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Timestamp: 2018-03-23 01:00:27+00:00

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Einkommensteuer: Einkommensteuergesetz, Jahressteuergesetz, Grundtarif, Splittingtarif, Familiensplitting, Kalte Progression, Steuerberechnung, Steuertabelle, Online-Rechner, Programmierung, Grenzsteuersatz, Differenzsteuersatz, Steuertabelle, Steuerfunktion, Oberstufen-Mathematik, Tabellenkalkulation: Agenda 21-Lexikon:
Lexikon Einkommensteuer
Hintergrund Staatshaushalt Einkommensteuerverteilung Einkommensteuergesetz
Steuertarif Grundtarif Parametertabelle Splittingtarif Familiensplitting Kalte Progression
Steuerberechung: Online-Rechner Tabellenkalkulation Programmierung Taschenrechner
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Unterricht: Einkommersteuer in der Mathematik der Oberstufe
Diese Seite behandelt die Einkommensteuer in Deutschland.
Umfang und Art der Erhebung der Einkommensteuer sind im Einkommensteuergesetz (EStG) geregelt (s. Folgeabschnitt). Es ist Teil des Jahressteuergesetzes (JStG) und wurde seit 2012 jährlich angepasst, da sich das Existenzminimum erhöhte und in der Folge auch der Grundfreibetrag (s.Parametertabelle).
Bedeutung der Einkommensteuer für den Staatshaushalt
Zur Einordung der Einkommensteuer in den gesamten Staatshaushalt werden im Folgenden die Daten des Jahres 2011 (auf Mrd. € gerundet ) verwendet.
Die gesamten Staatseinnahmen betrugen 1148 Mrd. € [1] , darunter 573 Mrd. (50 %) Steuern [2] und 519 Mrd. (45 %) Sozialabgaben [3] . Unter den mehr als 30 Steuerarten sind die über das Einkommensteuergesetz (EStG) erhobenen Steuern in ihrer Summe die ergiebigste Steuerquelle des Staates: rund 36,4 % [4] des gesamten Steueraufkommens, etwas mehr als die Umsatzsteuer (Mehrwertsteuer) mit einem Anteil von 33,1 %. Einkommen- und Umsatzsteuer zusammen erbringen also bereits knapp 70 % des gesamten Steueraufkommens.
Rund 71 % der EStG-Steuern entfallen auf die Lohnsteuer [5] , die als Quellensteuer auf die Einkünfte aus nichtselbständiger Arbeit (s. Tabelle Einkunftsarten Nr. 4) monatlich direkt vom Lohn abgezogen wird (direkte Steuer). Die Lohnsteuer ist eine auf den Monat umgerechnete Vorauszahlung der vorab geschätzten jährlichen Einkommensteuer, wobei Freibeträge (z.B. für Kinder) und Pauschalen (z.B. für Behinderte) sowie weitere persönliche steuerrelevante Merkmale (z.B. alleinstehend / verheiratet) schon berücksichtigt sind (Lohnsteuertabelle, Lohnsteuerklassen).
Damit ggf. zu viel vorausgezahlte Steuer vom Finanzamt erstattet wird, muss eine Einkommensteuererklärung abgegeben werden, in dem die Einkünfte gemäß Tabelle Einkunftsarten erfasst werden. Das Finanzamt berechnet dann die Einkommensteuer im Rahmen des Einkommensteuerbescheids, in dem die Steuerdaten und die Endabrechnung in Form eines Rechenschemas zusammengestellt werden. Falls vorab zu viel Steuer (vor allem Lohnsteuer, Abgeltungssteuer) einbehalten wurde, erfolgt eine Steuererstattung andernfalls eine Steuernachzahlung.
Gemäß BVerfG muss das Existenzminimum steuerfrei bleiben, auf Einkommen bis zum Grundfreibetrag (z.B. 2015: 8472 €; 2016: 8652 €, s. Parameter g0 in der Tabelle) entfallen also keine Steuern. Oberhalb des Grundfreibetrags ist der Einkommensteuertarif progressiv. Infolge dieser beiden Effekte (Grundfreibetrag; Progression) zahlt das untere Fünftel fast keine Steuern (Anteil 0,1 %), das obere Fünftel dagegen 71,1 % [6] , darunter das oberste Zehntel mehr als die Hälfte (54,6 %) (s. folgende Tabelle: Datenstand 2011).
Dezil Einkommensklasse
Dezil-Einteilung Anteil
10. 69.582 ≤ x 54,6 54,6
9. 50.059 ≤ x < 69.582 16,5 71,1
8. 39.370 ≤ x < 50.059 10,9 82,0
7. 32.173 ≤ x < 39.370 7,3 89,3
6. 26.191 ≤ x < 32.173 5,3 94,6
5. 20.115 ≤ x < 26.191 3,4 98,0
4. 14.033 ≤ x < 14.033 1,5 99,5
3. 8.459 ≤ x < 14.033 0,4 99,9
1./2. 0 ≤ x < 8.459 0,1 100,0
Datenstand: 2011
In der Tabelle ist x das "zu versteuernde Einkommen" (zvE) (s.u.) im Jahr 2011.
Die Einkommensklassen sind nach Dezilen eingeteilt, wobei die unteren beiden Dezile zum untersten Fünftel (Quintil)) zusammengefasst sind, d.h. die obersten 8 Zeilen umfassen jeweils 10 %, die unterste Zeile 20 % der Einkommensbezieher.
Einkommensteuer-Verteilung: 2014 2015
Einkommensteuergesetz: Grundzüge
Das Einkommensteuergesetz (EStG) Deutschlands ist sehr kompliziert und es werden daher im Folgenden nur die Grundzüge dargestellt.
Laut EStG sind nahezu alle Einkünfte zu versteuern. Ausnahmen sind u.a.:
steuerfreier Arbeitslohn, z.B. Zuschläge für Arbeit nachts und an Sonn-/Feiertagen
Lohnersatzleistuen, wie z.B. Arbeitslosengeld
geringfügige Beschäftigung, u.a. sog. 400-Euro-Jobs
nebenberufliche Tätigkeit, z.B. als Übungsleiter, Ausbilder, Altenpfleger
ehrenamtliche Tätigkeit, z.B. in gemeinnützigen Vereinen
Glücksspiel-Gewinne, z.B. Lotto, Toto, Roulette
Die Einkünfte, die nach EStG zu versteuern sind, gliedert das EStG in folgende
sieben Einkunftsarten (Reihenfolge gemäß EStG):
Einkunftsarten § im EStG
1. Land- und Forstwirtschaft 13 - 14a
2. Gewerbebetrieb 15 -17
3. selbständige Arbeit 18
4. nicht selbständige Arbeit 19 - 19a
5. Kapitalvermögen 20
6. Vermietung und Verpachtung 21
7. Sonstiges (u.a. Renten, Unterhalt, Veräußerungsgewinne) 22 -23
Die Einkünfte aus Kapitalvermögen werden gesondert behandelt mittels der Abgeltungssteuer. (§ 32d EStG). Bei den anderen sechs Einkunftsarten werden die Einkünfte im Prinzip jeweils als Saldo Einnahmen minus Ausgaben bestimmt, wobei allerdings eine Fülle von Regelungen im Detail das Berechnungsverfahren komplizieren.
