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Timestamp: 2019-04-26 05:43:07+00:00

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CuestionarioMatematicas01 resuelto bim1
001cap 6 Potencias y Raices
Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente. Exponente 3.3.3.3= 4 3 Base Se puede leer: tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta
El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se 6 llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64). Ejemplos: 2 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 misma cinco veces. 3 =3•3= 9 misma dos veces. 5 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625 misma cuatro veces.
El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí
El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí
El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí
Una potencia puede representarse en forma general como: an = a • a • a • ........
― n‖ factores iguales
Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a Z ) (léase a pertenece a zeta) significa que puede tomar valorespositivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).
( a) Ejemplos: ( 4) ( 3)
= 4 • 4 • 4 = 64 =
= 3 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 = 81
Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar. a) Si el exponente es par, la potencia es positiva. ( a) Ejemplos: ( 5) ( 2)
_ 8 _ 2 _ n (par)
= 5 • 5 = 25 = 25
_ _ _ _ _ _ _ _ +
= 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 256 = 256
b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa. ( a) Ejemplos: ( 2) = 2 • 2 • 2 = 8 ( 3)
_ 3 _ 3 _ _ _ _ _ n (impar)
= 3 • 3 • 3 = 27
Ejemplos: 1) 2) 3) Ver: PSU: Matemática; Pregunta 01_2005
realizamos operaciones aritméticas con ellas e.Ejemplos: 1) 2) 3) Potencia de exponente negativo Si es un número racional y – n un número entero. Ejemplos: 1) 2) 3) El lenguaje algebraico El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico. las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico. y el exponente cambia de signo. En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número desconocido. incluso. entonces se tiene. . Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador.
Una expresión algebraica se define como aquella que está constituida por coeficientes. Características del lenguaje algebraico 1.. En lenguaje algebraico se expresa 5 • n. donde a y b son dos números cualesquiera..El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos. . la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números.. Ejemplos: 5x = 5 (x) (x) (x) 8( – x + 5) = 8(– x + 5) (– x + 5) 2 3 Valor numérico de una expresión algebraica El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se indican. . 2. Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas. y. La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a.Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos. además. las trata como números en operaciones y propiedades.}. El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5. Ejemplos: 7x = x + x + x + x + x + x + x – 3x = – x – x – x 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 Exponente numérico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la base. la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga. 3. se llama lenguaje algebraico.. Coeficiente numérico: es la cantidad numérica o letra que se encuentra a la izquierda de la base.. con n un número entero. El doble de un número es seis se expresa 2 • x = 6. exponentes y bases. ±10. letras y signos se llama Álgebra.El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve. ±15.
A modo de ejemplos.5 2 3 2 2 .10 a•b 2 ( a + b) 2a + b 5x n multiplicado por el número conocido a b x+y n + 10 a+3 a–2 p•q n–1 x–1 x+1 3(a – b) 10 + 3b a–b 24 + 19 = 43 33 + 19 = 52 2(9 – 4) = 18 – 8 = 10 6 • 16 = 96 3(27 – 21) = 81 – 63 = 18 9 – 4 = 81 – 16 = 65 3 / 9 = 27 / 9 = 3 12 ’ (8 • 12) = 144 ’ 96 = 1. ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas a una expresión algebraica: Frase La suma de 2 y un número 3 más que un número La diferencia entre un número y 5 4 menos que n Un número aumentado en 1 Un número disminuido en 10 El producto de dos números Dos veces la suma de dos números Dos veces un número sumado a otro Cinco veces un número Ene veces (desconocida) un número conocido El cociente de dos números La suma de dos números 10 más que n Un número aumentado en 3 Un número disminuido en 2 El producto de p y q Uno restado a un número El antecesor de un número cualquiera El sucesor de un número cualquiera 3 veces la diferencia de dos números 10 más que 3 veces un número La diferencia de dos números La suma de 24 y 19 19 más que 33 Dos veces la diferencia de 9 y 4 El producto de 6 y 16 3 veces la diferencia de 27 y 21 La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado El cociente de 3 al cubo y 9 12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12 Expresión algebraica 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida) x+3 a-5 4-n k+1 z .Una cantidad desconocida se puede representar con alguna letra llamada variable.
