Source: https://es.scribd.com/doc/25907326/Fasciculo-33-Diseno-Curricular-de-MATEMATICA-en-el-octavo-y-noveno-ano-de-la-EGB3-1ra-PARTE-DGE-Provincia-de-Mendoza
Timestamp: 2016-02-13 01:04:45+00:00

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LA MATEMÁTICA EN EL TERCER CICLO DE LA EDUCACiÓN GENERAL BÁSICA
(E.G.B.3)
Documento para la Transformación Curricular en Mendoza Primera edición- Diciembre de 1998 5000 ejemplares
La presente es una publicación de la Dirección General de Escuelas Está permitida la reproducción total o parcial del presente material colocando el texto entre comillas e indicando la fuente
Marta Blanco de Rodríguez
Directora de Nivel Inicial y Primaria
Oríeta Giol
Directora de Enseñanza Media
Susana García de Mackinon
Coordinadora Ejecutiva de la Unidad Coordinadora Provincial de Programas con Financiamiento Externo
COMISiÓNCURRlCULAR Coordinadores Generales
Juan Carlos Nieva María Judffh Alderete
Participación en la elaboración de los documentos de base
Mendoza, diciembre de 1998
Equipo de Curriculum Coordinadora Judith Alderete Equipo de Curriculum Ketty Iturrioz Mima Santander EIsa Goicoechea Ana María Nuñez Ariana Dalvelo Eugenia Artola
y Capacitación en Matemática
Colaboración en la producción del material Equipo de Capacitación Cecilia Aceto Norma Arabia B~atriz Galvo Silvia García Edith De Miguel Elizabeh Molina Verónica Navarro Silvía Ortega María Femanda Selva Catalina suerez:
Consideraciones sobre el Tercer Ciclo de la EGB
El siglo que culmina, desde el campo educativo está marcado por profundos procesos: el aumento de la cantidad, diversidad, complejidad y dinamismo del saber elaborado: la expresión de múltiples demandas educativas derivadas de los cambios sociales, culturales y políticos, tecnológicos, económicos y la universalización y ampliación de los años de escolaridad para todos, resultante de la atención por más y mejor educación como aspiración del conjunto social. Estos procesos exigen una nueva educación pública de calidad para todos y ésta a su vez, es una dimensión sustantiva para el armónico crecimiento social y económico de la provincia, del país y de todos y cada uno de los miembros de la comunidad. Este reclamo y al mismo tiempo aspiración para todos, actualiza la concepción de escuela pública, popular y democrática como idea central y fundante del sistema educativo argentino. La señal más clara es que la escuela pública y obligatoria hoy no se reduce a la escuela primara, se extiende por sus extremos (Nivel Inicial y Educación Media) y se expresa en diez años de escolaridad obligatoria y en la nueva estructura del Sistema Educativo. La Educación General Básica es un nivel educativo esencialmente democratizador; constituyéndose en un modelo global que ofrece a todos una formación básica y común en un tramo obligatorio que se extiende hasta los 14 años de edad como mínimo. Proporciona una matriz básica de conceptos, procedimientos y valores y propicia una homogeneidad en los puntos de llegada, atendiendo a la diversidad y compensando las desigualdades. La EGB atiende demandas de distinta índole: • políticas, para asegurar la participación ciudadana y el fortalecimiento de la democracia; • científico-tecnológicas, para posibilitar el acceso a los códigos básicos de la modernidad; • económicas, para promover el crecimiento del país y el desempeño productivo de las personas; • sociales, para promover la igualdad de oportunidades. El Tercer Ciclo de la EGB debe asumir los siguientes desafíos: extensión de la obligatoriedad; aprendizajes significativos; retención con calidad; orientación y acompañamiento a púberes y adolescentes; actualización de contenidos y metodologías de enseñanza y fortalecimiento de los vínculos con la comunidad y el mundo del trabajo. La EGB3 se propone: - Sistematizar el conocimiento de las áreas e identificar las opciones que les permiten desenpeñarse competentemente en la continuidad de los estudios y/o la iniciación laboral. - A van zar hacia la formación de competencias más complejas a través de la sistematización de conceptos,
las opciones que les permiten desenpeñarse compe __ tentemente en la continuidad de los estudios y/o la iniciación laboral. - A vanzar hacia la formación de competencias más complejas a través de la sistematización de conceptos, procedimientos y valores, enfatizando la comprensión de los procesos globales que afectan el mundo contemporáneo, así como la reflexión acerca de los principios y consecuencias éticas de las acciones humanas. - Proporcionar el conocimiento social suficiente para desenvolverse como ciudadano crítico, responsable, solidario y respetuoso del orden institucional y de la vida democrática y capaz de participar gozosa mente en la producción de bienes materiales y en la creación de bienes culturales. - Ampliar los espacios para el afianzamiento de la autonomía intelectual, social y moral. - Contribuir al fortalecimiento de la identidad nacional, entendida como unidad en la diversidad, en el contexto latinoamericano y mundial, reconociendo y valorando el patrimonio cultural de la localidad, de la provincia y del país. - Ampliar el conocimiento y respeto de sí mismo y de los demás, en orden a la construcción del propio proyecto de vida desde una dimensión trascendente de su existencia. La Provincia de Mendoza ha optado por la implementaDlRECCION GENERAL DE ESCUELAS
ción gradual y progresiva de EGB3 y ha focalizado la preocupación en la articulación entre séptimo y primero y segundo años de la actual escuela media, buscando retener a los alumnos en el sistema y mejorar la calidad de los aprendizajes. En ese sentido, el curriculum es uno de los ejes artic ula dores. El curriculum es un objeto social en permanente construcción que explicita las intenciones educativas, los contenidos, los aprendizajes esperables en cada etapa y las estrategias pedagógicodidácticas que orienten las prácticas docentes, respondiendo a preguntas como:¿qué enseñar y aprender?, ¿ cómo y cuándo enseñar y aprender?, ¿ qué, cuándo y cómo evaluar? En el complejo camino de la construcción de los materiales curriculares estamos en la etapa de la segunda concreción a nivel jurisdiccional, contextualizada en la realidad regional. Los presentes materiales "Renovación Curricular para el Tercer Ciclo" significan un esfuerzo de innovación y actualización de los saberes considerados básicos. Serán la base para que cada institución educativa elabore su proyecto curricular, atendiendo la diversidad, pero garantizando la distribución equitativa de los saberes.
Subsecretaría de Educación Dirección General de Escuelas Gobierno de Mendoza GOBIERNO DE MENDOZA
En 1995 se inició un largo camino, compartido con los docentes, para la construcción de la Propuesta Curricular de Matemática de la Jurisdicción destinada a los diez años de la escolaridad obligatoria. En todo ese recorrido, destinado a compartir con los docentes los avances del sequndo nivel de especificación curricular, se llegó hasta los docentes con publicaciones de distribución masiva y gratutita presentadas en jornadas a la totalidad de los supervisores, directivos y maestros, tanto de gestión oficial como privada, dependientes de la Dirección de Nivel Inicial y Primario La primera publicación fue el Fascículo 2, "Primera aproximación a los CBC de Lengua y Matemática" . En la parte dedicada a Matemática se destacó la siguiente reflexión que hoy parece oportuno considerarla nuevamente. "Es la misma sociedad la que plantea en nuestros días, demandas específicas acerca del conocimiento. Pero también señala que éste sea abordado de manera diferente. Estamos en el inicio de una nueva cultura, con nuevos conocimientos y con nuevas competencias" . Durante los años 1996 y 1997 se publicaron otros documentos de desarrollo curricular, destinados a las versiones preliminares de las Propuestas Curriculares de la Jurisdicción para Matemática, en los distintos tramos de
la escolaridad obligatoria. - El Fascículo 5 (1996), estuvo destinado a la Matemátca en el Nivel Inicial ya una primera parte de EGB1 (Primer Ciclo de la EGB). - En el Fascículo 7 (1996), se completó la Propuesta . Curricular para EGB1. - El Fascículo 11, (1997) se dedicó a la Matemática en EGB2 (Segundo Ciclo de la EGB). En todas las Propuestas Curriculares de la Jurisdicción se tuvieron también cuenta los aportes recibidos en los Seminarios Federales para la elaboración de diseños curriculares compatibles para el Nivel Inicial, EGB1 y 2. En febrero de 19981a Dirección General de Escuelas publicó el Documento Curricular Provincial , como resultado del proceso desarrollado desde 1995. En los tres capítulos del mismo se formularon referencias a la Matemática: consideraciones generales, expectativas de logros, aprendizajes acreditables para el Nivel Inicial, (sala de 5 años), EGB1 y EGB2 Yaprendizajes acreditables sugeridos para cada año de los dos ciclos mencionados. Se presentó la organización de los contenidos y una propuesta sintética de los mismos, para los tramos mencionados. También se consignaron orientaciones didácticas para la enseñanza y la evaluación
En cuanto a las propuestas de apertura y secuenciación de contenidos fueron presentadas mediante matrices en los fascículos 5,7 Y 11. En marzo de 1998, se presentó un nuevo documento de desarrollo curricular: el Fascículo 24, "La Matemática en el Tercer Ciclo". Contiene una primera versión de la Propuesta Curricular de Matemática, formulada por la Jurisdicción. En la primera parte del documento: consideraciones generales sobre la Matemática en la escolaridad obligatoria y en el Tercer Ciclo, la organización de los contenidos, las expectativas de logros y los aprendizajes acreditables propuestos para el ciclo y orientaciones didácticas para la enseñanza y la evaluación. La presentación sintética de los contenidos desde Nivel Inicial hasta EGB3, tuvo el propósito de destacar un aspecto prioritario que se ha venido señalando desde 1995: la continuidad de la enseñanza. Se pretende asegurar la continuidad de los aprendizajes de los alumnos, teniendo en cuenta que la apropiación de los conocimientos se inscribe en una doble continuidad: la que relaciona entre sí a ciertos conocimientos y la que se debe tener en cuenta en un periodo más o menos largo, como puede ser un ciclo, toda la EGB y hasta el Polimodal. La segunda parte del fascículo estuvo destinada al séptimo año: consideraciones generales, aprendizajes acreditables sugeridos, para el año, y una propuesta de apertura y secuenciación de contenidos que responde a la organización en ejes.
El fascículo con la versión preliminar de la propuesta curricular fueron presentados a la totalidad de los supervisores y de los Consejos de Directivos de la Dirección de Nivel Inicial y Primario ya los Supervisores de la Dirección de Enseñanza Media, a la totalidad de los maestros de 70 año y de los profesores de Matemática de 80 y 90 años, de gestión oficial y privada y a los profesores de los Institutos de Formación Docente dependientes de la Dirección de Educación Superior. Hubo jornadas especiales con los Coordinadores del Matemática de las escuelas secundarias de la Provincia y se solicitó la participación de los docentes y de Instituciones destacadas, con el propósito de intercambiar opiniones y recibir aportes para realizar ajustes y completar la propuesta. El presente documento contiene la propuesta curricular de la Jurisdicción, para el Tercer Ciclo de la EGB. Lo hecho hasta aquí desde 1995 fue necesario, pero no caben dudas de que no es suficiente. En efecto, los docentes, desde el Nivel Inicial, están construyendo el curriculum de las aulas, (tercer nivel de espcificación curricular). Es un enorme desafío que se inscribe en un proceso lento, gradual y complejo, que demandará muchos años y que vale la pena realizarlo. Se apuesta a que los alumnos aprendan más y una mejor Matemática, focalizada en el desarrollo de competencias básicas.
E~I EL TERCER
Propuesta Curricular de MATEMÁTICA para el Tercer Ciclo de la EGB Parte I
La Matemática en la escolaridad obligatoria y el Tercer Ciclo de la EGB
La Matemática en cada año del Ciclo
2 Consideraciones generales Organización curricular de los contenidos de Matemática Acerca de los procedimientos generales Acerca de las actitudes Expectativa de logros y aprendizajes acreditables para el Tercer Ciclo Presentación sintética de los contenidos Orientaciones didácticas para la enseñanza Orientaciones didácticas para la evaluación
La Matemática en 70 año
1.1 1.2 Aprendizajes acreditables sugeridos Propuesta de apertura y secuenciación de contenidos Aprendizajes acreditables sugeridos Propuesta de apertura y secuenciación de contenidos Aprendizajes acreditables sugeridos Propuesta de apertura y secuenciación de contenidos
La Matemática en 80 año
La Matemática en 90 año
Las opiniones de los docentes Jornadas. Consultas y agradecimientos Bibliografía consultada
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La Matemática figura entre las disciplinas a enseñar en los diez años de la escolaridad obligatoria y luego se continúa en el Polimodal. A lo largo de ese periodo la escuela debe comprometerse a enseñar el conocimiento matemático básico, llamado el alfabeto matemático de la época, con el propósito de asegurar que todo ciudadano pueda moverse con soltura en la sociedad en que vive. Nadie discute que la enseñanza de la matemática escolar, en el tramo de la educación obligatoria, debe contemplar el aspecto informativo, consistente en dar los elementos que se estimen necesarios para desenvolverse en la vida o que necesiten otras ciencias para su comprensión y desarrollo, y el aspecto formativo que sirve para enseñar a pensar, fomentar el espíritu crítico, practicar el razonamiento lógico, etc. La discusión, en todos los tiempos, comienza cuando se trata de establecer la proporción entre los dos aspectos y cuál de ellos debe preponderar. En esta propuesta se intenta promover un equilibrio entre ambos. En síntesis, la matemática escolar en el periodo obligatorio, tiene para el alumno un valor intrumental y un valor
formativo. A esos dos valores hay que aqreqarle un valor social, porque desde su lengu'ajey su método; se ha constituido en un medio de comprensión y mejoramiento del mundo científico, industrial y tecnológico en el que vivimos. Además de útil, formativa y necesaria para el desarrollo social e individual de la persona, es una habilidad humana a la que todos pueden acceder en forma placentera.
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La autonomía para poder emplear lo aprendido y seguir aprendiendo se gesta en parte en la escuela, y una condición ineludible para lograrla es la confianza que los alumnos deben adquirir para trabajar en la disciplina. también depende de la valoración que hace el
alumno con respecto a la utilidad, sentido y belleza que posee. Otra discusión que aparece frecuentemente con respecto a la matemática escolar obligatoria, tiene que ver con el planteo de la metodología más adecuada para su tratamiento. Esa metodología está relacionada con la concepción de enseñanza y aprendizaje que se sustente. Al llegar al Tercer Ciclo se debe procurar que los alumnos rescaten lo más que puedan de las nociones fundamentales en las que se iniciaron en el Nivel Inicial y EGB1, Y que luego profundizaron y complejizaron en EGB2. Los contenidos recuperados de los ciclos anteriores deben ser nuevamente ampliados y profundizados en EGB3, ya sea para mejorar su organización, su forma de comunicación o su aplicación a nuevos temas o problemas, de tal manera que los alumnos puedan acceder a un principio de sistematización, integración y abstracción, no solo en lo conceptual sino también en lo metodológico. Se sugiere poner un énfasis especial, tanto en la cohesión interna de la disciplina como en su significatividad y funcionalidad dada por su conexión con el mundo real, con otras disciplinas y entre sus diversas ramas. Esos aspectos deberán ser reconsiderados y cornplejiDIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS
zados en el Nivel Polirnodal. Al llegar al Tercer Ciclo la mayoría de los alumnos no ha alcanzado la etapa de la abstracción y la comprensión de lo que significa un sistema axiomático. Tampoco pueden comprender las formalizaciones que se les han venido exigiendo tradicionalmente. Sin embargo, aún cuando no entiendan conceptos de una manera "ordenada" y ''formalizada'' , se debe procurar hacerles ver que la Matemática no es una colección de conceptos aislados y de rutinas y des-' trezas fuera de contexto. El punto de partida debería ser, en lo posible, la construcción de modelos de situaciones problemáticas del mundo real. Fundamentalmente tendrían que enírentarlas, no sólo desde un pensamiento creativo e inductivo, sino también desde un pensamiento organizado y sistemático. De esa manera, a la vez que apliquen informaciones, habilidades y estructuras del pensamiento matemático, ya adquiridas en los años anteriores, puedan descubrir los métodos y principios del trabajo matemático y sus capacidades y limitaciones para poder resolverlas.
LA MATEMA II1..A EN EL TERCER CICLO DE LA EDUCACiÓN GENERAL BÁSICA
Los alumnos arriban al último tramo de la escolaridad obligatoria, sin poseer una definición estricta de ciertos conceptos, porque para aprender matemática ello no es necesario. Pero desde el Nivel Inicial los conceptos deberían ir creciendo y desarrollándose a lo largo de los años, como parte del proceso de aprendizaje y uso de cada uno de ellos. A medida que sean utilizados en diferentes circunstancias y por motivos diferentes, se irán fortaleciendo y resignificando, enriquecidos por la práctica. Al llegar al Tercer Ciclo los alumnos tendrían que poder manejar los conceptos matemáticos básicos, porque sin ellos no pueden resolver las situaciones a las que aludimos. En efecto, para comprender la realidad hay que conocer determinada información, pero para que ella resulte significativa se debe disponer de los conceptos que permitan interpretarla y relacionarla. "Los conceptos constituyen un conjunto de conocimientos relacionados, en los que se incluyen las rutinas necesarias que caracterizan los procedimientos. Forman la parte sustancial del conocimiento matemático". No se aprende por repetición. Es necesario comprenderder los conceptos, conectarlos con conocimientos previos e incluirlos en una estructura que les dé sentido.
Este modo de conocer debería marcar una diferencia entre los alumnos que ingresan a la escuela con saberes eminentemente intuitivos, contextualizados y por lo tanto poco transferibles, y los alumnos que salen de ella al terminar el Tercer Ciclo. Sin embargo, se debe tener mucho cuidado para que no tengan la sensación de que el mundo concreto en el cual se desarrollaron sus conocimientos ha desaparecido y que se los arrastra contra su voluntad a un mundo de abstracciones. Si bien es cierto que los materiales concretos ya no tienen la misma vigencia que en los años anteriores de la escolaridad, no hay que descuidar el uso de otros recursos (materiales didácticos, metodologías, textos, problemas, etc.) que potencian y enriquecen el proceso de enseñanza y aprendizaje. También hay que tener presente que los alumnos transitan el Tercer Ciclo en pleno periodo adolescente, que coincide con los inicios de sus operaciones formales. Pueden pensar en términos de proposiciones, relacionar proposiciones, relacionar deducciones sobre estructuras formales, etc. Este peldaño cognitivo les permite disfrutar con las relaciones formales, jugar con juegos lógicos, buscar contradicciones de expresiones lingüísticas yexperimentar obteniendo conclusiones también formales.
LA MATEMÁTICA EN EL TERCER CICLO DE LA EDUCACiÓN
Por otra parte, también hay que tener en cuenta que la Matemática es una ciencia formal que transforma objetos formales; por esa razón sus objetos de trabajo son proposiciones sobre las cuales se realizan deducciones. Los niños deben transitar un largo periodo escolar para que puedan abstraer las propiedades matemáticas de algunos objetos de nuestra cultura. En el Tercer Ciclo se debe propiciar un mayor nivel de abstracción y formalización. Si al término de la EGB no lo logran, no podrán pensar en términos matemáticos y sólo estarán en condiciones de usar una matemática operatoria para defenderse, dentro de la sociedad, en situaciones cotidianas elementales. En lo que sigue se señala el enfoque con que han de tratarse los contenidos de la Matemática a lo largo de la escolaridad obligatoria, tal como se lo consigna en la introducción al Capítulo de Matemática de los Contenidos Básico Comunes. Una ampliación sobre dicho enfoque se consideró en el Fascículo 2. A todo lector interesado se lo remite a dicho documento.Se remite a dicho document Si bien ese enfoque tiene validez en todos los ciclos anteriores, cobra mayor vigencia en el Tercer Ciclo.
Básicamente se propone tener en cuenta: - La comprensión conceptual - El gusto por hacer Matemática - La habilidad para plantear problemas y resolverlos con una variedad de estrategias, teniendo en cuenta que la Matemática es una habilidad humana a la que todos podemos acceder de manera placentera - La significación y funcionalidad de la Matemática a través de su conexión con el mundo real, entre sus diversas ramas y con las otras ciencias - La potencia de la Matemática para construir modelos de problemas de las otras disciplinas a partir de sus estructura lógica y de su lenguaje - El valor de la nueva tecnología (calculadoras, calculadoras para gráficas, computadoras, multimedia), que se incorpora al aula, no solo para simplificar los cálculos, sino por la posibilidad que brinda de "experimentar" matemáticamente, enriqueciendo el campo perceptual y las operaciones mentales involucradas en los procesos de construcción, estructuración y análisis de contenidos. - La coherencia interna de la Matemática - El valor de la Matemática en la cultura y la sociedad, en la historia y en el presente.
2 Organización curricular dos de Matemática
de los conteniBloque 8 CONTENIDOS ACTITUDINALES
Los CBC no prescriben una organización de los contenidos. Es tarea de cada provincia elaborar la Propuesta Curricular de la Jurisdicción, (segundo nivel del curriculum), especificando, reorganizando, profundizando o completando los CBC. A su vez, los diseños curriculares provinciales serán punto de partida para que cada establecimiento escolar elabore su curriculum (tercer nivel de especificación), de manera de responder por un lado, a su pertenencia nacional y provincial y por otro, a su propia identidad institucional. Por distintas razones, en el caso de Mendoza, se decidió mantener una organización similar a la adoptada desde el Nivel Inicial. Los ocho bloques presentados en el capítulo de Matemática de los CBC se reagrupan en tres ejes: - Números sus, relaciones y aplicaciones - Espacio y Geometría - Razonamiento, Comunicación y Problemas. En el diagrama arbolar que sigue se ilustra de qué manera se han reorganizados los bloques de los CBC en los ejes. Los contenidos procedimentales y los contenidos actitudinales atraviesan todos los contenidos conceptuales, lo cual justifica su ubicación en el diagrama.
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EJE: NÚMEROS. SUS RE· LACIONESYAPLlCACIO· NES
Bloque 1 Números I Bloque2 Operaciones . Bloque 3 Lenguaje gráfi. eo y algebraico
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EJE: EL RAZONAMII~NTO. LA COMUNICACION y LOS PROBLEMAS
Bloque 3 Lenguaje gráfico yalgebraico Bloque7 Contenidos procedinwmtales
EJE: ESPACIO Y GEOMETRíA Bloque 3 Lenguaje gráflcoyalgebraico Bloque 4 Nociones
Bloque 5 Mediciones Bloque 6 Estadística Probabiliadad ~
Los Contenidos Actitudinales "ponen de manifiesto los valores, actitudes y comportamientos significativos para la vida de relación de todo ser humano". Los Contenidos Procedimentales son el "conjunto de reglas, pautas, estrategias, modos de aproximación y métodos que tiene la Matemática para acercarse a sus objetos de estudio e investigación". Los contenidos del Bloque 3, Lenguaje gráfico y algebraico convergen en los tres ejes. Los contenidos del Bloque 5, se incorporan naturalmente a dos de los ejes: el referido a las cuestiones numéricas y el que trata las nociones geométricas.
La presentación de los contenidos organizados en un eje numérico y en otro geométrico no debe asombrar. Basta con tener en cuenta que "la Matemática se edifica sobre el concepto de número, lo que da origen a la aritmética, y sobre el concepto de forma, lo que da origen a la geometría. En muchas ocasiones ambos conceptos se relacionan y aparecen interesantes propiedades que tienen que ver con la forma de las figuras geométricas" . Los dos campos conceptuales se han ido relacionando a través del tiempo, de ahí que en la enseñanza sea conveniente mostrar su integración, cada vez que sea posible. Por ejemplo, es posible dar significado a los cálculos numéricos recurriendo a situaciones geométricas, al mismo tiempo la geometría se debe aprovechar para motivar y practicar cuestiones aritméticas. También es cierto que a medida que se avanza en la escolaridad se hace necesario establecer una mayor división entre dichos campos conceptuales, porque se pretende una mayor profundización en el tratamiento de los contenidos. Sin embargo, parece conveniente conciliar ambos puntos de vista, teniendo en cuenta que en el Tercer Ciclo se pretende "matematizar" más los objetos concretos que fueron punto de partida de los aprendizajes en los años anteriores. Hay que empezar a mirar esos objetos desde otras ópticas.
2.1 Eje Números, sus relaciones y aplicaciones Los contenidos de este eje apuntan a que los alumnos adquieran "sentido" del número, es decir que puedan comprender el significado de los números de los distintos conjuntos numéricos, compararlos, relacionarlos, reconocer sus magnitudes relativas, distinguir en qué situaciones es pertinente usarlos en el seno de la misma Matemática y en otras áreas de conocimiento, operar con ellos, juzgar si un resultado es razonable y expresarlo de manera conveniente. El docente debe tener claro que un buen trabajo en un intervalo numérico no garantiza la transferencia inmediata de los aprendido a otro intervalo más amplio. . Lo mismo ocurre con respecto a otros conjuntos donde las operaciones no admiten las mismas interpretaciones dadas en los números naturales. En este eje se consideran, para los tres años del Tercer Ciclo, los siguientes organizadores: - Números y operaciones - Relaciones, funciones, ecuaciones e inecuaciones - Medida y medición - Estadística, Probabilidad y Combinatoria
- El organizador Números y operaciones, está referido al estudio de los conjuntos numéricos, Z, (de los números enteros), ID, de los números decimales, Q , (de los números racionales) y IR, (de los números reales), la naturaleza de cada uno de ellos, sus formas de representación y las propiedades que los caracterizan. También se ocupa de un tratamiento acerca de las operaciones y los cálculos. Se propone que al abordar estos temas se tenga en cuenta el significado de las mismas en cada conjunto numérico, las formas de calcular sus resultados y el análisis formal de sus propiedades. Los distintos conjuntos numéricos responden a necesidades, de índole pragmática, que provienen de la vida cotidiana. Por ejemplo, los números naturales para enumerar, contar y ordenar, los números enteros para interpretar ganancias y pérdidas, los números decimales positivos para expresar porciones de la unidad, etc. A estas razones, la escuela ha de aportarles en el Tercer Ciclo, las de índole matemático, presentando los distintos conjuntos numéricos como raíces de diferentes tipos de ecuaciones, lo cual no significa que se esté pensando en una introducción formal. Los alumnos deben comprender de qué manera las sucesivas "ampliaciones" permiten construir los distintos sistemas numéricos.
Interesa también que en cada uno de ellos tengan una aproximación intuitiva que dé cuenta de las propiedades de orden, discretitud, densidad y/o completitud de cada uno. Es importante que aprendan a comparar, ordenar, aproximar y encuadrar, en los distintos conjuntos numéricos. Deben trabajar con el concepto de operación y de los cálculos, teniendo en cuenta: - el significado de las operaciones en cada conjunto numérico; -las formas de calcular los resultados; - el análisis formal de sus propiedades. El cálculo, en sus diversas formas, no se desvincula del significado de la operación, pero el procedimiento de calcular se rige por la naturaleza de los números que intervienen, por las reglas del sistema posicional decimal y por las propiedades de la operación en sí misma. Si bien la calculadora es un elemento habitual en el aula, esto no significa un uso compulsivo de la misma. Es el docente quien debe promover o no, su uso, de acuerdo con el propósito de la tarea propuesta. No sólo hay que enseñar los algoritmos convencionales para calcular, sino que hay que presentar situaciones que los involucren y que permitan sus reconocimiento, la estimación e interpretación de los
resultados y la comprobación
de su razonabilidad.
En cuanto a la comprensión del sistema de numeración posicional brinda al alumno una herramienta universal de comunicación que le permite representar en un mismo código, a veces en forma aproximada, todos los números reales. Puede llamar la atención que no figure explícitamente el conjunto IN de los números naturales. Cabe recordar que su introducción se hace en el Nivel Inicial y que al terminar el Segundo Ciclo los alumnos manejan con cierta soltura, los números naturales "grandes" . Conocen sus funciones y usos, sus designaciones orales y escritas, saben realizar los cálculos básicos en distintas formas, reconocen sus propiedades, etc. En el Tercer Ciclo tienen otra ocasión de volverlos a considerar cuando traten los números enteros. Los números naturales se "identifican" con los números enteros positivos. - El organizador Relaciones, funciones, ecuaciones e inecuaciones, tiene que ver con algunos tópicos del Bloque Lenguaje gráfico y algebraico. La potencia de la aplicación del álgebra es evidente en la matemática misma y en otros campos del conocimiento (economía, ciencias naturales, ciencias sociales, etc.,
pero por su nivel de abstracción se hace necesario un trabajo de transición entre la aritmética y esta rama de la Matemática. Los alumnos explorarán algunos conceptos algebraicos, pero de manera informal, enfatizando el uso de modelos físicos, tablas de datos, gráficos, escrituras de ecuaciones, inecuaciones, fórmulas, etc., que tienden a favorecer la comprensión del concepto de función, variable y dependencia. En este organizador caben destacar, entre otros, los siguientes tópicos: a) Por un lado interesan las relaciones numéricas y entre ellas, la divisibilidad entre los números naturales y entre los números enteros. A través de las nociones de divisibilidad, números primos, descomposición en factores, múltiplo común menor, divisor común mayor, etc. , los alumnos tienen ocasión de aproximarse a la problemática interna de la Matemática, en este caso a la que surge del estudio de la Teoría de Números. La relación divisibilidad entre números naturales se inició en el Segundo Ciclo y se continúa en el tercero. Se propone la ampliación y sistematización soGOBIERNO DE MENDOZA
bre los números enteros. En el Tercer Ciclo hay que analizar las relaciones de conguencia en situaciones simples, tales como la aritmética del reloj o de la semana y aplicarlas poe ejemplo, en los criterios de divisibilidad y en los sistemas numéricos finitos. b) La noción de función es básica en Matemática yaparece en distintos contextos: numéricos, geométricos, etc. Se pretende destacar el poder de las funciones tanto para describir de manera simple situaciones complejas como para permitir la predicción de resultados, modelizando situaciones sencillas (por ejemplo, la proporcionalidad). En este eje se hace refencia a las funciones numéricas que se han venido tratando desde los primeros años de la escolaridad, aunque de manera informal e intuitiva, mediante una exploración que enfatiza el uso de tablas de datos, gráficos, modelos físicos. etc. En el Tercer Ciclo hay que considerar limportantes funciones numéricas como lo son la función lineal, la cuadrática, la hipérbólica, las funciones trigonométricas, etc. Hay que poner en evidencia el comportamiento de muchas de ellas (valores límite, ceros, continuidad, etc.) desde su gráfica. c) Con los tópicos Ecuaciones
tende un tratamiento de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: su significado, resolución gráfica y analítica. En el Tercer Ciclo interesa la presentación de problemas que requieran para su resolución del planteamiento de ecuaciones e inecuaciones. - En lo que hace al organizador La medida y la medición, cabe recordar que la enseñanza de estos contenidos ha comenzado desde temprana edad y que se ha propuesto con un criterio similar al que se sostuvo con respecto a los contenidos relativos a números, es decir, enfatizando la construcción del significado de las nociones de perímetro, área, (medida de la extensión superficial) , volumen (medida de la extensión espacial), capacidad, etc., a través de su utilidad para resolver problemas. El cálculo de cantidades de las diferentes magnitudes mensurables, que se aborda a lo largo de la EGB y se profundiza y sistematiza en EGB3, pone énfasis en la necesidad de desarrollar la habilidad para estimar. Constituye un aspecto importante tanto desde el punto de vista de las necesidades cotidianas, debido a la importante cantidad de aplicaciones que tiene, como desde el punto de vista de la Matemática misma, ya
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LA MATEMÁTICA EN tL
TERCER CICLO DE LA EDUCACiÓN
que posibilita la vinculación de aspectos aritméticos y geométricos. Téngase en cuenta que este organizador también figura en el eje Espacio y Geometría. - En el organizador Estadística, Combinatoria y Probabilidades se tratan tópicos nuevos en la enseñanza elemental. Se pretende que al término de la EGB, el alumno maneje el lenguaje básico de la Estadística, la Probabilidad y la Combinatoria y sepa aplicar las nociones para la resolución de los distintos problemas que se presentan en la vida cotidiana. Para ellos se propone un tratamiento en forma de espiral, comenzando en el Primer Ciclo, con lo cual su introducción comienza a una edad muy temprana. Ese hecho va a requerir un gran desafío por parte de los docentes de los distintos niveles de la escolaridad para no caer en la enseñanza de errores, motivados por una simplificación ingenua del contenido matemático. a) Al hablar de Estadística cabe distinguir la Estadística Descriptiva de la Estadística Inferencial. La primera de ellas atiende a la organización e interpretaDIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS
ción de datos, obteniendo medidas (números) que resumen características de los mismos. La segunda, utiliza estas medidas para hacer generalizaciones respecto a la población, en base a la información proporcionada por la muestra (subconjunto de dicha población), obteniendo medidas (números), que resumen las características de los mismos. En la EGB sólo se pretende introducir a los alumnos en las primeras nociones referidas a la Estadística Descriptiva, pues debido a la complejidad de los métodos usados por la segunda, no se trabajará con inferencias estadísticas. Desde el Primer Ciclo los alumnos aprenderán a recolectar datos, organizarlos, describirlos e interpretarlos a partir de situaciones de la vida cotidiana. Usando la información suministrada por tablas y gráficos podrán extraer el promedio, la mediana y la moda como datos cuantitativos que permiten interpretar propiedades generales del conjunto finito de datos o resultados sobre los que se trabaja. Al llegar a EGB3 es importante que puedan no sólo ligar su quehacer estadístico a situaciones de la vida cotidiana, sino también emplearlo como instrumento para comprender contenidos y resolver problemas esGOBIERNO DE MENDOZA
pecíficos de otras áreas de conocimiento como las ciencias sociales, las ciencias naturales, la economía, etc. Tienen que comprender que para un análisis más importante de los datos interesa, además, saber cómo se concentran. La varianza indica la dispersión de los mismos con respecto al valor medio. Otro tópico que aparece en el Tercer Ciclo es la correlación entre variables aleatorias. La correlación da la medida de cómo varían conjuntamente dos variables aleatorias. b) La enseñanza de la probabilidad en la EGB tiene como propósito trabajar con los alumnos los conceptos de azar, posibilidad, imposibilidad, grados de probabilidad, etc. Desde el Primer Ciclo aparecen estas nociones en situaciones de juego. Al terminar la EGB los alumnos comprenderán el sentido de asignar una probabilidad a un suceso. En cuanto a la definición de probabilidad bastará utilizar la definición clásica, es decir, como "el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles". Los alumnos podrán explorar las relaciones entre la probabilidad empírica y teórica, mediante situaciones de juego, experimentales o usando modelos de simulación.
e) Otro tópico importante que conforma el organizador es el referido a la Combinatoria, que pone a disposición métodos de conteo más potentes. Desde el Primer Ciclo los alumnos se inician en procedimientos que colaboran en el recuento de objetos (diagramas de árbol, principios de conteo), pero alllegar al Tercer Ciclo se pretende que usen otros recursos como las fórmulas que permiten calcular el núemro de arreglos (variaciones), permutaciones y combinaciones. 2.2 Eje Espacio y Geometría.
Los contenidos de este eje tienen como propósito introducir nociones geométricas que ayuden a los alumnos a controlar sus relaciones con el espacio, a representar y describir en forma racional el mundo que los rodea y a estudiar los entes geométricos como modelizaciones de esa realidad. Si bien en la EGB no se pretende un tratamiento deductivo de la Geometría pensada como sistema de axiomas, es un tópico, como otros de la Matemática, donde los alumnos al llegar al Tercer Ciclo pueden adquirir la idea de demostración deductiva, de la necesidad de la misma y de los elementos que constituyen las teorías matemáticas (axiomas, defiGOBIERNO DE MENDOZA
niciones y teoremas). En este eje se consideran los siguientes organizadores: - Objetos geométricos - Transformaciones geométricas - Sistemas de referencia - Dibujo geométrico - Medida y medición - El organizador Objetos geométricos del plano y del espacio, trata nociones pertenecientes al espacio conceptualizado de la Geometría. Hacia ellos el alumno se ha ido aproximando desde el Nivel Inicial, a través de los objetos físicos del espacio perceptivo. En el caso del espacio lo ha hecho, primeramente, mediante un reconocimiento de los objetos reales que tienen la forma de aquéllos y luego, a través de la reproducción, descripción, representación y construcción de cuerpos físicos. Lo mismo vale para el plano en lo que hace a las figuras como segmentos, semirrectas, polígonos, circunferencias, etc. En los primeros ciclos se aborda una aproximación al conocimiento de las mismas, mediante actividades similares a las mencionadas para los objetos geométricos del espacio.
Cuando se habla de los cuerpos geométricos del espacio, también denominados sólidos, debe entenderse que se trata de objetos geométricos limitados por una superficie cerrada que pueder ser o no, plana. En ellos un papel importante está dado por la propiedad de la convexidad. Entre los sólidos cabe distinguir: los poliedros como los paralelepípedos, pirámides, etc. y los sólidos de revolución, como los cilindros, conos, esferas, etc. Los poliedros convexos son los que más se reencuentran en la vida corriente, mediante modelos concretos o reales. Merecen una mención especial los poliedros regulares o sólidos de Platón. También son objeto de estudio en el Tercer Ciclo, las rectas del espacio y los planos, las posiciones relativas entre rectas, entre planos y entre rectas y planos. Lo dicho vale también para el plano. En el Tercer Ciclo se pretende que los alumnos formalicen cuestiones relativas a las posiciones entre rectas y a las propiedades de las figuras, especialmente de los polígonos convexos y de los polígonos regulares. Entre los objetos a considerar en el Tercer Ciclo están los vectores geométricos y su operatoria (suma y producto por un número real). Su tratamiento debe
estar orientado al trabajo con las transformaciones del plano. Se constituyen en un buen ejemplo que muestra que la Matemática no sólo trabaja con números. Se proponen dosmodelos de vectores geométricos: las cuplas puntuales del mismo origen y los vectores libres. - El organizador Transformaciones geométricas (del plano) está referido a un importante ejemplo funciones geométricas. Desde EGB 1 se propone que los alumnos trabajen con muchas actividades relacionadas con ellas (dobleces y recortes de' papel, calcos, manchas de pintura o de tinta, dibujos, etc.) y que las mismas se continúen en el Segundo Ciclo. Al llegar al Tercer Ciclo interesa destacar su aspecto funcional y los invariantes. Por ejemplo, las traslaciones dejan invariantes las rectas paralelas, o sea, transforman rectas paralelas, en rectas paralelas, etc. Lo dicho no significa que haya que plantear un tratamiento riguroso. Muy por el contrario, la intuición, la experimentación, etc., permiten a los alumnos comprender el aspecto que se está señalando. Junto con las transformaciones geométricas aparecen los pavimentos, teselados o mosaicos del plano. Se trata de un tópico interesante que prolonga lo hecho en los
ciclos anteriores. El alumno debe "descubrir" con qué polígonos siempre puede construir pavimentos y en qué casos no es así, (por ejemplo los pentágonos regulares). - El organizador Sistemas de referencia alude a tópicos que se vienen tratando desde ciclos anteriores y que prolongan los recorridos físicos con referencia, que comenzaron en el Nivel Inicial. En EGB3, al llegar al noveno año, recién se pueden tratar las coordenadas reales. Con anterioridad sólo se pueden considerar coordenadas enteras. Es interesante que los alumnos comprendan la similitud de estos sistemas en el plano y en la superficie esférica. En el caso de una recta cambia según que se la considere como un espacio unidimensional (cada punto se referencia con un número único), como parte de un plano provisto de una referencia (cada punto requiere dos coordenadas), o como parte del espacio tridimensional munido de una referencia. En esta situación, cada punto de la recta se referencia con tres coordenadas .. - El organizador Dibujo geométrico,
continúa lo pro-
puesto en los ciclos anteriores. La computadora, tanto como la fotografía, el retroproyector y las fotocopiadoras pueden dar a los alumnos ricas experiencias acerca del desarrollo de habilidades espaciales y de la exploración de conceptos geométricos (perspectiva, proyecciones, transformaciones geométricas, etc), pero nunca pueden sustituir completamente a las actividades relacionadas con el dibujo, realizado con los instrumentos geométricos (regla, falsa escuadra, escuadra, compás). Los programas de construcción, la reproducción, etc., son recursos interesantes que no se deben descuidar en el momento de tener que abordar las nociones geométricas. - El organizador Medida y mediciones ya fue considerado en el eje numérico. Es decir, se pretende tenerlo en cuenta en ambos ejes. Ello se justifica porque convergen en él, de manera natural, el número. la geometría y el mundo físico. Desde el contexto de las magnitudes se hace necesario que los alumnos desvinculen la magnitud a considerar de otros datos perceptuales que los confunden. Se trata de procesos que están profundamente vinculados con el desarrollo lógico y de habilidades percepDIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS
tuales. Las distintas magnitudes requieren campos de construcción diferentes; de allí que no sea posible la introducción simultánea de todas ellas. Por esa razón se incorporan gradualmente a lo largo de toda la EGB. Comprender la medida implica comprender el proceso de medir, la inexactitud de los resultados, el concepto de error de medición y a qué puede ser atribuible, y la importancia de la selección de la unidad y del instrumento adecuado para lograr la precisión requerida por la situación planteada. En el Tercer Ciclo se tiene previsto abordar, básicamente, problemas de área y de volumen, de distancia, relaciones métricas enel triángulo y "medidas" de ángulos. Las razones trigonométricas admiten múltiples aplicaciones acerca de cálculos de ángulos y distancias procedentes de diferentes campos en que se usa la Matemática (física, astronomía, etc.), además de intervenir en la definición de conceptos matemáticos de mayor complejidad, que serán objeto de estudio en el Polimodal. Caben mencionar las coordenadas polares, la representación trigonométrica de los números complejos, el ángulo entre dos vectores, etc.
2.3 Eje Razonamiento,
Este eje apunta a considerar los procedimientos generales relacionados con la actividad matemática. A su vez, en los otros dos ejes se tienen en cuenta procedimientos más específicos relacionados con la temática de cada eje y de cada organizador. Los tres organizadores de este eje son: - Razonamiento - Comunicación - Resolución de Problemas. No figuran conceptos porque no es intención que se dé a los alumnos cursos de lógica, heurística o lenguaje matemático. Se pretende que a través de la puesta en acto de esos procedimientos y de la reflexión que suscite dicha práctica, los alumnos vayan comprendiendo los fundamentos lógicos en que se sustentan. Estos contenidos han de trabajarse desde el Primer Ciclo sobre los contenidos de los otros dos ejes ya que, como se dijo al comienzo de este apartado, constituyen un elemento importante de integración transversal en tanto atienden a procesos generales de pensamiento. Por su importancia son considerados en un apartado especial, lo mismo que los contenidos actitudinales.
Acerca de los procedimientos generales del quehacer matemático.
En este apartado se pretende hacer un tratamiento más explícito acerca de los organizadores del tercer eje de contenidos. Se trata de los procedimientos generales vinculados con el quehacer matemático y conforman tres categorías, con la misma denominación dada a los organizadores del eje.
Procedimientos relacionados con
Con tales procedimientos se pretende acercar al alumno desde el Nivel Inicial, a "hacer matemática" tal como lo hacen los matemáticos profesionales. No sólo constituyen un elemento importante de integración transversal de todos los contenidos de la Matemática sino también de las otras áreas de conocimiento.
Aún cuando estén presentados en forma separada en tres categorías, al sólo efecto de destacar los aspectos que abarcan, no cabe ninguna duda sobre la imposibilidad de trabajar con los de una de las categorías sin involucrar, de manera natural, a los procedimientos de las otras dos. 3.1 Razonamiento El hecho de que el Razonamiento se mencione explícitamente no debe interpretarse como que en el transcurso de la escolaridad obligatoria el alumno deba recibir cursos de Lógica es decir, de la ciencia que estudia las leyes del razonamiento lógico. Sólo se pretende que adquieran gradualmente algunas de las herramientas básicas de él. Por ejemplo, desde el Nivel Inicial es posible ir introduciendo, a través de juegos, el uso de los conectivos lógicos (no, y, o), de la implicación (si. .. entonces), de la doble implicación (si y solo si), de los cuantificadores (todos, algunos), lo cual no significa introducir desde el Nivellniciallos símbolos correspondientes. También es recomendable la presentación de ejemplos y contraejemplos. Lo que se está diciendo es que los niños alcancen el conocimiento matemático sin desdeñar ninguna de las formas posibles de razonamiento: intuitiva, inductiva y deductiva, porque ése es el proceder de los matemáticos profesionales.
La Matemática usa la intuición como punto de partida, pero demuestra la verdad de sus proposiciones a través de sus deducciones. Cuando se enseña la matemática escolar se debe comenzar por la intuición, para luego incursionar mostrando, cuando sea posible, las otras formas de razonamiento. En efecto, nadie aprende Matemática demosfrando todo, y está muy bien que se acepten propiedades sin haber recurrido al método lógico-deductivo. Como lo afirma el matemático Luis Santaló, el alumno tiene que ir comprendiendo que "una cosa es aceptar algo intuitivamente y otra muy distinta es creer que ese camino es suficiente para asegurar las propiedades que requieren de una demostración". En cuanto a la inducción es el método que emplean la mayoría de las ciencias experimentales. Se basa en la elaboración de conjeturas o hipótesis, nacidas al generalizar las propiedades que se dan en un conjunto de observaciones. Cuando se habla de la inducción no se está haciendo referencia a la "inducción matemática", que es el método específico de demostración asociado con el núGOBIERNO DE MENDOZA
mero natural. Se alude al también llamado método experimental. Debe quedar claro que éste no es un método de razonamiento sino que se trata de un camino similar al empleado por los científicos en el laboratorio. Cabe esta pregunta, ¿cómo es posible que se recurra a este camino siendo que la Matemática no es una ciencia experimental? . La razón es fácil de entender. Permite formular conjeturas sobre propiedades que se aceptan intuitivamente, aún cuando no estén demostradas por el método lógico-deductivo o deducción, con el cual se demuestra la verdad de las proposiciones como "conclusiones" que derivan lógicamente de las premisas. El razonamiento también se debe considerar como un contenido. Como tal se enseña y se aprende, aún cuando no se lo haga de manera explícita. Cabe agregar que al término de la EGB, los alumnos deberían poder demostrar teoremas sencillos, porque de esa manera se los ayuda a comprender la naturaleza de la forma deductiva de razonamiento. También tendrían que saber diferenciar las formas de prueba, conjeturas y justificación, válidas para la Matemática, de las que lo son en otras ciencias (por ejernDIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS
plo, las ciencias "tácticas" como la Física). Se reitera que ello no significa cursos de Lógica. que tengan que recibir
Lo que sí tienen que comprender es la diferencia que existe entre demostrar una propiedad usando el método deductivo y la verificación de la misma, mediante una experiencia que puede recurrir a métodos gráficos, físicos, ..., para "descubrirla", apelando a la intuición y la verificación. Por ejemplo, una cosa es verificar experimentalmente la propiedad relativa a la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo (representando triángulos en cartulina y usando un transportador para "medir" los ángulos) y otra, bien distinta, es demostrar el teorema correspondiente. Es conveniente y recomendable la presentación experimental de la propiedad mencionada en un cierto año del ciclo y en otro año posterior, el ensayo de una demostración, sin que ello signifique exigir la rigurosidad formal de un teorema, como se lo hace en el seno de la Matemática. En el caso de algunas propiedades puede ser suficiente, pero de cualquier forma el alumno tiene que comprender que esa propiedad podría ser demostrada con el método deductivo formal.
Todo lo dicho sobre el razonamiento y las dis intas formas usadas por el matemático para llegar al conocimiento es sólo para el docente. El niño está ajeno a esas cuestiones y es mejor que así sea. Pero una cosa es lo que el docente tiene que saber y otra, muy distinta, es lo que debe decirle a sus alumnos. Un buen docente, en cualquier nivel de la enseñanza, es aquél que no dice todo lo que sabe.
Por otra parte, para poder comunicar en Matemática (en forforma oral o escrita) se requiere el uso de un lenguaje específico, lo mismo que ocurre con toda ciencia. No dominar ese lenguaje impide toda comunicación. ¿Acaso no se sabe que la lectura de los textos matemáticos es diferente de la que se hace en otras disciplinas, o en diarios y revistas, o en la pantalla del televisor y la computadora? En síntesis, la Matemática emplea diversas formas para representar ·sus conceptos y lo hace en distintos contextos (geométricos, aritméticos, algebraicos, de Estadística, etc.). Una de las formas de representar es verbal. Para ello usa un lenguaje específico y es mucho más que conocer un simple vocabulario, como se verá más adelante. Por ejemplo, una cosa es identificar que el dibujo adjunto representa una circunferencia y otra es saber que en esa representación hay que interpretar la equidistancia de los puntos con el centro, lo cual justifica el uso del compás para dibujarla. Debe quedar claro que el dibujo no es la única forma de represen o taci~n que admite una circunferencra.
3.2 COMUNICACiÓN. Sobre este procedimiento general vinculado con el quehacer matemático, hay mucho por decir. Por esa razón se retama lo expresado en el Fascículo 24 (Dirección General de Escuelas, 1998, La Matemática en el Tercer Ciclo de la EGB. Primera parte, Mendoza, DGE). La Matemática emplea diversos marcos de representación de sus conceptos: verbal, simbólico, gráfico, pictórico, etc. A su vez, lo hace en distintos contextos (algebraico, geométrico, aritmético, de la Estadística, etc).
Por ejemplo, cuando una circunferencia del plano está dada en relación con un sistema de referencia, y su centro coincide con el origen de la referencia, puede representarse mediante una ecuación de la forma: y C 2 +y2 X r2, conocida con el nombre de ecuación (canónica) de una circunferencia del plano. Además hay que agregar que, por lo general, las representaciones en el plano de un objeto difieren de las representraciones del mismo en el espacio (por ejemplo, la ecuación de una recta)
su conjunto y cuáles son las relaciones semánticas que se construyen durante su empleo. El lenguaje común, al ser usado en contextos de la Matemática, genera discusiones como consecuencia de su ambigüedad y falta de precisión. Por ejemplo, no es lo mismo el significado del término "y" cuando se dice María y Clarita son hermanas, que cuando se asegura 2 y 4 son números pares Sólo en el segundo caso, el término "y" funciona como un conectivo lógico (de la conjunción). Por otra parte cabe recordar el distinto significado que tienen en Matemática algunos términos usados en el lenguaje cotidiano. Tal es el caso, por ejemplo, del término igual. En el lenguaje materno se dice que dos autos de la misma marca, del mismo color, del mismo año defabricación, etc., son iguales. En cambio, en Matemática la igualdad significa identidad. Por ejemplo, dos segmentos son iguales cuando se trata del mismo segmento.
El ejemplo propuesto pone en evidencia la complejidad que tiene la interpretación y uso de las diversas representaciones de una misma noción matemática. La complejidad es mayor aún cuando esa noción aparece en distintos contextos. Entre las diversas formas de representación cabe destacar el lenguaje que usa la Matemática para comunicar sus ideas. El lenguaje verbal, por ejemplo, utiliza las mismas fuentes gramaticales y semánticas que el lenguaje cotidiano, pero las emplea de distintas formas y para diferentes propósitos. Es decir, la Matemática no solo emplea un vocabulario específico, que hay que conocer y dominar, sino que también es necesario aprender de qué manera se usa en
El segmento ab es igual al segmento ab (o, el segmento cd es igual al segmento cd). ¿Qué se dice de los segmentos ab y cd representados? Se dice que son congruentes. En el caso de la comunicación escrita el lenguaje específico de la Matemática es el lenguaje simbólico, resultado de la combinación de signos, símbolos y términos matemáticos, y también de la lógica matemática (los conectivos, los cuantificadores, etc.). En ese sentido el lenguaje conjuntista es un buen recurso para explicar con sencillez ideas matemática en los distintos contextos. ¿Quién puede negar la conveniencia y sencillez de adoptar ese lenguaje? ¿Por qué no usar el símbolo E para indicar que un punto pertenece a una recta, o el símbolo ~ en caso contrario? aED b~D
Por ejemplo, si se sabe que D es una recta, que P es un plano y que la afirmación D e P es verdadera, se está diciendo en lenguaje simbólico que la recta es parte (subconjunto) de ese plano. Ahora bien, adoptar ese lenguaje es lo recomendable, pero hacer un estudio de él como el único fin de la enseñanza de la Matemática. dedicándole gran parte del año escolar, es un abuso y además es haber perdido de vista los propósitos de la enseñanza de esta disciplina. Debe quedar claro que sólo se trata de un lenguaje y que como tal se aprende por el uso. Los símbolos se introducen a lo largo de la EGS, cuando tienen significado para los alumnos. Lo que se pretende es que al llegar al Tercer Ciclo puedan manejarlo con cierta soltura. De ninguna manera se piensa que la introducción del lenguaje simbólico se inicie en el Nivel Inicial. Otra cosa son los términos del vocabulario. Los docentes deben manejar ese lenguaje correctamente. Por esa razón es un contenido de estudio consignado en los CSC para la Formación Docente de Grado (NI, EGS1 y 2) Estudiar la Teoría de Conjuntos en la escolaridad elemental es otra cuestión impensable. Como su nombre lo indica se trata de una teoría reservada para otros fines.
La ventaja es que ese símbolo puede usarse en distintos contextos. Algo similar ocurre con los símbolos e, u, n, y con otros pocos más.
En síntesis: Una cosa es adoptar el lenguaje conjuntista como un lenguaje simbólico privilegiado que permite comunicar las ideas matemáticas con sencillez y otra, muy diferente, es considerarlo como objeto de estudio en sí mismo. Todos sabemos del uso y abuso que se ha hecho en ese sentido y que todavía hoy en día se sigue haciendo.
tricas, funciones, etc.); comprender la necesidad de precisar el vocabulario y compartir definiciones para evitar las ambigüedades que existen en el lenguaje común. Hay que estar muy atentos con respecto a las dificultades que pueden surgir cuando los alumnos se proponen comunicar en Matemática. No cabe ninguna duda de que se trata de un problema potencial, tanto en lo que hace a la forma como al uso. Pueden surgir inconvenientes en el nivel· superficial de la comunicación, pero mucho más grave aún, pueden aparecer en el nivel profundo del significado. En el Nivel Inicial y en el Primer Ciclo de la EGB se privilegia la comunicación oral. En el Segundo y Tercer Ciclo se debe poner énfasis en la comunicación escrita. Las escrituras matemáticas son cada vez más necesarias como herramienta y como soporte en el momento de tener que comunicar y justificar, por ejemplo, un procedimiento empleado, o el resultado de un problema, o un concepto. El docente debe procurar que sus alumnos se esfuercen y aprendan a escribir correctamente un resultado, para conservarlo o para comunicarlo, y que usen las convenciones que no son tenidas en cuenta en una comunicación oral, como puede ser el uso de paréntesis cuando se trabaja con números.
Hasta aquí se ha hecho referencia al lenguaje de la Matemática. También es preciso hablar de la comunicación, es decir, del procedimiento que se debe enseñar desde el Nivel Inicial, porque se trata de un contenido. La comunicación es muy importante en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática escolar, entre otras razones porque posibilita: recibir y transmitir información; pasar de expresiones informales hasta el lenguaje matemático especifico; establecer relaciones entre las diversas formas de representación usadas en Matemática, teniendo en cuenta que se trata de una disciplina que se desarrolla en un espacio mental conceptualizado, en el cual todos sus objetos son abstractos (números, figuras geoméDIRECCiÓN GENERAL DE ESCUELAS
También tienen que aprender a anotar, de manera sintética, el camino que han usado durante la búsqueda de la solución de un problema, de tal manera que en la respuesta estén los mismos términos de la cuestión planteada en el enunciado. Los alumnos deben distinguir los escritos que son para sí, y que forman parte de su trabajo privado, de los escritos convencionales, para los cuales necesitan respetar una sintaxis más rigurosa, una vez que ella ha sido aceptada y trabajada. Estos escritos tienen dos funciones principales: - son escritos-memoria, que quedan para el alumno, con el propósito de recordar reglas, definiciones, procedimientos autornatizados, algoritmos, etc. - son escritos destinados a ser vistos por otros, como es el caso de las pruebas. Sin ninguna duda el tener que pasar a lo escrito en Matemática, resulta difícil para muchos alumnos. Ello solo es posible con éxito, después de una etapa previa de verbalización mediatizada por el docente. 3.3 Resolución de problemas
Parece conveniente que se comience considerando el significado de la palabra " problema". Deriva directamente del griego problema, compuesto de pro (delante) y blema, (lo que se arroja o tiende), que proviene, a su vez, del verbo bállein (echar, arrojar). En síntesis, "problema" significa lo que ha sido arrojado delante. Cuando se está ante un problema hay que adoptar una actitud y decidirse por una de las tres opciones siguientes: - Dar marcha atrás y desandar el camino; - Esquivar el problema, en lugar de enfrentarlo; - Encarar el problema. En la primera opción se retrocede ante el obstáculo y se renuncia a proseguir el itinerario. En la segunda, se busca alguna forma de rodearlo, cambiando de rumbo o eligiendo alguna ruta alternativa, u otra forma de locomoción: En la tercera opción, se enfrenta el obstáculo y se busca la forma de removerlo del camino, o de dejar la ruta despejada para poder proseguir. Encarar el problema significa enfrentarse a él, analiGOBIERNO DE MENDOZA
La resolución de problemas es otro de los procedimientos generalesgenerales vinculados con el quehacer matemático. En él confluyen, naturalmente, los otros dos procedimientos que se han considerado previamente.
zarlo y buscar la manera de eliminarlo. Esta actitud intelectual se resume en la pregunta que conduce a una respuesta, a través de la cual se espera encontrar la solución. Como la resolución de problemas es parte integrante de la propuesta curricular de Matemática desde el Nivellnicial, es conveniente que se formulemos otras reflexiones. Resulta interesante destacar las distintas funciones que tiene en Matemática, un problema y su resolución. a) Es un objetivo. En efecto, la resolución de problemas es una competencia básica que se pretende desarrollar en los alumnos. Para ello, los docentes deben propiciar que se trabaje en el aula de manera similar a lo que hacen los matemáticos: - con problemas presentados en un contexto significativo e interesante para los alumnos; - con problemas que permitan diferentes estrategias de resolución, lo que va a permitir la participación de todos en la búsqueda de la respuesta; - propiciando que los alumnos se animen a buscar la solución por sí mismos, tanto cuando trabajan en forma grupal como cuando lo hacen en forma individual; - Organizando la comunicación y confrontación de los proDIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS
cedimientos y representaciones usadas. - Posibilitando a los alumnos que puedan defender sus producciones por medio de argumentos propios y que sean capaces de reconocer sus aciertos o errores ante el señalamiento de los pares. b) Es una metodología mática escolar. para el aprendizaje de la mate-
En efecto, la resolución de problemas es un recurso didáctico para que los alumnos puedan construir nuevos conocimientos significativos. e) Es un contenido. Lo mismo que el razonamiento y la comunicación, atraviesa todos los demás contenidos. Se aborda a lo largo del año escolar. Cabe agregar que las tres funciones mencionadas se relacionan entre sí. Si la resolución de problemas es considerada como un camino para gestar un nuevo aprendizaje, entonces se trata de una actividad privilegiada en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Cuando un docente selecciona un problema, apuntando a la construcción de un saber, debe explicitar los aspectos conceptuales o procedimentales que se propone propiciar. La situación seleccionada debe ser adecuada al
al nivel y garantizar la apropiación de ese conocimiento. El hecho de se adopte la resolución de problemas como un método privilegiado, no significa que haya que descartar otros métodos de enseñanza (expositivo, manejo de textos, discusión colectiva, etc.). Esta nueva manera de considerar a los problemas como gestores del conocimiento, se contrapone con su tradicional uso al finalizar un tema supuestamente aprendido. A estos se los denomina problemas de aplicación. En muchos casos se trata de simple ejercicios para practicar una rutina. Están caracterizados por presentar las cuestiones a abordar de manera ordenada y cerrada. Las informaciones son necesarias y suficientes y están dados con clara intención de entrenar a los alumnos para que decodifiquen un enunciado y luego busquen entre sus conocimientos aquellos que se pretende aplicar. Nadie dice que haya que dejarlos de lado. Siguen siendo importantes en determinados momentos. Con respecto a los problemas de construcción se reiteran las siguientes reflexiones.
Enfrentar y buscar una solución a un problema para gestar un aprendizaje no es lo mismo que realizar un ejercicio puramente escolar, en el cual se deben aplicar sin falta las técnicas aprendidas, teniendo en vista pruebas análogas de evaluación y examen. Significa que hay que identificar y organizar datos, elegir y poner en acción procedimientos adecuados, si es que se pretende llegar a soluciones pertinentes y verificables. Hasta puede ocurrir que el problema planteado no tenga solución o que tenga varias soluciones.
Acerca de las actitudes
Hay un Bloque de los CBC, el Bloque 8, "Los contenidos actitudinales relacionados con el quehacer matemático" en el cual se describe "un conjunto de contenidos actitudinales tendientes a la formación de un pensamiento crítico, que busca incansablemente nuevas respuestas, que formula nuevas preguntas". Estos contenidos no están separados de los contenidos conceptuales y procedimentales reorganizaGOBIERNO DE MENDOZA
dos en los tres ejes y se los debe contemplar como parte de los mismos. En efecto, el trabajo en el aula de Matemática, tanto cuando los alumnos realizan tareas grupales, como cuando lo hacen en forma individual, ofrece una ocasión excelente para considerarlos. Las actitudes seleccionadas han sido agrupadas en cuatro categorías que remiten a la formación de competencias en aspectos que hacen al desarrollo personal, socio-comunitario, del conocimiento científico-tecnológico y de la expresión y la comunicación. A continuación se propone un listado de los que se han sido seleccionados. - Del desarrollo personal - Del desarrollo socio-comunitario. - Valoración del trabajo cooperativo y la toma de responsabilidad para lograr un objetivo común. - Apreciación del valor del razonamiento lógico para la búsqueda de soluciones a los problemas de la comunidad. - Del desarrollo lógico. del conocimiento científico-tecno-
-Interés por el uso del razonamiento intuitivo, lógico, y la imaginación para plantear y resolver problemas y cálculos. - Sentido crítico sobre los resultados obtenidos en la resolución de problemas. - Valoración de la Matemática en su aspecto lógico e instrumental y como construcción humana. - Placer por los deaafíos intelectuales. - Del desarrollo de la expresión y la comunicación.
- Confianza en sus posibilidades de plantear y resolver problemas. - Disciplina, esfuerzo y perseverancia en la búsquema de soluciones. - Gusto por generar estrategias personales de resolución de problemas. - Disposición para acordar, aceptar y respetar reglas en la resolución de problemas. - Respeto por el pensamiento ajeno.
- Aprecio y respeto por las convenciones que permiten una comunicación universalmente aceptada.
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