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Timestamp: 2020-02-18 01:35:10+00:00

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Invitation aux formes quadratiques | Clément de Seguins Pazzis | download
Главная Invitation aux formes quadratiques
Somme prodigieuse sur un chapitre trop souvent ignoré,cet ouvrage sur les formes
quadratiques livre au brillant taupin, à l'agrégatif tout comme au mathématicien
confirmé un choix impressionnant de sujets et de thèmes en relation avec ce domaine
capital. Démarrant avec les fondements, dans un cadre rigoureux et précis, Clément de
Seguins Pazzis nous guide, juste après les théorèmes de classification, vers les
premières applications géométriques des formes quadratiques que sont l'étude des
coniques et des quadriques. Il nous offre au passage une véritable introduction à la
géométrie affine et projective et une incursion inattendue du côté de la géométrie
différentielle, avec le lemme de Morse et la notion de courbure. L'auteur s'applique
ensuite à présenter, pour la première fois en France comme à l'étranger, la théorie des
formes quadratiques rationnelles dans une approche relativement élémentaire et
progressive, nombreux exemples et applications à l'appui. C'est l'occasion aussi d'une
introduction minutieuse aux corps p-adiques et aux théorèmes reliant les passages
local/global. L'étude algébrique couvre évidemment les théorèmes de Witt, les formes
de Pfister, les algèbres de Clifford et l'examen des groupes orthogonaux et spinoriels,
tous aussi chers aux géomètres qu'aux physiciens théoriciens. Cette « invitation aux
formes quadratiques » se termine sur une étude approfondie du cas de la
caractéristique 2, la plupart du temps méconnu ou escamoté dans les livres sur le sujet.
L'ouvrage, illustré par de magnifiques dessins, contient plus de neuf cents exercices
et problèmes, ainsi qu'un index extrêmement fourni. Le lecteur en appréciera le style
et la finition particulièrement soignés.
Издательство: Calvage & Mounet
ISBN 10: 2916352198
ISBN 13: 9782916352190
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Clément de Seguins Pazzis T Invitation aux formes quadratiques alvage & Mounet
Mathématiques en devenir 101. — Jacques Faraut. Analyse sur les groupes de Lie. Une introduction 102. — Patrice Tauvel. Corps commutatifs et théorie de Galois 103. — Jean Saint Raymond. Topologie, calcul différentiel et variable complexe 104. — Clément de Seguins Pazzis. Invitation aux formes quadratiques
Clément de Seguins Pazzis Invitation aux formes quadratiques Hh Calvage &; Mounet
Clément de Seguins Pazzis est professeur agrégé de Mathématiques en préparation MP* au lycée Sainte-Geneviève de Versailles. Ancien élève de l'ENS Ulm, il a soutenu une thèse de doctorat en 2004 sur la K-théorie topologique équivariante. Ses recherches actuelles portent sur la géométrie des espaces de matrices. dsp.prof@gmail.com http://dsp.prod.free.fr Mathematics Subject Classification (2010) : 11D09 Quadratic and bilinear équations 11D88 p-adic and power séries fields 11E04 Quadratic forms over gênerai fields 11E25 Sums of squares and représentations by other particular quadratic forms 11E39 Bilinear and Hermitian forms 11E57 Classical groups 11E81 Algebraic theory of quadratic forms ; Witt groups and rings 11E88 Quadratic spaces ; Clifford algebras 15A21 Canonical forms, réductions, classification 15A63 Quadratic and bilinear forms, inner products 15A66 Clifford algebras, spinors 15B10 Orthogonal matrices 51A05 General theory and projective geometries 51A50 Polar geometry, symplectic spaces, orthogonal spaces ISBN 978-2-91-635219-0 © Imprimé sur papier permanent II II II IIIIIIIII IIIIIIIIIIIII © Calvage & Mounet, Paris, 2010
à Stéphanie, et à mes parents,
Table des matières Partie 1. Théorie élémentaire des formes quadratiques I. La congruence matricielle 1. Définition de la relation de congruence 6 2. Congruence et matrices diagonales 7 3. Congruence et opérations élémentaires 8 4. Réduction de Gauss 9 5. Exercices 16 II. Formes quadratiques : définitions et exemples 1. Formes bilinéaires 24 2. Forme quadratique associée à une forme bilinéaire 29 3. Représentations d'une forme quadratique dans une base 32 4. Quelques exemples de formes quadratiques 34 5. Le problème de la classification 39 6. Exercices 42 III. Les objets associés à une forme quadratique 1. Le domaine 49 2. Dimension, noyau, rang 50 3. Cône isotrope et quadrique projective 52 4. Déterminants 53 5. Le groupe orthogonal 54 6. Facteurs de similitude, similitudes 56 7. Exercices 58 IV. L'orthogonalité pour une forme bilinéaire symétrique ou alternée 1. Noyau et rang d'une forme bilinéaire en dimension finie 64 2. La partie régulière 65 3. La relation d'orthogonalité entre vecteurs 67 4. L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel 69 5. Décomposition orthogonale d'une forme bilinéaire 73 6. Exercices 78 - vii -
Vlll Table des matières V. Diagonalisation d'une forme quadratique 1. Diagonalisation théorique 87 2. Mineurs principaux 91 3. La réduction de Gauss analytique 93 4. Exercices 96 VI. Formes quadratiques réelles et complexes 1. La classification sur C 100 2. La classification sur R 100 3. L'espace des formes réelles non dégénérées 107 4. Exercices 114 VII. Théorie de Witt (I) 1. Isotropie et plans quadratiques 121 2. Espaces hyperboliques 124 3. Sous-espaces totalement isotropes 127 4. Isotropie et domaine 130 5. Espaces hyperboliques de dimension 4 131 6. Exercices 132 VIII. Théorie de Witt (II) 1. Les théorèmes de Witt 137 2. Indice et partie anisotrope 142 3. Exercices 144 IX. Théorie de Witt (III) 1. La relation de Witt-équivalence 150 2. Les classifications sur C et R revisitées 151 3. Discriminant d'une forme quadratique 153 4. Application aux formes quadratiques sur les corps finis 155 5. Witt-équi valence et équivalence sur Q 161 6. Exercices 167 Partie 2. Géométrie et formes quadratiques X. Réductions dans les espaces euclidiens 1. Rappels : l'adjonction dans un espace euclidien 177 2. Le théorème spectral 181 3. Réduction des automorphismes orthogonaux 189 4. Réduction des endomorphismes normaux 193 5. Exercices 198
Table des matières ix XI. Le groupe orthogonal euclidien 1. Rappels sur les symétries orthogonales 210 2. Génération du groupe orthogonal par les réflexions 211 3. Centre et simplicité du groupe spécial orthogonal 214 4. Éléments de topologie de On(R) 217 5. Exercices 220 XII. Quadriques projectives et affines (I) 1. Quadriques projectives et affines : généralités 235 2. Quadriques et sous-espaces projectifs 242 3. Vers une classification des quadriques affines 253 4. Exercices 264 XIII. Quadriques projectives et affines (II) 1. La polarité par rapport à une quadrique propre 268 2. Formes quadratiques définissant une même quadrique 274 3. Le groupe d'une quadrique propre 279 4. Exercices 284 XIV. Coniques projectives 1. Modes de définition d'une conique projective propre 290 2. Le birapport sur une conique projective 294 3. Le groupe d'une conique propre 300 4. Exercices 303 Partie 3. Introduction à la théorie algébrique des formes quadratiques XV. Construction de nouvelles formes quadratiques 1. Le produit tensoriel de deux formes quadratiques 313 2. Extension du corps de base 318 3. Formes devenant isotropes par extension des scalaires 321 4. Exercices 328 XVI. Le groupe de Witt 1. Le groupe de Witt 334 2. Le groupe de Witt-Grothendieck 338 3. Invariants élémentaires associés au groupe de Witt-Grothendieck 342 4. De Witt-Grothendieck à Witt 344 5. Présentation de W(K) et W(K) 347 6. Exercices 354
X Tabie des matières XVII. Le groupe W(Q) 1. Construction des invariants dp 360 2. La structure de W(Q) 364 3. Exercices 370 XVIII. Formes quadratiques p-adiques, principe de Hasse 1. Une introduction élémentaire aux nombres p-adiques 372 2. Du rationnel au p-adique 376 3. Résolution de x2 = a dans Qp 379 4. Formes quadratiques sur Qp 382 5. Application aux sommes de carrés d'entiers 390 6. Exercices 393 XIX. L'anneau de Witt 1. Les anneaux W(K) et W(K) 402 2. Puissances itérées de l'idéal fondamental 407 3. L'invariant de Hasse 409 4. Symbole de Hasse sur les Qp 413 5. L'invariant de Witt 420 6. Exercices 424 XX. Formes multiplicatives, formes de Pfister 1. Formes multiplicatives 430 2. Seconde approche de la multiplicativité des formes de Pfister . . 435 3. Caractérisations des formes de Pfister 439 4. Exercices 450 Pcirtie 4. Groupes orthogonaux, algèbres de Clifford et groupes spinoriels XXI. Étude élémentaire du groupe orthogonal 1. Rappels et compléments élémentaires 458 2. Génération par les réflexions 462 3. Groupe orthogonal en dimension 2 466 4. Centre et groupe dérivé de 0(q) et SO(q) 470 5. Exercices 475 XXII. Norme spinorielle 1. Définition de la norme spinorielle 483 2. Norme spinorielle pour une forme réelle isotrope 486 3. Norme spinorielle et groupe dérivé de 0(q) 491 4. Exercices 492
Table des matières xi XXIII. Algèbres Z/2-graduées 1. Définition et exemples élémentaires 497 2. Produit tensoriel d'algèbres Z/2-graduées 499 3. Exercices 501 XXIV. Construction des algèbres de Clifford 1. Construction et propriétés élémentaires 506 2. Dimension et base de l'algèbre de Clifford 513 3. Partie paire et centre d'une algèbre de Clifford 519 4. Exercices 522 XXV. Calcul des algèbres de Clifford 1. Algèbres de Clifford en petite dimension 526 2. Théorèmes de structure sur les algèbres de Clifford 535 3. L'algèbre de Clifford d'un espace hyperbolique 539 4. Calcul des algèbres de Clifford réelles et complexes 542 5. Exercices 545 XXVI. Théorie des groupes spinoriels 1. Le groupe de Clifford 560 2. Norme de Clifford, groupes spinoriels 564 3. Considérations topologiques sur les groupes spinoriels 568 4. Exercices 570 XXVII. Groupes spinoriels en dimensions 2, 3 et 4 1. Outils supplémentaires pour le calcul des groupes spinoriels . . . 574 2. Groupes spinoriels en dimension 2 576 3. Groupes spinoriels en dimension 3 581 4. Groupes spinoriels en dimension 4 587 5. Simplicité de Pft(<?) 594 6. Exercices 595 XXVIII. Groupes spinoriels en dimensions 5 et 6 1. Identification explicite d'une algèbre de Clifford 606 2. Groupes spinoriels en dimension 5 612 3. Groupes spinoriels en dimension 6 616 4. Exercices 625 XXIX. L'invariant de Clifford 1. Le groupe de Brauer 633 2. L'invariant de Clifford 635 3. La 2-torsion du groupe de Brauer 635 4. Invariant de Clifford vs invariant de Witt standard 639 5. Exercices 641
Xll Table des matières Partie 5. Formes quadratiques en caractéristique 2 XXX. Introduction aux formes quadratiques en caractéristique 2 1. Formes quadratiques, forme polaire associée 646 2. Espaces quadratiques 647 3. Représentations d'une forme quadratique 648 4. Orthogonalité et formes quadratiques 652 5. Formes quadratiques totalement dégénérées 653 6. Exercices 655 XXXI. Formes alternées, groupe symplectique 1. Formes alternées 658 2. Bases symplectiques, lagrangiens 660 3. Le groupe symplectique 665 4. Exercices 674 XXXII. Formes quadratiques régulières en caractéristique 2 1. Considérations élémentaires 686 2. Étude des plans quadratiques réguliers 689 3. Isotropie, espaces hyperboliques 693 4. L'invariant de Arf en dimension quelconque 697 5. Les théorèmes de Witt dans le cas régulier 701 6. Exercices 707 XXXIII. Sp4(F2) et les formes quadratiques de dimension 4 sur F2 1. Action de Sp4(F2) sur un ensemble de formes quadratiques . . . 716 2. Les deux groupes orthogonaux en dimension 4 718 3. À la recherche d'un automorphisme extérieur de Sp4(F2) .... 720 4. Exercices 728 XXXIV. Introduction au groupe orthogonal — l'invariant de Dickson 1. Théorème de Witt généralisé, réflexions 736 2. Algèbres de Clifford en caractéristique 2 740 3. L'invariant de Dickson 747 4. Compléments 750 5. Exercices 754 XXXV. Formes bilinéaires symétriques en caractéristique 2 1. Considérations élémentaires 772 2. Diagonalisation des formes bilinéaires symétriques anisotropes . 773 3. Réduction théorique des formes bilinéaires symétriques 775 4. Classification complète des formes bilinéaires symétriques .... 780 5. Algorithme de calcul d'une forme réduite 784 6. Exercices 786
Table des matières xiii A. Compléments d'algèbre linéaire 1. Espaces vectoriels quotients 791 2. Dualité en dimension finie 792 B. Compléments de théorie des groupes 1. Produits semi-directs 797 2. Suites exactes 798 C. Le symbole de Legendre 1. Définition et résultats essentiels 801 D. Éléments de géométrie projective 1. Espaces projectifs, homographies 807 2. Sous-espaces projectifs 809 3. Liaison affine-projective 811 4. Repères projectifs, coordonnées homogènes 813 5. Droites projectives, birapport 816 6. Dualité dans le plan projectif 818 E. Le corps El des quaternions 1. Définition 821 2. Base canonique de El 821 3. Quelques parties remarquables de El 822 F. Produits tensoriels d'espaces vectoriels et d'algêbres 1. Produit tensoriel d'espaces vectoriels 825 2. L'algèbre tensorielle d'un espace vectoriel 835 3. Produit tensoriel de deux K-algèbres 838 Bibliographie 843 Notations 845 Index 855
Avant-propos Prérequis Le présent ouvrage est écrit pour des étudiants du L3 de Mathématiques (l'ancienne Licence) jusqu'au Ml (l'ancienne maîtrise). Il regroupe des cours qui sont généralement enseignés entre le premier semestre du L3 et le premier semestre du M2. Il est accessible plus généralement à n'importe quel étudiant ayant eu un cours d'algèbre linéaire et matricielle niveau L2 ainsi qu'un cours de théorie des groupes niveau L3 : nous tenons en particulier pour incontournable le langage des actions de groupes et l'utiliserons partout où il éclairera les situations que nous rencontrerons. Nous avons inclus en annexe un exposé sur la dualité en dimension finie ainsi que quelques pages sur les produits semi-directs. Pour le reste, un minimum de connaissance en topologie est nécessaire dans certaines parties de l'ouvrage, mais nous avons mis plutôt l'accent sur les méthodes d'algèbre linéaire et de théorie des groupes. Exceptionnellement, nous ferons appel à des théorèmes élémentaires de géométrie différentielle et, dans des chapitres avancés, nous ferons quelques allusions au groupe fondamental d'un espace topologique et serons amenés à utiliser (avec modération) le langage des catégories. Compte tenu des programmes actuels des classes préparatoires sur le sujet (tout embryon de théorie générale y a essentiellement disparu), aucune connaissance préalable sur les formes quadratiques n'est ici attendue, sinon celle du cas particulier des espaces euclidiens. - xv -
XVI Avant-propos Structure et contenu Le présent ouvrage est un livre de cours et d'exercices. Chacun des trente cinq chapitres est suivi d'exercices d'application directe et d'approfondissement, et parfois même de problèmes : classés par sous-section, ils ont été conçus pour pouvoir être abordés sans avoir lu l'intégralité du cours auxquels ils sont rattachés. Nous n'en avons pas fourni de correction détaillée, d'une part par manque de place, et d'autre part pour ne pas brider l'inventivité du lecteur, dont nous espérons qu'il saura nous pardonner. Le thème central de l'ouvrage est la théorie des formes quadratiques, c'est- à-dire des fonctions polynomiales homogènes du second degré à plusieurs variables. À l'intérieur de cette théorie, nous nous sommes imposés deux limites essentielles : • les formes quadratiques considérées sont définies sur des espaces vectoriels de dimension finie, et nous ne discuterons donc pas des espaces préhilbertiens réels et des espaces de Hilbert réels ; • en conséquence, nous n'étudions les formes quadratiques que sur des corps (commutatifs). Nous ne parlerons donc ni de réseau, ni de formes quadratiques sur des groupes abéliens finis, et ne développons pas non plus la théorie des formes quadratiques sur Z (on obtiendra néanmoins des propriétés de ces dernières à l'aide de la théorie des formes quadratiques rationnelles). Ces limitations étant acceptées, nous avons souhaité présenter au lecteur le panorama le plus large possible de la théorie des formes quadratiques, en approfondissant chaque domaine d'étude. Dans les quatre premières parties de l'ouvrage, on ne s'intéresse qu'aux corps de caractéristique différente de 2, l'étude de la caractéristique 2 faisant l'objet de l'ultime partie, qui comporte également une discussion approfondie des formes alternées sans restriction de caractéristique. La première partie du présent livre constitue son cœur : c'est le socle minimal de connaissances qu'un bon agrégatif doit posséder sur la théorie de la réduction des formes quadratiques. À partir de celle-ci, le lecteur pourra rayonner en abordant n'importe laquelle des autres parties, qui sont essentiellement indépendantes les unes des autres.
