Source: https://es.scribd.com/doc/53663869/Libro-para-el-docente-Matematicas-Primaria-RIEB-Version-preliminar
Timestamp: 2016-05-02 00:18:32+00:00

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Bloque 1Versión preliminarMatemáticas
Presentación Introducción Enfoque Propósitos 5 6 7 8 9 9 10 11 11 12 13 14 15 17 19 21 22 24 27 28 30 34 37
Contextualización de la asignatura 1. Competencias a desarrollar en los programas de Matemáticas - Nuevos retos 2. Intervención docente y el trabajo en el aula - Que los alumnos: - Planificación del trabajo diario 3. Estructura de los programas de estudio - Perfil de egreso - Evaluación del desempeño de los alumnos - Resultados de las evaluaciones externas: enlace, excale y pisa - pisa Matemáticas 4. Importancia de las Matemáticas en la Educación Primaria - Competencias docentes en Matemáticas - Principales dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas
Recomendaciones sobre formas de organización del trabajo en el aula 1. Características Generales de los materiales educativos impresos con base en el Programa de Estudios 2009 y sus ventajas 2. Estructura didáctica de los nuevos textos de Matemáticas de Primaria 3. Usos didácticos de los libros de texto 4. Autoevaluación: sugerencias para orientar al maestro y al alumno
Secuencias Didácticas: - Consideraciones previas generales para el manejo de problemas y del libro de texto - Primer grado. Bloque 1 - Segundo grado. Bloque 1 - Tercer grado. Bloque 1 39 42 44 47
- Cuarto grado. Bloque 1 - Quinto grado. Bloque 1 - Sexto grado. Bloque 1
49 53 56 60 63 65
- Segundo grado. Bloque 2 - Tercer grado. Bloque 4 - Quinto grado. Bloque 1
- Sugerencias y recursos didácticos para reforzar la enseñanza de las matemáticas 69
La actual transformación educativa implica “realizar una reforma integral de la educación básica, centrada en la adopción de un modelo educativo que promueve el desarrollo de competencias que responda a las necesidades de progreso de México en el siglo xxi”. La intención es lograr la mayor articulación y la mejor eficiencia entre los niveles preescolar, primaria y secundaria para elevar la calidad de la educación. En este marco, la Subsecretaría de Educación Básica diseñó, entre otras acciones, una nueva propuesta curricular para la educación primaria que establece la necesidad de impulsar la reforma de los enfoques, asignaturas y contenidos de la educación básica, con el propósito de formar ciudadanos íntegros capaces de desarrollar todo su potencial. El libro del maestro tiene como propósito ser un instrumento de apoyo en la labor docente que brinde sugerencias y estrategias para fortalecer la enseñanza de las Matemáticas; asimismo, busca articular la educación eásica, incorporando los elementos pedagógicos y metodológicos para hacerlos pertinentes a las características de la nueva propuesta didáctica.
Versión preliminar ARTICULACIÓN CURRICULAR
LIBRO PARA EL DOCENTE Educación Primaria
En el caso particular del estudio de las Matemáticas en la educación básica se busca que niños y jóvenes desarrollen: •	Una	forma	de	pensamiento	que	les	permita	interpretar	y	comunicar	matemáticamente situaciones que se presentan en diversos entornos socioculturales. •	Técnicas	adecuadas	para	reconocer,	plantear	y	resolver	problemas. •	Una	actitud	positiva	hacia	el	estudio	de	esta	disciplina,	de	colaboración y crítica, tanto en el ámbito social y cultural en que se desempeñen como en otros diferentes, la cual propicie el desarrollo del pensamiento matemático del alumno. En la escuela el docente deberá propiciar un ambiente en el que los alumnos formulen y validen conjeturas, se planteen preguntas, utilicen procedimientos propios y adquieran las herramientas y los conocimientos matemáticos socialmente establecidos, a la vez que comuniquen, analicen e interpreten ideas y procedimientos de resolución. Esta propuesta reclama actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata de que el maestro busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino que analice y proponga problemas interesantes, adecuados al grado que atiende, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y usen las técnicas y razonamientos cada vez más eficaces.
La experiencia que vivan niños y jóvenes al estudiar Matemáticas en la escuela puede traer como consecuencias el gusto o rechazo, a la vez que la creatividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentos para validar los resultados o la supeditación de éstos al criterio del docente. El planteamiento central de la metodología didáctica que sustentan los programas para la educación primaria, consiste en llevar a las aulas actividades de estudio que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados. El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar, de manera flexible, para solucionar problemas. De ahí que su construcción requiera procesos de estudio más o menos largos, que van de lo informal a lo convencional, tanto en términos de lenguaje, como de representaciones y procedimientos. La actividad intelectual fundamental en estos procesos se apoya más en el razonamiento que en la memorización. Los avances logrados en el campo de la didáctica de la Matemática en los últimos años señalan el papel determinante que desempeña el medio, entendido como la situación o las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretenden estudiar, así como los procesos que siguen los alumnos para construir nuevos conocimientos y superar los obstáculos que surgen en el proceso de aprendizaje. Toda	situación	problemática	presenta	dificultades,	pero	no	debe	ser	tan dif ícil que parezca imposible de resolver por quien se ocupa de ella. La solución debe ser construida en el entendido de que existen diversas estrategias posibles para resolver una situación y el alumno debe usar los conocimientos previos que le permitan afrontarla. En este sentido, el gran desaf ío se encuentra en reestructurar algo que ya sabe y entender cuándo modificarlo, ampliarlo, rechazarlo o volver a aplicarlo en una nueva situación.
En este nivel de educación, como resultado del estudio de las Matemáticas, se espera que los alumnos desarrollen los siguientes conocimientos y habilidades: •	Conozcan	y	sepan	usar	las	propiedades	del	sistema	decimal	de	numeración para interpretar o comunicar cantidades en distintas formas. •	Utilicen	de	manera	flexible	el	cálculo	mental,	la	estimación	de	resultados y las operaciones escritas con números naturales, fraccionarios y decimales, para resolver problemas aditivos o multiplicativos; en el caso de estos últimos, en este nivel no se estudian la multiplicación ni la división con números fraccionarios. •	Conozcan	las	propiedades	básicas	de	triángulos,	cuadriláteros,	polígonos regulares, prismas y pirámides. •	Usen	e	interpreten	diversos	códigos	para	orientarse	en	el	espacio	y ubicar lugares. •	Sepan	calcular	perímetros,	áreas	o	volúmenes	y	expresar	medidas	en distintos tipos de unidad. •	Emprendan	procesos	de	búsqueda,	organización,	análisis	e	interpretación de datos para comunicar información que responda a preguntas planteadas por sí mismos y por otros. •	Identifiquen	conjuntos	de	cantidades	que	varían	proporcionalmente y sepan calcular valores faltantes y porcentajes en diversos contextos. •	Sepan	reconocer	experimentos	aleatorios	comunes	y	sus	espacios	muestrales, a la vez que desarrollen una idea intuitiva de su probabilidad.
Competencias a desarrollar en los programas de Matemáticas
Implica	que	los	alumnos	sepan	identificar,	plantear	y	resolver	diferentes	tipos de problemas o situaciones. Por ejemplo, problemas con solución única, con varias soluciones o ninguna solución, en los que sobren o falten datos; o bien, problemas o situaciones en los que sean los alumnos quienes planteen las preguntas. Se trata de que sean capaces de resolver un problema utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más eficaces; o que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o más valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de resolución.
Implica	que	los	alumnos	sean	capaces	de	expresar,	representar	e	interpretar información matemática contenida en una situación o fenómeno. Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de representar la información cualitativa y cuantitativa relacionada con la situación; que se establezcan relaciones entre éstas; que se expongan con claridad las ideas matemáticas encontradas, que se deduzca la información derivada de las representaciones y se infieran propiedades, características o tendencias de la situación o del fenómeno representados.
En el nivel de primaria es importante que los alumnos adquieran la confianza suficiente para expresar sus procedimientos y defender sus aseveraciones con pruebas empíricas y con argumentos a su alcance,
aunque éstos todavía disten de la demostración formal; son justamente su	antecedente.	Cuando	el	profesor	logra	que	sus	alumnos	asuman	la	responsabilidad de buscar al menos una manera de resolver cada problema que plantea, junto con ello crea las condiciones para que los alumnos vean la necesidad de formular argumentos que den sustento al procedimiento y solución encontrados.
Se refiere al uso eficiente de procedimientos y formas de representación al efectuar cálculos, con o sin apoyo de calculadora. Esta competencia no se limita a usar de manera mecánica las operaciones aritméticas, apunta principalmente al desarrollo del significado y uso de los números y de las operaciones, lo cual se manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al resolver un problema, en la utilización del cálculo mental y la estimación, en el empleo de procedimientos abreviados o atajos a partir de las operaciones que se requieren en un problema y en evaluar la pertinencia de los resultados. Para lograr el manejo eficiente de una técnica es necesario que los alumnos la sometan a prueba en muchos problemas distintos. Así adquirirán confianza en ella y la podrán adaptar a nuevos problemas.
Es prioridad de esta nueva propuesta curricular despertar y desarrollar en los alumnos la curiosidad y el interés por empezar procesos de búsqueda para resolver problemas, la creatividad para formular conjeturas, la flexibilidad para utilizar distintos recursos y la autonomía intelectual para enfrentarse a situaciones desconocidas; asimismo, asumir una postura de confianza en su capacidad de aprender. Es necesaria la organización de actividades escolares colectivas las cuales propicien el trabajo colaborativo, la reflexión, el análisis para compartir ideas, procedimientos y estrategias de resolución de problemas en las que los alumnos formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de sus procedimientos al resolver problemas, poniendo en práctica conocimientos e identificando su uso y procedimiento (con respecto a operaciones básicas, cálculo de áreas, perímetros, volúmenes, etc), así como las reglas sociales del debate al resolver problemas. El docente puede tener la oportunidad de explicar ciertos conocimientos de manera formal y precisa de conceptos teóricos de la matemática cuando la ocasión lo amerite y lo juzgue conveniente, tales como: definiciones, el algoritmo de las operaciones básicas o las fórmulas para calcular áreas, para tomar las decisiones pertinentes en cada situación,
logrando de esta manera el fortalecimiento de la participación colaborativa y crítica de los alumnos y la constitución de la matemática en una herramienta poderosa que puede emplearse para plantear, analizar y resolver problemas.
Intervención docente y el trabajo en el aula
Es de suma importancia que el docente propicie un cambio en la forma de enseñanza tradicional con base en actividades cuidadosamente diseñadas en las cuales genere una dinámica activa acorde con el enfoque. El papel central lo tienen los estudiantes y el profesor debe estar abierto a aceptar que él ya no es quien posee todo el conocimiento y por ende, puede aprender de sus estudiantes. En esa medida la dinámica del proceso de enseñanza y aprendizaje deja de ser lineal y sistemático en el salón de clase para el logro de las siguientes metas en las que:
•	Se	interesen	en	buscar	la	manera	de	resolver	los	problemas	que	se	les plantean. Lean cuidadosamente la información que hay en los problemas. •	Muestren	una	actitud	colaborativa	adecuada	para	trabajar	en	equipo, esto implica que se respeten y acepten las opiniones de los otros, logren respetar los turnos para expresar sus ideas, construcción colectiva de procedimientos. •	Manejen	adecuadamente	el	tiempo	para	concluir	las	actividades	y	busquen espacios para compartir experiencias. La metodología didáctica que acompaña a los programas de Matemáticas está orientada al desarrollo de competencias, por eso exige superar la postura tradicional que consiste en “dar la clase”, explicando paso a paso lo que los alumnos deben hacer y preocupándose por simplificarles el camino que por sí solos deben encontrar, el docente entonces debe generar dinámicas de enseñanza-aprendizaje significativas, coordinar, guiar y asesorar las actividades diseñadas previamente para promover el desarrollo de las cuatro competencias matemáticas.
Una	de	las	tareas	fundamentales	de	los	docentes	que	ayuda	a	garantizar	la eficiencia del proceso de estudio, enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, es la planificación de estrategias de aprendizaje; ésta permite formular expectativas en torno a la eficacia de las actividades que se plantean, sobre el pensamiento matemático de los alumnos y sobre la gestión de la clase por parte del profesor. Para ello es indispensable que el docente analice plan y programa, el libro del alumno, los planes de clase y demás recursos con los que cuente en el aula, los estudie, haga las modificaciones que considere pertinentes y los evalúe con la intención de que se puedan mejorar. Ha de considerar también el análisis de las actividades propuestas para propiciar la vinculación de los contenidos de Matemáticas con los de las diversas asignaturas pues de esta forma se propicia el aprendizaje global, lo cual no implica la realización de planes de clase diarios, ya que pueden diseñarse secuencias didácticas que impliquen una o más sesiones. El propósito fundamental es sustituir la planificación de carácter administrativo por una planificación funcional acorde con el enfoque de la propuesta curricular actual. Ésta deberá contener las siguientes características: •	Que	sea	útil. •	Que	sea	concisa. •	Que	permita	mejorar	el	desempeño	docente. La tarea docente implica tener presente que el currículo se debe desarrollar como un proceso flexible con gran capacidad de adaptabilidad y creatividad; exige la conformación de redes de maestros para un trabajo más cercano entre ellos, que les permita intercambiar las experiencias que viven día a día en el contacto con los alumnos, para comentar sus propuestas y apoyarse mutuamente, para compartir los éxitos y desaciertos como un proceso permanente de evaluación y de aprendizaje entre pares, así como para definir los trayectos formativos sobre lo que, a partir de esas experiencias, se considere mejorar su labor.
Los contenidos de Matemáticas que se estudian en la educación primaria se han organizado en tres ejes temáticos: Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida, y Manejo de la información, los cuales coinciden con los de la educación secundaria, organizados en cinco bloques temáticos que incluyen contenidos de los tres ejes. Al principio de cada bloque se presentan los aprendizajes esperados, los cuales señalan, de manera sintética, los conocimientos y habilidades que todos los alumnos deben alcanzar como resultado del estudio del bloque	correspondiente.	Posteriormente	aparecen	los	Conocimientos	y	habilidades del bloque con sus respectivas orientaciones didácticas, cada una de estas secciones se les denomina apartado. Además de las orientaciones didácticas, en cada apartado se indica el nombre del eje, tema y subtema correspondientes. La columna de orientaciones didácticas contiene información relevante relacionada con los conocimientos y habilidades: precisiones, importancia y antecedentes; ejemplos de problemas para plantear a los alumnos; posibles intervenciones del profesor para apoyar el estudio de los alumnos. Para cada uno de los apartados se sugiere en los programas una secuencia de actividades y orientaciones para la elaboración de uno o más planes de clase. Cabe	señalar	que	los	conocimientos	y	habilidades que se plantean en cada bloque se han organizado para que los alumnos tengan acceso gradual a contenidos cada vez más complejos y a la vez puedan relacionar lo que ya saben con lo que están por aprender. Es por esto que el docente identifique con importancia qué conocimientos previos debe contar el alumno.
