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Revista digital —
Matemática, Educación e Internet
(http://www.tecdigital.itcr.ac.cr/revistamatematica/).Vol 14, No 2. Marzo
Agosto 2014. ISSN 1659 0643
Metodología para los procedimientos desolución de problemas sobre EcuacionesDiferenciales
lociae999@hotmail.comFacultad de MatemáticasUniversidad Autónoma deGuerrero, México.
Otilio Mederos
oma8111@yahoo.esFacultad de MatemáticasUniversidad Autónoma deCoahuila, México.
armando280@hotmail.comFacultad de MatemáticasUniversidad Autónoma deGuerrero, México.
jomaro@math.uc3m.esDpto de MatemáticasUniversidad Carlos III.Madrid, España
josemariasigarretaalmira@hotmail.comFacultad de MatemáticasUniversidad Autónoma deGuerrero, México.Recibido: Marzo 13, 2013 Aceptado: Noviembre 12, 2013
En este trabajo, se propone una metodología para favorecer la enseñanza y aprendizaje delos procedimientos de solución de problemas sobre ecuaciones diferenciales, a nivel universitario. Loselementos teóricos y metodológicos se basan en el proceso de resolución de problemas desarrollado apartir del enfoque histórico cultural de Vigotsky y Teoría de la Actividad de Leontiev. En la propuestase resaltan dos aspectos fundamentales que garantizan su efectividad en la práctica docente, poruna parte, se propone una clasiﬁcación y caracterización de los problemas matemáticos (problemasestructurales y problemas reductivos). Por otra parte, a partir de la caracterización desarrollada, seestructura una estrategia de solución basada en las tres fases fundamentales asociadas con la Teoríade la Actividad: orientación, ejecución y control, las cuales permiten evaluar el aprendizaje a lo largode todo el proceso.
: Ecuaciones diferenciales, problemas, estrategia heurística, metodología, enseñanza
Revista digital Matemática, Educación e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 14, No 2. Marzo
In this paper, we propose a methodology for problem solving procedures on differentialequations, at the university level. The theoretical and methodological elements are based on problemsolving process from Vygotsky’s cultural historical approach and activity theory developed by Leon-tiev. Two essential elements that guarantee its effectiveness in teaching are highlighted. On one hand,we propose a classiﬁcation and characterization of mathematical problems (structural and reductive).On the other hand, shows a strategy for problem solving based on the phases of activity theory, whichallow to evaluate the process.
: Differential equations, heuristic strategy, methodology, teaching
Existen investigaciones como las que señalan (Polya, 1981; Labarrere, 1988; Rodríguez, 1991; Schoen-feld, 1991; Campistrous y Rizo, 1996; Sigarreta et al, 2001-2009) que avalan la importancia de la resolu-ción de problemas como uno de los aspectos fundamentales a los que debe estar orientado el trabajodel profesor en el proceso enseñanza-aprendizaje.Por otro lado, no es difícil constatar que el tratamiento de las ecuaciones diferenciales en algunas es-cuelas de nivel superior, generalmente se limita a la enseñanza de procedimientos sin darle signiﬁcadoa los conceptos, como se evidencia en diversos trabajos de investigación (por ejemplo, Rodríguez (1991)y Sigarreta et al (2008, 2009)). En estos trabajos se hace evidente que, aunado a la creencia arcana de quelas matemáticas se pueden enseñar con sólo tener el dominio profundo del contenido, la utilizaciónde libros de texto, de manera mecánica y directa, se hace cómplice de la generación de deﬁcienciasen el alumnado, llegando al punto de confundir la resolución de problemas como un ﬁn en sí mismoy soslayando la forma en que se consigue un determinado resultado. Es necesario transformar estemodo arcaico de enseñanza a uno basado en el descubrimiento, el pensamiento creativo y srcinal,sustentado en la resolución de problemas como medio privilegiado de generación de saber y no comoun ﬁn desarticulado y vacío de signiﬁcados.En función de lo planteado anteriormente, en este artículo presentamos una estrategia metodológicapara favorecer los procesos de solución de problemas relacionados con ecuaciones diferenciales en elnivel superior, que utilice las potencialidades de la heurística en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Elementos teórico - metodológicos.
2.1 Caracterización del concepto problema.
Para el análisis del signiﬁcado del término “problema”, partamos de su uso en el léxico común; en sumás amplia representación se utiliza para exponer una situación, de la cual se busca un resultado apartir de ciertos datos. En el diccionario Aristos (1980), está asentado:
Cuestión o proposición dudosa que
Metodología para los procedimientos de solución de problemas sobre Ecuaciones Diferenciales.
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se trata de resolver. Proposición encaminada a averiguar el modo de obtener un resultado cuando se conocen cier-tos datos
. Mientras que en el diccionario Cervantes (1978), encontramos:
Cuestión que se trata de resolver por procedimientos cientíﬁcos, Mat: proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado
.Sin embargo, cuando se habla de problemas, para los dedicados a la enseñanza de las matemáticas,su signiﬁcado se extiende; por tanto, si se pretende realizar un análisis profundo de la deﬁnición deproblema, hay que investigar la dimensión psicopedagógica y particularizarlo desde el punto de vistade la Didáctica de la Matemática. Se hará el análisis basado en las palabras de Hadamard (1945) cuandoexpresó:
"... este asunto envuelve dos disciplinas, Psicología y Matemática, y requerirá ser tratado adecuada-mente en ese orden, por ambos, tanto por el psicólogo como por el matemático. Por la falta de estacomposición, el asunto ha sido investigado por los matemáticos por un lado y por los psicólogos porel otro..." (Hadamard, J. 1945, p. 1).
Desde los postulados de la Psicología se estudiaron dos deﬁniciones trascendentales en este campo, lasdadas por Rubinstein (1966) y Leontiev (1986). Del análisis de las deﬁniciones establecidas por estospsicólogos encarnan dos características comunes: en todo verdadero problema el sujeto desconoce lavía de solución y al posicionarse frente al problema mismo adopta un carácter activo. Para Majmutov(1983) los elementos fundamentales de un problema son lo conocido y lo desconocido (hallar el nexo,las relaciones entre lo conocido y lo desconocido).Borasi (1986), relaciona problemas con texto a los textos formulados con precisión, donde apare-cen todos los datos necesarios para obtener la solución. También trabaja los problemas para el en-tretenimiento y las pruebas de conjeturas, reﬁriéndose a la demostración de teoremas o de una ciertapropiedad. Uno de los inconvenientes es que no queda clara la base para la división de los mismos.Para Kantowski (1981) un problema “es una situación que diﬁere de un ejercicio en que el resolutorde problemas no tiene un proceso algorítmico que lo conducirá con certeza a la solución.” (Kantowski,M. 1981, p. 111). Otra deﬁnición que aparece como constante en un conjunto de investigaciones sobreel campo de la resolución de problemas, es la dada por Palacios y Zambrano (1993) que precisa: “Elproblema puede ser deﬁnido como cualquier situación, que produce por un lado un cierto grado deincertidumbre y, por otro lado, una conducta tendente a la búsqueda de su solución”. (Palacios, C. yZambrano, E. 1993, p. 52). Aunque en la deﬁnición anterior se observa una cierta relación en el sig-niﬁcado que se le atribuye a los términos utilizados, se entiende que la dada por estos autores es másacabada que las precedentes, pues plantea de una manera más directa los elementos esenciales de ladeﬁnición. En esa misma dirección Campistrous y Rizo (1996), deﬁnen problema como ”toda situaciónen la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarla. La vía de pasar dela situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida tiene que ser desconocida y la personadebe querer realizar la transformación" (Campistrous, L. y Rizo, C. 1996, p. IX).Al analizar estas dos últimas deﬁniciones encontramos elementos que son de suma importancia parahacer una caracterización del concepto de problema escolar, lo que permite un acceso lingüístico-conceptual de mayor precisión en la elaboración de los problemas y que los profesores reconozcancuándo están realmente en presencia de ellos. Estos elementos son: a) la vía de pasar de la situacióninicial a la nueva situación debe ser desconocida; estableciendo diferencias esenciales entre ejercicio yproblema; b) la persona quiere realizar esa transformación, teniendo bien en claro que lo que consti-tuye un problema para uno puede no serlo para otro.
Dicho análisis puede resumirse en el hecho de que, aunque existe una gran diversidad de criterios, losautores de manera general no se contradicen; en tal sentido, los rasgos fundamentales analizados son:
Existirá una situación inicial o varias situaciones iniciales y una o varias situaciones ﬁnales
La vía de pasar de la situación inicial o situaciones iniciales a la situación ﬁnal o situacionesﬁnales debe de ser desconocida o que no se pueda acceder a ellas de forma inmediata
Debe existir la persona que quiera resolverla
La persona dispone de los elementos necesarios para buscar las relaciones que le permitan trans-formar la situación o situaciones planteadas
2.2 Clasiﬁcaciones de los problemas en su relación con las ecuaciones diferenciales.
Todos los autores parecen estar de acuerdo en que un elemento fundamental para dirigir el proceso deenseñanza-aprendizaje de la Matemática, es que tanto el profesor como el estudiante sepan en pres-encia de qué clase de problemas se encuentran; en tal dirección han aparecido en los últimos añosmuchos tipos de clasiﬁcaciones. Sobre la base del contenido semántico de problema, Majmutov (1983)plantea que los problemas se pueden clasiﬁcar de acuerdo con diferentes bases. Por ejemplo, partiendode la signiﬁcación del término "problema", como cuestión que debe ser realizada, y como interroganteque debe ser resuelta. Los problemas, según este autor, por su contenido, es decir, en función de lainformación que transmite el texto o planteamiento del problema, se pueden dividir en: cotidianos, jurídicos, pedagógicos, entre otros. Es claro que esta clasiﬁcación es poco práctica desde el punto devista didáctico, porque las fronteras entre unos y otros problemas se solapan.Para adentrarnos en el estudio de las tipologías, es menester plantear que los pasos iniciales, desdeel punto de vista docente, giraban en torno a la naturaleza de la asignatura. Esta clasiﬁcación es lamás generalizada dentro de los profesores de Matemática en la actualidad, aunque se conﬁrma queexisten problemas de Matemática, Física, Química, etcétera, y otros que no estén dentro de ningunaasignatura, que son los de razonamiento lógico.Ya en los trabajos de Polya (1945) se diferencia los problemas por resolver y los problemas por de-mostrar; por su parte González (1954) los distingue en particulares y generales. Mientras que en lostrabajos de Bertoglia (1990) aparece una clasiﬁcación que está más acabada, ya que se enfatiza no sóloen el proceso de solución, sino que además pone al descubierto la utilización de la lógica dentro delproceso; su clasiﬁcación se centra en dos grandes grupos llamados: Problemas Cerrados. En estos, lasolución se deduce de forma lógica a partir de la información que aparece en el planteamiento delproblema y que resulta suﬁciente para encontrar la respuesta correca. Problemas Abiertos. En estos, elresolutor necesita ir más allá de la información recibida, utilizándola de manera directa y/o modiﬁ-cando los signiﬁcados atribuidos a los elementos del problema.Al no analizarse las ecuaciones diferenciales como objeto de la resolución de problemas, sucede quedentro de las clasiﬁcaciones estudiadas, no aparecen las tipologías en esta dirección. Para el logro delos objetivos de la enseñanza-aprendizaje de la matemática, en particular los relacionados con la resolu-ción de problemas, hay que tener presente que los contenidos a tratar deben verse en dos direcciones:como objeto de apropiación (aprender ecuaciones diferenciales) y como base para el desarrollo de laresolución de problemas. Los educadores matemáticos han puesto al descubierto que la resolución deproblemas debe ser el objetivo instructivo fundamental en la enseñanza de las matemáticas, aunque no
la única habilidad a desarrollar.Las clasiﬁcaciones de problemas en la dirección antes señalada no están dadas de forma explícita, el-emento examinado anteriormente, pero es prudente aclarar que ya en los trabajos de Zillmer (1981),se dan pautas para tratar determinados problemas con el objetivo de desarrollar diferentes aspectosrelacionados con la resolución de problemas.Las ideas desarrolladas sirvieron de base o sustento para clasiﬁcar los diferentes tipos de ecuacionesdiferenciales y delimitar sus características. Esta clasiﬁcación encierra dos grandes grupos de proble-mas con sus respectivos subgrupos y entre ellos forman un sistema para el desarrollo de procedimien-tos de solución de las ecuaciones diferenciales. Con esta posición se tienen en cuenta tres aspectos queson indispensables al concebir un sistema: elementos que lo integran, relación que se establece entrelos elementos del sistema y resultado que se genera de esta relación.El objetivo de la clasiﬁcación está dado, en lo fundamental, en organizar la actividad y determinarel efecto que provoca el sistema de problemas en el desarrollo de un determinado procedimiento desolución y viceversa. Esta división permitirá revelar la estructura interna de los problemas y, además,ayudará a los profesores a estructurarlos en función de cada uno de los elementos a desarrollar, deforma tal que se alcance un proceso óptimo de enseñanza-aprendizaje en la resolución de problemaspara favorecer el proceso de enseñanza aprendizaje de las ecuaciones diferenciales.Así pues, la clasiﬁcación que se propone está encaminada al procedimiento que se quiera utilizar,además debe contener en su totalidad todas las posibles situaciones problema que se puedan presentaren un curso de ecuaciones diferenciales. La clasiﬁcación que proponemos es la siguiente:1. Problemas estructurales: Son aquellos cuya similitud de estructura y forma, así como de soluciónnos permiten aplicar alguna de las analogías siguientes:
Analogía de estructura: Son aquellos problemas donde se evidencia similitud de cuerpo yforma, y al aplicar una analogía podemos llevar nuestros problemas a situaciones donde sepueda evidenciar una solución en base a un problema que ya se conoce.
Analogía de solución: En este rubro, si un problema tiene semejanzas notables en su procesode solución entonces se estaría en posición de elaborar una estrategia que lleve a la solucióndeseada.2. Problemas Reductivos: Son aquellos que tienen solución en problemas posiblemente de distintocarácter o dimensión. En donde aplicamos los siguientes principios:
Principio de Transformación: Aquellos problemas que se pueden llevar a otra dimensiónmediante la transformación de alguno o todos sus componentes, teniendo la seguridad deque dándole respuesta al nuevo problema se le dará también al anterior.
Principio de Reducción: Son aquellos problemas que se llevan a un rubro distinto donde alhacer una aplicación recursiva o inmediata se le encontrará la solución al problema srcinal.Las características de los problemas por analogía estructural utilizados son:
Problemas con datos insuﬁcientes
, donde el estudiante se ve obligado a buscar problemas semejantesdonde se evidencie cuál es el dato faltante.
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