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Timestamp: 2018-10-21 10:49:05+00:00

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información de primero de secundaria
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Examen Mensual de Aritmetica-octubre
Modulo 2 Ok1
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Ej02-01s
Solucionario 1 Parcial Matematica 37
Evaluación de Gramática
Resolviendo Problemas 2do Grado
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Operadores matematicos tercer año
Diez Claves Para Fometar Los Aprendizajes Desde El Hogar
A  x   1  x  x 2  ......
G.A. del monomio 10xy4z2 = 1 + 4 + 2 = 7
Hallar el valor numérico del polinomio 3x2 + 5x – 6; cuando x = –2.
G.A. del monomio 7xy5 = 1 + 5 = 6
Luego; el polinomio:
6xy2z – 5x2y + 10xy4z2 – 7xy5 tiene por grado absoluto 7 ó el polinomio
es de séptimo grado.
Hallar el valor numérico de un monomio o de un polinomio es reemplazar
cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar las
¿Cuál es el valor numérico de 5ab; si: a = 3; b = 4?
Reemplazamos el valor de a = 3 y b = 4, en la expresión:
5ab = 5 x 3 x 4 = 60   . 5ab = 60 .
La aplicación del valor numérico tiene un campo amplísimo en el
desarrollo de toda clase de fórmulas aritméticas, geométricas, físicas
Reemplazando el valor de “x” en la expresión dada, obtenemos:
3x2 + 5x – 6 = 3(–2)2 + 5 (–2) – 6
= 3(4) – 10 – 6 = 12 – 10 – 6 = –4
 . 3x2 + 5x – 6 = –4
Hallar el valor numérico de la expresión:
2x 3  6
Si: x =
Reemplazamos el valor de “x” en la expresión dada y obtenemos:
2x 3  6 2 3  6 2 27   6 54  6 48 16
5 3 2
2x 3  6 16
Es de suma importancia el orden de las operaciones en el curso, para el
desarrollo de los ejercicios o problemas.
Si en un ejercicio, hay distintas operaciones, el orden de las operaciones
que se ha de seguir es el siguiente:
1. Se desarrollan las potencias o se extraen las raíces si las hay.
2. Se efectúan las multiplicaciones o divisiones indicadas.
3. Se hacen las sumas o restas de los términos.
Para sumar o restar dos o más monomios semejantes se suman o restan
sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los
monomios semejantes dados.
Ejemplos: Sumar:
a) 3xy2 + 7xy2 – 2xy2 = (3 + 7 – 2)xy2 = 8xy2
b) 5xyz3 + 8xyz3 = (5x + 8)xyz3 = 13xyz3
c) axnym + bxnym – cxnym = (     )xnym
Para sumar o restar dos o más monomios no semejantes, sólo se indica
la suma o diferencia de ellos.
a) 3xy + xz = 3xy + 3xz.
b) 7ab2 + 8ab – 5b2a = 7ab2 + 8ab – 5b2a
= 7ab2 – 5ab2 + 8ab = 2ab2 + 8ab
Para hallar el producto de dos monomios se multiplican las coeficientes
de ellos. A continuación de este producto se escriben en orden alfabético,
todas las letras de los monomios dados poniendo a cada una un exponente
igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.
La potencia de monomios en un caso particular de la multiplicación de
monomios. Es una multiplicación de factores monomios iguales.
(2x3)2 = 2x3 . 2x3 = 2 . 2 . x3 . x3 = . 4x6 .
(5a2)3 = 5a2 . 5a2 . 5a2 = 5 . 5 . 5 . a2 .a2. a2 . = . 125a6 .
. (a . b)n = an . bn .
Hallar el producto de: 3x3 por 2x2
3x2 . 2x2 = (3 . 2) (x3 . x2)
 Multiplicamos los coeficientes
(x . x )  Multiplicamos las partes literales
3x3 . 2x2 = (6)(x3 + 2) = 6x5   3x3 . 2x2 = 6x5
Hallar el producto de: 8x4 por –9x2y3
8x4 . (–9x2y3) = 8(–9) (x4 . x2 . y3)
8x4 . (–9x2y3) = –72x4 + 2 . y3
= - 72x6y3
 . 8x4 . (–9x2y3) = –72x6y3 .
. (an)m = an . m .
a) (5a2b)3 = 53 . (a2)3 . b3 = 125a6z . b3
b) (–3xy2)5 = (–3)5 . x5(y2)5 = 35x5y10 = . 243x5y10
c) (–4x2z)2 = (–4)2 = (x2)2z2 = 16x4z2
d) (–3x2)3 . (2x)2 = (–3)3 . (x2)3 . 22 . x2 = –33 . x6 . 4 . x2 = –7 . 4x8 = –108x8.
Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del
dividendo entre el divisor y a continuación se escriben las letras en orden
alfabético poniéndole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el
exponente que tiene el dividendo y el que tiene en el divisor.
Halla el cociente de dividir: 16x4  8x2
Efectuar: 8x – (2x . Efectuar: – [ – 0. veamos: a + (+ b) = a + b .5a + 4. Rpta. veamos: 16x 4 16  x 4     2x 4 2  8  x 2  8x 2 .3b – 5. éste se puede suprimir sin variar los signos de los términos que están dentro del signo de agrupación.7b) + 4b 10 a  6a 7b  4b =     +     = 4a + 11b Se suprimen los paréntesis y se cambian los signos de todos los términos comprendidos entre ellos PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. a + (–b) = a – b Ejemplo:  16x + (–8x + 9y) – 10y = 16x – 8x + 9y – 10y = 8x – y Se suprimen los paréntesis y no cambian los signos de los términos comprendidos entre ellos. llaves { }. Reducir: a – (2. Reducir: y – {– y – [– y – {– y – (– y + x) – x} + x ]} – x Rpta. 2.Si un signo de agrupación es precedido por un signo negativo. corchetes [ ].2x –[0. 7. –6x3 .7x)]] – x 3. 8. Simplificar: (6x – 3y + 5z) – (–4y – 6z – 3x) +x–y+z Rpta.  3 4 x   4x USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN En álgebra los signos de agrupación: paréntesis ( ). a – (–b) = a + (+b) =a+b Ejemplo:  10a – (6a .05x2 + 0.4x2 + (0. Efectuar: {[(2p – 3) – (3p + 4q)]} – {2q – Álgebra Álgebra . a – (+ b) = a + (–b) =a–b RECUERDA QUE: a m  an  am  a m n n a Ejemplo 2: Halla el cociente de dividir: (–28x4y6)  (7x3y2) Resolución: 24x 6 24  x 6   3   6x 6 3  . barras ___.2b) Rpta. 2x2 . Rpta. lo podemos suprimir cambiando los signos de los términos que están dentro del signo de agrupación.3) – (–x + 6) 6. Si un signo de agrupación es precedido por un signo positivo. se usan para agrupar términos y separar operaciones.2a) – (–3.
10. Simplificar: –(– 4x + y) + (5x + 3y) – (x – y) 13.222.q – 4 3 p) + q 6 Rpta.. Rpta.. (3p + q) – p} Rpta.. es: A) B) C) –16 –3 –12 D) E) –7 –4 5.. 12. y = –1. 5.. Rpta..y. 15.4. PROBLEMAS PARA LA CASA 8x y + 16x2y – 10x2y Rpta.z) = 5x2y3z4 + 7x4y7z9 + 9x5y2z7 A) B) C) 14 9 20 D) E) 18 15 4. Si: x = 2. Efectuar 3  3  2 b  c + a–  4 7   4 Reducir: 12a – [– 9a –(–2a + 7) + 3a] – 26     4 2 1  c  b  a 5 3 4  Rpta. Álgebra 1. El monomio: 3x a+b–5 y b–3 Álgebra .q} 2 14. Rpta. Rpta. 11.2q) + (0. 9. Efectuar: 1 p – (p – 0. Reducir: Hallar el grado absoluto del polinomio: P(x.3333. Reducir: 2 2. Reducir: 4 3 2 4 3 2 4 3 2 17x y z + 16x y z – 28x y z Rpta. el valor de la expresión 2x2y – 3xy2 + xy. Los 3/2 de: 17 18 2 10x y + 12xy2 + 2x2y – 6xy2 – 8x2y Rpta.. Reducir: –b – {– c – [– d – {– c –(– d  b ) + a} – d] – a} Simplificar: 4 –{–q + [–p + q – (– 3p – 6q) + 3 1 p] – 0.
A) B) C) 3 6 2 D) E) 5 8 Si los términos 6xyb–3. 8.8x – 0.2[x5m+3]2 + 7 [xm+1]3 2 1 x y 5 4 0.5y 5 Si: a = 2. La expresión: 3 3 y + x – 0. c = – 3.R. Al resolver: x – [x – {y – (2x – y)} + x – (–y)] Se obtiene: A) 3x –y B) x – 3y C) x + y D) x + y E) y – x 10 A) B) C) 12 11 13 D) E) 14 10 10.Es de G. calcular el valor de “b” 9. Cuando: a 2 4 5 En el polinomio P(x) = xm + 3 + xm + 1 + 7 El grado absoluto es 10. A) B) C) 69 –46 –69 D) E) 60 –63 6.(x) = 5 y G.25 y 4 5 equivale a: 0.(y) = 2 Entonces “a” vale: A) B) C) 1 2 3 D) E) 3.5y 4 x–y 5 4 x + 0.2x + A) B) C) D) Álgebra Hallar m  N. d = 9.R. 2xy son semejantes. b = – 4. 3y 2  x 2 1 3 . sabiendo que el polinomio P(x) es de grado 36. entonces el valor de b d   2db es: a c A) B) C) –67 –71 –72 D) E) –73 –77 Álgebra . entonces el valor de “m” es: A) B) C) 6 7 4 D) E) 5 9  x  2   y 3  a  1  Es: 7. P(x) = 0.
Es la operación que consiste en repetir un número denominado base. . . el resultado de esto se le denomina potencia. 24 = 23+4 = 27 POTENCIACIÓN Álgebra 2. . x A              Base "n " veces . An  A x A x A x . 2-4 . existen entre ellos. . E) 0. La operación que da origen al exponente es la potenciación. 27 = 2–5–4+7 = 3–2 Álgebra . Ejemplos: 1.6x – 0. .5y tantas veces como factor. Representación: . . . 23 . Ejemplos: 1. xa . xb = xa+b . 2–5 . como lo indica otro número que es el exponente. . mediante leyes. .  3 7   1  1   x   2 2         3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3                    7 veces LEYES FUNDAMENTALES CONCEPTO 1. x n              n veces  1   4. 2  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  64           3. . 4 veces 6 6 veces n n n x n x n x n . . 3 4  3 x 3 x 3 x 3  81        2.  2  5  1  1  1  x   x   x   2    2     2    5 veces TEMA: TEORÍA DE EXPONENTES 5. Producto de Potencias de Igual Base Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que . .
2  Ejemplos: 3 c a b  x a . B 6. x0 = 1 . Cociente de Potencias de Bases Diferentes .b . . y0 x0 Ejemplos: 1. 2 6 = 2–6–(–5) = 2–1 5 2 OBSERVACIÓN: . ya = (x . 28 = 28–4 = 4 24 2. 1 xa 1 2  3   2 . Potencia de Potencia . 5) 1. Producto de Potencias de Diferente Base Ejemplos:  x    x  xa    a  y  y  a . Álgebra 4  4   23  3  3 2 2. Ejemplos: 1. Exponente Negativo 3.c .  x   y  a      y    x  a  . 3 . x0 y0 32 22 7. 43 = (2 . (XA)B = (XB)A = XA . y)a . 6 = (3 .  2x      5     0 1 Álgebra . 2   . xa . Exponente Nulo o Cero . 23  2  2. 4)3 4. 3xy  0 1  3y   2. a .  2. 23 . b x x0 3 5. Cociente de Potencias de Igual Base xa  x a b . x   2   3 1. Ejemplos: 1 1.83  8    2.
y x4 = ________ x2 2.c x 54 = ________ 24  2   3 9. 4 3 10  3 x  24 x 4 10  12 10 Ejemplos: 2 1. x4 = ________ 9.b . Raíz de Raíz . 4. x 5 3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 3 x5 En cada caso completar: 1. 3 4 . Producto de Radicales Homogéneos x . 2.a b 8. . x b xa . . a b c x  a .  2 3 2 3 6 3 5  3 4. Potencia de un Radical . Ejemplos: 1. 53 = ________ 8. 33 . x  a b c  a x b .c . x3 . x2 .  . Exponente Fraccionario x bax Ejemplos: a b . 3 4 2. 11. 5 1 5 5 5 1 5 5 5 . 23 . x 3  3 x 2 2. a 3 20 a y  a x .  4 = ________ . OBSERVACIÓN: Álgebra Álgebra . b0 1. 2–3 = ________ 10.5  3.
Simplificar: 4 x  2  4 x 1 4x Álgebra . 2 x x  3 9 . 11 9. 2–3 . Simplificar: N  5 x 1  5 x 5x Si x3 = 8. n 3 24  Rpta. 6 20 = ________ 10 6  1 1    2 3 10. 7–2 Se obtiene 6. Si xx = 2. 2   5 3 2 = ________ 11. 5 Cual es el exponente final de b en:  2 3 .  Rpta. 12. Cual es el exponente de xx en x5x   6 1  3 1  2 1  2 2 15. 7.Rpta. hallar x2 Rpta. Simplificar: P  3 13. 25 Rpta. 11.b 14 10. Luego de operar 35 . hallar x 14. 3 4 = ________ 12. calcular x–x 8. Reducir: 5 210 312   5 23 2 5 310 2. 1. 0 = ________ 3. = ________ Rpta. 5. 72 . 1  16 Rpta. 2 4 Rpta. 2 4 2 3 = ________ 5. 2 27 . 2 23 4. Rpta. 3–3 . 24 . Si x = 3 A que es igual x2n Álgebra Reducir: 4 2 3 8  . 6. b0  4  Rpta. Si 4 25 Reducir: 2 8  4   Rpta. Rpta. b PROBLEMAS PARA LA CLASE Reducir: 3 Rpta. 3 2 . Reducir  33 3 . b 3 . 7.
82 . 4–3 . 8–2 5. 2. Cual es el exponente final de “a” en: a 5 . hallar el valor de x2n 6. 3n 1  3n 3n D) 8 E) 32 D) E) 13 14 Rpta. Después de operar 45 . 3–3 . a  0 2 Se obtiene: A) 16 B) 24 C) 48 Álgebra A) B) C) 5 10 11 12 1 A) 2 1 B) 3 1 C) 4 1 5 1 E) 6 7. Álgebra . Si xn = 7. 34 . Si xx = 5. a 1 . a 3  . Reducir 7 23 312 515   7 21 310 513 A) 14 B) 21 C) 49 A) B) C) 11 22 33 D) E) 44 55 D) 16 E) 1 3. Reducir  8 1  4 1  2 1  2 2 A) B) C) D) D) E)  3 27 32 32 27 16 27 27 16 N.A. Calcular x–x PROBLEMAS PARA LA CASA 1.Rpta.
Reducir 4.3 6 3 4 36 4  25 1 4 38 3 16 . Álgebra Álgebra .8. Reducir  44  3 . 11 3 A) 10 B) 12 C) 16 D) 8 A) B) C) 1 –1 2 D) E) –2 3 E) 64 9. Simplificar n Q  6n 7 n 2  7 n 1 7n A) 1 B) 3 C) 5 A) B) C) 32 42 49 D) 7 E) 9 D) E) 21 7 TEMA: POLINOMIOS CONCEPTO Es aquella expresión algebraica con 2 o más términos. Simplificar: P  6 n 1 6 10.
y) = 21x7y4 T2(x.A. Polinomio Homogéneo Es homogéneo si cada uno de los términos tiene el mismo G. Grado Relativo (GR) Es el mayor exponente de la variable en referencia.y) = 5x + x2y + 4x5 Es ordenado creciente respecto a “x” R  a . + 1 2.y) = 3x – 2y2 + 5x2y + x3y4 – 2x4y3 Es completo respecto a “x” e “y” y GR(y) = 4.GRADO DE UN POLINOMIO 1.y) = (x + y)2 – 4xy Álgebra . Grado Absoluto (GA) a) Para un Monomio: se obtiene sumando los grados relativos.y) = 5 x7y4 T3(x.y) =   2  1 x7y4 4. Es ordenado y creciente respecto a “b” Es ordenado y creciente respecto a “a” 2. GR(x) = 4 Luego: GR(x) = 10 GR(y) = 7 Propiedad: En todo polinomio completo Número de términos = G. Polinomio Completo Si existen todos los grados incluyendo el término independiente.A.y) = 32x3y4 + 20x6y – 10x2y5 Propiedad: Términos Semejantes: Dos o más términos no nulos son semejante si solo difieren en los coeficientes. Ejemplo: P  x. b) Para un Polinomio: se obtiene como el mayor grado absoluto de los monomios que lo conforman POLINOMIOS ESPECIALES Son aquellos que tienen ciertas características y de acuerdo a ello son: 1. hasta un grado determinado Álgebra 3. Polinomio Idénticos Dos o más polinomios son idénticos cuando tienen los mismos valores numéricos para cualquier valor de la variable Ejemplo: P(x. Ejemplo: P(x. b   2a 5  2a 3b 6  8ab 12 2. Polinomio Ordenado Cuando el exponente aumenta o disminuye de manera ordenada: Ejemplos: 1. Q(x.y   54x 4 y 5  2xy 2  x 10 y Ejemplos: 1. P(x. P(x) = 3x2 – 5x + 7 – 2x3 Es completo de grado 3 2. Ejemplo: T1(x.
 P 1 .(x) = _ _ _ _ _ G.(y) = _ _ _ _ _ Álgebra .I .R. T . b) Polinomio Mónico Un polinomio es un monomio cuando el coeficiente principal es 1. si para cualquier valor de su variable el polinomio se anula. Término Independiente: .y) = (x – y)2 Ejemplo: Sea: P(x) = (5X + 3)2 T. = P(0)= (0 + 3)2 = 32 = 9 a) Polinomio Idénticamente Nulo Un polinomio es idénticamente nulo. Suma de Coeficientes  coef . Cambio de Variable Ejemplo Sea P(x)=3x + 1  P(x + 1) = P(x + 1) = 3 (x + 1) + 1 P(x + 1) = 3x + 3 + 1 P(x + 1) = 3x + 4 2.y) = ax2y3 + bx4y5 Hallar G.  P  0  . Ejemplo: Sea: P(x) = 3x2 + 6x + 1  coef  P  1  3 1 2  6 1  1  coef  P  1  3  6  1  10 3. Si R(x.I. Álgebra EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1.R.Q(x. Ejemplo: A(x) = 1 + x2 + x3 B(x) = 9x4 + x3 + x5 Propiedad: 1.
. Calcular: (a – b) si el monomio: M(x. Reemplazamos el valor de a = 3..(x) = 8 2a + b = 8  b = 8 – 2a .A. a=3 . P(x) = 1 + 2x3 + 3x2 + 5x + 6x4   3.y) = xaya + 5 C) 18 D) 19 E) 20 p A m . ¿Cuál es el coeficiente principal de: Q(x) = 5x2 + 3x4 – 2x + 3 G. b=2 .A.y) = 5x2a + b ya + 2b.y) = EJERCICIOS TOMADOS EN LOS CONCURSOS DE MATEMÁTICA 1. (I) G. (II) Reemplazamos (I) en (II): 3a + 3(8 – 2a) = 15 3a + 24 – 6a =15  9 = 3a  . Ordenar el polinomio P(x) de manera decreciente..  . tiene G.B n Álgebra .(x) = 8 Álgebra Rpta.y) = 5x2a +b ya + 2b 2.R. ¿El siguiente polinomio es completo? P(x. en (I) b = 8 – 2(3)  .G. =_____ A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 3 Resolución M(x.R. a–b=3–2=1 . Calcular el grado de Q(x.B P  A n . = 15 (2a + b) + (a + 2b) = 15 3a + 3b = 15 .A.y) = 6x3 + 5x2y+ 4xy2 + -3x3 Con respecto a “x” _ _ _ _ _ Con respecto a “y” _ _ _ _ _ 4. 2. A a 2 A) B) 16 17 Resolución Aplicando la propiedad: m n x a y 3 es 2.. = 15 y G... Si el grado de: F(x.
