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Timestamp: 2020-08-12 13:00:42+00:00

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Modelamiento de una epidemia, segunda parte
Otros modelos y resolución numérica
Pista negra El 11 agosto 2020 - Escrito por Corentin Bayette, avec la participation de Marc Monticelli pour les simulations
El 30 junio 2020 -&nbspTraducido por Andrés Navas
Artículo original : Modélisation d’une épidémie, partie 2 Ver los comentarios
La crisis sanitaria del Coronavirus Covid-19 ha demostrado el papel del modelamiento matemático en la toma de decisiones políticas y de salud. En el artículo precedente, discutimos el modelo SIR y discutimos el efecto de las medidas sanitarias, ilustrando el impacto sobre la evolución de la epidemia. Introduciremos ahora el modelo SEIR y lo extenderemos a modelos con estructura de edad. Además, una pequeña parte (difícil, pero no esencial, de modo que puede ser evitada en una primera lectura) tiene por objetivo discutir los métodos de resolución numérica utilizados. Al final del artículo está disponible una simulación interactiva variando parámetros.
Recordamos que el modelo SIR involucra a tres poblaciones ($S$: sanos, $I$: infectados, $R$: retirados) y puede ser esquematizado de la siguiente forma:
Aquí, $\beta$ representa la tasa de infección y $\gamma$ la tasa de mejora [1]. La ecuación subyacente es:
Las definiciones sobre el modelo y sus parámetros están disponibles en el artículo Modelamiento de una epidemia y en [HW].
El modelo SEIR es un poco más elaborado: se consideran tres hipótesis adicionales a las del modelo SIR (en particular, involucra aspectos demográficos). La población total $N(t)$ evoluciona a lo largo del tiempo $t$. He aquí el paso del modelo SIR hacia el modelo SEIR:
Una nueva subpoblación es añadida: la de las personas infectadas pero no infecciosas (expuestas), que no son contagiosas. Esta es representada por la función $E(t)$, y permite tomar en consideración el periodo de incubación (vía $\alpha$: la tasa de incubación) de una enfermedad. Así, retomando el esquema que representa al modelo SIR, agregamos un término ${\color{blue}{\pm \alpha E(t)}}$ y obtenemos
La tasa de natalidad $\nu$ de la población también es considerada. Se asume que las personas nacen sanas, y se agrega un término ${\color{green}{\nu N(t)}}$ a la primera línea:
Finalmente, se completa añadiendo la tasa de mortalidad $\mu$ de la población. Se considera que una persona puede morir sin importar su estado (S,E,I o R), y de causa no necesariamente ligada a la epidemia. Se retira entonces estas personas de cada línea (esto es, ${\color{red}{-\mu S(t)}}$, ${\color{red}{-\mu E(t)}}$, ${\color{red}{-\mu I(t)}}$ o ${\color{red}{-\mu R(t)}}$, según la subpoblación considerada), y se obtiene:
Bosquejamos un ejemplo de lo que podemos obtener tras resolver numéricamente este sistema:
Solución del modelo SEIR
Las tasas utilizadas son las siguientes: 0,009 (natalidad), 0,01 (mortalidad), 0,75 (incubación), 0,05 (mejora) y 0,8 (transmisión).
Observaciones: La tasa de mortalidad es superior a la de natalidad, pues la población disminuye (curva violeta). El pico de la curva verde que representa a las personas infectadas no infecciosas precede al pico de la curva amarilla que representa a las personas infectadas e infecciosas. Además, tras el pico de la curva amarilla, la curva decrece y, simultáneamente, las curvas roja (personas retiradas) y azul (personas sanas) crecen.
Usted puede visualizar la evolución del sistema SEIR modificando los parámetros de esta simulación interactiva:
Un problema práctico que se presenta es el cálculo correcto de los parámetros $\alpha, \beta, \gamma, \mu$ y $\nu$ en una situación dada. Este trabajo es efectuado colaborativamente entre equipos de médicos, epidemiologistas, virologistas y matemáticos (las tasas de natalidad y mortalidad pueden ser obtenidas a través de los censos). Por ejemplo:
¿Cómo calcular la tasa de mortalidad de una enfermedad? La respuesta parece simple: se divide el número de muertos por el de personas contaminadas. ¡Pero hay una trampa! [2] Para muchos virus (y este es el caso del Covid-19), el número de personas asintomáticas [3] no es despreciable. Por tanto, el número de personas contaminadas es significativamente mayor, y la tasa de mortalidad más baja. Una discusión sobre este punto aparece en el artículo Tasa de mortalidad del virus Ébola de este sitio.
