Source: https://scielo.conicyt.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-07642005000300011&lng=es&nrm=iso&tlng=es
Timestamp: 2018-02-24 07:02:22+00:00

Document:
Diseño de Filtros FIR de Retraso Fraccionario Mediante Optimización en Frecuencia
http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642005000300011
Información Tecnológica-Vol. 16 N°3-2005, págs.: 81-88
Fractional Delay FIR Filter Design using Frequency-Based Optimization
J. Díaz-Carmona(1)* y G. Jovanovic-Dolecek(2)
(1) Instituto Tecnológico de Celaya, Departamento de Ingeniería Electrónica, Av. Tecnológico s/n, 38010 Celaya,
Guanajuato-México (e-mail: jdiaz@itc.mx).
(2) Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica, Departamento de Electrónica, Apdo. Postal 51 y 216, 72000 Puebla,
Puebla-México (e-mail: gordana@inaoep.mx).
En este artículo se describe el diseño en el dominio de la frecuencia de filtros digitales FIR de retraso fraccionario (Fractional Delay Filter, FDF) con características de ancho de banda amplio y una resolución fina de retraso. El método de diseño en frecuencia utilizado está basado en optimización con mínimos cuadrados en la aproximación de series de Taylor de la señal de entrada. La propuesta consiste en reducir la complejidad de la optimización en frecuencia al momento de diseñar el FDF. Lo anterior se logra con la combinación de una estructura multirazón (multirate) y una estructura Farrow modificada. El filtro resultante presenta como ventajas un número reducido de operaciones por muestra de salida y una reducción notable en la carga computacional de diseño.
A frequency domain design method for fractional delay FIR filters (Fractional Delay Filter, FDF) with wide bandwidth and fine delay resolution is described. The frequency domain method is based on a least square Taylor series approximation of the input signal. The proposed design method consists of reducing the complexity of the frequency optimization workload in the design of the FDF. This is obtained by the combination of a multirate structure and a modified Farrow structure. The resulting filter has a reduced number of arithmetic operations per output sample and yields a significant reduction in the design computational workload.
Keywords: digital FIR filters, fractional delay, multirate structure, frequency optimization
Existe una gran cantidad de aplicaciones dentro del procesamiento digital de señales en donde es necesario el diseño de filtros de retraso fraccionario (FDF). Entre ellas se puede mencionar la cancelación de eco en redes telefónicas vía satélite, la sincronía en receptores digitales, la codificación y síntesis del lenguaje, etc. (Laakson et al., 1996).
Muchas de estas aplicaciones requieren que sea posible que el valor del retraso fraccionario del FDF se modifique durante el procesamiento de la señal (en línea), conocidos como filtros de retraso variable (VFD) (Tian-Bo, 2003). Otras características deseables en estos filtros digitales son: un amplio ancho de banda, una resolución fina del valor del retraso y un número reducido de operaciones aritméticas por muestra de salida.
El uso de polinomios en el diseño de FDFs permite que el retraso fraccionario se modifique en línea con ayuda de una estructura Farrow, (Farrow, 1988), o mediante una estructura Farrow modificada, (Vesma y Saramaki,1997; Vesma y Saramaki, 2000). Ambas estructuras consisten de L+1 filtros FIR Cl(z) en paralelo de longitud N cada uno, en donde L representa el orden del polinomio utilizado, como se muestra en la figura 1.
En la estructura Farrow modificada = 2-1, donde  es el valor de retraso requerido, 0<<1, y además los filtros Cl(z) son de fase lineal (coeficientes simétricos). Por otro lado en la estructura de Farrow original = y los filtros no presentan simetría.
Existen dos estrategias en el diseño de FDFs basados en polinomios. Una de ellas es realizar el diseño completamente en el dominio del tiempo. Esto se realiza mediante el uso de interpolación Lagrange, (Liu y Wei, 1992), o funciones Bspline, (Vesma, 1995; Samadi et al., 2004). La implementación de esta estrategia de diseño se realiza con una estructura Farrow original. La ventaja de este método es la gran facilidad que existe en el cálculo de los coeficientes, ya que existen formulas directas para ello. La desventaja es que se tiene poca flexibilidad para satisfacer especificaciones en el dominio de la frecuencia durante el diseño del filtro. La razón de lo anterior es que solo se cuenta con un parámetro de diseño que es el orden del polinomio, L.
Fig. 1: Estructura Farrow/Farrow modificada.
La segunda estrategia de diseño de un FDF se realiza en el dominio de la frecuencia utilizando técnicas de optimización para el cálculo de cada coeficiente del polinomio de orden L. Existen varios métodos propuestos utilizando esta estrategia como el propuesto en Vesma et al. (1998), en donde se hace uso de una estructura Farrow modificada para la implementación. La ventaja de esta estrategia de diseño es que existe un mayor control sobre las especificaciones en el dominio de la frecuencia. Esta flexibilidad se debe a que se cuenta con tres parámetros de diseño: orden del polinomio L, longitud de cada filtro N y la frecuencia de paso p, la cual determina el ancho de banda del filtro. La desventaja de esta estrategia es que es necesario el uso de un método de optimización.
El uso de los métodos de diseño en el dominio en frecuencia para el diseño de un FDF con un ancho de banda amplio requiere aplicar un método de optimización a lo largo de un rango de frecuencia extenso. Por otro lado una especificación de resolución fina requiere una longitud N y orden L grandes. Lo anterior implica un intenso cálculo (tiempo de diseño grande) y un gran número de operaciones aritmética por muestra de salida en el FDF resultante.
En este artículo se propone el uso de una estructura Multirazón en el diseño en frecuencia de filtros FDF de ancho de banda amplio y resolución fina. De esta manera se tiene un método de diseño flexible en el dominio de la frecuencia y con una reducción tanto en la carga computacional requerida por el método de optimización como en el número de operaciones por muestra de salida de la estructura resultante.
El método de diseño en el dominio de la frecuencia utilizado es el propuesto en Vesma et al. (1998), en donde cada filtro Cl(z) se diseña como una aproximación de mínimos cuadrados de un diferenciador de orden l-esimo. De igual manera es posible hacer uso de la propuesta utilizando otros métodos de diseño en el dominio de la frecuencia.
La siguiente sección describe de manera general el método de diseño en el dominio de la frecuencia utilizado. La estructura Multirazón empleada se presenta en la tercera sección. El método de diseño propuesto se describe en la cuarta sección, además se presenta un ejemplo ilustrativo de diseño. Finalmente en la quinta sección se establecen las conclusiones de este trabajo.
DISEÑO EN FRECUENCIA
El método de diseño en el dominio de la frecuencia utilizado es el propuesto en Vesma et al. (1998). El método utiliza las siguientes propiedades de los filtros Cl(z):
1.- Los filtros FIR Cl(z), , en la estructura Farrow forman una aproximación en series de Taylor de orden L de la señal de entrada en tiempo continuo.
2.- En la estructura Farrow modificada los filtros FIR Cl(z) son filtros de fase lineal tipo II para l par y tipo IV para l impar.
La magnitud de cada filtro Cl(z) aproxima las curvas Kll, en donde Kl es una constante. Debido a que la respuesta ideal en frecuencia de un diferenciador de orden l es (j)l, idealmente cada filtro Cl(z) en la estructura de Farrow es un diferenciador de orden l.
De igual manera en la estructura de Farrow modificada es posible aproximar la señal de entrada mediante series de Taylor. Esto se realiza aproximando el diferencial de orden l de la señal de entrada mediante el filtro Cl(z). De esta manera la respuesta en frecuencia del filtro ideal en cada rama de la estructura de Farrow modificada esta dado como:
Los parámetros de entrada del método de diseño son: la longitud de los filtros N, el grado del polinomio L, y la frecuencia de paso p.
El proceso de diseño consiste en encontrar los N coeficientes de los L+1 filtros Cl(z) de manera que la siguiente función error sea mínima mediante mínimos cuadrados en el rango [0,p]:
Por lo que la función objetivo a minimizar es:
De esta última ecuación se puede observar que el diseño de un FDF con ancho de banda amplio se requiere una optimización extensa (carga computacional grande). Además para una resolución fina en el retraso fraccionario son necesarias aproximaciones más precisas de cada diferenciador, lo cual implica una gran longitud de los filtros (N) y un orden polinomial grande (L), por lo que el número de operaciones por nuestra de salida en la implementación será grande.
Tanto la complejidad computacional resultante como la cantidad de memoria requerida en la implementación son factores muy importantes a tenerse en cuenta. Como parámetros comparativos consideramos:
1. El número de multiplicaciones por muestra de salida (MPS).
2. El número de sumas por muestra de salida (SPS).
3. La cantidad de retrasos (memoria) (NR).
En la estructura de Farrow modificada el número de multiplicaciones por muestra de salida MPS1, el número de sumas por muestra de salida SPS1 y la cantidad de retrasos (memoria) NR1 están dados por las siguientes expresiones:
ESTRUCTURA MULTIRAZÓN
La estructura Multirazón en Murphy et al. (1994) es propuesta para el diseño de FDF en el dominio del tiempo. La función de la estructura Multirazón es aumentar la frecuencia de muestreo para disminuir el ancho de banda de la señal de entrada. De esta manera la interpolación de Lagrange es suficiente para obtener un FDF con un ancho de banda amplio.
En la Figura 2 se muestra la estructura Multirazón, la cual consta de tres secciones. La primera es la sección de incremento de frecuencia de muestreo a una razón del doble mediante un incrementador (Upsampler) y un filtro supresor de réplicas H(z), diseñado como un filtro pasa bajas de media banda. La segunda sección esta formada por el FDF HFD(z), el cual es diseñado en el dominio del tiempo mediante interpolación de Lagrange (Liu y Wei, 1992). Debido a que el filtro HFD(z) procesa las muestras de entrada a una frecuencia del doble de la frecuencia de muestreo de entrada es suficiente que este filtro cumpla con la especificación del atraso requerido solo hasta la mitad del ancho de banda requerido. En la última sección se hace uso de un decrementador (Downsampler) para disminuir la frecuencia de muestreo a su valor original. El proceso de incremento de la frecuencia de muestreo al doble se realiza con inserción de un cero entre cada dos muestras de entrada. Por ello en un momento dado solo se requieren la mitad de los coeficientes de los filtros FIR para generar la muestra de salida. Lo anterior significa que en un instante las muestras de entrada son procesadas por los coeficientes pares de la respuesta al impulso de los filtros H(z) y HFD(z). En el siguiente instante el procesamiento se realiza con los coeficientes impares. De acuerdo a este razonamiento y haciendo uso de las identidades nobles de procesamiento Multirazón, (Vaidyanathan, 1993), tal procesamiento se puede representar como se muestra en la Figura 3, donde los filtros H0(z) y H1(z) son el primer y segundo componente polifásico del filtro H(z). De igual manera HFD,0(z) y HFD,1(z) son el primer y segundo componente polifásico.
Fig. 2: Estructura Multirazón para el FDF.
Como puede observarse cada filtro de la estructura resultante procesa las muestras a la misma frecuencia de muestreo de entrada.
El método propuesto para el diseño de un FDF con ancho de banda amplio y resolución fina utilizando el método de diseño de FDF en el dominio de la frecuencia, descrito en segunda sección, y la estructura Multirazón de la sección anterior.
Como previamente se estableció el rango máximo de ancho de banda para el FDF con la estructura Multirazón es solo hasta la mitad de la frecuencia de paso deseada. Al utilizar un método de diseño en frecuencia, la operación de optimización se realiza solo hasta la mitad del ancho de banda deseado. Esto significa que la optimización en la ecuación se realiza solo hasta p/2. Esta reducción del rango de optimización permite una disminución drástica de la carga computacional requerida en el diseño para anchos de banda amplios y además la estructura resultante requiere de una menor longitud N de los filtros Cl(z).
En la Figura 4 se muestra la estructura inicial aplicando la idea propuesta. Como puede observarse el parámetro de actualización  considera un valor del retraso de dos veces debido a que la frecuencia de muestreo del filtroes del doble. Al hacer una reducción aplicando identidades nobles la estructura resultante es la mostrada en la Figura 5, en donde los filtros Cl,0(z) y Cl,1(z) son el primer y segundo componente polifásico del filtro Cl(z), respectivamente.
Fig. 3: Estructura resultante para el FDF.
Fig. 4: Estructura inicial en método propuesto.
El filtro H(z) en la Figura 4 juega un papel importante en el ancho de banda y la resolución resultante del FDF. A mayor atenuación en la banda de rechazo del filtro H(z) se obtiene una resolución más fina y también a menor banda de transición se obtiene mayor ancho de banda del filtro resultante. Ambas condiciones implican la necesidad de un filtro H(z) de orden grande.
Con el fin de reducir el número de operaciones aritméticas por muestra de salida el filtro H(z) se diseña como un filtro FIR de media banda. De esta manera el número total de MPS, SPS y NR están dados por:
Fig. 5: Estructura resultante.
donde NLP es el número de coeficientes del H(z).
El método de diseño se implementó en MATLAB. A continuación se muestra un ejemplo ilustrativo de diseño, en donde se hace una comparación de resultados obtenidos tanto con la propuesta com con el método de optimización en frecuencia directamente, (Vesma et al., 1998). Los tiempos de computo presentados corresponden al tiempo de cálculo de los coeficientes del método de optimización en una computadora PC a 1.7GHz.
Se presenta el diseño de un filtro FDF con un ancho de banda de 0.91 y una resolución de retraso de hasta 1/10000 de muestra.
Para el método de diseño propuesto se utilizó un filtro de interpolación, H(z), de 241 coeficientes diseñado con una ventana Dolph-Chevishev de 140 dBs de atenuación. Los parámetros de diseño utilizados fueron L = 12 y N = 14. En la Figura 6 se muestra el atraso de grupo del FDF en la banda de paso dentro del rango: 0  1 y 0  0.91.
Fig. 6: Atraso de grupo del FDF.
Por otro lado el diseño de este FDF utilizando directamente el método en frecuencia, (Vesma et al., 1998), requiere un orden polinomial de L = 14 y una longitud de filtros de N = 116.
Con el fin de ilustrar la esencia de la propuesta en la Figura 7 se muestran las aproximaciones de los siete primeros diferenciales obtenidos por la optimización para ambos métodos. Para la propuesta la optimización se aplica hasta p = 0.46 mientras que para el método directo se aplica hasta p = 0.92. Es por lo anterior que el tiempo de cálculo de los coeficientes de los filtros se reduce notable mente. Mientras que para el método directo es de 298 segundos para la propuesta es solo de 9.5 segundos. El número de operaciones aritméticas por muestra de salida y el número de retrasos para los dos métodos se resume en la Tabla 1.
a) Método propuse to wp=0.46p, N=12, L=14.
b) Optimización directa wp=0.92p, N=116, L=14.
Fig. 7: Aproximaciones (líneas sólidas) y respuestas ideales (líneas punteadas) de diferenciales
De acuerdo a los resultados se puede observar que el método propuesto presenta menor complejidad tanto en el número de operaciones aritméticas como en el número de retrasos requeridos.
Tabla 1: Número de operaciones obtenidos.
Optimización Directa
(Vesma et al.,1998)
Como comparación en la Figura 8 y en la Figura 9 se presenta el error absoluto, con respecto a la respuesta ideal, de la magnitud y del retraso fraccionario del FDF diseñado con la propuesta y con optimización directa, respectivamente. En la propuesta se tienen errores máximos en magnitud de 86.17 dBs y en retraso fraccionario de 2.78x10-5. Para el método directo los errores máximos son en magnitud de 93.69 dBs y en retraso fraccionario de 4.81x10-5.
(a) Magnitud.
(b) Retraso fraccionario.
Fig. 8: Errores con Método propuesto.
Fig. 9: Errores con optimización directa. (Vesma et al. 1998).
En este artículo se presenta un método de diseño de filtros de retraso fraccionario con ancho de banda amplio y resolución fina.
De los resultados presentados, de su análisis y discusión, se pueden obtener las siguientes conclusiones: 1) El método de diseño propuesto reduce notablemente la carga compu tacional requerida en el cálculo de los coeficientes del filtro; 2) La estructura resultante dela propuesta permite retrasos en línea del orden de 1/10000 de muestra y ancho de banda 0  0.91 con un número reducido tanto de operaciones aritméticas por muestra de salida como de elementos de retraso; 3) El error máximo de aproximación del retraso fraccionario obtenido con la propuesta es menor al obtenido mediante optimización directa, mientras que el error en magnitud es mayor; 4) De acuerdo al planteamiento de la propuesta es viable el uso de otro método de optimización en frecuencia en el cálculo de los coeficientes, lo cual se deja como trabajo a futuro.
Los autores agradecen el apoyo brindado al proyecto CoSNET 529.04-P en la realización de este trabajo.
Farrow, C. W., A continuously variable digital delay element , Proc. IEEE Int. Symp. Circuits and Systems, 2641-2645, Espoo, Findl Finland, June 7-9 (1988). [ Links ]
Laakson, T. I., Valimaki V., Karjalainen M., y Laine U. K., Splitting the unit delay: tools for fractional filter design, IEEE Signal Processing Magazine: 13(1), 30-60,(1996). [ Links ]
Liu, G. S. y Wei C. H., A new variable fractional sample delay filter with nonlinear interpolation, IEEE Trans. Circuits and Systems.II: Analog and Digital Signal Processing: 39(2), 123-126, (1992). [ Links ]
Murphy, N. P., Krukowski A. y Kale I., Implementation of a wide-band integer and fractional delay element, Electronics Letters: 30(20), 1658-1659, (1994). [ Links ]
Samadi, S., Ahmad M. O., y Swamy M. N. S., Characterization of B-spline digital filters, IEEE Trans. Circuits and Systems-I: Regular papers: 51(4), 808-816, (2004). [ Links ]
Tian-Bo, D., Design and parallel implementation of FIR digital filters with simultaneous variable magnitude and non-integer phase-de lay, IEEE Trans. Circuits and Systems-II: Analog and Digital Signal Processing: 50(45), 243-250, (2003). [ Links ]
Vaidyanathan, P. P., Multirate Systems and Filter Banks, Signal processing series, Prentice Hall, New Jersey, U.S.A, 119-120 (1993). [ Links ]
Vesma, J. Timing Adjustment in Digital receivers using interpolation, Tesis de Maestría en Ciencias, Tampere University of Tech., Department of Information Technology, Finland, (1995). [ Links ]
Vesma, J., Hamila R., Saramaki T., y Renfors M., Design of polynomial-based interpolation filters based on Taylor series, Proc. IX European Signal Processing Conference, 283-286, Rhodes, Greece, September, 8-11 (1998). [ Links ]
Vesma, J., y Saramaki T., Design and properties of polynomial-based fractional delay filters, Proc. IEEE Int. Symp. Circuits and Systems, 104-107, Geneva, Switzerland, May 28-31 (2000). [ Links ]
Vesma, J., y Saramaki T., Optimization and efficient implementation of FIR filters with adjustable fractional delay, Proc. IEEE Int. Symp. Circuits and Systems, 2256-2259, Hong Kong, Japan, June 8-12 (1997). [ Links ]

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución