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Timestamp: 2016-10-28 15:40:06+00:00

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GABRIELA SITTO, DOCENTE en ESCUELA JOSE MARIA PAZ
Aportes para elfortalecimiento dela enseñanza de lamatemática en la EGB Dirección General de Cultura y Educación Gobierno de la Provincia de Buenos Aires Subsecretaría de Educación 2.
Provincia de Buenos Aires Gobernador Ing. Felipe Solá Director General de Cultura y Educación Prof. Mario Oporto Subsecretaria de Educación Prof. Delia MéndezDirector Provincial de Educación de Gestión Privada Prof. Juan OdriozolaDirectora de Currículum y Capacitación Educativa Prof. Marta Pfeffer Directora de Educación General Básica Lic. María Cristina Ruiz diciembre de 2004 3.
Aportes para elfortalecimiento de laenseñanza de lamatemática en la EGBProyectoFortalecimiento de la enseñanza de la matemáticaen la Educación General BásicaMaterial destinado a equipos docentes, directivos e inspectoresDirección de Educación General BásicaDirección de Currículum y Capacitación EducativaCoordinación Pedagógico-OperativaProf. María Eugenia ÁlvarezLic. Sofía SpanarelliEquipo de EspecialistasProf. Silvina Petersen (Matemática)Prof. Julio Brisuela (Matemática)Prof. Mónica Salgado (Matemática)Prof. Silvina Volpe (Procesamiento didáctico)ColaboradoresProf. Oscar IsnardiProf. Gloria Robalo Documento de apoyo para la capacitación DGCyE / Subsecretaría de Educación 4.
Dirección General de Cultura y EducaciónSubsecretaría de EducaciónCalle 13 entre 56 y 57 (1900) La PlataProvincia de Buenos Airespublicaciones@ed.gba.gov.ar 5.
Índice Objetivos del material ...................................................................................................... 71 Primera parte ..................................................................................................................... 9 La planificación curricular institucional y el área de Matemática .................... 10 Actividad 1 .................................................................................................................... 11 ¿Por qué enseñar matemática en la EGB? ................................................................. 12 ¿Para qué enseñar matemática en la EGB? ............................................................... 15 La relación entre la cultura y la matemática que debemos enseñar en la escuela ................................................................................................................................... 16 Actividad 2 ..................................................................................................................... 16 Actividad 3 ..................................................................................................................... 162 Segunda parte ................................................................................................................... 19 El abordaje de la matemática como área ................................................................... 19 Actividad 4 ..................................................................................................................... 20 Enfoque didáctico del área ............................................................................................. 20 Pregunta “a”: ¿Todo problema es un problema? .................................................... 22 Tipos de problemas ..................................................................................................... 22 Actividad 5 ..................................................................................................................... 23 Actividad 6 ..................................................................................................................... 23 Pregunta “b”: ¿Cuáles son las condiciones que debe cumplir una situación para que posibilite a los alumnos aprender cierto concepto o procedimiento? 23 Actividad 7 ..................................................................................................................... 24 Actividad 8 ..................................................................................................................... 253 Tercera parte ...................................................................................................................... 29 Pregunta “c”: ¿Cómo debe actuar el docente? ........................................................ 29 El análisis de los contextos y de las situaciones ................................................ 29 Actividad 9 .................................................................................................................... 32 Los procedimientos de los alumnos ............................................................................. 33 Los errores de los alumnos ............................................................................................. 34 Cómo puede el docente ayudar a estos alumnos ................................................... 34 La institucionalización ..................................................................................................... 35 Actividad 10 .................................................................................................................. 36 Actividad 11 .................................................................................................................. 37 Pregunta “d”: ¿Qué exige la resolución de problemas a los alumnos? ............. 37 Actividad 12 .................................................................................................................. 38 Actividad 13 .................................................................................................................. 39 Actividad 14 .................................................................................................................. 40 Actividad 15 .................................................................................................................. 404 Cuarta parte ....................................................................................................................... 43 La organización de los contenidos ............................................................................... 43 Actividad 16 .................................................................................................................. 43 6.
La organización en el área de Matemática ..................................................... 44 Actividad 17 ....................................................................................................... 44 Actividad 18 ....................................................................................................... 44 Actividad 19 ...................................................................................................... 44 Actividad 20 ..................................................................................................... 44 Actividad 21 ........................................................................................................ 46 a. Los saberes que poseen los alumnos ...................................................... 47 Actividad 22 ....................................................................................................... 48 b. La complejización de los contenidos ...................................................... 48 Los sentidos de la suma .................................................................................. 48 Actividad 23 ........................................................................................................ 50 ¿Todos los problemas de suma son iguales? ............................................. 50 Actividad 24 ........................................................................................................ 51 Actividad 25 ........................................................................................................ 52 Los sentidos de la multiplicación ................................................................. 52 Actividad 26 ........................................................................................................ 54 Actividad 27 ........................................................................................................ 54 La secuenciación en Matemática ...................................................................... 55 ¿Cómo se presentan los contenidos del área de Matemática en el diseño curricular? .................................................................................................. 565 Quinta parte ............................................................................................................. 57 ¿Qué situaciones proponer a nuestros alumnos? ......................................... 57 Primer ciclo ............................................................................................................... 57 Actividad 28 ........................................................................................................ 61 Actividad 29 ........................................................................................................ 63 Segundo ciclo ........................................................................................................... 66 Actividad 30 ........................................................................................................ 69 Actividad 31 ........................................................................................................ 71 Actividad 32 ........................................................................................................ 75 Actividad 33 ........................................................................................................ 75 A modo de cierre ..................................................................................................... 76 Anexos ........................................................................................................................ 77 I. La proporcionalidad en la medida .................................................................. 79 II. Las operaciones ................................................................................................... 81 III. Guías de lectura ................................................................................................. 93 IV. Para comparar con las propias reflexiones acerca de fracciones .... 96 V. El papel de la resolución de problemas en la construcción de conocimientos matemáticos en los tres ciclos de la EGB ...........................101 VI. La resolución de problemas en el área de Matemática .........................102 VII. Las fracciones y los decimales ..................................................................... 104 VIII. Las dimensiones de los contenidos ........................................................... 107 IX. La trama cuadrangular y la trama triangular .......................................... 112 Bibliografía .............................................................................................................. 114 7.
Objetivos del materialPrimera parteQue el docente: • Logre construir criterios para la planificación institucional • Reinterprete los conocimientos informales que poseen los alumnos como lugar de intervención en sus prácticas y como punto de partida para aprendizajes significativosSegunda parteQue el docente: • Planifique teniendo en cuenta el abordaje areal de la matemática • Resignifique la utilización de los problemas como instrumentos de construcción de conocimientos • Reconozca las características de situaciones que posibiliten el aprendizaje en matemáticaTercera parteQue el docente: • Analice didácticamente las situaciones que plantee a sus alumnos, teniendo en cuenta: - El análisis de contextos - Los propósitos de la clase - Los contenidos a desarrollar - Los agrupamientos en los diversos momentos de la clase (individual, pequeño grupo o grupo total) - Los posibles procedimientos de los alumnos - Lo que se va a destacar de lo desarrollado por los alumnos, etcétera Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGB • Logre registrar aspectos importantes durante la puesta en práctica de la previsión didáctica elaborada • Reflexione: estableciendo la distancia entre sus previsiones y el producto logrado, analizando sus intervenciones ante situaciones imprevistas, usando la información obtenida, como insumo para realizar ajustes y/o planificar próximas clases.Cuarta parteQue el docente: • Elabore secuencias didácticas teniendo en cuenta: - los saberes que poseen los alumnos, - la complejización de las actividades, y tomando ejemplos del análisis de los sentidos de la suma y la multiplicación • Articule las secuencias a nivel institucional, estableciendo los acuerdos necesarios con sus colegasQuinta parteQue el docente: • Amplíe su “caja de herramientas” para la organización de secuencias didácticas en el primero y segundo ciclos de la EGB • Reconozca en ejemplos la presencia del abordaje areal de la matemática 7 8.
