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Timestamp: 2018-12-11 11:19:45+00:00

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CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO ASISTIDO: INTRODUCCION
Según Vergnaud el concepto conocimiento científico es obtenido a través de la interacción entre el dominio conceptual y el metodológico y son las situaciones las que dan sentido a los conceptos; un concepto se vuelve significativo a través de una variedad de situaciones, los conocimientos de los estudiantes son fabricados por las situaciones que encuentran y gradualmente dominan (Vergnaud, G. 1987). El propio Vergnaud dice que "la adquisición del conocimiento es moldeada por las situaciones y problemas previamente dominados y, por lo tanto, el conocimiento del sujeto tiene muchos aspectos locales"[1]. Para Vergnaud, la problematización va más allá de la abstracción de regularidades del mundo observable y los problemas son teóricos - prácticos, y empíricos y que cuando un tipo de problemas es resuelto por una persona, significa que ella desarrolla un esquema eficiente para abordarlos, el carácter problemático de esa clase en particular desaparece (ibid.). La teoría de Vergnaud es, un buen referente, para analizar las dificultades de los estudiantes en la resolución de problemas en matemáticas, y por lo tanto de su conceptualización. Dichas dificultades podrían, ser examinadas con base en los invariantes operatorios, o sea, con base en cuáles son los conceptos y teoremas-en-acción que los estudiantes estarían usando para la resolución de problemas y que tan lejos estarían de los conceptos y teoremas científicos adecuados a la resolución del problema planteado (Vergnaud, G. 1993.. p. 1-26.).
Esta teoría toma como referencia el propio contenido del conocimiento y el análisis conceptual del dominio de ese conocimiento (Vergnaud, 1994, p.41; Franchi, 1999, p.160). Vergnaud, dice “Piaget no tuvo en cuenta que el desarrollo cognitivo depende de situaciones y conceptualizaciones específicas necesarias para batallar con ellas”[2]. “Piaget no percibió lo ineficaz que es intentar reducir la complejidad conceptual, progresivamente dominada por los niños, hacia algún tipo de complejidad lógica general”[3].
Vergnaud reclama, que, “Piaget no trabajó en el salón de clase enseñando matemáticas y ciencias y que en el momento en que nos interesamos por aquello que sucede en el salón de clases, necesariamente estamos obligados a interesarnos por el contenido del conocimiento”[4].
Vergnaud reconoce la importancia de la teoría de Piaget, destacando las “ideas de adaptación, desequilibración y reequilibración como una tripla para la investigación en didáctica de las Ciencias y de la Matemática. Vergnaud cree que el aporte fundamental de Piaget fue el concepto de esquema”[5]. Tal concepción, es esencial en la teoría de Vergnaud.
Vergnaud reconoce que sus campos conceptuales fueron desarrollados a partir de los aportes de Vygotsky. Dice que “la importancia atribuida a la interacción social, al lenguaje y a la simbolización en el progresivo dominio de un campo conceptual por los estudiantes. Para el docente, es difícil proveer oportunidades a los estudiantes para que desarrollen sus esquemas en la zona de desarrollo próximo[6].
“Campo conceptual es un conjunto informal y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y, probablemente, entrelazados durante el proceso de adquisición“[7].
“El dominio de un campo conceptual no ocurre en algunos meses, ni tampoco en algunos años. Por el contrario, nuevos problemas y nuevas propiedades se deben estudiar a lo largo de muchos años si pretendemos que los estudiantes los dominen. No sirve de nada bordear las dificultades conceptuales; más bien ellas son superadas en la medida en que se detectan y enfrentan, pero esto no ocurre de una sola vez“[8].
“La teoría de los campos conceptuales supone que el desarrollo cognitivo es la conceptualización”[9]. Considero que la conceptualización es lo más importante de la cognición.
Con relación a esto vergnaud afirma: “se debe poner toda la atención a los aspectos conceptuales de los esquemas y al análisis conceptual de las situaciones para las cuales los estudiantes desarrollan sus esquemas”[10].
Y además dice: “No es, una teoría de enseñanza de conceptos explícitos y formalizados. Se trata de una teoría psicológica del proceso de conceptualización de lo real que permite localizar y estudiar continuidades y rupturas entre conocimientos desde el punto de vista de su contenido conceptual”[11].
Dice: “en el estudio de este proceso, cualquier reduccionismo es peligroso en la medida en que la conceptualización de lo real es específica del contenido y no puede ser reducida ni a las operaciones lógicas generales, ni a las operaciones puramente lingüísticas, ni a la reproducción social, ni a la emergencia de estructuras innatas, ni, en fin, al modelo del procesamiento de la información”[12].
Como se puede vislumbrar, la teoría de los campos conceptuales, es una teoría compleja, Vergnaud dice: “esta teoría envuelve la complejidad emanada de la necesidad de abarcar en una única perspectiva teórica, todo el desarrollo de situaciones progresivamente controladas, de conceptos y teoremas necesarios para operar eficientemente en esas situaciones, y de las palabras y símbolos que pueden representar eficazmente esos conceptos y operaciones para los estudiantes, dependiendo de sus niveles cognitivos y las concepciones importantes de la teoría de los campos conceptuales son: el concepto de campo conceptual, los conceptos de esquema (la gran herencia piagetiana de Vergnaud), situación, invariante operatorio (teorema-en-acción o concepto-en-acción), y su propia concepción de concepto”[13].
“Un conjunto de problemas y situaciones cuyo tratamiento requiere conceptos, procedimientos y representaciones de tipos diferentes pero íntimamente relacionados”[14].
En otros trabajos, “Vergnaud define campo conceptual como, en primer lugar, un conjunto de situaciones cuyo dominio requiere, a su vez, el dominio de varios conceptos de naturaleza distinta”[15].
Los tres argumentos siguientes lo llevaron, al concepto de campo conceptual: “un concepto no se forma dentro de un solo tipo de situaciones; una situación no se analiza con un solo concepto; la construcción y apropiación de todas las propiedades de un concepto o de todos los aspectos de una situación es un proceso de largo aliento que se extiende a lo largo de los años, a veces de una decena de años, con analogías y mal entendidos entre situaciones, entre conceptos, entre procedimientos, entre significantes”[16].
Para Vergnaud un campo conceptual es: “unidad de estudio para dar sentido a las dificultades observadas en la conceptualización de lo real; la teoría de los campos conceptuales supone que la conceptualización es la esencia del desarrollo cognitivo. Más allá de los ya citados campos conceptuales de las estructuras aditivas y multiplicativas, otros campos conceptuales, interfiriendo con los dos anteriores, incluyen: desplazamientos y transformaciones espaciales; clasificaciones de objetos y aspectos discretos; movimientos y relaciones entre tiempo, velocidad, distancia, aceleración y fuerza; relaciones de parentesco; mediciones de cantidades espaciales y físicas continuas”[17].
Evidentemente, esos campos conceptuales no son independientes y unos pueden ser importantes para la comprensión de otros, pero aun así, Vergnaud considera “útil hablar de distintos campos conceptuales si ellos pueden ser explicados consistentemente. Él cree imposible estudiar las entes separadamente, por eso mismo, es preciso hacer fragmentos y es en ese sentido que los campos conceptuales son unidades de estudio fructíferas para dar sentido a los problemas de adquisición y a las observaciones hechas en relación a la conceptualización”[18].
Como el núcleo del desarrollo cognitivo es la conceptualización, Vergnaud dice: “es preciso prestar atención a los aspectos conceptuales de los esquemas y al análisis conceptual de las situaciones en las cuales los estudiantes desarrollan sus esquemas en la escuela o en la vida real. Esto nos lleva al concepto de concepto en la teoría de los campos conceptuales”[19]
Vergnaud precisa concepto como una tripla de conjuntos (Vergnaud,1983 0a, p. 393; 1988, p. 141; 1990, p. 145; 1993, p. 8; 1997, p. 6), C = (S, I, R) donde: S es un conjunto de situaciones que dan sentido al concepto; I es un conjunto de invariantes (objetos, propiedades y relaciones) sobre las cuales reposa la operacionalidad del concepto, o un conjunto de invariantes que pueden ser reconocidos y usados por los sujetos para analizar y dominar las situaciones del primer conjunto; R es un conjunto de representaciones simbólicas (lenguaje natural, gráficos y diagramas, sentencias formales, etc.) que pueden ser usadas para indicar y representar esos invariantes y, consecuentemente, representar las situaciones y los procedimientos para lidiar con ellas. S o conjunto de situaciones, es el referente del concepto, I el conjunto de invariantes operatorios, es el significado del concepto, R el conjunto de representaciones simbólicas, es el significante.
Una definición pragmática considera un concepto como: “un conjunto de invariantes utilizables en la acción, pero esta definición implica también un conjunto de situaciones que constituyen el referente y un conjunto esquemas puestos en acción por los sujetos en esas situaciones. De ahí, que la tripla (S, I, R), en términos psicológicos, S es la realidad e (I, R) la representación que puede ser considerada como dos aspectos interactuantes de pensamiento, el significado I y el significante R”[20]. Lo anterior implica que para estudiar un concepto, a lo largo del aprendizaje o de su utilización, es necesario considerar esos tres conjuntos simultáneamente. “No hay en general, correspondencia biunívoca, entre significantes y significados, ni entre invariantes y situaciones; no se puede, por lo tanto, reducir el significado ni a los significantes ni a las situaciones”[21] . Por otro lado, como fue dicho, “un único concepto no se refiere a un solo tipo de situación y una única situación no puede ser analizada con un solo concepto. Por todo eso, es necesario hablar de campos conceptuales. Pero si los conceptos se vuelven significativos a través de situaciones resulta, naturalmente, que las situaciones y no los conceptos constituyen la principal entrada en un campo conceptual. Un campo conceptual es, en primer lugar, un conjunto de situaciones, cuyo dominio requiere el dominio de varios conceptos de distinta naturaleza”[22].
El concepto de situación para Vergnaud es el de tarea, dice: “toda situación compleja puede ser analizada como una combinación de tareas, para las cuales es importante conocer sus naturalezas y dificultades propias. La dificultad de una tarea no es ni la suma ni el producto de las diferentes subtareas involucradas, pero es claro que el desempeño en cada subtarea afecta el desempeño global”[23].
Vergnaud recurre al sentido que, según él (op. cit., p. 150 y p. 12), es imputado por los psicólogos al concepto de situación: los procesos cognitivos y las respuestas del sujeto son función de las situaciones con las cuales es cotejado. “Muchas de nuestras ideas vienen de las primeras situaciones que fuimos capaces de dominar o de nuestra experiencia al intentar modificarlas”[24]. Como fue dicho antes, las situaciones son las que dan sentido al concepto; son las situaciones las responsables por el sentido atribuido al concepto (Barais & Vergnaud, 1990, p.78); “un concepto se vuelve significativo a través de una variedad de situaciones, pero el sentido no está en las situaciones en sí mismas, así como no está en las palabras ni en los símbolos”[25].
El sentido es una relación del estudiante con las situaciones y con los significantes, son los esquemas, o sea, los comportamientos, y su organización, recordados en el estudiante por una situación o por un significante (representación simbólica) que constituyen el sentido de esa situación o de ese significante para ese estudiante (Vergnaud, 1990, p. 158; 1993, p. 18).
Vergnaud llama esquema a la organización invariante del comportamiento para una determinada clase de situaciones (Vergnaud, 1990, p. 136; 1993, p. 2; 1994, p. 53; 1996 c, p. 201; 1998, p. 168). Según él, es en los esquemas o heurísticas que se deben investigar los conocimientos en acción del estudiante, es decir, los elementos cognitivos que hacen que la acción del estudiante sea operatoria. “Esquema es el concepto introducido por Piaget para hablar de las formas de organización como de las habilidades sensorio-motoras y de las habilidades intelectuales, un esquema genera acciones y debe contener reglas, pero no es un estereotipo porque la secuencia de acciones depende de los parámetros de la situación”[26].
“Un esquema es un universal eficiente para toda una gama de situaciones y puede generar diferentes secuencias de acción, de colección de informaciones y de control, dependiendo de las características de cada situación particular. No es el comportamiento que es invariante, pero sí la organización del comportamiento”[27].
Los algoritmos, son esquemas, pero no todos los esquemas son algoritmos. Cuando los algoritmos se manejan repetidamente para tratar las mismas situaciones, se transforman en esquemas ordinarios o hábitos (op. cit. p. 176). Vergnaud dice: “los esquemas necesariamente se refieren a situaciones, a tal punto que, según él, debería hablarse de interacción esquema-situación en vez de interacción sujeto – objeto como hablaba Piaget”[28]. De esto se deriva que el desarrollo cognitivo consiste principalmente, en el desarrollo de un amplio repertorio de esquemas.
La definición de esquema dada por Vergnaud es precisa pero la explicita para facilitar su comprensión a través de lo que llama los ingredientes de los esquemas (Vergnaud, 1990, p. 136, 142; 1994, p. 46; 1996 a, p. 113-114; 1996 b, p. 11; 1996 c, p. 201-202-206; 1998, p. 173), estos son:
1. metas y anticipaciones (un esquema se dirige siempre a una clase de situaciones en las cuales el sujeto puede descubrir una posible finalidad de su actividad y, eventualmente, submetas; puede también esperar ciertos efectos o ciertos eventos);
2. reglas de acción del tipo “si... entonces” que constituyen la parte verdaderamente generadora del esquema, aquella que permite la generación y la continuidad de secuencias de acciones del sujeto; son reglas de búsqueda de información y de control de los resultados de acción;
3. invariantes operatorios (teoremas-en-acción y conceptos-en-acción) que dirigen el reconocimiento, por parte del individuo, de los elementos pertinentes de la situación; son los conocimientos contenidos en los esquemas; son aquellos que constituyen la base, implícita o explícita, que permite obtener la información pertinente y de ella inferir la meta a alcanzar y las reglas de acción adecuadas;
4. Posibilidades de inferencia (o razonamientos) que permiten “calcular”, “aquí y ahora”, las reglas y anticipaciones a partir de las informaciones e invariantes operatorios que dispone el sujeto, o sea, toda actividad implicada en los otros tres ingredientes requiere cálculos “aquí e inmediatamente” para esta situación.
Como se ha dicho, para Vergnaud los esquemas se refieren necesariamente a situaciones o clase de situaciones, donde él (Vergnaud,1993, p. 2) distingue entre:
· Clases de situaciones en las que el sujeto dispone – dentro de su repertorio, en un momento dado de su desarrollo y bajo ciertas circunstancias – de las competencias necesarias al tratamiento relativamente inmediato de la situación.
· Clase de situaciones en las que el sujeto no dispone de todas las competencias necesarias, que le abrigan a un tiempo de reflexión y exploración, a vacilaciones, a tentativas frustradas, llevando eventualmente al éxito o a un fracaso.
Según Vergnaud (ibid.), el concepto de esquema no funciona del mismo modo en las dos clases de situaciones. “En la primera de ellas, se observa, para una misma clase de situaciones, conductas ampliamente automatizadas, organizadas por un solo esquema en tanto que para la segunda se observa la sucesiva utilización de varios esquemas que pueden entrar en competencia y que, para atender a la meta deseada, deben ser acomodados, desarticulados y recombinados. De manera general, todas las conductas admiten una parte automatizada y una parte de decisión consciente. Los esquemas son frecuentemente eficaces pero no siempre efectivos. Cuando los sujetos usan un esquema ineficaz para cierta situación, la experiencia los lleva a cambiar de esquema o a modificar el esquema”[29].
En una situación nueva para el estudiante se pueden usar varios esquemas simultáneamente (Vergnaud, 1990, p .140). “Las conductas en una situación dada reposan sobre el repertorio inicial de esquemas que el sujeto dispone. Como ya fue dicho, el desarrollo cognitivo puede ser interpretado como consistiendo, en el desarrollo de un vasto repertorio de esquemas afectando esferas muy distintas de la actividad humana. Desde el punto de vista teórico, el concepto de esquema proporciona el vínculo indispensable entre la conducta y la representación”[30], “la relación entre situaciones y esquemas es la fuente primaria de la representación y, por lo tanto de la conceptualización”[31]. Por otro lado, la articulación esencial entre teoría y práctica, la hacen los invariantes operatorios, “la percepción, la búsqueda y la selección de información se basan enteramente en el sistema de conceptos-en-acción disponibles para el sujeto (objetos, atributo, relaciones, condiciones, circunstancias...) y en los teoremas-en-acción subyacentes a su conducta”[32].
“Las expresiones concepto-en-acción y teorema-en-acción designan los conocimientos contenidos en los esquemas. Son también designados, por Vergnaud, por la expresión más global de invariantes operatorios. Teorema-en-acción es una proposición considerada como verdadera sobre lo real; concepto-en-acción es una categoría de pensamiento considerada como pertinente (ibid.). Estos ingredientes – metas y anticipaciones, reglas de acción, invariantes operatorios y posibilidades de inferencia – los invariantes operatorios, o sea, los conocimientos-en-­acción (conceptos y teoremas-en-acción) constituyen la base conceptual, implícita o explícita que permiten obtener la información pertinente y, a partir de ella y de la meta a atender, inferir las reglas de acción más pertinentes para abordar una situación”[33].
“Desígnense por las expresiones “concepto-en-acción” y “teorema-en-acción” a los conocimientos contenidos en los esquemas. También se puede designarlos por la expresión más abarcativa “invariantes operatorios””[34].
“Esquema es la organización, de la conducta para una cierta clase de situaciones; teoremas-en-acción y conceptos-en-acción son invariantes operacionales, luego, son componentes esenciales de los esquemas”[35] y determinan las diferencias entre ellos.
Teorema-en-acción es una proposición sobre lo real considerada como verdadera.
Concepto-en-acción es un objeto, un predicado, o una categoría de pensamiento considerada como pertinente, relevante (Vergnaud, 1996 c, p. 202; 1998, p. 167).
“Conceptos-en-acción son ingredientes necesarios de las proposiciones. Pero los conceptos no son teoremas, pues no permiten derivaciones (inferencias o computaciones); las derivaciones requieren proposiciones. Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas; los conceptos pueden ser apenas relevantes o irrelevantes. Aun así no existen proposiciones sin conceptos”[36]. “Un modelo computable del conocimiento intuitivo debe comprender conceptos-en-acción y teoremas-en-acción como ingredientes esenciales de los esquemas. Los esquemas son fundamentales porque generan acciones, incluyendo operaciones intelectuales, pero pueden generarlas porque contienen invariantes operatorios (teoremas y conceptos-en­-acción) que forman el núcleo de la representación. Por otro lado, un concepto-en-acción no es un verdadero concepto científico ni un teorema-en-acción es un verdadero teorema a menos que se tornen explícitos. En la ciencia, conceptos y teoremas son explícitos y se puede discutir su pertinencia y su veracidad, pero ese no es necesariamente el caso de los invariantes operatorios”[37].
No se puede hablar de invariantes operatorios en los esquemas sin la ayuda de categorías de conocimiento explícito: proposiciones, funciones proporcionales, objetos, argumentos (ibid.). Pero “conceptos-en-acción y teoremas-en-acción pueden, progresivamente, tornarse verdaderos conceptos y teoremas científicos. El status del conocimiento es muy diferente cuando él es explicitado en vez de quedar totalmente inmerso en la acción. El conocimiento explícito puede ser comunicado a otros y discutido, el conocimiento implícito no”[38].
Según Vegnaud “En general, los estudiantes no son capaces de explicar ni tampoco de expresar en lenguaje natural sus teoremas y conceptos-en-acción. En el abordaje de una situación, los datos a ser trabajados y la secuencia de cálculos a ser realizados dependen de teoremas-en-acción y de la identificación de diferentes tipos de elementos pertinentes. La mayoría de esos conceptos y teoremas-en-acción permanecen totalmente implícitos, pero ellos pueden, también ser explícitos o volverse explícitos y ahí encaja la enseñanza: ayudar al estudiante a construir conceptos y teoremas explícitos, y científicamente aceptados a partir del conocimiento implícito. Es en este sentido que conceptos-en­-acción y teoremas-en-acción pueden, progresivamente, volverse verdaderos conceptos y teoremas científicos, pero eso puede llevar mucho tiempo”[39].
Según Vergnaud el concepto conocimiento científico es obtenido a través de la interacción entre el dominio conceptual y el metodológico y son las situaciones las que dan sentido a los conceptos; un concepto se vuelve significativo a través de una variedad de situaciones, los conocimientos de los estudiantes son fabricados por las situaciones que encuentran y gradualmente dominan. Aunque el concepto de situación tenga, en la teoría de los campos conceptuales, el significado de tarea, en las ciencias, situación significa también problema (Vergnaud, G. 1987). O podemos hablar de situaciones y problemas como hace el propio Vergnaud al decir que "la adquisición del conocimiento es moldeada por las situaciones y problemas previamente dominados y, por lo tanto, el conocimiento del sujeto tiene muchos aspectos locales"[40]. En un trabajo anterior a este, Vergnaud dice que “en verdad, los conceptos se desarrollan a través de la resolución de problemas, y ese desarrollo es lento"[41]. Eso expresa que la resolución de problemas o las situaciones de resolución de problemas son fundamentales para la conceptualización, como dice Vergnaud, "un problema no es un problema para un individuo a menos que él o ella tenga conceptos que lo/la tornen capaz de considerarlo como un problema para sí mismo"[42].
Para Vergnaud, la problematización va más allá de la abstracción de regularidades del mundo observable y los problemas son teóricos - prácticos, y empírico y que cuando un tipo de problemas es resuelto por una persona, significa que ella desarrolla un esquema eficiente para abordarlos, el carácter problemático de esa clase en particular desaparece (ibid.). Vergnaud llama "ilusión pedagógica, a la actitud de los docentes que creen que la enseñanza, consiste en la presentación organizada, clara, rigurosa de las teorías formales y que cuando eso está bien hecho los estudiantes aprenden”[43]. Se trata de una ilusión porque, según él, “es a través de situaciones de resolución de problemas que los conceptos se desarrollan en el estudiante y las situaciones de resolución de problemas que forman los conceptos significativos para los estudiantes pueden estar, por lo menos inicialmente, muy distantes del formalismo presentado por el docente. Pero, a pesar de eso, tales situaciones son esenciales para el desarrollo de conceptos, es decir, al mismo tiempo que las situaciones formales son necesarias es preciso tener en consideración que el estudiante puede estar aún muy lejos de ellas”[44]
La teoría de Vergnaud es, un buen referente, para analizar las dificultades de los estudiantes en la resolución de problemas, en matemáticas, y por lo tanto de su conceptualización. Dichas dificultades podrían, ser examinadas con base en los invariantes operatorios, o sea, con base en cuáles son los conceptos y teoremas-en-acción que los estudiantes estarían usando para la resolución de problemas y que tan lejos estarían de los conceptos y teoremas científicos adecuados a la resolución del problema planteado (Vergnaud, G. 1993.. p. 1-26.).
Figura 8: Adaptado de campos conceptuales de Vergnaud (Vergnaud, 1990)[45]
En este ensayo se describe la teoría de los campos conceptuales de Gérard Vergnaud, para docentes Universitarios que deseen investigar en Educación Matemática.
Esta es una teoría que tiene origen en la teoría piagetiana, aunque se aleja considerablemente de Piaget al darle importancia al contenido del conocimiento y al análisis conceptual de la apropiación paso a paso de ese conocimiento y además a ocuparse del estudio del desarrollo cognitivo del sujeto-en-situación en lugar de ocuparse de las operaciones lógicas generales y de las estructuras generales del pensamiento. Vergnaud al considerar lo anterior, permite describir, analizar e interpretar todo lo que sucede en el proceso de enseñanza - aprendizaje en el salón de clases.
Esta teoría de los campos conceptuales es de mucha utilidad para los docentes investigadores, la que les permite fundamentar su proceso de enseñanza-aprendizaje en el área de Matemáticas y otras áreas del saber.
[1] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J.
(1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.:
State University of New York Press. pp. 41­ - 59.
[2] VERGNAUD, G. (1998): A comprehensive theory of representation for. P 181
[3] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J. (1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York Press. pp. 41­ – 59.
[4] VERGNAUD, G. (1996): A trama dos campos conceituais na construção dos conhecimentos. Revista do GEMPA. Porto Alegre, Nº 4: 9-19.
[5] VERGNAUD, G. (1996): Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a la didáctica. Perspectivas, 26(10): 195-207.
[6] VERGNAUD, G. (1998): A comprehensive theory of representation for. P, 181.
[8] VERGNAUD, G. (1983): Quelques problèmes theóriques de la didactique a propos d'un example: les structures additives. Atelier International d'Eté: Récherche en Didactique de la Physique. La Londe les Maures, Francia, 26 de junio a 13 de julio. p.401.
[9] VERGNAUD, G. (1996): Education: the best part of Piaget's heritage. Swiss Journal of Psychology, 55(2/3): p.118
[10] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J. (1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York Press. pp. 41­ - 59.
[11] VERGNAUD. G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des Mathématique. 10 (23): 133-170.
[12] VERGNAUD, G. (1983). Quelques problèmes theóriques de la didactique a propos d'un example: les structures additives. Atelier International d'Eté: Récherche en Didactique de la Physique. La Londe les Maures. Francia. 26 de junio a 13 de julio. P, 392.
[13] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J. (1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York Press. pp. 41­ - 59.
[14] VERGNAUD, G. (1983): Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.) Acquisition of Mathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc. pp. 127-174.
[15] VERGNAUD, G. (1988): Multiplicative structures. In Hiebert, H. and Behr, M. (Eds.). Research Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations in the Middle Grades. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. pp. 141-161.
[16] VERGNAUD, G. (1983). Quelques problèmes theóriques de la didactique a propos d'un example: les structures additives. Atelier International d'Eté: Récherche en Didactique de la Physique. La Londe les Maures. Francia. 26 de junio a 13 de julio. P. 393
[17] VERGNAUD, G. (1983): Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.) Acquisition of Mathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc. pp. 127-174.
[18] VERGNAUD, G. (1983). Quelques problèmes theóriques de la didactique a propos d'un example: les structures additives. Atelier International d'Eté: Récherche en Didactique de la Physique. La Londe les Maures. Francia. 26 de junio a 13 de julio. P. 393
[19] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J. (1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York Press. pp. 41­ - 59.
[20] VERGNAUD, G. (1998): A comprehensive theory of representation for. P, 141.
[21] VERGNAUD. G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des Mathématique. 10 (23): 133-170.
[22] VERGNAUD, G. (1988): Multiplicative structures. In Hiebert, H. and Behr, M. (Eds.). Research Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations in the Middle Grades. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. p. 5.
[23] VERGNAUD. G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des Mathématique. 10 (23): 133-170.
[24] VERGNAUD, G. (1996): Education: the best part of Piaget's heritage. Swiss Journal of Psycholog. 55(2/3): 112-118.
[25] VERGNAUD. G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des Mathématique. 10 (23): 133-170.
[26] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J. (1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York Press. pp. 41­ - 59.
[27] VERGNAUD, G. (1998): A comprehensive theory of representation for., p. 172
[28] VERGNAUD, G. (1996): Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a la didáctica. Perspectivas, 26(10): 195-207. p. 203
[29] VERGNAUD. G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des Mathématique. 10 (23): 133-170.
[30] VERGNAUD, G. (1996): Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a la didáctica. Perspectivas, 26(10): 195-207.
[31] VERGNAUD, G. (1998): A comprehensive theory of representation for., p. 177
[32] VERGNAUD, G. (1996): Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a la didáctica. Perspectivas, 26(10): 195-207.
[33] VERGNAUD, G. (1996): Algunas ideas fundamentales de Piaget en torno a la didáctica. Perspectivas, 26(10): 195-207.
[34] VERGNAUD, G. (1993): Teoría dos campos conceituais. In Nasser, L. (Ed.). Anais do 1º Seminário
Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro. p. 1-26.
[35] VERGNAUD, G. (1998): A comprehensive theory of representation for, p. 167
[36] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J.
[37] VERGNAUD. G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des Mathématique. 10 (23): 133-170.
[38] VERGNAUD, G. (1998): A comprehensive theory of representation for, p .175
[39] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J.
[40] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J.
[41] VERGNAUD, G. (1983): Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.) Acquisition of Mathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc. pp. 127-174.
[42] VERGNAUD, G. (1994): Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H. and Confrey, J.(1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany, N.Y.:State University of New York Press. pp. 41­ - 59.
[43] VERGNAUD, G. (1983): Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.) Acquisition ofMathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc. pp. 127-174.
[44] VERGNAUD, G. (1983): Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.) Acquisition ofMathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc. pp. 127-174.
[45] VERGNAUD. G. (1990): La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des Mathématique. 10 (23): 133-170.
Publicadas por José Gonzalo Escobar Lugo a la/s 22:05

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