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Timestamp: 2020-02-20 22:10:32+00:00

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Trejo Gamboa Maria Angelica | Variable (Matemáticas) | Álgebra
Trejo Gamboa Maria Angelica
Eddison Uchuypoma Silva
SalvaSalva Trejo Gamboa Maria Angelica per dopo
“Material de apoyo para la enseñanza del concepto de variable en el Álgebra Elemental”
Para obtener el título de Licenciado en Matemáticas
Presenta María Angélica Trejo Gamboa
Director de Tesis M. en C. Eloisa Benítez Mariño
Xalapa Enríquez, Veracruz Enero 2008
A Melisa y Eduardo:
Por ser mis motivos para realizar este trabajo
A Gabriela y Elisa:
Por su cariño incondicional
Por su amor, apoyo y comprensión
Por haberme brindado los conocimientos y la orientación
A Eduardo y Ana:
Por haberme hecho una mujer de bien
Por ser mi reto cada día como profesora de Matemáticas
A mi Directora de Tesis:
M. en C. Eloisa Benítez Mariño
Por su disposición, el buen ánimo y el arduo trabajo conjunto en éstos dos años
Un agradecimiento especial a los revisores del trabajo:
Dr. José Rigoberto Gabriel Argüelles Dr. Ernesto Menéndez Acuña Dr. Evodio Muñoz Aguirre
por las correcciones, sugerencias y anotaciones las cuales me fueron de gran ayuda para mejorar esta investigación
Introducción --------------------------------------------------------------------- -------------
ANTECEDENTES DEL USO DE LA VARIABLE Y EL MODELO 3UV --------
1.1 El concepto de variable en la historia --------------------------------------------
1.2 Definición de variable -------------------------------------------------------------
1.3 Importancia del manejo adecuado de la v ariable -------------------------------
1.4 Posibles orígenes de los errores en el uso de la variable ---------------------
1.5 Errores en la enseñanza del concepto de variable ------------------------------
1.6 Investigaciones previas sobre el u so de la variable ----------------------------
1.7 Modelo 3UV ------------------------------------------------------------------------
PRETEST, MATERIAL DE APOYO Y POSTEST ------------------------------------
2.1 Pretest ---------------------------------------------------------------------------- ---- 15
2.3 Postest ------------------------------------------------------ ----------------------------- 37
2.2 Material de apoyo ------------------------------------------------------------------
2.2.1 Números enteros -------------------------------------------------------------
2.2.2 Números racionales ---------------------------------------------------------
2.2.3 Incógnita específica ---------------------------------------------------------
2.2.4 Número general --------------------------------------------------------------
2.2.5 Relación funcional -----------------------------------------------------------
2.2.6 Número general con relación funcional ----------------------------------
2.2.7 Incógnita con relación funcional ------------------------------------------
2.2.8 Número general, incógnita y relación funcional -------------------------
METODOLOGIA --------------------------------------------------------------------------- 45
3.2 Diseño de los instrumentos -------------------------------------------------------- 47
3.2.1 Diseño y análisis del Pretest bajo el Modelo 3UV ---------------------- 47
3.2.2 Recopilación y diseño del material de apoyo propuesto --------------- 48
3.7 Hipótesis ------------------------------------------------------------------------ -----
3.8 Metodología del análisis cuantitativo -------------------------------------------- 58
3.9 Metodología del análisis cualitativo ---------------------------------------------
3.1 Sujetos ---------------------------------------------------------- ---------------------
3.2.3 Diseño y análisis del Postest bajo el Modelo 3UV ----------------------
3.3 Instrumentos ----------------------------------------------- --------------------------
3.4 Procedimiento ------------------------------------------------------- ----------------
3.5 Controles --------------------------------------------------------- --------------------
3.6 Análisis de datos ----------------------------------------------- ---------------------
ANALISIS DE DATOS -------------------------------------------------------------------
4.1 Análisis cuantitativo del pretes t --------------------------------------------------
4.2 Análisis cualitativo del pretest ------------------------------------------- ---------
4.3 cuantitativo del postest ----------------------------------------- --------- 70
4.4 cualitativo del postest ------------------------------------------ --------- 72
4.5 Comparativa entre el Pretest y el Postest ----------------------------------------
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ----------------------------------------- 79
REFERENCIAS ----------------------------------------------------------------------------- 85
ANEXOS ------------------------------------------------------------------------------------- 91
INDICE DE TABLAS Y GRÁFICAS
El concepto de variable es de gran importancia para la transición de la aritmética al álgebra elemental dentro de las matemáticas; además de que al interior de ésta se le da diferentes usos (incógnita específica, número general o relación funcional); es por ello que es necesario crear estrategias de enseñanza – aprendizaje apoyadas con material didáctico que les faciliten a los alumnos de bachillerato hacer esta diferenciación de los usos de la variable y ampliarles la idea que tienen sobre la misma.
En secundaria el concepto de variable se ve de manera gradual en los tres años; implícitamente en primer año se inicia con la utilización de expresiones con literales, cálculo de áreas y volúmenes y escri tura algebraica; en segundo se introducen las ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones lineales y operaciones con monomios y polinomios; finalmente en tercero, se aborda los productos notables, la factorización y las ecuaciones de segundo grado.
Desafortunadamente el egresado de secundaria no distingue fácilmente qué debe hacer ante una expresión con literales: algunos la operan aritméticamente, otros despejan la incógnita, otros tantos usan alguna fórmula que memorizaron, etc.; y son muy pocos los que realmente saben qué procede en cada caso que se les presente, además de esta situación otra dificultad que es mas preocupante es el hecho de que al plantearles una situación a resolver extraída de su realidad cotidiana no pueden expresarla en leguaj e matemático.
Estas situaciones comunes dentro de nuestras aulas se deben a que en el proceso de aprendizaje del uso de la variable va vinculado con el tema que se aborda (suma algebraica, despejes, graficación de funciones, etc.) sin hacer énfasis en el r azonamiento de las diferencias en su uso; aunado a esto, habitualmente el profesor se concreta al aspecto algorítmico y no lógico de las matemáticas, ya que después de hacer muchos ejercicios de aplicación o numéricos, el alumno llega a mecanizar los proce sos de resolución pero no los razona, ocasionando con esto confusión al tener que resolver diversos problemas donde la variable se manipula aritméticamente, se despeja, tiene 1, 2
ó una infinidad de valores o está en una relación funcional; es decir, si a los alumnos no se les dice explícitamente el tema y que es lo que se les está cuestionando entonces son muy pocos los que saben qué hacer a ciencia cierta.
En el texto de primer semestre del bachillerato se aborda el tema de variable presentando fórmulas para la solución de ejercicios numéricos y no contiene aplicaciones. El concepto de variable sólo es mencionado en el tema de ecuaciones lineales definiéndola como una literal (recomienda usar las últimas letras del alfabeto) y que tiene cierto número de soluciones dependiendo del grado de la ecuación. En su uso como número general en la manipulación algebraica no le llama variable sino solamente “letra”, y en cuanto a su uso en una relación funcional, ni siquiera menciona qué papel juega la “letra” en el proceso.
Con todas estas deficiencias que presenta el libro de texto en cuanto al tema de variable es comprensible entender por qué al alumno se le dificulta en semestres posteriores identificar los diversos usos de la misma.
Lo que se pretende conocer co n este trabajo es si la resolución de material de apoyo específico sobre la variable, por parte de los alumnos, incrementa su dominio del concepto y la distinción de sus usos.
Todos estos factores dieron como resultado esta investigación, que tiene la siguiente estructura:
En el Capítulo 1, se inicia presentando un breve bosquejo histórico sobre el surgimiento del concepto de variable y algunas investigaciones recientes con respecto a sus usos en educación básica y media (en Educación Matemática), posteri ormente muestra en qué consiste el Modelo 3UV que proponen Ursini y Trigueros (1998), fundamental para el análisis de esta investigación.
En el Capítulo 2, se muestran el Pretest, el material de apoyo y el Postest que se implementaron en este trabajo, así como tablas donde se describe como los aspectos del Modelo 3UV están presentes en algunos ejercicios.
En el Capítulo 3, se mencionan los sujetos estudiados, la recopilación y el diseño del Material de apoyo - utilizando el aspecto multifacético de la var iable y las relaciones que se presentan entre los usos de la misma, todo esto derivado del trabajo de tesis sobre los usos de la variable en el libro de texto de Matemáticas para secundaria que sugiere Benítez (2004) - , el análisis bajo el Modelo 3UV del Pretest y el Postest, los instrumentos usados en la investigación, las estrategias de enseñanza – aprendizaje empleadas en el aula durante todo este proceso, los controles utilizados para la fiabilidad y validez de la misma, la hipótesis y el enfoque bajo el cual se hizo el análisis de los datos obtenidos.
Finalmente en el Capítulo 4, se analizan los resultados obtenidos del Pretest y Postest y se hace una comparación entre ellos para determinar si el material que se propuso al grupo piloto tuvo algún impa cto en ellos.
Uno de los objetivos de recopilar y diseñar material de apoyo para la distinción de los usos de la variable es que éste sirva a otros profesores dentro de sus aulas, por lo que al final de este trabajo se incluye una sección de Anexos, donde se muestran el Pretest y el Postest resueltos para su posible aplicación.
ANTECEDENTES DEL USO DE LA VARIABLE Y
EL MODELO 3UV
Este primer capítulo inicia presentando un breve bosquejo histórico sobre el surgi miento del concepto de variable y algunas investigaciones recientes con respecto a sus usos en educación básica y media (en Educación Matemática), posteriormente muestra en qué consiste el Modelo 3UV que proponen Ursini y Trigueros (1998), fundamental par a el análisis de esta investigación.
