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Timestamp: 2020-01-26 11:30:02+00:00

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198-1-907-1-10-20171104 | Circulo | Ecuaciones
Se presenta una ampliación del modelo de razonamiento configural para el análisis de la resolución de problemas empíricos de geometría, en los que los datos iniciales son numéricos o literales. La extensión del modelo de Razonamiento Configural consiste en la ampliación de significados de las Aprehensiones Operativas y Discursivas (Duval, 1998) y la aceptación del uso del registro algebraico en el discurso generado durante la resolución de problemas de geometría con lápiz y papel.
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Mat3 u3 Sesion 08
Se Entiende Como Círculo a Aquella Figura Geométrica Que Consta de Una Forma Establecida a Partir de Una Línea Curva Cerrada
Mat9_Pruebasaber2
Simulacro segundo parcial
Calculo Taller 2
21186-93528-1-PB-2.pdf
I Análisis Geométrico.docx
Apunte04 Inecuaciones
Avances de Investigación en Educación Matemática – 2017, Nº 12, 1 - 17
Coordinación de procesos cognitivos en la resolución de
problemas: relación entre geometría y álgebra
Germán Torregrosa Gironés, Universidad de Alicante (España)
Recibido el 18 de enero de 2017; aceptado el 28 de julio de 2017
Coordinación de procesos cognitivos en la resolución de problemas: relación entre geometría
y álgebra
Se presenta una ampliación del modelo de razonamiento configural para el análisis de la resolución
de problemas empíricos de geometría, en los que los datos iniciales son numéricos o literales. La
extensión del modelo de Razonamiento Configural consiste en la ampliación de significados de las
Aprehensiones Operativas y Discursivas (Duval, 1998) y la aceptación del uso del registro algebraico
en el discurso generado durante la resolución de problemas de geometría con lápiz y papel. La inclusión
del registro algebraico en el modelo se fundamenta en los conceptos de conversión y tratamiento de la
Teoría de los Sistemas Semióticos de Duval. Analizamos varias resoluciones a un problema empírico
con el nuevo modelo de Razonamiento Configural extendido para evidenciar su potencial.
Palabras clave. Sistemas de representación; Razonamiento configural; Problema empírico;
Coordenação de processos cognitivos em solucionando problemas: relação entre geometria e
Este trabalho apresenta uma extensão do modelo de raciocínio configural para a análise dos
problemas empíricos de resolução de geometria, no qual os dados iniciais são numérica ou literal. A
extensão do modelo de raciocínio Configural consiste no alargamento dos significados deles apreensões
operacionais e discursivas (Duval, 1998) e a aceitação do uso do registro algébrico no discurso gerado
durante a resolução de problemas de geometria com lápis e papel. A inclusão do registro algébrico no
modelo baseia-se os conceitos de conversão e tratamento da Teoria dos Sistemas Semióticos de Duval.
Analisamos várias resoluções de um problema empírico com o novo modelo de raciocínio Configural
estendido para revelar o seu potencial.
Palavras chave. Sistemas de representação; Raciocínio configural; Problema empírico; Geometria
e Álgebra.
Coordination of cognitive processes in problem solving: relationship between geometry and
Para citar: Torregrosa Gironés, G. (2017). Coordinación de procesos cognitivos en la resolución de
problemas: relación entre geometría y álgebra. Avances de Investigación en Educación Matemática, 12,
© Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM). www.seiem.es
Coordinación de procesos cognitivos: geometría y álgebra
This paper presents an extension of the model of configural reasoning for the analysis of the
resolution of empirical problems of geometry, in which the initial data are numerical or literal. The
extension of the configural reasoning model consists in the widening of operative and discursive
apprehension meanings (Duval, 1998) and the acceptance of the use of the algebraic register in the
discourse generated during the resolution of geometry problems with pencil and paper. The inclusion of
the algebraic register in the model draws on the concepts of conversion and treatment of the Theory of
Semiotic Systems by Duval. We analyzed several resolutions to an empirical problem with the new
extended configural reasoning model to show its potential.
Key words. Representation systems; Configural reasoning; Empirical problem; Geometry and
Coordination des processus cognitifs dans la résolution des problèmes: relation entre la
géométrie et l’algèbre
Cet article présente une extension du modèle de raisonnement configural pour l’analyse de la
résolution des problèmes empiriques de la géométrie, dans lequel les données initiales sont numériques
ou littérales. L’extension du modèle de raisonnement Configural consiste en l’élargissement des
significations de ces appréhensions opérationnelles et discursives (Duval, 1998) et l’acceptation de
l’utilisation de l’enregistrement algébrique dans le discours généré lors de la résolution des problèmes
de géométrie empirique avec crayon et du papier. L’inscription de l’enregistrement du modèle
algébrique est basée sur les concepts de la conversion et le traitement de la Théorie des Systèmes
Sémiotiques de Duval. Nous analysons plusieurs résolutions à un problème avec le nouveau modèle de
raisonnement Configural étendu afin de démontrer son potentiel.
Paroles clés. Systèmes de représentation; Raisonnement configural; Problème empirique;
Géométrie et Algèbre.
