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Timestamp: 2020-02-23 08:32:46+00:00

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Biostatistik: Eine Einführung für Biologen und Agrarwissenschaftler (Springer-Lehrbuch) | Wolfgang Köhler, Gabriel Schachtel, Peter Voleske | download
Strona główna Biostatistik: Eine Einführung für Biologen und Agrarwissenschaftler (Springer-Lehrbuch)
Rasch statistische Verfahren zur Auswertung experimenteller Daten lernen und handhaben – das ist mit dieser bew?hrten und sehr gut verst?ndlichen Einf?hrung in die Biometrie ganz einfach. Grundlagen und Anwendung werden gleicherma?en dargestellt, wobei biologische und agrarwissenschaftliche Beispiele besonders ber?cksichtigt werden. Die Autoren vermitteln dem Anwender – soweit m?glich ohne Formeln und mathematische Symbolik - zun?chst ein Verst?ndnis f?r die hinter dem Verfahren stehende Grundidee. ?bersichtliche Rechenanleitungen regen den Leser an, die Verfahren anhand der Beispieldaten wirklich nachzurechnen. Das Buch ist als Begleittext zu einer Vorlesung ebenso geeignet wie zum Selbststudium, um darauf aufbauend alleine oder mit dem Statistiker komplexe statistische Verfahren anzuwenden.
Edycja: 4., aktualisierte u. erw. Aufl.
ISBN 10: 3540377107
ISBN 13: 9783540377108
Pobierz (pdf, 6.00 MB)
Upgrading and Repairing PCs, w. CD-ROM
Gabriel Schachtel
Peter Voleske
Vierte, aktualisierte und erweiterte Auﬂage
Mit  Abbildungen und  Tabellen
Prof. Dr. Wolfgang Köhler
Dr. Gabriel Schachtel
Universität Gießen
Biometrie und Populationsgenetik
Heinrich Buﬀ Ring –
 Gießen
Wolfgang.Koehler@agrar.uni-giessen.de
Gabriel.Schachtel@agrar.uni-giessen.de
Dr. Peter Voleske
Grünenthal GmbH
Zieglerstraße 
 Aachen
Peter.Voleske@grunenthal.com
ISBN ---- Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN --- . Auﬂage Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 
ISBN --- . Auﬂage Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 
ISBN --- . Auﬂage Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 
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c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 
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keine Gewähr übernommen werden. Derartige Angaben müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall
anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden.
Planung: Dr. Dieter Czeschlik, Heidelberg
Redaktion: Stefanie Wolf, Heidelberg
Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig
Umschlaggestaltung: WMXDesign, Heidelberg
Umschlagabbildung: Polygon einer Häuﬁgkeitsverteilung mit eingezeichneten Quartilen Q, Z, Q
(= Abb. .); Feldversuch mit Lein (Foto: Prof. Dr. Wolfgang Friedt, Gießen)
Satz: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig, nach Vorlage der Autoren
SPIN 
//YL –      
Vorwort zur 4. Auﬂage
Die vorliegende 4. Auﬂage der Biostatistik wurde an verschiedenen Stellen wesentlich überarbeitet und ergänzt. Einzelne Paragraphen wurden umgestellt,
gekürzt oder überarbeitet, andere neu hinzugefügt. Insbesondere wurde das
Thema Regression um einen neuen Paragraphen zur Kovarianzanalyse und
zur multiplen linearen Regression erweitert. Mit der rasanten Verbreitung
leistungsfähiger PCs erschien es uns angeraten, eine kurze Einführung in die
inferenzstatistischen Methoden des Resamplings anzubieten. Darüber hinaus
wurde die Auswahl englischer Fachausdrücke ausgebaut und das Sachverzeichnis weiter vervollständigt.
Die bewährte Darstellungsweise der vorherigen Auﬂagen wurde beibehalten: die statistischen Methoden werden möglichst anschaulich erklärt, wobei
neben dem Grundgedanken die einzelnen Rechenschritte beschrieben und das
Ganze an konkreten Beispielen jeweils so demonstriert wird, daß der Leser
ein Gefühl für das Verfahren entwickeln kann. Der Formelismus“ wird auf
das Notwendigste beschränkt, während die Voraussetzungen der einzelnen
Verfahren betont werden, um den Anwender an einen kritischen Gebrauch
heranzuführen. Denn das immer größere Angebot an komfortablen statistischen Programmpaketen verleitet geradezu, komplizierte Analysen ohne ausreichendes Verständnis einfach durchzurechnen.
Wir danken allen, die durch ihre Kommentare, Kritik, Anregungen und
durch ganz konkrete Verbesserungsvorschläge die Überarbeitung und Erweiterung des Buches unterstützt haben. An erster Stelle sind hier unsere Kollegen Elisabeth Schmidt, Jutta Ahlemeyer, Markus Horst und Jörn
Pons-Kühnemann, sowie unsere aufmerksamen Studenten zu nennen.
Für Hinweise und Ratschläge unserer Leserinnen und Leser sind wir auch
zukünftig dankbar.
Gießen und Aachen, März 2007
Vorwort zur 3. Auﬂage
Die nun vorliegende 3. Auﬂage der Biostatistik wurde in mehreren Kapiteln
wesentlich überarbeitet. Einzelne Abschnitte wurden stark gekürzt, andere
ergänzt und auch neue Themen hinzugefügt. Dabei ist es uns gelungen, daß
der Gesamtumfang des Buches nur geringfügig zugenommen hat. Unser Ziel
war es, den Umgang mit statistischen Methoden in anschaulicher Form zu
vermitteln, um dem Anwender den Zugang zur Statistik zu erleichtern. Daher
wurde, wie bereits in den früheren Auﬂagen, auf unnötige Abstraktionen
Wir danken allen, die uns durch sachliche Hinweise und kritische Kommentare unterstützt haben. Unser besonderer Dank gilt Frau Elisabeth
Schmidt für eine Vielzahl von Anregungen und Verbesserungsvorschlägen.
Für sorgfältige technische Hilfe bei der Anfertigung des Manuskripts und der
zusätzlichen graphischen Darstellungen danken wir Frau Anita Schmid.
Sehr hilfreich für die Überarbeitung waren die Ratschläge von Lesern und
Leserinnen. Da es wohl kaum ein perfektes Lehrbuch gibt, sind wir auch
zukünftig für Verbesserungsvorschläge dankbar.
Gießen und Aachen, im November 2001
Die vorliegende 2. Auﬂage der Biostatistik wurde in einzelnen Abschnitten
ergänzt und überarbeitet. Wesentlichste Veränderung ist die Aufnahme eines
Anhangs zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
mit einer Einführung wichtiger Wahrscheinlichkeits- und Prüfverteilungen;
wieder wurde auf unnötige Abstraktionen verzichtet, um in anschaulicher
Form den Zugang zur Statistik zu erleichtern. Wir hoﬀen, daß den Leserlnnen
mit diesem zusätzlichen Anhang ein hilfreiches Repetitorium zum schnellen
Auﬀrischen ihrer Statistik-Kenntnisse bereitsteht.
Für vielfältige Unterstützung bei der Überarbeitung sei Frau A. Herrmann gedankt.
Gießen, im Oktober 1995
Vorwort zur 1. Auﬂage
Dieses Buch richtet sich an die Anwender statistischer Methoden aus der
Biologie und den Agrarwissenschaften. Es versucht die behandelten statistischen Verfahren mit möglichst wenig Formalismus, durch anschauliche Beispiele und mit Hilfe graphischer Darstellungen ausführlich zu erläutern. Die
Auswahl des behandelten Stoﬀes erfolgte unter dem Gesichtspunkt, daß im
Verlauf eines Semesters ein Einblick sowohl in die beschreibende als auch in
die schließende Statistik und in die Versuchsplanung möglich ist. Auf eine
Aufarbeitung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde verzichtet. Zur Wiederholung empfehlen wir z. B. das entsprechende Kapitel
aus dem Buch von Batschelet (s. Literaturhinweise).
Ziel dieses Lehrbuches ist es nicht, aus einem Anwender einen Statistiker
zu machen, sondern es gilt, den Dialog zwischen beiden zu ermöglichen. Dieser
Dialog in Form von statistischer Beratung wird als wesentlich angesehen und
sollte nicht erst nach Durchführung der Datenerhebung, sondern möglichst
schon im Stadium der Versuchsplanung beginnen.
Die Anwendung rechenaufwendiger und komplizierter statistischer Verfahren ist durch den Einsatz von Computern und durch die damit verbundene zunehmende Verbreitung statistischer Programmpakete wesentlich erleichtert worden. Einerseits ermöglicht dies eine verbesserte und umfangreichere
Auswertung der in einem Datensatz enthaltenen Informationen, andererseits
verführt dieser unkomplizierte Zugang zu unkritischer Anwendung der verschiedensten statistischen Methoden, ohne die zugrunde liegenden Voraussetzungen der Verfahren zu berücksichtigen. Ein Hauptanliegen dieses Buches
ist es daher, die hinter den beschriebenen Verfahren stehenden Fragestellungen und Modelle zu vermitteln, um so dem Anwender eine bessere Grundlage
und Motivation bei der Auswahl geeigneter Statistik-Prozeduren zur Verrechnung seiner Daten zu geben. Dadurch wird er auch in die Lage versetzt, die
Tragfähigkeit seiner Ergebnisse besser zu beurteilen.
Obwohl wir nach Beschreibung der Grundgedanken zu jedem Verfahren
den Rechengang in Kästchen“ anführen, wollen wir keine Rezeptsammlung“
vorlegen. Das Durchrechnen von Beispielen anhand dieser Kästchen soll nach
der allgemeinen Beschreibung eine konkrete Vorstellung vom rechnerischen
Ablauf der Verfahren vermitteln. Wir empfehlen dem Leser die angeführten
Beispiele jeweils eigenständig mit dem Taschenrechner durchzurechnen. Ne-
ben der Einübung der Verfahren können die Rechenanleitungen zur schnellen
Auswertung kleiner Versuche hilfreich sein. Grundsätzlich wurden Fragestel”
lung“ und Voraussetzung“ in den Kästchen aufgeführt, um hervorzuheben,
daß stets geklärt sein muß, ob die Daten den Anforderungen des gewählten
Verfahrens genügen.
Bei der Behandlung multipler Vergleiche haben wir auf die Unterscheidung zwischen geplanten (a priori) und ungeplanten (a posteriori) Testmethoden Wert gelegt. Bei den A-priori-Verfahren wurde die äußerst begrenzte Anwendungsmöglichkeit dieser Tests im Rahmen der Hypothesenprüfung
(konﬁrmatorische Statistik) hervorgehoben. Es muß aber an dieser Stelle betont werden, daß damit ihre Bedeutung beim Aufdecken möglicher Signiﬁkanzen im Rahmen einer Hypothesenﬁndung (explorative Datenanalyse) nicht
geschmälert werden soll. In keiner Weise war unser Anliegen, die Biometrie
in eine inferenzstatistische Zwangsjacke“ zu stecken. Nur sollte der belieb”
ten Unsitte entgegengetreten werden, explorativ erhaltenen Aussagen konﬁrmatorische Autorität durch Angabe einer Sicherheitswahrscheinlichkeit zu
Ein ausführliches Sachverzeichnis soll dem Leser ermöglichen, das Buch
später auch zum Nachschlagen spezieller Abschnitte zu verwenden. Die Aufnahme eines Verzeichnisses englischer Fachausdrücke schien uns angesichts
der meist englischsprachigen statistischen Programmpakete sinnvoll.
Unser Dank gilt allen, die durch Fragen und Kritik die heutige Form
des Buches beeinﬂußten, insbesondere Frau Chr. Weinandt für die Geduld
beim Tippen des Manuskripts, Herrn A. Wagner für die sorgfältige Anfertigung der über 60 graphischen Darstellungen und Frau R. Plätke für
vielfältige Vorschläge zur inhaltlichen Gestaltung.
Gießen, im Juni 1992
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel I: Merkmalsauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§1 Wahl geeigneter Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Objektivität, Reliabilität, Validität . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die verschiedenen Skalen-Niveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel II: Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2 Tabellen zur Darstellung monovariabler Verteilungen . . . . . . . .
§3 Graphische Darstellung monovariabler Verteilungen . . . . . . . . .
Verschiedene Arten graphischer Darstellung . . . . . . . . . .
Die Schaubilder einiger Verteilungstypen . . . . . . . . . . . .
Das Summenhäuﬁgkeits-Polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . als die Bilder lügen lernten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4 Charakteristische Maßzahlen monovariabler Verteilungen . . . .
Die Lageparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Anwendung der eingeführten Maßzahlen . . . . . . . . .
§5 Graphische Darstellung bivariabler Verteilungen . . . . . . . . . . . .
§6 Zur Korrelationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Pearsonsche Maßkorrelationskoeﬃzient . . . . . . . . . .
Das Bestimmtheitsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Interpretation von Korrelationskoeﬃzient
und Bestimmtheitsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Spearmansche Rangkorrelationskoeﬃzient . . . . . . .
Der Kontingenzkoeﬃzient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§7 Zur Regressionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ermittlung einer Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . .
Einige Achsentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Datentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel III: Einführung in die schließende Statistik . . . . . . . . . . .
§8 Grundgedanken zur Test-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zielsetzung statistischer Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fehler 1. Art und 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einseitige und zweiseitige Fragestellung . . . . . . . . . . . . .
Prüfstatistik und Prüfverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorgehen bei statistischen Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§9 Eine Auswahl wichtiger Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tests bei normalverteilten Grundgesamtheiten . . . . . . .
Tests zu ordinalskalierten Daten (Rangtests) . . . . . . . . .
Tests zu nominalskalierten Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§10 Vertrauensbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Konﬁdenzintervalle für µ bei Normalverteilung . . . . . . .
10.2 Konﬁdenzintervalle für die Diﬀerenz von µx und µy
bei Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel IV: Varianzanalyse bei normalverteilten
Gesamtheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§11 Grundgedanken zur Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 Zerlegung der Varianz nach Streuungsursachen . . . . . . .
11.2 Unterscheidung in feste und zufällige Eﬀekte . . . . . . . . .
§12 Einfaktorielle Varianzanalyse (Modell I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1 Mathematische Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Zu den Voraussetzungen der Varianzanalyse . . . . . . . . .
12.3 Zerlegung in Streuungskomponenten . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Durchführung der einfaktoriellen Varianzanalyse
(Modell I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§13 Zweifaktorielle Varianzanalyse (Modell I) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Das zweifaktorielle Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Durchführung der zweifaktoriellen ANOVA
(mehrfache Besetzung, Modell I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Die zweifaktorielle ANOVA ohne Wiederholungen
§14 Prüfung der Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1 Zwei Tests auf Varianzhomogenität . . . . . . . . . . . . . . . . .
§15 Multiple Mittelwertvergleiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1 Einige A-priori-Testverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Einige A-posteriori-Testverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Anschlusstests bei signiﬁkanten Wechselwirkungen . . . .
§16 Varianzanalyse mit zufälligen Eﬀekten (Modell II) . . . . . . . . . .
16.1 Einfaktorielle Varianzanalyse mit zufälligen Eﬀekten
(Modell II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Zweifaktorielle Varianzanalyse mit zufälligen Eﬀekten
16.3 Zweifaktorielle Varianzanalyse mit festen und
zufälligen Eﬀekten (gemischtes Modell) . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel V: Varianzanalyse bei ordinalskalierten Daten . . . . . . . .
§17 Parameterfreie Verfahren für mehrere unabhängige
Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1 Der H -Test (Kruskal-Wallis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Der Nemenyi-Test für multiple Vergleiche . . . . . . . . . . . .
§18 Parameterfreie Verfahren für mehrere verbundene
18.1 Der Friedman-Test (Rangvarianzanalyse) . . . . . . . . . . . .
18.2 Der Wilcoxon-Wilcox-Test für multiple Vergleiche . . . . .
Kapitel VI: Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§19 Grundgedanken zur Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1 Interessierende Fragestellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Zu den Voraussetzungen einer Regressionsanalyse . . . . .
19.3 Mathematische Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§20 Lineare Regression bei einfacher Besetzung . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1 Signiﬁkanzprüfung auf Anstieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Berechnung von Konﬁdenzintervallen . . . . . . . . . . . . . . .
20.3 Durchführung der Regressionsanalyse (ohne
Wiederholung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§21 Lineare Regression bei mehrfacher Besetzung . . . . . . . . . . . . . .
21.1 Prüfung der Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Durchführung der Regressionsanalyse (mit
§22 Ergänzungen zur Varianz- und Regressionsanalyse . . . . . . . . . .
22.1 Zur Kovarianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Zur multiplen linearen Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel VII: Resampling-basierte Inferenzstatistik . . . . . . . . . . . .
§23 Drei Randomisierungs-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.1 Permutations-Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.2 Die Jackknife-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.3 Die Bootstrap-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapitel VIII: Zur Versuchsplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§24 Am Anfang sollte die Versuchsplanung stehen . . . . . . . . . . . . . .
24.1 Treﬀgenauigkeit und Präzision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.2 Einige Grundsätze der Versuchsplanung . . . . . . . . . . . . .
24.3 Verschiedene Versuchsanordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.4 Zur Wahl des Stichprobenumfangs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anhang: Einige Grundlagen der
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§25 Bezeichnungen, Axiome, Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.1 Zufallsereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.2 Der Wahrscheinlichkeitsbegriﬀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.3 Die axiomatische Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit . . .
25.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit . . . . .
25.5 Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25.6 Kombinatorik oder die Kunst des Abzählens . . . . . . . . .
§26 Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.1 Zur Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.2 Zur Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.3 Zur Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.4 Standardnormalverteilung und z -Transformation . . . . .
§27 Prüfverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.1 Die Normalverteilung als Prüfverteilung . . . . . . . . . . . . .
27.2 Zur t -Verteilung von Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.3 Zur χ2 -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.4 Zur F -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Tabellen-Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Auswahl englischer Fachausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Das vorliegende Buch will eine Einführung in die Denk- und Arbeitsweise der
Biostatistik sein. Dieser Zweig der Statistik befasst sich mit der Anwendung
statistischer Verfahren auf die belebte Natur und wird auch oft als Biometrie
bezeichnet. Ein wesentliches Ziel der Biostatistik ist es, Methoden bereitzustellen, um in Biologie, Agrarwissenschaft und Medizin eine Hilfestellung
bei der Erhebung, Beschreibung und Interpretation von Daten zu geben.
Die Biostatistik lässt sich, ebenso wie die Statistik insgesamt, in zwei
große Bereiche unterteilen:
– die deskriptive oder beschreibende Statistik,
– die analytische oder schließende Statistik.
Die beschreibende Statistik hat das Ziel, die gewonnenen Daten so darzustellen, dass das Wesentliche deutlich hervortritt – was wesentlich“ ist, hängt
von der Problemstellung ab, unterliegt aber auch häuﬁg der subjektiven Entscheidung des Fachwissenschaftlers. Um Übersichtlichkeit zu erreichen, muss
das oft sehr umfangreiche Material geeignet zusammengefasst werden. Die beschreibende Statistik bedient sich zu diesem Zweck hauptsächlich dreier Formen: Tabellen, graphischer Darstellungen und charakteristischer Maßzahlen.
Die analytische Statistik schließt dann an Hand des vorliegenden Datenmaterials auf allgemeine Gesetzmäßigkeiten. Dabei sind zunächst nur Daten über konkrete Einzelerscheinungen gegeben, und man bemüht sich, aus
der zufälligen Unregelmäßigkeit“ der Einzelerscheinungen auf statistische
Regelmäßigkeiten“ (Gesetzmäßigkeiten) der Massenerscheinungen zu folgern.
Die analytische Statistik basiert auf der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Beispiel: Untersucht wurde die Absterberate unter Einwirkung von 300 µg
DDT auf 100 Männchen der Tauﬂiege Drosophila melanogaster. Tabelle 0.1
gibt die Anzahl gestorbener Fliegen nach Beginn der DDT-Behandlung an.
Tabelle 0.1. Kumulative Sterbehäuﬁgkeit von D. melanogaster nach DDTBehandlung
Stunden nach Behandlungsbeginn
Gesamtzahl gestorbener
Abb. 0.1. Graphische Darstellung zu
Tabelle 0.1
Wir können aus den Daten selbstverständlich keine Vorhersage über den Sterbezeitpunkt einer bestimmten individuellen Fliege machen. Wir können auch
nicht behaupten, dass bei Versuchswiederholung erneut zwei Fliegen nach 6
Stunden überlebt haben werden. Es kann aber mit Hilfe der schließenden
Statistik überprüft werden, ob nach 3 Stunden über die Hälfte der Fliegen
der untersuchten Population sterben, wenn sie dieser DDT-Behandlung ausgesetzt werden.
Neben den beiden Aufgaben der Biostatistik, vorgelegtes Datenmaterial
zu ordnen und Schlüsse daraus zu ermöglichen, ist die dritte ebenso wichtige
Aufgabe der Biostatistik, den Fachwissenschaftler vom statistischen Standpunkt aus bei einer möglichst sinnvollen Datenerhebung anzuleiten. Diese
statistische Beratung vor Ausführung eines Versuches (bzw. einer Untersuchung) hat das Bestreben, die Ermittlung der Daten so anzulegen, dass die
spätere Beschreibung und Auswertung möglichst eﬀektiv wird und einen optimalen Beitrag zur Beantwortung der interessierenden Fragestellung liefert.
Diesen Bereich der Biostatistik bezeichnet man als Versuchsplanung.
Vielleicht wird die Zielsetzung der Statistik durch die folgenden typischen
Fragen am besten verdeutlicht:
– Welche Daten soll man zur Beantwortung einer gegebenen Aufgabenstellung ermitteln?
– Wieviel Daten soll man ermitteln?
– Auf welche Art soll man das Untersuchungsmaterial auswählen?
– Wie soll man seine Untersuchungsdaten ermitteln?
– Wie sollen die gewonnenen Daten geordnet werden?
– Wie sollen die Daten beschrieben und übersichtlich dargestellt werden?
– Wie wertet man die Daten aus?
– Welche Schlüsse lassen sich ziehen?
– Wie zuverlässig sind die getroﬀenen Aussagen?
– Welche weiterführenden Fragestellungen haben die Ergebnisse aufgeworfen?
Man kann diesen Fragenkatalog in drei Schritte zusammenfassen:
1. Aufgabenstellung. Nach präziser Formulierung der Fragestellung muss eine geeignete Wahl von Merkmalen getroﬀen, eine Mess- bzw. Beobachtungsmethode festgelegt und ein Versuchsplan aufgestellt werden.
2. Datengewinnung. Gewinnung des Untersuchungsmaterials (Ziehen der
Stichprobe) und Ausführung der Messungen bzw. Beobachtungen an diesem Material.
3. Datenverarbeitung. Das gewonnene Datenmaterial muss graphisch und
rechnerisch aufbereitet werden, dann sind Schlüsse von der Stichprobe
auf die Grundgesamtheit zu ziehen; diese werden anschließend geprüft
und interpretiert.
Die Biostatistik liefert insbesondere Beiträge zur Lösung des ersten und
dritten Punktes.
Bemerkung 1: Die Biometrie bzw. die Biostatistik ist ein Zweig der Statistik,
der sich mit der Anwendung mathematisch-statistischer Methoden auf die belebte
Natur befasst. Die beiden Bezeichnungen für dieses Fachgebiet galten lange Zeit als
weitgehend austauschbar. So wurde das entsprechende Lehrangebot in den Agrarwissenschaften Biometrie genannt, während in der Biologie und in der Medizin
dafür die Bezeichnung Biostatistik oder auch Biomathematik üblich war. In der
letzten Zeit aber hat der Begriﬀ Biometrie in der Öﬀentlichkeit eine wesentliche Einschränkung erfahren und wird oft als Synonym für den Identitätsnachweis von Personen unter Verwendung ihrer individuellen körperlichen Merkmale verstanden. Der
Begriﬀ Biometrie steht in diesem Fall für die Technik der automatischen Erkennung
von Personen anhand ihrer persönlichen Charakteristika. Um Missverständnisse zu
vermeiden, benutzen wir in dieser Auﬂage nur die Bezeichnung Biostatistik für
unser Fachgebiet.
Bemerkung 2: Die Einteilung in beschreibende und schließende Statistik wurde
gewählt, um die unterschiedliche Zielsetzung der in den beiden Bereichen verwendeten Methoden herauszustellen. Durch die Verbreitung des Computers können heute deskriptive Methoden intensiver zur Datenanalyse herangezogen werden. Dabei
steht nicht nur die Datenreduktion und -charakterisierung, sondern darüber hinaus auch das Entdecken möglicher noch unbekannter Strukturen in den gegebenen
komplexen Datenmengen im Vordergrund (data-snooping). Das Vorliegen solcher
Strukturen muss dann anschließend aufgrund eines entsprechenden Versuchsplans
mit Hilfe der Methoden der schließenden Statistik bestätigt werden. Aufgrund dieses neuen Konzeptes werden für die beiden Bereiche die Bezeichnungen explorative
Datenanalyse bzw. konﬁrmatorische Datenanalyse verwendet.
Bemerkung 3: Leider wird in Praktika selten auf die Probleme bei der Aufgabenstellung eingegangen. Dem Studenten sind Fragestellung, zu messendes Merkmal und Stichprobe vorgegeben. Er beginnt dann mit dem Messen, ohne über die
Gründe der Auswahl von Merkmal und Stichprobe Näheres zu erfahren. Bei der
Datenaufbereitung bleibt er deshalb meist beim Beschreiben seiner Untersuchungsergebnisse stehen, ohne sie zu analysieren. Später aber in der Diplomarbeit erwartet
man von ihm die selbständige Durchführung aller drei Schritte einer Untersuchung,
nur die Fragestellung wird ihm vorgegeben.
Das folgende erste Kapitel soll daher deutlich machen, welche Bedeutung
schon der sinnvollen Wahl der Merkmale zukommt.
Kapitel I: Merkmalsauswahl
§1 Wahl geeigneter Merkmale
1.1 Objektivität, Reliabilität, Validität
Liegt dem Fachwissenschaftler eine Fragestellung vor, so muss er sich entscheiden, welche Merkmale er zur Beantwortung seiner Frage sinnvollerweise
untersucht. Dazu sollte er zunächst die folgenden drei Kriterien bei der Auswahl seiner Merkmale beachten:
Die Ausprägung des zu ermittelnden Merkmals ist unabhängig von der Person
des Auswerters eindeutig festzustellen.
Beispiel: Die Bewertung von Deutsch-Aufsätzen ist oft stark vom beurteilenden Lehrer abhängig und somit wenig objektiv.
Das Merkmal gestattet reproduzierbare Mess- (bzw. Beobachtungs-) Ergebnisse, bei Wiederholung liegen also gleiche Resultate vor. Statt Reliabilität
wird auch von Zuverlässigkeit“ gesprochen.
Beispiel: Beim Test einer neuen Methode zur Messung der Enzymaktivität
wurde das untersuchte Homogenat in mehrere gleiche Proben aufgeteilt und
jeweils gemessen. Die erhaltenen Ergebnisse unterschieden sich teilweise um
eine Größenordnung (Faktor 10). Die Methode musste als unzuverlässig verworfen werden.
Das Merkmal in seinen Ausprägungen spiegelt die für die Fragestellung wesentlichen Eigenschaften wider. Statt Validität wird auch von Gültigkeit“
oder Aussagekraft“ gesprochen.
Beispiel: Bei der Zulassung zum Medizin-Studium spielt die Durchschnittsnote im Abitur eine wichtige Rolle. Hat dieses Merkmal tatsächlich eine zentrale Bedeutung für die Beurteilung, ob die Fähigkeit zum Arztberuf vorliegt?