1.1 El concepto de variable en la historia
El álgebra es parte de un proceso de razonamiento y abstracción del concepto de número, en ella encontramos las estrategias para resolver problemas de la vida cotidiana y lo más importante, que es una herramienta que nos “entrena” para pensar matemáticamente y que nos permite comunicarnos con matemáticas (Loholz, 1999); por tanto, entender el concepto de variable es fundamental para lograr una transición exitosa de la aritmética al álgebra, ya que su manejo es el eje principal de esta área de las matemáticas.
Históricamente el uso de letras o variables en simbolismos algebraicos se divide en tres grandes etapas (Kieran and Chaloub, 1999):
1) Etapa Retórica (250 a.C.): Se caracteri zó por el uso de descripciones ordinarias del lenguaje para resolver problemas particulares y comenzó el uso de símbolos o signos especiales para representar cantidades desconocidas.
2) Diofanto (325 - 409 d.C.): Introdujo el uso de abreviaciones para can tidades desconocidas. Durante esa época lo que se pretendía era el descubrir el valor de las letras.
3) Francoise Viète (1540 – 1603 d.C.): Se le considera el fundador del Álgebra Moderna. Fue el primero en usar las letras en una notación formal en Matemát icas como incógnitas ó cantidades. En este punto fue ya posible expresar soluciones generales para el significado de los símbolos y de hecho, usar el álgebra como una herramienta para probar reglas e implementar relaciones de números.
“La noción de variable representando ya una variación de cantidades fue introducida por los padres del Cálculo Infinitesimal, Newton (1642 –1727) y Leibnitz (1646– 1716). El concepto que ellos tenían estaba muy relacionado con el de función, de hecho fue Leibnitz quien creó amb os términos.” (Philipp R. 1999, p.157)
1.2 Definición de Variable
En el siglo XX la definición de variable tuvo muchos cambios entre la comunidad matemática, en las primeras décadas se hizo una distinción “entre cantidades que tenían un solo valor llamadas constantes y cantidades que representaban varios valores las cuales eran llamadas variables” (Philipp R. 1999, p.157). En los años cincuenta, se definió como “una literal que puede tener dos o mas valores numéricos durante una discusión particular” (Usiskin Z. 1999, p.8). Una década más tarde, como “un símbolo que puede representar cualquiera de los miembros de un conjunto específico, llamado el conjunto de reemplazo o dominio de la variable” (Philipp R. 1999, p.157).
Actualmente se considera un concepto m ultifacético debido a que su uso depende del contexto donde se encuentre, cumpliendo en cada caso con ciertas propiedades.
En la siguiente tabla (Philipp R. 1999, p.160) se muestra una clasificación general de los diversos usos de las literales:
3p = 1y
p,y donde: p = pies, y = yarda
e,¶
e = 2.71828…, ¶ = 3.1419…
4x + 3 = 11
Cantidades que varían (Relación Funcional)
∫ e x dx = e x
e x , dx
El término de parámetro, que es poco mencionado como tal en los textos de nivel medio pero de constante uso tanto en matemáticas como en otras disciplinas, está definido como “una condición variable a la que se asignan unos valores de terminados y fijos” (Diccionario Informático, 2005).
simultánea. Por ejemplo, en cierto problema de economía:
A = Pe kt
donde “e” = 2.71828…, “A” representa la cantidad de dinero que hay después de un tiempo “t” y “P” los dólares depositados en una cuenta que se incrementa continuamente con una tasa de interés “k” por unidad de tiempo. Es decir, “ e” es constante, “A”, “t” son cantidades que varían y “P”,”k” son parámetros. (Phillip R. 19 99, p.160)
Es en estos tipos de situaciones donde los estudiantes no interpretan de manera correcta el lenguaje técnico de las matemáticas e incurren en errores.
Importancia del manejo adecuado de la variable
En el bachillerato es fundamental que el al umno logre dominar el manejo de la variable ya que le servirá como base para entender otras materias, como física, química e incluso biología; y en la licenciatura estructuras algebraicas con un alto grado de abstracción, como lo son anillos, campos, espac ios vectoriales, etc.
Ahora, si bien no todos los egresados del nivel medio superior se inclinan por cursar una carrera del área técnica, el alumno de este nivel educativo debe primeramente adquirir la capacidad de trasladar problemas de su vida cotidiana a un lenguaje algebraico y resolverlos, identificando el uso de la variable; como segundo paso, manipularla de acuerdo con el contexto reconocido y finalmente, interpretar la solución dentro de su realidad. Es decir, usar las matemáticas y específicamente el álgebra como una herramienta en su vida diaria, entendiendo de esta manera el poder y la flexibilidad de los símbolos literales.
Un punto que se debe tomar en cuenta es el papel multifacético que juega la variable en diferentes contextos; con ello, pa ra poder hacer la distinción entre los usos de la misma es necesario que el alumno logre identificar que representa la variable (incógnita, número general, relación funcional, parámetro, etc) en las expresiones matemáticas y más aún si éstas describen algu na situación de la vida real.
1.4 Posibles orígenes de los errores en el uso de la variable
Investigadores en Matemática Educativa se han dado a la tarea de averiguar la causa por la cual los estudiantes incurren en errores en el manejo de la variable, porqu é les resulta tan difícil la transición de la aritmética al álgebra, qué factores son los que determinan que un alumno comprenda de manera casi inmediata el lenguaje algebraico y otro no, etc.
Peter Rosnick (1999) menciona que “… el uso de literales, como los conceptos que van aprendiendo, además del nivel de abstracción que continuamente se incrementa; da como resultado una confusión general respecto al tema…”
Wagner y Parker (1999) señalan “… que como usamos dos sistemas de símbolos (letras y números) j untos en el álgebra y cada uno por separado tiene reglas muy particulares; es donde surge la ambigüedad ”; por ejemplo, en la multiplicación de un número por otro, digamos “k” por “g”, se denotaría como “kg”, “(k)(g)”, “kxg”, “k*g”; donde se observa que en el primer caso al no tener signos de agrupación o de multiplicación se presta a confundirse con la abreviación del término kilogramo. Otra situación muy común por la que pasan algunos estudiantes es que al ver la notación algebraica de la multiplicación de dos números (por ejemplo: ab) lo entienden como un solo número con “a” decenas y “b” unidades; así, si a = 7 y b = 3 en vez de obtener ab = 21 (ab= (7)(3) = 21), para ellos es ab = 73.
1.5 Errores en la enseñanza del concepto de variable
A) Uno de los errores más comunes que cometen los profesores de matemáticas es asignarle a la variable una abreviación de los objetos que se va a manipular en el problema; por ejemplo: “Melisa fue a la tienda y compró 2kg de manzanas y una golosina de $2.00, si pagó $2 4.00 ¿cuánto cuesta el kilo de manzanas? La ecuación que describe el problema sería la siguiente:
2p + 2 = 24
donde “p” representa el precio de las manzanas, que es la cantidad desconocida.
Pero comúnmente se escribe así:
2m + 2 = 24
donde “m” hace alusi ón al objeto manzanas, creando con esto cierta confusión, ya que podría entenderse que “m” es el número de manzanas y no el precio de su kilo, pues el
resultado se denotaría “m = 11”. Situaciones tan simples como la designación de una literal ya generan dudas en los alumnos.
B) Otro error que nos acarrea a futuro muchas dificultades es el excesivo uso de la letra
“x”, pues se ha demostrado que en expresiones algebraicas idénticas pero con diferentes literales (por ejemplo: 3x + 1 = 10 y 3a + 1 = 10), los jóvenes sí resuelven la que tiene la letra “x”, pero la otra no. Esto se debe a que ellos creen que siempre se usa la “x”, y en caso de presentarles otra literal, ésta deberá tener un valor distinto al de la “x”, pues se escribe distinto; esto es a consecuencia del hincapié que se les hace para distinguir “un número más otro” en el tema de Lenguaje Algebraico, ya que al pedirles que escriban de manera algebraica la oración se les menciona que si a la palabra “número” se le asigna la literal “x”, entonces a la palabra “otro” se le debe asignar una literal diferente de “x”, por ejemplo “y”, quedando de la siguiente manera: x + y , con esto se sobreentiende que los valores numéricos que se le asignen a las literales serán diferentes entre sí.
Esta situación se podría solucionar al crearles la necesidad a los estudiantes (a través de ejercicios propuestos por el profesor) de expresar algebraicamente alguna situación que se les presente. Aquí se les invita a que denoten como ellos quieran a la incógnita, número general o variación; de esta manera habrá distintas formas dentro del grupo de denotar a un mismo “objeto” y así, mostrarles que a pesar de que varios lo “bautizaron” de diferente manera todos expresaron lo mismo y obtienen los mismos resultados.
C) La sentencia de que “una variable es una letra que siempre representa un número”
no siempre es cierta, ya que a veces se denotan otros tipos de objetos matemáticos con
literales; principalmente en geometría, por ejemplo:
“Si AB = BC entonces ∆ABC es isósceles”
en este caso, A, B y C son los vértices de un triángulo y no tienen un valor estrictamente numérico; de hecho “AB” significa “el lado del triángulo que inicia en el vértice A y
termina en el vértice B”, de manera similar “BC” y no se de be ver como la multiplicación de dos variables.
D) Por su experiencia en la aritmética los jóvenes usan las literales para denotar unidades de medida (m,kg,l,…, etc); y en el manejo de las fórmulas para expresar el ancho, largo ó alto de algún cuerpo geomé trico, así como las áreas ó volúmenes, por ejemplo para calcular el área de un rectángulo se escribiría: A= B x h, donde “B” es la base y “h” la altura de la figura; de ésta manera el uso de las literales se entiende como de “etiquetas” de lados volviéndos e así en objetos, perdiendo con esto su sentido numérico y su interpretación como números generales.
1.6 Investigaciones previas sobre el uso de la variable
En la década de lo setentas Dietmar Kuchemann (Cedillo, 2005) realizó investigaciones (1978 – 1981) sobre el uso de la letra por adolescentes entre 15 y 18 años de edad. Él clasificó a los usos de la letra de la siguiente manera:
Letra evaluada: es cuando es inmediatamente reemplazada por un número, por ejemplo: a + 3 = 8.
Letra ignorada: en expresiones c omo 12b + 20 = 56, los alumnos trabajan “alrededor” de la letra realizando las operaciones (56 -20/12) y al llegar a una solución no la representan en función de la incógnita, sólo escriben el “3” y no “b = 3”, que sería lo correcto.
Letra como un objeto: m anipulan la literal como una “cosa” en cuestiones de operaciones con polinomios, por ejemplo: 2d + 5d = 7d; pero no le dan el sentido de número general.
Letra como una incógnita específica: La mayoría de los participantes inicialmente reemplazan valores en la incógnita hasta llegar al valor que cumple con las condiciones de la ecuación y son muy pocos los que la manipulan para encontrar la solución.
Letras como números generales: Es cuando la letra es usada para representar un conjunto (finito o infinito) d e valores que satisfacen alguna condición, por ejemplo:
la propiedad conmutativa de la suma en los números reales, a+b = b+a, donde a, b son reales.
La letra como variación de cantidad: En este caso, la letra toma un rango de valores y tiene una “relación” con otra letra a través de una función, por ejemplo: y = 2x.
Cedillo (ibid) muestra que Kuchemann identificó a las primeras tres categorías de los usos de la letra (evaluada, ignorada y como objeto) en el nivel más elemental del manejo de ésta. Ahora, cuando los participantes usan las variables como incógnitas específicas, números generales o variación de cantidades, él considera que tienen un alto entendimiento sobre el concepto de la misma.
Por otro lado, los resultados que obtuvo Kuchemann en sus inves tigaciones le hicieron concluir que el problema sobre el uso de la variable estriba en la “traslación” de un lenguaje natural con el que se ha desenvuelto el alumno en toda su vida a un lenguaje “codificado”, donde el joven no está familiarizado con las es tructuras semánticas que requiere el álgebra.
1.7 Modelo 3UV
El Modelo 3UV (3 Usos de la Variable) propuesto por Ursini y Trigueros (1998), clasifica en tres los usos de la variable: incógnita específica (IE), número general (NG) y relación funcional (RF), ya que las autoras creen que son los mas relevantes para una comprensión significativa de problemas algebraicos elementales.
Para las autoras “la comprensión del concepto de variable implica la posibilidad de superar la simple realización de cálculos y oper aciones con letras o símbolos, para alcanzar una comprensión de las razones por las que funcionan estos procedimientos, la capacidad de prever hacia dónde conducen y la posibilidad de establecer relaciones entre los distintos aspectos que asume la variable en el contexto del álgebra elemental. Diremos que un estudiante es capaz de trabajar con la variable como un objeto
matemático integrado, cuando la emplea en una situación específica, pasa de uno a otro
de sus aspectos de manera flexible y los integra com o componentes de un mismo ente
matemático.” Es decir, el alumno debe adquirir la capacidad primeramente de identificar
el contexto en el que se encuentra la variable, de manipularla de manera adecuada y
finalmente, utilizarla para representar un problema d e manera abstracta y simbólica.
A continuación se mencionan los aspectos de cada uno de los usos de este
modelo (Ursini, 2005, p.35-37):
Modelo 3UV
Uso: Incógnita Específica (IE)
IE1: Reconocer e identificar en una situación problemática la pres encia de algo desconocido que puede ser determinado considerando las restricciones del problema;
IE2: Interpretar la variable simbólica que aparece en una ecuación, como la representación de valores específicos;
IE3: Sustituir a la variable por el valor o valores que hagan la ecuación un enunciado verdadero;
IE4: Determinar la cantidad desconocida que aparece en ecuaciones o problemas, realizando las operaciones algebraicas, aritméticas o de ambos tipos;
IE5: Simbolizar las cantidades desconocidas identifi cadas en una situación específica y utilizarlas para plantear ecuaciones.
Uso: Número General (NG)
NG1: Reconocer patrones, percibir reglas y métodos en secuencias y en familias de problemas;
NG2: Interpretar la variable simbólica como la repre sentación de una entidad general, indeterminada, que puede asumir cualquier valor;
NG3: Deducir reglas y métodos generales distinguiendo los aspectos invariantes de la variable en secuencias y familias de problemas;
NG4: Manipular (simplificar – desarrollar) la variable simbólica;
NG5: Simbolizar afirmaciones, reglas o métodos generales.
Uso: Relación Funcional (RF)
RF1: Reconocer la correspondencia entre las variables relacionadas independientemente de la representación utilizada (tabla, gráfi ca, problema verbal, expresión analítica);
RF2: Determinar los valores de la variable dependiente, dados los de la independiente;
RF3: Determinar los valores de la variable independiente, dados los de la dependiente;
RF4: Reconocer la variación conjunta de las variables involucradas en una relación independientemente de la representación utilizada (tabla, gráfica, problema verbal, expresión analítica);
RF5: Determinar el intervalo de variación de una variable dando el intervalo de variación de la otra;
RF6: Simbolizar una relación funcional con base en el análisis de los datos de un problema.
Cada uno de los usos tiene sus acciones muy particulares de manipular la variable; en el
uso de incógnita específica (IE) las actividades que se realizan con la litera l son
simplificar, despejar o resolver. En su papel de número general (NG), lo que se necesita
es que se generalicen las operaciones y propiedades aritméticas en el álgebra. Y por
último, como relación funcional las acciones que se requieren del alumno es que
grafique y relacione las variables involucradas en la función.
En este trabajo se hará uso del Modelo 3UV para elaborar y analizar las pruebas
de Pretest y el Postest que se aplicarán al grupo piloto, así como para la creación y
selección del material didáctico adecuado, con el fin de lograr que los alumnos distingan
los tres usos de la variable al final de este proceso de investigación y observación.
CAPÍTULO 2 PRETEST, MATERIAL DE APOYO Y POSTEST
En el presente capítulo se muestra n el Pretest, el material de apoyo y el Postest que se
implementaron en este trabajo, así como tablas donde se describe como los aspectos del
Modelo 3UV están presentes en los ejercicios.
La función del Pretest y el Postest fue la de diagnosticar los conoc imientos que poseían
los alumnos en los usos de la variable en diferentes momentos de la investigación; en
cuanto al material de apoyo, fue el de “entrenarlos” en la distinción de dichos usos a
través de la resolución de los ejercicios propuestos.
2.1. Pretest
En este apartado se ilustra la prueba que se le aplicó al grupo piloto al inicio de la
investigación y la explicación de algunos de los ejercicios para mostrar los aspectos del
Modelo 3UV que están presentes (ver tabla 2.1.1).
ESCUELA DE BACHILLERES “ARTÍCULO TERCERO CONSTITUCIONAL” TURNO VESPERTINO
AC.:_
Números Enteros -17 -3 =
-8 +6 =
(-3)(4)=
-1 + 4=
(-1)(-6)=
(-72):(6)=
(-45):(-9)=
(- 4)( - 6)=
(4):(-7)=
(- 11)( - 5)=
(-4):(5)=
Números Decimales 12.5 + 0.023 =
(1.214)(0.13)=
0.1526 – 0.007 =
3.45: 0.123 =
Orden: En este ejercicio solamente escribe una fórmula, NO calcules el número:
(Ursini y Trigueros, 1998, p. 460)
1. Un número desconocido multiplicado por 8 es igual a 96:
2. El triple de un número más su cuadrado:
3. La suma de dos números en tre 3:
4. El cuadrado de un número menos el triple de otro:
5. Un número entre 5, mas su cubo:
Orden: Resuelve las siguientes operacione s algebraicas:
Suma - 7n³ - m³ + 7m²n + 14n³ =
4 + 7a² + 4a – 9a²=
(- 7m²n + mn² - n³ ) – ( 7m²n) =
(4a³ +
4a² + 4) – (4a – 9a²) =
Multiplicación (3x³) ( x³ - 6x²) =
(x – y) (x² + y² + z²) =
División -12 a³b² + 6ab² - 9a²b³=
14a²b – 8ab =
¿Cuántos valores puede tomar la letra en las siguientes expresiones? (Ursini y Trigueros, 1998, p. 460)
x + 2 = 2 + x -5x + 1
3 + a + a + a + 10 = 43 7x² = 2x – 5
4 + x² = x(x + 1)
Ecs. de 1er Grado
Orden: Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado y el problema de aplicación:
x + 11 = 8x – 3
2x – 1 = x + 11
Luisa fue a la tienda y compró 2kg de tortillas y unas galletas de $4.50; si pagó $17.50 en total ¿cuánto cuesta el kg de tortilla? Escribe la ecuación que exprese la situación:
Ecs. de 2o Grado
Orden: Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado por la fórmula general ó por factorización:
x² + 8x + 15 = 0
Sistemas de Ecuaciones de 2 incógnitas
Orden: Resuelve el sistema y el problema de aplicación por cualquier méto do que conozcas:
2x + y = 6 x – y = -3
Daniela compró en la verdulería 2kg de cebolla y 1 kg de tomate pagando $20.00; en el mismo lugar Fabiola compró 1kg de cebolla y 3 de tomate pagando $30.00. ¿Cuánto cuesta el kilo de cada verdura? Cebolla:
(2x + 3)² =
(x + 1)(x + 4) =
– 5)² =
(y + 6)(y – 6) =
(x²
+ 1)(x² - 1)=
(2x + 5)(2x –1) =
x² + 8xy +16y² =
9x² - 6xy +y² =
25x² + 40xy+ 16y² =
64x² - 16 =
x² - 14x + 49 =
x² - 4x – 60=
5. Figuras Semejantes
La siguiente figura muestra un jardín de forma triangular de un parque y una banqueta ya construida sobre uno de los lados, si los lados del jardín miden 12m, 6m y 10 m, respectivamente, y la baqueta ya construida mide 15m en su parte exterior; ¿cuánto medirán, por la parte exterior las dos banquetas que faltan por construir, si sus lados son paralelos? (Almaguer, G. 1994, p. 259).
6. Teorema de Pitágoras y Funciones Trigonométricas
Encuentra el valor de los lados faltantes en el siguiente triángulo rectángulo con la fórmula trigonométrica que corresponda ó con el Teorema de Pitágoras. Datos:
α = 42° a = 10
a) Observa la siguiente tabla, complétala y contesta las preguntas (Ursini y Trigueros, 1998, p. 462):
Si aumenta el tiempo ¿qué pasa con la velocidad, aumenta o disminuye?
En una hoja aparte, sobre un sistema de coordenadas marca los puntos de la tabla y únelos trazando así una curva.
De 10seg a 25seg ¿cuál es el rango de velocidad?
Escribe la regla general que asocia a los números de la lista de la izquierda los números de la derecha:
b) Observa las siguientes figuras y realiza lo que se te pide (Ursini y Trigueros, 1998, p. 461):
Dibuja una figura como las anteriores, pero con 4 triángulos de base.
Ahora dibuja una similar a las anteriores, pero con 6 triángulos de base.
¿Cuáles son los números que co mpletan correctamente la siguiente tabla?
Total de ∆
Si se localizan las parejas anteriores en un plano cartesiano ¿habrá una misma línea recta que pase por esos puntos? Dibuja la gráfica y comprueba tu respuesta.
Presentación y Tratamiento de l a Información
En una escuela se celebró un co ncurso sobre resolución de problemas entre los grupos A y B. El examen contenía 10 ejercicios. Los resultados son los siguientes:
Número de alumnos en el grupo “A”:
Número de alumnos en el grupo “B”:
¿Cuál es el promedio de calificaciones del grupo “A”? ¿Cuál es el promedio de calificaciones del grupo “B”? ¿Qué grupo ganó? ¿Cuántos alumnos del grupo “A” aprobaron?
Traza una gráfica de polígono de frecuencias para cada grupo en un mismo plano y compara los resultados.
¿y del “B”?
En un restaurante ofrecen en la co mida las siguientes opciones:
a) En sopas: arroz o fideo.
b) En carnes: res, pollo o cerdo.
c) En postre: nieve, dulce o pastel.
¿Cuántas combinaciones se pueden hacer de sopa, carne y postre? ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente, al azar, escoja Arroz, Pollo y Nieve? P(A,P,N)
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente escoja Fideo, carne que no sea Cerdo y postre
que no sea Nieve? P(F,
Como se mencionó en la introducción de este capítulo, en la siguiente tabla se describen como están presentes los aspectos del Modelo 3UV en algunos de los ejercicios del Pretest, cabe señalar que este análisis se hizo para toda la prueba (ver tabla 2.1.2):
Tabla 2.1.1
Ejercicio del Pretest
Descripción de los aspectos del Modelo 3UV presentes
ORDEN: En este ejercicio solamente escribe una fórmula, NO calcules el número: (Ursini y Trigueros, 1998, p. 460) 1. Un número desconocido multiplicado por 8 es igual a 96:
Los aspectos del Modelo 3UV que están presentes son: NG2, NG3 y NG5 pues en todos los incisos la variable puede asumir cualquier valor –NG2-. Ahora, como en todos los ejercicios el método es el mismo – traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico- se tiene presente el aspecto NG3. Finalmente, el aspecto NG5 se refiere a simbolizar afirmaciones, y esto es justamente lo que se solicita al alumno en la orden, que escriba una fórmula a partir de un texto.
3. La suma de dos números entre 3:
Los aspectos que están presentes en la resolución del problema de aplicación son:
Problema de Aplicación:
IE1, IE2, IE3, IE4 y IE5. Pues primeramente el alumno debe reconocer en la situación problemática la presencia de algo desconocido (el costo del kilo de cada verdura) y que puede determinarlos tomando en c uanta que por 2kg de cebolla y 1 kg de tomate se pagan $20.00 y por 1kg de cebolla y 3 de tomate se pagan $30.00; es decir, debe considerar las restricciones del problema –IE1-.
Ahora, si para resolver la situación opta por sustituir valores que hagan el enunciado verdadero (método del tanteo) estará abordando el problema desde el aspecto IE3.
Daniela compró en la verdulería 2kg de cebolla y 1 kg de tomate pagando $20.00; en el mismo lugar Fabiola compró 1kg de
cebolla y 3 de tomate pagando $30.00. ¿Cuánto cuesta el kilo de
cada verdura? Cebolla:
Pero si plantea el sistema de ecuaciones el alumno estará simbolizando las cantidades desconocidas de una situación específica – IE5-; después debe interpretar las variables que aparecen en las ecuaciones que planteó como representantes de valores específicos – IE2- y finalmente determinar las cantidades desconocidas realizando operaciones algebraicas, aritméticas o de ambos tipos – IE4-, resolviendo de esta manera el sistema.
En una hoja aparte, sobre un sistema de coordenadas marca los puntos de la tabla y únelos trazando así una curva. De 10seg a 25seg ¿cuál es el rango de velocidad?
Escribe la regla general que asocia a los números de la lista de
la izquierda los números de la derecha:
1. Dibuja una figura como las anteriores, pero con 4 triángulos de base.
2. Ahora dibuja una similar a las anterior es, pero con 6 triángulos de base.
3. ¿Cuáles son los números que completan correctamente la siguiente tabla?
4. Si se localizan las parejas anteriores en un plano cartesiano ¿habrá una misma línea recta que pase por e sos puntos?
5. Dibuja la gráfica y comprueba tu respuesta.
Los aspectos presentes en el inciso a de funciones son: RF2, RF3, RF4, RF6 y RF5.
RF2 y RF3: Para llenar la tabla debe determinar los valores de la variable dependiente dados los de la independiente y viceversa. RF4: Reconoce la variación conjunta de las variables involucradas en la tabla. RF6: Simboliza primera mente con una gráfica la relación funcional con base al análisis de los datos del problema. Finalmente, debe escribir una regla general que asocie el tiempo con la velocidad. RF5: Determina el intervalo de variación de una variable -velocidad- dando en intervalo de variación de la otra -tiempo-.
Los aspectos presentes en el inciso b de funciones son: NG1, NG5, RF1, RF2 y RF6.
NG1: El alumno reconoce el patrón de crecimiento en la secuencia de las figuras. NG5: En la tabla simboliza con una r egla general el total de triángulos para cierta n. RF1: En la tabla reconoce la correspondencia entre las variables relacionadas, número de triángulos en la base y total de triángulos en la figura. RF2: Determina el número de triángulos que tiene la figura cuando n = 5. RF6: Simboliza con una gráfica la relación funcional con base al análisis de los datos del problema.
En las tablas 2.1.2 y 2.1.3 se muestran los aspectos que están presentes de acuerdo al Modelo 3UV en todo el pretest, primero por temas y después por las áreas contempladas, este análisis se realizó con la finalidad de verificar que todos los aspectos del Modelo 3UV estuvieran presentes en la prueba :
Análisis por Temas Tabla 2.1.2
Incógnita Específica
Modelo 3UV→
Ejercicios ↓
¿Cuántos valores
toma la expresión?
Ecs. de 1er grado –
ejerc. numéricos-
probl. aplicación-
Ecs. de 2o grado –
Sistemas de Ecs. –
Teo. Pitágoras y
Func. Trig.
Pres.y Trat. de la
Análisis por Áreas Tabla 2.1.3
3UV→
Áreas ↓
Pres. y Trat.
Se consideró abarcar en el pretest las 6 áreas de las Matemáticas (aritmética, álgebra,
geometría, trigonometría, presentación y tratamiento de la informaci ón y probabilidad) que se plantean en el programa del Bachillerato para primer y segundo semestre, así
como todos los aspectos del Modelo 3UV.
2.2. Material de Apoyo
En este apartado se muestra el material que se le proporcionó de acuerdo a los temas marcados en el programa al grupo piloto a lo largo de la experiencia -un semestre-. El
nombre de las actividades (E.1, R.2, I.1, etc.) se asignó de acuerdo a las siglas de los
y el número corresponde a la dificultad -de manera
temas y los aspectos del Modelo
ascendente-.
2.2.1. Números Enteros
Tema: Suma y resta de enteros
Actividad E.1
Un chofer de autobús sale de la estación para hacer su recorrido pasando por 10 paradas, en la siguiente tabla se muestran el número de pasajeros que subieron y bajaron en cada una de ellas:
¿Cuántas personas llegaron a la estación con el chofer?
