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Timestamp: 2016-09-26 23:27:12+00:00

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Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2008. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres de Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 11,209 ejemplares.
COMPONENTE: FORMACIÓN BASICA CAMPO DE CONOCIMIENTO: MATEMÁTICAS
Esta asignatura se imparte en el segundo semestre; tiene como antecedente Matemáticas I, la asignatura consecuente es Matemáticas III y se relaciona con Matemáticas IV, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral y Probabilidad y Estadística.
Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: ____________________________ Turno: _______________________ Domicilio: _____________________________________________________ ______________________________________________________________ ________________________________Teléfono:______________________
Su conjunción conduce al estudio de
Funciones trigonométricas Incluyendo Sirve de base para el estudio de Triángulos Rectángulos Para llegar al estudio de Conduce a Ley de senos y Cosenos Conduce a
Incluyendo Semejanza y Congruencia Polígonos y Circunferencia
Aplicando Resolución de problemas
.....................4 Triangulación de polígonos .................................3......................................16 1..........2.........................................2................................................................................................2.............. Funciones Trigonométricas .................................................2........................4.........2..3................... Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante ...2 Circunferencia y círculo ........................118 3......................................... 45º y 60º ...1 En un plano coordenado: ángulo de referencia...................................................................................................................................5 Cálculo de perímetros y áreas .....2 Rectas tangentes a un círculo .....................................1......................................................................105 UNIDAD 3..119 3.....................................................................................Índice
Recomendaciones para el alumno..............................................................3 Ángulos: central.....43 Autoevaluación ............................... Definición y clasificación ............ inscrito y circunscrito ........1................ 84 2........1 Ángulos en el plano ..........................1 Funciones trigonométricas para ángulos agudos .........................4 Resolución de triángulos rectángulos .........1............... signo y valores de las funciones trigonométricas ........................................................ 91 2............................................................125 3.......................................................... 8 UNIDAD 1.....................2................................. 9 1............................1.... Polígonos y Circunferencia .......................................................2 En el círculo unitario: funciones de un segmento...................................103 Ejercicios de reforzamiento .11 1...........2....................................................3 Suma de ángulos: interiores y exteriores ...................................135 Autoevaluación ................2................... 81 2...........................99 Autoevaluación ................1 Polígonos ....................... Definición ...........................1.........................................................................71 Ejercicios de reforzamiento .........................................................111 3.......11 1............................... 92 2..1...........2................................ 109 3.......1.........................................................13 1...............................2.......................1...................................................................... Congruencia ............................111 3.....................4...........1 Conversión de ángulos en grados a radianes y viceversa ...................2 Funciones recíprocas ............................................. 81 2........................... 79 2...................................... 18 1........................................................1.......................................... identidades pitagóricas............................................ Teorema de Pitágoras ........................................................................................................................................................1 Definición y elementos .............................................................2 Clasificación..........143
..............................4 Perímetros y áreas .2 Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud ......2...........................2........................................................... Clasificación.........................1................... 86 2.................3 Cálculo de valores 30º...............................141 Ejercicios de reforzamiento .................... 88 2..1 Definición ................75 UNIDAD 2...................................... 94 2.....1........................... 32 1................................................................................ 82 2..................... Ángulos y Triángulos...........................1.........................96 Sección de tareas ......... 29 1...................... 18 1............................................................. 39 Sección de tareas .....2 Triángulos ...........................................115 3.................................................................... Medición de ángulos en el sistema sexagesimal ..................................................1.. 91 2............................................................................................ 11 1..............................................................................1...........7 Presentación ................130 Sección de tareas ............. Semejanza ...................................................................................1........................................125 3.........
.................................................................. 157 Autoevaluación .............................................................................................. 147 4..............................................1.... 154 Sección de tareas ............................ 167 Claves de respuestas ............... 145 4....2 Ley de Cosenos.1.................. 171 Glosario ..3 Resolución de triángulos oblicuángulos ....................................... 147 4.............................................. 173
...............................................................................................................UNIDAD 4................................................ Leyes de Senos y Cosenos ................ 148 4......................................................................................................................... 172 Bibliografía ................. 165 Ejercicio de reforzamiento ...................................................................................................................................................................................................4 Aplicaciones prácticas .................................................................. 149 4...........1...........................1...........................1 Ley de Senos .................................1 Leyes de Senos y Cosenos ......................
Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase. el análisis y la discusión. Para comprender algunos términos o conceptos nuevos. resuelve la autoevaluación. consulta el glosario que aparece al final del módulo. de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo.Recomendaciones para el alumno
El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti.edu. Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad. así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios. Si quieres hacer llegar tus comentarios. utiliza el portal del colegio: www. Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. mediante la investigación.mx
. consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican. en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Matemáticas II. Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados. Al término de cada unidad.cobachsonora.
reforzando y practicando todos sus coceptos. pretende ofrecer a los estudiantes la oportunidad de adquirir el conocimiento. es que te invita a conocer más investigando. distribuidas cada una en una serie de temas que proporcionan los conocimientos mínimos básicos de la asignatura de Matemáticas II. lo más importante de cada unidad. ejercicios de reforzamiento y autoevaluaciones. así como las estrategias didácticas propias de la asignatura. Los contenidos están organizados en 4 unidades temáticas que contemplan Geometría y Trigonometría. además de introducirte al tema. por medio de tareas. proporcionamos un índice para una rápida localización de los temas. así como la presentación de los mismos en su estructura y lo que pretendemos del profesor y el alumno. En este Módulo de Aprendizaje.
. y destrezas necesarios para su mejor desenvolvimiento.Presentación
El presente Módulo de Aprendizaje corresponde a la asignatura de Matemáticas II y contiene los conocimientos básicos acerca de la Geometría y Trigonometría.
La geometría aparece en la naturaleza y en las diferentes formas de arte alrededor del mundo.
. iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve. cristales. y en los diseños geométricos de artistas y arquitectos de muchas culturas. en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad. animales. La geometría describe la simetría encontrada en las flores. Triángulos.
El alumno: Resolverá problemas geométricos de tipo teórico o práctico de distintos ámbitos mediante la aplicación de técnicas de medición de ángulos en el plano y su clasificación. así como las correspondientes a la medición de triángulos utilizando razonamientos analógicos y deductivos para recuperar los conceptos de semejanza y congruencia.
se forman los ángulos. dado que dos rectas oblicuas tienen trayectorias que se cruzan. canales de riego. Para nombrar un ángulo podemos usar: a) Tres letras mayúsculas de tal forma que la letra que corresponde al vértice va en el centro. los ángulos se pueden clasificar en: NOMBRE Agudo Recto Obtuso Llano Entrante Perigonal o de una vuelta MEDIDA Mayor de 0º y menor de 90º Igual a 90º Mayor de 90º y menor de 180º Igual a 180º Mayor de 180º y menor de 360º Igual a 360º FIGURA
Las trayectorias de dos rectas pueden ser oblicuas o paralelas. sus principales actividades fueron la agricultura y el pastoreo. palacios. Cuando los seres humanos establecieron los primeros pueblos. tuvieron que crear herramientas que facilitaran sus operaciones de cálculo y medición.
1.1. deslinde de propiedades. entre las que destacaron la regla y el compás.
. Estas herramientas se convirtieron en valiosos recursos a la hora de construir casas.1.Ángulos y triángulos
1. ( ) Abertura comprendida entre dos rectas que parten de un mismo punto llamado vértice. siendo uno el lado inicial y el otro el lado final. En el primero de los casos. c) Una letra minúscula o número que se coloca dentro del ángulo y cerca del vértice.
A. etcétera. C Lado final Formas de Nombrarlo:
La geometría es una ciencia muy antigua y se originó. como casi todas las partes de la matemática.
En nuestro entorno abundan las figuras geométricas en cuyo diseño se advierte la presencia de los ángulos. b) Una letra mayúscula que se coloca en el vértice.
BAC.2 Clasificación
a) Atendiendo a su amplitud. por las necesidades de la gente. Ante la necesidad de contar sus pertenencias y medir sus propiedades.1.
1. Las rectas corresponden a los lados del ángulo.
los ángulos pueden clasificarse como: Adyacentes: Si el lado final de uno de los ángulos es el lado inicial del otro ángulo. Son los ángulos no-adyacentes que se forman cuando dos rectas oblicuas se cruzan.
PARES DE ÁNGULOS ADYACENTES
Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza. atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría. La palabra Geometría (geo-tierra y metron-medida) significa “medida de la tierra”
No-adyacentes: Si no tienen un lado común. debido a que necesitaban medir constantemente sus tierras dado que las inundaciones del Nilo borraban constantemente sus fronteras.Matemáticas II
b) Según la posición de sus lados. El sabio griego Eudemo de Rodas.
Los ángulos a y b son opuestos por el vértice
rectos. agudos y obtusos que encuentres.
1.Ángulos y triángulos
En las siguientes figuras. Ángulo obtuso: Cuando su medida es mayor que 90º y menor que 180º. el cual resulta de dividir una circunferencia en 360 partes iguales.
Con relación al sistema sexagesimal. el cual es la base del sistema sexagesimal.
Página 43. identifica y nombra los ángulos adyacentes. los opuestos por el vértice. que son los segundos (”). El grado. y el minuto en otras 60 partes iguales.3 Medición de ángulos en el sistema sexagesimal
La unidad que se emplea para medir un ángulo es el grado (º).1. los ángulos según su amplitud se definen de la siguiente manera: Ángulo agudo: Cuando su medida queda comprendida entre 0º y 90º. Ángulo recto: Cuando su medida es igual a 90º. se forma de 60 partes iguales llamadas minutos (’). Las medidas de un ángulo se hacen tomando como referencia al número 60.
Ángulo llano o colineal: Cuando su medida es igual 180º (Dos rectos). Ejemplo: 52. Aplicando el concepto de ángulos complementarios. quedando: 89º 60´ De los minutos tomamos uno y lo cambiamos a segundos.5.5' → x
Por lo tanto. Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180º.175° → x
(0. es de gran utilidad el conocimiento de los submúltiplos del grado y sus equivalencias. a minutos:
1° → 60' 0.5'
Tomamos la fracción de minuto. 46°33’45’’ es el complemento de 43°26’15’’.
. Ejemplo: Calcular el complemento del ángulo de 43°26’15’’. Cuando las medidas de los ángulos aparecen dadas en grados y decimales de éste.5)(60) = 30' '
Atendiendo a la suma de sus medidas. dos ángulos pueden ser complementarios o suplementarios. nos preguntamos entonces ¿Cuál es el ángulo que sumado al de 43°26’15’’ dé 90°? Es decir: 90° − 43°26'15' ' = ? Para realizar esta resta se necesita expresar los 90° en minutos y segundos de la siguiente forma: Tomamos un grado de los 90° y lo transformamos en minutos. 52.175)(60) = 10. Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90º.175º para expresarlo en el sistema sexagesimal: Convertimos la fracción de grado. 0.175°.175°= 52°10’30’’. Ángulo entrante: Cuando su medida es mayor que 180º y menor 360º Ángulo de una vuelta o perigonal: Cuando su medida es igual a 360º (Cuatro rectos). y la convertimos a segundos:
1' → 60' ' 0. por lo que entonces nos queda: 89°59'60' ' Ahora ya podemos hacer la resta: 89°59’60’’ 43°26’15’’ 46°33’45’’ Por lo tanto. 0.
2. minutos y segundos las siguientes medidas angulares: A. E.725° 12. Resuelve los siguientes problemas. realiza los ejercicios que se presentan a continuación: 1. Si los ángulos son suplementarios.Ángulos y triángulos
En clase. 69. Compara los resultados con tus compañeros. C. Expresa en grados. Completa la siguiente tabla utilizando solamente ángulos positivos: ÁNGULO 15° 42°13’ 16°25’38’’ 257°3’45’’ 128°09’ 3. B.145° 364. D.30° 0. a) ¿Cuáles son las medidas de dos ángulos adyacentes cuya suma es 65° y su diferencia 18°? b) La medida de un ángulo es igual al triple de la medida de otro más 8. ¿cuáles son sus medidas? c) En las siguientes figuras encuentra el valor de “X” y determina la medida de los ángulos indicados en cada caso.85° 194. COMPLEMENTO SUPLEMENTO
∠α = 2 x + 25 ∠β = 5 x − 19
∠a = x ∠b = 2 x ∠c = 3 x
7 x − 48 2 ∠2 = 2 x + 24
∠a = x ∠b = 2 x + 15
. y con ayuda de tu maestro.
(Pares de ángulos congruentes).1. ¿Cuáles son los ángulos internos? ______. _______ y _______. 1 2 4 5 8 7 6 3 En la figura se generan pares de ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y por consiguiente tienen la misma medida. ______. _______. Muéstralo al resto del grupo y a tu profesor. (Ángulos alternos internos) ¿Cuáles son las parejas de ángulos externos que tienen la misma medida? _____. (Ángulos alternos externos) Además de las parejas de ángulos identificadas como alternos internos y alternos externos. Correspondientes. ______ y ______. de los cuales cuatro son internos por encontrarse dentro del espacio comprendido entre las paralelas.
Organizados en binas (equipo de 2 personas): Anota todos los pares de ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos de lados paralelos que están al mismo lado de la secante. Son los ángulos no-adyacentes que se forman entre las rectas paralelas y la recta secante. también se definen los siguientes pares de ángulos congruentes entre sí: Opuestos por el vértice. ______. ______. identifica y luego anota los ángulos que se piden en cada caso. ¿Cuáles parejas de ángulos internos tienen la misma medida? _____ y ______. _______.
En la figura. Anota todos los pares de ángulos correspondientes.4 Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante
Dos rectas paralelas cortadas por una secante forman ocho ángulos.Matemáticas II
1. ______. ¿Cuáles son los ángulos externos? ______.
. y los otros cuatro son externos por estar fuera de este espacio. ______.
En cada una de las siguientes figuras encuentra la medida en grados de cada uno de los ángulos que se indican: s= _______ n= _______ t= _______ 110° a r= _______ p= _______ q= _______ c n t Figura 1. a= _______ b= _______ c= _______ 68° r s p q
∠AET = 2 X
∠DFS = 3 X − 20
1.2. TRIÁNGULOS
La propiedad de rigidez que tienen las estructuras triangulares se ha ido aprovechando en algunas construcciones agregando, con ello, fuerza a las estructuras. ¿Te has fijado en las formas geométricas que intervienen en las antenas que usa la compañía de luz para tender los cables de la corriente eléctrica? ¿Por qué crees que le dan esa forma? También se usa en el mecanismo que utilizan los carros de volteo, a través de cambiar el largo de uno de los lados del triángulo.
Definición: Triángulo: Región del plano delimitada por líneas rectas, que forman entre sí tres ángulos. Un triángulo lo puedes nombrar de la siguiente forma: 1. 2. Colocando tres letras mayúsculas en sus vértices, o Empleando números romanos que se colocan dentro del triángulo.
∆PQR ó ∆I
Los lados se nombran con las mismas letras empleadas en los vértices opuestos a ellos, pero minúsculas.
Podemos identificar en un triángulo dos tipos de ángulos: Los interiores o internos, y los exteriores o externos.
∠ ’s internos: a, b y c.
∠ ’s externos: 1, 2 y 3.
I. Por la medida de sus lados, los triángulos pueden ser: Equilátero. Isósceles. Escaleno. II. Por la medida de sus ángulos los triángulos pueden ser: Rectángulo. Oblicuángulo. Obtusángulo. Acutángulo.
En equipo de cuatro personas desarrolla lo que se te pide y preséntalo ante el grupo. Si necesitas ayuda, asesórate con tu profesor: a) Dibuja cada uno de los diferentes tipos de triángulos que se mencionaron en la clasificación anterior. b) Elabora un mapa conceptual sobre los diferentes tipos de triángulos y sus características. c) Presenta tus resultados al profesor. d) Uno de los ángulos externos de un triángulo es de 130º y uno de los internos no-adyacentes es de 32º. Encuentra las medidas de los otros dos ángulos del triángulo.
una para cada vértice. B
Como te podrás imaginar. C TAREA 4 D Página 49. Si D es el punto medio del lado AC.Matemáticas II
Rectas y puntos notables de un triángulo TAREA 3 En un triángulo se distinguen las medianas. constituyendo el grupo de “rectas notables” del triángulo. Otra forma de llamar al baricentro es centro de masas o centro de gravedad de tres objetos de igual masa situados en cada uno de los vértices del triángulo. constituyen el grupo de “puntos notables”. mediatrices. A
. entonces el segmento que une el vértice B con el punto D será una mediana. Los respectivos puntos donde se intersecan esas rectas del triángulo. Página 47. alturas y bisectrices. C
Página 51. La mediana es un segmento de recta trazado desde un vértice de un triángulo hasta el punto medio de su lado opuesto.
A la izquierda se muestra un triángulo cuyos vértices son A B y C. en un triángulo habrá tres medianas. Resulta interesante el hecho de que las tres medianas concurren en un mismo punto llamado baricentro.
o su prolongación. C Si D es el punto medio del lado AC entonces la recta perpendicular a AC D que pasa por el punto D será una mediatriz. ya que una circunferencia queda determinada por tres puntos.Ángulos y triángulos
La mediatriz es la recta que es perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio.
El nombre de circuncentro es debido a que este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. la altura es un segmento de recta perpendicular a un lado. trazada desde el vértice del ángulo opuesto. de la circunferencia que pasa por los tres vértices. C C C
. es decir. Hay sólo una circunferencia circunscrita al triángulo.
En un triángulo. A
En un triángulo habrá tres mediatrices que se intersecan en un punto llamado circuncentro.
Hay una altura para cada lado del triángulo. En un triángulo habrá tres bisectrices que se cortan en un punto llamado incentro. En el caso de un triángulo.
El incentro es llamado así por ser el centro de una circunferencia inscrita al triángulo. ¿Para qué triángulos el ortocentro está dentro de él? Página 55. Esta circunferencia tiene a los lados del triángulo como tangentes. ¿En qué tipo de triángulos el ortocentro es uno de los vértices?
La bisectriz es la recta que corta a un ángulo exactamente a la mitad.
1. Las alturas se intersecan en un punto llamado ortocentro. 2.
. la bisectriz corta a la mitad un ángulo interior.
. Ci= Circuncentro G= Baricentro O= Ortocentro I= Incentro
Haz un dibujo para cada caso para dar la respuesta que se pide. 3. 1. tres de ellos –el circuncentro. el baricentro y el ortocentro– son colineales. están sobre una recta. ¿El baricentro puede localizarse fuera del triángulo? ¿Cómo es el baricentro en un triángulo equilátero? ¿Cómo es el baricentro en un triángulo rectángulo? ¿En qué triángulo coinciden los cuatro puntos notables?
Página 61. 2. Compara tus resultados con tus compañeros y repórtalos a tu profesor. esta se línea se le conoce como Recta de Euler.Ángulos y triángulos
De los cuatro puntos notables del triángulo. TAREAS 8 y 9
Página 57 y 59.
85 + 47 + 62 = 97 2 A = 97(97 − 85)(97 − 47 )(97 − 62) A = 1427 mm 2
. 47 mm.
Ejemplo: Hallar el área del siguiente triángulo cuyos lados miden 85mm.Matemáticas II
El perímetro (P) de un triángulo cualquiera sólo se obtiene sumando la magnitud de sus lados. de longitud.
Si se conocen los tres lados y no la altura. el área del triángulo se puede calcular a través de la fórmula de Herón de Alejandría. El área (A) es la superficie comprendida dentro del perímetro. y 62 mm.
Donde s es el semiperímetro del triángulo.
3) 2) 9m.Ángulos y triángulos
Aplica tus conocimientos de área (A) y resuelve los siguientes ejercicios de acuerdo a lo que se te pide.
A = 31. ∆ABC es Isósceles
6) 10 cm. 13 cm. h 6 cm.5 pies 2 . 8 cm. 1) 5 cm. b=?
3 cm. Presenta los resultados a tu profesor. 8 cm.
Sustituyendo 3 y 4 en 2. compáralo con tus compañeros y presenta los resultados a tu profesor. Escribe la conclusión a la que llegaste. 3.
Figura 1. Acomoda los ángulos de manera que los tres vértices coincidan en un punto. 3. En el caso del triángulo rectángulo la suma de sus ángulos agudos será igual a 90º. Razones:
Tesis: a+ b+ c = 180°
Afirmaciones: 1.Matemáticas II
Ángulos interiores de un triángulo. b y c son ángulos interiores de un triángulo. 4. Corta la hoja de tal forma que cada ángulo quede separado.
El resultado de la conclusión obtenida del ejercicio 12 se puede demostrar formalmente siguiendo este razonamiento:
Hipótesis: a. 4. 5. Forman un ángulo llano. 1.
¡¡Cuida la naturaleza!! Te sugerimos que utilices papel reciclado. Alternos internos. l1 // l 2 2. En una hoja traza un triángulo escaleno y marca los ángulos interiores con las letras a. Alternos internos. p+ a= b= a+ c+ p q b + c = 180° q = 180°
Por construcción. como se indica en la figura1. 2. b y c.
En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es igual a 180º.
En todo triángulo la suma de los ángulos externos es igual a 360°.
Demuestra formalmente la anterior afirmación.
. Compara tu procedimiento empleado con tus compañeros. tomando en cuenta los siguientes conocimientos previos: a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º b) La suma de dos ángulos adyacentes suplementarios es 180º. y muestra el resultado a tu profesor.
Con los datos proporcionados en las figuras.25 C Página 63.10 C
2x + 20 TAREA 11 A x 4x . calcula la medida de los ángulos.
1) z 130° x 100°
2) a e b 133° d c 71° 140° 47°
3) 4) 95° a b 125° 28° 30° x 34° y
b d c 75° 140° B 7) 3x + 40 x. compara los resultados con los de tus compañeros y preséntalos a tu profesor.
Criterio LAL (LADO-ÁNGULO-LADO). Si dos triángulos y el lado comprendido entre ellos son congruentes respectivamente con dos ángulos y el lado comprendido entre ellos del otro triángulo.2 Congruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. entonces los dos triángulos son congruentes. entonces los triángulos son congruentes. Si los tres lados de un triángulo son congruentes respectivamente con los otros lados del otro triángulo. que si se superponen las dos figuras. Para demostrar que dos triángulos son congruentes no es necesario probar que sus tres lados y sus tres ángulos tengan idéntica medida.
. coincidirá uno a uno en su forma y tamaño. si se aplica a los triángulos.Ángulos y triángulos
1. 3. en tu cuaderno construye un triángulo congruente al ∆ABC que se muestra empleando el criterio LLL. Es decir. Criterio LLL (LADO-LADO-LADO). pues es suficiente conocer un mínimo de datos a los que llamaremos “Criterios de Congruencia”: 1. entonces son congruentes. Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Compara los resultados con tus compañeros de grupo y muéstralo a tu profesor. Criterio ALA (ÁNGULO-LADO-ÁNGULO).
Empleando un compás. Lo anterior. una encima de la otra. 2.2. nos asegura que dos triángulos son congruentes si se puede establecer una correspondencia entre sus vértices de manera que todos los ángulos y los lados correspondientes sean congruentes.
se trazan unas pequeñas rayas sobre los lados o ángulos homólogos.
El concepto de congruencia se representa con el símbolo ≅ . Por ejemplo: A D C B A B 1 C E
∆ACD ≅ ∆BDE
que se lee: “El triángulo ACD es congruente al triángulo BDE”.
∆I ≅ ∆II
. Criterio LAL. para indicar en la figura que los lados o los ángulos son congruentes.Matemáticas II
Traza en las cuadrículas dos triángulos en diferente posición que tengan dos lados de la misma longitud que los segmentos dados en la cuadrícula de la izquierda y un ángulo de 45º .
∆ ABC es Isósceles. Presenta los resultados a tu profesor.Ángulos y triángulos
Ejemplo: Analiza la siguiente demostración y recuerda que hay varios caminos para efectuarla. I
. demuestra en cada caso que el ∆I ≅ ∆II . (L) AD ≅ EC . (A) ∠A ≅ ∠C . 1) B Datos: AB ≅ BC AD ≅ EC F es punto medio de AC Demostrar que:
Demostración: Criterio: (L) AF ≅ FC .
AD es bisectriz del A. por el criterio LAL el Justificación: F es punto medio de AC . Dato:
De acuerdo a las siguientes figuras.
La semejanza ha jugado un papel importante en la vida del hombre. Ejemplo de ello son los mapas de regiones de China que han sido encontrados, donde debieron haber usado el concepto de semejanza para ser tan fieles. Forma parte importante tanto en la construcción de objetos grandes como pequeños. El arquitecto, antes de construir una casa; el fabricante de circuitos impresos; el diseñador de modas, antes de hacer un vestido; el fabricante de autos, entre otros, hacen un dibujo a menor escala antes de fabricar el original.
Las figuras semejantes son las que tienen la misma forma, lo cual exige que sus ángulos sean congruentes y las longitudes de sus lados proporcionales, es decir que al comparar la longitud de los lados correspondientes, mediante una división, el cociente obtenido será constante. Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma y sus lados homólogos son proporcionales. Para indicar la semejanza se utiliza el símbolo .
El estudio de la semejanza involucra dos conceptos: Razón y proporción. Una razón es el cociente de dos cantidades de la misma especie, por ejemplo:
Una proporción es la igualdad de dos razones, por ejemplo:
¿Sabías que el arquitecto que construyó el Taj Mahal (Ustad Ahmad Lahori) fue también un gran conocedor de la astronomía y de las matemáticas? Realizó el diseño de este mausoleo con una gran simetría.
“a” es a “b” como “c” es a “d”, donde “b” y “c” son los medios de la proporción y “a” y “b” son los extremos de la misma. Para resolverlos, puedes emplear cualquiera de las siguientes propiedades de las proporciones: 1. En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos o viceversa. Ejemplo:
27 x = 3 2 ⇒ 3 x = 2(27) 3 x = 54 54 3 x = 18 x=
Resuelve las siguientes proporciones y preséntalas a tu profesor. 1.
x 6 = 4 8 3 2 = x 5 x 3 = 2x − 3 5 4 x = x 64
x 2x = 5 x+3 7 x−2 = 4 x+2 x−2 2 = 9 3 8 − x 3x = 2 2
En la semejanza de triángulos, también encontramos los datos mínimos o criterios para identificar su existencia. Así encontramos que dos triángulos son semejantes:
Si tienen dos ángulos respectivamente iguales (Criterio AA de semejanza). R= R’ y S= S’ entonces ∆RST
¿Te fijaste que son ecuaciones como las que aprendiste a resolver en Matemáticas I? Pues también puedes resolverlas de esa forma.
∆R ' S ' T '
b. Si tienen un ángulo congruente y los lados que lo forman en cada triángulo son proporcionales. (Criterio LAL de semejanza)
RS RT = y R = R’ entonces ∆RST ∆R ' S ' T ' R' S ' R' T '
RS ST TR entonces ∆RST = = R' S ' S ' T ' T ' R'
“Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales”.
Para saber más y enriquecer el tema, visita:
Comenten en clase. Escribe las conclusiones a las que llegaste. por qué razón se cumple este teorema. determina un triángulo semejante al dado”. Ejemplos: 1) A 28 Solución:
2 x Solución: E 5
.Ángulos y triángulos
“Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo. sin hacer una demostración formal. C C E B D E A B C
∆CDE
Podemos relacionar los lados homólogos de dos triángulos semejantes de la siguiente manera:
Nota: No son las únicas relaciones que se pueden obtener.
compara los resultados con tus compañeros y preséntalos a tu profesor.Matemáticas II
Determina el valor de x en cada una de las siguientes figuras. 1) x x +4 5 12
5 m de alto. C x A 4m 1.5)(74 ) 111 4 x = 27. al mismo tiempo en que una torre proyecta una sombra de 74 m.5m 74m B Como
∆ADH ∆ABC entonces:
4 1.5 = 74 x 4 x = (1. Entrega los resultados a tu profesor. A
3. tus ojos están a 168 cm del suelo y tú estás parado a 114 cm de un espejo.75m.Ángulos y triángulos
Ejemplo: Un palo de 1. x=
Resuelve individualmente los siguientes problemas. Si el espejo está a 570 cm del asta bandera. colocado verticalmente proyecta una sombra de 4 m. ¿Cuál es la altura del asta?
. ¿Qué altura tiene la torre?. 2. Imagínate que estás dentro de la figura. Con base en los datos del esquema calcula AB que corresponde al ancho de un río.
para ello le pide a su hermanito que le ayude a medir su sombra y la que proyecta el árbol a una misma hora del día. colocamos a una distancia de 5m un cuerpo de 150 cm. quiere encontrar la altura de un árbol que está en el patio de su casa. ¿Cuál es la altura del árbol?
5. Tenemos una fuente luminosa. Se quiere calcular el ancho de un cañón inaccesible y se decide seleccionar toman las medidas que se muestran en la figura. y el árbol una de 12.20 m. Juanita proyecta una sombra de 115 cm.82 m de altura. Juanita. ¿Cuál es el ancho del cañón?
6. de altura. ¿de qué tamaño proyectará su imagen en una pantalla colocada a 20 m de la fuente luminosa?
4. que mide 1.
2. Ejemplos: Dadas las siguientes figuras encuentre el lado faltante.
.. razón por la cual lleva su nombre.
Cateto 2 Dicho de otra manera. el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. generalmente se les representa con letras minúsculas y se puede usar cualquier letra en cada lado. el lado faltante es la hipotenusa. (hipotenusa)2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2
Un concepto muy útil en el estudio de las matemáticas en general. y de la trigonometría en particular. C. por lo tanto. la hipotenusa es el lado más largo o el que se encuentra opuesto al ángulo de 90 grados. En este tipo de triángulos. y los catetos los lados más cortos.
Página 65.000 años ya era empleado por los agrimensores de Egipto y Babilonia para marcar los terrenos de cultivo. el cual hace más de 3. es el del Teorema de Pitágoras.Ángulos y triángulos
1. a) R q =4 p =?
Si observas. al comparar el resultado con las medidas de los catetos ésta es de mayor longitud. Tuvieron que pasar muchos años para que fuera demostrado y escrito por el griego Pitágoras alrededor de 500 a.4 Teorema de Pitágoras
Este Teorema afirma que: En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. ya que el teorema se aplica a los lados y no a las letras.
Consulta la demostración del Teorema de Pitágoras en los Elementos de Euclides (libro 1). 1. 7. A través del punto O construye una perpendicular a la trazada en el punto 4.6 D d =8.09 f = 7.5
= d 2 − e2 = (8. ¿Qué observas? Anota tus conclusiones y compáralas con el resto del grupo.6)
f 2 = 51.es/~jarr an2/cabriweb/1triangulos/teor emapitagoras.
Para saber más y enriquecer el tema. Recorta también el cuadrado pequeño y el grande. 8. 3. 2.
El lado faltante es un cateto. en tu biblioteca del plantel. A través del punto O construye una línea perpendicular a la hipotenusa. Localiza el centro del cuadrado mediano (O) trazando las dos diagonales.
Realiza lo que se te pide a continuación y presenta los resultados a tu profesor.mec.pntic.5) − (4. el resultado es un número menor que la hipotenusa (8. visita: http://roble. 6.htm
. por lo tanto. 5. Las perpendiculares trazadas en el punto 4 y 5 dividen el cuadrado mediano en cuatro partes. Construye un cuadrado en cada lado del triángulo.
9.Matemáticas II
b) F e =4.15
Página 67.5). recórtalas. 4. En una hoja de papel traza un triángulo rectángulo escaleno de cualquier tamaño. El cuadrado pequeño y las cuatro partes del mediano acomódalas de tal forma que cubran el cuadrado grande.
2 m por lado. cuál es la hipotenusa y. es importante que identifiques cuáles lados son los catetos. ya que el vidrio mide por lado 2.28 m. ¿Será posible pasarlo sin quebrarlo? Haciendo un esquema del problema.28mts.
La demostración que aparece en los Elementos de Euclides se basa en la figura conocida como molino de viento:
2. puedes ver que la única manera de lograrlo es formando una diagonal en el rectángulo de la puerta y verificar la longitud que tiene dicha diagonal. Ejemplo: Por una puerta de 0.1 m de largo se necesita pasar un vidrio cuadrado de 2. es posible pasar el cristal sin quebrarlo.9 m de ancho y 2. si hacemos pasar el vidrio por la diagonal de la puerta.1)
x 2 = 0.2 m
Aplicando el teorema a los valores dados y tomándolos como cateto.Ángulos y triángulos
El teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones en construcción y medición de distancias.22 x = 2.
Página 69.41 x 2 = 5. Para aplicarlo. además es esencial en varios campos de física y las matemáticas. sobre todo. cuál de los lados es del que se desconoce su longitud.81 + 4.1 m
2.9) + (2.2 m y la diagonal de la puerta es de 2.
x 2 = (0.
¡Ojo! Recuerda que debes resolver la autoevaluación y los ejercicios de reforzamiento. esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase.
de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: I. El pentágono es representado en muchas flores. El trébol de cuatro hojas es un ejemplo de planta que muestra la simetría de un cuadrado. 2. fotocópialas y describe las formas encontradas. No olvides incluir sus nombres.Ángulos y triángulos
No. En el mundo animal existen criaturas que presentan también diversas formas geométricas. Busca en libros de zoología. 4. Fotocópialas y describe dichas formas. Reúnete en equipo. Haz lo mismo que en punto anterior.
sácales copias o dibújalas. 3. cinco o seis pétalos. El hexágono. pero en el arte y la arquitectura modernos. como por ejemplo las No me olvides. Incluye los nombres de las flores y describe las formas geométricas encontradas.
. Busca en el arte y arquitectura de alguna cultura prehispánica de nuestro país objetos y edificios donde se usaron formas geométricas. investiga lo que se te pide y presenta el trabajo a tu profesor. Investiga en libros de botánica diferentes tipos de flores con cuatro.
Geometría en la naturaleza y en el arte. 1. en flores como el
Reúnete en equipo. teorema y corolario. Da tres ejemplos de cada uno de ellos y preséntalos ante el grupo y a tu profesor.Matemáticas II
. investiga los conceptos de axioma. postulado.
encontrar los valores de los ángulos.
c. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrega los resultados a tu profesor. Con los datos proporcionados en las figuras.
70° y z
a b c 40°
. a. 1.Ángulos y triángulos
60° b c a h g i 55°
b 163°
51° b
completa el procedimiento. para hacerlo.
Construye un ángulo congruente a uno dado. 3) El mismo arco anterior trázalo ahora poniendo el centro en A’. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Realiza lo que se pide y entrégalo para su revisión a tu profesor. 5) Compara tus resultados con el resto del grupo.Ángulos y triángulos
No. traza un arco que corte ambos lados del ángulo dado. 1) Traza un segmento horizontal AB . empleando solamente regla y compás. 4) El resto del procedimiento descríbelo tú. Este segmento corresponderá a un lado del ángulo y el extremo A será el punto donde coloques el vértice. C BAC
. 2) Utilizando el compás y colocando el centro del mismo en el punto A. se te dan los primeros pasos.
. Localiza el circuncentro y traza una circunferencia con centro en el mismo que toque el triángulo en los vértices. Escribe lo que observas. Compara resultados con tus compañeros y preséntalos a tu profesor.Ángulos y triángulos
No. construye sus mediatrices. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Dados los siguientes triángulos.
INSTRUCCIONES: Realiza la siguiente actividad y presenta resultados a tu profesor. T
. construye sus tres medianas.
Dado el siguiente triángulo.
En una hoja construye un triángulo escaleno acutángulo (∆ ABC) tan grande como puedas. ¿qué tanto es más grande uno que el otro? 5) Recorta el triángulo y colócalo sobre la punta de un lápiz. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide a continuación y presenta los resultados a tu profesor. 1) 2) 3) 4)
. Haz que coincidan el baricentro con la punta del lápiz. ¿Cómo es la distancia del baricentro a cada vértice del triángulo? ¿Y la del baricentro a cada lado? Compara el tamaño del segmento corto con respecto al grande en cada mediana. Traza las tres medianas y localiza el baricentro. 6) ¿Qué fue lo que obtuviste? 7) Compara tus resultados con los de tus compañeros.
INSTRUCCIONES: Construye las alturas del siguiente triángulo e identifica el ortocentro. Presenta la gráfica a tu profesor.
INSTRUCCIONES: Dados los siguientes triángulos. Presenta los trazos a tu profesor.
. localiza el incentro y. construye sus tres bisectrices.Ángulos y triángulos
No. traza la circunferencia que toque los tres lados del triángulo. con centro en el mismo para cada triángulo. Anota tus observaciones.
Une los puntos con líneas rectas.Ángulos y triángulos
No. el circuncentro y el ortocentro. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Dado el siguiente triángulo construye el baricentro.
. ¿Qué ocurre? Anota tus observaciones y preséntalas a tu profesor.
∆ABC es Isósceles.
∆PQR es equilátero
∆MNO es escaleno. Anota tus conclusiones y preséntalas a tu profesor. la mediatriz y la altura correspondiente solamente a la base. traza la mediana. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Para los siguientes triángulos.Ángulos y triángulos
compara resultados y preséntalos a tu profesor. ¿Qué obtuviste?
. ¿Cuál es el área del cuadrilátero del centro? Iguala la suma de las áreas de los cuatro triángulos y la del cuadrilátero del centro con la del cuadrado de lado (a+b). 1) 2) 3) 4) El cuadrilátero ¿es un cuadrado? Justifica tu respuesta.Ángulos y triángulos
El cuadrado de la siguiente figura está dividido en cuatro triángulos rectángulo congruentes y un cuadrilátero en el centro. Calcula la suma de las áreas de los cuatro triángulos.
d a b 56° 94° 22° b
d c 32° a b
3x . de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Calcula la medida de cada ángulo. compara tus resultados y preséntalos a tu profesor.20
Expón al grupo tu trabajo y preséntalo a tu profesor. investiga la demostración del Teorema de Pitágoras por el método de semejanza. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: En equipo.Ángulos y triángulos
10 a) x 8 x b) 15 9 15 c) x 10
. Encuentra la longitud del segmento “x” marcado en la figura correspondiente.
I.Ángulos y triángulos
g) Un barco navega 10 kilómetros al sur y 15 kilómetros al este. f) La longitud de los tres lados de un triángulo rectángulo son enteros consecutivos. b) Calcula la altura de un triángulo equilátero que mide 10 m por lado. ¿A qué distancia se encuentra el barco del punto de partida. y cada uno de los lados iguales mide 50 cm.Matemáticas II
Resuelve los siguientes problemas: a) Calcula la altura de un triángulo isósceles cuya base mide 60 cm.
. c) ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5 m por lado? d) ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo recargada en un muro vertical. si su pie está separado 3 m del mismo? e) Encuentra el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 pulgadas y uno de sus catetos mide 5 pulgadas. Encuentra esos números.
¿la pareja de ángulos 2 y 6 son? Alternos externos. Triángulo. La figura geométrica compuesta por dos semirrectas que parten de un mismo vértice recibe el nombre de: Ángulo.
Nombre______________________________________________________ AUTOEVALUACIÓN No. Polígono. 4. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos. si el 40° 50° 60° 140° 5. Opuestos por el vértice. el tercer ángulo mide entonces: 10°02’ 79°58’ 100°02’ 280°02’ 1= 140°. rellenando el círculo de la opción que consideres correcta. Equiángulo. Correspondientes. entonces el 6 mide: 4 1 3
. En la figura de la pregunta 2. Dos ángulos internos de un triángulo miden 15º40’ y 64º18’. Para la figura del problema 2. La pareja de ángulos suplementarios de la siguiente figura es: 2y4 3y2 3y6 3y5 3. 2. Alternos internos.
7. ∠BAE = ∠CDE por tratarse de un triángulo isósceles. 8. 9. ∠AEB = ∠CED son opuestos por el vértice. Congruentes. Equivalentes. 276 cm2. el tercer criterio entonces es: B C
∠CBE = ∠BCE por tratarse de un triángulo isósceles. Circuncentro. Ortocentro. Es el valor que corresponde al área de la siguiente figura: 240 cm2. ∠DAE = ∠ADE por tratarse de un triángulo isósceles. 544 cm2. El punto donde se interceptan las alturas de un triángulo recibe el nombre de: Incentro.
. Para demostrar que el ∆I ≅ ∆II .Matemáticas II
6. ya se han establecido dos criterios de congruencia. 480 cm2. Baricentro. Si dos triángulos tienen sus tres ángulos iguales. Iguales. podemos decir que son: Semejantes.
75 m. tu aprendizaje es insuficiente. Consulta las claves de respuestas en la página 171. tu aprendizaje es bueno. 13. excelente. pero es necesario que nuevamente repases los temas. una plomada de 2 m de largo pende de la escalera y toca el piso a una distancia de 250 cm. 18.375 m. por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. del pie de la escalera. por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor. Si tienes de 8 a 9 aciertos.
Si todas tus respuestas fueron correctas. 16 m.Ángulos y triángulos
10. Una escalera de 15 m de longitud está recargada en un edificio a la altura de un anuncio. Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos.
. Calcular la altura a la que se encuentra el anuncio. 9.3 m.
Dibuja los puntos M y N. Traza una recta que pase por estos dos puntos.Ángulos y triángulos
Nombre______________________________________________________ No.
1. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Realiza las siguientes actividades y presenta los resultados a tu profesor. Si cuatro puntos no están alineados en un mismo plano. ¿Puedes trazar una recta que pase por los tres puntos? 5. Dibuja cuatro puntos sobre una hoja de papel ¿Qué nombre reciben cuatro o más puntos que pertenecen a un mismo plano?
. Realiza la investigación siguiente: Coloca un trozo de cartón como lo indica la figura. ¿Puedes trazar otra recta distinta a la anterior y que pase por los puntos M y N? 3. Traza una recta que pase por M. ¿Puedes dibujar otras rectas que pasen por M? ¿Cuántas rectas pueden pasar por M? 2. Dibuja tres puntos alineados. ¿Qué nombre reciben tres o más puntos que pertenecen a una misma recta? 4. Traza una recta que pase por los tres puntos. ¿Estará contenida completamente en el plano de la hoja la recta que pasa por estos dos puntos? ¿Qué propiedad puedes establecer? 8. Dibuja un punto M. En una hoja marca dos puntos. ¿En cuántas formas diferentes puedes colocar el cartón? ¿Qué propiedad puedes deducir? 6. ¿qué idea nos representan? 7. Dibuja tres puntos que no estén alineados.
Con los datos proporcionados en la figura.
∠x = ∠ACB .
CD bisectriz de C . encuentra la medida de los ángulos. s c d 64° a b 75° m 79° n k i j h g 108° e f 169° t 61°
∠a = ∠b = ∠c = ∠d = ∠e = ∠f = ∠g =
∠h = ∠i = ∠j = ∠k = ∠m = ∠n = ∠q = ∠s = ∠t =
2. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Resuelve lo que se te presenta a continuación y entrega los resultados a tu profesor. 1.
El periscopio mostrado en la figura está diseñado para que la visual a través del tubo de abajo sea paralela al rayo de luz en el tubo de arriba. a. 1.
B A’ C
2. El periscopio es un instrumento que permite al marino ver sobre la superficie del océano. La parte media del tubo es perpendicular a las otras dos partes del tubo. La pantalla mide aproximadamente 19.5 pulgadas de ancho y 15.Matemáticas II
II. Calcula AB que corresponde al ancho de una barranca con:
BC = 25m. Un anuncio sobre la venta de un televisor dice que la pantalla es de 25 pulgadas. entonces has visto un periscopio. Calcular el área de la siguiente figura:
3. ¿Son paralelas la superficie de los espejos? ¿Cómo lo sabes? 4. A' C = 5m. Si has visto películas de submarinos. A' B ' = 3m. Resuelve los siguientes problemas. ¿Por qué se puede anunciar que tiene una pantalla de 25 pulgadas?
. ¿Cómo es la medida de los ángulos de entrada y salida formados por los rayos de luz y el espejo en este periscopio? b.5 pulgadas de altura.
Polígonos. el arco iris. al igual que el cuerpo humano nos muestran el significado de la simetría. la forma de las semillas de muchas flores. etcétera. conducen al manejo de una circunferencia.Unidad 2
Polígonos y Circunferencia. Circunferencia y círculo. mediante la aplicación y el análisis de teoremas relacionados con estos temas. las telarañas presentan increíbles formas de polígonos regulares. de tipo teórico o práctico. Perímetros y áreas.
¿Te has preguntado cuál es la manera de lograr una mayor capacidad de análisis o de razonamiento lógico ante circunstancias que se presentan en tu vida diaria? ¡Aplica y relaciona los conceptos! El disco solar o la forma en que presenta la luna llena.
El alumno: Resolverá problemas relacionados con polígonos y circunferencias. las formas de algunos caracoles dan idea de una espiral.
Podemos POLÍGONOS
Su definición es Parte del plano limitada por líneas rectas Existen algunos TEOREMAS SOBRE POLÍGONOS
Su definición es Lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto del plano
Su clasificación Algunos REGULARES IRREGULARES
Radio Cuerda Arco Diámetro Recta tangente Recta secante
Radio Apotema Ángulo central Diagonal Ángulo interior Ángulo exterior
.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/nombres. La traducción más precisa de polígono sería “figura que tiene muchos ángulos”
Según la definición dada.
La palabra polígono viene del griego polygonos. el polígono con el menor número de lados que se puede formar es el triángulo. y de gonia. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
http://redescolar. que significa muchos.edu. De polys.
2.ilce. En la siguiente tabla te enlistamos los de menos de 21 lados: Número de lados del polígono1.1. Los polígonos reciben el nombre dependiendo del número de lados.1 Definición
Un polígono es la parte de un plano limitada por segmentos de recta a las que llamamos lados del polígono.1. que significa ángulos.
.2 Clasificación
A los polígonos los podemos clasificar de dos maneras: POLÍGONOS REGULARES: Son aquellos cuyos lados respectivamente congruentes. Ejemplos: y ángulos son
POLÍGONOS IRREGULARES: Son aquellos que no son regulares.
2. Decenas 20 30
-hená-dí-trí-tetrá-Pentá-hexá-heptá-octá-eneá-
Por ejemplo un polígono de 30 lados se llama triacontágono mientras que uno de 63 lados se llama hexacontakaitrígono El polígono de 100 lados se llama hectágono. podemos nombrarlos haciendo una combinación de prefijos como se muestra a continuación y agregando la terminación “gono”. es decir. (Tienen la misma medida).1. aquellos que tienen sus lados o sus ángulos de diferente medida.Matemáticas II
Para saber cómo se llama un polígono de menos de cien lados.
BOA DIAGONAL: Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
APOTEMA: Es el segmento perpendicular que une el centro del polígono regular con el punto medio de uno de sus lados.
ÁNGULO CENTRAL: Es el ángulo con vértice en el centro de un polígono regular cuyos lados intersectan dos vértices consecutivos del polígono.Polígonos y Circunferencia
Elementos de los polígonos Algunos de los elementos que podemos encontrar en los polígonos regulares son: RADIO: Es el segmento de recta que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
1. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados es igual a: (180º) ( n -2). es decir.3 Suma de ángulos: interiores y exteriores
Interiores La suma de los ángulos interiores de un polígono se puede obtener apoyados en el conocimiento de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º. dado que un polígono puede dividirse en triángulos al trazar todas las posibles diagonales desde un mismo vértice.Matemáticas II
ÁNGULO INTERIOR: Es el ángulo formado por dos lados del polígono. con un pentágono o con cualquier polígono. como se muestra en la figura: IV I II III
Lo mismo sucede con un cuadrado. donde el número de triángulos que se forman corresponde a n .
ÁNGULO EXTERIOR: Es el ángulo adyacente a uno de los ángulos interiores del polígono.
2. que el número de triángulos que se forman es dos unidades menor al número de sus lados.2.
Ejemplo: La suma de las medidas de los ángulos interiores de un pentadecágono ( n =15) es: (180º)( 15 . Se deduce de la afirmación anterior que: La medida de cada uno de los ángulos exteriores ( m( polígono regular de n lados es: m( e ) = e ) ) de un
Ejemplo: La medida de cada uno de los ángulos exteriores de un nonágono regular es: m( e ) =
m( e ) = 40°
m( i ) = 140°
Exteriores La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360°.
(180°)(7 )
1260° .2 )= (180º)( 13 )= 2340º s( i )= 2340º La medida de cada uno de los ángulos interiores ( m( i ) ) de un polígono regular de n lados es : m( i ) =
(180°)(n − 2)
Ejemplo: La medida de cada uno de los ángulos interiores de un nonágono regular ( n = 9) es: m( i ) =
(180°)(9 − 2) .
Página 99.4 Triangulación de polígonos
Un polígono se puede descomponer en varias regiones triangulares. 65° y 145°. 3) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores suman 1800°? 4) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 120°? 5) Encuentra el valor de la variable y el valor de cada uno de los ángulos en las siguientes figuras: a) b)
. c) El número de diagonales. 90°. 130°.
La triangulación nos permite hacer una comparación entre las áreas de dos polígonos. por ejemplo en el siguiente caso: “El área de un triángulo es la mitad del área de un cuadrilátero”.1. ¿cuánto mide el quinto ángulo? 2) Calcular en un nonágono regular: a) La suma de las medidas de los ángulos interiores. compáralos con tus compañeros y presenta los resultados a tu profesor: 1) Cuatro ángulos interiores de un pentágono miden respectivamente. A continuación se muestra una manera de hacerlo.Matemáticas II
Resuelve los siguientes ejercicios. b) La medida de cada uno sus ángulos interiores.
la triangulación es más conveniente hacerla desde el centro del polígono. comprobaremos que el triángulo II (que es el más grande) puede ser cubierto a manera de “tangram” por los otros dos triángulos I y II. simplemente conociendo la de uno de ellos y multiplicando por el número de triángulos formados. II y III. La triangulación de polígonos es útil para obtener el área de un polígono tanto irregular como regular. lo que permite establecer el área. En el caso de un polígono irregular su área se puede obtener como la suma de las áreas de los triángulos que lo componen.
. por ejemplo en el rectángulo:
Si recortamos los triángulos I. ya que en tal caso todos los triángulos que resultan son congruentes.Polígonos y Circunferencia
La afirmación anterior la podemos comprobar haciendo una triangulación en un cuadrilátero. como se muestra en la siguiente figura:
En el caso de un polígono regular.
podemos formar ocho triángulos rectángulos congruentes. tomemos el caso del rombo:
Si se divide el rectángulo en cuatro partes iguales. de ahí que la fórmula para el área del rombo sea: A=
____ ____ D. Perímetro Para calcular el perímetro es necesario medir el contorno de la figura geométrica.Matemáticas II
2.5 Cálculo de perímetros y áreas
El área de una figura geométrica es la medida de su superficie. los que entonces ocupan la mitad del área del rectángulo. mientras que el perímetro de una figura geométrica es la medida del contorno de la figura.d . por ejemplo: C 1) b a Perímetro = a + b + c
A 2) b D Áreas
B d Perímetro = a + b + c + d
Para calcular las áreas de las figuras geométricas se utilizan algunas fórmulas como las presentadas en la tabla A. por ejemplo. Observemos que son cuatro los triángulos sombreados. donde D = PQ y d = RS 2
. trazando los segmentos que unen los puntos medios de sus lados.1. Las fórmulas que aparecen en la tabla A pueden ser deducidas a partir de otras figuras conocidas elementales.
Tabla A Figura geométrica Triángulo Fórmula para calcular el área
Área = ( b )( h )
Rombo D d Área =
Cuadrado l l Área = ( l )( l )
Polígono regular de “ n ” lados
(Perímetro)(Apotema )
Área = (b )(h )
Perímetro = 4 + 8 + 5 + 11 = 28 cm.5cm.
18 cm.5 m de largo si debe pagarse a $45. 11 cm.5 m
12 cm.75 4) Encuentra el área de la zona sombreada en la siguiente figura: Le faltaban datos a la figura 7.
4.5 m de ancho y 7.
80 cm. = 8 + 8
Ejemplos: Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras: 1)
80 cm.5) = 48.
4.75)( $ 45.
8cm.5cm.00) = $ 2183.00 el metro cuadrado? Área = (b )(h ) Área = (7. Área =
3) ¿Cuánto cuesta cubrir con cemento un patio de 6. = 8 + 2(4)
5 cm.5)(6.75 m2 Costo = (Área)( Precio por m2) Costo = (48. 5 cm.
Perímetro = 8 + Área = 2) 4 cm. 8cm.
12 cm.5 m 6.
5 cm.) (3 cm.Polígonos y Circunferencia
Para encontrar el área de la zona sombreada podemos proceder de dos maneras: 1) Calculándola directamente.) = 108 cm2 Al área del rectángulo de 18 cm.
Definición: El círculo es la superficie plana limitada por la circunferencia. de ancho restarle el área de los dos rectángulos cuyas dimensiones son 12 cm.
2. observando que la figura está formada por tres rectángulos cuyas dimensiones son de 12 cm.) – 2 (12 cm.2.
. de largo por 3 cm.) (4. de largo por 4. de ancho. 2.1 Definición y elementos
Definición: La circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que equidistan (se encuentran a la misma distancia) de otro punto del plano llamado centro.) Área = 216 cm2 – 108 cm2 Área = 108 cm2
2 . es decir: Área = 3(largo) (ancho) Área = 3(12 cm.5 cm. de largo por 12 cm.) (18 cm. es decir: Área = (largo) (ancho) – 2 (largo) (ancho) Área = (12 cm. de ancho.
DIÁMETRO: Es la cuerda que pasa por el centro.
2.2. Algunas propiedades del diámetro son las siguientes: El diámetro equivale a dos veces el radio. El diámetro es la cuerda mayor. señala cada uno de ellos en la siguiente figura.2 Rectas tangentes a un círculo
Las rectas tangentes a un círculo son perpendiculares al radio en el punto de tangencia. Apoyándote en las definiciones de los elementos de la circunferencia. El diámetro cabe π veces en una circunferencia. RECTA SECANTE: Es la recta que corta en dos puntos a una circunferencia. CUERDA: Segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia.
P Q Los segmentos tangentes a un círculo trazado desde un punto exterior a éste tienen la misma medida. R PQ y PR son tangentes al círculo.Matemáticas II
Elementos de la circunferencia RADIO: Segmento de recta que une el centro de una circunferencia con cualquier punto de la misma. ARCO: Parte de una circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma. RECTA TANGENTE: Es la recta que toca en un solo punto a una circunferencia. Presenta los resultados a tu profesor. PQ y PR tienen la misma longitud.
y utilizando las propiedades de las rectas tangentes. 1) Suponga que “m” y “n” son segmentos tangentes al círculo dado. resuelvan los siguientes ejercicios.
2) Suponga que “k” es tangente al círculo dado. encuentre el valor de “z”.Polígonos y Circunferencia
Organizados en trinas. hallar el valor de “w”. encuentre el valor de “y”.
3) Sea “t” una línea tangente a los círculos dados.
Ángulo inscrito: Es aquel cuyo vértice corresponde a uno de los puntos de una circunferencia y cuyos lados intersectan a dos puntos de la misma.
Ángulo circunscrito: Es aquel cuyo vértice es un punto exterior a la circunferencia y sus lados corresponden a rectas secantes o rectas tangentes a la circunferencia.3 Ángulos: central. inscrito y circunscrito
Ángulo central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados corresponden a dos radios de la misma.Matemáticas II
B∠CAB = BC
C 3) Todo ángulo circunscrito de una circunferencia tiene por medida la semi-diferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.
∠ABC = AC − DE 2
.Polígonos y Circunferencia
Propiedades de los ángulos central. B
∠ AOB = AB
2) Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco cuyos lados intersectan. inscrito y circunscrito a una circunferencia 1) Un ángulo central tiene por medida el arco cuyos lados intersectan.
En equipos de tres integrantes.
2. es decir. 3) Grafiquen tres ángulos inscritos en la misma circunferencia y cuyos lados intersecten a los extremos del diámetro. 5) Comparen sus resultados con los de sus compañeros y juntos anoten sus conclusiones. la circunferencia determina la región del plano que da lugar al círculo. encuentren la medida del ángulo BPA. 2) Seleccionen dos puntos sobre ella y márquenlos con las letras A y B respectivamente. 1) Construyan una circunferencia grande. completen el siguiente enunciado. 1) Construyan una circunferencia grande. 9) Apoyándose en las conclusiones.
La medida de la longitud de la circunferencia se llama perímetro. 4) Utilizando el transportador. 6) Encuentren la medida del ángulo BQA. 4) Utilizando el transportador. 2) Construyan uno de sus diámetros. Por eso su fórmula es: P = 2π r . realicen las siguientes actividades: I) ACTIVIDAD I. “Los ángulos inscritos que intersecta a un mismo arco son__________________. 6) Completen el siguiente enunciado: “Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son______________________. donde “r” es el radio.2. el cual nos indica que el radio cabe 2 π veces en la circunferencia. encuentren la medida de cada ángulo.
. 8) Escriban sus conclusiones.4 Perímetros y áreas
La circunferencia determina el perímetro del círculo. 3) Seleccionen un punto P sobre el arco mayor y construyan el ángulo inscrito BPA. 7) Comparen la medida de los ángulos BPA y BQA. II) ACTIVIDAD II. 5) Seleccionen otro punto sobre el arco mayor y denótenlo con la letra Q y construyan el ángulo inscrito BQA.
) = 10 π cm.Polígonos y Circunferencia
Ejemplo: El perímetro de una circunferencia cuyo radio es igual 5 cm.16 cm2
La región del plano determinada entre dos círculos concéntricos recibe el nombre de Corona circular. c) R = 12. ≈ 31. e) R = 8. Ejemplo: Calcula el área de la corona circular cuyo radio mayor es 10 m y el radio menor es 6 m. y r = 3. y r = 3 cm. realiza los siguientes ejercicios. es: A= (
)( 100 cm2) ≈ 314. Ejemplo: El área del círculo cuyo radio es igual a 10 cm.91 m. b) 5 cm. e) 2.
.5 cm. d) 3 m.75 m. d) R = 5 m y r = 3 m. b) R = 10 cm. c) 1 m.416 cm. donde “r” es el radio del círculo. Área de la corona circular = Área de la corona circular =
π ((10)2 – (6)2 )
π (100 – 36) = 64 π m2
Utilizando las fórmulas para calcular el área del círculo y el área de la corona circular. El área de un círculo la podemos calcular utilizando la siguiente fórmula: Área = ( π ) ( r2 ). y r = 8 cm. es: P = 2 π (5 cm. compara resultados con tus compañeros y preséntalos a tu profesor:
1) Encuentra el área y el perímetro de un círculo cuyo radio mide: a) 10 cm.12 m y r = 2.75 cm.
Página 101. 2) Encuentra el área de la corona circular si: a) R = 5 cm.
El área de una corona circular se determina restando al área del círculo mayor la del círculo menor.
. esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase.Matemáticas II
¡Ojo! Recuerda que debes resolver la autoevaluación y los ejercicios de reforzamiento.
5 m de ancho? 6) ¿Cuánto cuesta techar una habitación de 4 m de largo por 3.
2) Para un pentágono regular.5 m de ancho. calcula: a) b) c) d) El valor de la medida del ángulo central. Sus ángulos externos. El número de diagonales. La medida de cada uno de sus ángulos exteriores.Polígonos y circunferencia
No. Un ángulo central. 1) En un octágono regular. de longitud de su lado se necesitarán para cubrir una pared de 3 m de largo por 2.
3) Encuentra el número de lados de un polígono regular si cada uno de sus ángulos interiores mide: a) b) c) d) e) 1440º 150º 156º 162º 108º
4) Encuentra el número de lados del polígono. Apotema.00? 7) Se desea adornar un jardín de forma rectangular de 4 m de largo por 2 m de ancho. un decágono regular y un pentadecágono regular. grafica los siguientes elementos: a) b) c) d) e) f) Radio. ¿Cuántas maceteras se ocuparán si por cada m2 se utilizan 9 de ellas?
. si la suma de sus ángulos interiores es: a) b) c) d) e) 1620º 1980º 720º 180º 3240º
5) ¿Cuántos azulejos de 15 cm. colocando pequeñas maceteras con flores de temporada. Las diagonales de uno de sus vértices. Sus ángulos internos. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Realiza cada uno de los siguientes ejercicios y entrega tus resultados al profesor. si el costo por m2 es de $60. La medida de cada uno de sus ángulos interiores.
8) Encuentra el valor de la variable y la medida de cada uno de los ángulos en las siguientes figuras:
9) Calcula el área de la figura sombreada, en cada caso: a) b)
INSTRUCCIONES: Realiza cada uno de los siguientes ejercicios y entrega los resultados al profesor: 1) Encuentra el perímetro y el área de los círculos cuyos radios miden: a) r = 3 cm. b) r = 5 cm. c) r = 7.5 cm. d) r = 10 cm. e) r = 15 cm. 2) Utilizando la regla y el compás, grafica los círculos del ejercicio anterior. 3) Encuentra el área de una corona circular, si: a) R = 10 cm. y r = 5 cm. b) R = 15.75 cm. y r = 10.25 cm. c) R =
4) Dibuja las coronas circulares del ejercicio anterior. 5) Encuentra el radio del círculo mayor si el radio del círculo menor es de 5 cm. y ambos forman una corona circular de 75 π cm2. 6) Encuentra el radio del círculo menor, si el radio del círculo mayor es de 12 cm. y ambos forman una corona circular cuya área es igual a 80 π cm2.
6o 3) El número de diagonales de un hexágono regular es: 18 9 6 8 4) La medida de cada uno de los ángulos interiores de un pentágono regular es: 180º 108º 105º 36º 5) El número de lados de un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 1260º es: 14 12 11 9 6) ¿Cuál es el polígono regular cuyos ángulos internos miden cada uno 150º? Pentadecágono. 1) Al polígono de cuatro lados se le llama: Cuadrado. Cuadrilátero. Rombo. 2) El valor del ángulo central de un decágono regular es: 63o 36o 18o 3. Undecágono. Decágono. Dodecágono.Polígonos y circunferencia
Nombre______________________________________________________ AUTOEVALUACIÓN No. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes reactivos y selecciona la respuesta correcta.
8) El área de un octágono regular cuyos lados miden 6 cm. Consulta las claves de respuestas en la página 171. 2 pulgadas. es: 240 cm2 120 cm2 96 cm2 30 cm2 9) Un albañil cobra a $50 el m2 por cubrir un piso con concreto. y cuyo radio mide 5 cm. 7 cm. tu aprendizaje es insuficiente. pero es necesario que nuevamente repases los temas. por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.Matemáticas II
7) El perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 cm. Si tienes de 8 a 9 aciertos. Entonces el ancho del marco es igual a : 4 pulgadas. y 3 cm. Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos. Si recibió $5. 1. 3 pulgadas. por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor. es: 60 cm. 12 cm.5 pulgadas. 6 cm.
Si todas tus respuestas fueron correctas.
. entonces la medida de cada lado de la figura geométrica es: 100 m 50 m 10 m 5m 10) Una fotografía cuyas dimensiones son 6 por 8 pulgadas se encuentra enmarcada en un rectángulo de 120 pulg2 de área con todo y marco.000 por cubrir un piso en forma de cuadrado. tu aprendizaje es bueno. excelente.
2) Grafica cada una de las diagonales de un pentágono regular. 1) Calcula el número de diagonales de un pentágono regular. 5 cm.
.. y 12 cm. 3) Calcula la medida de cada uno de los ángulos interiores de un octágono regular.. si la medida de cada uno de sus ángulos interiores es de 135°. 4) Encuentra el número de lados de un polígono. 7) Calcula el área de la zona sombreada en las siguientes figuras:
4 cm. 4 cm. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Realiza cada uno de los siguientes ejercicios y preséntalos a tu profesor para su revisión. 6) Calcula el área de un trapecio isósceles cuyos lados miden 5 cm.
8 cm. si la suma de las medidas de sus ángulos interiores es de 1260°. 5) Encuentra el número de lados de un polígono.Polígonos y circunferencia
respectivamente. Sus precios son de $90 la chica. y el diámetro de la pizza grande es de 20 pulgadas. a) Calcula el tamaño de la circunferencia de cada una de las pizzas. $105 la mediana y $165 la grande. mediana y grande. b) ¿Cuál es el tamaño que te da más pizza por cada peso? 9) Un pastel tiene 50 cm. b) 6 partes iguales. Los radios de la pizza chica y de la pizza mediana son de 6 y 8 pulgadas.Matemáticas II
8) Una pizzería de la ciudad ofrece tres tamaños diferentes: Chica. de diámetro. Calcula el área de cada una de las rebanadas del pastel si éste se divide en : a) 10 partes iguales.
. c) 12 partes iguales.
b) Si ∠ ABC=82º.
. encontrar ∠ B. 1. Encuentra la medida de lo que se indica en cada caso: B a) A
a) Si AC=68º. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Realiza cada uno de los siguientes ejercicios y preséntalos a tu profesor para su revisión. Encuentra el valor del ángulo “a” de la siguiente figura:
a 76º 85º
2.Polígonos y circunferencia
Nombre______________________________________________________ No. encontrar AC.
4. Identifica los tipos de ángulos y encuentra los valores que se indican tomando como base que el segmento CD es tangente a la circunferencia.Matemáticas II
3. A 58 D AB = ________. Encuentra el área sombreada y el perímetro de cada una de las siguientes figuras:
Área=__________
La belleza de un sin número de fenómenos de la naturaleza ha cautivado y estimulado el razonamiento del ser humano de tal manera. en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad. mediante la aplicación y el análisis crítico y reflexivo de sus propiedades. que permita la resolución de triángulos rectángulos.
El alumno: Resolverá problemas de funciones trigonométricas teóricos o prácticos de distintos ámbitos. iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.
Funciones trigonométricas para ángulos agudos. que a través de la observación y análisis de esos fenómenos le ha sido posible obtener importantes descubrimientos matemáticos. cooperación.Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud.
45º.Matemáticas II
Se emplean en el cálculo de:
ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA ÁNGULOS AGUDOS ÁNGULOS 30º. 60º
GRAFICAR UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Con el cual también obtenemos:
LAS IDENTIDADES PITAGÓRICAS
3.1.1 Conversión de ángulos en grados a radianes y viceversa
¿Qué distancia recorre la llanta de un automóvil que mide 40 cm. de radio al dar 30 vueltas? Además de la conocida unidad angular “GRADO SEXAGESIMAL” ( º ), se emplea otra unidad de medida angular llamada “RADIÁN” (rad). Un radián es un ángulo central ”a”, cuyos lados interceptan un arco que mide lo mismo que el radio de la circunferencia.
a = 1 radián
Entonces, una medida angular en radianes es el resultado de determinar cuántas veces el radio está contenido en un arco de la circunferencia.
Así, encontramos que una medida en radianes se obtendrá al dividir la longitud del arco entre la medida del radio de la circunferencia, es decir que:
tiene como resultado el radián)
La fórmula para el perímetro de una circunferencia vista en la Unidad anterior nos dice que en ella el radio está contenido 2 π veces, por lo que podemos afirmar que una revolución (un giro completo) genera un ángulo de 2π rad. Además, sabemos que una circunferencia mide 360º, lo que nos permite concluir que:
2π rad = 360º
Con este resultado podemos expresar en términos de angulares dadas en grados. Como se muestra en los siguientes casos: 1) 2) 900 = 600 =
Y de manera inversa, medidas en radianes dadas en términos de expresar en grados:
2π rad = 1200 3
3π rad = 1350 4
Para transformar medidas de un ángulo de grados a radianes y viceversa se emplea la siguiente proporción:
180° = grados 2.5
180°(2.5)
= 143.24º
por lo que 2.5 rad ≈ 143.24º 2) Para convertir 150º en radianes utilizamos la misma proporción
180° = 150° radianes
π (150°)
≈ 2.618
por lo que 150º ≈ 2.618 rad OBSERVACIÓN: Si en lugar de realizar las operaciones simplificamos la fracción, obtenemos el resultado en términos de π rad =
por lo que 150° =
CONCLUYENDO: La medida en radianes nos permite dar una fórmula simple para calcular la longitud de un arco circular de radio “r” ÁNGULO =
de donde s = rθ
Retomando el problema planteado al inicio de la Unidad, podemos realizar los cálculos necesarios para encontrar la respuesta. ¿Qué distancia recorre la llanta de un automóvil de 40 cm. de radio al dar 30 vueltas? Si consideramos la igualdad s = rθ ; “s” corresponde a la longitud del arco generado en una vuelta, que en nuestro caso corresponde a: s = 2π r = 2
π (40)
2π rad __________ 3
Expresa en radianes las siguientes medidas angulares.2º _________ 4) 150º20’________ 5) 85º ____________
II.61 rad _________ 9) 10)
7π rad __________ 6
π 2 rad __________
1) 45º 2)
π º ___________
3) 105.
I. Resuelve los siguientes problemas 11) 12) ¿Cuántas revoluciones equivalen 5 π rad? Determina la longitud del arco que subtiende un ángulo central de 2.Matemáticas II
Realiza las conversiones que se indican en cada caso y entrégalas al profesor. ¿Qué distancia recorre una llanta en 50 vueltas.024 rad ________ 8) 2. si su radio es de 45 cm.6 rad en un círculo de radio 5.
2 Funciones recíprocas
a) Razones Trigonométricas. porque a partir de ellas podrás plantear y resolver problemas que tengan como modelo a un triángulo rectángulo.Funciones trigonométricas
. RAZÓN (respecto al ángulo “ Nombre de la razón Seno del ángulo “ α ” Coseno del ángulo “α ” Tangente del ángulo “α ” Cotangente del ángulo “ α ” Secante del ángulo “α ” Cosecante del ángulo “α ” Abreviatura de la razón Sen Cos Tan Cot Sec Csc
α ”)
cateto ⋅ opuesto hipotenusa cateto ⋅ adyacente hipotenusa cateto ⋅ opuesto cateto ⋅ adyacente cateto ⋅ adyacente cateto ⋅ opuesto hipotenusa cateto ⋅ adyacente hipotenusa cateto ⋅ opuesto
Es importante que te familiarices con estas definiciones. cada una de las cuales se identifica con un nombre que las distingue de las demás.1. Según la posición con respecto a un ángulo agudo del triángulo rectángulo. los catetos reciben el nombre de “opuesto” o “adyacente”.
Con las medidas de los lados de un triángulo rectángulo se pueden formar seis razones.
Para abordar este apartado es necesario iniciar con las RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
Las definiciones mostradas en la tabla anterior se pueden escribir en forma simbólica de la siguiente manera: Sen c Cos
Escribe las seis razones trigonométricas para el ángulo el trabajo a tu profesor. b) Funciones recíprocas.
. cot θ = x y
Las funciones trigonométricas recíprocas se caracterizan porque sus productos dan como resultado la unidad. se distinguen tres pares de funciones recíprocas: 1) Seno y cosecante 2) Coseno y secante 3) Tangente y cotangente
y . csc θ = r x cos θ = . sec θ = r
sen θ = Tan
r y y son recíprocos y r r x es el reciproco de x r y x es reciproco de x y
β= β=
El conjunto de todos los valores de una razón trigonométrica para cualquier medida de un ángulo proporciona el concepto de función trigonométrica. En la definición de las funciones trigonométricas.
sec 30º.8660.1547 0. encuentra: 1) cot 45º 2) csc 45º 3) sec 28º 4) csc (
5) cot (2.8660
Usando la calculadora. cosθ
Para encontrar. de manera similar:
cos θ ⋅ sec θ = 1
tan θ ⋅ cot θ = 1
Las calculadoras científicas solamente tienen las teclas “sen”. entonces sec 30º =
1 = 1. “cos” y “tan”. por ejemplo. primero tendremos que encontrar cos 30º y entonces sec 30º es simplemente el recíproco de aquel valor.Funciones trigonométricas
θ ⋅ cscθ = ( ⋅ ) = 1 .5)
. cos 30º = 0. senθ
1 . pues las tres restantes funciones trigonométricas se pueden obtener con sus respectivos recíprocos:
es porque está referida en radianes (rad).
Altura = 2 − 1 =
Atendiendo a las definiciones de las razones trigonométricas. dado que los ángulos de 30º y 60º se obtienen geométricamente del trazo de un triángulo equilátero y la altura de éste. se obtiene del trazo de un triángulo rectángulo isósceles:
45º Para obtener los valores de las razones trigonométricas. le asignaremos medidas a los lados de los triángulos correspondientes. Su altura se calcula con el Teorema de Pitágoras.Matemáticas II
3.3 Cálculo de valores de 30º. 45º y 60º resulta muy sencillo calcular el valor exacto de las funciones trigonométricas.
600 Mientras que el ángulo de 450. 45º y 60º.
Para los ángulos de 30º. Para el triángulo equilátero. Sen 30º=
Tan 30º=
Cuando no se indica la unidad de medida en los ángulos. iniciaremos con las que corresponden al ángulo de 300. la medida de cada lado la consideraremos de dos unidades.1.
los valores de las razones trigonométricas para el ángulo de 45º son: Sen 45º=
Tan 45º= 1
Contesta lo que se indica. 1. secante y cotangente para el ángulo de 45º. 135. 3. 60º y 45º. Para resolver un triángulo rectángulo. Escribe las razones trigonométricas para el ángulo de 60º. TAREA 1
. Con la calculadora.1. o bien. Hipotenusa = 1 + 1 =
Así. necesitamos tener conocidos cuando menos un ángulo agudo y un lado. Escribe las razones trigonométricas cosecante.
3. 2.4 Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo rectángulo significa determinar las medidas de los lados y de los ángulos que faltan. La medida de la hipotenusa se obtiene con el Teorema de Pitágoras. Comenta los resultados con tus compañeros y entrega tus conclusiones al profesor. conocer dos de sus lados.Funciones trigonométricas
Para el triángulo rectángulo isósceles. las medidas de los catetos la consideraremos de una unidad. verifica los resultados exactos obtenidos en forma geométrica de las seis razones trigonométricas de los ángulos de 30º.
α .25
Página 137. usamos la razón tan α = 9 = 2. tenemos que:
β + 40 0 = 90 0 . se obtiene con el Teorema de Pitágoras: 2)
c = 4 2 + 9 2 = 97 ≈ 9. → = .
Para obtener el resultado de tan-1 (2. el cual nos queda de la siguiente forma: α = tan-1(2.8
y despejamos 4 de la igualdad el valor de α .Matemáticas II
Ejemplos: Encontrar los elementos faltantes en cada triángulo rectángulo que se muestra:
Como la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90º.83 0 6 cos 40 6 cos 40 0
El valor de “c”.04.25). que podemos expresarlo como: 66 02’ 24’’
. simplemente se oprimen las teclas: shift tan y luego damos el valor de 2.03 6
c c 1 6 = Sec 40º.25 obteniendo como resultado 66.25) (que se lee “ α ” es un ángulo cuya tangente es 2. de donde
β = 90 0 − 40 0 = 50 0
Para determinar las medidas de los lados. seleccionamos la apropiada razón trigonométrica que relacione el lado conocido con el lado que queremos calcular:
a = tan 40º. Luego: c = = 7.25) con la calculadora científica. de donde a = 6(tan 40º) = 5.
2. El lado del rombo mide: ______________________ Las medidas de sus ángulos interiores son: ___________ y _________
Existe una gran variedad de problemas cuyos planteamientos tienen como modelo a un triángulo rectángulo donde la solución se reduce a determinar el valor del elemento del triángulo que se señala en la pregunta. respectivamente”.
1. ¿cuál es su perímetro?
85 m.Funciones trigonométricas
Entonces α =66º 02’ 24’’ y
β = 90º-66 º 02’ 24’’ = 23º 57’ 36”
35º L
.. 3. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos de los que se conocen los siguientes datos (a y b representan los catetos y c representa la hipotenusa). Ejemplo: Si la diagonal de un rectángulo mide 85 m y el ángulo formado entre ésta y el largo del rectángulo es de 35º.
II. cuyo modelo corresponde a un triángulo rectángulo. En el siguiente planteamiento. encuentra las medidas que se indican: “Las diagonales de un rombo miden 8 y 4 cm.
76399709 que 85
Para obtener la medida de “L”. emplearemos la razón coseno.
L = Cos 35º.52 + 139. donde se obtiene el valor de L = 69.
nos queda L = 69. las cuales podemos determinar de la siguiente manera: Primero: Seleccionar la razón trigonométrica que relacione el dato con lo que se quiere determinar. los cuales se refieren a inclinación con respecto a la horizontal.63) P = 97.Matemáticas II
Solución: Para determinar el perímetro se necesitan las medidas de “a” y “L”.78 m En algunos problemas se involucran los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión. donde despejamos “a” y obtenemos a = 48. que redondeado 85
Para obtener el perímetro (P = 2 a + 2L). simplemente sustituimos los valores encontrados. P = 2(48.76) + 2(69.63 m. en este caso se visualiza la razón “SENO”.26 P = 236.62792376 .76 m
a . entonces: Sen 350 =
redondeado se escribe: a = 48.
12 22. de donde el valor del 22.7 12. por consiguiente.
1. son CONGRUENTES. Cuando un avión se presenta para su aterrizaje a una distancia horizontal de 5 Km. ¿A que altura “h” se encuentra el avión en ese preciso momento?
.Funciones trigonométricas
OBSERVA QUE: El ángulo de elevación y el de depresión son ángulos alternos internos y. el ángulo de depresión es de 8º 05’.12 m?
ángulo es:
12. de la pista.7 por lo tanto: α = tan-1 .86
2. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando un poste de teléfonos de 12.12
= 290 51’ 43’’
α = 29.7 m de altura proyecta una sombra de 22.
2? Explica tu respuesta. Si la separación entre los postes es de 20 m: a) ¿A qué distancia de la base del poste de 15 m se anclarán los cables tensores? b) ¿Cuál es la medida de los ángulos de elevación? c) ¿Cuál es la longitud mínima de cable empleado? 3.
Recuerda que el ángulo de depresión es congruente al ángulo de elevación. Usemos la tangente del ángulo: Tan 8 05’ =
h . donde h = 5000 (tan 8 05’).12 m. formula una ecuación y calcula los elementos faltantes del siguiente triángulo rectángulo:
C= _________________ A = _________________ B = _________________. Los alambres tensores de dos postes cuyas alturas son 15 y 10 m ocuparán una longitud mínima cuando sus correspondientes ángulos de elevación sean CONGRUENTES. 5000
1. h = 710. ¿Existe un ángulo para el cual se cumple la igualdad Sen A = 1. Elige la razón trigonométrica apropiada.
Resuelve los siguientes problemas: 2.
La posición de un ángulo.2.
3. determina el cuadrante en que queda el lado terminal del mismo.1 En un plano coordenado: ángulo de referencia.
. en el sentido positivo. Recuerda que:
El sentido de la medida de un ángulo es positivo si es contrario al del movimiento de las manecillas del reloj.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
Si las funciones trigonométricas fueron definidas para ángulos agudos en un triángulo rectángulo. 2) La posición del ángulo en el plano de coordenadas. ¿cómo se calcularon las razones trigonométricas de ángulos mayores de 90o? Para el cálculo de las razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida. medido en sentido positivo y con vértice en el origen del plano cartesiano.Funciones trigonométricas
3 . Los ejes del plano cartesiano determinan cuatro regiones en el plano. signo y valores de las funciones trigonométricas.2 . llamadas cuadrantes. El sentido de la medida de un ángulo es negativo si el sentido de su medida coincide con el del movimiento de las manecillas del reloj. que normalmente se numeran con números romanos. se consideraron dos aspectos: 1) El sentido de la medida de un ángulo.
215º y -60º. donde el lado inicial del ángulo queda ubicado siempre en la parte positiva del eje horizontal y su vértice en el origen. queda de la siguiente manera:
Ángulo del segundo cuadrante
Ángulo en el tercer cuadrante
Ángulo del cuarto cuadrante
Las anteriores representaciones corresponden a las de un ángulo en la posición normal.Matemáticas II
. las representaciones de los siguientes ángulos: 130º.
tan 480
Las calculadoras científicas ya están programadas para dar los resultados de las funciones trigonométricas con el signo respectivo. para encontrar el valor de alguna funcion trigonométrica de un ángulo de cualquier magnitud utilizaremos el ángulo de referencia asociado a él. Sen 132º = sen 48º Cos 1320 = . por ejemplo. coseno y tangente empleando el ángulo de referencia (48º) . El ángulo de referencia es el ángulo positivo formado entre el lado terminal y su correspondiente proyección al eje horizontal
Así.Funciones trigonométricas
Una vez que se tiene el ángulo en su posición normal. Es importante tener presente el conocimiento de cómo se generan los resultados para el análisis de algún planteamiento
. podemos calcular los valores de las razones trigonométricas considerando los signos de las distancias dirigidas sobre los ejes del sistema coordenado. de 132º se pueden calcular los valores de las funciones seno.cos 480 Tan 1320 = . En ese sentido. para un ángulo en el segundo cuadrante cuya medida sea.
De una forma similar se pueden calcular los valores de las funciones trigonométricas para ángulos en cualquier cuadrante del sistema coordenado. Comprueba los resultados de las funciones trigonométricas dadas en el ejercicio anterior. y verifica el signo de la razón trigonométrica. I.
. según el cuadrante en que queda el lado terminal del ángulo). Ángulo de referencia
= __-0. Medida del ángulo 120º 229º 340º 740º 95º II.
Determina el ángulo de referencia en cada caso:
(Sugerencia: Realiza la representación gráfica en cada caso. Expresa las siguientes funciones trigonométricas en términos del ángulo de referencia asociado y obtén el valor que corresponde: Razón trigonométrica dada 1) Cos 130º = Razón trigonométrica expresada en términos del ángulo de referencia . empleando tu calculadora científica.Cos 50º Valor de la razón trigonométrica. directamente.642787
2) Sen 150º = ________________________ = ____________ 3) Cot 450º = ________________________ = ___________ 4) Cos
4π = _________________________ = ___________ 7
5) Sen (-60º) = ________________________ = ___________
7071 2700 -1 3150 -0. realiza las actividades indicadas y luego compara tus resultados con el de tus compañeros: Elabora una tabla de valores para graficar la función y =Tan A.7071 1800 0 2250 -0. 1) Explica por qué la tangente no está definida para un ángulo de 90º. para la gráfica de la función seno elaboraremos una tabla de valores en el intervalo de 0º a 360º (0 a 2π rad). A Sen A 00 0 450 0. coseno y tangente.7071 3600 0
De una manera similar. 3) En el intervalo de 0 grados a 360 grados. empleando una graficadora. podemos obtener las gráficas de las funciones trigonométricas: seno. (Toma como base su definición como razón trigonométrica). 2) Comprueba la gráfica de la función tangente. ¿para qué valores la función tangente no está definida?
Para expresar que un resultado no está definido. Así. En forma individual. se emplea el símbolo ∞ (infinito)
Con los conocimientos acerca del cálculo de los valores de las razones trigonométricas para un ángulo de cualquier medida.707 900 1 1350 0. grafica en tu cuaderno la función y= Cos A y compara los resultados con los de tus compañeros de grupo.
2 En el círculo unitario: Funciones de un segmento.2. como se muestra en las siguientes figuras:
Fig.Matemáticas II
3. Identidades Pitagóricas
Funciones de un segmento Si se considera a un círculo que tiene como radio la unidad. 2
Fig. encontraremos que los valores de las funciones trigonométricas sí corresponden con la longitud del segmento que las define. 3
. al que llamaremos círculo unitario. 1
Identidades Pitagóricas Si aplicamos el Teorema de Pitágoras a cada triángulo. como podemos mostrarlo en la siguiente gráfica que corresponde a la función seno.
Página 139. mediante la proyección de éstas en un sistema coordenado. encontramos las identidades pitagóricas para un mismo ángulo: En el círculo unitario de la figura 1. En el círculo unitario de la figura 2. dado que el valor de la razón trigonométrica se corresponde con la magnitud del segmento vertical para un ángulo dado. Las funciones trigonométricas expresadas como un segmento en el círculo unitario nos permiten hacer un bosquejo rápido de las gráficas correspondientes. se obtiene la identidad: Sen2α + Cos2α = 1. se puede obtener que: Cot2α + 1 = Csc2α . Gráfica de la Función Seno
Gráfica de la Función Coseno Para graficar la función coseno por este método necesitamos girar 90º en el sentido positivo el círculo unitario para que los valores del coseno del ángulo queden sobre un eje vertical y así poder hacer la proyección.
. se obtiene: Tan2α + 1 = Sec2α Y de la tercera figura. empleando los segmentos que aparecen definidos en cada figura.
b) Tan 60º = Tan _____ = Tan 300º
c) Tan 60º= Tan (-60º)= Tan_____ ***Compruebe los resultados anteriores con la calculadora científica. complete las siguientes equivalencias: a) Tan 30º= __________. Obtengan la gráfica de la función tangente empleando el procedimiento del círculo unitario.
. Considerando la medida del ángulo en sentido positivo. Comprueben las dos identidades trigonométricas: Tanα = Senα Cosα Cosα . Cotα = Senα y
2) En la gráfica obtenida se pueden observar identidades de la función tangente.Matemáticas II
En binas (equipos de dos alumnos) realiza las actividades indicadas (recurre a EJERCICIO 9 tu profesor para aclarar tus dudas): 1. 2.
c) ¿Para qué valores del ángulo se cumple lo anterior? 4.
Consultando las gráficas correspondientes. Comprueba qué tan 1350 = tan 3150 a) Utilizando el ángulo de referencia asociado a la posición normal.Funciones trigonométricas
3. Considerando la gráfica de la función seno.
. Comprueba que para cualquier valor del ángulo se cumplen las siguientes identidades:
Senα = Cos (90 o − α ) Cosα = Sen(90 o − α )
5. esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase. identifica para qué valor del ángulo α se cumple que Senα = Cosα
6. b) El valor más pequeño del seno de un ángulo es igual a: _______.
¡Ojo! Recuerda que debes resolver las tareas la autoevaluación y los ejercicios de reforzamiento. contesta lo siguiente: a) El valor máximo del seno de un ángulo es igual a: ________. b) Con tu calculadora científica.
Encuentra el valor de la razón trigonométrica que se indica:
1. Csc (
2π )= 3
3π rad = __________ 4
2. I. 1080 29’ = __________ 3. Cot
. 3. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Resuelve las siguientes tareas para reforzar el conocimiento adquirido y entrégalas a tu profesor. Convierte a grados o radianes según se indica. 1. cot 360 = 2. 2350 = __________
4.Funciones trigonométricas
π 2 rad =
5.1 rad = II. Sec 1400 =
No. éste cae a 4.8 m de la base de la torre. Cuenta la leyenda que Galileo usó la Torre inclinada de Pisa para realizar sus experimentos sobre las leyes de la gravedad. encuentra los valores de los elementos que se indican: A = 25° 17’ B = _________
II. ¿Cuál es la medida del lado de un triángulo equilátero que puede inscribirse en un círculo de 16 cm. I. con C = 90°. ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación con respecto a la vertical?
III. En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos ABC. ubicado a 55 m. de diámetro?
. Cuando se lanza un objeto desde el extremo superior de la torre. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Resuelve las siguientes tareas para reforzar el conocimiento adquirido y entrégalas a tu profesor. de altura.
IV. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 20° 30’. ¿Qué altura tiene el edificio?
. un edificio proyecta una sombra de 12 m.
I. A =109° 28’ B = 215° C = 48° 30’ D = 124°
II. Expresa el Cos α. 3. Dibuja los siguientes ángulos en la posición normal y escribe el valor del ángulo de referencia asociado al ángulo: 1. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Resuelve las siguientes tareas para reforzar el conocimiento adquirido y entrégalas a tu profesor.Funciones trigonométricas
. en términos del sen α. 2.
Construye la gráfica de la función trigonométrica indicada a partir de la elaboración de una tabla de valores. 4. a) b) c) Y = 2Sen x y=
observa desde una distancia de 25 m el extremo superior de un anuncio ubicado a 30 m de altura.
3. 170o. π/3. 250º. 70o. π/4. contesta las siguientes preguntas eligiendo la respuesta correcta. π/2.
2. 65o.
El ángulo de referencia para el ángulo de 115 grados es: 45o.866 0. El equivalente de 45º en radianes es:
π/6.65 m.
El valor de Csc 30º es: 2 0. Rellena totalmente el círculo que corresponda: 1.577 0
5. 50o.76 radianes es: 330º. entonces el ángulo de elevación es: 24º 08' 12" 36º 15' 18" 52º 10' 23" 48º 35' 35"
. Si una persona.
La medida en grados que corresponde a 5. cuya altura es de 1.
4. 85o.Funciones trigonométricas
INSTRUCCIONES: De acuerdo a lo visto en clase.
65.543.
.5o 14.
¿Para qué ángulo el valor de la tangente es igual al valor de la cotangente? 35º. Si el sen 2 ( A ) = 0.5 y -1.
Si un edificio proyecta una sombra de 6 m cuando el ángulo de elevación del sol es 32º. 1 y -1.25. el índice de refracción es 1. tu aprendizaje es bueno.30.78o 17. por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.74 m.
10.98 m.40. el ángulo de refracción mide: 12.
Los valores máximo y mínimo del seno de un ángulo.15o
7. 2 y 1. 45º. 54º. 1. son: 2 y -2. excelente.35. tu aprendizaje es insuficiente. entonces la altura del edificio es: 3. 0.
Si todas tus respuestas fueron correctas.90 m. según su gráfica. 65º.5. por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.
9. 0. En la sal común.
8.Matemáticas II
6.66o 15.01 m. Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos. 0. el valor que corresponde al Cos 2 A es : 0. Si el ángulo de incidencia θ1 es de 23º.
En óptica se conoce como índice de refracción al cociente formado entre el seno del ángulo de incidencia y del ángulo de refracción. Si tienes de 8 a 9 aciertos. 2. pero es necesario que nuevamente repases los temas. 3. 1. Consulta las claves de respuestas en la página 171.
d) 57. respectivamente. 9. ¿Qué distancia recorre el automóvil cuando da 25 vueltas? Obtén el ángulo que subtiende un arco de 60 cm. 7.
10. obtén los valores de las siguientes razones trigonométricas: a) Cot 38º = ____________.
. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Resuelve cada uno de los siguientes planteamientos y preséntalos a tu profesor para su revisión. Convierte cada uno de los siguientes ángulos dados en grados a radianes.
2. a) 240o = ______________. c) 3. Con ayuda de la calculadora. Grafica la función y = cot x. 5. 4. B = 68º
Para medir la altura de una montaña se toman dos medidas del ángulo de elevación desde dos puntos separados 700 m en línea recta hacia la montaña. a) 5π/6 rad = ______________.29o = ______________. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo del que se conocen los siguientes datos: Lado: b =15 .
2 rad =_______________. b) 2 rad =________________. d) 0.60o = _______________. b) Csc 45º = ___________. b) .
8. 1. Convierte en grados cada una de las medidas en radianes. ¿Cuál es la altura de la montaña? Escribe el ángulo de referencia que corresponde a 167º.Funciones trigonométricas
Nombre______________________________________________________ No. de un círculo de radio 15 cm. representa al segmento que corresponde a la cotangente. considerando valores de x desde 0º hasta 360º.
El radio de cada rueda de un automóvil es de 38 cm. Haz su representación gráfica. En el círculo unitario.
6. siendo los ángulos de elevación: 50º y 35º.0017 rad =_____________. c) 145o = ______________.
El ojo humano y todos los instrumentos empleados para ayudar a ver tienen su base en lentes curvos. iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.
. en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes. Ley de cosenos. Asimismo. de responsabilidad. esas relaciones permiten manejar infinidad de fenómenos de la naturaleza. cooperación.
El alumno: Resolverá problemas teóricos y prácticos mediante la aplicación de las leyes y propiedades de senos y cosenos apoyados en un análisis crítico y reflexivo para la solución del triángulo general. Resolución de triángulos. Aplicaciones prácticas.
Ley de senos y cosenos. que son estudiados por la óptica dentro del área de la física. Ley de senos.Leyes de senos y cosenos. donde una de las herramientas principales para su estudio es el manejo de las relaciones entre los ángulos y sus medidas con respecto a ciertas longitudes.
Caso 4 Tres lados del triángulo. Dos lados y un ángulo opuesto a cualquiera de estos lados.
Caso 3 El valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Caso 2 Dos ángulos y cualquier lado.
1. referente a triángulos rectángulos. B = 40°. C a Ejemplo: 1. b y c son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A. los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. complementando así lo visto en la Unidad anterior.1.
Hasta ahora has usado la trigonometría solamente para resolver problemas de triángulos rectángulos. a = 50m . Teorema: En un triángulo cualquiera.Leyes de senos y cosenos
4. En esta unidad.1 Ley de senos
Establece que: La medida de un lado Seno del ángulo opuesto Que al considerarla para los tres lados y sus correspondientes ángulos opuestos nos queda: = K (constante) C
Donde a. La trigonometría puede también ser usada con triángulos oblicuángulos. encuentra el ángulo C y los lados b y c. y se ampliarán tus conocimientos para la resolución de problemas prácticos. C b A 65° c a = 50m 40° B b A B A c B
Si se conocen dos ángulos. Dados A = 65°. estudiaremos la resolución de este tipo de triángulos mediante el uso de las Leyes de senos y cosenos. B y C respectivamente. se puede conocer el tercero:
C = 180° − 65 0 + 40 0 C = 180° − 105° C = 75°
. B y C respectivamente.9659 ) = .2 Ley de cosenos
A continuación se te presentan situaciones donde la Ley de senos no es suficiente para la resolución del triángulo.1. menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.6428) = .28m c=
4. b y c son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A.9063 Sen65° 48.46m
Sustituyendo. Teorema: En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.14m b= . También se le conoce como el Teorema de Pitágoras generalizado.295m c= .Matemáticas II
50 Sen40° 50(. tenemos:
50 Sen75° 50(. Para estos casos se utiliza la Ley de cosenos. Expresado para cada lado del triángulo nos queda:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA b 2 = a 2 + c 2 − 2acCosB c 2 = a 2 + b 2 − 2abCosC
Donde a.9063 c = 53.9063 Sen65° 32.9063 b = 35.
Solución: Para encontrar el lado a se usa:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA a 2 = 8 2 + 10 2 − 2(8)(10)Cos 47° a 2 = 64 + 100 − [160(. En este tipo de triángulos. C b= 8 A 47° c = 10 a B
Observa que si se considera el ángulo con una medida de 90°(π/2rad) la representación simbólica dada se reduce al Teorema de Pitágoras debido a que Cois90°= 0. Ley de senos. Un triángulo oblicuángulo es aquel que no contiene ángulo recto. Dos ángulos y cualquier lado. B.1. En esta Unidad consideramos las técnicas para resolver cualquier tipo de triángulo.Leyes de senos y cosenos
Ejemplo: 1. c = 10 .3 Resolución de triángulos oblicuángulos
Recordarás que los triángulos pueden ser rectángulos u oblicuángulos. B. respectivamente. C.
Donde a. dos de sus ángulos son agudos y uno obtuso.408
4. Si conoces: Caso 1. o bien.88 a = 7. c. Caso 2. Considera el triángulo con lados a. lo tres ángulos son agudos.12 a = 54. en el que A = 47°. Encuentra la medida del lado a del siguiente triángulo dado. b = 8. Dos lados y un ángulo opuesto a cualquiera de estos lados. Puedes encontrar los tres elementos restantes usando la ley de senos. opuestos a los ángulos A. b. En la Unidad 3 vimos cómo se resuelven los triángulos rectángulos. y C respectivamente.6820 )] a 2 = 164 − 109.
. b y c son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A.
Podrás usar la ley de cosenos
Si en cada una de las igualdades de esta ley despejamos el coseno del ángulo. resolver el triángulo. obtenemos:
b2 + c2 − a2 2bc 2 a + c2 − b2 CosB = 2ac 2 a + b2 − c2 CosC = 2ab
Donde a. B y C respectivamente Resolución de triángulos. El valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. b y c son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A. Caso 4. C
Ley de cosenos. Tres lados del triángulo.
Ejemplo: Dado que A = 32°. Solución: Dibujemos un triángulo oblicuángulo con los valores dados. 1. B = 78° y a = 4. Dados dos ángulos y cualquier lado. Cuando en un triángulo cualquiera se conocen: Caso 3.
4Sen70° 4(.9781) = = 7.87°
Conocidos A y B encontramos el ángulo C:
C = 180° − A − B = 180° − 115° − 19.09 Sen32° .38 Sen32° .7087) = Sen115 .9397 ) = = 7.3399 8 8
B = Sen −1 (. C = 180° − A − B = 180° − 32° − 78° = 70° .Leyes de senos y cosenos
Como A + B + C = 180° .25
.9063 c = 6.130 ) 8(. resolver el triángulo.13°
Luego determinamos el lado faltante “c”:
a c = SenA SenC aSenC ⇒c= SenA
8Sen(45. a = 8 y b = 3. Solución por la ley de senos podemos encontrar el ángulo B:
3Sen115° 3(.
Ejemplo: Dado que A = 115°.5299
Dados dos lados y un ángulo opuesto.5299
aSenC a c = entonces c = SenA SenC SenA ⇒c=
C = 45.9063) = = . Sabemos que por la ley de senos:
4Sen78° 4(.3399) = 19.
96 (.19°
a2 + c2 − b2 2ac 72 + 92 − 42 CosB = 2(7)(9) 49 + 81 − 16 CosB = = .4624 a2 = 34.
Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
Ejemplo: A = 47°..6666) = 48.5376 a= 34.A – B = 84.6666 72 A = Cos −1 (0. Los datos son los que indican cuál de las leyes se puede utilizar.6819) a2 = 36+64-65.5376 a= 5.9048 126 B = Cos −1 (. Solución aplicamos la ley de cosenos. Pero sí es necesario que te aprendas y comprendas ambas leyes.
No es necesario memorizar todo el procedimiento para resolver estos tipos de triángulos. Solución: Aplicamos la ley de cosenos para encontrar los ángulos A y B. b = 4.69° 4.
b2 + c2 − a2 2bc 2 4 + 92 − 7 2 CosA = 2(4)(9) 16 + 81 − 49 CosA = = 0. de donde B = 48. c = 8. b = 6.87 )(8)
Para finalizar: C=180° .20°
.2bcCosA a2 = 62 + 82.2(6)(8)Cos47° a2 = 36 + 64.Matemáticas II
3.31° CosB = 2(5.9048) = 25. Dados los tres lados
Ejemplo: Resolver el triángulo con a = 7. resolver el triángulo.87
a2 + c2 −b2 Ahora usamos CosB = 2ac 2 2 (5. c = 9 .87 ) + (8) − (6)2 .
B = 95° 4. Dados a = 45m. 3. C = 110° a = 15m. Dado s c = 55m. c = 13m. A = 72°. Dados
Página. 159. c = 75m.20° C = 106. a = 12m°. C = 60° c = 65cm. C = 45° b = 70m. b = 3m. 157. 4. C = 105° c = 25m. A = 56° 5. 8. b = 12m. c = 4m.
Resuelve los siguientes triángulos para encontrar todos sus elementos faltantes utilizando la ley de los senos. B = 36° 10. c = 23m.
. B = 60°. 2.61°
Página. A = 135°
a = 22m. 1. 7. 6. C = 25° 9. C = 47° 3. A = 50°. B = 58° b = 6m. B = 58°
2. Dados b = 12cm.19° − 25. Dados b = 143. a = 30m. 5. Dados a = 8m.Leyes de senos y cosenos
Para finalizar: C = 180° − A − B = 180° − 48. B = 40° 6. B = 73° b = 7. c = 6cm. B = 48°. Dados c = 15m. b = 32cm.
a = 15m. B = 45° 8. C = 56° c = 43m. B = 55°. A = 50°. A = 30°. C = 60°
Resuelve los siguientes triángulos para encontrar todos sus elementos faltantes utilizando la ley de los cosenos. 1. B = 35°. Dados b = 7 m. A = 57°. 10. B = 45°. A = 108° 7. C = 78° a = 10m. Dados a = 45cm. 9. C = 52° a = 3m. Dados b = 10m.
7486) = 41. los ángulos ACB y CAB miden 48° y 72° respectivamente.53m SenC SenB SenB Sen60°
Ejemplo 2: Los tres lados que limitan un terreno miden 270. Ejemplo1: Encuentra la distancia del punto A a un punto inaccesible B. Solución: Arbitrariamente se colocan las literales a. b y c a los lados que conocemos. b= 250m C 48° A 72°
B Como conocemos dos ángulos y uno de los lados.53°
CosB = a2 + c2 − b2 2ac 270 2 + 400 2 − 350 2 110400 CosB = = = 0.A.5111 2(270)(400) 216000 B = Cos −1 (0. Solución: Comenzamos por dibujar un triángulo oblicuángulo con los datos dados.Matemáticas II
A continuación se mostrarán algunos ejemplos de aplicaciones prácticas de las leyes de senos y cosenos en triángulos oblicuángulos.511) = 59. si la distancia AC es igual a 250 m.26° = 79.7486 2(350)(400) 280000 CosA = A = Cos −1 (0.53° − 59.
b2 + c2 − a2 2bc 2 350 + 400 2 − 270 2 209600 CosA = = = 0. Aplicamos la Ley de cosenos para hallar cada ángulo. primero obtenemos el tercer ángulo: B = 180° . 350 y 400m respectivamente.26°
Finalmente C = 180° − A − B = 180° − 41. Calcular los ángulos que forman dichos lados.1.C
B = 180° − 72° − 48° = 60°
c b bSenC 250Sen48° = ⇒c = = = 214.4 Aplicaciones prácticas.21°
Resuelve en equipo los siguientes problemas y entrega los resultados a tu profesor. Calcula la distancia desde su punto de partida hasta el punto final.9 cm? 6. 2. se toma una recta de base AC igual a 270 m. Un barco navega 600 millas hacia el noroeste y luego 900 millas hacia el este. 7.3 cm. Calcula AB. Calcula las dimensiones de los lados. Un árbol se encuentra sobre una colina que forma un ángulo de 16° respecto a la horizontal y proyecta una sombra de 18 m de largo hacia arriba de la colina. y el ángulo comprendido mide 72°.. 161. La diagonal de un paralelogramo mide 100 m y forma con los lados ángulos de 43° y 67°. respectivamente. ¿cuál es la altura del árbol?
Página.5 cm. Para encontrar las distancias de un punto A a un punto inaccesible B. Una barca es conducida ligeramente contra la corriente en una dirección que forma un ángulo de 50° con ésta.5 cm. Si el ángulo de elevación del sol mide 68°. Si la mayor de las diagonales mide 23. 1. Dos lados adyacentes de un paralelogramo miden 34 y 48 cm. En una circunferencia de radio 8. Encuentra la longitud de la diagonal mayor. Si el hombre que la conduce rema a razón de 5 millas/hora y la velocidad de la corriente es de 9 millas/hora. Los lados adyacentes de un paralelogramo miden 13. 160 y 223 pies son tangentes exteriores entre sí.5 y 15. 3. 8. ¿cuánto mide el ángulo del centro que sostiene una cuerda de 3. ¿cuál es la longitud de la diagonal menor? 5. 4. Tres circunferencias cuyos radios respectivos miden 110.. los ángulos ACB y CAB miden 57°16’ y 65°25’. ¿qué ángulos se forman al unirse los centros de las circunferencias? 9. calcula la velocidad de la barca y su dirección respecto a la orilla.
formando un ángulo de elevación de 39°. ¿A qué distancia se encuentra Alfonso de Beatriz? ¿A qué distancia se encuentra Alfonso de Carlos? ¿Cuál es la distancia entre Beatriz y Carlos?
¡Ojo! Recuerda que debes resolver la autoevaluación y los ejercicios de reforzamiento. lo observa con un ángulo de elevación de 62°.Matemáticas II
. colocado en un punto C. Alfonso se encuentra en un globo aerostático a 2.500 m de altura (punto A). al mismo tiempo que Carlos. Beatriz lo observa desde un punto. esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase.
a = 15.36 A = 35°26' B = 47°35'
B = 37° a = 13
b = 96 c = 62 C = 37°15'
4. Obtén los elementos que se indican para cada uno de los triángulos oblicuángulos siguientes.22°
b = 24.Leyes de senos y cosenos
a = 31.
B = 58° b = 0 .5 A = 57. 1. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Resuelve lo que se te pide a continuación.7
B 29 cm.
Encuentra el valor del elemento que se te indica en cada uno de los siguientes triángulos.Matemáticas II
II. 58°
41 cm. 46° y
C 42° 36 cm.6m 4.2m 63° P
∠N = ___
. P 325m R 445m Q
∠A = ___
∠R = ___
28cm 79° w=____
x 37° x=___
c 2.83cm.35cm
II. B = 35° a = 7cm. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Lee correctamente lo que se te pide a continuación. C = 45° a = 40m. A = 58° c = 50m. Datos: 3. Encuentra el valor del elemento que se te indica en cada uno de los siguientes triángulos.1m a = 16. b = 6. c = 71m. c = 19. C = 45°12' a = 7.3cm. Datos: b = 10m. B = 95° b = 49m. I. c = 8cm a = 48. Resuelve los siguientes triángulos para encontrar todos los elementos faltantes usando la ley de los cosenos. Datos: 8. b = 36. b = 3cm.3m.1cm. Datos: 7. Datos: 6.5m.
Y w W 49° 36 cm w=___ E y 32 cm Y 34 cm A H 235 cm K
. b = 14. Datos: 9. Datos: 5. A = 143° a = 25m. b = 18m.Leyes de senos y cosenos
No. Datos: 4. a = 31m. Datos:
= 15m.23cm. c = 9. c = 22m. 1.
8 m B 380 cm L 3.1 m
∠B = ___
∠C = ___
T 350 cm 390 cm 5.2 m C D
Obtén la longitud de la cuadra de donde partieron. La viga va desde el borde del poste hasta el piso. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Resuelve los problemas que se presentan a continuación.
2. Calcula la distancia que hay entre el poste y la base de la viga. de longitud. Compara tus resultados con los de tus compañeros y entrégalos a tu profesor. Dos personas caminan desde las esquinas opuestas de una cuadra hacia un punto en la calle de enfrente. formando un ángulo de 55° con éste.Leyes de senos y cosenos
No. Una de las personas recorre 30 m y la otra recorre 45 m. Un poste forma un ángulo de 82° con el piso y está sostenido por una viga de 20 m. 1.
. El ángulo que forman sus trayectorias es de 37°.
3°. ¿A qué distancia está el incendio de cada guardabosque? ¿A qué distancia está el incendio desde un camino recto que vaya de A hasta B?
5. y el otro viaja hacia al Noroeste con un ángulo de 45° a razón de 60 Km.Matemáticas II
3. por hora. Uno de ellos viaja directamente al Este a una velocidad de 50 Km.
Un aeroplano viaja ligeramente contra el viento en una dirección que forma un ángulo de 56° con éste. por hora. el guardabosques en A mide un ángulo CAB igual a 43. Si el piloto conduce a razón de 130 millas/ hora y la velocidad del viento es de 20 millas/hora. Dos motociclistas parten de un mismo punto al mismo tiempo. ¿cuál es la velocidad del aeroplano?
. en los puntos A y B observan un incendio en el punto C. Calcula la distancia que hay entre los motociclistas al cabo de dos horas.
Dos guardabosques separados 1.500 m.6° y el que está en B mide un ángulo de CBA igual a 79.
y una de las diagonales mide 30 cm. Dos lados de un paralelogramo miden 15 cm. y AC=22 Km. Se desea prolongar la carretera de la ciudad de A a la de C para que un nuevo camino que parte de la ciudad B la encuentre en ángulo recto en un punto P. BC=20 Km.Leyes de senos y cosenos
6... 22 km P 20 km 34 km
B 7. Los trailers deben subir por una rampa sobre una plataforma de 10 metros. y 20 cm. ¿Cuál es la medida de los ángulos del paralelogramo?
8. Tres ciudades diferentes A. Una compañía de carga necesita subir trailers a los contenedores. pero tienen dificultades al subir la rampa a un ángulo mayor de 20°. ¿Qué longitud es necesario que tenga la rampa?
. B y C distan entre AB=34 Km. Calcula la distancia de esta nueva carretera.
¿Cuál es la altura a la que se encuentra el globo? C b A 55° 1.5 Km. En una feria.5 Km 2 Km a h 48° B
. Desde la orilla de un lago se necesita determinar la distancia desde un punto A a una roca B que se encuentra en medio de un lago. dos alumnos deciden determinar la altura a que se encuentra un globo sujeto del piso por una cuerda. y para el efecto uno se separa 1. y determina que es de 54°. y el otro 2 Km. un topógrafo procede en la forma siguiente: Desde el punto A dirige un teodolito para medir el ángulo en el que visualiza a la roca.Matemáticas II
9. el cual es de 62°30’ y también lo hace con un punto C situado a 92 m. de la cuerda y miden los ángulos de elevación de 55° y 48° respectivamente. ¿Cuál será la distancia entre el punto A y la Roca?
62°30’ A 92m
10. Para tal efecto.
En un triángulo ABC.5° 122. A= 103.1° 105. 10. La medida del lado a.5 cm. y b=34 m. rellenando el círculo de la opción correcta. un lado opuesto a=42 m y un ángulo B=73°.3 cm.3.8 cm. para un triángulo donde A=72°.Leyes de senos y cosenos
Nombre______________________________________________________ AUTOEVALUACIÓN No.7 cm. 17. B= 27. Es la medida del ángulo C. y c=13 cm.2. c=27.3 cm. en el triángulo con a=12.8.05° 51.2 m 78. 5. el lado opuesto a B mide: 36. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos. 1. 19.9 m 54.17° 82.1 m 2. Si un triángulo tiene un ángulo A=38°.2 cm.5° y c= 45. a=46 m. 58. entonces el valor de la medida del lado a es: 27. b=10 cm. 3. en un triángulo con A= 115°.6° 96.7 m 65. 13.5°. Es el valor del ángulo B.20° 60.4 cm..75° 4. b= 19.5 cm. 42.7 cm. 78. 34. 63.3°
72° 105.6 Km.7 Km. 203. 318. Los ángulos que forman entre ellos y las líneas de visión hacia el tigre son 60° y 75°. por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor. Si tienes de 8 a 9 aciertos.
Dos puntos A y B están cada uno en los lados opuestos de un río. El ángulo de elevación del sol es de 38°.5 m de largo. 35.
Un poste telefónico forma un ángulo de 79° con el piso.8 m 4.
. la distancia que hay entre el pueblo A y el pueblo C es: 28.6 m 74.9 Km.6 m
8. tu aprendizaje es insuficiente. 38.15° 93. por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. Si el ángulo ABC es de 105° y el ángulo ACB es de 20°.5m 5. 29. de B. tu aprendizaje es bueno.7 m. entonces la distancia a lo largo del río entre A y B es: 62.16°
Si todas tus respuestas fueron correctas. 195. al Sureste del pueblo B. 48 m y 50 m es: 74. y el pueblo C está a 17 Km.2 m 7.8 m 97.9 Km.36° 80. excelente. que se encuentran a 160 m de distancia entre sí. Otro punto C se localiza en el mismo lado que B.Matemáticas II
6. entonces la distancia que hay entre el tigre y el fotógrafo más cercano es de: 182. observan un tigre. pero es necesario que nuevamente repases los temas.
Si el pueblo A está a 25 km. al norte del pueblo B.7 m 100. Si la sombra del poste es de 7. El ángulo mayor de un terreno con lados que miden 32 m. Consulta las claves de respuestas en la página 171. Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos.
Dos fotógrafos.2 m
7.5 m.3 m. a una distancia de 150 m.
10. la longitud de largo del poste es de: 3.
2) En una esquina de un campo triangular.2 Km.7°.3 Km. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos cuyos datos son: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) II.6 cm. b= 60 cm. A= 72° B= 84° a= 9. C= 112° B= 15° B= 57° a= 54 cm. a= 3.2 Km.Leyes de senos y cosenos
Nombre______________________________________________________ No. los lados que se encuentran en esa esquina miden 100 m. I. c= 13 cm. y 120 m. se toma una recta de base AC igual a 350 m. ¿Cuánto mide el tercer lado?.4 Km.6 Km.32 cm. los ángulos ACB y CBA miden 59° y 65°. de lista ________________ Grupo ___________________________ Turno_________________________________ Fecha _______________
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas mediante el empleo de las leyes de senos y cosenos. A= 80° A= 43° B= 69° C= 43° 30’ B= 39° 12’ a= 4 cm. c= 20 m. de largo. b= 3.
Plantea y resuelve los siguientes problemas: 1) Para encontrar la distancia de un punto A a un punto inaccesible B. a= 36. c= 6 cm. c= 7. el ángulo mide 52.1 cm. Calcula AB. Recuerda hacer el dibujo de cada caso. c= 4. b= 8 cm. b= 75 cm. c= 9 cm. a= 1. a= 85 m b= 6.
. C= 71° 37’ b= 5 cm.
¿Pueden los dos barcos comunicarse entre sí directamente?
5) Una resbaladilla para niños en el parque tiene 6 m. en dirección N 45° 10’ O de una estación costera. de longitud y una inclinación de 36° desde la horizontal. Encuentra los ángulos del triángulo si dos de sus lados tienen 24 y 20 pulgadas de longitud. la cuerda tiene en la polea un ángulo de 32°.5 m. ¿A qué distancia está el niño de la piñata?
4) Dos barcos tienen equipos de radio cuyo alcance es de 200 Km. y el otro está a 165 Km. Uno de los barcos se encuentra a 155 Km. ¿Qué inclinación tiene la escalera?
6) Un poste de 15 m.
. ¿Qué longitud debe tener una cuerda para alcanzar desde el extremo superior del poste a un punto que se encuentra a 27 m directamente colina abajo desde la base del poste?
7) Un pedazo de alambre de 60 pulgadas de largo se encuentra doblado en forma triangular. El otro trozo de la cuerda entre el niño y la polea mide 5 m y el trozo entre la polea y la piñata mide 2. se encuentra en la cima de una colina cuya inclinación es de 20° desde la horizontal. en N 42°40’ E.Matemáticas II
3) Un niño sostiene el extremo de una cuerda que pasa por una polea y tiene una piñata atada en el otro extremo. La escalera mide 3 m de largo.
8) Calcula el perímetro de un paralelogramo.
9) Se va a construir un túnel a través de una montaña desde el punto A hasta el punto B. ¿Cuál será la longitud del túnel si el ángulo ACB es de 35°45’?.
10) Vientos dominantes han ocasionado la inclinación de 11° de un viejo árbol hacia el Este desde la vertical. si una de sus diagonales mide 17 m. y los ángulos que forma con los del paralelogramo son de 35° y 49°.3 m de altura?
. Un punto C que es visible desde A y B se encuentra a 384 m de A y 555 m de B. ¿Qué longitud tiene la sombra del árbol si éste mide 7. El sol en el Oeste está a 32° arriba de la horizontal.
. D 9. C 10. A 2. B 2. A
1. B 9. B 5. C 9. C 8. A 8. C 2. B 7. B 7. A 5. A 4. B 3. B 8. C 10. C 4. B 5. D 6. D 10. D 7. A 10. D 6. B 3. C 4. B 8. B 4. D 6. C 3. C
1. C 6. A 3. B 5. A 7. C 9. B 2.Claves de Respuestas
HERÓN DE ALEJANDRÍA. Una de las ciudades más ricas y populosas de la antigüedad. Punto que divide al segmento en dos segmentos iguales. Se le atribuye el haber desarrollado la fórmula para hallar el área de un triángulo en función de sus lados. situada a orillas del río Éufrates. CONJUNTO. C. BABILONIA. Porción de una circunferencia. En una figura los lados que coinciden son homólogos.) Matemático y científico griego. Colección de objetos de cualquier especie. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.
. ARCO. (20-62 d. En una figura. LADOS HOMÓLOGOS. con o sin relación entre ellos.Glosario
ÁNGULOS HOMÓLOGOS. los ángulos que coinciden son homólogos.
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manejodemanuales-110522110324-phpapp02.pdfBreve Historia de VueloTanto Tiempo en La AceraDiseño de perfiles aerodinámicosCalculo Diferencia e Intagral 1
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