Calcular: “m + n”. Siendo F(x) = a + 3 = 2a – 4 .R. 2=n .y) = x   Por dato: a a 2 y a 2 x a y 3 . Rpta.y).A. y12. D 5.. y7 + 5 = x7 . 4. Si f(x) es un polinomio de primer grado tal que verifique: i) f(0) = 5 ii) f(–1) = 3 Según ello determine f(1) A) B) C) D) 3 4 5 6 E) 7 Álgebra . m+n=2+2=4 . 7=a . en (I) m = 6 – 2(2)  m = 2 E) 8 F(x) = x 2  2x .y) = 4nxm + nym + 2n es de: G... F(98) = 100 .y) = xa . (A . 2  2 2  8x F(x) = x 2  4x  4  x  2 2 F(x) = x + 2 de esta expresión. ya + 5 Q(x.A.R. Obtenemos: D) 6 Resolución  Por dato:  G.y) = x7.(Y) = 6  B) 4 Rpta. obtenemos: 3 a 2  a 3  2 a 2 a 2 a 3 2  a 2  . reemplazamos el valor de a = 7 en el monomio: Q(x.. Rpta. (II)  Reemplazando (I) en (II). es: 19 ..(Y) = 6 C) 5 x Determinar: F(98) G.A.R. El grado de: Q(x. D A) 108 B) 102 C) 98 D) 100 E) 1000 Aplicando: . B a + 3 = 2(a – 2) Luego.. = 10 (m + n) + (m + 2n) = 10 . G. (I)  G.(y) = 6 m + n2 = 6  m = 6 – 2n . calculamos: F(98) = 98 + 2 = 100  . = 10. G.  En el: F(x. siendo el grado de este monomio: 7 + 12 = 19 A) 3 Reemplazamos el valor de n = 2. = 10. si se sabe que el monomio: P(x.y) = F(x.. obtenemos: 2(6 – 2n) + 3n = 10 12 – 4n = 3n = 10 Álgebra  2 2  8x Resolución 3.  .B)2 = A2 – 2AB + B2 .
y) = 2yxm + 1 – 3xmyn + 5 . Si el grado de “A” es 8 y el grado de “B” es 4. m + n = 6 + 7 = 13 . a=2 . B) 13 B) 3 Resolución  Grado de “A” = 8  Grado de (A2) = 2 x 8 = 16 De la expresión: f(x) = ax + b f(x) = 2x + 5 A) 7 Rpta.(x) = 7 m+1=7   C) 9 D) 16 .  Luego:  f(0) = a(0) + b . yn + 2 . yn + 2 .  Calculamos: f(1) = 2(1) + 5 .R. x Álgebra D) 5 E) 6 Grado de “B” = 4  Grado de (B3) = 3 x 4 = 12 Cuando las expresiones se multiplican los grados se suman: Grado (A2B3) = 16 + 12 = 28  Grado (A2B3) = 28  E) 14 Cuando la expresión está afectada por un radical el grado se divide por el índice radical   C) 4  Rpta. Resolución  G.Resolución Como f(x) es un polinomio de primer grado Será de la forma: f(x) = ax + b  7 A2 . y en “y” a 9. Indicar el grado relativo de “y en el polinomio homogéneo: 2 P  x. Del polinomio: P(x. 5=b .y   x n  4  2x n 1 y n 2  4y 5 m A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 Álgebra . C 8. Si: P(x.(y) = 9 n+2=9  . hallar el grado absoluto del polinomio.  Luego el grado absoluto del polinomio es:  Grado  . Grado  7 7  A2B3  28 4 7  A2 . B3  4 . Rpta. E 6. x. B 3 A) 2 .R. Tiene el grado relativo en “x” a 7.y) = 2yxm + 1 – 3xmyn + 5 . f(1) = 7 . Calcular el grado de: f(–1) = a(–1) + b 3 = –a + b 3 = –a + 5   . G. n=7 . m=6 . B 7.
yb + x2m .y) = (12 . Si el polinomio P(x. m n 4  144 . calculamos el grado relativo de “y” G. yn + 3 + 2xa . yn + 3 + 2xa . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . n=1 .y) = (9 – n + 3)x2y + (m – 2)xy2 P(x. hallar 2 2 2 m n4 2 P(x.y) = (9 – n)x2y + mxy2 + 3x2y – 2xy2 P(x. yb + x2m . ii)  2n + 3 = 5 – m 2(1) + 3 = 5 – m 5=5–m .Resolución  Como el polinomio es homogéneo. el grado de cada monomio debe ser igual.(y) = 5 .  Para que este polinomio: P(x.n)x2y + (m – 2)xy2  Rpta. B 10. yn + 2 Sea idénticamente nulo. 9.R.y) = 3xm + 1 .y) = (9 – n)x y + mxy + 3x y – 2xy A) 15 B) 14 C) 12 D) 225 E) 144 Resolución  En primer lugar agrupamos los términos semejantes de la manera siguiente: P(x. E 11. Luego: m n 4  2 12 4  12 4 / 2  12 2  144  .y) es idénticamente nulo. o sea: n2 + 4 = 2n + 3 = 5 – m i) n2 + 4 = 2n + 3 n2 – 2n + 1 = 0 (n – 1)2 = 0 . yn + 2 Es homogéneo: m + 1 + n + 3 = a + b = 2m + n + 2 m + n + 4 = a+ b = 2 m + n + 2 i) Álgebra m + n + 4 = 2m + n + 2 E) 5 Rpta. m=0 . 12 = n .R.m=2 . 2=m . G.y) = 3xm + 1 . D .(y) = 5 – m = 5 – 0 = 5  . debe cumplirse que: i) (12 – n) = 0  . Luego. yn + 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 Resolución  Como el polinomio: P(x. ii) m–2=0 . Determinar “m” si el siguiente polinomio es homogéneo P(x.y) = 3xm + 1 . Rpta. Hallar A + B + C en la identidad: Ax2 + Bx2 – Cx + B = 1 2 x + 3x – 1 2 Álgebra .
hallar a b . calcular: a+b Álgebra . Rpta. C Rpta. C = -3 . 6.y) = 10xa + 1 y4 Términos semejantes. Sea: P(x) = xa + x2 + x + 1. a  0 Además P(2) = a. Hallar P(3) hallar Rpta. c  0 Además P(1) = 0. Sea: P(x) = ax + b . 3. Sea  . A B  ii) –C = 3 iii) . Si el coeficiente principal de: P(x) = x2 + (a + 3) x3 + 2x + a Es cinco. 2 A +B + C = PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. un polinomio cúbico. a+b 5. calcular su término independiente. 1 + (–3) 2 5  .y) = 3x3y6 H(x. Rpta. 2. a b c   . un polinomio de 3er grado. Sean: P(x) = ax2 Q(x) = 3xa + 2 Si P y Q tienen el mismo coeficiente. 4. 2 E) 3/2 Rpta. Luego: 1 . c Rpta. Sea: P(x) = ax2 + bx + c. calcular P(2) P(x) = (a + 3) xa + 3x + 5. Sean: R(x. calcular el Álgebra 8.A) B) C) D) –3/2 –1/2 –582 5/2 Resolución Agrupamos los témanos de manera la siguiente: (Ax2 + Bx2) – Cx + B = 1 2 x + 3x – 1 2 1 2 (A + B)x – Cx + B = x + 3x – 1 2 2  Identificando: i) . B = –1 . Si P(x) = x2001 – 3x2000 + 1. 7. calcular su coeficiente principal Rpta.
Rpta. P(a) = 3. Si Q(x) = x + 3 y Q(a) = b Calcular b – a Rpta. Sean: P(x. Hallar P(0) + P(1) 2. Rpta. 10. 13. calcular el exponente de x en “B” A) B) C) 6 7 8 D) E) 16 1 5. es 5. Si son términos semejantes A) B) C) 2 3 7 D) E) 8 1 15. calcular su término independiente: Rpta. 12. Si f(x) f f 3   = 2x  2 . Si Q(x)= x800 – 2x799 + 3. Sea P(x) = x2 + x – a2. Sea P(x) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x3. Hallar P(x–2) Rpta. 11. Sean: A(x) = Kx2 B(x) = 5xk+3 Si A y B tienen el mismo coeficiente. 9.y) = 10xn+2y5. Hallar m + n. Sea P(x) = 2x + 3. 14.y) = 4x4 ym Q(x. de: Q(x) = x4 + (k + 2)x5 + 2x + k. Hallar el término independiente de P(x) Rpta. Si R(x) = x + 2. Hallar n2 PROBLEMAS PARA LA CASA 1. R(2n) = 4. Hallar P(x) Rpta. Si P(x + 1) = 5x + 2.exponente “x” en Q Rpta. A) B) C) Álgebra Si el coeficiente principal 8 6 3 4. Hallar Q(2) A) B) C) 1 2 3 D) E) 4 6 Álgebra . x 1 hallar Rpta.
Hallar P(x) A) B) C) 3x+5 5x+3 3x–5 D) E) 3x 5 Sea P(x) = 3x + 5. Hallar d A) B) C) Álgebra 0 1 –1 5 4 Sea: R(x) = (K + 2) xK–1 + 3x2 + 6 Un polinomio de 5to grado. 3. Calcular a A) B) C) 2 4 6 A) B) C) 5 6 –7 D) E) 8 9 D) E) 8 –8 9. hallar el coeficiente del término principal. un polinomio de 3er grado. Sea: R(x) = xn + nx2 + 30 40 50 D) E) 60 70 7.D) E) D) E) 1 5 10. calcular P(3) A) B) C) Sea: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d Además a b c P(1) = 0. 8. Si P(x) = ax2 + b. 6. hallar P(x+1) A) B) C) 3x-2 2x+3 3x+2 D) E) 3x 2 Álgebra . Si P(x+3) = 3x + 4. n x 3 + n. a  0 y b además P(3) = a.
(x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab . Producto de Binomios con Término Común (a + 5) – (a – 5) = 4a . 3 + 3 . 2  32 6 2  52 6 2 5 2 a  b  3 a  b  3 . a2 – b2 = (a + b) (a – b) . (a  b)2 = a2  2ab + b2 . Binomio al Cubo CONCEPTO Son los resultados de cierta multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa. 2 . Diferencia de Cuadrados . . Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.Ejemplos:  (x + 2) (x – 2) = x2 – 4  TEMA: PRODUCTOS NOTABLES    2 1  5 2  2 1  21  1  3. 5 .P.) Identidades de Legendre  (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)  (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab  (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)    3 2 2 2   3 2 2 3 2   2 5 2   4  4  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3  a 3  b 3  3ab  a  b  . Ejemplos:  5  2  5 2  3 8. 22 .C. 4. P  x 2  2xy  x 2 2. 2  5 2   2 2   8 10 . . 32 + 33 (2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27 (2 + 3)3 = 125 . 5 = 20a     a  b  3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3  a  b  3  a 3  b 3  3ab  a  b  Ejemplo:  (2 + 3)3 = 23 + 3 . Álgebra Álgebra . PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES 1. 7  56 10 EJEMPLOS DE APLICACIÓN Simplificar: 1. . Simplificar: N = (a + b) (a – b) + b2 2.
Álgebra Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1. Simplificar: Q  a  2ab  b 2 2 4. Rpta. Si: a + b = 2 hallar a2 + b2 y ab = 1. Si a + b = 4 hallar a3 + b3 y ab = 3. Álgebra . 9. 3. Calcular x2 + 2x – 2 Si (a + 2b) ( a – 2b) = 0: b 2  a   b  0. Simplificar: N  x 2  2xy  y 6. Rpta. 10. 7. Rpta. Simplificar: N   x  a   x  b   ab x 2   a  b x 8. Rpta.3. Rpta. Simplificar N 3 PROBLEMAS PARA LA CLASE a 3  b 3  3ab a  b  1. Rpta. calcular (x + y)2 Si: a – b = 2 y ab = 15. 4. Si a + b = 16. 2 Rpta. calcular  2 Rpta. Reducir:  a  b a  b  b P Sabiendo que: (x + 1)2 =3. 2.
A) B) C) Sabiendo que: (x + 2)2 = 36. 13. x  y  x  y   y 2 A) x B) x2 C) xy D) y2 6. Si: 4ª2 – 4a + 1 = 0. 12. xy Si: x   4.5. Rpta. calcular: 4a + 3 Rpta. x Hallar 1 x2  2 x A) B) C) 12 13 14 D) E) 15 16 Reducir: Q  Álgebra x 5. hallar x2 + 4x – 2 10 20 30 Álgebra 36 . Simplificar: N  SI a3  PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Si x 1  3. x Hallar a 3 – b3 hallar 1 x2 x2  Rpta. Rpta. 15. Rpta. Rpta. Simplificar: N   x  3 x  5 14. Reducir (x + 1) (x – 1) + (x + 2)x + (x + 3) (x + 1) – x2 1 a3 a 1  3. a hallar  y  2  x  y  2 A) 2 xy B) 4 xy C) 4xy D) 5xt E) 2. 11. x 2  8x  15 Reducir: P = (x + 4) (x + 2) – 6x – 8 Rpta.
40 50 A) B) C) 3 6 9 D) E) 12 15 8. Si (a + 3b) (a – 3b) = 0. Simplificar: N  x  4  x  5  20  7. D) E) 2 Si (a + b + 1) (a + b – 1) = 3. b   a 0. y = 6. Si x – y = 4 Simplificar: N  x  y  2  4xy A) B) C) 5 3 2 D) E) 1/2 4 Si (a + b) = 6 y ab = 8. hallar (a + b)2 A) B) C) 6 7 8 D) E) 9 10 10. 9.E) y 3. hallar a3 + b3 A) B) C) 36 72 144 D) E) 216 108 Álgebra . calcular    b x 2  9x A) 4. 0 B) 1 C) 4 D) 8 E) 14 Si: x + y = 5 2 Hallar x + y 2 A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 Álgebra y x .
dejando espacios para los términos que faltasen. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente. Se ordenan el dividendo y el divisor según la misma letra. entre el primero término del divisor. se divide cada uno de los términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor: Ejemplo: 4. 2. Se divide el primer término del segundo residuo. 3. entre el primer término del divisor para obtener el tercer término del cociente. para obtener el segundo término del cociente. Álgebra El cociente es x3 – 2x2 + 3x – 1 y el residuo es cero Ejemplo: Dividir Álgebra . 6. 5. Para ello se coloca cada término de este producto debajo de su semejante cambiando de signo. 7. Este segundo término se multiplica por todo el divisor y este producto se resta del residuo anterior. Se divide el primer término del residuo. Se continúa análogamente a los pasos anteriores hasta que el residuo sea un polinomio de menor grado que el divisor. Ejemplo: Dividir 7x – 3 + 2x4 – x3 entre 2x + 3 Resolución: Ordenando en sentido decreciente y completando 2x4 – x3 + 0x2 + 7x – 3 ente 2x + 3 Sería: 42x 6 y 5  21x 3y 7  35x 5 y 2 42x 6 y 5 21x 3y 7 35x 5 y 2    7 xy 2 7 xy 2 7 xy 2 7 xy 2 = 6x5y3 – 3x2y5 + 5x4 DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS Para dividir dos polinomios tenemos la siguiente regla práctica: 1.TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para dividir polinomio entre un monomio. Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto se resta del dividendo.
Cociente Q(x) = _ _ _ _ _ Cociente R(x) = _ _ _ _ _ MÉTODOS ALTERNATIVOS DE DIVISIÓN Coeficientes Separados En la división de polinomios de una sola variable podemos prescindir de la parte literal. una vertical y otra horizontal. Ejemplo: Dividir: 2x4 – x3 + 4x2 + 5x – 1 entre 2x2 + x – 1 Q(x) = 5x2 + 2x – 3 R(x) = 2 Ejemplo: Dividir: x5 + 2x4 – x2 + 3 entre x2 – 2x + 1 Para comenzar a dividir se traza otra raya vertical entre los coeficientes del dividendo. Encima de la recta horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo. Además se traza otra recta horizontal para colocar debajo de ella la respuesta. Ejemplo: Dividir 20x3 – 2x2 + 16 x + 2 entre 4x – 2 Cociente Q(x) = _ _ _ _ _ Cociente R(x) = _ _ _ _ _ Método de Horner Primeramente se trazan dos rectas que se intersecten. ésta raya servirá para separar el cociente del residuo. Álgebra Álgebra . el número de columnas a contar de derecha a izquierda es igual al grado del divisor. Encima de la vertical izquierda se coloca el primer coeficiente del divisor con su propio signo en ese mismo sitio y debajo de la horizontal se coloca el resto de coeficientes del divisor con el signo cambiado.
Se divide el primer término del dividendo entre el número encerrado 57 en un círculo el resultado se coloca debajo de la segunda raya horizontal y se multiplica por cada uno de los número que estén a la izquierda. se procede igual que en el paso anterior. de la raya vertical y debajo de la recta horizontal. después de la 2da raya vertical. La operación se realiza hasta completar el resultado correspondiente a todas las columnas. luego de esa raya la suma de las columnas ya no se divide entre el número encerrado en la circunferencia. Se suma la siguiente columna.En el ejemplo: Para empezar a dividir 1. Ejemplo: Dividir 6x5 + 7x4 – 18x3 + 10x2 + 7x – 9 entre 3x3 + x2 + 2 Q(x ) = _ _ _ _ _ _ R(x) = _ _ _ _ _ _ Álgebra Álgebra . el resultado se divide entre el número encerrado en una circunferencia y se coloca como resultado debajo de la raya horizontal. 3. 2. colocando los productos debajo de los números que le siguen al primero.
El valor encontrado se Reemplaza en el polinomio dividendo obteniéndose un resultado el cual será el residuo Ejemplo: Calcular el residuo del divisor: 3x3 – 5x2 + 7 entre x – 3 Igualamos el divisor a cero x–3=0 . sin necesidad de efectuar la división. Se emplea cuando el divisor es de la forma ax  b o transformable a ella. Procedimiento: 1. 9 + 7 = 81 – 45 + 7 = 43 Ejemplo: Dividir x5 – 8x3 + 4x2 – 5 entre x – 2 Ejemplo: Calcular el residuo de dividir: x3 + +2x2 – x + 2 entre 2x – 1 Álgebra Álgebra . 27 + 5 . Se iguala al el divisor a cero encontrándose un valor de la variable. Divisor de la forma (x  a) Para dividir por el Método de Ruffini.x=3. Q(x) = x2 + 1 R(x) = –3 Este valor de “x” se reemplaza en el dividendo 3x3 – 5x2 + 7 Residuo (R)= 3(3)3 – 5(3)2 + 7 = 3 . Ejemplo: Dividir: x3 – 2x2 + x – 5 entre x – 2 Para comenzar a dividir se procede de la siguiente manera: Q(x) = _ _ _ _ _ R(x) = _ _ _ _ _ TEOREMA DEL RESTO Este método se emplea para calcular el residuo en forma directa. 2.Método de Ruffini Este método es aplicable a divisores de la forma: (x  a) y con ciertas restricciones a divisores de la forma (axn  b). 1. Encima de la raya horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo y encima de la raya horizontal y a la izquierda de la vertical se coloca el valor de “x” que anula al divisor. una vertical y otra horizontal. se trazan dos rayas que se intersectan.
x=__. 4x5 – 2x3 + K – 2 entre x – 2. x  6x 4  2x 3  x  1 x 3  3x 2  1 6x 3  x 2  2x  6 3x 2  2x  1 Rpta. si el resto de Cual es el valor que deberá tener “K” para que al dividir 2x  x  3x  20x  10 2x 2  3x  1 PROBLEMAS PARA LA CLASE Hallar el cociente en: 5 14. Álgebra 9. 6. Rpta. Indicar el residuo de la siguiente división 2x 7  4x 6  2x  3 x 2 5. cociente Rpta. Álgebra . siguiente Hallar el aplicando Horner x 5  27x  x 4  7 x 2  10 x2 x 5 Rpta. el residuo sea cero Rpta. la división es – 15 2x 3  nx 2  4x  n 2x  n Rpta. Rpta. el residuo es: 2 – 6 Hallar el residuo en 2x 4  5x 3  3x  6 x 2 Rpta. 10. 2. Rpta. Reemplazando Residuo (R) = _ _ _ _ _ Indicar el término independiente del resto de la siguiente división 7. El cociente de la siguiente división: x3 + 3x2 – x – 3 entre x2 + 2x – 3 es: 13. Indicar la suma de coeficientes del cociente luego de efectuar: 4 3 8.Igualamos el divisor a cero 2x – 1 = 0  . 1. Rpta. 2 Efectuar la división Indicar el residuo 6x 3  5x 2  4x  4 x 1 Rpta. 4. Hallar el cociente aplicando Ruffini x4 – 3x3 + 5x – 8 entre x + 2 Rpta. Al dividir x 4 – 2x entre x + 3. Calcular “n”. 3.
Hallar el cociente aplicando Horner 6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3 entre 3x3 – 5x2 + 3 E) 2. Efectuar la siguiente división: 12. Rpta. 1. Al dividir: de cociente. Calcular la suma siguiente división: coeficientes 2x  x  3 x 1 después de efectuar. Indicar el término independiente del resto en la x 6  7 x 3  12 x 3 3 siguiente división 6x 2  9x  27 3x  9 El residuo es: A) x3–4 A) 1 B) X3+4 B) 2 C) x2–5 Álgebra . 5.11. 38x  65x  27 2x 2  5x  3 4 3 Rpta. Hallar el cociente en: 15. 3. 2 2x  x  7 x  3 2x  3 4 7 A) x+1 A) 12 B) 3x–2 B) 36 C) 3x+2 C) 42 D) 2x+3 D) 6 E) 2x–3 E) 24 6. Hallar el coeficiente del término cuadrático en: 3 Indicar el residuo en la 4. 3 2 x 2  15x  56 x 8 A) 1 B) –1 A) 5 C) 0 B) –5 C) 6 D) –6 D) 2 E) –2 Álgebra 2x 3  11x 2  18x  n x 4 E indicar el cociente PROBLEMAS PARA LA CASA del Calcular “n” si el resto de la división es cero 6x  x  2 2x  1 Rpta.
2 x  10x  14x  9 x 2  4x  3 A) B) C) x+1 x–1 x+6 D) E) x–6 x+7 8.4 e indicar el término independiente del cociente 3 A) B) C) 1 3 6 D) E) 9 –3 Dividir usando Horner 5y  9y 4  3y 6  10 y 3  3y  4  8y 2 10. 3y 3  2 y 2  5 y  4 D) E) TEMA: COCIENTES NOTABLES 5 e indicar la suma coeficientes del cociente A) B) C) Álgebra 0 1 –1 de Dividir usando Horner 31x 2  x 6  8x  5x 5  21 x 3  7  2x e indicar el coeficiente del término cúbico A) B) 0 1 CONCEPTO Son ciertos cocientes que se escriben por simple inspección. Cociente de la diferencia de cuadrados entre la suma o diferencia e los mismos Álgebra .C) –2 D) 3 E) 0 7. 1. sujetándose a reglas fijas y sin realizar la división. Hallar el cociente en: 3 D) x –3 E) 2x3+1 9. 2 2 3 C) –1 D) E) 2 –2 Dividir usando Ruffini 2x – 11x2 + 18x – 24 entre x.
2. x y Ejemplos: 1. =_____ X 5 2. . x2 4 3. 3. x 3  125 =_____ x 5 .  x 2  xy  y 2 . 6. Cociente dela suma o diferencia de cubos entre la suma o diferencia 1er caso xn yn  x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy 3  y 4 .  y n 1 . x y x y Ejemplos: 1. xn yn x y Se presentan 3 casos: Ejemplos: 1. 5. x5 y5  x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy 3  y 4 x y 2. . . . . xy Álgebra . 2. x3 y3 x3 y3  x 2  xy  y 2 . x6 y6  x 5  x 4 y  x 3 y 2  x 2 y 3  xy 4  y 5 x y 2. . En general: los cocientes notables son de forma x 2 1  x 1 x 1 4. . x y . Ejemplos: 1.  x 2 x 2 x 2  64 =_____ x 8 x 2  16 =_____ x 4 x 2  25 6.x2 y2 x y . Álgebra x3 8  x 2  2x  4 x 2 x 3  64  x 2  4x  16 x 4 x 3  27  x 2  3x  9 x x 4. x6 y6 =_____________ x y de los mismos 2do caso . x5 y5 =_____________ x y x 3  216 =_____ x 6 x 3  1000 =_____ x  10 xn  yn  x n 1  x n  2 y  x n  3 y 2  x n  4 y 3  . x y x2 y2 x y . x2 9  x 3 x 3 5.
 y n 1 . . . yK–1 Para que una expresión de la forma xm yp x6  y6  x 5  x 4 y  x 3 y 2  x 2 y 3  xy 4  y 5 xy 3. . n n 1 Sea cociente notable ante todo deberá cumplirse que: p m  n q 3er caso Se cumple sólo si n es impar . Rpta. xn yq x5 y5 =_____________ x y 4.2do caso El número de términos es xn  yn  x n 1  x n 2 . xn yn  x n 1  x n 2 y  x n 3 y 2  x n  4 y 3  . x5 y5  x 4  x 3y  x 2 y 2  xy 3  y 4 x y 2. . x y Ejemplos: 1. Efectuar x 5  32 y hallar la suma de x 2 5. . y 3 . . y 2  x n  4 . y  x n 3 . . x7 y7 =_____________ x y En general Sea: xn yn x y Álgebra PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Álgebra .  y n 1 . . . Desarrollar N   x  3 4  16 x 1 coeficientes del resultado Rpta. . xy El término de lugar “K” es: Ejemplos: Tk = xn–K . .