Actividad E.2 (Proyecto Red Escolar)
Esteban, Marcos, Federico y Fabián son muy buenos amigos. Si a alguno de ellos le falta dinero para comprar su
torta a la hora del receso, cualquiera de los otros tres se lo presta. Caminado un día por la calle, los cuatro amigos
leyeron un letrero que decía “cuentas claras amistades largas”, todos se miraron y en ese momento decidieron hacer
Esteban dijo: yo le debo $10 a Fabián, $5 a Marcos y $13 a Federico, pero Federico me debe $7, Marcos $12 y Fabián $8.
Marcos comentó: yo le debo $12 a Esteban, $6 a Federico y $4 a Fabián, pero me deben $6 Fabián, $10 Federico, $5 Esteban.
Federico dijo: yo le debo a Marcos $10, $7 a Esteban y $5 a Fabián, pero ellos me deben a mí lo siguiente: Fabián $9, Marcos $6 y Esteban $13.
Por último Fabián dijo: yo le debo a Esteban $8, a Marcos $6 y a Federico $9 y Esteban me debe $10, Marcos $4 Federico $5.
Como esto era realmente un lío decidieron hacer una tabla con todas las cantidades que debían y que les debían.
¿Cuánto debe cada uno en total?
¿Cuánto le deben a cada uno en total?
¿Cómo resolverías con estos datos la situación par a que saldaran las cuentas entre ellos y ya no se debieran dinero entre sí?
Tema: Producto de enteros
Actividad E.3 (Proyecto Red Escolar)
Los habitantes de una isla están divididos en 2 tribus enemigas, así que los que viven ahí siguen las siguientes reglas:
El amigo de mi amigo será mi amigo
El amigo de mi enemigo será mi enemigo
El enemigo de mi amigo será mi enemigo
El enemigo de mi enemigo será mi amigo
Si al amigo lo marcamos con un + y al enemigo con un -tendríamos:
(-)(+) = (-)
Que son, justamente, las reglas para MULTIPLICAR números enteros.
Observa el ejemplo y completa la siguiente tabla:
Frase correspondiente
(+8)(-5) =
(+8)(-5) = -40
(+3)(+12) =
(-9)(-5) =
(-10)(+11) =
(-4)(-3) =
(-8)(-3) =
(+13)(+5) =
(-4)(+9) =
2.2.2. Números Racionales.
Tema: Operaciones con fracciones
Material: Hojas de papel, regla, tijeras.
Metodología: Los alumnos representarán con las hojas los enteros y con las tijeras harán los cortes necesarios para fraccionarlas de acuerdo a las necesidades de cada problema. Es importante que se deje trabajar solos a los alumnos.
Actividad R.1
1) Tres amigos entran a una dulcería y piden 2 barras de chocolate que reparten entre ellos.
Después llega otro amigo, ¿Cuánto debe convidarle cada uno al que llegó para que los 4
tengan la misma cantidad de chocolate?
2) Ana compró ½ pizza para cenar, de imprevisto llegan varios amigos de visita y sale a
comprar otros 2/3 de pizza para que alcance para todos. ¿Qué cantidad de pizza compró en
3) Se va a pintar una pared rectangular mide ¾ metros de ancho y 5/6 metros de largo, ¿Cuál
es su área? (Alarcón J., 1997, p. 104.)
Tema: Fracciones Equivalentes, operaciones con fracciones.
Metodología: Dibujando la s tazas (o los bultos) de cada problema, encontrarán las mitades y los tercios, después las sumarán con los datos ya sea aritméticamente ó encontrando las fracciones equivalentes en los dibujos. Es importante que se deje trabajar solos a los alumnos.
Actividad R.2
1) La siguiente es una receta para hacer un pastel; si se quiere hacer pastel y medio ¿cuáles serían
las cantidades necesarias?
“Pastel de Zanahoria y Frutas Secas”
¼ barrita de mantequilla derretida
½ cucharaditas de Royal
1 1/3 taza de zanahoria rallada
grs. de pasitas
grs. de higo cristalizado picado
Los siguientes materiales son para construir una pared de 450 ladril los, si se desea levantar una de 600 ladrillos
¿cuáles serían los materiales necesarios para hacerlo?
450 ladrillos
1 1/3 bulto de cemento
1/6 bulto de cal
1 ½ bulto de arena
300 lt. de agua
2.2.3. Incógnita Específica (Ecuaciones)
Encuentra el valor de un lado en cada una de las siguientes figuras:
Perímetro = 104 cm.
Área = 441 cm²
Actividad I.2 (Alarcón J., 1997, p. 163, 165)
Perímetro = 95 cm.
a) En una tabla se quieren hacer 5 agujeros del mismo diámetro a distancias iguales. Si cada agujero es un círculo de
3cm de diámetro, ¿cuánto deben medir las separaciones entre los agujeros?
b) Se reparten 133 chocolates entre dos grupos de alumnos. El segundo grupo recibe 19 chocolates más que el primero. ¿Cuántos chocolates reciben en cad a grupo?
c) Hay un total de 40 piedras repartidas en dos pilas o montones. La primer pila tiene siete veces el número de
piedras que hay en la segunda. ¿Cuántas piedras hay en cada pila?
Actividad I.3 (Alarcón J., 1997, p. 165, 166)
a) Se tienen 88 cd’s que se reparten entre dos personas, la segunda persona recibe 26 menos que la
primera. ¿Cuánto recibe cada una?
b) Hay 31 piedras en tres pilas. La primera tiene 5 menos que la tercera y la segunda tiene 15 más que la tercera.
¿Cuántas piedras hay en cada pila?
c) Se reparten 76 dulces entre 3 grupos, El segundo recibe 3 veces el número de dulces que el primero y el tercero recibe 4 dulces menos que el primero, ¿cuántos dulces recibe cada grupo?
a) Resuelve las siguientes operaciones SIN calculadora (Herscovics and Kieran, 1999, p. 182):
? - 4.7 = 1.3
(∆)(1.25) = 6.25
10.4/ = 4.6
(⅜)( ) = 3/16
= ⅛
& + ½ = 23/18
?/5 ¼ = 4/21
b) En la siguiente figura se muestra un terreno en forma de trapecio cuyo perímetro es de 40m; si las puertas de
acceso son las marcadas con la letra “t”, ¿cuánto mide cada una?
Actividad I.5 (Balbuena H, 1999, p. 105) El arte de adivinar el número que alguien pensó no tiene nada de mágico ni misterioso, de hecho cuando te dicen “piensa un número…”; tú sin saberlo estás haciendo la verdadera magia en tu cerebro al procesar con rapidez todas y cada una de las indicaciones que se te dan. A continuación te muestro un ejemplo de lo que sucede en este truco, que desde siempre ha asombrado a grande s y chicos. Observa la primera tabla y de manera similar completa las siguientes:
VERBAL (Matemáticas Mentales)
(Manipulación
algebraica)
Piensa un número entre el 1 y el 10
Réstale 4
Divídelo entre 2
¡Te dio 5!
VISUAL (Manipulación algebraica)
Multiplicalo por 6
Súmale 12 al resultado
Divídelo entre 3
Te dió: el número que pensaste
Piensa un número entre el 1 y el 9
Divídelo entre el número que pensaste
Te dio: 10
Ahora, en una cuarta tabla tú invéntate un ejemplo e intercámbialo con algún compañero para que él lo resuelva.
Actividad I.6
Orden: Resuelve los siguient es ejercicios de aplicación:
a) Hay 24 piedras repartidas en 2 pilas o montones, si la primera pila tiene el doble de la segunda, ¿Cuántas tiene cada una?
b) Observa las siguientes balanzas ¿cuál es el peso del objeto representad o por el triángulo de color en cada caso?
(Balbuena H, 1999, p. 62 - 63)
c) Considera que conoces el área de un triáng ulo y su base: (Benítez, E. 2004 )
Escribe una expresión que te permita calcular su altura:
Para un triángulo de 40cm² de área, propón 5 valores distintos para su base y calcula las alturas correspondientes, regístralo en la siguiente tabla:
Con los datos que obtuviste construye una gráfica. ¿qué obser vas en ella?
2.2.4 Número General
Actividad N.1 Orden: Resuelve las siguientes expresiones algebraicas:
- 7n³ - 5n³ + 7m²n + 11n³ =
(21b³ + 7b² - b) – (-2b² + 4b) =
-14a + a² + 4a – 19a²=
(5b + 7/3) – (5c – ½ + 9b) =
4m + 7mn – 11m + 3nm + 8n=
(10x³) (4x³ - 2x²) =
(- m²n + 4mn² - n³ ) – ( 6m²n) =
(x² – y²) (x² + y²) =
(a³ +
3a² + 4a) – (8a – 10a²) =
(g – 2h)(3g + 2gh – 7h)=
Actividad N.2 (Benítez, E. 2004)
1. Un arquitecto construye edificios para una zona universitaria, en un patrón t riangular. Para limitar la zona necesita colocar logotipos de la Universidad. A continuación se muestra el diagrama de esta situación donde puedes observar el patrón de edificios y logotipos para cualquier número (n) de filas de edificios.
& = logotipos = edificios
1. ¿Cuántos logotipos tendrán 4 filas de edificios?
2. Dibuja la figura #5, es decir, para 5 filas de edificios y encuentra el número total de logotipos.
3. Dibuja la figura # 6 y da el número total de logotipos.
4. Imagínate que puedes seguir dibujando f iguras hasta la # m ¿Cuántos logotipos en total tendrá la figura # m?
5. ¿Cuántos edificios tendrán 4 filas?
6. Da el número de edificios de la figura # 5.
7. Dibuja la figura # 6 y da el número total de edificios.
8. ¿Cuántos edificios en total tendrá la figura # m?
