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Timestamp: 2015-11-30 01:13:01+00:00

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Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Función Logarítmica 4º ESO o 1º BUP
P. 1Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Función Logarítmica 4º ESO o 1º BUPMatematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Función Logarítmica 4º ESO o 1º BUP5.0|Views: 35.566|Likes: 206Publicado pormouchodelvalleNivel 4º Enseñanza Secundaria o bien 1º Antiguo Bachillerato Opción Ciencias de la Naturaleza. Alumnas/os 15 o 16 añosNivel 4º Enseñanza Secundaria o bien 1º Antiguo Bachillerato Opción Ciencias de la Naturaleza. Alumnas/os 15 o 16 añosMore info:Categories:Types, School WorkPublished by: mouchodelvalle on Jan 18, 2011Copyright:Attribution Non-commercialAvailability:Read on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate content|Agregar a la colecciónSee moreSee lesshttps://es.scribd.com/doc/47099960/Matematicas-Ejercicios-Resueltos-Soluciones-Funcion-Logaritmica-4%C2%BA-ESO-o-1%C2%BA-BUP11/09/2015pdftextoriginalPROPIEDADES COMUNES. PROPIEDADES COMUNES. - El dominio de la función es la semirrecta positiva R+, ya que y = loga x está definida para x › 0.- El recorrido (Imagen) de la función es el conjunto de los números reales. - loga 1 = 0 ya que a1 = 0 - Todas las funciones pasan por el punto (1,0) - loga a = 1 ya que a1 = 1 - loga (x.x´)
loga x + loga x´
- La función es continua en todo su dominio. - La función no está acotada.
PROPIEDADES QUE DEPENDEN DE LA BASE. PROPIEDADES QUE DEPENDEN DE LA BASE. 1º.- Bases mayores que 1 1º.- Bases mayores que 1 a › 1 a › 1
Vamos a ver las propiedades de las funciones cuya base sea positiva, es decir, que sea mayor que 1.
- Positiva para valores de x mayores que 1. - Negativa para valores de x menores que 1. - La función es estrictamente creciente.
2º.- Bases menores que 1 2º.- Bases menores que 1
a ‹ 1 a ‹ 1
Vamos a ver las propiedades de las funciones cuya base sea negativa, es decir, que sea menor que 1.
- Positiva para valores de x menores que 1. - Negativa para valores de x mayores que 1. - La función es estrictamente decreciente.
¿Qué relación existe entre las funciones exponenciales y logarítmicas? Por ser recíprocas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.
LOGARITMOS LOGARITMOS Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a  0 ;a  1), y un núme r oN positivo y no nulo (N > 0; N  0 ), s e lla ma loga r it mo e n b a s ea de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe: log a N = x y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x». Por lo tanto, logaN = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N (notación exponencial). Notación logarítmica Notación exponencial
Consecuenciias de lla deffiiniiciión de llogarriittmo Consecuenc as de a de n c ón de oga mo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a0 = 1 2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a1 = a 3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am 4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero. 5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1. Así, por ejemplo: 6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es positivo si la base a del logaritmo es a<1. Por ejemplo:
Así, log3 9 = 2; ya que 32 = 9 8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:: PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1.. Logariittmo de un productto 1 Logar mo de un produc o El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. loga(X · Y)= loga X + loga Y
Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X. Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y. loga(X · Y)= loga (ax · ay) = loga ax+y = x + y = loga X + loga Y Este resultado se puede generalizar para más de dos factores. Si X1, X2, X3, ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos, loga(X1 · X2 ... Xn)= loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn 2.. Logariittmo de un cociientte 2 Logar mo de un coc en e El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X Sea loga Y = y; esto significa que a = Y
3.. Logariittmo de una pottenciia 3 Logar mo de una po enc a El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. loga Xn = n loga X Demostración: Sea loga X = x; esto significa que ax = X. loga Xn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga X 4.. Logariittmo de una raííz 4 Logar mo de una ra z El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.
LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NEPERIANOS
De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e. Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:
log10 X = log X Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales. Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales: log 1 = 0; puesto que 100 = 1. log 10 = 1; puesto que 101 = 10. log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10 000. log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.
Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L: loge X = ln X = LX Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son: ln 1 = 0; puesto que e0 = 1 ln e2 = 2; puesto que e2 = e2 ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1
Su valor, con seis cifras decimales, es e = 2,718281... CAMBIO DE BASE Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome. Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441... según que la base considerada sea 8, 1/8, 2, 1/2, 10, e ...
Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene: loga aA = loga bB A loga a = B loga b Despejando B, y teniendo en cuenta que loga a = 1, se tiene:
Rellaciión enttre llogariittmos deciimalles y neperiianos Re ac ón en re ogar mos dec ma es y neper anos Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es:
RELACIÓN ENTRE LOS LOGARITMOS EN BASE A Y EN BASE 1/A RELACIÓN ENTRE LOS LOGARITMOS EN BASE A Y EN BASE 1/A
log1/a X = - loga X RELACIÓN ENTRE RELACIÓN ENTRE
Los logaritmos loga b y logb a son inversos. RELACIÓN ENTRE FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL.. RELACIÓN ENTRE FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Para comprobar que dos funciones son inversas basta con: 1o. Intercambiar entre sí las variables x e y en una de las dos funciones. 2o. Despejar la variable y, y comprobar que se obtiene la otra función. En este caso: 1o. En la función logarítmica y = loga x se intercambia x por y, obteniendo: x = loga Y. 2o. Despejando la variable y en x = loga y, se tiene y = ax, es decir la función exponencial. Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. ECUACIÓN Y SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS. ECUACIÓN Y SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS. Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo. Así en la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica. Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas. Ejemplo:
¿Cómo se resuellven ecuaciiones llogarííttmiicas? ¿Cómo se resue ven ecuac ones ogar m cas?
Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B. Una vez conseguido, se aplica la equivalencia log A = log B A = B, deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas.
1..- Expresar allgebraiicamente lla siiguiiente iigualldad:: 1 - Expresar a gebra camente a s gu ente gua dad El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. loga(X · Y)= loga X + loga Y Por tanto,, aplliicando esta propiiedad obtenemos:: Por tanto ap cando esta prop edad obtenemos
1 All estar operando en base 10:: 101 = 10 A estar operando en base 10 101 = 10
Tomando llogariitmos:: Tomando ogar tmos x . y = 10 x . y = 10
2..- Expresar allgebraiicamente lla siiguiiente iigualldad:: 2 - Expresar a gebra camente a s gu ente gua dad El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
Por tanto,, aplliicando esta propiiedad obtenemos:: Por tanto ap cando esta prop edad obtenemos
Tomando llogariitmos:: Tomando ogar tmos 3..- Expresar allgebraiicamente lla siiguiiente iigualldad:: 3 - Expresar a gebra camente a s gu ente gua dad
Vamos a observar la definición de logaritmo: Tomamos 3 log x, es como si hubiésemos tomado ya logaritmos, por tanto nos quedaría: log x . Ahora tomamos 2 log y: lo mismo, es como si hubiésemos tomado ya logaritmos, por tanto esta expresión nos quedará: log y . Sustituimos en la expresión dada y como estamos operando en base 10, la expresión dada, se nos transformará, en: log x + log y = log 10
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. loga(X · Y)= loga X + loga Y Por tanto,, aplliicando esta propiiedad obtenemos:: Por tanto ap cando esta prop edad obtenemos Log ( x . y ) = log 10 Tomando llogariitmos:: Tomando ogar tmos
3 2 X 3 . y 2 = 100 X . y = 100 3 2 3 2 2
4..- Expresar allgebraiicamente lla siiguiiente iigualldad:: 4 - Expresar a gebra camente a s gu ente gua dad Lo priimero que haremos,, será ordenar lla iigualldad dada,, traspasando -1 all 2º miiembro:: Lo pr mero que haremos será ordenar a gua dad dada traspasando -1 a 2º m embro
Tomamos 3 log x, es como si hubiésemos tomado ya logaritmos, por tanto nos quedaría:
log x . El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
3 llog x 3 – llog y = llog 10 og x – og y = og 10
Tomando llogariitmos:: Tomando ogar tmos
4..- Resollver llas siiguiientes ecuaciiones llogaríítmiicas:: 4 - Reso ver as s gu entes ecuac ones ogar tm cas llog 2 x = 1 og x = 1 llog 2 x = 3 og x = 3 llog 2 x = -1 og x = -1 N= a x N= a N= a x N= a N= a x N= a 21 = x 2 =x 23= x 2 =x 2 -1 = x 2 =x x=2 x=2 x=3 x=3 x = 1/2 x = 1/2
llog 2 x = -3 og x = -3 llog 3 81 = x og 81 = x llog 2 128 = x og 128 = x llog 5 625 = x og 625 = x
N= a x N= a N= a x N= a N= a x N= a N= a x N= a 3 x = 81 3 = 81 2 x =128 2 =128 5 = 625
2 -3 = x 2 =x 3 x=34 3 =34 2 x = 27 2 = 27 5 = 54
x = 1/8 x = 1/8 x=4 x=4 x=7 x=7 x=4
Las raíces son potencias de exponente fraccionario.