Avant-propos xvn Partie 2 >w f Partie 3 Géométrie ) V Théorie algébrique Partie 1 Théorie générale f Partie 4 >. f Partie 5 >. V Groupe orthogonal ) V Caractéristique 2 J Les seules dépendances qui existent entre celles-ci sont les suivantes. • Dans la quatrième partie, l'ultime chapitre (chapitre XXIX) fait le lien avec la théorie développée au chapitre XIX de la troisième. • La seconde moitié du chapitre XXXIV nécessite, pour être abordée, d'avoir déjà survolé les chapitres XXIII, XXIV et XXV de la quatrième partie. Dans notre première partie, nous présentons la théorie générale de classification des formes quadratiques en dimension finie sur un corps K de caractéristique différente de 2. Pour réduire une telle forme quadratique, la première étape est le procédé de Gauss permettant de séparer les variables pour se ramener à une forme diagonale, i.e. une forme du type (xi,...,xn) i-> a\x\ + a2xl H Yanx\. À partir de là, les propriétés arithmétiques du corps K entrent en jeu pour déterminer quelles sont les classes d'équivalence des formes diagonales. Les théorèmes de Witt permettent en revanche d'aller plus loin et montrent qu'il suffit de classifier les formes anisotropes, i.e. celles qui ne s'annulent qu'en le vecteur nul. La classification des formes hyperboliques est, à l'opposé, commune à tous les corps, ce qui lui donne un statut similaire à celui de la réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents à l'intérieur de la réduction des endomorphismes. Nous avons choisi de commencer par présenter le problème sous l'angle matriciel, ce qui nous permet immédiatement de donner le théorème
XV111 Avant-propos de réduction de Gauss à la fois pour les matrices symétriques et les matrices antisymétriques. Nous développons ensuite plus spécifiquement la théorie des formes quadratiques, en introduisant tous les objets qui gravitent autour, et mettons en place la notion d'orthogonalité et ses propriétés, simultanément pour une forme bilinéaire symétrique et une forme bilinéaire alternée (ce qui a son utilité en vue de la caractéristique 2). Nous retrouverons ensuite le théorème de réduction de Gauss, reformulé en termes de bases orthogonales, et en donnerons quelques applications subtiles. La réduction de Gauss sera ensuite appliquée pour classifier les formes quadratiques sur C (ce qui est assez immédiat), puis sur K. (ce qui est un peu plus délicat et fait intervenir la notion de signature) : dans le cas réel, on orientera l'étude vers des considérations topologiques sur l'espace des formes quadratiques sur un R-espace vectoriel donné, ce qui débouche sur l'important lemme de Morse, qui justifie l'intérêt des formes quadratiques réelles pour l'étude locale de sous-variétés de Rn. Les propriétés plus spécifiques aux espaces euclidiens, en particulier le théorème spectral, ne sont abordées que dans la deuxième partie de l'ouvrage. La fin de la première partie est constituée des trois chapitres exposant la théorie de réduction de Witt. On commencera par des résultats élémentaires sur l'isotropie, en particulier le principe de gonflement d'un sous-espace totalement isotrope en un sous-espace hyperbolique de dimension double. On établira ensuite les théorèmes de Witt sous leurs différentes formes, et l'on terminera en introduisant la relation de Witt-équivalence entre formes quadratiques. Cette dernière sera utilisée pour classifier les formes quadratiques sur les corps finis et énoncer un test de congruence pour des matrices symétriques à coefficients rationnels (sa difficile démonstration est repoussée à la troisième partie). La deuxième partie est consacrée à la géométrie et structurée autour de deux grands thèmes : les espaces euclidiens, puis les quadriques projectives et affines sur un corps arbitraire. Les deux premiers chapitres complètent les connaissances acquises avant le L3 sur les espaces euclidiens. Nous y approfondissons la signification et les applications du théorème spectral en tirant le plus grand profit du point de vue « réduction simultanée de deux formes quadratiques ». Nous démontrons également les théorèmes de réduction des automorphismes orthogonaux, et plus généralement des endomorphismes normaux. Dans un deuxième chapitre, on s'intéresse à la structure algébrique et topologique des groupes orthogonaux euclidiens. Les trois chapitres suivants sont consacrés aux quadriques projectives et affines : les deux premiers exposent la théorie générale, les quadriques projectives et affines étant définies de manière conjointe pour pouvoir appliquer systématiquement aux quadriques affines chaque résultat sur
Avant-propos xix les quadriques projectives. Les questions majeures qui retiendront notre attention sont les suivantes. (i) Comment lire les propriétés d'une forme quadratique q sur la quadrique projective associée à q ? (ii) Quelles relations unissent deux formes quadratiques ayant la même quadrique projective associée ? (iii) Quelles sont les orbites de l'ensemble des quadriques projectives (resp. affines) d'un espace projectif (resp. affine) sous l'action du groupe projectif (resp. affine) ? (iv) Quel est le groupe d'une quadrique projective (resp. affine), c'est-à- dire le stabilisateur de celle-ci sont l'action du groupe projectif (resp. affine) ? Le dernier chapitre est consacré à l'étude plus spécifique des coniques projectives, et l'on y démontre quelques résultats des plus classiques sur le sujet (birapport sur une conique projective, théorème de Pascal, calcul du groupe d'une conique projective). Nous avons volontairement décidé de ne pas parler des coniques euclidiennes, car elles sont en principe déjà bien connues du lecteur. La troisième partie est consacrée au sujet de recherche actuel le plus brûlant dans le domaine des formes quadratiques : la théorie algébrique. L'objet essentiel de cette théorie est le groupe de Witt W(K) du corps K, qui est l'ensemble des classes d'équivalence de formes anisotropes (de dimension finie) sur K : sa structure code le comportement des formes quadratiques à équivalence près vis-à-vis de l'addition orthogonale. Les formes quadratiques rationnelles, dont nous démontrerons les propriétés à l'aide des résultats de théorie algébrique, constitueront le fil conducteur de cette partie. Après un premier chapitre où l'on introduira le produit tensoriel des formes quadratiques et l'extension des scalaires pour une forme quadratique, nous définirons et étudierons le groupe de Witt et le groupe de Witt-Grothen- dieck associés à un corps. Nous éluciderons la structure de W(Q), ce qui fournira une preuve du test de congruence pour des matrices symétriques rationnelles. Nous analyserons ensuite les formes quadratiques sur les corps p-adiques Qp, ce qui débouchera sur le principe de Hasse qui permet de tester si une forme quadratique rationnelle est isotrope. La démonstration du principe de Hasse nécessitera l'introduction de la structure d'anneau sur W(K), issue de considérations sur les produits tensoriels, et la construction, à l'aide de cette structure, d'invariants associés à une forme quadratique non dégénérée. Le dernier chapitre de cette partie est consacré aux formes quadratiques multiplicatives, dont les formes de Pfister, ô combien importantes pour analyser la structure de l'anneau de Witt W(K).
XX Avant-propos Notre quatrième partie est centrée sur l'étude du groupe orthogonal d'une forme quadratique non dégénérée en dimension finie. De nombreux résultats peuvent être obtenus en utilisant les théorèmes de Witt et le fait que le groupe orthogonal est engendré par les réflexions : ils sont développés dans le premier chapitre. À un niveau plus élevé, l'étude du groupe orthogonal nécessite l'introduction de nouveaux objets, comme la norme spinorielle. Cette dernière est étudiée au chapitre suivant en admettant son existence dans le cas général (nous nous contenterons provisoirement d'une démonstration dans le cas réel à l'aide d'outils topologiques, ce qui est déjà suffisamment intéressant). Sa construction nécessite en toute généralité l'introduction des algèbres de Clifford et une étude approfondie de celles-ci, ce qui occupera le deuxième tiers de cette partie. Cette étude débouchera sur la construction des groupes spinoriels : nous nous efforcerons à cette occasion de montrer comment les résultats de structure sur les algèbres de Clifford peuvent être mobilisés pour mettre en évidence des isomorphismes « exceptionnels » entre les groupes orthogonaux et d'autres groupes classiques, et nous pousserons cette étude jusqu'à la dimension 6. Nous achèverons cette partie par la mise en évidence d'un lien entre les algèbres de Clifford et l'invariant de Witt construit dans le chapitre XIX, en introduisant le groupe de Brauer du corps K. L'ultime partie de notre livre est consacrée à la théorie, aussi exotique que méconnue, des formes quadratiques sur un corps de caractéristique 2. Dans cette théorie, la plupart des repères sont initialement brouillés : formes quadratiques et formes bilinéaires symétriques ne marchent plus main dans la main (en fait, leurs réductions sont très différentes), la forme polaire d'une forme quadratique étant toujours alternée. Néanmoins, après avoir remplacé les droites anisotropes par des plans non dégénérés comme objets irréductibles, les principaux résultats ressemblent étrangement à ceux connus en caractéristique différente de 2. Le discriminant d'une forme quadratique est ainsi remplacé par un pseudo-discriminant, encore appelé invariant de Arf, et le déterminant des automorphismes orthogonaux est remplacé par un pseudo-déterminant, encore appelé invariant de Dickson. Transposée en caractéristique 2, la théorie de réduction de Witt tient remarquablement l'eau, tout comme la plupart des résultats sur le groupe orthogonal, les réflexions étant maintenant des transvections. Dans toute cette théorie, une bonne connaissance des formes symplectiques s'avère indispensable, et c'est pourquoi nous avons réalisé une étude approfondie de celles-ci dès le deuxième chapitre de cette partie. On développera la classification des formes quadratiques non dégénérées en caractéristique 2, puis on étudiera les groupes orthogonaux (ce qui nécessite déjà une bonne expérience de la situation en caractéristique différente de 2). Entre ces
Avant-propos xxi deux chapitres, nous avons introduit un exposé récréatif montrant comment exploiter la classification des formes quadratiques sur F2 pour étudier le groupe symplectique Sp4(F2). La classification des formes bilinéaires symétriques en caractéristique 2 est enfin développée dans l'ultime chapitre, qui est totalement indépendant des trois précédents et répond à des questions soulevées dans le tout premier chapitre du présent ouvrage. Les appendices sont constitués d'exposés sur des notions qui peuvent être connues du lecteur et ne font pas partie stricto sensu de la théorie des formes quadratiques, mais qui s'avèrent indispensables dans certaines parties de cet ouvrage. L'appendice A consiste en un rappel sur la notion d'espace vectoriel quotient et un bref exposé sur l'orthogonalité en dualité : il est très utile pour développer la théorie de l'orthogonalité par rapport à une forme bilinéaire symétrique ou alternée. Dans l'appendice B, on définit brièvement la notion de produit semi-direct de deux groupes et de suite exacte courte de groupes. L'appendice C est consacré au symbole de Legendre et la loi de réciprocité quadratique, permettant de tester si l'équation x2 = a admet une solution dans Z/pZ. Cela peut être utile à la toute fin de la première partie pour faire des calculs pratiques avec des formes quadratiques sur Z/pZ. Nous utiliserons davantage encore les propriétés du symbole de Legendre dans la troisième partie lorsque nous étudierons les formes quadratiques rationnelles. L'appendice D est essentiellement un formulaire où nous avons rappelé sans démonstration les définitions et résultats de bases en géométrie projective. Il est indispensable de s'y référer pour aborder tous les chapitres consacrés aux coniques et aux quadriques. L'appendice E consiste en une définition du corps des quaternions et des objets qui gravitent autour (le corps II y est défini comme une R-sous- algèbre particulière de A^C)). Nous utiliserons les quaternions lors des chapitres sur les algèbres de Clifford et les groupes spinoriels (ils constituent déjà un exemple d'algèbre de Clifford). Enfin, dans l'appendice F, nous définissons et donnons les propriétés importantes des produits tensoriels d'espaces vectoriels (de dimension finie), puis des produits tensoriels de K-algèbres, et terminons par une discussion sur les K-algèbres centrales simples. Les résultats de cet appendice sont constamment utilisés lors de la définition et de l'étude des algèbres de Clifford dans la quatrième partie.
