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Timestamp: 2019-04-18 12:36:27+00:00

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SEOANE, JOSÉ - Lógica y Argumento.pdf
Variable Linguistic A
RESEÑA RECOSNTRUCTIVA- CAP 5-6 -MATEMÁTICA VERDAD Y REALIDAD.docx
T2. LÓGICA DE PROPOSICIONES 2.1 Introducción. Se presentan los sistemas deductivos de la lógica como una herramienta práctica para la informática.
Proposición: Enunciado declarativo que sólo puede ser verdadero o falso, pero no ambos. Las variables proposicionales se representa mediante letras. 2.2 Sintaxis. 2.2.1 Alfabeto: -Símbolos de veracidad (V ó F). -Variables proposicionales (p,q,r,...) -Las conectivas (¬,y,o,o exclusivo,si,sii) -Símbolos de puntuación ( , . ; : ) Informalmente, se utilizan letras mayúsculas en cursiva para designar proposiciones (R,S,T). 2.1.1 Reglas de formación. Una proposicón está bien formada, si es: 1. Una variable proposicional. 2. Una proposición bien formada, precedida de ¬. 3. Dos o más proposiciones bien formadas, relacionadas mediante una conectiva. El uso de los paréntesis se utiliza para evitar ambigüedades, siendo la precedencia de operadores: 1º. Negación. 2º. Bicondicional, Condicional. 3º. Y, Ó, Ó-exclusivo. 2.2.2 Semántica. Interpretación: Una interpretación I de un conjunto de proposiciones P1,P2,...,PN; es la asignación de un valor de verdad a cada variable proposicional de dicho conjunto. Dada una interpretación de una proposición, es posible determinar su valor de verdad. 2.2.2.1 Tablas de verdad. Es una forma de determinar, mediante una tabla, la veracidad de todas las posibles interpretaciones de una proposición, comprobándolas una a una. 2.2.2.2 Equivalencia.
Dos proposiciones son equivalentes, si sus tablas de verdad son equivalentes; es decir, si poseen las mismas interpretaciones, y de ellas se deducen los mismos valores de verdad. Dos proposiciones que son equivalentes se pueden intercambiar. La relación de equivalencia se representa mediante el símbolo Satisface las propiedades: -Reflexiva. Toda proposición es equivalente a sí misma. -Transitiva. S ≡ R ∧ R ≡ T ⇒ S ≡ T -Simétrica. S ≡ R → R ≡ S
≡ . P.e. R ≡ S
Permite catalogar todas las proposiciones con el mismo número de variables en clases de equivalencia. Cada clase de equivalencia se corresponde con un valor de verdad. Toda proposición de n variables, da lugar a 2 n interpretaciones distintas. Por ejemplo, las proposiciones de 2 variables, poseen 4 interpretaciones. Dado el conjunto de todas las proposiciones de n variables, toda proposición pertenece n a una de las 2 2 clases de equivalencia distintas: Por ejemplo, dado el conjunto de todas las proposiciones de 2 variables, éstas dan lugar a cuatro interpretaciones distintas, por lo que se tienen 2 4 = 16 clases de equivalencia.
q C 0 C1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C10 C11 C12 C13 C14 C15
V F V F V V V V F V V V V F V V F F V V V V F V F V F V V F F V F F F V V V V F F V V F V F V F F F V F V V F F F V F F V F F F F F F F
2.2.2.3 Tautologías y contradicciones. Independientemente del número de variables, es posible clasificar todas las proposiciones en: -Indeterminada. Son verdaderas para unas interpretaciones, y falsas para otras. Por ejemplo: p ∨ q -Tautología. Son verdaderas para todas sus interpretaciones. Por ejemplo: p ∨ ¬p , p → p ∨ q -Contradicción. Son falsas para todas sus interpretaciones. Por ejemplo: p ∧ ¬p , ¬( p ∧ q ) → p
2.3 Verificación de proposiciones.
En todo sistema lógico es deseable disponer de un procedimiento para verificar la tautología. o validez de una proposición bien formada. por lo tanto. No todos los sistemas lógicos permiten tal procedimiento. 2. Ejemplo1. se tiene que el consecuente ( ¬p → ¬q ) ≡ V . y. es viable hacerlo a mano. La lógica de proposiciones es un sistema lógico. Problema de decisión: problema de encontrar un procedimiento para validar las proposiciones bien formadas.3. podemos construir el siguiente árbol semántico: : Situándonos en el nodo 2: ( p → q) V → ( ¬p → ¬q ) ≡ V V FV Mediante la regla del condicional. -Árboles semánticos. el condicional es verdadero.1 Verificación mediante tablas de verdad. dado que ¬p ≡ F . cuyo problema de decisión es resoluble. Dada la siguiente sentencia: S: ( p → q ) → ( ¬p → ¬q ) A partir de p . 3 . 2.3. independientemente del valor de verdad del antecedente p → q .2 Verificación mediante árboles semánticos. -Refutación. Si se consideran de 2 a 4 ó 5 variables. Se estudian tres de ellos: -Validación mediante tablas. Es el más sencillo. existiendo varios procedimientos de decisión.
por lo que el valor de la proposición es el del consecuente ¬ p → ¬ q . 2.En el nodo 3: ( p → q) → V F ( ¬p → ¬q ) VF ≡ ¬p → ¬q ≡ ¬q VF Mediante la regla del condicional. se tiene que ( p → q ) ≡ V . en el nodo tres se añade el árbol semántico. y comprobar si dicha suposición supone una contradicción. Y. Así. pues el nodo 4 indica que es falsa para la interpretación correspondiente. el árbol semántico resultante del análisis es el siguiente: Donde se observa que la proposición no es válida. como ¬p ≡V . correspondiente a q : En el nodo 4: En el nodo 5: ( p → q) V F → ( ¬p → ¬q ) VF ≡ ¬ p → ¬ q ≡ ¬q ≡ F VF ( p → q) V F → ( ¬p → ¬q ) VF ≡ ¬p → ¬q ≡ ¬q ≡ V VF Habiendo cubierto todos los posibles caminos. 4 . Consiste en suponer falsa la sentencia a validar.3. dado que p ≡ F . el valor de éste depende es el valor de ¬q .3 Verificación mediante refutación. a su vez.
es necesario que p ≡ V y q ≡V : ( ¬p ∨ ¬q ) → ¬( p ∧ q ) V F F VVV Pero. algo que no siempre permite el problema: Para que p ∧ q ≡ V . es posible evitar dichos casos analizando primero el consecuente. es necesario que ¬p . ¬q ó ambos. 2. si p ≡V y q ≡V . pero. es necesario que el antecedente sea cierto. y el consecuente falso. siendo algunas especialmente útiles en los procesos de deducción. entonces el antecedente ¬p ∨ ¬q ≡ F : (¬ p ∨ ¬ q ) → ¬( p ∧ q ) FV V F FV F F VVV Lo que supone una contradicción con la suposición de que R es falsa. lo sean. Existe un número infinito de tautologías. en este ejemplo.Es conveniente para hacer validaciones a mano. Ejemplo 2: Dada la siguiente sentencia: R: ( ¬p ∨ ¬q ) → ¬( p ∧ q ) ( ¬p ∨ ¬q ) → ¬( p ∧ q ) V F F Al suponer R ≡ F .4 Leyes o Teoremas. por lo que se deduce que R debe ser verdadera. es posible continuar analizando los tres posibles casos por separado. se tiene que: Para que el condicional sea falso. 5 . Para que el antecedente ¬p ∨ ¬q sea verdadero. En este punto.
El cual se interpreta popularmente como que: en igualdad de condiciones la solución más sencilla es probablemente la mejor.1. 6 . de economía o parsimonia: Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem «No ha de presumirse la existencia de más cosas que las absolutamente necesarias». Tercio exclusivo: 7. Identidad. inglés del siglo XIII-XIV. 3. eran conocidas por el fraile franciscano Guillermo de Ockham. Contradicción: p ↔ ¬¬ p ¬( p ∧ ¬p ) p ∨ ¬p 8. castellano. Asociativa. Fuente: Wikipedia.  ( p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ ( q ∧ r )   ( p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ ( q ∧ r )  [ ( p ↔ q) ↔ r ] ↔ [ p ↔ ( q ↔ r ) ]        p ∨ ( q ∧ r ) ↔ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r ) p ∧ ( q ∨ r ) ↔ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r ) p → ( q ∧ r ) ↔ ( p → q) ∧ ( p → r ) p → ( q ∨ r ) ↔ ( p → q) ∨ ( p → r ) 4. Distributiva 5. Doble negación: 6.  p→ p   p↔ p  p∧ q↔ q∧ p   p∨ q ↔ q∨ p  ( p ↔ q) ↔ ( q ↔ p)  2. al cual se le atribuye el principio de la navaja de occam. Conmutativa. Morgan:  ¬ ( p ∧ q) ↔ ¬ p ∨ ¬ q ≡ ¬ ( ¬ p ∧ ¬ q) ↔ p ∨ q   ¬ ( p ∨ q) ↔ ¬ p ∧ ¬ q ≡ ¬ ( ¬ p ∨ ¬ q) ↔ p ∧ q La leyes de Morgan.
1. Dilema constructivo (Segunda Ley): 17. Duda. disyuntiva. Reducción al absurdo ó Refutación: [ ¬p → ( q ∧ ¬q ) ] ↔ p 10. Argumento formado de dos proposiciones contrarias disyuntivamente. (Del lat. negada o concedida cualquiera de las dos.9. Se emplea para automatizar el proceso de deducción. Inferencia de la alternativa o silogismo disyuntivo: [ p → ( q → r)] ↔ [q → ( p → r)]  ¬ p ∧ ( p ∨ q) → q   p ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q) → ¬ q ( p ∨ q) ∧ ( p → r ) ∧ ( q → r ) → r ( p ∨ r ) ∧ ( p → q) ∧ ( r → s) → q ∨ s ( ¬p ∨ ¬q ) ∧ ( r → p ) ∧ ( s → q ) → ( ¬r ∨ ¬s ) 15. Según el diccionario de la real academia: dilema. Silogismo hipotético ó Transitividad: 14. Condicional-disyunción: 22. Exportación: 19. y todavía son comunes en las discusiones. Resolución: [ p ∧ q → r] ↔ [ p → ( q → r)] ↔ [q → ( p → r)] ( ¬p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) → q ∨ r La ley de resolución permite eliminar sentencias contradictorias. Transposición:  ( p → q) ↔ ( ¬ q → ¬ p)   ( p → q) ↔ ( ¬ q → ¬ p) [ p → ( q → r)] ↔ [q → ( p → r)] ( p → q) → [ ( q → r ) → ( p → r ) ] 11. queda demostrado lo que se intenta probar. Permutación: 12. m. 18. 2. Bicondicional: 21. dilemma. y éste del griego…). Dilema destructivo: Los dilemas eran muy utilizados en la antigua retórica. Silogismo: 13. Simplificación:  ( p ∧ q) → p   p → ( p ∨ q) 7 . 20. con tal artificio que. m. Dilema constructivo: 16. Condicional-conjunción: ( p ↔ q) ↔ ( p → q) ∧ ( q → p) ( p → q ) ↔ ( ¬p ∨ q ) ( p → q ) ↔ ¬( p ∧ ¬q ) 23.
