Source: https://es.scribd.com/document/102115932/Diferencia-Finita
Timestamp: 2016-10-24 11:11:27+00:00

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Asumiendo que f es continuamente diferenciable. atrasada o anterior es de la forma
Finalmente.Dependiendo de la aplicación. Una diferencia regresiva. en lugar de aproximarse a cero.
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable). el error es
Sin embargo. el término de la derecha se convierte en
Por lo tanto. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
. la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0. la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. Viene dada por
Si h tiene un valor fijado no nulo.
De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. invirtiendo la exponencial. sino que puede tratarse de una serie asintótica.Donde D denota el operador derivada. pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Sin embargo. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de para y y aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de en x. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Incluso para funciones analíticas. es
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico. que hace corresponder con su derivada decir. ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los dos primeros términos de la serie llevan a:
El error de la aproximación es del orden de h2. obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:
Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero.
. Por ejemplo. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas. las series de la derecha no convergen con seguridad.
. Formalmente.
el método de las diferencias finitas es un método utilizado para calcular de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.
. búsqueda Plantilla:Mate-esbozo En análisis numérico.
Consideremos la deducción de la aproximación de diferencia para en términos de . Básicamente. no podemos determinar una solución correcta. tenemos
. convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales). Para una derivada de p-ésimo orden. en una solución por diferencias finitas. METODO DE EXPANSION DE TAYLOR El método de expansión de Taylor es una forma alternativa de obtener aproximaciones de diferencia. La expansión de Taylor de alrededor de es (1). Este método no solo deduce las fórmulas de diferencia sistemáticamente. El método para resolver
es idéntico pero la solución general se escribe en función del número e. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos. las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas.
METODO DE DIFERENCIAS FINITAS INTRODUCCION El método de diferencias finitas es un clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. el número mínimo de puntos de datos requeridos para deducir una aproximación de diferencia es . sino que también deduce los términos de error.expresa una combinación lineal de la solución Si analizamos el Wronskiano de soluciones particulares obtendremos para t=0 y t=1
Si el Wronskiano es cero. Resolviendo la ecuación anterior para la primera derivada. así por ejemplo una aproximación de diferencia para la primera derivada de una función necesita por lo menos de dos puntos de datos.
. dónde .(2). El error también es proporcional a la segunda derivada . y resolviendo nuevamente para la primera derivada. De la misma manera podemos expandir alrededor de en la forma (4). . Los términos que se ignoran constituyen el error de truncado. la aproximación de diferencia central se expresa como
(8). obtenemos (7). dónde . Esta aproximación se denomina de diferencia hacia atrás. El término indica que el error es aproximadamente proporcional al intervalo de la retícula . obtendremos la aproximación por diferencia hacia adelante. Si ignoramos todos los términos con excepción del primero del miembro derecho de la ecuación (2). Los demás términos desaparecen más rápidamente que el inicial cuando disminuye. dónde . Con el término de error incluido. La aproximación de diferencia hacia adelante. representado por el término inicial. expresión de la cual se ha eliminado el término . Resolviendo para . tenemos
y aquí de la misma manera (5). se expresa como (3). con el error de truncado incluido. Tomemos ahora ambas aproximaciones y restemos (4) de (1):
la aproximación de diferencia obtenida sería menos exacta porque el término del error inicial sería de segundo orden en lugar de ser de tercer orden. Multiplicado la (9) por 4 y restándole la (10). de modo que el término inicial de los errores de truncado es el término de la derivada de tercer orden. si se eliminaran los términos de la tercera derivada de las ecuaciones (9) y (10) en lugar de los de la segunda derivada. Como ilustración de lo anterior. de modo que tenemos un punto mas del mínimo requerido. Resolviendo para :
. La (12) es la aproximación de diferencia hacia adelante de tres puntos. Como ya se expuso. Aumentando el número de puntos de datos puede obtenerse una aproximación de diferencia mas exacta.Resulta interesante observar que gracias a la cancelación del término . una aproximación de diferencia de requiere al menos puntos de datos. Por otro lado. Entonces. reduciendo reducimos el error con mayor rapidez que con las otras aproximaciones. Con éstas dos ecuaciones es posible cancelar los términos de la segunda derivada. obtenemos
(11). deduciremos una aproximación de diferencia para la primera derivada utilizando tres puntos de datos . Análogamente.