2.2.5. Relación Funcional
Nota: Se recomienda que al finalizar esta actividad se recaben todas las diferentes observaciones que hicieron los alumnos a través de una lluvia de ideas, a la vez que se les incite a analizar de una manera mas exhaus tiva la gráfica.
Actividad F.1 (Benítez, E. 2004)
La siguiente gráfica muestra la cantidad en millones de habitantes de la población total de México, para diferentes décadas. Describe con tus palabras lo que observas en la gráfica.
Actividad F.2 (Balbuena H, 1999, p. 88)
a) El perímetro de un terreno cuadrado mide 6m. ¿Cuánto mide el lado?
c) Anota 5 valores para el perímetro y calcula el valor de un lado y registra tus resultados en la tabla siguiente:
Valor del Perímetro
Valor que corresponde al lado
Actividad F.3 (Balbuena H, 1999, p. 90)
El costo de producción de pan depende del número de piezas, como se muestra en la siguiente tabla:
2) Representa
3) Calcula el costo de producción para 80, 100, 500, 1000 y “n” panes.
2.2.6. Número General con Relación Funcional
Actividad NGF.1
La fábrica de yogurt “La Victoria” produce 50000 vasitos de 200ml a la semana para distribuir en la ciudad, con un costo de $2.oo por vasito. La ganancia neta de cada vasito que se vende es de 40 c entavos; mientras que los que no se venden o se descomponen se les pierde $1.60 por vasito.
Escribe una fórmula que exprese la ganancia de la fábrica en términos del número de vasitos vendidos semanalmente:
Escribe una fórmula que exprese la pérdida de la fábrica en términos del número de vasitos que no se venden o se echan a perder semanalmente:
Llena las siguientes tablas donde se muestran el número de vasitos vendidos y no vendidos con su ganancia y pérdida respectivamente.
Número de vasitos Vendidos
Número de vasitos NO vendidos
¿Cuándo la ganancia y la pérdida son iguales?
2.2.7. Incógnita con Relación Funcional
Actividad IF.1
(Benítez, 2004)
Durante la temporada de lluvias el nivel de agua de un pozo crece a razón de 1.5 cm por día. Si no se
extrae agua del pozo ¿Cuánto habrá subido el nivel en un mes y medio? (considera el mes de 30 día s).
Haz una tabla que muestre la variación diaria del pozo durante los primeros 10 días.
Actividad IF.2 (Benítez, 2004)
La siguiente función representa la variación de la temperatura (f(x)) en grados Fahrenheit en un planeta enano en el
año 2176 con respecto al tiempo (x), el cual está dado en días.
La siguiente fórmula describe matemáticamente este proceso:
El inicio del experimento comienza en el día 0; pero un científico observó lo que sucedía uno, dos y tres días antes
de este momento, en la siguiente tabla se muestran algunos de los resultados:
Describe con tus palabras lo que observas en la gráfica. ¿Qué sucede en la relación entre la temperatura y el tiempo? ¿Qué crees que pasaría en el día 10? ¿Y en el día -10?
2.2.8. Número General, Incógnita Específica y Relación Funcional.
Actividad NIF.1 (Benítez, 2004)
Recibí un mail donde se me decía que si no lo reenviaba en menos de 10 minutos a dos amigos mi computadora sería infectada por un virus; así lo hice y evité que mi máquina se descompusiera. Si cada uno de mis amigos se lo enviaron a 2 conocidos, y éstos hic ieron lo mismo y así sucesivamente:
¿Cuántas personas habían reenviado el mail en una hora?
¿Después de 1 hora y 40 minutos?
Construye una tabla donde muestre los resultados.
Grafica tus resultados.
Da una expresión que te permita calcular el número de per sonas que reenviaron el mail en “t” minutos:
Actividad NIF.2
Una persona informa a otras cinco de una noticia. Después de 30 minutos, estas cinco personas platican la noticia con cinco más cada una, las cuales platican con cin co personas más cada una a la media hora, etc.
¿Cuántas personas conocen la noticia después de 1 hora?
¿Después de 1 ½, 2,2½ y 3 horas?
Construye una tabla que muestre tus resultados.
Da una expresión que te permita calcular ¿Cuánt as personas conocen la noticia después de “s” horas?
Actividad NIF.3 (Balbuena H, 1999, p. 112)
Las siguientes figuras muestran una secuencia de construcción de edificios en un centro vacacional, cada prisma representa una habitación:
Para m =1
Para m = 2
Para m = 3
Llena las siguientes tablas:
Cubos (habitaciones) que tiene la figura
Paredes de las habitaciones que dan al exterior
Construye las figuras de la 4 a la 6.
De acuerdo a las figuras llena las tablas.
¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de habitacio nes de cada edificio?
¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de paredes que dan al exterior?
¿Cuántas habitaciones y paredes al exterior tendrá la figura m = 40?
Si se sabe que una de las figuras tiene 2304 habitaciones, ¿qué número le corresponde a esta figura en la
2.3 Postest
En este apartado se muestra la prueba que se le aplicó al grupo piloto al final de la
investigación y en la tabla 2.3.1 la descripción de los aspectos del Modelo 3UV que están
presentes en algunos de los ejercicios. De igual manera como se hizo con el Pretest, al
final se incluyen dos tablas (2.3.2 y 2.3.3) donde se mencionan los temas y las áreas que
se abarcaron en el Postest con l as respectivas marcas en los aspectos cubiertos.
a) Un chofer de autobús sale de la estación para hacer su recorrido pasando por 5 paradas,
en la siguiente tabla se muestran el número de pasajeros que subieron y bajaron en cada
b) Resuelve los siguientes ejercicios aritméticos:
-4 + 2 -6 (-3 + 8 -2 + [-1 – 7 + 4]) – 8 =
5 – 3 + 7 – [-2 + 4 – 6 + (- 4 + 1 – 2)] – 2 + 3=
a) Julia fue al mercado y compró ¾ kg de papas, 1/6kg de peras, 5/3 kg de carne, ½ kg
de arroz, 1/8kg de lentejas y 2/3 kg de queso. ¿Cuántos kilos pesa todo lo que lleva?
½ + 5/3 + ¼ =
(-1/5)(-2/7) + (-3/2) (1/6) =
7/3 + 1/7 – 1/5 =
(5/4):(-1/5 – 1/7) =
1. Un número desconocido multiplicado por 7 es igual a 3/17:
2. El doble de un número mas su cuadrado:
3. La suma de tres números entre 2:
4. El cubo de un número menos el doble de otro:
5. Un número entre 8, mas su cuadrado :
Orden: Resuelve las siguientes operaciones algebraicas:
- n³ - 5m³ + 2m²n + n³ =
4a + 7a² - 4a + 10a²=
3a + 6 a² - 8a³ - a + 3a² - 2a³ =
(- m²n + 8mn² - 6n³ ) – ( 11m²n) =
(- a³ +
4a² + 11) – (-4a – 8a²) =
(x³) ( 10x³ - 6x²) =
(2x – y) (3x² - y² + 5z²) =
(1/2 x)(1/3 x + 7/4 y – 1/5 z)=
(7ab – 5c) – (- 3ab + 8a²c – 3c + 4a)=
¿Cuántos valores pueden tomar las letras en las siguientes expresiones? (Ursini y Trigueros, 1998, p. 460)
x - 3 = -3 + x
10x + 6 = y
a + a + a + 10 = 16
x² = 2x – 5
4 + x² = x(x - 1)
Ecs. de 1er Grado.
Orden: Resuelve las siguientes ecuaci ones de primer grado y los problemas de aplicación:
11c + 6 = 27
2(8 – 3b) = 5 – 4(1 – b)
s/2 + (s + 3)/3 = 6
g – 1 = (3g + 11)/2
3x – 8 = -20
7u + 2 – 9u = 6 + 4u - 3
(x + 10)/5 = 8x – 3
4x + 2 -3x = -5x -3 +8x
a) La suma de dos números es 540 y su diferencia es de 32, ¿cuáles son estos
b) La edad de Jorge es el doble que la de Beatriz, si las edades suman 36 años
¿qué edad tienen cada uno?
c) Las raíces de un árbol crecen 0.5 cm al día.
¿cuánto habrán crecido en 5 días?
¿cuánto habrán crecido en un mes?
¿cuál sería la expresión algebraica para calcular el crecimiento en “f”
Construye una tabla donde se muestre el crecimiento de las raíces durante
los primeros 10 días.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado por la fórmula general:
x² - 3x – 10 = 0
4. Funciones (Ursini y Trigueros, 1998, p. 461)
Una célula se divide de la siguiente manera cada “n” segundos:
a) Dibuja para el segundo 4 y 5.
b) ¿En cuántas partes se divide en n=4?
c) Construye una tabla donde muestres los resultados.
d) Grafica tus resultados.
e) Entre el segundo n = 2 al n = 5 ¿cuál es el intervalo de variación del número de partes?
f) ¿Cuál sería la expresión algebraica que te permitiría calcular el número de partes en las que divide la célula en el “s” segundo?
g) Explica qué relación existe entre los segundos y el número de partes en los que se divide la célula:
¿y en n=5?
En la siguiente tabla se describen como están presentes los aspectos del Modelo 3UV en algunos de los ejercicios del Postest, cabe señalar que este análisis se hizo para toda la prueba (ver tabla 2.3.2):
Ejercicio del Postest
¿Cuántos valores pueden tomar las letras en las siguientes expresiones? (Ursini y Trigueros, 1998, p. 460 ) x - 3 = -3 + x 10x + 6 = y a + a + a + 10 = 16 x² = 2x – 5 4 + x² = x(x - 1)
Aspectos del Modelo 3UV que se
encuentran presentes: IE1, IE2, IE3, IE4,
NG1, NG2 Y NG4.
IE1: Inicialmente para el alumno todos los
ejercicios implican una situación
problemática y la variable es desconocida,
ya que no sabe si tiene uno, dos, ninguno o
una infinidad de valores.
IE2: En los ejercicios a + a + a + 10 = 16 y
+ x² = x(x - 1), tiene que interpretar la
variable como la representación de valores
IE3, IE4: Para resolver a + a + a + 10 = 16 y
+ x² = x(x - 1) puede sustituir valores que
hagan la expresión verdadera o realizar
operaciones algebraicas, para así determinar
cuántos valores toma la variable.
NG1, NG2: En los ejercicios x - 3 = -3 + x
y 10x + 6 = y, puede reconocer patrones ya
establecidos, en el primero observar que es
la propiedad conmutativa de la suma y en el
segundo, que se trata de una función y que
en ambos casos la variable puede asumir
NG4: Al manipular la expresión x² = 2x – 5
por medio de la fórmula general se obtiene
un determinante negativo, por lo que no
existen valores para x en los reales que
hagan la expresión verdadera.
1) Una célula se divide de la siguiente manera cada “n” segundos:
Aspectos del Modelo que están presentes:
NG1, NG5, RF1, RF4, RF5 Y RF6.
NG1: Inicialmente el alumno reconocerá el
patrón de partición de la célula para poder
dibujar para n = 4 y n = 5.
RF1, RF4: Al mostrar sus resultados en una
tabla y en una gráfica, de manera implícita
se establece la correspondencia entre las
variables involucradas (el tiempo y el
número de partes en que está dividida la
célula) y su variación conjunta.
RF5: En el inciso e, se le solicita al alumno
que determine un intervalo de variación de
una variable –número de partes- dando el
intervalo de variación de la otra –tiempo-.
b) ¿En cuántas partes se divide en n=4? ¿y en n=5?
RF6: En el inciso f, debe simbolizar la
relación funcional con base al análisis del
problema a través de una expresión
Explica qué relación existe entre los segundos y el número de partes en los que se divide la célula:
En las tablas 2.3.2 y 2.3.3 se muestran los aspectos que están presentes de acuerdo al
Modelo 3UV en todo el postest, primero por temas y después por las áreas cubiertas en el
semestre; de igual manera de como se realizó en el pretest, es te análisis fue para verificar
que la mayoría de los aspectos del Modelo estuvieran presentes :
Análisis por Temas Tabla 2.3.2
Probl. Aplicación
Ejerc. Numéricos
¿Cuántos valores toma la
Ecs. de 1er grado ejerc.
Ecs. de 1er grado probl.
Ecs. de 2o grado ejerc.
Tabla 2.3.3
Se consideró abarcar en el postest l as áreas de aritmética y álgebra, que se plantean en el programa del Bachillerato para primer semestre, pero las áreas de geometría y trigonometría no se incluyeron en el postest porque no fue posible trabajar con ellas por la falta de tiempo durante el cu rso; en cuanto a las áreas de presentación y tratamiento de la información y probabilidad éstas están contempladas en el programa del Bachillerato para segundo semestre.
Este tercer capítulo inicia con la mención de los sujetos que conformaron al grupo piloto. Posteriormente, se presenta el diseño de los instrumentos utilizados -Pretest, material de apoyo y Postest- todos ellos con base en el Modelo 3UV. En seguida se describe el procedimiento que se llevó a cabo a lo largo de toda la investigación, así como los controles a los que se recurrieron para darle validez y fiabilidad al trabajo. Como siguiente punto se menciona la hipótesis que se pretende probar. Finalmente se describen las metodologías de los análisis cuantitativo y cualitativo.
El estudio se realizó con un grupo piloto de 44 alumnos que cursaron el primer semestre en la Escuela de Bachilleres Artículo Tercero Constitucional Turno Vespertino en el periodo agosto 2005–enero 2006. Se tomó esta muestra por la facilidad para disponer de un tiempo de la clase para desarrollar las actividades que se muestran en este trabajo. Para referirse a cada uno de los estudiantes en este trabajo se utilizó su número de lista, con lo cual se conserva el anonimato de los participantes.
3.2 Diseño de los instrumentos
3.2.1 Diseño y análisis del Pretest bajo el Modelo 3UV
Inicialmente se investigó material para c onformar el examen diagnóstico -pretest- bajo el enfoque del Modelo 3UV (ver Capítulos 1 y 2); recopilando, adecuando y elaborando ejercicios que tocaran aspectos de este con el fin de conocer el nivel de dominio que tenían los estudiantes sobre el concepto de variable y sus usos. El pretest se aplicó al inicio del semestre escolar.
Recopilación y diseño del material de apoyo propuesto
La recopilación del material de apoyo (ver C apítulo 2) estuvo centrada en la revisión del Libro para el Maestro (Alarcón , 1997), el Fichero de Actividades Didácticas (Balbuena, 1999), textos de tercer año de secundaria (Almaguer, 1994) e investigaciones anteriores referentes al tema; cabe destacar que la mayoría de los ejercicios mostrados en este trabajo no son una copia fiel de su fuente, ya que fueron adaptados al nivel cognitivo del grupo y rediseñados para que abarcaran aspectos del Modelo 3UV. De igual manera como se mencionó en el Capítulo 1, se tomo en consideración el aspecto multifacético de la variable, esto derivado del trabajo de tesis de Benítez (2004).
bibliográfica), que incluyen las mismas consideraciones descritas anteriormente, para su
adaptación al grupo piloto y al Modelo 3UV.
El nivel de abstracción de los ejercicios propuestos fue variado, tra tando de ir siempre de lo más simple a lo complejo. Así, inicialmente en lo referente a números enteros y fraccionarios el nivel es bajo; en incógnita específica el nivel es bajo – medio ya que sólo en las actividades I2, I3 e I6 se requiere involucrar le nguaje algebraico; en número general el nivel es medio; en relación funcional se tienen tres niveles: bajo (actividad F1), medio (actividad F2) y alto (actividad F3). Finalmente, los apartados 2.2.6 al 2.2.8 el nivel es alto ya que en éstos el alumno debe involucrar todos sus conocimiento previos referentes a los usos de la variable y aparte de ser capaz de distinguirlos debe trabajar con ellos de manera simultánea.
3.2.3 Diseño y análisis del Postest bajo el Modelo 3UV
El diseño del postest (ver capítul o 2) fue también con base en el Modelo 3UV, tratando de abarcar los aspectos mas relevantes sobre el uso de la variable. Por el breve tiempo disponible en el curso no se incluyeron los temas de Productos Notables, Factorización, Teorema de Pitágoras y Func iones Trigonométricas. En cuanto a los temas de
Presentación y Tratamiento de la Información y Probabilidad, éstos forman parte del programa del segundo semestre, por lo que tampoco se consideraron.
El Postest se le aplicó al grupo piloto al final del seme stre escolar, con el fin de saber que conocimientos adquirieron o retroalimentaron durante el periodo en que se puso a prueba el material del trabajo de investigación. Cabe señalar que fue aplicado como examen final para acreditar la materia.
Además del modelo teórico otros instrumentos que se utilizaron en esta investigación fueron el Pretest, el material de apoyo y el Postest, y algunas técnicas de la estadística descriptiva como son: las gráficas de barras, polígono de frecuencias y d e cajas y alambres, tablas de análisis cualitativo y así como comparativas para determinar la validez de la hipótesis.
El Pretest se aplicó el segundo día de clases y para el grupo piloto fue un examen “sorpresa”; si bien ésta situació n tensa a la mayoría de los jóvenes, se les tranquilizó mencionando que se trataba de un examen diagnóstico para conocer los temas que se tendrían que recordar, retomar, enseñar u omitir en el transcurso del semestre, que el examen sólo era de carácter in formativo.
Ante el gran número de deficiencias que presentó el grupo en el Pretest (ver capítulo 4), se les regularizó en números enteros, racionales y decimales, pues sin estas bases sería muy difícil lograr que se solucionaran de manera correcta las ecua ciones y las operaciones algebraicas, además de que el dominio de estos temas es fundamental en la vida cotidiana y en cursos posteriores de la materia.
– aprendizaje y la evaluación q ue se implementaron en el salón de clase para la resolución del material de apoyo propuesto al grupo piloto. El objetivo que se pretendió fue que el
alumno generara sus conceptos a partir de sus conocimientos previos y adquiriera un aprendizaje significativo de la materia, donde se involucrar an los usos de la variable.
El alumno resolverá los ejercicios usando sus conocimientos previos, familiarizándose de esta manera con los temas.
Los alumnos resolverán en parejas, ternas o equipos los ejercicios propuestos y entregarán o expondrán sus resultados.
Con lluvia de ideas definirán los conceptos del tema.
El profesor guiará el trabajo de los alumnos integrándose al grupo, resolviendo sus dudas de comprensión, mas no les dará las soluciones. Les indicará que deben ser muy explícitos en la redacción del cómo llegaron a los resultados, para de esta manera conocer el nivel de abstracción y dominio que tienen los jóvenes.
Después de haber analizado e ntre todos los resultados obtenidos, el profesor expondrá de manera formal los conceptos del tema y propondrá ejercicios numéricos similares a lo visto en los problemas.
Al terminar las actividades se pedirá a varios alumnos de manera individu al o por equipo que expongan sus métodos de solución, procurando que éstos sean distintos.
El profesor hará hincapié en la diversidad de métodos por lo cuales se puede llegar a un mismo resultado en matemáticas.