x=5/2 x=5/2 llog x 125 = x og 125 = x
Por tanto x = 5 x=5
Lo priimero que haremos será,, expresar en forma de potenciias,, llas expresiiones Lo pr mero que haremos será expresar en forma de potenc as as expres ones fracciionariias:: fracc onar as
Ellevamos all cuadrado ambos miiembros:: E evamos a cuadrado ambos m embros
N= a x N= a
Por tanto:: x 2 = 9 Por tanto x = 9
X = 0,,1 X=01
X = 64 X = 64
X=3 X=3 N= a x N= a X=-2 X=-2
5..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión llogaríítmiica:: 5 - Reso ver a s gu ente ecuac ón ogar tm ca Observando ell 2º miiembro de lla ecuaciión vemos que es un cociiente de llogariitmos.. Observando e 2º m embro de a ecuac ón vemos que es un coc ente de ogar tmos Por tanto;; Por tanto
6..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión llogaríítmiica:: 6 - Reso ver a s gu ente ecuac ón ogar tm ca Haciiendo operaciiones,, obtenemos:: Hac endo operac ones obtenemos X = 125 X = 125
7..- Resollver llas siiguiiente ecuaciión llogaríítmiica:: 3 + 2 llog x = 5 7 - Reso ver as s gu ente ecuac ón ogar tm ca 3 + 2 og x = 5 Haciiendo operaciiones,, obtenemos:: Pasamos +3 all 2º miiembro:: Hac endo operac ones obtenemos Pasamos +3 a 2º m embro 2 llog x = 5 – 3 2 llog x = 2 2 og x = 5 – 3 2 og x = 2 Siimplliifiicamos:: llog x = 1 S mp f camos og x = 1 X = 10 X = 10
8..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión llogaríítmiica:: 8 - Reso ver a s gu ente ecuac ón ogar tm ca
Haciiendo operaciiones,, obtenemos:: Hac endo operac ones obtenemos
9..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión llogaríítmiica:: 9 - Reso ver a s gu ente ecuac ón ogar tm ca Observando ell 1º miiembro de lla ecuaciión vemos que es un producto de llogariitmos.. Observando e 1º m embro de a ecuac ón vemos que es un producto de ogar tmos
X = 0,,04 X = 0 04
10..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión llogaríítmiica:: 10 - Reso ver a s gu ente ecuac ón ogar tm ca
Observando ell 2º miiembro de lla ecuaciión vemos que es un cociiente de llogariitmos.. Observando e 2º m embro de a ecuac ón vemos que es un coc ente de ogar tmos
Tomamos llogs.. Tomamos ogs
11..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 11 - Reso ver e s gu ente s stema
Sumando ambas ecuaciiones obtenemos:: Sumando ambas ecuac ones obtenemos
2 llog x 2 og x
Sustiituiimos ell vallor obteniido en lla 2º Ecuaciión:: Sust tu mos e va or obten do en a 2º Ecuac ón
12..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 12 - Reso ver e s gu ente s stema
1º Despejamos x en lla 2ª ecuaciión:: x = 90 + y 1º Despejamos x en a 2ª ecuac ón x = 90 + y 2º Observando lla 1ª ecuaciión,, observamos que es un producto de llogariitmos.. 2º Observando a 1ª ecuac ón observamos que es un producto de ogar tmos llog ( x .. y ) = 3 Sii tomamos llogs.. nos queda :: x .. y = 1..000,, ya que ell 2ª miiembro:: og ( x y ) = 3 S tomamos ogs nos queda x y = 1 000 ya que e 2ª m embro
3 3 = llog 10 3 por tanto = 1..000 .. 3 = og 10 por tanto = 1 000 3
Paso siiguiiente:: Paso s gu ente En lla nueva ecuaciión que hemos transformado:: x .. y = 1..000,, sustiituiimos ell vallor de x En a nueva ecuac ón que hemos transformado x y = 1 000 sust tu mos e va or de x que hemos despejado en ell 1º paso y obtenemos:: que hemos despejado en e 1º paso y obtenemos (90+y) y = 1..000 (90+y) y = 1 000
