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Timestamp: 2020-08-13 12:10:53+00:00

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Casa Ed. Ambrosiana - isbn 88-408-1262-8
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inviare commenti e suggerimenti a giovanni.legnani@ing.unibs.it
Errata Corrige ed Ampliamenti 29 ottobre 2009
a cavallo delle pagine 19-20 aggiungere:
consentono un movimento relativo di traslazione rettilineo mentre i secondi consentono un movimento
Ellissi di manipolabilit`a: i diametri 𝑑 𝑖 sono proporzionali all’inverso dei valori singolari 𝜎 𝑖 di 𝐽 .
46 I valori singolari di 𝐽 sono la radice quadrata degli autovalori di 𝐽𝐽 𝑇 .
L’area dell’ellisse `e inversamente proporzionale al determinante di 𝐽 .
Le ellissi 𝑑𝑆 = 𝑘𝐽𝐽 𝑇 𝐹 𝑠 sono di cedevolezza (inverso di quelle di rigidezza).
ultima eq.
atan2(𝑥, 𝑦 )
atan2(𝑥 𝑝 ,𝑦 𝑝 )
matrice 𝐽
= [ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ] 𝑇
𝑆 = [ 𝑥, 𝑦, 𝜓 ] 𝑇
eq.(2.32)
𝛽 = atan2(𝑣, 𝑢 )
= atan2(𝑥 cos
, 𝑧 − ℎ ) −
𝛽 = atan2(𝑢, 𝑣 )
= atan2(𝑧 − ℎ, 𝑥 cos
.) −
(𝐽 𝑇
𝑀 𝑄 )
(𝐽 𝑇 𝑀 𝐽 )
6 ∘ riga dal fondo
√ 𝑣 2 + 𝑣 2
√ 𝑢 2 + 𝑣 2
𝑧 = 𝑙 3 cos(𝛾 ) sin(𝛽 )
𝑧 = (𝑙 2 + 𝑙 3 cos(𝛾 )) sin(𝛽 )
= − (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − (− 𝑙 1 + 𝑙 2 + 𝑙 3 ) 2 )𝑡 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − (𝑙 1 + 𝑙 2 + 𝑙 3 ) 2
𝑡 𝑐 2 =
(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − (𝑙 1 − 𝑙 2 + 𝑙 3 ) 2 )𝑡 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − (𝑙 1 + 𝑙 2 − 𝑙 3 ) 2
eq.(2.49)
𝑡 𝑐 = ± √ 𝑡
𝛾 = ± 2 atan ( √ 𝑡
singolare per 𝑡 𝑐 = 0 ⇒ 𝛾 = 0 ,𝜋
oppure pi`u semplicemente per sin(𝛽 ) ∕= 0
𝛾 = ± acos (( 𝑙 2 sin(𝛽 ) − 𝑧 ) / (𝑙 3 sin(𝛽 )))
66 eq. (2.50) e poco
dopo (3 volte)
𝑢 2 + 𝑦 2
𝑢 2 + 𝑣 2
(− 𝑥𝑦,
𝛼 = atan2(− 𝑥𝑣 + 𝑦𝑢, 𝑥𝑢 + 𝑦𝑣 ) singolare
per − 𝑥𝑣 + 𝑦𝑢 =
𝑥𝑢 + 𝑦𝑣 = 0
𝑙 2 +
𝑙 1 +
= 𝑙 2 +
0 = 𝑙 1 +
71 eq.(2.60)
− 𝑇 𝑇 𝐹 𝑞
𝑇 𝑇 𝐹 𝑞
infatti se se sul robot agisce 𝐹 𝑞 sulla trasmissione agisce − 𝐹 𝑞 . (Gli altri segni sono corretti)
G.Legnani, Robotica Industriale Ed. CEI. Correzioni e ampliamenti. 2 9 ottobre 2009
𝑅𝑡𝑟𝑎𝑠 (𝑧
− sin(𝜗 𝑦 )
− 𝑍 𝑧
− sin(𝜗 𝑧 )
− 𝑍 𝑦
ultima formula
𝑢 𝑥 =
2 ⋄ formula
[ 𝑊 01(1) +
[ 𝑊 01(0) +
aggiungere la didascalia alla tabella di inizio pagina: Descrizione dei termini della eq.(6.2)
elemento 1,3
− 𝑆 4
𝑀 34
𝑆 4
aggiungere: − 𝜑 1 = 𝜑 2 = − 𝜑 4 = 𝜑 5 = 90 ∘ ,
𝜑 3 = 𝜑 6 = 0
§ 6.2.2 elenco
(vedi ﬁgura 6.2.2)
(vedi ﬁgura 6.5)
𝑀 03 = ⎣
𝑀 03 = ⎡ ⎣
− 𝑆 2
5 ∘ eq.
6 ∘ eq.
𝑐 6 =
𝑐 2 =
𝑠 6 = − 𝑐 5 ( ) + 𝑠 5 ( )
𝑠 6 =
𝑐 6 = + 𝑐 5 ( ) − 𝑠 5 ( )
Δ𝑥 − 𝑠 3
Δ𝑥 + 𝑠 3
ﬁg.6.14
𝜗 2 `e indicato in maniera erronea (`e def. in ﬁg.6.13 ove tutti gli angoli valgono 0).
righe 5 e 7
𝑀 45
𝑀 𝑏𝑝 (2
(1 − 𝑐 )
(1 − 𝑐 3 )
3 ∘ eq.
𝑊 23(0) = 𝐿 23(0) 𝑞˙
𝑊 23(0) = − 𝐿 23(0) 𝑞˙
ﬁne pagina
𝑀 0𝑎 =
⎦ 𝑀 0𝑎 =
7 ∘ riga
= 𝑊 03( 𝑎 ) 𝑃
= 𝑊 03(0) 𝑃
1 ∘ eq.
+ 𝐿 23(0) 𝑞˙ 3
− 𝐿 23(0) 𝑞˙ 3
𝐻 = 𝐿𝛼¨ + 𝐿 2 𝛼˙ 2
𝐻 = 𝐿𝑞¨ 𝑖 + 𝐿 2 𝑞˙
+ 𝑙 1 𝛽 cos 𝛼
+ 𝑙 1 𝛽 sin 𝛼
𝐻 03(0) = ⎡
⎦ 𝐻 03(0) = ⎡
= 𝐽 𝑄
ﬁg. 6.33
− 𝛼 2 (dal link 1 al 2 ma nel verso opposto)
nota pi`e pagina
− 𝑙 1 𝑠 1 − 𝑙 2 𝑠 12 = − 𝑎
− 𝑙 1 𝑐 1 − 𝑙 2 𝑐 12 = − 𝑎
𝑎 𝑥 = − 𝑙 1 𝑐 1 𝛼˙ 1 𝛼˙ 2 −
((𝑙 1 𝑐 1 + 𝑙 2 𝑐 12 )𝛼˙ 1 + 𝑙 2 𝑐 12 𝛼˙ 2 ) 𝛼˙ 3
𝑎 𝑦 = − 𝑙 1 𝑠 1 𝛼˙ 1 𝛼˙ 2 − ((𝑙 1 𝑠 1 + 𝑙 2 𝑠 12 )𝛼˙ 1 + 𝑙 2 𝑠 12 𝛼˙ 2 ) 𝛼˙ 3
eq. (7.8)
𝐸 𝑝𝑖 = 1 2
traccia(
𝐸 𝑝𝑖 = traccia(
riga 9, 11
± 25 ∘
± 90 ∘
dopo eq. (8.19)
La cinematica diretta
Δ𝑞 𝑛 ]
Δ𝑞 𝑛 ] 𝑇
prima eq.
𝜏 𝑛
𝜏 𝑛− 1
4 ∘ riga dal
𝑃 0 − 𝑃 1
𝑑 = 𝑃 1 − 𝑃 0
eq. calcolo
= − 𝑉 𝑉 1
= − 𝑉
𝑉 1
eq.(12.25)
𝑎𝑚𝑔 = 𝑏𝑐𝑘
ﬁgura 9.46
𝑣˙ 𝑥 , 𝑣˙ 𝑦
𝑧 = (𝑃 2 − 𝑃 1 ) × (𝑃 0 − 𝑃 1 )
∣∣ (𝑃 2 − 𝑃 1 ) × (𝑃 0 − 𝑃 1 )∣∣
(𝑎𝑚𝑔 − 𝑏𝑐𝑘 ) cos(𝛼) = 0
soddisfatta se 𝛼 = ± 𝜋/ 2 per qualsiasi
valore di 𝑎, 𝑚, 𝑏, 𝑐, 𝑘
oppure per qualsiasi 𝛼 se 𝑎𝑚𝑔 = 𝑏𝑐𝑘
𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦
Ω ≃ 𝑠𝑇 𝑖 /𝑘 𝑝
𝐺(𝑠 ) =
0 = 𝐹 ′ (𝑠 ) =
≃ {
𝜔 2 =
2 𝜉 = 𝜔 𝑡
2 𝜉 = 𝜔 2 𝑡
sopra eq.(10.5)
𝑅 ′ (𝑠 ) = 𝑘 𝑝 (1 + 𝑇 𝑑 𝑠 )
eq.(10.5)(10.6)
𝜏 𝜔 = 1 /𝜔 𝜔 = 1 /𝜔 𝑇 `e l’inverso della banda passante dell’anello di velocit`a
dopo eq.(10.6)
𝑘 𝑑 = 𝑘 𝑝 𝑇 𝑑
𝑘 𝑑 = 𝑘
𝑝 𝑇 𝑑
eq.(10.7)
1 + 𝑘 𝑝 𝑇 𝑑 )
𝜗 1 + 𝑠 𝑇
𝐽 𝑝 + 𝑇 𝑠
1 + 𝑠𝑇
𝐽 𝑝 (1 + 𝑇 𝑑 𝑠 )
eq.10.8
ﬁne prima eq.
𝑠 2 + 2 𝜉 2
𝑠 (𝐽 1 + 𝐽 )
𝑠 + 1
𝑠 (𝐽 1 + 𝐽 ) [
𝑠 + 1 ]
ﬁgura 10.55
ﬁg.11.4
terzultima riga
= 4 . 4210 − 4
scambiare i nomi “pezzo 1” e “pezzo 2”
𝐽 2 =
4 . 4910 − 4 kgm 2
ﬁg.13.18
scambiare 𝑟 e 𝑘
𝑛− 1
1 ∘ equazione
(𝑝 = 𝑛 + 1)
eq.(14.15)
𝑚 2 𝑔 2 𝛽 𝑐
dopo eq.(14.15)
sin 𝛽 cos 𝛽
− 𝑚 2 𝑔 2 𝛽 𝑐
sin 𝛽 2 cos 𝛽 2
arresto, terzo ca-
∙ categoria 1
∙ categoria 2 (non ammessa per arresto
− 𝜆𝑆 𝛼 𝐶 𝛼 𝛽 + 𝜆𝑆 𝛼 𝐶 𝛽 𝛾˙
𝐶 𝛼 𝛽 + 𝑆 𝛼 𝑆 𝛽 𝛾˙
𝜆𝑆 𝛼 𝐶 𝛽
𝜆𝑆 𝛼 𝑆 𝛽
elem.1,2
+ 𝑠𝜙 𝑐𝜓
− 𝑠𝜙 𝑐𝜓
elem.3,1
𝑐𝜙 𝑠𝜃 𝑐𝜓 +
soluzione unica 𝑡 = − 𝑏/𝑎 .
atan2(𝑥, 𝑦 ) = atan
𝑓 (𝑞 1 ) + 𝑓 ′ (𝑞 1 )(𝑞 − 𝑞 1 ) = 0
𝑓 ′ (𝑞 𝑖 ) = 0
− 𝑐𝜙 𝑠𝜃 𝑐𝜓 +
.soluzione 𝑡 = − 𝑏/𝑎 ; l’altra `e 𝛼 =
𝜋 + 2 𝑘𝜋 . Se 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 le 2 soluzioni
atan2(𝑦, 𝑥) = atan
𝑓 (𝑞 𝑖 ) + 𝑓 ′ (𝑞 𝑖 )(𝑞 − 𝑞 𝑖 ) = 0
𝑓 ′ (𝑞 𝑖 ) ∕= 0
ﬁg. D.2
nell’esempio centrale scambiare 𝑞 1 con 𝑞 2
Ampliamenti e chiarimenti
Questa sezione `e dedicata a piccole aggiunte che possono re ndere pi`u comprensibile il testo
o completarlo.
I riferimenti a pagine, capitoli, ﬁgure, equazioni sono rel ative al libro.
H.1 Ellissi di Manipolabilit`a, Isotropia (Pagg.45-48)
Le ellissi di manipolabilit`a sono degli strumenti sintetici per rappre sentare le prestazioni cinetostatiche dei manipolatori nelle diverse zone dell’area di lavoro. Il loro signiﬁca to verr`a spiegato con l’ausilio di esempi.
H.1.1 Ellissi di manipolabilit`a in velocit`a e in forza
Consideriamo un manipolatore cartesiano 𝑥𝑦 ; ciascuno dei due assi avr`a una velocit`a massima ammissibi- le ± 𝑞˙ 𝑥,𝑚𝑎𝑥 e ± 𝑞˙ 𝑦,𝑚𝑎𝑥 . Le componenti della velocit`a del dispositivo d’estremit`a lungo gli a ssi 𝑥, 𝑦 avranno quindi modulo minore o uguale a quella del motore corrispondente. Tuttavia in direzioni diagonali esso
potr`a raggiungere velocit`a pi`u elevate ma mai superiori a 𝑉 𝑚𝑎𝑥 = √ 𝑞˙
dai vettori velocit`a massima nelle varie direzioni `e perci`o un rettangolo. Sei i due motori hanno pari prestazioni il rettangolo diventa un quadrato. Il risultato espos to non cambia all’interno dell’area di lavoro. Un discorso analogo pu`o essere fatto qualora interessi studiare le forze massime esercitabili nelle diverse direzioni.
𝑦,𝑚𝑎𝑥 2 . Il luogo descritto
2 𝑥,𝑚𝑎𝑥 + 𝑞˙
Figura H.1: Manipolatore cartesiano: velocit`a (o forze) massime ammissibili in funzione delle direzioni.
Se si considera un manipolatore polare la velocit`a “radiale” massima `e limitata da quella del motore li- neare 𝑉 𝑟,𝑚𝑎𝑥 = 𝜌˙ 𝑚𝑎𝑥 , mentre quella “tangenziale” `e limitata dal prodotto della velocit`a a ngolare massima del motore rotativo per la distanza del dispositivo d’estremit`a dalla torretta 𝑉 𝑡,𝑚𝑎𝑥 = 𝜌𝜔 𝑚𝑎𝑥 . Inoltre in direzioni diverse le due velocit`a si possono sommare e quindi, per pa rticolari direzioni, la velocit`a pu`o raggiungere il valore 𝑉 𝑚𝑎𝑥 = √ (𝜌˙ 𝑚𝑎𝑥 ) 2 + (𝜌𝜔 𝑚𝑎𝑥 ) 2 . Il luogo dei vettori velocit`a massime `e ancora un rettangolo con lati paralleli alle direzioni radiale e tangenziale. Dato che il valore della distanza 𝜌 varia
V r ,max
Figura H.2: Manipolatore polare: velo- cit`a massima ammissibile in funzione delle direzione e della conﬁgurazione.
APPENDICE H. AMPLIAMENTI E CHIARIMENTI
F r ,max
Figura H.3: Forze massime esercitabili da
un manipolatore polare in funzione della
direzione e della conﬁgurazione.
nell’area di lavoro, si deduce che la velocit`a massima tangenziale aumenta con la distanza e il rettangolo delle velocit`a si deforma di conseguenza. Analogamente per le forze possiamo dire che in direzione radiale il manip olatore potr`a esercitare una forza massima costante limitata dalle prestazioni del motore lineare , mentre in direzione tangenziale il modulo della forza massima esercitabile sar`a inversamente proporz ionale alla distanza 𝐹 𝑡,𝑚𝑎𝑥 = 𝐶 𝑚𝑎𝑥 /𝜌 essendo limitata dalla coppia massima del motore rotativo. Il luogo de lle forze massime esercitabili `e un rettangolo in cui il lato “tangenziale” decresce con la distanza.
le velocit`a in un manipolatore SCARA.
Figura H.4:
Figura H.5: Determinazione delle forze massime esercitabili da un manipolatore SCARA.
Nel caso di un manipolatore SCARA la componente di velocit`a fornita da ciascun motore `e proporzionale alla distanza 𝑃 − 𝑂 𝑖 tra il dispositivo di estremit`a 𝑃 e l’asse del motore 𝑂 𝑖 ed `e limitata dalla velocit`a massima di quest’ultimo. La componente di velocit`a fornita da ogni motore `e ortogonale al vettore 𝑃 − 𝑂 𝑖 . In generale, le due componenti di velocit`a non sono tra loro ortog onali. Il luogo delle velocit`a massime `e quindi un parallelogramma i cui lati sono proporzionali alle quantit`a 𝑉 𝑖,𝑚𝑎𝑥 = ∣ 𝑃 − 𝑂 𝑖 ∣ 𝜔 𝑖,𝑚𝑎𝑥 . La forza massima esercitabile in una direzione dipende dai bracci 𝑏 𝑖 della forza rispetto agli assi dei motori oltre che dalla loro coppia massima 𝐶 𝑖,𝑚𝑎𝑥 . Nessun motore deve essere sovraccaricato per cui:
𝐹 𝑚𝑎𝑥 = min(𝐶 1,𝑚𝑎𝑥 /𝑏 1 ,𝐶 2,𝑚𝑎𝑥 /𝑏 2 ). Ovviamente il braccio dipende sia dalla posizione della pinza, sia
dalla direzione della forza. Il parallelogramma delle forze massime gene rabili in funzione della posizione si ottiene dall’intersezione di due “corridoi” di semi-larghezza 𝑓 𝑖 = 𝐶 𝑖,𝑚𝑎𝑥 / ∣∣ 𝑃 − 𝑂 𝑖 ∣∣ paralleli alla direzione
𝑃 − 𝑂 𝑖 .
Nel caso di manipolatori a diversi gradi di libert`a, la determinazio ne delle velocit`a massime raggiungibili e delle forze massime generabili pu`o essere molto complesso, ma seg ue i criteri generali qui descritti. Nel caso di moto 𝑥𝑦𝑧 (3D), i parallelogrammi sono sostituiti da parallelepipedi.
H.1. ELLISSI DI MANIPOLABILIT A, ISOTROPIA (PAGG.45-48)
Le ellissi di manipolabilit`a in velocit`a ed in forza danno un metodo standard, applicabile in modo automa- tico anche a manipolatori complicati con diversi gradi di libert`a, per indicare in quali direzioni `e possibile avere velocit`a elevate o esercitare forze pi`u o meno considerevoli. Le ellissi di manipolabilit`a sono delle ellissi che approssimano il luogo dei punti di velocit`a o forza massime. Il disegno di una famiglia di ellissi relative a diverse posizioni del manipolatore evidenzia il suo diverso comportamento nell’area di lavoro. Nel caso di manipolatori piani si considera l’ellisse inscr itta nei parallelogrammi descritti e tangenti ai lati nelle loro mezzerie. Nel caso di manipolatori che si muovono nelle tre direzioni 𝑥𝑦𝑧 , le ellissi sono sostituite da ellissoidi. Queste ellissi (o gli ellissoidi) sono determinabili anche nel caso di manipolatori a pi`u gradi di libert`a. La determinazione delle ellissi pu`o essere eﬀettuata sulla base di procedure standard che fanno uso degli autovettori ed ai valori singolari della matrice jacobiana o di matrici derivate da essa. Quando i diversi motori di un manipolatore sono tutti dello stesso tipo (rotativo o lineare) spesso per semplicit`a si assume che abbiano tutti le stesse prestazioni mass ime sia in termini di velocit`a che di coppia (o forza) massima. Il calcolo delle ellissi si sempliﬁca dato che spesso `e suﬃciente calcolarne la forma e non la dimensione. In questo caso la scelta delle unit`a di misura non inﬂuenza la forma dell’ellisse. Nel caso in cui il manipolatore abbia attuatori dei due tipi, allora `e indispensabile tenere conto delle reali prestazioni di ciascuno altrimenti si ottengono ellissi la cui eccentricit`a dipende dalle unit`a di misura impiegate e non hanno quindi signiﬁcato ﬁsico.
Le ellissi di velocit`a e di forza non pesate sono associate alle segue nti equazioni
1 = ∑ 𝑞˙
𝑄 𝑇 𝑄
1 = ∑ 𝑓 𝑞𝑖 = 𝐹
𝐹 𝑞
𝑆 𝑇 ( 𝐽 − 𝑡 𝐽 − 1 ) ˙
𝑆 = 1
( 𝐽𝐽 𝑡 ) 𝐹 𝑠 = 1
mentre quelle pesate sono associate alle seguenti equazioni
1 𝑞˙ 𝑖, max ) 2
𝑞˙ 𝑖
1 𝑓 𝑞𝑖, max ) 2
𝐷 𝑣 = ⎢
𝑓 𝑞𝑖
𝑞˙ 1, max
= 𝑄 𝑇 𝐷
= 𝐹 𝐷 𝐷 𝑓 𝐹 𝑞
𝑞˙ 2, max
𝐷 𝑓 = ⎢
𝑆 𝑇 ( 𝐽 − 𝑡 𝐷 𝐷 𝑣 𝐽 − 1 ) 𝑆 = 1
𝐹 ( 𝐽𝐷 𝐷 𝑓 𝐽 𝑇 ) 𝐹 𝑠 = 1
𝑞 1, max
𝑞 2, max
Attenzione: l’ellisse di forza e quella di velocit`a sono tra loro or- togonali solo nel caso di ellissi non pesate oppure nel caso di ellissi pesate quando le matrici dei pesi sono scelte in modo opportuno
per cui 𝐷 𝑓 = 𝑘𝐷
𝑣 ove 𝑘 ∕= 0 `e uno scalare di valore arbitrario.
H.1.2 Ellissi d’inerzia (di massa)
Le ellissi di inerzia (o di massa) danno informazioni sulla capacit`a di accelerazione nelle varie direzioni
dell’area di lavoro quando `e sottoposto a forze esterne applicate sul centro utensile. Queste ellissi sono
particolarmente signiﬁcative nei casi in cui il manipolatore scambia forza con l’ambiente esterno; ad
esempio mentre movimenta un utensile che esegue lavorazioni mecca niche. In congiunzione con le ellissi
di elasticit`a (o di rigidezza), le ellissi di massa danno informazioni s ulla possibilit`a di insorgenza di
Nel § 2.8 viene mostrato come le forze motrici 𝐹 𝑞 necessarie a produrre un’accelerazione dei giunti 𝑄
𝐹 𝑞 ≃ ℳ 𝑄
ove `e stato usato il simbolo “circa uguale” perch´e vengono qui tr ascurati i termini quadratici nelle velocit`a, ˙
cio`e il prodotto 𝑄, che `e trascurabile a basse velocit`a. Inoltre si considera il caso con forze esterne nulle.
Consideriamo ora il caso che i motori siano spenti in folle (coppia nulla ) e ci chiediamo quali forze applicate all’estremit`a dal manipolatore avrebbero lo stesso eﬀetto delle coppie motrici appena calcolate. Dalla cinetostatica sappiamo trasferire forze ad accelerazioni dai giunti al dispositivo d’estremit`a con le
Figura H.6: Costruzione graﬁca ellisse di massa (inerzia).
Ellissi d’inerzia: rappresentazione graﬁca
Per visualizzare la forza 𝐹 𝑠 necessaria a produrre una
certa accelerazione 𝑆 si pu`o applicare la costruzione
Si considera inizialmente un’accelerazione unitaria
diretta come 𝑆 = [ 𝑎 1 𝑎 2 ] 𝑇 e la si scompone nelle direzioni dei due diametri. La componente parallela a 𝑢 1 va moltiplicata per 𝑚 1 , quella parallela a 𝑢 2 va moltiplicata per 𝑚 2 . Le due componenti vanno quindi moltiplicate per il modulo dell’accelerazione
𝐹 𝑠
[ 𝑚 1
[ 𝑓 𝑓 2 ]
2 ][ 𝑎
𝑎 2 ]
𝑆 ∣ [ 𝑚 1 cos(𝛼) 𝑚 2 sin(𝛼)
relazioni 𝑆 ≃ 𝐽 𝑄 e 𝐹 𝑞 = 𝐽 𝑇 𝐹 𝑠 (il segno meno non compare perch`e le forze sono quelle equivalenti e non
quelle equilibranti). Si ottiene quindi
𝐹 𝑠 ≃ ( 𝐽 − 𝑡 ℳ𝐽 − 1 ) 𝑆
Questa relazione permette di calcolare quale forza deve essere applicata al dispositivo d’estremit`a del manipolatore per generare un’accelerazione desiderata. Possiamo considerare questa relazione come una generalizzazione della legge di Newton −→ 𝑓 = 𝑚 −→ 𝑎 .
Alla matrice ℳ 𝑠 = ( 𝐽 − 𝑡 ℳ𝐽 − 1 ) pu`o essere associata una ellisse rappresentante l’inerzia (massa) equiva-
lente del manipolatore in una determinata direzione. Infatti consideriamo un’accelerazione 𝑆 di ampiezza
unitaria e di direzione generica e calcoliamo la forza necessaria a produrla; se facciamo ruotare in tutte
le direzioni questo vettore, il vettore della forza descriver`a un e llisse. Questo pu`o essere dimostrato os-
servando che la matrice ℳ 𝑠 `e simmetrica deﬁnita positiva.
Si osserva che forza ed accelerazione sono tra loro parallele solo se la forza `e diretta lungo uno degli assi
dell’ellisse. Le direzioni degli assi del’ellisse sono deﬁnite dagli autovettori di ℳ 𝑠 e i raggi (semidiametri) dai corrispondenti autovalori. Ellissi di rigidezza ed elasticit`a L’ellisse di cedevolezza o quella di rigidezza permettono di indicare lo s postamento della pinza del mani- polatore dovuto alla applicazione di una forza quando i giunti sono c edevoli.
L’ellisse associata all’equazione 𝑑𝑆 = 𝑘𝐽𝐽 𝑇 𝐹 𝑠 deﬁnita al capitolo 2 `e di cedevolezza (inversa di quelle di
rigidezza). L’ellisse di rigidezza sarebbe quindi associata a 𝐹 𝑠 = 𝑘 ( 𝐽𝐽 𝑇 ) − 1 𝑑𝑆 .
Si osserva che forza e spostamento sono tra loro paralleli solo se la forza `e diretta lungo uno degli assi
dell’ellisse. Per una visualizzazione graﬁca di questo fenomeno si consideri per analogia il caso di ellisse
di inerzia (massa).
Consideriamo l’ellisse associata alla matrice 𝐽𝐽 𝑇 . Il diametro in una direzione rappresenta la cedevolezza equivalente in quella direzione ed `e quindi proporzionale allo spostame nto dovuto all’applicazione di una forza in quella direzione. Le direzioni degli assi del’ellisse di cedevolezza (elasticit`a) sono de ﬁnite dagli autovettori 𝑢 𝑖 di 𝐽𝐾 𝑞 𝐽 𝑇 (o 𝑘𝐽𝐽 𝑇 ) e i raggi (semidiametri) dai corrispondenti autovalori 𝜆 𝑖 . Per la rigidezza occorre fare riferimento alla matrice inversa i cui autovettori sono i medesimi e i cui autovalori valgono 1 /𝜆 𝑖 .
H.1.3 Forza, Velocit`a massima in una direzione.
La forza massima esercitabile in una direzione si pu`o facilmente dete rminare esprimendo la forza applicata all’end-eﬀector come prodotto del modulo per un versore 𝐹 𝑠 = 𝑓𝑢 𝑠 , l’ellissi di forza `e cos`ı deﬁnita come
𝑓𝑢 𝑇 𝐴𝑢𝑓 = 1
𝐴 = 𝐽𝐷 𝐷 𝑓 𝐽 𝑇
√ 𝑢 𝑇 𝐴𝑢
in maniera analoga `e calcolabile la velocit`a massima.
H.1.4 Nota
Si osservi come nei diversi casi considerati le ellissi siano state deﬁnite in maniera diﬀerente. In alcuni casi (velocit`a, forze) si `e fatto riferimento a equazio ni del tipo 𝑣 𝑇 𝐴 𝑇 𝐴𝑣 = 1 e le direzioni degli assi dell’ellisse corrispondono agli autovettori della matrice 𝐴 𝑇 𝐴 mentre le lunghezze 𝑟 𝑖 dei semidiametri sono legate all’inverso della radice quadrata dei corrispondenti autovalori 𝑟 𝑖 = √ 1 /𝜆 𝑖 (inverso dei valori singolari di 𝐴). In altri casi (massa, forza) la relazione di riferimento `e del tipo 𝑣 = 𝐵𝑢 e le direzioni degli assi dell’ellisse corrispondono agli autovettori della matrice 𝐵 mentre le lunghezze 𝑟 𝑖 dei semidiametri coincidono con il valore dei corrispondenti autovalori 𝑟 𝑖 = 𝜆 𝑖 .
H.1.5 Esempi applicativi
Figura H.7: Robot SCARA in conﬁgu- razione isotropa (forza e velocit`a non pesate).
Nel caso di motori identici o comunque nel caso non pesato, il robot SCARA (§ 2.9, pag. 51) pu`o esse- re in conﬁgurazione isotropa solo se le componenti delle velocit`a generate dai due motori sono di egual modulo ∣ 𝑃 − 𝑂 ∣ = ∣ 𝑃 − 𝐴∣ e tra loro ortogonali
𝑃 −−−−→ − 𝑂 ⊥ 𝑃 −−−−→ − 𝐴 . Ci`o implica che devono valere le due seguenti condizioni: 𝛽 = ± 135 ∘ (3 / 4 𝜋 ) e 𝑙 1 = √ 2𝑙 2 ; il valore di 𝛼 `e indiﬀerente. In questo caso le ellis- si di manipolabilit`a in forza e velocit`a diventano dei cerchi.
Robot SCARA Immaginiamo per semplicit`a che le uniche masse signiﬁcative possano e ssere considerate puntiformi e localizzate al termine dei link: 𝑚 1 al termine del link 1 e 𝑚 2 al termine del link2. Le coordinate necessarie allo studio dinamico sarebbero
𝑆 = [ 𝑥
] = [ 𝑙 1 cos(𝛼) + 𝑙 2 cos(𝛼 + 𝛽 ) 𝑙 1 sin(𝛼) + 𝑙 2 sin(𝛼 + 𝛽 )
𝑆 𝑒 =
𝑔 1
𝑙 1 cos(𝛼) + 𝑙 2 cos(𝛼 + 𝛽 ) 𝑙 1 sin(𝛼) + 𝑙 2 sin(𝛼 + 𝛽 )
𝑙 1 cos(𝛼) 𝑙 1 sin(𝛼)
𝑀 = diag(𝑚 2 ,𝑚 2 ,𝑚 1 ,𝑚 1 )
In questo caso le direzioni degli assi dell’ellisse (autovettori della ma trice di massa) ed i relativi semidia- metri (autovalori) risultano
𝑢 1 = [ cos(𝛼 + 𝛽 ) ] sin(𝛼 + 𝛽 )
𝑢 2 = [ − sin(𝛼 + 𝛽 ) cos(𝛼 + 𝛽 )
] 𝜆 1 = 𝑚 2 +
𝑚 1 𝜆 2 = 𝑚 2
sin(𝛽 ) 2
L’asse 𝑢 1 `e parallelo al secondo link. Per spostamenti in direzione 𝑢 2 conta solo la massa 𝑚 2 , mentre in direzione 𝑢 1 occorre sommare una quota derivante dalla massa 𝑚 1 . Qualora i baricentri non siano nelle posizioni indicate o i momenti d’inerzia non siano nulli le direzioni (autovettori) e le masse equivalenti
Figura H.8: Nel caso di motori identici o comunque nel caso non pesato, il ro- bot cartesiano `e isotropo in ogni punto dello spazio di lavoro.
Figura H.9: Le ellissi di velocit`a del robot pola- re (§ 2.11, pag.58) si allungano in direzione tan- genziale via via che il centro utensile si allonta- na dall’asse di rotazione. Corrispondentemente le ellissi di forza (non mostrate in ﬁgura) si ri- durranno. L’isotropia si potr`a avere solo per una determinata distanza dall’asse di rotazione.
Ellissi d’inerzia (massa): robot cartesiano Le ellissi di massa di un robot cartesiano sono estre- mamente semplici da calcolare. Con riferimento all’esempio di ﬁgura, come `e intuitivo, l’ellisse `e pa- rallela agli assi di scorrimento, la massa equivalente (autovalori) in direzione 𝑥 vale 𝑚 1 + 𝑚 2 mentre quella in direzione 𝑦 vale 𝑚 2 .
Ellissi di elasticit`a: robot cartesiano Le ellissi di elasticit`a hanno diametri paralleli agli assi e lunghezza proporzionale alla elasticit`a dei giunti corrispondenti. Nel caso di assi tra loro identici il manipolatore `e isotropo. Ovviamente, come per tutti
i manipolatori, questo vale solo se si considera solo l’elasticit`a dei giunti e non quella ﬂessionale degli elementi che compongono i link.
Figura H.10: Robot cartesiano: ellissi di massa o di elasticit`a.
(autovalori) sarebbero diﬀerenti.
Robot polare Immaginiamo per semplicit`a che le uniche masse signiﬁcative possano e ssere rappresentate da due masse puntiformi: 𝑚 1 sul link 1, 𝑚 2 al termine del link2, 𝑚 la massa trasportata. Siano inoltre 𝐽 𝑔 1 ,𝐽 𝑔 2 , 𝑒𝐽 i momenti d’inerzia baricentrali dei due link e della massa trasportata . Le coordinate necessarie allo studio dinamico sarebbero
] = [ 𝜌 cos(𝛼) 𝜌 sin(𝛼)
cos(𝛼)
𝑔 1 cos(𝛼)
𝑔 1 sin(𝛼)
𝑀 = diag(𝑚 + 𝑚 2 ,𝑚 + 𝑚 2 ,𝑚 1 ,𝑚 1 ,𝐽 𝑔 1 + 𝐽 𝑔 2 + 𝐽 )
H.2. ROBOT 3R (CAPITOLO 2.17)
Figura H.11: Ellisse di massa di un robot SCARA
nel caso sempliﬁcato in cui 𝐽 𝑔 1 = 𝐽 𝑔 1 = 0, 𝑚 = 0,
𝑔 1 = 𝑙 1 ,𝑔 2 = 𝑙 2 (confronta § 2.9.5 pag.55).
Figura H.12: Ellisse di massa di un robot polare
nel caso sempliﬁcato in cui la massa del secondo
link sia concentrata all’estremo ℎ = 0 (confronta
§ 2.11.3 pag.59).
(a) 𝛽 > 0
(b) 𝛽 < 0
Figura H.13: Le ellissi di inerzia del robot ICOMATIC SCARA03.
In questo caso le direzioni degli assi dell’ellisse (autovettori della ma trice di massa) ed i relativi semidia-
metri (autovalori) risultano
𝑢 1 = [ cos(𝛼) ] sin(𝛼)
𝑢 2 = [ − sin(𝛼) cos(𝛼)
𝜆 1 = 𝑚 + 𝑚 2
𝜆 2 = 𝑚 + 𝑚 2 + 𝑚 1 𝑔
2 + 𝐽 𝑔 1 + 𝐽 𝑔 2 + 𝐽
L’asse 𝑢 1 `e parallelo ai link, 𝑢 2 ortogonale ad essi. Per spostamenti in direzione 𝑢 2 conta solo la massa 𝑚 + 𝑚 2 , mentre in direzione 𝑢 1 occorre sommare una quota derivante dalla massa 𝑚 1 e dai momenti d’inerzia.
A titolo d’esempio si riportano le ellissi d’inerzia del robot Icamatic SCARA03 calcolate per le due con-
ﬁgurazioni (a sinistra 𝑞 2 > 0, a destra 𝑞 2 < 0). Esse sono tracciate solo per le conﬁgurazioni realmente raggiungibili tenendo conto dei ﬁne corsa reali. Nel caso speciﬁco di questo particolare modello di mani- polatore (Icomatic SCARA03), le proporzioni e l’orientamento delle e llissi di rigidezza sono molto simili a quelle delle ellissi di inerzia; tuttavia questo non avviene in generale pe r altri modelli o altri manipolatori.
H.2 Robot 3R (capitolo 2.17)
L’equazione della cinematica inversa necessaria per calcolare 𝛼 ammette una singolarit`a quando i due argomenti della funzione atan2 sono contemporaneamente nulli (− 𝑥𝑣 + 𝑦𝑢 = 𝑥𝑢 + 𝑦𝑣 = 0 ⇒ 𝑢 2 + 𝑦 2 = 0)
𝛼 = atan2(− 𝑥𝑣 + 𝑦𝑢, 𝑥𝑢 + 𝑦𝑣 )
Rot(z)
Rot(y)
(a) Due diverse sequenze di rotazioni di un corpo rigido attorno agli assi 𝑦 e 𝑧 .
𝑅𝑜𝑡 (𝑥) = 0;
𝑅𝑜𝑡 (𝑦 ) = ∫ 𝜔 𝑦 𝑑𝑡 = 90 ∘
𝑅𝑜𝑡 (𝑧 ) = ∫ 𝜔 𝑧 𝑑𝑡 = 90 ∘
(b) Caso 1: prima 𝑅𝑜𝑡(𝑧 ), poi 𝑅𝑜𝑡(𝑦 )
(c) Caso 2: prima 𝑅𝑜𝑡(𝑦 ), poi 𝑅𝑜𝑡(𝑧 )
Figura H.14: Eﬀetto di due diﬀerenti sequenze di rotazione di 90 ∘ .
tuttavia questa condizione pu`o capitare solo per 𝑐𝑜𝑠 (𝛽 ) = ± 1 se contemporaneamente 𝑐𝑜𝑠 (𝛾 ) = ± 1 e solo per particolari valori delle lunghezze per cui capita 𝑙 1 ± 𝑙 2 ± 𝑙 3 = 0. Quindi questo caso rientra nelle gi`a citate conﬁgurazioni singolari.
H.3 coordinate angolari (capitolo 3.3)
La diﬃcolt`a nello scegliere un gruppo di tre variabili angolari che des criva “bene” la posizione angolare di un corpo deriva dal principio di non integrabilit`a della velocit`a angolare. Cio`e si dimostra che l’integrale della velocit`a angolare non ho particolare signiﬁcato ﬁsico. Come conseguenza di ci`o non `e possibile deﬁnire tre coordinate angolari la cui derivata rispetto al tempo c oincida con il vettore velocit`a angolare. Questo concetto `e illustrato dalla ﬁgura seguente ove si confrontano due situazioni. Nella prima un dado `e inizialmente ruotato di 90 ∘ intorno a 𝑍 , poi di 90 ∘ intorno a 𝑌 . Nella seconda situazione le rotazioni avvengono in ordine opposto. Si osservi come l’orientamento ﬁnale del dado sia diverso nei due casi mentre l’integrale della velocit`a angolare `e identico.
H.4 Stanford Arm (Pagg.135-137)
Lo Stanford Arm `e descritto dai seguenti parametri di Denavit e Hartenberg:
n.link giunto
0 − 𝜋/ 2 rotazione della torretta attorno all’asse 𝑧 0
𝜋/ 2
elevazione del braccio attorno all’asse 𝑧 1
allungamento del braccio lungo 𝑧 2
0 − 𝜋/ 2 prima rotazione giunto sferico attorno a 𝑧 3 = 𝑧 2
ﬂessione polso sferico attorno a 𝑧 4
terza rotazione giunto sferico attorno a 𝑧 5
H.5 Elbow Arm (Pagg.149-153)
L’Elbow Arm `e descritto dai seguenti parametri di Denavit e Hartenberg:
rotazione della torretta attorno all’asse 𝑧 0
elevazione dell’ avambraccio attorno 𝑧 2
𝑎 4 − 𝜋/ 2 prima rotazione giunto sferico attorno a 𝑧 3
H.6. METODO DEL GRAFO DI PAUL; METODO SCISSIONE CATENA CINEMATICA (§ 6.7.1 E § 6.7.2 PAGG.154-155)1009
Fig. 6.14 Le otto soluzioni del robot 6R (Elbow Arm). Per 𝜗 1 = 𝜗 𝑎 (braccio in avanti) il manipolatore pu`o raggiungere le conﬁgurazioni 1, 2, 3 e 4, mentre per 𝜗 1 = 𝜋 − 𝜗 𝑎 (indietro) pu`o raggiungere le altre (5, 6, 7 e 8). Per ciascuno dei due casi precedenti il TCP in confronto del centro del polso pu`o stare in fuori (a) o in dentr o (b). Inﬁne per ciascuna dei 4 casi citati il gomito pu`o stare in alto o in basso.
Enumerazione delle 8 soluzioni dell’Elbow Arm
𝑘 1
𝑘 3
𝜗 3
𝜗 4
𝜗 234
gi`u
𝜗 𝑐 1
𝜋 − 𝜗 𝑎
𝜋 − 𝜗 𝑏2
𝜋 − 𝜗 𝑏1
𝜋 − 𝜗 𝑏4
𝜋 − 𝜗 𝑏3
− 𝜗 𝑐 1
± 𝜋
𝜗 𝑐 2
− 𝜗 𝑐 2
6 Dietro
7 Dietro
8 Dietro
− 𝜗
- 𝜗
𝜋 − 𝜗 𝑒
− 𝜋 + 𝜗 𝑒
𝜗 𝑓 − 𝜋
I valori di 𝑘 1 ,𝑘 2 ,𝑘 3 sono quelli utilizzati nella selezione delle soluzioni:
𝜗 1 = atan2(𝑇 𝑦 ,𝑇 𝑥 ) + 𝑘 1 𝜋, 𝑘 1 = 0 , 1 𝜗 234 = atan2(𝑍 𝑧 ,𝑐 1 𝑍 𝑥 + 𝑠 1 𝑍 𝑦 ) + 𝑘 2 𝜋, 𝑘 2 = 0 , 1 𝜗 3 = 𝑘 3 acos( ), 𝑘 3 = − 1 , 1
Considerate le dimensioni geometriche di uno speciﬁco manipolatore ed una posa da raggiungere non `e detto che tutte le otto soluzioni elencate siano matematicamente ammissibili. Da un punto di vista matematico la non raggiungibilt`a di un punto viene veriﬁcata se l’argo mento dell’arcocoseno ha modulo maggiore di uno. Per questo tipo di manipolatore si possono avere nessuna, 4 o 8 soluzioni. Una volta identiﬁcata una soluzione, all’interno del gruppo contenete le numero 1, 2, 5 e 6 (oppure del gruppo 3, 4, 7 e 8), si pu`o aﬀermare che anche le altre del gruppo sono ammissibili. Ci`o si veriﬁca imme- diatamente in maniera geometrica osservando che per ogni soluzione con gomito alto esiste anche quella corrispondente con gomito basso e viceversa (ad es. soluzioni 1 e 2 ); inoltre per ciascuna di esse una
volta considerata una soluzione, un’altra si ottiene ruotando la tor retta (angolo 𝜗 1 ) di 180 ∘ e ribaltando il braccio da davanti a dietro o viceversa (ad es. da soluzione 2 a 5). Non `e detto invece che se esiste una soluzione con TCP in avanti esista quella in dietro o viceversa; infa tti il polso non pu`o avvicinarsi
ne allontanarsi troppo dalla torretta. A questo proposito si osse rvi che per determinare quali punti siano raggiungibili dal polso possiamo osservare che i link 2 e 3 movimentati da 𝜗 2 e 𝜗 3 deﬁniscono una zona
di piano simile allo spazio di lavoro di un robot SCARA (vedi ﬁgura 1.21).
Ovviamente non `e detto che tutte le soluzioni matematicamente ammissibili siano poi raggiungibili
ﬁsicamente infatti ogni grado di libert`a avr`a in generale limitazioni di ﬁne corsa.
Metodo del grafo di Paul; metodo scissione catena cinema- tica (§ 6.7.1 e § 6.7.2 Pagg.154-155)
Come esempio si consideri la soluzione analitica del manipolatore Elbow (§ 6.6 pagg.149-153). Tutte le volte che una coppia di equazioni `e stata sommata dopo aver moltiplicata una di esse per il seno di un’angolo e l’altra per il coseno dello stesso angolo si `e ottenuto lo stesso eﬀetto che si sarebbe ottenuto trasportando una delle matrici di posizione dal primo al s econdo membro. Ad esempio, una volta determinato l’angolo 𝜗 1 , la matrice 𝑀 01 pu`o essere portata al secondo membro ottenendo la relazione matriciale
56 = 𝑀
𝑀 06 = 𝑀 ∗
dalla quale `e pi`u facile determinare alcune relazioni tra le quali quelle dedotte dalle eq. 7 𝑏𝑖𝑠 e 8 𝑏𝑖𝑠 o quella che porta alla determinazione di 𝜗 234 ove compare 𝑐 1 𝑍 𝑥 + 𝑠 1 𝑍 𝑦 che deriva dal termine di posizione (1,3)
𝑀 ∗ . Inoltre nella soluzione del manipolatore compare il termine 𝑐 1 𝑋 𝑥 + 𝑠 1 𝑋 𝑦 che deriva dall’elemento
posizione (1,1) di 𝑀 ∗ mentre 𝑐 1 𝑇 𝑥 + 𝑠 1 𝑇 𝑦 dalla posizione (1,4). Inﬁne il termine 𝑠 1 𝑍 𝑥 − 𝑐 1 𝑍 𝑦 deriva
dalla posizione (3,3).
H.7 Metodo dei vincoli equivalenti (§ 6.7.1 e § 6.7.3 Pagg.155)
Come esempio si consideri la soluzione analitica del manipolatore Elbow (§ 6.6 pagg.149-153) dove per determinare l’angolo 𝜗 3 si `e fatto uso di alcune sostituzioni temporanee di variabili deno minate Δ𝑥 e Δ𝑦 .
Si pu`o veriﬁcare che ci`o si otterrebbe sostituendo la parte di s truttura che comprende i giunti 2, 3 e 4, e
quindi i link 2 e 3, con una struttura composta da due accoppiamenti prismatici con movimento pari a
Δ𝑥 e Δ𝑦 seguiti da un accoppiamento rotoidale che eﬀettui la rotazione 𝜗 234 . In altre parole si immagina
di sostituire la struttura di sinistra di ﬁgura 6.18 con quella di destra ponendo Δ𝑥 = 𝑎 2 𝑐 2 + 𝑎 3 𝑐 23 e
Δ𝑦 = 𝑎 2 𝑠 2 + 𝑎 3 𝑠 23 . Quindi i valori di 𝜗 2 e 𝜗 3 si ottengono osservando che il movimento dei link 2 e 3
nel piano verticale contenente l’asse 𝑧 0 ed i link in oggetto ricordano la cinematica di un manipolatore 𝑆𝐶𝐴𝑅𝐴. I termini 𝑐 234 𝑎 4 e 𝑠 234 𝑎 4 sono le proiezioni nel piano orizzontale e verticale dell’ultimo link.
H.8 Scelta coordinate, cinematica inversa numerica (Pag.170
§ 6.9.7)
In pratica alla 𝑖 -esima iterazione occorre risolvere il seguente sistema lineare
𝐽 1
𝐽 2
𝑧 𝑖
𝐽 𝑖
𝐽 𝑛 ⎦ ⎤
𝑑𝑞 𝑖
𝑑𝑞 𝑛
𝐽 𝑖 =
𝐽 Δ𝑄 𝑖 = 𝑑𝑆
= 𝐹 (𝐿 𝑖 )
𝐿 𝑖 =
Δ𝑄 𝑖 = 𝐽 − 1 𝑑𝑆
𝑎 𝑦𝑖
𝑎 𝑧𝑖
− 𝑎 𝑥𝑖
− 𝑎 𝑦𝑖
𝑎 𝑥𝑖
ove la 𝑖 -esima colonna della matrice Jacobiana `e ottenuta scegliendo ordina tamente i sei elementi non nulli di 𝐿 𝑖 , mentre la colonna dei termini noti 𝑑𝑆 `e ottenuta in maniera analoga da 𝐿 ∗ . La matrice inversa pu`o essere proﬁcuamente sostituita con la pse udoinversa per il caso di 𝑛 ∕= 6 o di posizioni vicine a conﬁgurazioni singolari. Step risolutivi della cinematica inversa
1. leggi 𝑀 𝑜𝑛 % posa da raggiungere
2. poni 𝑄 = 𝑄 0 % valore di primo tentativo
3. poni 𝑗 = 0 % contatore iterazioni
4. iterazione:
5. poni 𝑀 = 𝕀
6. per 𝑖 = 1 , 2 ,
7. calcola 𝑀 𝑟 = 𝑀 (𝑞 𝑖 , Λ 𝑖 ) % matrice di posa relativa del link 𝑖 (𝑀 𝑖− 1,𝑖 )
8. calcola 𝐿 = 𝐿 (Λ 𝑖 ) % matrice dell’asse del giunto 𝑖 in terna locale (𝐿 𝑖( 𝑖− 1) )
9. calcola 𝐿 0 = 𝑀𝐿𝑀 − 1 % matrice dell’asse del giunto in terna 0 (𝐿 𝑖(0) )
, 𝑛 % cinematica diretta (per ogni giunto)
calcola 𝑀 = 𝑀𝑀 𝑟 % matrice di posa assoluta del link 𝑖 (𝑀 0,𝑖 )
H.9. LEGGE DI MOTO “AD ACCELERAZIONE COSTANTE” (PAG.238 FIG.9.2 , PAG.249 FIG.9.18)
11. calcola 𝐽 𝑖 = 𝐹 ( 𝐿 0 ) % colonna dello jacobiano
12. ﬁne ciclo 𝑖
13. calcola Δ𝑀 = 𝑀 𝑜𝑛 − 𝑀 % errore di posa
14. se ∣∣ Δ𝑀 ∣∣ < 𝜀 % convergenza raggiunta (ﬁne algoritmo): 𝑄 calcolato correttamente
15. poni 𝑗 = 𝑗 + 1 % conta iterazioni
16. se 𝑗 > 𝑗 𝑚𝑎𝑥 % il metodo non converge (ﬁne algoritmo): 𝑄 non calcolato correttamente
calcola 𝐿 ∗ = Δ𝑀𝑀 − 1
18. calcola 𝑑𝑆 = 𝐹 (𝐿 ∗ ) % termine noto
19. calcola Δ𝑄 = 𝐽 − 1 𝑑𝑆
% incremento variabili di giunto
20. calcola 𝑄 = 𝑄 + Δ𝑄 % valore di nuovo tentativo
21. ripeti da iterazione
La funzione 𝐹 (𝐿 ) trasforma una matrice 𝐿 in una matrice colonna scegliendo ordinatamente i 6 elementi signiﬁcativi; con il simbolo Λ 𝑖 si `e indicato l’insieme dei parametri geometrici del giunto 𝑖 -esimo. Si osserva che vale:
𝐿 ∗ = ( 𝑀 0𝑛 − 𝑀 ) 𝑀 − 1 = Δ𝑀𝑀 − 1 = 𝑀 0𝑛 𝑀 − 1 − 𝕀
H.9 Legge di Moto “ad accelerazione costante” (Pag.238 ﬁg.9.2, pag.249 ﬁg.9.18)
Consideriamo una legge di moto “ad accelerazione costante” che pr eveda uno spostamento Δ𝑠 da eﬀet- tuarsi nel tempo 𝑇 . Con riferimento alle ﬁgure ed alle formule delle pagine citate, possiamo s crivere le seguenti equivalenze
Δ𝑡 1 = 𝑡 1 − 𝑡 0 Δ𝑡 2 = 𝑡 2 − 𝑡 1 Δ𝑡 3 = 𝑡 3 − 𝑡 2 𝑇 = 𝑡 3 − 𝑡 0 𝐴, 𝐷 𝑣 𝑚
𝜆 1 = Δ𝑡 1 /𝑇
primo tratto;
𝜆 2 = Δ𝑡 3 /𝑇
secondo tratto; terzo tratto;
durata totale; valore assoluto dell’accelerazione
e della decelerazione;
velocit`a massima, quella cio`e nel secondo tratto.
Δ𝑠
𝑉 𝑚 =
0 < 𝜆 1 < 1, 0 < 𝜆 2 < 1, 0 < 𝜆 1 + 𝜆 2 ≤ 1.
𝐴 = 𝑣 𝑚
𝑇 = Δ𝑠
𝑇 2
𝜆 1 + 𝜆 2
𝜆 1 ( 1 −
𝑇 ( 1 −
𝐷 = 𝑣 𝑚
𝜆 2 ( 1 −
quindi i coeﬃcienti di velocit`a nonch´e quelli di accelerazione pos itiva e negativa valgono
𝑐 𝑣 =
( 1 − 𝜆 1 + 𝜆 2
𝐶 𝑎 + =
𝜆 1 ( 1 − 𝜆 1 + 𝜆 2
𝐶 𝑎 − =
𝜆 2 ( 1 − 𝜆 1 + 𝜆 2
Nel caso di leggi di moto simmetriche si ha ovviamente 𝜆 = 𝜆 1 = 𝜆 2 , 𝐶 𝑎 = 𝐶 𝑎 + = 𝐶 𝑎 − . Le deﬁnizioni date di 𝐴 accelerazione, 𝐷 decelerazione, 𝐶 𝑎 + e 𝐶 𝑎 − sono corrette nel caso di movimento positivo (Δ𝑠 > 0); nel caso di movimento negativo (Δ𝑠 < 0) le formule di 𝐴 e 𝐷 si scambiano tra loro come anche quelle di 𝐶 𝑎 + e 𝐶 𝑎 − .
H.10 Traiettoria circolare per 3 punti (Pag. 264)
La rotazione `e sempre positiva e l’asse di rotazione `e calcolato con la formula
(𝑃 2 − 𝑃 1 ) × (𝑃 0 − 𝑃 1 ) ∣∣ (𝑃 2 − 𝑃 1 ) × (𝑃 0 − 𝑃 1 )∣∣
L’ampiezza della rotazione da 𝑃 0 a 𝑃 2 passando per 𝑃 1 si calcola in due passi. Innanzitutto, considerato il triangolo 𝑃 0 𝑃 1 𝑃 2 , si calcola l’angolo in 𝑃 1 indicato in ﬁgura come 𝜙 ′ dal prodotto scalare tra i vettori (𝑃 2 − 𝑃 1 ) e (𝑃 0 − 𝑃 1 ). Inﬁne l’angolo di rotazione 𝜙 si ottiene ricordando che, considerato un arco di circonferenza, l’angolo alla circonferenza `e la met`a dell’angolo al ce ntro. In questo caso interessa l’angolo explementare
𝜙 = 2 𝜋 − 2 𝜙 ′ = 2 𝜋 − 2 acos (
Figura H.15: Segmento circolare per 3 punti:
caso generale 3D. L’asse 𝑧 `e entrante nel foglio nell’esempio di sinistra, uscente in quello di destra.
(𝑃 2 − 𝑃 1 ) ⋅ (𝑃 0 −
∣∣ (𝑃 2 − 𝑃 1 )∣∣ ∣∣ (𝑃 0 − 𝑃 1 )∣∣ )
Figura H.16: Segmento circolare per 3 punti:
caso piano 𝑥𝑦 . A sinistra rotazione antioraria, a destra oraria.
Casi singolari L’arco da percorrere non `e deﬁnito e la procedura non `e applicabile se i tre punti risultano allineati o se due di essi coincidono. In questo caso si pu`o generare un seg mento rettilineo. Queste condizioni si identiﬁcano osservando che in questi casi si veriﬁca almeno una de lle due identit`a ∣∣ 𝑉 1 × 𝑉 2 ∣∣ = 0, 𝑉 1 = ± 𝑉 2 .
Cerchio nel piano 𝑥𝑦
Nel caso si debba generare un arco di cerchio nel piano 𝑥𝑦 non `e necessario utilizzare la procedura indicata, ma si pu`o pi`u semplicemente implementare la procedura seguente . Innanzitutto si calcolano gli angoli 𝛼 𝑖 che rappresentano l’inclinazione dei vettori 𝑃 𝑖 − 𝑃 𝑐 rispetto all’asse delle 𝑥 nonch´e la loro diﬀerenza con
𝛼 0
𝛼 𝑖 = atan2 (𝑃 𝑦𝑖 − 𝑃 𝑦𝑐 ,𝑃 𝑥𝑖 − 𝑃 𝑥𝑐 ) 𝑖 = 0 , 1 , 2
Δ𝛼 𝑖 = mod (𝛼 𝑖 − 𝛼 0 , 2 𝜋 )
𝑖 = 1 , 2
dove l’operatore “mod” (modulo) indica che l’angolo va espresso nell’intervallo 0 ÷ 2 𝜋 ; quindi, ad esempio, `e necessario aggiungergli 2 𝜋 se `e negativo. L’angolo eﬀettivo di rotazione 𝜙 si calcola quindi con due diverse modalit`a assecondo che l’arco debba essere percorso con verso orario (angolo positivo) o antiorario (negativo)
Δ𝛼 2
Δ𝛼 2 − 2 𝜋
{ 𝑥
= 𝜌 cos(𝛼 + 𝛼 0 )
𝑦 = 𝜌 sin(𝛼 + 𝛼 0 )
Δ𝛼 2 > Δ𝛼 1
Δ𝛼 2 < Δ𝛼 1 antiorario
0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜙 𝛼 = 𝜆/𝜌
H.11. EFFETTO ELASTICIT A NELLE TRASMISSIONI (PAG.294 § 10.5.5)
𝑟, 𝑘
′ (𝑠 )
(𝑠 )
𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑒
/𝜏
Figura H.17: Schema di un azionamento ad un grado di libert`a con riduttore di velocit`a ed elasticit`a
nella trasmissione e possibili schemi di retroazione.
Figura H.18: Schema equivalente di un azionamento ad un grado di libe rt`a senza riduttore di velocit`a (𝜏 = 1) ed elasticit`a nella trasmissione e possibili schemi di retroazione .
H.11 eﬀetto elasticit`a nelle trasmissioni (Pag.294 § 10.5.5)
H.11.1 Introduzione, misura diretta e indiretta di posizio ne
Si considera il caso in cui si voglia controllare il movimento di un orga no meccanico che si trova al ter-
mine di una catena cinematica che include elementi elastici. In questo caso il movimento dell’organo
in questione pu`o essere signiﬁcativamente diﬀerente da quello che s i potrebbe dedurre immaginando la
trasmissione perfettamente rigida. Consideriamo il caso in cui l’elasticit`a si possa ritenere concentrata in un punto.
Facciamo riferimento alle ﬁgure H.17, H.18 e H.19 La retroazione di velocit`a `e sempre ottenuta misurando il movime nto dell’albero motore, mentre quella
posizione pu`o basarsi sulla misura del movimento del motore o su quella del carico. Nel primo caso
parla di misura indiretta di posizione, nel secondo di misura diretta. In caso di trasmissione ideale
rigida, con misura diretta o indiretta di posizione, si otterrebber o risultati identici tuttavia nei casi
pratici si possono ottenere risultati molto diversi.
retroazione con misura diretta permette di avere maggiore pre cisione di movimento perch´e la retroazio-
tiene conto del movimento eﬀettivo del carico compensando eve ntuali errori nella trasmissione dovuti
a imperfezione geometrica, giochi o deformazione dovute dai carichi. Tuttavia rischia di rendere instabile
il sistema nel caso in cui la trasmissione abbia cedevolezza signiﬁcativa o giochi e sia presente un elevato attrito statico (o a basse velocit`a) che potrebbero determinare il fenomeno dello stick-slip.
Inoltre, nel caso di movimenti rotatori con misura tramite encoder, il posizionamento del trasduttore sull’albero motore da una migliore risoluzione di misura a causa della riduz ione e consente l’impiego di trasduttori con meno tacche al giro. Infatti un encoder con un numero 𝑁 𝑠 di passi al giro garantisce una risoluzione angolare pari a Δ𝜗 = 2 𝜋/ (4 𝑁 𝑠 ). Il fattore 4 `e valido per i normali encoder incrementali con canali in quadratura. Se tra encoder e carico `e presente un riduttore di velocit`a con riduzione pari a 𝜂
si ottiene una risuluzione pi`u elevata e pari a Δ𝜗 = 2 𝜋𝜏 / (4 𝑁 𝑠 ) (generalmente 𝜏 < 1). Quindi per avere
una preﬁssata risoluzione occorre un numero di passi 𝑁 𝑠 ≥ 2 𝜋/˙ (4 𝜏 Δ𝜗). Inﬁne nel caso di moderni motori brushless con resolver, l’adozio ne di una misura indiretta consente il risparmio di un trasduttore in quando il resolver consente sia la misura della posizione che della velocit`a.
In ogni caso, per motivi costruttivi, nei manipolatori industriali non `e quasi mai possibile realizzare una
misura diretta di posizione, mentre lo `e quasi sempre negli assi a g eometria cartesiana delle macchine utensili ove una riga ottica (o altro dispositivo di misura) pu`o esser e agevolmente accostato al carro mobile (ﬁgura H.19).
La decisione sull’utilizzo della misura diretta o indiretta di posizione va fa tta di volta in volta.
riga (ottica)
(azionamento)
CNC o plc o
Figura H.19: Retroazione tramite misura diretta o indiretta di posizione (schema di principio).
Figura H.20: Schema equivalente lineare di una trasmissione con elastic`a.
H.11.2 Modello di controllo con trasmissione elastica
Lo schema di riferimento `e quello di ﬁgura H.17 che come vedremo pu`o essere trasformato in quello equivalente di ﬁgura H.18. I simboli hanno il seguente signiﬁcato
𝜗 1 = 𝜗 2 /𝜏 𝜗
Ω = 𝜗
Ω 1 = 𝜗 1
Ω 2 = 𝜗 2
𝜏 = Ω 2 = 𝜗 2
𝐽 1 = 𝜏 2 𝐽
𝐶 2𝑟
𝐶 𝑟 = 𝜏𝐶 2𝑟
posizione angolare del motore; posizione angolare equivalente del carico per 𝜏 = 1;
posizione angolare del carico;
velocit`a del motore;
velocit`a del carico dopo la connessione elastica equivalente;
velocit`a del carico;

References: § 6
 § 2
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