Das "zu versteuernde Einkommen" (zvE) ist dann die
Summe der obigen Einkünfte (außer Kapital)
minus "Sonderausgaben" (u.a.: gewisse Versicherungen, Ausbildungskosten;
Ausgaben bei Behinderten) und Freibeträgen (z.B. für Kinder).
Laut Bundesverfassungsgericht darf das Existenzminimum nicht besteuert werden, deshalb wird im Einkommensteuergesetz (EStG) ein sog. Grundfreibetrag festgelegt. Es wird also nur der Teil des Einkommens besteuert, der den Grundfreibetrag übersteigt.
Das Existenzminium wird tournusmäßig alle 2 Jahre durch die Bundesregierung im Existenzminimumbericht festgelegt und der Grundfreibetrag entsprechend erhöht.
(--> Parametertabelle).
Wieviel Steuer zu zahlen ist, bestimmt der Steuertarif (s.Folgeabschnitt)
Der in §32a Einkommensteuergesetz (EStG) definierte Steuertarif wird "Grundtarif" genannt. Er regelt direkt die Besteuerung von Einzelpersonen und definiert über eine einfache Transformation auch den "Splittingtarif", der früher nur für zusammenveranlagte Ehepaare galt, nach BVG-Urteil vom 7.5.13 aber auch rückwirkend zum 1.8.2001 für eingetragene Lebenspartnerschaften [70] [71] [72] .
Auch das aktuell diskutierte "Familiensplitting" wird durch den Grundtarif definiert, denn es ist der bisherige Splittingtarif mit einem variablen Splittingfaktor, bei dem neben den Eltern auch die Kinder berücksichtigt werden (bisher Faktor konstant = 2).
Der Grundtarif ist also die Basis aller Steuertarife und Steuersätze.
Der Grundtarif hat im Prinzip folgenden dreigeteilten Verlauf:
a) Nullzone bis zum Grundfreibetrag keine Steuer: Steuerbetrag = 0
b) Progressionszone immer stärker ansteigender Steuerbetrag (Graf: Parabelstück).
lineare Progression: Der Grenzsteuersatz(1) steigt linear, d.h. in Form einer Geraden, vom Eingangssteuersatz(2) bis zum Spitzensteuersatz (3).
c) Proportionalzone gleichbleibend ansteigender Steuerbetrag (Graf: Gerade)
Der Grenzsteuersatz ist konstant gleich dem Spitzensteuersatz
(1) Grenzsteuersatz: Änderungsrate des Steuertarifs = Steuersatz, mit dem eine kleine
Einkommensänderung zu versteuern ist [81] (Anstieg der Steuerfunktion [82] ).
(2) Eingangssteuersatz = Grenzsteuersatz am Anfang der Progressionszone, also für
das zu versteuernde Einkommen, das um 1 € größer ist als der Grundfreibetrag,
ab 2009: 14 % (Online-Rechner mit x = g0 + 1)
(3) Spitzensteuersatz = Grenzsteuersatz in der Proportionalzone
ab 2007: 42 % | 45 % (Reichensteuer) (s. Parametertabelle)
Der Grenz-, Differenz und Effektivsteuersatz können mit dem Online-Rechner ermittelt werden.
Bei den Tarifen der vergangen Jahre wurde Zone b) noch einmal unterteilt und ab dem Jahr 2007 auch die Zone c) durch Einführung der sog. "Reichensteuer".
Daten/Großansicht Meist wird nicht die eigentliche Steuerfunktion dargestellt sondern der Grenzsteuersatz, also die Änderungsrate der Steuerfunktion (Mathematik: Ableitung), die ab 2007 in fünf Zonen aufgeteilt ist. Daten für das Jahr 2018:
Zone Grenze* (€) Grenzsteuersatz (%)
0) Nullzone
1) Progressionszone I
bis 13.996
linearer Anstieg von 14,00 auf 23,97
2) Progressionszone II
bis 54.949
linearer Anstieg von 23,97 auf 42,00
3) Proportionalzone I
bis 260.532
konstant 42,00
4) Proportionalzone II
ab 260.533
konstant 45,00
* 0) bis 3): rechte Grenze, also 0 - 9000; 9001 bis 13.996 usw.
4) linke Grenze
Grundtarif: Berechnungsverfahren und Parameter
Da der Tarif fast jedes Jahr geändert wird (z.B. durch Erhöhung des Grundfreibetrags), ist es zweckmäßig, ihn in parametrisierter Form darzustellen, d.h. mit Kurzbezeichnungen für die konkreten Zahlenwerte.
Ab dem Jahr 2004 wird die Einkommensteuer nach folgendem Rechenschema berechnet.
Dabei bezeichnet x das auf volle Euro abgerundete "zu versteuernde Einkommen (zvE)" (s.o), der zu berechnende Steuerbetrag ist eine Funktion von x und wird mit Grundtarif (x) bezeichnet.
Grundtarif: Berechnungsverfahren
Zone x (€) Einkommensteuer Grundtarif (x) (€)
Nullzone x ≤ g0 0
Progressionszone I g0 < x ≤ g1 (a1 • y + b1) • y y = (x − g0) / 10000 (1)
Progressionszone II g1 < x ≤ g2 (a2 • z + b2) • z + c2 z = (x − g1) / 10000 (1)
Proportionalzone I g2 < x ≤ g3 m1 • x − n1
Proportionalzone II g3 < x m2 • x − n2 (sog. "Reichensteuer" ab 2007)
Der Steuerbetrag ist auf den nächsten vollen Betrag abzurunden. Splittingtarif (x) = 2 • Grundtarif (x/2 )
(1) Die in § 32a EStG vorgesehene Berechnung der Zwischenwerte y, z kann natürlich unterbleiben, in dem der jeweilige Zwischenwert im Funktionsterm ersetzt wird durch seinen Term:
Progressionszone I: (a1 • (x − g0) /10000 + b1) • (x − g0) /10000
Progressionszone II: (a2 • (x − g1) / 10000 + b2) • (x − g1) / 10000 + c2
Grundtarif: Parameter-Tabelle
g0 bis g3 sind die oberen Zonengrenzen, also: g0 = Grundfreibetrag
Die a, b, c-Parameter bestimmen das Parabelstück in der jeweiligen Progresssionszone. Aus der Stetigkeit der nicht gerunden Steuerfunktion [83] folgt c1 = 0 [84], c1 taucht daher in der Tabelle nicht auf.
Die m, n-Parameter bestimmen das Geradenstück in der jeweiligen Proportionalzone.
Jahr g0 g1 g2 g3 a1 b1 a2 b2 c2 m1 n1 m2 n2
2004 7.664 12.739 52.151 ---1 793,10 1.600 265,78 2.405 1.016,00 0,45 8.845,00 ---1 ---1
2005-06 7.664 12.739 52.151 ---1 883,74 1.500 228,74 2.397 989,00 0,42 7.914,00 ---1 --1
2007-08 7.664 12.739 52.151 250.000 883,74 1.500 228,74 2.397 989,00 0,42 7.914,00 0,45 15.414,00
2009-11 7.834 13.139 52.551 250.400 938,68 1.400 228,74 2.397 1.007,00 0,42 8.064,00 0,45 15.576,00
2012 8.004 13.469 52.881 250.730 912,17 1.400 228,74 2.397 1.038,00 0,42 8.172,00 0,45 15.694,00
2013 8.130 13.469 52.881 250.730 933,70 1.400 228,74 2.397 1.014,00 0,42 8.196,00 0,45 15.718,00
2014 8.354 13.469 52.881 250.730 974,58 1.400 228,74 2.397 971,00 0,42 8.239,00 0,45 15.761,00
2015 8.472 13.469 52.881 250.730 997,60 1.400 228,74 2.397 948,68 0,42 8.261,29 0,45 15.783,19
2016 8.652 13.669 53.665 254.446 993,62 1.400 225,40 2.397 952,48 0,42 8.394,14 0,45 16.027,52
2017 8.820 13.769 54.057 256.303 1.007,27 1.400 223,76 2.397 939,57 0,42 8.475,44 0,45 16.164,53
2018 9.000 13.996 54.949 260.532 997,80 1.400 220,13 2.397 948,49 0,42 8.621,75 0,45 16.437,70
1 keine Angabe, da die Reichensteuer erst ab 2007 eingeführt wurde.
Zur Förderung von Ehepaaren wurde für sie der "Splittingtarif" eingeführt, bei dem der Durchschnitt ihrer Einkünfte mittels Grundtarif versteuert und dieser Steuerbetrag anschließend verdoppelt wird:
Splittingtarif ( x1 + x2 ) = 2 • Grundtarif ( (x1 + x2) / 2) )
Falls beide Einkommen in der selben Proportionalzone liegen, stimmen Splittingtarif und Einzelversteuerung überein, d.h.
Splittingtarif ( x1 + x2 ) = Grundtarif ( x1 ) + Grundtarif ( x2 ) [85] ,
andernfalls ist der Splittingtarif deutlich günstiger, da der Anstieg der Steuerfunktion zunimmt (Progressionszone) oder gleich bleibt (Proportionalzone) [86] .
Falls ein Einkommen 0 ist (typischerweise: Hausfrauen-Ehe [53]), folgt für das dann
einzige Einkommen x:
Splittingtarif ( x ) = 2 • Grundtarif ( x / 2 )
Der Splittingtarif ist bis zum doppelten Grundfreibetrag 0 und steigt danach zunächst deutlich langsamer an als der Grundtarif [87]. Er liegt bis weit in die Progressionszone sogar unter der Hälfte des Grundtarifs: beim Tarif 2010-12 bis rund 29.900 €;
beim Tarif 2013 bis rund 30.300 €; beim Tarif 2014 bis rund 31.000 € (s.Online-Rechner ).
Bis zur doppelten Grenze der Progressionszone wächst der absolute Unterschied der beiden Tarife und bleibt danach zunächst konstant = n1 (2012: 8172 €; 2013: 8196 €).
Bei sehr hohen Einkommen vergrößert die Reichensteuer den Abstand auf maximal n2 (2012: 15.694 €; 2013: 15.718 €). Der Grenzsteuersatz ist dann der Spitzensteuersatz, dem sich der Effektivsteuersatz immer mehr annähert [88] .
Daten/Großansicht Der im vorigen Abschnitt beschriebene Einspareffekt des Splittingtarifs im Vergleich zur Einzelversteuerung nach Grundtarif belastet den Staatshaushalt erheblich: Im Jahr 2010 mit rund 20 Mrd. €. Hinzu kommen weitere sich auf Ehepaare (auch ohne Kinder) beziehende staatliche Leistungen im Umfang von 55 Mrd. €, zusammen also 75 Mrd.€ [54]. Über die Jahre summieren sich die staatlichen Aufwendungen z.B. pro Hausfrauenehe auf über eine halbe Million Euro [55].
Der Splittingtarif wurde ursprünglich eingeführt, um die Betreuung und Erziehung von Kindern im Rahmen der Familie (i.d.R. in Form der traditionellen Hausfrauenehe) steuerlich zu subventionieren. Er ist über die Jahre immer mehr in die Kritik geraten [56] . Es wird daher zunehmend gefordert, das Splitting nur auf Familien mit Kindern anzuwenden oder ganz abzuschaffen und stattdessen die Kinderbetreuung und - erziehung auf geeignetere Weise staatlich zu fördern.
Als eine Reform des bisherigen in die Kritik geratenen Ehegatten-Splittings wird das sog. "Familiensplitting" vorgeschlagen: Der Splittingtarif soll nur dann zur Anwendung kommen, falls steuerrechtlich zu berücksichtigende Kinder oder Jugendliche (in Schule oder Ausbildung bis zu einem Alter von z.B. 25 Jahre) Teil der Familie sind.
Ergänzend könnte der Splittingtarif modifiziert werden, indem der bisherige konstante Splittingfaktor 2 ersetzt wird durch einen variablen Familienfaktor F, also: Splittingtarif ( x ) = F • Grundtarif ( x / F)
Es sind verschiedene Varianten zur Berechnung des Familienfaktors F denkbar, z.B.
könnten Erwachsene und Kinder mit unterschiedlichen Zählwerten eingehen, z.B. Eltern jeweils mit dem Wert 1 und Kinder jeweils mit dem Wert 0,5. Für eine Familie mit 2 Eltern und 2 Kindern ergibt sich der Faktor F = 1 +1 + 0,5 + 0,5 = 3. Im folgenden Online-Rechner wird diese Modellvariante mit 3 als Vorgabewert gerechnet [57] .
Bei dieser Variante des Familiensplittings fallen deutlich weniger Steuern als beim bisherigen Splitting an: Bis zum 3-fachen Grundfreibetrag (2014: 3 • 8354 = 25.062) ist der Steuerbetrag = 0, danach steigt er deutlich langsamer an; er beträgt z.B. beim Tarif 2014 bis knapp unter 70.000 € weniger als die Hälfte des Grundtarifs. Der absolute Unterschied zwischen Grundtarif und Familiensplitting wächst bis auf ein Maximum von 2 • n (2014: 2 • 15.761 = 31.522).
Mit "kalter" Progression wird der Effekt bezeichnet, wenn trotz Lohnerhöhung die Kaufkraft sinkt. Ursache dafür ist a) die Progression im Steuertarif und b) die Inflation. Zunächst ist zu beachten, dass a) alleine nicht die kalte Progression bewirken kann, weil dazu der Differenzsteuersatz mindestens 100 % sein müsste, was aber bei weitem nicht der Fall ist. Er ist nur etwas größer als der Grenzsteuersatz, dessen Maximum der Spitzensteuersatz von aktuell 45 % ist, also weniger als die Hälfte von 100 % [91]. Damit insgesamt die Kaufkraft sinkt, muss die Inflationsrate hinreichend groß sein, mindestens etwas mehr als die Hälfte der Lohnerhöhung [92] . Bei der aktuell sehr niedrigen Inflation wird diese Schwelle nicht erreicht. Da außerdem in etwa alle 2 Jahre der Grundfreibetrag angehoben wird, hat die Kalte Progression derzeit kaum Bedeutung.
Berechnungen mit Online-Rechner
Um die Entwicklung der Steuerbeträge und Steuersätze im Zeitverlauf einfach vergleichen zu können, listet die folgende Tabelle alle Steuerbeträge und - sätze seit 2004, ab wo die Steuer nach einem gleichbleibenden Algorithmus berechnet wird (nur die Parameter ändern sich). Zu jedem Steuerbetrag bzw. Steuersatz werden jeweils 3 Werte als Trippel, durch | getrennt, gelistet.
