Source: https://es.scribd.com/doc/61398597/Metodo-de-Las-Componentes-Simetricas
Timestamp: 2016-05-04 19:19:23+00:00

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Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 1 Índice 1 Introducción 2 Orden de fases y simetría 3 Definiciones sobre la naturaleza de los sistemas 4 El vector operador "a" 5 Teorema de Fortescue 6 Determinación de las componentes simétricas 7 Tensiones trifásicas desequilibradas en componentes simétricas 8 Corrientes trifásicas desequilibradas en componentes simétricas 9 Potencia en función de componentes simétricas 10 Impedancias de secuencia o secuenciales 11 Sistemas de tensiones y corrientes de secuencia cero 12 Casos elementales típicos de resolver con componentes simétricas 13 F.e.m.s. generadas por los alternadores trifásicos 14 La corriente de neutro 15 Ejemplos numéricos de aplicación del Método de las Componentes Simétricas Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 2 1. Introducción El análisis de un circuito trifásico de tensiones y corrientes perfectas (igual magnitud en las tres fases y desplazadas entre si 120º) y en el cual todos los elementos del circuito, en cada una de las fases, son simétricos y balanceados es relativamente simple, ya que este circuito trifásico puede ser estudiado mediante el denominado "equivalente monofásico", que nos lleva a la misma solución directamente. El análisis de las leyes de Kirchhoff es mucho más difícil cuando el circuito no es simétrico, tal el caso de tratarse de cargas desbalanceadas, cortocircuitos asimétricos, etc. Se dice que un circuito trifásico es asimétrico o está desequilibrado, cuando las f.e.m. de los generadores de alimentación no están equilibradas o cuando los receptores no están simétricamente conectados a la red. Se trate de una u otra causa, resulta que las tensiones e intensidades dejan de ser equilibradas. Esta situación se da, con frecuencia, en los sistemas de transporte y distribución de energía eléctrica cuando se producen “cortocircuitos o fallas” En el año 1918, C.L. Fortescue presentó en una reunión del "American Institute of Electrical Engineers", un trabajo que constituye una de las herramientas más poderosas para el estudio de los circuitos polifásicos desequilibrados. Para el análisis de estos circuitos, Fortescue, ideó el llamado "método de las componentes simétricas", que consiste en descomponer un sistema asimétrico en los llamados "sistemas simétricos", también denominados "componentes simétricas" del sistema original. La idea del método consiste en suponer que todo circuito trifásico asimétrico y desequilibrado puede ser expresado por medio de la suma o composición de tres sistemas simétricos, los que a su vez son fácilmente solubles. Aunque el método de las componentes simétricas se aplica al análisis de cualquier sistema polifásico, de aquí en adelante nos referiremos particularmente a sistemas trifásicos, dado que son los que más frecuentemente encontramos. Este método de análisis hace posible la predicción, fácilmente y exactamente, del comportamiento de los sistemas de potencia durante las condiciones de cortocircuito asimétricos o cargas desbalanceadas. Las componentes simétricas suministran un instrumento para determinar analíticamente el rendimiento de ciertos tipos de circuitos eléctricos no balanceados que contienen máquinas eléctricas rotatorias. Este instrumento es particularmente útil en el análisis del rendimiento de maquinaria eléctrica polifásica, cuando se hace funcionar desde sistemas de tensiones desbalanceados. Aunque puede ser usado para resolver redes estáticas no balanceadas, esta aplicación sería en general más molesta y laboriosa que los que los métodos ya estudiados. En cambio, para redes no balanceadas que contienen máquinas rotativas, el método de las componentes simétricas suministra el único procedimiento práctico para computar los efectos no balanceados de estas máquinas y es ampliamente usado. Resumiendo con este método analítico - gráfico se pueden resolver los siguientes tipos de problemas: Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 3 - Cortocircuitos monofásicos. - Cortocircuitos bifásicos con/ sin contacto a tierra. - Cortocircuitos trifásicos. - Sistemas trifásicos perfectos con cargas desequilibradas. - Sistemas trifásicos asimétricos con cargas equilibradas. - Sistemas trifásicos asimétricos con cargas desequilibradas. Como el cortocircuito tripolar equivale a un sistema equilibrado, su resolución se obtendrá por los métodos clásicos llegando a la conclusión de que cada fase es recorrida por igual corriente eficaz de cortocircuito. 2. Orden de fases y simetría Al tratar con corrientes y tensiones de corriente alterna en circuitos trifásicos, se debe establecer la idea de “orden de fases o secuencia de fases” Si se consideran tensiones senoidales de una frecuencia dada, la tensión de una fase del generador alcanza un cierto punto de su ciclo – por ejemplo máximo positivo – en un instante dado. Un cierto instante más tarde, la tensión de otra fase alcanza el mismo punto de su ciclo, y lo mismo sucede con la tercera fase. Si el máximo de la tensión de la fase A, es seguido por el máximo de la fase B, y a su vez por el máximo de la fase C, se dice que el orden de fases es “ABC” Por el contrario, si el máximo de la tensión de la fase A es seguido por el máximo de la fase C y luego por la fase B, se dice que el orden de fases es “ACB” El sentido de rotación de los fasores giratorios en función del tiempo es en todo caso el contrario a las agujas de un reloj. Este sentido se ha definido como normal internacionalmente. Figura 1. Tensiones trifásicas de orden de fases ABC y ACB El orden de fases depende del sentido de rotación, de la construcción y conexiones de los devanados del generador y de la denominación de los terminales. Si las tres tensiones o corrientes trifásicas de una frecuencia dada son de igual magnitud y difieren uno del otro en el mismo ángulo de fase, se dice que las tensiones y corrientes forman un sistema simétrico. Evidentemente, sólo hay tres sistemas trifásicos simétricos posibles. Estos se muestran en la Figura 2 como simétrico de secuencia positiva, cuyo orden de fases es ABC; simétrico de secuencia cero, llamada así porque las tensiones de las tres fases están representadas por fasores sin orden de fases, y simétrico de secuencia negativa cuyo orden de fases es ACB. E BN
Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 4 Sistema trifásico de tensiones de Secuencia positiva Sistema trifásico de tensiones de Secuencia negativa Sistema trifásico de tensiones de Secuencia cero Figura 2. Sistemas simétricos de fasores de tensiones trifásicos Conectando una carga equilibrada a una fuente de tensiones trifásicas equilibrada se obtienen corrientes equilibradas. La suma de los fasores de un sistema simétrico positivo o negativo es cero. 3. Definiciones sobre la naturaleza de los sistemas Se dice que un sistema polifásico es “perfecto”, cuando tratándose de alternadores trifásicos se generan tensiones idénticas en “amplitud” y con “iguales desfasajes entre ellas” Para los sistemas trifásicos podemos citar algunas definiciones interesantes: SISTEMA EQUILIBRADO U
= 0 SISTEMA PROPIO o = | = ¸ = 120º SISTEMA REGULAR U
En base a estas tres definiciones podemos establecer lo siguiente: SISTEMA TRIFÁSICO PERFECTO es todo sistema trifásico que cumple simultáneamente las condiciones de propio y regular. En base a estas definiciones. Podemos afirmar que: Un sistema trifásico perfecto es equilibrado 4. El vector operador de giro "a" Por conveniencia en la notación y manipulación se introduce un vector operador, se lo denomina "a" y se lo define como: a = – 1/2 + j \3/2 [1] Esto significa que el vector "a" tiene magnitud unidad y esta orientado a 120º en dirección positiva desde el eje de referencia. Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 5 V '= a V
V ª = a
Un vector al que se lo multiplica por "a" no cambia de magnitud pero si de ángulo, es rotado 120º hacia adelante. Por ejemplo, V´ = a V es un vector que tiene la misma magnitud pero rotado 120º delante del vector V. El cuadrado del vector "a" es otro vector unitario orientado 120º en dirección negativa desde el eje de referencia o 240º de V en dirección positiva. Como se ve en la figura el resultado de la operación de a
sobre el vector V, es V" que tiene la misma magnitud que V pero ubicado 120º en la dirección horaria de V. Los tres vectores 1, a
y a (tomados en este orden) forman un conjunto balanceado y simétrico que rota con secuencia de fase positiva, dado que los vectores son de igual magnitud, desplazados uno del otro en igual ángulo y cruzan la línea de referencia en el orden 1, a
y a (siguiendo la usual convención anti horaria) Los vectores 1, a y a
2 (tomados en este orden) forman un conjunto balanceado y simétrico de secuencia de fase negativa, dado que los vectores cruzan la línea de referencia en el orden nombrado, conservando la misma convención de rotación anti horaria, pero ahora a
es seguido por 1 y a. Algunas propiedades del vector “a” son: a
= 0 1 – a
= \3 Z 30º 1 – a = \3 Z - 30º a – a
= j \3 5. Teorema de Fortescue Este teorema, aplicado a un conjunto de tres vectores, establece la descomposición del mismo en tres sistemas:  Uno, denominado “sistema directo”, de la misma secuencia de fases que el original.  Otro, denominado “sistema inverso”, de secuencia contraria a la del sistema original.  Un conjunto de tres vectores de la misma magnitud y fase, denominado “sistema homopolar” Sea un vector de tres componentes complejas V = (V
). Este vector puede tener distintas interpretaciones en un circuito trifásico, donde se tiene siempre tres componentes: - Tensión en un punto del circuito respecto a un punto de referencia (que suele ser el neutro del sistema). - Tensión entre dos puntos del circuito (tenemos tres parejas de puntos geométricos). - Corrientes en las líneas. - Impedancias de carga. - Potencia eléctrica consumida por una carga (en cada fase se tiene una potencia aparente, activa y reactiva). Podemos enunciar el Teorema de la siguiente manera: Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 6 "Cualquier sistema trifásico de fasores asimétrico puede ser descompuesto en tres sistemas de fasores a saber”: a) Un sistema simétrico de fasores trifásicos que poseen la secuencia de fases del sistema primitivo, formando la terna de secuencia positiva, secuencia 1 o secuencia directa; b) Un sistema simétrico de fasores trifásicos que poseen secuencia de fases antagónica a la del sistema primitivo, formando la terna de secuencia negativa, secuencia 2 o secuencia inversa; c) Un sistema simétrico de tres fasores monofásicos de igual módulo y girando sincrónicamente en fase llamado terna de secuencia nula, secuencia cero o secuencia homopolar". Este teorema para sistemas polifásicos es el análogo al Teorema de Fourier aplicado a ondas no senoidales y dado que la terna asimétrica se puede descomponer en tres (3) ternas simétricas el procedimiento a aplicar será, como se verá más adelante, el de resolución de sistemas equilibrados y simétricos o sea empleando el circuito equivalente monofásico del sistema. Es decir que la solución de un sistema cualquiera asimétrico y desequilibrado, se puede encarar resolviendo los tres sistemas simétricos y aplicando el principio de superposición. En la figura 3 hemos alimentado una carga en estrella a través de los tres sistemas señalados por el teorema de Fortescue y conectados de manera de aplicar el principio de superposición. Figura 3. Representación del Teorema de Fortescue - TERNA DE SECUENCIA POSITIVA (se indicará con subíndice 1) Si el sistema original posee secuencia a-b-c, esta terna poseerá la misma secuencia. Como esta es una terna perfecta solo será necesario determinar el módulo y fase de uno de los fasores, en función de los fasores originales, para ello recurrimos al operador “a”, antes definido. La terna de secuencia directa queda identificada con: V
| Z 0º V
| Z - 120º [2] V
| Z 120º Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 7 - TERNA DE SECUENCIA NEGATIVA (se indicará con subíndice 2) Si el sistema original posee secuencia a-b-c, esta terna poseerá una secuencia de fases a-c-b y quedará expresada por: V
| Z 120º [3] V
| Z - 120º - TERNA DE SECUENCIA NULA (se indicará con subíndice 0). En este caso los tres fasores forman un sistema monofásico de manera tal que: V
[4] Para que se cumpla el teorema de Fortescue, debe satisfacerse que: V
b0 + V
c0 + V
En forma matricial: V
a 1 1 1 V
a1 [6] V
a2 A la matriz cuadrada se la llama "matriz de transferencia directa" [F], al miembro de la izquierda de la igualdad se lo llama " matriz columna de valores normales" y al factor de la derecha de la igualdad se lo suele llamar "matriz columna de los valores en componentes simétricas” Los tres sistemas definidos pueden expresarse gráficamente de la siguiente forma: - Sistema de secuencia directa - Sistema de secuencia inversa - Sistema de secuencia homopolar - Sistema de secuencia “1” - Sistema de secuencia “2” - Sistema de secuencia “0” - Sistema de secuencia positiva - Sistema de secuencia negativa - Sistema de secuencia nula V
c0 w w w V
a1 Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 8 6. Determinación de las componentes simétricas La determinación de las componentes simétricas de una terna desequilibrada de fasores puede hacerse de dos formas: analítica o gráficamente, ambas formas se basan en los fasores originales y solamente se apunta el cálculo hacia la determinación de las componentes de un solo fasor original, por costumbre la fase “a”, ya que mediante el operador “a” y las propiedades del mismo, quedarán determinados los fasores que compondrán las distintas ternas. El método algebraico evoluciona con operaciones que propenden a obtener la expresión 1+ a
+ a, que es igual a cero. Sí por ejemplo el término: V
lo multiplicamos por “a” resultará: a V
= 1 Z 0º será: a V
[7] Lo expresado por la expresión [7] es una operación de rotación en 120º del fasor original perteneciente a la fase "b". Si ahora se efectúa la rotación de la fase "c" en 240º o sea hacemos: a
a0 + V
[8] Efectuando la suma de la primera ecuación del sistema [5] más las ecuaciones, [7] y [8] resultará: V
a2 a V
[10] El fasor básico de la secuencia "2" [V
puede ser hallado mediante un proceso análogo al anterior, se tratará en este caso de eliminar los términos V
y retener los términos V
a2 del sistema [5]. Esto se logra multiplicando por “a
” ambos miembros de la segunda ecuación del sistema [5] y por “a” ambos miembros de la tercera ecuación del sistema anterior: V
[11] a V
= (1+2a
[12] El fasor básico de la secuencia nula [V
], se obtendrá por la suma directa de las ecuaciones del sistema [5], será: V
Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 9 Luego resulta: V
[14] Si resumimos las expresiones que determinan las componentes simétricas serán: V
) [15] V
) En forma matricial será: V
a1 = 1/3 1 a a
b [16] V
c Analizando la matriz anterior podemos establecer la relación que existe con la definida anteriormente como matriz de transferencia directa [F] será: [V
] = [F] -1 [V
] [17] Es decir las componentes simétricas [V
] pueden obtenerse a partir de los valores normales [V
] utilizando la inversa de la matriz de transferencia directa [F], siendo [F] y [F] -1
igual a: 1 1 1 1 1 1 F = 1 a
a [18] F
-1 = 1/3 1 a a
2 [19] 1 a a
2 a 7. Tensiones trifásicas desequilibradas en componentes simétricas. 7.1. Tensiones simples o tensiones de fase. Un conjunto de vectores de tensiones trifásicas simples o de fase desequilibradas cualquiera, pueden descomponerse en tres conjuntos de vectores balanceados o simétricos utilizando las siguientes ecuaciones: V
= 1/3 1 a a
Donde: - V
= tensiones simples o de fase expresadas en valores normales. - V
a0 = componente de secuencia cero de V
y es igual a la componente de secuencia cero de V
a1 = componente de secuencia positiva de V
; se simboliza V
(por definición: V
c1 = a V
), luego: V
b1 y V
c1 es un conjunto de vectores trifásicos balanceados y simétricos. Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 10 - V
a2 = componente de secuencia negativa de V
b2 = a V
es un conjunto de vectores trifásicos balanceados y simétricos. 7.2. Tensiones compuestas en sistemas trifilares. Las tensiones de línea o compuestas en función de las de fase resultan: V
Estas expresiones son válidas también para sistemas en triángulo “A”, ya que en este caso las tensiones simples o de fase, se refieren a una estrella equivalente. Independientemente de la magnitud de la asimetría de las tensiones compuestas, estas tensiones resultarán equilibradas (E V
= 0), como es sabido, para los sistemas trifilares, resultará entonces: V
) = 0 [21] Dado que las tensiones de secuencia cero u homopolar, poseen igual amplitud instantánea en cada una de las fases, las tensiones compuestas homopolares valen cero. La componente de secuencia cero de una terna de tensiones compuestas, tomando la tensión V
como referencia, resulta: V
0 A = 1/3 [V
] = 0 [22] El subíndice “A” se usa para identificar componentes de tensiones en triángulo o corrientes que circulan en los arrollamientos del triángulo. En muchos casos es conveniente conocer la relación entre las componentes de secuencia negativa y positiva, esta razón es comúnmente llamada factor de desbalanceo. En virtud de lo expresado, quiere decir que estamos en presencia de una terna de tensiones compuestas equilibrada pero asimétrica, representable entonces por una terna de secuencia directa y otra inversa. Este hecho interesa en el análisis de las máquinas trifásicas rotativas. En el caso de imprimir tensiones trifásicas asimétricas, a un motor de inducción, su comportamiento se puede analizar con una terna directa y otra inversa. En cualquier caso las tensiones a las distintas secuencias surgen de aplicar la segunda y tercera ecuación del sistema [16], en este caso: V
) [23] V
) Los valores de las tensiones de fase que figuran en la expresión [21] pueden ser cualesquiera, a pesar de que la EV
linea = 0, se cumple que: V
= 0. Esto significa que las tensiones simples si tienen en este caso componente homopolar, como consecuencia del desequilibrio de las tensiones compuestas. Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 11 7.3. Relación entre componentes simétricas de las tensiones de fase y las tensiones compuestas. Suponiendo una secuencia a-b-c: U
Z - 120º La tensión compuesta U
será: U
; reemplazando: U
Z-120º = U
[1– ( - 0,5 + j 0,866)] = \3 U
Z 30º O sea: U
/ \3) Z - 30º Análogamente para la secuencia inversa: U
, reemplazando: U
Z 120º = U
[1– (0,5 + j 0,866)] = \3 U
Z - 30º Luego: U
/\3) Z 30º 8. Corrientes trifásicas desequilibradas en componentes simétricas en sistemas trifilares y tetrafilares 8.1. Corrientes de línea Las tres corrientes de línea pueden descomponerse en tres grupos de vectores en componentes simétricas de una manera análoga a la recién dada para la resolución de tensiones: I
a0 = componente de secuencia cero de Ia corriente I
a (por definición I
= componente de secuencia positiva de Ia corriente I
= componente de secuencia negativa de Ia corriente I
Las corrientes de línea en función de las respectivas C.S., valdrán: I
En un sistema trifásico tetrafilar, la suma de las corrientes en las líneas, es igual a la corriente I
en el retorno por el neutro. Por tanto: I
[26] Comparando la ecuación para la componente simétrica I
a0 y la expresión [26], resulta que: I
[27] Si no hay retorno por el neutro de un sistema trifásico I
es cero y las corrientes en las líneas no contienen componentes de secuencia cero. Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 12 Una carga conectada en triángulo no tiene retorno por el neutro y, por lo tanto, las corrientes que van a una carga conectada en triángulo no contienen componentes de secuencia cero. Del mismo modo, las corrientes que fluyen en una carga conectada en estrella no puede tener una componente de secuencia cero a menos que el neutro de retorno esté conectado (sistema tetrafilar) o que el centro de estrella (punto neutro) esté conectado a tierra. 8.2. Las corrientes de fase o de rama en cargas conectadas en triángulo. Las tres corrientes de rama del triángulo pueden ser expresadas en términos de sus componentes simétricas, de acuerdo a las siguientes expresiones: I
1D = 1/3 1 a a
y [28] I
Donde la corriente I
ha sido elegida como la corriente de referencia (corresponde a la tensión V
como referencia) 8.3. Relación entre las corrientes de línea y las corrientes de fase. Si consideramos ahora las corrientes de línea de un sistema trifásico trifilar, estas no poseen componentes homopolares ya que:  Para un sistema en estrella “Y” se cumple que: I
= 0 Luego la componente de secuencia cero “I
” de I
resulta: I
) = 0  Para un sistema en triángulo “A” resulta: I
Sumando estas corrientes de línea: I
) = 0 La expresión anterior nos indica que cualquiera sea el desequilibrio de las corrientes de fase las corrientes de línea cumplen que EI
= 0, luego no habrá componente homopolar en las corrientes de línea, o sea que no se podrá evaluar la componente homopolar de las corrientes de fase de un sistema conectado en “A” mediante las corrientes de línea. Para conexión en “A”, las corrientes de fase, en general cumplirán que: I
= 0 Para una secuencia directa a-b-c- se cumple que: I
, siendo: I
Z 120º Reemplazando: I
[1 – (- 0,5 + j 0,866)] ¬ I
a1 /\3 Z30º Análogamente para la secuencia inversa: I
a2 /\3 Z - 30º Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 13 9. Potencia en función de componentes simétricas Si se conocen las componentes simétricas de la corriente y la tensión, puede ser calculada directamente la potencia suministrada en un circuito trifásico a partir de las componentes. La demostración de esta aseveración constituye un buen ejemplo del manejo de las componentes simétricas por medio de matrices. La potencia total compleja transmitida en un circuito trifásico por las líneas, a, b y c, viene dada por: S = P + j Q = V
* + V
[29] En la que V
son las tensiones respecto al neutro en los terminales e I
las corrientes que entran al circuito por las tres líneas, pudiendo o no existir neutro. Con la notación matricial: I
* S = V
b [30] I
c En la que se sobrentiende que la conjugada de una matriz tiene sus elementos que son conjugados de los elementos correspondientes de la matriz original. Para introducir las componentes simétricas de las tensiones y corrientes, haremos uso de las expresiones [6] y [18], obteniendo: S = [F V] T
[F I] *
y I = I
[31] V
La regla de la inversión del álgebra matricial establece que la traspuesta del producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas de las matrices en orden inverso. De acuerdo a esta regla: [F V]
[32], por lo tanto: S = V
[33] Observando que F
= F y que a y a
son conjugadas, obtendremos: 1 1 1 1 1 1 I
[34] 1 a a
F* = 3U I
* S = 3 V
[35] I
La potencia compleja es por tanto: S = V
[36] Esta expresión indica cómo puede calcularse la potencia compleja a partir de las componentes simétricas de las tensiones y las corrientes de un circuito trifásico desequilibrado. Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 14 10. Impedancias de secuencia o secuenciales. Examinemos el ejemplo particular de un circuito trifásico simétrico con conductor neutro e impedancias Z
= Z (ver figura) Si en los bornes de entrada del circuito se aplica un sistema simétrico de tensiones de fase de secuencia directa: V
El sistema de las corrientes que se establecen en el circuito también será simétrico y su secuencia de fases será directa, luego: I
Las relaciones entre las tensiones de fase simétricas complejas, de secuencia directa, aplicadas al circuito trifásico simétrico y las correspondientes corrientes de fase simétricas complejas de secuencia directa, se llaman impedancia compleja del circuito para las corrientes de secuencia directa y se determinan: Z
A1 / I
B1 / I
[37] En el ejemplo examinado se cumple que Z
1 = Z. Si a los bornes de entrada se aplica un sistema simétrico de tensiones de fase de secuencia inversa: V
Entonces habrá en el circuito un sistema simétrico de corrientes que también posee una secuencia inversa de fases: I
Las relaciones entre los valores complejos: Z
A2 = V
B2 / I
C 2 / I
[38] se llaman impedancias complejas del circuito para las corrientes de secuencia inversa. En el ejemplo examinado es Z
2 = Z. Finalmente, si a los bornes de entrada del circuito se aplica un sistema simétrico de tensiones de fase de secuencia nula: V
el sistema de corrientes en el circuito también será simétrico y tendrá una secuencia de fase nula I
. La corriente en el conductor neutro será I
La relación: Z
0 [39], se llama impedancia compleja del circuito para las corrientes de secuencia nula. Para calcular la impedancia Z
0 establezcamos la ecuación, según la segunda ley de Kirchhoff, para la malla formada por una de las fases, por ejemplo la fase A y por el conductor neutro: V
N [40] Sustituyendo V
, obtenemos: Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 15 V
= (Z + 3 Z
[41] de donde: Z
0 = Z + 3 Z
[42] En caso de no existir el conductor neutro no habrá corrientes de secuencia nula, por lo tanto: I
0 = 0 y Z = · Generalmente a Z
0 se las denominan simplemente “impedancias de secuencia directa, inversa y nula” Estas impedancias son también llamadas: la síncrona Z
es la presentada a las corrientes directas, la asíncrona Z
la presentada a las corrientes inversas y la de secuencia cero Z
la presentada a las corrientes homopolares. En el cálculo de los circuitos por el método de las componentes simétricas se examinan por separado los esquemas para las corrientes y tensiones de distintas secuencias. La impedancia en el neutro no ejerce influencia sobre los sistemas simétricos de las corrientes de secuencia directa e inversa, de allí que no se indiquen las impedancias en el conductor neutro, para dichas secuencias. En el esquema que se da para las corrientes y tensiones simétricas de secuencia nula se introducen, en lugar de la impedancia Z
en el neutro, valores triplicados de dicha impedancia en cada fase. Todos los cálculos se realizan para una fase llamada “fundamental”. Generalmente se toma como fase fundamental la fase “a”, y para simplificar las notaciones se omite el subíndice a. Para el ejemplo que nos ocupa en la Figura 4 se muestran los tres esquemas monofásicos para las corrientes y tensiones de distintas secuencias. Dichos esquemas se denominan “redes de secuencia directa, inversa y nula” Figura 4.- Redes de secuencia directa, inversa y nula. En los circuitos estáticos trifásicos simétricos cualesquiera (circuitos que no contienen máquinas giratorias), la inversión del ordenamiento de las fases de las tensiones simétricas no modifica la magnitud de las corrientes; de allí que las impedancias y las redes de secuencia directa e inversa son iguales. En las máquinas eléctricas no solo Z
se distingue de Z
sino que tampoco Z
. Podemos establecer algunos resultados de orden general: a) Salvo las máquinas giratorias, la impedancia presentada a corrientes equilibradas es independiente de la secuencia de fases Z
. b) En las máquinas giratorias, el campo debido a las corrientes inversas gira en sentido contrario al producido por las corrientes directas y por la corriente de excitación: Z
. c) Los valores de Z
dependen de la forma en que los puntos neutros están ligados a la tierra o a un conductor de retorno. En el caso en que los puntos neutros están aislados y en que la capacidad de los conductores respecto a tierra es despreciable, las impedancias de secuencia cero son infinitas, pues la corriente homopolar evidentemente no pueden cerrarse (recordar que I
= 1/3( I
). Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 16 11. Sistemas de tensiones y corrientes de secuencia cero. Demostraremos algunas propiedades de los sistemas de secuencia cero. La figura que sigue muestra un generador trifásico conectado en estrella, conectado a una carga en estrella de igual impedancia en las tres fases, por medio de una línea de transmisión trifásica con neutro. La impedancia de cada conductor de la línea es Z y la impedancia de neutro es Z
. Los fasores E
son las fuerzas electromotrices de cada fase del generador; V
0a’n’
0b’n’
0c’n’
las caídas de tensión en la carga y I
0aa’,
0bb’
0cc’
las corrientes de las líneas. Según la definición de corrientes y tensiones de secuencia cero, se cumple que: I
0aa’ = I
0bb’ = I
Resulta conveniente, para visualizar mejor el problema, representar el diagrama de la figura anterior en la forma mostrada en la figura siguiente, en el cual cada fuerza electromotriz de la fuente se designa por E
y cada tensión en la carga V
. Se ve claro en este diagrama que si el neutro se suprime el circuito queda abierto y no puede haber corriente. El neutro de un sistema de transmisión está implicado de una manera definida cuando hay corriente de secuencia cero. La ecuación de una fase cualquiera del sistema conectado en estrella para cantidades de secuencia cero es, según la figura anterior E
Z’ – 3 I
= 0 [52] O bien: E
(Z + Z’
+ 3Z n
) [53], de donde: I
[54] (Z + Z’
) Si el generador y las cargas se conectan en triángulo, no hay posibilidad de que existan corrientes de secuencia cero en las líneas de transmisión, puesto que no puede haber neutro para el camino de retorno y la suma de las corrientes de la línea es por tanto cero. Sin embargo, en las conexiones del triángulo sí hay corrientes de secuencia cero si la suma fasorial de las corrientes del triángulo no es cero. En la conexión en estrella, las tensiones de secuencia cero entre los conductores de la línea tanto en el generador como en la carga son cero, puesto que son iguales a las diferencias entre cada dos tensiones de igual fase y magnitud E
. Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 17 En un generador simétrico conectado en triángulo la tensión terminal de secuencia cero es también cero aunque puedan existir tensiones inducidas de secuencia cero en las fases. En la figura, E
es la fuerza electromotriz de secuencia cero, generada en cada fase y la impedancia a las corrientes de secuencia cero es Z
por fase en los devanados del generador. La ecuación de las tensiones a través del triángulo es: E
0 = 0 [55], o bien: 3 E
– 3 I
= 0 [56] E
= 0 [57] El primer miembro de la ecuación [57] es la tensión terminal de secuencia cero de cualquier fase del generador, que se demuestra así es cero. La impedancia Z
a las corrientes de secuencia cero es usualmente muy pequeña, y las corrientes dadas por: I
[58], circulan por el triángulo. Por esta razón ha de evitarse la conexión en triángulo siempre que sea necesario suprimir las corrientes de secuencia cero en los devanados de un generador o de un transformador. 12. Caso elemental típico de resolver con componentes simétricas. 12.1. Circuitos con impedancias equilibradas conectadas en estrella con neutro sometidas a tensiones desequilibradas. Consideremos el sistema trifásico de la figura, constituido por un generador trifásico que alimenta a una carga simétrica de valor Z. Dicho generador entrega una terna de tensiones de fase asimétrica que denominaremos E
Se pretende encontrar el valor de las corrientes de línea utilizando el método de las componentes simétricas. Descomponiendo las f.e.m. del generador en sus componentes simétricas, el sistema puede representarse de acuerdo a la figura que sigue. Los pasos a seguir para su resolución de este problema en particular son:  1º Paso: Se descomponen las tensiones de generación en sus componentes simétricas.  2º Paso: Se determinan las componentes simétricas de la corriente de línea, tal como se hace para sistemas equilibrados.  3º Paso: Se hallan las corrientes de línea en valores normales a partir de las componentes simétricas halladas en el paso anterior. Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 18 Tomando la fase “R” como referencia para el cálculo, se procede a efectuar el primer paso teniendo en cuenta la secuencia del sistema original, en este caso secuencia directa RST, aplicando las ecuaciones [16]: E
= 1/3 (E
) Para las f.e.m. de secuencia directa e inversa la carga es equilibrada y valen los circuitos monofásicos equivalentes (se trabaja con una fase tomada como referencia) como se representan en la figura. Debe aclararse, y puede demostrarse experimentalmente que las impedancias de las líneas, impedancias de carga pasivas y transformadores, no son diferentes para un sistema polifásico de f.e.m. cuando dos líneas se intercambian (secuencia contraria). De allí que las impedancias Z de secuencia directa y secuencia inversa tengan igual valor. Esta propiedad no es extensiva a máquinas rotativas. Las componentes simétricas de la corriente de la fase R (tomada como referencia) de secuencia directa e inversa pueden calcularse con las siguientes expresiones, deducidas de los equivalentes monofásicos: Para calcular la componente de secuencia cero u homopolar, dibujamos la red de la figura que sigue. Siendo los tres generadores de secuencia cero idénticos (en módulo y fase), resulta simple probar que las corrientes de secuencia cero también lo son, y en consecuencia la corriente de neutro es I
y la tensión de neutro resulta U
. Entonces la corriente de secuencia cero valdrá: Se notará que la corriente de retorno a tierra o neutro, es tres veces mayor que las componentes individuales de secuencia cero de las corrientes de línea. Cada conductor de la línea lleva una componente de corriente igual en magnitud y fase a las componentes similares de las otras dos líneas. Estas componentes de secuencia cero son llamadas componentes monofásicas y tienen una importante significación física con relación a la interferencia inductiva entre las líneas de potencia trifásica y las líneas de comunicaciones paralelas. Cuando las corrientes de línea tienen componentes monofásicas, ninguna forma de transposición de los conductores de la línea del sistema de potencia evitará que estas componentes establezcan interferencia inductiva en las líneas de comunicaciones paralelas y la razón es que los componentes monofásicos de los tres conductores de la línea establecerán interferencias magnéticas igualmente orientadas. Las componentes de secuencia cero de las corrientes de línea de sistemas en estrella conectados a tierra o tetrafilares son también de importancia en el cálculo de las corrientes de cortocircuito en los sistemas de potencia. A partir de las componentes simétricas de la corriente de la línea R tomando como referencia, podemos calcular las corrientes de línea en valores normales, utilizando la transformación de Fortescue, es decir: ] [
I 60 59
Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 19 ] [
+ + = + + = Las otras corrientes de línea son: I
0 + a I
2 La expresión [62] incluye a “3 Z
”, tal que se vio en el punto 11 al tratar los sistemas de secuencia cero. 13. F.e.m.s generadas por los alternadores trifásicos. La tensión que aparece en cada una de las fases de un generador trifásico, en circuito abierto, la denominaremos “E”. Los bobinados estatóricos (de fase) pueden estar conectados en “Y” o en “A”, siendo la conexión “Y” la más usual por las razones ya expuestas en el tratamiento de redes trifásicas básicas. En condiciones normales se cumple que: E
R ; E
La secuencia supuesta es RST y las componentes simétricas de la terna: E
R Para una terna perfecta: E
) = 1/3 E
+a) = 0 E
(1+1+1) = E
S +a E
) = 0 Tal como era de esperar, todo ocurre como si generara únicamente la componente positiva de secuencia, siendo las componentes negativa y cero de valor nulo. 14. La corriente de neutro. De acuerdo a la primera ley de Kirchhoff en un sistema trifilar, la suma de corrientes de línea debe forzadamente ser cero; en caso de disponer del cuarto conductor de neutro se puede verificar que: I
Expresando las corrientes de línea en C.S. resulta: I
N = (I
) =3 I
R1 (1+a
+a) + I
R2 (1+a+a
) = 3 I
- La corriente de neutro es tres veces la corriente homopolar que circula por cada una de las líneas. - La corriente de secuencia nula sólo podrá existir si existe el conductor neutro, en cambio para las componentes de secuencia 1 y 2 por conformar sistemas de ternas perfectas no podrán existir como componentes de corrientes de neutro. Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 20 15. Ejemplos de Aplicación del Método de las Componentes Simétricas. 15.1. Resolución de sistemas trifásicos con generación desequilibrada y carga dinámica simétrica (motor de inducción trifásico) Un motor de inducción trifásico conectado en estrella tiene una impedancia por fase de 43,30 + j 25 O a las corrientes de secuencia positiva y una impedancia de 5,00 + j 8,66 O por fase a corrientes de secuencia negativa cuando están alimentando una carga mecánica determinada. El motor recibe energía de una línea trifásica que tiene una impedancia de 0,50 + j 0,866 O por conductor. El motor no tiene neutro. Las tensiones entre fases en la fuente son: E
= 2.000 V, E
= 2.300 V y E
= 2.300 V a) ¿Cuáles son las corrientes de secuencia positiva y negativa, tomando E
como eje de referencia? b) ¿Cuáles son las tensiones de secuencia positiva y negativa en bornes del motor? c) ¿Cuál es la potencia suministrada al motor? - Resolución: Como primer paso encontraremos las C.S. de las tensiones compuestas desequilibradas aplicadas, tomando como referencia la tensión E
, es decir: E
= 2000 Z 0º ; E
= 2300 Z-115,77º ; E
= 2300 Z 115,77º E
= 1/3 (E RS
+ E ST
+ E TR
+ a E ST
) = 2197,14 E
+ a E TR
) = - 195,87 Dado que los sistemas simétricos de secuencia 1 y 2 constituyen sistemas perfectos se cumple que la relación entre una tensión compuesta y una simple es \3 en lo que respecta al módulo y existe un desfasaje de 30º, en atraso o adelanto, según se considere la secuencia 1 o secuencia 2, por lo tanto: E
= 2197,14 Z 0º ¬ E
= 2197,14/\3 Z - 30º = 1270,2 Z (0º- 30º) E
= - 195,87 = 195,87 Z180º ¬ E
= 113,22 Z (180º +30º) Luego, conociendo las tensiones simples en C.S. aplicaremos la 2º Ley de Kirchhoff para cada secuencia para encontrar las corrientes en términos de C.S., a saber: E
) = 12.46 – j 21.6 = 24.92Z- 60º E
) = - 8,54 + j 5.13 = 9.96Z- 211º Luego a partir de las C.S. de las corrientes encontramos las mismas en valores normales, es decir: I
= 3.02 – j 16.47 = 16.93 Z - 76,61º I
= - 24.92 – j 9.96 = 26.84 Z - 158,21º I
= 21.09 + j 26.56 = 33.92 Z 51.55º Las caídas de tensión en el motor en términos de C.S. valdrán: Vmotor
= 1246 Z - 30º Vmotor
R2 = 99.6 Z- 151º Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 21 La potencia entregada al motor valdrá: S = 3 V
Numéricamente será: S = 3 . 1246 Z- 30º . 24.92 Z 60º + 3 . 99.6 Z- 151º . 9.96 Z 211º = 93151 Z30º + 2976.05 Z 60º = 80671 + j 46575.5 + 1488.03+ j 2577.33 = 82159.03 + j 49152.83 = 95739.8 Z31º S = 95739.8 Z 31º VA 15.2. Resolución de sistemas trifásicos con generación desequilibrada y carga estática equilibrada. Una fuente trifásica en estrella constituye un sistema imperfecto de generación y de impedancias internas despreciables, se conecta mediante tres conductores a idénticos voltímetros también en conexión estrella. Cada instrumento posee una resistencia interna de 10 KO y reactancia despreciable. Usando el método de las componentes simétricas determinar algebraicamente la lectura del voltímetro de la fase S. - Generación trifásica imperfecta: E RN = 100 Z 0º [V] E SN = 200 Z 270º [V] E TN = 100 Z120º [V]  Resolución: De acuerdo a lo establecido en el punto 12.1. para determinar la lectura del voltímetro conectado en la fase S, seguiremos los siguientes pasos: 1º Paso: Se descomponen las tensiones de generación en sus componentes simétricas. E
SN + E
SN + a
RN + a
SN +a E
) Donde: E
RN = 100 Z 0º [V], E
SN = 200 Z 270º [V], E
TN = 100 Z120º [V] Efectuando los cálculos correspondientes: E
=1/3 (100Z0º + 200 Z270º + 100 Z120º) = 1/3 (50 – j 113,40) = 41,31 Z - 66,21°
=1/3 (100Z0º + a 200 Z270º + a
100 Z120º) = 128,79 Z 15°
=1/3 (100Z0º + a
200 Z270º + a 100 Z120º) = 41,31 Z 173,8°
2º Paso: Se determinan las componentes simétricas de la corriente de línea, tal como se hace para sistemas equilibrados. Donde: Z = R = 10 kΩ Z
Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 22 Las corrientes valdrán: I
= 128,79 Z 15°/ 10.000 = 12,88 Z 15°mA I
= 41,31 Z 173,8°/ 10.000 = 4,13 Z 173,8°mA Dado que no hay neutro I
= 0 ; por lo tanto: I
S0 = I
= 0 3º Paso: Se hallan las corrientes de línea en valores normales a partir de las componentes simétricas halladas en el paso anterior. I
= 9,15 Z 24,41°mA I
= 16,30 Z- 95,84°mA I
2 = a I
= 14,11 Z 118,2°mA La tensión en el voltímetro en la fase “S”, será: V
S . R = 16,30 mA . 10 kΩ = 163 V Haremos algunas consideraciones finales sobre el problema planteado:  Dado que no existen interacciones entre las corrientes de secuencia con tensiones de diferente secuencia de fase, el problema puede ser encarado mediante el principio de superposición.  Teniendo en cuenta la acción individual de cada componente de secuencia, los circuitos equivalentes correspondientes son similares al caso normal de carga equilibrada con la salvedad de la rotación antagónica del sistema de tensiones inversas. En ambos casos la resolución es posible usando el método normal para la resolución de redes trifásicas equilibradas, o sea considerando el circuito equivalente monofásico.  Las corrientes de línea de secuencia 1 y 2 serán respectivamente: I
/R e I
/R, se ha tomado como fase base la “R”. En este caso: Z
= R  Como es sabido en este caso no podrá haber corriente homopolar, es así que en la red monofásica para la secuencia cero se deberá hacer constar un circuito abierto entre los dos nodos de estrella para representar una impedancia a la secuencia cero de valor infinito, ya que: I
= ·  Lo expuesto es una realidad evidente y físicamente las variables tensión y corriente se pueden manejar como magnitudes que en las diversas secuencias se pueden superponer a los efectos de conformar la respuesta total. En la figura que sigue, se puede ver la acción individual de las distintas componentes. Sistema de secuencia 1 Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 23 Sistema de secuencia 2 Sistema de secuencia cero u homopolar Glf/2010 Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Introducción Orden de fases y simetría Definiciones sobre la naturaleza de los sistemas El vector operador "a" Teorema de Fortescue Determinación de las componentes simétricas Tensiones trifásicas desequilibradas en componentes simétricas Corrientes trifásicas desequilibradas en componentes simétricas Potencia en función de componentes simétricas
10 Impedancias de secuencia o secuenciales 11 Sistemas de tensiones y corrientes de secuencia cero 12 Casos elementales típicos de resolver con componentes simétricas 13 F.e.m.s. generadas por los alternadores trifásicos 14 La corriente de neutro 15 Ejemplos numéricos de aplicación del Método de las Componentes Simétricas
Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia
Introducción El análisis de un circuito trifásico de tensiones y corrientes perfectas (igual magnitud en las tres fases y desplazadas entre si 120º) y en el cual todos los elementos del circuito. tal el caso de tratarse de cargas desbalanceadas. ideó el llamado "método de las componentes simétricas". resulta que las tensiones e intensidades dejan de ser equilibradas. del comportamiento de los sistemas de potencia durante las condiciones de cortocircuito asimétricos o cargas desbalanceadas. con frecuencia. también denominados "componentes simétricas" del sistema original. cuando se hace funcionar desde sistemas de tensiones desbalanceados. Aunque el método de las componentes simétricas se aplica al análisis de cualquier sistema polifásico. En cambio. Ferro – Prof. en cada una de las fases. Resumiendo con este método analítico . El análisis de las leyes de Kirchhoff es mucho más difícil cuando el circuito no es simétrico. Este método de análisis hace posible la predicción.M.gráfico se pueden resolver los siguientes tipos de problemas:
Ingeniero Gustavo L. C. cortocircuitos asimétricos. Aunque puede ser usado para resolver redes estáticas no balanceadas.P. La idea del método consiste en suponer que todo circuito trifásico asimétrico y desequilibrado puede ser expresado por medio de la suma o composición de tres sistemas simétricos. Las componentes simétricas suministran un instrumento para determinar analíticamente el rendimiento de ciertos tipos de circuitos eléctricos no balanceados que contienen máquinas eléctricas rotatorias. que consiste en descomponer un sistema asimétrico en los llamados "sistemas simétricos". Para el análisis de estos circuitos. Esta situación se da. un trabajo que constituye una de las herramientas más poderosas para el estudio de los circuitos polifásicos desequilibrados. Se trate de una u otra causa. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
1. que nos lleva a la misma solución directamente. fácilmente y exactamente. Este instrumento es particularmente útil en el análisis del rendimiento de maquinaria eléctrica polifásica.N. cuando las f. dado que son los que más frecuentemente encontramos. esta aplicación sería en general más molesta y laboriosa que los que los métodos ya estudiados.D. son simétricos y balanceados es relativamente simple. los que a su vez son fácilmente solubles.Facultad de Ingeniería (U. de los generadores de alimentación no están equilibradas o cuando los receptores no están simétricamente conectados a la red.L. en los sistemas de transporte y distribución de energía eléctrica cuando se producen “cortocircuitos o fallas” En el año 1918. Fortescue.e. etc. para redes no balanceadas que contienen máquinas rotativas.) – Departamento de Ing.m. de aquí en adelante nos referiremos particularmente a sistemas trifásicos. Se dice que un circuito trifásico es asimétrico o está desequilibrado. Adjunto Electrotecnia página 2
. Fortescue presentó en una reunión del "American Institute of Electrical Engineers". el método de las componentes simétricas suministra el único procedimiento práctico para computar los efectos no balanceados de estas máquinas y es ampliamente usado. ya que este circuito trifásico puede ser estudiado mediante el denominado "equivalente monofásico".
Este sentido se ha definido como normal internacionalmente. de la construcción y conexiones de los devanados del generador y de la denominación de los terminales.M.P.) – Departamento de Ing. se dice que el orden de fases es “ACB” El sentido de rotación de los fasores giratorios en función del tiempo es en todo caso el contrario a las agujas de un reloj. Adjunto Electrotecnia página 3
. se dice que el orden de fases es “ABC” Por el contrario. cuyo orden de fases es ABC.Facultad de Ingeniería (U. 2. se debe establecer la idea de “orden de fases o secuencia de fases” Si se consideran tensiones senoidales de una frecuencia dada.D. es seguido por el máximo de la fase B. Tensiones trifásicas de orden de fases ABC y ACB El orden de fases depende del sentido de rotación. Si el máximo de la tensión de la fase A. Sistemas trifásicos perfectos con cargas desequilibradas. la tensión de una fase del generador alcanza un cierto punto de su ciclo – por ejemplo máximo positivo – en un instante dado. se dice que las tensiones y corrientes forman un sistema simétrico. y lo mismo sucede con la tercera fase.
Como el cortocircuito tripolar equivale a un sistema equilibrado. la tensión de otra fase alcanza el mismo punto de su ciclo. Ferro – Prof. Estos se muestran en la Figura 2 como simétrico de secuencia positiva. E AN E AN
E CN E BN E BN Figura 1. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Cortocircuitos monofásicos. Si las tres tensiones o corrientes trifásicas de una frecuencia dada son de igual magnitud y difieren uno del otro en el mismo ángulo de fase. Sistemas trifásicos asimétricos con cargas equilibradas. y simétrico de secuencia negativa cuyo orden de fases es ACB.N. su resolución se obtendrá por los métodos clásicos llegando a la conclusión de que cada fase es recorrida por igual corriente eficaz de cortocircuito. Cortocircuitos bifásicos con/ sin contacto a tierra. y a su vez por el máximo de la fase C. si el máximo de la tensión de la fase A es seguido por el máximo de la fase C y luego por la fase B. Evidentemente. Un cierto instante más tarde. Orden de fases y simetría Al tratar con corrientes y tensiones de corriente alterna en circuitos trifásicos. Sistemas trifásicos asimétricos con cargas desequilibradas.
Ingeniero Gustavo L. simétrico de secuencia cero. llamada así porque las tensiones de las tres fases están representadas por fasores sin orden de fases. Cortocircuitos trifásicos. sólo hay tres sistemas trifásicos simétricos posibles.
Facultad de Ingeniería (U. cuando tratándose de alternadores trifásicos se generan tensiones idénticas en “amplitud” y con “iguales desfasajes entre ellas” Para los sistemas trifásicos podemos citar algunas definiciones interesantes: SISTEMA EQUILIBRADO UAN + UBN + UCN = 0 SISTEMA PROPIO SISTEMA REGULAR  =  =  = 120º UAN  = UBN  =  UCN 
En base a estas tres definiciones podemos establecer lo siguiente: SISTEMA TRIFÁSICO PERFECTO es todo sistema trifásico que cumple simultáneamente las condiciones de propio y regular.
Ingeniero Gustavo L.) – Departamento de Ing. 3.D.M. Sistemas simétricos de fasores de tensiones trifásicos Conectando una carga equilibrada a una fuente de tensiones trifásicas equilibrada se obtienen corrientes equilibradas. se lo denomina "a" y se lo define como: a = – 1/2 + j 3/2 [1] Esto significa que el vector "a" tiene magnitud unidad y esta orientado a 120º en dirección positiva desde el eje de referencia. Podemos afirmar que: Un sistema trifásico perfecto es equilibrado 4.
En base a estas definiciones. La suma de los fasores de un sistema simétrico positivo o negativo es cero.N.P. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Sistema trifásico de tensiones de Secuencia positiva
Sistema trifásico de tensiones de Secuencia negativa
Sistema trifásico de tensiones de Secuencia cero
Figura 2. El vector operador de giro "a" Por conveniencia en la notación y manipulación se introduce un vector operador. Adjunto Electrotecnia
. Ferro – Prof. Definiciones sobre la naturaleza de los sistemas Se dice que un sistema polifásico es “perfecto”.
Teorema de Fortescue Este teorema. denominado “sistema homopolar” Sea un vector de tres componentes complejas V = (V1. denominado “sistema directo”. El cuadrado del vector "a" es otro vector unitario orientado 120º en dirección negativa desde el eje de referencia o 240º de V en dirección positiva. V´ = a V es un vector que tiene la misma magnitud pero rotado 120º delante del vector V.M. Impedancias de carga. a2 y a (siguiendo la usual convención anti horaria)
V = a V
V  = a2 V
Los vectores 1. dado que los vectores son de igual magnitud.
Podemos enunciar el Teorema de la siguiente manera:
Ingeniero Gustavo L. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Un vector al que se lo multiplica por "a" no cambia de magnitud pero si de ángulo. desplazados uno del otro en igual ángulo y cruzan la línea de referencia en el orden 1. Este vector puede tener distintas interpretaciones en un circuito trifásico. a y a2 (tomados en este orden) forman un conjunto balanceado y simétrico de secuencia de fase negativa.N. aplicado a un conjunto de tres vectores. Los tres vectores 1. Como se ve en la figura el resultado de la operación de a2 sobre el vector V. donde se tiene siempre tres componentes:      Tensión en un punto del circuito respecto a un punto de referencia (que suele ser el neutro del sistema). Adjunto Electrotecnia
.D. Ferro – Prof. V3). establece la descomposición del mismo en tres sistemas:  Uno. pero ahora a2 es seguido por 1 y a.  Otro. activa y reactiva).  Un conjunto de tres vectores de la misma magnitud y fase. de la misma secuencia de fases que el original. Tensión entre dos puntos del circuito (tenemos tres parejas de puntos geométricos).30º a – a2 = j 3
5.P. Potencia eléctrica consumida por una carga (en cada fase se tiene una potencia aparente.Facultad de Ingeniería (U. dado que los vectores cruzan la línea de referencia en el orden nombrado. Por ejemplo. denominado “sistema inverso”.) – Departamento de Ing. a2 y a (tomados en este orden) forman un conjunto balanceado y simétrico que rota con secuencia de fase positiva. es V" que tiene la misma magnitud que V pero ubicado 120º en la dirección horaria de V. V2. Algunas propiedades del vector “a” son: a3 = 1 1 + a + a2 = 0 a4 = a 1 – a2 = 3  30º a5 = a2 1 – a = 3  . es rotado 120º hacia adelante. Corrientes en las líneas. conservando la misma convención de rotación anti horaria. de secuencia contraria a la del sistema original.
) – Departamento de Ing.M. Es decir que la solución de un sistema cualquiera asimétrico y desequilibrado. Adjunto Electrotecnia
.D. En la figura 3 hemos alimentado una carga en estrella a través de los tres sistemas señalados por el teorema de Fortescue y conectados de manera de aplicar el principio de superposición. La terna de secuencia directa queda identificada con: Va1 = | Va1 |  0º Vb1 = a2 Va1 = | Va1 |  . esta terna poseerá la misma secuencia. el de resolución de sistemas equilibrados y simétricos o sea empleando el circuito equivalente monofásico del sistema. Este teorema para sistemas polifásicos es el análogo al Teorema de Fourier aplicado a ondas no senoidales y dado que la terna asimétrica se puede descomponer en tres (3) ternas simétricas el procedimiento a aplicar será. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
"Cualquier sistema trifásico de fasores asimétrico puede ser descompuesto en tres sistemas de fasores a saber”: a) Un sistema simétrico de fasores trifásicos que poseen la secuencia de fases del sistema primitivo. Representación del Teorema de Fortescue  TERNA DE SECUENCIA POSITIVA (se indicará con subíndice 1) Si el sistema original posee secuencia a-b-c.
Figura 3.120º Vc1 = a Va1 = | Va1 |  120º
Ingeniero Gustavo L. como se verá más adelante. secuencia 1 o secuencia directa. Ferro – Prof. formando la terna de secuencia positiva. Como esta es una terna perfecta solo será necesario determinar el módulo y fase de uno de los fasores. se puede encarar resolviendo los tres sistemas simétricos y aplicando el principio de superposición. para ello recurrimos al operador “a”. c) Un sistema simétrico de tres fasores monofásicos de igual módulo y girando sincrónicamente en fase llamado terna de secuencia nula. b) Un sistema simétrico de fasores trifásicos que poseen secuencia de fases antagónica a la del sistema primitivo. secuencia cero o secuencia homopolar". secuencia 2 o secuencia inversa. formando la terna de secuencia negativa. antes definido.N.P. en función de los fasores originales.Facultad de Ingeniería (U.
al miembro de la izquierda de la igualdad se lo llama " matriz columna de valores normales" y al factor de la derecha de la igualdad se lo suele llamar "matriz columna de los valores en componentes simétricas” Los tres sistemas definidos pueden expresarse gráficamente de la siguiente forma: w Va1 w Vb2 Va2 Vc1    Vb1 Vc2
Sistema de secuencia  inversa Sistema de secuencia “2”  Sistema de secuencia  negativa
w Va0 Vb0 Vc0
Sistema de secuencia  directa Sistema de secuencia “1”  Sistema de secuencia  positiva
Sistema de secuencia homopolar Sistema de secuencia “0” Sistema de secuencia nula
Ingeniero Gustavo L.D.N.
En este caso los tres fasores forman un sistema monofásico de manera tal que: Va0 = Vb0 = Vc0 = V0 [4] Para que se cumpla el teorema de Fortescue. esta terna poseerá una secuencia de fases a-c-b y quedará expresada por: Va2 = | Va2 |  0º Vb2 = a Va2 = | Va2 |  120º Vc2 = a2 Va2 = | Va2 |  . debe satisfacerse que: Va = Va0 + Va1 + Va2 Vb= Vb0 + Vb1 + Vb2 = Va0 + a2 Va1 + a Va2 Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 = Va0 + a Va1 + a2 Va2 En forma matricial: Va 1 1 Vb = 1 a2 Vc 1 a 1 a a2 Va0 Va1 Va2 [6] [5]
A la matriz cuadrada se la llama "matriz de transferencia directa" [F].P.) – Departamento de Ing. Ferro – Prof.M.Facultad de Ingeniería (U. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
TERNA DE SECUENCIA NEGATIVA (se indicará con subíndice 2)
Si el sistema original posee secuencia a-b-c.120º
TERNA DE SECUENCIA NULA (se indicará con subíndice 0). Adjunto Electrotecnia
Si ahora se efectúa la rotación de la fase "c" en 240º o sea hacemos: a2 Vc = a2 Va0 + a3 Va1 + a4 Va2 a2 Vc = a2 Va0 + Va1 + a Va2 [8]
Efectuando la suma de la primera ecuación del sistema [5] más las ecuaciones. se obtendrá por la suma directa de las ecuaciones del sistema [5].D. se tratará en este caso de eliminar los términos V a1 y Va0 y retener los términos Va2 del sistema [5].N. Sí por ejemplo el término: Vb = Va0 + a2 Va1 + a Va2 lo multiplicamos por “a” resultará: a Vb = a Va0 + a3 Va1 + a2 Va2 dado que a3 = 1  0º será: a Vb = a Va0 + Va1 + a2 Va2 [7]
Lo expresado por la expresión [7] es una operación de rotación en 120º del fasor original perteneciente a la fase "b". será: Va = Va0 + Va1 + Va2 2 Vb = Va0 + a Va1 + a Va2 Vc = Va0 + a Va1 + a2 Va2
Ingeniero Gustavo L. Adjunto Electrotecnia
. Ferro – Prof.Facultad de Ingeniería (U. [7] y [8] resultará: Va = Va0 + Va1 + Va2 2 a Vb = a Va0 + Va1 + a Va2 [9] a2 Vc = a2 Va0 + Va1 + a Va2 Va + a Vb + a2 Vc = 3 Va1 [10]
El fasor básico de la secuencia "2" [Va2] puede ser hallado mediante un proceso análogo al anterior. Esto se logra multiplicando por “a2” ambos miembros de la segunda ecuación del sistema [5] y por “a” ambos miembros de la tercera ecuación del sistema anterior: Va = Va0 + Va1 + Va2 a2 Vb = a2 Va0 + a4 Va1 + a3 Va2 a Vc = a Va0 + a2 Va1 + a3 Va2 Va + a2 Vb + a Vc = (1+2a3) Va2 Va + a2 Vb + a Vc = 3 Va2 [12] [11]
El fasor básico de la secuencia nula [Va0]. ambas formas se basan en los fasores originales y solamente se apunta el cálculo hacia la determinación de las componentes de un solo fasor original. El método algebraico evoluciona con operaciones que propenden a obtener la expresión 1+ a2 + a.P.M. que es igual a cero. Determinación de las componentes simétricas La determinación de las componentes simétricas de una terna desequilibrada de fasores puede hacerse de dos formas: analítica o gráficamente. ya que mediante el operador “a” y las propiedades del mismo. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
6. por costumbre la fase “a”.) – Departamento de Ing. quedarán determinados los fasores que compondrán las distintas ternas.
Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Luego resulta: Va + Vb + Vc = 3 Va0 [14]
Si resumimos las expresiones que determinan las componentes simétricas serán: Va0 = 1/3 (Va + Vb + Vc) Va1 = 1/3 (Va + a Vb + a2 Vc) Va2 = 1/3 (Va + a2 Vb + a Vc) En forma matricial será: Va0 Va1 Va2 = 1/3 1 1 1 a 1 a2 1 a2 a Va Vb [16] Vc [15]
Analizando la matriz anterior podemos establecer la relación que existe con la definida anteriormente como matriz de transferencia directa [F] será: [VS] = [F] -1 [VN] [17]
Es decir las componentes simétricas [VS] pueden obtenerse a partir de los valores normales [VN] utilizando la inversa de la matriz de transferencia directa [F].N. se simboliza Va1 (por definición: Vb1 = a2 Va1 y Vc1 = a Va1). Vb y Vc = tensiones simples o de fase expresadas en valores normales. Tensiones simples o tensiones de fase. Un conjunto de vectores de tensiones trifásicas simples o de fase desequilibradas cualquiera. Adjunto Electrotecnia
. Va0 = componente de secuencia cero de Va y es igual a la componente de secuencia cero de Vb y Vc de modo que V0 = Va0 = Vb0 = Vc0 Va1 = componente de secuencia positiva de Va. 7.1.Facultad de Ingeniería (U.D. Vb1 y Vc1 es un conjunto de vectores trifásicos balanceados y simétricos.P. siendo [F] y [F] -1 igual a: 1 1 F = 1 a2 1 a 1 a a2 F-1 = 1/3 1 1 1 1 a a2 1 a2 a
7. luego: Va1. 1 1 = 1/3 1 a 1 a2 1 a2 a Va Vb Vc
Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Tensiones trifásicas desequilibradas en componentes simétricas.) – Departamento de Ing.M. pueden descomponerse en tres conjuntos de vectores balanceados o simétricos utilizando las siguientes ecuaciones: Va0 Va1 Va2 Donde:   Va.
Facultad de Ingeniería (U. en este caso: Vab1 = 1/3 (Vab + a Vbc + a2 Vca) [23] Vab2 = 1/3 (Vab + a2 Vbc + a Vca) Los valores de las tensiones de fase que figuran en la expresión [21] pueden ser cualesquiera. estas tensiones resultarán equilibradas ( Vlínea= 0). luego: Va2. representable entonces por una terna de secuencia directa y otra inversa. Tensiones compuestas en sistemas trifilares.N. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Va2 = componente de secuencia negativa de V a.2. como consecuencia del desequilibrio de las tensiones compuestas. tomando la tensión Vab como referencia. ya que en este caso las tensiones simples o de fase. su comportamiento se puede analizar con una terna directa y otra inversa. se refieren a una estrella equivalente. Este hecho interesa en el análisis de las máquinas trifásicas rotativas. a pesar de que la Vlinea = 0. las tensiones compuestas homopolares valen cero. esta razón es comúnmente llamada factor de desbalanceo. quiere decir que estamos en presencia de una terna de tensiones compuestas equilibrada pero asimétrica. Las tensiones de línea o compuestas en función de las de fase resultan: Vab = Vao – Vbo Vbc = Vbo – Vco Vca = Vco – Vao
Estas expresiones son válidas también para sistemas en triángulo “”.D. para los sistemas trifilares. se cumple que: Va + Vb + Vc  0.P. Vb2 y Vc2 es un conjunto de vectores trifásicos balanceados y simétricos. resulta: V0  = 1/3 [Vab + Vbc + Vca] = 0 [22]
El subíndice “” se usa para identificar componentes de tensiones en triángulo o corrientes que circulan en los arrollamientos del triángulo. En el caso de imprimir tensiones trifásicas asimétricas.) – Departamento de Ing. La componente de secuencia cero de una terna de tensiones compuestas.
Ingeniero Gustavo L. En virtud de lo expresado. Esto significa que las tensiones simples si tienen en este caso componente homopolar.
7. se simboliza Va2 (por definición: Vb2 = a Va2 y Vc2 = a2 Va2). a un motor de inducción. resultará entonces: Vab + Vbc + Vca = (Va – Vb) + (Vb – Vc) + (Vc – Va) = 0 [21]
Dado que las tensiones de secuencia cero u homopolar. Independientemente de la magnitud de la asimetría de las tensiones compuestas. Ferro – Prof. poseen igual amplitud instantánea en cada una de las fases.M. Adjunto Electrotecnia
. En cualquier caso las tensiones a las distintas secuencias surgen de aplicar la segunda y tercera ecuación del sistema [16]. En muchos casos es conveniente conocer la relación entre las componentes de secuencia negativa y positiva. como es sabido.
0.) – Departamento de Ing. valdrán: Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2 = I0 + I1 + I2 Ib = Ib0 + Ib1 + Ib2 = I0 + a2 I1 + a I2 Ic = Ic0 + Ic1 + Ic2 = I0 + a I1 + a2 I2 [25]
En un sistema trifásico tetrafilar. reemplazando: Uab2 = Ua2 – Ua2  120º = Ua2 [1– (0.30º
Análogamente para la secuencia inversa: Uab2 = Ua2 – Ub2 .S..5 + j 0.1.
Ingeniero Gustavo L. resulta que: IN = 3 I0 [27]
Si no hay retorno por el neutro de un sistema trifásico IN es cero y las corrientes en las líneas no contienen componentes de secuencia cero.Facultad de Ingeniería (U.M.5 + j 0. la suma de las corrientes en las líneas.N. Ferro – Prof. Suponiendo una secuencia a-b-c: Ub1 = Ua1  . es igual a la corriente IN en el retorno por el neutro. Por tanto: Ia + Ib + Ic = IN [26]
Comparando la ecuación para la componente simétrica Ia0 y la expresión [26].30º Luego: Ua2 = (Uab2 /3)  30º
8.P. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
7. Corrientes de línea Las tres corrientes de línea pueden descomponerse en tres grupos de vectores en componentes simétricas de una manera análoga a la recién dada para la resolución de tensiones: I a0 Ia1 Ia2 1 1 = 1/3 1 a 1 a2 1 a2 a Ia Ib Ic
Donde: Ia0 = componente de secuencia cero de Ia corriente Ia (por definición Ia0 = Ib0 = Ic0) Ia1 = componente de secuencia positiva de Ia corriente Ia Ia2 = componente de secuencia negativa de Ia corriente Ia Las corrientes de línea en función de las respectivas C.120º La tensión compuesta Uab será: Uab1 = Ua1 – Ub1 .866)] = 3 Ua1  . Relación entre componentes simétricas de las tensiones de fase y las tensiones compuestas. reemplazando: Uab1 = Ua1 – Ua1 -120º = Ua1 [1– ( .3. Adjunto Electrotecnia
. Corrientes trifásicas desequilibradas en componentes simétricas en sistemas trifilares y tetrafilares 8.866)] = 3 Ua1  30º O sea: Ua1 = (Uab1 / 3)  .D.
Las tres corrientes de rama del triángulo pueden ser expresadas en términos de sus componentes simétricas. en general cumplirán que: Iab + Ibc + Ica  0 Para una secuencia directa a-b-c.5 + j 0.M. Relación entre las corrientes de línea y las corrientes de fase. las corrientes que van a una carga conectada en triángulo no contienen componentes de secuencia cero. las corrientes de fase.866)] Análogamente para la secuencia inversa:  Iab1 = Ia1 /3 30º
Iab2 = Ia2 /3  . 8. Las corrientes de fase o de rama en cargas conectadas en triángulo.Facultad de Ingeniería (U. siendo: Ica1 = Iab1  120º Reemplazando: Ia1 = Iab1 [1 – (. Si consideramos ahora las corrientes de línea de un sistema trifásico trifilar. las corrientes que fluyen en una carga conectada en estrella no puede tener una componente de secuencia cero a menos que el neutro de retorno esté conectado (sistema tetrafilar) o que el centro de estrella (punto neutro) esté conectado a tierra. de acuerdo a las siguientes expresiones: I0D I1D I2D 1 1 1 1 a a2 1 a2 a Ix Iy Iz
Donde la corriente Ix ha sido elegida como la corriente de referencia (corresponde a la tensión Vbc como referencia) 8.se cumple que: Iab1 – Ica1 = Ia1.30º
Ingeniero Gustavo L.2.) – Departamento de Ing.N. Del mismo modo. o sea que no se podrá evaluar la componente homopolar de las corrientes de fase de un sistema conectado en “” mediante las corrientes de línea.P. Ic = Ica– Ibc Sumando estas corrientes de línea: Ia+ Ib + Ic = (Iab – Ica) + (Ibc – Iab) + (Ica – Ibc) = 0 La expresión anterior nos indica que cualquiera sea el desequilibrio de las corrientes de fase las corrientes de línea cumplen que Ilínea= 0. Ferro – Prof. por lo tanto.D.3. estas no poseen componentes homopolares ya que:  Para un sistema en estrella “Y” se cumple que: Ia + Ib + Ic = 0 Luego la componente de secuencia cero “Ia0” de Ia resulta: Ia0 = 1/3 (Ia+ Ib+ Ic) = 0  Para un sistema en triángulo “” resulta: Ia = Iab– Ica. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Una carga conectada en triángulo no tiene retorno por el neutro y.0. Ib = Ibc– Iab. Adjunto Electrotecnia
. Para conexión en “”. luego no habrá componente homopolar en las corrientes de línea.
Ingeniero Gustavo L. Ib e Ic las corrientes que entran al circuito por las tres líneas. La demostración de esta aseveración constituye un buen ejemplo del manejo de las componentes simétricas por medio de matrices. Vb y Vc son las tensiones respecto al neutro en los terminales e Ia. haremos uso de las expresiones [6] y [18]. Para introducir las componentes simétricas de las tensiones y corrientes. De acuerdo a esta regla: [F V]T = VT FT [32]. obtendremos: 1 1 1 1 1 a2 a a a2 1 1 1 1 1 a a2 a2 a Ia0 Ia1 Ia2 * [34]
y como FT F* = 3U S= 3 Va0 Va1 Va2 Ia0 * Ia1 [35] Ia2
La potencia compleja es por tanto: S = Va Ia* + Vb Ib* + Vc Ic* = 3 V0 I0* + 3 V1 I1* + 3 V2 I2* [36] Esta expresión indica cómo puede calcularse la potencia compleja a partir de las componentes simétricas de las tensiones y las corrientes de un circuito trifásico desequilibrado. La potencia total compleja transmitida en un circuito trifásico por las líneas.M. Adjunto Electrotecnia
. Ferro – Prof. pudiendo o no existir neutro. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
9. b y c.) – Departamento de Ing.D. puede ser calculada directamente la potencia suministrada en un circuito trifásico a partir de las componentes. por lo tanto: S = VT FT [F I] * = VT FT F* I* [33] Observando que FT = F y que a y a2 son conjugadas.N. obteniendo: S = [F V] T [F I] * siendo: Va0 V = Va1 Va2 Ia0 Ia1 Ia2
La regla de la inversión del álgebra matricial establece que la traspuesta del producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas de las matrices en orden inverso. Con la notación matricial: Ia * Va T Ia * S = Va Vb Vc Ib = Vb Ib [30] Ic Vc Ic En la que se sobrentiende que la conjugada de una matriz tiene sus elementos que son conjugados de los elementos correspondientes de la matriz original.P. viene dada por: S = P + j Q = Va Ia* + Vb Ib* + Vc Ic* [29] En la que Va.Facultad de Ingeniería (U. a. Potencia en función de componentes simétricas Si se conocen las componentes simétricas de la corriente y la tensión.
se llama impedancia compleja del circuito para las corrientes de secuencia nula. se llaman impedancia compleja del circuito para las corrientes de secuencia directa y se determinan: Z1 = VA1 / IA1 = VB1 / IB1 = VC1 / IC1 En el ejemplo examinado se cumple que Z1 = Z. para la malla formada por una de las fases. Ferro – Prof. aplicadas al circuito trifásico simétrico y las correspondientes corrientes de fase simétricas complejas de secuencia directa. Para calcular la impedancia Z0 establezcamos la ecuación. de secuencia directa. luego: IA = IA1 IB = IB1 IC = IC1
Las relaciones entre las tensiones de fase simétricas complejas. En el ejemplo examinado es Z2 = Z.Facultad de Ingeniería (U.N. Si a los bornes de entrada se aplica un sistema simétrico de tensiones de fase de secuencia inversa: VA = VA 2 VB = VB2 VC = VC2 Entonces habrá en el circuito un sistema simétrico de corrientes que también posee una secuencia inversa de fases: IA = IA2 IB = IB2 IC = IC2 Las relaciones entre los valores complejos: Z2 = VA2 / IA2 = VB2 / IB2 = VC 2 / IC 2 [38] se llaman impedancias complejas del circuito para las corrientes de secuencia inversa. según la segunda ley de Kirchhoff. por ejemplo la fase A y por el conductor neutro: VA = Z IA + ZN IN [40] Sustituyendo VA = V0.
Examinemos el ejemplo particular de un circuito trifásico simétrico con conductor neutro e impedancias ZA = ZB = ZC = Z (ver figura) Si en los bornes de entrada del circuito se aplica un sistema simétrico de tensiones de fase de secuencia directa: VA = VA1 VB = VB1 VC = VC1
El sistema de las corrientes que se establecen en el circuito también será simétrico y su secuencia de fases será directa. Adjunto Electrotecnia
. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
10.M. Finalmente. si a los bornes de entrada del circuito se aplica un sistema simétrico de tensiones de fase de secuencia nula: VA = VB = VC = V0 el sistema de corrientes en el circuito también será simétrico y tendrá una secuencia de fase nula IA = IB = IC = I0. obtenemos: [37]
Ingeniero Gustavo L.) – Departamento de Ing.
Impedancias de secuencia o secuenciales.D. IA = I0 e IN = 3 I0 .P. La corriente en el conductor neutro será IN = 3 I0 La relación: Z0 = V0 / I0 [39].
En el esquema que se da para las corrientes y tensiones simétricas de secuencia nula se introducen. para dichas secuencias. las impedancias de secuencia cero son infinitas. y para simplificar las notaciones se omite el subíndice a. la asíncrona Za la presentada a las corrientes inversas y la de secuencia cero Z0 la presentada a las corrientes homopolares. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
V0 = (Z + 3 ZN) I0 Z0 = V0 /I0 = Z + 3 ZN
[41] de donde: [42]
En caso de no existir el conductor neutro no habrá corrientes de secuencia nula.) – Departamento de Ing. En las máquinas eléctricas no solo Z0 se distingue de Z1 sino que tampoco Z2 es igual a Z1. En el cálculo de los circuitos por el método de las componentes simétricas se examinan por separado los esquemas para las corrientes y tensiones de distintas secuencias.
Ingeniero Gustavo L. Podemos establecer algunos resultados de orden general: a) Salvo las máquinas giratorias. en lugar de la impedancia ZN en el neutro. por lo tanto: I0 = 0 y Z =  Generalmente a Z1. Todos los cálculos se realizan para una fase llamada “fundamental”. c) Los valores de Z0 dependen de la forma en que los puntos neutros están ligados a la tierra o a un conductor de retorno.M. la impedancia presentada a corrientes equilibradas es independiente de la secuencia de fases Z1 = Z2. valores triplicados de dicha impedancia en cada fase. Z2 y Z0 se las denominan simplemente “impedancias de secuencia directa.P.Redes de secuencia directa. Adjunto Electrotecnia
. En los circuitos estáticos trifásicos simétricos cualesquiera (circuitos que no contienen máquinas giratorias).D. Generalmente se toma como fase fundamental la fase “a”. inversa y nula” Estas impedancias son también llamadas: la síncrona ZS es la presentada a las corrientes directas. Para el ejemplo que nos ocupa en la Figura 4 se muestran los tres esquemas monofásicos para las corrientes y tensiones de distintas secuencias. la inversión del ordenamiento de las fases de las tensiones simétricas no modifica la magnitud de las corrientes. En el caso en que los puntos neutros están aislados y en que la capacidad de los conductores respecto a tierra es despreciable.Facultad de Ingeniería (U. inversa y nula. La impedancia en el neutro no ejerce influencia sobre los sistemas simétricos de las corrientes de secuencia directa e inversa. Ferro – Prof.N. de allí que las impedancias y las redes de secuencia directa e inversa son iguales. inversa y nula”
Figura 4. Dichos esquemas se denominan “redes de secuencia directa. de allí que no se indiquen las impedancias en el conductor neutro.. b) En las máquinas giratorias. pues la corriente homopolar evidentemente no pueden cerrarse (recordar que Ih = 1/3( Ia + Ib + Ic). el campo debido a las corrientes inversas gira en sentido contrario al producido por las corrientes directas y por la corriente de excitación: Z1  Z2.
se cumple que: I0aa’ = I0bb’ = I0cc’ E0na= E0nb= E0nc V0a’n’ = V0b’n’ = V0c’n’
Resulta conveniente. Según la definición de corrientes y tensiones de secuencia cero.
Demostraremos algunas propiedades de los sistemas de secuencia cero. E0nb y E0nc son las fuerzas electromotrices de cada fase del generador. El neutro de un sistema de transmisión está implicado de una manera definida cuando hay corriente de secuencia cero.) – Departamento de Ing. V0a’n’. conectado a una carga en estrella de igual impedancia en las tres fases. La impedancia de cada conductor de la línea es Z y la impedancia de neutro es Zn. Adjunto Electrotecnia página 16
.Facultad de Ingeniería (U.N. según la figura anterior E0 – I0 Z – I0 Z’ – 3 I0 Zn = 0 O bien: E0 = I0 (Z + Z’0 + 3Z n) [53]. en el cual cada fuerza electromotriz de la fuente se designa por E0 y cada tensión en la carga V0y.M. para visualizar mejor el problema. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Ingeniero Gustavo L. La ecuación de una fase cualquiera del sistema conectado en estrella para cantidades de secuencia cero es.D. no hay posibilidad de que existan corrientes de secuencia cero en las líneas de transmisión. las tensiones de secuencia cero entre los conductores de la línea tanto en el generador como en la carga son cero. Se ve claro en este diagrama que si el neutro se suprime el circuito queda abierto y no puede haber corriente. puesto que no puede haber neutro para el camino de retorno y la suma de las corrientes de la línea es por tanto cero. V0b’n’ y V0c’n’ las caídas de tensión en la carga y I0aa’. La figura que sigue muestra un generador trifásico conectado en estrella.
Sistemas de tensiones y corrientes de secuencia cero. en las conexiones del triángulo sí hay corrientes de secuencia cero si la suma fasorial de las corrientes del triángulo no es cero.P. I0bb’ y I0cc’ las corrientes de las líneas. Los fasores E0na. por medio de una línea de transmisión trifásica con neutro. Sin embargo. En la conexión en estrella. puesto que son iguales a las diferencias entre cada dos tensiones de igual fase y magnitud E0. representar el diagrama de la figura anterior en la forma mostrada en la figura siguiente. de donde: I0 = E0 (Z + Z’0 + 3 Zn) [54] [52]
Si el generador y las cargas se conectan en triángulo. Ferro – Prof.
I0 Z0 = 0 [55]. Descomponiendo las f. Los pasos a seguir para su resolución de este problema en particular son:  1º Paso: Se descomponen las tensiones de generación en sus componentes simétricas. 12.  2º Paso: Se determinan las componentes simétricas de la corriente de línea. ES y ET Se pretende encontrar el valor de las corrientes de línea utilizando el método de las componentes simétricas. Circuitos con impedancias equilibradas conectadas en estrella con neutro sometidas a tensiones desequilibradas.e. o bien: 3 E0 – 3 I0 Z0 = 0 [56] E0 – I0 Z0 = 0 [57] El primer miembro de la ecuación [57] es la tensión terminal de secuencia cero de cualquier fase del generador. que se demuestra así es cero. constituido por un generador trifásico que alimenta a una carga simétrica de valor Z.N.) – Departamento de Ing. La ecuación de las tensiones a través del triángulo es: E0 – I0 Z0 + E0 – I0 Z0 + E0 .D.Facultad de Ingeniería (U. 12.M. En la figura. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 17
. y las corrientes dadas por: I0 = E0/Z0 [58]. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
En un generador simétrico conectado en triángulo la tensión terminal de secuencia cero es también cero aunque puedan existir tensiones inducidas de secuencia cero en las fases.  3º Paso: Se hallan las corrientes de línea en valores normales a partir de las componentes simétricas halladas en el paso anterior. Consideremos el sistema trifásico de la figura.1.m. tal como se hace para sistemas equilibrados. Dicho generador entrega una terna de tensiones de fase asimétrica que denominaremos ER. el sistema puede representarse de acuerdo a la figura que sigue. E0 es la fuerza electromotriz de secuencia cero. Caso elemental típico de resolver con componentes simétricas. circulan por el triángulo. La impedancia Z0 a las corrientes de secuencia cero es usualmente muy pequeña.
Ingeniero Gustavo L. Por esta razón ha de evitarse la conexión en triángulo siempre que sea necesario suprimir las corrientes de secuencia cero en los devanados de un generador o de un transformador. del generador en sus componentes simétricas. generada en cada fase y la impedancia a las corrientes de secuencia cero es Z0 por fase en los devanados del generador.P.
y en consecuencia la corriente de neutro es IN = 3 I0 y la tensión de neutro resulta U0 = 3 ZN I0. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Tomando la fase “R” como referencia para el cálculo.m. de secuencia directa e inversa la carga es equilibrada y valen los circuitos monofásicos equivalentes (se trabaja con una fase tomada como referencia) como se representan en la figura. Siendo los tres generadores de secuencia cero idénticos (en módulo y fase). aplicando las ecuaciones [16]: ER0 = 1/3 (ERN + ESN + ETN) ER1 = 1/3 (ERN + a ESN + a2 ETN) ER2 = 1/3 (ERN + a2 ESN + a ETN) Para las f. podemos calcular las corrientes de línea en valores normales. utilizando la transformación de Fortescue.N. no son diferentes para un sistema polifásico de f.
E0 [ 61] Z  3 ZN Se notará que la corriente de retorno a tierra o neutro.Facultad de Ingeniería (U.e. ninguna forma de transposición de los conductores de la línea del sistema de potencia evitará que estas componentes establezcan interferencia inductiva en las líneas de comunicaciones paralelas y la razón es que los componentes monofásicos de los tres conductores de la línea establecerán interferencias magnéticas igualmente orientadas. deducidas de los equivalentes monofásicos: E E I1  1 [59] I2  2 [ 60] Z Z Para calcular la componente de secuencia cero u homopolar. es tres veces mayor que las componentes individuales de secuencia cero de las corrientes de línea.e. De allí que las impedancias Z de secuencia directa y secuencia inversa tengan igual valor. cuando dos líneas se intercambian (secuencia contraria). se procede a efectuar el primer paso teniendo en cuenta la secuencia del sistema original. Debe aclararse. y puede demostrarse experimentalmente que las impedancias de las líneas. A partir de las componentes simétricas de la corriente de la línea R tomando como referencia.) – Departamento de Ing.P. dibujamos la red de la figura que sigue. Esta propiedad no es extensiva a máquinas rotativas.m.M. resulta simple probar que las corrientes de secuencia cero también lo son.D. en este caso secuencia directa RST. Estas componentes de secuencia cero son llamadas componentes monofásicas y tienen una importante significación física con relación a la interferencia inductiva entre las líneas de potencia trifásica y las líneas de comunicaciones paralelas. Las componentes de secuencia cero de las corrientes de línea de sistemas en estrella conectados a tierra o tetrafilares son también de importancia en el cálculo de las corrientes de cortocircuito en los sistemas de potencia. Las componentes simétricas de la corriente de la fase R (tomada como referencia) de secuencia directa e inversa pueden calcularse con las siguientes expresiones. Cuando las corrientes de línea tienen componentes monofásicas. impedancias de carga pasivas y transformadores. Adjunto Electrotecnia
. Cada conductor de la línea lleva una componente de corriente igual en magnitud y fase a las componentes similares de las otras dos líneas. es decir:
Entonces la corriente de secuencia cero valdrá:
Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof.
14. ES = a2 ER . siendo las componentes negativa y cero de valor nulo. en caso de disponer del cuarto conductor de neutro se puede verificar que: IR + IS + I T = IN Expresando las corrientes de línea en C.D.
Ingeniero Gustavo L. la suma de corrientes de línea debe forzadamente ser cero. 13. tal que se vio en el punto 11 al tratar los sistemas de secuencia cero.) – Departamento de Ing. siendo la conexión “Y” la más usual por las razones ya expuestas en el tratamiento de redes trifásicas básicas. En condiciones normales se cumple que: ER.m. la denominaremos “E”. en circuito abierto.
La tensión que aparece en cada una de las fases de un generador trifásico. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
IR  I1  I2  I0 
Las otras corrientes de línea son:
E1 E2 E0   Z Z Z  3 ZN
IS = I0 + a2 I1 + a I2 [63] IT = I0 + a I1 + a2 I2
La expresión [62] incluye a “3 ZN”.e.P. F.Facultad de Ingeniería (U. resulta:
IN = (IR0 +I R1+IR2) + (IR0+a IR1+aIR2) + (IR0+aIR1+a IR2) =3 IR0 + IR1 (1+a +a) + IR2 (1+a+a ) = 3 IR0
La corriente de neutro es tres veces la corriente homopolar que circula por cada una de las líneas. Adjunto Electrotecnia
. La corriente de neutro. en cambio para las componentes de secuencia 1 y 2 por conformar sistemas de ternas perfectas no podrán existir como componentes de corrientes de neutro. Los bobinados estatóricos (de fase) pueden estar conectados en “Y” o en “”.N.s generadas por los alternadores trifásicos.S. De acuerdo a la primera ley de Kirchhoff en un sistema trifilar. ET = a ER La secuencia supuesta es RST y las componentes simétricas de la terna: ER0 ER1 ER2 ER0 ER1 ER2 1 1 1 1 1 1 1 1 a a2 a2 a 1 1 a a2 a2 a ER ES ET ER a2 ER a ER
Para una terna perfecta: ER0 = 1/3 (ER + ES + ET) = 1/3 ER (1+a2+a) = 0 2 ER1 = 1/3 (ER + a ES + a ET ) = 1/3 ER (1+1+1) = ER ER2 = 1/3 (ER+ a2 ES +a ET) = 1/3 ER (1+a+a2) = 0 Tal como era de esperar. todo ocurre como si generara únicamente la componente positiva de secuencia.M. La corriente de secuencia nula sólo podrá existir si existe el conductor neutro. Ferro – Prof.
8. Ejemplos de Aplicación del Método de las Componentes Simétricas. según se considere la secuencia 1 o secuencia 2.92  51.93  .92. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
15.87 180º
Luego. es decir: IR = I1 + I2 = 3.) – Departamento de Ing. Ferro – Prof.24.14  0º  ER1 = 2197. conociendo las tensiones simples en C. El motor recibe energía de una línea trifásica que tiene una impedancia de 0. Resolución de sistemas trifásicos con generación desequilibrada y carga dinámica simétrica (motor de inducción trifásico) Un motor de inducción trifásico conectado en estrella tiene una impedancia por fase de 43..00 + j 8. tomando ERS como eje de referencia? b) ¿Cuáles son las tensiones de secuencia positiva y negativa en bornes del motor? c) ¿Cuál es la potencia suministrada al motor?  Resolución: Como primer paso encontraremos las C. IR2 = 99.1. EST = 2300 -115.N. ETR = 2300  115. de las tensiones compuestas desequilibradas aplicadas.30º VmotorR2 = Z2 .866  por conductor.151º
Ingeniero Gustavo L.000 V. IR1 = 1246  . de las corrientes encontramos las mismas en valores normales.56 = 33.46 – j 21.09 + j 26.21º IT = a I1 + a2 I2 = 21. valdrán: VmotorR1 = Z1 . tomando como referencia la tensión E RS. 15.84  .61º IS = a2 I1 + a I2 = .96.02 – j 16.13 = 9. a saber: ER1 = ZLINEA IR1 + Z1 IR1  ER2 = ZLINEA IR2 + Z2 IR2  IR1 = ER1 / (ZLINEA + Z1) = 12.14/3  .S.30º)  ER2 = 113. EST = 2.66  por fase a corrientes de secuencia negativa cuando están alimentando una carga mecánica determinada.22  (180º +30º)
ERS2 = .87 Dado que los sistemas simétricos de secuencia 1 y 2 constituyen sistemas perfectos se cumple que la relación entre una tensión compuesta y una simple es 3 en lo que respecta al módulo y existe un desfasaje de 30º.14 ERS2 = 1/3 (E RS + a2 E ST + a E TR) = .47 = 16.300 V y ETR = 2.P.6 .300 V a) ¿Cuáles son las corrientes de secuencia positiva y negativa.S.87 = 195.60º IR2 = ER2 / (ZLINEA + Z2) = .30 + j 25  a las corrientes de secuencia positiva y una impedancia de 5.S. aplicaremos la 2º Ley de Kirchhoff para cada secuencia para encontrar las corrientes en términos de C.96 = 26. Las tensiones entre fases en la fuente son: ERS = 2.6 = 24.76. por lo tanto: ERS1 = 2197.S.55º Las caídas de tensión en el motor en términos de C.77º ERS0 = 1/3 (E RS + E ST + E TR) = 0 ERS1 = 1/3 (E RS + a E ST + a2 E TR) = 2197.D.Facultad de Ingeniería (U. Adjunto Electrotecnia página 20
.211º
Luego a partir de las C.54 + j 5. es decir: ERS = 2000  0º .30º = 1270.92 – j 9.195.M.158.195.2  (0º.S. en atraso o adelanto. El motor no tiene neutro.50 + j 0.77º .
P. 1246 .D. Ferro – Prof.8  31º VA 15. 9.8° 2º Paso: Se determinan las componentes simétricas de la corriente de línea.) – Departamento de Ing.33 = 82159.92  60º + 3 . Usando el método de las componentes simétricas determinar algebraicamente la lectura del voltímetro de la fase S.40) = 41.03 + j 49152. 99.2.03+ j 2577.M.Facultad de Ingeniería (U.66.96  211º = 93151 30º + 2976. se conecta mediante tres conductores a idénticos voltímetros también en conexión estrella.8 31º S = 95739. ETN = 100 120º [V] Efectuando los cálculos correspondientes: ER0=1/3 (1000º + 200 270º + 100 120º) = 1/3 (50 – j 113. 24.151º .31  173. Resolución de sistemas trifásicos con generación desequilibrada y carga estática equilibrada.05  60º = 80671 + j 46575.1.N. tal como se hace para sistemas equilibrados. Una fuente trifásica en estrella constituye un sistema imperfecto de generación y de impedancias internas despreciables. para determinar la lectura del voltímetro conectado en la fase S.79  15° ER2=1/3 (1000º + a2 200 270º + a 100 120º) = 41.6 .  Generación trifásica imperfecta: E RN = 100  0º [V] E SN = 200  270º [V]  Resolución: De acuerdo a lo establecido en el punto 12. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
La potencia entregada al motor valdrá: S = 3 Vmotor R1 x I*R1 + 3 Vmotor R2 x I*R2 Numéricamente será: S = 3 .21° ER1=1/3 (1000º + a 200 270º + a2 100 120º) = 128.5 + 1488. Adjunto Electrotecnia
. E TN = 100 120º [V]
Donde: Z = R = 10 kΩ
Ingeniero Gustavo L. ESN = 200  270º [V].30º .31  . ER0 = 1/3 (ERN + ESN + ETN) ER1 = 1/3 (ERN + a ESN + a2 ETN) ER2 = 1/3 (ERN + a2 ESN +a ETN) Donde: ERN = 100  0º [V]. seguiremos los siguientes pasos: 1º Paso: Se descomponen las tensiones de generación en sus componentes simétricas.83 = 95739. Cada instrumento posee una resistencia interna de 10 K y reactancia despreciable.
30 mA .  Teniendo en cuenta la acción individual de cada componente de secuencia.2° mA La tensión en el voltímetro en la fase “S”. se puede ver la acción individual de las distintas componentes. es así que en la red monofásica para la secuencia cero se deberá hacer constar un circuito abierto entre los dos nodos de estrella para representar una impedancia a la secuencia cero de valor infinito.79  15° / 10. Ferro – Prof.N.88  15° mA I2 = 41.) – Departamento de Ing.30 .11  118.P.  Las corrientes de línea de secuencia 1 y 2 serán respectivamente: IR1 = ER1/R e IR2 = ER2/R. o sea considerando el circuito equivalente monofásico.13  173. el problema puede ser encarado mediante el principio de superposición. 10 kΩ = 163 V Haremos algunas consideraciones finales sobre el problema planteado:  Dado que no existen interacciones entre las corrientes de secuencia con tensiones de diferente secuencia de fase. los circuitos equivalentes correspondientes son similares al caso normal de carga equilibrada con la salvedad de la rotación antagónica del sistema de tensiones inversas.
Sistema de secuencia 1
Las corrientes valdrán: I1 = 128.D.M. por lo tanto: IR0 = IS0 = IT0 = 0 3º Paso: Se hallan las corrientes de línea en valores normales a partir de las componentes simétricas halladas en el paso anterior. En ambos casos la resolución es posible usando el método normal para la resolución de redes trifásicas equilibradas. IR = I0 + I1 + I2 = 9. será: VS = IS .8° mA Dado que no hay neutro IR + IS + IT = 0 .84° mA IT = I0 + a I1 + a2 I2 = a I1 + a2 I2 = 14.000 = 12. se ha tomado como fase base la “R”.15  24. En la figura que sigue. Adjunto Electrotecnia página 22
.8° / 10. En este caso: Z1 = Z2 = R  Como es sabido en este caso no podrá haber corriente homopolar.000 = 4.95. ya que: IR0 = 0  ZR0 =   Lo expuesto es una realidad evidente y físicamente las variables tensión y corriente se pueden manejar como magnitudes que en las diversas secuencias se pueden superponer a los efectos de conformar la respuesta total. R = 16.31  173.Facultad de Ingeniería (U.41° mA IS = I0 + a2 I1 + a I2 = a2 I1 + a I2 = 16.
M.D.) – Departamento de Ing.Facultad de Ingeniería (U.N. Ferro – Prof. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Sistema de secuencia 2
Sistema de secuencia cero u homopolar Glf/2010
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