Source: https://www.scribd.com/document/257657331/Trigonomertia-2
Timestamp: 2019-01-21 05:35:17+00:00

Document:
Uploaded by rhollykm
Guia de Integración Definida 2015-i
Razones-Trigonometricas-de-Angulos-en-Posicion-Normal.pdf
Relaciones_funciones 1 Real
derecho}.pdf
Trigonometría 3º Año II Volumen 2007
T R I G ON O M E T R Í A
Reducción al primer
Al ángulo agudo formado por el lado final de un ángulo positivo en posición
normal θ con el lado positivo o negativo del eje x se llama ÁNGULO DE
REFERENCIA y se denota por θR
El ángulo de referencia de 40º es 40º
El ángulo de referencia de 120º es
El ángulo de referencia de 200º es 20º
U N F V – C E P R E V
El ángulo de referencia de 310º es
T R I G O N O M E T R Í
Si θ es un ángulo positivo en posición normal menor que una vuelta y θR su
ángulo de referencia, entonces se cumple que las R.T. de θ y los R.T. de
θR van a tener los mismos valores, aunque en algunos casos difieren en el
signo, así:
R.T(θ) = ± R.T. (θR)
Sen150º =
Sen30º =
Cos 225º =
Cos225º = -Cos45º
Tan300º =
(1;- 3)
y  3 
Tan300º = –Tan60º
En los ejemplos anteriores se ha notado que efectivamente las R.T. de un
ángulo en posición normal son igual a las R.T. de su respectivo ángulo de
referencia, en algunos casos difieren en el signo.
Para hacer cálculos vamos a citar cuatro propiedades.
Propiedad I: Para ángulos positivos menores que una vuelta
Esta propiedad se analizará en dos partes:
A. Para entender la propiedad, nos ayudamos del siguiente gráfico.
Si x es un ángulo agudo, es fácil darse cuenta que:
• (90º - x) ∈ I
• (90º + x) ∈ II
• (270º – x) ∈ III
• (270º + x) ∈ IV
V
270º = 3ð/2
 x
I
 
   x  
∈ II
 3ð
x
 III
 x
 IV
Los R.T. de los ángulos anteriores se reducen a R.T. de (x) aplicando la
R.T.(90º – x) = CO – RT(x)
R.T.(270º – x) = ± CO – RT(x)
R.T.(90º + x) = ±CO – RT(x)
R.T.(270º + x) = ± CO –
Ojo:El signo ± depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo que
T. de los ángulos anteriores se reducen a R. Cos   6.T. Sen100º = Sen(90º + 10º) = +Cos10º 2.T. Cos200º = Cos(270º – 70º) = –Sen70º 3. .T. Tan   x   = +Cosx 2  3    x  = –Senx 2   3  x  = –Cotx    2 B.(360º – x) = ± R. (x) R.(x) Ojo: El signo ± depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo que queremos reducir. de (x) aplicando la siguiente fórmula: R.Ejemplos 1. Para entender la propiedad.(180º – x) = ± R. nos ayudamos del siguiente gráfico Si x es un ángulo agudo es fácil darse cuenta que: • (180º .T.(180º + x) = ± R. Sen    5.T.x) ∈ II ∈ (π – x) ∈ II • (180º + x) ∈ III ∈ (π + x) ∈ III • (360º – x) ∈ IV ∈ (2π – x) ∈ IV Los R. Tan310º = Tan(270º + 40º) = –Cot40º  4.T.T.(x) R.
de θ y las R.T. Sen110º = Sen(180º – 70º) = +Sen70º 2. Calcular Sen 750º Resolución 750º 360º 30º 2 ∈ Sen750º = Sen30º = 1 2 2.Ejemplos 1. Cos230º = Cos(180º + 50º) = –Cos50º 3. Es decir: θ = n(360º) + α Las R.(α) Ejemplos 1. Sen(π + x) = –Senx 7. Calcular Cos 540º Resolución 540º 360º 180º ∈ Cos540º = Cos180º = – 1 1 3. Calcular: Tan 900º Resolución 900º 360º 180º ∈ 2 Tan900º = Tan180º = 0 4.T. Cot400º = Cot(360º + 40º) = Cot40º 5.T. Tan(2π – x) = –Tanx Propiedad II: Para ángulos positivos mayores que una vuelta Si a un ángulo positivo θ mayor que una vuelta. lo dividimos entre 360º nos da como cociente “n” y residuo “α”. Tan340º = Tan(360º – 20º) = – Tan20º 4. por tanto: R.T.[n(360º) + α] = R. Reducir al primer cuadrante: Sen 3010º Resolución 3010º 360º 130º 8 ∈ Sen 3010º = Sen 130º Sen 3010º = Sen(180º – 50º) Sen 3010º = +Sen 50º . Sen(π – x) = Senx 6. de α son iguales.
Cos ð 7 237 5   1   7  ð 15. Tan(35π + x) = Tan(34π + π + x) = Tan(π + x) = Tanx 10. Cos(416π + x)= Cos(416π + x) = Cosx 9.Cot(499π + x) = Cot(498π + π + x) = Cot(π + x) = Cotx 11. Reducir al primer cuadrante Tan 10000º Resolución 10000º 360º 280º ∈ Tan10000º = Tan 280º Tan10000º = Tan(360º 80º) Tan10000º = -Tan80º 27 7.Sen 43 Sen43 14.5.Cos 4377π = Cos(4376π + π) = Cosπ = –1 ð luego dividimos sin el π: 7 1 43 43 7 = 7 =6+ 7 1 6 13. Sen 1275π = Sen(1274π + π) = Senπ = 0 12.Tan Tan 237 5 315 8 315 8   = Sen  6   = Sen 7   7 luego dividimos sin el π: 237 2 = 47 + 5 5 ∈ 237 5 2 Cos   = Sen  6   47 2  = Cos  47      5  47 = Cos   5  luego dividimos sin el π: 315 3 8 39  3 ð = Tan   39      8 ∈  2   = Cos 46    5   2  = 5 Cos 2ð 315 3 = 39 + 8 8  Tan     3   39    38   Tan  8    8   3   Tan 8 3 . Reducir al primer cuadrante: Cos 4910º Resolución 4910º 360º 230º ∈ Cos 4910º = Cos 230º 13 Cos 4910º = Cos(180º + 50º) Cos 4910º = –Cos 50º 6. Sen(10π + x) = Sen(10π + x) = Senx 8.
Propiedad III: Para ángulos negativos Si θ es un ángulo positivo entonces -θ es un ángulo negativo.   Calculamos el Seno. como se muestra en el gráfico siguiente. Coseno y Tangente de (θ) y (-θ) y obtenemos: Sen  Cos  Tan  y r x r y x y r ∈ Sen(–θ) = –Senθ x ∈ Cos(–θ) = Cosθ ∈ Tan(–θ) = –Tanθ ∈ Sen( )  ∈ Cos( )  ∈ Tan( )   r y x .
Cos110º 3. Cos(–45º) = Cos45º = 3. Marcar verdadero (V) o falso (F) ( ) Cos  x  = –Sen x .T R I G O N O M E T R Í A Análogamente Cot( ) = Cot Sec( ) = Sec Csc( ) = Csc Nótese.50º) = –(+Sen50º) = -Sen50º Cos(–200º) = Cos200º = Cos(180º + 20º) = –Cos20º Tan(–325º) = –Tan325º = –Tan(360º – 35º) = –(–Tan35º) = Tan35º Ángulos suplementarios Si α y β son suplementarios entonces: α + β = 180º α = 180º – β Senα = Sen(180º – β) Senα = Senβ Análogamente Cosα = –Cosβ Tanα = –Tanβ Cotα = –Cotβ Secα = –Secβ Cscα = Cscβ Ejemplos 1. Sen130º 2. Cos 2ð 3 4ð 5 = Sen = Sen50º = –Cos70º = –Tan40º ð 3 = –Cos ð 5 porque: 130º + 50º = 180º porque: 110º + 70º = 180º porque: 140º + 40º = 180º porque: porque: ð 2ð 3 +3 = π 4ð 5 + ð 5 =π Problemas I ( ) Sen(ð+x) = –Senx 1. Sen 5. Tan140º 4. 4. 2 Tan(–60º) = –Tan60º =  3 Sen(–130º) = –Sen130º = –Sen(180º . que para el coseno y la secante el ángulo negativo es indiferente. Sen(–30º) = –Sen30º =  2. Ejemplos 1 2 2 1. 5. 6.
Sen( –x) = Sen x II. Simplificar:  Sen   x Tg(  x)  2  E  Cos( x) Tg( x)  a) 0 d) 1/2 a) VVF d) FFV 2 b) FVV e) VVV c) FVF 9.T R I G O N O M E T R Í 7. III. Señale lo incorrecto: I. Sec( +x) = Sec x a) I b) II d) IV e) V E Calcular: M = Cos(-)+Cos(180°-)+Cos(360°-) a) m b) 2m c) 3m d) -2m e) -m 8. Calcular:  Cos(  ) .3n a) 2 b) -2 c) 3/2 d) -3/2 e) 3 . En un triángulo ABC. Si:  = 6  3  Tg     2  b) 2 c) -2 e) –1 5. Reducir: Sen( A) Cos( A) E  Sen(  A)  Sen    A  2  a) 0 b) 2 c) -2 d) 1 e) –1 6.n = Cos 240° Hallar: 2m . ASabiendo que:  =m Sen(90°+)  2   ( ) Tg(2 –x) = –Tg x a) VVV b) FFF d) FFV e) VVF c) FVV ( ) Sec 300° = 2 2. Simplificar: E = TgA + Tg(180°-A) + Ctg(90°-A) +Tg(180°+A) a) 0 b) Tg A c) 2TgA d) 1 e) -1 a) -1/2 d) 1 2 ( ) Sen 150° =   = Ctg V. Marcar lo incorrecto: 3. Afirmar si es verdadero (V) o falso (F): ( ) Tg 210° = 3 b) 2 e) –1/2 c) –2 a) Sen 120° = 3 2 3 2 b) Cos 150° = – c) Tg 135° = -1 d) Sec 143° =  e) Csc 127° = 5 3 5 4 10. x  3  Cos  x = –Sen x    2  Tg( +x) = Tg x 3 Tg    2 x   c) III 4. IV. simplificar: E Sen(A  B) Cos(B  C) Tan(A  C)   SenC CosA TanB a) 1 d) 3 b) -1 e) -3 c) 2 11. Sabiendo que: m + n = Sen 150° + Tg 225° m .
a 17. Si: “" y “ ” son dos ángulos complementarios y 1 Sen(2+3 )=  . a 11. Si: b) 2 –1 d) 2 e) 1 Tg(90  A)Sec(180 – A)Tg(270  A) Sen(360  A)Csc(180  A)Cos(180  A)  3  x  kCtg   2 2 y 2k 1 Tg(x  )  3 a) 8/3 d) –3/8 b) –8/3 e) 5/4 c) -7/2 A  Cos ð 3ð 8ð 10 ð  Cos  Cos  Cos 11 11 11 11 a) 1 d) 2 Sen      2  Cos(  270) E 3   Sen(  180)  Sen      2  b) –1 e) –2  b) –1 e) –2 c) 0 16. a 18. es: a) 2 4 d) 8 2 b) 2 c) 3/8 20. e 5. c Problemas II 1. a c) 0 CLAVES I 3. En un triangulo ABC.12. b 10. Simplificar: Sen(90  x)Sec(180  x) Cos(90  x)Csc(360  x) A a) -1/2 d) 1 b) –1 e) 1/2 c) 0 2. b 16. b 14. e 7. c 9. a 8. simplificar: E a) -1 d) Tg B 18. Simplificar: 15. calcular: E Calcular el valor de “k” a) -2/7 b) 7/2 d) 3/7 e) 7/3 a) 2 +1 c) 2 2 e) – 8 17. a 6. Hallar: Sen(A  B  2C) Sen(A  B) b) -2 e) Tg C T R I G O N O M E T R Í A ð  ð     Tg kð     Tg  −   Sec   4 4 4   5ð             E     Sec −   2   4 c) 1 Donde: k  Z 13. c 19. c 20. el valor de: 3 Tg(3 + 2 ). Siendo: a+b+c = ð Simplificar: 1 1 E= 2 [Cos(a+2b+c)+Sen (a+3b+c)] 2 1. c 4. d 13. Simplificar: M Tan(180  x) Sec(90  x) Cot(270  x) Csc(180  x) a) –2 d) 1 b) –1 e) 2 c) 0 . a 15. hallar “A” en: Ctg(–160°) = Ctg A a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 14. Simplificar: a) 1 d) 2 c) 1– 2 19. Si: Sen A . c 2. a 12.2Cos A = 0. Siendo “A” un ángulo agudo.
Si “ ” es un ángulo positivo y menor que una vuelta.5Senb 3. Reducir: Sen200  2Cos1510 R Cos(−70) a) 1 d) 1/2 b) 2 e) 1/3 c) 3 7. Calcule: F = Tan 57 a) –2 d) 1 ð ð + Sec 61 4 3 b) –1 e) 3 c) 0 9. Reduzca: E = Tan(4ð+x)+Tan(7ð+x)+Tan(12ðx) a) –3Tan x b) –Tan x c) 3Tan x d) Tan x e) 0 8. de modo que cumple: Sen  = Cot(180°+ )+Tan(270°+ ) Calcule: A = Cos  + Sen a) –2 d) 2 b) –1 e) 3  + Sec 2 2 c) 1 . reducir: 4. Calcule el valor de: (-2.8) 2 Sen150Sec 300Tan 135 P Tan315  Cos240 a) -2/3 d) 3 b) -4/3 e) 3/4 c) 0 b) –1 e) 2 y x c) –1/3 5. reducir: 6. Calcule la medida del ángulo agudo que cumple con: Sen x)   ð x  – 3Cos( –x) = Sec(2 – ð   2  A C  Tan   Cos(2A 2B)   2  T  B Cos2C Cot 2 a) –2 d) 1 b) –1 e) 2 c) 0 13. En un triángulo ABC. Simplifique: H = Tan a) -2 d) 1 2 5 8 11  Tan  Tan  Tan 13 13 13 13 b) –1 e) 2 c) 0 14.T R I G O N O M E T R Í A a) 0 d) 2Sen b b) Sen b e) 1 c) 0. En un triángulo ABC. Simplifique: Cos(x) Sen(  x)  Sen(x) N  Sen  x 3   Cos x       a) -2 d) 1   2    N Cos(B  C) SenC Sen(A  B)  CosA   2  a) –2 d) 1 c) 0 b) 3 e) 2 10. Determinar el valor de: Q = Sec 1500° + 5Sen 2483° a) -2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 a) –2 d) 1/2 b) –4 e) 1/4 c) 0 12.
S i e n d o “  “ y “  “ á n g u l o s complementarios. c 12. ð a) 8 ð d) 6 T R I G O N O M E T R Í A  ð 4 ð e) 12 b) c) ð 3 15. reducir: P = Sec(+2 )+Tan(2+5 ) ×Cot( +4)+Csc(2+ ) a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 17.2 e) 4.1 N b) –4. Siendo ““ y “ “ ángulos agudos de un triángulo rectángulo. c 20. c 18.2 B c) –1. c 17. calcular: M B O a) 20/21 d) –40/9 b) 21/20 e) –1/2 c) –9/40 16. b 7. b O C os(2  4 ) Tan(3  2 ) Cos(4  6)  Cot(2  3 ) b) 1 e) (–1)k+1 k c) (–1)k CLAVES II 2. e 16. e 13. e 19.05 b) –1 e) 2 c) 0 19. b 6. De la figura. a 3.1 d) 2. calcule: Tan  Además: ON NB  A 29 21 a) –2 d) 1 a) –2. b 10. b 4. c 14. a 11. d 5. Reduzca: P Sen(230   )  Tan(300   ) Tan(60   )  Cos(400  a) –2 d) 1 c) 0 b) –1 e) 2 20. c . e 9. d 8. c 15. k  Z es: W = Sen K – Cos(K+1) a) 1 d) (-1)2k 1. El equivalente de: . calcule: Tan  Si: OA=AB=41 ^ OB=80 A 18. De la figura mostrada.
0) Como origen de suplementos B’(0. (es aquel que indica el cuadrante al cual pertenece dicho arco).) Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas rectangulares y cuyo radio es igual a la unidad.-1) Sin nombre especial P1 ^ P2 Extremos de arco Arco en posición estándar Es aquél arco cuyo extremo inicial es el origen de arcos de la C. B’ P Medida del arco negativo 2 La ecuación de la circunferencia trigonométrica es: x² + y² = 1 Para un mejor entendimiento de las definiciones posteriores se enuncian las siguientes denominaciones a los puntos: A(1.T. 1) Como origen de complementos A’(–1. U N F V – C E P R E V I 13 .T. 0) Como origen de arcos B(0.T R I G ON O M E T R Í A UNIDAD 7 Circunferencia Trigonométrica (C. razón por la cual se le denomina también circunferencia unitaria. y B P Medida del arco positivo 1 θ θrad A’ O A αrad x α C.T.T. y su extremo final cualquier punto sobre la C.
57 B 2 A O x B 3ð  4. estos tendrán su posición inicial en el punto A(1. 6 . 0). 4.T. –1 6 Resolución Para que los arcos se encuentren en posición estándar en la C. 5ð . y 5ð 5ð B 5ð M: extremo de arco ( ∈ IIC) 6 M 4 5ð 6 rad 6 N C.T. y ” ” y ”” son arcos en posición estándar tales que:  es (+) ^  ∈IC P  es (–) ^  ∈IIIC A x T A� P =  A� T =  B Observación Del gráfico estos extremos de arcos servirán como referencia para ubicar aproximadamente otros arcos en la C. Ejemplo y ð  1.T R I G O N O M E T R Í A Observación El ángulo central correspondiente a un arco en posición estándar tiene una medida en radianes que es igual a la medida del arco en unidades.71 2 Ubique gráficamente en la circunferencia trigonométrica los extremos de arcos (en posición estándar).T.
(∈ central) Importante: Cálculo de las R.T.T.T R I G O N O M E T R Í A A -1 x -1 rad N: extremo de arco 4 (4 ∈ IIIC) Q: extremo de arco -1 (-1 ∈ IVC) Q Razones trigonométricas de arcos en posición estándar Son numéricamente iguales a las razones trigonométricas de su respectivo ángulo central en la C.( ) = R.y0 ) 1 A x C. De acuerdo al gráfico: 0 1 x0 Cos  = Cos( rad) = = x0 1 y0 Tg  = Tg( rad) = x0 x Ctg  = Ctg( rad) = 0 y0 1 Sec  = Sec( rad) = x0 1 Csc  = Csc( rad) = y0 R.T.T. Sen  = Sen( rad) = y0 =y y 0 P(x .T.T.(arco) = R.( rad) Ejemplo: Sen Tg ð ð 1 = Sen rad = 6 6 2 ð ð = Tg rad = 1 4 4 . R.T.
luego se tendra: (x0 . x B Coordenadas opuestas y O x : Coordenadas opuestas C. Coordenadas simétricas y  C.T.Observación: Las coordenadas de “P” son (x0 . Sen  ) Coordenadas del extremo de arco y O C.y0 ) = (Cos  .y0 ). O x .T.T.
coseno de un arco en la C. Representaciones de seno. Representación de la línea Seno El seno de un arco viene a ser la ordenada trazada de su extremo de arco.Coordenadas ortogonales y O x C. Líneas trigonométricas Son segmentos de rectas dirigidas.T. los cuales nos representan en la circunferencia trigonométrica.T. y y Sen=1 Sen=0 Decrece Crece x Decrece Crece Sen=-1 Rango de valores –1 ≤Sen  ≤1 ∀  ∈R -1 1 Sen=0 x . el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o número.
Sen 310° Luego el mayor valor será: a) Sen 40° b) Sen 130° c) Sen 220° d) Sen 310° e) Necesito calculadora 2. Hallar la variación de “m” si: b) –1  m  1 d) –2  m  2 " "  IIIC y Sen  = Sen µ² 2 1. Hallar la variación de "m" para que sea posible la relación: Sen  = 2m – 7 a) 3  m  4 c) 6  m  8 e) 2  m  3 3. Cos 145°. y Cos=0 y Cos=-1 Decrece Decrece Cos=1 x x Crece Crece Cos=0 Rango de valores –1  Cos   1  R -1 1 Problemas I a) 1. 3K 7 4 b) K  7 3 7 c) Sen  µ² e) Cos  µ² b) 2Sen  µ² d) 2Cos  µ² 6.   e) K  1. 1]  c) K  1. d) K  1. si: a) K  [-1. Hallar la extensión de "K". Considerando los valores de: Cos 55°. Sen 220°.Representación de la línea Coseno El coseno de un arco es la abscisa trazada de su extremo de arco. Considerando los valores de: Sen 40°. 7 3 Cos  a) –1  m  1 c) –8  m  8 e) –8  m  2 m 3 5 b) 2  m  8 d) –8  m  –2 8. Sen 130°. Cos 235°. Cos 325° Luego el menor valor será: a) Cos 325° b) Cos 235° c) Cos 145° d) Cos 55° e) Necesito calculadora 7. Si: “ "  IVC y Cos  = 1 3a 7 7 3 ¿Entre que límites debe estar “a” para que el "Cos  " exista?    .
hallar el área de la región sombreada. Calcular: 3  J  Sen3603Sen9022Cos 180 3 Cos90  10Sen 270  Cos 0 a) 1 d) –0. Hallar el área de la regió n sombreada: y 14. Calcular el cociente de los valores máximo y mínimo de: 5.T. Siendo: P = 3Sen² – 5Cos² · Pmin Encontrar: P . Si: b) 0.T.5Sen  · Cos  µ² 16.5 x C. a) –64 d) 1 b) –15 e) 0 c) –2 15. y  1 Cos  µ² b)  1 Cos  µ²    2     2 a)   Cos   µ²  2  c)  O d) (1–Cos  )µ² e) (1+Cos  )µ² 11. En la figura.   3 3 2    3 1 2.  b)  2 2 3    d) 2. 10. 3 9.1 12. a) 0. Si: 45° <  < 135° y A < Sen  ≤ B Hallar el valor de: W = (A+B) (A-B) . Halla r el áre a de l a regió n sombreada: y Q = 6Cos  – 7 a) 1 d) –1/13 b) 13 e) 1/13 c) –13 x O C.1 e) –0. Si “A” es el máximo valor. Q = 2 – 3 Sen  Encontrar el valor de “A-B” a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 1 e) 1 .5 < <  < ð c) 0.T.5Sen  · Cos  µ² b) 2Sen  · Cos  µ² c) Sen  · Cos  µ² d) –Sen  · Cos  µ² e) –0.3 4.   máx O x C. c)  1  . y “B” el mínimo valor de la expresión: a)  1 .
5] d) [3.5> e) <0. Indicar la verdad (V) o Falsedad (F) de las siguientes proposiciones: i) Sen 1 < Sen 3 ( ) ii) Cos4 > Cos2 ( ) iii) Sen 5 · Cos 6 > 0 ( ) a) VVV b) FVV c) FFV d)FFF e)VFF . Si: 1 b) c) 1 2 2 2  6 e)   2 2 3 Hallar la extensión de: E = 4Cos  + 1 a) <3.2 1 2 Indicar si es (V) o (F) i) Sen  1 < Sen  2 ii) Cos  1 > Cos  2 iii) Sen  2 · Cos  1 > 0 iv) Cos  2 · Sen  1 < 0 a) FVVF b) FVFV c) VFFF d) FVVV e) VFVF 13.5.1] 18. Indicar la relación posible: a) Sen  = 3 b) Cos  =– 2 c) Sen  = 2 +1 d) Cos  = 1– 3 e) Sen  = 3 2 1 a)– 2 d)  17. 5] c) <3. 5> b) [3.
Indicar verdadero (V) ó falso (F) según corresponda: ( ) Sen 20° > Cos 20° ( ) Cos 190° > Cos 300° ( ) Sen 100° = Cos 350° a) VVV b) FFF c) FFV d) VFF e) VVF C. Hallar la variación de “k”’ para que se verifique la igualdad: y S O θ Sen  R P x Q C. e 12. 4.5 (1+Sen  .2> 3  6. c 11. b 15. a 2k  5 a) [–1. c 10. e 9. c 20. hallar la de: extensión c) Sen 100° d) Sen 230° e) Sen 300° 1.Cos  ) u² d) 0. e b) 0 ≤ k ≤ 3 d) 1 ≤ k ≤ 4 Cos  = 2k + 3 d) -4(Cos  – Sen  ) e) 4 · Sen  · Cos  2. b 18.5 (1-Sen  + Cos  ) u² 20. si “ ” ∈ IIC. 1] 2 e) <–1. Indicar el mayor valor en las siguientes alternativas: a) Sen 20° b) Sen 70° U N F V – C E P R E V I 21 . ( ) Cos 10° > Cos 50° y ( ) Cos 120° > Cos 160° ( ) Cos 290° > Cos 340° a) VVV b) FFF c) FVF d) VVF e) VFF O x 3. además: a) -4(Sen  + Cos  ) b) 4(Sen  + Cos  ) c) -4(Sen  – Cos  ) 1.1] d) 5.5 · Sen  · Cos  u² b) 0. Indicar verdadero (V) ó falso (F) mostrada en la circunferencia según corresponda: trigonométrica. 3 c) [0. d 14.19. 5   . c 16. a 7. En la figura.T. d 19. b 17. Si “” ∈    6 . b 6. c 3 5. d 4. Indicar la extensión de "k".5 (1-Sen  .T. a) –1 ≤ k ≤ 1 c) 0 ≤ k ≤ 1 e) –2 ≤ k ≤ 1 CLAVES I 3. a Problemas II  13 . a) 0. hallar el perímetro del rectángulo PQRS.5 (1 +Sen  + Cos  ) u² e) 0. Hallar el área de la región triangular 2. 2 2 b)  2.Cos  ) u² c) 0. e 13. c 8.
E = 4Sen  – 3
a) [–1;1]
b) [0; 1]
c) [–3; 4]
e) [–2; 0]
Siendo "" y " " ángulos 11. Indicar verdadero (V) ó falso (F):
independientes entre si, hallar la
( ) Sen Kð = 0
diferencia entre el máximo y mínimo
( ) Cos(2k+1)ð = –1
( ) Sen(4k+1) = 1
M = 2Sen  + 3Cos2
8. En la C.T. mostrada, hallar las
coordenadas del punto “P”.
Sen x  1 + 4Cos x = Sen y
a) (–Sen  ; –1)
c) (–1; –Cos  )
e) (Cos  ;–1)
b) (–1; Cos  )
d) (–Cos  ; –1)
9. Calcular el área de la región
sombreada:
M = Cos x + Cos y
13. Indicar las alternativas correctas:
Sen 1 > Sen 2
Cos 3 > Cos 4
III. Cos 6 > Sen 1
d) Solo l y ll
14. Indicar verdadero (V) ó falso (F)
a) Sen 
b) Cos 
1 Sen 
c) –Cos 
Sen 4 = 3 –1
e)  1 Cos 
xy
iii. Sen 
10. Del gráfico, calcular: x(1–Cos  )
3  2
 
5  1
15. Sabiendo que “”  <30°; 120°>;
hallar la extensión de:
M = 2Cos 2 + 1
a) 2Sen 
b) 3Cos 
c) Tg 
d) Sen 
e) 2Sec 
16. Calcular el área de la región
a) [–1;2>
d) [–2;2>
e) [1;2]
c) <–2;–1>
19. Si ””  IIIC, hallar la variación del
Sen
a) Csc 
Cos 
b) Sen 
Sen  ·Cos 
17. Calcular el máximo valor de:
E = (3–Cos x)(1 + Cos x)
c) <30°;60°>
e) <30°;45°>
Cos1
d) [30°;45°]
M = Sen²+Cos² +2(Sen+3Cos  )
12. c 13. c 14. d
17. d 18. a 19. b
18. Hallar la extensión de:
Cos   Sen x 
a) [0; 1]
d) [-2; 0]
e)[1; 2]
c) [-2; –1]
Ejemplos Identidad Algebraica: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Identidad Trigonométrica: Sen2θ + Cos2θ = 1 Ecuación Trigonométrica: Senθ + Cosθ = 1 Para: θ = 90º Cumple Para: θ = 30º No cumple Identidades Fundamentales Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas.q.d 25 .T R I G O N O M E T R Í A UNIDAD 8 Identidades trigonométricas para un mismo arco Identidad Trigonométrica Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible del ángulo. Se clasifican en:Pitágoricas Por cociente Recíprocas Identidades pitagóricas Sen2θ + Cos2θ = 1 1 + Tan2θ = Sec2θ 1 + Cot2θ = Csc2θ x2 + y2 = r2 Sabemos que: x 2 2 r y2 r 2  y 2 2 r x2  2 r =1 =1 Sen2θ + Cos2θ = 1 U N F V – C E P R E V I L.q.
q.q.d Cos r Identidades recíprocas Senθ • Cscθ = 1 Cosθ • Secθ = 1 Tanθ • Cotθ = 1 Demostración 1 =1 y r • =1 r y Senθ • Cscθ = 1 L.d Observación: Sen2θ + Cos2θ = 1 Despejando: Sen2θ = 1 – Cos2θ ∈ Sen2θ = (1+ Cosθ) (1 – Cosθ) Así mismo: Cos2θ = 1 – Sen2θ ∈ Cos2θ = (1 + Senθ) (1 – Senθ) Identidades auxiliares A) B) C) D) E) Sen4θ + Cos4θ = 1 – 2Sen2θ • Cos2θ Sen6θ + Cos6θ = 1 – 3Sen2θ • Cos2θ Tanθ + Cotθ = Secθ • Cscθ Sec2θ + Csc2θ = Sec2θ • Csc2θ (1 + Senθ + Cosθ)2 = 2(1 + Senθ)(1 + Cosθ) .q.Identidades por cociente Tan θ = T R I G O N O M E T R Í A Sen Cos Cot θ = Cos Sen Demostración y ORDENADA Tanθ = ABSCISA y = x  r x  Sen L.q.
Demostraciones A) Sen2θ + Cos2θ = 1 al cuadrado: (Sen2θ + Cos2θ)2 = 12 Sen4θ + Cos4θ +2Sen2θ • Cos2θ = 1 ∈ Sen4θ + Cos4θ = 1 –2Sen2θ • Cos2θ B) Sen2θ + Cos2θ = 1 al cubo: (Sen2θ + Cos2θ)3 = 13 6 6 Sen θ + Cos θ + 3Sen2θ • Cos2θ(Sen2θ + Cos2θ) = 1 Sen6θ + Cos6θ + 3Sen2θ • Cos2θ = 1 ∈ Sen6θ + Cos6θ = 1 –3Sen2θ • Cos2θ C) Tanθ + Cotθ = Sen  Cos Cos Sen 2 2 Tanθ + Cotθ = Sen   Cos  Tanθ + Cotθ = 1• 1 Cos • Sen Cos • Sen ∈ Tanθ + Cotθ = Secθ • Cscθ D) Sec2θ + Csc2θ = 1  2 Cos  1 2 Sen  2 2 2 2 Sec2θ + Csc2θ = Sen   Cos  Cos  • Sen  Sec2θ + Csc2θ = 1• 1 Cos2 • Sen2 ∈ Sec2θ + Csc2θ = Sec2θ • Csc2θ E) (1+Senθ+Cosθ)2 = 12+(Senθ)2+(Cosθ)2+2Senθ+2Cosθ+2Senθ•Cosθ = 1 + Sen2θ + Cos2θ + 2Senθ + 2cosθ + 2Senθ • Cosθ = 2 + 2Senθ + 2Cosθ + 2Senθ • Cosθ .
2. Se lleva a Senos y Cosenos (por lo general). Se utilizan las identidades fundamentales y las diferentes operaciones algebraicas.Agrupando convenientemente: = 2(1 + Senθ) + 2Cosθ(1 + Senθ) = (1 + Senθ)(2 + 2Cosθ) = 2(1 + Senθ) (1 + Cosθ) Finalmente: ∈ (1 + Senθ + Cosθ)2 = 2(1 + Senθ) (1 + Cosθ) Problemas para demostrar Demostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta son equivalentes. 3. Se escoge el miembro “más complicado”. Ejemplos 1) Demostrar: Secx•(1 – Sen2x)•Cscx = Cotx Se escoge el 1er miembro: Secx•(1 – Sen2x)•Cscx = Se lleva a senos y cosenos: Se efectúa: 1 • (Cos 2 x) 1 = Cosx • Senx Cosx • 1 = Senx Cotx = Cotx 2) Demostrar: [Secx + Tanx – 1][1 + Secx – Tanx] = 2Tanx Se escoge el 1er miembro: [Secx + Tanx – 1][Secx – Tanx + 1] = [Secx + (Tanx – 1)][Secx –(Tanx – 1)] = Se efectua: (Secx)2 – (Tanx – 1)2 = (1+ Tan x) – (Tan2x – 2Tanx – 1) = 1 + Tan2x – Tan2x + 2Tanx – 1 = 2Tanx = 2Tanx 2 . Para lograr dicho objetivo se siguen los siguientes pasos: 1.
Ejemplos 1 .Problemas para simplificar y reducir Ejemplos 1) Reducir: K = Sen4x – Cos4x + 2Cos2x Por diferencia de cuadrados 64471 448 K = (Sen2x + Cos2x) (Sen2x – Cos2x) + 2Cos2x K = Sen2x – Cos2x + 2Cos2x K = Sen2x + Cos2x ∈ K=1 2) Simplificar: E 1  Cosx Senx  Senx 1  Cosx 2 1 C 644 4 7os4x448 E= (1  Cosx)(1  Cosx)  (Senx)(Senx) Senx(1  Cosx) 2 2 Sen x  Sen x E= Senx(1  Cosx) ∈ 0 E  Senx(1  Cosx) ∈ E=0 Problemas condicionales Dada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha o dichas condiciones. Hallar: Senx•Cosx 2 Si Senx  Cosx  Resolución  1   2 1 Sen2x + Cos2x + 2Senx • Cosx 4 = Del dato: (Senx + Cosx)2 =  2 .
y que al final se den relaciones independientes de la variable.1 4 2Senx • Cosx =  1 2Senx • Cosx =  Senx • Cosx =  ∈ 3 4 3 8 Problemas para eliminar ángulos La idea central es eliminar todas las expresiones algebraicas. Ejemplos Eliminar “x” a partir de: Senx = a Cosx = b Resolución De: Senx = a Cosx = b ∈ ∈ Sen2x = a2 Cos2x = b2   Sumamos  Sen2x + Cos2x = a2 + b2 ∈ 1 = a2 + b2 Resumen de fórmulas Sen2θ = 1 – Cos2θ Fundamentales   P I T A G Ó R I C A S Sen2θ + Cos2θ = 1   Tan2θ = Sec2θ –1   Cos2θ = 1 – Sen2θ Sec2θ – Tan2θ = 1 1 + Tan2θ = Sec2θ  Cot2θ = Csc2θ – 1     Csc2θ – Cot2θ = 1 1 + Cot2θ = Csc2θ   D O E  C Tanθ =  CI .
Reducir: c) 2Sen x Cos x d) 4Sen x Cos (1 ± Senθ ± Cosθ)2 =x 2(1 ± Senθ)(1 ± 3 3 e) 4 Sen x Cos x Cosx 1 Senx  2. Reducir la expresión: 6 6 2 2 Cscθx(Csc x+Sen Sen θ + Cos θ = 1 – 3Sen • Cos θ x) – Ctg x(Ctg x–Tg x) 1.Sen Cos E N T E  Cotθ = Cos  Sen Senθ =  Csc Senθ • Cscθ =  Csc  1 1  1 Sen  R  C Cos  E  Í P Sec Cosθ • Secθ =  1 Sec  R O C A S    Tanθ • Cotθ = 1   1 1 Cos Tan  1 Cot Cot  1 Tan Auxiliares 2 2 Sen4θ + Cos4θ = 1 – 2Sen θ • Cos θ 10. Reducir: (Sen x + Cos x · Ctg x)Sen x a) Tg x b) Ctg x c) 1 d) Sec x e) Csc x 4. Simplificar: Cosx Problemas I (Csc x – Ctg x)(1 + Cos x) a) 1 b) Sen x c) Cos x d) Sen²x e) Cos²x 3. Reducir: . Reducir: a) 0 b) 1 c) 2 = 2Secθ • Cscθ (Sen x + Cos x)² +Tanθ (Sen x+–Cotθ Cos x) d) 3 e)4 a) 1 Secb)2θ2 + Csc2θ = Sec2θ • Csc2θ 11.
Cos²x)Csc²x + Ctg²x a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 a) Sen x b) Cos x c) Sec x d) Csc x e) Tg x 13. hallar: a b 3a(Sen4x+Cos4x)+b(Sen6x + Cos6x) a) 1/5 b) -1/3 c) -1/2 d) -2/3 e) 5/2 1 1 .4 d) 1.0 1. Reducir: Secx  Cosx Cscx  Senx a) Tg x d) Ctg²x b) Tg²x e) Ctg³x c) Tg³x d) 2 n 1 Cosx Tgx  1 Senx b) 2Sec x e) Csc x e) 2 n1 c) 1 n 1 16. Reducir: 1 Sec x·Csc x – Ctg x + Sec x  Tg x a) Sen x b) Cos x c) Sec x d) Csc x e) Ctg x 20. Reducir la expresión: (Sen²x . (Sec x – Cos x)Ctg x b) Sen x c) Sen²x e) Cos²x a) 1 d) Sec x 5. Simplificar: a) 2 d) Sec x b) n -1 a) n+1 c) 2Csc x 9. Hallar “k” de la siguiente identidad: Senx 1 Cosx 2   1 Cosx Senx k a) Sen x d) Sec x 1 1  Secx  Tgx Ctgx c) b) Cos x e) Csc x c) Tg x 6.2x + Cosc)x 1. Si: Sen x + Cos x = n Hallar: Tg x + Ctg x + Sec x + Csc x 7.1)(Sec x – Tg x + 1) a) 2Sen x b) 2Cos x c) 2Tg x d) 2Sec x e) 2Csc x a) ab = 1 b) 2ab = 1 c) 3ab = 1 d) 4ab = 1 e) 5ab = 1 5. Si la expresión es independiente de 8.6 e) 1. Si: Tg x + Ctg x = 3 Hallar: Tg4x + Ctg4x a) 41 b) 43 c) 45 d) 47 e) 49 14. Simplificar: 6. Si: Tg x + Ctg x = 3 Hallar: (Sen x + Cos x)2 a) 5 b) 5/2 c) 5/3 d) 5/4 e) 5/6 15. Hallar “n” en la siguiente identidad trigonométrica: (1+Tan x)2+(1+Cotx)2=(Secx+Cscx)n a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 19. Reducir. Hallar “A” en la identidad: 1 Senx = A + Tg x 1 Senx “x”. Simplificar: (Sec x + Tg x . Si: 5Sec x – 4Tg x = 3 Calcular: A = b) Sen a) 1. Si: Cos x = Eliminar “x” a) Sen x b) Cos x c) Ctg x d) Sec x e) Csc x 18. Ctg x = ab a b 17.a) Sen x b) Cos x Tg x d) Ctg x e) Sec x 12.8 Sen4 x(1 Sen2 x)  Cos4 x(1 Cos2 x)  2 H Sen4 x(1 Sen2 x)  C os4 x(1 Cos2 x) a) 1 b) 5 c) –1 .
Reducir: (1 Senx  Cosx) 2 (1 Senx  Cosx) U  2 .d) –5 e)  5 1 7.
d 15. Calcular: 2 2 b) 7 7 e) c) 2 17. b 3. c 13. c (2  2Senx) (2  2Cosx) a) 0 b) 2 c) Cos x– Sen x d) Sen x + Cos x e) Sen x – Cos x 8. Simplificar: (Senx  Cosx)(Senx  Cosx) P Sen4 x  Cos4 x a) 0 b) 1 c) –1 d) Sen²x e) Cos²x 2. c 17. c Problemas 5. Simplificar: 2 Csc x Sen x  P1 2 2 Sec x  Cos x  1 a) 1 d) Cot6x b) Cot²x e) Tan6x   c) 1 e) 3 2  F  2 1 2Cos    Sen   3  3 2 (Tan1  Cot1)  (Tan1  Cot1) 1 3 1 7 7 7 (Sen3  cos 3)  (Sen3  Cos3) a) 3 8 Senx Cosx T Senx  Cosx Hallar: Sec x 2Sen x Tan Jx 2 2 2 Csc x  2Cos x  Cot x a) –2 b) 2 c) –1 d) 1 e) 0 Y c) Cos4x 10. Indicar el equivalente de: 2 1. c 19. d 20. Simplificar: 1 (1 Senx)  (1 Senx) 1 1 (1 Cosx)  (1 Cosx) a) 1 d) Tan²x b) Tan x e) Cot²x L c) Cot x Secx(Secx  Cosx)  Cscx(Cscx  W Senx) Cotx(Tanx  Cotx)  Tanx(Cotx  Tanx) b) 1 e) 0 (2Tanx  Secx)(Cscx  Senx) Cotx  2Cosx a) 1 d) Tan2x 3. Reduzca: 2 2 Cosx 1   Senx 1 M           1 Senx Cotx   1  Cosx Tanx  c) Tan²x 1 b) 2 d) 1– 3 e) 3 +1 c) 2 3 –1 18. dII 18. d 9. c 4. d 11. Reducir: a) –1 d) 2 c) –2 2 b) Cos²x e) Cot2x 2 a) 1 d) 11.CLAVES I 1. Calcular:  b) d) 2 1 2 3 a) 12. c 16. Simplificar: 2 2 T an x Sen x H  3 Cot 2 x  Cos2 x  . b 7. d 14. b 2. c 8. a 12. b 6. a 10. Reducir: Q 1 a) Tan²x+Cot²x b) Sec²x+Cos²x c) Sen²x+Csc²x d) Sec²x+Csc²x e) 1 9. Siendo: Sen x · Cos x = 4.
d 9. d 20. c 17. b 13. c 10. e b) 1 e) 4 c) CLAVES II 2. d 15. c 7. d . e 8. e 2 5. b 16. Siendo: (Sec A + Tan A) (Csc B – Cot B) = k Hallar: (Tan A – Sec A)(Cot B + Csc B) a) 1 b) –k c) –k–1 –1 d) k e) k 15. d 3. Si: Cos x(1+Cos x) = 1 Hallar: M = Csc2x + Cos2x a) 0 d) 2 1. a 12. d 11. e 18.13. Dado: Tan x – Cot x = 3 Halle: 14. b 19. a 14. a 4. b 6. Simplificar: [Secx  Tanx  1]  [Secx  Tanx  W 1] 1]  [Cscx a) [Cscx –Tan²x Cotx b) Tan²x c) 1 Cotx  1] d) –Cot²x e) Cot²x a) 1 d) Tan x b) Tan²x e) Cot x 6 c) Cot²x 6 19. Reducir: Q = 1 – Tan²x + Tan4x – Tan6x + … a) 12 d) 33 J = Tan3x – Cot3x b) 15 c) 27 e) 36 20.
a) Tan²x d) Cos²x b) Sec²x e) Sen²x c) Csc²x 16. Sabiendo que: Sen x + Cos x = m Hallar: 2 2 Sec xCsc x1 V Tanx  Cotx  1 a) 2 2 m 1 b) 2 d) 1 m 2 1 m 1 m2 1 m 2 e) 2 m 1 2 m 1 2 c) m 1 2 m 1 .
T R I G O N O M E T R Í A UNIDAD 9 Identidades trigonométricas para el arco compuesto Identidades trigonométricas para la suma de dos arcos A partir del gráfico: Y B M  1 S R CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA   X O P Q A Sen(α + β) = ? Sen(α + β) = MP = PS + SM = QR + SM OQR ∈ OQ = O{R Sen  Sen • Cos Cos MSR ∈ SR = M{R Cos  Cos • Sen Luego: Sen Sen(α + β) = Senα • Cosβ + Cosα • Senβ Cos(α + β) = ? Cos(α + β) = OP = OQ – PQ = OQ – SR OQR ∈ OR = O{R Cos  Cos • Cos Cos MSR ∈ SM = M{R Sen  Sen • Sen Sen Luego: Cos(α + β) = Cosα • Cosβ – Senα • Senβ U N F V – C E P R E V I 37 .
Sen(   ) Tan(α + β) = ? Tan(α + β) = Cos(   ) T R I G O N O M E T R Í A = Sen • Cos Cos • Cos  Cos • Sen  Sen • Sen Dividiendo a la expresión por CosαCosβ Sen • Cos Cos • Sen  Cos • Cos Cos • Cos Tan(α + β) = Sen • Sen Cos • Cos  Cos • Cos Cos • Cos Luego: Tan(α + β) = Tan  Tan 1  Tan • Tan Observaciones Cot(α + β) = 1 Tan(   ) Sec(α + β) = 1 Cos(   ) Csc(α + β) = 1 Sen(   ) Ejemplos Sen 75º = ? Sen(45º + 30º) = Sen45º • Cos30º + Sen30º • Cos45º = 2 2 • 3 2  1 2 • 2 4 2 6.2 6 2  = 4 4 ∈ Sen75º = 75º 15º 6 2 4 6+ 2 ∈ .
De la circunferencia trigonométrica se observa que: * Sen(-α) = M’P Sen(α) = MP ∈ M’P = -MP ∈ Sen(-α) = –Senα * Cos(-α) Cos( α) = OP = OP ∈ Y B M Cos(-α) = Cosα  O Asi mismo: * Cot(-α) * Sec(-α) * Csc(-α) * Tan(-α)  = –Cotα = Secα = –Cscα = –Tanα P A M’ CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA B’ Identidades trigonométricas para la diferencia de dos arcos Sen(α – β) = ? Sen[α + (-β)] = Sen • Cos( )  Cos • Sen( ) 14243 Cos Luego: 14243 Sen Sen(α – β) = Senα • Cosβ – Cosα • Senβ Cos(α – β) = ? Cos[α + (– β)] = Cos • Cos( )  Sen • Sen( ) 14243 Cos Luego: 14243 Sen Cos(α – β) = Cosα • Cosβ + Senα • Senβ Tan(α – β) = ? Tan 64748 Tan  Tan( ) Tan( ) Tan[α + (–β)] =1  Tan • 14243 Tan Luego: Tan(α – β) = Tan  Tan 1  Tan • Tan Observaciones: Así mismo: X Cot(   )  1 Tan(   ) Sec(   )  .
1 Csc(   )  Cos(   ) 1 Sen(   ) Ejemplos Cos16º = ? Cos(53º – 37º) Sen37º = Cos53º • Cos37º + Sen53º • = ∈ 3 • 4  4 74º • 3 5 5 5 5 12 12 =  25 25 24 Cos16º = ∈ 25 25 7 16º 24 Tan8º = ? Tan(45º – 37º) ∈ Tan45º Tan37º 1  Tan45º • Tan37º 3 1 1 4 4 = 3  7 1  1• 4 4 = Tan8º = 1 7 82º 5 2 1 8º ∈ 7 Propiedades Sen(α + β) • Sen(α – β) = Sen2α – Sen2β Demostración Sabemos que: * Sen(α + β) = Senα • Cosβ + Cosα • Senβ * Sen(α – β) = Senα • Cosβ – Cosα • Senβ ∈ ∈ i ii .
q.Tanα • Tanβ] Tanα + Tanβ = Tan(α + β) – Tan(α + β) • Tanα • Tanβ ∈ Tanα + Tanβ + Tan(α + β) • Tanα • Tanβ = Tan(α + β) L.Multiplicando miembro a miembro i •ii.Sen2β) – (1 – Sen2α) • Sen2β = Sen2α – Sen2α • Sen2β – Sen2β + Sen2α • Sen2β ∈ Sen(α + β) • Sen(α – β) = Sen2α – Sen2β L.q.d Ejemplos • M = Tan2θ +1Ta2n3θ + Tan3θ • Tan2θ • Tanθ ∈ M = Tan(2θ + θ) Tan(2   ) ∈ M = Tan 3θ • N = Tan70º+Tan10º+Tan80º•Tan70º•Tan10º ∈ N = Tan(70º+10º) 14243 Tan(70º10º) ∈ N = Tan 80º • P = Tan55º + T{an5º + 3 •Tan55º • Tan5º ∈ P = Tan(55º + 5º) T1a2n 630º Tan(55º5º) ∈ P = Tan60º = 3 .d Ejemplos 1 – Sen2θ 2 2 2 • Sen(45º + θ) • Sen(45º – θ) = Sen 45º – Sen θ = • Sen23x – Sen22x = Sen(3x + 2x) • Sen(3x – 2x) = Sen5x • Senx Tanα +Tanβ + Tan(α + β) • Tanα • Tanβ = Tan(α + β) Demostración Sabemos que: Tan  Tan = Tan(α + β) 1  Tan • Tan Tanα + Tanβ = Tan(α + β) • [1 .q. tenemos: Sen(α + β) • Sen(α .q.β) = [(Senα • Cosβ)2 – (Cosα • Senβ)2] = Sen2α • Cos2β – Cos2a • Sen2β = Sen2α • (1 .
así: Tan A = 3 y Tan B = 2. entonces se cumplirá: TanA 123  TanB 123  TanC 123 = TanA 123• TanB 123• TanC 123 3 Reemplazando datos: Ejemplos Calcular: 2 ? 3 + 2 + TanC 5 + TanC 5 ∈ TanC 3 2 ? = 3 • 2 • TanC = 6 • TanC = 5 • TanC =1 ð 2ð 4ð 2ð 4ð ð  Tan • Tan  Tan  Tan • Tan E = Tan 7 7 7 7 7 7 Resolución Se nota que: .• Q = Tan13º + Tan32º + Tan13º • Tan32º Q = Tan13º + Tan32º + 1 •{ Tan13º • Tan32º ∈ Q = Tan(13º + 32º) T a n 1 2 3 4 5º Tan(13º32º) ∈ Q = Tan45º = 1 Si: α + β + θ = 180º ∈ Tanα + Tanβ + Tanθ = Tanα • Tanβ • Tanθ Demostración Por condición: α + β + θ = 180º α + β = 180º – θ Tan(α + β) = Tan(180º – θ) ∈ Tan  Tan = –Tanθ 1  Tan • Tan Tanα + Tanβ = –Tanθ • (1 – Tanα • Tanβ) Tanα + Tanβ = – Tanθ + Tanα • Tanβ • Tanθ Tanα + Tanβ + Tanθ = Tanα • Tanβ • Tanθ L.q.d Ejemplos En un ∆ABC. Hallar “Tan C” Resolución En todo ∆ABC: A + B + C = 180º.q.
d Ejemplo Calcular: W = Tan20º • Tan30º + Tan30º • Tan40º + Tan20º • Tan40º Notamos que: 20º + 30º + 40º = 90º. entonces Se cumple que: 1Ta4n204º 4• Ta4n340º 4+ T4an4340º2• 4Tan4404º +4Ta4n 240° 4• T4an4430º = 1 ∈ W=1 W .q.ð  ∈ 2ð  4ð ð 7 7 7 ð 2ð 4ð • Tan 2ð 4ð  Tan • Tan ð 7 7 7 Tan  Tan  Tan 7 7 7 Reemplazamos: E = Tan ∈ E=0 ð 7 • Tan 2ð 7 • Tan 4ð 7 −Tan ð 7 • Tan 2ð 7 • Tan 4ð 7 Si: α + β + θ = 90º ∈ Tanα • Tanβ + Tanβ • Tanθ + Tanα • Tanθ = 1 Demostración Por condición: α + β + θ = 90º α + β = 90º – θ Tan(α + β) = Tan(90º – θ) Tan  Tan 1 −Tan • Tan Tan  Tan 1 −Tan • Tan = +Cotθ = 1 Tan (Tanα + Tanβ) • Tanθ = 1 – Tanα • Tanβ Tanα • Tanθ + Tanβ • Tanθ = 1 – Tanα • Tanβ ∈ Tanα•Tanβ+Tanβ•Tanθ+Tanα•Tanθ= 1 L.q.
2 15º 6+ 2 • ∈ Sen y Cos ð 15º = 12 6 2 5ð 75º = 12 6 4 2 4 Tan y Cot 2 3 2 3 Sec y Csc 6 2 6 2 s Notables aproximados 25 74º 5 2 7 1 16º 8º 24 Problemas I 82º 1.β) = Sen2α .Resumen de fórmulas Básicas * Sen(α ± β) = Senα • Cosβ ± Cosα • Senβ * Cos(α ± β) = Cosα • Cosβ m Senα • Senβ * Tan(α ± β) = Tan  Tan 1 m Tan • Tan Observaciones 1 * Cot(α ± β) = Tan(   ) * Sec(α ± β) = 1 Cos(   ) * Csc(α ± β) = 1 Sen(   ) Propiedades • Sen(α + β) • Sen(α .Sen2β • Tanα + Tanβ + Tan(α + β) • Tanα • Tanβ = Tan(α + β) • Si: α + β + θ = 180º ∈ Tanα + Tanβ + Tanθ = Tanα • Tanβ • Tanθ • Si: α + β + θ = 90º ∈ Tanα • Tanβ + Tanβ • Tanθ + Tanα • Tanθ = 1 Notas • Notable exacto <) 5ð 12 R. 75º 4 ð 12 6.T. Si: Sen  = 12 7 13 .
............................................ ¿A qué es igual? a) C 1 2 9............................... 2....... Cos( ) = .................. Cos (  ) = .... El valor simplificado de: es: E  Hallar: Cos  2Sen(30  x)  Cosx Senx a) 1 b) 3 3 d) 2 e) 2 A B c) 2 3 P D 4..... a) 1 b) 2+ 3 d) 2 3 e) 7...................... La expresión: 4 ^ Cos  = 5 ..... Calcular: Sen( ) = ......................6............... Si: Cos  = Sen9 Cos6Cos9 Sen6 Cos9  Cos6  Sen9  Sen6 8 7 ....y E es igual a: ángulos agudos......... Tan(  ) = . y ^ Sen  = 17 25 ángulos agudos Calcular: Sen (  ) = ............ Si: Sen 15° = c) 2– 3 3 6 a b 2 Indica el valor de: (b .. Hallar: 1 2 c) 3 4 3 e) 2  a Sen5°+Cos 5°= a Sen °....... Tan( ) = .................... Calcular el valor de: E = (Cos70°+Cos10°)²+(Sen70°+Sen10°)² a) 1 b) 2 d) 4 e) a) c) 3 E = Sen(15°+x)·Cos x–Cos(15°+x) · Sen x 6  2 4 b) d) 6  2 4 c) 2 b) 3 1 d) 4 1 2 5.... Si: AB=AP=2 2 .........a) a) –1 b) 1 d) –2 e) 3 8. c) 2 AD=DC= 6  2 3.... 0°< °< 90° a) 1 b) 3 c) 5 3 2 ..
Calcular el valor de: Sen 20°+ 3 Cos 20° = aSen  ° . ¿A qué es igual? E Cot70Tan25 1 Cot70  Tan25 a) –1 b) 1 d) – 3 e) 14. A c) 3 B1 C 2 D 3 3  30 E  1 Tan  Tan 5 30 Tan 5  Tan es: a) 1 1 5 2 3 5 e) 2 a) 12. calcular “Tan  “. calcular “x”. ¿A qué es igual? E = 2Sen 20° + 3 Sen 10° b) Tan 10° c) Cos 10° e) Cos 20° 1 2 4 d) 3 E = Cos 40° – 2Cos 50° · Cos 10° es: d) b) 3 2 c)  3 e)  2 1 2 13. Hallar:   10a E 11. ¿A qué es igual? E Tan2 Tan46  Tan44 1 2 a) 2 b) d) –2 e) 1 c) – 1 2 17. 0°< °<90° a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) Sen 20° d) Tan 20° 1 3 1 a) 3 1 b) 2 d) 2 e) 3 3 E 1 c) 6 19. El valor de: 1 a)  2 e) 15. En la figura. Calcular el valor aproximado de: E = 117 Tan 21° + 31 Tan 29° a) 59 b) 60 c) 61 d) 62 e) 63 18. El valor de: 3 3 Tan50Tan40 4Tan10 b) c) 3 2 16. A x 3 b) 3 c) –1 B2 C 6 D a) 4 3 b) 4 6 d) 3 3 e) 4 2 4 E c) 3 6 . En la figura.e)0 d) 10.
El valor de la expresión: Sen67  Cos14  Sen14  Cos67 Cos38  Cos22  Sen38  Sen22 es: a) 0. b 4. a 17. b 9.5 e) 0.6 5.* 7.6 8. c 16. b 10. a 20. b 14. Calcular: Tg(50  x)  Tg(10  x) 1 Tg(50  x)Tg(10  x) A x D 9 10 8 a) 9 b)  9 d) 10 10 e)  9 1. Halle el valor de la expresión: Cos(x-y) . en: K · Tg 56° = Tg 73° – Tg 17° a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 2/3 9.0°<x. b c)  8 9 d) Tg x 2. Si ABCD es un cuadrado de lado “3”. b 18. b 19. Calcule aproximadamente: Tg 24° 1 2 5 b) 6. c 13.4 d) 0.y<90° Si: Sen x = Cos y 5 3 4 5. b 12. c 8. De la figura.3 c) 0.2 b) 0. Halle el valor de: 2Cos 48° · Cos 5° – Cos 43° a) 0. b c) 3 c) 13 31 1 7 73 d) 161 a) 7 24 161 e) 73 b) c) 7 2.5 d) 1. halle: Tg  Problemas II a) 3 3 3 e) 4 a) 1 d) 3 1 a) 37 5 b) 5 37 d) 31 13 e) 5 13 7. Halle el valor de “K”.4 c) 0. ¿A qué es igual? E Sen(x  y) 7Cosx  Cosy 2 B C 1 y 4. El valor de la expresión: 4Cos 7° + 3Sen 7° es: b) 0 c) 3 2 . b 15.* 6.2 e) 1.d)  3 3 e)  3 20. Reducir la expresión: A = [Sen( ) – Sen(  )] Sec  a) 2Sen  d) Cos  b) Cos  e) 1 c) Sen  3.2 b) 0. c 11.2Sen x · Sen y . c 1. c 2 CLAVES I 3.
Halla el valor de: (Tg 36°+1)(Tg 9°+1) a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3/2 e) 4 12. Calcular el valor de: 4(Tg 19°+Tg 18°)+3Tg 19° · Tg 18° a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3 b) 3 3 2 17. c 13. calcular: Tg  a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3/2 e) 4 13. Si: Tg(3–2 ) = y c) 5 b) 2 5 3 1 3 2 3 7 c) 7 d) 9 e) 16 b) 9 Halle: Tg( ) 15. d 19. se cumple: Tg B + Tg C = 5Tg A Halle: N TgB  TgC  2 TgB  TgC  2 c) e) 5 2 10. Si: Sen  + Cos  = m Sen  + Cos  = n Calcular: Sen( ) a) m²+n²+2 2 m n 2 2 2 2 m n 2 e) 2 c) d) 3 4 b) 1 2 c) 2 3 e) 1 Sen(+2 ) = 5Sen  Halle: a) 1 3 Tg Tg(   ) b) 2 3 c) 3 2 b) m²+n²–2 2 2 1 3 20. 0° < x < 90° a) 3 d) 5 2 e) 14. d 9. Si: Tg(3 -2) = 9 a) 7 a) d) 2 m n 1 2 d) 3 1. d 14. d 6. Si: Tg  = 5 x 2 a) 1 d) 4 3 b) 2 e) 5 c) 3 18. e 20. Si: 3Cos(  ) = 5Cos( ) Hallar: Ctg  · Ctg  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 19. c 15. a 17. b 5. De la figura.e) 4 3 a) d) 2 53 11. e 7. c 16. d 12. a e) 5 CLAVES II 2. a 3. b 18. a 11. Hallar “x”. En un triángulo ABC. c 10. Si: Tg(x+45°) = –3 Halle: Csc x. b 4. e 8. b .
16. Calcular: P a) 2 3Cos40Sen40 Cos20  Cos10  Sen20  Sen10 b) 1 c) 3 3 d) 2 e) 3 2 .
q.q.UNIDAD 10 Identidades trigonométricas para el arco doble Seno del arco doble Sen2x = 2SenxCosx Demostración Recordar que: Sen(x + y) = Senx • Cosy + Cosx • Seny Hacemos y = x. entonces tendremos: Sen(x + x) = Senx • Cosx + Cosx • Senx ∈ Sen2x = 2SenxCosx L.d Ejemplos • Cos8φ = Cos2(4φ) = Cos24φ – Sen24φ • Cos50º = Cos2(25º) = Cos225º – Sen225º • Cos2(A + B) – Sen2(A + B) = Cos2(A + B) = Cos(2A + 2B) 50 U N F V – C E P R E V I .d Ejemplos • Sen20º = Sen2(10º) = 2Sen10º • Cos10º • Sen4α = Sen2(2α) = 2Sen2α • Cos2α • 2Sen7º30’ • Cos7º30’ = Sen2(7º30’) = Sen14º60’ = Sen15º    = Senθ • 2•Sen • Cos = Sen2 2 2 2 Coseno del arco doble Cos2x = Cos2x – Sen2x Demostración Recordar que: Cos(x + y) = Cosx • Cosy – Senx • Seny Hacemos y = x. entonces tendremos: Cos(x + x) = Cosx • Cosx – Senx • Senx ∈ Cos2x = Cos2x – Sen2x L.q.q.
T R I G O N O M E T R Í A • Cos2   ð ð – Sen2 = Cos2   = Cos  8 8 8 4 U N F V – C E P R E V I 51 .
T R I G O N O M E T R Í A Cos2x = 1 – 2Sen x 2 Demostración Recordar que: Sen2x + Cos2x = 1 ∈ Cos2x = 1 – Sen2x Reemplazando en: Cos2x = Cos2x – Sen2x ∈ Cos2x = (1 – Sen2x) – Sen2x ∈ Cos2x = 1 – 2Sen2x L. Degradación del “cuadrado” del seno de un arco simple “x” Se ha demostrado que: Cos2x = 1 – 2Sen2x ∈ 2Sen2x = 1 – Cos2x . donde se presenten “senos” o “cosenos” de ciertos arcos elevados al exponente “2”.q.q.d Ejemplos  9º  • Cos9º = Cos2   = Cos2(4º30’) = 2Cos24º30’ – 1  2 • Cos6γ = Cos2(3γ) = 2Cos23γ – 1 • 2Cos211º15’ – 1 = Cos2(11º15’) = cos22º30’ • 2Cos2(30º + α) – 1 = Cos2(30º + α) = Cos(60º + 2α) Degradación del exponente “2” o “cuadrado” Las fórmulas expuestas a continuación son empleadas en expresiones trigonométricas.d Ejemplos • Cos86º = Cos2(43º) = 1 – 2Sen243º y  y  = 1 – 2Sen22  2 2 • 1 – 2Sen 1º = Cos2(1º) = cos2º • 1 – 2Sen2(45º – θ) = Cos2(45º – θ) = Cos(90º – 2θ) = Sen2θ • Cosy = Cos2  Cos2x = 2Cos2x – 1 Demostración Recordamos que: Sen2x + Cos2x = 1 ∈ Sen2x = 1 – Cos2x Reemplazando en: Cos2x = Cos2x – Sen2x ∈ Cos2x = Cos2x – (1 – Cos2x) ∈ Cos2x = 2Cos2x – 1 L.q.q.
b) = 1 – Cos(2a – 2b) • 2Sen222º30’ = 1 – Cos2(22º30’) = 1 – Cos44º60’ = 1 – Cos45º • 1 – Cos8θ = 1 – Cos2(4θ) = 2Sen24θ A  A   = 2Sen2 2  2  • 1 – CosA = 1 – Cos2  37 º   37 º  2 = 2Sen218º30’ • 1 – Cos37º = 1 – Cos2    = 2Sen 2    2     Degradación del “cuadrado” del coseno de un arco simple “x” Se ha demostrado que: Cos2x = 2Cos2x – 1 ∈ 2Cos2x = 1 + Cos2x Ejemplos • 2Cos23φ = 1 + Cos2(3φ) = 1 + Cos6φ 2  1=  Cos2(75º )  2 2    • 2Cos2 = 1 + Cos2   = 1 + Cosα 2  2 • Cos275º = 2C os 7 5 º 1 Cos150º 2 • 4Cos210º = 2[2Cos210º] = 2[1+Cos2(10º)] = 2[1+Cos20º] = 2+2Cos20º • 1 + Cos40º = 1 + Cos2(20º) = 2Cos220º • 1 + Cos10b = 1 + Cos2(5b) = 2Cos25b  xy  xy   = 2Cos2     2   2   53 º  2  53 º  = 2Cos226º30’ • 1 + Cos53º = 1 + Cos2     = 2Cos 2    2     • 1 + Cos(x + y) = 1 + Cos2  Tangente del arco doble Tan 2x = 2Tanx 1 Tan2 x Demostración Recordamos que: Tan(x + y) = Tanx  Tany 1  Tanx • Tanx .Ejemplos • 2Sen218º = 1 – Cos2(18)º = 1 – Cos36º 2 • Sen22α = 2Sen 2  2 1 Cos2(2) 1 Cos4  2 2 • 2Sen2(a .b) = 1 – Cos2(a .
secante y cosecante del arco doble Tomaremos las identidades recíprocas aplicadas al arco doble.2.. es decir: Como: Tan2x • Cot2x = 1 ∈ Como: Cos2x • Sec2x = 1 ∈ Como: Sen2x • Csc2x = 1 ∈ 1 Tan2x 1 Sec2x = Cos2x Cot2x = 1 Csc2x = Sen2x Ejemplo Sec2x • Siendo: Csc2x = 1.d 2Tan18º • Tan36º = Tan2(18º) = 2 1 Tan 18º • 2Tan8º 1  Tan 2 8º = Tg2(8º) = Tg16º • Tan4θ = Tan2(2θ) = •  2Tan     2  2    1  Tan    2 2Tan2 2 1  Tan 2 2  Tan      Tan   2 Cotangente. calcular el valor de “Cot 2x”. hacemos y = x ∈ Tan(x  x)  Tanx  Tanx 1  Tanx • Tanx 2Tanx ∈ Tan2x = 2 1 Tan x Ejemplos L.2 ∈ Csc2x Sen2x ∈ 6 1 Cos2x = 12 1 10 Sen2x 6 Luego: Cot2x = . Resolución Sabemos: Sec2x = 1.q.q.
Cos2x 1 Tan2x 5 = ∈ Tan2x = ∈ 5 Cot2x = 1 5 = 6 = 6 5 .
hallar el valor de: P = Sen 2x – Cos 2x Resolución 2Tanx = = 2 * Sen2x = 1  Tan x 2(3) 1  Tan x 1 (3)2 * Cos2x = 1  Tan 2 x 1  2  (3) 2 = 1 (3) 2 = 6 10 = 8 10 . formamos el siguiente triángulo rectángulo ABC: C Calculamos luego la hipotenusa con aplicación del Teorema de Pitágoras.Especiales del arco doble 2 2Tanx Sen2x  y Cos2x  2 1  Tan x Como Tangente del Arco Simple “x” Recordemos que: 1  Tan x 1  Tan2 x 2Tanx Tan 2x = 1  Tan 2 x y suponiendo “2x” ángulo agudo. es decir: 2Tanx A 2x AC B 2 1 Tan x 2 Tan x) ∈ 2 C 2 = (2Tanx)2 + (1 – AC = 1 + Tan2x Del ABC mostrado tenemos: Sen2x  2Tanx 2 2Tanx 1  Tan x y B 1  Tan x 2x A 2 1 Tan2 x Cos2x  2 1  Tan x Ejemplos 2Tan7 º 30 ' • = Sen2(7º30’) = Sen15º 2 1  Tan 7º 30 ' • 1  Tan2 4 1  Tan2 4 = Cos2(4θ) = Cos 8θº Ejemplos Si: Tanx = 3.
d. Análogamente se demuestra que: Cotx + Tanx = 2Csc2x Ejemplos • Cot10º + Tan10º = 2Csc2(10º) = 2Csc20º • Cot4α – Tan4α = 2Cot2(4α) = 2Cot8α • 2Csc4θ = 2Csc2(2θ) = Cot2θ + Tan2θ • 2Cot70º = 2Csc2(35º) = Cot35º – Tan35º Problema Aplicativo • Si: Cos2x = n.q.∈ ∈ Sen2x = Finalmente:  3  P = Sen2x – Cos2x = Cos2x =  4   3 Cotx + Tanx = 2Csc2x 5 4 7       5  5   5 5  4 y ∈ P= 5 Cot x – Tanx = 2Cot2x Demostraremos que: Cotx – Tanx = 2Csc2x. hallar : W = Cot2x – Tan2x Resolución * W = Cot2x – Tan2x = (Cotx + Tanx) • (Cotx – Tanx) Cos2x  1      • 2•  = (2Csc2x) • (2Cot2x) =  2 • Sen2x    Sen2x   4Cos2x Pero : Cos2x  n  4Cos2x . se efectuara de izquierda a dererecha Cosx Senx 2 2 ∈ Cotx – Tanx = Senx  Cosx = Cos x  Sen x Senx • Cosx = 2 2 2(Cos x  Sen x) 2Cos2x = Sen2x (2Senx • Cosx) ∈ Cotx – Tanx = 2Cot 2x L.q. = 2 Sen 2x 1  Cos2 2x ∈ W = 4n 1 n 2 .
0°< x < 90° 3 a) 1 Calcule: Sen 2x a) d) 4 1 3 5 b) e) 1 2 45  Sen2    2  Sen   b) 2 d) 4 c) 3 Cos  e) 5 7. Simplifique:  Sen2    1 Si: Cos x = 2 .Resúmen de fórmulas BÁSICAS: * Sen2x = 2Senx • Cosx Degradan “cuadrados”: Cos2x = 1 – 2Sen2x ∈ 2Sen2x = 1 – Cos2x 2 Cos2x = 2Cos x –1 ∈ 2Cos2x = 1 + Cos2x * Cos2x =Cos2x – Sen2x  2Tanx * Tan2x = 1  Tan 2 x 1 + Tan 2 x  * Sen2x = ∈  2Tanx  Observaciones: 1 * Cot 2x = Tan2x  * Sec2x = 1  Tan 2 x 2  2x 1 .Tan2 x 2Tanx * Cos2x =  1 Cos2x 1  Tan x 2 1  Tan x * Csc2x = Especiales: 1 Sen2x Tan2x * Cotx + Tanx = 2Csc2x * Sec2x + 1 = Tanx * Sec2x – 1 = Tan2x • Tanx * Cotx – Tanx = 2Cot2x * Sen4x + Cos4x = * Sen6x + Cos6x = 3  Cos4x 4 5  3Cos4x 8 Problemas I 6. Calcule el valor de: Cos48° – Sen48° 9 c) 5 3 2 .
Halle el valor de la expresión: Sen(2x–y)·Cos y + Sen y·Cos(2x-y) a) d) 1 5 4 b) 2 5 e) 1 c) Cot x C os 2x  Cosx  1 Sen2x  Senx b) Cos x e) Sec x c) Tg x 2  2Cos80 a) 2Sen 10° c) 2Cos 20° e) 2Sen 40° b) 2Cos 10° d) 2Sen 20° 1 a) 2 b) 1 d) 2 e) 3 c) 3 5 c) 3 2 12. Reducir: 4. Si: Sen x – Cos x = 3 Halle: Sen 2x a) c) F Cos 4x. Si: Sen x = 3 Calcular: 8. Reducir la expresión: E a) Cos x b) Tg x d) Sec x e) Csc x 9. Reducir: (Sec x+1)(Sec 2x+1)(Sec 4x+1)(Sec 8x+1) a) Tg c) Tg x · Tg 8x 2 x b) Cot · Tg 16x d) Cot x · Tg 8x 2 x · Cot 16x .a) 1 7 4 d) 7 2 2 2. Halle el valor de: 1 Tg x b) 2 5 2 2Tgx . Simplificar: (Cot 42° + Tg 42°) Cos 6° 2 e) Secx  Cos2x 1 Cosx  Senx 11. Reduci r: 5 9 31 d) – 81 5 9 25 e) 81 b) – c) 31 81 1 1 9 8 d) 9 b) 2 9 c) 4 9 e) 1 2 1 c) 7 2 10 Sen2x  Cosx Cscx  Senx a) 2Sen x b) 2Cos x c) 1–Cos 2x d) 1+Cos 2x e) 2Tg x 13. Halle el valor de: a) 1 e) 24 a) Sen x d) Cot x 3. 0° < x < 90° a) b) 7 b) Sec 2 d) Csc 2 20. para: x = 4° d) 7 25 10. Si: Tg x = 3. Reducir: A 2 (Sen  Cos)  1 Sen4 1 Sec 2 2 1 c) Csc 2 2 1 e) Cos 2 2 a) 5.
c 12. Calcular: M = 4Sen 9°·Cos 9°·Cos 18°+Sen227°-Cos227° a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 e) 5 18. c 2 Problemas II 15. e 6. Reducir: (0° < x < 90°) 2(1  Cosx) 2(1  Cosx)  M 1  Senx . Hallar “Tan  ” de la figura: 2 a 8 4. Calcular: Sen 2x Si: 14Tg x = 5 + 5Tg²x 5 a) 14 5 d) 7 2 x e) Tg · Cot 16x 2 a c) 2 a 8 a 6. a 1. c 14. b 9. d 11. d 16. Si: Tg  = 2.5 14. Siendo: Sen2x – Cos2y = m Hallar: Q = Cos 2x + Cos 2y a) 2m d) 2m–2 b) –2m e) 2–2m c) 2m+2 5. d 7. Reducir la expresión: A= (Cos  + Cos  )(Cos  – Cos  ) a) Sen 2 b) Cos 3 c) Cos 2 d) Sen 2 e) 1 a) – 1. 0° < x < 90° 2Sen2x  Cotx 1 2 d) Cot x 2 Cotx e) 2 b) Tan x 2 c) Tanx 2 2. c 10. Reducir: Sen  ·Cos  ·Cos 2 ·Cos 4 ·Cos 8 1 Sen 16 32 1 d) Sen 16 32 1 Sen 16 16 1 Sen 32 c) 16 b) a) e) 1 Sen 32 32 14 b) 5 19 e) 5 b) –7 P a) c) 7 (Cos6x Sen2x–Sen6x Cos2x)·Cos2x = m Calcular: Cos 8x a) m b) 1 – m c) 1 – 4m d) 1–16m e) 1–32m 19. a 18. b C os x Cos2x . e 19. Si:  = 90°. Simplificar: 16. siendo: A = 2Cos x (Cos x – Sen x) – 1 B = 1 – 2Sen x (Sen x – Cos x) a) 1 b) –1 c) –Cos 4x d) Cos 4x e) Sen 2x · Cos 2x 3. d 20. c 2 7 c) 5 17. d 15. Hallar “A·B”. Dado: a) a² CLAVES I 3. a 17. hallar: Tg(2+45°) 1 7 1 d) 7 2. c 8. Si: Tg x + Cot x = a Hallar: Sec 4x 2 a b) 2 2 d) a 8 a e) 5. Indicar el equivalente de: 1 Cos20Sen20 W 1 Cos20  Sen20 a) –Cot 10° b) Cot 10° d) Tan 10° e) –1 c) –Tan 10° 12. d 13. d 4.
5 1 6 a) 1 b) –2Cot  c) 2Cot  e) 2Tan  16. Calcular “Csc 2x”. Si: 3Sen x = 3 . Reducir: 10. Hallar “Cot x” del trapecio isósceles mostrado. Reducir: Z = 4Cot 2x + 3Tan x . Calcular: W = 8Sen 2 2 9.a) 1 2 3 b) 5 2 d) 6 e) 7.2Csc 2x a) Cot x b) –Cot x c) 3Cot x d) -3Cot x e) 0 1 a) – 2 4 d) − 3 x a) 2 2 e) 4 c) 1/2 13. Indicar el equivalente de: A (Senx  Cosx  1)(Senx  Cosx  1) Cos 4x  Sen4 x a) –Cot 2x b) –Tan 2x c) Tan 2x d) Cot 2x e) 1 17. Si: Tan2 + Cot2 = 7 y a) 0 d) –2Tan  ð d) b) 15. Simplificar: 4 1 −3Sen x 2Sen x E 4 2 2Cos x −3Cos x  1 b) Cot²x a) 1 c) –Cot²x 18. Calcular: 1 c) b) 2 d) 2 e)  2Tan75   1 Tan2 6730 '  P     2 6730 '   1 Tan2 75   1 Tan 2 b) – 2 a) 4 d) – c) 4 6 6 3 c) − 4 ð · Cos³ 16 a) 1 2 2 b) ð – 8Sen³ ð 16 16 1 2 c) · Cos 16 2 11. d) Reducir: Tan²x A = Cos x e) –Tan²x 1 c) 2 d) 1 e) 2 4 3ð < <2 2 luego el valor de “Csc 2 “ será: a) 3 d) 3 2 b) –3 e)– c) 7 2 3 2 M  Tan   ð −  −Tan   ð      4 2  4 2 e) 2 2 2 2 14. si las bases están en la relación de 3 a 5. si: Sen( Senx) · Sec( Cos x) = 1 1 b) 2 3 e) 4 2 2 x 4 8. Hallar: Cos 4x 2 3 7 d) 9 a) 1 3 7 e) – 9 b) − 3Cos x + Sen x −   23 c) 1 3 1 .
b 7. c CLAVES II 2. c 6. c 15. e 4. b 13. a 14.20. b 5. hallar: M=(Sen32x+Cos32x)2+(Sen32x–Cos32x)2 1 a) 2 3 d) 2 2 b) 3 3 e) 4 ð2x   es: 4  Tan    3 4 c) 3 1. c 16. a 10. e 17. d 12. La 2    expresión equivalente a: 2  2     a) Sec x + Tan x b) Sec x – Tan x c) Csc x + Cot x d) Csc x – Cot x e) Sec x + Cot x a) Sen(30°+x) b) 2Cos(30°-x) c) 2Cos(30°+x) d) Cos(30°–x) e) Cos(30°+x) 19. a 9. e 11.333…. b 8. a . e 18. d 20. d 3. Si: Cos 4x = 0. d 19.
Documents Similar To Trigonomertia-2
More From rhollykm

References: Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución