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Timestamp: 2017-06-22 15:06:20+00:00

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Apuntes Impresos Mate 2 by jose hernández - issuu
MATEMATICAS IIM.C. Ana María Perales Chío
M.C. José Hernández PachecoEnero de 2011.CONTENIDO
UNIDAD I......................................................................................................................... 6
LOS ANGULOS ........................................................................................................... 6
SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULOS ..................................................................... 6
Sistema Sexagesimal ............................................................................................... 6
Resolución de problemas que impliquen grados decimales y sexagesimales. ......... 7
Ejercicios: ................................................................................................................. 7
Sistema Circular ....................................................................................................... 8
Resolución de problemas que impliquen radianes ................................................... 8
Ejercicios: ................................................................................................................. 8
CLASIFICACION DE LOS ANGULOS ......................................................................... 9
Actividad: ................................................................................................................ 11
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida. ........................................... 11
Actividad ................................................................................................................. 12
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros
ángulos. .................................................................................................................. 14
Ángulos entre paralelas cortadas por una secante ................................................. 16
Actividad ................................................................................................................. 21
Actividad ................................................................................................................. 22
Actividad ................................................................................................................. 23
UNIDAD II...................................................................................................................... 24
TRIANGULOS ............................................................................................................ 24
CLASIFICACION Y CONSTRUCCION DE TRIANGULOS..................................... 25
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados ..................... 25
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos interiores.
Actividad1 ............................................................................................................... 27
Actividad ................................................................................................................. 28
PROPIEDADES Y TEOREMAS APLICABLES A TRIANGULOS .............................. 28
Principales teoremas aplicables en los triángulos .................................................. 28
Teorema de los ángulos interiores ............................................................................. 282Actividad ................................................................................................................. 30
Actividad: ................................................................................................................ 31
Actividad ................................................................................................................. 32
PRINCIPALES PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS .......................................... 35
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIANGULO............................................... 39
Mediatriz ................................................................................................................. 39
Actividad ................................................................................................................. 39
Alturas y ortocentro ................................................................................................. 41
Bisectrices e incentro .............................................................................................. 42
Medianas y baricentro............................................................................................. 42
Recta de Euler ........................................................................................................ 44
Actividad ................................................................................................................. 44
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA .............................................................................. 45
Construcción de figuras congruentes ..................................................................... 45
Construcción de figuras semejantes ....................................................................... 46
TEOREMA BASICO DE PROPORCIONALIDAD....................................................... 47
Resolución de problemas que impliquen la congruencia y semejanza ................... 50
Actividad ................................................................................................................. 50
Actividad ................................................................................................................. 51
Actividad ................................................................................................................. 52
Teorema de Pitágoras ............................................................................................ 53
Resolución de problemas y ejercicios ..................................................................... 54
Actividad: 1 Resolución de problemas .................................................................... 56
Actividad ................................................................................................................. 57
UNIDAD III..................................................................................................................... 59
LA TRIGONOMETRIA Y SUS PRINCIPALES APLICACIONES ................................ 59
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ...................................................................... 60
Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. ........................................... 60
Funciones trigonométricos directas o elementales. ................................................ 60
Actividad ................................................................................................................. 653Actividad ................................................................................................................. 66
Actividad ................................................................................................................. 70
Actividad ................................................................................................................. 71
RESOLUCION DE TRAINGULOS RECTANGULOS .................................................... 73
Actividad ................................................................................................................. 74
Resoluciรณn de problemas diversos ......................................................................... 79
Actividad ................................................................................................................. 79
UNIDAD IV .................................................................................................................... 81
TEMAS PRELIMINARES DE GEOMETRIA ANALITICA ........................................... 81
PERIMETRO Y AREA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMETRICAS .......... 81
Actividad ................................................................................................................. 85
COORDENADAS DE UN PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA
RAZON DADA ........................................................................................................ 86
Actividad ................................................................................................................. 86
PUNTO MEDIO ...................................................................................................... 87
Actividad ................................................................................................................. 89
Actividad ................................................................................................................. 90
Punto de intersecciรณn ............................................................................................. 91
Puntos en cualquier posiciรณn .................................................................................. 92
Angulo de intersecciรณn y pendiente de una recta ................................................... 93
Conceptualizaciรณn .................................................................................................. 94
Actividad ................................................................................................................. 94
Angulo entre dos rectas .......................................................................................... 96
Actividad ................................................................................................................. 98
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ........................................................... 99
Actividad ............................................................................................................... 103
UNIDAD V ................................................................................................................... 104
LINEA RECTA ......................................................................................................... 104
FORMACION DE LA ECUACION DE LA RECTA ................................................ 105
Actividad ............................................................................................................... 1084Actividad ............................................................................................................... 108
FORMA EN FUNCION DE LA PENDIENTE Y LA ORDENADA AL ORIGEN ...... 109
Actividad ............................................................................................................... 110
FORMA SIMETRICA ............................................................................................ 110
Forma segmentaria de la ecuaci贸n de la recta (Ecuaci贸n sim茅trica) .................... 110
Actividad ............................................................................................................... 112
DISTANCIA DE UN PUNTO EN UNA RECTA ..................................................... 113
Caracter铆sticas de la recta .................................................................................... 115
Actividad ............................................................................................................... 116
Enlaces externos...................................................................................................... 1175UNIDAD I
LOS ANGULOSUNIDAD DE COMPETENCIA
Construye e interpreta relaciones entre ángulos y figuras geométricas, a través del
análisis de las relaciones de sus elementos, para construir modelos geométricos y
resolver problemas, mediante el trabajo colaborativo y la participación propositiva en un
clima de respeto y diálogo.
Los antiguos Egipcios dependían exclusivamente de las aguas del río Nilo para
efectuar sus trabajos agrícolas. El Nilo se desbordaba año con año, inundando
grandes extensiones de tierra, la cual quedaba así apta para los cultivos. En las
riveras del río se medían y se distribuían las distintas parcelas para ser
asignadas a los agricultores.
Este proceso debía repetirse año con año, pues cada inundación borraba las
medidas del año anterior.
Así poco a poco, se fue perfeccionando la técnica de parcelas y nació la
Geometría, que etimológicamente significa medición de tierras. Los Egipcios
pues crearon la Geometría y la desarrollaron a tal grado que aun hoy tenemos
como mudos testigos de ese desarrollo a las grandiosas pirámides de Egipto,
cuya antigüedad supera los 5,000 años.SITUACION DIDACTICA
¿Sabías qué los ángulos son esenciales en el movimiento de Tú cuerpo y para Tú
Investiga que tipo de ángulos se forman en el momento de caminar, al momento de
introducir alimento a tu boca, al escribir, etc.
SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULOS
Existen 2 sistemas fundamentales para la medición de ángulos, en nuestro curso
veremos el sexagesimal y el cíclico.
Sistema Sexagesimal: la unidad de medida en este sistema, es el grado (°) que
equivale a 1 360 parte de la circunferencia.6a) Concepto de grado, minuto y
Cada grado se divide a su vez en
60 partes iguales llamadas
minutos (’) y cada minuto se
divide también en 60 partes iguales llamadas segundos (’’), por lo tanto un grado es
igual a 3600 segundos.
1 grado=1
3601 minuto =1
601 segundo =1'
601 grado= 3600 segundo
Resolución de problemas que impliquen grados decimales y sexagesimales.
Transformar a decimales:
Ejemplo: 135°20’ 15’’= 135.3375°
+.3375+.25 60=.25
135.3375 60= 0.3375
Ejercicios:Transforma a decimales los siguientes ángulos1) 112°20’
2) 138°14’
3) 170°40’4) 240°25’15’’
5) 260°40’20’’
6) 12°12’20’’7Sistema Circular
Medida cíclica o circular es el ángulo central de una circunferencia cualquiera cuyos
lados interceptan un arco de longitud igual a la de su radio, la unidad de medida es el
a)Radian: El ángulo formado al tomar el radio y extenderlo sobre
la circunferencia.1 radian=1
21 revolución = 2
Radianes1°=
180360°180°90°60°45°30°15°10°1°2
346
1802radianes1°= 0.017453 radianeso bien
o bien1 radian =180grados1 radian= 57.2956°= 57.3°Resolución de problemas que impliquen radianesEjercicios: Expresar a radianes cada uno de los siguientes ángulos:
A= 75° _________ radianes
B= 37.24° _________ radianes
C= 58°25’= ________ radianes
D= 25.29°= ________ radianes8E= 115.23°= ________ radianes
F= 112.33°= ________ radianes
G= 138.23°= ________ radianes
H= 170.66°= ________ radianes
I= 139.3375°= _______ radianes
J= 240.42°=________ radianesL= 12.20°=________ radianesCLASIFICACION DE LOS ANGULOSDefinición: Se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos rectas que se
cortan en un punto. Las rectas son los lados del ángulo y el punto donde se cortan se
llama vértice, y se representan por tres letras mayúsculas, o bien por una minúscula
dentro de rectas.a
<A<aA
ф<<фC
B<CBAModo de medir un ángulo.Los ángulos suelen medirse en sentido positivo (en sentido contrario a las manecillas
del reloj) o negativos (en sentido de las manecillas del reloj) con un instrumento
llamado transportador.
-70°<= -70°Angulo (+) de 48°a
48°< a = -48°Angulo (-) de 140°
bc-140°
40°< b = -140°
< c = 40°
Angulo (+) de 60°a< a = 60°60°10Actividad:Consultar la clasificación de los ángulos según su amplitud
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida.Ángulo Nulo.
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes,
por lo tanto su abertura es nulo, o sea de 0°.a) Ángulo Agudo.
Es el ángulo promedio por dos semirrectas con amplitud
mayor de 0° y menor de 90°b) Ángulo Recto.
Un ángulo recto es de amplitud igual a 90°. Los dos lados
de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.c) Ángulo Obtuso.
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a 90°
menor a 180°.y11d) Ángulo llano, extendido o colineal.
El ángulo llano tiene una amplitud equivalente a
180°Ángulo completo o Perigonal.
Un ángulo Perigonal tiene una amplitud igual a 360°.Ángulo Cóncavo.
Es aquel que mide más de 180° y menos de 360°.Ángulo Convexo.
Es aquel que mide más de 0° y menos de 180°Actividad: traza los ángulos siguientes:
1) Angulo PQR 75°
2) Ángulo A 40°
3) Ángulo M 115°
4) Ángulo π 135°125) ﾃ］gulo QPR
2.-Con un transportador medir los siguientes ﾃ｡ngulos hasta el grado mﾃ｡s prﾃｳximo y
anotar la medida de cada uno:A
AAA13Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a
ángulos.(Adyacentes,
vértice)otroscomplementarios, suplementarios, conjugados, opuestos por ela) Los ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado
común, y los otros dos están situados a una y otra parte del lado común.CBOA
< AOB
< BOAb) Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos que tienen el vértice común y los
lados de uno son la prolongación del otro. En dos rectas que se cortan, los
ángulos opuestos por el vértice son iguales y los ángulos adyacentes son
suplementarios.c
dc) Ángulos complementarios: Son aquellos cuya suma es igual a 90°50°
a14d) Ángulos Suplementarios: Son aquellos cuya suma es igual a 180°105°75°
bad.) Ángulos conjugados: conjugados externos e internos:
Son dos ángulos externos a las rectas y del mismo lado de la transversal. También se
les conoce como colaterales externos.Son dos ángulos internos a las dos rectas y del mismo lado de la transversal. También
se les conoce como colaterales internos.15Ángulos entre paralelas cortadas por una secante
(Correspondientes alternos, internos, externos y opuestos por el vértice)
Dos rectas paralelas cortadas por una secante forman 8 ángulos (cuatro internos y
cuatro externos):Ángulos Internos: 2, 3, 5, 8
Ángulos Externos: 1, 4, 6, 7a) Ángulos Correspondientes: son dos ángulos situados del mismo lado de la
transversal (uno interno y otro externo) y tienen la propiedad de ser
congruentes, es decir, sus medidas son iguales.
1 es correspondiente al52 es correspondiente al63 es correspondiente al74 es correspondiente al816b) Ángulos Alternos Internos: son dos ángulos situados a uno y otro lado de la
transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos) y
además son iguales:
2 es alterno interno al83 es alterno interno al5c)Ángulos Alternos Externos: son los ángulos situados
a uno y a otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos)
y además son congruentes:1 es alterno externo al74 es alterno externo ald) Ángulos Colaterales Internos: son dos ángulos situados del mismo lado de la
transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos) y son
suplementarios (su suma es igual a 180°):2 es colateral interno al53 es colateral interno al17e) Ángulos Colaterales Externos: son dos ángulos situados del mismo lado de la
transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos) y son
suplementarios:1 es colateral externo al64 es colateral externo al7f) Ángulos opuestos por el vértice:
Son aquellos que tienen el vértice común y los lados de uno son la prolongación del
otro. En dos rectas que se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales y los
ángulos adyacentes son suplementarios.c
dg) Ángulos adyacentes:
Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado común y un vértice común.18Ejemplos:
D1.- En las siguientes figuras:
C35°< ABC = 115°
< ABD = 35°
< DBC = 80°A
< ABC = 20°
<ABD = 90°
< DBC = 70°70°BA< AOC = 75° = m
< COB = 105°___ = n
nm = 75°
ABEjercicios: Resolver los siguientes problemas
Felipe está construyendo dos rampas como la que se ve en la figura. Si se coloca una
sobre la otra tendrán ángulos de elevación de 12° y 4x de grado respectivamente, y la
suma de los ángulos es de 68°. ¿Podrás ayudarle a encontrar la elevación de las
rampas?68°
12°19En la siguiente figura L₁ // L₂ además que la medida del <BFD = 115°, encontrar la
medida de los demás ángulos.
CD115°
ABℓ₁GH ℓ₂En la figura la recta L₁ // L₂, además las líneas G y E son transversales y el ángulo 12,
mide 85° y el ángulo 14, 35° y el ángulo 16, 120°.<1 __60°__
<2 _______
<3 __145°_
<4 ______
<5 ______
<6 __60°__
<7 ______
<8 ______20En la ciudad de Tijuana, se planea construir un camino que atraviese las vías del tren
como se muestra en la figura si el ángulo 1 mide 72° encuentra la medida del <4Vías del tren
°472°
1Actividad: Calcular el valor de x y de y en cada uno de los casos, y
fundamentar las relaciones establecidas.a)b)21Actividad:En las siguientes figuras, determinar los รกngulos que se piden:1)2)3)22Actividad: para la próxima clase: investigar sobre el triangulo, definición,
clasificación de acuerdo a sus lados, clasificación de acuerdo a sus
ángulos, líneas de un triangulo.23UNIDAD II
TRIANGULOSUNIDAD DE COMPETENCIA
Construye e interpreta modelos geométricos relacionados con los triángulos, a través
del análisis de sus principales características y propiedades, para resolver problemas
reales o hipotéticos, fomentando el trabajo colaborativo y la participación autónoma y
respetuosa.SITUACION DIDACTICA
En la arquitectura e ingeniería utiliza en la construcción de sus estructuras, figuras
triangulares. ¿Sabes porque razón?*Triángulo: es una superficie trilateral, es decir, tiene 3 ángulos y por lo tanto 3
Sedesignaporelsímbolo para singular ypara plural.Para nombrarlo se designan tres letras mayúsculas en los vértices, o bien, con un
número romano colocado en el centro d la figura:24CLASIFICACION Y CONSTRUCCION DE TRIANGULOS
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de
sus lados.Triángulo Equilátero: Es aquel cuyos lados tienen la misma
longitud (los tres ángulos internos miden 60°).Triángulo Isósceles: Son aquellos que tienen dos lados de la
misma longitud y uno desigual.Triángulo Escaleno: Es aquel triángulo en el que
todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un
triángulo escaleno no hay ángulos con la misma
medida).En cualquier triángulo la suma de dos de
sus lados, cualquiera que estos sean,
siempre será mayor que la medida del tercer
lado25Clasificación de los triángulos de
interiores.acuerdo a la medida de susángulos(Triangulo rectángulo, Oblicuángulos, acutángulo, obtusángulo)Triángulo Rectángulo: es el que tiene un ángulo recto, o
sea que mide 90°; el lado opuesto al ángulo recto se llama
hipotenusa y a los lados que forman el ángulo recto se les
llama catetos:Triángulo Oblicuángulo: Es aquel que tiene un ángulo obtuso (es un ángulo que mide
más de 90°) y los otros dos agudos (menores
90°)Los triángulos acutángulos son aquellos en los cuales
sus tres ángulos interiores miden menos de 90°. El
triángulo equilátero es un caso particular de triángulo
acutángulo.26Ejemplo:
1.-calcula los lados y los ángulos faltantes en cada
triangulo de acuerdo a su clasificación
∟A= 60°
∟B= 60°
∟C= 60°Lado a = 10cm
Lado c= 10cm
Bb) triangulo Isósceles
∟A= 70°
∟B= 40°15cm
°∟C= 70°
A180°-40° = 140°/2 = 70°C
10cmActividad1: Realiza un paisaje en collage donde se muestren los triángulos
estudiados. (Puedes usar recortes de revista, hojas de colores usando tu
2,- Construye un triangulo equilátero
Toma tres hojas de papel cuadradas y alinéalas como se indica en la siguiente figura.
Marca con un punto G con lápiz.
G273.- Haz un doblez desde R pasando por G y desde E pasando por G. el triangulo GER
es un triangulo equilátero.
Actividad: 4- Construye un triangulo isósceles.
5.- Construye un triangulo escaleno.PROPIEDADES Y TEOREMAS APLICABLES A TRIANGULOSPrincipales teoremas aplicables en los triángulos
Teorema de los ángulos interiores“La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es igual a
Teorema de los ángulos interiores: la suma de los ángulos interiores de un triángulo
es igual a dos ángulos rectos, o
sea de 180°.
Demostración:28Ejemplo:
I- Encontrar el o los ángulos faltantes.<C = 180°- (40°+50°) = 90°
<C = 90°2.- Encuentra el valor de los ángulos internos
2X + 3X + 4X = 180°2X = 2 (20°) = 40°9X= 180°3X = 3 (20°) = 60°X= 180°4X = 4 (20°) = 80°9
X= 20°29Actividad: Encuentra el valor de los รกngulos interiores.30Teorema de los ángulos exteriores.
Teorema del ángulo exterior:
Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes a él.∟α =∟B + ∟C
∟β= ∟A + ∟C
∟ɤ= ∟A + ∟BActividad: En papel de colores dibuja un triangulo y después corta los
picos del triangulo y únelos para comprobar que formen 180°. Guíate por
la siguiente figura.Teorema del ángulo exterior
"Lasuma de las medidas de los 3 ángulos externos de un triangulo
cualquiera siempre es igual a 360º31120° +120° +120° = 360°Actividad: Calcula la medida de los ángulos que se indican∟l _______
∟k______
∟J_______-2)p = __________
N= __________
Q= __________323)
S = __________4)
X ´ = __________
Y ´= __________
5) Juan está construyendo un moño formado por dos triángulos como el que se
muestra en la figura. Sabemos que los segmentos AB y DE son //, y la medida del <
DEC = 78° y la medida del ángulo CDE = 38°. ¿Pedirás ayudar a encontrar las medidas
de todos los ángulos que faltan?33A
38째DC78째
EB6)X = __________
Y = _______7)X = __________
Y = __________8)A = __________
C = __________34PRINCIPALES PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS
La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles
La altura AH relativa al lado desigual del
triángulo isósceles es bisectriz del ángulo, por
tanto dividirá al triángulo isósceles en dos
2.- Triángulo isósceles:En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.Ejemplo:
1.- Comprueba que la siguiente figura es un triángulo.876Solución:
6 +7 = 13 > 8
6 + 8 = 14 >7
7 + 8 = 15 > 6
Conclusión: si es un triángulo ya que al sumar las medidas de dos de sus lados,
cualquiera que sean, siempre se obtiene una medida mayor que la medida de un tercer
lado.35En todo triángulo, a mayor lado se opone siempre mayor ángulo
En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes…
Se llama figuras congruentes a aquellas que tienen la misma forma y el mismo
tamaño, de manera que al colocar una sobre la otra, parecen una sola. El símbolo de
congruencia es:Postulados De Congruencia
a) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruente dos lados y el
ángulo comprendido (l, a, l, l, a, l,).b) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos
y el lado correspondido (a, l, a, a, l, a,).36c) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres
lados (l, l, l, l, l, l,).1.
2.Ejercicio 1: Congruencia
1.- En la siguiente figura identificar los cinco pares de triángulos congruentes.
 BJC DJC372.- Identificar los triรกngulos que son congruentes y dar el postulado de congruencia que
a)b)c)38RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIANGULO
Actividad: en geogebra traza un triángulo y con el icono de mediatriz
traza la mediatriz en cada uno de los lados del triangulo.
1.-Comenta con tus compañeros que caracteriza a cada línea, y marca el
punto de intersección de las mediatrices.
2.- Si mueves uno de los vértices del triangulo y formas diferentes
triángulos observa cómo cambia el punto de intersección.
Se puede concluir que: la mediatriz es la de recta que pasa por el punto medio de un
Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior
del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.39En el caso del triรกngulo rectรกngulo vemos que el circuncentro coincide con el punto
medio de la hipotenusa.En el caso de un triรกngulo obtusรกngulo, el circuncentro es exterior al triรกngulo.40Alturas y ortocentroAl tur a e s ca d a u na d e la s re c tas pe rpe ndi c ula res t ra za d a s de sd e un
vé r ti c e a l l a do opue s to (o su p ro lo nga ció n ).Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan
siempre en un punto interior del triángulo, luego su
ortocentro es interior al triángulo.En el caso de un triángulo obtusángulo, el
ortocentro es exterior al triángulo.En el caso del triángulo rectángulo vemos que el
ortocentro coincide con el vértice del ángulo
recto.41Bisectrices e incentro
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales.
Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo
llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro pertenece a
las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita
Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los
lados. Basta con trazar una perpendicular desde a uno de ellos, por ejemplo al lado ,
obteniendo y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del
triángulo, como se ve en la figura, ya que
.El teorema de la bisectriz
dice que “la bisectriz de un
ángulo interno corta al lado
proporcionales a los otros
lados”.Medianas y baricentro
Mediana. Es cada uno de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice
opuesto. Estas se cortan en un punto llamado baricentro.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del
triángulo.42Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo
obtenemos el triángulo
que tiene el mismo baricentro que
y sus medianas miden la mitad que las
Además los lados de
miden la mitad que los lados de
y la superficie de
es la cuarta parte de la superficie de
, pues podemos comprobar que al
se han definido otros tres triángulos iguales:.Consideramos una mediana. Si es el baricentro se cumple queSe cumple también que si se dibuja
., la mediana de la mediana., ésta corta al43Recta de Euler
La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo
recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro.se llamaLa distancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el
baricentro y el ortocentro:
.Actividad: 1.-En geogebra traza un triangulo y traza la mediana, mediatriz,
alturas y bisectrices,
2.-Comenta con tus compañeros que caracteriza a cada línea, y marca
3.- Si mueves uno de los vértices del triangulo y formas diferentes
A la línea que une los puntos de intersección se llama Recta de Euler
Actividad:2.- Con papel de colores traza y recorta un triangulo rectángulo,
en él marcas todas las líneas (altura mediatriz, bisectriz ,mediana y recta
de eulker44CONGRUENCIA Y SEMEJANZASe llama figuras congruentes a aquellas que tienen la misma forma y el mismo
congruencia es:Construcción de figuras congruentes
y el lado correspondido (a, l, a, a, l,a,).45c) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres
lados (l, l, l, l, l, l,).Construcción de figuras semejantes
Proporción en triángulos semejantes
Ejemplo:(Triángulo ABC es semejante a Triángulo A´B´C´)Proporción:AB
A´B' B' C ' A' C '46TEOREMA BASICO DE PROPORCIONALIDAD1) Si una recta es paralela a uno de los lados de un triรกngulo, entonces los otros dos
lados quedan divididos en segmentos proporcionales con ocho permutaciones posibles,
como lo vimos anteriormente.2) Dos transversales cualquiera cortadas por tres paralelas, quedan divididas en
segmentos proporcionales.Si AB es paralela a CD como es paralela aEF , entonces a: b = c: d473) La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos
proporcionales a los lados adyacentes a ese ángulo.CD Es la bisectriz del ángulo C es: c: c’ = a: bEjemplos:X: 12 = 28: 14
X = 12 (28)
X = 24X: 28 = 12: 14
X = 28 (12)
14X = 246: 9 = 4: X
X = 9 (4)
648X=6
X: 10 = 18: 15
X = 10 (18)
X = 122X: 3X-1 = 21: 30
2X (30) = 21 (3X-1)
60X = 63X-21
60X-63X = -21
X = -21X = -7349Resolución de problemas que impliquen la congruencia y semejanzaActividad: Resuelve los siguientes ejercicios.1.- En la siguiente figura identificar los cinco pares de triángulos congruentes.
Ejemplo: BJC DJC2.- Identificar los triángulos que son congruentes y dar el postulado de congruencia que
a)b)50c)Actividad: En las siguientes figuras el  I II, hallar X y Y.1)2)513.-.4.-Actividad: 2.- Biografía de Pitágoras.52Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras en sus representaciones: verbal, geométrica y algebraica.
El Teorema de Pitágoras establece: que en un triángulo rectángulo, el área del
cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es
igual a la suma de las áreas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores
del triángulo, los que conforman el ángulo recto).X² + Y² = r²Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la
hipotenusa es c, se establece que:53Resolución de problemas y ejercicios
1.-En un triángulo rectángulo en donde el ángulo recto es el ángulo c el cateto
adyacente es 15 y la hipotenusa 17. Encuentra el cateto opuesto.Hipotenusa = 17
Cateto ady.cba
Cateto = 152-Cuánto mide la altura de un triángulo isósceles si sus lados iguales miden 10 y su
base 12.1010
h123-Encuentra el área de un triángulo equivalente cuyos lados miden 10.544-En la siguiente figura, si el área del triángulo ABC es de 45cm2, cuál es la longitud del
lado DB.
6AD87B155-El anuncio sobre la venta de un monitor para la computadora de 25” esta en
promoción y llamó mi atención. Pero al llegar a la tienda y revisar las medidas del
monitor resulto que mide 19.5” de ancho y 15.5” de altura. A caso la publicidad me
19.5”15.5”15.5”55Actividad: 1 Resoluci贸n de problemas1.y
652.1563.-293.-29
y4.-y
20y5.305638y6.-7.-y2536Actividad: 2.- aplicación del teorema de Pitágoras1) A qué altura llega una escalera que mide 10 metros de largo en un muro vertical, si
su pie está recargado a 3 metros del muro.5) Para sostener la torre de la antena de una estación de radio
de setenta y dos metros de altura, se desea poner tirantes de
120 metros para darle mayor estabilidad; se proyecta tender
los tirantes desde la parte más alta de la torre. ¿A qué
distancia del pie deben colocarse las bases de concreto para
sostener dichos tirantes?573.-58UNIDAD III
LA TRIGONOMETRIA Y SUS PRINCIPALES APLICACIONESUNIDAD DE COMPETENCIA
Selecciona las funciones trigonométricas, a través de la identificación de relaciones
entre los elementos de un triángulo rectángulo y oblicuángulo, para resolver problemas
que impliquen dichos conceptos, de forma responsable y solidaria al trabajar en grupos
El objetivo de estudiar las funciones trigonométricas es que el alumno deduce y calcula
las funciones trigonométricas de los ángulos en el plano cartesiano.La historia de la trigonometría es tan antigua como la historia de la humanidad, se
remota a las primeras matemáticas conocidas en Egipto y babilonia. Fueron los
egipcios quienes establecieron las medidas de los ángulos en grados, minutos y
segundos.SITUACION DIDACTICA
¡EL TIRO PENAL PERFECTO!!! ¿En qué parte de la portería debe entrar el balón y a
que ángulo de inclinación tiene que golpearlo un jugador?La trigonometría es una rama de las matemáticas que
estudia las relaciones entre los lados y unos ángulos
de los triángulos, y las propiedades y aplicaciones de
las funciones trigonométricas de los ángulos. Se divide
en dos ramas fundamentales:
La trigonometría plana.
La trigonometría esférica.59FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo
rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos
cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo.Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. (Seno, Coseno, Tangente,
Cotangente, Secante y Cosecante).
-.z = Hipotenusa
x = Cateto
adyacente∟ x + ∟ y =90°
zyComplementario
elementales.ztrigonométricosy = Cateto
yxdirectasoSeno
Razones trigonométricas reciprocas60Relación fundamental de la Trigonometría
Demostración de la relación sen2∞+Cos2∞=1222hy
CAx22222
22x2 + y 2 = hCalculo de valores de los grados de 30°, 45° y 60°.6130°30°60°
230°2h60°90°
190°45°
162GRADOSSENCOSTANCSCSECCOT60°
30°½Signo de las funciones trigonométricas
Para encontrar los signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes
debemos comenzar por considerar que la distancia de cualquier punto al origen
III++y++--IIIcuadrante
COSECANTEIVIIIIIIIV+
-63IIISen
Csc+Todos +Ton
IIISec+IVEjemplo:
-Determina el signo de las funciones trigonométricas correspondientes a una rotación
45°45° III = TAN – COTSEN
CSC+-Funciones y cofunciones trigonométrico de un ángulo cualquiera.
Consideramos los ángulos ∞, β, ν, δ que en un sistema de coordenadas tienen su lado
terminal en el cuadrante I, II, III, IV, respectivamente y tenemos un punto en el lado
terminal y su distancia al origen.
Función0°90°SEN
CSCAngulo de referencia. El ángulo de referencia de una rotación es el
ángulo formado por el lado del terminal y el eje de las x.64Ejemplo:
Encuentra el ángulo de referencia del ángulo ∞ = 13545°
terminal∞ = 135Buscar las funciones trigonométricas, de un ángulo de 240°
1-xx60°2
-yActividad: 1 Resolución de problemas1.-Encuentra las funciones trigonométricas del ángulo -1665°+1
45°-225°65Actividad: Determina en cada cuadrante la ubicación de los siguientes
ángulos.1.<a = 42°
<b = 315°
<c = -110°
<d = 165°
<e = 54°
<f = 125°x2.y
<g = 499°
<h= 879°
<i = -155°
<j = 245°
<k= 399°
<l = 666°x’xy’3.-66CÍRCULO UNITARIO
El círculo unitario es aquel cuyo centro coincide con el origen de un sistema de
coordenadas y tiene un radio igual a 1.
Es el circulo unitario es una herramienta muy útil en el cálculo de los valores de las
funciones trigonométricas, y representa el valor de una función trigonométrica como la
longitud de un segmento de recta.
Considerando el ángulo ∞ en una posición normal y ubicado en el primer cuadrante del
plano cartesiano observamos lo siguiente.
0GDr=1Ahora observa la siguiente figura, en donde trazamos el siguiente EG perpendicular al
eje de las x y las rectas tangentes al círculo en los puntos D y F, que llegan al lado
terminal del ángulo ∞.Sec
0SenCos GDr=167GRAFICOS DE LAS FUNCIONES SEN, COS Y TAN.A la relación BC/AC se le llama senoLa gráfica de la función seno es
A la relación AB/AC se le llama coseno.La gráfica de la función coseno es
A la relación BC/AB se le llama tangente.La gráfica de la función tangente es
A la relación AC/BC se le llama cosecante (es la reciproca del seno).68La gráfica de la función cosecante es
A la relación AC/AB se le llama secante (es la reciproca del coseno).La gráfica de la función secante es
A la relación AB/BC se le llama cotangente (es la reciproca de la tangente).La gráfica de la función cotangente esLa propiedad más importante de estas funciones es la periodicidad (sus valores
se repiten cada cierto intervalo).
laSEGMENTO.
Naturaleza hay muchos fenómenos
periódicos (el movimiento de los planetas, el movimiento circular, las vibraciones,
etc.) estas funciones aparecen muy frecuentemente691-Determina las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, cuyo lado
terminal esta en el segundo cuadrante y tiene una tangente de ф = -3/4.
5y= 3X= -4Actividad: Determina las funciones trigonométricas1. De un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal esta en el tercer cuadrante y el
coseno de β =.2 -Calcular las funciones trigonométricas del ángulo ∞, cuyo lado terminal esta en el
punto A (3, 4).
3-Determinar las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, cuyo lado
terminal esta en el tercer cuadrante y tiene un coseno de β=.4-Calcular las funciones trigonométricas del ángulo ∞, cuyo lado terminal esta en el
5-Calcular las funciones trigonométricas del ángulo β en posición normal para las
B) (-3, 2)
C) (12, -5)
D) (-24, 7)70Actividad: Calcular las funciones trigonométricas faltantes, del ángulo.Identidades Pitagóricas.
La palabra identidad significa que existe una igualdad.
Las funciones trigonométricas se pueden simplificar en tres tipos de identidades y son
ocho en total:
Identidades Recíprocas:
Sen ф. Csc ф = 1
Cos ф . Sec ф = 1
Tan ф . Cot ф = 1Identidades de división:
Cot ф =Identidades pitagóricas:
Sen2ф + Cos2ф = 1
Tan2ф + 1 = Sec2 ф221+ cot ф = Csc ф2
2271Ejemplo:
2222222222Ejemplo 2.Demostrar que la identidad de(1 â&#x20AC;&#x201C; Sen x)(Sex-tan x) = Cos xElige un lado de la identidad (de preferencia escoge el lado mĂĄs complicado para
transformarlo y obtener el otro lado de la identidad)227222RESOLUCION DE TRAINGULOS RECTANGULOS
Aplicación del teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6-8 cm, calcular las funciones
trigonométricas de los ángulos.y
8731-Encuentra la medida de los ángulos ACB, en el siguiente triángulo si AB = 16 y BC =
10, utilizando las razones trigonométricas.
57°59’
AC2-Un avión está a un km por encima del nivel del mar, cuando comienza a elevarse en
un ángulo, que no varía de 2° durante los siguientes 70km, medidos al nivel del mar. A
qué altura estará el avión sobr3e el nivel del mar cuando llegue a los 70km.h
2°70kmActividad: Resolución de problemas1.-Jorge está parado en la playa de Mocambo, Veracruz, cuando el ángulo de
elevación del sol es de 31°, quiere averiguar cuánto mide la sombra que proyecta si
mide 1.80m de estatura, podrás ayudarlo a encontrar la longitud de su sombra.742,- Calcular la altura de una torre si desde un punto situado a un kilómetro de la base
se ve la cúspide con un ángulo de elevación de 16°42’.3.- Una torre de 28.2 metros de altura está situada a la orilla del río, el ángulo de
depresión a la orilla opuesta es de 25°12’. Hallar el ancho del río.4.- Desde lo alto de una torre de 37 metros, los ángulos de depresión de dos objetos
situados de un mismo lado y en la misma línea horizontal que el pie del edificio son
respectivamente de 10°13’ y 15°46’. Hallar la distancia entre los dos objetos.755.- Una escalera alcanza el borde de una ventana que está a 7.8 metros del suelo y
forma con la pared un ángulo de 29°15’. Hallar la medida de la escalera.6.- Una columna de 27 metros de altura proyecta sobre el piso una sombra de 35.1
metros. Hallar el ángulo de inclinación del sol.Ley de los Senos y CosenosLa ley de los senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y
el seno del ángulo opuesto a él, en todo triángulo es constante. Su fórmula
matemática es:Donde A, B, C son los ángulos del triángulo, y a, b, c son las longitudes de los lados.76Resolver un triángulo significa obtener la longitud de sus lados y la medida de sus
No todos los problemas de resolución de triángulos oblicuángulos se pueden resolver
con la ley de los senos, a veces es conveniente aplicar la ley de los cosenos,
dependiendo de los datos que proporciona el problema.
En general cuando nos proporcionan dos ángulos y un lado o dos lados y un ángulo
utilizamos la ley de los senos.La ley de los cosenos se utiliza cuando nos proporcionan dos lados y el ángulo
que forman dichos lados o tres lados. Su fórmula matemática es:
a2 = b2 + c2- 2bc cos A
b2 = a2 + c2 -2ac cos B
La solución de un triángulo oblicuángulo se puede realizar si se conocen tres
elementos, siempre y cuando no sean los tres ángulos, y se presentan cuatro casos
diferentes de soluciones:
a) Cuando se conoce un lado y dos ángulos.
b) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
c) Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
d) Cuando se conocen los tres lados.
Resolver el triángulo ABC si sabemos que a = 4.75, B = 75°, C = 45°
a = 4.75A = 60°b = 5.3B = 75°c = 3.88C = 45°cCb
A77a2 = b2 +c2 – 2bc Cos A
2bc Cos A + a2 = b2 + c2b2=a2+c2 – 2ac cos B
2ac cos B+b2= a2+c2B2.-Encuentra la medida del ángulo ABC en el triángulo ABC si sabemos que el lado a =
2, b = 3, c = 4.acAb
c=4CA= 28°57’
B= 46°34’
C= 104°29’783.-Resolver el triángulo ABC si sabemos que A= 60°, B= 45° y a= 4.
C= 179°60’-(28°57’+46°34’)
c= 104°29’B
acAC = 180-(60°+45°)=75°Cb
a= 4 A= 60°
b=3 .27
B= 45°
c=4.46
C= 75°Resolución de problemas diversosActividad: Utilizando la ley correspondiente resuelve el triángulo
oblicuángulo si sabemos que:1- A = 120°
2- B = 30°C=30°
C=135°3- f = 3
4- g = 5
5- f=3, g=4, H=60°.c=10
F = 120°Actividad: En cada caso, encuentra los datos faltantes del triángulo
oblicuángulo (Realiza el dibujo correspondiente).1) a = 74A  6342'
B  3452'792) b = 823) b = 6784) c = 2465) c = 9316) a = 59B  5142'
C  10917'
A  3610' '
C  4435'B  3856'
C  5725'B  4057'
C  12929'A  3529'46' '
B  4957'a  36
7) b  45
c  30a  156
8) b  123
c  143a  86
9) b  65
c  70a  22
10) b  36
c  2980UNIDAD IV
TEMAS PRELIMINARES DE GEOMETRIA ANALITICA
Construir e interpretar modelos relacionados con segmentos, ángulos, rectas y
polígonos en el plano cartesiano, a través del análisis de las relaciones de sus
elementos, para argumentar sus propiedades
y resolver problemas (reales o
hipotéticos), mediante el trabajo colaborativo y muestras de solidaridad, honestidad y
responsabilidad.SITUACION DIDACTICA
¿Cuál es la probabilidad de que un integrante del equipo de básquetbol entre a formar
parte del cuadro base?PERIMETRO Y AREA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMETRICAS
Si consideramos un segmento de línea determinado por A y B dividido en diez partes
iguales, su distancia será AB= 10 unidades, si a partir de A contamos 6 divisiones y
colocamos otra letra C, AC será 6 partes.
¿Cuántas unidades tiene la distancia BC?
BC será igual a AB- AC, esto es 10-6=4,BC= 4De otra manera si X2 = 10 y X1 =6 BC= (X2 - X1)
Al colocar dos puntos en el sistema de coordenadas rectangulares su ubicación será
P(X1 – X1) y Q(X2 – X2).
La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:¿Cuántas unidades tiene la distancia BC?
BC será igual a AB- AC, esto es 10-6=4
BC= 481De otra manera si X2 = 10 y X1 =6 BC= (X2 - X1)
Si desea encontrar la distancia que hay entre ellos, observando la figura siguiente
puede hallarse la relación necesitada.
La distancia entre los puntos P1y P2 denotada por d =está dada por:
(1)En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el
segmento de rectaFigura 1
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y
(ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo
P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:Pero:;82yLuego,La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:(1)Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el
sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y
emplear el Teorema de Pitágoras.
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)d = 5 unidades831. Determinar si cuatro puntos dados forman un cuadrilátero y de qué tipo
Situamos los puntos A (-2, -3), B (-1, 3), C (4, -2) y D (5, 4) en un sistema de
coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.Vamos a demostrar que el cuadrilátero ACDB es un rombo. Para ello, calculamos la
longitud de uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:Así pues, d(A, C) = d(C, D) = d (D, B) = d (B, A), es decir, los cuatro lados del cuadrilátero
ACDB tienen la misma longitud, por tanto, es un rombo.
2. Determinar si tres puntos dados forman o no un triángulo
Situemos los puntos A (2, -5), B (0, 3) y C (-3, 0) sobre un
sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad
de longitud el centímetro.84Vamos a demostrar que el triángulo
es rectángulo. Para ello, calculamos la longitud
de cada uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:Comparamosd(B,A)²yyd(C,B)²+d(A,C)².
.d(B, A)² = d(C, B)² + d(A, C)², por tanto, el triángulo
tiene un ángulo recto en C de
para calcular el área de un triangulo que se conocen las coordenadas de los vértices
por determinantes se puede calcular con la formula:
A = ½( x1y2 + x2y3 + x3y1-x3y2 - x2y1 – x1y3)Actividad: Resolución de problemas
1.- Distancia entre P(2,1) y Q(6,5)
2.- Distancia entre L(-2,3) y M( ,-5)
3.- Distancia entre S(-1,3) y T(-3,-2)
4.- Demostrar que los puntos D(2,-2) E(-8,4) y F(5,3), son los vértices de un triangulo
rectángulo. Se hace una grafica con los datos conocidos.
5.- Si es un triangulo rectángulo se debe satisfacer el teorema de Pitágoras sabiendo
que el lado mayor siempre es la hipotenusa.85COORDENADAS DE UN PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZON
DADALas fórmulas son:yHallar las coordenadas del punto P que divide el segmento con extremos A (2,5) y
B (8,-1)A (2,5)
B (8,-1)
r= ⅓P= (3.5, 3.5)Cuando la relación r es negativa, el punto Q se encuentra fuera del
segmento de recta pero la referencia siempre será el punto numerado con
(X1 – Y1).Actividad: Resuelve los siguientes problemas:1- Encontrar las coordenadas del punto Q(x, y) que divide al segmento determinado
por los puntos P (2,1) y R (7,6) en una relación r = ¼.862- Encontrar las coordenadas del punto Q(x,y), que divide al segmento de recta
determinado por L(-4,-1) y M(6,4) en una relación r = 2/3
3- Si se divide al segmento LM en cinco partes iguales la distancia LQ abarca dos y
QM abarca tres, por la relación r dos a tres.
4- En cualquier caso si cambiamos el orden dado a los puntos extremos cambia la
posición del punto Q que divide el segmento en dos partes pero la referencia
será el punto que se numero con uno (x, y).
5- Dada una relación r= -2/5, encuentre las coordenadas del punto que divide al
segmento determinado por A (1,1) y B (4.-2) en la razón anterior.
6- Efectúe los siguientes ejercicios encontrando las coordenadas del punto que
divide un segmento de recta en las relaciones dadas:
a) P (-3, 1)R (5, 5)b) S (8, 1)T (5,-4)c) ß (-2,-3)N (5, 2)r = 1/3
r = -2/7
r = 2/1PUNTO MEDIOLas fórmulas son:yEste es uno de los temas más simples de la Geometría Analítica, tan sencillo y tan
lógico que puedes preguntarle a un bebe de preescolar cuál es la mitad de una cuerda
estirada -en forma semejante a una recta- y seguro que te indicará el punto medio, sin
embargo ¡no hay de otra! ¡veámoslo!
Tienes dos puntos en un sistema rectilíneo (una sola dimensión) y quieres encontrar el
punto que está colocado exactamente a la mitad entre los dos, a este punto se le llama:
Punto Medio.87Veamos un “raro” ejemplo para no fomentar el aburrimiento.
Sean dos bebes sumamente molestos porque nadie les da su chupón.Uno está a 3 Mts. del chupón y el Otro está a 2 Mts. de él pero en la dirección
contraria. Tú quieres tranquilizarlos y les hablas colocándote exactamente en el punto
medio entre ambos. ¿Cuál es la coordenada en la que estás?
1. ¡¡¡OBVIOOO!!!Seguro que contarás los segmentos y concluirás que el punto
medio está exactamente entre el chupón y el uno positivo, o dicho de otra
manera estás en el Punto Medio cuya coordenada es: 0.5, o bien ½.
Pero bueno… construyamos una regla que pueda servir tanto para este caso como
para aquellos en donde sea muy lento contar “rayitas” es decir, cuando los puntos se
encuentren más alejados uno del otro. Te doy tres minutos para construirla…
Calcular el Punto Medio de una recta es bastante sencillo, así se trate de un sistema
bidimensional. En este caso simplemente forma un triángulo rectángulo –igual que
debes haberlo hecho en otras ocasiones- y proyecta los catetos hacia cada uno de los
Dos hormiguitas (igual pueden ser dos planetas, dos
personas, dos autos, dos galaxias) salen de su
residencia (en este caso un agujero) y se disponen a
tomar el Sol colocándose a unos cuantos centímetros
de él, tal como se muestra en la figura. Una tercera
hormiguita no quiere alejarse mucho de su “casa” y
se acomoda exactamente en el punto medio de la
recta que se forma con las otras dos. ¿Cuáles son las
coordenadas del dichoso lugar (Punto medio) en
donde se colocó la última hormiguita?88Evidentemente la “casa” de la hormiguita es el punto de referencia, por lo tanto ahí
colocaremos nuestro punto de origen de un Sistema Coordenado Cartesiano.
Proyectando los catetos del triángulo rectángulo que se forma hacia sus respectivos
ejes simplemente calculamos el Punto Medio para cada caso.
X =(x1+x2)/2 = (-3+1)/2 = -2/2 = -1
Y =(y1+y2)/2 = (-2+3)/2 = 1/2 = .5
Si en lugar de los dos puntos extremos tuvieras un Punto medio y un punto extremo y
quieres determinar el otro punto extremo solo aplica las siguientes fórmulas:
X1=(2)(Pmx)-X2 y Y1=(2)(Pmy)-Y2 obtenidas a partir de un simple despeje de las
fórmulas para el punto medio y con ello obtendrás el punto en cuestión, por ejemplo:
Hallar las coordenadas de un punto extremo de un segmento que tiene su punto medio
en: (4, 2) y el otro extremo es: (9, 5)
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:Dos objetos están colocados en las siguientes coordenadas.
P1(-2,3); P2(6,9)
P1(2,-3); P2(4,3)
P1(-1,6); P2(7,3)89P1(-6,0); P2(2, 4)
P1(0,4); P2(2, 7)
P1(8,2); P2(2, 3)
P1(0,0); P2(4, 4)
P1(-2,2); P2(2, 2)
Únelos y encuentra en todos los casos el Punto Medio, aplicando las fórmulas
utilizadas para resolver el problema de las hormiguitas.Determine el área de un triángulo formado por los puntos medios de los lados de
un triángulo ABC cuyos vértices son los puntos: A (5,0), B (1,6), C (9,4).
→D (3,3)
→E (5,5)
→F (7,2)Area=Actividad: Resuelve los siguientes problemas:1.- Encontrar el punto medio Q(x,y) del segmento de recta, que determinan los puntos
P (2,3) y R(7,5)
2.- Encuentre el punto medio entre los puntos L(-y,-3) y M(-2,5) y haga su gráfica.90Punto de intersección¿Podemos determinar el punto de intersección de dos rectas?
Si, es bastante fácil determinar donde se cruzan dos rectas. Cuando decimos que dos
rectas se cruzan queremos decir que tienen un punto en común. Este punto verifica las
ecuaciones de ambas rectas. El problema reside en encontrar ese punto. Supongamos
que tenemos las ecuaciones de dos rectas:
Si existe un punto (xi, yi) compartido por ambas rectas, entonces las ecuaciones:serán ciertas. Despejando yi tenemos:de donde podemos extraer el valor de xi:Llevando este valor a la ecuación de la recta 1 o 2 tenemos:Por lo tanto, el punto de intersección tendrá por coordenadas:91Es importante señalar que dos rectas paralelas tendrán la misma pendiente. Ya que
tales rectas no se intersecan, no es extraño comprobar en la expresión anterior que los
denominadores se anulan, impidiendo la solución del problema.
Puntos en cualquier posición
Para poder ubicar un punto en un espacio de dos dimensiones se necesita un sistema
de referencia y en y en este caso el utilizado se llama SISTEMA DE COORDENADAS
Este sistema consta de dos líneas perpendiculares que se cruzan, llamándose cada
una EJE COORDENADO.
Al cruzarse ambos ejes dividen al plano en cuatro partes iguales que se llaman
Uno de los ejes debe ser horizontal, determinándose como EJE DE LAS ABCISAS, sus
sistemas se determinan por X´X.
El eje vertical se llama EJE DE LAS ORDENADAS y se indica por Y´Y.
Al punto donde se cruzan ambos ejes se llama ORIGEN.
A la derecha del origen y sobre el eje de las abscisas se tiene el sentido positivo (+) y
a la izquierda el sentido negativo (-).
Así mismo sobre el eje vertical o de las ordenadas y partiendo del origen está el
sentido positivo (+) y hacia abajo el negativo (-).
Cada eje se divide en espacios iguales que reciben el nombre de unidades.
Para determinar un punto en este sistema se necesitan dos cantidades, que
determinan las unidades sobre cada eje.
NOTACION PUNTO K(X, Y)Ejemplo: Localizar A (3,5) B (-4,2) C (2,-3) D (5,-2)92Angulo de intersección y pendiente de una
Calcular la pendiente de la recta que pasa por el
origen y que tiene un ángulo de inclinación de 60°Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento definido por los puntos A
(5,3) y B (-2,-5).La pendiente de una línea recta es positiva cuando el ángulo de
inclinación está entre 0 y 90°, y es negativa cuando está entre 90
y 180°93Conceptualización
Euclides en su tratado denominado Los elementos establece varias definiciones
relacionadas con la línea y la línea recta:
Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella
(Libro I, definición 4).
Pendiente: Se va a llamar así a la longitud del ángulo de inclinación alfa y se va a
indicar con m.
Segmento: es la porción de recta comprendida entre dos puntos denominados
Distancia: es el valor absoluto de un número a y de representa como a y simboliza la
distancia que existe entre el 0 y el número en cuestión. Su resultado siempre es
positivoAplicación de fórmulasActividad: Resuelve los siguientes problemas:1.- Encontrar el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos P (3,2) y R (3,-4)
con el eje X X´.Encontrar el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos P (3,2) y R (3,-4) con el
eje X X´
2.-Encontrar el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos A (-2,3) y B (1,-3)
con el eje de las abscisas.
3.- encuentra la ecuación de la recta que pasa por:
a) (2, -4) y tiene m= 594b) (9, 8) y (3, 9)
c) (1, -8) y tiene pendiente m= 1/3
d) (4, 3) y (1/2 -2/9)
4.- En las siguientes ecuaciones de la recta identifica los valores de m y b
a) 3x + 8y – 9 = 0
b) x – y + 8 = 0
c) 3x – 4y = 0
5.- Convierte las siguientes ecuaciones en su forma simétrica y grafícalas.
a) – 10x – 7y + 35 = 0
b) 8x – 3y + 24 = 0
c) 9x – 6y + 18 = 0
d) – 4x y – 4 = 0
6.- Convierte en su forma general las siguientes ecuaciones.
a)Y = 2x – 8b)y = - 4x + 77.- Una empresa produce cierta cantidad de refrigeradores por mes, de acuerdo con la
diciembreCantidad
15095a) Traza la grafica que representa la producción en el primer semestre.
b) ¿Qué cantidad debería producirse en Junio para que se comporte como una
función lineal?
c) ¿Cuántos refrigeradores esperaríamos producir de julio a Diciembre?
d) ¿Qué ecuación representa este enento?Angulo entre dos rectas
De dónde sacó don René la fórmula:
¿La soñó, o le cayó una manzana y le nació la idea como a Newton?En realidad no es complicado saber cómo llegó don René a la fórmula anterior, solo se
basó en los conocimientos de “Fulano de tal” su antecesor, cuando inventó la identidad:
TgΘ = Tg(α2–α1) =
[tgα2–tgα1]/[1+tgα2 tgα1]A la cual llegaremos partiendo de nuestro problema particular con la relación:
Ángulo a = ángulo b menos ángulo c, o expresado con literales:96a = b – c.Con qué ángulo se cortan dos rectas? Veámoslo mediante un ejemplo práctico.
Dos aviones siguen durante cierto tiempo trayectorias rectilíneas definidas
Si recuerdas ya vimos algo semejante en el (dos caminos que se cruzan) solo que ahí
buscábamos el punto de cruce (intersección) entre ambas rectas, en este caso
podríamos hacer lo mismo, pero además buscamos el ángulo con que se cruzan
ambas trayectorias. Procedamos…Grafiquemos las dos ecuaciones
Graficar es simple, recuerda que solo tienes que asignar valores arbitrarios a X
¿Cuáles? Los que se te pegue la gana. Con esto obtendrás valores para Y. ¡Claro! si
asignas un valor a la X por ejemplo de 1,000, entonces tendrás que hacer circo,
maroma y teatro para acomodar este valor de X en tu sistema coordenado e igual para
el que resulte de Y junto con otros valores pequeños que asignaras X. Las rectas
resultantes son las trayectorias de los aviones.
Si por el punto de intersección trazas una paralela al eje X, obtendrás los ángulos b, y
c. El ángulo a es el que buscamos.97Analiza los ángulos b y c. Te pregunto ¿el ángulo a se puede obtener a partir de los
ángulos b y c?
Supongo que concluiste que SÍ, que el ángulo a se puede obtener restando el ángulo c
al ángulo b. Pero… ¿y cómo podemos obtener los ángulos b y c?
Con las ecuaciones “acomodadas” de la forma Y=mX+b, la pendiente es el número que
acompaña a la X, técnicamente llamado: coeficiente de X.
Pero también sabemos que m=tg (α), o escrito de otra forma para el ángulo b sería
m=tg (b), por lo tanto: b = tg-1(3) = 71.56º, también para la otra ecuación c = tg-1(1) =
Bien… ya conocemos los ángulos b y c, solo queda hacer una modesta resta para
obtener el ángulo a.
Pero también existe otra forma de hacerlo utilizando una fórmula inventada por don
Tg a = (3-1)/(1+3×1) = 2/4 = 0.5, entonces: Tg a= 0.5, despejando a queda:
Si aplicas el primer razonamiento (restando ángulos) debes tener cuidado para
interpretar correctamente los ángulos resultantes. Aplicando la fórmula de René
Descartes, podrás obviar algunas cosas.
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:1.- Calcula el ángulo entre la rectas l1 y l2 ; considera que sus pendientes son:
a) m1 = 8 y m2 = 898b) a) m1 = 1/8 y m2 = 8
2.- Responde a las siguientes preguntas y justifica tus respuestas.
a) ¿Qué ángulo forman dos rectas paralelas?
b) ¿Qué ángulo forman dos rectas perpendiculares?
3.- Investiga y realiza un breve resumen sobre el tema de determinantes. ¿Cómo se
aplican? y ¿Cómo se resuelven?
4.- Formen equipos de 5 alumnos comenten su investigación y expliquen al terminar
una síntesis de los acuerdos y conclusiones a que llegaron, nombren un representante
para exponer frente al grupo la información.PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Sean l1 y l2
respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en
2 = 180 1...
Se define el ANGULO entrel1 y l2como
el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1.
En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el
ángulo entre ellas.
11-2)99,(2)También,
11-2),(3)Puesto que m1
1 y m2
escribirlas en la forma:1, entonces las igualdades (2) y (3) podemos(2)’,12,(3)’1, entre las
rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer
criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente
teorema.TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo)
Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente.
i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2)
ii) l1 es perpendicular a l2 (l1l2)m1. m2 = -1Demostración
Ver en la siguiente tabla donde aparece ilustrada cada una de las situaciones100i. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2.
En efecto, como l1 ||l2
2 son iguales por correspondientes y
Ahora, si m1= m2,
1 2 = 0, de donde
2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonceseste último valor en (3)’ obtenemos: 0
aquí se deduce que m1. m2 = -1.Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces1=cotSustituyendo, de donde m1. m2 + 1 = 0, y dey como m22y m1,1se tiene que
, donde sin pérdida de generalidad hemos
escogido la recta l1
2 = 90 y por lo tanto las rectas l1 y l2 son perpendiculares.
de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden enunciarse en la siguiente
forma:l1 || l2101l1l2Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condici贸n necesaria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad
entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones
Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentesLa pendiente de una recta desempe帽a un papel fundamental cuando se
comparan dos rectas para saber si son paralelas o perpendiculares. Estas
condiciones se conocen como criterios de perpendicularidad y paralelismo.
2 rectas ( y ):
a) Son perpendiculares si sus pendientes son iguales, es decir, si
b) Son perpendiculares si la multiplicaci贸n de sus pendientes es igual a -1 o
Una recta pasa por los puntos A (2,3) y B (3,5) y otra pasa por los puntos C (-2,-1)
y por D (4,11). Comprueba si son paralelas.Los resultados son iguales, esto quiere decir que s铆 son paralelas.102Actividad: realiza lo que se te indica.1.- Localiza a los siguientes puntos en un plano cartesiano:
a) y = - x + 8
b) y = 2x – 9
2.- De los siguientes triángulos encuentra:
d)El perímetro
Los puntos medios de sus lados
La longitud de las medianas
A(2, - 2), B(4, 4), C(-2, 2)
A(5, - 1), B(- 7, 1), C(- 1, - 3)
A(- 2, - 2), B(2, - 3), C(- 1, 2)
A(4, - 8), B(- 2, 6), C(-8, 4)3.- Calcula el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas que pasan
a) (-3, 8), (7, - 2)
b) (5, 1), (-3, -3)
4.-Encuentra las coordenadas del punto P(x, y) que divide el segmento dado por los
a) P (8, - 3) Q (-9, 7) r = 8/9
b) A (-9, -3) B (0, 4) r = 5/7
c) M (4, 7) N (-4,17) r= 2
5.- Se tiene un pentágono cuyos vértices son:
A (-2, 2)
B (-3, -2)
C (0, -4)
D (5, 1)
E (2, 3)103UNIDAD VLINEA RECTAUNIDAD DE COMPETENCIA
Estructurar los distintos registros de representación (verbal, algebraico, tabular y
gráfico), de la ecuación de la recta a través del descubrimiento de las relaciones
implícitas a cada uno de los registros mencionados, para aplicar distintas heurísticas en
la resolución de un problema, fomentando una actitud crítica y colaborativa entre sus
compañeros, para el debate y consenso de ideas.
En geometría Euclidiana, la recta o línea recta, se extiende en una misma dirección,
existe en una sola dimensión y contiene infinitos punto; está compuesta de infinitos
segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe
como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no
definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones
entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b,
donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la
"pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto
a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término
independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al
eje vertical en el plano.
Los datos estadísticos del país arrojaron que el índice de mortalidad es la diabetes,
cáncer intrauterino e hipertensión arterial. Investiga con qué porcentaje contribuye tu
localidad e infiere tus respuestas con respecto a las demás entidades.104FORMACION DE LA ECUACION DE LA RECTA
Geométricamente, una recta es la distancia más corta entre dos puntos.
Gráficamente, puede verse como un conjunto de puntos, uno detrás de otro, tales que
si se toman dos de ellos cualquiera
del lugar geométrico, la
pendiente es la misma.
Analíticamente, es una ecuación de 1er. Grado o lineal con dos variables de la forma
Forma Punto- PendienteCuando la pendiente de una recta es positiva, entonces el ángulo que forma con
el eje x es menor a 90°.Y en caso de que la pendiente sea negativa, entonces el ángulo que la recta forma
con el eje x es mayor de 90° aunque nunca llega a los 180°.105*Nota: si la pendiente es negativa, al expresarla como fracción tú puedes decidir si el
signo menos (-) va en el denominador o en el numerador, en ese caso si el
denominador es negativo ( ) entonces te moverás hacia la izquierda del punto, y si
el numerador es negativo (), entonces deberás moverte hacia abajo.Las ecuaciones son: para cuando se conoce un punto y m:
Y para cuando se conocen dos puntos:
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (3,2) y B (-1,-4)
Y – Y1=Y2 – Y1(X – X1)X2 – X1Y – 2=-4 – 2
-1 – 3(X – 3)106Y – 2 = -6/-4 (x – 3)
Y – 2 = 6/4x – 18/4
Y = 6/4x – 18/4 + 2
Y= 6/4x – 28/4
(5/3,0)(0,-5/2)Ejemplo: Los puntos C (-4,-3) y D (2,6) se encuentran sobre una línea recta, encuentre
Y – Y1 =Y2 – Y1(X – X1)X2 – X1
Y – (-3) = 6 – (-3)(X – (-4))2 – (-4)
Y + 3 = 9/6 (x + 4)
Y= 9/6x 3/6 – 3/1
Y= 9/6x + 18/6
Y = 9/6x + 36(y + 3)= 9(x + 4)
6y + 18 = 9x + 36
9x + 6y +18 -36 =0
9x + 6y -18 = 0107Actividad: Hallar el ángulo que forma la recta que pasa pos dos puntos
dados en cada inicio, con el eje de las abscisas y representar los
ángulos en cada caso.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y represéntala en una
1. (-2, 4) (5, -1)
2. (5, 4)
3. (-3, -4)(-1, -3)
(5, 1)Forma general
LA ECUACION EN LA FORMA GENERAL (AX + BY + C = 0)
La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde
A, B y C son números reales.
En forma general todos los términos se encuentran en un solo lado, no hay fracciones y
esta igualada a cero.
