Source: http://sabelotodo.org/optica/difraccionluz.html
Timestamp: 2018-04-24 12:08:50+00:00

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Difracción de una sola rendija
Intesidad luminosa de las redes de difracción
La disciplina científica que estudia el comportamiento físico de la luz se conoce como óptica y dentro de la óptica se pueden diferenciar dos ramas: la óptica geométrica y la óptica ondulatoria. A su vez, la óptica geométrica incluye tres secciones básicas: la reflexión y refracción de la luz, los espejos y los lentes, los que han sido tratados en los artículos correspondientes. En esta disciplina la luz se trata de manera simplificada a través del rayo luminoso, que es una aproximación que considera la luz como un haz de rayos que se mueven en linea recta y sus propiedades se determinan por la geometría de estos rayos luminosos. Sin embargo, existen ciertos comportamientos de la luz, especialmente cuando hay obstáculos o agujeros en su camino comparables con la longitud de onda (varios cientos de nanometros), que no pueden ser tratados por simple geometría y aquí el concepto de rayo luminoso pierde su efectividad. Para cuantificar estos efectos resulta necesario acudir a la naturaleza de onda electromagnética de la luz dando lugar a la óptica ondulatoria.
Los tres aspectos del comportamiento de la luz que no pueden ser explicados satisfactoriamente con el uso de rayos luminosos y su geometría son: la interferencia, la difracción y la polarización. En este artículo trataremos el tema de la difracción de la luz.
Durante los años 20 del siglo XIX se realizaban fuertes intentos para entender las consecuencias de la naturaleza ondulatoria de la luz. El experimento de doble rendija llevado a cabo por Thomas Young en 1801-1802 mostraba claramente efectos de interferencia asociados con la luz. Además de sus experimentos con la doble rendija este polímata inglés desarrolló experimentos que mostraban que la luz puede rodear objetos como lo hacen las ondas en el agua, y aunque estaba firmemente convencido de la naturaleza ondulatoria de la luz el resto de la comunidad científica oponía resistencia considerable a tal cuestión. Más adelante Augustin Fresnel, François Arago y otros, llevaron a cabo experimentos adicionales y desarrollaron teorías que servían para establecer de manera más convincente la realidad del fenómeno de la difracción de la luz al rodear objetos, lo que solo se explicaba si la luz se comporta como una onda.
La difracción y la interferencia son dos cuestiones muy vinculadas, de modo que puede decirse que la difracción es una manifestación del fenómeno de la interferencia y este término se usa con frecuencia de forma alternativa al término interferencia, no obstante, la palabra difracción normalmente está más vinculada al fenómeno de la desviación de la propagación en linea recta de los frentes de onda.
La interferencia y la difracción son fenómenos relativos a todas las ondas, no solo a las ondas electromagnéticas como la luz, las ondas mecánicas también interfieren y difractan, de modo que es una situación general inherente a la naturaleza ondulatoria.
Figura 1. Muestra del "doblado"
de los frentes de onda planos al pasar una abertura.
Observar la difracción de las ondas es relativamente común en el mundo que nos rodea y quizás usted haya notado el fenómeno para las olas del mar cuando cruzan a través de una abertura o chocan con un obstáculo interpuesto en su camino. Mientras las olas se mueven sin nada que las perturbe lo hacen en linea recta como frentes de onda planos y paralelos que se desplazan en la dirección de propagación, pero la propagación en linea recta se modifica cuando el frente de onda choca con un objeto, o encuentra una abertura en su camino. Después de la abertura, o el objeto interpuesto, ya los frentes de onda dejan de ser planos para convertirse en frentes de onda circulares abandonando la propagación en linea recta y se esparcen en el espacio, y este fenómeno es el que se vincula comúnmente con el término difracción. La figura 1 muestra el "doblado" de las ondas planas que se mueven en el agua al pasar una abertura.
De la misma forma, todos podemos escuchar la música procedente de un reproductor que se pone en funcionamiento dentro de una habitación, aunque estemos parados dentro de otra habitación fuera de la abertura de la puerta. Digamos que las ondas sonoras "se curvan" en todos los bordes para llegar hasta nosotros, pero esta misma posibilidad no forma parte de nuestra experiencia diaria con la luz, y esto se debe a que:
La interferencia requiere de fuentes de ondas coherentes y además porque el efecto de la difracción es típicamente más significativo cuando las dimensiones del obstáculo o de la abertura son comparables con la longitud de la onda.
Para la luz, las fuentes coherentes no se tienen en la mayoría de las situaciones, y la longitud de onda es demasiado pequeña en comparación a los objetos que nos rodean. No obstante, con algo de ingenio usted puede observar la difracción a simple vista. Para ello mire desde el interior de una habitación a través de una ventana la luz del día por la abertura menor que pueda formar entre sus dedos, podrá ver claramente una sucesión de franjas claras y oscuras que se forman en el estrecho espacio entre estos.
Figura 2. Patrón de bandas claras y oscuras que se proyecta en la pantalla en una zona que debió estar completamente oscura si la luz se mueve en linea recta.
Un buen ejemplo de difracción se tiene observando la sombra que produce el borde agudo de un objeto opaco interpuesto entre una fuente de luz puntual y una pantalla (figura 2). Si se observa con cuidado la frontera entre la sombra proyectada en la pantalla y la zona iluminada, se verá que una pequeña cantidad de luz se desvía de la trayectoria en linea recta para iluminar una región detrás del objeto que debió estar en la sombra. En la figura 2 se muestra el patrón de bandas iluminadas y oscuras (máximos y mínimos) que se se forma en la frontera de lo que debió estar dividido en dos regiones: una completamente sombreada y otra en total iluminación si no se produjera la difracción. Note que en esencia el resultado es como si la luz rodeara el borde propagándose detrás del objeto.
Figura 3. Ondículas generadas en los puntos cerca del borde.
Este fenómeno se puede explicar utilizando el principio de Hyugens el que establece que cada punto de un frente de onda se puede considerar como un generador de ondas esféricas secundarias (ondículas) que se se combinan por superposición para formar el nuevo frente de onda, y esta construcción fue la que utilizó Fresnel para interpretar varios fenómenos de interferencia que eran completamente inconsistentes con la óptica geométrica. Él mostró que utilizando una abertura se formaba un patrón de interferencia propio, debido a que los puntos de los frentes de onda que pasan por diferentes partes de la abertura producen ondas secundarias que interfieren mutuamente. Y bajo este mismo razonamiento se puede entender el origen del patrón de interferencia de la figura 2. Observe la figura 3 a la izquierda, en ella se han representado dos puntos P1 y P2 próximos al borde el obstáculo, estos dos puntos se pueden considerar como generadores de ondículas esféricas que se esparcen en el espacio y consecuentemente interfieren de forma constructiva o destructiva por zonas, lo que trae como consecuencia que sus amplitudes se anulen o se sumen para formar las franjas brillantes y oscuras en el patrón mostrado, alcanzando el espacio que queda detrás del objeto.
Cuando se usa luz coherente, un objeto interpuesto en la forma de un obstáculo o una pared con agujeros y una pantalla de proyección nos permite ver los efectos de la difracción. El objeto interpuesto puede ser: dos rendijas; varias rendijas; varios agujeros pequeños; una rendija; o simplemente un objeto circular opaco. Fresnel investigó de forma sistemática los patrones de interferencia de agujeros, bordes y objetos pequeños utilizando fuentes de luz y pantallas de proyección a distancias finitas del objeto y esos patrones de difracción se conocen como difracción de Fresnel.
Si ambos, fuente de luz y pantalla están lejanos del objeto, el tratamiento matemático del asunto se simplifica considerablemente y a estos patrones se les llama difracción de Fraunhofer en honor a Joseph von Fraunhofer. Cuando se trata la difracción de Fraunhofer tanto los rayos incidentes en el obstáculo como los que llegan a la pantalla de proyección se pueden considerar paralelos simplificando el cálculo de la diferencia de recorrido de las ondas y sus diferencias de fase y con ello determinar los efectos de interferencia fácilmente. En este artículo nos limitaremos a este tipo de difracción.
Figura 4. Punto brillante en el centro del patrón de interferencia de un obstáculo redondo.
Una espectacular demostración de difracción fue observada por Aragó en 1818 cuando se interpone un objeto en forma de disco perfectamente redondo (figura 4) entre la fuente de luz distante y una pantalla de proyección. Lo sorprendente de este asunto es que la sombra proyectada por el disco en la pantalla presenta un punto brillante en el centro, precisamente en la zona donde aparentemente debe haber oscuridad total. La explicación es sencilla. Cada punto del aro exterior del disco está equidistante de la fuente de luz de modo que las ondículas nacidas en esos puntos están perfectamente en fase. Como cada punto del aro está a su vez equidistante del centro de la sombra proyectada en la pantalla, todas ellas arribarán a él en fase, interfiriendo constructivamente y generando el punto brillante. Este punto se conoce como punto de Poisson.
Difracción de una sola rendija.
Figura 5. Patrón de difracción en una sola rendija.
Tratemos ahora la naturaleza de la difracción de Fraunhofer que se produce en una sola rendija. En este tipo de difracción, como se apuntó arriba, las distancias fuente-objeto y objeto-pantalla son grandes lo que implica que las ondas se pueden representar como lineas paralelas en la dirección de propagación de sus frentes. En la figura 5 a la izquierda se muestra un típico patrón de difracción de Fraunhofer vinculado a la rendija de ancho a que le da origen. El resto de las acotaciones mostradas en la figura las podrá conocer en detalle a continuación.
Figura 6. Luz en la dirección incidente hacia el centro de la pantalla. El ancho de la rendija se ha exagerado
Para la descripción de la difracción de Frauhofer comencemos en la figura 6 a la derecha, en ella examinamos la luz de la rendija que se propaga en la dirección original rumbo a la pantalla, las ondículas regeneradas están todas en fase en esta dirección y como todas viajan la misma distancia para alcanzar la pantalla llegan a ella también en fase. Esto hace que el centro de la pantalla sea brillante por interferencia constructiva.
Por otra parte, el resto del patrón está formado por una sucesión de franjas iluminadas y oscuras (figura 5) que tienen su origen en lo que se describe a continuación.
Figura 7. Cada porción de la rendija actúa como un punto generador de ondas.
Tengamos en cuenta las ondas que nacen desde diferentes porciones de la rendija como puede apreciarse en la figura 7. Según Hyugens cada porción de la rendija actúa como fuente de ondas, por lo tanto, las ondas procedentes de una porción de la rendija al esparcirse pueden interferir con las de otras porciones y la naturaleza de la interferencia dependerá del ángulo θ. Note que estamos en presencia de una aproximación razonable, siendo exactos las ondas convergen a una gran distancia de la rendija o de los contrario no hay interferencia.
Para describir cuantitativamente el patrón de interferencia debemos tener en cuenta que todas las ondas nacidas en la rendija están en fase. Por conveniencia hemos dividido la rendija en mitades. Ocupémonos de las ondas A y C que se originan en la parte inferior y en el centro de la rendija respectivamente, es decir, a una distancia igual a la mitad del ancho de la rendija. Según la geometría mostrada en la figura 7, la onda A viaja una distancia mayor que la onda C en la magnitud (a/2) sen θ, siendo a el ancho de la rendija. Igualmente las ondas B y D están separadas media rendija de distancia y aquí también la diferencia de camino recorrido es (a/2) sen θ. Si la diferencia de distancia recorrida es igual a la mitad de la longitud de onda (λ/2), lo que corresponde a un cambio de fase de 180º, ambas ondas interfieren destructivamente. Esto es, la condición para interferencia destructiva es:
(a/2) sen θ = λ/2 (ecuación 1)
sen θ = λ/a (ecuación 2)
Con un razonamiento similar se puede determinar que se produce otra banda oscura (interferencia destructiva) para:
sen θ = 2λ/a (ecuación 3)
sen θ = 3λ/a (ecuación 4)
La condición general para la interferencia destructiva resulta entonces:
Para m = ∓ 1, ∓ 2, ∓ 3, . . . (ecuación 5)
Los valores positivos y negativos de m corresponden a las bandas oscuras que se producen a un lado y otro del eje de simetría de la construcción, o dicho de otra forma, a ambos lados del centro de la pantalla. Véalo en la figura 5. Note que el valor θ = 0 no forma parte de la secuencia ya que como vimos el centro es siempre iluminado.
De la ecuación 5 podemos deducir que para valores grandes de a/λ el esparcimiento angular en el patrón de interferencia se reduce en comparación con valores pequeños de a/λ con los que se obtiene un ancho esparcimiento angular. Cuando a >> λ el esparcimiento decrece tanto que solo se tiene un punto central brillante. Por lo que:
Mientras menor es el ancho de la rendija comparado con la longitud de onda, resulta mayor el esparcimiento angular del patrón de interferencia.
Aproximadamente a la mitad del espacio entre las franjas oscuras se tienen las condiciones para la interferencia constructiva y allí se produce una franja iluminada. La determinación de la posición exacta de los máximos así como de la intensidad de la luz requiere de un tratamiento matemático más complejo que no se tratará aquí.
En el artículo sobre interferencia se trató en tema del experimento de doble rendija de Young y allí se mencionó el hecho de que el patrón de interferencia podía servir para determinar la longitud de onda de la luz utilizada. El uso de varias rendijas estrechas produce un patrón de interferencia característico si todas las rendijas están espaciadas de forma regular y a este patrón de interferencia mostrado en una pantalla de proyección se le conoce como red de difracción. Las redes de difracción presentan dos ventajas fundamentales:
1.- El uso de múltiples rendijas permite que pase más luz a través de ellas comparado con el uso de solo dos rendijas, lo que conlleva a un incremento de la intensidad luminosa en el patrón.
2.- Los máximos debidos a la interferencia son más nítidos que los que forman solo dos rendijas lo que permite medir la longitud de onda con más exactitud.
Las redes de difracción se pueden lograr usando diferentes métodos, no solo cortando agujeros en un cuerpo opaco como en el experimento de la doble rendija, todo lo que se necesita es un arreglo de obstáculos que sirvan como fuentes puntuales de generación de ondas secundarias esféricas. Así se pueden utilizar trazos o marcas paralelas grabadas regularmente con gran precisión en placas de vidrio o metal. Los espacios entre las marcas, para el caso de la placa de vidrio, son transparentes a la luz y por lo tanto actúan como rendijas separadas y este tipo de red se conoce como red de transmisión. Por su parte, si las marcas se hacen en una placa metálica ellas actúan como elementos que reflejan la luz en lugar de transmitirla y ahora se les llama redes de reflexión. Lo verdaderamente importante es que la luz sea diseminada en centros espaciados regularmente. Para todas esas redes el análisis del patrón de difracción es similar, aunque en este artículo solo nos concentraremos en las redes de transmisión.
Figura 8. Gometría de la red de difracción.
Para describir cuantitativamente las redes de transmisión utilicemos el patrón de difracción de Fraunhofer en un sistema con múltiples rendijas separadas unas de otras por la distancia d. La figura 8 muestra algunas de las rendijas de una red de N rendijas. Al sistema inciden ondas luminosas planas desde una fuente lejana cuya longitud de onda es λ. Tengamos en cuenta ahora las ondas que se propagan a lo largo de las lineas marcadas como 1', 2', 3'. . . las que están orientadas formando un ángulo θ con respecto a la dirección de incidencia. Como la pantalla de proyección está distante, estas lineas se pueden considerar aproximadamente paralelas, aun cuando ellas convergen en un punto en la pantalla lejana.
Si asumimos que la linea f1f2, definida por θ termina siendo el punto de convergencia en la pantalla lejana, todas las ondas llegarán en fase a tal punto e interferirán constructivamente para generar un máximo (una zona de brillo) si la diferencia de recorrido entre ellas es igual a la longitud de onda, o a un múltiplo de esa magnitud. La diferencia de recorrido entre ondas adyacentes es d sen θ, por lo tanto, habrá un máximo donde la luz que proviene de todas las rendijas interfiere constructivamente a los ángulos:
d sen θ = mλ donde m = 0, ∓ 1, ∓ 2, ∓ 3, . . . (ecuación 6)
El número m se conoce como número de orden, y cuando vale 0 se tiene la franja de brillo central que se le llama de orden máximo cero. Luego la franja de brillo siguiente a cada lado se produce cuando m = ∓ 1 y es entonces la franja de primer orden máximo. De la misma forma se denominan el resto de las franjas de brillo que le siguen a cada lado (segundo orden máximo, tercer orden máximo y así sucesivamente).
La ecuación 6 es idéntica a la ecuación 2 que determina la posición de los máximos en el experimento de doble rendija de Young (vea el artículo "Interferencia en la luz") de modo que puede decirse que la ecuación 6 es una ecuación general que aplica para todas las redes de difracción (más de una rendija). Si escribimos la ecuación 6 como sen θ = mλ/d se puede ver el hecho universal de que el patrón de interferencia se esparce en ángulo a medida que la relación λ/d crece.
Aunque existe plena coincidencia en la posición de los máximos entre el uso de dos o N rendijas, el patrón de intensidad en la pantalla adquiere una forma muy diferente en uno y otro caso.
Intensidad luminosa de las redes de difracción
Examinemos la intensidad luminosa en el patrón cualitativamente teniendo en cuenta lo que conocemos de la luz. Si llamamos I0 a la intensidad de luz que proporciona cada rendija, aunque haya o no interferencia, la intensidad promedio en la pantalla de proyección completa debido a N rendijas debe ser NI0. La intensidad o el brillo es una medida de la cantidad de energía que entrega una onda luminosa por unidad de área por unidad de tiempo y como la energía debe conservarse, tenemos que: si la intensidad de la luz es cero en las regiones de interferencia destructiva, esta debe concentrarse en las zonas de máximo (interferencia constructiva) y en esos puntos los campos magnético y eléctrico de las ondas se suman dando como resultado N veces el campo de una sola rendija. Debido a que la intensidad es proporcional al cuadrado de los campos, la intensidad en cualquier máximo es N2 veces mayor que la debida a una sola rendija lo que expresado matemáticamente es:
Imax = N2I0 (ecuación 7)
De la ecuación 7 podemos sacar una importante conclusión; si el aumento de la intensidad de los máximos es tan dramático con N rendijas entonces si se quiere conservar la energía, el espacio en el patrón (ancho de la linea brillante) en el que el máximo ocurre debe ser muy estrecho, ya que una banda ancha de luz tan intensa, razonablemente necesitará demasiada energía para producirse. Si asumimos que los máximos tienen un ancho igual a Δθ la gran intensidad de estos, deja solo una pequeña cantidad de energía disponible para el espacio entre ellos, y partiendo de este razonamiento se puede decir la intensidad total es aproximadamente la suma de las intensidades de solo los máximos, para lo cual:
Imax Δθ ≃ NI0 (ecuación 8)
Si despejamos el ancho en la ecuación 8 y sustituimos el valor de Imax según la ecuación 7 obtenemos finalmente que:
Δθ = 1/N (ecuación 9)
Tenemos dos resultados importantes: el primero es que a medida que N crece, la intensidad (altura del pico) de los máximos se incrementan al cuadrado de N; y el segundo es que además, los máximos se hacen más estrechos tanto como 1/N. La combinación trae como resultado picos de intensidad más pronunciados y agudos.
Figura 10. Intensidad versus sen θ para redes de difracción con diferentes cantidades de rendijas
La "agudeza" de los picos es la que da gran importancia práctica a las redes de difracción, ya que unos picos altos y estrechos son fáciles de ver y se pueden ubicar con mucha precisión haciendo el cálculo de la longitud de onda con gran exactiud usando la ecuación 6. La figura 9 muestra comparativamente el patrón de intensidad para diferentes cantidades de rendijas.
Las redes de difracción en la práctica, típicamente tienen varios miles de marcas por centímetro.
Resolución de las redes de difracción
La resolución es un concepto físico vinculado con la capacidad que tiene un sistema, dispositivo o instrumento para diferenciar dos puntos que se encuentran muy próximos en una imagen y esta cualidad de "resolver" adquiere gran importancia en la efectividad de las redes de difracción si se quiere ubicar con exactitud la posición de cierta linea de brillo del patrón. Una baja resolución confunde las lineas próximas, mientras que una alta resolución las define nítidamente. Existen dos cantidades que definen la efectividad de una red de difracción en ese sentido: la dispersión angular y el poder de resolución.
Las redes de difracción se utilizaron originalmente para identificar las longitudes de onda luminosa características de los elementos químicos y este trabajo, que duró años, ya está terminado y actualmente se conocen todas esas longitudes de onda. Ahora las redes de difracción se usan principalmente para identificar elementos, compuestos o iones usando la luz que ellos emiten (su espectro luminoso) o como una herramienta para comprender la estructura de moléculas. Como se conoce la distancia d entre las rendijas, la localización angular de los máximos de orden, m, mayor que cero, permiten obtener λ usando la ecuación 6. Una limitante de un instrumento espectroscópico es su habilidad para separar las lineas espectrales de longitudes de onda λ1 y λ2 muy próximas y en este sentido es importante la dispersión angular, también llamada simplemente dispersión.
La dispersión angular se define como Δθ/Δλ la que cuantifica la diferencia Δθ en los ángulos de los máximos para longitudes de onda casi iguales que difieren en un pequeño Δλ, es deseable obtener una alta dispersión angular, es decir, que los máximos para las dos longitudes de onda estén separados angularmente una cantidad apreciable.
La dispersión angular responde a la expresión:
Note que la dispersión crece para altos órdenes, es inversamente proporcional a la distancia entre las rendijas y se incrementa a medida que nos alejamos del máximo central.
El poder de resolución o simplemente la resolución, es otro elemento que complementa a la dispersión angular. La dispersión angular por si sola no nos dice nada acerca de que podamos visualmente separar dos longitudes de onda similares. Este aspecto de la efectividad de una red de difracción está caracterizada por el poder de resolución, R, de la red el que se define como:
(definición 1)
En la definición 1, Δλ es la menor diferencia de longitudes de onda que se puede observar con la red de difracción, es decir cuando las longitudes de onda están tan cercanas que los máximos de una onda no se pueden distinguir de los máximos de la otra. A medida que el poder de resolución de la red de difracción es mayor, mejor se pueden distinguir las dos lineas muy cercanas formadas por longitudes de onda muy próximas. Ya sabemos que la forma de los máximos se hace más aguda a medida que aumenta la cantidad de rendijas de la red y esta agudeza es la que permite a una red separar dos lineas muy próximas. Siguiendo un análisis detallado del ancho de los picos se puede demostrar que el poder de resolución de una red de difracción está dado por:
R = mN
Lo que significa que la resolución aumenta con el número de rendijas, y es mejor para los órdenes mayores.
La difracción es una manifestación de la interferencia entre ondas y se puede observar como un patrón de lineas o franjas claras y oscuras en una pantalla de proyección cuando la luz pasa a través de una sola rendija o de múltiples rendijas espaciadas la misma distancia, esto último se conoce como red de difracción. De igual forma los patrones de difracción se obtienen cuando la luz pasa a través de agujeros o cuando rodea obstáculos.
Para una sola rendija de difracción los mínimos (franjas oscuras) se producen en:
Donde a es el ancho de la rendija, θ es el ángulo de observación con respecto a la dirección de incidencia de la luz y m el número de orden de los mínimos.
En las redes de difracción la ubicación de los máximos se puede calcular con:
Donde d es la distancia entre las rendijas, θ es el ángulo de observación con respecto a la dirección de incidencia y m se conoce como número de orden de los máximos.
La expresión que cuantifica la intensidad de los máximos en una red de difracción es:
Aquí N es la cantidad de rendijas e I0 la intensidad promedio que llega a la pantalla de proyección desde cualquiera de las rendijas. Además el ancho de los máximos depende de N como 1/N.
La dispersión angular es la relación entre el cambio en el ángulo de observación con respecto al cambio de la longitud de onda y está dada por:
El poder de resolución representa la capacidad de una red de difracción para separar lineas muy próximas y se define como:
La expresión para calcular el poder de resolución de una red de difracción es:
Tema relacionado: Espectroscopio óptico.

References: Resolución 
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