Source: https://es.scribd.com/doc/3920465/doc-primaria-division
Timestamp: 2016-05-07 00:50:43+00:00

Document:
SubirSign inJoinBooksAudiobooksComicsSheet MusicEditors' Picks BooksHand-picked favorites from our editorsEditors' Picks AudiobooksHand-picked favorites from our editorsEditors' Picks ComicsHand-picked favorites from our editorsEditors' Picks Sheet MusicHand-picked favorites from our editorsTop BooksWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop AudiobooksWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop ComicsWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop Sheet MusicWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreCategoriesArts & IdeasBiography & MemoirBusiness & LeadershipChildren'sComputers & TechnologyCooking & FoodCrafts & HobbiesFantasyFiction & LiteratureHappiness & Self-HelpHealth & WellnessHistoryHome & GardenHumorLGBTMystery, Thriller & CrimePolitics & EconomyReferenceReligionRomanceScience & NatureScience FictionSociety & CultureSports & AdventureTravelYoung AdultCategoriesArts & IdeasBiography & MemoirBusiness & LeadershipChildren'sComputers & TechnologyCooking & FoodFantasyFiction & LiteratureHappiness & Self-HelpHealth & WellnessHistoryHome & GardenHumorLGBTMystery, Thriller & CrimePolitics & EconomyReferenceReligionRomanceScience & NatureScience FictionSociety & CultureSports & AdventureTravelYoung AdultCategoriesAdaptationsChildren’sCrime & MysteryFictionHumorMangaNonfictionRomanceSciFi, Fantasy & HorrorSuperheroesYoung AdultPublishersArcanaArchie ComicsBOOM! StudiosDynamiteIDW PublishingKingstone ComicsMarvel ComicsSpace Goat ProductionsTop Cow ComicsTop Shelf ProductionsValiant Comics ZenescopeDifficultyBeginnerIntermediateAdvancedMixedInstrumentBrassDrums & PercussionGuitar, Bass, and FrettedPianoStringsVocalWoodwindsGenreClassicalCountryFolkJazz & BluesMovies & MusicalsPop & RockReligious & HolidayStandardsWelcome to Scribd! Start your free trial and access books, documents and more.Find out moreDivisión en 5o y 6o año de la escuela primariaUna propuesta para el estudio de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto
Provincia de Buenos Aires Gobernador Ing. Felipe Solá Directora General de Cultura y Educación Dra. Adriana Puigróss Vicepresidente 1° del Consejo General de Cultura y Educación Lic. Rafael Gagliano Jefe de Gabinete Lic. Luciano Sanguinetti Subsecretario de Educación Ing. Eduardo Dillon Directora Provincial de Educación Superior y Capacitación Educativa Lic. María Verónica Piovani Directora de Capacitación Lic. María Alejandra Paz Directora Provincial de Educación Primaria Prof. Mirta Torres Directora de Gestión Curricular Lic. Patricia Garavaglia Director Provincial de Información y Planeamiento Educativo Lic. Carlos Giordano Director de Producción de Contenidos Lic. Santiago Albarracín
División en 5o y 6o año de la escuela primaria
Presentación ……………………………………….........................................................…………………….. 7
Acerca de la enseñanza de la división en la escuela primaria ................................. 9
Una propuesta para trabajar las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto ... 13
Primera etapa: la división como herramienta para resolver problemas de organización rectangular ...................................................................................... 14 Segunda etapa: cómo averiguar el dividendo y el divisor a partir del cociente y el resto ......................................................................................................... 20 Tercera etapa: cómo varían el resto o el dividendo cuando se modifican los otros números ................................................................................................................ 24 Cuarta etapa: cómo determinar divisor y resto o dividendo y cociente. Cómo averiguar el resto usando la calculadora .................................................. 30 Quinta etapa: reorganizar los problemas y sistematizar el estudio .............. 37
Anexo: problemas de las diferentes etapas..................................................................... 41
Bibliografía................................................................................................................................ 45
DGCyE / Subsecretaría de Educación 6
Los documentos mencionados están disponibles en el portal www.abc.gov.ar y en www.buenosaires.gov.ar.
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 7
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 9
vía de entrada al uso de 1/4 o 1/2. En otros problemas el resto exige considerar “uno más”, por ejemplo: “Se quieren ordenar 26 discos compactos en estuches con capacidad para 6 discos. ¿Cuántos estuches se necesitan? Si bien el cociente es 4, al sobrar 2, se necesita un estuche más. La respuesta al problema será: “5 estuches”. En estos grados, simultáneamente a trabajar una diversidad de problemas, es posible abordar algunas relaciones entre multiplicación y división. Por ejemplo: “Si se usa que 5 x 7 = 35, ¿cuánto será 35 : 5? ¿Y 35 : 7?”. También será interesante presentar cálculos mentales antes de conocer los algoritmos: 1000: 2= 5000:5= 500:2= 2000: 4= . Entre 3º y 4º los alumnos pueden estudiar diferentes algoritmos de la división, tales como aquellos en los que se evidencian las restas explicitando los pasos intermedios –siendo por ello más extenso y a la vez más transparente–. Por ejemplo: 4560 -4000 560 - 400 160 - 160 0 4 1000 100 +
Estos problemas aparecen en documentos ya mencionados como problemas de “iteración” o “congruencia”. Estos problemas aparecen en documentos ya mencionados como problemas de organizaciones rectangulares y serán abordados en la primera etapa de este documento. 4 Otras propuestas similares en Broitman, C. (2005).
El estudio de las propiedades de las operaciones entre 5º y 6º grado permitirá incluso avanzar hacia la anticipación de resultados sin hacer cálculos. Por ejemplo: “¿Dará lo mismo 144 : 12 que 144: 4 : 3? ¿Y que 144: 6 : 2?”. “A partir del cálculo 13200: 3= 4400, ¿cuánto será el resultado de 13200: 6? ¿Y 13200: 12?”. En 6º año se espera, a su vez, que se inicien en el estudio de los criterios de divisibilidad y en el uso de conceptos de múltiplos y divisores para resolver una amplia gama de problemas que involucran también la división. Por ejemplo: “¿Será cierto que si un número termina en 3 es múltiplo de 3?”. “¿Será cierto que si divido a un número por 12 y su resto es 0, si lo divido por 6 también el resto será 0?” Es importante vincular estos conceptos con los problemas antes mencionados (de iteración), por ejemplo: “Si estoy en el número 136 y doy saltos para atrás de 3 en 3, ¿llegaré justo al 0?”. Hemos planteado algunos aspectos de un recorrido –excesivamente sintético e incompleto– para enfatizar el largo plazo en el estudio de este concepto y mostrar la diversidad de aspectos que compromete. Saber dividir implica reconocer a la división como herramienta de resolución en las mencionadas clases de problemas y dominar cada vez más variadas estrategias de cálculo mental, estimativo, algorítmico y con calculadora. En 5º y 6º año es importante también que los alumnos se enfrenten a la resolución de problemas que les permitan “dar una vuelta de tuerca” sobre la división, analizando, con más profundidad las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto6. Este será el tema de este documento.
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 11
Este tipo de problemas permite estudiar un nuevo aspecto de cómo funciona la división, herramienta a la que se ha recurrido para resolver diversidad de problemas en años anteriores y sobre la que ahora se propondrá una mirada más “interna” respecto de su funcionamiento. La propuesta sobre la enseñanza de la división que se presenta a continuación fue trabajada con alumnos de 6° año en el marco del proyecto Desafío matemático durante el año 2006 en las escuelas de gestión pública de la provincia de Buenos Aires. La intención de comunicarla tiene el doble propósito de promover el análisis de lo sucedido durante su implementación –dirigida especialmente a los docentes participantes del proyecto– y, a su vez, ser comunicada como propuesta a todos los docentes de escuela primaria para que pueda ser nuevamente implementada dentro y fuera del marco de este proyecto. Los contenidos que se abordan son los siguientes. 1 Análisis de la relación Dividendo = Cociente x divisor + resto y resto menor que divisor y mayor o igual a 0. 2 Establecimiento de condiciones a partir de las cuales se admiten infinitos valores, una solución única, no se admite solución o se admite una cantidad determinada de valores. 3 Uso de la calculadora para reconstruir el resto de la división. La propuesta consta de cinco etapas, cada una de ellas podrá requerir de una o más clases. En cada una se abordan contenidos ligados a la enseñanza de la división y, simultáneamente, otros ligados al modo de producir propio de la matemática, referidos a las normas, a las reglas del juego matemático. En la primera etapa se proponen una o dos clases en las que se presentan problemas donde se estudia la división como herramienta para resolver problemas de organización rectangular. Es propósito de esta etapa poner en circulación algunos conocimientos que tienen los alumnos sobre multiplicación y división. En la segunda etapa se ponen en juego las relaciones mencionadas a través de problemas que involucran averiguar el dividendo y el divisor teniendo como dato los valores del cociente y del resto. En esta etapa, se introduce la pregunta sobre la cantidad de soluciones que admite el problema, siendo infinitas en el caso seleccionado. Se inicia la reflexión sobre un aspecto ligado a las normas del trabajo matemático que puede resultar una ruptura respecto de lo habitual: adjudicar valores arbitrarios al divisor.
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 13
Los problemas de organización rectangular son aquellos que involucran una organización espacial en filas y columnas. Este tipo de problemas puede ser abordado desde primer ciclo. Los primeros problemas que se presentan a los alumnos plantean como incógnita la cantidad total de elementos. Por ejemplo, en 2º o 3º año: “En la escuela se organiza una función de títeres. Las sillas para el público se colocarán en 9 filas de 15 sillas cada una. ¿Cuántas sillas se usarán?”. Inicialmente, para resolverlos los niños podrán dibujar las sillas y proceder a contarlas. Más adelante, pondrán en juego procedimientos de cálculo realizando sumas. Para promover el avance del dibujo al cálculo se podrá aumentar la cantidad de sillas. A partir del análisis de lo realizado, se apuntará a que los niños identifiquen que las filas y columnas tienen la misma cantidad de elementos y que la suma es un recurso de cálculo que permite resolver el problema. Más adelante, se tenderá a que reconozcan que estos problemas también se pueden resolver multiplicando. En 3er año se avanza en el estudio de estos problemas y se inicia el reconocimiento de la división como herramienta de resolución de este tipo de problemas, aspecto que será profundizado en el 2do ciclo. Por ejemplo: “En la escuela se organiza una función de títeres. Se colocarán 120 sillas para el público. Si en cada fila se colocan 15 sillas, ¿cuántas filas pueden armarse?”. Algunos niños no recurrirán a la división desde un inicio: dibujarán filas de 15 sillas hasta completar las 120 que constituyen el total, buscarán cuál es el número que multiplicado por 15 da 120. Se irá avanzando hacia el reconocimiento de la división como herramienta que permite averiguar el factor faltante. En otros problemas en que se sabe la cantidad de filas se puede preguntar por la cantidad de sillas que tendrá cada fila: “En la escuela se organiza una función de títeres. Se colocarán 120 sillas para el público. Se armarán 9 filas de la misma cantidad de sillas cada una. ¿Cuántas sillas tendrá cada fila?”.
