Source: http://matematicas-maravillosas.blogspot.com/2008_08_01_archive.html
Timestamp: 2017-12-13 19:02:30+00:00

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Matematicas Maravillosas: agosto 2008
Curriculum chileno ...
CMO: 2. Funciones. d. Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con 2 Incógnitas. Gráfico de las rectas. Planteo y resolución de problemas y desafíos que involucren sistemas de ecuaciones. Análisis y pertinencia de las coluciones. Relación entre las expresiones gráficas y algebraicas de los sistemas de ecuanciones lineales y sus soluciones.
Resolvamos el Sistema de Ecuaciones Lineales con 2 Incógnitas:
Oservaciones:
a) En primer lugar hays 2 ecuaciones ( la 1) y la 2) ).
b) Cada una de ellas vincula 2 incógnitas x e y (o dos variables, una independiente y otra dependiente).
c) Si despejásemos cualquier variable, por ejemplo y=f(x) o incluso x=f(y), en ambos casos se tiene que f(ax)=af(x) ó f(ay)=af(y). Se dice que cuando se cumple esta característica hay linealidad ....
Es por esto que el sistema anterior es un Sistema de Ecuaciones Lineales. Es más, en este caso se habla de un Sistema de 2 x 2 Lineal, porque hay dos ecuaciones y dos incógnitas.
Hay varias formas de resolver un sistema de este tipo:
1) Reducción ; 2) Sustitución; 3) Igualación; 4) Método Gráfico; 5) Método de los Determinantes; 5) Método Matricial.
En este espacio vamos a utilizar los 4 primeros:
Solución por Reducción: Consiste en igualar los coeficientes de alguna de las incógnitas elegida y cambiar el signo en una de las ecuaciones.
Las ecuaciones son: 1) x+2y = 80 ; 3x + 2y = 150
Se multiplica la primera por -3
1) -3x -6y = -240
2) 3x + 2y = 150
Se suman ambas ecuaciones: -4y = -90, de donde sigue que y= 22,5. Si reemplazamos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones, obtenemos el valor de x.
x + 2(22,5) =80 ; x + 45 = 80 ; x = 80 -45 = 35
Solución por SUSTITUCION: Se despeja una de las incógnitas y se introduce en la otra ecuación,
1) x + 2y = 80
de 1) x=80-2y y lo ponemos en la segunda ecuación:
3(80-2y) + 2y = 150
240 -6y +2y = 150; -4y = -90 ; y= 22,5 y sigue como en Reducción.
Solución por Igualación: Se despeja la misma incógnitas en las dos ecuaciones y se igualan:
1) x+2y = 80---------> x = 80 -2y
2) 3x + 2y = 150 -----> x = (150-2y)/3
Igualando: 80-2y = (150 -2y)/3
240 - 6y = 150 - 2y y sigue muy similar a los otros dos métodos.
Solución Gráfica: La solución de un sistema de ecuaciones, de existir, debe ser un punto (par ordenado que cumple ambas ecuaciones). Por tanto, si existe, es el punto de la intersección de las dos rectas .... Entonces, si hay solución será aquella se encuentre en la intersección:
Grafiquemos la primera recta:
Grafiquemos la segunda recta:
desde donde se puede verificar la solución (22.5, 35)
Planteo de Problemas:
El perímetro de un rectángulo es A cm. Si el largo se disminuye en 2 cm. y el ancho se aumenta en 2 cm. Resulta un cuadrado. ¿Cuál es el área del cuadrado?
Resolviendo por reducción, por ejemplo llegamos a:
Pertinencia de las soluciones (de la ecuación):
Publicado por Colectivo Wallmapu en 6:36 No hay comentarios:
Etiquetas: Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas
SEGÚN UN ESTUDIO DE EXPERTOS DE LA UNIVERSIDAD DE VANDERBILT, EL USO DE CALCULADORA POR NIÑOS NO IMPIDE SU BUEN DESARROLLO EN MATEMÁTICAS. Siempre y cuando hayan adquirido las habilidades básicas, utilizar la tecnología incluso puede resultar beneficioso.