1 Alfabeto y reglas de producción del cálculo axiomático PM. Regla(s) de Transformación.24. Cálculo: Sistema de signos no interpretados. Expansión:  ( p → q) ↔ ( p ↔ p ∧ q)   ( p → q) ↔ ( q ↔ p ∨ q) [( p → q) ∧ p] → q Las leyes de expansión permiten transformar una expresión condicional es otra bicondicional. lenguaje formal que abstrae el significado.∨ -Paréntesis balanceados. 4. 3. derivado del Principia Matemática de Alfred North Whitehead y Bertrand Russell. PM (Principia Matemática): Sistema axiomático ampliamente conocido. Se basa en un conjunto reducido de proposiciones bien formadas que. 2.…) -Conectivas ¬ . Sistema axiomático: Cálculo construido en base a un conjunto de axiomas. Alfabeto. especialmente importantes. Designa tanto axiomas como tesis. que son considerados. sirven de punto de partida para deducir otras proposiciones bien formadas. 25. Proposiciones bien formadas escogidas como axiomas.5 Sistema axiomático del cálculo de proposiciones. Teorema. Axioma: Construcción que se admite como verdadera en los lenguajes formales que se basan en ella. Símbolos definidos: 8 . Regla de transformación: Regla que permiten deducir proposiciones bien formadas en base a otras. Modus Tollendo “Tollens”: [ ( p → q ) ∧ ¬q ] → ¬p 2.5. Reglas de Producción. Un sistema axiomático consta de: 1. Modus Ponendo “Ponens”: 26.r. subjetivamente. Tesis o ley: Teorema que se deduce de otras leyes o axiomas empleando reglas de transformación.q. Alfabeto: Símbolos primitivos: -Variables proposicionales (p. como axiomas. 2. y junto con unas reglas de transformación.
es posible demostrar cualquier teorema: Regla de sustitución (Sust. Toda proposición bien formada que sea una tautología es un teorema. de los axiomas y las reglas de transformación. “El resultado de reemplazar. Axiomas: 1. proposiciones bien formadas que no sean tautologías. Si S y R son dos proposiciones bien formadas. → Conjunción ∧ : Condicional → : Bicondicional ↔ : Disyuncuión Exclusiva ⊕ : p ∧ q ≡ ¬( ¬p ∨ ¬q ) p ↔ q ≡ ( p → q) ∧ ( q → p) p ⊕ q = ¬( p ↔ q ) p → q ≡ ¬p ∨ q Reglas de formación: 1. así definido. Originalmente. también es un teorema. demostrándose años más tarde que uno de ellos era redundante. relativas al criterio de validación: -Lógico o razonable. Whitehead y Russel propusieron cinco axiomas.” Regla de separación (Sep.↔ . entonces ¬S también lo es. y aplicando las siguientes reglas de transformación. -Consistente.2 Axiomas y reglas de transformación. 2. 9 . entonces R también lo es. 3.5. ( p → q ) → [ r ∨ p → r ∨ q ] Reglas de Transformación: Partiendo de los cuatro axiomas.. como teoremas. Todo teorema es una tautología. No se debe confundir con la tautología del modus ponens: “Si S y S → R son teoremas. Si S es una proposición bien formada. cualquier variable proposicional por una proposición bien formada. en un teorema. -Independencia. pues se podía demostrar como un teorema.” - Un sistema axiomático debe cumplir las siguientes propiedades.) o del Modus Ponens. p ∨ q → q ∨ p 2.. q → p ∨ q 4.). Es posible demostrar que el sistema PM. entonces S ∨ R también lo es. Ningún axioma (o regla de transformación) debe poder deducirse a partir de otros.⊕: -Conectivas ∧. -Completo. cumple dichas propiedades. No se pueden demostrar. Una variable proposicional es una proposición bien formada. p ∧ q → p 3. 2.