XX11 Avant-propos Note historique La théorie des formes quadratiques trouve ses origines dans deux préoccupations majeures des premiers mathématiciens : la géométrie et l'arithmétique. Jusqu'au XIXème siècle, ils s'y intéressent via l'étude des coniques réelles (affines, projectives, et euclidiennes), des espaces euclidiens, et des formes binaires (i.e. à coefficients entiers). Citons, de la fin du XVIIIème au début du XIXème siècle, les travaux de Lagrange puis Gauss qui déterminent successivement les entiers sommes de quatre, puis deux et trois carrés. À cette époque, on considère exclusivement les formes quadratiques sur R, C et Q. Au milieu du XIXème siècle, l'invention des quaternions par Hamilton éclaire d'un jour nouveau la géométrie des espaces euclidiens de dimension 3 et 4, et l'on se met à étudier les groupes orthogonaux réels et complexes grâce aux algèbres de Clifford nouvellement créées, puis à considérer les formes quadratiques sur des corps finis (travaux de Jordan sur les corps premiers, puis de Dickson à la toute fin du XIXème siècle, sur un corps fini quelconque). Il faut attendre le début du XXème siècle pour voir la théorie « exploser ». Plusieurs avancées majeures interviennent en effet à cette période. La physique théorique (dont la naissante théorie de la relativité) souligne l'importance de l'étude du groupe orthogonal d'une forme quadratique réelle isotrope, en particulier la forme de Lorentz de signature (1,3). L'invention des nombres p-adiques par Hensel, puis les travaux subséquents de Minkowski et Hasse sur les formes quadratiques p-adiques et les réseaux, ouvrent la voie à l'analyse systématique des formes quadratiques rationnelles (leur étude se ramène à des calculs dans les corps finis premiers Fp). Enfin, les travaux de Witt1 révolutionnent le sujet en mettant à disposition des techniques géométriques (alors que la plupart des moyens d'étude précédents étaient fondés sur des techniques topologiques et arithmétiques) pour étudier les formes quadratiques et leurs groupes orthogonaux sur un corps arbitraire (de caractéristique différente de 2). Dieudonné les utilise en particulier pour étudier complètement les groupes orthogonaux des formes régulières isotropes. L'un des apports majeurs de Witt est son théorème de classification : il montre que la théorie des formes hyperboliques est indépendante du corps de base (cela en fait une sorte d'équivalent de la réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents). De plus, toute forme quadratique régulière se décompose de manière essentiellement unique comme somme orthogonale d'une forme hyperbolique et d'une forme anisotrope. 1 scandale, selon Dieudonné, que des énoncés aussi simples et élégants furent démontrés si tardivement ; il fallut tout de même attendre les années 1930 !
Avant-propos xxin Il reste alors à classifier les formes anisotropes! C'est l'objet de la théorie dite algébrique des formes quadratiques qui naît avec Witt et étudie le groupe W(K) du même nom. C'est actuellement un domaine de recherche très actif, à la frontière entre arithmétique, géométrie et algèbre. Citons, dans la seconde moitié du XXème siècle, les travaux de Cassels et Pfister sur l'extension d'une forme quadratique à un corps de fractions rationnelles, et de Pfister sur les formes multiplicatives, dont son spectaculaire théorème selon lequel le produit de deux sommes de 2n carrés dans un corps est toujours une somme de 2n carrés. Dernièrement, les formes quadratiques ont connu de nouveaux développements, en particulier à l'aide de Voevodsky qui, grâce à sa théorie de la cohomologie motivique, a démontré les conjectures de Milnor liant les quotients In (K)/In+1 (K) (des puissances de l'idéal fondamental /(K) de l'anneau de Witt) aux groupes de cohomologie galoisienne de K à coefficients dans F2. La théorie des formes quadratiques et bilinéaires en caractéristique 2 fut quant à elle développée plus discrètement dans la seconde moitié du XXème siècle : Arf étudia les formes quadratiques sur F2 et appliqua ses résultats à la théorie des nœuds, et Milnor classifia les formes bilinéaires symétriques en caractéristique 2. Enfin, la structure des groupes orthogonaux dans ce cadre fut élucidée quelques années après les découvertes de Arf par le décidément incontournable Dieudonné. Remerciements En premier lieu, je tiens à remercier chaleureusement Rached Mneimné, sans qui cet ouvrage n'aurait jamais vu le jour : il en a lancé le projet en me confiant la première ébauche de son « Formes quadratiques. Une introduction, et au delà » [Mn-N] —dont le lecteur reconnaîtra sans peine l'influence déterminante sur les pages qui suivent— et il a su l'accompagner tout au long de sa douloureuse rédaction par ses conseils et son soutien indéfectible. Je souhaite associer à ces remerciements François Moulin, Jean-Bruno Durand, Saab Abou-Jaoudé et, côté éditeur, Alberto Arabia, Vincent Beck et Ahmed Laghribi. Leur relecture minutieuse et leurs conseils avisés ont permis d'améliorer notablement la qualité de ce livre. Enfin, et de manière plus personnelle, je ne saurais témoigner assez de gratitude envers Nicolas Tosel pour la confiance qu'il a su m'insuffler, et, last but not least, envers Stéphanie qui a eu la patience et la bonté d'âme de m'épauler pendant la plus grande partie du projet : je lui dédie en priorité cet ouvrage.
Conventions et notations Dans cet ouvrage, les corps sont tous supposés commutatifs, sauf mention expresse du contraire. La notation K désignera en général un tel corps. Nous parlerons de corps gauche pour désigner un corps que Ton ne suppose pas commutatif a priori • Conformément aux standards de la théorie des catégories, la notation / : X ^ Y signifiera que / désigne une application injective de X dans y, et la notation / : X -» Y signifiera que / désigne une application surjective de X dans Y. • La caractéristique d'un corps K est notée car(K). • Étant donné un anneau A: on notera M.n,p(A) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans A, et Ain(A) l'anneau des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans A. • Vn(K) désignera l'ensemble des matrices diagonales de .Mn(K). • 7^+(K) (respectivement 7^++(K)) désignera l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. triangulaires supérieures strictes) de Mn(K). • 7^~(K) (respectivement Tn (K)) désignera l'ensemble des matrices triangulaires inférieures (resp. triangulaires inférieures strictes) de Mn(K). • <Sn(K) désignera l'ensemble des matrices symétriques de A1n(K). • Lorsque K est de caractéristique différente de 2, on notera *An(K) l'ensemble des matrices antisymétriques de A/tn(^)- • La transposée d'une matrice M sera notée tM. • La trace d'une matrice carrée M sera notée tr(M), son rang rg(M), et son déterminant det(M). • Étant donné des éléments a±,..., an du corps K, on notera D(a±,..., an) la matrice diagonale de .Mn(K) dont les coefficients diagonaux sont ai,..., an (dans cet ordre). • On notera In la matrice identité de ./Vfn(IK), i.e. la matrice diagonale de A^n(^) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1. -1-
2 Conventions et notations • Lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguité sur l'ordre n considéré, on notera Eij la matrice de M.n(K) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui en position (i,j) qui vaut 1. • Lorsque E et F désigneront deux espaces vectoriels, on notera £(E, F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F. En particulier, C(E) désignera l'anneau des endomorphismes de E. • Étant donné E et F deux K-espaces vectoriels munis de bases respectives B et C, et u une application linéaire de E dans F, on notera Mb,c(w) la matrice associée à u dans les bases B et C. En particulier, si E — F, on notera Mb(u) := Mb,b(w). • Lorsque E désignera un K-espace vectoriel, on notera GL(E) l'ensemble des automorphismes de F, et lorsque E est de dimension finie, on notera SL(jB) l'ensemble des automorphismes de E dont le déterminant vaut 1. On notera respectivement PGL(F) et PSL(F) les groupes quotients de ces derniers par leurs centres respectifs. • On note GLn(K) le groupe des matrices inversibles de A/(n(K), et SLn(K) le groupe des matrices de déterminant 1 de .Mn(K). On notera respectivement PGLn(K) et PSLn(K) les groupes quotients de ces derniers par leurs centres respectifs. La notation GL+(R) (resp. GL~ (R)) désignera l'ensemble des matrices inversibles réelles de M.n(M) dont le déterminant est strictement positif (resp. strictement négatif). • Étant donné un groupe G, on notera Z{G) son centre et D(G) son sous-groupe dérivé. Le centre d'une algèbre A sera noté Z(A). • On note TLjn l'ensemble des classes d'équivalence d'entiers pour la congruence modulo n (nous préférons cette notation plus légère à la notation Z/nZ, certes plus répandue).
Première partie Théorie élémentaire des formes quadratiques -3-
Chapitre I La congruence matricielle Dans ce chapitre, K désignera un corps quelconque. Nos objectifs sont ici les suivants. • Définir brièvement la notion de congruence matricielle et brosser un tableau rapide de ses propriétés les plus élémentaires : préservation du rang, du caractère symétrique ou antisymétrique, et de la classe du déterminant modulo le groupe des carrés de K*. • Établir le théorème de réduction de Gauss pour les matrices symétriques et les matrices antisymétriques. Dans cette optique, nous donnons d'abord les résultats les plus évidents sur les classes de congruence de matrices diagonales dans le paragraphe 1-2. Notre approche de la réduction de Gauss est fondée sur les opérations élémentaires matricielles. On introduit pour cela la notion d'opération symétrique élémentaire sur les rangées d'une matrice (paragraphe 1-3), qui est naturellement adaptée à la relation de congruence, puis le théorème de réduction est donné sous une forme générale (en caractéristique quelconque), dont découlent sans peine le cas des matrices symétriques et celui des matrices antisymétriques sur un corps de caractéristique différente de 2 (le cas de la caractéristique 2 est abordé dans les exercices de fin de chapitre et intégralement traité dans la dernière partie de cet ouvrage). Nous illustrerons ces résultats par quelques exemples pratiques de réduction. -5-
I. La congruence matricielle 1. Définition de la relation de congruence 1.0.1. Définition. Soit n G N* et A et B deux matrices de A1n(K). On dit que A est congruente à £?, et l'on écrit A « £?, lorsqu'il existe une matrice inversible P G GLn(K) telle que A = PBtP. La règle (P,M)*—*PMtP définit une action à gauche du groupe GLn(K) sur Mn(K). Deux matrices de Mn(K) sont congruentes si et seulement si elles sont conjuguées sous cette action, si bien que la congruence est une relation d'équivalence sur Mn(K). Ses classes d'équivalence, qui sont également les orbites pour l'action précédente, sont appelées les classes de congruence. Comme conséquences quasi-immédiates de la définition, on se doit de citer les propriétés élémentaires —et incontournables— suivantes. • Deux matrices congruentes ont même rang. • Les déterminants de deux matrices congruentes sont liés par un facteur carré non nul de K : autrement dit, étant donné deux matrices congruentes A et B de Mn(K), il existe un élément À de K* tel que detA = À2det£. • Toute matrice congruente à une matrice symétrique est symétrique. • Toute matrice congruente à une matrice antisymétrique est antisymétrique. Les deux derniers résultats se déduisent en effet facilement de l'identité : V(P,M)GK(K)2, t(PMtP)=PtMtP. Le résultat sur les déterminants indique qu'un invariant potentiellement intéressant associé à la classe de congruence d'une matrice inversible A G GLn(K) est la classe du scalaire detA dans le groupe quotient K*/(K*)2 (on a ici noté (K*)2 l'ensemble des carrés des éléments de K*, et non pas le carré cartésien de K*). Lorsque K = C, cet invariant n'a aucun intérêt ; lorsque K = R, c'est le signe du déterminant, et il permet par exemple de constater que les matrices J et I 1 ne sont pas congruentes sur R, bien qu'elles aient même rang.
j2. Congruence et matrices diagonales 7 1.0.2. Remarque. Nous prouverons ultérieurement que si tout élément de K est un carré, par exemple si K = C, alors deux matrices symétriques ayant même rang sont congruentes (et cette propriété caractérise les corps dans lesquels tout élément est un carré). Ce résultat est faux sur R, comme on vient de le voir. 2. Congruence et matrices diagonales Considérons une matrice diagonale A = D(ai,..., an) G .Mn(K). • En utilisant comme matrice de passage la matrice diagonale inversible P = jD(Ài, ..., An) (c'est-à-dire en faisant agir P sur A), on obtient la congruence D{\\ ai,..., An On) « JD(ai,..., an), pour n'importe quel n-uplet (Ai,...,An) G (K*)n. La classe de congruence d'une matrice diagonale ne dépend donc que des classes de ses coefficients diagonaux dans l'ensemble quotient K/(K*)2 (on fait agir (K*)2 sur K par multiplication à gauche). Par exemple, les matrices (j J) et ("J J) = (£ J) sont congruentes dans A^C) (bien qu'elles ne le soient pas dans A^R), ce qu'un calcul simple permet d'établir : cf. exercice I-l). • Pour n'importe quelle permutation a G 6n, on obtient la congruence -^(«cr(i), - - -, «cr(rt)) ~ £>(ai,...,an), en utilisant, bien sûr, comme matrice de passage la matrice de permutation P = (5<7(i),j)l<i,j<n- 2.0.3. Remarque. On peut se demander si ces deux exemples combinés suffisent à décrire la relation de congruence restreinte aux matrices diagonales. Plus précisément, étant donné deux matrices diagonales congruentes A = D(ai,..., an) et B = D(bi,..., 6n), existe-t-il nécessairement une permutation a G 6n et une famille (Ai,..., An) G (K*)n telles que VfcG[l,n], bk = X2kaa{k)? Il se trouve que la réponse est positive sur R ou C, mais négative lorsque K = Q (le résultat de l'exercice 1-2 permet facilement de trouver un contre- exemple). Le cas général sera résolu dans l'exercice XVI-17 du chapitre consacré au groupe de Witt.
8 I. La congruence matricielle Congruence vs similitude Il importe de bien distinguer les relations de congruence et de similitude. Tout d'abord, deux matrices peuvent être semblables sans être congru- entes1. Inversement, deux matrices congruentes peuvent ne pas être semblables (considérer deux matrices congruentes différentes d'ordre 1). Il convient également de remarquer que les propriétés de la relation de congruence diffèrent radicalement de celles de la relation de similitude. En particulier, la similitude est invariante par extension du corps de base (cf. [Gob], corollaire p. 128), ce qui n'est absolument pas le cas pour la relation de congruence! Par exemple, les matrices 1 et —1 de Ali (M) sont C-congruentes, mais pas M-congruentes. 3. Congruence et opérations élémentaires À toute opération élémentaire sur les lignes d'une matrice carrée correspond une opération élémentaire « symétrique » sur les colonnes. Par exemple, l'opération élémentaire symétrique de Li ^— Li + À Lj est Ci <— Ci + A Cj. Pour n'importe quelle opération élémentaire sur les lignes d'une matrice, dont la matrice inversible associée est notée P, la matrice associée à l'opération symétrique sur les colonnes est précisément tP. Il apparaît donc judicieux, dans le cadre de l'étude de la relation de congruence matricielle, d'introduire la terminologie suivante. 3.0.4. Définition. On appelle opération symétrique élémentaire sur une matrice carrée le procédé consistant à pratiquer une opération élémentaire sur les lignes suivie de l'opération symétrique correspondante sur les colonnes (l'ordre dans lequel on effectue ces opérations n'ayant aucune importance). On code naturellement une opération symétrique élémentaire en s'inspirant du codage d'une opération élémentaire. Par exemple : • (L, C)i <- (L, C)i + À (L, C)j désignera l'opération symétrique élémentaire associée à la transvection Li «— Li + À Lj, et cette opération sera appelée transvection symétrique. ■•■Considérer par exemple le cas d'une matrice diagonalisable non symétrique et d'une matrice diagonale qui lui est semblable (cf. exercice 1-7). Il est un peu plus délicat de produire deux matrices symétriques semblables qui ne soient pas congruentes (cf. exercice 1-7 pour un exemple sur F3). En fait, deux matrices symétriques réelles ou complexes semblables sont toujours congruentes (cf. exercice 1-8 pour le cas complexe, et l'exercice X-l pour le cas réel).
§4. Réduction de Gauss 9 • (L,C)i «— a (L, C)i désignera l'opération symétrique élémentaire associée à la dilatation Li ^— aL^ et cette opération sera appelée dilatation symétrique. [2 l\ 3.0.5. Exemple. En appliquant à la matrice ( 1 la transvection / 2 3 symétrique (L,C)2 ^— (L,C)2 + (L,C)i, on obtient f Le résultat suivant se déduit immédiatement des remarques initiales. 3.0.6. Proposition. Si B G Mn(K) est obtenue à partir de A G Mn(K) par une opération symétrique élémentaire, alors A et B sont congruentes. 3.0.7. Exemple. Soit A = ( a c\ G M2(K) et A G K. En utilisant la transvection symétrique (L, C)\ ^— (L, C)i + A-(L, C)2, on obtient à partir de A la matrice 'a + A(6 + c) + A2d c + Acf b + \d d Dans le cas particulier où A = 1, on obtient la congruence a c\^fa + b + c + d c + d b d ~ [ b + d d 4. Réduction de Gauss En utilisant des opérations symétriques élémentaires, nous allons trouver, dans chaque classe de congruence, une matrice d'une forme bien particulière. 4.1. La situation générale 4.1.1. Théorème (Réduction de Gauss). Soit n G N*. Toute matrice de M.n(K) est congruente à une matrice triangulaire par blocs de la forme ('A\ * ... * \ 0 A2 : : * V 0 ... 0 ANJ où, pour tout i G [1, N}, Ai G K ou Ai = ( 1.
10 L La congruence matricielle 4.1.2. Remarque. On ne fait ici absolument aucune hypothèse sur la caractéristique du corps K. Démonstration. On commence par poser K := Démarrons par une remarque simple. Considérons deux matrices congru- entes A et B de Mn(K), une matrice P G GLn(K) telle que A = PBtP, un entier p G N*, et deux matrices L G Mp,n(K) et C G MP(K). Alors, en utilisant la matrice de passage diagonale par blocs I £ p ) d'ordre n + p, on trouve (o -A; \° fi)' P°urunL/GH,nW- Cette remarque nous conduit à raisonner par récurrence sur n. Le résultat étant évident lorsque n = 1, on peut fixer un entier naturel n ^ 2, et supposer le résultat vrai pour tout entier naturel k < n. On fixe alors A G A4n(K). Si A = 0, le résultat est immédiat. On suppose donc que A ^ 0, et l'on distingue plusieurs cas. (a) On suppose tout d'abord que A admet un coefficient diagonal non nul. Quitte à utiliser comme matrice de passage une matrice de permutation appropriée, on se ramène au cas où ai?i ^ 0. On prend alors ce terme comme pivot : en effectuant successivement les transvections symétriques (L, C)i «— (L, C)i — li (L, C)\ pour i de 2 jusqu'à n, on ne modifie les termes de la première colonne que par les opérations élémentaires sur les lignes, ce qui assure que l'on obtient à partir de A une matrice qui lui est congruente et de la forme où L G Wi,n_i(K) et B G Mn-i(K). Une utilisation de l'hypothèse de récurrence suivie de la remarque initiale permet alors de conclure. (b) On suppose maintenant que tous les coefficients diagonaux de A sont nuls. Il existe alors un coefficient hors-diagonale de A qui est non nul. Quitte à utiliser une nouvelle matrice de permutation appropriée comme matrice de passage, on peut supposer a\^ ^ 0. Deux cas peuvent alors se présenter. • Si ct2,i 7^ —ûi,2j alors la transvection symétrique (L, C)i «— (L, C)i + (L, C)2 permet d'obtenir à partir de A une matrice qui lui est congruente et a comme premier coefficient a2,i + a\^ ^ 0 : on est donc ramené à la situation du (a). 0 -1 1 0 ai,i 0
§4. Réduction de Gauss 11 • On suppose enfin que a2,i = —a>i,2- En effectuant la dilatation symétrique (L, C)2 <- partir de A, on se ramène au cas où a2,i 1 -(L,C) 2 a «2,1 1 et ai,2 = — 1- On utilise alors ces deux termes comme pivots. Plus précisément, on effectue les transvections symétriques (L, C)i ^— (L, C)i — a^i{L, C)2 pour i de 3 à n, puis (L, C)i <- (L, C% + a^L, C)\ pour z de 3 à n, obtenant alors à partir de A une matrice de la forme K 0 B où L G X2,n-2(K) et B G Mn_2(K). En appliquant l'hypothèse de récurrence à B et la remarque préliminaire, on en déduit le résultat annoncé pour A. □ Non seulement la démonstration qui précède offre un algorithme pour trouver un représentant réduit dans la classe de congruence de A, mais elle permet de surcroît de calculer une matrice de passage convenable ! 4.1.3. Remarque. Certaines astuces vont faciliter les calculs. Considérons une matrice A G Mn(K), avec a±yi ^ 0. Notons B la matrice obtenue à partir de A par la suite de transvections (Xi i symétriques (L,C)i ^— {L,C)i — -^-J— (L, C)\ pour i de 2 à n, et B\ la matrice obtenue à partir de A par la suite de transvections sur les lignes ai i Li «— Li —;rJ— L\ pour i de 2 à n. Ainsi, Ûl,l Si /ai,i 0 V 0 * */ Puisque toute opération sur les lignes commute avec toute opération sur les colonnes, la matrice B s'obtient directement à partir de B\ par la suite CLi i de transvections sur les colonnes d <— Ci — n ' Ci pour i de 2 à n. La "-1,1 matrice B ne diffère ainsi de Bi que par les coefficients hors-diagonale de la première ligne : son calcul est donc aisé à partir de B\. En outre, si A est symétrique ou antisymétrique, alors B l'est également (car elle est congruente à A), et les termes hors-diagonale de la première ligne de B sont donc tous nuls ! 4.1.4. Exemple. On considère la matrice symétrique A := /0 1 2 1\ 1 0 1-1 2 10 2 \1 -1 2 0/
12 L La congruence matricielle On cherche une matrice congruente à A et de la forme décrite dans le théorème précédent, ainsi qu'une matrice de passage associée. À l'étape 0, on pose Ao = A et Pç> = In. À l'étape n, les opérations symétriques précisées permettent d'obtenir An à partir de An-i, et leurs composantes « lignes » permettent d'obtenir Pn à partir de Pn-i- L'égalité An = PnA tPn est satisfaite à chaque étape du calcul. Nous présentons les calculs dans le tableau suivant. Opérations symétriques (L,t7)i«-(L,C)i + (L,C)2 f(L,C)2<-(L,C)a--i-(L,C)i j(L)C)3«-(£,C)3--§-(L,C)i Ul,C)3^(L,C)3-(L,C)2 \(L,C)a*-(L,C)4-2(L,C)2 (L,C)3^(L,C)4+^(L,C)3 Pn | /l 0 0 0 10 0 0 1 \0 0 0 /l 1 0 0 1 0 0 0 1 \0 0 0 / x 1 1 1 2 2 3 3 2 2 \ 0 0 / l X 1 1 1 2 2 -1 -2 V i -i / 1 1 1 ! 1 2 2 -1 -2 V -1 -A \ 4 2 0 0 0 0 0 0\ 0 0 10 0 1/ 0 0\ o o 1 1 0 0 1/ 0 0\ o o 1 1 0 A /0 1 1 0 2 1 \1 -1 (2 1 1 0 3 1 Vo -i /2 0 o-i- o-l \0 -1 /2 0 h-i 0 0 Vo o /2 0 o-i 0 0 \0 0 n 2 1\ 1 1-1 0 2 2 0/ 3 0\ 1-11 0 2 2 0/ 0 0\ 1 2 0/ 0 0\ o o I -4 3 3 2/ 0 0 \ 0 0 ! -4 0 Détaillons le calcul de A2. On commence par appliquer à Ai les composantes « lignes » des opérations élémentaires spécifiées, et l'on obtient donc la Dans un second temps, on annule sans autre forme de procès les coefficients hors-diagonale de la première ligne. matrice f2 0 0 \0 1 1 2 1 ?, -1 3 1 2 9 2 2 -1 ' 2 0/
§4. Réduction de Gauss 13 On trouve ainsi A^ (2 0 0 \o 0 1 2 1 v> -1 0 1 2 9 2 2 -1 ' ?, <J 4.1.5. Exemple. Réduisons la matrice antisymétrique / 0 -2 1 3\ I 9 n _i _9 ' 2 -1 V-3 0 -1 1 0 2 -4 -2 4 0/ Opérations symétriques (L,C)2<-i-(L,C)2 f(L,C)3<-(L,c7)s + -|-(L,C7)1 l(L,C)3^(L,C)3 + (L,C)2 |(L,C)4^-(L,C)4 + (L,C)i [(L,C)4^(L,C)4 + 3(L,C)2 (L,C)3 <--■§• (L,C)s P„ / \ 0 0 Z1 0 o Vo ' 1 0 1 2 ^ 1 / 1 0 1 9 V ! 0 0 0\ 10 0 0 10 0 0 1/ 1 ° °\ 0 10 0 0 1/ 0 0 0\ i- 0 0 f ° h 0 0 0\ \ ° °l -1 2 0 9 9 1 ° V ■A-n / 0 -2 1 3\ 1 2 0-1-2 -1 1 0 4 \-3 2-4 0/ / 0-1 1 3\ 10-|-1 -1 } 0 4 V-3 1-4 0/ /0 -1 0 0 \ 10 0 0 0 0 0 | V° °-| °J /0 -1 0 0\ 1 0 0 0 0 0 0-1 Vo o i o/ Conclusion : en posant B:-- (0 1 0 \o -1 0 0 0 0 0 0 1 °\ 0 -1 0/ et P:-- 0 2 1 on obtient la congruence B = PAfP. 0 0 %_ 9 0 0\ 0 0 1
14 I. La congruence matricielle 4.2. Cas particulier d'une matrice symétrique ou antisymétrique Les deux cas particuliers les plus intéressants du théorème 1-4.1.1 concernent les classes de congruence des matrices symétriques et des matrices antisymétriques. 4.2.1. Théorème (Réduction de Gauss des matrices symétriques). On suppose car(K) ^ 2. Toute matrice symétrique de Mn(K) est alors congruente à une matrice diagonale. Démonstration. Soit A G Sn(K). En vertu du théorème précédent, A est /il * \ congruente à une matrice B = \ * •. , où, pour tout i G [1, iV], /o -i\ V° An' Ai G K ou Ai = ( 1. Puisque B est congruente à une matrice symétrique, elle est elle-même symétrique, donc diagonale (on utilise bien entendu le fait que —1^1 dans K). □ Conséquence incontournable de ce théorème : le problème de la congruence des matrices symétriques se ramène à celui de la congruence des matrices diagonales. Ceci justifie a posteriori l'intérêt de l'étude élémentaire réalisée au paragraphe 1-2. 4.2.2. Remarque. Ce dernier résultat ne signifie absolument pas que les matrices symétriques sont diagonalisables ! Le cas particulier des matrices réelles est trompeur. Par exemple, la matrice symétrique complexe 1 i \ I n'est pas diagonalisable, puisqu'elle est nilpotente et non nulle. 4.2.3. Remarque. Nous donnerons ultérieurement (cf. chapitre V) une preuve plus géométrique du théorème précédent. 4.2.4. Corollaire. Soit n G N*. Toute matrice carrée symétrique de Mn(C) est congruente à une matrice de la forme I £ ] pour un p G [0,n]. En conséquence, deux matrices symétriques de M.n{C) sont congruentes si et seulement si elles ont même rang. Démonstration. Soit A G Sn(C). Alors, A est congruente à une matrice diagonale B = Z>(ai,... ,an). Quitte à faire agir une matrice de permutation bien choisie, on peut supposer qu'il existe un p G [0, n] tel que ai ^ 0 quel que soit i G [l,p], et ai = 0 quel que soit i > p (on
§4. Réduction de Gauss 15 convient que p = 0 lorsque A = 0). Puisque chacun des ai non nuls est le carré d'un nombre complexe non nul, B est congruente à la matrice diagonale ( q Q ) • a 4.2.5. Remarque. Bien entendu, le corollaire se généralise à n'importe quel corps de caractéristique différente de 2 dont tous les éléments sont des carrés. Le cas des matrices antisymétriques sur un corps de caractéristique différente de 2 est simple, car la description des classes de congruence y est indépendante du corps de base. 4.2.6. Théorème (Réduction de Gauss des matrices antisymétriques). On suppose car(K) ^ 2. Toute matrice antisymétrique de Mn{K) est alors congruente à une matrice de la forme 0 J-m 0 -*ra 0 0 °\ 0 0/ où m G N. Par suite, deux matrices antisymétriques sont congruentes si et seulement si elles ont même rang. Démonstration. On raisonne comme dans le cas symétrique : on trouve cette fois-ci une matrice B diagonale par blocs avec m blocs diagonaux de la forme ( J suivis de blocs nuls. En utilisant comme matrice de passage la matrice de changement de base de la base canonique (ei,..., en) de Kn à (ei, em+i, e2, em+2, • • •, em, e2m, e2m+i, • • •, en), on trouve alors une matrice de la forme annoncée et congruente à B. □ Remarquons que, pour tout m G N, la matrice-blocs I T m ) est de déterminant 1 et de rang 2 m. Le résultat ci-après s'ensuit naturellement. 4.2.7. Corollaire. Si car(K) ^ 2, alors toute matrice antisymétrique à coefficients dans K est de rang pair et son déterminant est un carré de K (éventuellement nul). Pour une vision encore plus précise du déterminant d'une matrice antisymétrique, nous proposons au lecteur de traiter le problème 1-5, en fin de chapitre, consacré à la notion de Pfaffien.
