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Horno solar en el desierto de Mojave, California - PDF
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1 Horno solar en el desierto de Mojave, California Parte Ecuaciones diferenciales ordinarias. Introducción a las ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 3. Ecuaciones diferenciales de orden superior 4. La transformada de Laplace. Soluciones en serie para ecuaciones diferenciales lineales 6. Soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales ordinarias
2 Introducción a las ecuaciones diferenciales Estructura del capítulo. Definiciones terminología.2 Problemas de valor inicial.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Ejercicios de repaso El propósito de este breve capítulo es doble: presentar la terminología elemental de las ecuaciones diferenciales analizar someramente la forma en que surgen las ecuaciones diferenciales con el fin de describir o modelar fenómenos físicos en términos matemáticos. 2
3 . Definiciones terminología Introducción Los términos diferencial ecuación indican, sin lugar a dudas, la resolución de cierto tipo de ecuaciones que contienen derivadas; sin embargo, antes de iniciar la resolución de cualquier ecuación, primero debemos aprender las definiciones elementales la terminología del tema. Una definición La derivada d/d de una función f() representa en sí misma otra función f9() que se encuentra mediante una regla específica. Por ejemplo, la función e 0. 2 es diferenciable sobre el intervalo (2q, q), su derivada es d/d 0.2e Si reemplazamos e 0. 2 por el símbolo, obtenemos d 0.2. () d Ahora imagine que un amigo suo le proporciona sólo la ecuación diferencial de la epresión (), que usted no tiene idea de cómo se obtuvo. Su amigo le pregunta: cuál es la función representada por el símbolo? Entonces usted se enfrenta a uno de los problemas básicos encontrados en un curso de ecuaciones diferenciales: cómo resolver una ecuación de este tipo para la función incógnita f()? Tal cuestión es más o menos equivalente al conocido problema del inverso del cálculo diferencial: dada una derivada, encontrar una antiderivada. Antes de avanzar más, permítanos ofrecer una definición más precisa del concepto de una ecuación diferencial. Definición.. Ecuación diferencial Se dice que una ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Con el objetivo de referirnos a ellas, debemos clasificar las ecuaciones diferenciales por tipo, orden linealidad. Clasificación por tipo Si una ecuación diferencial contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo, d d 2 e, d d 2 d d d (2) 2 d son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación en la que se presentan las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se denomina ecuación diferencial parcial (EDP). Por ejemplo, 0 2 u 0 2 u 0 2 u 0, u 2 0t 2 2 0u 0u 0v 2 2 (3) 0t 0 0 son ecuaciones diferenciales parciales. Notación A lo largo de este libro, las derivadas ordinarias se presentarán utilizando la notación de Leibniz d/d, d 2 /d 2, d 3 /d 3,..., o la notación prima 9,,,... Si se emplea esta última notación, las primeras dos ecuaciones diferenciales mostradas en (2) pueden epresarse de forma más compacta como 9 e En realidad, la notación de prima se utiliza para señalar solamente las primeras tres derivadas; la cuarta derivada se indica como (4) en lugar de. En términos generales, la n-ésima derivada será d n /d n o (n). A pesar de ser menos conveniente de escribir formar tipográficamente, la notación de Leibniz presenta una ventaja sobre la notación de prima en el sentido de que indica con claridad las variables independientes dependientes. Por ejemplo, en la ecuación diferencial d 2 / 2 6 0, se observa de forma inmediata que el símbolo representa ahora a la variable dependiente, mientras que la variable independiente será t. Además, es importante que usted conozca que en ingeniería ciencias físicas ocasionalmente se utiliza la notación de Newton por puntos (a veces denominada despectivamente como notación de manchas ) para denotar las derivadas con respecto al tiempo t; de esta forma, la ecuación. Definiciones terminología 3
4 diferencial d 2 s/ se convierte en s 232. Las derivadas parciales con frecuencia se indican mediante una notación de subíndice que muestra las variables independientes. Por ejemplo, las ecuaciones primera segunda incluidas en (3) pueden a su vez indicarse como u u 0 u u tt 2 2u t. Clasificación por orden El orden de una ecuación diferencial (EDO o EDP) representa el orden de la derivada más alta presente en la ecuación. Por ejemplo, segundo orden T d 2 d 2 primer orden T a d d b e representa una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se escriben ocasionalmente en la forma diferencial M(, )d N(, )d 0. Por ejemplo, si suponemos que representa la variable dependiente en ( 2 ) d 4d 0, entonces 9 d/d, así al dividir entre el diferencial d obtenemos la forma alternativa 49. Consulte el apartado de Comentarios al final de esta sección. De manera simbólica, es posible epresar una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden como una variable dependiente empleando la forma general F(,, 9,, (n) ) 0, (4) donde F es una función con valores reales de n 2 variables:,, 9,..., (n). Tanto por motivos prácticos como teóricos, de aquí en adelante debemos suponer que es posible resolver una ecuación diferencial ordinaria presentada en la forma (4) únicamente para la derivada más alta (n) en términos de las variables n restantes. La ecuación diferencial d n d f,,, p, n n22 2, () donde f es una función continua con valores reales, se denomina forma normal de (4). De este modo, cuando nos sea útil, debemos utilizar las formas normales d d 2 f, 2 f,, 2 d d 2 para representar ecuaciones diferenciales generales ordinarias de primero segundo orden. Por ejemplo, la forma normal de la ecuación de primer orden 49 es 9 ( 2 )/4. Consulte los Comentarios. Recuerde estas dos características de una EDO lineal. Clasificación por linealidad Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden (4) es lineal si F es lineal en, 9,..., (n). Esto significa que una EDO de n-ésimo orden es lineal cuando (4) es a n 2 n2 a n2 2 n22 p a 2 a g2 0 o a n 2 d n d n a n22 d n2 d n2 p a 2 d d a 02 g2. (6) Dos casos especiales importantes de (6) son las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (n ) de segundo orden (n 2): a 2 d d a 0 2 g2 a 2 2 d 2 d 2 a 2 d d a 0 2 g2. (7) En la combinación aditiva del etremo izquierdo de (6) observamos que las dos propiedades características de una EDO lineal son: La variable dependiente así como todas sus derivadas 9,,..., (n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada uno de los términos que involucran a es. Los coeficientes a 0, a,..., a n de, 9,..., (n) dependen a lo sumo de la variable independiente. Las ecuaciones siguientes, a su vez, 2 2d 4 d 0, 2 2 0, d 3 3 d 3 d d 2 e, 4 Capítulo Introducción a las ecuaciones diferenciales
5 son ecuaciones diferenciales ordinarias de primero, segundo tercer orden, respectivamente. Acabamos de demostrar que la primera ecuación es lineal en la variable al escribirla en la forma alternativa 49. Una ecuación diferencial ordinaria no lineal simplemente es una ecuación que no es lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas, tales como sen o e 9, no pueden aparecer en una ecuación lineal. Por lo tanto, término no lineal: el coeficiente depende de término no lineal: función no lineal de término no lineal: potencia diferente de T T T e, d 2 d 4 sen 0, d 2 d 4 2 0, son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primero, segundo cuarto orden, respectivamente. Solución Como se indicó anteriormente, en el presente curso, uno de los objetivos es resolver o encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales. En el siguiente cuadro se define el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria. Definición..2 Solución de una EDO Toda función f, definida sobre un intervalo I que posea al menos n derivadas continuas sobre I, que al ser sustituida en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduzca la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la ecuación sobre el intervalo. En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial ordinaria (4) de n-ésimo orden será una función f que posea al menos n derivadas F(, f(), f9(),, f (n) ()) 0 para toda en I. Se dice que f satisface la ecuación diferencial sobre I. Para nuestros propósitos, también debemos asumir que una solución f es una función con valores reales. En el análisis inicial se observó que e 0.2 es una solución de d/d 0.2 sobre el intervalo (2q, q ). En ocasiones resultará conveniente indicar una solución mediante el símbolo alternativo (). Intervalo de definición No es posible considerar una solución de una ecuación diferencial ordinaria sin pensar al mismo tiempo en un intervalo. El intervalo I de la definición..2 se denomina de diversas maneras: intervalo de definición, intervalo de validez o dominio de la solución puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalo cerrado [a, b], un intervalo infinito (a, q), etcétera. n Ejemplo Verificación de una solución Compruebe que la función señalada representa una solución de la ecuación diferencial dada, sobre el intervalo (2q, q). a) d/d /2 ; 6 4 b) ; e Solución Una forma de verificar que la función indicada representa una solución es revisar, después de sustituir, si cada etremo de la ecuación es igual para cada localizada dentro del intervalo. a) Del etremo izquierdo: d d etremo derecho: >2 a 4 >2 6 b , observamos que cada etremo de la ecuación es igual para todo número real. Advierta que /2 4 2 es, por definición, la raíz cuadrada positiva de 6 4. b) A partir de las derivadas 9 e e e 2e tenemos para todo número real, etremo izquierdo: (e 2e ) 2 2(e e ) e 0 etremo derecho: 0.. Definiciones terminología
6 Observe también que en el ejemplo cada ecuación diferencial posee la solución constante 0, 2q q. La solución a una ecuación diferencial idéntica a cero sobre un intervalo I se dice que es una solución trivial. Curva de solución La gráfica de una solución f de una EDO se denomina curva de solución. Ya que f es una función diferenciable, será continua sobre su intervalo I de definición. De esta forma puede presentarse una diferencia entre la gráfica de la función f la gráfica de la solución f. En otras palabras, el dominio de la función f no necesita ser el mismo que el intervalo I de definición (o dominio) de la solución f. a) Función = /, 0 b) Solución = /, (0, q) Figura.. El ejemplo 2 ilustra la diferencia entre la función / la solución / n Ejemplo 2 Comparación entre solución función Considerado en términos simples como una función, el dominio de / será el conjunto de todos los números reales con ecepción de 0. Cuando graficamos /, trazamos puntos en el plano que corresponden a un acertado muestreo de números tomados a partir de su dominio. La función racional / es discontinua en 0, su gráfica, en las cercanías de su origen, se presenta en la figura..a). La función / no es diferenciable en 0 dado que el eje (cua ecuación es 0) representa una asíntota vertical de la gráfica. Ahora / también es una solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden 9 0 (verifíquelo). Sin embargo, cuando decimos que / es una solución de esta ED, significa que es una función definida en un intervalo I sobre el cual es diferenciable satisface la ecuación. En otras palabras, / será una solución de la ED sobre todo intervalo que no contenga a 0, tal como (23, 2), ( 2, 0), (2q, 0) o (0, q). Ya que las curvas de solución definidas por / sobre los intervalos (23, 2) sobre ( 2, 0) son básicamente segmentos o secciones de las curvas de solución definidas por / en (2 q, 0) (0, q), respectivamente, tendrá sentido tomar el intervalo I más grande posible. De tal modo, tomaríamos a I para que fuera (2q, 0) o (0, q). La curva de solución en el intervalo (0, q) se muestra en la figura..b). Soluciones eplícitas e implícitas Usted debe estar familiarizado con los términos funciones eplícitas e implícitas gracias a sus estudios de cálculo. Una solución en que la variable dependiente se epresa sólo en términos de la variable independiente constantes se denomina solución eplícita. Para nuestros propósitos, consideremos una solución eplícita como una fórmula eplícita f() que podemos manipular, evaluar diferenciar utilizando las reglas estándar. En los últimos dos ejemplos hemos observado que 6 4, e / son, a su vez, soluciones eplícitas de d/d /2, , 9 0. Además, la solución trivial 0 es una solución eplícita de las tres ecuaciones. Cuando abordemos el problema de resolver realmente algunas ecuaciones diferenciales ordinarias veremos que los métodos de solución no siempre llevan de forma directa a una solución eplícita f(). Esto aplica en especial cuando se intenta resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Con frecuencia nos bastará con una relación o epresión G(, ) 0 que defina una solución f de modo implícito. Definición..3 Solución implícita de una EDO Se dice que una relación del tipo G(, ) 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria (4) sobre un intervalo I siempre que eista al menos una función f que satisfaga la relación así como a la ecuación diferencial sobre I. Se encuentra fuera del alcance de este curso analizar las condiciones bajo las cuales una relación G(, ) 0 define una función diferenciable f. Así que deberemos suponer que si la implementación formal de un método de solución lleva a una relación G(, ) 0, entonces eiste al menos una función f que satisface tanto a la relación (es decir, G(, f()) 0) como a la ecuación diferencial sobre un intervalo I. Si la solución implícita G(, ) 0 es sencilla, podríamos resolverla para en términos de obtener una o más soluciones eplícitas. Véase la sección de Comentarios. n Ejemplo 3 Verificación de una solución implícita La relación es una solución implícita de la ecuación diferencial d 2 d (8) 6 Capítulo Introducción a las ecuaciones diferenciales
7 sobre el intervalo 2. Al diferenciar de forma implícita obtenemos d d d d d 2 d 2 2 o d d Al resolver la última ecuación para el símbolo d/d obtenemos (8). Además, al resolver para en términos de obtenemos Las dos funciones f () f 2 () satisfacen la relación (es decir, 2 2 f f 2 2) representan soluciones eplícitas definidas sobre el intervalo (2, ). Las curvas de solución presentadas en la figura..2b)..2c) son segmentos de la gráfica de la solución implícita de la figura..2a). Toda relación de la forma c 0 satisfará de manera formal a (8) para cualquier constante c. Sin embargo, se entiende que la relación siempre deberá tener sentido en el sistema de números reales; de tal modo, por ejemplo, no podemos afirmar que es una solución implícita de la ecuación. Por qué no? Como la diferencia entre una solución implícita una solución eplícita debe quedar clara de forma intuitiva, no menospreciaremos el problema afirmando siempre: Aquí se encuentra una solución eplícita (implícita). Familias de soluciones El estudio de las ecuaciones diferenciales es similar al del cálculo integral. En algunos libros, a una solución f se le denomina en ocasiones como la integral de la ecuación, su gráfica se conoce como una curva integral. Al evaluar una antiderivada o integral indefinida en cálculo, utilizamos una sola constante c de integración. En forma análoga, al resolver una ecuación diferencial de primer orden F(,, 9) 0, por lo general obtenemos una solución que contiene una sola constante arbitraria o parámetro c. Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(,, c) 0 de soluciones denominadas familia de soluciones de un parámetro. Al resolver una ecuación diferencial de n-ésimo orden F(,, 9,..., (n) ) 0, buscamos obtener una familia de soluciones de n parámetros G(,, c, c 2,..., c n ) 0. Lo cual significa que una ecuación diferencial simple puede poseer un número infinito de soluciones que corresponden al número ilimitado de opciones para el o los parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que se encuentra libre de parámetros arbitrarios se denomina solución particular. Por ejemplo, la familia de un solo parámetro c 2 cos representa una solución eplícita de la ecuación lineal de primer orden sen sobre el intervalo (2q, q) (verifíquelo). La figura..3, obtenida mediante el uso de un programa computacional de graficación, muestra las gráficas de algunas de las soluciones de esta familia. La solución 2 cos, la curva oscura en la figura, es una solución particular que corresponde a c 0. De forma similar, sobre el intervalo (2q, q), c e c 2 e representa una familia de soluciones de dos parámetros (verifíquelo) de la ecuación lineal de segundo orden del inciso b) del ejemplo. Algunas soluciones particulares de la ecuación son las soluciones triviales 0 (c c 2 0), e (c 0, c 2 ), e 2 2e (c, c 2 22), etcétera. En todos los ejemplos anteriores hemos utilizado para denotar las variables independiente dependiente, respectivamente. Pero debería acostumbrarse a ver trabajar con otros símbolos que denoten dichas variables. Por ejemplo, podríamos denotar la variable independiente como t a la dependiente como. n Ejemplo 4 Utilización de distintos símbolos Las funciones c cos 4t c 2 sen 4t, en las que c c 2 son parámetros o constantes arbitrarias, son soluciones de la ecuación diferencial lineal Para c cos 4t, las primeras dos derivadas con respecto a t son 9 24c sen 4t 26c cos 4t. Al sustituir obtenemos c cos 4t 6(c cos 4t) 0. De forma similar, para c 2 sen 4t tenemos 26c 2 sen 4t, así c 2 sen 4t 6(c 2 sen 4t) 0. Por último, resulta sencillo verificar que la combinación lineal de soluciones para la familia de dos parámetros c cos 4t c 2 sen 4t es también una solución de la ecuación diferencial. a) Solución implícita = 2 b) Solución eplícita = 2 2, < < c) Solución eplícita 2 = 2 2, < < Figura..2 Solución implícita dos soluciones eplícitas en el ejemplo 3 c > 0 c = 0 c < 0 Figura..3 Algunas soluciones de sen. Definiciones terminología 7
8 El siguiente ejemplo demuestra que una solución de una ecuación diferencial puede ser una función definida en forma segmentada. c =, < 0 a) b) c = c = c =, 0 Figura..4 Algunas soluciones de en el ejemplo n Ejemplo Una solución definida en forma segmentada Debemos verificar que la familia de un solo parámetro c 4 es una familia de soluciones de un parámetro de la ecuación diferencial sobre el intervalo (2q, q). Véase la figura..4a). La función diferenciable definida por partes e 24,, 0 4, $ 0 representa una solución particular de la ecuación pero no puede obtenerse a partir de la familia c 4 mediante una elección simple de c; la solución se construe a partir de la familia al elegir c 2 para 0 c para Z 0. Observe la figura..4b). Solución singular En ocasiones una ecuación diferencial posee una solución que no es miembro de una familia de soluciones de la ecuación, es decir, una solución que no puede obtenerse mediante la especialización de ninguno de los parámetros de la familia de soluciones. Una solución adicional de este tipo se denomina solución singular. Por ejemplo, hemos observado que son soluciones de la ecuación diferencial d/d /2 sobre (2q, q). En la sección 2.2 demostraremos, mediante su resolución, que la ecuación diferencial d/d /2 cuenta con la familia de soluciones de un parámetro ( 4 2 c) 2. Cuando c 0, la solución particular resultante es 6 4. Sin embargo, observe que la solución trivial 0 es una solución singular dado que no es miembro de la familia ( 4 2 c) 2 ; no eiste forma de asignar un valor a la constante c para obtener 0. Sistemas de ecuaciones diferenciales Hasta este momento hemos analizado ecuaciones diferenciales individuales que contienen una función desconocida. Sin embargo con frecuencia, tanto en la teoría como en muchas aplicaciones, encontramos sistemas de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias está formado por dos o más ecuaciones que involucran las derivadas de dos o más funciones desconocidas de una sola variable independiente. Por ejemplo, si simbolizan variables dependientes t representa la variable independiente, entonces un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden estaría dado por d f t,, 2 (9) d gt,, 2. Una solución para un sistema como el (9) sería un par de funciones diferenciables f (t), f 2 (t), definidas sobre un intervalo común I, que satisfagan a cada ecuación del sistema localizada en este intervalo. Consulte los problemas de los ejercicios.. Comentarios i) Es pertinente formular algunos comentarios finales acerca de las soluciones implícitas de ecuaciones diferenciales. En el ejemplo 3 resolvimos la relación para en términos de para obtener dos soluciones eplícitas, f () f 2 () , de la ecuación diferencial (8). Sin embargo, no analice demasiado este ejemplo. A menos que le resulte sencillo, evidente, sea importante o se le indique, por lo general no es necesario intentar resolver una solución implícita G(, ) 0 para de forma eplícita en términos de. Asimismo, no interprete mal el segundo enunciado posterior a la definición..3. Una solución implícita G(, ) 0 puede definir una función f perfectamente diferenciable que sea una solución de una ED, aunque no podamos resolver G(, ) 0 utilizando métodos analíticos como álgebra. La curva de solución de f puede ser un segmento o parte de la gráfica de G(, ) 0. Revise los problemas 4 42 de los ejercicios.. Además, consulte el análisis que sigue al ejemplo 4 de la sección 2.2. ii) A pesar de que en esta sección se ha enfatizado el concepto de una solución, recuerde que una ED no necesariamente debe contar con una solución. Observe el problema 3 de los ejercicios.. La cuestión de la eistencia de una solución será analizada en la siguiente sección. 8 Capítulo Introducción a las ecuaciones diferenciales
9 iii) Puede no resultar evidente si una EDO de primer orden presentada en forma diferencial M(, ) d N(, )d 0 es lineal o no, pues no eiste nada en esta notación que nos indique el símbolo que representa la variable dependiente. Consulte los problemas 9 0 de los ejercicios.. iv) Pareciera que no ha maor problema en suponer que F(,, 9,..., (n) ) 0 pueda resolverse para (n), sin embargo deberá tener cuidado con esto. Eisten ecepciones algunos inconvenientes relacionados con esta suposición. Revise los problemas de los ejercicios.. v) Si toda solución de una EDO de n-ésimo orden F(,, 9,..., (n) ) 0 sobre un intervalo I puede obtenerse a partir de una familia G(,, c, c 2,..., c n ) 0 de n parámetros mediante la elección adecuada de los parámetros c i, i, 2,..., n, entonces decimos que la familia representa la solución general de la ED. Al resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales debemos imponer restricciones relativamente simples sobre los coeficientes de la ecuación; mediante estas restricciones podemos asegurarnos de que no sólo eiste una solución sobre un intervalo, sino que también una familia de soluciones arrojará todas las posibles soluciones. Las ecuaciones no lineales, con ecepción de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden, por lo general son difíciles de resolver si no imposibles, en términos de funciones elementales familiares: combinaciones finitas de potencias enteras de, raíces, funciones eponenciales logarítmicas, funciones trigonométricas funciones trigonométricas inversas. Además, si se obtiene una familia de soluciones para una ecuación no lineal, no será evidente si esta familia contiene todas las soluciones. Por lo tanto, en un nivel práctico, la denominación solución general se aplica sólo a ecuaciones diferenciales lineales. Ahora no se preocupe por este concepto, pero tenga presentes las palabras solución general, a que regresaremos a ellas en la sección 2.3 una vez más en el capítulo 3.. Ejercicios Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-. En los problemas a 8, defina el orden de la ecuación diferencial presentada. Determine si la ecuación es lineal o no lineal al compararla con (6).. ( ) 4 cos d d 2 ad 3 d b 0 3. t (4) t d2 u dr 2. d 2 d 2 du dr 6. d2 R 2 2 k R 2 u cos r u2 2 Å ad d b 7. (sen u) (cos u) 2 8. $ # 2 2 # 0 En los problemas 9 0, determine si la ecuación diferencial de primer orden presentada es lineal en la variable dependiente indicada comparándola con la primera ecuación diferencial proporcionada en (7). 9. ( 2 2 ) d d 0; en ; en 0. u dv (v uv 2 ue u ) du 0; en v; en u En los problemas a 4, verifique si la función indicada es una solución eplícita de la ecuación diferencial presentada. Suponga un intervalo de definición I adecuado para cada solución ; e 2/2 2. d ; 2 6 e220t ; e 3 cos 2 4. tan ; (cos ) ln(sec tan ) En los problemas a 8, verifique si la función señalada f() es una solución eplícita de la ecuación diferencial de primer orden presentada. Proceda igual que en el ejemplo 2, considerando a f sólo como una función, proporcione su dominio. Luego considere a f como una solución de la ecuación diferencial, establezca al menos un intervalo I de definición ; ; tan ; /(4 2 ) cos ; ( sen ) /2 En los problemas 9 20, verifique si la epresión señalada es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer orden que se proporciona. Encuentre al menos una solución eplícita f() en cada caso. Utilice alguna herramienta de graficación para obtener la gráfica de una solución eplícita. Proporcione un intervalo I de definición para cada solución f. 9. dx X X2; ln a 2X 2 X 2 b t d ( 2 ) d 0; En los problemas 2 a 24, verifique si la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial que se proporciona. Suponga un intervalo de definición I adecuado para cada solución. 2. dp c e t P 2 P2; P c e t. Definiciones terminología 9
10 22. d d 23. d 2 d 2 4 d 2 d d 3 d 3 2 ; e 2 2 # 0 e t2 c e ; c e 2 c 2 e 2 2 d 2 2 d 2 d 2 d c c 2 c 3 ln ; 2. Verifique si la función definida por partes e 22,, 0 2, $ 0 es una solución de la ecuación diferencial sobre el intervalo (2q, q). 26. En el ejemplo 3 observamos que f () f 2 () son soluciones de d/d 2/ sobre el intervalo (2, ). Eplique por qué la función definida en segmentos e , 2,, , 0 #, no es una solución de la ecuación diferencial sobre el intervalo (2, ). 27. Encuentre valores de m apropiados para que la función e m sea una solución de la ecuación diferencial proporcionada. Eplique su razonamiento. a) b) Encuentre valores de m apropiados para que la función m sea una solución de la ecuación diferencial proporcionada. Eplique su razonamiento. a) b) En los problemas 29 a 32, utilice el concepto de que c, 2q q, es una función constante si sólo si, 9 0 para determinar si la ecuación diferencial proporcionada tiene soluciones constantes ( 2 ) En los problemas 33 34, verifique si el par de funciones indicadas es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales dado sobre el intervalo (2q, q). 33. d d 3, 34. 3; d e t, d e t ; e 22t 3e 6t, cos 2t sen 2t 2e 22t e 6t cos 2t sen 2t Problemas de análisis et, et 3. Construa una ecuación diferencial que no cuente con soluciones reales. 36. Construa una ecuación diferencial de la que usted esté seguro que tiene únicamente la solución trivial 0. Eplique su razonamiento. 37. Cuál es la función que a partir de cálculo usted sabe que su primera derivada es la propia función? Y que su primera derivada es un múltiplo constante k de la propia función? Escriba cada respuesta en forma de una ecuación diferencial de primer orden con una solución. 38. Cuál es la función (o funciones) que a partir de cálculo usted sabe que su segunda derivada es la propia función? Y que su segunda derivada es el negativo de la misma función? Escriba cada respuesta en forma de una ecuación diferencial de segundo orden con una solución. 39. Dado que sen es una solución eplícita de la ecuación diferencial de primer orden d Encuentre un d intervalo de definición I. [Sugerencia: I no es el intervalo (2q, q).] 40. Analice por qué tiene sentido suponer que la ecuación diferencial lineal 29 4 sen t cuenta con una solución del tipo A sen t B cos t, donde A B son constantes. Luego encuentre las constantes A B específicas de modo que A sen t B cos t sea una solución particular de la ED. En los problemas 4 42, la figura dada representa la gráfica de una solución implícita G(, ) 0 de una ecuación diferencial d/d f(, ). En cada caso la relación G(, ) 0 define implícitamente diversas soluciones de la ED. Con cuidado, reproduzca cada figura en una hoja de papel. Utilice lápices de distinto color para marcar los segmentos o partes de cada gráfica que correspondan a las gráficas de las soluciones. Recuerde que una solución f debe ser una función además diferenciable. Utilice la curva de solución para estimar el intervalo I de definición de cada solución f. 4. Figura.. Gráfica del problema Figura..6 Gráfica del problema Las gráficas de los miembros de la familia de un parámetro 3 3 3c se denominan folia de Descartes. Verifique si esta familia es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer orden: d d La gráfica de la figura..6 representa al miembro de la familia de folia del problema 43 que corresponde a c. Analice lo siguiente: cómo puede la ED del problema 43 audarnos a encontrar puntos sobre la gráfica de Capítulo Introducción a las ecuaciones diferenciales
11 3 donde la línea tangente sea vertical? De qué forma nos auda conocer el lugar donde una línea tangente es vertical para determinar un intervalo de definición I de una solución f de la ED? Compare sus ideas con sus estimaciones de los intervalos del problema En el ejemplo 3, el intervalo I más largo sobre el que las soluciones eplícitas f () f 2 () se encuentran definidas es el intervalo abierto (2, ). Por qué el intervalo I de definición no puede ser el intervalo cerrado [2, ]? 46. En el problema 2 se proporciona una familia de soluciones de un parámetro para la ED P9 P( 2 P). Alguna curva de solución cruza a través del punto (0, 3)? Y a través del punto (0, )? 47. Analice e ilustre con ejemplos cómo resolver ecuaciones diferenciales de las formas d/d f () d 2 /d 2 f (). 48. La ecuación diferencial (9) presenta la forma señalada en (4). Determine si la ecuación puede epresarse en la forma normal d/d f(, ). 49. La forma normal () de una ecuación diferencial de n-ésimo orden es equivalente a (4) siempre que las dos formas cuenten con eactamente las mismas soluciones. Construa una ecuación diferencial de primer orden para la que F(,, 9) 0 no sea equivalente a la forma normal d/d f (, ). 0. Encuentre una ecuación diferencial de segundo orden F(,, 9, ) 0 para la que c c 2 2 sea una familia de soluciones de dos parámetros. Asegúrese de que su ecuación no contenga los parámetros arbitrarios c c 2. Con frecuencia es posible obtener información cualitativa sobre una solución f() de una ecuación diferencial a partir de la propia ecuación. Antes de iniciar con los problemas a 4, recuerde el significado geométrico de las derivadas d/d d 2 /d 2.. Considere la ecuación diferencial d/d e 22. a) Eplique por qué una solución de una ED debe ser una función creciente sobre todo intervalo del eje. b) Cuáles son lím d/d lím d/d? Qué sugiere esto S 2q Sq acerca de una curva de solución cuando S q? c) Determine un intervalo sobre el cual una curva de solución sea cóncava hacia abajo un intervalo sobre el que la curva sea cóncava hacia arriba. d) Trace la gráfica de una solución f() para la ecuación diferencial cua forma es sugerida por los incisos a) a c). 2. Considere la ecuación diferencial d/d 2. a) Ya sea por inspección visual o con el método sugerido en los problemas 29 a 32, encuentre una solución constante de la ED. b) Utilice únicamente la ecuación diferencial para encontrar intervalos en el eje sobre los cuales una solución no constante f() sea creciente. Encuentre intervalos en el eje sobre los que f() sea decreciente. 3. Considere la ecuación diferencial d/d (a 2 b), donde a b son constantes positivas. a) Ya sea por inspección visual o con el método sugerido en los problemas 29 a 32, encuentre una solución constante de la ED. b) Utilice sólo la ecuación diferencial para encontrar intervalos en el eje sobre los que una solución no constante f() sea creciente; también, sobre los cuales f() sea decreciente. c) Utilizando sólo la ecuación diferencial, eplique por qué a/2b es la coordenada de un punto de infleión de la gráfica de una solución no constante f(). d) Sobre los mismos ejes de coordenadas, trace las gráficas de las soluciones de dos constantes identificadas en el inciso a). Estas soluciones constantes dividen el plano en tres regiones. En cada región, trace la gráfica de una solución no constante f() cua forma esté sugerida por los resultados de los incisos b) c). 4. Considere la ecuación diferencial a) Eplique por qué no eisten soluciones constantes de la ED. b) Describa la gráfica de una solución f(). Por ejemplo, una curva de solución puede tener algún etremo relativo? c) Eplique por qué 0 es la coordenada de un punto de infleión de una curva de solución. d) Trace la gráfica de una solución f() de la ecuación diferencial cua forma esté sugerida en los incisos a) a c). Tareas para el laboratorio de cómputo En los problemas 6, utilice un programa computacional para calcular todas las derivadas realizar las reducciones necesarias a fin de verificar que la función indicada representa una solución particular de la ecuación diferencial dada.. (4) ; e cos ; 20 cos ln sen ln 2.2 Problemas de valor inicial Introducción Con frecuencia enfrentamos problemas en los que buscamos una solución () de una ecuación diferencial de modo que () satisfaga condiciones adicionales establecidas, es decir, condiciones impuestas sobre la incógnita () o sobre sus derivadas. En esta sección analizamos uno de estos problemas denominado problema de valor inicial..2 Problemas de valor inicial
12 Problema de valor inicial En cierto intervalo I que contiene a 0, el problema de Resolver: d n d n f,,, p, n22 2 Sujeto a: 0 2 0, 0 2, p, n n2, () donde 0,,, n 2 son constantes reales especificadas de forma arbitraria, se denomina problema de valor inicial (PVI). Los valores de () de sus primeras n 2 derivadas en un solo punto 0 : ( 0 ) 0, 9( 0 ),..., (n 2 ) ( 0 ) n 2, se denominan condiciones iniciales. Problemas de valor inicial de primero segundo orden El problema presentado en () también se denomina problema de valor inicial de n-ésimo orden. Por ejemplo, soluciones de la ED ( 0, 0 ) I Figura.2. PVI de primer orden soluciones de la ED m = ( 0, 0 ) I Figura.2.2 PVI de segundo orden Resolver: d d f, 2 Sujeto a: Resolver: d 2 d 2 f,, 2 Sujeto a: 0 2 0, 0 2 son problemas de valores iniciales de primero segundo orden, respectivamente. Estos dos problemas resultan sencillos de interpretar en términos geométricos. Para (2) buscamos una solución de la ecuación diferencial sobre un intervalo I que contenga a 0 de modo que una curva de solución cruce a través del punto establecido ( 0, 0 ). Observe la figura.2.. Para (3) requerimos encontrar una solución de la ecuación diferencial cua gráfica no sólo cruce por ( 0, 0 ), sino que también cruce en forma tal que la pendiente de la curva en este punto sea. Vea la figura.2.2. El término condición inicial se deriva de los sistemas físicos donde la variable independiente es el tiempo t donde (t 0 ) 0 9(t 0 ) representan, respectivamente, la posición la velocidad de un objeto en algún principio, o tiempo inicial, t 0. Resolver un problema de valor inicial de n-ésimo orden con frecuencia implica utilizar una familia de soluciones de n parámetros de la ecuación diferencial dada para encontrar n constantes especializadas, de modo que la solución particular resultante de la ecuación también ajuste (satisfaga) las n condiciones iniciales. (2) (3) (0, 3) (, 2) Figura.2.3 Soluciones de problemas de valor inicial en el ejemplo n Ejemplo Problemas de valor inicial de primer orden Es posible verificar de forma simple que ce representa una familia de soluciones de un parámetro para la ecuación sencilla de primer orden 9 sobre el intervalo (2q, q). Si especificamos una condición inicial, digamos (0) 3, al sustituir 0, 3 en la familia se determina la constante 3 ce 0 c. Por lo tanto, la función 3e es una solución del problema de valor inicial 9, (0) 3. Ahora, si precisamos que una solución de la ecuación diferencial atraviese el punto (, 22) en lugar de (0, 3), entonces () 22 arrojará 22 ce o c 22e 2. La función 22e 2 es una solución del problema de valor inicial 9, () 22. Las gráficas de estas dos funciones se muestran en la figura.2.3. El siguiente ejemplo ilustra otro problema de valor inicial de primer orden. Aquí, observe cómo el intervalo de definición I de la solución () depende de la condición inicial ( 0 ) 0. n Ejemplo 2 Intervalo I de definición de una solución En el problema 6 de los ejercicios 2.2 se le solicitará mostrar que una familia de soluciones de un parámetro para la ecuación diferencial de primer orden es / 2 Capítulo Introducción a las ecuaciones diferenciales
13 ( 2 c). Si imponemos la condición inicial (0) 2 entonces, al sustituir 0 2 en la familia de soluciones obtenemos 2 /c o c 2. De este modo, /( 2 2 ). Ahora enfaticemos las siguientes tres diferencias. Considerado como una función, el dominio de /( 2 2 ) es el conjunto de números reales para el que se define (); éste es el conjunto de todos los números reales con ecepción de 2. Observe la figura.2.4a). Considerado como una solución de la ecuación diferencial , el intervalo I de definición de /( 2 2 ) podría tomarse como cualquier intervalo sobre el que () estuviera definida fuera diferenciable. Como puede observarse en la figura.2.4a), los intervalos más grandes en los que /( 2 2 ) representa una solución son (2q, 2 ), (2, ) (, q). Considerado como una solución del problema de valor inicial , (0) 2, el intervalo I de definición de /( 2 2 ) podría ser cualquier intervalo sobre el cual () estuviera definida, fuera diferenciable contuviera el punto inicial 0; el intervalo más grande para el que esto es verdadero es (2, ). Véase la figura.2.4b). Revise los problemas 3 a 6 de los ejercicios.2 como una continuación del ejemplo 2. n Ejemplo 3 Problema de valor inicial de segundo orden En el ejemplo 4 de la sección. observamos que c cos 4t c 2 sen 4t representa una familia de soluciones de dos parámetros para 6 0. Encuentre una solución del problema de valor inicial 6 0, (p/2) 22, 9(p/2). (4) Solución Primero aplicamos (p/2) 22 a la familia de soluciones dada: c cos 2p c 2 sen 2p 22. En vista de que cos 2p sen 2p 0, encontramos que c 22. A continuación aplicamos 9(p/2) a la familia de un parámetro (t) 22 cos 4t c 2 sen 4t. Si derivamos luego establecemos t p/2 9, obtenemos 8 sen 2p 4c 2 cos 2p, a partir de lo cual podemos observar que c 2 4. Por lo tanto, 22 cos 4t sen 4t es una solución de (4). 4 Eistencia unicidad importantes: Al considerar un problema de valor inicial surgen dos preguntas Eiste una solución del problema? Si la ha, es única? Para un problema de valor inicial como el de (2), nos preguntamos: Eistencia La ecuación diferencial d/d f (, ) cuenta con soluciones? Alguna de las curvas de solución atraviesan el punto ( 0, 0 )? Unicidad En qué momento podemos estar seguros de que eiste precisamente una curva de solución atravesando el punto ( 0, 0 )? Observe que en los ejemplos 3 se utiliza la frase una solución en lugar de la solución del problema. El artículo indefinido una se aplica de forma deliberada para sugerir la posibilidad de que eistan otras soluciones. En este punto no se ha demostrado que eista una sola solución para cada problema. El siguiente ejemplo ilustra un problema de valor inicial con dos soluciones. n Ejemplo 4 Un problema de valor inicial puede tener varias soluciones Cada una de las funciones satisface la ecuación diferencial d/d /2 la condición inicial (0) 0, de modo que el problema de valor inicial d/d /2, (0) 0, cuenta con al menos dos soluciones. Como se ilustra en la figura.2., las gráficas de ambas funciones cruzan a través del mismo punto (0, 0). Dentro de los límites de un curso formal de ecuaciones diferenciales podemos estar seguros de que la maoría de las ecuaciones diferenciales tendrán soluciones de que las soluciones a los problemas de valor inicial probablemente serán únicas. Sin embargo, en la vida real, no es así. Por ello resulta conveniente saber con anticipación al intentar resolver un problema de a) Función definida para toda ecepto = ± b) Solución definida sobre el intervalo que contiene a = 0 Figura.2.4 Gráficas de la función la solución del PVI del ejemplo 2 = 0 (0, ) = 4 /6 (0, 0) Figura.2. Dos soluciones de un mismo PVI en el ejemplo 4.2 Problemas de valor inicial 3
14 valor inicial, si eiste una solución, de ser así, si es la única solución al problema. Dado que vamos a considerar ecuaciones diferenciales de primer orden en los siguientes dos capítulos, estableceremos aquí, sin demostración, un teorema directo que ofrece las suficientes condiciones como para garantizar la eistencia unicidad de una solución al problema de valor inicial de primer orden de la forma presentada en (2). Tendremos que esperar al capítulo 3 para abordar la cuestión de la eistencia unicidad de un problema de valor inicial de segundo orden. d R ( 0, 0 ) c a I 0 b Figura.2.6 Región rectangular R Teorema.2. Eistencia de una solución única Establecemos R como una región rectangular en el plano definida por a # # b, c # # d, la cual contiene al punto ( 0, 0 ). Si f (, ) f/ son continuas en R, entonces eiste cierto intervalo I 0 : ( 0 2 h, 0 h), h. 0, contenido en [a, b], una función única () definida en I 0 que representa una solución del problema de valor inicial (2). La conclusión anterior es uno de los teoremas más relevantes populares que eisten para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, a que los criterios de continuidad de f (, ) f/ son relativamente sencillos de verificar. La geometría del teorema.2. se ilustra en la figura.2.6. n Ejemplo Vuelta al ejemplo 3 En el ejemplo 3 observamos que la ecuación diferencial d/d /2 posee al menos dos soluciones cuas gráficas pasan por (0, 0). El análisis de las funciones 0f f, 2 >2 0 2 >2 muestra que éstas son continuas en la mitad del plano superior definido por. 0. Así, el teorema.2. nos permite concluir que a través de cualquier punto ( 0, 0 ), 0. 0, en la mitad del plano superior eiste cierto intervalo con centro en 0 sobre el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. De tal modo, por ejemplo, incluso sin resolverlo, sabemos que eiste cierto intervalo centrado en 2 sobre el cual el problema de valor inicial d/d /2, (2) tiene una solución única. En el ejemplo, el teorema.2. garantiza que no eisten otras soluciones al problema de valor inicial 9, (0) 3 9, () 22 distintas a 3e 22e 2, respectivamente. Esto se deriva del hecho de que f (, ) f/ son continuas en la totalidad del plano. Además puede demostrarse que el intervalo I sobre el que cada solución se encuentra definida es (2q, q). Intervalo de eistencia unicidad Suponga que () representa una solución al problema de valor inicial (2). Los siguientes tres conjuntos sobre el eje real pueden no ser iguales: el dominio de la función (), el intervalo I sobre el cual la solución () se encuentra definida o eiste, el intervalo I 0 de eistencia unicidad. En el ejemplo 2 de la sección. ilustramos la diferencia que ha entre el dominio de una función el intervalo de definición I. Ahora supongamos que ( 0, 0 ) es un punto situado al interior de la región rectangular R del teorema.2.. Resulta que la continuidad de la función f (, ) sobre R es suficiente por sí misma para garantizar la eistencia de al menos una solución de d/d f (, ), ( 0 ) 0, definida sobre algún intervalo I. El intervalo de definición I para este problema de valor inicial se toma, por lo general, como el intervalo más grande que contiene a 0 sobre el que la solución () está definida es diferenciable. El intervalo I depende tanto de f (, ) como de la condición inicial ( 0 ) 0. Revise los problemas 3 a 34 dados en los ejercicios.2. La condición adicional de continuidad de la primera derivada parcial f/ sobre R nos permite afirmar que no sólo eiste una solución sobre algún intervalo I 0 que contiene a 0, sino que además se trata de la única solución que satisface a ( 0 ) 0. Sin embargo, el teorema.2. no ofrece ninguna información acerca del tamaño de los intervalos I e I 0 ; el intervalo de definición I no requiere ser tan amplio como la región R el intervalo I 0 de eistencia unicidad puede no ser tan amplio como I. El número h. 0 que define al intervalo I 0 : ( 0 2 h, 0 2 h), puede ser mu pequeño por lo tanto es mejor considerar que la solución () es única en un sentido local, es decir, una solución definida cerca del punto ( 0, 0 ). Consulte el problema 44 de los ejercicios.2. 4 Capítulo Introducción a las ecuaciones diferenciales
15 Comentarios i) Las condiciones del teorema.2. son suficientes pero no necesarias. Cuando f (, ) f/ son continuas sobre una región rectangular R, siempre debe concluirse que una solución de (2) eiste es única mientras ( 0, 0 ) sea un punto al interior de R. Sin embargo, cuando las condiciones establecidas en la hipótesis del teorema.2. no se mantienen, entonces podría suceder que: el problema (2) aún pueda tener una solución esta solución pueda ser única, o (2) pueda tener varias soluciones o no tener solución alguna. Una revisión del ejemplo 4 muestra que la hipótesis del teorema.2. no se sostiene sobre la línea 0 para la ecuación diferencial d/d /2, por lo tanto no sorprende que, como vimos en el ejemplo 3 de esta sección, eistan dos soluciones definidas sobre un intervalo común (2h, h) que satisfacen (0) 0. Por otro lado, las hipótesis del teorema.2. no se sostienen sobre la línea para la ecuación diferencial d/d 2. No obstante, puede demostrarse que la solución del problema de valor inicial d/d 2, (0), es única. Puede adivinar esta solución? ii) Se recomienda leer, analizar, responder recordar posteriormente el problema 43 de los ejercicios.2..2 Ejercicios Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-. En los problemas 2, /( c e 2 ) representa una familia de soluciones de un parámetro para la ED de primer orden Encuentre una solución del PVI de primer orden que inclua esta ecuación diferencial la condición inicial proporcionada.. (0) (2) 2 En los problemas 3 a 6, /( 2 c) representa una familia de soluciones de un parámetro para la ED de primer orden Encuentre una solución del PVI de primer orden que inclua esta ecuación diferencial la condición inicial dada. Proporcione el intervalo I más grande sobre el que se encuentra definida la solución. 3. (2) 3 4. (22) 2. (0) 6. ( 2 ) 24 En los problemas 7 a 0, c cos t c 2 sen t representa una familia de soluciones de dos parámetros para la ED de segundo orden ED 0. Encuentre una solución del PVI de segundo orden que inclua esta ecuación diferencial las condiciones iniciales dadas. 7. (0), (0) 8 8. p>22 0, p>22 9. p>62 2, p> p>42 22, p> En los problemas a 4, c e c 2 e 2 representa una familia de soluciones de dos parámetros para la ED de segundo orden 2 0. Encuentre una solución del PVI de segundo orden que inclua esta ecuación diferencial las condiciones iniciales dadas.. (0), 9(0) 2 2. () 0, 9() e 3. (2), 9(2) 2 4. (0) 0, 9(0) 0 En los problemas 6, determine mediante inspección visual al menos dos soluciones para el PVI de primer orden que se presenta /3, (0) , (0) 0 En los problemas 7 a 24, determine una región del plano para la cual la ecuación diferencial proporcionada cuente con una solución única cua gráfica cruce el punto ( 0, 0 ) dentro de la región. 7. d d 2> d d 9. d d 20. d d En los problemas 2 a 28, determine si el teorema.2. garantiza que la ecuación diferencial posee una solución única a través del punto proporcionado. 2. (, 4) 26. (, 3) 27. (2, 23) 28. (2, ) 29. a) Mediante inspección visual, encuentre una familia de so luciones de un parámetro para la ecuación diferencial 9. Verifique si cada miembro de la familia es una solución del problema de valor inicial 9, (0) 0. b) Justifique el inciso a) mediante la determinación de una región R dentro del plano para la cual la ecuación diferencial 9 tenga una solución única a través del punto ( 0, 0 ) dentro de R. c) Verifique si la función segmentada e 0,, 0, $ 0.2 Problemas de valor inicial
16 satisface la condición (0) 0. Determine si esta función también es una solución para el problema de valor inicial del inciso a). 30. a) Verifique si tan ( c) es una familia de soluciones de un parámetro para la ecuación diferencial 9 2. b) Dado que f (, ) 2 f/ 2 son continuas en todo momento, la región R del teorema.2. puede considerarse equivalente a todo el plano. Utilice la familia de soluciones del inciso a) para encontrar una solución eplícita al problema de valor inicial de primer orden 9 2, (0) 0. Y aunque 0 0 se encuentra dentro del intervalo (22, 2), eplique por qué la solución no está definida en este intervalo. c) Determine el intervalo de definición I más amplio para la solución del problema de valor inicial del inciso b). 3. a) Verifique si 2/( c) es una familia de soluciones de un parámetro para la ecuación diferencial 9 2. b) Dado que f (, ) 2 f/ 2 son continuas en todo momento, la región R del teorema.2. puede considerarse equivalente a todo el plano. A partir de la familia del inciso a), encuentre una solución que satisfaga (0), otra que satisfaga (0) 2. Determine el intervalo de definición I más amplio para la solución del problema de valor inicial. 32. a) A partir de la familia del inciso a) del problema 3, encuentre una solución que satisfaga 9 2, (0) 0, donde 0 Z 0. Eplique por qué el intervalo de definición I más amplio para esta solución es (2q, / 0 ) o (/ 0, q). b) Determine el intervalo de definición I más amplio para la solución del problema de valor inicial de primer orden 9 2, (0) a) Verifique si c representa una familia de soluciones de un parámetro para la ecuación diferencial d/ d 3. b) A mano, trace la gráfica de la solución implícita Encuentre todas las soluciones eplícitas f() de la ED del inciso a) definidas mediante esta relación. Proporcione el intervalo de definición I para cada solución eplícita. c) El punto (22, 3) se encuentra sobre la gráfica de , cuál de las soluciones eplícitas del inciso b) satisface (22) 3? 34. a) Utilice la familia de soluciones del inciso a) del problema 33 para encontrar una solución implícita del problema de valor inicial d/d 3, (2) 24. Luego, a mano, trace la gráfica de la solución eplícita de este problema proporcione su intervalo de definición I. b) Eiste alguna solución eplícita de d/d 3 que cruce el origen? En los problemas 3 a 38 se proporciona la gráfica de un miembro de la familia de soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden d 2 /d 2 f (,, 9). Haga coincidir la curva de solución con al menos un par de las siguientes condiciones iniciales. a) (), 9() 2 b) (2) 0, 9(2) 24 c) (), 9() 2 d) (0) 2, 9(0) 2 e) (0) 2, 9(0) 0 f ) (0) 24, 9(0) Figura.2.7 Gráfica del problema 3 Figura.2.9 Gráfica del problema 37 Problemas de análisis En los problemas 39 40, utilice el problema 47 de los ejercicios. los incisos (2) (3) de esta sección. 39. Encuentre una función f () cua gráfica en todo punto (, ) cuente con la pendiente dada por 8e 2 6 tenga la intercepción (0, 9). 40. Encuentre una función f () cua segunda derivada sea en cada punto (, ) sobre su gráfica 2 sea tangente a la gráfica en el punto correspondiente a. 4. Considere el problema de valor inicial 9 2 2, (0) 2. Determine cuál de las dos curvas que presenta la figura.2. es la única curva de solución viable. Eplique su razonamiento. (0, ¹ ₂) Figura.2. Gráfica del problema 4 Figura.2.8 Gráfica del problema Determine un valor posible de 0 para el que la gráfica de la solución del problema de valor inicial , ( 0 ) 0 sea tangente al eje en ( 0, 0). Eplique su razonamiento. 43. Suponga que la ecuación diferencial de primer orden d/d f (, ) posee una familia de soluciones de un parámetro Figura.2.0 Gráfica del problema 38 6 Capítulo Introducción a las ecuaciones diferenciales
17 que f (, ) satisface la hipótesis del teorema.2. en cierta región rectangular R del plano. Eplique por qué no es posible que dos curvas de solución distintas se intersequen o sean tangentes entre sí en el punto ( 0, 0 ) en R. 44. Las funciones 2 6 4, 2q,, q 2 e 0,, 0 6 4, $ 0 cuentan con el mismo dominio pero, evidentemente, son distintas. Observe las figuras.2.2a).2.2b), respectivamente. Demuestre que ambas funciones son soluciones del problema de valor inicial d/d /2, (2) sobre el intervalo (2q, q). Resuelva la aparente contradicción entre este hecho el último enunciado del ejemplo. Modelo matemático 4. Crecimiento poblacional A partir de la siguiente sección observaremos que las ecuaciones diferenciales pueden utilizarse para describir o modelar diversos sistemas físicos. En este problema, suponga que se presenta un modelo del crecimiento poblacional de una pequeña comunidad por medio del problema de valor inicial dp 0.Pt2 20, P02 00, donde P es el número de individuos que ha en la comunidad t es el tiempo medido en años. Qué tan rápido, es decir, a qué ritmo se incrementa la población en t 0? A qué velocidad crece cuando es de 00 individuos? (2, ) (2, ) a) b) Figura.2.2 Dos soluciones para el PVI del problema 44.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Introducción En esta sección presentaremos la noción de modelo matemático. En términos generales, un modelo matemático es una descripción matemática de algo. Dicha descripción puede ser algo tan simple como una función. Por ejemplo, al analizar la caída de gotas de agua las marcas que dejan sobre papel secante, Leonardo da Vinci dedujo que la velocidad de caída de un cuerpo está dada por v gt. A pesar de que eisten muchos tipos de modelos matemáticos, en esta sección nos concentraremos únicamente en ecuaciones diferenciales analizaremos algunos modelos específicos de ecuaciones diferenciales aplicadas en áreas como biología, física química. Una vez que haamos analizado algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales en los capítulos 2 3 regresaremos, para resolverlos, a algunos de dichos modelos. Modelos matemáticos Con frecuencia se requiere describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno real, a sea físico, sociológico, o incluso económico, en términos matemáticos. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se denomina modelo matemático, el cual se construe con ciertos objetivos en mente. Por ejemplo, es posible que deseemos comprender los mecanismos presentes detrás de cierto ecosistema aplicándonos al estudio del crecimiento de las poblaciones animales localizadas en dicho sistema, o fechar un fósil por medio del análisis de la degeneración de una sustancia radiactiva contenida en él o en el estrato donde se descubrió. La construcción de un modelo matemático de un sistema inicia con la identificación de las variables responsables del cambio que se produzca en el sistema. Es posible que al principio decidamos no incorporar todas estas variables en el modelo. En este primer paso se especifica el nivel de resolución del modelo. A continuación, formulamos un conjunto de premisas razonables o hipótesis acerca del sistema que intentamos describir. Tales supuestos también incluirán cualquier le empírica aplicable al sistema. Para ciertos propósitos es perfectamente razonable aceptar modelos de baja resolución. Por ejemplo, podemos estar conscientes de que para modelar el movimiento de un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la Tierra, la fuerza de desaceleración correspondiente a la fricción del aire ocasionalmente se ignora en los cursos básicos de física; sin embargo, para.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 7
18 un científico cua labor es predecir de manera precisa la traectoria de vuelo de un proectil de largo alcance, la resistencia del aire otros factores como la curvatura de la Tierra tienen que ser tomados en cuenta. Ya que las suposiciones acerca de un sistema con frecuencia implican una tasa de cambio de una o más variables, la representación matemática de todas estas suposiciones puede implicar una o más ecuaciones que involucren derivadas. En otras palabras, el modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales. Una vez formulado un modelo matemático equivalente a una ecuación diferencial o a un sistema de ecuaciones diferenciales, se enfrenta el no menos importante problema de intentar resolverlo. Si podemos solucionarlo, entonces consideramos que el modelo será razonable cuando su solución sea consistente con datos eperimentales o con hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Pero si las predicciones generadas por la solución no son adecuadas, podemos incrementar el nivel de resolución del modelo o formular premisas alternativas sobre los mecanismos causantes del cambio en el sistema. Los pasos del proceso de modelación se muestran en el siguiente diagrama. Suposiciones Epresar suposiciones en términos de ecuaciones diferenciales Formulación matemática Si es necesario, modificar las suposiciones o incrementar la resolución del modelo Resolución de las ecuaciones diferenciales Verificar las predicciones del modelo con hechos conocidos Presentar predicciones del modelo, por ejemplo, de forma gráfica Obtención de soluciones Evidentemente, al incrementar la resolución se eleva la complejidad del modelo matemático aumenta la probabilidad de que no podamos obtener una solución eplícita. Un modelo matemático de un sistema físico inclue, por lo general, a la variable de tiempo t. Una solución del modelo presentará entonces el estado del sistema; en otras palabras, para valores apropiados de t, los valores de la variable (o variables) dependiente describen al sistema en el pasado, el presente el futuro. Dinámicas de población Uno de los primeros intentos por modelar el crecimiento poblacional humano mediante las matemáticas fue realizado por el economista inglés Thomas Malthus, en 798. Básicamente, la idea del modelo de Malthus representa la suposición de que el ritmo con que la población de un país crece en cierto tiempo es proporcional* a su población total en ese tiempo. En otras palabras, mientras más personas eistan en el tiempo t, más serán en el futuro. En términos matemáticos, si P(t) indica la población total en el tiempo t, entonces tal suposición puede epresarse como dp dp r P o kp, () donde k es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no toma en cuenta muchos factores (por ejemplo, inmigración emigración) que pueden influir sobre las poblaciones humanas para su crecimiento o disminución, resultó ser bastante preciso para predecir la población de Estados Unidos durante los años de 790 a 860. Las poblaciones que crecen a un ritmo descrito por () son raras, sin embargo, todavía se utiliza () para modelar el crecimiento de pequeñas poblaciones durante breves intervalos de tiempo, por ejemplo, el crecimiento de bacterias en cajas de Petri. Decaimiento radiactivo El núcleo de un átomo está compuesto por combinaciones de protones neutrones. Muchas de tales combinaciones son inestables, es decir, los átomos decaen o transmutan en átomos de otra sustancia. Se dice que dichos núcleos inestables son * Si dos cantidades u v son proporcionales, esto se denota como u v, lo cual significa que una cantidad es un múltiplo constante de la otra: u kv. 8 Capítulo Introducción a las ecuaciones diferenciales
19 radiactivos. Por ejemplo, con el tiempo el radio, que es altamente radiactivo, Ra-226, se transmuta en el gas radiactivo radón, Rn-222. En la modelación del fenómeno de decaimiento radiactivo, se supone que la velocidad da/ con que el núcleo de una sustancia decae es proporcional a la cantidad (en términos más precisos, al número de núcleos) A(t) de la sustancia remanente en el tiempo t: da r A o da ka. (2) Por supuesto, las ecuaciones () (2) son idénticas; la diferencia sólo se encuentra en la interpretación de los símbolos las constantes de proporcionalidad. Para el crecimiento, como se espera de (), k. 0, para el caso de (2) el decaimiento, k 0. El modelo () para el crecimiento puede verse como la ecuación ds/ rs, la cual describe el crecimiento del capital S cuando una tasa de interés anual r se capitaliza de forma continua. El modelo (2) de decaimiento también se presenta en un entorno biológico, como el de la determinación de la vida media de un medicamento el tiempo que toma para que 0% de éste se elimine del cuerpo por ecreción o mediante el metabolismo. En química, el modelo de decaimiento (2) se presenta como la descripción matemática de una reacción química de primer orden. El argumento es el siguiente: Una sola ecuación diferencial puede actuar como modelo matemático para muchos fenómenos distintos. Los modelos matemáticos con frecuencia vienen acompañados de ciertas condiciones secundarias. Por ejemplo, en () (2) esperaríamos conocer, respectivamente, una población inicial P 0 una cantidad inicial de sustancia radiactiva A 0 disponible. Si tal punto inicial en el tiempo se toma como t 0, entonces sabemos que P(0) P 0 que A(0) A 0. En otras palabras, un modelo matemático puede consistir en un problema de valor inicial o, como veremos posteriormente en la sección 3.9, en un problema de valor en la frontera. Le de Newton de enfriamiento calentamiento De acuerdo con la le empírica de enfriamiento de Newton o de calentamiento, la velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a la diferencia que ha entre la temperatura del cuerpo la del medio que lo rodea, la denominada temperatura ambiental. Si T(t) representa la temperatura de un cuerpo en el momento t, T m la temperatura del medio que lo rodea dt/ la velocidad a la que cambia la temperatura del cuerpo, la le de Newton de enfriamiento calentamiento se traduce en el enunciado matemático dt r T 2 T dt m o kt 2 T m2, (3) donde k es una constante de proporcionalidad. En cualquier caso, calentamiento o enfriamiento, si T m es una constante, se sostiene que k 0. Difusión de una enfermedad Una enfermedad contagiosa por ejemplo, un virus de gripe se difunde en una comunidad por medio del contacto físico entre las personas. Si (t) indica el número de personas que han tenido contacto con la enfermedad (t) el número de personas que no han sido epuestas a ésta, parece razonable suponer que la razón d/ a la que se difunde la enfermedad es proporcional al número de encuentros o interacciones entre estos dos grupos de gente. Si suponemos que el número de interacciones es conjuntamente proporcional a (t) (t), es decir, proporcional al producto, entonces d k, (4) donde k es la constante acostumbrada de proporcionalidad. Suponga una pequeña comunidad que cuenta con una población fija de n personas. Si una persona infectada se introduce en esta comunidad, entonces puede sostenerse que (t) (t) se encuentran relacionados por n. Al utilizar esta última ecuación para eliminar a en (4) obtendremos el modelo d kn 2 2. () Una condición inicial evidente que acompaña a la ecuación () es (0). Reacciones químicas La desintegración de una sustancia radiactiva, controlada por la ecuación diferencial (2), se dice que es una reacción de primer orden. En química, pocas reacciones siguen esta misma le empírica: si las moléculas de una sustancia A se descom-.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 9
20 ponen en moléculas más pequeñas, resulta natural suponer que la velocidad a la que se lleva a cabo esta descomposición será proporcional a la cantidad de la primera sustancia que no ha eperimentado conversión; es decir, si X(t) es la cantidad de sustancia A que permanece en cualquier momento, entonces dx/ kx, donde k es una constante negativa dado que X está disminuendo. Un ejemplo de una reacción química de primer orden es la conversión de cloruro de t-butilo en alcohol t-butílico: (CH 3 ) 3 CCl NaOH S (CH 3 ) 3 COH NaCl. Únicamente la concentración de cloruro de t-butilo controla la velocidad de reacción. Pero en la reacción CH 3 Cl NaOH S CH 3 OH NaCl, por cada molécula de cloruro de metilo se consume una molécula de hidróido de sodio, formando así una molécula de alcohol metílico una molécula de cloruro de sodio. En dicho caso, la tasa a la que se lleva a cabo la reacción es proporcional al producto de las concentraciones restantes de CH 3 Cl NaOH. Si X indica la cantidad de CH 3 OH formada a b son las cantidades dadas de los primeros dos químicos A B, entonces las cantidades instantáneas no convertidas al químico C son a 2 X b 2 X, respectivamente. Por lo tanto, la velocidad de formación de C está dada por dx ka 2 X2b 2 X2, (6) donde k representa una constante de proporcionalidad. Se dice que una reacción cuo modelo está dado por la ecuación (6) es de segundo orden. Velocidad de entrada de salmuera 3 gal/min 300 gal constantes Velocidad de salida de salmuera 3 gal/min Figura.3. Tanque de mezcla Mezclas La mezcla de dos soluciones salinas de distintas concentraciones da lugar a una ecuación diferencial de primer orden para la cantidad de sal contenida en la mezcla. Supongamos que un tanque grande de mezcla inicialmente contiene 300 galones de salmuera (es decir, agua en la que se ha disuelto cierta cantidad de libras de sal). Otra solución de salmuera se inecta en el tanque grande a una velocidad de 3 galones por minuto; en este flujo de entrada, la concentración de sal es de 2 libras por galón. Cuando la solución se mezcla bien en el tanque, se etrae al mismo ritmo que la solución de entrada. Observe la figura.3.. Si A(t) indica la cantidad de sal (medida en libras) que ha en el tanque en el momento t, entonces la velocidad a que A(t) cambia será una tasa neta de: da Velocidad de de a entrada de sal b 2 avelocidad salida de sal b R entrada 2 R salida. (7) La velocidad de entrada R entrada a la que ingresa la sal al tanque es el producto de la concentración de sal del flujo de entrada la velocidad del fluido de entrada. Observe que R entrada se mide en libras por minuto Concentración de sal del flujo de entrada de Velocidad de salmuera Velocidad de entrada de sal T T T R entrada (2 lb/gal) (3 gal/min) (6 lb/min). Ahora, como la solución está siendo bombeada hacia fuera del tanque a la misma velocidad a la que ingresa, la cantidad de galones de salmuera que ha dentro del tanque en el tiempo t es una constante de 300 galones. Por lo tanto, la concentración de sal dentro del tanque, así como en el flujo de salida, es c(t) A(t)/300 lb/gal, la velocidad de salida R salida de sal es Concentración de sal del flujo de entrada de Velocidad de salmuera Velocidad de entrada de sal T T T R salida a At2 lb>galb 300 At2 3 gal>min2 00 lb>min. Entonces, la velocidad neta (7) se convierte en da 6 2 A 00 o da 00 A 6. (8) 20 Capítulo Introducción a las ecuaciones diferenciales
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Definiciones terminología.2 Problemas con valores iniciales.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos REPASO DEL CAPÍTULO Las palabras ecuaciones

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