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Timestamp: 2014-04-21 04:32:35+00:00

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ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO | MATEMATICAS EJERCICIOS RESUELTOS
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ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS
Existen varias formas de clasificar a una ecuación :
A) Atendiendo al grado :
Las ecuaciones pueden ser, de primer grado, segundo grado, de tercer grado, etc.
B) Por el número de incógnitas :
Las ecuaciones pueden ser, de una incógnita, de dos incógnitas, de tres incógnitas, etc.
C) Atendiendo a sus coeficientes :
Las ecuaciones pueden ser númericas o literales.
D) Atendiendo a su estructura algebraica :
Las ecuaciones pueden ser:
I) Ecuaciones polinomiales :
II) Ecuaciones fraccionarias :
III) Ecuaciones irracionales :
IV) Ecuaciones trascendentes :
E) Atendiendo a su solución :
Las ecuaciones pueden ser compatibles o incompatibles.
I) ecuaciones compatibles :
Son aquellas que poseen al menos una solución. Estas pueden ser :
1) Determinadas :
Una ecuación es compatible determinada, si es posible determinar la cantidad de sus soluciones, o tiene un número limitado de elementos de su conjunto solución.
En estas ecuaciones se suprimen los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. Así se obtiene una ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores.
•	Exponer con relativa amplitud las diferencias cualitativas respecto a la resolución de las ecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales.
•	Hacer notar de forma explícita que existen ecuaciones de una incógnita que admiten infinitas soluciones (Ecuaciones indeterminadas), y las que no aceptan solución alguna (Ecuaciones incompatibles).
•	Para despejar el valor de la incógnita se expondrán las propiedades de transformación para la resolución de una ecuación algebraica dentro del conjunto R.
•	Para la resolución analítica de una ecuación irracional dentro del conjunto C, se tendrá en cuenta el concepto de raíces algebraicas de un radical.
•	Finalmente, estudiaremos con detenimiento, la resolución general, la discusión de la raíces y las diversas propiedades inherentes de las ecuaciones polinomiales de primer y segundo grado.
También estudiaremos de manera sucinta, a las ecuaciones bicuadradas, binomias, trinomias y recíprocas de primera y segunda especie; asi como también el conocimiento de las propiedades notables de las ecuaciones polinomiales de grado arbitrario, cuya profundización la expondremos en una próxima edición.
ECUACIONES ALGEBRAICAS DE UNA SOLA INCÓGNITA
Es una igualdad literal algebraica relativa de dos expresiones algebraicas que contienen una sóla incógnita. Por ejemplo:
SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN
Es aquel valor que toma la incógnita de la ecuación, que al reemplazarla en ésta, se obtiene una igualdad numérica.
x = 1 es solución o raíz de la ecuación, ya que al sustituirla en dicha ecuación:
Da lugar a la igualdad numérica:	2 = 2
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN ALGEBRAICA
Es el conjunto S de valores que toma la incógnita para los cuales se verifica la ecuación.
La ecuación x3 – 7x + 6 = 0, se verifica para el conjunto de valores de x: S = {–3, 1, 2}
•	Otro ejemplo:
la ecuación: 2×4 – 3×3 – 6×2 + 5x + 6 = 0
cuyo equivalente es (x+1)2 (2x–3) (x–2) = 0
Se verifica para el conjunto de valores:
De acuerdo al número de elementos del conjunto S, pueden clasificarse de la siguiente manera:
1.	ECUACIÓN COMPATIBLE
Es aquella que admite en su conjunto solución por lo menos un elemento. Motivo por el cual, se subdivide en:
a)	Ecuación Compatible Determinada
Es aquella que admite un número finito de elementos para su conjunto solución; esto es, S es un conjunto finito.
Por ejemplo: La ecuación algebraica:
x3 – 6×2 + 11x – 6 = 0
Se verifica para x = 1, x = 2, x = 3.
Es decir: S = {1, 2, 3}
b)	Ecuación Compatible Indeterminada
Es aquella que admite un número infinito de elementos para su conjunto solución; es decir S es un conjunto infinito.
Por ejemplo: la ecuación racional:
Efectuando operaciones elementales:
resulta: 0x + x = 0
o simplemente: 0x = 0 ; x ¹ 0
la cual se verifica para todo x distinto de cero, y se dice que S es un conjunto infinito.
2.	ECUACIÓN INCOMPATIBLE
Denominada también ecuación absurda; es aquella que no admite en su conjunto solución, elemento alguno, esto es, S es un conjunto vacío.
Por ejemplo en la ecuación:
•	Reduciendo, sin restringir:
•	Despejando, se tiene: x = 6
Pero observamos que al reemplazar el valor de x en la ecuación inicial, resulta matemáticamente ¡Absurda!. Luego no existe, un valor para x que verifique la ecuación.
Por lo tanto: S = f
Son aquellas ecuaciones que admiten las
Por ejemplo: Las ecuaciones expuestas:
(2x – 1)2 = 1	…………… (2)
Son equivalentes, ya que cada una de ellas se verifican para x = 0 ó x = 1
TIPOS DE ECUACIONES DE ACUERDO
Según el operador algebraico que esté afectando a la incógnita, éstas pueden ser:
1.	ECUACIÓN POLINOMIAL
Es aquella ecuación algebraica, cuyos miembros son polinomios, la cual se puede reducir a la forma general:
P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn– + … + an–1x + an = 0
donde a0, a1, a2, … , an–1, an son los coeficientes con a0 ¹ 0.
Grado u Orden de una Ecuación
Se denomina grado u orden de una ecuación polinomial P(x) = 0, al mayor exponente de la incógnita x; donde P(x) no posee términos semejantes.