16 I. La congruence matricielle 4.2.8. Remarque. En caractéristique 2, le théorème précédent se généralise à condition de remplacer2 la notion de matrice antisymétrique par celle de matrice alternée. Une matrice alternée est une matrice antisymétrique dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. En caractéristique différente de 2, les matrices alternées sont précisément les matrices antisymétriques. Nous reviendrons sur ces matrices aux chapitres XXX et XXXI, en les reliant aux formes bilinéaires alternées. 5. Exercices Propriétés élémentaires de la congruence matricielle Dans les exercices suivants, on attend des preuves de congruence ou de non congruence par retour à la définition. 1. Montrer que ( n n ) et ( n n ) sont congruentes dans .M2OC), mais pas dans M2(R)- V J V ' 2. On suppose K de caractéristique différente de 2. Étant donné a G K*, montrer que les matrices A = I n _ J et jB = ( n __-, ) de .M2O&) sont congruentes. 3. Montrer que I . J et ( _ n ) sont congruentes dans A^2(C). 4. On suppose K de caractéristique 2. / n 1 \ r/n\ Montrer que la classe de congruence de ( n 1 est < ( n j | a G K* >. 5. Montrer que la classe de congruence d'une matrice alternée est constituée de matrices alternées. Retrouver comme cas particulier le résultat de l'exercice précédent. Indication : attention, l'utilisation de la transposition ne permet pas de statuer sur le sort des coefficients diagonaux lorsque car(K) = 2. 6. Lemme de simplification de Witt. On suppose car(K) ^ 2. Soit A et B deux matrices inversibles de <Sn(K). On suppose congruentes les matrices Ai = f ft J et B\ = ( n J de <Sn+i(K). On souhaite prouver que A et B sont congruentes. On introduit pour cela une matrice de passage P = ( j ) G GLn+i(K) de A\ à B\. (a) Écrire les relations matricielles élémentaires issues de la congruence Bi=PA\tP. (b) Exprimer Q AtQi {LC)AtQ et (LQA^LC) en fonction de a, B et LlL. (c) En déduire qu'il existe au moins deux scalaires À G K telles que (À-Q + CL)A\\-Q + CL) = A2 B. (d) En déduire que A et B sont congruentes. Indication : penser à utiliser l'inversibilité de A et B. 2 ne serait-ce que parce que les matrices antisymétriques sont aussi symétriques !
§5. Exercices 17 (a) Montrer que les matrices ( n ft } et ( n n ) de M.2(K) sont semblables, mais pas congruentes. ^ ' ^ / ' . , . (b) Montrer que les matrices symétriques ( . _ ] et ( 1 _-, ) de M.2^3) sont Rpmhlfl.hlps. mais r»a.s rnnornpnt.ps. ^ ' ^ . ' (c) Montrer que les matrices symétriques f - 1 1 et ( n ft 1 de M.2(Q) sont semblables, mais pas congruentes. ^ ' ^ ' 8. Montrer que deux matrices symétriques semblables de A4n(C) sont toujours congruentes. 9. Soit a une permutation de [l,ra] et A G jMn(IK). Montrer que les matrices A et (û<T(i)jCr(:7))1<i <n sont à la fois semblables et congruentes. 10. (a) Montrer que les matrices ( n n ) et I n _ 1 sont congruentes dans .M2O&), mais pas dans M2(Q). }10\ /3 0\ (b) Montrer que les matrices ( _ 1 1 et ( n „ J sont congruentes dans ,M2(K), mais pas dans M.2(Q)- \ / \ / On aura besoin pour cela de savoir des choses sur les entiers que l'on peut décomposer comme somme de deux carrés (cf. chapitre II de [Per], mais aussi notre section XVIII-5). 11. Soit (N,n) € (N*)2. On suppose car(K) ^ 2. On choisit une liste d'ensembles (Ai,... ,«4.n), chacun étant SnO&) ou ^4//(K). On considère l'ensemble II des produits A±A2* • • • *An, où, pour tout i G [l,n], Montrer que II est : • une réunion de classes de congruence si n est impair ; • une réunion de classes de similitude si n est pair. Congruence et opérations élémentaires 12. Soit A et B deux matrices congruentes de M.n{K). Montrer que B peut être obtenue à partir de A à l'aide d'une suite d'opérations symétriques élémentaires. Indication : on s'appuiera sur un résultat classique décrivant les matrices obtenues à partir de In par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes. 13. Relation de Witt. Soit (a, (3) e K* tel que a + /3 ^ 0. En utilisant des opérations symétriques élémentaires, montrer que les matrices 'a + p 0 \ r> o t s a\ \ sont congruentes. 0 aP{a + P)J to L'hypothèse a + f5 ^ 0 était-elle indispensable ? Indication : on suggère de commencer par appliquer une transvection symétrique pour trouver une matrice congruente à ( _ ~ 1 et de la forme I 14. Un nouveau lemme de simplification. Soit A et B deux matrices de M n(K). / A C\\ / Fi ()\ On suppose congruentes les matrices carrées Ai = I n n j et Bi = l _ n j de Ain+iOQ et l'on souhaite prouver que A et B le sont aussi. On choisit une matrice (ïS)-(' de passage P = ( j: ) de Ai à Bi, si bien que Bi = P Ai tP,
18 I. La congruence matricielle (a) Montrer que A et B sont congruentes sous l'hypothèse d'inversibilité de Q. (b) On suppose dans la suite que Q n'est pas inversible. Montrer que rg Q = n — 1. (c) On introduit G '■= {(^ ^) | (M,C, A) G GLn(K)xA4n>i(K)xK*} et Tonfait agir le groupe G x G à gauche sur GLn+i(K) par (Ni, AT2)-M := ATiM^)-1. fln-i 0 0\ Montrer que P est conjuguée pour cette action à la matrice I 0 0 1 I pour un certain fi G K. ^ ° l &' Indication : on pourra interpréter l'action en question en termes d'opérations élémentaires sur les lignes et colonnes. (d) En déduire que Att B. / J _i 0 0 \ Indication : vérifier que A = B si P = l 0 0 l] pour un certain /? G K. V o i p) (e) Généraliser aux matrices ( n n ) et ( n n ) de M.n+VCK) pour w V° °MP(K) J \° °MP(K) J ^pv /K n'importe quel entier naturel p. Réduction de Gauss 15. Appliquer le procédé de réduction de Gauss à chacune des matrices suivantes. Ai = 16. Soit A G jMn(K) supposée symétrique ou antisymétrique de rang r. (a) Montrer qu'il existe B G GLr(K) telle que A « ( J. (b) Ce résultat vaut-il encore si l'on suppose simplement que A est une matrice carrée de rang r ? Dans tous les exercices suivants, on suppose car(K) ^ 2. 17. Soit M G Sn(K). Montrer qu'il existe P G SLn(K) et D G £>n(K) telles que M = PDtP. 18. Montrer que toute matrice inversible de Sn (JK) est congruente à son inverse. 19. Simplification de Witt généralisée. Soit A, B, C trois matrices symétriques respectivement de <Sn(K), <Sn(K) et <SP(K). En exploitant les résultats des exercices 1-14 et 1-16, montrer que (ÎS)-(SS)-"-»-
§5. Exercices 19 20. Montrer que toute matrice antisymétrique de 7Wn(K) est le produit de trois matrices symétriques. Indication : se ramener à prouver que ( T nP j est le produit de deux matrices symétriques. Cf. problème 2 du chapitre X pour une amélioration de ce résultat. 21. Soit S eSn(K). (a) On suppose que MX G <Sn(K), det(5 + X) = det(S) + det(X). Montrer que n = 1 ou S = 0. Indication : se ramener au cas où S est diagonale. Si 0 < rg(5) < n, on peut trouver X G Sn QK) non inversible telle que S + X soit inversible. Par suite, S est inversible ou nulle. Si elle est inversible et n > 1, trouver une contradiction en choisissant X = Eit±. (b) Que devient le résultat si l'on remplace partout « symétrique » par « antisymétrique » ? 22. Soit A et B deux matrices antisymétriques de .Mn(&)- Montrer que seul 0 peut être valeur propre simple de A B. Indication : lorsque A est inversible, factoriser AB — X-In par A. Le cas général se ramène au précédent après réduction de A. 23. Fonctions polynomiales constantes sur les classes de congruence de matrices symétriques. Le corps K est ici supposé infini. Soit / : Sn(K) —► K une fonction polynomiale et constante sur les classes de congruence. (a) Montrer que pour tout (ai,... , an) G Kn, la fonction g:x\->-/(D(rrai,a2,...,an)) est constante. Indication : remarquer que la restriction de g à (K*)2 est constante. (b) En déduire que / est constante. Indication : généraliser le résultat de (a) à n'importe quelle position sur la diagonale. (c) Le résultat précédent vaut-il encore pour un corps fini ? Indication : si K est fini, le principe d'interpolation de Lagrange montre que toute fonction de Sn (K) dans K est polynomiale. 24. Prolongement de l'exercice précédent. Dans cet exercice, K désigne un corps infini de caractéristique différente de 2 et n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On s'intéresse aux couples (/, a) G .F(<Sn(K),K) x .F(.MnO&),I&), avec / et a polynomiales, tels que V(A,M)€.Mn(K)xSn(K), f(AMtA) = a(A)f(M). On fixe un tel couple dans tout le problème, avec / ^ 0. (a) (i) Montrer que a^O. (ii) Montrer que a est un morphisme de (.Mn(lK), x) dans (IK, x). Classiquement3, on déduit des deux résultats précédents qu'il existe un 3Les étapes de la démonstration sont les suivantes. (i) On commence par remarquer que <j envoie GLn(K) dans K* : remarquer que pour tout (P,M) G GLn(K) x wMn(K), on peut écrire M = P{P-XM) et en déduire que a(P) ^ 0. (ii) Si cr(0) = 1, alors a est constante de valeur 1. Sinon, cr(0) = 0, puis a associe 0 à toute matrice nilpotente, et toute matrice singulière de jMn(IK) est équivalente à une telle matrice, (iii) Il reste à prouver que les morphismes de groupes de GLn (K) dans K* sont les
20 I. La congruence matricielle unique endomorphisme non nul </? de (K, x) tel que VA G jMn(I&), &(A) = cp(detA). (iii) Montrer que ip est polynomiale. Indication : appliquer a à des matrices diagonales bien choisies, (iv) En déduire qu'il existe un p G N tel que Va; G K, tp(x) = xp. Indication : comparer les fonctions polynormales x *-* (p(xy) et x i-* <p(x)(p(y), à y fixé. (b) On restreint maintenant / à £>n(K). On note P G K[Xl, ... ,Xn] le polynôme associé à la fonction polynomiale (xi,... ,xn) »->■ f(D(xi,... ,xn))- (i) Montrer que F est un polynôme symétrique, (ii) En utilisant la matrice de passage diagonale D(x, 1/x, 1,..., 1) pour x G K*, montrer qu'il existe un polynôme Q G K[X] tel que P — Q(X\ ■ • • Xn)- (iii) Montrer que p est pair et qu'il existe un À G K* tel que P = X (Xi ■ ■ ■ Xn)p/2. (c) Montrer que VA G À*n(K), a(A) = (detA)p et VM G 5n(K), /(M) = A(detM)p/2, puis conclure. Problème 1. Le pfaffien Dans ce problème, on fixe un entier m G N* et l'on pose n := 2 m. On note R l'anneau de polynômes ^[Xij]i^i<j^n, et L son corps des fractions. On fixe également un corps K de caractéristique différente de 2 (voir néanmoins les paragraphes XXX-3.1 et XXXI-1.2 pour envisager une généralisation). (1) Montrer qu'il existe un polynôme P £ R homogène de degré m tel que 0 Xi,2 ••• X\yn — X\,2 0 X2,n P2 = -Xl,n ~X2,n 0 Montrer que cette condition détermine P à multiplication par —1 près. Indication : on raisonne avec des matrices de ^4n(L). D'après la réduction de Gauss, le déterminant de la matrice considérée est le carré d'une certaine fraction rationnelle P G L. Puisque l'anneau R est factoriel et que P2 est un polynôme homogène à coefficients entiers, P est aussi un polynôme homogène à coefficients entiers. (2) Une application immédiate. Soit A un anneau commutatif (unitaire). Montrer que le déterminant de toute matrice alternée à coefficients dans A est un carré. Dans la suite du problème, on fixe une solution possible P. (3) Montrer que P est combinaison linéaire de polynômes homogènes de la forme ^n,ji ■ • • Xinjn, où {ii,..., im} U {ji,..., jm} = [1,n], affectés de coefficients égaux à 1 ou —1. Indication : examiner les monômes homogènes apparaissant dans P2. composés du déterminant par un endomorphisme de K*. (iv) C'est trivial si K ~ F2 ou n = 1, et sinon c'est une conséquence facile du fait que D(GLn(K)) = SLn(K) (cf. [Per], section IV.3) et de la propriété universelle du passage au quotient.
