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Timestamp: 2020-02-24 15:33:45+00:00

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Planes de Clase 8 B4 Completo | Ecuaciones | Sistema de coordenadas Cartesianas
SalvaSalva Planes de Clase 8 B4 Completo per dopo
Planes de clase de 8 B4 Programa de estudio del 2011 SE
Profr. (a):
Curso: Matemáticas 8
Contenido: 8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros. Intenciones didácticas:
Que los alumnos elaboren sucesiones de números enteros a partir de una regla dada. Consigna: Organizados en equipos, realicen la actividad que se propone a continuación:
Eje temático: SN y PA
La siguiente expresión algebraica: (2 n  30) , es la regla general de una sucesión, en la que n representa el número de posición de un término cualquiera de la sucesión.
a) Encuentren los primeros cinco términos de la sucesión.
b) Encuentren los términos de la sucesión que ocupan los lugares 20, 30, 40, 50, respectivamente.
c) Determinen si el número 85 pertenece o no a esta sucesión.
Es importante revisar con detenimiento y de manera colectiva los resultados de la actividad anterior para que todos los alumnos tengan claro el significado de “una regla general que genera una sucesión de números”, al darle valores a n, empezando con el uno que es la primera posición. En el inciso c no es suficiente con que los alumnos digan sí o no, es muy importante que justifiquen por qué sí o por qué no pertenece a la sucesión el número 85. Una vez que se haya discutido ampliamente este caso, se les pedirá que resuelvan las mismas cuestiones para las siguientes reglas generales: n 10.5,  2 n  3, 3n 5 Observaciones posteriores
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.
Plan de clase (1/5)
Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.
Que los alumnos reflexionen sobre la similitud entre una balanza en equilibrio y una igualdad en la que se desconoce un valor.
Consigna. En equipo, realicen lo que se indica enseguida:
La siguiente balanza está en equilibrio.
1. ¿Cuáles de las siguientes acciones la mantendrían en equilibrio?
a) Pasar 3 kg del platillo izquierdo al platillo derecho.
b) Añadir 4 kg a cada platillo.
c) Quitar 5 kg a cada platillo.
d) Pasar un bote del platillo derecho al platillo izquierdo.
e) Quitar dos botes del platillo izquierdo y un bote del derecho.
f) Quitar un bote de cada platillo.
2. Averigüen cuánto pesa un bote.
Es importante que los equipos justifiquen sus respuestas, sobre todo si éstas son diferentes. Para encontrar el peso de un bote es probable que se utilicen diversos razonamientos y vale la pena que se expliciten. Para concluir esta primera parte se explicará a los alumnos que la situación de la balanza puede expresarse simbólicamente mediante la siguiente igualdad o ecuación:
2b+5k+3k=b+5k+5k+3k, se les recuerda que lo que está a la izquierda es el primer miembro y lo que está a la derecha es el segundo miembro. Después se les plantean las siguientes preguntas:
a) ¿Cómo queda la igualdad si se suman los kilos en ambos miembros?
b) ¿Cómo queda la igualdad si se quitan 8 kilos en cada miembro?
c) ¿Cómo queda la igualdad si se quitan 8 kilos y un bote en cada miembro?
Al responder estas preguntas se espera que los alumnos verifiquen que el peso de un bote es igual a 5kg. Después de esta actividad se plantea el siguiente problema y se discuten los resultados.
Los ladrillos de esta balanza en equilibrio pesan todos lo mismo. Escriban en símbolos esta situación; luego averigüen cuánto pesa un ladrillo.
Plan de clase (2/5)
Que los alumnos encuentren el valor de la incógnita de una ecuación.
Consigna. En equipos, analicen la siguiente situación y encuentren el valor de x.
Ecuación: 7 x 1  4 x 16
Ecuación: 6 x  3 x 15
Ecuación: 3 x 15
Esta situación tiene un nivel de abstracción mayor que la de la sesión anterior, puesto que ya no hay objetos, sólo números y letras. Con ayuda de la representación gráfica hay que pedir que los alumnos expliquen cómo se pasa de una ecuación a otra hasta llegar a x=5, que es la solución de la ecuación. Conviene explicar que se trata de la misma ecuación pero cada vez más simplificada. Después de analizar esta parte se planteará resolver las siguientes ecuaciones:
4x+3= 2x+5 3x+1=x+5
x+10=5x+2
Plan de clase (3/5)
Que los alumnos resuelvan problemas, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Consigna. Integrados en equipos resuelvan el siguiente problema:
Considerando que las siguientes figuras tienen igual perímetro, ¿cuál es el valor de x?
Consideraciones previas La dificultad principal de este problema consiste en establecer el perímetro de cada figura con los datos que se tienen y luego relacionar dichos perímetros mediante una igualdad. Es importante orientarlos para que tomen en cuenta estas dos fases en el procedimiento. Es probable que aún considerando estas dos fases surjan ecuaciones escritas de manera distinta, en cuyo caso hay que preguntar si son la misma ecuación y pedir que den argumentos que lo muestren. Después de analizar con detenimiento el problema anterior se planteará el siguiente:
Por su asistencia y puntualidad, dos empleadas de una fábrica textil recibieron como estímulo vales de despensa y dinero en efectivo. A Sandra le dieron 8 vales y $60.00 en efectivo; a Bertha le entregaron seis vales más $160.00. Si los vales son de la misma denominación y ambas reciben la misma cantidad de dinero, ¿qué valor tiene cada vale y cuál fue el monto total del estímulo que recibió cada una?
Plan de clase (4/5)
Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intenciones didácticas:
Que los alumnos resuelvan problemas, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis. Consigna. Integrados en equipos resuelvan el siguiente problema:
Un avión que vuela a una velocidad de 1 040 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 5 horas y está volando a 640 kilómetros por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo?
Es probable que la mayoría de los equipos no utilicen una ecuación para resolver este problema y es válido que así lo hagan, sin embargo, vale la pena proponer, como un procedimiento más, la formulación de una ecuación que requiere el uso de paréntesis. Para ello se puede ayudar a los alumnos a reflexionar en lo siguiente: en el momento en que el primer avión alcance al segundo las distancias recorridas van a ser iguales, por lo tanto se puede formular una ecuación que exprese la igualdad de las distancias recorridas. Dado que la distancia es igual a la velocidad por el tiempo, para el primer avión es 1040t y para el segundo es 640(t+5), entonces la ecuación es: 1040t=640(t+5). A partir de aquí habrá que explicar cómo se quita el paréntesis.
Para consolidar la resolución de este tipo de ecuaciones, se pueden proponer ejercicios como los siguientes:
3( x  4) 5 x 36,
5( r  6) 5( r  4),
9( z  6)  4( z  4)
Plan de clase (5/5)
Contenido: 8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intención didáctica Que los alumnos resuelvan problemas, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios.
Consigna Integrados en equipos resuelvan el siguiente problema:
La edad actual de José es 3/8 de la de su hermano, y dentro de 4 años tendrá 1/2 de la que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es a edad actual del hermano?
Si después de unos minutos los alumnos no encuentran una forma para resolver el problema, se les apoyará para que representen los datos como sigue:
Hermano de José
3/8x + 4
Según el problema dentro de 4 años la mitad de la edad del hermano de José será igual a la que tenga José, entonces la ecuación es: 1/2(x + 4) = 3/8x + 4. Esta ecuación agrega, a las de la sesión anterior, el hecho de que se trata de coeficientes fraccionarios, de manera que es una oportunidad para que los alumnos usen este conocimiento. Para consolidar la resolución de este tipo de ecuaciones, se puede proponer ejercicios como los siguientes:
y 
Plan de clase (2/3)
Contenido: 8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros.
Que los alumnos obtengan la regla general de una sucesión de números enteros de la forma kn, donde k es una constante negativa.
Consigna: En equipo, realicen lo que se indica a continuación:
A partir de la sucesión: -3, -6, -9, -12, -15, …
a) ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 20?
b) ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 150?
c) ¿Cuál es la regla general de la sucesión?
d) ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 528?
Es probable que para encontrar el número que se localiza en la posición número 20 los alumnos no sientan la necesidad de usar la regla general, pero sí para la posición 150. Durante la confrontación hay que ver si los resultados coinciden y analizar los procedimientos que se utilizaron. La pregunta del inciso c es directa sobre la regla general, si hay propuestas diferentes hay que probarlas y ver si funcionan. La pregunta del inciso d es para que todos prueben la o las reglas que se ve que funcionan. Una vez que los alumnos hayan resuelto el caso anterior se les puede sugerir que construyan una tabla como la siguiente para que puedan analizar la sucesión.
Posición del término de la sucesión
Una vez que tengan esta tabla conviene plantearles la siguiente pregunta:
¿Qué operación u operaciones se deben efectuar con el número de la posición del término de la sucesión (n) para obtener el término correspondiente de la sucesión? Con esta pregunta se pretende que los alumnos:
1. Reconozcan el patrón que sigue la sucesión; es decir, la relación entre el lugar que ocupa
un término y el término mismo.
2. Deducir la regla general distinguiendo entre lo que varía y lo que permanece constante. En
este caso, darse cuenta de que los números de la sucesión, se obtienen multiplicando el número -3 (lo que no varía) por el lugar que ocupa en la lista (lo que varía).
3. De este modo se espera que los alumnos lleguen a la conclusión de que la regla general
de la sucesión planteada es:  3n
Después del análisis anterior hay que proponer a los alumnos que encuentren la regla general de las siguientes sucesiones:
a) -30, -60, -90, -120, …
b) -5, -10, -15, -20, …
c) -2, -1, 0, +1, +2, …
Plan de clase (3/3)
Que los alumnos obtengan la regla general de una sucesión de números enteros de la forma -an+b, donde a y b son constantes.
Consigna: Organizados en equipos, obtengan la regla general que corresponde a cada una de las siguientes sucesiones:
a) 0, -2, -4, -6, -8, …
b) 0, -3, -6, -9, -12, …
c) +1, -1, -3, -5, -7, …
d) 0, -30, -60, -90, -120, …
e) 0, -20, -40. -60, -80, …
Una vez que la mayoría de los equipos haya terminado, conviene analizar con detenimiento la regla o reglas generadas en cada sucesión y probarlas para que todos los alumnos estén seguros de que funcionan. Si es necesario, hay que insistir en la conveniencia de utilizar tablas de dos columnas, para apreciar con mayor claridad la relación entre los números que indican la posición y sus correspondientes números de la sucesión.
Las reglas generales de las sucesiones anteriores son las siguientes:
a) -2n+2
e) d) c) b)     2 30 3n 20 n n n     3 3 30 20
¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
2. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.
Contenido: 8.4.3 Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones.
Intención didáctica: Que los alumnos analicen las características de los ángulos centrales e inscritos.
Consigna 1: Con base en las figuras que se muestran a continuación, contesten las preguntas que aparecen después. Trabajen en parejas.
1. ¿Qué ángulos tienen su vértice en el centro del círculo?
2. ¿Cuáles son los ángulos cuyo vértice se encuentra en la circunferencia?
Consigna 2: Completen las siguientes expresiones utilizando las palabras del recuadro.
b) Los lados de los ángulos que se muestran en las figuras B , C y E, están formados por dos
c) Cuando su vértice se encuentra en el nombre de ángulo
se trata de un ángulo
la circunferencia recibe el
2. Organizados en tríos, comenten y contesten las siguientes preguntas.
a) ¿En cuál figura el diámetro forma parte del ángulo?
b) ¿Habrá un ángulo que esté formado por dos diámetros?
Justifiquen su respuesta
c) ¿El vértice del ángulo central podrá ubicarse en otro punto del círculo?
Es necesario que una vez concluida la consigna dos se realice la puesta en común para comparar las respuestas de los estudiantes y consolidar los conceptos de ángulo inscrito y ángulo central; así como las diferencias entre ellos. Si fuese necesario se deberá establecer la diferencia entre círculo y circunferencia. Es importante reafirmar que el diámetro es la mayor de las cuerdas del círculo, por lo que sí puede formar parte de un ángulo inscrito. Sin embargo, si son dos diámetros, se pueden dar los siguientes casos: que uno esté sobrepuesto con el otro, de manera que se formaría un ángulo de 0 grados, o bien, que dos diámetros se corten y por tanto formen cuatro ángulos centrales, donde los opuestos por el vértice son iguales.
4. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
5. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
6. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.
Intención didáctica: Que los alumnos encuentren la relación entre las medidas de ángulos centrales e inscritos, cuando sus lados comprenden el mismo arco, a partir de trazos en un mismo círculo.
Consigna 1: De manera individual traza 3 círculos, con radios de diferente medida y en cada
uno de ellos traza un ángulo central y uno inscrito, de manera que sus lados coincidan en el mismo arco. Después, recorta de un círculo los ángulos que formaste y sobreponlos para compararlos. Haz lo mismo con los otros dos círculos. ¿Encuentras alguna relación entre sus
Consigna 2: Ahora, reúnete con otros dos compañeros, comenta tus observaciones y juntos elaboren una tabla con la medida de los ángulos centrales e inscritos que obtuvo cada uno.
De acuerdo con los resultados de la tabla, digan qué relación existe entre la medida del ángulo central y la medida del ángulo inscrito.
Para la consigna 1 es necesario que los alumnos cuenten con hojas blancas, tijeras, transportador, compás, regla y colores.
Se sugiere que tracen los círculos en una hoja blanca para que puedan recortarlos y comparar la medida del ángulo central e inscrito mediante la superposición. Los alumnos deberán detectar que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central, de no ser así, el maestro deberá animar a presentar sus conclusiones a aquellos alumnos que sí encontraron la relación. El conocimiento se concretará en la consigna dos al llenar la tabla. Es importante que en la puesta en común se concluya que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central cuando sus lados comprenden el mismo arco.
69,9 °
139,8 °
<ABC =
70,1 °
140,2 °
Para reforzar el estudio de este aspecto se sugiere trabajar en Geometría dinámica. EMAT. México p.p.138-139 “Ángulos inscritos en una circunferencia”. (Se anexa)
Anexo Instrucciones para elaborar los ángulos inscritos y centrales utilizando el programa Cabri.
1. Trace un círculo
2. Trace los ángulos centrales e inscritos utilizando la herramienta “Segmento”, ubicado en la
tercera casilla.
 Para construir el ángulo inscrito cuya cuerda pasa por el diámetro y nos permita
construir un triángulo rectángulo es necesario:
a) Trazar el círculo
b) Marcar un punto en la circunferencia
c) Utilizar la simetría central del punto marcado en la circunferencia, herramienta ubicada en
la sexta casilla, indicando el punto de origen, el centro y automáticamente aparecerá el
3. Asigne una letra a cada punto, utilice la herramienta nombrar ubicado en la décima casilla.
4. Utilice la opción medir ángulo ubicado en la novena casilla.
5. Ubíquese en el dibujo y señale los rayos que forman el ángulo, automáticamente
aparecerá la medida del ángulo.
O 90,0 °
< AOB = 180°
< ACB =90°
93,6 °
6. La penúltima casilla nos permite dar animación y comprobar la relación del ángulo central e inscrito.
7. Se puede revisar la construcción activando la Casilla EDICIÓN.
Intención didáctica: Que los alumnos deduzcan que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo.
Consigna: De manera individual realiza lo que se indica.
a) Traza cinco ángulos inscritos que comprendan el mismo arco que el ángulo central AOC,
b) Colorea los triángulos que se formaron a partir de los diferentes trazos que realizaste.
c) ¿Qué tipo de triángulos se formaron?
Los alumnos trazarán ángulos inscritos que comprendan el mismo arco que el ángulo central manera arbitraria y se darán cuenta que en todos forman triángulos rectángulos. Si los alumnos no que son triángulos rectángulos, el maestro podrá conocimiento generado en la clase anterior, en la concluyó que la medida del ángulo inscrito es la ángulo central y al ser este de 180° entonces el inscrito mide 90°, razón por la cual los triángulos formaron son triángulos rectángulos.
los casos se detectaran recurrir al
Profr (a):
Contenido: 8.4.4 Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.
Eje temático: MI
Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la manera de ubicar puntos en el plano cartesiano.
Consigna: En equipos, resuelvan la siguiente actividad.
A partir de la siguiente figura dibujada en el primer cuadrante del plano cartesiano, construyan la figura simétrica A’B’C’D’ con respecto al eje vertical. Posteriormente contesten lo que se pide.
a) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B, C y D?
componente de cada par ordenado?
d) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A’, B’, C’ y D’?
Los alumnos ya han manejado el plano cartesiano en otros cursos, es conveniente que se use la terminología correspondiente; par ordenado, abscisa, ordenada, eje de las abscisas, eje de las ordenadas, origen del plano cartesiano, cuadrantes.
Si la actividad resulta fácil y el tiempo lo permite, conviene agregar las siguientes:
a) Si a la primera coordenada de cada vértice del cuadrado ABCD le sumamos dos unidades. ¿Qué transformación sufriría la figura? ¿Cuáles serían las nuevas coordenadas de los vértices?
b) Si a la segunda coordenada de cada vértice del cuadrado ABCD le restamos cinco unidades. ¿Qué transformación sufriría la figura? ¿Cuáles serían las nuevas coordenadas de los vértices?
7. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
8. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
9. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.
Plan de clase (2/4)
Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten las relaciones de las variables presentadas en gráficas y determinen las características de aquellas que representan una relación de proporcionalidad.
Con la finalidad de ahorrar agua, en cierta localidad únicamente hay suministro de este líquido 5 horas al día. Las siguientes gráficas representan la relación tiempo (horas) y la cantidad de agua (litros) que hay en la cisterna de una unidad habitacional en cuatro días diferentes. Analícenlas y posteriormente contesten lo que se pide.
Agua en la cisterna (litros)
a) ¿En qué días la cisterna tenía agua cuando inició el suministro?
b) ¿En qué día salió el agua con más presión? ¿Cómo se manifiesta esto en la gráfica?
c) ¿En qué día el suministro no fue constante durante las 5 horas?
d) ¿En qué días la cantidad de agua en la cisterna es directamente proporcional al tiempo de suministro?
e) ¿Qué características tienen las gráficas que representan una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad de agua en la cisterna y el tiempo del servicio?
f) Escriban las expresiones algebraicas de las relaciones que son de proporcionalidad. ¿En qué son diferentes? ¿Qué representan esas diferencias?
Si los alumnos tienen dificultad para identificar las gráficas que representan una relación de proporcionalidad, una herramienta que ayuda es presentar algunos valores en tablas y analizar su comportamiento.
Es probable que los alumnos digan que la gráfica del día 1 representa una relación de proporcionalidad, ya que durante cada una de las cinco horas se recibió la misma cantidad de agua (50 litros por cada hora), en este caso hay que distinguir que las variables de las gráficas son tiempo de suministro y cantidad de agua en la cisterna y no cantidad de agua que se recibe. Un argumento en contra es que al doble de tiempo no le corresponde el doble de la cantidad de agua; en 1 hora hay 100 litros y en 2 hay 150.
Plan de clase (3/4)
Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen una gráfica que representa una relación de proporcionalidad y que la vinculen con su expresión algebraica y con el conjunto de valores que representa.
Consigna: En equipos, analicen la siguiente gráfica que representa la relación entre tiempo y distancia recorrida en una caminata que realizó Ernesto. Posteriormente contesten lo que se pide.
a) Si la velocidad de Ernesto hubiera sido mayor, ¿qué diferencia habría tenido la gráfica respecto a ésta?
b) ¿Podría cortar la recta al eje vertical por un punto diferente al origen? ¿Por qué?
c) Si la velocidad de Ernesto no hubiera sido constante, ¿cómo se reflejaría este hecho en la gráfica?
d) ¿A qué velocidad se desplazó Ernesto?
e) Registra en la siguiente tabla los valores que faltan:
f) Si x es el tiempo y y la distancia recorrida, ¿qué expresión algebraica representa esta
Si los alumnos tuvieran dificultad para relacionar la velocidad con la inclinación de la recta, se les podría solicitar que representen en el mismo plano cartesiano la recta resultante si Ernesto se hubiera desplazado 5 km por cada hora.
Plan de clase (4/4)
Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen las características que debe tener una relación de proporcionalidad directa y establezcan varias parejas de valores para construir la gráfica que modele la situación.
Consigna: De forma individual planteen una situación de proporcionalidad directa y construyan la gráfica correspondiente.
Es importante solicitar a los alumnos que cuando terminen de elaborar su gráfica, verifiquen si cumple con todas las características de una gráfica que representa una relación de proporcionalidad.
Si el tiempo lo permite, los alumnos podrían intercambiar su trabajo para:
a) Verificar que sea una relación de proporcionalidad directa.
b) Revisar que la gráfica corresponda con la situación planteada.
c) Representar algebraicamente la situación.
Algunos alumnos podrían presentar ante el grupo la interpretación y juicio del trabajo revisado. Otra variante es que cada alumno analice únicamente la gráfica de otro compañero e intente describir la situación y/o escriba la expresión algebraica que la representa.
Profesor Curso: Matemáticas 8
Contenido: 8.4.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.
Intención didáctica: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de cantidades que varían proporcionalmente y formulen la expresión algebraica correspondiente.
Consigna. En equipo analicen la siguiente situación, luego realicen lo que se pide.
Una compañía de automóviles, al probar la distancia de frenado en uno de sus nuevos modelos obtuvo los siguientes resultados:
Velocidad ( km/h)
Distancia de frenado (m)
a) ¿A qué velocidad debe ir el automóvil para que la distancia de frenado sea menor a 2 metros?
b) ¿Cuál es la distancia de frenado que se necesita para una velocidad de 125 km/h?
c) Escriban una expresión algebraica que permita obtener la velocidad del automóvil, en función de la distancia de frenado.
Si es necesario, aclarar a los alumnos que la distancia de frenado corresponde al desplazamiento del automóvil posterior a la acción de frenar.
Es importante hacer notar a los alumnos que la expresión algebraica que se obtiene en el inciso c, es del tipo y = ax, que es un caso particular de la forma general y = ax+ b con b= 0.
10. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
11. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
12. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.
Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan la relación entre dos conjuntos de cantidades que varían linealmente y expresen dicha relación mediante una expresión algebraica.
Consigna. Organizados en equipos analicen el siguiente experimento, luego realicen lo que se pide.
De un resorte de 13 centímetros de longitud, se han suspendido varios pesos y se han medido las respectivas longitudes del resorte, registrándose en la siguiente tabla:
resorte (cm)
a) ¿De qué depende la longitud del resorte?
b) ¿Cuál es la elongación del resorte por cada kilogramo de peso?
c) Encuentren una expresión algebraica que modele esta situación.
Hay que aclarar que la elongación se refiere al alargamiento del resorte, independientemente de su longitud original. Es importante que el maestro propicie una reflexión respecto al significado de los términos de la expresión algebraica en el contexto de la situación planteada. Por ejemplo, si la expresión obtenida fuera y = 2x + 13, el coeficiente de x (2), representa la elongación del resorte por cada kilogramo de peso; mientras que y representa la longitud total del resorte, etc.
Intención didáctica: Que los alumnos establezcan las relaciones entre variables y la expresen algebraicamente y que reconozcan la dependencia entre las variables y la variación conjunta.
Consigna. Organizados en equipos analicen la siguiente situación, luego contesten lo que se pregunta.
Una compañía arrendadora de autos ofrece la siguiente tarifa: una cuota fija de $500.00, más $5.00 por cada kilómetro recorrido.
a) ¿Cuánto habría que pagar si se recorren 800 kilómetros? ¿Y si se recorren 1720 kilómetros?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular el costo para cualquier cantidad de kilómetros recorridos?
c) Si una persona pagó $5 075.00, ¿cuántos kilómetros recorrió?
d) Otra compañía arrendadora de autos ofrece la siguiente tarifa: $6.00 por kilómetro recorrido, sin cuota fija. Una persona quiere rentar un auto para hacer un viaje de 300 kilómetros. ¿Cuál de las dos tarifas le conviene? ¿Por qué?
En el caso del inciso b, es probable que algunos equipos lleguen a diferentes expresiones equivalentes tales como:
y  500  5 x ,
y  5 x  500 ,
y  500  5( x ) ,
y  500  5 x
Esto se puede aprovechar para reflexionar sobre las expresiones equivalentes. Es importante que en el inciso d los alumnos justifiquen las soluciones que encuentren y de ser posible que grafiquen las expresiones para que vean lo que sucede.
Eje temático: M. I.
Contenido: 8.4.6 Resolución de situaciones de medias ponderadas.
Intenciones didácticas: Que los alumnos distingan problemas en los que es útil calcular la media simple, de aquellos en los que es necesario calcular la media ponderada.
1. En un elevador viajan siete personas cuyos pesos son: 70, 65, 75, 68, 72, 77 y 63
Argumenten su
kilogramos. ¿Cuál es el peso promedio de las siete personas?
2. En un elevador viajan 10 personas, 6 hombres y 4 mujeres. La media del peso de los
hombres es de 80 kg y la media del peso de las mujeres es de 60 kg. ¿Cuál es el peso medio
Argumenten su respuesta.
Los alumnos ya tienen conocimiento de la media aritmética como un valor "típico" o "representativo" de un conjunto de datos, saben que para calcular su valor suman los valores individuales y dividen el resultado entre el número de valores involucrados. La media aritmética o promedio simple es pertinente para resolver el primer problema, el cual es probable que resuelvan sin mucha dificultad. Para el segundo problema, es muy probable que los alumnos contesten que el peso medio de las 10 personas sea 70 kg, resultado de promediar los pesos medios de hombres y mujeres, 80 y 60 kg, sin tomar en cuenta que cada uno de los valores involucrados tiene cierta ponderación; esto no es tan fácil de comprender por los alumnos, quienes invariablemente eligen el promedio simple como la mejor medida de tendencia central representativa de los datos, sin tener en cuenta que a veces la contribución de cada valor al promedio es diferente, como en este caso.
En el segundo problema, se aplica una ponderación del 60% para el valor de 80 kg y una ponderación de 40% para los 70 kg. Si los alumnos advierten esta diferencia es muy probable y deseable que realicen el siguiente procedimiento:
80+80+80+80+80+80+70+70+70+70 = 720= 72
En el cual se puede apreciar que el valor de 80 kg contribuye con 6/10 al promedio y 70 kg con 4/10. A partir de esta expresión, se les puede solicitar a los alumnos otras equivalentes pero más simples, algunas alternativas son las siguientes:
x 60 =
= 48 + 24= 72
= 48 + 24 = 72
.60+.40
.60 (80)+.40 (60) = 48+24 =
d) (0.6 x 80) + (0.4 x 60) = 48 + 24 = 72
Así, la respuesta al problema es 72 kg.
Al realizar la puesta en común, se sugiere caracterizar y diferenciar el promedio simple y la media ponderada, así como las formas de cálculo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen calcular medias ponderadas.
Consigna: En parejas, resuelvan los siguientes problemas. Pueden auxiliarse de una calculadora.
1. En un elevador viajan 12 personas, 3 hombres y 9 mujeres. La media del peso de los hombres es de 74 kg y la media del peso de las mujeres es de 66 kg. ¿Cuál es el peso medio de las 15 personas?
2. El maestro de matemáticas informa a sus alumnos que para la evaluación final del bimestre tomará en cuenta los siguientes aspectos: examen individual, examen en equipo, participación individual, trabajo en equipo y cuaderno. Jorge obtiene un promedio de 8 en el examen individual y el cuaderno, y un promedio de 7 en los aspectos restantes. El maestro le anota en el registro de calificaciones un promedio general de 7.4, que al redondearlo se transforma en 7, a lo que Jorge le reclama ya que considera que su promedio general es de 7.5 y al redondearlo finalmente se obtiene 8. ¿Quién de los dos tiene la razón? ¿Por qué?
En este plan, la expectativa es que los estudiantes identifiquen claramente que se trata de resolver problemas de media ponderada y no de promedios simples. Se sugiere analizar detalladamente las expresiones utilizadas para realizar los cálculos e identificar su relación. Para el caso del primer problema, algunas expresiones equivalentes que permiten obtener la media ponderada son las siguientes:
74+74+74+66+66+66+66+66+66+66+66+66 74+74+74+66+66+66+66+66+66+66+66+66
816= 816=
74(3)+66(9) = 816= 68
74(0.25)+66(0.75) =18.5 + 49.5 = 68
Cualquiera que sea la expresión utilizada es importante que los estudiantes describan su significado. Para el segundo problema podrán emplear la siguiente:
8(0.4)+7(0.6) =3.2 + 4.2 = 7.4
Debido a que dos de las cinco evaluaciones (40%), les corresponde un promedio de 8 y a tres de cinco (60%), les corresponde un promedio de 7.
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