P(x) = x5 – 3×3 + 7x – 5 = 0
es una ecuación polinomial de quinto grado.
Raíz de una Ecuación Polinomial
Dado un polinomio P(x) y un número r, que pertenece a C, se dice que r es raíz de la ecuación P(x)=0, si verifica la igualdad numérica:
P(r) = 0.
Ecuaciones Polinomiales Equivalentes
Son aquellas ecuaciones del mismo grado, que admiten las mismas raíces.
Por ejemplo: Las ecuaciones polinomiales:
4×3 – 12×2 – x + 3 = 0
admiten en común, las mismas raíces:
Dadas las ecuaciones polinomiales del mismo grado:
a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + … + an = 0 ; a0 ¹ 0
b0xn + b1xn–1 + b2xn–2 + … + bn = 0 ; b0 ¹ 0
Si ambas son equivalentes, se cumple:
2.	ECUACIÓN FRACCIONARIA
Es aquella ecuación algebraica, donde por lo menos uno de sus miembros es una expresión racional fraccionaria, la cual se puede reducir a la forma general:
Donde P y Q son polinomios entre sí.
Una ecuación fraccionaria, siempre se transforma a una ecuación polinomial no necesariamente equivalente.
3.	ECUACIÓN IRRACIONAL
Es aquella ecuación algebraica, donde por lo menos uno de sus miembros es una expresión irracional, la cual puede presentar la forma general elemental:
Donde F y G son expresiones algebraicas cualesquiera, y n es un número natural (n³2).
Resolución Analítica de una Ecuación
Irracional dentro del Conjunto R
Si es factible elevar ambos miembros de una ecuación irracional a un mismo exponente natural, se debe tener en cuenta dos criterios fundamentales:
A.	Si el exponente es PAR, la ecuación que resulta no siempre será equivalente a la ecuación inicial.
Ejemplo : Dada la ecuación:
2x + 29 = 9 – 6x + x2
De donde: x2 – 8x – 20 = 0 ……. (b)
Factorizando: (x – 10) (x + 2) = 0
cuyas soluciones son: x = 10 ó x = –2
verificando estos valores obtenidos en la ecuación (a).
Para x = 10:
Esta igualdad numérica no cumple con la definición de raíz aritmética. Por lo tanto, este valor no es solución de la ecuación.
Para x = –2:
Del cual resulta:
Luego: x = –2, es la única solución de la ecuación propuesta.
Nótese que el conjunto solución S = {–2}, y además las ecuaciones (a) y (b) NO son equivalentes.
B.	Si el exponente es IMPAR, la ecuación que se obtiene siempre es equivalente a la ecuación inicial.
Elevando al cubo miembro a miembro, y aplicando la identidad de Cauchy, resulta:
Nuevamente, elevando al cubo:
8×3 = 81x (x – 1) ………… (b)
Previamente: x1 = 0 es solución.
Simplificando, resulta: 8×2 – 81x + 81 = 0
factorizando: (8x – 9) (x – 9) = 0
Despejando: x2 = ó x3 = 9
fácilmente se puede comprobar, que éstos tres valores verifican la ecuación inicial.
Es decir, las ecuaciones (a) y (b) son equivalentes.
Ejemplo: Compruebe que la ecuación:
y su ecuación polinomial RESOLVENTE son totalmente equivalentes.
• PRIMERA PROPIEDAD:
Si en ambos miembros de una ecuación racional, se suma o resta una misma expresión definida, resulta una ecuación equivalente a la inicial.
En la ecuación racional:	Considerando la restricción x ¹ 0, restando miembro a miembro la expresión determinada , con lo cual se obtiene la ecuación equivalente:
x2 – x = 6;	x ¹ 0 …… (b)
cuyas soluciones son x = 3 ó x = –2, admisibles por ser diferentes de cero. Por lo tanto, las ecuaciones (a) y (b) son equivalentes.
Esta propiedad permite realizar la TRANSPOSICIÓN de expresiones de un miembro a otro con signo cambiado, con el objeto de preparar la ecuación como parte de su resolución.
• SEGUNDA PROPIEDAD:
Si en ambos miembros de una ecuación algebraica, se multiplica o divide por una constante “C” no nula, resulta una ecuación equivalente a la inicial. Dado un valor real C ¹ 0, se verifican:
Multiplicando miembro a miembro por 4, se obtiene:
3x + 2 = 24 ……………. (b)
la cual es equivalente a la ecuación (a).
De la ecuación (b), por la primera propiedad,
se obtiene: 3x = 22 ……………. (g)
Siendo la única solución, ya que (g), también
es equivalente a la ecuación inicial (a).
En el caso de una ecuación fraccionaria, al multiplicarse por una expresión dependiente de la incógnita (MCM de los denominadores), no siempre se obtendrá una ecuación equivalente a la inicial.
En la ecuación fraccionaria:
Considerando que x ¹ –2 y x ¹ 1, multiplicamos miembro a miembro por el:
MCM = (x + 2) (x – 1) ¹ 0
2 (x + 1) (x – 1) + 3x = (x – 2) (x + 2)
x2 + 3x + 2 = 0 ……. (b)
cuyas soluciones son x = –1 ó x = –2.
Pero x = –2 no es solución de la ecuación inicial; y por ello, las ecuaciones (a) y (b) no son equivalentes.
CONSECUENCIA IMPORTANTE
Si en ambos miembros de una ecuación fraccionaria reducida, se simplifica en los denominadores un mismo factor que contenga a la incógnita, no se pierden soluciones. Pero, si se simplifica en los numeradores, para no perder soluciones, previamente dicho factor deberá igualarse a cero.
En la ecuación racional:
Expresándola de otra manera:
cuyas restricciones son x ¹ 0 y x ¹ –1.
