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Timestamp: 2018-12-19 01:34:59+00:00

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Prof Teresita Fuster
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LICEO N° 2
Material teórico – práctico para el curso de Quinto Biológico
Profesora Teresita Fuster HÉCTOR
Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014
EXISTE UNA OPINIÓN MUY GENERALIZADA SEGÚN LA
CUAL LA MATEMÁTICA ES LA CIENCIA MÁS DIFÍCIL CUANDO
EN REALIDAD ES LA MÁS SIMPLE DE TODAS. LA CAUSA DE
ESTA PARADOJA RESIDE EN EL HECHO DE QUE 1
PRECISAMENTE POR SU SIMPLICIDAD, LOS
RAZONAMIENTOS MATEMÁTICOS EQUIVOCADOS QUEDAN
A LA VISTA. EN UNA COMPLEJA CUESTIÓN DE POLÍTICA O
ARTE, HAY TANTOS FACTORES EN JUEGO Y TANTOS
DESCONOCIDOS O INOPERANTES, QUE ES MUY DIFÍCIL
DISTINGUIR LO VERDADERO DE LO FALSO. EL RESULTADO
ES QUE CUALQUIER TONTO SE CREE EN CONDICIONES DE
DISCUTIR SOBRE POLÍTICA O ARTE - Y EN VERDAD LO
HACE- MIENTRAS QUE MIRA LA MATEMÁTICA DESDE UNA
RESPETUOSA DISTANCIA.
Ernesto Sábato, en “Uno y el Universo” (1945)
Prof. Teresita Fuster
CONTENIDO DEL DOCUMENTO ............................................................................................................... 3
OBJETIVOS ................................................................................................................................................. 3
PROMOCIÓN............................................................................................................................................... 3
DESARROLLO DEL CURSO ....................................................................................................................... 4
TEMA: ÁLGEBRA .................................................................................................................................... 4
FUNCIONES POLINÓMICAS DE TERCER GRADO ........................................................................ 4
ECUACIONES E INECUACIONES RACIONALES .......................................................................... 10
TEMA: FUNCIONES, ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ................. 12
POTENCIAS ...................................................................................................................................... 12
LOGARITMOS ................................................................................................................................... 13
TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO .................................................................................... 15
ECUACIÓN DE LA RECTA ............................................................................................................... 16
CONDICIÓN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ......................................................... 19
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO ............................................................................................... 19 2
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ................................................................................................. 20
ECUACIÓN DEL SEMIPLANO ......................................................................................................... 21
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA .......................................................................................... 23
TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO ................................................................................ 25
TEMA: PROBABILIDAD ......................................................................................................................... 26
CONTEO Y TEORÍA COMBINATORIA ............................................................................................ 26
PROBABILIDAD ................................................................................................................................ 28
DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS......................................................................... 34
TEMA: NÚMEROS COMPLEJOS .............................................................................................................. 35
APENDICE 1 .............................................................................................................................................. 37
ARTÍCULOS DEL REGLAMENTO DE EVALUACIÓN Y PASAJE DE GRADO PARA EL
BACHILLERATO REFERIDOS A LA PROMOCIÓN ........................................................................ 37
APENDICE 2 CONTROL DE ACTIVIDADES ........................................................................................... 39
En este documento encontrarás el material que se usará durante el curso de Matemática. El mismo está
orientado a los alumnos que cursan el segundo año de Bachillerato, opción Biológico, del Liceo N° 2
Héctor Miranda.
Se corresponde con el programa de Matemática del Núcleo Común indicado por la Inspección de la
asignatura a partir del año 2010
El objetivo de este documento es facilitar la tarea de clase y las actividades domiciliarias, ya que contiene
material teórico (definiciones, propiedades, algunas demostraciones) y la mayor parte de los ejercicios
con los que se trabajará durante el año.
Los objetivos principales del curso de matemática son:
 Estimular el razonamiento matemático
 Estimular el desarrollo de las capacidades matemáticas y aplicarlas a la resolución de los más
diversos problemas
 Estimular la conexión entre los diferentes conceptos matemáticos adquiridos y relacionarlos con
los aprendizajes de otras asignaturas.
 Profundizar los conocimientos ya adquiridos en años anteriores y, a la vez, que sirvan como
base para los temas que se desarrollarán en cursos superiores.
Según el reglamento de evaluación y pasaje de grado del Consejo de Educación Secundaria, “La
calificación final en cada asignatura será el resultado de todo el proceso de aprendizaje desarrollado por
el estudiante durante el curso.”1
En este curso, el proceso de aprendizaje se basará en tres pilares principales:
 Actuación en clase (incluye participación, interés por la asignatura, relacionamiento con los
compañeros, etc.)
 Trabajos domiciliarios, ya que con estas tareas se practica lo estudiado en clase y se puede rever
en la siguiente clase aquello que no ha sido totalmente comprendido o sobre lo que se tiene
 Trabajos de evaluación escritos o trabajos especiales que se soliciten durante el curso. Se
incluyen aquí las dos pruebas especiales de evaluación a realizarse en los meses de junio y
Al final de este documento encontrarás los artículos del Reglamento de evaluación y pasaje de grado para
Bachillerato que se refieren al tema.
a0 números reales. En este año estudiaremos polinomios de tercer grado. crecimiento y decrecimiento) 4 Prof. . n. Teresita Fuster . a1.a2. . … números naturales Por ejemplo:  f(x) = 3x – 2 es una función polinómica de primer grado.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 DESARROLLO DEL CURSO TEMA: ÁLGEBRA FUNCIONES POLINÓMICAS DE TERCER GRADO Una función polinómica es aquella cuya expresión analítica es de la forma: f: / f(x) = anxn + an-1xn-1 + . . Ejercicio 1 Las siguientes gráficas corresponden a polinomios de tercer grado. signo. . f(0). n-1. an-1. + a2x2 + a1x + a0 siendo an. .  g(x) = -2x2 + 4x -5 es una función polinómica de segundo grado.  j(x) = x3 – 5x2 +8 es una función polinómica de tercer grado. Estudiaremos en ella algunos de los conceptos ya vistos en años anteriores (raíces. . Las propiedades que veamos esta vez son fácilmente generalizables a funciones polinómicas de cualquier grado mayor que 3. En los cursos anteriores se estudiaron funciones polinómicas de primer y segundo grado.
tal que C(x) no sea el polinomio idénticamente nulo. a otra función h que cumple: h(x) = (f+g)(x) = f(x)+g(x) para todo valor de x que pertenece a la vez al dominio de f y al de g. . . Ahora se trabajará con algunos casos particulares de divisiones entre polinomios. . como suma. realiza las operaciones indicadas en cada caso: A(x) = 7x4 + 9x3 +3x2 +2 B(x) = x2 + 5x . De manera similar se definen la función resta o diferencia y la función producto. 0  i  n Ejercicio 2 Dados las siguientes funciones polinómicas. A(x) = anxn + an-1xn-1 + . Teresita Fuster . resta y multiplicación.4 C(x) = -2x3 +4x2 -9x D(x) = x -2 i) A(x) + C(x) ii) B(x) – C(x) iii) B (x) * D(x) Ejercicio 3 Calcula cociente y resto de las siguientes divisiones (considera los polinomios del ejercicio anterior) i) A(x) entre D(x) ii) C(x) entre B(x) iii) C(x) entre D(x) Ejercicio 4 En cada caso. el 5 valor numérico es el mismo. Esto ocurre sí y sólo sí tienen coeficientes iguales para los términos de igual grado. + b2x2 + b1x + b0 A(x)  B(x)  ai = bi  i . + a2x2 + a1x + a0 B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + . Q(x) +R(x)  El grado de R(x) es menor que el grado de C(x) o R(x) es el polinomio nulo. En años anteriores se trabajó con polinomios y algunas operaciones entre ellos. Cociente entero de polinomios Sean dos polinomios D(x) y C(x). se llama función suma. En este caso se dice que D(x) es divisible entre C(x).  Teorema de identidad de polinomios Dos funciones polinómicas A(x) y B(x) son idénticas cuando para todo valor real de la variable. . llamados respectivamente dividendo y divisor.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Para trabajar analíticamente con las funciones polinómicas se verán algunas propiedades importantes. hallar cociente y resto de dividir D(x) entre C(x) Prof. Dividir D(x) entre C(x) significa encontrar otros dos polinomios Q(x) y R(x) que cumplan:  D(x) = C(x) . Suma de funciones Sean dos funciones f y g.