Uno de los dilemas de los profesores de matemáticas siempre ha girado en torno a la conveniencia o no de dejar a sus alumnos utilizar la calculadora. Un grupo de psicólogos del Children's Learning Lab de la Vanderbilt University parece haber hallado la fórmula correcta para cuándo y cómo introducir las tecnologías a las operaciones numéricas. Según el trabajo "When generating answers benefits arithmetic skill: The importance of prior knowledge" publicado en la prestigiosa revista Journal of Experimental Child Psychology, primero el niño debe aprender la matemática básica y, una vez tenga esa base clara, servirse de la calculadora no tiene por qué ser perjudicial, incluso en la escuela elemental.
La profesora de psicología Bethany Rittle-Johnson ha declarado que el trabajo del que es coautora "sugiere que es importante que los niños aprendan cómo calcular las respuestas por sí mismos, pero después de la fase inicial usar la calculadora es bueno incluso para las multiplicaciones básicas". Alexander Oleksij Kmicikewycz, el otro coautor ha señalado: "Para los estudiantes que no conocían demasiadas multiplicaciones, generar los resultados por ellos mismos, sin calculadora, fue importante y ayudó en su desarrolló". Para el resto, los que ya disponían de los conocimientos básicos afianzados, "usar calculadora para practicar ni les ayudaba ni les beneficiaba", según los exámenes realizados por este equipo. Sin embargo, si el alumno carece de conocimientos básicos y a la hora de resolver un problema opta primero por la calculadora, la operación se le pone cuesta arriba...
Publicado por Colectivo Wallmapu en 20:08 No hay comentarios:
Etiquetas: Calculadora, Metodología
Hay una inevitable tristeza en el hecho de haber resuelto el último teorema (de Fermat). Los que se dedican a la teoría de números, en lo más profundo, lo sienten así. Para muchos de nosotros fue la resolución de este problema lo que nos atrajo a las matemáticas, y siempre lo consideramos como un sueño, pero nunca como algo que conseguiríamos. Hoy sentimos que hemos perdido algo.
Publicado por Colectivo Wallmapu en 20:01 No hay comentarios:
Etiquetas: Pensamiento, Wiles
Octavio Paz, Libertad bajo palabra, p.172
Publicado por Colectivo Wallmapu en 19:54 No hay comentarios:
Sumar ... Sumar ... Sumar: Sólo el movimiento de la gente puede evitar la estupidez en la Patagonia
Publicado por Colectivo Wallmapu en 11:33 No hay comentarios:
CMO: 2. Proporcionalidad.
b. Proporcionalidad Directa. Constante de Proporcionalidad. Gráfico Cartesiano asociado (Primer Cuadrante).
d. Planteo y resolución de problemas que involucren proporcionalidad directa. Análisis y Pertinencia de las soluciones. Construcciones de tablas y gráficos asociados. Resolución de ecuaciones con proporciones.
e. Relación entre las tablas, los gráficos y la expresión algrebraica a la proporcionalidad directa. Relación entre la proporcionalidad directa y los cuocientes constantes.
Partamos con una pequeña introducción:
RAZON: Se llama razón a la comparación por cuociente entre dos cantidades a y b cualesquiera.
Se expresa una razón como:
Toda razón además, tiene un cuociente de nominado VALOR de la RAZÓN (=k).
PROPORCION: Se llama proporción a la igualdad de dos razones. Una proporción se expresa de las siguientes formas:
y se lee: a es a b como c es a d.
a y d se conocen como términos extremos. b y c como términos medios.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE PROPORCIONES:
Dos razones forman una proporción sí y sólo sí el producto de sus términos extremos es igual al producto de sus términos medios. Es decir
El Teorema Fundamental de las proporciones nos permite resolver ecuaciones. Veamos un ejemplo:
Consideremos que cada lapiz de pasta vale $ 100 y hagamos una tabla de valores:
Formemos las razones entre los términos de los pares ordenados:
1/100 = 2/200 = 3/300 = 4/400 = 5/500 ....... = 0,01 (Esta es la que más tarde llamaremos Constante de Proporcionalidad)
Un conjunto de pares ordenados de números reales es directamente proporcional si la razón entre los elementos de cada par es constante (K).
Así, si (a,b) pertenece a un conjunto directamente proporcional de razón k, entonces:
a/b=k , entonces (sí y sólo sí), a = bk
Si yo aumento uno de los términos de la fracción, deberé aumentar también el otro para que la razón de proporcionalidad se siga manteniendo: (2a)/(2b)=k
Al aumentar (o disminuir) la 1ra. componente de uno de ellos aumenta (o disminuye) la 2da. componente en un mismo factor.
Veamos como se graficaría la anterior tabla de valores:
De este gráfico podemos mostrar varios elementos:
1) Los pares de un conjunto directamente proporcional perteneces siempre a una línea recta.
2) La gráfica siempre parte del par (0,0). Interpretación: Si no se compran lápices, hay que pagar cero pesos (0 lápices, 0 pesos) = (0,0)
3) La gráfica tendrá más o menos pendiente, dependiendo de la constante K. A mayor K más pendiente.
4) Si volvemos y observamos la tabla, cada unidad de lapiz adicinal, adita 100 pesos al coste total.
5) Si en la gráfica observamos el cuociente entre: la variación de Y / la variación de X, este se mantiene constante = 100/1 = 200/2 = 300/3 = 400/4 ..... y es la pendiente de la recta. Por cada lapiz que se adita, el costo total subirá 100 pesos.
Tres metros de géreo vales $ 800. ¿Cuánto valen 8 metros del mismo género?
3/800 = 8/x ===> 3x = 6400, luego x=2133,33. La solución es perinente pues se aprecia que a mayor cantidad de metros de género, mayor es el precio y además:
3/800 = 8/2133,33=0,00375
Etiquetas: Directa Proporcionalidad, Grafos, Proporcionalidad, Proporciones, Razón, Tablas
b. Proporcionalidad Inversa. Constante de Proporcionalidad. Gráfico Cartesiano asociado (Primer Cuadrante).
d. Planteo y resolución de problemas que involucren proporcionalidad inversa. Análisis y Pertinencia de las coluciones. Construcciones de tablas y gráficos asociados. Resolución de ecuaciones con proporciones.
e. Relación entre las tables, los gráficos y la expresión algrebraica a la proporcionalidad inversa. Relación entre la proporcionalidad inversa y los productos constantes.
Pensemos en un rectángulo cuyas dimensiones son 2 y 12 cm. Su área será A=2x12 cm2.=24 cm2.
Si se mantiene constante el área y se varía el ancho del rectángulo, ¿Qué sucederá con el largo?
Formemos sus respectivos productos: 2 x 12 = 4 x 6 = 24.
Para que el área se mantenga constante, a mayor medida del largo le corresponde una menor medida del ancho y viceversa.
Un conjunto de pare ordenados de números reales es inversamente proporcional si el producto entre los elementos de cada par es constante (K).
Si (a,b) pertenecen a un conjunto de pares inversamente proporcional de producto K, entonces
a x b = K <===> a = K/b
Los pares ordenados de un conjunto inversamente proporcional perteneces siempre a una hipérbola.
15 obreros hacen un trabajo en 12 días. ¿Cuánto tiempo demorarán 45 obreros en hacer el mismo trabajo?
El resultado es correcto puesto que si hay más obreros, se demorarán menos días. Al aumentar 3 veces el número de obreros, se reduce en tres veces el número de días.
Etiquetas: Grafos, Proporcionalidad Inversa, Tablas
CMO: 2. Proporcionalidad. c. Porcentaje. Lecrura e interpretación de información científica y publicitaria que involucre porcentaje. Análisis de indicadores económicos y sociales. Planteo y resolución de problemas que perfilen el aspecto multiplicativo del porcentaje. Análisis de la pertinencia de las soluciones. Relación entre porcentaje, números decimales y fracciones.
