Source: https://www.scribd.com/document/71865045/RESOLUCION-DE-PROBLEMAS
Timestamp: 2019-02-16 15:40:53+00:00

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2 La Enseñanza de Las Matemáticas y El Pensamiento Reflexivo
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ÍNDICE
2. Ideas, tendencias, creencias, etc. Sobre la resolución de problemas.
4. Pautas a seguir en la resolución de problemas.
5. Desarrollo de algunas estrategias de resolución de problemas.
«La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la enseñanza no debe ser una tortura, y no seríamos buenos profesores si no procuráramos, por todos los medios, transformar este sufrimiento en goce, lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces». (Puig Adam, 1958)
Matemáticas es la única asignatura que se estudia en todos los países del mundo y en todos los niveles educativos. Supone un pilar básico de la enseñanza en todos ellos. La causa fundamental de esa universal presencia hay que buscarla en que las matemáticas constituyen un idioma
El N. En el caso del idioma matemático. de unas técnicas para hacerlo. gran matemático español y además muy interesado en su didáctica. incluyendo la aplicación de las mismas situaciones de la vida diaria». 1985). TENDENCIAS. La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación matemática. SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. sino como un proceso en el que el alumno estima. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas». los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea. hace conjeturas y sugiere explicaciones». En general por medio de la contemplación de cómo los hacen otros (sus profesores). desde luego. siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella). de Estados Unidos. y por su aplicación a situaciones muy sencillas y ajenas a sus vivencias (los ejercicios). Volver al índice 2. Mediante la resolución de problemas. a esforzarse en lograrlo. por supuesto.«poderoso.T. ETC. Pero sobre todo se necesitan situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese idioma. Ese idioma se pretende que sea aprendido por nuestros alumnos. Escher y Bach. . Gödel. Santaló (1985). se dice que «las capacidades básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas.M. IDEAS. CREENCIAS. conciso y sin ambigüedades» (según la formulación del Informe Cockroft. una de las técnicas fundamentales de comunicación son los métodos de Resolución de Problemas.C. y. La utilización de un idioma requiere de unos conocimientos mínimos para poder desarrollarse. En el libro de Hofsdadter. El párrafo 243 del Informe Cockroft señala en su punto quinto que la enseñanza de las Matemáticas debe considerar la «resolución de problemas. declaraba hace más de diez años que «el objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas». hasta conseguir que lo "hablen". señala que «enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas.
y quizás parezca superfluo. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones. siquiera sea en grandes rasgos. Pero. el currículo del Área de Matemáticas en Primaria y Secundaria concede extraordinaria importancia al tema dedicándole mucha atención. para entendernos es interesante delimitar.En una conferencia pronunciada en 1968 George Polya decía: «Está bien justificado que todos los textos de matemáticas. hábitos. No aportan mucha claridad las definiciones de los diccionarios generales. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la educación matemática». se aplica y basta. Pero no es el único aspecto a destacar. el corazón de las matemáticas. Nos acerca más al sentido de qué es un problema la expresión de "problema de letra" que los alumnos emplean con frecuencia: son aquellos que hacen referencia a contextos ajenos a las matemáticas propiamente dichas. En España. En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no. Hay que apelar a conocimientos dispersos. en cuanto se les plantea una tarea a realizar. Pero. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamdo. qué es lo que entendemos por problema. actitudes. como la palabra "problema" se usa en contextos diferentes y con matices diversos. pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha traído y atre a los matemáticos de todas las épocas. una vez localizado. en general. haremos un esfuerzo por clarificar a qué nos referimos. de Guzmán (1984) comenta que «lo que sobre todo deberríamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos. contestan: "lo sé" o "no lo sé". Los que abren las ventanas del aula y hacen un puente (aunque sea frágil) entre las matemáticas y la vida. que se pueden contar. Ahí acaban. especialmente desde los contenidos de procedimientos y actitudes. Aunque no es sencillo. en una palabra. y desde luego no está codificado y enseñado previamente. M. con razón. En los problemas no es evidente el camino a seguir. ideas para el desarrollo de herramientas. se trata de aplicar un algoritmo. según hayan localizado o no el algoritmo apropiado. sus elucubraciones. la vida propia de las matemáticas». la proliferación de ejercicios en clase de matemáticas ha desarrollado y arraigado en los alumnos un síndrome generalizado. tras una somera reflexión. incluso puede haber varios. Justamente. contengan problemas. y no . También hay que caracterizar los "problemas" por oposición a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnos porque constituye el núcleo fundamental de su quehacer matemático). los que llevan dentro una cierta "historia". que pueden conocer o ignorar.