Halla b. D(x) = x3 – 5x2 + 2x -1 C(x) = 3x – 2 Ejercicio 5 Encuentra los polinomios (dividendo. Teresita Fuster . ii) Halla los valores de a y d. d y el polinomio cociente. A continuación se verán algunas propiedades importantes referidas a la división de polinomios y que utilizaremos en la resolución de problemas.α valor numérico del polinomio para x=α Raíz evidente de un polinomio:  0 es raíz de un polinomio si el término independiente es 0  1 es raíz de un polinomio si la suma de los coeficientes es 0  -1 es raíz de un polinomio si la suma de los coeficientes de los términos de grado par es igual a la suma de los coeficientes de grado impar Prof. Ley del resto: Teorema de Descartes El resto de dividir un polinomio P(x) Un polinomio P(x) tiene raíz x=α si es entre otro de la forma (x-α) es igual al divisible entre x . sabiendo que el polinomio M(x) = ax3 +9x2+4x+d es divisible 6 entre T(x)=3x2-2. D(x) = x3 . divisor y resto) que generan el siguiente esquema de división de Ruffini: -5 -4 14 7 12 5 10 -3 14 96 Ejercicio 6 i) Al dividir P(x) = 5x3+bx2+6x+d entre Q(x)=x2-2x el resto es R(x)=20x-3.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 i.4x2 + 5x – 6 C(x) = x – 2 ii. Calcula el cociente de dividir M(x) entre T(x). D(x) = -4x3 + 2x2 – 5x + 6 C(x) = 2x + 1 vi. D(x) = 3x3 – 9x2 + 4x -2 C(x) = -x + 2 v. D(x) = -x3 + 5x – 4 C(x) = x – 4 iv. D(x) = -2x3 + 5x2 -7x + 4 C(x) = x +1 iii.
Si el polinomio P(x) tiene una raíz real doble α. por la definición de raíz: P(δ)= (δ-α) (δ-β)Q2(δ) = 0 siendo: αδ y βδ tiene que cumplirse que Q2(δ) = 0 Como Q2 = a3x + c0  Q2 = a3 (x . entonces. Utilizando nuevamente el teorema de Descartes. pero es fácilmente generalizable a un polinomio de cualquier grado. por el Teorema de Descartes. debe ser Q1 (β) = 0 Entonces β es raíz de Q1 (x). Prof. y una raíz real simple β. Entonces el polinomio puede escribirse de la forma P(x) = a3(x-α)(x-β)(x-δ) Demostración Sea P: / P(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 α es raíz de P(x).Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Teorema de descomposición factorial de un polinomio Sea P(x) un polinomio de tercer grado que tiene tres raíces reales y distintas: α. puede demostrarse que se cumple: P(x)= a3 (x-α)2(x-β) Propiedad: Todo polinomio de tercer grado tiene al menos una raíz real. Por la propiedad Hankeliana. entonces. por la definición de raíz: P(β)= (β-α)Q1(β) = 0 Como αβ entonces β-α0. se cumple que P(x) es divisible entre (x-α) Se puede escribir: P(x)= (x-α)Q1(x) [1] Q1 = a3x2 + b1x + b0 β es raíz de P(x).c0/ a3) de donde c0/ a3 = δ. β y δ. se tiene que: Q1(x)= (x-β)Q2(x) [2] Q2 = a3x + c0 Sustituyendo la ecuación [2] en la ecuación [1] se tiene P(x)= (x-α) (x-β)Q2(x) [3] 7 δ es raíz de P(x). Teresita Fuster . o sea: Q2 = a3 (x –δ) [4] Sustituyendo en [3] P(x)= a3 (x-α) (x-β)(x –δ) Hemos realizado la demostración para un polinomio de tercer grado.
i. Escribe la descomposición factorial de P(x). a0 = . a partir de los datos proporcionados. Prof. sabiendo que: 8 a) Sg (p) b) El resto de dividir p(x) entre (x-1) es 2 Ejercicio 12 Sea la función polinómica M(x) = x3 + bx2 + cx +6.1 raíces: α = -3. Ejercicio 9 Encuentra la expresión analítica de cada una de las siguientes funciones polinómicas de tercer grado. f(0) = 8 Ejercicio 10 Halla la expresión analítica de las funciones polinómicas cuya representación gráfica se brinda en el Ejercicio 1. β = 4. Teresita Fuster . ¿Tienes todos los datos para resolver el ejercicio? Ejercicio 11 Hallar la expresión analítica de la función polinómica p(x) de tercer grado. δ = 2 ii. Ejercicio 13 De la función polinómica P(x)= ax3 -x2 +bx -6. Con estos datos.Escribe el esquema del signo de M(x). Encuentra los valores de b y c para que se cumpla que 3 es raíz de M(x) y que M(4) = 18. α = 2 es raíz doble. Justifica.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 7 Escribe la descomposición factorial de las siguientes funciones polinómicas: f(x) = -4x3 + 28x +24 g(x) = 2x3 + x2 -3x j(x) = -2x3 + 2x2 + 8x -8 k(x) = x3-x2-x+1 h(x) = -2x3+8x2-8x l(x) = -3x3-4x2+3x+4 Ejercicio 8 Escribe el esquema del signo de cada una de las funciones polinómicas del ejercicio anterior. f(-1) = f(-3) = f(2) = 0 El punto (1.8) pertenece al gráfico de f. iii. se sabe que -2 es raíz y que el resto de dividir P(x) entre (x+1) es 3. f(1) = 3. encuentra los valores de a y b.
el punto (0.-12) pertenece al gráfico de p. Ejercicio 17 Calcula los valores de m y p para que la función polinómica de tercer grado f: f(x)=mx3+7x2+px tenga raíz ½ y que el resto de dividir f(x) entre (x-2) sea 36.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 14 Escribe la expresión analítica del polinomio cuya gráfica se presenta a continuación. Probar que para todo valor real de m. Ejercicio 15 Sea la función polinómica M(x) = (m+1)x3 – (m2+9)x2 + (9m+4-m2)x – 4m. Ejercicio 18 Halla todas las raíces de las siguientes funciones polinómicas y escribe su descomposición factorial. Escribe el esquema del signo de p(x). A(x) = x4+3x3-10x2 B(x) = x4-5x2+4 Prof. se cumple que m es raíz de M(x) Ejercicio 16 9 Escribe una expresión analítica de la función polinómica p(x) de tercer grado. el resto de dividir p(x) entre (x+1) es -12. Escribe la descomposición factorial de f. Teresita Fuster . sabiendo que 3 es raíz. las otras dos raíces son números reales opuestos.
Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 ECUACIONES E INECUACIONES RACIONALES Se habla de ecuaciones o inecuaciones racionales cuando en ellas intervienen cocientes de polinomios de cualquier grado. 2x x 1 x x x a)  x 1 b) 1  c)  1 x2 x x 1 x 1 x  4 x7 5x  3 3 4𝑥−1 𝑥 2 +5 𝑥−3 2𝑥−1 d) 2 𝑒) − = 𝑥2 −1 − 5 𝑓) 𝑥−4 + 𝑥+4 =3 x 1 x 1 𝑥−1 𝑥+1 Ejercicio 20 Resuelve en  las siguientes inecuaciones racionales. por lo que hay que prever que este denominador sea distinto de cero (de lo contrario no se puede realizar la operación). En estas ecuaciones (o inecuaciones) la variable forma parte del denominador. 10 𝑥 3 +𝑥 2 −4𝑥−4 𝑥 3 −7𝑥 2 +14𝑥−8 2 1 1 𝑎) ≤0 𝑏) <0 𝑐) + 2𝑥−1 > 1−4𝑥 2 𝑥−5 −𝑥 2 +1 2𝑥+1 9 𝑥 𝑑) < 8− 𝑥 𝑥+2 Ejercicio 21 i) Halla una expresión analítica de la función polinómica A(x) de tercer grado sabiendo que:  x=2 es raíz doble  El resto de dividir A(x) entre (x+1) es -18  El punto de corte con el eje de las ordenadas es (0. Justifica los procedimientos seguidos para la resolución de cada una de ellas. resuelve A(x) ≥ 0 Ejercicio 22 Resuelve en  y verificar las siguientes ecuaciones racionales. Ejercicio 19 Resuelve en  las siguientes ecuaciones racionales. 1 𝑥−2 3𝑥+1 2𝑥−1 a) 𝑥 + = 𝑥−3 b) + =4 𝑥−3 𝑥−1 𝑥 Prof. Teresita Fuster . la condición de existencia de una ecuación o inecuación racional indica que el denominador no puede valer cero. Por lo tanto. 8) ii) Para A(x) hallada en la parte anterior.