Los alumnos redactarán problemas similares a los vistos en los temas. Se los intercambiarán entre los equipos y se les pedirá que nuevamente resuelvan lo que ahora les proponen sus compañeros; de esta manera se evaluará el nivel de
comprensión de los temas, ya que los alumnos al elaborar los ejerc icios deben tener los conocimientos necesarios para hacerlo correctamente.
De manera individual o por equipos resolverán otros ejercicios numéricos y de aplicación propuestos por el profesor.
El material le fue proporcionado al grupo piloto poco a poco e n el transcurso del semestre como hojas de trabajo conforme se avanzaba en el programa, tomando siempre en cuenta el nivel de abstracción de cada ejercicio y el nivel cognitivo observado en la mayoría de los jóvenes.
El Postest se aplicó como examen final de semestre para asegurar que todo el grupo piloto lo resolviera de forma cuidadosa, ya que es muy frecuente en los jóvenes que cuando se les da a resolver una prueba sin algún tipo de validez en su calificación o como tarea de fin de semana, la mayoría la contesta sin interés, sin verificar sus resultados e incluso algunos simplemente la dejan en blanco.
3.5 Controles
Para considerar si el proyecto era viable y relevante se les preguntó de forma paralela a varios investigadores sus observaciones respect o a éste, la correlación entre ambas ofrece un indicador de la pertinencia del trabajo. Así, primeramente se realizó una triangulación de observadores de baja inferencia, obteniendo las siguientes opiniones:
Observador #1: “El planteamiento del problema es relevante e importante, el material que
se elabore tendrá un impacto positivo tanto en los profesores.”
los estudiantes de bachillerato, como para
Observador #2: “Sobre la metodología que se plantea es acorde al trabajo, sin embargo el aplicar el estudio a 44 alumnos de una determinada escuela, es un primer paso para encontrar resultados parciales. Se sugiere que como continuación del trabajo, éste se
aplique a grupos de estudiantes de diferentes escuelas con el objetivo de valorar su repercusión académica.”
Observador #3: “Sugiero que al aplicar el material elaborado se tome en cuenta el conocimiento de los alumnos, por ejemplo un alumno con conocimientos deficientes en algebra, genera respuesta equivocadas sobre el concepto de variable. Creo que el interés del trabajo es conocer como se concibe el concepto de variable en alumnos que ya tienen conocimientos fuertes de algebra.”
Para la fiabilidad y validez de este trabajo se realizó una triangulación con investigadores a través de un cuestionario (Ver Anexo 1), donde se les presentó una muestra de los ejercicios resueltos por el grupo piloto en el pretest y postest con su respectivo análisis bajo el Modelo 3UV; los investigadores (a quienes se les denominará I1, I2 e I3) revisaron dicho análisis e hicie ron algunos comentarios al respecto; a continuación se muestran cada uno de los ejercicios que los investigadores resolvieron para determinar que aspectos del modelo 3UV están presentes desde su perspectiva, y al final se agrega un comentario al respecto.
1. ¿Cuántos valores puede tomar la letra en las siguientes expresiones?
Aspectos del Modelo 3UV presentes: NG1, NG2, NG4, IE1, IE2, IE3 y IE4.
Opiniones de los Investigadores:
I1: “Creo que NG1 no está presente. IE3 tampoco, sólo si se quiere hacer la comprob ación de un valor encontrado. Creo que IE1 sí está presente, que es lo que permite identificar lo que se buscará (la incógnita).”
I2: “Para mi NG1 no está presente.”
I3: “Estoy de acuerdo, pero no me queda claro si los seis aspectos aparecen en las 5 situa ciones o sólo algunos de ellos se encuentran presentes en cada situación”
El aspecto NG1 se consideró pues el alumno debe reconocer patrones y percibir reglas en las expresiones; es decir, saber diferenciar entre una ecuación y una expresión algebraica general. Se anotó el aspecto IE3 porque la mayoría de los alumnos del grupo piloto para resolver las ecuaciones en vez de despejar la incógnita sustituyeron valores hasta encontrar el valor requerido. El aspecto IE1 no se tomó en cuenta porque hace alusión a reconocer e identificar la presencia de algo desconocido considerando las restricciones de un problema, lo cual no fue lo que se planteó, sólo eran expresiones algebraicas y no problemas en el sentido estricto de la palabra. Finalmente, el c omentario que hace el investigador I3 respecto a lo poco claro de cómo estaban planteados los aspectos del modelo, fue algo que los otros dos investigadores mencionaron de manera externa por lo que se debió especificar por cada una de las cinco situaciones que se propusieron qué aspectos del Modelo 3UV se abordaban de manera particular (la explicación sobre la presencia de estos aspectos se ejemplifica en la tabla 2.3.1), así que esta forma de presentar los aspectos del modelo en los ejercicios muestra un p unto débil en el trabajo, ya que se presta a confusión, por lo que en futuras ocasiones se deberá hacer caso por caso.
2. Luisa fue a la tienda y compró 2kg de tortillas y unas galletas de $4.50; si pagó $17.50 en total ¿cuánto cuesta el kg de tortilla? Escribe la ecuación que exprese la situación:
Aspectos del Modelo 3UV presentes: IE1, IE2, IE3, IE4 y IE5.
IE1: “No, el aspecto IE3 no necesariamente está por la misma razón del ej ercicio anterior”
IE2: “Estoy de acuerdo”
IE3: “Estoy de acuerdo, pero ¿qué pasa si en la redacción del problema primero se pide el planteamiento de la ecuación y después encontrar el resultado?”
El aspecto IE3 se consideró por la misma razó n que el ejercicio anterior. El investigador I3 hace una pregunta importante; y es cierto, lo lógico sería que el planteamiento de la
ecuación fuese lo primero, pero la realidad es que la mayoría de los jóvenes que egresan de secundaria no dominan el lengu aje algebraico y se les dificulta de sobremanera este nivel de abstracción, por lo que al pedirles primero que calculen el precio de las tortillas se les está invitando a que deduzcan por medio de resta y división el resultado, y ya después de este ejercicio mental les será mas sencillo escribir la ecuación, lo cual sí se les pide en el enunciado del problema.
3. Observa las siguientes figuras y realiza lo que se te pide:
Dibuja una figura como las anteriores, pero con base = 4. Ahora dibuja una similar a las anteriores, pero con base = 6. ¿Cuáles son los números que completan correctamente la siguiente tabla?
Aspectos del Modelo 3UV presentes: NG1, NG5, RF1, RF2 y RF6.
I1: “Estoy de acuerdo”
I2: “Estoy de acuerdo”
I3: “Estoy de acuerdo con los aspectos pero no me quedan claras las instrucciones del ejercicio, ¿a qué te refieres con figura de base 4? ¿Un cuadrado?”
hacen hincapié en un aspecto que muchas veces no se
toma en cuenta y es la claridad con la que se deben de redactar los ejercicios; pues no es
la primera vez que aún teniendo los conocimientos necesarios para resolver un problema al no comprender lo que se quiere el alumno lo deja en blanco, de hecho, al resolver el
Las preguntas del investigador I3
pretest varios alumnos dibujaron “torres” de cuadrados y otros presentaron la misma duda que el investigador I3. Por esto se modificó la redacción del problema para que en futuras ocasiones no se preste a confus ión o ambigüedad, quedando de la siguiente manera:
4. En este ejercicio solamente escribe una fórmula, NO cal cules el número:
Un número desconocido multiplicado por 7 es igual a 3/17:
El doble de un número más su cuadrado:
La suma de tres números entre 2:
El cubo de un número menos el doble de otro:
Un número entre 8 más su cuadrado :
Aspectos del Modelo 3UV presentes: NG2, NG3 y NG5.
I1: “De acuerdo”
I2: “No, para mi no está presente el aspecto NG2 y sin embargo creo que faltó el aspecto IE5”
I3: “De acuerdo en los aspectos, sólo que no me quedó claro el enunciado de la última frase; no se si se refiere a x/8 + x 2 ó x/8 + (x/8) 2 ”
El comentario del investigador I2 hace referencia a l aspecto IE5, para el cual creo que sólo se consideraría la primera parte del enunciado: Simbolizar las cantidades desconocidas identificadas en una situación específica…, más no se usan propiamente para plantear ecuaciones sino expresiones algebraicas ge nerales. Por otro lado, nuevamente el investigador I3 hace alusión al aspecto de la claridad en la redacción.
Las raíces de un árbol crecen 0.5 cm al día. ¿Cuánto habrán crecido en 5 días? ¿Cuánto habrán crecido en un mes? ¿Cuál sería la expresión algebraica para calcular el crecimiento en “f” días? Construye una tabla donde se muestre el crecimiento de las raíces durante los primeros 10 días.
Aspectos del Modelo 3UV presentes: NG1, NG3 , NG5 y RF2.
I1: “No, creo que deben incluirse el aspecto RF6”
I2: “Sí, de acuerdo”
I3: “Para mi faltó el aspecto RF4, además que nuevamente no queda claro cuántos días se deben considerar al mes para resolver el problema; 28, 29, 30 ó 31 dí as.”
El aspecto NG5 está presente cuando se le pide al alumno que escriba la expresión algebraica para calcular el crecimiento en “f” días; y podría decirse que por la misma razón se abarca el aspecto RF6. En cuanto al aspecto RF4, el elabora r una tabla no garantiza que el alumno reconozca la variación conjunta de las variables involucradas. Y, nuevamente el investigador I3 hace alusión a la claridad de la redacción del ejercicio.
6. Una célula se divide de la siguiente manera cada “n” segu

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