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Timestamp: 2017-04-27 13:13:13+00:00

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Título: Semejanza en el Plano. Trigonometría plana. Resolución de Triángulos. Nivel: 4º E.S.O. opción B Breve descripción y objetivos generales: El objetivo general es cómo se utilizan los conocimientos sobre semejanza de triángulos Thales) y sobre trigonometría en el plano para resolver problemas vida cotidiana y que pueden “traducirse matemáticamente” a triángulos. Conocimientos previos: de medios: uso de la calculadora y útiles de dibujo. de Matemáticas: conocimientos sobre ángulos, paralelismo, perpendicularidad, operaciones con fracciones, ... Duración:
que el alumno vea (con el teorema de que aparecen en la una resolución de
mínima: 30 sesiones. máxima: 35 sesiones.
Medios: proyector y transparencias, útiles de dibujo para la pizarra, pizarra y tizas de colores, cinta métrica, teodolito. Material para el alumno: descripción de las Fichas de Trabajo en grupo, descripción de las actividades para fuera del aula, útiles de dibujo, calculadora, tijeras, papel milimetrado. Descripción de una sesión tipo: 50% sesión de descubrimiento. 50% sesión de refuerzo.
En una sesión tipo se trabajará por grupo o individualmente (según interese) una actividad enfocada a que el alumno pueda descubrir o intuir la idea o ideas que el profesor pretende conseguir con su objetivo marcado. Y luego se realizaran unas actividades (entre 2 y 5) para reforzar esos nuevos conocimientos adquiridos en la primera parte de la sesión. Nº de pequeños grupos de alumnos / Nº de alumnos: Lo mejor sería trabajar con una base de 24 alumnos porque ese número permite la división de la clase en grupos de manera más versátil (grupos de 2, de 3, de 4, de 6, ...) sin necesidad de formar grupos desequilibrados. En esta Unidad se formarán 12 grupos de 2 alumnos para la realización y estudio de las Fichas de Trabajo (que posteriormente se presentarán) y 6 grupos de 4 alumnos para la realización de las actividades recreativas y actividades fuera del aula. El resto de actividades se trabajarán de forma individual.
UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Nº de procedimientos: Nº total de actividades: -
Nº de actividades de descubrimiento: Nº de actividades de refuerzo: Nº de actividades de ampliación: Nº de actividades recreativas:
Evaluación: Tipo de centro: I.E.S público. Entorno social: pequeña ciudad cercana a la capital. Profesor: interino cubriendo una sustitución. Estimación teórica: por la metodología llevada a cabo el alumno va creando sus propios conocimientos a raíz de su trabajo, por lo que con la ayuda del profesor no deberían aparecer grandes problemas o complicaciones en el proceso de asimilación de conceptos como la semejanza de triángulos o la resolución de triángulos. Sí podrían aparecer estos problemas en la parte de trigonometría porque es un tema más teórico que práctico, lo que conlleva a la necesidad por parte del alumno de asimilar mayor cantidad de nuevos conceptos. Estimación práctica: debido a mi situación de sustituto no he podido llevar a la práctica esta Unidad.
1.- Semejanza en el Plano. 1.1.- Idea general de Semejanza. 1.2.- Semejanza de Triángulos. 1.2.1.- Definición de Triángulos Semejantes. 1.2.2.- Teorema de Thales. 1.2.3.- Consecuencias del Teorema de Thales. 1.3.- Escalas.
2.- Trigonometría Plana. 2.1.- Razones Trigonométricas: Seno, Coseno y Tangente. 2.2.- Relaciones entre las Razones Trigonométricas de un ángulo. 2.3.- Relaciones entre las Razones Trigonométricas de varios ángulos.
3.- Resolución de Triángulos Rectángulos.
. donde cada alumno va dando sus ejemplos con una breve explicación de por qué cree él que son figuras semejantes. Thales apoyó su bastón en el suelo cuidando de que estuviera lo más vertical posible.. Y esperó. los planos callejeros.
Como introducción del tema de Semejanza se les contará a los alumnos algunos de los problemas históricos que se resolvieron por Semejanza de Triángulos y algunas de las aplicaciones prácticas que se encuentran en la vida cotidiana.1. las fotografías. Algunos de estos problemas son:  Thales y la Gran Pirámide.. las maquetas de edificios. entre todos y con la ayuda del profesor se irán descartando los ejemplos erróneos. ¿Podrás averiguar cómo obtuvo la altura de la pirámide?  ¿Sabrías explicar cómo funciona un proyector de transparencias. Se puede realizar esta actividad como una puesta en común. El faraón. pues se trata de una idea fácil de asimilar por parte de los alumnos y... las maquetas de automóviles. es una buena introducción para la Semejanza de Triángulos. Se les definirá las “figuras semejantes” como aquellas que tienen la misma forma pero distinto tamaño. Se copiarán en la pizarra y luego. los planos de edificios. de diapositivas. los mapas.. ?  ¿Sabrías medir la altura de un árbol con la única ayuda de un espejo? Para iniciar el tema se toma la decisión de que sea el profesor quien comience explicando a los alumnos qué son figuras semejantes. el sabio griego Thales de Mileto visitó Egipto..UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
1.Idea general de Semejanza. una proyección de diapositivas. Algunos de los ejemplos de figuras semejantes son: las muñecas rusas.C. Hacia el año 600 a. . cuando las pirámides ya habían cumplido su segundo milenio.Semejanza en el Plano:
1. las fotocopias ampliadas o reducidas.
Actividad 1 (de descubrimiento)
Enumerar ejemplos de figuras semejantes y explicar por qué lo son. de cine. a pesar de tratarse de una Semejanza en el Espacio y no en el Plano. le pidió que resolviera un viejo problema: conocer la altura exacta de la Gran Pirámide. que conocía la fama de Thales.
que los alumnos irán estudiando y analizando. Esta actividad se trabajará en grupos de 2 alumnos. y se reafirme así la idea de figuras semejantes. Una vez introducido el tema el profesor les propondrá a los alumnos el estudio de semejanzas en las figuras más simples cuyo estudio se puede realizar: los triángulos. siendo capaz al finalizar de:  definir Triángulos Semejantes  definir la Razón de Semejanza  comprender el Teorema de Thales  comprender los criterios de Semejanza de Triángulos
Actividad 2 (de descubrimiento)
Ficha de Trabajo sobre Semejanza de Triángulos Esta ficha consta de una lámina en la que aparecen cuatro triángulos y dos tablas para completar por los alumnos. la primera para anotar la medida de los lados de los triángulos y la segunda para anotar la relación entre los lados de las parejas de triángulos que se pueden formar.
1.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
El objetivo de esta actividad es que el alumno relacione figuras de la vida cotidiana con las Matemáticas. extrayendo sus propias conclusiones.Semejanza de Triángulos. La ficha es la siguiente:
El estudio de la Semejanza de Triángulos se llevará a cabo mediante una Ficha de Trabajo. El objetivo de esta actividad es que el alumno vaya creando sus propias ideas..
Ficha de Trabajo sobre Semejanza de Triángulos
unas tijeras y una calculadora.
.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
TRIÁNGULO 1 TRIÁNGULO 2 TRIÁNGULO 3 TRIÁNGULO 4
TRIÁNGULOS 1Y2 TRIÁNGULOS 1Y3 TRIÁNGULOS 1Y4 TRIÁNGULOS 2Y3 TRIÁNGULOS 2Y4 TRIÁNGULOS 3Y4
cociente entre los lados a
cociente entre los lados b
cociente entre los lados c
Nota: para trabajar esta actividad será necesario una regla graduada.
• Los valores de la Tabla 2 coincidían para la pareja de triángulos 1 y 4. • Se comprobará que los datos obtenidos en la Tabla 2 coinciden para la pareja de triángulos 1 y 4. A los triángulos que cumplan dicha propiedad se les llamará “Triángulos Semejantes”. Por lo tanto se cumple que sus lados son proporcionales dos a dos”.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
EXPLICACIÓN: • Agrupados por parejas los alumnos realizarán la medición de los lados de los cuatro triángulos de los que consta la Ficha. • Al proceso que se ha seguido para comprobar que los ángulos de los triángulos semejantes eran iguales se llamará “poner los triángulos en Posición de Thales”. Se repite el mismo proceso con los triángulos 2 y 3. • Por último se recortarán los triángulos 1 y 4 y se estudian sus ángulos superponiendo el pequeño sobre el mayor. Esto se esquematiza de la siguiente manera:
. anotando los resultados en la Tabla 1 • A continuación van completando la Tabla 2 realizando los cocientes entre los lados indicados en cada una de las seis parejas de triángulos que se pueden formar. CONCLUSIONES: • Como se ha visto la pareja de triángulos 1 y 4 cumple una peculiar propiedad: que tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales dos a dos. Se repite el mismo proceso para la pareja de triángulos 2 y 3. aunque haya sido el profesor el que la haya dado el nombre. se dice que son lados proporcionales. • Por último se enuncia el Teorema de Thales: “Si dos triángulos tienen dos lados sobre las mismas rectas y el tercer lado sobre rectas paralelas entonces se tratan de Triángulos Semejantes. Así se ha conseguido que sea el propio alumno el que descubra esta propiedad. A ese número lo llamaremos “Razón de la Semejanza” y es la ley de proporcionalidad de los lados de los triángulos semejantes. Lo mismo ocurre con la pareja de triángulos 2 y 3. y por lo tanto tienen dos lados sobre las mismas rectas y el tercer lado sobre rectas paralelas (este paralelismo se puede comprobar con la regla graduada una vez que tenemos los triángulos en posición de Thales). comprobando que son iguales dos a dos. A esta propiedad se le llamará a partir de ahora “Semejanza de Triángulos”.
Actividad 3 (de descubrimiento)
Criterios de semejanza de triángulos (consecuencia del Teorema de Thales). que luego utilizarán para la realización de otras actividades. consecuencias del Teorema de Thales. sino que ellos mismos podrán demostrar resultados matemáticos. en las que no sólo se refuercen los conocimientos adquiridos con dicha Ficha. a) Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
a’ a c b b’
A partir del estudio de esta Ficha se propondrá a los alumnos una serie de actividades de Refuerzo. entonces son Semejantes.
a’ a α b b’
c) Si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales dos a dos. En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. entonces son Semejantes.
. entonces son Semejantes.
a c’ a’
Actividad 4 (de descubrimiento)
Teorema de la Altura.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
b) Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
Actividades 7 y 8 (de refuerzo)
Dadas parejas de triángulos estudiar la posible semejanza.Dados los triángulos de lados 3.8.. 7.4. ¿son semejantes? En caso afirmativo halla la Razón de Semejanza. 8. En un triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa y de la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.5 cm.
a2 = c · m b2 = c · n
Actividad 6 (de descubrimiento)
Teorema de Pitágoras.10 cm.. y 6.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Actividad 5 (de descubrimiento)
Teorema de los Catetos.Dados los siguientes triángulos:
. 12 y 13 (de refuerzo)
Sobre los Teoremas de la Altura.
¿se pueden poner en Posición de Thales? ¿Son semejantes?
Actividades 9 y 10 (de refuerzo)
Sobre el Teorema de Thales... 9. calcular el valor de x y la Razón de Semejanza. de los Catetos y de Pitágoras. 12.Dados los triángulos semejantes de lados 3. Dadas parejas de triángulos de Triángulos Semejantes en las que falten algunos datos. 10. 11. averiguar el valor de dichos datos.En la siguiente figura:
calcula x. 4. 5 cm y x.
Actividad 11. así como la Razón de Semejanza. 15 cm respectivamente. h y h’. y n = 250 cm.En la siguiente figura
calcula los datos incógnitas sabiendo que m = 160 cm.
. y m = 46 cm. 14...UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
12.. b = 40 cm..
Actividades 14 – 22 (de ampliación)
Sobre el Teorema de Thales.En la siguiente figura
calcula los datos incógnitas sabiendo que a = 30 cm.En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos. c = 108 cm. Halla dichos datos:
.En la siguiente figura
calcula los datos incógnitas sabiendo que a = 66 cm.
13. y c = 50 cm.
En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos. Halla dichos datos:
.En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos.En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos. Halla dichos datos:
16. Halla dichos datos:
17....UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Halla dichos datos:
19. Halla dichos datos:
20.En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
18.. Halla dichos datos:
...En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos.En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos.
23. Halla su altura y la separación de los extremos del tejado. 10 y 12’5 m.. Halla dichos datos:
22. Se quiere colocar una viga vertical para que resista mejor..UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
21.La sección de un tejado tiene forma de triángulos rectángulo de lados 7’5. 24 y 25 (de ampliación)
Sobre los Teoremas de la Altura. Halla dichos datos:
Actividades 23.En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos.
..En la siguiente figura aparecen triángulos semejantes con datos desconocidos. de los Catetos y de Pitágoras.
24. 26.Una hormiga está correteando en un círculo de 60 cm. La altura que emergía con el mar en calma era de 40 m... Una vez que traducen el problema a una semejanza de triángulos. ¿Qué distancia total ha recorrido?
. ¿Cuál es la profundidad del mar en ese lugar? 27.Un árbol se encuentra atado a dos estacas alineadas con él y a una distancia de 2 y 4 m. Respectivamente. ya no hay dificultad alguna para resolverlo. Una violenta tempestad volcó la torre por su base de hormigón. de radio.. Se para en un punto del diámetro situado a 30 cm. de manera que las cuerdas en el tronco del árbol forman un ángulo recto. ¿A qué altura se encuentra atado el árbol por el tronco?
25. La catástrofe fue filmada desde una plataforma cercana y se observó así que el extremo de la torre desapareció en el mar a 84 m.Las medidas de un tobogán están dadas en la siguiente figura. Del punto donde emergía inicialmente. La dificultad que estas actividades presenta para los alumnos consiste en la falta de costumbre de razonar matemáticamente ante problemas cotidianos.
Actividades 26 y 27 (recreativas)
Tienen por objetivo que el alumno sea capaz de “traducir matemáticamente” algunos problemas de la vida real que pueden resolverse mediante semejanzas. Calcula los datos desconocidos.Para buscar petróleo se colocó una torre en el mar del Norte sobre un pesado zócalo de hormigón situado en el fondo del mar.. del centro y se acerca de forma perpendicular al diámetro hasta llegar al borde del círculo.
Actividad 31 (de descubrimiento)
Ficha de Trabajo sobre Escalas Esta Ficha consta de una fotografía y dos fotocopias suyas. También contiene dos tablas para completar con las mediciones que se realizarán en la fotografía y en las fotocopias. Así que ahora podrán a aprender a hacer mediciones de grandes longitudes sin necesidad de realizar la medida exhaustivamente. mapas o maquetas. así como de las relaciones existentes entre esas medidas.3.Medir la anchura de un edificio.. mapas y maquetas que existen en la vida real. El objetivo principal de esta actividad es que el alumno aprenda a “leer” planos.
1. 28.. una reducida y otra ampliada. Tienen por objetivo que los alumnos comprendan las aplicaciones de las Matemáticas en la vida real. 29 y 30 (recreativas para fuera del aula)
Son una serie de actividades para realizar en el patio de recreo en grupos de cuatro alumnos con la única ayuda de una vara recta y una pequeña cinta métrica.
Para introducir el tema de las Escalas a partir de la Semejanza se repartirá a los alumnos una Ficha de Trabajo que irán estudiando y completando por grupos de dos alumnos. La Ficha de Trabajo es la siguiente:
.. Y qué mejor para ello que la propia experiencia.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Actividades 28.Medir las dimensiones de la pista de fútbol–sala.Escalas. 30.Medir la altura de un árbol. así como a elaborar él mismo algunos planos.
FICHA DE TRABAJO SOBRE ESCALAS
TABLA 1 SEGMENTO 1 SEGMENTO 2 SEGMENTO 3 SEGMENTO 4 SEGMENTO 5
TABLA 2 SEGMENTO 1 SEGMENTO 2 SEGMENTO 3 SEGMENTO 4 SEGMENTO 5
AMPLIADA / ORIGINAL
REDUCIDA / ORIGINAL
ÁNGULO A ÁNGULO B ÁNGULO C
realizando sus mediciones y anotando los datos en la Tabla 1.
Actividades 32 – 38 ( de refuerzo)
32.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Nota: para trabajar esta ficha es necesario una regla graduada. • A continuación señalan los segmentos de las fotocopias que se corresponden con los elegidos en la fotografía. anotando los datos en la Tabla 1. siendo la Constante de Proporcionalidad la Razón de Semejanza de dicha Semejanza. A este número se la llama “Constante de Proporcionalidad”. CONCLUSIONES: • Se comprueba que el cociente entre la medida de un segmento de la fotocopia ampliada y el mismo segmento en la fotografía es invariante sea cual sea el segmento elegido. Y si X es menor que Y se tiene que la copia es una reducción del original. • Se define. Dibuja sobre papel milimetrado un rectángulo semejante a escala 1:200. Se deduce que la escala es una semejanza entre figuras. EXPLICACIÓN: • Agrupados por parejas los alumnos realizarán mediciones en la fotografía de cinco segmentos bien diferenciados. del original.
. Se dice que estas fotocopias están hechas a escala de la fotocopia original.. • También puede observarse en la Tabla 3 que los ángulos marcados en la fotografía y en las fotocopias son iguales. y es mayor que 1 en caso de ampliaciones y está entre 0 y 1 en caso de reducciones. Si X es mayor que Y se tiene que la copia es una ampliación del original. Lo mismo ocurre con la fotocopia reducida. de la copia a escala representan a Y cm. y 400 m. • Por último se marcan tres ángulos en la fotografía y en sus fotocopias y se completa la Tabla 3 con ayuda de un transportador de ángulos.Las dimensiones de un terreno rectangular son 1200 m. • Luego se completa la Tabla 2 con las relaciones entre las mediciones efectuadas en la Tabla 1. Y la Constante de Proporcionalidad (o Razón de la Semejanza) se escribe de la forma X:Y y que significa que cada X cm. pues. la Escala como una Semejanza entre una figura original y una copia suya (tanto ampliada como reducida). un transportador de ángulos y una calculadora.
42. En un plano a escala el lado menor mide 2’1 cm. 40. 12.Con maquetas de automóviles o edificios cuya escala es conocida hallar sus medidas reales.
33.. Halla la escala del mapa sabiendo que en la realidad esas dos ciudades distan 66 km. Halla las dimensiones reales sabiendo que dicha plano está hacho a escala 1:200. 43. 22 y 18 cm.
Actividades 39 – 43 (de ampliación)
39..Con un plano callejero de la ciudad a una escala conocida daterminar la longitud de paseos. Determina la distancia real entre ellos... 41... de longitud. 2 y 5 mm. terrenos.Los lados de una parcela de terreno en forma de cuadrilátero miden en un plano 10.Traducir a medidas reales un plano de un piso a una cierta escala... En un plano a escala 5:1. calles. 400 y 500 m.... Hallar la escala y la medida del otro lado. ¿cuánto miden los restantes lados? 34.En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 3 cm. la superficie de barriadas..Con un mapa de España a una determinada escala hallar distancias reales entre ciudades..En un mapa a escala 1:25000 dos lugares están separados 4 cm.Las medidas de un circuito electrónico rectangular son 3 y 7 mm..Elaborar un plano del centro a escala.Las medidas de una pieza triangular de un televisor son 1. 35.. ¿cuánto medirá dicha pieza? 38...Las medidas de un triángulo rectangular son 300. 36. 37.. En un triángulo a escala el lado menor tiene 6 cm.
es decir: sen α = y / d coseno del ángulo α (y se escribe cos α ) como el cociente entre la abcisa del punto P y su distancia al Origen de Coordenadas. Coseno y Tangente: Definición: Dado un punto P en unos Ejes de Coordenadas como indica la figura
se definen: seno del ángulo α ( y se escribe sen α ) como el cociente entre la ordenada del punto P y su distancia al Origen de Coordenadas. el alumno comience su posterior trabajo.
Como esta parte de la Unidad es más teórica será el profesor quien introduzca unas definiciones previas para que. a partir de ellas. es decir: cos α = x / d tangente del ángulo α (y se escribe tg α ) como el cociente entre la ordenada y la abcisa del punto P.Trigonometría Plana:
2. Definamos de las Razones Trigonométricas del Seno..Razones Trigonométricas: Seno..1.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
2. Coseno y Tangente. es decir: tg α = y / x Nota: para facilitar los estudios posteriores suponemos las Razones Trigonométricas en de una circunferencia cuyo radio es la distancia del punto P al Origen de Coordenadas: P α x
1er Cuadrante P α x
. Como se podría creer observando las definiciones. Pero esto no es cierto. utilizando el Teorema de Thales.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Actividad 44 (de descubrimiento)
Las Razones Trigonométricas de un ángulo no dependen del radio que se tome.y) de dicho punto y de la distancia del punto al Origen de Coordenadas.
Q d’ d α y y’ x P x’
Se concluye con esta actividad que las Razones Trigonométricas de un ángulo no dependen del radio de la circunferencia en la que se trabaje. a partir de ahora se les pide a los alumnos que trabajen con la circunferencia más fácil y cómoda para hacerlo: la Circunferencia de Radio 1 (también llamada Circunferencia Unidad o Goniométrica). Para demostrarlo se realizará esta actividad.
Actividad 45 (de descubrimiento)
El signo de las Razones Trigonométricas en los cuatro cuadrantes. las Razones Trigonométricas de un ángulo parecen depender del punto P elegido. es decir. Por la tanto. de las coordenadas (x.
Realizar la misma operación para ángulos de los Cuadrantes 2º.Relaciones entre las Razones Trigonométricas de un ángulo.Si un ángulo del 4º Cuadrante tiene coseno igual a 4/5.
2. 48.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Sen α es positivo por estar en el semieje positivo del eje de ordenadas.
Actividades 46 – 48 (de refuerzo)
46. Coseno y Tangente de un ángulo α .
En este punto se obtendrán las relaciones existentes entre Seno. Cos α es positivo por estar en el semieje positivo del eje de abcisas. Tg α es positivo por ser cociente entre dos valores positivos.
Actividad 49 (de descubrimiento)
Trabajando sobre la Circunferencia Unidad aplicar el Teorema de Pitágoras. halla las restantes Razones Trigonométricas.Si un ángulo del 2º Cuadrante tiene seno igual a 3/5..Si un ángulo del 3er Cuadrante tiene tangente igual a 4.. halla las restantes Razones Trigonométricas..
P 1 α y x
. 47. 3º y 4º. halla las restantes Razones Trigonométricas.
Relaciones entre las Razones Trigonométricas de varios ángulos. Esta relación es : tg α = sen α / cos α
Actividad 51 (de descubrimiento)
Utilizando las dos fórmulas anteriores encontrar la relación entre Tangente y Coseno de un ángulo.
P β 1 α -y x β = 180º α
. Esta fórmula es la Fórmula Fundamental de la Trigonometría: sen2 α + cos2 α = 1
Actividad 50 (de descubrimiento)
Trabajando sobre la definición de Tangente de un ángulo encontrar una fórmula que la relacione con el Seno y el Coseno.3.. 3º y 4º con las Razones Trigonométricas de ángulos del 1er Cuadrante. Definición de Tangente: tg α = x / y El objetivo de esta actividad es que el alumno obtenga la relación existente entre las tres Razones Trigonométricas que se han estudiado en un ángulo. El objetivo de esta actividad es hallar la siguiente fórmula: 1 + tg2 α = 1 /cos2 α
2.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
El objetivo de esta actividad es que el alumno obtenga una fórmula que relacione Seno y Coseno de un ángulo.
Actividad 52 (de descubrimiento)
Vamos a relacionar las Razones Trigonométricas de los ángulos de los Cuadrantes 2º.
Actividad 53 (de refuerzo)
A partir de los valores de las Razones Trigonométricas de los ángulos del 1er Cuadrante de 0º.cos α ) = . 210º. 135º.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
sen β = x = sen α cos β = y = . 30º.
. 150º.cos α tg β = x/y = sen α / (.tg α
Realizar la misma operación con los ángulos de los Cuadrantes 3º y 4º. 315º. calcular las Razones Trigonométricas de ángulos de los demás cuadrantes. 225º. 240º. 330º. 60º y 90º. 300º. 1er Cuadrante Seno Coseno tangente 0º 0 1 0 30º 1/2 V 3 /2 V3/3 45º V2/2 V2/2 1 60º V3/2 1/2 V3 90º 1 0 -------
Calcular las Razones Trigonométricas de los ángulos: 120º.
En esta Unidad nos dedicaremos solo al caso de Triángulos Rectángulos. pues con poca teoría se pueden resolver muchos y diversos problemas. La resolución de Triángulos Rectángulos es el caso más sencillo de Resolución de Triángulos. ya que para los Triángulos Oblicuángulos necesitaremos resultados más avanzados y que se estudiarán en el próximo curso. B c a
Actividad 54 (de descubrimiento)
La suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180º. • Los lados se designarán con letras minúsculas y correspondientes al ángulo opuesto: a.Resolución de Triángulos Rectángulos:
La Resolución de Triángulos consiste en. χ
. • El Teorema de Pitágoras. b y c. • Las Razones Trigonométricas de un ángulo. tanto teóricos como prácticos. B y C. Esta es la parte de la Unidad más práctica. Nota: para hacer las actividades de Resolución de Triángulos sin ningún tipo de problemas en la utilización de los resultados anteriormente citados se tendrá en cuenta lo siguiente: • Los ángulos se designarán con letras mayúsculas (las mismas que los vértices): A. encontrar el valor de los tres ángulos y de los tres lados. En él utilizaremos los siguientes resultados: • La suma de los tres ángulos de un Triángulos es de 180º.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
3.. dado un triángulo con algunos datos conocidos.
Para ello es necesario tener unos conocimientos de la calculadora científica que permiten obtener estos datos. Nota: una vez que se conoce alguna de las Razones Trigonométricas se puede hallar el valor del ángulo.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
El objetivo de esta actividad es ver de forma sencilla que los tres ángulos de un triángulo es de 180º. que son al Arcoseno (arcsen α o sen-1 α ). Arcocoseno (arccos α o cos-1 α ) y el Arcotangente (arctg α o tg-1 α ). Esto se lleva a cabo mediante las funciones inversas del Seno. Si fuese necesario se daría una sesión explícitamente sobre el funcionamiento de la calculadora científica.
