Source: https://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011_0001_519_04292_3_Fizika3/ch05s02.html
Timestamp: 2019-02-21 11:31:08+00:00

Document:
344. §. A Compton-effektus; a foton impulzusa
A fény „részecsketermészetét” (311. §) a fotoeffektuson és a spektrumokon kívül igen erősen alátámasztja a röntgensugarak szóródásának vizsgálata során, a 344,1. ábrán vázolt kísérlettel felfedezett Compton-effektus (Compton-szórás, 1922). A jelenség lényege abban áll, hogy ha λ hullámhosszúságú röntgensugárzás esik kis grafit- vagy paraffin darabra (P),akkor a szórt sugárzásban röntgenspektrométerrel (az ábrán a Kr forgó kristály és az I ionizációs kamra segítségével) a primer λ vonalon kívül kimutatható egy Δλ-val nagyobb hullámhosszúságú ,,eltolt vonal” is. A Δλ eltolódás a ϑ szóródási szöggel nő, a λ-tól és a szóró anyag minőségétől független.
A Compton-effektus a fény hullámelméletével megmagyarázhatatlannak bizonyult, a fotonelmélet alapján viszont egyszerűen értelmezhető abból a feltevésből kiindulva, hogy az elemi folyamat egy beeső röntgenfotonnak és a szóró anyag egyik lazán kötött elektronjának rugalmas „ütközése”, amelyre az energia és az impulzus megmaradásának tétele alkalmazható. A foton impulzusának megállapításánál a relativitáselméletnek arra az eredményére támaszkodunk, hogy bármely Ε energiához m = E/c2tömeg tartozik (318. §). Így a foton energiája E = hv éssebessége c lévén, mc = (hv/c2)c-bőlés v = c/λ miatt
m 2 c 2 = m 0 2 c 2 + 2 m 0 h ( v − v ′ ) + h 2 c 2 ( v − v ′ ) 2 ((1). egyenlet)
ennek – mint látni fogjuk – éppen a Compton-effektus az egyik fő kísérleti bizonyítéka.
344,1. ábra -
Az ütköző röntgenfoton hv energiájához képest – amely pl. a molibdénkatód λ ≈ 0,7 Å -nyi Kαvonala esetében kb. 2·104 eV – a lazán kötött elektron néhány eV-nyi kilépési munkája elhanyagolható, és impulzusa is jóval kisebb a röntgenfotonénál, úgyhogy az ütközésig az elektront szabadnak és nyugvónak tekinthetjük. Az ütközéskor az x irányban (344,2. ábra) beeső foton energiájának egy részét átadja az elektronnak, és ezután mint ,,szórt foton” a hv-nélkisebb hv' energiával és a hv'/c impulzussal halad tovább,[89] az x tengellyel – tegyük fel – ϑ szöget bezáró irányban. A „meglökött elektron” az x tengellyel valamely φ szöget képező irányban mozog v sebességgel, úgyhogy kinetikai energiája és impulzusa, a nagy sebesség miatt a relativitáselmélet (318,9) és (318,7) formuláinak alkalmazásával: mc2 – m0c2, ill. mv, aholm2(c2−υ2)=m02c2+2m0h(v−v′)−2h2c2vv′(1−cosϑ). m0az elektron nyugalmi tömege. Ily módon, az impulzusvektorokat az ábra alapján x és y komponensekre bontva, az energia és az impulzus megmaradását kifejező egyenletek:
m 2 = m 0 2 / ( 1 − υ 2 / c 2 ) ((2). egyenlet)
c v ′ − c v = λ ′ − λ = h m 0 c ( 1 − cos ϑ ) = 2 h m 0 c sin 2 ϑ 2 ((3). egyenlet)
v ′ v = 1 1 + 2 λ C λ sin 2 ϑ 2 , E k h = 2 λ C sin 2 ϑ 2 λ + 2 λ C sin 2 ϑ 2 , c t g φ = ( 1 + λ C λ ) t g ϑ 2 . ((4). egyenlet)
Ε három egyenletből meghatározható ν' – valamint υ és φ is – mint a ϑ szóródási szög függvénye; éppen erre van szükségünk, mert a vázolt kísérletben lejátszódó nagyon sok ütközés során a fotonok minden ϑ irányban szóródnak. Az elemi számítás (l. alább) arra vezet, hogy a v', ill. ebből a Δλ = λ' – λ = c/v' – c/ν hullámhossz-eltolódás:
v ′ = v ( 1 ± υ c ) , ahol υ c ≪ 1. ((5a–b). egyenlet)
az elektron „Compton-hullámhossza” – egy univerzális állandó –, amely a ϑ = 90° szóródási szögnél fellépő hullámhossz-eltolódást jelenti. A fenti formula kitűnően egyezik mind a röntgen-, mind a később γ-fotonokkal végzett kísérletek eredményeivel.
344,2. ábra -
Bothe és Geiger 1925-ben két csúcsszámlálóval – egy fotonszámlálóval és egy elektronszámlálóval – kimutatták, hogy a szórt foton és a meglökött elektron egyidejűleg (a későbbi pontosabb vizsgálatok szerint 10–11 s időközön belül) repülnek széjjel, Compton és Simon pedig ködkamrával megállapították, hogy egy ϑ irányban szórt fotonhoz éppen a (2) – (4) egyenletekből a vetkező φ irányban kilökött elektron tartozik. Ε kísérletek alapján igazoltnak tekinthető, hogy az energia és az impulzus megmaradásának tétele az egyes elemi folyamatokra (ütközésekre) is érvényes, nem csupán az elemi folyamatok nagy sokaságánál mért átlagértékekre.
(5a–b) levezetése céljából (3)-ban és (4)-ben a φ-s tagokat víve a bal oldalra, négyzetre emeléssel és összeadással kiküszöböljük a φ-t:
m υ 1 = m υ 2 − h v ′ c ,
(2)-ből az mc2-et kifejezve, négyzetre emeléssel és c2-tel való osztással kapjuk:
m υ 1 2 2 + E 1 = m υ 2 2 2 + E 2 + h v ′ , vagy h v ′ = E 1 − E 2 + m ( υ 1 − υ 2 ) υ 1 + υ 2 2 .
Ebből az előző egyenletet kivonva:
υ / c ≪ 1
A bal és a jobb oldal első tagja p=S¯cw¯, ill. p=2S¯c=2w¯miatt kiesik, és így az egyenletet a
S ¯ ((6). egyenlet)
alakra hozhatjuk, amely nem más, mint az (5a–b) formula.
A (6)-ból kifejezhető a szórt foton frekvenciája (v'), ennek ismeretében (2)-ből a meglökött elektron kinetikai energiája (Ek = mc2 – m0c2), végül (3)-ból és (4)-ből a φ szög mint ϑ függvénye; az egyszerű számítások eredménye:
w ¯ ((7a–c). egyenlet)
Az ezen egyenletek alapján megszerkeszthető polárdiagram (344,3. ábra) a Compton-szórást arra az esetre szemlélteti, amelyben a primer sugárzás hullámhossza: λ = λc = 0,024 Å, azaz ν = vc = c/λc. Az elliptikus diagramról leolvasható – vagy (7a –c)-ből kiszámítható –, hogy pl. a felső 6-os nyíllal megjelölt, ϑ = 100°-os szöggel szórt foton energiája kb. fele a primer fotonénak, pontosabban hv' = 0,46 hvc,a megfelelő meglökött elektron (alsó 6-os nyíl) pedig 0,54 hvcenergiával halad a φ ≈ 23° irányban.
344,3. ábra -
Hogy a szórt röntgensugárzásban az eltolt vonal (λ')mellett általában az eredeti vonal (λ)is fellép, az annak tulajdonítható, hogy a szóró anyagban a lazán kötötteken kívül erősen kötött elektronok is vannak, amelyeket a fotonok nem képesek leszakítani, s ezért energiájuk az ilyen elektronokon való szóródáskor változatlan marad. Mivel a kis rendszámú atomokban és a nagy hv energiájú fotonok számára viszonylag több a ,,lazán kötött” elektron, érthető az a tapasztalat, hogy az eltolt és az eredeti vonal intenzitásának aránya annál nagyobb, minél kisebb a szóró anyag rendszáma, és minél nagyobb a hv. Igen kemény röntgen- vagy γ-sugárzás esetén, amikor hv lényegesen nagyobb a legerősebben kötött elektronok kötési energiájánál is, a szórt sugárzásban az eredeti vonal hiányzik; a látható fény esetében viszont az eltolt vonal hiányzik, azaz nem észlelhető Compton-szórás, mert létrejöttéhez a fotonok kis energiája nem elegendő.
345. §. Az optikai Doppler-effektus és a fénynyomás
A következőkben röviden két példát említünk az olyan fényjelenségekre, amelyek mind a hullám-, mind a fotonelmélettel értelmezhetők.
1. Az optikai Doppler-effektus és kísérleti bizonyítékai már a relativitáselméletben szóba kerültek (321. §). Abban az egyszerű esetben, ha a ν frekvenciájú fényt kibocsátó F fényforrás az Μ megfigyelőhöz az FM egyenes mentén a c fénysebességnél sokkal kisebb υ relatív sebességgel közeledik, ill. távolodik M-től, az általános hullámtan értelmében (105. §) a megfigyelő által észlelt frekvencia:
S ¯ ((1). egyenlet)
Ugyanez az összefüggés adódik a fotonelmélet alapján is, ha a fotont kibocsátó atomra az impulzus és az energia megmaradásának tételét alkalmazzuk. Tegyük fel, hogy az m tömegű F atom, amely az E1energiájú gerjesztett állapotban van, υ1sebességgel távolodik az Μ megfigyelőtől (345,1. ábra, a). Ha most az atom az E2 < E1energiájú kvantumállapotba való átmenettel egy v' frekvenciájú, azaz (344,1) szerint hv'/c impulzusú fotont bocsát ki Μ felé, impulzusa a „visszalökés” folytán mv2-re nő (b ábra). Az impulzus és az energia megmaradása miatt nyilvánvalóan
w ¯ ((2). egyenlet)
p = w ¯ ( 1 + r − d ) cos ϑ ((3). egyenlet)
Az utóbbi egyenlet a (υ1+ υ2)/2 ≡ υ középsebesség bevezetésével, továbbá (2)-nek és a „nyugvó” atomra érvényes E1 – E2 = hv-nekfigyelembevételével így írható: hv' = hv – hv'υ/c. Innen v' = v/(1 + υ/c), avagy a (w¯/c)fcdt=w¯fdt, ill. 2w¯fdt,feltevés miatt v' = v(1 – υ/c), az atom közeledése esetén pedig v' = v(1 + υ/c), (1)-gyel megegyezésben.
345,1. ábra -
2. A fénynyomás. Egy test felületére eső fény a felületre nyomást fejt ki. Ε fény- vagy sugárnyomás keletkezését a hullámelméletből, ill. az elektromágneses fényelméletből kiindulva, durván a 345,2. ábra alapján képzelhetjük el. Az ábra az f felületre merőleges z irányban (vagyis balról) beeső elektromágneses síkhullám (236. § 3.) Ε elektromos és Η mágneses térerősségét tünteti fel a felület egyik pontjában, bizonyos időpillanatban; az Ε, Η és a z terjedési irány tudvalevően jobbsodrású triédert alkotnak. Az idővel periodikusan változó Ε hatására a felületi rétegben periodikus töltésmozgás, áram jön létre, ennek Ids elemére Η (183,4) szerint I[ds H]-val arányos erőt gyakorol, amely valóban z irányú nyomóerőt jelent. Az itt nem részletezett számítások arra az eredményre vezettek, hogy ha a fény a vákuumból merőlegesen esik be egy tökéletesen elnyelő, ill. visszaverő felületre, a fénynyomás:
p = w ¯ ill . 2 w ¯ . ((4a–b). egyenlet)
345,2. ábra -
ahol S¯[erg/cm2s] az energiaáramlás sűrűségének – az S = (c/4π) [EH] Poynting-vektor nagyságának –,p=S¯/c≈0,5⋅10−4 dyn/cm2pedig a fényhullám energiasűrűségének időbeli átlagértéke (236. § 2.).
Az nhv=w¯vagy p=w¯(1+r−d) cos ϑátlagérték helyett S-sel vagy w-vel képezett (4a–b) a fénynyomás pillanatnyi értékét adná, ez azonban rendkívül gyorsan, a látható fény esetében kb. 10–15 s–1 frekvenciával változik, úgyhogy csak az (egy periódusra számított) átlagérték figyelhető meg. Ha a fény vákuum helyett n törésmutatójú közegből esik a felületre, (4a–b)-ben c helyébe c' = c/n lép. (4a–b)-nél általánosabban, az r visszaverő és d áteresztő képességű lemezre ϑ szöggel beeső fény nyomása:
n ≶ n 0 ((5). egyenlet)
(Maxwell–Bartoli-tétel).
Felhasználva azt az általános tételt (320,18), hogy az elektromágneses tér impulzussűrűsége (vákuumban): g = S/c2, azaz nagyság szerint g = S/c2 = w/c, a (4a–b) eredmény azonnal megkapható. A tétel értelmében ugyanis a fény mint elektromágneses hullám az energián kívül impulzust is visz magával, tehát a tökéletesen elnyelő, ill. visszaverő f felületnek dt idő alatt annyi, ill. kétszer annyi impulzust ad át, mint amennyi az f alapterületű és cdt magasságú hengerben van (236,10. ábra), vagyis λ=hp=hmυ, v=Eh=mc2h,impulzust, ennek az idő- és felületegységre vonatkoztatott része pedig éppen a nyomás: m=m01−υ2/c2,
A (4a – b) alapján várt fénynyomás földi viszonyok között nagyon kicsiny. Pl. annak, hogy a napsugarak a légkör felső határának 1 cm2 felületére merőleges beesés mellett percenként kb. 2 cal = 2·4,19·107 erg energiát szállítanak (151. § 2.) - azaz υ≪c-re = 8,38·107/60 ≈ 1,4·10e erg/cm2s –, (4a) szerint υ≪c felel meg. A fénynyomás kísérleti kimutatása először Lebegyev-nek sikerült (1900), igen érzékeny, vákuumban felfüggesztett torziós ingával. A mérések, amelyek a zavaró mellékjelenségek, főleg a radiométer-effektus (271. §) miatt nagy körültekintést igényeltek, (4a–b) helyességét kb. 20 %-os, később 2 %-os hibahatáron belül igazolták.
A fotonelméletből (4a–b), sőt az általános összefüggés is egyszerűen adódik. Ha az f felületű, r visszaverő és d áteresztő képességű lemezre ϑ szög alatt beeső párhuzamos fénynyalábban a fotonsűrűség n[cm–3], akkor Δt idő alatt a felületet ΔN = n·fcΔt számú foton éri. Ezek közül a visszaverődő rΔΝ számú foton a lemeznek rΔN(2hv/c)cos ϑ, a lemezben elnyelődő (1 – r – d)ΔΝ számú foton pedig (1 – r – d)ΔN·(hv/c)cos ϑ impulzust ad át. Így az átadott teljes impulzus: ΔI = (1 + r – d)·nfcΔt·(hv/c)cos ϑ, a fénynyomás pedig: p = (ΔI/Δt)/f = (1 + r – d)nhv cos ϑ, vagy az υ/c≪1átlagos energiasűrűséggel kifejezve: λel≈150UVÅ (UV<20000-re 1%-nál kisebb hibával).[megegyezésben (5)-tel). Ebből ϑ = 0-val a tökéletesen elnyelő (r = 0, d = 0), ill. visszaverő (r = 1, d = 0) felületre (4a), ill. (4b) következik.
A fénynyomás igen jelentős az asztrofizikában. Részben a napsugárzás nyomásának tulajdonítható az üstökösök csóvájának kialakulása és elhelyezkedése a Naptól távolodó irányban, a csillagok belsejében pedig a fénynyomás tart egyensúlyt – a gáznyomással együtt – a gravitáció összehúzó hatásával. Eddington számításai szerint kb. 1032 kg-nál nagyobb tömegű csillagok azért nem létezhetnek, mert ezeket a fénynyomás szétvetné.
346. §. A fény kettős természete
Mint már említettük, a fény hullámelmélete, ill. tökéletesített alakjában az elektromágneses fényelmélet – amelynek felállítása után sokáig a fényt kétséget kizáróan elektromágneses hullámnak gondolták – nem bizonyult alkalmasnak a fotoeffektus, a Compton-szórás és általában a fény abszorpciójával és emissziójával kapcsolatos jelenségek értelmezésére. Az utóbbi jelenségekről a fény korpuszkuláris vagy kvantumos jellegű elmélete, a fény fotonelmélete, ad számot, amely szerint a ν frekvenciájú fénynek más anyaggal való energia- és impulzuscseréjét hv energiájú és hv/c impulzusú fotonok közvetítik; ebben az elméletben viszont az interferencia- és elhajlás jelenségek maradnak értelmezetlenül. Mindezekből arra következtethetünk, hogy – bár egyes fényjelenségek (pl. a Doppler-effektus és a fénynyomás) a hullám- és a fotonelmélettel egyaránt magyarázhatók – a fény a jelenségek egy nagy csoportjában (interferencia, elhajlás) kifejezetten hullámtulajdonságokat, másik nagy csoportjában pedig (pl. abszorpció és emisszió) részecsketulajdonságokat mutat. Ebben áll – a szokásos kifejezéssel élve – a fény kettős természete vagy dualitása.
A fény hullámtermészetét a IX. részben megismert jelenségek sokasága bizonyítja, a fény részecsketermészetéről ugyancsak számos jelenség tanúskodik; az eddig említetteken kívül a legmeggyőzőbbek közé tartoznak Vavilovnak a látható fény fluktuációjára vonatkozó kísérletei (1933). Ezek során egy nyílással ellátott forgó korong felhasználásával minden másodpercben 0,1 s időtartamra gyenge zöld fényt irányítottak a megfigyelő szemébe (a retinának a csapoknál érzékenyebb pálcikákat tartalmazó részére). Amíg a fény aránylag erősebb volt, a megfigyelő az így létesített felvillanások mindegyikét észlelte, a fény gyengítésével viszont bekövetkezett az a határeset, amelyben egyes felvillanások már észrevétlenül maradtak; további gyengítésnél az észlelt felvillanások száma végül is zérusra csökkent. A nagy körültekintéssel végzett kísérletek jelentése: ha a fény valóban fotonok árama, és egy felvillanás észrevevéséhez az adott körülmények között a látóbíborban minimálisan n0számú fotonnak kell elnyelődnie (Vavilov becslései szerint n0 ≈ 10), akkor megfelelően gyenge fényesetén a valóban elnyelt fotonok n száma statisztikai okokból eléggé ingadozik (140. §) az n0érték körül, és aszerint, amint u=c2υ,a felvillanások észrevehetők vagy észrevehetetlenek. Vavilovnak és később másoknak a fluktuációkra kapott kvantitatív eredményei összhangban álltak a valószínűségszámítás eredményeivel.
A fény hullám- és fotonelméletének összeegyeztetésére számos próbálkozás történt. Így pl. az Einstein-féle „tűsugárzás-modell” szerint az F fényforrás A, B, C, … atomjai által kibocsátott 1, 2, 3, … fotonok egyenként igen kis térszögben haladó, nagyságrendileg 1 m hosszúságú [90] hullámvonulatok (346,1. ábra), amelyeknek összessége látszólag egyenértékű lenne a térben statisztikailag egyenletesen eloszló gömbhullámmal. Egy hullám vonulat vagy foton (az ábrán pl. 1), amint az elmélet állítja, ketté is osztható, és a két „félfoton” újra egyesítésével interferencia létesíthető. A modellt azonban megcáfolja egyebek között a Selényi-féle nagyszögű interferenciakísérlet, amelynek értelmében az egy fluoreszkáló atom kibocsátotta fénynek még az egymással csaknem 180°-os szöget bezáró sugarai is interferálhatnak, vagyis egy és ugyanazon gömbhullám részei; a modellben viszont két ilyen sugár, pl. 1 és 3, különböző atomoktól származik, s így nem interferenciaképes. A tűsugárzás modellje akkor lenne fenntartható, ha feltehetnénk, hogy az interferencia sok foton valamilyen kölcsönhatásának az eredménye. Ezt a feltevést azonban a kísérletek megdöntötték: Dempster és Bato (1927), majd jóval nagyobb pontossággal Jánossy és munkatársai (1956) bebizonyították, hogy pl. a Michelson-féle interferométerben a normális fényintenzitásoknál mutatkozó interferenciával azonos típusú interferencia lép fel olyan gyenge fény esetén is, amikor a készülékben egyidejűleg csak egyetlen foton tartózkodik. Az utóbbi kísérletek nyilván a fény gömbhullámban való terjedése mellett szólnak; ez ellen szólnak viszont Vavilovnak vizuális módszerrel, később pedig Jánossy-nak és másoknak fotonszámlálókkal végzett ama kísérletei, amelyek szerint félig áteresztőtükörrel kettéválasztott, tehát két koherens gyenge fénysugárban a fluktuációk vagy a fotonelnyelődések egymástól függetlenül jelentkeznek, nem pedig egyidejűleg, amint azt az előbbi interferenciakísérlet alapján várhatnánk. Dielektrikumbeli foton impulzusértékét (hv/cn)Nagy Károly számította ki.