1.2 Die verschiedenen Skalen-Niveaus
Wenn man die eben beschriebenen Kriterien bei der Merkmalsauswahl berücksichtigt hat, dann stehen in den meisten Fällen immer noch eine Vielzahl geeigneter Merkmale zur Verfügung. Es ist ratsam, sich nun über das jeweilige
Skalenniveau der geeigneten Merkmale Gedanken zu machen. Man unterscheidet nach der Art der Merkmalsausprägungen verschiedene Skalenniveaus:
Qualitative Gleichwertigkeit wird in einer Nominalskala festgehalten. Das
Merkmal ist in mindestens zwei diskrete Kategorien (Klassen, Merkmalsausprägungen) unterteilt. Man beobachtet die Anzahl des Auftretens jeder
Kategorie, es wird also gezählt, wie häuﬁg die Merkmalsausprägungen jeweils
vorkommen. Die Kategorien sind diskret, weil Zwischenstufen nicht zugelassen werden. D. h. eine Ausprägung fällt entweder in die eine oder andere
Kategorie, liegt aber nicht zwischen“ zwei Kategorien.
Beispiel: Das Merkmal Geschlecht mit den Ausprägungen weiblich und
männlich ist nominalskaliert. Das Merkmal Farbe mit den Ausprägungen rot,
grün, blau und braun ist ebenfalls nominalskaliert.
Die Rangfolge wird in einer Ordinalskala festgehalten. Die Merkmalsausprägungen treten in vergleichbaren, diskreten Kategorien auf und lassen sich
nach Größe, Stärke oder Intensität anordnen. Zum Zählen kommt zusätzlich
ein ordnendes Vergleichen hinzu, somit wird mehr Information als bei einer
Nominalskala verarbeitet.
Beispiel: Das Merkmal Leistung mit den Ausprägungen sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend und mangelhaft ist ordinalskaliert. Die EG-Qualitätsnorm für Äpfel mit den Ausprägungen Extra, I, II, III (Handelsklassen) ist
ebenfalls eine Ordinalskala.
Mangel der Ordinalskala: Man weiß zwar, dass die eine Merkmalsausprägung ein größer, stärker oder schneller als eine andere Ausprägung bedeutet,
über das wie viel größer, stärker oder schneller“ ist aber nichts ausgesagt.
Beispiel: Aus der olympischen Medaillenvergabe weiß man zwar, dass Gold
besser als Silber und Silber besser als Bronze ist. Dabei kann aber durchaus
(z. B. 100-m-Lauf) der Unterschied Gold (10.1 sec) zu Silber (10.2 sec) klein
sein (0.1 sec), während zwischen Silber und Bronze (10.7 sec) ein großer
Abstand klaﬀt (0.5 sec). Diese Information geht verloren, nur Rangplätze
zählen.
Die Abstände zwischen den Merkmalsausprägungen können durch eine Intervallskala festgehalten werden. Gleiche Diﬀerenzen (Intervalle) auf der Skala
entsprechen gleichen Diﬀerenzen beim untersuchten Merkmal. Im Vergleich
zur Ordinalskala erlaubt also die Intervallskala zusätzlich zur Anordnung der
Merkmalsausprägungen auch den Vergleich der Abstände zwischen den Ausprägungen. Die Skala ist nicht mehr diskret sondern kontinuierlich.
Beispiel: Das Merkmal Temperatur mit Ausprägungen in Grad Celsius (◦C)
ist intervallskaliert. Eine Temperatur-Schwankung von –3 ◦C bis +6 ◦C im Januar und von +20 ◦C bis +29 ◦C im Juli ist gleich groß, da die Diﬀerenz zwischen maximaler und minimaler Temperatur in beiden Monaten 9 ◦C beträgt.
Die Schwankungen im Januar und im Juli haben sich jeweils in TemperaturIntervallen gleicher Länge (9 ◦C) bewegt.
Verhältnisskala
Nicht nur die Diﬀerenz, sondern auch der Quotient aus zwei Messwerten darf
bei Verhältnisskalen verwendet werden. Während die Intervallskala nur den
Vergleich von Diﬀerenzen (Abständen) gemessener Werte erlaubt, ist bei der
Verhältnisskala auch der Vergleich der Quotienten (Verhältnisse) gemessener
Werte sinnvoll. Die sinnvolle Berechnung von Quotienten ist möglich, weil
Verhältnisskalen einen eindeutig festgelegten und nicht willkürlich gesetzten
Nullpunkt haben.
Beispiel: Das Merkmal Länge mit Ausprägungen in Zentimetern (cm) genügt
einer Verhältnisskala. Der Nullpunkt ist nicht willkürlich deﬁnierbar. Daher
sagt auch der Quotient etwas über das Längenverhältnis zweier Messwerte
aus: 32 cm ist zweimal so lang wie 16 cm, der Quotient ist 2.
Die Temperatur in ◦C gemessen erfüllt dagegen nicht die Anforderungen
einer Verhältnisskala, 32 ◦C ist (physikalisch gesehen) nicht doppelt so warm
wie 16 ◦C, wie eine Umrechnung in Grad Fahrenheit oder in Kelvin zeigt. Bei
der Festlegung der Celsius-Skala wird der Gefrierpunkt von H2 O willkürlich
zum Nullpunkt der Skala erklärt. Dagegen ist bei Kelvin der niedrigste theoretisch erreichbare Temperaturzustand zum Nullpunkt bestimmt worden, es
wurde hier also kein willkürlicher, sondern der allen Substanzen (nicht nur
H2 O) gemeinsame absolute Nullpunkt gewählt. Somit ist die Kelvin-Skala eine Verhältnis-Skala und es ist physikalisch sinnvoll, eine Temperatur von 300
K als doppelt so warm wie 150 K zu bezeichnen.
Die vier Skalenniveaus wurden hier in aufsteigender Folge eingeführt, jedes höhere Skalenniveau erfüllt jeweils auch die Anforderungen der niedrigeren Skalen. D. h. jedes Merkmal kann zumindest auf Nominalskalenniveau
gemessen“ werden, während nicht jedes Merkmal auch ein höheres Skalen”
niveau zulässt.
Beispiel: Das Merkmal Länge kann, muss aber nicht auf dem höchsten
Verhältnisskalen-Niveau gemessen werden. Für viele Fragestellungen genügt
eine Nominalskala. So interessiert sich die Post bei Standardbriefen nur für
die Frage: Ist die Höhe des Briefes über 0.5 cm (Porto-Zuschlag) oder darunter (normales Porto)? Wir haben also eine Längen- Messung“ durch eine
Nominalskala mit zwei Kategorien vorzunehmen. Das Merkmal Geschlecht
lässt sich dagegen nur nominalskalieren und auf keinem höheren Skalenniveau messen.
Bemerkung: Gelegentlich wird neben diesen vier Skalen noch von einer weiteren,
der Absolutskala, gesprochen. Bei ihr sind Nullpunkt und Einheit natürlicherweise
festgelegt, und sie stellt somit das höchste metrische Niveau dar. So kann die Intensität einer Strahlungsquelle in Lux (Verhältnisskala) oder durch die Anzahl der
von ihr pro Zeiteinheit emittierten Quanten (Absolutskala) gemessen werden.
Im Experiment wird in der Regel eine Bezugsgröße festgelegt und dann die Anzahl des interessierenden Ereignisses bezogen auf diese Größe erfasst, beispielsweise
die Anzahl Nematodenzysten pro Bodenprobe (vgl. §13.3) bzw. die Anzahl Larven
pro Blattﬂäche (vgl. §18.1) oder die Anzahl induzierter Chromosomenbrüche pro
Mitose (vgl. §24.2). In all diesen Fällen stellt die Anzahl der Ereignisse pro Bezugsgröße die erfasste Merkmalsausprägung dar. Sie darf nicht mit der Häuﬁgkeit des
Auftretens eines Merkmals verwechselt werden.
Wir haben die Unterscheidung in verschiedene Skalenniveaus vorgenommen,
weil sie bei der Merkmalsauswahl berücksichtigt werden sollte. Denn das Skalenniveau der Merkmale entscheidet, welche Verfahren für die spätere Datenauswertung zulässig sind. Viele statistische Verrechnungsmethoden sind nur
ab einem bestimmten Skalenniveau möglich und sinnvoll.
Beispiel: Aus nominalskalierten Daten darf kein arithmetisches Mittel berechnet werden. Was sollte der Mittelwert aus 4 Hunden und 3 Katzen sein?
Im Vorgriﬀ auf spätere Kapitel wollen wir schon hier tabellarisch einen Eindruck von der engen Beziehung zwischen Skalenniveau und statistischer Auswertung vermitteln:
Tabelle 1.1. Notwendiges Skalenniveau einiger statistischer Verfahren
Mess-Niveau
zugehörige Daten
Maßzahlen und Tests
Nominal-Skala
Häuﬁgkeiten
C, D, H, p, χ2 -Test
Ordinal-Skala
Rangplätze
R, Z, V, U -Test
Intervall-Skala
r, x̄, s, t-Test
Verhältnis-Skala
G, cv
Die statistischen Möglichkeiten bei der Auswertung sind vom Skalenniveau abhängig, weil auf höherem Niveau mehr Information festgehalten und
ausgewertet werden kann, als bei niedrigeren Skalierungen. Meist ist aber
dieser Anstieg an Information verbunden mit größerem Aufwand in der Untersuchungsmethodik. Dieser Sachverhalt sollte bei der Wahl der geeigneten
Merkmale berücksichtigt werden.
Beispiel: Wir planen ein Experiment zur Untersuchung der Wirksamkeit eines Insektizids (Repellent) auf verschiedene Arten von Blattläusen. Es stellt
sich die Frage, welche Merkmale geeignet sind, um etwas über die Wirksamkeit des Insektizids zu erfahren. Aus einer Anzahl denkbarer Merkmale
haben wir mit Hilfe der Kriterien Objektivität, Reliabilität und Validität
einige sofort als ungeeignet verworfen. Nach dieser Vorauswahl seien beispielsweise nur noch drei Merkmale verblieben, die wir im Versuch messen
(bzw. beobachten) könnten:
1. Wir beobachten, ob die Läuse auf der Pﬂanze bleiben oder abfallen und
notieren die Anzahl abgefallener und nicht-abgefallener Läuse. Dadurch
erhalten wir eine Nominalskala.
2. Wir beobachten, ob die Läuse auf der Pﬂanze saugen, nur probesaugen
oder nicht saugen. Hierbei handelt es sich um eine Ordinalskala.
3. Wir messen die Zeitdauer des Saugens, womit wir eine Verhältnisskala
Bei der Entscheidung für einen der drei Wege sollte bedacht werden, dass
mit dem Anstieg an Information auch der Aufwand des Versuches steigt.
Das Schema 1.1 stellt die eben beschriebenen Zusammenhänge nochmals
übersichtlich dar. (In unserem Beispiel fehlt ein intervallskaliertes Merkmal,
da sehr häuﬁg die intervallskalierten Merkmale auch Verhältnisskalen-Niveau
Schema 1.1. Fragestellung, geeignete Merkmale und Skalenniveau
Kapitel II: Beschreibende Statistik
In der beschreibenden Statistik werden Verfahren zur übersichtlichen Darstellung von Untersuchungsergebnissen bereitgestellt. Stammen diese Daten
aus der Untersuchung eines einzigen Merkmals, so erhält man Verteilungen
von nur einer Variablen und bezeichnet diese als monovariable Verteilungen.
Entsprechend spricht man bei zwei untersuchten Merkmalen von bivariablen
Verteilungen, mit denen wir uns allerdings erst in §5 beschäftigen werden.
Wie schon erwähnt, sind es im Wesentlichen drei Formen, welche die deskriptive Statistik zur übersichtlichen Beschreibung von Daten anbietet:
– Tabellen,
– Graphische Darstellungen,
– Charakteristische Maßzahlen.
In den ersten drei Paragraphen dieses Kapitels werden diese drei Darstellungsweisen im Einzelnen erläutert, wobei wir uns zunächst auf monovariable
Verteilungen beschränken. Die letzten Paragraphen des Kapitels gehen auf
die Beschreibung bivariabler Verteilungen ein.
§2 Tabellen zur Darstellung monovariabler Verteilungen
Die ungeordnete Form von Messwerten (bzw. Beobachtungen) einer Untersuchung, die der Reihe ihres Auftretens nach zusammengestellt ist, nennt man
Urliste oder Protokoll.
Um eine Übersicht über die Messwerte der Urliste zu erhalten, kann man
die Messwerte der Größe nach ordnen. Dadurch entsteht die primäre Tafel,
die auch geordnete Liste“ heißt.
Jetzt kann man schon einen neuen Wert, die Variationsbreite V, ablesen,
die aus der Diﬀerenz zwischen dem größten (xmax ) und dem kleinsten (xmin )
Messwert gebildet wird: V = xmax − xmin .
Bemerkung: Man achte hier wie im Weiteren darauf, dass das Angeführte nicht
für alle Skalierungen anwendbar ist. Haben wir z. B. das Merkmal Obst mit den
Ausprägungen Apfel, Birne, Traube und Zitrone, so liegt eine Nominalskala vor.
Wir können die vier Merkmalsausprägungen also nicht nach größer“, stärker“
oder schneller“ anordnen, daher haben wir kein xmax und xmin , um eine Variati”
onsbreite zu berechnen.
Als Nächstes kommt man zur Häuﬁgkeitstabelle, indem man gleiche Messwerte zusammenfasst und ihnen die Anzahl ihres Auftretens zuordnet. Dies ist
die übliche Darstellung von Untersuchungsergebnissen. Allerdings ist sie noch
recht unübersichtlich, wenn sehr viele verschiedene Werte vorliegen. In diesem Fall ist es ratsam, eine Klassiﬁzierung vorzunehmen, d.h. benachbarte
Werte zu einer Klasse zusammenzufassen. Die Menge sämtlicher Messwerte,
die innerhalb festgelegter Grenzen, der Klassengrenzen, liegen, nennt man
Klasse. Als Repräsentanten einer Klasse wählt man meist die Klassenmitte,
die aus dem arithmetischen Mittel der beiden Klassengrenzen gebildet wird.
Die Klassenbreite kann man entweder aus der Diﬀerenz zweier aufeinander
folgender Klassenmitten oder der Diﬀerenz der Klassengrenzen einer Klasse
berechnen. Im Allgemeinen sollte für alle Klassen einer Klassiﬁzierung die
gleiche Breite gewählt werden.
Bei der Wahl der richtigen“ Klassenbreite ist man bestrebt, mit einem
Minimum an Klassen ein Maximum an speziﬁscher Information zu erhalten. Je größer die Klassenbreite, desto geringer ist die Anzahl der Klassen,
was leicht zur Verwischung von Verteilungseigenschaften führen kann. Im Extremfall, bei sehr großer Klassenbreite, fallen alle Werte in eine Klasse, man
erhält eine Gleichverteilung, die kaum mehr Information enthält. Eine zu kleine Klassenbreite dagegen erhöht die Gefahr, unspeziﬁsche, zufällige Einﬂüsse
hervorzuheben. Neben der Klassenbreite spielt auch die Wahl der Anfangsund Endpunkte der Klasseneinteilung eine gewisse Rolle.
Liegen keine Vorinformationen vor, so ist zur Bestimmung der Klassenbreite b folgende Formel hilfreich:
1 + 3.32 · lg n
5 · lg n
wobei n der Stichprobenumfang (Anzahl der Messwerte),
V die Variationsbreite (Spannweite).
Formel 2.1. Faustregel von Sturges zur geeigneten Wahl einer Klassenbreite.
Beispiel: Zur Analyse der innerartlichen Variabilität wurden die Flügellängen eines Insekts gemessen, in [mm].
Tabelle 2.1. Flügellängen in der Reihenfolge ihres Auftretens (Urliste)
Flügellängen in [mm], Stichprobenumfang n = 25
Tabelle 2.2. Flügellängen der Größe nach angeordnet (Primäre Liste)
xmin = 3.3
4.7 = xmax
Tabelle 2.3. Häuﬁgkeitsverteilung zu Tabelle 2.1 (Häuﬁgkeitstabelle)
Flügellängen in [mm]
Messwert xi
x1 = 3.3
x2 = 3.4
Häuﬁgkeiten fi
x3 = 3.5
x4 = 3.6
f4 = 4
x5 = 3.7
x6 = 3.8
x7 = 3.9
x8 = 4.0
f6 = 5
f7 = 2
x9 = 4.1
f9 = 2
x10 = 4.2
f10 = 1
x11 = 4.3
f11 = 4
x12 = 4.4
f12 = 3
x13 = 4.5
f13 = 1
f14 = 0
x14 = 4.6
x15 = 4.7
f15 = 1
fi = 25
Unsere Urliste enthält 25 Werte, das sind n = 25 Zahlen als Ergebnis von
ebenso vielen Beobachtungen (Längenmessungen) eines Merkmals (Flügellänge) von 25 zufällig ausgesuchten Exemplaren einer Insektenart. Die 25
Insekten bilden eine Stichprobe vom Umfang n = 25, aus der man später
Schlüsse auf die zugehörige Grundgesamtheit aller Insekten der betreﬀenden
Population ziehen will.
Aus der primären Liste entnehmen wir sofort, dass die Variationsbreite
V = 4.7 − 3.3 = 1.4 ist.
Oft geht man nicht über eine primäre Liste, sondern erstellt sofort eine Strichliste:
In unserem Fall haben wir direkt aus der Urliste xmin = 3.3 und
xmax = 4.7 herausgesucht und alle – bei der gegebenen Messgenauigkeit
möglichen – Werte dazwischen der Größe nach aufgelistet und mit x1 =
3.3, x2 = 3.4, . . . , x15 = 4.7 bezeichnet. Dabei spricht man dann kurz von
den Werten xi mit dem Lauf-Index i von 1 bis 15. Durch eine Strichliste
haben wir die Häuﬁgkeiten fi der jeweiligen xi ermittelt.
Bemerkung: Genau genommen liegt bei unserer Häuﬁgkeitstabelle schon eine
Klassenbildung zugrunde, die durch die begrenzte Messgenauigkeit aufgezwungen
ist. Wenn z. B. dreimal die gleiche Flügellänge x12 = 4.4 mm gemessen wurde, so
heißt das nur, dass wegen unserer Messgenauigkeit alle Werte zwischen 4.35 mm
und 4.45 mm in die Klasse x12 fallen. Unsere drei gleichen“ Flügellängen könnten
also durchaus von den verschiedenen Werten 4.37, 4.39 und 4.43 herrühren.
Erst im nächsten Paragraphen gehen wir auf graphische Darstellungen ein,
wollen aber schon an dieser Stelle für unsere Tabelle ein Schaubild anfertigen.
Aus unserer Häuﬁgkeitstabelle erhalten wir Abb. 2.1, die man Polygonzug“
Abb. 2.1. Polygon zur graphischen Darstellung der Häuﬁgkeitsverteilung aus Tabelle 2.3
Der Polygonzug erscheint uns wegen der vielen Zacken noch recht unübersichtlich und wir können hoﬀen, durch die Bildung von Klassen das Speziﬁsche der Verteilung deutlicher zu machen. Nach Formel 2.1 wäre eine Klassenbreite zwischen 0.2 und 0.3 zu empfehlen, wir wollen b = 0.3 wählen und
erhalten 5 Klassen und die zugehörige Tabelle 2.4.
Klasse Nr. 4 hat z. B. die Klassengrenzen 4.2 und 4.5, wobei 4.2 noch
zur Klasse dazugehört (4.2  x, 4.2 ist kleiner oder gleich x“), während
4.5 nicht mehr zur Klasse gehört (x < 4.5, x ist echt kleiner als 4.5“). Die
4.2+4.5
Klassenmitte ist x4 = 4.35, denn
2 = 4.35.
Tabelle 2.4. Klassiﬁzierte Häuﬁgkeiten und Summenhäuﬁgkeiten zu Tabelle 2.1
mit Klassenbreite b = 0.3 (Klassiﬁzierte Häuﬁgkeitstabelle)
Häuﬁgkeit
Summenhäuﬁgkeit
3.3  x < 3.6
3.6  x < 3.9
f2 = 9
F2 = 11
3.9  x < 4.2
f3 = 4
F3 = 15
4.2  x < 4.5
f4 = 8
F4 = 23
4.5  x < 4.8
f5 = 2
Bemerkung: Da man im Allgemeinen mit den Klassenmitten weiterrechnet, sollte man darauf achten, bei den Klassenmitten möglichst wenige Stellen hinter dem
Komma zu erhalten. In obigem Beispiel hätte man also besser die Klassengrenzen
um 0.05 verschoben, die 1. Klasse wäre dann 3.25  x < 3.55 und die Klassenmitte
wäre x1 = 3.4.
Auch zu Tabelle 2.4 wollen wir die zugehörige graphische Darstellung betrachten:
Abb. 2.2. Graphische Darstellung der klassiﬁzierten Häuﬁgkeitsverteilung aus Tabelle 2.4. Die Zweigipfeligkeit beruht auf einem Geschlechtsdimorphismus, Weibchen sind größer als Männchen
Erst aus der Darstellung der klassiﬁzierten Häuﬁgkeitstabelle erkennt man
das speziﬁsche Resultat dieses Versuchs, nämlich eine zweigipﬂige Verteilung.
§3 Graphische Darstellung monovariabler Verteilungen
Im letzten Paragraphen hatten wir schon mit Hilfe von Polygonzügen unsere
Tabellen in einem Koordinatensystem abgebildet, um einen ersten visuellen
Eindruck von den vorliegenden Verteilungen zu bekommen. Eine solche graphische Darstellung ist das geometrische Bild einer Menge von Daten. Sie
kann eine Häuﬁgkeitsverteilung anschaulicher machen. Ziel einer graphischen
Darstellung ist es, dem Betrachter das Wesentliche der Verteilung sofort klar
zu machen. Schaubilder haben aber keine Beweiskraft, sie dürfen also nicht
als Beweis für eine aufgestellte Behauptung missbraucht“ werden.
Bei monovariablen Verteilungen dient die Abszissenachse (X -Achse) im
Allgemeinen zur Darstellung der Merkmalsausprägung, während die Ordinate
(Y -Achse) die Häuﬁgkeiten repräsentiert. Der Maßstab für die Einheiten auf
Abszisse und Ordinate darf und wird meistens verschieden sein, dabei sollte
die maximale Höhe der Darstellung ungefähr der Breite entsprechen:
fmax ≈ V .
3.1 Verschiedene Arten graphischer Darstellung
Wir wollen nun einige sehr verbreitete Methoden der graphischen Darstellung
erläutern.
Abb. 3.1. Stabdiagramm zur Darstellung der Kraftwagen-Produktion
(1982) der acht größten Autoländer
3.1.1 Das Stabdiagramm
Die Merkmalsausprägungen werden mit gleichen Abständen auf der Abszisse eingetragen, bei Nominal-Skala in beliebiger Reihenfolge, bei Ordinalskalierung entsprechend der Anordnung. Senkrecht zur Abszisse werden über
den Merkmalsausprägungen Rechtecke ( Stäbe“) gleicher Breite eingezeich”
net, deren Höhen die Häuﬁgkeiten wiedergeben; die Ordinateneinteilung muss
diesen Häuﬁgkeiten entsprechen (Abb. 3.1).
Man kann das Koordinatenkreuz auch weglassen und das Diagramm um
90◦ drehen, man erhält dann aus Abb. 3.1 folgende Darstellung:
Abb. 3.2. Balkendiagramm zur Darstellung der KraftwagenProduktion (1982) der
acht größten Autoländer
Für Stabdiagramme ﬁndet man auch die Bezeichnungen Blockdiagramm,
Streifendiagramm, Balkendiagramm.
3.1.2 Das Komponenten-Stabdiagramm
Bei gewissen Fragestellungen interessiert nur das Verhältnis zwischen den
Häuﬁgkeiten, nicht ihre absolute Größe. Dazu berechnet man aus den Häuﬁgkeiten fi , auch absolute Häuﬁgkeiten genannt, die relativen Häuﬁgkeiten hi .
Man erhält die i -te Häuﬁgkeit hi , indem man die
absolute Häuﬁgkeit fi durch
die Summe aller absoluten Häuﬁgkeiten n =
fi dividiert. Die relativen
Häuﬁgkeiten in Prozent hi % erhält man durch Multiplikation von hi mit 100.
Berechnung der relativen Häuﬁgkeiten hi :
hi % =
wobei fi die
 i-te absolute Häuﬁgkeit,
n = fi der Stichprobenumfang.
Formel 3.1: Umrechnung absoluter in relative Häuﬁgkeiten
Zur graphischen Darstellung der relativen Häuﬁgkeiten ist das KomponentenStabdiagramm geeignet, besonders wenn mehrere Stichproben verglichen
werden sollen, wie die folgende Abb. 3.3 zeigt:
Abb. 3.3. Komponentenstabdiagramm zum Vergleich der relativen Häuﬁgkeiten
(in %) beim kommerziellen Anbau einiger Topf- und Ballenzierpﬂanzen in Hessen
und Berlin (West) für das Jahr 1981
Beim Diagramm der Abb. 3.3 ist die jeweilige Gesamtmenge in beiden
Ländern nicht berücksichtigt, nur der relative Anteil jeder Sorte innerhalb
eines Landes interessiert. Soll auch die Gesamtmenge in die Darstellung eingehen, so ist ein Kreisdiagramm vorzuziehen.
3.1.3 Das Kreisdiagramm
Sollen mehrere Grundgesamtheiten oder Stichproben verglichen werden, so
wird jede durch jeweils einen Kreis dargestellt.
Die Fläche jedes Kreises wird dabei entsprechend der Größe der zugehörigen Grundgesamtheit gewählt. Innerhalb eines Kreises geben die Winkel die
relativen Anteile der Merkmalsausprägungen in der jeweiligen Grundgesamtheit wieder.
Die Daten von Abb. 3.3 lassen sich demnach auch in einem Kreisdiagramm
darstellen, wenn die Größe der beiden Grundgesamtheiten bekannt ist. Soll
also durch die Graphik neben den prozentualen Anteilen der verschiedenen
Zierpﬂanzen auch noch verdeutlicht werden, dass in Westberlin nur 3.8 Millionen, in Hessen aber 11.1 Millionen Stück produziert wurden, so wird man
zur Darstellung ein Kreisdiagramm wählen.
Im folgenden Beispiel dient das Kreisdiagramm nicht zum Vergleich von
relativen Häuﬁgkeiten, sondern von Anbauﬂächen, und die Grundgesamtheiten sind nicht zwei Bundesländer, sondern die Jahre 1950 und 1970.
Abb. 3.4. Ackerbauareal (einschl. Brachland) in den Niederlanden mit Anteil der
einzelnen Kulturpﬂanzen in den Jahren 1950 und 1970
Um Kreisdiagramme zu zeichnen, müssen die Längen der Kreisradien und
die Winkel der Kreissektoren berechnet werden:
Soll Kreis B eine x -fache Fläche von Kreis A haben, weil die Gesamtheiten
A und B dieses Verhältnis aufweisen, dann gehen wir wie folgt vor: Wir
wählen den Radius rA von Kreis A beliebig, die Fläche von Kreis A ist π · rA
Gesucht ist Radius
-facher
x·(π·rA
) = π·( x·rA)2 , d.h. rB = x·rA. Sind nun die relativen Häuﬁgkeiten
hi gegeben, so ist der Winkel des i -ten Sektors αi = hi · 360◦ (bzw. hi · 3.6◦,
falls hi % vorliegt).
Beispiel: Die Anbauﬂäche 1950 war 920 000 ha und 1970 nur 686 000 ha.
1950 war also die Anbauﬂäche x = 1.34-mal so groß wie 1970.√Für 1970
wählen wir rA = 3.0 cm. Für 1950 ist dann der Radius rB = x · rA =
1.16·3.0 cm = 3.48 cm. Die relativen Häuﬁgkeiten sind in Prozent angegeben,
für Roggen z.B. 16.7%, d.h. der gesuchte Winkel ist α = 16.7 · 3.6◦ = 60.12◦.
Bemerkung: Oft wird der Vorschlag gemacht, statt der Kreisﬂäche, die Radien
im Verhältnis der Gesamtheiten zu wählen. Dies ist nicht empfehlenswert, weil das
Auge gewöhnlich die Größe der Flächen vergleicht.
3.1.4 Das Kartogramm
Das Kartogramm dient der Darstellung von Daten, die für verschiedene
Regionen gesammelt wurden, etwa der Bestand eines Landes an Wäldern,
Äckern, Wüsten . . .
Hierzu das folgende Beispiel aus Österreich (nach Riedwyl):
Abb. 3.5. Kartogramm zur Darstellung der Anzahl Übernachtungen von Auslandsfremden in Österreich 1971 (200 000 Übernachtungen = 1 Punkt, Gesamtanzahl
67 405 832 Übernachtungen)
Es gibt auch die Möglichkeit der Kombination von Kartogrammen und Stabdiagramm, Kreisdiagramm etc.
3.1.5 Das Histogramm
Im Histogramm rücken die Stäbe des Stabdiagramms direkt aneinander,
d. h. wo eine Merkmalsausprägung endet, beginnt sofort die nächste. Bei
Nominalskalen ist eine solche Darstellung meist nicht sinnvoll, denn für Abb.
3.1 gilt z. B.: Wo Japan endet, beginnt nicht sofort Kanada.“ Aber bei vielen
ordinalskalierten Daten grenzen die Merkmalsausprägungen direkt aneinander; z. B. gilt: Wo die Note ,gut‘ aufhört, beginnt die Note ,befriedigend‘.“
Bei klassiﬁzierten Daten sollen gleichen Klassenbreiten auch gleich lange Abschnitte auf der Merkmalsachse (X -Achse) entsprechen.
Beim Histogramm gibt die Fläche unter der Treppenfunktion“ die Ge”
samtzahl der Beobachtungen wieder. Um diesen Sachverhalt zu verdeutlichen,
haben wir in Abb. 3.6 die gestrichelten Linien eingetragen, wodurch unter der
Treppenfunktion genau 25 Quadrate entstehen, die dem Stichprobenumfang
n = 25 entsprechen.
Bemerkung: Die Abszisse darf man ohne Weiteres erst bei Einheit 3.2 beginnen
lassen, sie sollte aber entsprechend deutlich gekennzeichnet sein. Die Ordinate sollte
aber bei monovariablen Verteilungen immer bei Null beginnen, weil der Betrachter
automatisch“ die Gesamt höhen zueinander in Relation setzt und daraus Schlüsse
über die Bedeutung der verschiedenen Klassen zieht. Neben der Beschriftung der
Achsen sollte jede Abbildung mit einer kurzen Erläuterung versehen werden, aus
der das Wesentliche der Graphik schon verständlich wird, ohne dass man sich die
notwendigen Erklärungen aus dem laufenden Text zusammensuchen muss.
Abb. 3.6. Histogramm zu den Häuﬁgkeiten aus Tabelle 2.3
3.1.6 Der Polygonzug
Aus dem Histogramm kann man durch Verbinden der Mittelpunkte der oberen Rechteckseiten den Polygonzug erhalten. Durch geeignete Fortsetzung
des Linienzuges bis zur Abszissenachse bleibt die Fläche unter dem Polygon
erhalten und entspricht somit ebenfalls dem Stichprobenumfang:
Abb. 3.7. Zusammenhang zwischen Polygon und Histogramm, die Fläche unter
beiden Linienzügen ist gleich. Die zugrunde liegenden Daten stammen aus Tabelle
2.3. Vgl. auch Abb. 2.1
Polygone werden beim Vergleich mehrerer Verteilungen bevorzugt, weil man
leicht und übersichtlich mehrere Linienzüge in einem Koordinatensystem einzeichnen kann, vgl. Abb. 3.10.
3.1.7 Der stetige Ausgleich
Aus einem Polygon kann man durch Glättung“ des Linienzuges eine Kurve
ohne Ecken bilden.
Abb. 3.8. Stetiger Ausgleich zum Polygon in Abb. 2.2. Die Daten stammen aus
der klassiﬁzierten Häuﬁgkeitsverteilung von Tabelle 2.4
Man sollte nach der Glättung“ zusätzlich zur Kurve auch die ursprünglichen
Häuﬁgkeiten als Punkte miteinzeichnen.
Wenn bei diesen graphischen Darstellungen vom stetigen* Ausgleich die
Rede ist, meint man, dass mit einer kontinuierlichen“, stetigen“ Änderung
auf der X -Achse eine ebenfalls kontinuierliche“, gleichmäßige Änderung der
zugehörigen Häuﬁgkeiten erfolgt. Aus diesem Grund sollte bei ordinalskalierten Daten nicht stetig ausgeglichen werden.
3.1.8 Zur Anwendung der eingeführten Darstellungsweisen
Bei verschiedenen Skalenniveaus bevorzugt man jeweils bestimmte Schaubilder:
Tabelle 3.1. Geeignete Diagramme zu verschiedenen Skalen
bevorzugte Darstellungen
1. Nominal-Skala
Stabdiagramm, Kreisdiagramm,
2. Ordinal-Skala
Histogramm, (Polygon) und
Diagramme von 1.
3. Intervall- und
Stetiger Ausgleich und
Diagramme von 2.
Stetigkeit ist hier nicht im mathematischen Sinn gemeint.
3.2 Die Schaubilder einiger Verteilungstypen
Für häuﬁg auftretende Kurvenläufe führen wir eine erste grobe Einteilung ein:
Innerhalb gewisser Verteilungstypen kann man auch deren Wölbung grob einteilen. So für die symmetrisch eingipﬂigen Kurven, die man mit der Normalverteilung vergleicht und dann von positivem oder negativem Exzess spricht.
3.3 Das Summenhäuﬁgkeits-Polygon
Oft interessiert man sich dafür, wie häuﬁg Mess- bzw. Beobachtungswerte
auftraten, die kleiner als ein festgelegter Wert waren.
Beispiel: Man fragt: wie viel Prozent der Studierenden eines Jahrgangs legten bis zum 5. Semester ihre Zwischenprüfung ab?
Umgekehrt kann auch von Interesse sein, unterhalb welchen Wertes gerade
ein bestimmter Anteil der Stichprobe sich beﬁndet.
Beispiel: Man fragt: Bis zu welchem Semester haben 90% der Studenten
eines Jahrgangs ihre Zwischenprüfung abgelegt?
Beispiel: Die Ermittlung der Letaldosis LD50 eines Insektizids basiert ebenfalls auf einer solchen Fragestellung. Man interessiert sich für die Dosis, bei
der 50% der Tiere sterben.
Alle angesprochenen Probleme beantwortet man mit Hilfe von Summenkurven, die aus den Summenhäuﬁgkeiten Fj gebildet werden: Zunächst fügt man
in der Häuﬁgkeitstabelle eine weitere Spalte Summenhäuﬁgkeiten“ an, in”
dem man in dieser Spalte auf der Höhe der j -ten Zeile jeweils den Wert Fj
einträgt, wobei Fj = f1 + f2 + . . . + fj oder kurz:
fi , mit j = 1, . . . , m (m Anzahl Klassen).
Beispiel: In der dritten Zeile der Tabelle 2.4 Klassiﬁzierte Häuﬁgkeitsvertei”
lung“ steht F3 = 15, denn es gilt: F3 = f1 + f2 + f3 = 2 + 9 + 4 = 15.
Für die Summenhäuﬁgkeiten Fj (auch kumulative Häuﬁgkeiten genannt)
kann man nun ein Histogramm oder ein Polygon zeichnen. Auf der Abszisse
werden die Merkmalsausprägungen eingetragen, auf der Ordinate die Summenhäuﬁgkeiten Fj . Wird die Polygon-Darstellung gewählt, so muss man
beachten, dass beim Summenpolygon die kumulativen Häuﬁgkeiten Fj nicht
über den Klassenmitten, sondern über den Klassenenden eingetragen werden.
Abb. 3.9. Summenpolygon zu den Daten aus Tabelle 2.4. Die dünn eingezeichnete
Treppenfunktion stellt das entsprechende Summenhistogramm dar
3.4 . . . als die Bilder lügen lernten
Wir wollen den Paragraphen über graphische Darstellungen nicht verlassen,
ohne nochmals zu betonen: Schaubilder dienen der visuellen Veranschaulichung von Sachverhalten, sie besitzen aber keine Beweiskraft. Es sei darauf
hingewiesen, dass Schaubilder äußerst aufmerksam und kritisch betrachtet
werden müssen, da nicht selten durch Manipulationen ein falscher Eindruck
Beispiel: Anfang März 1983, wenige Tage vor einer Bundestagswahl,
erschien im Wirtschaftsteil vieler deutscher Tageszeitungen die folgende Graphik (Abb. 3.10) zur Entwicklung auf dem Arbeitsmarkt.
Abb. 3.10. Beide Schaubilder geben die gleichen Daten wieder. Links: die Originalgraphik einer Tageszeitung. Ab Januar 1982 ist hier die Merkmalsachse gedehnt,
wodurch der Anstieg der Arbeitslosen- und Kurzarbeiterzahlen ﬂacher erscheint.
Rechts: die korrigierte Darstellung mit durchgehend gleichem Maßstab der Merkmalsachse über alle Jahre von 1978 bis 1983. Nur im rechten Schaubild ist der
drastische Anstieg im Jahre 1982 gegenüber den Vorjahren maßstabsgetreu wiedergegeben
In diesem Zeitungsbeispiel wurde oﬀensichtlich gegen eine Grundregel“ gra”
phischer Darstellungen verstoßen, indem innerhalb eines Bildes der
Maßstab verändert wurde, wodurch die beiden Teile der Graphik nicht mehr
mit dem Auge sinnvoll vergleichbar sind.
Aber auch ohne Regelverstoß“ lässt sich beim Betrachter durch geschick”
te Wahl von Abszisse und Ordinate einiges an unbewußten Eﬀekten erzielen.
Beispiel: Folgende drei Graphiken zeigen dieselbe Figur, wobei nur das
Verhältnis der Längen von X - und Y -Achse von Graphik zu Graphik variiert wurde.
Abb. 3.11. Während A einen runden“ Eindruck hinterlässt, macht B ein etwas
langes“ Gesicht und C wirkt eher plattgedrückt“. Am Hutrand“ zeigt sich auch,
wie sich solche Maßstabsmanipulationen auf Kurvenverläufe auswirken
§4 Charakteristische Maßzahlen monovariabler
Die beschreibende Statistik verwendet neben den Tabellen und Schaubildern
auch Maßzahlen zur Darstellung von Häuﬁgkeitsverteilungen, wobei man bestrebt ist, mit möglichst wenig Zahlen das Typische einer Verteilung zu charakterisieren. Um eine Menge von Beobachtungen knapp zu charakterisieren,
sucht man nach Zahlenwerten, die alle Daten repräsentieren. Diese statistischen Kennwerte (auch Kennziﬀern, Maßzahlen, Indizes, Parameter oder Statistiken genannt) lassen sich in zwei Gruppen einteilen, nämlich einerseits die
Lageparameter (Mittelwerte) und andererseits die Streuungsparameter. Dies
sei am Beispiel erläutert:
Vergleicht man die drei Verteilungen in Abb. 4.1, dann erkennt man sofort:
– Die Verteilungen A und B stimmen zwar in ihrer Lage überein, d.h. beide
haben den gleichen Mittelwert x̄ = 4. Ihre Streuung ist aber verschieden.
§4 Charakteristische Maßzahlen monovariabler Verteilungen
Die Werte von Verteilung A streuen wesentlich enger um den Mittelwert
als die Werte von Verteilung B.
– Die Verteilungen B und C stimmen zwar in ihrer Streuung überein. Ihre Lage ist aber verschieden. Verteilung C ist im Vergleich zu B deutlich
nach rechts verschoben, was sich zahlenmäßig im größeren Mittelwert ausdrückt.
Abb. 4.1. Verteilungen A und
B haben den gleichen Mittelwert, aber verschiedene Streuung. Die Verteilungen B und
C haben gleiche Streuung, aber
verschiedene Mittelwerte
Zur Kennzeichnung von Lage und Streuung stellt die Statistik verschiedene
charakteristische Maßzahlen zur Verfügung:
Lageparameter: arithmetisches Mittel x̄, Dichtemittel D, Zentralwert Z,
¯, Geometrisches Mittel G und Harmogewogenes arithmetisches Mittel x̄
nisches Mittel HM, Quartile, Q1 und Q3 , Quantile Qp .
Streuungsmaße: Varianz s2 und Standardabweichung s, mittlerer Fehler
sx̄ , Variationskoeﬃzient cv, Variationsbreite V und Interquartilabstand I50 .
Welche dieser Maßzahlen man zur Beschreibung der Daten heranzieht, ist
von der Fragestellung, dem Verteilungstyp und dem Skalenniveau abhängig.
Statistische Maßzahlen vermitteln nur ein grobes Bild von der Verteilung;
daher sollten zusätzlich die gemessenen Daten graphisch dargestellt werden,
insbesondere wenn der Verteilungstyp nicht bekannt ist.
4.1 Die Lageparameter
Die Lageparameter, die man auch Mittelwerte* nennt, dienen zur Beschreibung der Lokation (Lage) der angegebenen Datenmenge. Man sagt auch, diese
Parameter geben die zentrale Tendenz der Verteilung wieder. Im Folgenden
werden die wichtigsten Lageparameter eingeführt.
4.1.1 Das arithmetische Mittel
Der Wert x̄ = n1 ·
xi , d.h. die Summe aller Messwerte xi , geteilt durch
die Anzahl n aller Messwerte, heißt arithmetisches Mittel. Treten gleiche
Messwerte jeweils mehrfach auf z. B. bei klassiﬁzierten Daten, so bezeichnet
man ihre Häuﬁgkeit mit fi und berechnet x̄ wie folgt:
Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels x̄ :
f1 · x1 + f2 · x2 + . . . + fm · xm
f1 + f2 + . . . + fm
fi xi ,
(Formel 4.1)
die Anzahl verschiedener Klassen,
der i -te der verschiedenen Messwerte (Klassenmitten),
die absolute Häuﬁgkeit des Messwertes xi ,
fi die Anzahl aller Messwerte (Stichprobenumfang),
der Lauﬁndex von 1 bis m läuft.