DGCyE / Subsecretaría de Educación 14
Los problemas presentados hasta el momento, tienen resto cero. En este tipo de problemas la multiplicación y la división funcionan como operaciones inversas. Si se conoce el valor de las filas y las columnas puede averiguarse el total de las sillas a través de una multiplicación. Si, en cambio, se dispone del dato del total de sillas y de la cantidad de filas, se puede averiguar cuántas sillas tiene cada fila dividiendo los datos entre sí. Asimismo, si se conocen el total y la cantidad de sillas por fila, se puede arribar a la cantidad de filas dividiendo ambos valores. Se presenta a continuación un ejemplo en el que el resto es distinto de cero: “En la escuela se organiza una función de títeres. Hay 123 sillas para los actos escolares. Si se colocan en 9 filas, ¿cuántas sillas tendrá cada fila? ¿Sobran sillas? ¿Cuántas?”. En este caso, el resto no se puede seguir repartiendo, por lo cual sobran sillas7. Para resolver este problema los alumnos podrán recurrir a gráficos o a cálculos que representen la situación: 1. Sumar 9 tantas veces como sea necesario hasta llegar a 123. En este caso llegan a 120 y sobran 3. 2. Restar desde 123 muchas veces 9 3. Buscar una multiplicación a. 9 x 15 = 120 120 + 3 = 123 4. Usar la división 123 / 9 3 15 Comparar las diversas estrategias utilizadas permitirá reconocer a la división como una manera económica de encontrar la solución. Si los alumnos no hubieran estudiado esta clase de problemas entre 3º y 4º año, será un buen momento para hacerlo antes de iniciar la 1º etapa de esta secuencia. La colección anterior de problemas podrá ser planteada en una o dos clases. En esta primera etapa se presenta el siguiente problema: Problema 1 “El piso del aula es rectangular y tiene en total 330 cerámicos. Todos los cerámicos son cuadrados y están enteros. En cada fila hay más de 12 y menos de 18 cerámicos. a. ¿Cuántos cerámicos hay en cada fila? b. ¿Cuántos en cada columna? c. ¿Hay una sola posibilidad? ¿Por qué?”. Se espera que al avanzar en la resolución del problema los alumnos reinviertan sus conocimientos respecto de la multiplicación y la división. Podrán desplegar procedimientos más ligados a representaciones gráficas de la situación, otros vinculados con la multiplicación y otros con la división. Podrán iniciar la resolución por algún procedimiento más costoso y en el proceso abandonarlo por otro que consideran más económico o confiable. La diversidad de procedimientos brindará un marco apropiado para generar espacios de discusión en el momento de trabajo colectivo en el que se propiciará la comparación entre los variados intentos argumentando a favor de unos u otros teniendo en cuenta su pertinencia, economía, confiabilidad. ¿En qué sentido este problema “prepara el terreno” para las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto? En este primer problema se inicia el análisis de las relaciones entre dividendo, divisor y cociente cuando el resto es 0. En las siguientes etapas se avanza en el análisis de las relaciones que se establecen con el resto y cómo se modifican unos números respecto de los cambios de otros.
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 15
Los niños pueden confundir cantidad de soluciones con diversidad de procedimientos por los que se puede arribar a la solución. Será interesante advertir si los niños logran distinguir estas dos ideas.
Es conveniente que esta explicación oral se apoye en un registro escrito que el grupo realice durante el trabajo grupal.
Finalmente se realiza un intercambio con el grupo total en el que cada grupo comunica a los otros grupos el trabajo realizado, se analizan o comparan procedimientos, se arriba a conclusiones. La puesta en común presenta la oportunidad de analizar los errores producidos, tarea relevante ya que los alumnos identifican los procedimientos que no llevan a la solución correcta ampliando el sentido de los conocimientos trabajados. Este análisis mejora las condiciones de control de sus producciones y les ayuda a descartar procedimientos inadecuados en la resolución de nuevos problemas.
A continuación se relevan algunos procedimientos, acertados o erróneos, que fueron producidos por los alumnos al enfrentarse a la resolución de este problema en el marco del trabajo grupal o colectivo. Los mismos dan cuenta de la diversidad de respuestas y conocimientos que se ponen en circulación en las aulas10. A su vez, nos muestran la profundidad y claridad de las explicaciones de los niños cuando se crean las condiciones didácticas que favorecen la discusión con los pares, la expresión de ideas y la explicitación de argumentos. Una de las respuestas observadas se basó en una representación gráfica y la puesta en juego de los conocimientos sobre la multiplicación y la división que tenían disponibles. En este caso resultó pertinente analizar en la puesta en común cómo llegaron a determinar la cantidad de cerámicos de cada pared. Algunos niños realizaron el gráfico para comunicar su respuesta, calcularon que eran 22 filas de 15 cerámicos cada una y luego lo graficaron. Otros niños produjeron distintos intentos gráficos o numéricos hasta encontrar el correcto. Por ejemplo, comenzaron dibujando una fila de 13 cerámicos y continuaron superponiendo filas de 13 cerámicos. Al terminar cada fila, contaban el total. Fueron realizando ajustes. Si bien algunos niños abandonaron este procedimiento por ser costoso, les permitió reconocer que podían resolver el problema sumando o multiplicando. Al analizar y comparar los distintos procedimientos durante la puesta en común, los niños expresaron: “Este problema se puede resolver dibujando y contando uno por uno los cerámicos pero es muy largo”. Esta idea pudo ser retomada al registrar las conclusiones a las que arribaron a partir del trabajo realizado. Otros iniciaron la búsqueda probando con diferentes pares de factores que arrojaran 330 como producto, poniendo en juego sus conocimientos sobre la multiplicación. Este procedimiento resultó más costoso. Por ejemplo: “Hicimos 13 x 36 = 468 y no da, después probamos con 14, con 15, con 16 y con 17 porque son los números con los que se podía”. Si bien el intervalo acota los números con los cuales explorar, el segundo factor no está determinado. Los alumnos que no logran anticipar un número posible, toman al azar distintos números lo cual extiende la búsqueda y la torna estéril. Al no reconocer que pueden dividir 330 por esos números para encontrar el número de filas, dejan abierto a infinitas posibilidades con las cuales probar. Podrán ir realizando ajustes en función de los resultados que obtienen, dicen “me paso, tiene que ser más chico”, “estamos cerca”. Los que emprenden este camino reconocen que es costoso e infructuoso y tienden a abandonarlo. En la fase individual no todos logran iniciar otro procedimiento, pero sí logran reconocer otros en la instancia del pequeño grupo. Al analizarlos, los niños dicen “no te conviene probar con cualquier número”. Varios buscaron sucesivos múltiplos de 13, 14, 15,16 y 17 para ver en qué casos lograban arribar a 330. Al explicar sus ideas expresaron: “Para que el número termine en cero (330) debe ser múltiplo de 15 porque 330 termina en cero, por lo que el divisor debe terminar en cero o en cinco. Además
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 17
no puede ser otro número de los posibles porque ‘dice bien claro en el problema’ que los cerámicos son enteros”. Un grupo registra en su hoja los múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210, 225, 240, 255, 270, 85, 300, 315, 330. En una de las escuelas, en el momento colectivo, se genera este diálogo entre un alumno y la docente: Alumno: El resultado es 15 y 22 (no realizó cálculos). Maestro: ¿Cómo sabés que es 22? Alumno: Conté los múltiplos y para llegar a 330 tengo 22 y como le agregué 15 son 22 veces el 15. Otro alumno explicó: “Yo formé el 330 como 30 por 11, pero como 30 es igual a 15 x 2, para formar el 330 utilizo el 15 y duplico el 11”. Algunos partieron de la división, buscando un divisor de 330 que se encuentre entre 12 y 18. Este procedimiento resultó más económico, tanto para encontrar la respuesta como para asegurar que es la única. Otros explicaron cómo llegaron a la respuesta: “Sabíamos que era 15 x 22 = 330, porque si hacés 15 x 2 es 30 y si hacés 15 x 20 te da 300. Entonces 15 x 22 te da 330” y otro alumno, “Hice 15 x 20 = 300, había que agregar 30 (15 x 2) son 2 filas más. 22 filas”. Su docente durante la puesta en común pregunta: “¿Se puede hacer otra cuenta para resolver el problema?”. Los alumnos mencionan estas posibilidades: • “Este problema se puede resolver restando 15 a 330 hasta que se acaben los cerámicos, después contás cuántas veces le restaste 15 y sabés cuántas son las filas”. • “Este problema se puede resolver sumando 15 veces 22 ó 22 veces 15 o multiplicando para no tener que sumar todas las cantidades que se repiten haciendo 15 x 22 ó 22 x 15”. • “La más rápida es 330 : 15 = 22”. Para saber si había otras posibilidades, realizaron las divisiones faltantes con los números incluidos en el intervalo propuesto por el problema: 330 : 13, 330 : 14, 330 : 16 y 330 : 17. Confirmaron lo que sospechaban: 22 x 15 es la única respuesta. “Este problema se puede resolver dividiendo 330 : 13, 330 : 14, 330 : 15, 330 : 16 y 330 : 17. Al dividir se busca el número que se pueda multiplicar por 15 y te dé 330. Te tiene que dar resto 0”. La pregunta “¿Hay una sola posibilidad?”, apunta a instalar la preocupación por determinar si el problema admite una, varias o infinitas respuestas. En este caso, la respuesta es única. Se propone someter a discusión este tipo de respuesta de los niños: “Encontré esta respuesta, pero no sé si puede haber otras”, y arribar a expresiones como: “Sé que sólo tiene esta respuesta” avanzando en su fundamentación. Preguntar por la cantidad de soluciones puede presentar dificultades a los alumnos ya que no es frecuente que se los enfrente a reflexionar sobre este aspecto. Los problemas que habitualmente se les proponen en la escuela tienen una sola respuesta. La interacción con este tipo de problemas conduce a considerarlo como única posibilidad. Los problemas que se trabajarán en las siguientes etapas retoman este tipo de preguntas presentando una, varias o infinitas respuestas posibles. Entre los errores relevados aparecieron los siguientes. Algunos alumnos consideraron erróneamente que el piso del aula tenía forma de cuadrado. Esto los llevó incluso a calcular el perímetro en vez del área dividiendo por cuatro el número de cerámicos. Otros calcularon el área del cuadrado multiplicando por sí mismos los números que utilizaron. Un error que cometieron algunos niños fue considerar al “12” y al “18” como posibles cantidades de cerámicos por fila. Estos dos números no cumplen con la condición de “estar entre” y aunque 330 no es múltiplo de ninguno de ellos, considerarlos en la búsqueda de la solución constituye un
DGCyE / Subsecretaría de Educación 18
error de interpretación. Esta situación fue sometida a discusión en el momento de trabajo colectivo ya que, a primera vista el alumno podría considerar que el hecho no reviste importancia por no afectar el resultado final de las acciones. Entre las intervenciones sugeridas a los docentes, en el momento de trabajo colectivo, enfatizamos que se registraran las conclusiones por escrito, tanto en carteles o en el pizarrón, como de manera individual. La intención es que todos los alumnos puedan considerar los avances producidos de manera grupal y que dicho registro sea una fuente de consulta en los siguientes problemas. Algunas de las ideas que han sido mencionadas, fueron registradas: • este problema se puede resolver contando uno por uno los cerámicos pero es muy largo; • este problema se puede resolver restando 15 a 330 hasta que se acaben los cerámicos, después contás cuántas veces le restaste 15 y sabés cuántas son las filas; • este problema se puede resolver sumando 15 veces 22 ó 22 veces 15 o multiplicando para no tener que sumar todas las cantidades que se repiten haciendo 15 x 22 ó 22 x 15; • este problema se puede resolver dividiendo 330 : 13, 330 : 14, 330 : 15, 330 : 16 y 330 : 17. Al dividir se busca el número que se pueda multiplicar por 15 y te dé 330. Te tiene que dar resto 0; • este problema se puede resolver multiplicando o dividiendo porque son operaciones inversas; • este problema tiene una sola solución. En este momento de cierre de la clase, el docente podrá intervenir ayudando a reformular las ideas de algún alumno de modo que sean entendidas por todos, a recapitular lo discutido estableciendo vínculos con debates anteriores con el fin de favorecer que todos los alumnos se apropien del conocimiento que ha circulado en la clase.