Si una persona invierte 100 pesos y al cabo de un tiempo le entregan 120 pesos, obviamente ha ganado 20 pesos por los 100 pesos invertidos. Esto lo podemos abreviar diciendo que ha ganado un 20 %.
PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO (Se abrevia usando el símbolo "%"):
Un porcentaje o tanto por ciento es una fracción con denominador constante e igual a 100.
K por ciento = K % = K/100
Las cantidades y el porcentaje que representan son pares ordenados relacionados en Proporcionalidad Directa:
El 25 % de 80 es 20 ----> Par ordenado: (20, 25)
El 10 % de 80 es 8 ------> Par ordenado (8, 10)
El 1 % de 80 es 0,8 ------> Par ordenado (0.8, 1)
El 100 % de 80 es 80 ---> Par ordenado (80, 100)
20/25 = 8/10 = 0.8/1 = 80/100 = 0,8
Veamos un ejemplo: ¿Cuál es el 5 % de 30?
30 es el 100 %
x es el 5 %
Establecemos la proporción:
30/100 = x/5,
x = (30/100)5
de donde despejando, x=1,5
Esto es equivalente -al calcular el porcentaje K de un número- a multiplicar el número por K/100.
Porcentajes Especiales: Equivalencias de Porcentajes, Números Decimales y Fracciones:
Ejemplos de porcentajes en la VIDA:
Tomado de "SEXO, nuevas tendencias" publicado inserto en el Diario La Nación, el penúltimo domingo de agosto del 2008.
¿Te has preguntado lo importante que es la sexualidad en la vida humana, en la felicidad de las parejas y las familias?
¿Hablas de sexualidad en tu seno familiar?
¿Hablan de sexualidad en el cole?
De cuál error se mofa el siguiente chiste?
Publicado por Colectivo Wallmapu en 7:24 No hay comentarios:
Etiquetas: Anclaje a la realidad, OFT, Porcentaje
Periodicidad de Funciones - Periodicity of Functions ¿Cómo está tu inglés?
El mío más o menos no + .... No obstante, el inglés de las matemáticas es fácil. Ahora les voy a poner un texto en Inglés relativo al tema anunciado y su traducción, hecha por mi. Para que vean que es fácil traducir o al menos entender la idea GLOBAL!
Periodicity of Functions
If f is a function and if there exists a number such that
f (x+p) = f (x)
for all x in the domain of f, then is said to be periodic. If p is the smallets number winth this property, then p is the period of f.
Veamos mi traducción muy personal:
Periodicidad de funciones:
Si f es una función y existe un número tal que
para todos los x en el dominio de f, entonces se dice que f es periódica. Si p es el más pequeño número con esta propiedad, entonces p es el periodo de f.
Ejercicio: Wich of the functions show are periodic? (Cuál(es) de las funciones mostradas son periódicas?)
respuesta en los comentarios:
Etiquetas: Inglés, Periodicidad, Periodicidad de Funciones
Foto de la WEB trucada (malamente) por el Blogger .....
Publicado por Colectivo Wallmapu en 11:32 No hay comentarios:
CMO: 2. Proporcionalidad. a. Noción de Variable. Análisis y descripción de fenómenos y situaciones que ilustren la idea de variabilidad. Tablas y Gráficos.
Veamos otro ejemplo: Y cómo quedaría graficado: Lo importante:
Podemos decir que el punto de ebullición depende de la presión a la que se somete el agua. La Presión a la que se somete el agua es la variable independiente. El punto de ebullición es la variable dependiente, su valor depende de la variable independiente.
Publicado por Colectivo Wallmapu en 10:56 No hay comentarios:
Etiquetas: Grafos, Tablas, Variable
Publicado por Colectivo Wallmapu en 9:43 No hay comentarios:
Generalización algebraica: Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos
Curriculum chileno ....
CMO: c. Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos.
La característica esencial del álgebra es pernitirnos generalizar por medio del uso de símbolos algebraicos. Para ello usamos las letras:
Pensemos en el sencillo ejercicio de calcular el área de un triángulo, cuya base es 3cm y cuya altura es 2 cm:
El área es simplemente: (2 x 3) / 2 = 3
Esto lo poedmos generalizar usando una fórmula algebraica que valdrá para todos los triángulos, como a continuación:
Etiquetas: Álgebra, Generalización algebraica
CMO: c. Convención de Uso de los Paréntesis.
989898989898989898989898989898989898
En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separara operaciones.
Si un paréntesis es precedido por un signo positivo, éste se puede suprimir sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis:
Ejemplo: 7a+(-5a + 6c)-8c = 71 - 5a + 6c - 8c = 2a - 2c
Si un paréntesis es precedido por un signo negativo, lo podemos suprimir cambiando los signos de los términos que están dentro del paréntesis:
Ejemplo: 12a-(5a-8b)+3b = 12a - 5a + 8b +3b = 7a + 11b
Si una operación algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde dentro hacia afuera:
Ejemplo: 13x - {-2x+(3x -(-x+y)+2y)-3y} =
= 13 x - {-2x+(3x + x - y + 2y) - 3y}=
= 13x - {-2x + (4x+y) - 3y}
= 13x - {-2x +4x + y -3y}
= 13x -{2x - 2y}
= 13x - 2x +2y
= 11x + 2y
(Uno puede usar paréntesis variados que ayuden a diferenciar: cuadrados, redondos, corchetes).
En la básica, nos enseñan la palabra PAPOMUDAS, la cuál nos da criterios de primacía operabilidad, entre los que se incluyen los paréntesis:
PA Paréntesis
PO Potencias
MU Multiplicaciones
D Divisiones
A Adiciones
S Substarcciones
Publicado por Colectivo Wallmapu en 7:25 No hay comentarios:
Etiquetas: Álgebra, PAPOMUDAS, Uso de Paréntesis
CMO. f. Ecuación de Primer Grado. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de primer grado con una incógnita. Anlisis de los datos, las soluciones y su pertinencia.
Primero es necesario diferenciar los siguientes conceptos:
* Igualdad : Es la expresión de equivalencia de dos cantidades numéricas o literales. Ejemplo: 3+2 = 5; x +2x = 3x
* Identidad : Es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la variable. Ejemplo: 15 + x = 15 + x
* Ecuación : Es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas. Ejemplos:
5 + x = 8 ;
2x + 3y = 16 ;
4u + 7w +3z = 27
Nota: Mucho Ojo que hay otro muchos tipos de ecuaciones, entre ellas: ecuaciones logarítmicas, exponenciales, irracionales, etc.
* Las incógnitas, en general, se representan por letras minúsculas x,y,z,u,v, etc.
* El grado de la ecuación con una incógnita, está dado por el mayor exponente de dicha incógnita.
Dentro de las ecuaciones de Primer grado podemos distinguir:
* Ecuación Numérica: la única letra que hay es la incógnita. Ejemplo: 7x – 15 = 6x –2.
* Ecuación Literal: hay una o más letras además de la incógnita. Ejemplo: 12x – 3a = 5x + 2b + 17. La letras "a" y "b" representan constantes (conocidas, que se pueden o no especificar), "x" es la incógnita.
* La ecuaciones pueden tener coeficientes enteros o fraccionarios.
2x + 5 = 7 (NO Fraccionarios) ; 2/3 x - 1 = 5/8 (SI Fraccionarios).
* Solución o raíz: Es el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.
5x – 2 = 13; tiene por solución 3 pues 3 hace verdadera la igualdad: 5(3) – 2 = 13
Resolución de una Ecuación de Primer Grado con una Incógnita:
Nota Sugerida: Buscar en este mismo BLOG, por la Etiqueta Método de la Balanza.
3x – 8 = 16 +8
para eliminar el -8 del lado izquierdo ...