los alumnos requieren de conocimientos básicos de otras áreas. progresarán en la adquisición del conocimiento. pero la estrategia resolutoria está determinada por factores madurativos o de otro tipo. Es importante notar que hay una diferencia básica entre el concepto "problema" y"ejercicio". los alumnos resuelven mejor los problemas si alguien se los lee que si los lee el mismo. Por otra parte. Como pauta general para resolver problemas matemáticos.Transformar el lenguaje cotidiano en símbolos matemáticos. y otra. Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las dificultades decomprensión lectora. en la medida que los alumnos realizan ejercicios. dar una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto. Por lo general. La mejor recomendación es la práctica cotidiana. La tendencia de operar todos los datos presentados. Ecuaciones: Ayuda para resolver problemas Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos es convertir el lenguaje coloquial en símbolos matemáticos y viceversa. No es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema. los alumnos deben: . El problema se agrava cuando se presentan los “problemas de aplicación”. este asunto plantea mayor dificultad que el poder despejar una ecuación. Una cosa es aplicar un algoritmo de forma más o menos mecánica. certifica esta falta de comprensión global. evitando las dificultades que introduce la aplicación de reglas cada vez más complejas. lo cual muchas veces les impide resolver algunos problemas que se les plantean. para aplicar conocimientos de matemáticas y poder proponer modelos de solución. aunque algunos no sirvan. resolver un problema. La respuesta suele ser única. ya que muchos de ellos están fuera de su entorno de conocimientos.
A continuación. Las ecuaciones sirven a menudo para resolver problemas. o el tercio de un número La cuarta parte de un número La quinta parte de un número .Analizar y comprender el enunciado. el doble de un número La mitad de un número Simbología matemática Un número disminuido en. Debemos recordar que en una ecuación la variable puede estar representada por cualquier letra. o el anterior de un número El sucesor.. o el siguiente de un número El opuesto de un número Números consecutivos Un número par Números pares consecutivos Un número impar Números impares consecutivos El triple de un número El cuádruplo de un número La tercera parte. se usa "x". Luego se resuelve la ecuación. Luego expresar el problema en lenguaje simbólico o matemátcio. por costumbre. el consecuente.. se verifican sus resultados y se entrega la respuesta. la cual puede resultar muy útil si es consultada a menudo: Expresión coloquial Dado un número El duplo. entregamos una tabla de equivalencias entre una expresión coloquial y su simbología. para ello deben subrayar las palabras más significativas del mismo. El antecesor. para defiinir aquellas que dan las órdenes.
Se reducen los términos semejantes. Se reducen términos semejantes. Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se despeja la incógnita.El cuadrado de un número El cubo de un número El cuadrado del siguiente de un número El cubo del siguiente de un número La raíz cuadrada de un número La raíz cúbica de un número La raíz cuarta de un número La razón entre dos números: división El producto entre dos números: multiplicación La diferencia entre dos números: sustracción Ecuaciones de primer grado o lineales Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido. y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. hasta donde es posible. que no se escribe). Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo). 4. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. y los que carezcan de ella en el derecho. los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo. llamado incógnita o variable. 3. y se simplifica. cuando es posible. aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo). 2. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno. como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 . dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo).
entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad. porque la operación inversa de la resta es la suma). Aplicamos operaciones inversas.Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=). y simplificamos. aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28. Para hacerlo. le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3. Ver: PSU: Matemática. . entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Pregunta 16_2010 Pregunta 08_2005 Pregunta 14_2005 Pregunta 05_2006 Pregunta 07_2006 Pregunta 10_2006 Pregunta 12_2006 Ver: Resolución de ecuaciones Resolvamos otros ejemplos: Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x. Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.
Número negativo dividido por un número negativo. en este caso sólo +1 que pasa como – 1) (reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1) (dividimos ambos términos por 4 para que. cambiado el signo 8x pasa como – 8x) (redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x) (dividimos ambos términos por – 3 para despejar la ―x‖) (– 15 dividido – 3 es igual a 5.(pasamos todos los términos con ―x‖ a la izquierda.Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando. al simplificar 4/4 quede la x sola). el resultado es positivo) (pasamos a la derecha los términos conocidos. .
Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo . Observemos un ejemplo: . Advertencia Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que: a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentro de este signo. con un negativo. Veamos el siguiente ejemplo: Primero quitamos los paréntesis. primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas). desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones. Ahora quitamos los corchetes. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5 b) Si por el contrario. Transponemos los términos. menos un tercio). el 1. luego simplificamos. Reducimos términos semejantes. este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Nuevamente reducimos términos semejantes Despejamos x pasando a dividir a – 2.(léase. y en caso de existir varias agrupaciones. tenemos un signo – antes del signo de agrupación. Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos. empleando el criterio de operaciones inversas. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5 Resolución de ecuaciones con productos incluidos Para resolver este tipo de ecuaciones. el – 3. La fracción es negativa pues se divide un positivo.
Resolvemos el producto indicado. y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas. Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad. debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer). pero es 7 años mayor que María.) Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad. Despejamos x pasando 3 a dividir. Resolución de problemas mediante ecuaciones Para resolver un problema. ¿qué edad tiene cada uno? Digamos que las edades de los tres son: x y z edad de Pedro edad de Álvaro edad de María Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro): y=x+3 También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María): z=x–7 Ahora tenemos que: edad de Pedro: edad de Álvaro: edad de María: x x +3 x–7 La suma de las tres edades es 38: x + x +3 + x – 7 = 38 Resolviendo está última ecuación tendremos: x = 14 (esta es la edad de Pedro) Finalmente: edad de Pedro: edad de Álvaro: x = 14 años x + 3 = 17 años . y adicionalmente eliminamos los paréntesis. Si la suma de las edades de los tres es 38. Veamos un problema característico: Pedro es 3 años menor que Álvaro.
La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. representa el producto de a. letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas. . lo mismo que b/c. como en el siguiente ejemplo: Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+). Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables. sustracción (-). b y c. por supuesto. En el caso de la multiplicación. llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces. Una raya oblicua. o virgulilla. como abc. del denominador. Operaciones y agrupación de símbolos La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos o signos de agrupación. a la derecha. multiplicar expresiones algebraicas o bien simplificarlas. Se pueden restar o sumar términos semejantes. Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ). Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se realicen. multiplicación (×) y división (:). Los números son. Símbolos y términos específicos Entre los símbolos algebraicos se encuentran números.edad de María: x–7 = 7 años Álgebra básica Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre operatoria en Números Enteros y Números Racionales. en las fracciones. Por ejemplo. mientras que (ax + b)/(c – dy) representa la fracción: Prioridad de las operaciones Cada expresión algebráica (y matemática) posee una estructura estrictamente jerarquizada. pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. constantes. que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico. a la izquierda de la raya. Un grupo de símbolos contiguos.dy indica que ax y dy son términos separados. También deben conocerse las propiedades de las potencias. como en a·b. también se usa para separar el numerador. Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente. corchetes [ ]. ax + b/c . el signo ‗×‘ normalmente se omite o se sustituye por un punto.
html Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo igual Es común que muchos estudiantes consideren el signo = solo como una invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia. consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así: 5 + 8 = x + 3 = 16 Como dijimos. Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos (recuerden que la regla de los signos se aplica solo para multiplicaciones y divisiones). 3) Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y raíces tienen la misma jerarquía) 4) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones (multiplicaciones y divisiones tienen la misma jerarquía) 5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la misma jerarquía) Cuando un conjunto de operaciones se encuentran en el mismo nivel de prioridad o jerarquía. x debe valer 10. Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo. hacemos primero los paréntesis. las operaciones se realizan desde la izquierda hacia la derecha. Cuando hay paréntesis y corchetes. llaves) se realizan en primer lugar todas las operaciones que se encuentren dentro de ellos. Por tal razón.Esto significa que para resolver una expresión algebraica es necesario seguir un orden establecido con el fin de garantizar que los cálculos tengan sólo un resultado. 2) Si hay signos de agrupación (paréntesis. . en este sentido. respetando la secuencia general. Para que ello se cumpla. 5 + 8) representa la misma cantidad que lo que está a su derecha (en este caso. Así. Gran parte de las dificultades que encuentran los estudiantes tienen su origen en este error conceptual. Es importante. hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que está a la izquierda del signo igual (en este caso. corchetes.blogspot. Por ejemplo: Ver en Youtube: http://ticvictoriaalba. por ejemplo.com/2011/01/secundaria-algebra. Si hay varios números positivos y negativos los agrupamos y después los sumamos. Ese orden es el siguiente: 1) Cuando no hay signos de agrupación (paréntesis. corchetes. llaves) hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. interpretan la expresión 5+8=x+3 en términos similares a los siguientes: ―A 5 se le suma 8 y al resultado (x) se le suma 3‖. este es un error muy común. x + 3). los quitamos aplicando la regla de los signos. comenzando por el más interno.
Los números racionales pueden escribirse en forma decimal. el conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el conjunto de los números reales. números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos. los números usados son sólo del conjunto de los números racionales.Números Reales Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. no puede ir más lejos. La aritmética. Los números irracionales no tienen decimales finales ni decimales que se repiten infinitamente. Los números reales se dividen en números racionales. sustracción. Repitiendo el concepto. números positivos y cero (0). Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Propiedades de los números reales Propiedades de la adición La suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que se escribe a + b. se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica. pero el álgebra y la geometría pueden incluir números irracionales. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición. como la raíz cuadrada de 2 y números complejos. Al hacer operaciones algebraicas. por sí sola. donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Podemos verlo en esta tabla: Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b. donde a y b son enteros se llaman números irracionales. multiplicación y . Existen dos maneras para hacerlo: 1) como decimales finitos 2) como decimales que se repiten infinitamente Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b. En aritmética.
Un ejemplo aritmético: 4 + 2 = 2 + 4 Propiedades de la multiplicación Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Un ejemplo aritmético: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9) Elemento neutro de la adición Dado un número real a cualquiera. Propiedad Conmutativa de la adición Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación. la suma es siempre la misma: a + b = b + a. llamado elemento simétrico de a (o elemento recíproco de la suma). Propiedad Asociativa de la multiplicación Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación. el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c). para el que a(a–1) = (a–1)a = 1. esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro número real. llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación). También Es la llamada propiedad conmutativa de la adición. Elemento simétrico de la adición Dado un número real a cualquiera. existe otro número (a–1 o 1/a). El producto de dos números reales a y b es otro número real. existe el número real cero (0) conocido como elemento neutro de la adición. tal que a(1) = 1(a) = a. existe otro número real (-a). Propiedad Asociativa de la adición: Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición. . También Es la llamada propiedad asociativa de la adición. en la multiplicación hay que prestar especial atención al elemento neutro y al elemento recíproco o inverso. el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc). que se escribe a·b o ab. Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación. Sin embargo. tal que a + 0 = 0 + a = a. tal que a + (-a) = 0.división. existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación. Elemento recíproco o inverso Dado un número real a distinto de cero. También Un ejemplo aritmético: Elemento neutro Dado un número real a cualquiera.
Si los números son de signos opuestos. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. el producto es siempre el mismo: ab = ba. para simplificar la expresión: 3 2 4 3 3 2 2 . Si se restan signos diferentes. Si los números tienen signos diferentes. siempre que sea posible. Ejemplos: 5 x 8 = 40 Multiplicación de polinomios El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio: (ax + b) (cx ) = acx + bcx 2 3 2 Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación. Ejemplo: 5 – 8 = –3 5 – (–8) = 13 Regla de los signos en la multiplicación y la división En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. se suman los números y el resultado lleva el mismo signo.Propiedad Conmutativa de la multiplicación Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación. Por ejemplo. Ejemplo: 5 + 8 = 13 5 + –8 = –3 2. el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera: (ax + bx – cx) (dx + e) = adx +aex + bdx + bex – cdx .cex Una vez hechas estas operaciones. se restan y el resultado lleva el signo del mayor. También Un ejemplo aritmético: Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición: Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la multiplicación de la forma siguiente: a(b + c) = ab + ac también (b + c)a = ba + ca También Un ejemplo aritmético: Regla de los Signos para sumar y restar: 1. se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor. el resultado es negativo. 5 x –8 = –40 Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo — se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de términos. todos los términos de un mismo grado se han de agrupar. En una suma de números con signos iguales.
siempre uno es mayor que el otro. . se queda igual. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. si el número es cero o positivo. Ejemplos: |7| = 7 |–7| = 7 Notación Exponencial La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X). entonces a > b.   Si a – b es positivo. Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:   si el número es negativo. Se representa con el símbolo |x|. primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. lo convertimos a positivo. Si b – a es positivo. El origen separa la recta en dos partes. Valor Absoluto La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0) se llama valor absoluto. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo).= adx + (ae + bd)x + (be – cd) x – cex 4 3 2 Recta Numérica Para construir una recta numérica. entonces a < b. el lado positivo y el lado negativo. estos se marcan en unidades equidistantes.
Por ejemplo: 3x + 2x trinomio = suma o resta de tres monomios. uno o más términos algebraicos. Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos. Ej: 7xy 3 2 –2mnp π r2 En todo término algebraico hay: Signo: positivo o negativo Coeficiente numérico: es el número que va al comienzo del término algebraico Factor literal: son las letras y sus exponentes Grado: corresponde al mayor exponente dentro de los términos Término algebraico Signo Coeficiente numérico 2 5 1/3 Factor literal m2n5 a3b6c8 zhk5 Grado 2m2n5 5 a3b6c8 .Ejemplos: x2 = x  x 22 = 2  2 34 = 3  3  3  3 Término algebraico Término algebraico es el producto de una o más variables y una constante numérica o literal. monomio = un solo término. Por ejemplo: 3x 2 binomio = suma o resta de dos monomios. Por ejemplo: 3x + 2x – 5 2 2 . mediante la operación de adición.1/3 zhk5 Positivo Positivo Negativo 5 8 5 Expresiones Algebraicas Expresión algebraica es el resultado de combinar.
3. . si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes. Ejemplo: x . el exponente se queda igual. m > n. Ejemplo: (xy) = x y 2 2 2  En suma y resta. Productos Notables 1. 4. solo se procede si son términos similares. en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numérico.polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios. Monomio 8xy x 2 3 4 Binomio 3 a b + 8z z +32 x 5 3 2 3 Trinomio a–b +ab 9a – b + c 2 9 3 6 Polinomio 2/3 a + bc + a b c – 2 ab – a b c + 8 – 26a 6 3 2 2 4 6 3 Reglas de los Exponentes:  Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes. Ejemplo: (x ) = x 2 4 2+4 =x 6  En división. Las variables m y n son enteros positivos. se restan los exponentes. x = x 2 4 2+4 =x 6  Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales. Por ejemplo: 2.
Por ejemplo: Multiplicación de expresiones algebraicas Para multiplicar expresiones fraccionales. 8. se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores. 6. 7. Por ejemplo: .5. Expresiones fraccionales Una fracción es una expresión en la forma: Una expresión fraccional esta simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
Por ejemplo: Suma y resta de expresiones algebraicas En suma y resta cuando los denominadores son los mismos. Por ejemplo: Exponentes enteros Reglas básicas para trabajar los exponentes: Regla: Ejemplo: . se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.División de expresiones algebraicas Para dividir se multiplica por el recíproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado.
Propiedades de los Radicales (de las raíces) Ejemplo: .Radicales (Raíces) Un radical es una expresión en la forma: que se lee "raíz n de b" Cada parte de un radical lleva su nombre. El índice debe ser un entero positivo. el índice 2 es usualmente omitido. Para una raíz cuadrada.
la suma o la resta sólo puede ser indicada. podemos resolver la suma o la resta usando la propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Ejemplos: Si los radicales no son semejantes. Ejemplo: . Se puede agrupar los términos semejantes del radical.Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Suma y Resta de Radicales (de raíces) Cuando tenemos radicales "semejantes". Los radicales "semejantes" son los que tienen el mismo radicando.
la clave está en el factor común. simplificar: Otro ejemplo. Por ejemplo: Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta: Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis. pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Son fracciones algebraicas: Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.Fracciones algebraicas Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Operaciones con fracciones algebraicas Simplificar fracciones algebraicas La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores. Entonces. Por ejemplo. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador. simplificar la fracción . Esta cantidad debe ser distinta de cero.
m. para quedar Como vemos. reduciendo primero acomún denominador. Suma y resta de fracciones algebraicas Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta: Como el denominador es común (x + 1). Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador Veamos el siguiente ejemplo: Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros.c. que llamaremos mínimo común denominador (m. la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador. factorizamos 5ab a 2 15b 2 a .c.c. utilizando el mínimo común múltiplo (m. factorizamos los polinomios del numerador y del denominador. y nos queda Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.d.).m. este se ha unificado en una sola fracción. de los denominadores. Para calcular el m. que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. para no confundir luego los signos.Primero.c. Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−).m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común. simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel). Entonces. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios. Igual como ocurre con las fracciones de números enteros. que debemos hacer: encontrar el m.
c.. como la siguiente: Encontrado el m.c.d.d.5b 5b 5 5 1 1 a 1 1 1 1 1 15b 15b 15b 15 3 1 2 2 a b b 5 3 Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a • b • 15 que es lo mismo que 15a b y es el mínimo común denominador (m.d.c.) de las tres fracciones involucradas. Un ejemplo más: Sumar . y lo hacemos así: 2 2 2 2 2 2 Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m. Pero también hay otra. (15a b ) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m. operamos con fracciones con denominador común: Previamente.c. del modo siguiente: 2 2 Nótese que ―los términos que faltan‖ se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.c. para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores.d. Conocido el m. dividimos el denominador común (15a b ) por cada uno de los denominadores individuales.d.
c.El m.c. si se puede.d. o mínimo común denominador (m. Veamos qué significa esto: Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra .) es x(x − 3) Hacemos ¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador: Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones. podemos multiplicar los factores finales: Ejemplos desarrollados . de los denominadores. aunque antes de multiplicar debemos simplificar.m. multiplicando los numeradores y los denominadores. entonces: Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas Multiplicar Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores: Simplificamos antes de efectuar el producto: Ahora.
Veamos. haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores. ahora qué significa esto: Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra . Cociente o división de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones.a) b) c) Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables. entonces: Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas Dividir Anotamos haciendo el producto cruzado: Simplificamos y finalmente multiplicamos: Ejemplos desarrollados a) . si se puede. aunque antes de multiplicar debemos simplificar.
Ejemplos: 1) . d) Fracciones algebraicas compuestas En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas. Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen. la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).b) c) Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado.
– 1. Por ejemplo. el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros. Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos. si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos. 3x son algunos ejemplos de términos. y 3. el polinomio es de tercer grado. es un trinomio. . – a.2) 3) Factorización Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos: Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación. En este contexto. si el mayor 3 2 exponente de la variable es 3. como en ax + bx + cx. Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables. Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio. Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2. La parte numérica de un término se denomina coeficiente. 2x. la ecuación es condicional.
Así. El 3 término a elevado a la tercera potencia. los factores primos de 60 son 2.Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado. es decir. Descomposición de números naturales en sus factores primos Por ejemplo. 10. los factores primos de 15 son 3 y 5. un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes formas: 20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5 En cada uno de estos casos. 7. los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o más factores algebraicos. Del mismo modo. 11 y 13 son todos números primos. Cada uno de los números 1. como 60 = 2 • 3 • 5. es decir. El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar. Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado. 3. Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos . los números que forman el producto son los factores. entonces. Debe recordarse. Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras. 2. Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica. que cuando un número es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad el número se denominaprimo. En los casos en que la expresión es irreducible. . En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5. de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original. a cada uno de los números (2 y 10) se les denomina factor. 20 se denominan a su vez divisores de 20. una ecuación de la forma ax + b = 0. Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica. cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10. de la 2 forma ax + bx + c = 0. 3 y 5. 5. además. por ejemplo. 4. Así. 5. 2. 2 Factorización y productos notables Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números. solo puede expresarse como el producto del número 1 por la expresión original. los factores son 4 y 5. se puede expresar como a·a·a o a Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias. factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores. Factorizar. Otro ejemplo. Es decir. Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización. Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1.
resulta útil.En otras palabras. 2x + 8x y se puede factorizar. En general los casos de factorización corresponden a los casos de productos notables. por lo general. Antes de mostrar ejercicios de aplicación de factorización y productos notables. o reescribir. es necesario recordar la forma de hallar el máximo común divisor (mcd) de un conjunto de números dados. . como 2x (x + 4y). el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos. algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominan Productos notables. Algunos ejemplos: De la expresión ab + 3cb  b podemos factorizar b 2 3 2 3 2 2 y obtenemos la expresión: b(ab + 3c  b ) (1) Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión: ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis: Finalmente si sustituimos este último resultado en (1). Por ejemplo. obtenemos: ab + 3cb  b = b (b (a  b) + 3c) 2 3 ab + 3cb  b = b (ab  b + 3c) 2 3 2 ab + 3cb  b = b (ab +3c –b ) 2 3 2 Por otro lado. dada una expresión algebraica complicada.
estos se dividen simultáneamente por los diferentes números primos (tomados en orden ascendente. Esta última fila no puede dividirse simultáneamente ni por 2 ni por 3. Por lo tanto. 42. La segunda fila muestra estos resultados. 42. 6 y 12 es 3.12z Este es un ejemplo sencillo de la factorización por factor común. Para este ejercicio el mcd de 9. Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los términos con el menor exponente que aparezca. con residuo cero. A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer número primo de la lista) y se divide cada uno de estos números por 2. 21 y 14 no pueden dividirse simultáneamente por 3. 42 y 28. De forma similar se desecha el 5. cuando los números que aparecen en la fila inmediatamente inferior a la última división simultánea. 28) = 14 (el máximo común divisor de los números 56. El mcd buscado es el producto de los números primos que aparecen a la derecha: 56 28 4 42 21 3 28 14 2 ÷ ÷ 2 7 Los números originales (56. el proceso termina. En este caso se puede hacer la división simultáneamente obteniéndose los números 4. Este mcd corresponde al coeficiente del factor común. El proceso termina. el mcd de los números 56. Como los números 28. este número primo se desecha. además como no hay variables comunes en los tres términos tenemos: 9x + 6y  12z = 3(3x + 2y  4z) . El siguiente número primo en la lista es 7. El máximo común divisor de un conjunto de números dados corresponde al mayor número natural que los divide simultáneamente.Ejemplo: Determinar el máximo común divisor (mcd) de los números 56. Para hallar el mcd de un conjunto determinado de números. Dada una expresión algebraica se encuentra el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes de los términos de la expresión algebraica. Como el siguiente número primo (5) es mayor que 4. y desechando los números primos por los cuales no se pueda hacer la división con residuo cero de todos los números de la fila) según el arreglo mostrado a continuación. 28) se escriben desde la izquierda hacia la derecha. 42 y 28 es el producto de los números primos de la derecha: 2 • 7 = 14 Lo anterior se expresa como: mcd (56. no pueden dividirse simultáneamente por algún número primo. 42 y 28 es igual a 14) Ejemplo: Factorizar 9x + 6y . 3 y 2. escribiendo el resultado obtenido en la misma columna del número original.
12) la variable y es común a los tres términos. al realizar el producto indicado se obtiene la expresión original: 2 2 3y (3x + 2y  4yz) = (3y * 3x) + (3y * 2y )  (3y * 4yz) 2 2 2 2 2 2 = 9xy + 6y  12y z 2 4 3 Nótese que se ha aplicado la propiedad distributiva del producto. 6. Para verificar. pero es conveniente cuando existan dudas sobre el resultado obtenido: . La 2 menor potencia común es y por lo tanto la factorización queda: 9xy + 6y  12y z = 3y (3x + 2y  4yz) 2 4 3 2 2 Los factores en este caso son 3x + 2y  4yz y 3y . Ejemplo: Factorizar 9xy + 6y  12 y z 2 4 3 En este caso además del factor común 3 (mcd de 9.es decir 9x + 6y  12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x + 2y  4z. En general no es necesario hacer la verificación de la factorización.
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