2 2 Operamos:: 90y + y 2 = 1000 ordenamos:: y 2 + 90y -1..000 = 0 Operamos 90y + y = 1000 ordenamos y + 90y -1 000 = 0 2 2
Ahora ya resollvemos esta ecuaciión,, para callcullar ell vallor de y:: Ahora ya reso vemos esta ecuac ón para ca cu ar e va or de y
Por tanto:: Por tanto
A contiinuaciión,, sustiituiimos este vallor en lla ecuaciión,, donde habííamos despejado x:: A cont nuac ón sust tu mos este va or en a ecuac ón donde hab amos despejado x X = 90 +10 = 100 X = 90 +10 = 100 Por tanto:: Por tanto x = 100 x = 100
13..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 13 - Reso ver e s gu ente s stema
1º Despejamos y en lla 1ª ecuaciión:: y = 10 - x 1º Despejamos y en a 1ª ecuac ón y = 10 - x 2º Observando lla 2ª ecuaciión,, observamos que es un cociiente de llogariitmos.. 2º Observando a 2ª ecuac ón observamos que es un coc ente de ogar tmos Entonces,, transformamos esta 2ª ecuaciión en un cociiente de llogariitmos:: Entonces transformamos esta 2ª ecuac ón en un coc ente de ogar tmos
Tomamos llogariitmos:: Tomamos ogar tmos
Paso siiguiiente:: Sustiituiimos este vallor de x en ell 1º paso dell ejerciiciio,, en donde Paso s gu ente Sust tu mos este va or de x en e 1º paso de ejerc c o en donde habííamos despejado en lla 1ª ecuaciión dada,, ell vallor de y,, obteniiendo:: hab amos despejado en a 1ª ecuac ón dada e va or de y obten endo
Este vallor obteniido de y,, llo sustiituiimos en lla 1ª ecuaciión y obtenemos:: Este va or obten do de y o sust tu mos en a 1ª ecuac ón y obtenemos Y = 10 – x Y = 10 – x 2 = 10 – x 2 = 10 – x -x=-8 -x=-8 Por tanto:: Por tanto x=8 x=8 x=8 x=8
14..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 14 - Reso ver e s gu ente s stema
1º Paso:: En lla segunda ecuaciión vamos a transformar ell 2º miiembro,, en forma de 1º Paso En a segunda ecuac ón vamos a transformar e 2º m embro en forma de potenciia:: potenc a Vamos a sustiituiirllo en lla 2ª ecuaciión dada:: Vamos a sust tu r o en a 2ª ecuac ón dada
Nos quedaríía esta ecuaciión de lla siiguiiente manera:: Nos quedar a esta ecuac ón de a s gu ente manera
Ahora diiviidiimos entre e llos dos miiembros y está ecuaciión,, nos queda:: Ahora d v d mos entre e os dos m embros y está ecuac ón nos queda
En este momento,, es conveniiente,, con lla transformaciión sufriida en lla 2ª ecuaciión,, ver En este momento es conven ente con a transformac ón sufr da en a 2ª ecuac ón ver como nos queda ell siistema dado en ell enunciiado:: como nos queda e s stema dado en e enunc ado Despejamos y en lla 2ª ecuaciión:: y = x + 1 Despejamos y en a 2ª ecuac ón y = x + 1
Paso siiguiiente:: Paso s gu ente Vamos a trabajar con lla 1ª ecuaciión dell siistema.. Sii observamos,, nos damos cuenta de Vamos a trabajar con a 1ª ecuac ón de s stema S observamos nos damos cuenta de que es un producto de llogariitmos:: que es un producto de ogar tmos Entonces,, vamos a transformarllo en ellllo:: Entonces vamos a transformar o en e o Ln ( x .. y ) = Ln 20 Ln ( x y ) = Ln 20 Tomamos llogariitmos :: x .. y = 20 Tomamos ogar tmos x y = 20
Vollvemos otra vez,, a observar,, como nos queda ell siistema dado en un priinciipiio:: Vo vemos otra vez a observar como nos queda e s stema dado en un pr nc p o
Paso siiguiiente:: Paso s gu ente Sustiituiimos en lla 1ª ecuaciión,, ell vallor de y que habííamos despejado anteriiormente:: Sust tu mos en a 1ª ecuac ón e va or de y que hab amos despejado anter ormente
Por tanto:: x=8 Por tanto x=8 Vamos a sustiituiir ell vallor de x callcullado,, en donde habííamos despejado anteriiormente lla Vamos a sust tu r e va or de x ca cu ado en donde hab amos despejado anter ormente a y,, asíí obtenemos;; y as obtenemos Y=4+1=5 Y=4+1=5 Por tanto:: Por tanto y=5 y=5
15..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 15 - Reso ver e s gu ente s stema
1º Paso:: Observemos lla 2ª ecuaciión dell siistema:: ¿Qué podemos deciir? Pues que 1º Paso Observemos a 2ª ecuac ón de s stema ¿Qué podemos dec r? Pues que senciillllamente es un cociiente de llogariitmos.. senc amente es un coc ente de ogar tmos ¿Qué operaciión podemos efectuar? Senciillllamente,, dar ell paso iinverso,, es deciir:: ¿Qué operac ón podemos efectuar? Senc amente dar e paso nverso es dec r deshacer este cociiente de llogariitmos.. deshacer este coc ente de ogar tmos
Lllegados a este punto,, vamos a recordar ell proceso,, de cómo llo hacemos:: L egados a este punto vamos a recordar e proceso de cómo o hacemos Ell 1º paso consiiste en transformar ell cociiente en una resta:: E 1º paso cons ste en transformar e coc ente en una resta
Ell 2º paso consiiste en transformar ell llogariitmo de una potenciia:: E 2º paso cons ste en transformar e ogar tmo de una potenc a El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. loga Xn = n loga X
log 2 x2 = 2 log2 x
2º Paso::La 1ª ecuaciión dell siistema dado,, no lla tocamos,, y componemos de nuevo,, con lla 2º Paso La 1ª ecuac ón de s stema dado no a tocamos y componemos de nuevo con a variiaciión hecha en lla 2ª,, para ver llo que hemos obteniido:: var ac ón hecha en a 2ª para ver o que hemos obten do
Vamos a mulltiiplliicar lla 2ª ecuaciión por 3:: Vamos a mu t p car a 2ª ecuac ón por 3
Sumando ambas ecuaciiones,, obtenemos:: Sumando ambas ecuac ones obtenemos
7 llog2 x 7 og2 x 2
Por tanto:: x=4 Por tanto x=4 A contiinuaciión,, este vallor de x obteniido,, llo sustiituiimos en lla 1 ª ecuaciión:: A cont nuac ón este va or de x obten do o sust tu mos en a 1 ª ecuac ón
16..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 16 - Reso ver e s gu ente s stema
1º Paso:: sii observamos lla 1ª ecuaciión ¿qué notamos? Que estamos ante una suma de 1º Paso s observamos a 1ª ecuac ón ¿qué notamos? Que estamos ante una suma de llogariitmos:: ogar tmos All iiguall que en ell ejerciiciio anteriior,, all miismo tiiempo que transformamos en una suma,, A gua que en e ejerc c o anter or a m smo t empo que transformamos en una suma aprovechamos para deshacer ell llogariitmo de lla potenciia,, que hay en ell térmiino x 2.. aprovechamos para deshacer e ogar tmo de a potenc a que hay en e térm no x
En lla 2ª ecuaciión,, ell 2º térmiino dell 2ª miiembro,, es una potenciia,, y lla vamos a deshacer:: En a 2ª ecuac ón e 2º térm no de 2ª m embro es una potenc a y a vamos a deshacer
En este momento,, vamos a ver como nos ha quedado transformado ell siistema dado:: En este momento vamos a ver como nos ha quedado transformado e s stema dado Vamos a mulltiiplliicar lla 1ª ecuaciión por 2:: Vamos a mu t p car a 1ª ecuac ón por 2
5 llog x 5 og x
= 10 = 10 Por tanto:: Por tanto x = 100 x = 100 2 llog y = - 4 2 og y = - 4
Este vallor obteniido,, llo vamos a sustiituiir en:: 2 – 2 llog y = 6 Este va or obten do o vamos a sust tu r en 2 – 2 og y = 6
llog y = - 2 og y = - 2
Vamos a transformar este llogariitmo en una potenciia:: Vamos a transformar este ogar tmo en una potenc a
17..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 17 - Reso ver e s gu ente s stema
1º Paso:: Observando lla 2ª ecuaciión,, nos damos cuenta de que es un cociiente de 1º Paso Observando a 2ª ecuac ón nos damos cuenta de que es un coc ente de llogariitmos:: ogar tmos Haciiendo operaciiones,, obtenemos:: Hac endo operac ones obtenemos Vamos a tomar llogariitmos:: Vamos a tomar ogar tmos
2º Paso:: Ya estamos en condiiciiones de sustiituiir este vallor de x,, en lla 1ª ecuaciión dell 2º Paso Ya estamos en cond c ones de sust tu r este va or de x en a 1ª ecuac ón de siistema:: s stema
Por tanto:: Por tanto Este vallor que hemos obteniido,, llo sustiituiimos en donde tenííamos despejada lla x:: Este va or que hemos obten do o sust tu mos en donde ten amos despejada a x
18..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 18 - Reso ver e s gu ente s stema
1ºPaso:: Lo priimero que haremos,, será ordenar lla 2ª ecuaciión dada:: 1ºPaso Lo pr mero que haremos será ordenar a 2ª ecuac ón dada Ell siistema,, nos quedará de lla forma siiguiiente:: E s stema nos quedará de a forma s gu ente
2º Paso:: Observando lla 2ª ecuaciión,, nos damos cuenta de que es un cociiente de 2º Paso Observando a 2ª ecuac ón nos damos cuenta de que es un coc ente de llogariitmos:: ogar tmos Haciiendo operaciiones,, obtenemos:: Hac endo operac ones obtenemos
Como N = a x transformamos en potenciia:: Como N = a transformamos en potenc a
Sustituimos el valor de x en la 1ª ecuación del sistema, y obtenemos:
Por tanto: Ahora vamos a calcular el valor de x:
19..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión:: 19 - Reso ver a s gu ente ecuac ón 1º Paso:: Observando ell priimer miiembro,, observamos que es ell llogariitmo de un producto 1º Paso Observando e pr mer m embro observamos que es e ogar tmo de un producto Por tanto nos queda:: x .. 50 Por tanto nos queda x 50 Entonces lla ecuaciión dada,, nos quedará de lla siiguiiente manera:: Entonces a ecuac ón dada nos quedará de a s gu ente manera
20..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión:: 20 - Reso ver a s gu ente ecuac ón 1º Paso: Vamos a observar el 2º miembro: a) log 10 = 1; puesto que 101 = 10. El siguiente paso, es sustituir este valor en la ecuación dada, y obtenemos: log x = log 10 – log ( 22 – x ) A continuación, pasamos al primer miembro: log 10 log x – log 10 = log ( 22 –x ) Observando ell priimer miiembro,, observamos que es ell llogariitmo de un cociiente:: Observando e pr mer m embro observamos que es e ogar tmo de un coc ente
Por tanto:: Por tanto 21..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión:: 21 - Reso ver a s gu ente ecuac ón
1º Paso:: Vamos a hacer operaciiones con ell térmiino dell segundo miiembro:: 1º Paso Vamos a hacer operac ones con e térm no de segundo m embro Por defiiniiciión de llog:: llog a N = x Por def n c ón de og og N = x N = ax N=a N= 10 2 N= 10
Como estamos operando en base 10,, tenemos:: llog 10 N = 2 Como estamos operando en base 10 tenemos og N = 2 Por tanto en ell 2º miiembro,, nos quedaríía:: llog 100 Por tanto en e 2º m embro nos quedar a og 100 La ecuaciión dada se nos transforma en:: La ecuac ón dada se nos transforma en 2 llog x – llog (x-16 ) = llog 100 2 og x – og (x-16 ) = og 100
2º Paso:: Es ell llogariitmo de un cociiente.. Por tanto hacemos operaciiones:: 2º Paso Es e ogar tmo de un coc ente Por tanto hacemos operac ones
Pero llo priimero que vamos a hacer,, es trasponer térmiinos:: Pasamos llog 100 all priimer Pero o pr mero que vamos a hacer es trasponer térm nos Pasamos og 100 a pr mer miiembro y llog (x-16) all 2º y nos queda:: m embro y og (x-16) a 2º y nos queda
Ahora síí aplliicamos lla propiiedad dell llogariitmo de un cociiente:: Ahora s ap camos a prop edad de ogar tmo de un coc ente
x1 = 80 x2 = 20 x1 = 80 x2 = 20
22..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión:: 22 - Reso ver a s gu ente ecuac ón Observando ell segundo miiembro,, observamos que es ell llogariitmo de un producto:: Observando e segundo m embro observamos que es e ogar tmo de un producto
Entonces lla ecuaciión nos queda dell modo siiguiiente:: Entonces a ecuac ón nos queda de modo s gu ente
Por tanto:: Por tanto 23..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión:: 23 - Reso ver a s gu ente ecuac ón En ell 2º miiembro:: En e 2º m embro La ecuaciión nos quedará:: La ecuac ón nos quedará llog x + llog (x+3) = llog (x+1) 2 og x + og (x+3) = og (x+1)
x =6 x =6
Observando ell 1º miiembro,, observamos que es ell llogariitmo de un producto:: Observando e 1º m embro observamos que es e ogar tmo de un producto llog x (x+3) = llog (x+1)2 og x (x+3) = og (x+1)2 x(x+3) = (x+1) 2 x 2 + 3x = x 2 + 2x +1 x(x+3) = (x+1) x + 3x = x + 2x +1 Por tanto:: Por tanto x =1 x =1 25
24..- Resollver lla siiguiiente ecuaciión:: 24 - Reso ver a s gu ente ecuac ón 1º Paso Aplliicando lla propiiedad dell llogariitmo de una potenciia 1º Paso Ap cando a prop edad de ogar tmo de una potenc a 2 llog x = 2 og x = llog x 2 og x
2º Paso Asiimiismo aplliicando lla propiiedad dell llogariitmo de una potenciia:: 2º Paso As m smo ap cando a prop edad de ogar tmo de una potenc a 2 llog(x+1) = llog (x+1) 2 2 og(x+1) = og (x+1) La ecuaciión dada,, se nos transforma en:: La ecuac ón dada se nos transforma en llog x 2 og x
= llog ((x+1))2 Con llo que:: x 2 = ((x+1))2 og x+1 Con o que x = x+1
x 2 = x 2 + 2x +1 2x = -1 x = -1/2 x = x + 2x +1 2x = -1 x = -1/2
x =- ½
Solluciión no válliida ya que x debe ser siiempre mayor que 0.. So uc ón no vá da ya que x debe ser s empre mayor que 0
25..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 25 - Reso ver e s gu ente s stema Vamos a sumar ambas ecuaciiones:: Vamos a sumar ambas ecuac ones
Multiplicamos la 2º por -1 y sumamos ambas
2 log y = 4
Por tanto ahora tenemos: 2 log x = 6 log x = 3 N=a 2 log y = 4 log y = 2 x= 10
x = 1000 y = 100
x = 1..000 x = 1 000
y = 100 y = 100
26..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 26 - Reso ver e s gu ente s stema