Ejemplo:2x -4y – 10 = 0La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita (es
decir, despejada y):Actividad: Resuelve los siguientes problemas:1. La ecuación general de una recta es 2x-3y+6=0. Calcula la pendiente de la recta.
2. Calcula el valor de k para que la ecuación de la recta kx+3y-9=0 tenga por pendiente
m=-1.108FORMA EN FUNCION DE LA PENDIENTE Y LA ORDENADA AL ORIGEN
Cartesianas. Por las propiedades de los puntos que definen a la línea dada, se puede
hallar la relación en tres coordenadas x u y de sus punto y expresar la línea por una
ecuación que relacionan las coordenadas (x, y) de sus puntos.
El caso más simple es aquel en que los puntos trazados están sobre una recta. Si las
dos cantidades relacionadas son “X” u “Y”, la relación entre ellas se expresan por una
y: Es la ordenada de un punto sobre una línea recta
x: Es la abscisa del mismo punto
m: Es la pendiente de la línea recta
b: Ordenada al origenEjemplo:
La ecuación Y = 3x + 6 representa una línea recta, indicar en una grafica por
1. Se hace “x” igual a cero y se busca el valor de “y”
y= x=0
y = 3(0) +6y = 3(0) + 6y = 0 +6 = 6y=0+6=6y(0,6)se obtiene el punto (0,6)
2. Se hace “y” igual a cero y se despeja el valor de “x”
0 = 3x +6
- 6 = 3x
- 6/3 = x = -2109Se obtiene el punto (-2,0)
3. Se localizan los puntos anteriores sobre los ejes coordenados y se traza la línea
Actividad: Resuelve los siguientes problemas:1.- Identifica por simple observación cuáles son los valores de m y b en las siguientes
a) y = 2x – 8
b) y = -x + 9
c) y = -8x2.- Encuentra los valores de m y b en las siguientes ecuaciones.
a) x – 2y + 8 = 0
b) -4x -8y -7 = 0
c) 5x – 4y = 0
d) 12x – 9y + 8 = 0FORMA SIMETRICA
Así como a la ordenada al origen se le puede llamar , a la abscisa al origen se le
puede llamar . Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta,
conocidos y (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los
Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la
pendiente:110Después se sustituye en la ecuación
dos puntos, en este caso (a, 0):, usando cualquiera de losPor último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente:Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar
para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los
ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos.
1.- Para encontrar la ecuación general de la recta si se sabe que a = - 2 y b = 8
Para convertirla en su forma general multiplicamos toda la ecuación por m.c.d. que es 8
(+ = 1)8
+=8simplificando:111- 4x + y = 6
La ecuación en su forma general queda:
- 4x + y – 6 = 0Actividad: Resuelve los siguientes problemas:1.- cambiar a su forma general la ecuación simétrica de la recta+ =1Discusión de la forma general
Transformación de la recta en su forma general a su forma simétrica
2x – 5y - 10 = 0Igualamos a 10
2x – 5y = 10
Dividimos toda la ecuación entre 102x/10 – 5y/10 = 10 /10
+ = 1 de donde sabemos que a= 5 y b = 2
Se grafica112DISTANCIA DE UN PUNTO EN UNA RECTA
¿Que cómo lo hizo don René Descartes?¡Bah! Como no tenía nada más importante que hacer (debes saber que en el año 1620
(±) no había computadoras, internet para “chatear”, cine, “discos”, y demás distractores
comunes de la actualidad), entonces inventó una fórmula (¡Bendito Dios!) para calcular
más fácil, rápidamente y con precisión (sin reglas, escuadras ni compás) la distancia
de un punto a una recta. Es la fórmula que te muestro a continuación.Pero… ¿Cómo interpretarla? ¿Quién demonios es A, B y C? y ¿quién es X e Y? ¿Y
qué con las dos barritas verticales que encierran al numerador?
A, B y C, son los coeficientes de la ecuación general de la recta hacia la cual quieres
determinar la distancia (la pared). X e Y son las coordenadas del punto desde el cual
quieres calcular la distancia (o sea tu persona); las dos barritas verticales que encierran
al numerador indican un valor absoluto, es decir que no importa el signo del resultado
Para nuestro caso tenemos el punto: P(1, 6) y la recta: y=x-2, entonces…113Primero convirtamos la ecuación y=x-2 que está expresada de la forma y=mx+b, a la
forma Ax+By+C=0 (forma General de la ecuación de una recta). Para hacerlo
simplemente “pasamos” todos los términos del lado izquierdo del signo igual.
d= |(-1)(1)+(1)(6)+2| / ±√[(-1)2+(1)2]
d = |-1+6+2| / ±√[1+1]
d =|7| / ±√2
d = 7 / ±1.4142
d = 4.94 Unid. (Metros, centímetros, kilómetros o lo que se te pegue la gana en
unidades de longitud).
Exactamente lo mismo que con el procedimiento descrito en los temas anteriores
Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia de ti hacia la pared más próxima, contestarías
midiéndola en línea recta hacia qué punto de ella?
Lo cierto es que cuando se trata de distancias el que pregunta (o contesta) debe ser muy claro
en su cuestionamiento (o respuesta), porque no es igual medirla de ti al punto más alto de una
pared, o al más bajo o hacia un lado o hacia otro.114Si el que te pregunta no especificara el lugar de la pared al que quisiera saber la
distancia, entonces, lo más lógico es medirla en línea “recta” al punto de la pared más
Entonces, de la figura… ¿Cuál de las tres rectas determina la distancia de la persona a
la pared mostrada?
Ahora bien, la recta 2 tiene una característica “especial” respecto de las demás, es
PERPENDICULAR de la pared hacia ti (o viceversa). Entonces, cuando se trate de
medir físicamente la distancia de una persona hacia una pared de la cual no se
especificó ningún punto, la medición debe hacerse siempre en forma perpendicular.
La distancia de un punto a una recta siempre tiene que medirse en forma
perpendicular a los objetos a los que se hace referencia.
Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu cabeza a la pared? Obvio, tendrías
que trazar una perpendicular de la pared hacia tu cabeza.
Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu rodilla a la pared? Obvio, tendrías
que trazar una perpendicular de la pared a tu rodilla
Euclides también estableció dos postulados relacionados con la línea recta:
Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1).
Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la
suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas,
suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto
postulado).Características de la recta115Haz de rayos
Se le llama rayo o semirrecta a cada una de las dos partes en que queda dividida una
recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada
por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta,
denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola
dirección.2.
La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría
La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos
planos.Aplicación de la formula.Actividad: Resuelve los siguientes problemas:1.- Encontrar la ecuación general de la recta paralela a 3x – 4y + 12 = 0 que pasa por el
punto (4, -8)
2.- Encontrar la ecuación de la recta perpendicular a x – 3y +3 = 0 que pasa por el
punto (-3, 3)
3.- Encontrar la distancia entre las rectas:
a) -4x + 9y – 12 = 0 y -4x + 9y + 8 = 0
b) 5x + 8y + 1 = 0 y5x + 8y + 4 = 0c) x + y - 8 = 0 y - x - y + 9 = 0
d) 5x – 8y – 4 = 0 y-5x + 8y + 4 = 03.- Calcula la distancia que hay de la recta a el punto.
a) -2x + 5y – 7 = 0;(8, 10)b) 4x + 3y – 9 = 0 ;(-3, 7)c) -3x – y + 8 = 0(5, 1);1164.- Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y perpendicular a la
línea recta indicada en cada caso.
a) M (3,1)y = 3x + 4b) N(2,-1)y = - 4/3 – 4BIBLIOGRAFIA
Geometría y Trigonometría, Francisco José Ortiz Campos. Publicaciones Cultural
Geometría Plana y del Espacio,J. A. Baldor.Cultural Centroamericana, S. A.
Geometría y Trigonometría, Abelardo Guzmán Herrera.Publicaciones Cultural
Geometría Analítica, Paúl R. Rider. Ed.Montaner y Simón, S. A.Barcelona
Geometría Analítica, Charles H. Lehman. Ed. Limusa, S.A. de C.V.
Geometría Analitica, Frederick H. Steen, Edit. Cultural
Geometría Analítica, Elena de Oteyza, Edit. Pearson
Geometría Analítica, Miguel A. Martínez Aguilera Edit. Mc. Graw Hill
Matemáticas Arturo Méndez Hinojosa editorial Santillana Matemáticas III, Geometría
Analítica , Benjamín Garza Olvera, Dirección General de Educación., Sep.
↑www.euclides.org: Los Elementos[1]
Weisstein, Eric W. «Ray» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
↑Wooton, William. Geometría Analítica Moderna. México 1979. P.p. 90Enlaces externos
Wikcionario tiene definiciones para recta.
La Recta (Español)117All pages:2345678911121415161718192021242526272829313335363941424344454748505354555759606364666768697071727475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117InfoFavouriteLikeShareDownloadMoreApuntes Impresos Mate 2 Published on Mar 27, 2012 Antología de Mate 2jher61FollowRead moreRead moreSimilar toPopular nowJust for youGo explore

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