Berechnung gemäß: Grundtarif | Splittingtarif | Familiensplitting
Das Familiensplitting ist bisher nicht Teil des Steuergesetzes sondern ein in Parteien und Medien diskutierter Vorschlag zur Reform des bisherigen Ehegattensplittings. In der hier berechneten Variante wird der
konstante Faktor 2 des bisherigen Splittingtarifs durch einen variablen Faktor F ersetzt, der neben dem zu versteuernden Einkommen x und der Einkommensdifferenz Δx interaktiv eingegeben werden kann. Aus der Definition des Splittingtarifs folgt, dass sich der bisherige Splitting- bzw. Grundtarif als Spezialfall des neuen Familiensplittings ergeben, nämlich bei Eingabe von F=2 bzw. F=1.
x: auf volle Euro abgerundetes* "zu versteuerndes Einkommen" (zvE) (s.o.) (Vorgabe: 30.000 €, max. 10 Mio. € )
F: Faktor für das Familiensplitting* (Vorgabe: F = 3; min = 1; max = 10)
Δx: Einkommensdifferenz zur Berechunung des Differenzsteuersatzes (Vorgabe: 1.000 €; max = 1 Mio)
Berechnungen mit Tabellenkalkulation
Der obige Online-Rechner eignet sich für die Berechnung einzelner Werte, wer aber z.B. Wertetabellen anlegen will oder die Steuerfunktion für eigene Berechnungen, z.B. die Erstellung der Einkommensteuererklärung, verwenden will, wird ggf. motiviert sein, den Steuertarif selbst im Rahmen einer Tabellenfunktion zu programmieren, um aufwändige Rechnungen durch Automatisieren effektiv erledigen zu können.
Die folgenden Hinweise sollen dazu eine Hilfestellung bieten. Sie gelten für den Steuertarif ab 2004.
Programmierung der Steuerfunktion
Der Grundtarif (s. Berechnungsverfahren) wird programmiert als Fallunterscheidung, wobei x das abgerundete "zu versteuernde Einkommen" (zvE) ist.
Das Mal-Zeichen • wird durch * ersetzt, die Indizierung der Parameter wird ohne Tiefstellung dargestellt, da sie in Tabellenkalkulationen und Programmiersprachen nicht üblich ist.
Zur Vereinfachung unterbleibt die Berechung der in § 32a EStG definierten Zwischenwerte y, z, in dem sie durch ihren Funktionsterm ersetzt werden:
Falls x ≤ g0 dann steuer = 0
sonst falls x ≤ g1 dann steuer = (a1 * (x - g0) /10000 + b1) * (x - g0) /10000
sonst falls x ≤ g2 dann steuer = (a2 * (x - g1) /10000 + b2) * (x - g1) /10000 + c2
sonst falls x ≤ g3 dann steuer = m1 * x - n1
sonst steuer = m2 * x - n2
Der Vergleichsoperator "≤" wird üblicherweise in Programmiersprachen als "<=" geschrieben. Falls das Probleme bereitet kann das Berechnungsverfahren auch in umgekehrter Reihenfolge mit dem Operator ">" dargestellt werden. Diese Variante eignet sich besonders für die weiter unten beschriebene Programmierung der Fallunterscheidung mittels Schachtelung der Wenn( )-Anweisung.
für Wenn-
Falls x > g3 dann steuer = m2 * x - n2
sonst falls x > g2 dann steuer = m1 * x - n1
sonst falls x > g1 dann steuer = (a2 * (x - g1)/10000 + b2) * (x - g1)/10000 + c2
sonst falls x > g0 dann steuer = (a1 * (x - g0)/10000 + b1) * (x - g0)/10000
sonst steuer = 0
Falls die verwendete Tabellenkalkulation eine Programmierung ermöglicht, bietet es sich an, die Fallunterscheidung als Funktion zu programmieren und dabei alle Parameter zu übergeben, z.B. in der Programmiersprache Visual-Basic für Excel-Tabellen.
Grundtarif (...)
Grundlage für alle weiteren Funktionen ist die Funktion "Grundtarif" mit einer Parameterliste für jeden Jahrgang. Mit dieser Funktion werden alle weiteren programmiert.
Damit sich die Programmierung auch in der Schreibweise möglichst eng an das obige Berechnungsverfahren anlehnt und auch zur besseren Lesbarkeit, werden im folgenden die 13 Parameter g0, g1, ..., m2, n2 (s.Parametertabelle) einzeln hintereinander an die Funktion übergeben. Der Nachteil dieses Verfahrens ist, dass für jeden Jahrgang eine extra Grundtarif-Funktion definiert werden muss (Grundtarif14(x), Grundtarif15(x), Grundtarif16(x) usw.), was allerdings einfach durch Kopie des Grundschemas und Ersetzen der Parameter zu bewerkstelligen ist.
Alternativ kann neben dem Einkommen x auch der Jahrgang j in die Funktion Grundtarif übergeben werden, so dass die Jahrgangstarife über z.B. Grundtarif(14,x), Grundtarif(15,x), Grundtarif(16,x) usw. adressiert werden. Dazu müssten die 13 Parameter eines Jahrgangs zu einem Jahrgangsvektor und diese wiederum zu einer 2-dimensionalen Tabelle (analog zur obigen Parametertabelle) zusammengefasst werden. Diese kompakte Programmier-Variante wird oben im Online-Rechner verwendet, hier aber nicht weiter verfolgt, da sie schreibtechnisch komplizierter und daher schlechter nachvollziehbar ist.
Function Grundtarif (x,g0,g1,g2,g3,a1,b1,a2,b2,c2,m1,n1,m2,n2 )
if x <= g0 then
grundtarif = 0
elseif x <= g1 then
grundtarif = Int( (a1 * (x - g0) / 10000 + b1) * (x - g0) / 10000 )
elseif x <= g2 then
grundtarif = Int( (a2 * (x - g1) / 10000 + b2) * (x - g1) / 10000 + c2 )
elseif x <= g3 then
grundtarif = int( m1 * x - n1 )
grundtarif = int( m2 * x - n2 )
Punkt und Komma Achtung: Programmiersprachen verwenden i.d.R. die im Englischen gültigen Schreibweisen für Dezimalzahlen, also den Punkt (statt Komma im Deutschen) als Trennzeichen vor dem Bruchteil. Das Komma dient dagegen i.d.R. als Trennzeichen in der Parameterliste. Diese Variante wird im Folgenden verwendet.
Bei jedem Jahrgang müssen jeweils 13 Parameter aus der obigen Parametertabelle übergeben werden.
Function Grundtarif17(x)
Grundtarif17 = Grundtarif(x, 8820, 13769, 54057, 256303, 1007.27,1400,0,
223.76, 2397,939.57, 0.42,8475.44, 0.45, 16164.53)
Function Splittingtarif17(x)
Splittingtarif17 = 2 * Grundtarif17(x / 2)
Function Grundtarif18(x)
Grundtarif17 = Grundtarif(x, 9000, 13996, 54949, 260532, 997.8,1400,0, 220.13,2397,948.49, 0.42,8621.75, 0.45, 16437.7)
Function Splittingtarif18(x)
Splittingtarif18 = 2 * Grundtarif18(x / 2)
Mit den im vorigen Absatz programmierten Funktionen kann in der Tabellenkalkulation nun z.B. eine Wertetabelle erstellt werden:
Zeile 1 x Grundtarif 2014 Splittingtarif 2014
Zeile 2 20000 = Grundtarif14(A2) = Splittingtarif14(A2)
Zeile 3 30000 = Grundtarif14(A3) = Splittingtarif14(A3)
Zeile 4 usw. = usw. = usw.
Falls keine Programmiersprache verwendet werden kann, bieten die meisten Tabellenkalkulationen die Fallunterscheidung mit der Funktion Wenn( ) an:
Wenn( Begingung; Ja-Befehl; Nein-Befehl ).
Die Fallunterscheidung im Grundtarif wird durch Schachtelung der Wenn-Anweisung programmiert. Um Probleme mt dem Vergleichsoperator "≤" bzw. "<=" zu vermeiden, verwenden wir im Folgenden die obige Variante 2 mit dem Operator ">"
Wenn (x>g3; m2 * x − n2;
Wenn (x>g2; m1 * x − n1;
Wenn (x>g1; (a2 * (x − g1)/10000 + b2) * (x − g1)/10000 + c2;
Wenn (x>g0; (a1 * (x − g0)/10000 + b1) * (x − g0)/10000; 0))))
Laut § 32a EStG ist der Steuerbetrag auf den nächsten ganzen Euro abzurunden. Die meisten Tabellenkalkulationen bieten dafür geeignete Funktionen, deren Bezeichnung jedoch nicht einheitlich ist. Heißt die Funktion z.B. "Abrunden", so ergibt sich folgende Eingabezeile für die entsprechende Zelle der Tabellenkalkulation:
= Abrunden ( Wenn( .... ); 0)
Komplette Eingabezeile als Kopiervorlage
Hinweis: Die Datei ist vom Typ ".txt" und enthält nur reinen Text, d.h. keine nichtsichtbaren Zeichen (z.B. Zeilenvorschub oder sonstige Steuerzeichen), die mgw. Probleme in der Tabellenkalkulation bereiten könnten.
Nach Anpassung der Zelladresse und des Deziamltrennzeichens (Punkt oder Komma) und ggf. der Namen für die Funktionen (Abrunden, Ganzzahl u.ä. ) sollte die Programmierzeile direkt funktionieren.
in benannten
Zur möglichst lesbaren und direkten Umsetzung dieses Konzepts werden die
Parameter in entsprechend benannte Extrazellen geschrieben.
In der obigen Wenn( )-Schachtelung ist dann x durch Spalte A zu ersetzen
Zeile 1 x Einkommensteuer 2012
Zeile 2 20000
= Abrunden ( Wenn (A2>g3;m2*A2-n2;..........);0)
Zeile 3 30000
= Abrunden ( Wenn (A3>g3;m2*A3-n2;..........);0)
Zeile 4 usw.
Falls auf benannte Extrazellen für die Parameter verzichtet werden soll, sind in der Parameterliste statt der Symbole g0, g1 usw. die konkreten Zahlenwerte der Parameter aus der Parametertabelle einzusetzen, wodurch sehr lange unübersichtliche Zeichenketten entstehen. Zur Fehlervermeidung empfiehlt sich, diese Zeile mittels der Funktion "Suchen und Ersetzen" in einer Textverarbeitung zu erstellen. Für die Jahrgänge ab 2014 können die entsprechenden Zeilen der Kopiervorlage (txt, unformatiert) entnommen werden.
Berechnungen mit Taschenrechner
Da die Teilfunktionen des Grundtarifs nach dem für Berechnungen günstigen Horner-Schema angegeben sind, können die Rechnungen auch mit dem Taschenrechner leicht durchgeführt werden, zumal nur die Basisoperatoren benötigt werden. Vorausgesetzt wird aber, dass der Taschenrechner einen Speicher für ein Zwischenergebnis hat.
Verwendet werden die Parameter vom Grundtarif 2010-2012:
Auf die Berechnung der Zwischenergebnisse y, z wird verzichtet, da sie elementar ist.
Achtung: Beim Taschenrechner wird in den Zahlen der Punkt (nicht das Komma) als Trennzeichen vor dem Bruchteil verwendet.
Nullzone Das zu versteuernde Einkommen (zvE) betrage 8000 €:
da 8000 < Grundfreibetrag (8004): Einkommensteuer = 0,
Progressionszone I Das zvE betrage 12000 €, also ist y = 0,3996 [abspeichern],
dann die Tippfolge:
x 912.17 + 1400 = [Anzeige: 1764.50...] x Speicher = [Anzeige: 705.095....].
Dieser Wert wird abgerundet auf 705.
Progressionszone II Das zvE betrage 30000 €, also ist z = 1.6531 [abspeichern],
x 228.74 + 2397 = [Anzeige: 2775.13..] x Speicher + 1038 = [Anzeige: 5625.567....]
Dieser Wert wird abgerundet auf 5625.
Proportionalzone I Das zvE betrage 70000 €: :
Tippfolge: 0.42 x 70000 - 8172 = [Anzeige: 21228]
Dieser Wert ist schon ganzzahlig, also 21228.
Proportionalzone II Das zvE betrage 260000 €:
Tippfolge: 0.45 x 260000 - 15694 = [Anzeige: 101306]
Dieser Wert ist schon ganzzahlig, also 101306.
07.11.12 (107)
Bundesregierung: Neunter Existenzminimumbericht f�r 2014
Nach Vorgaben des Bundesverfassungsgerichts muss das Existenzminimum (Ernährung, Unterkunft, Heizkosten, Bildung und soziale Teilhabe) von der Einkommensteuer freigestellt werden. Deshalb hat die Bundesregierung alle zwei Jahre einen Bericht �ber das Existenzminimum von Erwachsenen und Kindern vorzulegen. Im 9. Bericht für das Jahr 2014 werden folgende sog. "sächliche" Minima berechnet: Alleinstehende: 8352€ (= "Grundfreibetrag" in $32a EStG); Ehepaare 14016 €; Kinder: 4634 €. Bei Kindern kommt hinzu ein Freibetrag von 2640 € für den Bedarf an Betreuung, Erziehung und Ausbildung, zusammen also ein Kinderfreibetrag von 7008 € pro Kind. Vom Einkommen werden zunächst die Freibeträge für Kinder abgezogen, vom verbleibenden Rest ist dann nur der Teil oberhalb des Grundfreibetrags zu versteuern (ausführliche Erklärungen und Rechnungen in: Einkommensteuer)
Download : 9. Existenzminimumbericht für 2012 [BMF 7.11.12]
Bundesregierung: Achter Existenzminimumbericht f�r 2012
Nach Vorgaben des Bundesverfassungsgerichts muss das Existenzminimum (Ernährung, Unterkunft, Heizkosten, Bildung und soziale Teilhabe) von der Einkommensteuer freigestellt werden. Deshalb hat die Bundesregierung alle zwei Jahre einen Bericht �ber das Existenzminimum von Erwachsenen und Kindern vorzulegen. Im 8. Bericht für das Jahr 2012 werden folgende sog. "sächliche" Minima berechnet: Alleinstehende: 8004 € (= "Grundfreibetrag" in $32a EStG); Ehepaare 16009 €; Kinder: 4368 €. Bei Kindern kommt hinzu ein Freibetrag von 260 € für den Bedarf an Betreuung, Erziehung und Ausbildung, zusammen also ein Kinderfreibetrag von 7008 € pro Kind. Vom Einkommen werden zunächst die Freibeträge für Kinder abgezogen, vom verbleibenden Rest ist dann nur der Teil oberhalb des Grundfreibetrags zu versteuern (ausführlich Erklärungen und Rechnungen in: Einkommensteuer)
M�rz 10 (39)
Jahrgang: 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 Alle
[1] Staatsfinanzen: öffentliche Haushalte 2008 bis 2012 [xls, Globus 4874 vom 29.03.12]
[2] Steuerspirale 2011 [xls, Globus 5019 vom 14.06.2012]
[3] Steuern 2010 und Sozialabgaben 2011 [FR-Infografik 21.09.12, S.3]
[4] Daten: siehe [2]: Die durch das EStG definierte Einkommensteuer ist dort aufgeteilt (in Mrd. €)
Lohnsteuer 139,749, (veranlagte) Einkommensteuer 31,996, nicht veranlagte Steuern vom Ertrag 18,136, Abgeltungssteuer auf Zins-u. Veräußerungserträge, zusammen: 197,901, erhöht um 5,5 % Solidaritätszuschlag ergibt 208,786, das sind 36,4 % von 573,351.
Die Quelle in [3] weist für 2010 sogar 38,6 % Einkommensteuer aus, mgw. kommen also noch weitere Steueranteile aus anderen Steuerarten in der "Steuerspirale 2011" hinzu.
[5] Daten: siehe [4]: Lohnsteuer/EStG-Summe = 139,749 Mrd./ 197,901 Mrd = 70,6 %
[6] Die 80-20-Relation (Paretoprinzip), die für viele durch Ungleichheit geprägte Verteilungen annähernd gilt, wird also noch deutlich unterschritten.
[51] Der Grundfreibetrag wird im Einkommensteuergesetz (EStG) als Teil des Jahressteuergesetzes (JStG) festgelegt. Das JStG 2013 basiert auf dem vom Deutschen Bundestag am 29.3.2012 verabschiedeten Gesetz zum Abbau der "kalten Progression". Dieses Gesetz scheiterte aber im Bundesrat und am 12.12.12. auch im Vermittlungsausschuss, der aber empfahl, den Grundbeibetrag zu erhöhen und den Tarif entsprechend anzupassen, wobei allerdings die Eckwerte (Eingangssteuersatz, Grenzsteuersatzverlauf, Spitzensteuersatz, Reichensteuer) gleichbleiben [s. Drucksache 35-13 mit Tarif im Anhang "Drucksache 17/11842"]. Dieser Empfehlung entsprach der Bundestag am 17.01.13 und der Bundesrat am 1.2.13. Diese Reform wird vermutlich im März 2013 in Kraft treten. Der entsprechend geänderte Tarif für 2013 bzw. 2014 ist im Online-Rechner bereits eingebaut.
[52] siehe [51]
[53] Das Ernährermodell "Hausfrauen-Ehe" oder "Zuverdiener-Ehe", das durch den Splittingtarif erheblich subvenioniert wird (s.[54],[55]), ist seit Jahren in der Kritik und gilt als nicht mehr zeitgemäß (s.[56]).
[54] siehe [3]
[55] Simone Schmollack: Eine Hausfrauenehe ist so teuer wie ein Eigenheim [dlf 19.1.12]
[56] Der Splittingtarif ist immer mehr in die Kritik geraten, weil er als Folge der demografischen Entwicklung (jede zweite Ehe ist kinderlos) nicht mehr in erster Linie die Kindererziehung in Familien fördert sondern das Ernährermodell "Hausfrauen-Ehe" oder "Zuverdiener-Ehe", das nicht mehr zeitgemäß ist: Trotz häufig guter Ausbildung werden Frauen verleitet, nicht selbst erwerbstätig zu werden oder wegen Mutterschaft ihre Erwebstätigkeit stark einzuschränken oder ganz aufzugeben, wodurch sie in Abhängigkeit vom Ehemann geraten. Im Fall der Trennung (jede 3.Ehe wird geschieden) und im Alter drohen Armut. Außerdem fehlen dem Arbeitsmarkt dringend benötigte gut ausgebildete Fachkräfte.
s.a.: Astrid Rothe-Beinlich: Das Ehegattensplitting ist ungerecht und unzeitgemäß [FR 23.05.13, S.10]
[57] Die unterschiedliche Bewertung der Familienmitglieder im Familienfaktor wird z.B. in Frankreich genutzt, um die Geburtenrate hoch zu halten (bei rund 2 %), indem die Familien zum 3. Kind motiviert werden dadurch, dass das 3. Kind doppelt so hoch wie das 1. / 2. bewertet wird: Eine Familie mit 2 Erwachsenen und 3 Kindern bekommt in Frankreich den Faktor 4 (= 2 + 0,5 + 0,5 + 1)
[70] Bundesverfassungsgericht (BVerfG): Urteil zur Grunderwerbsteuer bei Homo-Paaren vom 08.08.2012
a) Pressemitteilung [BVerfG 8.8.12]; b) Überblick Zusammenfassung [tagesschau 8.8.12]
[71] Bundesverfassungsgericht (BVerfG): Urteil zum Adoptionsrecht bei Homo-Paaren vom 19.02.2013
a) Pressemitteilung [BVerfG 19.2.13]; b) Überblick Zusammenfassung [tagesschau 19.2.13]
[72] Bundesverfassungsgericht (BVerfG):
a) Urteil zum Ehegattensplitting vom 07.05.2013, b) Pressemitteilung vom 06.06.2013
Exkurse in die Mathematik der Oberstufe
In der Seite oben nur angeführte Sachverhalte werden im folgenden mathematisch begründet. Dabei werden die mit der Einkommensteuer verbundenen Inhalte und Verfahren der Oberstufen-Mathematik kurz kontextbezogen erklärt. Die teils ausgeführten Beweise können auch als Brücke zwischen Oberstufe und Studium dienen, indem vom Funktionsgrafen her anschauliche Aspekte formalisiert und bewiesen und dabei mathematische Schreibweisen und Beweistechniken verwendet werden.
[81] Exkurs Mathematik: Grenzsteuersatz
Häufig lautet die eher umgangssprachliche Definition des Grenzsteuersatzes in etwa so:
"Der Grenzsteuersatz ist der Steuersatz, mit dem der letzte hinzuverdiente Euro zu versteuern ist". Wörtlich genommen liefert diese Definition jedoch oft falsche Ergebnisse, z.B. 0 %, wie die folgende Analyse zeigt.
Zur Abkürzung sei x das zu versteuernde Einkommen, f(x) die Steuer und g(x) der Grenzsteuersatz für das Einkommen x. Wird die obige Definition formalisiert, so ist also g(x) = ( f(x+1) - f(x) ) / 1.
Durch die in §32a EStG geforderte Abrundung des zu versteuernden Einkommens zu Anfang und des Steuerbetrags am Ende der Berechnung steigt die Steuerfunktion nicht kontiunierlich sondern in Sprüngen um 1 oder mehr, d.h. für viele x gilt f(x+1) = f(x), also g(x) = 0 oder f(x+1) = f(x) +1, also g(x) = 1=100 %.
Das gilt für viele x sogar mit einem Differenzwert Δx > 1, also f(x+Δx) = f(x), z.B. beim Tarif 2012:
f(x) = 0 für x = 8004 bis 8011 und f(8012) = 1, also für x=8004 bis 8010: g(x) = 0 statt richitg 14 %;
g(8011) = 1/1 = 100 % statt richtig 14 %.
Die Methode, den Grenzsteuersatz über einen Differenzenquotient mit sehr kleinem Δx zu berechnen, ist also aufgrund der Rundungsprozesse nicht geeignet. Bei z.B. Δx = 1000 (Vorgabewert im.Online-Rechner) spielen die Rundungen keine Rolle mehr, allerdings ist der Differenzsteuersatz dann etwas größer als der Grenzsteuersatz (siehe [90])
Um möglichst gute Ergebnisse zu erzielen, wird der Grenzsteuersatz durch bereichsweises Ableiten der nicht gerundeten Steuerfunktion bestimmt (siehe [89]).
[82] Exkurs Mathematik: Änderungsrate, Differenzenquotient, Differentialquotient
Der Grenzsteuersatz ist die Änderungsrate des Steuertarifs. Bezeichnet f die Steuerfunktion, x das zu versteuernde Einkommen und Δx eine kleine Einkommensdifferenz, so gilt nach Definition aus der Differentialrechung:
Grenzsteuersatz (x) = f´(x) = Grenzwert von f(x+Δx) / Δx für Δx → 0
Diese Grenzwertbildung funktioniert aber nur, falls die in §32a EStG vorgeschriebene Abrundung auf volle Euro unterlassen wird und die dort bereichsweise angegebenen Teilfunktionen verwendet werden. Der Grenzsteuersatz ist dann der Anstieg der jeweiligen Teilfunktion, also deren 1.Ableitung.
Zur Ableitung der bereichsweise definierten Steuerfunktion siehe [89].
Zur Berechnung des Grenzsteuersatzes mittels Differenzenquotient f(x+Δx) / Δx siehe auch [81], [90] .
Der Online-Rechner erstellt nach Eingabe von x und Δx eine Steuertabelle, die alle Steuerbeträge und Steuersätze (Effektiv-, Grenz- und Differenzsteuersatz) nach Grund- und Splittingtarif zusammenstellt.
[83] Exkurs Mathematik: Stetigkeit einer bereichsweise definierten Funktion
Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass die Abrundung beim Einkommen und Steuerbetrag unterbleibt.
Die Steuerfunktion ist dann eine bereichsweise definierte Funktion, die so konstruiert ist, dass sie überall stetig ist: die Teilfunktionen innerhalb des jeweiligen Bereichs sind stetig (Gerade oder Parabel). Die Parameter sind so bestimmt bzw. berechnet, dass die Teilgrafen an den Rändern der Bereiche nahtlos (ohne Sprung) ineinander übergehen.
[84] Exkurs Mathematik: Definition von Parabeln; Horner-Schema; lineare Transformation
Die Teilstücke der Steuerfunktion in den Progressionszonen sind Parabeln 2. Ordnung. Sie werden gemäß Horner-Schema f(x) = (ay + b) y + c definiert, was die Berechnung erleichtert. Außerdem wird noch die lineare Transformation y = ( x - g) / 10000 durchgeführt. Da die Steuerfunktion ingesamt stetig sein soll (kein Spung an den Rändern), muss die 1. Parabel bei 0 starten, d.h. c1 = 0.
Exkurs Mathematik: Lineare Funktion
Liegen die Einkommen x1, x2 beide in der selben Proportionalzone, dann liegt auch ihr Durchschnitt (x1+x2)/2 in dieser Zone. Dort ist der Grundtarif g eine Gerade, also g(x) = mx - n. Daraus folgt:
s(x1+x2) = 2( m(x1+x2)/2 - n ) = 2( m(½x1+½x2) - n ) = mx1+ mx2 - 2n = mx1 - n + mx2 - n = g(x1) + g(x2),
d.h. der Splittingtarif liefert den gleichen Steuerbetrag wie die Einzelversteuerung.
Exkurs Mathematik: Lineare Appoximation einer konvexen Funktion
Der Anstieg der Steuerfunktion nimmt zu (Linkskrümmung in der Proportionalzone) oder bleibt gleich (Gerade in der Proportionalzone), die Steuerfunktion ist also konvex
Definition: x,y und a,b seien positive Zahlen. Falls a+b =1, heißt ax + by eine Konvexsumme.
Eine Funktion heißt konvex, falls für jede Konvexsumme gilt: f(ax + by) ≤ a f(x) + b f(y),
d.h. der Funktionswert der Konvexsumme ≤ Konvexsumme der Funktionswerte.
Es lässt sich allgemein beweisen, dass eine Funktion konvex ist, falls ihr Anstieg größer wird (linksgekrümmt: wie Parabel in der Progressionszone) oder mindestens gleich bleibt (Gerade: wie in der Proportionalzone). Aus der Konvexität des Grundtarifs kann abgeleitet werden, dass bei Ehepaaren der Splittingtarif kleiner oder gleich der Einzelversteuerung nach Grundtarif ist:
Zur Abkürzung bezeichne s bzw. g den Splitting- bzw. Grundtarif und x1, x2die Einkommen.
s(x1+x2) = 2g( (x1+x2) /2 ) = 2g(½x1+½x2) ≤ 2 ( ½g(x1) + ½g(x2) ) = g(x1) + g(x2)
Falls g linksgekrümmt ist ( g"(x) > 0 ), z.B. in der Progressionszone, kann allgemein gezeigt werden, dass g dann streng konvex ist, also g(ax1 + bx2) < ag(x1) + bg(x2 ) für jede Konvexsumme:
Mit x1und x2 liegt auch ihre Konvexkombination ax1+ bx2in der Progressionszone. Sei t die Tangente an g an dieser Stelle also t(x) = mx - n mit m= g ' (ax1+ bx2) und n > 0.
g(ax1+ bx2) = t(ax1+ bx2) = m (ax1+ bx2) - n = amx1+ bmx2 - n = amx1+ bmx2 - (a+b)n =
amx1+ bmx2 - an -bn = amx1- an + bmx2 - bn = a(mx1- n) + b(mx2 - n) = at(x1) + bt(x2) < ag(x1) + bg(x2),
da die Tangente wegen der Linkskrümmung von g unterhalb von g verläuft.
Speziell für a=½ und b=½ folgt: g(½x1 + ½x2) < ½g(x1) + ½g(x2), oder umgeformt:
2 g((x1+x2) /2 ) < g(x1) + g(x2), also s(x1+x2) < g(x1) + g(x2), d.h. der Splittingtarif ist günstiger als die Einzelversteuerung nach Grundtarif.
Exkurs Mathematik: Ableitung einer verketteten Funktion
Zur Abkürzung bezeichnen s den Splitting- und g den Grundtarif. Für nur ein Einkommen x folgt:
s(x) = 2 g(x/2), d.h. s ist die Verkettung zweier Funktioen: erst x → x/2 und dann y → g(y).
Der Anstieg von s, also die Ableitung s´(x), ist also mittels Kettenregel zu berechen:
s´(x) = ( 2 g(x/2) )´ = 2 ( g(x/2) )´ = 2 g´(x/2) • (x/2)´ = 2 g´(x/2) • 1/2 = g´(x/2)
Da die Steigung von g (Grenzsteuersatz) in der Proportionalzone linear zunimmt, ist sie an der Stelle x/2 deutlich kleiner als an der Stelle x, d.h. der Grenzsteuersatz des Splittingtarifs beim Einkommen x ist deutlich kleiner als der Grenzsteuersatz des Grundtarifs beim Einkommen x.
Exkurs Mathematik: Lineare Funktion: Vergeich von Splitting- und Grundtarif für große x
s(x) = 2 g(x/2). Für hinreichend großes x, liegen x/2 und x beide in der Proportionalzone, also:
s(x) = 2 g(x/2) = 2 (mx/2 - n) = mx - 2n = mx - n - n = g(x) - n,
d.h. beide Tarife sind dort Geraden, und s verläuft im Abstand n unterhalb von g.
Beide Geraden haben den Grenzsteuersatz m, dem sich der Effektivsteuersatz E(x) immer mehr nähert:
Grundtarif: E(x) = (mx - n) / x = m - n/x → m
Splitting: E(x) = (mx - 2n) / x = m - 2n/x → m
[89] Exkurs Mathematik: Ableitung einer bereichsweise definierten Funktion
Der Grenzsteuersatz ist die Änderungsrate des Steuertarifs, also gleich dem Anstieg der Steuerfunktion, der bestimmt wird durch bereichsweises Berechnen der 1. Ableitung (Differentialrechung-Regeln) der Teilfunktionen, die im Folgenden mit f0´(x) bis f4´(x) bezeichnet werden:
(0) Nullzone: f0´(x) = 0
(1) Progressionszone 1: f1´( x) = (2 a1 • y + b1) / 10000; y = (x − g0) / 10000
(2) Progressionszone 2: f2´( x) = (2 a2 • z + b2) / 10000; z = (x − g1) / 10000
(3) Proportionalzone 1: f3´(x) = m1
(4) Proportionalzone 2: f4´(x) = m2.
Die in § 32a EStG vorgesehene Berechnung der Zwischenwerte y, z kann natürlich unterbleiben, in dem der jeweilige Zwischenwert im Funktionsterm ersetzt wird durch seinen Term:
(1) Progressionszone 1: f1´( x) = ( 2 a1 • (x − g0) / 10000 + b1) / 10000
(2) Progressionszone 2: f2´( x) = ( 2 a2 • (x − g1) / 10000 + b2) / 10000
Die Grenzsteuerfunktion ist in g0 und g3 nicht stetig (anschaulich: sie macht dort einen Sprung),
denn f0´(g0) = 0 und f1´(g0) = b1/10000 > 0, f3´(g3) = m1 und f4´(g3) = m2 > m1
d.h. die Steuerfunktion f verläuft in g0 und g3 nicht glatt sondern eckig.
In g1 und g2 ist die Grenzsteuerfunktion stetig, d.h. die Steuerfunktion f verläuft dort glatt, weil die Parameter so festgelegt bzw. berechnet wurden.
[90] Exkurs Mathematik: Differenzsteuer und Grenzsteuer
Bezeichne x das abgerundete zu versteuernde Einkommen, E(x) die Einkommensteuer zu x (berechnet mittels Grund- oder Splittingtarif). Der effektive Steuersatz, mit dem eine Einkommenserhöhung Δx versteuert wird, ist dann der Differenzenquotient ΔE / Δx, genauer D(x,Δx) = ( E(x+Δx) - E(x) ) / Δx
Ist Δx nicht zu groß und auch nicht zu klein (siehe [82]) ist D(x,Δx) nur etwas etwas größer als der Grenzsteuersatz G(x). Zum Vergleich wird im Online-Rechner mit Δx = 1000 € als Vorgabewert gerechnet.
Bei festem Δx = 1000 € ist der Abstand von D(x,Δx) und G(x) für x = Grundbetrag + 1 am größten, z.B.
Grundtarif 2010-12 : D(8005) = 14,90 %; G(8005) = 14,00 %.
Mit wachsendem Δx weicht D(x,Δx) immer mehr von G(x) ab, bei großem Δx sollte der Differenzenquotient
( E(x+Δx) - E(x) ) / Δx tatsächlich berechnet und nicht über G(x) geschätzt werden.
Um diese Rechung einfach durchführen zu können, kann neben x auch Δx im Online-Rechner eingegeben werden.
Wird die Abrundung beim Steuertarif unterlassen gilt: G(x) = Grenzwert von D(x) für Δx → 0, s. [82]
[91] Exkurs Mathematik: Kalte Progression
Bezeichne x das zu versteuernde Einkommen und Δx den Einkommenszuwachs. Dieser wird mit dem Differenzsteuersatz D(x,Δx) besteuert (s.[90]), nach Steuern verbleibt also ein Zuwachs von Δx • (100 % - D(x,Δx)). Dieser ist positiv, da D(x,Δx) < 100 %: D(x,Δx) ist nur etwas größer als der Grenzsteuersatz G(x) (s.[90]), dessen Maximum der Spitzensteuersatz ist und der liegt aktuell bei 45 %. Die Progression im Steuertarif kann also selbst im Extremfall nur bewirken, dass der Lohnzuwachs um ca. 45 % reduziert wird.
[92] Kalte Progression: Rechenbeispiel mittels Grundtarif für das Jahr 2014 in Euro:
Bezeichnungen wie unter [91]
Das zu versteuernde Einkommen (zvE) sei am Anfang x = 40.000. Nach Abzug v. 8949 Steuer verbleiben 31060 Kaufkraft. Nach einer Lohnerhöhung von z.B. p = 4 % ist der Lohnzuwachs Δx = x • p = 1600, also . das erhöhte zvE x • (1 + p) = 41600 Euro, abzügl. 9524 Steuern verbleiben nach Steuern 32076.
Laut Steuertabelle ist der Diffenzsteuersatz d = D(40.000, 1.600) = 0,365, also 1 - d = 0,635
Bezeichnet i die Inflationsrate, die den Zuwachs nach Steuern auf 0 bringt (Break-Even-Rate), so folgt:
x • p • (1 - d) = x • (1 + p) • i, also i = (1 - d) • p / (1 + p) = 0,635 • 0,04 / 1,04 = 2,44 %
Kontrolle: 2,44 % von 41.600 = 1015; 32076 - 1015 = 31061
2,45 % von 41.600 = 1019; 32076 - 1019 = 31057
Aus der Lohnerhöhung p und dem Differenzsteuersatz d kann also auf einfache Weise die Break-Even-Rate der Inflation i berechnet werden.
Eine Inflation höher als die Break-Even-Rate führt zu Kraufkraftverlust trotz Lohnerhöhung. Bei einer normalen Lohnerhöhung bleibt der Lohnzuwachs Δx so klein, dass der Differensteuersatz d nur wenig über den Grenzsteuersatz g liegt. Wird also in der Formel d durch g ersetzt, steigt i ein wenig, z.B. mit den obigen Werten : i = 0,639 • 0,04 / 1,04 = 2,46 %.
Da g mit steigenden Einkommen wächst bis zum Spitzensteuersatz von 45 %, sinkt die Break-Even-Rate auf minimal 0,55 • 0,04 / 1,04 = 2,12 %, etwas mehr als die Hälfte der Lohnerhöhung.
Falls nur überschlägig gerechnet wird, kann (1+p) durch 1 ersetzt werden, wodurch sich das Ergebnis etwas erhöht: i = (1 - g) • p = 0,639 • 0,04 = 2,56 %.
Zum überschlägigen Kopfrechnen kann dann noch der 1- g zur Kompensation nach unten abgerundet werden: 0,63 • 0,4 = 2,52.
Stand: 07.01.16/zgh

References: §32
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