3x – 8 + 8 = 16 + 8
3x = 24 :3
para despejar el 3 que multiplica a la incógnita
Planteo de problemas que involucren la utilización de ecuaciones de permer grado con una incógnita. Análisis de datos, soluciones y su perinencia:
El largo y el ancho de un rectángulo se aumentan en 3 cm cada uno. Después del aumento, el área del nuevo rectángulo excede en 30 cm2 al área del rectángulo original. Si el ancho original era de 2 cm. ¿Cuáles son las nuevas dimensiones del rectángulo?
Ancho Original: 2
Largo original: x
Nuevo Ancho: 2+3 = 5
Nuevo Largo: x+3
Area original: 2x
Nueva Área: 5(x+3)
Planteo de la ecuación:
Nueva Área - Area Original = 30 cm2
5(x+3) - 2x = 30 (En cm2)
5x + 15 -3x = 30
3x = 30 - 15
x=15/3 = 5
Pero este valor obtenido corresponde al largo original y a nosotros en la pregunt nos inquieren por las nuevas dimensiones que serían:
Nuevo Ancho = 5 cm
Nuevo largo = 8 cm.
Area Nueva = 5 x 8 = 40
Area Antigua = 2 x 5 = 10
Diferencia de áreas = 40 - 10 = 30, la respuesta esta OK, el cálculo OK!
Publicado por Colectivo Wallmapu en 6:42 1 comentario:
Etiquetas: Diccionario, Ecuación, Ecuación de Primer Grado, Ecuaciones, Identidad, Igualdad
CMO: d. Ángulos del Centro y Ángulos Inscritos en una Circunferencia. Teorema que relaciona la Medida del ángulo del centro con la del correspondiente del ángulo inscrito.
Ángulo del Centro: Ángulo formado por dos radios y que tiene su vétice en el centro de la circunfenercia.
Por ejemplo son ángulos del centro los ángulos: EAF y GCH.
Ángulo Inscrito (en una circunfenercia): Ángulo formado por dos cuerdas y su vértice sobre la circunferencia.
Son inscritos los ángulos: CBD y FEG.
Teorema del Ángulo Incrito:
Observe lo que hemos hecho en Geogebra:
Hemos dibujado un ángulo del centro y un ángulo inscrito que subtienden el mismo arco.
Ahora hemos hecho otro de estos ejercicios y le hemos solicitado al programa que nos de las medidas de los dos ángulo:
Se puede ver que, cuando un ángulo inscrito subtiende el mismo arco que uno del centro, la medida del ángulo incrito es la mitad que la del ángulo del centro. 64,83º = (1/2) x 129,66º
Enunciemos el Teorema del Ángulo Inscrito:
En toda circunferencia el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco.
Hipótesis (Datos): Trazo OA = Trazo OB = Trazo OD (son radios)
Tesis (Lo que hay que demostrar): Medida Ángulo AOB = 2 Medida Ángulo ACB
Demostración (secuenciamiento lógico para probar la tesis):
Marcamos los ángulos 1, 2, 3, 4. Pero ángulo 1 = ángulo 2, pues forman parte de un triángulo isósceles, formado por dos radios OA y OC. Pero ángulo 3 = ángulo 4, pues forman parte de un triángulo isósceles formado por dos radios OB y OC.
Ángulo AOD = ángulo 1 + ángulo 2
Ángulo DOB = ángulo 3 + ángulo 4 , Sumando estas dos ecuaciones:
Ángulo AOD + Ángulo DOB = ángulo 1 + águlo 2 + ángulo 3 + ángulo 4
Ángulo AOB = 2 ángulo 1 + 2 águlo 3 = 2 (ángulo 1 + águlo 3)
Ángulo AOB = 2 Ángulo ACB
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Etiquetas: Ángulo del Centro, Ángulo Inscrito, Geometría
CMO: b. Comentario histórico sobre los orígenes de la Estadística.
+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o+o
La estadística es una rama de la matemática que se refiere a la recolección, análisis e interpretación de los datos obtenidos en un estudio. Es aplicable a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, ciencias de la salud como la Psicología y la Medicina, y usada en la toma de decisiones en áreas de negocios e instituciones gubernamentales.
La palabra "estadística" procede del latín statisticum collegium ("consejo de Estado") y de su derivado italiano statista ("hombre de Estado" o "político"). El término alemán Statistik, que fue primeramente introducido por Gottfried Achenwall (1749), designaba originalmente el análisis de datos del Estado, es decir, "la ciencia del Estado" (también llamada "aritmética política" de su traducción directa del inglés). No fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado de recolectar y clasificar datos. Este concepto fue introducido por el inglés John Sinclair.
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a. C. los babilónicos usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XI a. C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a. C. para cobrar impuestos.
Los métodos estadístico matemáticos emergieron desde la teoría de probabilidad, la cual data desde la correspondencia ciertamente entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christian Huygens (1657) da el primer tratamiento científico que se conoce a la materia. El Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y la Doctrina de Posibilidades (1718) de Abraham de Moivre estudiaron la materia como una rama de las matemáticas.[1] En la era moderna, el trabajo de Kolmogórov ha sido un pilar en la formulación del modelo fundamental de la Teoría de Probabilidades, el cual es usado a través de la estadística.
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Etiquetas: Estadística, Historia
CMO: a. Crítica del uso de ciertos descriptores utilizados en distintas informaciones.
Observe estos gráficos sobre la esperanza de vida media en hombres y mujeres. ¿Cuál será más adecuado para representar lo que se desea?
Comparando ambos cuadros se puede desprender:
A) Uno de los cuadros debe estar equivocado, por cuanto en uno la esperanza de vida es sustancialmente mayor para las mujeres, en tanto en el otro no se presentan diferencias.
B) Ambos cuadros son igualmente adecuados para representar la diferencia entre la esperanza de vida entre mujeres y hombres.
C) En ambos cuadros se muestra que la diferencia de esperanza de vida es mayor a 5 años.
D) Ambos cuadros representan lo mismo. En el ejemplo queda claro que utilización interesada de diferentes escalas puede significar manipular o distorsionar la interpretación que se hace de ellos.
Respuesta en los Comentarios .....
Publicado por Colectivo Wallmapu en 9:30 1 comentario:
CMO: d. Distinción entre hipótesis y tesis. Organización lógica de los argumentos.
========== o ========== o ==========
Hipótesis: En lógica y matemáticas, una hipótesis es una proposición de la que se parte para comprobar la veracidad de una tesis mediante argumentos válidos. Es decir, en la demostración de una tesis las hipótesis son el conjunto de afirmaciones adicionales que son añadidas al conjunto de axiomas, para ver si la tesis es deducible del conjunto formado por axiomas e hipótesis.
Tesis: Es la proposición que se pretende demostrar.
Demostración: Dentro de las matemáticas, una demostración es una estructura intelectual en la que las premisas son manipuladas a través de pasos inferenciales específicos hasta las conclusiones.
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Etiquetas: Demostración, Hipótesis, Tesis
Programas Computacionales de manipulación Algebraica y Gráfica
CMO: e. Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica.
Construyamos aproximadamente las gráficas de:
La gráfica sería más o menos así:
Y usando un programa computacional (Graphmática):
Jugando con BASIC:
Es posible hacer un pequeñísimo programa en BASIC para ver que el número "e" es un límite. En efecto, se puede presentar a los educandos el número "e" como un límite: Pruebe con el siguiente sencillo programa:
10 FOR N=1 TO 1000
20 E=(1+1/N)^N
Etiquetas: Manipulación de Programa
NEM (Nivel Enseñanza Media):
CMO: 2. Funciones. b. Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI yXVII.
Siglos XVI y XVII es la Época Moderna:
La Geometría en la Edad Moderna
La Geometría Proyectiva:
Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría de Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la llegada a principios del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.
La Geometría Cartesiana
Pero es sin duda la aparición de la Geometría Cartesiana lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en Geometría.
El nuevo método se basa en la siguiente construcción: en un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) -que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical-, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.
Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría Analítica", apéndice al "Discurso del Método", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.
Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ). Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. Desde un punto de vista formal (aunque ellos aun lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado una relación fundamental entre la estructura lógica que usaban los geómetras griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del Anillo de polinomios , resultando que ambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez hasta el desarrollo del Álgebra Moderna y de la Lógica Matemática entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX) resulta fundamental para entender por qué la Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemática.
El método original de Descartes no es exactamente el que se acaba de explicar. Descartes utiliza solamente el eje de abscisas, calculando el valor de la segunda componente del punto (x,y) mediante la ecuación de la curva, dándole valores a la magnitud x. Por otro lado, Descartes sólo considera valores positivos de las cantidades x e y, dado que en la época aun resultaban "sospechosos" los números negativos. Como consecuencia, en sus estudios existen ciertas anomalías y aparecen curvas sesgadas. Con el tiempo se aceptaron las modificaciones que muestran el método tal y como lo conocemos hoy en día.
Agotamiento del método sintético.
La aparición de la Geometría Analítica trae consigo una nueva forma de entender la Geometría. El nuevo método, algebraico, sustituye al antiguo, el sintético, consistente en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El método sintético está a estas alturas casi agotado (aunque aun dará algunos resultados interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza de estos resultados no es ya tanto geométrica como topológica, y los resultados realmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometría ya vendrán de la mano de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al método algebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto de raíces de polinomios. El método sintético sólo volverá a abordarse cuando aparezcan las geometrías no euclídeas, y definitivamente deja de ser un instrumento de investigación geométrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución de problemas, pero ya como una disciplina cerrada.
Los límites del método algebraico.
El método algebraico se ve posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás -además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia, claro-. Pero este método, que terminará constituyendo una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará aun mucho -siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa.
El Cálculo Infinitesimal.
El método algebraico tiene otra generalización natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuación polinómica, sino como una ecuación f(x,y) = 0 en la que el polinomio es ahora sustituido por una función cualquiera f. La generalización de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma f(x,y,z).
Ya Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre la tangente a una curva y el área que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base de los instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de función de una variable (o si se quiere, de curva y los ceros de una función de dos variables). Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia, y el primero también en ampliar este tipo de estudios a las superficies (como función de dos variables o como el conjunto de los ceros de una función de tres variables). El trabajo de Monge continúa por esta línea.
En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales (tanto de la solución en sí como problemas asociados a ellas, como puede ser el de las curvas ortogonales). En esta época aparece el que será el caballo de batalla de la Geometría Diferencial: el Teorema de la Función Implícita. Fue Huygens el primero en estudiar la curvatura de una curva plana, aunque parece que fue Clairaut el que usa con maestría y fija el concepto.
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Geogebra - Ampliación de Figuras con programa interactivo
CMO: e. Uso de algún programa computacional geométrico que permita medir ángulos, ampliar y reducir figuras.
Ampliación de Figura:
1) Ingresar a la página de Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/
2) Click en Descarga_Download
3) Descargar: GeoGebra WebStart
4) Proceso de Descarga asociado a JAVA
5) Click en ícono de triángulo: Dibujar uno. Cerrarlo.
6) Click en ícono de punto: Dibujar uno.
7) Elegir ícono de Transformaciones: Click en "Dilata objeto desde punto indicado"
8) Seleccionar objeto, poniéndolo dentro de una cajita.
9) Señalar el punto.
10) dar el factor de ampliación, que queda dentro de una caja de diálogo, por ejemplo 2
Cha Chan, amplifica la figura !!!!
Y para el caso de medición de ángulos -en Geogebra- miren Uds. lo que se logra (pero No puedo lograr que mida el ángulo interno, por qué será?
Etiquetas: Ampliar Figuras, Geogebra, Programa Computacional Gráfico, Reducir Figuras

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