3º. 2º. 2º. Ejemplo 3. p ) ( p ∨ p → p ) → [ ( p → p ∨ p ) → ( p → p ) ] Sust . Condicional Ejemplo 7. 2º. p → p ∨ p 1º. ¬p ∨ p ¬p ∨ q p∨q p ∨ ¬p Ejemplo 6 Sust .( p. . Un esquema de axiomas es una especificación que indica que cualquier sentencia de cierta forma. Y.5.( r . 2º. ( p → q) → [ ( r → p) → ( r → q) ] Ejemplo 3 ( p ∨ q → q ) → [ ( r → p ∨ q ) → ( r → q ) ] Sust . pero únicamente es necesaria la regla de transformación del modus ponens. Axioma (2) Axioma (3) Ejemplo 6. 4º. Por ejemplo: en el sistema PM. p ) Ejemplo 5. lo cual. p ) Sust . 4º.( r . ¬p ∨ p 1º. p→ p ¬p ∨ p Ejemplo 5 Def. no diferencia los teoremas que se pueden deducir. 5º.( q. en lugar de axiomas concretos. es un axioma. es posible definir el esquema: “Toda proposición bien formada de la forma S ∨ S → S es un axioma.3 Ejemplos de demostraciones. en lugar del axioma p ∨ q → p . 6º.( q . se realiza la demostración de algunos teoremas. ( p → q ) → [ ( r → p ) → ( r → q ) ] 1º. . ¬ r) Axioma (4) Def. El número de axiomas se hace infinito. Axioma (3) Sust . 3º. Para completar el estudio del sistema axiomático PM.( p .( ¬ p. 3º. Sep . p ) ( p → p ∨ p) → ( p → p) p→ p Sep . 2º.( p .Si bien no en el cálculo de predicados. p → p 1º. p ∨ q ) ( p ∨ q → q ) → [ ( p → p ∨ q ) → ( p → q ) ] Sust . Condicional Ejemplo 4. ¬ p) ¿? Es válida ¿? 10 .”. esquemas análogos pueden sustituir a los otros tres axiomas. en algunas ramas de la lógica resulta más sencillo trabajar con esquemas de axiomas. 2. p ∨ ¬p 1º. q ) Sust . ( p → q) → [( r → p) → ( r → q) ] q→ p∨ q p → p∨ p (Ley de Identidad) ( p → q ) → [ r ∨ p → r ∨ q] ( p → q ) → [ ¬r ∨ p → ¬r ∨ q ] Sust .
3º. p ∨ ( q ∨ r ) → q ∨ ( p ∨ r ) (“5º axioma” del cálculo PM) La demostración se realiza a partir de los cuatro axiomas. Se presenta con mero carácter ilustrativo. p ) Sep . ¬ p) Sust .( q . 4º. 2º. Ejemplo 6 Ejemplo 8.Creo que si… . 11 . .Otra solución: 1º. p∨ q → q∨ p ¬p ∨ q → q ∨ ¬p ¬p ∨ p → p ∨ ¬p p ∨ ¬p Axioma (1) Sust .( p .
” Dado que existen infinitas reglas de inferencia. sii ( P 1 ∧ P2 ∧  ∧ Pn ∧ ¬C ) ≡ ∅ . Método de inferencia aplicado al cálculo proposicional. P n sii ( P 1 ∧ P 2 ∧∧ P n ) → C ≡ τ . La siguiente inferencia tampoco es correcta: “De S ⇒ R y R . Regla de inferencia: Especificación de las condiciones o premisas necesarias para hacer una inferencia.” Ésta incorrección se conoce como falacia de afirmar el consecuente. Dicho conjunto debe ser: Consistente: “El sistema infiere toda conclusión que pueda deducirse de las premisas. La siguiente inferencia es correcta: “De S ⇒ R y ¬R . así como el resultado de ésta.” Ésta incorrección se conoce como falacia de negar el antecedente.6 Sistema inferencial del cálculo de proposiciones. se deduce ¬S . lo que ahorra espacio.” Se puede demostrar que: “Todo sistema inferencial cuyas reglas se puedan formalizar como teoremas de un sistema axiomático consistente. se deduce ¬R . partiendo de unas hipótesis. correspondiéndose una a una con las leyes de cálculo proposicional. ¬S ) . Inferencia proposicional. Deducción natural: Análisis de los procesos de razonamiento del lenguaje ordinario. son diferentes.” Se conoce como regla de separación. P 2 .2. los cuales. 12 . Conclusión o Consecuencia lógica: C es consecuencia lógica de las premisas P 1. Al definir un sistema inferencial basado en el sistema axiomático del cálculo PM. que consiste en deducir unas conclusiones. para cualquier conjunto de premisas. S ⇒R Por ejemplo: Las inferencias se suelen indicar de la forma: También pueden indicarse como: - ¬R ¬S D( ( S ⇒ R ) ∧ ¬R . el conjunto seleccionado no es único. es un sistema inferencial consistente. a pesar de estar relacionados. ó bien. Existen infinitas reglas de inferencia proposicional. para cualquier conjunto de premisas.” Completo: “Toda conclusión que infiere el sistema.. Inferencia: Método de deducción natural. se deduce S . surgen ciertos conceptos y términos correspondientes entre ambos sistemas. Sistema inferencial: Conjunto de reglas de inferencia. La siguiente inferencia no es correcta: “De S ⇒ R y ¬S . se deduce de las premisas.