. Hallar el valor de “n” para que: x n  5  y n 2 sea Cociente x3 y2 Notable Rpta. Hallar x3 y2 14. Rpta. Hallar el término de lugar 34 en segundo ¿Cuál es la suma de coeficientes del desarrollo del cociente: x 7 1 x 1 Rpta. “m” 84x 4  1 3x  1 Rpta. Rpta. Hallar la suma de coeficientes del desarrollo de: 4. 9. 2. Cual es el tercer término en el cociente x 10  32y 5 x 2  2y Rpta. 3. Desarrollar E Hallar el término de lugar 25 en 12.N x 4  y P 4 Cual es el quinto término del desarrollo de: 64x 6  1 2x  1 Rpta. Desarrollar y dar el valor numérico del tercer término para x = 2 del siguiente Álgebra . Rpta. Si: x Calcular el tercer término de:  y m 1 . término Hallar el término central del desarrollo x 15  y 15 x3 y3 Efectuar: x  64y 6 e indicar el cuarto x  2y 6 Rpta. 8. sea C. Rpta. 7. Hallar el valor de “P” para que: x P 4  y 6 . Calcular el x 48  y 48 x y término de 125x 3  27 5x  3 11. 15. Rpta. PROBLEMAS PARA LA CASA 1. es C. 4. Rpta. x 40  a 40 x a  x  2 3  8 x Rpta. m 1 10.6. Álgebra 13.
Hallar el término de lugar término del desarrollo de: 47 en y8 x8 y x x 61  y 61 x y A) y4x3 B) y3x4 3 4 C) –y x D) –y4x3 E) x4y4 A) x13x15 B) x12y43 C) x14y46 D) x11y51 E) x15y40 Si: del desarrollo de: A) 3. x y y=2 A) B) C) 646 340 648 D) E) 343 548 Álgebra .N.  y n 2 . x x9 y9 x y Notable. del quinto término del desarrollo de x9 y9 . Calcular el cuarto término  3 4  16 x 1 A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 5.a40 Hallar el V. hallar “n” x3y3 3 3 B) –x y C) x4y4 D) –x2y3 E) –x3y2 Álgebra A) Calcular el quinto tercer 6. 2 C) 3 D) 4 E) 5 9. para que x = 3.a29 D) E) x6.Cociente Notable x 10  32y 5 x 2 x  2y A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 2. es un Cociente x3 y4 3n 1 7. x 36  a 36 x a 1 B) Hallar el término de lugar 30 en A) B) C) x5.a29 x6.a28 –x6.a30 x6.
que Hallar el valor de “K” para 10. x K 1  n 2 A) B) C) 1 1. de x 21  y 21 x 3K 2  n 16 . m2 + 6m + 9 = (m + 3) (m + 3) = (m + 3)2 POLINOMIO PRIMO O IRREDUCIBLE Un polinomio P(x) es primo o irreducible cuando no se puede descomponer en un producto de polinomios de grado positivo menor que el grado de P(x).5 2 D) E) 2m5 5 TEMA: FACTORIZACIÓN (I) Hallar el término central x y 3 CONCEPTO La Factorización es un procedimiento mediante el cual un polinomio se expresa como producto de sus factores. sea C. de 6 y 15 Álgebra Álgebra . MÉTODO DEL FACTOR COMÚN 1. Ejemplos: 1.D. 49 – 25x2 = (7 + 5x) (7 – 5x) 3. Factor Común Monomio Se determina el MCD de los coeficientes y se toma la variable común con el menor exponente. en caso contrario se dice que el polinomio es compuesto o reducible o no primo.N. Factorizar: 2.C. 5a + 5b = 5(a + b) 2.8. Factorizar 6x3 – 15x2 Hallamos el M. 3 A) B) C) x9y8 x8y9 x7y7 D) E) x9y9 x8y8 Ejemplo: 1.
15) = 3 5 PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Factorizar: 3x2y + 6xy2 – 3x2y2 Factorizar: Rpta. Factorizar: 9.C. Factor Común Polinomio El factor común es un polinomio. Factorizar: 3 Factorizar: –a – b + 2(a + b) Rpta. Factorizar: 1 – x + 2y(1 – x) Álgebra . El factor común de x 2 – x2y 2.D. (6. 1 1 x  5 5 Rpta. 2 2 18x + 6x y + 4xy – 10xy Álgebra Si: x – y = 5 Hallar mx + my y m = 4. Rpta. 24x3 – 16x2 + 8x Se procede de igual forma que en el caos anterior M. 7x + 7y El menor exponente de x es 2  el factor común es 3x2 Luego 3x2 (2x – 5) 3. 6. Rpta. 3. es: 2.(5x10) = 5 Factorizando tenemos 5(x –y) (a + 2b2) 7. Rpta.C. Ejemplo: 5a(x – y) + 10b2 (x – y) Factorizar 8. 4.6 3 15 2  M.D.
al factorizar. n2 m3n2 6. 11. Factorizar: 12n m4 – 18n3m7 1. Rpta. Factorizar: (ax – bx + cx) + (ay – by . 10.n m2n mn2 D) E) m2 . En la expresión 7x y + 14x3y2 El factor común es: 2 3 A) B) C) x2y2 7xy 7x2y2 D) E) x3y3 7x3y3 5. Rpta. Al factorizar 3 2 4 5 16z + 20z + 4z + 12z . 5. PROBLEMAS PARA LA CASA 15. Rpta. Si a – b = 5 y m = 4. Álgebra En la siguiente expresión x n + m3x2 + m5n4. Rpta. 13. Rpta. Factorizar: –x2y – 4x2 Factorizar: 4x y – 2x5 + 6x3y2 – 2x2y3 4 Rpta. hallar el valor de ma – mb A) B) C) 10 20 30 D) 15 Álgebra . el factor común es 2 3 A) B) C) m. 12. Factorizar: y3 + ny3 Rpta. Después de factorizar (3x+1) (2a+3) + (2a+3) (4x+2) Uno de los factores es: A) B) C) 7x–3 7x+3 7x+1 D) E) 7x–1 7x+5 5 2.cy) – a+b–c 14. se obtiene: Factorizar (a + b)x – (a + b)y – a – b Rpta.Rpta.
Si: x2 + y2 = 5. 9. 16 Si p + q = 3. Uno de los factores de: (a+2b) (2a+b) – (a–2b) (5b-3).E) 3. hallar el valor de (p + q)x + (p + q)y A) B) C) 16 3 48 D) E) 19 16 12 8. x + y = 16. a – b = 2. hallar el valor de: (m + n)a – (m + n)b A) B) C) 10 16 8 D) E) 4 5 Álgebra . Factorizar (a2 + b2) (x + y) + (a2 + b2) (x – 3y) + (a2 + b2) (y – 2x) Uno de los factores es: A) B) C) 10 15 17 A) B) x(a + b) x2(a + b) D) E) 9 5 C) D) x(a + b)2 –y(a2 + b2) E) x(a2 – b2) Si: m + n = 4. p + q = 3. es: A) B) 2a + 3b + 3 2a + b + 3 C) D) 2a – 4b + 3 2a +b E) 2a – b Álgebra 7. hallar el valor de: (p + q)x2 + (p + q)y2 10. Si factorizamos 9y2 – 81y el factor que no es monomio es: A) B) C) 9–y y2 – 9 y–9 D) E) y+9 9y 4.
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