Primera parte … quienes mejor asumieron el desafío de compartir el rol protagónico con sus niños, quienes pusieron la noción de proceso en el centro mismo de sus prácticas y asumieron que si bien la maestra es quien más sabe, los niños también tienen saberes provenientes de fuentes diversas, y todos (incluida la maestra) pueden seguir su proceso de alfabetización, a condición de que acepten utilizar el tiempo escolar para funcionar “a su mejor nivel”. Yo he dicho insistentemente que “un nuevo método no resuelve los problemas”. Pero la reflexión didáctica es otra cosa. Emilia Ferreiro. México, mayo de 20011El material que presentamos tiene la finalidad de contribuir al proceso de desarrollo curricular delárea de Matemática en la Educación General Básica de la provincia de Buenos Aires, objetivo quese concreta, en cada institución, a través de la planificación institucional y en cada aula, en laspropuestas de los docentes.Es importante señalar que a partir de un texto escrito no se resuelven los problemas de lasprácticas docentes; sin embargo, esperamos que este represente una oportunidad para centrar ladiscusión y la reflexión del equipo docente y directivo alrededor de la enseñanza de la matemática Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGBen su escuela con miras a continuar con las prácticas que conduzcan a los niños al conocimientode la matemática de tal modo que el aprendizaje resulte funcional2 y si tuviesen la necesidad decambiarlas, que encuentren una orientación adecuada. En cada institución se deberá resolverentre la necesidad de continuar con las “buenas” prácticas de enseñanza de la matemática ymodificar las incorrectas.La función social de la institución escolar es la de enseñar. Cumplirla supone un largo proceso deconstrucción que requiere necesariamente de una “coordinación de la acción pedagógica” y estaconsiste, básicamente, en la creación de condiciones y situaciones que permitan el desarrollo de lacapacidad no sólo de los estudiantes sino también de los maestros y de todos los miembros de lainstitución, para participar en la producción de saberes y en la interpretación y transformación decódigos culturales histórica y socialmente producidos.”3Cuando nos referimos a la coordinación de la acción pedagógica, subyace el supuesto de que elproceso educativo es totalizador, o sea, que compromete a toda la institución y no sólo al docentefrente al alumno. 1 Fragmento de Lerner, D., Leer y escribir en la escuela: lo real, lo posible y lo necesario, México, Fondo de Cultura Económica, 2001. 2 Que sepan cuándo es oportuno ponerlos en práctica y también cómo utilizarlos. 3 Fragmento tomado de Chaves, P., Gestión para instituciones educativas: un enfoque estratégico para el desarrollo de proyectos educativos. Módulo 2, República Argentina, Buenos Aires, MCyEN, 1995. 9 9.
La planificación curricular institucional y el área de Matemática La planificación institucional es una producción propia, particular y específica de cada institución, elaborada por sus integrantes. En ella se explicitan y sintetizan propuestas de acción para alcanzar los objetivos que se persiguen. Es orientadora y brinda coherencia a la vida institucional. En nuestro caso particular, para planificar en el área de la matemática, podemos plantearnos los siguientes interrogantes: • ¿Por qué enseñamos? ¿Cuál es nuestra misión institucional? • ¿Qué concepciones guían nuestra práctica educativa? • ¿Qué enseñamos? • ¿Qué aprenden nuestros alumnos? • ¿Cuáles son nuestros problemas pedagógicos?4 • ¿Cuáles son nuestros recursos pedagógicos? • ¿Se detectaron estudiantes que, en mayor medida, presentan necesidades educativas especiales, en relación con el resto de los alumnos? • ¿Cuáles son los lineamientos que acreditan el aprendizaje de los alumnos y de su promoción? • ¿Cuáles son los saberes previos de nuestros alumnos, ya sean adquiridos en la escuela o informalmente? • ¿Qué nos proponemos enseñar? • ¿Cómo? • ¿Cuál será la organización de los tiempos y espacios? • ¿Qué tipo de actividades nos proponemos realizar? • ¿Cómo trabajaremos la interdisciplinariedad? 5 En relación con la interdisciplinariedad, Claudi Alsina6 enuncia objetivos concretos que deberían considerarse en la educación de la matemática de los futuros ciudadanos y señala, entre otros conceptos, la necesidad de que se asegure, también en matemática, una actitud positiva y una preparación adecuada frente a estos temas.7DGCyE / Subsecretaría de Educación 4 Entre otros, la repetición de temas sin que se note una complejización de las actividades relacionadas con un mismo contenido; diferencias importantes en cuanto al énfasis relativo de los aprendizajes que deben realizar los alumnos en relación con los diversos temas y con los diferentes componentes de los diversos campos temáticos (de conceptos y procedimientos), lo que lleva, muchas veces, a la creencia de que la matemática se compone de algoritmos solamente. 5 Organizar ciertos contenidos con una mirada matemática hacia las otras áreas, tales como Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Artística y Lengua. 6 Reconocido educador matemático español que visitó la Argentina en varias oportunidades invitado por la OMA (Olimpiada Matemática Argentina). 7 Algunos objetivos que propone: Conocer las características métricas y proporciones del cuerpo humano y su evolución en el crecimiento alométrico tanto a nivel estático como dinámico, conocer las matemáticas subyacentes en los problemas nutricionales, ser capaz de planificar estrategias para disminuir la contaminación, conocer el sistema monetario nacional y sistemas monetarios internacionales, conocer los recursos de empaquetado, envasado, relaciones de tamaños con formas y precios, saber apreciar las informaciones numéricas o gráficas que concurren en el desarrollo político, juzgando su nivel de credibilidad. 10 10.
No alcanza con que se traten los problemas relacionados con estos objetos, en los que se aplicala matemática como herramienta. Suele ocurrir que se trabaja sobre saberes descontextualizadosy no se vuelve a analizar, por ejemplo, la validez de las soluciones en la realidad. Claudi Alsinaafirma que, entonces, los alumnos podrán resolver “problemas de la clase” pero no “problemasde la vida”. Cita un ejemplo concreto cuando se pregunta si saber restar es suficiente para saberdar un cambio, lo que algunos autores denominan la funcionalidad de los aprendizajes. Tal comoexpresa Davis Perkins: “Existe una diferencia entre tener cierta información en la propia cabezay ser capaz de tener acceso a ella cuando hace falta; entre tener una habilidad y saber cómoaplicarla; entre mejorar el propio desempeño en una tarea determinada y darse cuenta de que unolo ha conseguido”.8Alsina propone no diluir los objetivos concretos en pequeños problemas al servicio de conceptos yprocedimientos generales sino incluirlos en investigaciones y proyectos. Por ejemplo, si se decideanalizar la cosecha 2004 de la cebolla en el distrito de Villarino, ¿será importante saber si la luz esmás cara en el zona rural o en la urbana y por qué? • ¿Qué componentes y tipos de planificación realizaremos? 9 • ¿Por qué, para qué, qué, cuándo y cómo evaluar? ¿qué funciones cumplirá la evaluación, quiénes serán los responsables, en qué momento se realizarán? ¿qué instrumentos se utilizarán? ¿cómo se utilizarán los datos obtenidos? ¿cómo se comunicarán los resultados? ¿a quiénes?Estos interrogantes se pueden trabajar a nivel institucional en forma gradual, sin perder lavisión integral y presentar una propuesta vinculada al área de campos del conocimiento y,posteriormente, por ciclos, años y secciones. Cuando elaboramos la planificación institucional en nuestra escuela, ¿nos planteamos estos interrogantes?, actividad 1 ¿u otros equivalentes?, Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGB ¿cuáles?, ¿nos hicimos otras preguntas?, ¿nos haríamos otras?, ¿establecimos acuerdos?Es importante destacar que, aunque no esté escrita, siempre existe en las escuelas una planificacióninstitucional; una concepción acerca de cómo enseñar y de cómo se aprende; una idea del lugar queocupan el alumno, el docente y el conocimiento; uno o más enfoques en relación con la enseñanzaideas acerca de cuáles son los problemas y cómo utilizarlos y con qué objetivos; criterios, al menosimplícitos, de selección y organización de contenidos y secuenciación de actividades, etcétera. Todosestos elementos constituyen la planificación institucional. 8 Perkins, D., La escuela inteligente. Barcelona, Gedisa, 1997. Señalamos otros conceptos de Perkins, pedagogo inglés: “Es en parte el reconocimiento de esas diferencias lo que nos ha llevado a la idea de la metacognición, o más específicamente, de un conocimiento, unas experiencias y unas habilidades metacognitivas. El conocimiento metacognitivo es el conocimiento sobre el conocimiento y el saber, e incluye el conocimiento de las capacidades y limitaciones del pensamiento humano, de lo que se puede esperar que sepan los seres humanos en general y de las características de personas específicas –en especial, de uno mismo- en cuanto a individuos conocedores y pensantes. Podemos considerar las habilidades metacognitivas como aquellas habilidades cognitivas que son necesarias, o útiles, para la adquisición, el empleo y el control del conocimiento, y de las demás habilidades cognitivas.” 9 Unidades didácticas, proyectos específicos, secuencias de actividades diferenciadas para la enseñanza de algún contenido particular, actividades permanentes que se “repiten” a lo largo del año escolar, planificadas en forma anual, bimestral o trimestral. 11 11.
¿Por qué enseñar matemática en la EGB? Inicialmente podríamos afirmar que la matemática es una exploración de la complejidad de ciertas estructuras de la realidad (ya sea cuantitativas que llevan a la aritmética, como espaciales que llevan a la geometría y a la medida), desarrollada de esta manera desde hace siglos. Algo de historia Se conocen aportes matemáticos de pueblos que precedieron a los griegos como los sumerios, los babilonios, los egipcios, pero todos de carácter práctico, reglas simples y desconectadas entre sí. En la cultura griega del siglo VI a.C. se gestó la matemática con características muy semejantes a las que presenta la que practicamos en la actualidad: el conocimiento por la persuasión, la argumentación. Para los pitagóricos era algo más: un instrumento para entender cómo “todo es armonía y número” en el universo. Rechazaron las doctrinas tradicionales, las fuerzas sobrenaturales, los dogmas y demás trabas para el pensamiento. Fueron los primeros en examinar el aparente caos del universo y llegaron finalmente a la doctrina de que la naturaleza está ordenada y funciona de acuerdo con un vasto plan. Descubrieron algunas leyes de la naturaleza. Para Platón y los neoplatónicos, para el renacentista Kepler y algunos contemporáneos nuestros como Poincaré y Hardy la matemática es una forma de creación de belleza intelectual. Para ellos la actividad matemática es una amalgama entre el reconocimiento del orden presente en el universo, la creatividad y la belleza. Allí se encuentra su valor educativo más profundo, más que en el mero dominio de técnicas matemáticas. La matemática forma parte de la cultura10 humana y como tal debe ser accesible a todos. Debe ser una oportunidad de evolución para las personas y no un obstáculo en la vida de las mismas. Hoy en día no es posible concebir la acción de un arquitecto, de un ingeniero, de un trabajador cualquiera de la construcción, de un economista, de un comerciante, de un industrial, de un fabricante, de un vendedor, de todo el engranaje de la industria y el comercio, sin el auxilio de la matemática y de las computadoras, que es hablar también de la matemática. Sin embargo, a pesar de que es mucho, no lo es todo; si solamente se atienden las cuestiones de utilidad práctica para las que sirve eficazmente, la formación integral del hombre se descuida y se realiza de manera incompleta. Aunque la alta aplicabilidad de la matemática, el hecho de que sea capaz de explicar satisfactoriamente estructuras complejas de la física, la química, la biología, la economía, la sociología, hace olvidar las limitaciones profundas del pensamiento matemático, es convenienteDGCyE / Subsecretaría de Educación recordar que el ser humano es mucho más profundo que lo que cualquier estructura matemática puede abarcar. Justamente, lo que le permite dominar algunos aspectos de la realidad, pero nunca la totalidad, consiste en considerar ciertos aspectos y no todos, entre los que pueden quedar afuera algunos que resulten importantes para el hombre como tal. El pensamiento matemático llega hasta donde puede y no resulta adecuado que vaya más lejos; tanto en el tratamiento de las ciencias como en nuestra vida cotidiana, no todo se puede explicar con cifras y formalismos matemáticos. 10 Se considera cultura, en un sentido general, a toda producción humana. 12 12.
A pesar de las limitaciones mencionadas, nadie duda de la importancia de la matemática y de larelación que tiene con los problemas, acciones, tareas que a diario se deben resolver, y de allí laimportancia de que forme parte de la currícula de la EGB. Entre las actividades que se realizana lo largo del día, muchas de ellas se relacionan con contenidos matemáticos, tales como: alestacionar un auto se hace uso de las nociones espaciales, al buscar en el diario las variacionesde temperatura se están leyendo cuadros estadísticos, al analizar el recibo de sueldo o al contarlas monedas para el colectivo se realizan cálculos aritméticos, al interpretar un mapa de rutasse ponen en movimiento conocimientos relacionados con la medida y con la proporcionalidad,etcétera.Otras ciencias utilizan la matemática como su lenguaje, también usan sus métodos y susestructuras. En la actualidad, son los modelos matemáticos los que permiten resolver problemasen otros campos científicos. Así, modelizar una situación consiste en representar los objetos dela misma y sus relaciones mediante el lenguaje matemático, transformándola en un problemamatemático. Luego se resuelve el problema dentro de la matemática y, por último, se verifica si losresultados obtenidos tienen sentido en la situación inicial. De no ser así, se buscará otro modelomatemático que se adecue mejor a la situación original.En síntesis: • Los conocimientos matemáticos son construcciones a las que ha llegado el hombre después de recorrer largos caminos, dado que el entorno dinámico y cambiante le fue planteando diferentes problemas que generaron nuevas respuestas, diferentes formas de resolución, diferentes habilidades que produjeron nuevos conocimientos. • El avance de la matemática puede concebirse como una permanente búsqueda de nuevas respuestas ante los diferentes problemas que provienen de sí misma, de la realidad y de su interrelación con otras ciencias o disciplinas como la física, la química, la ingeniería, a las que se la vinculó desde sus orígenes, pero también a la economía, la biología, la medicina, la sociología, la psicología y hasta la lingüística. • La matemática permitió y permite al hombre interpretar, representar, explicar, predecir y resolver los problemas que le plantea su entorno, es lo que suele denominarse el punto de Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGB vista instrumental Hasta el momento hemos hecho referencia a los valores instrumentales y culturales de la matemática.La matemática –como parte de un proceso evolutivo– no permanece estática, es una actividadhumana específica orientada a la resolución de los problemas que le surgen al hombre en suaccionar sobre el medio. Por lo tanto, los saberes matemáticos no son fijos e inamovibles sino que setransforman al ser utilizados por otros hombres, en otros tiempos, en otros grupos sociales, debidoa otras necesidades, en condiciones diferentes aquellas en las que se crearon. Puede afirmarseque la matemática es una producción cultural, diferentes sociedades producen diferentesmatemáticas. Es un objeto cultural inserto en un proceso histórico y social determinado.Los cambios sociales, históricos, tecnológicos traen aparejados cambios en las utilidades dela matemática. Por ejemplo, existiendo un uso bastante generalizado de las calculadoras debolsillo, ¿es útil saber manejar los algoritmos? El concepto de división sigue siendo importante,las propiedades, también el método, porque se usa después en la factorización de polinomios.En la actualidad, quizá se necesite saber menos matemática algorítmica y, en cambio,alcanzar/desarrollar más acerca de la comprensión de conceptos e ideas matemáticas másgeneralizadas. 13 13.
Las diferencias culturales deberían tenerse en cuenta en la escuela. En ella, en general, se ignoran los conocimientos, intuiciones, ideas que los niños traen. Todos los grupos socioculturales poseen variadas herramientas para clasificar, ordenar, cuantificar, medir, comparar, etcétera, en síntesis, un amplio desarrollo matemático. La escuela debería tender puentes entre esos conocimientos informales que los niños adquirieron en el intercambio con sus padres, sus hermanos, sus amigos, sus vecinos y los conocimientos escolares formales. De lo contrario, los niños pueden considerar que la matemática que aprenden en la escuela les sirve solo para resolver problemas de la escuela, sin reconocerla en la resolución de problemas que se le puedan plantear en su vida cotidiana. Mucha información se suministra, se comunica, se intercambia y se debe analizar en términos matemáticos, por ejemplo: discutir la relación entre fumar y la probabilidad de adquirir cáncer de pulmón, debatir sobre la proporción del PBI que destina el estado a la educación, expresar la diferencia de acceso al uso de bienes tecnológicos entre los diferentes estratos de la sociedad, entre otros. Por ello decimos que la matemática posee un valor social. Juntamente con otras disciplinas, la matemática posibilita la construcción del pensamiento lógico necesario para organizar, seleccionar, sistematizar la información que se nos suministra y para relacionar, integrar, inferir conceptos, ideas, principios matemáticos. Esta es su más reconocida “función”. Muchos afirman que la matemática enseña a pensar. Sin embargo, ¿esto sucede siempre? En realidad, siempre que demos a nuestros alumnos la oportunidad de hacerlo. La matemática también tiene un valor formativo. Brousseau11 afirma que la matemática constituye un dominio en el que los niños pueden aprender los rudimentos de la gestión individual y social de la verdad, las reglas sociales del debate, la toma de decisiones, cómo convencer respetando al interlocutor, cómo dejarse convencer contra su deseo o interés, cómo renunciar a la autoridad, a la seducción, a la retórica, a la forma para compartir lo que será una verdad común. Desde este punto de vista la matemática puede colaborar en la formación de actitudes democráticas si desde su enseñanza se trabaja para ello. Es así como en razón de su valor instrumental, formativo, cultural y social las habilidades, competencias y conocimientos matemáticos son necesarios para el desenvolvimiento del individuo dentro de la sociedad actual.DGCyE / Subsecretaría de Educación 11 Especialista francés en didáctica de la matemática, que visitó varias veces nuestro país y que mantiene permanente contacto con grupos de investigación de la Argentina. 14 14.
¿Para qué enseñar matemática en la EGB? Algo de historia En cuanto a los aspectos curriculares, el currículo tradicional de matemática fue puesto en práctica respondiendo a las necesidades de la revolución industrial. En los primeros sistemas escolares, que datan de aproximadamente cien años, se alfabetizaba en lectura, escritura y aritmética en el nivel primario. En el siglo XIX, en el territorio que hoy ocupa la República Argentina, hay claros ejemplos que muestran que ya en ese momento había necesidad de transmitir a los niños ciertos contenidos matemáticos. Se les enseñaba a leer y escribir y rudimentos del cálculo. Esta tradición ha evolucionado a través del tiempo. Ya nadie discute la demanda de incluir la enseñanza de la matemática en los niveles básicos de la escolaridad superando la simple yuxtaposición de conceptos.Analizando la situación actual, en muchas oportunidades no hay coincidencia ni claridad en la opiniónde los docentes acerca de para qué sirve la matemática. Al respecto, Delia Lerner señala que los padresson más explícitos que los maestros cuando expresan que “la matemática sirve para todo”: “para la vida diaria, para hacer cálculos, presupuestos” y “sirve para contar pesos, para resolver problemas, se utiliza en el supermercado”, pero además “en contabilidad, en cualquier trabajo está la matemática”, “si dominás la matemática se te facilitan otras materias, como física y química”, “se utiliza en el fútbol, en la comida, en la música... en todo”.Estas respuestas dan idea de algunos de los contenidos que deben incluirse en los niveleseducativos elementales.Después de consultar a importantes especialistas argentinos del área de la matemática y de su Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGBenseñanza, se seleccionaron y concertaron en el Consejo Federal de Cultura y Educación, en el año1994, los Contenidos Básicos Comunes12 correspondientes a cada nivel educativo de la RepúblicaArgentina. Luego, cada jurisdicción elaboró su diseño curricular. La provincia de Buenos Airesdistribuyó en todas las escuelas el Marco General y las orientaciones curriculares de inicial y EGBen el año 2002.El propósito de la enseñanza del área es asegurar que el alumno aprenda en la escuela un bagajede conocimientos matemáticos junto con el desarrollo de las capacidades para que pueda seguiraprendiendo por sí solo. Al mismo tiempo, es necesario que los estudiantes comprendan que elcuerpo de conocimientos matemáticos fue elaborado por hombres de todas las épocas y pueblos yque la matemática seguirá creándose mientras exista el hombre. De esta forma, los alumnos podránvalorar la matemática entendiendo el presente, sirviéndose del pasado y pensando en el futuro.Mas que el conocimiento específico de determinados conceptos y técnicas matemáticas, lo que lesservirá para la vida a los futuros ciudadanos son ciertas capacidades básicas que se desarrollan yconsolidan mediante la actividad matemática13. 12 Los Contenidos Básicos Comunes constituyen el conjunto de saberes relevantes que integran el proceso de enseñanza en todo el país. Su exposición tiene fines exclusivamente enunciativos y representan el medio estratégico para poder organizar un sistema educativo descentralizado e integrado. Esto implica que, si bien cada jurisdicción define la forma para su organización, se asegura un nivel de formación semejante en todo el país y se garantiza la movilidad de los alumnos entre las distintas jurisdicciones. 13 Muchas de ellas no se desarrollan únicamente a través del trabajo matemático, aunque puede considerarse que es un ámbito privilegiado para estos logros. 15 15.
Como ejemplos de esas capacidades podemos enumerar: explorar, buscar informaciones, clasificar, encontrar semejanzas y diferencias entre situaciones problemáticas, analizar, plantear hipótesis, justificar, argumentar, generalizar, particularizar, explicar mediante analogías, expresarse con precisión, comunicar las propias ideas con claridad, intentar resolver situaciones nuevas con confianza en sus propias posibilidades, estar dispuesto a trabajar en conjunto y realizarlo con eficacia. Como se afirma en un documento del Consejo General de la provincia de Buenos Aires14: ...”la educación matemática tiene fundamental incidencia en el desarrollo intelectual de los alumnos. El método particular de acceso al conocimiento matemático favorece el desarrollo de capacidades cognitivas necesarias para utilizar diversos caminos de razonamiento en la resolución de problemas”. En el mismo documento se afirma que el eje de la actividad matemática lo constituyen las competencias de resolución de problemas y es en ellas que confluyen y se integran las capacidades cognitivas antes mencionadas. Estas posibilitan la apropiación del saber matemático como herramienta y colaboran en la estructuración del pensamiento mediante el desarrollo del razonamiento lógico. Aunque al fijar los objetivos generales de la enseñanza de la matemática en los diferentes ciclos y/o niveles se hayan tenido en cuenta sus usos y aplicaciones, nuestros alumnos de la EGB, ¿serán capaces de reconocer y usar en su vida adulta los aprendizajes adquiridos en la escuela? Nuestra responsabilidad es que esto ocurra. La relación entre la cultura y la matemática que debemos enseñar en la escuela Tal como lo expresamos anteriormente, la matemática es una producción cultural. Distintos grupos sociales producen “diferente matemática” pues la crean para responder a variadas necesidades. ¿Cómo pueden los docentes establecer puentes que relacionen los conocimientos que los niños y jóvenes adquirieron de manera informal, con los saberes escolares (“universales”)? Antes de continuar con la lectura de este texto, plantéense cómo actividad podrían establecerse los puentes entre los conocimientos informales y los saberes 2 escolares. Los docentes que ya experimentaron en este tema pueden aportar su experiencia y dar ejemplos. Sinteticen los productos de las Actividades 1 y 2 y establezcan las relaciones actividad 3DGCyE / Subsecretaría de Educación que puedan surgir del análisis de esta primera parte del documento. Comparen el producto de la actividad anterior con la expresión de Gelsa Guikjnik15: “Para quién enseñar matemática puede cambiar el para qué”. 14 Resolución 13.271 del Consejo General de la provincia de Buenos Aires. 15 Educadora e investigadora matemática brasileña. 16 16.
Como aporte a la tarea propuesta, diremos que además, la misma autora reflexiona sobre larelación existente entre cultura y pedagogía matemática, entre saber académico y saber popular.Su propuesta, que parte de una investigación en medios rurales de Brasil, consiste en que elaprendizaje de las matemáticas sea viabilizado a partir de la interpretación y codificación de lasmatemáticas populares pero reconoce, recíprocamente, que la apropiación de las “matemáticas delos libros” es lo que posibilita la comprensión de las prácticas matemáticas populares. Cuando seestablece una articulación de los saberes locales (del contexto en el que viven los alumnos) con losmás generales (“universales”), se constituye un “saber-síntesis”.Contextualizar los saberes “universales” no es tarea fácil, consiste en un delicado trabajo decompromiso docente, pero le da sentido a esos conocimientos y, de este modo, los alumnossentirán que el docente valora los saberes de su entorno, de su comunidad. Siguiendo a Beyery Liston, 1993: “lo local puede iluminar lo más general, y lo más global puede aumentar nuestrasensibilidad hacia lo más particular”. Un ejemplo de estos saberes está representado por el método que utilizan los albañiles para determinar si los ángulos de una ventana son rectos. Miden 60 centímetros sobre un lado y 80 sobre el otro, al unir ambos extremos se obtiene el tercer lado de un triángulo que debe medir 1 metro para que el ángulo que determinan los dos primeros sea recto. No es otra cosa que un ejemplo práctico del conocido teorema de Pitágoras. 16Reconocer nociones o propiedades matemáticas en diferentes contextos sociales no es tarea fácil,pues se debe comprender cómo razonan el número, las operaciones o la medición en esos grupossociales y para entender esto es necesario comprender su cosmovisión. Por ejemplo, los kpelle, un pueblo de Liberia, no miden las distancias largas utilizando palos ni objetos ni palmos sino que las describen en términos del tiempo que lleva recorrerlas. Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGBSi los educadores en matemática tienen en cuenta las diversas concepciones, las diferentesmaneras de comprender el mundo (por las variaciones culturales, encarnadas en diferentes modosde crianza, las variaciones propias de la edad y los matices dados por las variedades de desarrollo,variaciones socio-económicas, laborales, de género, entre otras), seguramente habrá menosfracasos en la escuela. De este modo se reconoce al contexto extraescolar, cualquiera sea, comoproductor de saberes significativos, saberes que los equipos docentes, necesariamente, deberántener en cuenta a la hora de planificar el área de matemática en su institución.El ida y vuelta entre las matemáticas escolares y las informales hará que la enseñanza de lamatemática pueda contribuir a abrir caminos de reflexión conjunta, de conocimiento recíproco, devaloración de todas las culturas e historias familiares, de diferentes pueblos, de diferentes países,en síntesis, ciudadanos más comprensivos y más tolerantes. 16 En nuestro medio, el método del albañil fue investigado por Gema Fioriti, especialista argentina en didáctica de la matemática. 17 17.
Segunda parteEl abordaje de la matemática como áreaEn la provincia de Buenos Aires el modelo de organización de contenidos se estructura en áreas.“En este modelo, el Área Curricular es una estructura que integra contenidos, expectativas delogro, estrategias metodológicas, recursos, actividades y formas de evaluación. La justificaciónde la elección de esta organización depende de distintos factores: epistemológicos, pedagógico-didácticos y pragmáticos”17, aspectos que se explicarán más adelante.La relación entre los ejes propuestos en el Diseño Curricular bonaerense se verifica, por ejemplo,mediante el abordaje de problemas que, aunque de origen aritmético, para su solución, admitenel uso de diagramas o figuras (modelos geométricos). En este caso se relacionan el eje “Númeroy Operaciones” con el eje “Nociones Geométricas”. Mencionamos otros ejemplos: los modelos deárea para representar fracciones -como rectángulos que representan terrenos que se cultivan-,la recta geométrica para representar conjuntos numéricos, los gráficos estadísticos, etc. Algunosautores señalan que muchos alumnos piensan en palabras, mientras otros lo hacen en imágenes;entonces, deben utilizarse formas múltiples para comunicar las ideas matemáticas, de manera demantener presente la diversidad de formas de pensamiento.La interrelación se produce, tal como explicamos anteriormente, por las diferentes presentaciones Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGBde un mismo concepto dentro de la matemática, pero también puede ocurrir que un mismoconcepto, como el de proporcionalidad, se relacione con diferentes ejes temáticos de lamatemática. La proporcionalidad directa está directamente vinculada con la semejanza (laconstrucción de escalas, planos, mapas y maquetas, los cambios de escalas) y los porcentajesutilizados en estadística. Otras vinculaciones aparecen en las recetas de cocina, en la composiciónde los alimentos, en la administración de los medicamentos y en los repartos proporcionales conalgún criterio.Muchos problemas de medidas conducen a los alumnos a la comprensión de la proporcionalidad,tanto directa como inversa. Cuando se miden diferentes objetos con una misma unidad se obtienela proporcionalidad directa. En cambio, al medir un mismo objeto con diferentes unidades seobtiene una relación de proporcionalidad inversa. Las equivalencias de unidades se obtienenmediante relaciones de proporcionalidad inversa. (Véase Anexo I).La proporcionalidad se relaciona con otras áreas del conocimiento, tal como las ciencias socialesy las naturales. Planos, mapas y gráficos estadísticos se utilizan en las ciencias sociales; de estaforma, la matemática proporciona la herramienta para resolver algún problema planteado desdeesta disciplina, que a su vez aporta el contexto que le da sentido y significación al contenidomatemático. Las simetrías, el estudio del crecimiento de poblaciones o de individuos de algunaespecie, son ejemplos del vínculo entre los conocimientos matemáticos y las ciencias naturales. 17 Consejo General de Cultura y Educación. Documento Curricular N° 2 , Buenos Aires, 1996. 19 18.
actividad Piensen una situación que pueda ser resuelta desde diferentes ejes y escriban la consigna correspondiente. 4 Aclaren cuáles son los contenidos involucrados de cada Eje y el año de la EGB en que se podría poner en práctica para que represente un problema. Esta propuesta de relaciones entre ejes temáticos y de contenidos de los ejes responde al modelo de organización por áreas planteado en el diseño curricular provincial, que se diferencia de otras organizaciones en las que se toma la matemática como materia o como disciplina. Cuando en los fundamentos del Marco General, en las consideraciones sobre la concepción de la enseñanza, se habla del enfoque globalizador, se plantea una “forma de captación de la realidad en la que se comprende el todo, en la interacción de las partes que lo conforman”, una mirada totalizadora que requiere la construcción de sentido desde el punto de vista del sujeto que aprende, en este caso, el alumno. También se puede considerar la globalización desde el diseño de situaciones que elabora el docente, particularmente en relación con la organización de los contenidos. Esta organización debería partir de una situación próxima a la realidad del alumno, que le resulte interesante y que le plantee cuestiones ante las cuales tienen que encontrar una respuesta, es decir, los problemas. En cualquier unidad de intervención pedagógica (unidades didácticas, secuencias didácticas, proyectos) es en los problemas en los que aparecen los diferentes aspectos de los contenidos. La diversidad de aspectos que permiten poner en juego los diferentes problemas posiblitan la adquisición de variadas significaciones de los conceptos. Por ejemplo, el concepto división en los números naturales comprende algunos de los siguientes aspectos: la división como reparto, que es prácticamente la única que se enseña en la escuela, como partición en partes iguales, como proporcionalidad, organizaciones rectangulares, combinatoria. Todos los problemas posibles relacionados con estos aspectos se deben proponer a los alumnos. Ese conjunto de propuestas con una secuencia adecuada y acordadas por el equipo docente, junto a la interacción social de los alumnos y las diferentes intervenciones del docente, configuran las prácticas con las que cada alumno construirá el sentido de ese concepto. Enfoque didáctico del área No hay nada más básico en una disciplina que su modo de pensar. No hay nada más importante en su enseñanza que proporcionar al niño una temprana oportunidad para aprender ese modo de pensar: las formas de relacionar, las actitudes, anhelos y bromas y decepciones que la acompañan. En una palabra: la mejor introducción a un tema es el tema en sí. Desde el primer momento, el joven estudiante debe tener oportunidad de solucionar problemas, hacer conjeturas, oponerse tal y como todo ello se lleva a cabo en el fondo de la disciplina. ¿Cómo puede lograrse?DGCyE / Subsecretaría de Educación Jerome S. Bruner. Hacia una teoría de la instrucción Las prácticas generalizadas en el primero, segundo y tercer ciclo de la EGB ponen en evidencia que los docentes hacen, en general, uso del problema como medio o recurso de aplicación de los contenidos disciplinares. En muy pocos casos se parte del planteo de situaciones problemáticas para la enseñanza de nuevos contenidos y más escasa es aún la discusión y la reflexión sobre los problemas y la enseñanza de la resolución de estos. En la enseñanza de la matemática tradicional el problema se ubica al final de la secuencia de aprendizaje, se considera al docente como el depositario de los saberes que se aprenden por 20 19.
repetición y memorización de las nociones matemáticas, que el educador inicialmente introducea través de los ejercicios de aplicación. El problema aparece al final de la secuencia didáctica. Estoimplica –para el alumno– utilizar lo aprendido y –para el docente–, controlar el aprendizaje delos alumnos.En general, dentro de esta concepción, se entiende por problema a los enunciados verbales en losque la incógnita está especificada, se ofrece la información específica necesaria para calcular larespuesta, sugiriéndose un procedimiento correcto para hallar la solución.En el Diseño Curricular se sostiene que el enfoque central para la enseñanza del área es laresolución de problemas. Sin embargo, a diferencia de cómo se utilizan los problemas en laenseñanza clásica, se busca que la resolución de problemas favorezca la construcción deconocimientos matemáticos, en la medida en que estos conocimientos sean las herramientaspara resolver los problemas propuestos. Este enfoque para la enseñanza de la matemática permitedarle la oportunidad al alumno, de acuerdo con sus posibilidades, de comenzar a apropiarsedel modo de producción del conocimiento matemático. A partir de resolver problemas puedeutilizar saberes ya adquiridos, ampliar otros, inventar procedimientos, justificar la elección dedeterminadas estrategias, reflexionar sobre los nuevos instrumentos elaborados, buscar formaspara representarlos, fundamentar el producto de la actividad realizada.La resolución de problemas, además, debe ser considerada como un contenido a ser enseñado, esdecir, que se debe reflexionar, entre otros aspectos, acerca de: • la falta o sobreabundancia de datos para resolver el problema, • la pertinencia de las preguntas en relación con el enunciado, • la formulación de hipótesis, • la movilización de los saberes matemáticos necesarios, • la planificación de estrategias de resolución, Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGB • la estimación de resultados, • la validez de la solución hallada, • el análisis de las diferentes formas de expresión para comunicar tanto las estrategias utilizadas como los resultados.Resumiendo: La transformación sustentada para el área se fundamenta en una concepciónde aprendizaje que busca la construcción de los conocimientos a través de la resolución deproblemas.Pero cabe preguntarse: a. ¿Todo problema es un problema? b. ¿Cuáles son las condiciones que debe cumplir una situación para que posibilite a los alumnos aprender cierto concepto o procedimiento? c. ¿Cómo debe actuar el docente? d. ¿Qué exige la resolución de problemas a los alumnos? 21 20.
Las preguntas “a” y “b” serán abordadas en esta segunda parte y dejaremos las preguntas “c” y “d” para la tercera parte. Pregunta “a”: ¿Todo problema es un problema? Si bien coexisten diferentes definiciones acerca de lo que es un problema, podemos acordar, en principio, que un problema es todo aquello que genere un obstáculo a vencer, toda situación para la cual no se disponga de una respuesta inmediata, cuando un alumno no encuentra inmediatamente un camino que le permita relacionar los datos del problema con la respuesta que finalmente quiere dar, etcétera. Tipos de problemas “Todos los problemas no son iguales; podemos en principio señalar tres grandes tipos: a. los que permiten construir y dar significado a nuevos recursos matemáticos; b. los que permiten la reinversión de los conocimientos en otros contextos, favoreciendo la resignificación, incluyendo también los que permiten controlar su adquisición; y finalmente, c. los que podríamos llamar de investigación, donde la búsqueda es más libre y no se conoce a priori un procedimiento estándar de resolución”. (Véase Saiz, I., Fuentes para la transformación curricular. Buenos Aires, MCyEN, 1994). Roland Charnay señala una tipología de problemas que amplía la anterior, caracterizada por los objetivos de aprendizaje que se persiguen: • los problemas destinados a involucrar a los alumnos en la construcción de nuevos conocimientos (a menudo llamadas situaciones-problema); • los problemas destinados a permitir a los alumnos la utilización de los conocimientos ya estudiados (a menudo llamados problemas de reinversión); • los problemas destinados a permitir a los alumnos la extensión del campo de utilización de una noción ya estudiada (llamados a veces problemas de transferencia, con toda la ambigüedad de esta palabra); • los problemas más complejos en los cuales los alumnos deben utilizar conjuntamente varias categorías de conocimientos (a veces llamados problemas de integración o de síntesis); • los problemas cuyo objetivo es permitir al docente y a los alumnos conocer el estado de conocimientos (problemas de evaluación);DGCyE / Subsecretaría de Educación • los problemas destinados a poner al alumno en situación de investigación y por lo tanto de desarrollar competencias metodológicas (problemas abiertos).18 El autor señala las limitaciones de esta tipología; ya que no todos los problemas quedan representados en esta clasificación, pero además: 18 Charnay, R., «Problème ouvert, problème pour chercher», en Grand N, Nº 51, Grenoble, IREM, 1993. 22 21.
Un mismo problema, según el momento en que sea presentado puede pertenecer a una u otra de las categorías. Un gran desafío para los docentes es mantener un buen equilibrio en la presentación de los diferentes tipos de problemas y asegurar a la vez, a lo largo de la escolaridad, el logro de un aprendizaje significativo de la matemática. Para esta actividad, véase el Anexo II, en el que se reproduce la Unidad 3 “Las Operaciones” del Manual Plus 5, Área Matemática.19 actividad 5 Analicen la secuencia presentada por las autoras y cómo utilizan los problemas. Además, especifique la categoría según la clasificación anterior. Para los Directivos: actividad Analicen los problemas que los docentes de su escuela utilizan y establezcan la clase 6 más frecuente. Elaboren las orientaciones que pueden brindar a los docentes para que usen otros tipos de problemas con mayor frecuencia.Pregunta “b”: ¿Cuáles son las condiciones que debe cumplir unasituación para que posibilite a los alumnos aprender cierto concepto oprocedimiento?“Para asegurar ciertas relaciones del alumno con el conocimiento y llevar a cabo un trabajo comoel que se propone, es necesario seleccionar las situaciones problemáticas con ciertas condiciones.Regine Douady enuncia algunas de ellas: a. El enunciado tiene sentido en el campo de conocimientos del alumno. Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGB b. El alumno debe poder considerar lo que puede ser una respuesta al problema. Esto es independiente de su capacidad para concebir una estrategia de respuesta o la validación de una propuesta. c. Teniendo en cuenta sus conocimientos, el alumno puede iniciar un procedimiento de resolución, pero la respuesta no es evidente, esto quiere decir que no puede proveer una respuesta completa sin desarrollar una argumentación que lo conduce a preguntas que no sabe responder inmediatamente. d. El problema es rico, esto quiere decir que la red de conceptos involucrados es bastante importante, pero no demasiado para que el alumno pueda abarcar su complejidad, si no solo, por lo menos en equipo o en el seno del equipo o de la clase. e. El problema es abierto por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantearse o por la diversidad de estrategias que puede poner en acción. f. El conocimiento que se desea lograr con el aprendizaje es el recurso científico para responder eficazmente al problema. Dicho de otro modo, es un recurso adaptado a la situación.20 19 Cf. Manual Plus 5, Buenos Aires, Plus Ultra, 1995 pp. 491 a 502. Los capítulos del área de Matemática fueron escritos por Lucrecia Iglesias, Mónica Agrasar de Copello y Norma Sanguinetti de Saggese. 20 Douady, R., «Rapport enseignement apprentissage: dialectiques outil-objet, jeux de cadres», en Cahier de didactique des mathèmatiques, Nº3, IREM, Université Paris VII. 23 22.
Las nociones de complejidad y apertura son relativas al alumno. Un problema es rico y abierto para una clase si lo es para la mayoría de los alumnos. Además, las condiciones c), d) y e) impiden que el problema sea recortado en preguntas demasiado pequeñas”.21 Damos un ejemplo de cada una de las cualidades. Enunciar estas cualidades comunes a los buenos problemas tiene dos intenciones: por un lado, orientar la selección y el diseño de situaciones problemáticas adecuadas; por otro lado, aportar pautas que permitan revisar críticamente y mejorar los problemas que habitualmente se presentan a los alumnos. a. El enunciado tiene sentido en el campo de conocimientos del alumno. Es decir, los saberes que el alumno posee le permiten comprender de qué se trata (lo cual no significa que se le ocurra inmediatamente una solución). Por ejemplo, observemos un problema propuesto por una docente a sus alumnos de 7º año, cuyo contexto era familiar para los alumnos, debido a que: - En Ciencias Sociales estaban trabajando las civilizaciones antiguas: Roma, Grecia, Mesopotamia y Egipto. Su organización económica, social, cultura, literatura, arte, etc. Así citaron libros como La Ilíada, La Odisea y La Eneida. Este último fue el texto más representativo del género épico en Roma. El poema relata las aventuras de su protagonista, Eneas, en su trayecto de Troya a Italia. Su autor, Virgilio, vivió entre los años 70 y 19 a. C. y fue apadrinado por Mecenas, un noble ministro del emperador Augusto. El texto es un homenaje a este monarca, descendiente del héroe troyano Eneas. Los alumnos realizaron un breve análisis del contenido de este libro. El problema era el siguiente. Actividad para los alumnos En La Eneida, Virgilio cuenta cómo la reina Dido fundó la ciudad de Cartago. Llegó con sus gentes al norte de África y allí compró a los habitantes de la región un trozo de tierra, el que se pudiese limitar con una piel de toro. Dido hizo cortar la piel formando una gran tira y, extendiéndola sobre la tierra, determinó una porción de ella nada despreciable. Así comenzó Cartago. ¿Qué forma le convenía a Dido dar a la piel de toro sobre la tierra para obtener una parcela lo más grande posible? Antes de continuar con la lectura resuelvan el problema anterior. actividad 7DGCyE / Subsecretaría de Educación En principio, el enunciado del problema sobre la fundación de Cartago tiene sentido para los alumnos que disponen de la noción de área; quienes carecen de ella no pueden comprender qué es lo que el problema demanda. b. El alumno está en condiciones de imaginar aquello que puede ser una respuesta al problema. O sea: está en condiciones de imaginar bajo qué condiciones el problema quedaría resuelto. Carecen de esta cualidad aquellos problemas en que los alumnos se entregan a un activismo descontrolado (dibujan, hacen cuentas, usan los resultados obtenidos para hacer nuevas 21 Saiz, I., Fuentes para la transformación curricular, Buenos Aires, MCyEN, 1994. 24 23.
cuentas), hallan la solución, pero no la reconocen como tal, “se pasan de largo”, se sorprenden cuando el docente les señala que “ya está”; o aquellos problemas en los que, por el contrario, los alumnos hacen un cálculo o una figura, y los dan por resueltos, aunque no llegaron a la solución que se requiere. Imaginar aquello que puede ser una respuesta es condición necesaria para concebir una estrategia de resolución, aunque no la garantiza.En el ejemplo de la fundación de Cartago, el producto que se espera como solución al problema esla forma que le deben dar a la piel de toro para que ocupe la máxima superficie; reconocer qué eslo que se busca no equivale a saber cómo encontrarlo. c. En función de sus conocimientos, el alumno puede comprometer un procedimiento, intentar un camino, atinar a hacer algo (aunque la respuesta no es evidente ni inmediata y el alumno no puede alcanzarla sin desarrollar una argumentación que lo conduzca a ella a partir de los datos disponibles).En el ejemplo, el alumno puede hacer varios dibujos geométricos y buscar una unidad paracomparar sus áreas; tomar un hilo, formar distintas figuras y estimar las áreas; realizar figurasgeométricas con perímetros constantes, cuadricularlas y calcular el área. d. El problema aporta datos considerables. Esto quiere decir que la red de conceptos que incluyen es importante; a la vez, debe ser posible para el alumno abarcar su complejidad, si no lo hace solo, al menos en el seno del equipo o de la clase. En otras palabras: suelen ser poco problemáticos los problemas centrados en un único concepto.El problema involucra conceptos tales como: figuras geométricas, perímetro mínimo, áreamáxima. e. El problema es abierto, por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantear o por la diversidad de estrategias que puede poner en juego y por la falta de certidumbre que de esto resulta. Las situaciones que sólo admiten un camino posible, un único procedimiento de resolución, una sola pregunta, no merecen llamarse problemas.En el ejemplo considerado, resultan claves las preguntas que apuntan a detectar qué figuras Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGBgeométricas se pueden realizar, cual será la que tendrá mayor área si utilizamos la misma medidade perímetro. Con respecto a los procedimientos que el alumno puede utilizar, ya mencionamosalgunos de ellos en el punto c). f. El conocimiento al que se apunta en el aprendizaje es el medio científico de responder eficazmente al problema. Lo que el docente pretende enseñar es el recurso o el instrumento más adecuado para la resolución, el más eficiente, el que permite ahorrar tiempo y esfuerzo y, aunque otros recursos menos elaborados también sirvan para resolver el problema, justamente, la tarea del docente consiste en hacer progresar a los alumnos desde estos recursos menos sistemáticos, menos formalizados, hacia el recurso que mejor se adapte a la situación.Volviendo al ejemplo: la noción de círculo y la fórmula que da el área de esta figura son losrecursos más ajustados para tratar la situación. Previamente el alumno comparará áreas dedistintas figuras. actividad Dada la siguiente situación problemática, diseñada para alumnos de 7º año 8 analicen si se verifican las condiciones que deben cumplir los problemas, tal como las enunció Douady. 25 24.
Trayecto A Escuela Estancia “El Guanaco” Estancia “La Reforma” Trayecto B En el dibujo están representadas la escuela y el casco de la estancia “El Guanaco”, donde vive Juan. Todos los días, Juan hace el mismo recorrido para ir a la escuela. Hoy descubre que hay otro camino que también conduce a la escuela. 1. Marcá el camino más corto con color. (Para esto no podés utilizar la regla). 2. ¿Cómo te diste cuenta de que es el más corto? Buscá una manera de demostrarlo. 3. ¿Con qué instrumento podríamos medir el trayecto real que Juan recorre todos los días? Subrayá los correctos: termómetro – reloj – regla graduada – soga – metro de carpintero – pasos – cinta métrica – vaso graduado – cuentakilómetros del auto de tu papá. 4. Juan escucha varias indicaciones de su familia: • Su hermano le dice que conviene seguir el camino en cuyo primer tramo hay que dirigirse hacia el sur. • Su mamá le propone mirar el reloj y medir el tiempo que tarda en cada recorrido. De esta manera, sabrá cuál camino es el más corto. • Su papá le sugiere ir en camioneta y poner el cuentakilómetros. ¿Estás de acuerdo con la ayuda que le propone su familia? Justifica en cada caso. 5. Mirando el dibujo, si tuvieras que indicarle a un compañero dónde queda el casco de la estancia donde vive Juan con respecto a la escuela, ¿te puede resultar útil la siguiente indicación? “Salí de la escuela, dirigite hacia el sur, luego girá al este, y luego desviate hacia el noreste. Te vas a encontrar con una bocacalle donde tenés que tomar el camino que va hacia sudeste y luego seguí derechito hacia el norte”. ¿Cuál de los caminos se está indicando? ¿El trayecto A o el trayecto B? ¿Cómo harías para indicarle a tu compañero el otro camino que conduce al casco? 6. Un alumno de 6° año ideó una estrategia para comparar la distancia entre los dos caminos. Utilizó una escala: 1 centímetro en el papel equivaldría a 20 kilómetros reales. ¿Te parece acertada la estrategia que utilizó para saber cúal es el camino másDGCyE / Subsecretaría de Educación corto? a. Según esta escala, ¿cuántos kilómetros hay en cada trayecto? ¿Cómo los calculaste? ¿Este cálculo te sirve para saber cuáles son los kilómetros reales entre la escuela y la casa de Juan? b. ¿La escala también podría ser esta: 1 cm = 150.000 cm? ¿Por qué? 7. Juan, con la ayuda de su papá, ya pudo solucionar su problema. El cuentakilómetros de la camioneta dio los siguientes resultados: A =14,2 km B= 18,5 km De esta forma pudo verificar si lo que había hecho antes estaba bien. 8. Estas son las medidas del trayecto A y B que encontraron los chicos de 8º año. Las expresaron de la siguiente manera. 26 25.
TRAYECTO A TRAYECTO B 14.200 m - 142 km - 142.000 dm 185 hm - 18 km y 5 hm 142 km - 14 km y 2 hm 1850 dam 1 km y 42 hm- 18 km y 1⁄2 hm ¿Estás de acuerdo con ellas? Marcá las correctas. 9. Si tuvieras que construir un camino más corto desde la casa de Juan hacia la escuela ¿cómo harías?. Marcalo en el dibujo. 10. Ahora que ya conocés la cantidad de kilómetros que hay en los dos trayectos que comunican la casa de Juan con la escuela, construí un plano utilizando una escala adecuada. 11. Marcá en el plano anterior el tercer camino, o sea el más corto. Calculá según la escala que utilizaste anteriormente la cantidad de kilómetros que hay. 12. Imaginate que este plano está dibujado sobre papel cuadriculado y que el origen de coordenadas está en la estancia “La Reforma”. ¿Cuáles serían las coordenadas de la escuela y de la casa de Juan? No es suficiente plantear a los alumnos resoluciones esporádicas de problemas ni presentar una o dos situaciones aisladas para construir condiciones favorables para el aprendizaje.Es necesario construir progresiones, secuencias de situaciones en la que se involucren la mayorcantidad de contenidos posibles, de manera tal que permitan a los alumnos una construcciónprogresiva de procedimientos y que puedan reutilizarlos o mejorarlos en otras situaciones. Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGB 27 26.
Tercera parteHasta ahora tratamos todo lo relacionado con los problemas y las condiciones que deben cumplir.En esta parte, analizaremos las acciones del docente y de los alumnos dentro del marco delenfoque de resolución de problemas.Pregunta “c”: ¿Cómo debe actuar el docente?En lo trabajado hasta este momento22 se ha perfilado el importante rol que debe jugar eldocente en el enfoque para la enseñanza de la matemática, en el ámbito de la provinciade Buenos Aires. Es conveniente que el docente: analice los diferentes contextos de uso de los conceptos con los que trabajará; seleccione las situaciones que presentará a los alumnos; analice y prevea las formas de organización que establecerá en la clase; anticipe las posibles formas de representación y los procedimientos que utilizarán los alumnos ; considere los errores que puedan cometer y las intervenciones que debería realizar a partir de Aportes para el fortalecimiento de la enseñanza de la matemática en la EGB estos o de los procedimientos que pusieron en juego los alumnos para analizarlos y jerarquizarlos; promueva que los procedimientos más importantes pasen al dominio de todos; conduzca la clase; aliente a los alumnos; haga circular el saber entre estos, institucionalice23, etcétera.El análisis de los contextos y de las situacionesEn relación con “analizar los diferentes contextos de utilización del concepto que se decidiótrabajar” vamos a realizar un primer nivel de análisis que exige desplegar, a propósito de unconcepto que se desea enseñar, un conjunto –lo más exhaustivo posible– de problemas diferentesque este permite resolver.Detengámonos, por ejemplo, en estos problemas para el tercer ciclo: 22 Para profundizar en el Anexo III se adjuntan guías de lectura de textos que, aunque sabemos conocidos, nos interesa focalizar en su lectura: Parra, C., “Las poderosas reflexiones de los chicos”, en Los CBC en la enseñanza de la matemática, Buenos Aires, A-Z editora, 1997. Charnay, R., “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”, en Didáctica de la Matemática, Buenos Aires, Paidós, 1994. 23 El momento de institucionalización es cuando el maestro remarca a sus alumnos el producto que han obtenido. 29 Recommended
Texto del-estudiante-matematicas-6to-egb
Secuenciacion temporal
01 circulo
Ficha136
Ficha135
Ficha134
Ficha133
Ficha132

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
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 Resolución 
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