Source: https://es.scribd.com/doc/145727054/TECNICAS-DE-ENSENANZA-DE-LAS-MATEMATICAS-PARA-NIVEL-PRIMARIA
Timestamp: 2016-05-30 22:40:57+00:00

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TECNICAS DE ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS PARA NIVEL PRIMARIA.
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Elaborado por: Equipo de Matemática de La Paz
6X6-3X3 3X9 3X9
6X3+3X3
La Paz, enero de 2011
AUTORES: El equipo de Matemáticas está conformado por ex becarios que realizaron cursos de matemáticas patrocinados por la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA). Un grupo de ellos se interesó y dedicó su compromiso y empeño en la elaboración del presente documento. Estos son: Nélida López Pinto – Ex becaria JICA Sapporo – Japón Curso: “Métodos de enseñanza de matemáticas para países sudamericanos”. Gestión 2008 Hugo Colque Jiménez – Ex becario JICA Tsukuba – Japón Curso: “Métodos de enseñanza de matemáticas para países sudamericanos”. Gestión 2009 Irma Arpazi Huanca Ex Becaria JICA – PROMECA Kyoto – Japón. Curso: Estudio de Clase. Gestión 2004 Walter Orihuela Rabaza – Ex becario Programa “¡Me gusta Matemática!”, segunda capacitación regional de matemática, Tegucigalpa Honduras. Gestión 2007 Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo – Ex becario Programa “¡Me gusta Matemática!”, cuarta capacitación regional de matemática, Tegucigalpa Honduras. Gestión 2009 Con la participación de: Oscar Demetrio Quintana Huaylluco – Ex becario Programa “¡Me gusta Matemática!”, segunda capacitación regional de matemática, Tegucigalpa Honduras. Gestión 2007.
Déposito Legal: 4-1-414-11 Diseño y diagramación: Dalia Nogales Diseño de Tapa: Richard Cornejo Impreso: Preview Gráﬁca 2011, Bolivia
Esta publicación ha sido posible gracias al auspicio ﬁnanciero y la asistencia técnica de JICA.
El presente texto, enfocado en el desarrollo y aplicación de técnicas de enseñanza de la Matemática para el nivel Primario, es fruto de un conjunto de actividades, experiencias e iniciativas que las y los autores, todos ellos ex becarios de cursos de capacitación realizados en Japón y Honduras, han sabido aprovechar, implementar y contextualizar en sus unidades educativas. Desde julio de 2003 y durante 7 años continuos, la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA) conjuntamente con el Ministerio de Educación desarrollaron el Proyecto de “Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza Escolar” (PROMECA) con el objetivo de mejorar el desempeño de las maestras y maestros bolivianos orientado a promover el protagonismo de los niños y niñas en su aprendizaje. Uno de los valiosos impactos del PROMECA fue la organización de forma voluntaria de equipos de trabajo en las áreas de Lenguaje y de Matemática, por solicitud e iniciativa de las maestras y maestros con el propósito de mejorar y profundizar su capacitación en sus respectivas áreas. De esta forma, en esta oportunidad podemos presentar el trabajo del Equipo de Matemática del Departamento de La Paz, que ha tenido la continuidad necesaria en su trabajo, contando con el apoyo de la Unidad de Asistencia Técnico-Pedagógica de la Dirección Departamental de Educación (ex SEDUCA) de La Paz. El presente texto incluye diversas técnicas de enseñanza de la Matemática para los diferentes cursos del nivel Primario que, sobre la base de los componentes temáticos del currículum japonés y por medio del método de Estudio de Clases japonés, los autores han sabido aplicar en sus aulas y adaptar al contexto educativo boliviano. El Estudio de Clases (Jugyou Kenkyu) es una actividad de capacitación continua que permite no solamente compartir experiencias y conocimientos para aprender unos de otros, sino también aportar con el estudio de un área para el mejoramiento de la calidad de educación. Agradecemos la meritoria contribución de los autores, cuya dedicación e iniciativa se encuentra plasmada en cada uno de los trabajos presentados. Esperamos que este trabajo, que constituye una segunda versión, responda a las necesidades y expectativas de las maestras y maestros bolivianos que trabajan en el área de la Matemática, y se constituya en un real aporte de difusión y enriquecimiento de la educación primaria en Bolivia.
Hirofumi MATSUYAMA Director – Representante Residente JICA Bolivia
El Ministerio de Educación y la Agencia de Cooperación Internacional de Japón (JICA), han implementado desde el año 2003 hasta julio de 2010 el “Proyecto de Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza Escolar” (PROMECA) en las Unidades Educativas seleccionadas del Departamento de La Paz, con el propósito de que los maestros/as del nivel primario perfeccionen las estrategias pedagógicas y métodos de gestión educativa, de esta manera los niños y las niñas sean protagonistas en sus aprendizajes. El Ministerio de Educación y la Institución JICA han beneﬁciado también a varios docentes de las Unidades Educativas donde se implementó el PROMECA con las becas a los países de JAPÓN Y HONDURAS. Las experiencias de los docentes beneﬁciados con becas y la adecuación de la experiencia japonesa al contexto regional se desarrollaron en las Unidades Educativas donde se implementó PROMECA. En ese contexto, actualmente la Dirección Departamental de Educación de La Paz, a través de la Unidad de Asistencia Técnico-Pedagógica organizo un equipo de matemáticas con algunos maestros/as ex becarios, con el propósito de fortalecer las estrategias de aprendizaje-enseñanza de los docentes de nivel primario en el área de matemáticas y difundir las experiencias adquiridas en el área. De esta manera estos materiales le servirán como un material de consulta a las y los docentes y estudiantes de las Escuelas Superiores de Formación de Maestros y a las maestras y maestros interesados en el área de la Matemática de nuestro Sistema Educativo Plurinacional.
Prof. Esteban Quispe Alanoca JEFE DE LA UNIDAD DE ASISTENCIA TÉCNICO PEDAGÓGICA DIRECCIÓN DEPARTAMENTAL DE EDUCACIÓN DE LA PAZ
El Equipo de Matemáticas de la ciudad de La Paz, conformado por docentes ex becarios de JICA en Japón y en terceros países, en este caso Honduras, motivado por todas las experiencias recibidas, especialmente de los maestros/as y expertos/as japoneses, y preocupado por difundirlas, tal y como aprendimos de la ﬁlosofía de los auspiciantes: “adoptar y adaptar”, decidimos acudir una vez más a JICA Bolivia para la difusión de las técnicas adquiridas en los cursos en ambos países, que fueron desarrolladas y validadas en nuestras escuelas con niñas y niños bolivianos. El presente texto se constituye en la sistematización de dichas técnicas. Las Técnicas expuestas fueron adquiridas tanto por observación directa de clases públicas desarrolladas por maestros japoneses, como por observación de las mismas en videos o por transmisión directa e indirecta de los maestros/as japoneses en charlas, conferencias o talleres. Entonces, dichas técnicas fueron aplicadas por cada uno de los miembros del equipo in situ, con nuestros propios estudiantes, en los diferentes grados en los que nos desenvolvemos cotidianamente y en talleres de réplica de conocimientos adquiridos. Por tanto fueron validadas, adecuando y/o modiﬁcándolas de acuerdo a nuestras necesidades y nuestras realidades. El esquema propuesto (componente o ámbito, contenido, año de escolaridad, objetivo, descripción y procedimiento) proviene de un análisis realizado por el Equipo, resaltando que todos los integrantes participaron en el Proyecto de Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza Escolar (PROMECA) desde su respectivo lugar de trabajo. El presente documento constituye segunda entrega a los maestros de nuestro país; sin embargo en esta versión se pone mayor énfasis a la socialización de técnicas en los cuatro ámbitos que propone el currículo japonés: Números y cálculo, Cantidad y medición, Figuras y Relación entre cantidades. Para cada uno de ellos proponemos también algún ejemplo. En esta versión presentamos el detalle de los ámbitos o componentes mencionados, así como la estructuración de las clases, el esquema de Plan de Orientación (Plan de clase) de enseñanza de la matemática, al estilo japonés, que resalta la importancia del proceso seguido en el aprendizaje y el protagonismo de los niños y niñas, y ﬁnalmente incluimos los roles del maestro/a durante las clases, por la gran importancia que tiene para nosotros la difusión del proceso pedagógico que se desarrolla en el aula japonesa, especialmente en matemática ya que ésta podría ser, entre otros, la diferencia en el logro de resultados alcanzados en la educación matemática. Por tanto, se destaca el Modelo de resolución de problemas, centrado en el proceso y no en el resultado, ya que lo interesante en todo momento siempre ha sido y siempre será analizar las maneras que tienen los estudiantes de resolver un ejercicio o problema; pues nuestra función como educadores es brindarles las oportunidades de que lo hagan y, al hacerlo, expresen su pensamiento. Al igual que en nuestra primera versión, resaltamos la importancia de la “Consigna Desaﬁante”, para detonar en el estudiante el interés por resolver una situación conﬂictiva matemáticamente, haciendo de ésta asignatura un espacio entretenido, alegre y mágico de aprendizaje. Ponemos, a consideración de los lectores la presente propuesta, esperando sea del interés y utilidad para nuestra permanente formación profesional en beneﬁcio de nuestros estudiantes, que son los “protagonistas del aprendizaje”.
Nélida López Pinto Coordinadora Equipo de Matemáticas La Paz – Bolivia
Expresamos un especial agradecimiento a la Agencia de Cooperación Internacional de Japón (JICA) en Bolivia, y al Gobierno japonés que nos brindaron la oportunidad de acceder a nuevos conocimientos que enriquecen nuestra práctica profesional, y que ahora nos brindan la oportunidad de difundir nuestras experiencias a través de la publicación de este texto. Agradecemos también: Al Proyecto de Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza Escolar (PROMECA-JICA), por su invaluable aporte a la educación boliviana, especialmente en el “protagonismo de los niños y de las niñas”. Al personal de las Escuelas Anexas a las Universidades de Educación de Tsukuba y Hokkaido en Japón, muy especialmente a los profesores japoneses que compartieron con nosotros sus experiencias y nos motivaron en la búsqueda de nuevas técnicas de enseñanza de la matemática para hacer de ésta una asignatura interesante, ágil, divertida y alegre. Al personal de las Universidades de Educación de Hokkaido en Japón y de la Universidad Pedagógica Francisco Morazán en Tegucigalpa, Honduras. A los asesores y líderes del 1º y 2º Cursos de “Métodos de enseñanza de la matemática para países sudamericanos” en Japón, desarrollados en las gestiones 2008 y 2009, y del PROMETAM ¡Me gusta Matemática!, en Honduras, gestiones 2007 y 2009. Por último, a los colegas de países latinoamericanos que participaron con nosotros durante nuestra estadía en Japón y en Honduras, por haber compartido su experiencia y su amistad.
División temática de los contenidos matemáticos en primaria (Japón)
Sistematización elaborada por Nélida López Pinto, con base en documentos entregados en el Primer Curso: “Métodos de enseñanza de matemáticas para países sudamericanos”, gestión 2008.
El presente texto toma como referente la División Temática de los Contenidos Matemáticos en la Escuela Primaria de Japón, a ﬁn de orientar el trabajo de manera más sistemática. Dichos contenidos, si bien no diﬁeren de los abordados en nuestro país, pueden variar, quizás en cuanto a la agrupación en los ámbitos correspondientes. Los ámbitos propuestos son:
A) Números y cálculo
Enteros, decimales, fracciones, operaciones aritméticas, relaciones
Numerales, ordinales, cardinales, naturales, enteros, decimales, fracciones, las cuatro operaciones, cálculo mental, aproximación, redondeo, valor posicional, propiedades de interrelación +, –, X, /., entre otros contenidos. Medición concreta de la longitud, el volumen, los ángulos y el peso; sistemas de unidades, métodos de medición (mediante comparación directa, comparación indirecta, unidades arbitrarias, unidades convencionales), relación proporcional, tiempo, cálculo de superﬁcie (área, capacidad), volumen, desarrollo de la percepción de magnitudes, cálculos de superﬁcie, equivalencias fraccionarias, etc. Líneas, cuadriláteros, (cuadrado y rectángulo, paralelogramo); triángulo (triángulo rectángulo, triángulo equilátero, triángulo isósceles); círculos, esferas, polígonos, componentes paralelos y perpendiculares y componentes de las ﬁguras, distinción y dibujo, por ejemplo. Expresar datos en gráﬁcos, clasiﬁcándolos y ordenándolos; expresar cambios en gráﬁcos de columnas, lineales, circulares y de barras, expresar mediante fórmulas dos cantidades que varían en forma proporcional, leyes asociativas, relaciones cuantitativas y propiedades de las cuatro operaciones, regularidad en multiplicación, proporción, intervalos numéricos, promedio, entre otros.
B) Cantidades y medida
Longitud, peso, superﬁcie, capacidad y volumen, tiempo y hora, velocidad, ángulos
Figuras planas, ﬁguras sólidas
D) Relaciones cuantitativas o entre cantidades
Expresiones con fórmula, funciones, estadística
Sistematización elaborada por Nélida López Pinto en base a documentos entregados en el Primer Curso: “Métodos de enseñanza de matemáticas para países sudamericanos”, Japón, gestión 2008.
Revisión de conocimientos previos. Presentación del tema a estudiar Debate del tema Planteamiento de los pronósticos e hipótesis Análisis del método para su resolución Expresión del método de resolución e ideas
Acciones del maestro/a
Comprende el estado de los niños/as sobre preparación para aprender. Deﬁne el tema y lo da a conocer. Desarrolla el contenido de la clase anterior. Impulsa, motiva y despierta el entusiasmo. Extrae las ideas de los niños/as Crea un ambiente para el debate. Aprecia las impresiones propias de los niños/as. Da instrucciones. Apoya el desarrollo del pensamiento. Promueve el pensar juntos para encontrar otra idea, revisa las relaciones entre el tema y el procedimiento. Indica el método y procedimiento para el resumen, analizan juntos, hace ingeniar una explicación lógica.
Acciones de los niños/as
Responden preguntas Observan, hacen preguntas Ven el tema de diversos ángulos. Deﬁnen la idea acerca del tema. Plantean el pronóstico. Deﬁnen el fundamento. Piensan, seleccionan información, veriﬁcan el pronóstico.
Debate con base Educa para que admitan otras ideas, hace en la presentación razonar a los niños/as.
Resumen del contenido y método educativo Aviso para la siguiente clase
Reconoce el cambio en los niños/as, resume el tema, el método de resolución y la forma de pensar, evalúa el desempeño de los niños/as. Notiﬁca el tema para la siguiente clase, evalúa los planes y procesos educativos.
Tienen deﬁnida su propia idea y procedimiento. Expresan cómo desarrollaron su idea. Inventan el método de expresión Comparan sus ideas y formas de pensar, aceptan otras ideas, profundizan sus ideas Reﬂexionan en el estudio, sintetizan el contenido y el procedimiento, reconocen el cambio ocurrido en sí mismos
PLAN DE ORIENTACIÓN DE ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA PARA LA UNIDAD COMPLETA (Modelo Japonés) Lugar: Grado: Cantidad: Niños: Niñas: Dirigido por: Elaborado por: I. NOMBRE DE LA UNIDAD II. SOBRE LA UNIDAD Nombre del ámbito relacionado con la unidad: Grado de importancia (relación con aprendizajes futuros – próximo año–) III. SOBRE LOS NIÑOS IV. PLAN DE ORIENTACIÓN DE ENSEÑANZA PARA LA UNIDAD COMPLETA (períodos) Reseña de cada clase (secuencia) V. OBJETIVOS DE LA UNIDAD COMPLETA VI. OBJETIVOS DE LA CLASE ACTUAL VII. DESARROLLO DE LA CLASE
Proceso de orientación Introducción (10 min) Desarrollo (25 min) Conclusión (10 min) Consigna desaﬁante - propósito de la clase Estrategias del maestro/a Actividades de los niños/as
VIII. EVALUACIÓN IX. TAREA
Cómo explican y estructuran su clase los maestros/as japoneses
Sistematización elaborada por Hugo Colque Jiménez en base a documentos entregados en el Segundo Curso: “Métodos de enseñanza de matemáticas para países sudamericanos”, gestión 2009.
Proceso de las clases como “resolución estructurada de problemas”
Revisión de la clase anterior. Presentación de los problemas del día. Trabajo individual o grupal de los alumnos. Discusión de los métodos de resolución. Puesta en relieve y resumen del punto principal.
Roles del maestro/a durante las clases
Hatsumon en la presentación del problema Al comenzar la sesión, hacer una pregunta clave para atraer el pensamiento del alumno sobre un punto particular en una clase.
Kikan-shido durante la resolución de problemas por los alumnos. Signiﬁca “instrucción en el escritorio del alumno”, el maestro/a se mueve por el aula. Evalúa el progreso de la resolución de problemas Toma nota mental (forma esperada y otra de interés)
Neriage es una discusión de toda la clase. Proceso de “pulir” las ideas del estudiante y obtener una idea matemática. Ofrece la palabra para que presenten sus métodos de resolución en la pizarra
Matome como recapitulación (indispensable en la clase) Revisa brevemente lo que han discutido y recapitula lo que han aprendido.
Adaptación de la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA 2008, en base a un video de una clase desarrollada por un maestro Japonés, validada en la U.E. La Merced A.
COMPONENTE: Figuras CONTENIDO: Cuerpos sólidos AÑO DE ESCOLARIDAD: Primer año de primaria OBJETIVO: Involucrar a los estudiantes en la visualización de una pila de bloques, para que determinen la cantidad que la compone, a través de la formulación de diferentes formulaciones matemáticas. DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en mostrar de manera concreta una pila de bloques (cubos), desde diferentes ángulos y proponer a los estudiantes que determinen la cantidad de cubos que la compone. PROCEDIMIENTO: Previamente el maestro/a debe haber puesto una pila de cubos sobre un buen soporte. El maestro/a muestra la vista delantera de una pila de cubos y pide a los estudiantes que determinen el número de bloques. La mayoría de los estudiantes, al ver solo la vista delantera dirán “4 bloques”. El maestro/a dibuja. Posteriormente, el maestro/a hace girar el soporte, de tal manera que se pueda visualizar otro ángulo de la pila y pide que determinen el número de bloques que piensan que hay. Nuevamente dibuja en la pizarra.
Este mismo gráﬁco (de la pizarra), es distribuido en fotocopias a cada uno de los niños/as. El maestro/a pide que escriban la manera en que calculan el número de bloques y su respuesta. No es tan importante la respuesta, como la forma en que piensan los niños/as para conseguir el número. Algunas de las expresiones elaboradas por los niños/as, para determinar la cantidad de bloques, son:
Cada vez que una nueva expresión sea formulada, el maestro/a pide que expliquen su trabajo a la clase y pregunta si alguien más hizo el mismo razonamiento que su compañero e indaga acerca del proceso de razonamiento: ¿por qué piensan que es así? Para concluir, el maestro pide a los estudiantes que se acerquen al frente, de modo que puedan ver claramente la pila y comprueben cuántos bloques hay en la pila.
¡Cómo aprender la multiplicación!
La presentación de la Dr. Sc. Yuriko Yamamoto Baldín, adaptada por Irma Arpazi Huanca ex becaria JICA a Japón 2004, validada en sesiones de capacitación a docentes de primaria.
COMPONENTE: Números y cálculo CONTENIDO: Multiplicación de números naturales AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer año de primaria OBJETIVO: Desarrollamos la comprensión del problema de multiplicación a través del diagrama del árbol para que les permita representar el algoritmo con facilidad. DESCRIPCIÓN: Tanto las faldas como las blusas tienen que ser de diferentes colores PROCEDIMIENTO: Resolución del problema El maestro o maestra debe pensar y planiﬁcar con anticipación sobre las actividades a realizar en el aula para que favorezcan el aprendizaje de los niños y niñas, puede ser como sigue: 1er Paso Presentación del problema Carola tiene 3 faldas y 4 blusas de diferentes colores. ¿De cuántas maneras distintas puede vestirse con estas ropas? ¿Cuántas formas de vestir puede combinar con estas prendas? ¿Cuántas combinaciones distintas puede preparar para vestirse con las prendas? 2do Paso Comprensión del problema Para que el problema sea bien comprendido es necesario dar una buena lectura y las preguntas deben estar bien formuladas, porque los niños y niñas tienen que descubrir los distintos caminos para llegar al resultado. 3er Paso Elaboración del plan Reconocimiento de la acción Es necesario hacer identiﬁcar a los niños y niñas la acción del problema y se puede ayudar con algunas preguntas sobre lo conocido, para que la resolución del problema le resulte fácil como se detalla a continuación. ¿Qué es lo que tiene Carola? ¿De qué colores son las blusas y faldas? ¿Qué necesita hacer Carola? 4to Paso Ejecución Cada niño o niña debe encontrar la forma de combinar las prendas de vestir (faldas y blusas de muñeca, de papel y requiere mucha creatividad de los niños y niñas), luego debe ser socializado en plenaria. Pero es necesario llegar a un mismo resultado, una alternativa de presentación de las respuestas es la siguiente:
5to Paso Análisis de Solución o Resultado Una vez que hayan llegado al resultado, el docente promueve el análisis a través de las siguientes preguntas: ¿Cuántas formas de combinación hemos obtenido? ¿Por qué hemos obtenido esa cantidad? ¿De dónde salió? ¿Cómo podemos presentar con números? Presentación del algoritmo de la multiplicación: De manera horizontal De manera vertical
Faldas Blusas Roja Azul Verde claro
Al mismo tiempo se puede demostrar la propiedad conmutativa de la siguiente manera: Presentación del algoritmo: Recordamos: 3 faldas por 4 blusas o 4 blusas por 3 faldas
3F x 4B 3x4 12
4B x 3F 4x3 12
Recopilado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA 2008, de las experiencias adquiridas con maestros japoneses, validada en la U.E. La Merced A y en sesiones de capacitación a docentes de primaria.
