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Timestamp: 2019-03-18 15:39:55+00:00

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PROGRAMACIÓN DE AULA. 3º ESO
TEMA 01: Los números racionales.
TEMA 02: Los números reales.
TEMA 03: Potencias y notación científica.
TEMA 04: Polinomios.
TEMA 05: Ecuaciones de primer y segundo grado.
TEMA 06: Sistemas de ecuaciones.
TEMA 07: Proporcionalidad numérica.
TEMA 08: Progresiones.
TEMA 09: Figuras planas. Áreas.
TEMA 10: Movimientos. Semejanzas.
TEMA 13: Funciones de proporcionalidad.
TEMA 14: Estadística.
TEMA 15: Parámetros estadísticos.
TEMA 16: Probabilidad.
TEMA 01: NÚMEROS RACIONALES
Reconocer las distintas interpretaciones de una fracción.
Representar fracciones mediante figuras.
Reconocer fracciones equivalentes.
Simplificar fracciones hasta obtener una fracción irreducible.
Calcular la potencia de una fracción dada.
Reconocer y utilizar el concepto de número racional.
Obtener representantes de un número racional.
Determinar el representante canónico de un número racional.
Representar los números racionales en la recta racional.
Número racional. Representante de un número racional.
Representante canónico.
Aprecio de la utilidad de las fracciones para resolver problemas de la vida diaria.
Gusto por la presentación ordenada, limpia y clara de los cálculos.
Calcular correctamente la potencia de una fracción, tanto positiva como negativa.
La unidad se iniciará con explicaciones y pruebas que persiguen un doble objetivo: evaluar los conocimientos previos y motivar a los alumnos por el aprendizaje de nuevos contenidos. En este sentido, se realizarán las siguientes actividades:
Hacer reflexionar a los alumnos sobre la presencia de las fracciones en distintos contextos: situaciones de compra o consumo, figuras geométricas, frases o informaciones en medios de comunicación....
La actividad de la evaluación inicial sobre el tangram, la elaboración de puzzles similares por su parte y la reflexión sobre ellos desde el punto de vista de las fracciones pueden resultar de gran interés para ellos.
En cuanto al nivel y dificultad del tema, se prestará especial atención a:
La relación de equivalencia entre fracciones, de manera que cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella, y la densidad del conjunto Q, que permite encontrar infinitas fracciones entre cada dos dadas, son los conceptos que resultan más complejos para los alumnos.
Conviene reflexionar sobre ellos y trabajarlos mediante actividades variadas, de manera que los alumnos comprendan adecuadamente la estructura del conjunto de los números racionales.
El manejo fluido de las fracciones es necesario para resolver problemas reales, y particularmente para las situaciones de compra y venta, como se aprecia en distintas actividades de la unidad.
En el proyecto tratamos los códigos de barras, la forma usual de identificación de los artículos de consumo. Al hilo de su realización, el profesor puede reflexionar con los alumnos sobre la necesidad de un consumo responsable y crítico.
En Matemáticas, realidad y curiosidad se trata un tema de vital importancia ambiental: el reciclaje. Es importante hacer entender a los alumnos que reciclar es imprescindible para el cuidado y conservación de nuestro entorno y que las materias primas no son inagotables.
En las actividades de ampliación aparece también la energía solar. Llamar la atención sobre sus características de energía limpia y renovable y sobre la necesidad de ahorrar energía por parte de todos.
TEMA 02: NÚMEROS REALES
Expresar fracciones en forma decimal y como porcentaje.
Distinguir los números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.
Obtener la expresión fraccionaria de los números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.
Expresar números decimales como porcentajes.
Reconocer los números irracionales como números decimales no periódicos con infinitas cifras.
Clasificar los números decimales en racionales e irracionales.
Representar los números racionales e irracionales en la recta real.
Utilizar los intervalos para expresar conjuntos de números.
Calcular aproximaciones de un número irracional por exceso y por defecto.
Aproximar números utilizando las técnicas de redondeo y truncamiento.
Números decimales exactos. Fracciones decimales.
Números decimales periódicos puros y periódicos mixtos.
Expresión fraccionaria de un número decimal exacto y periódico.
Aproximaciones decimales de números racionales e irracionales.
Obtención de la expresión decimal de una fracción.
Obtención de la expresión fraccionaria de un número decimal exacto o periódico.
Utilización de los porcentajes para expresar fracciones y números decimales.
Realización mental de operaciones con números decimales y porcentajes.
Representación de números racionales e irracionales en la recta real.
Expresión de conjuntos de números reales mediante intervalos.
Obtención de aproximaciones decimales de números racionales e irracionales por exceso y por defecto, y mediante redondeo y truncamiento hasta un orden dado, dando cuenta del error absoluto cometido en cada caso.
Resolución de problemas reales que impliquen la utilización de números decimales, porcentajes, números reales y aproximaciones.
Valorar la presencia y utilidad de los números decimales en contextos reales.
Confiar en la propia capacidad de resolución de problemas numéricos con y sin calculadora.
Analizar de forma crítica los porcentajes en distintos contextos.
Hallar correctamente la expresión decimal de una fracción y expresar una fracción mediante un porcentaje.
Calcular la expresión fraccionaria de un número decimal exacto o periódico.
Expresar números decimales como porcentajes y viceversa.
Distinguir, sin necesidad de operar, números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.
Resolver adecuadamente problemas reales donde aparezcan números decimales y porcentajes.
Es importante llamar la atención de los alumnos sobre la presencia y utilidad de los números fraccionarios y los números decimales en contextos de la vida real: partes de un total, medidas de magnitudes (longitud, área, volumen, etc.), sistema monetario, etc.
Pedir a los alumnos que aporten ejemplos propios les ayuda a reflexionar sobre esa utilidad.
Aportar ejemplos de números irracionales en distintos contextos (geométricos, artísticos, de la vida real... ), llamando la atención sobre los números más conocidos: p, el número áureo, etc.
Las relaciones entre conjuntos numéricos entrañan cierta dificultad para los alumnos y hay que asegurarse de que son comprendidas. Es necesario hacer hincapié en la relación de identidad existente entre los números racionales y los decimales periódicos.
El salto conceptual de los números racionales a los irracionales puede resultar complicado por la aparición de infinitas cifras que no se repiten.
Conviene dedicar un especial esfuerzo para que los alumnos alcancen el mayor grado de comprensión posible a la hora de identificar y trabajar con los distintos tipos de números que aparecen en la unidad. La detección de las dificultades es posible realizarla a partir de las actividades propuestas.
Es conveniente realizar algunos ejemplos de operaciones con decimales antes de abordar el resto de la unidad para que los alumnos recuerden los conceptos más importantes.
Realizar en común distintos ejemplos de expresión de un número fraccionario como decimal y viceversa, hasta asegurarse de que se ha comprendido el concepto.
Insistir, si se cree necesario o se aprecian dificultades, en la realización de ejercicios que trabajen la expresión de fracciones en decimales y viceversa, así como las operaciones con porcentajes.
Realizar actividades sobre diferenciación de números racionales e irracionales y practicar la obtención de aproximaciones por defecto y por exceso de éstos últimos.
Pedir a los alumnos que planteen y resuelvan por sí mismos problemas que impliquen la realización de aproximaciones de distintos números mediante redondeo y truncamiento.
Realizar actividades que trabajen la expresión de conjuntos de números mediante intervalos simples y mediante uniones de intervalos. Comentar la imposibilidad de representación de algunos números irracionales.
El manejo fluido de las fracciones y los porcentajes es importante, ya que facilita el desarrollo de un sentido crítico ante situaciones de compra y venta donde aparezcan. Las actividades planteadas en el apartado Matemáticas, realidad y curiosidad pueden servir al profesor para hacer patente la necesidad de actuar responsablemente en situaciones de consumo.
En el proyecto La lluvia y los pluviómetros se trata un tema de gran interés medio ambiental, como es el agua. A la hora de abordarlo conviene fomentar la preocupación científica y social sobre problemas relacionados con el agua como la sequía y las inundaciones.
También conviene sensibilizar a los alumnos ante la necesidad de usar responsablemente los recursos naturales, en concreto el agua y evitar malgastarla y contaminarla.
TEMA 03: POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA
Operar con potencias de exponente natural.
Reconocer las potencias de exponente entero y base cualquiera y obtener su valor.
Operar con potencias de exponentes entero.
Utilizar la calculadora para operar con potencias.
Expresar números en notación científica.
Sumar y restar números en notación científica.
Multiplicar y dividir números en notación científica.
Conocer el orden de magnitud de un número expresado en notación científica.
Realizar operaciones en notación científica utilizando la calculadora.
Reconocer las partes de un radical de índice cualquiera y resolver ecuaciones de la forma x2 = a, x3 = a.
Operar con radicales.
Utilizar la calculadora para obtener el valor de un radical cualquiera y para realizar cálculos con radicales.
Radical de índice n.
Utilización de las reglas de las operaciones con potencias, tanto de exponente natural como entero, para la realización de distintos cálculos.
Expresión de números en notación científica y realización de operaciones con números expresados de esta forma con lápiz y papel y utilizando la calculadora.
Determinación del orden de magnitud de un número expresado en notación científica.
Resolución de problemas reales que impliquen la utilización de potencias y/o números expresados en notación científica.
Obtención del valor de un radical de índice n con la calculadora, elevando el radicando a 1/n.
Realización de operaciones con radicales .
Utilización de las operaciones con radicales y sus propiedades para resolver distintos problemas.
Aprecio de la utilidad de la notación científica a la hora de trabajar con magnitudes muy grandes y muy pequeñas.
Utilización crítica y cuidadosa de la calculadora.
Obtener el valor de una potencia de exponente entero.
Utilizar correctamente las reglas de las operaciones con potencias.
Trabajar con potencias usando la calculadora.
Operar con números expresados en notación científica con lápiz y papel.
Utilizar la calculadora para operar con números expresados en notación científica.
La unidad se iniciará con explicaciones y pruebas que persiguen un doble objetivo: evaluar los conocimientos previos y motivar a los alumnos por el aprendizaje de nuevos contenidos. En este sentido, es importante llamar la atención de los alumnos sobre la presencia y utilidad de las potencias y la notación científica en contextos de la vida real. Son necesarias para indicar cantidades muy grandes tales como la masa de una galaxia, del universo, del sol, el número de átomos en una cierta cantidad de materia, etc. y también para trabajar con cantidades muy pequeñas (potencias negativas), como el diámetro de un glóbulo rojo, el radio de un protón, la longitud de una bacteria, etc. Pedir a los alumnos que aporten ejemplos propios les ayuda a reflexionar sobre el uso de ambas.
Puede entrañar cierta dificultad para los alumnos la expresión de números en notación científica, por lo que hay que asegurarse de que lo hacen correctamente antes de realizar operaciones con números en esta forma.
Es necesario hacer hincapié en que el número que multiplica a la potencia de 10 es un número entero o un número decimal con su parte entera una cifra del 1 al 9.
El concepto de radical de índice n puede trabajarse como extensión de los radicales de índices 2 y 3, más conocidos para los alumnos y más intuitivos. Es importante que sean conscientes de la relación entre radicación y potenciación, y de las similitudes entre sus operaciones.
El trabajo con la calculadora es importante y puede servir a los alumnos para afianzar los conceptos y para comprobar los resultados. Es importante crear hábitos de uso crítico de este instrumento.
Conviene empezar la unidad recordando el significado de potencia y las partes que la componen, tales como la base y el exponente.
Es conveniente asegurarse de que operan correctamente con potencias de exponente natural, realizando distintos ejemplos.
Realizar problemas que trabajen la definición de potencia de exponente entero, y las operaciones con estas potencias.
Expresar números grandes y pequeños en notación científica, dejando claro el proceso a seguir y practicar las operaciones con números expresados de esta forma, tanto con papel y lápiz como con calculadora.
Trabajar los radicales y sus operaciones con actividades variadas, usando también la calculadora.
Puede ampliarse la definición de potencia a potencias de exponente fraccionario, esbozada de forma muy simple en esta unidad, y trabajar la transformación de potencias en radicales y viceversa.
A lo largo de toda la unidad se trabajan en varias actividades conceptos relacionados con la salud: glóbulos rojos, dosis diaria de yodo, vitamina B12, etc. El profesor puede aprovechar la realización de estas actividades para hacer ver la importancia de una nutrición variada y equilibrada y señalar los riesgos que entraña la obsesión por las dietas.
En muchas partes de la unidad aparecen contextos donde se muestra la necesidad de la utilización de la notación científica a la hora de trabajar temas relativos a la naturaleza y al medio ambiente.
El consumo responsable de agua y en general de los recursos naturales, puede comentarse a la hora de realizar la actividad 15 de la página 50. Llamar la atención sobre fenómenos relacionados como la sequía, desertización, etc.
Con el proyecto sobre la Tierra y sus movimientos, los alumnos trabajan sobre el planeta donde viven y puede suscitarse un debate para que se sensibilicen y usen responsablemente sus recursos.
TEMA 04: POLINOMIOS
Reconocer el término independiente y los coeficientes de un polinomio.
Identificar si un polinomio es completo o no.
Reducir y ordenar polinomios.
Dividir polinomios con el algoritmo usual y utilizando la regla de Ruffini.
Polinomios: grado, término independiente y coeficientes.
Polinomio reducido, polinomio compuesto y polinomio opuesto.
Multiplicación y división de monomios.
Reducción de polinomios.
Ordenación de polinomios.
Determinación del polinomio opuesto de uno dado.
Utilización de la regla de Ruffini.
Identificar el grado, el termino independiente y los coeficientes de un polinomio.
Reconocer si un polinomio es completo o no y reducirlo.
Aplicar la regla de Ruffini de forma adecuada cuando el divisor es de la forma x – a.
La unidad se iniciará con explicaciones y pruebas que persiguen un doble objetivo: evaluar los conocimientos previos y motivar a los alumnos por el aprendizaje de nuevos contenidos. Mostrar a los alumnos distintos contextos donde aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas,... En general en cualquier contexto donde aparezcan funciones. Ejemplos muy conocidos son la ecuación del movimiento de un cuerpo a velocidad constante, P(t) = v·t, o de un cuerpo en caída libre, P(t)=gt2 / 2. Pueden realizarse actividades de tipo lúdico como juegos de adivinación de un polinomio dados algunos valores numéricos obtenidos a partir de él.
Las operaciones con monomios no revisten especial dificultad, pero conviene asegurarse de que los alumnos las comprenden perfectamente ya que son la base de la unidad. En las operaciones con polinomios las mayores dificultades pueden surgir en la multiplicación (en la colocación correcta de los términos de cada grado) y en la división (en la determinación de cada término del cociente y en la resta de los productos obtenidos).
La regla de Ruffini, sencilla de llevar a cabo, debe ser aplicada de manera racional, así como la interpretación de los resultados obtenidos. Muchas veces los alumnos dejan de lado este último aspecto, limitándose a aplicar el algoritmo y dando el ejercicio por hecho.
Evitar que los alumnos se limiten a memorizan las igualdades notables, procurando que sepan deducir por sí mismos sus desarrollos.
Es importante comenzar recordando las operaciones con monomios ya que son la base de las operaciones con polinomios. Proponer más ejercicios, si se cree necesario, hasta que los conceptos queden totalmente claros. Practicar el cálculo del valor numérico de polinomios con una y varias variables.
Realizar en común distintos ejemplos de cada una de las operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y división, hasta asegurarse de que la técnica ha sido correctamente comprendida. Insistir en especial en el caso de la división, que suele ofrecer las mayores dificultades.
La profundización en la regla de Ruffini y su utilización para descomponer polinomios en producto de factores, mediante la obtención de sus raíces, puede abordarse si se cree conveniente.
El teorema del resto, también se avanza, de manera intuitiva, en las actividades de la unidad, siendo susceptible de un tratamiento más profundo con más actividades.
También puede tratarse de manera inductiva el cálculo de las sucesivas potencias de un binomio, como ampliación de las igualdades notables.
En Matemáticas, curiosidad y realidad se trata el tema de la caída libre. Es un concepto que aparece en muchos contextos de la Naturaleza: caída en picado de las aves rapaces, caída de meteoritos, desprendimientos en los glaciares por el calentamiento global, etc, y susceptible por tanto, de comentarios del profesor que inciten a la reflexión común sobre el medio ambiente.
En el proyecto se trata el tema de la Seguridad Social. Llamar la atención de los alumnos sobre la gran importancia del sistema de sanidad público y su evolución histórica, reflexionar sobre su funcionamiento y mostrar la necesidad por parte de todos de desarrollar hábitos de conducta saludables: alimentación correcta, prevención de accidentes, revisiones periódicas, etc.
Aprovechar la fotografía de la página 67 para plantear en clase un debate sobre la situación de la mujer en el trabajo: oportunidades, retribuciones, desigualdades, discriminación, etc. Llamar la atención de los alumnos sobre la necesidad de consolidar hábitos no sexistas, tanto en el lenguaje como en los comportamientos.
TEMA 05: ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Distinguir si una igualdad algebraica es una identidad o una ecuación.
Reconocer los elementos y el grado de una ecuación.
Determinar si un número es o no solución de una ecuación.
Reconocer si dos ecuaciones son o no equivalentes.
Construir ecuaciones equivalentes a una dada aplicando la regla de la suma y el producto.
Distinguir si una ecuación es compatible o incompatible.
Reconocer las ecuaciones de segundo grado.
Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas.
Resolver ecuaciones de segundo grado mediante el método de completar cuadrados.
Resolver ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general.
Determinar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado analizando el valor del discriminante.
Plantear y resolver problemas mediante ecuaciones de primer y de segundo grado.
Elementos de una ecuación: incógnita, coeficiente, miembros, términos de un miembro y grado.
Ecuaciones de primer grado y transposición de términos.
Obtención de ecuaciones equivalentes a una dada por las reglas de la suma y del producto.
Resolución de ecuaciones de primer grado por transposición de términos.
Resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores.
Determinación de la compatibilidad o incompatibilidad de una ecuación.
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas, completando cuadrados y mediante la fórmula general.
Aplicación de las ecuaciones de primer y segundo grado al planteamiento y resolución de distintos problemas de la vida real.
Valorar el lenguaje algebraico como un lenguaje claro, conciso y útil para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.
Respetar los planteamientos y soluciones de otras personas.
Apreciar la necesidad de seguir las fases del método de resolución de problemas.
Reconocer y construir ecuaciones equivalentes.
Determinar si una ecuación es compatible o incompatible, obteniendo sus soluciones cuando sea posible.
Resolver de forma correcta ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores.
Distinguir y resolver ecuaciones de segundo grado incompletas, aplicando el método adecuado a cada uno de los casos.
Aplicar el método de completar y la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.
Determinar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado a partir de su discriminante.
Plantear y resolver problemas correctamente mediante ecuaciones de primer y segundo grado.
La unidad se iniciará con explicaciones y pruebas que persiguen un doble objetivo: evaluar los conocimientos previos y motivar a los alumnos por el aprendizaje de nuevos contenidos. Es importante llamar la atención de los alumnos sobre la gran utilidad de las ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana, ya sea de edades, móviles, mezclas, relojes ó cualquier otra temática. Para ello se pueden proponer problemas en los que los alumnos intenten buscar mentalmente una solución, de forma que se den cuenta que las ecuaciones facilitan en gran medida el trabajo. Puede ser interesante hacer una breve exposición de la evolución del álgebra a lo largo de la historia, señalando en cada época el tipo de ecuaciones que se conocían y cómo se llevaba a cabo su resolución.
Mostrar la utilidad del método general de resolución de problemas mediante ecuaciones. Señalar la importancia de la fase de comprobación que los alumnos suelen dejar de lado.
Es necesario que los alumnos sean conscientes de la necesidad de identificar el tipo de ecuación, aplicar el método adecuado para su resolución, llevar a cabo los cálculos con cuidado y comprobar que el resultado obtenido es coherente.
La transposición de términos, los cálculos con paréntesis y denominadores, el método de completar cuadrados y el planteamiento y resolución correcta de problemas son los aspectos que suelen presentar más dificultades y en los que conviene insistir.
Dejar claros los conceptos asociados a las ecuaciones: grado, términos, miembros, solución, etc. ya que son claves para la comprensión de la unidad.
Es conveniente plantear a los alumnos problemas reales que requieran la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado y trabajarlos al principio de manera intuitiva, o mediante la técnica de ensayo–error, para que los alumnos sientan la necesidad de tener métodos generales de resolución.
Trabajar la obtención de ecuaciones equivalentes utilizando las reglas de la suma y del producto. Practicar también la transposición de términos señalando su utilidad y la simplificación que supone en el proceso de resolución. Dejar claras las fases del método de resolución de ecuaciones de primer grado y del método general de resolución de problemas mediante ecuaciones.
Mostrar la utilidad de determinar el tipo al que pertenece una ecuación de segundo grado para aplicar el método adecuado de resolución y trabajar con ejemplos variados las distintas técnicas, en especial el método de completar cuadrados.
Trabajar la relación entre las soluciones de una ecuación de segundo grado y los coeficientes de ésta, de manera intuitiva o formal. Otra posibilidad de ampliación es la resolución de ecuaciones bicuadradas mediante cambio de variable.
En la unidad se trabajan numerosos problemas que tratan distintos aspectos económicos: mezclas, dimensiones de parcelas, numero mínimo de baldosas necesarias para un salón, ventas y precios de distintos artículos…
A la hora de resolver cualquiera de ellos el profesor puede señalar la necesidad de llevar siempre a cabo un consumo responsable y crítico, comentando también los mecanismos del mercado, derechos del consumidor, etc.
En la unidad se estudia el papiro de Rhind y los métodos algebraicos y geométricos del matemático árabe Al-Khwarizmi.
Comentar la enorme importancia del legado árabe en la transmisión cultural, no sólo en las matemáticas sino en otros aspectos de la cultura.
Despertar en los alumnos el interés por conocer otras culturas, sus creencias, instituciones y conocimientos y desarrollar en ellos actitudes de convivencia pacífica, respeto y colaboración con grupos culturalmente diferentes.
TEMA 06: SISTEMAS DE ECUACIONES
Reconocer una ecuación de dos incógnitas y obtener algunas soluciones de ella.
Obtener soluciones de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante tablas de números.
Determinar si un par de números dado es solución o no de un sistema de ecuaciones.
Reconocer si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes.
Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado.
Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante el método de sustitución.
Aplicar el método de igualación para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante el método de reducción.
Ecuación con dos incógnitas.
Solución de un sistema.
Coeficientes y términos independientes.
Sistemas compatibles, incompatibles y equivalentes.
Obtención de soluciones de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante tablas de números.
Clasificación de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas en función de su número de soluciones.
Obtención de sistemas equivalentes a uno dado sumando o restando a ambos miembros un número o expresión, multiplicando o dividiendo por un mismo número distinto de cero y sumando o restando a una ecuación la otra multiplicada por un número.
Resolución de sistemas de ecuaciones aplicando los métodos de sustitución, igualación y reducción.
Aplicación de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas al planteamiento y resolución de problemas reales.
Valorar los sistemas de ecuaciones como un mecanismo sencillo y útil para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.
Gusto por la presentación clara y sistemática de los cálculos realizados.
Obtener algunas soluciones de ecuaciones con dos incógnitas.
Encontrar la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante tablas de números.
Distinguir si un sistema de ecuaciones dado es compatible o incompatible.
Obtener sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado por distintos procedimientos.
La unidad se iniciará con explicaciones y pruebas que persiguen un doble objetivo: evaluar los conocimientos previos y motivar a los alumnos por el aprendizaje de nuevos contenidos. La resolución de problemas es uno de los fundamentos de las matemáticas. A la hora de resolver muchos problemas reales se hace patente la necesidad de los sistemas de ecuaciones.
Para motivar a los alumnos pueden planteárseles distintos problemas reales, cuya solución no sea fácil de intuir, y que necesiten del planteamiento y resolución de un sistema.
Mediante un trabajo por ensayo y error primero y su resolución mediante sistemas después, los alumnos pueden apreciar la sencillez y utilidad de los sistemas a la hora de resolver problemas.
Los métodos de resolución de sistemas no son especialmente complejos en lo que a su técnica ser refiere, aun así es conveniente practicar con distintos ejemplos cada uno de ellos, hasta asegurarse de que los alumnos los distinguen y saben cómo y cuándo aplicarlos.
Suele causarles más dificultades la resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones. Es conveniente insistir en la necesidad de seguir las cuatro fases del método de resolución: lectura detenida del enunciado, planteamiento del sistema, resolución y comprobación de la solución.
Llamar la atención sobre la importancia de esta última fase, que suele ser dejada de lado muchas veces por los alumnos.
Es conveniente comenzar mostrando ejemplos de ecuaciones que tengan dos incógnitas y estudiar posibles soluciones. El trabajo con balanzas es muy intuitivo y ellos mismos pueden buscar qué valores hacen que los dos platillos estén en equilibrio. Es también importante que distingan claramente el concepto de solución de una ecuación y solución de un sistema.
De igual forma puede trabajarse de forma intuitiva mediante tablas de números la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Pedir a los alumnos que obtengan sistemas de ecuaciones equivalentes a uno dado utilizando las transformaciones vistas. Realizar actividades en las que tengan reconocer si dos sistemas dados son o no equivalentes.
Practicar la resolución de sistemas por el método de sustitución, reducción e igualación, señalando la importancia de un análisis previo del sistema para determinar el método más sencillo.
Pedir a los alumnos que planteen problemas que puedan resolverse mediante sistemas y que los resuelvan por sí mismos.
Si se cree conveniente pueden plantearse sistemas de ecuaciones en los que alguna de las ecuaciones no sea de primer grado, pero que puedan resolverse por los métodos vistos.
En distintas actividades de la unidad aparecen contextos de tipo económico: compras, rebajas, mezclas, etc. El profesor puede aprovechar la realización de estas actividades para realizar comentarios que hagan reflexionar a los alumnos sobre la importancia de un consumo responsable y crítico, y para desarrollar en ellos el conocimiento de sus derechos como consumidores.
El proyecto de la unidad trata sobre los Juegos Olímpicos. Es importante hacer ver a los alumnos la importancia que éstos tienen, no sólo en el terreno deportivo, sino también como encuentro amistoso entre diferentes países con culturas, creencias, instituciones y hábitos distintos.
El proyecto puede servir también para comentar la importancia de la práctica deportiva, de manera controlada y adecuada, como hábito de salud.
TEMA 07: PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA
Reconocer si dos magnitudes son directamente proporcionales.
Construir tablas de proporcionalidad directa.
Resolver problemas de repartos directamente proporcionales.
Expresar cantidades en tantos por ciento, tantos por uno y tantos por mil.
Utilizar los porcentajes, tantos por uno y tantos por mil para resolver distintos problemas.
Resolver problemas mediante la regla de tres directa, simple y compuesta.
Reconocer si dos magnitudes son inversamente proporcionales.
Construir tablas de proporcionalidad inversa.
Resolver problemas de repartos inversamente proporcionales.
Utilizar la regla de tres inversa para resolver problemas.
Resolver problemas de la vida real utilizando la proporcionalidad, tanto directa como inversa y sus aplicaciones.
Porcentajes, tantos por mil y tantos por uno.
Regla de tres directa.
Determinación de la relación de proporcionalidad, directa o inversa, existente entre dos magnitudes.
Realización de tablas de proporcionalidad directa e inversa, reconociendo la relación que existe entre las dos magnitudes.
Utilización de los repartos proporcionales en la resolución de problemas.
Expresión de cantidades en tantos por uno, tantos por ciento y tantos por mil.
Resolución de problemas que impliquen aumentos y disminuciones porcentuales.
Utilización de la regla de tres simple, directa e inversa, en la resolución de problemas, discriminando cuál debe ser aplicada.
Aplicación de la regla de tres compuesta a la resolución de problemas, reconociendo la relación entre las magnitudes y reduciendo a la unidad.
Sensibilidad ante la presencia e importancia de la proporcionalidad en distintas situaciones de la vida cotidiana.
Gusto por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de proporcionalidad.
Completar correctamente las tablas de proporción, determinando qué tipo de relación es el que une a las dos magnitudes.
Realizar repartos, tanto directa como inversamente proporcionales.
Comparar cantidades expresadas en tantos por ciento, tantos por uno y tantos por mil.
Aplicar adecuadamente la regla de tres simple, tanto directa como inversa, a la resolución de problemas, estableciendo cuál de las dos debe utilizarse en cada caso.
Utilizar la regla de tres compuesta para resolver distintos problemas, determinando la relación entre la magnitud incógnita y las demás magnitudes, y reduciendo después a la unidad.
Resolver correctamente problemas que impliquen conceptos de proporcionalidad.
La mayor parte de las relaciones entre magnitudes de la vida real son relaciones de proporcionalidad. Comentar con los alumnos algunos ejemplos: situaciones de repartos, calculo de cantidades necesarias para fabricar cualquier artículo o para realizar una receta de cocina, porcentajes ,...
Pedir a los alumnos que aporten ejemplos propios les ayuda a tomar mayor conciencia de esta presencia de la proporcionalidad .
La búsqueda en la prensa de contextos donde aparezca la proporcionalidad puede resultarles una actividad motivadora.
Es muy importante que los alumnos sean capaces de discernir si dos magnitudes son proporcionales. A veces cometen el error de pensar que si al aumentar una magnitud la otra también lo hace son directamente proporcionales, sin pararse a comprobar que ese aumento es proporcional.
Insistir en la necesidad de una lectura detallada de los problemas para identificar la relación entre las magnitudes que intervienen.
La proporcionalidad inversa y la resolución de problemas reales son también aspectos donde los alumnos encuentran dificultades. Conviene trabajarlos en común con tantas actividades como se crea conveniente. El planteamiento y resolución de problemas por parte de los alumnos les ayuda a reflexionar y mejora su comprensión.
Es conveniente comenzar repasando los conceptos de razón y proporción, fundamentales para la unidad. Pueden utilizarse para ello ejemplos reales como el de la página 108, donde se trabaja sobre los ingredientes necesarios para la elaboración de una tarta según el número de comensales.
Es importante que los alumnos sepan determinar de manera correcta la relación entre dos magnitudes, ya que una vez hecho esto, la realización de los cálculos no reviste especiales dificultades.
Trabajar con tablas de proporcionalidad directa e inversa, realizando distintos ejemplos en común y pidiendo a los alumnos que aporten y resuelvan otros ellos mismos.
Practicar los repartos proporcionales, directos e inversos, señalando la relación entre ellos. Expresar cantidades en porcentajes, tantos por uno y tantos por mil, pasando de unas a otras.
Resolver problemas que impliquen la utilización de la regla de tres, tanto simple como compuesta, señalando la necesidad de determinar la relación entre las magnitudes.
Resolver problemas de regla de tres compuesta donde las relaciones entre las magnitudes y la magnitud incógnita sean una directa y otra inversa.
En numerosas actividades de la unidad se trabaja con porcentajes, generalmente en situaciones de compra y venta. El proyecto trata el tema de los impuestos, en concreto el IVA y la declaración de la renta, conocimientos necesarios para una correcta comprensión del funcionamiento económico y social de nuestro país. En Matemáticas, realidad y curiosidad se estudia como hacer una factura y los requisitos que debe cumplir para que sea válida.
Todos estos contenidos pueden servir para ayudar a desarrollar en los alumnos un conocimiento de los mecanismos del mercado, de sus derechos como consumidores y crear en ellos actitudes de consumo crítico y responsable.
En las actividades de refuerzo y de ampliación aparecen los temas de la energía solar y de las perforaciones petrolíferas. El profesor puede aprovechar la realización de dichas actividades para llamar la atención sobre la necesidad de una utilización responsable de los recursos naturales y la conveniencia de investigar en el desarrollo de energías limpias y renovables.
TEMA 08: PROGRESIONES
Reconocer las sucesiones y deducir su regla de formación en los casos que sea posible.
Distinguir si una sucesión es una progresión aritmética.
Calcular el término general de una progresión aritmética.
Hallar la suma de n términos de una progresión aritmética.
Distinguir si una sucesión es una progresión geométrica.
Calcular el término general de una progresión geométrica.
Hallar la suma de n términos de una sucesión geométrica.
Obtener el producto de n términos de una progresión geométrica.
Hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor que la unidad.
Interpolar medios aritméticos y geométricos.
Distinguir el interés simple y el compuesto.
Resolver problemas reales donde aparezcan progresiones aritméticas y geométricas y que impliquen el uso de los conceptos de interés simple y compuesto.
Término general de una progresión aritmética.
Suma de n términos de una progresión aritmética.
Suma y producto de n términos de una progresión geométrica.
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica.
Identificación de una sucesión y determinación, si es posible, del término general.
Identificación de las progresiones aritméticas y geométricas.
Obtención del término general de una progresión aritmética y geométrica.
Cálculo de la suma de n términos de una progresión aritmética y geométrica.
Obtención del producto de n términos de una progresión geométrica.
Interpolación de medios aritméticos y geométricos.
Cálculo de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor que la unidad.
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de capitales, réditos y tiempos en contextos de interés simple y compuesto.
Confianza en las propias capacidades para resolver problemas numéricos.
Reconocer la regla de formación de una sucesión.
Diferenciar las progresiones aritméticas, y obtener la diferencia.
Hallar correctamente el término general de una progresión aritmética.
Diferenciar las progresiones geométricas, y obtener su razón.
Hallar correctamente el término general de una progresión geométrica.
Interpolar medios aritméticos y geométricos entre dos números dados.
Calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor que uno.
Aplicar correctamente las fórmulas del interés simple y compuesto, y calcular la tasa anual equivalente en distintos problemas.
Proponer en la pizarra secuencias de figuras o numéricas que sigan alguna regularidad y pedir a los alumnos que traten de deducir cuáles son los términos siguientes de las secuencias. Es interesante también que sean ellos los que creen la secuencia y sus compañeros los que intenten adivinar la regla de formación.
Comentar que las sucesiones aparecen en muy diversos campos, tales como la medicina (evolución de un cultivo bacteriano), genética (distribución de los caracteres), informática, (utilización de algoritmos recursivos), economía, (cálculo del interés simple y compuesto).
Los alumnos a veces encuentran problemas a la hora de calcular el término general de una sucesión, aunque en las progresiones aritméticas y geométricas la forma de obtenerlo es más sencilla que en sucesiones de otros tipos.
El manejo adecuado y reflexivo de las fórmulas de la suma y el producto de n términos y de la suma de infinitos términos debe trabajarse con distintos ejemplos, asegurándose de que los alumnos no las aplican de manera automática, sin pararse a pensar.
La interpolación de medios aritméticos y geométricos plantea a veces dificultades a los alumnos. Es importante hacerles ver que se trata de calcular una progresión en la que conocemos el término inicial y final de la misma.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como comenzar trabajando con distintos ejemplos de sucesiones, tanto geométricas como numéricas, en las que los alumnos identifiquen si existe alguna regla de formación y obtengan el término general en el caso de que sea posible.
Trabajar con las progresiones aritméticas y geométricas, insistiendo en los conceptos de término, diferencia y razón.
Realizar actividades diversas de obtención del término general a partir de otros términos dados, de cálculo de la suma de n términos de la progresión, de obtención del producto de n términos y de la suma de los infinitos términos de progresiones geométricas decrecientes.
Pedir a los alumnos que planteen problemas propios de progresiones para que reflexionen sobre los conceptos que se trabajan.
Estudiar intuitivamente, si se cree conveniente, el concepto de limite de una sucesión, poniendo distintos ejemplos en los que ellos mismos comprueben hacia que término converge la sucesión.
De igual forma pueden trabajarse ejemplos de sucesiones que no converjan de manera intuitiva y numérica con el uso de la calculadora.
En el proyecto se trabajan los conceptos de interés simple e interés compuesto, fundamentales para comprender como varía el valor del dinero con el tiempo. Mostrar a los alumnos la necesidad de analizar cuidadosamente las inversiones monetarias y su rentabilidad antes de llevarlas a cabo.
En Matemáticas, realidad y curiosidad se trata otro concepto económico importante, la tasa anual equivalente. Hacer ver la importancia de este indicador para poder comparar productos financieros y la necesidad de valorarlos críticamente.
Aprovechar la alusión a los resfriados en el desarrollo teórico de las progresiones geométricas para hacer ver a los alumnos la importancia de desarrollar hábitos de salud: higiene corporal, alimentación correcta, práctica de deportes, vacunaciones
Señalar también, a la hora de realizar el ejercicio de la evolución del cultivo bacteriano, la importancia del consumo responsable, controlado y orientado por un profesional de los medicamentos. Hacer ver lo negativo de conductas como la automedicación.
TEMA 09: FIGURAS PLANAS. ÁREAS
Reconocer ángulos de lados paralelos o perpendiculares.
Clasificar los triángulos según sus lados y sus ángulos.
Utilizar la suma de los ángulos de un triángulo y la propiedad triangular para resolver distintos problemas.
Conocer y utilizar los criterios de igualdad de triángulos.
Reconocer y determinar las rectas y los puntos notables de un triángulo.
Aplicar el teorema de Pitágoras en distintos contextos.
Calcular el área de los paralelogramos y triángulos.
Hallar el área de polígonos regulares.
Calcular el área de polígonos cualesquiera por triangulación o descomponiéndolos en figuras de áreas conocidas.
Calcular el área del sector circular y de la corona circular.
Ángulos de lados paralelos o perpendiculares.
Triángulos: suma de los ángulos, clasificación y propiedad triangular.
Igualdad de triángulos. Criterios de igualdad.
Mediatrices, medianas, alturas y bisectrices de un triángulo.
Circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro de un triángulo.
Utilización de las relaciones entre los ángulos de lados paralelos o perpendiculares para resolver problemas.
Aplicación de la propiedad triangular y de la suma de los ángulos de un triángulo en la resolución de distintos problemas.
Determinación de las rectas y los puntos notables de un triángulo.
Obtención del área de paralelogramos, triángulos y polígonos regulares .
Cálculo del área de figuras circulares.
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del área de figuras planas, descomponiéndolas en figuras de áreas conocidas.
Interés y gusto por la descripción verbal precisa de formas y características geométricas.
Hábito de expresar los resultados numéricos de las mediciones manifestando las unidades de medida utilizadas.
Resolver problemas en los que se utilicen las relaciones entre ángulos de lados paralelos o perpendiculares
Clasificar correctamente triángulos.
Aplicar la propiedad triangular, la suma de los ángulos de un triángulo y los criterios de igualdad de triángulos a la resolución de problemas.
Determinar e identificar correctamente las rectas y puntos notables de un triángulo.
Obtener el área del círculo, de un sector circular y de una corona circular.
Resolver problemas de cálculo de áreas de figuras planas, descomponiéndolas en figuras más sencillas de áreas conocidas.
Señalar la presencia de las figuras planas en distintos contextos reales: objetos, construcciones, etc. Pedir a los alumnos que pongan ejemplos propios de cada una de ellas.
Señalar la importancia de conocer sus propiedades y de obtener fórmulas que nos permitan calcular su área de manera sencilla. Exponer algunos ejemplos reales donde se aplique el cálculo de áreas: solares para construcción, extensión de un piso, área de un cultivo, cantidad de material para construir un objeto, etc.
Las figuras planas y el cálculo de áreas son ya conocidos por los alumnos de cursos anteriores. Conviene, sin embargo, recordar los conceptos más importantes antes de abordar la unidad.
La propiedad triangular plantea a veces problemas y puede trabajarse mediante material manipulativo si se considera adecuado.
Hacer ver la utilidad que tiene la representación gráfica mediante un dibujo a la hora de resolver estos problemas para hacerse una idea de los datos y las incógnitas que se tienen.
Es importante poner de manifiesto la utilidad real de las fórmulas de la unidad. Para ello siempre que se resuelva una actividad, es conveniente situarla en un contexto real en el que pueda tener lugar.
Recordar los conceptos de ángulos suplementarios, rectos, obtusos y agudos y las relaciones entre los ángulos de lados paralelos o perpendiculares.
Realizar actividades de clasificación de triángulos y de resolución de problemas usando la propiedad triangular y el valor de la suma de los ángulos.
Resolver ejercicios sencillos sobre áreas de triángulos, polígonos y del círculo, para de esta forma comprobar los conocimientos que recuerdan los alumnos de cursos anteriores.
Resolver actividades que impliquen hallar el valor de ángulos desconocidos utilizando las relaciones entre ángulos de lados paralelos o perpendiculares y entre los ángulos de un triángulo.
Aplicar el teorema de Pitágoras en distintos contextos geométricos y reales.
Resolver problemas de cálculo de áreas de distintas figuras, tanto sencillas, como de figuras complejas, descomponiéndolas en otras de áreas conocidas.
Trabajar otras demostraciones sencillas del teorema de Pitágoras. Estudiar la relación entre perímetro y área entre distintas figuras, fijando una de las magnitudes y variando la otra.
Realizar ejercicios en los que tengan que calcular el área de figuras complejas, formadas por la unión de polígonos y figuras circulares.
Aprovechar la fotografía de la página 152 para plantear en clase un debate sobre la situación de la mujer en el trabajo: oportunidades, retribuciones, desigualdades, discriminación, etc. Llamar la atención de los alumnos sobre la necesidad de consolidar hábitos no sexistas, tanto en el lenguaje como en los comportamientos.
En la unidad se hace referencia a la cultura romana. Es importante que los alumnos adquieran una cultura de referencia europea, por lo que se puede utilizar esa mención para comentar que la enorme influencia de la cultura romana en toda Europa, en aspectos como la lengua, el derecho, el desarrollo urbano, la sociedad, etc. Señalar también la necesidad de cuidar el patrimonio histórico y de respetarlo.
Las menciones en las actividades a temas como los parques y la vida de las abejas, pueden servir para llamar la atención de los alumnos sobre la necesidad de respetar el medio ambiente y cuidar la biodiversidad.
TEMA 10: MOVIMIENTOS. SEMEJANZAS
Distinguir los elementos de un vector.
Calcular las componentes y el modulo de un vector determinado por dos puntos.
Hallar la figura transformada de una dada mediante una traslación de vector
Determinar la figura trasformada de una dada por un giro de centro O y ángulo
Obtener la figura transformada de una dada por una simetría central de centro 0 (centro de simetría).
Hallar la figura transformada de una dada mediante una simetría de eje e .
Obtener la figura semejante a una figura dada, conocida la razón de semejanza y un punto O.
Resolver problemas de semejanzas de triángulos aplicando los criterios de semejanza.
Trabajar con escalas numéricas y gráficas en planos y mapas.
Vector. Componentes y módulo de un vector.
Giros. Simetría central.
Simetría respecto de un eje.
Polígonos semejantes. Criterios de semejanza de triángulos .
Obtención de las componentes y el módulo de un vector.
Utilización del vocabulario y notación adecuadas para nombrar una figura y su transformada por un movimiento.
Aplicación de las reglas que permiten hallar la figura transformada de otra mediante una traslación, un giro o una simetría.
Reconocimiento del movimiento que permite pasar de una figura a otra y determinar sus elementos característicos.
Obtención de las coordenadas de la figura transformada en casos sencillos.
Interés por descubrir traslaciones, giros o simetrías en nuestro entorno.
Gusto por la construcción de figuras obtenidas de otras por un movimiento.
Sentido crítico antes las representaciones a escala para transmitir mensajes de distinta naturaleza.
Reconocer los elementos de un vector.
Calcular las componentes y el módulo de un vector dadas las coordenadas de sus extremos.
Determinar el movimiento que nos transforma una figura en otra y obtener sus elementos característicos.
Hallar correctamente la figura transformada de otra mediante una traslación de vector
Obtener la figura transformada de una dada mediante un giro de centro O y ángulo.
Determinar la figura transformada de una dada por la simetría central de centro O.
Distinguir si dos figuras son semejantes.
Obtener la figura semejante a una dada, a partir de un punto y de la razón de semejanza.
Aplicar los criterios de semejanza de triángulos para resolver problemas.
Trabajar correctamente con escalas numéricas y gráficas en planos y mapas.
Comenzar la unidad aportando ejemplos reales, sobre todo en contextos de tipo artístico, en los que se observen movimientos y semejanzas: mosaicos árabes, rosetones de catedrales, pavimentación de algunas calles, trabajo de Escher, etc.
Es interesante también que construyan por sí mismos distintos motivos de tipo artístico utilizando todos los movimientos. Pueden hacerse también actividades similares con las semejanzas e incluso mezclando movimientos y semejanzas.
Mostrar la importancia y utilidad de las escalas a la hora de trabajar y representar mapas, planos, maquetas, etc.
Es muy importante la realización de actividades de tipo gráfico, obteniendo las transformadas de distintas figuras con cada movimiento, por parte de los alumnos. Aunque la definición de las transformaciones de la unidad es sencilla, llevarlas a cabo suele plantear a veces problemas a los alumnos.
Dejar claras las diferencias conceptuales entre movimientos y semejanzas, y las aplicaciones de éstas últimas: figuras semejantes, polígonos semejantes, criterios de semejanza de triángulos, etc.
Las escalas, aunque conocidas de otros cursos y áreas, requieren también cierta atención, sobre todo a nivel de interpretación y a la hora de obtener la escala gráfica asociada.
Comenzar recordando la definición de mediatriz de un segmento y la representación de puntos en el plano mediante los sistemas de coordenadas.
Trabajar los movimientos y semejanzas de manera intuitiva y cualitativa al principio, para que el concepto quede claro. Después hacer hincapié en las características de cada uno, señalando sus elementos característicos y la forma de obtener las figuras transformadas.
Realizar actividades de cálculo de las componentes y módulo de distintos vectores. Obtener las figuras transformadas de una misma figura mediante los distintos movimientos y mediante semejanzas, tanto de forma gráfica como analítica cuando sea posible. Trabajar cada una de las distintas transformaciones en una misma figura variando los elementos característicos para hacer patente cómo afectan al resultado final. Realizar actividades de interpretación de escalas numéricas y construcción de escalas gráficas utilizando planos y mapas.
Explorar las relaciones entre los perímetros y las áreas de figuras semejantes. Estudiar los resultados obtenidos al aplicar a una misma figura varios movimientos consecutivos (composición de movimientos): dos traslaciones, traslación y giro, etc.
En las actividades de ampliación se trabajan los movimientos en distintas señales de tráfico. Aprovechar la realización de esta actividad para suscitar un debate sobre la importancia de adquirir conductas y hábitos de seguridad vial como peatones y usuarios de vehículos y para sensibilizarles sobre los accidentes y otros problemas de circulación.
En la unidad se hace referencia a la cultura musulmana y sus manifestaciones artísticas. Señalar la importancia de la cultura árabe en la construcción cultural europea y en especial en nuestro país: monumentos, palabras, inventos, descubrimientos en campos como la arquitectura, la astronomía, la botánica, la medicina, las matemáticas, etc.
Señalar también la importancia de desarrollar actitudes de respeto y colaboración con grupos de culturas diferentes ante la creciente intercomunicación de culturas, mostrando la necesidad de evitar fenómenos como el racismo y la xenofobia.
Medir ángulos diedros.
Distinguir los poliedros, sus tipos y comprobar si cumplen o no la fórmula de Euler.
Diferenciar los prismas y pirámides, sus elementos y tipos.
Distinguir los cuerpos redondos y saber como se forman.
Construir cuerpos geométricos a partir de su desarrollo.
Calcular el área de prismas, pirámides y cuerpos redondos.
Resolver problemas reales que impliquen el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.
Ángulos diedros y poliedros.
Teorema de Pitágoras en el espacio.
Áreas y volúmenes de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas.
Obtención de la medida de ángulos diedros y poliedros.
Resolución de problemas aplicando la fórmula de Euler.
Reconocimiento de los distintos tipos de prismas y pirámides y de sus elementos principales.
Identificación del cilindro, el cono y la esfera como cuerpos de revolución.
Aplicación del teorema de Pitágoras en el espacio para hallar distintas longitudes en cuerpos geométricos.
Utilización de las fórmulas de las áreas de prismas, pirámides, cilindros, conos y esfera para resolver problemas geométricos y reales.
Aplicación de las fórmulas del volumen de los distintos cuerpos geométricos a la resolución de problemas.
Comprobar si un poliedro cumple la fórmula de Euler.
Reconocer los cuerpos redondos, sus elementos y su proceso de formación.
Construir cuerpos geométricos a partir de su desarrollo y obtener el desarrollo de un cuerpo.
Resolver correctamente problemas que impliquen el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.
Señalar la presencia de los cuerpos geométricos en distintos contextos reales: objetos, construcciones, etc. Pedir a los alumnos que pongan ejemplos propios de cada una de los distintos tipos: prismas, pirámides, cuerpos redondos, etc.
Es interesante construir distintos cuerpos geométricos a partir de su desarrollo en papel o cartón y de esta forma facilitar el posterior aprendizaje y razonamiento del proceso de obtención de áreas y volúmenes.
Los tipos de cuerpos geométricos son conocidos de cursos anteriores y no deben ofrecer especiales dificultades.
Aunque la aplicación del teorema de Pitágoras en el plano no suele crear excesivas complicaciones, el salto conceptual para aplicarlo en el espacio es uno de los contenidos de la unidad que puede presentar mayores dificultades. Realizar distintas actividades para facilitar su comprensión.
Mostrar a los alumnos que la ilustración de los problemas facilita la comprensión y resolución de los mismos. Señalar la posibilidad de deducir las fórmulas a partir de los desarrollos, sin necesidad de aprenderlas de memoria.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como comenzar el tema recordando las distintas posiciones entre rectas y planos ilustrándolas adecuadamente. Dejar claros los conceptos de poliedro y cuerpo de revolución. Repasar las unidades de medida utilizadas para indicar la superficie y volumen de un cuerpo y las regiones que se forman al cortarse dos planos en el espacio.
Realizar actividades que trabajen con los poliedros regulares y la fórmula de Euler.
Estudiar los tipos y los elementos principales de prismas, pirámides y cuerpos redondos y resolver problemas en los que se aplique el teorema de Pitágoras en el espacio.
Trabajar el cálculo de áreas y volúmenes de prismas, pirámides y cuerpos redondos, apoyándose en sus desarrollos y en sus representaciones gráficas para situar los datos conocidos y los que se deben hallar.
Proponer a los alumnos actividades en las que calculen el área y el volumen de cuerpos formados por la unión de cuerpos geométricos conocidos o de cuerpos a los que se les ha quitado una parte. Estudiar las relaciones entre área y volumen, fijando uno de los dos y pidiendo a los alumnos que investiguen que cuerpo hace mínima o máxima la otra magnitud.
En distintas actividades de la unidad aparecen productos alimentarios. Utilizar este hecho para hacer ver a los alumnos la importancia de desarrollar hábitos de salud, y en concreto de seguir una alimentación correcta y una dieta variada.
Insistir en la necesidad de asegurar un adecuado aporte de energía para evitar carencias que puedan ocasionar alteraciones y trastornos de la salud.
Utilizar la fotografía del Museo Guggenheim para despertar el interés y hacer ver la importancia de conocer culturas y manifestaciones artísticas diferentes, y de acercarse a ellas de manera respetuosa y abierta.
Aprovechar la realización de Matemáticas, realidad y curiosidad para comentar la importancia de cuidar el medio ambiente y de utilizar de manera responsable los recursos naturales. Reflexionar en común sobre las medidas que cada uno pueden tomar para contribuir a esos objetivos.
TEMA 12: FUNCIONES
Distinguir una relación funcional de una que no lo sea.
Reconocer la variable independiente y la variable dependiente en una relación funcional.
Expresar una función mediante tablas, gráficas y fórmulas, pasando de unas a otras.
Representar gráficamente relaciones funcionales extraídas de situaciones de la vida cotidiana.
Determinar el dominio de una función en casos sencillos.
Obtener el recorrido de una función.
Estudiar la continuidad o discontinuidad de una función, señalando sus puntos de discontinuidad.
Reconocer los máximos y mínimos de una función, a partir de su gráfica.
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, analizando su gráfica.
Reconocer las funciones periódicas.
Gráfica como representación de una relación.
Función continua y función discontinua.
Función creciente y función decreciente.
Determinación de la relación entre dos variables, señalando si es o no una función..
Expresión de una función mediante lenguaje ordinario, algebraico, numérico y gráfico y obtención de unas expresiones a partir de las otras.
Obtención del dominio y del recorrido de una función.
Representación gráfica de una función y análisis, a partir de ella, de su continuidad, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, y sus máximos y mínimos.
Reconocimiento de las funciones periódicas y determinación de su período.
Determinación, dada una gráfica, de si representa o no a una función.
Resolución de problemas reales, determinando la ecuación de la función correspondiente, reconociendo la variable dependiente e independiente y representando la gráfica de dicha función.
Interpretación de gráficas representadas sobre los mismos ejes.
Interés y cuidado a la hora de representar gráficas.
Valorar la importancia de las funciones para estudiar diversas situaciones de la vida cotidiana.
Confianza en las propias capacidades para resolver problemas que impliquen trabajar con funciones.
Obtener el dominio y recorrido de una función.
Analizar correctamente la continuidad de una función y determinar sus máximos y mínimos, si los tiene.
Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
Distinguir si una gráfica dada corresponde o no a una función.
Estudiar si una función es periódica y hallar su periodo.
Es necesario hacer ver la importancia del concepto de función en la sociedad actual. Señalar su uso en todas las disciplinas y poner ejemplos de su presencia en forma de gráficas: contextos científicos, evolución de precios o del IPC. Una actividad motivadora puede ser que los alumnos busquen gráficas en la prensa y señalen qué magnitudes están representadas y qué relación existe entre ellas.
También pueden analizar en común y de manera intuitiva las características de esta gráfica como introducción al resto de la unidad.
El concepto de función es el más importante de la unidad y, aunque no reviste una dificultad intrínseca muy elevada, plantea a veces problemas a los alumnos, lo mismo que la distinción de la variable independiente y dependiente de la función.
Es importante también trabajar las distintas expresiones de una función, señalando que todas ellas son equivalentes y expresan una misma cosa.
La representación de gráficas plantea en ocasiones problemas, sobre todo en aquellos casos en los que no está claro si los puntos representados se pueden unir o no. Trabajar distintos ejemplos para que la comprensión de la diferencia quede clara.
Actividades de interpretación y análisis de gráficas de distintas funciones son también muy importantes, en especial con ejemplos extraídos de contextos reales. También puede pedirse a los alumnos que construyan gráficas dada su descripción.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como comenzar recordando a los alumnos el significado de magnitud y la definición de relación o correspondencia entre dos conjuntos. Realizar en común actividades en las que se identifiquen magnitudes y el tipo de relación que hay entre ellas.
Dejar clara la diferencia entre la variable dependiente y la independiente, y la definición de función. Pedir a los alumnos que pongan ejemplos propios y que busquen otros en contextos reales.
Expresar varias funciones mediante textos, tablas y gráficas, mostrando como obtener unas expresiones a partir de otras.
Realizar los ejercicios que se consideren necesarios de representación gráfica de funciones, trabajando después en dichas gráficas los conceptos de continuidad, crecimiento, máximos y mínimos, y periodicidad.
Reforzar el aprendizaje y reconocimiento de las propiedades de una función trabajando con funciones extraídas de situaciones reales o de la prensa. Intentar a partir de dicho análisis crear modelos que ayuden a comprender su comportamiento.
A lo largo de toda la unidad aparecen numerosas actividades de contextos relacionados con el consumo: conexiones telefónicas, compras, cotización de una empresa en Bolsa, tarifas del taxi, etc.
Todas ellas permiten al profesor, a la hora de realizarlas, realizar comentarios o debates para suscitar en los alumnos la reflexión sobre la importancia de desarrollar hábitos de consumo crítico y responsable y de conocer y ejercer sus derechos como consumidores.
La temperatura de una persona enferma, la cantidad de medicamento en sangre, la tensión arterial… son conceptos que aparecen en distintas actividades de la unidad. El profesor puede emplear estas actividades para recordar e insistir en la importancia de los hábitos de salud: prevención de enfermedades, seguir una dieta sana y equilibrada, evitar la automedicación, etc.
TEMA 13: FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD
Reconocer las situaciones donde aparecen funciones de proporcionalidad directa.
Expresar una proporcionalidad directa mediante una función lineal y representar gráficamente estas funciones.
Reconocer la pendiente de una función lineal y asociarla con el crecimiento y decrecimiento de la misma.
Reconocer las situaciones donde aparecen funciones afines.
Distinguir la pendiente y la ordenada en el origen de una función afín.
Representar las funciones afines.
Obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.
Determinar si dos rectas son paralelas o secantes.
Hallar el punto de corte de dos rectas secantes de manera gráfica y analítica.
Reconocer situaciones donde aparecen funciones de proporcionalidad inversa.
Identificar la gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa y reconocer sus características.
Representar gráficamente funciones de proporcionalidad inversa.
Función lineal, y = mx.
Función afín, y = mx+n. Ordenada en el origen.
Función de proporcionalidad inversa y = k / x.
Reconocimiento y representación de funciones de la forma y = mx.
Utilización de la relación entre la pendiente de una función y su crecimiento.
Obtención de la pendiente y ordenada de las funciones de la forma y = mx + n y representación gráfica de las mismas.
Representación de rectas paralelas al eje OX y al eje OY.
Cálculo de la ecuación de una recta conocidos dos puntos, conocida su pendiente y la ordenada en el origen o conocida su pendiente y un punto por donde pasa.
Reconocimiento y representación de funciones de la forma y k / x.
Gusto por la representación limpia y cuidadosa de funciones.
Valorar la importancia de las funciones en el estudio de fenómenos.
Reconocer la presencia de las funciones de proporcionalidad directa e inversa en distintas situaciones de la vida cotidiana.
Estudiar si una función lineal es creciente o decreciente utilizando la pendiente de la misma.
Resolver problemas reales donde aparezcan funciones de proporcionalidad directa.
Reconocer las funciones afines y representarlas dada su pendiente y su ordenada en el origen.
Obtener la ecuación de una recta a partir de dos puntos por los que pasa, de su pendiente y la ordenada en el origen o de su pendiente y un punto por el que pasa.
Determinar si dos rectas dadas son paralelas o secantes, de forma gráfica y analítica.
Resolver problemas reales donde aparezcan funciones de la forma y = mx+n.
Reconocer funciones de proporcionalidad inversa y representarlas.
Resolver problemas reales donde aparezcan funciones de proporcionalidad inversa.
La representación gráfica de funciones de proporcionalidad es una de las formas más directas de entender y verificar la relación entre las variables. Estas gráficas aparecen y son ampliamente usadas en muchas ciencias para interpretar y modelizar las leyes que rigen algunos fenómenos.
Mostrar a los alumnos que conociendo estas funciones y gráficas podemos intentar describir fenómenos naturales (si crecen o decrecen, si tienen máximos o mínimos, ...) y en algunos casos hasta predecirlos (funciones periódicas)
Pedir a los alumnos que aporten ejemplos propios les ayuda a reflexionar sobre la utilidad de las funciones de proporcionalidad.
Es importante que los alumnos tengan clara la relación entre la expresión algebraica de una función de proporcionalidad y su representación gráfica, y que sean capaces a partir de una obtener la otra.
El cálculo de la ecuación de la recta entraña también cierta dificultad para los alumnos dependiendo de los datos que se faciliten, por lo que hay que insistir en la realización de este tipo de actividades.
A veces plantea dificultades identificar la resolución de un sistema como un método para encontrar el punto de corte entre dos rectas, por lo que es aconsejable trabajar distintos ejemplos.
Conviene dedicar un especial esfuerzo en la representación de funciones de proporcionalidad inversa resaltando sus propiedades.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como comenzar la unidad recordando cuando dos magnitudes son directamente e inversamente proporcionales. De la misma manera, a la hora de trabajar con funciones de esos tipos es importante analizar cuidadosamente la relación entre las magnitudes, mostrando la conexión entre el tipo de proporcionalidad existente entre las magnitudes y la función que las relaciona.
Realizar actividades de reconocimiento de funciones lineales, afines y de proporcionalidad inversa a partir de gráficas dadas, tanto de forma cualitativa (determinando la relación entre variables) como cuantitativa (obteniendo los parámetros que definen a cada función).
Trabajar la representación de funciones y la obtención de la ecuación de una recta a partir de diferentes datos.
Resolver problemas reales donde aparezcan estos tipos de funciones.
Puede ampliarse la unidad tratando el cálculo de otros tipos de ecuaciones de la recta (general, continua, etc.). También pueden estudiarse las funciones obtenidas por traslaciones en el plano de las funciones de proporcionalidad inversa, qué ocurre con las asíntotas, etc.
A lo largo de la unidad se trabajan distintas actividades relacionadas con contextos económicos: alquiler de un salón, reparto de propaganda, obtención de fondos para realizar un viaje, tarifa de los taxis, ... A la hora de resolverlos, el profesor puede comentar o suscitar un debate sobre la necesidad de consumir de forma crítica y responsable, de ejercer sus derechos y sus deberes como consumidores, etc.
En algunas actividades se abordan temas relacionados con el medio ambiente: el agua del mar, la temperatura del aire, el consumo de energía, etc. La realización de estas actividades puede ser aprovechada para mostrar la necesidad de utilizar de manera responsable los recursos de la naturaleza: uso racional del agua, consumo racional de la energía, etc. y de compatibilizar el desarrollo con el respeto al medio ambiente (calentamiento global, lluvia ácida, etc.).
Clasificar los caracteres estadísticos en cuantitativos o cualitativos.
Distinguir entre variable estadística discreta y continua.
Obtener el tamaño adecuado de las muestras utilizando el muestreo proporcional.
Hallar la tabla estadística asociada a un conjunto de datos.
Calcular las frecuencias absolutas y relativas de un conjunto de datos.
Determinar las frecuencias absolutas acumuladas y las frecuencias relativas acumuladas de unos datos.
Representar gráficamente un conjunto de datos estadísticos de la forma más adecuada.
Variables estadísticas discretas y continuas.
Frecuencias absolutas acumuladas.
Frecuencias relativas acumuladas.
Gráficas de datos estadísticos.
Comprensión y distinción del concepto de población y muestra.
Diferenciación de las variables en cualitativas ó .cuantitativas, y dentro de estas en variables discretas y continuas.
Obtención del tamaño de distintas muestras utilizando el muestreo proporcional.
Construcción de una tabla estadística adecuada al conjunto de datos, calculando frecuencias absolutas, frecuencias relativas y porcentajes.
Obtención de las frecuencias acumuladas, tanto absolutas como relativas, de un conjunto de datos.
Interpretación y representación de gráficos estadísticos, analizando de manera crítica su adecuación a los datos y al contexto.
Utilizar de forma crítica y adecuada la calculadora.
Valorar la importancia de la estadística en nuestra sociedad para el estudio de distintas variables, reconociendo la necesidad de su uso correcto.
Distinguir los conceptos de población y muestra, reconociendo en qué situaciones es mejor estudiar una u otra.
Reconocer si una variable estadística es cuantitativa ó cualitativa.
Aplicar la técnica del muestreo proporcional para calcular el tamaño de las muestras.
Distinguir si una variable cuantitativa es discreta o continua.
Calcular la marca de clase de un intervalo.
Hallar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas y los porcentajes para las distintas modalidades en variables cuantitativas y cualitativas.
Obtener las frecuencias absolutas acumuladas y las frecuencias relativas acumuladas de un conjunto de datos.
Utilizar el diagrama de barras, el polígono de frecuencias y el gráfico de sectores para representar variables estadísticas discretas.
Utilizar el histograma y el polígono de frecuencias para representar variables estadísticas continuas.
Determinar la forma de representación gráfica más adecuada para un conjunto de datos.
Llamar la atención de los alumnos sobre la presencia de la Estadística en numerosos contextos de la realidad: encuestas electorales, sondeos de opinión, etc.
Hacer ver también la importancia de la Estadística en la sociedad actual en muchos campos: estudios médicos sobre medicamentos o enfermedades, análisis para establecimiento de primas de seguros, distribución de los servicios (líneas de autobuses, de metro, etc.) en una ciudad... Pedir a los alumnos que aporten algunos ejemplos propios.
Los aspectos donde los alumnos suelen tener mayores dificultades son: la distinción entre población y muestra, entre los tipos de variables y de frecuencias, el cálculo de éstas últimas y la determinación de la representación gráfica más adecuada.
Trabajar con distintas actividades cada uno de estos aspectos, insistiendo en aquéllos en los que se aprecien mayores problemas.
Dedicar especial atención a las representaciones gráficas por su importancia y presencia en numerosos contextos de la vida real.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como comenzar la unidad aportando ejemplos de diferentes estudios estadísticos en periódicos o revistas que se estimen oportunos y de interés para los alumnos. Realizar en común actividades en las que tengan que distinguir entre población y muestra, variables cualitativas y cuantitativas, variables discretas y continuas. Construir tablas de frecuencias para distintos tipos de variables y representar los datos gráficamente de la forma más adecuada.
Resolver en común algunos ejemplos de muestreo proporcional, señalando su relación con los repartos proporcionales ya vistos en la unidad 7.
Realizar actividades de reconstrucción de tablas de frecuencias incompletas en las que se tengan que obtener las distintas frecuencias a partir de algunos datos dados. Recalcar la importancia de expresar las tablas estadísticas de forma gráfica y de manera adecuada, para lograr una visión más intuitiva del conjunto de datos. Proponer y realizar diferentes actividades de forma que ellos mismos elijan la representación que consideren más adecuada.
Es interesante realizar actividades en las que los alumnos trabajen con datos reales, obteniendo las frecuencias y representando éstos gráficamente. Analizar en común de forma crítica distintas representaciones gráficas obtenidas de la prensa u otros contextos reales es también motivador.
En “Matemáticas, realidad y curiosidad” se trata el tema de las encuestas de presupuestos generales, fundamentales para conocer la evolución del gasto de las familias españolas. Llamar la atención de los alumnos sobre la evolución de los distintos conceptos y señalar la importancia actuar como consumidores de manera crítica y responsable.
En las actividades de ampliación aparece el tema de las revisiones oftalmológicas. Aprovechar este hecho para recordar a los alumnos la importancia de cuidar la distancia a la que se ve la televisión o se trabaja con el ordenador, la necesidad de las revisiones periódicas (algunos retrasos escolares se deben a problemas de visión) y,en general, de desarrollar hábitos saludables.
TEMA 15: PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
Distinguir entre medidas de centralización y de dispersión.
Calcular la media de un conjunto de datos.
Hallar la mediana de un conjunto de datos.
Reconocer la moda de un conjunto de datos.
Obtener los cuartiles inferior y superior a partir de las frecuencias acumuladas.
Hallar los tres cuartiles de forma gráfica.
Calcular los distintos percentiles a partir de las frecuencias absolutas acumuladas.
Determinar los distintos percentiles de forma gráfica.
Hallar el recorrido y la desviación media de un conjunto de datos dado.
Calcular la varianza de distintos conjuntos de datos.
Obtener la desviación típica de un conjunto de datos.
Interpretar las medidas de centralización y dispersión.
Obtención e interpretación de la media de un conjunto de datos.
Cálculo e interpretación de la mediana, cuartiles y percentiles de unos datos a partir de las frecuencias acumuladas y también a partir de la representación gráfica de éstas.
Obtención de la moda de un conjunto de datos.
Cálculo del recorrido y la desviación media de un conjunto de datos.
Determinación e interpretación de la varianza y desviación típica de un conjunto de datos.
Utilización de la calculadora científica para hallar distintos parámetros estadísticos.
Interés y cuidado a la hora de realizar cálculos y utilizar la calculadora.
Valorar la importancia de las medidas de centralización y dispersión como forma de estudiar la información de un conjunto de datos.
Sensibilidad ante la necesidad de analizar de forma crítica los distintos parámetros estadísticos.
Diferenciar las medidas de centralización y las de dispersión.
Hallar correctamente la media de un conjunto de datos cualquiera.
Determinar la moda de un conjunto de datos.
Obtener la mediana de unos datos, tras ordenarlos crecientemente, a partir de las frecuencias acumuladas y de forma gráfica.
Calcular los cuartiles inferior y superior de unos datos, mediante las frecuencias acumuladas y de manera gráfica.
Hallar correctamente los percentiles a partir de las frecuencias acumuladas y de la gráfica de frecuencias absolutas acumuladas.
Calcular el recorrido y la desviación media de un conjunto de datos.
Hallar correctamente la varianza y la desviación típica de distintos conjuntos de datos.
Comparar distintas medidas de centralización y dispersión de dos conjuntos de datos.
Resolver problemas reales que impliquen el cálculo de medidas o parámetros de centralización y dispersión.
Comentar la importancia de los parámetros estadísticos para analizar y aglutinar la información contenida en un conjunto de datos, ya que muchas veces el volumen de información es tan grande que no se puede manejar.
Exponer distintos ejemplos de utilización de parámetros estadísticos sacados de medios de comunicación, contextos científicos, etc.
La elaboración de encuestas en clase y el trabajo con datos obtenidos en ella, aplicando los conceptos de la unidad, puede ser motivador para los alumnos.
Los parámetros estadísticos que se estudian en la unidad no tienen grandes dificultades de cálculo y se pueden obtener con operaciones aritméticas sencillas. Es en la interpretación de estos parámetros y en su análisis dónde los alumnos encuentran los mayores problemas.
Dejar claros los distintos parámetros y sus propiedades, estudiando cómo afectan los datos a su cálculo, es importante y ayuda a disipar muchas dudas que suelen surgir.
Insistir en el uso adecuado y correcto de la calculadora y en el análisis crítico de los resultados obtenidos, cosa que los alumnos suelen pasar por alto, limitándose a obtener un resultado numérico sin comprender lo que significa.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como recordar los conceptos de la unidad anterior de frecuencia absoluta, relativa, etc. Trabajar con conjuntos de datos sencillos al principio, con preguntas como: cuál es el dato que más se repite, cuál es la media de los datos, comparar entre el menor y mayor valor de la variable, etc., introduciendo así los conceptos de forma intuitiva.
Realizar ejercicios con distintos conjuntos de datos: datos simples, datos discretos con frecuencias, datos agrupados en intervalos, etc. , en los que se calculen las distintas medidas de centralización y dispersión.
Practicar el uso de la calculadora científica, llamando la atención sobre la necesidad de su uso razonado y de analizar críticamente los resultados que se obtienen.
Reflexionar sobre qué tipo de parámetros pueden calcularse para cada tipo de variables: cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas.
Realizar actividades en los que trabajen la aplicación de los contenidos estudiados a conjuntos de datos reales, obtenidos, por ejemplo, en encuestas realizadas en clase.
Trabajar con conjuntos de datos “extremos”, analizando cómo varían los valores de los parámetros en esos casos.
A lo largo de la unidad se trabaja con las variables estatura y peso. Este hecho puede servir para suscitar un debate sobre conductas relacionadas con éste último como la bulimia o la anorexia. Llamar la atención sobre el gran peligro que suponen estos trastornos de la alimentación para la salud y hacer ver la necesidad de seguir una dieta sana y equilibrada.
En el “Proyecto” se aborda un indicador económico muy importante: el índice de precios de consumo, IPC, y su interpretación, así como su aplicación en distintos contextos. A la hora de trabajar con él, llamar la atención sobre la necesidad de llevar a cabo un consumo responsable y crítico y comentar la importancia de los hábitos de consumo en la evolución del IPC y la economía.
TEMA 16: PROBABILIDAD
Distinguir entre experimento aleatorio y determinista.
Obtener el espacio muestral de un experimento aleatorio.
Reconocer los sucesos elementales de un experimento aleatorio.
Reconocer el suceso seguro y el suceso imposible de un experimento aleatorio.
Realizar uniones e intersecciones de sucesos.
Distinguir entre sucesos compatibles e incompatibles.
Aplicar las propiedades de las frecuencias relativas en experimentos aleatorios.
Definir el concepto de probabilidad a partir de las frecuencias relativas.
Calcular la probabilidad de distintos sucesos aplicando la regla de Laplace.
Determinar la probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles o incompatibles.
Obtener la probabilidad de los sucesos imposible y seguro y del suceso contrario a uno dado.
Suceso elemental y suceso compuesto.
Unión e intersección de sucesos.
Suceso contrario.
Sucesos compatibles y sucesos incompatibles.
Obtención del espacio muestral, los sucesos elementales, el suceso seguro y el suceso imposible de un experimento aleatorio.
Cálculo de la unión e intersección de dos sucesos dados.
Distinción de sucesos compatibles, incompatibles y contrarios.
Obtención de las frecuencias absolutas y relativas de distintos sucesos.
Utilización de la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades de distintos sucesos en contextos de equiprobabilidad.
Obtención de la probabilidad de la unión de dos sucesos compatible o incompatibles y del suceso contrario a uno dado.
Analizar críticamente las opiniones comunes y las informaciones que se reciben sobre fenómenos aleatorios.
Reconocer la importancia del cálculo de probabilidades en distintas situaciones de la vida diaria.
Reconocer correctamente si un experimento es aleatorio o determinista.
Determinar si dos sucesos son compatibles o incompatibles.
Aplicar la ley de Laplace para calcular la propiedad de distintos sucesos.
Calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos, ya sean compatibles o incompatibles.
Comentar a los alumnos que el estudio matemático de la probabilidad nace surge históricamente vinculado a los juegos de azar. Puede ser interesante hacer una breve exposición de su evolución histórica.
Señalar que actualmente la probabilidad se utiliza en muchas disciplinas unida a la Estadística: predicción de riesgos en seguros, estudios sobre la calidad de procesos industriales, etc.
Puede resultar atractivo para los alumnos trabajar los conceptos de la unidad mediante la realización de experimentos aleatorios por ellos mismos o utilizando datos reales.
Las posibles dificultades de la unidad son más de tipo conceptual que de procedimientos, ya que los cálculos numéricos a realizar y las técnicas utilizadas para resolver los problemas son muy sencillos.
Conviene insistir, por tanto, en los conceptos clave y reflexionar sobre ellos en cada actividad que se resuelva: suceso, operaciones con sucesos, tipos, frecuencias, probabilidad, regla de Laplace, etc.
La ley de los grandes números es intuitivamente sencilla aunque la realización de un ejemplo práctico por toda la clase, reuniendo los resultados de todos, puede ayudar mucho a su comprensión y aceptación.
Asegurarse de que los alumnos comprenden el concepto de probabilidad y la regla de Laplace y que los aplican correctamente en la resolución de diferentes problemas.
Paralelamente, se pueden proponer actividades complementarias de desarrollo, tales como Comenzar recordando conceptos tales como las situaciones de incertidumbre, el lenguaje del azar y los diagramas de árbol. Dejar claro el concepto de espacio muestral y suceso elemental y practicarlos a lo largo de toda la unidad.
Trabajar con distintas actividades el concepto de suceso y las operaciones con sucesos: unión e intersección. Practicar la distinción de sucesos compatibles, incompatibles y contrarios.
Hallar frecuencias absolutas y relativas de sucesos en distintos experimentos aleatorios, y realizar actividades sobre las frecuencias relativas y sus propiedades y las leyes de los grandes números.
Aplicar la regla de Laplace al cálculo de probabilidades en distintos contextos.
Calcular la probabilidad de sucesos compatibles e incompatibles y del suceso contrario a uno dado.
Realizar actividades que exploren el concepto de aleatoriedad, mediante la realización de gran número de pruebas y el análisis de los resultados.
Si se cree conveniente, puede avanzarse de manera sencilla el concepto de probabilidad condicionada y trabajarlo con distintas actividades.
En las actividades de refuerzo se trata el tema de los votos en una mesa electoral, y en el Proyecto se estudian los sondeos de opinión y sus características. Comentar con los alumnos la importancia de la participación activa de todos los ciudadanos en los distintos ámbitos de la sociedad y en particular, de ejercer el derecho y el deber de votar en las distintas elecciones.
A lo largo de la unidad aparecen en numerosas ocasiones contextos relacionados con los juegos de azar. Aunque históricamente el estudio de la probabilidad surgió ligado a los juegos de azar, hay que tener especial cuidado, a la hora de tratar la unidad, en no transmitir un concepto positivo de la práctica del juego de azar.
Es interesante suscitar un debate con los alumnos sobre el fenómeno de la ludopatía y sus consecuencias, sus posibles causas y las soluciones que se pueden tomar para curar esa enfermedad.

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