(10). Las expansiones para se escriben:
(9). dónde el término de error está dado por . Su error es del mismo orden que el de la aproximación por diferencia central de dos puntos. el error de la aproximación es proporcional al cuadrado de y no a .
La ecuación anterior es la aproximación de diferencia central para . el resultado será: . el cual consiste en eliminar la primera derivada y el mayor número posible de derivadas de orden dos ó superior. en la cual el error está dado por . dónde el error está representado por . dónde . El orden de su error de truncado es menor que el de la aproximación de diferencia central. Como ilustración deduciremos la aproximación de diferencia para en términos de . Las expansiones de Taylor de y están dadas por las ecuaciones (4) y (1) respectivamente. Si multiplicamos por 2 la expansión de Taylor de y la restamos de . Podemos deducir otra aproximación de diferencia para en términos de (el número mínimo de puntos de datos para es 3). Resolviendo la anterior para la segunda derivada:
(15). Sumando ambas obtenemos:
ó de forma equivalente .
. La ecuación (15) es la aproximación de diferencia hacia atrás para . Las aproximaciones de diferencia para la segunda derivada se deducen aplicando el mismo principio. Entonces si truncamos después del término y reacomodamos los términos tendremos (14).(13).
Primera derivada Aproximaciones de diferencia hacia adelante
. De éste modo la mayor exactitud pertenece a la aproximación de diferencia central. De forma similar podemos obtener aproximaciones de diferencia para derivadas superiores. No obstante. pero la deducción se hace cada vez mas laboriosa al aumentar tanto el número de términos como el orden de la derivada.dada por (14). cuyo uso es frecuente. seguidamente damos las expresiones de diferencias. Sería útil por lo tanto el desarrollo de algoritmos computacionales que permitan hallar automáticamente la aproximación de diferencia para un conjunto dado de datos.
las aproximaciones de diferencia hacia adelante. Consideremos una función bidimensional . La aproximación de diferencia para la derivada parcial con respecto a . Las aproximaciones de diferencia central para las segundas derivadas de en están dadas por:
.Tercera derivada Aproximaciones de diferencia hacia adelante
APROXIMACION DE DIFERENCIA PARA DERIVADAS PARCIALES Las fórmulas de aproximación de diferencia para derivadas parciales de funciones multidimensionales son esencialmente iguales a las de diferenciación de funciones unidimensionales. puede deducirse fijando en un valor constante y considerando como una función unidimensional. por ejemplo. central y hacia atrás para éstas derivadas parciales se pueden escribir. Por tanto. respectivamente:
Como ejemplo. la cual satisfaga una ecuación diferencial dada en una región . esto es. queremos determinar una función . DIFERENCIAS FINITAS EN UNA DIMENSION Supongamos estar frente a un simple problema unidimensional de contorno. con las siguientes condiciones de contorno: Tomamos por simplicidad la función de carga longitudinal (variación lineal).
. consideremos el análisis de una barra uniforme (módulo elástico longitudinal y área de sección transversal ) como la mostrada en la figura. La ecuación diferencial que corresponde a la formulación de éste problema es
El punto de grilla en sólo se coloca con el fin de imponer la condición de contorno. Este proceso. Sustituyendo la aproximación de diferencia central de la segunda derivada en un punto en (18). comenzamos por diferenciar la variable independiente . Para la solución por diferencias finitas aplicamos (19) a todas las estaciones y utilizando las condiciones de contorno anteriores. involucra una aproximación y puede lograrse haciendo uso de aproximaciones de diferencias finitas (deducidas anteriormente por medio de las expansiones de Taylor). Tomando ahora las condiciones de contorno: (20)
(21). El siguiente paso es reemplazar los términos de la ecuación diferencial que involucran diferenciación por términos que involucren solo operaciones algebraicas. obtenemos:
(19). esto es.Para resolver el problema vía diferencias finitas. dónde es la carga en el punto de grilla y puede pensarse como la carga total aplicada sobre la estación de diferencia finita. en la cual hemos tomado las estaciones extremas y la aproximación de diferencia central para la primera derivada. construimos un conjunto (ó grilla ó malla) de puntos de grilla discretos. dónde . necesariamente. igualmente espaciados sobre el rango (ó dominio) . obtenemos:
De modo matricial podemos escribir (22) de la forma (23). dónde evidentemente:
. Debe recordarse que la solución sólo aproxima a la solución exacta del problema porque hemos reemplazado derivadas por diferencias. Las cargas en los puntos de grilla correspondientes a se obtendrían usando el valor de carga distribuida en el punto de grilla l y multiplicando ese valor por la longitud de contribución (h para los puntos de grilla internos y para el punto de grilla final).(22) (los elementos no mostrados de la matriz son nulos). pues la naturaleza de la formulación diferencial hace que su resolución analítica sea viable por métodos de uso común. cada uno de rigidez . La ecuación (22) es idéntica a la que se hubiera derivado utilizando una serie de n elementos de resorte. Aquí y . Tal vez con éste ejemplo no se aprecie la utilidad de las diferencias finitas. No obstante. lo importante de recalcar y que es conclusión general es que hemos reemplazado un problema de determinación de una función continua desconocida por un problema de resolución de una ecuación matricial para un conjunto de valores discretos .
. Esta es la esencia del método.
construimos un conjunto de puntos de grilla . Es evidente que el error decrece a medida que se aumenta el número de puntos de grilla. Consideremos un problema de torsión elástica de una barra prismática (región rectangular) . Se deja como ejercicio plantear el problema con números crecientes de puntos de grilla y ver como evoluciona el error comparando los resultados obtenidos con los que se obtienen a partir de la solución exacta. Para aplicar el método de diferencias finitas en ésta situación. Aquí es el módulo elástico transversal . es el ángulo de torsión de cada sección y es la función de tensión que satisface la condición en los contornos. dónde es el módulo elástico longitudinal y es la relación de Poisson. aunque los principios utilizados son idénticos a los de una dimensión. DIFERENCIAS FINITAS EN MAS DE UNA DIMENSION El problema de aproximación de ecuaciones diferenciales en dos ó más variables independientes es obviamente un poco más comprometido. regido por la ecuación diferencial siguiente:
(24).La solución exacta corresponde a: . y también un conjunto de puntos de grilla igualmente espaciados sobre el rango
. igualmente espaciados en el rango con . A tal fin. procedemos exactamente de la misma manera que en el caso unidimensional. El momento torsor está dado por y la tensión tangencial en una dirección cualquiera en la sección se obtiene a partir de . Esto es conclusión inmediata de la formulación de las aproximaciones de diferencia por medio de las expansiones de Taylor.
a través del trazado de líneas paralelas al eje a través de cada punto .
Aplicaremos a la resolución de la siguiente barra prismática. con .. utilizando la grilla que vemos a continuación:
. Un punto típico de grilla está dado entonces por las coordenadas . El método de diferencias finitas es ahora aplicable a la ecuación (24). y de la misma forma. La región en la cual se requiere la solución está entonces cubierta por una grilla rectangular de diferencias finitas. lo que significa que nuevamente reemplazaremos los términos que involucran ahora derivadas parciales por sus correspondientes aproximaciones de diferencias finitas. trazando paralelas al eje a través de cada punto .
Utilizando las aproximaciones por diferencia (17). El uso de las condiciones de simetría requiere que a lo largo del eje y que similarmente a lo largo del eje . Entonces las condiciones son:
De igual manera se aplican en todos los puntos situados en el contorno de la región . y por simplicidad tomamos . tenemos que. Utilizaremos una malla de tamaño . llegándose a condiciones similares en todos los casos. tenemos que la aproximación de diferencia central de la primera derivada era
(despreciando el término de error). Planteando ecuaciones de tipo (25) para todos los puntos interiores de la región. las anteriores se reducen al siguiente conjunto:
. Aplicando ésta condición por ejemplo en el punto como el . han sido planteadas sistemáticamente. para un punto como el : (25). y las condiciones de contorno sobre los límites . la solución necesita ser obtenida sólo para una cuarta parte de la sección. siguiendo solamente la regla de la aproximación de diferencia de la segunda derivada.Por condiciones de simetría. Notamos que el valor de la función de tensión debe ser proporcional a la constante . tenemos:
Las anteriores. Aplicando los criterios de simetría. como se muestra en la figura anterior.
valor que puede compararse con la solución exacta . tenemos:
(26). Similarmente. obteniéndose . se utiliza la regla trapezoidal en un dominio bidimensional. entonces se tiene que como solución del sistema de ecuaciones (26). Para evaluar el momento torsor. la máxima pendiente está en el punto y una posible aproximación al valor absoluto de la máxima tensión de corte es
. y . el que puede resolverse para el vector incógnita por cualquier método adecuado. La aproximación obtenida por el uso de la fórmula de diferencia hacia atrás es de menor orden de exactitud que la aproximación utilizada para la formulación principal del problema. Denotando el punto . Podemos mejorar nuestra aproximación de utilizando tres valores de la función de tensión sobre la sección central como sigue. Resolviendo. podemos escribir.Disponiendo las anteriores de forma matricial. con . Nuevamente podemos comparar con el valor exacto dado por (error: ). utilizando la aproximación de diferencia hacia atrás para la derivada . Nuevamente tenemos un sistema del tipo . según la expansión de Taylor:
dónde D está en la línea AB. Utilizando el primer término del lado derecho como aproximación.
. dónde E está en AC. Si. Digamos que y corresponden a las soluciones para las grillas anteriores 1 y 2 respectivamente y que corresponde a la solución exacta en el punto que estamos considerando. Lo importante es comprender que existe una posibilidad de solución. entonces los resultados de dos soluciones sobre grillas de espaciado pueden extrapolarse como se detalla a continuación. El aparentemente inabordable (ó a lo sumo matemáticamente dificultoso) problema de resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales ha sido reemplazado por un problema puramente algebraico en el cual debe resolverse un cierto número de ecuaciones simultáneas. aunque ésta involucre una aproximación. ilustran las posibilidades de la discretización. Insertando adecuadamente los valores. De ambas es posible eliminar el término de . Obviamente este resultado presenta mayor exactitud que el obtenido con la aproximación de diferencia hacia atrás. Para problemas pequeños es viable una resolución manual. el error cometido es entonces del mismo orden que el cometido en la aproximación de la ecuación que gobierna el problema. APROXIMACION Y CONVERGENCIA Las soluciones uni y bidimensionales para ecuaciones diferenciales parciales ordinarias derivadas anteriormente por procedimientos numéricos de diferencias finitas. pero es conveniente desarrollar algoritmos computacionales para automatizar las operaciones de cálculo.. es necesario estudiar la convergencia del método de acuerdo al refinamiento de la malla. Hemos mostrado ya que el error en las aproximaciones de diferencias finitas decrece incrementando la densidad del mallado. el error de una aproximación es del orden de . tenemos (error: ). en un intento por estimar la magnitud de los errores ocurridos al producirse una aproximación. De ésta forma. obteniendo entonces:
. aún cuando no conocemos la magnitud del error. por ejemplo. de la cual podemos extraer la solución exacta. Para aplicar el proceso a una situación en la cual no disponemos de la solución exacta.
Finite Elements and Approximation. 1982. K-J. Análisis Matemático Avanzado. O. Es aplicable también a casos bidimensionales y tridimensionales. J. Reverté. Zienkiewicz. El Método de Elementos Finitos. Análisis Numérico y Visualización Gráfica con MatLab. Prentice Hall. 1996.L. 1997. Limusa. Prentice Hall. Reddy & M. John Wiley & Sons. y proporciona un método para mejorar la solución a partir de los resultados obtenidos para dos grillas de distinto tamaño de espaciado. S. Bibliografía O.Esta relación se conoce como extrapolación de Richardson. Rasmussen.C. Nakamura.
.C. 1983. Bathe.N. Finite Element Procedures. Zienkiewicz & K. Morgan. 1992.
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