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trigonometria ejercicios 16
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SEMANA 16 14
 s ec q =
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 13
OBLICUÁNGULOS RPTA.: D
3. En un triángulo ABC, la expresión:
1. En un triángulo ABC, si: A = 60°; b gsen ( B + C )
b = 4 7; c = 6 7 . c - b gcos A
Halle el lado “a” es equivalente a:
A) 7 B) 10 C) 13 A) tg B B) ctg B C) 1
D) 14 E) 20 D) 2 E) 1/2
De la ley de cosenos: * D ABC � A + B + C = 180�� B + C = 180�- A
a2 = b2 + c2 - 2bc gcos A * Ley de proyecciones:
( ) + ( 6 7) ( )( )
a2 = 4 7 - 2 4 7 6 7 gcos 600 c = a gcosB + b gcos A � c - b gcos A = a gcosB
b gsen ( 180�- A ) b gsen A
a2 = 196 � W= =
 a = 14 a gcosB a gcosB
RPTA.: D 2RsenB gsenA
 W= = tgB
2RsenA gcosB
2. Los lados de un triángulo son
proporcionales a los números 3;5 RPTA.: A
y 7. Siendo “ q ” la medida de su
menor ángulo interno; halle 4. En un triángulo ABC, se conoce
" s ec q " .
que: B = 45°; b = 2 y c = 6 .
Indicar la medida del ángulo C.
13 13 7 A) sólo 30° B) sólo 45º
14 13 C) sólo 60° D) 30° ó 150°
13 14 E) 60° ó 120°
sec q = ? =
32 = 52 + 72 - 2 ( 5 ) ( 7 ) gcos q
 c os q = 2 6
sen 45� senC
( a . b = 7 cm y RPTA. En un triángulo ABC.3 m D) 0.13 m E) 0.a + b ) = 3 ac C) 1. Halle la medida del ángulo B de lado a. un triangulo ABC cuyos lados a.c) � ( a + b ) .2ac cosB .( a .c2 = 2 M = ab gsenC g .a2 .c ) = 3 ac 2 (a 2 ) ( + c2 .13m RPTA.UNMSM Trigonometría 3 sen C senC = sen ( A + B ) 2 M = 4R 2 senA gsenB g senC sen A gsenB  C = 60º ó 120º M = ( 2R senC ) = c 2 2 RPTA.2ac + c2 = 2ac) 1 cosB = - 2 a2 = 72 + 82 .c)= 3 M = ab g sen C g� �ctg A + ctgB � � Calcule: M = 3 sen 2 C g senC A) c2 B) b2 C) a2 35 35 2 2 A) B) a c 36 6 D) E) 2 2 C) 35 D) 2 35 E) 18 RESOLUCIÓN M = ab gsenC � ctg A + ctgB � � � RESOLUCIÓN sen ( A + B ) 7ab 7ab ( a + b + c) ( a + b . En un triángulo ABC de lados 7 ab AB=c. = sen A gsenB 3 3 ab 1 � a2 + b2 .2 ( 7 ) ( 8 ) cos 120�  B = 120� a = 13 cm = 0. AC = b.: D RPTA.: D 8.c ) ( c . b.: E 5. Halle la longitud del 7.013 m A) 30° B) 45° C) 60° D) 120° E) 150° RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN b + ( a .c) � � � �b . y c cumplen la relación: A) 13 m B) 130 m ( b + a . AB = c Se 6. BC =a Determine: cumple: (a+b+c)(a+ b .: A c = 8 cm.c2 = � cos C = 3 6 a = 2Rsen A Ley de senos 2ab gcos C b = 2Rsen B c = 2Rsen C SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO . se conoce que: A = 120°.c) � � � �= 3ac b2 . En un triangulo ABC de lados BC = a. AC = b.
g Aplicando “Ley de senos” bsenD cosB x 20 y E = -1 = = sen37� sen ( 180�. indicar el  A + B = 180�. Siendo P el semiperimetro de un * D ABC : A + B + C = 180� triangulo ABC.ctgA E = b cos A + c cos A + a cosB + c cos B -1 = ctg A � A = 135º + acos C + b cos C RPTA.C equivalente reducido de:  B + C = 180�. En un triangulo ABC se cumple: SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO .: D Si: c = b cos A + acos B E = a+b+ c 12. Halle su perímetro.53� ) sen16� RPTA.: A RESOLUCIÓN 9.: B sen 53º 11.UNMSM Trigonometría sen ( A + B ) cos ( B + C ) = Luego: c a M = 3 ( 2senC ) ( cos C ) ( senC ) = 6 gsen2C gcos C Luego su ángulo “A” mide: 2 � 35 � �1 � 35 � M = 6� g �= A) 120° B) 127° C) 143° �6 � �� 6 � 36 D) 135° E) 150° � �� RPTA. En un triángulo uno de sus lados E=2p mide 20 cm y los ángulos internos RPTA.a) tgB A) 22 cm B) 24 cm C) 42 cm E= b sen C D) 44 cm E) 50 cm A) 1 B) -1 C) -2 RESOLUCIÓN 1 D) 2 E) - 2 RESOLUCIÓN b cos C .: B adyacentes con él miden 16° y 37°. 10.A (b+c)cos A + (a+c) cosB + (a+b)cos C Condición: sen ( A + B ) cos ( B + C ) p = A) p B) 2 p C) c a 2 sen ( 180�. En un triangulo ABC.C ) cos ( 180�.cos A = 2RsenC 2Rsen A RESOLUCIÓN 1 = . reduce: (b cos C .A ) p = D) E) 4p c a 4 + senC .( b cos C + c cos B ) � � tgB E= � � b senC c cosB senB E=.
Halle “x” en la figura: bc ( c gcosB + b gcos C ) “a”  M = 3 abc RPTA.:E 16. En un triángulo ABC. En un triángulo ABC reduce: ( ) M = a b2 + c2 cos A + b a2 + c2 cosB ( ) 13.C ) bc2 cosB + a2c cos C + b2c cos C RPTA. simplifique la expresión: a B b A A) 6 B) 7 C) 8 E = cos2 + cos2 D) 9 E) 10 2 2 2 2 Siendo p el semiperimetro de dicho triángulo RESOLUCIÓN p A) p B) 2p C) 2 D) p/4 E) 4p RESOLUCIÓN B A 4 E = a g2 cos2 + b g2 cos2 2 2 4E = a ( 1 + cosB ) + b ( 1 + cos A ) Aplicando ”Ley de cosenos” 4 E = a + a cos B + b + b cos A SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO . simplifique la expresión: ( + c a2 + b2 cos C ) E = b gcos B + c gcos C A) 3 B) a + b + c A) b cos (B-C) B) a cos (B-C) C) 3 (a + b + c) D) abc C) c cos (B-C) D) a sen (B-C) E) 3abc E) b sen (B-C) RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN E = 2RsenB gcosB + 2R senC gcos C  ( ) M = acos A b2 + c2 + b cosB a2 + c2 + ( ) E = R sen2B + R sen2C ( c cos C a2 + b2 ) E=R� �2 sen ( B + C ) cos ( B .C ) � �  M = ab2 cos A + ac2 cos A + a2b cosB + E = acos ( B .: C 15. En un triángulo ABC.2 ( 3 ) ( 5) cos120� = y = 7cm  3 4 7   x=7 = 5 20 25 RPTA.UNMSM Trigonometría x 2 y x = 15 cm x2 = 32 + 52 .: B M = ab ( b gcos A + a gcosB ) + ac ( c gcos A + a gcosC ) + “c” “b” 14.: B  Perímetro D = x + y + 20 = 42 cm RPTA.
UNMSM Trigonometría 4 E = a+b+ c a2 b2 A) B) P 2 2 E= 2 C) a2 D) b2 RPTA. AC = b. En un triángulo ABC.b2 cos 2A + b2 2 � �= �2 � � 2 � b+c A A M = a2 cos 2B + b2 ( 1 .: C 18.: C E) 2 a 2 17. En un triángulo ABC.2a2 sen2 B + 2b2 sen2 A = a2 2 RPTA. determine el RESOLUCIÓN valor de x para que verifique la Como: 2A + 2B + 2C = 360� siguiente expresión: c os ( 2A + 2C ) = cos2B  cos ( 2B + 2C ) = cos2A B + C� � tg � B . AB = c Simplifique: M = a cos ( 2A + 2C ) .C� tg � � .b2 gcos ( 2B + 2C ) + b2 2 SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO .C � 2c x � .2 sen2 B 2 sen2 A A A C) ctg D) 2 tg Ley de senos: 2 2 a = 2R sen A � b = 2R senB A E) 2 ctg M = a2 .: C RESOLUCIÓN �B + C � tg � � b+c � 2 � Si: = b-c B .cos 2A ) A) tg B) 4tg 2 2 1 . BC = a.tg �  M = a cos 2B .tg � � 2c � 2 � � 2 � = b+c �B + C� tg � � � 2 � como: A B+C �B + C� A + = 90º � tg � � = ctg 2 2 �2 � 2 A  x = ctg 2 RPTA.C� � tg � � �2 � �B + C� �B .
: B SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO .A� .A� � � �+ � � 4 � tg � � tg � � cos36�+ sen18� �� 4 � � � � �= 5 b-a � 2 �� 2 a = � 2 � W= = = cos36�. b = 3a  Ley de tangente: �5 + 1� �5 . si tangentes: b = 3a.sen18� Si: C = 60  A+B = 120°.2 a2 + b2 c2 + a4 + a2b2 + b4 = 0 4 A + B = 72° � A .2b2 c2 + 2 a2 b2 = a2 b2 4 4 4 2 a+b Halle: W = a-b (a 2 + b 2 . En un triángulo ABC. de la Ley de (AB = c. AB = c si 3 3 � � tgA = tg � B+ A B.2 a c2 .c2 ) 2 = a 2 b2 5  ( 2 ab cos c ) 2 = a2 b2 � 4 a2 b2 cos2 c = a2 b2 � A) 5 B) C)1 5 1 1 cos2 c = D) 5 E) 4 5 1  cos C = � C = 60�(Agudo) 2 RESOLUCIÓN RPTA.� � � � � 2 � � �� 4 � B .A� 3 � B .: E RESOLUCIÓN 20. Luego: �3 � 5 8 8 3 M = 5� � + = = A) 90° B) 60° C) 45° �5 � 3 3 3 D) 30° E) 15° � � RPTA. En un triángulo ABC.1 � b+a B + A � 4a � tg60� tg � � � � 4 � �. AC = b. = 3- 2 = 2 = 3 ( ) c . calcule el �A + B� tg � � valor de: a+b � 2 �= ? W = = M = 5 tg A + ctg A a-b �A + B� tg � � � 2 � 3 5 3 �72 �� sen36� A) B) 3 C) tg � � tg36� 3 3 2 W= � �= = cos 36� 8 3 �36� � tg18� sen18� D) 2 3 E) tg � � 3 �2 � cos18� 2sen36� gcos18� sen54�+ sen18� RESOLUCIÓN  W= = 2 cos 36� gsen18� sen54�. BC = a.sen18� � 5 + 1 � � 5 . AB = c. BC = a). m S ACB = 60° .B =36° a + b + c . si: ( ) c .UNMSM Trigonometría 19.2 a2 + b2 c2 + a4 + a2b2 + b4 = 0 4 �2 2 �� 3 5 5 1+ Halle la medida del ángulo agudo 2 2 C.: A  tg � �= �tg � �= 3 � 2 � 2 � 2 � 21.A� B .1� �B. En un triángulo ABC En triángulo ABC.A� � RPTA.
b = 2R senB 2 2 ( 2 ) En (*) 4R sen A . En un triángulo ABC (BC = a.3 tg2B A) -1 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2 RESOLUCIÓN a2 .b2 = 2 2 R 2 …………………………* Ley de senos: a = 2R sen A .B = 90� (1) + (2): 2A = 225°   (1)-(2) = 2B = 45° Luego: M = tg 225�.B ) = 2 � sen ( A . se cumple m S C= 45º . AB = c) inscrito en una circunferencia de radio R.: B SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO . 2 Pero: C = 45°  (1) A + B = 135�  sen135 : sen ( A .b2 = 2 2 R 2 Calcule: M = tg2A .3tg 45�= 1 .B ) =.UNMSM Trigonometría 22.sen B = 2 2 R 2 2  sen ( A + B ) g sen ( A .3(1) = -2 RPTA.B ) = 1 2 2 2 � (2) A . AC = b. además a2 .
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