E incluso. que nos provoque las ganas de resolverla. porque de cómo se plantea la cuestión. Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema están descritos en el párrafo anterior. una vez resuelta nos proporciona una sensación considerable de placer. nos proporciona relaciones nuevas entre lo que ya sabíamos o nos aporta otros puntos de vista de situaciones ya conocidas. hay que poner a punto relaciones nuevas. todavía creemos conveniente añadir algunos comentarios adicionales sobre los mismos: Los algoritmos que se suelen explicar en clase. en los avances que vamos realizando. el que un problema pase a ser considerado como tal por nuestros alumnos.siempre de matemáticas. y la importancia que tiene la manera en que se nos presenten para que lo asumamos como tales. en un porcentaje muy importante. por utilizar la expresión de Koestler (1983). Y en ese contexto no es difícil de adivinar el poco interés con que se recibe la misma. La resolución de un problema añade algo a lo que ya conocíamos. estamos dando la respuesta antes de que exista la pregunta. Como consecuencia de todo ello. que dos y dos son cinco. Las situaciones existen en la realidad. sin haber logrado la solución. Pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto personal y decidimos en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar resolverlos. hay que relacionar saberes procedentes de campos diferentes. aquella que aparece de cuando en cuando. o que aparecen en los libros de texto. y que logra. Pero además tiene que ser una cuestión que nos interese. sin haber acabado el proceso. también en el proceso de búsqueda. Los problemas los alumbramos nosotros. el contexto en que se sitúe y de la "tecnología" expositiva utilizada depende. encontraremos una componente placentera. Volver al índice 3. Resaltemos una vez más la fuerte componente de compromiso personal en los problemas. un "problema" sería una cuestión a la que no es posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad. sino que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos. y buscar relaciones nuevas entre ellos. matemáticos o no. . Suponen el aporte de la chispa de la creatividad. Lo que pasa es que si no situamos previamente los problemas a los que responden. una tarea a la que estemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. Por tanto. RASGOS QUE CARACTERIZAN A LOS BUENOS PROBLEMAS. Todo ello es de particular interés en la enseñanza. resuelven grupos enteros de problemas.
vamos a referirnos a los rasgos que caracterizan a los buenos problemas. se pueden aplicar a muchos otros campos. Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad. Es importante hacer esta distinción en la enseñanza porque los alumnos. Y puede pasar que alguna solución parcial sea sencilla o incluso inmediata. no dejan bloqueado. más tarde. Y se tiende a pensar que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los matemáticos. en la enseñanza. Por ello más vale que introduzcamos refuerzos positivos para hacer que aumenten los que las aprecian. es bien dificultoso hacerlo. Pasa como con los chistes que nos gustan. Pueden o no tener aplicaciones. Pero a pesar de ello. Parecen a primera vista algo abordable. los hay mejores y peores. Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su vez intenten resolverlos. aunque si se tienen que señalar cuáles son. que los contamos enseguida a otros. 1984): No son cuestiones con trampas ni acertijos. la incorporación de esos factores a la práctica diaria pueden prefigurar la inclinación de los estudios futuros. se las quiere o se las odia (como aparece en múltiples estudios). Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento. y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión.Una vez que tenemos un problema. cuando se les plantean problemas. difícil es que nos "embarquemos" en una aventura que nos parezca superior a nuestras fuerzas. seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún tipo de truco o de "magia". sólo nos planteamos aquello que somos capaces (o al menos eso creemos) de resolver. Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero agradable de experimentar. Reseñamos y comentamos los más importantes (Grupo Cero. Incluso. Lo mismo sucede con los buenos problemas. si se quiere que sea asumido con gusto y de manera duradera. Por eso. Y no hay que olvidar que las matemáticas son de las materias que no dejan indiferente. pero el interés es por ellos mismos. Así como hay otras cuestiones cuya importancia proviene de que tienen un campo de aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan). el interés de los problemas es por el propio proceso. los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que. La componente de placer es fundamental en todo desafío intelectual. sin capacidad de reacción. Volver al índice . Desde un punto de vista psicológico. La práctica sistemática resolviendo problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando. si un problema sólo lo es para nosotros cuando lo aceptamos como tal.
hay que referirse a la importancia que tiene resolver problemas en clase. sobre todo cuando los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática. sobre todo en contextos escolares. hay. si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad. Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema sea por "ideas luminosas". con método. cuando se ha de hacer un tratamiento informático: entender cuál es el problema que tenemos que abordar. Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. pero que. un poco de descubrimiento». es la tarea más difícil. dados los diferentes lenguajes que hablan el demandante y el informático. Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas. no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Es más. pero es de una importancia capital. la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema. a veces. una huella que durará toda una vida».4. a una determinada edad. Pensemos. un apartado en el que se puede mejorar con la práctica. y bien conocida. puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar. que. Pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada. «este género de experiencia. que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores: 1. PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas.Se debe leer el enunciado despacio. que se tienen o no se tienen. por ejemplo. Una vez señaladas las características de los buenos problemas. . Son los. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas. innecesaria. Parece. como dice Polya (1945) «sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas. . COMPRENDER EL PROBLEMA. y hace que sea una facultad entrenable. procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. en la solución de todo problema. tanto en el espíritu como en el carácter. Es ya clásica.
También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva. .Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace. alejada del mecanicismo. . ..Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado.Imaginar un problema parecido pero más sencillo. .¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan? 3. que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica. . Es la más importante en la vida diaria. porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado. COMPROBAR LOS RESULTADOS. alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal.Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida? .Suponer que el problema ya está resuelto.¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? . .¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos) . se debe volver al principio.¿Se puede plantear el problema de otra forma? . 2. TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO.Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto? . 4. .Si se puede. PONER EN PRÁCTICA EL PLAN. se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? .Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. y su contraste con la realidad que queríamos resolver. reordenar las ideas y probar de nuevo.¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos) .Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados. Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva. .
que agrupa en tres fases. Examinar problemas ligeramente modificados. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca. ¿Parece lógicamente posible? . 2. Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. y que extractamos: ANÁLISIS. 2. Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya.Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado. 1. Trazar un diagrama. con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo.¿Hay algún otro modo de resolver el problema? . Examinar problemas esencialmente equivalentes.Debemos fijarnos en la solución.Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.¿Se puede hallar alguna otra solución? . . 3. EXPLORACIÓN.¿Se puede comprobar la solución? .. . 1. que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás. Schoenfeld da una lista de técnicas heurísticas de uso frecuente. Probar a simplificar el problema. Examinar casos particulares.
.Experimentar y extraer pautas (inducir). . Fernández (1992) serían: . tablas. dibujos (representación). COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA.3. ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?: a) ¿Utiliza todos los datos pertinentes? b) ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? c) ¿Resiste a ensayos de simetría. análisis dimensional o cambio de escala? 2.Resolver problemas análogos (analogía). 1. . .Hacer recuente (conteo). . resolver un problema semejante más sencillo. ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?: a) ¿Es posible obtener la misma solución por otro método? b) ¿Puede quedar concretada en caso particulares? c) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? d) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido? Finalmente. . hacemos una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas.Ensayo-error.Seguir un método (organización). Examinar problemas ampliamente modificados.Hacer esquemas. . .Manipular y experimentar manualmente.Empezar por lo fácil.Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar). Según S. .
algebraico. . entonces resolver un problema es precisamente aclarar dicha situación y encontrar algún camino adecuado que lleve a la meta. que por parte de los profesores se tienden a considerar como irrelevante o. . DESARROLLO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.Sacar partido de la simetría. Para terminar sólo queremos hacer dos consideraciones.Reformular el problema. Si consideramos un problema como una situación que se presenta en la que se sabe más o menos.Analizar los casos límite. . pero no se sabe cómo. tanto para determinar el éxito o fracaso en la resolución de los mismos. hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática. . La segunda.Utilizar un método de expresión adecuado: verbal. La primera hace referencia a que el contexto en el que se sitúen los problemas. es que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas.. . comunicación). . al menos como poco significativo. expresión. no sólo a nivel teórico.Cambio de estados. porque si no.Principio del palomar. . o con toda claridad. pero vistos en acción. como para incidir en el futuro de la relación entre las matemáticas y los alumnos. . numérico (codificar. es muy bueno conocer técnicas y procedimientos. . que parece una perogrullada. Volver al índice 5.Empezar por el final (dar el problema por resuelto).Suponer que no (reducción al absurdo). Luego. . tiene una gran importancia.Conjeturar.Deducir y sacar conclusiones. a dónde se quiere ir. gráfico. es un conocimiento vacío.
observando los modos de proceder. tratando de sacar el mejor partido posible de los muchos seguros fracasos iniciales. Es la misma forma de transmisión que la de cualquier otro arte. C. B. Tratar de demostrarlas. a multitud de problemas diversos. Inducción. como el de la pintura. Hacer conjeturas. Escoger un lenguaje adecuado. El niño que aprende a andar en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran velocidad. Supongamos que no es así. Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias.. A. por otra parte. sin angustias. comparándolos con los de los expertos y procurando ajustar adecuadamente los procesos de pensamiento a los de ellos. y. Si tenemos una receta y estamos seguros de que se ajusta al problema.A veces no sabremos si la herramienta adecuada para la situación está entre la colección de técnicas que dominamos o ni siquiera si se ha creado una técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. un esquema. un diagrama. observar. busca pautas. G. Empieza con un triciclo . Las estrategias que tendremos ocasión de aprender y ejercitar son: A. ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra vida normal. regularidades . enfrentándose con tranquilidad. aplíquémosla. La destreza para resolver genuinos problemas es un verdadero arte que se aprende con paciencia y considerable esfuerzo. H. Supongamos el problema resuelto. la música. Comenzar resolviendo un problema semejante más fácil. COMENZAR RESOLVIENDO UN PROBLEMA SEMEJANTE MÁS FÁCIL. en matemáticas y en cualquier otro campo. una notación apropiada. Esta es precisamente la circunstancia del investigador. E. etc.. D. F. Dibujar una figura. Hacer experimentos.
las haremos sencillas. obtenemos varios provechos: a) De orden psicológico.. sino también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto. Luego lo complicaremos hasta llegar al propuesto inicialmente. primero. En el problema sencillo suelen aparecer. y en descampado. c) Manipulación más fácil. la de un monomio como x2. Incluso. La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño. Ya vendrán luego los problemas conduciendo en la calle.para atender primero el problema de los pedales y del volante. por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. nos lanzamos más lejos. b) De orden racional. para poder jugar con el volante. En matemáticas sucede lo mismo. . Empezamos animándonos con el probable éxito. Un problema puede resultar difícil por su tamaño. Para empezar. debemos resolver un problema semejante lo más sencillo posible. UNA MOSCA ANTOJADIZA. .. se comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva. luego pasamos a un polinomio y cuando sentimos cierta familiaridad con el proceso. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición: O O O O O O O O O O . lo mejor es circular primero despacio. más transparentes. principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del problema inicial. Procediendo así. Si se aprende a conducir un coche. aunque parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica. Luego vendrá el problema del equilibrio y se ensayará con dos ruedas. Si estudiamos derivadas. La manipulación efectiva en un problema de pocas piezas es más fácil que en uno de muchas. sin necesidad de cambiar marchas.
0) (-1.1).0). Así: O O O O Es obvio que se pose donde se pose. como fácilmente se observa. ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? Señalemos los centros de las monedas con coordenadas: (-1.-1) Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0.O O O O O O O O O O O O O O O Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Llamaremos pares a estos vértices y. Así: O O O O O O O O O Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil.0) (1. Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido. Son muchas 25 monedas. la mosca tiene el camino bien fácil. Probemos con 3x3=9 monedas.-1) (0.0)! En ellos. (0.0) (0. la suma de las coordenadas es par.-1) (1. con 2x2=4 monedas. (1. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar? Solución. y otras no. lo tiene imposible. también. Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas.1) (1. a veces se puede hacer el paseo.1) (-1. . Vamos a probar con menos. En los restantes. la suma de las coordenadas es impar. a los otros. Pero si se posa en cualquier otra moneda. pero. impares.1) (0. en el caso de 3x3=9 monedas. pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. Si se posa en el centro. por ejemplo. (-1. Así.-1).
Ambas cosas son falsas. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente. sería: Impar Par Impar Par ... Si terminase en impar. empezando por un vértice impar.Hay cuatro vértices impares y cinco pares. Si terminase en par. habría igual número de las dos clases. . habría más vértices impares que pares. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar! Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. El paseo de la mosca.
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