Source: https://es.scribd.com/doc/169753399/Problemas-Aditivos-2011
Timestamp: 2016-05-24 22:07:48+00:00

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Los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual y sus posibilidades de resolver problemas aditivos
Coordinación General Norma Patricia Sánchez Regalado Coordinación Técnica María de la Luz Hernández Álvarez Equipo Técnico Zorobabel Martiradoni Galindo Néstor González Tovar Eva Díaz Chávez Colaboración Hugo Pablo Tinoco Ramírez Revisión General y Alineación con el MASEE: Isabel W. Farha Valenzuela Martha Kenya Alcántara Rodríguez Rosalío Esteban Díaz Mejía Diseño Claudia Licea Vélez
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Administración Federal de Servicios Educativos en el D.F. Dirección General de Operación de Servicios Educativos
D.R. © DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ESPECIAL Calzada de Tlalpan 515 Colonia Álamos Delegación Benito Juárez, 03400, México, D.F., México. ISBN: 978-607-95215-7-8 México, D.F., diciembre de 2011.
DIRECTORIO Alonso Lujambio Irazábal
La educación inclusiva: una construcción de la política educativa nacional e internacional 5.	Referencias bibliográficas 7 9 11 15
.	Conclusiones 8. 6.2.	Consideraciones curriculares.1. 6.	Presentación 2.	Consideraciones generales para guiar el trabajo didáctico con problemas de tipo aditivo.Índice
1.2. Recomendaciones didácticas 6.	A manera de justificación 4.	Cómo construyen los alumnos y las alumnas el sentido de la suma y de la resta.	Recomendaciones específicas para plantear problemas aditivos.	Los significados de la suma y de la resta 5. 6.1. 7.	Introducción 3.3.	¿Qué es un problema aditivo? 5.
. sobreconteo. cálculo relacional.Resumen
El presente documento es un esfuerzo por hacer llegar de manera sencilla a todos los docentes interesados en el tema (en particular a los de educación especial) algunos datos resultantes de la implementación de situaciones didácticas para la resolución de problemas de tipo aditivo con grupos de alumnos y alumnas de educación especial. problemas aditivos. Los datos describen las relaciones involucradas en la resolución de problemas aditivos que presentan mayor dificultad para ser aprendidas por la población con discapacidad intelectual. ni acota su interés al estudio de los algoritmos de la suma y la resta. El planteamiento de base no centra. principio de la regla cardinal.
Campo de relaciones aditivas. algoritmo. cálculo numérico. el eje conceptual que da fundamento a este texto es el del “cálculo relacional” en el contexto de situaciones problemáticas.
En este sentido y en el marco del Modelo de Atención de los Servicios de Educación Especial (MASEE 2011). Bajo estos planteamientos se enmarca el presente documento de carácter técnico-pedagógico: Los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual y sus posibilidades de resolver problemas de tipo aditivo. plantea entre sus metas. equidad e igualdad de oportunidades y promueve un proceso de atención educativa con calidad bajo la perspectiva de los principios de la Educación Inclusiva. El Programa General de Trabajo 2008-2012 de la DEE. para impulsar el respeto y cumplimiento del derecho a la educación de todos los niños.
. inscrita en el Plan Nacional de Desarrollo y el Programa Sectorial de Educación 2007 – 2012. se desarrollan acciones de fortalecimiento a la formación permanente de los profesionales de los Centros de Atención Múltiple (CAM) y de las Unidades de Servicios de Apoyo a la Educación Regular (USAER) que contribuyan a mejorar dicha oferta educativa y a enriquecer la práctica docente. mismas que deberán considerarse bajo la necesidad de trasformación de la Gestión Escolar y del logro educativo en el marco del Trayecto Formativo de la Educación Básica.1. perteneciente a la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal (AFSEDF) de la Secretaría de Educación Pública (SEP). Presentación
La Dirección de Educación Especial (DEE) como unidad administrativa de la Dirección General de Operación de Servicios Educativos (DGOSE). de acuerdo con sus condiciones particulares. las niñas y los jóvenes en edad escolar bajo los principios de justicia. el desarrollo de Programas y Estrategias Diversificadas y Específicas que permitan dar respuesta educativa a la población escolar. participa de manera corresponsable y coadyuva con las modalidades y niveles de la Educación Básica en la concreción de la política educativa nacional. impulsado por la DEE. como es el caso de los alumnos y alumnas que presentan discapacidad.
a la vez. permitan continuar con procesos de indagación sobre sus estilos. tiempos y formas de aprendizaje en los diferentes campos del saber. se hace particularmente necesario implementar estrategias específicas que apoyen su desarrollo educativo y que.Su publicación cobra relevancia toda vez que existe un alto índice de población escolar con discapacidad intelectual atendida en los Centros de Atención Múltiple (CAM). En este marco. el presente documento recupera la difusión de los aportes técnicos de investigación y su implementación en los CAM y muestra las posibilidades con las que cuentan los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual para enfrentar el reto cotidiano que implica la resolución de problemas de suma y resta bajo el enfoque de enseñanza de las matemáticas que plantea el Plan y los Programas de Estudio de la reciente Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) y como una aportación que enriquece la práctica docente y el aprendizaje de los alumnos y las alumnas en los Centros de Atención Múltiple.
articula los planteamientos ya expresados. Se considera que dichas barreras no son intrínsecas a los estudiantes. a fin de eliminar o minimizar las barreras para el aprendizaje y la participación que enfrentan cotidianamente los alumnos y las alumnas en los contextos escolar. son externas y requieren de la realización de ajustes razonables (ya sea en recursos especializados. basada en el Acuerdo Secretarial 592 que. a través de la Secretaría de Educación Pública busca ofrecer un trayecto formativo para todos los alumnos y las alumnas de la Educación Básica orientado al desarrollo de competencias para la vida. El documento Los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual y sus posibilidades de resolver problemas de tipo aditivo.expresa el estado de las investigaciones en didáctica
. metodológica y operativa. para satisfacer las necesidades educativas específicas de todos los alumnos y las alumnas con discapacidad. en estrategias pedagógicas diversificadas. áulico y socio-familiar. Para ello. que perfila la transformación del quehacer de los servicios educativos y. por lo tanto. que se fundamenta en tres ejes principales: •	La Educación Inclusiva.2. las culturas y las políticas en la gestión institucional. el apartado 3 -A manera de justificación. etcétera). y. en planificación didáctica del docente. •	La Articulación de la Educación Básica. En este amplio marco. sino que se encuentran y manifiestan en la interacción que guardan los sujetos con los contextos. escolar y pedagógica. que en conjunción con el enfoque inclusivo busca la transformación de las prácticas. ha priorizado el Modelo de Atención de los Servicios de Educación Especial como base conceptual. que refrenda el derecho a la educación de todos los alumnos y las alumnas con calidad y equidad y orientada a la eliminación de las barreras que impiden o dificultan el aprendizaje y la participación. se orientan los esfuerzos de la Dirección de Educación Especial. •	El Modelo de Gestión Educativa Estratégica. Introducción
La Dirección de Educación Especial.
La educación inclusiva: una construcción de la política educativa nacional e internacional.
. se traza un breve recorrido por las aportaciones de los organismos internacionales en torno al campo de la educación y se abordan con claridad y puntualidad los planteamientos de política educativa del Estado Mexicano en los últimos años. Recomendaciones Didácticas. se propone tomar en cuenta los siguientes aspectos: consideraciones en torno a aspectos curriculares. transita hacia la política educativa de la Dirección de Educación Especial y cierra de manera particular con la razón de ser de sus Centros de Atención Múltiple (CAM). la trascendencia de la planeación didáctica y la flexibilidad como principio pedagógico. así como la necesidad de diversificar el currículo y la organización del proceso de enseñanza para la atención de alumnos y alumnas con discapacidad intelectual. En el apartado 4. en torno a lo que implica la enseñanza de las operaciones de sumar y restar con los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual y sus posibilidades de aprendizaje para resolver problemas de tipo aditivo. se reflexiona en torno a las concepciones matemáticas de los profesores y. Los significados de la suma y de la resta. El documento cierra con una serie de conclusiones puntuales en torno al aprendizaje de los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual y en torno a su capacidad matemática para enfrentar los retos que implica la resolución de problemas de suma y resta. así como recomendaciones específicas para plantear problemas aditivos.para la enseñanza de las matemáticas y de manera específica. En éste. se da respuesta a las siguientes interrogantes: ¿Qué es un problema aditivo? y ¿Cómo construyen los alumnos y las alumnas el sentido de la suma y de la resta? El apartado 6. consideraciones generales para guiar el trabajo didáctico con problemas de tipo aditivo. se abordan en el apartado 5.
Aprendiendo a contar. directivos. Por su importancia y trascendencia en la formación matemática de alumnos y alumnas con discapacidad intelectual y del alumnado que asiste a las escuelas de Educación Básica. En este sentido. Situaciones didácticas para alumnos con discapacidad y. con ello.3. Dos aspectos fundamentales que dan sustento al presente documento. se han logrado hallazgos favorables y el establecimiento de nuevas perspectivas tanto para la formación de alumnos y alumnas de educación básica como para la población escolar atendida en los servicios de educación especial. es imprescindible situar el estudio realizado por el francés Gérard Vergnaud (1991). preocupaciones y expectativas de los docentes en torno a la enseñanza y al aprendizaje para la resolución de problemas aditivos en alumnos y alumnas con discapacidad intelectual. toda vez que constituye un parteaguas en el enfoque sobre
. el cual ha servido como sustento en la atención educativa de los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual. es el de las estrategias didácticas para la enseñanza del conteo de colecciones. asesores técnicos y supervisores de educación especial. con la finalidad institucional de promover la formación permanente de los docentes. uno de los temas que ha sido ampliamente abordado. Cuadernillo de Evaluación . la Dirección de Educación Especial. el impacto de esta temática de investigación se ha dejado sentir en diversos espacios para la actualización docente. Con relación a los referentes teóricos. A manera de justificación
Actualmente las investigaciones en didáctica para la enseñanza de las matemáticas han avanzado considerablemente. En particular. así como una contribución para mejorar la enseñanza del conteo en las modalidades y niveles educativos. son los referentes teóricos con relación a la enseñanza de las operaciones de suma y resta y el reconocimiento de las necesidades. los materiales: Aprendiendo a contar. publicó en el año de 2004 a través de la colección Estrategias Didácticas.
misma que ha sido sustento teórico de las propuestas de enseñanza de los problemas aditivos en las últimas dos reformas educativas en todos los niveles de la Educación Básica en México. Tanto la clasificación de Carpenter y Mosser. significados que hacen funcionales y ponen en evidencia los obstáculos de desarrollo que muestran los alumnos y las alumnas para comprender las relaciones implícitas en los problemas. lo cual ha posibilitado que ambos aportes hayan sido retomados por la didáctica. problemas de combinación ( juntar. Su análisis se lleva a cabo a través de una notación muy clara basada en una teoría de carácter constructivista. la necesidad de realizar un esfuerzo de trabajo en el aula por niveles educativos y de conocer a profundidad el contenido matemático. en la medida en que los alumnos y las alumnas resuelven diferentes tipos de problemas. Esta teoría también señala la importancia de realizar de manera simultánea un análisis cualitativo y otro numérico. además del lugar de la incógnita. Carpenter y Mosser (1986). pese a haber sido realizadas con independencia la una de la otra.
. como la de Vergnaud fueron desarrolladas en la década de los setenta y.. se enriquecen los significados que para ellos tienen las operaciones de sumar y restar. los docentes han podido evidenciar de manera muy clara. determinados por el contexto de cada problema. las dos clasificaciones guardan una similitud y compatibilidad teórica muy grande. separar). en el momento de operar la suma o la resta en un contexto de resolución de problemas y la develación de un carácter polisémico (significados múltiples) de las operaciones con diferentes grados de dificultad. Estos significados hacen referencia a los distintos tipos de relaciones y estructura de los problemas aditivos que se les plantean para su resolución: problemas de cambio (agregar. problemas de comparación y problemas de igualación. entre otros investigadores ingleses. quitar). que propone un análisis matemático y cognitivo a través del estudio de campos conceptuales.la suma y la resta al considerar a las dos operaciones como relaciones que comparten un mismo campo: el campo de los problemas aditivos. así como una clasificación de las relaciones aditivas basada en los diferentes significados implicados en el signo de + y . de tal manera que se tenga el control para ser aplicado a diferentes niveles de complejidad. Con este sustento. Es decir. mismos que se definen por varios significados. proponen otra clasificación basada en la teoría del procesamiento humano de la información.
Al mismo tiempo. Con respecto a las necesidades. orientación y acompañamiento en torno a la estructura y a los contenidos curriculares –como es el caso de los problemas aditivos. así como la necesidad de asesoría. de un razonamiento de sus significados en la resolución de un problema determinado. los aspectos que fundamentaron el desarrollo de la investigación -base de este documento. les obliga a considerar que las operaciones no son únicamente el resultado de un cálculo numérico sino también y sobre todo. se advierte una mirada común y compartida para acercarse al conocimiento sobre los contextos y las secuencias de situaciones problemáticas que dan significado a los contenidos de matemáticas. Condición siempre necesaria en el marco de la Educación Inclusiva.y. En resumen. fundamentalmente.y la concreción de sus resultados son: •	La ausencia de investigaciones previas en torno a la resolución de problemas aditivos en la población con discapacidad intelectual dentro de los servicios de educación especial: Centros de Atención Múltiple (CAM) y Unidades de Servicios de Apoyo a la Educación Regular (USAER). como una condición que fortalece su participación en la complejidad de la vida cotidiana. las necesidades. Estos aspectos permiten reflexionar sobre la dificultad existente en la adquisición de competencias para resolver problemas que implican el uso y aplicación de la suma y la resta en los alumnos o las alumnas con discapacidad intelectual y sobre su impacto en el desarrollo de estrategias específicas para la enseñanza. la orientación de la que está matizada la didáctica de las matemáticas con este sustento teórico. creativa y lúdica. trabajados en el aula de manera cotidiana. preocupaciones y expectativas de los docentes expresan la importancia del aprendizaje de los alumnos y las alumnas en torno a las matemáticas.
.Con relación a los alumnos y las alumnas. Advierten como prioridad el adentrarse en la comprensión del enfoque didáctico y el conocimiento de los materiales para la enseñanza. para desarrollar su enseñanza en esta asignatura de forma innovadora. preocupaciones y expectativas de los docentes.
tal como la formación permanente y la actualización docente a corto y mediano plazo.•	La urgencia por dar respuestas documentadas y realistas sobre las estrategias didácticas para desarrollar estas competencias en el alumnado con discapacidad intelectual. “Los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual y sus posibilidades de resolver problemas de tipo aditivo” no tiene la intención de profundizar en el análisis de elementos epistemológicos. al mismo tiempo. sino centrarse en actividades pedagógicas que favorecen el desarrollo de las competencias de los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual para la resolución de problemas de tipo aditivo. A este respecto. en el contexto áulico y en el socio-familiar.
. detonan la implementación de otras acciones que benefician a esta población infantil. •	El reconocimiento de las posibilidades del alumnado para el desarrollo de las competencias relacionadas con la resolución de problemas de tipo aditivo en el contexto escolar. fortalecen y permiten sistematizar algunas estrategias que potencian las posibilidades de los niños y las niñas en la resolución de problemas de tipo aditivo tanto en los contextos escolares como en los extraescolares y. En este sentido. documentan. metodológicos o semánticos. las experiencias que se han tenido en la Dirección de Educación Especial a lo largo de 18 años aproximadamente (a partir de la Reforma Educativa de 1993 en México). •	La necesidad de contar con estrategias específicas para el fortalecimiento de la práctica docente.
en ésta última se planteó la necesidad de asegurar el acceso a una educación básica para todos y concluyó que en muchos países existían tres problemas fundamentales: 1. más que como una base más amplia de aprendizajes para la vida y la ciudadanía. convocados por diversos Organismos Internacionales. muchas personas tenían poco o ningún acceso a la educación. 1994). particularmente de aquéllos que presentan discapacidad o en condiciones muy particulares como se expresa en la Convención sobre los Derechos del Niño (ONU. las principales acciones internacionales de política educativa giran en torno a la Conferencia Mundial sobre Educación para Todos (UNESCO. Para tal efecto. a lo largo de las últimas dos décadas los países. salud y derechos infantiles. la inclusión y el derecho de todas las personas a la Educación en igualdad de oportunidades. 2. La educación inclusiva: una construcción de la política educativa nacional e internacional
En la actualidad. las niñas y los jóvenes. 1990). las Normas Uniformes sobre Igualdad de Oportunidades (ONU. aspectos que demandan a nuestro país el establecimiento de políticas y acciones que permitan su cumplimiento.	Las oportunidades educativas eran limitadas. 1993) y.	La educación básica estaba concebida en términos restringidos de alfabetización y cálculo. han creado diversos instrumentos en torno a temas de educación. En esta materia. y. Dichos instrumentos consensuados por los Estados del mundo en sus diferentes regiones. han impulsado los derechos de los niños. principalmente de las Naciones Unidas. nuestro país. ha considerado de manera importante procesos y planteamientos internacionales que se enfocan al fortalecimiento de la universalización y obligatoriedad de la educación básica. la equidad y la calidad educativa.4. que ahora forman parte global del marco de políticas a seguir. la Conferencia Mundial sobre Necesidades Educativas Especiales: Acceso y Calidad (UNESCO.
3. 2004. al reconocer que la educación es un derecho humano fundamental. la ignorancia y la guerra. 2. 17.
. París: Ediciones UNESCO-Santillana. entre los que destacan: 1.	UNESCO/OREALC. afirmó que la educación no es un simple mecanismo por el cual los individuos adquieren un determinado rango de habilidades básicas. se sintetizó una visión de la educación que. la libertad y la justicia” y uno de los principales medios disponibles para fomentar una forma más profunda y armoniosa del desarrollo humano y de ese modo. la exclusión.… deberá ser parte de las estrategias para lograr la Educación para Todos.
1. La Educación encierra un tesoro.	Los profesores deberán atender la diversidad en los estilos de aprendizaje y del desarrollo físico e intelectual de los alumnos para crear entornos que estimulen su aprendizaje y participación. etc. 1996. la paz y la estabilidad dentro y entre los países y por ello constituye un medio indispensable para una participación efectiva en las sociedades y las economías del siglo veintiuno. reducir la pobreza. que se ven afectadas por una rápida globalización. Temario Abierto sobre educación inclusiva. 11. de acuerdo a la Comisión Internacional sobre Educación para el Siglo XXI. . pág.	Ciertos grupos marginales -personas con discapacidad. miembros de grupos étnicos y minorías lingüísticas.enfrentaban el riesgo de ser totalmente excluidos de la educación. El informe de dicha comisión. es un factor crucial del desarrollo social y personal. se le consideró como la “Utopía Necesaria”. Al mismo tiempo.	La inclusión de los niños. 2. se refrendó el compromiso mediante el cual los gobiernos asumieron la obligación de velar por alcanzar y apoyar los objetivos y finalidades de la Educación para Todos en el 2015. Informe a la UNESCO de la Comisión Internacional sobre la Educación para el siglo XXI. Es más que eso. que es la clave para el desarrollo sostenido. niñas y mujeres. “un activo indispensable en el intento de lograr los ideales de la paz. la visión con respecto a la atención educativa se reafirmó en el Foro Mundial sobre Educación 2000. p.1” A mediados de la década de los años 90 del siglo XX. Santiago: UNESCO/OREALC.	Delors. en Dakar y en su Marco de Acción. Jacques.2 Una década después de la Declaración de Jomtien 1990.
En este marco de política educativa internacional. Foro Mundial sobre la Educación. la educación es la propuesta fundamental para extender las oportunidades básicas para todos los alumnos y las alumnas como una cuestión de derecho. programas de estudios flexibles y evaluaciones continuas3.pdf
. que señala en el Artículo 24. entre las más relevantes. en la Ley General de Educación y en las recientes modificaciones o creación de ordenamientos como la Ley General para la Inclusión de las Personas con Discapacidad. con calidad y equidad. se encuentra en la Resolución 61/106 aprobada por la Asamblea General de la ONU. 2000. Un planteamiento más en el contexto internacional. las políticas educativas en el contexto internacional conciben a la educación como un proceso fundamental para el desarrollo. mediante múltiples estrategias pedagógicas. lo que conlleva a identificar los recursos disponibles en cada sistema educativo y en cada comunidad para ponerlos en acción y superar dichas barreras. tanto del individuo como de la sociedad.gob. que los Estados parte asegurarán un sistema de educación inclusivo a todos los niveles así como la enseñanza a lo largo de la vida. establece a través de los marcos políticos y normativos. sino como un derecho de todos. Obtenida del Centro Digital de Recursos de la DEE.	La capacitación a los docentes en pedagogías que tengan en cuenta las diversas necesidades de aprendizaje. es decir. la necesidad de ofrecer educación para todos los mexicanos. mx/educacioninclusiva/documentos/PoliticaInternacional/MarcoDakar. relacionada con la Convención sobre los Derechos de las Personas con Discapacidad. el Sistema Educativo Nacional. de: http://educacionespecial.	UNESCO. donde el compromiso central de las naciones del orbe se inscribe en la educación inclusiva. el 28 de marzo de 2011. En este sentido es relevante señalar los mandatos legales nacionales consignados en el artículo 3º Constitucional. Marco de Acción de Dakar.sepdf. no como el privilegio de unos pocos. Educación para todos: cumplir nuestros compromisos comunes.3. Esta visión implica que la educación debe verse. lo que implica una posición proactiva en la identificación de las barreras que algunos grupos enfrentan cuando intentan acceder a las oportunidades de aprendizaje que les ofrece el currículum de la educación básica. a la cual se ha adherido México.
3. A través de este apretado recorrido histórico.
las niñas y jóvenes en edad escolar. en sus parámetros curriculares y en sus resultados educativos. porque los planteamientos curriculares en la Articulación de la Educación Básica son coincidentes en la posibilidad de mejorar los procesos educativos en la escuela. lo constituye el acuerdo N°. la Articulación de la Educación Básica impulsa una formación integral de alumnas y alumnos. preocupada por las condiciones y los intereses de sus alumnos y alumnas.
. En otras palabras.Estos instrumentos de política educativa del Estado Mexicano. por establecer vínculos sólidos con las familias y la comunidad. coherente. así como la construcción de contextos en continuo desarrollo. La importancia de este hecho de la política educativa en nuestro país. capaces de atender a la diversidad y preocupados por proporcionar oportunidades de aprendizaje de calidad para todos sus alumnos y alumnas. orienta su enfoque al desarrollo de competencias y aprendizajes esperados que se articulan a un conjunto de estándares curriculares de desempeño. en el aula y en la familia con la finalidad de disminuir o eliminar las barreras para el aprendizaje y la participación. La Articulación de la Educación Básica reconoce a la escuela pública como un espacio formativo capaz de dar una respuesta educativa integral. abierto a la innovación y a la actualización continua. progresivo y capaz de articular. gradual. fortalece la publicación de este documento. actualizar y dirigir la Educación Básica en todo el país. con apertura y sinergia hacia las iniciativas de sus directivos y maestros y transparente en su proceso de gestión. convergen en el propósito de impulsar el respeto y cumplimiento del derecho a la educación de todos los niños. pertinente. nacional y flexible en su desarrollo. Un hecho de política educativa que representa un esfuerzo del Estado mexicano para dar respuesta a las necesidades de formación de los alumnos y las alumnas en esta sociedad del conocimiento y la información. orientado a mejorar los procesos y resultados del sistema educativo. justicia y calidad educativa para transformar el sistema educativo. incluyendo a aquéllos con discapacidad intelectual. comparables a nivel nacional e internacional. por el que se establece la Articulación de la Educación Básica y que permite contar con un currículum que se caracteriza por ser integral. en promover los principios de equidad. 592 del pasado 19 de agosto de 2011.
con los estándares curriculares. los principios de la Educación Inclusiva. la Dirección de Educación Especial (DEE). es decir. sin olvidar la relevancia de la estructura de apoyo y la cadena pedagógica. busca favorecer y promover políticas. el Centro de Atención Múltiple (CAM). 2011) en alineación a las Políticas Educativas Nacionales e Internacionales. impulsa el Modelo de Atención de los Servicios de Educación Especial (MASEE. la preocupación de que el alumnado con discapacidad intelectual participe en la resolución de problemas aditivos en el marco del enfoque didáctico de las matemáticas. prácticas y culturas que permitan el reconocimiento y respeto de las diferencias de todos los alumnos y las alumnas a fin de promover espacios educativos que permitan su participación en el aprendizaje y la eliminación de las barreras que se encuentran o generan en los contextos inmediatos. En este sentido. con las competencias matemáticas y con los aprendizajes esperados expresados en cada uno de los programas de esta asignatura. colocando a los alumnos y a las alumnas como el centro de la acción educativa. Al asumir la necesidad de transformar la enseñanza de la matemática y al colocar el aprendizaje de los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual y del alumnado en general como centralidad de la tarea educativa. se reducen las desigualdades. Asimismo y de manera específica. por ello. los CAM orientan sus esfuerzos a fin de eliminar y/o
. constituye asumir y concretar en la práctica docente.A través de la Articulación de la Educación Básica. para el fortalecimiento de la operación técnica de los Centros de Atención Múltiple (CAM) y de las Unidades de Servicios de Apoyo a la Educación Regular (USAER). se amplían sus oportunidades de acceder al conocimiento matemático. se otorga un nuevo significado al trayecto formativo de los alumnos y las alumnas y al mismo tiempo proyecta la transformación de la práctica docente para transitar del énfasis en la enseñanza al énfasis en la generación y el acompañamiento de los procesos de aprendizaje. se cierran brechas y se impulsa la equidad. De manera particular. se fortalece el proceso de atención de los alumnos y las alumnas a través de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en congruencia con el enfoque que establece el campo de formación del currículum: “Pensamiento Matemático” y su articulación con los propósitos.
el enfoque inclusivo sugiere que estas dificultades no pueden explicarse simplemente en términos de la discapacidad. son las características del sistema educativo en sí. por ejemplo. incluso. es parte de un movimiento más amplio por una sociedad más justa para todos sus ciudadanos. pueden. todas ellas condiciones que limitan el desarrollo de competencias para la vida. medios de enseñanza inapropiados. En el caso particular de los niños y niñas con discapacidad intelectual se reconoce que en el sistema educativo. El CAM informa. etc. situación que permita desarrollar escuelas capaces de satisfacer las necesidades de todos los alumnos y las alumnas. las que están creando “barreras para el aprendizaje y la participación” que enfrentan estos niños y niñas: maestros o maestras con insuficiente capacitación. Por el contrario. referidas en los entornos próximos como la escuela. tener dificultades para comprender ciertos aspectos o áreas del currículum -situación común en el campo de formación de pensamiento matemático y en el de lenguaje y comunicación. para impulsar la transformación de la gestión escolar y pedagógica a fin de establecer las mejores condiciones educativas y de aprendizaje para los alumnos y las alumnas. orienta y articula a la comunidad escolar. en otras palabras. Sin embargo. En consecuencia. La educación inclusiva significa reducir todos los tipos de barreras para el aprendizaje y la participación. el aula y la comunidad.
