de transmisión numconec=numconec+1.Q=Barra(numbarras).B=str2num(palabra{6}).Capacidad=str2num(palabra{6}). Barra(numbarras).R=str2num(palabra{4}). Conexion(numconec).nbarpv=nbarpv+1. end Conexion(c). Barra(numbarras).PL. %lee una línea del archivo de entrada end end fclose(fid).Tipo='Linea '. Conexion(numconec).Nhacia=palabra{3}.P=Barra(numbarras). Conexion(numconec).PL=str2num(palabra{7})/Base.Ndesde)==0)&&(b<numbarras)) b=b+1.X=str2num(palabra{5}).B=0.'CP')==1) %Si es la Barra de Compensación Barra(numbarras).Tipo='Transformador'. elseif (strcmpi(palabra{3}.QCBarra(numbarras).Volt=str2num(palabra{4}). Conexion(numconec).Hacia=b.
X)+j*0. for n=1:1:numbarras if(Barra(n). %Tamaño de la población numcruces=150. end end end %Evaluar la aptitud de los individuos de la población inicial for m=1:1:numpob %Asignar valores a los voltajes con el genotipo y los valores proporcionados g=1. TipoGen(g)=1.5*Conexion(c).Desde) +1/(Conexion(c).numbarras).h))).Volt-0.Desde.B. Individuo(m).0.Tipo==2) Individuo(m).B.Hacia. for n=1:1:numbarras if(Barra(n).Conexion(c).Desde)=Ybarra(Conexion(c).Hacia)=Ybarra(Conexion(c).Desde.Tipo==1) %El intervalo de voltajes es el valor ingresado +/.Hacia.Conexion(c).4 Individuo(m).Hacia. %%Magnitud de voltaje g=g+1.Desde)1/(Conexion(c). TipoGen(g)=2. Ybarra(Conexion(c). %Numero máximo de generaciones %Calcular la Matriz de admitancias del sistema de potencia Ybarra=zeros(numbarras.R+j*Conexion(c).Conexion(c).4+0.Hacia)1/(Conexion(c).Conexion(c).h)=rad2deg(angle(Ybarra(i. Ybarra(Conexion(c).Desde)=Ybarra(Conexion(c).Gen(g)=-180+360*rand(1). TipoGen(g)=2.Conexion(c). %Matriz de admitancias for c=1:1:length(Conexion) %Elementos diagonales Ybarra(Conexion(c).Hacia)+1 /(Conexion(c). end %Separar la matriz de admitancias en sus magnitudes y angulos for i=1:1:numbarras for h=1:1:numbarras Ymag(i. %Ángulo end end %Generar poblacion inicial for m=1:1:numpob g=1. %Magnitud Yteta(i.Conexion(c).Hacia.X). %Elementos fuera de la diagonal Ybarra(Conexion(c).R+j*Conexion(c).Conexion(c).R+j*Conexion(c).Gen(g)=-180+360*rand(1).Tipo==1)%Barra de Carga
.R+j*Conexion(c).Desde. %%Angulo de voltaje g=g+1. %%Angulo de voltaje g=g+1.Desde.Gen(g)=Barra(n).5*Conexion(c).numpob=300.Conexion(c).X).Hacia)=Ybarra(Conexion(c). %Numero de cruces en cada generación numgeneraciones=150.X)+j*0.8*rand(1).h)).h)=abs(Ybarra(i. elseif(Barra(n).
Angm(n)=Barra(n). y las espec. %Máxima diferencia entre las potencias del indiv.Volt. %Calcular la probabilidad de reproducción
.Tipo~=3) %Si es barra de carga o de voltaje controlado Pcalc(k)=0.Tipo==1) %Si es barra de carga Qcalc(k)=0.Ang.Prob=(Individuo(m).Tipo==2)%Barra de Voltaje Controlado Vm(n)=Barra(n). end end %Calcular la potencia activa en todas las barras para el individuo actual %y las diferencias de los valores de potencia del individuo actual d=1.Vm(n)=Individuo(m). Angm(n)=Individuo(m). Angm(n)=Individuo(m). %Diferencia entre las potencias del individuo d=d+1. %Asignar un valor de Aptitud del individuo end %Fin de la evaluación de la aptitud %Ciclo del algoritmo genético Aceptable=0. for k=1:1:numbarras if(Barra(k). else %Barra de compensación Vm(n)=Barra(n). while (generacion<numgeneraciones&&Aceptable==0) %Calcular la probabilidad de reproducción de todos los individuos Suma=0. end Delta(d)=abs(Barra(k). %Ya se llego a la tolerancia aceptable generacion=1.Q-Qcalc(k)). for m=1:1:numpob Suma=Suma+Individuo(m).n)+Angm(n)Angm(k))).Volt. % y las especificadas end if(Barra(k).Toler=max(Delta). for n=1:1:numbarras Pcalc(k)=Pcalc(k)+Ymag(k. for n=1:1:numbarras Qcalc(k)=Qcalc(k)-Ymag(k. %Sumar todas las aptitudes end for m=1:1:numpob Individuo(m).n)+Angm(n)Angm(k))).n)*Vm(k)*Vm(n)*sin(deg2rad(Yteta(k. g=g+1.n)*Vm(k)*Vm(n)*cos(deg2rad(Yteta(k.Aptitud=1/(max(Delta)+mean(Delta)). %Diferencia entre las potencias del individuo d=d+1.Aptitud/Suma). %Numero de generaciones Historial=[]. g=g+1. % y las especificadas end end Individuo(m). g=g+1. end Delta(d)=abs(Barra(k). Individuo(m). elseif(Barra(n).Gen(g).Gen(g).P-Pcalc(k)).Gen(g).Aptitud.
m2=1. end numhijos=size(Hijo).Gen(g))/2. Hijo(h+1).Gen(g)+Individuo(m2). cruce y mutación de individuos Acum=0. end %Obtener nuevos individuos ""crossover"" h=1.Prob.m2) por el método de ruleta numero=rand(1). while numero>Individuo(m1).Gen(g)=Individuo(m1). Hijo(h+2).1.Probacum m2=m2+1. if(cruce==0) Hijo(h). m1=1.Gen(g)=(Individuo(m1).Gen(g)+Individuo(m2).Gen(g)=(Individuo(m1).Gen(g).Gen(g).Gen(g)=Individuo(m1).Gen(g).Probacum m2=m2+1. Hijo(h+1).Probacum=Acum.Probacum m1=m1+1.Gen(g)=Individuo(m2).Gen(g)=(Individuo(m1).Gen(g)=Individuo(m2). for p=1:1:numcruces %Seleccionar la pareja (m1.Gen(g)=Individuo(m1). Hijo(h+1). end end h=h+3.Gen(g).Gen(g))/2. Hijo(h+2). elseif(cruce==2) Hijo(h). %Asignar un valor de probabilidad acumulada a cada uno Individuo(m). for m=1:1:numpob Acum=Acum+Individuo(m).Gen(g).end %de cada individuo %Seleccion por ruleta. end end %Cruzar los individuos m1 y m2 %Crean 3 hijos por cada pareja for g=1:1:(numbarras+nbarpq-1) cruce=randint(1.Gen(g)+Individuo(m2). while numero>Individuo(m2). end numero=rand(1). end %Evitar que m1 sea igual a m2 while m1==m2 numero=rand(1). elseif(cruce==1) Hijo(h). Hijo(h+2).3). while numero>Individuo(m2).Gen(g))/2. %Mutar a todos los hijos for h=1:1:numhijos(2)
.Gen(g). m2=1.Gen(g)=Individuo(m2).
end Voltaje=(Barra(k).Ang)))).Gen(posicion)=Hijo(h).Pj*Barra(k).1*randsrc.n)*Barra(n). for n=1:1:numbarras if (n~=k)
.1 end end end %Ajustar los valores genéticos de todos los hijos for h=1:1:numhijos(2) g=1.k ). end end Hijo(h). for n=1:1:numbarras Q=Q-Ymag(k. if(TipoGen(posicion)==1) %%Magnitud de voltaje Hijo(h). %Aumentar o reducir 0.n)*Barra(k).k)*Barra(k).Gen(posicion)+0.Q)/(Ybarra(k.Ang))+j*sin(deg2rad(Barra(n). for k=1:1:numbarras %Evaluar la función de ajuste if (Barra(k).if rand(1)>0. Barra(n).Volt*(cos(deg2rad(Barra(k).Ang))j*sin(deg2rad(Barra(k).n)+Barra(n).Gen(g)=rad2deg(angle(Voltaje)).Volt*Barra(n).999 %Con una probabilidad de 1 en 1000 posicion=randint(1. %%Magnitud de voltaje g=g+1.Volt=Hijo(h).Tipo==1)%Barra de carga Voltaje=(Barra(k). elseif(Barra(k). g=g+1.(numbarras+nbarpq-1))+1. %%Angulo de voltaje g=g+1.Gen(posicion)=Hijo(h). end end g=1.Ang=Hijo(h).Gen(g)=abs(Voltaje).P-j*Q)/(Ybarra(k. elseif(Barra(n).1.AngBarra(k).Volt*sin(deg2rad(Yteta(k.Tipo==2)%Barra de voltaje controlado Q=0.Ang)). for n=1:1:numbarras if (n~=k) Voltaje=VoltajeYbarra(k. for n=1:1:numbarras if(Barra(n).1 elseif(TipoGen(posicion)==2) %%Angulo de voltaje Hijo(h).Ang)))/Ybarra(k.Tipo==2) Barra(n).Gen(g).Volt*(cos(deg2rad(Barra(n).Ang)))).Tipo==1) %Asignar valores a la función de ajuste Barra(n). Hijo(h).Gen(posicion)+0. %Aumentar o reducir 0.Ang=Hijo(h). %Colocar los nuevos valores genéticos g=g+1.Gen(g).Gen(g).Ang))j*sin(deg2rad(Barra(k).k)*Barra(k).Volt*(cos(deg2rad(Barra(k).1*randsrc. %%Angulo de voltaje g=g+1.
g=g+1. %Diferencia entre las potencias del individuo d=d+1.Tipo==2)%Barra de Voltaje Controlado Vm(n)=Barra(n). end Delta(d)=abs(Barra(k).Ang. % y las proporcionadas end end
.Tipo==1)%Barra de Carga Vm(n)=Hijo(h). % y las proporcionadas end if(Barra(k). Angm(n)=Hijo(h).Gen(g).n)+Angm(n)Angm(k))).k ).Gen(g).Ang))+j*sin(deg2rad(Barra(n). %Colocar los nuevos valores genéticos g=g+1. elseif(Barra(n).Gen(g)=rad2deg(angle(Voltaje)). %Diferencia entre las potencias del individuo d=d+1. end end end %Evaluar aptitud de todos los hijos for h=1:1:numhijos(2) %Asignar valores a los voltajes con el genotipo y los valores proporcionados g=1.Tipo==1) %Si es barra de carga Qcalc(k)=0.n)*Vm(k)*Vm(n)*cos(deg2rad(Yteta(k.Voltaje=VoltajeYbarra(k. for n=1:1:numbarras Qcalc(k)=Qcalc(k)-Ymag(k.Q-Qcalc(k)). g=g+1. Angm(n)=Hijo(h). for k=1:1:numbarras if(Barra(k).Volt. end Delta(d)=abs(Barra(k). else %Barra de compensación Vm(n)=Barra(n). Angm(n)=Barra(n).n)+Angm(n)Angm(k))).n)*Vm(k)*Vm(n)*sin(deg2rad(Yteta(k. end end Hijo(h). for n=1:1:numbarras Pcalc(k)=Pcalc(k)+Ymag(k. for n=1:1:numbarras if(Barra(n).n)*Barra(n).Volt.P-Pcalc(k)). end end %Calcular la potencia activa en todas las barras para el hijo actual %y las diferencias de los valores de potencia del hijo actual d=1.Volt*(cos(deg2rad(Barra(n).Tipo~=3) %Si es barra de carga o de voltaje controlado Pcalc(k)=0.Gen(g).Ang)))/Ybarra(k. g=g+1.
Aceptable=1.Aptitud])). %Reemplazar los hijos mas adaptados por los individuos menos adaptados de la población posh=find([Hijo.Toler=max(Delta).Toler]==min([Individuo.n)+Barra(n).Volt*cos(deg2rad(Yteta(k.Aptitud=1/(max(Delta)+mean(Delta)). %Nueva generación end plot(Historial).Aptitud])).Toler<Tolerancia msol=posmejor(1).P=0.Aptitud]==max([Hijo.Aptitud]==min([Individuo. g=g+1. elseif(Barra(n).Tipo==1)%Barra de Carga Barra(n).{'Probacum' 'Prob'}). else %Si se encontró la solución for k=1:1:numbarras %Se calculan los valores de potencia Barra(k). posp=find([Individuo. end %Buscar el individuo con valor menor de tolerancia posmejor=find([Individuo.Ang=Individuo(msol).Volt*Barra(n). g=g+1.Aptitud])). posp=find([Individuo. %Si se alcanzo la tolerancia aceptable disp('Respuesta Aceptable'). %Verificar si se ha alcanzado la tolerancia aceptable if Individuo(posmejor(1)). xlabel('Generacion'). end
. Hijo(posh(1)). g=g+1.Aptitud])). posh=find([Hijo.Gen(g). ylabel('Diferencia maxima de potencias del individuo y especificadas').Ang=Individuo(msol). if(Aceptable==0) %Si llego al numero máximo de generaciones sin encontrar una solucion disp('No se encontro la solucion').P=Barra(k).P+Ymag(k.Aptitud) Individuo(posp(1))=Hijo(posh(1)).Toler].n)*Barra(k). for n=1:1:numbarras %Colocar los valores del gen del individuo a los voltajes if(Barra(n). %Asignar un valor de Aptitud del individuo end %Fin de la evaluacion de la aptitud %Eliminar los campos Probacum y Prob para que las estructuras Hijo e Individuo sean iguales Individuo=rmfield(Individuo. end end end generacion=generacion+1.Aptitud=0.Gen(g).Ang)). Barra(n).A ng-Barra(k). for n=1:1:numbarras Barra(k).Hijo(h). g=1.Aptitud>Individuo(posp(1)).Tipo==2)%Barra de Voltaje Controlado Barra(n).Volt=Individuo(msol).Aptitud]==min([Individuo. while(Hijo(posh(1)).Aptitud]==max([Hijo.Toler])). Historial=[Historial Individuo(posmejor(1)). %Máximo valor de diferencia entre las potencias Hijo(h). %Graficar la diferencia máxima de potencia a través de las generaciones title('Tolerancia del mejor individuo de cada generacion').Gen(g).
n)+Barra(n).Barra(n).QL*Base.PG*Base.2f %8.QG*Base. QG=Barra(n).
. for n=1:1:numbarras if (Barra(n).Barra(n).QC.Q.Nombre.QYmag(k.NomSistema). X=Conexion(c). Vi=Barra(Conexion(c).Volt*sin(deg2rad(Yteta(k.Q=0.PL*Base.\n').QL. for n=1:1:numbarras Barra(k).generacion). if (Sij>Conexion(c).Volt.Ang-Barra(k).n.4f %8. end fprintf('\n'). fprintf(' Numero Nombre Magnitud del Angulo de Generacion en MW y MVAR Carga en MW y MVAR Banco de Cap. Vj=Barra(Conexion(c).Q C*Base). B=Conexion(c). QC=Barra(n). fprintf('| Obtenidos en %4d generaciones |\n'. PL=PG-Barra(n).Volt*Barra(n). QL=Barra(n). QL=QG+QC-Barra(n).n)*Barra(k).R.P+PL.Volt.Ang)). QG=Barra(n).2f\n'.QC. Sij=sqrt(Pij^2+Qij^2).P.Ang. fprintf('|=============================================== Informacion de Barras==============================================================|\n'). end end %Se despliegan los datos de salida fprintf('| Resultados de flujo de potencia del sistema de potencia %15s |\n'. else PL=Barra(n).QG.PL. fprintf(' Tipo Barra a Barra P en MW Q en MVAR S en MVA\n'). for c=1:1:numconec R=Conexion(c).2f %8.2f %8.X. AngPot=deg2rad(Barra(Conexion(c).Hacia).5*B*Vi^2*Base.2f %8. Pij=(R*Vi^2-R*Vi*Vj*cos(AngPot)+X*Vi*Vj*sin(AngPot))/(R^2+X^2)*Base. end fprintf(' %3d %10s %4.Hacia).Q=Barra(k).Desde). QC=Barra(n).Tipo==1) PG=Barra(n).Barra(n).Volt.Q+QL-QC.PG. Qij=(X*Vi^2-X*Vi*Vj*cos(AngPot)-R*Vi*Vj*sin(AngPot))/(R^2+X^2)*Base-0.B. fprintf(' de Barra de Barra Voltaje (pu) Fase (Grados) PG QG PL QL QC\n'). PG=Barra(n).Capacidad) Sobrepaso='Capacidad Sobrepasada'.end for k=1:1:numbarras Barra(k).4f %4.Desde). fprintf('|============ Informacion de Flujo de Potencia en Lineas y Transformadores===========|\n').Ang-Barra(Conexion(c).Ang).
Sij=sqrt(Pij^2+Qij^2).Qij.Volt.Nhacia.2f %8.2f %8. else Sobrepaso=''.Ang).Sij.Volt.2f %8. Vj=Barra(Conexion(c).Pij.Sobrepaso).2f %15s\n'.Tipo.2f %15s\n'.Conexion(c).Hacia). end end
.Conexion(c).2f %8.Conexion(c).Desde). if (Sij>Conexion(c).Conexion(c). end fprintf('%8s %10s %10s %8. Pij=(R*Vi^2-R*Vi*Vj*cos(AngPot)+X*Vi*Vj*sin(AngPot))/(R^2+X^2)*Base.Conexion(c).Ndesde.Qij.Pij.5*B*Vi^2*Base.else Sobrepaso=''.Sobrepaso).Capacidad) Sobrepaso='Capacidad Sobrepasada'.Ndesde. end fprintf('%8s %10s %10s %8.Ang-Barra(Conexion(c).Desde).Hacia).Sij.Tipo.Nhacia. Vi=Barra(Conexion(c). AngPot=deg2rad(Barra(Conexion(c). Qij=(X*Vi^2-X*Vi*Vj*cos(AngPot)-R*Vi*Vj*sin(AngPot))/(R^2+X^2)*Base-0.Conexion(c).
Duncan Glover y Mulukutla S.050 0.00075 0.880 1200 LINEA Cuatro Cinco 0.025 0.00225 0.00 0 0 0 0 0 % %La información de las líneas de transmisión debe tener el siguiente formato: % PU PU PU MVA %Línea Desde Hacia Rserie Xserie Bparalelo Capacidad Máxima(MVA) LINEA Dos Cuatro 0.00 0 0 0 0 0 BARRA Dos PQ 1.100 1.010 1000 % %fin del archivo de entrada
.020 600 TRANSFORMADOR Tres Cuatro 0.440 1200 % %La informacion de los transformadores debe tener el siguiente formato: % PU PU MVA %Transformador Desde Hacia Rserie Xserie Capacidad Máxima(MVA) TRANSFORMADOR Uno Cinco 0. 3 líneas de transmisión y 2 transformadores %Tomado del libro Sistemas de Potencia de J.
%José Francisco Castro García %Trabajo de Graduación previo a obtener el titulo de Ingeniero Electricista % %Ejemplo Problema de Flujo de potencia %Sistema de 5 barras.00150 0.00900 0. Sarma %Pagina 277 Ejemplo 6. BARRA Uno CP 1.00450 0.720 1200 LINEA Dos Cinco 0.0001 %La información de las barras tiene el siguiente formato: % Generación MVA Carga MVA Bancos % PU MW MVAR MW MVAR MVAR %Barra Nombre Tipo Voltaje Pgen Qgen Pcarga Qcarga Qcap.05 520 0 80 40 0 BARRA Cuatro PQ 1.00 0 0 0 0 0 BARRA Cinco PQ 1.9 %La información del sistema de potencia tiene el siguiente formato: %Sistema nombre Potencia base en MVA Tolerancia en las Potencias SISTEMA Ejemplo1 100 0.APÉNDICE B
A continuación se presenta el archivo de texto con la información de entrada para el ejemplo del capítulo 4.00 0 0 800 280 0 BARRA Tres PV 1.
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