Source: https://www.scribd.com/document/366004005/1-Distribuciones-Disc
Timestamp: 2018-11-15 23:20:52+00:00

Document:
Uploaded by Daryl De Valière-Reyes Y Habsburgo
machote para la resolucion de problemas de estadistica discontinua
C5 V.A.U.2303
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CÁLCULO DE PROBABILIDADES.docx
156-Gutierrez. Musaceae.pdf
Iran Daril Carballo Reyes, Febrero 28.2017
Practica Colifores
Parámetros de Cinética Enzimática Por Métodos de Regresión Lineal y No Lineal
evidencias.equilibrio quimico.docx
Vicente Sánchez y Ramírez
3. DISTRIBUCIONES DISCRETAS
En esta unidad se realiza el estudio de ciertas distribuciones de probabilidad, con
miras a obtener la posibilidad de que ocurra un valor de la variable aleatoria X en un
experimento, para considerarlos como valores probables que ocurra en el futuro.
Además se presenta de manera sencilla como se obtiene la esperanza matemática,
la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.
El objetivo general de la unidad, es mostrar al alumno algunas de las distribuciones
discretas de probabilidad más comunes, así como su aplicación a situaciones reales,
con el fin de que aprenda a realizar inferencias de lo abstracto a lo concreto.
Dentro de los objetivos particulares se contemplan:
El alumno sabrá distinguir los términos de: variable aleatoria, función de probabilidad,
función de distribución de probabilidad y función de distribución acumulativa de
El alumno sabrá describir las características más relevantes de las principales
El alumno sabrá obtener las probabilidades para las principales distribuciones
discretas, mediante su función de probabilidad, la función de distribución acumulativa
de probabilidad y con un software estadístico, con el fin de que le sirvan de
herramienta en la toma de decisiones.
El tema contempla el estudio de las distribuciones de probabilidad: Binomial,
Hipergeométrica, Poisson, Multinomial y Geométrica. Así como aproximación a la
distribución Binomial por la Poisson, aproximación a la distribución Hipergeométrica
por la Binomial y el empleo del software Minitab y Excel en el cálculo de probabilidad
de estas distribuciones.
3.2 Variables aleatorias
En este tema se pretende que el participante conozca las características de las
variables discretas y continuas, así como obtener la probabilidad de un evento
haciendo uso de la función de distribución acumulativa de probabilidad de una
Los subtemas a tratar son: variables discretas y continuas, función de probabilidad,
función de distribución de probabilidad, función de distribución acumulativa de
probabilidad, así como la obtención de la media y la varianza de una variable
Lic. Vicente Sánchez y Ramírez
3.2.2 Variables discretas y continuas.
Una variable es una característica numérica de la población a la que se le puede
asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de
Las variables se dividen en discretas y continuas, las variables discretas son las
que pueden tomar un número finito o infinito de valores. Por ejemplo se desea
estimar el número de niños por familia en un municipio, la escala de medida
empezará en cero para indicar la ausencia de niños, y se irá incrementando de
uno en uno hasta llegar a 3 o quizá 5 para incluir casos extremos.
Observe que al pasar de un valor de la escala al siguiente, utilizamos números
enteros y no fraccionarios, así la familia puede tener 0, 1, 2,....., X niños.
La característica básica de las variables discretas es la igualdad entre sus
unidades contables. En este sentido si estamos estudiando el número de niños por
familia, todos los niños son iguales pues cada uno representa una unidad contable.
Las observaciones obtenidas a través de variables discretas son siempre exactas si
se ha empleado el procedimiento de cómputo adecuado.
Como ejemplos de variables discretas tenemos:
 El número de personas en una conferencia.
 El total de nacimientos en una ciudad.
 El número de empleados en una fábrica.
 El total de glóbulos blancos en un cm2.
 La cantidad de tornillos producidos por una máquina.
 El número de defectos que presenta cierto artículo, etc.
Las variables continuas son aquellas que pueden tomar un número ilimitado de
valores intermedios dependiendo del instrumento de medición.
Es importante señalar que así como la medida de las variables discretas es siempre
exacta, las medidas de las variables continuas son siempre aproximadas.
Por ejemplo si medimos la estatura de algún individuo, cualquier medida observada
es inexacta, porque siempre podemos imaginar una escala de medida más exacta
que la anterior. Así si a una persona la medimos y nos da una altura de 1.72 m. con
una regla que está calculada para proporcionar lecturas con un error de  1 cm.,
podemos tener menor error con una regla cuya escala de error sea de  0.5 cm., y
aun así, no sería suficiente porque siempre podremos construir o imaginar otras
escalas con mayor precisión.
La característica básica de las variables continuas es la igualdad de sus unidades
de medida. Por ejemplo si empleamos el centímetro como unidad de medida, ésta
unidad permanecerá idéntica a través de toda la escala.
Como variables continuas tenemos la longitud, velocidad, tiempo, peso, temperatura,
etc. A manera de ejemplo citaremos:
 La lectura de la temperatura en un termómetro.
 El número de libras de presión de un neumático.
 La altura de la torre latinoamericana.
 La superficie sembrada de cítricos en algún lugar.
 La cantidad de energía eléctrica que consume una máquina en una jornada de
3.2.3 Variables aleatorias y distribuciones discretas de probabilidad.
Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede
tomar es exacto (ya sea finito o infinito).
En la mayoría de los experimentos de tipo repetitivo, y sobre todo en los de la vida
real no interesan todos los posibles resultados del experimento, sino solamente
algunos de ellos, esto implica la introducción de variables aleatorias. Por lo general
se escoge a la letra X para denotar una variable aleatoria.
Para ilustrar la noción de una variable aleatoria, considérese el experimento de
lanzar tres veces al aire una moneda, donde el interés se centra en el total de águilas
que se obtienen; o sea la variable aleatoria X queda definida por el número de
águilas que aparezcan. Por lo tanto el espacio muestral para cada valor de X es:
AAA AAS ASA SAA ASS SAS SSA SSS
Observe que la variable aleatoria X solo puede tomar los valores 0, 1, 2, y 3 pero no
3.2.4 Función de probabilidad de la variable aleatoria X.
La función de probabilidad P(x) de la variable aleatoria X, proporciona la
probabilidad de que suceda el evento X. por ejemplo:
P (0)  P(X=0) = 1/8
P (1)  P(X=1) = 3/8
P (2)  P(X=2) = 3/8
P (3)  P(X=3) = 1/8
Ahora estos eventos compuestos ya pueden tratarse como eventos simples en el
nuevo espacio de muestreo, con solo cuatro puntos.
3.2.5 Función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.
La Función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, relaciona
los valores que toma la variable aleatoria X con sus probabilidades correspondientes
y puede presentarse por medio de una tabla, gráfica o fórmula.
P(x i) 1/8 3/8 3/8 1/8
P Histograma Gráfica de líneas
b 3/8 3/8
l 2/8 2/8
i El val
d 1/8 1/8
0 1 2 3 x 0 1 2 3 x
Yˆ  0.125  0.375 x  0.125 x 2
El valor de x = 0 en las gráficas debería de coincidir con el cruce de los ejes de
coordenadas, por cuestiones de tipo didáctico en las gráficas se sitúa a la derecha
3.2.6 Función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X.
La función de distribución acumulativa F(x), proporciona la probabilidad de que la
variable aleatoria X sea menor o igual a un valor específico de x.
F (x)  P(X  x) =  P( x )
xi  x
Del histograma anterior puede obtenerse la función de distribución acumulativa de X
F (0)  P(X  0) = 1/8
F (1)  P(X  1) = 4/8
es de esperarse que caigan 1.7 Esperanza de la variable aleatoria X. la cual se simboliza por la letra griega µ y se denomina como valor esperado E(X) y se define como: E ( X )     ( X i P ( X i )) Donde: E (x) = valor esperado de X. la media aritmética es una medida de tendencia central que se ubica por lo general en el centro de los datos. 3. De igual forma para describir las características de una distribución de probabilidad. En una población. la varianza es una medida de dispersión que nos cuantifica el alejamiento de los datos con respecto a su promedio.Lic. siendo la más importante la media de la variable aleatoria X.5 águilas. De igual manera en una distribución de probabilidad la varianza de la variable aleatoria X.5 Lo anterior indica que si se lanzan tres monedas al aire una sola vez. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ F (2)  P(X  2) = 7/8 F (3)  P(X  3) = 1 Observe qué: P (X > 2) = 1 – P (X  2) = 1 – F (2) = 1/8 P (X = 1) = P (X  1) – P (X  0) = F (1) – F (0) = 3/8 P (1  X  2) = P (X  2) – P (X  0) = F (2) – F (0) = 6/8 P (X < 2) = P (X  1) = F (1) = 4/8 3. En el ejemplo que nos ocupa la media de la variable aleatoria X es: E (x) =  = 0 (1/8) + 1 (3/8) + 2 (3/8) + 3 (1/8) = 1.5 se encuentra a la mitad de los datos. podemos comprobar que ciertamente 1. Si verificamos este valor en el histograma de la función de distribución de la variable aleatoria X.8 Varianza y desviación estándar de la variable aleatoria X.2.  = media de X. mide la desviación 5 .2. P (xi) = probabilidad de Xi  = letra griega que simboliza suma. es necesario conocer alguna de sus medidas de tendencia central. En una población.