Se presenta a continuación una serie de problemas que permite reinvertir los conocimientos abordados en el Problema 1. Se tiende con ellos a promover un trabajo más autónomo por parte de los alumnos. Su resolución permitirá al docente identificar a aquellos niños que requieren mayor tiempo de estudio y volver a enfrentar estos problemas prolongando el espacio de interacción con el docente y con sus pares. El docente podrá iniciar las clases en torno a estos problemas evocando lo trabajado en la clase anterior de tal manera de explicitar su reutilización. Problema 2 Una escuela rural recibió una donación de 176 plantas. Van a colocarlas en un sector rectangular. En cada fila pueden ubicar 11 plantas. ¿Cuántas filas pueden completar? Para algunos alumnos será ocasión de poner en juego lo que han aprendido, para otros será una nueva oportunidad para pensar lo trabajado a propósito del problema anterior. En caso de que los niños identifiquen que la cuenta 176 : 11 es un recurso para resolver el problema, el docente podrá preguntar, ¿cómo podés estar seguro que son 16 filas? Los alumnos podrán recurrir a distintos procedimientos para demostrar que llegaron al resultado correcto. • Si 176 : 11 = 16, puedo hacer al revés: 16 x 11 = 176. • Si 176 : 11 = 16, puedo hacer 176 : 16 y me va a dar 11.
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 19
Se proponen una o más clases en la que se presenta un conjunto de problemas que ponen en juego las relaciones entre los números de una división. Desde el primer problema será necesario escribir en un cartel o en el pizarrón cuál es el dividendo, el divisor, el cociente y el resto y dejar disponible la información. Dividendo Resto /divisor cociente
Las relaciones entre estos elementos “dividendo = divisor x cociente + resto” y “resto menor que divisor” serán exploradas y sistematizadas a lo largo de las clases. Por ello no se espera que sean comunicadas de antemano. Si los alumnos las conocieran como “prueba de la división” aprenderán en estas etapas a usar las relaciones para resolver problemas.
A continuación se registran algunos procedimientos, acertados o erróneos, que fueron producidos por los alumnos al enfrentarse a la resolución de este problema en el marco del trabajo grupal o colectivo.
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 21
En muchos casos los niños confundían el significado de los términos (por ejemplo, cociente), aunque sabían la función que cumplía cada uno. Por lo que fue necesario que los docentes hicieran la aclaración sobre el significado de estas palabras escribiendo en un cartel: Dividendo / divisor resto cociente En general los niños inician la resolución de la parte 1a. probando con divisores menores que el resto. Gran parte de los alumnos logran realizar ajustes y comienzan a probar con otros divisores, algunos en forma azarosa y otros demostrando darse cuenta de que tienen que ser números mayores que 12. Veamos cómo lo resuelve un niño: Inicia probando con 2 como divisor. Calcula 2 x 25 + 12 = 62. Anota: 62 | 2 25 Luego toma a 3 como divisor. Calcula 3 x 25 + 12 =87 y anota: 87 | 3 25 Al detenerse en las cuentas que escribió, se da cuenta que en ambas divisiones podría seguir dividiendo porque el resto es mayor que el divisor. Retoma su resolución con divisores mayores que 12 al advertir o “recordar” esta condición que en un comienzo no tuvo en cuenta. Resulta interesante comentar lo siguiente: muchos de los alumnos, en el momento de la resolución individual, comenzaron a vincular lo que estaban realizando con “la prueba de la división” y con un conocimiento del que ellos disponían pero que no habían puesto en juego desde el inicio, “el resto debe ser menor que el divisor”. A partir de esto es conveniente reflexionar sobre el modo en que se ha abordado tradicionalmente la enseñanza de estos conceptos. Habitualmente son comunicados por el docente y se propone una serie de ejercicios de aplicación a los alumnos. Los conceptos en cuestión no surgen como herramientas para resolver problemas. Brindar la ocasión de resolver problemas que implican la puesta en juego de ese conocimiento, colabora con la construcción de sentido de esos conceptos. Para los alumnos “la prueba de la división” sólo es “aplicable” luego de hacer la cuenta usando el algoritmo para determinar si fue obtenido el resultado correcto. Tener oportunidad de hacer jugar esas relaciones en nuevos contextos, amplía su sentido y lo deja disponible para resolver nuevos problemas. Al realizar la puesta en común, los alumnos expresan ideas como las siguientes respecto de este problema: “Para encontrar una cuenta, se puede multiplicar el cociente por cualquier número mayor que 12 y sumarle 12, es la ‘prueba de la división’” “El menor de los números para el dividendo es 337 (25 x 13 + 12), esa es la primera cuenta de todas, la más chica”. Mientras avanzan en la resolución de las partes 1.b. y 1.c. del problema, algunos alumnos se van aproximando a una generalización. Veamos algunos ejemplos. A partir de la primera cuenta correcta que logran escribir en el marco de las condiciones que plantea el problema (por ejemplo divisor 13), van escribiendo nuevas cuentas buscando dobles sucesivos (13, 26, 52...) o múltiplos del divisor planteado (13, 26, 39, 52...). Al respecto un alumno, al relatar lo sucedido en el pequeño grupo, dice: “Sabíamos que el divisor tenía que ser mayor que
12 porque nos dijo León que se había dado cuenta cuando lo hizo solo. Manolete dijo que había infinitas y que se podían obtener haciendo el doble del dividendo y del divisor muchas veces. Cuando hicimos el doble de la primera (señala la tercera) nos dio resto 24, así que le sacamos 12. Lo mismo nos sucedió cuando hicimos el doble de la segunda (y señala la tercera) tuvimos que sacarle 12 porque nos daba resto 24. Al hacer el doble de esta (la cuarta) antes de hacer la división le restamos 12 y nos dio bien”. En otro grupo se produjo el siguiente intercambio: Una alumna, comenzó buscando divisiones por 25 con resto cero, luego le sumaba 12 y obtenía el dividendo. El primer intento lo hizo con 300 : 25 (apoyándose en el repertorio disponible de cálculo mental: “si con cuatro de 25 formo 100, puedo formar 300 con doce de 25 y tengo resto 0)”. A partir de ese dato, fue sumando 25 al dividendo y luego sumando 12. “Hay muchas” dijo. “–Sí, porque vas aumentando el dividendo en 25 y el divisor en 1 siempre y cuando el divisor sea mayor que 12”. 337 | 13 12 25 “–Si se hace eso (refiriéndose a la afirmación anterior), hay infinitas formas porque vas sumando infinitamente 25 y 1 porque los números son infinitos”. Algunos alumnos elaboraron hipótesis erróneas que se ponen a prueba en el momento del trabajo colectivo: “Se pueden inventar muchísimas, mientras que el divisor sea impar, se puede”. Otros elaboran ideas que podrán ser sometidas a prueba por el resto de los alumnos. Por ejemplo: “Si el divisor es par, el dividendo termina en 2 y si es impar termina en 7”. La pregunta acerca de si se pueden escribir otras cuentas que solucionen el problema, brinda interesantes comentarios que dan cuenta de las ideas de los alumnos. Para algunos se trata de ir probando, con lo cual no pueden determinar la cantidad de cuentas que se pueden escribir: “Sí, se puede inventar otras porque si vas probando te va a dar”. Otros piensan que son infinitas: “Se puede inventar cualquier cuenta, pero el divisor debe ser mayor que 12”. Se retoma este aspecto vinculado a la cantidad de soluciones que fue abordado en la etapa anterior. En este caso, a diferencia de la primera etapa, el problema admite infinitas soluciones. En las siguientes etapas se vuelven a proponer preguntas que invitan a pensar en este aspecto. Los niños mostraron avances en este sentido. En la primera etapa, no estaban atentos sobre la posibilidad de que el problema admita más de una solución. Al avanzar la interacción con este tipo de problemas, se mostraron más preocupados por determinar la cantidad de soluciones a la vez que evidenciaron estar en mejores condiciones para argumentar sus ideas. En el espacio colectivo, el docente retoma los conocimientos que circularon durante los trabajos grupales y la puesta en común e identifica el contenido de la clase. El rol del docente en este momento es de gran importancia, colabora en la toma de conciencia por parte de los alumnos sobre qué han aprendido lo que favorece su reinversión en nuevos problemas, se comparan las estrategias empleadas –pudiendo el docente proponer otras estrategias que no fueron utilizadas de modo de enriquecer la discusión–, se analizan los procedimientos correctos e incorrectos, los más costosos y más económicos, los que permiten garantizar la exhaustividad de la respuesta y los que no. En diferentes grupos se han registrado en carteles y en la carpeta las ideas a las que se arriban. La intención de este registro es la sistematización para el posterior estudio y la reutilización en los problemas siguientes. Entre las diferentes conclusiones que anotaron, encontramos: • las soluciones son infinitas, siempre que el divisor sea mayor que 12 • son infinitas porque los números son naturales, y siempre puedo sumar uno más;
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 23
Del mismo modo que en la etapa anterior, se presenta una serie de problemas que permite reinvertir los conocimientos que circularon, apunta a promover un trabajo más autónomo por parte de los alumnos y a extender el tiempo de estudio para quienes más lo precisan. Problema 2 a. Escribí una cuenta de dividir entre números naturales que tenga cociente 12 y resto 7. b. ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles? c. ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué? Problema 3 Al dividir un número por 32, se obtuvo 16 y un resto de 4. ¿Qué número se dividió? Este problema requiere poner en juego la relación D = d x c + r para averiguar el valor del dividendo. Se puede proponer que inventen problemas parecidos, intercambien con sus compañeros y los resuelvan. Problema 4 Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay una única posibilidad? /_____ 4 6 Problema 5 Completá la tabla:
Dividendo 202 Divisor 12 22 Cociente 13 Resto 8 4 Cantidad de soluciones
A medida que se resuelvan los problemas de esta etapa, los mismos alumnos lograrán establecer vínculos entre los problemas propuestos y lo realizado en la etapa anterior. En el caso en que no hubieran establecido estas relaciones (o no las hubieran hecho explícitas), el docente podrá avanzar en ese sentido. Establecer vínculos entre lo que se realizó y lo que se está trabajando es fundamental ya que favorece la toma de conciencia de lo que se va aprendiendo, la sistematización de los conocimientos que circulan en las clases y la continuidad del proyecto personal de aprendizaje de los alumnos. Se analiza cómo varía el resto en función de la modificación del dividendo (Problema 1). Se solicita que se busque una manera de encontrar los restos de cada una de las divisiones propuestas sin hacer la cuenta, esto obliga a centrarse en las relaciones entre los números que intervienen en la división. Este problema y la pregunta por la cantidad de soluciones, intenta a su vez avanzar hacia una generalización. Problema 1 Lisandro hizo la cuenta 103 : 12, obteniendo de cociente 8 y resto 7. Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir: 104 : 12 105 : 12 106 : 12 107 : 12 a. ¿Puede Lisandro determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explica cómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no. b. ¿En cuánto tiene que modificar Lisandro el dividendo de la cuenta que hizo para obtener de cociente 9 y resto 0 manteniendo el mismo divisor? c. ¿Cuántas cuentas puede escribir Lisandro que tengan como divisor 12, como cociente 9 y como resto no necesariamente 0? Al resolver la parte 1.b, los alumnos podrán reutilizar lo realizado en la parte 1.a. Del mismo modo, se espera que al resolver la parte 1.c reinviertan lo realizando en los problemas anteriores.
