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Timestamp: 2017-08-17 17:25:28+00:00

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Teorema di Wiener e spettro di densità di potenza
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6.2 Spettro di densità di potenza↓
Come anticipato ad inizio capitolo, mostriamo il metodo con cui determinare lo spettro di densità di potenza nel caso di processi, indicato come teorema di Wiener [184] [184] In realtà le attribuzioni di questo risultato sono molteplici, comprendendo anche Khinchin, Einstein e Kolmogorov - fonte http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener-Khinchin_theorem. La cosa decisamente gradevole è che questo stesso strumento è valido anche per gli altri tipi di segnale.
6.2.1 Teorema di Wiener ↓↓
Lo spettro di densità di potenza Px(f) (o di energia ℰx(f)) di un segnale x(t) è uguale alla trasformata di Fourier della sua funzione di autocorrelazione: Px(f) = ℱ{ℛx(τ)}.
La dimostrazione del teorema per segnali di energia è straordinariamente semplice:
ℛx(τ) = ∞⌠⌡ − ∞x*(t)x(t + τ)dt = ∞⌠⌡ − ∞X*(f)X(f)ej2πfτdf = = ℱ − 1{X*(f)X(f)} = ℱ − 1{ℰx(f)}
in cui abbiamo prima applicato il teorema di Parseval, poi la proprietà di traslazione nel tempo, e quindi (vedi § 3.2↑) espresso X*(f)X(f) come ℰx(f).
Come anticipato, il teorema è valido anche per segnali di potenza, per i quali la funzione di autocorrelazione ℛx(τ) da cui partire è quella espressa dalla (10.22↑) ( [185] [185] In tal caso la stima della densità di potenza può essere ottenuta mediante periodogramma (§ 6.3.1↓) calcolato su di un segmento di segnale xT(t) di durata T estratto da x(t), e facendo tendere T → ∞, ovvero Px(f) = limT → ∞(1)/(T)|XT(f)|2. Dato che |XT(f)|2 è proprio la densità di energia ℰxT(f) di xT(t), per il teorema di Wiener la sua anti-trasformata corrisponde alla funzione di autocorrelazione ℛxT(τ) = ℱ − 1{ℰxT(f)} di xT(t), come definita dalla (10.23↑). Operando il passaggio al limite, si ottiene che ℱ − 1{ Px(f)} = ℱ − 1{limT → ∞(1)/(T)ℰxT(f)} = limT → ∞(1)/(T)ℛxT(τ), che corrisponde alla autocorrelazione dell’intero segnale ℛx(τ), come espressa dalla (10.22↑).). Nel caso di processi ergodici, ogni membro del processo possiede la stessa Px(f), che dunque può essere calcolata a partire dalla ℛx(τ) di uno qualunque di essi. Nel caso di processi stazionari almeno in senso lato, infine, l’autocorrelazione da cui partire [186] [186] La dimostrazione di questo caso viene omessa; ci limitiamo a citare che la sua validità è vincolata a processi per i quali τ⋅m(1, 1)XX(τ) rimane finito per qualunque τ, ed è basata sulla considerazione che se la Pθx(f) di un particolare membro θ è valutabile come Pθx(f) = limT → ∞(1)/(T)|XθT(f)|2, allora la sua media di insieme può scriversi come Px(f) = limT → ∞(1)/(T)EΘ{|XθT(f)|2}. è il momento misto m(1, 1)XX(τ) = E{x(t)x(t + τ)} calcolato come media di insieme, e rappresenta il modo più generale di procedere, come applicato al § 6.9.3↓ per il caso di un segnale dati.
In virtù del teorema di Wiener, è dunque possibile ottenere Px(f)
anche per processi e segnali di potenza, oppure fare la prova del nove per segnali di energia o periodici, come esemplificato dalla figura a lato.
Applichiamo ora questo metodo di valutazione della densità spettrale di un processo, ad alcuni casi particolari.
6.2.2 Processo armonico↓
Si tratta di un segnale sinusoidale la cui fase iniziale è aleatoria, e può esprimersi come
in cui il parametro θ è una v.a. con d.d.p. uniforme tra − π e π, ovvero
pΘ(θ) = (1)/(2π)rect2π(θ)
In tal caso x(t, θ) costituisce un processo ergodico (§ 5.3.7↑), la cui d.d.p.
pX(x) = (1)/(π√(A2 − x2))
è graficata a pagina 1↑. Sappiamo inoltre che una realizzazione del processo armonico (ad esempio quella con θ = 0) ha una densità di potenza [187] [187] A pag. 1↑ viene calcolata la trasformata del coseno, applicando alla quale le considerazioni di pag. 1↑ se ne ottiene la densità di potenza. Px(f) = (A2)/(4)[δ(f − f0) + δ(f + f0)]. Possiamo quindi ottenerne l’autocorrelazione senza dover svolgere l’integrale:
ℛx(t) = ℱ − 1{ Px(f)} = (A2)/(4)[ej2πf0t + e − j2πf0t] = (A2)/(2)cos(2πf0t)
Questo risultato conferma che l’autocorrelazione di un segnale periodico è periodica; riflettiamo dunque sulla circostanza che anche un seno, od un coseno con qualunque altra fase, avrebbe avuto la stessa ℛx(t). Ciò è d’altra parte evidente, avendo tutti questi segnali uguale densità di potenza Px(f).
6.2.3 Processo gaussiano bianco limitato in banda↓
Un processo n(t) è chiamato bianco qualora la sua densità di potenza sia costante in frequenza, che quindi si esprime come
Pn(f) = (N0)/(2)rect2W(f)
in cui W è l’occupazione di banda a frequenze positive. In tali ipotesi otteniamo
(10.26) ℛn(t) = ℱ − 1{ Pn(f)} = N0Wsinc(2Wt)
e possiamo pertanto constatare che si ottiene
ℛn(0) = Pn = ∞⌠⌡ − ∞Pn(f)df = N0W = σ2n
in cui l’ultima eguaglianza sussiste (vedi eq. (10.5↑) a pag. 1↑) in quanto l’assenza di impulsi nell’origine per Pn(f) corrisponde ad un n(t) a media nulla. Inoltre, dato che ℛn(1 ⁄ 2W) = 0, osserviamo che campionando n(t) con periodo Tc = 1 ⁄ 2W si ottengono valori incorrelati, e se il processo è gaussiano, anche statisticamente indipendenti (vedi § 5.5.1↑). Questo risultato giustifica, almeno da un punto di vista teorico, una ipotesi che viene spesso fatta: quella di trovare, sovrapposti ai campioni di segnale, dei campioni di rumore statisticamente indipendenti.
All’aumentare di W, ℛn(t) tende a zero più rapidamente, cosicché il rumore si mantiene correlato per un tempo sempre minore, ovvero due campioni separati da uno stesso intervallo temporale t hanno una correlazione sempre minore. Un risultato simile vale anche più in generale, in quanto l’autocorrelazione ℛx(t) di un qualsiasi processo a media nulla (tranne nel caso periodico, riconducibile ad una combinazione di processi armonici) tende a 0 con t → ∞, ovvero da un certo t in poi la correlazione è trascurabile.
Infine, se immaginiamo il rumore bianco limitato in banda come il risultato del transito di un processo gaussiano a banda infinita (quindi, con ℛn(t) = δ(t)) attraverso un filtro passa basso ideale con H(f) = rect2W(f) (vedi § 8.3.1↓), ci accorgiamo che la correlazione (10.26↑) per i campioni di rumore in uscita è una diretta conseguenza della memoria introdotta dalla risposta impulsiva h(t) = 2Wsinc(2Wt) sul segnale in transito, dato che l’operazione di convoluzione tra n(t) e h(t) rende i valori in uscita una combinazione lineare di quelli (passati) in ingresso (vedi § 3.5.3↑).
6.2.4 Processo di segnale dati ↓
Al § 8.1.2↓ descriveremo un generico segnale numerico come una somma di repliche di una funzione g(t), ognuna moltiplicata per un diverso valore an rappresentativo delle informazioni da trasmettere:
(10.27) x(t) = ∞⎲⎳n = − ∞ang(t − nT + θ)
La presenza della variabile aleatoria θ a distribuzione uniforme tra ±(T)/(2) (per cui pΘ(θ) = (1)/(T)rectT(θ)), rende x(t) un processo ergodico (vedi pag. 1↑).
Si mostrerà in appendice (§ 6.9.3↓) che, nelle ipotesi in cui le ampiezze an siano determinazioni di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, a media nulla e varianza σ2A( [188] [188] Media mA e varianza σ2A sono qui riferite ai valori multilivello ak (con k = 1, 2, ⋯, L) che un generico simbolo an può assumere, pesati con le rispettive probabilità pk, ossia mA = ∑Lk = 1pkak e σ2A = ∑Lk = 1pk(ak − mA)2), la densità spettrale di potenza del processo (10.27↑) risulta
Px(f) = σ2A(ℰg(f))/(T)
mentre nel caso in cui gli an siano statisticamente dipendenti, e/o a media non nulla, il risultato è più complesso (vedi eq. (10.43↓)). Limitandoci a voler interpretare il risultato semplice, notiamo che ℰg(f) è la densità di energia di una singola replica di g(t), la cui ripetizione, con periodo T, fornisce una densità di potenza media (ℰg(f))/(T). Se ogni replica di g(t) è moltiplicata per una v.a. indipendente a media nulla e varianza (potenza) σ2A, la densità di potenza Px(f) aumenta di egual misura (vedi § 6.6.1↓).

References: § 3
 § 6
 § 5
 § 8
 § 3
 § 8
 § 6