8) pertenece al gráfico de M(x) a) Halla una expresión analítica para M(x) b) Resuelve en : M(x) < 0 𝑀(𝑥) c) Resuelve en : ≥0 −𝑥 2 +4 11 Ejercicio 26 Resolver en  𝑥 2 +5 1 𝑥 2 +1 𝑥 + 𝑥 = −5 + 3 = 2𝑥 2 − 1 𝑥−2 𝑥−1 Prof. -1  La ordenada en el origen es y=6  El punto (1. b) Escribe la descomposición factorial de f(x) para el valor de m hallado. 2. 𝑓(𝑥) c) Resuelve en : ≥0 −𝑥+2 Ejercicio 25 2) M(x) es una función polinómica de tercer grado del cual se sabe:  Las raíces son α.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 23 Resuelve en  las siguientes inecuaciones: 3 3 −2𝑥 3 +2𝑥 2 +18𝑥−18 𝑥+2 − 2 ≤ 𝑥+1 ≥0 <0 𝑥−1 𝑥 2 +4𝑥−5 3𝑥 3 −2𝑥 2 −7𝑥−2 Ejercicio 24 1) Dada la función polinómica f(x) = 3x3 + x2 + mx -4 a) Hallar m sabiendo que x=2 es raíz de f(x). Teresita Fuster .
x  Ejercicio 27 Corta una hoja por la mitad y apila las dos hojas resultantes. n≠0 𝑏 Exponente racional: 𝑛 𝑛 𝑝 𝑝 𝑛 𝑛 𝑏 𝑝 = √𝑏 𝑛 = ( √𝑏) b. n. b ≠0 . n  N. n  N Si n es par. … Exponente entero negativo: 1 𝑛 𝑏 −𝑛 = ( ) b. El grosor de la hoja es 0. y así sucesivamente hasta 30 veces. b  . ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS POTENCIAS Definiciones: Exponente natural: 𝑏0 = 1 b.1mm. Corta nuevamente y apila. 2. 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑥 b  . ∀n. 𝑏 𝑛−1 ∀𝑏. Q 𝑝 𝑝 Radicación: 𝑛 √𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏 𝑛 = 𝑎 a. b ≠0 . a  . 2 1 3 𝑎) 22𝑥−1 = 4 𝑏) 21−𝑥 = 𝑐) √8𝑥 = 65536 8 𝑑)2𝑥+1 + 2𝑥 + 2𝑥−1 = 28 𝑒) 4√𝑥+1 − 2√𝑥+1+2 = 0 Prof.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 TEMA: FUNCIONES. Teresita Fuster . 𝑏 ∈ . b  . b≠1. b > 0. b ≠ 0 { 𝑛 𝑏 = 𝑏. n = 1.  . b  . ¿Llegará la última pila formada a la altura de una persona? Ejercicio 28 Resuelve en  las siguientes ecuaciones exponenciales y verifícalas. a ≥ 0 Función exponencial 12 f es una función exponencial si su expresión analítica es de la forma: 𝑓: 𝑅 → 𝑅. n.
cada uno de ellos se lo cuenta a 3 personas distintas y así sucesivamente. 𝑒 𝑥 = 𝑒 e) 22𝑥 .3𝑥 + 9 = 0 b) 5𝑥−2 + 5𝑥 + 5𝑥+2 = 651 c) 2𝑥−1 + 4𝑥−3 = 5 d) 3𝑥 + 9𝑥−1 = 4 e) 4. 75 = 49 b) 2𝑥 =1 c) (0. 31−𝑥 > 1 b) 7𝑥 = (7) LOGARITMOS Veamos los siguientes ejemplos:  Una bacteria se divide en dos cada 1 hora. 2 −2𝑥+1 a) 73𝑥 . ¿Cuántos días pasaron desde que Anita se enteró de la novedad si esa jornada se enteraron de la noticia 2187 personas? Prof. 32𝑥 + 27.7)3𝑥 3 3 2 −1 d) 𝑒 𝑥 ≤1 13 Ejercicio 32 Resuelve en . 𝑎) 32𝑥 − 10. cada una de las bacterias resultantes. 52𝑥 = 150 Ejercicio 30 Resuelve en  y verifica. también se dividen cada una hora. 2 = 3𝑥 . A su vez. Teresita Fuster . Calcula cuántas horas pasaron desde el comienzo del experimento si al momento hay 1024 bacterias (suponiendo que todas se hayan dividido en tiempo y forma).1)3+𝑥 = 1 2 1 d) 𝑒 2𝑥−2 . El miércoles.3𝑥 + 108 = 0 f) 33𝑥 − 28.32𝑥 + 48. 3𝑥 = 0 Ejercicio 31 Resuelve en  las siguientes inecuaciones exponenciales. 2 2 3 1 2𝑥 +𝑥 𝑎)27. 2 −5 1 𝑥−5 1 5𝑥+4 3 −2𝑥 2 a) 2𝑥 ≤ 2𝑥+1 b) ( ) <( ) c) (0.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 29 Resuelve en  y verifica. 35 f) 3𝑥 . El martes se la cuenta a 3 amigos.  Anita se entera de una noticia sumamente interesante el día lunes.7)𝑥 ≥ (0.
Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Definición: Propiedades: log 𝑏 𝑎 = 𝑥 ↔ 𝑏 𝑥 = 𝑎  log 𝑏 𝑏 = 1  log 𝑏 1 = 0 a. 2 = 3𝑥 . 𝑐) = log 𝑏 𝑎 + log 𝑏 𝑐  log 𝑏 (𝑎/𝑐) = log 𝑏 𝑎 − log 𝑏 𝑐  log 𝑏 𝑎𝑘 = 𝑘 log 𝑏 𝑎 log 𝑎  log 𝑏 𝑎 = log𝑐 𝑏 Propiedad de cambio de 𝑐 base Ejercicio 33 Resuelve en  y verifica. aplicando propiedades: 1 3 −3 log 𝑥 𝑎) log 25 𝑥 . b>0. 𝑎) log 2 𝑥 = 4 𝑏) log 8 (3𝑥 − 4) = 1 𝑐) log 3 (5𝑥 + 6) = −1 𝑑) log 5 (4𝑥 − 3) = −2 𝑒) log 𝑥 49 = 2 𝑓) log 3𝑥 102 = 1 𝑔) log 2 1/𝑥 = −3 Ejercicio 34 Resuelve en  14 2 −1 𝑎) 3𝑥 = 134 𝑏) 22𝑥 . 35 𝑐) 3𝑥 . log 5 𝑥 − log 3 27 = 3 3 𝑏) 𝑥 (log3 𝑥) 3 = 34 Ejercicio 36 Resuelve en  y verifica. 52𝑥 = 150 Ejercicio 35 Resuelve en . a>0 b. Teresita Fuster . a) log 2 512  3x  9 b) log 4 (5x  6)  4 c) log 2  log(11  x )  2 log( 5  x) 2  x L(16  x 2 ) log 5 125 7 d) 2 log x  3  log  e) 2 f) log 5 x    10  L(3x  4) log 5 x 2 𝑔) log1/2 𝑥 > 4 ℎ) log 7 (2 − 𝑥 2 ) ≤ 1 𝑖) log 3 |𝑥 + 1| < 1 j) log 2 (3𝑥 − 2) < 0 k) 𝐿(𝑥 2 − 𝑥) ≥ 0 Prof. b≠1  log 𝑏 𝑏 𝑥 = 𝑥  log 𝑏 (𝑎.
1596 . famoso Discurso del método. Francia. René las figuras se representan mediante Descartes experimentó la famosa «revelación» que lo expresiones algebraicas. a diferencia de los escépticos. rectas y gráficas de diferentes funciones en el llamado “Plano cartesiano”.Estocolmo. mientras que la segunda componente se llama ordenada. Descartes. El matemático francés. hizo época. en honor del filósofo y matemático francés. y a los veintidós años partió trabajo fraguó una conexión entre la geometría hacia los Países Bajos. Las coordenadas de un punto M se escribirán: (xM. Este principio lo halló en la existencia de la propia conciencia que duda. en la que noviembre. sujeto subyacente en condujo a la elaboración de su método. donde sirvió como soldado. presentado como prólogo a tres ensayos científicos. en su famosa formulación «pienso. Estas representaciones se basan en un par de ejes orientados. En 1619 y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. La primera componente del par se denomina abscisa. Éste es un se enroló en las filas del duque de Baviera. donde gozó de un cierto el filósofo y matemático francés René trato de favor en atención a su delicada salud. René Descartes se educó en el colegio siguiente paso importante en esta ciencia lo dio jesuita de La Flèche (1604-1612). Teresita Fuster . que sometiese a juicio todos los conocimientos de la época. cuyo tratado "El Discurso del Obtuvo el título de bachiller y de licenciado en derecho por Método". publicado en 1637. yM) Prof. el 10 de fundamento de la geometría analítica. la suya era una duda orientada a la búsqueda de principios últimos sobre los cuales cimentar sólidamente el saber. perpendiculares entre sí y la correspondencia entre los puntos del plano con pares ordenados de números reales. 1650) Filósofo y de la era griega hasta la edad media. En 1637 apareció su la mayor parte de la geometría moderna. Suecia.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO Geometría Analítica René Descartes La geometría avanzó muy poco desde el final (La Haye. Este la facultad de Poitiers (1616). precisamente. 15 Desde los primeros años de Educación Secundaria se trabaja con representación de puntos. en el curso de tres sueños sucesivos. luego existo». aunque. Descartes proponía una duda metódica.
La ecuación de esta recta es de la forma: x = h. nos basaremos en una propiedad que ya fue vista en Ciclo Básico. todos los puntos de la recta tienen la misma ordenada. todos los puntos de la recta tienen la misma abscisa. el Teorema de Thales. como el caso de la recta s) del gráfico siguiente. uno de los siete sabios de Grecia. Teresita Fuster . La ecuación de esta recta es de la forma: y = k. paralela al eje de las ordenadas (recta t) o puede cortar a los dos ejes. los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. constituyen el punto de partida en el proceso de organización racional de las matemáticas.547 AC) Sobresale especialmente porque sus teoremas geométricos. es también el fundador de la filosofía natural. siendo k un número real cualquiera (k) Recta // eje de las ordenadas 16 En estos casos. por lo que la recta representa una función constante. y busca en el agua el principio y realidad última de todas las cosas. Thales de Mileto (624 AC. siendo h un número real cualquiera (h) Recta secante a los ejes coordenados Para estudiar la ecuación de una recta que corta a los ejes coordenados. Recta // eje de las abscisas En estos casos. en los que aparece el germen del concepto de demostración. una recta puede ser paralela al eje de las abscisas (recta r). Thales. El teorema de Thales dice: Si dos rectas cualesquiera son cortadas por varias rectas paralelas. Prof.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 ECUACIÓN DE LA RECTA Respecto a los ejes coordenados.
Teresita Fuster .0) y por el punto A(xA. Calcula la coordenada faltante para que los siguientes puntos pertenezcan a la recta: A( .y) cualquiera de la recta.-1) C(2. ) C(-1/3.-1) E(-6.2) b) Escribe la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente m=1/2.1). por lo que este cociente se conoce como coeficiente angular de la recta. en los cuales se cumple que AC//MD. si se traza un segmento B’C’ // BC.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 En este caso se usará el Teorema aplicado a un triángulo cualquiera: dado un triángulo ABC. Usaremos los triángulos OAC y OMD. los lados del triángulo AB’C’ son proporcionales a los correspondientes del triángulo ABC Aplicaremos estos conceptos para desarrollar la ecuación general de una recta Caso 1: recta que pasa por el origen de coordenadas: Sea la recta r) que pasa por el origen de coordenadas (0.2) B(-1. 𝐴 Ejercicio 37 a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto A(-3. Indica si cada uno de los siguientes puntos pertenece a esa recta: B(3. se cumple 𝑦 que 𝑡𝑔𝛼 = 𝑥𝐴 . 𝑀𝐷 𝑂𝐷 Por el teorema de Thales: = 𝑂𝐶 𝐴𝐶 También: AC= yA MD=y 17 OC=xA OD=x 𝑦 𝑥 De donde: =𝑥 𝑦𝐴 𝐴 También puede escribirse como: 𝑦𝐴 𝑦= 𝑥 𝑥𝐴 Puede verse fácilmente que si α es el ángulo que la recta forma con el eje de las abscisas.4) D(0. yA). Se trata de establecer las coordenadas de un punto M (x. ) Prof.
los triángulos semejantes son: BCA y BDM. yB). llamada ecuación cartesiana. que incluye todas las posibilidades anteriores: Ecuación cartesiana de la recta:  Si a=0 recta// eje de abscisas ax + by + c = 0  Si b=0 recta // eje de ordenadas  Si a  0 y b  0 recta que corta a los dos ejes Ejercicio 38 Representa los puntos M(-1. En este caso. m  0 Existe otra forma de escribir la ecuación de una recta. C(5.-1) y tiene pendiente m=-2 Prof.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Caso 2: recta que NO pasa por el origen de coordenadas: Hallaremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(x A.2) y B(1. el coeficiente angular de la recta es el cociente 𝑚 = 𝑥𝐴 −𝑥𝐵 En resumen (ecuación explícita de la recta) Ecuación de la recta // eje de abscisas: y=k k 18 Ecuación de la recta // eje de ordenas: x = h h Ecuación de la recta que corta a los ejes: y = mx + n m. Ejercicio 40 Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto D(1. En primer lugar. n. Se trata de encontrar las condiciones que debe cumplir las coordenadas de un punto genérico M(x.11/3) pertenecen a la recta MN.0). por ejemplo por el punto B.5) y D(1.y) para que pertenezca a la recta.3) y N(2.4). Indica si los puntos A(-10. Teresita Fuster . 1/3). Ejercicio 39 Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3. en donde MD//AC y se cumple: 𝑀𝐷 𝐵𝐷 = 𝐴𝐶 𝐵𝐶 Por tanto: 𝑦 − 𝑦𝐵 𝑥 − 𝑥𝐵 = 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 Que también puede escribirse como: 𝒚𝑨 − 𝒚𝑩 𝒚 − 𝒚𝑩 = (𝒙 − 𝒙𝑩 ) 𝒙𝑨 − 𝒙𝑩 ´ 𝑦𝐴 −𝑦𝐵 Ahora. yA) y B(xB. Escribe la ecuación explícita de la recta que pasa por M y N.4). se traza una recta paralela al eje de abscisas que pasa por uno de los puntos que determinan la recta. B(9.
B’ y C’ respectivamente.-3) con la recta s) de la parte anterior. si C es punto medio de AB. se tiene:𝑂𝐶′ 𝑂𝐴′ + ̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐶′ . 0). Ejercicio 42 Investiga si las siguientes rectas tienen. intersección de la recta r) determinada por los puntos C(1. algún punto en común: 𝑎) − 3𝑥 + 2𝑦 = 1 𝑏) 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 𝑐) 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 (0. Se trata de calcular las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A y B. La proyección de esos puntos sobre el eje de abscisas son los puntos A’. Teresita Fuster . al que llamaremos C. yA) y B(xB.1) y tiene pendiente m=-1/2 b) Calcula las coordenadas el punto T. o sea: ̅̅̅̅̅ 𝑂𝐶′ = 𝑥𝐴 + 2 𝑥𝐵+𝑥𝐴 Haciendo cuentas se tiene que: 𝑥𝐶 = 2 𝑦𝐵 +𝑦𝐴 De manera similar. entonces C’ es punto medio de A’B’. 𝑥𝐵−𝑥𝐴 ̅̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐵′ = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 por lo que: ̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐶′ = 2 𝑥𝐵−𝑥𝐴 ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ Como la abscisa de C’ es OC’.0). PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Sean los punto A(xA. yB).3) CONDICIÓN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Rectas paralelas y rectas perpendiculares Sean dos rectas r) y s) cuyas ecuaciones son: r) y = mx + n s) y = m’x + n’ Condición de paralelismo: r // s  m = m’ Condición de perpendicularidad: r  s  m.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 41 a) Escribe la ecuación cartesiana de la recta s) que pasa por el punto P(-3. se tiene que: 𝑦𝐶 = 2 Prof.0)𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑀(1. Por el teorema de Thales ya visto. Determina las coordenadas de un punto cualquiera de la recta r) 19 Ejercicio 44 Dada la recta s) cuya ecuación es 2x + 3y -4 = 0. Las coordenadas de los extremos son: A’(xA.0) y D(-2.m’= -1 Ejercicio 43 Halla la ecuación de la recta r) que pasa por el punto P(1. 0) y B’(xB. dos a dos. halla la ecuación de la recta t) que es perpendicular a s) y que pasa por el punto M(3.4) y es paralela a la recta p) de ecuación y=-3x+2.
B(-2. Ejercicio 46 Sean los puntos D(-3. ¿Qué puedes observar? Prof. c) Encuentra las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo NSU. b) Clasifica el triángulo cuyos vértices son R(1.-2) a) Escribe: i.1). ii. S(1. Calcula área y perímetro de este triángulo.3).2). Ejercicio 48 a) Clasifica (por sus ángulos y por sus lados) el triángulo cuyos vértices son: A(1. c) Calcula las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo ABC. Ejercicio 50 Encuentra la distancia entre el punto A(-2.6) y T(5. ¿Qué puedes observar? Justifica. Teresita Fuster . b) Calcula la medida de los lados del triángulo ABC y clasifica el triángulo ABC. GH y FH. G y H d) Calcula la medida de los segmentos FG. Ejercicio 51 Sean los puntos de coordenadas N(1. NU. B(4. se trabaja con el triángulo ABC. b) Calcula analíticamente el perímetro del triángulo determinado por ellos. Determina las coordenadas del punto E. SU.2) y S(-3. yB). siendo AC// eje de ordenadas y BC// eje de abscisas.-1) a) Representa estos puntos utilizando el mismo par de ejes coordenados.0) y U(-2. La ecuación de la recta AB.2). S(4.5) escribe la ecuación de la mediatriz del segmento PS.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Para hallar la distancia entre los puntos A(xA. Por lo tanto se trata de un triángulo rectángulo en el cual se puede aplicar el teorema de Pitágoras: AC2 + CB2 = AB2 Distancia entre dos puntos: 𝐴𝐵2 = (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 )2 Ejercicio 45 Dados los puntos A(-3.1).3) y la recta t) x+3y-3=0. yA) y B(xB.2) y C(1. Ejercicio 49 Halla la ecuación de la recta r) sabiendo que es perpendicular a la recta s) de ecuación y=-2x+4 y que pasa por el punto M(-2.0). e) Determina las ecuaciones de las rectas NS.-1) según sus lados.-5) y M(1. GH y FH. sabiendo que M es punto medio del segmento DE. La ecuación de la recta //AC y que pasa por B. llamados respectivamente F.3) y C(-4. FG.3). 20 Ejercicio 47 Dados los puntos P(1.
b) Encuentra la región del plano que cumple simultáneamente: 𝑦 > −2𝑥 + 3 𝑦 > −2𝑥 + 3 { { 𝑦 < 4𝑥 − 6 4𝑥 + 2𝑦 + 5 ≤ 0 c) Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 𝑦 ≥ −2𝑥 + 3 { 𝑦 > 4𝑥 − 6 4𝑥 + 2𝑦 + 5 ≥ 0 Ejercicio 54 Encuentra las ecuaciones de los semiplanos cuya intersección es el triángulo ABC del Ejercicio 5. r) y t). Interpreta los resultados. Teresita Fuster .Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 ECUACIÓN DEL SEMIPLANO Una vez conocida la ecuación de la recta. está en una región y sólo una.5)r)? Cada semiplano de borde r) y= mx + n. Ejercicio 53 Dadas las rectas: r) y=-2x+3 s) y=4x-6 t) 4x+2y+5=0 a) Encuentra las coordenadas de los puntos que tienen en común r) y s) . se le llama “semiplano de borde r” Ejemplo: Sea la recta r) cuya ecuación es: y= 3x+2 ¿A(0. A cada una de esas regiones en unión con los puntos de la recta.11)r)? ¿M(2. 21 Ejercicio 52 Encuentra la ecuación del semiplano de borde en la recta r) y=4x+2 y al que pertenece el punto (-3. Prof. queda definido por todos los puntos del plano que responden a una de las desigualdades: y ≥ mx + n o y ≤ mx + n. s) y t) .1).2)r)? ¿B(3. plantearemos la ecuación del semiplano Axioma de división del plano: Toda recta r) de un plano lo divide en dos regiones tales que cualquier punto del plano que no pertenece a la recta.
500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta. que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles. la estrategia militar. la economía. Solución factible: el conjunto intersección.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Los precios de cada paquete serán $65 y $70. Muchas personas clasifican el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. 22 determina un recinto. El precio del pantalón se fija en $500 y el de la chaqueta en $400. que llamaremos restricciones. empaquetándolo de dos formas distintas. sobre todo. Ejercicio 55 Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. que es una función lineal de varias variables. Restricciones: la función objetivo está sujeta a una serie de restricciones. Solución óptima: el conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). el objetivo es la maximación o minimización de alguna cantidad. Teresita Fuster . se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones. 1 carpeta y 2 bolígrafos. respectivamente. grandes matemáticos como Newton. su aplicación a otros sectores de la sociedad se está ampliando con rapidez. incluyendo empresas medianas en los distintos países industrializados del mundo. Resolveremos algunos problemas de Programación Lineal en los que intervienen conceptos vistos hasta ahora. ¿Cuántos paquetes de cada tipo les conviene armar para obtener el máximo beneficio? Prof.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Programación Lineal En los siglos XVII y XVIII. Leibnitz. en el segundo. En todos los problemas de Programación Lineal. Para cada chaqueta se necesitan 1. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de pesos a muchas compañías o negocios. Lagrange. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? Ejercicio 56 Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. etc. de todos los semiplanos formados por las restricciones. Bernouilli y. su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria. Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima. Función objetivo: en esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo. en el primer bloque pondrá 2 cuadernolas. La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones. 1 carpeta y 1 bolígrafo. expresadas por inecuaciones lineales. pondrán 3 cuadernolas. (o una estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. acotado o no. Una proporción muy grande de los cálculos científicos en computadoras está dedicada al uso de la programación lineal. que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal. Un supermercado quiere ofrecer 600 cuadernolas.
3) y radio 4. yA) y radio r.-3) y que pasa por el punto T(1. ¿Cuántos camiones de cada tipo deberán utilizarse para que el costo total sea mínimo? ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Definición de circunferencia: Dado un punto A y un segmento r.4).Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 57 Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones: los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3 y los del tipo B.𝑟  MA = r 23 Utilizando la definición de distancia entre dos puntos ya vista: MA2 = (x-xA)2 + (y-yA)2 La ecuación de la cfa de centro A y radio r es: (x-xA)2 + (y-yA)2 = r2 Ejercicio 58 Escribe la ecuación de la circunferencia de centro en el punto A(-2. al 50% de refrigerado y no refrigerado. M ∁𝐴.-1) Ejercicio 61 Escribe la circunferencia que tiene como centro el punto B(-1.4) y que pasa por el punto T(-2. siendo M(4. La contratan para el transporte de 3000 m 3 de producto que necesita refrigeración y 4000 m3 de otro que no la necesita.𝑟 Sea la cfa de centro A(xA. Un punto cualquiera M (x. Prof.2) Ejercicio 60 Escribe la ecuación de la circunferencia de diámetro MP. Teresita Fuster . El costo por kilómetro de un camión del tipo A es de U$S30 y el de un camión tipo B es de U$S40. con igual cubicaje total. Se anota ∁𝐴.y) pertenece a la cfa si se cumple que la distancia entre M y A es igual a r. al conjunto de los puntos del plano cuya distancia al punto A es igual a la medida del segmento r. se llama circunferencia de centro A y radio r. Ejercicio 59 Escribe la ecuación de la circunferencia de centro en A(1.3) y P(2. Escribe la ecuación de la tangente a la circunferencia por el punto T.
Q(5. sabiendo que ABCD es un paralelogramo.2) y radio 5.4).2) y C(0. Ejercicio 64 Calcula las coordenadas del punto D. Teresita Fuster . sabiendo que pertenecen a la circunferencia anterior: A(1.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 62 a) Escribe la ecuación de la circunferencia de centro A(2. b) Completa las coordenadas de los siguientes puntos. encuentra las coordenadas del centro y la medida del radio. ¿Cuántos posibles puntos M encuentras? 24 Ejercicio 66 Encuentra gráficamente la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 ≤ 25 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑦 > 3 { 𝑥<2 { 𝑦>0 𝑦 ≥ 3𝑥 2𝑥 − 𝑦 + 2 ≤ 0 Prof.1).1). siendo: A(1. b) Indica si los puntos P(2. P(2. c) Escribe la ecuación del círculo que define la circunferencia dada. Ejercicio 63 a) Dada la circunferencia de ecuación: x2 + y2 -4x -2y = 0. c) Investiga si las rectas: r) y = -2x + 5 s) 2x + y -9 = 0 t) y = 2x + 3 tienen algún punto en común con la circunferencia hallada.3) pertenecen a la circunferencia.0). 0). En caso afirmativo. B(-3. d) Interpreta gráficamente los resultados obtenidos.1). W(0. yA) B(xB. sabiendo que el triángulo MPT es rectángulo en M.3) y U(1. escribe las coordenadas de esos puntos. Ejercicio 65 Calcula las coordenadas del punto M. T(-4.-3) y M pertenece a la recta r) –x+4y=8.
los puntos del plano se corresponden con una terna ordenada de números reales (definidos a través de tres ejes perpendiculares dos a dos) Un punto en el espacio se presenta de la forma: P(xP. Usa el método de la escalera para resolver los sistemas.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO De la misma manera que en el plano cada punto se corresponde con par ordenado de números reales (definido a través de dos ejes perpendiculares). e interpreta los resultados: 3𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 = 2 −5𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 5 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −1 { { { 2𝑥 − 4𝑦 + 4𝑥 = −1 10𝑥 − 8𝑦 + 4𝑧 = −5 −3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 3 Ejercicio 68 Al igual que en el ejercicio anterior. yP. Teresita Fuster . zP) Un plano en el espacio se representa mediante la ecuación: ax +by +cz=d Ejercicio 67 Encuentra analíticamente la intersección de los siguientes planos. cuyas ecuaciones se dan. encuentra la intersección de los tres planos dados por sus ecuaciones e interpreta el resultado. 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 1 4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0 7𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 3 { 𝑥+𝑦+𝑧 =1 { 5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3 { 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1 3𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 = −11 8𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = −2 −5𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 1 25 Prof.
a cada una de las configuraciones de p elementos distintos. . Resolveremos algunos problemas: Ejercicio 69 Ana está comenzando a armar su nueva biblioteca. elementos distintos. ¿De cuántas maneras distintas puede seleccionar sus juguetes? ¿Y si le permiten llevar 4? En cada uno de los problemas anteriores se utilizó un concepto diferente de los que componen la 26 llamada Teoría Combinatoria: permutaciones. ¿cuántas banderas de 1 color pueden armar? ¿Y con dos franjas? ¿Con 3? Ejercicio 71 Andresito y sus padres están por salir de vacaciones. Quiere llevar 6 de sus juguetes preferidos. Permutaciones Arreglos Se llama Permutaciones de orden n.2. Le piden a la madre de uno de ellos que les regale unos recortes de telas de colores. (𝑛 − 1). Si tiene 4 colores distintos y quieren que la bandera sea a franjas horizontales. tomados entre los n posibles. estudiaremos técnicas de conteo que serán útiles a la hora de trabajar con algunos problemas de cálculos de probabilidades.1 𝑛! 𝐴𝑛𝑝 = 𝑛. y tales que dos de ellas difieran en el orden tales que dos de ellas difieran en al menos un de colocación de los elementos. 𝑃𝑛 = 𝑛! = 𝑛. Teresita Fuster .Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 TEMA: PROBABILIDAD CONTEO Y TEORÍA COMBINATORIA En primer lugar. a Se llaman Arreglos de m elementos tomados de a cada una de las configuraciones que se p. ¿de cuántas maneras los puede colocar en un estante? ¿Y con 4 libros? ¿Con 5? Ejercicio 70 Un grupo de chicos está formando un club y quieren tener una bandera. pero sus padres le dicen que solamente tiene lugar para 3. y tales que dos de ellas difieran en al menos un elemento. tomados entre los n posibles. (𝑛 − 1) … (𝑛 − 𝑝 + 1) = (𝑛 − 𝑝)! Combinaciones Se llaman Combinaciones de m elementos tomados de a p. arreglos y combinaciones. 𝐴𝑛𝑝 𝑛! 𝐶𝑝𝑛 = = 𝑃𝑛 (𝑛 − 𝑝)! 𝑝! Prof. elemento o en el orden de los mismos. Si tiene 3 libros. a cada una de las configuraciones de p pueden formar con n elementos distintos.
¿Puedo darle una tarjeta distinta a cada habitante del Uruguay? Nota: según el Censo de Población 2011. Si quiere jugar con el sistema “4 – 4 – 2”. ¿cuántas opciones de grupos hay? ¿Y si se pretende que el grupo esté formado por 2 chicas y dos varones? Ejercicio 76 En una carrera de caballos. Si ocupan una mesa redonda. Teresita Fuster . La primera letra identifica el departamento. si para cada sabor me dan la misma cantidad? b) Si siempre pido vainilla y otros dos sabores cualesquiera. ¿de cuántas maneras distintas puedo pedirlo? Prof. un grupo de 15 amigos se reúnen a cenar. ¿Para cuántos vehículos por departamento sirve este sistema de matriculación? Ejercicio 75 Se pretende formar un grupo de alumnos que oficien como delegados de una clase de 25 alumnos de los cuales 3/5 son chicas. ¿cuántos boletos distintos se pueden jugar? Ejercicio 77 Para un campeonato de vóley. un técnico dispone de 15 jugadores. ¿de cuántas maneras distintas puedo pedir el helado? c) Si solo pido sabores frutales. 6 defensas.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 72 Si tengo los números 0 al 9 en tarjetas de manera que cada tarjeta los tenga en distinto orden. Si el grupo delegado estará conformado por 4 personas. la cantidad de personas que eran residentes en el país era de 3. ¿cuántos equipos posibles puede armar? ¿Y si quiere jugar con el sistema “4 – 3 – 3”? Ejercicio 79 En una heladería tienen 7 gustos de helados de crema y 9 gustos de helados frutales. Ejercicio 73 Para festejar los 10 años de su egreso de Secundaria. Si en una cierta carrera se presentan 12 caballos. 8 mediocampistas y 8 delanteros. Si voy a comprar un cucurucho de 3 sabores. a) ¿de cuántas maneras distintas puedo pedir el helado. ¿Cuántos equipos puede formar? 27 Ejercicio 78 Un técnico de fútbol dispone para armar el equipo de los siguientes jugadores: 3 goleros. por ejemplo. ¿de cuántas maneras distintas pueden sentarse? Ejercicio 74 Las matrículas de automóviles de nuestro país tienen 3 letras y 4 números. se paga premio si se acierta a los tres primeros lugares y en el orden que llegan. la de Montevideo es la S.286.314.
denominada Probabilidad Frecuentista Definición probabilidad frecuentista Si se quiere conocer la probabilidad de un suceso A en un experimento aleatorio. veremos algunas definiciones importantes Experimento aleatorio Se denomina experimento aleatorio () a una prueba o experimento con las siguientes características:  Se puede repetir.  Se conocen de antemano todos los resultados posibles del experimento.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 PROBABILIDAD Para comenzar el tema. establecen propiedades y procuran demostraciones para las mismas. Pierre Simon de Laplace. Espacio de resultados Suceso aleatorio Es el conjunto de los resultados posibles del Se denomina suceso o evento en un experimento aleatorio y se simboliza con la experimento aleatorio a cualquier letra omega mayúscula (). da una definición para probabilidad. e) A partir del siglo XVII los matemáticos (Blaise Pascalsubconjunto y Pierre dedel espacio Fermat de otros) entre resultados. Unos años después. conocida actualmente como definición clásica: Definición clásica 28 Si un experimento aleatorio da origen a n sucesos simples igualmente posibles y m de ellos son favorables al suceso A. Teresita Fuster . siempre en las mismas condiciones. alcanza con repetir el experimento un número suficientemente grande de veces. tantas veces como se quiera. Prof. básicamente relacionados con juegos de azar. Si el experimento se repite n veces. comienzan a estudiar con criterio científico algunos problemas. porque el resultado final depende de factores desconocidos. impredecibles o simplemente del azar. y el suceso A ocurre en m de ellos. para lo cual formulan definiciones. y contabilizar el número de veces en que ocurrió el suceso A. entonces se puede obtener una aproximación de P(A) calculando m/n. entonces P(A) = m/n Otra definición de probabilidad fue dada por el matemático Ludwing Von Mises.  Se desconoce de antemano cuál de los resultados posibles habrá de ocurrir al realizar el experimento.
Definición axiomática de Probabilidad Se denomina probabilidad a una función P que tiene por dominio el conjunto de los posibles sucesos de un espacio de resultados  y como codominio el intervalo real [o. entonces: P(A)  P(B). 2. entonces: P(A) ≥ 0 Axioma 2: P() = 1 Axioma 3: si A1. quién lo había planteado inicialmente (siglo XVIII).Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 A comienzos del siglo XX. entonces: P(Ac)= 1 – P(A) 4. Si A es un suceso imposible. Se cumple que: Prof. … An una partición del espacio de resultados y B otro suceso. entonces: 𝑃(⋃𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ) A partir de los axiomas se pueden demostrar algunas propiedades importantes: 1. el matemático ruso Andrei Kolmogorov planteó la definición actual de la probabilidad como función. A y B son independientes  P(A|B) = P(A) Probabilidad conjunta Es la probabilidad de que dos o más sucesos ocurran simultáneamente. entonces: P(A) = 0. 29 Probabilidad condicional Se define probabilidad condicional de un suceso A dado otro suceso B (notación: P(A|B)) como la probabilidad de que ocurra el suceso A sabiendo que ocurrió el suceso B (por lo que P(B)0) 𝑃(𝐴 ⋂ 𝐵) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵) Sucesos independientes Se dice que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro. Teresita Fuster . basándose en la teoría axiomática que caracteriza a las distintas ramas de la Matemática. A3. para todo par de sucesos A y B se cumple: P(A B) = P(A) +P(B) – P(AB). Sea A1. Si Ac es el complemento de A en . …. Si A  B. 3. En general. 1] y que cumple los siguientes axiomas: Axioma 1: si A es un suceso. (Propiedad 4) Teorema de Bayes Aunque lo perfeccionó Laplace. A2. A2. lleva el nombre del reverendo Thomas Bayes. An son sucesos incompatibles.
Prof.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐵|𝐴1 ) 𝑃(𝐴1 |𝐵) = ∑𝑛 𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 )𝑃(𝐵|𝐴𝑖 ) Por ejemplo. Ejercicio 80 En una carrera de obstáculos están representados los 10 países de América del Sur. habiendo jugado un solo boleto. calcula la probabilidad de que el corredor uruguayo esté en el podio. la probabilidad de que se dé el suceso A 3 sabiendo que el suceso B se dio es igual a la razón entre la probabilidad condicional de B dado A 3 y la suma de las probabilidades conjuntas de B dado cada uno de los sucesos Ai. Teresita Fuster . Calcula la probabilidad de que. Ejercicio 81 Calcula la probabilidad de que una persona saque el premio mayor del 5 de oro. Ejercicio 82 30 Calcula la probabilidad de que al sacar una ficha de dominó al azar: a) Sea una ficha “doble” b) Al menos uno de sus lados sea un 1 c) La suma de sus lados sea 5 d) El producto de sus lados sea par Ejercicio 83 Calcula la probabilidad de que al tirar dos dados. cada uno por un corredor. la suma de los lados sea mayor que 6. todos tienen iguales facultades. al extraer una de ellas al azar: a) Sea un 4 b) Sea un número par c) Sea menor que 7 Ejercicio 85 Calcula la probabilidad de que al menos dos personas de la clase cumplan años el mismo día. Si en principio. A continuación se presentan una serie de ejercicios que se resuelven aplicando los conceptos vistos. Ejercicio 84 En una urna se colocan 20 bolillas numeradas del 1 al 20.
95% de un sistema de reciente desarrollo duraba 3 años. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tanto el señor como la señora López vivan dentro de 10 años? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el Sr. López? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos esté vivo dentro de 10 años? Ejercicio 91 Un profesor de Matemática tiene 4 grupos a su cargo. mientras que la probabilidad de que una mujer jubilada viva otros 10 años es de 0. Teresita Fuster . La máquina fue recientemente llenada con 50 bolas dulces negras.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 86 ¿Cuál de los siguientes sucesos tiene mayor probabilidad: sacar al menos un 6 tirando el dado 4 veces o sacar al menos una vez 12 tirando dos dados 24 veces? (Problema plantado por el caballero de Le Mérè. a) Si se devuelve a la baraja completa.60. 150 blancas. López no se encuentre vivo dentro de 10 años y sí lo esté la Sra. ¿cuál es la probabilidad de que se seleccione un rey en la segunda toma? c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un rey en la primera toma y otro en la segunda toma (considerando que el rey no se repuso)? Ejercicio 88 Un fabricante de semáforos determinó que bajo pruebas aceleradas de duración. Pablo se acercó después y dijo que no quiere un dulce rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que logren su deseo? b) Los dos niños consiguieron bolitas rojas. ¿cuál es la probabilidad de que se seleccione a un rey en la segunda toma? b) Si no se repone la carta del rey. López están ambos jubilados. 31 a) Andrea y Manuel se acercan a la máquina primero. cada uno con una moneda de igual valor para gastar. Ambos dicen que quieren dulces rojos. Si una ciudad adquirió 4 de estos sistemas. Se supone que la probabilidad de que un hombre jubilado viva otros 10 años es de 0. y la Sra. antes de empezar a fallar en el cambio adecuado de las señales. ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda? Ejercicio 90 El Sr. ¿cuál es la probabilidad de que los 4 operen correctamente por lo menos 3 años? Ejercicio 89 Tres niños se acercan a una máquina expendedora de dulces. uno de los que dio origen al estudio sistemático de la teoría de la Probabilidad) Ejercicio 87 La primera carta seleccionada de una baraja americana de 52 naipes fue un rey. 100 rojas y 100 amarillas. Los resultados obtenidos en la última prueba se presentan en la siguiente tabla: Prof.70.
Se va a seleccionar al azar un pequeño comité de 4 personas para que revisen las propuestas para las próximas elecciones.50. Teresita Fuster . Si se selecciona una persona al azar. sea hombre con libreta de conducir? iii. sin haber estudiado y sólo adivinando las respuestas? Ejercicio 95 Un estudiante está cursando solamente Literatura y Matemática.8 y p(A)= 0. La probabilidad de que apruebe Literatura es 0. i. pertenezca al grupo 4. sea mujer o que no tenga libreta de conducir? iv.5 Hallar: i) p(B) . ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté integrado por 4 hombres? iii. Ejercicio 96 La comisión de un club de barrio está integrada por 8 hombres y 4 mujeres.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Nº alumnos Nº pruebas Grupo en el grupo aceptables 1 30 18 2 28 15 3 32 16 4 25 15 a) Calcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar. b) Calcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté integrado por las 4 mujeres? ii. haya obtenido calificación aceptable en la prueba. y 15 hombres no tienen libreta de conducir. iii) p(A|B) Ejercicio 94 Una prueba contiene 5 preguntas de opción múltiple. sea mujer? ii. ¿cuál es la probabilidad de qué i. calcula la probabilidad de que apruebe al menos una de ellas.60 y la que apruebe Matemática es 0. tenga libreta de conducir sabiendo que es hombre? 32 Ejercicio 93 Si A y B son sucesos independientes que cumplen p(AB) = 0. c) Calcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar pertenezca al grupo 2. Sólo una de ellas es correcta. sabiendo que la calificación de su prueba fue aceptable. ii) p(AB) . ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté integrado por 2 mujeres y 2 hombres? Prof. Ejercicio 92 De un grupo de 50 mujeres y 60 hombres se sabe que 38 mujeres tienen libreta de conducir.70. sea mujer sabiendo que no tiene libreta de conducir? v. Cada pregunta tiene 4 respuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante conteste todas las preguntas bien. Si la probabilidad de que apruebe las dos materias es 0.
y que la eventualidad de que un paciente padezca a la vez dos de estas enfermedades es descartable  Que la probabilidad de que un enfermo de Ei presente los mencionados síntomas es pi. respectivamente .4 y p3=1. entonces. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador padezca la mencionada enfermedad cardíaca? Ejercicio 101 Un médico es consultado por un paciente y encuentra que éste presenta ciertos síntomas. la probabilidad de que fume es de 0. la célula puede reproducirse (dividiéndose en 2) con probabilidad ¾. un centro comercial capitalino informó que el 30% de las ventas se realizaron en efectivo. con probabilidad 1/4. El conocimiento general de medicina que posee el facultativo le permite saber:  Que estos síntomas sólo aparecen eventualmente en pacientes que hayan contraído alguna de las enfermedades E1.05% de probabilidad. el test lo detecta con un 99% de probabilidad. 30% con tarjeta de débito y 40% a crédito. en el tiempo t=2. ¿Cuántas células es posible que haya en el momento t=2? ¿Con qué probabilidad? Ejercicio 99 Una prueba para determinar contaminación en el agua presenta resultados falso-positivos con un 0. siendo: p1=0. Teresita Fuster . Si la célula se divide. Si se realiza nuevamente el test y éste indica que hay contaminación.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 97 Durante las fiestas de fin de año. p2=0.5% y 0. 0. 1%.1%.1. la probabilidad de que fume es de 0. E2 o E3  Que la incidencia de esas enfermedades en la población formada por los pacientes que concurren a la clínica es de. con las mismas probabilidades. Ejercicio 100 De un estudio clínico se han concluido los siguientes resultados: la probabilidad de que una persona 33 extraída al azar de la población tenga cierta enfermedad cardíaca es de 0.4. La probabilidad de que el agua esté libre de contaminación es de 0. cada uno de sus dos descendientes puede también reproducirse o morir. dado que no la padece. ¿en cuánto estima el médico la probabilidad de que el paciente en observación tenga la enfermedad E1? Prof. calcula la probabilidad de que el agua no esté contaminada. Además se verificó que el 20% de las compras en efectivo. 70% de las de tarjeta de débito y 60% de las compras a crédito fueron por valores mayores a $ 800. Si el agua está contaminada. independientemente uno del otro. Calcula la probabilidad de que haya pagado en efectivo. Ejercicio 98 Se considera una célula en el momento t=0.98. Con esta información. Juan gastó en sus compras $1500.002. y. En el instante t=1. o puede morir. dado que padece esa enfermedad.7.
en consecuencia. son números naturales y pueden ser de recorrido finito o infinito) o continuas (son números reales). La función que le asigna a cada valor de la variable una probabilidad. Para solucionar este problema suele asignarse una función del conjunto de los sucesos en el conjunto de los números (reales en general) y a estos números asignarle una probabilidad.1] de los números reales. la variable aleatoria “fracaso” y “éxito” respectivamente. Teresita Fuster . Dependiendo del conjunto numérico considerado. las variables aleatorias pueden ser discretas (en general. Son necesarios dos datos: el total de probabilidad de éxito.25 0.3 0. Para poder aplicar el cálculo matemático es conveniente que el dominio pertenezca también a un conjunto numérico.25. también lo son los sucesos definidos a partir de ellos. y se requiere el que son considerados tradicionalmente como número de “éxitos”. teniendo cada una valores (en general representados por 0 y 1) y de ellas distribución Bernoulli. Con estos datos puede calcularse la probabilidad de que un alumno que conteste al azar tenga determinado número de respuestas correctas.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Los elementos del espacio muestral son elementos abstractos y.1 0.2 0. Estas probabilidades se muestran en el siguiente gráfico: 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Prof. Un ejemplo de variable con distribución binomial. Se asociada al experimento tiene una distribución 34 caracteriza a estas variables por la binomial. la probabilidad de “acierto” es de 0. pruebas y la probabilidad de éxito en cada una de ellas. se llama función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria. de las cuales solo una es la correcta. Si un alumno no estudió y contesta al azar. es el caso siguiente: En una prueba de 10 ítems. A estas funciones se les llama variables aleatorias. cada uno tiene 4 opciones como respuesta. La probabilidad es una función cuyo dominio es el conjunto de los sucesos y cuyo codominio es el intervalo [0.15 0. Variables aleatorias discretas Distribución de Bernoulli Distribución binomial Una variable aleatoria tiene distribución de Si un experimento consta de varias pruebas Bernoulli1 si puede tomar únicamente dos independientes repetidas.
Calculemos la suma y el producto de dos números de C0.b)+(c. la adición y la multiplicación cumplan las siguientes propiedades: a) Igualdad: (a.b)=(c.b). -b) Son de la forma (a.(c.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 TEMA: NÚMEROS COMPLEJOS Para comenzar el tema. En esta unidad. Teresita Fuster . b+d) c) Producto: (a.b) puede expresarse en la forma (a. Definición: Se llama número complejo a un par de números reales (a. ad + bc) Al número a se le llama componente real y al número b se le denomina componente imaginario. ¿Qué concusión se puede extraer? Segundo caso: La unidad imaginaria Resuelve la siguiente operación: (0. 35 Casos particulares Primer caso: Los números complejos pueden considerarse como una extensión de los números reales.1)2 En general. asociativa y distributiva (igual que entre números reales).1) se representa con la letra i.d)  a=c y b=d b) Suma: (a.b) y (-a. enteros.b) tales que la igualdad. b) y (a. resolveremos las siguientes ecuaciones: 𝑎) 𝑥 2 − 1 = 0 𝑏) 𝑥 2 + 1 = 0 ¿Qué diferencias encuentras entre una y otra? Hasta ahora conocemos varios conjuntos numéricos: naturales. haremos una breve introducción a los números complejos. Sea C0 el subconjunto de los número complejos de la forma (a. Las operaciones suma y producto con números complejos cumplen las propiedades: conmutativa. el número complejo (0. racionales y reales.b) = a + b i Números complejos opuestos Complejos conjugados: Son de la forma (a.d) = (a+c.0). Otra notación: Todo número complejo (a.d) = (ac – bd . -b) Prof.
5) .b). (0. Teresita Fuster .b) al origen se le llama módulo o valor absoluto del número complejo. Representa gráficamente los números complejos: (-3. que representa la distancia de (a. puede representarse geométricamente mediante puntos del plano o también por un vector de origen en el punto (0. Representa gráficamente el conjugado y el opuesto de cada uno de ellos. (3. Calcula el módulo (o valor absoluto) de cada uno de los complejos dados y el argumento correspondiente.0) ii. iii. Ejercicio 105 i.0) y extremo en el punto de coordenadas (a. Según lo visto al comienzo del año: |𝑎 + 𝑏𝑖| = √𝑎2 + 𝑏 2 El ángulo  que forma el vector con el semieje positivo de abscisas es un argumento de a+bi. El eje de abscisas es el eje real.b) es un par ordenado de números reales. ESPERAMOS QUE HAYA SIDO FRUCTÍFERO PARA TODOS Prof. (1. 36 El número real r. mientras que el eje de ordenadas es el eje imaginario. Ejercicio 103 3+2𝑖 Resuelve: −1+4𝑖 Ejercicio 104 Expresar los números complejos siguientes de la forma a + bi 1 1+𝑖 𝑎) (1 + 𝑖)2 𝑏) 𝑐) 𝑑) 𝑖 5 + 𝑖16 𝑒) 1 + 𝑖 + 𝑖 2 + 𝑖 3 𝑖 1−2𝑖 Interpretación geométrica: Puesto que el número complejo (a. 360) Ejercicio 106 Resuelve en el campo de los números complejos. bajo el supuesto que el ángulo pertenece al intervalo [0.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 Ejercicio 102 Halla la suma y el producto de dos complejos conjugados y de dos complejos opuestos. las siguientes ecuaciones: 𝑎) 𝑥 2 + 4 = 0 𝑏) 𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0 𝑐) 𝑥 2 − 3𝑥 + 8 = 0 HASTA ACÁ HEMOS COMPARTIDO UN LARGO AÑO DE TRABAJO. 2) .4) .
Según el criterio de gradualidad en la exigencia académica. y 8 o superior para asignaturas específicas de 3° año. Artículo 50 A los efectos de la evaluación final de un curso de Bachillerato no se tendrán en cuenta las asignaturas pendientes de cursos anteriores. Artículo 29 En 2º y 3º de Bachillerato. Las calificaciones de las Evaluaciones Especiales se integrarán a la evaluación del proceso. Prof. la Dirección del Liceo podrá justificar las inasistencias originadas en problemas de salud. El estudiante que supere el límite de inasistencias establecido en los Artículos 28 y 51 deberá rendir los exámenes en carácter libre. En este caso. C. se determinarán las siguientes categorías: ASIGNATURAS de 1º de BACHILLERATO y ASIGNATURAS de NÚCLEO COMÚN DE 2º y 3º A. Artículo 48 La actuación del estudiante durante el curso se calificará según la escala de 1 a 12.Calificación final 5. 4 y 5 denotan diversos grados de insuficiencia.Calificación final 6 o superior. la calificación 5 marcará la suficiencia mínima para la aprobación. sumando a las no justificadas el cincuenta por ciento de las justificadas. los valores mínimos de la promoción serán: 37 6 o superior para 1er. año y para asignaturas del Núcleo Común de 2° y 3° 7 o superior para asignaturas específicas de 2° año. Teresita Fuster . Con el fin de aprobar los cursos se computará el total de faltas fictas. promoción B.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 APENDICE 1 ARTÍCULOS DEL REGLAMENTO DE EVALUACIÓN Y PASAJE DE GRADO PARA EL BACHILLERATO REFERIDOS A LA PROMOCIÓN Artículo 28 … En todos los casos de inscripción por asignatura. en los tres cursos de Bachillerato.Calificación final 1 o 2. en un plazo prudencial que no exceda una semana. el cómputo de una falta en esa asignatura. No serán aprobados los exámenes que consten de dos pruebas cuando una de ellas tenga calificación 1 o 2. desechándose las fracciones que resulten de la operación. Para las instancias de exámenes.Calificación final 3 o 4. 3. Asimismo podrá justificar aquellas que se originen en situaciones graves o excepcionales debidamente probadas. para lograr la promoción no se podrá superar 1/6 de las inasistencias fictas. Artículo 49 La calificación final en cada asignatura será el resultado de todo el proceso de aprendizaje desarrollado por el estudiante durante el curso. D. Al finalizar los cursos y evaluada la actuación de los alumnos en cada asignatura. la inasistencia a una hora de clase determinará únicamente. Artículo 30 Previa presentación del correspondiente justificativo. Esa fracción se determinará en base al total de clases teóricas y prácticas que debieron dictarse en cada asignatura. perderá la categoría que le hubiere correspondido. en la cual los niveles 1. 2.
B. Artículo 51 En 1º de Bachillerato serán promovidos en el curso en la Tercera Reunión de Profesores los estudiantes que se encuentran en alguna de las siguientes situaciones: a) Tener calificación final de aprobación en todas las asignaturas del año que se evalúa. La reglamentación se mantiene hasta el fin del año lectivo siguiente .Calificación final 6.calificación final de aprobación. Teresita Fuster . C. La categoría B habilita a examen de una prueba complementaria a partir del período noviembre-diciembre. (Promoción total sin tener en cuenta el número de inasistencias) b) Tener categoría B. Posteriormente el examen pasará a carácter libre. De superar este número de inasistencias. D. La categoría C habilita a examen de dos pruebas a partir del período noviembre diciembre.Calificación final 3. La categoría A habilita a la promoción.Calificación final 1 o 2. en las que el estudiante deberá rendir los exámenes correspondientes en las categorías obtenidas y si sus inasistencias no exceden las 25 fictas. 38 En 2º y 3º serán promovidos en cada asignatura en la Segunda Reunión de Profesores los estudiantes cuyas inasistencias fictas no superen 1/6 de las clases teóricas ni de las clases prácticas y hayan obtenido Categoría A .si rendirá las asignaturas insuficientes en carácter reglamentado en la categoría lograda o en carácter libre.período febrero (Circular 2845). Prof. la Asamblea de Profesores decidirá – de acuerdo a las causales de dichas inasistencias.Calificación final de promoción: 7 o superior. (Artículo 58). (Promoción parcial). La categoría D habilita a examen de dos pruebas a partir del período de febrero.Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 ASIGNATURAS ESPECÍFICAS de 2º de BACHILLERATO A. 4 y 5. C y/o D en hasta 3 de las asignaturas del curso.
Teresita Fuster .Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 APENDICE 2 CONTROL DE ACTIVIDADES Te propongo que completes estos cuadros a lo largo del año. de manera de tener un control sobre actividades domiciliarias y trabajos escritos realizados. TAREAS DOMICILIARIAS FECHA EJERCICIOS O TAREA ENTREGADO RESULTADO ENTREGA (SÍ/NO) 39 Prof.
Teresita Fuster .Matemática Núcleo Común 2° BD Orientación Biológico Liceo N° 2 Héctor Miranda 2014 TRABAJOS ESCRITOS FECHA TEMA NOTA 40 PRUEBAS ESPECIALES DE EVALUACIÓN FECHA TEMA NOTA Prof.
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References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 Artículo 50
 Artículo 29
 Artículo 48
 Artículo 28
 Artículo 49
 Artículo 30
 Artículo 51