Source: https://es.scribd.com/doc/60592890/Analisis-Combinatorio
Timestamp: 2016-12-06 08:17:37+00:00

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NavegarInteresesBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultNavegar porLibrosAudio librosArticlesPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarse1UNA COMIDA GRATIS
- Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme.
- Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos.
La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con el objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas. Sin embargo, no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el número total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Éstas son exactamente 3’628,800. Es fácil calcular, que este número de días son casi 10,000 años. Posiblemente a ustedes les parecerá increíble que 10 personas puedan colocarse en un número tan elevado de posiciones diferentes. Podrías comprobar esto cálculos?
..(n-2).
II. ¿QUE ES EL ANÁLISIS COMBINATORIO?
La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de la Matemática que estudia las diferentes maneras en que se pueden formar agrupaciones entre elementos de uno o más conjuntos y como contar ordenadamente su número. la notación es:
y significa la suma abreviada de los n términos: a1 + a2 + a3 + .
Profesor: Javier Trigoso T.5.5! = 6. El desarrollo de una sumatoria se obtiene asignando a i.(n-1).3.. el símbolo característico es "!". + an. sumatoria
i1 i
de ai con i variando de 1 a 7...n o bien: n! = n. El analisis combinatorio exige el conocimiento de ciertas reglas y métodos para determinar el número o la manera de formar diferentes grupos con los elementos de un conjunto.4! En general: n. Nos ocuparemos entonces de la correcta aplicación de tales reglas y procedimientos.
Si el índice i es variable desde 1 a n.3.1 De la definición se deduce que el factorial de un número es igual al producto de dicho número por el factorial del anterior.. Por ejemplo.(n-1)!= n! Además se define: 0! = 1 y 1! = 1.2
1. como así también de la definición de algunos símbolos que nos servirán en el desarrollo de este capítulo.. para indicar la suma: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 escribimos:
Sigma (Σ) es la
decimoctava letra
del alfabeto griego..4. Ejemplo 2: n! = 1.2.
 a y se lee.El símbolo de sumatoria: permite abreviar la notación de una suma cuyos términos admiten cierta ley de formación. Matemática 1
3! = 6 4! = 24 5! = 120
.2. cada uno de los sucesivos valores de su rango de variación y sumando los términos así obtenidos. Ejemplo 3: 6! = 6. I.Factorial de un número: el factorial de un número natural n mayor que uno (1) es igual al producto de los n primeros números naturales.
 Pintar un dibujo de 2 figuras. Ejemplo 1: Javier puede viajar de Lima a Cuzco por vía áerea. entonces la operación que consiste en hacer A o B (no ambas simultáneamente. pueden efectuarse de una o varias maneras. a través de líneas de omnibus. sino la una o la otra) podrá ocurrir de (m + n) formas distintas. ¿De cuántas maneras puede Javier realizar el viaje de Lima a Cuzco?
Profesor: Javier Trigoso T. se utilizará dos principios fundamentales de conteo:  Principio de Adición.  Escribir una palabra de 6 letras utilizando 4 consonantes y 2 vocales señaladas.
.  Principio de Multiplicación. puede realizarse de m maneras diferentes y otra operación o actividad B. La regla se puede ampliar a más de dos tareas siempre que no haya dos de ellas que se puedan efectuar simultáneamente. Para tales casos es útil conocer determinadas técnicas de conteo que facilitaran el cálculo señalado y será el medio adecuado para resolver estos problemas. Estas operaciones que señalamos. 1.  Designar 2 delegados de 30 personas. puede realizarse de n maneras diferentes. Principio de Adición: Si una operación o actividad A. se observa que una operación (o actividad) aparece en forma repetitiva y es necesario entonces conocer la cantidad de formas o maneras que se pueda realizar dicha operación.  Ordenar 7 objetos en 10 casilleros. usando 2 líneas de transporte áereo o por vía terrestre.  Elegir un camino de 10 posibles. para encontrar la cantidad de formas.3
En determinados problemas. Ejemplos:  Señalar las prendas que utiliza una persona para vestirse. con 5 colores posibles. Las operaciones o actividades que se presentan serán designadas como eventos. El análisis combinatorio es lo que puede llamarse una forma abreviada de contar.
Profesor: Javier Trigoso T. no se realizan simultáneamente. deja de utilizar la otra.
. el total de formas es: 2 + 3 + 1 = 6
2. ¿De cuántas formas podrá cruzar Manuel el río utilizando uno de los medios de transporte señalados? Resolución Puede utilizar: 2 botes (2 formas) 3 lanchas (3 formas) 1 deslizador (1 forma)
Como al usar una. ¿Cuántos uniformes distintos se pueden
componer con las camisetas y pantalones disponibles? Resolución Por el principio de multiplicación serán: 4 x 5 = 20 uniformes diferentes. Principio de Multiplicación: Si una operación o actividad A.
Ejemplo 1: Un equipo de basquet tiene que elegir un nuevo uniforme. puede realizarse de m maneras diferentes y cuando ha sido efectuada por cualquiera de esas maneras. Como al utilizar una. y ya no utiliza la vía aérea.4 Resolución Según el enunciado Javier puede viajar de Lima a Cuzco de las siguientes formas:  Por vía terrestre. y ya no utiliza la terrestre. para ello puede utilizar 2 botes. o  Por vía aérea. no necesita utilizar las otras. entonces ambas operaciones o actividades podrán efectuarse de (m x n) maneras distintas. 3 lanchas pequeñas o un deslizador. Para ello debe escoger entre 4 camisetas y 5 pantalones con diferentes colores. se realiza otra operación o actividad B que puede efectuarse de n maneras diferentes. Por el principio de adición: Por vía aérea: 2 formas Podrá viajar de (2 + 3) = 5 formas Por vía terrestre: 3 formas Ejemplo 2: Manuel desea cruzar un río.
1. para tomar diferentes agrupaciones. representado como Pn. PERMUTACIÓN: Se llama así a un arreglo u ordenación de todos o parte de los elementos de un conjunto considerando el orden en que se encuentran. ¿De cuántas formas pueden ir. si todos tienen licencia de conducir? Resolución Es una permutación lineal de ocho elementos tomados de ocho en ocho.3.1 = 120
Ejemplo 2 Ocho amigos planean salir de viaje en dos automóviles de modo que irán 4 en cada vehículo.1 = 6 840
Profesor: Javier Trigoso T. y es el 1.
.5. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí. Calculamos el número de posibilidades: P8 = 8! = 8.2. se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos. el número de permutaciones. Calculamos el número de posibilidades: P5 = 5! = 5.2. Para n objetos diferentes. que se puede obtener con los n objetos está dado por:
Ejemplo 1: ¿Cuántas posibilidades de ubicación tienen cinoc alumnosb al sentarse en cinco sillas colocadas en línea recta? Resolución Es una permutación lineal de cinco elementos tomados de cinco en cinco. para la segunda tenemos dos posibilidades.
MÉTODOS DE CONTEO: En diferentes casos. al igual que para la tercera y la cuarta.3. que se van a distinguir por el orden en que están colocados dichos elementos o por la naturaleza de alguno de ellos.4. luego el número es: 1 x 2 x 2 x 2 = 8.6.7. serán llamadas agrupaciones sin repetición y si algunos de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición.4.5 Ejemplo 2: ¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con unos y ceros? Resolución Para elegir el primer número sólo tenemos una posibilidad.
¿Cuántos mensajes diferentes se pueden enviar si no es obligatorio utilizar todas las banderas? 07. 3 amarillas. de n elementos está dado por:
Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras distintas podrán sentarse 4 niños alrededor de una mesa circular?
Resolución Se deberá de encontrar las diferentes ordenaciones de 4 elementos (niños) alrededor de un centro (mesa). en un auto de 5 asientos si sólo 2 de ellas saben manejar? 06. Se quiere tomar una foto a un grupo de 8 alumnos pero en la foto. 01. I. Un club tiene 13 miembros de los cuales 6 son hombres. vicepresidente y vocal) pueden formarse. Se tiene 3 rosas rojas. de tal manera que tengan por lo menos una rosa de cada color?
2. estará dado por:
Profesor: Javier Trigoso T. Se lanza simultáneamente 3 dados de diferente color. si las mujeres se sientan siempre juntas? 02. sólo pueden aparecer 5 alumnos sentados en línea recta. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros (presidente. ¿De cuántas. De un grupo de seis amigos 2 hombres y 4 mujeres van al cine y encuentran una fila libre de seis asientos. si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente tiene que ser hombre? 04. si los hombres se sientan en los extremos? III. ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse? II. ¿De cuántas formas se pueden acomodar y viajar 5 personas de un grupo de 6. 3 blancas y 2 rosadas.6 PARA LA CLASE…. ¿De cuántas. ¿De cuántas maneras se puede tomar dicha foto? 03. PERMUTACIÓN CIRCULAR: Es un arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto alrededor de un objeto (o centro) señalado. ¿De cuántas maneras distintas puede obtenerse por suma un número mayor que 4? 05.
. ¿Cuántos ramos de 6 rosas se puede formar. denotado como Pc. Con 4 banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. El número de permutaciones circulares.
k3 . se ubican 6 vasos
diferentes. km es el número de veces que se repite cada elemento.. si tres de ellas deben estar siempre juntas? 10..2. esta denotado por:
Donde k1 . En su campamento por Semana Santa. 08.. ¿de cuántas maneras se podrán sentar 5 amigas alrededor de una fogata? 09. k2 . esto es. hay elementos que se repiten.. 2 bolas amarillas y 3 bolas azules.
Ejemplo 1: Con 2 bolas rojas..3
7!  210 2!2!3!
... ¿De cuántas formas pueden ser ubicados? Resolución
P  6   6  1 !  5!  120 c
PARA LA CLASE…. ¿De cuántas formas podrán hacerlo si el asiento vacío debe quedar entre las niñas?
3. ¿De cuántas formas podrán ubicarse. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN: Es un arreglo en el cual no todos los elementos son distintos entre sí. Alrededor de una mesa circular de seis se ubican dos niñas y tres niños.. Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular. El número de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar?
7  Se tendrá: P 2.7
P  4    4  1 !  3!  6 c
Ejemplo 2: Alrededor de una torta de cumpleaños.
Un barman va a colocar en hilera sobre la barra de un bar: 8 vasos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 chicas en una banca para 7. 6!  180 Luego: P6  2. tomándolos de 3 en 3.2. la letra A 2 veces y las letras P e I una vez cada una. si dos de ellas quieren sentarse en los extremos? Podemos señalar que la letra T se repite 2 veces. En general con n elementos diferentes. ¿Cuántas palabras diferentes.8 Ejemplo 2: ¿De cuántas formas deferentes se pueden ordenar las letras de la palabra TAPITA? Resolución PARA LA CLASE…. 2 contienen tequila y uno contiene vino tinto.
ningún orden. estará dado por las permutaciones de n objetos agrupados de k en k. pero dividido entre el número de permutaciones de k elementos que se pueden obtener.1 2!2!1!1!
4. el número de combinaciones que se pueden obtener agrupando de k en k (k ≤ n). no necesariamente pronunciables o con sentido.1. 5! 4. 11.2
.COMBINACIÓN: Es una selección o agrupamiento que se puede formar con los elementos de un conjunto (los elementos deben de ser diferentes). lo que sí interesa es el grupo formado.
Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger 3 niños de un total de 5? Resolución Al señalar que vamos a “escoger”. se pueden formar con todas las letras de la palabra TERREMOTO? 12. 5 de los cuales contienen whisky. ¿De cuántas formas lo podrá ordenar? 13.5 5 C3    10 2!3! 1. luego se trata de combinar 5 elementos. indica que no se necesita indicar
al segundo 3 y el resto al tercer alumno? 16. ¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos.6. 01. la PARA LA CLASE…. Beatriz. Para ir de la ciudad A a la ciudad D hay que pasar por las ciudades B y C a través de las carreteras que se indican en la figura: 02. ¿Cuál es el número de colocaciones diferentes de 7 libros en una estantería de modo que tres libros
El número de posibles recorridos distintos es: A) 10 B) 15 C) 25 D) 30 E) 45
7 C3 
comisión será la misma a que la nombremos como la integrda por Alberto. ¿De cuántas maneras puede adquirir una persona un ejemplar de dicho producto? A) 148 B) 17 C) 168 D) 24 E) 236 03. si al primero del damos 2. Al final de un torneo de ajedrez se clasifican 5 jugadores. José y Alberto.5   35 4!3! 1. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar dicha comisión? Resolución Digamos que una comisión está formada por Luis.3
PARA LA CASA…. luego se buscará el número de combinaciones de 7 elementos agrupados de 3 en 3.
7! 7.2. 14. Luis y José.9 Ejemplo 2: De un grupo de 7 personas se quiere formar una comisión de 3 personas. ¿Cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos. Un producto se vende en 3 mercados en el primero se tienen disponibles 7 tiendas en el segundo en 4 tiendas y en el tercero en 6 tiendas. Carlos y Diego se debe elegir una comisión formada por tres personas. Vemos que no interesa el orden.
. Entre Ana. ¿De cuántas formas distintas se puede elegir la comisión? 15.
Marita tiene 3 minifaldas y 6 blusas. ¿De cuántas maneras se podrá hacer el viaje de ida y vuelta.10 determinados estén siempre separados entre sí? A) 1 520 B) 1 634 C) 1 440 D) 1 780 E) 1920 04. Se quiere confeccionar banderas tricolores de franjas horizontales. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que
.3. En una bolsa hay 15 bolas azules. ¿de cuántas maneras puedo obtener lograr una suma igual a 6? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 14. ¿cuántas banderas se podrán hacer? A) 60 B) 120 C) 144 D) 180 E) 210 11. En el hipódromo. ¿De cuántas maneras se puede ir de “x” a “w”? A) 59 B) 24 C) 35 D) 61 E) 16 13. 13 rojas y 17 verdes.7. ¿De cuántas se podrá vestir. ¿de cuántas maneras distintas pudieron llegar los restantes? A) 24 B) 120 C) 240 D) 480 E) 720 10. ¿De cuántas maneras diferentes. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular para jugar casino. en la primera carrera corren 7 caballos. 8 para ir de “x” a “z”.8y 9 A) 360 B)240 C)180 D) 120 E)90 12. 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sientan juntos? A) 864 B) 1 728 C) 688 D) 892 E) 1 700 06. Hay 3 caminos para ir de “x” a “y” . 2 peruanos. 7 para ir de “y” a “w” y 5 para ir de “z” a “w”. abordando una aerolínea distinta al regreso? A) 10 B) 8 C) 9 D) 20 E) 25 08. ¿De cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos. Para viajar de Miami a Puno se pueden abordar 5 aerolíneas diferentes. ¿Cuántos números pares de 4 cifras distintas pueden formarse con los dígitos 2. si la minifalda azul siempre debe usarla con la blusa amarilla?
A) 18 D) 13
B) 16 E) 11
09. debiendo estar cada uno en hoteles diferentes? A) 60 B) 24 C) 120 D) 720 E) 30 05. Si “Rex” fue descalificado. Si se disponen de 7 colores distintos.4. Al lanzar dos dados. 12 blancas. sí éstas parejas juegan siempre juntas? A) 120 B) 16 C) 48 D) 144 E) 48 07. Cinco viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hoteles.
¿De cuántas maneras se pueden ordenar la palabra EXAMENES si no puede haber dos “E” adyacentes? A) 2 100 B) 2 400 C) 3 200 D) 5 100 E) 5 400 18. en una misma fila. ¿Cuántas elecciones distintas se pueden hacer? A) 21 B) 28 C) 35
Profesor: Javier Trigoso T. Si de las 6 primeras preguntas deben contestar por lo menos 5. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. papaya. donde desean acomodarse. melón. Con las frutas: plátano. Hay 7 candidatos. portugués y alemán?
. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el estudiante debe contestar 10.
20. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las tres chicas no quieren estar una al costado de la otra? A) 10 B) 16 C) 18 D) 15 E) 12 24. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran 5 asientos juntos. Un palco de 4 asientos. ¿Cuál es el menor número de medias que hay que sacar para estar seguro de haber extraído un par de medias del mismo color? A) 4 B) 10 C) 13 D) 3 E) 5 16. ¿Cuántos diccionarios bilingües hay que editar si consideramos los idiomas: español.11 debe tomar para tener la seguridad de haber extraído un color por completo? A) 48 B) 56 C) 17 D) 55 E) 54 15. Si sólo 2 saben conducir. es vendido a 2 parejas. inglés. francés. ¿De cuántas maneras diferentes podemos acomodar si cada pareja quiere estar junta? A) 2 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4 21. piña y mamey. En un cajón se encuentran 3 pares de medias blancas. ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? A) 15 B) 36 C) 51 D) 21 E) 27 23. 2 pares de medias azules y 4 pares de medias marrones. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra “JAPANAJA”? A) 81 B) 840 C) 120 D) 8 E) 64 17. ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse? A) 24 B) 60 C) 120 D) 240 E) 360 22. ¿Cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer? A) 13 B) 10 C) 25 D) 32 E) 31 19. Una organización estudiantil tiene que elegir un delegado y un subdelegado.
Luis. hace cigarrillos con las colillas que recoge del suelo. tesorero y un secretario. ¿De cuántas maneras lo podrán hacer con la condición de que no queden juntos dos hombres? A) 576 B) 625 C) 480 D) 25 E) 24 26.com/sapini/docs
Profesor: Javier Trigoso T.12 A) 2 D) 9 B) 5 E) 7 C) 10 28. sin que se repita ninguna palabra y sin importar si las palabras tienen o no sentido? A) 6 B) 24 C) 48 D) 120 E) 146 30. ¿De cuántas maneras diferentes se puede verter una persona que tiene 6 ternos (2 iguales). En una reunión hay 40 damas y 20 varones. vice-presidente. 2 pares de zapatos. ¿Cuántos hará con 49 colillas? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 9 29. 2 mujeres y un niño de modo que a la derecha e izquierda del niño se encuentre siempre una mujer? A) 12 B) 18 C) 8 D) 36 E) 24 27.
. ¿De cuántas formas se pueden sentar en una fila de 5 asientos: 2 hombres. 5 pares de medias (3 iguales). 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)? A) 420 B) 280 C) 288 D) 840 E) 2 800
http://issuu. La condición es que el tesorero sea una dama y el secretario un varón y nadie puede ocupar más de un cargo. ¿Cuántas palabras diferentes que terminen en “O” pueden obtenerse con las letras de la palabra “MÉDICO”. Si necesita 7 colillas para hacer un cigarrillo. Se desea elegir un presidente. Entonces el número de maneras en que puede elegirse ese grupo directivo es igual a: A) 2 644 800 B) 2 844 600 C) 2 866 400 D) 3 088 400 E) 3 244 800
25. Se tiene una mesa redonda en la cual se pueden sentar 5 mujeres y 5 hombres.
Análisis+Combinatorio por Jesus Ignacio Hernandez262 visitaInsertarDescargaLeer en Scribd móvil: iPhone, iPad y Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Precio de lista: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMás informaciónMostrar menos

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