En este trabajo presentamos una ampliación del modelo de razonamiento configural
(Torregrosa & Quesada, 2007; Prior & Torregrosa, 2013) al ámbito del análisis de la
resolución de problemas de probar de geometría que contienen datos numéricos en el
enunciado. En este trabajo denominamos problemas de geometría empíricos a
problemas de probar en el que su enunciado asigna cantidades y relaciones entre las
cantidades a los objetos geométricos. El uso del modelo extendido en este tipo de
problemas permite mostrar que los estudiantes siguen los mismos procesos cognitivos
que hemos identificado en las resoluciones de problemas clásicos de probar en
Geometría, usando los modos de representación algebraico y geométrico.
El uso del modelo de razonamiento configural, para analizar la resolución de
problemas de geometría empíricos, ofrece una aproximación cognitiva y matemática a
la comprensión del comportamiento del alumno al resolver este tipo de problemas
(Zazkis & Dubinsky, 1996). La literatura sobre la demostración matemática (prueba)
tiene distintos focos: aspectos epistemológicos (Balacheff, 2008; Hanna & Jahnke,
1996); dificultades del alumno (Harel & Sowder, 1998); coordinación de estrategias
visuales y analíticas (Zazkis, Dubinsky & Dautermann, 1996); relación entre discurso
y demostración (Duval, 1995; Robotti, 2012), relación entre conjeturar y probar (Fiallo
& Gutiérrez, 2017); y enseñanza/aprendizaje de la prueba en varios contextos
educativos (Hilbert, Renkl, Kessler & Reiss, 2008; Ibañes, 2002; Ibañes & Ortega,
2 AIEM, número 12, noviembre de 2017
2005; Komatsu, 2016; Miyazaki, Fujita & Jones, 2017; Reiss, Heinze, Renkl & Groß,
La propuesta integra diferentes aspectos para analizar las dimensiones,
epistemológica, cognitiva y discursiva, de la demostración matemática como manera
de analizar las aproximaciones analíticas y geométricas de alumnos en la resolución de
los problemas empíricos. A partir de la teoría de la representación de Duval y sus
estudios sobre los procesos cognitivos de visualización y razonamiento, el modelo del
razonamiento configural permite analizar producciones de alumnos cuando resuelven
problemas de probar de Geometría, en un entorno de lápiz y papel (Torregrosa &
Quesada, 2007; Torregrosa, Quesada & Penalva, 2010; Prior & Torregrosa, 2013). En
el uso inicial del modelo de razonamiento configural se consideraron problemas de
probar clásicos de geometría con lápiz y papel. Sin embargo, en la etapa escolar y en la
Universidad se consideran problemas de contexto geométrico que involucran medidas
como datos (problemas de aplicación de resultados geométricos a la vida real). Estos
problemas no exigen una demostración matemática formal en sentido estricto, pero sí
precisan del conocimiento y uso de las mismas propiedades y resultados geométricos
teóricos para resolver los problemas de probar. El análisis de los procesos de resolución
de estos problemas empíricos conlleva problemas teóricos que deben abordarse y
resolverse con carácter previo. Por ejemplo, no se dan hipótesis consistentes en
propiedades geométricas genéricas (dado el triángulo isósceles de la figura) sino datos
numéricos o literales (en el triángulo de la figura los lados miden a, a y b cm). Así, las
aprehensiones discursivas, las asociaciones de configuraciones puntuales a
afirmaciones matemáticas, no siguen el mismo proceso. Además, durante la resolución
de problemas empíricos, aparece el registro algebraico para convertir el enunciado dado
y los datos en expresiones algebraicas que no se contempla en el modelo de
razonamiento configural.
Veamos el análisis de la solución a un problema clásico de geometría de probar,
utilizando el modelo del razonamiento configural, para lo que necesitamos definir los
elementos teóricos que utilizamos.
2.1. Elementos teóricos en el modelo de razonamiento configural
Llamamos Razonamiento Configural (RC en adelante) al desarrollo de la acción
coordinada entre Aprehensiones Operativas y Aprehensiones Discursivas, realizada por
el alumno, asociando afirmaciones matemáticas y/o realizando modificaciones en la
configuración inicial, cuando resuelve un problema de geometría mediante lápiz y papel
(Torregrosa & Quesada, 2007; Torregrosa et al., 2010; Prior & Torregrosa, 2013).
Un alumno realiza una Aprehensión Operativa (en adelante AO) cuando modifica
la configuración inicial del problema (Duval, 1995, 1998, 1999). El significado de esta
modificación incluye: añadir o quitar elementos geométricos a/de la configuración
inicial; reconfigurar las partes (subconfiguraciones) de la configuración inicial,
moviendo las subconfiguraciones como piezas de un rompecabezas; identificar un
elemento geométrico elemental (segmento, ángulo, triángulo, círculo…) en cuanto que
se “aísla” prescindiendo (quitándolo) del resto de la configuración inicial. La
modificación se puede realizar tanto física como mentalmente ya que no se representan
todas las modificaciones del resolutor.