Además: x – 2 = 0 « x = 2
es una solución de la ecuación inicial.
Simplificando se obtiene la nueva ecuación:
Finalmente, el conjunto solución será:
• TERCERA PROPIEDAD
En la resolución de una ecuación no irracional dentro de R, si ambos miembros se radican con un mismo índice, la ecuación que resulta no es equivalente a la ecuación inicial. Pero, si dicha ecuación se resuelve en C, al efectuar la misma operación, se obtendrá una ecuación equivalente a la inicial.
Para mayor precisión, veamos los siguientes ejemplos explicativos:
1.	Sea la ecuación: x2 – 9 = 0 « x2 = 9
En R: Extrayendo raíz cuadrada miembro a miembro:
Por definición: x = 3 ó x = –3
En C: Despejando x:
(raíces cuadradas de 9)
Se obtienen: x = 3 ó x = –3
La ecuación propuesta, al ser analizada en R y C, nos da las mismas soluciones.
2.	Sea la ecuación: x3 – 8 = 0 « x3 = 8
En R : Extrayendo raíz cúbica miembro a miembro:
(raíces cúbicas de 8)
Se obtienen: x = 2 ó x = 2w ó x = 2w2
donde w es una de las raíces cúbicas imaginarias de la unidad.
Se observa que la ecuación al ser analizada en R, ha perdido dos soluciones.
3.	Sea la ecuación: x4 – 16 = 0 « x4 = 16
En R: Extrayendo raíz cuarta:
Por definición: x = 2 ó x = –2
En C : Despejando x:
(raíces cuartas de 16)
Se obtienen:	x = 2	ó	x = –2
x = 2i	ó	x = –2i
También aquí la ecuación al ser analizada en R, ha perdido dos soluciones.
4.	En la ecuación racional:
(2x + 3)3 = (x – 5)3
Observamos que ésta no se verifica para ó x = 5; esto quiere decir que ambos miembros son diferentes de cero.
Luego, dividiendo miembro a miembro entre
(x – 5)3:
Vamos a analizar la ecuación en C, para obtener todas las raíces. Para lo cual extraemos raíz cúbica a cada miembro:
(raíces cúbicas de la unidad)
Del cual resultan:
Despejando se obtienen:
Denominada también ECUACIÓN LINEAL, es aquella ecuación polinomial de una incógnita, que se reduce a la forma general:
Cuya solución o raíz es: DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN: ax + b = 0
Primer Caso: Si:
La raíz x = es única, y la ecuación resulta COMPATIBLE DETERMINADA de primer grado, de la forma: ax + b = 0
Segundo Caso: Si
La raíz x = 0 es única y la ecuación también resulta COMPATIBLE DETERMINADA de primer grado, de la forma:
ax + 0 = 0
Tercer Caso: Si a = 0 y b = 0
La ecuación se verifica para todo valor que toma la incógnita x; esto quiere decir que, la ecuación es COMPATIBLE INDETERMINADA de primer grado, de la forma: 0x + 0 = 0
Cuarto Caso: Si
La ecuación no se verifica para ningún valor de la incógnita; lo cual indica que, la ecuación es INCOMPATIBLE de primer grado de la forma:
La cual se reduce a: b = 0 y esto contradice la condición de este caso.
Para nuestro propósito, nos limitaremos al estudio de las ecuaciones compatibles determinadas de primer grado de la forma:
1.	De la ecuación lineal consistente:
¿Qué se puede afirmar respecto del parámetro m, si éste admite solución única?
•	Por transposición de términos:
Efectuando operaciones de reducción:
Si es compatible determinada, la condición es:
Es decir, para cualquier valor de m distinto
de 12, la ecuación admite una única solución,
2.	De la ecuación lineal mostrada:
que se deduce, si esta admite infinitas soluciones.
•	Transponiendo términos, se tiene:
Si la ecuación es indeterminada, debe tomar la forma: 0x = 0
Por ello:	2a – 7 = 0	® a =
b + 2 = 0	® b = –2
3.	Que condiciones se debe establecer para que la ecuación algebraica:
•	Multiplicando miembro a miembro por el MCM = 20:
4 (x – p + 1) + 5 (x + q – 2) = 2 (p+q) x
reduciendo se tiene:
9x – 4p + 5q – 6 = (2p+2q) x
Si no acepta solución alguna, la igualdad debe ser ABSURDA. Por esto, se deben cumplir:
9 – 2p – 2q = 0	Ù 6 + 4p – 5q ¹ 0
9 = 2 (p + q) Ù 6 + 4 (p + q) – 9q ¹ 0
Ù 6 + 4 – 9q ¹ 0
24 ¹ 9q
Reemplazando en (a): SOLUCIÓN GRÁFICA DE LA ECUACIÓN
DE COEFICIENTES REALES: ax + b = 0
Dada la función real de variable real definida por la regla de correspondencia:
y = F(x) = ax + b ; a ¹ 0
Cuya representación gráfica en el plano cartesiano es una LINEA RECTA, obtenida al unir los puntos cuyas coordenadas (x; y) verifican la condición: y = F(x)
Donde la constante a es la pendiente de la recta, cuyo valor resulta de a = Tg a, y la constante b es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas. De acuerdo al valor de la pendiente, esta recta se inclina de dos maneras; veamos:
•	Si a > 0
•	Si a < 0
En la regla de correspondencia: y = ax + b.
Si y = 0, se obtiene ax + b = 0 (Ecuación de 1er. grado) donde (raíz de la ecuación); y estos valores dan origen al par ordenado , que representa al punto de intersección de la recta y = F(x) con el eje de abscisas.
Resolver gráficamente la ecuación:
•	Esbozemos la gráfica de la función lineal:
Observar que la abscisa del punto P, es la solución de la ecuación:
–x – 5 = 0
•	Esbozando la gráfica de y = F(x) = –x – 5
Tg a = –1
la abcisa del punto P es la solución de la ecuación dada:
Resolver gráficamente la ecuación: 2x = 0
•	Esbozemos la gráfica de y = F(x) = 2x tal como se indica:
Tg a = 2
Observamos que el punto P, coincide con el origen de coordenadas, y la abcisa de este, es la solución de la ecuación:
1.	Sea la ecuación en , de incógnita x y parámetro entero a: m3x – m2 = 2m + 4mx.
¿cuáles son todos los valores de m de tal modo que la ecuación tenga una sola raíz?
Para realizar la discusión de una ecuación es recomendable llevarla a la forma: px + q = 0. Entonces la ecuación dada es equivalente a:
m3x – m2 = 2m + 4mx
mx(m2 – 4) – m(m + 2) = 0
m(m + 2) [(m – 2)x – 1] = 0 ... (1)
Para que la ecuación (1) tenga una sola raíz, es suficiente y necesario que el coeficiente de x sea distinto de cero, esto es: .
Como el parámetro m es entero,entonces m puede ser cualquier valor que pertenezca al conjunto: 2.	Problema
Si: , indicar el mínimo valor que pueda adquirir la solución d ela ecuación de primer grado en x.
•	En el nivel elemental, hacer notar que de las ecuaciones polinomiales, la más importante, es la ecuación cuadrática; por su conformación característica y sus propiedades inherentes, bastante usuales en todas las ramas de la matemática.
•	En el álgebra funcional, el análisis del parámetro crítico denominado discriminante
(D = b2-4ac), es muy importante para entender el comportamiento y la variabilidad de la función cuadrática:	F(x) = ax2 + bx + c ; a ¹ 0
•	En el caso de ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales y discriminante negativo, aprenderemos a trabajar con raíces imaginarias y la riqueza teórica que encierra este tipo de numerales definidos en el conjunto C, como ampliación necesaria del conjunto de los números reales.
Matemático noruego, el primero en demostrar de forma concluyente la imposibilidad de resolver con un proceso elemental de álgebra general las ecuaciones de cualquier grado superior a cuatro. Nació en la isla de Finnoy, Rogaland Country. Después de estudiar en la Universidad de Cristianía (hoy Oslo) pasó dos años en París y Berlín y un año antes de su temprana muerte fue nombrado instructor de la universidad y escuela militar de Cristianía. Su aportación fundamental fue la teoría de las funciones. Una importante clase de funciones trascendentales se denominan (después de su descubrimiento) como las ecuaciones, grupos y cuerpos abelianos. El teorema del binomio fue formulado por Isaac Newton y el matemático suizo Leonard Euler, pero Abel le dio una generalización más amplia, incluyendo los casos de exponentes irracionales e imaginarios. Newton, Isaac (1642 - 1727), matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried Wilhlem Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal. Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire. Cuando tenía tres años, su madre viuda se volvió a casar y lo dejó al cuidado de su abuela. Al enviudar por segunda vez, decidió enviarlo a una escuela primaria en Grantham. En el verano de 1661 ingresó en el Trinity College de la Universidad de Cambridge y en 1665 recibió su título de bachiller.
Denominada también ECUACIÓN CUADRÁTICA, es aquella ecuación polinomial de una incógnita de la forma general:
ax2 + bx + c = 0 ; a ¹ 0
DE SEGUNDO GRADO :
Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a ¹ 0 ... (1)
•	Multiplicando miembro a miembro por “4a”, así:	4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
•	Transponiendo: 4a2x2 + 4abx = –4ac
•	Sumando b2 en ambos miembros, para formar en el primero un trinomio cuadrado perfecto:
Luego:	(2ax + b)2 = b2 – 4ac
•	Extrayendo raíz cuadrada, se tiene:
•	Despejando la incógnita x, resulta:
que viene a ser la solución general de la ecuación cuadrática (1). Establecida por FRANCOISE VIETE en el siglo XVI.
DISCRIMINANTE O VARIANTE
Se denomina así a la cantidad subradical de la solución general: b2 – 4ac, y se le simboliza por la letra griega mayúscula “D”; es decir:
RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
De la solución general, se obtienen:
Para conocer los valores de estas raíces, a partir de la ecuación polinomial:
Se reemplazan directamente los valores de los parámetros a, b y c.
Pero, si el polinomio cuadrático se puede factorizar fácilmente, entonces se realiza este procedimiento, obteniéndose dos factores lineales; para luego igualar a cero cada uno de éstos.
DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES REALES:
La naturaleza de las raíces de la ecuación:
ax2 + bx + c ; a, b, c Î R y a ¹ 0
viene caracterizada por el valor que asume el discriminante D, es decir:
Si D > 0, las raíces serán reales y diferentes.
Por ejemplo: Resolver:	3×2 – 5x + 1 = 0
*	Cálculo del discriminante:
D = (–5)2 – 4(3)(1) = 13 donde: D > 0
Luego, reemplazando en la solución general:
Si D = 0, las raíces serán reales e iguales; esto es, una raíz real doble.
Por ejemplo:	Resolver: 4×2 – 12x + 9 = 0
Análogamente: D = (–12)2 – 4(4)(9) = 0
En la solución general:
Si D < 0, las raíces serán imaginarias y conjugadas.
Por ejemplo: Resolver: x2 – 2x + 2 = 0
De igual manera: D = (–2)2 – 4(1)(2) = –4
donde: D < 0, y en la solución general:
De aquí: x1 = 1 + i ó x2 = 1 – i
las cuales son imaginarias y conjugadas.
CON COEFICIENTES REALES
y = F(x) = ax2 + bx + c ; a ¹ 0
y = G(x) = 0
Si:	F(x) = G(x) ..... (a)
Se obtiene la ecuación cuadrática:
De la igualdad de funciones (a), se deben calcular aquellos x (x1 y x2) para los cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y y2) son las mismas; es decir, geométricamente, hallar los puntos de intersección de las gráficas de éstas funciones, como se muestra en la figura:
donde y1 = y2 = 0 y x1 ¹ x2
Siendo las abcisas de los puntos de intersección (x1;0) y (x2;0) de las gráficas de F y G, las raíces de la ecuación cuadrática:
Resolver gráficamente: 2x2 – x – 15 = 0
Esbozemos la gráfica de la función cuadrática.
y = F(x) = 2x2 – x – 15
las abscisas de los puntos P y Q de intersección de la gráfica de F y el eje horizontal, nos representan las raíces o soluciones de la ecuación.
Observar que, para:
DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA
ECUACIÓN CUADRÁTICA DE COEFICIENTES REALES.
En la ecuación cuadrática:
ax2 + bx + c = 0; a ¹ 0. Sabemos que la naturaleza de sus raíces viene dada por el valor del discriminante “D”. Según esto, se obtienen gráficamente lo siguiente:
Dada la ecuación cuadrática con coeficientes racionales: ax2 + bx + c = 0 ; a ¹ 0
Si su discriminante D es un número cuadrado perfecto, las raíces de dicha ecuación siempre serán racionales. Si no es así, serán irracionales y conjugados.
Ejemplo:	Resolver: 2x2 – x – 6 = 0
D = (–1)2 – 4(2)(–6) = 49 (cuadrado perfecto)
Luego reemplazando en la solución general:
; de la cual se obtienen:
x1 = 2 ó x2 =
Las cuales son números racionales.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA
(Teoremas de Viéte)
Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática:
entonces, se verifica las siguientes propiedades:
T1.	Suma de Raíces
T2.	Producto de Raíces
T3.	Diferencia de Raíces
Las anteriores propiedades se verifican en una ecuación cuadrática con coeficientes de naturaleza arbitraria (reales o complejos).
2x2 + 6x + 3 = 0
Se cumplen las relaciones de Viéte:
D = (6)2 – 4(2)(3) = 12 ; luego:
•	PROPIEDADES AUXILIARES
T4.	(x1 + x2)2 + (x1 – x2)2 = 2 (x12 + x22)
T5.	(x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1x2
CUADRÁTICA A PARTIR DE SUS RAÍCES
(Teorema Recíproco de Viéte)
Sean x1 y x2 las raíces de cierta ecuación cuadrática de incógnita x; es decir:
x = x1 ó x = x2
Por transposición de términos, se tienen:
x – x1 = 0 ó x – x2 = 0
los cuales se obtienen a partir de:
Efectuando: x2 – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0
llamando a: x1 + x2 = S
y: x1 · x2 = P
(A esta ecuación se le denomina canónica, normalizada u ordinaria, debido a que su coeficiente principal es la unidad).
Ejemplo explicativo (1):
Formar una ecuación de segundo grado, cuyas
raíces sean
*	Asumiendo que dichos valores son x1 y x2 respectivamente. Calculemos S y P por separado:
Aplicando la fórmula “w”, se tiene:
que expresada con coeficientes enteros, resulta:
5x2 – 3x – 1 = 0
Ejemplo explicativo (2):
Construir una ecuación cuadrática que acepte
como raíces a
Calculando S y P, se tienen:
La ecuación formada, será:
La cual reduce a:
2x2 – (1 + 5 i)x –- 5 + 5 i = 0
Siendo: , la unidad imaginaria.
A)	En la ecuación: ax2 + bc + x ; a ¹ 0
La condición que se debe cumplir para que:
1.	Sus Raíces sean asimétricas u opuestas
Es decir, las raíces sean iguales en valor absoluto pero de signos contrarios.
luego, la condición necesaria y suficiente es:
La ecuación cuadrática que admite raíces simétricas, es de la forma genérica:
ax2 + c = 0 ; a ¹ 0 , c ¹ 0
2.	Sus Raíces sean recíprocas o inversas
Es decir, una raíz es la inversa de la otra.
Entonces, la condición necesaria y suficiente es:
la ecuación cuadrática que admite raíces recíprocas, tiene la forma genérica:
ax2 + bx + a = 0 ; a ¹ 0
3.	Una de sus raíces es igual a la unidad
Es decir x = 1, verifica la ecuación cuadrá tica: ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0
reemplazando este valor, resulta la condición necesaria y suficiente:
B)	Para el siguiente sistema de ecuaciones cuadráticas:
a1x2 + b1x + c1 = 0 ;	a1 ¹ 0
a2x2 + b2x + c2 = 0 ;	a2 ¹ 0
1.	Ambas ecuaciones tengan las mismas
Es decir, que las ecuaciones sean equivalentes. Se debe cumplir la relación de proporcionalidad entre los coeficientes de sus respectivos términos semejantes, la cual es:
2.	Ambas ecuaciones admitan una raíz común - Teorema de Bezout
Siendo esta relación, la CONDICIÓN DE COMPATIBILIDAD conocida con el nombre de BEZOUTIANA, para que dos ecuaciones cuadráticas de una incógnita, tengan una raíz común, cuyo valor se determina así:
FORMAS SIMÉTRICAS DE LAS POTENCIAS DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN
Se denomina así a las expresiones de la forma , cuya característica es que al intercambiar x1 por x2 y x2 por x1, la forma de la expresión original no se altera; siendo x1 y x2 raíces de la ecuación cuadrática:
Establezcamos una fórmula que nos permita relacionar la suma de las raíces, de los cuadrados, de los cubos, de las cuartas, y en general de las enésimas potencias de las raíces; las cuales denotaremos por S1, S2, S3, S4, y en general Sn.
Para facilitar el procedimiento de la deducción llevaremos la ecuación cuadrática general a su forma canónica:
y además: x1 + x2 = –p y	x1x2 = q .... (q)
Construyendo progresivamente las sumas requeridas:
1.	x1 + x2 = S1 = –p ... (1)
S1 + p = 0 ... (a)
De los (q), reemplazando:
S2 – p2 + 2q = 0
S2 + pS1 + 2q = 0 ... (b)
Por (1) y (q), reemplazando:
S3 + p3 – 3pq = 0
S3 + p (p2 – 2q) + q (–p) = 0
De (1) y (2), se deduce que:
S3 + pS2 + qS1 = 0 ..... (g)
Sustituyendo de (q) y de (2):
Luego :	S4 – p4 + 4p2q – 2q2 = 0
S4 + p(–p3+3pq) + q(p2–2q) = 0
De (2) y (3), reemplazando:
S4 + pS3 + qS2 = 0 ...... (f)
Por lo tanto, de (a), (b), (g), (f), resumiendo:
S1 + p = 0
S2 + pS1 + 2q = 0
S3 + pS2 + qS1 = 0
S4 + pS3 + qS2 = 0
la relación anterior se podrá escribir así:
A la cual se le denomina LEY GENERAL DE RECURRENCIA de las potencias de las raíces de la ecuación cuadrática.
•	Podemos considerar que y son raíces de una ecuación de segundo grado; es decir:	y la ecuación de la cual provienen es:
x2 – (x1 + x2)x + (x1x2) = 0
reemplazando dichos valores se obtiene:
x2 – 2x – 2 = 0 ... (1)
Luego: p = –2 y q = –2
Entonces, la expresión N nos representa la suma de las SEXTAS POTENCIAS de las raíces de la ecuación (1).
Así: S6 = x16 + x26
Este valor, se puede obtener aplicando sucesivamente la ley general de recurrencia.
S1 – 2 = 0	®	S1 = 2
S2 – 2S1 – 4 = 0	®	S2 = 8
S3 – 2S2 – 2S1 = 0	®	S3 = 20
S4 – 2S3 – 2S2 = 0	®	S4 = 56
S5 – 2S4 – 2S3 = 0	®	S5 = 152
S6 – 2S5 – 2S4 = 0	®	S6 = 416
Finalmente:	N = 416.
Son aquellas ecuaciones polinomiales de cuarto
grado que no admite términos de grado impar; es
decir; son de la forma general :
ax4 + bx2 + c = 0 ; a ¹ 0
Sea: ax4 + bx2 + c = 0 ; a ¹ 0 ... (1)
Realizando el cambio: x2 = y, la ecuación (1) se puede transformar a una de segundo grado, llamada ECUACIÓN RESOLVENTE, de la forma:
ay2 + by + c = 0 ; a ¹ 0
Como: y = x2, se tiene:
donde: D = b2 – 4ac (Discriminante o Invariante) siendo ésta, la solución general de la ecuación bicuadrada (1). Haciendo todas las combinaciones posibles de los signos en (I), se obtienen las siguientes
Por ejemplo:	Resolver: 2x4 + 3x2 – 5 = 0
Cálculo del discriminante:
D = (3)2 – 4(2)(–5) = 49
Reemplazando en la solución general (I),
luego, las raíces por separado son:
Además:	Algunas ecuaciones bicuadradas se pueden resolver factorizando el polinomio (ax4 + bx2 + c) en dos factores cuadráticos.
Resolver: 9x4 + 481x2 – 10000 = 0
Aplicando el criterio del aspa simple, se tiene:
9x4 + 481x2 – 10000 = 0
(9x2 + 625) (x2 – 16) = 0
Igualando a cero cada factor cuadrático:
9x2 + 625 = 0	ó	x2 – 16 = 0
ó	x2 = 16
ó	x = ± 4
Luego, el conjunto solución S, será:
siendo , la unidad imaginaria.
Resolver: x4 – 6x2 + 1 = 0
Aplicando el criterio del aspa doble especial; para lo cual, completamos con ceros los términos de grado impar, así:
x4 + 0x3 – 6x2 + 0x + 1 = 0
Luego, la ecuación quedará así:
(x2 + 2x – 1) (x2 – 2x – 1) = 0
Igualando cada factor a cero, se obtiene:
x2 + 2x – 1 = 0	ó	x2 – 2x – 1 = 0
Resolviendo cada ecuación cuadrática por la solución general:
Finalmente, el conjunto solución de la ecuación es:	Ejemplo (3):
Resuelva Ud. la ecuación bicuadrada:
1296x4 + 56x2 + 1 = 0
TEOREMAS DE VIÉTE
Siendo x1, x2, x3 y x4 son raíces de la ecuación bicuadrada: ax4 + bx2 + x = 0 ; a ¹ 0
los cuales se caracterizan por conformar dos pares de raíces simétricas, es decir:
x1 = a	;	x2 = -a
x3 = b	;	x4 = -b
donde “a” y “b” son valores reales y/o imaginarios.
Entre estas raíces y los coeficientes de dicha ecuación, se generan las siguientes relaciones:
1.	Suma de Raíces
2.	Suma de Productos Binarios de las Raíces
Por el Teorema de Cardano - Viéte que veremos a continuación:
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = b/a
como: x1 + x2 = 0	y	x3 + x4 = 0
la relación anterior se reduce a:
3.	Producto de Raíces
Dada la ecuación bicuadrada:
6x4 + 10x2 + 9 = 0
Si: x1, x2, x3 y x4 son raíces de la misma se verifican las relaciones:
•	x1 + x2 + x3 + x4 = 0
BICUADRADA A PARTIR DE SUS RAÍCES
Sean x1, x2, x3 y x4 las raíces de cierta ecuación bicuadrada con incógnita x es decir:
x = x1 ó x = x2 ó x = x3 ó x = x4
los cuales se obtienen a partir de la ecuación:
(x – x1) (x – x2) (x – x3) (x – x4) = 0
Multiplicando, se obtiene:
x4–(x1+x2+x3+x4)x3+
(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)x2
– (x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)x + (x1x2x3x4) = 0
Por las propiedades anteriores, esta relación se reduce a:
La cual se denomina ecuación bicuadrada canónica, normalizada u ordinaria.
Formar una ecuación bicuadrada cuyas raíces sean:
Formando las relaciones, se obtienen:
Luego reemplazando en (d):
Finalmente: 16x4 – 41x2 + 18 = 0
Construir una ecuación bicuadrada cuyas raíces sean:
Hallando separadamente los productos de:
Sumando, se obtiene:
Multiplicando, resulta:
Reemplazando en (d), se tiene:
Expresando esta ecuación canónica con coeficientes enteros, así:
4x4 – 12x2 + 7 = 0
Muestre la ecuación bicuadrada de coeficientes enteros, una de cuyas raíces es:
•	Una forma practica es racionalizando gradualmente este valor irracional, así:
Nuevamente al cuadrado, se obtiene:
16x4 – 80x2 + 100 = 11
Transponiendo 11, resulta lo que nos piden:
16x4 – 80x2 + 89 = 0
Demuestre Ud. que el valor irracional:
es una de las raíces de la ecuación bicuadrada:
9x4 – 12ax2 + 3a2 + b2 = 0
Siendo a y b números racionales.
DIOFANTO (Fl. siglo III d.C.)
Matemático griego. Vivió en Alejandría (Egipto), donde se ocupó principalmente del análisis diofántico, siendo merecedor del título de padre del álgebra. Escribió Las aritméticas obra de la que sólo quedan 6 libros de los 13 que la componían. Herón de Alejandría (c. 20-62 d.C.), matemático y científico griego. Su nombre también podría ser Hero (aproximadamente 18 escritores griegos se llamaron Hero o Herón, creándose cierta dificultad a la hora de su identificación). Herón de Alejandría nació probablemente en Egipto y realizó su trabajo en Alejandría (Egipto). Escribió al menos 13 obras sobre mecánica, matemática y física. Inventó varios instrumentos mecánicos, gran parte de ellos para uso práctico: la aelípilla, una máquina a vapor giratoria; la fuente de Herón, un aparato neumático que produce chorro vertical de agua por la presión del aire y la dioptra, un primitivo instrumento geodésico. Sin embargo, es conocido sobre todo como matemático tanto en el campo de la geometría como en el de la geodesia (una rama de las matemáticas que se encarga de la determinación del tamaño y configuración de la Tierra, y de la ubicación de áreas concretas de la misma). Herón trató los problemas de las mediciones terrestres con mucho más éxito que cualquier otro de su generación. También inventó un método de aproximación a las raíces cuadradas y cúbicas de números que no las tienen exactas. A Herón se le ha atribuido en algunas ocasiones el haber desarrollado la fórmula para hallar el área de un triángulo en función de sus lados, pero esta fórmula, probablemente, había sido desarrollada antes de su época.
5.	(S.M. 1992)
x2 – 5x + K = 0	... (1)
x2 – 7x + K = 0	... (2)
una raíz de la ecuación (1) es la mitad de una raíz de la ecuación (2). El valor de K es igual a:
Rpta.: 6.	(S.M. 1993)
Si a y b son las raíces de la ecuación:
x2 – 6x + c = 0, entonces el valor de:
Rpta.: 7.	(S.M. 1995)
Si r y s son las raíces de la ecuación:
x2 + bx + 4c = 0 y 2r + K, 2s + K de:
x2 + ax + b = 0, entonces: a2 – 4b es igual a:
Rpta.: 8.	(S.M. 1996)
Sea A la suma de las raíces de: ax2 + bx + c = 0 y B la suma de las raíces de:
a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = 0, entonces B – A es:
Rpta.: 9.	(S.M. 1996)
Si los cuadrados de las dos raíces reales de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 sea el triple de la otra, la relación entre los coeficientes debe ser:
Rpta.: 10.	(S.M. 1997) Si los cuadrados de las dos raíces reales de la ecuación: x2 + x + c = 0 suman 9, entonces el valor de c es:
Rpta.: 11.	(S.M. 1998) Si a y b son las raíces de la ecuación de: 100x2 + 10x + 1 = 0 entonces:
log 2a + log 5b valdría:
Rpta.: 12.	(S.M. 1999) En la siguiente ecuación:
(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + n) = n2
n es entero positivo, el valor de x es:
Rpta.: 13.	(S.M. 1999)
Determinar m y n tales que las ecuaciones:
(5m – 52)x2 – (m – 4)x + 4 = 0
(2n + 1)x2 – 5nx + 20 = 0
tengan las mismas raíces.
Rpta.: 14.	(S.M. 2004-I) Si x es solución de la ecuación:
entonces el valor de: 2x2 + x + 1 es:
Rpta.: 15.	(S.M. 2003-I) Si r y s son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0,
determinar p para que r2 y s2 sean las raíces de la ecuación: x2 + px + q = 0
Rpta.: 16.	(S.M. 2003-I)
En la ecuación: x2 – 2 (n – 3)x + 4n = 0 determine los valores que puede tomar n para que la ecuación posea raíces iguales. Dé como respuesta la suma de estos valores.
Rpta.: 17.	(S.M. 2004-I)
Si: , ¿qué valor deberá tener w en la ecuación: (a + b)2 x2 + 2 (a2 – b2)x + w = 0
para que sus 2 raíces sean iguales?
Rpta.: 18.	(S.M. 2004-II)	Sean las raíces de la ecuación: x2 – 2(m – 1)x + 3 = 0. La suma de los valores que puede tomar m para que satisfaga la relación: es:
Rpta.: 19.	(S.M. 2004-II)
Dada la ecuación: m–1x2 – m–2 · x = x – m–1 el cuadrado de la diferencia de sus raíces es:
Rpta.: 20.	(S.M. 2004-I)
Si la ecuación: 4x4 – 17x2 + 4 = 0, hallar la suma de los cuadrados de sus raíces.
2.	(S.M. 2005-II)
Hallar la suma de los inversos de las raíces de la ecuación: 2x2 – 3x + 4 = 0
A)	B)	C)	D)	E)	0
3.	(S.M. 2005-II)
Determinar el conjunto de todos los valores de K para las cuales las raíces de la ecuación:
x2 – K (x – 1) – 1 = 0 son reales y distintas.
C)	{2}	D)	{–2}	E)	{–2, 2}
4.	(S.M. 2005-II)
Si x es un número entero tal que:
, entonces el valor de:
A)	604	B)	402	C)	320
D)	240	E)	564
Si los números reales a y b con a > 0 verifican la ecuación: a2b + ab – 6 = 0 entonces se cumple:
A)	Log2a = b
B)	Loga(–3) = b
C)	Loga2 = b
D)	Logab = 2
E)	b2 = 2
6.	(CALLAO 2000-II)
Una raíz de P(x) = x2 + mx + 6 es . Hallar el valor de: 2 – m.
A)	–2	B)	2	C)	–4	D)	4	E)	0
7.	(CALLAO 2001-II)
Dos de las raíces de una ecuación de cuarto grado son: . Hallar el coeficiente del término cuadrático en dicha ecuación. Nota: i2= –1.
A)	22	B)	12	C)	18	D)	24	E)	16
8.	(CALLAO 2002-II)
Respecto a la ecuación: 9x + 3 · 3x – 4 = 0 indicar la proposición verdadera.
A)	Tiene dos raíces reales positivas.
B)	Tiene dos raíces reales de signos opuestos.
C)	No tiene raíces reales.
D)	Tiene sólo una raíz real.
E)	Tiene dos raíces reales negativas.
9.	(CALLAO 2005-I)
Una de las raíces del polinomio:
P(x) = 2×2 + bx + c es –2 y el punto (2; 8) pertenece a la gráfica de P(x). La suma de las raíces es:
A)	2	B)	3	C)	–2	D)	1	E)	–1
10.	(UNFV 1990)
Kx2 – 2x + 3Kx – 4K + 8 = 0 con ,
si sus raíces r1 y r2 cumplen la relación:
entonces el valor de r1 + r2 es:
A)	0	B)	1	C)	–2,4	D)	2, 4	E)	–1
11.	(UNFV 1991)
10×2 – 11x + 3 = 0 y 6×2 – 7x + K = 0
hallar el valor de K para que la menor raíz de la primera ecuación sea también raíz de la segunda ecuación.
A)	–3	B)	4	C)	1	D)	2	E)	–2
12.	(S.M. 2005-II)
Si: x > 0 las soluciones de la ecuación:
se pueden hallar resolviendo la ecuación.
A)	9×2 – 8x + 9 = 0
B)	3×2 + 3x – 10 = 0
C)	x2 + x – 10 = 0
E)	9×2 – 82x + 9 = 0
13.	(S.M. 2004-II)
Si las raíces de la ecuación:
ax2 + bx + c = 0 son r y s, hallar la ecuación cuyas raíces sean: ar + b y as + b.
A)	x2 – ax + bc = 0
B)	x2 – bx – ac = 0
C)	x2 + bx + ac = 0
D)	x2 – bx + ac = 0
E)	x2 + ax + c = 0
14.	Si D es el discriminante de la ecuación:
bx2 + ax + c = 0, tal que: D > 0, entonces la diferencia entre las raíces mayor y menor de esta ecuación es:
20.	Dada la ecuación: x2 – 2mx – 3x = –5m – 1, ¿para qué valor de m la suma de sus raíces será igual al producto de las mismas?
Rpta.: 21.	La ecuación x2 – Ax + B = 0 tiene una raíz que es el triple de la otra, luego la relación de A y B es:
Rpta.: 22.	Dada la ecuación: x2 + (m – 2)x – (m – 3) = 0 x1 y x2 son las raíces, además: . Determine el mínimo valor de K.
Rpta.: 23.	Resolver la ecuación: si ésta admite raíces simétricas.
Rpta.: 24.	Si las ecuaciones:
(2m + 1)x2 – (3m – 1)x + 2 = 0
(n + 2)x2 – (2n + 1)x – 1 = 0
presentan las mismas raíces, indique 2m · n.
Rpta.: 25.	Calcular p tal que la ecuación:
3×2 – 10x + p = 0 tenga sus dos raíces positivas.
Rpta.: 26.	Formar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean:	Rpta.: 27.	Resolver la ecuación:
(n – 2)x2 – (2n – 1)x + n – 1 = 0
sabiendo que el discriminante es 25.
Rpta.: 28.	Si la ecuación:
3mx2 – (6m + 1)x + (m + 4) = 0 tiene raíces recíprocas, señalar una de ellas.
Rpta.: 29.	Si las raíces de la ecuación:
x2 – 10x + (m + 5) = 0 son complejas conjugadas, señale el menor valor entero de m.
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