En esta etapa los alumnos están en mejores condiciones para considerar desde un inicio que el resto debe ser menor que el divisor, aspecto que en la etapa anterior para muchos niños no había sido tenida en cuenta al emprender la resolución del problema. Al resolver el problema 1.a un alumno explica: “Las otras cuentas tendrán: resto 8, resto 9, resto 10 y resto 11, porque el dividendo aumenta 1 entonces el resto también mientras sea menor que el divisor”. Se han enfrentado en la segunda etapa a la pregunta por la cantidad de soluciones posibles. Los alumnos incorporan progresivamente esta pregunta al quehacer matemático de la clase. Es de algún modo para muchos de ellos una nueva norma matemática. En este caso las soluciones no son infinitas. En un comienzo, al vincular este problema con el de la etapa anterior, algunos arriesgan rápidamente una respuesta: “son infinitas”. Poner en discusión esta respuesta permite un avance en sus conocimientos pudiendo concluir, como ya se dijo anteriormente, hay problemas que tienen una solución, otros que tienen varias, otros que tienen infinitas, otros que no tienen solución. En 1.a se propone analizar las variaciones del resto a medida que varía el dividendo y se mantiene constante el divisor: cuando el dividendo aumenta una unidad el resto también. Este problema plantea una restricción interesante: se solicita la búsqueda de la respuesta sin hacer las cuentas. Esta condición apunta a que los alumnos se centren en las relaciones entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto a partir de las cuales, se espera que anticipen la respuesta.
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 25
Si bien se apunta a que los niños no requieran de la cuenta para resolver el problema, se admite su uso para controlar lo realizado. Algunos niños pueden preguntar: “¿puedo hacer la cuenta para ver si está bien?”. Puede suceder que no “confíen” en sus procedimientos y necesiten verificar lo realizado a través de la cuenta en la que sí confían. Muchos alumnos requerirán iniciar la resolución apoyados en la cuenta. Si bien se admitirá en un comienzo este tipo de procedimientos, se presentarán nuevos problemas para que todos los niños puedan centrarse en las relaciones entre el dividendo, divisor, cociente y resto. Resulta oportuno realizar un comentario al respecto. Al formular o seleccionar un problema, se toman ciertas decisiones respecto de las condiciones de resolución. Estas variaciones modifican los procedimientos que producen los niños y los conocimientos que ponen en juego. En la parte 1.a se bloquea un procedimiento: “sin hacer las cuentas”. En otros casos se toman decisiones respecto del tipo y tamaño de los números que se ponen en juego en el problema. Estas modificaciones no son ingenuas ya que habilitan o inhiben el uso de ciertos procedimientos, fuerzan el avance de los conocimientos de los que dispone el alumno o presenta una situación que, si bien no es más compleja que otra, presenta un cambio que permite reinvertir lo aprendido. En relación con lo mencionado, al seleccionar los números que se presentarían en el problema de esta etapa, se tuvieron en cuenta los siguientes aspectos: • que los números no sean muy grandes para permitir el control sobre lo realizado; • que no permitan apoyarse fuertemente en el cálculo mental para provocar que los alumnos focalicen en las relaciones entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. En caso de presentarse el mismo problema con otros números que facilitaran el cálculo mental, los alumnos desplegarían procedimientos que se apoyan en los resultados de las multiplicaciones que tienen disponibles en la memoria y no necesitarían centrarse en las relaciones mencionadas para resolverlo. Los números que se seleccionaron aumentan de 1 en 1 lo que se hace rápidamente identificable por parte de los niños. Al iniciar la resolución, un procedimiento muy utilizado es aumentar el resto de 1 en 1. Los alumnos expresan así sus respuestas: “Me parece así porque los dividendos son diferentes por un solo punto, si el resto de la primera cuenta es nueve, a la que sigue vas a tener que agregarle 1 y te va a dar 10”. “Porque si es el mismo cociente y al dividendo se le va sumando uno, en el resto me van a dar números consecutivos”. En el trabajo en pequeños grupos y en el momento colectivo, será oportuno buscar las razones por las cuales este procedimiento funciona a la vez que será interesante preguntar si es posible utilizar indefinidamente esta “regla”. Algunos niños dicen: “No, hasta que el resto sea igual al divisor, entonces ya aumenta uno más el divisor y el resto vuelve a 0”. En clases siguientes se puede proponer nuevos problemas donde los dividendos no aumenten de 1 en 1, que obliguen a modificar el divisor y el cociente. Resulta interesante realizar un comentario sobre esta solicitud del problema: “Si es posible, explicá cómo puede hacerlo. Si no, explicá por qué no”. Solicitar a los alumnos que expliquen “cómo puede resolverse el problema”, “cómo lo hizo Lisandro”, “por qué no se puede”, colabora con la explicitación de los conocimientos que muchas veces los niños ponen en juego implícitamente y que podrían permanecer en ese nivel de no mediar un trabajo del docente que tenga el propósito de explicitarlos. Avanzar en este trabajo favorece la toma de conciencia por parte de los niños de lo que están aprendiendo y la identificación de las herramientas de las que disponen para resolver nuevos problemas.
DGCyE / Subsecretaría de Educación 26
La explicitación de conocimientos puede propiciarse en el momento individual, grupal o colectivo. Durante el trabajo individual a través de preguntas que, entre otras posibles, soliciten una explicación, una fundamentación o el establecimiento de vínculos con otros problemas. El trabajo grupal y colectivo se constituye también en un buen marco para la tarea. El intercambio con otros –ya sea en un pequeño grupo o en el grupo total con el docente– obliga a formular ideas, ajustar argumentos, dar razones sobre lo realizado, interpretar lo hecho por otros y realizar nuevas preguntas. El docente puede intervenir apuntando a favorecer estos intercambios, solicitando explicaciones, reformulando lo dicho por algún alumno de modo que todos lo comprendan, contraargumentando para provocar ajustes a lo expresado por un alumno, sin validar o invalidar las respuestas desde un inicio para que esta clase de actividad se sostenga por más tiempo. A continuación registramos procedimientos puestos en juego por alumnos que utilizaron otros caminos para llegar a la respuesta. Es interesante relevar los diversos procedimientos que los niños producen y someterlos a discusión en el momento de la puesta en común, buscando semejanzas y diferencias. Por ejemplo: “Puedo determinarlo haciendo 12 x 8 y luego restándolo por el dividendo. Lo mismo con la siguiente”. En este caso el niño no aumenta el resto en 1 como sucede con el dividendo, sino que se basa en un conocimiento que ha circulado en la etapa anterior: “Si multiplico el cociente por el divisor y le sumo el resto, entonces obtengo el dividendo. Entonces, si quiero obtener el resto, multiplico el cociente por el divisor y se lo resto al dividendo”. Transcribimos a continuación la explicación de otro alumno: “Porque si con dividendo 103 me da resto 7, con 104 me va a dar 8, con 105 me va a dar 9, con 106 me va a dar resto 10 y con 107 me va a dar resto 11”. Destacamos “me va a dar” ya que lleva implícito un aspecto muy importante de la actividad matemática. Este alumno no necesita realizar efectivamente las cuentas para estar seguro del resultado que le va a dar. El trabajo matemático permite anticipar resultados basándonos en argumentos que encuentran fundamento en propiedades de los números y de las operaciones matemáticas. En caso de que ningún alumno en la clase exprese su explicación de esta manera, será interesante que el docente pregunte o presente problemas de este tipo: Ejemplo (Para el cálculo 103 : 12 = 8 y resto 7) María dice que está segura sin hacer las cuentas que con dividendo 103 da resto 7, con 104 dar resto 8, con 105 da resto 9, con 106 da resto 10 y con 107 da resto 11. ¿Se puede estar seguro sin hacer las cuentas? ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué? En el momento colectivo, los niños elaborarán respuestas y reflexiones, ideas que podrán ser reorganizadas, con la intervención del docente, para registrar conclusiones en relación con este problema. Por ejemplo, en algunos grupos llegaron a elaborar las siguientes ideas: –”Si el resto es igual al divisor, entonces ya aumenta uno más el divisor y el resto vuelve a 0”. –”Si el dividendo aumenta 1, el resto aumenta 1”. En la parte 1.b. se propone analizar cómo se modifica el dividendo al variar el cociente y el resto y mantener constante el divisor. Al enfrentarse a la resolución de este problema, los alumnos hacen jugar las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto analizando cómo se modifican unos respecto de los otros. Algunos niños al resolver este problema, pueden realizar el cálculo 9 x 12 para averiguar el dividendo. “Porque tenía que dar como cociente 9, entonces hice 12 x 9 y me dio 108 y el dividendo se podía cambiar y le puse 108 y me dio resto 0”. Otros niños podrán sumar 5 al dividendo considerando el dato del resto: “a 7 le faltan 5 para llegar a 12”. Otros expresan: “Al dividendo le sumé el resto para que me dé 9 como cociente y 0 como resto”. “En el resto no puede ser doce porque se le agrega uno más al cociente, entonces si le agregas 5 al dividendo el 12 del resto se hace 9 en el cociente”.