AIEM, número 12, noviembre de 2017 3
Un alumno realiza una Aprehensión Discursiva (en adelante AD) cuando asocia
una configuración identificada con una afirmación matemática, para inferir
conocimiento que le ayude a resolver el problema (Duval, 1995, 1998, 1999). Esta
asociación puede tener dos desencadenantes que corresponden a: la subconfiguración
identificada por el alumno le recuerda alguna afirmación matemática, en cuyo caso
decimos que hay un cambio de anclaje de visual a discursivo, o bien los conocimientos
teóricos del alumno le llevan a buscar la subconfiguración adecuada en la configuración
inicial, en cuyo caso decimos que hay un cambio de anclaje de discursivo a visual. El
término afirmación matemática incluye teoremas, axiomas, definiciones,
Al analizar las acciones coordinadas AO/AD, que realiza el alumno para resolver
el problema, se clasifica su respuesta según los siguientes desenlaces del RC:
- Si hay solución al problema:
o Truncamiento, desenlace que ocurre cuando la coordinación realizada
por el alumno proporciona la “idea” que resuelve el problema, permitiéndole
generar un proceso deductivo que resuelve el problema. El truncamiento hace
referencia al momento en que el alumno “se da cuenta” de la solución. En ese
momento finaliza el proceso de razonamiento, entendido como deducir
información nueva a partir de otra dada o conocida, y empieza el proceso de
generar el discurso deductivo para comunicar la solución. Por tanto, el término no
se refiere a ninguna interrupción.
o Conjetura sin demostración, el razonamiento permite generar una
solución al problema, pero basada en conjeturas no probadas, como inferencias
realizadas en base a percepciones, erróneas o no, de la configuración inicial.
- Si no hay solución al problema
o Bucle, que se da cuando se establecen afirmaciones matemáticas que no
permiten el avance hacia la solución, de forma que los resolutores vuelven a la
situación inicial, una o varias veces, ante la imposibilidad de avanzar en la
resolución. Por tanto, decimos que RC desemboca en bucle, cuando se da una
situación de bloqueo que no permite el avance hacia la solución.
2.2. Problemas de geometría clásicos y empíricos
En los problemas de geometría clásicos de probar intervienen conceptos
geométricos: “dos cuerdas paralelas”, “recta perpendicular a las cuerdas” que “pasa por
el centro de la circunferencia” o “contiene los puntos medios”. Se dan situaciones o
propiedades geométricas elementales y se pide “Probar que”. En los problemas
empíricos se dan las medidas de los elementos geométricos y se pide “Calcular”. En el
problema empírico de la Figura 1, se dan las medidas de las cuerdas y la distancia entre
ellas, concretando las opciones de intervención del alumno para resolver el problema.
En ocasiones esta concreción es una limitación que no deja lugar a la creatividad, pero
en otras ocasiones orienta las acciones para resolver el problema. Igualmente, existen
diferencias en la pregunta que se solicita en cada tipo de problema. En los enunciados
clásicos a menudo se pide demostrar una propiedad de carácter general: “contiene los
puntos medios de ambas cuerdas”, mientras que en el problema empírico se pide
calcular la medida del radio de la circunferencia, que es un dato concreto de la situación
particular propuesta.
4 AIEM, número 12, noviembre de 2017
Enunciado de problema clásico. Dadas dos cuerdas paralelas de una circunferencia,
demostrar que la recta perpendicular a las cuerdas que pasa por el centro de la
circunferencia contiene a los puntos medios de las cuerdas.
Enunciado de problema empírico. Las dos cuerdas paralelas de una circunferencia
miden 12 y 16 cm. La distancia entre ellas es 2 cm. Calcula el radio de la circunferencia.
Figura 1. Ejemplos de enunciados de problemas clásico y empírico
El uso de problemas empíricos en las etapas educativas es actualmente
predominante en el estudio de la Geometría. Esta tendencia se justificaría entre otras
razones por la motivación que aporta este tipo de problemas geométricos; el uso que
hacen de ellos los libros de texto en la educación Secundaria; la formación recibida por
los graduados de carreras técnicas (ingenieros y arquitectos) en los primeros cursos.
2.3. Sobre los procesos de resolución
En cuanto al proceso de resolución, la resolución de los problemas clásicos se apoya
en la capacidad de coordinar conocimiento geométrico, para realizar conjeturas que
desemboquen en la solución del problema (demostración matemática). Mientras que en
los problemas empíricos, el proceso de resolución no conlleva la resolución de
cuestiones generales, sino que se estudia una situación geométrica específica y se
calcula un dato concreto de ella. Por otra parte, el registro geométrico para comunicar
una demostración, de un problema clásico de probar en Geometría, no contempla el uso
del registro algebraico (ecuaciones/sistemas de ecuaciones), mientras que la solución a
los problemas empíricos se apoya en la posibilidad de usar este registro. Esta situación
nos ha llevado a intentar avanzar en la comprensión de la coordinación de los procesos
cognitivos de los alumnos (realizando AO y AD) en la resolución de problemas
2.4. Ejemplo de análisis de la resolución de un problema clásico de geometría
de probar según el modelo RC
Dado el problema clásico de geometría de probar que aparece en la Figura 1,
analizaremos una resolución según RC:
Problema 1. Dadas dos cuerdas paralelas de una circunferencia, demostrar que la
recta perpendicular a las cuerdas que pasa por el centro de la circunferencia contiene
a los puntos medios de las cuerdas.
Solución. Realizamos la construcción de una circunferencia de centro O y
representamos dos cuerdas paralelas AB y CD (Figura 2). Trazamos los segmentos OA
y OB y la recta perpendicular a AB que pasa por O, llamando P al punto de intersección.
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Figura 2. Una solución al problema 1 clásico de geometría de probar
Análisis de la solución desde el modelo RC
En primer lugar, se representa la situación geométrica descrita en el enunciado
mediante la construcción de una circunferencia de centro O. Esta acción supone una
AD (recordar la definición de circunferencia) y asociarle la configuración de puntos del
plano que equidistan de un punto que llamamos centro (lo que supone una AO).
Del mismo modo, se realiza una AD con la definición de cuerda. Cuando esta se
asocia con el segmento AB o el CD identificados, estamos ante una AO. A continuación
se traza la recta perpendicular a la cuerda AB que pasa por O, lo que constituye una AO
pues añadimos un elemento geométrico a la configuración inicial de circunferencia y
cuerdas, cuya definición constituye una AD. Análogamente ocurre con los radios, AD
(definición de radio de una circunferencia) que asociamos a los segmentos identificados
OA u OB, que trazamos realizando una AO. Llamamos P al punto de corte de AB con
la recta OP. Todas estas acciones, salvo el trazado de los radios OA y OB, corresponden
a la realización de una representación de la situación geométrica descrita por el
Seguidamente se identifican los dos triángulos ∆AOP y ∆BOP, mediante una AO,
ya que se prescinde del resto de la configuración, y se asocia con el criterio de
congruencia cateto-hipotenusa mediante una AD. Las condiciones a verificar para
aplicar el criterio cateto-hipotenusa corresponden a 1, 2 y 3 de la respuesta escrita. En
cada condición se observa una AO (identificación de una subconfiguración) asociada a
una propiedad/afirmación matemática que constituye la AD.
En 4 se establece la conclusión de que los triángulos rectángulos son congruentes.
Por definición de triángulos congruentes (AD) identificamos como congruentes a los
segmentos correspondientes AP y BP (AO). De lo que se deduce que P es punto medio
de la cuerda AB. Análogamente se procedería con el punto medio de la cuerda CD. Esta
es una respuesta que un experto podría dar al problema de probar planteado y que ha
sido usada para describir el análisis de una resolución desde el modelo RC. En esta
resolución, el truncamiento se produce cuando el resolutor traza los radios OA y OB,
ya que en ese momento sabe la solución que busca.
2.5. Problemática del análisis de la respuesta a un problema empírico según el
Dado el problema empírico de la Figura 1, presentamos el análisis de una solución
según RC.
6 AIEM, número 12, noviembre de 2017
Problema 2. Las dos cuerdas paralelas de una circunferencia de la figura miden
12 y 16 cm. La distancia entre ellas es de 2 cm. Calcula el radio de la circunferencia.
Solución. Trazamos la circunferencia de centro O y las dos cuerdas AB de 12 cm
de longitud y la CD de 16 cm. La distancia entre ellas es de 2 cm. Construyo el segmento
OP perpendicular a AB en P (punto medio de la cuerda AB, por lo que sabemos que
pasará por el centro de la circunferencia) y trazo los radios OB y OD. Llamo Q al punto
de intersección de OP con la cuerda CD (Q también es punto medio de CD, por ser OP
una perpendicular a la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia).
Figura 3. Solución al problema 2 empírico
Análisis de la solución al problema 2 desde el modelo RC
Al igual que en el problema 1, comenzamos representando la situación geométrica
del enunciado mediante la construcción de una circunferencia de centro O. Esta acción
supone una AD (recordar definición de circunferencia) y asociarle la configuración de
puntos del plano que equidistan de un punto que llamamos centro (lo que constituye
una AO). Del mismo modo, se realiza una AD con la definición de cuerda y cuando se
asocia esta con el segmento AB o el CD identificados, estamos realizando una AO. A
continuación se traza la recta perpendicular a la cuerda AB que pasa por O, lo que
constituye una AO, pues añadimos un elemento geométrico a la configuración inicial
de circunferencia y cuerdas, y asociamos la definición, lo que constituye una AD.
Análogamente ocurre con los radios, AD (definición de radio de circunferencia) que
asociamos a los segmentos OA y OB y trazamos realizando una AO. Llamamos P al
punto de corte de AB con la perpendicular que pasa por O, y Q al punto de corte con la
cuerda CD, lo que equivale a aislar, en cada caso, un punto (realizando una AO) al que
asociamos la propiedad de ser punto medio de sus respectivas cuerdas (realizamos una
AD al vincular la subconfiguración con el conocimiento geométrico “la recta
perpendicular en el punto medio de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia”).
Igualmente, trazamos los segmentos OB y OD (AO) y los asociamos a la definición de
radio (AD).
Seguidamente, identificamos el segmento OP (realizando una AO) y le asignamos
una medida que llamamos x. Esta acción no tiene significado teórico en el modelo RC
puesto que no asociamos el segmento con ninguna propiedad/definición/teorema y, por
tanto, no realizamos una AD, en el sentido definido en el modelo. Esto mismo ocurre
cuando, en la representación geométrica particular del problema, hemos afirmado que
P y Q distan, respectivamente de B y de D, 6 y 8 cm. También identificamos puntos
(AO) pero no asociamos con propiedad/definición/teorema, sino con una medida.
Además, en 1 y 2 en el proceso de resolución (Figura 3) consideramos los triángulos
∆OPB y ∆OQD, realizando en cada caso una AO, y les asociamos la propiedad de ser
rectángulos mediante una AD, pero aparecen dos ecuaciones cuyo significado no se
AIEM, número 12, noviembre de 2017 7
contempla en el modelo RC; esto es, aparece el registro algebraico. En 3, 4 y 5,
realizamos unas manipulaciones simbólicas de las ecuaciones que, teniendo sentido en
el registro algebraico (tratamiento) puesto que estamos resolviendo el sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas, carece de interpretación dentro del modelo RC.
El modelo RC (Torregrosa & Quesada, 2007; Torregrosa et al., 2010), para analizar
las respuestas a los problemas clásicos de probar en geometría, no permite analizar
completamente los procesos de resolución en los problemas empíricos. En el enunciado
no se dan hipótesis consistentes en propiedades geométricas (dadas dos cuerdas
paralelas de una circunferencia), sino datos numéricos o literales concretos (las dos
cuerdas paralelas miden 12 y 16 cm). Esto implica que las AD (asociaciones de
configuraciones puntuales a afirmaciones matemáticas) que el modelo exige identificar
no siguen el mismo proceso. Por otra parte, durante la resolución de los problemas
empíricos, aparece el registro algebraico para convertir enunciado y datos en
expresiones algebraicas. El tratamiento necesario para la solución no se contempla en
el modelo RC inicial.
3. Extensión del modelo RC
La extensión del modelo RC al análisis de los problemas empíricos consiste en
considerar que en las AD, dentro del significado de afirmación matemática que incluía
a teoremas, axiomas, definiciones, propiedades,… también se incluyan las condiciones
iniciales (hipótesis) de los problemas empíricos, expresados como datos numéricos o
literales (7 cm; x cm). Además, tenemos en cuenta el registro en el que se representa el
discurso generado durante la resolución del problema. Debemos considerar, junto al
registro geométrico, el registro algebraico dentro de un contexto geométrico. Esta
inclusión del registro algebraico en el modelo se justifica, desde el punto de vista
cognitivo, mediante el significado del concepto de conversión entre registros de
representación (Duval, 1999). Es decir, los estudiantes convierten un problema
representado en registro geométrico en unas condiciones representadas en registro
algebraico. De la misma forma, cuando los estudiantes generan el discurso para la
resolución del problema planteado mediante registro algebraico (resuelven las
ecuaciones planteadas) están realizando un tratamiento dentro del mismo registro
Por tanto, la extensión del modelo teórico RC consiste, en primer lugar en la
ampliación del significado que damos a la expresión afirmación matemática,
considerando como tal a cada uno de los datos numéricos o literales en los problemas
empíricos. En segundo lugar, RC extendido considera el uso del registro algebraico en
la solución de los problemas, en los dos procesos señalados: uso del registro algebraico
como proceso de conversión entre registros distintos, y uso del registro algebraico como
proceso de tratamiento, dentro de un registro, para resolver sistemas de ecuaciones.
Con estas ampliaciones, es posible identificar los tres tipos de desenlaces:
truncamiento y conjetura sin demostración, cuando el proceso desemboca en solución
al problema planteado; bucle, cuando el alumno vuelve a la situación de partida una o
varias veces, entrando en una trayectoria de bloqueo. Para evidenciar la necesidad de la
ampliación del modelo RC, realizamos el análisis de la respuesta de una alumna a un
problema empírico (Figura 4). Indicamos los momentos del proceso de resolución en
los que son necesarias las ampliaciones de los elementos teóricos del modelo
8 AIEM, número 12, noviembre de 2017
Problema 3. Dos círculos son tangentes interiores como se
muestra en la figura. Calcula los radios de ambos círculos.
Figura 4. Problema empírico 3
Este problema muestra una situación geométrica particular (“como se muestra en
la figura”) de dos circunferencias tangentes interiores y pide la medida de un elemento
geométrico de dicha situación (“el radio de cada círculo”). Se añaden las medidas de
tres segmentos particulares como datos. Por tanto, no se hace mención a propiedades
geométricas genéricas y se solicita el cálculo de las medidas de dos segmentos. Se
presenta en la Figura 5 la transcripción de la respuesta de la alumna 1:
Figura 5. Transcripción de la respuesta de la alumna 1 al problema 3
Análisis de la respuesta desde el modelo RC
La alumna, en 1, plantea una igualdad entre dos expresiones de la medida del radio
del círculo mayor según las incógnitas que usa en la configuración inicial (coloco letras
para poder formar ecuaciones). El símbolo  se lee “por tanto”. Seguidamente, en 2,
llama R1 al radio del círculo mayor y R2 al radio del círculo menor que expresa en
función de x, calculándolos a partir de la definición de radio como mitad del diámetro
(aunque no lo cita). Hasta este momento, la alumna está identificando elementos
geométricos de ambos círculos (los radios de ambos) y trata de asociarles su medida.
El hecho de identificar elementos geométricos se puede interpretar desde RC como
realización de aprehensiones operativas puesto que prescinde del resto de la
configuración inicial. Sin embargo la asociación de una medida a un elemento
geométrico no equivale a la asociación con una afirmación matemática, es decir: no es
lo mismo que asociar un teorema, un axioma, una definición, una propiedad. El modelo
RC que usamos para realizar el análisis de las soluciones a los problemas clásicos de
probar en Geometría no contempla esta acción cognitiva de asociar una medida a un
elemento geométrico. En 3, la alumna usa una propiedad de las cuerdas junto a una
ecuación, sin relación directa con lo anterior, que resuelve el problema. Esta propiedad
AIEM, número 12, noviembre de 2017 9
está vinculada a la identificación de la sub-configuración (parte de la configuración
inicial) de la Figura 6:
Figura 6. Subconfiguración relevante identificada
Esta identificación constituye una AO, para asociar a la subconfiguración de la
Figura 5 la propiedad de las cuerdas: “Si P es un punto en el plano y se fija una
circunferencia con centro O, entonces para toda recta que pase por P y corte a la
circunferencia en dos puntos A, B, se cumplirá que PA x PB es constante”. El valor de
dicha constante se denomina potencia del punto P respecto de la circunferencia de
centro O. La asociación entre subconfiguración y afirmación matemática es una AD
que permite realizar una conversión entre registro gráfico y algebraico (propiedad de
las cuerdas en forma de relación algebraica). En 4, la alumna realiza un tratamiento
dentro del registro algebraico (resuelve las ecuaciones) y da la solución al problema
(acción no contemplada en el modelo RC). El desenlace de RC es la solución al
problema propuesto. En 3, la alumna realiza un truncamiento; cuando escribe la
expresión algebraica realizando la conversión de la propiedad de las cuerdas ya conoce
el camino para la resolución al problema (RC desemboca en truncamiento). Solo tenía
que resolver las ecuaciones planteadas.
En el relato del análisis se mezclan conceptos en el modelo RC (AO y AD,
coordinación entre ambas, cambios de anclaje) con la aparición de ecuaciones (en
registro algebraico), algunas vinculadas a afirmaciones matemáticas genéricas
(propiedad de las cuerdas) y otras a la configuración que acompaña el enunciado del
problema (medidas 10 y 18 de la configuración inicial, x+18 = y+10). El rol
desempeñado por ambos tipos de ecuación en el proceso de resolución del problema es
distinto. Las ecuaciones no vinculadas a afirmaciones matemáticas genéricas no son
contempladas en el modelo RC.
4. Análisis con el modelo RC extendido
4.1. Ejemplo alumna 2
La Figura 7 muestra la respuesta de la alumna 2 al problema empírico 3. Se ve una
solución que usa afirmaciones geométricas (teorema de Pitágoras) y su conversión en
registro algebraico y complementa con relaciones algebraicas (ecuaciones) entre las
medidas de los diámetros y radios de ambas circunferencias. Una vez establecidas las
ecuaciones resuelve el sistema y logra la solución.
10 AIEM, número 12, noviembre de 2017
Figura 7. Transcripción de la respuesta de la alumna 2 al problema 3
Análisis de la respuesta desde el modelo RC extendido
1- Identifica los diámetros de ambas circunferencias realizando una AO y
les asocia sus medidas (2r y 2R) mediante una AD.
2- Relaciona ambos segmentos según los datos del problema y expresa la
relación en registro algebraico, realizando una conversión pasando del registro
gráfico al registro algebraico, 2r+18=2R. Posteriormente simplifica la relación
mediante tratamiento obteniendo r+9=R
3- Identifica el triángulo (AO) cuyos lados miden x, 9, r (AD). Identifica el
triángulo (AO), asumiendo sin demostración que es rectángulo, y le asocia el
teorema de Pitágoras (AD). Expresa la relación dada por el teorema de Pitágoras
en registro algebraico.
4- Asocia dos expresiones literales x+10 y R (AD) al segmento
identificado, el radio mayor (AO). Expresa la identidad en registro algebraico y
realiza un tratamiento. Indica el paso siguiente: 3 en 2 en la continuación del
5- Sustituye y resuelve el problema.
El proceso de resolución desemboca en una solución de conjetura sin demostración
al aceptar sin demostrar que el triángulo identificado es rectángulo. El uso del modelo
RC extendido da cuenta de las coordinaciones cognitivas entre registro geométrico y
algebraico al incorporar las ideas del tratamiento y conversión entre registros.
4.2. Ejemplo alumno 3
AIEM, número 12, noviembre de 2017 11
La Figura 8 muestra la respuesta del alumno 3 al problema 3, siendo en este caso
una solución totalmente expresada en registro algebraico. Aquí el alumno parte de la
definición de la tangente trigonométrica de un ángulo y plantea varias expresiones para
un mismo ángulo. Realiza el tratamiento adecuado en el registro algebraico y resuelve.
Figura 8. Transcripción de la respuesta del alumno 3 al problema 3
1. En la figura del enunciado, el alumno identifica tres triángulos
rectángulos con ángulos rectos marcados en color (AO). Marca los ángulos
agudos de cada triángulo en ^1 y ^2. Estas acciones se corresponden a AO
(identificación de subconfiguraciones) y AD al asociarles sus valores ^1, ^2.
2. También realiza una AD cuando asocia el valor de 90 a la medida del
ángulo ^1+^2. Igualmente, realiza una AO cuando identifica un ángulo inscrito
que abarca una semicircunferencia y le asocia su medida 90º.
3. Identifica el radio del círculo grande (AO) y le asocia su valor R (AD).
El alumno no ha demostrado que los diámetros se cortan formando ángulos rectos.
Por ese motivo, al igual que en el ejemplo anterior, se considera que hay un desenlace
del RC de conjetura sin demostración. Identifica segmentos que forman parte del radio
del círculo grande y le asocia sus medidas, de acuerdo con los datos del problema (R,
R-10 y R-18). Todas estas identificaciones y asociaciones son acciones coordinadas
entre AO (al aislar parte de la subconfiguración y expresarla en registro algebraico) y
AD (al asociar las medidas). En 1 y 2, aparece la expresión de la tangente del ángulo
^1 en forma de dos cocientes, a partir de identificar la subconfiguración de la Figura 9.
12 AIEM, número 12, noviembre de 2017
Figura 9. Subconfiguración relevante del problema 3 para el alumno 3
A partir de la identificación de las subconfiguraciones: triángulos AOC y COB (lo
que constituyen dos AO) el alumno asocia la definición de la tangente trigonométrica
del mismo ángulo en dos triángulos distintos (lo que constituye en cada asociación una
AD). En el momento en que el alumno identifica el mismo ángulo en ambos triángulos
se produce truncamiento (aunque cabe considerar este desenlace como conjetura sin
demostración por aceptar, sin demostrarlo, que los diámetros son perpendiculares). El
alumno ya sabe cómo resolver el problema. A partir del punto 3 y hasta el final,
mediante el tratamiento adecuado dentro del registro algebraico (resolviendo el sistema
de ecuaciones), el alumno encuentra la solución. Esta solución utiliza solamente
registro algebraico en su presentación en lenguaje escrito. Ni siquiera ha dado la
definición de la tangente trigonométrica de un ángulo como “cateto opuesto partido por
cateto adyacente”. Se ha limitado a representar la situación particular del problema en
lenguaje algebraico para hallar las relaciones (ecuaciones) que necesitaba para llegar a
Con este trabajo se indica la pertinencia de ampliar el modelo RC, usado en el
análisis de la resolución de problemas de probar de geometria clásicos, en un contexto
de lápiz y papel, cuando se resuelven problemas empíricos. Se han analizado tres
soluciones a un problema empírico, correspondientes a tres estrategias de resolución.
Una en la que la alumna 1 utiliza una propiedad geométrica general (propiedad de las
cuerdas), que convierte al registro algebraico y que complementa con una relación
algebraica, a partir de la situación particular de la figura (igualdad entre dos expresiones
del radio mayor) para hallar la solución. Esta solución ha servido para introducir la
necesidad del modelo RC extendido. La resolución se podría considerar que constituye
un razonamiento geométrico general en registro algebraico. En la segunda resolución,
la alumna 2 busca una relación entre los radios de ambas circunferencias, que le lleva a
establecer una ecuación (que expresa la relación entre radios) y que complementa con
una propiedad genérica (teorema de Pitágoras). En esta solución hay una mezcla de
razonamientos y registros algebraico y geométrico. En la tercera, el alumno 3 expresa
de dos formas la tangente trigonométrica del mismo ángulo, que no define, obteniendo
una ecuación con una incógnita que resuelve el problema, con una solución en registro
Los ejemplos descritos muestran el potencial explicatorio del modelo RC
extendido, cuando se usa para el análisis de la resolución de los problemas empíricos.
Con el modelo extendido podemos analizar las respuestas de los alumnos a problemas
empíricos y así avanzar en el estudio de características del razonamiento de los alumnos
cuando resuelven problemas de probar y calcular en contexto geométrico, con lápiz y
papel, tanto si usan un registro solo geométrico como si introducen en su discurso el
registro algebraico.
Todas las respuestas analizadas suponen cierta la perpendicularidad entre los
diámetros de la circunferencia mayor pues la utilizan, aunque sea implícitamente, para
resolver el problema, pero no la explicitan. Este es un problema recurrente en
geometría. A veces utilizamos enunciados con figuras “mudas” (sin ninguna marca) y
decimos simplemente, como en nuestro problema: Dos círculos son tangentes
interiores como se muestra en la figura. Esta forma de proceder no es coherente con
AIEM, número 12, noviembre de 2017 13
la exigencia a los alumnos de que no deben basar sus conjeturas en lo que parece que
se cumple en la configuración inicial que acompaña a los enunciados. Esta reflexión
implica que deberíamos restringir el uso de las figuras mudas en el enunciado de los
problemas. Tal vez, el hecho de no incluir la hipótesis de la perpendicularidad de los
diámetros del círculo mayor ha propiciado la aparición de varias soluciones,
evidenciando que es muy complicado estudiar los procesos desarrollados por los
alumnos durante la resolución de un problema a través de un contenido fijado a priori,
como por ejemplo “conocimiento susceptible de ser utilizado” (Clemente & Llinares,
Con los problemas empíricos ampliamos los objetivos de nuestra investigación.
Desde el registro geométrico, que necesita conocimiento de afirmaciones matemáticas
y capacidad de coordinación para relacionarlas y generar luego un discurso expresado
según las normas del razonamiento deductivo, pasamos a considerar estrategias de
resolución que están expresadas en una combinación de registros geométricos-
algebraicos. Una característica de los problemas empíricos es el registro algebraico, que
es un lenguaje potente. Aunque precisa conocimiento matemático igual que el registro
geométrico, el rol desempeñado por la coordinación entre hechos geométricos pierde
relevancia. Cuando el alumno es capaz de expresar (representar) la situación geométrica
del problema en forma de ecuaciones (registro algebraico), estas se resuelven de manera
“algorítmica”, simplificándose la tarea de elaborar un discurso deductivo al responder
a la característica del propio problema (“Calcular”). Se precisan investigaciones de
largo periodo de observación para evidenciar analogías/diferencias, si las hay, entre el
razonamiento de los alumnos en diferentes tipos de problemas por causa de la
formación recibida, según haya predominado el registro geométrico o el algebraico.
La solución del problema que hemos presentado se desencadena a partir de la
identificación de una subconfiguración relevante, aunque el desencadenante no
funcione desde el anclaje visual al discursivo (Clemente, Llinares & Torregrosa, 2017).
Hay evidencias que sugieren que el conocimiento teórico de los alumnos les hace
“buscar” la subconfiguración que se ajuste a dicho conocimiento teórico (Llinares &
Clemente, 2014). Sin embargo, son necesarios más trabajos de investigación para
explicar el cambio de anclaje (Duval, 1998). La identificación de características que
explicasen cómo realizan los alumnos los cambios de anclaje tendría implicaciones en
la enseñanza de las matemáticas en general y de la geometría en particular: identificar
cómo los estudiantes realizan la asociación entre lo que identifica en una configuración
inicial y las afirmaciones matemáticas que conoce. En otras palabras: por qué hay
estudiantes que resuelven los problemas, generalmente, con cambio de anclaje de visual
a discursivo y otros que realizan la asociación en sentido contrario: de discursivo a
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Referencia al autor
Germán Torregrosa, Universidad de Alicante (España) german.torregrosa@ua.es
16 AIEM, número 12, noviembre de 2017
Coordination of cognitive processes in problem solving:
relationship between geometry and algebra.
Germán Torregrosa, Universidad de Alicante (Spain)
The study of the characteristics of students’ reasoning when they solve problems
of geometry with pencil and paper has led us to elaborate a theoretical model called
Configural Reasoning (CR). CR implies that students develop a coordinated action
between Operative and Discursive Apprehensions, associating mathematical
affirmations and/or making modifications in the initial configuration when they are
solving a geometry problem with pencil and paper.
From a cognitive standpoint, the CR model explains the development of the process
followed by students when facing geometrical problems of proof. Nonetheless, the
model does not well cover the analysis of students’ answers in the resolution of
empirical geometrical problems; that is, when students solve problems in which the
initial conditions are not geometric properties but concrete measures (numerical or
literal). Due to the dominance of empirical geometrical problems in secondary
education, the greater relation of these problems with students’ daily life and the greater
motivation involved, it is necessary to investigate new approaches to the CR model in
order to expand the set of problems that can be analyzed.
Extended Configural Reasoning (ECR) is the result of research around such new
approach. This paper presents the extension of the CR model for the analysis of the
resolution of empirical problems of geometry, in which the initial data are numerical or
literal. The extension of the CR model consists of considering that in Discursive
Apprehensions, within the meaning of "mathematical affirmation" including theorems,
axioms, definitions, properties as well as the initial conditions (hypotheses) of empirical
problems, expressed as numerical or literal data. Furthermore, this new model considers
the algebraic register generated in the discourse during the resolution of a problem,
within a geometrical context. This inclusion of the algebraic register in the model draws
on the concepts of conversion and treatment of the Theory of Semiotic Systems by
Duval. After the analysis of several resolutions to an empirical problem with the ECR
model, newer aspects have come to explain the "traditional" behavior of students in
their learning of Geometry. For future research, we could consider the use of "silent"
figures. We could also change our focus to incorporate the analysis of resolution
strategies expressed through hybrid geometrical-algebraic registers.
AIEM, número 12, noviembre de 2017 17
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