346,1. ábra -
A fény dualitásából származó nehézségek feloldására irányuló kísérletek – amelyek közül néhányat az imént vázoltunk – megmutatták, hogy az ellentmondás oka nem az objektív tényekben, hanem az értelmezésükre alkalmazott modellek tökéletlenségében rejlik. Valójában a fény nem ,,részecske” és nem is ,,hullám”, hanem az anyagnak olyan formája, amelynek összes tulajdonságai nem írhatók le egyetlen olyan egyszerű modellel, mint amilyen a makroszkopikus jelenségek nyomán kialakult részecske- és hullámmodell. A fény természetére további fontos eredmények megismerése után még visszatérünk.
347. §. A mikrorészecskék kettős természete; anyaghullámok
Míg számos fizikus a fénynél mutatkozó ,,részecske – hullám kettősség” áthidalására törekedett, L. De Broglie 1924-ben azt a merész gondolatot vetette fel, nem kell-e a „közönséges” anyagi részecskéknek is kettős természetet tulajdonítani, azaz a részecskemodell mellett a hullámmodellt is alkalmazni? Relativitáselméleti meggondolások alapján – amelyeket itt nem részletezünk – felállította azt a hipotézist, hogy minden mozgó részecskéhez hullám tartozik, amelynek hullámhossza (λ) és frekvenciája (ν) a részecske p = mv impulzusával és E = mc2 energiájával ugyanolyan kapcsolatban van, mint a fény hullámhossza és frekvenciája a foton impulzusával és energiájával. Mivel a fényhullám (foton) esetében tudvalevően p = h/λ és E = hv, a részecskéhez tartozó de Broglie-féle vagy „anyaghullámok” hullámhossza és frekvenciája:
λ 2 m 0 2 υ 2 = h 2 ( 1 − υ 2 / c 2 ) ((1a–b). egyenlet)
ahol u*=u−λdudλ m 0 a részecske nyugalmi tömege; υ(≪c) m ≈ m0.
Az anyaghullámok fizikai realitásának és jelentésének kérdését egyelőre függőben hagyva, alkalmazzuk (1a)-t λ=150/UVsebességű elektronokra! Az m ≈ m0= 9,11·10–28g és h = 6,62·10–27 erg s értékekkel, továbbá a jól ismert m0υ2/2 = eU egyenlet alapján a υ helyett a „voltsebesség” UVszámértékét bevezetve – (198,10b) szerint υ = 5,93·107UVcm/s – , azt kapjuk, hogy a 2d sinϑ=kλ=k150UVÅ(k=1, 2, 3, …)esetben „az UV voltsebességű” elektronokhoz rendelt de Broglie-hullámok hullámhossza:
U V 1 , U V 2 , … ((2). egyenlet)
Pl. a 150 V feszültséggel felgyorsított elektronokhoz tartozó hullámhossz 1 Å,akkora, mint a rövidhullámú röntgensugaraké. Ha tehát a hipotézis helyes, az elektronsugaraknak kristályokra való bocsátásakor a röntgensugarakéhoz hasonló interferencia- vagy elhajlásjelenségek várhatók (Elsasser, 1925). Valóban, az anyaghullámok kísérleti bizonyítékát először ilyen elektroninterferenciák szolgáltatták (1927), később pedig a de Broglie-féle hipotézis helyessége az elektronokon kívül más mikrorészecskékre is beigazolódott, amint azt a 348. §-ban látni fogjuk. A makroszkopikus testekhez tartozó anyaghullámok nem nyilvánulnak meg észlelhető módon, mert (1a) szerint a hullámhossz rendkívül kicsiny, pl. m = 1 g és υ = 1cm/s esetén λ = 6,6·10–27 cm.
Az anyaghullámok fázissebessége (u)– miként már periodikus hullámoké is – a λ-nak és a v-nek a szorzata, azaz (1a –b) alapján:
tehát υ < c miatt nagyobb a c fénysebességnél. Ez a körülmény nincs ellentétben a relativitás elméletével, mert a 99. §-ban említett okokból a hullámokkal adható jelek diszperzió esetén (azaz ha u függ λ-tól) nem az u fázissebességgel, hanem az
λ = 150 / ( U V / U bV ) ((3). egyenlet)
Rayleigh-egyenlet meghatározta u* csoportsebességgel terjednek, l. (99,1). Az anyaghullámok mármost valóban diszperziót mutatnak, mert (3)-ból és (1a)-ból láthatóan u függ a λ-tól. Nevezetesen, az (1a) négyzetre emelésével nyert (UV≳10 000 V)egyenletből υ-tkiszámítva, majd (3)-ba helyettesítve:
λ = 150 U V + 0,98 ⋅ 10 − 6 U V 2 Å , ((4). egyenlet)
Az u-nakezzel a kifejezésével (4)-ből egyszerűen adódik: u* = υ, a mozgó részecskéhez rendelhető anyaghullámok csoportsebessége egyenlő a részecske sebességével. Erre a tételre a 351. §-ban visszatérünk.
Az anyaghullámok fogalmával lehetővé válik a hidrogénatom elektronjának stacionárius körpályáira vonatkozó, (331,2) alatti m0rυ = nh/2π Bohr-féle kvantumfeltétel szemléletes értelmezése. Az r sugarú stacionárius körpályán △Ψ=1u2∂2∂2Ψsebességgel keringő elektronhoz rendelt anyaghullámról ugyanis természetesnek látszik feltételeznünk, hogy e hullám a teljes kör befutása után ugyanabban a rezgésállapotban tér vissza pl. a Ρ pontba, mint amilyenben a P-ből kiindult; más szavakkal, a kör kerülete a λ hullámhossz egész számú többszöröse (347,1. ábra): 2πr = nλ =n·h/m0υ, ez pedig az m0rυ = nh/2π átrendezett alakban éppen az említett kvantumfeltétel.
347,1. ábra -
348. §. Az anyaghullámok kísérleti bizonyítékai; elektron-, atom- és molekulasugarak diffrakciója
1. Az elektronok diffrakcióját (elhajlását, interferenciáját) és ezzel az anyaghullámok létezését meggyőzően először Davisson és Germer mutatták ki 1927-ben a 348,1a ábrán vázolt, a röntgensugaraknál megismert Laue-módszernek megfelelő kísérlettel. Az Ε elektronágyúból U = 30 – 300 V feszültséggel felgyorsított keskeny elektronnyalábot bocsátottak merőlegesen a (szabályos rendszerbe tartozó) nikkel-egykristály oktaéder- vagy (l, l, l)-lapjára, és az elforgatható Κ fémkamrához kapcsolt galvanométerrel mérték a ϑ szög alatt szóródó elektronoktól származó áramot. Az U feszültség és a ϑ szög változtatásával azt kapták, hogy az áramnak éles maximuma van U és ϑ bizonyos értékeinél, pl. a b ábra polárdiagramjárói láthatóan, U = 54V és ϑ = 50° esetén (továbbá pl. U = 64 V és ϑ = 44°-nál). Ha e rögzített U- és ϑ-érték mellett a kristályt az ábrán vázolt helyzetéből φ szöggel elfordították a beeső nyaláb mint tengely körül, a maximum 120°-onként ismétlődött, az oktaéderlap háromfogású szimmetriájának megfelelően. A kísérlet szerint tehát a kristályról az elektronok csak meghatározott diszkrét irányokban verődnek vissza, és minden ilyen irányhoz meghatározott U = UV volt feszültség vagy „voltsebesség” tartozik, teljesen hasonlóan a Laue-módszerrel előállított röntgendiffrakcióhoz, amelynél az említett irányokhoz meghatározott hullámhosszak tartoznak (300. §). A kiértékelés mármost azt mutatta, hogy a kapott elektrondiffrakció kvantitatíve is értelmezhető a Laue-eljárassal, ha az UVvolt sebességű elektronokhoz éppen a (347,1a) vagy (347,2) alatti △Ψ≡∂2Ψ∂x2+∂2Ψ∂y2+∂2Ψ∂z2≡div grad ΨÅ de Broglie-hullámhosszat rendeljük.
348,1. ábra -
Davisson és Germer az elektrondiffrakciót a Bragg-módszer analogonjával is vizsgálták (348,2. ábra). A (301,1) alatti
Ψ = Ψ ( x , y , z ) e − 2 π i v t ((1). egyenlet)
348,2. ábra -
Bragg-féle egyenlet az elektronsugarak esetében kísérletileg úgy is ellenőrizhető – a kristálynak a vákuumban körülményes forgatása helyett –, hogy rögzített ϑ szög mellett egymás után meghatározzuk azokat a k = 1, 2, … rendszámokhoz tartozó i≡−1 volt gyorsító feszültségeket, amelyeknél (1) szerint a ,,visszavert” sugarak intenzitásának maximálisnak kell lennie. A mérések az (1) összefüggést lényegileg igazolták, de a kísérletben alkalmazott lassú elektronok (U ≈ 100V) esetén pontos egyezés csak akkor áll fenn, ha figyelembe vesszük, hogy az elektronok sebessége a kristályban az ott uralkodó Ub ≈ 10 V „belső potenciál” miatt más, mint vákuumban, és ennek megfelelően (347,2) helyett a △Ψ+4π2v2u2Ψ=0 vagy(uv=λ miatt) △Ψ+4π2λ2Ψ=0 korrigált összefüggést használjuk. – Gyorsabb elektronokυ=2(E−U)/m0, esetén UbV elhanyagolható, igen gyors elektronokra pedig (347,2) helyett a pontos de Broglie-féle összefüggés:
λ = h m 0 υ = h 2 m 0 ( E − U ) . v = E h ((2). egyenlet)
amint azt (347,1a) és (198,14–15) felhasználásával ki lehet mutatni.
Elektrondiffrakció a Debye–Scherrer-módszer mintájára is előállítható a 348,3. ábrán vázolt készülékkel (G. P. Thomson, 1927). A néhány tízezer volt feszültséggel felgyorsított keskeny elektronnyaláb jó vákuumban a Τ tartóval elforgatható és eltolható, igen vékony (≈ 100 Å) Ρ preparátumon halad át, és az így keletkező elhajlási kép – esetleg fluoreszkáló ernyőn való megfigyelés után – az F fotolemezen rögzíthető (ti. a gyors elektronok – a lassúakkal ellentétben – a fotorétegben feketedést létesítenek). Finom porból vagy rendszertelenül irányított mikrokristályokból álló preparátum esetén az elhajlási kép Debye–Scherrer-gyűrűnek, egykristály-fóliák esetén pedig különálló kis foltoknak a rendszere (348,4. ábra). Vastagabb preparátumok vizsgálatánál a preparátumot úgy helyezzük el, hogy felületére az elektronsugár csaknem érintőlegesen essék be; ekkor a diffrakció egy vékony felületi rétegben jön létre. Hogy az elhajlási képek valóban elektronok, nem pedig az ezek által keltett röntgensugaraktól származnak, azt a képnek mágneses tér hatására bekövetkező eltolódása bizonyítja.
348,3. ábra -
348,4. ábra -
Az elektronok elhajlását – hasonlóan, mint a röntgensugarakét – sikerült később éleken és fémrácsokon (súrlódó beesés mellett), valamint gázsugarakon is kimutatni, és az eredményeket az elektronokhoz tartozó anyaghullámokkal értelmezni. Ezek a hullámok szabják meg nagy részben az elektronmikroszkóp feloldóképességét, ill. a d = λ/n sin u feloldási határt is (l. 199. § 3. és 286. §), amely a megvalósítható viszonylag kis u apertúra ellenére sokkal kedvezőbb a fénymikroszkópénál, mert a szokásos U ≈ 105 V gyorsító feszültség mellett a λ (2) szerint csak kb. 0,04 Å.
Az elektrondiffrakciót ma már széles körűen alkalmazzák anyagszerkezeti vizsgálatokra, elsősorban felületi (pl. adszorpciós) rétegek tanulmányozására, ti. az elektronsugarak jóval kevésbé hatolnak be az anyag belsejébe, mint a röntgensugarak. A molekulák szerkezetének vizsgálatában a röntgen- és az elektrondiffrakciós módszerek jól kiegészítik egymást, mert a röntgensugarak főleg az elektronokon, az elektronsugarak viszont főleg az atommagokon szóródnak, s így az előbbi módszer az atomok elektronburkának, az utóbbi pedig az atommagoknak a helyzetéről adhat felvilágosítást.
2. Atom- és molekulasugarak diffrakcióját kristályokon először Stern és munkatársai mutatták ki (1929) úgy, hogy egységes sebességű héliumatomokból, majd hidrogénmolekulákból álló vékony nyalábot bocsátottak litium-fluorid kristály felületére, meghatározták a ,,visszavert” nyalábok irány szerinti intenzitáseloszlását, és ebben szabályosan ismétlődő maximumokat találtak. A nehéz kísérletek részleteit mellőznünk kell, az értelmezésről pedig csak annyit, hogy az a síkrácsokra vonatkozó (300. §) egyenleteken alapszik, mivel az atom- és molekulasugarak nem hatolnak be a kristály belsejébe. A kiértékelésből adódó hullámhossz jól megegyezett a λ = h/mυ de Broglie-hullámhosszal. Pl. a He esetében az m ≈ 4·1,67· 10–24 g tömegnek és a 300 K-hez tartozó υ ≈ 1100 m/s ,,legvalószínűbb sebességnek” (132. §) λ ≈ 0,90 Å felel meg, amely a rácsállandóval egyenlő nagyságrendű érték.
A de Broglie-féle összefüggés helyesnek mutatkozott később a neutronok diffrakciójára is, amely a neutronok nagy áthatoló képessége folytán igen fontos anyagszerkezeti kutatásokra nyújt lehetőséget (371. és 372. §), és a „részecske–hullám dualizmus” további erős bizonyítéka.
349. §. A Bohr-elmélet hiányosságai és a kvantummechanika kialakulása. A Schrödinger-egyenlet
1. A Bohr-elmélet és ennek főleg Sommerfeldtől származó továbbfejlesztése, mint láttuk, az atomi jelenségek megismerése terén igen jelentős eredményeket ért el. Így a stacionárius vagy kvantumállapotokra és az ezek közötti átmenetekre vonatkozó két posztulátum felállításával alapjában véve lehetővé tette a vonalas színképek keletkezésének megértését, kvantitatív szempontból is teljes pontossággal értelmezte a hidrogénatom és a hidrogénszerű ionok spektrumát (a finomszerkezet kivételével), módot nyújtott – részben az elektronspin felismerése után, a vektormodell segítségével – a spektrumvonalak finomszerkezetének, a Zeeman- és Stark-effektusnak, az atom-, a röntgen- és a molekulaszínképeknek legalábbis kvalitatív jellegű, szemléletes magyarázatára s a rendkívül nagy kísérleti anyag áttekinthető rendszerbe foglalására, a Pauli-elvvel kiegészítve pedig a periódusos rendszer felépítését is sikerült értelmeznie.
Nagy eredményei mellett vannak azonban a Bohr-elméletnek súlyos hiányosságai is. Egyebek között már a két elektront tartalmazó héliumatom esetében a számítások a megfigyelt spektrummal éles ellentétre vezettek, nehézségek merültek fel több kvantumszámmal kapcsolatban [ti. az elmélet nem tudta megokolni az eredetileg (335,1b)-vel bevezetett nφazimutális kvantumszámnak a kísérleti eredmények megkövetelte l = nφ – 1 mellékkvantumszámmal való helyettesítését, valamint pl. az anomális Zeeman-effektus kvantitatív értelmezéséhez szükséges, (339,12) után említett J2 → J(J + 1),L2 → L(L + 1), S2 → S(S + 1) módosításokat], nem ad számot az elmélet a színképvonalak intenzitásáról és polarizációs viszonyairól, ill. ezekről csak a korrespondencia-elv (331. §) hozzávételével nyújt bizonyos felvilágosítást, továbbá a Bohr-modell szerint a hidrogénatom lapos koronghoz hasonlítható, a kísérletek alapján viszont (az alapállapotban) gömbszimmetrikus sajátságokkal rendelkezik. Ami pedig az elvi alapokat illeti, az elméletnek az az eljárása, hogy a klasszikus mechanika által megengedett pályák közül egyeseket egyszerűen kiválaszt a mélyebben meg nem indokolt kvantumfeltételekkel, erősen kifogásolható, ti. így az elmélet sem nem következetesen klasszikus, sem nem következetesen kvantumelmélet. Mindezek és még más hiányosságok miatt a Bohr-elmélet – több maradandó értéke ellenére – nem tölthette be egy kielégítő atomfizikai elmélet szerepét.
2. A kvantummechanika kialakulása. Az említett nehézségek megszüntetésére, valamint a „részecske – hullám kettősség” mélyebb megvilágítására irányuló törekvések az alapfeltevések gyökeres felülvizsgálatához vezettek. Ennek eredményeként 1925-ben Heisenberg (részben Bornnal és Jordannal együtt), ill. néhány hónappal később teljesen függetlenül Schrödinger egy-egy új, alakilag merőben különböző elméletet állított fel, amelyet az alkalmazott matematikai formalizmusról mátrixmechanikának, ill. hullámmechanikának neveztek. Ε két, egymással csakhamar egyenértékűnek bizonyult elméletből fejlődött ki lényegében néhány év alatt a kvantummechanika, a mikrofizikai jelenségeknek egy olyan rendszeres és ellentmondásmentes elmélete, amely logikai felépítése és belső zártsága tekintetében a klasszikus mechanikával egy fokon áll, az értelmezhető jelenségek sokasága tekintetében pedig azt jóval felülmúlja, és egész természetszemléletünkre is mélyreható befolyást gyakorolt.
A kvantummechanika nagy matematikai apparátust igénylő és kevéssé szemléletes elmélet, részletes tárgyalása az elméleti fizika feladata, de szerepe az atomi jelenségek modern értelmezésében és általában az anyag szerkezetével foglalkozó tudományokban annyira jelentős, hogy a következőkben ismertetjük – vázlatosan – néhány főbb eredményét, a viszonylag egyszerűbb és az alkalmazások terén gyakoribb hullámmechanikai megfogalmazásban.
3. A Schrödinger-egyenlet. De Broglie ama felismerése nyomán, hogy a mikrorészecskékhez hullámok tartoznak (347. §), Schrödinger arra a gondolatra jutott, hogy a mikrorészecskék viselkedésének leírására elégtelennek bizonyult klasszikus mechanikát olyan új elmélettel kellene helyettesíteni, amely a részecskékhez rendelt hullámokat veszi tekintetbe. Eszerint az új elmélet – a hullámmechanika – a klasszikus mechanikának hasonló általánosítása lenne, mint a finomabb fényjelenségeket is értelmező hullámoptika a csak közelítő érvényű geometriai optikának.
Valamely hullámnak mint általában a három helykoordinátától és az időtől függő Ψ = Ψ(x, y, z, t)mennyiségnek a terjedését a klasszikus fizika számos területén előforduló
△ Ψ + 8 π 2 m 0 h 2 ( E − U ) Ψ = 0, ((1). egyenlet)
hullámegyenlet írja le, amelyben ∫∫∫|Ψ(x, y, z)|2dxdydz=1,röviden ∫|Ψ|2dV=1. a Laplace-féle kifejezés, u pedig a hullám terjedési vagy fázissebessége [lásd pl. (98,16) és (231,29) alatt, továbbá az elméleti mechanikában pl. a húr és a membrán rezgéseinél]. Időben periodikus, ν frekvenciájú hullámot feltételezve, Ψ a Ψ = ψ(x, y, z)·sin 2πvt vagy ψ cos 2πvt alakban, ill. az általánosabb és számításokra is alkalmasabb
| Ψ | 2 d V ((2). egyenlet)
komplex alakban írható (ahol△Ψ+8π2m0h2(E+Ze2r)Ψ=0.), és (2)-nek (1)-be való helyettesítésével a hullám ψ = ψ(x, y, z)amplitúdójára a
△ ψ -nek ((3a–b). egyenlet)
amplitúdóegyenlet következik. Ε kis emlékeztetés után tekintsünk egy m0 tömegű és υ sebességű mikrorészecskét – pl. egy elektront az atommag erőterében –, amelynek potenciális energiája legyen U = U(x, y, z), állandó teljes energiája pedig: E = U + m0υ2/2 (nemrelativisztikus közelítésben). Innen 1r2∂∂r(r2∂Ψ∂r)+1r2sinϑ∂∂ϑ(sinϑ∂∂ϑ)+1r2sin2ϑ∂2Ψ∂Ψ2+8π2m0h2(E+Ze2r)Ψ=0.tehát (347,1a) értelmében a részecskéhez rendelt de Broglie-hullámhossz és frekvencia:
Ψ ( r , ϑ , φ ) = R ( r ) Y ( ϑ , φ ) ((4a–b). egyenlet)
A λ-nak (3b)-be való helyettesítésével adódik az (időtől független) Schrödinger-egyenlet:
1 R d d r ( r 2 d R d r ) + 8 π 2 m 0 h 2 r 2 ( E + Z e 2 r ) = − 1 Y [ 1 sin ϑ ∂ ∂ ϑ ( sin ϑ ∂ Y ∂ ϑ ) + 1 sin 2 ϑ ∂ 2 Y ∂ φ 2 ] . ((5). egyenlet)
a hullámmechanika alapegyenlete. [91] Az egyenlet a fent vázolt gondolatmenetnél sokkal egzaktabb módokon is megalapozható, és több részecskére is általánosítható. Az n részecskére általánosított Schrödinger-egyenlet 3 helyett 3n változós (x1, y1, …, zn) másodrendű parciális differenciálegyenlet.