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 27
En el siguiente ejemplo es interesante observar que el alumno necesitó realizar la cuenta para asegurarse que el procedimiento que utilizó era válido: “Hice 12 x 9 que son el divisor y el cociente que me dio 108 y después me fijé y hice 108 : 12 y me dio cociente 9 y resto 0”. Un procedimiento poco frecuente basado en el cálculo mental es el siguiente: “La división de 120 por 12 da 10, entonces tengo que sacarle 12 para que me dé”. (120 – 12 = 108). En caso de no haber surgido en la clase este procedimiento, puede ser interesante presentarlo como un problema o en el momento de trabajo colectivo, por ejemplo: Eduardo resolvió el problema de la siguiente manera: “La división de 120 por 12 da 10, entonces tengo que sacarle 12 para que me dé”. Explicá lo que hizo Eduardo. Los alumnos podrán arribar a explicaciones como las siguientes: “Si 12 x 10 = 120 (doce veces 10), entonces 12 x 9 es = 108 (un doce menos), por eso se lo restó”. Una respuesta semejante que se basa en lo realizado en el Problema 1. a (en el que se aumentaba 1, en este caso se hace uno menos), no resulta evidente el apoyo en el resultado del cálculo 12 x 10 = 120. “Puedo encontrarlo haciendo uno menos”. En la puesta en común será interesante establecer vínculos entre lo realizado en 1. a y en 1. b. En la fase colectiva podrán arribar a conclusiones como la siguiente: “Para encontrar una cuenta, se puede multiplicar el cociente por el divisor”. En 1. c se reitera la pregunta por la cantidad de soluciones, aspecto trabajado en la segunda etapa. En este caso las soluciones no son infinitas, pero muchos alumnos, al iniciar la resolución del problema pueden considerar erróneamente que son infinitas. Algunos niños podrán no tener en cuenta que el resto debe ser menor que el divisor. Al avanzar en la resolución del problema podrán lograr ajustar sus producciones. Este problema presenta una nueva oportunidad para poner en juego esta condición que debe cumplir el resto. Un error frecuente se presenta cuando los niños determinan que la cantidad de cuentas posibles son 11 ya que no consideran el resto 0 como una de las posibilidades. Por ejemplo: “Podríamos hacer 11 cuentas, porque si hago 12 o más cuentas el divisor ya pasaría a ser 12”. En la puesta en común el docente podrá preguntar de un modo más general: ¿Cuántas cuentas se pueden escribir si no varía el divisor? Esta pregunta apunta a explicitar la condición que cumple el resto pudiendo vincularlo con lo ya trabajado en la primera etapa. Transcribimos algunas de las respuestas más frecuentes: – “Se pueden hacer 12 cuentas: y así hasta que el resto dé 11”. –”Las cuentas que podés escribir son 12. Porque si te pasas de 12, podés seguir dividiendo y el cociente sería 10”. Será interesante preguntar cómo anticipar la cantidad de cuentas que es posible escribir con otros valores en el divisor o del cociente. Se apunta a ir instalando preguntas propias del trabajo matemático: ¿pasará siempre?, ¿qué pasa si cambio el divisor? Un niño expresa la siguiente idea en la puesta en común: “Se pueden hacer 12 cuentas de dividir. Si se pudiera cambiar el cociente se podrían hacer más”. Durante la puesta en común de una de las escuelas una alumna –luego de explicar el trabajo de su grupo– comenzó a formular preguntas como la siguiente: “¿Si dejamos fijo el dividendo y cambiamos el valor del divisor, ¿qué pasa?”. Vemos aquí que esta niña –como muchos otros– se hace nuevas preguntas a partir del problema con el que se enfrentó. Es importante destacar que no se trata sólo de resolver problemas sino de que el docente propicie, además, espacios de reflexión sobre los mismos con la posibilidad de generar nuevas preguntas y nuevos problemas. Se propone pues, invitar a los niños a generar y producir nuevo conocimiento, esto es posible si se dan ciertas condiciones en las clases de matemática.
DGCyE / Subsecretaría de Educación 28
Se espera que los niños puedan arribar a conclusiones como las siguientes, que el docente podrá registrar: • si el dividendo aumenta 1, el resto aumenta 1; • en este problema las soluciones no son infinitas, el resto no puede ser mayor que el divisor. Si el divisor es 12, las soluciones son 12: resto 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11; • para encontrar una cuenta, se puede multiplicar el cociente por el divisor; • si el resto es igual al divisor, entonces ya aumenta uno más el divisor y el resto vuelve a 0; • se pueden hacer 12 cuentas de dividir. Si se pudiera cambiar el cociente se podrían hacer más.
Más problemas para reinvertir lo trabajado13
Como se mencionó anteriormente, los problemas que se presentan a continuación apuntan a reinvertir los conocimientos abordados. Se intenta propiciar un espacio de trabajo más autónomo por parte de los alumnos que han logrado producir avances en sus conocimientos, y a la vez ofrecer más tiempo de enseñanza y estudio sobre una misma cuestión, a quienes más lo precisan. Problema 2 Agustina hizo la cuenta 1029 : 12, obteniendo de cociente 85 y resto 9. Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir: 1030 : 12 1032 : 12 1035 : 12 a) ¿Puede Agustina determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explica cómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no. b) ¿En cuánto tiene que modificar Agustina el dividendo de la cuenta que hizo para obtener de cociente 87 y resto 0 manteniendo el mismo divisor? c) ¿Cuántas cuentas puede escribir Agustina que tengan como divisor 12, como cociente 86 y como resto no necesariamente 0? Este problema presenta una oportunidad para reinvertir lo trabajado en el Problema 1, con la única variación en el tamaño de los números. Problema 3 Fernando hizo la cuenta 153 : 8, obteniendo de cociente 19 y resto 1. Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir: 155 : 8 158 : 8 160 : 8 162 : 8 ¿Puede Fernando determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explica cómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no. Este problema, si bien retoma el Problema 1, presenta un nuevo desafío: los dividendos no aumentan en 1 sino que se amplía el intervalo. Esto lleva a repensar cómo se modifica el resto en relación a ese aumento. En las dos últimas cuentas si aumentan el resto en función del aumento del dividendo sin considerar el tamaño del divisor cometerán un error, ya que deben respetar la condición de que el resto debe ser menor que el divisor. Deberán realizar un ajuste que los llevará a modificar el cociente. Problema 4 Completá las siguientes cuentas colocando dividendo y resto.
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 29
Se espera que reinviertan lo trabajado en el Problema 1 en cuanto a que el divisor condiciona la cantidad de cuentas ya que no admite restos que sean mayores que él. En el caso de la primera cuenta puedo obtener 6 soluciones, las que tienen restos 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Problema 5 a. Completá los números que faltan en las cuentas. b. ¿Cuántas soluciones puede tener cada una? /15 / 8 6 3 5
/_______ 3
Se proponen una o más clases en la que se presenta un conjunto de problemas que continúan poniendo en juego las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto abordadas en la segunda y tercera etapas. Se avanza en un trabajo de tipo anticipatorio que había sido iniciado en las partes 1.b y 1.c de la segunda etapa con las preguntas: “¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles?” “¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué?”. En la parte 1.a de dicho problema los alumnos inician la resolución a través de una exploración de cuentas posibles, intentando, ajustando a partir de los resultados que obtienen. Los problemas siguientes invitan a poner a prueba el procedimiento utilizado para resolverlo, y determinar si permite anticipar otras cuentas posibles. En esta etapa se espera que los alumnos consideren desde un inicio que el resto debe ser menor que el divisor, aspecto sobre el que se ha reflexionado en las etapas anteriores. A su vez, se vuelven a enfrentar a la pregunta por la cantidad de soluciones posibles. Se presentan nuevos desafíos: determinar si una cuenta es posible “mirando” el resto – Problema 1– ; estar seguro que las cuentas posibles son infinitas –Problema 2– y determinar el resto a partir de una expresión decimal usando la calculadora –Problema 3–. Problema 1 ¿Cuál o cuáles de los siguientes números pueden completar correctamente esta cuenta? 24 /__________ 3
DGCyE / Subsecretaría de Educación A B C D E Divisor 4 8 7 5 6 Resto 12 0 3 9 6 SI o NO ¿Por qué?
Este problema tiene el propósito de poner nuevamente en circulación los conocimientos que han sido abordados en las etapas anteriores sobre las relaciones entre los números que intervienen en la división. Para muchos, será ocasión de reinvertir esos conocimientos de los cuales han alcanzado
mayor dominio. Para otros, será una nueva oportunidad de aproximarse a las relaciones entre el dividendo, divisor, cociente y resto. En relación a lo anteriormente expuesto, puede suceder que algunos niños, si bien pueden llegar a responder correctamente a la pregunta: “¿puede el resto ser mayor que el divisor?”, no lo tengan en cuenta al momento de resolver el problema. Seguramente, en la instancia grupal, muchos lograrán llegar a la respuesta correcta. Este aspecto podrá ser abordado en la puesta en común donde será interesante discutir sobre los errores iniciales producidos por los alumnos. Es importante destacar que en este caso se han seleccionado números en los que si el resto es menor que el divisor, es posible realizar la cuenta. Pero podrían incluirse casos, como por ejemplo divisor 6 y resto 4, que el resto es menor e igual no es posible ya que 3 x 6 + 4 no es 24. El docente podrá proponer este caso para analizarlo colectivamente. Problema 2 a. Escribí una cuenta que tenga divisor 12 y resto 5. b. ¿Cuántas cuentas se pueden escribir que cumplan con esas condiciones? En la segunda y tercera etapa se ha propuesto a los alumnos completar cuentas en las que faltaba el divisor, el cociente, el dividendo o el resto. En este caso, se presenta una cuenta incompleta en que se ofrecen como datos el divisor y el resto debiendo averiguar el dividendo y el cociente. Nuevamente se propone analizar la cantidad de soluciones posible. Problema 3 Lisandro llevó una bolsa con 315 caramelos para compartir con sus compañeros y maestra porque era su cumpleaños. Le dijo a la maestra:-”Estos caramelos son para compartir entre todos mis compañeros y yo, que somos 30. Para cada uno la misma cantidad de caramelos. Los que sobran son para vos seño”. Marcelo, su amigo, para saber cuántos caramelos le tocaba a cada uno, tomó la calculadora e hizo el cálculo 315 : 30. Al apretar el signo = en el visor de su calculadora apareció el número 10.5 Y dijo a su maestra: “Son 10 caramelos para cada uno de nosotros y 5 para vos”. ¿Te parece que la solución que aporta Marcelo a partir del uso de la calculadora es correcta? ¿Por qué? (Es necesario contar con una calculadora por cada grupo de 3 ó 4 alumnos) En este problema se propone analizar la respuesta dada por otro niño, en este caso, propuesta dentro del enunciado del problema. Los números fueron seleccionados de modo de favorecer el control, por parte de los alumnos, de sus propias producciones apoyándose en resultados de cálculos conocidos. Este problema ofrece al docente una oportunidad para que puedan reflexionar sobre los límites en el uso de la calculadora como herramienta para resolver problemas: la calculadora “hace bien” las cuentas, pero no “sabe” qué se está repartiendo. La tarea solicitada al alumno le exige aprender a determinar el resto de la división usando la calculadora.
Se seleccionó el siguiente fragmento para poder detenernos en una cuestión compartida con los docentes y que es motivo de preguntas y dudas en la tarea del aula: ¿En qué medida el docente puede intervenir para aclarar la consigna del problema? ¿Es responsabilidad del alumno interpretarla por sí mismo? ¿Es conveniente realizar una lectura por parte del docente en la que se vayan
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 31
realizando las aclaraciones necesarias sobre términos desconocidos o aspectos que resulten confusos para los alumnos? La interpretación de la consigna puede resultar complicada. Ante esta situación se genera una tensión entre dos aspectos. Por un lado, se espera que el alumno comprenda lo que el problema le plantea y, por otro lado, la consigna encierra el asunto que va a abordarse en la clase, lo que puede llevar a que el alumno termine de comprenderla a medida que avanza en la resolución del problema. El docente puede intervenir para aclarar el significado de los términos que lo requieran, puede brindar la información que los alumnos soliciten en la medida que no ofrezca la solución del problema, también puede realizar una lectura general. Si bien se aspira a que los alumnos puedan leer la consigna o el enunciado de un problema de manera autónoma, si no comprendieran el tipo de tarea que se les solicita, el docente podrá intervenir para abonar a su comprensión. El siguiente fragmento corresponde a una puesta en común. Los alumnos ya se habían enfrentado individual y grupalmente a la resolución del problema. Aún así, seguían precisando aspectos ligados a la interpretación del enunciado del problema. Docente: En realidad la consigna decía que tenía que estar correctamente hecha. Alumna 1: Pero una no puede cambiar los números de las cuentas. Alumno 2: No pusimos lo del resto porque es esencial y se sabe que todos lo van a poner, nosotros pusimos otra cosa. Teniendo en cuenta que 24 es el dividendo y 3 es el cociente, nosotros podríamos haber puesto ahí el 4 y resto 12, pero sabíamos que no porque se podía seguir dividiendo, entonces acá en vez de poner que el resto era mayor que el divisor… Docente: Ella lo que quiere aclarar, es que no pusieron acá que el resto es menor que el divisor porque ya se sabe. Entonces se dedicaron a decir que si este es el divisor, ¿cuál es el cociente exacto? ¿Entienden? Alumnos: Si. Alumno 1: Sabe qué pasa, ella está hablando de una “probabilidad”14, cuando yo hago una cuenta, con el problema que usted está explicando, con lo que usted está planteando, está pidiendo un resultado exacto. Docente: ¿Cuál sería la “probabilidad”? Alumno 1: Porque ella pone, ¿podría ser que el cociente me cambie a 4? Vos lo que tenés que hacer con esto, es hacer una cuenta o llegar a un resultado exacto. Docente: Vos lo que me estás diciendo es que si al 24 lo divido en 4 me va a dar un número, me va a dar 6, no me da 5 ó 4 ó 3. Alumno 2: No me va a cambiar el resultado, podrá haber distintos caminos pero el resultado es el mismo, por lo tanto, “probabilidades” nunca hay, o sea, hay “probabilidades” pero hay un resultado exacto. Lo conveniente es encontrar el resultado exacto. Alumno 3: Pero están faltando a la consigna de que el cociente debe ser 3. No podés cambiarlo. Docente: La consigna ¿qué nos pedía? Alumno 3: ¿Con qué números podíamos completar la cuenta de dividir con cociente 3 y divisor 24? Docente: Entonces tenemos que respetar esas condiciones. A propósito de este fragmento es interesante señalar que la maestra interviene reformulando lo que dice una alumna (“Ella lo que quiere aclarar es...”) de modo de garantizar la comprensión por
Vale aclarar que el alumno en este caso usa el término “probabilidad” como sinónimo de “posibilidad” y no haciendo referencia al significado del concepto en el área de matemática. La docente retoma el término “al modo en que lo usa el alumno”.
parte de todos y favorecer el sostenimiento del debate. Si los alumnos pierden el sentido de lo que se está discutiendo, la puesta en común se va cerrando a un intercambio que se restringe a aquellos que siguen participando de la discusión, mientras el resto queda fuera de lo que se está planteando. En el siguiente caso la docente invita a buscar una explicación más general, intervención que resultó fértil para identificar el contenido que se estuvo trabajando y para posibilitar su reconocimiento como herramienta de resolución en nuevos problemas. Docente: Ustedes en el cuadro argumentaron el por qué de cada inciso. Si tuvieran que escribir un argumento que valga para todos los incisos, ¿qué dirían? Alumna 3: Que los restos tienen que ser menores que los divisores porque sino podés seguir dividiendo. Docente: ¿Pero entonces, si el resto es menor que el divisor no se puede seguir dividiendo? Alumna 3: Sí, pero te da con coma. Docente: Entonces cómo podemos aclarar lo que dijeron recién. Alumna 3: Cuando el resultado es un número sin coma el resto debe ser menor que el divisor, sino no15. Docente: Volviendo a la tabla, si yo hubiera tenido en cuenta la conclusión a la que llegaron, ¿era necesario hacer las cuentas para contestar SI o NO? Alumna 4: No, porque miras los restos y los divisores. El siguiente fragmento corresponde a un momento organizado en pequeños grupos. Alumno 1: En la de resto 12 y divisor 4 puse que si. Docente: ¿Qué opinan los demás? Alumno 2: Qué está bien. Alumno 3: Yo calculé así. Divisor 4 y resto 12, cociente 3, porque 3 por 4 es 12 Docente: ¿Todos tienen lo mismo? (Todos contestan que sí, menos un alumno) Alumno 4: Yo puse que no, porque el resto es mayor que el divisor. Docente: ¿Y cuánto da el resto? Alumno 4: 12 y es más grande que 4 que es divisor. Alumno 1: ¡Claro! No me di cuenta. Alumno 2: Si, tenés razón. (Comienzan a borrar en sus hojas) Docente: No borren, porque ya se dieron cuenta donde está el error. Acuérdense de esto para el momento de registrar lo que hicieron. En el fragmento precedente, el docente somete al análisis colectivo lo considerado correcto o incorrecto para avanzar en la fundamentación por parte de los alumnos. El docente no es quien determina si está bien o está mal desde el inicio. Brinda un espacio al intercambio con los pares favoreciendo el análisis sobre los resultados correctos y los erróneos. Al compartir esta responsabilidad, favorece la autonomía por parte del alumno en el control de sus producciones. Se observa al final del extracto una intervención que apunta al modo de trabajo en la clase de matemática: “no borren”. Esta indicación apunta a rescatar el error como parte del proceso. Tener disponible las producciones erróneas permitirá someterlas a análisis en esa misma clase o en clases
Esta se acepta como una “verdad” provisoria. Ya que en realidad siempre el resto tiene que ser menor que el divisor
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 33
posteriores. En muchos casos los errores, merecen ser abordados en forma colectiva, y en otros casos serán fértiles para retomarlos de manera individual. Es interesante destacar otra intervención: “Acuérdense de esto para el momento de registrar lo que hicieron”. Esta intervención es otra marca del tipo de trabajo que se propone a los niños. Se está compartiendo con ellos la responsabilidad de identificar aquello que es importante, que deberán tener en cuenta en otras clases para resolver nuevos problemas. A la vez se está comunicando que es importante anotar lo que se debe retener, lo cual resulta sumamente significativo para el estudio en el área de matemática.
El Problema 2 en las aulas
El siguiente extracto muestra una intervención del docente que apunta a la evocación de conocimientos que circularon en la clase de manera de vincular lo trabajado anteriormente con la tarea a la que se enfrentan. Alumno: ¿Hay que hacer una división que tenga resto 12 y divisor 4? Docente: Bien, ¿se acuerdan de Lisandro, el chico que nombraban en la clase anterior? Una cuestión interesante a analizar es el tipo de práctica que se le solicita a los alumnos. Algunos problemas les proponen un desafío al que habitualmente no se han enfrentado: se pueden atribuir valores arbitrarios al cociente o al divisor para empezar a probar cuáles son las cuentas posibles. Los alumnos se han enfrentado generalmente a problemas en que se les brindan los datos con los que tienen que operar. En éstos pueden atribuir valores arbitrarios a uno o más de los datos faltantes. Por ejemplo, para el problema de la segunda etapa: “Escribí una cuenta de dividir entre números naturales que tenga cociente 25 y resto 12”, una alumna realizó lo siguiente: Multiplica los datos de los que dispone entre sí (cociente y resto): 25 x 12 = 300 Esto le permite obtener, a partir de los datos que ofrece el problema y no arbitrariamente, un número con el cual continuar. De esta manera resuelve la tensión que le genera la necesidad de atribuir al divisor un número al azar. Luego realiza 300 x 25 + 12 = 7512 obteniendo el dividendo a partir de multiplicar cociente por divisor y sumarle el resto. En este problema también se puede “probar” con uno o varios números, si bien es esperable que los niños logren “encontrar” la cuenta solicitada a partir de la relación: D = d x c + r. Se promueve que vayan avanzado progresivamente de estrategias de ensayos sucesivos hacia un trabajo más anticipatorio. En la siguiente intervención el docente favorece la reflexión sobre un procedimiento, apunta a que el alumno se plantee si es necesario realizar las cuentas o es posible basarse en otros conocimientos para obtener la respuesta. Docente: Piensen si a ustedes les hace falta hacer las cuentas. A lo mejor sí o a lo mejor no.
Se trata de un problema que tiene infinitas soluciones, aunque los alumnos, en la primera búsqueda de la solución, no lo anticipen. Algunos niños podrán obtener como respuesta que las cuentas posibles son infinitas mientras que otros dirán que son 12 dado que el divisor, en otros casos, determinaba la cantidad de soluciones posibles. En la puesta en común se podrán someter a discusión ambas respuestas de modo de avanzar en la justificación de sus afirmaciones. Aquí se puede notar cómo el docente interviene solicitando razones sobre lo que han realizado en la instancia grupal.
Docente: ¿Y cuántas cuentas podés hacer? Alumna 2: Muchas Alumna 4: Yo puse que con esas condiciones se pueden hacer infinitas cuentas siempre y cuando el cociente sea mayor que el resto. Hice como ella, el divisor por el cociente y le sumé el resto. Docente: Con respecto a cuántas cuentas pueden hacerse, ustedes pusieron muchas, infinitas, un montón de cuentas. ¿Qué diferencia hay? El pasaje de “muchas” a “infinitas” es muy complejo y requerirá, en muchos casos de intervenciones y explicaciones del docente.
El Problema 3 en las aulas
Un procedimiento al que recurrieron frecuentemente los alumnos es el siguiente: “...si somos 30 y le dan 10 a cada uno, van 300. A la maestra le quedan 15. La respuesta de Marcelo está mal”. El docente podrá proponer la discusión de esta idea: ¿por qué lo que plantea Marcelo es incorrecto? Intervención que apunta a explicitar las razones por las cuales consideran erróneo lo que se plantea. Algunos niños explican: “No, porque hicimos 10 x 30 y nos dio 300 y como eran 315 le sumamos 15 y el resultado sería 10 a cada chico y 15 a la maestra”. Será interesante discutir qué informa el resultado “10,5”. Algunos niños que consideran incorrecta la respuesta de Marcelo dicen: “No, son 10 para cada chico y 15 para la maestra porque Marcelo se equivocó al leer el resultado”. Esta respuesta resulta interesante ya que como dijimos, el cálculo mental 30 x 10 = 300, le permite determinar que para la maestra quedan 15 caramelos. El hecho de que haya usado la calculadora (en la que confían plenamente) y el cálculo efectivamente arroje en el visor 10,5 como resultado, hace dudar al niño quien supone que Marcelo debe haber leído mal el resultado. Otra respuesta que aparece es: “No, porque los caramelos no se pueden escribir con decimales”. En este caso puede orientarse la discusión a cómo determinar qué se hace con lo que sobra en un reparto, qué se puede seguir repartiendo y qué no, si siempre se pueden obtener resultados con decimales. Algunos alumnos respondieron: “No porque no son dos números distintos, sino que es uno solo que es ´10 y medio’ a cada uno”. Esta idea también podrá ser abordada en la fase colectiva avanzando en otorgar sentido a las escrituras decimales en función del contexto de este problema. Otras voces expresan: “No porque 5 no es un número entero” y “,5” “es medio caramelo” (distinguiendo 5 de 0,5); “No, no es correcta. Porque son 10 caramelos y medio, o sea, 10 caramelos para los chicos y medio caramelo para la señorita” (en este caso, el alumno no aclara que se trata de medio caramelo para la maestra por parte de cada uno de los 30 niños, lo cual conforma un total de 15 caramelos que le corresponden en el reparto). Algunos niños dicen: “Para mí la solución que aporta Marcelo es correcta”, “Me parece que es correcto porque hice la división y me dio 10,5”. A partir de este tipo de respuestas puede comentarse algo que sucede frecuentemente entre los niños. El uso de la calculadora16 les ofrece cierta confianza, el resultado les parece correcto e indiscutible: “Si la calculadora dice 10,5, entonces está bien”. Una de las cuestiones a discutir podría ser si la calculadora es la herramienta de cálculo más apropiada para resolver este problema; si es una herramienta que permite resolver todo tipo de situaciones;
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 35
¿en qué medida puedo usar los datos que me ofrece el visor para responder?; en el caso de ser posible ¿cómo usarlos? A esta última cuestión, algunos niños responden: “No, porque el resultado sería 10,5 y la tendría que hacer en un papel para saber cuánto tiene de resto”; “No porque lo que le sobra, o sea, el resto es lo que le va a dar a la señorita y no el cociente como hizo Marcelo”. En una clase un alumno expresa: “Lo que pasa es que la calculadora siempre te da un número exacto sin que te sobre nada”. La docente a cargo de este intercambio con la alumna anota en su registro de la clase: Podría haber trabajado esta idea, pero no me daba el tiempo. Ella considera que el asunto que este alumno plantea requiere ser analizado, pero decide no discutirlo en esta clase y retomarlo en clases siguientes. El docente en estos casos puede anunciar esta decisión al alumno o a la clase si surgió en el momento de la puesta en común. “Es muy interesante lo que estás diciendo, vamos a retomarlo la próxima clase”. A veces resulta pertinente seleccionar sólo algunos de los aspectos que surgen en el desarrollo de una clase en función, entre otras variables posibles a considerar, del propósito y del tiempo del que disponemos para la misma.
Se espera que luego de los tres problemas se elaboren algunas ideas como las siguientes: • El resto no puede ser ni igual ni mayor que el divisor; • En el problema 1 no necesitamos hacer las cuentas, podemos mirar el resto y saber si esa cuenta es posible o no; • En el problema 2 las soluciones son infinitas. Se puede poner cualquier número en el cociente, lo multiplicás por el divisor y le sumás el resto; • No se pueden escribir los caramelos con números decimales, la respuesta no es la que aparece en el visor de la calculadora; • El problema 3 se puede hacer así: multiplicás la parte entera del cociente por el divisor y se lo restás el dividendo, así te da el resto: 15 30 x 10 = 300, 315 – 300 = 15; Será muy fértil registrar las conclusiones elaboradas, para que puedan ser retomadas en actividades siguientes.
Los siguientes problemas apuntan a reutilizar los conocimientos que circularon y a propiciar un desempeño más autónomo por parte de los alumnos. Problema 4 ¿Cuál o cuáles de los siguientes números pueden completar correctamente esta cuenta? 65 /__________ 5
Divisor 13 11 10 9 12
Resto 0 10 15 20 5
Este problema permite reinvertir lo trabajado en el Problema 1. Se espera que estén atentos a que el resto cumpla con la condición de ser menor que el divisor. Este problema también admite varias soluciones.
Problema 5 A las siguientes cuentas les faltan números. Complétalas. / 4 96 /___________ 7 7 ¿Cuántas soluciones hay para cada cuenta?
/__9_________ 5
La primera cuenta no tiene solución porque el resto es mayor que el divisor. Se amplían las posibilidades: los problemas pueden tener una, varias, infinitas o ninguna solución. Para resolverlas se retomarán las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto. Problema 6 Constanza tenía que resolver este problema: “Se quieren colocar globos en cada una de las 12 aulas de la escuela de manera que en cada aula se coloque la misma cantidad. Tienen 126 globos. ¿Cuántos se van a colocar en cada aula? ¿Sobran? ¿Cuántos?”. Constanza hizo la cuenta 126 : 12 y en el visor de la calculadora apareció el siguiente resultado: “10,5”. Escribió esta respuesta: “Se deben colocar 10,5 globos en cada aula”. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué? Este problema permite retomar los aspectos trabajados en el Problema 3: si el resto se puede repartir o no, si admite un resultado decimal. Se podrá discutir si se pueden resolver o no con la calculadora y cómo se puede reconstruir el resto usándola. Problema 7 Luis usó la calculadora para resolver la siguiente división: 237 : 5. En el visor de la calculadora apareció el número 47,4. Luis dice que usando la calculadora pudo averiguar el resto de esta división. ¿Estás de acuerdo? ¿Cómo habrá hecho Luis para averiguarlo? Este problema permite reinvertir lo trabajado en los problemas 3 y 6 pero se presenta más descontextualizado. Reconstruir el resto con la calculadora permite poner en juego un conocimiento que circula en la clase a lo largo de las distintas etapas: las relaciones entre el dividendo, divisor, cociente y resto. Si bien muchos niños harán la cuenta escrita para determinar el resto, se apuntará a reconocer que es posible multiplicar la parte entera del cociente por el divisor y restar el producto al dividendo, obteniendo así el resto: 47 x 5 = 235 / 237 – 235 = 2. Problema 8 ¿Cómo se puede resolver este problema usando la calculadora? En una escuela se organiza la exposición de trabajos que los alumnos realizaron para participar de un concurso. Se recibieron 318 dibujos del mismo tamaño. Hay 22 paneles para colgarlos, se coloca la misma cantidad en cada panel. Se necesita saber cuántos quedan sin colgar. Al resolver este problema con la calculadora se obtiene como resultado 14,5. Nuevamente se trata de reconstruir el resto con la calculadora a partir de considerar la parte entera del cociente, multiplicarla por el divisor y luego restarla al dividendo.
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 37
Quinta etapa: reorganizar los problemas y sistematizar el estudio17
Resolvé estos problemas. Podés usar los “machetes” y las conclusiones como consulta. Entregalos por escrito y ya resueltos el día ........... Luego de la resolución individual realizaremos una puesta en común para analizar dificultades y errores. 1. Hay que colocar 288 cerámicos. Se sabe que cada fila tiene que tener entre 14 y 17 cerámicos, ¿cuántas filas habrá si no sobra ningún cerámico? 2. a) Escribí una cuenta de dividir entre números naturales que tenga cociente 19 y resto 6. b) ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles? c) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué? 3. Inés hizo la cuenta 346 : 7, obteniendo de cociente 49 y resto 3. Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir: 347 : 7 348 : 7 350 : 7 352 : 7 ¿Puede Inés determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explica cómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no. 4. Verónica hizo la cuenta 87 : 6 y en el visor de la calculadora apareció el siguiente resultado: “14,5”. Explicá cómo puede averiguar el resto de esta cuenta usando la calculadora. 5. ¿Cuál o cuáles de los siguientes números pueden completar correctamente esta cuenta? 96 /__________
8 Divisor 11 12 10 Resto 7 0 16 SI o NO ¿Por qué?
6. A las siguientes cuentas les faltan números. Complétalas. / 6 86 /___________ 6 5 ¿Cuántas soluciones hay para cada cuenta?
/__8_________ 2
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 39
Queremos expresar nuestro profundo agradecimiento a todos los niños, maestros, directores, inspectores, equipos técnicos regionales de Capacitación que durante el año 2006 implementaron esta propuesta. Sus voces permiten que nuevos maestros puedan llevar esta propuesta a sus aulas anticipando una posible gestión de clase. Hemos intentado, a través de este documento, ofrecer una colección de problemas, que pueda permitir a los alumnos del 5º o 6º año dar una “vuelta de tuerca” sobre la división, visitando aspectos más desconocidos para ellos vinculados con esta operación y a la vez involucrándolos en un tipo de trabajo intelectual propio de la matemática: mirar con más profundidad el funcionamiento de un objeto para estudiarlo, analizar las relaciones involucradas e intentar generalizarlas, preguntarse por la cantidad de soluciones, por si sucederá siempre, por qué está o no permitido hacer en matemática. Ha sido enfatizada la necesidad de considerar las condiciones del aula para que efectivamente se propicie esta clase de trabajo matemático por parte de los alumnos. Hacemos nuestras las palabras que usó en una entrevista la Prof. Patricia Sadovsky18: Dar clase no es un proyecto individual, un acto privado, sino un hecho colectivo y público. Y se necesita contribuir con el docente, [...] (para que) pueda concebir al alumno como productor y aquello que el alumno va a decir en relación a una problemática como constitutivo del conocimiento matemático. No es que yo lo convoco a producir, para después, y encima de eso, colocarle la verdad matemática, aplastándolo; sino que el alumno pueda proponer, usando sus conocimientos, al trabajo matemático; que sienta que eso que él produce es parte de la matemática que se construye. Por poner un ejemplo. Si uno abre el juego y plantea un problema, y los alumnos dan distintas propuestas, al ponerse esas propuestas en relación entre sí se producen relaciones nuevas que son inéditas, y que sólo se producen si esas propuestas se ponen en relación entre sí. Y ahí aparece nuevo conocimiento, que es el conocimiento de esa clase. Obviamente que tiene una referencia en la actividad matemática, no es que inventan una matemática distinta, pero ligan a una cierta problemática relaciones que fuera de ese contexto no necesariamente están ligadas [...]”. Hemos visto estos problemas “funcionando” en las aulas y su posibilidad de generar un tipo de trabajo en el que la producción colectiva de nuevos conocimientos enriquece la mirada sobre la división, a la vez que permite a más alumnos involucrarse en el placer de una actividad puramente intelectual y matemática. Este documento es también una invitación a extender dichas condiciones.
1. El piso del aula es rectangular y tiene en total 330 cerámicos. Todos los cerámicos son cuadrados y están enteros. En cada fila hay más de 12 y menos de 18 cerámicos. ¿Cuántos cerámicos hay en cada fila? ¿Cuántos en cada columna? ¿Hay una sola posibilidad? ¿Por qué? 2. Una escuela rural recibió una donación de 176 plantas. Van a colocarlas en un sector rectangular. En cada fila pueden ubicar 11 plantas. ¿Cuántas filas pueden completar? 3. Un tablero de ajedrez está formado por 64 cuadraditos blancos y negros dispuestos en filas iguales. Cada fila está formada por 8 cuadraditos. ¿Cuántas filas tiene el tablero? Escribí el cálculo que realizaste para resolver este problema. 4. Se quieren dibujar en hoja cuadriculada distintos rectángulos formados por 18 cuadraditos. ¿Cuántas posibilidades hay? ¿Cómo hiciste para averiguarlo?
5. Se quieren dibujar en hoja cuadriculada distintos rectángulos formados por 36 cuadraditos. ¿Cuántas posibilidades hay? ¿Cómo hiciste para averiguarlo?
1. a) Escribí una cuenta de dividir entre números naturales que tenga cociente 25 y resto 12. b) ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles? c) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué? 2. a) Escribí una cuenta de dividir entre números naturales que tenga cociente 12 y resto 7. b) ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles?
c) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué? 3. Al dividir un número por 32, se obtuvo 16 y un resto de 4. ¿Qué número se dividió? 4. Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay una única posibilidad?
/_____ 4 6
5. Completá la tabla
3. Fernando hizo la cuenta 153 : 8, obteniendo de cociente 19 y resto 1. Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir: 155 : 8 158 : 8 160 : 8 162 : 8 ¿Puede Fernando determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explica cómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no. 4. Completá las siguientes cuentas colocando dividendo y resto. / 6 / 7 . 7 6
5. a) Completá los números que faltan en las cuentas. b) ¿Cuántas soluciones puede tener cada una? /15 / 8 6 3 5
A B C D E Divisor 4 8 7 5 6 Resto 12 0 3 9 6 SI o NO ¿Por qué?
2. a) Escribí una cuenta que tenga divisor 12 y resto 5. b) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir que cumplan con esas condiciones? 3. Lisandro llevó una bolsa con 315 caramelos para compartir con sus compañeros y maestra porque era su cumpleaños. Le dijo a la maestra: -”Estos caramelos son para compartir entre todos mis compañeros y yo, que somos 30. Para cada uno la misma cantidad de caramelos. Los que sobran son para vos seño”. Marcelo, su amigo, para saber cuántos caramelos le tocaba a cada uno, tomó la calculadora e hizo el cálculo 315 : 30. Al apretar el signo =, en el visor de su calculadora apareció el número 10.5 Y dijo a su maestra: “Son 10 caramelos para cada uno de nosotros y 5 para vos”. ¿Te parece que la solución que aporta Marcelo a partir del uso de la calculadora es correcta? ¿Por qué? 4. ¿Cuál o cuáles de los siguientes números pueden completar correctamente esta cuenta? 65 /__________ 5
a b c d e Divisor 13 11 10 9 12 Resto 0 10 15 20 5 SI o NO ¿Por qué? División en 5o y 6o año de la escuela primaria 43
5. A las siguientes cuentas les faltan números. Complétalas. / 4 96 /___________ 7 7 ¿Cuántas soluciones hay para cada cuenta?
6. Constanza tenía que resolver este problema: “Se quieren colocar globos en cada una de las 12 aulas de la escuela de manera que en cada aula se coloque la misma cantidad. Tienen 126 globos. ¿Cuántos se van a colocar en cada aula? ¿Sobran? ¿Cuántos?”
Constanza hizo la cuenta 126 : 12 y en el visor de la calculadora apareció el siguiente resultado: “10,5”. Escribió esta respuesta: “Se deben colocar 10,5 globos en cada aula”. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué? 7. Luis usó la calculadora para resolver la siguiente división: 237 : 5. En el visor de la calculadora apareció en número 47,4. Luis dice que usando la calculadora pudo averiguar el resto de esta división. ¿Estás de acuerdo? ¿Cómo habrá hecho Luis para averiguarlo? 8. ¿Cómo se puede resolver este problema usando la calculadora? “En una escuela se organiza la exposición de trabajos que los alumnos realizaron para participar de un concurso. Se recibieron 318 dibujos del mismo tamaño. Hay 22 paneles para colgarlos, se coloca la misma cantidad en cada panel. Se necesita saber cuántos quedan sin colgar”.
1. Hay que colocar 288 cerámicos. Se sabe que cada fila tiene que tener entre 14 y 17 cerámicos, ¿cuántas filas habrá si no sobra ningún cerámico? (justificar párrafo) 2. Escribí una cuenta de dividir entre números naturales que tenga cociente 19 y resto 6. ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles? ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué? 3. Inés hizo la cuenta 346 : 7, obteniendo de cociente 49 y resto 3. Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir: 347 : 7 348 : 7 350 : 7
352 : 7
¿Puede Inés determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explica cómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no. 4. Verónica hizo la cuenta 87 : 6 y en el visor de la calculadora apareció el siguiente resultado: “14,5” Puede averiguar el resto de esta cuenta usando la calculadora. Explicá cómo puede averiguarlo. 5. ¿Cuál o cuáles de los siguientes números pueden completar correctamente esta cuenta? 96 /__________ 8
a b c DGCyE / Subsecretaría de Educación Divisor 11 12 10 Resto 7 0 16 SI o NO ¿Por qué?
6. A las siguientes cuentas les faltan números. Complétalas. / 6 6 86 /___________ 5 /__8_________ 2
¿Cuántas soluciones hay para cada cuenta?
Brousseau, G., “Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática”. Publicación de la UNCba, 1993. Lerner; D. “La enseñanza y el aprendizaje escolar. Alegato contra una falsa oposición” en Castorina y otros. Piaget-Vigotsky: contribuciones para replantear el debate. Buenos Aires, Paidós, 1996. Wolman, S. y Quaranta, M.E., “Discusiones en la clase de matemática. Qué, para qué y cómo se discute”, en Panizza, M. (comp.) Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB. Buenos Aires, Paidós, 2003. Sadovsky,P. “La Teoría de Situaciones Didácticas: un marco para pensar y actuar la enseñanza de la matemática” en Alagia H., Bressan A. y Sadovsky, P. Reflexiones teóricas para la Educación Matemática. Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2005. Sadovsky P., Enseñar Matemática hoy. Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2005.
“Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en EGB”, 2004. Disponible en www.abc.gov.ar.
Desafío Matemático 2005. 2005. Disponible en www.abc.gov.ar
División en 5o y 6o año de la escuela primaria 45
“Orientaciones Didácticas para la Enseñanza de la Multiplicación en los tres ciclos de la EGB”, 2001. Disponible en www.abc.gov.ar.
“Orientaciones Didácticas para la Enseñanza de la División en los tres ciclos de la EGB”, 2001. Disponible en www.abc.gov.ar.
“Aportes didácticos para el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB”, 2001. Disponible en www.abc.gov.ar. Dirección de Currículum. MCBA, “Documento Curricular Número 4”. Matemática. Secretaría de Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, 1997. Disponible en www.buenosaires.gov.ar. Dirección de Currículum. GCBA, “Documento de actualización curricular para 7º grado”, 2000. Disponible en www.buenosaires.gov.ar. Sadovsky, P., “¿Enseñar división es transmitir cultura?” en revista La Educación en nuestras manos, n° 54, marzo de 1999. En http://www.suteba.org.ar/index.php?r=1591. Saiz, I., “La dificultad de dividir o dividir con dificultad” en Parra y Saiz, Didáctica de Matemática, Buenos Aires, Paidós, 1994. Vergnaud, G., El niño, las matemáticas y la realidad, problema de las matemáticas en la escuela. México, Trillas, l991.
Más de este usuarioPresentación MontePresentación MontePOWER PARA MËDANOSPOWER PARA MËDANOSjornada pta altajornada pta altaGeometria MediaGeometria Mediazelmanovich nota clarinzelmanovich nota clarinPresentacionJornadas2PresentacionJornadas2PMAT Douady Unidad 2PMAT Douady Unidad 2CHEVALLARD-esrudiar matematicas cap 2CHEVALLARD-esrudiar matematicas cap 2Charlot traducidoCharlot traducidoAportes para el uso de la calculadoraAportes para el uso de la calculadoraPOWER ARTISTICA EP Y SBPOWER ARTISTICA EP Y SBmatematica4numerosracionalesygeometriamatematica4numerosracionalesygeometriaJornada DirectivosJornada DirectivosPresentacionJornadasPresentacionJornadasEl Chaco Santafesino y su sueloEl Chaco Santafesino y su sueloActualización del enfoque del área y presentación deActualización del enfoque del área y presentación deCONSTRUCCIÓN DE LECTORES Y ESCRITORESCONSTRUCCIÓN DE LECTORES Y ESCRITORESLa E Física en la E primariaLa E Física en la E primariafisica2fisica2fisica1fisica1mapas-region-22[1]mapas-region-22[1]info-region-22[1]info-region-22[1]cuadros-region-22[1]cuadros-region-22[1]caratula-region-22[1]caratula-region-22[1]
doc primaria division by capacitacionregional28K viewsEmbedDownloadRead on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMore informationShow less
RelatedPauta de Evaluación CuentoPauta de Evaluación Cuentoby moniquitagTECNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓNTECNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓNby Karent Noelia Vences BaltaDe Bono, Resumen Aprender a PensarDe Bono, Resumen Aprender a Pensarby ave_fenix_mileniumPrograma Inteligencia PrÁctica Para La Escuela, IntroducciÓnPrograma Inteligencia PrÁctica Para La Escuela, IntroducciÓnby api-3697492Recomendaciones para el verano - Matemáticas - 5º PrimariaRecomendaciones para el verano - Matemáticas - 5º Primariaby edisueLA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍALA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍAby prof_elia@Secuencia didactica para 1ºañoSecuencia didactica para 1ºañoby Marina MarinaDivisiÓn de nÚmeros Naturales Nombres y Apellidos:.....................................................................DivisiÓn de nÚmeros Naturales Nombres y Apellidos:.....................................................................by rcartolin8245Similar to doc primaria divisionPauta de Evaluación CuentoPauta de Evaluación CuentoTECNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓNTECNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓNDe Bono, Resumen Aprender a PensarDe Bono, Resumen Aprender a PensarPrograma Inteligencia PrÁctica Para La Escuela, IntroducciÓnPrograma Inteligencia PrÁctica Para La Escuela, IntroducciÓnRecomendaciones para el verano - Matemáticas - 5º PrimariaRecomendaciones para el verano - Matemáticas - 5º PrimariaLA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍALA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍASecuencia didactica para 1ºañoSecuencia didactica para 1ºañoDivisiÓn de nÚmeros Naturales Nombres y Apellidos:.....................................................................DivisiÓn de nÚmeros Naturales Nombres y Apellidos:.....................................................................SECUENCIA DIDÁCTICA PRIMARIA 3SECUENCIA DIDÁCTICA PRIMARIA 3División InexactaDivisión InexactaNeurociencia Cognitiva y Educación_Gomez_UNPRGNeurociencia Cognitiva y Educación_Gomez_UNPRG

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución