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Timestamp: 2017-01-22 23:05:47+00:00

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Problemas de matemática. Olimpiadas y exámenes de admisión. Facultad de Física de la Universidad Lomonósov de MoscúURSS. 264 pp. (Spanish). Rústica. ISBN 978-5-396-00059-9.
Algunos consejos dirigidos al estudiante
Parte I. Problemas de los exámenes de admisión y olimpiadas de los años 1971--2006
1971 (julio). Variante 1
1971 (julio). Variante 2
1972 (julio). Variante 1
1972 (julio). Variante 2
1973 (julio). Variante 1
1973 (julio). Variante 2
1974 (julio). Variante 1
1974 (julio). Variante 2
1975 (julio). Variante 1
1975 (julio). Variante 2
1976 (julio). Variante 1
1976 (julio). Variante 2
1977 (julio). Variante 1
1977 (julio). Variante 2
1978 (julio). Variante 1
1978 (julio). Variante 2
1979 (julio). Variante 1
1979 (julio). Variante 2
1980 (julio). Variante 1
1980 (julio). Variante 2
1981 (julio). Variante 1
1981 (julio). Variante 2
1982 (julio). Variante 1
1982 (julio). Variante 2
1983 (julio). Variante 1
1983 (julio). Variante 2
1984 (julio). Variante 1
1984 (julio). Variante 2
1985 (julio). Variante 1
1985 (julio). Variante 2
1986 (julio). Variante 1
1986 (julio). Variante 2
1987 (julio). Variante 1
1987 (julio). Variante 2
1987 (agosto). Variante 1
1987 (agosto). Variante 2
1988 (julio). Variante 1
1988 (julio). Variante 2
1989 (julio). Variante 1
1989 (julio). Variante 2
1990 (julio). Variante 1
1990 (julio). Variante 2
1991 (julio). Variante 1
1991 (julio). Variante 2
1992 (julio). Variante 1
1992 (julio). Variante 2
1993 (mayo). Variante 1
1993 (mayo). Variante 2
1993 (julio). Variante 1
1993 (julio). Variante 2
1994 (mayo). Variante 1
1994 (mayo). Variante 2
1994 (julio). Variante 1
1994 (julio). Variante 2
1995 (marzo). Variante 1
1995 (marzo). Variante 2
1995 (mayo). Variante 1
1995 (mayo). Variante 2
1995 (julio). Variante 1
1995 (julio). Variante 2
1996 (marzo). Variante 1
1996 (marzo). Variante 2
1996 (mayo). Variante 1
1996 (mayo). Variante 2
1996 (julio). Variante 1
1996 (julio). Variante 2
1997 (marzo). Variante 1
1997 (marzo). Variante 2
1997 (mayo). Variante 1
1997 (mayo). Variante 2
1997 (julio). Variante 1
1997 (julio). Variante 2
1998 (marzo). Variante 1
1998 (marzo). Variante 2
1998 (mayo). Variante 1
1998 (mayo). Variante 2
1998 (julio). Variante 1
1998 (julio). Variante 2
1999 (marzo). Variante 1
1999 (marzo). Variante 2
1999 (mayo). Variante 1
1999 (mayo). Variante 2
1999 (julio). Variante 1
1999 (julio). Variante 2
2000 (marzo). Variante 1
2000 (marzo). Variante 2
2000 (mayo). Variante 1
2000 (mayo). Variante 2
2000 (julio). Variante 1
2000 (julio). Variante 2
2001 (marzo). Variante 1
2001 (marzo). Variante 2
2001 (mayo). Variante 1
2001 (mayo). Variante 2
2001 (julio). Variante 1
2001 (julio). Variante 2
2002 (marzo). Variante 1
2002 (marzo). Variante 2
2002 (mayo). Variante 1
2002 (mayo). Variante 2
2002 (julio). Variante 1
2002 (julio). Variante 2
2003 (marzo). Variante 1
2003 (marzo). Variante 2
2003 (mayo). Variante 1
2003 (mayo). Variante 2
2003 (julio). Variante 1
2003 (julio). Variante 2
2004 (marzo). Variante 1
2004 (marzo). Variante 2
2004 (julio). Variante 1
2004 (julio). Variante 2
2005 (marzo). Variante 1
2005 (marzo). Variante 2
2005 (julio). Variante 1
2005 (julio). Variante 2
2006 (marzo). Variante 1
2006 (marzo). Variante 2
2006 (julio). Variante 1
2006 (julio). Variante 2
Parte II. Resolución de los problemas de mayor dificultad
1971 (julio)
1972 (julio)
1973 (julio)
1974 (julio)
1975 (julio)
1976 (julio)
1977 (julio)
1978 (julio)
1979 (julio)
1980 (julio)
1981 (julio)
1982 (julio)
1983 (julio)
1984 (julio)
1985 (julio)
1987 (julio)
1987 (agosto)
1988 (julio)
1989 (julio)
1990 (julio)
1991 (julio)
1992 (julio)
1994 (julio)
1995 (marzo)
1995 (julio)
1996 (marzo)
1996 (mayo)
1996 (julio)
1997 (marzo)
1997 (mayo)
1997 (julio)
1998 (mayo)
1999 (mayo)
2000 (julio)
2001 (mayo)
2002 (mayo)
2003 (marzo)
2003 (julio)
2005 (marzo)
2005 (julio)
2006 (julio)
El presente libro contiene problemas tomados de diferentes variantes de 60
exámenes de admisión y olimpiadas "Abiturient" de matemática
que tuvieron lugar en la facultad de física de la Universidad Lomonósov de
Moscú entre los años 1971 y 2006 (las olimpiadas comenzaron a efectuarse
en el año 1993).
En la primera parte del libro se muestran dos variantes de cada examen u
olimpiada. Al final del libro se dan las respuestas de todos los
problemas. Para la resolución de una variante en un examen se dispone de
En la segunda parte del libro se explica detalladamente la resolución de
los problemas geométricos y algebraicos de mayor dificultad. El nivel de
los demás problemas de cada variante corresponde al nivel estándar de
preuniversitario, y pueden ser resueltos por un buen estudiante sin
Una particularidad del presente manual consiste en que los problemas
resueltos en la segunda parte del libro no coinciden con los de las
variantes ofrecidas en la primera parte (los problemas resueltos
pertenecen a una tercera variante del mismo examen). De este modo, el
estudiante en cada caso tiene a su disposición dos variantes completas no
resueltas de cada examen y las indicaciones dadas en la solución de tres
problemas similares de mayor dificultad.
La forma de expresión utilizada aquí, breve, pero no por ello imprecisa,
permite concentrar la atención en la resolución de los problemas durante
el examen y ahorrar tiempo al plasmar en papel los razonamientos. Por esta
razón, es posible que la comprensión de estas soluciones exija cierto
esfuerzo por parte del lector.
La forma de expresión utilizada en la resolución, breve, pero rigurosa,
tiene como objetivo mostrar al lector cómo se pueden resolver los
problemas durante el examen de admisión sin perder tiempo en la escritura
de detalles superfluos. Por esta razón, es posible que la asimilación de
estas resoluciones exija del lector determinados esfuerzos.
El autor quisiera expresar su reconocimiento y agradecimiento por el
trabajo importante y altamente responsable realizado por los colaboradores
del departamento de matemática de la facultad de física, quienes durante
muchos años participaron en la selección de los problemas presentados en
los exámenes de admisión, el análisis de los mismos y la comprobación de
su solución. Sus observaciones y proposiciones hicieron posible el
mejoramiento de muchos problemas, la elaboración de criterios de
calificación de los resultados y la obtención de variantes de resolución.
Varios problemas de alto grado estético fueron propuestos por
V.F.Butúzov y S.B.Kadómtsev.
La edición anterior de este libro (2004) ha sido utilizada activamente por
los profesores de cursos de preparación preuniversitaria y por los
estudiantes de preuniversitario en su preparación individual.
Durante la preparación para un examen de admisión no sólo es necesario
incrementar el arsenal de métodos de resolución, sino también entrenar los
hábitos puramente técnicos, aprender a obtener con seguridad resultados
correctos en los problemas simples. La mayoría de los problemas que se
presentan en los exámenes de admisión entran en esta categoría.
Frecuentemente después de un examen se pueden oír comentarios como
"Resolví la mayor parte de los problemas, pero no sé si los resolví
En esta frase se mezcla lo humorístico (?`qué es un "problema resuelto
incorrectamente"?) y lo trágico. Es casi seguro que el estudiante sabía
cómo resolver estos problemas, pero independientemente de esto, no está
seguro de que las respuestas obtenidas sean correctas. Se pregunta: ?`para
qué aprender diferentes métodos de resolución de problemas si después no
confías en tus propios cálculos?
En efecto, al revisar las soluciones dadas en los exámenes, se detecta una
gran cantidad de errores en los problemas que el estudiante sabía cómo
resolver, pero por descuido no pudo obtener el resultado correcto. Estos
errores son imperdonables; la preparación para el examen debe estar
orientada, en primer lugar, a eliminar estos errores.
?`Cómo lograr esto? Creemos que los siguientes consejos podrían ser
-- Ante todo, aprenda a resolver problemas sencillos sin
cometer errores. Para esto es necesario resolver una cantidad
suficiente de problemas de esta categoría, incluso si el método de
resolución ya ha sido comprendido (es imposible, por ejemplo,
aprender a correr cien metros en 10 segundos o levantar 100
kilogramos sólo mirando cómo un deportista profesional lo hace).
-- Aprenda a resolver en limpio los problemas simples. Esto
aumenta la concentración y en el examen se economiza tiempo y
fuerza para analizar los problemas más difíciles.
-- Utilice todas las posibilidades de revisión de las
respuestas en los problemas algebraicos, particularmente, las
raíces simples por su forma, factibles de ser sustituidas
fácilmente en la ecuación inicial, ya que los errores más
lamentables tienen lugar cuando se obtiene un resultado incorrecto
aunque el método de resolución utilizado era correcto.
-- En los problemas geométricos en los que los datos se
expresan mediante letras, compruebe los resultados para diferentes
casos particulares, por ejemplo, para triángulos equiláteros, o
para pirámides regulares, o para otras figuras "cómodas".
-- Las variantes ofrecidas de cada examen son similares. No obstante, resuelva ambas y precisamente en pares, tratando de
comprender lo más importante: la idea del problema. Una misma idea
es presentada por los examinadores bajo diferentes aspectos:
distintas formas de las ecuaciones o inecuaciones, diferentes
fórmulas trigonométricas, en las condiciones del problema un
ángulo agudo se cambia por uno obtuso, una pirámide triangular se
sustituye por una cuadrangular, etcétera. Eliminando este
"camuflaje" se logra lo más importante: dominar el método de
resolución de toda una familia de problemas análogos.
-- Al resolver una variante, trate de concluir completamente
el trabajo, imagínese que más tarde ya no podrá regresar a él
(como si hubiera entregado el trabajo al examinador), y sólo
después de esto comience a revisar las respuestas.
Para concluir, no quisiera desearles suerte, sino éxitos merecidos.
Guerma Nikoláievich Medviédev
Profesor Emérito de la Universidad Estatal "M. V. Lomonósov"
de Moscú. Galardonado con el Premio Lomonósov por su actividad
Durante los años 1971--2006 fue director de la comisión de
preparación de los exámenes de admisión en la Facultad de Física
de la Universidad Lomonósov de Moscú. Es autor de la mayoría de
los problemas propuestos.
En numerosas ocasiones, matemáticos de otras facultades han
elogiado los exámenes de la facultad de física por el balance
alcanzado entre las exigencias técnicas y creativas, y por la
elegancia de muchos de los problemas geométricos propuestos.
Este libro se utiliza activamente en los cursos de preparación
tanto por los profesores como por los estudiantes
preuniversitarios a nivel individual.

References: Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
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