Source: https://es.scribd.com/doc/167381662/Fasciculo-Secundaria-Matematica-VI-Rutas-Del-Aprendizaje
Timestamp: 2017-03-29 19:28:29+00:00

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NavegarInteresesStay InformedCareerPersonal GrowthFiction & BiographiesHealth & FitnessLifestyleCultureNavegar porLibrosAudio librosNoticias & RevistasPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarse¿Qué y cómo aprenden nuestros adolescentes?Fascículo
VI CICLO Primer y segundo grados de Educación Secundaria
MINISTERIO DE EDUCACIÓN Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja Lima, Perú Teléfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Versión 1.0 Tiraje: 51 800 ejemplares Emma Patricia Salas O’Brien Ministra de Educación José Martín Vegas Torres Viceministro de Gestión Pedagógica Equipo coordinador de las Rutas del Aprendizaje: Ana Patricia Andrade Pacora, directora general de Educación Básica Regular Neky Vanetty Molinero Nano, directora de Educación Inicial Flor Aidee Pablo Medina, directora de Educación Primaria Darío Abelardo Ugarte Pareja, director de Educación Secundaria Asesor general de las Rutas del Aprendizaje: Luis Alfredo Guerrero Ortiz Equipo pedagógico: Pedro David Collanqui Díaz Róger Saavedra Salas Holger Saavedra Salas, asesor Antonieta de Ferro, asesora Agradecimientos: Agradecemos la colaboración de Oscar Hernández Chingay y Eduardo Isaac Gómez Cassazola, al Colegio de Aplicación de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, equipo de IPEBA y UMC. Corrección de estilo: Tania Trejo Serrano Diseño gráfico y diagramación: Haydé Pumacayo Condori Ilustraciones: Haydé Pumacayo Condori Equipo editor: Juan Enrique Corvera Ormeño, Carmen Rosa León Ezcurra, Luis Fernando Ortiz Zevallos Impreso por: Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 Km 2 Santa Anita – Lima 43 RUC 20347258611 Distribuido gratuitamente por el Ministerio de Educación. Prohibida su venta. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N.º 2013-xxxxx Impreso en el Perú / Printed in Peru
Estimada (o) docente: Queremos saludarte y reiterar el aprecio que tenemos por tu labor. Es por ello que en el Ministerio de Educación estamos haciendo esfuerzos para comenzar a mejorar tus condiciones laborales y de ejercicio profesional. Esta publicación es una muestra de ello. Te presentamos las «Rutas del Aprendizaje», un material que proporciona orientaciones para apoyar tu trabajo pedagógico en el aula. Esperamos que sean útiles para que puedas seguir desarrollando tu creatividad pedagógica. Somos conscientes que tú eres uno de los principales actores para que todos los estudiantes puedan aprender y que nuestra responsabilidad es respaldarte en esa importante misión. Esta es una primera versión, a través del estudio y uso que hagas de ellas, así como de tus aportes y sugerencias, podremos mejorarlas para contribuir cada vez mejor en tu trabajo pedagógico. Te animamos entonces a caminar por las rutas del aprendizaje. Nosotros ponemos a tu disposición el portal de Perú Educa para que nos envíes tus comentarios, aportes y creaciones; nos comprometemos a reconocer tus aportes, realizar seguimiento y sistematizarlos. A partir de ello, mejorar el apoyo del Ministerio de Educación a la labor de los maestros y maestras del Perú. Sabemos de tu compromiso para hacer posible que cambiemos la educación y cambiemos todos en el país. Tú eres parte del equipo de la transformación, junto al director y con los padres y madres de familia, eres parte de la gran Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes. Te invitamos, a ser protagonista en este movimiento ciudadano y a compartir el compromiso de lograr que todos los niños, niñas y adolescentes puedan aprender y nadie se quede atrás. Patricia Salas O’Brien Ministra de Educación
5 Promoviendo tareas matemáticas articuladas 32 3.1 Algunas situaciones de aprendizaje	63 5.7 Fases de la resolución de problemas	34 3.6 Resolviendo problemas	33 3.	III.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a los números racionales?	62 5.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a la función lineal	92 Bibliografía	99
TODOS PODEMOS APRENDER.8 Promoviendo el trabajo cooperativo 35 IV. NADIE SE QUEDA ATRÁS
Introducción	7 I.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a la función lineal?	78 6. herramientas y condiciones didácticas para desarrollar las capacidades matemáticas	26 3.2 Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VI ciclo de la EBR	22 3.	II.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestos	24 3.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a los números enteros?	36 4.1 Algunas situaciones de aprendizaje	37 4.2 Agunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a los números enteros	49 V.	¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática? 9 ¿Qué aprenden nuestros adolescentes? 15 ¿Cómo podemos facilitar los aprendizajes?	21 3.1 Algunas situaciones de aprendizaje	79 6.1 Desarrollando escenarios de aprendizaje	21 3.4 Reconociendo escenarios.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a los números racionales	70 VI.
En el ámbito de la matemática. y busca ser una herramienta para que nuestros estudiantes puedan aprender. que llega hoy a tus manos.
TODOS PODEMOS APRENDER. tenemos que corregir. configurando el desarrollo de la competencia.Introducción
El Proyecto Educativo Nacional establece. nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias y capacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana. busca asegurar que: Todos y todas logran aprendizajes de calidad con énfasis en comunicación. ciudadanía. cambio y relaciones. interpretar. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. con espíritu innovador. Se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual. niñas y adolescentes puedan realizar sus potencialidades como persona y aportar al desarrollo social. como parte de las rutas de aprendizaje. en forma simultánea. la necesidad de transformar las instituciones de Educación Básica de manera tal que asegure una educación pertinente y de calidad. En él se formulan seis capacidades matemáticas que permiten hacer más visible el desarrollo de la competencia matemática y trabajarla de forma integral. en la que todos los niños. en su segundo objetivo estratégico. Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo. a partir de una situación problemática. matemática. como una de sus políticas priorizadas. describir. En este fascículo encontrarás: •	Algunas creencias que aún tenemos los docentes en nuestras prácticas educativas y que. explicar. procedimientos y herramientas matemáticas. se desarrollan las seis capacidades matemáticas. ciencia. Es decir. tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas. haciendo uso de conceptos. tecnología y productividad. en dos dominios: número y operaciones. como un medio para comprender. •	Los estándares de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término de los ciclos VI y VII de la Educación Básica Regular. Es en este marco que el Ministerio de Educación. analizar.
•	Las competencias y capacidades cuyo desarrollo permitirá alcanzar esos estándares de aprendizaje.
. Por nuestra parte estaremos muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolo en las próximas ediciones. cambio y relaciones.
•	Esperamos que este fascículo contribuya en tu labor cotidiana. con mayor énfasis en el primer dominio. de manera que sea lo más pertinente y útil para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho. Orientaciones respecto de cómo facilitar el desarrollo de las competencias y capacidades matemáticas vinculadas a los dominios de número y operaciones.
es decir. nuestra visión particular de las matemáticas. presentamos dos situaciones de enseñanza que te permitirán reflexionar y mejorar tu práctica pedagógica. Yo voy a proponer que los estudiantes desarrollen sus aprendizajes apoyados en recursos gráficos. ¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática?
Nuestras creencias. A continuación. ¿Cómo sería una propuesta del desarrollo de la sesión?
2 1×3 1=? 4 3 3 5 9 × 10 = 9 × 10 = 15 = 7 1 2 4 3 4 3 2 2 1
Enseñaré aplicando primero fracción de un número para luego llegar a la multiplicación. Esto les permite desarrollar sus capacidades en torno a la resolución de problemas.
Creencia: Desarrollar aprendizajes en el campo numérico es hacer solamente números. voy a aplicar la siguiente técnica:
3 × 2 = 3×2 = 6 5 3 5×3 15
TODOS PODEMOS APRENDER. en esta unidad vamos a enseñar el tema de multiplicación en números racionales. NADIE SE QUEDA ATRÁS
Un grupo de docentes de la IE Andrés Avelino Cáceres:
Estimados colegas.I.
Ese tema es fácil. influyen sobre lo que hacemos en clase y sobre cómo aprenden nuestros estudiantes.
La parte coloreada más oscura representa la cantidad para 2 m
Entre ambos se obtiene 8 partes. por el otro lado la dividimos en 3.
Este nuevo problema lo resolví empleando la representación gráfica.Para resolver este problema.
Pintamos 4/5 de la hoja y. empleando hojas cuadriculadas.
¿Qué ocurre si sombreamos esta parte? ¿Cómo la expresaríamos en fracción?
Esto parece interesante al trabajar con hojas. con otro color. podemos hacer ciertas operaciones. dividimos en 5 partes.
Por un lado de la hoja. veremos cómo. los 2/3 de ella. cada una de ellas representa
1 1 = 5 × 3 15
Por lo tanto la parte coloreada más oscura corresponde a
1 m 3 2 m 3 1m 1 8 ×8 = dl 5×3 15
en las que plantean desarrollar los conocimientos matemáticos asociados a procedimientos algorítmicos. es necesario que el estudiante elabore las diversas representaciones. El trabajo con material concreto que permita interpretar. el informe pedagógico n. se evidencia cómo. los estudiantes ponen en práctica operaciones de multiplicación de fracciones. se reconoce que las ideas están girando sobre situaciones alejadas de la realidad e intereses de los estudiantes. REPRESENTAR SITUACIONES ES IMPORTANTE PARA RESOLVER PROBLEMAS
TODOS PODEMOS APRENDER. Además. Las representaciones a partir del contexto son necesarias para el desarrollo de la actividad matemática y para la comunicación. Asimismo. por tanto. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. por lo que: La formación del pensamiento científico y matemático es inseparable del desarrollo de representaciones variadas en torno a los objetos y sus relaciones.° 17 de los resultados de la Evaluación Nacional 2004 realizada por la Unidad de Medición de la Calidad Educativa (UMC) ha reconocido que los estudiantes presentan dificultades en el manejo de las nociones de número en el conjunto de los racionales. se reconoce el papel orientador que tiene el docente. Para poder desarrollar el significado del número racional. pues ellas posibilitan que se tenga una profundidad en los conceptos y procedimientos matemáticos.
¿Cuáles son los aspectos positivos a rescatar de esta situación?
La planificación que realizan los docentes para desarrollar los aprendizajes en sus estudiantes. se reconoce a un grupo de docentes planificando sus sesiones de aprendizaje. se apoyan en procesos de manipulación del material concreto y participan. Las representaciones mentales no son independientes de las representaciones que realiza el estudiante en el contexto. analítico). El enfrentar a los estudiantes a una situación problemática que genere un reto en ellos.¿Cuáles son las concepciones que tienen los docentes respecto a la representación en esta historieta?
En la primera parte de la historia. de sus representaciones mentales. En la segunda parte de la historia. de tal forma que cada uno de ellos aporta nuevos significados y procesos para el desarrollo de los aprendizajes. a partir de una situación problemática.
¿Por qué es importante promover actividades de representación en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática en el nivel secundario?
El proceso de aprendizaje de la matemática implica el desarrollo de numerosos sistemas de representación (verbal. Se muestra una correspondencia de esta situación de aprendizaje con el desarrollo de un enfoque por competencias. En ese sentido. La pluralidad de sistemas de representación en el contexto permite una variedad de representaciones de un mismo objeto que orientan el desarrollo de habilidades y. simbólico. gráfico. comprender y poner en práctica diversos procedimientos matemáticos.
Creencia: Aprender las fórmulas es hacer matemática.
La función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales y se denota así: f(x)= ax+b Por ejemplo: f(x)= 2x+5 ¿Por qué la gráfica no es una curva?
¿Por qué se llama función lineal?
Veo que los estudiantes tienen muchas inquietudes; quizá deba cambiar el planteamiento a desarrollar.
Los estudiantes registran, en intervalos de tiempo, cuánto de distancia se consume en una vela y, posteriormente, lo registran en una tabla.
Es interesante lo que propones, lo voy a poner en práctica.
Ah, ese problema lo tuve el año pasado. Este año planifiqué comenzar proponiendo un experimento relacionando longitud y tiempo. Me resultó.
Hay una relación entre intervalos iguales de tiempo y las distancias en que se consume la vela en ese intervalo.
Hoy día sí han aprendido mis estudiantes. Están más contentos y con ganas de investigar. La próxima sesión será mejor. Con los datos obtenidos y ordenados en el plano cartesiano se forma una línea oblicua.
¿Cuáles son las concepciones que tienen los docentes respecto a la representación en esta historieta?
En la primera parte, se reconoce al docente que está desarrollando una sesión de clase de forma tradicional, en la que los estudiantes aprenden de forma pasiva y reciben el conocimiento directamente. Se evidencia en ellos, además, una serie de interrogantes y dudas sobre la utilidad de lo que están aprendiendo. En la segunda parte de la historia, los estudiantes realizan un experimento en el cual ellos empiezan a establecer relaciones entre las magnitudes reconocidas; es decir, desarrollan prácticas que tienen sentido para ellos y son significativas debido a que están relacionadas con sus saberes previos y contexto. En la actualidad, las investigaciones sobre “cómo” y “qué deben” aprender los estudiantes en la comprensión de cambio y relaciones muestran cuatro grandes enfoques didácticos, como lo señalan Drijvers y Hendrikus (2003). Uno de ellos es “el estudio de las funciones como relaciones entre variables”. Esto implica generar espacios donde el estudiante reconozca diversas variables y dé sentido al desarrollo de la función.
El proceso de reflexión e interés del docente por preocuparse de que los estudiantes verdaderamente aprendan. El proceso comunicativo al interior del equipo docente para transmitir las experiencias que han reportado éxito en la mejora de aprendizajes. El desarrollo de un espíritu de indagación y exploración por parte de los estudiantes frente a la tarea propuesta. El desarrollo de un espacio de comunicación fluida entre los jóvenes para reconocer y plantear sus ideas matemáticas.
¿Por qué es importante promover actividades de experimentación en el proceso de enseñanza y aprendizaje en la matemática en el nivel secundario?
Construimos conocimiento en nuestros estudiantes de una forma significativa al hacer que interaccionen con el medio, lo interpreten y construyan modelos para explicar lo que se está presentando. Habituamos a los estudiantes a una metodología de indagación y experimentación al tener que aplicarla en la resolución de situaciones que ilustran principios y conceptos matemáticos. Es una de las mejores herramientas para motivar y aprender. La asimilación de conceptos es óptima y duradera. Formamos estudiantes con una inclinación positiva hacia la matemática, evitando el rechazo que pudiera darse por el empleo de estrategias didácticas inadecuadas. MATEMATIZAR EL MUNDO ES MÁS QUE ELABORAR FÓRMULAS
en función de un objetivo o la solución de un problema. se requiere hacer una lectura del conjunto de indicadores. El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VI ciclo es:
Representa cantidades discretas o continuas mediante números enteros y racionales en su expresión fraccionaria y decimal en diversas situaciones. Selecciona unidades convencionales e instrumentos apropiados para describir y comparar la masa de objetos en toneladas o la duración de un evento en décadas o siglos. En este fascículo se trabajan dos competencias matemáticas relacionadas con: •	Resolución de situaciones problemáticas en número y operaciones. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. se seleccionan o se ponen en acción las diversas capacidades y recursos del entorno. empleando diversas estrategias de solución. empleando diversas estrategias y explicando por qué las usó. un indicador se relaciona con más de una capacidad.
En este fascículo. relaciona los órdenes del sistema de numeración decimal con potencias de base diez. •	Resolución de situaciones problemáticas en cambio y relaciones. relacionar magnitudes directa o inversamente proporcionales. Por lo tanto. Para tal fin. para dar cuenta del logro de las capacidades matemáticas.
Competencia. Compara y establece equivalencias entre números enteros. Relaciona la potenciación y la radicación como procesos inversos (Mapa de Progreso de Matemática: Número y operaciones).	¿Qué aprenden nuestros adolescentes?
El fin de la educación es lograr que los estudiantes desarrollen competencias. determinar aumentos o descuentos porcentuales sucesivos. Resuelve y formula situaciones problemáticas de diversos contextos referidas a determinar cuántas veces una cantidad contiene o está contenida en otra. racionales y porcentajes. las cuales son definidas como un saber actuar en un contexto particular. capacidades e indicadores en número y operaciones
En número y operaciones se desarrolla la siguiente competencia: Resuelve situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la construcción del significado y el uso de los números y sus operaciones.
TODOS PODEMOS APRENDER. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de la situación y a la finalidad de nuestra acción. justificando y valorando sus procedimientos y resultados.II.
Representa •	Elabora estrategias para ordenar y comparar cantidades (asociadas al número entero) en la recta numérica. •	Justifica el uso de la recta numérica en la resolución de situaciones problemáticas de orden en los números racionales. •	Explica las condiciones de opuesto y valor absoluto. situaciones que involucran •	Usa las expresiones =.
. unidad. fracciones y decimales. orden Matematiza cronológico. decimales (hasta centésimos).16
NÚMERO Y OPERACIONES . ≥ para establecer relaciones de orden y comparación entre los números racionales expresados en fracciones homogéneas y expresiones de posición del sistema de numeración decimal (décimos. Construcción del significado y uso de los números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables •	Experimenta y describe situaciones de medición (masa. •	Generaliza procedimientos para hallar la fracción generatriz de un número decimal exacto periódico puro y periódico mixto.
Construcción del significado y uso de los números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas •	Describe situaciones (ganancia-pérdida. longitud. capacidad de almacenamiento en bytes).). etc. empleando la recta numérica. unidad. contextos.). <. •	Usa las expresiones =. •	Expresa la imposibilidad de la solución en situaciones de sustracción con los números naturales para extender los números naturales a los enteros. etc. •	Explica el uso de las representaciones de números racionales y las operaciones pertinentes. longitud. de potenciación y radicación. >. cantidades y operaciones. usando fracciones. ≤. decena.
Comunica situaciones que involucran cantidades y magnitudes en diversos contextos. décimos. cantidades y •	Asigna a cantidades el signo positivo o negativo en situaciones magnitudes contextualizadas. comparación escalar. tiempo. >. gráfica y simbólica). <. •	Plantea estrategias de representación (pictórica. >. decimales (hasta décimas) y porcentajes. ≥ para establecer relaciones de orden y comparación entre los números racionales expresados en fracciones heterogéneas y mixtas y expresiones de posición del sistema de numeración decimal (centésimos. •	Expresa representaciones distintas de un mismo número racional usando fracciones. centena. comparación y densidad entre los números racionales. multiplicativos. •	Explica la condición de densidad entre dos números racionales. en diversos •	Ordena datos en esquemas de organización que expresan contextos. que involucran •	Examina situaciones de cambio. •	Justifica procesos de resolución de problemas aditivos. •	Explica la pertinencia de usar el número racional en su expresión fraccionaria. ≤. capacidad de almacenamiento en bytes). ≤. ingreso-egreso. <. decimal y porcentual en diversos contextos para el desarrollo de su significado. ≥ para establecer relaciones de orden entre los números enteros. agrupación. gráfica y simbólica). altitud y temperaturas) que no se pueden explicar con situaciones los números naturales. •	Usa la recta numérica para establecer relaciones de orden. decena. •	Ordena datos en esquemas de organización que expresan porcentajes. cantidades y magnitudes •	Emplea el valor absoluto “||” de un número entero para expresar la distancia que existe entre el número y el cero en la recta en diversos numérica. •	Usa la recta numérica para establecer relaciones de orden y comparación entre los números enteros y racionales. notación científica y porcentajes. •	Plantea estrategias de representación (pictórica. •	Expresa representaciones distintas de un mismo número entero y racional. •	Usa las expresiones =.VI CICLO
INDICADORES PRIMER GRADO DE SECUNDARIA Segundo grado Construcción del significado y uso de los números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables •	Experimenta y describe situaciones de medición (masa. tiempo. •	Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno al aumentar y disminuir.
•	Elabora estrategias para resolver operaciones del aditivo y del multiplicativo. empleando la recta numérica. divisor. •	Explica la relación entre la potencia y raíces como operación inversa.Construcción del significado y uso de las operaciones con números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables
•	Experimenta y describe situaciones de medición (masa. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Justifica las características de los múltiplos. ingresosegresos) que no se pueden explicar con los números naturales. la potenciación y la radicación. •	Utiliza las propiedades de la potencia con exponente entero y base entera. NADIE SE QUEDA ATRÁS
Elabora estrategias haciendo uso de los números y sus operaciones para resolver problemas. •	Justifica procesos de resolución de problemas aditivos. la potenciación y la radicación son procesos de relación inversa. factores y criterios de divisibilidad basados en procesos de inducción y deducción. de potenciación y radicación. factor. diagramas de Venn.
. •	Utiliza propiedades aditivas. •	Ordena datos y los representa en esquemas de organización que expresan la relación de múltiplo. problemáticas con cantidades continuas mensurables •	Experimenta y describe situaciones de medición (masa. diagramas de árbol) para resolver situaciones problemáticas con múltiplos y divisores. la multiplicación y la división. fracciones y decimales y notación científica. capacidad de almacenamiento en bytes). divisores. de potenciación y radicación. de potenciación y radicación con números enteros. especialmente de MCD y MCM. •	Aplica propiedades de divisibilidad para resolver situaciones problemáticas contextualizadas. multiplicativas. multiplicativos. longitud. aumentos y descuentos de porcentajes.
Argumenta el uso de los números y sus operaciones para resolver problemas. tiempo. •	Aplica variadas estrategias para resolver situaciones problemáticas que involucran operaciones entre fracciones. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Utiliza esquemas gráficos (diagramas de flechas.
Construcción del significado de las operaciones con números racionales en situaciones
TODOS PODEMOS APRENDER. •	Aplica las propiedades de las operaciones en números racionales. aumentos y descuentos de porcentajes sucesivos. •	Explica el uso de las representaciones de números racionales y las operaciones pertinentes. multiplicativas. mínimo común múltiplo y máximo común divisor para resolver problemas contextualizados. •	Justifica procesos de relación inversa entre la suma y la resta. la sustracción. en las que se requiere el uso de múltiplos y divisores. relaciones de magnitudes proporcionales (directa e inversa). •	Manifiesta acuerdos consensuados para el reconocimiento de las propiedades aditivas.
Construcción del significado y uso de la divisibilidad en situaciones problemáticas de ordenamiento y distribución de filas con cantidades discretas •	Reconoce situaciones de distribución y ordenamiento en filas. incluyendo la potenciación. •	Aplica variadas estrategias para resolver problemas que involucran operaciones entre fracciones. •	Aplica las reglas de signos en operaciones aditivas y multiplicativas. la multiplicación y la división. •	Ordena datos en esquemas de organización que expresan porcentajes. fracciones y decimales a partir de cantidades. enteros y racionales en contextos diversos.
Utiliza expresiones simbólicas. incluyendo la potencia. multiplicativas. Construcción del significado y uso de las operaciones con números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas •	Experimenta situaciones (ganancia-pérdida. •	Utiliza factores primos en la descomposición de un número. •	Justifica que la adición. tiempo. •	Explica de forma resumida la estrategia de resolución empleada. •	Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno a aumentar y disminuir. capacidad de almacenamiento en bytes). •	Ordena datos en esquemas de organización que expresan cantidades y operaciones aditivas y multiplicativas con números enteros. de potenciación (exponente natural y base entero positiva y de radicación). •	Ordena datos en esquemas de organización que expresan porcentajes. •	Diseña estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran las equivalencias entre los números naturales. longitud. relaciones de magnitudes proporcionales directas. •	Aplica las propiedades de las operaciones en números racionales. y divisibilidad en los números naturales. •	Manifiesta acuerdos consensuados para el reconocimiento de las propiedades aditivas. técnicas y formales de los números y las operaciones en la resolución de problemas.
se requiere hacer una lectura del conjunto de indicadores.Competencia. reflexiones o rotaciones y progresiones aritméticas con números naturales en las que generaliza y verifica la regla de formación y la suma de sus términos. En ella confluyen las seis capacidades matemáticas generales que se movilizan de manera sistémica con los conocimientos de patrones. ecuaciones e inecuaciones.
. para dar cuenta del logro de las capacidades matemáticas. en el plano cartesiano y con expresiones algebraicas.
En la figura adjunta se esquematiza la competencia matemática en cambio y relaciones. relaciones y funciones. Modela diversas situaciones de cambio mediante relaciones de proporcionalidad inversa. relaciones y funciones para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana. Por lo tanto. simplifica expresiones algebraicas. Representa las condiciones planteadas en una situación problemática mediante ecuaciones lineales. formula.
En este fascículo.
Adaptación: Modelo de competencia matemática de Mogens Niss. 2011. comprueba equivalencias y argumenta los procedimientos seguidos.
El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VI ciclo es:
Interpreta y crea patrones geométricos que se generan al aplicar traslaciones. utilizando diversas estrategias de solución y justificando sus procedimientos y resultados. desigualdades. funciones lineales y afines. un indicador se relaciona con más de una capacidad. igualdades. Interpreta que una variable puede representar también un valor que cambia. Identifica el conjunto de valores que puede tomar un término desconocido para verificar una desigualdad. las describe y representa en tablas. comprueba y argumenta conclusiones (Mapa de Progreso de Matemática: Cambio y relaciones). capacidades e indicadores en cambio y relaciones
En cambio y relaciones se desarrolla la siguiente competencia: Resuelve situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la construcción del significado y el uso de los patrones. Conjetura cuando una relación entre dos magnitudes tiene un comportamiento lineal.
y cambios •	Manifiesta acuerdo de grupo respecto a patrones aditivos. geométricos y progresiones aritméticas. multiplicativos y ley de formación de las progresiones geométricas.
Construcción del significado y uso de los patrones aditivos. •	Explica procedimientos inductivos usados en la obtención de patrones geométricos. •	Ordena datos en esquemas para el establecimiento de equivalencias mediante ecuaciones lineales. NADIE SE QUEDA ATRÁS
Matematiza situaciones que involucran regularidades. situaciones •	Experimenta situaciones reales o simuladas de desigualdades para que involucran el desarrollo del significado de las inecuaciones lineales con regularidades. •	Verifica la ley de formación y la suma de los términos de una progresión aritmética. •	Explica mediante ejemplos las implicancias de variar las reglas de formación de los patrones geométricos y las progresiones aritméticas. y cambios •	Expresa el conjunto solución de ecuaciones lineales e inecuaciones en diversos lineales. •	Explica. geométricos y progresión aritmética en situaciones problemáticas que involucran regularidades •	Crea regularidades usando patrones geométricos de implicancia artística y cotidiana. equivalencias y cambios en diversos contextos.VI CICLO
Construcción del significado y uso de los patrones geométricos y progresión aritmética en situaciones problemáticas que involucran regularidades •	Diseña regularidades usando patrones con la traslación. •	Expresa el conjunto solución de ecuaciones lineales. •	Señala situaciones de equivalencia en contextos reales o simulados para el desarrollo del significado de una relación lineal. •	Describe con sus propias palabras la regla de formación de la progresión aritmética y el patrón geométrico.
TODOS PODEMOS APRENDER. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Justifica los procesos de resolución del problema. en diversos geométricos y progresiones aritméticas. aditivos y ley de formación de las progresiones aritméticas. contextos. •	Ordena datos en esquemas a partir del reconocimiento de regularidades de patrones aditivos. •	Manifiesta acuerdo de grupo respecto a patrones geométricos y progresiones aritméticas. la rotación y traslación para el desarrollo del significado de patrones geométricos. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Verifica la regla de formación y la suma de los términos de una progresión aritmética. •	Describe con sus propias palabras el patrón de formación aditivo y geométrico en la resolución de situaciones problemáticas. aditivos y la regla de formación equivalencias de progresiones aritméticas. Construcción del significado y uso de las ecuaciones e inecuaciones lineales en situaciones problemáticas que involucran situaciones de equivalencia •	Diseña modelos de situaciones reales o simuladas para el desarrollo del significado de inecuaciones lineales con coeficientes N y Z. •	Explica procedimientos inductivos usados en la obtención de patrones geométricos. situaciones •	Aplica la regla de formación en los patrones aditivos y geométricos para la construcción de una sucesión de repetición. •	Expone las condiciones de rotación. •	Utiliza expresiones tabulares y algebraicas para obtener la regla de formación en progresiones aritméticas. •	Crea regularidades artísticas y cotidianas expresadas en gráficos. •	Ordena datos en esquemas a partir del reconocimiento de regularidades en patrones geométricos y progresiones aritméticas. Construcción del significado y uso de las ecuaciones e inecuaciones lineales en situaciones problemáticas que involucran situaciones de equivalencia •	Experimenta situaciones de equivalencia en diversos contextos Comunica para el desarrollo del significado de las ecuaciones lineales con coeficientes N y Z. traslación y reflexión compuestas en patrones geométricos. •	Explica mediante ejemplos las implicancias de variar las reglas de formación de patrones geométricos. coeficientes N y Z. de implicancia artística y cotidiana. •	Crea regularidades artísticas y cotidianas expresadas en gráficos. equivalencias •	Ordena datos en esquemas para el establecimiento de equivalencias mediante ecuaciones lineales. a partir de procedimientos de construcción. •	Aplica la regla de formación en los patrones geométricos para la construcción de una sucesión de repetición. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Utiliza expresiones tabulares y algebraicas para obtener la regla de Representa formación en progresiones aritméticas. que involucran regularidades. la reflexión y la rotación geométrica. contextos.CAMBIO Y RELACIONES .
•	Emplea procedimientos de factorización para resolver situaciones problemáticas que implican ecuaciones e inecuaciones lineales de una variable. •	Expresa en forma gráfica. •	Explica el proceso de resolución de situaciones problemáticas que implican el uso de ecuaciones e inecuaciones lineales. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Explica el proceso de resolución de situaciones problemáticas que implican el uso de la proporcionalidad directa. •	Justifica los procesos de resolución del problema. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. •	Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran ecuaciones e inecuaciones. •	Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa. Construcción del significado y uso de la proporcionalidad y funciones lineales en situaciones problemáticas de variación (costo-cantidad.20
•	Expresa la diferencia entre expresión algebraica. •	Justifica el uso de una representación gráfica de la función lineal para modelar una situación problemática.
Argumenta el uso de los patrones. •	Utiliza operaciones aditivas y multiplicativas en expresiones algebraicas para resolver situaciones problemáticas que implican ecuaciones e inecuaciones lineales de una variable. •	Explica que la equivalencia entre dos ecuaciones algebraicas se mantiene si se realizan las mismas operaciones en ambas partes de una igualdad. inversa y de dependencia lineal afín. altura-base) •	Experimenta situaciones de cambio para el desarrollo del significado de las funciones lineales afines. tabulares o algebraicas. relaciones y funciones para resolver problemas. •	Particulariza mediante ejemplos que las ecuaciones lineales e inecuaciones modelan a la situación problemática dada. tabulares o algebraicas. relaciones y funciones en la resolución de problemas. •	Utiliza operaciones aditivas y multiplicativas en expresiones algebraicas para resolver situaciones problemáticas que implican ecuaciones e inecuaciones lineales de una variable. •	Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa e inversa. •	Justifica. •	Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales afines y de proporcionalidad directa e inversa. •	Resume sus intervenciones respecto a las estrategias de resolución empleadas para el desarrollo de problemas diversos que implican el uso de funciones lineales afines. •	Justifica los procesos de resolución del problema. altura-base) •	Experimenta situaciones de cambio para el desarrollo del significado de la proporcionalidad directa y la función lineal. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal. técnicas y formales de los patrones. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. proporcionalidad directa e inversa. •	Ubica en el plano cartesiano el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales de dos variables. inversa y relaciones de dependencia lineal afín. •	Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa.
•	Expresa la diferencia entre expresión algebraica. •	Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales y de proporcionalidad directa. Construcción del significado y uso de la proporcionalidad inversa y funciones lineales afín en situaciones problemáticas de variación (costocantidad. inversa y de dependencia lineal afín. •	Justifica los procesos de resolución del problema. costo-tiempo. •	Reduce términos semejantes para resolver situaciones problemáticas que implican ecuaciones e inecuaciones lineales de una variable. afirmaciones relacionadas con la dependencia funcional entre variables y proporcionalidad inversa. relaciones y funciones para resolver problemas. •	Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal. recurriendo a expresiones gráficas.
. funciones lineales y modelos lineales. distancia-tiempo. •	Elabora estrategias heurísticas para resolver situaciones problemáticas que involucran ecuaciones e inecuaciones lineales. •	Usa operaciones aditivas y multiplicativas para obtener expresiones equivalentes en situaciones de igualdades y desigualdades. •	Usa operaciones para obtener expresiones equivalentes en situaciones de igualdades y desigualdades. ecuación e inecuación lineal a partir de situaciones problemáticas. •	Expresa en forma gráfica. modelos lineales afines. •	Elabora modelos que expresan relaciones de proporcionalidad directa. ecuación e inecuación lineal. •	Participa y da su opinión respecto al proceso de resolución de situaciones problemáticas que implican el uso de ecuaciones e inecuaciones lineales.
Elabora estrategias haciendo uso de los patrones. costo-tiempo. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa. •	Ubica en el plano cartesiano el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales de dos variables.
Utiliza expresiones simbólicas. distancia-tiempo.
Despliega diversos recursos (técnicos. c)	Proyecto matemático Se pone en práctica el acercamiento de los conocimientos matemáticos a aspectos de la realidad en diversos contextos.
TODOS PODEMOS APRENDER. Esto comprende un conjunto de actividades para indagar y resolver una situación problemática real con implicancias sociales. NADIE SE QUEDA ATRÁS
Sesión taller matemático
Por ello. La matemática basada en la resolución de problemas requiere de contextos de aprendizaje donde tengan lugar diversas experiencias. b)	Sesión taller matemático El estudiante pone en práctica aquellos aprendizajes que ya ha desarrollado. procedimentales y cognitivos) en la intención de resolver situaciones problemáticas. La experimentación le permite el reconocimiento de regularidades para generalizar el conocimiento matemático.
Sesión laboratorio matemático
3. logra construir conceptos y propiedades matemáticas. a partir de actividades vivenciales y lúdicas.	¿Cómo podemos facilitar los aprendizajes?
En esta sección desarrollaremos algunos puntos que nos ayudarán a mejorar nuestro trabajo como docentes para que nuestros estudiantes logren los aprendizajes matemáticos. acciones y situaciones. es importante reconocer estos escenarios que actúan de forma complementaria: a)	Sesión laboratorio matemático El estudiante. lo que permite generar condiciones adecuadas para los espacios de aprendizaje.III.1	Desarrollando escenarios de aprendizaje
El desarrollo progresivo de las competencias en el área de Matemática se manifiesta por medio de las capacidades de manera dinámica. productivas y científicas. económicas.
requerimos en el día a día. decimal y porcentual para expresar cantidades continuas y discretas Propiedades de los números racionales Operaciones con los números racionales Potenciación con base fraccionaria y exponente entero Representación. El cuadro adjunto muestra el desarrollo de los conocimientos en torno a los números y sus operaciones. nociones que. etc. comparación y orden en números enteros en situaciones opuestas y relativas Valor absoluto de un número entero en relación con la distancia al cero Operaciones y propiedades con números enteros Potenciación y radicación con números enteros como operaciones inversas Número racional como expresión fraccionaria. todos ellos en sus diversas formas de representación. resulta indispensable hacer uso adecuado de estos conocimientos matemáticos según el contexto.
desarrollo de los conocimientos en torno a número y operaciones CICLOS Y GRADOS
CONSTRUCCIÓN DEL SIGNIFICADO Y USO DE CONOCIMIENTOS
1. tablas.°
3. infografías. el uso del sistema de notación decimal se puede emplear en una transacción monetaria o en la medición de la distancia de la Tierra a la Luna. sus relaciones y las formas son los pilares de las matemáticas.3. Desarrollar la competencia matemática implica el desarrollo progresivo y articulado de los conocimientos matemáticos.°
2. Los estudiantes ingresan al VI ciclo de la EBR con un desarrollo previo de capacidades en torno a los números naturales.2	Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VI ciclo de la EBR
Los números.°
Porcentajes como la expresión de parte-todo Potenciación con base entera positiva y exponente natural Números múltiplos y divisibles. Divisibilidad en situaciones de ordenamiento de filas Números enteros en situaciones opuestas y relativas Representación. Debido a ello. expresiones porcentuales. En él se observa el tránsito que realizan los estudiantes finalizando el V ciclo. En nuestro contexto recibimos gran cantidad de información que proporciona datos. a veces sin ser conscientes de ello. su desarrollo pleno en el VI ciclo y los saberes previos con que empiezan el VII ciclo. En el VI ciclo se amplían los conocimientos matemáticos al reconocimiento de los números enteros y racionales. aprendizajes adquiridos en la primaria y nociones básicas asimiladas desde la infancia. decimales y fraccionarios. por ejemplo. comparación y orden en los números racionales a partir de cantidades continuas
Potenciar aprendizajes para distinguir patrones constantes implica establecer relaciones sobre cantidades. su desarrollo pleno en el VI ciclo y los saberes previos con que empiezan el VII ciclo. Los distintos fenómenos que se observan en la naturaleza están vinculados unos con otros por medio de relaciones y leyes que indican distintas magnitudes que los caracterizan. números y operaciones. NADIE SE QUEDA ATRÁS
1. Desde el nivel inicial el estudiante experimenta un acercamiento a conocimientos de cambios y relaciones. así como constituir relaciones de movimiento. El cuadro adjunto muestra información respecto al desarrollo de los conocimientos referidos a cambio y relaciones.°
Patrones geométricos con implicancia artística y cotidiana Patrones aditivos con implicancia artística y cotidiana La regla de formación de progresiones aritméticas y de la suma de los términos a partir de regularidades Sucesiones crecientes y decrecientes Ecuaciones lineales en situaciones de equivalencia Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables en situaciones de igualdad Ecuaciones cuadráticas en situaciones de igualdad y determinación de máximos y mínimos Inecuación aditiva o multiplicativa en situaciones de desigualdad Inecuaciones lineales en situaciones de desigualdad Inecuaciones cuadráticas en situaciones de desigualdad Situaciones de proporcionalidad directa e inversa Modelación de situaciones de cambio mediante la función lineal y lineal afín
6. En este VI ciclo amplían su desarrollo a procedimientos de recurrencia y a composición de movimientos más complejos. forma y propiedades entre formas geométricas. descubriendo regularidades a partir de formas y acciones de repetición.°
2. En él se observa el tránsito que realizan los estudiantes finalizando el V ciclo.°
egresos y naturales para extender el ahorro que realiza los números naturales a los cada familia. altitud Constitución de y temperaturas) que no se equipos de trabajo pueden explicar con los y proyección de las números naturales para tareas a desarrollar. Representa. Argumenta. entero. Elabora diversas estrategias para resolver problemas. Utiliza expresiones simbólicas técnicas y formales. Laboratorio: Elabora estrategias para Lo que significan ordenar y comparar sobre y debajo cantidades (asociadas Laboratorio: al número entero) en la recta numérica para la Jugando con las resolución de situaciones cargas problemáticas. tomando como recurso la matriz de indicadores. ≥ para establecer relaciones de orden entre los números enteros. orden cronológico. 1 sesión de 90 minutos 1 sesión de 90 minutos
1 sesión de 90 minutos
. disminuir. Elaboración de un Expresa la imposibilidad de papelógrafo en el la solución en situaciones de que se expresan los sustracción con los números ingresos. <. enteros. desarrollar el significado de Recojo de datos en los números enteros y sus el entorno familiar. Usa las expresiones =.3. ingresos-egresos. Organización en Asigna a cantidades el equipos de trabajo. correspondiente al primer grado de Secundaria. operaciones. Indicadores Tiempo 2 semanas
Matematiza. >. signo positivo o negativo en en los que cada situaciones contextualizadas miembro del equipo para desarrollar el ejerza un rol significado del número familiar.
Capacidades generales Escenarios y actividades Proyecto matemático: Describe y experimenta Haciendo el situaciones (gananciapresupuesto familiar pérdida.3	Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestos
A continuación. Taller de matemática: Generaliza condiciones Resolución de de los valores numéricos problemas con en torno al aumentar y números enteros. presentamos un modelo para la organización de una unidad de aprendizaje y una sesión de aprendizaje. ≤. empleando la recta numérica para desarrollar el significado del número entero. Comunica.
secuencial y directivo en el desarrollo de los aprendizajes. Tales actividades son: de indagación y experimentación. Resume sus intervenciones respecto a las estrategias de resolución empleadas para el desarrollo de problemas diversos. Expresa ejemplos de representaciones distintas de un mismo número entero a partir de situaciones problemáticas. es pertinente mostrarlas de forma global. de reflexión. Pueden ser otras que el docente considere para el desarrollo de las capacidades y competencia matemática. puesta en práctica del juego. Explica el uso de la recta numérica en la resolución de problemas de orden en los números naturales y enteros. datos y prácticas. Actividad de experimentación. Actividad de resolución de situaciones problemáticas.Para la presentación de las actividades.
Sesión Lo que significan sobre y debajo Capacidades Indicadores Localiza eventos relacionados con valores numéricos que no se pueden explicar con los números naturales para la comprensión de los números enteros. datos y prácticas. Elabora diversas estrategias para resolver problemas. de registro de experiencias. Elabora estrategias para ordenar los números enteros en la recta numérica. datos y prácticas. Utiliza expresiones simbólicas y formales. Comunica. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. socialización e institucionalización a partir de establecer relaciones entre las experiencias. Argumenta. Actividad de indagación y exploración de las reglas y condiciones para realizar el juego. Actividades de enseñanza y aprendizaje
Matematiza. Representa. Actividad de reflexión. Actividad de registro de experiencias.
TODOS PODEMOS APRENDER. evitando de esta forma un proceso rígido. deben permitir el aprendizaje autónomo de los estudiantes. Usa números con signo positivo o negativo para expresar condiciones contextualizadas diversas a partir de situaciones problemáticas. y de resolución de situaciones problemáticas.
un diagrama de barras puede mostrar la devaluación de la moneda extranjera. Estos esquemas informativos los podemos reconocer en: Recortes periodísticos. herramientas y condiciones didácticas para desarrollar las capacidades matemáticas
A. Modificar las reglas de juego. En el nivel secundario. una infografía puede hacer referencia a la organización y datos estadísticos de un hospital. Son características usuales en este tipo de actividades: Reconocer las condiciones del juego. Afiches publicitarios e infografías. estamos rodeados de información que condensa. te proponemos actividades y características que favorecen la matematización.
Las actividades vivenciales del entorno Este tipo de actividades está asociado a entrar en contacto directo con situaciones problemáticas reales. A continuación. etc.
Estas actividades propician acciones de indagación. los estudiantes interpretan la realidad haciendo uso de conceptos y procedimientos matemáticos para resolver la situación planteada. Por ejemplo. experimentación y simulación. En ellas. Cuadros estadísticos.3. asimismo. Esto incluye analizar e interpretar el entorno y las condiciones en que se suscita el juego. etc. Experimentar siguiendo las reglas del juego.4	Reconociendo escenarios. con íconos y símbolos. Algunos procesos característicos para matematizar en la escuela son: Realizar medidas. Planificar y desarrollar diseños de implicancia tecnológica. tener la disposición de razonar matemáticamente para enfrentar una situación problemática y resolverla. los proyectos matemáticos son actividades vivenciales que expresan con más claridad la matematización. donde el estudiante se enfrenta a retos con ciertas reglas de juego.	MATEMATIZAR Implica tener las habilidades para poder interpretar y transformar la realidad o parte de ella con la ayuda de la matemática. Elaborar diseños gráficos o informativos. Las actividades lúdicas Son espacios de expresión y producción matemática.
. Poner en ejecución estrategias que ayuden a ganar el juego. Hacer sociodramas que recojan aspectos de la realidad. Actividades apoyadas en esquemas gráficos En la actualidad. Dar solución a problemas a partir de estas presentaciones requiere de habilidades para poder procesar la información y seleccionar los datos pertinentes para establecer relaciones matemáticas. numerosos datos sobre aspectos particulares de la realidad.
. Fase: Trazar un plan y resolver el problema Promueve planteamientos y estrategias distintas para resolver problemas Considera el orden apropiado de las ideas.. etc. Fase: Evaluar resultados Expresa ideas tanto de los procesos como de los resultados.) Interrogantes de ‘debería’ (cuando tenemos un problema de estas características..?) Interrogantes para promover la resolución del problema: Interrogantes de verificación (¿es el procedimiento adecuado?.. Explica sus logros a partir de las actividades desarrolladas.. ¿cómo afecta el problema?..) Interrogantes de generalización (¿en qué situaciones es conveniente desarrollar estas estrategias de resolución?.. Asimismo.... la discusión. tomando conciencia de lo que ya saben por sí mismos. etc. si el procedimiento hubiese sido. ¿cuán importante es reconocer el planteamiento desarrollado?. la conciliación y la rectificación de ideas..) Interrogantes de ‘cómo’ (¿cómo procediste para resolver la situación planteada?. ¿has realizado las operaciones adecuadas. etc.
Es importante que sepamos hacer preguntas a los estudiantes para ayudarlos a comprender el problema.
Situaciones para promover las interrogantes Fase: Comprender los problemas Orienta a promover que los estudiantes puedan movilizar sus aprendizajes. ¿qué ocurriría con.)
TODOS PODEMOS APRENDER.?) Interrogantes de ‘debería’ (¿qué deberíamos hacer primero....
Propuesta de interrogantes Interrogantes para promover la comprensión del problema: Interrogantes comparativas (¿en qué se parecen.	COMUNICAR Desarrollar la capacidad de la comunicación matemática implica promover el diálogo.. Desarrolla actividades de participación grupal. ¿qué deberíamos hacer primero?. cuál es la diferencia?) Interrogantes de causa-efecto (si modificamos el dato. presentamos un grupo de interrogantes a fin de promover espacios de discusión..?) Interrogantes de ‘cómo’ (¿cómo procedería usted para desarrollar el problema. trazar el plan para resolverlo y evaluar los resultados. etc. de acuerdos.. ¿qué deberíamos hacer?.. Expresa satisfacción de lo experimentado.?) Interrogantes para promover la evaluación de resultados: Interrogantes de verificación (¿es la respuesta correcta?) Interrogantes comparativas (¿en qué se parece este problema desarrollado a otros?) Interrogantes de causa-efecto (supongamos que ahora los datos fueran. de rescatar errores y tomarlos como punto de debate. Esto permite al estudiante familiarizarse con el uso de significados matemáticos e incluso con un vocabulario especializado. puede suscitar la participación de los estudiantes en sus grupos de trabajo y en las intervenciones personales. A continuación.. cuando tenemos planteamientos gráficos. ¿qué resultados habríamos tenido?.B.. NADIE SE QUEDA ATRÁS
C.	REPRESENTAR La representación es un proceso y un producto que implica desarrollar habilidades sobre seleccionar, interpretar, traducir y usar una variedad de esquemas para capturar una situación, interactuar con un problema o presentar condiciones matemáticas.
Representación pictórica Representación con material concreto Representación gráfica
Representación vivencial
Adaptación: Discover strategies to engage young math students in competently using multiple representations de Anne Marshall (2010).
Para la construcción de los conocimientos matemáticos, es recomendable que los estudiantes realicen diversas representaciones, partiendo de aquellas vivenciales hasta llegar a las gráficas y simbólicas.
Representaciones vivenciales (acciones motrices) •	Teatralización •	Sociodrama Representaciones apoyadas en material concreto •	Estructurados •	Multibase 10 •	Ábaco •	Regletas •	Balanza Representaciones de forma pictórica •	Dibujos •	Íconos
Representaciones de forma gráfica •	Cuadros de doble entrada •	Diagramas de complemento •	Diferencia e igualación •	Diagrama de árbol •	Diagrama de flechas •	Diagramas lógicos •	Diagramas de tablas •	Diagramas de gráficas Representación simbólica
D.	ELABORAR DIVERSAS ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS Esta capacidad comprende la selección y uso flexible de estrategias con características de ser heurísticas, es decir, con tendencia a la creatividad para descubrir o inventar procedimientos de solución.
Estrategias heurísticas 1.	Utilizar el ensayo y error Tantear es una estrategia muy útil cuando se realiza de forma organizada y evaluando cada vez los ensayos que se realizan. En realidad, algunos métodos específicos de solución como el de regulación o el de aproximaciones sucesivas se basan en el uso sistemático de numerosos ensayos y sus respectivas correcciones. La idea es que cada rectificación conduzca a un ensayo que se acerque más a la respuesta. 2.	Hacer una lista sistemática En los casos en que requiere la enumeración de objetos matemáticos, es conveniente realizar un conteo o listado organizado con el fin de no dejar de lado ninguna posibilidad. Esta estrategia es muy útil al buscar soluciones en una ecuación, para encontrar espacios muestrales o resolver problemas de permutaciones o combinaciones. 3.	Empezar por el final La estrategia de utilizar el pensamiento regresivo se da mayormente en problemas en los cuales tenemos información de una situación final y también para demostrar desigualdades. La combinación de métodos progresivos y regresivos es una potente técnica para demostrar teoremas. 4.	Razonar lógicamente El razonamiento lógico es muy importante, pues gracias a él podemos engarzar los pasos y comprender las secuencias y cadenas que se producen para el desarrollo y resolución de problemas. 5.	Particularizar Conviene siempre utilizar casos particulares para familiarizarse con el problema, de este modo es posible observar algún camino que guíe hacia la solución de un problema genérico. 6.	Generalizar En algunos problemas puede ser muy útil averiguar si lo que se pide se refiere a un caso particular de alguna propiedad general. A esto se le conoce como la paradoja del inventor. 7.	Buscar patrones En algunos problemas es necesario experimentar con varios casos con el fin de encontrar pautas o regularidades que después se podrían emplear para llegar a la solución. 8.	Plantear una ecuación Una de las técnicas de modelación por excelencia a nivel elemental lo constituye el planteo de ecuaciones. Lo primordial para poder aplicarla con éxito es el entrenamiento en la traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. 9.	Resolver un problema semejante pero más simple Algunas veces, utilizar un método que nos dio resultado con un problema más simple que el propuesto nos conduce a la solución del problema original.
Fuente: Manual del docente, Resolvamos 1 y 2, Ministerio de Educación, 2012
E.	UTILIZAR EXPRESIONES SIMBÓLICAS, TÉCNICAS Y FORMALES PARA RESOLVER PROBLEMAS El uso de las expresiones y símbolos matemáticos ayudan a la comprensión de las ideas matemáticas; sin embargo, estas no son fáciles de generar debido a la complejidad de los procesos de simbolización. En el desarrollo de los aprendizajes matemáticos, los estudiantes, a partir de las experiencias vivenciales e inductivas, emplean diferentes niveles del lenguaje. Al inicio usan uno de rasgos coloquiales y paulatinamente van empleando el simbólico, hasta llegar a un lenguaje técnico y formal a partir de un proceso de convención y de acuerdos en grupos de trabajo.
n Trá
ti má
Lenguaje técnico - formal
Situación matemática
Situación vivencial
establecer vínculos o respetar restricciones entre diferentes variables.
Gran parte de los conocimientos matemáticos están organizados de forma integral: se combinan hechos. Modelos que posibilitan la visualización de lo que no podemos observar directamente.
Propician una serie de situaciones representativas para establecer relaciones de generalización o particularización. procedimientos y conceptos matemáticos. Se pueden emplear:
Que promueven prácticas inductivas
Procedimientos experimentales. conceptos y relaciones entre ellos. Argumentar implica varias acciones: cuestionarse sobre cómo conectar diferentes partes de la información para llegar a una solución.	ARGUMENTAR La actividad matemática involucra emplear objetos. procedimientos. formas de representación. seguido tentativamente por respuestas. Se reconocen cinco estrategias que propician la argumentación:
Estrategias De exposición De discusión De indagación Características Los organizadores visuales son recursos eficaces para estructurar los conocimientos en una exposición o discusión. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. llegar a la situación óptima. Simulaciones como formas de ejemplificar.
TODOS PODEMOS APRENDER. por aproximaciones sucesivas. Plantear interrogantes. Pueden ser:
Que promueven la integración de ideas
Estudios de casos. Formulación de contraejemplos. reflexionar sobre las fuentes de información relacionadas o hacer generalizaciones y combinar múltiples elementos de información. Una actividad que propicia el desarrollo y significado de estos conocimientos es la construcción de los mapas mentales. implica el establecimiento de conjeturas para llevar a cabo la validación (justificación) de estas. analizar la información para crear un argumento de varios pasos.F. Los procesos del pensamiento lógico dan sentido a una situación y determinan.
3. finalmente. Estas tareas promueven planteamientos que se orientan a niveles profundos en el desarrollo y uso de conceptos matemáticos. Buscan reconocer respuestas puntuales. En ese sentido. Para lograrlo. Son aquellas orientadas a recibir respuestas amplias y variadas.
Estrategias De relaciones entre datos Características Este tipo de tareas busca establecer una relación o vínculo entre dos o más objetos. procedimientos y objetos matemáticos que no están en un planteamiento original. procedimientos y conceptos matemáticos. concretas y específicas respecto al dominio de un conocimiento o la espera de una respuesta específica en la resolución de problemas. plantearemos tipos de tareas matemáticas para el mejor desarrollo de las capacidades y de la competencia matemática. conocer el procedimiento de solución de un problema). que expresa alguna interacción entre ellos. conceptos. Esta es una propuesta de acción que los profesores plantean a sus estudiantes para el aprendizaje. el desarrollo de la competencia matemática.
De complementación de datos
De desarrollo de problemas reproductivos y algorítmicos De desarrollo de estrategias heurísticas de resolución
. tienen múltiples formas de representación que involucran un desarrollo flexible de ellas. en función de la actividad matemática. Usualmente. de argumentar y de proceder. podemos reconocer que en cada escenario de aprendizaje se deben realizar tareas matemáticas. Promueven planteamientos que se orientan a reproducir conocimientos específicos desarrollados y formas de proceder algorítmicas (es decir.5	Promoviendo tareas matemáticas articuladas
Uno de los elementos importantes para el aprendizaje de las matemáticas son las situaciones en las que el estudiante se enfrenta a problemas. en los que el estudiante desarrolla progresivamente la competencia matemática. A continuación. Consiste en reconocer y expresar uno o varios datos. se requiere de una configuración articulada y planificada de situaciones que orientan el aprendizaje por aproximaciones sucesivas. la movilización de capacidades y. destinadas a reconocer apreciaciones y formas de razonar. es importante plantear escenarios de aprendizaje. Por ello.
implica realizar una acción en la cual basta que se apliquen.4)} MÉTODO DE IGUALACIÓN Ejemplos: a) Resolver el sistema: x+2y =13 3x-y= 11 Solución: x=13. ¿Cómo diferenciar un problema de un ejercicio? Un problema exige movilizar varias capacidades matemáticas para realizar una serie de tareas que nos permitan encontrar una respuesta o solución a la situación planteada.y 3 3(13 -2y)= 11+y 39-6 y=11+ y x=13-2(4) x=13-8 x=5
C. En un problema es necesario que el estudiante dedique un tiempo a la comprensión de la situación.2y = 11 .
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Ejemplos: a) Resolver el sistema: x+2y =13 x=13. se muestra un cuaderno de trabajo de un estudiante que refleja el planteamiento de tareas rutinarias mediante el desarrollo de ejercicios matemáticos.2y 3x-y= 11 Solución: 3x-y= 11 3(13 -2y).S. Un ejercicio consiste en el desarrollo de tareas matemáticas.4)}
Para reconocer y diferenciar un problema de un ejercicio. {(5. Este pensamiento es impreciso. fundamentalmente las que están vinculadas al desarrollo de operaciones. pues permite movilizar las capacidades matemáticas.2y 3x=11 +y 11 + y x= 3 Igualando 13 . Al lado derecho. veamos algunas características de las actividades que realizan nuestros estudiantes: Las acciones del estudiante El ejercicio es una actividad simple y reproductiva. por lo cual las llamamos “tareas rutinarias”. {(5. Muchas veces estas actividades tienen la característica de ser sencillas y de repetición.y=11 39-6 y-y=1 1 39-7 y=11 39-11 =7y 28=7 y 4=y 3y-x= 11 3y-4 =11 3x=15 x=5 C.3.
TODOS PODEMOS APRENDER. en forma algorítmica. Cantidad y calidad Existe la creencia de que un estudiante eficiente en la resolución de problemas desarrolla y resuelve gran cantidad de ejercicios: mientras más ejercicios haga será mejor resolviendo problemas. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. diseñe estrategias.6	Resolviendo problemas
La resolución de problemas es una actividad primordial en nuestra área. los conocimientos ya adquiridos. las desarrolle y evalúe sus resultados y consecuencias.S.
3. que describe las actividades fundamentales que se realizan en el proceso de resolución de cualquier problema matemático en general. A continuación. de manera que facilite su comprensión:
Modelo teórico Comprender el problema Búsqueda de estrategias y elaboración de un plan Ejecutar el plan Desarrollar una visión estratégica
Para los estudiantes Antes de hacer. promueve la investigación. por último. despierta una fuerte carga de participación del estudiante por querer resolver el problema. Una situación problemática. un problema es un reto para él. Hemos propuesto un nombre coloquial a la nomenclatura formal de cada fase. siente la satisfacción de haber solucionado el problema.Las investigaciones demuestran que los mejores resolviendo problemas invierten más tiempo en dos procesos: la comprensión y la metacognición o evaluación de sus resultados. En cambio. En ella moviliza experiencias previas y conocimientos adquiridos. vamos a entender Elaboramos un plan de acción Desarrollamos el plan Le sacamos el jugo a la experiencia
En el manual del docente de los módulos Resolvamos 1 y 2 se puede profundizar la información correspondiente. hace supuestos. Desarrollo de capacidades Un ejercicio tiene por objetivo que el estudiante replique conocimientos aprendidos. diseñar una estrategia. por el contrario. sin darle significatividad al desarrollo. la experimentación. técnicas y métodos dentro de rutinas establecidas. existen varios esquemas que presentan el orden más adecuado para situaciones novedosas. procedimientos. traza planes y. ejecutar el plan y desarrollar una visión. presentamos el esquema propuesto por George Pólya (1945). la búsqueda de regularidades y el desarrollo de estrategias de resolución. lo que puede generar que el estudiante actúe automáticamente. Esto implica reconocer que resolver un problema con calidad requiere más tiempo.
.7	Fases de la resolución de problemas
En la resolución de problemas. Este esquema muestra cuatro pasos para la resolución del problema: comprender. Desarrollo de cualidades personales Un ejercicio implica reproducir conocimientos.
asimismo. permite que los estudiantes intercambien ideas entre los grupos. 2010). Respecto a las diversas propuestas dinámicas de trabajo cooperativo en la enseñanza y aprendizaje. impulsa el planteamiento de distintas estrategias de resolución y puede ayudar a comprender mejor el problema.3. presentamos tres formas de organización que podrían acompañar tales dinámicas: a)	Trabajo simultáneo con equipos
El número de integrantes en los trabajos de grupo depende del criterio del docente. se recomienda revisar el documento Orientaciones para el Trabajo Pedagógico del Área de Matemática (MED.
b)	Trabajo diferenciado con equipos En esta organización. Ellos tienen el rol de dirigir y orientar el proceso de la resolución de problemas. en el cual participan todos los integrantes. el docente asume un rol mediador con todos los equipos de trabajo.8	Promoviendo el trabajo cooperativo
El trabajo en equipo permite el intercambio de opiniones entre estudiantes.
En este esquema de organización.
c)	Trabajo diferenciado con monitores de equipo En esta organización. asimismo. A continuación. el docente delega el liderazgo a un monitor responsable por cada grupo de trabajo. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Sin embargo. el docente focaliza el trabajo mediador en el grupo que lo considere necesario. deja en libertad a los otros grupos en el desarrollo de la resolución de problemas. lo conveniente es un promedio de tres o cuatro integrantes.
Sesión laboratorio matemático: Lo que significan sobre y debajo
Sesión laboratorio matemático: Jugando con las cargas
Sesión taller matemático Resolución de problemas con números enteros
. deber. la existencia de signos que les preceden. y otros como reducir. la progresión de los conocimientos matemáticos.IV. menos que. en el sistema numérico. Los estudiantes en la primaria desarrollan de forma amplia los números naturales. en los diversos escenarios de la vida cotidiana. la promoción de tareas matemáticas y la resolución de problemas. de cifras que superan el concepto de cantidad que mostraban los números naturales. por medio de materiales manipulativos y cotidianos en los que se muestra la necesidad de su utilización. más que. mediante conceptos como añadir. de un laboratorio y de un taller de matemática. A continuación. las orientaciones para el desarrollo de las capacidades matemáticas. su orden y sus operaciones. para luego ir formalizando y constituyéndolo como un aspecto que moviliza la competencia matemática en los estudiantes. mostraremos situaciones que permiten integrar los temas que hemos abordado: se desarrollan las situaciones de un proyecto. sobre. Para ello.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a los números enteros?
Hemos reconocido los escenarios de aprendizaje. En el estudio de los números enteros es preciso afianzar su representación en la recta numérica. tener. es importante mostrar un desarrollo en la adquisición del significado y uso de este campo numérico a partir de situaciones vivenciales.
Proyecto matemático: Haciendo el presupuesto familiar
El concepto de número entero implica la inclusión.
los egresos y el ahorro que realiza cada familia. ingresos y ahorro familiar. Recojo de datos en el entorno familiar. En ese contexto. ingreso-egreso. Tiempo 3 sesiones de 90 minutos Productos parciales /totales de los estudiantes Cronograma de actividades Fichas llenadas de recojo de datos Sociodrama de simulación familiar Papelógrafo de ingresos y egresos familiares
TODOS PODEMOS APRENDER. la situación económica en el hogar constituye un serio problema que afecta a la familia. Asigna a cantidades el signo positivo o negativo en situaciones contextualizadas. los estudiantes desarrollarán un proyecto de aprendizaje que tendrá una duración de una semana. Sociodrama que explique los problemas de presupuesto. Indicador: Construcción del significado y uso de los números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas Describe situaciones (ganancia-pérdida. Realizar una dramatización de situaciones problemáticas respecto al presupuesto familiar. <. cada miembro del equipo ejercerá un rol familiar. Presentar los ingresos. Expresa la imposibilidad de la solución en situaciones de sustracción con los números naturales para extender los números naturales a los enteros. altitud y temperaturas) que no se pueden explicar con los números naturales. ≤. en el cual cada grupo realizará un cuadro informativo y la dramatización de un problema relativo al presupuesto de la familia. Usa las expresiones =. En estos casos. orden cronológico. Elaboración de un esquema en un papelógrafo en el que expresan los ingresos. Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno al aumentar y disminuir. ≥ para establecer relaciones de orden entre los números enteros.1	Algunas situaciones de aprendizaje
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Algunas familias no realizan un adecuado presupuesto que les permita asumir sus gastos de forma responsable. empleando la recta numérica.4. Geografía y Economía
Propósitos Recoger datos respecto a los ingresos y egresos en la economía del hogar. >. Presentación de cuadro de gastos. Conocimiento Números enteros Contexto Ambiente familiar Áreas afines Educación para el Trabajo Historia. Organización en equipos de trabajo. Conocimientos previos Números naturales Operaciones con los números naturales Actividades Constitución de equipos de trabajo y proyección de las tareas a desarrollar. egresos y ahorro de diversas familias. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Elabora estrategias para ordenar y comparar cantidades (asociadas al número entero) en la recta numérica.
59 S/.	¿Cómo se relacionan el ingreso.240 S/.	Expliquen cómo encuentran el dato que falta.130 S/.	¿Cuál es la condición que debe existir entre los ingresos y los egresos en el entorno familiar? 5.° 1
Entrevisten a una familia y hagan un registro de datos.Actividad N. 4.	Si no consideramos otros gastos en el presupuesto.500 S/.3600
1.° 2
La familia de Alejandro Sebastián Díaz tiene el siguiente presupuesto:
Ingresos . ¿qué ocurrirá? Justifiquen su respuesta.egresos Ingreso Egresos Recibo de luz Recibo de agua Alimentación Transporte Otros gastos Ahorros S/. el egreso y el ahorro? 3.230 Monto S/. 2.
Actividad N.	Determinen una expresión matemática que les permita explicar cómo se obtiene el ahorro familiar.
1.Actividad N. NADIE SE QUEDA ATRÁS
TODOS PODEMOS APRENDER. 3. El objetivo es que los estudiantes adquieran la noción del número entero. a partir de la actividad vivencial. expliquen qué operaciones matemáticas expresarían el problema sobre el presupuesto. y el registro de ingresos y egresos en el presupuesto de la familia. los estudiantes parten de un problema real y reconocen situaciones relacionadas con la economía familiar (de ingresos y egresos) a partir del contexto: entrevistan a un grupo de familias. Presenten la operación. Ello implica que adviertan y reconozcan que los números naturales no van a poder dar solución a los problemas relacionados con el presupuesto familiar.	Con sus conocimientos respecto a los números.
En estas actividades. comunicándose con un lenguaje que es comprensible para los entrevistados y el entrevistador.	Elaboren un presupuesto que exprese un problema familiar:
2. y registran los datos recogidos.	Elaboren un sociodrama que exprese problemas de presupuesto.
¿Cómo representarías los que están ubicados en una misma distancia pero en diferentes posiciones? Indicador: Construcción del significado y uso de los números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas Describe situaciones (ganancia-pérdida. altitud y temperaturas) que no se pueden explicar con los números naturales. ingreso-egreso. 2. Elabora estrategias para ordenar y comparar cantidades (asociadas al número entero) en la recta numérica. Conocimientos previos: Significado de los números enteros Tarjetas para expresar los mensajes. Ordena datos en esquemas de organización que expresan cantidades y operaciones.
. orden cronológico. minutos Sirve para: Interpretar el significado del signo positivo y negativo. Conocimiento Números enteros y su ubicación en la recta numérica Contexto Situación lúdica Áreas afines Historia. Texto del grado. Resolver problemas que involucran representaciones en la recta numérica. empleando la recta numérica.Situación 2
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Hay objetos que se encuentran sobre el nivel del mar (como el avión) y otros. Geografía y Economía
Cómo hacerlo: Tiempo: El docente plantea un reto lúdico que genere y movilice en los Una sesión de 90 estudiantes cierto interés por la actividad propuesta.° 1
1. Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno al aumentar y disminuir.	Ficha para mensajes
Grupo que elaboró el mensaje Objetos que elegimos: 1. Números naturales Grupo que recibió el mensaje Creemos que el objeto es el:
Actividad N. bajo el nivel del mar (como el submarino). Explica las condiciones de oposición. Asigna a cantidades el signo positivo o negativo en situaciones contextualizadas. Necesitas: Que los estudiantes reconozcan las reglas de juego.
necesitan organizarse en parejas: Observen la imagen. Envía un mensaje por escrito a otra pareja indicando la ubicación de los cuatro objetos que eligieron. deben encontrar la falla y corregirla. Pág.
Adicionalmente. Si hubo equivocaciones. 105. Cuando terminen. hay una condición: en el mensaje no vale señalar o ser específico con un dibujo o una flecha. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. volumen 1.800 m
Para jugar. los anotan en el mensaje y lo regresan al grupo que lo envió.
TODOS PODEMOS APRENDER. M. cada pareja revisa si la otra interpretó correctamente. Cada pareja escoge cuatro objetos. Cuando los hayan encontrado. La pareja que recibe el mensaje debe interpretarlo para saber cuáles fueron los objetos que sus compañeros eligieron.
Adaptación: Araujo. y otros (2008). Matemáticas I.
también hay objetos sobre el nivel del mar y bajo el nivel del mar. 7.Actividad N. 3.	¿Cómo harían para expresar las distancias sobre el nivel del mar y bajo el nivel del mar? 3. 5.	Utilicen el sistema empleado y completen la tabla. ¿Qué características tiene la ubicación de la gaviota en relación con la del buzo? Señalen otras situaciones similares. 9.	¿Por qué es importante utilizar signos “+” o “-” posiciones de los objetos?
7. ¿qué los diferencia?
2. 50 m avión nube 2m peces submarino 80 m barco Dibujo gaviota
4. ¿Cómo representarían a los objetos que están ubicados sobre el nivel del mar? ¿Cómo representarían los objetos que están ubicados bajo el nivel del mar? 5.
Ubicación 1. 6.	Completen la siguiente tabla usando los signos “ +” o “–“ según corresponda:
Objeto Calamar a 20 m bajo el nivel del mar Un barco al nivel del mar Una gaviota a 50 m sobre el nivel del mar Un buzo que está a 50 m bajo el nivel del mar Un avión que vuela a 700 m sobre el nivel del mar Ubicación
6.	El barco está ubicado a nivel del mar. 4.
.° 2
Respondan las siguientes interrogantes: 1. 8.	El avión y el submarino se encuentran a la misma distancia del nivel del mar. 2.
reconocen las posiciones de los objetos y seres vivientes.	Diego vive en un edificio de 20 pisos que tiene 5 niveles de sótano. baja después 5 pisos y.
Para expresar grandes números enteros en la recta numérica.° 3
En grupo En matemáticas se usa la recta numérica simétrica para ubicar a los números positivos. Se determina el lugar del cero. nociones que utilizarán cuando resuelvan problemas que involucran el desarrollo del significado y uso de los signos. Parte en En pareja ascensor desde el nivel 2 para subir hasta su departamento. asimismo. las divisiones deben ser exactas y expresarse los números en ellas. ¿A qué profundidad está al cabo de 5 minutos? ¿Cuántos metros le faltan en ese momento para llegar a la superficie? Expliquen cómo han realizado su representación para resolver este problema. negativos y al cero.
En estas actividades.Actividad N.° 4
Resuelvan situaciones problemáticas: 1. vivió entre los años 582 y 496 a. ¿En qué piso del edificio vive? ¿Qué estrategia es conveniente aplicar para resolver este problema? 2. Posteriormente.	Respecto a las actividades realizadas. reconocerán que el uso de la recta numérica es una estrategia pertinente para resolver este tipo de problemas. en Reflexionen y respondan los estudiantes llegan a un acuerdo respecto al significado del “+” y “-”. Los estudiantes atribuyen el signo positivo o negativo cuando se percatan de que dos objetos tienen la misma distancia.
TODOS PODEMOS APRENDER. filósofo y matemático griego.
1. ¿qué conocimientos previos han reconocido y en qué se diferencian de los nuevos ahora planteados?
Actividad N.se ubican a la izquierda del cero.	Un buzo se encuentra a una profundidad de 32 metros y empieza a subir 4 metros por minuto. ¿A qué edad murió? 3. pero son opuestos con relación al “sobre” y “debajo”. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. los estudiantes parten de una situación lúdica cuya dinámica genera una condición de diálogo entre sus pares. en el desarrollo comprenden que es necesario atribuir un símbolo que los diferencie. vuelve a subir 2 pisos. Pero hay otras personas en el ascensor y no puede ir directamente a donde quiere. finalmente. después los números con signo + se ubican a la derecha del cero y los números con signo . Realiza el siguiente trayecto: sube primero 8 pisos.	Se afirma que Pitágoras. intercambian opiniones. C.
¿qué decisiones deberá tomar? Esta situación se presenta en muchos hogares donde no hay una adecuada planificación del ingreso familiar. Indicadores: Construcción del significado y uso de las operaciones con números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas Experimenta situaciones (ganancia-pérdida. Realizar operaciones con los números enteros. Necesitas: Fichas de carga “positiva” y “negativa”. incluyendo la potenciación.° 1
A continuación. Para estas operaciones. Elabora estrategias para resolver operaciones aditivas. presentamos problemas en situaciones reales que se resuelven con operación de números enteros. Geografía y Economía Ciencia. Conocimiento Operaciones con números enteros Contexto Situación familiar Áreas afines Historia. Tecnología y Ambiente
Cómo hacerlo: Tiempo: El docente plantea un reto lúdico que genere y movilice en los Una sesión de 90 minutos estudiantes cierto interés por la actividad propuesta. Tapete de enteros 2. utilizaremos el material concreto de las fichas de carga. Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno a aumentar y disminuir. Fichas de carga positiva y negativa Orientaciones Realiza operaciones con números enteros usando las fichas. Sirve para: Interpretar el significado del signo “positivo” y “negativo”.
Recursos 1. empleando la recta numérica. Conocimientos previos : Significado de los números enteros
Texto del grado. Resolver problemas que involucran representaciones en la recta numérica. Ordena datos en esquemas de organización que expresan cantidades y operaciones aditivas y multiplicativas con números enteros. Que los estudiantes reconozcan las reglas de juego. Aplica las reglas de signos en operaciones aditivas y multiplicativas.Situación 3
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Si la familia Pérez quiere tener un ahorro de 450 nuevos soles en promedio. ingresos-egresos) que no se pueden explicar con los números naturales. Números naturales
¿cuál fue la temperatura que marcó el termómetro?
TODOS PODEMOS APRENDER. En cada situación. ¿El equipo ganó o perdió? 2.
1. En el tapete se puede anular o agregar el par de fichas + .que representan al cero.	¿De cuánto es la diferencia entre el gasto total y el ingreso? 4. un equipo recibe 4 goles en el primer tiempo y en el segundo tiempo anota 3.	¿Qué es un egreso familiar? ¿Cuál es el monto indicado? 3. etc. por la tarde se registró una temperatura de – 6 °C. El lunes pierde 3 fichas y el martes pierde el doble de lo que perdió el lunes.	¿Qué es un ingreso familiar? ¿Cuál es el monto indicado? 2. primero deberá discriminarse lo positivo de lo negativo. ¿qué decisiones deberá tomar?
Actividad N.	En un partido de fútbol.blogspot.
http://trujillodiwebnoticias.html
Observa el gráfico y responde las siguientes preguntas:
1.	La ficha (+) representa + 1. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Si durante la noche la temperatura descendió 2 °C. primero resolveremos estos problemas apoyados con el material concreto FICHAS DE CARGA. Cinco fichas (+) representan +5.° 2
Para absolver estas interrogantes.	¿Cómo procederías para resolver este problema? Si la familia Pérez Palma quiere tener un ahorro de 450 nuevos soles en promedio. ¿Cuántas fichas perdió el martes? 3. tres fichas (-) representan – 3.	Rodrigo tiene fichas y juega con sus amigos.com/2010/10/elabora-tu-presupuesto-para-el-mes.	En la ciudad de Juliaca. La ficha (-) representa – 1.
¿Por qué es importante usar las fichas de carga?
. se restan los valores absolutos y se coloca el signo del número con mayor valor absoluto.° 3
Reflexionen y respondan: Cuando los números tienen igual signo.	En la ciudad de Huaraz se registran las siguientes temperaturas en los días indicados en la tabla:
Días lunes martes Temperatura máxima 7 °C 10 °C Temperatura mínima .	Diego debe S/.
1.	¿Qué pasa si cambian los signos de la temperatura? ¿Variará la diferencia?
Actividad N.4.8.3 °C .	Expliquen cada situación presentada. ¿Cuánto debe pagar para cancelar su deuda? 5.1 °C
Calculen la diferencia de temperatura que se registró el lunes. Cuando los números tienen diferentes signos. ¿cómo se realiza la operación aditiva? Presenten ejemplos empleando las fichas. Si paga S/.	Cuando los números enteros son de igual signo.	¿Cuáles fueron las estrategias que les sirvieron para resolver estos problemas? 6.2.	¿Qué ocurre en el caso de los números con signos opuestos? ¿Qué características tiene la operación aditiva? Presenten ejemplos empleando las fichas. ¿cuánto debe? La semana siguiente cuenta con S/.
Situación matemática Explicación de lo que ocurre
+6–3 +4–4 + 9 – 11 +4+6 –8–3 4.7 a la dueña del quiosco. 3. se suman los valores absolutos y se coloca el signo común. 2.
entregó tres cheques por valor de S/.
TODOS PODEMOS APRENDER.° 4
Resuelvan situaciones problemáticas: 1. y después ingresó S/. m. m. Asimismo. fichas de carga. subió en 6 °C.34 000.54 000. ¿cómo se afectaría el resultado del problema? 4.
En el desarrollo de este laboratorio. m.	Planteen un problema reconociendo características de su entorno y que se asocie a las experiencias realizadas. de 3 p.	¿Cuáles fueron las estrategias que les permitieron resolver los problemas planteados? 3.. m.21 000.. a las 3 p. 4. se elevó 2 °C.	Alejandro tiene en su cuenta corriente un saldo de S/. m.. bajó 8 °C. m. de 7 a. de 9 a. m. no varió. a 1 p. ¿Cuál es la temperatura a las 12 de la noche? 2. después baja a 1300. en vez de un saldo de S/.° 5
Reflexionen y respondan: 1. a 6 p.. m. ¿Cuál es el saldo actual de su cuenta? 3.9000. para que de forma gradual reconozcan características respecto al uso de los símbolos en las operaciones aditivas con los números enteros. a 9 p.	Con relación al problema anterior.
2.	Un avión sube a una altura de 2000 metros. descendió 4 °C y de 9 p. el estudiante reconoce una situación problemática a partir de un recorte periodístico en el que se observa un informe respecto al presupuesto familiar. de 6 p. a 9 a.13 000 y S/. la temperatura aumentó 3 °C. de la 1 p. ¿A qué altura se encuentra en este momento?
Actividad N.	Elaboren un mapa mental en el que se visualice el número entero y sus operaciones aditivas.. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Si Alejandro hubiera tenido en su cuenta corriente. se resolverán problemas con el material concreto. el monto de S/.Actividad N. vuelve a subir 1500 y baja de nuevo 250 metros. m.	Se registra la temperatura de una ciudad: a las siete de la mañana es de 15 °C sobre cero.. m.40 000. a 12 p. S/.	¿En qué situaciones es conveniente hacer uso de la recta numérica y utilizar las fichas de carga? Presenten dos ejemplos de cada caso. m. m.54 000.