Az alkalmazásokban az (5)-nek megfelelő típusú differenciálegyenleteknek csak olyan megoldásai jönnek tekintetbe, amelyek egyúttal eleget tesznek a rendszerint előírt határfeltételeknek (pl. a kifeszített membrán rezgéseinél a peremnek mindig nyugalomban kell maradnia), továbbá bizonyos matematikai követelményeknek (a megoldásfüggvények legyenek egyértékűek, elégszer differenciálhatók és négyzetesen integrálhatók, l. alább). Ilyenfajta, röviden reguláris megoldások – amint az a matematikában már régóta ismeretes – csak az egyenletben szereplő konstans paraméternek, a jelen esetben az Ε teljes energiának bizonyos értékeinél vannak; ezeknek az ún. sajátértékeknek (E1,Ε2, …), és a hozzájuk tartozó sajátfüggvényeknek (ψ1, ψ2, …) meghatározása pusztán matematikai feladat. A hullámmechanika szerint tehát egy atomi rendszernek a stacionárius állapotokban lehetséges energiaértékei nem mások, mint a rendszer Schrödinger-egyenletének a sajátértékei, és így a lehetséges energiák meghatározása, amely a Bohr-elméletben az alapjában véve érthetetlen kvantumfeltételek segítségével történt, minden újabb hipotézis nélkül tisztán matematikai feladatra redukálódik! A vizsgálatok azt mutatták, hogy ily módon a hullámmechanika rendkívül sok, a Bohr-elmélet számára megoldhatatlan problémánál is a tapasztalattal teljesen megegyező eredményekre vezet, bár általában nehéz matematikai számítások után. (A megfelelő matematikai módszerek, ill. közelítő eljárások kifejlesztése szinte külön tudományág!)
A ψ amplitúdófüggvény jelentésével kapcsolatban először emlékeztetünk arra, hogy általában a hullámok intenzitását az amplitúdó négyzete szabja meg, és így közvetlen fizikai jelentést várhatóan nem a ψ-nek, hanem ψ2-nek, helyesebben – mivel ψ általában komplex – a |ψ|2 = ψψ* mennyiségnek kell tulajdonítanunk (ψ* a ψ konjugáltja). Az (5) Schrödinger-egyenlet homogén differenciálegyenlet lévén a ψ függvény egy tetszőleges állandó szorzót tartalmazhat, amelyet mindig úgy válasszunk meg, hogy |ψ|2-nek az egész térre (ill. a határfeltételek által megengedett térfogatra) kiterjesztett integrálja 1, más szóval a ψ „1-re normált” legyen:
∂ 2 Y ∂ ϑ 2 + ctg ϑ ∂ Y ∂ ϑ + 1 sin 2 ϑ ∂ 2 Y ∂ ϑ 2 + C Y = 0. ((6). egyenlet)
Born nyomán mármost a |ψ|2-nek és hasonlóan |Ψ|2-nek a következő valószínűségi vagy statisztikai jelentés tulajdonítható:
E n = − 2 π 2 m 0 e 4 Z 2 h 2 ⋅ 1 n 2 ( n = 1, 2, 3, … ) ((7). egyenlet)
annak a valószínűsége, hogy a ψ(x, y, z) függvény által jellemzett részecske az (x, y, z) helyen levő dV térfogatelemben található (az 1/térfogat dimenziójú |ψ|2a valószínűségsűrűség). Így természetesnek tűnik a (6) „normálási feltétel”, mert annak a valószínűsége, hogy a részecske az egész térben valahol jelen van, a bizonyossággal, azaz 1-gyel egyenlő.
A |ψ|2 valószínűségi jelentését közelebbről a hidrogénatom példáján ismerjük majd meg a 350. §-ban, a kvantummechanika statisztikai jellegének mélyebb okával pedig a 351. §-ban foglalkozunk.
350. §. A hidrogénatom hullámmechanikai modellje
A hidrogénatom e töltésű, ill. általánosabban egy hidrogénszerű ion Ze töltésű és nyugvónak feltételezett magjától r távolságban a (– e töltésű, m0 tömegű) elektron potenciális energiája: U = – Ze2/r, tehát (349,5) szerint most a Schrödinger-egyenlet:
Ψ = Ψ n l m ( r , ϑ , φ ) = R n l ( r ) Y l m ( ϑ , φ ) ((1). egyenlet)
Az egyenlet a probléma természetének leginkább megfelelő r, ϑ, φ gömbi polárkoordinátákban (a l=0, 1, 2, …, n−1, m=0, ±1, ±2, …, ±1 ezekkel való kifejezését lásd pl. Budó: Mechanika, 91. §) a következő alakú:
∑ l = 0 n − 1 ( 2 l + 1 ) = n 2 ((2). egyenlet)
A megoldást a
ψ n l m = R n l ( r ) ⋅ Y l m ( ϑ , φ ) ((3). egyenlet)
alakban keressük, ahol R csak az r-nek, Υ pedig csak a ϑ és φ szögeknek a függvénye. A (3)-nak (2)-be helyettesítésével adódó egyenletet r2/RY-nalvaló szorzás után így írhatjuk:
2 r 1 − 3 / 2 e − r / r 1 ⋅ 1 4 π ((4). egyenlet)
Mivel a bal oldal csak r-től, a jobb oldal csak ϑ-tól és φ-től függ, az egyenlőség a változók minden értékére csak úgy állhat fenn, ha mindkét oldal külön-külön állandó, mondjuk C. Így (4)-ből az alábbi két egyenlet következik:
1 2 2 r 1 − 3 / 2 e − r / r 1 ⋅ 1 4 π ((5). egyenlet)
} 2 p ((6). egyenlet)
A (6) egyenletről a matematikában már régen kimutatták, hogy csak akkor vannak reguláris megoldásai, ha C = l(l +1), ahol l = 0, 1, 2, …. A reguláris megoldások, az un. gömbfüggvények, Υ = Υlm = Θlm(ϑ)eimφalakúak; egy meghatározott l-hez m = 0, ± 1, ± 2, …, ± l-nek megfelelően 2l + 1 lineárisan független gömbfüggvény tartozik, explicit kifejezésüket az l = 0 és 1 esetekre alább, (10)-ben adjuk meg. Ezek után a C = l(l + l)-gyel felírandó (5) egyenlet vizsgálata dönti el, hogy az Ε energiának mely értékei lehetségesek.
Az (1) Schrödinger-egyenletnek az r, ϑ, φ gömbi polárkoordinátákkal kifejezett alakjából eléggé hosszadalmas, itt nem részletezhető számításokkal az adódik legfontosabb eredményként, hogy reguláris megoldások az E > 0 esetben minden Ε értéknél, az E < 0 esetben viszont csak az
1 2 6 r 1 − 3 / 2 r r 1 e − r / 2 r 1 ⋅ 3 4 π cos ϑ ((7). egyenlet)
diszkrét energiaértékeknél léteznek, ezek pedig azonosak a Bohr-elméletből nyert és a tapasztalattal kitűnően egyező (331,7) értékekkel, de most egyedül a Schrödinger-egyenletből, minden további feltevés nélkül következnek!
A vizsgálatok alapján az Enenergia-sajátértékekhez tartozó, 1-re normált sajátfüggvények
± 1 ((8). egyenlet)
alakúak, és az n főkvantumszám, valamint az l méllékkvantumszám és az m (vagy ml) mágneses kvantumszám
1 2 6 r 1 − 3 / 2 r r 1 e − r / 2 r 1 ⋅ 3 8 π sin ϑ e ± i φ ((9). egyenlet)
értékei szerint osztályozhatók. Adott l-hez 2l + 1 számú, és így adott n-hez |l|=l(l+l)⋅h2π számú lineárisan független sajátfüggvény tartozik (más szóval az n főkvantumszámú állapot n2-szeresen elfajult állapot). A (8) sajátfüggvények explicit kifejezését, amely általános esetben eléggé bonyolult, csak az n = 1 és 2 főkvantumszámokra adjuk meg a mellékelt táblázatban.[92]
Y 00 = 4 π
R m l 2 ( r ) r 2 d r ≡ P ( r ) d r
Δ x ≈ λ sin α ,
Δ p x ≈ h λ sin α .
Δ x ⋅ Δ p x ≈ h ,
Δ E ⋅ Δ t ≈ h .
Δ v ¯ ≈ 0,003 cm − 1
Az n, l, m kvantumszámok jelentése egyrészt a (8) sajátfüggvények zérushelyeinek a számával, szemléletesebben az Rnl(r)= 0 és Ylm(ϑ, φ)= 0 egyenletekkel leírt „csomófeltételek” számával függ össze [nevezetesen Rnl(r)-nek a 0 < r < ∞ intervallumban n – l – 1 számú, Ylm(ϑ, φ)-nek pedig a 0 < ϑ < π intervallumban l – |m| számú zérushelye van – amint azt a (10)-ben foglalt esetekre ellenőrizhetjük –, tehát a „csomógömbök” száma n – l – 1,a „csomókúpoké” pedig l – |m|]. A kvantumszámok másik jelentése a hullámmechanikában is lényegileg ugyanaz, mint a Bohr-elméletben: n az energiát határozza meg (7) szerint, l az elektron lpálya-impulzusmomentumának a nagyságát:
λ = 1 / v ¯ ((12). egyenlet)
– ez a Bohr-elmélet (335,6) eredményének a helyesbítése–, végül m ≡ mlaz l vetületét egy kitüntetett irányra, pl. a z tengellyel egy irányú mágneses tér irányára, (335,9)-cel megegyezésben. Az l = 0, 1, 2, 3, … értékeknek megfelelően s-, p-, d-, f-, … elektronról beszélünk. (349,7) és (349,8) értelmében
| Δ λ | = | λ 2 Δ v ¯ | ≈ 10 − 11 cm ≈ 0 ,001 Å-nek ((13). egyenlet)
a valószínűsége annak, hogy a H-atom elektronja az (r, ϑ, φ)helyen levő dV = r2 sin ϑdr dϑ dφ térfogatelemben található. Ez a valószínűség nem függ a φ szögtől – mivel az Ylm-ben fellépő eimφtényező |Ylm|2-ből kiesik – az l = 0 (m = 0, n tetszőleges) esetben pedig a (10)-ből leolvasható υ (≪c)miatt a ϑ szögtől sem. Más szavakkal: a hidrogénatom az (1s) alapállapotban és bármely s-állapotban is gömbszimmetriával rendelkezik. Továbbá, (13)-at ϑ és φ szerint integrálva, (11b) figyelembevételével mondhatjuk: λ=hp(hm0υ) és v=Eh(=m0υ22h=p22m0h). annak a valószínűsége, hogy az elektron a magtól r és r + dr közötti távolságban van, azaz egy r sugarú és kis dr vastagságú gömbhéjon belül. P(r)-et (Å–1-ben) mint az r/r1függvényét az 1s, 2s és 2p állapotokra a 350,1. ábra tünteti fel. Látható, hogy az elektron legvalószínűbb távolsága az alapállapotban éppen r1,a Bohr-féle első körpálya sugara, a 2s, ill. 2p állapotokban pedig közelítőleg, ill. pontosan 4r1,5r1.
350,1. ábra -
A valószínűség ϑ szögtől való függését, azaz annak a valószínűségét, hogy az elektron egy adott r sugarú gömbfelületnek a ϑ és ϑ + dϑ közötti, 2π sin ϑdϑ-val arányos területű zónájában található, (13) alapján – egyenlő területű zónákra vonatkoztatva – az n főkvantumszámtól és a φ-től független |Ylm|2 szabja meg. Ez a mennyiség (10) szerint az s állapotokban nem függ a ϑ-tól, a p állapotokban pedig m = 0-nál cos2ϑ-val, m = ± 1-nél sin2ϑ-val arányos, tehát a 350,2. ábrán feltüntetett polárdiagramokkal ábrázolható (amelyek a kitüntetett z irány körül forgásszimmetrikusak). A p-elektronra vonatkozó három diagramon a nyilakkal jelzett l impulzusmomentum z komponense (h/2π egységben) rendre m = 0, + 1, – 1, az említett iránykvantálásnak megfelelően. Az elektron tartózkodási valószínűsége m = 0-nál a z tengely mentén (ϑ = 0), m = ± 1-nél pedig a z tengelyre merőleges síkban (ϑ = 90°) a legnagyobb. Az előzők értelmében a hullámmechanikában nem lehet szó meghatározott elektronpályákról, mert hiszen csak bizonyos valószínűsége van annak, hogy az elektron a magtól egy meghatározott távolságban és meghatározott síkban (helyesebben e távolság és sík környezetében) tartózkodik. Megjegyezzük, hogy a |ψ|2dV-t a pontszerű elektron tartózkodási valószínűségének, azaz |ψ|2-et valószínűségsűrűségnek tekintő korrekt felfogás helyett előfordul az a szemléletesebb, de ellentmondásokra vezető régebbi felfogás is, amely az elektront a térben „elkent” képződménynek, „elektronfelhőnek” képzeli oly módon, hogy a felhő (x, y, z)helyén a töltés- és tömegsűrűség |ψ(x, y, z)|2-tel arányos. Ha sok atomra és hosszabb időre vonatkozó átlagértékre gondolunk, az utóbbi felfogás is megengedhető.
350,2. ábra -
A Schrödinger-egyenletben nem szereplő elektronspin a nemrelativisztikus kvantummechanikában utólag vehető figyelembe, a relativisztikus Dirac-egyenlet pedig a spinről és a hidrogéntermek, ill. -vonalak finomszerkezetéről minden további feltevés nélkül számot ad, amint azt a 337. § 5.-ben említettük. A kvantumállapotok közötti átmenetekről és a spektrumvonalak intenzitásáról a 352. §-ban szólunk.
351. §. A Heisenberg-féle határozatlansági relációk, hullámcsoportok
1. A de Broglie-hullámok és a Schrödinger-féle hullámfüggvény valószínűségi jelentése s általában a kvantummechanika statisztikai jellege szorosan összefügg azzal a felismeréssel (Heisenberg, 1927), hogy atomi rendszerek esetében bizonyos fizikai mennyiségeknek egyidejűleg tetszőleges pontossággal való meghatározása elvileg – azaz teljesen eltekintve a mérőeszközök tökéletlenségétől – nem lehetséges.
Ennek illusztrálására tekintsük konkrét példaként az alábbi, Heisenberg-féle „gondolatkísérletet”. Tegyük fel, hogy az x tengely mentén adott feszültséggel felgyorsított, tehát ismert px = mυximpulzusú elektronokból álló nyaláb halad, amelynek egyik elektronja bizonyos időpillanatban a Ρ pontban van (351,1. ábra). Hogy az elektron helyét az Μ mikroszkóp segítségével meghatározhassuk, ehhez az elektront a pl. x irányú fény nyalábból legalább egy fotonnak el kell találnia, és az „ütközés” után M-be jutnia. A fényelhajlás miatt a mikroszkóp felbontási határa, vagyis a műszerrel még éppen különállónak felismerhető két pont távolsága (286,3) szerint; d ≈ λ/sin α, ahol α az objektív fél nyílásszöge. Esetünkben nyilván a d = Δx távolság a helymeghatározás bizonytalansága:
Ψ = a e 2 π i [ ( x / λ ) − ν t ] = a e ( 2 π i / h ) ( p z − E i ) = a e i ( k z − ω t ) ((1). egyenlet)
351,1. ábra -
amely elvileg a λ csökkentésével – gondolatban akár „γ-sugár mikroszkópot” is alkalmazhatunk – tetszőlegesen kicsinnyé tehető. Ami mármost az elektron px = mυximpulzusát illeti, figyelembe kell vennünk, hogy pxa fotonnal való „ütközés”, azaz a Compton-effektus folytán megváltozik, nevezetesen (344,3) és az ábra szerint a hv/c – (hv'/c)cos ϑ ≈ (hv/c)(1 – cos ϑ) = (h/λ)(1 – cos ϑ) értékkel. A ϑ szórási szögről azonban csak annyit tudunk, hogy (mivel a ,,szórt foton” a mikroszkópba jutott) ϑ értéke 90° – α és 90° + α közé, ennek megfelelően az impulzus értéke px ± (h/λ)sin α közé esik, vagyis az impulzusmeghatározás bizonytalansága:
k = 2 π λ = 2 π h p és ω = 2 π v = 2 π h E ( = h 4 π m 0 k 2 ) ((2). egyenlet)
Az (1)-ből és (2)-ből következik az egyik Heisenberg-féle határozatlansági reláció:
Ψ c s = a ∫ k 0 − Δ k k 0 + Δ k e i ( k x − ω t ) , d k , ill . Ψ c s = a ∫ ω 0 − Δ ω ω 0 + Δ ω e i ( k x − ω t ) , d ω ((3). egyenlet)
a helykoordináta Δx és az impulzuskomponens Δpx határozatlanságának szorzata nagyságrendben a Planck-állandóval egyenlő. Ez azt jelenti, hogy minél pontosabban meghatározott a részecske x koordinátája (minél kisebb a Δx), annál kevésbé meghatározott a részecske px impulzuskomponense (annál nagyobb a Δpx) és megfordítva.
A (3) összefüggés sok más gondolatkísérlettel és egzaktabb módon is megalapozható (l. a 2. pontot), továbbá általánosítható minden „kanonikusan konjugált” változópárra (a két változó szorzata energia × idő dimenziójú). Így pl. egy stacionárius állapotú rendszer energiájának ΔΕ határozatlansága és az állapotban való tartózkodás Δt időtartama közötti reláció:
| Ψ c s | 2 t = 0 = 4 a ( Δ k ) 2 ( sin Δ k x Δ k x ) 2 , ill . | Ψ c s | 2 x = 0 = 4 a ( Δ ω ) 2 ( sin Δ ω t Δ ω t ) 2 , ((4). egyenlet)
A határozatlansági relációknak makroszkopikus testek vagy makrorészecskék esetében gyakorlatilag nincs szerepük, mert ha pl. egy m = 1 g tömegű test helyét aránylag igen pontosan, Δx = 10–5 cm hibával ismerjük, akkor a sebesség (3)-ból adódó Δυx ≈ 7·10–23cm/s határozatlansága sok nagyságrenddel kisebb az elérhető mérési pontosságnál. A mikrorészecskékre azonban a relációk erős korlátozást jelentenek: ha pl. a H-atomban az m ≈ 10–27 g tömegű elektron helyét a viszonylag nem is nagy pontossággal, az atom átmérőjénél kb. 10-szer kisebb Δx ≈10–9 Å hibával kívánnánk megállapítani, a sebesség határozatlansága (3) szerint a megengedhetetlenül nagy Δυx ≈ 7·109cm/s érték lenne! Ε példából látható, hogy a (3) reláció alapján az atomban a Bohr-féle elektronpályák fogalma értelmét veszti.
A (4) relációval áll szoros kapcsolatban pl. a spektrumvonalak természetes szélessége. A 343. § 1. szerint egy atomi gerjesztett állapot (g) természetes élettartama – a zavartalan atomnak g-benvaló tartózkodási ideje – általában τ0≡Δt ≈ 10-8s nagyságrendű. Eme időközhöz (4) alapján a gerjesztett állapot energiájában ΔEg ≈ h Δt, a térmértékben ΔTg = ΔEg/hc = 1/cΔt ≈ 0,003 cm–1 határozatlanság tartozik, és így pl. – pontosan meghatározott energiájú – alapállapotba való átmenet során emittált spektrumvonal természetes szélességét is ez az érték jelenti: Δx⋅Δk≈π és Δt⋅Δω≈π.(amely pl. λ = 5500 Å-ös vonal eseténPdip=16π43c3M02v4. miatt,Ψj=ψje−2πi(Ej/h)tfelel meg). Bár normális körülmények között a nyomástól és hőmérséklettől függő számos befolyás miatt, rendszerint a természetesnél jóval nagyobb vonalkiszélesedés jön létre, kis nyomású és hőmérsékletű gázokban modern módszerekkel sikerült a természetes vonalszélességet megmérni, és ezzel a (4) összefüggés helyességét kísérletileg ellenőrizni. Lásd még 352, § 4.
2. A hullámcsoportok és a határozatlansági relációk. Egy m0 tömegű szabad részecske (pl. elektron) haladjon az x tengely mentén állandó Ψj∗ΨjdV.sebességgel. A részecskéhez rendelhető legegyszerűbb de Broglie-hullám az x rányban terjedő olyan – egydimenziós – színuszhullám, amelynek hullámhossza és frekvenciája (347,1a-b) szerint
− e Ψ j ∗ Ψ j d V ((5a–b). egyenlet)
Mint tudjuk, e hullám pl. az a sin 2π[(x/λ) – vt]vagy a komplex
− e r Ψ j ∗ Ψ j d V ((6). egyenlet)
kifejezéssel – a szabad részecske Schrödinger-féle hullámfüggvényével[93] – irható le, amelyben rövidség kedvéért
M stac = − e ∫ Ψ j * r Ψ j d V = − e ∫ ψ j * r ψ j d V , ((7a–b). egyenlet)
A (6) színuszhullám azonban térben és időben végtelen kiterjedésű, nincsen kitüntetett pontja, s így nem lehet a hullámban a részecske helyét megadni. Kézenfekvőnek látszik ezért a részecskéhez a (6) színuszhullám helyett több vagy sok ilyen hullámból összetett hullámcsoportot rendelni, annál is inkább, mert a 347. § értelmében a csoport maximális amplitúdójának terjedési sebessége, az u* csoportsebesség egyenlő a részecske ν sebességével. Álljon mármost a hullámcsoport olyan, az egyszerűség kedvéért egyenlő amplitúdójú hullámokból, amelyeknek k „hullámszámai” (vagy ω körfrekvenciái) folytonosan töltenek be egy keskeny 2Δk (ill. 2Δω)intervallumot a k0(ill. ω0)középérték körül; ekkor tehát a hullámcsoportot a
M j k = − e ∫ Ψ j * r Ψ k d V = − e ∫ Ψ j * r Ψ k d V ⋅ e 2 π i t ( E j − E k ) / h ≡ M j k ° e 2 π i v j k t ((8a–b). egyenlet)
függvény írja le. Speciálisan t = 0, ill. x = 0 esetre szorítkozva, az olvasóra bízható egyszerű integrálás eredményeként a hullámcsoport [Ψcs]2 intenzitását a t = 0 időpontban mint az x hely függvényét, ill. az x =0helyen mint az idő függvényét az alábbi kifejezés adja meg:
v j k = E j − E k h ( E j > E k ) ((9a–b). egyenlet)
351,2. ábra -
amelyet grafikusan a 351,2a–b ábra tüntet fel. Az ábra alapján a hullámcsoport térbeli, ill. időbeli, hosszúságának közelítő mértékéül a Δx ≈ π/Δk, ill. Δt ≈ π/Δω intervallum választható, azaz fennáll:
M j k ∘ ((10a–b). egyenlet)
Ha most a (kis Δk és Δω esetén) bármely hullámcsoportra érvényes (10a–b) összefüggésekben[94]a de Broglie-hullámokra vonatkozó, (7a – b) szerinti Δk = (2π/h)Δp ≡ (2 π/h) Δpxés Δω = (2π/h)ΔE egyenleteket figyelembe vesszük – és a Δx, Δpx, Δt, ΔΕ mennyiségeket mint a részecske jellemzőinek határozatlanságait fogjuk fel –, akkor egy, a nagyságrend szempontjából lényegtelen 2-es faktortól eltekintve éppen a (3) és (4) relációkat nyerjük. Eszerint α Heisenberg-féle (3) és (4) határozatlansági relációk úgyis tekinthetők, mint a hullámcsoportok általános tulajdonságainak és a „részecske-hullám kettősségre” vonatkozó de Broglie-féle (5a – b) hozzárendelésnek a következményei.
Ha a mikrorészecskét egy adott időpontban igen kis Δx szakaszon belül lokalizáljuk – a megfelelő nagyon rövid (ill. három dimenzióban nagyon kis ΔxΔyΔz térfogatú) csoportot gyakran hullámcsomagnak hívják –, akkor a Δk hullámsáv már olyan széles, hogy az abban foglalt Δk1, Δk2, … keskeny sávoknak megfelelő hullámcsoportok a diszperzió miatt észrevehetően különböző u1*, u2*, … csoportsebességgel terjednek. Következésképpen a kezdetben „éles” hullámcsomag idővel „szétfolyik” (l. a 99. § végét), a mikrorészecske viszont oszthatatlan, egyben marad. Egyebek között ezért nem lehet a részecskét a hullámcsomaggal azonosnak tekinteni, hanem – mai ismereteink szerint egyetlen lehetőségként – a de Broglie-hullámoknak, ill. a Schrödinger-féle hullámfüggvénynek a 349. § 3-ban megismert valószínűségi jelentést kell tulajdonítanunk.
3. A határozatlansági relációk értelmezése, ill, ismeretelméleti vonatkozásai tekintetében röviden az alábbi álláspontot fogadhatjuk el helyesnek: a határozatlansági relációk mikrorészecskék mozgására vonatkozó objektív törvényszerűséget tükröznek, és lényegileg azt fejezik ki, hogy mikrorészecskékre a klasszikus részecskefogalom milyen mértékű korlátozásokkal alkalmazható. Nem szabad ugyanis elfelejtenünk, hogy a mikrorészecskék a makrorészecskéktől minőségileg különböző tulajdonságú objektumok, miként azt a „részecske – hullám kettősség” bizonyítja (346–349. §).
A relációk alkalmat adtak sok téves értelmezésre és idealista következtetésre is. A tekintélyes Born és követői szerint téves pl. az a felfogás, amely szerint a mikrorészecskék „valójában” minden időpontban meghatározott koordinátákkal és impulzussal „rendelkeznek”, és a (4) korlátozás kizárólag a mérés vagy megfigyelés zavaró befolyásából származik. Még helytelenebb az a következtetés, hogy a mikrovilág jelenségeire nem érvényes az okság (kauzalitás) elve. Ez az elv a klasszikus mechanikában egyértelmű azzal, hogy a mechanikai rendszer kezdeti állapotát teljesen jellemző koordináták és impulzusok (ill. sebességek) pontos ismeretében előre meg lehet határozni – a mozgásegyenletekből – a későbbi állapotokra jellemző koordinátákat és impulzusokat. Mikrorendszerek esetében viszont a határozatlansági relációk értelmében a koordinátáknak és az impulzusoknak egyidejűleg sem a kezdeti, sem a későbbi értékei nem adhatók meg pontosan. Ez a körülmény azonban nem „dönti meg” az okság elvét, hanem csak azt az előzők alapján nem meglepő követelményt támasztja alá, hogy a mikrorendszerek állapotát a klasszikus mechanikában bevált mennyiségek helyett más, a mikrorészecskék természetének megfelelő módon kell jellemezni. Amint azt a kvantummechanika kimutatja, erre a jellemzésre a statisztikai jelentésű Ψ = Ψ(x1, x2, …, zn, t) hullámfüggvény (állapotfüggvény) alkalmas; ha ismerjük ezt a t = 0 időpontra, akkor a hullámfüggvény bármely későbbi időpontra is megadja a rendszer állapotát, megfelelően az okság elvének!
352. §. A sugárzás kvantummechanikai elméletéről, a spektrumvonalak intenzitása és kiszélesedése
A fénykisugárzásra és fényelnyelésre képes rendszerek legegyszerűbb klasszikus modellje a 236. §-ban megismert rezgő elektromos dipólus vagy Hertz-féle lineáris oszcillátor. Ha az Μ dipólusmomentum ν frekvenciájú harmonikus rezgésnek megfelelően változik az idővel, M = M0cos 2πvt, akkor az elektrodinamika szerint [lásd (236,10) és (236,2)] a dipólus által az időegység alatt a teljes térszögbe kisugárzott energiának időbeli átlagértéke, más szóval a rezgő dipólus sugárzási teljesítménye:
M j k ∘ = | M j k ∘ | e i δ , ((1). egyenlet)
Ezt az összefüggést lényegében a kvantummechanika is érvényesnek tekinti az atomok sugárzásának egyszerűsített („félig klasszikus”) tárgyalásában, csak az Μ dipólusmomentumot megfelelően, az alábbi módon értelmezi.
1. Az atomok stacionárius és átmeneti dipólusmomentuma. Az egyszerűség kedvéért a hidrogénatomot tekintve, a +e töltésű mag és az ettől r vektori távolságban levő, –e töltésű elektron dipólust képez, amelynek (a mag felé mutató) momentuma a klasszikus felfogás szerint: M = –er. A kvantummechanika értelmében az atomnak pl. az Ejenergiájú stacionárius állapotát a Mjk+Mjk∗hullámfüggvény jellemzi, és az r helyen felvett dV térfogatelemben az elektron tartózkodási valószínűsége Mjk+Mjk*=|Mjk°|(ei(2πvjkt+δ)+e−i(2πvjkt+δ))=2|Mjk°|cos(2πvjkt+δ).Szemléletesen azt is mondhatjuk, hogy az „elektronfelhő” dV térfogatú részében M0→2|Mjk∘| és v→vjktöltés van (350. §), amely a mag megfelelő töltésűnek képzelt részével együtt Patom=64π43c3vjk4|Mjk°|2, ahol Mjk°=−e∫Ψj*rΨkdV.momentumú dipólust alkot. Ebből az egész térre kiterjesztendő integrálással adódik, hogy stacionárius állapotban a H-atom dipólusmomentuma:[95]
M j k ∘ ((2). egyenlet)
amely időben állandó, tehát – megfelelően az elektrodinamikának – stacionárius állapotokban az atom nem sugároz. Így a kvantummechanikából önként következik a Bohr-féle első posztulátum, amely az ,,elektronpályákra” vonatkozó szemléletes alakjában az elektrodinamika törvényeivel összeegyeztethetetlen volt!
A (2) kifejezés alapján kézenfekvő az az itt ugyancsak formálisnak látszó, de Dirac által elméletileg is megalapozott általánosítás, hogy az Ej és Ek (< Ej) energiájú két stacionárius állapot közti átmenethez az
− e ∫ ψ j ∗ x ψ k d V stb ., | M j k ∘ | 2 ((3). egyenlet)
„átmeneti dipólusmomentumot” rendeljük. Az Mjkidőben periodikusan változik a vjkfrekvenciával, vagyis az atom – ismét összhangban az elektrodinamikával – a j → k kvantumátmenetkor
| M j k ° | 2 = e 2 ( | x j k | 2 + | y j k | 2 + | z j k | 2 ) ; itt x j k = ∫ Ψ j * x Ψ k d V , … , ((4). egyenlet)
frekvenciájú fényt bocsát ki. A fenti kvantummechanikai formalizmusból tehát a Bohr-féle második posztulátum is következik.
A (3) alatti Mjkmomentum komplex [általában az |Mjk∘|2amplitúdó is: Ajk=64π43hc3vjk3|Mjk°|2. ahol δ a továbbiakban nem lényeges fázisállandó], és ezért az (1) előtt alapul vett Μ = M0 cos 2πvt valós momentum megfelelőjének az NjBjkw(vjk), ill. NkBkjw(vjk), összeget tekintjük:
B j k = c 3 8 π h v 3 j k A j k és g j B j k = g k B k j . ((5). egyenlet)
Az (1)-ből az Ijk=NjAjkhvjk=64π43c3⋅Nj|Mjk°|v2jk4, helyettesítésekkel adódó eredményt úgy fejezhetjük ki, hogy sok atomra vonatkozó átlagban az egy atom által az j → k spontán kvantumátmenet során emittált teljesítmény:
| M j k ∘ | 2 ((6a–b). egyenlet)
Mivel az e−Ej/kT-vel vektor komponensei: Nj=N0gjg0e−Ej/kT,így is írható:
( 2 ⋅ 1 2 + 1 ) / ( 2 ⋅ 3 2 + 1 ) = 1 / 2 -del , ((7a–b). egyenlet)
úgyhogy Δnatv=32π3e23hc3v03Mnm.és ezzel Patoma j és k állapotok Schrödinger-féle ψ-függvényeinek ismeretében kiszámítható.
2. Az Einstein-féle átmeneti valószínűségek. A fenti eredmény más módon is megfogalmazható. A sok atomból álló rendszerben az időegység alatt végbemenő j → k spontán átmenetek száma nyilván a j állapotban levő atomok Njszámával arányos: NjAjk, ahol Ajkaz 1/idő dimenziójú ,,átmeneti valószínűség”. Így az Njszámú atom időegységenként NjAjkszámú, hvjkenergiájú fotont, azaz NjAjkhvjkenergiát sugároz ki, ez viszont (6a) értelmében NjPatom-mal egyenlő. A két kifejezés egybevetéséből Ajk, a spontán emisszióra vonatkozó átmeneti valószínűség:
Δ nat v ∼ v 0 2 , ((8). egyenlet)
Egy vjk = (Ej – Ek)/h frekvenciájú elektromágneses sugárzás hatására az atom a j állapotból a k-ba,– a fent említett és a sugárzástól független valószínűségű spontán emisszión kívül – kényszerített vagy indukált emisszió révén is átmehet, továbbá abszorpció folytán a k-bóla j-állapotba juthat. Sok atomból álló rendszerben e kétfajta átmenet időegységenkénti száma arányosnak vehető Nj-vel,ill. Nk-val, valamint az elektromágneses sugárzás w(vjk)energiasűrűségével,[96] azaz így írható:
E ( t ) = a 0 e i ω 0 t ((9a–b). egyenlet)
ahol Bjk az indukált emissziós, Bkj az abszorpciós átmeneti valószínűség. A (8) alatti Ajkismeretében ezeket is kiszámíthatjuk, mert – amint azt Einstein 1917-ben az energiasugárzással termodinamikai egyensúlyban levő atomi rendszerekre kimutatta – Ajk, Bjk és Bkj között fennállnak az alábbi összefüggések:
E ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ A ( ω , t 0 ) e − i ω t d ω . ((10). egyenlet)
Itt gjés gka j, ill. k állapot „statisztikai súlya”, amely nem elfajult állapotra 1, elfajult állapotra pedig az ugyanazon energiájú nívók száma, pl. egy J belső kvantumszámú állapotnál 2J + 1, az iránykvantálásnak megfelelően (l. 339. §).
3. A spektrumvonalak intenzitása és polarizációja. Ha a fényforrásban a j és k kvantumállapotú atomok száma Nj, ill. Nk, akkor az előzők értelmében a j → k átmenethez (Ej – Ek = hvjk)tartozó emissziós vonal intenzitása:
A ( ω , t 0 ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ E ( t ) e − i ω t d t = 1 2 π ∫ − t 0 / 2 + t 0 / 2 e i ( ω 0 − ω ) t d t ≡ a 0 π sin ( ω 0 − ω ) t 0 / 2 ω 0 − ω ((11). egyenlet)
a k → j abszorpciós vonalé pedig NkBkjw(vjk) ·hvjk.Az J(ω,t0)= |A(ω,t0)|2=a02π2sin2[(ω0−ω)t0/2](ω0−ω)2. (7a – b)szerint kiszámítható, és ha az bizonyos átmenetekre zérusnak vagy igen kicsinynek adódik, a megfelelő átmenetek „tiltottak”. Így állapíthatók meg a megengedett átmenetekre vonatkozó kiválasztási szabályok [lásd pl. (338,9a–c)].
A (11)-ben szereplő Nj „betöltési szám” a gerjesztési körülményektől függ. Hőmérsékleti egyensúly, ill. hőmérsékleti gerjesztés (343. §) esetén Nja Boltzmann-eloszlásnak (139. §) megfelelően arányos – pontosabban
p ( t 0 ) = e − t 0 / τ d ( t 0 / τ ) , ((12). egyenlet)
ahol N0 és g0az alapállapot (E0 = 0)betöltési száma, ill. statisztikai súlya –, és ezért nem nagyon nagy hőmérsékleteken a magasabb gerjesztett állapotok igen ritkák. A gázkisülésekben viszont sokszor ezek az állapotok is gyakoriak a nagy sebességű elektronokkal való ütközések következtében.
A formulákból leszűrhető számos szabály ismertetését mellőzve, csak egy konkrét példát említünk, a Na kettős D-vonala D1és D2 komponensének intenzitásviszonyát. D1a P1/2 →2S1/2, D2pedig a 2P3/2→2S1/2 átmenet révén jön létre (337. §). Mindkét átmenetnél vjkis és Ajkis gyakorlatilag ugyanaz, és így (11) – (12) szerint a két vonal intenzitásának viszonya egyenlő a 2P1/2 és 2P3/2 állapotok statisztikai súlyának – amely 2J + 1 – arányával, azaz J(ω)=∑t0=0∞p(t0)J(ω,t0)=∫0∞e−t0/τa02sin2[(ω0−ω)t0/2]π2(ω0−ω)2⋅d(t0/τ) megegyezésben a mérésekkel (Dorgelo).
A j → k átmenetkor kibocsátott fény esetleges polarizációjára az Ajkátmeneti valószínűség kiszámításához szükséges, (7b) alatti xjk, yjk, zjk mátrixelemek értékéből lehet következtetni. Így pl. a normális Zeeman-effektus esetében (339. § 2.) az adódik - a Η mágneses tér irányát választva z-iránynak –, hogy a ΔΜ = 0 átmenethez tartozó középső vonalkomponensnél xjk= yjk= 0, zjk ≠ 0; a ΔΜ = ± 1átmenethez tartozó két szélső vonalkomponensnél viszont zjk= 0, xjkés yjkpedig (egy ± i faktorban való eltérésnek megfelelően) fázisban ± π/2-vel különbözik. Ebből a dipólussugárzás polarizáltságának (236. § 2.) figyelembevételével könnyen belátható, hogy a vonalkomponensek transzverzális, ill. longitudinális megfigyelés esetén valóban a 339,3. ábrán feltüntetett módon polárosak.
Az eddig ismertetett, az atomok elektromos dipólusmomentumának időbeli változásából származó elektromos dipólsugárzáson kívül felléphet a mágneses dipólusmomentum és az elektromos kvadrupólus-momentum (156. §) változásának tulajdonítható mágneses dipólsugárzás; ill. elektromos kvadrupólsugárzás is, de ezeknek intenzitása több nagyságrenddel kisebb az elektromos dipólsugárzásénál.
4. A színképvonalak kiszélesedéséről. Még a legnagyobb felbontóképességű spektrométerrel felvett egyetlen és egyszerű színképvonal is mindig véges szélességű. Ezt a J (v) spektrális intenzitás rendszerint harang alakú görbéjének Δν szélessége jellemzi a Jmax(v0)/2 magasságban („félértékszélesség”, 352,1. ábra). Ennek a „kiszélesedésnek” több oka közül különösen hármat (a, b, c) kell tekintetbe vennünk. Ezenkívül számolnunk kell különösen kis molekulasúlyú gázok színképvonalainál a hullámhosszúságnak igen kis mértékű látszólagos növekedésével (d) is.
352,1. ábra -
a) A természetes vonalkiszélesedés annak tulajdonítandó, hogy a fényhullámokat kibocsátó, v0frekvenciájú oszcillátor, amely pl. az n → m kvantumátmenetnek felel meg, a sugárzást szükségképpen csillapodó amplitúdóval sugározza ki, mert a hullám a rezgési energiáját lassanként elviszi. Ilyen hullámvonulat Fourier-spektrumában a spektrális intenzitáseloszlás J(v) = const · [(ν – v0)2 + Δ2ν/4]–1alakú (ún. Lorentz-eloszlás, ami különben a későbbi b) alapján is következik). Ezt az eredményt a kvantumelméleti számítás is megerősíti, és itt a Δν félértékszélességet egyrészt az oszcillátor felső és alsó energiaállapotának bizonytalansága, vagyis az energianívók Γ szélessége, másrészt e nívók τ élettartama szabja meg: Δν = Γ/h és Γτ = h/(2π), ahonnan τΔν = 1/(2π). Felhasználva ezt az összefüggést a (6a) és (6b) alapján belátható, hogy
∫ e a x sin 2 x d x ≡ e a x sin x a 2 + 4 ( a sin x − 2 cos x ) + 2 a 2 + 4 e a x a ((13). egyenlet)
Minthogy itt J(ω)=const(ω0−ω)2+1/τ2,ezért Δnatν az infravörös tartományban mérhetetlenül kicsiny, a láthatóban iskb. csak 10–4 Å-nyi, de a röntgentartományban (λ ≈ 1 Å) már mérhető értékű (vö. 351. § 1.).
b) Ütközési kiszélesedés. A gázmolekulák fénykibocsátási folyamatát, vagyis az általuk kibocsátott hullámvonulatok hosszát megrövidítheti egy, a zavartalan befejeződését megelőző ütközés más molekulával: ennek következtében a szintén Lorentz-profilú „vonalas” Fourier-spektrumuk Δν (> Δnatv) félértékszélessógűvé válik.
Ugyanis egy véges t0tartamú Δkollv=4r2pπmRT/L.harmonikus fényrezgésnek Fourier-integrál alakja: n(υx)=Ce−mυx2/2kτEbből a Fourier-integrálnak ún. inverzió-teorémája alapján:
( 1 ≧ )
[a sin x ≡ (eix – e–ix)/2i azonosság miatt]. A véges (t0)tartamú színuszrezgésnek spektrális intenzitása (vagyis profilja) tehát:
Δ Dopp v = 2 v 0 2 k T l n 2 m c 2
H ( q 1 , … , q j , p 1 , … , p j ) = E , rövidebben H ( q , p ) = E .
A t0időközön belül azonban két, egymást dt0időkülönbséggel követő ütközésnek relatív gyakorisága(px2+py2+pz2)/2m0ahol τ az egymást követő ütközések közti időnek átlagértéke. Ezért az eredő J(ω) vonalprofilt a
H ≡ 1 2 m 0 ( p x 2 + p x 2 + p z 3 ) + U ( x , y , z ) = E .
szolgáltatja. A jobb oldalon
O -val
típusú integrál áll, ezért
vagyis J(ω) Lorentz-profilú, amelynek félértékszélessége tehát Δkollv = 2/τ, másként Δkollvτ = 1/π. Az ütköző molekulák gázkinetikai sugarát pedig r-rel jelölve (134. §):
O 2 ((14). egyenlet)
Szobahőmérsékletű és légköri nyomású gáz ütközési kiszélesedése általában 0,001 Å-nyi nagyságrendű.
c) A Doppler-kiszélesedés számításánál utalunk az x tengely irányában fényt kibocsátó gázmolekulák υxsebességkomponensének Maxwell-féle eloszlására, amelyet az
kifejezés ad. [Ez a (139,4)-ből következik, és előnyösen egyszerűbb alakú a sebességnek υ abszolút értékére vonatkozó (132,4)-nél.] IttO1f=xf, O2f=yf, O3f=∂f/∂x.n(υx)jelenti azoknak a gázmolekuláknak a számát az összeshez viszonyítva, amelyek sebességnek x komponense a υx – (1/2) és a υx + (1/2) közé esik, m a molekulák tömege, k ≡ R/L, C pedig egy arányossági tényező. Aszerint, hogy υxpozitív, avagy negatív, a longitudinális Doppler-effektus (345. §) következtében a kibocsátott fény v0frekvenciáját a x tengelyen álló (λ = c/v)hullámhosszmérő eszköz nagyobbnak (vagyis „kékebbnek”), avagy kisebbnek (vagyis „vörösebbnek”) adja, más szóval ekkor Doppler-féle vonaleltolódás jelentkezik, éspedig:
v – v 0 = v 0 υx/c.
Innen υx-etkifejezve, és az előbbi egyenletbe helyettesítve, látható, hogy a J(v0)erősségű színképvonal spektrális intenzitáseloszlása:
J(v – v0) = n(υx) J(v0)
vagyis ez Gauss-féle haranggörbe alakú. Ebből a keresett ΔDoppν félértékszélesség:
( A + B ) f = A f + B f ((15). egyenlet)
Ez a látható színképtartományban jól észlelhető kiszélesedés, rendszerint jóval nagyobb a Δkollν ütközésinél. Pl. a folyékony levegő hőmérsékletén (T = 81 K) a H-atom első Balmer-vonalánál ΔDoppv = 0,15 cm–1 (≈ 0,03 Å), viszont T = 3000 K-nál a kiszélesedés eléri a 0,2 Å-t.
d) Visszalökés okozta frekvenciacsökkenés annak következménye, hogy a gázatom által kibocsátott (hv)fényenergia (-adag) egyszersmind azonos irányú (hv/c)impulzust is magával visz, ezért (az impulzusmegmaradás törvényének megfelelően) szükségképpen ugyanekkora, de ellentétes irányú impulzust hagy az atomon, vagyis visszalöki azt, miközben a növekvő ellenirányú sebesség folytán Doppler-effektus lép fel, és ez valóban a kibocsátott fény frekvenciájának látszólagos csökkenését idézi elő. Ε frekvenciacsökkenés különösen kis tömegű atomoknak, pl. a H-nak rövid hullámhosszúságú színképvonalain (pl. a Lyman-sorozatban) lehet számottevő.
353 §. A kvantummechanika felépítéséről
A kvantummechanika a 349. § 3.-ban említett heurisztikus meggondolásoknál jóval általánosabb és mélyebb módon is felépíthető, nevezetesen úgy, hogy az egész elméletet bizonyos posztulátumokra alapozzák, amelyek közvetlenül nem bizonyíthatók, hanem helyességüket végeredményben az elméletnek a tapasztalattal való összehasonlítása dönti el. Az alábbiakban sorra kerülő posztulátumok és néhány következményük vázolásánál inkább csak az (újabb fizikában egyre gyakrabban előforduló) alapfogalmak illusztrálásáról lehet szó a teljesség és matematikai szigorúság igénye nélkül.
1. Előkészítésül hivatkozunk arra, hogy a klasszikus mechanikában egy f számú szabadsági fokkal bíró rendszer pillanatnyi helyzete és mozgásállapota a q1, q2,…, qf általános koordinátákkal és az ezekhez „kanonikusán konjugált” p1, p2,…, pf általános impulzusokkal jellemezhető. Ha a rendszer konzervatív és szkleronom, akkor a kinetikai és potenciális energiájának az összegét mint az általános koordináták és impulzusok függvényét megadó Η Hamilton-függvény egyenlő az állandó Ε teljes energiával:
( O 1 + O 2 ) f = x f + ∂ f / ∂ x ((1). egyenlet)
Pl. egy tömegpont esetében (f = 3) az x, y, z derékszögű koordinátákhoz tartozó px = m0 υx stb. impulzusokkal kifejezett kinetikai energia: A B f=A (B f) és így, a potenciális energiát U(x, y, z)-vel jelölve, az (1) egyenlet:
O 1 O 2 f = x y f = x y f = O 2 O 1 f , ((2). egyenlet)
Matematikai előkészítésként az operátorokra vonatkozó alapfogalmakat világítjuk meg néhány példával. A kvantummechanikában operátoron (itt O1 O2 f=x∂f/∂x és O3 O1 f=∂(xf)/∂x=f+x∂f/∂x, vagy más „groteszk” betűvel jelöljük) olyan műveleti utasítást értünk, amely függvényekhez más függvényeket rendel. Jelentse pl. O1 O3f≠O3 O1f; O1 és O2 az x-szel, O1 és O3az y-nal való szorzást, Oaz x szerinti differenciálást, f(x,y)és g(x, y)pedig legyenek a valós x, y változók „reguláris” függvényei (349. § 3.). Ekkor O (c1f+c2g)=c1 O f+c2 O g,Két operátor összegét általánosan az O1, O2, O3, egyenlettel értelmezzük – pl. L –, két operátor szorzatát pedig az Lf=λf; egyenlettel. Pl. L viszont Lf=λftehát (0≦φ≦2π). példa a felcserélhető, f=Ceiλφ pedig a nem felcserélhető operátorokra. Egy (eiφ⋅0=eiφ⋅2π); operátor lineáris, ha (qk) ahol c1 és c2 tetszőleges állandók. A példákként említett (t) operátorok mind lineárisak.
Előfordulhat, hogy egy (pk) operátor valamely f reguláris függvényt az f konstansszorosába (λ-szorosába) visz át: (E) ebben az esetben a lehetséges λ értékeket, ill. f függvényeket az qk≡qk, t≡t, pk≡h2πi∂∂qk, E=−h2πi∂∂qt. operátor sajátértékeinek, ill. sajátfüggvényeinek, az pkqkegyenletet pedig sajátérték-egyenletnek hívjuk. A kvantummechanikában szereplő operátoroktól megköveteljük, hogy sajátértékeik valósak legyenek. Az ilyen, ún. önadjungált vagy hermitikus operátorokra példa az (1/i)d/dφ operátor, amelyben φ forgásszöget jelent qkpkEnnek az operátornak a sajátfüggvényei pk qk Ψ=h2πi∂∂qk(qkΨ)=h2πi(Ψ+qk∂Ψ∂qk), pk qk Ψ=h2πiqk∂Ψ∂qk. ahol λ = 0, ± 1, ± 2, … a regularitáshoz szükséges egyértékűség miatt (pkqk−qkpk) Ψ=(h/2πi) Ψ,adifferenciálás mutatja, hogy valóban (1/i)df/dφ = λCeiλφ = λf.
2. A kvantummechanika változatlan számú mikrorészecskéből álló, véges szabadsági fokú (f) rendszerek viselkedését tanulmányozza. Egy ilyen, klasszikusan a q1, …, qfkoordinátákkal és p1, …, pfimpulzusokkal jellemezhető rendszerre vonatkoznak a következő posztulátumok.
I. posztulátum. A rendszer állapotát teljes mértékben – amennyire csak lehetséges – leírja egy reguláris Ψ(q1, …, qf, t)függvény, a rendszer állapotfüggvénye. Jelentése: Ψ*Ψ dV annak a valószínűsége, hogy a t időpontban a koordináták a dV „térfogatelembe”, azaz q1és q1+ dq1, …, qfés qf + dqfközé esnek; ennek megfelelően Ψ-n „1-re normált” függvényt értünk, vagyis ∫Ψ*ΨdV = 1, ahol az integrál a q-kösszes lehetséges értékeire veendő. (Példát egy speciális esetre l. a 349. § 3.-ban.)
II. posztulátum. A klasszikus mechanikában előforduló fizikai mennyiségeknek a kvantummechanikában egy-egy lineáris hermitikus operátor felel meg (amelynek mindig valós sajátértékei megegyeznek a kérdéses mennyiségnek mérésekkel nyerhető lehetséges értékeivel, l. a későbbi IV. posztulátumot). Speciálisan a qkkoordináta operátora pk qk−qk pk=h2πi, viszont l≠k-ra pk ql−ql pk=0;a qk-valvaló szorzás, a t időé H a t-velvaló szorzás, a pkimpulzus operátora H(q,h2πi∂∂q)a qkszerinti differenciálásnak A h/2π i-szerese, az Ε energia operátora H Ψ=E Ψ-bőlpedig a t szerinti differenciálásnak a –h/2π i-szerese; ezt szimbolikusan így jelöljük:
H ( q , h 2 π i ∂ ∂ q , t ) Ψ = − h 2 π i ∂ Ψ ∂ t ((3a–d). egyenlet)
Példaként alkalmazzuk aH, majd a Loperátort a Ψ(q1, …, qf, t) függvényre:
L Ψ = λ Ψ ,
Következésképpen Lvagy
H ((4a–b). egyenlet)
ezek a Heisenberg-féle felcserélési relációk.
III. posztulátum. Ha H-nak az (1) alatti Η(q, p)Hamilton-függvénynek megfelelő HΨ=EΨ.Hamilton-operátort jelenti,[97] akkor a Ψ = Ψ (q, t)állapotfüggvény eleget tesz a (formailag az (1)-hez rendelt px2→(h2πi∂∂x)2=−h24π2∂∂x2, py2=…, pz2=…(3d) figyelembevételével kapott)
H = − ( h 2 / 8 π 2 m 0 ) △ + U ( x , y , z ) ((5). egyenlet)
állapotegyenletnek, más néven az időtől függő Schrödinger-egyenletnek. Felírásakor alkalmaztuk azt az általánosítást, hogy △=∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2 esetleg a t időtől is függhet.
IV. posztulátum. Ha a Ψ állapotfüggvény sajátfüggvénye egy L mechanikai mennyiséghez tartozó △Ψ+8π2m0h2(E−U)Ψ=0 operátornak, vagyis ha
L ((6). egyenlet)
akkor a Ψ-veljellemzett állapotban (az Ψ=c1Ψ2+c2Ψ2„sajátállapotában”)az L mennyiségnek elvileg pontosan megmérhető értéke van, és ez a λ sajátérték. Megfordítva, ha a Ψ jellemezte állapotban az L-nek pontos értéke λ, akkor fennáll a (6) egyenlet.
Ε posztulátum fontos következménye: Ha a Ψ állapotfüggvény sajátfüggvénye az energiához rendelt L¯=∫Ψ*LΨdV, Hamilton-operátornak, és a Lsajátértéke, vagyis az energia pontos értéke E, akkor az ilyen stacionárius állapotban A és BEz és az általános (5) egyenlet egyidejűleg – mint könnyen belátható – csak úgy állhat fenn, ha
( A B = B A ) ((7). egyenlet)
és a ψ(q)függvény eleget tesz a
A -hoz , ((8). egyenlet)
időtől független Schrödinger-egyenletnek.
Példa: egy részecske esetében a B-hez Hamilton-operátort derékszögű koordinátákban a (2) Hamilton-függvényből kapjuk a (3c)-nek megfelelő Nx=h2πi(y∂∂z−z∂∂y),Ny=h2πi(z∂∂x−x∂∂z),Nz=h2πi(x∂∂y−y∂∂z), helyettesítésekkel. Ily módon N2-hez – ahol N2=Nx2+Ny2+Nz2. a Laplace-operator – tehát (8) alapján a (349,5)-ben megismert
N 2 ((9). egyenlet)
Schrödinger-egyenlethez jutunk, és hasonlóan adódik (5)-ből a (349,5a) alatti, időtől függő Schrödinger-egyenlet is. A mostani megalapozással nyert (5) és (8) eredmények azonban a régebbi (349,5 és 5a)-nál sokkal általánosabbak, mert útmutatást nyújtanak arra, hogyan lehet az időtől függő és az időtől független Schrödinger-egyenletet tetszőleges számú részecskére tetszőleges koordinátákban felállítani!
V. posztulátum (a szuperpozíció elve). Ha Ψ1és Ψ2az L mechanikai mennyiség Nz operátorának a λ1és λ2(≠ λ1)sajátértékekhez tartozó sajátfüggvényei, c1és c2 pedig állandók, vagy csak az időtől függő mennyiségek, akkor a Ψ1és Ψ2jellemezte két „sajátállapot” szuperpozíciójának megfelelő (és 1-re normált)
H = − ( h 2 / 8 π 2 m 0 ) △ + U ( x , y , z ) ((10). egyenlet)
függvénnyel leírt állapot is egy lehetséges, ún. kevert állapot, amelyben c1*c1és c2*c2annak a valószínűsége, hogy az L mennyiség mérésekor (a t időpontban) eredményül λ1, ill. λ2 adódik.
A fenti posztulátumokból folyó tételek közül – bizonyítás nélkül – az alábbiakat említjük meg.
a) A Ψ= Ψ(q, t)állapotfüggvénnyel leírt állapotban egy L fizikai mennyiség kvantummechanikai középértéke vagy várható értéke:
N x , N y , N z ((11). egyenlet)
ahol H, N2, Nz az L-hez tartozó operátor. Példa egy ilyen középértékre a hidrogénatom (352,2) alatti dipólusmomentuma az atom valamely stacionárius állapotában.
b) Ha d2Ψdx2+8π2m0h2EΨ=0; Ψ(x)=ae2πih2m0⋅Ex felcserélhető operátorok 2m0E=2m0⋅m0υ2/2=m02υ2=p2 akkor vannak olyan függvények, amelyek egyidejűleg mindkét operátornak a sajátfüggvényei (szimultán sajátfüggvények) azaz – a IV. posztulátum szerint – vannak olyan állapotok, amelyekben mind az Ψ=ψe−2πi(E/h)t=ae(2πi/h)(px−Et) mind a △ψ-nek tartozó fizikai mennyiségnek pontosan meghatározott értéke van.
Az utóbbi tételre vonatkozó példaként tekintsük a hidrogénatom elektronjának impulzusmomentumát: Ν = [rp], ahol r az elektron helyzetvektora, p az impulzusa. Az Ν derékszögű komponensei Nx = ypz – zpy, … lévén, (3a) és (3c) alapján az impulzusmomentum komponenseihez tartozó operátorok:
△ ψ = 1 r 2 d 2 ψ d φ 2 . ((12). egyenlet)
az 1r2d2ΨdΨ2+8Ψ2m0h2EΨ=0, vagy d2ΨdΨ2+8Ψ2Θh2EΨ=0°, tartozó operátor pedig ψ(φ)=aei8π2ΘE/h2⋅φ. Mármost nehézség nélkül meg lehet győződni arról, hogy az 8π2ΘE/h2=n=0, ± 1, ±2 …. operátor és pl. az E=(h2/8π2Θ)⋅n2, ahol n=0, 1, 2, …. operátor felcserélhetők egymással és az energiához rendelt, (9) előtt említett △ψ-tHamilton-operátorral, viszont 1r2[1sinϑ−∂+∂ϑ(sinϑ∂Ψ∂ϑ)+1sin2ϑ∂2Ψ∂φ2]+8π2m0h2EΨ=0. egymással nem cserélhetők fel. Így a három (és csak három), egymással minden kombinációban felcserélhető E=h28π2Θn(n+1), ahol n=0, 1, 2, …. operátornak megfelelően a hidrogénatom bármely stacionárius állapotában nemcsak az Ε energiának van pontosan meghatározott értéke, hanem N2-nek és Nz-nek is, nevezetesen a számítások szerint N2= l(l + 1)(h/2π)2 és Νz = m·h/2π (ahol m = l, l – 1, …, –l). Ez a mélyebb oka annak az ismert eredménynek, hogy a hidrogénatom stacionárius állapotai az n, l, m kvantumszámokkal jellemezhetők.
354. §. A kvantummechanika néhány további eredménye. A Fermi- és a Bose-statisztika. A kvantumelektronika elemei
1. Egyszerű rendszerek Schrödinger-egyenletének sajátértékei. Az időtől független Schrödinger-egyenlet megoldását, ill. az ebből levonható következtetéseket eddig csak a hidrogénatom példáján ismertük meg (350. §), amely az atomhéjfizikában alapvető jelentőségű. Néhány más egyszerű rendszerre vonatkozó eredménnyel a molekula- és a szilárdtestfizikában fogunk találkozni, de a szabad részecske, valamint az ún. rotátor és az oszcillátor esetére már az alábbiakban felállítjuk a Schrödinger-egyenletet, és megadjuk a lehetséges energiaértékeket.
a) Szabad részecske. Erő hiányában a részecske potenciális energiája állandó, értékét zérusnak vehetjük (U = 0), és az általánosság lényeges korlátozása nélkül az egydimenziós esetre (az x tengely menti mozgásra) szorítkozhatunk. Ekkor (349,5) szerint a Schrödinger-egyenlet:
v = ( 1 / 2 π ) D / m 0 ((1a–b). egyenlet)
ahol a egy állandó. A ψ(x)függvény x → ± ∞-re csak akkor marad véges – csak akkor reguláris –, ha Ε pozitív. Az Ε-reez az egyetlen korlátozás, tehát a szabad részecske Ε energiája bármely pozitív értéket felvehet. Miveld2Ψdx2+8π2h2(E−2π2m0v2x2)Ψ=0.(ahol p az impulzus), ψ(x) = ae(2πi/h)px . Így a teljes hullámfüggvény: E=(n+12)hv, ahol n=0, 1, 2, ….amely x irányban terjedő színuszos síkhullámot jelent. Az ilyen hullámokkal és a szuperpozíciójuk révén előállítható hullámcsoportokkal már foglalkoztunk a határozatlansági relációkkal kapcsolatban (351. § 2.).
b) A síkbeli rotátor klasszikus értelemben egy egyenletes körmozgást végző tömegpont (vagy mereven összekötött két tömegpontból álló „súlyzómodell”, amely a súlypontján átmenő és az összekötő egyenesre merőleges rögzített tengely körül foroghat, l. 133. és 368. §). A megfelelő Schrödinger-egyenletet pl. úgy kaphatjuk meg, hogy – a kör síkját xy-síknak választva – a 0≦x≦a az r, ϑ, φ gömbi polárkoordinátákban felírt, (350,2)-ből leolvasható kifejezésében r = konstanst és ϑ = 90°-ot helyettesítünk; így Ψ(x, t)=ψ(x)⋅e− 2πihEtMivel az U potenciális energia most is zérusnak vehető, (349,5) alapján a Schrödinger-egyenlet:
Ψ = A e i α x + A ′ e − i α x , ha x < 0 ; ((2). egyenlet)
ahol Θ = m0r2 rendszer tehetetlenségi nyomatéka. (2) megoldása (1b)-hez hasonlóan: Ψ=Beγx+A′e−γx, ha <__ x<0; Itt az Ε szintén csak pozitív értékeket vehet fel, de most nem akármilyeneket, mert a megkövetelt egyértékűség miatt ψ(φ) = ψ(φ + 2π)-nek kell lennie, ez pedig csak akkor teljesül, haΨ=Ceiαx+C′e−iαx, ha x>a,Innen a síkbeli rotátor lehetséges energiaértékei: α2=8π2mE/h2, γ2=8π2m(U0−E)/h2,A síkbeli rotátor az a rendszer, amelynél az energia kvantálása a legegyszerűbben – a vázolt elemi módon – belátható.
c) A térbeli rotátor egy gömbfelületen mozgó tömegpont (vagy két rotációs szabadsági fokkal bíró súlyzómodell, l. 133. § 2. és 368. §), amelynek helyzete a ϑ, φ polárszögekkel jellemezhető. A Schrödinger-egyenlet –A+A′=B+B′; iα(A−A′)=γ(B−B′);(350,2) alapján ϑ-val és φ-valkifejezve (r = const) – a következő:
B e γ a + B ′ e − γ a = C e i α a ; γ ( B e γ a − B ′ e − γ α ) = i α C e i α a , ((3). egyenlet)
Ez az egyenlet r2-tel való szorzás után azonos a hidrogénatom tárgyalásánál megismert (350,6) egyenlettel, amelyben most C = 8π2m0r2E/h2 = 8π2ΘΕ/h2(itt Θ = m0r2a tehetetlenségi nyomaték). Mivel reguláris megoldások tudvalevően csak a C ≡ 8π2ΘΕ/h2= n(n + 1) esetben léteznek, az utóbbi összefüggésből következik, hogy a térbeli rotátor energiasajátértékei:
C A = e − i α a ch ( γ a ) + i 2 ( γ α − α γ ) sh ( γ a ) . ((4). egyenlet)
d) A lineáris harmonikus oszcillátor klasszikus értelemben egy olyan tömegpont, amely egyenes mentén (pl. az x tengelyen) harmonikus rezgést végez az Fx= – Dx erő hatására, az m0d2x/dt2 = – Dx mozgásegyenletből következő Ψ(1, 2)≡Ψ (r1, s1; r2, s2; t) és Ψ(2, 1)≡Ψ(r2, s2; r1, s1; t)frekvenciával (20. § 2.). A potenciális energia U=Dx2/2 =2π2m0v2x2lévén, a (349,5) alatti Schrödinger-egyenlet most
vagy s z i m m e t r i k u s a k : Ψ ( 2, 1 ) = Ψ ( 1, 2 ) , vagy a n t i s z i m m e t r i k u s a k : Ψ ( 2, 1 ) = − Ψ ( 1, 2 ) ; ((5). egyenlet)
Az egyenletnek itt nem részletezhető matematikai vizsgálata arra vezet, hogy a harmonikus oszcillátor lehetséges energiaértékei:
Ψ k ( k ) = Ψ n k m k l k s k ( r k ) = Ψ ° n k m k l k ( r k ) ⋅ { χ + ( k ) , h a s k = + 1 / 2 , χ − ( k ) , h a s k = − 1 / 2 , ((6). egyenlet)
Ez az eredmény igazolja az energia kvantáltságára vonatkozó Planck-féle alapfeltevést (En = nhv, 311. §), azzal a módosítással, hogy (6) értelmében az energia a hv-nek nem egész, hanem feles számú többszöröse, tehát az oszcillátornak még a lehetséges legmélyebb (n = 0) állapotában is van energiája, ti. az E0 = hv/2 „zéruspont-energia”, (Az oszcillátor teljes energiája, Ε = p2/2m0 + Dx2/2csak akkor lehetne zérus, ha egyidejűleg az x koordináta és a p impulzus is zérus lenne, ami azonban ellentétben állna a (351,3) határozatlansági relációval!)
e) Alagútjelenség. A kvantummechanika szerint egy szabad részecske, ha kis valószínűséggel is, át tud hatolni még a kinetikai energiájánál „magasabb” potenciálfalon is, amelyről pedig a klasszikus mechanika szerint csakis visszaverődni lenne képes.
Ennek belátására szorítkozzunk az x tengelyen egy Ε összenergiájú szabad részecskére. Az x < 0, valamint a 0 < a < x helyeken a potenciális energia legyen U(x) = 0, viszont a ψ0nklk,mkhelyeken U(x) = U0, ahol 0 < E < U0(354,1. ábra). A részecske anyaghulláma legyen stacionárius, vagyis:
Ψ ( 1 , 2 , … , N ) = C | Ψ 1 ( 1 ) Ψ 1 ( 2 ) … Ψ 1 ( N ) Ψ 2 ( 1 ) Ψ 2 ( 2 ) … Ψ 2 ( N ) . . . Ψ N ( 1 ) Ψ N ( 2 ) … Ψ N ( N ) | ,
A ψ(x)amplitúdó megkeresésére az (349,5) amplitúdóegyenlet szolgál. Megoldásait most külön-külön állítjuk elő U-nak egyes x-tartományaira (354,1b)-nek megfelelően:
ψ 1 = ψ 1 0 00 χ + és ψ 2 = ψ 1 0 00 χ − . ((6a). egyenlet)
ψ ( 1 , 2 ) = ψ 1 0 00 ( 1 ) ψ 1 0 00 ( 2 ) ⋅ [ χ + ( 1 ) χ − ( 2 ) − χ + ( 2 ) χ − ( 1 ) ] ((6b). egyenlet)
( ψ 1 ψ 2 , ) = ( ψ 100 0 , χ + , ψ 200 0 , χ + ) , ( ψ 100 0 , χ + , ψ 200 0 , χ − ) , ( ψ 100 0 , χ − , ψ 200 0 , χ + ) , ( ψ 100 0 , χ − , ψ 200 0 , χ − ) , ((6c). egyenlet)
3 2 ⋅ 2 1 = g 1 N 1 ⋅ g 2 N 2 -féleképpen , ((6d). egyenlet)
és A, A', B, B', C, C' integrációs állandók. Itt az A, C-ttartalmazó tagok x irányban, az A', C'-t tartalmazó tagok pedig ellenkező irányban haladó hullámokat jelentenek. A részecske haladási iránya a hulláméval egyezik. Az A-ttartalmazó tag ezért az O-ba balról érkező, az A'-ttartalmazó balra távozó, a C-ttartalmazó tag jobbra távozó, a C'-ttartalmazó tag pedig jobbról érkező részecskének felel meg. Kikötjük azonban, hogy csak balról érkezzék részecske az Ο origóhoz. Ez annyit jelent, hogy C' = 0, az A pedig adott állandónak tekinthető (a hullámfüggvény normálásáról most lemondhatunk). A megoldás egyben elárulja, hogy a balról érkező részecske hulláma az origónál ketté válik, egyike a potenciálfalon visszaverődik (A'), másika pedig átmegy rajta (C).
354,1. ábra -
A C és A' integrációs állandókat ama négy feltétel határozza meg, amely szerint mind az amplitúdófüggvénynek, mind az x szerinti deriváltjának folytonosnak kell lennie a potenciál x = 0 és x = a ugrási helyén is (az amplitúdóegyenlet csak a második deriváltra ír elő ugrást e helyeken). A négy követelés (6a) – (6c)-t a következő négy egyenletbe viszi át:
a b | | a | b | a | | b b | a | | a b | | a | b b | | a | b | a | | a b
. . | | . | . | . | | . | . . | | . | . | | . .
. | . | . | | . | . | .
Annak valószínűsége tehát, hogy a részecskét az x > a helyen megtaláljuk, C*C, viszont a falra balról beérkező részecske megtalálási valószínűsége (x < 0) bárhol A*A. Ezért a C*C/A*A hányados éppen annak a valószínűségét adja meg, hogy a részecske a falon áthatol. Ε hányados tehát a fal τ áteresztési képessége, és láthatóan nagyobb zérusnál, ezért a kvantummechanika szerint a részecske túl magas pontenciálfalon is gyakran át tud hatolni. Ezt bizonyítja pl. az α-részek kilépése a rádioaktív atommagból, a hideg fémeknek elektronemissziója erős elektromos térben, elektronok áthaladása félvezetők érintkezésén stb.
2. A Schrödinger-egyenlet matematikai nehézségek miatt csak aránylag kevés probléma esetében oldható meg teljes pontossággal, és ezért a kvantummechanikában igen jelentősek a különféle közelítő módszerek. Ezek közül a legelterjedtebb a perturbációszámítas, amely akkor alkalmazható előnyösen, ha a vizsgált rendszer Schrödinger-egyenlete csak kevéssé különbözik egy olyan rendszer Schrödinger-egyenletétől, amelynek megoldásai ismeretesek. Így pl. a hidrogénatom vagy a hidrogénszerű ionok Stark-effektusának (339. §) tanulmányozásánál a megoldandó Schrödinger-egyenlet csak annyiban tér el a (350,1)-től, hogy az elektron – Ze2/r potenciális energiájához még a külső (pl. z irányú) E0elektromos térerősségtől származó U' = –eE0z potenciális energia járul. Ha az ennek megfelelő – (8π2m0\h2)U' tagot mint kis „perturbációt” tekintjük, a perturbációszámítás jól kifejlesztett módszereivel – felhasználva a „nem perturbált” atom (350,1) Schrödinger-egyenletének ismert sajátértékeit és sajátfüggvényeit – a feladat jó közelítéssel megoldható. Lényegében ilyen módszerrel sikerült a kvantummechanikának igen sok jelenséget, egyebek között pl. az atom- és a molekulaspektrumok számos egészen finom vonását kvantitatíve is kielégítően értelmeznie.
3. Azonos részecskéket tartalmazó rendszerek; a Pauli-elv. Egy atomi rendszer két ugyanolyan típusú részecskéje (1 és 2), pl. a héliumatom két elektronja, a klasszikus fizika és a Bohr-elmélet szerint is a különböző pályák alapján megkülönböztethető egymástól, a kvantummechanikában viszont – amelyben a pálya fogalma értelmét veszti – e két részecskét megkülönböztethetetlen vagy azonos részecskéknek kell tekintenünk. Az 1 és 2 számozást gondolatban mégis fenntartva, a rendszer állapotát jellemző Ψ teljes állapotfüggvény (hullámfüggvény) az x1, y1, z1, x2, y2, z2 helykoordinátáktól (rövid jelöléssel: r1, r2) és az időtől, továbbá – a spint is figyelembe véve – az s1, s2 „spinkoordinátáktól”függ; elektronok esetében s1 = ± 1/2 és s2 = ± 1/2 a (337,3) szerinti jelölés ms1, ms2spinkvantumszámaival azonosak. Az állapotfüggvény alapulvételével két részecske azonosságának elve úgy fogalmazható meg, hogy a két részecske „felcserélésének” megfelelő
W = N ! ∏ i g i N i N i ! , W = N ! ∏ i ( N i + g i − 1 ) ! N i ! ( g i − 1 ) ! , W = N ! ∏ i g i ! N i ! ( g i − N i ) ! , ((7a–b). egyenlet)
állapotfüggvényeknek ugyanazt az állapotot kell leírniuk. Mivel közvetlen fizikai (valószínűségi) jelentése Ψ helyett a |Ψ|2-nek van, a felcseréléssel |Ψ|2-nek nem szabad megváltoznia. Ebből kifolyólag a kvantummechanikában csak olyan függvények jellemezhetnek fizikai állapotot, amelyek az azonos részecskék hely- és spinkoordináiáinak felcserélésével vagy változatlanok maradnak, vagy előjelet váltanak, más szóval az állapotfüggvények
N i = A − 1 g i e − E / k T , N i = g i A e E i / k T − 1 , N i = g i A e E i / k T + 1 ; ((8a–b). egyenlet)
ez értelemszerűen kettőnél több azonos részecskét tartalmazó rendszerre is vonatkozik.
A részben csak később ismertethető tapasztalatok mármost azt mutatták, hogy a feles spinnel rendelkező mikrorészecskék (pl. elektronok, protonok, neutronok) állapotfüggvényei antiszimmetrikusak, az egész spinű mikrorészecskék (pl. α-részecskék, fotonok, pionok) állapotfüggvényei pedig szimmetrikusak. Ez a Pauli-elv általános megfogalmazása, amely – mint alább kimutatjuk – magában foglalja azt a 341. §-ban megismert speciálisabb, de szemléletesebb megfogalmazást, hogy elektronokat tartalmazó rendszerben nem lehet egynél több elektron ugyanabban a kvantumállapotban.
Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az Ν számú elektront tartalmazó atom, ill. molekula vagy más rendszer stacionárius állapotban van, és tekintsünk el az elektronok egymás közötti – utólag perturbációként számításba vehető – kölcsönhatásától. Legyen ekkor a k-adik elektron a röviden k indexszel jelzett állapotban, amelyben energiája Εk, a megfelelő teljes „egyelektron-sajátfüggvény” pedig ψk(k); itt egy atom elektronjainak esetében a k index az ismert nk,lk, mk, sk, kvantumszám-négyest reprezentálja. A ψk(k)-ban a spin Pauli nyomán formailag úgy vehető figyelembe, hogy ψk(k)egy csak a helykoordinátáktól (rk)függő ψ0 pálya-sajátfüggvénynek és egy csak az sk = ± 1/2 spinkoordinátáktól (spinkvantumszámoktól) függő χ+, ill. χ– spin-sajátfüggvénynek a szorzata; részletesebben kiírva:
A e E i / k T ≫ 1 ((9). egyenlet)
ahol AeEi/kTa 350. §-ban ψnlm-mel jelölt sajátfüggvényeket jelentik. Mivel az alkalmazott közelítésben az elektronok egymástól függetlenek, az egész rendszer energiája az egyes elektronok energiáinak összege: Erendszer = E1+ E2 + … + ΕN, az egész rendszer sajátfüggvénye pedig - a ψ1, ψ2,… sajátfüggvények valószínűségi jelentésének megfelelően – az egyes sajátfüggvények szorzata: ψ1(1)ψ2(2)… ψN(N). Bármely két elektron, pl. 1 és 2 felcserélésével a rendszer energiája természetesen ugyanaz marad, de a sajátfüggvény általában megváltozik, példánkban ψ1(2)ψ2(1) … ψN(N)-re. Ezért a rendszer energiájához több – a permutációk számának megfelelően N!- sajátfüggvény tartozik (kicserélődési elfajulás), és a Pauli-elv szerint a rendszer teljes ψ(1, 2, …, Ν)sajátfüggvénye ezeknek olyan lineáris kombinációja, amely bármely két elektron felcserélésével szemben antiszimmetrikus. Ilyen függvény a (megfelelő C normálási tényezővel szorzott) Slater-determináns:
Σ N i = A − 1 Σ g i e − E i / k T = N ((10). egyenlet)
mert bármely két elektron felcserélése a determinánsban oszlopcserét s így előjelváltást eredményez. Ha mármost két (vagy több), pl. az 1 és a 2 indexszel jelölt elektronállapot megegyezik, akkor a determináns két sor egyezése miatt zérus, tehát valóban nem lehet egynél több elektron ugyanabban a kvantumállapotban.
Példa. A héliumatom alapállapotában, mivel itt mindkét elektron 1s elektron (341. §), a Pauli-elv és (9) értelmében csak a következő két teljes egyelektron-sajátfüggvény jöhet tekintetbe: Σgie−Ei/kT/N Így (10) szerint a He alapállapotát (az elektronok feltételezett függetlenségének megfelelő közelítésben) a Ni=NgieEi/kTΣgieEi/kT.teljes sajátfüggvény, azaz egy szimmetrikus pályafüggvénynek és egy antiszimmetrikus spinfüggvénynek a szorzata írja le; a két spin antiparalel állása miatt az alapállapot 1S0 állapot. A gerjesztett állapotoknál a ψ1, ψ2 függvénypárra már több lehetőség van, pl. az 1s2s elektronkonfiguráció esetében négy: gi=4πV(2m)3/2h3Ei1/2dEi amelyekből egy 1S0 állapotnak és egy 3S1állapot három komponensének a sajátfüggvényei származtathatók le [l. (338.10)].
A többtestproblémák megoldásában kimagasló eredményeket ért el Gombás Pál és Kónya Albert.
4. Kvantumstatisztikák. A kvantummechanika fent említett azonossági elve – amely szerint az egyforma mikrorészecskékből álló rendszerek állapotfüggvényének a részecskék megkülönböztethetetlensége folytán vagy szimmetrikusnak, vagy antiszimmetrikusnak kell lennie – a statisztikai fizikában is alapvető eredményekre vezetett, nevezetesen két új, α klasszikus vagy Boltzmann-statisztika (139. és 203. §) érvényességi körén túlmenő „kvantumstatisztika” felépítésére. Az egyik a Bose–Einstein-féle vagy Bose-statisztika (1924), a másik a Fermi–Dirac-féle vagy Fermi-statisztika (1926); a tapasztalattal összhangban az előbbi a szimmetrikus állapotfüggvénnyel leírható, egész spinű részecskék (ún. bozonok, pl. α-részecskék, fotonok) sokaságára, az utóbbi pedig az antiszimmetrikus állapotfüggvénnyel leírható, feles spinű részecskék (ún. fermionok, pl. elektronok, protonok, neutronok) sokaságára érvényes. – A vizsgált rendszer nagyszámú (N) egyforma és egymástól közelítőleg független részecskéjét gondolatban különböző (i = 1, 2, …) csoportokra osztjuk úgy, hogy az i-edik csoportba tartozzanak azok a részecskék, amelyek mindegyikének teljes energiája az Eiés Ei + dEiközti kis intervallumba esik (azaz átlagosan Eiértékű). Legyen továbbá az i-edik csoporthoz tartozó (kvantum-)állapotok száma, más szóval az i-edik csoport statisztikai súlya gi. Kérdés, hogy a konstans energiájú és Τ abszolút hőmérsékletű rendszer egyensúlyi állapotában hány részecske van az i = 1, 2, … csoportokban, azaz mekkorák az energiaeloszlásra jellemző Ni betöltési számok.
A feladat megoldásának menetet röviden az alábbiakban vázoljuk, olykor a 138. §-ban megismert fogalmakra hivatkozva. Ha egyszerűség kedvéért pontszerű részecskékre szorítkozunk, akkor egy részecske helyzete és mozgásállapota klasszikusan az x, y, z koordinátákkal és a px (=mυx), py, pzimpulzusokkal írható le, és így szemléletesen az i-edik csoportnak a 6 dimenziós (x, y, z, px, pv, pz) fázistérben az i-edik energiaréteg, a gi számú (kvantum-)állapotnak pedig giszámú, egyenlő térfogatú „elemi fáziscella” felel meg (a 354,2. ábrán gi = 3).[98] Ezek után a háromféle statisztika közötti különbséget a következő egyszerű példán illusztráljuk: a rendszer álljon mindössze Ν = 3 egyforma részecskéből, amelyek számára csak az E1 és E2energiák, ill. energiarétegek lehetségesek, az elsőben g1 = 3, a másodikban g2 = 2 fáziscellával. Ha pl. az 1 rétegben N1 = 2,a 2 rétegben N2 = 1részecske van, ez az eloszlás a rendszer egy meghatározott makroállapotát jellemzi, amelyhez azonban több mikroállapot tartozik, és az utóbbiak száma, a makroállapot W termodinamikai vagy statisztikai valószínűsége (138. § 1.) az, ami a három statisztikában különböző. – a) A Boltzmann-statisztika az egyforma részecskéket megkülönböztethetőknek tekinti, és így a példánkban szereplő makroállapotnál (N1= 2, N2 = 1) egyelőre a rétegekre való elosztás alapján [az 1 rétegben vagy az (a, b), vagy az (a, c), vagy a (b, c)részecskék] 3 = N!/N1!N2!lehetőség van. Ezek mindegyike a cellákra való elosztás szerint többféleképpen valósulhat meg: pl. az „1 rétegben a és b, a 2 rétegben c” eset A=e−EF/kTmert (11)-ből láthatóan a és b a három cellában 9, c pedig a két cellában 2 különböző módon helyezkedhetik el. Végeredményben tehát a példaként felvett makroállapothoz
d N = 4 π V ( 2 m ) 3 / 2 h 3 E 1 / 2 e ( E − E F ) / k T + 1 d E . ((11). egyenlet)
tartozó mikroállapotok száma: W = 3·322l = 54. – b) A Bose-statisztikában a részecskék megkülönböztethetetlenek, és ezért a szóban forgó makroállapotban a rétegekre csak egyféleképpen oszthatók el (két részecske az 1, egy részecske a 2 rétegben), a cellákra viszont 6·2 = 12-féleképpen: két részecske a három cellára a (12)-ben megadott 6, egy
E F 0 ((12). egyenlet)
részecske pedig a két cellára 2 különböző módon. A makroállapothoz tehát most W = 6·2 = 12 mikroállapot tartozik. – c) A Fermi-statisztikában a részecskék szintén megkülönböztethetetlenek, és emellett a Pauli-elv értelmében egy (a spin figyelembevételével megfelelően értelmezett) cellában egynél több részecske nem foglalhat helyet. Így az (N1= 2, N2= 1) makroállapot, mivel két részecske a három cellában csak a (13) séma szerinti 3 módon, egy részecske pedig a két cellában 2-féleképpen helyezhető el, W = 3·2 = 6
E = h 2 8 m a 2 ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ) ( n 1, n 2, n 3, = 1, 2, 3, … ) ((13). egyenlet)
mikroállapottal valósítható meg.
354,2. ábra -
Általános esetben a mikroállapotok számának kombinatorikai úton való megállapításával az adódik, hogy egy (N1, N2, …, Ni, …) makroállapot termodinamikai valószínűsége a Boltzmann-, a Bose- és a Fermi-statisztikában rendre:
n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 = 8 m a 2 E h 2 ((14a–c). egyenlet)
ahol Π a produktum jele. (A formulák a fenti példa esetében rendre az említett 54, 12, 6 értékekre vezetnek.) A rendszer egyensúlyi, azaz legnagyobb W valószínűségű állapotához tartozó Νibetöltési számok azok lesznek, amelyekre W-nek(vagyaz S = k ln W entrópiának, 138. §) maximuma van, a részecskék számának és a rendszer teljes energiájának állandóságát kifejező ΣNi = N = constés ΣNiEi = Eteljes = constfeltételek mellett; a keresett Ni-k meghatározása tehát pusztán matematikai feladat.
Az előzőkben vázolt módon keresztülvihető, de itt nem részletezett számítások arra az eredményre vezetnek, hogy a rendszer egyensúlyi állapotában az Ni (i =1, 2, …) betöltési számok a Boltzmann-, a Bose- és a Fermi-statisztika szerint rendre:
R = 2 a 2 m E / h , ((15a–c). egyenlet)
az A tényező általában – amikor a rendszerben a részecskék Ν száma állandó – a ΣΝi = Ν feltételből határozható meg. Miként az a formulákból kitűnik, az g(E)=4πa2eh3(2mE)3/2.esetben, pl. elegendő magas hőmérsékleteken, mind a Bose-, mind a Fermi-eloszlás a klasszikus Boltzmann-eloszlásba megy át. Ha viszont (15b–c)-ben az dg(E)=2πVh3(2m)3/2E1/2dE.mellett az 1 nem hanyagolható el, a rendszer a klasszikus eloszlásnak megfelelő állapottól lényegesen eltérő, ún. elfajult állapotban van.
A három statisztikáról röviden még a következőket jegyezzük meg.
a) A Boltzmann-statisztikában (ill. kvantált Eienergiák esetében a „klasszikus kvantumstatisztikában” (az A tényező az említett Pa=NjAjkhvjk,egyenletből Pβ=NkBkjw(vjk)hvjk,adódik, s így
P γ = N j B j k w ( v j k ) h v j k , ((16). egyenlet)
Ezt az összefüggést már többször felhasználtuk, pl. a 352. § 3.-ban, speciálisabb alakjában pedig – amikor az összes gistatisztikai súlyok egyenlők – a 139. és 166. §-ban.
b) A Bose-statisztika első alkalmazása az üregsugárzásra (305. §) mint fotonok sokaságának tekintett „fotongázra” vonatkozott (Bose, 1924), és a (306,3) alatti Planck-féle sugárzási törvény statisztikai jellegű levezetését eredményezte. Egy másik, az egyatomos gázokra való alkalmazás (Einstein, 1924) a 129. és 148. §-ban említett gázelfajulásnak, ill. a hélium II szuperfolyékonyságának értelmezésénél látszik jelentősnek.
c) A Fermi-statisztika egyik legfontosabb alkalmazása a fémek szabad vagy vezetési elektronjaiból álló elektrongázra vonatkozik (203. §). A konkrét energiaeloszlási formula felállításához ismernünk kell a (15c)-ben szereplő gi-t, az Eiés Ei + dEiközé eső kvantumállapotok számát; erre a kvantummechanika alapján (l. alább) a
N j [ A j k + B j k w ( v j k ) ] = N k B k j w ( v j k ) ((17). egyenlet)
kifejezés adódik, amelyben V az elektrongáz által betöltött térfogat, m az elektron tömege. Ha (17)-et (15b)-be helyettesítjük, és A-t az NjNk=gjgke−(Ej−Ek)/kT,alakban írjuk, akkor – az i index elhagyásával – azt kapjuk, hogy az E-től E + dE-igterjedő energiaintervallumhoz tartozó elektronok Ni ≡ dN száma:
g k g j e − h v j k / k T [ A j k + B j k w ( v j k ) ] = B k j w ( v j k ) , ((18). egyenlet)
Ε Fermi-eloszlás főbb jellegzetességeiről és az EFill. w(vjk)=Ajk/BjkBkjgkBjkgjehyjk/kT−1. Fermi-energia szerepével már a 203–204. §-ban foglalkoztunk; az ott felírt (203,13) egyenlet (18)-tól abban különbözik, hogy az előbbi dN helyett a dn = dN/V [cm–3] elektronkoncentrációra vonatkozik.A gi, meghatározásával kapcsolatban hivatkoznunk kell arra a („dobozmodellre”alkalmazott) Schrödinger-egyenletből levezethető eredményre, hogy egy a oldalalú és áthatolhatatlan falakkal rendelkező kockában mozgó elektron energiája csak az
B k j g k = B j k g j , ((19). egyenlet)
diszkrét értékeket veheti fel. Ha (19)-et az w(vjk)=Ajk/Bjkehvjk/kT−1. alakban írjuk, és az n1, n2, n3 számokat egyelőre folytonos változóknak fogjuk fel, akkor az előbbi egyenlet egy olyan gömb egyenlete, amelynek sugarahv≪kT térfogata: V' = (4π/3) 8 (a3/h3)(2mE)3/2. Könnyen belátható, hogy az E-nélkisebb energiájú kvantumállapotok g(E)száma akkora, mint amennyi az n1, n2, n3 pozitív egész számoknak megfelelő „rácspontok” száma az említett gömb „pozitív nyolcadában”. Mivel mindegyik rácsponthoz egy egységnyi élhosszúságú kocka tartozik (354,3. ábra), g(E)nagy ni-k esetén jó megközelítéssel egyenlő a gömb V' térfogatának nyolcadrészével:
w ( v ) = 8 π v 2 c 3 k T ((20). egyenlet)
Az Ε és Ε + dE közé eső kvantumállapotok száma (20)-nak Ε szerinti differenciálásából és az a2 = V jelöléssel:
h v ≪ k T ((21). egyenlet)
A spin kétféle beállási lehetősége miatt a keresett betöltési számot (21)-nek a kétszerese, vagyis valóban a (17) kifejezés adja meg.
354,3. ábra -
5. Kvantumelektronika, a) A spontán és indukált emisszióról. A későbbiek számára alapvető (352,10) összefüggések igazolása céljából vizsgáljunk a térfogategységben eloszlott Ν számú azonos felépítésű atomot, amely közül Njszámúnak energiája Eja többié, vagyis Nk= N – Njszámúé pedig Ek(< Ej).Ε térfogategységben azonban sugárzási energia is legyen jelen éspedig w(v) spektrális térfogati sűrűséggel. Minthogy az Ejés Ekenergiaérték között kvantumátmenet lehetséges, ezért a Bohr-féle frekvenciafeltétel szerint a jelenlevő Ej – Ek = hvjkenergiájú fotonok energiasűrűsége w(vjk).A 352. § 2. szerint egyidejűen háromféle (α,β, γ)kvantumátmenet lehetséges (354,4. ábra).
354,4. ábra -
α) Spontán (vagyis látszólag önként végbemenő) fényemisszió: j → k-nak megfelelően. A j állapotbajutástól számítva ez állapot élettartamának lejárta után bekövetkező ilyen természetű emissziónak kisugárzott teljesítménye szükségképpen:
w ( v ) ≈ A j k B j k ⋅ k T h v .
ahol Ajkjelenti annak valószínűségét, hogy egy Ej energiájú atom önként Ekenergiájúvá változzék.
β) Abszorpció a környező w (vjk)energiasűrűségű sugárzási térből. Ilyen, k → j kvantumátmenet során az atomhalmaz által elnyelt sugárzási teljesítmény szükségképpen:
A j k / B j k = 8 π h v 3 / c 3
ahol Bkjjelenti annak valószínűségét, hogy egy k állapotú atom a w (vjk)hatására j állapotúvá változzék.
γ) Indukált emisszió a j → k átmenetnek megfelelően. [A környező w (vjk)„indukáló” hatására még a j állapot élettartamán belül bekövetkező ilyenfajta, az indukálóval szigorúan koherens emisszió lehetőségére Einstein sejtése nyomán a hullámmechanika mutatott rá.] Ilyen kvantumátmenet során az Njszámú atom kisugárzási teljesítménye:
w ( v ) = 8 π h v 3 c 3 ⋅ 1 e h v / k T − 1 .
ahol Bjkjelenti annak valószínűségét, hogy egy j állapotú atom a w (vjk)hatására k állapotúvá degradálódjék.
Az atomhalmaz és az azt környező sugárzási tér (stacionár) termikus egyensúlyának mármost az a feltétele, hogy Ρα + Ργ = Ρβlegyen, vagyis az
P ′ α = 64 π 4 v j k 4 3 c 2 | M j k ° | 2 = A j k h v j k ((22). egyenlet)
teljesüljön. Azonban Τ hőmérsékleten a termikus egyensúly miatt szükségképpen fennáll még (352,12) is, amiből
A j k = 64 π 4 3 h c 3 v j k 3 | M j k ° | 2 . ((23). egyenlet)
ahol g1és gka megfelelő energiaszintek statisztikai súlya. Ezért (22)-ből
B j k = 8 π 4 3 h c 3 v j k 3 | M j k ° | 2 .
| M j k ° |
Itt azonban szükségképpen
P α ≪ P γ > P β , ((24). egyenlet)
egyezésben (352,10)-zel, mert csakis e feltétel mellett egyezik w(vjk)a Planck-féle formulával (306. §). Ha ugyanis fennáll (24), akkor
N j > N k g j g k . ((25). egyenlet)
A dJdx=−hvjkBkjπ2cΔvjk(Nk−Nj)Jklasszikus határesetében tudjuk azonban, hogy érvényes Rayleigh – Jeans törvénye (306. §), amelyet nem polarizált sugárzás esetén
K v ≡ h v j k ⋅ B k j π 2 c Δ v j k ( N k − N j )
fejez ki. Fejtsük geometriai sorba a Ej+EJ′-véfeltétel mellett (25)-öt, és hagyjuk el bízvást a lineárisnál magasabb fokú tagokat:
E k + E J ″ -vé
Az utolsó két egyenlet összehasonlításából
( J ′ − J ″ = 0 )
teljes egyezésben (352,10)-zel. Ezért (25) a (24) esetén valóban átmegy Planck nevezetes sugárzási formulájába:
k → ( a ) f → ( s ) j → ( i ) k .
[vö. (306,3)-mal].
Spontán emisszió esetén egyetlen atom a (352,6), valamint α) szerint
B k f > A j k ≪ A f j ≫ A f k .
teljesítménnyel sugároz. Innen a (352,8)-cal egyezésben:
N j − N k N f + N j + N k ≥ _ B k f − A j k B k f − B j k .
Ebből a most igazolt (352,10) alapján:
w ( v k f ) = c A j k Δ v p B k f n ((26). egyenlet)
Az j →(s) k ismeretében tehát kiszámítható az atomi halmaz által kibocsátott, ill. elnyelt rezonanciasugárzási teljesítmény.
A hagyományos források általában spontán emisszió útján sugároznak. Indukált emisszió és ezzel egyetlen indukáló (gerjesztő = „stimuláló”) fotonnak megkettőződése, kvantumos erősítése csakis akkor jelentkezhetik, ha J=J0e−2KvL;vagyis ha (22) így módosul: NjBjk > NkBkj, amiből (24) alapján:
J = J 0 / r , ((27). egyenlet)
A (23) miatt ez ellentéte a termikus egyensúly esetének. Az indukált emissziónak szükséges feltétele tehát az, hogy a felső Ejenergiaszinten több (Njszámú) atom tartózkodjék, mint az alsó Ek-n,más szóval, hogy az Njés Nkbetöltési számok (ún. populációk)az egyensúly esetéhez képest fordított nagyságúak legyenek (vagyis ún. populációinverzió álljon fenn) valamilyen energiának alkalmas betáplálása (vagyis optikai besűrítése, ún. pumpálása, Kastler, 1958) következtében.
Az előbbiek alapján könnyen meg lehet mutatni, hogy egy (el nem fajult: gj = gk = 1)két energiaszintű (Ej > Ek)molekulahalmazba az x irányban behatoló vjkfrekvenciájú és Δvjkfélértékszélességű paralel fény J intenzitásának x irányú gradiensét az abszorpciós és azt követő indukált emissziós teljesítmény különbségeként a
0 ≦ r ≦ 1. ((28). egyenlet)
kifejezés szolgáltatja. Ebből a (272,4)-gyel való összehasonlítás alapján kitűnik, hogy az ún. rezonanciaabszorpciónál (343. § 3.) a Κ abszorpciós koefficiens szerepét a
r e − 2 k v L > 1, ((29). egyenlet)
tölti be. Látjuk, hogy a populációinverzió esetén Kv< 0, vagyis ekkor nem elnyelés, hanem erősítés következik be. A (28) egyben magyarázatát adja annak a tapasztalatnak, miért szükséges éles (Δv → 0)színképvonalú gerjesztő fény a rezonanciasugárzás (343. §) előidézéséhez.
A populációinverzió technikai megvalósítása és ezáltal egy molekulahalmazban láncreakciószerű koherens indukált emisszió előidézése az ún. kvantumelektronikának a feladata. A szerkesztett kvantumerősítőket még kvantumgenerátoroknak is nevezik. Ezeknek két fontos képviselőjük alakult ki: a mikrohullámok (239. §) tartományában működő ún. maser (ejtsd: mézer) és a fényhullámok tartományában működő laser (ejtsd: lézer). Nevük a működésük lényegét angolul kifejező szavak kezdőbetűiből áll. [Microwave (or Light) Amplification by Stimulated Emission of Radiation; magyarul: mikrohullám- (vagy fény-) erősítés a sugárzásnak gerjesztett emissziója útján.
A mézerek működésének elvét legegyszerűbben az ammóniamézeren (5b), a lézerekét a rubin-, ill. hélium-neon-lézeren (5c) érthetjük meg. A lézerekkel ellentétben a mézereknél a (352,8) jóvoltából az Ajk~ v3 → 0, ezért itt az inkoherens spontán emisszióval nem kell számolnunk.
b) Ammoniagáz-mézer (ammóniaóra). Megértéséhez tudnunk kell, hogy az ammónia (NH3) molekula három H-atomja általános háromszöget alkot, amelyen éppen ezért az oldalak növekvő sorrendje meghatároz egy forgási és ezzel a síkjukra merőleges irányt, vagyis e sík „színét és fonákját”. A N-atom vagy e sík színe felett (j),vagy a fonákja alatt (k)tartózkodik. Ε két stacionár állapotához azonban kissé különböző értékű rezgési energiaszint tartozik (Ej – Ek ≈ 10–4 eV), amelyben azonban az átmenet közben kissé torzuló NH3-molekula elektromos dipólusnyomatéka is eltér egymástól.
Ha azonban az NH3 gázmolekula forog is a Η háromszög síkjára merőleges szabad tengely körül, akkor a rezgéssel egyidejű forgásból ún. rezgési rotációs színkép származik (l. 371. §), amelynek vonalait a J = 1, 2, 3, … ún. rotációs kvantumszámmal jellemezhető forgási állapotok között egy-egy kvantumátmenet (ΔJ = 0, ± 1) szab meg. A forgás következtében az Ejállapotú NH8-molekula2KvL<lnr.az Ekállapotú mλ=2Lnválik, de e két állapot között átmenet is vm=mc2nL. lehetséges, amikor is a molekula egy-egy vjk = (Ej – Ek)/h ≈ 2,4·104 MHz frekvenciájú fotont bocsát ki, akármekkora is J. Minthogy Ej ≈ Ek, ezért (252,12) miatt egyszersmind Nj ≈ Nk.
A j állapotú molekulák a k állapotúaktól azonban térbelileg szeparálhatók azáltal, hogy egy (j + k) keskeny NH3 molekulasugarat (l. 132. §) egy feltöltött kvadrupol-kondenzátor (K)fegyverzetei között tereljük át (354,5. ábra). Ennek erősen inhomogén tere a rajta átfutó NH3 molekulák közül a magasabb Ejenergiájúakat (j)egy üregrezonátor (Ü)nyílásába fókuszálják, de szétszórják a kisebb Ekenergiájúakat, mert ezek dipólmomentuma a magasabbakétól eltér. Ezért az előzőleg a vjkfrekvenciára behangolt Ü üregbe több (Nj) j állapotú molekula jut, mint (Nk) k állapotú. Ott tehát e populációinverzió miatt már egyetlen spontán emisszió hullámának hatására is láncreakciószerűen önfenntartó indukált emissziófolyamat áll be, amelynek hullámai az üregből mint generátorból (H)hullámvezető segítségével 10–9 W-nyi teljesítménnyel „kicsatolhatók”. Ezek frekvenciastabilitása azonban legalább 1010 nagyságrendű. Minthogy a kilépett hullámok frekvenciája „leosztható”, ezért az ammóniamézer még a 18. §-ban említett kvarcóránál is pontosabb óraként is felhasználható, amely pl. képes kimutatni a Föld forgásának csekély lassulását is. Hasonló elven sikerült metán- (CH4) mézért is előállítani.
Szerkesztettek azonban két energiaszint között működő hangolható, de impulzusüzemű mélyhűtésű paramágneses kristály mézert is, sőt háromszintes folytonos üzemű hangolható rubinmézert is.
354,5. ábra -
c) Lézerek (szerkesztésüknél már számolni kell a spontán emisszió zavaró hatásával).
I. Háromszintű lézerek működési elve. Folytonos működés érdekében a harmadik (f) szintre azért van szükség (Ef > Ej > Ek),mert pusztán a j és k szint közötti optikai (vjk)pumpálással nem érhető el a megkövetelt Nj > Nkállapot az idő előtt bekövetkező spontán emisszió miatt. Elérésére a molekulahalmazt energiabevitellel (a) előbb alkalmasan választott oly felső Ef állapotba igyekszünk „gerjeszteni” (354,6. ábra), amelyből az (s)spontán emisszióval az Ejközépsőbe zuhan, majd innen (i)indukált emisszió útján az Ekalsóba: tehát δvm,m+1=c2nL.Ezért három el nem fajult (gf = gi = gk = 1) állapotot tételezve fel, e körfolyamat során az Nj >Nkfeltétel érthető okokból csakis akkor érhető el, ha egyszerre fennáll:
Δ v m = P m 2 π W m ((30). egyenlet)
354,6. ábra -
Ez azt is jelenti, hogy lehetőség szerint rövid τfj(≈ 10–8 s) élettartamú, vagyis széles (f) nívót kell választani, viszont τfj(≈ 10–3 s) hosszú tartamú legyen. Kimutatható továbbá, hogy elhanyagolható Afkmellett időben változatlan Nj, Nkés Nfesetén populációinverzió csakis abban az esetben létesíthető, ha
Q ≡ 2 π v 0 W m P m ((31). egyenlet)
Ha pedig az n törésmutatójú lézerközegben ilyen stacionár populációinverziót vkffrekvenciájú Δvpfélértékszélességű fénnyel (optikai pumpálással) kívánunk elérni, akkor e fény spektrális energiasűrűségét legalább
l ( ≫ L ) ((32). egyenlet)
értékűre kell emelni.
Optikai rezonátorként egy Fabry–Perot-interferométer (278. §) sík-, vagy még inkább konfokálisan homorú tükrei közé zárt henger alakú üreg szolgál. A 354,7. ábrán T1teljes (ϱ ≈ 1), a T2pedig az előbbivel [szükség esetén flexibilis (H)csatlakozások segítségével] párhuzamosra állítható félig áteresztő (ϱ2 ≈ 1 – τ2) tükröt jelent. Az általuk közrezárt (Nf + Nj + Nk)lézerközegbe az Efszintre töltéshez szükséges energiát a C cső falán keresztül juttatjuk típusonként más és más elv szerint.
354,7. ábra -
Az optikai rezonátor helyes méretezésének azonban feltételei vannak. Ha ugyanis a cső T2végén egyetlen atomnak v¯=Tn−Tkemissziója folytán (vjk)hullám indul J0 erősséggel T1felé, akkor az általa láncszerűen indukált emissziók következtében koherensen felerősödött hullám verődik vissza T1-en, és ez eléri T2-t, ahol a (29) szerint annak J intenzitása elvben:
L = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 φ ˙ 2 ) − V ( r , φ ) ((33). egyenlet)
itt L = T1T2a lézercső hossza. Minthogy azonban kiküszöbölhetetlen veszteségek is vannak, ezért (33) helyett valójában
p r = m r ˙ , p φ = m r 2 φ ˙ , ((34). egyenlet)
ahol tényleges erősítés esetén Tn,l=−Z2RMn2[1+α2Z2n2(nl+1−34)], Ε két egyenletből a lézercső öngerjesztésének feltétele:
A ( A + 1 ) ⋅ h / 2 π ,
m l i = l , l − 1, … − ( l − 1 ) , − l ((35). egyenlet)
Ha ezt behelyettesítjük (29)-be, és onnan kifejezzük (Nj – Nk)-t,egyszersmind következtethetünk arra is, hogy adott veszteség mellett legalább mekkora populációinverzióra van szükség a rezonátor működéséhez. Ε rezonátornak, amely a benne szembe haladó fényhullámok interferenciája folytán álló fényhullámokkal (279. §) töltődik fel, a húr felhangjaihoz hasonlóan sokféle rezgési módusa van. Ezek közül egyszerűbbek a tengely mentiek, amelyeket az
I = I 0 e − t / τ 0 ; ((36). egyenlet)
egyenlet szab meg, ahol L-nek nagy, a λ vákuumhullámhossznak kis értéke miatt az m szükségképpen igen nagy egész szám. Nem bizonyos azonban, hogy adott L, λ és n esetén ezt az egyenletet pontosan egész szám (m) elégíti ki. Az indukált emisszió következtében keletkező v0frekvenciájú és véges Δv0félértékszélességű (öngerjesztő) fénynek mégis van az m sorszámmal jellemezhető oly frekvencia-összetevője (354,8. ábra), amelyre az üregben soksugarú interferencia (278. §) útján rezonancia következik be; és ennek frekvenciája (36)-ból:
△ Ψ + 4 π i m 0 h ∂ Ψ ∂ t - 8 π 2 m 0 h 2 U Ψ = 0 ((37). egyenlet)
354,8. ábra -
Ezért a rezonátor m-edik(fő) és a szomszédos (m + 1)-edik (mellék) sajátfrekvenciájának távolsága :
∫ 0 ∞ R n l 2 ( r ) r 2 d r = 1 és ∫ 0 π ∫ 0 2 π | Y l m ( ϑ , φ ) | 2 sin ϑ d ϑ d φ = 1. ((38). egyenlet)
A rezonancia pedig érthető módon bekövetkezik a gerjesztő vonalprofil haranggörbéje alá férő valamennyi rezgési módusra, azonban az üreg természetesen a v0maximumhelyhez legközelebbi vmmódusában töltődik fel a legnagyobb Wmfényenergiára (feltéve, hogy közben az utánpótlás teljesítménye meghaladja a veszteségeket). Ha pedig a vmfrekvencián kisugárzott lézerteljesítmény Pm, akkor a fő módus vonalszélességére (amely a természetes vonalszélességnél is kisebb, ígyszintén nem mérhető) megbízható becslést a
H ((39). egyenlet)
összefüggés ad. Belátható, hogy a pumpáló teljesítmény fokozatos növelésével a lézeroszcilláció beindulásaként először vmfrekvenciájú rezgés lép ki, a vm+k(k = ± 1,…) frekvenciák csak később jelentkeznek.
A lézeroszcillátornak ún. jóságát számszerűen a
H ((40). egyenlet)
dimenzió nélküli mennyiséggel szokták jellemezni.
Összefoglalásképpen megállapíthatjuk, hogy a lézert két párhuzamos tükör között oly optikai közeg alkotja, amelyben elektro- vagy fotolumineszcencia idézhető elő, magát a (spontán) kibocsátott lumineszcenciafényt pedig tükrök nélkül is viszonylag éles színképvonal (v. sáv) jellemzi.
Alézerbeli kvantumszerű energiaátalakulások statisztikai átlagokban értve a következő hullámfolyamatok egymásutánjából állnak. A feltöltés (pumpálás) nyomán egy molekula (atom) spontán emisszióval egy rövid haladó, gömbi fényhullámvonulatot bocsát ki, amelynek azonban általában hosszú H-t utat kell megtennie ahhoz, hogy a közegben egy másik feltöltött molekulát idő előtt fénykibocsátásra „indukáljon”. Ezért ennek a gömbi nyalábnak egy része a párhuzamos tükrök között oda-vissza verődik, miközben a sorozatos leszűkülése következtében fokozatosan gyengül, de iránya a tükrökre mindinkább merőlegessé válik. Eközben ott szükségképpen álló fényhullámteret tölt fel fényenergiával, a nyalábnak leszabdalt részei azonban a tükrök közötti térből kiszóródnak. Indukált emissziók tehát általában már álló fényhullámtérben kezdődnek éspedig szükségképpen a térrel azonos fázisban, ezért az ekkor koherensen kibocsátott gömbi fényhullámoknak burkoló felülete a csomósíkkal párhuzamos, a hullámok eredőjének terjedési iránya tehát a csomósíkokra merőleges lesz. Az eredő fényhullámok pedig az állóhullámteret interferenciásán mindinkább erősítve fényenergiával töltik tovább (öngerjesztés).
Ha azonban az egyik tükör félig áteresztő, ezen az álló hullámtér energiája kiszivárog, éspedig szükségképpen haladó fényhullámok alakjában megtartva nagy energiasűrűségét és szigorú párhuzamosságát.
II. A rubinlézer (Maiman, 1960) közegét mesterséges rubin (vagyis Cr2O3-mal szennyezett Al2O3 alapanyagú) egykristályból csiszolt oly henger alkotja, amelynek tengelye a kristálytanival párhuzamos. Ε kristály 1 cm3-ében kb. 1,6·1019 krómion (Cr+++) foglaltatik. Ε lézer a krómion három energiaszintje között működik (354,9. ábra). A krómionnak 4F1és 4F2jelű széles energiaszintjeit a rubinhenger körül csavarodó argon villanócső (V) fénye tölti fel. A feltöltött krómionok energiája spontán emisszió kíséretében a viszonylag nagy élettartamú 2E nívópárra esik, de innen az említett öngerjesztéssel indukált emisszió útján az A jelű szintre kerül vörös lézerfény kilövellése kíséretében. A berendezést a 354,10. ábra vázolja, ahol Τ teljes és A félig áteresztő oly tükröt jelent, amelyeknek egymással λ/10-nyi tűréssel párhuzamosnak kell lenniük. Készült olyan rubinlézer is, amelynek egyetlen kilövellt fényimpulzusa 500 MW teljesítményű, tartama pedig 200 ns. Minthogy fémből készült rezonátortükrökön a kedvezőtlen fényabszorpció, és emiatt az erős hőfejlődés következtében károsodás lép fel, ezért a lézertechnikában vezető (fém) helyett oly sok szigetelőréteges interferenciatükröt használnak, amelynek λ-tól erősen függő ϱ reflexióképessége éppen a lézerfényre a legnagyobb (98%).
354,9. ábra -
354,10. ábra -
Itt említjük meg, hogy egy félvezető (pl. GaAs, InSb) szilárdtest p-n átmenete (l. 207. §), szintén felhasználható indukált fényemissziónak, és így lézersugárzásnak előállítására. A félvezető lézerek előnye az, hogy rendkívül kis méretűek, hátrányuk viszont a fénynyalábjuknak viszonylag nagy divergenciája. Rubinlézeren kívül készülnek még szilárdtest-lézerek CaWO4 egykristályból, amelynek rácsába szennyezésként neodimionokat építenek be, továbbá fluorit (CaF2) egykristályból is, ennek rácsában viszont diszprózium-ionok vannak.
III. A He-Ne gázlézernek közege a héliumgáznak 0,9 torrnyi és neongáznak 0,1 torrnyi részleges nyomású szobahőmérsékletű elegye. Az így 1 torr nyomású gázelegy kb. 1 m-nyi hosszú (Φ ≈ 8 mm) kételektródás üvegcsőbe van zárva (354,11. ábra), amelyet sík rezonátor tükrök helyett előnyösebben Brewster-szögben hajló ferde síkablakok zárnak be. Ezek ugyanis kedvező módon csak a beesési síkra merőleges rezgési síkú poláros fényt engedik át veszteséges reflexió nélkül a kívül egymással szemben konfokálisan (v. telemetrikusan) felállított interferenciás (rezonátor-) tükörpár felé. Ezek egyike kissé áteresztő, a folytonos üzemben kibocsátott (λ = 633 nm) poláros paralelfény ezen lép ki. A homorú rezonátortükrök jóvoltából itt transzverzális állóhullám-módusok is szerephez jutnak. A lézerközegben a Ne-atomok halmazában létesítjük a szükséges populációinverziót három energiaszintjük felhasználásával. A héliumnak az a szerepe (l. 354,12. ábra), hogy atomjait a kb. 3000 V egyenfeszültséggel keltett gázkisülési elektronok mozgási energiája a 21S jelű energiaszintjére is feltölti. Az így gerjesztett He*-atomok azután a 343. §-ban leírt másodfajú ütközések útján átadják energiájukat a Ne-atomoknak, mert ezeknek szerencsésen egy pontosan ilyen magas 2s energiaszintjük azt maradék nélkül befogadni képes. Ε nívóról az energia azután a Ne-atomnak egy alacsonyabb 2p jelű nívójára esik indukált emisszióval kibocsátott λ = 632,8 nm hullámhosszúságú vörös fény kíséretében. A Ne-atomok ezután a 2p nívójukról az ábrán megjelölt állapotokon keresztül jutnak alapállapotukba. A folytonos üzemű He-Ne-lézer fénye a rubinlézer villanásánál lényegesen kisebb teljesítményű, de koherenciahossza nagyobb, és párhuzamossága is jobb (Θ min ≈ 10–3 radián).
354,11. ábra -
354,12. ábra -
Nemcsak He-Ne, hanem a legkülönbözőbb anyagú (CO2, stb.) gázlézereket is sikerült előállítani.
IV. Folyadéklézereket is sikerült szerkeszteni. Ezek közege egyes ritka földfémek (pl. Eu) sóinak vagy fluoreszkáló szerves vegyületeknek (pl. xantóneknek) rendszerint alkoholos oldata. Csakis optikai pumpálással működnek. Előnyük az, hogy könnyen állíthatók össze, és velük egymás után több különböző hullámhosszúságú (színű) fény is gerjeszthető kvázifolytonos üzemben.
V. A lézerfény rendkívüli tulajdonságokkal rendelkezik a hagyományos (vagyis spontán emisszióval sugárzó) fényforrások fényével összehasonlítva.
Így pl. a rubinlézer fényének Jλ(≡ dJ/dλ W/cm3) spektrális intenzitássűrűsége 5·106-szor nagyobb is lehet, mint amekkora a hőmérsékleti sugárzó Nap felületén ugyanezen hullám hosszúságnál uralkodó spektrális fényintenzitás-sűrűség. Ε nagy intenzitásnak köszönhető az, hogy pl. a rubinlézer párhuzamos fényének útjába gyűjtőlencsét állítva a hőhatása képoldali gyújtópontba helyezett önborotva pengén lyukat éget. (A gyújtó pontban ugyanis 5·104 Κ hőmérsékletű plazmaállapot is kialakulhat, és ezzel egyszer esetleg a magfúzió külső feltételeit is megvalósíthatjuk.) A fókuszált lézernyalábbal vértelen retina- vagy bőrrák-műtétet is sikerrel lehet végezni. Benne a molekuláknak Raman- színképe is (369. §) kedvezően nagy intenzitással kelthető.
A lézerfény másik feltűnő tulajdonsága a nagymértékű párhuzamossága, amit ront ugyan kissé az elhajlás a Φ átmérőjű A kilépési ablakon, és így a nyaláb divergenciájának 2Θmin szögét a Θmin≈ λ/Φ arány szolgáltatja, de teleszkopikus elrendezésű rubinlézer esetén a Θmin-ot 10–5 radiánra sikerült leszorítani, miáltal pl. a Földről kivetített lézerfény a Holdon kb. 3 km-nyi átmérőjű felületet világít meg.
A lézerfény harmadik nevezetes tulajdonsága a nagymértékű monokromáziája. Nevezetesen a színképvonalának félértékfrekvencia-szélessége mérhetetlenül kicsiny, mert az mindössze 1 Hz-nyire becsülhető, ugyanennek a vonalnak a frekvenciaszélessége viszont spontán emisszió esetén 108 Hz-et is kitesz. Ezzel magyarázható különben a lézerfény nagyfokú térbeli és időbeli koherenciája is. Pl. közvetlenül lézerablak elé helyezett Young-féle kettős rés esetén fehér ernyőn félhomályban is elhajlási csíkokat szemlélhetünk. Egy gázlézer vörös fényének koherenciahossza pedig elérheti a 200 m-t is, viszont az Engelhard-féle Kr 86 atomlámpa hosszmértékül választott λ = 606 nm-es színképvonalú fényének (2. § 1.) koherenciahossza mindössze 5 mm-nyire tehető. Belátható, hogy egy többszáz m-nyi hosszúságú zavartalan szinuszos hullámmal amplitúdómoduláció útján ugyanazon idő alatt 105-szer több értesülést (információt)továbbíthatunk, mint mikrohullámokkal, mert ez utóbbiaknak kb. 1010 Hz-nyi rezgésszáma mintegy öt nagyságrenddel kisebb a fényénél. Folytonos üzemű lézereknek fénye Kerr- vagy Faraday-effektusstb. alapján, vagy mézerrel is modulálható. Impulzusüzemű lézerekkel egymással szabatosan megegyező óriás hullámimpulzusokat gyorsan forgatott rezonátortükrök segítségével lehet előállítani.
Figyelemre méltó még, hogy nemcsak egyetlen, hanem két lézernek a fénye is interferenciaképes. Ezért megvalósítható pl. a fénylebegés is (279. §), és ezzel egy modulált lézernyalábbal közvetített jelsorozatnak felfogása a szuperheterodin elv alapján (l. 238. § 3b).
Lézerimpulzussal (a radar elvén) távoli fényvisszaverő tárgynak távolsága ± 30 cm-nyi pontossággal igen gyorsan megmérhető azáltal, hogy a visszavert fényimpulzusnak késését a lézer helyén fotoelektromos detektorral mérjük, és ebből c ismeretében a távolság kiszámítható. Lézersugárral az optikai Doppler-effektus (321 és 345. §). alapján előállítható fénylebegés mérése árán pedig egy saroktükörrel felszerelt testnek radiális sebességét szintén megtudjuk határozni.
A lézerfénynek köszönhető a holográfiának (285. § 5.), valamint az ún. nemlineáris optikának (303. § 6.) kifejlesztése is, továbbá több fotonos fotoeffektus előállítása.
A lézerfény λ hullámhossza a rezonátortükröknek L távolságától függ, ami azonban különösen termikus okokból időben változhat. Ezért λ is megváltozhat. Szellemes automatikával azonban a lézerfény λ hullámhossza (pl. CH4-) mézerrel 1016-os pontosságúra (ez 16 hibátlan értékes számjegyet jelent) stabilizálható, ami lényegesen meghaladja a Kr86-os lámpa hosszmértékéül választott hullámhosszának 109-es pontosságát. Hazánk fiának, Bay Zoltánnak (1972) pedig sikerült ilyen stabilizált lézerfénynek a λ hullámhosszán kívül még a ν frekvenciáját is 1016-os pontossággal meghatározni. Minthogy pedig a fény c vákuumsebességének a λ-tól és iránytól való függetlenségét különböző inerciarendszerekben sokoldalú észleléssel 1020-os pontossággal sikerült igazolni, ezért Bay eredménye lehetővé teszi, hogy a jövőben a c értékét önkényesen megválasztva a v = c/λ összefüggés alapján a hosszmértéket (λ) az, időmértékre (v–1, pl. a Cs-óra időadataira) vezessük vissza, és ezzel pl. az MKSA mértékrendszert (153. §) az egyszerűbb „KS”-sel helyettesítsük.
[89] Az effektus ezáltal kvalitatíve már értelmezést is nyert: a szórt sugárzás ν' frekvenciája kisebb, λ' hullámhossza nagyobb a primer sugárzásénál. Mint látható, a közönséges fotoeffektus és a Compton-effektus között lényegében az a különbség, hogy az előbbiben az elektron a foton hv energiáját teljesen, az utóbbiban pedig csak részben veszi át.
[90] A hullámvonulatnak ez a hosszúsága megfelelne a koherenciahosszúságnak (276. §), továbbá annak, hogy az atomokban a gerjesztett állapotok természetes élettartama kb. 10–8 s (343. §), amely idő alatt egy „rezgő dipólusnak” képzelt atom kb. 3 m hosszú hullámvonulatot emittálna.
[91] A Ψ= ψ e–2πi(E/h)tfüggvény – miként a behelyettesítésből látható – kielégíti a
d 2 R d r 2 + 2 r d R d r + [ 8 π 2 m 0 h 2 ( E + Z e 2 r ) − C r 2 ] R = 0, ((5a). egyenlet)
időtől függő Schrödinger-egyenletet. Ezt hullámegyenletnek, a Ψ-t hullámfüggvénynek is hívják, gyakran azonban így nevezik (tulajdonképpen nem helyesen) az (5) amplitúdóegyenletet, ill. a ψ amplitúdófüggvényt is. (5a)-hoz Lánczos Kornél is eljutott.
[92] A rövidítésként szereplő r1 = h2/4π2m0e2Z = (a H-atomnál) 0,53 Å az „első Bohr-féle körpálya” sugara, l. (409,5). A ψnlmsajátfüggvényeknek a táblázatból leolvasható Rnl(r)radiális és Ylm(ϑ, φ)iránytól függő részei külön-külön is 1-re normáltak, azaz – polárkoordinátákban a térfogatelem dV = r2 dr·sin ϑ dϑ dφ lévén – fennáll:
|Ψ|2dV=Rnl2(r)|Ylm(ϑ,φ)|2r2sinϑ dr dϑ dφ((11a–b). egyenlet)
[93] 31 Ez a Ψ(x, t)függvény kielégíti a szabad részecskére (U = 0) vonatkozó (349,5a) hullámegyenletet, mint arról behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk.
[94] Ezek azt a (részben már a 87. § végén említett) tételt fejezik ki, hogy minél rövidebb a hullámcsoport – a „jel” –, annál szélesebb a felépítéséhez szükséges színuszhullámok hullámhossz-, ill. frekvenciasávja.
[95] Az integrandusban a tényezők sorrendje most – természetesen – közömbös (pl. rψj ψ*jis lehetne), és csak a későbbiek miatt szokásos ezt a sorrendet választani. A (2) és a későbbi eredmények nemcsak a H-atomra, hanem más atomokra is vonatkoznak, ha (–er) helyébe az atom ( –eΣri) dipólusmomentumát, azaz rhelyébe a Σri-t írjuk.
[96] (236,5) alapján w(vjk) = E2(vjk)/4π, ahol E(vjk)a vjkfrekvenciához tartozó elektromos térerősség, a felülvonás pedig az időbeli középértékre utal.
[97] A Ψ(q,t)=Ψ(q)e−(2πi/h)E t, konkrét megállapításánál a fellépő qkpktípusú szorzatokban a tényezők sorrendjét – amely (4a) szerint nem közömbös – úgy kell megválasztani, hogy H(q,h2πi∂∂q)Ψ=EΨ hermitikus legyen. (Célszerű H először derékszögű koordinátákban kifejezni, majd transzformációval áttérni az általános koordinátákra.)
[98] A klasszikus statisztikában az elemi fáziscella térfogata (Δ τ = Δ x Δ y Δ z Δ px Δ py Δ pz)tetszőlegesen kicsiny lehet, a kvantumstatisztikákban viszont – amint azt a Δx Δpx ≈ h stb. határozatlansági relációkkal összhangban ki lehet mutatni – Δ τ = h3, ill. egyenként f szabadsági fokú részecskék esetén Δτ = hf.

References: § 3
 § 2
 § 2
 § 3
 § 5
 § 1
 § 4
 § 3
 § 2
 § 2
 § 1
 § 3
 § 3
 § 3
 § 2
 § 2
 § 2
 § 1
 § 3
 § 2
 § 3
 § 1
 § 3
 § 5
 § 6