Sii observamos lla 2ª ecuaciión,, podemos aplliicar lla propiiedad dell llogariitmo de un cociiente:: S observamos a 2ª ecuac ón podemos ap car a prop edad de ogar tmo de un coc ente
Entonces,, ell siistema dado,, nos queda de lla siiguiiente forma:: Entonces e s stema dado nos queda de a s gu ente forma
Multiplicamos la 2ª ecuación por 3 y sumamos:
Ahora volvemos al sistema dado, y multiplicamos por -1 la 2ª ecuación: Sumamos ambas ecuaciones:
x = 100 x = 100
27..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 27 - Reso ver e s gu ente s stema En lla 2ª ecuaciión,, podemos aplliicar lla propiiedad dell producto de llogariitmos:: En a 2ª ecuac ón podemos ap car a prop edad de producto de ogar tmos llog x + llog y = 2 ≤ x.. y = 100 og x + og y = 2 ≤ x y = 100 Ell siistema dado,, se nos transforma en:: Además 2 en ell 2º miiembro = 10 2 = 100 E s stema dado se nos transforma en Además 2 en e 2º m embro = 10 = 100
Vamos a efectuar operaciiones con ambas ecuaciiones: Vamos a efectuar operac ones con ambas ecuac ones: 1ª Despejamos x en lla priimera ecuaciión: 1ª Despejamos x en a pr mera ecuac ón:
Sustiituiimos este vallor obteniido, en lla 2ª ecuaciión: Sust tu mos este va or obten do, en a 2ª ecuac ón:
Ahora sustiituiimos este vallor obteniido,, en donde hemos despejado x:: Ahora sust tu mos este va or obten do en donde hemos despejado x X= 21 + 4 = 25 X= 21 + 4 = 25 Por tanto:: Por tanto x = 25 x = 25 y= 4 y= 4
28..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 28 - Reso ver e s gu ente s stema En lla 2ª ecuaciión:: Podemos aplliicar lla propiiedad dell producto de llogariitmos,, y además En a 2ª ecuac ón Podemos ap car a prop edad de producto de ogar tmos y además transformar ell llog de 3 en una potenciia.. transformar e og de 3 en una potenc a llog 3= x aplliicando N = a x og 3= x ap cando N = a llog x + llog y = x .. y og x + og y = x y Entonces ell siistema dado,, se nos transforma en ell siiguiiente:: Entonces e s stema dado se nos transforma en e s gu ente Despejamos x:: Despejamos x x = 10 3 = 1000 x = 10 = 1000
Sustiituiimos este vallor en all 2ª ecuaciión:: Sust tu mos este va or en a 2ª ecuac ón
y = 50 y = 50
29..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 29 - Reso ver e s gu ente s stema En lla 2ª ecuaciión,, podemos aplliicar lla propiiedad dell cociiente de potenciias,, además ell 2º En a 2ª ecuac ón podemos ap car a prop edad de coc ente de potenc as además e 2º miiembro de lla ecuaciión ell llog 1 = 10 m embro de a ecuac ón e og 1 = 10
Ahora vamos a espejar x en lla priimera ecuaciión dell siistema:: Ahora vamos a espejar x en a pr mera ecuac ón de s stema Este vallor de x llo sustiituiimos en lla 2ª ecuaciión y hacemos operaciiones:: Este va or de x o sust tu mos en a 2ª ecuac ón y hacemos operac ones
Como:: Como
x = 22 -2 = 20 x = 22 -2 = 20 Por tanto:: Por tanto x = 20 x = 20 y=2 y=2
29..- Resollver ell siiguiiente siistema:: 29 - Reso ver e s gu ente s stema
En lla 2ª ecuaciión,, podemos aplliicar lla propiiedad dell producto de potenciias,, además ell 2º En a 2ª ecuac ón podemos ap car a prop edad de producto de potenc as además e 2º miiembro de lla ecuaciión ell llog 2 = 10 2 = 100.. m embro de a ecuac ón e og 2 = 10 = 100
x = 15 + 5 = 20 x = 15 + 5 = 20
y=5 y=5
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