COMPONENTE: Números y cálculo CONTENIDO: Cálculo mental, multiplicación. AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer año de primaria OBJETIVO: Estimular el cálculo mental, a través de la observación cuidadosa de algoritmos, para que resuelvan ejercicios de multiplicación mentalmente. DESCRIPCIÓN: Plantillas de ejercicios de multiplicación, cuyos rangos decenales de ambos multiplicandos sean los mismos y cuya suma de unidades de ambas cantidades sean siempre diez. PROCEDIMIENTO: El maestro/a presenta en una plantilla el ejercicio:
22 x 28 = 616
Los niños/as desarrollan el ejercicio y luego veriﬁcan con su compañero para ver si tienen el mismo resultado. Si están equivocados se les indica que no borren la respuesta sino que la corrijan. Luego se les presenta el siguiente ejercicio: Se sigue el mismo procedimiento anterior. Posteriormente se les presenta el ejercicio:
24 x 26 = 624 25 x 25 = 625
En este momento un niño podría darse cuenta que falta una multiplicación en la serie (23 x 27) y pasar a presentar la operación faltante y resolverla. Este momento servirá para darnos cuenta de que empiezan a descubrir la regla. En todo caso el maestro/a anima a ir encontrando la relación que hay entre la secuencia de números, les ayuda escribiendo en la pizarra sus ideas. Pide que expliquen las características de las operaciones. ¿Qué observamos en los multiplicandos? R. ambos son del mismo grupo de decenas. ¿Qué se puede decir de las unidades? R. Que si las sumamos nos dan diez ¿Cómo serían las características de estas expresiones? 30 x 30 y 29 x 31 R. Los estudiantes explican utilizando lo aprendido. El maestro/a pregunta: ¿Cómo explicamos los resultados de estas expresiones? Presenta la serie de ejercicios:
21 x 29 22 x 28 23 x 27 24 x 26 25 x 25
El maestro/a pregunta ¿Hay alguna regla para encontrar el resultado? Todos los niños/as muestran interés en resolver los ejercicios y pasar a explicar el procedimiento que han usado y al descubrir la regla.
Una vez descubierta una de las reglas Los últimos dígitos del resultado son iguales al producto de las cifras de las unidades de los multiplicandos. El maestro/a construye la regla ﬁnal con las ideas de todos los estudiantes: Las otras cifras del resultado provienen de multiplicar la decena de uno de los multiplicandos por el número que le sigue. Es decir si la decena es 2, entonces se debe multiplicar 2 x 3, considerando que 3 es el número que sigue al 2. Los niños/as proponen otros ejemplos: 35 x 35; 33 x 37; 31 x 39 y descubren que la regla también se cumple para ellos:
32 x 38 = 1216 34 x 36 = 1224 35 x 35 = 1225 33 x 37 = 1221 31 x 39 = 1209
Este es un interesante ejemplo de aplicación de metodologías que permiten al niño analizar por si mismo, las situaciones matemáticas y llegar a descubrir reglas que le facilitan la interpretación de los resultados obtenidos.
La construcción del pensamiento multiplicativo
La presentación de la Dr. Sc. Yuriko Yamamoto Baldín, adaptada por Irma Arpazi Huanca ex becaria de Japón.
COMPONENTE: Números y operaciones CONTENIDO: Multiplicación de números naturales AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercero de primaria OBJETIVO: Desarrollamos la comprensión del problema de multiplicación mediante los principios combinatorios para contribuir al desarrollo del pensamiento lógico. DESCRIPCIÓN: La bandera puede ser nuestro o de otro país, lo importante es que sea de tres colores diferentes. PROCEDIMIENTO: Resolución del problema 1er Paso Presentación del problema Pintar y modiﬁcar la bandera del Estado Plurinacional, de tal modo que en dos franjas seguidas no se repita el mismo color, pero sí, se puede repetir dos franjas del costado. ¿Cuántas banderas diferentes podemos combinar? 2do Paso Comprensión del problema a través de la lectura Para comprender el problema es necesaria una buena lectura para que los niños/as descubran distintas maneras de llegar al resultado. 3er Paso Elaboración del plan - Reconocimiento de la acción Es necesario reconocer la acción del problema y puede ayudarse con algunas preguntas sobre lo conocido, para que la resolución del problema le resulte fácil. ¿Qué tenemos? ¿Cuántas franjas tiene nuestra bandera y de qué colores? ¿Qué debemos hacer? ¿Cuántas banderas diferentes podemos combinar? ¿Cómo podemos combinar? 4to Paso Ejecución Para facilitar el procedimiento, el docente puede presentar la bandera y cada niño o niña encontrará la estrategia para llegar a combinar a través del movimiento de las franjas de la bandera. Posteriormente realizar la socialización. 5to Paso Conclusión Sobre las decisiones que hayan tomado para las combinaciones puede ser como sigue: Primera decisión: Escoger el color para la primera franja. Segunda decisión: Escoger los colores para la segunda franja, no puede ser la misma que la primera franja. Tercera decisión: Escoger los colores para la tercera franja, no puede ser los mismos colores que la segunda franja, más bien se puede repetir los colores de la primera franja.
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, en base a una presentación del Prof. Takao Seiyama de la Escuela Anexa a la Universidad de Tsukuba – Japón, validada en la U.E. Gral José de San Martín y en sesiones de capacitación a docentes de primaria.
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades CONTENIDO: Regularidades en la multiplicación AÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto-Quinto grado de Primaria OBJETIVO: Encontrar la fórmula que tenga como respuesta una cifra inferior en uno, para resolver situaciones de multiplicación DESCRIPCIÓN: Planteamiento de una situación de multiplicación aparentemente complicada, pero que a través de ejercicios sencillos, los estudiantes pensando, encuentran la regularidad, la regla que permitirá solucionar el desafío o situación problemática. PROCEDIMIENTO: Se puede dar clases con este tema: Por ejemplo: Escribir
50 x 50 = 2500 50 x 50 = 2500 .1 ? = 2499
Ahora escribir una respuesta inferior en uno
Entonces se tiene una respuesta que es inferior en uno al primer resultado. CONSIGNA: Debemos encontrar una fórmula de multiplicación que tenga como respuesta una cifra inferior en uno. Entonces como con números grandes es complicado para pensar, vamos a achicar el número y averiguaremos la fórmula:
3x3=9 .1 ?
¿Cómo debe ser la fórmula? Puede ser esto… Se puede presentar más ejemplos...
Preguntamos: ¿Cómo se va a hacer para que tenga una respuesta?
3x3=9 .1 4x2=8 8 x 8 = 64 9 x 7 = 63
4 x 4 = 16 .1 5 x 3 = 15
Hasta este nivel los estudiantes de primaria pueden solucionar, por ejemplo:
Entonces preguntamos ¿cuál es la fórmula para encontrar la respuesta inferior en uno?
50 x 50 = 2500 .1 51 x 49 = 2499
Empezando por cifras pequeñas, sencillas, pensando los estudiantes encuentran alguna regla que existe, ellos pueden imaginar fácilmente esta fórmula. Entonces lo importante es hacer preguntas: ¿Cómo concluyeron en esa idea?, ¿Cómo se formó esa idea?, ¿por qué dicen eso? Lo que se quiere es que el niño o la niña, diga que a través de esas tres fórmulas encontró una regla.
50 x 50 = 2500 .1 51 x 49 = 2499 3x3=9 4x2=8
Vamos a probar con otros números:
4 x 4 = 16 5 x 3 = 15
8 x 8 = 64 9 x 7 = 63
60 x 60 = 3600 .1 61 x 59 = 2499
60 x 60 = 3600 .1 +1 x –1 = 2499
Inicialmente un ejercicio parece difícil, pero por medio de encontrar una regla que tiene, a través de cálculos iniciales sencillos, se lo puede resolver con facilidad. Ahora hagamos la aplicación:
50 x 50 = 2500 = 2496
¿Cómo será la fórmula ahora? Dejar que piensen y respondan, que hagan cálculos…
De igual manera, para que comprendan mejor, se puede empezar con números pequeños.
3 x3=9 5x1=5
4 x 4 = 16 6 x 2 = 12
8 x 8 = 64 10 x 6 = 60
Preguntar: Hasta aquí, ¿Pueden encontrar alguna regla?
50 x 50 = 2500 52 x 48 = 2496
60 x 60 = 3600 –4 61 x 59 = 3596
60 x 60 = 3600 –4 +1 x –1 = 3596
Entonces cuando se da una fórmula, la explicación para cursos superiores sería:
(a + b) (a – b) = a2 + b2
Aplicando las cifras del desafío:
50 x 50 = 2500 .1 ? = 2499
(50 + 1) (50 – 1) = 502 – 12 = 2500 – 1 51 x 49 = 2499
50 x 50 = 2500 –4 ? = 2496
(50 + 2) (50 – 2) = 502 – 22 = 2500 – 4 52 x 48 = 2496
Ahora con - 9
50 x 50 = 2500 –9 = 2491
50 x 50 = 2500 –9 53 x 47 = 2491
Ahora con - 16, ¿Cuánto será?
(50 + 3) (50 – 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 53 x 47 = 2491
50 x 50 = 2500 –16 54 x 46 = 2484
Para ﬁnalizar con - 25, ¿Cuánto será?
(50 + 4) (50 – 4) = 502 – 42 = 2500 – 16 54 x 46 = 2484
50 x 50 = 2500 –25 55 x 45 = 2475
(50 + 5) (50 – 5) = 502 – 52 = 2500 – 25 55 x 45 = 2475
Los estudiantes pueden seguir probando con otros números para su aplicación.
Relación entre números
Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA – PROMECA, “Me gusta Matemática”, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, gestión 2007, validado en la U.E. Juan Lechín Oquendo
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades CONTENIDO: Mayor qué, menor qué e igual a NIVEL: Primario OBJETIVO: Desarrollar en los estudiantes un pensamiento crítico y reﬂexivo con relación al valor posicional de las cifras y la relación que existe entre dos números (>, =, <), por medio del juego. DESCRIPCIÓN: La matemática debe buscar desarrollar una actitud positiva y el pensamiento cientíﬁco en los estudiantes a través de la práctica investigativa que permitan la construcción permanente del conocimiento a partir del trabajo en solidaridad dentro del ambiente comunitario. Esta actividad busca que los estudiantes relacionen la posición de una cifra con su valor cuando ordena o cuantiﬁca cantidades, a partir de la realización de diferentes juegos efectuando comparaciones para conocer la relación que existe entre los números y usando los signos mayor que, menor que e igual a. jugando en parejas o en grupos.
Esta estrategia para trabajar ofrece la oportunidad a los estudiantes de trabajar en equipo y tomar interés en la búsqueda de soluciones. Los estudiantes disfrutan de la actividad y aprenden jugando. A partir de sus experiencias propias y de trabajo en comunidad, pueden realizar la producción de textos matemáticos. Son ellos quienes construyen su propio material de trabajo y de esta forma son más responsables en el cuidado del mismo y también exploran los materiales necesarios para la actividad. Ayuda a reforzar el aprendizaje mediante el trabajo en parejas y continua siendo un recurso que brinda la oportunidad de establecer relaciones entre números, dentro de un ambiente de seguridad y compañerismo. TRABAJO REALIZADO CON LOS PROFESORES. Antes de poner en práctica con los estudiantes estos materiales, es conveniente reunirse con otros profesores del colegio, ciclo o año de escolaridad para practicar y así evitar posibles problemas que se presenten con los estudiantes o detectar diﬁcultades que supongamos tengan los estudiantes. De esta manera se puede realizar adecuaciones necesarias.
ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 minutos
- Tarjetas de números - Tarjetas con signos de > mayor que, < menor que, = igual que.
1. Tomar en cuenta la posición de los números formados para la colocación del signo de desigualdad correcto.
1. Explicar que se desarrollará una actividad de comparación de dos números, utilizando 2 juegos de tarjetas de números del 0 al 9. 2. Solicitar a dos niños (as) que pasen al frente. 3. Proporcionar a cada niño un juego de tarjetas del 0 al 9. 4. Solicitar a cada niño que saque seis tarjetas en turnos alternos, colocando cada tarjeta en la tabla que se encuentra en el pizarrón, de tal manera que formen el número mayor. 5. Cada niño deberá pensar en qué lugar colocará la tarjeta que vaya sacando (podrá pedir apoyo de sus compañeros para colocar la tarjeta en el lugar que crea conveniente para formar el número mayor) 6. Luego de haber formado los dos números, preguntar a todos los niños/as CUÁL ES EL NÚMERO MAYOR. 7. Presentar los signos mayor que, menor que, igual que, luego pedir a un niño que coloque el signo correcto entre los dos números formados. 8. Preguntar a todos los niños/as POR QUE es el número mayor el señalado. Pedir 3 intervenciones de tal manera que se les induzca hacia la respuesta correcta. 9. Concluir indicando la regla de comparación que se aplica a la comparación de los números formados.
ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 min.
10.Reglas de comparación de dos números naturales: a. Comparar la cantidad de cifras. El que tenga más cifras es el mayor. b. Si los dos tienen la misma cantidad de cifras, comparar la primera cifra de la izquierda de cada número. El que tenga la cifra mayor es el mayor. c. Si las primeras cifras son iguales, comparar la segunda cifra de cada uno; el que tenga la mayor cifra es el mayor. d. Si las primeras dos cifras de ambos números son iguales, comparar la tercera cifra y así sucesivamente con el mismo procedimiento. e. Si uno tiene menos casillas, entonces tienen el número menor. Si al ﬁnal todas las cifras son iguales, los dos números son iguales.
En los casos de modiﬁcación de la posición de los números, pasar a niños/as a colocar el signo de comparación de cantidades (> < =) y que expliquen POR QUÉ colocó el signo.
10. Realizar el mismo juego en parejas para lo cual se debe explicar cómo llenar la hoja de trabajo y como construir sus materiales para jugar.
Reglas, tijeras, fotocopias, lápices.
11.Presentar los otros casos, tomando en cuenta el resultado del ejercicio anterior (modiﬁcar la posición de algunas tarjetas de manera que la comparación de los dos números se resuelvan de la siguiente manera: a. Que la primera cifra de la izquierda en ambos números sean diferentes o iguales b. Que las primeras dos cifras a la izquierda sean iguales c. Que las primeras tres cifras de la izquierda sean iguales y así sucesivamente. d. Veriﬁcar también que la cantidad de cifras de los números sean diferentes (23567>457)
MODELO DE HOJA PARA EL JUEGO:
Fecha: Nombre del niño o niña de la izquierda Curso: Nombre del niño o niña de la derecha
Resultados del juego R o
Primer juego Número del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)
Segundo juego Número del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)
Tercer juego Número del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)
Cuarto juego Número del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)
Quinto juego Número del niño o niña (izquierda)
Número del niño o niña (derecha)
MODELO DE FICHAS PARA EL JUEGO:
MODELO DE RAYADO EN LA PIZARRA PARA EL JUEGO:
Problemas de longitud y espacialidad
COMPONENTE: Cantidad y medida CONTENIDO: Cálculo de longitudes y orientación espacial NIVEL: Primario OBJETIVO: Poder determinar longitudes, realizar ejercicios de orientación y establecer lugares a través del uso de una rejilla. Además de determinar o formular problemas sobre estos aspectos DESCRIPCIÓN: Este tipo de dibujos se puede usar para la formulación de problemas como decir ¿Juan quiere ir a su escuela desde su casa y debe recorrer tres cuadras en forma horizontal y dos en vertical. Donde está la escuela Juan olvido sus cuadernos y su mamá debe mandarlos y decide enviarlos en un taxi a quien debe indicar la dirección ¿dónde es la el colegio?
ESCUELA DE JUAN
Misterios del cálculo de la multiplicación
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, Tsukuba – Japón, 2009, validado en la U.E. Gral. José de San Martín y en capacitaciones a docentes de primaria.
COMPONENTE: Números y cálculo CONTENIDO: Regularidades en la multiplicación AÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto grado de primaria OBJETIVO: A través de la actividad de hacer “el cálculo interesante”, intentar que los/as niños/ as puedan explicar de manera lógica sus respuestas y aprecien la alegría de descubrir la regla. DESCRIPCIÓN: Utilización de múltiplos de tres en tres problemas matemáticos como una pista para introducir los problemas matemáticos, dejar un tiempo para pensar solos y luego de tener los resultados anotados en tarjetas, invitar a poner en orden e incitar a encontrar la regla. PROCEDIMIENTO: Presentar la siguiente expresión matemática:
Solicitar que un estudiante resuelva el ejercicio. Luego copiar la expresión en un cartel. Pegar Escribir la siguiente expresión:
Repetir el anterior procedimiento. Presentar otra expresión:
En este punto de la lección se pueden formular preguntas que despierten el interés de los alumnos: ¿Cuál es el próximo número que sigue? ¿Por qué? Presentar otro ejercicio:
¿Habrá otras expresiones? ¿Podríamos encontrarlas? ¿Cómo?
Se puede decir a los/as niños/as: para ayudar a nuestro pensamiento, sería bueno ordenar las expresiones, (mejor si hay algún estudiante que lo proponga). La pizarra quedaría así:
Los multiplicadores son múltiplos de 3 El multiplicando siempre es 37
3x2 +111 +222 +111 +222 +111
3 x 1 el factor 3 indica las veces que se repite el producto
La suma de los dígitos del resultado da siempre la cifra del multiplicador 2+2+2 = 6
Otras expresiones que se pueden formar:
Es la cifra que se debe repetir
37 x 18 = 37 x 21 =
37 x 24 = 37 x 27 =
De acuerdo al grado, se sugiere que se inicie con operaciones más altas por el nivel de los niños/as por ejemplo 37 x 15, pero ese es un criterio, cada uno hace su clase según su experiencia, conocimiento y habilidad. En la clase se debe conocer la regla y expresarla con diferentes palabras. Nosotros como docentes queremos encontrar reglas nuestras y a veces decimos que no esta bien si no compartimos algo correcto que el niño indique. Hay que escuchar a los alumnos. En ocasiones los estudiantes nos dan otras respuestas, hay otras reacciones, entonces el docente tiene que tener capacidad académica de escuchar y no solo de enseñar.
37 x 30 = 1110 37 x 33 = 1221 37 x 36 = 1332
37 x 39 = 1443 37 x 42 = 1554 37 x 45 = 1665
En el siguiente proceso se puede ofrecer otras secuencias como: Aplicaciones de la regla:
30 y 12 = 37 x 30 + 37 x 12 = 1110 + 444 = 1554
Introducción al estudio de la estadística en nivel primario
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades - Estadística. CONTENIDO: Estudio de tablas y gráﬁcos estadísticos. NIVEL: Primario OBJETIVO: Representar en tablas y gráﬁcos diferentes tipos de datos numéricos; para comprender mejor su signiﬁcado a partir de experiencias vividas en un contexto conocido. DESCRIPCIÓN: El estudio de la estadística se puede iniciar desde los primeros años del nivel primario e ir aﬁanzando los conceptos necesarios para el nivel secundario, considerando la diversidad cultural y social de los estudiantes y el objetivo o contenidos que se quieran desarrollar. En el siguiente trabajo se presenta de forma general pautas para introducirse en el estudio de la estadística; la cual puede ser adaptada para cursos inferiores o superiores. Se puede trabajar entre todos los estudiantes o en grupos predeﬁnidos considerando como una de las variables el tiempo que disponga el profesor para su clase. En ambos casos deben tomar nota de los datos observados, para posteriormente socializarlos en sala. En este caso, como el colegio se encuentra cerca de una parada de transporte público (micros), se pide a los estudiantes que vayan analizando el comportamiento de la cantidad de micros que se encuentran en la parada estacionados cada determinado tiempo y posteriormente realizan un análisis estadístico en tablas y gráﬁcos de barra. De acuerdo a la metodología empleada esta forma de trabajo es orientada constantemente por el docente. PRIMERA JORNADA a) Deﬁnir la actividad a realizar: Observación de la cantidad de micros en la parada. b) Determinar los intervalos de tiempo: Cada media hora, de hrs. 9:00 hasta las 14:00. c) Conformar grupos de estudio de acuerdo al número de observaciones. d) Realizar las observaciones necesarias y registro de la cantidad de micros que se encuentran estacionados cada media hora: Cada grupo verá la mejor forma de registrar los datos que vayan observando. Muchos estudiantes se verán en conﬂicto y no sabrán como comenzar y pedirán un ejemplo de cómo y dónde deben anotar los datos que observen. El profesor deberá procurar que sean los estudiantes quienes encuentren la mejor forma. No se les debe dar un formato de la tabla de recolección de datos, puesto que lo que se busca es que sean ellos los protagonistas en la búsqueda de soluciones a partir del trabajo grupal. Se sugiere que solamente los grupos asignados salgan del aula a realizar sus observaciones para paralelamente continuar con el avance de otros contenidos. SEGUNDA JORNADA a) Cada grupo escribe en la pizarra y socializa el trabajo realizado en la anterior jornada: En esta etapa tomar en cuenta que cada grupo debe anotar en la pizarra las observaciones realizadas, además de explicar la forma en la que registraron los datos en el momento de realizar las observaciones; pero como todavía no se les dio el modelo de la tabla el registro de los datos puede ser de forma numeral, literal o con dibujos. Los grupos pueden escribir de la forma que lo consideren mejor. b) El maestro/a y los estudiantes sistematizan los datos obtenidos.
OBJETIVO: Representar en tablas y gráﬁcos, datos numéricos; para comprender el signiﬁcado a partir de experiencias vividas en nuestra comunidad. REGISTRO ESTUDIANTES Grupo A. Mi grupo observó dos micros a las nueve de la mañana Grupo C. 5 micros a las 10:00 Grupo F.
TÍTULO: Análisis de datos estadísticos con tablas y gráﬁcos de barra
SISTEMATIZACIÓN POR PROFESOR Y ESTUDIANTES
PRIMERA OBSERVACIÓN Horas 9:00. Dos micros SEGUNDA OBSERVACIÓN Horas 9: 30. Dos micros TERCERA OBSERVACIÓN Horas 10: 00. Cinco micros
CUARTA OBSERVACIÓN Hora 10:30. Seis micros
QUINTA OBSERVACIÓN Hora 11:00. Cinco micros
SEXTA OBSERVACIÓN Hora 11:30. Cuatro micros
11: 30 Grupo H. No observamos ningún micro. (registrar de los once grupos)
SÉPTIMA OBSERVACIÓN A las 12:00 Un micro OCTAVA OBSERVACIÓN Hora 12:30-13:00 Cero micros NOVENA OBSERVACIÓN Hora 13:30-14:00. Un micro
A partir de esta u otras formas de registro que hayan realizado los estudiantes el maestro/a juntamente con los estudiantes buscará una forma adecuada para el llenado de las tablas, aclarando los conceptos de celda, ﬁla, columna, tabla y posteriormente gráﬁco (barra, torta…). Una vez socializado y buscada la mejor forma de registrar los datos, el maestro/a deberá haber logrado que los estudiantes logren realizar una tabla correcta de esas formas son las siguientes, tomando en cuenta en año de escolaridad.
TABLA TIPO Inicial
TABLA TIPO Intermedio
Micros observados
Hora de Observación 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00
Número de micros 2 2 5 6 5 4 1 0 0 1 1
Posteriormente se realiza el vaciado de los datos obtenidos en uno de los gráﬁcos que se quiera estudiar en este caso dos formas de vaciar los datos en un gráﬁco de columnas.
GRÁFICO DE BARRAS. Inicial
GRÁFICO DE BARRAS. Avanzado Cantidad de micros estacionados
Tabla de datos (cantidad de micros/tiempo)
Tiempo Cantidad de micros
9:00 9.30 10.00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:00 14:00
4 3 2 1 0 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00
cantidad de micros
TABLA TIPO. Avanzado. (Este tipo también se lo realiza a partir del análisis de los anteriores datos y pude ser aplicado a los últimos años del nivel primario). Intérvalos de tiempo 9:00-9:29 9:30-9:59 10:00-10:39 10:30-10:59 11:00-11:29 11:30-11:59 12:30-12:59 13:00-13:29 13:30-13:59 14:00-14:30 Total datos Frecuencia absoluta 2 2 5 6 5 1 0 0 1 1 23 Frecuencia relativa 2/23=0.09 2/23=0.09 5/23=0.22 6/23=0.26 5/23=0.22 1/23=0.04 0/23=0.00 0/23=0.00 1/23=0.04 1/23=0.04 1.00 Frecuencia acumulada 2 4 9 15 20 21 21 21 22 23
Es estudio de la estadística o el comportamiento de datos estadísticos en un determinado periodo se puede realizar a partir de simples observaciones como: a) El kiosco de la escuela. ¿Cuántas unidades de un producto vende por día? ¿Qué productos vende más? b) El jardín de casa o la escuela. ¿Cuántas clases de ﬂores hay?¿Qué plantas dan más ﬂores por año? c) Un video, una fotografía de la ciudad. ¿Cuántos vehículos pasan por hora? ¿Cuántos son particulares? d) Cuadros de datos. ¿Cuántos automóviles particulares hay? ¿Cuántos camiones?
PARQUE AUTOMOTOR (Número de vehículos) Particular Automóvil Camión Particular Automóvil Camión Minibús
Sistematizado por Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario de JICA – PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, gestión 2009, validado en la U.E. San Miguel de El Palomar
COMPONENTE: Fracciones CONTENIDO: Fracciones con distinto denominador AÑO DE ESCOLARIDAD: Sexto de Primaria OBJETIVO: Convertir fracciones homogéneas y heterogenias a fracciones equivalentes DESCRIPCIÓN: t Es un juego para dos jugadores. t Material: t Dado tetraédrico numerado: 2, 3, 4, 6 (Numerador). t Dado cúbico numerado: 4, 6, 8, 9, 10, 12 (Denominador). t Seis ﬁchas para cada jugador. Reglas: t Salida a mayor puntuación a cara / cruz. t Tiradas alternas. t Se tiran los dos dados y se anota la fracción resultante Numerador / Denominador: a) Se simpliﬁca y se coloca una ﬁcha sobre una casilla que la represente. b) Si no se puede simpliﬁcar (2/9, 3/8, 4/9, 3/10) se retira una de las ﬁchas que el jugador ya tenía colocadas. t No se puede ocupar casilla que ya tenga ﬁcha. t Gana quien antes coloca sus seis ﬁchas.
1/6 1/2 2/3
1/2 2/5
Explorando el desarrollo de un prisma
Sistematizado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA Sapporo, 2008, desarrollada con estudiantes de la U.E. La Merced A, durante el III Encuentro Internacional de PROMECA.
COMPONENTE: Figuras CONTENIDO: Cuerpos sólidos AÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto año de primaria OBJETIVO: Que los estudiantes desarrollen su pensamiento abstracto, al analizar y explicar las características de las plantillas de un cuerpo geométrico y desarrollando diferentes tipos de ellas. DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en el análisis del cuerpo concreto (prisma) y de las características de su plantilla elemental, para proceder a la transferencia de sus conocimientos en la elaboración de otras plantillas. PROCEDIMIENTO: A manera de retroalimentación y anclaje con este nuevo contenido, el maestro puede presentar diferentes desarrollos (plantillas) de cubos y preguntar: ¿Cuál de estos desarrollos corresponde a un cubo? ¿por qué?
Una vez que los estudiantes señalen las plantillas que corresponden a un cubo (en este caso, todas), explican las condiciones para serlo: “Tiene que tener seis cuadrados de las mismas medidas y se tiene que poder unir las aristas, no tienen que sobreponerse, porque si no, no se armaría el cubo”. El maestro invita a los estudiantes a analizar los elementos de un prisma rectangular: t t t Tiene seis caras paralelas Sus lados opuestos son iguales Sus lados son rectángulos
Posteriormente, solicita que desarmen el prisma rectangular obteniendo así la plantilla (desarrollo, patrón o también llamado molde), para su análisis correspondiente. Los estudiantes concluyen: La plantilla del prisma: t Tiene seis caras paralelas. t Tiene seis lados rectangulares. t Sus lados son paralelos u opuestos. En este momento, el maestro debe solicitar ideas de los estudiantes que ayuden a identiﬁcar las caras opuestas del prisma cuando está desarmado. Algunos estudiantes indicarán, por ejemplo:
Podemos armar el prisma y antes de desarmarlo podemos poner una marca cualquiera como por ejemplo una “X”, una “Y”, o lo que sea Podemos pintar los dos lados que son opuestos, de un mismo color. Se puede poner un punto, un cuadrado, etc. Podemos enumerar cada pareja de lados.
Una vez elegida una de las opciones (u otra), proceder de tal forma que al tener la plantilla se visualice cada par de caras y analizar sus características, estableciéndose: – En una plantilla de prisma, cada par de lados opuestos están separados por un rectángulo diferente.
Entonces, el maestro/a podrá presentar varias plantillas para desaﬁar el ingenio de los estudiantes, preguntando: ¿Cuál de estos desarrollos corresponde a un prisma rectangular? ¿Por qué?
Una vez discutidas cuáles son plantillas de prismas rectangulares (incisos a y d) y ¿por que?, puede proceder a recortarse estas plantillas y tratar de armar los prismas rectangulares. En este punto el maestro/a anima a la clase a elaborar modelos alternativos para el desarrollo de prismas rectangulares. A modo de plantearles mayores desafíos presenta otras plantillas con las características un tanto diferentes: ¿Creen que se forme un prisma rectangular con estas plantillas?
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, Tsukuba – Japón, 2009, validado en sesiones de capacitación a docentes de primaria y en la U.E. Gral. José de San Martín.
CONTENIDO: Cuerpos sólidos AÑO DE ESCOLARIDAD: Sexto grado de primaria OBJETIVO: Pensar sobre el número de lados en el desarrollo del tetraedro. DESCRIPCIÓN: Un sobre manila tamaño carta, en el que a través del procedimiento anterior (Dobleces para encontrar el triángulo regular), se encuentran esta vez cuatro triángulos regulares o cuatro caras de un tetraedro. PROCEDIMIENTO: CONSIGNA: Ahora usando este sobre, encuentren con el mismo procedimiento un triángulo regular. Distribuir sobres. – Se debe trabajar más ﬁno.
Esta línea es importante, hay que resaltar (hacer doblez a uno y al otro lado) – Ahora se debe encontrar el otro lado del triángulo:
Este lado también hay que resaltar. (Doblar para los dos lados). En Japón a los estudiantes se les dice doblar en forma de montaña, ahora en forma de valle.
Ahora tomando como referencia el vértice de arriba, vamos a doblar paralelamente con la base al otro lado.
Ahora tenemos otra vez el triángulo regular. Analizamos con los estudiantes: El sobre tiene un lado y otro lado; en este lado tenemos un triángulo, en el dorso también tenemos otro triángulo… En este lado tenemos un triángulo medio de triángulo regular, en el dorso tenemos otro medio de triángulo regular, sumados los dos tenemos otro triángulo regular.
En este otro lado también tenemos una mitad de triángulo regular medio, y en el dorso existe otro triángulo regular medio, sumados ambos, hay otro triángulo regular.
Entonces: ¿Cuántos triángulos regulares hay? R. Con este trabajo ya tenemos cuatro triángulos regulares. Ahora observen: (Meter la mano dentro del sobre, abrir, resaltar los triángulos regulares o caras. (la parte restante del sobre doblar contra una de las caras del sólido). ¡Sorpresa!
El estudio del tetraedro se lo hace en primaria superior, pero un triángulo plano aprenden los niños/as de primaria. Si se amplia su reconocimiento de esta manera con seguridad les va a gustar los estudiantes.
Cálculos interesantes de sustracción
Recopilado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA 2008, de las experiencias adquiridas con maestros japoneses, validada en sesiones de transferencia a docentes de primaria.
COMPONENTE: Números y cálculo CONTENIDO: Cálculo mental, sustracción, multiplicación. AÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto año de primaria OBJETIVO: Estimular la capacidad de observación de los estudiantes, a través de la resta de dígitos y multiplicación por 9, para que descubran la “regla oculta”. DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en el uso de lotas en los que se anotará ejercicios de sustracción de manera divertida. Los resultados serán analizados para descubrir la “regla oculta”. PROCEDIMIENTO: El maestro solicita a un estudiante que le dicte su número favorito de dos dígitos, uno de los números dados, puede ser por ejemplo: 86 Ahora da la siguiente consigna a todo el curso: Inviertan los dígitos de este número y réstenlo del anterior. Por ejemplo: 86 – 68 = 18 Este ejemplo es anotado en una plantilla rectangular que pone en la pizarra; para posteriormente solicitar otros y seguir el mismo procedimiento. Después de un rato, la pizarra puede presentar la siguiente lista, por ejemplo:
86 – 68 = 18 43 – 34 = 9 98 – 89 = 9 53 – 35 = 18 62 – 26 = 36 73 – 37 = 36
Dirigiendo la observación a la lista presentada, ya los estudiantes o el mismo maestro pueden solicitar acomodar las lotas de acuerdo al resultado obtenido de la siguiente manera:
43 – 34 = 9 98 – 89 = 9 86 – 68 = 18 53 – 35 = 18 62 – 26 = 36 73 – 37 = 36
Consigna: ¿qué observan en los resultados? Los estudiantes pueden indicar:“todos son múltiplos del 9”, si esta respuesta no se da, el maestro/a podría orientar hacia la observación de este detalle.
Consigna: ¿Cómo podemos explicar que todos los resultados son múltiplos del 9; pero que no todos son el mismo número? Con esta consigna, se plantea el desafío a los estudiantes, quienes ahora deben analizar cada detalle de las cantidades propuestas, hasta descubrir la “regla oculta”, de la siguiente manera:
4 3 –3 4 =
8 6 –6 8 =
5 3 – 3 5 = 1 8
6 2 –2 6 =
7 3 – 3 7 = 3 6
Entonces: la Regla oculta es:
t Restar los dígitos del minuendo y el resultado multiplicarlo por 9.
Comprobando esta regla en cada uno de los ejercicios planteados, se podría concluir con otros ejemplos similares.
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades CONTENIDO: Multiplicación AÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto-Sexto grado de primaria OBJETIVO: Resolver situaciones problemáticas de multiplicación a través de encontrar patrones en multiplicaciones que tengan cifras pequeñas. DESCRIPCIÓN: Situación multiplicativa entre factores que tienen 6 dígitos repetidos, y que con la calculadora hay error en la respuesta, por lo que surge la necesidad de realizar un cálculo escrito a mano, en el que a través de ejercicios con cifras pequeñas se puede encontrar un patrón, que se aplicará en la solución del desafío o situación problemática. PROCEDIMIENTO: CONSIGNA: Con calculadoras resuelvan lo siguiente: 777777 x 999999 = Situación problemática o desafío, ¿cuánto será?
Damos un tiempo para que los/as niños/as hagan el cálculo (utilizando la calculadora). Nota.- Cuando se hace cálculos con una calculadora que tiene 8 dígitos, ésta aparece como error, entonces intencionalmente usamos la calculadora para crear necesidad de realizar otro tipo de cálculo. Continuamos; con calculadora no se puede, pero si hacemos el cálculo a mano sería mucho mejor, para ello empezamos con cifras pequeñas:
1x1=1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321
¿qué cálculo sigue ahora?, esperar la respuesta hasta aquí algunos estudiantes ya podrían encontrar el patrón preguntar por el siguiente cálculo. Seguir encontrando los otros cálculos, hasta el que tenga seis dígitos, pedir que escriban la solución.
¿Por qué dieron esta respuesta? Se ve que encontraron el cálculo de otra manera. Solicitar a un estudiante que explique: Se enumera los dígitos: 1, 2 y se
retrocede hasta 1
123456 y retrocedo hasta uno 54321 = 12345654321
Hasta aquí es sólo la introducción, para que los estudiantes, puedan encontrar el patrón.
777777 x 999999 =
Si aun no pueden, continuamos averiguando con una cifra más chica: ahora ¿qué sigue?
7 x 9 = 63 77 x 99 = 7623 777 x 999 = 776223
Hasta aquí, ya se puede sacar el patrón
La clase no debe terminar aquí, hay que buscar la explicación y realizar aplicaciones. Por ejemplo:
888888 x 999999 =
Entonces los estudiantes empezarán a analizar y averiguar cómo se llegó al anterior resultado.
9–7=2 777777 x 999999 = 777776222223
Ahora puede resolver el anterior ejercicio:
Sale de multiplicar 7 x 9 = 63
8 x 9 = 72 88 x 99 = 8712 888 x 999 = 887112
Y aquí ya tiene la regla ¿Cómo resuelve y explica el estudiante?
Uno sale de restar
¿Cómo se explica el 8 y 1?
888888 x 999999 9 – 9 = 1 Baja aquí 9 x 8 = 72 = 888887111112
¿De dónde sale el 7 y 2?
Ahora comprobamos si la regla es correcta con cualquier número multiplicado por 9
444444 x 999999 = 4 x 9 = 36 9-4= 5 444443555556
A estas alturas de la clase los niños/as estarán entusiasmados por seguir probando y averiguando la eﬁcacia de la regla, es importante que expliquen siempre en cada etapa, el por que dan determinadas respuestas.
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, participante del Curso “Métodos de Enseñanza de Matemáticas para Países Suramericanos”, 2009. (Presentado por el Prof. Kozo Tsubota Escuela Anexa a la Universidad de Tsukuba– Japón). Validado en la U.E. Gral. José de San Martín y en capacitaciones a docentes.
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades CONTENIDO: Aplicación del concepto de multiplicación AÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto Grado de Primaria OBJETIVO: Encontrar maneras de contar el número total de puntos en un cuadrado con
cuatro puntos en cada lado, y representar cada manera de contar como una expresión. Interpretar el signiﬁcado de las expresiones.
En esta clase, los estudiantes encuentran el número de puntos en una conﬁguración (arreglo) de puntos, y encuentran las maneras de contar el número de puntos en el arreglo. Algunos estudiantes representan sus maneras de contar usando expresiones y otros interpretan el signiﬁcado de cada expresión.
PROCEDIMIENTO: CONSIGNA: Voy a sacar unos círculos (desordenados), ¿Cuántos son? Dan diversas respuestas. ¿Por qué no pueden contar exactamente? ¿Si están ordenadas pueden contarlas? Ante la respuesta aﬁrmativa, presentar la hoja:
Mirando la ﬁgura siguiente, piensen: ¿Cuántos puntos hay en la ﬁgura?
Por que están desordenadas:
- Muestre la ﬁgura a los estudiantes rápidamente, sólo por un momento, de modo que ellos construyan una imagen del arreglo de puntos de la ﬁgura.
Mostrar nuevamente y volver a preguntar.
Conﬁrman que hay 25 puntos. Piensen en cómo representar la manera de contarlos usando una expresión. (agrupando) Los estudiantes representan sus maneras de contar las expresiones, y otros interpretan sus expresiones. - Cada estudiante debe tratar de representar mediante una expresión su propia manera de contar. - Los estudiantes ven las expresiones hechas por otros estudiantes, y piensan en las interpretaciones de esas expresiones.
1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25
(3 x 3) + (4 x 4) = 25
Concluyen que hay varias maneras de contar, y que para cada expresión hay varias interpretaciones posibles.
Otras expresiones: 6 × 4 + 1 = 25 3 × 8 + 1 = 25 11×2 + 3 = 25
¿Cuántos puntos hay en la ﬁgura?
Encuentren formas de contar
En el centro cuento 3 x 3 y luego agrego 4 veces 4 en las esquinas 4 x 4 = 16 3x3= 16 + = (4 x 4) + (3 x 3) =
Aumentando el multiplicador
Sistematizado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA Sapporo Japón, 2008, validado en la U.E. La Merced A.
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades CONTENIDO: Multiplicaciones AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer año de primaria OBJETIVO: Que los estudiantes descubran la relación entre los productos de un mismo número por otros, a través de la manipulación de material concreto. DESCRIPCIÓN: Es importante que los estudiantes, antes de memorizar la tabla de multiplicación de una determinada cifra, la conceptualicen y entiendan el procedimiento, para ello se manipularán diferentes materiales concretos, planteando un ejercicio sencillo en torno a lo que se observa y manipula, para posteriormente generalizar la regla que relaciona un número con otro. PROCEDIMIENTO: Con diferentes materiales concretos del contexto, por ejemplo bolitas ensartadas, planteamos la siguiente consigna: ¿Cuál sería la expresión matemática que representa este ejemplo? Como cada varilla tiene 3 bolitas y hay cinco varillas, entonces expresamos 3 X 5 = 15 Entonces: ¿cómo podemos calcular la respuesta de 3 X 6? En este punto, los niños/as deben descubrir ellos mismos la respuesta, el maestro orienta el análisis preguntando la diferencia entre un ejercicio que ya saben y otro que todavía no saben, los estudiantes dan su opinión, pueden decir por ejemplo:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15, entonces: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
Otra respuesta puede ser aumentando una varilla Son los niños/as deben encontrar esta parte Se recomienda que en 3er grado, se aborde el cambio de producto, cuando el multiplicador aumenta de uno en uno, este concepto que fue aprendido con el ejemplo de las bolitas en la varilla. 3X5+3=3X6
Dados y fracciones equivalentes
COMPONENTE: Números enteros CONTENIDO: Fracciones con distinto denominador AÑO DE ESCOLARIDAD: Sexto de Primaria OBJETIVO: Convertir fracciones homogéneas y heterogenias a fracciones equivalentes DESCRIPCIÓN: Los Juegos matemáticos constituyen una herramienta de ayuda para el tratamiento de diversos contenidos del currículum de matemáticas, tanto en el nivel primario, Secundaria y en Bachillerato. Hemos visto la utilidad de los juegos en el tratamiento de la diversidad, como recurso motivador para los estudiantes con mayores diﬁcultades y también como origen de posibles investigaciones para estudiantes destacados. También hemos apreciado la relación intrínseca de muchos juegos con los procesos típicamente matemáticos y con las estrategias de resolución de problemas. En particular los juegos permiten potenciar el uso de diversas estrategias como:
t &OTBZPZFSSPS
t .BOJQVMBSZFYQFSJNFOUBS
t &YQFSJNFOUBSZFYUSBFSQBVUBT	JOEVDJS
t 4FHVJSVONÏUPEP
t )BDFSVOSFDVFOUP
t "OBMJ[BSDBNCJPTEFFTUBEP
t %FEVDJSZTBDBSDPODMVTJPOFT
t "OBMJ[BSDBTPTMÓNJUF
t &NQF[BSQPSFMmOBM t &NQF[BSQPSMPGÈDJM
SFTPMWJFOEPVOQSPCMFNBNÈTTFODJMMP
t %FTDPNQPOFSFMQSPCMFNBFOTVCQSPCMFNBT
t 3FTPMWFSQSPCMFNBTBOÈMPHPT
t )BDFSFTRVFNBT
UBCMBT
EJCVKPT
t 6UJMJ[BSVONÏUPEPEFFYQSFTJØOBEFDVBEP
t 4BDBSQBSUJEPEFMBTJNFUSÓB
t $POKFUVSBS
t 3FGPSNVMBSFMQSPCMFNB
PROCEDIMIENTO: Los dados y fracciones equivalentes, es un juego para dos o más jugadores y se necesita un dado cúbico normal (con caras del 1 al 6) para el numerador de la fracción, y un dado cúbico cuyas caras lleven los valores 2, 4, 6, 8, 10 y 12, que se utilizará para el denominador.
Cada jugador elige una fracción y comienza el juego. En su turno, un jugador lanza los dos dados y construye la fracción resultante. Si la fracción es equivalente a la que el jugador eligió, se anota un punto, si no es así, no se anota nada y pasa el turno al siguiente jugador. Gana quien tenga más puntos después de 15 turnos. a) Después de jugar algunas partidas, investiga qué fracción (o fracciones) merece la pena elegir para tener más posibilidades de ganar el juego. b) Volver a jugar después de haber hecho la investigación. ¿Te ha ido mejor ahora?
Cálculo del área de ﬁguras geométricas
COMPONENTE: Cantidades y medida CONTENIDO: Cálculo del área de ﬁguras geométricas con medidas no convencionales. NIVEL: Primario OBJETIVO: Calcular el área de ﬁguras geométricas usando medidas no convencionales como unidad de medida. (Cuadrados, rectángulos y triángulos), para poder encontrar áreas de nuestra vida comunitaria. PROCEDIMIENTO: PRIMERO. Se recuerda con los estudiantes los contenidos aprendidos anteriormente, como son las características de un perímetro, cuadriláteros, cuadrados y rectángulos. SEGUNDO. Explicar cuál será el objetivo de la presente jornada o periodo. TERCERO. Se procede a realizar un juego que consiste en ganar el terreno a la otra pareja.
Cada integrante de la pareja lanza una vez el dado, y el que obtenga el número mayor pinta un cuadrilátero de un solo color. Se vuelve a lanzar los dados y nuevamente el que saque el número mayor pinta de un solo color un cuadrilátero contiguo al anterior pintado. Cada jugador debe pintar de un solo color todos los cuadriláteros. El ganador es el que haya pintado mayor cantidad de cuadriláteros.
CUARTO. Se presenta en la pizarra varias ﬁguras geométricas, pidiéndoles que estimen cual ﬁgura tendrá el área mayor y cuál el área menor en forma oral con todo el curso. QUINTO. Se presentan, las mismas ﬁguras en hojas individuales y se pide que también calculen el área de estas ﬁguras de forma individual, tomando como unidad de medida un casino.
SEXTO: Se socializa los resultados en la pizarra
Título Sistematización de la situación didáctica Cuadro o gráﬁco de las ﬁguras geométricas
SÉPTIMO. Para veriﬁcar su los estudiantes lograron comprender el concepto de área de forma práctica se les pide que resuelvan de forma individual una hoja donde se les pide que comparen el área de dos ﬁguras y puedan establecer la relación entre ambas. OCTAVO. También pedirles que llenes las dos ﬁchas de evaluación de conocimientos.
MATERIA:............................ FECHA:........................ NOMBRE:.................................................................. ¿Cuál de las siguientes ﬁguras tiene mayor área? ¿Cuánto tiene más?
Nombre: OBJETIVO DEL DÍA DE HOY Calcular el área de ﬁguras geométricas usando medidas no convencionales. AUTOEVALUACIÓN: ( ( ( ) 1. Pude encontrar el área de las Geométricas. ) 2. Expliqué mi procedimiento a mis Compañeros. ) 3. Respeté la participación de mis compañeros. OBJETIVO DE LA SIGUIENTE CLASE Conocer la unidad oﬁcial del área (centímetro cuadrado). COEVALUACIÓN Mencionar tres aspectos positivos Mencionar tres aspectos para mejorar ( ( ( ) 1. Encontró el área correctamente. ) 2. Explicó bien el procedimiento. ) 3. Respetó las opiniones de sus compañeros.
La Paz, agosto 24 de 2007
Respuesta:...................................................... .......................................................................
Mis sugerencias para mejorar
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA Tsukuba – Japón, 2009, validad en la U.E. La Merced A y en sesiones de capacitación a docentes de primaria.
COMPONENTE: Figuras CONTENIDO: Triángulo regular AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer grado de primaria OBJETIVO: Identiﬁcar y caracterizar triángulos regulares, dentro del conjunto de triángulos y reforzar el sentido de los niños/as con respecto a creación de ﬁguras DESCRIPCIÓN: Una hoja de papel tamaño A4, carta, etc., en la que a través de dobleces se encuentra lados de un triángulo y se construye un triángulo regular.1 PROCEDIMIENTO: CONSIGNA: Utilizando una hoja de papel, vamos a construir un triángulo regular. (Mostrar y distribuir a cada estudiante) Hoja de papel Trazamos: Trazo en pizarra
Primero, doblemos en la mitad, a lo largo
Simultáneamente trazamos, una línea perpendicular…
Tomamos como base Teniendo un vértice en la esquina derecha de abajo, ésta tiene que sobreponerse a la línea Marcar la esquina de abajo, y luego el punteada del medio. Hacer el doblez. vértice superior
La hoja no tiene esta línea todavía, también con esto obtenemos tres ángulos iguales tiene que tener ese doblez. marcar la base y el otro lado obtenido Para ello doblar a lo largo del borde y
Su construcción se aplica para la elaboración del tetraedro, ya en sexto grado.
Trazo en pizarra
Hacemos lo mismo para encontrar el otro lado:
Con este trabajo se sabe que la línea de esta base y el lado encontrado son congruentes. Consideramos otra vez: La base es congruente con los dos lados encontrados..
en consecuencia resulta que los tres bordes son iguales.
La caja proporcional
Sistematizado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA Sapporo, 2008, validado en la U.E. La Merced A.
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades CONTENIDO: Proporciones AÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto año de primaria OBJETIVO: Descubrir el signiﬁcado de las razones y proporciones, a través de la manipulación de objetos dentro de una caja, para expresarlas matemáticamente. DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en la manipulación de objetos dentro de una caja, aumentando la cantidad de los mismos; pero manteniendo la proporción. PROCEDIMIENTO: En una caja colocamos, por ejemplo, tres tipos de vestimenta: 1 cartera, 3 sombreros y 2 zapatillas. A continuación sumamos los objetos (vestimenta), en este caso: 6. De estos 6 objetos, 1 es una cartera, tres son sombreros y dos son zapatillas, por tanto la proporción es: 1 : 3 : 2 Caja 1 A modo de plantear el desafío a los estudiantes, lanzamos la consigna: Supongamos que esta vestimenta es de una sola persona, consideremos que cada una de las personas tiene la misma cantidad de carteras (1), de sombreros (3) y de zapatillas (2), deseamos aumentar el número de vestimentas adecuadamente y a la vez seguir manteniendo la misma proporción. Si queremos ahora tener 12 vestimentas; pero que se mantenga la misma proporción (distribución). Al mencionar 12 vestimentas, probablemente los estudiantes razonen utilizando la palabra “doble”, ya que sabemos que en la caja tenemos 6 vestimentas y ahora queremos 12. Pero además, indica el problema que se desea mantener la misma proporción, entonces lógicamente se debe doblar la cantidad de carteras, de sombreros y de zapatillas de la siguiente manera:
Caja 2 Entonces se establecen, junto a los estudiantes las siguientes razones o proporciones: Proporción entre carteras y el total de vestimentas en ambas cajas = 1 — 8 3 — 8
Proporción entre sombreros y el total de vestimentas en ambas cajas =
Proporción entre zapatillas y el total de vestimenta en ambas cajas =
Otra manera de establecer las proporciones es:
Se ha decidido, como en el ejemplo anterior incrementar la vestimenta de manera proporcional para que alcance para dos personas ¿en cuánto debe incrementarse cada tipo de vestimenta? 1 3 2 1 3 2 — + — + — = 1 Multiplicamos esta ecuación por la cantidad requerida —2 + — 2 — 2 = 2 6 6 6 6 6 6 2 6 4 El resultado será: — + — + — = 2 6 6 6
Vale decir: 2 carteras, 6 sombreros y 4 zapatillas.
Por supuesto que esta segunda forma será más útil a la hora de realizar cálculos con cantidades más grandes. Veamos: Tres hermanos deben aportar Bs. 580 para pagar el impuesto de su casa, decidieron hacerlo de manera proporcional al salario de cada uno. Si Pablo gana Bs. 3200, María gana Bs. 2560 y Fernando gana Bs. 1989 ¿Cuánto debe aportar cada uno de ellos?
3200 + 2560 + 1989 = 7749 3200 7749 3200 7749 + 2560 7749 2560 7749 + 1989 7749 1989 7749 = 1
239,515 + 191,612 + 148,873 = 580 Pablo María Fernando
Sistematizado por: Prof. Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario de JICA – PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, con el Programa “Me gusta Matemática”, gestión 2009, validado en la U.E. San Miguel de El Palomar
COMPONENTE: Números Naturales. CONTENIDO: Multiplicación y división de números naturales AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercero de Primaria OBJETIVO: Practicar los conceptos de múltiplo y divisor, manejar divisores comunes a dos números y realizar el Cálculo mental. Descripción del material de Juego:
Baraja formada por 51 cartas: 48 cartas cada una de las cuales tiene un número desde el 1 hasta el 48. 3 comodines, cada uno de ellos sirve para el valor que quiera su poseedor en cada jugada.
tReglas del juego Por medio de esta baraja se pueden trabajar los conceptos de múltiplo y divisor de muchas maneras. Presentamos a continuación dos posibilidades, que llamamos Juego 1 y Juego 2, de los cuales daremos las reglas por separado:
JUEGO 1 Se utilizan sólo las 48 cartas que no son comodines. Puede variar el número de jugadores, pero es aconsejable que sea entre 4 y 6. Un jugador por turno, reparte cuatro cartas a cada jugador y descubre una boca arriba: será la llamada carta muestra. El resto de las cartas las coloca boca abajo en la mesa. Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte las cartas. Puede colocar una sola carta a la derecha o a la izquierda de la carta muestra, siempre que tenga algún divisor en común con ella (divisor que tiene que explicitar al colocarla); asimismo puede colocar la carta hacia arriba o hacia debajo de la carta muestra si, respectivamente, es múltiplo o divisor de la misma. Si no tiene ninguna carta que satisfaga las condiciones del punto anterior, roba una carta del montón y la coloca si puede. Si no, pasa el turno al jugador de su derecha. El jugador siguiente procede de la misma manera, pero puede hacerlo con cualquiera de las dos cartas que haya en los extremos horizontales de la cadena que se vaya formando. El ganador del juego es el primer jugador que coloca todas sus cartas o el que menos cartas tenga en su poder cuando ya nadie pueda colocar cartas. Si la carta muestra que aparece es un número primo, las diﬁcultades de colocar cartas son mayores. En ese caso, además de las posibilidades descritas, se pueden colocar debajo de
la carta muestra, y tapadas por ella, cartas que representen a otros números primos. (Esta regla puede no explicitarse, y únicamente ponerse en circulación cuando un grupo de jugadores –que puede ser toda la clase– comente que hay algunos números que hacen más difícil el juego, y se llegue a caracterizar que esos son los números primos). t t t JUEGO 2 Se utilizan todas las cartas, incluidos los comodines. Puede variar el número de jugadores, pero es aconsejable que sea entre 4 y 6. Un jugador por turno, reparte cinco cartas a cada jugador y descubre una boca arriba: será la llamada carta muestra. El resto de las cartas las coloca boca abajo en la mesa, con la primera levantada sobre la mesa. El objetivo del juego es lograr agrupar las cinco cartas, bien en un grupo de cinco o en uno de tres y otro de dos; en ambos casos con la condición de que cada uno de los grupos tenga algún divisor común con la carta muestra. Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte. Si no tiene todas las cartas agrupadas, puede elegir entre coger la carta colocada boca arriba o robar la primera del montón; después tira boca arriba sobre la mesa una de las seis. A partir de ese momento, cada jugador tiene la posibilidad de elegir la carta que tira el jugador anterior a él o de robar una carta del montón. El juego termina cuando uno de los jugadores tiene todas las cartas agrupadas o cuando se acabe el montón. En el primer caso, el jugador que ha agrupado todas recibe 10 puntos; los demás 4, 3, 2 ó 0 puntos, según el número de cartas agrupadas. Si se ha acabado el montón, se puntúa sólo las cartas agrupadas (4, 3, 2 ó 0 puntos). Las partidas se realizan a un número preﬁjado de puntos o de partidas.
Si la carta muestra es un número primo, y puesto que las diﬁcultades son mayores, se añade como posibilidad para agrupar el que todas las cartas sean números primos, o bien un grupo de dos o tres primos y el resto múltiplos del primo que ha aparecido. (Esta regla puede no explicitarse, y únicamente ponerse en circulación cuando un grupo de jugadores –que puede ser toda la clase– comente que hay algunos números que hacen más difícil el juego, y se llegue a caracterizar que esos son los números primos). Posibles variantes Hay muchas posibilidades de realizar juegos con las cartas de esta baraja (o parte de la misma) para trabajar los conceptos de múltiplo y divisor. Una posible variante que permite tratar los restos potenciales es la siguiente: t Se juega con la misma dinámica del Juego 1, pero para colocar cartas a derecha o izquierda hay que cumplir la condición de que la suma de los números de las cartas sea múltiplo de un número preﬁjado de antemano para cada partida (y que se podría limitar a que estuviera comprendido entre 2 y 10). Gana el que acaba sus cartas o el que tiene menos cartas al acabarse el montón. Es conveniente, tras jugar algunas partidas con el mismo número (o variándolos), discutir entre todos cuáles son las cartas que se quedan en la mano.
Multiplicación con tarjetas numéricas
Sistematizado por el: Prof. Oscar Quintana, ex – becario PROMECA – JICA, Tegucigalpa, Honduras. Proyecto Regional “¡Me gusta matemática!”, gestión 2008.
COMPONENTE: Números Naturales CONTENIDO: Operación aritmética de la multiplicación AÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto de primaria OBJETIVO: Conocer la manera de encontrar el resultado de la multiplicación D00 y C00 (decenas y centenas con ceros) DESCRIPCIÓN: (M) tarjetas numéricas: 60 de 1, 40 de 10 (N) las mismas que M. recurso; tabla de multiplicar PROCEDIMIENTO: Plantear un ejercicio (decena con ceros por otro cualquiera) como el siguiente: 20 x 23 = 460 UVE de Gowin2 PENSAR PREGUNTAR HACER ¿Qué es multiplicar? Multiplicar es encontrar el D0 x DU = CD0 producto de dos números 20 x 23 = 460 llamados Multiplicando y 20 Multiplicador x 23 multiplicando multiplicando. Suma abreviada de un mismo Número 60 suma abreviada de 3 40 suma abreviada de 2 460 Producto TÍTULO: Multiplicar 20 X 23 = 460 23 X 20 = 460 El principio del cálculo vertical de DU X DU es de su composición en dos partes; es decir DU X DO y DU X U y luego se suman los dos productos (ejemplo 13 X 21 = 13 X 20 + 13 X 1 = 260 + 13 = 273). Por lo tanto, antes de tratar el tipo general del cálculo vertical de la multiplicación por DU X CDU, hay que enseñar los casos con DO y COO.
Manera de explicar porqué se agrega 0 si se multiplica por 10
Si se multiplica por 10, se agrega 0 (ejemplo: 3 X 10 = 30), para que este proceso no sea mecánico, es necesario aclarar el mecanismo. Por ej. 3 X 10 quiere decir: 10 grupos de 3 objetos. Como 100 = 10 X 10, utilizando la propiedad asociativa tenemos, por ejemplo. 3 X 100 = 3 X (10 X 10) = (3 X 10) X 10 = 30 X 10 = 300 Problema: Si los 20 estudiantes del curso, vamos de excursiones, y cada uno debe pagar Bs. 23 por los pasajes, ¿Cuántos Bs. (Bolivianos) se pagarán por los 20 estudiantes? PLANTEAMIENTO: En el planteamiento, explicamos y conceptualizamos cinco aspectos considerados para el análisis sistemático de la información (problema matemático).
20 pasajes = x Bs. Cada pasaje = 23 Bs.
20 x 23 DO X DU
20 X 23 60 40 460
Pagamos 460 Bs. por los 20 pasajes
RAMOS LEANDRO, Anibal, “Instrumentos Esquemáticos de Aprendizaje”, 2002 Editorial El Cerebro Jr. Azangaro N° 712 – Lima Perú
DATOS: Luego de la lectura comprensiva del problema a resolver se escriben los datos numéricos y nominales, también la incógnita. GRÁFICO: Es necesario graﬁcar para focalizar la idea. FÓRMULA: Debemos comprender y escribir la relación de operación de los dato en forma simbólica y concreta. OPERACIÓN: Realizar la operación de multiplicación, luego escribir la respuesta. TARJETAS NUMÉRICAS3 Colocamos sobre el pizarrón dos ﬁlas de tarjetas numeradas de 10 y de 1. Ordenamos, diez columnas de tarjetas numeradas de 10 y de 1. Luego observamos y analizando las tarjetas numeradas efectuamos la multiplicación horizontal de cada grupo de tarjetas numeradas y los escribimos debajo de las tarjetas. Hacemos la multiplicación asociativa.
10 10 1 1 1 1 10 10 1 1 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1
23 x 2 =46
2323 x 20 = (23 x 2) x 10 = 460
PRÁCTICA ESTRUCTURADA DE LA TABLA DE MULTIPLICAR 20 X 23 En la tabla de multiplicar, observamos que son diferentes los resultados o productos del 20 y de 23. En la Tabla del 20, los productos aumentan de 20 en 20 desde el multiplicando 1 hasta el 23 y en la tabla del 23, observamos que los productos aumentan el doble de DU, desde el multiplicando 1 hasta el 20.
TABLA DEL 20 TABLA DE 23
20 x 1 = 20 20 x 2 = 40 20 x 3 = 60 20 x 4 = 80 20 x 5 = 100 20 x 6 = 120 20 x 7 = 140 20 x 8 = 160 20 x 9 = 180 20 x 10 = 200
20 x 11 = 220 20 x 12 = 240 20 x 13 = 260 20 x 14 = 280 20 x 15 = 300 20 x 16 = 320 20 x 17 = 340 20 x 18 = 360 20 x 19 = 380 20 x 20 = 400 20 x 21 = 420 20 x 22 = 440 20 x 23 = 460
23 x 1 = 23 23 x 2 = 46 23 x 3 = 69 23 x 4 = 92 23 x 5 = 115 23 x 6 = 138 23 x 7 = 151 23 x 8 = 184 23 x 9 = 207 23 x 10 = 230
23 x 11 = 253 23 x 12 = 276 23 x 13 = 299 23 x 14 = 322 23 x 15 = 345 23 x 16 = 368 23 x 17 = 391 23 x 18 = 414 23 x 19 = 437 23 x 20 = 460
PROMETAM FASE II, Segunda Edición 2006 “Guía para maestros – Matemática 4to grado pag. 33. Secretaría de Educación – República de Honduras Universidad Pedagógica Francisco Morazán JICA – Agencia de Cooperación Internacional de Japón.
Isoda, M., Arcavi, A. & Mena Lorca, A. [Eds.] (2007). “El Estudio de Clases Japonés en Matemáticas”. Su importancia para el mejoramiento de los aprendizajes en el escenario global. Santiago de Chile: Ediciones Universitarias de Valparaíso. PROMETAM Fase II, (2006), Guía para maestros - Matemática, Honduras, 2da. Edición, Secretaría de Educación – República de Honduras, Universidad Pedagógica Francisco Morazán & JICA – Agencia de Cooperación Internacional de Japón. Ramos Leandro, A. (2002). “Instrumentos Esquemáticos de Aprendizaje”. Lima, Perú: Editorial El Cerebro. Suzuki, F. (2008). Conferencia “Figuras y relaciones cuantitativas”, Sapporo, Japón. Takao, S. (2009). Conferencia “Relaciones y números”, Escuela Anexa a la Universidad de Tsukuba – Japón. Tsubota, K. (2009). Conferencia “Elaboración de materiales didácticos”. Escuela Anexa a la Universidad de Tsukuba – Japón. Yamamoto Baldín, Y. (2009). Seminario taller “Estrategias de enseñanza de la matemática”. Santiago de Huata, La Paz – Bolivia Yasuhiro Hosomizu (2009). Video de clase “Nuevas Formas de Cálculo”. Escuela Anexa a la Universidad de Tsukuba – Japón.
Prólogo ............................................................................................................................................. Presentación............................................................................................................................... Introducción............................................................................................................................... Agradecimientos ................................................................................................................... División temática de los contenidos matemáticos en primaria (Japón)................................................................................................................... Estructuración de las clases...................................................................................... Cómo explican y estructuran su clase los maestros/as japoneses ....................................................................................................................................... ¿Cuántos bloques hay? ................................................................................................. ¡Cómo aprender la multiplicación! ................................................................ Multiplicaciones divertidas ...................................................................................... La construcción del pensamiento multiplicativo ........................... Regularidades........................................................................................................................... Relación entre números ............................................................................................... Problemas de longitud y espacialidad ........................................................ Misterios del cálculo de la multiplicación .............................................. Introducción al estudio de la estadística en nivel primario Fracciones equivalentes ................................................................................................ Explorando el desarrollo de un prisma...................................................... El tetraedro .................................................................................................................................. Cálculos interesantes de sustracción............................................................. Patrones en la multiplicación ............................................................................... Arreglo de puntos ................................................................................................................ Aumentando el multiplicador.............................................................................. Dados y fracciones equivalentes ........................................................................ Cálculo del área de ﬁguras geométricas................................................... Dobleces .......................................................................................................................................... La caja proporcional........................................................................................................ Múltiplos y divisores......................................................................................................... Multiplicación con tarjetas numéricas ....................................................... Referencias bibliográﬁcas ..........................................................................................
3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 15 16 19 22 23 25 28 29 31 33 35 37 39 40 41 43 45 47 49 51
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