§5. Exercices 21 On assure alors l'unicité du polynôme P en imposant que le coefficient de P devant Xi,nX2,n-ix • • ' x^m-i,m+i soit égal à 1. Le polynôme ainsi obtenu est appelé le pfafRen d'ordre m, noté Pf. (4) Calculer le pfaffien lorsque n = 4. Indication : après réduction et utilisation de la question (3), il n'y a que quatre possibilités à tester. La solution est Xi,2X3,4 + Xi,4X2,3 — Xi ,3X2,4- Étant donné une matrice antisymétrique M G *Àn(K), on définit Pf(M) G K par spécialisation de Pf en les coefficients de M, si bien que l'on a toujours la formule Pf (M)2 = det M. (5) Montrer la formule \/(A,M) G Mn{K) x An{K), Pf(AM*A) = det (A) Pf(M). Indication : on part de l'identité det(AMtA) = det(A)2 det (M). On fixe M. En prenant pour A par la matrice générique Ag := (Xij)i^ij^n et en se plaçant dans un surcorps approprié de K, on obtient la formule Pi(AgMtAg) = ±det(Ag) Pf(M). En spécialisant en une matrice bien choisie, on trouve en fait Pî(AgMtAg) = det(Ag) Pf(M). La formule annoncée s'en déduit par spécialisation relative aux Problème 2. Éléments de réduction de Gauss en caractéristique 2 On suppose K de caractéristique 2. Soit n G N*. (1) Montrer que toute matrice symétrique de M.nQ&) est congruente à une matrice diagonale par blocs dont chaque bloc est scalaire ou égal à la matrice I _ J. (2) Énoncer et démontrer un résultat similaire pour les matrices alternées de A4n(K) (on pourra utiliser le résultat de l'exercice 1-5). /l 0 0\ (3) Montrer que les matrices 1$ et I 0 0 11 sont congruentes dans .M 3^2). \o 1 o) Indication : trois opérations symétriques élémentaires suffisent. Dans la suite de l'exercice, on suppose K fini. On fixe M G A4nQ&) supposée symétrique et inversible. / j q q (4) Montrer que M est congruente à une matrice de la forme I 0 0 In-P V 0 In-p 0 Indication : utiliser, après l'avoir démontré, le fait que tout élément de K est un carré. (5) En déduire que M « In si n est impair. (6) Montrer que si n est pair, alors M est congruente à une et une seule des matrices In ou ( ° 'n/2\ Un/2 0 j" Indication : pour le volet unicité, on pourra remarquer que In n'est pas alternée. (7) Dénombrer les classes de congruence de matrices symétriques dans «Mn(K). (8) Donner un corps infini de caractéristique 2 dans lequel les quatre résultats précédents tombent en défaut. Indication : il suffit pour cela qu'un élément de K ne soit pas un carré ; penser au corps F2(X). Voir le chapitre XXXV pour une classification complète des matrices symétriques pour la congruence en caractéristique 2.
Chapitre II Formes quadratiques : définitions et exemples Dans tout ce chapitre, K désigne un corps quelconque. Nous définissons ici la notion de forme quadratique sur un K-espace vectoriel E lorsque la caractéristique de K est différente de 2. Comme dans tout le reste de l'ouvrage, on se concentrera sur le cas où E est de dimension finie. Trois points de vues essentiels sont présentés : • une forme quadratique est associée naturellement à une forme bilinéaire sur E, et même à une unique forme bilinéaire symétrique ; • en dimension finie, une forme quadratique est une fonction polynormale homogène du second degré de E dans K ; dans toute base, on peut la représenter par un polynôme homogène du second degré ; • en dimension finie, une forme quadratique peut être représentée matriciellement dans n'importe quelle base par une application de la forme X .-> tXAX, où A £ <Sn(IK), deux choix de bases différents donnant deux matrices associées congruentes. Nous commencerons par quelques considérations élémentaires sur les formes bilinéaires, et plus particulièrement les formes bilinéaires symétriques et les formes bilinéaires alternées. Nous définirons ensuite la notion de forme quadratique en caractéristique différente de 2 et discuterons brièvement du lien avec sa forme polaire. Nous décrirons le principe de représentation dans une base d'une forme quadratique par une matrice symétrique ou un polynôme homogène du second degré, et terminerons par les notions d'équivalence entre formes bilinéaires et entre formes quadratiques. -23-
24 IL Formes quadratiques : définitions et exemples Tout au long du chapitre, nous présenterons de nombreux exemples de formes quadratiques intervenant dans des domaines mathématiques variés. 1. Formes bilinéaires 1.1. Définitions élémentaires 1.1.1. Définition. On appelle forme bilinéaire de E x E dans K, ou encore forme bilinéaire sur E, toute application b : E x E —>• K telle que : (i) pour tout x £ E, l'application 6(x, — ) : y i-> b(x, y) est linéaire (linéarité à droite) ; (ii) pour tout y G E, l'application b(—, y) : x *-> 6(x, y) est linéaire (linéarité à gauche). Étant donné une forme bilinéaire b sur E, les deux applications (E-^E* (E—>E* °9'\x^b(x,-) et ^|x^è(-x) sont bien définies et elles sont linéaires. 1.1.2. Remarque. Réciproquement, étant donné une application linéaire / : E —» E*, la règle (x,y) h-> /(se)[y] définit une forme bilinéaire b sur E telle que 6p = /, tandis que (x,y) i-> f(y)[x] définit une forme bilinéaire b' sur E telle que b'd = /. 1.1.3. Définition. L'ensemble des formes bilinéaires sur E est noté S(E x E, K). C'est clairement un sous-espace vectoriel de T(E x E, K). 1.1.4. Remarque. Étant donné une forme bilinéaire b sur E et un sous- espace vectoriel E de E, la restriction de b à F x F est une forme bilinéaire sur F que nous noterons bp par souci de simplicité. 1.1.5. Définition. On appelle K-espace bilinéaire tout couple de la forme (E, 6), où E est un K-espace vectoriel et b une forme bilinéaire sur E. 1.2. Exemples élémentaires • Soit (/,<?) G (E*)2. L'application 6 : (rc,y) ^ f(x)g(y) est clairement une forme bilinéaire sur E.
§1. Formes bilinéaires 25 • Par suite, toute combinaison linéaire de fonctions du type précédent est bilinéaire. Supposons en particulier E muni d'une base B = (ei,e2,... ,en). On choisit une matrice A = {dij)i^ij^n € MnQ&)- En associant à tout couple de vecteurs (x, y) G E x E, de coordonnées respectives (xi,..., xn) et (yi,..., yn) dans B, le scalaire / j ai,j xi Vj i (»,j')€[l,n]2 on définit une forme bilinéaire b sur E telle que V(m) G [l,nf, 6(ei,ej) = a»,j. Remarquons que la représentation analytique de b dans la base B peut s'écrire matriciellement : Enfin, si (e£,..., e*) désigne la base duale de (ei,..., en), on a tout simplement (^,j)eli,n]2 • Plus particulièrement, étant donné A G .Mn(]K), la règle {X,Y)^lXAY définit une forme bilinéaire sur Kn. Cette forme est dite canonique- ment associée à A. 1.3. Matrices associées à une forme bilinéaire On suppose l'espace vectoriel E muni d'une base B = (ei, e2,..., en). Soit b une forme bilinéaire sur B. En développant par bilinéarité, on trouve que pour tout (xi,..., xn) G Kn et tout (yi,..., yn) £ l&n • n n n n b(^2xk.ek,^2yk-ek) =^Xibyei,YjJ3'ej) = ^2 xiyjb(e^ej)- k=l fc=l i=l i=l (i,j)€[l,n]2 Ayant posé A := {b(e^ e^)) .< on en déduit que b est représentée dans la base B par l'application (X, Y) \—> tXAY. La donnée de la seule matrice A code donc entièrement le comportement de b. Cela justifie la définition qui suit.
26 IL Formes quadratiques : définitions et exemples 1.3.1. Définition. Étant donné une forme bilinéaire b sur E et une base B = (ei, e2,..., en) de E, on dit que la matrice MB(b):=(b(ei,ej))1^n€Mn(K) représente b dans la base B ou encore que c'est la matrice associée à b dans B. 1.3.2. Exemple (Exemple fondamental). Soit A G M.n(K). La forme bilinéaire sur E représentée dans B par (X,Y) ■-)• lXAY admet A pour matrice associée dans B. 1.3.3. Remarque. En munissant E d'une base B à n termes, on obtient un isomorphisme d'espaces vectoriels B(ExE,K)—ïMn(K) b —>MB(6), si bien que B(E x E, K) est de dimension finie égale à n2. 1.3.4. Proposition (Formule de changement de base). Soit b une forme bilinéaire sur E. Soit Bi et B2 deux bases de E. On note P la matrice de passage de Bi à B2. Alors, MB2(6)=tPMBl(6)P- Démonstration. Soit x et y deux vecteurs de J5, de matrices de coordonnées respectives X et Y dans B2. Alors, leurs matrices de coordonnées respectives dans Bi sont PX et PY, si bien que b(x, y) = \PX) A (PY) = lX (*PAP) Y. Ceci assure que lPAP est bien la matrice représentant b dans B2. □ C'est le moment de remarquer que lorsque P désigne une matrice inversible de Mn(K) et A G AAn(K), on peut récrire PAtP = t(tP)AtP, avec *P inversible. On en déduit le résultat suivant. 1.3.5. Corollaire. On suppose E de dimension finie n. Les matrices associées à une forme bilinéaire sur E forment une classe de congruence dans Mn{K). Terminons par le lien entre les matrices représentant b et celles représentant l'application linéaire bd-
§1. Formes bilinéaires 27 1.3.6. Proposition. Soit b une forme bilinéaire sur E. Alors, pour toute base B de E : MB(b) = MB,B*(bd). Démonstration. Notons B = (ei,...,en). Pour tout j G [l,rc], la famille des coordonnées de bd(ej) dans B* est (bd(ej)[ei\) 1<i<n, i-e- c'est (Ke*îej))i<i<n : ^ s'agit bien du j-ème vecteur colonne de Mb(6). □ 1.4. Symétrie et antisymétrie 1.4.1. Définition. Soit b une forme bilinéaire sur E. On dit que b est... symétrique antisymétrique alternée ... lorsque... V(z,y) G£2, b{y,x) = b(x,y) \/(x,y)eE2, b(y,x) = -b{x,y) Vx G jE7, 6(x, x) = 0. 1.4.2. Remarque. Les trois propriétés ainsi définies sont évidemment conservées par restriction à un sous-espace vectoriel. 1.4.3. Notation. L'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E est noté S2(E). L'ensemble des formes bilinéaires alternées sur E est noté A2(E). 1.4.4. Proposition. Toute forme bilinéaire alternée sur E est antisymétrique. La réciproque est vraie si car(K) ^ 2. Démonstration. Soit b : E x E —» K une forme bilinéaire. Si b est alternée, alors pour tout (x,y) G E2, b(x, y) + b(y, x) = b(x + y, x + y) - b(x, x) - b(y, y) = 0. Réciproquement, si b est antisymétrique, alors pour tout x G E, 2 b(x, x) = b(x, x) + b(x, x) = 0, ce qui prouve que b est alternée lorsque car(K) ^ 2. □ 1.4.5. Remarque. En caractéristique 2, les formes bilinéaires antisymétriques sont les formes bilinéaires symétriques. Ces dernières ne sont pas toutes alternées. Par exemple, la forme bilinéaire (x, y) \-ï xy sur F2 est symétrique mais pas alternée.
28 IL Formes quadratiques : définitions et exemples Étant donné une forme bilinéaire b : E x E —>- K, l'application t (ExE—>K ' \ (x,y) ^b{y,x) est évidemment une forme bilinéaire sur E, ce qui permet de traduire la symétrie et l'antisymétrie de b : b symétrique <^ lb = b b antisymétrique <& lb = —b. Remarquons que si E est muni d'une base B, on a évidemment Mb(*6) = *Mb(&). On en déduit la caractérisation suivante de la symétrie et de l'antisymétrie en dimension finie1. 1.4.6. Proposition. Soit b une forme bilinéaire sur E et B une base de E. Alors : (a) la forme b est symétrique si et seulement si Ms(b) est symétrique; (b) la forme b est antisymétrique si et seulement si Mb (6) est antisymétrique. Dans la suite du chapitre, on suppose car(K) ^ 2. L'application b \-ï lb est une involution linéaire de B(E x E, K), car elle est définie à l'aide de la précomposition par l'application involutive T : (x, y) h* (y, x) : c'est donc une symétrie vectorielle. Les sous-espaces propres de cette symétrie sont respectivement 52 (S) et A2(E), associés aux valeurs propres 1 et —1. Ce sont en particulier des sous-espaces vectoriels de B(E xE,I) vérifiant B{ExE,K)= S2(E)®A2{E). Toute forme bilinéaire b sur E se décompose donc de manière unique en la somme d'une forme bilinéaire symétrique et d'une forme bilinéaire antisymétrique, appelées respectivement sa partie symétrique bs et sa partie antisymétrique ba : plus précisément, ces fonctions sont respectivement b(x,y) + b{y,x) b{x,y) - b(y,x) bs : (x, y) H> et ba : (x, y) H> 1Nous caractériserons ultérieurement les formes bilinéaires alternées par leur matrice dans une base (cf. chapitre XXXI).
§2. Forme quadratique associée à une forme bilinéaire 29 2. Forme quadratique associée à une forme bilinéaire Dans cette section, on suppose toujours car(K) ^ 2. 2.0.7. Définition. Soit b une forme bilinéaire sur E. L'application (E-^K \ x i—> b(x,x) est appelée la forme quadratique associée à 6. L'ensemble des formes quadratiques sur E est noté Q(E). 2.0.8. Remarque. La forme quadratique g& est nulle si et seulement si b est alternée. Soit q une forme quadratique sur E associée à une forme bilinéaire b. Alors : V(À,x) GKxE, q(Xx) = X2q(x), et en particulier ^(0^) = 0. En développant par bilinéarité, on trouve également V(x,y) G E2, q(x+y) = q(x)+b(x,y)+b(y,x)+q(y) = q(x)+q(y)+2bs(x,y). L'application (B(ExE,K) -^T{E,K) l b i—>qb est clairement linéaire, donc son image Q(E) est un sous-espace vectoriel de7*(£,K). Son noyau est l'espace ^(K) des formes bilinéaires alternées sur E. Nous sommes en présence d'une suite exacte courte d'espaces vectoriels : A2{E) ^ B{E xE,K)-» Q(E). Comme S2(E) © A2(E) = B(E x 25, K), le lemme du rang indique que l'application f«S2(£)—>Q(£) l b ^bq est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Nous en déduisons le principe suivant.
30 IL Formes quadratiques : définitions et exemples 2.0.9. Proposition. Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique sur E, que Von appelle sa forme polaire et que Von note bq. De plus, si q est associée à une forme bilinéaire b (a priori non symétrique), on retrouve la forme polaire bq comme la partie symétrique de 6, à savoir b(x,y) + b(y,x) (x,y) h+ — 2 Si l'on a besoin d'exprimer la forme polaire de q en connaissant seulement g, on peut utiliser la formule suivante, qui découle d'un simple développement par bilinéarité. 2.0.10. Proposition (Formule de polarisation). Soit q une forme quadratique sur E de forme polaire b. Alors : V(x,y) G E , b(x,y) = - 2.0.11. Remarques. (i) On prouve de même les formules q{x) + q(y) - q(x - y) q(x + y) - q(x - y) V{x,y)eE21b(x,y) = (ii) Dans la pratique, pour prouver qu'une application q : E —> K est une forme quadratique, on peut essayer d'introduire l'application . . q(x + y) — q(x) — q(y) , „ . (x, y) i-)- et chercher à montrer que celle-ci est bien bilinéaire (elle est automatiquement symétrique) et que q lui est bien associée2. La plupart du temps, on reconnaît en fait directement une forme bilinéaire b à laquelle q est associée. 2.0.12. Exemples. (i) Soit f et g deux formes linéaires sur E. Pour vérifier que l'application x i-> f(x)g(x) est bien une forme quadratique sur E, il suffit de remarquer que c'est la forme quadratique associée à l'application bilinéaire (x,y) h-» f(x)g(y). 2Cette vérification est indispensable, car si q est linéaire, alors l'application (x,y) i-» q{x + y) — q(x) — q(y) est bien bilinéaire, car nulle !
§2. Forme quadratique associée à une forme bilinéaire 31 Sa forme polaire est donc f{x)g(y) + f{y)g{x) (x, y) *-+ 2 En particulier, f2 est une forme quadratique de forme polaire (x, y) »-)• À partir de là, on peut retrouver le résultat précédent en remarquant (f + o)2-(/-a)2 que f g = -: est combinaison linéaire de formes quadratiques. (ii) Pour tout n G N : • l'application A i-» tv(A2) est une forme quadratique sur .Mn(K) de forme polaire (A, B) \-¥ ti(AB) ; • l'application A \-> ti(A tA) est la forme quadratique sur Mn{K) associée à la forme bilinéaire symétrique (A, B) ^ tr(A tB). (iii) Pour tout (a, 6, c, d) G K4, on a = ad — bc. Le déterminant a c matriciel sur M.2fà) est donc une forme quadratique (c'est une combinaison linéaire de produits de paires de formes linéaires). En nous restreignant à l'hyperplan s!2(K) := {M G M2ÇK) : tr(Af) = 0}, on obtient également une forme quadratique particulièrement intéressante (sur un espace vectoriel de dimension 3). Comme le théorème de Cayley-Hamilton indique que MA e sï2(K), A2 = -det(A)-I2, la forme quadratique « — det » coïncide sur s^ÇK) avec l'élévation au carré A i->- A2, moyennant l'identification naturelle entre les K-algèbres K-jfe ^ K. Via cette même identification, la forme polaire de « — det » devient (A,B).-> ±(AB + BA). 2.0.13. Définition. On appelle espace quadratique tout couple (F,q) formé d'un K-espace vectoriel F et d'une forme quadratique q sur F. 2.0.14. Remarque. Étant donné un espace quadratique (E,q) et F un sous-espace vectoriel de i?, la restriction de q k F est la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique bp : c'est donc une forme quadratique de forme polaire bp (que nous noterons tout simplement qp), et (F,qp) est un espace quadratique.
32 IL Formes quadratiques : définitions et exemples 3. Représentations d'une forme quadratique dans une base Dans cette section, on considère toujours le cas où car(K) ^ 2 et l'on suppose E muni d'une base B = (ei,..., en). 3.1. Représentation matricielle 3.1.1. Définition. On appelle matrice associée à q dans B, notée Mb (g), la matrice symétrique associée à sa forme polaire dans B, et l'on dit encore que cette matrice représente q dans B. Compte tenu des résultats déjà établis sur les formes bilinéaires, on obtient immédiatement ceux qui suivent. 3.1.2. Proposition. Soit q une forme quadratique sur E représentée dans B par une matrice A. Alors, q est représentée analytiquement dans B parX^lXAX. Soit Bi et B2 deux bases de E, et P la matrice de passage de Bi etdB2. Alors, MB2(q)=tPMBl{q)P. 3.1.3. Corollaire. Les matrices représentant une forme quadratique q constituent une classe de congruence dans Sn (K). La représentation matricielle définit en fait un triangle commutatif d'isomorphismes de K-espaces vectoriels S2(E) ^ - Q(E) Sn(K). 3.1.4. Remarque. Puisque q \-ï Mb(ç) est bijective, la seule matrice symétrique A G <Sn(K) vérifiant tXAX = 0, pour tout X G Kn, est la matrice nulle. 3.1.5. Remarque. Étant donné A G <Sn(K), la fonction X i-> tX AX est une forme quadratique sur Kn, car elle est associée à la forme bilinéaire symétrique (X,Y) \-+ lXAY : on l'appelle la forme quadratique canoniquement associée à A.
§3. Représentations d'une forme quadratique dans une base 33 3.2. Représentation polynomiale On fixe ici un entier naturel n > 0. Soit P G K[Xi,...,Xn] homogène du second degré, que l'on peut donc écrire de manière unique sous la forme n k=l l^i<j^n À un tel polynôme P, on associe bijectivement la matrice symétrique A = (aij)i^ij^n € <Sn(K) définie par : \fi e [l,n], aM = ai, et V(m) e [l,n], i<j^ aij = ajti = fcj. Autrement dit, (ai. \ A = A h3 La fonction polynomiale (#i,... ,xn) «->• P(xi,... ,xn) se récrit matriciel- lement X \-^tX AX. Elle représente donc dans B une forme quadratique, notée q. Compte tenu de la bijectivité du lien que l'on vient d'établir entre matrices symétriques et polynômes homogènes du second degré, nous en déduisons que P est l'unique polynôme homogène du second degré (à n indéterminées) tel que (#i,..., xn) •->• P(xi,..., xn) soit la représentation analytique de q dans B. 3.2.1. Définition. Avec les données précédentes, nous dirons que q est la forme quadratique associée à P dans B et que P est le polynôme représentant q dans la base B. 3.2.2. Exemples. (i) La fonction (x,y,z) \-ï x2 + 2y2 — Zz2 + 2xy — £xz + 4y z est la, forme quadratique sur K3 canoniquement associée à la matrice Elle est représentée dans la base canonique par le polynôme homogène X2 + 2Y2-3Z2 + 2XY-4XZ + 4YZ.
34 IL Formes quadratiques : définitions et exemples (ii) Dans la base canonique de Mn(K), la forme quadratique A \-ï ti(A tA) est représentée par le polynôme homogène J2 X?j. (iii) Le déterminant de A^QK) est représenté dans la base canonique (£1,1, £^2,^2,1,#2,2) par le polynôme homogène X1X4 — X2X3. (iv) Le déterminant sur l'hyperplan 5Ï2(K) est représenté dans la base (jBi7i - ^2,2,^1,2,^2,1) Par *e polynôme —Xf - X2X3. 3.2.3. Notation. Étant donné (ai,..., an) G Kn, on note (ai,..., an) la n forme quadratique sur Kn canoniquement associée au polynôme ^2dkX^ autrement dit la fonction n (#1,..., xn) 1 > y a}z xk. fc=l Elle est donc représentée dans la base canonique de Kn par la matrice diagonale D(ai,..., an). 4. Quelques exemples de formes quadratiques 4.1. Le coefficient quadratique dans le polynôme caractéristique En dehors du cas n = 2, le déterminant sur .Mn(K) ne constitue pas une forme quadratique. On peut en revanche considérer le coefficient devant Xn~2 dans le polynôme caractéristique. Plus précisément, étant donné A G .Mn(K), on écrit son polynôme caractéristique n det(X-In -A)= Y,{-l)kck{A) Xn~k. k=0 Rappelons que cq(A) = 1 et c\(A) = tr(A). En tout généralité, A \-ï Ck{A) est une fonction polynomiale homogène de degré fc, et en particulier la correspondance A «->• C2(A) est une forme quadratique. On peut facilement établir (cf. exercice 11-12) la relation VA e Mn(K), c2{A) = (fa^)2-MAa)i et en déduire la forme polaire de C2. La forme quadratique c2 est importante pour l'étude du cône nilpotent de l'algèbre Mn(K).
§4. Quelques exemples de formes quadratiques 35 4.2. Les espaces hyperboliques canoniques Soit V un K-espace vectoriel de dimension finie. On définit3 ' \ (x,f) •—»2/(x). Il est facile de s'assurer que H(V) est la forme quadratique de forme polaire {(x,f),(y,g))^-^f(y) + g(x). Identifions naturellement V et V* à des sous-espaces vectoriels supplémentaires du produit V xV* : si l'on fixe une base (ei,..., en) de V et que l'on considère sa base duale (e*,..., e*) de V*, la famille (ei,..., en, e*,..., e*) est alors une base de V x V* et la matrice de H(V) dans cette base est 0 In In 0 Nous dirons que H(V) est la forme hyperbolique associée à V. 4.3. La différentielle seconde Pour tout k G Mn, la fonction < ^ [ X^v^rM es^ différentiable en a, et On fixe un entier n ^ 1 et l'on se donne U un ouvert de E := M71. Soit / : U —> M une fonction de classe C2 et a un point de U. U x^df(x)[k] l'on définit le réel d2f(a)[h,k] comme sa différentielle en a appliquée au vecteur h. En particulier : (i) on a, en notant (ei,..., en) la base canonique de Rn, V(t,j) e Il,n]2, d2f(a)[eijej} = -^^-(o); (ii) pour tout /c G E1, le réel d2/(a)[fc,/c] peut être vu comme la dérivée seconde en 0 de la fonction t *-^ f(a + t-k). ( e —> E* En différentiant d f en a, on trouve la fonction linéaire < , j2,/ srL n Ainsi, d2/(a) est une forme bilinéaire sur E. La matrice représentant d2f(a) dans la base canonique est la Hessienne o2f_ H(f)[a]:=(^-(a)) 3Attention ! Dans la plupart des ouvrages, la notation H(V) désigne plutôt un espace quadratique.
36 IL Formes quadratiques : définitions et exemples Le théorème des dérivées croisées de Schwarz garantit alors la symétrie de H(f)[a], donc d2f(a) est symétrique. La forme quadratique associée à d2f{a) intervient naturellement dans la formule de Taylor4 à l'ordre 2 : f(a + x) = /(a) + d/(o)[x] + \ d2f(a)[x,x] + ox^0(IM|2). On est conduit naturellement à évaluer le signe de cette forme quadratique pour étudier la position du graphe de / par rapport à son espace tangent au point (a,/(a)). 4.3.1. Remarque. On généralise facilement la différentielle seconde à une fonction définie sur un ouvert d'un R-espace affine de dimension finie et à valeurs dans R. Examinons pour finir le cas particulier où / est une forme quadratique. 4.3.2. Proposition. Soit q une forme quadratique sur un R-espace vectoriel E de dimension finie, de forme polaire b. Alors, pour tout a G E, dq(a)=2b(a,-) et d2q(a) = 2b. Démonstration. La fonction q est de classe C2, car elle est polynomiale. On fixe a G E et x G E. Par la formule de polarisation, \/t G R, q(a + t-x) = q(a) + 2 6(a, x) t + q(x) t2, d'où en dérivant à deux reprises en 0 : dç(a)[x] = 2 6(a, x) et d2q(a)[x, x] = 2q(x). Il vient donc dq(a) = 2b(a, —) et, par polarisation, d2q(a) = 2b. □ 4.4. Les deux formes fondamentales d'une hypersurface de Rn Nous renvoyons à [DoC] pour la définition des notions élémentaires de géométrie différentielle que nous utiliserons ici. Soit S une sous-variété de classe C2 et de dimension n—1 dans Rn, et a un point de S. L'espace tangent de 5 en a est un hyperplan affine 7^, dont la direction est notée Ta. Nous définissons sur l'espace vectoriel Ta deux formes bilinéaires symétriques importantes. • La première forme fondamentale de S en a est la restriction à Ta du produit scalaire canonique de Rn. • On fixe maintenant un vecteur normal unitaire na de Ta (ce qui revient à orienter l'hyperplan tangent Ta)- Il existe alors un voisinage ouvert V de a dans Rn, un voisinage ouvert U 4où || — || est une norme arbitraire sur E.
