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Timestamp: 2016-09-26 17:57:34+00:00

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ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS EN MÁTEMÁTICAS Potenciar el pensamiento matemático: ¡un reto escolar!
Desde hace tres décadas, la comunidad colombiana de educadores matemáticos viene investigando, reﬂexionando y debatiendo sobre la formación matemática de los niños, niñas y jóvenes y sobre la manera como ésta puede contribuir más eﬁcazmente a las grandes metas y propósitos de la educación actual. En este sentido, la educación matemática debe responder a nuevas demandas globales y nacionales, como las relacionadas con una educación para todos, la atención a la diversidad y a la interculturalidad y la formación de ciudadanos y ciudadanas con las competencias necesarias para el ejercicio de sus derechos y deberes democráticos. Para comprender mejor los cambios en la relación entre las metas de la educación matemática y los ﬁnes de la educación actual de cara al siglo XXI, a continuación se describen algunos cambios en las argumentaciones sobre la importancia de la formación matemática y su relación con las nuevas visiones de la naturaleza de las matemáticas. Hace ya varios siglos que la contribución de las matemáticas a los ﬁnes de la educación no se pone en duda en ninguna parte del mundo. Ello, en primer lugar, por su papel en la cultura y la sociedad, en aspectos como las artes plásticas, la arquitectura, las grandes obras de ingeniería, la economía y el comercio; en segundo lugar, porque se las ha relacionado siempre con el desarrollo del pensamiento lógico y, ﬁnalmente, porque desde el comienzo de la Edad Moderna su conocimiento se ha considerado esencial para el desarrollo de la ciencia y la tecnología. En Colombia, desde los inicios de la República hasta la década de los setenta, la contribución de la formación matemática a los ﬁnes generales de la educación se argumentó principalmente con base en las dos últimas razones de carácter personal y cientíﬁcotécnico, a saber: por su relación con el desarrollo de las capacidades de razonamiento lógico, por el ejercicio de la abstracción, el rigor y la precisión, y por su aporte al desarrollo de la ciencia y la tecnología en el país. Estos ﬁnes estuvieron fuertemente condicionados por una visión de la naturaleza de las matemáticas como cuerpo estable e infalible de verdades absolutas, lo que condujo a suponer que sólo se requería estudiar, ejercitar y recordar un listado más o menos largo de contenidos matemáticos –hechos, deﬁniciones, propiedades de objetos matemáticos, axiomas, teoremas y
Sin embargo, estos argumentos comenzaron a ser cuestionados, de un lado, porque el desarrollo del pensamiento lógico y la preparación para la ciencia y la tecnología no son tareas exclusivas de las matemáticas sino de todas las áreas de la Educación Básica y Media y, de otro, por el reconocimiento de tres factores adicionales que no se habían considerado anteriormente como prioritarios: la necesidad de una educación básica de calidad para todos los ciudadanos, el valor social ampliado de la formación matemática y el papel de las matemáticas en la consolidación de los valores democráticos. El primero de ellos obedece al ideal de ofrecer a toda la población del país una educación básica masiva con equidad y calidad, lo que implica buscar también la integración social y la equidad en y a través de la educación matemática, es decir, formar en matemáticas a todo tipo de alumnos y alumnas. La posibilidad de esta formación ya no está dada –como sucedía en la primera mitad del Siglo XX– por el ﬁltro social que limitaba mucho el número de estudiantes que accedían a la educación secundaria, sino que tiene que atender a toda la población juvenil, independientemente de su preparación adecuada o deﬁciente en las matemáticas de la Educación Básica Primaria y de su motivación o desmotivación por las mismas. Por ello, se hace necesario comenzar por la identiﬁcación del conocimiento matemático informal de los estudiantes en relación con las actividades prácticas de su entorno y admitir que el aprendizaje de las matemáticas no es una cuestión relacionada únicamente con aspectos cognitivos, sino que involucra factores de orden afectivo y social, vinculados con contextos de aprendizaje particulares. Estas consideraciones se amplían con la visión del carácter histórico y contingente de las matemáticas, consideradas ahora como un cuerpo de prácticas y de realizaciones conceptuales y lingüísticas que surgen ligadas a un contexto cultural e histórico concreto y que están en continua transformación y reconstrucción como otros cuerpos de prácticas y saberes. De esta forma se amplía la base argumentativa para relacionar las matemáticas con las ﬁnalidades culturalmente valoradas de la educación. El segundo factor incorpora nuevas ﬁnalidades sociales a los propósitos de la formación matemática, las cuales se argumentan con las siguientes razones. La primera alude al carácter utilitario ampliado del conocimiento matemático, en tanto que el mundo social y laboral fuertemente tecnologizado del Siglo XXI requiere cada vez más de herramientas proporcionadas por las matemáticas –sin olvidar ni menospreciar los aportes de otras disciplinas como las ciencias naturales y sociales– y por las nuevas tecnologías, para lograr con ellas desempeños eﬁcientes y creativos en muchas labores en las que antes no se requería más que de la aritmética elemental. La segunda razón alude al conocimiento matemático imprescindible y necesario en todo ciudadano para desempeñarse en forma activa y crítica en su vida social y política y para interpretar la información necesaria en la toma de decisiones.
Hace ya varios siglos que la contribución de las matemáticas a los fines de la educación no se pone en duda en ninguna parte del mundo.
El tercer factor está relacionado con la segunda razón arriba mencionada, pero va más allá, pues busca contribuir desde la educación matemática a la formación en los valores democráticos. Esto implica reconocer que hay distintos tipos de pensamiento lógi-
procedimientos algorítmicos– para formar a todos los estudiantes en el razonamiento lógico y en los conocimientos matemáticos.
co y matemático que se utilizan para tomar decisiones informadas, para proporcionar justiﬁcaciones razonables o refutar las aparentes y falaces y para ejercer la ciudadanía crítica, es decir, para participar en la preparación, discusión y toma de decisiones y para desarrollar acciones que colectivamente puedan transformar la sociedad. Este factor agrega a las demás funciones de la formación matemática una nueva función política: la preocupación por la formación en valores democráticos y por el ejercicio de la ciudadanía crítica. Por lo tanto, es necesario que en los procesos de enseñanza de las matemáticas se asuma la clase como una comunidad de aprendizaje donde docentes y estudiantes interactúan para construir y validar conocimiento, para ejercer la iniciativa y la crítica y para aplicar ese conocimiento en diversas situaciones y contextos. Para lograrlo hay que hacer énfasis en los actos comunicativos, de tal suerte que se le permita al grupo deliberar sobre las razones o la falta de ellas, sobre las conjeturas, opiniones o juicios y sobre las ventajas o desventajas de las posibles decisiones que deban tomarse dentro y fuera de la clase y que tengan resonancia colectiva. Los tres factores antes descritos exigen reorganizaciones, redeﬁniciones y reestructuraciones de los procesos de enseñanza de las matemáticas. En primer lugar, se hace necesaria una nueva visión de las matemáticas como creación humana, resultado de la actividad de grupos culturales concretos (ubicados en una sociedad y en un periodo histórico determinado) y, por tanto, como una disciplina en desarrollo, provisoria, contingente y en constante cambio. Ello implica incorporar en los procesos de formación de los educandos una visión de las matemáticas como actividad humana culturalmente mediada y de incidencia en la vida social, cultural y política de los ciudadanos. En segundo lugar, se hace necesario también incorporar los ﬁnes políticos, sociales y culturales a la educación matemática, lo cual implica prioritariamente tomar en consideración el estado actual de la sociedad, sus tendencias de cambio y los futuros deseados hacia los cuales se orienta el proyecto educativo de las matemáticas. La incorporación de estos ﬁnes a la enseñanza de las matemáticas obliga a reconocer que ésta forma parte del sistema de valores compartidos, que tiene fundamentos éticos y que se incardina en una práctica social. Finalmente, se hace necesario pasar de una enseñanza orientada sólo hacia el logro de objetivos especíﬁcos relacionados con los contenidos del área y hacia la retención de dichos contenidos, a una enseñanza que se oriente a apoyar a los estudiantes en el desarrollo de competencias matemáticas, cientíﬁcas, tecnológicas, lingüísticas y ciudadanas. Así pues, los ﬁnes de tipo personal, cultural, social y político de la educación matemática, aunque plantean nuevos y difíciles problemas, abren nuevos horizontes y refuerzan las razones para justiﬁcar la contribución de la formación matemática a los ﬁnes de la educación.
Sin utilizar todavía la conceptualización y la terminología actual de las competencias, la visión sobre las matemáticas escolares propuesta en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas1 preparaba ya la transición hacia el dominio de las competencias al incorporar una consideración pragmática e instrumental del conocimiento matemático, en la cual se utilizaban los conceptos, proposiciones, sistemas y estructuras matemáticas como herramientas eﬁcaces mediante las cuales se llevaban a la práctica determinados tipos de pensamiento lógico y matemático dentro y fuera de la institución educativa.
También pueden reinterpretarse como potentes precursores del discurso actual sobre las competencias la teoría del aprendizaje signiﬁcativo de Ausubel2, Novak y Gowin3, y la de la enseñanza para la comprensión de Perkins, Gardner, Wiske y otros4. En la primera, la signiﬁcatividad del aprendizaje no se reduce a un sentido personal de lo aprendido, sino que se extiende a su inserción en prácticas sociales con sentido, utilidad y eﬁcacia. En la segunda, la comprensión se entiende explícitamente como relacionada con los desempeños de comprensión, que son actuaciones, actividades, tareas y proyectos en los cuales se muestra la comprensión adquirida y se consolida y profundiza la misma. En las dimensiones de la comprensión se incluye no sólo la más usual de los contenidos y sus redes conceptuales, sino que se proponen los aspectos relacionados con los métodos y técnicas, con las formas de expresar y comunicar lo comprendido y con la praxis cotidiana, profesional o cientíﬁco-técnica en que se despliegue dicha comprensión. Todas estas dimensiones se articulan claramente con una noción amplia de competencia como conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño ﬂexible, eﬁcaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a responder en el aula de clase. Por lo dicho anteriormente, se puede hablar del aprendizaje por competencias como un aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo. En la enseñanza enfocada a lograr este tipo de aprendizaje no se puede valorar apropiadamente el progreso en los niveles de una competencia si se piensa en ella en un sentido dicotómico (se tiene o no se tiene), sino que tal valoración debe entenderse como la posibilidad de determinar el nivel de desarrollo de cada competencia, en progresivo crecimiento y en forma relativa a los contextos institucionales en donde se desarrolla. Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema signiﬁcativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos.
Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos.
La noción general de competencia ha venido siendo objeto de interés en muchas de las investigaciones y reﬂexiones que adelanta la comunidad de investigadores en educación matemática. Una síntesis apretada de los resultados de éstas permite precisar que –además de los aspectos que se acaban de mencionar– el sentido de la expresión ser matemáticamente competente está íntimamente relacionado con los ﬁnes de la educación matemática de todos los niveles educativos (lo cual ha sido tratado en el apartado anterior) y con la adopción de un modelo epistemológico sobre las propias matemáticas. La adopción de un modelo epistemológico coherente para dar sentido a la expresión ser matemáticamente competente requiere que los docentes, con base en las nuevas tendencias de la ﬁlosofía de las matemáticas, reﬂexionen, exploren y se apropien de supuestos sobre las matemáticas tales como: • Las matemáticas son una actividad humana inserta en y condicionada por la cultura y por su historia, en la cual se utilizan distintos recursos lingüísticos y expresivos
Ausubel, D. P., Novak, J. D. y Hanesian, H. (1983). Psicología educativa. Un punto de vista cognoscitivo (2a. ed.). Trillas. México. Novak, J. D. y Gowin, B. (1988). Aprendiendo a aprender. Martínez Roca. Barcelona. Wiske, M. S. (Comp.). (2003). La enseñanza para la comprensión. Vinculación entre la investigación y la práctica. Paidós. Buenos Aires, Barcelona, México. Ver también la guía para el docente: Blythe, T. (1999). Enseñaza para la comprensión. Guía para el docente. Paidós. Buenos Aires, Barcelona, México. El MEN también publicó dos volúmenes sobre el tema en el “Baúl Jaibaná”: República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). Pequeños aprendices, grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco, Directora General de la Obra, 2 vols.). MEN. Bogotá.
para plantear y solucionar problemas tanto internos como externos a las matemáticas mismas. En la búsqueda de soluciones y respuestas a estos problemas surgen progresivamente técnicas, reglas y sus respectivas justiﬁcaciones, las cuales son socialmente decantadas y compartidas. • Las matemáticas son también el resultado acumulado y sucesivamente reorganizado de la actividad de comunidades profesionales, resultado que se conﬁgura como un cuerpo de conocimientos (deﬁniciones, axiomas, teoremas) que están lógicamente estructurados y justiﬁcados. Con base en estos supuestos se pueden distinguir dos facetas básicas del conocimiento matemático: • La práctica, que expresa condiciones sociales de relación de la persona con su entorno, y contribuye a mejorar su calidad de vida y su desempeño como ciudadano. • La formal, constituida por los sistemas matemáticos y sus justiﬁcaciones, la cual se expresa a través del lenguaje propio de las matemáticas en sus diversos registros de representación.
En el conocimiento matemático se han distinguido dos tipos básicos: el conocimiento conceptual y el conocimiento procedimental.
En el conocimiento matemático también se han distinguido dos tipos básicos: el conocimiento conceptual y el conocimiento procedimental. El primero está más cercano a la reﬂexión y se caracteriza por ser un conocimiento teórico, producido por la actividad cognitiva, muy rico en relaciones entre sus componentes y con otros conocimientos; tiene un carácter declarativo y se asocia con el saber qué y el saber por qué. Por su parte, el procedimental está más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas y las estrategias para representar conceptos y para transformar dichas representaciones; con las habilidades y destrezas para elaborar, comparar y ejercitar algoritmos y para argumentar convincentemente. El conocimiento procedimental ayuda a la construcción y reﬁnamiento del conocimiento conceptual y permite el uso eﬁcaz, ﬂexible y en contexto de los conceptos, proposiciones, teorías y modelos matemáticos; por tanto, está asociado con el saber cómo. Estas dos facetas (práctica y formal) y estos dos tipos de conocimiento (conceptual y procedimental) señalan nuevos derroteros para aproximarse a una interpretación enriquecida de la expresión ser matemáticamente competente. Esta noción ampliada de competencia está relacionada con el saber qué, el saber qué hacer y el saber cómo, cuándo y por qué hacerlo. Por tanto, la precisión del sentido de estas expresiones implica una noción de competencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender. Si bien es cierto que la sociedad reclama y valora el saber en acción o saber procedimental, también es cierto que la posibilidad de la acción reﬂexiva con carácter ﬂexible, adaptable y generalizable exige estar acompañada de comprender qué se hace y por qué se hace y de las disposiciones y actitudes necesarias para querer hacerlo, sentirse bien haciéndolo y percibir las ocasiones de hacerlo. Estas argumentaciones permiten precisar algunos procesos generales presentes en toda la actividad matemática que explicitan lo que signiﬁca ser matemáticamente competente:
Es decir dominar con ﬂuidez distintos recursos y registros del lenguaje cotidiano y de los distintos lenguajes matemáticos. con ellas. y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos.
En todas las áreas curriculares pueden considerarse procesos semejantes y en cada una de esas áreas estos procesos tienen peculiaridades distintas y deben superar obstáculos diferentes que dependen de la naturaleza de los saberes propios de la respectiva disciplina. comunicar. de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. expresar y representar ideas matemáticas. • Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo. la prueba y la refutación. Ello requiere analizar la situación. Este proceso general requiere del uso ﬂexible de conceptos. Estas actividades también integran el razonamiento. como medios de validar y rechazar conjeturas. en tanto exigen formular argumentos que justiﬁquen los análisis y procedimientos realizados y la validez de las soluciones propuestas. el ejemplo y el contraejemplo. para utilizar y transformar dichas representaciones y. formarse modelos mentales de ella y representarlos externamente en distintos registros. Así se vincula la habilidad procedimental con la comprensión conceptual que fundamenta esos procedimientos. modelar procesos y fenómenos de la realidad. modelar procesos y fenómenos de la realidad. establecer relaciones entre sus componentes y con situaciones semejantes. formular distintos problemas. cuándo y por qué usarlos de manera ﬂexible y eﬁcaz. plantear. y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos. reformular. En los apartados siguientes se hará mención de cada uno de esos procesos generales desde las particularidades presentes en la actividad matemática que ocurre en su enseñanza y en su aprendizaje.
En la enumeración anterior se pueden ver con claridad –aunque en distinto orden– los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas: formular y resolver problemas. comunicar. procedimientos y diversos lenguajes para expresar las ideas matemáticas pertinentes y para formular. que esta clasiﬁcación en cinco procesos generales de la actividad matemática no pretende ser
Los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas son: formular y resolver problemas. formular y sustentar puntos de vista. • Usar la argumentación. transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana. posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir de ella. • Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear. y avanzar en el camino hacia la demostración. razonar. identiﬁcar lo relevante en ella. razonar.• Formular. tratar y resolver los problemas asociados a dicha situación. Debe aclararse.
que pueden darse otros procesos además de los enumerados. La formulación. desplegar una serie de estrategias para resolverlos. que suelen ser sólo ejercicios de rutina. pero también de otras ciencias y de las mismas matemáticas. para los que los estudiantes mismos tengan que formular las preguntas. sin necesidad de manipularlos o dañarlos. Es importante abordar problemas abiertos donde sea posible encontrar múltiples soluciones o tal vez ninguna. Es una construcción o artefacto material o mental.
. Un modelo se produce para poder operar transformaciones o procedimientos experimentales sobre un conjunto de situaciones o un cierto número de objetos reales o imaginados. para apoyar la formulación de conjeturas y razonamientos y dar pistas para avanzar hacia las demostraciones. gráﬁco o tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más comprensible. modiﬁcar condiciones y originar otros problemas. el estudio y análisis de situaciones problema suﬁcientemente complejas y atractivas. porque las situaciones problema proporcionan el contexto inmediato en donde el quehacer matemático cobra sentido. analogías. o con enunciados narrativos o incompletos. símiles o alegorías. como se verá a continuación. es clave para el desarrollo del pensamiento matemático en sus diversas formas. aunque pueden estarse interpretando en un modelo. el proceso de formular y resolver problemas involucra todos los demás con distinta intensidad en sus diferentes momentos. formulen y resuelvan problemas matemáticos. es decir. un sistema –a veces se dice también “una estructura”– que puede usarse como referencia para lo que se trata de comprender. como sucede con las representaciones verbales y algebraicas que no son propiamente modelos. por ende. También es muy productivo experimentar con problemas a los cuales les sobre o les falte información. pero no todo sistema es un modelo. pues esa es la manera de producir nuevas metáforas. La formulación. todo modelo es una representación. encontrar resultados. en particular. todo modelo es un sistema. La modelación Un modelo puede entenderse como un sistema ﬁgurativo mental.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
exhaustiva. veriﬁcar e interpretar lo razonable de ellos. pero no toda representación es necesariamente un modelo. en las que los estudiantes mismos inventen. en la medida en que las situaciones que se aborden estén ligadas a experiencias cotidianas y. Estos problemas pueden surgir del mundo cotidiano cercano o lejano. una imagen analógica que permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiación y manejo. que existen traslapes y relaciones e interacciones múltiples entre ellos. más aún. convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad. Análogamente. sean más signiﬁcativas para los alumnos. podría convertirse en el principal eje organizador del currículo de matemáticas. En ese sentido. tratamiento y resolución de problemas Este es un proceso presente a lo largo de todas las actividades curriculares de matemáticas y no una actividad aislada y esporádica. es decir. aunque cualquier sistema podría utilizarse como modelo. Más bien que la resolución de multitud de problemas tomados de los textos escolares. ni tampoco pretende ser disyunta. el tratamiento y la resolución de los problemas suscitados por una situación problema permiten desarrollar una actitud mental perseverante e inquisitiva.
utilizar procedimientos numéricos.
Con respecto a la modelación. o si es imposible o no tiene sentido. La segunda forma de entender la matematización y la modelación es más propia de los cursos avanzados de física. Reidel. como simpliﬁcación y restricción de la complejidad de una situación real para reducirla a una situación ya conocida.
. pero la primera puede comenzarse desde el preescolar e irse complejizando en los sucesivos grados escolares. nuevas teorías y nuevas estructuras. Las teorías matemáticas explican
Freudenthal. cómo se relaciona con otras y qué operaciones matemáticas pueden ser pertinentes para responder a las preguntas que suscita dicha situación. lo que posibilita establecer modelos matemáticos de distintos niveles de complejidad. científicas y matemáticas para reconstruirlas mentalmente.
La matematización o modelación puede entenderse como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas. como creación de nuevos modelos y teorías matemáticas que permitan simular la evolución de una situación real en el tiempo. Vol. ingeniería. gestualmente. Steen continúa así: “El matemático busca modelos o patrones en el número. Mathematics as an educational task. Norwell. 611-616.La modelación puede hacerse de formas diferentes. cientíﬁcas y matemáticas para reconstruirlas mentalmente. H. Massachusetts. 240 (29 April. estimar una solución aproximada o darse cuenta de si una aparente solución encontrada a través de cálculos numéricos o algebraicos sí es plausible y signiﬁcativa. Al respecto. Esta expresión se suele tomar como sinónimo de “la modelación” y ambas pueden entenderse en formas más y más complejas. pero para detectar en ella esquemas que se repiten. con un término introducido por Hans Freudenthal5. hasta una forma muy avanzada. Un buen modelo mental o gráﬁco permite al estudiante buscar distintos caminos de solución. gráﬁcamente o por medio de símbolos aritméticos o algebraicos. A. Steen. 1988). que van desde una forma muy elemental. En una situación problema. economía. a partir de los cuales se pueden hacer predicciones. (1988) “The science of patterns. en el espacio. que simpliﬁcan la situación y seleccionan una manera de representarla mentalmente. obtener resultados y veriﬁcar qué tan razonable son éstos respecto a las condiciones iniciales. L. sin poner límites a la producción de nuevos modelos mentales. que podemos llamar “modelos” o “patrones” (“patterns”). demografía y similares. en la didáctica de las matemáticas se ha hablado también con frecuencia desde 1977 de “la matematización” de una situación problema. y en la multitud de esos modelos o patrones detectar de nuevo otros más y teorizar sobre sus relaciones para producir nuevas estructuras matemáticas. Por lo tanto. en la ciencia. Este primer sentido de la matematización o modelación puede pues entenderse como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas.” Science. para poder formular y resolver los problemas relacionados con ella. esta primera manera de entender la matematización y la modelación es la que se utiliza en los Lineamientos Curriculares y en el presente documento de Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. (1977). las matemáticas serían la ciencia de los modelos o patrones (“Mathematics is the science of patterns”). Lynn Arthur Steen propuso en 19886 una deﬁnición de las matemáticas que va más allá de la descripción usual de ellas como la ciencia del espacio y el número: considera que las matemáticas parten de una base empírica. D. la modelación permite decidir qué variables y relaciones entre variables son importantes. de tal manera que se pueda detectar fácilmente qué esquema se le puede aplicar. en los ordenadores y en la imaginación.
pero suele apoyarse también intermitentemente en comprobaciones e interpretaciones en esos modelos. el razonamiento numérico y. Ver también el artículo de Romberg. hacer predicciones y conjeturas. y puede trabajar directamente con proposiciones y teorías. 237-239. (2004). vol. las matemáticas no son un lenguaje. pág. eﬁcacia y economía de los lenguajes matemáticos. La comunicación A pesar de que suele repetirse lo contrario.). Wiske. en el que los estudiantes compartan el signiﬁcado de las palabras. En los grados superiores. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales (2a. son lógicas. como el deductivo. En: Philip W. sino que la conﬁguran intrínseca y radicalmente. aprecien la necesidad de tener acuerdos colectivos y aun universales y valoren la eﬁciencia. pero ellas pueden construirse. problemas. págs. conjeturas y resultados matemáticos no son algo extrínseco y adicionado a una actividad matemática puramente mental. no parece posible aprender y comprender dicho contenido9.. potencian la capacidad de pensar y son divertidas. axiomas. dar explicaciones coherentes. formas que él llama “registros de representación” o “registros semióticos”. En esas situaciones pueden aprovecharse diversas ocasiones de reconocer y aplicar tanto el razonamiento lógico inductivo y abductivo. Handbook of research on curriculum: A project of the American Educational Research Association. dibujos y otros artefactos. La adquisición y dominio de los lenguajes propios de las matemáticas ha de ser un proceso deliberado y cuidadoso que posibilite y fomente la discusión frecuente y explícita sobre situaciones. Semiosis y pensamiento humano. Cali. Bogotá. conceptos y simbolizaciones.). M. postulados o principios. al intentar comprobar la coherencia de una proposición con otras aceptadas previamente como teoremas. págs. ed. Directora General de la Obra. para tomar conciencia de las conexiones entre ellos y para propiciar el trabajo colectivo. New York. (2003). Buenos Aires. págs. materiales. los operadores y los morﬁsmos conectan un tipo de modelos o patrones con otros para producir estructuras matemáticas perdurables” 7. o al intentar refutarla por su contradicción con otras o por la construcción de contraejemplos. sino que tienen sentido. Podría decirse con Raymond Duval que si no se dispone al menos de dos formas distintas de expresar y representar un contenido matemático. Jackson (ed. Pequeños aprendices. Macmillan. Duval. (Comp. El razonamiento El desarrollo del razonamiento lógico empieza en los primeros grados apoyado en los contextos y materiales físicos que permiten percibir regularidades y relaciones. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. (Original francés publicado en 1995). sentidos. Ver también: República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). métricos y geométricos. Los modelos y materiales físicos y manipulativos ayudan a comprender que las matemáticas no son simplemente una memorización de reglas y algoritmos. 48-53. Barcelona.).). se hablan y se escuchan. S. Es conveniente que las situaciones de aprendizaje propicien el razonamiento en los aspectos espaciales. Peter Lang-Universidad del Valle. frases.
. se leen y se escriben. 2 vols. Thomas (1992). “Características problemáticas del currículo escolar de matemáticas” (en inglés). 1. el razonamiento se va independizando de estos modelos y materiales. gráﬁcos y símbolos.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
las relaciones entre modelos o patrones. en particular. de tal manera que la dimensión de las formas de expresión y comunicación es constitutiva de la comprensión de las matemáticas8. reﬁnarse y comunicarse a través de diferentes lenguajes con los que se expresan y representan. cadenas argumentativas e intentos de validar o invalidar conclusiones. 32-42 y 74-83. justiﬁcar o refutar esas conjeturas.
Ibid. México. Vinculación entre la investigación y la práctica. MEN. Paidós. La enseñanza para la comprensión. 616. las funciones y los mapas. R. al formular hipótesis o conjeturas. el razonamiento proporcional apoyado en el uso de gráﬁcas. Las distintas formas de expresar y comunicar las preguntas. proponer interpretaciones y respuestas posibles y adoptarlas o rechazarlas con argumentos y razones.
pero también pueden perder utilidad en la medida en que se disponga de ayudas tecnológicas que ejecuten dichas tareas más rápida y conﬁablemente. comparación y ejercitación de procedimientos
. Estas destrezas dan seguridad al alumno y pueden aﬁanzar y profundizar el dominio de dichos conocimientos. así el docente decida practicar y automatizar un solo algoritmo para cada una de las operaciones aritméticas usuales. pueden modiﬁcarse. ejecución. segura y efectiva ejecución de los procedimientos. pero sí contribuye a adquirir destrezas en la ejecución fácil y rápida de cierto tipo de tareas. veriﬁcación e interpretación intermitente de resultados parciales. Uno de estos mecanismos es la alternación de momentos en los que prima el conocimiento conceptual y otros en los que prima el procedimental. por lo tanto. seguir la lógica que lo sustenta y saber cuándo aplicarlo de manera ﬁable y eﬁcaz y cuándo basta utilizar una técnica particular para obtener más rápidamente el resultado. Por ello. o aun hacerse obsoletas y ser sustituidas por otras. es conveniente describir y ensayar otros algoritmos para cada una de ellas. lo cual requiere atención. también llamados “algoritmos”. que requiere de la práctica repetida para lograr una rápida. Para analizar la contribución de la ejecución de procedimientos rutinarios en el desarrollo signiﬁcativo y comprensivo del conocimiento matemático es conveniente considerar los mecanismos cognitivos involucrados en dichos algoritmos. Esta reﬂexión exige al estudiante poder explicar y entender los conceptos sobre los cuales un procedimiento o algoritmo se apoya. esta automatización no contribuye directamente al desarrollo signiﬁcativo y comprensivo del conocimiento. compararlos con el que se practica en clase y apreciar sus ventajas y desventajas. es conveniente describir y ensayar otros algoritmos para cada una de ellas. Esta comparación permite distinguir claramente la operación conceptual de las distintas formas algorítmicas de ejecutarla y el resultado de dicha operación conceptual del símbolo producido al ﬁnal de la ejecución de uno u otro algoritmo. Otro mecanismo cognitivo involucrado es la reﬂexión sobre qué procedimientos y algoritmos conducen al reconocimiento de patrones y regularidades en el interior de determinado sistema simbólico y en qué contribuyen a su conceptualización. la elaboración de macroinstrucciones y aun para la programación de computadores. procurando que la práctica necesaria para aumentar la velocidad y precisión de su ejecución no oscurezca la comprensión de su carácter de herramientas eﬁcaces y útiles en unas situaciones y no en otras y que. el uso de hojas de cálculo.
La formulación. planeación. control. Otro mecanismo cognitivo clave es la automatización. ampliarse y adecuarse a situaciones nuevas. Todo ello estimula a los estudiantes a inventar otros procedimientos para obtener resultados en casos particulares.Este proceso implica comprometer a los estudiantes en la construcción y ejecución segura y rápida de procedimientos mecánicos o de rutina.
Así el docente decida practicar y automatizar un solo algoritmo para cada una de las operaciones aritméticas usuales. compararlos con el que se practica en clase y apreciar sus ventajas y desventajas. Esto los prepara también para el manejo de calculadoras.
En el aprendizaje del castellano y de las lenguas extranjeras. En sus estudios previos sobre la lógica y la epistemología había propuesto que el pensamiento lógico actúa por medio de operaciones sobre las proposiciones y que el pensamiento matemático se distingue del lógico porque versa sobre el número y sobre el espacio11. El pensamiento lógico y el pensamiento matemático A mediados del Siglo XX. y con éste –en cualquiera de sus tipos– se puede y se debe desarrollar también el pensamiento lógico. de la racionalidad y de la argumentación. Buenos Aires. (1978). Pero no puede pretenderse que las matemáticas son las únicas que desarrollan el pensamiento lógico en los estudiantes. J. J.
. (Original francés publicado en 1955). y ojalá avanzar hacia a demostración formal. Estos procesos están muy relacionados con las competencias en su sentido más amplio explicado arriba. ser matemáticamente competente se concreta de manera especíﬁca en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático. dando lugar a la aritmética y a la geometría. al analizar el proceso general de razonamiento. que utiliza los dos anteriores pero tiene una relación diferente con la realidad y la experiencia. Jean Piaget estudió la transición de la manera de razonar de los adolescentes de lo que él llamó “el pensamiento operatorio concreto” al “operatorio formal” y propuso un conjunto de operaciones lógico-matemáticas que podrían explicar ese paso10. se mencionó el desarrollo de las competencias argumentativas que implican saber dar y pedir razones.
Inhelder. y Piaget. el aleatorio o probabilístico y el variacional. el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numérico. I. B.). falta. en la ﬁlosofía. Es pues necesario dejar claro que el pensamiento lógico no es parte del pensamiento matemático. En la primera sección se enunciaron algunos argumentos clásicos y actuales con respecto a la contribución de la educación matemática a la formación integral de los estudiantes: el desarrollo del pensamiento lógico. De la lógica del niño a la lógica del adolescente. Paidós. en las ciencias naturales y sociales. Igualmente. Barcelona. en la lectura de textos literarios extensos y profundos. Tanto el pensamiento lógico como el matemático se distinguirían del pensamiento físico. y aun en el sentido restringido de “saber hacer en contexto”. en ﬁn. en los cuales cada estudiante va pasando por distintos niveles de competencia. pues ser matemáticamente competente requiere ser diestro. en cualquiera de las áreas curriculares o de los ejes transversales del trabajo escolar se puede y se debe desarrollar el pensamiento lógico. Piaget. el métrico o de medida. sino que el pensamiento lógico apoya y perfecciona el pensamiento matemático. eﬁcaz y eﬁciente en el desarrollo de cada uno de esos procesos generales.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Los aspectos referidos anteriormente con respecto a la expresión ser matemáticamente competente muestran la variedad y riqueza de este concepto para la organización de currículos centrados en el desarrollo de las competencias matemáticas de manera que éstas involucren los distintos procesos generales descritos en la sección anterior. Además de relacionarse con esos cinco procesos. en la sección siguiente. (1985). El pensamiento matemático (2a. probar y refutar. Paidós. No hay duda pues de que hay una estrecha relación entre el pensamiento lógico y el pensamiento matemático. mano voluntaria u otra violación del reglamento. es en donde muchos de los niños y las niñas empiezan a desarrollar competencias argumentativas y deductivas más complejas con el ﬁn de defender a su equipo o a su jugador favorito contra las acusaciones de fuera de lugar. Introducción a la epistemología genética. el espacial. ed. (Original francés publicado en 1950). cuando hay diﬁcultades en la interpretación y la aplicación de los reglamentos de cada uno de ellos. Tal vez en los deportes.
se notó también que había aspectos espaciales más intuitivos y cualitativos que los de la geometría. Bogotá. sin subdividir este último. deﬁniciones y teoremas previos. Con el desarrollo de las matemáticas y luego de la física. (Documento inédito disponible en la OEI). En especial. sobre todo en lo que concierna a las argumentaciones y deducciones informales que preparan la demostración rigurosa de teoremas matemáticos a partir de axiomas. el espacial y el métrico. presión. de (1995) “Tendencias e innovaciones en educación matemática”. OEI. de la deducción formal a partir de axiomas. temperatura. Conferencia en el Seminario de Educación Matemática. la deﬁnición. pero que tenían diﬁcultad en pensar en los conceptos de la probabilidad o en las variaciones continuas de los procesos físicos. Para la aritmética se pensó durante siglos únicamente en los números de contar. densidad. Pareció pues conveniente distinguir también el pensamiento probabilístico o aleatorio y el pensamiento analítico o variacional como tipos de pensamiento matemático diferentes del numérico. la generalización. aunque muy relacionados con ellos. especialmente la física y la química (fuerza. Era pues conveniente distinguir también el pensamiento métrico del pensamiento numérico y del espacial. los cuales no necesitaban de las nociones métricas. Miguel de Guzmán12. multiplicación y división. masa. M.
. señala al respecto que. La subdivisión del pensamiento matemático Para los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias podría haber bastado la división entre pensamiento lógico y pensamiento matemático. del álgebra abstracta y de otras ramas ya axiomatizadas de las matemáticas. “topos”). sistematizada en el Siglo IV antes de nuestra era. Pero en toda la tradición griega y medieval ya se había distinguido entre la manera de hacer matemáticas con respecto al número: la aritmética. la geometría euclidiana es un campo muy fértil para el cultivo de la abstracción. lo concreto y lo abstracto y lo cotidiano y lo académico. y la manera de hacerlas con respecto al espacio: la geometría. La práctica de la deﬁnición cuidadosa de términos técnicos. Se notó también que las nociones métricas no se aplicaban sólo a lo espacial (como en el caso de longitud. peso. de los que se desarrolló una ciencia abstracta del espacio (llamada “topología” por la palabra griega para el espacio o el lugar. Estas dos maneras de hacer matemáticas sugieren pues una primera subdivisión del pensamiento matemático al menos en dos tipos: el pensamiento numérico y el espacial. área y volumen) sino también a lo temporal (duración y frecuencia) y a otras muchas disciplinas. aceleración. se empezó a notar también que entre los estudiantes de matemáticas había algunos que sobresalían en los aspectos aritméticos y geométricos. la de la argumentación a partir de premisas de las que no se sabe si son verdaderas o no y la de la deducción formal basada en axiomas más o menos arbitrarios y aun contrarios a la intuición espacial o numérica se desarrollan más naturalmente con el aprendizaje de la geometría euclidiana y de las no euclidianas. una de las ﬁguras más inﬂuyentes en la educación matemática en España y en Latinoamérica. etc. por tener una articulación óptima entre lo intuitivo y lo formal. más allá de las ramas tradicionales
Guzmán.Eso no quiere decir que las matemáticas no sean el lugar privilegiado para desarrollar algunos aspectos del pensamiento lógico. Para la geometría se pensó también durante siglos únicamente en la geometría euclidiana. velocidad. la axiomatización y.). con las operaciones de adición y sustracción. ante todo. Al desarrollarse desde el Siglo XVII la teoría de la probabilidad y el cálculo diferencial e integral.
y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación. para el de los números racionales y reales. se propone trabajar con las magnitudes. mencionando simultáneamente los sistemas conceptuales y simbólicos con cuyo dominio se ejercita y reﬁna el tipo de pensamiento respectivo. en la geometría. • El pensamiento numérico y los sistemas numéricos Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas plantean el desarrollo de los procesos curriculares y la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los signiﬁcados de los números y de la numeración. llamado también hipotético-deductivo o pensamiento formal. en su devenir histórico “el espíritu matemático habría de enfrentarse con: • la complejidad del símbolo (álgebra) • la complejidad del cambio y de la causalidad determinística (cálculo) • la complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad. el pensamiento métrico y el variacional. en la geometría. Dichos planteamientos se enriquecen si. a su vez. en el álgebra y el cálculo. el pensamiento numérico. Se describen a continuación uno por uno estos cinco tipos de pensamiento. en el álgebra y el cálculo.
Por todo ello. en los Lineamientos Curriculares se preﬁrió hablar de los cinco tipos de pensamiento matemático ya mencionados (el numérico. el pensamiento espacial y el métrico.
Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático enunciados en los Lineamientos Curriculares: en la aritmética. ﬁnalmente. el pensamiento aleatorio. el espacial. y en la probabilidad y estadística. el pensamiento aleatorio. para el estudio de los números naturales. el pensamiento espacial y el métrico. se trabaja con el conteo de cantidades discretas y. y en la probabilidad y estadística. pues –como se indicó arriba– en todos esos cinco tipos es necesario atender al uso y al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes y. puede verse la alusión al pensamiento lógico. el progreso en el pensamiento lógico potencia y reﬁna los cinco tipos de pensamiento matemático. además. estadística) • la complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemática)”.
Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático enunciados en los Lineamientos Curriculares: en la aritmética. a la vez que ellos se desarrollan y perfeccionan con los avances en dichos tipos de pensamiento. sin incluir en ellos el lógico. el aleatorio o probabilístico y el variacional).COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
de las matemáticas: la aritmética y la geometría.
. la comprensión del sentido y signiﬁcado de las operaciones y de las relaciones entre números. Por ejemplo. las cantidades y sus medidas como base para dar signiﬁcado y comprender mejor los procesos generales relativos al pensamiento numérico y para ligarlo con el pensamiento métrico. el pensamiento numérico. el métrico o de medida. de la medida de magnitudes y cantidades continuas. el pensamiento métrico y el variacional.
los racionales. el octal. el hexadecimal.
. o “3 por cada 4”. las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano. y otros sistemas de numeración antiguos y nuevos (como el binario. Pero durante el Siglo XX hubo una proliferación muy grande de otros contenidos matemáticos en la Educación Básica y Media. y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo. o con la pareja. la separación. multiplicación y división) generan una comprensión del concepto de número asociado a la acción de contar con unidades de conteo simples o complejas y con la reunión. o por la abreviatura “3:4”. así como las notaciones algebraicas para los números irracionales. sustracción. o por un decimal como “0. además de los naturales. Es conveniente recordar. Las primeras situaciones llevan al número racional como medidor o como operador ampliador o reductor (algunos de estos últimos considerados a veces también como “partidores” o “fraccionadores” de la unidad en partes iguales). aunque de hecho se reﬁeren más bien a los números que resultan de esas mediciones. y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo. En cierto sentido.
Históricamente. la repetición y la repartición de cantidades discretas. los reales y los complejos. o por un porcentaje como “el 75%”. Las otras situaciones llevan al número racional como razón.75”. El paso del concepto de número natural al concepto de número racional necesita una reconceptualización de la unidad y del proceso mismo de medir. las experiencias con las distintas formas de conteo y con las operaciones usuales (adición. El paso del número natural al número racional implica la comprensión de las medidas en situaciones en donde la unidad de medida no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir o en las que es necesario expresar una magnitud en relación con otras magnitudes. el vigesimal y el sexagesimal para los naturales y sus extensiones a los racionales). expresado a veces por frases como “3 de 4”. llamados precisamente “racionales” (por la palabra latina “ratio”.
Estas extensiones sucesivas de los sistemas numéricos y de sus sistemas de numeración representan una fuerte carga cognitiva para estudiantes y docentes y una serie de diﬁcultades didácticas para estos últimos. los reales y los complejos. que durante la Edad Antigua y Media ni siquiera las razones entre dos números de contar se consideraban como verdaderos números.En el caso de los números naturales. la decena o la docena como unidades complejas. se empezaron a estudiar los sistemas numéricos de los enteros. Hoy día se aceptan como una nueva clase de números. que signiﬁca “razón”). representado usualmente por una fracción como “¾”. en particular. las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano. separaciones. o “la relación de 3 a 4”. agrupaciones o reparticiones de estas cantidades. por ejemplo. y las operaciones usuales se asocian con ciertas combinaciones. Históricamente. la enseñanza de la aritmética escolar se redujo en la práctica al manejo de este sistema de numeración para los naturales y de su extensión para los racionales positivos (o “fraccionarios”). la numerosidad o cardinalidad de estas cantidades se está midiendo con un conjunto unitario como unidad simple. así como una extensión del concepto de número. Entre los Siglos XIV y XIX.
las relativas a los números irracionales. Así pues. Las conceptualizaciones relativas a los números reales implican la aritmetización de procesos inﬁnitos. y sin estos últimos no se hubieran podido perfeccionar ni siquiera los sistemas numéricos naturales. llamado “imaginario”. cero. y del concepto de número racional positivo (también llamado “número fraccionario”) al de número racional más general. “enteros”. sobre todo. que puede ser positivo. cero o negativo. El complejo y lento desarrollo histórico de estos sistemas numéricos y simbólicos esbozado arriba sugiere que la construcción de cada uno de estos sistemas conceptuales y el manejo competente de uno o más de sus sistemas simbólicos no puede restringirse a grados especíﬁcos del ciclo escolar. Éstos. Se fueron conﬁgurando así sistemas numéricos llamados “naturales”. completitud y continuidad. identiﬁcado con el cero. sino que también obliga a cambios conceptuales en las operaciones y las relaciones entre ellos. sino que todos ellos se van construyendo y
. a su vez. con sus operaciones y relaciones apropiadamente extendidas a los nuevos números. que también puede ser positivo. requieren de diferentes tipos de representaciones y una extensión de las operaciones y las relaciones entre estos nuevos números complejos. este paso de los números racionales a los números reales requiere del uso y comprensión de diferentes tipos de representaciones numéricas. conﬁgurando así sistemas numéricos diferentes. El fracaso en la medición de ciertas longitudes cuando se tomaba otra como unidad llevó al concepto de número irracional. o de la medida relativa de una magnitud con respecto a un punto de referencia. Este paso de los números naturales a los números enteros positivos y negativos (con el cero como entero) y a los números racionales positivos y negativos (con el cero como racional) no sólo amplía el concepto de número. que complementó el de número racional y llevó a pensar en un sistema uniﬁcado de números racionales e irracionales llamados “reales”. modelos y teorías en diversos contextos. la construcción de las nociones de inconmensurabilidad. “racionales”. “racionales positivos” (o “fraccionarios”). Igualmente. el desarrollo del pensamiento numérico exige dominar progresivamente un conjunto de procesos. irracionalidad. Aunque los chinos e hindúes empezaron a explorar números negativos hace más de mil años. en los países europeos éstos no se aceptaron como números hasta bien entrado el Siglo XVII. proposiciones. tanto por medio de decimales inﬁnitos como de símbolos algebraicos. El concepto de número negativo es el resultado de la cuantiﬁcación de ciertos cambios en las medidas de una magnitud. “reales” y “complejos”. cada uno de ellos con operaciones y relaciones extendidas a los nuevos sistemas numéricos a partir de su signiﬁcado en los naturales y con sus sistemas de numeración o sistemas notacionales cada vez más ingeniosos. El pensamiento aritmético opera mentalmente sobre sistemas numéricos en interacción con los sistemas de numeración. los cuales permiten conﬁgurar las estructuras conceptuales de los diferentes sistemas numéricos necesarios para la Educación Básica y Media y su uso eﬁcaz por medio de los distintos sistemas de numeración con los que se representan.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Algo parecido sucede con el paso del concepto de número natural al de número entero más general. conceptos. que complementó el de número real y llevó a pensar en un sistema uniﬁcado de números llamados “complejos”. El fracaso en la solución de ciertas ecuaciones algebraicas llevó a la conceptualización de un nuevo tipo de número. y por ende. o negativo. mucho menos los demás.
Gálvez. Bogotá. los deportes y la danza. Buenos Aires. con la observación y reproducción de patrones (por ejemplo en las plantas. hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales. etc. la percepción geométrica se complejiza y ahora las propiedades de los objetos se deben no sólo a sus relaciones con los demás. sino las relaciones entre los objetos involucrados en el espacio. MEN. y la ubicación y relaciones del individuo con respecto a estos objetos y a este espacio. En este primer momento del pensamiento espacial no son importantes las mediciones ni los resultados numéricos de las medidas. se convertirán en conocimientos formales de la geometría.• El pensamiento espacial y los sistemas geométricos El pensamiento espacial. De esta manera. en tanto reﬂexión sistemática de las propiedades de los cuerpos en virtud de su posición y su relación con los demás y. de otro lado. y a medida que se complejizan los sistemas de representación del espacio. sino también a sus medidas y a las relaciones entre ellas. La psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría en la escuela primaria”. Un acompañamiento pedagógico paciente y progresivo de los estudiantes puede lograr que la gran mayoría de ellos logre la proeza de recorrer doce milenios de historia del pensamiento numérico en sólo doce años de escolaridad. las relaciones entre ellos. sino que es necesario determinar qué tan cerca o qué tan lejos está. en particular. pues ya no es suﬁciente con decir que algo está cerca o lejos de algo. entre otras muchas situaciones posibles muy enriquecedoras y motivadoras para el desarrollo del pensamiento espacial.).). entendido como “… el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio.
. sus transformaciones. representaciones a escala de sitios o regiones en dibujos y maquetas. pág.
Ministerio de Educación Nacional (1998). con el diseño y construcción de objetos artesanales y tecnológicos. Didáctica de las matemáticas. “La geometría. sino también a su relación con esos espacios14. Aportes y Reflexiones. y sus diversas traducciones o representaciones materiales”13 contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el espacio. el reconocimiento y ubicación del estudiante en el espacio que lo rodea. en teoremas de la geometría euclidiana. Esto signiﬁca un salto de lo cualitativo a lo cuantitativo. Esto requiere del estudio de conceptos y propiedades de los objetos en el espacio físico y de los conceptos y propiedades del espacio geométrico en relación con los movimientos del propio cuerpo y las coordinaciones entre ellos y con los distintos órganos de los sentidos. a través de la coordinación entre ellas. animales u otros fenómenos de la naturaleza) y con otras formas de lectura y comprensión del espacio (elaboración e interpretación de mapas. En: Cecilia Parra e Irma Saiz (comps. Lo anterior implica relacionar el estudio de la geometría con el arte y la decoración. 56. Matemáticas. las relaciones topológicas. El estudio de estas propiedades espaciales que involucran la métrica son las que. con la educación física. de un lado. en lo que Grecia Gálvez ha llamado el meso-espacio y el macro-espacio. Grecia (1988).
utilizando paciente y progresivamente a lo largo de la Educación Básica y Media. Desde esta perspectiva se rescatan. Posteriormente. lo cual hace aparecer nuevas propiedades y relaciones entre los objetos. en un segundo momento se hace necesaria la metrización. Paidós Educador. en un tercer momento. desarrollar variadas representaciones y. Lineamientos curriculares. reﬁriéndose no sólo al tamaño de los espacios en los que se desarrolla la vida del individuo.
para razonar sobre ellos y con ellos y. de las superﬁcies. Los sistemas geométricos pueden modelarse mentalmente o con trazos sobre el papel o el tablero y describirse cada vez más ﬁnamente por medio del lenguaje ordinario y los lenguajes técnicos y matemáticos.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Así pues. Bogotá.
. Matemáticas. La geometría euclidiana puede considerarse como un punto de encuentro entre las matemáticas como una práctica social y como una teoría formal y entre el pensamiento espacial y el pensamiento mé-
Ministerio de Educación Nacional (1998). maneja. Estos sistemas se expresan por dibujos. Sin estos últimos. Así. las tados pueden considerarse como los elementos de complicados sistemas de ﬁguras. pág. reﬁnar el pensamiento espacial que los construye. de cada cuerpo sólido o hueco con sus formas y con sus caras. y del estudio de lo que cambia o se mantiene en las formas geométricas bajo distintas transformaciones. los geométricos tienen tres aspectos: los elementos de que constan. 57. líneas rectas y curvas. entre otras. lados y vértices. los sistemas geométricos. regiones y ﬁguras planas con sus fronteras. para producir nuevos reﬁnamientos en los sistemas geométricos. entre los propósitos principales de su estudio está deﬁnir. lo cual a su vez posibilita conexiones con los sistemas métricos o de medida y con las nociones de simetría. MEN. Los puntos. letras y palabras que se utilizan como registros de representación diferentes que se articulan en sistemas notacionales o sistemas simbólicos para expresar y comunicar los sistemas geométricos y posibilitar su tratamiento. gestos. a su vez. La geometría euclidiana fue la primera rama de las matemáticas en ser organizada de manera lógica. los geométricos tienen cuerpos sólidos o huecos limitados o ilimitres aspectos: los elementos de que constan. transforma y utiliza. tampoco se hubiera podido perfeccionar el trabajo con los sistemas geométricos y. justiﬁcar. deducir y comprender algunas demostraciones. la apropiación por parte de los estudiantes del espacio físico y geométrico requiere del estudio de distintas relaciones espaciales de los cuerpos sólidos y huecos entre sí y con respecto a los mismos estudiantes. semejanza y congruencia. y las relaciones o nexos entre ellos. en consecuencia. regiones planas o curvas limitadas o ilimitadas y los Como todos los sistemas. bordes y vértices. la geometría activa se presenta como una alternativa para reﬁnar el pensamiento espacial. El trabajo con objetos bidimensionales y tridimensionales y sus movimientos y transformaciones permite integrar nociones sobre volumen. operaciones y transformaciones con las que se transformaciones y relaciones espaciales: combinan. El pensamiento espacial opera mentalmente sobre modelos internos del espacio en interacción con los movimientos corporales y los desplazamientos de los objetos y con los distintos registros de representación y sus sistemas notacionales o simbólicos. en tanto se constituye en herramienta privilegiada de exploración y de representación del espacio15. Como todos los sistemas. Por ello. en donde se destacan los procesos de localización en relación con sistemas de referencia. área y perímetro. y las relaciones o nexos entre ellos. las operaciones y transformaciones con las que se combinan. Estos modelos con sus teorías se suelen llamar “geometrías”. El trabajo con la geometría activa puede complementarse con distintos programas de computación que permiten representaciones y manipulaciones que eran imposibles con el dibujo tradicional. Lineamientos curriculares. con los cuales se pueden precisar los distintos modelos del espacio y formular teorías más y más rigurosas.
• La comprensión de los procesos de conservación de magnitudes. • La diferencia entre la unidad y los patrones de medición. como el sistema CGS (centímetro-gramo-segundo) y el MKS (metro-kilogramo-segundo) y. en contextos en los que no se requiere establecer una medida numérica exacta.. Por ello. como se dijo al tratar sobre el pensamiento lógico. más recientemente. Así pues. el español. el inglés y el norteamericano siguen siendo muy utilizados en todo el mundo y muchos de los antiguos sistemas locales subsisten más o menos adaptados a las unidades internacionales. el pensamiento métrico se perfeccionó con el reﬁnamiento de las unidades de medida de longitud. que es el más extendido actualmente.
trico. después de la Revolución Francesa.• El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas Los conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades. a su vez. 63. • La selección de unidades de medida. el ruso. se empezó a diseñar un sistema decimal de pesos y medidas que tuvo varias etapas y conﬁguraciones. el pensamiento mé-
Ibid. así como la expresión de medidas grandes y pequeñas por medio de la notación cientíﬁca. • La asignación numérica. su medición y el uso ﬂexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes situaciones. • El papel del trasfondo social de la medición16. Otros aspectos importantes en este pensamiento son la integración de la estimación con los procedimientos numéricos de truncamiento y redondeo. • La apreciación del rango de las magnitudes. como el francés. Sin embargo. el inglés y su variante norteamericana y. Se conﬁguraron en distintas regiones y países muchos sistemas de unidades y medidas o sistemas métricos. la valoración de las cifras signiﬁcativas y el uso de técnicas de encuadramiento. el SI (Sistema Internacional de unidades y medidas). de patrones y de instrumentos y procesos de medición. como: • La construcción de los conceptos de cada magnitud. es importante destacar que la estimación de las medidas de las cantidades y la apreciación de los rangos entre los cuales puedan ubicarse esas medidas trascienden el tratamiento exclusivamente numérico de los sistemas de medidas y señalan la estimación como puente de relaciones entre las matemáticas. En los Lineamientos Curriculares se especiﬁcan conceptos y procedimientos relacionados con este tipo de pensamiento. el pensamiento espacial y el métrico encuentran en la geometría euclidiana un lugar privilegiado –aunque no exclusivo– para el desarrollo del pensamiento lógico y éste. • La estimación de la medida de cantidades de distintas magnitudes y los aspectos del proceso de “capturar lo continuo con lo discreto”. tomadas al comienzo de partes del cuerpo y por tanto muy diversas en cada región y cultura. las demás ciencias y el mundo de la vida cotidiana. potencia y reﬁna los dos primeros. pág. Históricamente. el tratamiento del error. En relación con los anteriores conceptos y procedimientos. que fueron luego estandarizadas para el comercio y la industria.
entre unidades y patrones de medida. etc. centi-. llamado también probabilístico o estocástico. Así se construyen herramientas conceptuales para el análisis y la ejercitación de la equivalencia entre medidas expresadas en distintas unidades y la explicitación de las relaciones pertinentes del SI con el sistema de numeración decimal en sus diversas formas escriturales: con coma. centésima. algunas de las cuales. milésima. es importante el reconocimiento del conjunto de unidades de medida que se utilizan para cada una de las diferentes magnitudes (la velocidad. etc. tablas. con lo que al cuidado del medio ambiente se reﬁere. De especial importancia son aquellas magnitudes que tienen estrecha relación con aspectos claves de la vida social. etc. el pensamiento métrico está estrechamente relacionado con las disciplinas cientíﬁcas naturales y sociales y con las competencias ciudadanas. voltio. En lo que respecta al aprendizaje de sistemas de medida y. registros.. con punto y en notación cientíﬁca.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
trico no puede trabajar sin sistemas de medidas o métricos. de azar. en tanto conviene tener elementos conceptuales claros para hacer un uso racional de los servicios públicos. etc. etc. El estudio de esas primeras magnitudes muestra que el pensamiento métrico no se limita a las matemáticas. kilovatio.) de la unidad básica (en este caso. y entre la precisión y la exactitud de una medición. kilo-. que son mayores (múltiplos) o menores (submúltiplos) de dicha unidad básica. hecto-. la temperatura. metro cúbico. En cada conjunto de unidades del SI para cada magnitud hay una unidad que sirve de base a las otras. Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura. identiﬁcar cuándo se está haciendo un gasto innecesario de ellos. el área. la densidad. unidad de mil. en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar. es necesario establecer diferencias conceptuales entre procedimientos e instrumentos de medición. del metro) y su correspondencia con las unidades superiores del sistema métrico decimal (decena. amperio. el gas y la energía eléctrica.) y submúltipos (deci-.). Igualmente. de riesgo o de ambigüedad por falta de información conﬁable. como por ejemplo. sus procesos de medición y facturación y las unidades respectivas (litro. • El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos Este tipo de pensamiento. kilovatio-hora). ni éstos reﬁnarse sin las notaciones. y no sólo de las magnitudes más relacionadas con la geometría: la longitud. desbordan el campo de las matemáticas y requieren del desarrollo del pensamiento cientíﬁco y del aprendizaje de algunos contenidos de la física. abordándolos con un espíritu
. centena. vatio. sino que se extiende también a las ciencias naturales y sociales. Esas relaciones entre el sistema de numeración decimal y cada sistema de unidades del SI para una determinada magnitud (por ejemplo la longitud) se indican por los preﬁjos que expresan los múltiplos (deca-. abreviaturas y otros sistemas notacionales o simbólicos. el volumen y la amplitud angular). en particular. todo lo relacionado con los servicios públicos. El pensamiento aleatorio se apoya directamente en conceptos y procedimientos de la teoría de probabilidades y de la estadística inferencial. e indirectamente en la estadística descriptiva y en la combinatoria. como ya se indicó arriba. en una interacción dialéctica constante y cambiante.) y con las unidades inferiores (décima. De esta manera. ayuda a tomar decisiones en situaciones de incertidumbre. en particular del SI. mili-. explicar las razones por las cuales pudo haberse incrementado el gasto y proponer medidas eﬁcaces para el ahorro del agua.
esas situaciones y procesos pueden modelarse por medio de sistemas matemáticos relacionados con la teoría de probabilidades y la estadística. como sí lo es el desarrollo del pensamiento aleatorio. que se presenten en la televisión o que aparezcan en pantalla o en hojas impresas como productos de los distintos programas de análisis de datos. y asignar 1 a la necesidad o a la máxima probabilidad de ocurrencia. Estas estimaciones conforman una intuición inicial del azar y permiten hacer algunas asignaciones numéricas para medir las probabilidades de los eventos o sucesos. empiezan a tomar conciencia de que su ocurrencia y sus resultados son impredecibles e intentan realizar estimaciones intuitivas acerca de la posibilidad de que ocurran unos u otros. como es el caso de los estados del tiempo. y otras veces con las situaciones en las que se ignora cuáles puedan ser esos patrones. por ello.
El azar se relaciona con la ausencia de patrones o esquemas específicos en las repeticiones de eventos o sucesos.El azar se relaciona con la ausencia de patrones o esquemas especíﬁcos en las repeticiones de eventos o sucesos. como es el caso de los estados del tiempo. si acaso existen. El manejo y análisis de los sistemas de datos se volvió inseparable del pensamiento aleatorio. analizar y utilizar los resultados que se publiquen en periódicos y revistas.
de exploración y de investigación mediante la construcción de modelos de fenómenos físicos. Más tarde. hoy día ya no es tan importante para los estudiantes el recuerdo de las fórmulas y la habilidad para calcular sus valores. desarrollan en los estudiantes la distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias o azarosas y permiten reﬁnar las mediciones de la probabilidad con números entre 0 y 1. si acaso existen. que les permitirá interpretar. fallas mecánicas. Los sistemas analíticos probabilísticos y los métodos estadísticos desarrollados durante los siglos XIX y XX se han reﬁnado y potenciado en los últimos decenios con los avances de la computación electrónica y. de los resultados de dispositivos como los que se usan para extraer esferas numeradas para las loterías y de las técnicas para efectuar los lanzamientos de dados o monedas o para el reparto de cartas o ﬁchas en los juegos que por esto mismo se llaman “de azar”. junto con el registro de diferentes resultados de un mismo juego. de la ocurrencia de los terremotos. así como los intentos de interpretación y predicción de los mismos a partir de la exploración de sistemas de datos. Las situaciones y procesos que permiten hacer un conteo sistemático del número de combinaciones posibles que se puedan asumir como igualmente probables.
En las experiencias cotidianas que los estudiantes ya tienen sobre estos sucesos y estos juegos. asignar ½ a cualquiera de dos alternativas que se consideran igualmente probables. así sean inicialmente un poco arbitrarias. la simulación de experimentos y la realización de conteos.
. de los accidentes. El empleo cada vez más generalizado de las tablas de datos y de las recopilaciones de información codiﬁcada llevó al desarrollo de la estadística descriptiva. y el estudio de los sistemas de datos por medio del pensamiento aleatorio llevó a la estadística inferencial y a la teoría de probabilidades. sociales o de juegos de azar y la utilización de estrategias como la exploración de sistemas de datos. de las elecciones por votación. epidemias y enfermedades. que comienzan con asignar probabilidad 0 a la imposibilidad o a la máxima improbabilidad de ocurrencia. y otras veces con las situaciones en las que se ignora cuáles puedan ser esos patrones. huracanes u otros fenómenos de la naturaleza.
sucesos. pueden presentarse en forma estática o en forma dinámica y variacional. resumir y diagramar sistemas de datos estadísticos y tratar de extraer de ellos toda la información posible con la ayuda de calculadoras. Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio. estudiar. modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos. De esta manera. gráﬁcos o algebraicos. así como con su descripción. el espacial.
. en especial a través del proceso de modelación de procesos y situaciones naturales y sociales por medio de modelos matemáticos. Al identiﬁcar en qué se parecen y en qué se diferencian los términos de estas sucesiones o secuencias. se desarrolla la capacidad para identiﬁcar en qué consiste la repetición de mismo patrón y la capacidad para reproducirlo por medio de un cierto procedimiento. • El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos Como su nombre lo indica. algoritmo o fórmula. la percepción. fundamentales en la construcción de las funciones de variable real). así como en dominar los conceptos y procedimientos necesarios para recoger. del cálculo diferencial e integral. y en la modelación de procesos de la vida cotidiana. de medidas y de datos y porque todos estos sistemas. a su vez. no es ya necesario aprender las fórmulas y procedimientos matemáticos para calcular la media o la mediana. requieren de conceptos y procedimientos relacionados con distintos sistemas numéricos (en particular.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Por ello. geométricos. este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento. El desarrollo de este pensamiento se inicia con el estudio de regularidades y la detección de los criterios que rigen esas regularidades o las reglas de formación para identiﬁcar el patrón que se repite periódicamente. Las regularidades (entendidas como unidades de repetición) se encuentran en sucesiones o secuencias que presentan objetos. la varianza o la desviación estándar. formas o sonidos. porque la variación y el cambio. las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas. el de medida o métrico y el aleatorio o probabilístico) y con otros tipos de pensamiento más propios de otras ciencias. Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos signiﬁcativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos. para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y. en la Educación Media. El pensamiento variacional se desarrolla en estrecha relación con los otros tipos de pensamiento matemático (el numérico. estimar si son o no igualmente probables y asignarles probabilidades numéricas. la identiﬁcación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos. la unidad que se repite con regularidad da lugar a un patrón. aunque se representan usualmente por medio de sistemas algebraicos y analíticos. sino avanzar gradualmente en el desarrollo de habilidades combinatorias para encontrar todas las situaciones posibles dentro de ciertas condiciones. En particular la relación con otros pensamientos aparece con mucha frecuencia. con el ﬁn de intentar predecir dentro de ciertos rangos el curso de los acontecimientos respectivos y de tomar decisiones lo más razonables posibles ante la imposibilidad de saber con certeza lo que va a pasar. del sistema de los números reales. icónicos. hojas de cálculo y otros programas de análisis de datos. ya sean verbales. uno detrás de otro en un orden ﬁjado o de acuerdo a un patrón.
permite coordinar cambios de una magnitud Y con cambios de una magnitud X.Para desarrollar este pensamiento desde los primeros niveles de la Educación Básica Primaria son muy apropiadas. Esta manera de acercarse al pensamiento variacional está muy relacionada con el manejo de los sistemas de datos y sus representaciones. geométricos y de leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los números y las ﬁguras involucran la visualización. conﬁrmar o refutar las conjeturas iniciales e intentar generalizarlas. (1992). uno detrás de otro en un orden fijado o de acuerdo a un patrón. las siguientes actividades: analizar de qué forma cambia. algoritmos o fórmulas que deﬁnen el patrón y las respectivas reglas que permiten reproducirlo. pero éstas también se expresan por medio de otros tipos de representaciones como las gestuales. L. K. y Stacey. función. Las actividades de generalización de patrones numéricos.. las polinómicas y las exponenciales. Pensar matemáticamente. o mejor los dos o tres términos siguientes. en algunos casos. como las lineales y las aﬁnes (o de gráﬁca lineal). Burton. J.
. dependencia e independencia de una variable con respecto a otra.. y con los distintos tipos de modelos funcionales asociados a ciertas familias de funciones. aumenta o disminuye la forma o el valor en una secuencia o sucesión de ﬁguras. hacer conjeturas sobre la forma o el valor del siguiente término de la secuencia.
Mason. Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formulación verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expresión algebraica. el crecimiento de una planta durante un mes o el cambio de la temperatura durante el día o el ﬂujo de vehículos frente a la institución durante una mañana) representados en gráﬁcas y tablas. como constante. exploración y manipulación de los números y las ﬁguras en los cuales se basa el proceso de generalización17. Labor. Por el análisis cuidadoso de esas representaciones se puede identiﬁcar la variación que ocurre y. números o letras. llegar a precisar la magnitud de los cambios y aun la tasa de cambio en relación con el tiempo. así como con las relaciones de desigualdad y el manejo de ecuaciones e inecuaciones. como las relaciones entre edad y altura de un niño (o entre edad y masa o peso corporal). El estudio de las relaciones funcionales que pueden detectarse en la vida cotidiana. las gráﬁcas (diagramas) y las icónicas. Esta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico mucho antes de llegar al séptimo y octavo grado. Barcelona. El estudio de los patrones está relacionado con nociones y conceptos propios del pensamiento variacional. variable. las numéricas (tablas). las del lenguaje ordinario o técnico. o por medio de dibujos y otras representaciones. razón o tasa de cambio. formas o sonidos. entre otras. En la Educación Básica Secundaria. e intentar formular un procedimiento. etc. calcular los siguientes términos.
El estudio del cambio también se puede iniciar en la Educación Básica Primaria a través del análisis de fenómenos de variación (por ejemplo. entre la temperatura a lo largo de un día y la hora que marca un reloj. procurar expresar ese término. sucesos. oralmente o por escrito.
Las regularidades (entendidas como unidades de repetición) se encuentran en sucesiones o secuencias que presentan objetos. el sistema de representación más directamente ligado con las variaciones es el sistema algebraico. Esta primera aproximación a la noción la función es la de dependencia funcional entre magnitudes variables. algoritmo o fórmula que permita reproducir el mismo patrón. que actúan como intermediarias en la construcción general de los procedimientos.
inecuaciones o desigualdades. Es necesario señalar que el desarrollo de este pensamiento debe también atender al estudio de las actividades matemáticas propias de los procesos inﬁnitos. De aquí que las múltiples relaciones entre la producción de patrones de variación y el proceso de modelación –y particularmente el estudio de las nociones de variable y de función– sean las perspectivas más adecuadas para relacionar el pensamiento variacional con el cálculo algebraico en la Educación Básica Secundaria y con la geometría analítica y el cálculo diferencial e integral en la Educación Media. ecuaciones. El desarrollo del pensamiento variacional. sino también de las ciencias naturales y sociales y de las matemáticas mismas. por útiles. Los objetos algebraicos. dadas sus características. las variables que intervienen. también se dan múltiples oportunidades para la formulación de conjeturas. De esta manera. para lo cual es necesario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sistemas numéricos (como la conmutativa y la asociativa de la adición y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición. por ejemplo). o el carácter simétrico y transitivo de la igualdad y el carácter antisimétrico y transitivo de la desigualdad). términos. ingeniosos e interesantes que sean dichos juegos. todo lo cual se relaciona con el pensamiento lógico y el pensamiento cientíﬁco.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Es importante distinguir las funciones lineales de las no lineales y conectar el estudio de la proporcionalidad directa con las funciones lineales. constantes. La relación del pensamiento variacional con el manejo de los sistemas algebraicos muestra que el álgebra es un sistema potente de representación y de descripción de fenómenos de variación y cambio y no solamente un juego formal de símbolos no interpretados. Es importante también tener en cuenta que las funciones permiten analizar y modelar distintos fenómenos y procesos no sólo en problemas y situaciones del mundo de la vida cotidiana. pero indispensable para caracterizar aspectos de la variación tales como lo que cambia y lo que permanece constante. es lento y complejo.– que permiten tratar con situaciones de variación y dependencia en la resolución de problemas. parámetros. tablas. Esto se logra a través de la elaboración e interpretación de ciertas representaciones matemáticas –gráﬁcas. se reconstruyen como representaciones de funciones y las ecuaciones e inecuaciones se reinterpretan como igualdades o desigualdades entre funciones. etc. la puesta a prueba de las mismas. su generalización y la argumentación para sustentar o refutar una conjetura o una propuesta de generalización. fórmulas y otras expresiones algebraicas como las ecuaciones e inecuaciones. Un aspecto importante en el aprendizaje del álgebra corresponde a la utilización con sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos (variables. El desarrollo del álgebra en los Siglos XVI y XVII y el del cálculo diferencial e integral en los Siglos XVII y XVIII mostraron también que el pensamiento variacional no se podía reﬁnar sin los sistemas algebraicos y analíticos ni éstos sin aquél. pues son éstos los que caracterizan el campo conceptual del análisis matemático. Además. el cálculo algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en situaciones de variación de los valores de las mediciones de cantidades relacionadas funcionalmente. los sistemas de ecuaciones o de inecuaciones. como por ejemplo los términos algebraicos. en las situaciones de aprendizaje que fomentan el desarrollo de este tipo de pensamiento. en el cual se sitúa el
. el campo de variación de cada variable y las posibles relaciones entre esas variables.
Así. • El tratamiento de las magnitudes y sus procesos de medición se constituyen en la base conceptual sobre la cual se organizan los procesos conceptuales de cada pensamiento.cálculo diferencial e integral que se suele introducir en el grado 11. pero ganarían mucho en ﬂexibilidad y generalidad y atraerían más el interés de los estudiantes si se presentan en forma dinámica y variacional. al reconocimiento de las magnitudes y de las medidas de las cantidades asociadas. conos y esferas y de las áreas exteriores de los mismos. y por tanto. la continuidad. áreas y volúmenes y de modelos matemáticos de procesos biológicos. el estudio de las propiedades de los números y sus operaciones y de la manera como varían sus resultados con el cambio de los argumentos u operandos. Relaciones entre los cinco tipos de pensamiento matemático Los cinco tipos de pensamiento descritos anteriormente tienen elementos conceptuales comunes que permiten el diseño de situaciones de aprendizaje –y en particular de situaciones problema– que integren los diferentes pensamientos y que. de intervalos de valores aceptables. sobre las cantidades y magnitudes que ellos representan en el contexto del problema que se pretende resolver) y de las relaciones entre ellos (al comparar números es conveniente comparar longitudes de segmentos y trazos o marcas en una recta numérica). El estudio de la variación hace necesaria una referencia a la identiﬁcación de variables. Por tal razón es necesario incorporar tempranamente a los estudiantes en el estudio de los conceptos fundamentales de ese campo y de las técnicas y métodos de estimación y de aproximación. así como el cálculo del área del círculo. Entre los elementos integradores de mayor relevancia se pueden destacar: • El estudio de la variación como una base fundamental para acceder a los procesos de generalización propios de cada uno de los pensamientos. sino también.
. ya se señaló a propósito del pensamiento numérico cómo el tratamiento de las magnitudes cobra fuerza en el aprendizaje del concepto de número (medir y contar como base para su aprendizaje). posibilitan que los procesos de aprendizaje de las matemáticas se den a partir de la construcción de formas generales y articuladas de esos mismos tipos de pensamiento matemático. de los volúmenes de cilindros. Ya desde el comienzo de la Básica Secundaria cobra especial importancia el estudio de los números decimales como sistemas de representación de valores aproximados y como expresiones inﬁnitas para números racionales e irracionales. por ejemplo. se proponen como procesos de abstracción y generalización a partir del análisis de lo que es invariante en medio de los aspectos variables de un conjunto de situaciones. o de los objetos de la geometría y sus características y de la manera como cambian las medidas de las cantidades asociadas con las transformaciones de esos objetos. todo lo cual prepara a los estudiantes para conceptualizar el límite. En este sentido. la derivada como tasa de cambio instantánea y la integral deﬁnida como límite de una suma. a la vez. lo cual se logra articulando la búsqueda de soluciones no exactas. Se refuerza así a la estimación como núcleo conceptual importante en el desarrollo del pensamiento numérico. de problemas de estimación de posibles valores en el contexto de medidas de longitudes. químicos y físicos que utilicen expresiones algebraicas. de las operaciones entre números (al operar no solo se opera sobre números. Muchos de los conceptos de la aritmética y la geometría se suelen presentar en forma estática.
• El tratamiento de los conceptos relativos a la medida de magnitudes compuestas a partir de las relaciones funcionales con respecto a las magnitudes fundamentales que las componen hace que conceptos como el de área. creado por la disposición de las paredes. • El tratamiento de las situaciones que involucran fenómenos estocásticos hace necesario el recurso a conceptos relacionados con el pensamiento variacional. discutir. velocidad. 38. o a situaciones hipotéticas y aun fantásticas. a la vida escolar y al mismo entorno sociocultural.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
• La estimación y la aproximación son dos procesos presentes en los diferentes pensamientos. y ayudan a organizar formas de pensamiento ﬂexibles asociadas a contextos particulares. regional. págs. volumen. Bogotá. muebles
Ministerio de Educación Nacional (1998)..
. puedan entenderse como funciones de otras magnitudes más simples. al igual que el recurso a los conceptos numéricos. a otras áreas. sino ante todo sociocultural– desde donde se construye sentido y signiﬁcado para las actividades y los contenidos matemáticos. etc. etc. la distribución de las variables independientes para predecir el posible comportamiento de las variables dependientes para distintos rangos de valores de las dependientes. principalmente al numérico. con las demás actividades de la institución educativa y. ventanas. 36. al métrico y al aleatorio. en particular. llaman la atención sobre el carácter inexacto e incompleto de muchos de los resultados de las matemáticas y de otras ciencias. a partir de las cuales los alumnos puedan pensar. formular. MEN. Igualmente. discriminar entre las variables independientes y las dependientes. nacional e internacional– como al contexto intermedio de la institución escolar –en donde se viven distintas situaciones y se estudian distintas áreas– y al contexto inmediato de aprendizaje preparado por el docente en el espacio del aula. desde donde se establecen conexiones con la vida cotidiana de los estudiantes y sus familias. densidad. con la creación de situaciones referidas a las matemáticas. aceleración. en tanto que se deben identiﬁcar variables.
El contexto del aprendizaje de las matemáticas es el lugar –no sólo físico. esta aproximación hace que los conceptos relativos al pensamiento métrico se relacionen de manera directa con el numérico y sirvan de puente para el estudio de las disciplinas cientíﬁcas naturales y sociales. Lineamientos curriculares. si se preﬁere. Matemáticas. argumentar y construir conocimiento en forma signiﬁcativa y comprensiva. que hay al menos tres tipos o niveles de contexto o. con las demás ciencias y con otros ámbitos de las matemáticas mismas. determinar su comportamiento a lo largo de su posible conjunto de valores. que hay tres contextos distintos pero muy relacionados entre sí: el contexto inmediato o contexto de aula. 41 y 42. y por lo tanto. De otra parte. procesos y procedimientos relativos a cada pensamiento. Ellas son elementos fundamentales en la construcción de los conceptos. se reﬁere tanto al contexto más amplio –al entorno sociocultural. y determinar. tal como se utiliza en los Lineamientos Curriculares18. muestran que en la mayoría de las situaciones cotidianas lo que se necesita es tener una buena estimación del rango de magnitud de un resultado y no tanto un resultado exacto. Por ello también se podría decir.. La palabra contexto. al ambiente local. como se dijo con respecto a los procesos generales y a los tipos de pensamiento. dentro de las posibilidades del fenómeno.
Esta recomendación suele entenderse como la búsqueda de una relación cercana con el contexto extraescolar o sociocultural de los estudiantes. y tal vez al universo entero. el país y el mundo. dentro del ambiente de trabajo que se crea en la clase de matemáticas se pueden diseñar situaciones problema que a un observador externo le pueden parecer puramente teóricas y alejadas del contexto extraescolar o del sociocultural. los contextos. empleados administrativos y directivos. las estrellas. el sistema solar. proyectos de aula. actividades y otras situaciones de aprendizaje. por las normas explícitas o implícitas con las que se trabaja en clase y por la situación problema preparada por el docente. conﬁgurado por los escenarios de las distintas actividades diarias. Esta útil recomendación de tener muy en cuenta el contexto extraescolar o sociocultural para el diseño y planeación de las actividades y situaciones de clase no puede servir de excusa para no trabajar también situaciones problema relacionadas con el contexto escolar o institucional. al departamento o a la región. ante todo en la toma de decisiones previas a la realización de cada actividad. en particular con las actividades que ocurren en las clases de distintas áreas curriculares como el lenguaje. los conceptos y procedimientos de las matemáticas. las ciencias sociales y las naturales. se suele decir que éstas deben ser adaptadas al contexto o tomadas del contexto. los tipos de pensamiento con sus sistemas conceptuales y simbólicos más aﬁnes y los procesos generales de la actividad matemática se entrecruzan en cada clase. en cada unidad temática. así como por el PEI. al municipio. las normas de convivencia. la arquitectura escolar. Así pues. los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas se distribuyen según los tipos de pensamiento y sus sistemas. docentes. las tradiciones y los saberes de los estudiantes. la competencia profesional del docente de matemáticas se muestra precisamente en su manera de navegar en medio de tantas corrientes y vientos cruzados. el contexto escolar o contexto institucional. en las que es necesario tomar continuamente en el curso de la misma y en las que se toman después de ella como resultado de la evaluación que el docente hace de sus alumnos y del éxito de la actividad misma. los planetas. constelaciones y galaxias son tan cercanas a su interés y a sus afectos como los accidentes geográﬁcos de sus pueblos y ciudades. A su vez. pero involucran también los procesos generales. y el contexto extraescolar o contexto sociocultural. reﬂejan los que tradicionalmente se habían llamado “los contenidos del área”. pues para muchos estudiantes el espacio. sino que se extiende al país y a todo el planeta Tierra.y materiales. o sea. Cuando se habla de preparar situaciones problema. unidades o proyectos integrados. de la región. en cada situación problema. conformado por todo lo que pasa fuera de la institución en el ambiente de la comunidad local.
. pero no puede olvidarse que este contexto extraescolar o sociocultural no se reduce al vecindario. pero que pueden estar muy bien contextualizadas en el ambiente de estudio e investigación matemática que el docente ha logrado crear en el contexto inmediato de su aula. En la misma forma. proyecto de aula o período académico. el currículo explícito de las distintas áreas curriculares y el llamado “currículo oculto” de la institución. dicha relación es importante para despertar su interés y permitirles acceder a las actividades con una cierta familiaridad y comprensión previa. y se reﬁeren a los contextos en los cuales se pueden alcanzar y ojalá superar los niveles de competencia seleccionados como estándares para cada conjunto de grados. de las cuales pueden tomarse provechosamente muchos temas y situaciones muy bien contextualizadas para el trabajo matemático. Igualmente. la educación física y la artística.
interpretar y transformar representaciones (verbales. gestiona y propone situaciones de aprendizaje matemático signiﬁcativo y comprensivo –y en particular situaciones problema– para sus alumnos y así permite que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen con sus compañeros. redactar y presentar informes.). analizar. la actividad estimulada por la situación permite avanzar y profundizar en la comprensión. justiﬁcar (y aun demostrar) o refutar sus conjeturas e hipótesis. formular estrategias de solución y usar productivamente materiales manipulativos. representativos y tecnológicos. Por situación se entiende el conjunto de problemas. a continuación se describen y analizan algunas maneras de dinamizar estas interacciones. algebraicas. en las habilidades y en las actitudes de los estudiantes. les permiten buscar y deﬁnir interpretaciones. tabulares. formular preguntas y problemas. instrucciones y relatos que se elaboran basados en las matemáticas.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Sobre la enseñanza. la actividad se reﬁere al trabajo intelectual personal y grupal de los estudiantes. modelos y problemas. conjeturas o hipótesis. calcular con lápiz y papel o emplear calculadoras y hojas de cálculo u otros programas de computador. construcciones. En este sentido. utilizar materiales manipulativos. sino que tienen que ser interpretados activamente por los estudiantes. etc. En la comunidad de educadores matemáticos se distingue hoy claramente entre situación y actividad. modelar y reformular la situación. el aprendizaje y la evaluación
Conforme a los planteamientos expuestos en el apartado anterior. Para comprender de forma más detallada cómo y qué aspectos deben impulsarse. La situación problema apunta siempre a distintos contenidos y hacia diversas estructuras matemáticas. en una palabra: en las competencias matemáticas. En esta interpretación intervienen tanto factores sociales y culturales propios de la clase de matemáticas. explicar. pero éstos no son evidentes en sí mismos. tales como deﬁnir estrategias para interpretar.
Partir de situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo de las matemáticas
Las situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo en las matemáticas escolares son situaciones que superan el aprendizaje pasivo. comparar y discutir resultados producidos con o sin computador. gracias a que generan contextos accesibles a los intereses y a las capacidades intelectuales de los estudiantes y. profesores y materiales para reconstruir y validar personal y colectivamente el saber matemático. en otras ciencias y en los contextos cotidianos y que en su tratamiento generan el aprendizaje de los estudiantes. producir. gestuales. la enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de variados procesos mediante los cual el docente planea. proyectos. investigaciones. el conocimiento surge en ellos como la herramienta más eﬁcaz en la solución de los problemas relacionados con la misma. como los que median a través del ambiente de aprendizaje y el clima institucional y los que provienen del contexto extraescolar. Es importante señalar que un mismo contenido matemático
. etc. gráﬁcas. En sus experiencias con el tratamiento de una situación bien preparada. Por su parte. por tanto.
sus potencialidades y sus actitudes. Es necesario señalar que las actividades de los estudiantes están inﬂuenciadas por el tipo de instrucciones con que se presentan las situaciones.
puede –y en ocasiones debe– presentarse a través de diversas situaciones. En ocasiones. Por ello se enfatiza en el diseño de situaciones matemáticas que posibiliten a los estudiantes tomar decisiones. generar discusión y desarrollar la capacidad de justiﬁcar las aﬁrmaciones con argumentos. no dispone de otra base para que el estudiante mismo inicie activamente sus procesos de aprendizaje. grados y colegios. como es el caso de la multiplicación y sus diversos signiﬁcados. sus concepciones previas.
. seguridad y confianza hacia las matemáticas
Al momento de iniciar el aprendizaje de un nuevo concepto. son la base de su proceso de aprendizaje. son la base de su proceso de aprendizaje. a incrementar las potencialidades y a modiﬁcar las actitudes para que el progreso en los saberes conceptuales y procedimentales le vaya dando la seguridad y la conﬁanza en que puede avanzar hacia nuevos aprendizajes. Así al docente le parezca que las concepciones previas son erróneas. guía y apoyo de los docentes que median en el tratamiento de la misma. etc.
Diseñar procesos de aprendizaje mediados por escenarios culturales y sociales
El aprendizaje se propone como un proceso activo que emerge de las interacciones entre estudiantes y contextos. sus potencialidades y sus actitudes. lo que el estudiante ya sabe sobre ese tema de las matemáticas ( formal o informalmente). Esta construcción y reconstrucción de sentidos y signiﬁcados matemáticos. reconstruirse. lo que el estudiante ya sabe sobre ese tema de las matemáticas (formal o informalmente). pero en ningún caso descaliﬁcarse o ser objeto de burla o reprensión por parte de profesores y compañeros. por el tipo de preguntas que se proponen en ellas. entre estudiantes y estudiantes y entre estudiantes y profesores en el tratamiento de las situaciones matemáticas.La importancia de la naturaleza y la variedad de situaciones es un aspecto determinante para la calidad de las actividades de los estudiantes. Todo ello conlleva a incluir en la organización del aprendizaje matemático el trabajo en equipo y a fomentar la cooperación entre los estudiantes. que el estudiante vive en la tensión entre lo que ya sabe o cree saber y lo que se le propone para aprender.
Fomentar en los estudiantes actitudes de aprecio. sus concepciones previas. estos saberes previos deben ampliarse a redes conceptuales más generales. las potencialidades mínimas y las actitudes negativas. Estas formas de interacción tienen importancia capital para la comunicación y la negociación de signiﬁcados. o sea. de las fracciones y sus diversas interpretaciones. genera en él una posición activa y una actitud positiva para enfrentar esos nuevos aprendizajes. la cual no excluye momentos de competición sana y leal entre ellos o con otros cursos.
Al momento de iniciar el aprendizaje de un nuevo concepto. Sólo a partir de ellas puede empezar a cuestionar las preconcepciones. o sea. por los materiales utilizados y por las formas de enseñanza. exponer sus opiniones y ser receptivos a las de los demás. o incluso descartarse como inútiles por el mismo estudiante.
Se trata también de ampliar. concordancia y coherencia de éstos con los ﬁnes de la educación y las políticas del sistema educativo. de sus potencialidades y de sus actitudes hacia las matemáticas es característica de una posición constructivista del aprendizaje.
Aprovechar la variedad y eficacia de los recursos didácticos
Los recursos didácticos. Así mismo. Estos elementos imprimen nuevas dinámicas a las prácticas escolares de enseñar y aprender matemáticas que ayudan a estructurar los procesos curriculares y a planear las actividades de aula. de las teorías del aprendizaje signiﬁcativo y de la enseñanza para la comprensión. situaciones y actividades contextualizadas en situaciones que portan una visión integral del conocimiento matemático. centradas en el desarrollo de las competencias matemáticas. profundizar. las Secretarías de Educación Departamental y Municipal. de tal forma que se tenga una vigilancia crítica por parte de los docentes sobre la pertinencia. dejará atrás las propuestas de los textos escolares y de los documentos oﬁciales en el avance de los docentes hacia el perfeccionamiento de sus conocimientos matemáticos. de trascender los textos escolares y los documentos oﬁciales a través de una amplia documentación bibliográﬁca. el reconocimiento de su papel activo cuando se enfrenta a las situaciones problema propuestas en el aula de clase. De igual modo. las bibliotecas y centros de documentación de las alcaldías y universidades. orientadas a alcanzar las dimensiones políticas.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Si bien esta consideración cuidadosa y respetuosa de las concepciones previas del estudiante. y actitudes del estudiante pone de maniﬁesto –entre otras– dos cuestiones importantes: de un lado. en particular. culturales y sociales de la educación matemática. la conformación de grupos de trabajo por departamento en cada institución. El reconocimiento de nociones y conocimientos previos. también es necesario reconocer que es una característica distintiva de muchas otras propuestas actuales en la pedagogía de las matemáticas y. entendidos no sólo como el conjunto de materiales apropiados para la enseñanza. o de grupos informales de autoformación y de investigación. de otro. de sus estrategias de enseñanza y del logro de aprendizajes signiﬁcativos y comprensivos en sus estudiantes. en particular con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias. que ojalá los lleven mucho más allá de lo que proponen los estándares para cada conjunto de grados. pedagógicos y didácticos. sino como todo tipo de soportes materiales o virtuales sobre
. disponible hoy en día en múltiples formatos (impresos y digitales) que se pueden obtener a través del Ministerio de Educación Nacional. es necesario ampliar la visión sobre los textos escolares y las directivas ministeriales como los únicos medios para hacer explicitas las exigencias del cambio.
Vencer la estabilidad e inercia de las prácticas de la enseñanza
Como se mencionó antes. el reconocimiento de que el estudiante nunca parte de cero para desarrollar sus procesos de aprendizaje y. Esto obliga al diseño de procesos. la consulta en Internet y el intercambio con otros colegas. Se trata de generar la necesidad de mirar críticamente la amplia oferta de textos escolares que se encuentra en el mercado. potencialidades. y por que no. desarrollar las competencias matemáticas supone organizar procesos de enseñanza y aprendizaje basados en estructuras curriculares dinámicas que se orienten hacia el desarrollo de competencias.
Vinculación entre la investigación y la práctica. argumenten. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. En este sentido. págs. sino que también integran diferentes tipos de representaciones para el tratamiento de los conceptos (tablas. etc. 115-120. puestos en escena a través de una situación de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo. Paidós. M.). ﬁchas. esa situación ayuda a profundizar y consolidar los distintos procesos generales y los distintos tipos de pensamiento matemático. gráﬁcas. No puede olvidarse que la calidad de los juicios que se emitan sobre el avance en los niveles de competencia de los estudiantes depende de un amplio número de evidencias de las actuaciones de los estudiantes. a través de las situaciones. madera o plástico. en muchos casos. software especializado. Buenos Aires. los recursos se hacen mediadores eﬁcaces en la apropiación de conceptos y procedimientos básicos de las matemáticas y en el avance hacia niveles de competencia cada vez más altos. así. Entre estos recursos. Para obtener información de calidad sobre las actividades de los estudiantes es necesario precisar los criterios de referencia acordes con lo que se cree es el nivel exigible de la actividad matemática del estudiante en el conjunto de grados al que pertenece. 2 vols. Los recursos didácticos pueden ser materiales estructurados con ﬁnes educativos (regletas. MEN. modelaciones. La enseñanza para la comprensión. Directora General de la Obra. pues no sólo realizan de manera rápida y eﬁciente tareas rutinarias. (2003). Estos ambientes informáticos.
los cuales se estructuran las situaciones problema más apropiadas para el desarrollo de la actividad matemática de los estudiantes. obtenidas de diversas fuentes de información y de
Respecto a este tema de los medios informáticos en la enseñanza de las matemáticas existe una amplia documentación publicada por el MEN. La evaluación formativa como valoración permanente integra la observación atenta y paciente como herramienta necesaria para obtener información sobre la interacción entre estudiantes. permite recrear ciertos elementos estructurales de los conceptos y de los procedimientos que se proponen para que los estudiantes los aprendan y ejerciten y. Bogotá. páginas interactivas de Internet.
.).). pueden destacarse aquellos conﬁgurados desde ambientes informáticos como calculadoras. juegos. o tomados de otras disciplinas y contextos para ser adaptados a los ﬁnes que requiera la tarea. la cual se referencia en la Bibliografía. Pequeños aprendices. ecuaciones. o si no existen. (Comp. etc. vol. deben ser analizados en términos de los elementos conceptuales y procedimentales que efectivamente permiten utilizarlos si ya están disponibles. 1. págs.
Refinar los procesos de evaluación
La evaluación formativa ha de poner énfasis en la valoración permanente de las distintas actuaciones de los estudiantes cuando interpretan y tratan situaciones matemáticas y a partir de ellas formulan y solucionan problemas. modelos en cartón. cartas. Ver también: República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). entre éstos y los materiales y recursos didácticos y sobre los procesos generales de la actividad matemática tanto individual como grupal. diseñarlos y construirlos. etc. que bien pueden estar presentes desde los primeros años de la Educación Básica. Wiske. simulaciones.Dicho de otra manera. 95-107. proporcionen explicaciones y ampliaciones. Barcelona. puede poner a su alcance problemáticas antes reservadas a otros niveles más avanzados de la escolaridad19. Estas actuaciones se potencian cuando el docente mantiene siempre la exigencia de que los estudiantes propongan interpretaciones y conjeturas. proponen nuevos retos y perspectivas a los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas en tanto que permiten reorganizaciones curriculares. Todo esto facilita a los alumnos centrarse en los procesos de razonamiento propio de las matemáticas y.). S. cada conjunto de recursos. justiﬁquen y expliquen los procedimientos seguidos o las soluciones propuestas20. México.
octavo a noveno y décimo a undécimo) para dar mayor ﬂexibilidad a la distribución de las actividades dentro del tiempo escolar y para apoyar al docente en la organización de ambientes y situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo que estimulen a los estudiantes a superar a lo largo de dichos grados los niveles de competencia respectivos y. El registro de las evidencias por parte del docente. aunque muchos de esos estándares se reﬁeran también a otros tipos de pensamiento y a otros sistemas. con el ﬁn de ir superando niveles de complejidad creciente en el desarrollo de las competencias matemáticas a lo largo del proceso educativo.
La estructura de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas
Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas seleccionan algunos de los niveles de avance en el desarrollo de las competencias asociadas con los cinco tipos de pensamiento matemático: numérico. no son terminales en el conjunto de grados para el que se proponen. cuarto a quinto. Dicho de otra manera. ello no signiﬁca que éstos pueden dividirse por partes iguales entre los grados de dicho conjunto (por ejemplo. ojalá. se debe
. gestuales. razonar.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
distintas situaciones que estimulen las producciones orales. sexto a séptimo. pero suele referirse también a otros procesos generales que pueden practicarse en distintos contextos para contribuir a superar el nivel seleccionado como estándar. Los estándares se distribuyen en cinco conjuntos de grados (primero a tercero. complementado con los registros que cada estudiante debe llevar de su propio trabajo –carpetas para la Básica Primaria y diarios de clase y portafolios para la Básica Secundaria y la Media– ayuda para que los estudiantes se apropien de su propio avance y asuman la responsabilidad conjunta en su aprendizaje. pictóricas y escritas. Por ello aparecen en cinco columnas que corresponden a cada uno de dichos tipos de pensamiento y a los sistemas conceptuales y simbólicos asociados a él. sino que éstos identiﬁcan niveles de avance en procesos graduales que. a ir mucho más allá de lo especiﬁcado en los estándares de ese conjunto de grados. incluso. comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos). En forma semejante. espacial. y formular. comunicar. ni menos todavía puede pensarse en una separación por periodos del año escolar claramente delimitados para cada uno de esos estándares. Por el contrario. seis para un grado y seis para el otro). métrico. aleatorio y variacional. Los estándares presentados a continuación no deben pues entenderse como metas que se puedan delimitar en un tiempo ﬁjo determinado. si en un conjunto de dos grados se proponen 12 estándares para un determinado pensamiento. El conjunto de estándares debe entenderse en términos de procesos de desarrollo de competencias que se desarrollan gradual e integradamente. modelar procesos y fenómenos de la realidad. cada estándar de cada columna pone el énfasis en uno o dos de los cinco procesos generales de la actividad matemática que cruzan dichos tipos de pensamiento (formular y resolver problemas.
para aprovechar de esta forma en cada situación las posibilidades de relacionar los distintos estándares y los diferentes tipos de pensamiento matemático. A través de uno solo de estos proyectos integrados debidamente diseñado y gestionado. Bogotá. A. más que el progreso en cada uno de ellos independientemente de los demás. Esto se logra si el desarrollo del trabajo en el aula se piensa desde las situaciones de aprendizaje –y en particular desde las situaciones problema– más que desde los contenidos. MEN. C. comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos) constituyen las actividades intelectuales que van a permitir a los estudiantes alcanzar y superar un nivel suﬁciente en las competencias. Bogotá. los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas que aparecen en cada una de las cinco columnas. se reﬁeren también a la siguiente estructura: Procesos generales Conceptos y procedimientos matemáticos Contextos
La estructura descrita es evidente en tanto los cinco procesos generales que se proponen en los Lineamientos Curriculares para toda actividad matemática y que se describieron arriba (formular y resolver problemas. que están encabezadas por el tipo de pensamiento respectivo y los sistemas asociados a él. los estándares están distribuidos por columnas correspondientes a cada tipo de pensamiento y a sus sistemas asociados. razonar. Pequeños aprendices.
La manera como está formulado cada estándar
Así entonces. ver también: Vasco. H. Directora General de la Obra. 2 vols. pues en la práctica del diseño de situaciones de aprendizaje es conveniente que se integren estándares de varios tipos de pensamiento matemático y de una o más áreas diferentes. C. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. T. narraciones o proyectos productivos21. entonces.. Una propuesta de integración curricular..
República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997).). Se trata. Sobre integración curricular. El saber tiene sentido.
. y León. proposiciones. en cada institución se pueden coordinar docentes de distintas áreas para proponer proyectos integrados que integren dos o más de ellas a lo largo de actividades programadas para resolver problemas de la institución o del entorno.
procurar una organización del trabajo escolar que garantice un trabajo integrado de todos los estándares correspondientes a mismo grupo de grados y que atienda a su conexión con los estándares de los grados anteriores y de los siguientes (ver más abajo la sección sobre coherencia vertical y horizontal de los estándares). En una misma situación problema del área de matemáticas –y más todavía en proyectos integrados de dos o más de ellas– usualmente se involucran conceptos. de igual manera. los estudiantes pueden avanzar con mucha motivación y satisfacción en distintas competencias relacionadas con varias áreas y llegar a superar varios de los estándares de esas áreas para un conjunto de grados y aun para otros conjuntos de grados más avanzados. distintos tipos de pensamiento matemático y todos los procesos generales. en coherencia con su PEI. comunicar. Así mismo. teorías y procedimientos de diferentes áreas. CINEP. de comprender que la organización curricular de cada institución. y en el aprendizaje de un determinado concepto es necesario ubicarlo y utilizarlo en los distintos contextos. (1999). E. y formular. Negret. debe buscar el desarrollo de un trabajo integrado en los distintos pensamientos. J.Si bien en este libro el capítulo de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas se encuentra separado de los de otras áreas y del de las competencias ciudadanas y. además. Escobedo. modelar procesos y fenómenos de la realidad. o articuladas alrededor de tópicos generadores. esta organización responde exclusivamente a una necesidad analítica.. Bermúdez.
La segunda está
. los distintos signiﬁcados de las fracciones o los signiﬁcados de la multiplicación presentes en la estructura multiplicativa. también es necesario reconocer que algunos son transversales a varios de ellos. métrico. del mismo modo. espacial. Esta propuesta requiere reconocer que si bien el aprendizaje de las matemáticas se inicia en las matemáticas informales de los estudiantes en contextos del mundo real y cotidiano escolar y extraescolar. pues el uso de gráﬁcas incluye la representación lineal de los números en la recta numérica. el desarrollo de las competencias es mediado por diferentes contextos.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
tal como se ha descrito. A medida que los estudiantes vayan disponiendo de mejores comprensiones conceptuales. los contextos y situaciones dentro de los cuales los estudiantes pueden desplegar su actividad matemática pueden y deben involucrar mayores niveles de complejidad y ofrecerles desafíos cada vez más retadores. se requiere entretejer los hilos de aprendizaje para construir contextos y situaciones que permitan avanzar hacia las matemáticas formales.. Los estándares para cada pensamiento están basados en la interacción entre la faceta práctica y la formal de las matemáticas y entre el conocimiento conceptual y el procedimental. la lectura y escritura de números). ambientes y situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo de las matemáticas. tal como se ha descrito en cada pensamiento. si bien es necesario distinguir procesos y procedimientos asociados a cada uno de esos tipos (por ejemplo. En cuanto a cada uno de los cinco tipos de pensamiento (numérico. para el numérico.
La complejidad conceptual y la gradualidad del aprendizaje de las matemáticas a las que ya se hizo mención exigen en los estándares una alta coherencia tanto vertical como horizontal. la complejidad conceptual de sus conocimientos no se evidencia sólo en los aspectos formales de la disciplina que ellos pueden expresar verbalmente o por escrito. como es el caso de los procedimientos asociados a las representaciones gráﬁcas. variacional y aleatorio). para darles oportunidad de avanzar en los niveles de competencia matemática señalados en los estándares del conjunto de grados respectivo y. que un concepto matemático admite diversas aproximaciones. en donde procesos generales como la comunicación y el razonamiento son esenciales para todos ellos. las representaciones de relaciones entre dos variables por medio de gráﬁcas cartesianas o las representaciones en gráﬁcos de barras en los sistemas de datos. para superarlos ampliamente. Así. las proposiciones acerca de las propiedades de las operaciones numéricas. etc. como por ejemplo. sino también en el tipo de procesos generales de la actividad matemática que pueden realizar con solvencia. La primera está dada por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento en los otros conjuntos de grados. A medida que los estudiantes avanzan en la Educación Básica y Media. El tejido de estos hilos requiere aceptar. ojalá. eﬁcacia y actitud positiva. de las ﬁguras geométricas. pueden alcanzarse usualmente por más de una vía. la representación de conceptos geométricos por medio de ﬁguras. van a poder desarrollar procesos de mayor complejidad y estarán en capacidad de enfrentar el tratamiento de situaciones de mayor nivel de abstracción.
de acuerdo al contexto. tener en cuenta las características geométricas de los patrones y gráﬁcos usados para describir los datos (por ejemplo.. comparo y cuantiﬁco situaciones con números.Un ejemplo de la coherencia vertical y de la horizontal se presenta en el diagrama siguiente. la hora del día. etc. Pensamiento Aleatorio: Represento datos relativos a mi entorno usando objetos concretos. tanto convencionales como estandarizadas. De 6º a 7º: Identiﬁco relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. en donde los resultados de las mediciones implican el pensamiento numérico). Así.
Coherencia vertical
Pensamiento métrico Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados. reducir). la temperatura del salón.
Pensamiento Numérico: Describo. porque –si bien el contenido matemático es el mismo: la medición– aquello que varía en los estándares de pensamiento métrico de un conjunto de grados a otro es la complejidad y precisión del proceso de medición o la de las unidades utilizadas. De 8º a 9º: Justiﬁco la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias. De 4º a 5º: Selecciono unidades. lo que involucra el pensamiento espacial) y seleccionar los tipos de gráﬁcas y las convenciones necesarias para traducir los datos numéricos de las tablas de datos en el tipo de gráﬁca seleccionado (pensamiento aleatorio). porque en los procesos de medición (pensamiento métrico) es necesario describir la situación numéricamente (por ejemplo un área o volumen. si en los pictogramas o en las gráﬁcas de barras es importante sólo la altura o también el área de la barra. que toma distintos estándares relacionados con el pensamiento métrico. en diferentes contextos y con diversas representaciones.
. como sí es importante en las gráﬁcas circulares. Pensamiento Geométrico: Reconozco congruencia y semejanza entre ﬁguras (ampliar. la coherencia vertical se hace evidente en el primer ejemplo.
De 10º a 11º: Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión especíﬁcos. La coherencia horizontal también es clara en el ejemplo siguiente. pictogramas y diagramas de barras.
dada por la relación que tiene un estándar determinado con los estándares de los demás pensamientos dentro del mismo conjunto de grados. apropiadas para diferentes mediciones.
en diferentes contextos y con diversas representaciones. localización entre otros). ábacos.) y relaciones entre ellos (ser mayor que.. comparo y cuantiﬁco situaciones con números. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición y de transformación. • Dibujo y describo cuerpos o ﬁguras tridimensionales en distintas posiciones y tamaños. • Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para explicar el valor de posición en el sistema de numeración decimal. codiﬁcación. • Represento el espacio circundante para establecer relaciones espaciales.. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones de variación proporcional. • Describo situaciones de medición utilizando fracciones comunes. • Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas. • Describo. ser impar.
• Diferencio atributos y propiedades de objetos tridimensionales. • Reconozco nociones de horizontalidad. • Reconozco y valoro simetrías en distintos aspectos del arte y el diseño. etc. • Identiﬁco regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes instrumentos de cálculo (calculadoras. etc. comparación. si a la luz de los datos de un problema. reducir). • Reconozco y aplico traslaciones y giros sobre una ﬁgura.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar tercer grado.
• Reconozco signiﬁcados del número en diferentes contextos (medición. distancia y posición en el espacio. • Reconozco propiedades de los números (ser par.) en diferentes contextos. ser múltiplo de. • Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para realizar equivalencias de un número en las diferentes unidades del sistema decimal. • Uso diversas estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. los resultados obtenidos son o no razonables. ser menor que. • Realizo construcciones y diseños utilizando cuerpos y ﬁguras geométricas tridimensionales y dibujos o ﬁguras geométricas bidimensionales. • Reconozco congruencia y semejanza entre ﬁguras (ampliar.). conteo. • Desarrollo habilidades para relacionar dirección. verticalidad. bloques multibase. • Identiﬁco. etc.
. paralelismo y perpendicularidad en distintos contextos y su condición relativa con respecto a diferentes sistemas de referencia. ser divisible por.
• Identiﬁco regularidades y tendencias en un conjunto de datos. • Construyo secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números y de las ﬁguras geométricas. • Reconozco el uso de las magnitudes y sus unidades de medida en situaciones aditivas y multiplicativas. en los eventos. musical.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Reconozco en los objetos propiedades o atributos que se puedan medir (longitud. entre otros). • Predigo si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro. • Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural. • Represento datos relativos a mi entorno usando objetos concretos. • Interpreto cualitativamente datos referidos a situaciones del entorno escolar. dibujos y gráﬁcas. peso y masa) y. • Describo situaciones o eventos a partir de un conjunto de datos.
• Clasiﬁco y organizo datos de acuerdo a cualidades y atributos y los presento en tablas. • Comparo y ordeno objetos respecto a atributos medibles. de acuerdo al contexto. pictogramas y diagramas de barras. geométrico. • Analizo y explico sobre la pertinencia de patrones e instrumentos en procesos de medición. área. • Realizo estimaciones de medidas requeridas en la resolución de problemas relativos particularmente a la vida social. • Resuelvo y formulo preguntas que requieran para su solución coleccionar y analizar datos del entorno próximo. volumen. capacidad. • Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados. • Reconozco y genero equivalencias entre expresiones numéricas y describo cómo cambian los símbolos aunque el valor siga igual. • Explico –desde mi experiencia– la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de eventos cotidianos.
• Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico.
. su duración. económica y de las ciencias.
vértices) y características. sus relaciones y operaciones. inversa y producto de medidas. • Identiﬁco y uso medidas relativas en distintos contextos.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar quinto grado. • Identiﬁco la potenciación y la radicación en contextos matemáticos y no matemáticos. • Construyo y descompongo ﬁguras y sólidos a partir de condiciones dadas. • Conjeturo y veriﬁco los resultados de aplicar transformaciones a ﬁguras en el plano para construir diseños.. • Identiﬁco.
• Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición. • Justiﬁco regularidades y propiedades de los números. • Justiﬁco el valor de posición en el sistema de numeración decimal en relación con el conteo recurrente de unidades. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición. • Uso diversas estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. la necesidad de un cálculo exacto o aproximado y lo razonable de los resultados obtenidos. • Comparo y clasiﬁco ﬁguras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos. • Utilizo la notación decimal para expresar fracciones en diferentes contextos y relaciono estas dos notaciones con la de los porcentajes. cociente. • Construyo objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y puedo realizar el proceso contrario en contextos de arte.
• Comparo y clasiﬁco objetos tridimensionales de acuerdo con componentes (caras. inclinaciones. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa. lados) y propiedades. puntas y esquinas en situaciones estáticas y dinámicas. relaciones parte todo. ﬁguras.. • Identiﬁco. en el contexto de una situación. • Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones. • Utilizo sistemas de coordenadas para especiﬁcar localizaciones y describir relaciones espaciales. represento y utilizo ángulos en giros. • Identiﬁco y justiﬁco relaciones de congruencia y semejanza entre ﬁguras.
. • Modelo situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa. transformación. comparación e igualación. razones y proporciones. diseño y arquitectura. aberturas.
gráﬁcas de barras. diagramas de líneas. económica y de las ciencias. duración. (pictogramas. • Selecciono unidades. • Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varían en el tiempo con cierta regularidad en situaciones económicas.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Diferencio y ordeno. tanto convencionales como estandarizadas. gráﬁcas de barras. amplitud de ángulos). apropiadas para diferentes mediciones. volumen. utilizando rangos de variación. capacidad. en objetos y eventos. duración de eventos o procesos. áreas de superﬁcies. • Uso e interpreto la media (o promedio) y la mediana y comparo lo que indican. diagramas de líneas. • Describo la manera como parecen distribuirse los distintos datos de un conjunto de ellos y la comparo con la manera como se distribuyen en otros conjuntos de datos. • Describo y argumento relaciones entre el perímetro y el área de ﬁguras diferentes. • Utilizo y justiﬁco el uso de la estimación para resolver problemas relativos a la vida social. • Construyo igualdades y desigualdades numéricas como representación de relaciones entre distintos datos. diagramas circulares).
• Describo e interpreto variaciones representadas en gráﬁcos. rapidez. diagramas circulares). • Utilizo diferentes procedimientos de cálculo para hallar el área de la superﬁcie exterior y el volumen de algunos cuerpos sólidos. respecto a las dimensiones de ﬁguras y sólidos. • Comparo diferentes representaciones del mismo conjunto de datos. volúmenes de cuerpos sólidos. volúmenes de líquidos y capacidades de recipientes. cuando se ﬁja una de estas medidas. • Reconozco el uso de algunas magnitudes (longitud. sociales y de las ciencias naturales. propiedades o atributos que se puedan medir (longitudes. consultas o experimentos. pesos y masa de cuerpos sólidos. • Represento y relaciono patrones numéricos con tablas y reglas verbales. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos provenientes de observaciones. área. • Interpreto información presentada en tablas y gráﬁcas. temperatura) y de algunas de las unidades que se usan para medir cantidades de la magnitud respectiva en situaciones aditivas y multiplicativas. • Predigo patrones de variación en una secuencia numérica. • Justiﬁco relaciones de dependencia del área y volumen.
• Represento datos usando tablas y gráﬁcas (pictogramas. • Conjeturo y pongo a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos. peso y masa. distancias.
. geométrica o gráﬁca.
• Justiﬁco el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa. transitiva. • Identiﬁco características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográﬁca. • Justiﬁco la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números naturales a la representación decimal usual de los números racionales. • Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.) en diferentes contextos. rotaciones. etc. decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida. asociativa. como las de la igualdad. razones. • Justiﬁco procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. reﬂexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre ﬁguras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte. • Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación.
• Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas. • Justiﬁco la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas. utilizando calculadoras o computadores. en sus distintas expresiones (fracciones. • Justiﬁco la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas. utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal.
• Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar séptimo grado. • Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números. • Clasiﬁco polígonos en relación con sus propiedades. • Utilizo números racionales. • Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones. las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición. • Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números. • Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simétrica...) y de las operaciones entre ellos (conmutativa. en diferentes contextos y dominios numéricos. • Identiﬁco y describo ﬁguras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de objetos tridimensionales.
. sustracción. etc. • Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales. división y potenciación. • Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. multiplicación. • Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situaciones diversas de conteo.
• Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación. • Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de ﬁguras y cuerpos. • Identiﬁco relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. • Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabilidad. • Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables. de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos.
.) en relación con la situación que representan. diagramas de barras. formadas por segmentos. (diagramas de barras. expresiones verbales generalizadas y tablas). continuas. • Identiﬁco las características de las diversas gráﬁcas cartesianas (de puntos. • Uso modelos (diagramas de árbol.) • Uso medidas de tendencia central (media. • Resuelvo y formulo problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas. • Interpreto. etc. por ejemplo) para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia de un evento. produzco y comparo representaciones gráﬁcas adecuadas para presentar diversos tipos de datos. • Predigo y justiﬁco razonamientos y conclusiones usando información estadística. mediana. • Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación). moda) para interpretar comportamiento de un conjunto de datos.
• Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa.
• Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas. diagramas circulares. experimentos. • Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación. diagramas circulares. entrevistas). consultas. complementación) en la solución de ecuaciones. mapas).PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de ﬁguras planas y cuerpos con medidas dadas. • Utilizo métodos informales (ensayo y error. televisión. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas. revistas.
. • Identiﬁco y utilizo la potenciación. • Resuelvo problemas y simpliﬁco cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar noveno grado.
.. • Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales). • Utilizo la notación cientíﬁca para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.
• Conjeturo y veriﬁco propiedades de congruencias y semejanzas entre ﬁguras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas. • Aplico y justiﬁco criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas. la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.
• Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. • Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.
de información y al nivel de la escala en la que esta se representa (nominal. • Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes. áreas de superﬁcies. televisión. revistas. • Analizo en representaciones gráﬁcas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones especíﬁcas pertenecientes a familias de funciones polinómicas. revistas.
• Identiﬁco relaciones entre propiedades de las gráﬁcas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. • Analizo los procesos inﬁnitos que subyacen en las notaciones decimales. • Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema. diagramas de árbol. etc. • Identiﬁco y utilizo diferentes maneras de deﬁnir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación. evento.).
. técnicas de conteo). • Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas. • Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría. • Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa. de intervalo o de razón). ordinal. • Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral. televisión. • Justiﬁco la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias. • Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. • Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.
• Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones. racionales. • Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico. independencia. • Identiﬁco la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráﬁcas que las representan.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos. (prensa. entrevistas). volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados. consultas. • Interpreto y utilizo conceptos de media. consultas. • Identiﬁco diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. experimentos. • Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados. exponenciales y logarítmicas. entrevistas. experimentos. • Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas.
10 .. manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. En las tablas anteriores aparece la versión original planteada por los expertos que se encargaron de estructurar los estándares..
• Analizo representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales. • Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos. • Utilizo argumentos de la teoría de números para justiﬁcar relaciones que involucran números naturales. enteros. cilíndricos y esféricos) y en particular de las curvas y ﬁguras cónicas. • Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. • Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. gráﬁca y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales. • Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales.
.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar undécimo grado. racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir. La publicación de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas realizada por el MEN en 2003 salió con algunos errores que se cometieron al momento de diseñar la cartilla. geométricos y algebraicos. diagonales y transversales en un cilindro y en un cono. • Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada. • Identiﬁco características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares.11
Nota. • Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos.
• Identiﬁco en forma visual. • Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de ﬁguras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas ﬁguras.
• Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen deﬁnir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes. • Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. • Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas. • Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas. covarianza y normalidad). • Justiﬁco resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva. dispersión y correlación (percentiles. • Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráﬁcas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas. la aceleración media y la densidad media. naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta. • Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población. centralidad. localización. varianza. muestreo con remplazo). variable aleatoria. • Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos. • Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas.
. cuartiles. como la velocidad media. • Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas. muestra. • Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones.
• Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación.
• Utilizo las técnicas de aproximación en procesos inﬁnitos numéricos. rango. distribución de frecuencias. rangos de variación y límites en situaciones de medición.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión especíﬁcos. • Uso comprensivamente algunas medidas de centralización. permutaciones. parámetros y estadígrafos). • Justiﬁco o refuto inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. distancia. espacio muestral. muestreo aleatorio.
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Gloria García O. Universidad del Valle. Universidad Distrital Francisco José de Caldas .Myriam Acevedo M..Ligia Amparo Torres R..Carlos Alberto Trujillo S.. ..Ángela Duarte P. Colegio Nacional “Magdalena Ortega de Nariño”.Jorge Castaño. MEN
.. consultora Ascofade . Universidad del Valle . Universidad del Cauca Participantes en el proceso de validación nacional ...Colegio Champagnat . Universidad Pedagógica Nacional ..Silvia Bonilla J. Se agradecen los comentarios y aportes a dicho texto de: . Pontiﬁcia Universidad Javeriana .Diego Garzón C. Universidad Externado de Colombia . Universidad del Valle . Universidad Distrital “Francisco de Paula Santander” . consultor independiente .Secretaría de Educación Distrital . Universidad de Antioquia .Carlos Alberto Trujillo S.Myriam Acevedo M.Ana Celia Castiblanco P... Virginia Cifuentes.. Universidad de Antioquia .. Medellín.
11. Los cinco tipos de pensamiento por lolo85232.4K visitaInsertarDescargaLeer en Scribd móvil: iPhone, iPad y Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Precio de lista: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMore informationMostrar menos
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