Source: https://es.scribd.com/doc/56516193/anlissi-de-senales-wavelets
Timestamp: 2016-05-06 13:33:56+00:00

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anlissi de señales wavelets
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Procesamiento Digital de Señales Acústicas utilizando Wavelets.
Pablo Faundez, e-mail: pfaundez@fci.uach.cl ,Alvaro Fuentes, e-mail: afuentes@fci.uach.cl Profesor Patrocinante: Pedro Reumay, Instituto de Matemáticas UACH.
Esta va dedicada a mi gran amigo Pablo Jimenez, por esas largas noches de conversación en Valdivia, que me ayudaron a comprender las páginas que vienen a continuación.
Latter we introduce wavelets as an alternative tool of the Fourier analysis.
. DFT y FFT. El marco teórico de esta nueva herramienta se desarrolla explicando las propiedades matemáticas y utilizando como ejemplo la Haar wavelet que corresponde al sistema wavelet más simple. with a basic knowledge of wavelets. The mathematical theory of this relatively new digital signal processing tool is developed trough the explanations of it’s properties and using as an example the simplest wavelet system. At this point. To aboard this subject in a comprehensible manner. the Haar wavelet. Discrete Fourier transform and Fast Fourier transform). Transformada de Fourier. the thesis begins with the relevant mathematicalbackground and a general explanation about the concepts of the Fourier theory (Fourier series. Finally an application of this tool in de-noising of acoustic signals is presented through statistic methods. Ya con un entendimiento básico de wavelets se presenta el análisis multi-resolución dentro del cual se desarrolla la transformada Discreta de Wavelets en conjunto con el desarrollo de algoritmos para la transformada rápida de wavelets.2
Este trabajo constituye principalmente una introducción a la teoría de wavelets. Posteriormente se introduce wavelets como una herramienta alternativa al análisis de Fourier para el procesamiento de señales. Para poder abordar este tema de una forma más fácil se comienza con una base matemática para luego dar una explicación general de los conceptos sobre las series de Fourier.
This thesis is mainly an introduction to wavelets theory applied to digital signal processing of acoustics signals. Fourier Transform. the multi-resolution analysis (MRA) is presented together with an explanation of the Discrete Wavelet Transform (DWT) and the development of computational algorithms to implement the Fast Wavelet transform (FWT). Por último se presenta una aplicación de esta herramienta en la reducción de ruido a través de métodos estadísticos y además se plantea un método acústico o auditivo para el mismo propósito.
4. 2. Describir la teoría de wavelets tanto en el dominio continuo como en el dominio discreto teniendo como base la teoría de Fourier. Utilizar el proceso de reducción de ruido sobre una señal real con un alto nivel de ruido de fondo e individualizar o aislar la señal deseada. Presentar una aplicación de wavelets orientada a resolver un problema de tipo acústico. Demostrar de manera clara que para ciertos tipos de señales y/o aplicaciones la transformada de wavelets presenta un mejor desempeño que la transformada de Fourier.
. Describir la utilización de wavelets en el proceso de reducción de ruido de alta frecuencia sobre una señal creada en forma artiﬁcial.3 y comprobar su uso mediante señales obtenidas de forma ﬁcticia y de forma real. 5. 2. Desarrollar de una manera clara y didáctica la teoría matemática de wavelets.3
1. 3. 3. Describir las bases para el diseño de algoritmos con el ﬁn de implementar wavelets en ambientes computacionales. Implementar el uso de algoritmos que realicen la transformada Discreta de Wavelets utilizando el Software MATLAB 5.
Coeﬁcientes de reconstrucción para la función de escalamiento. Coeﬁcientes obtenidos para la representación de la señal Ø¾ con la Haar Wavelet en el espacio Ï½ . . . . . .1 6. . . .
. . . . .2 6. . .Índice de Tablas
73 75 81 83
Coeﬁcientes obtenidos para la representación de la señal Ø¾ con la Haar Wavelet en el espacio Ï¼ . . . .3 6. .
. . . . . . Coeﬁcientes de reconstrucción para
´Øµ
Ø¾
. utilizando utilizando la función de escalamiento en
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . se observa que las amplitudes de ambas componentes han disminuido a la mitad de su valor real . . .8
Función Wavelet Mexican Hat y Morlet con sus respectivas Transformadas de Fourier (gráﬁcos de la izquierda). . . .9
(a) Función seno de período T=¾ . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Representación de la señal Ü½ ´Øµ . . . . . .frecuencia con buena resolución en tiempo y mala resolución en frecuencia. . . . .7
Señal Ü´Øµ y función tiempo-ventana centrada en
. . . . (b) es impar y de período ¾ . . . . . . . .4 4. . . . . . . . . . Representación tiempo . . . . . Para la obtención de la DFT se realizaron
operaciones de multiplicación. . . . la amplitud de cada onda es lo que representa la transformada de Fourier. . . . . . . . . . . .8 3. .
32 33 34 35 37 39 40 43 44 46 50 51 52 53 53 54
Ø en series de Fourier para N=2. . . N=8 y N=16. . . . . . . . . .
Transformada Discreta de Fourier de la onda cuadrada ilustrada en la ﬁgura (1. . (b) Función coseno de período T=¾ Expansión de función entre
´Øµ ¼
. . .4 3. . . . . . lo que implica mayor resolución en tiempo. . . .
. . . . . . . . . . . . . .9
Diferencia tiempo . .10 Inversión binaria para una señal con Æ 4. . . . .5 3.5 4. . . . Representación tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . datos de entrada . . (b) Descomposición en series de Fourier. . . . . . . . . . . . .7 3. . . . . . . . . . . . .6 4. . . . . . . . . Función wavelet correspondiente a la familia Daubechies 4 (ver Apéndice). . . .frecuencia con buena resolución en frecuencia y mala resolución en tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación de una onda cuadrada con Æ datos de entrada
. . .3 4. . . (a) es par y de período ¾ . . . .
(a) Representación de la señal Ü´Øµ . . . . . Se observa como cumplen con la condición de admisibilidad al tener un rápido decaimiento a medida que la frecuencia tiende a ¼. . .2 3.
4. . .6 3. . .8). . . . . . . . . . . . . . Transformada de Fourier obtenida en el ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . para una escala grande la wavelet ocupa un mayor segmento de la señal y por lo tanto tiene mejor resolución en frecuencia mientras que para una escala más pequeña el intervalo de tiempo bajo el que se analiza la señal es menor. . .
3. . . . . . . . . . .3 3.frecuencia v/s tiempo -escala entre la STFT y la CWT. . . . .2 4. . . . . . . .
(a) Señal original. .Índice de Figuras
3. (b) Contenido espectral de la señal obtenido mediante la FFT. . . . . . . . . . . . . . . . . N=4. . . . . . (b) Contenido espectral de la señal obtenido mediante la transformada rápida de Fourier . . . .
Representación en el tiempo de la función a analizar en el ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se observa el proceso de escalamiento y traslación. . . .1 3. . . . . . . .1 4. . . . . . . . . . .
. . . 109
7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 6. . 110 8. . . . . . . . . .3 6. . . . . . . . . . . . . . 104 7. . . . . . . . . . . .
Función wavelet en Ï¼ como combinación lineal de las funciones escalamiento que expanden Î½ y Î¼ . . . . . . . . 113 Señal que representa un efecto doppler con un nivel de ruido bastante notable (1024 muestras). . . . . . . . . . . . . .7 7. . .
Reconstrucción Wavelet donde el dos con la ﬂecha hacia arriba representa la operación de supsampleo.DWT. . . . . . . . . . . Al lado izquierdo vemos la representación de una función mediante el sistema Haar en distintos espacios
Î . . . . . . . obtenido mediante el sistema Haar en distintos espacios Ï . . .9
(a) Señal original. . . . .
Espacios anidados generados por la función escala. . . . . . (b) Modelamiento de sampleos digitales mediante la función Haar escala con una longitud de Æ
. . . . . . . . . . . . . 106
7. . . . 108 7. . . . . . . . . .
7. .6
Al lado izquierdo vemos el detalle de una función. 107 7. . . . . . . 103
7. . . . . . . . Observar que ¼
¾ ½ ¾ ½ ¿
y obtención de los coeﬁcientes
sólo como número entero. . . . . . . . . .5 6. .
Ø¾ en el subespacio Ï½ . .DWT obtenido de la descomposición. . . . . . En esta ﬁgura se presenta una clara mejoría en la resolución de la representación de la función cuadrática. . por la función escala en distintos espacios. .1 7. . .
. . . . . . . . . . . . . . Aproximación de la señal Ø¾ mediante las función wavelet del espacio Ï¼ . .
En esta ﬁgura apreciamos que la aproximación realizada por la función de escalamiento es bastante burda. . . . Ambos procesos se realizan en forma paralela. . . . . . . . . .15 Análisis multiresolución de
el vector . . . . . . . . . . . debido al espacio en que trabajamos. . . . . . . .11 Estructura de una reconstrucción multiresolución. . . .2
Efecto del umbral duro y suave aplicado sobre un conjunto de coeﬁcientes. . . . usando el sistema Haar. . . . . . . (b) Vector . . .3].14 La suma de las reconstrucciones obtenidas de los coeﬁcientes escala y wavelet nos entrega la señal original. . . . (c) Modelo en el dominio análogo. . .
93 98 101
7.16 Esquema de Reconstrucción. .1 8. .
Descomposición wavelet donde el dos con la ﬂecha hacia abajo representa la operación de subsampleo. . . .13 Esquema de reconstrucción a partir de un nivel de descomposición. . . .
. . . De abajo hacia arriba tenemos desde el espacio Ï½ hasta el Ï . . . debido que
´Øµen ½ esta
deﬁnida en un intervalo de tiempo mas pequeño que en
¼. . . . . .3 7. . . . . . . y al lado derecho vemos representados estos espacios por la parte sombreada del diagrama. . . .7 7. . . . . . . .10 (a) Estructura de una descomposición multiresolución. . . . . . . . . . 104 7. Representación de la función
. Proyección de una función en diferentes espacios wavelet. . . . . . . .4 7. . .2 7. . . . . . . . . . . . . De abajo
hacia arriba tenemos desde el espacio Î¼ hasta el Î . . . . . y al lado derecho vemos representados estos espacios por la parte sombreada del diagrama. .
. . . . . . . Representación de la función sin(t). . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Se observa la aplicación del algoritmo sobre una señal de longitud Æ
para obtener (a) Los coeﬁcientes de aproximación y (b) los coeﬁcientes wavelet. . .5
Función Haar de escalamiento. . . . . . . . . . . .ÍNDICE DE FIGURAS
Espacios wavelet. . . . . .4 6. .
6 67 69 73 76 79 81 83 87 88 88 90
Ø¾ deﬁnida sobre el intervalo [-3.8 7. . . . . . . . . . . . . . . . . .6 6. . . . .2 6. . . . . . . . . . . . . .
.119 Representación del espectro de la señal original y de la señal limpia. . 115 Señal reconstruida utilizando los coeﬁcientes wavelet procesados mediante umbral suave. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
spués de haber sido comparados con el umbral (Lado derecho). . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 8. ¿. . . .4 8. . . En rojo: mediante los espacios ¾. . .8 %. . . . . . . . .ÍNDICE DE FIGURAS
8. . . . . Comparación visual entre la señal original y la señal reconstruida. . . . . 123 8. . . . . . Coeﬁcientes Wavelet obtenidos después de haber sido comparados con el umbral seleccionado (Lado izquierdo).12 Transformada de Fourier de las reconstrucciones de la señal original. . .10 Descomposición de la señal original realizada con la wavelet Daubechies 4. . . . . . . . . . . . . . . .
¿. . .11 Descomposición de los coeﬁcientes d4 usando la wavelet Daubechies 6.6 8. . . . . . . . . 120 Señal original. . .5 8. . . . . 117 Señal correspondiente a vibraciones de un motor rotatorio (Arriba). . . . . ¿
. . . . sólo los primeros 2500 sampleos se graﬁcaron. . . . . . . .8 8. . . . Coeﬁcientes obtenidos de-
En azul: mediante
¾. .
. . . . . 124
8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8. . . . . . . Abajo: Transformada Continua Wavelet
de la reconstrucción con los espacios
¾. 125
. . . Señal después de haber sido procesada (Abajo). . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Ambas representaciones fueron obtenidas
utilizando la wavelet Morlet. .3 8. 122 8. 118 Coeﬁcientes de descomposición wavelet obtenidos utilizando la Daubechies 4 (lado derecho). . . . .9
Descomposición wavelet realizada con la Daubechies 2 (Lado izquierdo). . . .13 Arriba: Transformada Continua Wavelet de la señal original. . . . . . . . . . . . . . Para una visualización más clara. El porcentaje de energía conservado fue de 93. . . . . . . . . . . .
. . . . . . Espacios con producto interno .1 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Sistemas Wavelet. . . . . . . . . . . . . . . FFT de diezmado de frecuencia . . . . . . . . . . . . Cálculo de los coeﬁcientes . . . . . . . . . . . . . . .Índice General
1 Introducción 2 Base Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . .4 3. . . . . 3. . . . . . . . . . Espacios Vectoriales de Dimensión Inﬁnita . . .2. . . . . . . . . .3. Variables de escala y traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Series de Fourier .2 FFT de diezmado de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Espacios vectoriales de dimensión ﬁnita . . . . . .1. . . . . . 2.1 Resolución Tiempo . . . . . .Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Frecuencia 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada rápida de Fourier (FFT) .1 3. . . . . . . . . .3 3. . . . . . . .1 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . . . . . . . .1 5. . . . .1 3. . . . . . . . . . .2 Características de sistemas wavelet . . . . . Propiedades . . . . . . . . . . . . .2 La Transformada corta de Fourier (STFT) . .1 3. . . . .1 Series de Seno y Coseno . . . . . . . . . . .2 3. . . . . Transformada Discreta de Fourier (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . .2 2. .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Analisis Tiempo . 5. . 10 12 12 18 22 29 31 31 31 33 35 37 40 44 44 45 48 48 49 54 55 59 59 59 61
3 Teoría de Fourier 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 4. . La Transformada de Fourier . . . . . .1 Sistemas wavelet de primera generación . . . . . . .1. . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función escala . . . . . .3 2. . .2. . . . . . . . . Transformada Continua Wavelet (CWT) . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . .5 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Relación ortogonalidad y normalidad . . . . . . .1 Biomedicina .3 Criterios de umbral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8. . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . .1 Tratamiento de señales reales obtenidas de las vibraciones de un motor116 8.3. . . . . . . . . . .3 Características de una función escala. .4
Conclusiones . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . 114 Desarrollo Experimental con señales reales . . . . . . . . . . . . 112 8. . . . . . . . . . 112 Limpieza de Ruido . .1 Análisis de transientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. .3 7. . . . . .1 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . 111 Compresión . . . . . . . . . . . . . .3. . .2. . . . . . . .2. . . . . .4 Representación de señales . . .2 7. . . . . . .1 5. . . . 113 8. . . . . . . .1 Función Haar Escala . . . . .2 Tratamiento de señales reales obtenidas al aire libre. . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . .1 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8. 126 131 134 142
A Referencias Internet B Rutinas programadas en MATLAB A Wavelet Daubechies
. . . . . . . . .2 7. . . . . . . . Transformada Discreta Wavelet (DWT) . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Múltiples Niveles Análisis . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . .2 Función Haar Wavelet .2 Compresión de Audio . . . 102
8 Aplicaciones 111 8. . . . . . . . . . Descomposición de señales unidimensionales (Análisis) . . . . . . . . . . . . . 116 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Análisis Multi-Resolución 7. . . . . . .2. . . . . . . . . .3. . . .2 8. . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÍNDICE GENERAL
5. . . . . . . .1 7. . . . .Síntesis . . . . .1 Relación ortogonalidad y normalidad . . . . . . . . . .3. . . . . . .
9 62 65 67 67 75 78 82 85 85 91 97 97 98
Función Wavelet . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reconstrucción de señales unidimensionales (Síntesis) . . . . .2 8. . . . . . .3. 6. . . . . Transformada rápida Wavelet (FWT) y banco de ﬁltros . . . . . .3 Principios de Multi-Resolución . . 111 8. . . . . . . . .1 Compresión de Imágen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Wavelet Haar 6. 113 Desarrollo experimental con datos ﬁcticios . . . . . . . . .3
es ampliamente utilizada en la resolución de problemas cientíﬁcos e ingenieriles en diferentes campos tales como física cuántica. las cuales son más conocidas como señales no estacionarias. lo que hace que esta transformada sea extremadamente útil en el análisis de fenómenos periódicos. astronomía. Las señales pueden ser interpretadas como una combinación lineal de ondas harmónicas o tonos puros por lo que se observa de una manera casi intuitiva que la señal en un instante de tiempo es reemplazada por la suma de varios tonos puros. Sin embargo. Es en estos términos de análisis Û ÚÐØ donde entra en juego una nueva herramienta matemática llamada Û Ú Ð Ø o Ì Ö Ò× ÓÖÑ La transformada wavelet es el resultado de un gran número de investigaciones y constituye una 10
.Capítulo 1 Introducción
A ﬁnes del siglo XIX comenzaba a gestarse el inicio de la teoría matemática que posteriormente sería utilizada en el procesamiento digital de señales. para poder expandir o representar una señal o función en términos de ellas. posiblemente inﬁnita. no son localizables en el tiempo (su dominio es de [-½ ½]). entre otras. óptica. de series de senos y cosenos (o en forma equivalente como exponenciales complejas). que corresponden a tópicos de gran importancia en el campo de la Ingeniería Acústica.frecuencia. debido a ciertas limitaciones de este análisis en el campo tiempo . De acuerdo con esto la transformada de Fourier utiliza dos funciones bases. más conocida como la transformada de Fourier. de tiempo invariante o estacionarios. acústica y muchos otros. Estas funciones tienen ciertas características como su suavidad (término utilizado para describir funciones que no poseen pendientes abruptas o discontinuidades). no son analizadas a fondo mediante la transformada de Fourier. electrónica. ciertas señales cuya amplitud varía en forma rápida y abrupta en el tiempo o señales cuyo contenido de frecuencia es variable de un instante de tiempo a otro. Este postulado siguió evolucionando hasta los días de hoy donde la teoría de Fourier. Desde un punto de vista más ingenieril o físico la transformada de Fourier puede ser descrita como un fenómeno físico más que como una herramienta matemática. representación individual de una frecuencia. análisis espectral de una señal en el tiempo. las cuales son seno y coseno. Un matemático francés llamado Joseph Fourier establecía que una señal o función podía ser representada como la suma.
corresponde a funciones o señales cuyo contenido energético es ﬁnito. La simplicidad y elegancia de esta nueva herramienta matemática fue reconocida por un matemático francés llamado Yves Meyer [HEI99] [STR89] [DEV91] quien descubrió que las wavelets formaban bases ortonormales de espacios ocupados por funciones cuyo cuadrado es integrable. SIAM Journal Math. En este momento ocurrió una pequeña explosión de actividad en este área. Grossmann. representar en forma eﬁciente señales con variaciones de peak abruptos. detección de terremotos. Descompostion of Hardy functions into square Integrable wavelets of constant shape. Como alternativa a la transformada de Fourier.
. acústica. Annual. análisis tiempo . 1986.11 técnica de análisis reciente. El término Û Ú Ð Ø se deﬁne como una “pequeña onda” o función localizable en el tiempo. J. ingenieros e investigadores comenzaron a utilizar la transformada de wavelet para aplicaciones en diferentes campos tales como astronomía. neuroﬁsiología. 723-736. y fácil implementación de rápidos algoritmos computacionales.. pp. que cumpliendo ciertos requerimientos matemáticos y mediante dos procesos denominados dilatación o escalamiento y translación. la cual pretende entregar una visión teórica y práctica del uso de esta herramienta en el plano general del procesamiento digital de señales y de como puede resultar de utilidad en la resolución de problemas relacionados con el campo de la Acústica. óptica. A. que visto desde una perspectiva del análisis o procesamiento de señal puede ser considerada como una herramienta matemática para la representación y segmentación de señales. etc. radar. compresión de imágenes. Estos tópicos constituyen el foco principal del desarrollo de esta tesis. pero sin sus limitaciones.. formaba un set de bases que permitían representar las señales de propagación con la misma robustez y versatilidad que la transformada de Fourier. reconocimiento de voz. 15.frecuencia. visión humana. resonancia magnética. ingeniería nuclear. Morlet utilizó un sistema basado en una función prototipo. Inicialmente un geofísico francés llamado Jean Morlet1 [STR89] [TOR98] investigaba un método para modelar la propagación del sonido a través de la corteza terrestre.
Morlet. Las características propias de la transformada wavelet nos otorgan la posibilidad de representar señales en diferentes niveles de resolución. lo que traducido al lenguaje del procesamiento de señales. analizar señales no estacionarias permitiéndonos saber el contenido en frecuencia de una señal y cuando estas componentes de frecuencia se encuentran presentes en la señal.
Î tal que ´Ü Ý µ Ü · Ý . tal que Ü · ´ Üµ ¼. satisface: (a) Ü · Ý Ý · Ü 3.
En este capítulo se deﬁnirán algunos objetos matematicos necesarios para la sustentación de la deﬁnición de las funciones wavelet como base de los espacios de funciones lineales de cuadrado integrable
Ä¾ ´
Deﬁnición 1. Un espacio vectorial consta de lo siguiente: 1.1 Espacios vectoriales de dimensión ﬁnita
Un espacio vectorial es un objeto compuesto que consta un cuerpo Ã y de un conjunto de “vectores” Î . Ü ¾ Î (d) para cada vector Ü ¾ Î . un cuerpo Ã de escalares. tal que
Ü · ¼ ¼ · Ü Ü. El mismo conjunto de vectores puede ser parte de distintos espacios vectoriales. 2. Espacio vectorial. un conjunto Î de objetos llamados vectores. por conveniencia. con dos operaciones binarias ´·µ y ´¯µ. pues existe una gran variedad de objetos que pueden ser vectores y que no se asemejan mucho al concepto que se tiene de Ú ØÓÖ . llamado vector nulo. que satisfacen ciertas propiedades especiales. El origen de este nombre proviene del ejemplo 1. En esta sección se deﬁnirán algunos objetos concernientes a espacios vectoriales. El nombre ”vector” se da a los elementos del conjunto Î .Capítulo 2 Base Matemática.
. una operación binaria · Î ¢ Î (b) Ü · ´Ý · Þ µ ´Ü · Ýµ · Þ (c) existe un único vector ¼ ¾ Î . existe un único vector Ü ¾ Î .
Sea Î el conjunto de todas las funciones Ë Ã . y sea Î el conjunto de todos los ÝÒ µ con Ý ¾ Ã . La suma de dos vectores y de Î es el vector
Ã deﬁnida por
´ · µ´×µ
El producto del escalar y el vector
´×µ · ´×µ
deﬁnida por
es la función
´ µ´×µ
´×µ
. El espacio de n-tuples. llamada multiplicación escalar. la suma de n-tuples Ü ´Ü½ Ü¾ Ü¿ ÜÒ µ de escalares Ü ¾ Ã . Sea Ã cualquier cuerpo. La suma de dos
Ejemplo 2. Ü ¾ Î (ii) ´«¬ µÜ «´¬Üµ (iii) «´Ü · Ý µ «Ü · «Ý (iv) ´« · ¬ µÜ
Ejemplo 1. Ã Ò Sea Ã cualquier cuerpo. y sea Ë cualquier conjunto no vacio. que Ü. Si Ý ´Ý½ Ý¾ Ý¿ Ü e Ý se deﬁne por
Ü·Ý
´Ü · Ý Ü · Ý
½ ½ ¾
ÜÒ · ÝÒ µ
El producto de un escalar y el vector Ü se deﬁne por
´Ü Ü
ÜÒ µ Ã se prueban
Uasndo las propiedades de la adición y multipicación escalar de los elementos de fácilmente las propiedades de espacio vectorial. El espacio de matrices y en
¢ se deﬁne por
´ · µ
El producto de un escalar y del vector
se deﬁne por
Ejemplo 3. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
Ã ¢ Î Î tal que ´« Üµ «Ü. El espacio de funciones de un conjunto en un cuerpo. y sean Ñ y Ò enteros positivos.2. Sea Ñ¢Ò el conjunto de todas las matrices Ñ ¢ Ò sobre el cuerpo Ã . una operación externa ¯ satisface: (i) ½Ü «Ü · ¬Ü. Sea Ã cualquier cuerpo.
Ñ ¢ Ò Ã Ñ¢Ò .
son números reales. El espacio de las funciones polinomios sobre el cuerpo Ã es un subespacio del espacio en . Combinación lineal. es él mismo un espacio vectorial sobre Ã .
Ü · Ý como deﬁnición de un subespacio. Una matriz . ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
Deﬁnición 2. si existen escalares
¾ Ã tales que
· · Ò ÚÒ
¾Î
se dice combinación lineal de los vectores
Deﬁnición 3.
que consta sólo del vector nulo es un subespacio de
Î . Lo importante es que si Ï contiene todos los Ü · Ý .
matriz ¾ ¢ ¾ es Hermítica si. La intersección de cualquier colección de subespacios de Î es un subespacio de Î . Î que con las operaciones de adición vectorial y multiUn subespacio de Î es un subconjunto Ï plicación escalar sobre Î . cuadrada Ò ¢ Ò.y. Un vector
Ú½
ÚÒ ¾ Î . donde el super-rayado indica conjugación compleja. tiene la forma
Ejemplo 6. El conjunto de todas las matrices Hermíticas no es un subespacio
Ejemplo 7. El subconjunto subespacio nulo de Î . el vector Ü · Ý ¾ Ï .
de todas las funciones de
Ejemplo 5.1. Sea Î un espacio vectorial sobre el cuerpo Ã . lo que es sólo diferente.z.Ï
es un subespacio de Î
¸ Ü Ý ¾ Ï y ¾ Ã .w.
donde x.
. sobre el cuerpo Ã es simétrica si
Las matrices simétricas forman un subespacio del espacio de las matrices Ò ¢ Ò sobre Ã .
Una matriz cuadrada Ò ¢ Ò. llamado
Teorema 2.2. Sea Î un espacio vectorial sobre el cuerpo Ã . y sólo si. Subespacio de un espacio vectorial. Teorema 1. Una (o autoadjunta) si
Ü del espacio de todas las matrices Ò ¢ Ò sobre
Ü· Ý Ý Û
A veces se preﬁere usar la propiedad Ejemplo 4. sobre el cuerpo de los números complejos es Hermítica para todo .
Î . entonces será un espacio vectorial (con las propiedades heredadas de Î ).
Un conjunto que no es linealmente dependiente se dice linealmente independiente.i ¸ ØÓ
Ó subconjunto ﬁnito de Ë es l. Sea Î un espacio vectorial sobre Ã . tales que ½ Ü½ · ¾ Ü¾ · · Ò ÜÒ
Ü½ Ü¾
¼. El subespacio generado por Ë se deﬁne como la intersección Ï de todos los subespacios de Î que contienen a Ë . Como cada Ï es un subespacio. que genera el espacio Î . cada uno contiene el vector nulo. Sea ´Ï
Ï . Una base de Î es
ÑÏ½ · ÑÏ¾
Ñ´Ï½ Ï¾ µ · Ñ´Ï½ · Ï¾ µ
. Sea Ë un conjunto de vectores de un espacio vectorial Î . También cada Ï contiene ´ Ü · Ý µ lo que implica que ´ Ü · Ý µ ¾ Ï . Base de un espacio vectorial. dependiente si existen vectores distintos nulos.1. Subespacio generado. Demostración. Por el Teorema 1 Ï es un subespacio de Î .
conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de Ë . luego Ï . Si Ü e Ý ¾ Ä entonces Ý ½ Ý½ · · ÒÝÒ.
µ una colección de subespacios de Î . entonces Ï contiene toda la combi· Ñ ÜÑ . Sea Î un espacio vectorial sobre Ã . ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
Demostración.i. Por lo tanto Ë Ä Ï µ Ä
Deﬁnición 5.2. de la forma Ü ½ Ü½ · ¾ Ü¾ · Ä de todas las combinaciones lineales de vectores de Ë .
un conjunto de vectores linealmente independientes de Î . Así Ï contiene el conjunto nación lineal de vectores de Ë . entonces
Deﬁnición 6. Sea Ï
El subespacio generado por un subconjunto Ë no vacio de un espacio vectorial Î es el
Ë el subespacio generado por Ë . Dependencia lineal. Un conjunto Ë es l.
ÜÒ de Ë y escalares
Î se dice linealmente Ò de Ã . Teorema 4. Por otra parte Ë Ä y Ä es no vacio. y ´«Ü · Ýµ ÈÑ ½ ´« µÜ · ÈÒ ½ Ý ¾ Ä. El espacio Î es de dimensión ﬁnita si tiene una base ﬁnita. Ï tal que Ë Ï .
Deﬁnición 4. Si Ï½ y Ï¾ son subespacios de dimensión ﬁnita de un espacio vectorial. y sea Ï
Teorema 3. Como consecuencia de esta deﬁnición se tiene que:
Todo conjunto que contiene el vector no nulo es linealmente dependiente.
Espacio nulo y rango de una transformación lineal.
es el escalar
Ï una trans-
¾ Ã Ò¢Ò la traza de
ØÖ
La función traza es un funcional en el espacio de las matrices Ã Ò¢Ò . de en . Entonces Ì es una transformación lineal.
Ã un cuerpo y sea Î el espacio vectorial de las funciones polinomios de grado . La linealidad de las integraciones es una de sus propiedades fundamentales. Se deﬁne Ì Î
conjunto de todos los vectores Ü de Î tal que Ì Ü ¼. Sea Ò ¾ y Ã un cuerpo.
Teorema 5. el rango de Ì es la dimensión de la imágen de Ì . Transformación lineal. Sea Sea lineal. y la nulidad de Ì es la dimensión del espacio nulo de Ì . Sea el cuerpo de los números reales y sea Î el espacio de todas las funciones continuas Ê Î por ´Ì µ´Üµ ¼Ü ´Øµ Ø . Deﬁnición 8. Si Î es de dimensión ﬁnita.
´Øµ Ø
deﬁne un funcional lineal Ä en
µ. Una función Ì
Ï es una transformación lineal si Ì ´ Ü · Ýµ
´Ì Üµ · Ì Ý Ý ¾ Î Ý ¾ Ã
Ejemplo 8. Si ÑÎ vectorial sobre el cuerpo Ã . El espacio nulo de Ì es el vectoriales sobre el cuerpo Ã y sea Ì Î
Ejemplo 9. Si formación lineal. Sea Entonces y sea
µ el espacio de las funciones reales continuas sobre
Ä´
. entonces Ö Ò Ó´Ì µ · ÒÙÐ ´Ì µ ÑÎ . ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
Deﬁnición 7.
. Sean Î y Ï dos espacios Ï una transformación lineal.1. una transformación lineal Ejemplo 10. Si
Î es un espacio Ã se llama función lineal sobre Î . Entonces es una transformación
La función Ì es continua y tiene primera derivada continua. Î deﬁnida por ´ µ´Üµ ½ · ¾ ¾ Ü · · Ü ½ . Sean Î y Ï dos espacios vectoriales sobre el cuerpo Ã y sea Ì Î ½.2. Ejemplo 11. Sean Î y Ï dos espacios vectoriales sobre el cuerpo Ã .
Sea Î el espacio vectorial de todas las funciones polinomios de
la i-ésima
¾. Para cada Ò de Î
´Ú µ
y para cada vector Ú
¾ Î se tiene
´ÚµÚ
Esta ecuación dice que si
Ú½ Ú¾
ÚÒ es una base ordenada de Î y ¬ £
es la base dual. un espacio vectorial.i. De esta forma se obtiene de ¬ un conjunto de Ò funcionales lineales distintos ½ ¾ Ò sobre Î . tal que ´Ú µ Æ . Estos funcionales son l. naturalmente. Esta base se llama base dual de ¬ . y sea
Ä ´Ôµ
Ô´Ø µ
Entonces Ä½ Ä¾ Ä¿ son funcionales lineales sobre Î . Ejemplo 12. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
Si Î es un espacio vectorial. Sean Ø Ø Ø
en que tienen grado
tres números reales distintos arbitrarios. La base Ô½ Ô¾ Ô¿ de Î tal que Ä½ Ä¾ Ä¿ es su dual debe satisfacer
Ä ´Ô µ
Estas funciones polinomios son
Ô ´Ø µ
. el conjunto de los funcionales lineales sobre Î forman. Para cada existe un funcional lineal único en Î . Este es el espacio dual del espacio Î :
Ä´Î Ã µ. Estos funcionales son l. Entonces existe una única base dual ¬ £ ½ funcional lineal sobre Î se tiene
Sea ¬
Si Î es de dimensión ﬁnita
ÑÎ £
ÑÎ . Sea Î ´Ã µ un espacio vectorial con Î . deben ser tales que ¬ £ ½ ¾ Ò es £ . .1.2. estos forman una base de Î £ . y como ÑÎ £ Ò. una base de Î
Teorema 6.
Ò y sea ¬ Ú½ Ú¾ ÚÒ una base de £ tal que ´Ú µ Æ . entonces es precisamente la función que asigna a cada vector coordenada de Ú respecto a la base ordenada ¬ . y como ÑÎ ¿.i. Se designa este espacio por Î £ y se llama espacio Î£ Ä´Î Ã µ
ÚÒ una base de Î .
ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Ô½ ´Üµ
´Ü Ø µ´Ü Ø µ ´Ø Ø µ´Ø Ø µ
¾ ¾ ¿ ½ ½ ¿
Ô¾ ´Üµ
½ ½ ¿ ¾ ¾ ¿
Ô¿ ´Üµ
½ ½ ¾ ¿ ¿ ¾
Si Ì es un operador lineal en Î tal que: (i) es uno a uno y (ii) aplica Î sobre Î . La noción general de ángulo se restringirá al concepto de ortogonalidad de vectores.
Ó y Î ´Ã µ.
´Ì Üµ Ü ¾
Ì no es necesariamente igual. Deﬁniciones: 1. Sea Ã ¾Ã par ordenado de vectores Ü Ý de Î un escalar Ü Ý de Ã .
. Si por
son espacios vectoriales. Un producto interno sobre Î es una función que asigna a cada Deﬁnición 9. Obsérvese que la desigualdad
Ì de Ì como el extremo superior de todos los números
ÌÜ
Ü¾
Ì Ü se cumple para todo Ü
. se deﬁne el producto Ì
2. incluso cuando
¾ Ä´
µ. Para Ì ¾ Ä´ Ò Ñ µ se deﬁne la norma Ì Ü . Además. En este caso Ì ½ es lineal y Ì ´Ì ½ µ´Üµ Ì ½ ´Ì ´Üµµ Ü. si
es tal que
2. Si Ì ´Ì· µ´Üµ
Ì ´Üµ ·
´Üµ Ü ¾ µ.2.
A las transformaciones lineales de Î en Î se les llama frecuentemente operadores lineales en Î . de tal modo que Ü Ý ¾ Î y
tenemos: (a) Ü · Ý
ÜÞ
· ÝÞ. se dice que Ì es regular o invertible.
. y en términos de tal producto se puede también deﬁnir longitud y ángulo.2 Espacios con producto interno
Un producto interno sobre un espacio vectorial es una función con propiedades similares a las del producto escalar en ¿ . se deﬁne Ì · por espacio vectorial . si Ì
µ y ¾ Ä´
´ Ì µÜ
µ el conjunto de todas las transformaciones lineales del espacio vectorial ¾ Ä´ µ y son escalares.2. donde Ü varía en Ò con Ü ½.
si se introduce la matriz
£ . luego È deﬁne un producto interno sobre Î . Ü Ý .
Ã Ò¢Ò . real o complejo. MV es isomorfo a Ã Ò . Además.
la conjugación compleja no se acciona.
ÜÒ µ e Ý
´Ý Ý
ÝÒ µ por
Cuando Ã 2. Sea Î el espacio vectorial de las funciones continuas de valor complejo en el intervalo unitario. Para deﬁnirla Õ Ü Ü . ¼ Ø ½.2. ÜÝ
Obsérvese que (a). este producto interno se puede expresar mediante
transpuesta conjugada la función traza
ØÖ´
£µ
ØÖ´ £
3. (b) y (c) implican: (e) Ü Ý · Þ Es claro que si Ã Ejemplo 13. donde el super-rayado denota conjugación compleja. En Î se deﬁne el producto interno
´Øµ ´Øµ Ø
En el espacio de funciones reales se omite la conjugación. Es útil saber que un producto interno sobre un espacio vectorial. está determinado por otra función.2.
ÜÝ £
ÜÝ. 1. donde £
. En Ã Ò se deﬁne el producto interno canónico sobre Ü
· ÜÞ. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
ÜÝ (c) Ý Ü (d) Ü Ü
ÜÝ. la llamada forma cuadrada determinada por el producto interno. Sea . el espacio de las matrices Ò ¢ Ò sobre Ã . La se representa primero la norma o longitud de Ü respecto al producto interno por Ü forma cuadrática determinada por el producto es la función que asigna a cada vector Ü el escalar Por las propiedades del producto interno se sigue:
Ü ¾.
Ü¦Ý
En el caso real
¦ ¾Ê Ü Ý · Ý
½ Ü·Ý ½ Ü Ý
. ¼ si Ü ¼ .
y se dirá que Ü e Ý son ortogonales. El vector ´Ü 4. Si Î es un espacio producto interno. 2. Sea Î un espacio producto interno y sean Ü Ý ¾ Î .2.
Î Ü
½ con el producto interno
´ ¼ ½ µ. Entonces Ü es ortogonal a Ý si ÜÝ ¼. Espacio producto interno.
Ü Ý¾Î y
¾ Ã tenemos:
Ü Ü ÜÝ Ü·Ý
Ü . 4. Un espacio con producto interno complejo se llama espacio unitario. El vector cero es ortogonal a todo vector de Î y es el único vector con esa propiedad. Deﬁnición 10. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Ü
· Ý
Ë es un conjunto ortogonal siempre que todos los pares distintos de Ë sean ortogonales. Un espacio producto interno real de dimensión ﬁnita se llama espacio euclideano. para Ü ¼. Un conjunto ortonormal es un conjunto ortogonal Ë tal que Ü
Ejemplo 14. se dice que
Ü¾Ë
es un conjunto ortonormal con respecto al producto interno canóni-
Ý µ es ortogonal a ´ Ý Üµ con respecto al pic en
Ü Ý . espacio de funciones continuas de valor complejo o real en el intervalo
´Üµ ´Üµ Ü
. 1. entonces 1. Teorema 7. La base canónica en co (pic). 3. Sea
Deﬁnición 11. Es un espacio real o complejo junto con un producto
interno deﬁnido en ese espacio.2.
¼ . Si Ë Î es un conjunto de vectores. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
En el caso complejo
½ Ü·Ý ½ Ü Ý ·
Ü· Ý
Estas igualdades se llaman identidades de polarización.
la proyección ortogonal de Ü sobre el plano. entonces el conjunto de funciones ½
½ Ô ´ Ò · Òµ Ò ½ ¾ ¿ ¾
es un conjunto inﬁnito ortonormal. Por tanto la mejor aproximación Ý . La extensión de este resultado a cualquier espacio vectorial Î
Teorema 8.
se obtiene tomando es directa. En el caso complejo se pueden formar combinaciones de la forma
obteniéndose un nuevo conjunto ortonormal Ë que consta de todas las funciones
¾ ÒÜ
¦½ ¦¾
son ortogonales. [DET75]
son vectores cualesquiera con
¼. El problema de aproximación tiene una importante signiﬁcación en espacios de dimensión inﬁnita. entonces
5. y la mejor la aproximación aproximación Ý es la que minimiza el error. Queremos aproxi-
marlos a Ü por una combinación lineal Ý ½ Ù½ · ¾ Ù¾ . Sean Ù½ Ù¾ . Si
6. Un conjunto ortogonal de vectores no nulos es l. un par de vectores ortogonales unitarios en ¿ . Esta distancia Ü Ý se minimiza tomando como aproximación Ý .
Ü Ù . entonces
es ortogonal a
.2.i. y sea Ü ¾ ¿ otro vector cualquiera. sin embargo tiene un sencillo signiﬁcado en espacios ﬁnito dimensionales.2. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
½ ½ ¾ ¾
Ô Ô ¾ Ó×´¾ ÒÜµ y Ò´Üµ ¾× Ò´¾ ÒÜµ. La aproximación ha de encontrarse en el plano que pasa por el origen y está determinado por los vectores Ù½ y Ù¾ . El número real
es la norma de . Tomamos como error de ½ Ü Ý Ü Ý Ü Ý ¾ . y con
estos se prueba la desigualdad de Schwarz
7. Esta es la raíz del error cuadrático.
3. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
2. Pretendemos tener un producto interno en espacio. al espacio de sucesiones inﬁnitas de números reales. consideremos
¼ ´Ü Ý µ ¾ ÜÝ
Ü¾ · Ý ¾ ¾ Ü Ý
. luego tenemos que restringir las sucesiones en alguna forma. es necesario las sucesiones a aquellas tales que ½ ½ Ü¾ veriﬁcar los axiomas de espacio vectorial. y entonces
´Ü · Ý µ
Ü¾ · Ý ¾ · ¾Ü Ý
Ü¾ · ¾
Ý¾
La veriﬁcación de los otros axiomas se hace por cálculo directo. Si Ü ´Ü½ Ü¾ µ e Ý ´Ý½ Ý¾ µ son sucesiones inﬁnitas de números reales . El conjunto de estas sucesiones forma un espacio vectorial con la adición y multiplicación por un escalar conocidas. Si
. tenemos que
Ü¾ · Ý ¾
. para asegurar la convergencia restringiremos È ½.2. Para el producto interno tenemos
. el espacio de n-tuples de números reales.3 Espacios Vectoriales de Dimensión Inﬁnita
Una de las formas más fáciles de obtener un espacio vectorial de dimensión inﬁnita es prolongando . Deseamos deﬁnir el producto interno
Ü½ Ý½ · Ü¾ Ý¾ ·
y por tanto la norma es de la siguiente forma
Como ahora estamos tratando con sucesiones inﬁnitas. Sólo veriﬁcaremos cerradura de la suma. Como se ha impuesto una restricción. diremos que Ü Ý si Ü Ý ¾ .
tenemos que Ü
½ Ü ½
. Deﬁnición 11. una sucesión de vectores
Ð Ñ ÜÒ ÜÑ
¼ ÒÑ
. Si Î es un espacio de dimensión inﬁnita con un producto interno. así que debemos deﬁnir lo que entendemos por convergencia de una de tales series. Sea ÜÒ el vector de la suma parcial ÜÒ
½ Ü . Esta es una serie
inﬁnita de vectores. la serie
½ Ü Ú converge a Ü ½
Deﬁnición 12. Si
ÜÒ ½ ½ es una sucesión de Cauchy si Ò
Î es un espacio de dimensión inﬁnita con su norma.3. con
½¾
Ü ¾ Î .2. Las cinco propiedades del producto interno son fáciles de veriﬁcar. Así mostramos que el conjunto de sucesiones es un espacio vectorial real con producto interno. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
½ Ü ·Ý ¾
Ü¾ ·
lo que muestra que
converge absolutamente. Entonces ½
ÜÒ Ü
puesto que la serie
Ò·½
¼ Ù Ò ÓÒ
2. donde Ü Ü Ú es la coordenada de Ü respecto a Ú . Consideremos el conjunto inﬁnito de vectores ´
µ. entonces es una base ortonormal si: 1.
el espacio se llama espacio de Hilbert. verdadero. Deﬁnición 13. Los espacios en que toda sucesión de Cauchy converge a un vector en el espacio se llaman espacios completos.
ÜÒ ½ ½ Ò
½ Ü¾ ½
. Sea Î un espacio vectorial con una norma. Sea Î ´Ã µ con ÑÎ ½ con una norma. ½
[DET74]
En espacios de dimensión inﬁnita. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
. Î es un espacio completo si toda sucesión de Cauchy en Î converge a un vector en Î . o en otra forma. se pueden encontrar inﬁnitos conjuntos de funciones ortonormales. entonces la sucesión es una sucesión de Cauchy. Ejemplo 15. Si una sucesión de vectores ÜÒ ½ ½ Ò converge a Ü en Î . Teorema 11.3. El espacio Ð¾ ´ es completo.2. Encontrar un conjunto de polinomios ortonormales en
½ ½ .
y considerando que
´Üµ ´Üµ Ü ¼ µ
Ü· Ô
¼ en
´Üµ ´Üµ Ü ½ µ
Ü¾ Ü
½ µ ¾¿
Seguimos con una función lineal
½ Ô ¾
Ü· . Un espacio vectorial normado y completo se llama espacio de Banach. Si la norma es derivada de un producto interno. con un producto interno
½ ÜÝ. El inverso de este teorema no es. en general.
Comenzamos con una función constante
. Demostración. El producto escalar es
Solución. si
¼ Æ Ø Ð ÕÙ ÜÒ ÜÑ
¯ Ù Ò ÓÒ Ñ
Teorema 10.
Ô Ô ¿ Ü´ÖÜ · Ü · Ðµ Ü Ô¿ Ô ¾ ¾
.3.2.
´¿Ü ½µ Ü
Ô Ô Ð ¾ ¾
. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
Ô Ô¿ ¾
Ahora consideremos una función cuadratica
´Üµ ÖÜ · Ü · Ð
Las constantes Ö
Ð se determinan desde las tres condiciones
´Üµ ´Üµ Ü ½
´Üµ ´Üµ Ü ¼
¿ ½
¿ ½ ¾
ÖÜ¾ · Ü · Ð Ô
Ô Ô ¾Ö · ¾Ð ¼ Ü ¿
2. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
Los tres primeros polinomios son
½ ´Üµ Ô¾
Ô ´Üµ Ô¿ Ü ¾
´¿Ü ½µ Ô ¾ ¾
Este proceso se puede continuar indeﬁnidamente. luego
Ò´ µ
Esta última ecuación se conoce como Desigualdad deBessel. Si
es una base ortonormal. La aproximación Ò ½ se llama n-ésima aproximación de Fourier. Como ortonormal ½ ¾
´ µ ¼ es no creciente. Ð Ñ
´ µ existe y también
¾ ½
. De donde
¼ ÐÑ
.3. En el n-ésimo paso hay Ò constantes por determinar de Ò ½ condiciones de ortogonalidad más una condición de normalización. entonces la mejor aproximación
está dada tomando
El error cuadrático mínimo es
Los coeﬁcientes se llaman coeﬁcientes de Fourier de con respecto a la sucesión È . donde ÈÒ ´Üµ es el polinomio de Legendre dado por
¾Ò ½ È ´Üµ ¾ Ò ½
ÈÒ ´Üµ
Ò ¾ÒÒ ÜÒ ´Ü ½µ
Teorema 9. El polinomio general es
Determine la mejor aproximación cuadrática media de sobre el intervalo
½ ½ .2.
Ü por un polinomio de grado 4
Solución. y la mejor aproximación cuadrática media de grado 4 es
× ´Üµ
½ · ´¿Ü ½µ ¿ ´¿ Ü ¿¼Ü · ¿µ ¾ ½ ½¾
½ ´ ½¼ Ü · ¾½¼Ü · ½ µ ½¾
¾ ¾ ½
Ü¾ Ü ½· · ½ ¾ ¿¾ ½¾
¾ ¿ ½¾
. Calculese la raíz del error cuadrático medio. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
Ejemplo 15.
¾ ·½
´Üµ Ü ¿ Ô ´¿ Ü ¿¼Ü · ¿µ ¾
½ ´Üµ Ô ¾
´Üµ ½ ¾ ´¿Ü ½µ ¾
¾ ¼
´Üµ ¾
½ Ô¾
.3. sigue que la mejor aproximación cuadrática media de Ü de grado Ò sobre
Como todo polinomio de grado Ò puede expresarse como una combinación lineal de los primeros es
×Ò ´Üµ
´Üµes impar si
es impar y par si
Los polinomios de Legendre normalizados son
¾Ò · ½ È ´Üµ ¾ Ò
Ò polinomios de Legendre.
3.2. Obtenga una base ortonormal a
´¿ µ ´ ¿µ
¿£ · £¿ ¼
. un conjunto de funciones ortonormal si:
ÆÑÒ
Ø¾ Ø½
½¾¿
deﬁnidas en
Ø½ Ø¾ se dice que es
´Øµ Ð ´Øµ
´Øµ Ð ´Øµ Ø ¼
Ð (condición de ortogonalidad). y la norma de cada uno de ellos es igual a uno. y además
´ ´Øµµ Ø ½
Las dos ecuaciones anteriores se pueden resumir en
Ejemplo 16. Esto puede ser expresado como:
ÚÑ ÚÒ
Similarmente. Probar que el conjunto
´Øµ Ð ´Øµ Ø Æ Ð
es ortogonal. Solución. si todos los vectores de este
conjunto son ortogonales entre sí. partir de esta. si su producto interno es: ´Øµ ´Øµ
´Øµ ´Øµ Ø ¼
Un conjunto de vectores
ÚÒ se dice que es ortonormal. El producto interno de dos funciones se deﬁne como: en el intervalo
´Øµ ´Øµ
Dos funciones reales
´Øµ y ´Øµ se dicen ortogonales entre sí. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
½ Ô ½ ¿
Sean dos funciones ´Øµ ´Øµ ¾ Ä¾ (conjunto de funciones reales cuyo cuadrado es integrable ).
La característica de ortonormalidad de las funciones ayuda en esta tarea.4 Cálculo de los coeﬁcientes
El cálculo de los coeﬁcientes debe ser rápido y eﬁciente. entonces
½ ½ ´Øµ ·
´Øµ · ·
½ ½´Øµ
. por lo que un método con estas caracterísnos será de gran ticas debe implementarse.
¿£¿· £
£ ·¿£¿
ninguna de estas bases cumple con tener norma igual a uno.4. pero si expresamos ambos vectores como una combinación lineal de otros vectores. Sea
´Øµ una función en Î ´Øµ
Ä¾ ´ µ. pues remitirá el cálculo a una integral.2.
½¼ ¼½ ½¼ ½¼ ¼½ ¼½
obtenemos una base ortonormal
½¼ ¼½
2. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES
lo que prueba la ortogonalidad entre estos dos vectores. Ahora debemos obtener una base ortonormal a partir del conjunto anterior. de la forma
¿£ ½ ¼ · £ ¼ ½
y calculamos el producto interno
£ ½ ¼ ·¿£ ¼ ½
½£¼·¼£½ ¼ ½£½·¼£¼ ½ ¼£¼·½£½ ½
´Øµ ´Øµ. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES
si hacemos el producto vectorial de esta ecuación con tenemos
½´Øµ
´Øµ ´Øµ · ·
½ ´Øµ
pero como sabemos que el conjunto de funciones
es ortogonal.1)
´Øµ ´Øµ Ø ´Øµ con la función base ´Øµ nos entrega el correspondiente
así el producto interno entre la función coeﬁciente . Si reemplazamos (2. Esto es el fundamento del teorema de
ecuación que nos entregara de vuelta la señal original
Parseval.4.2. lo que se expresa matemáticamente como sigue
Entonces se deduce que cualquier señal de energía ﬁnita puede ser descompuesta en un conjunto de coeﬁcientes asociados a una función base. sólo uno de los inﬁnitos productos
internos de la parte derecha de la ecuación sera no nulo
´Øµ ´Øµ ´Øµ ´Øµ
además este conjunto de funciones es ortonormal por lo que (2.
. que dice que la norma de la energía puede ser particionada en términos de la expansión de coeﬁcientes [BUR98].1) en
Ø¾Ê
Capítulo 3 Teoría de Fourier
3. La transformada de Fourier es una herramienta con la capacidad de representar este proceso.2)
´Øµ Ó×´ÒØµ Ø ´Ò ¼ ½ ¾ µ
. Una serie de la forma
obtener todos los coeﬁcientes
¾·
Ó×´ÒØµ · Ò × Ò´ÒØµ
(3.1 Introducción
Un proceso físico puede ser descrito en el dominio del tiempo mediante valores representados por una cantidad como función del tiempo. o cualquier otro.1)
es denominada serie trigonométrica. La idea básica de las series de Fourier es que una función periódica (Esta condición es primordial) puede ser representada como una suma ponderada de senos y cosenos.2 Series de Fourier
Estas series tienen su origen en el siglo IXI y deben el nombre a su creador Joseph Baptiste Fourier. Esto hace que la Transformada de Fourier sea ampliamente utilizada en aplicaciones en el campo de la ciencia e ingeniería. Esta serie toma el nombre de serie de Fourier cuando es posible y
mediante una integración de la función
´Øµ de la siguiente manera
´Øµ Ø ´Ò ¼ ½ ¾ µ
(3. tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. También es posible describir el mismo proceso en el dominio de la frecuencia mediante una serie de amplitudes representadas por como función de la frecuencia.
(3. Lo anterior se puede resumir de la siguiente manera
¼ Ê¾
¼ Ê¾ ¼ Ê¾ ¼
× Ò´ÒØµ Ó×´ÑØµ Ø × Ò´ÒØµ Ó×´ÑØµ Ø × Ò´ÒØµ× Ò´ÑØµ Ø Ó×´ÒØµ Ó×´ÑØµ Ø
Ò Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ò Ñ
y que sea de la forma
´Ø · Ì µ
´Øµ.1: (a) Función seno de período T=¾ . es decir. (b) Función coseno de período T=¾
´Øµ× Ò´ÒØµ Ø ´Ò ¼ ½ ¾ µ
La obtención de los coeﬁcientes de la forma en que se expresa la ecuación (3. SERIES DE FOURIER
Figura 3. El intervalo ¼ ¾ fue seleccionado debido a que corresponde al período de las funciones seno y coseno.3. es decir. lo cual no necesariamente debe ser) ya que las funciones de expansión seno y coseno son periódicas. la función debe ser periódica (Para este caso
Aproximar la función
´Øµ Ø utilizando (3.2) es posible gracias a la ortogonalidad existente entre las funciones cosenos y seno y entre si mismas para valores de Ò diferentes.3)
Además es necesario cumplir con la condición de que la norma de la función analizada sea integrable y esa integral sea ﬁnita.2)
N=4.1) podemos distinguir dos series levemente diferentes.1 Series de Seno y Coseno
De la ecuación (3. su serie de Fourier contendrá sólo términos de cosenos. Más especiﬁcamente podemos dividir la serie de Fourier completa en una serie de senos y otra serie de cosenos.
´ Øµ.
¾ Ø Ó×´ÒØµ Ø ¼ ´Ò ½ ¾ ¿ µ Ø× Ò´ÒØµ Ø Ò ´Ò ½ ¾ ¿ µ
Ê¾ ¼
Por lo tanto la expansión en series de Fourier de
´Øµ Ø sobre el intervalo ¼ ¾
. SERIES DE FOURIER
5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0
2 N=2
2 N=4
2 N=8
2 N=16
Figura 3.2. 1. es
¾´× ÒØ · ½ × Ò¾Ø · ½ × Ò¿Ø · µ ¾ ¿
La aproximación de la serie de Fourier para distintos Ò se puede observar en la ﬁgura (3.3. lo que dependerá de la función con la que se trabaje. Si es par.2: Expansión de
Ø en series de Fourier para N=2.2)
3. N=8 y N=16.2.
Supongamos ahora que tenemos una función deﬁnida sobre como la que se ilustra en la ﬁgura (3.2.3: función entre 2.7)
Ó×´ÒØµ
Ó×´ ÒØµ. Se puede observar que la expansión
´Øµ ´ Øµ. como se ilustra en la ﬁgura (3. su serie de Fourier contendrá sólo términos de senos.8)
Con lo que obtenemos dos nuevas series las que conoceremos como serie cosenoidal de Fourier y serie senoidal de Fourier respectivamente.6)
´Øµ Ç´Øµ
½ ¾ ½ ¾
½ ½ È½
Ó×´ÒØµ · Ò × Ò´ÒØµ Ó×´ÒØµ · Ò × Ò´ÒØµ
· · ¾ ¾
Ó×´ ÒØµ · Ò × Ò´ ÒØµ Ó×´ ÒØµ · Ò × Ò´ ÒØµ
(3. Si es impar.
Esto nos permite dividir la función o señal en una parte par e impar como sigue
´Øµ · Ç´Øµ
(3. × Ò´ÒØµ
× Ò´ ÒØµ. SERIES DE FOURIER
Figura 3.4). entonces
¾ È
½ Ò × Ò´ÒØµ ½
´µ ´µ ¼
(3.3). Utilizaremos dos maneras útiles a través de las cuales obtendremos una extensión periódica de período ¾ de dicha función.3.5)
´Øµ · ´ Øµ ´Øµ ´ Øµ
3. en vez de integrar sobre el intervalo completo.9)
De manera análoga la función de la ﬁgura (3. donde
´Øµ× Ò´ÒØµ Ø
(3.4: (a) es par y de período ¾ . lo que en términos de cálculo puede ahorrar tiempo en forma considerable.3 La Transformada de Fourier
La transformada de Fourier.10)
Además.8a).4b). como consecuencia de que una función sea par o impar. en esencia. los coeﬁcientes se calculan integrando sobre la mitad del período de la función y multiplicando por 2.8b). es decir.
3. donde
´Øµ Ó×´ÒØµ Ø
(3. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Figura 3. contendrá sólo términos senoidales por lo que podemos aproximar esta función mediante (3. descompone o expande una señal o función en senos y cosenos de diferentes frecuencias cuya suma corresponde a la señal original. es capaz de distinguir las
.4a) contendrá sólo términos cosenoidales por lo que podemos aproximar esta función mediante (3. (b) es impar y de período ¾ en series de Fourier de la función de la ﬁgura (3.3.
La transformada de Fourier de una función del tiempo
´Øµ se deﬁne como ´ µ
´Øµ ´ µ Ø
diferentes componentes de frecuencia de la señal.3.13)
Mediante esta función exponencial es posible formar un set de funciones ortogonales
¼ ¦½ ¦¾ ¦¿
sobre un intervalo ´Ø¼
Ø¼ · Ì µ. como
y la transformada inversa de Fourier. y debido a su propiedad de ortogonalidad1. La relación existente entre la representación de la señal original a través de funciones senoidales y cosenoidales y la exponencial que se observa en (3.17)
La relación entre esta propiedad y la obtención de los coeﬁcientes será explicada de manera más detallada en los próximos capítulos
.16)
Ø¼ ·Ì Ø¼
´Øµ Ò Ø Ø
(3.11) y (3.15)
Estas funciones exponenciales pueden ser referidas como las funciones bases de la transformada de Fourier. es posible obtener los valores o coeﬁcientes Ò como términos de semejanza entre la señal original y la función exponencial
Ê Ø ·Ì ¼
Ø¼
(3.12) proviene de la deﬁnición de la identidad de Euler
Ó×´ Øµ · × Ò´ Øµ Ó×´ Øµ × Ò´ Øµ
(3.3. y sus respectivas amplitudes. y por lo tanto podemos descomponer o expandir la señal original (en
el dominio del tiempo) de la siguiente manera
¾ Ø
¿ Ø
De acuerdo con lo dicho anteriormente la transformada de Fourier puede obtener un representación en el dominio de la frecuencia de una señal que se encuentra originalmente en el dominio del tiempo.
De esta ecuación podemos decir que la función en el dominio del tiempo ha sido representada como
3. Aunque matemáticamente la función exponencial resulta más fácil de manipular. Por lo tanto. la amplitud de cada onda es lo que representa la transformada de Fourier.5: (a) Señal original.19)
Propiedad de escalamiento en frecuencia
.15) a la siguiente forma
Ó×´Ò Øµ · Ò × Ò´Ò Øµ Ê ÁÑ
(3. (b) Descomposición en series de Fourier.3.5). donde los coeﬁcientes Ò y Ò representan la cantidad de energía que aporta cada componente de frecuencia a la señal original como se puede observar en la ﬁgura (3. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Figura 3.1 Propiedades
Algunas propiedades fundamentales de la transformada de Fourier son:
Propiedad de escalamiento en el tiempo
´ Øµ ¸ ½ ´ µ
(3. de aquí en adelante trabajaremos con las funciones seno y coseno ya que desde un punto de vista físico.3. es posible realizar una transformación de (3.3.18)
una combinación linear de todas las componentes de frecuencia presentes en la señal ´Øµ. resulta más fácil comprender el paso de la señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y en forma inversa.
Teorema de la convolución
½ ´Øµ £ ´Øµ ½ ´Øµ ´Ø µ ´Øµ £ ´Øµ ¸ ´ µÀ ´ µ
(3.6))
Debemos reemplazar la función en (3.21)
Propiedad de traslación en frecuencia
´Øµ ¼Ø
¸ ´ µ
(3. que dice que la energía de la señal es siempre la misma sin depender de si se encuentra en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia
Ì ÓØ Ð
Propiedad de traslación en el tiempo
´Ø Ø µ ¸ ´ µ
Teorema de la correlación
ÓÖÖ´ µ ÓÖÖ´
´ · Øµ ´Øµ µ ¸ ´ µÀ £´ µ
Teorema de Parseval.11)
Ì Ø
×Ó ÓÒØÖ Ö Ó
.3. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
½ ´Øµ ¸ ´ µ
Obtener la Transformada de Fourier de la siguiente función (ver ﬁgura (3.3.
3.3. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Figura 3.6: Representación en el tiempo de la función a analizar en el ejemplo.
Ø¬¾
¬Ì
Ì ¾ ´ µ
Utilizando la identidad de Euler observamos que
¾ × Ò´ ½ Ì µ ¾
de tal manera que podemos reescribir nuestro resultado de la forma
La multiplicación de
× Ò´ ½ Ì µ ¾ Ì ½ Ì ¾
Ì× Ò
´ Ìµ
×Ò
´ Ì µ, que es muy utilizada en textos y tutoriales referidos al procesamiento digital de señales( ¼.
Esta energía disminuye a medida que nos
´ µ por
½ se realizó para obtener la forma de una nueva función
ﬁgura (3.7)). Como se ilustra en la ﬁgura (3.7) la transformada de Fourier de una onda cuadrada muestra que la energía de la señal se concentra en trasladamos a las frecuencias altas.
3.4. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)
Figura 3.7: Transformada de Fourier obtenida en el ejemplo.
3.4 Transformada Discreta de Fourier (DFT)
Cuando hablamos de procesamiento digital de señales en forma automática nos vemos enfrentados al uso de un computador. Debido a que los computadores trabajan sólo con datos discretos, el cálculo numérico de la transformada de Fourier de ´Øµ requiere valores discretos o sampleos de ´Øµ, es decir, con ¼ ½ ¾ . Esto signiﬁca que mediante el uso de un computador es valores de la formas posible calcular la transformada de la transformada de la forma
´Ûµ sólo para valores discretos de Û, es decir, obtendremos valores ¼ ½ ¾ . De ahora en adelante nos referiremos a como Ò con Ò
una señal en el tiempo (ya no como función). Por lo tanto, supongamos que ´Øµ es una señal periódica de período Ì y que sólo conocemos sus valores en Æ puntos igualmente espaciados en el tiempo. Entonces, si ´ Ì× µ corresponde al k - ésimo
sampleo de ´Øµ y ´ÒÛ× µ, donde Û× ¾ × ( × es la frecuencia con la que se realizan los sampleos) corresponde al n - ésimo sampleo de ´Û µ, y además deﬁnimos a Æ como el número de sampleos de la señal o longitud de la señal, podemos reescribir la Transformada de Fourier, de una señal de período
Ì , en su forma discreta como
Æ Ò
Ì Æ
Æ ½
Ì ´ Æµ
Ì×
´ÒÛ×µ
Ò·Æ
, que se puede comprobar de la forma
Ò·Æ Ò·Æ
½ ¼ ÈÆ ½
´Ò·Æ µ
. De esta manera podemos decir que el conjunto de
coeﬁcientes ´ sampleados ´
Ò Ò ¼½¾
tiene período Æ al igual que
es denominado la Transformada Discreta de Fourier (DFT) de los valores Æ ½ .
Ahora bien, si tenemos los coeﬁcientes similar a (3.26), de la siguiente manera
también podemos obtener los valores de
¾Æ Ò
Ò ¼
que se conoce como la Inversa de la Transformada Discreta de Fourier (IDFT). A manera de ejemplo vamos a suponer que tenemos una señal sampleada en cuatro puntos
¼ ½ ¾ ¿
donde obviamente Æ
. obtenemos 4 ecuaciones distintas
Entonces, si desarrollamos la DFT de
¾ ¼ ¼
¾ ¼ ½ ¾ ¼ ¾ ¾ ¼ ¿
¾ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¿
¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¿
¾ ¿ ½ ¾ ¿ ¾ ¾ ¿ ¿
y desarrollando esta ecuación de acuerdo con la identidad de Euler, obtenemos
si dejamos de la misma
forma la primera columna y la primera ﬁla y nos concentramos en el número complejo .34)
De esta nueva matriz se observa que sus columnas son ortogonales entre ellas (consecuencia de la
.4.33)
ÓÙÖ Ö.32)
Esto escrito en forma matricial lo podemos expresar como
½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
¿¾
(3. Sin embargo. ya que el tipo de valores que entrega para un intervalo de exponentes de 1 hasta 4 se repite en forma periódica
Ô ½
Por lo tanto podemos reescribir nuestra nueva matriz de Fourier [STR93] de la forma
¿ ¾
½ ½ ½ ´µ ´µ ´µ ´µ ´µ ´µ ´µ ´µ ´µ
¾ ¾ ¿
(3. A simple vista esta matriz no parece A esta nueva matriz la denominaremos Ñ ØÖ Þ de mucha utilidad ya que sus componentes no se comportan siguiendo algún patrón (lo que es indispensable en la elaboración de algún algoritmo computacional). podremos observar que el resto de los componentes de la matriz de Fourier es posible escribirlos como potencias de .31)
que mediante el cálculo de los senos y cosenos podemos resumir nuestro set de ecuaciones a
¼ ½ ¾ ¿ ¼ ¼
· · · · ´ µ · ´ ½µ · ´ µ · ´ ½µ · · ´ ½µ · ´ µ · ´ ½µ · ´ µ
¼ ½ ¾ ¿ ½ ¾ ¿ ½ ¾ ¿ ½ ¾ ¿
(3. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)
· · · · Ó×´ µ · × Ò´ µ · Ó×´ µ · × Ò´ µ · Ó×´ µ · × Ò´ µ · Ó×´ µ · × Ò´ µ · Ó×´¾ µ · × Ò´¾ µ · Ó×´¿ µ · × Ò´¿ µ · Ó×´ µ · × Ò´ µ · Ó×´¿ µ · × Ò´¿ µ · Ó×´ µ · × Ò´ µ
¼ ¼ ½ ¾ ¿ ¼ ½ ¾ ¾ ¾ ¿ ¿ ¾ ¿ ¾ ½ ¾ ¿ ½ ¿ ¾ ¿ ¾ ¾ ¿ ¾ ¾
(3.3.
Se deben evaluar Æ términos de series de Fourier sobre Æ puntos. por lo que su inversa es igual a su transpuesta conjugada2. es decir. cambiamos el ¾ Ò Ò Æ . de tal manera que (3.35)
El punto importante aquí es que ambas matrices tienen la misma forma con la única diferencia de un cambio de signo. Introduction to Linear Algebra.
Esto puede ser corroborado consultando cualquier texto o libro de Algebra Lineal. es de Æ ¾ multiplicaciones.9) se observa una representación sampleada de la función o señal deﬁnida en el ejemplo 1. y su respectiva DFT.36)
La matriz de Fourier es completa. aÏ comportamiento. por ej.26) y (3. y de una forma más generalizada a
½ ÈÆ
½ Ï Ò Æ ¼ ½ Ò Ï Æ
(3.8: Representación de una onda cuadrada con Æ
ortogonalidad entre el seno y el coseno). Wellesley . todos sus elementos son distintos cero.2.. STRANG. Por lo tanto. En las ﬁguras (3. es decir. 1998.28) quedan ÏÆ
Este resultado se puede expandir a una matriz de Æ por Æ ya que los
siguen el mismo tipo de
. Por lo tanto si nosostros podemos realizar la transformada rápidamente también podemos obtener la inversa en forma rápida entre los coeﬁcientes y los valores de la función. G.Cambridge Press. el número de multiplicaciones que se deben realizar para la obtención de la DFT de una señal de longitud Æ . TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)
Figura 3. de tal manera que teniendo los coeﬁcientes de Fourier podemos reconstruir la señal original de la siguiente forma
½ ½ ½ ½ ½ ½ ´ µ ´ µ ´ µ ½ ´ µ ´ µ ´ µ ½ ´ µ ´ µ ´ µ
¼ ¿ ½ ¾ ¿
.8 y 3.4.3.
Diezmado en el dominio del tiempo. Para la obtención de la DFT se realizaron ¼ operaciones de multiplicación. La demostración es de la siguiente manera:
Para mayor información sobre otros tipos de algoritmos FFT se recomienda consultar el libro “Tratamiento Digital de Señales” de John Proakis y Dimitris Manolakis [PRO98].5.W Cooley y J.W Tukey desarrollaron un algoritmo denominado la Transformada rápida de Fourier (FFT). a mediados de la década del sesenta J. 2.
. la señal de entrada o salida respectivamente.
3.3. ya que está explota las propiedades de periodicidad y simetría del factor de fase ÏÆ . Diezmado en el dominio de la frecuencia. El principio de la FFT se basa en el método denominado “divide y conquista” [PRO98].5. según el tipo de algoritmo. La FFT elimina información redundante que existe en la DFT. Otro punto importante es que el algoritmo FFT trabaja en forma más eﬁciente cuando lo hace sobre una señal donde el número de sampleos Æ es una potencia de ¾. Estas propiedades son:
ÏÆ· ÏÆ·Æ
Ë Ñ ØÖ È ÖÓ
(3. disponible en el Instituto de Acústica. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)
Figura 3.37)
Existen básicamente dos tipos de algoritmos FFT3 : 1.1 FFT de diezmado de tiempo
El algoritmo de diezmado en tiempo toma la totalidad de los datos de entrada y los separa en sus muestras pares y sus muestras impares.
3.8). cada una con una longitud igual a la mitad de la longitud de la señal original. ya que divide la señal de Æ puntos en dos secuencias de datos de
puntos.9: Transformada Discreta de Fourier de la onda cuadrada ilustrada en la ﬁgura (1.5 Transformada rápida de Fourier (FFT)
Con el ﬁn de implementar en forma práctica la Transformada Discreta de Fourier mediante el uso de computadores.
Otro punto importante reside en el orden de la secuencia de entrada después de que han sido diez-
¾Ö .39)
denota el Ò × ÑÓ componente de la transformada de longitud Æ proveniente de los com¾ Ó ponentes pares de la señal original . Inversión binaria de los datos de entrada. En resumen. entregando los datos de salida en orden natural. ¾ como se observa en la ﬁgura madas ´Ö ½µ veces.2 FFT de diezmado de frecuencia
El algoritmo de diezmado en frecuencia al igual que el diezmado en tiempo separa la señal original de longitud Æ en dos secuencias con una longitud igual a Æ . Si representamos estos datos en su forma binaria nos daremos cuenta que podemos obtener la secuencia de los datos de entrada diezmados leyendo la representación binaria de en forma inversa. para una señal donde
ÐÓ ¾ Æ veces. Supongamos una señal con una longitud Æ (3.10).3. el algoritmo de diezmado de tiempo se realiza en dos partes: 1.38)
Ï ÆÒ.
3. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)
¾ como ÏÆ
È Æ ½
¾ ÏÆ Ò ·
¼ ÈÆ
ÏÆÒ
¼ ¾ ·½ ´¾ ÏÆ ·½µÒ
(3. Además en cada etapa de diezmado se realizan Æ operaciones de ¾
multiplicación. De esta manera el algoritmo FFT de diezmado de tiempo logra reducir el número de multiplicaciones de Æ ¾ a Æ ÐÓ ¾ Æ .5. re-
duciéndose el número de operaciones de
. Por lo tanto se ha disminuido el número de
El punto interesante es que este proceso es recursivo ya que podemos volver a diezmar las señales y
de tal manera que las transformadas de Fourier que se obtengan sean de longitud
Æ¾
. 2. Por lo tanto. la diferencia con el diezmado en tiempo ¾ ¼ ½ Æ ½) y la otra reside en que una secuencia contiene la primera mitad de las muestras ( ¾
.5. ¾
. ya que en este punto la transformada de el proceso de diezmado se puede repetir Ö Fourier obtenida es de longitud ½. Operaciones de multiplicación y suma sobre los datos invertidos. mientras que Ò es la transformada de Fourier de longitud Æ ¾
correspondiente a los componentes impares de la señal ¾ operaciones de multiplicación de Æ ¾ a ¾ Æ . entonces
Ò Ï ÆÒ · ÏÆ Ò Ò Ò · ÏÆ
Ï ÆÒ
Ó Ò
. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)
Figura 3. entonces
· ´ ½µ
Si deﬁnimos las secuencias de
·¾ ·Æ ¾
Ò Æ
¾ donde se utilizó el hecho de que ÏÆ
ÏÆ .5.40)
como Ï
ÒÆ
´ ½µÒ . con
¼ Ò
·Æ ¾ ·Æ
Ï ÆÒ Ó Ò ÏÆ Ï ÆÒ
(3. La demostración es de la siguiente manera: ÏÆÒ ·
ÈÆ ÈÆ
´ ÏÆÒ · ½ · Æ ÏÆ · µÒ ¼ ÒÆ È Æ ½ Ò ÏÆÒ · ÏÆ ¼ · Æ ÏÆ
(3.10: Inversión binaria para una señal con Æ secuencia contiene la otra mitad (
Ò Ò Ò Æ
Æ ).3.41)
En este momento diezmamos la secuencia lo que obtenemos
¾Ò ¾Ò·½
en sus muetras pares e impares respectivamente.
Operación de multiplicación y suma sobre los datos de entrada en orden natural. al igual que el diezmado de tiempo.3. En resumen. 2. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)
(3. donde para cada diezmado implica Æ multiplicaciones.
. Por lo tanto. el algoritmo de diezmado de tiempo se realiza en dos partes: 1. requiere Æ ÐÓ ¾ Æ ¾
multiplicaciones [PRO98]. el cálculo ¾ de la DFT de Æ puntos por medio del algoritmo FFT de diezmado de frecuencia. Inversión binaria de los datos de salida (Transformada).44)
Este procedimiento también es recursivo de tal manera que pueden volver a diezmarse las DFTs de puntos a DFTs de Æ puntos.5. El proceso completo implica ÐÓ ¾ Æ etapas de diezmado.
la transformada de Fourier constituye una herramienta mediante la cual podemos obtener información sobre como está distribuida la energía de una señal a través de sus distintas componentes de frecuencia. es decir.
Short Time Fourier Transform Traducido directamente del inglés Û Ò ÓÛ Ò
. En otras palabras.1 La Transformada corta de Fourier (STFT) 1
Como ya es sabido. ella no puede ser aplicada con el objeto de obtener información precisa de cuando o donde las diferentes componentes de frecuencia se encuentran en la señal como es el caso de señales quasi . Con la función
ventana encuadramos la señal alrededor de un instante de tiempo y calculamos su transformada de Fourier. Este proceso es repetido hasta que se ha cubierto la totalidad de la señal. En un esfuerzo por resolver el problema de resolución en tiempo de la transformada de Fourier. Sin embargo. Todo lo anterior se puede resumir diciendo que la transformada de Fourier tiene una perfecta resolución en frecuencia lo que la hace una herramienta muy útil para el análisis de señales estacionarias . podemos conocer todas las componentes de frecuencia existentes en la señal y sus respectivos aportes energéticos.estacionarias o no estacionarias cuyo contenido espectral varía con el tiempo.Frecuencia
4. luego trasladamos la función ventana hasta que no se sobrepone con la anterior cubriendo una nueva porción de la señal a la que volvemos a calcular su transformada de Fourier. La forma de dividir la señal se realiza mediante lo que llamaremos una ÙÒ ÓÒ Ø ÑÔÓ Ú ÒØ Ò ´Øµ cuyo ancho o soporte corresponde a la longitud de cada segmentación de la señal.Capítulo 4 Analisis Tiempo . Este
procedimiento consiste en dividir una señal Ü´Øµ en pequeños segmentos a través del tiempo de tal manera que podamos asumir que para cada segmento la señal es estacionaria y así calcular la Transformada de Fourier clásica para cada porción de la señal. la transformada de Fourier posee una muy pobre resolución en tiempo. Denis Gabor (1946) adaptó la transformada utilizando un procedimiento llamado Ú ÒØ Ò Ñ ÒØÓ2 .
Si nuestra ventana es muy angosta analizaremos una porción muy pequeña de la señal lo que nos permite
. la correspondiente función frecuencia-ventana
función frecuencia-ventana À ´ en (4. lo que nos da
ËÌ Ì ´Ø
´ØµÀ ´ µ
(4.1.1) nos queda
½ Ü´Øµ £ ´ ½
Øµ Ø Ø
(4.3) localiza el espectro
À´
µ limitada por el soporte de la
´Øµ de la señal en la vecindad de
4.2) localiza la señal Ü´Øµ cerca de Ø
que calcula el producto interno entre la señal y la función tiempo-ventana trasladada y modulada.3)
de tal manera que mientras la función tiempo-ventana modulada
´Ø µ
en (4.1 Resolución Tiempo .Frecuencia
Ahora bien. De acuerdo con las propiedades de la transformada de Fourier de translación en tiempo y frecuencia
´Ø Ø µ ¸ À ´ µ
¸ À´ µ
y utilizando el teorema de Parseval [CHU97] podemos expresar también la STFT en términos de la transformada de Fourier de la señal y la transformada de Fourier de la función tiempo ventana.1)
½ Ü´Øµ ´Ø ½
µ ØØ
(4. LA TRANSFORMADA CORTA DE FOURIER (STFT)
El resultado de lo expresado anteriormente se deﬁne en forma matemática de la siguiente manera
y si consideramos a manera que
´ Øµ
´Øµ como una función ventana de valores sólo reales no complejos de tal £ ´Øµ entonces (4.4.1. el soporte de la ventana constituye un parámetro de gran importancia ya que a través de este podemos establecer el grado de resolución tanto de tiempo como de frecuencia que deseemos.
supongamos que tenemos otra
La aplicación original de este principio es sobre el momentum y ubicación de partículas en movimiento. una correspondiente a 250 Hz y la otra correspondiente a 500 Hz
Ü´Øµ
¼ £ × Ò´¾ ¾ ¼Øµ · × Ò´¾ ¼¼Øµ
(4. como era de esperarse. sólo podemos conocer que componentes de frecuencia existen dentro de un intervalo de tiempo determinado. Esta señal esta compuesta por sólo dos frecuencias. es decir. Ahora.frecuencia de una señal. pero con la diferencia que las primeras 5 centésimas de segundo contienen a la frecuencia de 250 Hz y las otras 5
Como podemos observar en la ﬁgura (4. Primero supongamos que tenemos una señal Ü´Øµ dentro de un intervalo de tiempo igual a una décima de segundo. i.
. Por otro lado.1: Señal Ü´Øµ y función tiempo-ventana centrada en tener una buena resolución en tiempo pero una mala resolución en frecuencia ya que conoceremos sólo una mínima fracción del espectro total existente en la señal. LA TRANSFORMADA CORTA DE FOURIER (STFT)
Figura 4. Con el ﬁn de dejar más claro el concepto de resolución tiempo frecuencia utilizaremos un ejemplo.2) la transformada de Fourier nos entrega una resolución perfecta en frecuencia de dicha señal. Por lo tanto un defecto de la STFT es que no puede entregar una buena resolución tanto en tiempo como en frecuencia de manera instantánea ya que el soporte de la ventana es ﬁjo. no podemos saber que valor de frecuencia existe en un instante de tiempo determinado.1.e una ventana de ancho inﬁnito es nada más y nada menos que la transformada de Fourier clásica. si nuestra ventana en muy ancha tendremos una buena resolución en frecuencia pero una mala resolución en tiempo. La raíz de este problema se basa en el principio de incertidumbre de Heisenberg3 [PED99] [POL96] el cual establece que es imposible conocer una representación exacta tiempo .4)
señal Ü½ ´Øµ con las mismas componentes de frecuencia sobre el mismo intervalo de tiempo.4.
ventana utilizada será una función gaussiana simple de la forma
¾ ´Ø
µ¾
(4.2: (a) Representación de la señal Ü´Øµ . LA TRANSFORMADA CORTA DE FOURIER (STFT)
Figura 4. Esta información errónea se debe a que la transformada de Fourier.4.1. El primer análisis para un valor de
¾¼
se ilustra en la ﬁgura (4. Debido a esto vamos a volver a analizar la señal de (4. Al ser angosta la ventana utilizada podemos observar que la resolución en el tiempo es buena ya que se diferencia claramente la posición en el tiempo de cada componente de
. (b) Contenido espectral de la señal obtenido mediante la transformada rápida de Fourier centésimas de segundo restante contienen a la frecuencia de 500 Hz. y la función tiempo .5)con la transformada corta de Fourier (STFT).3).6)
donde es el factor que controla el ancho o soporte de .5) × Ò´¾ ¼¼Øµ ¼ ¼ Ø ¼ ½ Si aplicamos la Transformada de Fourier sobre Ü ´Øµ observamos que también podemos obtener las
Ü½ ´Øµ
frecuencias existentes de la señal pero con una amplitud igual a la mitad de la amplitud real debido a que cada componente de frecuencia se encuentra sólo la mitad del tiempo de análisis de la señal como se ilustra en la ﬁgura (4. no puede determinar en que momento dentro de la señal se encuentra una respectiva componente de frecuencia. como se expresó en un principio.4). lo que se deﬁne como
¼ × Ò´¾ ¾ ¼Øµ ¼ Ø ¼ ¼ (4.
5).ventana es más ancha y por lo tanto hemos mejorado nuestra resolución en frecuencia ya que el ancho de banda de cada componente ha disminuido permitiéndonos identiﬁcar claramente cada frecuencia. Sin embargo. Para la resolución de este problema existe una herramienta matemática denominada la transformada continua wavelet que fue desarrollada como una alternativa de análisis frente a la STFT. Mediante este ejemplo se ha podido demostrar el problema implícito de resolución de la STFT lo que crea la interrogante ¿Es posible que la función ventana tenga un soporte dinámico y no estático?. es decir.3: (a) Representación de la señal Ü½ ´Øµ . ya que una situación ideal de análisis sería tener una buena resolución en tiempo para frecuencias altas y una buena resolución en frecuencia frente a contenido de frecuencias bajas. Por otro lado la resolución en tiempo se ha empobrecido producto de la mejora en la resolución en frecuencia ya que no se observa una clara separación de la ubicación de cada componente en su respectivo intervalo de tiempo. una función ventana que tenga la capacidad de cambiar su soporte en forma automática dependiendo del contenido espectral del segmento de la señal analizado.1.4.
¾ ¼ y se ilustra en la ﬁgura (4. la resolución en frecuencia es bastante pobre ya que para cada componente se observa un ancho de banda amplio lo que impide una detección precisa del valor real de la frecuencia existente en el intervalo de tiempo donde se encuentra. (b) Contenido espectral de la señal obtenido mediante la FFT. el desarrollo teórico y práctico de esta herramienta constituye el foco principal de la siguiente sección. Este aumento de
. se observa que las amplitudes de ambas componentes han disminuido a la mitad de su valor real frecuencia. LA TRANSFORMADA CORTA DE FOURIER (STFT)
Figura 4. El segundo análisis se efectúa para un valor de signiﬁca que nuestra función tiempo .
5: Representación tiempo .4: Representación tiempo .1.4. LA TRANSFORMADA CORTA DE FOURIER (STFT)
Figura 4.frecuencia con buena resolución en tiempo y mala resolución en frecuencia.frecuencia con buena resolución en frecuencia y mala resolución en tiempo.
ÓÒØ ÒÙ Ï Ú Ð Ø. Ahora bien. Ahora utilizando el teorema de Parseval podemos como la Ì Ö Ò× ÓÖÑ escribir (4.7) en términos de la Transformada de Fourier de Ü´Øµ y como ÏÌ´
Ô µ ¾½
´ µ©´ µ Ø
(4. La variable controla el ancho o soporte efectivo de la función . La transformada continua wavelet intenta expresar una señal Ü´Øµcontinua en el tiempo. TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET (CWT)
Figura 4.6: Función wavelet correspondiente a la familia Daubechies 4 (ver Apéndice). para que este análisis sea posible y además para poder lograr una perfecta recon-
. Asumiendo que tanto la señal como la nueva función ´Øµ son de energía ﬁnita. mediante una expansión de términos o coeﬁcientes proporcionales al producto interno entre la señal y diferentes
versiones escaladas y trasladadas de una función prototipo ´Øµ más conocida como Û Ú Ð Ø Ñ Ö .2 Transformada Continua Wavelet (CWT)
La transformada wavelet constituye una técnica relativamente nueva que ha sido propuesta por los investigadores como una poderosa herramienta en el análisis sobre el comportamiento local de una señal.8)
Como se puede observar (4.7) y (4.8) arriba han aparecido dos nuevas variables y .2. esta transformada utiliza una función ventana que encuadra una señal dentro de un intervalo y focaliza el análisis sólo en ese segmento de la señal. y la variable nos da la ubicación en el dominio del tiempo de . Al igual que la STFT.4. entonces podemos deﬁnir
ÏÌ´
½ µ Ô
½ Ü´Øµ ½
´Ø µ Ø
Aunque la CWT trabaja con el término escala en vez de frecuencia. la función
Ñ× Ð
´Øµ debe cumplir con la ÓÒ
[CHU98] de la cual se desprende que
©´¼µ ¼
(4. En lo anteriormente dicho se encuentra la diferencia principal entre la CWT y la STFT. es una onda deﬁnida sobre un intervalo de tiempo ﬁnito.2. es decir. lo que a su vez implica obligatoriamente que tenga valores tanto positivos como negativos. Cuando cambia. es decir.9)
donde © ©´ µ corresponde a la transformada de Fourier de ´Øµ. En particular.escala que una representación tiempo . ya que la primera ocupa ventanas de corta duración para altas frecuencias y ventanas de larga duración para bajas frecuencias mientras que la STFT ocupa una sola ventana con la misma duración tanto para altas frecuencias como para bajas frecuencias. En otras palabras. lo que nos dará el grado de resolución con el cual estemos analizando la señal. Con este cambio de variable podemos observar que la CWT localiza tanto la señal Ü´Øµ en el dominio
donde recibe el nombre de del tiempo como su espectro
ÓÒ×Ø ÒØ
Ð Ö
´ µ en el dominio de la frecuencia en forma simultánea. Además como es una función que “ventaniza” la señal sobre un intervalo de tiempo dado por alrededor de un punto Ø se observa intuitivamente que es de soporte compacto. TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET (CWT)
strucción de la señal a partir de la transformada.
½) o dilatar (
½) la función
ÓÒ en unidades de frecuencia (tal como Hz). El cumplimiento de esta condición signiﬁca que el valor medio de es igual a ¼.1 Variables de escala
y traslación
Mediante la variable de escala nosotros podemos comprimir (
Por deﬁnición la Transformada Continua Wavelet es mas una representación tiempo . El hecho que se cumpla (4. lo que nos hace pensar que es una función ventana pasabanda en el dominio de la frecuencia ( ya que al menos en la frecuencia ¼ se detiene).2. es posible mediante una con¼ realizar un cambio de variable de una escala a una frecuencia de la forma stante (4. que sea una onda.
. y esto es el porque de su nombre Û Ú Ð Ø o ondita. para escalas pequeñas la CWT nos entrega una buena resolución en el dominio del tiempo mientras que para escalas grandes la CWT nos entrega una buena resolución en el dominio de la frecuencia.9) signiﬁca implícitamente que ©´ µ debe tener un rápido decaimiento cuando tiende a ¼.10)
´Øµ.
4. para valores pequeños de la CWT obtiene información de Ü´Øµ que está esencialmente localizada en el dominio del tiempo mientras que para valores grandes de la CWT obtiene información de ´ µ que está localizada en el dominio de la frecuencia.frecuencia.4. tanto la duración como el ancho de banda de la wavelet cambian pero su forma se mantiene igual.
lo que implica mayor resolución en tiempo. para una escala grande la wavelet ocupa un mayor segmento de la señal y por lo tanto tiene mejor resolución en frecuencia mientras que para una escala más pequeña el intervalo de tiempo bajo el que se analiza la señal es menor.4.7: Se observa el proceso de escalamiento y traslación. TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET (CWT)
es decir.7). Adelantándonos un poco a lo que es la Transformada Discreta Wavelet. Sin embargo.4. de tal manera que el conjunto de funciones
½ ´Øµ Ô
se transforma en el conjunto de funciones
Ø ¾Ê ¾
(4. la variable dominio del tiempo. Por lo tanto. Un punto importante es que la función
wavelet se traslada cubriendo toda la señal para cada valor de . y
¾ con
. esto se esquematiza en la ﬁgura (4. en términos de cálculo computacional es imprescindible discretizar la transformada. si la escala escogida es pequeña habrán más traslaciones de que si la escala escogida es grande.11)
´Øµ ¾
¾ Ø (4. es decir. nos da la cantidad por la cual
controla la ubicación de la función en el espacio de tiempo permitiéndonos deslizar
´ Ø µ ha sido trasladada en el
La continuidad de la CWT reside en que tanto la variable de escala como la variable de traslación varían en forma continua. TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET (CWT)
´Øµ sobre el intervalo de tiempo en el que se haya deﬁnido Ü´Øµ. la forma más ¾ común de discretizar los valores de y es utilizar una red diádica[BUR98] [CHU97]. y la suposición más lógica es que tanto los valores de escala como traslación sean discretos.
.2.12)
que corresponde a la versión diádicamente discretizada de la función wavelet .
Se observa como cumplen con la condición de admisibilidad al tener un rápido decaimiento a medida que la frecuencia tiende a ¼.frecuencia v/s tiempo -escala entre la STFT y la CWT.
.2.9: Diferencia tiempo . TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET (CWT)
Figura 4.4.8: Función Wavelet Mexican Hat y Morlet con sus respectivas Transformadas de Fourier (gráﬁcos de la izquierda).
llamada wavelet madre o wavelet generadora. que da a luz a una familia de funciones de la forma:
´Øµ ¾ ´¾ Ø µ
(5. La wavelet madre ´Øµ. daremos exigencias para estas y demostraremos sus propiedades. mediante una de las funciones o mediante ambas.Capítulo 5 Sistemas Wavelet. de la forma Esta familia de funciones es llamada el set de expansión wavelet.1.
´Øµ ·
(5.1 Sistemas wavelet de primera generación
Los sistemas wavelet de primera generación son todos aquellos que sean generados sólo por traslaciones enteras y escalamientos de una única función wavelet ´Øµ. existen muchos y muy diferentes sistemas wavelet. pero todos tienen las siguientes características (adaptadas de [TAM99]): 59
. Deﬁniremos la función escala y la wavelet. Con estas dos funciones podremos aproximar cualquier función o señal ´Øµ ¾ Ä¾ ´Êµ. Luego analizaremos el sistema Haar.2)
5. trae siempre asociada consigo una función escala ´Øµ.
donde el factor ¾ ¾ mantiene una norma constante independiente de la escala . que es la más antigua y simple de todas.
En este capítulo estudiaremos los sistemas wavelets de primera generación. probaremos que es un “buen” sistema wavelet y dejaremos ver ventajas y desventajas de esta wavelet.1 Características de sistemas wavelet
El set de expansión wavelet no es único.
la mayor parte de la energía de la señal es bien representada por unos pocos coeﬁcientes Mientras un coeﬁciente de Fourier representa un componente que dura todo el tiempo en que se extiende la señal.
(5. mediante un algoritmo en forma de árbol. 3. si el set de expansión esta dado por
. En otras palabras. un coeﬁciente wavelet es en sí bien localizado en el tiempo. estos pueden ser diseñados para adaptarse a una aplicación particular. SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
1. Esto signiﬁca que si un ¾ . Debido a que existen muchos wavelet. esto es. 4. Los wavelets son ajustables y adaptables. Esto permite un muy eﬁciente cálculo de los coeﬁcientes de expansión (también conocida como la Transformada Discreta Wavelet). un conjunto conjunto de señales puede ser representado por una suma de ´Ø µ más amplio de señales (que incluye el conjunto original) puede ser representado por una suma ´¾Ø µ ¾ .1 6. Un sistema wavelet puede describirse de una manera “amigable”. representación que puede explicarse como un pentagrama musical. llamado banco de ﬁltros. El tamaño de los coeﬁcientes de expansión wavelet disminuye rápidamente con y . La generación de wavelets y el cálculo de la Transformada Discreta Wavelet es bien realizada por una computadora. donde la localización y forma de la ﬁgura musical nos dice cuando ocurre el tono y cual es su frecuencia. un coeﬁciente de expansión wavelet representa un componente bien deﬁnido en un intervalo de tiempo.
Debido a esto wavelet es una efectiva herramienta en compresión y denoising(limpieza) de señales. La expansión wavelet entrega una localización tiempo-frecuencia instantánea de la señal. pues como veremos más tarde estos cálculos se remiten sólo a multiplicaciones y sumas. 7.5.1. como un conjunto de ladrillos (que para cada sistema pueden tener diferente forma) que sirven para reconstruir o representar una señal o función. Esto quiere decir que .3)
2. que suele ser una base para alguna clase de señal de una o más dimensiones. Los coeﬁcientes de más baja resolución pueden ser calculados a partir de los coeﬁcientes de más alta resolución.
. 5. una expansión lineal puede ser
para algún conjunto de coeﬁcientes . Este conjunto es una expansión bi-dimensional. Los sistemas wavelet satisfacen las condiciones de multi-resolución.
5) por ga:
pero como veremos luego.5)
´Øµ ´Øµ Ø ´Øµ .1. que trasladada y escalada genera una familia de funciones ´Øµ ¾ deﬁnida como:
Ä¾ ´Êµ como
(5. por lo que sólo uno de los productos puntos de la ecuación anterior es distinto de cero (
½).5.4)
la función escala deﬁne un subespacio Î
Entonces una función
ËÔ Ò ¾
´Øµ estará en Î
si puede escribirse como
(5. lo que nos entrega
Otra valiosa propiedad que nos entrega la deﬁnición de la función escala es que
´Øµ ¾ Î ¸ ´¾Øµ ¾ Î
lo que se demuestra como sigue
. la función escala debe cumplir con ciertos requisitos.1. SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
5. una función escala. lo que nos entre ½ ½´Øµ
esta última ecuación se demuestra multiplicando vectorialmente (5. y uno de ellos es ser ortonormal.2 Función escala
´Øµ ¾ Ä ´Êµ.
Una función ´Øµ ¾ Ä¾ ´Êµ es considerada como una “buena” función de escala si cumple con las siguientes condiciones (tomadas de [BUR98]): 1.5.1. La normalidad exigida en la condición 1 se demuestra como:
Ö Ê
´Øµ ½ ´Øµ Ø ½ ½ ´¾ Ø µ Ø ½ ¾ ½ ¾ ´Ùµ Ù ½ ½ ½ ´Ùµ Ù ´Øµ
ÕÊ
¾ Ø Ù
La condición de ortonormalidad exige que para cada
Æ´
Ðµ
.1 Características de una función escala. La función
Î ·½
´Øµ tiene soporte compacto. SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
´Øµ ¾ Î ¸ ´Øµ ´Øµ ¾ ¸ ´¾Øµ ´¾Øµ ¾ ¸ ´¾Øµ ¾ ¾ ´¾ Ø µ ¸ ´¾Øµ ´¾ Ø µ ¾ Ô ¾ ¸ ´¾Øµ ´Øµ ¾ Ô ¾ ¸ ´¾Øµ ¾ Î
·½ ¾
forma una base ortonormal para el subespacio Î
Ä¾ ´Êµ.2. o sea
3. ×ÙÔ Ü¾ ´Üµ ¼ . Esto es. Para cada
. existe un subconjunto del dominio de ´Øµ
donde esta no es cero.e.1.
2. Los subespacios Î están anidados.
ple. SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
La condición 2 nos dice que los subespacios Î incluyen más funciones de Ä¾ ´Êµ a medida que crece. El anidamiento de los espacios se puede expresar como:
Demostración. debería darse que ¼ ¼ ´Øµ tenemos que Î
Por demostrar que si
´Øµ ¾ Î µ
Î ·½ (segunda implicación de (5.6)). o lo que es lo mismo ´Øµ ¾ Î ¸ ´Øµ
¾ ´¾ Ø µ
además sabemos que existen coeﬁcientes
´Ñ¼ µ
´Òµ tal que Ô ´Òµ ¾ ´¾Ñ¼ µ ¾ Ø ½
Ñ¼
µ ´Øµ ¸ ´Øµ
sea Ñ
¾ ´Òµ ´¾´¾ Ø µ Òµ ´Òµ ´¾ Ø ¾ Òµ
¾ ·Ò
µ ´Øµ
´Ñ ¾ µ ´¾ Ø Ñµ
Demostraremos ambas implicaciones por separado.
Proposición 1. Como
¸ ´Øµ ¾ Î
(5.1. comenzando por la más sim-
´Øµ ¾ Î
Î ·½ µ ´Øµ ¾ Î (primera implicación de (5.5. ´Øµ ¾ Î¼ y como por hipótesis Î¼ Î½ .6)).
Tenemos que por hipótesis
´Øµ ¾ Î .
intercambiamos sumatorias en la ultima expresión
¸ ´Øµ
´¾ Ø Ñµ
´Ñ ¾ µ ´Ñ ¾ µ
Ñ ´Øµ
·½ Ñ
´Øµ puede escribirse como ´Øµ
´Ñ ¾ µ
µ ´Øµ ¾ Î
lo que implica que existen coeﬁcientes ´Òµ Ò¾ . por lo que la máxima longitud de la secuencia ´Òµ es Æ
Proposición 2. sólo un número ﬁnito de términos en la sumatoria son distintos de cero. entonces ´Òµ también tiene sobre ¼ soporte compacto sobre ¼ Ø Æ ½. donde normalidad de la función escala en Î½ . los coeﬁcientes ´Òµ pueden ser una secuencia de números reales o complejos. SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
½ Ñ ½
debido a que.
´Øµ es una función escala como se deﬁne en (5. como veremos más tarde.7).7)
Ô ´Òµ ¾ ´¾Ø µ
´Øµ tiene soporte compacto sobre ¼ Ø Æ ½.5. Si
. llamados Ô coeﬁcientes de función escala (o ﬁltro de escalamiento o vector de escalamiento) y la ¾ mantiene la
llamada ecuación básica de recursión o ecuación de escala. que tiene soporte compacto Ø Æ ½ y ´¾Ø µ ¾ es base ortonormal para Î . tal que una suma de ´¾Øµ ajustada y trasladada como
´Øµ puede ser expresada en términos de
(5.1.
Mostraremos que
¾ ´Òµ
´Øµ ´¾Ø Òµ Ø ¼ y Ò Æ ½. Entonces se requiere que
´Øµ Ø ¼
Î½ Î¼
. Tenemos entonces por (5. esto signiﬁca que todos los miembros de ortogonales a todos los miembros de Ï .7) que
´Øµ ´¾Ø Òµ Ø
Ô ´ µ ¾ ´¾Ø µ ´¾Ø Òµ Ø
como por hipótesis ´Øµtiene soporte compacto. sólo ﬁnitos coeﬁcientes son no nulos.
5.1.1.3 Función Wavelet
Deﬁnimos
Î son
como el complemento ortogonal de Î en Î ·½ . SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
Demostración. entonces quedaría
y como por hipótesis la integral de la derecha es cero para Ò demostrado que ´Òµ tiene soporte en ¼ Ø Æ ½.5. por lo que podemos intercambiar la sumatoria con la integral
Ô ´ µ ¾ ´¾Ø µ ´¾Ø Òµ Ø Ô ´µ ¾
Ô ´µ ¾
´¾Ø µ ´¾Ø Òµ Ø
Ô ´ µ ¾Æ´ Òµ
Ô ´Òµ ¾
por lo que queda demostrada la proposición 2.
que llamaremos Û Ú Ð Ø Ñ Ö se puede representar como Ô ´Øµ ¾ ´Òµ ´¾Ø µ
(5. SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
donde cualquier función
´Øµ ¾ Ï
puede ser representada como
la función básica wavelet De este modo la función
½ ¼ ¼ ½
´Øµ ´Øµ ¾ Ï .8)
. ´Øµ. entonces ´Øµ ¾ Î .1.5. y como Î Î Ï .
Capítulo 6 Wavelet Haar
Comenzaremos este capítulo desarrollando la teoría wavelet en tiempo continuo para la wavelet Haar.1 Función Haar Escala
Sea la función
´Øµperteneciente a Ä ´Êµ. Deﬁnimos entonces un conjunto de funciones de escalamiento en términos de traslaciones enteras de la función básica de escalamiento ´Øµ:
Figura 6. que gráﬁcamente es representada como se muestra en la Figura (6.1). 67
.1: Función Haar de escalamiento. deﬁnida de la siguiente forma:
½ × ¼ Ø ½ ¼ Ð Ö ×ØÓ
Esta función la denominaremos función de escalamiento. calcularemos sus coeﬁcientes y luego
6. descompondremos una función continua ´Øµ ¾ la reconstruiremos en diferentes grados de resolución.
Ä¾ ´Êµ. esto es.
5) están deﬁnidas en distintos intervalos de tiempo.6)
esto es fácilmente demostrable ya que (6.5)
entonces el producto punto entre (6. El superrayado denota clausura. FUNCIÓN HAAR ESCALA
½ × Ø Ø ·½ Ø ¼ ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó
(6. cualquier función ´Øµ que esté en ¼ puede ser representada por una combinación lineal del conjunto de funciones ´Øµ con sus respectivos coeﬁcientes .2)
¾ Ä ´Êµ
el subespacio de Ä¾ ´Êµ generado por esta función es deﬁnido como
ËÔ Ò
.5) debe ser cero para cumplir con la condición de ortogonalidad. deﬁniremos
´Øµ sea ortonormal. es decir
´Øµ Ñ ´Øµ Ø ¼
(6.2) y (6. esto signiﬁca que
¾ ¾ Ä ´Êµ
(6.2) y (6. Para un rápido cálculo de estos coeﬁcientes es necesario que cuestión.3)
para todos los enteros
desde ½ a ½ . entonces tenemos
´Øµ Ñ ´Øµ Ø
´Øµ Ñ ´Øµ Ø ·
Ø Ø¿
Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö ´Øµ ¾
o sea.6. Para probar esta propiedad de la familia de funciones en ´Ø Ñµ ½ × Ø Ñ Ø Ñ·½ Ø ¼ ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó
mediante la función de escalamiento ´Øµ ÓÒ Ø ¾
Representaremos la función continua
´Øµ Ø . como una combinación lineal de la forma
. Sea entonces
por (6.2:
Ø¾ deﬁnida sobre el intervalo [-3.
con Ø ¾
¿ ¿ .9)
´Øµ ´Øµ Ø ´Øµ.10)
se demuestra así la ortonormalidad de
Representar la función ¿ ¾ . FUNCIÓN HAAR ESCALA
½£¼ Ø·
¼£½ Ø ¼
queda así demostrada la ortogonalidad de
´Øµ con ¾
.con lo que sólo nos resta demostrar la
normalidad de este conjunto de funciones.6.3].
ØØ Ø
´Øµ ´Øµ Ø ´ · ½µ ½
¾ ¾ ¿ Ø ´Ø · ¿µ Ø · Ø¾ ´Ø · ¿µ Ø ¿ ¾
. FUNCIÓN HAAR ESCALA
¿ ´Ø · ¿µ · ¾ ´Ø · ¾µ · ½ ´Ø · ½µ ·
´Ø ½µ ·
´Ø ¾µ
como demostramos anteriormente.16)
´Ø · ¿µ
Ø¾ ´Ø · ¿µ Ø
(6. por lo que todos los productos puntos de la parte derecha de (6.2)
Ø¾ Ø¾
´Ø · ¿µ ´Ø · ¿µ
¾ ¿ Ø ¿ ¿ ¾ · ¿
(6. ´Øµes ortogonal.11)
´Ø ¾µ ¬ ´Ø · ¿µ
donde los límites de integración fueron calculados a partir de (6.11)
Ahora calcularemos el coeﬁciente ¿ para lo que haremos la multiplicación vectorial de por (6.13) serán cero.6.1. excepto ¿ ´Ø · ¿µ ´Ø · ¿µ
¿ ´Ø · ¿µ
¿·½ ¿ ´Ø · ¿µ ´Ø · ¿µ Ø ¿
´Ø · ¿µ · ·
´Ø ¾µ ´Ø · ¿µ
excepto ´Ø · ¾µ ´Ø · ¾µ
como demostramos anteriormente.24)
Ø¾ ´Ø · ¾µ Ø
(6.-2]
¾ ¾ ¿ Ø Ø · Ø¾ £ ¼ Ø ¿ ¾
¾·½ ¾ ´Ø · ¾µ ´Ø · ¾µ Ø ¾
ahora calcularemos ¾
Ø¿ ¾
(6.1. por lo que todos los productos puntos de la parte derecha de (6.20)
´Ø · ¾µ
´Ø · ¾µ · ·
´Ø ¾µ ´Ø · ¾µ
(6. FUNCIÓN HAAR ESCALA
´Ø · ¿µestá deﬁnida sólo en [-3.21)
´Øµes ortogonal.
´Ø · ¾µ ´Ø · ¾µ
¾ ´Ø · ¾µ
(6.21) serán cero.19)
´Ø ¾µ ¬ ´Ø · ¾µ
¾ ½ · ¾
½ ¾ £ Ø ¾
¾ ¾ ½ ¾ ¿ Ø ´Ø · ¾µ Ø · Ø ´Ø · ¾µ Ø · Ø¾ ´Ø · ¾µ Ø ¿ ¾ ½
.23)
donde los límites de integración fueron calculados a partir de (6.
Ø¿ ½
(6.1) Para una mejor representación de cualquier señal perteneciente a mediante (6. puedan también ser escaladas para lograr así una mejor resolución. que además de tener las capacidad de trasladarse. FUNCIÓN HAAR ESCALA
´Ø · ¾µesta deﬁnida sólo en [-2.32)
(6.-1]
¾ ¾ ½ ¾ ¿ Ø £¼ Ø· Ø Ø · Ø¾ £ ¼ Ø ¿ ¾ ½
¾¿
del cálculo de estos dos coeﬁcientes queda claro que cualquier coeﬁciente como
Ø½
siempre que ocupando (6. Calcularemos entonces los coeﬁcientes restantes
Ø¾ ´Ø · ½µ
Ø¿
(6. Nos
Ä¾ ´Êµ por medio de la función
de escalamiento.1) se encuentran todos los coeﬁcientes calculados Ahora que tenemos los seis coeﬁcientes buscados. debemos ser capaces de crear una nueva familia de funciones.11).27) puede ser calculado (6.29)
¼¿ ¼¿ ¾¿ ¿ ´Øµ Ø
´Øµ ¾ Ä ´Êµ y ´Øµ sea ortonormal. podemos reconstruir lo que nos entrega la gráﬁca mostrada en la Figura (6.33)
en la tabla (6.30)
(6.1.
FUNCIÓN HAAR ESCALA
coeﬁciente
¿ ¾ ½
valor obtenido 6.33 0.33 6.33
. debido al espacio en que trabajamos.33 2.1: Coeﬁcientes de reconstrucción para la función de escalamiento.1.3: En esta ﬁgura apreciamos que la aproximación realizada por la función de escalamiento es bastante burda.6.
Figura 6.33 2.33 0.
6. mediante la familia de funciones
´Øµ. o lo que es lo mismo. y
Representar la función
¿ ¿ . ½.
´¾ Øµ
(6.12) a (6.35) es un subespacio de
´Øµ es la función básica de escalamiento trasladada y escalada.
Para representar esta función trabajaremos en el espacio
. que se deﬁne como
ËÔ Ò Ä ´Êµ generado por (6.34)
´¾Ø µ
de manera análoga al ejemplo 1 (revisar desde la ecuación (6. FUNCIÓN HAAR ESCALA
deﬁnimos entonces un nuevo conjunto de funciones de escalamiento
´¾ Ø µ
½ × Ø Ø ¼ ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó
½ ¾ ½· ¾
(6.19)) tenemos que
´¾Ø · µ
´¾Ø · µ ´¾Ø · µ
¾ ¿ Ø
´¾Ø · µ ´¾Ø · µ ´¾Ø · µ ´¾Ø · µ
donde los límites de integración están dados por (6.34)
¾ ¾ Ø Ø ¿
.34).
2: Coeﬁcientes de reconstrucción para
¿ ´Øµ Ø
los demás coeﬁcientes serán calculados de la misma forma.1 Relación ortogonalidad y normalidad
Del ejemplo anterior se puede observar que para ½ los coeﬁcientes quedaban divididos por 2.58 1. estos son mostrados en la tabla (6.08 0.1.08 0.36)
ÓÒ Ø½
(6.58 0. lo que indica que las funciones de escalamiento de este subespacio no son ortonormales.2) en la ﬁgura (6.08 7. Demostraremos ahora que esto no ocurre solo en ½ .
Tabla 6. FUNCIÓN HAAR ESCALA
coeﬁcientes valores obtenidos 7.6.58 5.1.08 3.4) se muestra la reconstrucción de usando
´Øµen
6.08 5.08 1.58
Ø¾ .37)
.58 0. utilizando utilizando la función de escalamiento en ½ .58 3. si no que en todo
´Øµ ¾ ´Øµ
´Øµ ´Øµ Ø ·½ ¾
. Con esta mejora de
´Øµ deﬁnimos una nueva familia de funciones
Ø ½· ¾ ÓÒØÖ Ö Ó
(6. por lo tanto debemos encontrar una constante que nos permita hacer estas funciones ortonormales.1.
queda demostrada entonces la no normalidad de esta familia de funciones.6.
debido que
¼. para multipliquemos las funciones base por un número cualquiera Ö
´Øµ Ö ´Øµ
Ö¾
½ ´ØµÖ ´Øµ Ø ¾
´Øµ Ö
con lo que obtenemos lo que denominaremos la constante de normalización. entonces.4: En esta ﬁgura se presenta una clara mejoría en la resolución de la representación de la función cuadrática. FUNCIÓN HAAR ESCALA
½ ¼ ´Øµesta deﬁnida en Ø ¾ ¼ ¼ µ y ½ ½ ´Øµ esta deﬁnida Ø ¾ ¼ ½µ.1.38)
´Øµ. como sigue
´¾µ ´¾µ
½¡½ Ø
¾Ø
Ô ¾ Ô ½ ¾ ¾
entonces tenemos que la función básica de escalamiento puede ser representada por sí misma. estaremos hablando de (6. Si elegimos
Ô Ô ´½µ ¾ ´¾Øµ · ´¾µ ¾ ´¾Ø ½µ
(6. como se muestra en (6. Calculemos
´½µ Ý ´¾µ ´½µ
´Øµ ´¾Øµ Ø ½¡½ Ø·
½¡¼ Ø
´½µ ´¾µ
´Øµ ´¾Ø ½µ Ø ¼¡½ Ø·
calada y trasladada. y de acuerdo con () una combinación lineal de ella misma. es que puede ser representada por Una importante propiedad de la función de escalamiento ½. esto es. es-
´¾Øµ · ´¾Ø ½µ
(6.6.39)
se escogen ½ ¼ ´Øµ y ½ ½ ´Øµ ya que necesitamos cumplir con el intervalo de tiempo en que está deﬁnida ´Øµ.34). FUNCIÓN HAAR ESCALA
entonces de ahora en adelante cuando hagamos referencia a
´Øµ.40)
. trasladada y escalada.
Ahora bien.42)
sobre el intervalo ¼ ½ como una combinación lineal de las funciones de escalamiento que expanden el espacio Î½ de la siguiente manera
que al igual que la función de escalamiento que expande el espacio
Î¼ .46)
½ ´½µ ´¾µ Ô ¾
observando que estos coeﬁcientes nos permiten mantener la normalidad de la función
Como ya sabemos que los espacios Î¼ y Î½ son ortogonales y por lo tanto cualquier espacio Î con ¼ ¦½ ¦¾ también lo es. y se deﬁne de la forma
½ × ¼ Ø ½ × Ø ½ ¼ ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó
(6.43) por ¾ ´¾Øµ y luego por ¾ ´¾Ø ½µ. la función que expande el espacio Ï¼ se conoce como función wavelet.
obtenemos respectivamente que
´Øµ Ø ´Øµ Ø
(6. y calculando los coeﬁcientes
obtenemos como resultado que (6. sino deﬁniendo un espacio Ï de
funciones levemente diferentes a las funciones escalamiento. que representen la diferencia que existe entre un espacio Î y un espacio Î ·½ . se obtiene una mejor aproximación de la señal utilizando las funciones de escalamiento que ocupan el espacio Î½ que utilizando la función escalamiento que
ocupa el espacio Î¼ . las características de una señal pueden ser mejor descritas. no incrementado el tamaño del espacio de las funciones escalamiento. FUNCIÓN HAAR WAVELET
6. Sin embargo.2 Función Haar Wavelet
Como se observó en la sección anterior.44)
(6. entonces el espacio Ï¼ al ser el complemento de Î¼ en Î½ es
´Øµ.41)
por lo que ya estamos en condiciones de decir que el espacio Ï¼ corresponde al complemento del espacio Î¼ en el espacio Î½ .6.45)
respectivamente. tal que
¨Ï
(6. puede ser representada
Ô Ô ´½µ ¾ ´¾Øµ · ´¾µ ¾ ´¾Ø ½µ (6.43) Ô Ô de tal manera que al realizar el producto interno de (6.
.entonces realizando el producto punto deﬁnimos de la misma forma otra función Ñ ´Øµ con Ñ entre ellas de la forma
Ñ·½
´Øµ Ñ ´Øµ
(6. Por lo tanto. al igual que con la función escalamiento.5: Función wavelet en Ï¼ como combinación lineal de las funciones escalamiento que expanden Î½ y Î¼ . es posible obtener una representación de la diferencia que existe entre aproximar una señal con un nivel de resolución y aproximar la
½ × Ø · ½ × · Ø · ½ ¼ ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó
(6.6.48)
´Øµ £ ¼ Ø ·
Ñ·½ Ñ
¼ £ Ñ ´Øµ ¼ Ñ ¾
(6.2.47)
© ¾ Ä ´Êµ
que corresponde a la misma función pero desplazada en el tiempo por una constante . puede ser demostrada en forma análoga a como se demostró con la función de escalamiento. mediante el producto interno de esta señal con un set de funciones que expandan el espacio Ï donde será elegido de acuerdo al grado de aproximación que se desee. y nos .
misma señal con un nivel de resolución · ½. Si nos deﬁnimos la función wavelet como
ortogonal.49)
con lo que se da por ﬁnalizada la demostración.La propiedad de ortogonalidad de Ï¼ y por ende de la función wavelet ´Øµ. FUNCIÓN HAAR WAVELET
y para ´Øµ ¼ la solución es trivial.57)
.51)
¿ ´Ø ·¿µ· ¾ ´Ø ·¾µ· ½
´Ø ·½µ·
´Øµ·
´Ø ½µ·
´Ø ¾µ ¬ ´Ø ·¿µ
ahora. como demostramos anteriormente que ´Øµes ortogonal.52) serán cero.55) y (6.6.56) nos entregan dos coeﬁcientes. los cuales son
¾ Ø¾ Ø ½ ¿· ¾
(6. FUNCIÓN HAAR WAVELET
Aproximar la función función escalamiento.56)
½ ½¾
½ ½¾ ¼
(6. La resolución de las integrales de (6.
Ø¾ sobre el intervalo
en forma análoga a como se hizo con la
La primera aproximación la haremos en ´Ø µ ÓÒ será de la forma ´Øµ
Ï¼ de tal manera que las funciones wavelet de este espacio
¾ ¿ ¾µ. todos los productos puntos de ´Ø · ¿µ . y por lo tanto
(6. para calcular el primer coeﬁciente
haremos el producto punto de
´Ø · ¿µ con (6.2.50)
(6. por lo tanto la parte derecha de (6. excepto ½ ´Ø · ¿µ
¿·½ ¿ ´Ø · ¿µ ´Ø · ¿µ Ø ¿ ¿·½ ¿ ´Ø · ¿µ ´Ø · ¿µ Ø ¿
´Ø · ¿µ ½ nos queda
¿·½ ¾ Ø ¿
´Ø · ¿µ ½
½ ¿· ¾ ¾ Ø Ø ¿
2.5 -1.5 0. signiﬁca que obtendremos una aproximación de ella en el subespacio Î½ .
Aproximar la función de
½.6.5 -2.5 1.5 -0.
Figura 6. mediante la familia de funciones
´Øµ con un valor
Representar esta función Ø¾ para ½.3: Coeﬁcientes obtenidos para la representación de la señal Ø¾ con la Haar Wavelet en el espacio Ï¼ . Realizando el cálculo de los otros coeﬁcientes en forma análoga. FUNCIÓN HAAR WAVELET
Coeﬁcientes Valores Obtenidos 2.3) y en la ﬁgura (6.2)).6: Aproximación de la señal Ø¾ mediante las función wavelet del espacio Ï¼ .6). observamos sus resultados en la tabla (6.5
con Ø
¾ ¿ ¿ . por lo tanto la representación de ´Øµ Ø¾ mediante la combinación lineal de ½ ´Øµ.
y representan los coeﬁcientes obtenidos debido a la parte positiva de la función wavelet
haar y la parte negativa de la función wavelet haar respectivamente (ﬁgura (6.
53)).60)
El resto de los coeﬁcientes se calcula en forma análoga. y que para Ï½ los coeﬁcientes quedaban divididos por 4.51).2.6. La representación de la función original a través de estos coeﬁcientes puede observarse en la ﬁgura (6.61) debe dar 1 para que ´Øµ y ´¾Øµ sean ortonormales. de tal manera que nuestro primer coeﬁciente lo podemos expresar como
½ ¿· ¾ ¾ Ø ¿
´¾Ø · µ ½ nos queda
¿· ½ ¾ ¿ ¿· ½ ¾ Ø Ø ¿
´¾Ø · µ ´¾Ø · µ Ø
(6.61) ¦ entonces como sabemos que (6. Además. para Ï¼ multipliquemos las funciones base por un número cualquiera Ö¼ y de forma análoga llevémoslo a cabo para Ï½ con Ö½ . entonces. lo que indica que las funciones wavelets de estos subespacios no son ortonormales.2. obteniéndose al ﬁnal una cantidad de 12 coeﬁcientes (tabla (6.58)
el cálculo de los coeﬁcientes se realiza de forma análoga al ejemplo anterior (ver (6. Por lo tanto debemos encontrar una constante que nos permita hacer estas funciones ortonormales. de tal manera que
¦ (6.52) y (6.4)) que corresponden al doble de coeﬁcientes obtenidos en el ejemplo anterior. podemos observar que es posible escribir Ö en
Ö¼ ´Øµ Ö¼ ´Øµ Ö½ ´¾Øµ Ö½ ´¾Øµ
½ ¾ ½ ¼ ½ ½
. (6. FUNCIÓN HAAR WAVELET
´¾Ø · µ ·
´¾Ø · µ · ·
´¾Ø · µ ½
½ ¿· ¾ ¾ Ø Ø ¿· ½
Mediante la resolución de las integrales de arriba obtenemos los respectivos valores de los coeﬁcientes · y ·
(6.7).1 Relación ortogonalidad y normalidad
De los ejemplos anteriores hay que observar que para Ï¼ los coeﬁcientes quedaban divididos por 2.
6. el valor Ô de Ö debe ser ¾ y el valor de Ö debe ser ¾.
6.37 -0.63 0.37 1.13 0.63 -0.7: Representación de la función
Ø¾ en el subespacio Ï½ .
.13 -0. FUNCIÓN HAAR WAVELET
Coeﬁcientes
Valores Obtenidos 1.2.4: Coeﬁcientes obtenidos para la representación de la señal Ø¾ con la Haar Wavelet en el espacio Ï½ .37
Tabla 6.13 -1.87 -1.37 0.13 -0.87 0.
62).63)
donde ´Øµ es la función wavelet base trasladada y escalada. al igual que las funciones escalamiento. y Ï es un subespacio de Ä¾´Êµ generado por (6. Por lo tanto para un subespacio Ï podemos establecer que Ô Ô Ô Ô ¾ £ ¾ £ ¾ ×Ø Ð × Ñ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ÔÓÖ ¾
con lo que obtenemos lo que denominaremos la constante de normalización. ya estamos en condiciones de deﬁnir un set de funciones bases ortonormales mediante escalamiento y traslación de la forma
¾ × ¾ × ¼
Ø ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó
½ ¾ ·½ ·½ ¾
(6. De esta manera.2.
.6. FUNCIÓN HAAR WAVELET
término de Ö¼ de la forma Ö½
Ô Ô ¾ £ ¾.62)
que se deﬁne como
Capítulo 7 Análisis Multi-Resolución
7. En este análisis empleamos una función
´Øµ cuidadosamente escogida según la señal a analizar. o lo que es lo mismo. lo que nos entrega una descomposición multi-escala de la forma: resolución ½ ´Øµ ¾ ´Øµ ¿ ´Øµ
donde cada ´Øµ ´Øµ representa el error en que se incurre al aproximar ·½ ´Øµ mediante ´Øµ. como condiciones para una “buena” función escala. ´Øµ
Esta función esta bien localizada tanto en tiempo como en frecuencia. generan una base
donde los
son coeﬁcientes escalares llamados coeﬁcientes wavelet. y translaciones y escalamientos ´Øµ ¾ . la ﬂuctuación entre dos niveles sucesivos de resolución. que expande ´Øµ como: de ella misma. Ahora los daremos como requerimientos básicos para este tipo de análisis.1 Principios de Multi-Resolución
El análisis multi-resolución consiste básicamente en aproximar una función ´Øµ en distintos niveles de . Un análisis multi-resolución requiere un anidamiento de los espacios generados por las funciones escala. de la forma:
Î ¾
Î ½ Î
Î¼ Î ·½
Î½
Ä¾
En la sección anterior se esbozaron varios principios de multi-resolución.
Así tenemos que
esta ecuación puede verse de otra forma aplicando (5. entonces
Ô Ô ´¼µ ¾ ´¾Øµ · ´½µ ¾ ´¾Ø ½µ
´¼µ
(7.7. PRINCIPIOS DE MULTI-RESOLUCIÓN
Î ½
Así el espacio que contiene las señales de más alta resolución contiene también las de más baja resolución.1)
Ô ´Øµ ¾ ´¾Øµ Ø
Ô ½ ´¼µ ¾¾ Ô ¾
Ô ´Øµ ¾ ´¾Ø ½µ Ø
Ô ½ ´½µ ¾¾ Ô¾
entonces (7.1) queda como
lo que nos muestra que la función de escala se puede representar por una versión de ella misma
. Como una forma práctica de mostrar esta propiedad representaremos la función escala de Haar mediante versiones escaladas y trasladadas de ella misma. estos espacios cumplen con la siguiente condición de escalamiento
lo que nos asegura que los elementos de un espacio son simplemente versiones escaladas de los elementos del siguiente espacio.1. Debido a la deﬁnición de [BUR98]
Î .7).
escalada más otra versión de ella misma escalada y trasladada. como el complemento ortogonal de Î en Î forma
Entonces al aumentar
en la función escala mejoraremos la resolución de la representación de la
. PRINCIPIOS DE MULTI-RESOLUCIÓN
Figura 7.1: Espacios anidados generados por la función escala. llamado espacio wavelet. Ï½ y Ï¾ . Así la familia de funciones
´Øµgenerará un espacio
Î ËÔ Ò ¾
donde el super-rayado denota clausura.
Esta residencia de los espacios wavelet en los espacios de escalamiento se muestra en la ﬁgura(7. Ï¼ .1) se muestra la relación entre los espacios expandidos por las funciones escala en sus distintos niveles de resolución. Î¾ . o dicho Debido a esto el espacio Î¿ puede ser representado de la forma
Î¿
Î¼ ¨ Ï¼ ¨ Ï½ ¨ Ï¾
. función ´Øµ.2).3). no mediante el aumento de .1. No obstante una mejor representación de la señal es obtenida. Î½ y Î¼ . En la ﬁgura (7.7. si no que al deﬁnir un nuevo espacio Ï . donde podemos apreciar que dentro del espacio Î¿ se encuentran contenidos Ï¾ . Lo anterior puede expresarse de la siguiente
de otra forma. como se muestra en la ﬁgura (7. Î¿ esta conformado por Î¼ .
Figura 7. por la función escala en distintos espacios.
Figura 7.1.3: Espacios wavelet.2: Representación de la función sin(t).
expandido por la función escala
´Ø µ. la función La función que expande el espacio Ï es la wavelet madre wavelet ´Øµ puede ser representada por una suma de funciones escala. donde
(7.1. ya que Î Î . Como Ï¼ Î½.
´Øµ. por lo que en los puntos donde la pendiente es más suave. la resta tendera a cero.2) hemos representado el espacio Ä¾ solo con espacios wavelet. escaladas y trasladadas.4)
. La escala que se use para expandir el espacio inicial será una decisión del ingeniero. dependiendo su elección del análisis que se realize y de la señal en cuestión. lo que nos entregaría resolución más alta. por ejemplo
Î¼ ¨ Ï¼ ¨ Ï½ ¨ Ï¾ ¨
Î¼ es el espacio inicial. de la
representarse como
Ô ´Òµ ¾ ´¾Ø Òµ
Ò¾
(7. por lo que la función escala puede Ô ´Òµ ¾ ´¾Ø Òµ Ò¾ (7. el detalle. Esto se debe a que los wavelet detectan los cambios de la función. PRINCIPIOS DE MULTI-RESOLUCIÓN
Lo que se puede hacer extensible a todos los espacios siguientes. como
¨Ï ¨Ï ¨ ½.2)
escalas más gruesas entrarían en juego.4) vemos proyecciones de una función en diferentes espacios wavelet.7. y los espacios Ï
irán entregando información más detallada de la señal a medida que crece. Al tomar j=-½ tenemos
De esta manera podemos tomar una escala negativa para el espacio inicial. Así podemos representar nuestro espacio Ä¾ partiendo de una . Ahí se puede observar que a partir del espacio Ï¿ los coeﬁcientes wavelet se concentran en puntos donde la función tiene pendiente distinta de cero. como
¨ Ï ¨ Ï ¨ Ï ¨ Ï ¨
¾ ½ ¼ ½
Como podemos ver en (7. lo que nos lleva a la siguiente ecuación
Ï ½ ¨
¨ Ï ½
Esto nos muestra de nuevo que podemos escoger cualquier resolución para nuestro espacio inicial. junto con la amplitud del coeﬁciente wavelet.3)
Lo anterior es también válido para
´Øµ. que como veremos más tarde se obtiene de la resta de dos muestras sucesivas de la función discreta. En la ﬁgura (7.
usando el sistema Haar. PRINCIPIOS DE MULTI-RESOLUCIÓN
.4: Proyección de una función en diferentes espacios wavelet.1.7.
7. Esta longitud limitará el nivel de descomposición de una señal. El detalle en los distintos espacios wavelet se muestra en la ﬁgura (7. TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET (DWT)
´Òµ se calculan de la siguiente manera [BUR98]
Esta última ecuación es la ecuación de recursión que vimos en el capitulo 5 en (5.5) podemos ver más claramente como mejora la resolución de una representación al cambiar a un espacio escala más grande o de más alta resolución. Esto es análogo para la función escala. si no que al combinar con la función escala una función Wavelet .1.6). Como podemos observar.7. con todas las características que se enuncian en la sección 7.6). ecuación que no muestra ningún método para hacer correr las sumatorias involucradas.
.2) con una correcta notación para y
½ ¾ ½
(7.2 Transformada Discreta Wavelet (DWT)
Hemos dicho ya que una mejor representación de una señal se obtiene no mediante un aumento del espacio Î . es la traslación en Ø y ¾ mantiene constante la norma de la wavelet en difer¾ ¾
entes escalas. para una función ﬁnita de largo Æ .2).2.6)
son los coeﬁcientes de escala. que se observa en (7. los coeﬁcientes
´Òµ ´ ½µÒ ´½ Òµ
Por ejemplo. Deﬁnimos antes (5. ya que no tiene sentido representar una señal que se encuentra en un espacio Î Ò en el mismo espacio. la variable nos dirá en que espacio wavelet esta trabajando nuestra función madre. tenemos
´Òµ ´ ½µÒ ´Æ ½ Òµ
Una función pertenecerá a el espacio Ï si puede ser representada por la función prototipo de una wavelet madre de la forma
´Øµ ¾ ´¾ Ø µ (7. ¾Æ es la longitud de la señal ´Òµ. no es más que (5. La ecuación llamada transformada discreta wavelet (DWT).7).
son los coeﬁcientes wavelet y
nos entrega el
espacio inicial ÎÂ¼ que será el espacio de menor resolución. y dependiendo de este ¼ es que el resto de los índices seguirán corriendo. En la ﬁgura (7.5) donde ¾ es la escala de Ø. cuestión de suma importancia en el momento de hacer una descomposición eﬁciente.
7. TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET (DWT)
Figura 7. y al lado derecho vemos representados estos espacios por la parte sombreada del diagrama.5: Al lado izquierdo vemos la representación de una función mediante el sistema Haar en distintos espacios Î . De abajo hacia arriba tenemos desde el espacio Î¼ hasta el Î .2.
De abajo hacia arriba tenemos desde el espacio Ï½ hasta el Ï . TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET (DWT)
Figura 7.7.
.2. obtenido mediante el sistema Haar en distintos espacios
Ï . y al lado derecho vemos representados estos espacios por la parte sombreada del diagrama.6: Al lado izquierdo vemos el detalle de una función.
la Haar y su función de escalamiento. como una forma de hacer ver la diﬁcultad de realizar este cálculo a mano. La wavelet más antigua y simple.9)
´Øµ ¾ ´Øµ ´Øµ · ´Øµ ·
(7.2. la cual al ser sampleada a una frecuencia de ¾ ÀÞ se transforma en la función por tramos con Ø ¾ ¼ ¾ .7)
(7.10)en (7.7. funciones que utilizaremos para descomponer y luego reconstruir la señal ´Øµ. están deﬁnidas de la siguiente forma:
½ Ô
¼ Ô ½ Ô ¾ Ä ´Êµ
½ ¾ ½ ¾ ¾
½ × ¼ Ø ¼ ½ × Ø ½ ½ × ¼ Ø ½ ¼ Ð Ö ×ØÓ
(7. y luego entraremos en la teoría de banco de ﬁltros que aliviará en forma sustancial el trabajo realizado.6) y desarrollamos la sumatoria para
¼¼ ¼¼ ½¼
¾ ´¾Øµ ·
¼:
(7. intervalo que trasladaremos a ¼ ½ con el ﬁn de trabajar en el mismo dominio de la función escalamiento y la wavelet haar.11)
¾ ´¾Ø ½µ · ¾ ´ Øµ ·
¯ ´Øµ ½ × ¼ Ø ½ ½× ¼ Ø ¼ ¯ ´Øµ ½× ¼ Ø ½ ¯ ´¾Øµ ¯ ´¾Ø ½µ ¯ ´ Øµ
½ × ¼ ¾Ø ¼ µ ´¾Øµ ½× ¼ ¾Ø ½ ½× ¼ ½× ¼
½× ¼ Ø ¼ ¾ ½× ¼ ¾ Ø ¼
½ × ¼ Ø ¼ ½¾ ½× ¼ ½¾ Ø ¼ ¾
.8)
´¾ Ø µ ´¾ Ø µ
(7.9) y (7. ¾¿ Tomemos la función ´Øµ × Ò´Øµ.10)
ahora si reemplazamos (7. TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET (DWT)
Desarrollaremos ahora la DWT para el sistema Haar.
que esta función esta deﬁnida sólo para Ø ¾
que la función ´Øµ esta descompuesta. ¾¼ ´Øµ ¾´¾ ¾µ ´¾¾ Ø ¼µ ¾ ´¾Ø ¼µ ¾ en Ø ¾ ¼ ¼ ½¾ . en la ﬁla 1 tenemos el valor de cada uno de los coeﬁcientes en Ø ¾ ¼ ¼ ½¾ . e.7. i. y cada ﬁla representa cada uno de los intervalos de tiempo en
¼ ¼¾
donde los componentes de cada ﬁla de la matriz 8x8 representan los valores de ¼¼ ´Øµ y ´Øµ en el mismo orden en que aparecen en (7. Ahora este mismo coeﬁciente en la ﬁla 2 es ¾¼ ´Øµ ¾ en Ø ¾ ¼ ½¾ ¼ ¾ .2. TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET (DWT)
¯ ´ Ø ½µ ¯ ´ Ø ¾µ ¯ ´ Ø ¿µ
½× ¼ ¾ ½× ¼ ¿
¼¿ Ø ¼
½× ¼ Ø ¼ ¾ ½× ¼ ¾ Ø ¼ ½× ¼ ½× ¼
entonces podemos representar la señal en forma matricial de la siguiente forma:
¼ Ô ½ Ô
½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
Ô ½ Ô¾ ¼ ½ Ô ¼ ¾ ½ Ô¾ ¼ ¼ ½ ¾ Ô ½ ¼ Ô¾ ½ ¼ ¾ Ô ½ ¼ Ô¾ ½ ¼ ¾
¾ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼
¼ ¼ ¾ ¾ ¼ ¼ ¼ ¼
¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¾ ¼ ¼
¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¾
¼¼ ¼¼ ½¼ ½½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾¿
(7. esto es.
Ahora que tenemos la ecuación matricial (7.
½ Ô¾ ½ Ô
(7.13) podemos obtener el valor de los coeﬁcientes que nos ayudarán a reconstruir la señal original.g.e .11) . y en todas las otras ﬁlas ¾¼ ¼.13)
¼ ¼ ¼¿ ¼ ½ ¼½ ¼ ½ ¼ ¼ ¿¾ ¼½ ¼ ¼ ¿¾
Hemos logrado aquí descomponer la señal discreta hasta ser representada sólo por un coeﬁciente escala o de aproximación.12) y
¼¼ ¼¼ ½¼ ½½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾¿ ¼
¼.15)
¾¼ ¾½ ¾¾ ¾¿ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾¿
¼½ ¼ ¾ ¼ ½ Ô ½Ô ¼ ¾ ¾ ¾ ¼ ½ ¼ ¼ ¿¾ ¼½ ¼ ¼ ¿¾
(7.2. como lo veremos en el capítulo siguiente.7. descompondremos la señal para distintos espacios iniciales Î ¼ :
½¼ ½½ ½¼ ½½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾¿
¼ ¾ ¼ ¾ ¼ ½ ½ Ô ¼½ ¾ ¼ ½ ¼ ¼ ¿¾ ¼½ ¼ ¼ ¿¾
(7. Ahora que conocemos el procedimiento para calcular los coeﬁcientes. y el resto sólo coeﬁcientes wavelet.16)
. TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET (DWT)
donde es la matriz 8x8 de la ecuación (7. Esto será de gran importancia en la limpieza y compresión de señales.
se aplica sobre muestras de datos digitales de una señal perteneciente al dominio análogo.
estaremos disminuyendo los coeﬁcientes wavelet. el procesamiento digital de señales. es que permite el diseño y aplicación de rápidos algoritmos para el cálculo computacional. hasta llegar a representar la señal original solo con coeﬁcientes escala.1 Representación de señales
El análisis de señales mediante la transformada continua wavelet (CWT) está deﬁnido sobre señales análogas de energía ﬁnita.17)
Queda claro que al acercar el espacio inicial Î ¼ a el espacio Î
en el cual reside la señal original.3. El gran tamaño de los cálculos matemáticos hace necesario buscar una manera eﬁciente de realizar la DWT.3 Transformada rápida Wavelet (FWT) y banco de ﬁltros
Una de las principales razones por las cuales la transformada wavelet es una potente herramienta matemática para el análisis de señales.3.
7.7. debido a que fue representada sólo con funciones escala pertenecientes al espacio al cual pertenece la señal original. es por eso que debemos conocer la teoría de banco de ﬁltros que nos guiará a la obtención de la transformada rápida wavelet (FWT). Como podemos observar la última descomposición nos entregará una reconstrucción perfecta de la señal original. Supongamos que tenemos una señal ´Øµ ¾ Ä¾ conocida para todo Ø (o para una discretización en el dominio del tiempo lo suﬁcientemente densa). TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
¿¼ ¿½ ¿¾ ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿
¼ ¾ Ô ¾ ¼ ¾ Ô ¾
½ ÔÔÔ ¾ ¾ ¾
Del Inglés Å ÙÐØ Ö ×ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ð ×Ý×
7. tal como su nombre lo indica. entonces de acuerdo con la propiedad de MRA1
[BUR98] [CHU97]
´Í ¾ Î µ Ä ´Êµ
(7. Sin embargo.
de acuerdo a lo expuesto en la sección anterior. ya que el intervalo de tiempo dado para cada sampleo está controlado por una potencia de 2.7: (a) Señal original.21)
De esta forma se logra lo que se denomina una representación diádica de la señal [BUR98].
es posible aproximar tan cerca como se desee mediante un modelo Ò ¾ ÎÒ con Ò ¾ Ê.2 Descomposición de señales unidimensionales (Análisis)
El principal objetivo de la descomposición de una señal mediante la DWT se basa en que. En otras palabras. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
Figura 7. son aplicados sobre el set de coeﬁcientes
(7.3. De hecho.19)
donde los coeﬁcientes escalares
son los encargados de representar la señal en el dominio dis-
creto o digital.7. (c) Modelo en el dominio análogo. es decir.20)
Uno de los métodos más efectivos para realizar este modelamiento es la que consiste en que los coeﬁcientes Ò sean escogidos de tal manera que representación discreta ´ ¾Ò µ para Ø ¾Ò . la importancia de la representación de señales mediante funciones escala es que los algoritmos diseñados para la transformada discreta wavelet se aplican a datos de entrada que han sido modelados mediante una función escala. siendo el modelo Ò ¾ ÎÒ una representación de la señal original
. (b) Modelamiento de sampleos digitales mediante la función Haar escala con una longitud
de Æ
ÒØ ÖÔÓÐ ÓÒ [CHU97] Ò ´Øµ concuerde con la
´ ¾Ò µ
7. de tal manera que este modelo lo podemos representar como una combinación lineal de funciones escala
¾ Ò ´¾ÒØ µ
(7.3. un modelo Ò de una señal análoga correspondera a un set de valores discretos cuya longitud será de Æ ¾Ò.
.3.23)
(7. es posible escribir
Ò Ò ½
Ò ½
¾ ÎÒ ½
¾ ÏÒ ½
De la ecuación básica de recursión (5.7. Utilizando (7.21) podemos representar una señal unidimensional de energía ﬁnita mediante los coeﬁcientes Ò como
También sabemos que tanto
¾ Ò ¾
´Øµ ´¾Ò Ø µ Ø
(7. sino más bien con los coeﬁcientes relacionados a estas funciones.29)
´¾Ò Ø µ
Ô ´Ôµ ¾ ´¾ÒØ ¾ Ôµ
ÎÒ ½ ÎÒ
ÏÒ ½ ÎÒ ½ ¨ ÏÒ ½
(7.7) podemos obtener una representación tanto para como para ´¾Ò ½ Ø µ
(7.19) y (7.25)
Ahora bien el desarrollo de bancos de ﬁltros y el diseño de rápidos algoritmos no se relaciona en forma directa con las funciones escala y wavelet. Entonces. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
mediante funciones escala solamente (apropiadas para un análisis multi-resolución). el primer paso en la descomposición es poder encontrar los coeﬁcientes Ò ½ y en términos de Ò .26)
´Øµ como ´Øµ generan bases ortogonales en Ä
de tal manera que el
cálculo de Ò ½ y Ò ½ se realiza a través del producto interno de la señal con la función escala y wavelet respectivamente
´Øµ¾ Ò ´¾Ò Ø µ Ø
Más especiﬁcamente corresponde a un ﬁltro pasa-bajo y ½ a un ﬁltro pasa-banda. al aplicar esta operación sobre una señal digital real.36) corresponde a una convolución discreta [CHU97]. La secuencia de entrada dada por Ò es convolucionada con y ½ para obtener por una lado una representación más “suave” de la señal original caracterizada por los coeﬁcientes escala Ò ½ . podemos
¾ Ò ´¾Ò Ø µ ·
¾ Ò ´¾Ò Ø µ
(7.3.27) y (7.26) de la forma
.7.32)
e intercambiando la integral con la sumatoria obtenemos
´Øµ¾ Ò ´¾ÒØ Ñµ Ø
(7. En otras palabras. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
que reemplazando en las integrales de (7. nos daremos cuenta que nuestros datos de salida estarán comprendidos por el doble de datos de entrada.33)
´Ñ ¾ µ Ò Ñ
(7. Por lo tanto. Sin embargo.36)
La operación realizada por (7.35) y (7. cada uno con una longitud
. las integrales son idénticas y corresponden al coeﬁciente Ò Ñ . y por otro lado el detalle de la señal representado por los coeﬁcientes wavelet reescribir (7.34)
Podemos observar que en las ecuaciones (7.28) y haciendo un cambio de variable Ñ nos da
¾ ·Ô
El hecho de que los coeﬁcientes escalares representen la forma general de la señal original y los coeﬁcientes wavelets el detalle se debe a que los coeﬁcientes y ½ actúan como ﬁltros digitales.31)
´Ñ ¾ µ¾ Ò ´¾ÒØ Ñµ Ø
(7.34).33) y (7. si tenemos una señal de 1024 muestras obtendremos una aproximación y un detalle de la señal original. de tal manera que hemos logrado establecer la representación de los coeﬁcientes escala y wavelets en un nivel de resolución más bajo en términos de los coeﬁcientes escala en un nivel de resolución más alto
descargando todos de la señal original. Una descripción esquemática de lo anteriormente expuesto se ilustra en la
ﬁgura (7. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
Figura 7.3 Reconstrucción de señales unidimensionales (Síntesis)
Hemos visto como trabaja la DWT para analizar o descomponer una señal.38)
multiplicando ambos lados por
´¾ÒØ µ e integrando con respecto al tiempo
Proveniente del inglés
ÓÛÒ× ÑÔÐ Ò
.7.7) para reemplazar ´¾Ò ½ Ø Ñµ y ´¾Ò ½ Ø Ñµ en (7.37) obtenemos una nueva expresión para de la forma
Ò ½Ñ
´Ôµ¾ Ò ´¾ÒØ ¾Ñ Ôµ ·
´Ôµ¾ Ò ´¾ÒØ ¾Ñ Ôµ
(7. de 1024 datos también. A este proceso de reconstrucción se le denomina síntesis y corresponde a la inversa de la transformada discreta wavelet (IDWT). Para resolver este problema. La otra mitad de la historia consiste en como recuperar la señal original sin pérdida de información a partir de las componentes obtenidas durante el análisis.8: Descomposición wavelet donde el dos con la ﬂecha hacia abajo representa la operación de subsampleo. Para lograr esto observemos que si utilizamos la ecuación de recursión (5. toma una señal ÜÒ y produce una salida ÝÒ los valores de índice impar.3. una vez realizada la convolución discreta sobre el set de datos de entrada se aplica una operación denominada ×Ù × ÑÔÐ Ó2 que realiza un diezmado
Ü¾Ò . En otras palabras.
7.3.8). es decir. lo que se desea hacer es poder representar los coeﬁcientes escala en un nivel de resolución más alto mediante una combinación de los coeﬁcientes escala y wavelets en un nivel de resolución más bajo.
haciendo el cambio de variable Õ
Ò Ò ½Ñ
´ÔµÆ´ Õµ ·
´ÔµÆ´ Õµ
(7. el de análisis y síntesis. El supsampleo es una operación que inserta ceros entre cada sampleo con el ﬁn de aumentar al doble la longitud de las componentes de entrada (coeﬁcientes de aproximación o escala y coeﬁcientes de detalle o wavelet) de tal manera que la señal obtenida después del ﬁltrado tenga la misma longitud que la señal original. Este proceso se puede observar en la ﬁgura (7.3.7.
Así como en el análisis se hace un ﬁltrado y un subsampleo. en la síntesis se realiza un ×ÙÔ× ÑÔÐ Ó3 y posteriormente un ﬁltrado.39)
´Øµ ´¾ÒØ µ Ø y el set
es ortonormal. Estos procesos son iterativos de tal manera que en
Proveniente del inglés upsampling
. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
´Øµ ´¾ÒØ µ Ø ·
´Ôµ¾ Ò
´¾ÒØ ¾Ñ Ôµ ´¾ÒØ µ Ø
´Ôµ
entonces ﬁnalmente
Õµ
½ × ¼ ×
´¾Ñ µ ·
Ò ½Ñ ½
´¾Ñ µ
(7.9) .4 Múltiples Niveles Análisis .39) se tiene que
´ÔµÆ´ ´¾Ñ Ôµµ · ¾Ñ Ô
´ÔµÆ´ ´¾Ñ · Ôµµ
entonces de acuerdo con (7. constituyen lo que se denomina un sistema de banco de ﬁltros de 2 canales.Síntesis
Los procesos explicados en las dos secciones anteriores.3.
A modo de ejemplo mostraremos una descomposición y reconstrucción utilizando la Haar wavelet. tienen una longitud de ½ ¾¼ .3. Como vimos en el capítulo 6. Obviamente en la práctica estos procesos no pueden repetirse en forma inﬁnita. siendo el nivel de resolución de la señal original el que pone el límite.11). en el análisis dividimos la señal original en una aproximación y un detalle correspondientes al primer nivel de descomposición. Lógicamente el número de veces que se realiza este proceso hasta llegar nuevamente a la señal original depende del grado de descomposición al que se llegó en el análisis. obteniéndose como resultado una mejor aproximación a la señal correspondiente al primer nivel de reconstrucción. Una explicación más detallada puede expresarse de la siguiente manera: Supongamos una señal con una longitud Æ ¾Ò . teoría pueden repetirse en forma inﬁnita con la salvedad que el proceso de síntesis depende del análisis. aumenta su longitud al doble mediante el supsampleo y realiza la convolución discreta con los respectivos ﬁltros.10). lo que signiﬁca que el número de iteraciones posibles de realizar es de Ò ÐÓ ¾ Æ . TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
Figura 7. Este procedimiento se vuelve a repetir
hasta que la aproximación y el detalle están representados por un sólo coeﬁciente.
La síntesis por su lado toma la aproximación y el detalle.7. luego la aproximación de longitud igual a ¾Ò ½ es nuevamente dividida obteniendo una nueva aproximación y detalle correspondientes a un segundo nivel de descomposición. como se observa en la ﬁgura (7. los coeﬁcientes y ½ corresponden a
. A este conjunto de coeﬁcientes se le denomina Î
ØÓÖ Ï Ì .9: Reconstrucción Wavelet donde el dos con la ﬂecha hacia arriba representa la operación de supsampleo. De esta forma se obtiene un vector de longitud Æ que contiene un sólo término encargado de representar la forma general de la señal (coeﬁciente escala) y todos los otros términos con información sobre el detalle obtenido en los diferentes niveles de descomposición (coeﬁcientes wavelets) como se ilustra en la ﬁgura (7.
TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
Figura 7.11: Estructura de una reconstrucción multiresolución.
Figura 7.10: (a) Estructura de una descomposición multiresolución.DWT obtenido de la descomposición.3. (b) Vector .7.
.36) podemos obtener nuestra primera descomposición de la forma
Â ½
½ Ô ´Â · ¾
Â ¾ ·½
(7.35) y (7. ambos de longitud ¾.12) como se realiza la convolución discreta entre los ﬁltros y ½ con la señal original
donde los Â son los coeﬁcientes correspondientes a la señal original. es decir.3.46)
permitiéndonos una reconstrucción perfecta de la señal. El paso siguiente es mantener el detalle y volver aplicar el algoritmo a los coeﬁcientes de aproximación dando como resultado una nueva aproximación más general y un nuevo detalle. uno encargado de la aproximación a la señal original y el otro encargado del detalle. ¾Â es la En otras palabras Â es el nivel de resolución más alto con el cual se puede trabajar y Æ
y el posterior subsampleo de tal forma que se obtienen dos set de coeﬁcientes. Este proceso se puede repetir una vez más ya que tanto la longitud de la nueva aproximación como del nuevo detalle será igual a ½.44)
¾¿ longitud de la señal original.43) y (7. Las ecuaciones arriba también pueden ser deducidas a partir de (7. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
´¼µ ½ ´¼µ Ô ¾
½ ´½µ Ô ¾
Como la aproximación está relacionada con un promedio y el detalle con diferencias. ambos de longitud . Para reconstruir la señal a partir de los coeﬁcientes escala y wavelet pertenecientes al primer nivel de descomposición observamos que si sumamos y restamos (7.45)
½ Ô ´ Â ¾
(7.14). supongamos una señal con una longitud Æ deﬁnida como ¾ ½ ½ ¿ . En la ﬁgura (7. Aplicando el algoritmo de descomposición se puede ver en la ﬁgura (7.13) se puede ver como se realiza el proceso de supsampleo y posterior convolución para reconstruir la señal en forma perfecta mediante la suma de los coeﬁcientes de reconstrucción escala y wavelet como se ilustra en la ﬁgura (7.43)
½ Ô ´Â ¾
(7.7. entonces de acuerdo con (7. los datos de entrada.44) obtenemos las expresiones
½ Ô ´ Â · ¾
(7.42).
.3. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
Figura 7. Ambos procesos se realizan en forma paralela.12: Se observa la aplicación del algoritmo sobre una señal de longitud Æ para obtener (a) Los coeﬁcientes de aproximación y (b) los coeﬁcientes wavelet.7.
Figura 7.3.
.7.13: Esquema de reconstrucción a partir de un nivel de descomposición.
7.3. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
Figura 7.14: La suma de las reconstrucciones obtenidas de los coeﬁcientes escala y wavelet nos entrega la señal original. Hasta el momento se ha realizado sólo una descomposición y reconstrucción. Sin embargo, el objetivo principal de un análisis wavelet es obtener el vector - DWT ya que es este el que contiene información útil para la aplicación de esta herramienta en diferentes campos del procesamiento de señales tales como compresión, limpieza de ruido, detección de singularidades, detección de comportamiento comportamientos similares, etc. Tanto el proceso de descomposición en forma iterativa como el de reconstrucción se observan en la ﬁgura (7.15) y (7.16) respectivamente.
Figura 7.15: Análisis multiresolución de ¾ con vector - DWT. Observar que ¼
¾ ½ ½ ¿ y obtención de los coeﬁcientes sólo como número entero.
que conforman el
Figura 7.16: Esquema de Reconstrucción.
análisis tiempo .edu/˜rpolikar
8. sismología.
8. Wavelets ha sido aplicado a una gran cantidad de problemas relacionados con el procesamiento de señales: detección [SAP98]. El desarrollo de este capítulo se centrará en otorgar una explicación general de algunas aplicaciones (quizás las con mayor investigación y/o cobertura) donde se utilize wavelets. limpieza de Ruido [SAP95]. compresión [TAM99]. también ha sido utilizada en electroencefalogramas para el diagnóstico de desórdenes neuroﬁsiológico. etc.1 Biomedicina
Debido a la naturaleza no estacionaria de la mayoría de las señales biológicas. robótica.1. especialmente en problemas concernientes a la extracción de características o detección de comportamientos en señales durante pequeños intervalos de tiempo. wavelet ha tenido un gran éxito en el campo de la Ingeniería Biomédica. En este campo la transformada wavelet ha sido utilizada para el análisis de electrocardiogramas con el objeto de poder diagnósticar desórdenes cardiovasculares.public.1 Análisis de transientes
La transformada wavelet ha emergido como una efcetiva herramienta para el análisis de señales transientes o no estacionarias. en variadas disciplinas tales como medicina.iastate. acústica. Wavelet ha sido también utilizada en la detección de microcalciﬁcaciones en mamogramas y el procesamiento de tomografías e imágenes de resonancia magnética1 . La propiedad de localización de la Transformada Wavelet es particularmente atractiva.frecuencia [PED99].
Para mayor información puede consultar la dirección internet http://www. tales como detección seizure o análisis de potencial evocado para la detección de la enfermedad de Alzheimer [POL97]. estadística. clasiﬁcación. análisis de transientes.Capítulo 8 Aplicaciones
Ya en este punto hemos desarrollado un completo marco teórico sobre wavelets por lo que estamos en condiciones de aplicarlo al procesamiento de señales acústica. criminología.
Proyectar la señal original a un subespacio multi-resolución grande. es el proyecto llevado a cabo por el FBI para el diseño de un standard de compresión en la digitalización de su base de datos correspondiente a imágenes de huellas digitales.2% (se eliminan los coeﬁcientes wavelet menores al 0.2 Compresión
La base o principio en la utilización de wavelets en compresión es aprovechar que los coeﬁcientes en los espacios Ï son ’pequeños’ si la señal analizada se comporta en forma suave y ’grandes’ si la señal a analizar varía en forma notoria. Este algoritmo utiliza un sistema de banco de ﬁltros de 32 bandas en conjunto con la FFT como analizador de espectro para calcular la ’curva de enmascaramiento’ que se utiliza como umbral (Basado en la percepción auditiva del oído humano) dejándo pasar sólo las componentes de frecuencia dominantes.) a 128 Kbits/sec en mono y a 256 Kbits/sec en stereo. Existen tres pasos fundamentales en el proceso de compresión con wavelets: 1. COMPRESIÓN
8. Este algoritmo comprime señales de audio de 700 Kbits/sec (calidad de CD por ej.html
.lanl.2. 3.2 Compresión de Audio
En la compresión de Audio uno de los algoritmos de codiﬁcación más conocidos corresponde al MPEG audio.1 Compresión de Imágen
En la compresión de imágen. que un sistema wavelet multinivel puede ser utilizado en reeemplazo del sistema de banco de ﬁltros de 32 bandas [CHU97].8.2. Un ejemplo sobre este uso es el standard MPEG layer 3 más conocido como MP3.
Para mayor información puede consultar la dirección internet http://www.c3. Aplicar el algoritmo de descomposición wavelet. entonces se puede observar. Establecer un esquema de cuantización.2.gov/˜brislawn/FBI/FBI. Esto sugiere que pueden eliminarse o hacerse cero los coeﬁcientes pequeños y la señal sintetizada o reconstruída no variará mucho.
ÎÒ con un Ò lo suﬁcientemente
8. Ahora bien ya que el algoritmo de descomposición utilizado por la transformada discreta wavelet es análogo a un sistema banco de ﬁltros de dos bandas.2% del máximo coeﬁciente) es posible lograr un radio de compresión de 11:1 [TAM99]. 2. El algoritmo utilizado por el FBI se conoce como Ï Ú Ð Ø Ë Ð Ö
ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ o Ï ËÉ2 [BRA93]. Uno de los grandes logros es la implementación de wavelets. estudios han demostrado por ejemplo que al procesar una imágen de 512x512 pixels utilizando el sistema wavelet Daubechies 4 (ver apéndice) con un umbral del 0.
Con respecto a los coeﬁcientes wavelet cuyo valor absoluto resulte mayor que el umbral establecido.
8.1: Efecto del umbral duro y suave aplicado sobre un conjunto de coeﬁcientes. etc. LIMPIEZA DE RUIDO
8. desviación media absoluta. si nosotros establecemos un umbral sobre los coeﬁcientes wavelet con el ﬁn de reducir su número eliminando los coeﬁcientes de valores pequeños (considerados como ruido) y dejando sólo aquellos coeﬁcientes considerados como signiﬁcativos de acuerdo a un cierto criterio. sea la señal original con ruido y la señal obtenida después de establecer un umbral. Umbral Duro: Si el valor absoluto del coeﬁciente es mayor que el umbral seleccionado. al realizar una reconstrucción sólo obtendremos una aproximación de la señal original. o pertenecientes al detalle de la señal.3 Limpieza de Ruido
Gracias al análisis multiresolución se vió que podíamos separar el comportamiento general y el detalle de una señal y luego reconstruir en forma perfecta la señal original a partir de la descomposición wavelet. existen dos formas de ser procesados: 1. Además.3. el hecho de establecer un umbral signiﬁca que todos los coeﬁcientes wavelet.8. entonces.1)
La elección del umbral óptimo ha sido un tema estudiado por varios investigadores [SAP95] tales como Donoho y Johnstone [DON92] los cuales se basan principalmente en parámetros estadísticos como la desviación estándar. se desea que el error medio cuadrado resulte en un valor lo más pequeño posible
Ê´
(8.3.1 Criterios de umbral
Profundizando lo mencionado anteriormente. que resulten ser menores que el valor del umbral serán igualados a cero ya que ellos pueden ser omitidos sin afectar en forma substancial las características principales de los datos de entrada. Ahora bien. se
. la idea es que una versión más clara de la señal original resulte cuando sólo las componentes más signiﬁcativas son retenidas.
ya que los coeﬁcientes wavelet en este nivel son. Umbral Suave: Si el valor absoluto del coeﬁciente es mayor que el umbral seleccionado.
¦Ì lo cual no ocurre
¾ÐÓ ´Æ µ
(8. El primer análisis lo
.2 Desarrollo experimental con datos ﬁcticios
El primer paso en el proceso de limpieza de una señal es obtener el umbral a utilizar. La elección del umbral se realizó utilizando un método propuesto por Donoho y Johnstone [SAP95]. En otras palabras.5)
Como se observa en la ﬁgura (8. Variados estudios han determinado que la elección del umbral depende directamente del nivel de ruido de los datos de entrada.7)
Ya con estos datos estamos en condiciones de hacer nuestro análisis wavelet. sea establecido y los coeﬁcientes wavelet.1) el umbral duro produce discontinuidad en con el umbral suave. El tipo de umbral seleccionado se calculó de acuerdo con la siguiente fórmula:
con Æ igual a la longitud de la señal original. entonces
Ì el valor del umbral
× ÒÓ´
¼ µ´
(8. Este método propone que el nivel de ruido de los datos de entrada se calcule como la media absoluta de los coeﬁcientes wavelet obtenidos en el primer nivel de descomposición dividida por ¼ .8. en caso contrario se iguala el coeﬁciente a cero al igual que el umbral duro. sea del umbral establecido y los coeﬁcientes wavelet.4)
Ìµ
(8. LIMPIEZA DE RUIDO
mantiene el coeﬁciente y en caso contrario se iguala a cero.3)
(8. con unas pocas excepciones. entonces
Ì el valor
(8. ¸
(8. esencialmente puro ruido. se modiﬁca el coeﬁciente restando el umbral a su valor absoluto. En otras palabras.
3.3: Descomposición wavelet realizada con la Daubechies 2 (Lado izquierdo).
Figura 8. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8.8.2: Señal que representa un efecto doppler con un nivel de ruido bastante notable (1024 muestras). Coeﬁcientes obtenidos después de haber sido comparados con el umbral (Lado derecho).
2). La secuencia de trabajo se resume de la siguiente manera: 1.6). Obtención del porcentaje de energía retenido
×½ ×
¿ ±
donde ×½ corresponde a la señal reconstruida y × a la señal original. Cálculo del umbral
3. El software utilizado fue Matlab en conjunto con el toolbox de wavelet cuyo uso fue exclusivamente para corroborar resultados (ﬁgura (8. 5.3. y al igual que para los Æ ½ Æ ).3. Descomposición de la señal hasta el quinto nivel ( ver ﬁgura (8. 4. se realizaron cinco descomposiciones (
.3)). La función wavelet madre a utilizar será la Daubechies 2 (ver apéndice) y la descomposición se realizará hasta el quinto nivel. como se observa en la ﬁgura (8.4)).
8. compuesta de 1024 muestras lo que nos permite realizar hasta diez descomposiciones. El umbral utilizado datos artiﬁciales. LIMPIEZA DE RUIDO
realizaremos con una señal artiﬁcial correspondiente a un efecto doppler con ruido. La wavelet utilizada para este análisis fue la Daubechies 4 (ver apéndice).8.5)). 6. Reconstrucción de la señal con los nuevos coeﬁcientes wavelet (ver ﬁgura (8.3)). Cálculo del nivel de ruido
2.3. se prosiguió a analizar una señal real la que se ilustra en la ﬁgura (8.3 Desarrollo Experimental con señales reales
8.1 Tratamiento de señales reales obtenidas de las vibraciones de un motor Una vez comprobado el método de limpieza de ruido con datos artiﬁciales. Aplicación de umbral suave sobre los coeﬁcientes wavelet obtenidos en cada nivel de descomposición (ver ﬁgura (8. Esta señal corresponde a vibraciones de un motor rotatorio las cuales fueron tomadas con un medidor de vibraciones Bruel & Kjaer modelo 2513. Obtención del error cuadrático medio
El porcentaje de energía conservado fue
de 93.
Figura 8.3.8.8 %. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8.4: Señal reconstruida utilizando los coeﬁcientes wavelet procesados mediante umbral suave.5: Comparación visual entre la señal original y la señal reconstruida.
entregó un valor de ¼ ¼½ lo que causó la eliminación total de los primeros 4 niveles de descomposición.6: Señal correspondiente a vibraciones de un motor rotatorio (Arriba).8. Si obtenemos los espectros de Fourier tanto de la señal real como de la señal limpia (ﬁgura (8. Señal después de haber sido procesada (Abajo).3. nos podemos dar cuenta que después de la aplicación del método. que para el caso corresponden a frecuencias bajas. Este supuesto genera casi en forma autómatica la inquietud :. Esto nos lleva a pensar que el método elimina ÖÙ Ó el comportamiento suave de la señal el cual está asociada a componentes de baja frecuencia. sólo los primeros 2500 sampleos se graﬁcaron. eliminándose las componentes de frecuencia que portan menos ÐØ Ö Ù Ò ya que mantiene energía. Para una visualización más clara. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8.7).8)). El error cuadrático medio y el porcentaje de energía retenido fueron de:
¿¿Ü½¼ ±
Se observa para este caso que el nivel de ruido de la señal es totalmente identiﬁcable y notoriamente diferenciable del comportamiento suave de la señal. dejando sólo algunos coeﬁcientes wavelet pertenecientes al quinto nivel de descomposición como se observa en la ﬁgura (8.¿ Que ocurre si el ruido es de baja frecuencia
. se mantienen las componentes de frecuencia con mayor contenido energético.
3. a una tasa de muestreo de 44. Con el ﬁn de tratar señales reales al aire libre y analizar la inquietud nacida del caso anterior. y la señal que queremos obtener es de alta frecuencia?. paso de vehículos y ruidos característicos de la urbe. Los datos fueron tomados utilizando un micrófono condensador omnidireccional Audio Technica y un Dat Portátil Tascam DA .P1. Como el método explicado en la sección anterior asume que el ruido en una señal es de componentes de alta frecuencia.7: Coeﬁcientes de descomposición wavelet obtenidos utilizando la Daubechies 4 (lado derecho). LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8. se obtuvo un set de datos correspondiente a sonidos de pájaros con alto nivel de ruido de fondo proveniente de faenas constructoras.10). una cuantización de 16 Bit y utilizando un canal del Dat.9). Esta señal se ilustra en la ﬁgura (8. lo que como pensábamos nos entregó el sonido de los pájaros más componentes de ruido de alta frecuencia (Hiss). Se realizaron hasta cinco niveles de descomposición los que se ilustran en la ﬁgura (8.2 Tratamiento de señales reales obtenidas al aire libre. 8. Coeﬁcientes Wavelet obtenidos después de haber sido comparados con el umbral seleccionado (Lado izquierdo). La percepción auditiva de esta nueva señal no fue
.8.3.3. se procedió a restar a la señal original el resultado obtenido de la limpieza.1 KHz. Mediante una percepción auditiva de la señal original nos dimos cuenta que el sonido de los pájaros estaba compuesto por frecuencias notoriamente más altas que el ruido de fondo. El objetivo de este tratamiento se centró en aislar el trinar de los pájaros del ruido de fondo utilizando un análisis multi-resolución con la wavelet Daubechies 4 (ver apéndice).
Esta descomposición. Mediante este método se conservó el espacio ¾ y ¿.8: Representación del espectro de la señal original y de la señal limpia. eliminándose en su totalidad los coeﬁcientes correspondientes a los espacios ½ y . la que se realizó utilizando la wavelet Daubechies 6 (ver apéndice) en cinco niveles. nos permitió aislar más componentes pertenecientes al trinar de los pájaros. ¿ y cuencia del cantar de los pájaros.
satisfactoria ya que subjetivamente cambiaba el espectro del sonido de los pájaros.11). El primero de estos espacios contenía sólo mente en dos espacios.3. El nuevo criterio fue escuchar cada espacio wavelet y seleccionar aquellos espacios en los cuales el sonido de los pájaros fuera más claro y nítido. correspondientes al ¿ y al componentes de interés. La diferencia en las componentes
. mientras que el segundo además de contener componentes de interés presentaba ruido. ¿ . Al reconstruir de los pájaros. debido a que estas se concentraron auditiva. El espacio . pero perdimos algunas frecuencias que se encuentran en el espacio
conservamos prácticamente todas las componentes de frela señal con los espacios ¾. Repetimos la experiencia cambiando el umbral en los distintos espacios wavelet lo que no nos entregó mejores resultados auditivos que el anterior. Al reconstruir la señal con los espacios ¾. ¿ y ¿ logramos una buena aislación del cantar . que se ilustra en la ﬁgura (8. que no aportaban componentes de frecuencia en el rango buscado. por lo que se decidió hacer una nueva descomposición sobre este espacio.8. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8. pero incluimos un poco de ruido. además de ruido. contenía cierta información de interés. Debido a esto se decidió aplicar otro criterio para lograr nuestro objetivo.
grabación.13). LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8. en su mayoría. alternativa que ha probado su eﬁcacia y potencialidad.
componentes de frecuencias bajas. ¿ y Como podemos observar en la ﬁgura (8.
. Más nuestro punto de vista es tomar el análisis Wavelet como una alternativa a estos procedimientos.9: Señal original. y una visualización tiempo .frecuencia de la señal original y la reconstrucción empleando los espacios ¾. trabajo que podría haber sido realizado por un ﬁltro pasa altos al momento de grabar o por un ecualizador en un proceso post .3.8.13) el análisis realizado permitió eliminar. se observa en la ﬁgura (8. de frecuencia de estas dos últimas reconstrucciones se pueden apreciar en la ﬁgura (8.12). ¿ .
8. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8.10: Descomposición de la señal original realizada con la wavelet Daubechies 4.3.
8.11: Descomposición de los coeﬁcientes d4 usando la wavelet Daubechies 6.3.
. LIMPIEZA DE RUIDO
3. ¿.
¿.8.12: Transformada de Fourier de las reconstrucciones de la señal original. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8. En rojo: mediante los espacios
¾.
8.3. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8.13: Arriba: Transformada Continua Wavelet de la señal original; Abajo: Transformada Continua Wavelet de la
reconstrucción con los espacios
¾, ¿
. Ambas representaciones fueron obtenidas utilizando la wavelet Morlet.
8.4. CONCLUSIONES
8.4 Conclusiones
1. Hay que dejar en claro que Wavelet no ha aparecido como la herramienta que desplaza a la Transformada de Fourier (TF), sino más bien como una herramienta que puede complementarse con la TF, o ser una correcta o no correcta elección dependiendo del tipo de señal a analizar o de la aplicación en la cual se desee utilizar. 2. Las funciones bases ocupadas por Fourier son el seno y coseno cuyo soporte es inﬁnito. Las funciones bases de wavelet son versiones dilatadas y trasladadas de una función de soporte compacto (o ﬁnito), llamada wavelet madre, denotada comúnmente por . 3. Las bases de Wavelet, al ser muchas y muy distintas, se adaptan muy bien a diversas aplicaciones y tipos de señal, dando incluso la posibilidad de crear una nueva base para una aplicación especiﬁca o para un determinado tipo de señal. 4. En el análisis de señales no estacionarias la transformada de Fourier no es óptima ya que aunque entrega una información completa del contenido espectral de la señal, no es capaz de localizar en el tiempo las componentes de frecuencia. 5. La transformada corta de Fourier permite hacer un análisis tiempo - frecuencia de señales no estacionarias, ya que segmenta la señal utilizando una función tiempo - ventana (ventana Cuadrada, Hanning, etc) y calcula la transformada de Fourier sobre cada segmento. El problema reside en la rigidez del ancho de la ventana que se mantiene ﬁjo durante el análisis de la totalidad de la señal y por lo tanto calcula con la misma resolución tanto frecuencias bajas como frecuencias altas. 6. La transformada Wavelet depende de dos variables, una encargada del escalamiento de la función wavelet y otra encargada de la traslación de la función wavelet .
7. Mediante las variables de escalamiento y traslación la transformada Wavelet es capaz de hacer un análisis tiempo - frecuencia con una resolución variable, es decir, utiliza ventanas de diferente ancho durante el análisis de la señal. 8. Un conjunto de versiones dilatadas y trasladadas, tanto de una función escala como de una función wavelet , ambas pertenecientes al espacio Ä¾ , son capaces de aproximar cualquier señal unidimensional cuyo contenido energético sea ﬁnito. 9. La función escala es la encargada de analizar el comportamiento general de la señal, mientras que la función wavelet se encarga de analizar el comportamiento del detalle de la señal.
10. La ortonormalidad de las bases empleadas, tanto en el análisis de Fourier como en el análisis Wavelet, es una propiedad esencial (excepto para la CWT), debido a que convierte el cálculo de los coeﬁcientes en una tarea rápida y sencilla. 11. La obtención de los coeﬁcientes escala como de los coeﬁcientes wavelet se realiza mediante el producto interno entre las versiones dilatadas y trasladadas de la función escala y wavelet con la señal a analizar. De esta forma el coeﬁciente obtenido representa el grado de correlación que existe entre la función escala y wavelet con la señal en un intervalo ﬁnito en el espacio del tiempo. 12. La transformada discreta wavelet discretiza (valga la redundancia) las variables de escalamiento ¾ y ¾ genera un sistema wavelet de y traslación. Una discretización de la forma funciones base ortonormales por ej. Haar wavelet, Daubechies wavelet. 13. Mediante la transformada discreta wavelet es posible generar un análisis multiresolución sobre una señal discreta. Un análisis multiresolución corresponde a un proceso iterativo de convoluciones entre la señal discreta y coeﬁcientes que actúan tanto como ﬁltro pasa-bajo y ﬁltro pasabanda de tal manera que la señal discreta es descompuesta obteniéndo información sobre las características generales de la señal y sobre las características del detalle de la señal en forma separada. 14. Al tener una señal discreta con ¾ muestras, podremos realizar una descomposición wavelet en niveles de resolución, obteniendo así ½ espacios wavelet y un espacio escala. 15. La forma de trabajo de la transformada discreta Wavelet permite una fácil implementación computacional mediante el diseño de rápidos algoritmos para el cálculo de los coeﬁcientes. 16. Debido a que los coeﬁcientes wavelet son los encargados del detalle de la señal, estos son de valores pequeños. Esto sugiere que pueden eliminarse o hacerse cero los coeﬁcientes cercanos a cero y la señal reconstruída no variará mucho, es decir, el error de aproximación entre la señal reconstruída y la original será mínimo. Esta sencilla idea ha sido la base sobre la cual wavelet ha encontrado importantes aplicaciones en la compresión de señales y eliminiación de ruido. 17. Los espacios wavelet se comportan como ﬁltros, pudiendose ver cada espacio como un intervalo de frecuencias, así, se puede implementar un software que entregue un ecualizador gráﬁco de bandas, al realizar un análisis wavelet con descomposiciones.
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Información principalmente sobre acústica y vibraciones.edu/publications/
Completa guia de papers clasiﬁcada por temas.Apéndice A Referencias Internet
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Articulos y papers de wavelet aplicado a problemas de estadística principalmente.bris.edu/˜wavelab/
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Pequeña guía de libros y software para utilización de wavelets.ac.gatech.cosy. http://www.cetaceanresearch.epﬂ.rice.
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Información variada sobre análisis de Fourier.spd.frecuencia utilizando wavelets.html
Lista de direcciones online dedicadas a diferentes aplicaciones que utilizan tanto teoría de Fourier como de wavelets. http://www. wavelets diádicas y ﬁltrado discreto.
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Software de Audio con implementaciones que utilizan algoritmos basados en wavelets. Utilización de wavelets en el procesamiento de señal e
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Gran lista de papers sobre wavelets clasiﬁcados por temas de investigación. entre otros.fr/˜chaplais/Wavetour_presentation/Wavetour_presentation_US. cuyas áreas de interés son: Teoría y aplicacion de wavelets en el análisis estadístico de señales de tiempo.stanford.
14.edu/˜donoho/
Página de Dave Donoho.org
Completa página sobre el tema.math.
20. http://archives.mame. cuyo campo de interés se focaliza en el análisis tiempo . libros. con tópicos tales como: análisis de frecuencia.ac.html
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end [s1 s2]=size(x). aumentando la longitud del vector al % doble más uno. 134
.Apéndice B Rutinas programadas en MATLAB
Rutinas para Matlab utilizadas tanto para descomposición como reconstrucción de señales utilizando el sistema Wavelet Daubechies: %************************************************* % subsampleo(X) elimina todos los coeﬁcientes de % índice impar pertenecientes al vector X. % % VER supsampleo %************************************************* function a=subsampleo(x) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’).2:2:ls). %************************************************* % supsampleo(X) inserta ceros entre los coeﬁcientes % del vector X. if s1 > s2 x=x’ end ls=length(x). % dependiendo si la longitud original es par o impar. Disminuyendo % la longitud de X a la mitad o a la mitad menos 1/2. a=x(:.
135 % % VER subsampleo %************************************************* function y=supsampleo(x) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’). n1=ﬂoor(n. if s1 > s2 x=x’ end ls=2*length(x)+1. end %*********************************************************************** % Rutina que realiza el primer nivel de descomposición % de una señal utilizando el sistema Wavelet Daubeuchies. end lsh=length(s).M). else v=s(lsh-n1:1:lsh+n1).2)==0 v=s(lsh-n1+1:1:lsh+n1)./2).n) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’).N) % crea un vector V de longitud N./2. extrayendo en forma % alternada elementos de ambos extremos del vector S. %********************************************************************* % Rutina que mantiene parte de un vector. if mod(n. y(2:2:ls)=x. %********************************************************************** function v=keep(s. end [s1 s2]=size(x). V=keep(S. donde X es la señal
. % SINTAXIS: [ca1 cd1]=analisisdb(X.ls). y=zeros(1.
:). ﬁltro_wavelet=s(2.:). case 3 load daub3. case 5 load daub5. ﬁltro_wavelet=s(2. ﬁltro_escala=s(1.:).dat.:). s=daub3.:). end switch m case 1 ﬁltro_escala=[1. s=daub4. %Filtro Pasaalto de Descomposición case 2 load daub2. ﬁltro_escala=s(1. ﬁltro_wavelet=s(2.d]=analisisdb(x. ﬁltro_escala=s(1./sqrt(2)].3.dat.:). end tx=size(x)./sqrt(2)]. case 4 load daub4. ﬁltro_escala=s(1. case 6 [1.:). % M puede tomar los siguientes valores: % % % VER sintesisdb %************************************************************************ function [c. ﬁltro_wavelet=s(2. if tx(1)>1 x=x’. y M es un entero positivo que especiﬁca el % sistema Daubeuchies utilizado. s=daub2.dat./sqrt(2) 1.8]
./sqrt(2) 1. s=daub5. %Filtro Pasabajo de Descomposición ﬁltro_wavelet=[-1.:).5.4.m) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’).dat.6.2.7.136 % de entrada.
dat.:). end [1.D]=sintesisdb(ca. % y M es un entero positivo que especiﬁca el sistema Daubechies % utilizado para la reconstrucción. % M puede tomar los siguientes valores: % % % VER analisisdb %************************************************************************ function [C. otherwise errargt(mﬁlename.8]
.ﬁltro_wavelet)). ﬁltro_escala=s(1. s=daub6. end %Cálculo de los coeﬁcientes de aproximación c=subsampleo(conv(x.ﬁltro_escala)). s=daub8.3. %************************************************************************ % Rutina que realiza la reconstrucción de la señal % original a partir del primer nivel de descomposición % de una señal utilizando el sistema Wavelet Daubeuchies.:).cd.:).cd. ﬁltro_wavelet=s(2.6.dat.2. error(’*’). case 7 load daub7.4. ﬁltro_escala=s(1.dat. % SINTAXIS: [C D]=sintesisdb(ca.5.:). ﬁltro_escala=s(1.:).’msg’). ﬁltro_wavelet=s(2.7. ﬁltro_wavelet=s(2. case 8 load daub8. s=daub7. donde ca y cd son % los coeﬁcientes de aproximación y detalle respectivamente.137 load daub6. %Cálculo de los coeﬁcientes de detalle d=subsampleo(conv(x.M).m) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’).’argumento no válido’.:).
/sqrt(2)].:).:).dat. ﬁltro_escala=s(3. case 3 load daub3. %Filtro Pasaalto de Descomposición case 2 load daub2.:).dat.:).dat. s=daub5. ﬁltro_wavelet=s(4.:). case 6 load daub6.:)./sqrt(2) 1.:). ﬁltro_wavelet=s(4. case 4 load daub4. s=daub4.dat. s=daub2.dat. ﬁltro_wavelet=s(4. ﬁltro_escala=s(3. ﬁltro_wavelet=s(4. s=daub7. case 8 load daub8.
.:).138 %Inserción de ceros entre los coeﬁcientes de aproxiamción (supsampleo) Ctemp=supsampleo(ca). ﬁltro_escala=s(3.:). ﬁltro_escala=s(3. ﬁltro_wavelet=s(4. switch m case 1 ﬁltro_escala=[1. case 7 load daub7. ﬁltro_escala=s(3. s=daub3. case 5 load daub5.dat.:). s=daub8.dat.:)./sqrt(2) -1. ﬁltro_escala=s(3. %Filtro Pasabajo de Descomposición ﬁltro_wavelet=[1. ﬁltro_escala=s(3./sqrt(2)]. ﬁltro_wavelet=s(4.:). %Inserción de ceros entre los coeﬁcientes de detalle (supsampleo) Dtemp=supsampleo(cd).:).:). s=daub6. ﬁltro_wavelet=s(4.
% SINTAXIS: [C L]=dbdesc(X. donde X es la señal de % % % % % entrada.m. end c=[].7. for i=1:n
.ﬁltro_wavelet). l=[length(x)].6.4.lf:1:length(Ctemp)-lf+1).n) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’). M puede tomar los siguientes valores: [1.N). end lf=length(ﬁltro_escala).l]=dbdesc(x.8]
%**************************************************************** function [c.139 otherwise errargt(mﬁlename.’argumento no válido’.ﬁltro_escala).3. %Reconstrucción de la aproximación Ctemp=conv(Ctemp. end if ((round(n)-n)˜=0) error(’N debe ser un número entero’). error(’*’).5.M.’msg’). %Reconstrucción del detalle Dtemp=conv(Dtemp. C=Ctemp(:. if tx(1)>1 x=x’.2. end tx=size(x). D=Dtemp(:. N es el nivel de descomposición deseado y M es un entero que especiﬁca el sistema Daubechies utilizado.lf:1:length(Dtemp)-lf+1). %*************************************************************** % Rutina que realiza una descomposición multinivel % sobre una señal unidimensional utilizando el sis% tema Wavelet Daubechies.
2. end c=[x c]. %Filtro Pasaalto de Descomposición case 2 load daub2. ﬁltro_escala=s(3.6. M puede tomar los siguientes valores: [1.8] %Guarda las longitudes correspondientes a cada descomposición
%********************************************************************** function s=dbrec(c. if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’).140 [x d]=analisisdb(x. ﬁltro_wavelet=s(4. s=daub4. s=daub3. case 3 load daub3. L corresponde a los niveles de descomposición y M es un entero que especiﬁca el sistema Daubechies utilizado.:).L./sqrt(2)]./sqrt(2)]. ﬁltro_escala=s(3. s=daub2. % SINTAXIS: S=dbdesc(C./sqrt(2) -1.4.m).l.dat. end switch m case 1 ﬁltro_escala=[1.dat.:).dat. ﬁltro_escala=s(3.3.:).m).
.5.:).7. %Matriz wavelet %********************************************************************** % Rutina que realiza una reconstrucción multinivel % sobre una señal unidimensional utilizando el sis% tema Wavelet Daubechies. case 4 load daub4./sqrt(2) 1. l=[length(d) l].:). %Filtro Pasabajo de Descomposición ﬁltro_wavelet=[1. %Proceso de descomposición c=[d c]. donde C corresponde a % % % % % la matriz wavelet. ﬁltro_wavelet=s(4.M).
:). for i=1:(length(l)-1) ld=l(i)+ld. % ciones. s=daub7. ﬁltro_escala=s(3. D=keep(conv(supsampleo(d).ﬁltro_wavelet).dat.:).l(i+1)). % s=C+D.:). % las descomposiC=keep(conv(supsampleo(s). s=daub5.dat. %Coeﬁcientes escala de la última descomposición ld=1. ﬁltro_escala=s(3. case 8 load daub8.ﬁltro_escala).141 ﬁltro_wavelet=s(4.dat. error(’*’).:). ﬁltro_escala=s(3. ﬁltro_escala=s(3. % % Reconstrucción de
d=c(ld:ld-1+l(i)). % ld=ld-(l(i+1)-l(i)). case 7 load daub7. otherwise errargt(mﬁlename.:). s=daub6. % end
.dat.:). end s=c(1:l(1)).:). case 6 load daub6. ﬁltro_wavelet=s(4. ﬁltro_wavelet=s(4.:). ﬁltro_wavelet=s(4. ﬁltro_wavelet=s(4.’msg’). case 5 load daub5.:). s=daub8.’argumento no válido’.l(i+1)).
24143e-001 -
Daubechies 3 3.
Daubechies 1 14.28830e-002 -1.79837e-002 -8.35011e-001 -2.08413e-002 3.30377e-001 7.54412e-002 -1.06891e-001 4.14213e-001 14.05974e-002 -
.87034e-001 3.52262e-002 3.Apéndice A Wavelet Daubechies
Tabla con los coeﬁcientes ﬁltros de descomposición y reconstrucción correspondientes a la Familia Wavelet Daubechies (1-8).82962e-001 8.36516e-001 2.32670e-001 8.29409e-001 -1.59877e-001
Daubechies 4 2.14213e-001 -
Daubechies 2 4.14846e-001 6.30880e-001
39810e-002 8.53842e-004 4.29577e-004 3.28747e-001
-1.40882e-002 1.33572e-003 9.03829e-001 7.51133e-001 3.26264e-001 -1.53713e-004 1.75714e-002 -6.69782e-001 Daubechies 8 5.58291e-002 -3.80164e-003 -4.75016e-002 2.72484e-004 1.143 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Daubechies 5 1.15820e-002 -3.07730e-003 7.75630e-001 5.29766e-001 -2.85354e-001
-2.60102e-001 6.43906e-001 -1.38428e-001 Daubechies 6 1.17476e-004
-1.22448e-002 -1.87035e-003
.91740e-004 6.11540e-001 4.94623e-001 7.12871e-001 6.25807e-002 -3.06126e-002 4.65745e-002 -4.24036e-001 -2.75449e-004 -1.44158e-002 3.74609e-003 -3.24308e-001 1.15250e-001 Daubechies 7 7.78520e-002 3.96539e-001 7.13092e-002 8.84015e-001 7.29132e-001 4.42294e-001 -2.80299e-002 -1.25509e-002 4.75228e-002 5.77725e-003 -1.24149e-003 3.73693e-002 -1.
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