Beispiel: Für die Daten von Tabelle 2.4 der klassiﬁzierten Häuﬁgkeiten von
Flügellängen ist m = 5 die Anzahl der Klassen und n = 25 der Stichprobenumfang. Als xi gehen die Klassenmitten in die Rechnung ein.
2 · 3.45 + 9 · 3.75 + 4 · 4.05 + 8 · 4.35 + 2 · 4.65
= 4.04.
2+9+4+8+2
In unserem Beispiel, wo neben den klassiﬁzierten Daten aus Tabelle 2.4 auch
die ursprünglichen Originaldaten des Versuches vorliegen, sollte man besser
das arithmetische Mittel aus den Originaldaten (vgl. Tabelle 2.3) berechnen.
Man erhält dann in der Regel einen etwas anderen Wert für die unklassiﬁzierten Daten, hier ist x̄ = 4.00.
Genaugenommen gibt es Lageparameter, die keine Mittelwerte sind, so z. B. die
Quartile Q1 und Q3 oder allgemein die Quantile Qp (vgl. §4.1.3)
Bemerkung 1: Sind alle Messwerte untereinander verschieden, tritt also jedes xi
nur einfach auf, so sind alle Häuﬁgkeiten fi = 1. Die Formel reduziert sich dann zu
wobei n der Stichprobenumfang ist.
Bemerkung 2: Eine wichtige Eigenschaft des Mittelwertes x̄ ist, dass die Summe
der Abweichungen aller Einzelwerte vom arithmetischen Mittel null ist:
fi · (xi − x̄) = 0, summiert über m Klassen.
4.1.2 Der Modalwert
Der Modalwert D ist derjenige Wert, der in einer Beobachtungsreihe am
häuﬁgsten auftritt. Kommt jeder Wert nur einmal vor, so gibt es keinen
Modalwert.
Findet sich nach Klassenbildung eine Klasse, deren Klassenhäuﬁgkeit am
größten ist, so bedeutet dies, dass in dieser Klasse die Messwerte am dichtesten liegen, daher wird der Modalwert häuﬁg auch Dichtemittel genannt.
Berechnung des Modalwertes D bei klassiﬁzierten Daten:
– Suche die am häuﬁgsten besetzte Klasse, diese sei die k-te Klasse.
– Ermittle den Wert der unteren Klassengrenze der k-ten Klasse, dieser
sei xuk .
– Jetzt berechnet sich der Modalwert D durch
fk − fk−1
D = xuk +
·b,
(Formel 4.2)
2fk − fk−1 − fk+1
wobei fk
fk−1
Häuﬁgkeit der k-ten Klasse,
Häuﬁgkeit der (k − 1)-ten Klasse,
Häuﬁgkeit der (k + 1)-ten Klasse,
Klassenbreite.
Flügellängen gilt:
– Am häuﬁgsten besetzte Klasse k = 2,
– untere Klassengrenze dieser Klasse xuk = 3.6,
– somit berechnet sich
· 0.3 = 3.78.
D = 3.6 +
18 − 2 − 4
Wobei fk = f2 = 9, fk−1 = f1 = 2, fk+1 = f3 = 4 und b = 0.3 ist. Am
Polygon in Abb. 2.2 wird deutlich, dass es für mehrgipﬂige Verteilungen nicht
sinnvoll ist, nur einen Modalwert zu berechnen, man würde bei Tabelle 2.4
also für beide lokalen Maxima die Modalwerte
D1 = 3.78 und D2 = 4.2 +
· 0.3 = 4.32
16 − 4 − 2
angeben müssen.
Der Modalwert ist bei Fragestellungen informativ, bei denen Ausnahme”
werte“ nicht berücksichtigt werden sollen: einen Bevölkerungswissenschaftler
interessiert weniger, ab welchem frühesten Alter Ehen geschlossen werden,
sondern wie alt die meisten Personen sind, wenn sie heiraten.
4.1.3 Der Median
Der Median Z (oder Zentralwert) halbiert die nach der Größe geordnete Folge
der Einzelwerte, so dass gleich viele Messwerte unterhalb von Z und oberhalb
von Z liegen.
Bei der Ermittlung des Medians einer Folge von Zahlen (unklassiﬁzierte
Daten) muss zwischen gerader und ungerader Anzahl von Werten unterschieden werden.
Beispiel 1 (ungerade Anzahl): Gegeben seien folgende n = 9 Werte:
x1 = 4.9, x2 = 5.3, x3 = 3.6, x4 = 11.2, x5 = 2.4, x6 = 10.9, x7 = 6.5, x8 = 3.8, x9 = 4.2
Man ordnet die Werte zunächst der Größe nach an:
2.4, 3.8, 3.8, 4.2, 4.9, 5.3, 6.5, 10.9, 11.2
Dann ist der mittlere Wert der Median Z, hier also Z = 4.9.
Beispiel 2 (gerade Anzahl): Wieder liegen dieselben Werte wie in Beispiel
1 vor, nur x9 = 4.2 sei weggelassen, dann haben wir eine gerade Anzahl von
n = 8 Werten gegeben. Man ordnet diese acht Werte zunächst der Größe
nach an 2.4, 3.8, 3.8, 4.9, 5.3, 6.5, 10.9, 11.2. Das arithmetische Mittel aus
den beiden mittleren Werten 4.9 und 5.3 ergibt den Median Z, hier also
Z = 0.5 · (4.9 + 5.3) = 5.1.
Zur Ermittlung des Medians bei klassiﬁzierten Daten gehen wir von den kumulativen Häuﬁgkeiten aus und interpolieren.
Berechnung des Medians Z bei klassiﬁzierten Daten:
– Berechne
= n · 0.5 und suche die kleinste Summenhäuﬁgkeit, die
größer oder gleich n · 0.5 ist, diese sei Fk .
– Ermittle die untere Klassengrenze der zu Fk gehörenden k-ten Klasse,
diese untere Grenze sei xuk .
– Jetzt berechnet sich der Zentralwert Z durch
Z = xuk +
n · 0.5 − Fk−1
· b,
der Stichprobenumfang,
die kumulative Häuﬁgkeit (Summenhäuﬁgkeit) der
(k − 1)-ten Klasse,
die Häuﬁgkeit der k-ten Klasse,
die Klassenbreite.
– Es ist n = 25, also n · 0.5 = 12.5 und Fk = F3 = 15  12.5, also k = 3,
– untere Klassengrenze der k-ten Klasse: xuk = 3.9,
– somit berechnet sich Z = 3.9 + 12.5−11
· 0.3 = 4.01.
Wobei fk = f3 = 4 und Fk−1 = F2 = 11 und b = 0.3 ist.
Zeichnerisch kann der Zentralwert leicht aus dem Summenpolygon ermittelt werden, indem man den Wert n · 0.5 (bzw. 50%) auf der Y-Achse sucht,
von dort waagrecht zur Kurve geht und vom Schnittpunkt mit der Kurve
senkrecht nach unten auf die X -Achse, vgl. dazu Abb. 3.9.
Bemerkung: Der Median Z als Mittelwert ist so deﬁniert, dass unterhalb und
oberhalb Z jeweils 50% der Messwerte liegen. Ein ähnlicher Gedankengang liegt
der Deﬁnition der Quartil-Punkte Q1 und Q3 zugrunde: Als unteres Quartil Q1
bezeichnet man den Punkt, wo genau 25% der Messwerte unterhalb und 75% oberhalb liegen. Als oberes Quartil Q3 bezeichnet man den Punkt, wo genau 75% der
Messwerte unterhalb und 25% oberhalb liegen. Allgemein heißen solche charakteristischen Maßzahlen Quantile Qp oder Perzentile Qp% . Das Quantil Qp (p dezimal)
bezeichnet dann den Punkt, wo genau p · 100% der Messwerte unterhalb und
(1 − p) · 100 % oberhalb liegen. Die rechnerische Ermittlung der Quartile bzw. der
Quantile erfolgt entsprechend der Bestimmung des Zentralwertes Z, der ja nichts
anderes ist als das mittlere Quartil Q2 bzw. das Quantil Q0.5 . Man ersetzt dabei nur
den Ausdruck n · 0.5 durch n · p (0 < p < 1, dezimal). Für p% werden häuﬁg 1%, 5%
oder 10% bzw. 90%, 95% oder 99% gewählt und entsprechende Interquantilabstände
angegeben (vgl. §4.2.4).
4.1.4 Zur Lage von x̄, Z und D zueinander
Drei verschiedene Lokationsmaße haben wir bisher eingeführt. Die Lage dieser
drei Maßzahlen zueinander soll nun graphisch an zwei häuﬁg auftretenden
Verteilungstypen dargestellt werden. Wir gehen dabei zunächst von der in
§3.2 abgebildeten Glockenkurve aus, diese ist symmetrisch und erfüllt daher
die Gleichung x̄ = Z = D. Verändert man nun solch eine Glockenkurve auf
einer Seite des Maximums so, dass sie ﬂacher abfällt und in schiefer Bahn“
abwärts ausläuft, so erhält man:
– entweder eine linksgipﬂige (rechtsschiefe) Verteilung mit x̄ > Z > D,
vgl. Abb. 4.2 (a),
Abb. 4.2. Links- und rechtsgipﬂige Verteilung mit eingezeichneten Lageparametern. Bei diesem Verteilungstyp ist der Zentralwert Z die geeignete Maßzahl zur
Charakterisierung der Lage
– oder eine rechtsgipﬂige (linksschiefe) Verteilung mit x̄ < Z < D,
vgl. Abb. 4.2(b) und Abb. 4.3.
Aus der Lage von arithmetischem Mittel x̄, Median Z und Modalwert D
zueinander kann man hier auf die Schiefe der Verteilung schließen.
4.1.5 Das gewogene arithmetische Mittel
Hat man mehrere Stichproben aus einer Grundgesamtheit entnommen, so
kann man für jede Stichprobe einen Stichprobenmittelwert berechnen und
¯. Dabei gehen
für alle Stichproben einen gemeinsamen Gesamtmittelwert x̄
die Stichprobenmittelwerte entsprechend dem Stichprobenumfang jeweils mit
¯ ein, man nennt den Gesamtmittelwert x̄
¯ daher
verschiedenem Gewicht in x̄
auch gewogenes arithmetisches Mittel:
Formel zur Berechnung des gewogenen arithmetischen Mittels x̄
ni x̄i
wobei k
ni 
x̄i
(Formel 4.3)
die Anzahl der Stichprobenmittelwerte,
der Umfang der i -ten Stichprobe,
die Anzahl aller Messwerte aus allen Stichproben,
das arithmetische Mittel der i -ten Stichprobe,
der Lauﬁndex von 1 bis k läuft.
Beispiel: Für drei Sorten wurde der Ertrag ermittelt. Für Sorte A liegen
n1 = 3, für Sorte B n2 = 4 und für Sorte C n3 = 3 Werte vor. Für jede Sorte
i wurde das arithmetische Mittel x̄i berechnet (vgl. §4.1.1).
Stichprobenumfang ni
Sortenmittelwert x̄i
N = 3 + 4 + 3 = 10
Das gewogene arithmetische Mittel ist somit
3 · 2.5 + 4 · 1.7 + 3 · 1.8
¯ = (2.5 + 1.7 + 1.8) = 2.0).
(und nicht x̄
Bemerkung 1: Liegen nicht nur die Mittelwerte x̄i der Stichproben vor, sondern
die Einzelwerte xij der Stichproben, so werden Rundungsfehler vermieden, wenn
¯ berechnet, indem alle Einzelwerte aller Stichproben aufsummiert und durch
man x̄
N dividiert werden:
Bemerkung 2: Haben alle k Stichproben gleichen Umfang (alle ni sind gleich), so
¯ ermittelt werden, indem alle x̄i aufsummiert und durch k geteilt werden.
kann x̄
4.1.6 Weitere Mittelwerte
Wir geben hier nur noch die Formeln an für das geometrische Mittel G
G = n x1 · x2 · . . . · xn
und das harmonische Mittel HM
, wobei alle xi > 0.
4.2 Die Streuungsmaße
Wie schon zu Beginn dieses Paragraphen erwähnt, können zwei Verteilungen
gleiche Mittelwerte und völlig verschiedene Streuungen aufweisen. Wir wollen
jetzt einige Maße für die Streuung einführen.
4.2.1 Varianz und Standardabweichung
Die Varianz s2x ist die Summe der Abweichungsquadrate (SQ) aller Messwerte
einer Verteilung von ihrem Mittelwert x̄, dividiert durch n − 1. Dabei ist n
die Anzahl der Messungen. Wieso hier durch n − 1 (Freiheitsgrade) statt
durch n zu teilen ist, wird weiter unten erläutert, vgl. §8.4. Mit den schon
eingeführten Bezeichnungen xi , fi und x̄ erhalten wir als Rechenvorschrift:
Formel zur Berechnung der Varianz s2x :
fi · (xi − x̄)2
2 ⎤
fi xi ⎥
⎢
·⎢
fi x2i −
n−1 ⎣
s2x =
(Formel 4.4)
die Anzahl verschiedener Messwerte,
der i -te der verschiedenen Messwerte,
die Häuﬁgkeit des Messwertes xi ,
fi 
n = fi
F G = n − 1 der Freiheitsgrad,
Die Standardabweichung sx ist die (positive) Quadratwurzel aus der
( fi xi )2
fi xi −
Bemerkung: Wo keine Missverständnisse zu befürchten sind, werden wir statt s2x
(bzw. sx ) einfach s2 (bzw. s) schreiben.
Beispiel: Für die Daten von Tabelle 2.4 ist m = 5, n = 25 und x̄ = 4.04,
vgl. Beispiel in §4.1. Wir berechnen
fi x2i = 2 · (3.45)2 + 9 · (3.75)2 + 4 · (4.05)2 + 8 · (4.35)2 + 2 · (4.65)2 = 410.60,
1 
(100.95)2
= 407.64 und s2 =
(410.60 − 407.64) = 0.12 .
f i xi =
25 − 1
Die Varianz ist s2 = 0.12 und die Standardabweichung s = 0.35.
Die Standardabweichung gibt uns ähnlich wie die Variationsbreite ein Maß
für die Streuung der Werte. Im Gegensatz zu V gehen aber bei s nicht nur
xmax und xmin , sondern alle Messwerte in die Rechnung ein. Je kleiner s
bzw. s2 ist, desto enger streuen die Messwerte um das arithmetische Mittel.
Anders ausgedrückt, s2 ist die durchschnittliche quadratische Abweichung
der Einzelwerte vom Mittelwert.
4.2.2 Der mittlere Fehler des Mittelwertes
Interessiert uns das arithmetische Mittel µ einer umfangreichen Grundgesamtheit, so messen wir nicht alle Werte der Grundgesamtheit, um daraus µ
zu berechnen, wir begnügen uns meist mit einer Stichprobe und berechnen
aus den Messwerten der Stichprobe das arithmetische Mittel x̄. Nennen wir µ
den wahren Mittelwert“ der Grundgesamtheit, so ist das Stichprobenmittel
x̄ eine mehr oder weniger genaue Schätzung für µ. Wir können davon ausgehen, dass x̄ umso genauer den Wert µ schätzen wird, je mehr Messwerte der
Berechnung von x̄ zugrunde liegen, d.h. je größer der Stichprobenumfang n
ist. Die folgende Formel dient der Schätzung des mittleren Fehlers von x̄, sie
gibt also an, wie groß etwa die Streuung von x̄ um den wahren Mittelwert
der Grundgesamtheit ist, genaueres siehe §4.3.
Formel zur Berechnung des mittleren Fehlers (Standardfehlers) s x̄ :
sx̄ = √ ,
(Formel 4.5)
die Standardabweichung,
der Stichprobenumfang.
Beispiel: Für die Daten aus Tabelle 4.1 ist s = 0.17 und n = 269, also
sx̄ = 0.01.
4.2.3 Der Variationskoeﬃzient
Will man die Streuungen mehrerer Stichproben mit verschiedenen Mittelwerten vergleichen, so muss man dabei die unterschiedlich großen Mittelwerte
berücksichtigen. Dies leistet der Variationskoeﬃzient, der in Prozenten das
Verhältnis der Standardabweichung zum Mittelwert ausdrückt:
Formel zur Berechnung des Variationskoeﬃzienten cv :
cν =
oder cv % =
|x̄|
(Formel 4.6)
der Absolutbetrag des arithmetischen Mittels.
Beispiel (nach E. Weber): Die Körperlänge von n1 = 77 Mädchen im Alter
von 6 Jahren und von n2 = 51 Mädchen im Alter von 17–18 Jahren wurde
Messung der Körperlänge
6-jährige Mädchen
17–18-jährige Mädchen
Betrachtet man nur die Standardabweichungen s1 = 4.64 und s2 = 5.12,
so erscheint die Variabilität bei den 6-jährigen kleiner als bei den 17–18jährigen, das liegt aber nur an der durchschnittlich geringeren Körpergröße
der 6-jährigen, die auch eine kleinere durchschnittliche Abweichung zur Folge
hat. Der Vergleich der Variationskoeﬃzienten cv 1 = 4.12 und cv 2 = 3.15
zeigt, dass in Wirklichkeit die Streuung bei den 6-jährigen relativ größer ist.
4.2.4 Variationsbreite und Interquartilabstand
Die Variationsbreite hatten wir schon eingeführt, sie wird aus der Diﬀerenz
des größten und kleinsten Wertes gebildet:
Formel zur Berechnung der Variationsbreite V :
V = xmax − xmin ,
(Formel 4.7)
der größte Messwert,
der kleinste Messwert.
Für die Variationsbreite ﬁndet man auch die Bezeichnung Spannweite. Während die Variationsbreite die Länge des Bereiches angibt, in dem sich 100%
aller Messwerte beﬁnden, kann man als Streuungsmaß auch die Länge des
(mittleren) Bereiches wählen, der genau 50% der Messwerte enthält. Kennen
wir die Quartile Q1 und Q3 (vgl. § 4.1.3), so können wir die Diﬀerenz zwischen
Q3 und Q1 bilden. Man nennt diese den Interquartilabstand I50 und das
zugehörige Intervall [Q1 ; Q3 ] heißt Interquartilbereich.
Formel zur Berechnung des Interquartilabstands I50 :
I50 = Q3 − Q1 ,
(Formel 4.8)
das obere Quartil,
das untere Quartil.
Der Wert I50 ist ebenso wie die Variationsbreite V ein Streuungsmaß, wobei
I50 nicht so stark wie V von Extremwerten am Rand der Verteilung abhängt.
Beispiel: Abb. 4.3 zeigt eine Häuﬁgkeitsverteilung mit xmax = 5.0 und
xmin = 0.25, also V = 4.75. Das untere Quartil Q1 = 2.5 und das obere
Quartil Q3 = 4.0. Daher ist der Interquartilabstand I50 = 4.0 − 2.5 = 1.5.
Die Quartile Q1 , Z = Q2 und Q3 teilen die Fläche unter dem Polygon in
vier gleiche Teile. Die Variationsbreite V gibt die Länge des Intervalls an, in
Abb. 4.3. Polygon einer Häuﬁgkeitsverteilung mit eingezeichneten Quartilen
Q1 , Z, Q3
welchem 100% der Werte liegen; der Interquartilabstand I50 gibt die Länge
des Intervalls [Q1 ; Q3 ] an, in welchem 50% der Werte liegen.
4.2.5 Box-Whisker-Plot
Will man auf einen Blick ausgewählte Lage- und Streuungsmaße mehrerer
Verteilungen miteinander vergleichen, so bietet sich ein Box-Whisker-Plot
(BWP) an. Dabei wird jede Stichprobe durch ein Rechteck (Box) dargestellt, dessen Lage und Länge den Interquartilbereich repräsentiert. An beiden
Abb. 4.4. Erträge dreier Sorten A, B, C im Box-WhiskerPlot: Sorte A ist linksgipﬂig, Sorte B ist rechtsgipﬂig und Sorte
C symmetrisch. Alle drei Sorten
unterscheiden sich in Lage und
Enden der Box werden so genannte Whiskers (Schnurrhaare) angehängt, die
den Abständen von xmin bis Q1 bzw. Q3 bis xmax entsprechen, d.h. die Gesamtlänge der Box mit den beiden Whiskers stellt die Variationsbreite dar.
Es existieren viele Modiﬁkationen des BWP, man kann z.B. zur Charakterisierung von Ausreißern eine Art Vertrauensbereich markieren, indem man
als Whisker-Längen das 1.5-fache der Abstände (Z−Q1 ) und (Q3 −Z) nimmt
und alle Messwerte, die außerhalb von Box und Whiskers liegen, gesondert
4.2.6 Diversitätsindices als Streuungsmaß
Im Paragraphen 4.1.2 haben wir den Modalwert als Lageparameter für nominalskalierte Merkmale eingeführt (Dichtemittel). Es fehlt uns aber eine
Maßzahl, mit deren Hilfe man die Streuung einer kategorialen Häuﬁgkeitsverteilung charakterisieren kann. Als geeignete Parameter bieten sich so genannte Diversitätsindices als Streuungsmaße an. Der am häuﬁgsten benutzte
Diversitätsindex ist der Shannon-Index H. Er nimmt Werte zwischen null
und ln k ein (0 ≤ H ≤ ln k, k Anzahl Kategorien). Die maximal mögliche
Diversität ln k einer Verteilung ist daher von der Anzahl k der Kategorien
abhängig. Um die Diversität von Verteilungen, denen unterschiedliche Anzahlen k von Kategorien zugrunde liegen, vergleichen zu können, normiert
man die Diversität H mit ihrem maximalen Wert ln k (E = H/ ln k) und
erhält die relative Diversität E, auch Eveness genannt. Sie wird für den Vergleich der Streuungen von Verteilungen mit einer unterschiedlichen Anzahl
von Kategorien herangezogen.
Bemerkung: Die Diversitätsindizes H und E werden in der Ökologie häuﬁg zur
Charakterisierung der Artenvielfalt in einem Untersuchungsgebiet herangezogen.
H charakterisiert dabei die aufgetretene Artendiversität. Zum Vergleich der Artenvielfalt an unterschiedlichen Fundorten wird die Eveness E herangezogen. Mit dem
Index E wird die Homogenität im Auftreten der Arten charakterisiert, während
(1 − E) die Dominanz einzelner Arten kennzeichnet.
Berechnung des Diversitätsindex H und der Eveness E nach Shannon
n ln n −
(Formel 4.9)
pi ln pi =
fi ln fi
0 ≤ H ≤ ln k,
0 ≤ E ≤ 1.0
die Häuﬁgkeit der i-ten Kategorie,
die relative Häuﬁgkeit der Kategorie i,
die Anzahl beobachteter Kategorien.
Beispiel 1: In einer Untersuchung über den Anbau von k = 5 verschiedenen Topf- und Ballenzierpﬂanzen in Hessen bzw. in Berlin erhielt man (vgl.
Abb. 3.3):
–0.366
–1.462
–1.266
Benutzen wir die Streuungsmaße nach Shannon für nominal skalierte Daten, so folgt aus der Tabelle für die Diversitäten im Topf- und Ballenzierpﬂanzenanbau in Hessen und in Berlin
HH = 1.46 bzw. HB = 1.27.
Für die relativen Diversitäten ergibt sich dann mit k = 5:
= 0.91 und EB =
= 0.78.
Der kommerzielle Anbau von Topf- und Ballenzierpﬂanzen zeigt in Hessen
eine höhere Streuung als in Berlin.
Beispiel 2: In zwei Gebieten in Hessen und Sachsen wurden Musteliden
gefangen. Man erhielt folgendes Ergebnis:
ln fi
Daraus folgt für die jeweiligen Fangorte in Hessen und Sachsen
(40 ln 40 − 119.83) = 0.69 und EH =
= 1.00, bzw.
(43 ln 43 − 129.78) = 0.74 und ES =
Die Diversität in Sachsen ist höher als in Hessen (HS > HH ). Die Fangergebnisse in Hessen sind oﬀensichtlich völlig homogen (EH = 1.0, keine Streuung
in den Fangzahlen fi ), während im sächsischen Gebiet der Marder dominiert
(ES = 0.52). Während der Artenreichtum in Sachsen größer als in Hessen
ist – in Sachsen wurden doppelt so viele Mustelidenarten (k = 4) gefangen wie in Hessen (k = 2) – ist die relative Diversität (Eveness) dagegen in
Sachsen deutlich kleiner als in Hessen (ES < EH ).
4.3 Zur Anwendung der eingeführten Maßzahlen
4.3.1 Standardabweichung und Normalverteilung
Oft kann man davon ausgehen, dass die gegebenen Daten annähernd normal
verteilt sind. Die Häuﬁgkeitsverteilung ergibt dann bei stetigem Ausgleich
(vgl. §3.1.7) eine der Glockenkurve ähnliche Funktion.
Wir wollen uns nun an der graphischen Darstellung der Normalverteilung einige ihrer Eigenschaften veranschaulichen. Die Kurve ist symmetrisch,
Dichtemittel D, Zentralwert Z und arithmetisches Mittel x̄ fallen mit dem
Maximum der Funktion zusammen (vgl. §24.3).
Abb. 4.5. Graphische Darstellung einer Normalverteilung mit Mittelwert x̄ und
Standardabweichung s. Die
schraﬃerte Fläche macht ca.
68% der Gesamtﬂäche unter
der Kurve aus
Die Wendepunkte der Normalverteilung liegen bei x̄ − s und x̄ + s, wobei
s die Standardabweichung bezeichnet.
Wie bei Histogramm und Polygon entspricht auch hier die Fläche unter
der Kurve dem Stichprobenumfang, also 100% der Messwerte. Und weiter
gilt als Faustregel, dass über dem Intervall
[x̄ − s; x̄ + s] etwa 68% der Fläche (schraﬃert) liegen,
[x̄ − 2s; x̄ + 2s] etwa 95% der Fläche liegen,
[x̄ − 3s; x̄ + 3s] mehr als 99% der Fläche liegen.
Besonders oft werden wir die zweite Eigenschaft noch anwenden, dass die
Fläche über dem Intervall [x̄ − 2s; x̄ + 2s] etwa 95% der Gesamtﬂäche unter
der Kurve ausmacht. Da diese Fläche der Anzahl Beobachtungen entspricht,
liegen also 95% der beobachteten Werte im Bereich zwischen x̄−2s und x̄+2s.
Beispiel: Aus Abb. 2.2 schlossen wir für die Flügellängen auf eine zweigipﬂige Verteilung, die wir mit vorhandenen Geschlechtsunterschieden erklärten. Daraufhin wurden an 269 Männchen derselben Insektenart erneut
die Flügellängen ermittelt. Man erhielt folgende Häuﬁgkeitsverteilung:
Tabelle 4.1. Flügellängen von 269 männlichen Insekten
Flügellängen in [mm] 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2
13 30 55 61 53 32 13
Die Daten ergeben einen glockenförmigen Verteilungstyp, wie man sich z. B.
am zugehörigen Polygon klar macht. Daher berechnet man x̄ und s und darf
die eben erwähnten Eigenschaften einer Normalverteilung zur Interpretation
Σfi xi = 995.6, x̄ = 3.70, Σfix2i = 3692.92, die Varianz s2 = 0.03. Die
Standardabweichung s = 0.17 und der mittlere Fehler sx̄ = 0.01. Für die
Einzelwerte können wir nun aussagen, dass wir bei 95 von 100 Insekten der
untersuchten Art eine Flügellänge zwischen x̄ − 2s = 3.36 mm und x̄ + 2s =
4.04 mm erwarten können. Anders ausgedrückt, mit 95% Wahrscheinlichkeit
wird ein zufällig ausgewähltes Individuum eine Flügellänge haben, deren Wert
im Intervall [3.36; 4.04] liegt.
Mit Hilfe des mittleren Fehlers sx̄ können wir auch das Intervall
[x̄ − 2sx̄ ; x̄ + 2sx̄ ] = [3.68; 3.72] berechnen; dieses Intervall enthält mit 95%
Wahrscheinlichkeit den wahren Mittelwert µ. Auf diesen Sachverhalt werden wir später im Zusammenhang mit Vertrauensbereichen“ zurückkommen,
vgl. § 10.
4.3.2 Hilfe bei der Wahl geeigneter Maßzahlen
Die im letzten Abschnitt besprochene Normalverteilung ist ein Spezialfall,
für den x̄ und s als Parameter hervorragend geeignet sind. Oft hat man aber
schiefe (d.h. unsymmetrische) Verteilungen, diese können zusätzlich multimodal sein. Auch wird häuﬁg das Skalenniveau nur ordinal sein. All diese Besonderheiten einer Verteilung müssen dann bei der Entscheidung für adäquate
charakteristische Maßzahlen berücksichtigt werden.
Die Übersicht in Tabelle 4.2 soll eine kleine Hilfe bei der Wahl geeigneter
Parameter geben, um eine Verteilung durch wenige Maßzahlen sinnvoll zu
Tabelle 4.2. Hinweise zur geeigneten Wahl der charakteristischen Maßzahlen
s, sx̄
Glockenkurve (Normalverteilung) oder
symmetrische Verteilung und mindestens
cv nur bei Verhältnisskala zulässig
Eingipﬂig, asymmetrisch und mindestens
Q1 , Q3
Mehrgipﬂig und mindestens Ordinalskala
D1 , D2 , . . .
V, I50
Z günstig bei oﬀenen Randklassen
Verhältniszahlen
I50 nur bei Stichprobenumfang n
Beispiel: Während das arithmetische Mittel x̄ für Ausreißer“-Werte am
Rand der Verteilung hochempﬁndlich ist, spielen solche untypischen Werte
für die Größe des Medians kaum eine Rolle. In einer ﬁktiven Gemeinde liege
folgende (linksgipﬂige) Einkommensverteilung vor:
Anzahl Familien (Häuﬁgkeit)
Zur Charakterisierung des mittleren Einkommens könnte man den Modalwert
D = 1000, den Median Z = 1500 oder das arithmetische Mittel x̄ = 2300
heranziehen. Hier repräsentiert Z von den Lageparametern die Einkommensverteilung am besten, während bei x̄ die Spitzenverdiener zu stark ins Gewicht
fallen, denn 95% der Familien liegen unterhalb des arithmetischen Mittels.
Alternativ zum Median kann auch das beidseitig gestutzte arithmetische Mittel x̄α% (trimmed mean) verwendet werden, um die Empﬁndlichkeit von x̄
gegen Ausreißer zu umgehen. Das gestutzte arithmetische Mittel erhält man,
indem zunächst die α% kleinsten und die α% größten Messwerte entfernt werden, um dann für die verbliebenen xi den Mittelwert zu berechnen (Beispiel 2,
§23.2).
§5 Graphische Darstellung bivariabler Verteilungen
Bis jetzt haben wir uns ausschließlich mit monovariablen Verteilungen, also Verteilungen mit nur einer Variablen beschäftigt. Oft interessieren aber
mehrere Merkmale am selben Untersuchungsobjekt (Individuum), also multivariable Verteilungen* .
Beispiel: In einem Versuch untersuchte man
– Länge und Gewicht von Bohnen,
– Haar- und Augenfarbe von Personen,
– Behandlungsdosis und Heilungserfolg und Alter von Patienten.
Im Folgenden beschränken wir uns auf Untersuchungen von zwei Merkmalen,
d.h. auf bivariable Verteilungen. Zunächst werden wir Methoden zur graphischen Darstellung solcher Verteilungen angeben. Später in den Paragraphen
6 und 7 werden wir den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen zu beschreiben versuchen, dabei soll einerseits etwas über die Stärke dieses Zusammenhanges (Korrelation) und andererseits über die Art des Zusammenhanges (Regression) ausgesagt werden. Doch vorerst wollen wir zurückkehren
zur Ausgangsfrage dieses Paragraphen, wie man bivariable Verteilungen graphisch darstellen sollte.
Erinnern wir uns an die Konstruktion unserer monovariablen Schaubilder in §3.1.5, dort hatten wir die Abszisse X als Merkmalsachse und
die Ordinate Y als Häuﬁgkeitsachse benutzt, vgl. Abb. 3.6. Es liegt nahe, bei bivariablen Verteilungen entsprechend vorzugehen, indem eine weitere Merkmalsachse hinzugefügt wird. Es entsteht dann statt eines Histogramms im (X, Y )-System ein Verteilungs-Gebirge“ in einem (X1 , X2 , Y )”
Achsensystem. Die Klasseneinteilung entsteht hier nicht durch Intervalle, sondern durch Rechteck-Flächen.
Tabelle 5.1. Wertetabelle der Messung der Länge und Breite von 33 Samen in [mm]
X1 2.5 2.7 2.8 3.0 3.2 3.2 3.6 3.9 3.9 4.1 4.2 4.5 4.5 4.8 4.8 4.9
X2 2.0 2.3 2.6 2.1 2.4 2.7 2.2 2.6 2.8 3.1 2.3 2.7 3.0 2.5 3.0 3.2
X1 5.1 5.2 5.3 5.5 5.6 5.7 5.8 6.0 6.1 6.2 6.5 6.6 6.9 7.1 7.2 7.8 7.9
X2 2.8 3.1 3.2 3.0 2.7 3.1 3.5 2.8 3.3 2.9 3.1 3.2 3.6 3.3 3.6 2.3 3.7
Alternativ werden auch die Bezeichnungen monovariat, bivariat und multivariat
Beispiel: Es liegen die in Tabelle 5.1 gegebenen 33 Wertepaare vor, wobei
X1 die Länge und X2 die Breite von Samen in [mm] ist.
Wir bilden eine Klasseneinteilung, indem wir sowohl für X1 als auch für X2
die Klassenbreite b1 = b2 = 1.0 wählen, also erhalten wir z.B. die Klasse
K23 = {4.0  x1 < 5.0 und 3.0  x2 < 4.0}
mit der Klassenhäuﬁgkeit f23 = 4. Nach der Klassenbildung erhalten wir eine
Häuﬁgkeitstabelle:
Tabelle 5.2. Häuﬁgkeiten fij der Daten aus Tabelle 5.1 nach Klassiﬁzierung
Länge in X1
[mm] X2
2  x2 < 3
2  x1 < 3 3  x1 < 4 4  x1 < 5 5  x1 < 6 6  x1 < 7 7  x1 < 8
3  x2 < 4
Mit Hilfe der Häuﬁgkeiten fij lässt sich nun ein Schaubild zeichnen:
Abb. 5.1. Histogramm der bivariablen Verteilung von Tabelle 5.2 in einem Koordinatensystem mit drei Achsen
In §3.1.7 hatten wir die Möglichkeit des stetigen Ausgleichs monovariabler
Verteilungen eingeführt, solch eine Glättung ist auch bei einem Verteilungsgebirge möglich, wie die folgende in X1 und X2 normalverteilte Darstellung
Abb. 5.2. Darstellung einer bivariablen Normalverteilung im (X1 , X2 , Y )-System
Das Zeichnen von aussagekräftigen Schaubildern im (X1 , X2 , Y )-System erfordert ohne Computer einige Erfahrung und gewisse Kenntnisse in darstellender Geometrie. Hat man diese Kenntnisse nicht, so bietet sich eine weit
weniger aufwändige Darstellungsweise an, die zudem für die meisten Fälle
den gewünschten Sachverhalt ebenso anschaulich wiedergibt. Diese einfachere Methode der Darstellung bivariabler Verteilungen benötigt nur die Merkmalsachsen X1 und X2 und verzichtet auf die Häuﬁgkeitsachse Y. Es wird
jedem Individuum (bzw. Objekt) im (X1 , X2 )-System ein Punkt zugeordnet,
dessen Koordinaten die gemessenen Werte x1 und x2 der beiden Merkmale
sind (Streudiagramm, Scatterplot).
Abb. 5.3. Darstellung der bivariablen
Verteilung von Tabelle 5.2 in einem Koordinatensystem mit nur zwei Achsen
Beispiel: Das 19. Messwertpaar (k = 19) hat in Tabelle 5.1 die Größen
x1 = 5.3 und x2 = 3.2 und wird in unserem Schaubild in den Punkt (5.3/3.2)
Wie das Beispiel zeigt, erhält man eine Vielzahl von Punkten, aus deren Lage
oft schon Zusammenhänge sichtbar werden. Je stärker der Zusammenhang
zwischen Länge und Breite der Samen ist, desto schmaler wird in Abb. 5.3
die Ellipse um die Punktwolke ausfallen.
Bemerkung: In unserem Beispiel liegt der Punkt (7.8/2.3) oﬀensichtlich weit ab
von den übrigen, er stammte vom 32. Wertepaar in Tabelle 5.1. Wenn wir um
die Punktwolke eine Ellipse legen, so dürfen wir diesen Ausreißer“ hierbei un”
berücksichtigt lassen. Als Faustregel gilt, dass man bzgl. der Ellipse höchstens 5%
solcher Punkte vernachlässigen darf (Konﬁdenzellipse mit α = 5%). Trotzdem sollte der Fachwissenschaftler stets zu klären versuchen, wieso es zu den Ausreißern
kam, die vielleicht doch eine Bedeutung haben könnten. Keinesfalls dürfen diese
Ausreißer verschwinden“, weder aus der Tabelle noch aus dem Schaubild.
§6 Zur Korrelationsanalyse
Wir wollen nun Maßzahlen für die Stärke eines Zusammenhangs einführen
und zwar erst für intervallskalierte Daten, später für Ordinalskalen (§6.4)
und schließlich für nominalskalierte Daten (§6.5). Vermutet man aufgrund der
Form der Punktwolke der graphischen Darstellung einen bestimmten Zusammenhang zwischen den Variablen, dann will man etwas über die Stärke dieses
Zusammenhanges wissen, über die Korrelation im weitesten Sinn. Lässt sich
durch die Punktwolke eine Kurve legen, so bedeutet starke Korrelation, dass
die meisten Punkte sehr nahe an der Kurve liegen. Schwache Korrelation
liegt vor, wenn die Punkte in einem relativ breiten Bereich oberhalb und
unterhalb der eingezeichneten Kurve liegen.
Abb. 6.1. Beide Punktwolken lassen lineare Zusammenhänge vermuten, wobei die
schmalere Ellipse links auf einen stärkeren Zusammenhang hindeutet. Eingezeichnet
ist die Hauptachse der Ellipse
6.1 Der Pearsonsche Maßkorrelationskoeﬃzient
Im Weiteren gehen wir näher auf den Spezialfall der linearen Korrelation ein,
d.h. die durch die Punktwolke nahegelegte Ausgleichskurve soll eine Gerade
sein, also eine lineare Funktion (Abb. 6.1).
Um bei der Beschreibung der Stärke des Zusammenhangs nicht nur
auf graphische Darstellungen angewiesen zu sein, wurde von Bravais und
Pearson für lineare Zusammenhänge* der Maßkorrelationskoeﬃzient r
eingeführt. Oft wird r auch Produkt-Moment-Korrelationskoeﬃzient genannt;
wir ziehen die Bezeichnung Maßkorrelationskoeﬃzient vor, weil sie daran erinnert, dass r nur für gemessene Werte anwendbar ist, d.h. sowohl X1 als
auch X2 müssen mindestens intervallskaliert sein.
Formel zur Berechnung des Maßkorrelationskoeﬃzienten r:
r = 
(xi − x̄)2 · (yi − ȳ)2
(Σxi ) · (Σyi )
Σxi yi −
(Formel 6.1)
(Σx
(Σy
· Σyi2 −
Σx2i −
wobei xi
der Messwert des Merkmals X1 am i -ten Individuum,
der Messwert des Merkmals X2 am i -ten Individuum,
x̄ (bzw. ȳ) das arithmetische Mittel von X1 (bzw. X2 ),
die Anzahl aller Wertepaare,
der Lauﬁndex von 1 bis n läuft.
Beispiel: Zu den Werten aus Tabelle 5.1 berechnet sich der Korrelationskoeﬃzient r mit n = 33, Σxy = 494.68, Σx = 167.1, Σy = 94.7 und Σx2 =
918.73, Σy2 = 278.25. Somit erhalten wir für r mit Formel 6.1:
= 0.70.
Bemerkung 1: Wenn keine Missverständnisse entstehen, lassen wir in Zukunft
häuﬁg die Indizes weg. So wird aus
xi yi dann kurz
xy . Man beachte auch
x und ( x) .
Bemerkung 2: Um zu betonen, dass bei der Korrelationsanalyse nicht zwischen
abhängigen und unabhängigen Variablen unterschieden wird, haben wir die Merkmale mit X1 und X2 bezeichnet, statt mit X und Y. In den Formeln haben wir
dann bei Merkmal X2 die Messwerte mit yi bezeichnet, um eine unübersichtliche
Doppelindizierung zu vermeiden.
Bei nichtlinearem Kurvenverlauf sagt r möglicherweise nichts über die Stärke
des Zusammenhangs aus, vgl. Abb. 6.2 (g).
Abb. 6.2a–l. Beispiele für einige Punktwolken mit den dazugehörigen Werten der
Korrelationskoeﬃzienten
Bemerkung 3: Man sollte sich die Bedeutung des Index i beim Messwertpaar
(xi /yi ) genau klar machen: xi und yi sind hier die Werte der Merkmale X1 und
X2 , gemessen am selben Objekt (bzw. Individuum), nämlich am i -ten Objekt.
Wie man zeigen kann, nimmt der eben eingeführte Korrelationskoeﬃzient r immer
Werte zwischen −1 und +1 an. Das Vorzeichen von r ergibt sich aus der Steigung
der Geraden, anders ausgedrückt: Wenn mit der Zunahme von X1 auch eine Zunahme von X2 verbunden ist, so ist r positiv, wenn die Zunahme des einen Merkmals
mit der Abnahme des anderen einhergeht, so ist r negativ.
Liegen alle Punkte der Punktwolke direkt auf der Geraden (vollkommene Korrelation), so hat r den Betrag 1, d.h. entweder r = +1 oder r = −1. Je näher die
meisten Punkte bei der Geraden liegen, desto näher liegt der Zahlenwert von r bei
+1 oder −1. Am Beispiel eini

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