La desviación estándar de la variable aleatoria discreta X.75 = ¾ águilas 2. Su cálculo se hace a partir de: V ( X )   2   ( X i2 P ( X i ))   2 Donde: V(X) =  2 = varianza de X.3 Distribución binomial. por lo tanto la varianza será: V(X) =  2 = 3 – 1. 3. Esta distribución se utiliza cuando el experimento solo presente dos tipos de resultados. ventas.Lic. podemos decir que se trata de la distribución binomial.866 águilas. donde la ocurrencia del evento será el “éxito” y la no ocurrencia el “fracaso”. la probabilidad de éxito permanezca constante durante cierto tiempo y los ensayos son independientes entre sí. 6 . es la raíz cuadrada de la varianza de X y se denota por:   V X  Continuando con nuestro ejemplo la varianza de la variable aleatoria número de águilas que aparezcan es: Calculemos primero E(X2) o sea: (X i 2 P ( X i ) = 02 (1/8) + 12 (3/8) + 22 (3/8) + 32 (1/8) = 3.75 La dispersión esperada alrededor de la media es de 0. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ que toma la variable X con respecto al valor esperado . ya que la podemos aplicar en control de calidad.52 = 0. o sea que el resultado de un ensayo no afecta al resultado que se obtiene en cualquier otro ensayo. 3. Cuando los ensayos que componen un experimento son independientes. La distribución binomial es una de las funciones discretas de probabilidad más empleadas.1 Introducción. mercadotecnia.3.5. Imagínese un experimento en el que el resultado es la ocurrencia o la no ocurrencia de un evento. además cuando la probabilidad de éxito en cada ensayo es independiente y donde el experimento tenga solo dos resultados posibles.75  0. La desviación estándar se define por:   VX   0. “éxito” y “fracaso”. encuestas de opinión etc. Si  = 1.
el término “éxito” o “fracaso” son meras etiquetas. Se sabe entonces que X tiene una distribución binomial con función de probabilidad: n! P ( x. manejo de la tabla de distribución acumulativa. así mismo obtendrá la probabilidad de un evento. bien podríamos decir sirve o no sirve. 3. Las suposiciones claves para la distribución binomial son: 1. Sea X una variable aleatoria que representa el número de éxitos en n ensayos y p la probabilidad de éxitos en cualquiera de estos.2 Función de probabilidad de la distribución binomial. en el que algunas unidades se encuentran defectuosas. Los n ensayos son independientes entre sí. n y 0  p  1 para n entero. resolución de ejercicios y problemas propuestos. Llamemos p la probabilidad de éxito cada vez que el experimento se lleva a cabo y q = 1 – p la probabilidad de fracaso. Ejemplo..Lic. la cual servirá como herramienta matemática en la toma de decisiones en un problema en particular. p )  p x q n x  C xn p x q n x x!(n  x)! Donde: x = 0.1. la función de distribución acumulativa de probabilidad y el empleo del software Excel y Minitab Los temas a cubrir para esta distribución de probabilidad son: función de probabilidad de la distribución Binomial.. es que el alumno sepa identificar cuando un problema puede ser resuelto mediante esta distribución. 3. Dentro de los objetivos particulares se encuentran: El participante conocerá las principales características de la distribución binomial.. Si la probabilidad de unidades defectuosas producidas en este proceso es constante durante un periodo razonable y. La probabilidad de éxito p permanece constante para cada ensayo. Cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles “éxito y fracaso”. El participante obtendrá la probabilidad de un evento empleando: la función de probabilidad. 7 . El interés está en determinar la probabilidad de obtener exactamente X = x éxitos durante los n ensayos. Suponga que el experimento se realiza n veces. pueden hacerse mediante el empleo de la distribución binomial. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ El objetivo general para este tema. características de esta distribución. entonces las probabilidades con respecto al número de artículos defectuosos. si como procedimiento de rutina se selecciona aleatoriamente una muestra de n artículos.3. n. y sea X la variable aleatoria que representa el número de éxitos en los n ensayos. Definición. y cada uno de estos es independiente de todos los demás. 2. Sea un proceso de manufactura que produce un determinado artículo..
00032 0.05120 0. no pasa. La media de la variable aleatoria X se define por  = n p. Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes.1 0. pasa. Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre si. en donde cada miembro tiene una función de probabilidad determinada. sin calidad.40960 0. siempre se esperan dos tipos de resultados. con calidad.3 Características de la distribución binomial. En los experimentos que tienen este tipo de distribución. etc.Lic. Con el fin de mostrar la influencia de los paramentos n y p en la función de distribución binomial (forma de la curva).2 0. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ 3. El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.32768 0. Estos definen una familia de distribuciones binomiales.4 0. ejemplo: defectuoso. La varianza y desviación estándar de la distribución binomial se simbolizan respectivamente por:  2 = n p q y   npq Los parámetros que definen la función de distribución de probabilidad de la distribución binomial son n y p.0 0 1 2 3 4 5 x 8 .3 0. o no defectuoso.3. es decir no cambian.2 0. veamos las siguientes figuras: Gráfica de Distribución de Probabilidad para n = 5 y p = 0.00640 0.20480 fx 0.
2 0.32768 0. Para familiarizase con el cálculo de probabilidad mediante la función de probabilidad Binomial.5.0.1 0.05120 0.30 0.20480 fx 0.25 0.4 0.00 0 1 2 3 4 5 x De éstas gráficas podemos deducir que: a) Cuando n es pequeña y se cree que p es cercana a 0 ó 1 los datos no se distribuyen normalmente. 3.2 0.00640 0.5 0.3 0. 2.Lic. si el tamaño de muestra es n = 6 y la probabilidad de éxito es p = 0.….15625 0. b) Cuando n es pequeña y p es cercana a 0. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Gráfica de Distribución de Probabilidad para n = 5 y p = 0.8 0. la distribución tiende a parecerse a una normal.15 0.0 0 1 2 3 4 5 x Gráfica de Distribución de Probabilidad para n = 5 y p = 0. c) Cuando n es grande los datos tienden a parecerse a una normal.03125 0.40960 0.10 0.31250 0.31250 0.2)  0.00032 0.20 fx 0. 6.03125 0.35 0.1.05 0.15625 0.2 6! P (0.2621 0 0!(6  0)! 9 . obtenga las probabilidades para cuando: x = 0.86  0  0.6.
p) Ejemplo.24576 2!(6  2)! 6! P (3.86 1  0. p) = F (x.4 0.2)  0.8497 = 0.3.1030 10 . 0.3 0.3932 1!(6  1)! 6! P ( 2.6.86  5  0. p) – F (x-1.3) = 0.2 3 0. n. 0.86  3  0.6.2 5 0.262144 0.86  6  0.0.6.0.6.000064 6!(6  6)! La función de distribución de probabilidad de los datos anteriores se define por: Gráfica de Distribución de Probabilidad para n = 6 y p = 0. n. n. 10.8 6  2  0.2)  0.2)  0.001536 5!(6  5)! 6! P (6.0. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ 6! P (1.1 0.08192 3!(6  3)! 6! P ( 4.081920 0.86  4  0. 0.2 0.6.000064 0.2)  0.0 0 1 2 3 4 5 6 x 3.393216 0.245760 0.4 Manejo de la tabla de distribución acumulativa binomial.2 2 0. 10.001536 0.2)  0.2 fx 0.015360 0.2 4 0.0.01563 4!(6  4)! 6! P (5.0.3) = F (5. Encuentre la probabilidad de que x sea exactamente 5 cuando n = 10 y p = 0.2 6 0.Lic.9527 – 0.6. 10.0. El cálculo de probabilidad de un valor específico se define por: P (x.3) – F (4.3 P (5.2)  0.210.
3 P(x  3) = 1 – P (x  2) = 1 – F (2. 10.10) = F (4. 6.F (x.3) = 0. Encuentre la probabilidad cuando x = 4 con n = 6 y p = 0.6172 Ejemplo.0. p) Ejemplo. 6.4482 La probabilidad para un valor mayor que xi y menor que xj se obtiene por: P (xi < x < xj) = P (xj – 1) – P (xi) = F (xj – 1.20 P (4 < x < 8) = P (x  7) – P (x  4) = F (7. 10.20) – F (4.9984 La probabilidad mayor a un valor específico está dada por: P (X > x) = 1 . con n =10 y p = 0.20) 11 .0012 El cálculo de la probabilidad acumulativa hasta un cierto valor queda definido de la siguiente manera: P (X  x. p) – F (xi.10) – F (3.8497 Ejemplo.2 P (x < 5) = P (x  4) = F (4.F (2.Lic. Encuentre la probabilidad de que x  3 con n = 8 y p = 0. 0.3) = 1 . n. Encuentre la probabilidad de que x  4 con n = 10 y p = 0.3) = F (4. p) = F (x. 0.10 P (4. n. 10.3) = 1 – 0. 0. Encuentre la probabilidad de que x > 2 con n = 10 y p = 0. p) Ejemplo. 6.3828 = 0.2) = 0. n. 0. 10. 8. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Ejemplo. p) Ejemplo.9999 – 0. 6.10) = 0. 0. 0. Encuentre la probabilidad de que x < 5 con n = 6 y p = 0.3 P (x  4. Encuentre la probabilidad de que 4 < x < 8. 0.3 P(x > 2) = P(x  3) = 1.9987 = 0. n. 0. 0. n. 0.5518 = 0. 10.
05 = 0.05) = 0. con n =10 y p = 0. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ = 0.Lic. 0.20) = 0.05 6 4  0. 0.0327 Ejemplo. Si entran seis engranes seleccionados al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de tener exactamente dos engranes defectuosos? En este caso la característica de interés son unidades defectuosas.0305 4!(6  4)! 12 .12 3. por lo que p debe darse en porcentaje de defectos.05 q = 1 – 0.9999 – 0.95 4 0.95) y la probabilidad requerida es P (x = 4) 6! P ( 4.9672 = 0.9978 – 0. 6.05) – F (1.95 n=6 P (x = 2) Empleando la función de probabilidad de la distribución binomial será: 6! P (2.9991 – 0.9672 = 0. por lo que p debe darse en porcentaje de unidades sanas (0.3.0306 b) ¿Cuál es la probabilidad de tener exactamente cuatro engranes sanos? Aquí la característica de interés son unidades sanas. 10. En base en experiencia reciente.95)  0. Ejemplo 1.0.0.956 2  0.5 Ejemplos de aplicaciones de la distribución binomial.20 P (4  x  6) = P (x  6) – P (x  3) = F (6.20) – F (3. Encuentre la probabilidad de que x  4 y x  6.05)  0. la probabilidad correspondiente es: P (x = 2) = P (x  2) – P(x  1) = F (2. se sabe que el 5% de los engranes producidos por una máquina cartell-bill resultaron defectuosos. 0. 10. 0.6.8791 = 0.052 0. Datos: p = 0.6.0305 2! (6  2)! Utilizando ahora la función de distribución acumulativa binomial (tablas). 6.
p.8) = 1.8 = 0.0881 6!(10  6)! b) Por lo menos la mitad de sus partidos. Datos: p = 4 / 5 = 0. P (x  5) = 1 – P (x  4) = 1 – F (4.80  1. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Ejemplo 2.2) (0.08)  0. 0.8) = 0.10. 10.0064 = 0.8 6 0. 10.0064 = 0.6 juegos2.2106  0.26 juegos. P (5  x  8) = P (x  8) – P (x  4) = F (8.6178 Resolviendo con la función de distribución acumulativa binomial (tablas).Lic. Desviación estándar. Si la caja tiene 20 piezas y la experiencia ha demostrado que su proceso de manufactura produce el 2% de piezas 13 .8) = 8 e) ¿Cuál es su varianza y desviación estándar? Varianza. Resolviendo con la función de probabilidad de la distribución binomial.2 n = 10 P (x = 6) 10! P (6.0. 0. gana cuatro de cinco partidos cuando juegan como local. Suponga que el equipo de fut-bol Veracruz.8) – F (4.3020 = 0.0.0881 + 0. Ejemplo 3.  2 = n p q = 10 (0.8) = 1 .20)0.q  10(0.0264 + 0. 10.6242 – 0. Si juega 10 partidos como local durante el campeonato de liga. P (5  x  8) = P (x = 5) + P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8) P (5  x  8) = 0.9936 c) De 5 a 8 partidos. Cuál es la probabilidad que gane: a) Exactamente seis partidos. Un fabricante de ciertas piezas para automóviles. garantiza que una caja de sus piezas contiene como máximo dos defectuosas.2013 + 0.6178 d) ¿Cuál es su promedio esperado de partidos a ganar? E(x) =  = n p = 10 (0.   n. 0.8 q = 1 – 0.
02 0 0.0.20.05)  0. 0. la producción se detenga? Datos: p = 0. la probabilidad de tener una unidad defectuosa es 0. a) ¿Cuál es la probabilidad de que. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o más unidades defectuosas. Todos los días se seleccionan de manera aleatoria 15 unidades de un proceso de manufactura.20.02)  0.Lic.0210.055 0.0.98 n = 20 P (x  2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) 20! P (0.02 q = 0. Ejemplo 4.0.F (1. en cualquier día.0. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja de piezas satisfaga la garantía? Una caja satisface la garantía cuando tenga 0.02)  0.829 = 0. 1 ó 2 piezas defectuosas. Datos: p = 0.05.273 + 0.00056 5!(15  5)! 14 .171 b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 5 unidades defectuosas? 15! P (5.20.9936 Este resultado muestra que la garantía del fabricante casi siempre se satisfará. con base a información pasada.0. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ defectuosas.6676 0!(20  0)! 20! P (1.98 20  2  0.053 = 0.95 n = 15 P(x ≥ 2) P(x ≥ 2) = 1 – P (x  1) = 1 .02 2 0.05 q = 0.02)  0.6676 + 0.053 2!( 20  2)! P (x  2) = 0.98 20 1  0.273 1!( 20  1)! 20! P (2.15. con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción.9510  0.05) = 1 . 15. por lo tanto la probabilidad requerida es P (x  2).9820  0  0.
25. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener de 3 a 6 unidades defectuosas? P (3  x  6) = P(x  6) – P(x  2) = F (6.Lic.0.25 0 0. solamente el 17% de éstas familias tienen más de 2 hijos con ojos azules. Si existen seis niños en la familia. b) Exactamente tres hijos tengan ojos azules. 6.25) = 1 . 6. P(x = 3) = P(x  3) – P(x  2) = F (3.05) – F (2. entonces la probabilidad de que no tenga ojos azules es 0.75. encuentre la probabilidad de que: a) Más de dos hijos tengan ojos azules.05) = 1 – 0. por lo tanto la probabilidad buscada es: 6! P (0. 6.9638 = 0.25 y la probabilidad de fracaso es q = 0. 0. 15.6.75 6  0.1694 Existe muy poca probabilidad de que éste tipo de familias tengan tantos hijos con ojos azules.P (x  2) = 1 . 0. 15.75. 0. Para resolver este problema los seis niños deben tratarse como seis intentos independientes de un evento o sea n = 6. donde la probabilidad de éxito en un solo intento es p = 0.25) = 0.9624 – 0. La probabilidad de que cierto tipo de padres con ojos azul-café tengan un hijo con ojos azules es de ¼.0362 Ejemplo 5. 0. 15 .25)  0.25) – F (2.1780 0! (6  0)! Otra manera de ver el problema es: Si la probabilidad de que tenga ojos azules es 0.8306 = 0. Esta probabilidad significa que cero hijos tengan ojos azules.1318 c) Seis hijos no tengan los ojos azules. 0.F (2. Si replanteamos la pregunta ¿cuál es la probabilidad de que seis no tengan ojos azules? En este caso se tendrá que la probabilidad de éxito es p = 0. P (x > 2) = P (x ≥ 3) = 1.0.8306 = 0.75 y la probabilidad solicitada será P (x = 6).
director de control de calidad de la compañía Sanrami se encuentra realizando su revisión mensual de transmisiones automáticas.9991 b) ¿Cuál es la probabilidad de que cinco de las transmisiones elegidas tenga defectos de fábrica? R = 0.3.6.1780 6!(6  6)! Ejemplo 6.62 n = 1000 Como la mayoría de votos se obtiene con 501 sufragios. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de Benavides contenga hasta dos transmisiones con defectos de fábrica? R = 0. 1. A lo largo del tiempo.6 Ejercicios propuestos de la distribución binomial. Si se toma una muestra de 1000 ciudadanos elegidos al azar de entre la población votante.75 6 0.0047 3. R = 0. Se ha dado cuenta de que la probabilidad de que un cliente que solamente se encuentra curioseando compre algo es de 0. se tiene que dos de cada 100 piezas son defectuosas.0306 b) La probabilidad de que ninguna de las personas que curiosean compre algo durante una hora dada.38 q = 0. Datos: p = 0. En un proceso de producción con una productividad de miles de piezas diarias.75)  0. Amado Nochebuena está a cargo de la sección de electrónica en una tienda departamental.3 suponga que 15 clientes visitan la sección de electrónica cada hora. así que la probabilidad requerida es P ( x  501) P ( x  501)  1  P ( x  500) Resolviendo con Minitab la P ( x  500) tenemos que es uno. encuentre: a) La probabilidad de que una persona que curiosea compre algo durante una hora dada. Cada hora se seleccionan 100 piezas de una banda transportadora y se observa si están buenas o defectuosas.Lic.000. R = 0. determine la probabilidad de que obtenga mayoría de votos.25 0  0. se retiran 10 transmisiones de la pila de componentes y se les revisa en busca de defectos de fabricación. Rodolfo Benavides. por lo que P ( x  501)  1  1  0 3. En el procedimiento. Los resultados de la elección para presidente de la república en México en el año de 2012. el inspector tiene instrucciones de parar el proceso si la muestra tiene más de dos piezas defectuosas: 16 . Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ 6! P (6. mostraron que cierto candidato obtuvo el 38 % de los votos. solo el 2% de las transmisiones tiene defectos.00073 2.0.
la probabilidad de tener una unidad defectuosa es k/N. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ a) ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector pare el proceso? b) ¿Cuál es el número medio de piezas defectuosas que encontrará? 4. en la cual hay k unidades defectuosas. según que la primera unidad sacada sea o no defectuosa y así sucesivamente. El objetivo general para este tema.4. a) ¿Cuál es la proporción de paquetes que se devuelven? R = 0. así mismo obtendrá la probabilidad de un evento. las probabilidades de extraer unidades defectuosas son: En la primera extracción.01. la probabilidad de extraer una unidad defectuosa en la segunda extracción será (k-1) / (N-1) ó (k / (N-1). es que el alumno sepa identificar cuando un problema puede ser resuelto mediante esta distribución. ¿cuál es la probabilidad de que devuelva como mínimo cuatro paquetes? R = 0. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar cinco duraznos: a) Los cuatro estén contaminados por la mosca del mediterráneo.00 3. 3.4 Distribución hipergeométrica. 5. b) Tres duraznos se encuentren sanos. La compañía vende los discos en paquetes de diez y garantiza el reembolso del dinero si más de uno de diez discos sale defectuoso. la cual servirá como herramienta matemática en la toma de decisiones en un problema en particular. Dentro de los objetivos particulares podemos citar: El participante identificará las principales características de la distribución hipergeométrica. existan k unidades con la característica de interés. Supongamos que tenemos una muestra de n unidades en un lote de N unidades. el muestreo se realice sin reemplazo y la probabilidad de éxito no permanezca constante en cada ensayo.0042 b) Si alguien compra siete paquetes. Este tipo de distribución debe ser empleada cuando: la población a investigar sea relativamente chica.1 Introducción. Se sabe que los discos producidos por una empresa salen defectuosos con una probabilidad de 0.Lic. Un agricultor que siembra fruta afirma que 1/3 de su cosecha de duraznos ha sido contaminada por la mosca del mediterráneo. Si extraemos una muestra sin reemplazo. 17 .
Lic. Donde C xk son las combinaciones de k en x. 18 .. 2.4. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ El participante obtendrá la probabilidad de un evento empleando: la función de probabilidad. El número de repeticiones del experimento n es constante. la función de distribución acumulativa de probabilidad y mediante el empleo de Excel y Minitab. Cuando se selecciona una muestra de una población finita sin reposición. 3. llamada hipergeométrica. 1. Los criterios para determinar la probabilidad de un número específico de éxito o fracaso en la distribución hipergeométrica son: 1. Al realizar un experimento con este tipio de distribución.2 Función de probabilidad de distribución hipergeométrica.. N )      C C k x N k n x k x N k n x   N nC N n Para: x = 0. Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. la cual se define como: P( x.3 Características de la distribución hipergeométrica. resolución de ejercicios y problemas propuestos. se esperan dos tipos de resultados: k resultados de un total de N se clasifican como éxitos. (Todo depende si sale o no sale el artículo con la característica de interés).. N – k artículos se clasifican como fracasos. n x  k y n . k . características de la distribución hipergeométrica. 3. Los temas a cubrir para esta distribución de probabilidad son: función de probabilidad. n. Si el tamaño de muestra n es mayor que 5 % del tamaño de la población.4.x  N – k. manejo de la tabla de distribución acumulativa. Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.. 2. Ante este nuevo caso de muestreo sin reemplazo se tiene una nueva distribución de probabilidad.
Un lote de 10 artículos contiene dos defectuosos. La probabilidad para un valor específico se define por: P(x. 4. 3. 3.4 Manejo de la tabla de la distribución acumulativa hipergeométrica.Lic. 10) = F (2.9667 –0. Si 4 no están defectuosos tienen que estar defectuosos 2. 10) = 0. n. n.3 b) La probabilidad de que cuatro artículos no estén defectuosos en una muestra de seis. 3. 3. k.4. si se obtiene una muestra aleatoria sin reemplazo encuentre: a) La probabilidad de obtener dos unidades defectuosas en una muestra de cuatro. 10) = F (2. 3. n. 6. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ La media de la distribución hipergeométrica se define por E (x) =  = n (k / N). La varianza de la distribución hipergeométrica se obtiene por:  k  k  N  n  V ( x)   n 1     N  N  N  1  Los parámetros que definen esta función de distribución son: n. 6. Datos: n=6 P(x = 2) P (2. 10) – F (1. N) Ejemplo.8333 – 0. 3.1. n.3333 = 0.6667 = 0. 10) – F (1. n. N) = F (x. Datos: N = 10 n=4 k=3 P(x = 2) P (2. k. 4. ¿cuál será la probabilidad de obtener cuando más un artículo defectuoso? 19 . N) = F(x. k. N y k. 6. k. si se toma una muestra aleatoria de 4 de ellos. Un lote de 10 artículos contiene tres defectuosos. 4. N) Ejemplo. k. N) – F(x . 10) = 0. 3.5 El cálculo de la probabilidad acumulativa hasta cierto nivel queda definido de la siguiente manera: P (X  x.
0. ¿cuál es la probabilidad de que.0833 3.50)   0. 5. 30. 30.40.9167 = 0. 2. En una línea de producción. Ejemplo 1. Se tienen 50 representantes de cierto estado a una convención nacional. Si se selecciona aleatoriamente una muestra de cinco representantes. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ P(x  1) = F (1. de los cuales 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B. 5. N) Ejemplo. por lo menos dos apoyen al candidato A? Datos: N = 50 n=5 k = 30 P(x ≥ 2) P(x ≥ 2) = 1. ¿cuál será la probabilidad de obtener más de dos unidades defectuosas? P (x > 2) = P (x  3) = 1 – F (2. k.5 Ejemplos de aplicación de la distribución hipergeométrica. 3. Se tiene un lote de 10 artículos de los cuales hay tres defectuosos. ¿cuál es la probabilidad de que cuatro funcionen correctamente? Datos: N = 50 n=5 k = 40 P(x = 4) C 440 C550 4 40 P (4.4313 C550 Lo que significa que es poco probable que cuatro artículos funcionen correctamente.P(x  1) P(x ≥ 2) = 1. 4.Lic. si se toma una muestra aleatoria de cinco de ellos.8667 La probabilidad mayor a un valor específico esta dada por: P(X > x) = 1 . entre estos cinco. 10) = 1 . n.4.[P (0. la semana pasada se ensamblaron 50 artículos de los cuales 10 tuvieron al menos un defecto. 50)] 20 .F(x. Si se selecciona una muestra al azar de tamaño n = 5. 50) + P (1. 5. Ejemplo 2.5. 10) = 0.
Si el lote contiene dos motores con defectos.5837 C10 C15C995 P (1.92408 Ejemplo 3. ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado? Datos: N = 40 n=8 k=2 P (x = 0) C02C838 P (0. Los lotes contienen 100 unidades y el siguiente plan de muestreo de aceptación se utiliza.64 si contiene dos defectuosos. acepta el lote.5.5.100)  100  0.10. de otra forma lo rechaza.50)   0. Si un vendedor sabe que su producto pasará por una selección que verifica la calidad.007317 + 0. Suponga que se recibe un lote que tiene cinco defectuosos.50)   0.Lic.10. El lote se acepta si la muestra no tiene más de un artículo defectuoso.8.0686 C550 P(x ≥ 2) = 1 .100)  100  0. Un fabricante recibe un lote de 40 motores de los cuales selecciona ocho al azar.3394 C10 21 . Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 unidades sin reemplazo.007317 C550 C130C5501 30 P (1.5.6359 C840 La probabilidad de aceptar el lote es de 0.2. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ C030C550 0 30 P (0.5. Ejemplo 4.0686) = 0. debe poner en marcha en su fábrica un control de calidad intencionado con el propósito de minimizar el número de lotes rechazados. ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptado? Datos: N = 100 n = 10 k=5 P (x  1) P(x  1) = P(x = 0) + P(x =1) C05C1095 P (0. En un departamento de inspección de envíos se reciben en forma periódica lotes de ejes de bombas.40)   0.(0.30.30.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor del estado vecino? 3. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? 2. El plan es de dos etapas. la caja se regresa para verificarla al 100%. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. Un lote contiene 150 piezas de un proveedor de tubería local y 300 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino.5 Distribución Poisson. 3. Si el oficial de la aduana selecciona tres tabletas de manera aleatoria para analizarlas. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso.6428 3.4762 y Rb = 0.6 Ejercicios propuestos de la distribución hipergeométrica. 22 . un viajero ha colocado siete tabletas de narcótico en una botella que contiene diez píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si se encuentra uno. de los cuales cuatro no tienen la edad suficiente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo dos de las identificaciones pertenezcan a menores de edad? R a = 0. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo.1 Introducción.9231 3. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de cuatro para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Para evitar que lo descubran en la aduana. La distribución Poisson es llamada así en homenaje a Simeón Denis Poisson probabilista francés del siglo XIX.3394 = 0. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regrese para verificación? 4. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ P(x  1) = 0.5837 + 0.4. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo cinco identificaciones de entre nueve estudiantes. 1. quien fue el primero en descubrirla.Lic. la caja se embarca.5.
Los temas a cubrir para esta distribución de probabilidad son: Función de probabilidad de la distribución Poisson. La distribución Poisson es el principal modelo de probabilidad empleado para analizar problemas en líneas de espera. Sea X una variable aleatoria que representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobre el tiempo o el espacio. la función de distribución acumulativa de probabilidad y mediante el empleo de Excel y Minitab. Algunos ejemplos son: el número de llamadas por hora que se reciben en una oficina. Es independiente de las ocurrencias en otros puntos. la cual servirá como herramienta matemática en la toma de decisiones en un problema en particular. 2. resolución de ejercicios y problemas propuestos. El participante obtendrá la probabilidad de un evento empleando: la función de probabilidad. es aproximadamente cero. La ocurrencia de un evento en un punto. es que el alumno sepa identificar cuando un problema puede ser resuelto mediante esta distribución. Se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con función de probabilidad dada por: e   x P ( x. Además ofrece una aproximación excelente a la función de probabilidad binomial cuando p es pequeño y n es grande.2 Función de probabilidad de la distribución Poisson. el número de errores cometidos en una hoja por una secretaria. en la que la variable aleatoria representa el número de eventos independientes que ocurren a una velocidad constante en el tiempo o el espacio. etc. Dentro de los objetivos particulares se encuentran: El participante identificará las principales características de la distribución Poisson. Para que un experimento se considere como Poisson se debe tomar en cuenta lo siguiente: 1. el número de bacterias en un cultivo.5. manejo de la tabla de distribución acumulativa. El objetivo general para este tema. así mismo obtendrá la probabilidad de un evento. Definición. La probabilidad de exactamente una ocurrencia es la misma en el intervalo continuo.  )  x! 23 . 3.Lic. 3. La probabilidad de dos o más ocurrencias en un intervalo suficientemente corto. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Es una función discreta de probabilidad muy útil. características de esta distribución.
015328 0. La media y la varianza de la distribución Poisson se define por: E(X) = µ =  = np y V(X) = σ2 = µ. El parámetro que define la función de distribución de probabilidad de la distribución Poisson es .2 0. etc.183940 fx 0. es el promedio de eventos por unidad de tiempo o espacio. n el tamaño de muestra y p es la probabilidad de éxito. tiempo.1 0.3 Características de la distribución Poisson.367879 0. Gráfica de Distribución de Probabilidad para lamda = 1 0.Lic. 2. En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área.061313 0. Donde el parámetro  = np.4 0. pieza.003066 0. Se presenta a continuación algunas gráficas de la función de distribución Poisson. 3. con el fin de ver la influencia del parámetro .3 0.367879 0.1.0 0 1 2 3 4 5 x 24 .… y   0. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Para x = 0.5.
05 0.2 e 2.195367 0.2.05 0.20 0.270671 0.018316 0.25 0. .10 0. 8. 2. 2.Lic.20 0.15 0.270671 0.2681 P (3. 2. calculemos las probabilidades para x = 0..2) = 0.2) = 0.0015 La función de distribución de probabilidad para la variable aleatoria X queda definida por: 25 .036089 0 1 2 3 4 5 x Gráfica de Distribución de Probabilidad para lamda = 4 0. cuando  = 2.1081 P (5. 2.2 2.195367 0.090224 0.2) = 0.10 fx 0.0476 P (6.15 0.180447 fx 0. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Gráfica de Distribución de Probabilidad para lamda = 2 0. .2) = 0.30 0.2) = 0..073263 0.2438 P (2. 2. 2. 2.2 0 P (0.2) = 0.2) = 0.2)   0.135335 0.1.0174 P (7.146525 0.156293 0.1967 P (4. 2.00 0 1 2 3 4 5 x Con el fin de familiarizarnos con la distribución Poisson.1108 0! P (1.0055 P (8.2) = 0. 2.
7576 = 0. encuentre la probabilidad de que x sea igual a 4. 2.1699 26 .5) – F (3.  ) Ejemplo.1336 La probabilidad de que una variable aleatoria X sea  a un valor específico de x.4 Manejo de la tabla de distribución acumulativa Poisson.5366 La probabilidad mayor a un valor específico está dado por: P ( X  x )  1  F ( x.005484 0.15 fx 0.7) = 1 .10 0.8301 = 0.  )  F ( x  1.30 0.5.268144 0.108151 0. Sea  =3.8912 – 0.5)  0.017448 0.5) = 0. encuentre la probabilidad de que x sea menor o igual a 3.047587 0. P (x = 4) = F (4.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 3.110803 0.196639 0.2 0. se define por: P( X  x)  F ( x. La probabilidad para un valor específico de x en las tablas de probabilidad acumulativa se define por: P ( X  x )  F ( x.  ) Ejemplo.3.Lic. con  = 3.0.5. 2.3.5. Encuentre la probabilidad de que x > 5. Sea  = 2.7 P ( x  5)  P ( x  6)  1  F (5. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Función de Distribución de Probabilidad para lamda = 2.20 0.05 0.  ) Ejemplo.001508 0.243767 0. P ( x  3)  F (3.25 0.
1.5 Ejemplos de aplicación de la distribución Poisson. P (x = 2) e 2.3452 1! 27 . La central camionera Roma recibe en promedio 30 autobuses por hora.5 P (x = 0) e 2.1.41.2.5 2. por lo que se espera que en cinco minutos llegue en promedio  = np o sea  = 5 (0.5)   0.4)   0. La probabilidad de que llegue un autobús por minuto es p = 30 / 60 = 0.4 P (x  3) P ( x  3)  1  P ( x  2) P ( x  3)  1   P ( x  0)  P ( x  1)  P ( x  2) e 1. ¿cuál es la probabilidad de que? a) No llegue ningún autobús.5) = 2. A una constructora llegan camiones de carga a una razón media de 2. Obtenga la probabilidad de tener tres o más camiones que lleguen en un: a) Lapso de 30 minutos.5 0 P (0.2.40 P (0.4)   0.2565 2! c) ¿Cuál será el número promedio de autobuses que llegarán en cinco minutos?     np  5(0.5 2.5 2 P ( 2.8 camiones / 60 minutos = 0.5)   0.5.5 Ejemplo 2.8 camiones por hora.5.5 Datos:  = 2. 2.0821 0! b) Lleguen dos autobuses. Por lo tanto los camiones promedio que llegarán en 30 minutos es  = 30(0.2466 0! e 1.04666) = 1. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ 3.5)  2.41.4 Datos: n = 30  = 1. Ejemplo 1. Si se observa la llegada de los autobuses durante cinco minutos.41 P (1.04666 camiones por minuto = p.Lic.
000 millas cuadradas? Si sabemos que  = np.3 y la probabilidad requerida será P (X ≥ 1) 28 .3452  0.000 = 0.1665 b) Lapso de una hora.1703  0.41.000 millas por 10 de ancho por 3 días (1000 X 10 X 3) = 30.2417 2! P ( x  3)  1   0. El avión puede explorar una superficie de 1. Datos:  = 2. la cual opera un avión de exploración para hallar cardúmenes de salmón que se encuentran ubicados al azar en el norte del Océano Atlántico.0608  0. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ e 1.Lic.6 Datos:  = 5. explorando de modo efectivo una distancia lateral de cinco millas del lado izquierdo y cinco del lado derecho. habiendo.8 (2) = 5.9176 Ejemplo 3.000 (0.2384) P ( x  3)  0. En un día especificado.1.6 P (x  3) P ( x  3)  1  P ( x  2) P( x  3)  1   P( x  0)  P( x  1)  P( x  2) P( x  3)  1  (0. el avión puede volar 1.8 P (x  3) P ( x  3)  1  P ( x  2) P( x  3)  1   P( x  0)  P( x  1)  P( x  2) P ( x  3)  1  (0.5305 c) Lapso de dos horas.4)   0.8 que es igual a p.00001 de cardúmenes por milla cuadrada.0037  0.000 millas cuadradas. en promedio un cardumen por cada 100. ¿Cuál es la probabilidad de hallar al menos un cardumen de salmón durante tres días de búsqueda? Aquí tenemos que la probabilidad de encontrar cardúmenes es p = 1 / 100.8335)  0.2417 P ( x  3)  1  (0.0580) P ( x  3)  0. Entonces tenemos que  = 2.000 millas cuadradas de mar.4 2 P ( 2.2466  0. Considere el caso de una compañía pesquera de la costa de Nueva Inglaterra. 2. entonces  = 30.0207  0.8 camiones entre una hora es igual a 2. Si replanteamos la pregunta será. ¿cuál es la probabilidad de hallar al menos un cardumen de salmón en 30.00001) = 0.000 millas.
Lic. la cual debería ser tomada muy en cuenta.5.30 P ( x  1)  1  0! P ( x  3)  1  0.6. Por lo tanto el número promedio de fugas en las 500 millas será  = 500 (0.02. La probabilidad de obtener una fuga por milla es de p = 2 / 100 = 0.3 0. 3. Del primero de diciembre de 2004 al 30 de abril de 2005. en la zona norte del Estado de Veracruz ocurrieron tres explosiones en los ductos de PEMEX. Por lo tanto el número promedio de explosiones a tener en seis meses es  = 6 (0.6 Ejercicios propuestos de la distribución Poisson.0273  0.2592 Ejemplo 4. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ P ( x  1)  1  P ( x  0) e 0. Datos:  = 10 P (x = 7) e 10107 P ( x  7)   0.6.0035 Ejemplo 5.10) P( x  20)  1  0.7408  0.9965  0. Y la probabilidad solicitada es P (x ≥ 2). ¿Cuál fue la probabilidad de que ocurrieran al menos dos desastres en los próximos seis meses? La probabilidad de obtener una explosión por mes es p = 3 / 5 = 0. En un oleoducto ocurren dos fugas por cada 100 millas.8743 Esta es una probabilidad alta.0984) P ( x  2)  0.02) = 10. 29 . P ( x  20) P ( x  20)  1  P ( x  19) P ( x  20)  1  F (19. ¿Cuál es la probabilidad de hallar? a) Siete fugas en un tramo de 500 millas.0901 7! b) Al menos 20 fugas en un tramo de 500 millas. P( x  2)  1  P ( x  1) P( x  2)  1   P( x  0)  P( x  1) P ( x  2)  1  (0.6) = 3.
entre mayor sea n y menor sea p. Ra = 0. ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta.1404 2. de otra 30 . Ra = 0.000 piezas. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ 1. determine la probabilidad de que: a) Cuatro generadores fallen durante el año en cuestión. En un proceso de manufactura. Se sabe que en promedio una de cada 1.6 Aproximación a la distribución binomial por la Poisson. El volcán Lakie en Islandia hizo erupción por última vez en abril de 2010. se identifican 0.0812 y Rb = 0. A menudo es útil aproximar una distribución con otra. Rb = 0. b) La probabilidad de que en 2 minutos haya 3 llamadas telefónicas. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. b) La probabilidad de que haga tres o más erupciones en los siguientes siete años. obtenga: a) La probabilidad de que haga erupción en los próximos cinco años. Determine la probabilidad de que dos de 100 libros encuadernados en ese taller. Si este volcán hace erupción en promedio una vez cada cinco años.2565. usando: a) La fórmula de la distribución binomial. ha puesto como política aceptar un envío si se toma una muestra aleatoria de 100 circuitos provenientes del lote. c) Cuando más una imperfección en 15 minutos. tanto mejor la aproximación.3293.5. Ejemplo 1. Determine las probabilidades de identificar: a) Una imperfección en tres minutos. Un comprador de circuitos integrados. b) La aproximación de Poisson a la distribución binomial.000 piezas tiene una o más burbujas. acepta el lote.2642 y Rc = 0. Si el comprador encuentra no más de dos circuitos defectuosos.0842 4.013766 6. el número promedio de llamadas telefónicas por minuto que entran al conmutador de una empresa es de 2. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8. 3.1992 3. R a = 0. ocurren defectos o burbujas.2 imperfecciones en promedio por minuto. Entre las 2 y las 4 de la tarde. 5. Rb = 0.800 generadores de gran tamaño con garantía especificada.Lic. Encuentre: a) La probabilidad de que en un minuto haya 2 llamadas telefónicas. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 2/1200. Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3. paralizando los vuelos de toda Europa y trayendo como consecuencia enormes pérdidas económicas. tengan encuadernaciones defectuosas. b) Al menos dos imperfecciones en cinco minutos. Una regla práctica aceptable al usar la distribución Poisson para hallar probabilidades binomiales es cuando n es grande y p pequeño. en particular cuando la aproximación se puede manejar con más facilidad. en el cual se producen piezas de vidrio. menos de tres de ellas tengan burbujas? R = 0. b) Que más de un generador falle durante el año en cuestión.
p = 0.3697  0. Para este caso la probabilidad será P(x > 2) P( x  2)  P( x  3)  1  P( x  2) P ( x  2)  1  F ( 2. Datos: =4 P (x  6) 6 e 4 4 i P ( x  6)    F (6.99ni i 0 P ( x  2)  0. b) La probabilidad de que sea rechazado el lote. cuando n = 100. ¿Cuál será la probabilidad de que se instalen no más de seis remaches defectuosos? Aquí vemos que n es grande y p es pequeño.01) = 1.01 es pequeño. 1) = 0.9206 Valor muy parecido al calculado por la Poisson.4)  0. Datos: =1 P (x  2) P (x ≤ 2) = F (2.1) P ( x  2)  1  0.01i 0.9197  0.9197 Los cálculos que tienen que realizarse para calcular esta probabilidad mediante la distribución binomial. Un departamento de contabilidad con 100 empleados. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ forma lo rechaza. cuando P (x  2) son: 2 P ( x  2)   Cin 0.01. encuentre la probabilidad de que a lo más cinco empleados se ausenten durante cierta semana. escogiendo a  = n p.Lic. 31 .001) = 4.0803 Ejemplo 2.3360  0. ha encontrado que la probabilidad de ausencia de cualquiera de sus trabajadores en un tiempo determinado es de p = 0. la probabilidad binomial puede aproximarse mediante la distribución de Poisson. por lo que podemos aproximar por la Poisson utilizando a  = 4000 (0.036. en este caso  = 100 (0. La probabilidad de que un remache particular en la superficie del ala de un avión nuevo esté defectuoso es 0. Dado que n = 100 es relativamente grande y p = 0. Si se envía al comprador un lote que contiene el 1% de circuitos defectuosos encuentre: a) La probabilidad de que el lote sea aceptado.8893 i 1 i! Ejemplo 3.1849  0. si hay 4000 remaches en el ala.001.
036) = 3.200)   0.6 P (x  5) P (x  5) = F (5. n. la probabilidad de ausencia pequeña y que la ausencia de cualquier empleado es independiente de la presencia o ausencia de cualquier otro.10.8441 3. N) se aproxima a P (x. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Aquí suponemos que n es grande. ¿cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente una unidad defectuosa? Datos: N = 200 n = 10 k=8 P(x = 1) Resolviendo por la distribución hipergeométrica tenemos: C18C1020018 P (1.6) = 0. p) cuando n   y cuando  p permanece N constante. digamos menor que N k 0. En la mayoría de los problemas prácticos.Lic.1 y p  N Una regla práctica de utilizar la distribución binomial como aproximación a la hipergeométrica es solo si N ≥ 10n. el tamaño de la muestra es pequeño en comparación con el del lote. n La aproximación es excelente cuando la razón es pequeña. Datos:  = 100(0. y la distribución binomial nos da una buena aproximación a la distribución hipergeométrica. Un lote de producción de 200 artículos tiene ocho defectuosos.2878 C10200 32 .7 Aproximación a la distribución hipergeométrica por la binomial. Aunque en éste problema la suposición no podría ser cierta. Ejemplo 1. De hecho se puede demostrar que k P (x. 3.8. n. k. si se selecciona una muestra aleatoria de n = 10 unidades.
200)   0.0.20 de la siguiente manera: 200 Datos: n = 12 p = 0.8.10. Una generalización de la distribución binomial aparece cuando cada prueba puede tener más de dos casos probables. Ejemplo 2. N 200 nos podemos aproximar por medio de la distribución binomial. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ n 10 Dado que   0. Se tienen 200 amas de casa de las cuales 40 prefieren el detergente A y el resto la marca B. además N ≥ 10n si se cumple (200 ≥ 10(10)). tres de ellas prefieran el detergente A? Datos: N = 200 n = 12 k = 40 P(x = 3) Resolviendo por la hipergeométrica tenemos: C340C9160 P(3. lo que ocasiona que su cálculo sea un poco complicado.04 N 200 10! P (1.05 es pequeño.2770 1!(10  1)! Valor muy parecido al calculado por la distribución hipergeométrica.04)  0.1 Introducción.Lic.80 P(x = 3) 12! P (3.2362 3!(12  3)! 3.0. 40 definiendo a p   0.9610 1  0.40.20 3 0. Dado que la condición de que N ≥ 10n y (200 ≥ 10(12)) nos podemos aproximar por medio de la binomial. considerando a k 8 p   0. 3.8 Distribución multinomial.20 q = 0. si se toma al azar una muestra de 12 de ellas.12.0410.20)  0. 33 . ¿cuál es la probabilidad de que en la muestra.243614 C12200 Para la resolución de este algoritmo nos encontramos que N es grande.12.80123  0.
Los temas a cubrir para esta distribución de probabilidad son: Función de probabilidad de la distribución Multinomial.. El objetivo general para este tema. p kxk x1!. k cuyas probabilidades respectivas son: p1.. medio e inferior....8. 1. p2.. permitiendo en cada prueba k casos mutuamente excluyentes.. La función de probabilidad de esta distribución se define como: n! P ( x1 .3 Características de la distribución multinomial. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Por ejemplo la producción de un artículo se clasifica como superior.. 2.2 Función de probabilidad e la distribución multinomial..….... x k ! k Donde: x1 = 0... xk) de obtener x1 casos de la 1a clase. pk. x2 casos de la 2a clase... xk casos de la k-ésima clase. y de k-ésima clase.8. B. donde p i 1 i 1 Llamando a estos casos de 1 a clase.. es que el alumno sepa identificar cuando un problema puede ser resuelto mediante esta distribución. D. 1. x 2 !. la cual servirá como herramienta matemática en la toma de decisiones en un problema en particular. resolución de ejercicios y problemas propuestos. 2. de 2a clase.. Dentro de los objetivos particulares se encuentran: El participante identificará las principales características de la distribución Poisson. Para éste tipo de problemas consideremos el caso de que hay n pruebas independientes.. x2. características de esta distribución. 1. Nos interesa la probabilidad P (x1. xk = 0. x k )  p1x1 p 2x2 .. x 2 .…... Lic. k Dentro de sus principales características podemos citar: x x i i n Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados.. El participante obtendrá la probabilidad de un evento empleando: la función de probabilidad de ésta distribución y mediante el empleo de Excel y Minitab. y la x i 1 i n 3. Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.……. 2. x2 = 0. 34 . cuando la calificación de estudiantes se juzga dando la letras A. así mismo obtendrá la probabilidad de un evento. o cuando un experimento se juzga terminado con éxito o inconcluso. 3... C.
40 y 0.05 P( xi  18. Estos porcentajes se mantienen constantes en el tiempo. La inspección final ha revelado que el 85% del producto es bueno. hallar la probabilidad de que 6 de entre 10 de estos ladrillos tengan rupturas. Datos: n = 6. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.50. x1 = 1. 2 pueden reelaborarse y 0 sean de desecho.70 2 0.10 P ( xi  1. Éste es un trabajo altamente repetitivo y hay un pago de incentivo.10 y p3 = 0.20.3)  0. 0. p2 = 0. p2 = 0. Si las probabilidades de que en un accidente de un avión produzcan daños menores. hallar la probabilidad de que entre éstas 20 unidades 18 estén buenos. 2.0059 1!2!3! Ejemplo 3. 1) 35 .1019 18!2!0! Ejemplo 2.4 Ejemplos de aplicación de la distribución multinomial Ejemplo 1. sufra daños menores en 1 y sufra daños graves en 2. x2 = 2.05 0  0. x3 = 1. estén decolorados o ambas cosas.40 y p3 = 0. el piloto sufra daños mortales en 3 de ellos. x3 = 0.85. x1 = 6. p1 = 0.8. La media y la varianza de Xi. 3) 6! P (1.Lic. 0) 20! P (18.10 respectivamente. Los ladrillos de vidrio defectuosos se clasifican en una fábrica por: que tengan rupturas. el 10% defectuoso pero que puede reelaborarse y el 5% es defectuoso y se desecha. 3. Si las probabilidades respectivas son: 0.2.0)  0.2.2010. Datos: n = 10.8518 0.10 2 0. hallar la probabilidad de que en seis accidentes. x3 = 0. 0.20. 3 estén decolorados y 1 presente ambos defectos. p1 = 0. x2 = 3. una componente particular son: E ( X i )    np i V ( X )   2  npi q i 3.50.103  0.70 y p3 = 0. 2. Se fabrican lápices mecánicos por medio de un proceso que implica una gran cantidad de mano de obra en las operaciones de ensamblado. x1 = 18. p2 = 0. graves y mortales al piloto son 0. p1 = 0.10 respectivamente.70 y 0. x2 = 2. El número de repeticiones del experimento n es constante. Datos: n = 20. Si se toma una muestra aleatoria de 20 lápices.10 P ( xi  6.
1 Datsun y 2 Toyota. 0. 7 Chevrolet. Las probabilidades son de 0. b) Tres sean rojos y 2 sean negros. R = 0. 3.3. encuentre la probabilidad de que utilicen: 2 Ford. 4 Dodge. R = 0. 3 en autobús. 5. respectivamente. 0. 3.1038 4. Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde. 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores. 1 en auto y 2 en tren.40. 2 negros y uno blanco. determine la probabilidad de que: a) Dos de las computadoras seleccionadas no tengan defectos y una tenga defectos menores. R = 0.8. y 4 Toyota. si se seleccionan aleatoriamente seis personas con edad de votar. Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto. 3 Chevrolet. En una bodega se tienen 30 computadoras sin defectos.0077 b) Cuatro hayan llegado por aire. Si la agencia selecciona aleatoriamente nueve de estos vehículos para transportar delegados desde el aeropuerto hasta el centro de convenciones en la ciudad. b) Dos voten por el partido verde y cuatro por el azul. un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja. un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes. 36 .30 y 0.0033 y Rb = 0.5 Ejemplos propuestos de la distribución multinomial 1.20.0838 6!3!1! 3.9 Distribución geométrica. en automóvil o en tren respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que entre nueve delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención? a) Tres hayan llegado por aire. Encuentre la probabilidad de que entre ocho descendientes: a) Cinco sean rojos. llegue en autobús.50 6 0. R a = 0.1)  0.0174 c) Cinco hayan llegado en automóvil y cuatro en tren.101  0. de que un delegado llegue por aire a una cierta convención. determine la probabilidad de que: a) Dos voten por el partido verde.40 3 0. 3 Datsun. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ 10! P (6.10. 1 en autobús y 2 en auto. b) Tres de las computadoras seleccionadas no tengan defectos y una tenga defectos mayores. tiene disponibles 5 Ford.0000306 2. uno por el azul y tres por el resto de los partidos. 1 Dodge. Si se seleccionan cinco computadoras al azar. De acuerdo con la teoría de la genética.Lic. negra y blanca en la relación 9: 4: 3.
9.3 características de la distribución geométrica. así mismo obtendrá la probabilidad de un evento.9. El objetivo general para este tema. ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza el experimento.. Sea una serie de ensayos Bernoulli independientes. Entonces X tiene una distribución geométrica cuya función de probabilidad se denota por: P(x) = qx-1p.2 Función de probabilidad de la distribución geométrica.9.1 Introducción. El parámetro que define la función de distribución de probabilidad es p. para x = 1.. p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso 3. Los temas a cubrir para esta distribución de probabilidad son: Función de probabilidad de la distribución geométrica. sea que la variable aleatoria X denota el número de ensayos hasta que ocurre el primer éxito. El participante obtendrá la probabilidad de un evento empleando: la función de probabilidad de ésta distribución y mediante el empleo de Excel y Minitab. Esta distribución es un caso especial de la Binomial. con probabilidad constante p de un éxito. características de esta distribución. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ 3. es que el alumno sepa identificar cuando un problema puede ser resuelto mediante esta distribución. resolución de ejercicios y problemas propuestos.Lic. 2. 3. Donde: P(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez. Dentro de los objetivos particulares se encuentran: El participante identificará las principales características de la distribución geométrica. 37 . Los resultados posibles son éxito o fracaso. Las pruebas son independientes. La probabilidad de éxito p es constante de prueba a prueba. la cual servirá como herramienta matemática en la toma de decisiones en un problema en particular..
Datos: x= 6 p = 0. cuál es la probabilidad de que: a) El sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva.05) = 0.0003048 Ejemplo 2.Lic.03869 38 .4 Ejemplos de aplicación de la distribución geométrica.p) / p2 3.9.05. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ La media de la distribución geométrica es E(X) =  = 1 / p.95)6 -1 (0. Se lanza al aire una moneda cargada. Ejemplo 1. Como lo que nos interesa es que aparezcan siete sellos seguidos y por último un águila los resultados quedan de esta forma: S S S S S S S A Sí denotamos: x = 8 número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez. Si la probabilidad de que cierto dispositivo de medición. mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3. ocho veces.05 q = 0. sufra una desviación excesiva es de 0. La varianza de ésta distribución es V(X) = 2 = (1 . p = probabilidad de que aparezca una águila = p (éxito) = 2/3 q = probabilidad de que aparezca un sello = p (fracaso) = 1/3 Entonces la probabilidad buscada será: P (aparezca una águila en el último lanzamiento) = P(S)* P(S)* P(S)* P(S)* P(S)* P(S)* P(S)* P(A) = qx -1 p Resolviendo el problema del ejemplo que tenemos con la función de probabilidad es: Datos: x= 8 p = 2/3 q = 1/3 P (x = 8) = (1 / 3)8 -1 (2 / 3) = 0. de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3.95 P(x = 6) = (0. Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca un águila.
Si se supone que las obleas son independientes. indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos.05 P(x = 5) = (0. Se sabe que en cierto proceso de fabricación. una de cada 100 piezas está defectuosa.20) = 0. x= 5 p = 0. de tal forma que las personas no pueden encontrar 39 . 1.01.0000059 Ejemplo 3.80)5-1 (0.20 q = 0.80)6 -1 (0. Los registros de una compañía constructora de pozos.20.0655 3.20. ¿Cuál será la probabilidad de que la sexta alberca construida en un año determinado sea la primera en requerir reparación en ese lapso? Datos: x= 6 p = 0.80 P (x = 5) = (0. ¿Cuál es la probabilidad de que se inspeccionen cinco piezas antes de encontrar la defectuosa? 2.95) = 0.95 q = 0.0029 3.Lic. ¿cuál será la probabilidad de que el décimo teléfono instalado sea el primer teléfono negro? R = 0.5 Ejercicios propuestos de la distribución geométrica.9.20 q = 0.3. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ b) El quinto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba. ¿cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar exactamente 125 obleas antes de detectar una partícula grande? R = 0. El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere. Se estima que la probabilidad de que una persona instale un teléfono negro en una casa es 0. sea el primero que no muestre una desviación excesiva.05)5-1 (0.20) = 0. Los expedientes de una compañía de albercas indican que la probabilidad de que una de las nuevas albercas requiera reparación en un plazo de un año es 0.08192 Ejemplo 4. La probabilidad de que una oblea contenga una partícula de contaminación grande es 0. en promedio.0121 4.80 P (x = 6) = (0. requiera de reparaciones en el término de un año es de 0. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año? Datos: x= 5 p = 0.
Seleccione el menú Calc.05 en el cuadro Probabilidad del evento. el tamaño de muestra es 6 y la probabilidad de éxito es p = 0. Para ilustrar el empleo de Minitab tomemos el ejemplo 1 (inciso a) de la página 12. 5. 3. Esto es la probabilidad para un valor en particular. Ingresar 0. las proporciona directamente. Donde la probabilidad requerida es P ( x  2) . o sea la P ( x  2) .05. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es de 0. Capturar 2 (probabilidad requerida) en el primer renglón y primera columna de la hoja de trabajo (C1). Minitab le da la probabilidad de 0. Elegir Distribuciones de probabilidad. Puede ser de interés saber el número de intentos necesarios que se requieren para tener una línea disponible. Hacer clic en Probabilidad. Hacer clic en el cuadro Columna de entrada. 1. 4. Se tiene el interés particular de saber la probabilidad de que sean necesarios cinco intentos para lograr la comunicación. éstas.6 es la probabilidad de tener una línea durante la mayor congestión de llamadas. 5. Ingresar C1 en el cuadro Columna de entrada. Apéndice 3. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Distribución Binomial. Suponga que p = 0. La probabilidad P ( X  x) se obtiene restándole a 1 el valor obtenido en P ( X  x) . b) En el quinto intento. Los pasos a seguir son los siguientes. 2.77. de una máquina Cartell-bill que produce engranes defectuosos. Hacer clic en Binomial. 40 . Distribución Binomial.Lic. Minitab puede utilizarse para obtener la probabilidad para un valor en particular P ( X  x) .0305440. encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen: a) En el tercer intento. Hacer clic en Aceptar. Ingresar 6 en el cuadro Número de ensayos.1 Empleo del software Minitab en algunas distribuciones discretas. Obtención de la función de probabilidad y la función de distribución de probabilidad para diferentes valores de la variable aleatoria X. así como la probabilidad acumulativa P ( X  x) . Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ una línea desocupada para sus llamadas.
Cuando aparezca el cuadro de diálogo Gráfica de dispersión simple. En la columna C1 capturar las probabilidades de la variable aleatoria x. 3.2 y las probabilidades para la variable aleatoria son x = 0. 2. Seleccione el menú Calc. 4. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Gráfica de dispersión. Hacer clic en Aceptar. Ingresar C1 en el cuadro Columna de entrada. Ingresar 0. C1 C2 x fx 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 2. 5. Ingresar C1 en el cuadro Variables x. Hacer clic en Probabilidad. Capturar en la columna C1 y C2 de la hoja de cálculo x y fx como se muestra a continuación. la probabilidad de éxito es p = 0. 3. Ingresar 6 en el cuadro Número de ensayos. Elegir Distribuciones de probabilidad. Ingresar C2 en el cuadro Variables y. 4. Seleccione el menú Gráfica. 4. Para obtener la función de distribución de probabilidad (gráfica) realice los pasos siguientes: 1.2 en el cuadro Probabilidad del evento. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Distribución Binomial. Ingresar C2 en el cuadro Almacenamiento opcional. 5. Hacer clic en Binomial. Hacer clic en Etiquetas. 1. 41 . Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Para ilustrar el uso de Minitab tomaremos el ejemplo de la página 9 donde: el tamaño de muestra es n = 6. 3. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Gráfica de dispersión etiquetas. Hacer clic en Simple. Hacer clic en Aceptar.Lic. 6. 5. 2. Hacer clic Gráfica de dispersión. En la columna fx aparecen las probabilidades para cada valor de x.
Ingresar 5 en el cuadro Conteo de eventos en la población (M). tenemos que solicitar la probabilidad menor a ese número y posteriormente obtener el complemento. 1. Distribución Poisson. Ingresar C1 en el cuadro Columna de entrada. Minitab le da la probabilidad de 0. el tamaño de la población es de 100. Ingresar 10 en el cuadro Tamaño de la muestra (n). Para ilustrar el uso de Minitab tomemos el ejemplo 5 de la página 30. 4. Minitab le proporciona la gráfica para cada uno de los valores de x. Donde la probabilidad solicitada es P ( x  1) . el número de unidades con la característica de interés es de 5 y el tamaño de la muestra es de 10. 5. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Capturar Función de distribución de probabilidad para n = 6 y p = 0.6. Para ilustrar el uso de Minitab tomemos el ejemplo 4 de la página 21. o sea P( x  1) . Distribución Hipergeométrica. usted puede obtener las gráficas para cualquier distribución de probabilidad que desee. Elegir Distribuciones de probabilidad. 2. Hacer clic en Aceptar.2 en el cuadro de Título. Como Minitab no da la probabilidad mayor a un número. Hacer clic en el cuadro Columna de entrada. Hacer clic en Hipergeométrica. Donde la probabilidad solicitada es P( x  2) y el promedio es  = 3. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Distribución Hipergeométrica. Hacer clic en Etiquetas de datos. Seleccione el menú Calc. 42 . Hacer clic en Probabilidad acumulada. Hacer clic en Aceptar.923143. sobre las explosiones en los ductos de PEMEX. Hacer clic en Usar etiquetas de valor y. Esto es la probabilidad acumulada de que x sea menor o igual a uno. haciendo los cambios pertinentes en función de dicha distribución. Capturar 1 (probabilidad requerida) en la celda C1 de la hoja de trabajo. 3. Ingresar 100 en el cuadro Tamaño de la población (N).Lic. de un departamento de inspección de envíos que recibe en forma periódica lotes de ejes de bombas. De manera análoga. Hacer clic en Aceptar.
1. Ingresar 0. Ingresar 3.125689. esto es la probabilidad para un valor en particular de que P ( x  5) . 5. Ingresar C1 en el cuadro Columna de entrada. 3. Distribución Geométrica. Capturar 1 (probabilidad requerida) en la celda C1 de la hoja de trabajo. esto es la probabilidad de que P ( x  1) .08192.20. Como queremos la P( x  2) . Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Dado que la probabilidad requerida es P( x  2) .125689 = 0.6 en el cuadro Media. Capturar 5 (probabilidad requerida) en la celda C1 de la hoja de trabajo. Elegir Distribuciones de probabilidad. 2. Hacer clic en Aceptar. 2. Hacer clic en Probabilidad. 5. 3. Elegir Distribuciones de probabilidad. Hacer clic en Aceptar. Hacer clic en Poisson. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Distribución Geométrica. Ingresar C1 en el cuadro Columna de entrada. Minitab da la probabilidad de 0. Para ilustrar el uso de Minitab tomemos el ejemplo 3 de la página 39. podemos obtenerla por 1  P ( x  1) . lo que tenemos que calcular ahora es 1  P ( x  1) o sea 1 – 0. Minitab da la probabilidad de 0. Hacer clic en el cuadro Columna de entrada. Hacer clic en Probabilidad acumulada. Hacer clic en Geométrica.Lic.8744311. ahora los pasos a seguir para obtener P( x  1) son: 1. 43 .20 en el cuadro Probabilidad del evento. 4. sobre una compañía constructora de pozos. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Distribución Poisson. Seleccione el menú Calc. Donde la probabilidad solicitada es P ( x  5) y la probabilidad de éxito es p = 0. 4. Seleccione el menú Calc. Hacer clic en el cuadro Columna de entrada.
Para el cálculo de probabilidades en la distribución Hipergeométrica. Hacer clic en cualquiera de las celdas de la hoja de trabajo donde se desee el 44 . Hacer clic en Aceptar.05 en el cuadro Probabilidad de éxito. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Argumentos de función. el tamaño de muestra es 6 y la probabilidad de éxito es p = 0. Seleccione DISTR. Hacer clic en Insertar función (fx). Como Excel no proporciona probabilidades acumuladas. Para ilustrar su utilización tomaremos el inciso a del ejemplo 1 que está en la página 12. Ingresar 0. tenemos que sacar primero la probabilidad P ( x  0) y posteriormente la probabilidad P ( x  1) . de un departamento de inspección de envíos que recibe en forma periódica lotes de ejes de bombas. Distribución Hipergeométrica. Los pasos a seguir son los siguientes. Apéndice 3. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Al estar trabajando con alguna distribución de probabilidad en particular y desea realizar cambios en una de las celdas para obtener una nueva probabilidad. 4. 1. Donde la probabilidad requerida es P ( x  2) .Lic. BIMON en la ventana Seleccionar una función Hacer clic en Aceptar. Tomaremos el ejemplo 4 de la página 21. Excel le da la probabilidad de 0. Seleccione Estadísticas en la ventana O seleccionar una categoría. o se P ( X  x) . recurra al icono Editar último diálogo (Ctrl+E) de la barra de herramientas de Minitab. de una máquina Cartell-bill que produce engranes defectuosos. Ingresar Falso en el cuadro Acumulado. 2. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Insertar función. o sea la P( x  2) . Excel le dará únicamente la probabilidad para un valor en particular. el tamaño de la población es de 100. Donde la probabilidad solicitada es P( x  1) . 3.05. Para finalmente sumar estas dos probabilidades.03054398 que es la probabilidad deseada. Ingresar 6 en el cuadro Ensayos. Hacer clic en cualquiera de las celdas de la hoja de trabajo donde se desee el resultado.2 Empleo de Excel en algunas distribuciones discretas. Distribución Binomial. 1. Ingresar 2 en el cuadro Número de éxitos. el número de unidades con la característica de interés es de 5 y el tamaño de la muestra es de 10.
1. 4. Hacer clic en Aceptar. Hacer clic en Insertar función (fx).5838  0. Ingresar 5 en el cuadro Población éxito. Hacer clic en Insertar función (fx). 2. 4. Hacer clic en Aceptar.6.6 en el cuadro Media. cambiando únicamente en el paso 4 en el cuadro Muestra éxito a 1 en lugar de cero.33939091. Donde la probabilidad solicitada es P( x  2) y el promedio es  = 3. Seleccione Estadísticas en la ventana O seleccionar una categoría. Ingresar 1 en el cuadro x. Por lo tanto P( x  1)  0. 45 . Ingresar 0 en el cuadro Muestra éxito. Seleccione Estadísticas en la ventana O seleccionar una categoría. Ingresar 10 en el cuadro Num de muestra.58375237 que es la probabilidad de P ( x  0) . y la probabilidad que le dará es P ( x  1)  0. IPERGEOM en la ventana Seleccionar una función Hacer clic en Aceptar. Como Excel no da la probabilidad mayor a un número. sobre las explosiones en los ductos de PEMEX. tenemos que solicitar la probabilidad menor a ese número y posteriormente obtener el complemento. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ resultado. Seleccione POISSON en la ventana Seleccionar una función Hacer clic en Aceptar. Excel le da la probabilidad de 0. 3.9232 Distribución Poisson. Hacer clic en cualquiera de las celdas de la hoja de trabajo donde se desee el resultado. ahora los pasos a seguir para obtener P ( x  1) son.Lic. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Insertar función. Ahora vuelva a repetir todo el proceso. Para ilustrar el uso de Excel tomemos el ejemplo 5 de la página 30. Dado que la probabilidad requerida es P( x  2) .3394  0. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Argumentos de función. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Argumentos de función. Ingresar verdadero en el cuadro Acumulado. Seleccione DISTR. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Insertar función. 3. Ingresar 3. 2. Ingresar 100 en el cuadro Num de población. podemos obtenerla por 1  P ( x  1) .
12568912 que es la probabilidad de P ( x  1) .8743.1257 = 0. por lo tanto la probabilidad requerida P( x  2) =1 – 0.Lic. 46 . Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones discretas ___________________________________________________________________________________________ Excel le da la probabilidad de 0.
Documents Similar To 1. Distribuciones Disc.
More From Daryl De Valière-Reyes Y Habsburgo

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución