Source: https://es.scribd.com/document/71626305/Fracciones
Timestamp: 2017-05-27 02:58:17+00:00

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Coordinadora Lorena Espinoza S.
Joaquim Barbé F. Francisco Cerda B. Fanny Waisman C. Lorena Espinoza
Colaboradores Grecia Gálvez Enrique González
I II III IV V VI Presentación Esquema Orientaciones para el docente: estrategia didáctica Planes de clases Prueba y Pauta Espacio para la reflexión personal 7 12 14 65 72 75 76 77
VII Glosario VIII Fichas y materiales para alumnas y alumnos
Dan sentido a cantidades expresadas con fracciones y números mixtos. de composición. Resuelven problemas aditivos simples y combinados.
. Resuelven problemas multiplicativos de reparto equitativo e iteración de una medida con números naturales. que impliquen: . capacidad.
Organizan.establecer relaciones de orden entre fracciones .. .). analizan y representan informaciones referidas a situaciones cotidianas y fenómenos del mundo real. sustracción. Interpretan las cantidades fraccionarias en relación a la unidad correspondiente. gráfica y numérica. en contextos de medición. Reconocen la unidad escrita en forma de fracción (2/2. reconociendo que todas ellas expresan una misma cantidad. Justifican los procedimientos de cálculo que emplean para obtener los resultados.Sexto Básico
Resolviendo Problemas Aditivos con Fracciones APRENDIZAJES ESPERADOS DEL PROGRAMA
Representan situaciones que contienen magnitudes diversas (longitud. representándolas. directos e inversos. cambio y comparación). Identifican y producen familias de fracciones equivalentes mediante la amplificación y simplificación.. en forma concreta. 4/4. 3/3. Manejan los algoritmos para la adición. Expresan cantidades fraccionarias utilizando fracciones y/o números mixtos y transforman de notación fraccionaria a números mixtos y viceversa. que estén expresadas con fracciones y/o números mixtos. Resuelven problemas aditivos de diversos tipos con fracciones y/o números mixtos (simples y compuestos. tiempo) y colecciones. directos e inversos que involucren números naturales. hacen estimaciones y evalúan resultados (Aprendizaje Nº 4).expresar datos y/o resultados como fracciones propias e impropias (Aprendizaje Nº 2) En situaciones problema resuelven adiciones y sustracciones de fracciones.
fracciones. área. De ese modo. cambio o comparación. cambio y comparación. Relación entre los números que participan en un cálculo aditivo. Notación utilizada para representar las cantidades. Estiman el resultado de adiciones y sustracciones.
2. En esta unidad se aprovecha todo el trabajo realizado en la Unidad Didáctica de este mismo curso. fracciones con denominadores iguales. Dentro del ámbito de problemas aditivos se abordarán problemas directos e inversos ya sea de composición. interpretan el significado de los cálculos en el contexto de una situación. números mixtos o ambas. Calculan adiciones y sustracciones de fracciones y números mixtos. Disponibilidad de material concreto para poder representar el problema y su solución. 6
. Disponibilidad o no de la tabla pitagórica. Elaboran problemas aditivos a partir de una situación dada. Construyen estrategias generales para resolver problemas: distinguen datos. volumen y peso. privilegiando medidas de longitud. uno múltiplo del otro o primos entre sí. incógnita. A continuación se detallan los aspectos didácticos matemáticos que estructuran esta unidad:
1. “Cuantificando y comparando medidas no enteras”. identifican las operaciones que permiten modelarlo. en el estudio de problemas aditivos se trabajará con el modelo de la fracción como medida. Variables didácticas
Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las tareas matemáticas que niñas y niños realizan son: • • • • • • El tipo de problema según la cantidad de operaciones que lo resuelven: simples o combinados. explicando los procedimientos empleados. Tareas matemáticas
Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes esperados de esta unidad son: • • • • • Resuelven problemas aditivos simples y combinados de composición. El tipo de problema según la forma en que el enunciado relaciona datos e incógnita: directo e inverso.I
En la presente unidad se aborda la tarea de estudiar y resolver problemas del campo aditivo con fracciones y números mixtos.
o Transforman y reordenan la suma de los numeradores (utilizando la técnica del trasvasije) en grupos de tantas unidades como tienen los denominadores de las fracciones. apoyándose. El numerador de la fracción resultante corresponde a la cantidad de piezas utilizadas para completar la tira y el denominador es el mismo que el de las piezas utilizadas en dicha completación. Escriben directamente el resultado de la suma en notación mixta. construyen debajo y con los inicios coincidiendo.3. Procedimientos
Los procedimientos que niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son: • Para la resolución de problemas siguen una estrategia que considera 5 fases que corresponde a un ciclo de matematización: o Comprenden el enunciado del problema. convierten el resultado a número mixto. • Para calcular sumas y/o restas de fracciones con denominadores distintos: o Con material concreto. o Expresan las cantidades de cada uno de los sumandos mediante fracciones equivalentes. o Para determinar el común denominador de todos los sumandos: 7
. o Distinguen los datos y la incógnita del problema. de tal forma que todos los sumandos tengan denominadores iguales. donde la parte entera es la cantidad de grupos formados y la parte fraccionaria corresponde a una fracción cuyo numerador son las unidades restantes que no se han podido agrupar y su denominador el denominador de los sumandos. o Disciernen las operaciones que permiten responder a la pregunta del problema. en el material concreto. completan la longitud de la tira de los sustraendos para igualarla a la de los sumandos. o Comprueban el resultado y lo interpretan en el contexto del problema. que dé cuenta de la relación aritmética entre datos e incógnita. Utilizando piezas de un solo tamaño. o Expresan el resultado de las sumas y/o restas de fracciones mediante la fracción que tiene como numerador la suma de los numeradores y como denominador el mismo que los sumandos. Siguiendo el mismo procedimiento. o En caso de que la fracción resultante sea mayor a la unidad. • Para calcular sumas y restas de fracciones con denominadores iguales: o Calculan las sumas y/o restas de los numeradores. y de que el problema lo requiera. una tira representando todos los sustraendos. o Realizan los cálculos de sumas y restas de fracciones y números mixtos. construyen una tira utilizando para ello las piezas (que representan fracciones unitarias) necesarias para representar cada uno de los sumandos. si es necesario. en un esquema gráfico o bien.
de forma de obtener fracciones equivalentes que tengan como denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores. descomponen los denominadores en factores primos y amplifican cada una de las fracciones por los factores necesarios.
o Una vez hecho lo anterior. agregando la parte entera al resultado obtenido de la suma de las partes enteras. • Para calcular sumas de números mixtos: o Con material concreto (papel lustre): se representa cada una de las cantidades con papeles lustre y luego se calcula la cantidad total. para cada uno de los denominadores desarrollan una lista de múltiplos hasta encontrar un múltiplo que esté en todas las listas. o Si la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo. Si la fracción resultante de dicha suma es impropia. o Calculan la suma de las partes enteras y luego suman las partes fraccionarias. utilizan el procedimiento descrito en el punto precedente para sumar fracciones con denominadores iguales. transforman la parte fraccionaria del minuendo en una fracción impropia añadiéndole una unidad prestada de la parte entera. se le sustrae la cantidad del sustraendo. respondiendo a la pregunta: ¿cuál es el significado de esta solución matemática en el contexto del problema? • Hay problemas en los que las operaciones que lo resuelven se deducen de forma inmediata del enunciado dado que se corresponden al tipo de acción sugerida en el 8
. Restan las partes enteras y luego las partes fraccionarias. tal y como se suman las fracciones. Amplifican cada fracción para obtener en el denominador dicho múltiplo. Luego. esta se transforma a número mixto.
4. se calcula la cantidad restante. incluye las siguientes fases: fase1: comprender el enunciado del problema fase 2: identificar datos e incógnita fase 3: decidir qué operaciones permiten modelar el problema fase 4: resolver el problema matemático correspondiente fase 5: interpretar el resultado de las operaciones. y una vez representada. • Para calcular restas de números mixtos: o Con material concreto (papel lustre): se representa la cantidad del minuendo utilizando papel lustre.-
realizan el producto de los denominadores. Fundamentos centrales de la Unidad
• Una estrategia general de resolución de problemas.
aunque puedan existir distintas técnicas para realizar un mismo cálculo. generalmente. pueden fracasar. no siempre son todas igualmente eficientes. el uso de dibujos esquemáticos resulta muy provechoso. A este tipo de problemas los llamamos inversos. de esta forma.
• Para calcular comprensivamente sumas y restas con fracciones. A estos problemas les llamamos directos. Llamaremos problemas aditivos simples a aquellos que se pueden modelizar por una operación ( + o -). unas técnicas que resultan eficientes para realizar un determinado cálculo. Asimismo. Según el tipo de acción involucrada en el enunciado existen los siguientes tipos de problemas aditivos simples: Composición. lo cual implica.enunciado. Es decir. un esquema básico que se puede emplear para representar la relación de composición a+b+c= total es el siguiente:
• • • • • El campo de problemas aditivo está definido por todos aquellos problemas que se pueden modelizar mediante un conjunto de adiciones y/o sustracciones. Hay otros problemas en los que las operaciones que los resuelven son inversas a las que el tipo de acción del enunciado sugiere. particularmente en el caso de problemas inversos. Por ejemplo. estas deben estar expresadas mediante denominadores iguales. se amplifican una o ambas fracciones hasta encontrar un denominador común. pueden no serlo frente a otro cálculo e incluso. • Para poder sumar o restar dos o más cantidades fraccionarias. Frente a un determinado cálculo de suma o resta de cantidades fraccionarias pueden existir distintas técnicas que lo resuelven. resulta conveniente descomponer aditivamente los números en función de la relación que exista entre ellos. estas deben hacer referencia a una misma unidad de medida o unidades de medida equivalentes. deducir las operaciones. de forma que es necesario hacer un trabajo específico para poder deducir y justificar la operación (u operaciones) que lo resuelven. ya que su construcción permite evidenciar las relaciones entre datos e incógnita y. • Para expresar dos cantidades fraccionarias mediante denominadores iguales. siendo en algunos casos unas técnicas más adecuadas que otras. Cambio y Comparación. Llamaremos problemas aditivos combinados a aquellos que requieren de más de una operación aditiva para ser modelizados. 9
. • Para realizar la adición o sustracción de dos cantidades fraccionarias. • En la resolución de problemas. un proceso muy laborioso.
aprovechando el algoritmo para sumar fracciones que se desarrolló en la etapa anterior. de forma tal que la diferencia se mantenga constante y que la parte fraccionaria del sustraendo desaparezca o bien. a la parte entera. Los casos se abordarán en forma progresiva. La etapa culmina un estudio retrospectivo de la Unidad en el cual se resuelven problemas aditivos con fracciones y números mixtos de todo tipo. basta con sumar o restar las partes enteras y luego sumar o restar las partes fraccionarias. La etapa culmina con el planteamiento de variados problemas que se resuelven por una adición o una sustracción. se estudian problemas en los que la suma de las partes fraccionarias de las cantidades involucradas resulta mayor que la unidad. cambio y comparación con fracciones. Primero se estudian problemas aditivos en los cuales para efectuar los cálculos. para continuar con problemas en el que uno de los denominadores de las fracciones involucradas es múltiplo del otro. En la segunda etapa se abordarán problemas aditivos inversos de composición. cambio y comparación. (En este último caso se puede descomponer la parte entera del minuendo. se estudian problemas simples en los cuales interesa que los estudiantes distingan claramente entre datos e incógnita y cómo se relacionan entre sí.
. Finalmente. Para empezar. sea menor que la parte fraccionaria del minuendo. y luego pasar a problemas donde los denominadores de las fracciones involucradas son primos entre sí. tanto directos como inversos. Después. se abordan problemas simples aditivos y se construyen las técnicas para sumar y restar fracciones. se construyen los algoritmos de suma y de resta para los números mixtos. Inicialmente. El aprendizaje y uso de esquemas que representen las situaciones problemáticas cobra mayor importancia.5. En esta etapa se introducen los números mixtos y. con lo que es necesario reescribir la cantidad total obtenida traspasando tantas unidades como sea posible de la fracción obtenida en la suma. se estudian problemas de sustracción en los que para poder efectuar la resta es necesario transformar solo el minuendo o ambos términos. En la tercera etapa se estudian problemas combinados. de forma tal de añadir una unidad a la parte fraccionaria del minuendo se pueda efectuar la resta). esperándose que el alumnado recurra a esquemas en los casos más complejos y que manejen con soltura técnicas convencionales para sumar y restar cantidades fraccionarias. Descripción global del proceso
Los aprendizajes esperados de la Unidad se desarrollan en tres etapas progresivas y estrechamente ligadas. partiendo de aquellos en que ambas fracciones tienen denominadores iguales. La primera etapa queda caracterizada por el trabajo con problemas directos de composición.
Calculan el producto de dos números naturales.) Están familiarizados con el uso de la Tabla Pitagórica para determinar productos de números naturales.. El docente debe asegurarse que todos los niños y niñas: Dan sentido a cantidades expresadas con fracciones y números mixtos representándolas. la cantidad de medida 1/b.
. siendo a/b la fracción resultante de iterar a veces la cantidad de medida 1/b. A su vez. Sugerencias para Trabajar los aprendizajes previos
Antes de dar inicio al estudio de la Unidad. es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. Amplifican y simplifican fracciones para obtener fracciones equivalentes.. Transforman de número mixto a fracción y viceversa. 4/4.6. Están familiarizados con la interpretación de fracción como una cantidad medida. es aquella medida que al iterarla b veces da como resultado la unidad. Manejan los algoritmos para la adición y sustracción con números naturales. Están familiarizados en la escritura de la unidad en forma de fracciones (2/2. Comparan fracciones con denominadores distintos. directos e inversos que involucren números naturales. Interesa que los estudiantes activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes esperados en ella. 3/3. Resuelven problemas aditivos simples y combinados.
Al amplificar cada fracción por un factor tal de obtener en el denominador un múltiplo común entre los denominadores. • Explican los procedimientos usados para realizar los • Sumas y restas con cálculos y resolver el números mixtos: problema. expresados mediante: . utilizando • Los datos vienen fracciones y/o números expresados mediante: mixtos. se puede expresar la suma como una expresión de cuatro términos sin prioridad alguna. .Suman las partes enteras y luego las fracciones y números partes fraccionarias. dos datos.
APRENDIZAJES ESPERADOS ETAPA 3 TÉCNICAS • Resuelven problemas con la estrategia apoyándose en esquemas • Para sumar/restar más de dos de fracciones: . distintos. Luego.con reserva aditivos a partir de una situación dada. • Para sumar y restar números mixtos: . e inversos. Luego. • Para sumar números mixtos: • Calculan sumas y restas de .
ETAPA 2 CONDICIONES TAREAS MATEMÁTICAS TÉCNICAS • Resuelven problemas • Problemas de enunciado • Resuelven problemas apoyándose en aditivos simples. por la propiedad asociativa de la suma. Si la fracción mixtos. • Para sumar / restar fracciones distinto cambio y comparación denominador: • Los datos vienen utilizando fracciones. amplificadas. La propiedad asociativa nos permite
.Fracciones con y establecen semejanzas y denominadores diferencias. todos los denominadores de las fracciones amplificadas van a ser iguales.
CONDICIONES TAREAS MATEMÁTICAS • Resuelven problemas • Problemas de enunciado aditivos combinados directos verbal.Los mismos que en la etapa anterior. .Calculan el denominador común de todas ellas mediante el producto de denominadores y suman/restan los numeradores. Usando la definición de número mixto se escribe cada término como la suma de la parte entera más la parte fraccionaria.Amplifican las fracciones calculando .Fracciones con el denominador común de todas ellas • Resuelven problemas denominadores iguales. ya que en todos los casos los denominadores obtenidos corresponden al producto de todos los denominadores. directos e verbal. mediante el “producto de aditivos directos de . esquemas. de forma tal que los dos primeros sean las dos partes enteras y los dos segundos las dos partes fraccionarias.
FUNDAMENTOS CENTRALES La propiedad asociativa y conmutativa de la suma.Fracciones con denominadores” y suman/restan los composición y de cambio denominadores numeradores de las fracciones que involucran más de distintos. la propiedad conmutativa permite reordenar los términos. La existencia de dicho factor para cada denominador está garantizada por el hecho de que el denominador amplificado es múltiplo de todos los denominadores sin amplificar. todos los denominadores de las fracciones amplificadas van a ser iguales.
FUNDAMENTOS CENTRALES Al amplificar cada fracción por el producto de todos los denominadores de las otras fracciones.sin reserva • Elaboran problemas . inversos de composición. • Analizan problemas aditivos .II.Calculan el denominador común de todas ellas para obtener un múltiplo común de los denominadores y suman/restan los numeradores.
Al amplificar una fracción por el denominador de la otra y viceversa.Encuentran fracciones equivalentes cuyos denominadores sean iguales. Al añadir una misma cantidad a cada uno de los términos de una diferencia la diferencia se conserva. ETAPA 1 TÉCNICAS • Resuelven problemas haciendo dibujos esquemáticos para relacionar datos e incógnita.
• Sumas y restas números mixtos: . • Para sumar/restar fracciones con igual denominador: .suman/restan los numeradores y conservan el denominador. el denominador de las fracciones amplificadas resulta ser el producto de los denominadores de las fracciones sin amplificar. transforman la parte fraccionaria del minuendo en una fracción impropia tomando una unidad de la parte entera. la propiedad asociativa permite. . APRENDIZAJES PREVIOS
calcular dicha suma sumando los dos primeros términos y los dos últimos.
TAREAS MATEMÁTICAS Resuelven problemas aditivos simples. directos de composición. • Para sumar/restar fracciones con distinto denominador: . lo que garantiza que las dos fracciones amplificadas tengan denominadores iguales.Las representan y miden el resultado con el material concreto. la transforman a Nº mixto y lo añaden a la suma de partes enteras ya obtenida. • Para restar números mixtos: . . • Explican los métodos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas.Amplifican cada fracción por un factor igual al denominador de la otra. • Calculan sumas y restas de fracciones. descomponer dicha fracción en parte entera más parte fraccionaria.
FUNDAMENTOS CENTRALES Al reemplazar cada uno de los términos de la suma/resta por una fracción equivalente. .Se añade a ambos términos la fracción que completa a la unidad la parte fraccionaria del sustraendo. En caso de que la fracción obtenida sea impropia. Esta propiedad se conoce como el “Traslado de la diferencia”. cambio y comparación utilizando fracciones.con reserva
resultante de la suma es impropia. Reemplazan cada término de la suma/resta por la fracción equivalente encontrada.Si la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo. a su vez. la suma no varía dado que la cantidad que expresa cada término de las fracciones amplificadas es exactamente igual a la que expresaban las fracciones originales.
CONDICIONES • Problemas de enunciado verbal.sin reserva .
Fracciones con denominadores distintos.Fracciones con denominadores iguales.• Explican los métodos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas.
• Los datos vienen expresados mediante: .
fase 5 :interpretar el resultado de las operaciones. el problema es directo. Una estrategia general de resolución de problemas. Si el cálculo que hay que efectuar para resolverlo coincide con la modelización. fase 4: resolver el problema matemático correspondiente. incluye las siguientes fases: fase 1: comprender el enunciado del problema fase 2: identificar datos e incógnita. su modelización depende de las acciones implicadas en el enunciado. hay que hacer un trabajo específico sobre la modelización para determinar el cálculo que resuelve el problema. busca un modelo matemático que de cuenta de él. luego opera en el modelo matemático para finalmente volver a la situación original y resignificar la solución matemática en el contexto original del problema. Cuando esto no sucede.III
La propuesta didáctica de esta unidad está centrada en que niñas y niños apliquen estrategias para resolver problemas aditivos. El esquema que representa este ciclo es el siguiente:
Solución en el mundo real
Fases 1. En forma paralela. pero ahora dentro del ámbito numérico de las fracciones y los números mixtos. ya estudiados en años anteriores. En ese caso decimos que el problema es inverso. 14
. fase 3: decidir qué operaciones permiten modelar el problema. partiendo de un problema del mundo real. los estudiantes desarrollarán procedimientos para efectuar sumas y restas con estos números. respondiendo a la pregunta: ¿cuál es el significado de esta solución matemática en el contexto del problema? En estas cinco fases se puede reconocer el ciclo de matematización propio del quehacer matemático que.2 y 3
• Dado un problema aditivo.
el uso de dibujos esquemáticos resulta muy provechoso. ¿Cuantos kg de harina se tienen en total? pueden surgir diversos esquemas. Su importancia en el desarrollo del pensamiento matemático debe ser destacada. uno de ¾ de kg y otro de ½ kg. para luego avanzar a otros que sean más potentes. Por ejemplo.• En el caso de problemas en que la identificación de las operaciones que los modelan no es inmediata. inicialmente. con preguntas como: ¿los cuatro esquemas dibujados reflejan la misma situación?
. ya que su construcción permite evidenciar las relaciones entre datos e incógnita y. para el siguiente problema de composición: Se juntan dos paquetes de harina. por ejemplo:
3/4 a) b) 1/2
1/2 ½ kg ¾ kg
Es importante discutir con el curso la utilidad y las posibilidades de cada esquema. en términos que permiten obtener información crucial para formular el modelo matemático buscado. • Es importante desafiar a los estudiantes a que produzcan sus propios esquemas. los estudiantes produzcan esquemas muy básicos. Es muy probable que. muy cercanos a lo figurativo. de esta forma. según sean más o menos útiles. • Dibujos esquemáticos hay de varios tipos y de distinto nivel de desarrollo. los cuales podrán ser descartados o validados en una discusión a nivel de curso. deducir las operaciones.
es importante distinguir el rol que pueden jugar los esquemas en la resolución de problemas. La necesidad de una unidad de medida común. ¿Qué cantidad de pizza nos comimos entre los tres? 16
. presenta la ventaja de ser fácilmente generalizable a problemas similares y a problemas más complejos. 2 m + 5 000 m = 5 002 m. Además. El problema surge cuando hay mas de un “todo” que se ha fraccionado y que estos todos no son equivalentes entre sí. ya que ayuda al alumno y alumna a formarse una idea muy clara del problema planteado. En este sentido. Veamos un ejemplo: Ej. puesto que al todo se le designa habitualmente como la unidad. En el modelo parte/todo suele ser común interpretar la fracción como una forma de etiquetar las partes sin hacer demasiado énfasis en el significado de la fracción como la cantidad que cuantifica el tamaño de la parte respecto al referente (o todo). El esquema b) aparece muy vinculado al contexto del problema. a la larga es una gran limitación. primero se deben expresar ambas cantidades en una unidad común. si bien en un primer momento puede resultar un poco mas lejano del contexto del problema que el b). sucede lo mismo cuando uno trata de sumar 2 m + 5 km. a un rol de carácter técnico en el que el dibujo del esquema pasa a ser una función esencial en el proceso de resolución. es necesario saber antes de dibujarlo el cálculo que hay que efectuar. Además. resulta difícil extender dicho tipo de esquema a situaciones de sustracción. puesto que a medida que los problemas se vuelven más complejos. una de tamaño familiar. otra mediana y una individual. Los esquemas b) y d) reflejan claramente la acción de juntar que aparece en el enunciado del problema. En ese caso. Este puede ir desde un rol meramente ilustrativo.En este caso. Es evidente que esa suma no da 7 y que para poder calcular el resultado de ella. mi mamá la mitad de la pizza mediana y yo la mitad de la pizza individual. el esquema a) juega un rol mas bien de carácter ilustrativo. Además. por ejemplo. Si bien en un primer momento dicha vinculación puede ser positiva.: Mi papá encargó para cenar una promoción de tres pizzas. reflejando la acción involucrada y poniendo de manifiesto el hecho de que para resolverlo es necesario efectuar una suma de ambas cantidades. en su lectura se pueden destacar fácilmente todos los aspectos relevantes del problema. Mi papá se comió un cuarto de la pizza familiar. las fracciones obtenidas de cada uno de los todos no se pueden sumar. dado que se dibujan los sacos de harina y la acción efectuada. ya que permite determinar la secuencia de cálculos que hay que realizar para resolver el problema. con ese tipo de dibujos es difícil establecer relaciones y ver semejanzas con otros problemas resueltos. dado que representan cantidades de referentes distintos. En el esquema c) hay que saber interpretar que el círculo indica la acción de juntar. Este requerimiento no es específico de las fracciones. dado que el dibujo enfatiza aspectos demasiado particulares y que no son relevantes para su resolución. el dibujo se vuelve inoperante. El esquema d). Dentro de ese modelo es muy frecuente que el concepto de unidad de referencia pase desapercibido. • Para realizar la adición o sustracción de dos cantidades fraccionarias. estas deben hacer referencia a una misma unidad de medida o unidades de medida equivalentes.
: 3/8 + 2/8 Adición y sustracción de fracciones con un denominador múltiplo del otro Ej. Ej. estas deben estar expresadas respecto a un mismo referente o bien. las sumas o restas de fracciones son operaciones más complejas que las realizadas con números naturales. ¿cuál podría ser el significado de ese unidad.Respuesta errónea:
1 1 1 1 5 + + = 1+ = 4 2 2 4 4
Dado que los tamaños de las pizzas no son iguales no podemos sumar las fracciones. el problema anterior puede ser formulado así:
3 2 1 1 1 1 5 + = 3 × + 2 × = (3 + 2 ) × = 5 × = 8 8 8 8 8 8 8
. donde la fracción a/b se interpreta como a veces la cantidad 1/b. una pizza mediana o una nueva pizza? Está claro entonces que para poder sumar diversas cantidades fraccionarias. siendo la cantidad 1/b aquella cantidad que iterada b veces da como resultado la unidad. en la suma de 3/8 con 2/8 puede entenderse el 3/8 como 3 veces 1/8 y el 2/8 como 2 veces 1/8.: 3/7 + 2/5
El primer paso permite desarrollar un algoritmo para realizar la suma a partir del significado de las fracciones dado en el contexto de la medida. Al igual que sucedía con la comparación de fracciones. lo que hace que tengan denominadores distintos.: 3/4 + 2/8 Adición y sustracción de fracciones con denominadores distintos. La necesidad de un denominador común. ¿Qué significa sumar a ½ pizza mediana ½ pizza individual? Suponiendo que la suma sea 1. De ese modo. • Para poder sumar/restar dos o más cantidades fraccionarias. estas deben estar expresadas mediante denominadores iguales. Ello se debe a que las cantidades fraccionarias suelen estar expresadas utilizando distintas subdivisiones de la unidad. lo que da un total de 5 veces 1/8. de modo que uno no es múltiplo del otro. Por ello proponemos desarrollar un conjunto de técnicas de adición y sustracción de fracciones secuenciada en tres pasos inclusivos: Adición y sustracción de fracciones con un mismo denominador Ej. referentes que sean equivalentes. Esto resulta fácil de ver si se realiza la siguiente reflexión. a nivel formal. una pizza individual. De hecho.
aplican el algoritmo de los naturales a cada uno de los naturales (numerador y denominador) que componen las fracciones. distinguiendo los que son erróneos de los correctos. estas deben expresarse previamente mediante denominadores iguales. los numeradores se suman. Es importante dejar la posibilidad de que alumnas y alumnos desarrollen sus propios procedimientos y que usen el material para validarlos.unidad
3/8 = 3 × 1/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 2/8 = 2 × 1/8 = 1/8 + 1/8 3/8 + 2/8
3/8 + 2/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8
= 5 × 1/8 = 5/8
El procedimiento mostrado da pistas a los docentes sobre los pasos que habría que seguir para desarrollar una secuencia que permita a los estudiantes generar el algoritmo para sumar fracciones con un mismo denominador. De ese modo. se debe hacer énfasis en que el denominador de las fracciones se conserva. Uno de los errores más comunes en la adición de fracciones es el de sumar los numeradores y los denominadores de forma independiente. con argumentos del tipo: si tengo 2 veces 1/8 y le añado 3 veces 1/8. En el segundo paso proponemos abordar la suma de cantidades fraccionarias con distinto denominador en el que un denominador es múltiplo del otro. dado que cada uno de ellos expresa la cantidad de veces que está contenido 1/8 en cada uno de los sumandos. Lo más importante es que lleguen a la conclusión de que para sumar dos cantidades fraccionarias. dado que los octavos no dejan de ser octavos por mucho que le sume o le reste una determinada cantidad de octavos. En cambio. Ello se debe a que los estudiantes suelen interpretar a la fracción como dos números naturales separados por una rayita. Una vez que los alumnos entiendan la técnica que se está desarrollando y la sepan justificar.
. pero no como una forma de expresar una cantidad de medida. finalmente obtengo 5 veces 1/8. que son 5/8.
podemos afirmar que si se tiene una suma de dos fracciones con distinto denominador. dado que en ese caso es el “medio” el que se transforma en un “octavo”. Una posible solución al problema de cómo sumar fracciones cuando estas tienen denominadores distintos consiste en reemplazar cada una de las cantidades fraccionarias por una fracción equivalente. todas las cantidades están expresadas utilizando un mismo fraccionamiento de la unidad. sobre todo si los denominadores les son familiares (medios. Por otro lado. pero manteniendo dicha cantidad. 1/2 más 3/8 significa a un “medio” de unidad agregarle tres “octavos” de unidad. a su vez. podrían concluir que para sumar dos (o más) cantidades fraccionarias con distinto denominador.Ejemplo de cálculo erróneo:
1 3 4 + = 2 8 10
Creemos que una manera efectiva de superar este error es centrarse en el significado de cada una de estas cantidades fraccionarias. sextos. los tres “octavos” en tres “décimos”. se puede hacer las reflexiones siguientes. suponiendo que se suman los numeradores (al igual que sucedía con fracciones de igual denominador). no se puede dar ningún sentido a sumar directamente los numeradores de ambas fracciones.. Lo mismo sucede con los octavos. Dado que cada “medio” y cada “octavo” expresa una cantidad de medida distinta. donde no tenía sentido comparar los numeradores de las fracciones cuando el denominador de ambas fracciones era distinto. Ahora bien. hecho que no varía el resultado. tercios. Es claro que esta estrategia lleva a escribir la cantidad ½ en términos de “octavos”. Recordemos que sucedía algo muy parecido en la comparación de fracciones no unitarias con distinto denominador. dado que ambas respuestas carecen de sentido. son equivalentes. En el ejemplo presentado. alterando de ese modo la cantidad que representa dicho sumando. El hecho de que uno de los denominadores sea múltiplo del otro facilita que surja de los alumnos y alumnas una estrategia para sumarlas. el resultado de dicha suma da 4. ni tampoco a sumar los denominadores. es decir. octavos. pues en el primer caso implicaría que las tres piezas de 1/8 se han transformado como por arte de magia en tres piezas de ½. dado que para que ese resultado fuese correcto.). El sumando ½ es reemplazado por el sumando 4/8. Eso es porque los numeradores expresan la cantidad de veces que se repiten cada una de las fracciones unitarias “medio” y “octavos” (1 vez el “medio” y tres veces el “octavo”). cuestión que se logra mediante 4/8. de forma que todos los sumandos queden expresados mediante fracciones con denominadores iguales (o denominador común).. dado que ambas fracciones expresan exactamente una misma cantidad. al comparar cualquiera de los tres resultados propuestos anteriormente. resulta que todos ellos son cantidades menores que 1/2. Una vez
. Entonces. Así. hay que transformar ambas cantidades de tal manera que queden expresadas con denominadores iguales. En ese caso. ¿Qué significado tiene ese 4? ¿Son cuatro “medios”? ¿O cuatro “octavos”? ¿O cuatro “décimos”? Es fácil probar que ninguna de las tres afirmaciones anteriores es cierta. siendo que dicha fracción es uno de los sumandos. cuartos. el “medio” tendría que haberse convertido como por arte de magia en un “décimo” y. El mismo razonamiento puede ser utilizado para descartar el resultado de 4/10. carece de sentido sumar los numeradores.
salvo que en este caso el proceso de encontrar un denominador común que permita escribir las dos cantidades es un poco más laborioso. Llegados a este punto. para que los alumnos logren construir el procedimiento es necesario que manejen el concepto de fracción equivalente y tengan a su disposición alguna técnica para calcular colecciones de fracciones equivalentes.
. a partir de lo aprendido en la etapa anterior. Esta situación es parecida a la anterior. De ese modo. Finalmente.
1/2 = 4 × 1/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 3/8 = 3 × 1/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 1/2 + 3/8
1/2 + 3/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 7 × 1/8 = 7/8
Este procedimiento se escribiría de una manera formal:
1 3 ⎛ 1× 4 ⎞ 3 4 3 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 7 + =⎜ ⎟ + = + = ⎜ 4 × ⎟ + ⎜ 3 × ⎟ = (4 + 3) × = 7 × = 2 8 ⎝ 2× 4 ⎠ 8 8 8 ⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ 8 8 8
formalización que nos ayuda. como docentes. pueden lograr construir una técnica para sumar este tipo de cantidades fraccionarias. para sumar la fracción ½ con la fracción 2/3 se puede empezar a construir una lista de fracciones equivalentes para cada uno de los sumandos y buscar en las listas fracciones equivalentes a aquellas que expresen ambas cantidades utilizando un mismo denominador. Por ejemplo.que tenemos a los dos sumandos con un mismo denominador. como tercer paso proponemos abordar la suma de fracciones con denominadores distintos. la suma se resuelve mediante la técnica desarrollada en la etapa 1. de forma que uno no es múltiplo del otro. a visualizar los distintos pasos que conlleva la tarea de sumar fracciones con distinto denominador.
el 28…
⎧ 5 10 15 20 25 30 35 ⎫ = = = = = = .. Por ejemplo... lo que da como resultado 14/12. del numerador y denominador de la fracción original.
En este paso. el 15. ½ se expresa como 3/6 . al observar la familia de fracciones equivalentes a 2/3 del ejemplo anterior se observa que en los denominadores de las fracciones amplificadas van apareciendo todos los múltiplos de 3. al amplificar la fracción 5/7.. en los numeradores de las fracciones amplificadas aparecerán sucesivamente el 10. 3. después de haber solucionado varios casos con el procedimiento anterior. hecho que puede comprobarse amplificando por 2 la fracción 7/6 o bien. Este es un hecho que se aprecia claramente al amplificar una determinada fracción por 2.. de forma tal de lograr que los denominadores de los dos sumandos sean iguales. respectivamente. por ejemplo..⎬ ⎨ = ⎩ 7 14 21 28 35 42 49 ⎭
.⎬ ⎨ = = = ⎩ 3 6 9 12 15 ⎭
Por ejemplo. mientras que en los numeradores van apareciendo los múltiplos de 2.Ejemplo :
1 2 3 4 7 + = + = 2 3 6 6 6
6 7 ⎧1 2 3 4 5 ⎫ = = = . podríamos haber expresado la cantidad ½ como /12 . dado que en el procedimiento para amplificar se multiplica tanto el numerador como el denominador de la fracción por un mismo factor. de que la suma tenga tres o más sumandos). Surge entonces la pregunta de si 7 /6 y 14/12 deben necesariamente expresar una misma cantidad.. 4. Al amplificar una fracción por un determinado factor. el 20 … mientras que en los denominadores aparecerá el 14. Esto sucede sea cual sea la fracción que se amplifica. tanto el numerador como el denominador de la fracción amplificada son múltiplos. simplificando por dos la fracción 14 /12. el 21. Luego se procede a reemplazar cada sumando por una fracción equivalente. y los 2/3 como 8/12. Así. se realiza la suma según lo visto en el primer paso.⎬ ⎨ = = = = ⎩ 2 4 6 8 10 12 14 ⎭ ⎧ 2 4 6 8 10 ⎫ = = . Una vez que tenemos todos los sumandos expresados con denominadores iguales. etc. Dicha solución no es la única. y 2/3 como 4/6. es muy posible que surja en los estudiantes la necesidad de disponer de una técnica para encontrar de forma rápida el denominador común de todos los sumandos (sobre todo en el caso de que los denominadores sean ambos de números bastante grandes o bien.
Por ejemplo. En particular el 54. Si usamos este razonamiento en la búsqueda del denominador común. el denominador de la fracción amplificada siempre va a ser múltiplo del denominador de la fracción original. y podríamos resolver la suma de la forma siguiente:
5 2 5 1 5 1× 3 5 3 8 = + = + = + = + 9 6 9 3 9 3× 3 9 9 9
.c. En este caso. obtenemos
5 2 5× 6 2×9 30 18 48 + = + = + = 9 6 9×6 6×9 54 54 54
Ahora bien. si alguna de las cantidades de los sumandos viene expresada mediante una fracción que a simple vista resulta fácil de simplificar. para obtener el 18 en el denominador tengo que amplificar 5/9 por 2 y 2/6 por 3:
5 2 + 9 6
5× 2 2×3 10 6 16 + = + = 9× 2 6×3 18 18 18
A veces.m. ya que al amplificar la fracción 5/9 por 6 y la fracción 2/6 por 9. en este caso 2/6 es equivalente a 1/3. ¿es el 54 el único numero que sirve? La respuesta a esta pregunta en realidad ya la hemos dado antes. En particular podemos tratar de buscar el mínimo común múltiplo de 6 y 9. a la vez. y obviamente 54 es solo uno de ellos. de los denominadores). A su vez.De manera que podemos afirmar que cualquiera que sea el factor de amplificación que uno use para una determinada fracción. en ambos casos se obtiene como denominador 54. pues llegamos a la conclusión que sirve cualquier múltiplo común a 6 y 9. es posible amplificar dicha fracción por un factor tal de forma que el denominador de la fracción amplificada sea exactamente dicho múltiplo. puede resultar conveniente simplificarla antes de iniciar la búsqueda del común denominador. por ejemplo. Al aplicar este método al ejemplo anterior (método que se conoce como el producto de los denominadores). que es 18 (método que se conoce como el m. para efectuar la siguiente suma de fracciones:
Entonces llegamos a concluir que los números que sirven como denominador común son aquellos números que son múltiplos de 9 y 6. dado cualquier múltiplo del denominador de una fracción. que es el producto de los denominadores 9 x 6.
si se utiliza la propiedad conmutativa y asociativa de la suma podemos simplificar bastante el cálculo. la relación entre los distintos denominadores y la cantidad de sumandos. si queremos realizar la siguiente suma de fracciones:
5 2 2 3 + + + 9 6 8 6
1 7 + = 9 12
es necesario amplificar seis fracciones. ya que podemos sumar primero los cinco “novenos” con el “noveno” restante y los dos “sextos” con los tres “sextos”:
1 ⎞ ⎛2 3⎞ 2 7 ⎛5 + + ⎟ + ⎟+ ⎜ ⎜ + 9 ⎠ ⎝6 6⎠ 8 12 ⎝9
6 5 2 7 + + + 9 6 8 12
de forma que se logra reducir la suma de seis términos a solo cuatro. Por ejemplo. según sea el ámbito numérico. sino dejar que decidan el procedimiento que utilizan para resolver un determinado cálculo. de forma que obtenemos
2 5 1 7 + + + 3 6 4 12
2× 4 5× 2 1× 3 7 + + + = 3× 4 6× 2 4×3 12 8 10 3 7 = + + + 12 12 12 12
Lo expuesto hasta ahora da cuenta de cómo detrás de la técnica general para sumar fracciones existe una justificación que es conveniente abordar en varios pasos. el que hará que determinadas técnicas sean más eficientes que otras. por ejemplo el 12. presentando a nuestro parecer tres hitos claves:
Dos cantidades fraccionarias no se pueden sumar mientras no estén expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. e incluso que algunas de ellas fracasen. Luego. es posible simplificar las fracciones cuando ello sea posible. Una misma cantidad fraccionaria puede expresarse utilizando distintas fracciones. siempre y cuando estas sean equivalentes entre sí.
6 5 2 7 + + + = 9 6 8 12
2 5 1 7 + + + = 3 6 4 12
y luego determinar un múltiplo común de los denominadores. Sin embargo.
.Es importante no obligar a los alumnos a utilizar un único procedimiento. Es el propio cálculo el que.
se obtienen dos fracciones equivalentes a las primeras. pero con denominadores iguales (procedimiento que es conocido como producto de los denominadores). Esta drástica reducción del algoritmo de la suma de fracciones oculta los pasos principales que permiten su comprensión. apenas iniciado el estudio. Dichos hitos se pueden encontrar en los distintos pasos necesarios para realizar una justificación a nivel formal del procedimiento del producto de denominadores para sumar fracciones:
1 1 a c a×d c×b + = + = ( a × d ) veces + (c × b) veces = (b × d ) (b × d ) b d b×d d ×b (a × d ) + (b × c ) 1 = [(a × d ) + (b × c )] veces = (b × d ) (b × d )
Una tendencia de la enseñanza al estudiar este algoritmo consiste en presentar a los alumnos y alumnas. finalmente. dado que no sabemos cómo proceder al no presentar un mismo denominador ambas cantidades fraccionarias.
El primer hito problematiza la tarea de sumar.-
Al amplificar la fracción del primer sumando por un factor igual al denominador de la fracción del segundo sumando y viceversa. de forma que no es de extrañar que sea de difícil memorización para los estudiantes. una versión reducida de forma que solo se indica el paso final del mismo:
(a × d ) + (b × c ) (b × d )
reducción que se conoce oralmente como: “Para sumar dos fracciones de distinto denominador se calcula la suma de los productos cruzados como numerador y el producto de denominadores como denominador”. dado que habrá que escribir ambas cantidades fraccionarias mediante expresiones equivalentes. de forma que tengan un mismo denominador y. para sumar 3 2 con 5 según dicha reducción se procede: 2
. el tercer hito otorga un método sistemático de amplificación que permite garantizar que ambas cantidades fraccionarias sean escritas mediante dos fracciones con un mismo denominador. El segundo hito permite encaminar la búsqueda de una solución al problema. Por ejemplo.
. Es muy factible que las respuestas a las preguntas que surgen de este algoritmo sean respondidas por la mayoría de los alumnos y alumnas. En esta unidad proponemos incentivar la escritura y uso del algoritmo del producto de denominadores de la forma siguiente:
a×d c×b + b×d d ×b
pero utilizando solo cantidades específicas al trabajarlo con los alumnos. Luego. se están reemplazando ambos sumandos por fracciones equivalentes. ya que el tamaño de un “medio” y de un “quinto” no son iguales. Por ello recomendamos no presentar al curso dicha reducción.. Un ejemplo sería:
3 2 + 2 5 = 3× 5 2× 2 15 4 19 = + = + 2×5 5× 2 10 10 10
En este caso queda claro que se amplifica cada uno de los sumandos
. ambas tengan denominadores iguales? Al amplificar la primera fracción por un factor igual al denominador de la segunda.3× 5 + 2 × 2 3 2 3 2 3× 5 + 2 × 2 15 + 4 19 + = + = = = 2 5 2 5 2×5 10 10
haciendo muy difícil la comprensión y justificación de los pasos: ¿Por qué se calcula el numerador sumando los productos cruzados? ¿Por qué se calcula el denominador mediante el producto de los denominadores? ¿Cómo podemos justificar que la fracción obtenida es realmente el resultado de sumar los dos sumandos? . y viceversa. hay que sumar esas mismas cantidades. En este algoritmo queda claro que cada fracción se amplifica por el denominador de la otra. a la pregunta ¿por qué no podemos sumar directamente las fracciones?. y que 10 tengan denominadores iguales (o sea “décimos”). se puede responder: porque no podemos sumar fracciones con denominadores distintos. de tal forma que las fracciones amplificadas tengan denominadores iguales. de tal forma de
4 obtener dos fracciones que sean equivalentes a las fracciones originales ( 15 y 10 ).. pero expresadas de tal forma que ambas fracciones tengan denominadores iguales (ya que entonces podremos sumarlas. las dos fracciones amplificadas tendrán como denominador el producto de los denominadores de las fracciones originales. Por ejemplo. por tanto. pues ambos sumandos vendrán expresados en “décimos”). ¿Cómo encontrar aquella pareja de fracciones que siendo equivalentes a cada uno de los sumandos. ¿Cómo expresar entonces dichas cantidades fraccionarias de forma que podamos asegurar que la suma se conserve? La única forma de reemplazar los sumandos por otros de forma que podamos asegurar que la suma se conserve es reemplazar cada sumando por una fracción equivalente (que dos fracciones sean equivalentes significa que expresan exactamente la misma cantidad).
El campo de problemas aditivos La principal tarea matemática que pretende desarrollar esta UD consiste en elaborar estrategias de resolución de problemas aditivos que involucran adiciones y/o sustracciones de cantidades fraccionarias expresadas mediante fracciones y/o números mixtos. agrupar/desagrupar y las variables implicadas suelen ser el tamaño de las partes y del total.• Para expresar dos cantidades fraccionarias mediante denominadores iguales se amplifican o simplifican una o ambas fracciones hasta encontrar un denominador común. El campo de problemas aditivos viene definido por todos aquellos problemas que se pueden modelizar mediante una secuencia de adiciones y/o sustracciones.
. En este tipo de problemas suelen aparecer las acciones de juntar/separar. Ejemplo: El pedestal de una estatua mide 2 ½ m . que llamaremos el campo de problemas aditivo. el esquema sirve como medio para explicitar. comunicar y validar el procedimiento de resolución utilizado. En este sentido. se trata de potenciar la idea que las operaciones de adición y sustracción están íntimamente relacionadas y resulta muy provechoso para el estudio integrar ambas operaciones a un solo campo de problemas. ¿Cuánto mide en total el conjunto escultórico de la estatua con su pedestal? El uso de esquemas para modelizar los problemas puede facilitar considerablemente la tarea de resolución de los mismos. según el tipo de acciones involucradas en los enunciados de los problemas distinguimos los siguientes cuatro tipos distintos de problemas: Problemas de Composición Problemas de Cambio Problemas de Comparación Problemas Combinados Problemas de Composición Son aquellos problemas donde se consideran un conjunto de partes y el total de ellas. mientras que la estatua mide 3 1/4 m de altura. A su vez. sobre todo en el caso de que el problema sea complejo. Tipología de problemas según el tipo de acción involucrada Dentro del campo de problemas aditivos.
frut. Utilizó 3/4 de kilo para preparar un postre. pese a tener un esquema bastante similar a los de composición.altura pedestal 2 ½m
altura estatua 3 ¼m alt. que usó
1 6 3 3 3 kg kg = kg kg = kg 2 4 4 4 4
frut. Estatua = alt. ¿Cuántos kilos de frutillas le quedan? Un esquema para representar esta situación podría ser el siguiente:
frut. que queda
1 ½ kg . Problemas de Cambio Son aquellos problemas donde hay una determinada cantidad inicial. una acción de transformación y un estado o situación final. la modificación realizada y la situación final. Por ello distinguimos en estos problemas un estado o situación inicial. por lo que es más compleja que la requerida para resolver los problemas de composición (identificar las partes de un total).
¿altura total? 2 ½m + 3 ¼m = 2 m+
1 3 1 m + 3m + m = 5 m+ m = 5 ¾m 4 4 2
La altura total del conjunto es de 5 ¾ m. hay que saber interpretar correctamente cuál es la situación inicial. = frut.: José compró un kilo y medio de frutillas en la feria. usó. luego se varía la situación inicial agregando/quitando a dicha cantidad otra. interpretación que involucra una determinada secuencia temporal.¾ kg = 1 kg +
Le quedan ¾ kg de frutillas
Diversas investigaciones en el área de la Didáctica de las Matemáticas. Ej. Eso se debe a que. dando lugar a una cantidad final. que compró 1 ½ kg ¿kg? ¿cuánto queda? ¾ kg frut. en este caso. compró . muestran cómo los problemas de cambio. su resolución supone mayores dificultades para los alumnos. Pedestal + alt.
en este tipo de problemas puede ser conveniente determinar cuál de las dos fracciones es la mayor antes de hacer el esquema. J. ½ kg de cebollas y 3 ½ kg de papas. La bebida de Johanna es de ½ l. el cálculo de la solución conlleva a realizar más de una operación. a su vez. pues de lo contrario puede resultar bastante difícil establecer la operación que resuelve el problema.: Jorge fue a la feria y compró 2½ kg de naranjas. ¿Cuál es la diferencia de líquido entre las dos bebidas? 5 Un esquema típico para los problemas de comparación sería:
bebida Johanna ½l
2/ 5 l
beb. lo que trata de indicar que son dos cantidades distintas (indicando de ese modo dos objetos distintos). 1¾ kg de manzanas. donde la barra de la situación final la representamos adosada a la de la situación inicial. mientras 2 que la bebida de Diego es de l. 1¼ kg de zanahorias. de forma que su modelización requiere combinar varios de los esquemas anteriores y.
bebida Diego
dif.: Johanna y Diego se compraron dos bebidas. para indicar que se trata de un mismo objeto que ha variado su medida.2 l = l 2×5 2 5
O sea que la bebida de Johanna tiene 1/10 l más que la bebida de Diego Nótese que en el esquema de comparación aparecen dos barras separadas. Ej. ½ kg de frambuesas. Ej. – beb D.
Son aquellos problemas en los que en el enunciado se combina (de ahí su nombre) más de una acción distinta (juntar/separar. la diferencia.
4 1 2 ×2 l = 5 l l = l 10 10 5× 2 10
1× 5 1 l . = dif. Además. agregar/quitar y/o comparar). a diferencia del problema de cambio. ¿De qué compró
. Para poderlas comparar es conveniente hacer coincidir el inicio de ambas.Problemas de Comparación por diferencia Son aquellos problemas en los que aparece involucrado un determinado conjunto de medidas y las respectivas diferencias entre ellas. Las preguntas típicas asociadas a este tipo de problemas son cuánto más/ cuánto menos o bien.
suelen presentar mejores desempeños cuando se pregunta por el total. problemas de comparación en los que no se pregunte por la diferencia.mayor cantidad.
Tipologías de problemas según la relación entre la modelización y el cálculo que lo resuelve.. que cuando se pregunta por la cantidad inicial o bien. que aquellos por los que se pregunta por una de las cantidades) y al resolver problemas de cambio (presentan un mayor desempeño cuando se pregunta por la cantidad final. problemas de cambio en los que no se pregunte por la situación final o bien. respecto de cuando se pregunta por una de las partes.
. Este no es un hecho aislado. sino que requieren de modelizar previamente el problema. Esta situación responde precisamente a que para poder resolver este tipo de problemas no es suficiente manejar procedimientos de cálculo. de fruta o de verdura? ¿Qué puede comprar para que lleve la misma cantidad de kilos de fruta que de verdura?
naranjas manzanas fram. papas
Total frutas Total verduras
2½ kg + 1¾ kg + ½ kg = 3 kg + 1 kg + ¾ kg = 4¾ kg 1¼ kg + ½ kg + 3½ kg = 4 kg + 1 kg + ¼ kg = 5¼ kg Compró mayor cantidad de verdura que de fruta.
zanahorias ceb . sino que sucede lo mismo al resolver problemas de comparación (presentan un mejor desempeño en aquellos problemas que se pregunta por la diferencia.
5 ¼kg . ½ kg .4 ¾kg = 2/4 kg = ½ kg Puede comprar ½ kilo más de naranjas. la cantidad correspondiente a la transformación). Varias investigaciones realizadas muestran cómo los alumnos.
1 kg. en que la incógnita no sea el total. sino que una de las partes. No es de extrañar que en el proceso de enseñanza rara vez aparezcan problemas aditivos de composición. ¼ kg . en el momento de resolver los problemas de composición. para poder determinar la operación que lo resuelve. dif.
en el caso de los problemas de comparación. la cantidad correspondiente al cambio y se pregunta por la cantidad final. cuando se conoce la cantidad final y la cantidad correspondiente al cambio y se pregunta la cantidad inicial. Por ello este problema es un problema de composición directo. la acción involucrada es la de juntar. implica sumar y el problema se resuelve mediante una suma).: Rayén juntó la harina que tenia en dos paquetes abiertos. entonces sería inverso. dado que presenta una situación en la que dos partes se juntan para formar un total. Por último. y se pregunta por la otra parte. Si en lugar de preguntar por el total. estos son directos cuando se dan las cantidades y se pregunta por la diferencia.: Rayén juntó la harina que tenía en dos paquetes abiertos. Para ello clasificamos los problemas en directos e inversos. la incógnita del problema hubiese sido una de las partes. Si uno de los paquetes tenia ¾ kg de harina. y son inversos cuando se da una de las cantidades y la diferencia. Pongamos un ejemplo de ello: Ej. Son inversos cuando se da una parte y el total. hecho que efectivamente es así. para calcular la cantidad de harina del otro paquete es necesario restar a la cantidad total de harina la parte correspondiente a uno de los paquetes. Por otro lado. los problemas de composición son directos cuando se conocen las partes.
. mientras que en los problemas inversos sucede lo contrario. y se pregunta por la otra cantidad. por ejemplo: Ej.En esta unidad proponemos introducir un tipo de clasificación que permite caracterizar la problemática que está detrás de los hechos anteriormente descritos. y se pregunta por el total (dado que juntar. ¿cuántos kilos de harina juntó? Este es un problema de composición. en casos en que la acción involucrada es de juntar (dado que la acción se modeliza mediante una suma. ¿cuánta harina tenía el otro paquete? Este problema es inverso por el hecho de que pese a que la acción de Rayén fue la de juntar. los problemas de cambio suelen ser directos cuando se conoce la cantidad inicial. Habitualmente. Los problemas directos son aquellos en que la operación a efectuar para poder calcular la cantidad incógnita del problema coincide con la operación que corresponde a la acción involucrada en el enunciado. obteniendo 1¼ kg. sin embargo el problema se resuelve con una resta). y suelen ser inversos cuando se conoce la cantidad final y la cantidad inicial y se pregunta por la cantidad correspondiente al cambio o bien. La propia acción involucrada en el problema (unir) sugiere que el problema se resuelve con una adición. Si uno de los paquetes tenía ¾ kg de harina y el otro ½ kg.
enfatiza que en la Unidad Didáctica van a trabajar con interpretaciones de la fracción como medida. O sea 2/6 + 3/6 = 2 “sextos” + 3 “sextos” = 5 “sextos” = 5/6 El hecho de que los denominadores se conserven puede justificarse apelando a que el “sexto” de tira tiene un tamaño fijo. Por ejemplo.: Calcular el largo de unir una franja de 2/6 de tira con una de 3/6 de tira. estudiarán técnicas para sumar y restar fracciones con distinto denominador. mientras que 3/6 son 3 piezas de “un sexto”. con ayuda del material concreto de que disponen. La etapa se inicia con un breve recordatorio del significado de una fracción en el contexto de la medida. Si alumnas y alumnos manejan la interpretación de la fracción como medida. puede preguntar a su curso por el significado de 2/5 m. resulta bastante fácil de argumentar. se procede a iniciar la primera parte de la Actividad 1 de la Ficha 1 : “armando franjas de un solo color”. al juntar ambas cantidades obtengo 5 piezas de “un sexto” lo que resulta ser 5/6.…PRIMERA ETAPA
En esta etapa niñas y niños resuelven problemas aditivos directos en los que es necesario calcular sumas y restas de cantidades fraccionarias. 31
. y que los apoye recordándoles la noción de fracción en el contexto de medida. La etapa culmina con el algoritmo del “producto de denominadores”. El propósito de esta actividad es que los estudiantes hagan explícito el procedimiento que utilizan para calcular la suma de dos fracciones de denominadores iguales. 2/6 son 2 piezas de “un sexto”. Sugerimos que cada docente preste especial atención a quienes presenten dificultades al resolver la primera parte de la Actividad 1. Luego. a lo que se espera que respondan que es dos veces 1/5 de m. este procedimiento no debiera plantearles mayores dificultades. Además de sumar y restar fracciones con igual denominador. Ej. cambio y comparación. A lo largo de la etapa se van aplicando los procedimientos construidos a problemas aditivos simples directos de composición. determinado por el tamaño de la tira unidad. De hecho. que el numerador de la fracción resultante corresponde a la suma los numeradores. y luego de escuchar varias respuestas. mientras que el denominador es igual a los denominadores de los sumandos. Se pondrá especial dedicación al estudio de los procedimientos para sumar y restar fracciones. antes de pasar a la segunda parte de la actividad. por tanto.…. o sea. con lo que 1/5 de metro es aquella longitud que repetida cinco veces es 1 metro. la profesora o el profesor puede preguntar ¿qué significa 1/5 de metro?.. Una vez recordada la interpretación de la fracción en el contexto de la medida.
La segunda parte de la Actividad 1. lo que da 7 y luego escriban 7/6 o bien.: Calcular el largo de unir una franja de 2/6 de tira con una de 5/12 de tira 2 piezas de “un sexto” más 5 piezas de “un doceavo” Es posible que. puede preguntarles: ¿Por qué la pieza naranja es 1/6 de tira? ¿Cuántas veces cabe dicha pieza en la tira? ¿Cómo puedo construir una pieza de 5/6 de largo si solo dispongo de una pieza de 1/6? Antes de pasar a la segunda parte de la actividad es importante que el profesor o profesora haga una breve puesta en común de los resultados y dé un ejemplo de cómo desarrollar el problema con el material concreto: Ej. Frente a esta situación cada docente puede indicar que los “sextos” son “sextos” y los “doceavos” son “doceavos” y que 1/6 y 1/12
.Por ejemplo. varios alumnos y alumnas sumen el 2 con el 5. esta puede ser una herramienta para los estudiantes cuando se vean enfrentados a la tarea de sumar cantidades fraccionarias con denominadores distintos. en este caso las fracciones que aparecen tienen denominadores distintos. sin embargo.: Calcular el largo de unir una franja de 2/6 de tira con una de 3/6 de tira
ya que si bien en este caso la representación puede jugar más bien un rol de justificación del procedimiento. plantea una problemática muy similar a la de la primera parte. 7/12 o bien. en esta situación. 7/18. en la segunda parte de la actividad. de forma que el procedimiento anterior ya no es válido y por tanto hay que construir otro. Ej.
En el caso de algunos estudiantes que no sepan qué hacer. Entonces. en el segundo caso que los 2/6 han sido considerados en la suma como 2/12.tienen tamaños distintos. puede pedirles que traten de argumentar por qué ninguna de las respuestas anteriores es correcta. dado que tienen el material disponible. lo que es absurdo. registrando en la pizarra los diferentes métodos. ya que las piezas de “un sexto” son más grandes que las de “un doceavo”. Son apropiadas preguntas como: Bueno. no se pueden sumar. se puede realizar una puesta en común. por el hecho de que la primera respuesta significa que los 5/12 han sido considerados en la suma como 5/6 lo que da un resultado erróneo. y en el tercer caso que tanto los 2/6 como los 5/12 han sido considerados en la suma como 2/18 y 5/18. De ese modo se espera que concluyan que los 2 “sextos” no se pueden sumar directamente con los 5 “doceavos”. De hecho. pero utilizando piezas de un solo color. La idea es que alumnas y alumnos se den cuenta de que las tres respuestas son erróneas. pero ¿a cuantos doceavos equivale cada sexto? Si se miden los 2/6 utilizando piezas de 1/12. de un solo tamaño. Sugerimos aprovechar el material concreto para representar un esquema similar al siguiente en el pizarrón. Se sugiere que una vez que hayan establecido algún argumento que descarte las respuestas anteriores. Es de esperar que emerjan en manos de los estudiantes determinados procedimientos para calcular las sumas de fracciones planteadas en la actividad. esquema típico de los problemas aditivos simples de composición. pueden tratar de construir una franja de la misma longitud que la de la franja bicolor que quieren medir.
1 6 1 12 1 12
. ¿qué se obtiene? Cuando la mayoría del curso haya encontrado la solución. el docente puede formular preguntas para que deduzcan que es necesario expresar una (o ambas) de las cantidades mediante una fracción equivalente. comprueben dichas respuestas representándolas con el material concreto. de forma tal que los denominadores de ambos sumandos resulten iguales. por lo tanto.
1. rojo o lila. salvo en la combinación de colores rojo con verde. Esto es similar al procedimiento de cálculo que se usa en los números naturales para sumar 9. ¿por qué se pudo hacer dicho reemplazo? Porque tanto 2/6 como 4/12 expresan exactamente la misma cantidad. sumando 10 y quitando 1. Pero. cuyo denominador es el mismo que el del otro sumando. alumnas y alumnos se apropien de la idea de que para sumar dos cantidades fraccionarias. o sea. el 9 es equivalente al 10 . verde. cuyos denominadores sean iguales.
. Recordemos que las dimensiones de las piezas de esos colores son:
verde 1/3
naranja 1/6
lila 1/12
de forma que.Preguntar: ¿Qué es lo que se hizo para poder sumar los 2/6 con los 5/12? Se espera que respondan que se reemplazó la fracción 2/6 por la fracción 4/12. tiene la intención de que aparezcan combinaciones aditivas de fracciones tales que un denominador sea múltiplo del otro. De ese modo es más fácil que surja del alumnado la idea de reemplazar un sumando por una fracción amplificada. Este procedimiento podría escribirse numéricamente así:
2× 2 6× 2
2 5 4 5 9 + = + = 12 12 12 6 12
Se espera que con la discusión de los resultados. primero estas deben expresarse mediante fracciones equivalentes a cada una de ellas. son fracciones equivalentes. en todas las demás la combinación aditiva de fracciones que aparece es tal que un denominador es múltiplo del otro. El hecho de restringir el uso de las piezas a los colores naranja. o sea.
De ese modo los denominadores de las fracciones que cuantifican a cada sumando no serán uno múltiplo del otro. pueden ser medidas con alguna de las piezas del material concreto de menor tamaño ( con “doceavos” en el caso de amarillo-verde y amarillo naranja. Es conveniente que recurran al uso del material concreto para representar la situación. teniendo como datos el tamaño de la pieza original y el de uno de los pedazos. El propósito de esta actividad es que los alumnos adopten un procedimiento similar al desarrollado para sumar fracciones. La Actividad 2 de la Ficha 1 les propone una tarea muy similar a la anterior. de tal forma que uno de los pedazos 2
1 de tira. de forma que se familiaricen con el uso de esquemas. amarillo-naranja. Este es un problema simple de composición directo. para resolver el problema siguiente: Ej. ¿Cuál es la medida del otro pedazo? 3
Usando el material concreto podría hacerse este esquema:
. las franjas formadas por las combinaciones de colores anteriores. y con “décimos en el caso de azul-rojo”) lo que posibilita que alumnas y alumnos resuelvan el problema utilizando el material concreto. y que expliciten por escrito los cálculos que realizan. La etapa continúa con la Actividad 3 de la Ficha 2. lo que complica bastante el problema. el profesor o profesora puede ampliar la Actividad 1 sugiriéndoles que formen franjas de colores amarilloverde. Sin embargo. pero en esta ocasión se sugiere que trabajen individualmente y sin hacer uso del material concreto. ya que dicha actividad tiene como propósito que el alumnado adquiera cierto grado de seguridad y destreza en los procedimientos que están desarrollando para sumar fracciones de distinto denominador. sobre todo en los dos primeros cálculos. que se resuelve con una resta. en la que se les propone resolver el problema de cuantificar uno de los pedazos que se obtienen al partir una determinada pieza en dos. Esta actividad no debiese presentar mayores dificultades. azul-rojo. pero en este caso lo generalicen a sumas y restas. Por ejemplo.A quienes resuelven la actividad sin mayores dificultades. considerando que en la clase anterior los estudiantes desarrollaron un procedimiento para la suma de fracciones.: Se cortó otra pieza de que obtuvo mide de
1 de tira en dos pedazos.
En particular. en estos casos el problema está planteado de forma inversa. Por ejemplo. sin utilizar el material concreto. si es necesario. la fila e) plantea una situación donde las cantidades vienen expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. Por un lado. de forma que el denominador de una de ellas es múltiplo del denominador de la otra. el problema planteado en la fila k) incorpora. los casos planteados en las filas d) y k) son los de mayor dificultad de resolución. no son múltiplos el uno del otro. amplificando ambas fracciones:
1 1 1× 3 1× 2 3 2 1 = − = − = − 2 3 2×3 3× 2 6 6 6
Luego. Dentro de la tabla.1 2 1 3
y luego buscar cómo completar el 1/3 con otras piezas de forma de llegar a obtener el ½. dos procedimientos distintos para sumar y restar fracciones con denominadores distintos. Una vez completadas. los corrigen. lo que puede suponer una mayor dificultad. dado que además de que los denominadores de las fracciones involucradas son distintos. sin embargo. Aquí nuevamente se sugiere que se pida al alumnado que busquen un procedimiento para poder anticipar el resultado. por ejemplo. Sucede lo mismo con las cantidades que aparecen en las filas g) e i). La Actividad 4 propone que discutan y comparen. por parejas. se pide que traten de completar las medidas que faltan en la tabla. podríamos usar una pieza de 1/6. por lo que debieran ser de resolución relativamente simple. Las filas a) y c) plantean situaciones en que las cantidades involucradas están expresadas mediante dos fracciones. Finalmente. además. el 36
. los estudiantes comprueban cada uno de los resultados utilizando el material concreto y. la dificultad de que la solución del mismo no se puede formar con ninguna de las piezas del material concreto.
y que traten de representar el proceso de resolución de cada uno mediante un esquema. El primero es un problema de composición simple. Este procedimiento asegura que las dos fracciones amplificadas tengan denominadores iguales. El otro procedimiento consiste en amplificar una fracción por un factor igual al denominador de la otra y viceversa. y preguntando a los alumnos cómo podrían demostrar que ambos resultados son iguales. Es importante hacer notar al curso que no todos los esquemas son iguales.
. a medida que avanza el estudio de la unidad. los problemas van siendo cada vez más complejos. Si bien en este tipo de problemas el esquema juega un rol más bien de carácter justificativo. para lo cual basta con amplificar por 2 las fracciones obtenidas por Paula. La actividad finaliza con una puesta en práctica de ambos procedimientos. sino que cada esquema trata de reflejar de forma comprensible la relación entre los datos y el valor a calcular que se establece en el problema. La etapa prosigue con la Actividad 5 de la Ficha 3. en el que se pregunta por la diferencia. de forma que los esquemas pasan a ser de gran utilidad para resolverlos. se reemplazan los sumandos originales por las fracciones amplificadas y se procede a sumar dichas fracciones. preguntando cómo identificaron las operaciones que había que hacer para resolver los problemas y qué operaciones utilizaron para resolverlos. Luego. mientras que el tercero es un problema de comparación. Después de la discusión por parejas.procedimiento de amplificar sucesivamente cada una de las fracciones hasta encontrar dos fracciones equivalentes a cada uno de los sumandos. ya que en ambos casos el denominador es el producto de los dos denominadores. mientras que el segundo es un problema de cambio compuesto (involucra más de una operación). Se les pregunta cómo son los problemas que han estudiado en la clase y se les pide que den un ejemplo. Luego realizan los cálculos planteados en la Actividad 6. el docente realiza una puesta en común caracterizando cada método y su validez. de forma que tengan denominadores iguales. Se les puede sugerir que traten de representar el problema con el material concreto del que disponen. Se espera que sean los propios alumnos quienes se den cuenta de que los resultados de Juan son equivalentes a los resultados de Paula. donde se propone que resuelvan tres problemas aditivos. Cierre de la etapa 1 En parejas realizan la Actividad 7: “Resumiendo lo aprendido” En este momento de cierre se sistematizan los conocimientos que aparecieron en la etapa.
puesto que en algunos casos es relativamente sencillo identificar las operaciones que los resuelven. ya que ambas cantidades están expresadas mediante un mismo fraccionamiento de la unidad. Para sumar o restar dos cantidades fraccionarias que no están expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. y luego la segunda por un factor igual al denominador de la primera. se amplifica una o ambas fracciones hasta lograr que ambas cantidades queden expresadas con denominadores iguales. con sus palabras. mientras que en otros resulta más complejo. Se estimula que digan cómo calcularon las sumas y las restas con fracciones. afirmaciones del tipo:
Para poder sumar y restar dos cantidades fraccionarias con denominadores iguales. en sus palabras. Es importante identificar a quienes se equivocaron al sumar o restar fracciones y cuál fue el error o errores. las dos fracciones amplificadas que se obtienen tienen denominadores iguales.Se espera que niños y niñas digan. que: • Son problemas en que hay que realizar una o más operaciones para resolverlos.
. qué dificultades tuvieron para hacerlo y que discutan sobre la eficacia de los procedimientos que usaron. de forma que nos ayude a determinar la o las operaciones a realizar. Dichos denominadores son precisamente el producto de los denominadores de las fracciones sin amplificar originales. ya sea sumas o restas. Se espera que niños y niñas formulen. reduciendo el problema al caso anterior. • Hay problemas más difíciles que otros. Dadas dos fracciones con denominadores distintos. si se amplifica la primera por un factor igual al denominador de la segunda. Los procedimientos de suma y resta de cantidades fraccionarias son parecidos a los de comparación de fracciones. ya que en ambos casos es necesario expresar previamente ambas cantidades mediante fracciones equivalentes que tengan un mismo denominador. En estos casos podemos hacer un esquema que exprese gráficamente la relación entre los datos del problema y la cantidad que hay que calcular. se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador.
…..…SEGUNDA ETAPA
En esta etapa se pretende que niñas y niños activen los conocimientos que aprendieron años anteriores para resolver problemas aditivos directos e inversos de composición, de cambio y de comparación, en los que es necesario calcular sumas y restas de cantidades fraccionarias. Además, se promueve que desarrollen algoritmos para sumar y restar números mixtos y utilicen dicha notación, ya que con esta se simplifican bastante los cálculos de sumas y restas cuando las cantidades involucradas son relativamente grandes. En esta etapa aparecen de forma incipiente algunos problemas aditivos de composición y de cambio directos que involucran más de dos datos. La etapa se inicia planteando a los alumnos una pregunta similar a la siguiente: Ej.: Se tiene un mástil de 71/4 m. ¿Qué significa 71/4 m? El profesor(a) deja que los alumnos respondan. Se espera que sepan interpretar dichas cantidades como 7 metros y ¼ de metro, o sea, la longitud resultante al agregarle a 7 1⎞ ⎛ metros ¼ de metro, es decir, ⎜ 7 + ⎟ metros. Se consensúa con el curso una 4⎠ ⎝ interpretación válida de 71/4 m. Luego, el docente plantea la pregunta siguiente: Si situamos ese mástil encima de un pedestal de 41/4 m, ¿qué altura medirá el conjunto? Pide que resuelvan el problema por parejas. Se espera que emerja en manos de los alumnos el procedimiento para realizar el cálculo de dicha suma, ya que basta con utilizar la interpretación del significado del número mixto y las propiedades conmutativa y asociativa de la suma (propiedades que los alumnos ya manejaban en la suma de naturales, por ejemplo, cuando realizaban la descomposición canónica de un número con el propósito de efectuar sumas y restas) para poder realizar el cálculo. El hecho de que la parte fraccionaria de ambas cantidades tenga un mismo denominador facilita notoriamente el cálculo. Es muy probable que una gran mayoría del curso haga un cálculo similar al siguiente:
7 + 4 = 13, y
1 1 2 + = , con lo que el resultado es 13 y 2/4 , o sea 13 2/4 , o bien 13 1/2 4 4 4
En este momento se sugiere que el alumnado realice una puesta en común de los resultados, los comparen y establezcan aquellos que son correctos. Recomendamos no intervenir demasiado en la discusión para que no establezcan todavía ningún procedimiento para calcular la suma de dos números mixtos. Sugerimos no hacer preguntas con la intención de formalizar los procedimientos desarrollados por alumnas y alumnos, pero sí proponer que traten de resolver, en parejas, los problemas de la Actividad 8, Ficha 4. Decir que, si lo desean, pueden utilizar las piezas de colores para resolver los problemas o bien, para comprobar el resultado que han obtenido. Se hace una puesta en común de los resultados, pidiendo que expliquen cómo reconocieron la operación que resuelve el problema, cómo realizaron el cálculo y cómo comprobaron el resultado con las piezas de colores. Aquí los estudiantes podrían proponer explicaciones basadas en la utilización de esquemas. Por ejemplo, si tratamos de resolver el Problema 1 de la actividad usando piezas, podríamos dibujar un esquema parecido al siguiente:
Trozo 2 ¼
Reordenando las piezas
3m + 3 1 1 m + m o sea 3 m + m 4 4 2
, es decir 3 ¾ m .
Comprobación del resultado representando el problem con las piezas a
½ ¼ ¼¼
Largo de la tela cosida Largo de la respuesta
Dado que ambos largos coinciden la respuesta es correcta
Si observa que la mayoría tiene grandes dificultades en resolver los problemas de la Actividad, sugerimos que haga la puesta en común de los dos primeros problemas y deje tiempo para que resuelvan los siguientes. Se espera que, en la puesta en común, los estudiantes se den cuenta de que el procedimiento que utilizan para comprobar el problema mediante el material concreto aparece a su vez representado el esquema del problema y que pueden utilizar el material como una herramienta de resolución, sin necesidad de hacer ningún cálculo.
Por ejemplo, en el caso del problema 2, se pregunta por la diferencia; sin embargo, el hecho de que la pregunta sea ¿Cuánto más mide Marco que Keno? puede confundir a algunos estudiantes, puesto que asocian la palabra “más” a la suma. Por ello es importante que dibujen esquemas que les permitan obtener la información sobre el cálculo que hay que efectuar para resolver el problema. Si lo representamos mediante un esquema hecho con las piezas, se obtiene un dibujo similar al siguiente:
Altura de Marco
Altura de Keno
de forma que para resolver el problema, basta con encontrar la o las piezas que hay que añadir a la barra que representa la altura de Keno para que se iguale con la altura de Marco. En este caso se logra añadiendo una pieza de 1/12, con lo que la respuesta es que la diferencia es de 1/12. Si bien es cierto que es importante que alumnas y alumnos reconozcan este procedimiento como válido, a su vez es importante que se den cuenta de sus limitaciones. Por ejemplo, ¿qué pasaría si la diferencia de estaturas entre Keno y Marco hubiese sido de 3/7 m?, ¿la habríamos encontrado con el material concreto que tenemos disponible? o bien, si las cantidades a representar son muy grandes, ¿tendríamos piezas suficientes? Pese a estas limitaciones, siempre que se tengan las piezas necesarias para representar los datos y la solución del problema, este procedimiento puede ser un buen método para comprobar el resultado, dado que además de dar mayor seguridad a los alumnos en sus procedimientos de cálculo (otorgándoles la posibilidad de que ellos mismos corrijan sus errores), a su vez sirve para potenciar el uso de los esquemas. La Actividad 9 tiene el propósito de que los alumnos afiaten los procedimientos de cálculo que han ido desarrollando para sumar y restar números mixtos. La idea es que trabajen esta actividad en forma individual y vayan verificando sus respuestas con el material concreto, a medida que realizan los cálculos. De ese modo, pueden apoyarse en el material como ayuda para resolver aquellos apartados que no saben resolver de otro modo. Es muy probable que dicha resolución les entregue las pistas necesarias para elaborar un procedimiento sin necesidad de utilizar el material concreto.
al sumar las partes fraccionarias de los distintos sumandos. sin embargo. De estos tres casos. las sumas de las partes fraccionarias exceden una unidad. Si bien este discurso es cierto. basta con utilizar la definición de número mixto para escribir dicha suma como (2 + 1/5) + 2/5. sugerimos que deje un espacio para que hagan una puesta en común de los procedimientos que han desarrollado para realizar los cálculos. que por definición es el número mixto 2 3/5 . Usualmente. dado que a veces. la fracción obtenida es una fracción impropia. se tiende a reducir el algoritmo de suma/resta de números mixtos a que se suman/restan las partes enteras y luego se suman/restan las partes fraccionarias. ya que 4 + 5/6 es por definición 4 5/6 y para calcular 21/5 + 2/5. al tener ambas partes fraccionarias denominadores iguales. puesto que a pesar de la reserva. podemos afirmar que dicha suma es la misma que 2 + (1/5 + 2/5) de manera que obtenemos 2 + 3/5. por lo que es necesario convertir el resultado de la suma de las partes fraccionarias a número mixto para poder expresar el resultado correctamente. ya que para sumar las partes fraccionarias se hace necesario expresarlas previamente mediante denominadores iguales. lo que hace un poco más complejo el cálculo. traspasar unidades
. al restar dos números mixtos. Veamos algunos ejemplos de posibles procedimientos para realizar los cálculos que aparecen en la Actividad 9. Algo similar sucede en el caso c). con lo que hay que reescribir dicha fracción como número mixto. entonces no es posible efectuar la resta de las partes fraccionarias con lo que es necesario descomponer aditivamente el minuendo. pero dado que la suma es asociativa. Igualmente. de tal forma que sea posible efectuar la resta. de hecho. En esta etapa del estudio los cálculos a) y b) no debiesen presentar dificultades. ya que al sobrepasar la unidad. Resolvamos el cálculo g) como ejemplo de suma de números mixtos con reserva: 3 2/3 + 1 4/5 = 3 + 2/3 + 1 + 4/5 = 3 + 1 + 2/3 + 4/5 = 4+
/15 + 12/15 = 4 +
/15 = 4 +
/15 + 7/15 = 5 7/15
En los casos de sumas de números mixtos. si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo. resulta bastante fácil la búsqueda del denominador común dado que uno es múltiplo del otro. Consiste en. g) e i). que contrasten dichos procedimientos y que establezcan equivalencias entre ellos. es una suma con reserva. la técnica de “completación de unidades por trasvasije” resulta bastante útil para simplificar los cálculos. En los casos de sumas e). no es suficiente. dado que basta con usar el significado de número mixto para hacer correctamente el cálculo.Una vez que la mayoría haya terminado de realizar y verificar sus cálculos. el e) resulta ser el más sencillo. y añadir dicha parte entera al resultado de la suma de las partes enteras de los sumandos. una vez que las dos partes fraccionarias ya están expresadas con iguales denominadores. la suma de las partes fraccionarias debe descomponerse en parte entera y parte fraccionaria. salvo que en él las cantidades fraccionarias tienen denominadores distintos. se simplifica el procedimiento de la suma.
Si nos fijamos bien. f). ¿pero qué significa quitarle a una determinada cantidad 1 3/10?. por tanto la suma ha disminuido. puesto que si traspasamos una unidad de un numerador a otro obtenemos 3/5 + 4/6. Sin embargo.del numerador de una de las partes fraccionarias a la otra. en el cálculo anterior al sumar los 10/15 con los 12/15 era previsible que dicha suma pasara de los 15/15 (o sea. es posible que emerja en la etapa siguiente. por lo que le sugerimos que en esos casos haga preguntas del tipo: Bueno. no sucede lo mismo si las fracciones son 4/5 + 3/6. Si bien el procedimiento para restar números mixtos es bastante similar al de la suma (dado que se restan las partes enteras y las partes fraccionarias). pues de lo contrario se estaría modificando la cantidad. suma que no es igual a la anterior. que lo que se quita al minuendo no es solo la parte entera del sustraendo.1 3/10 = (2 + 7/10) . requiere de una explicación algo más compleja el hecho de que el signo negativo de resta no solo afecte a la parte entera del sustraendo. o sea. se ha quitado más cantidad de la que se ha añadido.1) + (7/10 . En el caso de la suma anterior la aplicación de esta técnica consistiría en traspasar 3 unidades del numerador 10/15 al numerador de 12/15. para que se comparta con el curso. Al emplear la técnica del trasvasije entre fracciones es necesario tener siempre presente que para poder traspasar unidades del numerador de una fracción a otra. Comprender la aparición del signo menos entre las partes fraccionarias puede resultar un poco complejo para algunos alumnos. que fuera mayor que la unidad). h) y j). puesto que en este caso se ha quitado 1/5 a un sumando y se le ha añadido 1/6 al otro sumando. o sea. 4 + 10/15 + 12/15 = 4 + 7/15 + 15/15 = 5 7/15 Si bien puede ser que dicha técnica no emerja en este momento en manos de los alumnos. tuvo que ser reexpresado como 1 7/15.3/10). La aplicación de la técnica del trasvasije consiste en traspasar unidades de un numerador a otro con el fin de completarlo a la unidad. para completar una unidad (15/15). tengo que quitarle más de una unidad?
. ¿tengo que quitarle una sola unidad o bien. de forma que el cálculo 2 7/10 . y a su vez esta es la misma que 1/6 + 6/6. de forma que el resultado de 22/15. ambas tienen que tener denominadores iguales. con el propósito de obtener una unidad. donde los cálculos implican una mayor cantidad de sumandos. En primer lugar. sino que también a la parte fraccionaria. presenta ciertas peculiaridades que merecen una especial atención. y en ese caso la técnica se vuelve cada vez más útil. sino también la parte fraccionaria. Los cálculos d). Está claro que 4/6 + 3/6 es la misma cantidad que 3/6 + 4/6 y esta es la misma que 2/6 + 5/6.(1 + 3/10) se convierte en (2 . son restas de números mixtos. es decir. O sea. Le sugerimos poner atención a si algún alumno o alumna plantea esta forma de resolución. dado que en todos los casos se ha quitado 1/6 a un sumando y se le ha añadido 1/6 al otro sumando.
en ambos casos. Una forma de hacer dicha resta es descomponiendo aditivamente el minuendo (3) en (2+1) y luego expresando la unidad como 4/4. el cálculo de la resta se complica un poco más. para ver cuál es la mayor y luego efectuar la operación.2 5/8 . la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo.7 2/3 = 12
15 ⎞ 16 ⎞ ⎛ ⎛ /24 . podemos comparar las fracciones 5/8 con 2/3. Esto se debe a que. Por ejemplo.7 16/24 = ⎜12 + ⎟ − ⎜7 + ⎟ = 24 ⎠ 24 ⎠ ⎝ ⎝
24 15 ⎞ 39 ⎞ 23 ⎛ ⎛ 16 ⎞ ⎛ ⎛ 16 ⎞ ⎛ 39 16 ⎞ + ⎟ − ⎜ 7 + ⎟ = ⎜11 + ⎟ − ⎜ 7 + ⎟ = (11 − 7 ) + ⎜ − = 4 23/24 ⎜11 + ⎟ = 4+ 24 24 ⎠ 24 ⎠ 24 ⎠ 24 ⎠ 24 24 ⎠ 24 ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝
Como se puede apreciar. restar dos números mixtos puede resultar un procedimiento bastante engorroso. no siempre resulta sencillo predecir cuál de las partes fraccionarias es la mayor. Esta técnica se basa en
. dado que en estos casos la regla de restar las partes enteras y luego las partes fraccionarias no es suficiente. tal y como mostramos a continuación: 3 3 /8 . en el cálculo 12 5/8 . De ese modo el cálculo se efectúa de la forma:
3 − 1 4 1 3 = 2 + − = 2 + = 2¾ 4 4 4 4
Algo similar sucede en el caso de la resta 3 3/8 . Una técnica de cálculo que puede simplificar notoriamente dicha tarea es por “completación del sustraendo por traslado de la diferencia”. de modo que podemos escribir:
12 5/8 . descomponiendo el 3 en 2+1. dado que no es posible quitarle 5/8 a 3/8. En esos casos resulta conveniente expresar primero ambas cantidades fraccionarias mediante fracciones equivalentes que tengan denominadores iguales. si es necesario descomponer el minuendo o no. y en consecuencia no se puede efectuar dicha resta.2 5 /8 = ⎛ 3 + 3 ⎞ − ⎛ 2 + 5 ⎞ = ⎛ 2 + 8 + 3 ⎞ − ⎛ 2 + 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 8 8⎠ ⎝ 8⎠
11 ⎞ 5⎞ 5⎞ 6 3 ⎛ 11 ⎛ ⎛ = − ⎟ = = ⎜2 + ⎟ − ⎜ 2 + ⎟ = (2 − 2 ) + ⎜ 8 ⎠ 8⎠ 8⎠ 8 4 ⎝8 ⎝ ⎝
En los dos casos anteriores era predecible la necesidad de incrementar la parte fraccionaria en una unidad para poder hacer la sustracción de las partes fraccionarias. añadiendo el 1 al 3/8.En los casos f) y h). en el caso de la resta 3 – 1/4 el minuendo no tiene parte fraccionaria. Por ejemplo. Para ello amplificamos los 5/8 por 3 y los 2/3 por 8. En este caso se podría resolver de forma similar a la anterior. y luego efectuando la resta. Sin embargo. con lo que es necesario restar el ¼ al 3. de forma que obtenemos las fracciones equivalentes 15/24 y 16/24 respectivamente. y por ende.7 2/3 .
En realidad. De esa forma la resta que en realidad se hace es 355 – 137. De hecho. conocida en los naturales como “el traslado de la diferencia”.(2 + 5/8 + 3/8) = 3 6/8 . ¿Cómo aprovechar dicha propiedad en el cálculo de restas con números mixtos? Pues añadiendo a las partes fraccionarias el complemento a la unidad de la parte fraccionaria del sustraendo. Esta misma técnica aplicada al cálculo de 3 3/8 . si se aplica dicha técnica en el caso de las tres restas anteriores obtenemos los cálculos siguientes: 3 – ¼ . Es posible que algunos alumnos y alumnas hayan utilizado anteriormente una técnica similar en las restas de números naturales.la propiedad de que al añadir (o quitar) una misma cantidad al minuendo y al sustraendo. pero descompuesta en (300 + 40 + 15) – (100 + 30 + 7). parte fraccionaria del sustraendo ¼. o sea que se incrementó el minuendo y el sustraendo en 10 unidades.2 5/8 = (3 + 3/8 + 3/8) . lo que se hace es añadir diez unidades al minuendo y al sustraendo. dado que al añadir (o quitar) la misma cantidad a ambos términos la distancia entre ellos no varía. mientras que en el sustraendo se agrega una decena en la posición correspondiente. Veamos un ejemplo de ello para restar:
345 .3 =
procedimiento que puede ser ilustrado mediante un dibujo en la recta numérica
.2 5/8 sería: 3 3/8 . la diferencia se conserva. complemento a la unidad ¾. con lo que se obtiene 3 ¾ . se añaden ¾ al minuendo y al sustraendo.1 o sea 2 ¾. con la diferencia de que en el minuendo las diez unidades se agregan a la posición unidad. Por ejemplo. una forma muy extendida en el sistema escolar de efectuar restas entre naturales con reservas utiliza esta propiedad.
8 = 5 1/24
donde además se ha aplicado la técnica de la “completación por trasvasije”. Una forma de sumar/restar números mixtos es que se pueden convertir ambos números en fracciones. el cálculo sería: 12 2/3 . De todos modos puede simplificar los cálculos. si la resta a efectuar hubiese sido 12 2/3 .8 = 4
x 36/8
La ventaja de dicha técnica es que no es necesario establecer cuál de las dos partes fraccionarias es mayor.0
25/8 x
33/8 x
25/8 + 3/8
33/8 + 3/8
El último cálculo utilizando esta técnica se podría resumir en: 12 5/8 . ya que desaparece la resta entre las partes fraccionarias y en su lugar aparece una suma de fracciones en el minuendo. para poder restar las partes fraccionarias hay dos procedimientos. El profesor o profesora hace un pequeño cierre con lo que se ha visto hasta ahora. ya que se puede aplicar independientemente de que haya o no reserva en la resta. uno es prestarle una unidad del entero a la parte fraccionaria del minuendo. el otro es trasladar la diferencia añadiendo al minuendo y al sustraendo la fracción que completa el sustraendo a un número entero. se propone que por parejas. Si en la resta la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo. hay que “pasar” una unidad de la fracción resultante de la suma al entero.7 5/8 .8 = (12 +
/24 + 9/24) .7 2/3 = (12 + 5/8 + 1/3) .
.8 = (12 +
/24 + 1/24) . realicen la Actividad 10. Una vez finalizada la puesta en común de los diversos procedimientos de cálculo utilizados. se suman/restan las fracciones y luego se convierte nuevamente el resultado a número mixto. destacando que hay varios procedimientos para sumar y restar números mixtos. Otra forma es sumar/restar las partes enteras y las partes fraccionarias.7 5/8 = (12 + 2/3 + 3/8) . Por ejemplo. en la que estudian diversos procedimientos de resolución y los explican a sus compañeros. En este caso hay que tener la precaución de que si la suma de las partes enteras es mayor que la unidad.
en la que se propone al alumnado resolver individualmente tres problemas aditivos. El problema 3 es un problema de cambio simple directo. y por otro parece la palabra “menos” asociada a la diferencia. en primer lugar.La etapa continúa con la Actividad 11. Sin embargo. el problema se resuelve mediante una resta. dado que por un lado los problemas de diferencia suelen resolverse mediante una resta. la diferencia y el sentido de la diferencia. el problema requiere establecer uno de los famosos principios de Arquímedes que dice que “Al sumergir completamente un sólido. La segunda
. donde los datos son la cantidad que compró Fanny. se equivoquen. Es inverso. este desplaza un volumen de líquido equivalente a su volumen”. principio que permite medir fácilmente el volumen de cualquier sólido independientemente de su forma (siempre y cuando se pueda sumergir). puesto que pese a que se pesan juntos. lo que refuerza aun más la idea de que hay que efectuar una resta entre los datos del problema. Es muy probable que aquellos alumnos que no se representen el problema mediante algún tipo de esquema que les ayude a dilucidar el cálculo que lo resuelve. El primer problema es un problema de composición donde los datos son el peso total y el peso de una de las partes. Su dificultad reside fundamentalmente en dos aspectos. un posible esquema para dicho problema sería:
Peso de la Mamá con el bebé
Peso de la Mamá
El segundo problema es un problema de comparación inverso. representar la relación entre datos e incógnita mediante un esquema
Compra de Fanny Diferencia
Compra de Mauro
evidencia que el cálculo que resuelve el problema es la suma entre los datos. en el que se da la situación inicial y la situación final.
que se acerquen lo más posible a dicho peso. sino que hay que agrupar los libros de tal forma que los paquetes formados no pasen de los 3 kg de peso. Se puede proseguir con el siguiente más pesado de la lista. así que podemos juntarlo con el libro más pesado que va quedando. y a su vez. entonces se podría hacer un solo paquete con ese libro. con la complejidad de que no se trata de calcular la suma de las partes. Luego.dificultad es que es necesario interpretar correctamente el nivel del agua en la escala graduada para obtener los datos. junto a otro que pesara ½ kg o menos.
. Ese libro se puede juntar con cualquiera que pese menos de 1½ kg. juntándolos todos. ya que ambos pesan menos de medio kilo. por lo que se puede armar un tercer paquete. “Charlie y la fábrica de chocolate” que pesa 1½ kg. este no llega a 3 kg. De hecho. Para tener éxito en este problema los estudiantes tienen que tener una cierta habilidad de estimar aproximadamente si una determinada combinación de libros excederá o no los 3 kg. De lo contrario el número de combinaciones que se pueden hacer al azar es muy numeroso. Una posible estrategia para abordar el problema es partir por el libro más pesado (“Cuentos de hadas”) y ver si al juntarlo con otro no sobrepasa los tres kilos. “Pinocho” o “El príncipe y el mendigo”. dado que pesa 2½ kg. Por ejemplo. Finamente. “Parque Jurásico”. el problema 4 es un problema de composición. si se suma el peso de los tres libros que faltan.
lo que se podría representar:
Hay que juntar libros de forma que su peso no pase de 3 kg. 3 kg.
1/ 1/ 1/ 1/ 1 8 8 8 8 /8
1/ 1/ 1/ 8 8 8
.) a) b) c) d) e) f) g)
1/ 1/ 1/ 8 8 8 1/ 5 1/ 5
Luego.En este tipo de problemas resulta bastante complejo hacer un esquema que represente la situación. Un posible esquema para este problema sería
Peso de los libros (en Kg. hay que juntar libros que no pesen más de 3 kilos.
Una vez que el docente esté seguro de que el curso haya comprendido la dinámica del juego. para poder anticipar si una determinada combinación de libros no va a exceder los 3 kilos. La regla señala que los números de cada nivel inmediatamente superior se obtienen por la suma de los dos que están conectados con el de un nivel más abajo. pide que completen el cuadro siguiente:
21 1/2 10
26 5/6 15 1/3
y se espera que los alumnos realicen los cálculos sin demasiadas dificultades. el hecho de ir simplificando las partes fraccionarias de las cantidades puede simplificar notoriamente los cálculos. La etapa prosigue con la inclusión de un juego que consiste en encontrar los números que faltan en una disposición triangular. De hecho.
50 30 9 3 8 21 30
Donde el profesor(a) escribe en la pizarra solo aquellos números del dibujo de la izquierda y los estudiantes tienen que determinar los números de las casillas restantes. es necesario sumar los pesos y que el resultado dé menos de 3 kg. Recomendamos que cada docente plante un ejemplo con números naturales antes de proceder a resolver un problema similar con números fraccionarios.con lo que queda claro el procedimiento de resolución del problema. En este tipo de problemas.
de la Ficha 5.Luego. Luego. coloquen cuatro datos (números mixtos) de tal forma que el cuadro se pueda resolver. Cierre de la etapa 2 Se sistematizan los conocimientos que aparecieron en la etapa. ¿En qué casilleros deberían ir los datos para que se complete con sumas y restas? También se puede entregar una plantilla en blanco para que. Se les pregunta cómo son los diversos problemas que han estudiado en la clase y se les pide que den algunos ejemplos de ellos.
4 1/2 3 3/4
13 7 1/2 2
Este juego permite desarrollar varios análisis a través de preguntas: 1. ¿En qué casilleros deberían ir los datos si solo se resuelve con sumas? 2. preguntando cómo identificaron las operaciones que había que hacer para resolver los problemas y qué operaciones utilizaron para resolverlos. Luego se les pide que expliquen los procedimientos que utilizaron para sumar y restar números mixtos y que pasaba cuando las sumas y las restas tenían reserva. intercambian con otra pareja y resuelven. ¿Cuál es el mínimo número de datos para que se pueda resolver? 3. en parejas. el profesor(a) pide que realicen la actividad 12.
ya sea sumas o restas. sumando/restando las fracciones y luego volviendo a transformar la fracción resultante a número mixto. Al sumar dos (o más) nº mixtos la parte fraccionaria obtenida de excede la unidad es necesario convertir dicha cantidad a número mixto de forma de traspasar a la parte entera del resultado las unidades necesarias para que la parte fraccionaria quede menor de una unidad. que:
Son problemas en que hay que realizar una o más de una operación para resolverlos.Se espera que niños y niñas digan. en sus palabras. si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo. para que de ese modo se pueda efectuar la resta. Hay problemas más difíciles que otros puesto que en algunos casos es relativamente sencillo identificar las operaciones que los resuelven mientras que en otros casos resulta complejo. Una forma de sumar/restar números mixtos es sumando/restando las partes enteras y las partes fraccionarias. o bien agregar la cantidad necesaria para completar la parte fraccionaria del sustraendo a la unidad y agregar esa misma cantidad al minuendo.
. En estos casos es conveniente hacer un esquema que exprese gráficamente la relación entre datos e incógnita. sobretodo en aquellos en los cuales la operación sugerida por la acción presentada en el enunciado no corresponde con la operación que es necesario efectuar para resolverlo. es necesario traspasar una unidad de la parte entera del minuendo a su parte fraccionaria. Los esquemas es una forma de representar la relación entre datos e incógnita y ayudan comprender cómo resolver los problemas. Al restar dos nº mixtos. otra es transformando las cantidades a fracciones.
En este tipo de problemas los esquemas resultan de gran utilidad. Además.. se promueve que desarrollen procedimientos que permiten abreviar los cálculos de sumas y restas de fracciones y números mixtos cuando hay más de dos términos. 4 4 4 4 4
muy similar a los esquemas de composición
En este tipo de problemas el esquema es simples. La Etapa se inicia planteando al curso que resuelvan por parejas los problemas descritos en la Actividad 14 de la Ficha 6. en los que es necesario calcular varias sumas y restas de cantidades fraccionarias.
y si utilizamos la técnica de agrupar los sumandos fraccionarios en unidades enteras. bien sea en la parte entera. juntando aquellos que tienen denominadores iguales. Es posible que planteen un cálculo similar al siguiente:
3 3 + 2 1 + 3 + 2 + 2 1 + + 3 + 2. bien sea en la parte fraccionaria.…TERCERA ETAPA
En esta etapa se pretende que niñas y niños activen los conocimientos que aprendieron años anteriores para resolver problemas aditivos directos e inversos de composición. de cambio y de comparación que involucran más de dos datos. ya que resulta difícil deducir directamente del enunciado la secuencia de cálculos necesarios que hay que efectuar para resolverlos. Esta estrategia lleva a agrupar los sumandos de la suma de la forma:
3⎞ ⎛3 ⎜ + ⎟ + (2 1 + 2 1 8 8 4⎠ ⎝4
+ 2 + 3 + 2) . 8 8 4 4
Se espera que varios estudiantes desarrollen primero la estrategia de agrupar los sumandos. Aparecen también problemas aditivos combinados. El primer problema es un problema de composición. donde para resolverlo es necesario que los alumnos se den cuenta de que para construir el arco se usan dos trozos de PVC de cada medida. en los que se combinan composiciones con comparaciones y/o con transformaciones. dicha suma se podría efectuar de la forma
+ 2 + 3 + 2) =
4 2 2 + + 4 8 + 10 = 1 2 + 4 1 + 10 = 15 3 .….
Veamos un ejemplo de esquema:
Bebida que se compró
3 3 + 15 + 15 + 11 + 11 + 11 + 2 1 2 2 2 4
? Bebida que sobró
Bebida que se consumió
Luego.7 = (13 –7) +( + + =6 5 4 4 5 4 4 5 de forma que nos ahorramos tener que buscar el común denominador para sumar y. ya que hay una parte del problema que se modeliza mediante una situación de composición (que permite calcular el total de bebida que se compró).Pablo compró para una fiesta 6 bebidas de /3 de litro . ¿Cuántos litros de bebida sobraron? Este es un problema combinado..
. 3 de 1½ litro y una bebida de 2¼ de litro. Partiendo de que la cantidad total de bebida es 13 + 5 + 1 . dibujarse un esquema que represente la relación existente entre los diversos datos del problema y la incógnita. el cálculo se hubiese podido 2 simplificar notoriamente. 3 de ½ litro. facilita mucho la tarea de determinar los cálculos que hay que realizar para resolverlo. menos la cantidad de bebida que se gastó. posteriormente. Aquí. si antes de efectuar la suma de las fracciones de distinto denominador nos hubiésemos fijado en la cantidad que hay que sustraer. 4 tenemos que: 1 1 1 1 1 1 1 13+ + .El segundo problema 2. y otra parte mediante una situación de cambio (la bebida que sobró es la cantidad de bebida que se compró. una forma de realizar el cálculo del total de bebida que se compró sería
3 3 6 1 + 1 5 + 1 5 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 2 1 = ( + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 )+ (3 + 2 2 2 4
7 + (3 + 3 + 2 + 3 3 2
+5+ 5
)= 1 1 5 1 4 4 )= 13 + (5 + 4 ) = 13 + (20 + 20 ) =
Y si a dicho cálculo le restamos la bebida que se consumió. 2 de 13/5 litro. tenemos:
9 1 1 -7 = 6 20 4 5
Ahora bien. En la fiesta se consumieron 7 ¼ litros. restar las fracciones.
es muy aconsejable que se simplifique todo lo que se pueda antes de realizar las sumas y las restas. Si la cinta empleada medía 80 pulgadas.O sea. ¿Cuántos litros de bebida se consumieron en la fiesta? En este problema. El tercer problema 3. como por ejemplo: Miguel compró 8 bebidas de 1/3 de litro. Después de la fiesta sobraron 2 bebidas de 1/3 de l. ya que por una parte hay que calcular el total de cinta que se ocupó en recorrer la caja (problema de composición con más de dos sumandos) y por otro. y luego se hace suma de las que quedan sin “cancelar”
+ 1 1 + 1 1+1 1 1 + 3 + 2 1+1 2 1 2 2 + 2 4 + 4
donde además se ha aplicado la técnica de completación a la unidad por trasvasije.. 5 bebidas de ½ l . primero “cancelamos” las bebidas que sobraron con parte de las bebidas que se compraron. ¿cuánta cinta se ocupó en la rosa con que se anudó la cinta? Es un problema combinado. la estrategia de reducir términos antes de realizar los cálculos respectivos simplifica notoriamente el problema. para efectuar un cálculo con números mixtos en el que se deben sumar una determinada cantidad términos y luego restar otros.
. de forma que la operación se reduce a
+ 1 + 3 + 2 2 + 2 = 14 + 4
= 14 1 2
lo que prueba la eficacia que pueden tener los procedimientos estudiados en la reducción de los cálculos. 3 bebidas de 1 ½ l. 1 bebida de ½ l y 1 bebida de 1½ l. Cada docente puede sugerir al curso un problema similar para que practiquen las técnicas de cálculo anteriormente descritas. veamos el ejemplo de ello:
(8 + 5 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 3 + 2 1 + 2 1 ) − ( 2 + 1 + 1 1 ) 3 2 2 2 2 4 4 3 2 2
en lugar de efectuar la suma de términos para obtener el minuendo y luego el sustraendo.A una caja cuadrada que tiene 103/8 x103/8 de fondo y 6½ pulgadas de alto se le ató una cinta como muestra la figura. 3 bebidas de litro y dos bebidas de 2 ¼ l.
En este problema se añade la dificultad de que los sumandos no están dados y hay que aplicar conocimientos básicos de geometría para poder deducirlos. este desplaza un volumen de líquido equivalente a su propio volumen”. y por tanto se modeliza mediante una resta. En realidad. que fue magistralmente resuelto por Arquímedes. El problema es inverso. para calcular la parte de cinta que sobró para hacer la rosa de adorno (problema de cambio). puesto que la incógnita es la situación inicial. es uno de los problemas más famosos de la “física antigua”. dado que no todas las caras de la caja son visibles. EL cuarto problema es un problema de cambio compuesto. En este caso el esquema podría ser como este:
kg que compró 21/4 kg sobran 11/2 kg 13/4 kg
de donde se puede deducir fácilmente que el cálculo que resuelve el problema es la suma:
2 1 kg + 1 1 kg + 1 3 kg 4 2 4
El problema 5. puesto que aparecen tres datos. por lo que puede ser de gran ayuda el hecho de representar la relación entre los datos y la incógnita mediante un esquema. pero a su vez eficaz para medir directamente el volumen de cualquier sólido que sea más pesado que el agua. En esa época ya se sabía que no todos los metales pesaban lo mismo.dicho resultado hay que restarlo del total de cinta. un kilo de paja o un kilo de hierro?
. es la siguiente: ¿Qué es más pesado. es la de dar un método muy simple. ¿Qué significa que un material sea más pesado que otro? ¿A qué cualidad nos estamos refiriendo exactamente? Una pregunta típica que nos ayuda a aclarar el concepto “más pesado que”. Este tipo de problemas de cambio suelen ser más difíciles de resolver por los alumnos. y solo se da como información las dimensiones de la caja. Para ello basta con sumergir el sólido en agua y medir el volumen de agua que ha desplazado el sólido al sumergirlo. y que el oro era de los metales más pesados. mientras que el cobre era más ligero que el oro. el gran aporte de la solución al problema de la corona. Este principio puede anunciarse de la forma siguiente: “Al sumergir cualquier sólido dentro de un líquido. Para poder comprender el razonamiento de Arquímedes es importante entender este punto. Sin embargo. el cálculo necesario que resuelve el problema es una suma. dado que se gastó parte de la fruta que se compró.
hay que comparar dichos totales para poder establecer cuál de los dos es mayor. la paja o el hierro? A lo que obviamente respondemos que el hierro. El sexto problema es un problema aditivo combinado. si la corona fuese de oro puro. además de oro. pero ello no significa que la paja sea más pesada que el cobre. dando por sentado que el volumen de paja y de hierro que estamos comparando es el mismo. Si comparamos el peso de un fardo de paja con el de una moneda de cobre. Si se profundiza en por qué es tan común cometer dicho error. El “peso” (entendido como densidad) es una característica de cada uno de los materiales. sino que la corona desplaza más agua. Cuando afirmamos que un determinado material es más pesado que otro. Además. dado que en ambos casos se trata de un kilo. Resulta que al sumergir la corona y el trozo de oro puro en agua observamos que no desplazan la misma cantidad de agua. O sea. ya que cada material tienen un “peso” distinto. entonces un kilo de oro ocupará menos volumen que un kilo de cobre. es que no son exactamente el mismo material. al sumergirla debería desplazar la misma cantidad de agua que el trozo de oro macizo. el volumen que representan los distintos niveles de agua. Por tanto. y la forma de obtener los datos para efectuar dicho cálculo a partir del dibujo es identificando. no es imprescindible calcular los dos totales. y por tanto podemos aplicar la técnica de cancelación de términos descrita anteriormente. Veamos cómo dicha técnica reduciría notablemente el cálculo:
. Por un lado. en realidad lo que se esta comparando es la densidad los materiales ( peso/volumen). con lo que podemos afirmar con seguridad que la corona está hecha de un material que es más ligero que el oro puro. En este problema se espera que alumnas y alumnos hagan la relación de que si la corona fuese de oro. Arquímedes concluyó que en la fabricación de la corona se habían empleado otros materiales. en la graduación de los envases. obviamente que será más pesado el fardo. una vez finalizado el experimento. al ser sumergida en agua tendría que desplazar la misma cantidad de agua que al sumergir un trozo de oro puro que pesase lo mismo que la corona. Con este razonamiento. se sobreentiende que se están comparando volúmenes similares de ambos materiales. es porque lo que usualmente interpretamos de la pregunta es: ¿Qué es más pesado. sino que únicamente se pregunta con cuál de las mezclas se obtiene una mayor cantidad del producto.La tendencia natural de la mayoría es responder que es más pesado el kilo de hierro. para poder calcular el volumen de cada cuerpo necesitan deducir que este es igual a la cantidad de agua desplazada. De lo contrario. Si sabemos que el oro es más pesado que el cobre. Dado que en el problema no se pregunta por ninguno de los dos totales. respuesta que es errónea. hay que realizar una composición para calcular los totales de cada mezcla y por otro.
1 vol. Si bien los cálculos que aparecen son bastante engorrosos.Cálculo a efectuar. completación por trasvasije. En ese caso sería conveniente que el profesor o profesora mostrara un ejemplo de reducción de términos en la pizarra y pidiese que trataran de explicar dicho procedimiento. mcla. La etapa prosigue con la Actividad 15. comparar el total de mezcla 1 con el total de mezcla 2:
volumen de mezcla 1 (en baldes) volumen de mezcla 2 (en baldes) 1+1+
+4+ +4+
+8+ +8+
+3+ +3+
Reducción de términos equivalentes:
vol. reducción de términos y completación por traslado de la diferencia. Veamos algunos ejemplos de ello: El cálculo
2 3 5 2 1 3 se puede realizar de la forma + + + + + 3 4 6 3 4 6
2 1+2 1+3 1+5 12 1 3 1 2 + + + + + = 3 + + = 32 3 3 4 6 3 4 6 3 6
. especialmente las técnicas de simplificación de los cálculos. la diferencia se conserva (traslado de la diferencia). en lugar de recurrir a esta técnica. Para justificar el procedimiento de reducción de términos. basta con considerar que si le quito la misma cantidad de baldes a la mezcla 1 y a la mezcla 2. De todas formas es posible que la mayoría del curso haga el cálculo completo. 2 1+1+
⇒ 1+
3 ⇒ 18
6 ⇒ 18
De forma que con la mezcla 2 se obtienen 3/8 de balde más que con la mezcla 1. si se usan dichas técnicas la mayoría de los cálculos se simplifican en forma notoria. que pretende que consoliden los procedimientos estudiados para sumar y restar fracciones. mcla.
. el estudio prosigue proponiendo al curso que resuelvan los tres problemas de la Actividad 16.⎛5 2 3 1⎞ ⎛1 2 1 ⎞ Mientras que el cálculo ⎜ + + + ⎟ − ⎜ + + ⎟ podría hacerse: ⎝8 3 5 2⎠ ⎝5 3 8 ⎠
4 2 2 3 1 ⎞ ⎛ 5 + + + ⎜ ⎟ − 3 5 2 ⎠ ⎝ 8
2 1⎞ 4 2 1 1 1 2 ⎛ 1 2 + + ⎟ = + + = + + = 15 ⎜ 5 3 8⎠ 8 5 2 2 2 5 ⎝
3 3 El cálculo 3 1 + 1 2 + 2 5 + 4 1 + 1 5 + 5 1 podría hacerse: 5 3 4 3
3 + 2 +2+5 + 4 + 1
+ 5 +1 3
= 18 13 20
2 4 (3 1 + 2 5 + 6 5 ) − (2 2 + 1 1 + 1 ) 4 3 5 4
(3 1 4
+ 11 + 5
10 1 − 2 = 8 1 3 3
donde además de las técnicas de reducción y de completación por trasvasije se ha aplicado la técnica de completación por traslado de la diferencia en la resta 10 − 1 2 . 3 Luego de practicar las estrategias de cálculo.
De esa forma no resulta difícil establecer que los tres primeros pedazos que se reparten.. volvió a partir el pedazo que sobraba en cuatro nuevamente. Veamos el problema: 1. Para poder contrastar la afirmación de David de que prácticamente se ha comido 1/3 de torta. David y Maite compraron una torta cuadrada para compartirla. Maite partió la torta en cuatro partes iguales y repartió un pedazo a cada uno.El propósito del primer problema es que el alumnado se familiarice con un determinado procedimiento iterativo de partición y que sean capaces de reconocer el resultado de aplicar dicho método “ad infinitum”. Por tanto la cantidad de torta que se comió cada uno se puede calcular mediante la suma:
1 1 1 + + 4 16 64
16 4 1 21 + + = 64 64 64 64
Es decir. Una vez que todos terminaron su pedazo. ¿Es eso cierto?
M Ángela Ángela A
D Ángela
Para establecer los tamaños de un determinado pedazo basta con determinar cuántas veces hay que iterar dicho pedazo para reconstruir la unidad. o sea. de la misma forma que había partido la torta. podemos apoyarnos en el dibujo. dando un pedazo a cada amigo. junto con el pedazo que queda por repartir. ¿Qué parte de la torta quedó sin repartir? ¿Qué parte de torta se comió cada uno? Al preguntarle a David sobre la cantidad de torta que comió. como decidieron comer más torta. de manera que si dibujamos de un color distinto lo que se ha comido cada uno obtenemos el dibujo
. miden 1/64 de torta. la torta completa. y los tres últimos. Después. mientras que los tres segundos 1/16 de torta. que cada uno se come 21/64 de torta. dando de nuevo un pedazo a cada uno.¿CUÁNTO FALTA PARA EL TERCIO? Ángela. él dijo que casi un tercio. Maite volvió a partir el pedazo que quedaba en cuatro. miden cada uno ¼ de torta.
nunca llegamos a obtener el 1/3. de forma que se observa que cada vez el pedazo que va sobrando es más y más chico. que la suma de los términos ⎨ + + + ⎩ 4 16 64 256 1024 4096 ⎭ 1/3. procedan a simplificar en el mismo dibujo. basta con que lo sumemos 1/192. pero sin llegar? ¿O bien habría un momento en que nos pasaríamos de 1/3? Para responder a estas preguntas basta con seguir dibujando las particiones.⎬ tiene por límite O sea. y así sucesivamente. para luego hacer la resta.. Para ello basta con hacer suficientes cortes. Se espera que la mayoría de alumnos. pero nos vamos acercando más y más cada vez. si queremos calcular con precisión la diferencia entre 1/3 y lo que realmente se ha comido cada uno. es decir. pero podemos acercarnos a esa cantidad tanto como queramos.
El segundo problema es muy similar a un problema anterior... Aquí podemos preguntar al curso que sucedería si seguimos partiendo el pedazo de 1/64 entre cuatro y damos un trozo a cada uno. De manera que nunca llegamos a completar exactamente el 1/3. cerca de media centésima. Ahora bien. O sea. ¿Nos acercaríamos más y más a 1/3. en lugar de hacer el cálculo de lo que se compró y de lo que se gastó.
1 1 1 ⎧1 1 1 ⎫ + + + . Esto es:
. pero siempre sobra un pedazo.Donde queda claro que la torta queda dividida por colores en tres partes iguales y falta una pequeña parte por repartir (1/64). la diferencia es que en este caso viene el desglose tanto de las bebidas que se compraron para la fiesta como de las que sobraron. podemos efectuar el cálculo siguiente:
1 21 − = 3 64 1 × 64 21 × 3 64 63 1 − = − = 3 × 64 64 × 3 192 192 192
o sea. que para llegar a completar los 21/64 de forma tal de obtener el tercio.
con lo que resulta que la bebida que se consumió es 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 + 2 . 1
x xl l l x xl
Bebidas que sobraron l l l x xl x x
2 lt. lo que da 2 3
3 4 9 + 1 + 2 = 9 + 6 + 6 = 9 + 1 + 6 = 10 1 2 3 6 6 6
El tercer problema tiene la característica de que hay que efectuar varios cálculos para determinar las dimensiones de todas las paredes.
. teniendo que relacionar la medida de varias paredes para poder calcular la longitud de las paredes que no ha sido medidas.Bebidas compradas
xx l l l xx l l
Bebidas que sobraron l l l l xx x x
y luego agrupen las bebidas que quedan para formar cantidades enteras de litros
Bebidas compradas
1 lt. 2 lt.
para calcular la cantidad de zócalo que hay que instalar se calcula el perímetro de la figura. Luego. Dado que el zócalo se vende en tiras de 4 m y se ha decidido que haya un solo trozo por cada pared es necesario establecer cómo se cortarán las piezas. nos sobra un pedazo de 1¾ m. Así que si compramos 2 tiras de 4 m nos estaría faltando un pedazo de ¼ m. De ahí podemos sacar un pedazo de ½ m y otro de ¼ m. Por tanto se necesitaría comprar 3 tiras y nos sobraría un pedazo de 3¾ m. para ver cuántas tiras se necesitan. junto al profesor o profesora sistematizan los aspectos más importantes de lo estudiado en la unidad. teniendo en cuenta que el número de una determinada casilla es la suma de los dos números de las casillas que tiene debajo. si de una tira cortamos 2¼ m para la pared izquierda. hay que realizar el cálculo 2¼ m . de otra tira cortamos 3¼ m. con lo que nos sobran ¾ m. que es justo la medida de la pared derecha.
.( 1 m + ¼ m + ¼ m).3¼m
Por ejemplo. sin contar la puerta (dado que esta no lleva zócalo).½ m. Por ejemplo. se realiza un cierre de la etapa donde el curso. para calcular la medida de la pared del lado derecho. Luego. Finalmente. mientras que para calcular la pared de abajo hay que efectuar el cálculo 3¼ m . La etapa continúa pidiendo a alumnas y alumnos que completen las casillas vacías de la pirámide de la Actividad 17.
se remplazan estas por fracciones equivalentes. Para sumar o restar dos cantidades fraccionarias que no están expresadas mediante fracciones con denominadores iguales.Cierre de la etapa:
Para sumar y restar dos cantidades fraccionarias con denominadores iguales se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. La técnica de completación por trasvasije ayuda a reducir los cálculos que hay que efectuar al sumar con más de dos sumandos.
. El uso de esquemas nos permiten representar la relación entre datos e incógnita en los problemas y son de gran ayuda para establecer la secuencia de cálculos que hay que efectuar para resolverlos. Esta consiste en simplificar todos aquellos términos que están tanto en el minuendo como en el sustraendo. unidades que sumamos a la parte entera. de forma tal que ambos términos tengan denominadores iguales. La técnica de reducción de términos ayuda a reducir los cálculos que hay que efectuar al resolver restas de más de dos términos. Para sumar/restar números mixtos se suman/restan las partes enteras y las partes fraccionarias. Esta consiste en traspasar unidades entre los numeradores de aquellas partes fraccionarias que tienen denominadores iguales. hay que reducirla quitándole tantas unidades como sea posible. Cuando la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo. Cuando la parte fraccionaria resultante de la suma es mayor que la unidad. de manera tal de transformar la mayor cantidad de partes fraccionarias posibles en unidades. se puede trasladar la diferencia añadiendo a ambos términos la fracción que completa la parte fraccionaria del minuendo a la unidad.
el profesor(a) pide que respondan al problema planteado en la Actividad 2.
El profesor (a) inicia la clase planteando un ejemplo de una fracción en el contexto de la medida para que los alumnos la interpreten. Sigue preguntado el significado de 3/5 m. registrando en la pizarra el significado de 2/5 m.
. esta vez individualmente y sin usar el material concreto en el cálculo.IV
UD Problemas Aditivos con Fracciones 5º Básico
Clase 1. que los dos sumandos tengan denominadores iguales. sacan el material concreto para verificar cada una de sus respuestas. se les pregunta si se han encontrado con algunas dificultades para calcular los largos de las franjas y cómo las han resuelto. Calculan sumas de fracciones. Se espera que respondan que no han tenido mayores dificultades en la primera parte de la actividad. poniendo especial atención a la efectividad de los procedimientos empleados y haciendo un cierre con las ideas más importantes que se trabajaron. aquella longitud que al repetirla cinco veces da un metro. Cierre de la clase 1 • Para sumar dos fracciones con denominadores iguales. Por ejemplo: ¿Qué significa 1/5 m? Se espera que la mayoría diga que es una longitud menor a 1m. Una vez que la mayoría ha terminado. y las corrigen en caso de que sea necesario. Una vez que la mayoría ha terminado. en la que tienen que cuantificar la medida de la yuxtaposición de dos franjas hechas con piezas de una misma longitud. sin embargo en la segunda parte sí. se les pide que realicen la segunda parte de la actividad. La profesora o profesor propone que desarrollen en parejas la primera parte de la Actividad 1 de la Ficha 1. A medida que van terminando. Que es. Cuando observe que la mayoría sabe la respuesta a las preguntas se puede realizar una breve puesta en común. Se recomienda que se revisen algunas respuestas en la pizarra y que expliquen los procedimientos utilizados para calcular los largos. se suman con el procedimiento anterior. Emplean la Ficha 1 (material: juego de piezas que representan fracciones). de hecho. proceden a revisar los procedimientos y las respuestas de los estudiantes en la pizarra. Tareas matemáticas: resuelven problemas aditivos simples y directos de composición con fracciones. por ejemplo. se suman los numeradores y se conserva el denominador. • Para sumar dos fracciones con denominadores distintos es necesario reemplazar una (o las dos) fracciones por fracciones equivalentes tales. Luego. debido a que las piezas utilizadas en la franja eran de dos tamaños distintos. A medida que van terminado la primera parte de la actividad. Luego.
Luego. para que la resuelvan en parejas y luego efectúen una puesta en común: Pedro cortó una pieza de ½ de tira en dos partes. el problema planteado en la Actividad 3. También se espera que los alumnos reconozcan que los resultados obtenidos por Paula y Juan son equivalentes. En esos casos puede sugerirles que. la incógnita y la relación entre ellos.
. reparte la Ficha 2 y pide que primero resuelvan. en especial si presentan dificultades en resolver los apartados b) y e). que se apoyen en el material concreto para resolver aquellos apartados que les presentan mayores dificultades. el profesor les pide que comprueben los resultados. utilicen el material concreto para resolver los demás apartados. para sumar o restar dos cantidades fraccionarias que no están expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. En ese caso sugerimos que les ayude diciéndoles que se fijen en el rol de cada dato del problema y que el largo de la pieza inicial tiene que ser más grande que cada uno de los trozos. el material concreto. Se espera que los alumnos sean capaces de adoptar los procedimientos que han desarrollado en la clase anterior para sumar fracciones y restar fracciones. identificando en cada representación los datos. en caso de que lo necesiten. Cierre de la clase 2 • Para poder sumar y restar dos cantidades fraccionarias con denominadores iguales se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. el docente ponga especial atención en aquellos alumnos que presentan dificultades para resolver los distintos apartados del problema. Los apartados d) y e) del problema son los que presentan problemas de mayor dificultad. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos simples y directos con fracciones. Emplean la
Ficha 2 (material: juego de piezas que representan fracciones). • Dadas dos fracciones con denominadores distintos. Una vez la mayoría ha finalizado la actividad. • Al igual que con la comparación de fracciones. utilizando. resuelvan primera parte de la Actividad 4. si es necesario. Una vez que la mayoría de alumnos hayan llegado a la conclusión de que ambos métodos son correctos y que los resultados obtenidos son equivalentes. sea por el hecho de que dichos problemas están planteados de forma inversa. si se amplifica la primera por un factor igual al denominador de la segunda. y no en el resto de apartados. por parejas. El profesor sugiere a quienes están más retrasados en la resolución del problema. ¿cuánto mide la otra parte? Luego de que la mayoría responda. el profesor(a) plantea al curso que. La profesora o profesor plantea la situación siguiente. Se espera que alumnas y alumnos sean capaces de apropiarse de ambos procedimientos y de reconocer que cuál o cuáles de ellos han usado para resolver los cálculos de la Actividad 3. Se espera que la mayoría resuelva correctamente los cálculos a). las dos fracciones amplificadas que se obtienen tienen denominadores iguales. representando la situación planteada en cada apartado con el material concreto. o una similar. Dichos denominadores son precisamente el producto de los denominadores de las fracciones sin amplificar. se amplifican las fracciones hasta lograr que ambas cantidades queden expresadas con denominadores iguales. Se sugiere que mientras realizan la actividad. b). por parejas. Calculan sumas y restas de fracciones.Clase 2. se pide que completen la Tabla individualmente. Si una de las partes que obtuvo mide 1/8 de tira. sin hacer uso del material concreto. f). A medida que los alumnos terminan de completar la tabla. e). c). Es muy probable que aquellos alumnos que presenten dificultades a la hora de resolver los apartados e). y luego la segunda por un factor igual al denominador de la primera. el profesor plantea a los alumnos que apliquen dichos procedimientos para hacer los cálculos propuestos en la Ficha. g) o i). g) e i).
cambio y comparación. Detectar el uso de esquemas a través de preguntas tales como: ¿Alguno de Uds. de composición. • Una forma de sumar/restar dos fracciones con denominadores distintos es amplificando la primera por el denominador de la segunda y luego amplificando la segunda por el denominador de la primera. se aprovecha esta instancia para hacer el cierre de la etapa. ya que expresan más claramente la relación que existe entre datos e incógnita. el profesor(a) pide que resuelvan los cálculos planteados en la Actividad 6. el profesor o profesora decidirá si pasa a la Etapa II o retoma aquellos puntos de la Etapa I en que el alumnado no muestre un dominio aceptable. de los procedimientos posibles de emplear y su costo en tiempo. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos directos con fracciones. • Los esquemas son una herramienta útil para identificar las operaciones que los resuelven. en la que los alumnos se plantean entre ellos las dudas sobre lo estudiado hasta ahora y las resuelven junto al profesor. puede basarse en las fichas correspondientes) y luego realizar su corrección en la pizarra. y la utilidad de los esquemas para representar las situaciones planteadas en los problemas y como apoyo para establecer los cálculos que los resuelven. De ese modo. Explican los métodos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas. en sus palabras. • Los procedimientos de suma y resta de cantidades fraccionarias son parecidos a los de comparación de fracciones. aprovechando de discutir acerca de los esquemas empleados.Clase 3. Calculan sumas y restas de fracciones utilizando algoritmos apropiados. pero que tienen un mismo denominador. Además. • Para sumar/restar dos fracciones con denominadores iguales se suman/restan los numeradores y se conserva el denominador. Emplean la Ficha 3. Esta clase se centra en la resolución de distintos tipos de problemas aditivos. si fueron necesarios o no. A su vez. ya que en ambos casos es necesario expresar previamente ambas cantidades mediante fracciones equivalentes que tengan un mismo denominador. Una vez finalizada la puesta en común y discusión de los resultados. y algunos son más útiles que otros. Cuando el profesor(a) observe que la mayoría ya encontró la solución a los problemas.
Clase 4: Aplicación de una prueba parcial de la Etapa I durante la 1ª hora de clases (Para elaborarla. ¿cómo podrían representar esta situación mediante un dibujo o esquema? Que contrasten los esquemas dibujados por varios alumnos en la resolución de un determinado problema y que comparen los esquemas utilizados para los distintos problemas.
. registrando en la pizarra los diversos procedimientos que hayan empleado los alumnos. ya sea sumas o restas de fracciones. Se inicia pidiendo al curso que resuelvan los tres problemas planteados en la Actividad 5. se puede realizar una puesta en común. de la Ficha 3. pedirles que compartan y expliquen los procedimientos empleados para realizar los cálculos. hizo algún dibujo para solucionar los problema? o bien. La etapa culmina con la Actividad 7. Cierre de la etapa Se espera que niños y niñas digan. en los que el uso de esquemas puede ser de gran ayuda para su resolución. ambas cantidades quedan expresadas mediante dos fracciones que son equivalentes a las iniciales. • Hay diversos tipos de esquemas. que los problemas vistos: • Son problemas en que hay que realizar una operación para resolverlos. Según el resultado obtenido en esta prueba. destacando los procedimientos de suma y resta de fracciones y su justificación.
. se puede comprobar la mayoría de ellos. El profesor(a) pide que. y que a medida que van obteniendo los distintos resultados. resuelvan el cálculo 3 3/10 . que reflexionen sobre la utilidad de representar el problema y de cómo esa representación les ayuda a explicar el proceso de resolución del mismo. Se espera que sepan interpretar dichas cantidades como 7 metros y ¼ de metro. para que de ese modo se pueda efectuar la resta o bien. Finalmente. tratando de convencerlo de que es correcto. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos simples directos e inversos con fracciones y números mixtos de composición. Solo los cálculos de los apartados g).Plan de la Segunda Etapa
UD Problemas Aditivos con Fracciones
Clase 5. es decir 7 + 1/4 metros. Luego. Emplean la Ficha 4 y el material concreto. Si situamos ese mástil encima de un pedestal de 41/4 m. se les pide que. una vez que hayan resuelto un determinado problema. Una vez que la mayoría haya terminado de realizar y verificar sus cálculos. es necesario convertir dicha cantidad a número mixto de forma de traspasar a la parte entera del resultado las unidades necesarias para que la parte fraccionaria quede menor de una unidad. sugerimos dejar un espacio para que alumnas y alumnos hagan una puesta en común de los procedimientos que han desarrollado para realizar los cálculos. sobre todo en aquellos en los cuales la operación sugerida por la acción presentada en el enunciado no corresponde con la operación que es necesario efectuar para resolverlo. La clase prosigue proponiendo que desarrollen la Actividad 10 en parejas. el profesor pregunte por qué no se pueden comprobar y qué tipo de piezas se necesitarían para hacerlo. sumando/restando las fracciones y luego volviendo a transformar la fracción resultante a número mixto. es necesario traspasar una unidad de la parte entera del minuendo a su parte fraccionaria. y representando cada paso del cálculo con el material concreto. Luego. • Una forma de sumar/restar números mixtos es sumando/restando las partes enteras y las partes fraccionarias. ¿qué altura medirá el conjunto? Se aprovecha el planteamiento para preguntar a los alumnos qué significado le dan a 71/4 m. • Al sumar dos (o más) números mixtos si la parte fraccionaria obtenida excede la unidad. agregar la cantidad necesaria para completar la parte fraccionaria del sustraendo a la unidad y agregar esa misma cantidad al minuendo. que contrasten dichos procedimientos y establezcan equivalencias entre ellos. alumnas y alumnos ponen en común los resultados obtenidos y los procedimientos empleados y resuelven en pareja los problemas de la Actividad 8 de la Ficha 4. Sería conveniente que una vez que los alumnos se hayan dado cuenta que no se pueden comprobar dichos apartados. como por ejemplo: Se tiene un mástil de 71/4 m. otra es transformando las cantidades a fracciones. i) y l j) no puede ser comprobados con el material. cambio y
comparación. Se pide al curso que realicen los cálculos propuestos en la Actividad 9. sugerimos que hagan una puesta en común de los procedimientos que han desarrollado para realizar los cálculos. De hecho.1 2/5 utilizando cada uno de los procedimientos anteriores. que contrasten dichos procedimientos. Una vez que la mayoría haya resuelto los problemas. si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo. ltraten de comprobarlos con el material concreto. la longitud resultante al agregarle a 7 metros ¼ de metro. Calculan sumas y restas de fracciones y números mixtos. usen el material concreto para comprobar el resultado obtenido. Es importante dar un tiempo para que estudien los diversos procedimientos de cálculo. cada alumno y alumna toma uno de los procedimientos y lo explica a su compañero. • Al restar dos números mixtos. por parejas.
El profesor(a) plantea una actividad de resolución de un problema aditivo directo en el que las cantidades fraccionarias están dadas mediante números mixtos. y que establezcan equivalencias entre ellos. Estudian y explican los métodos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas. También. Cierre de la clase 5 • Los esquemas son una forma de representar la relación entre datos e incógnita y ayudan comprender cómo resolver los problemas. o sea.
es necesario convertir dicha cantidad a número mixto de forma de traspasar a la parte entera del resultado las unidades necesarias para que la parte fraccionaria quede menor de una unidad. si fueron necesarios o no lo fueron. el profesor o profesora decidirá si pasa a la Etapa III o retoma aquellos puntos de la Etapa II en que sus alumnos no muestren dominio. es necesario traspasar una unidad de la parte entera del minuendo a su parte fraccionaria. y luego realizar su corrección en la pizarra. Cierre de la Etapa • Hay problemas más difíciles que otros. sobre todo aquellos en los cuales la operación sugerida por la acción presentada en el enunciado no corresponde con la operación que es necesario efectuar para resolverlo. para que de ese modo se pueda efectuar la resta o bien. pueden decidir los números que ponen en los casilleros y pasar el desafío a otro compañero para que lo resuelva. • Una forma de sumar/restar números mixtos es sumando/restando las partes enteras y las partes fraccionarias. otra es transformando las cantidades a fracciones. Luego. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos simples inversos con números mixtos. En estos casos es conveniente hacer un esquema que exprese gráficamente la relación entre datos e incógnita. puede realizar una puesta en común. si la parte fraccionaria obtenida excede la unidad.
. Material: piezas de diversos tamaños y Ficha 5. Uso de esquemas en los casos en que sea necesario para distinguir la relación entre datos e incógnita. • Los esquemas son una forma de representar la relación entre datos e incógnita y ayudan comprender cómo resolver los problemas. si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo.
El profesor o profesora propone que resuelvan los tres problemas de la Actividad 11 de la Ficha 5. puede basarse en las fichas correspondientes). registrando en la pizarra los diferentes métodos utilizados con el fin de realizar una comparación entre los métodos y los procedimientos de cálculo empleados. puesto que en algunos casos es relativamente sencillo identificar las operaciones que los resuelven. sumando/restando las fracciones y luego volviendo a transformar la fracción resultante a número mixto. agregar la cantidad necesaria para completar la parte fraccionaria del sustraendo a la unidad y agregar esa misma cantidad al minuendo.
La etapa avanza con la inclusión de un juego numérico que consiste en una competencia de quién encuentra primero los números que faltan en una disposición triangular. aprovechando de discutir acerca de los esquemas empleados. se propone realizar en conjunto la Actividad 13.
Explican los métodos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas. Se puede partir con números naturales y seguir con números mixtos planteado primero un ejemplo con los cuatro datos situados en la base. mientras que en otros casos resulta complejo. Cuando observe que la mayoría encontró la solución de los problemas planteados. • Al restar dos números mixtos. • Al sumar dos (o más) números mixtos. Calculan sumas y restas de números mixtos. Para elaborarla. en la que se espera que los alumnos resuman los aspectos más importantes estudiados en la etapa y que forman parte del cierre de la etapa.Clase 6.
30 9 3 8
A este juego se le puede sacar mucho partido a través de preguntas claves: ¿Cuántos números se deben dar como mínimo para poder resolver el desafío? ¿En qué posiciones de los datos se deben efectuar solo sumas para resolverlo? ¿Es posible poner los datos en algunos casilleros de tal manera que solo sea necesario efectuar restas? Posteriormente. de los procedimientos posibles de emplear para sumar y restar números mixtos y su costo en tiempo. Según el resultado obtenido en esta prueba. Clase 7: Aplicación de una prueba parcial de la Etapa II durante la 1ª hora de clases.
Se espera que en el caso del problema 6 la mayoría utilice la técnica de reducción de términos para simplificar los cálculos. el tercer problema se presta para utilizar la técnica de reducción de términos. Luego. Recoge los diversos esquemas que han hecho los alumnos y los va representando en la pizarra. esta vez en parejas. poniendo especial énfasis en los esquemas como herramienta de apoyo para resolverlos. mientras que en el segundo se les ocurra cancelar el ¼ de la parte fraccionaria del sustraendo con alguno de los “cuartos” del minuendo. Una vez que la mayoría ha resuelto los dos problemas. Dada la dificultad que presenta la resolución de ambos problemas. La clase se centra íntegramente en la resolución de los problemas planteados en la Actividad 14 de la Ficha 6. se espera que alumnas y alumnos se apoyen en el uso de esquemas para poder establecer los cálculos que los resuelven. es muy difícil que puedan establecer que el cálculo que lo resuelve es la suma de la parte de frutillas que sobró con las partes de frutillas que se gastaron. de forma de completar a la unidad la máxima cantidad de términos fraccionarios que aparecen en la suma. Los alumnos continúan resolviendo. dado que varios de los términos que aparecen en el sustraendo están presentes también en el minuendo. De hecho. Emplean la Ficha 6. Una vez que la mayoría ha resuelto los problemas. o La técnica de completación por trasvasije utiliza la posibilidad de traspasar unidades entre los numeradores de los sumandos que tienen denominadores iguales. Este procedimiento puede reducir considerablemente el procedimiento de cálculo de la suma. los problemas 5 y 6. pide que traten de resolver solos los problemas 3 y 4. donde exponen sus procedimientos de resolución y los resultados que ha obtenido. Sugerimos que si hay algunos estudiantes que presentan muchas dificultades en la resolución de los problemas. Especialmente útil puede resultar el uso de esquemas en el problema 4. El profesor(a) pide que resuelvan en parejas los dos primeros problemas de la actividad. Explican los procedimientos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas. ya que permiten obtener información acerca de la relación entre datos e incógnitas. puesto que al ser un problema combinado inverso. los discutan y los resuelvan junto a su compañero. Este procedimiento puede ayudar a reducir notoriamente los cálculos que hay que efectuar al resolver restas de más de dos términos. Cierre de la clase 8 o Los esquemas son un soporte visual muy importante en el momento de resolver los problemas combinados. se hace una nueva puesta en común en la que se vuelve a discutir los procedimientos de resolución de los alumnos.
. Desarrollan procedimientos que permiten abreviar los cálculos de sumas y restas de más de dos términos. se realiza una puesta en común. Se espera que varios alumnos desarrollen la estrategia de agrupar las partes fraccionarias de los sumandos que tienen denominadores iguales. Analizan problemas aditivos y establecen semejanzas y diferencias.Plan de la tercera Etapa
Clase 8. Elaboran problemas aditivos a partir de una situación dada. o La técnica de reducción de términos consiste en simplificar todos aquellos términos que están tanto en el minuendo como en el sustraendo de una determinada resta. así como las técnicas utilizadas para abreviar los cálculos. El profesor(a) pregunta cuál de los dos problemas les ha sido más difícil de resolver y que traten de explicar por qué. Luego se hace una puesta en común sobre cuáles de los esquemas dibujados permiten reflejar mejor la relación entre datos e incógnita. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos combinados con fracciones y números mixtos. Se hace una puesta en común de los resultados y el profesor(a) aprovecha dicha puesta en común para contar un poco más sobre la experiencia de Arquímedes.
si fueron necesarios o no. Clase 10: Aplicación de una prueba global durante una clase (ver pág. se escogen los 4
3 dos alumnos que hicieron el cálculo con mayor rapidez y se les pide efectuar el cálculo 8 + explique en la pizarra los procedimientos que empleó para efectuar los tres últimos cálculos. de manera tal de transformar la mayor cantidad de partes fraccionarias posibles en unidades. Se espera que la gran mayoría. levanten la mano. donde exponen las dudas y los errores que han cometido. completan individualmente las casillas vacías de la pirámide. de forma tal que ambos términos tengan denominadores iguales. En otra clase se sugiere realizar su corrección en la pizarra. En el problema 3. Sistematizan lo aprendido en la unidad. se espera que sean capaces de determinar las medidas de las paredes que les faltan utilizando las medidas de las paredes que sí tienen.
. • Para sumar/restar números mixtos se suman/restan las partes enteras y las partes fraccionarias. • La técnica de completación por trasvasije ayuda a reducir los cálculos que hay que efectuar al sumar con más de dos sumandos. Una vez que la mayoría ha terminado de efectuar los cálculos. Luego. Emplean la Ficha 7. Consiste en traspasar unidades entre los numeradores de aquellas partes fraccionarias que tienen denominadores iguales. unidades que sumamos a la parte entera. La clase se inicia planteando al curso un juego de cálculo rápido con números mixtos: 3 2 2 Escribe en la pizarra el siguiente cálculo 1 1 + 2 5 + 3 2 + 7 + 5 3 + 5 + 1 1 y plantea que realicen dicho cálculo lo más rápido que puedan. En caso de dudas pueden consultar con el compañero(a). Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos combinados con fracciones y números mixtos. especialmente en el segundo problema. Después. Esta consiste en simplificar todos aquellos términos que están tanto en el minuendo como en el sustraendo. se corrigen los resultados en una breve puesta en común. Cuando la parte fraccionaria resultante de la suma es mayor que la unidad. se divide la pizarra entre esos 8 y se les 3 4 4 2 propone que realicen simultáneamente el cálculo 2 7 + 5 + 5 2 + 3 1 + 1 − 5 7 + 3 5 . con el fin de darles respuestas a sus dudas y repasar los procedimientos de cálculo. se remplazan estas por fracciones equivalentes. y que a medida 4 3 4 3 que vayan terminando. siguiendo la regla de que la cantidad de una determinada casilla es la suma de los dos números de las casillas que tiene debajo. Se hace una pequeña puesta en común de los resultados y de los procedimientos de resolución. se propone que resuelvan en parejas los tres problemas planteados en la Actividad 16. 72).Clase 9. Se 3 7 3
3 seleccionan los cuatro alumnos que efectuaron dicho cálculo correctamente con mayor rapidez y se les sugiere hacer el cálculo 5 5 − 2 3 . Se apropian de los procedimientos que permiten abreviar los cálculos de sumas y restas de más de dos términos desarrollados en la clase anterior. utilicen la técnica de reducción de términos para efectuar el cálculo. finalmente se pide al alumno o alumna que 4 3
Luego. mientras el resto trata de hacerlo desde su sitio. aprovechando de discutir acerca de los esquemas empleados. enfatizando aquellos aspectos donde cometieron más errores. se pide que realicen individualmente los cálculos de la Actividad 15 de la Ficha 7. hay que reducirla quitándole tantas unidades como sea posible. • Para sumar o restar dos cantidades fraccionarias que no están expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. • El uso de esquemas nos permite representar la relación entre datos e incógnita en los problemas y son de gran ayuda para establecer la secuencia de cálculos que hay que efectuar para resolverlos. Se seleccionan los 8 primeros estudiantes que hicieron bien el cálculo. de los procedimientos posibles de emplear y su costo en tiempo. 2 5 3 + 1 + 2 + 8 . Cuando la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo se puede trasladar la diferencia añadiendo a ambos términos la fracción que completa la parte fraccionaria del minuendo a la unidad. • La técnica de reducción de términos ayuda a reducir los cálculos que hay que efectuar al resolver restas de más de dos términos. Cierre de la Unidad • Para sumar y restar dos cantidades fraccionarias con denominadores iguales se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador.
Pablo fue a la feria y compró calabaza para hacer un guiso.V
PRUEBA DE LA UNIDAD DIDÁCTICA PROBLEMAS ADITIVOS CON FRACCIONES 5º–AÑO
Nombre: ______________________________Escuela:___________________ Curso: ____________ Fecha: ____________ Puntaje:__________
1. Ocupó 21/3 kg para el guiso y le sobraron 1¼ kg. mientras que Milena pesa 18 ¼ kg. ¿Cuántos kilos marcará la balanza?
2. Luego deciden pesarse las dos juntas. ¿Cuántos kilos de calabaza compró?
. de forma que al pesarse Lidia la balanza marca 23 ½ kg. Lidia y Milena se pesan en una balanza por separado.
¿Quién compró más kilos de comida en conserva. Tiene un dibujo a escala de la pieza con algunas medidas. Pilar y Jorge fueron a comprar diversas latas de conserva. ni en el espacio de la ventana hay que poner guarda.3. ¿Cuántos metros de guarda necesita? Ten en cuenta que ni en el espacio de la puerta. En cada lata viene especificado el peso de la lata en kilos.
5 ¼m 1½ m
1¾ m
pu ert a
4 ¾m
4. Pilar o Jorge? ¿Cuántos kilos más compraron uno que el otro?
Compra de Pilar Compra de Jorge
Piña Palmitos
Tomate Atún
4 5 4 5 4 5 1 5 1 5
ve nta na
a an nt ve
1 ½m
3 ¼m
Mauro está empapelando la pieza de su hija y hoy va a ir a comprar la guarda.
3 1 − 5 5
2 1 + = 3 4
2 c) 3 5 − 11 = 5
d) 9 1 + 4 3 = 3 4
e) 4 1 − 2 1 4 2
3 3 1 1 + + + 4 5 4 2
3 2 g) 3 1 + 2 5 +11 + 3 5 4 2
ESPACIO PARA LA REFLEXION PERSONAL
Busque en el momento de cierre de cada uno de los planes de clase. el o los fundamentos centrales de la unidad con el cual se corresponde:
Describa los principales aportes que le ha entregado esta unidad y la forma en que puede utilizarlos en la planificación de sus clases
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 75
y/o comparar) de forma que su modelización requiere de combinar varios esquemas y. para ello restan cierta cantidad a uno de los sumandos y se la suman al otro sumando Consiste en utilizar la técnica del trasvasije entre sumandos que tienen denominadores iguales. luego se varía la situación inicial agregando/quitando a dicha cantidad. Sistema de numeración para representar cantidades no enteras mayores a una unidad. dando lugar a una situación final nueva. Problemas donde hay una determinada cantidad inicial. añadiendo al minuendo y al sustraendo aquella fracción que completa la parte fraccionaria del sustraendo a la unidad. a su vez. el cálculo de la solución conlleva a realizar más de una operación. llamada parte entera. y un estado o situación final Problemas en los que aparecen involucradas un determinado conjunto de cantidades y las respectivas diferencias entre ellas. agregar/quitar. Por ello distinguimos en estos problemas un estado o situación inicial. una acción de transformación. Problemas en que se combinan más de una acción de distinto tipo (juntar/separar.
a < 1 ). la diferencia. En este tipo de problemas suelen aparecer las acciones de unir/separar o agrupar/desagrupar y las variables implicadas suelen ser las partes y el total. logrando de ese modo que el sustraendo sea una cantidad entera. Operación que consiste en multiplicar el numerador y denominador de una fracción por un mismo número natural.VII
Toda fracción menor que la unidad ( menor que el denominador. Convierten una suma en otra equivalente. es un número natural que representa el total de unidades enteras contenidas en la cantidad y la segunda parte es la fracción propia que falta para completar dicha cantidad. Figuras que pretenden hacer visibles las relaciones entre datos e incógnitas y de esta forma deducir las operaciones buscadas. Las preguntas típicas asociadas a este tipo de problemas son cuánto más/ cuánto menos o bien. obteniendo de ese modo una fracción equivalente. Operación que consiste en dividir el numerador y denominador de una fracción por un mismo número natural.
a > 1 ). Consiste en utilizar la técnica del traslado de la diferencia. de forma que la cantidad total es la suma de las dos partes. Está compuesto por dos partes. En toda fracción impropia el numerador es mayor b
Técnica del trasvasije Completación de fracciones a la unidad Técnica del traslado de la diferencia Completación del minuendo
. Problemas donde se consideran un conjunto de partes y el total de ellas. En toda fracción propia el numerador es b
Toda fracción mayor que 1 (
Número mixto Fracciones equivalentes Amplificar Simplificar Problemas directos Problemas inversos Esquemas Problemas de Composición Problemas de Cambio
Problemas de Comparación por diferencia Problemas Combinados
que el denominador. la primera parte. Fracciones que expresan una misma cantidad de medida. obteniendo de ese modo una fracción equivalente. traspasando unidades entre los numeradores de las fracciones de forma tal de completar tantas fracciones a la unidad como sea posible Convertir una resta en otra equivalente que conserva la “distancia” entre minuendo y sustraendo y que sea más fácil de calcular. Para ello se resta o se suma el mismo número al minuendo y al sustraendo. que es más fácil de calcular. pero que el cálculo que hay que efectuar para resolverlo no coincide con las operaciones que lo modelizan. Problemas que se modelizan mediante una determinada operación. Problemas en los que el cálculo que hay que efectuar para resolverlos coincide con las operaciones que lo modelizan.
pero formando franjas de color rosado. regla y una bolsa plástica con cierre para guardar las piezas y una tira blanca de longitud la unidad.
Actividad 1: Formando y midiendo franjas de colores (en parejas) Formando franjas de un solo color. del largo que quieras. Utilizando las piezas que representan fracciones de unidad de la tira blanca. Calcula el largo de la franja que has formado y el largo de la franja que ha formado tu pareja. Junten las franjas y comprueben el resultado. azul y lila. Repite la actividad. Anota el resultado en la tabla y comparen. forma una franja celeste.
color de las piezas utilizadas largo de mi franja largo de la franja de mi compañero largo al juntar las dos franjas
Materiales por alumno: Una bolsa con piezas fraccionarias de diferentes tamaños. Anota esos datos en la tabla y con esa información trata de calcular el largo que se obtendrá al juntar tu franja con la de tu pareja.
verde. rojo o lila) Forma una franja de un solo color. rojo o lila). Repite la actividad. Formen una franja bicolor. Anota en la tabla el largo de cada una de las franjas de un solo color. utilizando piezas de otro color (naranja. juntando las dos franjas. y tu pareja forma otra franja de un color distinto.
largo de mi franja a) largo de la franja de mi compañero largo al juntar las dos franjas
¿Cómo has calculado el largo de cada una de tus franjas?
¿Y el largo de las franjas bicolor?
. verde. Calcula con tu pareja el largo total de la franja bicolor que han formado y anótalo en la tabla.Formando franjas bicolor (Utiliza solo piezas de color naranja.
Anota cómo has calculado el largo de cada franja bicolor.Actividad 2: Calculando largos de franjas.
Corrígelos si es necesario. utilizando para ello el material concreto. utilizando solo números y símbolos matemáticos.
Comprueba junto a tu pareja los resultados obtenidos. Trata de calcular el largo que tendrán las franjas bicolor al juntar las piezas siguientes:
piezas de color a) b) c) d) e) f) 5 celestes 1 azul 3 rosadas 1 verde 2 lilas 3 amarillas con otras de color 2 celestes 3 rosadas 2 rosadas 3 naranjas 3 naranjas 2 verdes largo de la franja
Compara tus predicciones con las de tu pareja. a) d)
¿Cómo has calculado el largo de la franja en aquellas franjas que son de un solo color? ¿Y en aquellas franjas que son de dos colores? ¿En qué se parece el procedimiento utilizado para sumar dos fracciones al procedimiento utilizado para compararlas?
Si sabemos que uno de los pedazos que obtuvo 5
1 de tira.Ficha 2
Materiales por alumno: Una bolsa con piezas fraccionarias de diferentes tamaños. regla y una bolsa plástica con cierre para guardar las piezas y tiras blancas de longitud la unidad. por lo que decidió cortar las piezas grandes que le sobraban de forma de obtener piezas más chicas. Actividad 3: Partiendo las piezas en dos trozos de diferentes tamaños. ¿Cuál es la medida del otro pedazo? 3 Dibuja un esquema que represente el problema planteado. Pedro estaba haciendo un mosaico de colores con piezas iguales a las que tú tienes.
Cortó una pieza de mide de
3 de tira en dos pedazos. de tal forma que uno de los pedazos que 2
1 de tira.
Luego cortó otra pieza de obtuvo mide de
1 de tira en dos pedazos. A mitad de su trabajo. ¿cuál es la medida del otro pedazo? 5 Dibuja un esquema que represente el problema planteado. se dio cuenta que le sobraban muchas piezas grandes y le faltaban piezas chicas.
En la tabla siguiente Pedro registró las medidas de algunas de las piezas que cortó en dos pedazos y la medida de algunos de los pedazos.
largo de la pieza a) b) c) d) e) f) g)
h) i) j) k) 1/3 1/4 1/2 1 1/2 7/10 1/4 2/3 1/6 3/8 2/5 1/5 1/12 1/8 1/5 1/4 1/10 1/8 1/2 5/6
largo de un pedazo
largo del otro pedazo
Una vez hayas completado la tabla. Junto con tu pareja. sin utilizar el material concreto.
. calcula las medidas de los otros pedazos que obtuvo al hacer cada uno de los cortes. comprueba dada uno de los resultados con el material concreto.
. 12 16 15 = .¿Quién tiene razón? (en parejas) 1 5 Pilar y Juan resolvieron los cálculos a) + 4 6 Procedimiento de Pilar: a)
1 5 + 4 6
1 2 = 4 8 5 10 = 6 12
3 4 = = .. 24 32 40
5 6 5 6 25 24 1 − = − = + = 8 10 8 10 40 40 40
6 12 18 24 = = = = 10 20 30 40
Procedimiento de Juan: a)
1 5 1× 6 5 × 4 6 20 26 + = + = + = 4 6 4 × 6 6 × 4 24 24 24 5 6 5 × 10 6×8 50 48 2 − = − = − = 8 10 8 × 10 10 × 8 80 80 80
26 24 2 80
Si tu pareja está a tu derecha. − 8 10 3 10 12 12
1 5 1 5 3 10 13 + = + = + = 4 6 4 6 12 12 12
5 6 − 8 10
15 20 25 = = = .. trata de convencerle de que el procedimiento de Juan es correcto. ¿Pueden ser los dos procedimientos correctos si dan distintos resultados? Con ayuda de la tabla pitagórica extendida hagan los siguientes cálculos utilizando el procedimiento de Pilar y anota el resultado: c)
5 5 − = 8 12
7 3 + = 30 20
5 11 + = 12 30
Hagan los siguientes cálculos utilizando el procedimiento de Juan: f)
3 5 + = 4 7
7 3 + = 1 20 83
5 11 + = 18 30
.. lee atentamente el procedimiento de Juan y explícaselo. 18
5 6 de formas distintas.... lee atentamente el procedimiento de Pilar y luego trata de convencerle de que dicho procedimiento es correcto.Actividad 4. Si tu pareja está a tu izquierda.
¿Cuál es la diferencia de líquido entre las dos bebidas?
. Gastó la tercera parte del saco en hacer el pan y regaló la cuarta parte del saco al Hogar de Cristo. ¿Qué cantidad de la barra de chocolate tienen entre los dos?
2. Trata de representar mediante un esquema el proceso de resolución. mientras que la bebida de Diego es de 2/5 l. el panadero... ¿Cuánta harina le queda?
3. Resuelve los siguientes problemas. tenía un saco entero de harina. 1.Ficha 3
Actividad 5: Resolviendo problemas.Diego tiene
2 de una barra de chocolate y su amiga María tiene la mitad de esa misma 5 barra..Johanna y Diego se compraron dos bebidas.Martín. La bebida de Johanna es de 1/2 l.
Luego. Anota en el recuadro las ideas más importantes que has aprendido en las últimas clases de matemáticas. Plantea a tu compañero(a) las dudas que tengas sobre lo que has estudiado hasta ahora. Describe el procedimiento para sumar/restar dos fracciones con denominadores iguales:
Describe el procedimiento para sumar/restar dos fracciones con denominadores distintos:
Representa mediante un esquema la situación que plantea el problema escrito en la pizarra. plantea el cálculo que lo resuelve y resuélvelo.Actividad 6: Practicando el cálculo. Sin utilizar el material concreto. trata de resolverlas con la ayuda de tus compañeros y de tu profesor(a). realiza las siguientes sumas y restas de fracciones:
1 1 − = − = 4 8 8 8 8 8 2 − = + 12 12 − + =
12 1 − = + 20 5 9 8 + = 15 30
2 1 − = 3 6
4 1 + = 3 4
3 2 − = 5 10
Actividad 7: Resumiendo lo aprendido.
Comprueba la solución representando la situación del problema con el material concreto....Ficha 4
Actividad 8: Resuelve junto con tu compañero(a) los problemas siguientes. ¿De qué largo quedó la tela una vez cosida?
2. Finalizado el almuerzo solo quedaban ¾ de litro.Rosa cosió dos trozos de tela que tenía.Marco mide 1 ¾ m y su amigo Keno mide 12/3 m. Si uno de los paquetes tenia ¾ kg de harina. uno de 2¼ m de largo y otro de 1 1/2 m. 1. ¿Cuanta bebida consumió en el almuerzo?
.. Durante el almuerzo abrió la bebida.Pablo compró una bebida de dos litros y cuarto.Rayén juntó la harina que tenía en dos paquetes abiertos. ¿cuánta harina tenia el otro paquete?
4. obteniendo 1¼ kg. ¿Cuánto más mide Marco que Keno?
1 2/5 utilizando primero el procedimiento de Jorge y luego el de Viviana. ¿Pueden ser correctos los dos procedimientos si dan distintos resultados? Luego. ¿Cuántas piezas se necesitan y de qué tamaño para poder representar este cálculo utilizando el procedimiento de Laura?
.4 2/3 ⇒ ⎜ + ⎟ −⎜ + ⎟ ⇒ 8⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝8 53 14 53×3 14×8 − ⇒ − ⇒ 8 3 8×3 3×8 159 112 − 24 24 ⇒ 47 24
Procedimiento de Jorge:
como 5/8 es más chico que 2/3 tomo una unidad prestada al 6 para poder restar
5⎞ ⎛ ⎛ 6 5/8 .1 3/10 = 2 4/5 + 1 2/5 =
Actividad 10: ¿Quién tiene razón? (en parejas) Laura.2 5/8 = 9 5/7 + 1 2/3 = 12 5/8 .Actividad 9: Realiza los cálculos siguientes y trata de comprobar cada uno de los resultados que obtengas con las piezas del material concreto.7 2/3 =
3 3/5 + 1 1/10 = 2 7/10 . Procedimiento de Laura:
⎛ 48 5 ⎞ ⎛12 2 ⎞ 6 5/8 .4 2/3 ⇒ ⎜6 + ⎟ − ⎜ 4 + ⎟ ⇒ ⎜ 6 + + ⎟ − ⎜ 4 + + ⎟ 8⎠ ⎝ 3⎠ 8 3⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ ⎝ ⇒
5×3 1×8 ⎞ 15 8 ⎞ 23 ⎞ 23 ⎛ ⎛ ⎛ ⇒ ⎜6 + + ⇒ ⎟ − 5 ⇒ ⎜6 + + ⎟ − 5 ⇒ ⎜6 + ⎟ − 5 ⇒ 1 + 8×3 3×8 ⎠ 24 24 ⎠ 24 ⎠ 24 ⎝ ⎝ ⎝
Si tu pareja está a tu izquierda lee atentamente el procedimiento de Laura. Junta tus piezas con las de tu pareja y calcula la resta 3 3/10 .
5 = 6 2 = 2 1/5 + 5
3 . junto a tu pareja traten de entender el procedimiento que utilizó Viviana. Trata de convencer a tu pareja que dicho procedimiento es correcto.4 2/3 ⇒ ⎜6 + ⎟ − ⎜ 4 + 8⎠ ⎝ ⎝
2⎞ 8 5⎞ ⎛ ⎛ ⎟ ⇒ ⎜5 + + ⎟ − ⎜ 4 + 8 8⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
2⎞ ⎛13 ⎟ ⇒ (5 − 4) + ⎜ − 3⎠ ⎝8
2⎞ ⎟ ⇒ 3⎠
23 ⎛ 39 16 ⎞ ⎛13×3 2×8 ⎞ ⇒ − ⎟ ⇒ 1+ ⇒ 1+ ⎜ − ⎟ ⇒ 1+ ⎜ 8×3 3×8 ⎠ 24 24 ⎠ 24 ⎝ ⎝
Procedimiento de Viviana:
5⎞ ⎛ 2⎞ 5 1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ ⎛ 6 5/8 . De lo contrario. Representen cada uno de los pasos con el material concreto. Jorge y Viviana resolvieron el cálculo siguiente de formas distintas. lee atentamente el procedimiento de Jorge.1 = 4 3 2/3 + 1 4/5 = 3 3/8 .
Mauro y Fanny fueron a comprar naranjas a la feria.. de forma que los dos juntos pesan 57 ½ kg.Arquímedes ideó una forma de calcular el volumen de cualquier sólido.Josefina quiere saber cuánto pesa su hijo de 8 meses. Fue a Correos a preguntar cómo enviarlos y le aconsejaron que. Luego se pesa ella sola y pesa 51 ¼ kg.. Si Fanny compró 2 ¾ kg de naranjas. La única restricción era que cada paquete no podía pesar más de 3 kg. la forma más económica y rápida era siguiendo el mismo procedimiento que una carta. Ayuda a Lidia a hacer los paquetes. Para ello medía cuánto variaba el volumen de agua al sumergir el sólido en ella.Ficha 5
Actividad 11: Resuelve los problemas siguientes: 1. ¿Cuánto pesa su hijo?
Nombre del libro Peso (Kg) El Principito 1 1 /4 5 Gulliver /8 Cuentos de hadas 2½ Charlie y la fábrica de chocolate 1 1 /2 2 Pinocho /5 Parque Jurásico 1 2 /5 3 El príncipe y el mendigo /8
. ¿Cómo podía saber el volumen del sólido con ese experimento? Mide el volumen de la estatua.. Va con él a la farmacia y se pesa con su hijo en brazos. dado que eran libros.Lidia quiere mandar 10 libros por envío postal a su amiga Daniela.
5lt 4lt 3lt 2lt 1lt
4. Fanny compró 1 1/3 kg menos que Mauro. ¿cuántos kg de naranjas compró Mauro?
¿Qué sucede si la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo ¿ Qué sucede si la fracción obtenida al sumar las partes fraccionarias es mayor que la unidad?
¿En qué te apoyaste para deducir las operaciones que había que hacer para resolver los problemas de esta etapa?
. trata de resolverlas con la ayuda de tus compañeros y de tu profesor(a). Luego.
Actividad 13: Resumiendo lo aprendido.Actividad 12: Complete con los números que faltan en este esquema. siguiendo las flechas. Describe el procedimiento para sumar dos números mixtos. ¿Qué sucede si la fracción obtenida al sumar las partes fraccionarias es mayor que la unidad?
Describe el procedimiento para restar dos números mixtos. Plantea a tu compañero(a) las dudas que tengas sobre lo que has estudiado hasta ahora. Anota en el recuadro las ideas más importantes que has aprendido. sabiendo que cada número de un casillero superior se forma por la suma de los dos inferiores.
Luego ocupó 1½ kg en preparar un jugo y todavía le sobraron 21/4 kg.. En la fiesta se consumieron 7 ¼ litros.Matías y Marina quieren construir un arco de fútbol para el patio de su escuela.Pablo compró para una fiesta 6 bebidas de 1/3 l.. Si la cinta empleada medía 80 pulgadas. utilizando tubos de PVC. 3 de 1½ litro y una bebida de 2¼ de litro..Laura compró frutillas en la feria. 3 de ½ litro.A una caja cuadrada que tiene 103/8 x 103/8 pulgadas de fondo y 6½ pulgadas de alto se le ató una cinta como muestra la figura. Buscaron información en Internet sobre cómo construirlo y bajaron el plano siguiente. Gastó 13/4 kg en preparar un postre. 2 de 13/5 litro. ¿cuánta cinta se ocupó en la rosa con que se anudó la cinta?
4. junto con tu compañero(a) los problemas siguientes: 1. ¿Cuánta frutilla compró Laura en la feria?
..Ficha 6
Actividad 14: Resuelve. ¿Cuántos litros de bebida sobraron de la fiesta?
3. Ayúdales calcular los metros de PVC que necesitan comprar para armar el arco según las medidas del plano.
2 1/ 8 m
5. y fue a dar
inmediatamente una respuesta al rey. pariente de Arquímedes. sustituyéndolo por cobre. verifica que la pieza de oro y la corona pesen lo mismo. Al recibir la corona.
3lt 2lt 1lt
Teniendo en consideración que las pesas representan kilos o fracciones de kilos. Calcula el volumen de la corona de Hierón y de la pieza de oro. Así que Hierón encargó a Arquímedes que tratara de averiguar si la corona era o no de oro puro. eureka. encontré la solución”. encargó
a un orfebre que le fabricara una corona de oro puro. ¿Crees que la corona está hecha de oro puro? ¿O crees que es de oro mezclado con cobre? ¿Por qué?
.LA CORONA DEL REY Arquímedes fue un matemático muy famoso de Alejandría. que vivió en el siglo III antes de Cristo. De repente gritó: “eureka. rey de Siracusa.
Luego calculó el volumen de la corona sumergiéndola dentro de un balde con agua e hizo lo mismo con la pieza de oro. Cuenta la historia que el rey Hierón II.. Arquímedes sabía que el oro era más pesado que el cobre y se le ocurrió hacer el siguiente experimento para poder resolver el problema: primero pesó la corona y luego mandó fabricar una pieza de oro puro que pesara igual que la corona. el rey sospechó que no era en realidad de oro puro y que el artesano se había guardado parte del oro que le habían entregado.
empleando como medida habitual un balde. Cal y cemento: Reaccionan en contacto con el agua. puede usarse canto rodado. columnas. Las cales se venden en bolsas de 25 ó 30 kg. a la que se le puede agregar un poco de cemento para reforzarla (cal reforzada). al endurecerse y dar volumen.. sufriendo un proceso que empieza por el fragüe.6. ¿Con cuál de las dos mezclas se obtuvo más cantidad de cal reforzada?
Mezcla 1: 1 1 4 8 3 1 balde de CAL 1/ balde de CEMENTO 8 ¼ baldes de ARENA ½ baldes de PIEDRAS ¾ baldes de ARENA ¾ balde de AGUA Mezcla 2: ¾ balde de CAL 1 1/2 balde de CEMENTO 4 5/8 baldes de ARENA 8 3/4 baldes de PIEDRAS 3 1/2 baldes de ARENA 1 5/8 balde de AGUA
. según la marca y el cemento en bolsas de 50 kg. Hay mezclas que como aglomerantes llevan solamente cemento (se las llama concreto) y otras donde el aglutinante principal es la cal. Don José hizo dos mezclas diferentes. Piedra: Se utiliza en la preparación de hormigones resistentes para bases.LAS MEZCLAS DEL ALBAÑIL Los elementos que usa un albañil para hacer sus mezclas son. losas. Agua: Da plasticidad a la mezcla para que se pueda trabajar y provoca la reacción química que produce el fragüe. que es la piedra de río o piedra partida (de cantera) o arcilla expandida. en general: Arena: Sirve para reducir las fisuras que aparecen en la mezcla.
Actividad 15: Resuelve los cálculos siguientes:
a) 3 2 7 + + = 4 5 10
3 4 e) 3 1 + 5 1 + 4 5 + 3 1 + 2 5 5 2 2
2 3 5 2 1 3 + + + + + = b) 3 4 6 3 4 6
2 1 5 + + = 3 2 7
⎛5 2 3 1⎞ ⎛1 2 1 ⎞ c) ⎜ + + + ⎟ − ⎜ + + ⎟ ⎝ 8 3 5 2⎠ ⎝ 5 3 8 ⎠
3 3 g) 3 1 + 1 2 + 2 5 + 4 1 + 15 + 5 1 5 3 4 3
2 d) 9 1 − 3 5 = 3
2 4 h) (3 1 + 2 5 + 6 5 ) − (2 2 +11 + 1 ) 4 3 5 4
Actividad 16: Resuelve los problemas siguientes. 1.- ¿CUÁNTO FALTA PARA EL TERCIO? Ángela, David y Maite compraron una torta cuadrada para compartirla. Maite partió la torta en cuatro partes iguales y repartió un pedazo a cada uno. Una vez que todos terminaron su pedazo, como decidieron comer más torta, Maite volvió a partir el pedazo que quedaba en cuatro, de la misma forma que había partido la torta, dando de nuevo un pedazo a cada uno. Después, volvió a partir el pedazo que sobraba en cuatro nuevamente, dando un pedazo a cada amigo. ¿Qué parte de la torta quedó sin repartir? ¿Qué parte de torta se comió cada uno? Al preguntarle a David sobre la cantidad de torta que comió, él dijo que casi un tercio. ¿Es eso cierto?
Maite David
2.- El recuadro de la izquierda muestra la cantidad de bebida que se compró para una fiesta, mientras que en el de la derecha se muestra la cantidad de bebida que sobró. ¿Cuántos litros de bebida se consumieron durante la fiesta?
Bebidas que sobraron
l 11 l 2
3.- René está cambiando el zócalo en una pieza de su casa. Para saber cuántos metros necesita comprar dibujó el siguiente plano de la pieza en el que tomó algunas medidas. Teniendo en cuenta que la puerta no necesita zócalo, ¿cuántos metros de zócalo tiene que comprar?
2 ¼m
En la tienda le informan que el zócalo lo venden solo en tiras de 4 m de largo. Además, el vendedor le recomienda que para que se vea más bonito, en cada pared ponga un solo trozo de zócalo de tal forma que no se vea ningún empalme. Si sigue las instrucciones del vendedor, ¿cuántas tiras de zócalo debe comprar? ¿cómo debe cortar las tiras para obtener los trozos que necesita? ¿cuántos trozos y de qué tamaños le sobrarán?
Actividad 17: Completa las casillas en blanco de la pirámide, teniendo en cuenta que el número de una determinada casilla es la suma de los dos números de las casillas que tiene debajo.
12 5/6 31/2 2 1/6
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120 123 126 129 132 135 138 141 144 147 150
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 120 124 128 132 136 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 200
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140 147 154 161 168 175 182 189 196 203 210 217 224 231 238 245 252 259 266 273 280 287 294 301 308 315 322 329 336 343 350
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160 168 176 184 192 200 208 216 224 232 240 248 256 264 272 280 288 296 304 312 320 328 336 344 352 360 368 376 384 392 400
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180 189 198 207 216 225 234 243 252 261 270 279 288 297 306 315 324 333 342 351 360 369 378 387 396 405 414 423 432 441 450
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500
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