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Timestamp: 2017-09-23 21:57:54+00:00

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Problemas de la circunferencia by Liliana Lizbeth - issuu
LA CIRCUNFERENCIA PROBLEMAS RESUELTOS
Problema Nº 01 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x
mQRS m∠PQS = 2
Q 70º+x
m∠PQS =
140º +2x = 70º + x 2
X + (X+70) + 50°= 180° Resolviendo la ecuación:
140° X = 30°
Problema Nº 02 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m∠ ∠HRS=20º; calcule la m∠ ∠QPR. RESOLUCIÓN PSQ = x
En el triángulo rectángulo RHS m ∠ S = 70º Por ángulo inscrito
70º = S
140° 20°
Es propiedad, que: P
140°+ X = 180°
Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior
APD = x A
130° + mBC = 90° 2
B 130°
130° − 50° X= 2 Resolviendo:
Problema Nº 04 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m∠ ∠APN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x N Dato: OM(radio) = PM
54° − X X= 2 Resolviendo:
Problema Nº 05 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m∠ ∠PRQ. RESOLUCIÓN B
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 70°+ mPQ = 180°
70° 110°
X= x A
B Medida del ángulo inscrito: 70 º =
Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x”
B mAB Medida del ángulo inscrito: 130 º = 2
Problema Nº 08 Calcule el perímetro del triángulo ABC.
Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 Reemplazando (1) en (2)
(1) (2) (2p) = 24
Problema Nº 09 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m∠ ∠QPR . PLANTEAMIENTO Q a 80º
RESOLUCIÓN Q a 80º
R En la circunferencia: S a
a − 80º 140º −80º X= = 2 2
Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD m∠ ∠Q = m∠ ∠S = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Q PLANTEAMIENTO 3
Teorema de Poncelet: PQR  a + b = PR+2(3) PSR  c + d = PR+2(2)
a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10
Contiene 16 problemas sobre la circunferencia

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 RESOLUCIÓN 
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