. una escuela inclusiva tampoco es simplemente una escuela que educa a algunos niños y niñas con discapacidad. presentar dificultades para poder acceder al edificio de la escuela.minimizar las barreras para el aprendizaje y la participación.e. la educación inclusiva no es simplemente una reforma de la educación especial y. edificaciones inaccesibles. La Educación inclusiva es una construcción de la política educativa internacional y nacional que busca comprender estas barreras y desarrollar escuelas comunes que sean capaces de satisfacer las necesidades de aprendizaje de estos niños y niñas. Constituye el espacio formativo idóneo para concretar el enfoque de la educación inclusiva toda vez que asume el modelo social para entender las dificultades educativas.
Según Arsac (1989).
4. pues dicho conocimiento se deforma por las versiones didácticas de los “hacedores” de libros o de los docentes. Chevallard (1991) habla de un fenómeno didáctico que ha sido imperceptible para los docentes: la transposición didáctica. intentaría mostrar a los alumnos y alumnas que tiene un infinito número de lados y no lo contrario. ¿Cómo se concibe la relación que se establece entre el sujeto que aprende y el objeto matemático cognoscible?.	Una vigilancia epistemológica implica interrogar: ¿Cuál es la postura que se asume ante el conocimiento matemático?. 2)	La realización de una versión didáctica del mismo objeto de conocimiento.5. existe una relación explícita entre epistemología y enseñanza. ¿Cuál es el carácter de esta relación? En este sentido. intentando no deformar su sentido matemático. Los significados de la suma y de la resta
La reflexión en torno a las concepciones matemáticas de los profesores constituye un punto de partida para comprender los significados de la suma y la resta. accesible a los niveles cognitivos de los niños y niñas. una situación didáctica con una buena transposición sobre la enseñanza del círculo.
. ¿Cómo se origina el conocimiento matemático y cómo se reconstruye a nivel individual y social?. que es una figura que no tiene lados. que consiste básicamente en la vigilancia epistemológica del conocimiento matemático4 que se enseña en la escuela. la problemática de la legitimación sobre los conocimientos matemáticos que enseñan los docentes a su alumnado no es nueva y nos remite a una cita de San Agustín: “¿Los maestros hacen profesión de hacer percibir y retener sus propios pensamientos y no las disciplinas que piensan transmitir al hablar? ¿Y quién es entonces tan tontamente curioso que envía a su hijo a la escuela para aprender lo que el maestro piensa? La cita de Arsac es un llamado de atención a quienes se dedican a la enseñanza de las matemáticas y apunta a una doble responsabilidad: 1)	El dominio del objeto de conocimiento que se enseña al alumnado. Por ejemplo.
quitar o separar. ¿Cuántos lápices tenía al principio?” Su estructura. entonces x= 4. La concepción del alumno o alumna sobre la suma y la resta será tan pobre o tan rica en significados. por el lugar que ocupan los datos conocidos y la incógnita. se expone un análisis teórico del campo conceptual de los problemas aditivos que permita el análisis y conclusiones respecto a las concepciones matemáticas de los profesores. como las siguientes: ¿Qué es sumar? ¿Qué es restar? ¿En qué situaciones se tiene necesidad de sumar o restar? Estas preguntas son muy importantes pues la concepción matemática que tiene el profesor sobre la suma y la resta será transmitida al alumnado. Otras preguntas para reflexionar son: ¿agregar y juntar son sinónimos? Ocurre lo mismo con la resta: ¿quitar y separar son sinónimos? ¿Cómo se distingue un problema de suma como agregar. Irene le dio tres lápices más. Sólo a manera de ejemplo. 5. ante preguntas como las anteriores. analizando el siguiente problema: “Carlos tenía unos cuantos lápices. en tanto su solución canónica sería la resta 7 – 3 = x. En otras palabras. Ahora Carlos tiene siete lápices. 161). los docentes (con mucha frecuencia) significan la suma y la resta de dos maneras distintas: la suma significa agregar o juntar y. antes de enseñar sobre el tema que nos ocupa. Vale la pena hacer una breve explicación respecto al motivo por el cual el autor hace una diferencia entre la estructura aditiva y su solución.En consecuencia. 1991. sería: x + 3 = 7. de la misma manera que por estructuras aditivas entendemos las estructuras o las relaciones en juego que sólo están formadas de adiciones o sustracciones” (Vergnaud. el profesor o profesora debe plantearse algunas preguntas. de uno de juntar? ¿Cuántos significados hay sobre la suma y la resta? A continuación de manera general. G. según como sea la de su profesor.1. Lo “aditivo” alude a la suma y
. la resta. ¿Qué es un problema aditivo? Para analizar esta pregunta es necesario tomar como referencia la siguiente definición: “Por problemas de tipo aditivo entendemos aquellos cuya solución exige adiciones o sustracciones. p. el planteamiento es de suma y su solución es la resta.
Bell. Desde su Teoría de los Campos Conceptuales. •	La postura francesa. cuyos principales teóricos e investigadores son Vergnaud y Durand. (1986). (1983). Ryley y otros. Enfatizan el papel del razonamiento que permite al sujeto que resuelve un problema matemático. 2002) señala que los conceptos matemáticos se tornan significativos a través de las situaciones. (1976) y Verganud. Vergnaud (citado en Moreira. actualmente es el referente más conocido y difundido entre los profesores de primaria.a la resta simultáneamente.	Los fundamentos teóricos del procesamiento humano de la información se inscriben en un enfoque cognoscitivo. En la actualidad existen dos clasificaciones para los problemas aditivos: •	La postura inglesa integrada por investigadores como Carpenter y Moser. La clasificación inglesa se sostiene desde los fundamentos teóricos del procesamiento humano de la información5. en el campo educativo nos podemos preguntar: ¿Acaso nos hemos detenido a pensar que los signos + y – tienen diferente significado según el contexto o familia de problema aditivo que modelan? Esto es particularmente importante porque el actual currículo de la Educación Básica está organizado por competencias y pretende que los saberes escolares se
5. (1982). sino que éstos se construyen a través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver. Al respecto. Las dos clasificaciones aportan datos de investigación que se complementan y permiten dar claridad a los tipos de procedimientos de solución y sus niveles de jerarquía. Estos fundamentos teóricos han representado un cambio en la enseñanza de la matemática ya que en lugar de preguntar: “¿Qué procedimientos debe dominar el alumno o la alumna para obtener un resultado correcto?”. Esto quiere decir. pues considera al mismo tiempo el análisis matemático de los problemas y la complejidad cognitiva que implica a los alumnos. (1982). o sea que lo aditivo no es sinónimo de la palabra “suma” (como se piensa generalmente). (1982). llevarlo a cabo y supervisarlo. La clasificación francesa es mucho más compleja y completa. que los significados no se encuentran en primer lugar en el lenguaje matemático (en los significantes). Nesher.
. diseñar un plan para su solución. comprenderlo. la pregunta clave es: “¿Qué significa pensar matemáticamente en el proceso de resolución de problemas?”.
por lo tanto son de relación dinámica y. a la luz de su teoría de los campos conceptuales. es decir. no es fácil de lograr si el profesor no escoge bien el contexto del problema. hay una cantidad que se transforma. ¿Cuántas vacas negras hay? Problemas tipo 2: Carlos tiene siete lápices y Amira le regala tres. que los procesos cognitivos y las respuestas del sujeto están en función de las situaciones con las cuales es confrontado. Esta pretensión didáctica si bien posible. donde hay una cantidad que se transforma y otros llamados de relación estática. Vergnaud plantea.conecten con el contexto de vida de los alumnos. ¿Cuántos globos tiene Gonzalo? Problema tipo 4: Ángel tiene siete estampas.
. Existen dos tipos de problemas. tres son blancas y las otras negras. Lo anterior se puede observar en los siguientes ejemplos: Problema tipo 1: En un prado hay siete vacas pastando. ¿Cuántas estampas tiene Luis? En los problemas 2 y 4. unos llamados de relación dinámica. que no se puede mirar el actuar de los niños y las niñas al margen de la situación-problema con la cual están lidiando o tratando de resolver. por lo tanto son de relación estática. en los problemas 1 y 3. ninguna cantidad se transforma. Gonzalo tiene tres menos que Fátima. Estos dos supuestos fundamentales de Vergnaud son un referente para hacer comprensible la clasificación y el análisis de los problemas aditivos. ¿Cuántos lápices tiene ahora Carlos? Problema tipo 3: Fátima tiene siete globos. donde ninguna cantidad se transforma. Asimismo. Si ganara otras tres estampas tendría las mismas que Luis.
si se atiende a las características propias de cada tipo de problema. éstos son: Problemas de cambio (variación de un estado) Estado inicial + variación= estado final [ei + v = ef] [5 + 3 = 8] 1. Elena tenía 5 libros.
2. Compró 3 libros más ¿Cuántos libros tiene ahora?
ei=5
v=3 ef=8
Aquí la suma se llama agregar.v = ef] [5 . tenemos entonces cuatro tipos de problemas que dan significado a cuatro ideas de suma y cuatro de resta.Pero. ¿Cuántos libros tiene ahora? Estado inicial .
.3 = 2]
Aquí la resta se llama quitar. Regaló tres libros a su sobrino.variación= estado final [ei . Elena tenía 5 libros.
Compró tres libros más. En total tiene 8 manzanas. lo cual se observa claramente en los tiempos verbales: Elena tenía 5 libros.
et=8
.Además de la transformación de una cantidad. Jesús tenía 3 manzanas verdes y 5 manzanas rojas. ¿Cuántas manzas verdes tiene en total?
e1=5
Aquí la resta se llama separar.
2. Si son 5 manzanas rojas y las otras son manzanas verdes. Jesús tenía 8 manzanas. ¿Cuántos libros tiene ahora? Problemas de Combinación (combinación de estados) Estado parcial 1 + estado parcial 2 = estado total [e1 + e2 = et] [3 + 5 = 8] 1.
e1=3
e2=5
Aquí la suma se llama juntar. las relaciones temporales son la otra principal característica de este tipo de problemas.
Juan tiene 5 pesos y Pedro tiene 3 pesos más que Juan. Juan tiene 8 pesos y Pedro 3 pesos menos que Juan.
. ¿Cuántos pesos tiene Pedro? (problema de resta)
Aquí la suma y la resta comparan a dos números naturales.Problemas de Comparación (comparación de estados) Estado 1 + comparación (c) = estado 2 [e1 + c = e2] 1. ¿Cuántos pesos tiene Pedro? (problema de suma)
c=+3
¿Cuánto dinero tiene que ganar (v) Juan para tener lo mismo que tiene Pedro? (problema de suma)
2. Pedro tiene 8 pesos y Juan tiene 5 pesos. Juan tiene 5 pesos y Pedro tiene 8 pesos.Problemas de Igualación (Variación de un estado y comparación simultánea) Estado 1 + variación (v) = estado 2 [e1 + v = e2] 1. La comparación de las cantidades también interviene durante la igualación. ¿Cuánto dinero tiene que gastar (v) Pedro para que tenga lo mismo de dinero que Juan? (problema de resta)
La suma y la resta transforman una cantidad para igualarla con otra.
En otras palabras. este aprendizaje sólo se logra en la medida que se enfrente al alumnado a situaciones problemáticas cuya resolución les exige efectuar estas operaciones: debe ser la situación presentada la que lleve al alumno o alumna a la necesidad de sumar o restar y no la instrucción del profesor diciéndole la operación que debe realizar. y por ende. cuándo hay que hacerlo. a partir de “problemas tipo” (problemas que daban pistas a los alumnos sobre qué operación debían resolver) se pasaba a la resta (utilizando la misma estrategia que en la suma). las diversas maneras de componer un número en un rango del 1 al 10. o descubriendo. Es importante enunciar los indicadores que permitan dar cuenta al profesor del momento en el que puede introducir a los alumnos y las alumnas a las relaciones aditivas. los alumnos estarán construyendo dichos conceptos. Sólo si los niños y las niñas se han apropiado de los diferentes conceptos de la suma y la resta podrán discernir frente a un problema si la adición es aplicable o no para resolverlo. continuar la construcción de su serie
. Una vez que aprendían la suma (referida en exclusivo al algoritmo convencional).2. como en décadas pasadas. cuando ya dominan una serie numérica hasta el 10 (de manera estable y convencional) pueden empezar a establecer relaciones aditivas haciendo. Lo anterior porque persiste aún la idea. De esta manera. Cuando los profesores se empeñen en enseñar cómo sumar o restar (técnica de cálculo) y no cuándo sumar y restar.5. ¿Cómo construyen los alumnos y las alumnas el sentido de la suma y de la resta? La respuesta es sencilla: resolviendo problemas que impliquen los diferentes significados de la suma y la resta. en las que se pensaba que un alumno o alumna podía transitar a las relaciones del sistema decimal una vez que había testimonio del manejo de los primeros números (del 1 al 10) y sólo después podía iniciar el trabajo de la suma hasta dominar las relaciones y propiedades del sistema decimal de numeración. en muchos profesores. de llevar a cabo una secuencia didáctica lineal y única. y simultáneamente. Actualmente se sabe que los alumnos y las alumnas. desde muy temprana edad. los alumnos y las alumnas van a aprender qué es o qué significa sumar o restar.
etcétera y así sucesivamente.
6. 32. fichas o palitos). etcétera. puede empezar a realizar colecciones de 10 elementos e iniciar la distinción entre las unidades y las decenas. Por ejemplo: “Tienes 5 galletas en tu lonchera. hasta el 100. una vez que el alumno o la alumna conoce del 1 al 10. En relación con el sistema decimal de numeración. puede. con 31.	Baroody la define como la acción de basarse en el último número contado en respuesta a una pregunta sobre una cantidad (sin tener que contar de nuevo toda la colección). hacer intercambios (al juntar o llegar a 10 unidades. después del 30.numérica hasta el número 20. aproximadamente. tu amigo te da 2 galletas más ¿cuántas galletas tienes ahora?” De tal manera que el niño.
. 33. acompañada de una comprensión y significado. es difícil de adquirir en los niños pequeños. una vez que el alumno o alumna aprende de manera estable y convencional hasta el 10 bajo el significado de cardinal (que sabe lo que vale el número y no sólo su nombre). puede comenzar un trabajo con la secuencia del campo de las relaciones aditivas y del sistema decimal de numeración de manera simultánea. y cuyo resultado es menor o igual a 10. La investigación didáctica nos dice que este principio aún y cuando parece obvio. 23. con un carácter de herramienta eficaz en el momento de resolver problemas. enfrentar la suma con éxito usando sus dedos o material (por ejemplo. podrá comenzar la reflexión sobre las reglas generales del sistema de numeración decimal (después de cada número que representa una potencia de 10. Pero es hasta unos dos años más tarde. A la vez. con 21. cuando accede al manejo de la serie numérica hasta el 20. lo que les permite continuar después del 20. Con lo anterior podemos dar cuenta de que. la cambia por una decena) y por otro lado. al no poder manejar la propiedad de la regla del cardinal del número6. mínimo. que los logros alcanzados en las secuencias del sistema decimal de numeración y relaciones aditivas permitirán al alumno o alumna realizar el algoritmo convencional de la suma y la resta con transformación. en su lugar. 22. los demás se hacen acompañar de la serie numérica del 1 al 9). el alumno o alumna puede iniciar el trabajo con problemas aditivos de “cambio” planteados de manera verbal con una estructura a+b=?.
un aspecto o relación numérica que aparece como importante obstáculo a trascender y dominar para sumar y restar en sentido estricto. Si la suma fuera 60+9 y Pavel no usa el algoritmo convencional.
. Con la idea de ser más claros en la explicación es imprescindible recurrir a la expresión a + b = c. los didactas señalan claramente que este tipo de respuesta no es una suma “en sentido estricto” (ver Vergnaud). Pavel (12 años) se enfrenta ante la necesidad de tener que sumar 6 + 8. pudieran considerarlo como un procedimiento pertinente en vista de que lleva a este niño a un resultado correcto. ni aplica las propiedades del sistema decimal de numeración. Más aún. Sin embargo. De tal manera que para decir que tiene 6 (para el primer ejemplo) o 60 (para el segundo ejemplo). A la mayoría de las personas pudiera no inquietarles este procedimiento de Pavel. La alternativa de que Pavel trascienda su procedimiento estriba en la posibilidad de que considere que el nombre del primer término de su adición (a) le signifique el total de elementos de ésta colección y no sólo sea el nombre del último elemento. Luego cuenta las dos subcolecciones de corrido (del 1 al 14) y anota la respuesta después de la operación indicada. la única opción es que proceda como ya se describió.En el caso particular del aprendizaje de los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual. Es importante considerar que al resolver sumas y restas de esta manera resulta poco operante o motivo de fracaso si las cantidades a sumar fueran significativamente mayores (ya no digamos sumas con cantidades de 3 cifras). Iniciaremos el análisis a través de un ejemplo. es el referido a la incapacidad de aplicar el principio de la Regla Cardinal (Ver Baroody y Gelman). no es necesario decir (o “contar”) todos los nombres numéricos de los elementos que le anteceden a este último. Para esto procede dibujando seis rayitas en su cuaderno y en seguida dibuja otras 8.
de modificar su procedimiento para llevarlas a cabo. en la experiencia de investigación se encontró que generalmente en los grupos7 de los Centros de Atención Múltiple (CAM) pertenecientes a la DEE en los cuales no se han realizado actividades que propicien la resolución de problemas en el campo de las relaciones aditivas. sin tener que contar todos los elementos que intervienen en la suma. tuvo el propósito – a grandes rasgos. 2006). preguntándole “¿cuántos puntos te cayeron?” Si el alumno o alumna no sabía. para ejemplificar. se le permitía contar y se repetía la acción hasta que memorizara la disposición convencional de los puntos en cada cara del dado y su respectiva cantidad. Este principio. Para ello. se le dejara ver uno o dos segundos la cara del dado e inmediatamente se cubría. sólo se hace referencia al caso de Pavel. de tal manera que las resolvieran aplicando la regla del cardinal y el sobreconteo. en las que al momento de arrojarlo.
7. sin contar. se inició con actividades de subitización8 con un dado. existe un 30 a 35 % de alumnos y alumnas que resuelven las sumas y las restas con el mismo procedimiento empleado por Pavel (resolución por conteo). es condición vital para afirmar que un alumno o alumna cuenta bien. Uno de los principios que coronan las posibilidades de un buen conteo es precisamente el principio de la regla cardinal. se requiere de ciertos principios o competencias frente a la tarea de contar. tiene su origen en la no aplicación (todavía) en la serie numérica del principio denominado “del cardinal”. 8. 2006) señala al respecto. 1983) o “regla del cardinal” (Chamorro.	Capacidad de enunciar muy rápidamente el número de objetos de una colección. “… el conteo es el medio por el cual el niño se representa el número de elementos de un conjunto dado y razona sobre las cantidades y las transformaciones aditivas y sustractivas” y para considerar que un individuo cuenta. La secuencia didáctica utilizada con los alumnos o alumnas que resolvían las adiciones a través de conteo.	En los Centros de Atención Múltiple el promedio de alumnos y alumnas que forman un grupo generalmente oscila entre 10 y 12. “cardinalización” (Baroody y Gelman. Gelman (Chamorro. por simple percepción global. Si bien.
.La posibilidad de que el niño o la niña puedan adicionar el segundo término de la suma (b) al primero (a).
En seguida se realizaron actividades con dos dados (tradicionales). Para este momento el docente ya podía alterar las cantidades de las caras de los dados a otras que no fueran del 1 al 6. de tal manera que esta condición impidiera que.
. Por último se volvían a realizar las actividades. e iniciara el conteo a partir del número convencional (del dado arreglado) y adicionara los puntos del otro lado. se subitizaban los puntos de una mitad y se adicionaban los puntos de la otra mitad de la ficha). observando que el niño o niña partiera del cardinal de un dado para realizar la suma. incrementando así la dificultad de las situaciones por tener que adicionar cantidades mayores. con los dos dados arreglados con etiquetas que expresaban las cantidades con números convencionales. Para lograr este proceder es necesario que el alumno o alumna signifique y de cuenta de la cardinalidad del número (saber qué quiere decir o qué cantidad representa cualquiera de los números del rango de serie que maneja). Con la idea de forzar la aplicación de la regla del cardinal. se adicionaba la cantidad que “cayó” en el otro dado. Esta misma secuencia didáctica se pudo adecuar a situaciones realizadas con las fichas de dominó. De ahí que también se realizó un trabajo didáctico simultáneo o anterior sobre la representación convencional de los números y sus respectivas cantidades. con la idea de dar variedad a las actividades (para saber cuántos puntos en total tenía una ficha. se continuó con la implementación de actividades semejantes a las anteriores. pero a uno de los dos dados se le cambiaban los puntos a las caras por etiquetas con las respectivas cantidades expresadas con número. se continuó promoviendo la subitización de la cantidad de un dado y sobre ésta. sin permitir que volviera a representar las dos cantidades con objetos y luego los contara todos. el alumno o alumna realizara el conteo de los puntos del primer dado. Al “tirarlos” (arrojarlos simultáneamente) el alumno o alumna tenía que adicionar los puntos de las caras de arriba.
dando origen a la realización de sumas y restas con cantidades mucho más grandes en el primer término (a) y cantidades en (b) relativamente fáciles de adicionar con un conteo ascendente. 62 (2 más). se observó en el grupo de alumnos y alumnas que procedían sumando por conteo. 61 (1 más). “(para 20-3=)… 20…19 (1 menos). 66 (6 más). 68 (8 más). Por ejemplo “(para 60+9=)…60. Por ejemplo. 63 (3 más). 17 (3 menos)… ¡17!”. dos o tres de ellos lograron cambiar su procedimiento y aplicar la regla del cardinal a la suma. 69 (9 más)… ¡69!” De igual manera para el caso de las restas. 65 (5 más).
. 64 (4 más).Conforme se realizó la implementación del trabajo didáctico descrito. 18 (2 menos). 67 (7 más).
. Así los docentes generaban un efecto didáctico ilusorio sobre los aprendizajes de los alumnos y las alumnas al usar de manera pertinente los algoritmos frente a la resolución de los problemas. comentan que es un fenómeno frecuente en las aulas. menos. se desarrolló primeramente el aprendizaje de las cuentas (la operatoria)9 y posteriormente se practicaba con problemas tipo donde “identificaban” cuál cuenta u operación era pertinente para resolver dichos problemas. En otras palabras. suponían que sus hijos o hijas ya habían aprendido.
. donde el alumnado después de “leer” los problemas -cuando no encontraban palabras clave.	Cuando se señala que los maestros enseñaban la operatoria. ¿Por qué hablar de ilusión didáctica? Block y Fuenlabrada (1995).
9. primero se enseñaba el algoritmo de la suma y la resta y luego problemas que incorporaban la “palabra clave” que daba pistas a los alumnos y las alumnas sobre la operación que debían usar.como una oportunidad para que los niños y niñas practicaran aquello que habían aprendido. la resolución de problemas se consideró -por lo general. pero no se construía un aprendizaje sobre cómo funcionan los algoritmos y. más aún con una calificación aprobatoria en un examen. o ganar y juntar era de suma. su aplicación a problemas de la vida real.6. etc.preguntaban a su profesor/ profesora: ¿es de suma o de resta? Tal pregunta parece evidenciar y contradecir la certeza que los docentes tienen respecto a que sus alumnos o alumnas tengan clara la relación entre las cuentas y los problemas. era de resta. Recomendaciones didácticas
Antes de la reforma curricular y el cambio del Plan y Programas de estudio de Educación Primaria en 1993. sobre todo de tercero o cuarto de primaria. se hace referencia al hecho de que únicamente se centraban en hacer saber los pasos para realizar bien la cuenta: se suman primero las unidades. Era común que los profesores les indicaran: si dice perder o quitar. si la suma es mayor a diez se lleva una decena. Desafortunadamente esta ilusión didáctica trascendía a los padres de familia: al ver ejercicios resueltos correctamente sobre problemas aditivos en los cuadernos.
una evidencia que da razón a los anteriores autores sobre la problemática de los vínculos entre las operaciones y los problemas. Por ejemplo. se puede observar en los resultados de la prueba Enlace de 2010. el porcentaje de fracaso oscila entre una cuarta parte (25%) de la población y la mitad de ella (50%).
10. en la acción de “derretir”. como puede observarse. que el problema es de resta. el porcentaje de fracaso fue muy alto. retomando como ejemplo uno de los problemas planteados para tercer grado de primaria. deben considerar las siguientes dos variables10: 1. Si quiere saber cuántas paletas le quedaron. en las que.16 = 9 D) Resta 25 .	El equipo de matemáticas de la DEE y la zona de supervisión III – 9. los porcentajes de éxito deberían ser mayores). realizan un análisis de los resultados de la prueba Enlace a fin de que los docentes de la USAER puedan formular orientaciones didácticas muy precisas sobre qué aspectos se deben cuidar en el aula al dar una clase de matemáticas. los siguientes son los resultados obtenidos en 14 escuelas primarias de la zona de San Jerónimo del Distrito Federal.	Reconocer. que cursan el tercer grado.16 = 19 En este reactivo.
. 1 41% 2 37% 3 31% 4 32% 5 43% 6 62% 7 31% 8 48% 9 48% 10 25% 11 36% 12 29% 13 50% 14 36%
Para que los niños puedan resolver el reactivo. ¿con cuál operación resuelve el problema?” A) Suma 25 + 16 = 31 B) Suma 16 + 25 = 41 C) Resta 25 . que dice: “Rafael tenía 25 paletas de hielo y se le derritieron 16. aproximadamente. (Se tendría la expectativa de que en niños y niñas de 8 y 9 años.En este sentido.
es decir. Bajo esta premisa.1. 2011).	Conocer las reglas del algoritmo de la resta con transformación (de agrupación de órdenes mayores en menores). es decir. la reprobación. que representen barreras para el aprendizaje y la participación. no impulsan la posibilidad de que los alumnos o alumnas sean gestores del sentido de los problemas y construyan los distintos conceptos de la adición y la sustracción. situaciones de violencia. implica la comprensión de las reglas de cambio del sistema de numeración decimal. discapacidad. Lo anterior indica que la diversidad de la
. Se puede considerar que las formas de enseñanza de las matemáticas utilizadas por los profesores en las escuelas primarias señaladas. bajo los ejes del Modelo de Atención de los Servicios de Educación Especial (MASEE. Consideraciones curriculares. se consideran los recursos escolares y necesidades de la población. más que por el cálculo numérico. el desarrollo de ajustes razonables de acuerdo a condiciones particulares. ¿Cuál es la causa más probable del fracaso en este reactivo? Lo más probable es que los alumnos o alumnas no hayan sabido qué cuenta usar. 6. Para ello. los números involucrados son de un rango pequeño y además muy próximos entre sí y aunque se hace intervenir el algoritmo de la resta. enfoca el desarrollo de procesos de revisión y enriquecimiento del currículo. Un punto importante a considerar en el proceso de aprendizaje en torno a los problemas aditivos. una planeación bajo los principios del diseño universal –no homogénea-. el Centro de Atención Múltiple (CAM). puede ser evitado por los alumnos al contar de manera ascendente o descendente de uno en uno desde el 25 al 16.2. el rezago escolar. por lo que será importante plantear aspectos que permitan la reflexión sobre las prácticas docentes. con la intención pedagógica de priorizar acciones encaminadas a eliminar o minimizar la exclusión. lo constituye la diversificación del currículo y la organización de los procesos de enseñanza para la atención de alumnos y alumnas con discapacidad intelectual. así como la evaluación del currículo bajo un enfoque formativo. la discriminación por género. u otra causa.
Un tercer elemento a considerar en el orden de lo curricular es la flexibilidad.
. competencias. los recursos. La diversificación del currículo y la organización de los procesos de trabajo cotidianos se concretan en la planeación de la enseñanza que está orientada al desarrollo de procesos formativos. La planeación. sin embargo. La flexibilidad implica asumir la accesibilidad del currículo para todos. a la organización de la actuación docente y la puesta en práctica de un plan organizado y articulado de acuerdo con los enfoques. para la atención educativa de los alumnos y alumnas. estándares. significa ofrecer entornos donde se cuente con la posibilidad de participación y convivencia sin las distinciones que culturalmente se generan a partir de las diversas características de los alumnos y las alumnas. aprendizajes esperados. es una práctica que de manera cotidiana los docentes realizan en las aulas. Así mismo. el desarrollo mismo y la evaluación del aprendizaje-. está centrada en la diversidad de los alumnos y las alumnas presentes en el aula y en los procesos de aprendizaje. recursos didácticos. favorece la implementación de estrategias diversificadas las cuales representan decisiones pedagógicas que reconocen las características de las aulas a fin de eliminar las barreras que dificultan el aprendizaje y la participación. EL CAM. entre otros elementos curriculares. en este sentido. implica cambios en la organización y secuenciación bajo una perspectiva curricular que refuerce la continuidad en el trayecto formativo. es necesario propiciar la reflexión y la tarea pedagógica intencionada y sistemática que permita proporcionar a la población escolar las oportunidades de aprendizaje necesarias para su desarrollo integral. materiales y estrategias didácticas que se emplean constituyen herramientas pedagógicas que permiten la puesta en marcha y enriquecimiento de las acciones planeadas. implica la diversificación de estrategias y la oportunidad para enriquecer el aprendizaje y las formas de enseñanza. considerada como un principio pedagógico y una estrategia que caracteriza al desarrollo curricular –desde la planeación didáctica. propósitos educativos.población. es decir hacerlo universal.
Entre tales recursos se encuentran los especializados que favorecen procesos comunicativos. De esta manera se construye lo que Chevallard llama: “el campo de aplicación de la técnica”.en el desarrollo de los aprendizajes escolares. sociales y pedagógicos. estilos y competencias encontradas en los grupos que requieren una intervención –única y distinta. al hacer uso de dicho conocimiento se dan cuenta de las situaciones que son pertinentes y eficaces y cuando no lo son. En el capítulo 5 se señaló que través de la resolución de problemas. La Dirección de Educación Especial como parte de los apoyos para la atención a la diversidad ha planteado una gama de Estrategias Específicas y Didácticas. tableros de comunicación. Consideraciones generales para guiar el trabajo didáctico con los problemas de tipo aditivo. como la Lengua de Señas Mexicana.
. didácticos y metodológicos como “La Práctica entre Varios” y la orientación y asesoría a docentes en el diseño y aplicación de secuencias didácticas para el aprendizaje de las matemáticas con alumnos que presentan discapacidad intelectual. los alumnos construyen el sentido o significado de los conocimientos matemáticos escolares. 6. la cual consiste en proponer las características de los problemas y cómo deben plantearse a los alumnos. secuencias o recursos que se emplean según los ritmos. entre otros. es decir. el Sistema Braille.Dichas estrategias hacen referencia al planteamiento de actividades. Así mismo se han desarrollado recursos pedagógicos.2. como recursos que permitan intervenir y apoyar de manera puntual el aprendizaje de los alumnos y las alumnas que presentan discapacidad. Una consideración general que se sugiere a los docentes para realizar un trabajo didáctico que favorezca la construcción del sentido matemático. es la de Baroody (ver tabla).
El problema está vinculado con una operación previamente enseñada. favorece el desarrollo del pensamiento matemático de sus alumnos y alumnas. Los problemas significativos suelen resolverse lentamente. Hay una solución correcta.Dos concepciones de problema. Sólo se ofrece la información necesaria para calcular la respuesta. La solución debe encontrarse enseguida. que pueden ser evidentes o no. Se dispone de demasiada o de poca información. Conclusión: Un profesor que plantea los problemas con estas características les restringe a sus alumnos y alumnas el campo de decisiones para resolver un problema. Conclusión: Un profesor que plantea problemas con estas características. Puede haber varias soluciones y hasta puede ser que no haya ninguna.
. Es evidente un procedimiento correcto para hallar la solución. El alumnado toma como único procedimiento válido el que el docente proporciona. Según Baroody (1983) Problemas rutinarios de enunciado verbal que suelen encontrarse en los textos escolares: La incógnita está especificada o es muy evidente. Se pueden aplicar muchos procedimientos para la solución. al hacer un uso flexible y eficaz de los procedimientos de solución cuya decisión es tomada por los niños y niñas. Casos de resolución de problemas comunes en la vida de cada día y en la matemática: La incógnita puede no estar especificada ni ser evidente.
comparación e igualación). se encuentran presentes competencias matemáticas. sobre todo. cambio. Es importante tener presente que en un aula del Centro de Atención Múltiple (CAM).	La elección del tipo de familia de problemas (combinación. es importante que el docente considere cierto número de parámetros sobre los cuáles puede maniobrar para proponer problemas de acuerdo a la capacidad matemática de sus alumnos y alumnas. la toma de decisiones que realiza el profesor o profesora para seleccionar o diseñar clases de problemas que permitan a los alumnos y alumnas construir los conceptos de suma y resta. Para llevar esta tarea a buen término. comparación e igualación) El lugar donde se encuentra la incógnita Los tipos de números involucrados en el problema Las características del texto escrito La selección de contextos y su vinculación con las experiencias del alumnado
•	•	•	•	41
. fracciones comunes. b. Recomendaciones específicas para plantear problemas aditivos. cambio. ya que determina un diferente tipo de razonamiento y relación entre los datos. En ese sentido los parámetros fundamentales son: a. números enteros (positivos y negativos).	El lugar donde se encuentra la incógnita. decimales.6.	Los tipos de números involucrados en el problema: números naturales pequeños y números grandes. según el significado de suma o resta que favorezca la construcción de aprendizajes en los alumnos y alumnas.
Parámetros fundamentales para el planteamiento de problemas de tipo aditivo (acordes a los niveles de la población escolar) •	La elección del tipo de familia de problemas (combinación. La tarea formativa en la escuela y en el aula es compleja. c.3. para las que el docente debe prever el planteamiento de diferentes problemas acordes a los niveles en que la población escolar se encuentra.
citados por Bermejo y Rodríguez. Ahora tiene 29. b)	Lugar de la incógnita. Bermejo y Rodríguez. A continuación se detallan cada uno de ellos. 1983 y 1984. ¿Cuántos le quedaron? 9–4=x Giovanni acaba de jugar a los “tazos”. ¿Cuántos “tazos” le ganaron? a–x=c
. la dificultad de resolución es notablemente acentuada. la falta o abundancia de datos y el orden de presentación de los mismos. seguidos de los de Combinación y por último los de Comparación en los que la incógnita se ubica en uno de los sumandos. lo cual implica: el tipo de vocabulario empleado. 1987. De Corte y Verschafeel. 1988. Dentro del ámbito de la estructura semántica. a)	Familias de problemas aditivos. Ejemplos: Esther tiene 9 caramelos. e. Tenía 41 antes de jugar.	La selección de contextos más o menos vinculados a la experiencia de los alumnos y alumnas.d. 1991) hay una coincidencia en señalar que los problemas más sencillos son los de Cambio. 1990).	Las características del texto escrito. Le da 4 a su hermanita. la mayoría de los trabajos (Carpenter y Moser 1982. en los que la incógnita se ubica en el primer sumando (Bermejo y Rodríguez. Las cotas de mayor dificultad llegan en los problemas de Comparación.
con el fin de favorecer el uso del sobreconteo. c)	Valores numéricos involucrados en el problema. y cuya suma exceda el 10. esto para permitirles usar los dedos como herramienta para contar. implica la resta.10 pesos ¿cuánto dinero tenía en su bolsa antes de encontrarse el dinero? Problema 2: Un parisino sale de vacaciones en su automóvil. los números son “pequeños” menores a 10.
. ¿Cuántos kilómetros viajó en su automóvil durante las vacaciones? En el problema 1. Nuestros alumnos con discapacidad intelectual iniciarán trabajando con problemas que impliquen números naturales de un dígito y cuya suma no exceda de 10. en tanto que el problema de los tazos. En total tiene $7. a su regreso marca 67351 km.60 pesos en la banqueta. 7 más. como un razonamiento reversible (al “todo” que es 41 le quitas la parte representada por el 29 y encuentras la otra parte). por ejemplo 8 + 7 = 15. Los valores numéricos involucrados son una de las variables fundamentales para lograr que los alumnos cambien de estrategia de resolución en un problema y a la vez fuente de diversas complejidades. a partir del 8. su planteamiento y resolución se propone para cuarto de primaria y el problema 2 es más propicio para niños de quinto grado. tal como puede observarse en los siguientes problemas: Problema 1: Enrique acaba de encontrarse $2.El problema de los caramelos presenta menor dificultad e implica un razonamiento directo (una resta directa resuelve el problema). Luego se trabajará la suma con dos cantidades de un dígito. A la salida de París su contador kilométrico marca 63809 km. es decir. que el niño cuente. Los pone en su bolsa del pantalón.
d)	La forma de redactar los problemas. ¿cuántas paletas le quedaron?” Otra posibilidad de trabajar con los problemas es que al plantearlos falten o sobren algunos datos. compró algunos más y ahora tiene 7 ¿cuántos compró? Es muy común que los alumnos y las alumnas se equivoquen y resuelvan el problema con la siguiente suma: 3 + 7 = 10 Problema 2 En el mercado descargaron una caja de mangos. muchas veces equivocadas. Sin embargo. convendrá que trabajen la suma de números con decenas cerradas. a partir de palabras claves. la presencia de dichas palabras claves lleva a los niños y las niñas a realizar determinadas acciones. Un ejemplo donde faltan datos es:
. se le derritieron 3. para favorecer el cálculo mental como medio para resolver problemas. por ejemplo 50 + 40 =. se podría presentar de la siguiente manera: “Toño llevaba 7 paletas. Problema 1 Miguel tenía 3 caramelos. Al abrirla tiraron 19 mangos podridos y quedaron 50 mangos buenos ¿Cuántos mangos había en la caja antes de abrirla? Es muy común que los alumnos y las alumnas se equivoquen y resuelvan el problema con la siguiente resta: 50 – 19 = 31. Por dar un ejemplo para la resta.Una vez que los niños y niñas inicien el aprendizaje del sistema de numeración en un rango hasta el 100. Es una práctica frecuente que los profesores hagan que sus alumnos asocien el problema con la operación que los resuelve. como pueden observarse en los siguientes problemas. El consejo es que los profesores planteen problemas donde los tipos de palabras que remitan a las acciones de agregar o quitar (en el caso de los problemas de cambio) sean variadas.
caramelos. Algunos ejemplos de contexto según su magnitud. cm. En la vida cotidiana los niños se enfrentarán a este tipo de circunstancias y deben discernir si tienen o no los datos suficientes o seleccionar los que necesitan cuando se tienen demasiados.“Lucas tenía bombones. En general los problemas que implican magnitud discreta implican un menor grado de dificultad que los problemas de magnitudes continuas. globos. radica en el hecho de que los niños y las niñas se vuelven más cuidadosos de observar el papel que juegan los números en el problema. ¿Cuántos bombones le quedan?” Una posibilidad más consiste en plantear problema donde hay datos extras que no se utilizarán para resolver el problema. medidas de longitud (mm. e)	Tipos de contexto cercanos a la experiencia del alumno. etc. se determinará el contexto del problema de manera que éste sea cercano al alumno o alumna. situaciones de compraventa. tiempo (segundo. ¿Cuántos habitantes había en 1979? La importancia de trabajar problemas donde sobran o faltan datos.). dm. tazos. muñecas. por ejemplo: “En 1974 la población de París era de 2’844. se deben identificar con cuales se va a operar.000 habitantes. Asimismo. De acuerdo con la experiencia y saberes de los profesores. no todos los números sirven para resolver el problema.
. resulta necesario indicar que los contextos de los problemas aluden a dos tipos de magnitudes: discreta y continua.000 personas en cinco años.…). •	Contextos que implican magnitudes continuas: temperatura. disminuyeron 187. Primero comió 2 y luego 3. son: •	Contextos que implican magnitudes discretas: canicas. minutos.
Todas estas recomendaciones didácticas están fundamentadas en el enfoque de la enseñanza de las matemáticas que plantea el Plan y Programas de estudio de la reciente Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) y se inscriben en la mejora y fortalecimiento de la práctica docente y el aprendizaje de los alumnos y alumnas en los Centros de Atención Múltiple. Es importante advertir que están estrechamente articuladas con las posibilidades con las que cuentan los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual para enfrentar los retos cotidianos que implican la resolución de problemas de suma y resta. este repertorio de recomendaciones didácticas se inscribe en los aportes de los resultados de la investigación y proyectan su implementación en los CAM.
.Como se advierte.
Los alumnos y alumnas con discapacidad intelectual son un ejemplo significativo de la capacidad matemática con la que se cuenta para enfrentar los retos que implica la resolución de problemas de suma y resta. para aquéllos con una condición de discapacidad intelectual. Conclusiones
El trabajo didáctico. Contrariamente a las insostenibles posturas
. pero a la vez. diariamente son enfrentados estos retos. Sin embargo. saben las implicaciones didácticas para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Los profesores que atienden a la población con discapacidad. los resultados del trabajo realizado en el aula nos demuestran que si es posible. recorren los mismos procesos de aprendizaje que el grueso de la población escolar. ha permitido conocer que aquéllos que presentan discapacidad intelectual (que conforman el grueso de la población escolar atendida) aprenden y evolucionan en sus conocimientos matemáticos hasta alcanzar muchos de los saberes de esta asignatura del currículo escolar de preescolar y primaria. que de manera sistemática ha llevado a cabo la Dirección de Educación Especial del Distrito Federal con los alumnos y alumnas que asisten a los Centros de Atención Múltiple (CAM) desde el ciclo escolar 1999 – 2000. Existen otros campos de formación en los que se involucran conocimientos curriculares complejos que representan un desafío para la población escolar general y. con estilos diversos de aprendizaje y auxiliados por estrategias diversificadas y específicas de las que ya se ha hablado en este documento. más aún. apoyados por el conocimiento de los procesos implicados para lograr su paulatina comprensión a su propio ritmo. Es decir. Se ha documentado que los ritmos de aprendizaje de los alumnos y las alumnas con discapacidad intelectual son más lentos. Tanto en la escuela regular como en los Centros de Atención Múltiple se realiza un trabajo caracterizado por una expectativa de exigencia curricular hacia ellos y ellas en los diversos campos del saber y se ha comprobado su capacidad y posibilidad de adquisición de conocimientos en el complejo campo de las matemáticas. así como el tiempo y esfuerzo invertido para sistematizar el impacto del trabajo en el aula.7.
que por supuesto no puede ser independiente del requerimiento de un acervo de conocimientos matemáticos con los cuales puedan enfrentar los complejos tiempos actuales. por el otro. una matemática que articula lo utilitario-pragmático con el carácter intramatemático de la resolución de problemas. por un lado. entre ellos. es decir. abre una pregunta central: ¿Qué tipo de matemática es imprescindible en los procesos de enseñanza y aprendizaje? En principio. esta publicación de la Dirección de Educación Especial evidencia –de manera mesurada. para ofrecer una respuesta de calidad a todo el alumnado y particularmente a la población escolar con discapacidad intelectual. Esta respuesta permite aclarar las dudas de muchos docentes sobre la pertinencia del enfoque de la enseñanza de las matemáticas.
. es importante otorgar la oportunidad a los alumnos y alumnas con discapacidad intelectual de conocer y manejar una matemática con la doble mirada de. y las propiedades de los conceptos. enfoque que tiene su origen en y desde los planes de estudio de Educación Básica de 1993 y mantiene su actualidad en el currículum vigente de la Educación Básica. Al mismo tiempo. como herramienta y. Proyecto de vida. toda vez que cuentan con el derecho a un proyecto de vida y a una educación de mayor calidad. En resumen. involucra a los alumnos y las alumnas en el mundo donde existen los objetos matemáticos tales como los números y sus relaciones. donde aprenden el funcionamiento de los algoritmos. los niños. un significado interno. tener un significado externo. niñas y jóvenes con discapacidad intelectual o en situación de vulnerabilidad. como objeto. por sí mismo.radicales que argumentan de manera categórica que los alumnos y alumnas con discapacidad intelectual “pueden o no aprender las matemáticas”. lo cual constituye. las fórmulas. Este enfoque es parte inherente a los conocimientos matemáticos básicos de la educación. las figuras geométricas y sus fórmulas. un gran reto didáctico para los docentes y una premisa para transformar su enseñanza.las posibilidades de acceso de los alumnos con discapacidad intelectual al currículo escolar. pues sirven de cimiento para cualquier alumno. una matemática que además de ser útil como herramienta con la que se resuelven problemas de la vida cotidiana.
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