§4. Quelques exemples de formes quadratiques 37 de a dans 7^, et une fonction / : U et de classe C2 telle que f(a) — 0 S n V = {m + /(ra).< | m G £/}. La différentielle seconde de / en a est indépendante du choix de U et V : on l'appelle la seconde forme fondamentale de S en a (relative à l'orientation de Ta choisie). La forme quadratique qa associée à la seconde forme fondamentale de 5 en a donne des informations sur la courbure de 5 en a. Plus précisément, si l'on fixe un vecteur unitaire tangent x G Ta et que l'on considère, dans le plan a+Vect("âT, na) orienté par la base (x ,na), une courbe paramétrée g de classe C2 tracée sur S atteignant à un instant to le point a avec un vecteur vitesse x, alors la courbure de g à l'instant to est précisément ÇaÇÈ)- a + Vect(na, x) Dans le cas où S est donnée par une équation F(x) = 0, avec F de classe C2, et où a est un point régulier de F, la seconde forme fondamentale relative à na est tout simplement5 1 ^>i dF(a)[< (d2F(a))rj 5Pour le voir, on différentie deux fois en a l'identité Vra Et/, F (m + /(ra)-rï^) = 0, ce qui donne (d2F(a))T + dF(a)[n£]-d2/(a) = 0.
38 IL Formes quadratiques : définitions et exemples 4.4.1. Exemple. On pose F : (x, y, z) *-> x In y + y In z + z In x. Étudions, au voisinage de a := (1,1,1), la surface (S) : F(x, y, z) = 0. Le plus simple pour calculer dF(l) et d2i?(l) est de réaliser un développement limité à l'ordre 2 et d'utiliser la formule de Taylor et l'unicité dans le développement limité. On trouve au voisinage de 0]r3 : 2 | 2 . 2 F(l+x,l + y,l + 2) = x + y + z+ (-- 1 — + xy + X2 + y*) + o(||(sïy>*)||S0). Ainsi, pour tout (x, y, z) G R3, dF(a)[x,y,z] =x+y+z et d2F(a)[(x, y, z), (x, y, z)] = -(x2 + y2 + z2) + 2(xy + xz + ys). Le point a n'est donc pas un point critique de F. La forme quadratique associée à la seconde forme fondamentale de S en a relativement au vecteur normal y/3 (1,1,1) est donc la restriction au plan P := {(x, y, z) G R3 : x + y + z = 0} de (x, y, z) •-» \/3 (x2 + y2 + z2 - 2 (xy + yz + a;*)). 4.5. La forme de Killing d'une algèbre de Lie Soit g une algèbre de Lie sur K, c'est-à-dire un K-espace vectoriel de dimension finie muni d'une loi interne bilinéaire alternée notée (x,y) >-» [x, y] qui vérifie l'identité de Jacobi : V(s, y, *) G s3, [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.
§5. Le problème de la classification 39 Pour tout u G g, l'application adn : v \-ï [u,v] est un endomorphisme du K-espace vectoriel g, et l'application ^ u i—> adn est linéaire. La fonction BQ : (u, v) \-ï tr(adn o &dv) est clairement une forme bilinéaire symétrique sur g : on l'appelle la forme de Killing de g. En particulier, étant donné un sous-espace vectoriel g de Mn(K) stable par le crochet matriciel [—, — ] : (A, B) \-> AB — BA, la forme de Killing de g pour le crochet matriciel est la forme bilinéaire symétrique BB:(X,y)^tr((adx)|0o(ady)|0), où ad^ : M i-> AM — MA est considérée comme un endomorphisme de Mn(K). 4.5.1. Exemple. Lorsque g = M.n(K), un calcul élémentaire permet de voir (cf. exercice 11-14) que V(X,y) G Mn{K)2, Bg(X,Y) = 2(nti(XY) - ti(X)ti(Y)). 4.5.2. Remarque. Les formes de Killing jouent un grand rôle dans l'étude des algèbres de Lie. Nous nous contenterons dans cet ouvrage de quelques exercices élémentaires et renvoyons le lecteur à la section IV.3 de [Far] pour des propriétés plus profondes. 5. Le problème de la classification Dans cette partie, E et F désignent deux K-espaces vectoriels de dimension finie. 5.1. L'équivalence entre formes bilinéaires Dans ce paragraphe, on ne fait plus d'hypothèse sur la caractéristique de K. Pour tout isomorphisme u : F ^ E, l'application (x,y) \-+b(u(x),u(y)) est clairement une forme bilinéaire sur F et elle hérite évidemment des propriétés de 6, autrement dit elle est symétrique/antisymétrique/alternée si et seulement si b est symétrique/antisymétrique/alternée.
40 IL Formes quadratiques : définitions et exemples 5.1.1. Définition. Soit (E, b) et (F, b') deux espaces bilinéaires. On appelle morphisme de (E, b) dans (F, b') toute application linéaire u : E —ï F telle que V(x,y)eE2, b(x,y) = b'(u(x)Mv))' Un morphisme bijectif est appelé un isomorphisme, sa réciproque étant automatiquement un morphisme de (F,b') dans (E,b). On dit que les formes b et U sont équivalentes lorsque (E, b) et (F,bf) sont isomorphes. En particulier, si Ton se donne un isomorphisme u : E -=>• E", les formes bilinéaires b' et (x, y) h-» b'(u{x),u(y)) sont automatiquement équivalentes. On peut prouver facilement que l'équivalence des formes bilinéaires est une relation d'équivalence (!) sur la collection6 des formes bilinéaires symétriques. 5.1.2. Lemme. Soit (F,bf) un espace bilinéaire, u : E —»> F un isomorphisme d'espaces vectoriels et B et B' des bases respectives de E et F. On pose P := Mb,b'(w) et b : (x,y) i-> b'(u(x),u(y)). Alors, Mv{b)=tPMB,(b')P. Démonstration. Notons A := MB'{b'). Alors, pour tout (x,y) G E2, de matrices de coordonnées X et Y dans B, les vecteurs u{x) et u{y) ont pour matrices de coordonnées PX et PY dans B7, d'où b(x,y) = \PX) A(PY) = lX QPAP) Y. Ceci prouve que tPAP représente b dans B. □ 5.1.3. Corollaire. Soit u : E —>• F un isomorphisme d'espaces vectoriels, B = (ei,...,en) une base de E et B' la base de F image de B par u. Soit b et b' deux formes bilinéaires respectivement sur E et F. Alors, il y a équivalence entre : (i) u est un isomorphisme de (F, b) sur (F, b') ; {n)MB(b) = MB,(b'); (iii) \f(ij) e [l,nf, V(u{ei),u(ej)) = Keuej). Démonstration. C'est immédiat en remarquant que la matrice de (se, y) i-4 b'\u(x), u(y)) dans B est précisément M&(bf). □ 5.1.4. Corollaire. Deux formes bilinéaires sont équivalentes si et seulement si elles ont la même classe de congruence de matrices associées. 6Nous parlons bien de collection et non d'ensemble, car les formes bilinéaires ne constituent pas un ensemble.
§5. Le problème de la classification 41 5.2. Équivalence entre formes quadratiques Nous supposons ici que car(K) ^ 2. 5.2.1. Définition. Soit (F, g) et (F, q') deux espaces quadratiques. On appelle morphisme de (F, g) vers (F, g') toute application linéaire u: E ->■ F telle que VxG E, qf(u(x)) =q{x). i.e. telle que le diagramme suivant soit commutatif : Les morphismes injectifs sont appelés les isométries. Les morphismes bijectifs sont appelés les isomorphismes, la réciproque d'un isomorphisme de (F, g) vers (F,qf) étant automatiquement un morphisme de (F, g') vers (E, q). On dit que les formes q et q' sont équivalentes, et l'on écrit q — q\ lorsqu'il existe un isomorphisme de (E, q) sur (F, g'). L'équivalence des formes quadratiques constitue une relation d'équivalence sur la collection des formes quadratiques. Il convient de faire immédiatement le lien entre cette relation et l'équivalence des formes polaires associées. Il se déduit du résultat essentiel suivant. 5.2.2. Proposition. Soit (F, </?) et (F, %jf) deux espaces quadratiques, et u : E —» F une application linéaire. Alors, il y a équivalence entre : (i) u est un morphisme de (E, (p) vers (F, ty) ; (ii) u est un morphisme de (F, b<p) vers (F,ity). Par suite, les isomorphismes de (E,ip) sur (F,-0) sont ceux de (F, b^) sur Démonstration. Le sens réciproque est immédiat, et le sens direct s'obtient par polarisation en remarquant que (x, y) h* b^{u(x),u(y)) est bilinéaire symétrique de forme quadratique associée x \-^ ip(u(x)). □ 5.2.3. Corollaire. Soit q et q1 deux formes quadratiques sur des espaces vectoriels de dimension finie. Alors, il y a équivalence entre : (i) q et q' sont équivalentes ; (ii) q et qf ont la même classe de congruence de matrices symétriques associées ; (iii) q et qf sont représentées (dans des bases a priori différentes) par le même polynôme homogène de degré 2.
42 IL Formes quadratiques : définitions et exemples 5.2.4. Exemple. Soit (ai,...,an) G Kn. En passant par la congruence des matrices diagonales canoniquement associées, on trouve, pour tout (Ai,..., An) G (K*)n, l'équivalence (ai,...,On) ~ ((Ai)2ai,...,(An)2an) et pour tout a G 6n : (ai,...,On) ~ (aa(i),...,aa(n)). Classifier les formes quadratiques en dimension finie consiste à déterminer un représentant particulier dans la « classe d'équivalence » de chacune d'entre elles, ce qui revient à déterminer un représentant particulier dans chaque classe de congruence de matrices symétriques. 5.2.5. Remarque (La catégorie des espaces quadratiques). La catégorie des espaces quadratiques est celle dont les objets sont les espaces quadratiques et dont les flèches sont les morphismes entre espaces quadratiques, la composition des flèches se déduisant de celle des applications. 6. Exercices Dans tous les exercices, E désigne un K-espace vectoriel. Formes bilinéaires 1. Étant donné deux formes linéaires f\ et fi sur E, on note b : (x,y) t-ï fi(x)f2{y). Préciser les applications linéaires bg et 6^. 2. Établir un isomorphisme entre les espaces vectoriels B{E x E, K) et £(E,E*). Retrouver par ce biais que si E est de dimension finie égale à n, alors B(E x E, K) est de dimension finie égale à n2. 3. On suppose E muni d'une base (ei,..., en)- Étant donné deux formes bilinéaires b\ et 62 sur J5, on pose (61 | 62) := ^2 bi(eiiej)b2(eiiej)- (a) Montrer que (— | — ) est une forme bilinéaire symétrique sur B(E x E, K). (b) Montrer que si 61 est symétrique et 62 alternée, alors (61 | 62) = 0. 4. Formes alternées vs matrices alternées. On suppose E muni d'une base B. Soit b £ B(ExE, K). Montrer que b est alternée si et seulement si la matrice Mb (b) est alternée (autrement dit : elle est antisymétrique à coefficients diagonaux nuls).
§6. Exercices 43 Transposition (épisode I). Soit u : E —> F une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie. On définit : E* fou. t (F* u:\f (a) Vérifier que lu est une application linéaire. (b) Montrer que Ker*tt = (Imtt)-1- et Im*îx = (Keru)-1. Indication : démontrer la seconde égalité par une inclusion et l'égalité des dimensions. (c) Étant donné deux applications linéaires u : E ^ F et v : F —> G, montrer que t(v o u) == tu o tv. (d) On suppose E et F munis de bases respectives Bi et B2. Montrer que MB*jB* (*it) = £Mb1,b2(iO- (e) Montrer que t(tu) = u modulo l'identification canonique entre un espace vectoriel de dimension finie et son bidual. 6. Transposition (épisode II). Soit b une forme bilinéaire sur E. Montrer que la composée E —^» E** —4 E* n'est autre que bg. Forme quadratique associée à une forme bilinéaire Dans tous les exercices suivants, le corps K est supposé de caractéristique différente de 2. 7. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. n{n + 1) (a) Montrer que Q(E) est de dimension finie égale à (b) On suppose E de dimension 3 et l'on en fixe cinq vecteurs xi,...,x$. Montrer qu'il existe q G Q(E) \ {0} telle que q(xk) = 0 pour tout k E [1,5]. Indication : considérer l'intersection des noyaux des formes linéaires q t-> q(xk)- 8. On suppose E muni d'une base (ei,..., en). Montrer que q «-»> (q(ei + e>j))1<i< <n définit un isomorphisme de Q(E) sur l'espace vectoriel des familles d'éléments de K indexées sur {(i,j) € [l,n] : i ^ j}. En déduire que le résultat de la question (b) de l'exercice précédent est optimal par rapport au nombre des vecteurs considérés. 9. Fonctions dont la «forme polaire » est bilinéaire. On s'intéresse aux fonctions q :£?—>• K telles que bq:(x,y)\-y soit une forme bilinéaire sur E. L'ensemble de ces fonctions est noté ^(E). (a) Montrer que ^(E) est un sous-espace vectoriel de ^F(E^K) et que u : q i->- bq est une application linéaire de celui-ci vers S2(E). (b) Montrer que T2(E) contient toutes les formes quadratiques sur E ainsi que les morphismes de groupes de (E, +) dans (K, +) (l'ensemble de ces morphismes est notéHom(£,K)). (c) En raisonnant sur le noyau de u, montrer que ^(E) = Q(E) © Hom(.E,IK). Indication : on remarquera que la forme quadratique associée à bq a même image que q par u. (d) En particulier, montre

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