En nuestro modelamiento hemos hecho suposiciones bastante fuertes: una persona retirada es inmunizada (es decir, no se enferma nuevamente; este es el caso de la varicela, pero no de una gripe estacional, por ejemplo), las personas nacen sanas, etc. Si despliega el texto de abajo verá aparecer modelos SEIR modificados [ST] que tienen en consideración estos aspectos para la implementación de las distintas curvas.
Otros modelos SEIR
Los modelos SEIR pueden ser modificados para tener en cuenta más supuestos según las características de un virus específicos. Listamos abajo tres ejemplos:
Pérdida de inmunidad
Para ciertos virus, es necesario considerar la pérdida de inmunidad: personas retiradas vuelven a sanas, por lo que son susceptibles (con una tasa ${\color{orange}{\delta}}$) de ser infectadas nuevamente. El esquema se modifica de acuerdo a esto El sistema asociado es
El efecto sobre la evolución de la epidemia es el siguiente:
A partir de $t=45$, las personas retiradas (curva roja) comienzan a recuperarse (curva azul) y, por lo tanto, nuevamente son susceptibles a la infección. Esto da como resultado una caída en la curva roja y un pico para la curva azul. Además, hay un ligero pico en la curva verde (personas infectadas no infecciosas) justo antes de un nuevo pico en la curva amarilla que representa a las personas infectadas. De hecho, la epidemia está comenzando de nuevo ...
Para evitar o limitar las consecuencias de una pérdida de inmunidad, una política de vacunación (con una tasa ${\color{purple}{\epsilon}}$ de vacunación) puede ser puesta en práctica. Personas sanas son, por tanto, directamente retiradas. El nuevo esquema es: y las ecuaciones:
Abajo se ilustra el impacto de una política de vacunación sobre la evolución de la epidemia:
Con $t=40$, hay un ’’salto’’ hacia arriba en la curva roja (retirados) y un ’’salto’’ hacia abajo para la curva azul (sanos): la vacunación permite que las personas sanas se retiren directamente por inmunización. Por otro lado, la vacunación no tiene ningún efecto sobre la evolución de la epidemia con respecto a las personas infectadas (curva amarilla).
Transmisión e inmunidad intrauterina
Algunas madres infectadas pueden transmitir directamente el virus al recién nacido (que, potencialmente, es directamente infectado). Esta hipótesis modifica el modelo de la siguiente forma: El sistema se transforma en:
Al contrario, el recién nacido puede resultar ’’naturalmente’’ inmunizado, por lo que es directamente retirado. Se tiene entonces y
Estas versiones diferentes del modelo SEIR pueden ser combinadas: un virus con pérdida de inmunidad y transmisión intrauterina o una política de vacunación con inmunidad de los recién nacidos. Las variaciones son casi tan numerosas como los diferentes virus que se puede encontrar.
A pesar de su complejidad, pareciera ser que el modelo SEIR aún no tiene en cuenta muchos parámetros. De hecho, por el momento estamos viendo la evolución de la epidemia solo en relación con el tiempo $t$. En el próximo modelo, también tendremos en cuenta la edad $a$ de las personas.
Modelo SEIR estructurado por edad
En este modelo, se considera que el comportamiento de la enfermedad depende de la edad de la persona (lo cual es el caso para el Covid-19). Se obtiene entonces un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Grosso-modo, retomando las ecuaciones SEIR, y con las mismas subpoblaciones $S(a,t), E(a,t), I(a,t)$ y $R(a,t)$ pero esta vez en función del tiempo $t$ y de la edad $a$, tenemos:
Aquí, $\alpha(a),\gamma(a)$ y $\mu(a)$, respectivamente, representan las tasas de incubación, mejora y mortalidad, todas ellas dependientes de la edad. Consideramos además que $I(0,t)=E(0,t)=R(0,t)=0$ y $S(0,t)=S_L$ para todo tiempo $t$ (las personas nacen ($a=0$) sanas). El parámetro $S_L$ se supone conocido para una población dada (tasa de natalidad en función de la edad). Uno de los coeficientes deviene más complicado que para los modelos precedentes: la tasa de infección, denotada aquí $\lambda(a,t)$. Esta vez, ella depende de la edad del individuo y del tiempo, y viene dada por \[\lambda(a,t)=\int_0^{a_{\text{max}}}\beta(u,a)I(u,t)du,\]
donde $a_{\text{max}}$ es la edad máxima alcanzada en la población y $\beta$ es una función que describe la tasa de infección para una edad fija dada. El coeficiente $\lambda$ permite sumar (de allí la integral...) el número de personas sanas que se infectarán tras el contacto con personas infectadas (de donde el coeficiente $\beta(u,a)I(u,t)$) para cada edad considerada (de 0 a $a_{\text{max}}$). Escogimos aquí una gaussiana centrada en $a$ para representar $\beta$, pues consideramos que es más probable que una persona contamine a otras personas de una edad relativamente cercana (escuelas, universidades, trabajo, etc):
\[\beta(u,a)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(u-a)^2}{2\sigma^2}},\]
donde $\sigma$ depende del virus considerado.
