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Flexión de Vigas Planas
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Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión
ANÁLISIS TEÓRICO Y EXPERIMENTAL DE UNA VIGA SMA A
5.1. Análisis teórico de la flexión en una viga empotrada SMA
5.1.1. Antecedentes en el análisis a flexión de SMA
5.1.2. Modelo de viga empotrada a flexión: pequeñas deformadas
5.1.3. Implementación numérica del modelo de viga: pequeñas deformadas
5.1.4. Análisis de las hipótesis impuestas en el modelo de viga
5.1.4.1. Hipótesis de simetría tracción-compresión
5.1.4.2. Hipótesis de pequeñas deformadas
5.1.5. Implementación numérica del modelo para grandes deformadas
5.2. Diseño experimental de una viga empotrada SMA a flexión
5.2.1. Equipos experimentales y procedimiento experimental
5.2.2. Resultados experimentales
5.3. Análisis del modelo a flexión y contrastación experimental
5.3.1. Verificación experimental del modelo con grandes deformadas a través
de los ensayos a tracción
5.3.2. Verificación experimental del modelo con grandes deformadas con los
Como se ha podido apreciar de los capítulos anteriores, el desarrollo de un modelo
constitutivo efectivo junto con un algoritmo de integración suficientemente robusto no
es una tarea fácil. Esto es principalmente debido a que la descripción de
transformaciones de fase requiere marcos teóricos no convencionales. Además,
experimentalmente se puede demostrar que la repuesta del material depende en gran
medida del modo de deformación. Por todo ello, incluso en el caso más simple
unidimensional, la respuesta estructural de un elemento SMA no es trivial y el
desarrollo de un modelo de viga para SMA tiene gran interés en el ámbito del modelado
El objetivo de este apartado es desarrollar un modelo de viga empotrada y sometida a
flexión mediante la aplicación de una carga puntual en el extremo en voladizo, basado
en la teoría clásica de Euler–Bernouilli. La simplicidad derivada de los pocos
parámetros cinemáticos implicados en el modelo de viga permite el análisis detallado
del complejo comportamiento de las aleaciones. Para poder cumplir este objetivo se
requieren las relaciones tensión deformación de un modelo constitutivo. Si, además, el
modelo es simple, efectivo y adecuado para la implementación algorítmica, se puede
obtener el comportamiento de una viga de material SMA. Por tanto, se desarrolla un
modelo de comportamiento a flexión para una viga empotrada SMA de NiTi utilizando
las relaciones constitutivas de los modelos expuestos en el Capítulo 2 y verificados
experimentalmente en el Capítulo 4. De esta manera, se pueden comparar de nuevo los
modelos analizados pero bajo condiciones de carga diferentes a la de tracción.
Paralelamente, se ensaya en el laboratorio el comportamiento a flexión de una viga
empotrada de SMA NiTi a diferentes temperaturas, obteniendo la relación fuerzadeformada para el extremo libre de la viga. Este modo a flexión para una viga SMA
tiene un interés especial, puesto que, si el análisis se realiza bajo condiciones de baja
velocidad de aplicación de la carga, el gradiente de momento flector al que se someten
las distintas secciones de la viga, permite evaluar la propagación de la transformación al
incrementar la fuerza aplicada. Si se supone que existe un único frente de nucleación de
la transformación a lo largo de la viga, localizado en la sección que primero alcanza la
tensión límite de transformación (dependiente de la temperatura de cada ensayo ), al
incrementar la carga aplicada, se puede evaluar teóricamente dónde se inicia la
transformación, cómo se va propagando con el incremento de dicha carga y cómo afecta
a la deformada en el extremo libre. Esta situación no se produce en los casos de flexión
pura donde la deformada depende de dónde se inicie la transformación.
Mediante la implementación numérica del modelo a flexión desarrollado, teniendo en
cuenta las relaciones constitutivas de los diferentes modelos presentados en este trabajo,
y comparando los resultados numéricos con los experimentales, se puede analizar y
comparar dichos modelos con una aproximación diferente a la realizada en el Capítulo
No es posible encontrar en la literatura un estudio a flexión como el presentado en el
presente trabajo, donde se combine un detallado análisis experimental junto con una
implementación teórica y numérica de los modelos macromecánicos presentados.
Otra aportación interesante de este Capítulo será la verificación de las hipótesis de
partida realizadas en el modelo a flexión. La hipótesis fundamental será la hipótesis de
Euler-Bernouilli que establece que las secciones planas antes de la deformación
permanecen planas después de la deformación. La contrastación experimental del
modelo teórico con los resultados obtenidos en el laboratorio, permite comprobar la
bondad de dicha hipótesis.
Otra aproximación empleada en el modelo de viga es el desarrollo en el ámbito de
pequeñas deformadas, de tal forma que el momento provocado en cada sección por la
carga aplicada en el extremo libre de la viga, es proporcional a la distancia entre el
extremo libre y la sección analizada. Esta hipótesis inicial será analizada con detalle
comparando el resultado con el supuesto contrario: que la deformada en el extremo es
suficientemente grande como para que los momentos dependan del giro de cada
sección. La comparación de los resultados de ambos supuestos con los valores
obtenidos experimentalmente permite deducir si la complejidad introducida en el
segundo caso (grandes deformadas) aproxima mejor los resultados reales.
La última hipótesis impuesta necesariamente en el modelo es la de simetría del
comportamiento a tracción y compresión. En el Capítulo 3 se comentó como diversos
autores han demostrado que el comportamiento puede ser significativamente diferente
bajo ambos modos de carga. En este capítulo se verifica si los resultados a flexión están
realmente tan condicionados por esta diferencia en el comportamiento y, se aporta,
desde un punto de vista teórico y numérico, las modificaciones necesarias en el modelo
presentado para incluir la diferencia en el comportamiento entre tracción y compresión.
Con todo esto, se puede establecer de forma más completa una verificación de las
diferentes formulaciones para el modelado de las aleaciones con memoria de forma,
comprobando así la efectividad teórica y numérica para el análisis de elementos
DESARROLLO TEÓRICO DE LA FLEXIÓN EN UNA VIGA
EMPOTRADA SMA
Desde el punto de vista teórico, el primer estudio preliminar realizado para una viga
superelástica SMA fue el realizado por Atanackovic [ATA,1989] donde se dedujo una
relación analítica explícita entre el momento y la curvatura basado en una ley
constitutiva muy simple para el comportamiento superelástico de las SMA. Plietsch et
al. [PLI,1994] estudiaron la flexión de vigas de sección rectangular SMA desarrollando
un modelo analítico para la flexión pura aplicado al caso superelástico; suponiendo el
comportamiento del material como una suma de sucesivos tramos rectos y elásticos,
derivaron un procedimiento muy simple partiendo de muy pocos parámetros del
considerando el complejo comportamiento de las SMA. Rio et al [RIO, 1995] utilizaron
un modelo de elastohistéresis para el análisis teórico de vigas a flexión teniendo en
cuenta los efectos térmicos. Gillet et al [GILL, 1994], [GILL, 1995],[GILL,1998]
consideraron una relación más compleja entre la tensión y la deformación en 3D para el
análisis de vigas y de muelles SMA y teniendo en cuenta la asimetría traccióncompresión. Rejzner, Lexcellent y Raniecki [REJ,2002] analizaron también el
comportamiento pseudoelástico a flexión de vigas SMA con distinto comportamiento a
tracción y compresión utilizando el modelo termodinámico de Raniecki y Lexcellent y
comparándolo experimentalmente con ensayos de flexión pura para aleaciones CuZnAl.
Auricchio et al [AUR,1997] d, [AUR,1999] realizaron una aproximación teórica para el
análisis de un elemento SMA superelástico bajo condiciones de flexión en tres y cuatro
puntos, aplicándolo al análisis de alambre dentales [AUR,2003] y al análisis de cargas
de flexión cíclicas [AUR,2001]. Glendenning et al. [GLE,2000] aplicaron el modelo de
Auricchio unidimensional lineal superelástico para el análisis de elementos SMA
aplicados a la ortodoncia. Brinson [BRI,1997] aplicó su modelo al análisis a flexión
pero utilizando el alambre SMA como actuador para el control de la flexión de una viga
de material compuesto. Una aproximación muy similar es la empleada por Moallem
[MOA,2003] para el control de una viga actuada por un alambre SMA gobernado, a su
vez, mediante corriente eléctrica. Utilizando el modelo de Boyd y Lagoudas
[BOY,1994] Shu et al. [SHU,1997] analizaron la deformada de una viga de material
elástico a flexión causada por un alambre SMA unido en su extremo y activado
eléctricamente, acoplando la ecuación constitutiva de Boyd-Lagoudas con la ecuación
de conducción de calor, determinaron la fuerza de actuación sobre la viga elástica.
En la mayoría de los casos anteriores, la verificación del modelo a flexión fue realizada
a partir de valores teóricos generales, no realizándose un desarrollo experimental propio
para la comprobación de los resultados.
Existen también algunos estudios del análisis a flexión de alambres o láminas SMA
embebidos en materiales compuestos (composites) como el de Ghomshei [GHO,2001]a,
[GHO,2001] b que analizaron la flexión de una viga de gran canto de composite con
láminas SMA activadas mediante corriente eléctrica o los estudios realizados por Sittner
et al [SIT,2002] para polímeros reforzados con alambres SMA. Utilizando el modelo de
Liang y Rogers, Sun et al [SUN,1995] analizaron la flexión producida en un composite
reforzado con alambre SMA así como Bruck et al [BRU,2004] en el que el material
donde se embebían las SMA era poliuretano y analizaban la flexión del alambre dentro
de la matriz. Otros estudios dentro de este campo son los de Gupta et al [GUP,2003],
Yue et al [YUE,2003], Aoki et al [AOK,2003] o Marfia y Sacco [MAR,2003].
En el campo experimental el estudio más exhaustivo fue el realizado por Wick
[WIC,1995] que analizó la flexión en 3 puntos, 4 puntos y flexión pura de un alambre
de sección circular (diámetro=1,54 mm) y cuadrada (1,33*1,35 mm2 ) de NiTi
superelástico (50,8% Ni y Af=-17ºC). Comparó los resultados de los ensayos de 4
1995] b aplicó la relaciones constitutivas entre el momento y la curvatura al caso de flexión en tres puntos. Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación. determinando diferencias en el comportamiento en la descarga.1). La viga tiene un eje vertical y de simetría y el eje x horizontal pasa por los centroides de las secciones transversales. El análisis está fundamentado en la teoría de vigas clásicas o teoría de Euler-Bernouilli. 3. comprobando adecuadamente la idoneidad de las hipótesis establecidas en cada caso. en ningún caso se ha analizado el comportamiento a flexión de una viga SMA como el que se presenta en este trabajo. permanecen planas y ortogonales a dicho eje después de la deformación. de longitud L. cuyas hipótesis son [TIM. Modelo de viga empotrada a flexión: pequeñas deformadas Se analiza en este apartado el modelo desarrollado para una viga plana de material SMA. En Silvia de la Flor . En [BERG. Los desplazamientos verticales de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje x de la viga. 2.376 CAPÍTULO 5 puntos y flexión pura con los obtenidos a tracción para examinar el comportamiento de la meseta de tensión. comparándolo también con los resultados experimentales. ni a nivel experimental ni a nivel teórico y numérico.2. B. Tampoco se han verificado directamente los modelos constitutivos presentados en este trabajo bajo estas condiciones de carga. utilizó la teoría de plasticidad modificada empleada por Atanackovic. Como se puede apreciar de esta revisión previa. Esta hipótesis es aceptable para elementos rectangulares elásticos en flexión pura [TIM. empotrada por un extremo y sometida a una fuerza F que supondremos puntua l en el extremo opuesto y contenida en el plano xy (figura 5.1970]: 1. Para comparar los resultados experimentales con los teóricos.1995]a analizó el comportamiento en flexión pura diseñando un aparato experimental específico para diferentes secciones de alambre NiTi superelástico (55Ni45Ti %wt) que midiera la relación entre el momento en flexión y el ángulo de curvatura. 5. sección transversal circular maciza A. Berg [BERG. El desplazamiento lateral (en la dirección z) es nulo.1.1970].T. determinando que los valores en flexión eran bastante más altos que en tracción.
sometida a una carga puntual (F) en el extremo. Si se amplia el elemento ∆x flexionado (figura 5. Estableceremos. en consecuencia. se introducirá un error que deberemos analizar. una hipótesis adicional: 4. pero que.1 ∆ u = − y∆ θ Silvia de la Flor . al ser la sección transversal simétrica y coincidir el eje neutro y el eje centroidal. al incluir fuerzas cortantes.w x. Si se analiza una porción de la viga entre dos planos perpendiculares al eje x.5.3) se puede obtener la relación entre el ángulo ∆θ girado por dos secciones adyacentes.u L Figura 5. Teniendo en cuenta que la distancia entre el eje neutro y las fibras deformadas es y (negativo según los ejes dibujados). la deformación de la fibra situada a y del eje neutro es: EC.2) como consecuencia de la hipótesis 3 de Euler-Bernouilli. pero permaneciendo rectos (líneas ad y bc y a’d’ y b’c’en la figura 5.v F z. El comportamiento del material a tracción y compresión es el mismo y. cuando esta sección ∆x está sometida a dos momento iguales M(x) que actúan alrededor del eje z. (figura 5.1: Esquema representativo de la viga empotrada de longitud L y sección transversal circular maciza A.2) se observa que. y.377 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión este caso. en principio será pequeño puesto que el peralte de la viga es mucho más pequeño que su claro. las tensiones y las deformaciones se anularán en el centroide de dicha sección transversal. inclinando ligeramente los planos inicialmente perpendiculares. estos momentos provocan la flexión de dicha sección en el plano de simetría. además.
3: Ampliación del elemento analizado a flexión.1 entre dos planos perpendiculares al eje x. donde se indican el momento actuante y el radio de curvatura debido a la flexión a’ e b’ ∆s f ∆u -y g d’ h c’ ∆x ∆θ /2 Figura 5. Se deduce la relación entre el ángulo girado por la sección y el radio de curvatura.2: Análisis de una porción de la viga de la figura 5.378 CAPÍTULO 5 a b A B ∆x d ρ ∆θ T(x) T(x) a’ M(x) c b’ A B e ∆s f M(x) y g h d’ c’ ∆x Figura 5. Silvia de la Flor .
3). Por tanto. en una sección transversal cualquiera de la viga. en consecuencia a la cuarta hipótesis. se obtiene: EC.3 du =ε ds Observando el dibujo de la figura 5.2 ∆u ∆θ = − y lim ∆s → 0 ∆s ∆s →0 ∆s o bien : du dθ = −y ds ds lim Y como du es la deformación unitaria normal en una fibra de la viga situada a y del eje ds neutro.5 1 dθ ε =κ = =− ρ ds y En base a la tercera hipótesis de Euler-Bernouilli.4). Si lo relacionamos con la deformación normal unitaria (EC.5. la longitud de arco ∆s es la longitud inicial de todas las fibras entre las secciones a’d’ y b’c’. se puede establecer que: EC. Así pues.5. se deduce que ∆s=ρ∆θ y. la distribución de las deformaciones será lineal y.5.5.5. Así.2.5. se puede reescribir la ecuación EC. empleando en la ecuación EC. las deformaciones serán nulas en el centroide de la sección (figura 5.5 la deformación máxima (de la Silvia de la Flor . por tanto: EC.Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión 379 Las fibras que se encuentran en la superficie neutra curva de la viga deformada (distancia ef en la figura 5.3) no se deforman en la flexión. podemos establecer que.4 ∆θ dθ 1 = = =κ ∆s → 0 ∆s ds ρ lim Donde κ es la curvatura del eje neutro en la sección analizada.5.1 dividiendo por ∆s: EC.
6 tomada en valor absoluto (ver figura 5.i −1 i =1 Deformación máxima:. En la figura 5. podemos determinar el giro de cada sección ∆x debida al momento aplicado en dicha sección: EC. Silvia de la Flor .5 se representa este proceso suponiendo la viga dividida en sólo tres tramos ∆x. la deformada máxima en el extremo es: EC. Calculando la deformada relativa entre secciones o tramos ∆x.5.εmax Diámetro D M(x) M(x) Deformación máxima: εmax Sección A(x) situada a x del extremo libre Figura 5. se puede deducir la deformada total en el extremo de la viga (donde se aplica la carga) mediante consideraciones geométricas.6 ε max = − D ∆θ 2 ∆x Una vez conocida la relación entre la deformada máxima en cada sección y su ángulo girado.5).5. se divide la longitud total de la viga en tramos ∆x y para cada uno de ellos se calcula el ángulo de giro en función de la deformada máxima mediante la ecuación EC.7 n δ máxima = ∑ λi .5.5. la deformada en el extremo libre de la viga será la suma total de todas las deformadas relativas. Para ello.4: distribución de las deformaciones en una sección transversal cualquiera A situada a una distancia x del origen (extremo libre de la viga). De acuerdo a este esquema de la figura 5.380 CAPÍTULO 5 fibra más alejada del eje neutro).
En el proceso anterior. en primera aproximación. λn.5.381 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión F ∆x1 ∆x2 ∆x 3 λ21 ∆θ =∆θ3+ ∆θ2 λ32 ∆θ3 δmax λ32 = ∆x * sen ( ∆θ 3 ). i−1 i =1 Figura 5.5. por tanto.. n δ max = ∑ λi. supondremos.. en cada sección transversal.9 M z ( x) = F ⋅ x Silvia de la Flor .. que las deformadas son pequeñas y.5: Esquema del proceso geométrico para relacionar los giros de cada sección con la deformada en el extremo en voladizo. Para encontrar esa relación se impone.. + ∆θ 2 ). se ha dado por supuesto que la deformación máxima unitaria (ε max ) en cada sección era conocida. n−1 = ∆x * sen (∆θ n + ∆θ n −1 + . Para que así sea. δ max = λ32 + λ21 .8 M z ( x) = ∫∫ y * σ x ( y )dA A Para calcular los momentos externos aplicados. ∆θ2 ∆θ3 λ21 = ∆x * sen (∆θ 3 + ∆θ 2 ). se debe encontrar una relación entre el momento aplicado en cada sección y la deformación máxima unitaria resultante. la condición de equilibrio que establece que la suma de momentos aplicados externamente y de los momentos resistentes internos debe ser cero: EC. Para simplificar se suponen la viga dividida solo en tres tramos. el punto de aplicación de la carga no cambia de forma perceptible y el momento flector (girando alrededor del eje z) en cada sección analizada situada a una distancia x del origen. vendrá dado por: EC.
produce unas tensiones (que. el procedimiento de cálculo de la deformada máxima en el extremo en voladizo de la viga requiere de un proceso de iteración para cada sección de la viga ∆x.8. Silvia de la Flor .7). Como se desea calcular la deformada máxima para diferentes valores de fuerza.6. para cada F aplicada y para cada sección transversal ∆x.5. todas las deformaciones unitarias de esa sección) cuyas tensiones asociadas (calculadas según cada modelo constitutivo) cumplan la condición de equilibrio de la EC. Analizando la ecuación EC.8.4 donde el momento en cada sección dependerá del ángulo girado por las secciones adyacentes. en el que se determine aquella deformación máxima unitaria (y por tanto. Este proceso se representa esquemáticamente en la figura 5. debido a la no-linealidad del comportamiento del material. no serán lineales) que cumplan con la condición de equilibrio EC.3. que ley lineal de deformaciones unitarias). se puede observar que el proceso de determinación de la deformada máxima en el extremo en voladizo consistirá en un proceso iterativo para determinar qué deformación máxima unitaria (y. (figura 5.8 sustituiremos el diferencial de área por un diferencial de longitud.1.5.5.5. Desde el punto de vista numérico.1. mediante la relación entre el diámetro de la sección y la variable y. Implementación numérica del modelo de viga empotrada a flexión: pequeñas deformadas Como se acaba de presentar.382 CAPÍTULO 5 Esta suposición será mejorada en el apartado 5.8. Esto se explica con más detalle en el apartado siguiente donde se presenta todo el proceso numérico de cálculo. este proceso deberá repetirse para cada valor de la fuerza exterior impuesta. se iterará sucesivas veces hasta encontrar la deformación máxima unitaria (y sus tensiones) que cumplan la condición de equilibrio con el momento exterior F*x. para el proceso de integración necesario para resolver la EC. Como el objetivo final es obtener la relación fuerza aplicada-deformada máxima. 5. en consecuencia.
Silvia de la Flor .383 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión EC.5. 2 z = 2 * ( D / 2 )2 − y 2 M z ( x ) = ∫∫ y * σ x ( y )dA = ∫ A D/2 −D / 2 σ x ( y )* y * 2 * ( R 2 − y 2 )dy Generar un vector de m Fuerzas F j (j=1:m) Para cada F j Dividir la viga en “r” tramos ∆xk (k=1:r) Para cada ∆x Determinar el momento exterior aplicado en ∆x Fj·(k-1)·∆x Obtener las tensiones de cada modelo a partir de la ley de deformaciones Determinar qué εmax produce unas tensiones que cumplan con el equilibrio Obtenida εmax calcular el giro de la sección ∆xk Obtener la deformada en el voladizo correspondiente a Fj Obtener un vector de m deformadas máximas δj (j=1:m) Figura 5.10 ( D / 2 )2 = y 2 + ( z 2 ) .6: Esquema del proceso iterativo para el cálculo de un vector de deformadas máximas en el extremo libre a partir de un vector de fuerzas exteriores aplicadas en el voladizo.
11).1992] donde se sustituye la función a integrar por un polinomio que interpole dicha función en un conjunto de puntos equiespaciados del intervalo de integración. Para resolver la integral utilizaremos las fórmulas de Newton-Cotes [HOF. n 0 ∫ D /2 −D / 2 Silvia de la Flor n f ( y )dy ≈ h ∑ f i * α i i =0 . α i = ∫ ϕ i (t )dt . n Pn ( y ) = ∑ f i Li ( y ). Estos polinomios se obtienen a partir de la fórmula de interpolación de Lagrange (EC. y = −D / 2 + h * t ∫ D /2 −D / 2 n n i =0 0 f ( y )dy ≈ h ∑ f i ∫ ϕ i (t )dt .11 ∫ D /2 −D / 2 f ( y )dy ≈ ∫ D /2 −D / 2 Pn ( y ) dy.384 CAPÍTULO 5 y z/2 dy y D/2 z Figura 5.5.7: Relación entre la variable z y la variable y para pasar de diferencial de área a diferencial de línea. yi − y k n f ( y )dy ≈ ∑ f i ∫ i= 0 D /2 −D / 2 Li ( y ) dy.5. EC. i= 0 n Li ( y ) = ∏ k =0 k ≠i ∫ D /2 −D / 2 y − yk .
. 2 D/2+ D/2 h= . EC. (EC.5.1. Para este proceso de resolución recurriremos.13 ε ( y) = y * ε max D/2 Una vez obtenida la deformación máxima unitaria que cumpla la condición de equilibrio.12): EC. la tensión correspondiente. N ∫ D /2 −D / 2 n −1 2 f ( y )dy ≈ ∑ i= 0 h { f ( y 2i ) + 4 f ( y 2i +1 ) + f ( y 2i+ 2 )} 3 Para resolver la integral se deben conocer los valores de la tensión para cada valor de y. la deformación máxima unitaria será la correcta. Como las deformaciones unitarias son lineales. se impone una deformación máxima unitaria. Cuando ambos momentos se igualen. se obtienen las fórmulas de Newton-Cotes compuestas.14). se calcula la integral y se compara con el momento exterior aplicado en cada sección.5.12 y i = − D / 2 + i * h.5.13) y se calcula. se puede calcular la deformada máxima del extremo en voladizo por la EC. Obtenido el giro de todas las secciones. se obtienen las demás por la relación lineal (EC. Si además se toma n=2 se obtiene la fórmula de Simpson compuesta para la integración de cada subintervalo (EC. se puede obtener el giro correspondiente de cada sección según la EC.5..6 en valor absoluto.5. Obtenida cada tensión. Silvia de la Flor . al método de NewtonRaphson..5. 2.5.Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión 385 Si se divide el intervalo de integración en una partición de intervalos más pequeños y se aplica la integración a cada partición.5.7 y según la figura 5.. a través de las relaciones constitutivas propias de cada modelo. de nuevo. − 1. N i = 0.
5.1.. función de L y r según: ∆x = L/r Para la resolución del método de Newton-Raphson.r ( número de tramos en la longitud ) k k +1 k k M (ε max ) = M (ε max ) + (ε max − ε max ) * M ′(ε max )..14 M (ε max ) = M ext (∆x k ) − M int ( ∆x k ) M ext ( ∆xk ) = Fj * ( k − 1) ∆x M int ( ∆x k ) = ∫ D/ 2 −D / 2 σ x ( y ) * y * 2 * ( R 2 − y 2 ) dy. k M ′(ε max )= k k M (ε max + dif ) − M (ε max ) dif k +1 k k si ε max − ε max ≤ TOL ⇒ ε max solución El algoritmo completo de resolución se presenta en la Tabla 5.386 CAPÍTULO 5 EC. es necesario definir: • N : número de subintervalos de integración entre –D/2 y D/2. k = 2. Los datos de entrada necesarios para el algoritmo son: • Fmax: fuerza máxima de la simulación para poder generar el vector de fuerzas • D: diámetro de la viga • L: longitud de la viga • r: número de tramos en los que se desea dividir la viga. es necesario: • tol_impuesta: tolerancia deseada en el método de Newton • dif: incremento para el proceso de derivación en Newton-Raphson Y para la resolución de la integral de Simpson. Silvia de la Flor .
1: algoritmo de cálculo de la deformada máxima en extremo de viga en voladizo *Crear vector de Fuerzas: Fj.m y crear vector de ∆x k iguales.5. k =1….12 * M p (ε max ) = M ext − M int ( ∆x k ) p M ′p (ε p max k )= p p p M p (ε max + dif ) − M p (ε max ) dif M p (ε max ) p p +1 p ε max = ε max − p +1 k M ′p (ε max ) ε max − ε max = TOL p p +1 p ε max = ε max end while k p ε max = ε max *calcular giro de sección* k 2 * ∆x * ε max ∆θ k = D ∆θ acumulado = ∆θ acumulado + ∆θ k λk = ∆x * sen ( ∆θ acumulado) j j δ max = δ max + λk end for end for Silvia de la Flor ..2 x *obtener M intp (∆x k ) según Simpson ⇒ EC .5. j = 1….387 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión Tabla 5.r* for j=1:m j δ max =0 ∆θ acumulado=0 for k = r : 2 k M ext = F j * ( k − 1 )∆x p=1 TOL=”valor_inicial” iteración− p =1 *imponer deformación máxima primera iteración ε max * while TOL>tol-impuesta *obtener ε iteración− p ( y ) ⇒ EC .13 * −p *obtener σ iteración ( y) ⇒ modelo constitutivo* Tabla 5.
1.1. pese a que no puede ser contrastada experimentalmente puesto que no es posible realizar ensayos a compresión con el material de estudio de esta investigación.388 CAPÍTULO 5 Tabla 5. Se presenta a continuación cuáles serían las diferencias en el modelo si se tuviera en cuenta esta diferencia en el comportamiento del material. Análisis de la hipótesis impuestas en el modelo de viga 5.4. Esta hipótesis.2 se estableció. incr − int = incr _ int + h ( σ x ( y 2 i ) * y 2i * 2 * ( R 2 − y 2i 2 ) + 3 + 4( σ x ( y 2i+ 1 ) * y 2i+ 1 * 2 * ( R 2 − y 2 i+1 ) ) + σ x ( y 2i+ 2 ) * y 2i+ 2 * 2 * ( R 2 − y 2 i+ 2 ) ) 2 2 end for M intp ( ∆x k ) = incr _ int 5.2: algoritmo de resolución del proceso de integración *con el valor de N.4. sí puede ser mejora a nivel de análisis teórico y numérico. que existe simetría en el comportamiento del material a tracción y a compresión.1. como una de las hipótesis de partida. Hipótesis de simetría tracción/compresión En el apartado 5. Silvia de la Flor .1. se genera el incremento en la variable y* incr_r = D/N for y = -D/2: incr_r: D/2 ε ky = k y * ε max D/2 *Calcular σ yk mediante programa de simulación del modelo constitutivo* end for h= D/2+ D/2 N inc_int = 0 for i = 0:( N −1 ) 2 y i = − D / 2 + i * h.
D/2). si se dispone de esos parámetros.5.5. Suponiendo que el desplazamiento del eje neutro respecto al eje centroidal es d (figura 5.16 2  D 2 ∫ σ y dA = ∫ σ y 2  2  − y dy = 0 Considerando un valor de ε Tmax se obtiene la ley de deformadas por la ecuación EC. La diferencia pues. Además. EC. que existe al considerar la asimetría en el comportamiento.5.16. El proceso de integración de la EC. Se presenta a continuación el procedimiento de cálculo adecuado para la consideración de no simetría tracción/compresión. sin embargo. diferenciándose.8). se deberá tener en cuenta este desplazamiento del centroide para el cálculo del giro de cada sección y el cálculo de la deformada máxima en el extremo en voladizo.15 ε Tmax ε = −y D +d 2 Donde ε Tmax es la deformación máxima en la zona traccionada (para y = .16 se puede iterar hasta obtener aquél valor de d que la cumpla.389 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión Los modelos constitutivos analizan el comportamiento a compresión exactamente igual que a tracción. Esto quiere decir que el diagrama crítico tensión-temperatura es formalmente igual en tracción que en compresión excepto en los parámetros y. la ley de deformaciones en una sección A cualquiera es: EC. La determinación del valor de d para un va lor dado de momento exterior M=F*x se puede obtener imponiendo la condición de equilibrio EC.5. afectará al desplazamiento del eje neutro respecto al centroide de la sección y la condición de equilibrio de fuerzas externas igual a fuerzas internas deberá ser impuesta.15 e imponiendo la EC.5. en los valores numéricos de los parámetros constitutivos.5. por tanto. se puede obtener el valor de la tensión a compresión (σC) correspondiente a la deformación impuesta (ε C).16 deberá resolverse mediante una aproximación con el método de Simpson y el proceso de iteración para obtener d se resuelve mediante Silvia de la Flor .
17 ∆θ ε max = T D ∆s +d 2 Y. EC.390 CAPÍTULO 5 Newton-Raphson. centroidal Deformación máxima a tracción: εTmax Sección A(x) situada a x del extremo libre Figura 5. la obtención del ángulo girado ∆θ de la sección en análisis. Obtenida la ε Tmax que cumpla la condición de equilibrio de momentos. se debe iterar con respecto a ε Tmax imponiendo la condición de equilibrio de momentos igual que en el apartado anterior. Sin embargo. y como se ha comentado anteriormente. por tanto la ley de deformaciones correcta. no se ha implementado numéricamente.5. Silvia de la Flor .5. Obtenido el valor de d y. el proceso es idéntico al apartado anterior donde se consideraba simétrico el comportamiento a tracción y compresión.8: Relación entre el desplazamiento del eje neutro y el eje centroidal a causa de la no simetría tracción compresión.ε Cmax Eje y M(x) M(x) d Diámetro D Eje x. a partir de aquí. dado que no podemos verificar el procedimiento explicado experimentalmente. Deformación máxima a compresion: .17. viene dado por la ecuación EC.
de la variación del momento en cada sección en función de la no-linealidad provocada por las altas deformadas y por la distancia del punto de aplicación de la carga.2.391 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión 5. el valor de α en la figura 5. debe corregirse el momento exterior aplicado en cada tramo ∆x teniendo en cuenta el giro de cada sección. por tanto.linealidad adicional si la distancia entre el punto de aplicación de carga a la probeta y la célula de carga (y.4.1. Pese a que este factor es totalmente controlable en el ensayo. Silvia de la Flor . como se ve en el apartado 5. se introduce aquí la corrección necesaria si el valor de esta distancia es apreciable (o. desplazamiento del marco) no es suficientemente grande (distancia L1 en la figura 5.9 es apreciable). α δmax α +∆θ3 + ∆θ 2 L1 Fperpendicular-∆x1 Fperpendicular-∆x2 F perpendicular-∆x3 F final α +∆θ3 F inicial 1 2 3 ∆x ∆x ∆x ∆θ3 ∆θ =∆θ3+ ∆θ2 ∆x ∆xcos(∆θ 3) ∆xcos(∆θ3+∆θ2) λ 21 λ 32 δmax eje x antes de la deformación ∆θ2 ∆θ3 L1 l Figura 5.9). puede ser que exista una no.2. Para evitar esta hipótesis. Hipótesis de pequeñas deformadas En los apartados anteriores se ha supuesto que las deformaciones que se producían en la viga no eran suficientemente grandes como para variar la línea de acción de la fuerza aplicada (se suponía M = F * x). Además.9: Representación esquemática en tres elementos. equivalentemente.
9 se deduce el valor del ángulo α : EC.5.. k = r .5. de tal forma que.2 FM − r = F * cos( α ) FM − k = F * cos( α + ∆θ r −1 + ..∆x cos( ∆θ r + ..18 FM 3 = F * cos( α ) M ext − 3 = FM 3 * 2 * ∆x FM 2 = F * cos( α + ∆θ 3 ) M ext − 2 = FM 2 * 1* ∆x FM 1 = F * cos( α + ∆θ 3 + ∆θ 2 ) M ext −1 = FM 3 * 0 * ∆x = 0 .. primero.. + ∆θ 3 + ∆θ 2 )) Como se puede deducir. + ∆θ 3 + ∆θ 2 ) M ext − k = FM −k * ( k − 1 ) * ∆x Observando el esquema de la figura 5. En el apartado siguiente se implementa numéricamente el proceso teniendo en cuenta estas no. al igual que antes.. para la figura representada y con sólo tres elementos... calcular todos los ángulos girados. + ∆θ k + ... además.5... Silvia de la Flor . la fuerza y el momento en cada uno es: EC..linealidades.392 CAPÍTULO 5 Como se aprecia de la figura 5..19 tg α = l L1 Para obtener el valor de l .9 la fuerza perpendicular al eje neutro en cada ∆x cambia en función del ángulo girado. es necesario conocer el ángulo girado en cada sección y proyectar el eje neutro. para poder calcular α es necesario. con lo que la iteración se deberá realizar sucesivamente mientras se considere que el ángulo α es suficientemente considerable como para afectar a los cálculos... el proceso es iterativo pero.20 l = L − ( ∆x + ∆x cos( ∆θ 3 ) + ∆x cos( ∆θ 3 + ∆θ 2 )) .. EC.. con r elementos : l = L − ( ∆x + .
• tol_tangente: tolerancia permitida a la tangente del ángulo de descentramiento de la carga • r: número de tramos en los que se desea dividir la viga. es necesario: • tol_impuesta: tolerancia deseada en el método de Newton • dif: incremento para el proceso de derivación en Newton-Raphson Y para la resolución de la integral de Simpson. Silvia de la Flor . Implementación numérica del modelo para grandes deformadas En función de lo explicado en el apartado anterior.3.1.393 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión 5. El algoritmo completo de resolución se presenta en la Tabla 5. se implementa a continuación el algoritmo de cálculo de la deformada de una viga empotrada sometida a una carga puntual en el extremo teniendo en cuenta las no-linealidades derivadas de las grandes deformadas y del descentrado de la carga puntual. es necesario definir: • N : número de subintervalos de integración entre –D/2 y D/2. En función de L y r: ∆x = L/r Para la resolución del método de Newton-Raphson. Los datos de entrada necesarios para el algoritmo son: • Fmax: fuerza máxima de la simulación para poder generar el vector de fuerzas • D: diámetro de la viga • L: longitud de la viga • L1 : distancia entre el punto de aplicación de la carga y la probeta.5.
5.m y crear vector de ∆x k iguales. k =1….3: algoritmo de cálculo de la deformada de viga en voladizo: grandes deformaciones *Crear vector de Fuerzas: Fj. j = 1….r* for j=1:m j δ max =0 ∆θ acumulado=0 TOLER=”valor inicial” α inicial=0 while TOLER>tol-tangente for k = r : 2 Fextk = Fj cos( ∆θ acumulado + αinicial ) k M ext = Fextk * ( k − 1 )∆x p=1 TOL=”valor_inicial” iteración− p =1 *imponer deformción máxima primera iteración ε max * while TOL>tol-impuesta *obtener ε iteración− p ( y ) ⇒ EC .394 CAPÍTULO 5 Tabla 5.2 .12 * p int M p (ε max ) = M ext − M int ( ∆x k ) p k p M ′p (ε max )= p p M p (ε max + dif ) − M p (ε max ) p +1 p ε max = ε max − p +1 p dif M p (ε p max ) k M ′p (ε max ) ε max − ε max = TOL p p +1 p ε max = ε max end while k p ε max = ε max *calcular giro de sección* k 2 * ∆x * ε max ∆θ k = D ∆θ acumulado = ∆θ acumulado + ∆θ k λk = ∆x * sen( ∆θ acumulado ) j j δ max = δ max + λk l acumulado = l acumulado + ∆x * cos( ∆θ acumulado ) end for Silvia de la Flor Tabla 5.5..13 * −p *obtener σ iteración ( y) ⇒ modelo constitutivo* x *obtener M (∆x k ) según Simpson ⇒ EC .
2 DISEÑO EXPERIMENTAL DE UNA VIGA EMPOTRADA SMA A FLEXIÓN 5.2. Equipos Experimentales y procedimiento experimental Para el ensayo en el laboratorio de la flexión de viga SMA empotrada se emplea la misma máquina de ensayos y cámara térmica que los empleados en los ensayos a tracción.Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión tgα = 395 L − l acumulado L1 α = arctg L − l acumulado L1 TOLER= tgα − tgα inicial α inicial = α end while end for 5. Silvia de la Flor . pero con algunas modificaciones y condicionantes que implican el diseño de los nuevos dispositivos adecuados para la realización correcta de los ensayos a flexión a diferentes temperaturas.10. A continuación se explica detalladamente cada uno de los elementos.1. así como el mismo material. El conjunto de todos los elementos dispuestos en la máquina de ensayos se aprecia en la Figura 5.
Con este fin.12 se aprecia con detalle la disposición del portabrocas en el conjunto así como la disposición de la probeta. se provoca la flexión en el alambre.10: Conjunto de los elementos diseñados para los ensayos a flexión de alambre NiTi a diferentes temperaturas. Fijando el portabrocas a una columna solidaria al carro móvil de la máquina de ensayos y.396 CAPÍTULO 5 Figura 5. se ha utilizado como base un portabrocas con una capacidad de anclaje muy superior al diámetro del ala mbre y cuyo peso propio es suficiente como para inmovilizar la viga durante el ensayo. En las Figuras 5. mediante el desplazamiento del mismo. • Diseño del empotramiento: el sistema de sujeción pretende obtener las condiciones de empotramiento perfecto y para ello se ha construido un utillaje adecuado prestando especial atención a la rigidez del conjunto.11 y 5. Silvia de la Flor . La rigidez de este conjunto es suficientemente alta como para no considerar las deformaciones debidas a la flexibilidad del empotramiento.
La disposición de la célula de carga se observa en la figura 5. Silvia de la Flor .11: vista frontal del portabrocas empleado como empotramiento de la probeta donde se aprecia la disposición de unión con la máquina de ensayos.1 clase 0. donde se aprecia la disposición de la probeta y el enlace de la misma con la varilla metálica.5 con un rango de medición de 0. Se ha utilizado una célula Zwick BC066130. Figura 5.397 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión Figura 5.8 a 20N según EN ISO 7500-1. • Célula de carga: para la aplicación de la carga se requiere una célula de carga cuyo rango de medición sea acorde con los valores de la fuerza que se pretende medir.13.12: vista superior del portabrocas empleado para los ensayos a flexión.
Al aumentar la longitud de la probeta se obtiene una mayor precisión en la lectura de las deformaciones y una menor influencia de las fuerzas de corte. Se realiza el tratamiento térmico a la probetas en el dispositivo explicado en el Capítulo 3 mediante el que se garantiza que adopten la forma recta en el proceso de recocido. • Probeta: la probeta empleada en los ensayos es del mismo material que el empleado en los ensayos a tracción (NiTi SME495 de diámetro 1 mm como se presentó en el Capítulo 3). de donde se obtuvieron los parámetros constitutivos necesarios para la modelización del comportamiento a flexión.13: Detalle de la célula de carga y su disposición. Con una probeta excesivamente larga se obtendrán las mismas transformaciones con fuerzas más pequeñas y con unas deformaciones que se alejen mucho de la hipótesis de pequeñas Silvia de la Flor . • Longitud de la probeta: la longitud de la probeta condiciona el rango de fuerzas aplicables puesto que una probeta corta provocará fuerzas grandes y deformaciones pequeñas para un determinado estado tensional en el empotramiento.398 CAPÍTULO 5 Figura 5. Es importante garantizar que las condiciones del tratamiento térmico sean las mismas que en los ensayos a tracción. Se puede apreciar el extremo curvado de la varilla de 660 mm que transmitirá la fuerza a la probeta. Los alambres son sometidos a un proceso de tratamiento térmico de 500ºC durante 1 hora y templado al agua.
Después de diversos ensayos preliminares se ha optado por una longitud de probeta de 70 mm. (ver figura 5. al igual que el extremo libre de la probeta. El extremo de la varilla que enlaza con la probeta está también curvado. Esta varilla se enlaza. Silvia de la Flor .13). • Sistema de aplicación de la carga: la aplicación de la carga al extremo libre de la probeta se realiza mediante una varilla de acero suficientemente rígida para evitar que sufra deformaciones apreciables. La longitud de la varilla de acero debe ser suficientemente larga como para garantizar que la aplicación de la fuerza en el extremo de la probeta sea lo más perpendicular posible. Esta longitud es de 660 mm.399 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión deformaciones. Figura 5.14). De esta forma se intenta que la aplicación de la carga sea lo más puntual posible (figura 5. por su parte superior a la célula de carga a través de un extremo curvado que permite que la varilla pivote sobre el enlace con la célula para conseguir la estabilidad adecuada. En estas condiciones las componentes axiales de carga sobre la viga podrían no ser negligibles.14: Detalle de extremo curvado inferior de la varilla metálica y su enlace con la probeta para trasmitirle la fuerza en el extremo libre.
400 • CAPÍTULO 5 Velocidad del ensayo: en el Capítulo 3 del presente trabajo se determinó la velocidad máxima de aplicación de la carga adecuada para los ensayos a tracción.2.2.4. Temperaturas de ensayo previstas T<M f 19ºC. tal y como se ve en la tabla 5. El procedimiento seguido para realizar los experimentos a flexión de los alambres SMA. • Se verifica la perpendicularidad entre el alambre y la varilla que produce la deformada. • Se coloca la probeta en el portabrocas con firmeza pero vigilando no introducir deformaciones en el material en la colocación. los resultados de los ensayos realizados a flexión para las diversas temperaturas. Tabla 5. 5. Esta velocidad de ensayo se ha estimado de 90 mm/min. han de ser realizados de manera muy cuidadosa y sistemática puesto que ya se ha explicado cómo afectan los diversos parámetros experimentales al comportamiento del material.5ºC 55ºC. se procede al ensayo a flexión a la velocidad determinada anteriormente. siendo de 1. y cortado el alambre a la longitud deseada se le realizan unas marcas que señalan el punto de anclaje en el portabrocas. • Registro y procesado de datos. • Estabilizada la temperatura.5 mm/min.4. • Calentamiento de la cámara térmica a temperatura deseada. al igual que se ha presentado a lo largo de todo el trabajo. Resultados experimentales Se seleccionaron diversas temperaturas de ensayo representativas de los diferentes estados posibles del material. Silvia de la Flor . a continuación. 70ºC As <T<Af T>Af 80ºC 100ºC Se presentan. En el ensayo a flexión es importante que la velocidad de ensayo utilizada sea acorde con la empleada a tracción para poder comparar los valores obtenidos en ambos ensayos. • En primer lugar. 22ºC T˜ M s Ms <T<As 46.
3 0.25 FLEXIÓN A 22ºC 0.15 0.4 Fuerza (N) 1.3 FLEXIÓN A 46.5 0.15 0.1 0.2 FLEXIÓN A 19ºC 0. 0.5 0.25 FLEXIÓN A 55ºC 0. 0. SME495 HT500ºC/1 h.8 FLEXIÓN A 80ºC 0.15: Resultados experimentales Fuerza-Deformada del extremo libre para alambres NiTi a diferentes temperaturas Silvia de la Flor .05 0 0 10 20 30 40 50 60 Deformada en el extremo libre (mm) Ensayo a Flexión de alambre empotrado.2 0 0 10 20 30 40 50 60 Deformada en el extremo libre (mm) Figura 5.6 1.6 0.4 0.5ºC 0.4 Fuerza (N) 0.4 FLEXIÓN A 70ºC Fuerza (N) 0. SME495 HT500ºC/1 h.35 0.05 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Deformada en el extremo libre (mm) Ensayo a Flexión de alambre empotrado. SME495 HT500ºC/1 h. 1.1 0.35 0.2 0.2 FLEXIÓN A 100ºC 1 0.45 0.401 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión Ensayo a Flexión de alambre empotrado.45 0.
excepto para los 19ºC y 22ºC. y los valores de tensión de inicio y final son semejantes. ante los gráficos presentados. corresponde a la tensión de transformación de fase. los valores registrados sufrían discontinuidades o saltos a causa de pequeños deslizamientos en el punto de aplicación de la carga. a 70ºC el material presentó un salto brusco de comportamiento. • A partir de cierto nivel de deformada. se pueden realizar las siguientes observaciones: • Exceptuando la probeta ensayada a 70ºC que presenta un comportamiento más atípico. probablemente. • La curva de 70ºC probablemente es la más sensible a la temperatura. Esto es coherente con el comportamiento a tracción: a temperaturas inferiores la meseta de trasformación es prácticamente horizontal. Silvia de la Flor . 46. tal y como comprobamos en el Capítulo 3 y 4. las demás siguen una curva similar: un primer tramo mas constante con una ligera inflexión que. donde. sea prácticamente inapreciable. • La relación Fuerza-deformada es creciente con la temperatura. Esto puede producir que la meseta de transformación. puesto que se encuentra. en el proceso a flexión. mientras que a 19ºC. Sin embargo. a temperaturas inferiores a la M S. por tanto. el comportamiento era lineal de pendiente negativa. un tramo recto lineal de mayor deformación. lo que significa que temperaturas más bajas presentan la tens ión de transformación más elevadas y tienen.402 CAPÍTULO 5 En general.43 del Capítulo 3. al igual que la 55ºC en un tramo de mezcla de fases. 22ºC . • La mayor inflexión y el comportamiento más diferencial en la zona de transformación se aprecia a mayores temperaturas: 80ºC y 100ºC. Es por ello que el último tramo de la curva deberá considerarse con reservas. en los ensayos isotérmicos. Esto se confirmó en los gráficos de la figura 3.5ºC y 55ºC la inflexión no es tan marcada.
pequeñas y grandes deformadas. Verificación experimental del modelo con grandes deformadas a través de los ensayos a tracción En este apartado se verifica el modelo a flexión desarrollado para grandes deformadas. responde mejor a la realidad.16. lógicamente. Silvia de la Flor . El programa de flexión obtiene la tensión necesaria para cada deformación resultado del proceso iterativo de Newton-Raphson e interpola para ajustar el valor.17 a 5. tomando como datos (valores tensión deformación) los valores de la curva experimental obtenida del ensayo a tracción. se han podido comparar las curvas de flexión presentadas anteriormente (figura 5. En ella se representa la aproximación con los dos modelos. Mediante este procedimiento. el modelo de grandes deformadas produce valores menores de deformada en el extremo en voladizo puesto que el momento exterior es menor que en el caso de pequeñas deformadas. se presentan en la figura 5.3. para los datos isotérmicos del ensayo a 100ºC.Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión 5.23.1. Los resultados correspondientes a la comparación entre los ensayos a flexión obtenidos del laboratorio y las simulaciones con el modelo de grandes deformadas tomando como datos los ensayos isotérmicos.15. Para conseguir este proceso. de tal manera que sólo nos quedemos con la curva en el proceso de carga.15) con las teóricas del modelo de grandes deformadas. No se ha implementado las comparaciones con el modelo de pequeñas deformadas puesto que el modelo de grandes deformadas. se procesan los resultados de tracción correspondientes a las mismas temperaturas que se han ensayado a flexión. De esta forma podremos verificar el modelo a flexión independientemente del modelo constitutivo empleado para la obtención de la tensión a partir de la deformación. Sin embargo. Se observa cómo. se ha creído conveniente presentar una gráfica comparativa entre ambas aproximaciones en la figura 5.3 403 ANÁLISIS DEL MODELO A FLEXIÓN Y CONTRASTACIÓN EXPERIMENTAL 5. después de observar los resultados de la figura 5.
Silvia de la Flor .17: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 19ºC.16: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con la implementación del modelo de pequeñas deformadas.404 CAPÍTULO 5 Figura 5. Figura 5. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los resultados experimentales del ensayo isotérmico correspondiente a 19ºC. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los resultados experimentales del ensayo isotérmico correspondiente a 100ºC.
Los datos de tensión-deformación se obtienen de los resultados experimentales del ensayo isotérmico correspondiente a 46. Figura 5. Silvia de la Flor .5ºC.19: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 46.405 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión Figura 5.18: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 22ºC. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los resultados experimentales del ensayo isotérmico correspondiente a 22ºC.5ºC.
Silvia de la Flor .406 CAPÍTULO 5 Figura 5. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los resultados experimentales del ensayo isotérmico correspondiente a 55ºC.20: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 55ºC. Figura 5.21: Comparación de la implementación numé rica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 70ºC. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los resultados experimentales del ensayo isotérmico correspondiente a 70ºC.
A partir de los gráficos anteriores se puede observar cómo el modelo a flexión ajusta adecuadamente con los resultados experimentales siendo mejor el ajuste a mayores temperaturas. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los resultados experimentales del ensayo isotérmico correspondiente a 80ºC. La mayor diferencia se aprecia para 70ºC quizás a causa de que es la temperatura de transición entre fases.23: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 100ºC.407 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión Figura 5. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los resultados experimentales del ensayo isotérmico correspondiente a 100ºC. Figura 5. Silvia de la Flor .22: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 80ºC.
Para la implementación numérica del comportamiento a flexión de los diferentes modelos.1998]. En todos los gráficos se presenta el valor de la fuerza aplicada frente al valor de la deformada en el extremo en voladizo. significa que a flexión se produce una rigidización del material. Este comportamiento. se presentan en la figuras 5. Dado que esta asimetría es más acentuada a temperaturas martensíticas. En todos los modelos se emplea sólo la aproximación de Voigt para el módulo elástico dado la escasa influencia de las diferentes aproximaciones en los resultados de la modelización.5ºC. a igual valor de fuerza. los valores de las tensiones correspondientes a la deformación de cada iteración.3. según el algoritmo presentado en la tabla 5.1995] en sus resultados de flexión. los resultados de la simulación presentan. Silvia de la Flor .3. A temperaturas inferiores. Los resultados de las simulaciones de los modelos de Tanaka y Liang-Rogers a 46. se obtienen de la simulación a tracción de cada uno de los modelos constitutivos analizados. Verificación experimental del modelo con grandes deformadas con los modelos constitutivos Se presentan a continuación las simulaciones del comportamiento a flexión para los modelos analizados de Tanaka. Liang-Rogers. Para 19ºC y 22ºC no se realizan las simulaciones con estos modelos constitutivos puesto que no eran capaces de reproducir el comportamiento a tracción por debajo de MS. 70ºC y 100ºC comparados con los resultados experimentales. el ajuste entre los resultados teóricos y experimentales es mayor a temperaturas austeníticas.24. 5.2. mayor valor de deformada que los resultados experimentales a flexión.408 CAPÍTULO 5 En los tramos inferiores a la tensión crítica de transición los resultados de la simulación presentan valores muy similares a los experimentales presentado menor similitud dentro de la zona de transformación. posiblemente a causa del diferente comportamiento a tracción y compresión ya reportado por Liu [LIU. también presentado Wick [WIC. 55ºC. Brinson y Auricchio lineal y exponencial.
409 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión (a) (b) (c) (d) (e) Figura 5. (e) 100ºC. Los datos de tensión-deformación se obtienen del Modelo a tracción de Tanaka y Liang-Rogers para (a) 46. Silvia de la Flor . (c) 70ºC.24: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo de flexión. (d) 80ºC.5ºC. (b) 55ºC.
En la figura 5. A 55ºC las previsiones de los modelos para el comportamiento a tracción consideraban un valor del módulo elástico superior al real. En la figura 5.5ºC. 46. 22ºC. 70ºC. en consecuencia. En la figura 5. Esto es coherente con la predicción de estos modelos para el comportamiento a tracción a esta temperatura como se vio en la figura 4. 70ºC. 22ºC. Se presentan en la figura 5.5ºC. comparando con los resultados experimentales. 80ºC y 100ºC.5(a).26 se presentan los resultados de las simulaciones a flexión para el modelo de Auricchio Lineal a 19ºC. el comportamiento a flexión produce resultados superiores al experimental. 22ºC.55ºC. comparándose con los resultados experimentales a flexión.410 CAPÍTULO 5 En la figura 5. 46. 80ºC y 100ºC. Esto reafirma la conclusión de que el ensayo a 70ºC. 46. 70ºC.29 se presentan los resultados de las simulaciones a flexión para el modelo de Auricchio Exponencial con β =100 a 19ºC.5ºC. Silvia de la Flor . 46. 80ºC y 100ºC.28 se presentan los resultados de las simulaciones a flexión para el modelo de Auricchio Exponencial con β=10 a 19ºC.27 se presentan los resultados de las simulaciones a flexión para el modelo de Auricchio Exponencial con β=1 a 19ºC. comparándose con los resultados experimentales a flexión.5ºC y 55ºC los modelos subpredicen el comportamiento a flexión. 80ºC y 100ºC. y. comparándose con los resultados experimentales a flexión. 70ºC.55ºC. comparándose con los resultados experimentales a flexión. 70ºC. en flexión simulan resultados superiores. A 70ºC el comportamiento no sigue esta tendencia: los modelos subpredecían el comportamiento a tracción y. A 80ºC y a 100ºC las predicciones de ambos modelos ajustan adecuadamente el resultado experimental. 46. al estar dentro del intervalo de mezcla de fases.55ºC.5ºC.25 los resultados de las simulaciones a flexión para el modelo de Brinson a 19ºC. contrariadamente. comparándose con los resultados experimentales a flexión.24(a) se observa como para 46. 22ºC. 22ºC.5ºC.55ºC. tiene un comportamiento muy variable. 80ºC y 100ºC.55ºC.4(a) y 4. En la figura 5.
411 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión (a) (b) (c) (d) (e) (f) Silvia de la Flor .
(f) 80ºC.412 CAPÍTULO 5 (g) Figura 5.5ºC. (b) 22ºC. (d) 55ºC.25: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo a flexión. (g) 100ºC. (c) 46. (a) (c) Silvia de la Flor (b) (d) . Los datos de tensión-deformación se obtienen del Modelo a tracción de Brinson para (a) 19ºC. (e) 70ºC.
(e) 70ºC.26: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo a flexión. (c) 46.5ºC. (g) 100ºC. (f) 80ºC.413 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión (e) (f) (g) Figura 5. (a) (b) Silvia de la Flor . (b) 22ºC. (d) 55ºC. Los datos de tensión-deformación se obtienen del Modelo a tracción de Auricchio Lineal para (a) 19ºC.
27: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo a flexión.414 CAPÍTULO 5 (c) (d) (e) (f) (g) Figura 5. (f) 80ºC. (b) 22ºC.5ºC. (d) 55ºC. (g) 100ºC. (c) 46. (e) 70ºC. Los datos de tensión-deformación se obtienen del Modelo a tracción de Auricchio Exponencial con β=1 para (a) 19ºC. Silvia de la Flor .
415 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión (a) (b) (c) (d) (e) (f) Silvia de la Flor .
(f) 80ºC. (c) 46. Los datos de tensión-deformación se obtienen del Modelo a tracción de Auricchio Exponencial con β=10 para (a) 19ºC. (b) 22ºC. Silvia de la Flor (a) (b) (c) (d) . (d) 55ºC.5ºC. (e) 70ºC.416 CAPÍTULO 5 (g) Figura 5. (g) 100ºC.28: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo a flexión.
en parte.5ºC. (c) 46. (b) 22ºC. (e) 70ºC.6. Los datos de tensión-deformación se obtienen del Modelo a tracción de Auricchio Exponencial con β=100 para (a) 19ºC.5ºC y 55ºC.417 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión (e) (f) (g) Figura 5. (f) 80ºC. Silvia de la Flor . En las figuras anteriores. De nuevo.4.8) especialmente para las temperaturas de 46.7 y 4. las comparaciones entre las simulaciones a 70ºC y el ensayo a la misma temperatura presenta las mayores diferencias. (g) 100ºC. podemos observar cómo las diferencias en los ajustes son debidas. por las divergencias que ya se detectaron en el comportamiento a tracción (figuras 4. causa del variable comportamiento del material dentro de la zona interfase. A altas temperaturas el comportamiento se ajusta mucho más adecuadamente igual que ocurría con las comparaciones a tracción isotérmica. para los modelos de Brinson y Auricchio Lineal y Exponencial. (d) 55ºC.29: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo a flexión.
Silvia de la Flor . Figura 5. todos los ensayos a todas las temperaturas. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los diferentes modelos constitutivos. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los diferentes modelos constitutivos.418 CAPÍTULO 5 Para poder comparar si alguno de los modelos aproxima mejor el resultado experimental.30: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 19ºC. de forma conjunta. se presentan. Figura 5.31: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 22ºC.
33: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 55ºC. Figura 5.5ºC. Silvia de la Flor .32: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 46. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los diferentes modelos constitutivos. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los diferentes modelos constitutivos.419 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión Figura 5.
Figura 5. Los datos de tensión-deformación se obtienen de los diferentes modelos constitutivos.34: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 70ºC.35: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 80ºC. Silvia de la Flor . Los datos de tensión-deformación se obtienen de los diferentes modelos constitutivos.420 CAPÍTULO 5 Figura 5.
46.36: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio de flexión a 100ºC. en aquellas temperaturas donde a tracción el modelo predecía valores superiores de tensión también produce valores superiores en flexión. comparado con los resultados experimentales a flexión para las temperaturas de 19ºC.421 Análisis teórico y experimental de viga empotrada SMA a flexión Figura 5. De las figuras 5. • A altas temperaturas. en aquellas temperaturas a las que el modelo no ajustaba bien el módulo elástico a tracción. por tanto. Esto se puede corregir con el modelo propuesto donde los valores de amplitud de transformación así como las pendientes en los tramos elástico son más ajustados.36 podemos concluir que: • Los modelos de Tanaka y Liang-Rogers no predicen con adecuación el comportamiento a bajas temperaturas. a continuación. tampoco predice bien el comportamiento a flexión. Se presenta.5ºC. 70ºC y 100ºC. la comparación entre la simulación a flexión con el Modelo Propuesto y deducido en el Capítulo 4. el ajuste es similar para todos los modelos y más concretamente en el tramo elástico inicial.30-5. por el contrario. siendo más adecuados los modelos de Brinson y Auricchio exponencial y lineal. • Para todos los modelos. • Para todos los modelos. el ajuste en cada temperatura es similar al ajuste que se obtuvo del comportamiento a tracción y. Silvia de la Flor . Los datos de tensión-deformación se obtienen de los diferentes modelos constitutivos.
(b)46. siendo las zonas de transformación. con las mejoras introducidas con el Modelo Propuesto la aproximación a los resultados experimentales es mejor. (c) 70ºC. A 100ºC. del diferente comportamiento del material a tracción que a compresión.422 CAPÍTULO 5 (a) (b) (b) (c) Figura 5. donde la asimetría tracción-compresión no es tan acusada.37: Comparación de la implementación numérica del modelo a flexión de grandes deformadas con el ensayo en el laboratorio a flexión. las zonas de mayor diferencia a causa. Se puede observar cómo. (d) 100ºC. (a) 19ºC. Los datos de tensióndeformación se obtienen del Modelo Propuesto. el ajuste entre el modelo propuesto y el resultado experimental es más preciso.5ºC.5ºC. los mejores ajustes se consiguen en las zonas lineales. concretamente a 46. Silvia de la Flor . Sin embargo. posiblemente. en régimen austenítico.
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