Sirve para: Resolver problemas en los que implican el uso de los números enteros y sus operaciones.Situación 4
Contexto Indicadores: Construcción del significado y uso de las operaciones con Situaciónes variadas números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas Experimenta situaciones (ganancia-pérdida. ingresos-egresos) que no se pueden explicar con los números naturales. Aplica las reglas de signos en operaciones aditivas. Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno a aumentar y disminuir. incluyendo la potenciación. A partir de él se identifican los problemas que van a ser presentados. Conocimiento Números enteros y sus operaciones Grado Primer grado de Secundaria
Cómo hacerlo: Los estudiantes emplearán los textos del grado distribuidos por el Ministerio de Educación. los ca para teriormente. se propone la sesión taller mat apoyados en material concreto.
ro? ciones planteadas acerca del número ente ¿Qué es lo que ha ocurrido con las situa ado estudiantes han identificado y solucion Mediante una actividad vivencial. se planteó una actividad lúdi problemas de presupuesto familiar. Necesitas: Textos del grado Conocimientos previos : Números enteros Operaciones con números enteros
En esta actividad se hace uso del texto educativo distribuido por el Ministerio de Educación. emá nte. seleccionados por un nivel de complejidad que servirán para orientar el desarrollo de las fases de la resolución de problemas. Justifica procesos de resolución de problemas aditivos. empleando la recta numérica. Ordena datos en esquemas de organización que expresan cantidades y operaciones aditivas y multiplicativas con números enteros. Finalme
. Pos enteros eros núm los en operaciones aditivas con el desarrollo del significado de los signos tico. Elabora estrategias para resolver operaciones aditivas.
.blogspot. La estructura de orden total en una recta simétrica. como el que empleamos en la sesión laboratorio matemático: Jugando con las cargas (ver pág.
La noción de opuestos aditivos.2	Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a los números enteros
A. altitudes. en contextos de ganancias y pérdidas. se enfatizan algunas condiciones de las tareas. etc.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE LA CAPACIDAD DE MATEMATIZAR Trabajar con números enteros relacionados con magnitudes y cantidades relativas o “dirigidas” implica orientar la capacidad de matematización apoyándose en:
Ojo con este dato Una tarea matemática es una propuesta de acción que los docentes plantean a sus estudiantes para el desarrollo de sus capacidades. Hacer uso de recortes de periódicos u otras fuentes informativas Para iniciar las actividades matemáticas y orientarnos a desarrollar la capacidad de matematizar. por ejemplo. Para resaltar ejemplos didácticos. por ejemplo.4. presentamos algunas orientaciones sobre cómo propiciar escenarios adecuados para la matematización. cronología. A continuación.com/2010/10/elabora-tu-presupuesto-para-el-mes. 45).
http://trujillodiwebnoticias. en contextos de temperaturas. ingresos-egresos. etc. un buen recurso es el recorte periodístico u otro medio de prensa escrita.
37-39.Recurrir a actividades lúdicas para el inicio de actividades de indagación y exploración La actividad matemática ha tenido siempre un componente lúdico que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones más interesantes que en ella han surgido. El siguiente ejemplo ha sido desarrollado ampliamente en las págs. donde presentamos el siguiente juego:
Recurrir a actividades vivenciales En la actividad vivencial como proyecto de aprendizaje. Actividades
Organización en equipos de trabajo. el juego es muy importante como impulso inicial para el desarrollo de la capacidad de matematización. Propósito Recoger datos respecto a los ingresos y egresos en la economía de un hogar. 41 de este fascículo. en la cual moviliza sus saberes previos en torno a la matemática. Elaboración de un esquema en un papelógrafo en el que expresan los ingresos. los egresos y el ahorro que realiza cada familia. egresos y ahorro familiar
. lo que implica la realización responsable del presupuesto. Presentación de un cuadro de gasto. así como de un sociodrama que explique los problemas de presupuesto. En ese sentido. Un ejemplo de ello lo podemos ver en la pág.
Producto Cuadro de ingresos. el estudiante se enfrenta a un problema real. cada miembro constituirá un rol familiar. ingreso y ahorro familiar. Situación problemática Una de las actividades básicas que toda familia realiza es la organización de los ingresos y egresos en la economía del hogar.
un equipo recibe 4 goles en el primer tiempo y en el segundo tiempo anota 3. es recomendable representarlos en la recta numérica. ¿Ganó o perdió el equipo?
Lee – 4 como 4 negativo o menos 4 y + 3 como 3 positivo tapete
TODOS PODEMOS APRENDER.4)
= Así. se pueden usar recursos manipulativos para expresar las operaciones aditivas y multiplicativas. por ejemplo. se pueden emplear esquemas gráficos para la resolución. Este modelo ilustra esta relación de forma concreta. que conlleva mayor grado de dificultad.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE REPRESENTACIÓN Para que el estudiante comprenda el significado y las operaciones de los números enteros. Asimismo. A continuación. PROBLEMA: En un partido de fútbol. 45 y 46. desarrollamos algunos de los problemas enumerados en las págs.1
Rpta. como si se tratara de un proceso de cargas eléctricas. Perdió un gol. las operaciones aditivas con los números enteros.
(. Hacer uso del material concreto El material concreto (en este caso las fichas de carga) permite orientar a los estudiantes en la constitución de esquemas procedimentales. En un paso posterior.4) + (+3) (-4 ) + ( +3 ) = -1
. Cada signo positivo (+) representa “+1” y cada signo negativo (–) representa “–1”.B. NADIE SE QUEDA ATRÁS
2 x (-3 ) = .gob. Comienza con un tapete vacío. 1982). Paso 2 Coloca un conjunto de 3 fichas negativas. Mediante el empleo de esta herramienta.
El aprendizaje de las matemáticas parte del uso del material concreto. Perdió 6 fichas. A partir de la manipulación de los objetos de su entorno se desarrollan las capacidades y de esta forma se construyen significados de los conceptos que son parte del aprendizaje. Se descarta así la creencia de que la calculadora reduce el desarrollo de capacidades matemáticas por parte de la persona que la emplea. Coloca en él dos conjuntos de 3 fichas. El lunes pierde 3 fichas y el martes pierde el doble de fichas de lo que había perdido el lunes. etc.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s1_f6.
Las calculadoras estimulan la actividad matemática.PROBLEMA: Rodrigo tiene fichas y juega con sus amigos. aumenta la motivación de los niños por la matemática (Fielker. 1986). La cantidad final de fichas que aparece en el tapete es el resultado. discutir con mayor libertad.minedu. los estudiantes tienen mayores posibilidades para tomar una decisión.
Paso 3 Coloca el doble del conjunto inicial de fichas. Incluso. (Cockcroft. Paso 1 Paso 2 Paso 3
Así. Se recomienda visitar: Uso de los recursos tecnológicos en el aprendizaje de la matemática http://sistemas02.6
Rpta. ¿Cuántas fichas perdió el martes?
Construye un modelo de 2 x (-3).
Paso 1 Comienza con un tapete vacío.pdf
pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s3_f3.gob. Paso 1 Paso 2 Paso 3
Así.3 °C
Para ampliar estudios respecto a números naturales. racionales y reales en secundaria http://sistemas02. 7 . agrega 3 pares nulos al conjunto.minedu.gob.gob.1 °C
Calcula la diferencia de temperatura que se registró el día lunes. Como no hay fichas negativas. Se registró una diferencia de 10 °C.pdf Fracciones y decimales http://sistemas02.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s3_f1.( -3)
Comienza con un conjunto de 7 fichas positivas y trata de retirar 3 fichas negativas.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s2_f1.pdf Las medidas a través del tiempo http://sistemas02.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_e_s2_f2.pdf
TODOS PODEMOS APRENDER.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s3_f2.( -3) = 10
Rpta.minedu. racionales y reales. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. enteros. se recomienda visitar: Aspectos metodológicos en el aprendizaje de los sistemas de números naturales.
Solución: Construye un modelo de 7 .minedu.minedu.minedu. enteros.pdf Sistemas numéricos http://sistemas02.PROBLEMA: En la ciudad de Huaraz se registraron las siguientes temperaturas en los días indicados en la tabla:
Días lunes martes Temperatura máxima Temperatura mínima .pdf Números y numerales http://sistemas02. Ahora sí puedes retirar 3 fichas negativas.gob.
para cambiar el sentido al desplazamiento. El signo de la sustracción. ¿Cuál era la temperatura a esa hora?
estudiante: Observa la gráfica que realizó un Temperatura al mediodía
Desde . Este modelo también es útil para ilustrar las propiedades de los números enteros y sus operaciones. el sentido positivo se expresa con desplazamiento hacia la derecha y el sentido negativo. El signo de adición se utiliza para agrupar (juntar) desplazamientos.00 cada vez que compra un sándwich.12. con desplazamiento hacia la izquierda.4 avanza 10 unidades
(+6 ) + (-5) = +1 la noche es de 1 °C. PROBLEMA: En la ciudad de Sicuani el termómetro marcaba 4 °C bajo cero a las 8:00 a.. según que el número sea positivo o negativo. ¿Cuánto gastó en esta semana?
Una forma de resolverlo sería así: (. Respuesta: En esta semana gas
.3. En esta. al mediodía la temperatura había subido 10 °C respecto de lo cual bajó 5 °C en la noche. Esta semana comió 4 sándwichs. m.Haciendo uso de la recta numérica
La recta numérica orienta el desplazamiento en cada uno de sus dos sentidos.3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12 -12 Otra forma de resolverlo es: (+4)(-3)=-12
tó S/. Respuesta: La temperatura en
PROBLEMA: Norma gasta S/.
Su construcción consiste en trazar dos líneas rectas paralelas con una misma escala. +2 > -3
+2 está encima de -3
+2 ºC es una temperatura más alta que -3 ºC
El año 2 d.Construyendo un normógrafo para realizar operaciones con números enteros
Este instrumento permite realizar operaciones aditivas con los números enteros. C.
Una recta vertical para reconocer las relaciones de orden en los números enteros
Algunos estudiantes tienen problemas para establecer las relaciones de orden con los números enteros. entre ellas se dibuja con cuidado otra línea recta con una escala al 50 % respecto a las dos primeras. Para iniciar al estudiante en este conocimiento. en especial por la confusión respecto al signo. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. ellos pueden creer que -2 es menor que -5.
TODOS PODEMOS APRENDER. una estrategia útil es desarrollar estas relaciones de orden en una recta vertical como a continuación se expresa. es posterior al año 3 a. y el resultado se obtiene en el segmento de cruce en la recta del centro. Se pueden realizar diversas operaciones con los números enteros solamente haciendo el cruce de los números en las dos rectas (una superior y otra inferior). Por ejemplo. C.
: Se encuentra a 1950 m
. después baja 1300 metros. se precisan algunos rasgos de las tareas.2012 (niveles de demanda cognitiva de Stein). Otra estrategia es el empleo de las flechas sagitales. Para el caso de los números enteros. desarrollamos algunos problemas enumerados en las págs. Asimismo. vuelve a subir 1500 metros y baja de nuevo 250 metros. Se sugiere ver los manuales del docente de los textos de Matemática.: Se encuentra a 1950 m
Ojo con este dato Una tarea matemática se puede expresar en distintos niveles de complejidad. distribuidos por el Ministerio de Educación . las que han orientado una secuencia lógica de sucesos. Ello implica que las tareas asignadas deben tener características heurísticas. Rpta. a partir de la condición del problema. Rpta. que permiten reconocer la movilidad que experimentan los números enteros en la recta numérica. 43 y 47.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES SOBRE LA CAPACIDAD: ELABORA ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Es conveniente dotar al estudiante de planteamientos problemáticos con una gran diversidad de estrategias. Es decir.
Un avión sube a una altura de 2000 metros. Para efectos de ejemplos didácticos.
1300 m 2000m-1300m 700m+1500m 2200m-250m 1950m . PROBLEMA:
A partir de este problema podemos reconocer cómo los estudiantes han empleado dos procedimientos diferentes para resolver la situación problemática. se desarrollan de forma dinámica diferentes capacidades.
A continuación. ¿A qué altura se encuentra en este momento? Primera forma:
Se reconoce que el estudiante ha recurrido a emplear como estrategia el uso de las flechas sagitales. El estudiante ha realizado un procedimiento de la parte y el todo.C. se ha representado cada una de las referidas informaciones. es conveniente tener como apoyo la recta numérica y los esquemas de organización para ordenar los datos y tener un panorama de la situación planteada.
. y de 9 p.. bajó 8 °C.. de 7 a. se reconoce la estrategia de establecer submetas. emplean las flechas sagitales para orientar el proceso que realiza.: A las doce de la noche temperatura es de 14 ºC
En esta situación. de 3 p. de 9 a. se ha optado por una secuencia a partir de los datos planteados. de 6 p. m. descendió 4 °C. el estudiante ha procedido a establecer una lista sistemática a partir de las condiciones del problema para su desarrollo.PROBLEMA: Se registra la temperatura de una ciudad: a las siete de la mañana es de 15 °C sobre cero.. m. m.: Es 14º C
TODOS PODEMOS APRENDER. desarrollando el proceso en cada etapa. subió en 6 °C. a 9 a. m. m. m.. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. la temperatura aumentó 3 °C.. a 1 p. a 12 p. m. Asimismo. m. ¿Cuál es la temperatura a las 12 de la noche? Primera forma:
+3 ºC 18 ºC
+6 ºC 24 ºC
+2 ºC 26 ºC
-4 ºC 22 ºC
-8 ºC 14 ºC
la Rpta. a las 3 p. a 9 p. m. m. se elevó 2 °C. Es decir. no varió. a 6 p.
7ºC : 15ºC 7ºC a 9ºC : 9ºC a 1ºC : 1ºC a 3ºC : 3ºC a 6ºC : 6ºC a 9ºC : 9ºC a 12ºC : 15+3=18ºC 18+6=24ºC 24ºC 24+2=24ºC 26-4=22ºC 22-8=14ºC
Rpta. m. m. de la 1 p.
En esta otra situación.
¿A qué profundidad está al cabo de 5 minutos? ¿Cuántos metros le faltan en ese momento para llegar a la superficie?
Se recomienda orientar al estudiante a que haga una adecuada escala en la referida recta.
a la superficie. ¿En qué piso del edificio vive? Otra estrategia para resolver problemas con números enteros es recurrir a la recta numérica.
PROBLEMA: Un buzo se encuentra a una profundidad de 32 metros y empieza a subir 4 metros por minuto. Rpta. Asimismo.: Vive en el tercer piso.
5 niveles de sótano él parte del nivel 2 del sótano
Niveles del sótano
Rpta. baja después 5 pisos y. En ella se puede reconocer el desplazamiento de acuerdo con las condiciones de la situación planteada. desde donde se encuentra.PROBLEMA: Diego vive en un edificio de 20 pisos que tiene 5 niveles de sótano. que exprese correctamente los desplazamientos realizados en ella.: Le falta 12 m para llegar
. finalmente. vuelve a subir 2 pisos. Parte en ascensor desde el nivel 2 y realiza el siguiente trayecto para llegar a su departamento: sube primero 8 pisos.
por medio de experiencias vivenciales. da atributos a los valores numéricos en signos positivos y negativos. ambas tien . pero esta •	Se observa que sign o (-). Explica cada situación presentada:
+6 .4 = 0
+9 . empieza a comprender el valor absoluto y expresar las reglas aditivas y multiplicativas en las operaciones con los números enteros. TÉCNICAS Y FORMALES El estudiante. Es importante reconocer que en su cotidianidad el estudiante emplea los números enteros en un lenguaje coloquial. así que •	Bueno. al tener sign la resta y el mayor da el signo a respuesta (+). las actividades lo deben llevar al manejo adecuado del lenguaje simbólico y formal con los números enteros. er signos •	Se observa que al aten les diferentes se rest y al ser igua queda en cero. es conveniente enfrentar situaciones en las que el estudiante exprese de forma consciente aquellas nuevas expresiones. procedimientos y conceptos matemáticos que está aprendiendo. Asimismo. En ese sentido.11 = -2 +4 + 6 = +10 -8 -3 = -11
Explicación de lo que ocurre os diferentes se •	Bueno. los estudiantes movilizan sus capacidades. se suma y se pone el signo (-)
TODOS PODEMOS APRENDER.3 = +3
+4 . Adicionalmente. respeto y reconocimiento entre sus pares. se resta. todo ello en un espacio de diálogo.
Planteando tareas de complementación de datos
Al resolver problemas. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. o ltad resu en (-). el e pon vez se se suma normal •	Se observa que fact or que altere el hay no que por .	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES SOBRE EL USO DE EXPRESIONES SIMBÓLICAS.D.
n. b. m.) Lo haríamos por sus abreviacion os para expresar o (m.  y a “bajo el nivel del mar”
Utilicen el sistema empleado y completen la tabla. n.) o pondría símbol del mar” con una las condiciones de “sobre nivel con una . m.A continuación. según los datos de la pág. 41
Ubicación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 50 m  80 m  Cero 2m  80 m  700 m  50 m  700 m  800 m  Dibujo Gaviota Peñasco Barco Delfín Peces Submarino Buzo Avión Nube
Completen la siguiente tabla usando “+” o “-“ según corresponda:
Objeto Calamar a 20 m bajo el nivel del mar Un barco al nivel del mar Una gaviota a 50 m sobre el nivel del mar Un buzo que bucea a 50 m bajo el nivel del mar Un avión a 700 m sobre el nivel del mar
Ubicación -20 m 0 m +50 m -50 m +700 m
. 42: ¿Cómo harían para expresar las distancias sobre el nivel del mar y bajo el nivel del mar?
es (m. s. desarrollamos algunas actividades presentadas en la pág.
símbolos. imágenes. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. es importante promover afirmaciones basadas en fundamentos experimentales y propiciar la asimilación de esquemas de organización mental. Este programa es una de las herramientas aplicativas encontradas en las computadoras laptop XO de secundaria. El propósito es articular ordenada y lógicamente el conocimiento que se está empleando para generar así comprensión significativa. logos. se precisan algunas condiciones de las tareas escritas.
Los mapas mentales son una estrategia gráfica para organizar el conocimiento mediante la articulación de palabras. frases. Para resaltar ejemplos didácticos.E.
TODOS PODEMOS APRENDER. De esta forma se busca reconocer las redes conceptuales que el estudiante está desarrollando en la comprensión de los números enteros.
+ Recta numérica
Adición -2 < -1
El Freemind es un software educativo que se utiliza para la construcción de mapas mentales.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES ACERCA DE LA ARGUMENTACIÓN Si bien el estudiante manifiesta el significado y el uso del número entero. colores y relieves. dibujos.
Ojo con este dato Una tarea matemática puede ser expresada de forma verbal o escrita y no debe perder de vista su intención. Por lo que se puede promover el desarrollo de estos mapas en los estudiantes.
Sin embargo. fracción para comparar. resultado exacto de una división). restas. se plantea la organización de proyectos.
Proyecto matemático: Dando mantenimiento a nuestro espacios recreativos
Sesión laboratorio matemático: Decisión oportuna
En ese sentido. relación de medidas. la claridad. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a los números racionales?
Los estudiantes del V ciclo pasan al VI ciclo con aprendizajes en torno a las fracciones. es conveniente propiciar las condiciones para reconocer las distintas interpretaciones que ofrecen las fracciones en el contexto (medidas. han desarrollado nociones (la fracción como parte-todo. se trabajará la relación de los números racionales y se practicará la lectura y escritura en sus expresiones fraccionaria. Es conveniente que los estudiantes se enfrenten a situaciones problemáticas próximas a la realidad en las que realizan operaciones tales como sumas. producir diferentes resoluciones y aportar ideas para enfrentar los problemas propuestos. laboratorios y talleres matemáticos de forma articulada que traten de visibilizar una propuesta didáctica para el desarrollo de aprendizajes con los números racionales. tasas.V. así como las diferencias de interpretación de fracciones positivas y negativas. También. multiplicaciones. la generalidad y el alcance de lo que se produzca. divisiones y obtención del común denominador de varias fracciones. Esto involucra crear un ambiente que aliente a los estudiantes a experimentar. es importante que el estudiante represente el número racional en la recta numérica y descubra las condiciones de densidad que tienen estos números. resoluciones e ideas deberían constituirse a partir de contextos reales en los cuales el docente organice las interacciones en la clase. con el objeto de discutir sobre la validez. como porcentaje) y procedimientos operativos. decimal y notación científica. ensayar. Los ensayos. asimismo. la precisión. Además.
. fracción como medida.
actividades Realizar un presupuesto de los costos que involucraría un Fichas llenadas con mantenimiento a la cancha de fulbito. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Tecnología y Ambiente
Conocimiento Propósito Realizar medidas de ambientes de un colegio. Aplica las propiedades de las operaciones en números racionales. Cronograma de Anotar las medidas en una tabla. los datos recogidos Conocimientos previos:
TODOS PODEMOS APRENDER. hay espacios recreativos que deben pintarse nuevamente para que luzcan bien cuidados. tiempo. En ese sentido. cada miembro realizará parciales /totales de los estudiantes actividades de medición de la cancha de fulbito. Justifica procesos de resolución de problemas. capacidad de almacenamiento en bytes). Explica el uso de las representaciones de números racionales y las operaciones pertinentes. es importante saber las condiciones para realizar este mantenimiento. longitud. Ordena datos en esquemas de organización que expresan fracciones y decimales a partir de cantidades. Manifiesta acuerdos consensuados para el reconocimiento de las propiedades aditivas. Tiempo: 2 sesiones de 90 minutos Números fraccionarios Operaciones con los números fraccionarios Productos Organización en equipos de trabajo.1	Algunas situaciones de aprendizaje
Proyecto matemático: Dando mantenimiento a nuestros espacios recreativos
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Con el paso de los años. Indicador: Construcción del significado y uso de las operaciones con números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables Experimenta y describe situaciones de medición (masa. Grado Segundo grado Secundaria de Números racionales Contexto Ambiente escolar Áreas afines Educación Física Ciencia.5.
¿Qué características tienen los números y las operaciones empleadas? 2. ¿Qué acción tendría que realizar? Justifiquen su respuesta. el perímetro y el área de la cancha de fulbito. 5. 1. qué realizarían primero. 1. alrededor del cual se traza un círculo con un radio. en este caso.° 2
Si un balde de pintura tiene un costo de S/.° 3
1.	¿Es posible representar los resultados obtenidos en otras formas de expresión? Justifiquen su respuesta.	¿Cuánto es el costo para pintar toda la cancha de fulbito? 2. En este grupo de actividades el objetivo es realizar medidas apoyados en instrumentos.	¿Las operaciones que realizaron han sido exactas? 4. a partir de los cuales se van a registrar datos y a expresar operaciones sobre los problemas.	Si quieren hacer un presupuesto semejante. los lados más largos se denominan líneas de banda.70 y este aproximadamente pinta una franja de 4. Las actividades están orientadas a que el estudiante reconozca en el entorno la presencia de números que se expresan en magnitudes. En grupo El terreno de juego está dividido en dos por una línea media.
Los estudiantes han trabajado con los números decimales desde la primaria.	¿Cuántos baldes de pintura se necesitan? 3.	¿Qué recursos han empleado para realizar las medidas? En pareja 3. El centro del campo está marcado con un punto en la mitad de la línea media.	Completen los siguientes datos a partir de las medidas realizadas:
Detalle Perímetro de la cancha Perímetro del área Longitud de la línea media Medidas
Actividad N. ¿está en función de qué?
Actividad N. líneas de meta. centímetros o metros. los dos más cortos.	La cantidad de pintura que se requiere para pintar. 6.	Alejandro se percata de que los cálculos para determinar la cantidad no son exactos.° 1
En la cancha de fulbito.5 metros.Actividad N. 2.25.	Midan la línea media.
tiempo. Aplica las propiedades de las operaciones en números racionales. Conocimiento Números racionales y operaciones aditivas Contexto Situación lúdica Áreas afines Educación para el Trabajo Persona. para lo cual requieren construir un quiosco con una base de madera que tenga un grosor de una pulgada. Sirve para: Resolver problemas aditivos con los números racionales Necesitas: Una regla graduada en centímetros y pulgadas Conocimientos previos: Número decimal Operaciones con números fraccionarios
TODOS PODEMOS APRENDER. Justifica procesos de resolución de problemas.395 pulgadas). longitud. capacidad de almacenamiento en bytes). Para que ellos tengan una mejor idea de la situación que se les plantea. (1 pulgada = 2. La escuela solo cuenta con dos piezas de madera. Ordena datos en esquemas de organización que expresan fracciones y decimales. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. 1 cm = 0.Situación 2
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA En la IE Andrés Avelino Cáceres se va a realizar el festival pro fondos chocolatada navideña. Una sesión de 90 minutos respecto a la comparación del grosor de las maderas. una de media pulgada y otra de un tercio de pulgada. ¿el grosor para la base será suficiente?. puede sugerirles que utilicen una regla graduada en pulgadas y centímetros y así trabajar con los tamaños reales de las medidas de las tablas de madera. Si se empalman estas dos piezas. Manifiesta acuerdos consensuados para el reconocimiento de las propiedades aditivas. Familia y Relaciones Humanas
Tiempo: Cómo hacerlo: Se le va a presentar una situación problemática a los estudiantes. Aplica variadas estrategias para resolver problemas que involucran operaciones entre fracciones. Explica el uso de las representaciones de números racionales y las operaciones pertinentes.54 cm. ¿cuánto faltaría o sobraría? Indicador: Construcción del significado y uso de las operaciones con números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables Experimenta y describe situaciones de medición (masa.
Adaptación: Araujo.° 1
En la IE Andrés Avelino Cáceres se va a realizar el festival pro fondos chocolatada navideña. ¿creen que se obtendrá el espesor deseado para construir la base? ¿Cuál sería su grosor? Pueden hacer un diagrama para calcularlo. ¿el grosor para la base será suficiente?.	Al empalmar las tablas. y otros (2008). para lo cual requieren construir un quiosco con una base de madera que tenga un grosor de una pulgada. M. Si se empalman estas dos piezas. una de media pulgada y otra de un tercio de pulgada.	¿Cuánto falta o le sobra para alcanzar el grosor de la base que se requiere construir?
3. ¿cuánto faltaría o sobraría? Utilicen el diagrama para encontrar la suma de media pulgada más un tercio de pulgada.Actividad N. Matemáticas I. La escuela solo cuenta con dos piezas de madera. ¿cuál es su grosor?
2. Pág. ¿Cuánto faltaría o sobraría para alcanzar el grosor de la base?
. volumen 2.	Si las medidas del grosor de las tablas de madera fueran 4 de pulgada y 6 de pulgada. 107.
Consideren que se quiere formar la base con tablas cuyos grosores se señalan en cada uno de los renglones del siguiente cuadro.
.	¿Qué fracciones equivalentes utilizaron para calcular el grosor de las tablas de 1 y 5? 3 12 7.	Si las medidas del grosor de las tablas fueran: 3 12 pulgada. al empalmarlas. ¿Qué medida debe tener el grosor de la tercera tabla para construir la base? ¿Qué procedimiento han realizado para obtener las respuestas? Lleguen a acuerdos en el grupo.	¿Qué fracciones equivalentes utilizaron para calcular el grosor de las tablas de 3 y 2 de pulgada?
1 de pulgada y 5 de 5.4. ¿cuál sería su grosor? ¿Cuánto faltaría o sobraría para alcanzar el grosor de la base? 1 1 2 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 6 1 2 1 6 1 3 1 6
se enfrentan a problemas variados y es válido que recurran a diversos procedimientos que ellos crean convenientes. Posteriormente. Finalmente.	Un agricultor dice: “Las heladas me estropearon 10 de la cosecha.° 3
Resuelvan situaciones problemáticas 3 1. 3 2 6 Al expresar la operación anterior con fracciones equivalentes con igual denominador. Por ejemplo. el denominador común se puede obtener multiplicando los denominadores y convirtiendo las fracciones a fracciones equivalentes. ¿Quién tenía razón? (Plantear argumentos desde la mirada del agricultor y otra desde la mirada del amigo). Atienden cada interrogante planteada como desafío. en el siguiente caso: 4 + 1 .	Creen un problema donde apliquen la estrategia descrita. se deben obtener fracciones equivalentes con denominador común. y luego la inundación me hizo estropear 4 de lo que se tenía en 10 10 el almacén.2 = 11 . has salvado casi la cuarta parte de la cosecha”.
A partir de una situación problemática.	Un pasante recorre en la primera hora del camino.Actividad N. 3 y 6 es 6. se obtiene: 4 + 1 . la sequía me hizo perder otros 3 . ¿En cuál de las tres horas 7 ha realizado el recorrido de prisa? 3 2.° 2
Reflexionen y respondan Para sumar o restar números racionales expresados en dos o más fracciones En grupo que tienen diferente denominador. en trabajos de grupo.2 = 8 + 3 .
.2 = 9 6 6 6 3 2 6 6 6 6 En otras ocasiones. Un amigo del agricultor le responde: “No exageres.2 el denominador común de 2. los estudiantes ven la necesidad de resolver el problema apoyados en una representación gráfica. 1. llegan a institucionalizar las operaciones con fracciones de diferente denominador a partir de la experiencia de lo realizado con los gráficos. No me queda nada”. en la segunda En pareja 7 hora 1 del camino y en la tercera hora el resto. El denominador común puede ser uno de los denominadores de las fracciones.	Describan la estrategia usada para resolver problemas de denominadores 3 y 7. ¿Son parecidos estos problemas? 2.
fracciones y decimales a partir de cantidades.
TODOS PODEMOS APRENDER. Manifiesta acuerdos consensuados para el reconocimiento de las propiedades aditivas. Justifica procesos de resolución de problemas. han realiza entre las lencias equiva cido Posteriormente. Asimis taller. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Aplica las propiedades de las operaciones en números racionales. han estable mas proble o resuelt han mo. Sirve para: Resolver problemas que implican el uso de los números racionales. diversas expresiones con los números racionales. aumentos y descuentos de porcentajes. Operaciones con números racionales. a partir de una actividad lúdica. relaciones de magnitudes proporcionales directas. Los estudiantes. Solucionarán los planteamientos problemáticos por niveles de complejidad.
torno al número ¿Qué es lo que ha ocurrido acerca de las situaciones planteadas en racional? do medidas. Números racionales y operaciones aditivas Grado Segundo grado de Secundaria
Cómo hacerlo: Los estudiantes emplearán el módulo Resolvamos 2. y. A partir del texto se identifican los problemas que van a ser presentados y seleccionados por un nivel de complejidad. Necesitas: Conocimientos previos:
En esta actividad se hace uso del módulo Resolvamos 2. Números racionales. sesión una o propus se aditivos. representación y equivalencias. distribuido por el Ministerio de Educación. a partir de una actividad vivencial. Aplica variadas estrategias para resolver problemas que involucran operaciones entre fracciones. Módulo de resolución de problemas Resolvamos 2. apoyados en un recurso gráfico. que servirán para orientar el desarrollo de las fases de la resolución de problemas.Situación 3
Contexto Construcción del significado y uso de las operaciones con Situaciones variadas números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables Indicador: Ordena datos en esquemas de organización que expresan porcentajes. finalmente.
5. Anotar las medidas en una tabla.
Producto Cuadro informativo de las medidas. el estudiante se enfrenta a un problema real y en ella moviliza sus saberes previos. tres dividido entre cinco).2	Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a los números racionales
A. pero con mucho poder para movilizar el desarrollo de las capacidades. en las bebidas se reconocen etiquetas que expresan con frecuencia 0. Asimismo. Presupuesto de costos. a partir de mediciones. tasas (es más fácil expresar 75 % que la forma de fracción 100 Resultado de una división (por ejemplo. se propone empezar el estudio de los números racionales con una actividad vivencial en la cual los estudiantes registren datos. Relación entre medidas de una misma magnitud. 75 ). es importante saber cuáles son las condiciones para realizar este mantenimiento. se precisan algunas condiciones de las tareas. que indica una cantidad. Actividades
Organización en equipos de trabajo. Para efectos de ejemplos didácticos. como son las de: Ojo con este dato Una tarea matemática siempre debe mostrarse como un reto al estudiante.
En este planteamiento.
En las actividades vivenciales como proyecto de aprendizaje. Porcentajes. para expresar el número racional resultado de la acción. cada miembro realizará actividades de medidas de la cancha de fulbito de la IE. Realizar un presupuesto de los costos que involucraría realizar un mantenimiento de la cancha de fulbito.75 l. El siguiente ejemplo ha sido desarrollado en las págs. la relación entre la distancia recorrida y el tiempo).	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE MATEMATIZAR Los números racionales se manifiestan en diversas situaciones.
. Propósito Realizar medidas de algunos ambientes de un colegio.
Medida (por ejemplo. Situación problemática Con el paso de los años. Relación entre medidas de distintas magnitudes (por ejemplo. hay espacios recreativos que requieren volverse a pintar para que luzcan bien cuidados. En ese sentido. 63 y 64. una medida en la unidad decimal litro). consideremos que las capacidades se desarrollan de forma dinámica y variada. Puede ser una interrogante simple.
RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE LA CAPACIDAD DE REPRESENTA Las habilidades sobre la construcción de los números racionales implican el desarrollo de los objetos mentales de la fracción en una secuencia que va desde un nivel más concreto al más abstracto. medida de una longitud. Por ejemplo: 1 m 5 cm = 105 cm y 1 m 50 cm = 150 cm. comparar la magnitud de una dimensión de un objeto respecto a una magnitud referente. -	Continuo. -	Continuo. El trabajo con contextos de medida permite. apoyarse en expresiones equivalentes para una misma cantidad con el fin de comprobar la validez de las respuestas. Expresar la medida. determinar el largo de una vara con una cinta métrica. sino también tendrán que compararlos. en los cuales se puede reconocer las siguientes acciones:
Dinámica Cortar el objeto en partes iguales y luego repartirlo. comunicación y comparación de cantidades y números racionales.B. de sus 5 cuadernos. -	Discreto. eventualmente. Índice comparativo de dos cantidades (razón). NADIE SE QUEDA ATRÁS
. En esta labor los estudiantes realizan procesos dinámicos y estáticos. Alejandro usó 2. -	Discreto. intercalarlos y ordenarlos. o cantidades de distintas magnitudes.
Detalle Perímetro de la cancha Perímetro del área Longitud de la línea media
TODOS PODEMOS APRENDER. indicar la expresión de la cantidad de partes y la cantidad total de partes. Completen los siguientes datos a partir de las medidas realizadas: En esta situación estamos orientando al estudiante a que realice tareas acerca de completar datos. capacidad o volumen. Estática Expresar la parte de un todo. En ellas se llevan a cabo procesos de medida a partir del entorno. Acción de medir. Acciones de comparar cantidades de una misma magnitud.
Plantear actividades que impliquen procesos dinámicos como la medición
La acción de medir implica procesos de interpretación. elegir objetos o pares de objetos a partir de una colección. Los estudiantes no solo tendrán que escribir números decimales y establecer relaciones con números fraccionarios. que se registran en la tabla.
666.42 y 1.10-6).5 = 1 . como parte de un trabajo de investigación. asimismo.429) y otro expresaba que habían infinitos números. ¿creen que se obtendrá el espesor 6 deseado para construir la base? ¿Cuál sería su grosor? ¿Pueden hacer un diagrama para calcularlo? ¿Cuánto faltaría o sobraría para alcanzar el grosor de la base?
Plantear actividades que impliquen hacer representaciones en la recta numérica
¿Cuántos números decimales hay entre 1.
. otro es el 2 4 6 caso de expresiones equivalentes de números racionales entre las fracciones y decimales (por ejemplo: 0. 1. 0. ¿cuál es su grosor? b)	¿Cuánto falta o le sobra para alcanzar el grosor de la base que se requiere construir? 3 c)	Si las medidas del grosor de las tablas de madera fueran de 4 pulgada y 2 de pulgada. En el caso de los números racionales. y con estas condiciones asignan números racionales entre dos números racionales. 1.428. a estudiantes de Taiwán. = 2 ). Esto inicia al estudiante en reconocer la condición de densidad en este tipo de números.. reconocen la conservación de la escala (iniciada de forma nocional como conservación de distancias iguales). Utilicen el diagrama para encontrar la suma de media pulgada más un tercio de pulgada. Uno de los aspectos importantes de trabajar en la recta numérica es que los estudiantes asignan el cero. podemos reconocer fracciones equivalentes (por ejemplo: 1 = 2 = 3 ).Plantear actividades que impliquen esquemas para establecer relaciones entre expresiones equivalentes
Resolver problemas empleando esquemas que promuevan comparaciones induce al estudiante a utilizar de forma flexible diversas expresiones.
1 1 2 En esta actividad los estudiantes recurren a una representación gráfica para dar solución a un problema.423…1. Los resultados mostraron tres grupos de respuestas: un grupo expresaba que no existían números.422.421. 1. ya que se trataba de consecutivos. otro grupo manifestó que hay nueve números (1.43? Esta fue la interrogante que Reys y Yang (1998) formularon..000005=5. para el caso de expresar los números racionales 2 3 en notación científica (0. 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 6 1 2 1 6 1 3 1 6
a)	Al empalmar las tablas.
¿cuánto faltaría o sobraría? Utilicen el diagrama para encontrar la suma de media pulgada más un tercio de pulgada. Si se empalman estas dos piezas.Actividad N.	Al empalmar las tablas. ¿el grosor para la base será suficiente?.
TODOS PODEMOS APRENDER. 1. NADIE SE QUEDA ATRÁS
.Todo el esquema es equivalent 4 1 es equivalente a . La escuela solo cuenta con dos piezas de madera. al empalmarlas.3 12 Por lo que el grosor será
En las siguientes actividades se puede reconocer cómo el estudiante resuelve problemas apoyándose en el soporte gráfico.
9 4 = 12 pulgadas.: Su grosor es 5 pulgadas
1 2. Si las medidas del grosor de las tablas fueran: 3 de pulgada y 5 de pulgada. ¿cuál es su grosor?*
Rpta. una de media pulgada y otra de un tercio de pulgada. + 12
* Problemas extraídos del laboratorio matemático: Decisión oportuna (páginas 66 y 67).° 1
En la IE Andrés Avelino Cáceres se va a realizar el festival pro fondos chocolatada navideña. ¿cuál sería su grosor? 12
A partir del gráfico: 3 e a . para lo cual requieren construir un quiosco con una base de madera que tenga un grosor de una pulgada.
Esto implica que el estudiante tiene más de una opción para desarrollar procedimientos en la resolución de problemas. ¿Quién de los sobrinos tomó la bolsa con más caramelos? 8 Justifica tu respuesta.: Queda por recorrer 18
PROBLEMA: Paola regaló a cada uno de sus sobrinos una bolsa de caramelos. y Juana la de 4 2 kg.
En esta situación. Es necesario promover una mirada creativa y atrevida en la resolución de problemas.25. que es igual su peso de lo que tiene Diego en bolsa de caramelos. el estudiante está particularizando cada dato del problema para hallar la solución. Todos tomaron la misma canti a ya que si conviertes las fracciones al decimal sale 0.
Hemos reconocido que los números racionales tienen variadas formas de representación.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE ELABORAR ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Ojo con este dato No confundamos tarea matemática con ejercicios o procedimientos algorítmicos. 6 en la segunda semana 1 del camino y en la tercera semana 3 2 del camino. la de 0. hacer multiplicación de fracciones. se recurre a plantear una ecuación para establecer las relaciones entre los datos.25 Juana=2/8 = 1/4
dad. ¿Qué fracción del camino queda por recorrer? 9
En este caso. En ese sentido. en las tareas mostradas vamos a precisar algunas estrategias orientadas al uso de gráficas y cómo con ellas podemos expresar fracciones equivalentes. en lugar de procedimientos algorítmicos o algebraicos rutinarios. Las tareas orientan el desarrollo de las capacidades. realizar operaciones aditivas.C.25
Diego=0.
x=Fracción del camino que falta recorrer x + 13 = 18 18 18 13 x = 18 18 18 x= 5 18
5 del camino.
Un caminante recorre en la primera semana 1 del camino. Diego. Rpta. Rodrigo tomó la bolsa de 1 kg.
0.25 0.25 kg.
perlas = 30 6 30 1/3 es una perla y en total son en la cama 1 6. ambos estudiantes elaboran un listado ordenado. a un planteo de ecuación.M. La décima parte el menor recogió. 1. ¿cuántas perlas tenía el collar de los hermanos? Primera forma
1. perlas = 5 30 salvó el mayor 1 10 = 3 30 recogió el menor 1 3 Sea x el número de perlas 10=30 x x x x 6 = 10 s x perla + + + serían + que Cae al suelo: 5 10 las 6 Falta cubrir 6/30 6 3 6
En estas situaciones se reconocen dos procedimientos en la resolución del mismo problema. Dime. La sexta parte al suelo cayó. 1 y 1 Nos dicen de datos que 6 5 3 10 C.
son 30 s es una perla y en total x perla 1/3 Ambos miembros multiplicamos 5 perlas. Un tercio por el hermano mayor se salvó. Y con seis perlas el cordón quedó. Asimismo. Una hilera de perlas se escapó.3 que s recogió el menor 1 3 10 Nos dicen de dato 6 5 3 = 10 30 C. Ambo perlas La suma debe dar x 5 por 30 x perlas Salvó el mayor: 3 5x+1 0x+6 x+3x +180 =30 x Recogió el menor: x perlas 24x+ 180= 30x 10 80= 6x s Se quedaron: 6 perla 30= x
n. 1 .M. y apreciamos que 30 es el M. en el suelo 1 5 = 6 30 en la cama 1 6 = 5 30 salvó el mayor 1 10 = 30 1 1y 1 . perlas que se quedó en el cordó
.Falta cubrir 6/30 que serían las 6 el suelo en quedó 5 que se 1 en el cordón. Rpta.PROBLEMA: Lee atentamente el siguiente poema y responde: Un collar se rompió mientras jugaban dos hermanos. En el primero. se recurre a una representación gráfica y en el segundo.: El collar tenía 30 perlas
TODOS PODEMOS APRENDER. 30 perlas multiplica En la cama: bros tenía El collar s :miem Rpta. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. y apreciamos que 30 es el M. La quinta parte en la cama quedó. por 30 x perlas Salvó el mayor: 3 5x+1 0x+6 x+3x +180 =30 x Recogió el menor: x perlas 24x+ 180= 30x 10 s perla de ro 80= 6x Sea x el núme x x x x 6 s perla = 10x 6 s x perla aron + + + + 30= Se qued :: al suelo Cae 6 3 5 10 6 x perlas mos .
En los escenarios de aprendizaje. una de media pulgada y otra de un tercio de pulgada. Las tareas encomendadas deberían tener características de complementación de datos y establecer relaciones entre objetos o procedimientos a fin de que el estudiante progresivamente constituya y desarrolle el valor de las expresiones en la situación problemática. Además. el desarrollo de cada tarea conduce al estudiante a expresarse con símbolos y formalizar el lenguaje matemático. En ese sentido. ¿el grosor para la base será suficiente?. TÉCNICO Y FORMAL Hemos reconocido que los números racionales están presentes en nuestro entorno. deben plantearse interrogantes que precisen el dominio de las expresiones. técnicas y formales a ellos. a fin de promover seguridad en la predicción de las operaciones matemáticas que sean necesarias. Si se empalman estas dos piezas.D.
Actividad N. reglas y procedimientos. realiza operaciones aditivas y multiplicativas.	Al empalmar las tablas. estas expresiones se utilizan de forma amplia. como los proyectos. emplea la recta numérica. decimal y notación científica). A partir de una actividad vivencial. el estudiante emplea variadas expresiones (fraccionaria. ¿cuál es su grosor?
  3 3 1  = 6  6   2 2 1  = 6  6
1 = 3 1  6  2   1 = 2 1  6  3  
. es necesario poner mayor énfasis en la forma como aproximamos estas expresiones simbólicas. sin embargo. los estudiantes pueden interpretar los números racionales.° 1
En la IE Andrés Avelino Cáceres se va a realizar el festival pro fondos chocolatada navideña. 1. para lo cual requieren construir un quiosco con una base de madera que tenga un grosor de una pulgada.	RECONOCIENDO ALGUNAS TAREAS PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE USO DE LENGUAJE SIMBÓLICO. La escuela solo cuenta con dos piezas de madera.
Plantear actividades que impliquen expresar objetos matemáticos en esquemas de organización
En el campo de los números racionales. ¿cuánto faltaría o sobraría? Utilicen el diagrama para encontrar la suma de media pulgada más un tercio de pulgada.
1/8 carne a comp fue 1/4a en señor Gastó Una os? y 0.15 = 15 2 3 5 3 5 3 1 1 2 7 4 1 2 5 6 2 3
3-( 7 + 5 )= 3-( 21 + 10 )= 3.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE ARGUMENTACIÓN En las actividades propuestas. ¿Qué medida debe tener el grosor de la tercera tabla para construir la base?
Grosor de Grosor de la tercera tabla Grosor de la Medida del primera tabla la tabla (en grosor de la (en pulgadas) base (pulgadas) (en pulgadas) pulgadas) 22 8 12 10 4 2 2 4 2-( + )= 2-( 15 + 15)= 2. ya que así es más Convertiría las fracciones a decim son es más asíque quelos rtiría conveya ales. 240. Quedaría 1/8 8 240 1 = S/. en leche puest y 0.5 en leche. 30 en huevos.
un presupuesto de S/. convierto el resto de decimales
Estas interrogantes se han planteado después de la actividad experimental realizada por los estudiantes.S/. En este espacio pueden propiciarse interrogantes respecto a lo desarrollado y motivar el intercambio de ideas. ya sea iones ación fracc más esent hay respr si r plo mayo ejem de Por hay al.31 = 5 12 12 12 12 4 6
1 1 2 3 3 4 3 7 9 7 2 1 -( + )= -( 6 + 6 )= 2 . Pero senciertir Conv ya sea ación que. argumentos y formas de razonar.6 = 6 . En sus respuestas es posible identificar formas de argumentación respecto a sus experiencias. iones fracc iones más fracc si hay ales plo en decim ejem Por al. 240.6 = 6 2 2 3 2
E. 30 en huevos.5 un presu arroz con raren . los que decim o de s en fracción meno . Elabora un problema en el que apliques las estrategias usadas en los problemas anteriores. son los esent rtiría respr r conve mayo s. s. de siado hay dema que hay los de si Pero s en llo. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Asimismo. lo familiariza con el uso adecuado de las expresiones simbólicas y formales. Una señora fue a comprar con o de .Se quiere formar la base con tablas cuyos grosores se señalan en cada uno de los cuadros de la siguiente tabla informativa. huev arroz los en 1/8 para .
TODOS PODEMOS APRENDER. siado decim a dema iones hay si fracc ía las llo. a carne qued le en nto 1/4 ó ¿Cuá Gast os? ¿Cuánto le queda para los huev 1 + 1 + 1 = 2 +4 + 1 = 7 8 8 4 +1 = 7 4 1 = 2+ 1+ 8 1 +2 8 8 30 4 2 8 1 x 240 30 = S/. meno senci . el estudiante interactúa con sus pares. de resto decim o el erto conviión fracc en fracciones.
¿Qué harías si en un problema debes efectuar operaciones con números decimales o fracciones?
ales. x Quedaría 1/8 8
El conjunto de actividades planteadas orienta al estudiante a la resolución del problema inicial.
Sesión laboratorio matemático: Horas alrededor del planeta
Sesión laboratorio matemático: Un rectángulo que crece
Proyecto matemático En verano. modelarla y representarla en distintos sistemas o registros simbólicos (verbales. Es. el cambio y la modelación de los procesos de la vida cotidiana. bolas para todos
. Las representaciones también se extienden a expresiones en el plano cartesiano. 2)	aprender a describirla. para detectar o buscar relaciones entre ellos y usar estas con una intención para lograr un objetivo.VI. empiezan a establecer relaciones entre magnitudes que ordenan y representan de forma tabular. asimismo.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a la función lineal?
Desarrollar aprendizajes matemáticos utilizando la función lineal significa: 1)	aprender a caracterizar situaciones de cambio en diferentes contextos. Las funciones establecen una relación especial. gráficos o algebraicos). un conocimiento articulador con Educación Primaria en los dos grados del VI ciclo. Establecer relaciones entre variables supone examinar fenómenos. Asimismo. dando más evidencia a la variación. La propuesta busca ser parte de una unidad didáctica. En Educación Primaria realizan relaciones de correspondencia. considerándolos como totalidades. El estudiante empieza a hacer uso de las relaciones entre cantidades desde Educación Inicial. objetos y situaciones matemáticas. talleres y proyectos matemáticos que muestran cómo promover estos aprendizajes. icónicos. En Educación Secundaria –debido a la profundidad de los saberes– ya realizan diversas conexiones entre los conocimientos matemáticos. Mostraremos a continuación una propuesta articulada de organización por laboratorios.
TODOS PODEMOS APRENDER. costo-tiempo. Necesitas: Texto del grado Conocimientos previos: Representar datos en expresiones gráficas. Por ello. Lo que aprendieron les permitirá expresar algebraicamente la relación entre cantidades. Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal. de forma inductiva. Expresa en forma gráfica. tabulares o algebraicas. ella cree que encontrará a su papá en casa si lo llama a las 6 de la mañana (hora de Lima). a partir de una situación problemática se genera una serie de interrogantes que se orientan. Conocimiento Función lineal afín Contexto Situación social Áreas afines Historia.	Proporcionalidad directa entre magnitudes. Geografía y Economía Ciencia. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. ¿Es acertado lo que piensa? Indicador: Construcción del significado y uso de la proporcionalidad y funciones lineales en situaciones problemáticas de variación (costo-cantidad. Tecnología y Ambiente
Cuándo hacerlo: Tiempo: En otras secuencias. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal. Sirve para: Resolver problemas en los que están presentes cantidades relacionadas. distancia-tiempo. Explica el proceso de resolución de situaciones problemáticas que implican el uso de la proporcionalidad directa. a ir comprendiendo la función lineal. funciones lineales y modelos lineales.1	Algunas situaciones de aprendizaje
Situación problemática: Nelly vive en la ciudad de Lima y su papá. Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa. altura-base) Experimenta situaciones de cambio para el desarrollo del significado de la proporcionalidad directa y la función lineal. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales y de proporcionalidad directa. Si el papá trabaja desde las 7 de la mañana (7:00) hasta las 3 de la tarde (15:00 horas de Buenos Aires).6. los estudiantes han trabajado cantidades Una sesión de 90 minutos directamente proporcionales. en Buenos Aires. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. Justifica el uso de una representación gráfica de la función lineal para modelar una situación problemática. Representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica.
llamadas husos horarios. Matemáticas I.
Para calcular las horas.° 1
Debido al movimiento de rotación de la Tierra hay diferencias de horario.
1. en la ciudad de Lima son las 5:00 h (5 de la mañana). el planeta Tierra se ha dividido en 24 áreas. Esto quiere decir que mientras en un lugar del mundo son las 10 de la mañana.. en Lima son las 4:00 p. de manera que en el problema hay 24 horas distintas al mismo tiempo. cuando en Buenos Aires son las 6:00 p. A cada uno de los husos horarios le corresponde una hora distinta.	¿De qué hora a qué hora de Lima. Si el papá de Nelly trabaja de 7 de la mañana (7:00) a 3 de la tarde (15:00 horas de Buenos Aires). ella cree que encontrará a su papá en casa si lo llama a las 6 de la mañana (hora de Lima).	Nelly vive en Lima y su papá.
Adaptación: Araujo. Pág. volumen 2.Actividad N. ¿a partir de qué hora (en Lima) puede hablarle Nelly para encontrarlo de regreso en casa? 4. cuando en la ciudad de Buenos Aires son las 7:00 h (7 de la mañana). 130. m.	Si el papá de Nelly demora 1 hora en el trayecto del trabajo a su casa. Nelly no va a encontrar a su papá?
. en otro pueden ser las 12 de la noche.	¿Qué hora es en Buenos Aires si en Lima son las 14 horas? 3. M. y otros (2008). m. Así. en Buenos Aires. Por ejemplo. ¿Es acertado lo que piensa? Para resolver el problema. completen la siguiente tabla para calcular la hora en la ciudad de Buenos Aires a partir de la hora de Lima.
Si la hora en Lima está entre 22:00 h y 24:00 h (por ejemplo.22): a)	¿Qué hora es en Buenos Aires si en Lima son las 23:45 h?
b)	¿Qué hora es en Buenos Aires si en Lima son las 0:30 h?
c)	¿Qué hora es en Buenos Aires si en Lima son las 22:59 h?
d)	¿Qué hora es en Buenos Aires si en Lima son las 0:00 h?
Recomendación: Desarrolla las interrogantes haciendo uso de un cuadro similar a la pregunta 1.5. ¿qué cálculos hay que hacer para obtener la hora de Buenos Aires a partir de la hora de Lima? b)	Escriban una expresión que nos permita encontrar la hora de Buenos Aires (y) a partir de la hora en Lima (x). Usando la expresión algebraica y = x+2 (o bien.	Llamen “x” a la hora de Lima e “y“ la hora en Buenos Aires. la expresión algebraica y = x+2 no permite encontrar la hora de Buenos Aires (y) a partir de la hora en Lima (x). cuando en Lima pasan de las 22:00 h. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la hora de Buenos Aires a partir de la hora de Lima? a)	x = y + 1 b)	y = x -1 c)	y = x+ 2 d)	y = x -2 6.22.	Para obtener la hora de Buenos Aires a partir de la hora de Lima. se resta 22 a la hora de Lima. la expresión y = x . la expresión es y = x . cuando la hora en Lima está entre las 22:00 h y las 24:00 h. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. a)	Cuando la hora en Lima está entre las 22:00 h y las 24:00 h. 7. por ello. pues se pasa de las 24:00 h. las 23:30 h).
Completen la siguiente tabla con las edades de los hermanos de Luis.	Nelly enuncia que esta expresión: z = x + 15 es la que describe una relación entre la hora en Lima (x) y la hora en Tokio (z). Juan y Fernanda. 2. que ha estado escuchando su afirmación. 3. la variable “y” depende o está en función de la variable “x”.	En las expresiones que encontraron hay cuatro variables distintas. al número 2 se le denomina constante.	Cada integrante del equipo debe escoger a uno de los hermanos de Luis y escribir en su cuaderno una expresión algebraica para calcular la edad del hermano que escogió a partir de la edad de Luis. Sebastián ha investigado y explica que si en Los Ángeles son las 4:00 horas del día. aduciendo que t es la variable independiente y a es la variable dependiente.° 2
Reflexionen y respondan En la expresión algebraica y = x+2. 1.
Edad de Luis (años) 6 7 8 10 12 13 14 20 25 27 18 16 Edad de Rocío (años) 10 11 12 Edad de Juan (años) 8 9 10 12 14 15 8 Edad de Fernanda (años) 1 2 3 5
7. no está de acuerdo.	¿Cuáles son las variables en esta relación funcional? 4.	Luis tiene tres hermanos: Rocío. Expliquen con sus propias palabras el significado de esta expresión. en ese momento son las 21:00 horas en Tokio.	¿Qué estrategia les permite reconocer la relación entre las variables? 6.Actividad N. que siempre hay que sumar a la “x” para obtener la “y”. Nelly.	¿Será cierta la afirmación de Sebastián? Justifiquen su respuesta.	¿Cuál es la constante en esta relación funcional? 5. ¿cuáles son las variables y qué características tienen? ¿Cuáles son las constantes en estas relaciones funcionales?
. Entonces expresa la siguiente función t=21+a. 8.
Resuelvan situaciones problemáticas
Para el planteamiento de las situaciones problemáticas. Luego. Mediante la actividad del laboratorio y partiendo de una situación problemática. 2. 50 y 53.
. lineal. los estudiantes resuelven problemas sobre la actividad desarrollada.
Los objetos matemáticos claves que movilizan una adecuada expresión de la función lineal son tres: 1) el lenguaje algebraico. 2) las operaciones con números racionales y 3) la gráfica en el plano cartesiano. puede recurrir a los textos de Secundaria. Allí se deben definir las condiciones de una función. Por ejemplo. se van estableciendo relaciones simbólicas y lógicas. un ambiente comunicativo de acuerdos y síntesis conceptual respecto a la función lineal.° grado. págs. en este caso. sus características. La sección Reflexionen y respondan es importante.Actividad N. y se van descubriendo las condiciones que se atribuyen a una función.
la expresión y = 2.5 x + 0.Situación 2
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA En un centro de cambio de monedas. Conocimiento Función lineal afín Cómo hacerlo: Experimentar con la variación que se produce en la longitud de un rectángulo. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal. distancia-tiempo. funciones lineales y modelos lineales. costo-tiempo. Necesitas: Papel milimetrado Conocimientos previos: Representar datos en expresiones gráficas. Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal.	Proporcionalidad directa entre magnitudes. Justifica el uso de una representación gráfica de la función lineal para modelar una situación problemática.minedu. altura-base) Experimenta situaciones de cambio para el desarrollo del significado de la proporcionalidad directa y la función lineal. Sirve para: Resolver problemas que implican la función cuadrática.5 x + 0. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. Expresa en forma gráfica.pdf
. Explica el proceso de resolución de situaciones problemáticas que implican el uso de la proporcionalidad directa. Tecnología y Ambiente
Para ampliar estudios respecto a las funciones. Contexto Situación científica Áreas afines Ciencia.5 de comisión.5 que permite encontrar la cantidad de nuevos soles que se obtienen al cambiar euros. Indicador: Construcción del significado y uso de la proporcionalidad y funciones lineales en situaciones problemáticas de variación (costo-cantidad. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales y de proporcionalidad directa. Grafiquen esta situación: a. se recomienda visitar: Aspectos metodológicos en el aprendizaje de funciones en secundaria http://sistemas02.	¿Cuáles puntos de la gráfica están sobre una línea recta? b.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s2_f3.gob.5 permite calcular la cantidad de nuevos soles (y) que se obtienen al cambiar distintas cantidades de dólares (x) más 0. Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa. tabulares o algebraicas.	Comparen la gráfica anterior con la gráfica correspondiente a la expresión y = 3.
.	¿Cuánto medirá la base si la altura mide 5 cm? 4.° 1
1.1).	Ordenen los posibles valores que cumplen con el enunciado y completen la tabla..2). .
TODOS PODEMOS APRENDER. (5..
Róger examina lo elaborado y expresa que con estos procedimientos podríamos saber las relaciones entre la base y la altura de cualquier rectángulo y hasta de rectángulos no elaborados o grandes rectángulos.. Expresen las ventajas y desventajas de usar la ecuación Área = base x altura. ¿Podremos reconocer una relación entre ellas respecto a la medida de la altura y la base? 7. Sebastián advierte que no es así.	Róger reconoce que se puede realizar una expresión algebraica para hallar la medida de la base a partir de la altura. con respecto a la tabla de valores. ..
Base (cm) 4 5 6 7 8 . NADIE SE QUEDA ATRÁS
. recurran a particularizar el problema. la actividad de experimentar en el papel milimetrado y la expresión algebraica para determinar las cantidades desconocidas. 3.	Haciendo uso del papel milimetrado representen el siguiente enunciado: En pareja “La longitud de la base de un rectángulo es 3 cm más grande que su altura”.3). 2.	Observen las parejas de valores (base y altura) formados en la tabla anterior: (4.. 1.	¿Qué otras formas podrían cumplir esta condición? Representen las gráficas respectivas. . etc.. ..Actividad N.. Para ello...° 2
Reflexionen y respondan Hasta el momento hemos realizado de forma experimental la relación entre la base y la altura en un rectángulo.
6. Luego realizamos una expresión algebraica para generalizar la expresión del cuadro de datos... .... Después hemos ordenado los posibles valores en un cuadro y una relación entre ellos. pues cada uno de los procedimientos tiene sus ventajas y desventajas. Altura (cm) 1 2 3 Área (cm2) 4x1=4 5 x 2 = 10 6 x 3 = 18 . (6.	Si la base midiera 7 cm. ¿Cuál sería esta expresión?
Actividad N. Escriban sus conclusiones. ¿cuánto mediría la altura? 5..
a)	Usando la gráfica. Una organización gráfica permite reconocer en el plano cartesiano una relación de correspondencia entre dos variables. determinen la medida de la base cuando la altura es 12 cm. ¿Qué tipo de línea obtienen?
. determinen la media de la altura cuando la base es 18 cm. Pueden también graficar en el papel milimetrado.Ventajas Actividad experimental
Desventajas Actividad experimental Tabla de valores Expresión algebraica
2. e)	Unan los puntos. ¿qué tipo de línea obtienen? d)	A partir de la tabla. hagan la gráfica de la relación entre altura y área en el siguiente sistema de coordenadas. c)	Unan los puntos con segmentos de la recta. b)	Usando la gráfica.
su crecimiento mensual es de 10 cm durante los primeros meses. elaboren una tabla de valores y la representación gráfica de la función. La letra “x” recibe el nombre de variable independiente y la “y”. c en centímetros.5). (41. que se pueden describir mediante En grupo ecuaciones de la forma y = a x + b. aunque las respuestas obtenidas pueden ser solo aproximadas. al crecimiento: h= 40 + 10 n A partir del problema.
TODOS PODEMOS APRENDER. Problema: Gabriela compró un arbolito de 40 cm de altura. durante los primeros meses se obtiene sumando la altura inicial. El crecimiento. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. variable dependiente.0).3)	¿En qué son semejantes. 40 cm. durante los primeros meses es proporcional al número de meses “n” transcurridos: c= 10n. y en qué son diferentes las gráficas de base-altura y de altura-área?
Relaciones gráficas Semejanzas Diferencias Gráfica base-altura Vs Gráfica altura-área
Reflexionen y respondan Las relaciones entre cantidades x e y. Mientras que la altura. °C= 5 (F-32) 9 Para ello. se llaman funciones lineales. …
Actividad N. como la conversión de una escala de unidades a otra. localicen en el siguiente sistema de coordenadas los puntos correspondientes (32. completa la tabla:
F °C 32 0 41
Con los valores de la tabla.
Realiza la gráfica que relacione la medida de la temperatura en grados Fahrenheit y grados centígrados.° 3
Una gráfica puede ser más conveniente que una tabla o una fórmula para obtener respuestas a algunos problemas. h en centímetros. con a y b números racionales.
Actividad N.	Considerando que la distancia de Lima a Ica es de 300 km (aprox. b)	Realicen la gráfica correspondiente. c)	Si Juan consume mensualmente 10 galores.° 5
Resuelvan situaciones problemáticas 1.5 x + 0.5 de comisión.0. 84 octanos 11 Esta vez la empresa informa de los nuevos 90 octanos 14 precios que se muestran a continuación. d)	¿A qué denominamos variable independiente y variable dependiente? 2. ¿Cuáles son las características del gráfico?.5 x + 0. ¿Es similar a la del problema anterior? ¿En qué se parecen?
. ¿cómo expresarían sus gastos mensuales? 3. 97 octanos 15 a)	Escriban la función lineal que relaciona la cantidad de gasolina y el precio.5 En pareja permite calcular la cantidad de nuevos soles (y ) que se obtienen al cambiar distintas cantidades de dólares (x) más S/. ¿cuánto vale x? b)	¿Qué puntos de la gráfica están sobre una línea recta? c)	Comparen la gráfica anterior con la correspondiente a la expresión y = 3. d)	Apliquen la expresión algebraica encontrada y comparen si se obtienen los mismos valores de la tabla anterior.) su automóvil con gasolina de 97 octanos.	En un centro de cambio de monedas. la expresión y = 2. ¿a qué tipo de función corresponde? c)	Escriban la expresión algebraica que relaciona la distancia recorrida en función del tiempo transcurrido. Coloquen el tiempo en el eje “x” y la distancia en el eje “y”.	Siempre que Juan va a la estación de Precio por galón servicios de combustible.) y que un auto sale de Lima a Ica con una velocidad constante de 50 km/h. Grafiquen esta situación: a)	Si y = 0. e)	Describan la estrategia que emplearon para hallar la expresión que define la función. llena el tanque de Gasolina (S/.5 que permite encontrar la cantidad de nuevos soles que se obtiene al cambiar a euros. a)	Completen la siguiente tabla:
b)	Grafiquen la información de la tabla anterior en el plano cartesiano.
) Costo total (S/. los estudiantes experimentan y organizan los datos en un cuadro.20. Luego. Estas actividades permiten que los estudiantes: Primero. dependiendo del tiempo de llamada.	Una empresa telefónica cobra S/. representen en el plano cartesiano y vayan reconociendo características en variadas representaciones gráficas.
Con las actividades referidas a Reflexionen y respondan y Resuelvan situaciones problemáticas.
TODOS PODEMOS APRENDER. reconozcan la representación de la función lineal como un modelo tabular.4.0.40
b)	Escriban la función que permite calcular el costo mensual del servicio telefónico.20 20. se busca consolidar el conocimiento mediante la práctica. c)	Describan la estrategia que emplearon para hallar la función.) minuto
0 20 0 20 1 2 10 100 20 20 20 0. NADIE SE QUEDA ATRÁS
A partir de situaciones problemáticas de variación. algebraico y gráfico.40
20. d)	¿Se parece este problema a otros desarrollados anteriormente? ¿En qué? e)	Investiguen y elaboren un mapa mental respecto a la función lineal. utilizando las hojas cuadriculadas.20 por minuto de llamada y por mantenimiento cobra un monto fijo mensual de S/.20 0. a)	Completen la siguiente tabla: Llamadas por Costo fijo (S/.) Costo variable (S/. Observa que cada planteamiento responde a niveles cada vez más complejos.
los que servirán para orientar el desarrollo de las fases de la resolución de problemas.	Proporcionalidad directa entre magnitudes. inversa y de dependencia lineal afín. Ministerio de Educación. Expresa en forma gráfica. tabulares o algebraicas. Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa e inversa. y recurriendo a expresiones gráficas. A partir del texto se identifican los problemas que van a ser presentados y seleccionados por su nivel de complejidad. inversa y de dependencia lineal afín. afirmaciones relacionadas con la dependencia funcional entre variables y proporcionalidad inversa. Justifica.Situación 3
Indicador: Contexto Construcción del significado y uso de la proporcionalidad inversa y Científico.
. altura-base) Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa. Conocimientos previos: Representar datos en expresiones gráficas. distribuido por el Ministerio de Educación. Resolvamos 2. Necesitas: Módulo de resolución de problemas Resolvamos 2. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales afines y de proporcionalidad directa e inversa. social. 2012
En esta actividad se hace uso del módulo Resolvamos 2. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. costo-tiempo. Sirve para: Resolver problemas en los que se implica la función cuadrática. funciones lineales afines en situaciones problemáticas de variación económico (costo-cantidad. distancia-tiempo. Conocimiento Función lineal afín Grado Segundo grado de Secundaria
Cómo hacerlo: Los estudiantes emplearán los módulos de resolución de problemas Resolvamos 2.
Fuente: Manual del docente.
económico y científico Áreas afines Educación para el Trabajo
s. Expresa en forma gráfica. a partir de situaciones originadas por los husos horario y establecer izar formal a llegan horas. Cada grupo realizará un negocio. empiezan Los estudiantes. distancia-tiempo. de cias diferen las a establecer relaciones entre se atribuyen a relaciones simbólicas y lógicas. establecen relaciones un negocio. Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa. empleando hojas Más adelante. Indicador: Construcción del significado y uso de la proporcionalidad inversa y funciones lineales afines en situaciones problemáticas de variación (costo-cantidad. Conocimiento Función lineal afín Propósito Realizar gráficas en el plano cartesiano de una función lineal afín. Justifica. El datos los zan organi y cuadriculadas. inversa y de dependencia lineal afín. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales afines y de proporcionalidad directa e inversa. Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa e inversa. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. determinará el precio de venta del producto. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa. calculará la recaudación total. proporcionalidad directa e inversa. reconocerá el capital inicial. en as pérdid o para reconocer las características de inversión. gráfico y aico algebr representación de la función lineal como un modelo tabular. ganacias
¿Qué ha ocurrido en las situaciones planteadas acerca de la función
TODOS PODEMOS APRENDER. modelos lineales afines. inversa y de dependencia lineal afín. entre magnitudes Posteriormente. afirmaciones relacionadas con la dependencia funcional entre variables y proporcionalidad inversa. Resume sus intervenciones respecto a las estrategias de resolución empleadas para el desarrollo de problemas diversos que implican el uso de funciones lineales afines. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. y van descubriendo las condiciones que una función lineal. bolas para todos (texto del 2.° grado de Secundaria. costo-tiempo. a partir de situaciones problemáticas de variación y en un cuadro. tabulares o algebraicas. los estudiantes desarrollan un proyecto que durará dos semanas. 66)
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA A partir de una actividad comercial. los estudiantes experimentan e ir reconociendo ano cartesi plano el en ntar represe desarrollo de la actividad los lleva a reconocer la luego para s gráfica es ntacion represe s características de variada . recurriendo a expresiones gráficas.Situación 4
Proyecto matemático: En verano. Conocimientos previos: Conjuntos Plano cartesiano Ecuación de primer grado Tiempo: Dos sesiones de 90 minutos Contexto Social. a partir de una actividad vivencial. altura-base) Experimenta situaciones de cambio para el desarrollo del significado de las funciones lineales afines. pág.
se presentan algunos grupos de tareas pertinentes a su contexto. Costo-tiempo. Altura-base. Distancia-tiempo. Para efectos de ejemplos didácticos.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE MATEMATIZACIÓN En nuestro contexto. En ella. se reconoce que es parte de una actividad inicial orientada a un proyecto. Producto Elaboración de una gráfica lineal en un papelógrafo.
En las actividades vivenciales abordadas como proyecto de aprendizaje.6. el estudiante se enfrenta a un problema real y moviliza sus saberes matemáticos previos. Cada grupo realizará un negocio. Por ejemplo: el tiempo transcurrido y la distancia recorrida. los estudiantes tienen que tomar varias decisiones a partir de posibles cantidades de emplear respecto a un producto.
Ojo con este dato Es importante promover un conjunto articulado de tareas. fenómenos sociales y físicos en los que una magnitud se relaciona con otra. en la que relaciona la cantidad de empanadas y la cantidad de harina empleada. los estudiantes desarrollan un proyecto que durará dos semanas. se pueden reconocer relaciones entre: Costo-cantidad. exploración y construcción de relaciones matemáticas a partir de situaciones problemáticas. se reconocen. de tal forma que se vea la verdadera práctica de creación. reconocerá el capital inicial. la cantidad de productos comprados y el costo total. determinará el precio de venta del producto. Propósito Realizar gráficas en el plano cartesiano de una función lineal afín. calculará la recaudación total. entre otros.2	Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a la función lineal
A. Situación problemática A partir de una actividad comercial. Respecto a las funciones lineales. investigación.
para el desarrollo de esta capacidad. Completen la siguiente tabla con las edades de los hermanos de Luis.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES EN TORNO A LA CAPACIDAD DE REPRESENTACIÓN (Texto del 2. Juan y Fernanda.)
Es importante que el estudiante exprese diversas formas de representación. se recomienda plantear tareas de complementación de datos.° grado de Secundaria. 67. a partir de datos diversos y su posterior esquematización.B. pág.
Número de productos vendidos Precio (S/.
Luis tiene tres hermanos: Rocío. 9.
TODOS PODEMOS APRENDER.d) Representen los datos de la tabla en el plano cartesiano. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Por eso. Por medio de ellas las acciones del estudiante se dirigen a organizar la información.
completen la tabla:
Coloquen el tiempo en el eje “x” y la distancia en el eje “y”.
Realicen la gráfica que relacione la medida de la temperatura en grados Fahrenheit y grados centígrados.
C.5 x + 0. ºC=5 (F-32) 9 Para ello. 2) Distribuir proporcionalmente los intervalos en las variables consideradas.5 18
y=3.Emplear flechas sagitales asociadas a operadores orienta al estudiante a establecer relaciones en la organización de datos.
(€ ) 1 2 3 4 5
y (S/.5
.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE ELABORAR ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Comparen la gráfica anterior con la correspondiente a la expresión y = 3. ¿a qué tipo de función corresponde?
Dos aspectos a considerar en la representación de las gráficas en el plano cartesiano son: 1)Enunciar las variables en los respectivos ejes.5 11 14.) 4 7.5x+0.
S/.5 que permite encontrar la cantidad de nuevos soles que se obtiene al cambiar a euros.
En esta actividad se reconoce que para resolver el problema primero se ha establecido como una submeta elaborar un esquema de tabulación de datos. para luego expresarlo en un esquema gráfico. ¿Cuál es la característica del gráfico?.
Si la hora en Lima está entre 22:00 h y 24:00 h (por ejemplo. Rpta. la expresión algebraica y=x+2 nos permite encontrar la hora de Buenos Aires (y ) a partir de la hora en Lima (x). Primera forma:
0:00 (am) 0:30 (am) 1:00 (am) (am) 2 y=x+1:30 y=23:30h+2h y=01:30a. fórmulas y operadores. pues se pasa de las 24:00 h. Por ejemplo: en el libro de primer grado de Secundaria. En uno establecen una correspondencia con flechas sagitales y en otro recurren a un planteamiento de ecuación.m. Rpta. las 23:30 h). pág.m.m. 2)	La posibilidad de organizar los datos de forma sistemática en filas y columnas. En los nuevos textos de matemática. puede encontrar actividades en Excel. 3)	La posibilidad de graficar la información proporcionada por la base de datos. y=x+2
En esta actividad se reconoce que los estudiantes recurren a dos procedimientos distintos. 153.
será la 1:30 a.m.: Entonces en Buenos Aires
y=23:30h+2h y=01:30a. que permiten: 1)	La posibilidad de inscribir numerosos datos y relacionarlos con funciones.: Entonces en Buenos Aires
El programa Excel es muy útil. pues integra tres ambientes propios de la actividad matemática. por medio de una hoja de cálculo.
será la 1:30 a.
Cada integrante del equipo debe escoger a uno de los hermanos de Luis y escribir en su cuaderno una expresión algebraica para calcular la edad del hermano que escogió a partir de la edad de Luis. simbólico y formal. TÉCNICAS Y FORMALES
Luis tiene tres hermanos: Rocío.4 L= J. Completen la siguiente tabla con las edades de los hermanos de Luis.
Edad de Luis (años) 6 7 8 10 12 13 14 20 25 Edad de Rocío (años) 10 11 12 14 16 17 18 24 29 Edad de Juan (años) 8 9 10 12 14 15 16 22 27 Edad de Fernanda (años) 1 2 3 5 7 8 9 15 20
En este grupo de tareas se puede reconocer cómo se promueve la articulación de procedimientos y objetos matemáticos de acuerdo con la función lineal. Juan y Fernanda.
. F Constante -4. a partir de un lenguaje cotidiano. -5
Es importante promover que el estudiante.2 L= F+ 5
En las expresiones que encontraron hay cuatro variables distintas.	RECONOCIENDO ALGUNAS TAREAS PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE USO DE EXPRESIONES SIMBÓLICAS. J.D.
L= R. se vaya apropia ndo poco a poco de un lenguaje gráfico. ¿cuáles son? ¿Cuáles son las constantes en estas relaciones funcionales?
Variable L. -2.
Una estrategia que resulta efectiva es publicar las producciones en un espacio visible.
A continuación. la actividad experimental en el papel milimetrado y la expresión algebraica para determinar las cantidades desconocidas. se nos complica más organizarlos. con respecto a la tabla de valores. que además son útiles para propiciar la discusión y el diálogo en los grupos de trabajo. f(x)=2x1-4=-2 Tabulando: x 0 1 2 3 4 5 f(x) -4 -2 0 2 4 6
Si X se incrementa en 1. si al soble del puntaje (x) de Carlos le quitamos 4. mostramos un esquema de organización que orienta al estudiante a ordenar sus ideas y expresar sus formas de razonar. Puedo escribir f(x)=y-2x-4 de y+4x=2x y+4 x= 2x-4=y 2 2x y=2(x-2) 4 y
Es necesario saber cómo los estudiantes van logrando sus aprendizajes. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Desventajas Actividad experimental Nos toma mucho tiempo. Tabla de valores Si los datos numéricos son muy extensos.
Conclusiones permite tener una forma de La expresión algebraica nostica.
Expresen las ventajas y desventajas de usar la ecuación Área=base x altura. arla permite demostr
Tabla de valores Una forma organizada de tener los datos y sus valores.E. y la actividad experimental nos resolver más rápida y prác .	RECONOCIENDO ALGUNAS TAREAS EN TORNO A LA CAPACIDAD DE ARGUMENTACIÓN
Tabulación Problema En un juego.
Expresión algebraica Nos permite tener una fórmula generalizada del caso en particular.
otras maneras. entonces Y se incrementa en 1. siempre se obtiene el puntaje de Luis. Un recurso importante para ello son los organizadores visuales.
Ventajas Actividad experimental Nos permite demostrar los ejercicios planteados. Si x=1. Escriban sus conclusiones. Expresión algebraica No en todos los casos se aplica dicha fórmula.
Profesor:	Muy bien. A continuación.
Elijamos el buzo que está a 50 metros bajo el mar. Estudiante 3:	Considero que atribuyendo una señal podemos diferenciar a la gaviota y al buzo. ¿cómo están ubicados? Estudiante 1:	Uno está bajo el nivel del mar y el otro está sobre el nivel del mar. Profesor:	Si son semejantes en 50 metros. así como el papel protagónico del estudiante. ahora les planteo: Si no quisiéramos poner “bajo el nivel del mar”. Estudiante 2:	¿Podemos poner el signo negativo para indicar que está bajo el nivel del mar? Estudiante 1:	Entonces 50 metros con signo positivo significaría que están sobre el nivel del mar. ¿cómo explicamos la ubicación del barco? Estudiante 3:	El barco está en el nivel del mar…
Estudiante 1:	80 m 50 m
. veremos un ejemplo de comunicación que rescata el rol del docente en el proceso de aprendizaje. Estudiante 2:	¿Y cómo enviaríamos el mensaje? ¿Cómo indicamos en qué parte está? Sería fácil que el otro grupo sepa qué elegimos si decimos que está a 50 metros bajo el mar. Veamos el diálogo entre un docente y sus estudiantes en el desarrollo de la capacidad comunicativa en la sesión laboratorio: “Lo que significan sobre y bajo”. ¿qué podríamos hacer? Estudiante 3:	El planteamiento está asociado a la ubicación… Estudiante 1:	Podríamos poner una señal para indicar entonces… Profesor:	¿En qué son semejantes y en qué se diferencian la ubicación de la gaviota y el buzo? Estudiante 2: Diría que son semejantes debido a que están a 50 metros. la comunicación verbal. y entonces.F. Profesor: ¡Muy bien. pero están a 50 metros respecto al nivel del mar. naturalmente.	ACTIVIDADES QUE ORIENTAN EL DESARROLLO DE LA CAPACIDAD DE COMUNICAR Las capacidades comunicativas atraviesan toda la actividad matemática e implican. estudiantes!. Estudiante 3:	Sí.
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