Por qué esta elección, con ilustración
Esta ’’curva de campana’’ ilustra el hecho de que la mayoría de los pacientes de 40 años contaminarán a personas de más o menos 20 años que ellos. Aquí es donde la curva es más alta (entre 20 y 60 años aproximadamente). Por el contrario, es poco probable que infecte a personas entre las edades de 0 y 10 o mayores de 70 años. Esta elección de función depende del virus considerado y, obviamente, puede ser cuestionada y modificada.
Para más precisiones e informaciones sobre la gaussiana (así como la ’’curva de campana’’) le aconsejamos la lectura escalonada según su interés de este artículo, este artículo o este artículo (se trata del mismo artículo escrito para tres niveles de lectura diferentes).
Una vez que todos estos parámetros son definidos:
¿Cómo leer este sistema de ecuaciones?
De manera análoga a los sistemas SIR y SEIR, las variaciones de edad $a$ y en el tiempo $t$ quedan representadas por derivadas parciales (pues permiten tomar en cuenta cada una de las dos variables): $\frac{\partial}{\partial t}$ para el tiempo y $\frac{\partial}{\partial a}$ para la edad. Luego, la lectura del sistema es similar a la del modelo SEIR: el término $-\mu(a)$ representa en cada línea a las personas muertas, el término $\pm \lambda(a,t) S(a,t)$ en las líneas (2.1) y (2.2) representa al número de personas sanas que se infectan pero no se hacen infecciosas, el término $\pm\alpha(a)E(a,t)$ corresponde a las personas no infecciosas (2.2) que se vuelven infecciosas (2.3) y, finalmente, el término $\gamma(a)I(a,t)$, que representa a las personas que mejoran (2.4), es sustraído de la línea (2.3).
Usando un método numérico más complicado que el de los modelos SIR y SEIR, podemos obtener estos gráficos:
Comparación de la epidemia al inicio (t=0) y al final en función de la edad.
La tasa de natalidad es de 0,009. Las otras tasas son modernizadas en función de la edad: una función proporcional a la función cuadrada para la mortalidad (la tasa aumenta con la edad), una función afín decreciente para la mejora (la tasa disminuye con la edad), una función afín creciente para la incubación (la tasa aumenta con la edad: las personas viejas se volverán infectadas infecciosas -paso de E a I- con una tasa mayor al de los jóvenes. En fin, la tasa de transmisión usada es calcula sobre la base de una ley normal (como se explica abajo). Estas elecciones pueden ser modificadas y/o ajustadas de acuerdo al virus considerado.
Podemos ver claramente (en el gráfico de la derecha, curva violeta) que la población mayor de 60 años se ha reducido considerablemente debido a la epidemia, lo cual no es el caso de la población de entre 0 y 25 años. Además, el número de personas infectadas no infecciosas (curva amarilla, a derecha) es mayor en los jóvenes entre 0 y 20 años que en las personas mayores de más de 60 años.
El estudio en mayor profundidad del modelo SIR / SEIR estructurado por edad está disponible en [KWI] o en [ZK].
Una aproximación a las técnicas de resolución numérica de los sistemas SIR y SEIR
Los más avanzados matemáticamente habrán reconocido que los modelos SIR y SEIR recurren a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no lineales para las cuales no tenemos una resolución explícita: no tenemos una fórmula que dé la respuesta directamente. El modelo SEIR estructurado por edad, por su parte, muestra derivadas parciales (EDP). Por lo tanto, para resolverlos, se debe utilizar métodos de resolución numérica [4]. Esta parte es claramente más técnica y no contribuye mucho a la comprensión del problema, está escrita en el siguiente bloque desplegable y se deja a los lectores más experimentados.
En ausencia de una solución explícita, el principio general consiste en discretizar el sistema a lo largo del tiempo (para SIR y SEIR) y en edad (SEIR con edad).
Modelos SIR y SEIR: método de Euler
Para estos dos modelos, todas las ecuaciones son de la forma $y'=f(t,y(t))$. Utilizaremos el método de Euler, cuyo principio es aproximar iterativamente la solución $y$ con la ayuda del desarrollo de Taylor al orden 1. Para $i\in\{0,1,...n-1\}$, los iterados son $y_{i+1}=y_i+dtf(t_i,y_i)$ para Euler explícito o $y_{i+1}=y_i+dtf(t_i,y_{i+1})$ para Euler implícito; este último necesita emplear el método de Newton (ver también: La méthode de Newton et son fractal... en 3D).
Para un caso explícito, esto nos da para el modelo SIR:
$S_{i+1}=S_i - dt(\beta S_i I_i)$ para las personas sanas;
$I_{i+1}=I_i + dt(\beta S_i I_i - \gamma I_i)$ para las personas infectadas;
$R_{i+1}=R_i + dt(\gamma I_i)$ para las personas retiradas.
Para el modelo SEIR, esto debe ser ligeramente modificado para así obtener:
$S_{i+1}=S_i + dt(-\beta S_i I_i + \nu N_{i} - \mu S_{i})$ para las personas sanas;
$E_{i+1}=E_i + dt(\beta S_i I_i - \alpha E_{i} - \mu E_{i})$ para las personas infectadas pero no infecciosas;
$I_{i+1}=I_i + dt(\alpha E_{i} - \gamma I_{i} - \mu S_{i+1})$ para las personas infectadas;
$R_{i+1}=R_i + dt(\gamma I_{i} - \mu R_i)$ para las personas retiradas.
Esto nos permite poder calcular la evolución de cada población en el tiempo $i+1$ en función del estado de las poblaciones en el tiempo $i$.
Explícito vs implícito: ¿por qué dos métodos? Cada uno tiene ventajas (facilidad de implementación) y desventajas (en particular, inestabilidad) dependiendo del valor de los parámetros elegidos. No entraremos en la comparación de estos dos métodos (estabilidad, convergencia, etc.) en este artículo. Una vez que estos cálculos se han implementado en el software de cálculo, obtenemos los gráficos que ilustran la evolución de una epidemia dada.
Modelo SEIR estructurado por edad: mallas y método de diferencias finitas
Al igual que con los modelos SIR y SEIR, no hay soluciones explícitas para modelos con patrón de edad. El principio es entonces abordar la solución exacta discretizando el problema. Para esto, creamos un paso de tiempo $\Delta t $ y un paso de espacio (aquí, correspondiente a la edad) $\Delta a$; luego, definimos una malla de espacio y tiempo: $ (t^n, a_j) = (n \Delta t, j \Delta a)$ para $ 0 \leq n \leq N$ y $ 0 \leq j \leq J $, con $ J $ y $ N $ fijos. Posteriormente, aproximamos $ S (a, t) $ por $ S (a_j, t^n): = s_j^n $ [5]. El método de diferencias finitas consiste en abordar las soluciones mediante un desarrollo de Taylor:
\[\frac{\partial S(a,t)}{\partial t}+\frac{\partial S(a,t)}{\partial a}=\frac{s_j^{n+1}-s_j^n}{\Delta t}+\frac{s_j^n-s_{j-1}^n}{\Delta a} +O(\Delta t + \Delta a)\]
Aproximando de igual manera los términos de (2.1), un cálculo nos da:
Esto nos permite calcular el número de personas sanas en el tiempo $n+1$ en función de personas sanas al tiempo $n$, así como hacer los cálculos a la edad $j$ en función de la edad $j-1$. Los cálculos son análogos para $E(a,t), I(a,t)$ y $R(a,t)$. Aquí también, un programa de cálculo es necesario para obtener el resultado en forma gráfica.
Otros modelos... aún más complicados
Hasta ahora, solo hemos considerado la evolución de una epidemia según la edad y el tiempo. Falta (al menos) un parámetro: el espacio. La epidemia no se comportará de manera idéntica de país en país o de ciudad en ciudad. De hecho, podemos tomar una estructura de población más compleja: considerar el flujo de personas (aviones, trenes, barcos, automóviles), sus contactos (especialmente durante sus viajes) y predecir la evolución de la epidemia en el espacio. Esto permite predecir, por ejemplo, dónde es más ’’relevante’’ vacunar primero, o qué aeropuerto debería estar cerrado. Además, los modelos epidemiológicos pueden ser más complicados si se consideran, por ejemplo, los períodos de tiempo (duración de la enfermedad, etc.), los diversos métodos de transmisión del mismo virus, la variación en la tasa de curación según el número de pacientes, y los diferentes niveles de infectividad. Señalemos que estos modelos existen, pero no se detallarán aquí.
¿Por qué complicar los modelos? Agregar más parámetros tiene un objetivo: obtener una simulación más fina y un resultado más cercano a la realidad. El nivel de complejidad del modelo depende del número de parámetros elegidos (estructura de la población, posibles interacciones, fenómenos a tener en cuenta o no, etc.) y del modelo utilizado (SIR, SEIR, edad SEIR u otros). De hecho, estas elecciones se determinan de acuerdo con el objetivo del estudio a realizar.
Este es el caso de la siguiente simulación interactiva que se basa en un modelo más complejo que el único modelo SIR: incluye las tres subpoblaciones (S, I y R), así como las tasas de natalidad y mortalidad del modelo SEIR, pero también los movimientos y contactos de individuos modelados al azar. El encierro también se tiene en cuenta.
Para las tablets, para una versión en pantalla plena, ver esta página del sitio del CNRS.
Las personas sanas (que pueden ser infectadas), infectadas, retiradas (por lo tanto, curadas e inmunes) y fallecidas están representadas respectivamente por puntos grises, rojos, verdes y cruces negras. Las personas confinadas están representadas por un punto rodeado por un círculo más grueso: pueden contaminarse pero no pueden contaminar a nadie [6].
La visión general de los modelos epidemiológicos propuesta aquí obviamente no es exhaustiva. Sin embargo, ciertamente permite descubrir algunos de los más simples. La resolución digital (y, por lo tanto, su implementación en una computadora) sigue siendo esencial, dada la ausencia de un método de resolución exacto.
El autor y la redacción de Paisajes Matemáticos agradecen a Pierre-Antoine Guihéneuf, Jérôme Buzzi y Clément Caubel por su lectura rápida y atenta.
Artículo original editado por Nils Berglund
[1] En este artículo usaremos muchas letras griegas; sus nombres y pronunciaciones son ’’alfa’’ para $\alpha$, ’’beta’’ para $\beta$, ’’gama’’ para $\gamma$, ’’delta’’ para $\delta$, ’’epsilon’’ para $\epsilon$, ’’mu’’ para $\mu$ y ’’nu’’ para $\nu$.
[2] Esto es lo que a veces se llama la tasa de letalidad, que no debe ser confundida con la tasa de mortalidad.
[3] Es decir, personas infectadas pero que no presentan síntomas. Estas son difíciles de detectar, pero pueden transmitir el virus. Ellas deben -o deberían- ser tomadas en cuenta en el cálculo. Al momento de la redacción de este artículo, se estima que la tasa de personas asintomáticas puede ascender hasta $2/3$ de las personas infectadas por el Covid-19.
[4] Todos los cálculos y gráficos en este artículo se obtuvieron con el lenguaje de programación Python.
[5] Atención, $ t^n $ no es una potencia, ¡es una notación! Ella permite ser coherentes al escribir un valor aproximado $ x^n_j $ en el tiempo $ t $ y en el espacio $ j $: con $ n $ ’’arriba’’ y $ j $ ’’abajo’’.
[6] Esta es una elección del modelamiento de los autores. Si las personas confinadas están completamente aisladas, finalmente salen del problema, y ​​volvemos a un problema con menos población; sin embargo, esto no corresponde a la realidad. Con el confinamiento, minimizamos las interacciones, pero estas siguen existiendo (vamos a buscar nuestros comestibles, obtenemos suministros del exterior, somos dependientes y viene una enfermera, recibimos un paquete,...)
Andrés Navas — «Modelamiento de una epidemia, segunda parte» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020
Imagen de portada - El logo de este artículo corresponde a una imagen de libre acceso que representa un coronavirus y una persona usando mascarilla para no contaminar(se).

References: resolución 
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