Utilizar el término “implicación” para referirse a la implicación material. al referirse específicamente a la deducción o implicación formal: “ S es la próstasis de T . El método de probar la contrarrecíproca para probar la directa se llama de reducción al absurdo ó contrapositivo.” “ T .” “ T es condición necesaria para S . Implicación condicional o material ( ⇒) : ) de la lógica proposicional.” “ S es la hipótesis de T .Los términos regla de inferencia y ley del cálculo. pero los términos poseen diferentes interpretaciones en uno u otro contexto. en general.” “ T . por lo que es más correcto cuando se refiere a la implicación formal o deducción. y no como: “implica”.Qué premisas utilizar. se definen las siguientes implicaciones: Directa o primitiva S ⇒T Contraria ¬S ⇒ ¬T Recíproca T⇒S Contrarrecíproca ¬T ⇒ ¬S a) Las implicaciones directa y contrarrecíproca son equivalentes. Terminología de S ⇒ T : “Si S .” “ S implica T . Debe leerse como: “si…entonces…”.” “No S .La implicación material con la implicación formal. si S . entonces T .” “Si S .” Formas de S ⇒ T : Dada la implicación directa o primitiva S ⇒ T . ni “por lo tanto”. No debe confundirse con la implicación formal ( → La jerga específica de la deducción natural se aplica por igual a la lógica de proposiciones.” “ T es más débil que S . a menos que no S .” Y.” “ S implica directamente T . en cada problema concreto: . .No debe confundirse: . Metarregla: Comprehensión requerida para determinar. constituye un abuso del lenguaje. .” “ S es el antecedente de T . a menos que T .La deducción natural o inferencia con la deducción formal. 13 . T .” “ T es la apódosis de S .En qué orden aplicarlas. ¬S ⇒ ¬T ≡ T ⇒ S c) La implicación directa y la contraria no son equivalentes.” “ S es condición suficiente para T .” “ T es la tesis de S .Qué reglas considerar.” “ T es el consecuente de S . .” “ S sólo si T .” “ S implica materialmente T .” “ S es más fuerte que T . Debido a que son mutuamente contrarrecíprocas. . S ⇒ T ≡ ¬T ⇒ ¬S b) Las implicaciones contraria y recíproca son equivalentes.
en general no son equivalentes.1 Reglas de inferencia proposicional. en general d) La implicación directa y la recíproca no son equivalentes. perteneciente al cálculo PM. Tampoco la negación de la directa equivale a la recíproca.” “Si S y ( S ⇒ R ) son premisas. T ⇒ S y ¬S ⇒ ¬T ¬( T ⇒ S ) y ¬S ⇒ ¬T T ⇒ S y ¬( ¬S ⇒ ¬T ) no son equivalentes. ambas difieren en significado: “Sean S y ( S → R ) teoremas.” Ejemplos: “ T es condición suficiente para S ”: “ S es condición necesaria para S ”: “ S es condición necesaria y suficiente para T ”: 2. ni la negación de la contraria equivale a la directa.” “ T es condición necesaria y suficiente para S .” “ S equivale a T . en general.) . T ⇒ S y ¬S ⇒ ¬T ¬( T ⇒ S ) y ¬S ⇒ ¬T T ⇒ S y ¬( ¬S ⇒ ¬T ) no son equivalentes. Conjunto selecto de reglas de inferencia proposicional: T⇒S S ⇒T S ⇔ T ≡ S ⇒ T ∧T ⇒ S 1. implica que R es un teorema. ni la negación de la recíproca a equivale a la directa. en general no son equivalentes. Separación ( Sep.” “ S es condición necesaria y suficiente para T .” “ T equivale a S . en general no son equivalentes. entonces se puede concluir R . ¬( S ⇒ T ) ⇒ ( ¬S ⇒ ¬T ) ( ¬S ⇒ ¬T ) ⇒ / ¬( S ⇒ T ) Doble implicación material ( ⇔) : Terminología: “ S si y solo si T . en general no son equivalentes.Tampoco la negación de la directa equivale a la contraria. en general e) La negación de una implicación es más fuerte que la implicación contraria. modus ponens o eliminación del condicional ( RE ⇒) .” “ T si y solo si S .6. S ⇒R S R A pesar de su relación con la regla de transformación de separación.” 14 -La regla de transformación dice: -La regla de inferencia dice: .
PN) en líneas separadas. Deriva la conclusión a partir de las premisas.” 4.…. R ⇒ T 3. 4. 2.” Por ejemplo: S ⇒R Inserción. P 4 ) - Intercambio. P1. Consiste en introducir una ley del cálculo proposicional como premisa. 15 . 3.6. P1. Simbolizar enunciados y conectivas. S ⇒ T S ⇒R S ⇒T R ⇔T ( Int . La conclusión se precede de C.) : “Cualquier tautología puede servir de premisa en una inferencia proposicional. ( S ⇒ T ) ( RI ∧ .) : “Si se da un bicondicional como premisa. S ⇒ R ∧ R ⇒ T S ⇒T R ⇒T P3. 3. Intercambio ( Int . P 2) ( Ins . Inserción ( Ins .2 Principio de resolución para la lógica proposicional. en otra premisa cualquiera en la que también aparezca alguno de ellos. P1.P2. es posible inferir el resultado de intercambiar sus componentes en cualquier otra premisa. Consiste en intercambiar el antecedente y el consecuente de una premisa bicondicional. Un paso intermedio por cada línea.2. ( S ⇒ R ∧ R ⇒ T ) ⇒ ( S ⇒ T ) 5. P 2) El proceso de inferencia se efectúa según las normas: 1. 2. P1. P3. Unión o introducción de la conjunción ( RI ∧ ) : S S ∧R R Consiste en afirmar la conjunción de dos premisas. S ⇒ R P2. Ley Transitiva ) ( Sep. Listar las premisas (P1. R ⇔ T 3. S ⇒ R P2. indicando la inferencia aplicada.
Aplicar sucesivamente la ley distributiva con respecto a la disyunción. 2. Claúsula vacía ( λ) : claúsula que es siempre falsa. 2. 3. Dado que la sentencia original es una tautología. hasta obtener la forma clausulada. Claúsula: disyunción de literales. mediante Morgan. Conseguir que las negaciones sólo afecten a literales. entonces es un teorema. Ejemplo 10. Prop. Eliminar las claúsulas de la forma p ∨ ¬p . 3. Eliminar condicionales y bicondicionales aplicando sus definiciones. No contiene literales. Eliminar los literales repetidos en el interior de las claúsulas. es posible simplicarla mediante las siguiente reglas: 1.6. simplicamos: p ∨ ¬p ≡ τ Expresar la solución como p ∨ ¬p . Expresar en forma clausulada y simplicar: ( p → q) ∧ ( q → r ) → ( p → r ) ¬[ ( ¬p ∨ q ) ∧ ( ¬q ∨ r ) ] ∨ ( ¬p ∨ r ) ¬( ¬p ∨ q ) ∨ ¬( ¬q ∨ r ) ∨ ( ¬p ∨ r ) Eliminar los condicionales Morgan Morgan ( p ∧ ¬q ) ∨ ( q ∧ ¬r ) ∨ ¬p ∨ r ( p ∨ q ∨ ¬p ∨ r ) ∧ ( p ∨ ¬r ∨ ¬p ∨ r ) ∧ ( ¬q ∨ q ∨ ¬p ∨ r ) ∧ ( ¬q ∨ ¬r ∨ ¬p ∨ r ) Distributiva Una vez en forma clausulada. Eliminar las claúsulas repetidas. Principio de resolución de Robinson (1965): Dada una proposición en forma clausulada.2. Claúsula unitaria: claúsula que contiene un único literal.Literal: variable proposicional sola o negada.1 Resolvente. en forma clausulada: proposición expresada como una conjunción de claúsulas. es otra forma de indicar que es una tautología. 16 . Conversión a forma clausulada: 1. no pudiendo ser satisfecha por ninguna interpretación. 2.
Aplicar la búsqueda exhaustiva a las premisas: P1: P2: P3: C1: C2: C3: ¬p ∨ q ∨ r ¬q ∨ s p∨r ¬p ∨ r ∨ s q∨r r∨ s Resolución (P1. es: Consistente. la resolución produce una única conclusión: la resolvente. es una consecuencia lógica de ambas.Cn tales que Cn=C . Para que el sistema sea completo. . dadas dos premisas. . y Ci es una claúsula de S. respectivamente. una variable proposicional sin negar y otra negada.Repetir el proceso hasta que no se obtengan nuevas resolventes.…. excepto la variable común entre ambas. .P3) Resolución (P2. las conjunciones y disyunciones de éstas. Puesto que.C2) 17 .P2) Resolución (P1.Aplicar la resolución a todas las nuevas parejas. se requiere: .Aplicar la resolución a todas las parejas posibles de cláusulas. .” Deducción de una conclusión C a partir de un grupo de cláusulas S: Secuencia finita de claúsulas C1. Siempre garantiza una conclusión: la resolvente. y las disyunciones de éstas con cualquier literal. Ejemplo 11. que permita obtener todas las conclusiones posibles.Añadir las resolventes obtenidas al conjunto de cláusulas. es decir.Considerando como inferencias: las premisas. Por ejemplo: P1: P2: RESOLVENTE: ¬p ∨ q ∨ r ¬q ∨ s ¬p ∨ r ∨ s Propiedad: “La resolvente de dos cláusulas P1 y P2.C2.Generatrices: dos premisas en forma clausulada que contienen. Resolvente: cláusula formada por la disyunción de todas las variables de las generatrices. El sistema inferencial basado en la regla de resolución. No completo.Aplicar repetidamente la resolución. añadiendo las resolventes al conjunto de premisas. o una resolvente de claúsulas anteriores a Ci. Búsqueda exhaustiva: metarregla que consiste en: .
siendo S el conjunto de premisas P 1. Resolvente): ¬p ∨ q ∨ r ∨ s P1 ∧ P 2 C1 ∨ C 2 “La resolvente de dos claúsulas unitarias. Resolución): “Si un grupo S de claúsulas son contradictorias entre sí. si existe. es posible emplear el principio de resolución para generar λ a partir de S . Ejemplo: P 1 : P2 : P3 : Probar que ( p ∨ q ) ∧ ¬q → p C1 : C2 : p∨q ¬q ¬p q λ Resolución ( P2 .C1) Junto a las conclusiones obtenidas como resolventes. P n .” Refutación: procedimiento que consiste en deducir λ a partir de S ∧ ¬C .” Corolario (Def. P3 ) 18 . es la cláusula vacía ( λ) . P 2 . la resolución con cualquier C genera siempre la cláusula vacía λ . C1 ) Resolución ( P1 .2 Refutación. . P n es una contradicción. . se tienen: ( ¬p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ¬q ∨ s ) 2. y C la conclusión que se pretende demostrar.2. Corolario (Def.6.r∨ s Resolución (P3. Si P 1. es decir. P 2 . cualquier conclusión es válida.
Cláusula unitaria. Expresar en forma clausulada: ( p → ( q → r ) ) → ( ( p ∧ q) → r ) 1º. ¬p ∨ ( ¬q ∨ r ) → ¬( p ∧ q ) ∨ r ¬( ¬p ∨ ¬q ∨ r ) ∨ ¬( p ∧ q ) ∨ r Def. condicional Ley de Morgan ( p ∧ q ∧ ¬r ) ∨ ¬p ∨ ¬q ∨ r ( p ∨ ¬p ∨ ¬q ∨ r ) ∧ ( q ∨ ¬p ∨ ¬q ∨ r ) ∧ ( ¬r ∨ ¬p ∨ ¬q ∨ r ) 3º. es necesario expresar las premisas en forma clausulada: ′ P 1 : P2′ : C1 : q ∨ ¬p ¬ r ∨ ¬q ¬p ∨ ¬r p → ¬r Cláusula unitaria Ley de Morgan. Probar mediante la regla de resolución: P 1 : P2 : C: ¬( r ∧ q ) q ∨ ¬p p → ¬r Antes de aplicar la resolución. 2º. Cláusula unitaria Resolución( P1′. Cláusula unitaria. ′ P 1 : P2′ : C: ¬S ∨ R ¬R ¬S Resolución( P1′. Ley distributiva respecto a ∨ 13.P2′ ) 19 .P2′ ) C: Def. Condicional. Condicional 14.12. Probar mediante resolución: P 1 : P2 : C: S→R ¬S ¬R Def.
C1 ) Resolución( P1′.P4′ ) 20 .C 2 ) Resolución( P2′. mediante resolución: P 1 : P2 : P3 : ( p ∧ q) → r r→ s q ∧ ¬s ¬p C: ′ P 1 : P2′ : P3′ : ¬p ∨ ¬q ∨ r ¬r ∨ s q P4′ : C1 : C2 : ¬s ¬p ∨ r ¬r Resolución( P1′.C 2 ) Resolución( P2′.P3′) 31.15.P3′) C: ¬p Resolución( C1 . Probar. Probar mediante resolución: P 1 : P2 : P3 : r∨ s p→q P4 : C: ¬r s → ¬q ¬p ′ P 1 : P2′ : P3′ : ¬p ∨ q ¬s ∨ ¬q r∨s P4′ : C1 : C2 : ¬r r ∨ ¬q ¬q C: ¬p Resolución( P4′.
como: Entonces. mediante resolución y refutación: P 1 : P2 : P3 : r→ s ¬( ¬p → s ) p∨q P4 : C: ¬p → q q ∧ ¬r ′ P 1 : P2′ : ¬r ∨ s p∨q ¬p P3′ : P5′ : ¬C : C1 : C2 : C3 : P4′ : p∨q ¬q ∨ r ¬s P5′ ≡ P2′ ¬r p ¬q Resolución( ¬C . C1 ) Resolución( P1′. C 3 ) P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ¬C → λ P 1 ∧P 2 ∧P 3 ∧P 4 →C Por lo que. Probar.32. mediante refutación: 33.P4′ ) Resolución( P2′ . C 2 ) C4 : λ Resolución( P3′.( ¬ C ) 2 ) Por lo tanto: P1 ∧ P2 ∧ P3 → C 21 . Probar mediante resolución y refutación: P 1 : P2 : P3 : ( r → q) ∧ r s→t r→ s q ∨t C: ′ P 1 : P2′ : q r ¬r ∨ s ¬q P3′ : ¬s ∨ t ¬t λ ( ¬C ) 1 : ( ¬C ) 2 : C1 : P4′ : Resolución( P1′.
Condicional a P3 ( p → ( q → r)) → ( p ∧ q → r) Axioma 3 22 .( q.( r . demostrar: p → ¬¬ p Ley de la doble negación Para ello. Utilizando el sistema axiomático PM. ¬ p) Def . demostrar: ( p → q ) → ( ¬q → ¬p ) Ley de transposición P 1 : P2 : P3 : P4 : P5 : ( p → q ) → [ r ∨ p → r ∨ q] ( p → q ) → [ ¬p ∨ p → ¬p ∨ q ] ( p → q ) → ¬p ∨ q ( p → q ) → q ∨ ¬p ( p → q ) → ( ¬q → ¬p ) Sust . ¬ p) Sep . Condicional a P2 Morgan e Idempotencia ( p → ( q → r ) ) → [ ( ¬r ∧ ¬p) ∨ r ∨ ¬q] ( p → ( q → r ) ) → [ ( ¬ r ∨ r ∨ ¬ q ) ∧ ( ¬ p ∨ r ∨ ¬ q ) ] Distributiva ( ∨) Tercio exclusivo ( ¬r ∨ r ) ( p → ( q → r ) ) → ( ¬p ∨ r ∨ ¬q) ( p → ( q → r ) ) → ( ¬p ∨ ¬q ∨ r ) Axioma 1 Morgan ( p → ( q → r ) ) → ( ¬( p ∧ q ) ∨ r ) Def . Condicional a P3 26. P 1 : P2 : P3 : p ∨ ¬p ¬p ∨ ¬¬p p → ¬¬ p Ley tercio exclusivo Sust . Utilizando el sistema axiomático PM. demostrar: ( p → ( q → r)) → ( p ∧ q → r) P 1 : P2 : P3 : ( p → q ) → [ r ∨ p → r ∨ q] P4 : P5 : P6 : P7 : P8 : P9 : Sust . Utilizando el sistema axiomático PM.( p . q → r ) ( p → ( q → r)) → [r ∨ p → r ∨ ( q → r)] ( p → ( q → r ) ) → [ ¬( r ∨ p ) ∨ r ∨ ¬ q ∨ r ] Def . Axioma 3 Axioma 1 Def . Condicional a P2 8. se debe derivar la proposición deseada a partir de leyes conocidas.7.
11. 9. P 1 Def . Ley Transitiva Sep.6.1. Condiciona l Ins. 14 ) Ins. 8 Ins. 15 El sistema inferencial proposicional de Gentzen es consistente y completo. 23 . Ley Conmutativa Sep. Doble negación Int. 13. P2 Ins. deducir: P 1 : P2 : C: P 1 : P2 : 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10 : 11 : 12 : 13 : 14 : 15 : 16 : 17 : ¬( r ∧ q ) q ∨ ¬p p → ¬r ¬( r ∧ q ) q ∨ ¬p q ∨ ¬p ⇒ ¬p ∨ q ¬p ∨ q ⇒ ( p → q ) ¬( r ∧ q ) ⇒ ¬r ∨ ¬q ¬p ∨ q p→q ¬r ∨ ¬q ¬r ∨ ¬q ⇒ ¬q ∨ ¬ r ¬q ∨ r ⇒ ( ¬¬q → r ) ¬q ∨ ¬r ¬¬ q → ¬ r q ⇔ ¬¬q ( p → q ) ∧ ( q → ¬r ) ( p → q ) ∧ ( q → ¬r ) ⇒ ( p → ¬ r ) p → ¬r q → ¬r Ins. Está basado en teoremas del sistema axiomático PM. 5. 16. Morgan Sep.12 RI ∧ ( 6. 10 Ins. 7. Ley Conmutativa Sep. Def . Sep.9. Con las reglas de inferencia dadas en 2. Condicional Sep. 4 Ins. 3.
se infiere que el enunciado es cierto. Introducción del condicional. RI ∧ . RE → . Introducción de la disyunción. ¬¬S ∴S RE¬ . RE ∧ S . S ∴S ∧ R R 6. Si de una hipótesis se deducen ∴ R ∧ ¬R ∴ ¬S 2. S ∧R ∴S ∴R S ∧R 7. S→R S 24 .1. RI → . S RI¬ . Eliminación de la negación. La disyunción de una premisa con 4. Introducción de la conjunción. ∴R ∴S → R 8. Si se tiene como premisa la negación de la 3. Introducción de la negación. cualquier otro enunciado es una conclusión. Eliminación del condicional o modus ponens. S ∴S ∨ R RI ∨ . S →T R →T ∴S ∨ R →T 5. Eliminación de la conjunción. se infiere que la hipótesis es falsa. Eliminación de la disyunción. negación de un enunciado. consecuencias contradictorias. RE ∨ .
7 ) 25 . Ídem.6 ) C: Ejercicio10( P1 . probar la validez del siguiente esquema de inferencia: S→R ¬R ∴ ¬S P S→R 1 : P2 : ¬R ¬C : S Suponemos S RE → ( P1 .4 ) 5: R ∧ ¬R C: ¬S RI¬ ( ¬C .∴R 10.5) 11.6 ) RE → ( P3 . Utilizando el conjunto de reglas de Gentzen. para el siguiente esquema de inferencia: r∨ s p→q P 1 : P2 : P3 : r∨ s p→q ∴ ¬p ¬r s → ¬q P4 : 5: 6: 7: ¬r → s s ¬q p ¬r s → ¬q Def . ¬C ) 4: R RI ∧ ( P2 . Condicional RE → ( 5.
Ley Asociativa RE → ( 7. Tollendo Tollens Ejercicio10( P1 . por la definición de condicional.10 ) RE ∧ ( P3 ) 28.9) / Ejercicio10 29.5) / Ins . Morgan Ins . junto con el conjunto propuesto inicialmente. Morgan a P4 ¬r ¬s RE → ( P2 .10 ) q ∧ ¬r Ins.4 ) / Ins . Ídem para el siguiente esquema de inferencia: r→ s ¬p → q ∴ q ∧ ¬r ¬( ¬p → s ) p∨q Se observa directamente. probar: P 1 : P2 : P3 : ( p ∧ q) → r r→ s q ∧ ¬s q ∧ ¬s ∴ ¬p ( p ∧ q) → r r→ s 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10 : C: ¬( p ∧ q ) → ¬p ∨ ¬q ¬( p ∧ q ) ¬r ¬s RE ∧ ( P3 ) Ejercicio10( P2 . Condicional ¬p ∧ ¬s ¬p q RE¬ (3) RE ∧ ( 6 ) RE ∧ ( 6 ) Ins .6 ) RE → ( 9. que las proposiciones P2 y P4 son equivalentes.27. Tollendo Tollens a ( P1 . Haciendo uso del conjunto de reglas de inferencia proposicional de Gentzen. P 1 : P2 : P3 : 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10 : C: ¬( ¬p → s ) ¬( ¬¬p ∨ s ) ¬( p ∨ s ) ¬p → q r→ s P4 ≡ P2 Def .7 ) RI ∧ (8. por lo que realmente contamos con 3 premisas. Ídem para el siguiente esquema de inferencia: 26 . Tollendo Tollens ¬q ∨ ¬p q → ¬p q ¬p Ins .
r→ s ¬p → q ∴ q ∧ ¬r ¬( ¬p → s ) p∨q 27 .
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