1 Conocimientos y habilidades Orientaciones didácticas
•	Forma,	espacio	y	medida
•	Manejo	de	la	información
Como	resultado	del	proceso	de	formación	a	lo	largo	de	la	escolaridad	básica, el estudiante mostrará los siguientes rasgos: •	Argumenta	y	razona	al	analizar	situaciones,	identifica	problemas, formula preguntas, emite juicios, propone soluciones y toma decisiones. •	Valora	los	razonamientos	y	la	evidencia	proporcionada	por	otros	y puede modificar, en consecuencia, los propios puntos de vista. •	Busca,	selecciona,	analiza,	evalúa	y	utiliza	la	información	proveniente de diversas fuentes. •	Interpreta	y	explica	procesos	sociales,	económicos,	financieros,	culturales y naturales para tomar decisiones individuales o colectivas, en función del bien común.
•	Sentido	numérico	y	pensamiento algebraico Temas
Sin duda, uno de los elementos del proceso educativo que contribuye de manera importante para lograr mejor calidad en los aprendizajes de los alumnos, es la evaluación por desempeño; ésta conlleva un proceso integral, no sólo indica qué tanto aprendió o no una persona, sino cómo se desempeña, o desenvuelve con lo aprendido. Por tanto, la evaluación por desempeño es un proceso mediante el cual se hace un balance objetivo, válido, confiable, integral, significativo, transparente y que rinde cuentas del logro obtenido por los alumnos. Hace énfasis en la oportunidad de aprendizaje, toma como base el nivel de desempeño logrado estableciendo los retos y obstáculos que se encuentran, con miras a la toma de decisiones y a diseñar estrategias para que, tanto el alumno como el docente, mejoren de manera continua. En este sentido y al margen de las evaluaciones externas que se aplican en las escuelas del país, los profesores frente a grupo tienen la responsabilidad de evaluar en todo momento del curso escolar qué saben hacer sus alumnos, qué no y qué están en proceso de aprender. Para ello se pueden considerar varios recursos como: registros breves de observación, cuadernos de trabajo de los alumnos, listas de control, pruebas y otros. La evaluación que se plantea en este currículo se dirige a los tres elementos fundamentales del proceso didáctico: el profesor, las actividades de estudio y los alumnos. Los dos primeros pueden ser evaluados mediante el registro de juicios breves, en los planes de clase, sobre la pertinencia de las actividades y de las acciones que realiza el profesor al conducir	la	clase.	Con	respecto	a	los	alumnos,	deben	evaluarse	dos	aspectos: El primero se refiere a qué tanto saben hacer y en qué medida aplican lo que saben, en estrecha relación con los contenidos matemáticos que se estudian en cada grado. Para apoyar a los profesores en este aspecto se han definido los aprendizajes esperados en cada bloque temático, en los cuales se sintetizan los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben aprender al estudiar cada bloque. Los aprendizajes esperados no corresponden uno a uno con los apartados de conocimientos y habilidades del bloque. En primer lugar porque los apartados no son ajenos entre sí, es posible y deseable establecer vínculos entre ellos para dar mayor significado a los aprendizajes, algunos de esos vínculos ya están señalados en la columna de orientaciones didácticas. En segundo lugar, porque los apartados constituyen procesos de estudio que en algunos casos trascienden los bloques e incluso los grados, mientras que los aprendizajes esperados son saberes que se construyen como resultado de los procesos de estudio mencionados.
Por ejemplo, el aprendizaje esperado “Resolver problemas que impliquen el análisis del valor posicional a partir de la descomposición de números”	(planteado	en	el	Bloque	1	de	Quinto	grado)	es	la	culminación	de	un	proceso	que	se	inició	en	Cuarto	grado.
Con	el	segundo	aspecto	por	evaluar	se	intenta	ir	más	allá	de	los	aprendizajes esperados y, por lo tanto, de los contenidos que se estudian en cada grado. Se trata de las competencias matemáticas, cuyo desarrollo deriva en conducirse competentemente en la aplicación de las Matemáticas o en ser competente en Matemáticas. La metodología didáctica que acompaña los programas de matemáticas está orientada al desarrollo de estas competencias y exige superar la postura tradicional de “dar la clase” explicando paso a paso lo que los , alumnos deben hacer y preocupándose por simplificarles el camino que por	sí	solos	deben	encontrar.	Con	el	fin	de	ir	más	allá	de	la	caracterización	de las competencias y tener más elementos para describir el avance de los alumnos en cada una de ellas, a continuación se establecen algunas líneas de progreso que definen el punto inicial y la meta a la que se puede aspirar. De resolver con ayuda a resolver de manera autónoma. La mayoría de los profesores de nivel básico estará de acuerdo en que, cuando los alumnos resuelven problemas, hay una tendencia muy fuerte a recurrir al maestro, incluso en varias ocasiones, para saber si el procedimiento que siguen es correcto. Resolver de manera autónoma implica que los alumnos se hagan cargo del proceso de principio a fin, considerando que el fin no es sólo encontrar un resultado, sino comprobar que es correcto, tanto en el ámbito de los cálculos como en el de la solución real, en caso de que se requiera. De la justificación pragmática al uso de propiedades. Según la premisa de que los conocimientos y las habilidades se construyen mediante la interacción de los alumnos con el objeto de conocimiento y con el maestro, un elemento importante en este proceso es la validación de los procedimientos y resultados que se encuentran, de manera que otra línea de progreso que se puede apreciar con cierta claridad es pasar de la explicación pragmática “porque así me salió” a los argumentos apoyados en propiedades o axiomas conocidos. De los procedimientos informales a los procedimientos expertos.	Un	principio fundamental que subyace en la resolución de problemas es que los alumnos utilicen sus conocimientos previos, con la posibilidad de que éstos evolucionen poco a poco ante la necesidad de resolver problemas cada vez más complejos. Necesariamente, al iniciarse en el estudio de un tema o de un nuevo tipo de problemas, los alumnos usan procedimientos informales; a partir de ese punto es tarea del maestro sustituir estos procedimientos	por	otros	cada	vez	más	eficaces.	Cabe	aclarar	que	el	carácter	de	informal o experto de un procedimiento depende del problema a resolver; por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operación es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo.
Resultados de las evaluaciones externas: enlace, excale y pisa
Según los resultados analizados hasta ahora del ciclo escolar 2007-2008 en	la	prueba	de	ENLACE,	son	cuatro	los	niveles	de	dominio	en	Matemáticas, los cuales se explican aquí de manera muy general: 61.4% de los alumnos de primaria arroja un rango de dominio elemental; es decir que este grupo de alumnos realiza multiplicaciones y divisiones con números enteros, y sumas que los combinan con números fraccionarios. 21.0% de los estudiantes presenta un rango insuficiente, el alumno sólo resuelve problemas donde la tarea se presenta directamente. Es decir, 82.4% de la matrícula de primaria estriba en un rango de insuficiente-elemental. 16.0% de los niños de primaria se encuentra en un gradiente bueno en este nivel; los niños resuelven problemas que involucran más de un procedimiento al realizar multiplicaciones y divisiones combinando números enteros y fraccionarios. Sólo 1.6% de los alumnos en primaria tiene un dominio excelente, emplea operaciones con fracciones para solucionar problemas y resuelve combinaciones con signos de agrupación. Por lo tanto, únicamente 17.6% de la matrícula en primaria presenta un nivel bueno excelente con predominancia del rango bueno. Otra realidad de la problemática en el aprendizaje es la puesta en práctica; la evaluación de las Matemáticas estriba en el caso de la comprensión textual de las problemáticas planteadas a lo largo de estos tres momentos en la enseñanza aprendizaje de las Matemáticas. En el caso de habilidad lectora y de comprensión de los alumnos en primaria, el rango es de población elemental-insuficiente con predominancia del elemental y bueno-excelente con predominancia del rango bueno. Es decir: 58.1% de los alumnos en primaria ubica e integra partes de un problema planteado en forma de texto, reconoce la idea central y comprende relaciones del tipo problema-solución, causa-efecto y comparación-contraste. 20.7% de los estudiantes sólo es capaz de identificar elementos que se encuentran de manera explícita en problemas y textos narrativos y explicativos. 19.6% de los educandos relaciona elementos del problema que se encuentran a lo largo de un texto, comprende el texto de forma completa y detallada, a la vez que sintetiza su contenido global.
Sólo 1.7% realiza inferencias complejas para construir una interpretación global del texto y del problema. A continuación se presenta una tabla con el análisis de los resultados de la prueba enlace	Ciclo	Escolar,	2006-2007	y	2007-2008.
INSUFICIENTE/ ELEMENTAL
BUENO/	EXCELENTE
En cuanto a los niveles de logro de los estudiantes de primaria en la prueba excale, muestra que, a nivel nacional 17.4% se encuentran por debajo del nivel básico, 52.3% se ubica en el nivel básico, 23.5% en el nivel medio y 6.9% en el nivel avanzado. Los conocimientos y las habilidades que dominan los estudiantes y aquéllos en los que tienen dificultad, son los siguientes: En el eje temático de números, sus relaciones y sus operaciones muestran que el tema de mayor dificultad es el de fracciones. Por otra parte, en el eje de medición los estudiantes tienen un desempeño adecuado en el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes, pero evidencian dificultades en la conversión de unidades de medición. En Geometría, se observó un bajo desempeño, especialmente en habilidades relacionadas con imaginar cuerpos e identificar sus características geométricas. En cambio, los estudiantes no tienen dificultad para interpretar gráficas y relacionarlas con tablas de datos. Asimismo, tienen un desempeño aceptable al reconocer el procedimiento para calcular promedios, y también al resolver problemas de variación proporcional del tipo de valor faltante y con números naturales; sin embargo, tienen dificultades para resolver problemas de porcentajes. Finalmente, pueden identificar situaciones en los que interviene el azar, pero se les dificulta el análisis de dichos eventos.
La	evaluación	PISA	valora	la	competencia	matemática,	la	cual implica la capacidad de un individuo para identificar y entender el papel que las Matemáticas tienen en el mundo, para hacer juicios bien fundamentados y poder usar e involucrarse con las Matemáticas. El concepto general de competencia matemática se refiere a la capacidad del alumno para razonar, analizar y comunicar operaciones matemáticas. Es, por lo tanto, un concepto que excede al mero conocimiento de la terminología y las operaciones matemáticas, e implica la capacidad de utilizar el razonamiento matemático en la solución de problemas de la vida cotidiana. Los procesos que el estudiante debe realizar están divididos en tres grados de complejidad: •	Reproducción: Proceso que implica trabajar con operaciones comunes, cálculos simples y problemas propios del entorno inmediato y la rutina cotidiana. •	Conexión: Proceso que involucra ideas y procedimientos matemáticos para la solución de problemas que ya no pueden definirse
como ordinarios, pero que aún incluyen escenarios familiares. Además, involucran la elaboración de modelos para la solución de problemas. •	Reflexión: Proceso que implica la solución de problemas complejos y el desarrollo de una aproximación matemática original. Para ello los estudiantes deben matematizar o conceptualizar las situaciones. Los contenidos de la evaluación de competencia matemática abarcan problemas de cantidad, espacio y forma, cambio y relaciones, y probabilidad. Los problemas matemáticos que se plantean están situados en cuatro diferentes contextos o situaciones: 1. Situación personal, relacionada con el contexto inmediato de los alumnos y sus actividades diarias. 2. Situación educativa o laboral, relacionada con la escuela o el entorno de trabajo. 3. Situación pública, relacionada con la comunidad. 4. Situación científica, que implica el análisis de procesos tecnológicos o situaciones específicamente matemáticas. Entre la aplicación de 2003 y la de 2006, los resultados obtenidos por los estudiantes mexicanos mejoraron, sobre todo en matemáticas, lo que es alentador, si se considera que al mismo tiempo la cobertura de la población de 15 años se incrementó también en más de cuatro puntos porcentuales, no obstante, siguen estando en gran desventaja para resolver situaciones que se les presenten en la vida cotidiana. Este análisis de resultados obliga a los docentes a tomar en cuenta que las Matemáticas requieren el desarrollo de la habilidad lectora, la cual está estrechamente relacionada con las competencias catemáticas y competencias para la vida; es decir, utilizar las habilidades comunicativas para producir un pensamiento resolutivo funcional real, que le permitan al alumno realizar inferencias complejas para construir una interpretación global de problemas matemáticos y textos en estrecha relación con la vida cotidiana del alumno. En relación directa con las Matemáticas, se busca hacer de esta asignatura un eje transversal con las demás materias, mediante el fortalecimiento de habilidades y competencias matemáticas como: resolución autónoma de problemas, comunicación, expresión y manejo de información matemática que les permita, por ejemplo, emplear operaciones con fracciones para solucionar problemas, y resolver combinaciones con signos de agrupación.
Estrategias a considerar en la solución de evaluaciones de desempeño y logro académico2
1. La primera estrategia fundamental es preguntarle a la pregunta. Esta estrategia consiste en determinar “¿qué es lo que se me está preguntando?” Éste es el primer paso para encontrar una respuesta. 2. La segunda es identificar los conceptos clave de la pregunta, y qué tipo de conocimiento es necesario para resolver el problema planteado. Estos conceptos corresponden a los ámbitos de sentido numérico, espacio y forma, cambio y relaciones, cantidad y azar. 3. La tercera es reflexionar acerca de los procedimientos o conceptos identificados en los conceptos clave, haciendo uso de razonamientos, análisis de procedimientos, planteamiento de estrategias para resolver problemas, argumentos, abstracciones, generalizaciones, construcción de modelos y validación de resultados, como guía para encontrar la respuesta. 4. La cuarta y última para reflexionar es encontrar una respuesta a lo que se está preguntando.
Importancia de las Matemáticas en la educación primaria
Las Matemáticas brindan esquemas mentales que permiten resolver problemas o situaciones de otras disciplinas y denotan tres características fundamentales que las hacen ser: Prácticas. Usan	los	conocimientos	matemáticos	para	resolver	problemas propios de la vida cotidiana. Instrumentales o utilitarias. Proporcionan esquemas mentales que permiten comprender y resolver problemas de otras ciencias y/o disciplinas	científicas	como	la	Física,	Química,	Historia,	etc.	utilizando	y	aplicando leyes, principios y conceptos para su mejor comprensión y desarrollo.
falabella	Luco	Soledad.	Dirección	General	de	Formación	Continua	de	Maestros	en	Servicio	de	la	Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública. Manual del Maestro “Competencias para el México que queremos”: Evaluación PISA, México, 2008.
Formativas. Se manifiestan en el desarrollo del pensamiento lógico deductivo, en la práctica de la capacidad de generalización, en la capacidad de abstracción, simbolización e imaginación y en la formación de hábitos de orden, disciplina y responsabilidad de los alumnos.
Desde esta perspectiva las Matemáticas contribuyen al desarrollo de: •	La	capacidad	de	analogía	y	generación	de	conocimientos •	El	pensamiento	lógico	y	creativo •	El	razonamiento	matemático	cualitativo	y	cuantitativo •	La	capacidad	de	precisión •	El	automatismo Para que las Matemáticas alcancen su valor formativo es necesario sustituir de su práctica el mecanicismo y la memorización, cabe mencionar que son recursos necesarios, sin embargo se debe trascender al razonamiento lógico. La puesta en práctica de conceptos, operaciones y leyes matemáticas conduce a desarrollar el pensamiento de los alumnos; por ejemplo, una persona que haya recibido en forma adecuada los conocimientos matemáticos, al leer un párrafo, puede decir por sí mismo si tiene sentido lógico. Un	alumno	que	tiene	formación	matemática,	es	capaz	de	establecer	semejanzas y diferencias entre objetos y concepciones de descomponer un todo en sus partes y establecer las interrelaciones entre las mismas; también presentar mediante cuadros sinópticos y esquemas, relaciones analizadas a través del planteamiento y resolución de la inferencia de conclusiones, de discusiones y otras actividades. Las Matemáticas son aplicables en todas las disciplinas. Esto se refiere, por tanto, a un valor instrumental. A través de él se demuestra además la relación que existe entre las distintas ramas de la ciencia. El valor práctico de las Matemáticas, como se ha visto, se refiere al uso de esta asignatura en las actividades diarias del alumno.
Competencias docentes en Matemáticas
Si las competencias en educación establecen un nuevo paradigma de aprendizaje por parte de los alumnos, también implican una práctica docente distinta, la cual considere la construcción de sus propias competencias docentes. El docente debe saber más matemáticas que sus alumnos, ya que es muy dif ícil dar o enseñar lo que no se tiene, debe entender los conceptos matemáticos y la metodología de enseñanza.
Los cambios en los fines de la educación, así como en su metodología, imponen modificaciones en la docencia, así como el desarrollo de nuevas competencias desglosadas en dos generaciones.3 La primera generación corresponde a que el docente: •	Identifica	las	necesidades	del	grupo	acorde	a	diferentes	teorías	de	aprendizaje y de desarrollo. •	Ubica	los	conocimientos,	habilidades,	destrezas	y	actitudes	que	requieren ser desarrolladas acorde con las necesidades identificadas. •	Planea	con	base	en	el	plan	y	programas	educativos	vigentes,	considerando las competencias señaladas y los aprendizajes esperados para diseñar secuencias didácticas interesantes para sus alumnos. •	Crea	secuencias	didácticas	acordes	con	los	conocimientos,	habilidades, destrezas, actitudes e intereses, identificadas como una necesidad de desarrollo de sus alumnos. •	Detecta	los	problemas	de	aprendizaje	que	se	presentan	y	establece	estrategias didácticas para superarlos. •	Evalúa	el	avance	de	sus	alumnos	en	el	cumplimiento	de	los	aprendizajes esperados que demuestran el logro de la competencia. •	Evalúa	sus	propios	conocimientos,	habilidades,	destrezas	y	actitudes con la intención de mejorar su práctica. •	Mejora	su	labor	al	haber	identificado	sus	logros	y	debilidades. Las de segunda generación están vinculadas al contexto de la globalización y las necesidades educativas que emergen y son: •	Identifica	necesidades	de	cambio,	así	como	las	propuestas	didácticas que se requieren para responder ante las nuevas situaciones que se presentan. •	Analiza	problemas,	situaciones,	teorías,	procedimientos,	etc.,	de	manera que diseñe estrategias más eficaces. •	Se	actualiza	de	manera	permanentemente	consciente	de	que	la	educación en la globalización se modifica constantemente. •	Identifica	sus	propias	necesidades	de	aprendizaje,	las	define	y	trata de resolverlas. •	Mantiene	una	actitud	de	búsqueda	del	acierto	y	del	error	de	manera permanente para su superación. •	Establece	relaciones	de	colaboración	con	el	colectivo	docente	di3
Laura.	Frade	Rubio,	“Desarrollo	de	Competencias	en	educación	básica:	desde	preescolar	hasta	secundaria.
rigidos al trabajo dinámico que responda al cambio. •	Enfrenta	los	problemas	detectados	en	el	colectivo	escolar	para	superarlos de una manera proactiva. •	Maneja	diversos	productos	tecnológicos.
Principales dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas
El problema del aprendizaje de las matemáticas, tiene que ver con la forma de enseñanza.
El proceso de la enseñanza de las Matemáticas en la escuela primaria ha tenido una tendencia a la mecanización, ha dejado de ser una herramienta para resolver una gran variedad de problemas, transformándose en un cúmulo de contenidos con escaso significado. Esto es más sorprendente si vemos que en nuestro alrededor las personas realizan cálculos matemáticos cuando los necesitan, aun sin haber ido a la escuela. Es imprescindible que el docente no olvide que (comparar, medir, diseña contar, predecir...) fueron el origen del desarrollo de las Matemáticas. Desde hace varios años, nos preguntamos el porqué del elevado número de fracasos en las Matemáticas; la causa más importante radica en la drástica separación entre el contenido matemático escolar y los problemas ajenos que intentan resolver los alumnos con éste; finalmente en la enseñanza está de por medio “el problema” que da sentido al conocimiento, los niños lo saben y lo expresan cuando se atreven a preguntar: “¿Y eso para qué sirve?”. Por ejemplo el maestro nos dice:	“Te	voy	a	enseñar	a	multiplicar”,	y	nos	da	las	reglas para hacerlo, esta operación no será significativa si continuamos sin darle sentido práctico dentro del hacer cotidiano de nuestros alumnos. Éste es un ejemplo de la necesidad del dominio de conceptos matemáticos por parte del docente: si él realmente entiende que una multiplicación es una “suma abreviada de los mismos sumandos” puede después encaminar a los alumnos a aprovechar esta situación para resolver problemas, por ejemplo, que involucren “sumas abreviadas” de conjuntos con la misma cardinalidad.
La solución de problemas Una	manera	de	empezar	a	superar	las	dificultades	de	la	enseñanza	de	las	Matemáticas, es otorgar más importancia a los problemas que pueden ser resueltos por diversos procedimientos matemáticos; se pensará sin duda que esto ya se hace en la enseñanza. Lamentablemente no es así, ya que generalmente se plantean siempre después de enseñar el contenido matemático, es decir, el contenido se enseña sin problemas que le den sentido. Nuevamente se dedica mayor tiempo para explicaciones de conceptos, en ocasiones están incompletas y sin pleno dominio de su significado real, y que no sirven a la hora de plantear problemas ni para que posteriormente en menor tiempo se practique o finalmente se mecanice el concepto. Por otro lado, no podemos dejar de lado que los alumnos tienden a buscar las palabras clave en el enunciado para saber qué operación básica van a utilizar; la propuesta consiste en diversificar los problemas y plantearlos no sólo al terminar la enseñanza de un contenido, sino también al inicio y durante el desarrollo de éste. Si a partir de tales procedimientos exitosos o fallidos, el maestro enseña a aprender al alumno, éste sin lugar a dudas buscará opciones, diseñará estrategias, establecerá relaciones con otros contenidos, planteará, argumentará hipótesis y finalmente hará propuestas. “Los problemas deben ser, sobre todo, situaciones que permitan desencadenar acciones, reflexiones, estrategias y discusiones que lleven a la solución buscada, y a la construcción de nuevos conocimientos, o al reforzamiento de los previamente adquiridos”.4 Por lo tanto, para favorecer la construcción de conocimientos matemáticos en los alumnos, es necesario plantear situaciones problemáticas —acordes con la realidad del alumno— que cumplan con dos características fundamentales: 5 •	Que	presenten	un	reto	que	los	motive	a	la	búsqueda	de	estrategias	para resolverlos. •	Que	la	dificultad	del	problema	no	rebase	las	posibilidades	de	los	alumnos. El error como oportunidad en la enseñanza En el proceso de la enseñanza de las Matemáticas, el error se califica como una falla en el aprendizaje y se enfatiza en algunos casos con un regaño, anulación de procedimientos o con un tache de color rojo en la mayoría de los casos. Ante esto, el alumno tiene temor justificado a la revisión o participación activa, lo cual deriva muchas veces en una acti4 5
Libro para el maestro. Matemáticas cuarto grado. p. 9 Idem,	p.	10
vidad y participación mínima suficiente, para poder promover con el menor número de fallas o errores. Es conveniente que el papel del error se aproveche, como un indicador de procesos intelectuales de aprendizaje y de maduración. Se entiende que el error tiene sentido, sobre todo, cuando el alumno construye nuevos conocimientos a partir de los que ya tenía; esto, modificará o ratificará sus concepciones y las adaptará a los nuevos contextos o condiciones del problema a resolver. El docente tendrá que aprovechar los errores cometidos por los alumnos para analizarlos y, en caso necesario, ponerlos a consideración del grupo, sin evidenciar, para que todos los comenten, discutan y lleguen a conclusiones dictadas por el grupo y no por el maestro. Debe aprovechar el valor del error como oportunidad de enseñanza. No todos los errores de los alumnos son importantes como fuente de aprendizaje, algunos se deben simplemente a un descuido en el momento de operar o escribir. Estos errores se corrigen en el momento oportuno, pero no deben ser motivo de confrontación de los equipos. El docente debe sentirse comprometido, para quitarle al error la connotación de fracaso. En este sentido el alumno no debe intimidarse o sentirse mal al cometer errores, por el contrario, debe sentirse estimulado para continuar aprendiendo, alcanzar los resultados esperados y que sean consistentes con el conocimiento establecido.
Recomendaciones sobre formas formas de organización del trabajo en el aula
Organizar el trabajo en el aula implica el diseño de una planeación que propicie, el desarrollo de actividades útiles para la vida cotidiana de los alumnos, que integre temas de diversas a signaturas, para posibilitar el uso de los aprendizajes adquiridos en distintos contextos; por eso es importante que al planear el trabajo dentro del aula se considere lo siguiente: Diseñar actividades acordes con los temas, contexto, competencias matemáticas y aprendizajes esperados que puedan ser evaluadas en términos de conocimientos, habilidades, actitudes y valores, de una forma activa y sistemática. Esta metodología didáctica implica explicar al alumno parte por parte y propiciar autonomía en la adquisición y construcción de conceptos, en la argumentación, uso de los procesos, los materiales; así como de la explicación, comprobación y/o corrección de resultados y la validación de los mismos. Existen recomendaciones básicas en la organización del trabajo en el salón de clases: por ejemplo, que exista una congruencia interna entre los materiales utilizados en una clase y para un tema; la planeación, las actividades que se realizan en clase y las actividades planteadas en los libros de texto. Fomentar la actitud cooperativa, colaborativa constructiva y operativa de los alumnos en actividades conjuntas para intercambio de experiencias, procesos y contenidos. Las recomendaciones planteadas anteriormente deberán estar vinculadas con el uso de las orientaciones didácticas propuestas en los programas de estudio por grado de la asignatura, y por la elaboración de secuencias didácticas adecuadas y concretas para un tema o problemática en específico. “La actividad de estudio, pensamiento matemático, de los alumnos y gestión—de la clase por parte del profesor —constituyen los tres pilares mediante los cuales se puede generar un verdadero ambiente de aprendizaje en el aula”.6 Sustituir la planificación de carácter administrativo por una planificación que sea útil durante el encuentro con los alumnos”7 es la recomendación más importante en el momento de organizar el trabajo que se realiza dentro y ¿por qué no? también fuera del aula para apoyo de la misma asignatura.
Programas de estudio 2009 sexto grado Matemáticas, p. 80. Idem.
Los nuevos libros de texto de matemáticas para el alumno, tienen como propósito brindar herramientas y estrategias didácticas, para el fortalecimiento y desarrollo de las competencias matemáticas y competencias para la vida con el fin de encontrar soluciones a aspectos diversos de la vida cotidiana relacionada con esta asignatura. El libro del alumno contiene los elementos básicos para apoyar el proceso de construcción de cada concepto, lo cual ayudará al profesor a organizar la clase. En cada lección se presenta un problema inicial, a partir del cual se derivan actividades, preguntas, discusiones, simbolizaciones y ejercicios de aplicación que, en conjunto, permiten lograr los propósitos del tema en cuestión. Además, en estos nuevos textos se incluyen en algunas lecciones el uso de recursos adicionales en donde se sugiere, entre otras cosas, el uso de mapas, libros o calculadoras. Las lecciones de los nuevos textos no se basan en explicaciones o definiciones iniciales, sino en situaciones que los alumnos abordarán de acuerdo con las consignas, de manera individual, por parejas o en equipos. Es importante revisar la columna de orientaciones didácticas en el programa correspondiente al grado que se está abordando, ya que contiene información relevante relacionada con los conocimientos y habilidades: precisiones, importancia y antecedentes; ejemplos de problemas para plantear a los alumnos y posibles intervenciones del profesor para apoyarlos en el estudio de los temas manejados en las lecciones del libro de texto.
Características generales de los materiales educativos impresos con base en el Programa de Estudios 2009 y sus ventajas
Con	base	en	los	programas	de	Estudio	2009 con enfoque por competencias: •	Atienden	aprendizajes	conceptuales,	procedimentales	y	actitudinales. •	Aplican	los	contenidos	en	situaciones	reales. •	Sugieren	una	didáctica	constructivista. •	Propician	el	trabajo	grupal. •	Incluyen	autoevaluación.
•	Retoman	experiencias	previas. •	Se	centran	en	el	aprendizaje	del	alumno. •	Propician	la	investigación,	análisis	y	resolución	de	problemas	como estrategia de aprendizaje. •	Son	promotores	del	diálogo	para	conciliar	diferencias. •	Viables	para	su	estudio	en	el	tiempo	disponible	en	el	ciclo	escolar.	Superan el concepto del libro de texto como fuente principal de información. •	Están	articulados	con	otros	materiales	educativos	impresos,	audiovisuales e informáticos. Atienden la diversidad. •	Proponen	actividades	viables	y	diversas	para	que	el	docente	considere las adecuadas en su contexto. •	Atienden	de	manera	transversal	el	cuidado	de	la	naturaleza,	la	equidad de género, la multiculturalidad y la promoción de la salud, además de atenderse en los bloques de estudio correspondientes. •	Dinámicos,	sujetos	a	mejora	continua. •	Sujetos	a	evaluaciones	externas	por	instituciones	como:	la	UNAM,	UAM,	IPN	y	UPN. •	Consideran	la	opinión	de	profesores	frente	a	grupo	mediante	reuniones, entrevistas y página web. •	Atienden	asignaturas	que	antes	no	se	cubrían:	•	Formación	Cívica	y	Ética. •	Educación	Física. •	Educación	Artística.
Materiales Educativos impresos 1993. Con base en los programas de Estudio 1993
•	Las	competencias	no	son	explícitas. •	Predomina	la	atención	a	los	aprendizajes	conceptuales.	•	La	didáctica	constructivista	es	poco	evidente.	•	Consideran	el	libro	de	texto	como	fuente	principal	de	información. •	Tienden	a	atender	la	diversidad.	El	cuidado	del	ambiente,	la	equidad de género, la interculturalidad y la promoción de la salud, se atendían en los bloques de estudio de las asignaturas correspondientes.Extensos. •	Estáticos	sin	mejora	continua. •	No	se	cubría	el	currículum	de	manera	íntegra.
Ventajas de los Materiales Educativos impresos 2009. Información actualizada así como métodos didácticos y pedagógicos
•	Favorece	el	desarrollo	de	competencias. •	Se	adapta	al	enfoque	del	programa.Coadyuva	al	desarrollo	de	sus	capacidades para seleccionar, analizar, evaluar y compartir información proveniente de diversas fuentes. •	El	libro	es	viable	para	cualquier	contexto. •	Viable	para	su	estudio	en	el	ciclo	escolar.	•	La	promoción	de	una	cultura	ambiental	se	atiende	como	una	filosof ía de vida y no como un objeto de aprendizaje: atendiendo a las corrientes actuales en este campo. •	Se	evita	repetir	algún	error	por	generaciones •	Se	cubre	el	currículum	en	su	totalidad.
Estructura didáctica de los nuevos textos de Matemáticas de Primaria
La reforma integral para la educación básica ha implicado la renovación de los programas de estudio y con ello, la de los materiales de apoyo, de manera que los alumnos y los profesores cuenten con los recursos necesarios para favorecer las competencias que requieren los mexicanos para desenvolverse en el siglo xxi. La enseñanza de las Matemáticas en educación primaria propone acercar, a los alumnos actividades de estudio que los conduzcan a reflexionar para buscar diferentes formas de resolver un mismo problema y elaborar argumentos que les permitan: •	Resolver	problemas	de	manera	autónoma.	•	Comunicar	información	matemática.	•	Validar	procedimientos	y	resultados. •	Manejar	técnicas	eficientemente.	Los profesores de grupo deberán resolver con antelación cada una de las lecciones del libro de texto, para conocer las respuestas correctas y los posibles errores en los que pudieran incurrir los alumnos; dichas lecciones se tendrán que resolver en el salón de clase para poder tener una
supervisión adecuada de su desarrollo, por lo que no es pertinente dejarlas de tarea. Para cumplir con el enfoque de la enseñanza de las Matemáticas el libro del alumno tiene la siguiente estructura:
1. Presentación Esta sección es institucional e incluirá el mismo contenido para cada uno de los libros de texto debido a que está dirigida a la sociedad en general; ha sido elaborada en la Dirección de Desarrollo	e	Innovación	de	Materiales	Educativos. 2. Conoce tu libro Dirigida al estudiante, donde se realiza una descripción general de las secciones en que se estructura cada lección y se menciona el número de bloques que integran el libro. Esta introducción está redactada por los autores de cada libro, con un lenguaje acorde con la edad y grado escolar de los estudiantes. 3. Índice Brinda información pertinente tanto para los estudiantes como para los profesores o padres de familia con el fin de que facilite encontrar un determinado contenido. Está elaborado con base en los nombres que designan las distintas lecciones que integran cada bloque y se vincula con los subtemas del programa de estudios. 4. Aprendizajes esperados Al comienzo de cada bloque se incluyen los aprendizajes esperados, según se señalan en el programa de estudios. Éstos se modificaron (sin perder la idea expresada en el programa) en los caso en que no era claro el lenguaje y redacción, o incluian lenguaje no es acorde a la edad y grado de los estudiantes. En el caso de Matemáticas los bloques no tienen un nombre. 5. Lecciones Para cumplir con el enfoque de la enseñanza de las Matemáticas el libro tiene la siguiente estructura:
Secciones fijas • Título de la lección Los nombres de cada lección guardan relación con el tema que se aborda en los conocimientos y habilidades del programa. Proporciona información al estudiante respecto al tema que se va a abordar. •	Problema inicial (actividad diagnóstica) Se plantea uno o más problemas, con grados de complejidad ascendente, que involucran los conceptos o ideas a estudiar, partiendo de los procesos no convencionales, y que construyen los estudiantes al resolver una actividad o problema, a procesos convencionales que dan paso a explicaciones sobre reglas, algoritmos, fórmulas o definiciones. La resolución del problema es mediante un trabajo colaborativo ya sea en equipos o parejas. Aquí los alumnos usan estrategias propias al resolver el problema, sin imponerles restricciones ni caminos precisos. Socializan sus procedimientos en el grupo para valorar en conjunto cuáles llevaron a la solución y cuáles no. En el segundo caso, el profesor deberá proponer el análisis del procedimiento a fin de que los estudiantes identifiquen el error y aprovechar para realizar explicaciones que permitan a los estudiantes reflexionar sobre dichos procedimientos y en la medida de lo posible evitarlos. •	Ejercitación Una	vez	que	los	alumnos	han	resuelto	los	problemas	iniciales,	se	plantea	una serie de ejercicios con los cuales se debe promover la aplicación de lo aprendido. Los ejercicios son de diferente índole y pueden involucrar la solución de otros problemas, operaciones, actividades de investigación que permitan al estudiante reforzar el cumplimiento de los conocimientos y habilidades. Aunado a lo anterior se deberán establecer vinculaciones con las otras asignaturas así como abordar los temas transversales. Por otro lado, al inicio de cada ejercicio, actividades o problemas, se indican los materiales específicos que utilizarán cuando éste sea el caso. Es de suma importancia que el profesor lea y resuelva con antelación cada una de las lecciones del libro. De esta manera será posible que prevea el tipo de organización que se tendrá que disponer con los estudiantes, los posibles procedimientos que seguirán al realizar los problemas, actividades o ejercicios, aunado a prever los materiales que serán utilizados al desarrollar las lecciones.
• Autoevaluación Al final de cada bloque se presenta la autoevaluación que consiste en una serie de problemas con los cuales se buscará que los estudiantes apliquen más de uno de los conocimientos y habilidades abordados en el bloque, y cuyo objetivo es que el alumno analice el alcance de los aprendizajes esperados y su utilidad; en consecuencia, el alumno reconocerá qué aspectos necesita mejorar. La autoevaluación debe ser resuelta de manera individual. El docente tiene que resolver con antelación cada uno de los ejercicios a fin de poder dar las respuestas a sus alumnos una vez que concluyan la autoevaluación. Después de que los estudiantes identifican cuáles problemas resolvieron de manera correcta y en cuáles tuvieron dificultades, el profesor debe promover entre los estudiantes la autorreflexión sobre cuál consideran que fue su desempeño, con el fin de que se designe una calificación nominal, la cual puede ser excelente, buena, regular o mala. Secciones no fijas Las siguientes secciones pueden variar en las lecciones presentadas en cada grado y aparecerán según evolucione el tema a tratar. • Reto Se muestra al alumno un acertijo o actividad que involucra ideas y conceptos que le demanden al estudiante movilizar sus conocimientos previos y los que acaba de adquirir o afianzar, para aplicarlos al dar una respuesta al reto. • Formalización En este apartado, se formalizan conceptos, ideas y algoritmos. Aparece cuando los alumnos han realizado una serie de problemas, ejercicios y actividades, de tal forma que puedan, sin mucha dificultad, asimilar los conceptos matemáticos convencionales. • Uso de recursos adicionales En este apartado se dan sugerencias para incorporar otros materiales que sirvan para ampliar información sobre el tema que se esté trabajando. Los materiales pueden ir desde libros de la biblioteca de aula, de la biblioteca escolar, de las tecnologías de la información y comunicación tales como el manejo de una hoja de cálculo, un procesador de textos,
una calculadora, hasta un software educativo previamente elaborado para	fines	específicos	o	la	sugerencia	de	algún	sitio	de	Internet	vinculado	al tema de estudio del momento. • Abordar temas transversales y vinculación con otras asignaturas En un recuadro se proporciona información donde se hace explícita la aplicación del conocimiento matemático que se aborda en dichos temas. De esta misma manera se realizan llamados con información de otras asignaturas donde el estudiante puede ver de manera explicita la aplicación de las matemáticas en otras asignaturas, sin que ello implique el planteamiento de un problema, simplemente proporciona información donde se plasma la vinculación con temas de las otras asignaturas. • Recortables Hay un icono en forma de tijeras que indica la existencia de material recortable para apoyar la lección.
Usos didácticos de los libros de texto
Para el manejo de los nuevos materiales del alumno el profesor debe: •	Solicitar a los estudiantes resolver el (o los) problema(s) inicial(es) de manera colaborativa, ya sea en equipos o parejas. En algunas ocasiones estos problemas podrán trabajarse de manera individual. •	El profesor deberá revisar el trabajo de los equipos para observar el trabajo de los estudiantes y orientarlos en el momento que soliciten apoyo o si se identifica que los estudiantes siguen un procedimiento incorrecto; será recomendable plantear preguntas que les permitan rectificar y reflexionar la manera como se aborda el problema. Se debe evitar dar respuestas o pistas dirigidas que eviten que los estudiantes encuentren procedimientos por su propia cuenta. •	No se debe dar las respuestas, sino promover la reflexión para resolver el problema planteado.
•	Puesta en común de procedimientos y resultados. Obtener conclusiones de manera colectiva al analizar los distintos procedimientos que se hayan seguido para resolver el problema. Como	resultado	de	la	puesta	en	común	de	procedimientos	y	resultados, así como de lo observado mientras los estudiantes resolvían el problema, el profesor cuenta con evidencia sobre el desempeño de los estudiantes que es de suma importancia para poder realizar una evaluación de cada uno de sus alumnos. Es necesario que antes de las exposiciones, el profesor pueda sugiera la forma de participación de los equipos: puede ser elegida por el docente, o de forma voluntaria de tal manera que no sea siempre el mismo mecanismo y que permita la participación de todos los alumnos a lo largo de los bloques. •	Sacar provecho de los errores. En los casos donde el docente haya identificado procedimientos equivocados, o al momento que los alumnos expliquen sus respuestas y hayan obtenido una resultado incorrecto, el profesor puede aprovechar para analizar de manera colectiva e identificar el momento de la equivocación y hacerla evidente, sin señalar o reprender. Así, en la medida que sea reconocido como un procedimiento erróneo, los alumnos los eviten y se les muestre la importancia de verificar sus procedimientos; a la vez que el docente va tomando en cuenta que el resultado de un problema no es la evidencia final del aprendizaje de los estudiantes sino que es igualmente importante el o los procedimientos que realizan. Esto proporciona información sobre la manera de interpretar el problema sobre los pasos que siguieron; en caso de que el resultado sea incorrecto, puede existir un error sin necesariamente significar que los estudiantes no aprendieron en el bloque. El uso didáctico de los libros de texto debe generar la correlación entre las competencias matemáticas, los aprendizajes esperados y el perfil de egreso planteado en forma general desde el plan de estudios por competencias en términos de conocimientos, habilidades, actitudes y valores. Promover desde el ejercicio de la articulación y la transversalidad, la relación entre competencias para la vida y las competencias matemáticas, así como de realización del maestro con los alumnos en términos de la estructura planteada en los mismos libros. La aparición del tema al inicio de la lección implica la primera relación con el programa de estudio, pero es a su vez un primer referente de la temática planteada. Conocimientos	y	habilidades:	es	el	objetivo	a	lograr	en	el	desarrollo	de la temática planteada, permiten observar el aprendizaje permanente que debe promover el maestro y que debe adquirir el alumno. El tema y subtema, muestran el contenido que se abordará en la lección.
En cada lección aparece un problema inicial el cual puede considerar el docente en el diseño de la situación didáctica para la planeación, previa al abordaje del tema y solución de la misma; esto debe ser aprovechado para incluir al alumno en su contexto pues los nombres de los problemas tienen que ver con situaciones prácticas y cotidianas.
El uso didáctico radica en observar cómo en un primer acercamiento, el alumno prevé abordarlo y resolverlo, es decir, qué capacidad de inferir presenta el alumno. El planteamiento del problema es en esencia el más importante, pues requiere el uso conjunto de conocimientos, dominio del tema, habilidades, actitud positiva y disponibilidad de modificar según las circunstancias la planeación y las actividades, de la misma forma que el uso de los recursos didácticos que hubiese preparado. Por su parte, al momento de la clase los alumnos deberán también poner en juego conocimientos previos, conocimientos adquiridos, habilidades, actitud positiva, propositiva y constructiva ante la frustración o la dificultad al afrontar las problemáticas planteadas en el libro de texto. Es decir, maestros y alumnos, al analizar y resolver en un primer momento las problemáticas deben promover en conjunto el manejo de la información que el libro ofrece; el manejo de las situación problemática sin olvidar relacionarla con el contexto en el que ambos se encuentran; validar procedimientos y resultados de esas soluciones planteadas para después brindar la posibilidad al alumno de resolver de forma autónoma una problemática similar, ya sea en el ejercicio reto o bien en el ejercicio de autoevaluación. De las actividades previamente diseñadas y planeadas por el profesor, éste puede proponer como estrategias necesarias —pero no indispensables— de solución a las problemáticas el uso de los algoritmos y procedimientos tradicionales y convencionales, procedimientos informales siempre y cuando el alumno pueda explicarlos; así como el uso eficiente de técnicas y tecnologías de la comunicación como auxiliares en dicho proceso. Es importante que el profesor confronte los diferentes procesos mediante los cuales los alumnos lograron los resultados para favorecer la uniformidad de procesos y por lo tanto de aprendizajes adquiridos. El Libro del alumno está planteado acorde con las orientaciones didácticas contenidas intrínsecamente en los programas de estudio, las cuales deberá revisar el docente previamente a la planeación, la elaboración de las secuencias didácticas contenidas en la planeación y en la forma de gestionar la clase. Es importante tomar en cuenta las actitudes y los valores para promover competencias para la convivencia y para la vida en sociedad: en el momento en que el alumno comunica la información matemática que ha aprendido, o bien cuando expresa sus dudas, cuando trabaja en equipo o comparte experiencias de aprendizaje dentro del aula. Otro uso didáctico del libro radica en identificar que la competencia.
“Comunicar	información	matemática”	es	de	suma	importancia	en	ésta	y	todas las asignaturas, pues el proceso de comunicación también se da a través de la lectura. Existen dos apartados del libro de texto que promueven esta habilidad: “Recuerda que” y “Para la siguiente clase”. La primera sección es la forma de presentar de una manera concreta el contenido que se trató en dicha lección y, a su vez, al promover la lectura en el alumno, puede realizar un primer y sencillo ejercicio auto evaluador y reafirmador, para corroborar si lo que él aprendió coincide con el contenido de la formalización. La segunda sección es un ejercicio que puede promover la atención y la retención, pues sólo es un apartado que indica al alumno un material sugerido en el libro que deberá tener para el desarrollo de las actividades del tema de la siguiente clase; es una oportunidad para observar en el alumno su actitud ante dicho mensaje. No debemos olvidar que el Libro de texto es un material que está bien planeado, elaborado y revisado; pero el éxito y los resultados esperados de este material educativo radica en todo aquello que el profesor y los alumnos puedan realizar durante el proceso de enseñanza aprendizaje. Es decir, se busca que: “tanto los alumnos como el profesor encuentren sentido a las actividades que realizan conjuntamente”8 y no únicamente el llenado del libro. Por otra parte, el libro no es un recetario, algunas temáticas, como algunos Aprendizajes esperados se aprenden gradualmente y trascienden lecciones, bloques grados e interciclos; por lo cual no debemos pretender que los libros completen por sí solos el proceso enseñanza aprendizaje.
Autoevaluación: sugerencias para orientar al maestro y al alumno
La parte de autoevaluación que aparece en los libros de texto deberá ser resuelta única y exclusivamente por el alumno como un referente para valorar sus conocimientos del bloque, “contribuye de manera importante para monitorear la calidad del logro de los aprendizajes en los alumnos de una forma consciente” es identificar “qué saben hacer sus alumnos, que no , y qué están en proceso de aprender”9, es decir, en qué parte del proceso se encuentran; es por esta razón que el apartado se presenta al final de cada bloque, ésta es la única función y alcance de la autoevaluación. Es impor8 9
Programas de Estudio 2009 sexto grado Matemáticas, p. 80 Idem. p. 87
tante decir que la autoevaluación no es un instrumento calificador. En el momento de la aplicación y desarrollo de la autoevaluación se debe observar que el alumno resuelva de forma independiente los ejercicios y/o problemas planteados; posteriormente el profesor deberá propiciar en el alumno la exposición verbal de los procedimientos que realizó. Mediante el manejo de la información proporcionada en este apartado y planteada en forma de problema los alumnos deberán emplear los conocimientos adquiridos durante el bloque, es decir qué “tanto saben hacer y en qué medida aplican lo que saben”.10 No debemos olvidar que los aprendizajes esperados son “los conocimientos y habilidades que todos los alumnos deben aprender al estudiar cada bloque”, que no corresponden uno a uno con los apartados de conocimientos y habilidades, porque los mismos no son aislados entre sí e incluso no sólo trascienden los bloques sino también los grados. La forma de valorar la autoevaluación como Mala, Regular, Buena, Excelent, sugerida en los libros de texto, no se reduce a la aplicación de un número, es necesario considerar gradientes (niveles graduales de adquisición de conocimiento) que además de hacer consciente al alumno de los conocimientos y habilidades alcanzados también promueve la adquisición, desarrollo, fortalecimiento y puesta en práctica de las actitudes y valores. Por lo tanto el profesor debe motivar en los alumnos, la aceptación de los resultados como un punto de partida para elevar la calidad educativa, generando así nuevas estrategias para la enseñanza de las Matemáticas. La autoevaluación implica sugerir ciertas instrucciones a los alumnos, por ejemplo: realizarla de forma individual, independiente y autónoma; es decir, que nadie interfiera en su ejercicio de autovaloración de los aprendizajes adquiridos durante el bloque. Asimismo, que al realizarla previo a las evaluaciones bimestrales tanto para el docente como el alumno, un indicador que les permite encontrar los puntos o bien los temas a fortalecer. En las primeras seis secuencias didácticas que a continuación se presentan, se trata el eje de Sistema numérico y pensamiento algebraico dentro del tema de Significado y uso de los números naturales; esto es con el fin de presentar el desarrollo de primero a sexto la evolución que van teniendo algunos contenidos de este eje. Las demás secuencias didácticas presentadas son ejemplos del manejo de los dos ejes restantes. En cada una se marca a nivel de sugerencia el número de sesiones y lo que podría contener cada una; sin embargo, el docente está en plena libertad de hacer todas las adecuaciones y modificaciones que considere pertinente.
PROGRAMAS	DE	ESTUDIO	Matemáticas	primer	grado	p.	87.
Consideraciones previas generales para el manejo de problemas y del libro de texto
•	Ubique	los	elementos	correspondientes	acordes	con	el	programa	de la asignatura a tratar (bloque, ámbito, eje, tema, subtema, etc.) •	Sitúe	los	propósitos	del	bloque	correspondiente. •	Ubique	el	aprendizaje	esperado	relacionado	con	la	temática. •	Revise	el	contenido	del	libro	de	texto: •	Identifique	el	bloque	con	que	se	relaciona.	•	Busque	apoyos	en	la	Guía	Articuladora	(materiales	impresos,	audiovisuales o informáticos), los que considere para su sesión y que tenga en su centro de trabajo. •	Diseñe	una	Situación	Didáctica	(escenario	de	aprendizaje	o	contexto) que implique una Secuencia Didáctica (Orden de actividades): a) Actividad de inicio: Seleccione el escenario de aprendizaje, preguntas generadoras, problematización (situación didáctica). b) Desarrollo: Debe tomar en cuenta que para el diseño puede retomar algunas de las actividades que se sugieren en el Programa. c)	Cierre	de	la	actividad. d) Evaluación.
Solicitar a los estudiantes resolver el (o los) problema(s) inicial(es) en equipos, parejas o de manera individual (según sea el caso). •	Orientar	a	los	alumnos	en	el	momento	que	lo	soliciten,	o	si	se	identifica que siguen un procedimiento incorrecto, plantear preguntas para rectificar y reflexionar la manera como se aborda el problema. Evitar dar respuestas o pistas dirigidas que eviten que los estudiantes encuentren procedimientos por su propia cuenta. •	Obtener	conclusiones	de	manera	colectiva	al	analizar	los	distintos	procedimientos que se hayan seguido para resolver el problema;
puesta en común de procedimientos y resultados, y de lo observado mientras los estudiantes resolvían el problema, el profesor cuenta con evidencia sobre el desempeño de los estudiantes, que es importante para poder realizar una evaluación de cada uno de sus alumnos.
•	Identificar	explicaciones,	procedimientos	y	resultados	equivocados. Es muy importante que el profesor aproveche estas equivocaciones para que sean analizadas de manera colectiva; identificar el momento en que se equivocaron para hacer evidente la equivocación, a fin de que en la medida que sea reconocido como un procedimiento erróneo los estudiantes lo eviten. Mostrarles la importancia de verificar sus procedimientos para obtener información sobre la manera en que los alumnos interpretan el problema, sobre los pasos que siguieron y que, probablemente, en caso de que el resultado sea incorrecto, puede existir un error que no significa necesariamente el que los estudiantes no entiendan.
Aun contando con el apoyo de los planes de clase, el docednte tendrá que analizarlos, hacer las modificaciones que crea necesarias, evaluar las actividades y, sobre todo, gestionar las situaciones didácticas con sus alumnos. Algunas sugerencias para el uso eficiente de los planes de clase son: •	Análisis de los Conocimientos y habilidades, y de las Intenciones didácticas. En primer lugar hay que identificar y analizar el enunciado denominado Conocimientos y habilidades, lo cual permite comprender las expectativas de aprendizaje del apartado. De la misma forma es necesario tener claridad de las intenciones didácticas del plan, es decir, el propósito de plantear el problema de la consigna. •	Resolución del problema de la Consigna. Es recomendable que antes de proponer un problema a sus alumnos, el pforesor lo resuelva primero. Lo anterior permitirá saber si el problema es adecuado para que los alumnos construyan los conocimientos esperados y, por otro lado, identificar los posibles procedimientos que utilizarán los alumnos y las probables dificultades que tendrán. Si el problema requiere modificaciones tendrán que hacerse, incluso si fuera necesario sustituirlo por otro. •	Análisis y enriquecimiento de las Consideraciones previas. Después de que el estudiante experimentó la resolución del problema, seguramente tendrá más elementos para analizar con detenimiento las consideraciones previas y enriquecerlas, de tal manera que pueda estar mejor preparado para responder ante posibles situaciones en el desarrollo de la clase.
1.	¿Cuáles	fueron	los	aspectos	más	exitosos	de	la	sesión?	2.	¿Cuáles	cambios	considera	que	deben	hacerse	para	mejorar	el	plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.
Primer grado. Bloque 1
Tema/subtema:	Significado	y	uso	de	los	números/	números	naturales
Competencia:	Resolver	problemas	de	manera	autónoma.	Validar procedimientos y resultados.
Aprendizajes	esperados:	Compara	e	iguala	colecciones,	al	menos	de	30	elementos.
Conocimientos	y	habilidades:	“Determinar	el	resultado	de	agregar	o	quitar	elementos	de	una	colección,	juntar	o	separar	colecciones,	buscar	lo	que	le	falta	a	una	cierta	cantidad	para	llegar	a	otra	y	avanzar	o	retroceder	en	una	serie.”	11
Tiempo	1	sesión
Situación	didáctica	(escenario	de	aprendizaje,	preguntas	generadoras,	problematización)	Las	mariposas	en	la	rama
Secuencia	didáctica	(orden	que	deben	tener	las	actividades) ABAJO
Recursos	didácticos	(materiales,	técnicas) •	Actividades	cooperativas,	coolaborativas,	constructivas,	reflexivas	y	operativas. •	Promover	el	acercamiento	del	aprendizaje	en	los	momentos:	conceptual,	procedimental	y	actitudinal. Lápiz,	goma,	sacapuntas,	cuaderno,	pizarrón,	etc.
Evaluación ABAJO
Vinculación	entre	contenidos	del	mismo	eje,	contenidos	de	ejes	distintos,	con	otras	asignaturas	o	temas	que	se	desarrollan	de	manera	transversal. Este	tema	se	puede	vincular	fácilmente	con	Educación	ambiental,	Educación	cívica,	Ética	y	Educación	para	la	paz.
Matemáticas: La vinculación entre contenidos del mismo eje, de ejes distintos o incluso con los de otras asignaturas es importante para contrarrestar la tendencia de fragmentar el estudio.12 Algunos vínculos se sugieren en las orientaciones didácticas planteadas en los programas de cada grado.
Idem, p. 91 Programa de estudio 1er grado generalización. SEP 2009. pág. 84
Temas	transversales:	Especialmente	los	temas	que	se	desarrollan	de manera transversal en educación primaria se refieren a la igualdad de oportunidades entre las personas de distinto sexo, educación para la salud, educación vial, educación del consumidor, educación financiera, educación ambiental, educación sexual, educación cívica y ética y educación para la paz.13
Sesión 1 de 1
Intención didáctica Que	los	alumnos	cuenten	cuántas	mariposas	hay	en	cada	rama	y	completen colecciones. Consideraciones previas Seguramente muchos de los alumnos podrán contar las mariposas sin mayor problema, sin embargo habrá algunos que todavía no puedan contar bien. Es recomendable en estos casos que el trabajo se haga en parejas para que los alumnos que no pueden, se apoyen de compañeros que sí pueden. Es conveniente que los alumnos cuenten en voz alta. En el caso de completar colecciones, deben comparar su trabajo con el de algún compañero, para que comenten si los resultados están iguales y en el caso de que sean diferentes, indicar cómo lo hicieron y decidir cuál es el resultado correcto. El tratamiento de colecciones que se modifican no involucra el aprendizaje explícito de las operaciones de suma, resta, multiplicación o división, ni de los algoritmos, ni de la memorización de resultados. Estas actividades se constituirán en los puntos de apoyo sobre los cuales se elaboran los conocimientos numéricos más sistemáticos a los que apunta la enseñanza. Intención didáctica Que	los	alumnos	completen	y	comparen	colecciones. Evaluación Los ejercicios y problemas que plantee deben ser semejantes a los del libro de texto o desarrollados en clase. Es conveniente que lea las orienta13
Plan de estudios 2009. SEP. pág. 45
ciones didácticas que se presentan a la derecha de cada tema en el programa correspondiente, así como la parte de autoevaluación en el libro de texto, el cual se encuentra al final de cada bloque. Puede elaborar una lista de cotejo con los aspectos importantes que usted quiera destacar en las siguientes actividades.
Completa	las	colecciones	de	tal	manera	que	todas	tengan	6	elementos:
Segundo grado. Bloque 1
Competencia Resolver	problemas	de	manera	autónoma.	Validar	procedimientos	y	resultados.
Aprendizajes	Esperados:	Resuelve	problemas	de	suma	y	resta	con	diferentes	significados Conocimientos y habilidades 1.4	Resolver	problemas	de	adición	y	sustracción	correspondientes	a	distintos	significados:	agregar,	avanzar,	juntar,	quitar,	comparar,	retroceder Sesiones 2 Situación	didáctica	(Escenario	de	aprendizaje,	preguntas	generadoras,	problematización)	¿Cuántos y cuáles peces se podrán comprar?
Secuencia	didáctica	(Orden	que	deben	tener	las	actividades)	ABAJO
Recursos	didácticos	(Materiales,	técnicas) actividades	cooperativas,	coolaborativas,	constructivas,	reflexivas	y	operativas. •	Promover	el	acercamiento	del	aprendizaje	en	los	momentos:	conceptual,	procedimental	y	actitudinal. •	Lápiz,	goma,	saca	puntas,	cuaderno,	pizarrón,	etc.
Vinculación	entre	contenidos	del	mismo	eje,	contenidos	de	ejes	distintos	,	con	otras	asignaturas	o	temas	que	se	desarrollan	de	manera	transversal:	Igualdad	de	oportunidades	entre	las	personas	de	distinto	sexo,	Educación	cívica	y	Ética	(especificado	durante	el	desarrollo	de	las	actividades).
Matemáticas: La vinculación entre contenidos del mismo eje, de ejes distintos o incluso con los de otras asignaturas es importante para contrarrestar la tendencia de fragmentar el estudio.14 Algunos vínculos se sugieren en las orientaciones didácticas planteadas en los programas de cada grado. Temas	transversales:	Especialmente	los	temas	que	se	desarrollan	de manera transversal en educación primaria se refieren a la igualdad de oportunidades entre las personas de distinto sexo, educación para la salud, educación vial, educación del consumidor, educación financiera, educación ambiental, educación sexual, educación cívica y ética y educación para la paz.15
Intención didáctica Que	los	alumnos	trabajen	por	parejas	y	sepan	qué	comprar	con	una	cantidad de dinero. Consideraciones previas Se continúa con el proceso de atribuir significado a las operaciones, es decir, determinar cuáles son los problemas que una operación permite resolver. Se trata de reconocer otros problemas aditivos más allá de los significados más habituales de juntar para la suma y de quitar para la resta. Seguramente el trabajo en parejas servirá para que los alumnos discutan sobre los peces que pueden comprar con 15 pesos y si alcanzará con los 25 pesos a comprar lo que se pretende. Por supuesto que la respuesta al problema de la compra con 15 pesos puede ser variada; permita a los equipos comparar esas respuestas con otros equipos y que comenten el porqué de sus respuestas entre ellos; posteriormente pida a algunos equipos que comenten sus estrategias de solución ante todos y que las justifiquen. Recuerde que las respuestas pueden ser variadas y no por ello estar mal, sin embargo, puede haber algún equipo que haya gastado más de los 15 pesos, en cuyo caso, el grupo se puede encargar de hacérselos ver. En el caso de la compra de diferentes peces con 25 pesos, el significado de la resta es diferente de la idea que tienen los alumnos de quitar una cantidad a otra. Se analizarán los procedimientos desde el punto de vista de su adecuación y economía. Por ejemplo, en el problema dado anteriormente, distintos procedimientos pueden ser puestos en juego: restar cada vez de
Programa de Estudio 1er grado generalización. SEP 2009. pág. 84. Plan de estudios 2009. SEP. Pág. 45.
los 25 pesos el costo del pez gupy, el del pez payaso y finalmente el del pez beta; o sumar el costo de los tres peses y restar esa suma a los 25 pesos o una combinación de ambas. Es importante que los alumnos traten de resolver con procedimientos propios el problema y después socializar los diferentes procedimientos y respuestas.
Intención didáctica Que	los	alumnos	usen	tarjetas	que	representan	dinero,	para	deducir	el	costo de diversas compras. Consideraciones previas Se continúa con el proceso de atribuir significado a las operaciones, es decir, determinar cuáles son los problemas que una operación permite resolver. Se trata de reconocer otros problemas aditivos más allá de los significados más habituales de juntar para la suma y de quitar para la resta. El trabajo continúa en parejas y la idea es que usen las tarjetas para calcular el costo de diversos peces, sin tener que escribir operaciones. Sin embargo, permita que algún equipo las escriba si fuera necesario, y que comenten cuáles fueron las dificultades que los orillaron a resolver operaciones por escrito. Es importante que una vez terminada la actividad, haya un momento de socialización y exposición de estrategias; será importante observar las diferentes maneras de solucionar el mismo problema. Evaluación Se plantea el problema: Juan tiene 7 cascabeles para trabajar en la clase de	danza,	Roberto	tiene	9,	María	tiene	12	y	Carolina	tiene	4;	la	maestra	entra al salón de clases y les pide que deben colocar 4 cascabeles en cada pie y que todos deben tener el mismo número de cascabeles por niño. Esto ayuda a los alumnos a distribuir los cascabeles para ejecutar las instrucciones que dio la maestra. 1. Los alumnos representarán de forma gráfica el problema. 2. Expresarán de forma numérica el desarrollo y solución del problema. 3. Si emplearon procedimientos diferentes, encontrar los pasos en común. 4. Analizar los procedimientos y el resultado a través de cuestionamientos como: ¿cuántos cascabeles tiene que entregar María a los demás niños para que se quede con cuatro cascabeles en cada pie? ¿El número de cascabeles que entregará María le puede ser útil a uno o varios niños?
Tercer grado. Bloque 1
Competencia Resolver	problemas	de	manera	autónoma.	Validar	procedimientos	y	resultados	y	manejar	técnicas	eficientemente.
Aprendizajes	esperados:	Utilice	el	cálculo	mental	al	restar	dígitos	y	múltiplos	de	diez	menos	un	dígito Conocimientos y habilidades 1.4	Desarrollar	procedimientos	mentales	de	resta	de	dígitos	y	múltiplos	de	diez	menos	un	dígito,	etcétera,	que	faciliten	los	cálculos	de	operaciones	más	complejas. Tiempo/	sesiones	1 Situación	didáctica	(Escenario	de	aprendizaje,	preguntas	generadoras,	problematización)	Jugando	memoria	con	tarjetas
Recursos	didácticos	(Materiales,	técnicas) •	Actividades	cooperativas,	coolaborativas,	constructivas,	reflexivas	y	operativas. •	Promover	el	acercamiento	del	aprendizaje	en	los	momentos:	conceptual,	procedimental	y	actitudinal. Lápiz,	goma,	saca	puntas,	cuaderno,	pizarrón,	etc.
Vinculación	entre	contenidos	del	mismo	eje,	contenidos	de	ejes	distintos	,	con	otras	asignaturas	o	temas	que	se	desarrollan	de	manera	transversal	oportunidades	entre	las	personas	de	distinto	sexo,	Educación	cívica	y	ética	(especificado	durante	el	desarrollo	de	las	actividades):
Intenciones didácticas Que	los	alumnos	busquen	estrategias	de	cálculo	mental	para	resolver	operaciones. Consideraciones previas El cálculo mental constituye un recurso importante para estimar o controlar los resultados. El juego de memoria que se presenta en la lección del libro, despertará en principio, la curiosidad por el juego, hay que aprovechar esta motivación para marcar algunas estrategias y poder calcular mentalmente las
restas de algunos casos, se trata de que los alumnos identifiquen la estrategia y traten de explicar por qué funciona: En algunos casos se aplica una propiedad, por ejemplo; en la resta de 100 – 96 se obtiene el mismo resultado si al minuendo y al sustraendo se les suma 4, quedando 104 – 100, lo cual facilita el cálculo. Por supuesto también es posible restar el mismo número al minuendo y al sustraendo, por ejemplo en la operación 100 – 96 se puede restar 6, quedando 94 – 90 lo cual es equivalente a la operación anterior, esto es: 104 – 100 = 94 – 90 = 4. También	se	puede	aplicar	la	descomposición	de	números,	quedando	el	ejemplo anterior como: 100 – 96 = 100 – (90 +6) y resolviendo por partes queda 100 – 90 = 10 y 10 – 6 = 4 lo cual es equivalente a las expresiones anteriores. La reflexión sobre cómo resolver mentalmente esas restas ayudará a su memorización. Por ejemplo, para restar 13 – 8 puede realizarse 13 – 3 = 10 y 10 – 5 = 5. O bien, podría buscarse el complemento de 8 a 13, agregando 2 para llegar a 10 y luego 3 para llegar a 13. Estos u otros procedimientos realizados por los alumnos serán discutidos y puestos en práctica en otros cálculos. Es conveniente que al revisar los resultados éstos se analicen de uno en uno y que los alumnos expliquen el porqué de la elección y por qué funciona. Evaluación Ejemplo: en el acuario Ramón cuenta con 2046 peces beta y tiene que entregar a otro acuario 106, no sabe cuántos le quedarán sugiérale un procedimiento sencillo para que pueda encontrar la solución: Procedimiento sugerido:Descomposición numérica: 6+ 6= 12 140+100= 40 1900+40= 1940
Cuarto grado. Bloque I
Cuarto grado. Bloque 1
Tema	/	subtema:	Significado	y	uso	de	los	números.	Problemas	aditivos
Competencia:	Resolver	problemas	de	manera	autónoma,	Comunicar	información	matemática,	Validar	procedimientos	y	resultados	y	Manejo	de	técnicas
Aprendizajes	esperados:	Resuelva	problemas	aditivos	con	números	naturales	que	impliquen	dos	o	más	transformaciones.
Conocimientos	y	habilidades:	1.4	Resolver	problemas	que	involucren	nuevos	significados	de	la	adición.
Tiempo:	2	sesiones
Situación	didáctica	(escenario	de	aprendizaje,	preguntas	generadoras,	problematización):	Un	número	desconocido,	se	descubre	mediante	un	juego.	Se	elabora	una	tabla	de	datos	para	responder	a	varias	preguntas.
Recursos	didácticos	(Materiales,	técnicas) •	Lápiz	y	papel,	piedras	o	semillas,	calculadora,	computadora
Vinculación	entre	contenidos	del	mismo	eje,	contenidos	de	ejes	distintos,	con	otras	asignaturas	o	temas	que	se	desarrollan	de	manera	transversal:	Esta	secuencia,	se	puede	vincular	fácilmente	con	educación	vial,	educación	del	consumidor,	educación	ambiental,	cuando	se	trata	el	costo	y	consumo	de	gasolina,	cuando	se	resuelven	los	problemas	sobre	recorridos	y	costos	con	el	auto	de	Alma.
Consigna Juega “preguntas y respuestas”. Intenciones didácticas Que	los	alumnos	calculen	el	número	que	falta	con	los	datos	que	conocen. Consideraciones previas En la lección de los llaveros, se maneja un problema que, como en todos los demás, es muy importante que los alumnos comprueben sus resulta-
dos, para verificar que efectivamente cumplen con las condiciones del problema. Procure que los equipos formados tengan a la mano un puñado de pequeñas piedras o semillas por si deciden usarlas. Se sugiere que los alumnos trabajen al menos en binas, para que intercambien ideas y que les permita usar los recursos que consideren convenientes. Es probable que experimenten con los datos conocidos sumándolos, restándolos, multiplicándolos o dividiéndolos para ver “qué pasa”. Pídales que en todos los casos registren en su cuaderno las estrategias, prueben los resultados para ver que cumplan con las condiciones del problema y escriban sus conclusiones. En el caso de que usen las piedras o las semillas, pídales también que registren sus estrategias y corroboren sus resultados. Cuando	los	equipos	terminen,	haga	una	ronda	en	la	que	varios	equipos expongan sus estrategias de solución y comenten cuál estrategia les pareció mejor y por qué. En el caso de que cuente con aula de cómputo, puede inclusive construir con sus alumnos hojas de cálculo como las siguientes para resolver los problemas: 1. Problema de los llaveros
=A2	+	B2	+	C2
En la celda D2, los alumnos tendrán que escribir la fórmula =A2 + B2+C2,	la	cual	sumará	automáticamente	los	resultados	del	lunes	y	del	martes.	Trate	que	los	alumnos	indiquen	lo	que	significa	la	fórmula.	En	la celda A2, el alumno tendrá que escribir un número, de tal forma que en la celda D2 el resultado sea 13. Usando	la	misma	hoja,	los	alumnos	pueden	inventar	en	el	momento	otros datos para resolver problemas con la misma estructura. 2. Problema del recorrido
=A5	+	B5
=A5	+	B5	+B5
=D5*2
En este problema también es importante que el alumno conozca el significado de las fórmulas e inclusive que trate de pasar del lenguaje oral al lenguaje de fórmula. Esto es, si dice que se sume el kilometraje de inicio cuando salió de su casa, con el recorrido, sea capaz de escribir =A5+B5. En el caso del recorrido de Alma, los alumnos tendrán que escribir	en	la	celda	A5	un	número,	de	tal	forma	que	en	la	celda	C5	aparezca	el 35478 que es el recorrido hasta el destino y los demás números cambiarán automáticamente por las fórmulas que contienen las celdas.
Consigna Elaboren una tabla y úsenla para contestar algunas preguntas. Intenciones didácticas Que	los	alumnos	vean	la	utilidad	de	representar	datos	a	través	de	una	tabla. Consideraciones previas En el apartado sobre el consumo de gasolina del auto de Alma, los alumnos deben resolver el problema primeramente usando lápiz y papel, esto, con el fin de que puedan comparar la pertinencia de usar una tabla para representar datos y usarlos para resolver el problema o hacerlo sin el uso de la tabla. Cuando	terminen	la	elaboración	de	la	tabla,	puede	designar	a	dos	alumnos A y B, para que A use la tabla para contestar las preguntas y B use una calculadora, pero que no tenga acceso a la tabla; posteriormente A usará la calculadora y B la tabla. En el caso de que cuente con aula de cómputo, puede elaborar también la tabla en una hoja electrónica de cálculo.
=7.27*A2
En las fórmulas escritas en la hoja de cálculo, aproveche para que los alumnos observen que hay una parte que no cambia (en la columna	B	7.27	y	en	C	12)	y	otra	que	sí	cambia;	cuestiónelos	sobre	la	situación de las fórmulas.
Se sugiere hacer una confrontación grupal de resultados y procedimientos. Evaluación Los ejercicios y problemas que plantee deben ser semejantes a los del libro de texto o desarrollados en clase. Es conveniente que lea las orientaciones didácticas presentadas a la derecha de cada tema en el programa correspondiente y la parte de autoevaluación en el libro de texto, que se encuentra al final de cada bloque. Es probable que algunos alumnos inician el ejercicio tratando de adivinar las respuestas, para seguir en este sentido, puede organizar una sesión de adivinanzas, con ejercicios como: ¿Qué	número	pensé,	si	al	agregarle	12	me	da	40? ¿Qué	número	pensé,	si	al	restarle	12	me	da	40? Dependiendo del grupo, puede meter adivinanzas más complicadas, como: Pensé un número, le agregué 20, luego le resté 6 y me dio como resultado 52, ¿cuál número pensé? Pensé un número, lo multipliqué por 3 y me dio 111 ¿cuál número pensé? Aproveche este tipo de ejercicios para que los alumnos observen qué hacen para adivinar, algunos simplemente dirán números al azar, pero otros seguramente harán alguna operación, pida que expliquen sus procedimientos. En el caso de la elaboración de tablas, pregunte a sus alumnos si ellos o sus familiares tienen que elaborar alguna para su trabajo, por ejemplo si tienen un negocio y venden tortillas. En el caso de que no usen tablas, pregunte si lo hacen con calculadora, lápiz y papel o mentalmente. Haga una ronda de preguntas y respuestas sobre la utilidad de usar varios recursos para resolver problemas.
Quinto grado. Bloque 1
Tema	/	subtema:	Estimación	y	cálculo	mental.	Números	naturales
Competencia:	Validar	procedimientos	y	resultados	y	manejo	de	técnicas
Aprendizajes	esperados:	Resuelve	problemas	de	conteo	usando	procedimientos	informales
Conocimientos	y	habilidades:	Elaborar	recursos	de	cálculo	mental	para	resolver	operaciones	y	estimar	o	controlar	resultados
Situación	didáctica	(Escenario	de	aprendizaje,	preguntas	generadoras,	problematización):	Organizados	en	parejas	resuelvan	los	siguientes	ejercicios. Sin	realizar	operaciones	por	escrito	calculen	mentalmente	cuánto	le	falta	a	cada	uno	de	los	siguientes	números	para	completar	otra	centena.
Recursos	didácticos	(Materiales,	técnicas) •	Calculadora
Vinculación	entre	contenidos	del	mismo	eje,	contenidos	de	ejes	distintos,	con	otras	asignaturas	o	temas	que	se	desarrollan	de	manera	transversal Esta	secuencia,	se	puede	vincular	fácilmente	con	los	conocimientos	y	habilidades	del	mismo	bloque	1.1,	que	implica	entre	otras	cosas,	la	descomposición	de	números	y	también	con	el	1.3	respecto	al	conteo	mediante	procedimientos	informales.
Conocimientos y habilidades Elaborar recursos de cálculo mental para resolver operaciones y estimar o controlar resultados. Intenciones didácticas Que	los	alumnos	utilicen	recursos	de	cálculo	mental,	tanto	para	resolver	operaciones como para controlar los resultados que obtienen.
Consigna Sin realizar operaciones por escrito calculen mentalmente cuánto le falta a cada uno de los siguientes números para completar otra centena.
Consideraciones previas Completar	otra	centena	quiere	decir	pasar	de	548	a	600;	de	345	a	400;	de	3490 a 3500, etcétera. Haga algunas preguntas al respecto a los alumnos y si observa que tienen dudas, aclárelas. Es muy importante controlar el tiempo para la resolución de todas las operaciones, con el fin de que los alumnos se vean obligados a recurrir al cálculo mental. Diez minutos es un tiempo razonable para resolver cada apartado. Por otra parte, también es importante registrar a las parejas que terminan primero para que compartan con los demás compañeros el procedimiento utilizado. Dichos procedimientos se explicarán sólo de manera general para que se mantenga el interés de los niños. No hay que olvidar que el cálculo mental es un recurso que los alumnos deben tener disponible y debe usarse cuando sea conveniente, pero no debe convertirse en otro algoritmo. Un	recurso	útil	para	el	desarrollo	del	cálculo	mental	consiste	en	tener	a	la mano una calculadora y resolver la segunda parte del ejercicio 1 con dos alumnos llamados A y B, respectivamente, el alumno A hace la operación mentalmente, mientras que el alumno B la resuelve con calculadora. Gana un punto en cada operación quien la resuelva primero. En la siguiente ronda A usa la calculadora y B resuelve mentalmente.
Consigna Relaciona la operación con la forma de resolverla. Intenciones didácticas Que	los	alumnos	busquen	estrategias	de	cálculo	mental	para	resolver	operaciones.
Consideraciones previas A diferencia de la consignas 1 y 2 en las que se trata de que los alumnos busquen una estrategia adecuada para efectuar cálculos mentalmente, en la 3 ya se propone una estrategia y se trata de que los alumnos la identifiquen y traten de explicar por qué funciona. En algunos casos se aplica una propiedad, por ejemplo: en la resta de 1001 – 10 se obtiene el mismo resultado si al minuendo y al sustraendo se les resta 1, quedando 1000 – 9, mientras que en una suma de dos sumandos, como 317 + 49 se obtiene el mismo resultado si a uno de los sumandos se le resta un número y al otro se le suma el mismo número quedando como 316 + 50. En este ejemplo se restó uno y se sumó uno. En otros casos se aplica la descomposición de números, por ejemplo, 35 x 4 es equivalente a ( 30 + 5 )X4, como lo marca el texto o puede surgir también como (30 x 4) + (5 x 4), lo cual es equivalente. Es conveniente que al revisar los resultados éstos se analicen de uno en uno y que los alumnos expliquen el porqué de la elección y por qué funciona. Evaluación Los ejercicios y problemas que plantee deben ser semejantes a los del libro de texto o desarrollados en clase. Es conveniente que lea las orientaciones didácticas que se presentan a la derecha de cada tema en el programa correspondiente y la parte de autoevaluación en el libro de texto, que se encuentra al final de cada bloque. Comente	con	sus	alumnos	parte	de	la	vida	de	Johann Carl Friedrich Gauss. Fue un matemático, astrónomo y f ísico alemán, llamado “el príncipe de las matemáticas” que desde muy pequeño mostró sus dotes y facilidad para manejar las Matemáticas. Cuenta	la	historia,	que	una	mañana	en	un	salón	de	clases,	el	profesor,	ante un grupo de niños de alrededor de 10 años de edad, les puso un problema en el pizarrón que según él, tardarían en terminar. En esos tiempos los niños llevaban una pizarra en la cual escribían. El profesor indicó que cuando terminaran pusieran las pizarras en su escritorio para revisarlas. El problema consistía en sumar los primeros cien números enteros, es decir, la suma de los números del 1 al 100. A los pocos segundos de haber planteado el problema se levantó Gauss y puso su pizarra sobre el escritorio del maestro. La estrategia que usó Gauss fue observar que los extremos de la serie (1 con 100, 2 con 99, 3 con 98, etc) sumaban 101, así que simplemente calculó 50 pares de 101.
Después de esta historia, pida a los alumnos que calculen mentalmente: La suma de los primeros 10 números naturales. La suma de los primeros 11 números naturales. La suma de 10 números naturales consecutivos iniciando, por ejemplo con el 12. La suma de 11 números naturales iniciando, por ejemplo, con el 12. Pida que comenten las estrategias usadas para cada ejercicio.
Sexto grado. Bloque 1 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Tema	/	subtema:	Estimación	y	cálculo	mental,	números	naturales
Aprendizajes	esperados:	Utiliza	el	cálculo	mental,	los	algoritmos	y	la	calculadora	para	realizar	operaciones	con	números	naturales. Conocimientos	y	habilidades:	1.4	Realizar	las	operaciones	con	números	naturales	con	diferentes	recursos:	mental,	con	algoritmos o con calculadora Tiempo:	3	sesiones
Situación	didáctica	(Escenario	de	aprendizaje,	preguntas	generadoras,	problematización):	Calcular	mentalmente. Operaciones	con	números	naturales	haciendo	uso	de	diferentes	recursos:	mental,	algoritmos	o	utilizar	la	calculadora.
Vinculación	entre	contenidos	del	mismo	eje,	contenidos	de	ejes	distintos	,	con	otras	asignaturas	o	temas	que	se	desarrollan	de	manera	transversal:	Esta	secuencia	se	puede	vincular	fácilmente	con	Geografía,	cuando	se	menciona	a	Campeche	o	el	continente	americano,	con	el	tema	transversal	educación	ambiental,	cuando	se	resuelve	el	problema	relacionado	con	el	politereftalato	de	etileno,	conocido	como	PET.
Sesión 1 de 3
Consigna Calcula	mentalmente Intenciones didácticas Que	los	alumnos	calculen	mentalmente	el	resultado	de	operaciones	con	números naturales. Desarrollo Se sugiere que usted realice cotidianamente ejercicios de cálculo mental. Es importante mencionar que en el cálculo mental se espera que los alumnos encuentren el resultado exacto, a diferencia de la estimación en la que el resultado es aproximado. También	es	importante	aclarar	a	los	alumnos	que	el	cálculo	mental	no	se refiere a realizar mentalmente el algoritmo convencional, sino a hacer uso de otros procedimientos y estrategias. Por ejemplo, para encontrar el par de números que suman 500, se puede descartar fácilmente al 320, ya que se necesitaría otro número que terminara en cero para que la suma fuera 500, también el 182, porque se necesitaría otro número terminado en 8 y no hay, así que, quedan las opciones 319 con 181 y 257 con 263 y para sumar 319 + 181, se puede proceder de las siguiente manera: 100	+	300	=	400;	81	+	19	son	100;	400	y	100	dan	500.	Como	ya	se	encontró el par que cumple con la condición, no es necesario efectuar la suma del otro par de números. En el caso de la multiplicación, puede aprovechar para explicar la multiplicación abreviada cuando intervienen números seguidos de ceros y finalmente en la división puede aprovechar para explicar, después de que los alumnos encuentren la respuesta correcta, que 1000/5 es equivalente a 800/4.
Sesión 2 de 3
Consigna Resuelvan los problemas y al concluir, con ayuda del maestro verifiquen sus resultados.
Intenciones didácticas Que	los	alumnos	utilicen	el	recurso	más	adecuado,	cálculo	mental,	algoritmo escrito o calculadora, en la resolución de problemas.
Desarrollo Recuérdeles que el cálculo mental no implica hacer mentalmente la operación siguiendo el mismo algoritmo escrito, sino que se trata de hallar otros procedimientos. Por ejemplo, para calcular el costo de copias de 25 centavos, pueden dividir el número de copias dos veces entre dos, porque al dividir una vez su costo sería de 50 centavos y al volverlo a dividir será la mitad de 50 que es 25. Dado que el cálculo mental es limitado, el alumno podrá usar también algoritmos con lápiz y papel o calculadora en aquellos problemas en que lo considere necesario. Se sugiere hacer una confrontación grupal de resultados y procedimientos en donde se enfatice la identificación de aquellos problemas que podían resolverse con cálculo mental.
Sesión 3 de 3
Consigna Resuelve	mentalmente	los	problemas	siguientes.	Comprueba	los	resultados, usando calculadora. Intenciones didácticas Que	los	alumnos	utilicen	el	cálculo	mental	y	comprueben	sus	resultados	con calculadora en la resolución de problemas. Desarrollo Es importante que usted se percate de que los equipos de trabajo usen el cálculo mental antes que la calculadora, al calcular el número de barriles, el costo o el número de kilómetros cuadrados. Al finalizar, se sugiere que oriente la reflexión sobre cuál estrategia fue la más adecuada para la solución de cada problema. Se espera que los alumnos valoren que, en algunos casos, el cálculo mental es más adecuado y rápido que el escrito, incluso que con el uso de la calculadora. En esta actividad la calculadora es únicamente para verificar los resultados.
Evaluación Los ejercicios y problemas que plantee deben ser semejantes a los del libro de texto o desarrollados en clase. Es conveniente que el profesor lea las orientaciones didácticas que se presentan a la derecha de cada tema, en el programa correspondiente y la parte de autoevaluación en el libro de texto, que se encuentra al final de cada bloque. Después de la historia de Gauss, pida a los alumnos que calculen mentalmente: La suma de los primeros 20 números naturales. La suma de los primeros 21 números naturales. La suma de 10 números naturales consecutivos iniciando, por ejemplo, con el 12. La suma de 11 números naturales iniciando, por ejemplo, con el 12. La suma de 21 ó 31 números consecutivos iniciando o no con el número 1. Pida que comenten las estrategias usadas para cada ejercicio. Haga énfasis en la forma de sumar un número impar de números consecutivos y la estrategia para encontrar el número que está a la mitad de la serie.
Segundo grado. Bloque 2
Tema/subtema	Figuras/	Figuras	planas
Competencia:	Comunicar	información	matemática.
Aprendizajes	esperados:	Comunica	e	identifica,	a	través	de	descripciones	orales	o	por	medio	de	dibujos,	características	de	los	cuerpos	geométricos. Conocimientos	y	h	abilidades: 2.7	Identificar	caras	de	objetos	a	partir	de	sus	representaciones	planas	y	viceversa. Tiempo:	3	sesiones Situación	didáctica	(escenario	de	aprendizaje,	preguntas	generadoras,	problematización):	Encontrar	figuras	diferentes	en	desarrollos	planos.
Recursos	didácticos	(Materiales,	técnicas) •	Actividades	cooperativas,	coolaborativas,	constructivas,	reflexivas	y	operativas. •	Promover	el	acercamiento	del	aprendizaje	en	los	momentos:	conceptual,	procedimental	y	actitudinal. Cajas	o	envases	de	jugos	medicinas	o	latas	(pequeñas)	etc.
Secuencia	didáctica	(Orden	que	deben	tener	las	actividades ABAJO
Vinculación	entre	contenidos	del	mismo	eje,	contenidos	de	ejes	distintos,	con	otras	asignaturas	o	temas	que	se	desarrollan	de	manera	transversal. Educación	vial;	educación	cívica(transversalidad)	y	vinculación	Educación	Artística
Consigna Encuentra las figuras planas y dibújalas. Intenciones didácticas Que	los	alumnos	logren	identificar	figuras	planas	y	sus	diferencias.
Desarrollo Es importante que los alumnos trabajen en equipos y que observen las figuras de los desarrollos planos y que reconozcan algunas diferencias; generalmente no les cuesta trabajo diferenciar entre un triángulo y un cuadrilátero, pero será un poco más complicado que indiquen las diferencias entre un cuadrado y un rectángulo. La colaboración del equipo será importante para mencionar semejanzas y diferencias. Cuando	hagan	sus	dibujos	con	las	figuras	geométricas,	es	conveniente que por equipos justifiquen las figuras empleadas y sus características, además, que digan si son caras rectas o curvas; en la actividad del sellado de figuras pedir a los alumnos que identifiquen y describan de forma oral las figuras resultantes, sus características y las caras de los objetos que las produjeron.
Consigna Reconoce y dibuja figuras planas. Intenciones didácticas Que	los	alumnos	logren	identificar	figuras	planas	que	componen	cuerpos geométricos. Desarrollo Es importante que los alumnos comenten y den razones sobre cuáles figuras observan en los diferentes cuerpos geométricos, es importante que permita a los alumnos expresar sus descripciones libremente, de tal manera que pueden decir que tiene puntas o partes derechas o chuecas, dependiendo de la figura; poco a poco, tendrán que ir relacionando las partes de las figuras o de los cuerpos geométricos con sus nombres correctos. En el caso de que no puedan deducir cuántas caras tiene un cuerpo geométrico y de qué forma son, pídales que hagan una estimación y déjelo pendiente para la siguiente sesión en la que se abrirán cajas.
Consigna Abran cajas y dibujen figuras planas.
Intenciones didácticas Que	los	alumnos	abran	cajas	y	que	se	percaten	las	figuras	que	forman	el	cuerpo geométrico.
Desarrollo En la sesión anterior, los alumnos dibujaron las figuras que creían formaban un cuerpo geométrico, en esta sesión, podrán comprobar si sus deducciones fueron correctas o no. La idea de que armen otra caja semejante a la original, es que vean de “ida y vuelta” cómo están formados los cuerpos geométricos y que los desarrollos planos también se pueden transformar en cuerpos geométricos. Es conveniente que por equipos muestren sus cajas armadas y también desarmadas, para que todos puedan observar las diferentes opciones que se tienen en el grupo. Evaluación •	En	las	señales	de	tránsito	dibuja,	debajo	de	cada	una,	la	forma	que	tiene. •	Escribe	el	nombre	de	la	figura	que	dibujaste. •	Explica	de	forma	oral	las	diferencias	entre:	Cuadrado	y	triángulo Cuadrado	y	rectángulo Triángulo	y	círculo	Versión preliminar ARTICULACIÓN CURRICULAR
Tercer grado. Bloque 4
Tema/subtema	representación	de	la	información/	Diagramas	y	tablas
Competencia:	Resolver	problemas	de	manera	autónoma,	Comunicar	información	matemática,	Validar	procedimientos	y	resultados,	Manejar	técnicas	eficientemente	63
Aprendizajes	esperados:	Extraiga	información	de	diversas	tablas
Conocimientos	y	habilidades:	4.8	Extraer	información	de	la	tabla	de	Pitágoras	(o	del	cuadro	de	multiplicaciones) Tiempo:	2	sesiones Situación	didáctica	(Escenario	de	aprendizaje,	preguntas	generadoras,	problematización)	Hay	una	tabla	Pitagórica	con	algunas	celdas	vacías	y	el	alumno	tiene	que	terminar	de	llenarla
Recursos	didácticos	(materiales,	técnicas) •	Actividades	cooperativas,	coolaborativas,	constructivas,	reflexivas	y	operativas. •	Promover	el	acercamiento	del	aprendizaje	en	los	momentos:	conceptual,	procedimental	y	actitudinal. Lápiz,	goma,	sacapuntas	cuaderno	pizarrón	etcétera.
Vinculación	entre	contenidos	del	mismo	eje,	contenidos	de	ejes	distintos,	con	otras	asignaturas	o	temas	que	se	desarrollan	de	manera	transversal.
Intención didáctica Que	los	alumnos	encuentren	regularidades	en	el	análisis	de	la	tabla	de	Pitágoras. •	Explica	qué	significan	estas	señales	y	por	qué	es	importante	seguir	las reglas que proponen El análisis de la tabla de Pitágoras con los productos 0x0 hasta 10x10 puede permitir a los alumnos ampliar su comprensión de la multiplica-
ción y de los números, descubrir regularidades y en particular proveerles recursos para obtener distintos productos a partir de los conocidos; más adelante podrá ser utilizada para obtener cocientes. La	lección	inicia	con	el	llenado	de	la	Tabla	de	Pitágoras	y	se	espera	que	mediante las preguntas que se presentan y las que pueda formular el docente, los alumnos observen y lleguen a la conclusión de que las filas y las columnas tienen números iguales cuando se refieren a los mismos números; esto es, si observan la fila del 6 y la columna del 6, los resultados serán iguales y así para todos los números que aparecen en la tabla. Esto los guiará para entender la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Intención didáctica Que	los	alumnos	resuelvan	algunos	productos	y	encuentren	los	resultados en la tabla. Consideraciones previas En la segunda parte de la lección, se pide a los alumnos que resuelvan algunos productos y que encuentren los resultados en la tabla. Se espera que durante esta actividad, surja la observación con respecto a la duplicidad del resultado. Esto es que, al buscar el resultado de 9 x 8, por ejemplo, lo pueda encontrar en la fila del 8 o en la columna del mismo número; o bien, al buscar el 40 lo pueda encontrar en diferentes celdas. Este ejercicio se debe aprovechar para hacer notar que las respuestas no son únicas y también para trazar una diagonal en la tabla, para ver que los números abajo y arriba de la diagonal son simétricos, lo cual pone de manifiesto la propiedad de conmutatividad de la multiplicación. Es importante explicar a los alumnos que los multiplicandos y los multiplicadores pueden invertirse para expresar que el orden de los factores no altera el producto. Evaluación Los ejercicios y problemas que plantee deben ser semejantes a los del libro de texto o desarrollados en clase. Es conveniente, que lea las orientaciones didácticas que se presentan a la derecha de cada tema, en el programa correspondiente y la parte de autoevaluación en el libro de texto, el cual se encuentra al final de cada bloque. Puede elaborar una lista de cotejo, con los aspectos importantes que usted quiera destacar en las siguientes actividades.
Completar	el	siguiente	cuadro	consultando	la	Tabla	de	Pitágoras.	Multiplicando y multiplicador
Multiplicando y multiplicador
Escribe	en	tu	cuaderno	de	forma	breve	qué	es	para	ti	la	Tabla	de	Pitágoras: cómo es que se debe utilizar; por qué es tan importante hacer una consulta efectiva de las tablas y/o diagramas que utilizamos comúnmente.
Tema/subtema:	Análisis	de	la	información.	Figuras.	Figuras	planas	Eje Forma, espacio y medida
Competencia:	Resolver	problemas	de	manera	autónoma,	Comunicar	información	matemática,	Validar	procedimientos	y	resultados,	Manejar	técnicas	eficientemente	Aprendizajes	esperados:	Traza	triángulos	y	cuadriláteros	usando	regla	y	compás
Conocimientos	y	habilidades:	1.5	Trazar	triángulos	y	cuadriláteros	mediante	recursos	diversos
Situación	didáctica	(escenario	de	aprendizaje,	preguntas	generadoras,	problematización):
Recursos	didácticos	(materiales,	técnicas) •	Computadora
Vinculación	entre	contenidos	del	mismo	eje,	contenidos	de	ejes	distintos,	con	otras	asignaturas	o	temas	que	se	desarrollan	de	manera	transversal.	Este	tema	se	puede	relacionar	con	el	mismo	eje,	en	el	tema	de	simetría.
Consideraciones previas Al decidir sobre la información necesaria que se requiere para trazar las figuras, pueden suceder tres casos: que falte información, que sobre información o que se dé justamente la información necesaria. En el caso del primer triángulo que se tiene que reproducir, con medidas 4 y 7 cm, falta una medida, sin embargo para reproducirlo al doble de su tamaño, no es necesaria, ya que se trata de un triángulo rectángulo y bastará con reproducir los catetos (4 y 7 cm) al doble en ángulo recto y unirlos para formar el triángulo. Aunque en cada equipo, cada alumno estará trabajando con una figura diferente, es conveniente indicarles que pueden intercambiar ideas para el trazo de las figuras. Es probable que lo que les cueste más trabajo sean los trazos de los ángulos, permita que usen la superposición para comprobar la medida de los ángulos y aproveche para concluir que si una figura se reproduce al doble, los ángulos seguirán midiendo lo mismo. Es importante que se analicen las estrategias de trazo y que en caso necesario, usted les muestre una forma de trazo. En este caso, todas las figuras resultantes deben ser congruentes en todos los equipos.
Consideraciones previas La mejor manera de que los alumnos se den cuenta de si los datos proporcionados aportan o no la información suficiente para construir una figura es que los usen para construirla y vean si todos obtienen la misma. En esta sesión, el trazo del triángulo escaleno y del trapecio isósceles, pueden variar entre los diferentes equipos, por la medida que falta y que los alumnos deciden. Las otras tres figuras: rectángulo, triángulo equilátero y cuadrado, deben ser congruentes en todos los equipos.
Es conveniente que los equipos muestren sus figuras resultantes e indiquen por qué son iguales o por qué diferentes, según sea el caso. Aproveche la situación para cuestionar: ¿En cuáles figuras tuvieron que agregar	información?	¿Qué	información	que	agregaron?	¿qué	se	tiene	que	hacer si se quiere que todas las figuras sean congruentes?, esto es, ¿que el trazo	sea	único?	Una	vez	que	se	pongan	de	acuerdo	en	la	información	que	hace falta, conviene que todos les asignen la misma medida y verifiquen que las figuras coincidan y que escriban sus conclusiones en el cuaderno. Evaluación Pida a los alumnos que por equipos, elaboren un mensaje describiendo algún triángulo o cuadrilátero que previamente les proporcione, para que posteriormente pase dicho mensaje a otro equipo, lo interpreten y tracen la figura. Observen si la figura resultante y la original son congruentes, si no lo son, analicen en dónde estuvo el error, el cual puede estar en el mensaje o en la interpretación del mismo. En un principio, no importará la extensión del mensaje, pero después de algunos ejercicios pídales a los alumnos que lo hagan con los datos indispensables para su construcción. Analicen en el grupo si los datos que se proporcionan en los mensajes son los estrictamente necesarios o faltan o sobran datos. Si tiene aula de cómputo, use algún software de geometría y pida a los alumnos que construyan triángulos y cuadriláteros, primero libremente y después con medidas específicas.
Recomendaciones generales Aun contando con el apoyo de los planes de clase, el profesor tendrá que analizarlos, hacer las modificaciones que crea necesarias, evaluar las actividades y sobre todo, gestionar las situaciones didácticas con sus alumnos.
Sugerencias y recursos didácticos para reforzar la enseñanza de las matemáticas
Astolfi, Pierre Jean. El “error” un medio para enseñar, Biblioteca para la actualización del maestro. Secretaría de Educación Pública. Libro para el maestro Matemáticas cuarto grado, SEP, México, 1994. Secretaría de Educación Pública. Libro para el maestro Matemáticas quinto grado SEP, México, 1994. Educación Matemática,	Grupo	Editorial	Iberoamérica,	Vol.5,	No.	3	diciembre	1993. Educación Matemática,	Grupo	Editorial	Iberoamérica,	Vol.8,	No.	1,	abril	1996. Educación Matemática,	Grupo	Editorial	Iberoamérica,	Vol.11,	No.	1,	abril	1999. Educación Matemática,	Grupo	Editorial	Iberoamérica,	Vol.11,	No.	2,	agosto	1999. INEE.	El aprendizaje del Español y las Matemáticas en la educación Básica en México, Instituto	Nacional	para	la	evaluación	de	la	educación, México 2006. Secretaría de Educación Pública. El enfoque por Competencias en la Educación Básica, Curso	Básico	de	Formación	Continua	para	Maestros	en	Servicio	2009-10-29. Plan y programas de estudio 1993, SEP, México, 1994 Plan de estudios 2009, Educación Básica, Primaria Etapa de prueba 2009. Sadovsky, Patricia. Enseñar matemática hoy, Miradas, sentidos y desaf íos, SEP (Libros del Zorzal), 2008. Quiles,	Cruz	Manuel	et	al.	Bases para la Planeación por Competencias,	Trabajos	manuales	escolares,	noviembre 2004. _______. et. al. Proyecto de Pienso, Razono y Reflexiono. Redes Cognitivas y Dominios,	Trabajos	Manuales	Escolares México, 2004 Fisher, Robert. Cómo desarrollar la mente de su hijo, Obelisco, Barcelona, 2000. Gómez Palacio Margarita. El niño y sus primeros Años en la escuela, SEP (Biblioteca Para el Maestro), México, 1996.
Secretaría de Educación Pública, Las competencias docentes del siglo xxi	(Curso	Básico	de	Formación	Continua	para	Maestros	en	Servicio)	SEP,	México	2009.
Soubrán, Ortega Noemí. La Metacognición en los Alumnos de la Escuela Primaria,	Proyecto	de	Innovación	asesorado	por	el	Profr.	Manuel	Quiles	Cruz,	2004 Block,	D.,	I.	Fuenlabrada,	A.	Carvajal,	L.	Ortega. Juega y aprende matemáticas, SEP (Libros del rincón), México, 1991 Garza	y	Romero,	Caligaris	y	Sánchez. Juegos, juguetes y estímulos creativos, Pax, México, 2004. Frade Rubio, Laura. Desarrollo de competencias en educación básica: desde preescolar hasta secundaria, Calidad	educativa	consultores. Zavala, Antoni y Laia Arnau. Cómo aprender y enseñar competencias, Grao, Argentina, 2007. Escamilla, Amparo. Las competencias básicas, Claves y propuestas para su desarrollo en los centros, Grao, Argentina, 2008 Perero, Mariano. Historia e historias de Matemáticas,	Iberoamérica,	1994.
Páginas web En	la	siguiente	página	de	la	UNAM,	encontrará	actividades interesantes para los alumnos y un apartado de sugerencias para el maestro. http://interactiva.matem.unam.mx/matechavos/ html/ind2.html
En	la	página	de	EFIT-EMAT,	encontrará	actividades	de ciencias y de matemáticas con el apoyo de tecnología, además podrá descargar gratuitamente desde este sitio el software de LOGO, el cual le servirá para apoyar sobre todo la enseñanza de la geometría. 70 http://www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx/ En esta página podrá observar un software de geometría en dos y también en tres dimensiones y podrá descargar una versión gratuita con vigencia de 30 días. http://www.cabri.com/es/ En	la	página	del	INEGI,	podrá	encontrar	entre	otras	cosas,	apoyo	sobre	los	siguientes	temas:	Ciencia	y	tecnología, Economía, Medio ambiente, Sociodemograf ía y género. www.inegi.gob.mx
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