Actividad 55 (de descubrimiento)
Dado el Triángulo Rectángulo siguiente
hipotenusa cateto opuesto α cateto contiguo
se tiene que : cateto opuesto sen α = hipotenusa cateto contiguo cos α = hipotenusa cateto opuesto tg a = cateto contiguo
El objetivo de esta actividad es ver la relación existente entre las Razones Trigonométricas (la definición que se vio de ellas) y los Triángulos Rectángulos. Coseno o Tangente.
• Realizar un dibujo que refleje fielmente la situación que describe el problema. 8 y 10. 60.. 59.La hipotenusa de un Triángulo Rectángulo mide 25 cm y un cateto mide 20 cm. 61.. Calcula los ángulos agudos.Resolver el siguiente Triángulo Rectángulo: B c A 80 cm 65º a C
63.Dibuja un Triángulo Rectángulo cuya hipotenusa mide 4 y uno de los catetos 2.Dibuja un Triángulo Rectángulo cuya hipotenusa mide 1 y los catetos 0’5.En un Triángulo Rectángulo se conocen la hipotenusa c = 12 y el ángulo B = 25º. 16 y 20. • Traducir dicho dibujo a un Triángulo Rectángulo.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Actividades 56 – 63 (de refuerzo)
56. Calcula los ángulos agudos.. • Anotar en el triángulo los datos conocidos y designar una letra a los datos desconocidos.. Hallar las Razones Trigonométricas de los ángulos agudos. 62. • Resolver el triángulo hasta hallar los datos incógnitas del problema.Halla las Razones Trigonométricas del ángulo menor en un Triángulo Rectángulo de lados 6.Un cateto de un Triángulo Rectángulo mide 3 y la hipotenusa 7. Resolver el triángulo.
. sin necesidad de resolver el triángulo en su totalidad. 58... Resolver el triángulo. 57.
Actividades 64 – 75 (de ampliación)
Nota: para resolver estas actividades es necesario seguir los siguientes pasos: • Leer bien el problema y comprender lo que nos dice.Halla los ángulos de un Triángulo Rectángulo de lados 12..
Desde un faro de 40 m.. Halla la anchura de la calle y la altura sobre cada fachada que se podrá alcanzar.Si las dos ramas de un compás miden 12 cm. Calcula la altura de un árbol sabiendo que su sombra es de 7m..
Actividad 76 (recreativa)
Altura de pie accesible. Halla el ángulo que forman las ramas.Una escalera de bomberos de 10 m.? Esta actividad se realizará por parejas y luego se expondrán en la pizarra las soluciones encontradas para su posterior análisis.Se desea calcular el área de una parcela triangular.Una cometa está fijada al suelo por un hilo de 100 m.. una estatua.La base de un triángulo isósceles mide 10 cm. ¿cómo podremos medir la altura de un árbol. ¿A qué distancia del faro se encuentra el barco? 73.. apotema y área de un octógono regular de lado 10cm. un edificio. de longitud y forman un ángulo de 60º.Una escalera de 5 m. 75. de altura se divisa un barco bajo un ángulo de 55º. se ha fijado en un punto de la calzada. de altura se apoya sobre una pared formando un ángulo de 20º con el suelo: Calcula la altura que alcanza la escalera sobre la pared y la separación del pie de la escalera con la pared. formando con el suelo un ángulo de 60º.. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º. Si se apoya sobre la otra fachada el ángulo es de 30º. y el ángulo que forman dichos lados se mide con un teodolito obteniendo 70º... ¿Cuánto mide el área? 74. 71. Halla la altura y el área del triángulo. Dos lados miden 80 m.. 70.Los rayos solares forman un ángulo de 45º con el suelo. 72.. y cada rama mide 12 cm. Con ayuda de un teodolito de 1’5 m... ¿Cuánto mide el ángulo central? 67.En una circunferencia de 100 cm de radio se unen dos puntos mediante una cuerda de 100 cm. 69. 68.. calcula el diámetro de la circunferencia que puede trazarse.
.. Calcula la altura a la que se encuentra la cometa. 65..UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
64. y el ángulo apuesto 50º. y 130 m.Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm.Halla el lado y el área del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 m. 66..Calcula el radio. de altura y de una cinta métrica.
Actividad 77 (recreativa para fuera del aula)
Con ayuda de un teodolito y una cinta métrica realizar mediciones en el patio de recreo: árboles. canastas de baloncesto. edificios..UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
El objetivo de esta actividad es que el alumno aprenda a manejar un teodolito.. así como que comprenda su función para realizar mediciones de alturas. Se completará una tabla con los datos obtenidos para un posterior contraste de resultados..
corría la voz de que el sabio sabía calcular la altura de construcciones elevadas por arte geométrica. Cuando el sabio griego Thales de Mileto.C. hacia el año 600 a. tuvo una longitud igual a la del bastón. mantenido en posición vertical. en nombre del Soberano. que calculara la altura de la Gran Pirámide de Kéops. Thales se apoyó en su bastón y esperó hasta que. sin subir a ellas. ¿Sabrías explicar por qué? Solución:
H = altura de la Gran Pirámide X = sombra de la Gran Pirámide a cualquier hora del día H = Altura del bastón X = sombra del bastón a cualquier hora del día Si desconozco sólo H.La Gran Pirámide d Kéops... En efecto. se encontraba en Egipto.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
1. en este momento es tan larga como la altura de la pirámide”. un enviado del Faraón le pidió. a media mañana la sombra del bastón. Pero no era necesario esperar a que la sombra del bastón fuera de igual longitud que éste. Entonces dijo al enviado: “Ve y mide rápidamente la longitud de la sombra de la Gran Pirámide. por el Teorema de Thales se cumple que: x/X = h/H de donde se deduce que H = X·h / x
m = 10 y n = p. Por tanto p = 302 / 10 = 90. para que uno de sus sirvientes la cogiera.Moisés en el Nilo. Por el Teorema de la Altura se tiene que h2 = m·n. La hija del faraón había bajado al río para bañarse acompañada de sus doncellas y sirvientes. de donde se obtiene que n = h2 / m. que caminaban a orillas del río. Por la tanto la profundidad era de 90 cm. un soplo providencial inclinó el loto hasta hacerlo desaparecer a unos treinta centímetros del lugar donde emergía el tallo antes de que soplara el viento. y de esta manera Moisés fue salvado de las aguas del Nilo.. Cuando vio la cestilla se preguntó cuál podía ser la profundidad del río en ese punto.
2. Envió entonces a uno de sus sirvientes a recoger la cestilla. Vio que una flor de loto sobresalía diez centímetros sobre la superficie del agua. Una cestilla flotaba sobre el Nilo movida por una ligera brisa en medio de los juncales. ¿Por qué decidió mandar a uno de sus sirvientes a recoger la cestilla tan convencida de que no se ahogaría?
Se traduce en el estudio del siguiente triángulo:
h n c m
donde h = 30.
3. por lo que la relación entre los lados es de 16/9.. Los actuales televisores de alta definición tienen además un formato especial. d’} y {x.Formato de los televisores El tamaño de los televisores se mide por las pulgadas de su diagonal.
36’71
Por el Teorema de Pitágoras hallamos d’: d’ = V (92+162) = 18’358 Los triángulos rectángulos de lados {16. 36’71} respectivamente son semejantes por construcción. el formato de cine. Aplicando el Teorema de Thales se obtiene: 36’71 / d’ = x / 16 = y / 9 de donde se deduce que x = 16 · 36’71 / 18’358 = 31’995 y = 9 · 36’71 / 18’358 = 17’997 Los televisores tienen unas medidas aproximadas de 32 x 18 pulgadas. 9. y. Calcula las dimensiones de un televisor de 36’71 pulgadas.
La Torre de Pisa La construcción de la famosa Torre de Pisa se concluyó en el año 1. Entonces α = arcsen (1 / 11) = 5’215908576 = 5º12’57’’ Por lo tanto. la separación de la torre con la vertical es actualmente de 5º12’57’’
Sabemos que sen α = 5 / 55 = 1 / 11.. Calcular el ángulo que forma la torre con la vertical y la altura real del punto más alto.284. Actualmente esta separación es de 5m. y la altura de la torre de unos 55m.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
4. Al terminar se comprobó que la parte más alta de la torre se separaba de la vertical unos 90 cm.
Trazamos paralelas a esta nueva recta y que pasen por los puntos A. B. que cortarán al segmento en los puntos A’.Dividir un segmento en partes iguales ¿Sabrías dividir un segmento cualquiera en tantas partes iguales como quieras con la única ayuda de una regla sin graduar y un compás?
Trazamos una recta r que pase por el origen O del segmento. C. D y E. C y D. C’ y D’. Con una medida fija del compás señalamos en r los puntos A.UNIDAD DIDÁCTICA DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
5. Unimos el punto E con el extremo E’ del segmento. B’.
. Esta es la división del segmento en5 partes iguales. B.. Este proceso es posible gracias al Teorema de Thales.

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