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Timestamp: 2018-12-15 10:27:17+00:00

Document:
SISTEMAS DE MEDICIÒN
0°   Geométrico  360°
- El  trigonométrico toma cualquier valor
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO: El ángulo real.
trigonométrico se genera por rotación de un
rayo, llamado rayo generatriz, alrededor de - El  geométrico no toma valores
su origen llamado vértice; desde una
negativos; el  trigonométrico sí.
posición inicial llamado lado inicial hasta
una posición terminal llamado lado final.
Si la rotación del rayo es antihoraria el 
A) Sistema Sexagesimal o Inglés:
formado es positivo (+); si la rotación es
En este sistema consideramos al ángulo
horaria el  formado es negativo (-)
de una vuelta dividido en 360 partes
iguales y a cada parte se le denomina
B un GRADO SEXAGESIMAL, a cada
Rayo Generatriz grado se le divide en 60 partes iguales y
LADO FINAL a cada parte se le denomina MINUTO
(+) Sentido SEXAGESIMAL, a su vez a cada minuto
se le divide en 60 partes iguales y a
 A (-) Sentido cada parte se le denomina SEGUNDO
 =  trigonométrico NOTACIÓN EQUIVALENCIA
Observaciones: * 1 Grado 1 vuelta
Sexagesimal : 360
1) De acuerdo a la definición trigonométrica 1° 1 vuelta =
de ángulo; podemos afirmar que un 
trigonométrico toma cualquier valor real.
Sea:”” un ángulo trigonométrico, * 1 minuto 1° = 60' = 3600”
podemos afirmar que: Sexagesimal :
- <  < + 1' = 60”
* 1 Segundo
2) El ángulo generado al rotar un rayo en Sexagesimal :
sentido antihorario hasta que coincida por 1”
primera vez con su posición inicial se
denomina ÁNGULO DE UNA VUELTA ó
de una revolución. B) Sistema Centesimal o Francés
de una vuelta dividido en 400 partes
A iguales y a cada parte se le denomina un
GRADO CENTESIMAL, a cada grado se
3) Podemos establecer algunas grandes le divide en 100 partes iguales y a cada
diferencias entre un  geométrico y  parte se le denomina MINUTO
trigonométrico. CENTESIMAL, a su vez a cada minuto se
le divide en 100 partes iguales y a cada
- Un  geométrico queda formado por DOS parte se le denomina SEGUNDO
RAYOS que parten de un mismo punto; CENTESIMAL.
mientras que un  trigonométrico se
forma por la rotación de un solo rayo. EQUIVALENCIA
- Atendiendo a la definición de  * 1 Grado 1 vuelta
geométrico este tomará los siguientes Centesimal : 400
valores 1g  1 vuelta =
400g Luego: L = 6,2832 R
L=2R
* 1 minuto 1g = 100m =
Centesimal : 10000s Aproximaciones de 
1m   3,1416 •   10
* 1 Segundo 1m = 100s  • 
Centesimal : 13
1s  3 2 •  146
C) Sistema Internacional, Radial o 1 vuelta = 6,2832 radianes
En este sistema la unidad angular es el 1 vuelta = 2 radianes
Radian. Un radian se define como el
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE
ángulo central en la cual la longitud del
arco subtendido es igual a la longitud del
Sabemos que: 360° = 400g = 2 rad.
B 2: 180° = 200g =  rad.
R R 2: 90° = 100g = /2 rad.
2: 45° = 50g = /4 rad.
Escogiendo la última equivalencia.
Observación: Cuando el arco 50
subtendido es diferente a la long. del   rad.
Radio; el cociente que se obtiene al
dividir la longitud del arco entre la Observaciones:
longitud del radio; indica el número de - Representan el mismo ángulo
radianes, que contiene el  central. - Numéricamente son diferentes:
45  50  /4
R  1
L 45
0  donde : 1
 ....... (1)
R  central en radianes 360 8
R = longitud del Radio
L = longitud del arco subtendido 8
NUMERO DE RADIANES QUE CONTIENE 50g 1
UNA VUELTA  ....... (2)
Una vuelta contiene tantos radianes
como radios contiene la circunferencia.
4 1 ....... (3)
0,2832 R
G B 2 rad 8
(1) = (2) = (3)
R R   
360 400 2 8
Entonces: Toda circunferencia contiene Sea “S” ; “C” y “R” ; las variables que
aproximadamente 6,2832 radios. representan a UN MISMO ANGULO; en los
sistemas sexagesimal; centesimal y radial
Sea: L = Longitud de la circunferencia respectivamente.
S° ....
 R rad. Unidad que se tiene
Observación: SCR
S Convertir   21g a grados sexagesimales:
K ....... (1)
C  ...  9 
K    21g    21g    18,9
....... (2) g
 . . . .   10g 
K ....... (3)
2 rad. 2. En un Sistema:
(1) = (2) = (3) En un sistema de medición dado, para
S C R pasar de una unidad superior a una
  inferior se MULTIPLICA por la
360 400 2
equivalencia respectiva. Para pasar de
una unidad inferior a una superior se
DIVIDE entre la equivalencia respectiva.
Por lo tanto: Para una mejor compresión seguir el
S C R siguiente esquema, en el cual el
180 200  significado de las flechas es el siguiente:
Ecuación General de conversión sexagesimal
S C S R C R centesimal
 ;  ;  x 60
9 10 180  200  grados minutos
Donde: x 60
S = N° de Grados Sexagesimales x 100
C = N° de Grados Centesimales x 3600
R = N° de Radianes x 10000
EQUIVALENCIAS DEDUCIBLES:
* 1 radián = 57°17´44,81” = 63g66m19,77s Ejemplo:
* 9° = 10g Para convertir  = 54’ a grados
27´= 50m sexagesimales, se le debe dividir entre
* 81” = 250s 60
* 1 radián > 1° > 1g
* 1´ > 1m 54 9
   54'    0,9
* 1” > 1s 60 10
* C > S > R ..... (Referido a los valores
numéricos de un  positivo)
* a° b´ c” = a° + b´+ c” Ejemplo:
Para convertir   1,23g a segundos
CONVERSIÓN DE UNIDADES centesimales, se le debe multiplicar por
ANGULARES 10,000.
1. De un sistema a otro: Equivalencias Usuales:
Se utiliza las siguientes igualdades: 15 
rad 45 
rad 75 
rad 180   rad
* 9° = 10g 
 3 5
18  rad 54  rad 90  rad 225  rad
*  rad = 180° 10 10 2 4
*  rad = 200g 22 30' 
rad 60 
rad 120  rad 270 
a la medida angular que se va a  3 3 5
30  rad 6730'  rad 135  rad 300  rad
convertir se le multiplica por una fracción 6 8 4 3
de la forma 36  rad 72 
rad 150  rad 360  2  rad
calcular “x”  20 –120º Luego: x  . calcular “x” S  180K  C  200K R  K 4 . RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS También: SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL S  9n C  10n S C n Sabemos que:  . b y . Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.x) g . Del gráfico mostrado. * 1 radián > 1° > 1g  * 1’ > 1m  * 1’’ > s 1  * Para todo ángulo positivo: C > S > R A)  +  +  = 180° B) –  –  = 180° C)  –  –  = 90° * Sº <>3 C <> Rrad D)  –  –  = 270° E)  +  +  = 90° S C R =  =K 180 200  03.77s . De la figura. Solución: S C 20  x 20  x PROBLEMAS Sabemos:    9 10 9 10  200 10x  180 9x 01.81’’ 02. entonces el ángulo mide: x 19  20  360   20       19  19  2 En radianes: rad A) 180° +  +  B) 240° +  +  19 C) 240° –  –  IMPORTANTE: D) 480° –  –  E) 480° + +  * 1 radián = 57° 17’ 44. Del gráfico. determinar la relación entre = 63g 66m 19. Simplificado se R 100 200 20 obtiene: S C  9 10 S : NúmerodegradosSexagesima les C : NúmerodeGradosCentesimal es m n  27 50 m : NúmerodeMinutosSexagesima les n : NúmerodeMinutosCentesimal es p q  81 250 m : NúmerodeSegundosSexagesima les n : NúmerodeSegundosCentesimal es Ejemplo: La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal es (20+x)° y en el sistema centesimal (20 .
calcular “x” en D) 48° E) 50° términos de “” y “q” 10xg 10. radianes. A) /100 B) –/50 C) – 3/100 2 0 º– 2 x D) –/100 E) /50 2 0 º+ 2 x 4x–20º 09. A) 10X B) 20X C) 25X 5 . Del gráfico mostrado. Los ángulos de un triángulo son: x/6. Un mismo ángulo es medido por dos D) 4000 E) 5000 alumnos:  14. 20xg y 12x°. Del gráfico mostrado. Determinar el error cometido en sistema. ¿Cuántos segundos centesimales están  4  5  6 contenidas en un ángulo que equivale a A) 10 B) 10 C) 10 la milésima parte del ángulo de media 2 2 2  3  8 vuelta? D) 10 E) 10 2 2 A) 1000 B) 2000 C) 3000 07. Si un alumno escribe 54° en vez de equivalente de 108° en el nuevo 54g. Sabiendo que: 21g   xyzw' g xº x 2x y x  y  z  w Calcular: 3x  y  z  w A) 1/6 B) 1/3 C) 3 D) 6 E) 9 A) 1 B) 2 C) 3 06. ¿Cuántos radianes se tienen en cien D) 4 E) 5 segundos centesimales? 13. ¿Cuál es el complemento A) 20° B) 25° C) 30° del menor ángulo? D) 35° E) 40° A) 54° B) 72° C) 36° 04. Si:  2x  90 3   x Determinar el menor ángulo. en radianes:    A) rad B) rad C) rad A) +  B)  –  C) –  3 5 6 D) –  –  E) 90°–   D) rad E) rad 4 9 + 11. Calcular (y/x) Calcular: E = x°y' + y°x' A) 61°62' B) 61°51' C) 62°2' D) 62°1' E) 60°2' y’ 12. Dada la relación: rad  A  xy' • Juan encontró (x + 1)° 48 Calcular: Ax + y • José encontró (x + 1)g Calcular el número de radianes de este A) 12 B) 14 C) 15 ángulo: D) 16 E) 17 A) /2 B) /5 C) /10 15. Sabiendo que: x + y = 62 05. Si “x” es un nuevo sistema tal que 10 D) /6 E) /3 grados “x” equivalen a la décima parte del ángulo de una vuelta. Calcular el 08.
Si: 3x  10xg  rad 3 A) 12 B) 13 C) 14 x D) 15 E) 16 Calcular: 0.44 rad = 3° (30 + x) = 8g (9 + x) A) 0. 3 9 27 81 A) 5 B) 6 C) 7 A) 120 B) 115 C) 100 D) 10 E) 15 D) 90 E) 80 03. Hallar: Tg (0. D) 30X E) 40X A) VVV B) FVF C) FFV D) FFF E) VVF 16.6'' D) 57 E) 67 A) 12°18'24'' B) 12°16'36'' 20. Dada la figura. Y. Calcular “” si: 7  0.. Convertir 0. si: 02. 150Y. llano y de una vuelta xº miden en tres nuevos sistemas A.  es exactamente igual a 22/7 D) 55°39'12'' E) 50°50'50'' 6 .3927) 4y  x 17.5 19. 9g = 10° A) 55°39'36'' B) 55°29'37'' C) 55°19'26'' III.22° < > L° B' V'' D) 8 E) 4 A) 17 B) 37 C) 47 06.  = 180° II..1 B) 0. Obtener la fórmula que relaciona estos A) 5 B) –5 C) 6 nuevos sistemas: D) –6 E) 4 A Y P A Y P A)   B)   8 5 3 6 3 5      rad A Y P 18. Calcular “” en grados sexagesimales. 180P.5 C) 0. Calcular: x = 12. Un ángulo mide:  180 pero en grados C)     3 5 8  7 x  A Y P A Y P sexagesimales mide:    . Los ángulos recto. I. Sabiendo que “” es el número de C) 12°16'18'' radianes de 266° 24'. P x g respectivamente: 120A.309222rad a grados. S=x–2     Calcular: C  S  5      . Calcular D)   E)   5 3 6 8 6 5   “x” 2 05.311° – 3.25 D) 1 E) 0   A) rad B) 2 rad C)  rad 5 5   PROBLEMAS PROPUESTOS D) 3 rad E) 4 rad 5 5 01. calcular: E 5x A) 21 B) 2 1 C) 2 2 D) 2 2 E) 2 3 y’ 04. Diga si es verdadero (V) o falso (F): 08. minutos y segundos sexagesimales. D) 12°18'36'' E) 12°16'24''  Calcular: 07. Si se sabe que: C=x+3 ... Calcular: L + B + V A) 2 B) 20 C) 10 Si: 22.
Hallar el ángulo en radianes si: xy = yx A)  rad B)  C)  10 20 40 8 8    10   9  D) E) A)   B)   30 15  9 180  10  180 9 17. Calcular el valor de un ángulo D) 4 E) 5 expresado en radianes que cumple con la siguiente condición: S C 4R + 2C + S = 14. En un cierto ángulo se cumple:  10  C)   3S   9 180 30C  33 9  10 9  Calcular el complemento del ángulo en D)  E)  9  radianes. y z Hallar: M 5 y z A) 10 B) 12 C) 14 x D) 8 E) 2 A) 3 B) 1 C) 2 16.58 13 11 D) 12 E) 11 A) 1 rad B) C) 7 7 5 15 D) E) 7 7 13. se A) 5 B) 10 C) 20 tiene: S  13 C  2 D) 10 E) 20   x2x 2 3 7 . S.5 C) 2 A) 2×166 B) 5×104 C) 155 D) 3 E) 4 D) 106 E) 104 15. Si: a y b son los números de minutos A) rad B) C) 20 20 4 sexagesimales y minutos centesimales 2  respectivamente que tiene un ángulo.. C y R lo convencional Donde: S  C son lo convencional. Siendo a. Para un cierto ángulo se cumple: R  1  1  1 10. 10   90 3 7  12. y S 9 10 Siendo. Se tiene la siguiente relación:  1  (1  S1) 1  1 . Calcular: A) 3 B) C) S 4S 4S  E (a  0. Si: xC . D) E) 5 10 calcular: 18. 1  9  S  1   S   2  S  C 1 20°30'45'' < > 2x97ymz6S Hallar dicho ángulo en radianes. Siendo “S”  “C” lo convencional. Si: “S” representa un número de grados sexagesimales que posee un ángulo en 19.7 C) 11. segundos.1416) A) 1 B) 0. centesimales y radianes  4 2 respectivamente. expresan la medida de un ángulo en 4 3 S3  5S S  296 0 minutos sexagesimales.81416 11. 1 Calcule el valor de: E  (3x  2)x1 09.15708rad (Toma =3.. Hallar un ángulo en radianes que  b a 3 3  a  b E  5 23     10C  S  2b  2 77  a  verifica la relación: R 10C  S A) 10 B) 9. b y R son los números que radianes para la siguiente igualdad.001b) 7 8 32R D) E) 4S 4S 14. Cuantos segundos centesimales contiene un ángulo de 0.
20. Para un ángulo trigonométrico se
SC = CS. De donde se tiene que:
06. Se mide un ángulo en los 3 sistemas
20  conocidos, y los números que
 yx
representan dichas medidas se
Calcular “x + y” si S, C y R son lo relacionan del siguiente modo: S + C +
convencional. 2R = 193.1416, señale la medida radial
A) 5 B) 19 C) 19/20
D) 9 E) 190 A) (/4) rad B) (/3) rad
C) (/2) rad
D) (/6) rad E) (/8) rad
07. La diferencia de las inversas de las
01. Calcular el números de radianes “R” de medidas de un arco en grados
un ángulo cuyo número de grados sexagesimales y en grados
sexagesimales “S” y de grados centesimales es igual a su medida en
centesimales “C” cumple la relación: 2C radianes dividido por 2. Calcular la
– S = 44 medida de dicho arco.
A) /3 B) /4 C) /5 A) /15 B) 6 C) (/12) rad
D) /6 E) /7
D) 7g E) 10
02. Reducir, siendo S y C lo convencional:
08. Siendo S y C los conocidos, calcular:
3S  2C
CS C S C S
E  2
C S C S
A) 1 B) 2 C) 7
D) 8 E) 9 A) 4 B) 5 C) 6
03. Si: 2S + 3C = 96. Calcular dicho ángulo
en grados centesimales, siendo S y C lo 09. Si los números que se representan la
convencional. medida de un ángulo en los sistemas
sexagesimal y centesimal son números
A) 10g B) 20g C) 24g pares consecutivos, el valor del
D) 28g E) 30g complemento del ángulo expresado en
radianes es:
S 3 C 3 20R
04. Si se cumple: 3   3 A) /5 B) /10 C) 3/20
9 10 
D) 7/40 E) 2/5
Donde S, C y R son lo convencional.
10. Siendo S y C el número de grados
Calcular: 3 sexagesimales y centecimales
respectivamente que mide un ángulo.
Calcular dicho ángulo en radianes, si:
D) 4 E) 5  1  1
S  18 pp   , C  10 pp  
   
05. Si: S y C son lo convencional. Calcular
S = x5 + x4 + (x – 1)2 + 5 D) 0,5 E) 0,8
C = x5 + x4 + (x – 1)2 + 9
11. El número de grados centesimales de
A) 3/5 B) /4 C) /5 un ángulo menos el número de grados
D) /6 E) /7 sexagesimales de otro es 62. Calcular
la medida del menor en sexagesimales,
si además son complementarios. 17. Siendo a; b y R son los números que
expresan la medida de un ángulo en
A) 14 B) 15 C) 16 minutos sexagesimales, segundos,
D) 18 E) 20 centesimales y radianes
E (a  0.001b)
12. Si la raíz cuadrada de la décima parte 32R
del producto de los números de grados
sexagesimales y centesimales de un A) 5 B) 10 C) 20
ángulo excede a 20 entre “p” veces su
número de radianes en 2. Calcular la
medida de dicho ángulo en radianes. 18. Para un ángulo trigonométrico se
A) (/4) rad B) (/5) rad SC = CS. De donde se tiene que:
C) (/20) rad R xy
D)  rad E) (/10) rad  yx
Calcular “x + y” si S, C y R son lo
13. Calcular el ángulo en el sistema convencional.
centesimal para el cual se cumple:
S13 C12 20R11 35 12 A) 5 B) 19 C) 19/20
   (S  C11  R10)
9 10  3 D) 9 E) 190
Donde S, C y R son lo convencional
para un mismo ángulo. 19. La raíz cuadrada de la mitad de la
media aritmética de los cuadrados de
A) 102 B) 115 C) 95 los números de grados sexagesimales y
D) 105 E) 108 centesimales es igual al cuadrado del
número de radianes por 181 . Calcular
14. La suma del número de minutos el ángulo en radianes.
sexagesimales y el número de minutos
centesimales de un mismo ángulo es A) (/50) rad B) (50/) rad
1540. Calcular la medida de dicho
C) (/5) rad
D) (10) rad) E) 7
A) (/9) rad B) (/6) rad
C) (/10) rad)
D) (/20) rad E) (/18) rad
15. Determinar “R”, si:
S  S  S  .....  C  C  C  C.....
donde S, C y R son lo convencional para
un mismo ángulo:
A) 19/40 B) 29/20 C) 19/10
D) 19/20 E) 361/380
16. Si S, C y R representan números en los
S2 C 2 R2
   383.1416
Calcule el ángulo en grados
A) 100g B) 200g C) 300g
D) 400g E) 500g
20. La suma del doble del número de
grados sexagesimales y el triple del LONGITUD DE ARCO
número de grados centesimales de una
medida angular resulta 96. Calcular el LONGITUD DE ARCO
complemento del ángulo.
A) 72º B) 75º C) 80º R
D) 82º E) hay 2 respuestas 0  L
L  .R ........ (*)
 =  central en radianes
L = Longitud del arco AB
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR:
SECTOR CIRCULAR: Es una porción de un
círculo limitado por dos radios.
0  A L
- Para 360° de rotación del rayo OA ; el área
barrida es R2
- Para ° de rotación del rayo OA ; el área
barrida será “A”.
Entonces: 360° -------  R2
° --------- A
 .  . R2
A …....... (1)
......Entonces la longitud recorrida por el disco L será igual a la longitud de la De (*) : R=  circunferencia del disco para una vuelta dada. (1) L2 Donde: A .. la longitud En (3) : A=  R 2  recorrida será: 2 2 L = 2. (5) L = Longitud recorrida por el disco ó 2 Longitud que se desplaza el centro Observación: Las 5 ecuaciones calculan del disco.) diferencias respectivas. aro..  =  central en grados sexagesimales a A = Area del sector circular AOB R = Radio del círculo. 3... R2 a b A ... ...d . R 2 APLICACIONES:  rad -------...... (2) 400 d Donde: Donde:  =  en radianes  =  central en grados centesimales También: 2 rad ------. (2) *  = . d d b De forma similar:  400g ------.. R2 A=  R L .n . disco.A  a b * Área =  2   ... .)  ....Tenemos un (disco.R disco han hecho contacto con el piso.R una vuelta y además todos los puntos  2 2 que pertenecen a la circunferencia del L . empieza a rodar..) con un primer punto de contacto con la superficie plana. L (el punto “A”).r. ......  .... (3) 2 2 1 A 1´ 2´ 3´ 4´ A´ Donde: Deducción:  =  central en radianes .. R 2 g --------. de (*) :  = R .. asimismo 2.  . 3´ y 4´. A . el área del sector circular AOB..Para “n” vueltas del disco.. aro.A A... n = N° de vueltas que gira el disco ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR También: 11 . (4) 2 .Cuando el punto “A” hace contacto  L nuevamente con el piso el disco ha dado   ... con las r = Radio del (disco. 2  L L2   .. A= 4 2 O L O´  R2 r 3 A . (1)   ... R2 sobre una superficie plana.El punto 1 hace contacto con la superficie En (3) : en 1´... Rodadura de un (aro..... 4 en 2´..
n =  (R+r) r = Radio del disco   R  r L = longitud que recorre el centro n = . B. . Por fuera de la curva 12 .. aros.n =  (R-r)   R  r n = .. . 2 L = Longitud que recorre el centro del O 2 disco..n... (2) 2r del disco de (1) y (2) : Observación: La rodadura que estamos 2  r... (1) Sabemos que : L = 2  r. (2) L = g.Ruedas. engranajes. O unidos por una faja tangencial R (correa de transmisión) ó en  contacto directo... (3) 2 B.....n. r . n= ... (2) Donde: (1) = (2) :  g =  girado por el disco.. O1 r L O r 2 r 1 Superficie curva O Faja 1 De la fig. (1) 2r O 1 Donde: r 1 R = Radio de la superficie curva (circular) r = Radio de la rueda n = Nº de vueltas que gira el disco  =  descrito por el centro del disco respecto del centro de la superficie r curva.. : L =  . CASO 2 B.Rodadura sobre una superficie curva.. (R + r) .. n =  g r analizando es sobre una superficie g circular. 2 r. discos. Por dentro de la curva C. (2) O r 2 (1) = (2) : 2 CASO 1 2 r.. L r L r O O´ r g r A L r A L B  curva Superficie Donde: R L  AB =L De la fig..1.....2.... (R – r) . (1) Entonces: Sabemos que : L = 2  r. : L =  ..
(2) D) 18 E) 20 03. el arco 1 =  2 . (1) Donde: L 1 = Longitud recorrida ó conducida por el disco 1..  1 =  girado por el disco 1. r 1 O 1 O r 2 2 CASO 3 Para los 3 casos se cumple: L1  L 2 ..  2 =  girado por el disco 2. (2) En (1): L1 = L 2 1 r1 =  2 r 2 . Un atleta recorre una pista circular a la Donde: velocidad de 44/9 m/s y en 36 s recorre un arco que subtiende un ángulo en el n 1 = Nº de vueltas que gira 1 centro de 56º. (1) disminuye en 4 unidades.. PROBLEMAS 01. 13 .. ó unidos por un eje.. solidarios. Ruedas.. r2 r1 A) 17 m B) 20 m C) 22 m D) 25 m E) 28 m CASO 2 02. Calcule la Donde : longitud del arco si el ángulo se duplica.. A) 13 B) 14 C) 16 n1 = n 2 . discos. Si el ángulo central de un sector Para ambos casos: circular se reduce a la mitad.. En (1): L1 = L2 2 r 1 n 1 = 2 r 2 n 2 r 1 n 1 = r 2 n 2 .. Calcule el n 2 = Nº de vueltas que gira 2 radio de la pista.... L 2 = Longitud recorrida ó conducida por el disco 2....... Una liebre ha recorrido 10 m en una pista circular barriendo un ángulo de r2 r1 /8 rad.. engranajes.... (3) D. En cuanto habrá que aumentar el radio para que pueda recorrer la CASO 1 misma distancia y barrer un ángulo de 18º. Si  = 22/7.
A) 2 B) 3 C) 4 –  2 2 Calcular la longitud total de este tramo D)  – 2 E)  – 3 ( = 22/7) 09. Del sistema mostrado. Calcule el área sombreada del trapecio A) 60 cm B) 90 cm C) 100 cm circular: D) 105 cm E) 120 cm 6 10. A) 180 m B) 130 m C) 140 m B D) 200 m E) 240 m 2 2 04. 11. Un tramo de una carretera está A formado por dos arcos de D circunferencia. 05. si el arco BD tiene centro en “C” y el triángulo A) 22 B) 36 C) 55 ABC es isósceles. En un sector circular la relación entre su perímetro y su longitud de arco es A) 2 m B) 4 2 m C) 2m 3/2. Sabiendo que el área de un cuadrado de lado 2m es igual al área de un sector circular cuyo radio es igual a la A) 15 B) 25 C) 30 diagonal de dicho cuadrado. el segundo. O 2 8 A B a+ 6 8 O a rad 6a+ 25 A) 2 u 2 B) 4 u 2 C) 6 u 2 D) 8 u2 E) 10 u2 a+ 6 B 08. Determine el área del sector AOB en la A) 2 B) 3 C) 3/2 figura mostrada: D) 4 E) 5/2 8 12. ¿Qué espacio recorre una rueda de 4 A) 12 km B) 14 km C) 33 km cm de radio. r+ 2 6 C A B A) 36 B) 48 C) 54 D) 60 E) 72 5 2 06. 07. Calcular la región sombreada. determinar r+ 2 cuántas vueltas gira la rueda “C” 8 4r cuando la rueda “A” de 12 vueltas. El primero. tiene un radio de 18km y un ángulo central de 40º. Determine D) 42 E) 45 la longitud de arco de dicho sector circular. Se tienen dos sectores circulares con las siguientes características: 14 . tiene un radio de   36km y un ángulo central de 50º. D) 66 E) 77 13. Calcule la medida radial del ángulo D) 3 2 m E) 2 2 m que subtiende. En la figura mostrada. si da 15 vueltas al girar sin D) 22 km E) 44 km resbalar sobre un mismo plano. calcular el A perímetro del sector AOB.
si: r = 7cm. Hallar el perímetro de la región or Central o sombreada. Si el D) 312 E) 314 radio aumenta en 2cm sin que el ángulo central varíe. Si el radio y el ángulo se triplican. Del problema anterior. A PROBLEMAS PROPUESTOS C r R 01. calcular el nueva longitud de arco? valor de: S1  3S2 A) 8 cm B) 10 cm C) 12 cm S1  S2 D) 14 cm E) 16 cm C 15. un radio de “a” metros y una longitud de arco “L”. calcular “”. ¿Cuál será la 20. De la figura. sabiendo que la longitud del arco AB es el triple del arco BC. la nueva longitud de arco en relación a la anterior es: A) dos veces mayor B) tres veces mayor C) seis veces mayor D) ocho veces mayor E) nueve veces mayor 17. 14. calcular: E =  + 2 A B A S2 S 1  ra d 4 5 D O B A) 1 B) 2 C) 3 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 D) 1/2 E) 3/2 16. si S2 = 2S1 r 60º B R O C S A) 1 B) 2 C) 3 1 S 2 D) 3/2 E) 5/3 2 O 15 . ( = 22/7) Nro  2r 1 Nro sumplement r 2 o de  2r r Si las áreas de ambos sectores son de igual medida. Sect Ángulo Radi 18. Se tiene un sector circular de 6cm de A) 306 B) 308 C) 310 radio y 12cm de longitud de arco. De la figura. En el esquema mostrado. Calcular R/r. calcular el área D) (/6) E) (/12) de la región sombreada. Se tiene un sector circular con un ángulo de º. el valor de “” en A) 120 B) 121 C) 132 radianes es: D) 123 E) 137 A) (/9) B) (/5) C) (/4) 19.
igual a 20cm. si aumentamos el ángulo si su radio disminuye un cuarto del central en su doble. Calcular “” en la figura: 2 A) 3/2 B) 2 C) 5/2 S 1 S 2 D) 3 E) 7/2  O 03. Calcular el área de la región sombreada. si: S1 + S2 = 20. De la figura. Calcular “L” O  S 1 S 2 x R 3 R R O S L 2S 3 2 A) 5/3 B) 3/8 C) 5/4 D) /8 E) 3/4 A) 3 B) 6 C) 2 04. Se tiene un sector circular de radio “R” D) 2 3 E) 2 2 y un ángulo central 36°. N B A) 6 B) 1 C) 9 D) 3 E) 13 16 . De la figura. si se cumple que OM y MA son dos números enteros O S S S 1 2 3 consecutivos y S2 = 8S1 A A) 5 B) 4 C) 3 M D) 2 E) 1 O S 1 S 2 06. Del gráfico mostrado calcular el radio del sector circular OAB. D) 22 E) 20 A) 320  B) 480  C) 540  S  S3 05. calcular “”. A) /2 B) /4 C) /6 A D) /8 E) /9 O  /4   02. calcular: E 1 D) 520  E) 640  S2 10. radio se tiene un nuevo sector circular. De la figura. y triplicamos el anterior. Además R = 2 A) /3 B) /4 C) /5 D) /10 E) /20 R R R 08. calcular: E = S1/S2 B A) 4 B) 8 C) 12 S 1 D) 16 E) 20  O 2 S 07. Cuánto hay que aumentar al ángulo central de 09. De la figura. Calcular el área del nuevo sector A) 28 B) 26 C) 24 circular. Se tiene un sector circular cuya área es dicho sector para que el área no varíe.
6r 1 1º 2º 2 A) 44 : 3 B) 11 : 3 C) 11 : 54 3º D) 11 : 27 E) 22 : 27 3 15. Dato: M P AB  2 2m b O Q N a A) b(a – 2b) B) b(a + 2b)  C) a(a – 2b) A  B D) a(a + 2b) E) ab(a – 2b) A) //4 B) //8 C) //2 18. calcular: “k”. calcular “a . calcular el área 3 de la región sombreada. A) – 5/2 B) – 3/2 C) – 2 A) 12/7 B) 13/7 C) 2 D) – 1/2 E) – 1 D) 15/7 E) 16/7 17. Del gráfico calcular “” si la suma de del arco MN es igual al perímetro de la las áreas de los sectores circulares circunferencia. Calcular el radio del sector AOB A) (/10)u2 B) (3/10)u2 C) (5/7)u2 D) (7/10)u2 E) (9/10)u2 17 . 2a A a 11. Del gráfico mostrado. De la figura: OA = AB = BC S2  4S3 A) 1 B) 2 C) 3 calcular: 3 2S1  S2 D) 4 E) 5 12. b” O  /4 r a d S 4S A C b 8 a B O 4S 5S A) 4 B) 8 C) 16 D D) 32 E) 10 B 16. O k P Q A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 5r 2 19. Del gráfico. Calcular la relación del área sombreada con respecto al área del círculo de radio 3 6r.OQ D) / E) //16 14. Del siguiente gráfico. Del gráfico. si la longitud 13. sombreados es (/2)m2 .OP = 2. obtener el área de la región sombreada. Se tiene un sector circular de radio R y S 1 perímetro 15R/7. ¿Cuánto hay qué  aumentar al ángulo central de dicho 2 S 2  sector para que su perímetro no varíe y su radio disminuya en la mitad del S 3 anterior. si: 3.
RAZONES RECIPROCAS. TEOREMA DE PITÁGORAS. entonces: TRIGONOMÉTRICAS DE UN R. 18 .T.. Si: AOB es un sector  circular de radio igual a 17cm y ABC es un triángulo isósceles cuyo lado b a desigual (Tomar: p = 22/7 cm) A  A B c 02.20. sec  = 1  “” agudo A) 54.64 B) 44. cosec  = 1 O C B cos . calcular el área de la C 2 2 b + c = a2 región sombreada. 28º sen . Cotg  = 1 D) 24. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: sen   (sen  ) hipotenusa a CASOS PARTICULARES catetoadyacente c cos   (cos  ) hipotenusa a C C catetoopuesto b Tg   (Tg   ) catetoadyacente c k2+1 n2 +1 catetoadyacente c n2 -1 k2 -1 2 Co tg   (Co tg   ) 2 catetoopuesto b hipotenusa a Sec   (Sec   ) B n A B 2k A catetoadyacente c hipotenusa a n es impar (n > 1) k es par (k > 2) Co sec   (Co sec  ) AB cateto menor catetoopuesto b AB cateto menor PROPIEDADES DE LAS RAZONES ALGUNOS TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO AGUDO.64 Tg  .64 E) 16. 01. RAZONES COMPLEMENTARIAS Si:  +  = 90°. ángulo agudo C B 2 A m ..T () ANGULO AGUDO Donde: sen  = cos  Dado un triángulo rectángulo ABC recto en Tg  = Cotg  A y un ángulo agudo “” se puede definir sec  = cosec  las razones trigonométricas de un ángulo TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS agudo. c = cateto adyacente C a = hipotenusa 2 K +1 2mn 0    90 .()  Co R. b = cateto opuesto 01.64 C) 36.n2 b a Donde:  * m y n son números entero positivos A B c *m>n catetoopuesto b 02. En la figura.64 RAZONES 03..
tendremos: Sec  = 5 A = Tg 2  + 2csc  + 3 Tg   1  2  1  Graficando tendremos: A=   + 2(2) + 3   3  3     1 1 13k A= + 4+1  A  5 12k 3 3 16  A= 5k 3 CLAVE “E” Hallemos “k” 13 P = 120 m 02. Calcular: 2Sen  3Cos A= 4Sen  9Cos A = Tg 2  + 2Csc  + 3 Tg   12  5 2   3   13  13 A) 15/2 B) 7/6 C) 8/3 A=  12  5 4   9  D) 16/5 E) 16/3  13  13 24 15 9  13 13 13 A= 48 45 = 3  13 13 13 A=3 Resolución CLAVE “D” 1 03.A. Si: Sen  = 0.6. 1 A) 10 B) 24 C) 13  C D) 12 E) 26 Por Pitágoras hallamos el otro cateto: c2 + 12 = 22 Resolución 26 13 c= 3 Sec  = 2. 13k + 12k + 5k = 120 5 2Sen  3Cos 30k = 120 Calcular: A k=4 4Sen  9Cos 19 . En un triángulo rectángulo el Graficando tendremos: Sen  = semiperímetro es 60 mt y la secante de 2 uno de sus ángulos agudos es 2.5 . 61 84 85 A) 1/2 B) 1/3 C) 2 60 D) 3 E) N. 11 13 Resolución 13 24 65 Graficando tendremos: Sec  = 20 16 5 21 63 13 C 13 85  12 36 5 5 77 Por Pitágoras hallamos en otro cateto: C 2 + 5 2 = 13 2 EJERCICIOS EXPLICATIVOS  C = 12 Reemplazando en A tendremos: 01. Hallar el valor de la mediana relativa a 2 la hipotenusa.6 = = 10 5 13 Reemplazando en A. Si: Sec  = .
b2 5 12   Tan   2. Nos piden: Tan  2x  2 a2  b2 x Hallar: K = Cos .Ctg  Aplicamos “Pitágoras” para hallar “x”: (3x .a.Csc(90°-). 4x 2 – 20x = 0  4x(x – 5) = 0 Resolución Luego: x = 0 y x=5 Graficando tendremos: a2 + b2 Reemplazamos: x = 0  tan   y x= a2 . Hallar el perímetro del triángulo c 2 = 4a 2 b 2 rectángulo mostrado.Ctg (90 . Sabemos que la mediana relativa a la  3x .Ctg   2ab   a2  b2   a2  b2   2ab    k=     a2  b2   2ab   2ab   a2  b2  A) 48 B) 96 C) 120   D) 80 E) 192 k=1 CLAVE “C” Resolución Dato: 05.5 B) 2.  40 3x.4 C 5 CLAVE “B” Por Pitágoras hallamos el cateto c: c 2 = (a 2 + b 2 ) 2 – (a 2 – b 2 ) 06. 3 3K calcular la tangente del mayor ángulo Tan   4 4K agudo.2  1 m=   13 4 Por geometría:  2 “A mayor lado se opone a mayor ángulo” m = 26 CLAVE “E” Por lo tanto:  >  a2  b2 04.Csc (90 .2 x 3K  4K 2x + 2  (3K) 2 + (4K) 2 = (40) 2 A) 2.2 hipotenusa mide la mitad de ésta.1 D) 3 E) 3. Si: Sen  =  α .5 9K 2 + 16K 2 = (40) 2 25K 2 = (40) 2 Resolución: 5K = 40  K = 8 Del gráfico mostrado: El perímetro es: 20 . Sabiendo que: c = 2ab Tan = 3/4 40 Reemplazando en k: k = Cos . Del triángulo rectángulo mostrado.).2) 2 = (2x + 2) 2 + (x) 2 A) ab B) 2ab C) 1 9x 2 – 12x + 4 = 4x 2 + 8x + 4 + x 2 D) a2 . x luego:  1  m=   13k  2 2x .).4 C) 2.b2 E) N. agudo.Ctg(90°-).
Sabiendo que Tan   x  3 08.1 Evaluar la siguiente expresión: Tan  Cot  2 Cos  Resolución Tan  Cot 4 Datos: * Sen 5 – Cos 8 = 0 A) 0 B) 1 C) 2 Sen 5 = Cos 8 D) 3 E) 4 5 + 8 = 90° * Tan   Cot 2 = 1 Resolución  = 2 Dato: 7 Tan  = Resolviendo el sistema resulta: 24   = 10° y  = 5° 25 Nos pide evaluar: 7  Sen 2 (4+5°)+Tan 2 (5+2) 24 +Sen(3++2°) Evaluamos: Sen 2 45°+Tan 2 60° + Sen 37 Tan  Cot  2 Cos 2   1  3 Tan  Cot 4    ( 3)2   2 5   7 24 24  2 2 1 3 41 24 7  25   31 6  3  7 24    2 5 10  4  25 25 24 7  4.1 E) 5. Hallar “x” de la siguiente igualdad:  3  Tan(Sen x) . Sabiendo que: Tan  24 D) 4. Si se cumple:  6   6  Sen5 – Cos 8 = 0  Tan = tan 30° Tan  . Cot(Cos70°)=1    ¿A qué es igual? Tan   x  6  A) 5° B) 10° C) 15° D) 20° E) 25° 3 A) 3 B) C) 0 3 D)  3 E) 3 1 Resolución Dato: Tan (Sen x)  Cot (Cos 70°) = 1 1 Resolución Tan(Senx)  Dato: Cot(Cos70º )     tan   x  3  Tan Tan(sen x) = Tan(Cos 70°)  3  3 Sen x = Cos 70°   x  x=0 x + 70° = 90° 3 3 x = 20° CLAVE “D” Nos piden:       Tan  x  Tan  0 09.1 C) 3.1 07. Cot2 = 1 6 21 .1 B) 2. 4K + 3K + 40 = 7K + 40 = 7(8)+40 = 56+ 40 Evaluar la siguiente expresión: = 96 Sen 2 (4+5°)+Tan 2 (5+2) CLAVE “B” +Sen(3++2) 7 A) 1.1 31 6 25 CLAVE “D” =   1 25 25 25 CLAVE “B”    10.
la A hipotenusa al cuadrado es b c numéricamente igual a seis veces el área si A<45° y c a B 6 5  11 * SenA + CtgB = 1 Tg = Tg2A  4 a a  1 Calcule “” c b ab ac =1 A) 16° B) 30° C) 37° bc ab+ac=bc D) 45° E) 53° ac  bc ab Resolución A * Nos piden: b M = CtgA – SenB c S b b M=  B a C a c b2  a2  c2 bc ab M= a ac TgA  c ac M= * b2  6S ac  ac M=1 b2  6  CLAVE “A”  2 2   3ac b 12. Resolución la hipotenusa al cuadrado. En un triángulo rectángulo ABC(A = a2  c2  3ac 90°). En un triángulo rectángulo ABC(B=90°). se cumple: a b c a  SenA + CtgB = 1 2 2 2(2a  b  c) M Calcule: M = CtgA – SenB (2a  b  c) M=2 A) 1 B) 2 C) 3 CLAVE “B” D) -1 E) 1/2 13. B 3  c a 3 CLAVE “B” A b C  c  a b  a b   c   c  11. Calcular: Dividiendo entre ( C 2 )  c b tgC C ctg   C SecB a2 C2 3ac  2   M= C 2 C2 C2 a P 2 Tg2A  1  3TgA Donde “p”  semiperímetro Tg2A  3TgA  1  0 Análisis A) 1 B) 2 C) 3 A  45º 3 5 D) 4 E) 5 TgA  TgA  Tg45º 2 Resolución TgA  1 Notita: 3 5 x z  TgA  2  y   TG   x Reemplazando  2 y z 6 5  11 Tg = Tg2A    y z 4 CTG    2 x 2  3 5  5  11 Tg =    +6 2  4 En el problema:   22 . En un triángulo ABC. recto  b  c   c M En C.
Cos 5 14 26 A) 1 B) 2 C) 1/2   15. CLAVE “B” A) 12/25 B) 1 C) 4/3 16. si AOB es un D) 3/9 E) 25/12 cuadrante y T es centro de la circunferencia inscrita en el cuadrante. A Resolución A 2 b = a2 + 2c  b c S T B a C Mayor Cateto b c *a= 2 O B 2a = b + c b = 2a – c A) 2 2 -1 B) 2 C) 2 D) 3 2 E) 2 +1 Elevando al cuadrado: b2  (2a  c)2 Resolución b2  4a2  4ac  c2 A 2 2 2 2 b  3a  4ac a  c  b2  3a2  4ac  b2 r 2 +r 3a2  4ac r T a 4  c 3 r 2 r O r B Nos piden: Del gráfico: N = TgA + TgC r 2  r r( 2  1) a c Csc   N=  r r c a 4 3  Csc= 2 +1 N=  CLAVE “E” 3 4 25 N = 17.Cos .Csc . 14  6 5  6 5  11   Tg  D) Sen E) Sen 4 5 7 3 Tg = Resolución 4   = 37° * L = Sen1°+Sen2°+…+Sen89° CLAVE “C” * M=Sen1°+Sen2°+…+Sen89° L M 14. Si: D) Sen(5) E) Sen    7 L = Sen1°+Sen2°+Sen3°+…+Sen89° M =Cos89°+Cos88°+Cos87°+…+Cos1° Resolución Hallar: 5 3 L M * Sen  Cos E= 13 26 L 3  A) 1 B) 2 C) 1/2 * Cos =Sen 10 5 23 . hallar Csc. el mayor * Luego: L  L 2L cateto es la medida aritmética de los E=  L L otros dos lados. SIMPLIFICAR: 12 CLAVE “E” 5 3  Sen . Hallar la suma de las tangentes de los ángulos agudos. En un triángulo rectángulo.Sec 13 10 7 E=  5 3 Sen . De la figura.
Si: 3 Cos(3x+21°) = Sen(-x+32°)  Tg = 5 0° < x < 90° CLAVE “B” Calcular: E = 3Ctg x .  5 RECUERDE * Sec =Csc 3Cos 7 14 a  A Sen  3 3Sen Reemplazando: A Cos 3  5 Cos . A partir del gráfico.Tg A) 5 B) 0 C) 1 B D) 6 E) 4 M Resolución Si: Cos(3x+21°)=Sen(-x+32°)    (3x+21°)+(-x+32°)=90° A C 2x = 37° 37º A) 1/2 B) 3/4 C) 1 x 2 D) 2 E) 2 10 1 37/2 3 Nos piden:  37º   37º  E = 3Ctg   . Del gráfico.Csc .10 Cos x 20. calcular: M = Ctg  .Csc 2 26 5 14 2Sen E=  5 3  Sen .Sen .Cos 2Cos 5 14 26 E=1 5Sen = 3Cos CLAVE “A” Sen 3  Cos 5 18.10 cos    2   2   37º  E  3(3)  10    10   E=6 CLAVE “D” 19. calcular “Tg” B C 3 2 A D F A) 1/2 B) 3/5 C) 5/7 D) 9/4 E) 4/9 Resolución 24 .
Dado un triángulo ABC (recto en C). (recto en C). se prolonga el lado AC hasta el punto D tal que: AC = 2CD. En un triánuglo isósceles ABC.CosA = 2 senB Calcule ctgA A) 3 B) 2 C) 6 1 1 D) E) 3 2 04. sen A = 3 CLAVE “C” A) 3 B) 2 C) 3 2 D) 2 2 E) 4 2 03. a   1 3 2 A C A) B) C) 2 2 2 3 4 M = Ctg .Tg D) E) 2 3 a b b M=  a a 02.sec) A) .Resolución 01. Siendo  la medida de un ángulo agudo. En un triángulo ABC. se a b / b/ M= traza CD perpendicular a AB . siendo: AB = 9c. Dado un triángulo ABC. Se tiene que la secante de un ángulo B 13 b agudo es . Calcule la tangente del ángulo DBC. Calcule la tangente del M 3 a complemento de dicho ángulo. recto en B.2 B) . Calcule a 1 M1 DC.1 C) . 1 A) B) 3 C) 6 3 1 D) E) 2 2 05. donde se cumple que: 1+senA tgB = 2senA A) 4 B) 2 C) 3 1 1 D) E) 2 3 06. 1 el cual cumple: sen = 9 Calcule: 5 (tg . (recto en C) se cumple: CosB .4 D) – 3 E) 2 PROBLEMAS 25 .
De la condición sen2 = (2: agudo). calcule cos2 12. O: centro de la 5 7 circunferencia. siendo: AC=5 3 09. A) 102 cm2 B) 104 cm2 C) 204 cm2 D) 51 cm2 E) 54 cm2 26 . 3 A) B) C) siendo 3 2 2 AB = BC = AD 2 3 2 D) E) 5 2 2 10. BF = 4 y tg  = 2 1 3 2 A) B) C) 2 2 2 4 3 D) E) 5 4 08. calcule EF. calcule sen(x - 8 3 37º). siendo 68cm. Del gráfico mostrado.2 3 B) 5 .2 D) 2 E) 3 13. Si el perímetro de un triángulo ABC es 15. Sabiendo que AC = 4CD. Del gráfico mostrado calcule BC. Calcule el área de la región triangular ABC.1 C) . además tgB = 12 y tgA = 24 . AB=6. siendo 2 AF=5. Del gráfico adjunto. Siendo  y  los ángulos agudos de un 3 3 A) 5 3 B) C) 4 3 triángulo rectángulo. Siendo: AB = 5 y BC = 3 A) 4 . 3 C) 4+3 3 D) 2+3 3 E) 3+3 3 1 1 14.1 Calcule: M = tg 1 A) 4 B) C) 3 2 A) 2 B) 3 C) 4 1 1 1 D) E) 2 D) E) 3 2 3 11.2sec 3 5 3 D) E) 2 2 A) 1 B) . Del gráfico mostrado calcule tg. donde se cumple 2 que: tg=2 sec. 3 tg2 .07. Del gráfico mostrado calcule ctg. calcule csc2 . BE = 3.
Entonces el valor de la expresión: 27 . calcule: 1 + tg 5 3 D) E) M: punto de tangencia. Del gráfico mostrado calcule: tg 2. 4 2 4 A) B) C) 11 11 13 A) 496 B) 256 C) 366 11 11 D) 246 E) 336 D) E) 4 2 02. Calcule tg 4 3 5 A) B) C) 5 5 3 5 1 D) E) 4 2 7 3 3 A) B) C) 3 5 7 16. sec = 1. si se cumple: sen . hallar: “sen ” 18. además OM = MC. siendo: AB = AC A) 16 B) 4 C) 18 D) 25 E) 9 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. CD = 10. 3 14 20. Hallar el área de dicho triángulo. Del gráfico adjunto. En un triángulo rectángulo el seno de su menor ángulo es 7/25 y su perímetro es 112m. 3 1 A) 2 B) 2 +1 C) 4 D) 3 1 E) 2 3  1 17. En un triángulo rectángulo ABC (recto 2 6 en A). calcule tg x. los lados BC y AB miden 29 y 21 m respectivamente. De la figura mostrada calcule: tg B 1 F 8  A C E A) 1/2 B) 3/4 C) 5/6 1 A) 3 B) C) 2 D) 2/3 E) 4/5 3 1 1 D) E) 03. se tiene el cuadrado ABCD. Del gráfico mostrado. además AB = 30 . 19. Del gráfico mostrado. Del gráfico.
De la figura Hallar “Tg ” D C  07. es: 09. Del gráfico.9 C) 6/5 D) 0.. si se Calcular “Tg” cumple: B tg(30°-)-ctg(30°+3) = 0   x 53º  A D C 20 A) 1/8 B) 1/5 C) 3/8 A) 10 2 B) 10 C) 5 3 D) 1/2 E) 5/8 D) 5 E) 10 3 14. Del gráfico. hallar “BP” 28 ... Hallar “x”: A) 2 B) 2.. Calcular: F 37º sen1  sen2  sen3  ... calcular: “x” .5 C) 3 m 30° D) 4 E) 5 37° x 04. cos89 A B A) 1 B) 2 C) 0 A) 24 B) 28 C) 30 3 D) 32 E) 36 D) 12 E) 2 13. calcular: “tg . E = csc B + tg C. En la figura. calcular “tg + ctg” A) 1/7 B) 2/7 C) 3/7 D) 4/7 E) 1/4 11. Del gráfico. calcular “Ctg” 5mn n  m A) 3 B) 4 C) 5 37º  D) 6 E) 5/2 123 123 123 A) B) C) 06. De la figura.6 E) m  10. En el gráfico: DC=2AD 08. Del gráfico.  C B C A M 37° A) 2 B) 1/2 C) 4 D) 1/4 E) 1/6 45°  A D 05..3 M B) 0. Ctg(7x+80°) = 1 129 129 D) E) 65 47 A) 12° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30° 12. tg” B A) 0. Calcular: “x” en: 64 56 49 tg(9x+30°). calcular “tg ”. sen89 M= cos1  cos2  cos3  ..
calcule el valor  60° de Tg  A) 3 2 B) 3 3 C) 3 4  D) 3 5 E) 3 6 A) ÁNGULOS VERTICALES 37° Son aquellos ángulos que se miden en un plano vertical. Calcular B) CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Tg VERTICALES A   Angulo de Elevación.Es aquel ángulo vertical formado por a horizontal y la visual que pasa por encima de esta. En estos casos el objeto siempre se O 37° B encontrará en un nivel superior al observador. Calcule Tg Angulo de elevación Horizontal  Angulo de Depresión. A) 3/4 B) 3/8 C) 1/2 29 . Si se cumple: 37° Tg(3x  20º )Sen62º O B =1 2 Cos28º. A D) 3/2 E) 3/5 19.Es una línea imaginaria que une A) 1/2 B) 1/3 C) 1 el ojo del observador con el objeto D) 1/5 E) 1/6 observado 17. Calcular Tg A) 1 B) 2 C) 2 60° 2n D) 0 E) 2 2 n 16.Cos45º. A) 1 B) 1/2 C) 1/3 D) 2/3 E) 3/4 Visual 18.. Calcular Tg 7 A 82º P  B C 7 A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 15.Es aquel ángulo vertical formado por la 37°  horizontal y la visual que pasa por debajo de esta. 3n n Visual.Ctg(5x  30º ) A) 1 B) 2 C) 3 Calcular: D) 1/2 E) 1/3 E = Sen4x – Cos5x 20.. Del gráfico mostrado. De la figura AOB : cuadrante..
30° está en la horizontal. 3 Racionalizando: 30 3 30 3 h . que distancia caminó el niño? 01. en ángulo de depresión este caso: RECUERDA tu triángulo rectángulo Línea de mira es de 30° y 60°. luego de avanzar cierta distancia acercándose a la nube. En estos casos el objeto siempre se h 30 encuentra en un nivel inferior al del 3 observador. la función trigonométrica que relacione el ángulo Horizontal y los dos catetos es la tangente. el ángulo de elevación con el cual ve a la nube es de 53°. si el cateto que se opone a 53° vale h 1 h tg30     CD  30 3 30 120 = 4(30) el que se opone a 37   Despejando h: valdrá: 3(30) = 90 Luego en el triángulo rectángulo ABC. Observando el gráfico. ¿Cuál es la altura de la torre? A) 30 m B) 10 2 m C) 30 2 m Resolución D) 30 3 m E) 10 3 m B Resolución 37° Ayudándonos con un gráfico: 120 m 37° 53° h A D C x 90 m 30° A 30m B En el triángulo rectángulo notable DBC.A. Un observador situado a 30m de una torre de alta tensión. observa la parte A) 60 m B) 70 m C) 40 m superior de esta con un ángulo de D) 50 m E) N. elevación de 30°. Es importante recalcar que: 60° * Cuando en los ejercicios o problemas a 2 1 resolver no se indique la altura del observador. Si la nube EJERCICIOS EXPLICATIVOS se mantiene estática a una altura de 120 m. 30 . Un niño observa una nube con un ángulo de elevación de 37°.  3 3 3  h = 10 3 Luego la altura de la torre es 10 3m CLAVE “E” 02. se debe considerar que este.
Resolución Graficando: Entonces: x + 90 = 160  x = 70 53° 3000 m Finalmente el niño caminó 70 m 53° A x C CLAVE “B” Por ángulos alternos internos el ángulo 03. Si el lado BC que se opone al ángulo de A) 3570 m B) 3560 m C) 3760 m 37° mide 120 = 3(40) entonces el lado D) 3750 m E) N.5 = 39 avión y el barco? CLAVE “D” 31 .5 El barco se encuentra a 48 3 m del bote.5m D E 50 m  x = 48 3 Incógnita: x + 1. Desde el puesto de vigía de un barco C=53° que tiene 48m de altura. Calcular la distancia a la que 1 750 4 3000  está el barco. Si  x  37. se observa En el triángulo rectángulo BAC: 3000 que el ángulo de depresión de un bote sen 53  x es de 30°. ¿Cuál es la distancia entre el Se pide. si el observador. Desde un avión se observa un barco 3 x 75 con un ángulo de depresión de 53°. x + 1. que se opone al ángulo B = 53° debe ser: 4(40) = 160.50m d 48 altura. (en metros) 5 x  x = 3 750m A) 34 3 B) 68 3 C) 12 3 D) 24 3 E) 48 3 La distancia entre el avión y el barco es: 3750m Resolución: CLAVE “D” Ubicando los datos en un gráfico: B 05. A x C A) 37 m B) 41 m C) 38 m D) 39 m E) 40 m Por ángulos alternos internos el ángulo C = 30° Resolución Graficando: Luego en el triángulo rectángulo ABC B 48 50° tg30  x x 1 48  A 37° C 3 x 1.5m 1. Calcular la altura de un edificio 60° 30° observado con un teodolito de 1.5 4 50 2 en ese instante el avión vuela a 3 000m 2 25 de altura. esta ubicado a 50m del edificio y el ángulo de 30° elevación es de 37°.5 + 1.A. Si : DE  50  AC  50 Luego en el triángulo rectángulo CLAVE “E” x ABC: tg37º = 50 04.5 = 37.
30° 15° B 50m A x C Determinar la distancia entre dichos En el triángulo rectángulo DBA: puntos. Desde un punto A situado a 50m de un Nos piden “H” árbol. Una persona de 1. Si la persona se aleja x metros del H ABD: H = 50 Tan y  Tan y = árbol y vuelve a observar su parte 50 superior se da cuenta que el ángulo de Dato: elevación mide 15°.75 m de altura D) 20 m E) 20 3 m observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación de 37º. x Sec 30   x  50 sec 30 A) 14 m B) 18 m c) 32 m 50 2 100 D) 6 m E) 16 m x  50  3 3 Resolución: 100 3 100 3 x .  3 3 3 Graficamos el enunciado: Torre D 53º 100 3 37º  x 37º 3 H=24 CLAVE “E” 53º 37º A C B 18 m x 07.75 m 50 D) 16.06. Desde el extremo superior de una torre triángulo DAC: isósceles.   32 = 18 + x 18 x 4 sabiendo que se cumple:  x = 14 3 Tan x – Tan y = CLAVE “A” 10 A) 18 m B) 10 3 C) 10 m 09. ¿Cuál es el valor de 3 Tan x – Tan y = x? 10 Remplazamos: A) 10 3 /2 B) 10 3 /3 C) 100 3 /2 H H 3 3H 3 D) 100 3 E) 100 3 /3     20 50 10 100 10  H = 10 Resolución CLAVE “C” En el triángulo DAC. desde el extremo superior de la Cima torre. se observa la parte superior de H ABC: H = 20 Tan x  Tan x = esta con un ángulo de elevación de 20 30°. Desde lo alto de una cima se observan Nos piden “x”: los puntos “C” y “D” distantes a 20 m y 24 3 50 m del pie de la cima con ángulo de DCA: Tan 37º =  18  x 4 depresión “x” e “y” 8 1 Determinar la altura de la cima. se observa la parte superior de la y A x persona con un ángulo de depresión de 45º H Calcular la altura de la torre.75 m E) 15 3 m 32 . AC = AD = x de 24 m de altura se observan los D puntos “A” y “B” con ángulos de depresión de 37º y 53º h respectivamente si los puntos A y B se encuentran alineados con la torre. por ángulo exterior si m  C = 15°  m  D = 15° 08. Resolución: Después de avanzar 5 m en dirección a Graficamos el enunciado: la torre. x y B 20 C D A) 15 m B) 15 2 m C) 15.
acercándose 50m.8 36Tan 9. una persona de anterior para que el nuevo ángulo de 1.75 m =h h A) 50m B) 35m C) 25m 5m (H .6 tg 37° Tan  = y Tan  = 12 4  3 x = 1.60m Resolución: Graficamos: el enunciado: Resolución Torre De acuerdo al enunciado D 9.40m B) 9.  H  25 Hallar la distancia en la misma CLAVE “C” dirección que debe alejarse con respecto del punto de observación 12.75 50  H = 15 + 1. cuya tangente es 7/12. del poste con un ángulo de elevación de 37°.15m D) 9.75 50 C B CLAVE “D” 4 ABC: Sen30°= 10. A) 48 m B) 24 m C) 72 m D) 36 m E) 12 m A) 8. Una persona colocada a una distancia 50 de 36 m del pie de una torre observa su  1 H = 50 Sen30° = 50   parte más alta con un ángulo de  2 elevación.8 1.h) D) 20m E) 15m B C D Nos piden “H” Resolución: H h 3 AEF: Tan 37º =  De acuerdo al enunciado: H  h 5 4 A 4H – 4h = 3H – 3h + 15 H = 15 + h 15º H Pero: h = 1. el nuevo ángulo de elevación es el doble del H A 37º 45º E inicial.  84 = x + 36 12 4  x = 48 CLAVE “A” Resolución: Graficamos el enunciado: Torre 11.00m C) 9. El ángulo de elevación con el cual se F 45º observa la parte superior de un edificio 45º H-h es 15°.45m E) 9.75 15º 30º H = 16. 5 H-h 1. Hallar la altura del poste. A 9. Calcular la altura del edificio.8+9.8 + 9. Tan  CLAVE “B” Reemplazamos: 33 . 7 1 36 .6  4    Nos piden “x” en el ACD:  x 9m 36 Tan  = (x + 36) .6 1.6 Por dato: Del gráfico: 7 1 x = 1.6 Tg 37º x   37º A x B C 9.80m de estatura divisa lo más alto elevación tenga por tangencia 1/4. = (x + 36) .60m de un poste.
se dirige hacia el nx edificio. Una persona observa la parte más alta  90º - de un edificio con un ángulo de elevación de 53° y el techo del noveno H n piso con un ángulo de elevación de 37°. el nuevo ángulo de elevación es de 45°. (1) D) 5m E) 3m d = nx. Ctg53° ……….x = 8  4 3 5 1 5 1 5 4x    -x=8 A) B) C)  3 4 2 2 2  7 4 5 4x   x8 D) 5 E)  12 2 4x =8 3 Resolución  x6 90º -  CLAVE “C”  H 14.CTG53°) . Calcular “Tg” H(CTG37° . Ctg37° ………..1 = 0 5 1  TG  2 CLAVE “B” 34 . Ctg53° = 9  Ctg37° A  4 9  9Ctg37º  3 H n=  Ctg53º 3 37º 45º 53º 4 8 D x C HCTG53º B  n  16 CLAVE “C” HCTG37º 15.13. 9x ¿Cuántos metros más debe caminar 37º 53º para que el ángulo de elevación sea d 53°? * Del gráfico: A) 2m B) 4m C) 6m d = 9x . Desde la parte superior de un edificio ABD: H = x + HCTG53º se observa a una persona que se H(1 CTG53°) = x acerca hacia éste con un ángulo de  3 depresión “” y cuando la persona ha H  1 4  =x  recorrido una distancia igual al a altura x  4x del edificio es observado con un ángulo Del gráfico: de depresión que es el complemento de 8+x + HCTG53° = HCTG37° “”. H H * Tg  = A) 12 B) 14 C) 16 Hn D) 18 E) 20 HTG + Resolución n TG Sea “x” la altura de cada piso /   (HTG HTG / )TG  H / Tg 2 +Tg . (2) * (1) = (2) Resolución: n  . Hallar el número de pisos que tiene el n Del gráfico: * Tg =  n  HTG edificio. y cuando ha caminado 8m. Una persona observa la parte superior no Techo de 9 piso de un edificio con un ángulo de elevación de 37°.
16. Si la gaviota y el bote están en el mismo Plano vertical 35 . desde lo alto de la torre. Cos = 1 + 1 1 Cos = Csc. observa a “A” y “B” a la A) 6 + 8 3 B) 3 + 4 3 C) 10+ 3 vez con un ángulo de observación “”.csc. La altura del acantilado al sur de la Torre y “B” al este de la es 6m. tal que 3 estás están fijadas A h metros en A B 4 H 2 2 (CTG +CTG ) ambos lados de la base de la torre en el extremo superior” Aplicando Ley del coseno:   2 A) 2hcos B) 3h 2 cos C) 4h 2 Sen 2 2  H (Ctg   Ctg )  (HCS)2  (HCSC)2  2(HCSC) COS   D) 2h2Senx E) 3h 2 Sen H 2(CTG2  CTG2)  H 2CSC2  H 2CSC2  2H 2CscCsc. Sen h x h 4  3 hCos  CLAVE “B” O 4  M 3 hSen  3 4 h 4 3 h 3 hSen  17. “A” y “B” observan la parte más alta de además. Una torre vertical de h metros está en A C el lado de una colina que hace un ángulo “ con la horizontal.Cos=(csc 2 -Ctg 2 )+( csc2  -Ctg 2 ) A 2Csc . Desde un acantilado un niño observa 4 4 un bote con un ángulo de depresión 37° C 3 hCosB  4 y observa una gaviota con ángulo de elevación de 30°. Tg30° A  4   3  S X = 6 + 6    3   3  HCTG 8 3 O B x=6+ 3 2 2 CLAVE “A” HCTG H (CTG + CTG ) 18.Cos Resolución 2Csc. A se encuentra gaviota al bote. torre. Csc . 3 3 determine cos D) 3 +6 E) 3 +4 A) Sen 2  Sen 2  B) Sen Sen Resolución C) Cos Cos D) Sen Cos E) Cos Sen 6 CTG 37º: TG 30º 30º 6 CTG 37º Resolución 37º x C 6 6  HCSC  H N HCSC  HCTG  O  E O B HCTG   H 2 2 (CTG +CTG ) X = 6 + 6Ctg37° . La gaviota se encuentra sobre una torre con ángulos de elevación “” el bote. Encuentre  HCSC  HCSC  la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los alambres. Una tercera persona “C”.Csc y 3 hSen  Cos  Sen . determine la distancia de la y “” respectivamente.
1 cos d(1  cos2 ) 2x = 3d Cos -  x  5. ve la parte más alta de un x  dCos muro frente a él con un ángulo de dSen dSen elevación .3 Sen y x h+ 3 h+Sen 4 y “d”. A del observador hasta el camino es A “d”m. Se tiene un árbol de 15.sen=2x – 2dcos x 2 Cos  = 3dcos .7m ubicado al pie  x . en términos de “” A) 2Cos B) 3. Un observador se encuentra al frente 2x = 3dCos .3 d Sen x  1.Cos) 2 2 2 2  3   3  y2 =  h h sen   h cos  4   4  Resolución 2 2  3   3  B x2  y2   h  hSen   h  h sen    4   4  x dcos x-dcos A x2  y2  h2  3 2 h sn  9 2 2 h sen   h2  3h2 Sen  19 2 2 h sen   2 2 16 2 16  dsen 3 d  x2  y2  3h2Sen CLAVE “E” NOTA : 2Ctg(2)  Ctg  Tg 19.1 Cos Cos d 20. Si la distancia 36 . Hallar la distancia que separa al leñador del muro.Tg = x dSen dCtg .dsec inclinación con la horizontal es 3.dTg.1 15.2 Sen C) 4Tg D) 7Csc E) 5. Si la longitud de la visual Ctg2 = con que observa el leñador al muro es un tercio de la altura del árbol.Sec) B) (4 cos  Sec)  3     2 x2 =  h h Sen   h cos C) d(4cos + Sec)  4   4  d d D) (4cos-Sec) E) (2Sec .7 1. cuya 2x = 4dcos .1 Cos Resolución Visual 2Ctg 2 = 2x-2dCos 5.3m de altura un leñador de estatura 1.dcos 2 del árbol. +dcos cos de un camino inclinado.7 2x  2dCos Ctg . (El observador y el camino se 4 encuentran sobre un mismo plano O M vertical) C 3 h cosB 3 h cos 4 4 d 2 2 A) d(4cos . d quien ve dos puntos A y B sobre el  x (4Cos  sec) 2 camino con ángulos de elevaciones “” CLAVE “D” y “2” respectivamente. Sen . Expresar “AB” en términos de “” h .d Sen  = 2x 5.
Un alumno observa la parte superior de cerro. distancia que separa el pie de la montaña y el punto anterior. cuando los rayos solares poseen una depresión . Desde un avión que se encuentra a una A) 2 B) 2 2 C) 2 altura H se observa la parte más alta y D) 4 2 E) 5 2 la parte más baja de una torre de altura h con ángulos de depresión de 45º y 02. A) 5 m B) 6. elevación es 2 . el nuevo ángulo de estatua. Se observa la parte mas alta de una 60º respectivamente. cuando la distancia que separa la cima del cerro son 45º y 37º pared del alumno se ha reducido la respectivamente. A) l cot2   cot2  B) l (cot2  . Una estatua está colocada en la cima de un cerro. Un muro de 9m de altura se encuentra sobre una colina cuya inclinación sobre el plano horizontal es 30º. A) 18 cot ( 3 +cot )-1 B) 8 cot ( 3 +cot )-1 C) 18 tan ( 3 +cot )-1 D) 18 cot  (2 3 +cot ) E) 9 cot  ( 3 +cot )-1 PROBLEMAS 05. halle tan2.cot2 )  2 1 1 D) (cot2  . Halle la altura de la torre si la longitud del camino es 21. la elevación de la cima de la montaña es el complemento de . Halle cot (90º .cot2 )  2 E) l (tan2  - 2 1 tan2 )  2 04.5 m C) 6 m D) 7 m E) 9 m 3 2 06. calcule la mayor longitud que proyecta el muro sobre la colina en términos de .cot2 ) 1  2 1 C) l (cot2  . ) A) 1 B) 2 C) 2 3 2 D) E) 3 2 03. Desde cada extremo de un camino rectilíneo. A 24 m de la base del 01. Halle la altura de la cuarta parte. el ángulo de elevación para la parte superior de una torre es  y desde el punto medio del camino la elevación es . halle H/h montaña con un ángulo de elevación  y desde el punto de medio de la 37 . los ángulos de elevación de la una pared con un ángulo de elevación parte más alta de la estatua y de la .
Un observador de 1.75. 3 3 3 3 3 2 3 10. observa su parte superior con un (considerar 3 = 1. hay un foco de luz colocada a h m sobre el suelo. Calcule sen . la distancia que los separa se ha P = tan  + tan  .7 m acerca una distancia d y observa el D) 9. luego se A) 10.7 m E) 13. Desde 13. Una persona de 1. Dos edificios de alturas H y h están deparados una cierta distancia. el observa la parte superior de un árbol cual es avistado con un ángulo de con un ángulo de elevación . tan(  ) E) tan(  ) 09.6 m de la base del poste. el ángulo de elevación es el complemento del A) . subiendo Hh D) E) H h una altura h del edificio se observa Hh Hh ahora a el punto anterior con un ángulo 38 . si la altura del instrumento 12. Calcular la ángulo recto. más alta del edificio de altura H es . Halle la altura del árbol si la D) 2 E) 0 distancia que separa al observador del 11. D) 12 3 E) 14 3 Si tan  + tan  = 0. ángulo de elevación  en línea recta se aleja otros 20 m y ahora lo vuelve a A) 5 3 B) 9 3 C) 10 3 observar con un ángulo de elevación . h.7 B) 11. A 20 m de la base de una torre Michelly árbol originalmente es 27 m.2 anterior. halle la un ángulo  respecto al plano horizontal altura del nevado.2tan  tan  reducido a la tercera parte.73 m de estatura distancia que separa ambas cosas. Desde el pie de un edificio se ve que el Hh 1 1 Hh A) B)  C) ángulo de elevación para la parte Hh H h hH superior de una torre es . Desde la cima de una montaña se A) B) C) observa dos casas ubicadas en línea 2 2 2 3 2 3 3 recta con ángulos de depresión  y  ( D) E) > ).1 B) 1/2 C) . tan(  ) d E) tan  tan +h h h D) cos  cos . además la estatura de Michelly es 1. En la parte baja de una calle inclinada que utiliza el especialista es h. Un objeto se encuentra ubicado 2 2 exactamente en el punto medio de la 07. C) 9 m. un altura de la torre. Para calcular la altura de un nevado. hallar la 08. cuando depresión de 45º.7 m.8 m de estatura el punto más alto del edificio de altura observa con un ángulo recto el poste h se observa al otro edificio bajo un que se encuentra al frente. ¿A que distancia medida d a lo largo de la calle inclinada se A) cot  cot +h encontrará el punto en que los rayos de d luz procedentes del foco se encuentran B) cot  cot +h a la superficie formando un ángulo ? d C) tan  tan +h h h A) sen  cos B) sen  cos d D) cot  cot h C) sen  cos . tan  en términos de H y D) 11 m. E) 6 m. especialista observa la cima del nevado con un ángulo de elevación .7 m mismo punto con un ángulo de elevación .73). A) 7m B) 8 m. 14.7 m C) 12. Además desde este altura de dicho poste si la persona se mismo punto la elevación para la parte ubica a 3. Halle el valor.
4142 A) 10/3 m/s B) 3/10 m/s C) 20/3 m/s 02. ¿Cuál debe ser 16. Desde el puesto de vigía de un barco sabiendo que: tan = 2/11 y tan  = que tiene 48m de altura se observa que 4/21 el ángulo de depresión de un bote es de 39 . A) 7/29 B) 29/7 C) 4/19 D) 3/5 E) 4/3 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. D) 95 m/s E) 100 m/s h cot h cot htg 19. El barco observa al el valor de sec . Desde la parte más alta de un faro un obstáculo con un ángulo de ubicado a 1200 m sobre el nivel del depresión de 60°. Si en la misma dirección D) tg  tg E) tg  sec se acerca una distancia igual al doble 15. Hallar: del plano horizontal observa la torre tan . Calcular la longitud observación situado sobre la costa se le del poste si la distancia entre el poste y observa en un instante determinado la torre es de 120 m. Un barco y un avión viaja en la misma dirección y sentido. Hallar la altura de la torre A) 2 +1 B) 2 -1 C) 2 21 A) 56 m B) 36 m C) 46 m D) E) 2 -2 2 D) 30 m E) 28 m 20. Si dicho obstáculo mar se observa un barco con ángulo de depresión .Oeste. 03. el mismo 18. el nuevo ángulo de elevación con horizontal es de 28º. Un avión cae con una inclinación  en la dirección este . Desde un punto que observa la parte más alta de la de la colina a 16 m de altura respecto casa es el complemento de . en ese instante observa la boya A) B) 3 C) 2 2 2 con ángulo de depresión . luego de A) 30 m B) 45 m C) 60 m 5s es el nuevo ángulo de elevación es D) 90 m E) 40 m . Si el avión vuela a velocidad constante. Ronald de 2 m de estatura observa la A) cot  cot B) cot  cot C) tg  tg parte más alta de una casa con ángulo htg h csc de elevación . Si el al complemento de  avión recorrió 19/4 de lo que recorrió el barco. observa en la misma dirección al barco Calcular la altura de la cima. se observa 17. de elevación . Un avión vuela horizontalmente a una punto es observado desde la parte más altura de 2000 m con respecto al nivel alta del poste con un ángulo de del mar. bajo un ángulo de elevación . ahora con ángulo de depresión “”. bajo un ángulo de 73º. Calcular cot D) 4 E) 5 2 2 . Desde el pie de un poste se observa la D) 1/2 m/s E) 15 m/s parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 45°. Una torre la pie de una colina cuya de la altura de la casa disminuido en 4 inclinación con respecto al plano m. Hallar la altura de la A) 80 m/s B) 85 m/s C) 90 m/s torre. Calcular dicha velocidad. Si tan  D) 60 3 m E) 40m = 2. Desde un punto de elevación de 37°. Seis minutos más tarde dista 20 3 m del pie de la cima. Desde lo alto de una cima. para que un avión delante con 53º de elevación. observador vea el avión primero al NE y marcando la posición con una boya en luego hacia el Norte con ángulos de ese momento. A) 20m B) 20 3 m C) 60m Calcular la velocidad del barco.4142 y tan  = 0. Luego lo vuelve a ver elevación que son de medidas iguales ésta vez con elevación de 16º.
Desde un faro a 84m de altura sobre el sabiendo además que: nivel del mar. Calcular la altura de lados de una torre y alineados de tal la torre. siendo: Ctg=3 y Ctg=4 40 . Hallar la barco en km/h. ¿Cuál D) 80 3 m E) 100 3 m es la distancia que separa a ambas 06. forma que observan la parte más alta con ángulos de elevación de 45° y 37°. 04. A) 20 3 m B) 40 3 m C) 60 3 m Si la altura de la torre es de 24m.8 segundos 08.A. ¿Cuánto tiempo le falta para llegar a la torre? (en A) 14 m B) 18 m C) 32 m segundos) D) 6 m E) 16 m A) 2 B) 3 C) 4 05. 0. Dos mástiles de diferentes alturas. que ve superpuestas las puntas de los dos mástiles. si los 14m hacia la torre observa nuevamente puntos A y B se encuentran alineados la parte superior con un ángulo de con la torre. luego 2 D) E) 1 de 5 segundos el nuevo ángulo de 4 elevación es " " . Cierta persona observa la parte de 24m de altura se observan los superior de una torre con un ángulo de puntos A y B con ángulos de depresión elevación de 37°. Hallar la velocidad del ángulo de elevación de 30°. con un de depresión “”. Desde el extremo superior de una torre 09. Desde la parte más alta de un faro de A) 100m B) 120m C) 145m 24m. de altura sobre el nivel del mar se D) 160m E) 175m observa a un Barco que se aleja con un ángulo de depresión “”.73 E) N. 11. mástiles. Si el avión vuela con velocidad cte. 07. Si la persona camina entre dichos puntos. Calcular dicha velocidad. 30°. se observa un barco con 4 2 un ángulo de depresión de 37° y en la tg  y tg  21 11 dirección opuesta se observa a otro barco con un ángulo de depresión de A) 100 m/s B) 200 m/s C) 300 m/s 53°. Calcular la distancia a la que esta diferencia de las longitudes de los el barco. Desde un punto en el suelo se observa personas? la parte más alta de una torre con un A) 56m B) 63m C) 70m ángulo de elevación " " . más tarde se observa en la misma están separadas 3m un observador se dirección al barco ahora con un ángulo coloca en tal sitio. Desde un punto de 2 observación. Desde un punto A situado a 300m de la D) 8 E) 6 base de una torre se observa la parte más alta de esta con un ángulo de 10. Calcular la distancia que separa a D) 400 m/s E) 500 m/s dichas embarcaciones. Dos personas están colocadas a ambos elevación de 30°. 12. desde la mitad D) 77m E) 84m de la distancia que separa al punto de la torre se observa nuevamente la parte más alta de la torre con un ángulo de elevación que es el complemento del anterior.2 B) 3. situado sobre la costa se A) 2 B) 2 2 C) el observa en un instante determinado 2 bajo un ángulo de elevación " " .86 D) 24 m E) 24 3 D) 1. a 3 mt por segundo. en metros. Un avión vuela horizontalmente a una Hallar: tg  altura de 2000m con respecto al nivel del mar. Determinar la distancia elevación de 53°.4 C) 0. A) 48 m B) 48 3 C) 12 m A) 5. Luego de caminar de 37° y 53° respectivamente.
se ve lo alto de otro con un ángulo de A) 8 2 m B) 9 3 m C) 4.5 2 depresión de 37° y su parte más baja m con un ángulo de depresión de 45°. Si desde la mitad de la D) 1 E) 5/3 distancia que los separa el ángulo de elevación es el complemento del anterior. De altura. D) 6 m E) 8 m ¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio? (La altura de los pisos de 20. ambos se dirigen Hallar la altura de la torre si la distancia hacia la base del árbol y cuando la ente los puntos de observación es de mona ha avanzado la mitad de la 24m. el nuevo ángulo de D) 9 E) 10 elevación es “”. Desde un avión que vuela horizontalmente se observa que antes ÁNGULOS DE CUALQUIER de pasar sobre dos puntos en tierra A y MAGNITUD I B. sus ángulos de depresión son 45º y 37º respectivamente. distancia que la separa del árbol. Desde un punto de un terreno se observa una torre con un ángulo de A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 elevación . Calcular la distancia que los separa en ese instante 15. Desde un punto situado al sur de una torre se observa la parte más alta de 19. ángulo de elevación . cuando está ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL sobre “B” es visto desde “A” con un 41 . mira A) 16m B) 15m C) 14m al mono con un ángulo de elevación de D) 12m E) 10m 45º. Una persona observa la parte superior ambos edificios son iguales) de un edificio con un ángulo de elevación “x” después de caminar 10 m A) 6 B) 7 C) 8 hacia el edificio. Desde lo alto de un edificio de 36 pisos. Un mono se encuentra a 12 metros de está con un ángulo de elevación de 30° altura en un árbol y ve una mona que y desde otro punto situado al este de la está en el suelo con un ángulo de torre el ángulo de elevación es de 45°. ¿Cuánto vale A) 108 B) 120 C) 132 Tg? D) 144 E) 156 13. Si la altura del edificio es de 30 m. se observa un árbol con un ángulo 45°. entonces el valor de la expresión: W=Tgx(Ctg+1/3) 16. Calcular la altura del árbol A) 50m B) 49m C) 48m D) 46m E) 45m A) 4 m B) 6 m C) 8 m D) 10 m E) 12 m 14. se observa la parte D) 4 E) 5 superior de otro edifico con un ángulo de elevación es de 37° y la parte 18. Desde la parte superior de un edificio A) 1 B) 2 C) 3 de 28m. Desde la parte superior de un muro de inferior con un ángulo de depresión de 2 m. calcular: Ctg A) 2 B) 2 C) 3 D) 3 E) RAZONES 5 TRIGONOMÉTRICAS DE 17. de depresión de 30º su base y con un Hallar la altura de dicho edificio ángulo de elevación de 60º su parte superior. depresión de 53º.
Cateto opuesto = y = ordenada y Cateto adyacente = x =abscisa Hipotenusa = 4 = radio vector “” y “” son x negativos y están en  posición normal: IVC y  P(x. Para mayor comprensión de la normal: IC y IIC. su lado inicial coincide con la parte positiva del eje “x”. y) es un punto cualquiera que Si el lado final coincide con un semieje pertenece a su lado final. III IV definición hacemos el siguiente cambio. y r  x x y 90º 90º está en posición x normal pero no ordenada y abscisa x pertenece a ningún Sen= radiovector r cot= ordenada y cuadrante. y x su lado final puede estar en cualquier parte del plano cartesiano. Si el lado final está en el segundo cuadrante entonces el ángulo está en el segundo Razones trigonometrías de ángulos en cuadrante y análogamente para los otros posición normal cuadrantes. abscisa x radiovector r cos= radiovector r sec=  abscisa x y radiovector r ordenada y tan=  csc=  abscisa x ordenada y “” y “” no están en   x posición normal. rectángulo formado al trazar desde “P” segmentos dirigidos a los ejes coordenados y por tanto el valor de los catetos serán las II I distancias dirigidas “x” e “y” y el valor de la  “” y “” son positivos hipotenusa será siempre un número  y están en posición x positivo “r”. y) P(x.Es un ángulo trigonométrico cuyo vértice es y el origen de coordenadas. Si “” es un ángulo cualquiera en posición normal y P(x. El triángulo rectángulo formado por los segmentos dirigidos trazados desde “P” siempre se dibujará en el eje “x” y y P(x. sus razones entonces el ángulo no pertenece a ningún trigonométricas se calculan del triángulo cuadrante. y) y IIIC. Observaciones I. y) r y r I y  III x x x x Ejemplo 1 Ubicar los siguientes ángulos en posición normal: 310º y –230º 42 .
3) 4 Cos =  3 x Tan =  0 4 cot =  2 M(2. Calcular todas II. y distancia dirigida y P(-4. -4) Ejemplo 1 sec =  El lado final de un ángulo en posición normal “” pasa por el punto P(–3. calcular todas las 13 cartesiano. y y r 5 5 sec=   x 3 3  r 5 5 III x x csc= y   4 4 x x y  y r IV r Ejemplo para el alumno P(x. y) P(x. vamos a dibujar sobre el segmento una     llave ( ) lo cual nos indica que el Resolución: número escrito sobre ella es la longitud. –3). Cuando queramos calcular longitudes. se calcula así: R= (3)2  (4)2  9  16  25  5 Resolución: 5 x Cos=– = x=–5 y r=13 13 r y Ubicamos el ángulo  en el IIIC y dibujamos P(-3.4) r=5 y=4  el triángulo rectángulo. csc =  Calcular todas sus razones trigonométricas. el radio vector “r” del punto “P” razones trigonométricas de “”.3) -4 x 3 0 x -4 2 M(2. 4). Ejemplo 2 Resolución: 5 Ubicamos el punto P(–3. y) El lado de un ángulo en posición normal “” pasa por el punto P(2. 4) en el plano Si: cos = – y   IIIC. -4) Sen  =  Longitud y P(-4. sus razones trigonométricas. y x=-3 x  x = -5 x y=-12 y 4 4 sen =   r=13 x 5 5 x 3 3 cos=   y 12 12 r 5 5 sen=   r 13 13 y 4 4 tan=   x 5 5 x 3 3 cos=   r 13 13 x 3 3 cot= y   y 12 12 4 4 tan=   x 5 5 43 .
cos =  r  .5) r=13 y=5  x x=-12 r y E= sec + tan =  x x 44 .Cos y x ( 3. r       2   3    sec = E=  . 01.  5   5  csc =  6 E= 5 02. 2 ) Cos =   y= 2 0 x x= 3 Tan =   y  x cot =  E = sen . x 5 5 cot= y   12  12 r 13 13 sec=   x 5 5 r 13 13 csc= y   12  12 Ejemplo para el alumno Si: tan=– 7 y   IVC. calcular todas las PROBLEMAS RESUELTOS  24 razones trigonométricas de “”.5)  0 x Resolución: y (-12. calcular: E=sec+tan y (-12. Del gráfico mostrado. Calcular: y E=Sen. 2 )  0 x Resolución: Sen  =  y r= 5 ( 3. Del gráfico mostrado.
-40) 45 .-8) “”. calcular el valor de: E=41sen + 9tan Resolución: y Resolución: y  x=15 x  x=-9 r=17 y=-8 0 x y=-40 (15. calcular: E= un ángulo en posición normal “”. Del gráfico.-8) r=21 B(-9. 4) es un punto de lado final de 03. Si A(–3. sec y calcular el valor de: sen E=  1  cos 0 x Resolución: y A(-3.-24) r=5 y=4  x Resolución: x=-3 y  x=-7 y 0 x sen y=-24  r E= x r=25 1  cos 1 r r 4 csc y x 7 5 E=   E E= sec r y  24 3 1 x 5 7 4 E= 24 5  4 E= 8 8 5 04. Del gráfico mostrado. 13 5 x r E=  E = cot – csc =   12  12 y y 18 15 17 E= E=   12 8 8 3 2  E=– E= 2 8 1 E= 4 csc 05. calcular: E=cot – csc 1 y E= 2  06.4) (-7. Si el punto B(–9. –40) pertenece al lado x final de un ángulo en posición normal (15.
calcular el valor 2 y tan =  de: 5 x E=a – 8tan 46 . Si: tan = – y   IVC. Si: sen=– y   IIIC.8 B C 0 x 37º y=-1 r=3 A D x  E= 2 (sec – tan) Resolución:  r y E= 2  x  x  4a y   B C 37º  3  1  E= 2  4a   8  8 4a    4  A D 0 x E= 2 4a 3a  2 2   E=–2  y  x E = 65 sen–4ctg= 65   4   r  y 2  4a    7a  08. calcular el y valor de: E= 65 sen – 4cot  y x=. Del gráfico mostrado. calcular el valor  29  3  de:  E=3 E= 2(sec  tan) Resolución: 1 y Sen = –  3 r 09. y E = 41sen – 9tan  y  y x=5 E = 41    9  x  r  x  y=-2  40  40 r= 29 E = 41    9   41   9  E= –40 + 40 E=0 E= 29 (sen + cos)  y x E= 29    r r  2 5  E= 29   29 29    3  1 E= 29 07. Si ABCD es un cuadrado. calcular el valor E= 65  4  5  65a    4a   de: E=4+7=11 E= 29 (sen + cos) Resolución: 10.
-2) Resolución: y A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 y=1-a x 03. y y (-8. calcular el valor de: E=5cos + 6tan A) –3 B) –4 C) –5 D) –10 E) –11 PROBLEMAS 05. 47 . Del gráfico mostrado. 4a-1) 7 3 A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5 07. E = 35 cot + cos csc y 5 5 ( 6. –8) pertenece al lado final del ángulo “” en posición normal. calcular: E=sec. Si: tan=3. 3)  x  0 x (. 21)  x  1 a  E=a–8   A) 32 B) 26 C) –26  8  D) –32 E) 23 E=a+1–a  E=1 04. calcular: csc cot E=  (a-1. reemplazamos en: E=a – 8tan   x  y E=a–8   (20. Del gráfico mostrado. calcular “a”. 1-a) (1+a. Del gráfico mostrado. si el punto (6. Del gráfico mostrado. calcular: x=-8  E=5cos – 21csc y Nos conviene utilizar el triángulo (3.3. 7 ) A) –7 B) – C) 6 6  7 7 0 x D) E)  6 6 13 13 A) 1 B)  C) 06. Si: sec=–6 y   IIC. 4) rectángulo grande. calcular el valor de: 01. calcular “a” 42 42 y 42 D) –1 E) – 13 x  02.
Del gráfico mostrado. 5)  A) –2 B) –1 C) 0 x 0  D) 1 E) 2 (.6 y   IIIC. calcular: E=sec + tan A) 1 B) 2 C) 3 y (. calcular: A) – B) – C) – 10 10 10 4 D)  E) 10 E = 10sen Cos 10 A) 1 B) 2 C) 3 3 D) 4 E) 5 15. a+1) D) E) 1 5 (1-a.5 . cot D)  E) – 9 7 1 2 3 10. -4) 09. calcular “m” 0 x 5 A) – 5 B) 5 C) – 5 48 . calcular: E=8(sec–tan) y A) –3 B) –1 C) 1 D) 3 E) 0 x  08. calcular el valor de: 7 7 E=sen . Del gráfico mostrado. calcular: E=cos– (8. Del gráfico mostrado. Si cos = –0. 2) D) 4 E) 5  16. calcular: A) 1 B) 2 C) 3 tan  sen D) 4 E) 5 E= sec 14. Si: 2tan = 8 y   IIIC. -15) cos A) –2 B) 2 C) 32 y D) –32 E) 0 (-6. Si el punto (–1. y 5 (-4.3. Si: cot = –2. Del gráfico mostrado. 2)  0 x 12. 5)   13. Si: tan: – y  IIC. 3) pertenece al lado A) 5 B) 7 C)  5 final de un ángulo en posición normal 9 9 9 “”. calcular el valor 2 de: E= 3+ 13 (sen +cos) 11. calcular: x E=csc+cos y (-12.
-6) D) 11 E) 113 3 3 5 A) B) – C) 5 5 3 20. Si: 8tan=[sec45º]2tan–3 y   IVC. 4) y 18.6 y IIIC. y (m-5. calcular “tan” (-2. -2) (k+1. calcular:  -8 x E=3tan + 11sen A) 0 B) 3 C) 8 (-2. -3) 1 1 A) B) C) 2 3 2 D) 3 E) 4 A) –5 B) –7 C) –9 D) – 4 E) –6 03. Si: sec=3. Del gráfico mostrado. Si: 4tan =   y   IIIC  32 A) –5 B) –4 C) –3 Calcular: E=13sen + 5cot D) –2 E) –1 A) 3 B) 5 C) 7 17. si: CO=12 5 D) E) 2 5 B y 2  x A C 0 49 . m-2) PROBLEMAS PROPUESTOS  x 2 tan 1  1 01. 3) 1 A) –2 B) – C) 2  2 x 1  D) E) –3 2 A) 0 B) 1 C) 2 04. calcular:  x E = sec – tan (k+3. calcular “K” D) 9 E) 11 y 02. En el gráfico mostrado ABC es un 5 A) – 5 B) – C) 5 triángulo equilátero de lado 6. Si: 3tan+1=27 y   IIIC. Del gráfico mostrado. Calcular 2 “tan”. calcular: 5 2 D) – E) E=csc–sec 3 3 05. calcular “cot” D) 3 E) –1 y 09. calcular: E=sen– sen  x -6 y (-2. Del gráfico mostrado. Del gráfico mostrado.
  IIIC. Calcular “tan”. Si el lado final del ángulo “” en  posición estándar pasa por el punto 0 x medio del segmento AB donde A(-1. 1) A 0 x  x x' x 3 4 4 A) – B) – C) 4 3 5 y' 5 4 D) – E) – A) 3 B) 4 C) 5 4 5 D) 6 E) 7 09. En el gráfico mostrado ABCO es un D)  E) – 6 17 cuadrado. Del gráfico mostrado. Si ABCO es un cuadrado. En el gráfico mostrado ABC es un A 0 x  triángulo equilátero de lado 2. 3 3 3 A) B) – C) – B M C y 5 5 10 3 3 D) E) – 8º 10 2 06. si: MN=NC 13. 0  C y B 37º 3 3 3 A) B) – C) 3 2 4 x  D) 3 E) – 3  4 3 7 7 17 A) B) – C) 6 6 6 17 6 07. calcular: D) E) – 9 M = Sec + Tg 4 4 A) – 1/4 B) 1/4 C) – 4 08. Calcular: A = 5 Cscx – Ctgx B C y y N 53º M (-2. Si ABCO es un cuadrado. calcular : Tg N 53º A B A) 1 B) 2 C) 3 3 4 4 D) 4 E) – 4 A) – B) C)  4 9 9 9 12. si MN=2AN y 11. calcular “tan”. 7). calcular D) 4 E) 2 “tan”. De la figura hallar: 5Sen + 13Cos “tan” 50 . 1) C M y B(5. calcular “tan”. si: OA=3. Si: Sen = -15/17. 1 1 y A) – B) C) –4 4 4 D) 4 E) –1 A x 10. calcular 14.
calcular: Sec + Csc y A) 2/13 B) 3/13 C) 6/13 D) – 6/13 E) – 3/13 16. Las demás razones trigonométricas son negativas. C) -. MAGNITUD II ( ) Si Cos = 3 . Del gráfico.1    IC V   IVC ( ) Si  es negativo  Sen es SIGNOS DE LAS R. calcular : SenCos 20. -3) de:   2 M  Sen Sen  y Q(-5. Si 8Tg = 4 además :   IIIC. -5) ° x' x y' A) 1 B) – 1 C) 7 D) – 7 E) 8 A) -2 B) -1 C) 3 D) 2 E) 1 15. EN CADA negativo CUADRANTE A) VVV B) FVF C) VFV y D) VVF E) FFV -x x r r y y 18.  TRIGONOMÉTRICAS DE 17. 6) M B x   (4.Ctg cosecante son positivas porque la ordenada (y) y el radio vector (r) son positivos. ÁNGULOS DE CUALQUIER ( ) Todo ángulo del IC es positivo. + B) +. Si  es un ángulo positivo y menor que  x una vuelta del IIC. y y A (-10. determinar el signo P(a + 1. 2) (-3. 51 . a-1) 2  3 A) 2 B) 2 2 C)  2 3 D) – 2 2 E) 1 N  Sen2Cos 2 A) +. -4) (12. Según el gráfico. De la figura: x y -y r r -y -x x  x Primer Cuadrante  En el primer cuadrante todas las razones trigonométricas son positivas porque la abscisa (x) y la ordenada (y) y el radio Sen Cos calcular :  vector (r) son positivos. Sen Cos A) 1 B) -1 C) 0 Segundo cuadrante D) 2 E) -2 En el segundo cuadrante el seno y la 19. + E) -.T. calcular: A = Csc . . . RAZONES D) -. Determinar el valor de verdad.
< . trigonométricas son negativas. 180º < . entonces se cumple que: Si:   IC  0º <  < 90º Si:   IIC  90º <  <180º Ejemplo Si:   IIIC  180º <  < 270º ¿Qué signo tiene la expresión? sen100º. Ángulo cuadrantal Un ángulo en posición normal se llamará Cuarto cuadrante cuadrantal cuando su lado final coincide En el cuadrante el coseno y la secante son con un semieje.() ()  2  E= E= entonces:    IIC () ()  3 E=+ Ejemplo para el alumno Ejemplo para el alumno    Si:   IIC. 90º Regla práctica Una forma rápida de recordad los signos de II C IC las razones trigonométricas en cada 0º 180º IV C 360º III C cuadrante es memorizar el siguiente gráfico. Las Rpta. ¿En qué cuadrante está   ? y y y  3 IIC 100º 200º x x 300º x Resolución: IIIC IVC Si:   IIIC  180º <  270º 2 2 2 Aplicamos la regla práctica: . 180º. 90º. En consecuencia no positivas porque la abscisa (x) y el radio pertenece a ningún cuadrante.: demás razones trigonométricas son negativas.Tercer cuadrante sen100º cos200º E= En el tercer cuadrante la tangente y la tan300º cotangente son positivas porque la abscisa (x) y la ordenada (y) son negativos. Los vector (r) son positivos.cos200º Si:   IVC  270º <  < 360º E= tan300º Ejemplo: Resolución  2  Si:   IIIC. y 270º + + + sen csc todas Propiedad x Si “” es un ángulo en posición normal + + + + tan cot cos  sec positivo y menor que una vuelta. ¿En qué cuadrante está  2  70º  ?   ¿Qué signo tiene la expresión? 52 . 270º y 360º. 270º 3 3 3 100º  IIC  sen100º es (+) 2 120º < < 180º 200º  IIIC  cos200º es (–) 3 300º  IVC  tan300º es (–)  2  Como   está entre 120º y 180º  3 Reemplazamos en “E” (). las demás razones principales ángulos cuadrantales son: 0º.
600º  IIIC III.    2(1)  (1) Rpta:   70º  IIC E= (0)  (1)  2  2 1 E= 1 Razones Trigonométricas de ángulos E=3 cuadrantales Como ejemplo ilustrativo vamos a calcular Ejemplo para el alumno: las razones trigonométricas de 90º. 200º  IIC II. 200º  IIC … (F) 53 . r) r 90º x Rpta: 1 y r Sen90º =  1 r r x 0 Cos90º=  0 r r y r Tan90º=   no definido ND x 0 x 0 Cot90º=  0 y r r r Sec90º=   no definido = ND x 0 r r Csc90º=  1 y r Análogamente: 0º 90º 180º 270º 360º sen 0 1 0 1 0 PROBLEMAS RESUELTOS cos 1 0 1 0 1 tan 0 ND 0 ND 0 cot ND 0 ND 0 ND 01. Indicar el valor de verdad de cada sec 1 ND 1 ND 1 afirmación: csc ND 1 ND 1 ND I. –100  IIC Ejemplo: Resolución: Calcular el valor de la expresión: E= y y y 2sen90º cos180º 200º 600º cot270º sec360º x x x -100º 200º IIIC 600º IIIC -100º IIIC Resolución: I. Calcular el valor de la expresión:  3 sen  cos y E= 2 2 tan  cos2 (0.
¿En qué cuadrante (a  b) está “”? 08.  2  está   ? sen2x  cos6x  3 E= tan4x  cos8x Resolución: Resolución: Reemplazamos x=45º. Calcular el valor de “E” para: x=45º.(1) Resolución: E= a. cos < 0. Si: sen>0 y sec<0. II. Si: sen . a b (a  b)2  E=  a b 04. ¿En qué cuadrante 06. 600º  IIIC …(V) ()() E () E= () () III. –100  IIC … (F) E=+ 02. en la expresión: 300º <  < 330º sen90º cos270º  E= tan180º cos360º 100º < < 110º 3 1 0 1 2 E= E= 01 1 200º < <220º 3  E=1  2    3   IIIC   07. ¿Qué signo tiene tan310º “sen”? Resolución: Resolución: 100º  IIC  sen100º es (+) 100º < <180º    IIC sen es (+) 110º  IIC  cos110º es (–)  =180º sen =0 sen no tiene 310º  IVC  tan310º es (–) signo 180º<<200º IIIC sen es (–) Reemplazando los signos: 54 .(1) Sen>0. significa sen es positivo  I 2 y II E= (a  b)  4ab a b Sec<0. cos < 0  + – Resolución: – + (cos90º ) (sen180  º ) E=tan[sen     – cos[tan   ]] 0 0 (sen >0 y cos < 0)  (sen<0 y cos>0) E=tan[ sen   0º ] – cos[ tan 0   0º ] 0 II  IVC E= tan0º – cos0º   IIC ó IVC E= 0 – 1 05. significa sec es negativo 2  2ab b2  4ab E= a II y III a b 2  2ab b2 E= a Luego el cuadrante común es IIC.(1)  b. Calcular el valor de: Resolución: E=tan[sen(cos90º)–cos[tan(sen180º)] Sen . Simplificar la expresión: 2 03. Si: 100º < < 200º. cos110º 09.(1)  4ab. Qué signo tiene la expresión:  E = –1 E= sen100º . Si: 300º<<330º. ¿En qué E= (a  b) sen90º4abcos180º asen90º bcos180º cuadrante está “”? Resolución: (a  b)2.
Si: cos .  sen tan   >0  tan  0  sen 0      (  I  III)  (III IV)  A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) IC o IIC Finalmente el cuadrante común es: IIIC 03. ¿En qué cuadrante D) VFF E) FFV está “”? 02. sen3 210º E= csc3 215º . 1000º  IIIC tiene signo A) VVF B) VVV C) FFF 10. Finalmente “sen” es: “+” ó “–” ó no III. ¿En qué cuadrante(s) está “”? A) IC B) IIC C) IIIC y IVC D) IIIC y IVC E) IC y IVC 06. ¿En qué Resolución:   cuadrante está  2  ?     . cot338º PROBLEMAS A) + B) – C) + – 01. Si: Cot<0  csc <0. ¿a qué cuadrante pertenece “”? A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) IIC o IIIC 05. Indicar el valor de verdad de cada D) No tiene signo E) +– afirmación: I. cot <0. tan2138º . 600º  IIC 2sen180º cosº tan360º E= csc270º sec180º 55 . Sabiendo que: 210º<<300º. 400º  IC 08. Si: tan.  sen >0. Qué signo tiene la expresión: cos110º . Calcular el valor de: II. cot200º E= sec190º A) + B) – C) +– D) No tiene signo E) +– 07. ¿en qué cuadrante esta “”? A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) IC o IIIC 04. Si: sen>0 cos<0. Qué signo tiene la expresión: sec285º .
¿En qué cuadrante A) 1 B) 0 C) 3   D) –3 E) –1 está   ?  3 19. Qué signo tiene la expresión: A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 sen3260º . ¿En qué 20. A) 0 B) 1 C) 1 15.cot115º. Si: cos >0  tan>0. tan120º D) 1 E) 2 A) + B) – C) + – 10.cos3 116º E= csc195º . –200º  IIIC D) No tiene signo E) + – III. Calcular el valor de: IVC 3  4sen sen  csc 2 2 E=  3 tan2  cot  csc 16. –300º  IVC 18. Si: sen . Calcular el valor de: cuadrante está “”? E=sen[tan(sen2)]+cos[sen(tan)] A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) IIC y A) 0 B) 1 C) 2 IIIC D) –1 E) –2 56 . Calcular el valor de: A) FFF B) FVV C) VFF 3cos180ºsen0º cot90º D) VVV E) FFV E= sen270º tan180º 12. tan >0. Si: 300º <  < 450º. ¿En qué cuadrante(s) 2 está “”? 1 D) – E) –1 2 A) IC B) IVC C) IIIC D) IC Y IVC E) IIC y 09. Calcular el valor de: D) No tiene signo E) + – E=sen[tan(sen360º)]–sec[sen(tan180º)] 17. Indicar el valor de verdad de cada afirmación: I. –100º  IIC A) + B) – C) + – II. Qué signo tiene la expresión: 2 2 csc210º A) –3 B) –2 C) –1 E= sen195º . ¿En qué cuadrante está “”? 3 1 A) –3 B) – C) – 2 2 A) IC B) IIC C) IIIC 1 3 D) E) D) IVC E) 2 2 14. tan336º 11. Calcular el valor de: A) IC B) IIC C) IIIC D) IVC E) IIC y 3 2cos2  csc  tan IIIC 2  3 cot  sec  3sen 2 2 13. Si: tan<0 sec>0.
D) No tiene signo E) +  – Calcular: cuando “” es un ángulo 04. sec4 D) 2 E) –2 360º 09. qué signo tienen la Es real.57 tan  3 cot A) + B) – C) +  – D) No tiene signo E) +  – 06. La expresión: D) No tiene signo E) +  – E=   1  2   05. Si: – 160º <  < –100º. si es un ángulo expresión: cuadrantal. Calcular el valor de: A) IC B) IIC C) IIIC tan360º D) IVC E) IIC y E=(cos270º)sen90º – +(sec180º)cot270º cos0º IIIC A) 0 B) 1 C) –1 02. La expresión: A) + B) – C) +  – E=   2  4   . Qué signo tiene la expresión: A) 0 B) –1 C) 1 E=cot432º . A) 1 B) –1 C) –2 sen180º D) 2 E) 3 A) + B) – C) +  – 10. csc3 214º . Qué signo tiene la expresión: cuadrantal. sen3 310º . ¿En que cuadrante D) 2 E) –3 está “”? 08. Si: –250 < <-200.  cos <0. A) + B) – C) +  – D) No tiene signo E) +  – PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcular el valor de: A) IC B) IIC B) IIIC  3 D) IVC E) IC y IIIC 3  csc cot sec E=  sen  2  2   csc3   2  cos   2  03. es real.57 B) –2 C) –3 E= D) 0 E) 1.  cot >0. sen  5cos A) –1. Calcular “”. Si: tan . tan2 134º . cos2 200º . que signo tiene la expresión: 2sen  3 cos E= 2 tan  3cot 57 . Si: csc . E=tan125º . ¿En qué cuadrante está “”? 07.
3 =. nos y ayudamos del siguiente gráfico. y cos225º = x = -1 r 2 CA 1 cos45º = = ANGULO DE REFERENCIA 1 225º H 2 Entonces: Al ángulo agudo formado por el lado final de 45º 0 x cos225º = -cos45º 1 un ángulo positivo en posición normal “” 2 con el lado positivo o negativo del eje “x” (-1.3 . Esta propiedad lo veremos en dos partes: 4. y El ángulo de referencia Propiedad I: 200º de 200º es 20º Para ángulos positivos menores que una 0 x 20º vuelta. A.T() =  R. los mismos valores y en algunos casos difieren en el signo. El ángulo de referencia 50º x de 310º es 50º 310º  90º = 2 II I PROPIEDAD FUNDAMENTAL xx Si “” es un ángulo positivo en posición xx normal menor que una vuelta y “R” su III IV ángulo de referencia. -1) se llama ángulo de referencia y se 3. y 60º tan300º = -tan60º 2 3 El ángulo de referencia de 40º es 40º (1. y tan300º = y = .3 x 1 CO 3 tan60º = = = 3 Ejemplos: 300º 1 x CA 1 Entonces: 1. y efectivamente las razones trigonométricas El ángulo de referencia de 120º es 60º de su respectivo ángulo de referencia en 60º 120º algunos casos difieren en el signo. 1) sen150º = = r 2 CO 1 2 sen30º = = 1 150º H 2 30º Entonces: 3 0 x sen150º = sen30º REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE 2. denota por “R ”.3 ) 40º 0 x OBSERVACION: En los ejemplos anteriores se ha notado que 2. Para 0 x hacer cálculos directivos vamos a citar tres propiedades: 3. Para entender la propiedad.(R) Ejemplos: 1.T. Entonces se cumple que las razones trigonométricas de “” y las 3 270º = razones trigonométricas de “R” van a tener 2 58 . y y 1 (. Es decir: R. .
(180º – x) = R.T. [n(360º)+] = R. cos   x =–senx  = n(360º) +   2  Las razones trigonométricas de “” y las  3  6. (x) * (90º + x) II   2  x  II   R. Calcular: sen750º x x 180º= x x 360º= Resolución: 750º 360º 1 III IV  sen750º = sen30º = 30º 2 2 Si “x” es un ángulo agudo.T. es fácil darse 2.T.  2  por tanto: B. cos200º = cos(270º – 70º) = –sen70º mayores que una vuelta. () ayudamos del siguiente gráfico: II I Ejemplo: 1. (x) * (270º – x) III   2  x  III   R. de (x) aplicando la siguiente fórmula: R.T. 3.T. cot(2 + x)=cotx Ejemplos: 1.T. tan340º=tan(360º – 20º) = –tan20º 4. sen(–x)=senx pertenece el ángulo que queremos 6. (x)  3  R. (180º + x) = R. (270º + x)=CO – RT(x) 3. es fácil darse Las razones trigonométricas de los cuenta que: ángulos anteriores se reducen a razones    trigonométricas de (x). (90º – x)=CO–RT(x) Ejemplos: R.T.T. Calcular: tan900º Resolución: 59 . Sen100º = sen(90º – 10º)=+cos10º Propiedad II: Para ángulos positivos 2. cos230º = cos(180º + 50º) = –cos50º R. (90º +x)=CO – RT(x) 1. Calcular: cos 540º cuenta que: Resolución: * (180º – x)  II  (–x) II 540º 360º * (180º +x)  III  ( + x) III  cos540º = cos180º=–1 180º 1 * (360º – x)  IV  (2 – x)  IV * (360º + x) I  (2 + x)  I 3.T.T.T. (270º – x) =  CO – RT (x) 2. Para entender la propiedad.T. cot400º = cot(360º +40º)=cot40º El signo  depende del cuadrante al cual 5. Aplicando la * (90º – x) I    x I  2  siguiente fórmula:    R. sen   x =+cosx  2  cociente “n” y residuo “” es decir:  3  5.T.T. (360º – x) = R. cos(+x)=–senx reducir: 7. nos R. sen110º = sen(180º – 70º) = sen70º R. tan(2 – x)=–tanx 8. (360º + x) = R. (x)  3  * (270º + x) IV   2  x  IV   El signo  depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo que queremos Las razones trigonométricas de los reducir: ángulos anteriores se reducen a R. tan   x =–cotx razones trigonométricas de “” son iguales. Si “x” es un ángulo agudo.T. tan310º = tan(270º + 40º)=–cot40º Si a un ángulo positivo “” mayor que una    vuelta lo dividimos entre 360º nos da como 4.
y) r 9. sen(-30°) = -sen30° =  2 14. cos(-45°) = cos45° = 237 2 2 237 7   47 2 47 5 5 3. sen43 dividimos sin el : 7 )   csc csc( 43 7 43 1 Nótese que para el coseno y la secante el   6 1 6 7 7 ángulo negativo es indiferente. Resolución: tan10000º  tan280º Si "" es un ángulo positivo entonces "-" es 10000º 360º  tan10000º  tan(360º80º ) un ángulo negativo como se muestra en el 280º 27 tan10000º   tan80º gráfico siguiente: 7.  x - tan(35+x)=tan(34++x)=tan(+x)=ta 0 nx r (x. Calculamos el seno. cos(416 + x) = cos(416 + x) = cosx (x. Reducir al primer cuadrante: cos4910º 315  3  3  Resolución: tan   tan 39    tan 39    8  9   8  cos4910º  cos230º 4910º 360º  3  3  cos4910º  cos(180º50º ) tan 38      tan 230º 13  8  8 cos4910º   cos50º 6. tan  dividimos sin el  : 3010º 360º 8  sen3010º  sen(180º50º ) 130º 8 cos3010º  sen50º 315 8 315 3   39 3 39 8 8 5. 900º 360º 237  2  2   tan900º = tan180º=0 cos  cos 47    cos 47    180º 2 8  5  5   2  2 cos 46       cos 5 4. sen1725 = sen(1724+) = x x cos = y cos(-) =   cos()   cos r r sen = 0 y y tan = y tan(-) =   tan()   tan x x 12. tan(-60°) = -tan60° = 3 60 . sen(10 + x) = sen(10 + x) = senx y 8.-y) 10. cos dividimos sin el  : 8 2 2. Reducir al primer cuadrante: sen3010º  5  Resolución: 315 sen3010º  sen130º 15. cos4377 = cos(4376+) = Análogamente: cos = -1 cot()   cot )   sec sec(  13. Reducir al primer cuadrante: tan10000º Propiedad III: Para ángulos negativos.   1    sen43  sen 6     sen 6    sen 7  7  7 7 Ejemplos: 1 237 1. coseno y tangente de cot(499+x)=cot(498++x)=cot(+x)= () y (-) y obtenemos: cotx y y sen = y sen(-) =   sen()  sen r r 11.
Simplificar: E   = cos(90  x cos(270  x (-sen50°) = -sen50° Resolución: 5. tan = -tan  Ojo:   7 7 7 7 secx   sec cot2   x   cotx PROBLEMAS RESUELTOS II C IV C tan(270  x) 01. tan140° = -tan40°  Ojo: 2 2 140°+40°=180° 2  2  Luego hacemos las transformaciones: 4.  270. Simplificar: csc   csc     3  tan  x  .35) = II C IV C tan35° Ángulos suplementarios    cos(90  x)  senx     cos(270  x)  senx II C III C Si "" y "" son suplementarios entonces:  +  = 180° Reemplazamos en "E":  = 180° . sen130° = sen50°  Ojo: 130°+50°=180° Resolución: 2.50°) sen(180  x) sen(360  x) 02. sec   x .4. tan(-325°)=-tan325° =-tan(360° . Calcular el valor de: E = sec135° . cos110° = -cos70°  Ojo: Recordar que: 110°+70°=180°  3  90.) cos(90  x) cos(270  x) senx  senx sen  sen E   senx  senx Análogamente: cos   cos E = -1 + 1 tan   tan E=0 cot   cot sec   sec 03. cosx E  E cot(180  x) cotx  cotx E=-1  E = -1 04. sen = sen  Ojo:   3 3 3 5     3  tan  x    cotx sen  x    cosx 4  4   2     2   5. csc150° 61 . sen(-130°) = -sen130° = -sen(180° .   180. sen  x   2   2  E    tan(270  x)   cotx y cot(180      x)   cotx cot 2  x IV C III C (cotx)( secx)( cosx) E  cotx Reemplazamos en "E":   1   tan(270  x)  cotx cotx . Simplificar: E = cot(180  x) Reemplazamos en "E": Resolución:     3  tan  x  . sen(180  x) sen(360  x) E  sen = sen(180° . cos = -cos  Ojo:   5 5 5 5 IC IV C 4 3 4 3 6. sen  x   2   2  E Ejemplos: cot(2  x) 1. sec(  x). 2  360 3. cos(-200°)=cos200°=cos(180°+20°) = -cos20°     sen(180  x)   senx      sen(360  x)  senx 6. secx.
¿a qué es igual "E"? 09.cos2° II C 62 .cos1° cos190  cos(180    10  )   cos10 cos178° = . E=-2 sen300 E tan315 08. csc150° E = (k-1) sen450° + (k+1) cos900° E = (. cos190° cos179°+cos180° Resolución: Resolución: Sabemos que: cos180° = -1 sen100  sen(90    10  )   cos10 Aplicamos ángulos suplementarios para II C transformar: cos179° = . Resolución Reemplazamos en "E": sec135  sec(    45 180  )   sec45   2 E = sen100° .1-k-1 Reemplazamos en "E".2 )(2)  E = -2 2 Resolución: 450° 360° sen450° = sen90° = 1 05.1) sen450° + (k + 1) cos900°    45  )   tan45  1 IV C E = (k . Si: cos10°=a. cos190° II C E = (cos10°) (-cos10°) csc150  scs(180 E = -cos210° pero: cos10° = a    30  )   csc30  2 II C  E = -a2 Reemplazamos en "E": 07.1) E=k .1) (1) + (k + 1) ( . Calcular el valor de: E=cos1°+cos2°+cos3°+… E = sen100° . Calcular el valor de: 3 sen(120)  E E 2 tan(135) 1 Resolución: 3 E= 3 2 sen(120)  sen120   sen(180    60  )    sen60   II C 2 tan(135)   tan135   tan(180    45  )   tan45  1 II C Reemplazamos en "E": sen(120) E tan(135) 3  E 2 1 3 E=- 2 06. Simplificar: E = sec150° . Calcular el valor de: 360 1 sen300 90 residuo E tan315 900° 360° cos900° = cos180° = -1 Resolución: 720 2 180 residuo 3 sen300  sen(360    60  )  sen60   IV C 2 Reemplazamos en "E": tan315  tan(360 E = (k .
Simplificar: 08.cos3° E sen(90  x) tan(270  x)     3     sen  x  tan  x  cos90° = 0  2   2  Reemplazamos en "E": A) -2 B) -1 C) 0 E=cos1°+cos2°+cos3°+…+cos90°+… D) 1 E) 2 +cos177°+cos178°+cos179°+cos180° 02.4 E) -k -4 07. Simplificar: csc(270  x)  sec(90  x) E sec(360  x)  csc( 180  x) E=-1 A) -1 B) 0 C) 1 10.cos2° . Calcular el valor de:  11   11 comparando. x  25  11   11 04. cos177° = . Si: sen20° = k. obtendremos: x = 3 2cos300  sen2120 E 2 tan3 135 1 1 A)  B)  C) 1 8 4 1 1 D) E) 4 8 06. Calcular el valor de: E = sen36270° . cos36180° PROBLEMAS A) 0 B) -1 C) 1 D) 1/2 E) -1/2 01. Calcular "x" que verifica la igualdad: D) 2 E) 2tanx  25   x  tan   tan  . Calcular el valor de: 63 .cos1° A) -2 B) -1 C) 0 -1 D) 1 E) 2 E=0-1 03.tan315°  25   22 3   3  3 tan   tan    tan 2    tan  11   11 11   11  11 A) -2 B) 0 C) 1 Reemplazamos en la igualdad: D) 2 E) 3  25   x  tan   tan   11   11  3   x  tan   tan  05. Calcular el valor de: Resolución: E = sen150° + cos240° . ¿a qué es igual "E"? sen160 . cos110 E sec290 . csc340 A) k4 B) -k4 C) 1 D) k . Simplificar: cos(180  x) cot(360  x) E  cos(2  x) cot(  x) E =cos1° + cos2° + cos3° + … 0 … - cos3° .
sen240° + tan300° 3 A) 0 B) . Calcular el valor de: A)  3 B)  3 C) 3 E = tan1920° . b) .  89  15. Calcular el valor de: csc(270  x)  sec(90  x) sec(135) E E sec(360  x)  csc( 180  x) csc(210) A) -1 B) -2 C) 1 2 D) 2 E) 2tanx a) 1 b) . Calcular el valor de: d) -k -4 e) 1 tan(255) E cot(330) 17. Calcular el valor de: cos  x  cot  x   2   2   97  E = sen(135 + x) . Si: cos50°=a. Calcular el valor de: d) 7/3 e) -7/3 sen(37) csc(30) E  cos(60) sec(53) 16. scs320 D) 12/5 E) -1 a) k4 b) -k4 c) k4 10.2 c) - 2 2 14. Simplificar: 19. Simplificar: 3 d) e) 3 cos(90  x) cot(270  x) 3 E   3     18. cot36135° 3 3 D) 3 E) -1 3 a) . Calcular el valor de: d) e) -2 2 2 E = cos150° . sec   x   2  A) 0 B) -1 C) 1 a) -1 b) 0 c) 1 D) -2 E) 2 d) 1/2 e) 2 12.3 c) 1 3 11. Calcular el valor de: sen(180  x) tan 360  x tan(60) cot(45) E  E  sen(2  x) tan(  x) sec(30) sec(60) A) 0 B) -2 C) 2 a) 0 b) 1 c) -2 D) -1 E) 1 d) 2 e) -1 13. ¿a qué es igual "E"? sen140 . Calcular el valor de: E  tan(100  x) .3 C) - 3 D) 3 E) -2 3 64 . cos130 E A) 0 B) 1 C) -12/5 sec320 . Simplificar: 20. tan  x   2  4sen2 300  cos120 E A) -1 B) 0 C) 1 3 tan3 135 D) -2 E) 2 a) 1 b) -7/6 c) 7/6 09.
Calcular el valor de: E = tan20° + tan40° + tan60° + … + tan160° A) 0 B) /4 C) /2 D)  E) 3/2 A) 160 B) 0 C) 1 D) -1 E) 80 09. Calcular el valor de "cot". x  75 E = cot10° + cot20° + cot30° + … + 11 11 cot170° A) 1 B) 2 C) 7 A) 0 B) 170 C) 85 D) 9 E) 4 D) 2 E) 1 10. sec(x . sen 11 11 03. Calcular "" que verifica la igualdad: 4 3 A) -1 B) 0 C) 1 cos  cos . Simplificar: E = sen(x .270°) . que verifica la igualdad: y 67 x cos   cos 7 7 A) 1 B) 2 C) 3  x D) 4 E) 5 11.-5) Sec(90º  x) Tg(2  x)  Csc( x) Tg( x) A) 2/5 B) -2/5 C) 5/2 A) 0 B) 2 C) – 2 65 . Calcular el valor positivo de "x". cos 7 7 D) 2 E) 1/2 A) 0 B) /4 C) /2 02. ¿Cuál es el Sen3 615º? (-2. Simplificar :  (-2.360°) 07. Calcular el valor de: 75 x sen  sen . Calcular el menor valor positivo de "x" 05. Calcular el valor de "tan".180°) A) -1 B) 0 C) 1 08. 04.90°) . Calcular "" que verifica la igualdad: D) 2 E) 1/2 4 7 sen  sen . csc(x .-3) 6 2 6 2 A) 2/3 B) -2/3 C) 3/2 A) B) 4 4 D) -3/2 E) 1/6 6 3 C) 06. D) -5/2 E) 1/10 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Simplificar: D)  E) 3/2 E = cos(x . 4 y 2 1 D) E) 2 2 x 12.
-1) +Cos170º En Geometría Analítica la circunferencia A) 1/2 B) 0 C) 3 / 2 trigonométrica se representa mediante la D) 1 E) – 1 ecuación: 17.0) A(1. A) 1 B) 3 C) – 1 D) – 3 E) 0 Ejemplo: 66 . D(0. calcular : Tg(x+y)Ctgz + Tg(x+z)Ctgy + Nótese: que"" y "" son positivos y "" y Tg(y+z)Ctgx "" son negativos. Si: x + y + z = 1800. reducir: trigonométrica por un arco dirigido medido a partir del punto A(1.1) A) FVVF B) FVVV C) FVFF 1 D) FFVF E) FFFV C(-1.0) x 0 16. Calcular el valor de: P=Cos10º+Cos30º+Cos50º+ .0) A(1.270º) A) 2Sen B) 2Cos C) 2Tg A) 0 B) 2Sen C) 2Cos D) – 2Sen E) – 2Cos D) – 2Sen E) – 2 Cos Tg(  x) Cos(x  ) 14. En un ABC. Si : +=180º. Reducir: Sen+Sen+Cos+Cos+Tg+Tg Sen( . ( ) Cos (-x)Ctg (-x) = CosxCtgx ( ) Sen (-x)Sec (-x) = Tgx y B(0.D) 2Tgx E) – 2Tgx 20. Indique la veracidad o falsedad de las proposiciones: Una circunferencia se llama trigonométrica ( ) Sen (-x)Cos (-x) = SenxCosx si su centro es el origen de coordenadas y ( ) Sen (-x)Tg (-x) = SenxTgx su radio es la unidad. Sen(A  B)  Tg(2B  2C)Ctg2A y y SenC    A) 1 B) – 1 C) 2 A(1. Si  y  son suplementarios.180º) + Cos( .0).. reducir : 13.0) x  x D) – 2 E) 0     19.. calcular : x 2  y2  1 Cos(Cos+Cos) + Tg(Tg+Tg) Arco dirigido en posición normal A) 1 B) – 1 C) 0 D) 2 E) – 2 Todo ángulo en posición normal será representado en la circunferencia 18. Reducir:  Tg( x) Cos(2  x) A) 2 B) – 3 C) 1 CIRCUNFERENCIA D) 2 E) 5 TRIGONOMÉTRICA 15..
y) 3 x cos = x x 0 Razones trigonométricas de arcos dirigidos en posición normal Si "" es un arco dirigido en posición normal. -250° Resolución: y cos(-70) x cos(-250°) 130° sen130° OJO: -70° sen130° > sen310° x 0 sen130° 310° Propiedad para problemas geométricos .Ubicar los siguientes ángulos en la y circunferencia trigonométrica: 4  .longitudes 2.40° y 120°  Coseno de un arco "" es la abscisa de su 4 extremo.40°) 3 4 x 0 Resolución: sen(-40°) . Ubicar el seno de los siguientes arcos: Resolución: y 130° y 310°.200°) > sen(. Ubicar el seno de los siguientes arcos: La longitud de un segmento dirigido es un -40° y -200° número real positivo. cuando querramos calcular la longitud de un segmento dirigido Resolución: indicaremos mediante una llave. Ubicar el coseno de los siguientes arcos: 50° y 140° Seno de un arco "". Resolución: El seno de un arco "" es la ordenada de su y extremo. así: 67 .y) y x cos140° cos50° x sen  y 0 2. sen(. y 140° 50°  (x. sus razones trigonométricas se van Ejemplos: a calcular como sigue: 1.200° sen(-200°) OJO: 120° . Ubicar el coseno de los siguientes arcos: -70° y -250° Ejemplos: 1. -50° . x y 0 -50°  4 (x. .
S sen100°< sen160° Resolución: y Resolución: 100° sen100° Del gráfico se observa que: y sen100° > sen160° 160° sen160° -cos x Por lo tanto: o  sen100° < sen160° es [F] x S 1 02. calcular el área (S) del triángulo sombreado.:  2 y -cos  sen sen cos x cos 0 -sen sen  cos Ejemplo: La circunferencia es trigonométrica. calcular el área (S) del triángulo sombreado. Indicar verdadero (V) o falso (F). 03. Indicar verdadero (V) o falso (F). longitud y A segmento dirigido B y cos x sen  S sen cos x  -sen 0 cos  sen sen -cos Rpta. y PROBLEMAS RESUELTOS  x 01. cos290° > cos340° Resolución: ) (1)( cos) (base)(altura y S  2 2 Del gráfico se observa que: cos cos340° > cos290° S  cos290°cos340° 2 O x Por lo tanto: cos290° > cos340° es [F] 340° Ejemplo para el alumno 290° La circunferencia es trigonométrica. Indicar verdadero (V) o falso (F). 68 .
(sen) 0 S Resolución: 1 2 sen Recordar que: 1 = 57° 17' 45'' S 2 1 = 57° 4 = 228° 08. Cuál es el menor número entre: cos4. 2 y 3 en la calcular el área (S) del triángulo circunferencia trigonométrica y sus sombreado. 5 y 6 en la circunferencia trigonométrica y sus y cosenos. (cos) x S Resolución: 0 2 Recordar que: 1rad = 1 = 57° 17' 45''  cos cos S 1 = 57° 2 2 = 114° 3 = 171° 07. 69 . Cuál es el mayor número entre: sen1. (altura ) cos5. y respectivos senos.  y 2 sen2 Del gráfico se observa que: sen1 1 S sen2 > sen1 > sen3 x 3 sen3 0 x El mayor número O es: sen2 Resolución: y 05. 5 = 285° calcular el área (S) del triángulo 6 = 342° sombreado. La circunferencia es trigonométrica. sen (base) . Ubicamos los arcos 1. (altura ) sen2 y sen3 1 S 2 S cos (1) . La circunferencia es trigonométrica. La circunferencia es trigonométrica.  y S x Del gráfico se observa que: 0 cos4 cos5cos6 cos6 > cos5 > cos4 x 0 El menor número es: cos4 4 6 5 Resolución: 06. cos6 S sen 2 S x (1) . sen200° > cos200° y Resolución: y S x 0 Del gráfico se observa que: sen200° > cos200°  cos200° x Por lo tanto: O sen200° sen200° > cos200° es [V] 200° Resolución: y 04. (base) . calcular el área (S) del triángulo sombreado. Ubicamos los arcos 4.
Indicar verdadero (V) o falso (F) según x corresponda: 0 I. (1  cos) 2 0 -sen  2 2 cos sen sen S  s S . y Resolución:  -cos y (base) . La circunferencia es trigonométrica. ( cos) S  2  2  2 1S S   cos 2 10. calcular el área (S) del triángulo sombreado. PROBLEMAS y 01. sen200° > sen250° III. ( cos) 2 2 0 S cos x S ( sen) . calcular el área (S) del triángulo sombreado. (1  cos) 2 2 1 cos 09. y  S x Resolución: y -cos  S (base) . sen260° > sen310° 70 . (altura )  cos x (1) . (altura )  2 2 cos x S (1) . La circunferencia es trigonométrica. (altura ) 1 S 2 S (base) . sen20° > sen70° S  II.
D) sen4 E) sen5 A) VVV B) VFV C) FFV D) FVF E) VFF 07. sen5 corresponda: I. Ordenar de menor a mayor los números: 02. sen4 .cos E) -1 - cos sen sen cos A) B)  C) 2 2 2 06. Indicar verdadero (V) o falso (F) según sen1 . La circunferencia es trigonométrica. x y P 0 S A) 1 + sen B) 1 . La circunferencia es trigonométrica.  calcular el área (S) del triángulo A sombreado. calcular: (a+b) calcular el área (S) del triángulo y sombreado. sen2 . Indicar verdadero (V) o falso (F) según números: corresponda: cos1 . ¿Cuál es el menor número? sen  cos cos sen1 . La circunferencia es trigonométrica. cos230° < cos260° B) sen1 < sen3 < sen5 III. 09. sen 5 D) E)  2 2 A) sen1 B) sen2 C) sen3 71 . sen3 . cos140° < cos340° C) sen3 < sen1 < sen5 D) sen5 < sen1 < sen3 A) VVV B) VFV C) FFF E) sen3 < sen5 < sen1 D) FVV E) FVF 08. sen10° > cos50° A) sen5 < sen3 < sen1 II.sen 2 2 2 cos sen  cos D)  E) 05. cos3 . y 10. sen20° > cos20° II. Ordenar de menor a mayor los 03. cos250° < sen250° A) cos1 < cos3 < cos5 III.  y x  a 0 S x b  0 A) sen + cos B) sen .sen E) cos . 2 2 calcular la longitud del segmento "PA".sen C) 1 + x cos  D) 1 . La circunferencia es trigonométrica. sen300° > cos300° B) cos3 < cos1 < cos5 C) cos3 < cos5 < cos1 A) VVV B) VFV C) FFV D) cos5 < cos3 < cos1 D) FVF E) VFF E) cos1 < cos5 < cos3 04.cos C) cos + sen sen sen cos A) B)  C) D) -cos . cos5 I. sen3 .
sen E) –1 - sen 72 .sen x S 15.cos B) sen + cos C) cos . cos6 D) FV E) N. E) 2 2  P 20. Cal circunferencia es trigonométrica. cos4 . La circunferencia es trigonométrica. 0 calcular el área (S) del triángulo sombreado. A) cos6 > cos4 > cos2 14. cos3 . sen4 . sen100° < cos100° II. Ordenar de mayor a menor los números: A) VV B) VF C) FF cos2 . La circunferencia es trigonométrica. A) cos1 B) cos2 C) cos3 D) cos4 E) cos5 12. C) 2 2 2 x cos sen  cos 0 D) . La circunferencia es trigonométrica.A.A. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. B) cos4>cos6> cos2 calcular: (m-n) C) cos2 > cos6 > cos4 y D) cos6>cos2>cos4 E) cos2 > cos4 > cos6 m  n x 19.sen D) cos + sen E) -cos . cos110° < cos160° números: II. sen290° > sen340° 16.  calcular la longitud del segmento “BP” y B sen sen cos A) B) . ¿Cuál es el mayor número? cos1 . Indicar verdadero (V) o falso (F) según D) cos6 > cos2 > cos4 corresponda: E) cos4 > cos2 > cos6 I. cos4 . cos5 A) VV B) VF C) FF D) FV E) N.cos C) 1 + calcular el área (S) del triángulo sen sombreado. sen6 A) VV B) VF C) FF A) sen6 > sen4 > sen2 D) FV E) N. cos300° > cos350° sen2 . sen100° < sen140° II. Ordenar de mayor a menor los I. B) sen2 > sen4 > sen6 C) cos2 > sen6 > sen4 13.A. cos2 .11. y A) sen . cos300° > sen300° 18. A) 1 + cos B) 1 . Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 17. D) 1 .
La circunferencia es trigonométrica. sen290° . y 08.cos290° > 0 II. calcular la longitud del segmento “OP”. A. I. 1  cos calcular la longitud del segmento “PA”. La circunferencia es trigonométrica. y c) 2(1  cos) d) 2(1  sen) e) 2(1  cos) S x 0 05. y sen sen cos  A) B) . A. y   P P x x 0 0 D A) 2 1  sen B) 2 1  cos cos sen a) b) 1  sen 1  cos C) 2(1  sen) sen sen c) d) D) 2(1  cos) E) 2(1  cos) 1  sen 1  cos 1  sen e) 04. y A) VV B) FF C) VF D) FV E) N. La circunferencia es trigonométrica. 03.  calcular el área(S) del triángulo sombreado. sen160° + cos160° > 0 sombreado. x 0 A  P a) 2 1  cos b) 2 1  sen 73 . sen290° + cos290° < 0 A) sen B) -sen C) cos D) sen + cos E) -cos A) VV B) FF C) VF D) FV E) N. 07. calcular la longitud del segmento “OP”. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:  I. La circunferencia es trigonométrica. sen160° . Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 06. C) 2 2 2 S x 0 sen  cos cos D) E) - 2 2 PROBLEMAS PROPUESTOS A) sen B) -sen C) cos D) sen + cos E) -cos 01. y calcular la longitud del segmento “PD”. x 0 02.cos160° < 0 calcular el área (S) del triángulo II. La circunferencia es trigonométrica. La circunferencia es trigonométrica.
A partir de la figura hallar OB cos cos cos C. A) Sen-Cos B) 1 Cos a) (1  sen  cos) y C) Sen+Cos 2 1 Sen Sen b) (1  sen  cos) D) E) 2  1  cos 1  Cos 1 s c)  (1  sen  cos) x 2 0 1 D) 3 E) 2 3 d)  (1  sen  cos) 2 1 13.D. Si: π/2 < x1 < x2 < π C afirmar si es (V) o (F) B ( ) Cosx1 > Cosx2  ( ) Senx1 < Senx2 D ( ) Senx2 Cosx1 < 0 A) Sen+Sen B) Sen-Sen A) VFV B) FFV C) FVV D) VVF E) VVV 74 . C.T a) sen  1 b) sen  1 c)  sen B  sen sen d) cos  1 e) 1  cos 0 09. C) Sen160º D) Sen220º E) Sen280º y  14. ¿En qué cuadrante el seno y coseno son 2 2 crecientes? 11. Senx < Senx s  II. calcular el área (S) del triángulo A) Sen40º B) Sen100º sombreado. A partir de la figura. Cosx < Cosy III.T  16. La circunferencia es trigonométrica. calcular el área (S) del triángulo 1  Sen sombreado. entonces: 2 0 x I. hallar AB – CD A) III B) II C) IV A D) I E) F. ¿Cuál de los siguientes valores es el e)  (1  sen  cos) 2 mayor? 10. Si: < x <y < . y C) Sen-Sen 1 1 D) (Sen  Sen) E) (Sen  Sen) 2 2 P x 0  12. Senx > Cosy es(son) verdadera(s) : 1 1 A) (1  sen  cos) B) (1  sen  cos) 2 2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III 1 C)  (1  sen  cos) D) I y II E) Todas 2 1 1 D)  (1  sen  cos) E)  (1  sen  cos) 15. La circunferencia es trigonométrica.
Sen220º. Cos140°. Cos70°. Cos280° 1 C) Cos140°. Cos280°. Cos70°. Cos70°  D) Cos280°. representar la variación “sen” y “cos”. Sen110º Variación del seno y coseno de un arco “” 18. Indicar verdadero (V) o falso (F). sen   sen   4  3  5  5  Variación del seno de un arco “ ” II. D) Cos420° E) y Cos520° sen70° 70° sen  sen30° 30° cos200° cos250° 19. Cos140°. Sen20º C) Sen110º. Sen110º. Ordenar de mayor a menor : 70° Sen20º. Cos140° x 0 Variación de un arco “ ” La variación de un arco “” se representa por un conjunto de flechas (>>>>>) en la Si: 0° <  < 90°  0 < sen < 1 circunferencia trigonométrica. Cos70° sen E) Cos70°. y 17. Cos70°. A) Cos110° B) Cos220° C) Cos320° Del ejemplo anterior. Sen110º 250° E) Sen20º. Cos280°. Cos280° Primer cuadrante A) Cos280°. ¿Cuál de los siguientes valores es el La variación del seno de un arco “” se menor? representa por un conjunto de segmentos inclinados ( / / / / / ) en los ejes coordenados. Sen220º  30° A) Sen220º. Ordenar en forma creciente: los cuadrantes. Sen110º. Sen220º. Cos140° y B) Cos140°. Por ejemplo representar la variación de “” y “” en la circunferencia trigonométrica tal que: 30° <  < 70° y 200°    250° Segundo cuadrante 75 . según x cos 0 200° corresponda:     2 250° I. Sen20º. Sen20º x 200° B) Sen110º. Sen20º. cos   sen   3  4 A continuación analizaremos la variación del seno cuando “” está en cada uno de 20. Sen220º  D) Sen220º.
Si: 180° <  < 270°  -1 < sen < 0 2. y 1  Ejemplos: sen 1.5 seno de “” se extiende de –1 hasta 1. Si:   III. hallar todos los valores enteros de “k” para que la siguiente igualdad Cuarto cuadrante exista: y 2k  7 sen = 3 x Resolución: 0 sen Si:   III -1 < sen < 0  -1 2k  7 -1 < <0 3 Si: 270° <  < 360°  -1 < sen < 0 -3 < 2k – 7 < 0 7 – 3 < 2k < 0 + 7 4 < 2k < 7 En general: 4 7 <k< 2 2 Si “” recorre de 0° a 360° entonces del 2 < k < 3. Hallar el máximo valor de “k” para que la x 0 siguiente igualdad exista: sen = 2k – 3 Resolución: Sabemos que -1  sen  1 Si: 90° <  < 180°  0 < sen < 1 reemplazamos -1  2k – 3  1 Tercer cuadrante 3 – 1  2k  1 + 3 y 2  2k  4 2 4 k x 2 2 0 sen 1k2   -1 máx Luego el máximo valor de “k” es: 2. -1 Primer cuadrante y 90° Si: 0°    360°  -1  sen  1  máx(sen) = 1 mín(sen) = -1 cos 0° x 0 1 76 . Es El único valor entero que toma “k” es: 3 decir: y 1 VARIACIÓN DEL COSENO DE UN ARCO “” A continuación analizaremos la variación x del coseno cuando “” está en cada una de los cuadrantes.
Hallar el mínimo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista: cos = 4k – 5 Si: 90° <  < 180°  -1 < cos < 0 Resolución: Tercer cuadrante Sabemos que: -1  cos  1 y -1  4k – 5  1 5 – 1  4k 1 + 5 4  4k  6 180° cos x -1 0 4 6 k 4 4  3 270° 1k 2 Luego el mínimo valor de “k” es: 1. hallar todos los valores enteros Cuarto cuadrante y de “k” para que la siguiente igualdad exista: 3k  5 cos = cos 360° 7 0 1 x Resolución: Si:   III -1 < cos < 0  -1 270° 3k  5 -1 < <0 7 Si: 270° <  < 360°  0 < cos < 1 -7 < 3k + 5 < 0 -5 – 7 < 3k < 0 En general: -12 < 3k < -5 12 5 <k<- Si “” recorre de 0° hasta 360° entonces el 3 3 5 coseno de “” se extiende de –1 hasta 1. Si: 0° <  < 90°  0 < sen < 1 máx(cos) = 1 mín(cos) = -1 Segundo cuadrante y 90° Ejemplos:  180° cos x -1 0 1. Si: 180° <  < 270°  -1 < cos < 0 2. Si:   III. Es -4 < k - 3 decir: y Los únicos valores enteros que toma “k” son: -3 y –2 x -1 1 Si: 0°    360°  -1  cos  1 77 .
2 01. sen < 3 .2 = 1 – 1.75 – 1. 3 . Si:   IVC. 4 2 03. sen = 3  2 = 1.32  [-1. sen = 3 2 III.41  [-1.2 < -2 -2  5k – 3  2 5 3sen  2 2 1  5k  5 < < 4 4 4 1 k1 5 k 1 5 1 El mínimo valor de “k” es: 5 . 1] 1 . Calcular el mínimo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista: 3sen  2 5k  3 k= cos = 4 2 Resolución: Resolución: No dan como dato la extensión de “”.<k<- 4 2 78 . Calcular el máximo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista: 3k  1 sen = 2 Resolución: Resolución: Para que las desigualdades sean No dan como dato la extensión de “”. (-1) < 3 . calcular el conjunto de verdadero valores de “k” para que la igualdad exista: 04.1 < sen < 0 entonces tenemos que asumir que “” A partir de la desigualdad anterior completa una vuelta.5  [-1. Si:   IVC . 1] que exista la igualdad se debe cumplir: Por tanto: -1  sen  1 3k  1 3 -1  1 I. verdaderas se debe cumplir que: entonces tenemos que asumir que “” completa una vuelta. Finalmente el conjunto de valor de “k” es: 5 1  .41 -1  3k  3 = 0. k1 verdadero 3 III.41 El máximo valor de “k” es: 1 = -0. sen = 1 . por tanto para vamos a construir la expresión de valor que exista la igualdad se debe cumplir: “k”. 1] falso 2 2 -2  3k – 1  2 II. sen = 2 PROBLEMAS RESUELTOS II. (0) -1  cos  1 -3 < sen < 0 5k  3 -1  1 -3 – 2 < sen . 1] 02. sen = = 1. sen = 1 . por tanto para -1  senx  1 ó senx  [-1. ¿Qué igualdades. son verdaderas o falsas? 3 I.2 < 0 – 2 2 -5 < sen .
3cos 2     sen 2 cos    máx(E) = Resolución:   1  mín  máx   0 Para calcular el máximo y mínimo valor máx de “E” debemos observar que “” y “” máx(E) = 2(1) – (0) 79 . Calcular el máximo y mínimo valor de: Calculamos el máximo valor de: E = 2cos . 1] verdadero -1  cos  1 y 0  sen2  1 07.1 = 1. Calcular el máximo y mínimo valor de: 2 I.05. Si:   IIIC. 1] capítulo de ángulo compuesto. cos = . 1] independientes.5 < -5 2cos  5 7 5 5     3 cos 5 sen   <   7   < -1 < k < - 7 7 7 mín(E) =  mín  1  máx  1 k mín El conjunto de valores de “k” es: mín(E) = 5(-1) –3(1) 5 mín(E) = -8  1. Por tanto: 08. falsas? así: 2 I.  7 Observación: 06.41 – 1 valor siempre que: = 0. falso por tanto pueden adoptar cualquier III. cos = 2 -1 El máx(E) no es 8 y el mín(E) no es –8. cos = 3 +1 I II.sen2 E = 5sen . (0) máx(E) = 8 -2 < cos < 0 Calcularemos el mínimo valor de: -2 – 5 < 2cos .73 + 1 Se observa que “” y “” son = 2. Resolución: Para que las igualdades sean Este tipo de problemas de un mismo verdaderas se debe cumplir que: ángulo lo vamos a calcular en el -1  cosx  1 ó cosx  [-1. = -0. cos = 2 . máx máx(E) = 5(1) – 3(-1) 2 .3cos Si:   IIIC  -1 cos < 0 A partir de la desigualdad anterior     3 cos 5 sen   vamos a construir la expresión de valor máx(E) =  máx   1  min   1 “k”.41  [-1.sen2 3 verdadero Resolución: II. ¿Qué igualdades con verdaderas o Si la expresión tiene un mismo ángulo. 1] E = 2cos . cos = - 3 E = 5sen . calcular el conjunto de son independientes por tanto pueden valores de “k” para que la siguiente adoptar cualquier valor siempre que: igualdad exiata: -1  sen  1 y -1 cos  1 2cos  5 k= 7 Calcularemos el máximo valor de: Resolución: E = 5sen . (-1) < 2 cos < 2 .6  [-1.73  [-1. cos = 3 + 1 = 1.3cos II.5 < 0 – 5 E = 5sen . mejor dicho diferentes.3cos -7 < 2cos .
cos180° = -1.T Se observa que a medida que “” recorre de 30° a 150° entonces el “sen” recorre de 1/2 hasta 1.     sen 2 cos    mín(E) = mín 1 máx1        mín y mín(E) = 2(-1) – (1) 120° mín(E) = -3 09. cos240° = - 2 2 y 150° 30° x 120° 0 cos x -1 . Calculamos el mínimo valor de: E = 2cos . Si: 30° <  < 150°  a < sen  b 0 x Calcular el valor de (a – b). esto  quiere decir: 1 < sen  1 2 a < sen  b 1 A) Sen B) Cos C) Sen 1 2 a= . sen150° = 2 2 y 1 150° sen 1 30° PROBLEMAS 2 x 01. Resolución: 240° Representamos la variación de “” en la circunferencia trigonométrica: Representamos la variación de “cos” en el eje “x”.12 Representamos la variación del “sen” 240° en el eje “y”. Si: 120° <  < 240°  m  cos < n Calcular el valor de (m + n).sen2 Resolución: Representaremos la variación de “” en 2 la circunferencia trigonométrica. recordar que: 30° <  < 150° y 1 1 cos120° = . recordar que: 1 1 sen30° = . máx(E) = 2 10. Hallar el área de la región sombreada C. . sen90° = 1 .b=1 1 2 D) Cos E) 1 2 a–b=- 2 SenCos 80 .
T.. hallar AB – CD D) 0 E) F. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor? A) Sen40º B) Sen100º C) Sen160º D) Sen220º E) Sen280º 81 .. A partir de la figura hallar OB 12..T  F(x) = Senx+Cosx C A) 2 B) 2 2 C) 2 / 2 B D) 3 E) 2 3  D 11. A 10.. A partir de la figura. hallar el área de la región sombreada: A) Sen+Sen B) Sen-Sen Y C) Sen-Sen  1 1 D) (Sen  Sen) E) (Sen  Sen) 2 2 X 06. 5 A) 1 B) 2 C) 3 05. Calcular: D) 2  x  4 E) 1  x  Cos1ºCos2ºCos3ºCos4º. Afirmar si es (V) o (F) : 1  Sen ( ) El seno es creciente en el IIQ A) Sen-Cos B) ( ) El coseno es creciente en el IIIQ Cos ( ) El seno es decreciente en el IIQ C) Sen+Cos Sen Sen D) E) A) FFV B) VVF C) VFV 1  cos 1  Cos D) FVF E) FVV 08... Hallar los signos de : A=Cos4º Sen3º Cos2º B=Sen6º Cos5º Sen4º 1 A) Sen B) Cos C) Sen A) (+)(+) B) (+)(-) C) (-)(+) 2 D) (-)(-) E) B y C 1 D) C os E) 1 2 07.T Sena+3Cosb+5Sen4c (a  b  c) B  A) – 5 B) – 4 C) – 3 D) – 2 E) – 1 0 03. En la C. Hallar el máximo valor de: C. Hallar la suma de los valores enteros de 04. Determinar el mínimo valor de: C.. a partir de: x a partir de: 2x  5 2x  5 Sen  Sen  2 3 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 1  x  3 B) 1  x  4 C) 2  x  5 09. Hallar el intervalo de x.02.D..
Hallar el máximo valor de : 16. . Si:   IVC y Sen = ¿cuántos 5 Cos0º  Sen90º valores enteros puede tomar “a”? A) – 0.D.5 C) – 2. Si : Senx = . Senx < Senx II.13. 12] E) [5. 3[ E) ]1. 4] 2a  3 A) 2Cosx B) 2Ctgx C) 2 14. 3] E) [-1. Hallar el valor de: D) 9 E) 10 a 2 Sen270º 2Cos180º 15. -5] C) [-12. Si: π/2 < x1 < x2 < π afirmar si es (V) o (F) A) – 2 B) – 1 C) 0 ( ) Cosx1 > Cosx2 D) 1 E) 2 ( ) Senx1 < Senx2 ( ) Senx2 Cosx1 < 0 18. Calcular A . Senx > Cosy D) 7 E) 8 es(son) verdadera(s) : 03.2. 3] se obtiene: D) [-2. Si: < x< y < .5 D) 6 E) 7  02. Si  IIQ. 2[ D) ]. Al simplificar la expresión: D) 3 < x  5 E) 2< x < 5 82 . Determine el intervalo de “k” si se cumple la siguiente igualdad: A) ]2. Cosx < Cosy A) 4 B) 5 C) 6 III. 17. B donde A y B representan los valores mínimos de la expresión: A) VFV B) FFV C) FVV D) VVF E) VVV 5 .2[ C) ].3. calcular la suma de 2 todos los valores enteros de “a” 04. -4] A) 3  x  5 B) 2 < x < 5 C) 3 x < D) [4. -6] B) [-13.5 E) – 4. Hallar los valores de “k” si: cosx  1  cosx  3 k1 Sen  senx  1 2 A) [-1. hallar el intervalo de “n” a A) – 15 B) – 6 C) 8 partir de D) 15 E) 16 n 3 Cos 5 19.3. 13] 5 20. hallar la suma de 5 D) 2 E) 1/2 todos los valores enteros que puede tomar “a” PROBLEMAS PROPUESTOS A) 6 B) 7 C) 8 01. 3[ B) ]. 2] C) [-1. entonces: 2 A = 3Senx – 4Cos2y + Sen3z (x  y  z) I. Hallar el intervalo de x si:   3 2 3 x 3 Cos2  2 A) [-14.5 A) 3 B) 4 C) 5 D) – 3. 3[ 2Cosx  1 k  2 k  1 06.5 B) – 1.3 Cosx 05. Si: Cosx = . 1] B) [-1. ¿En qué cuadrante el seno y coseno son A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III crecientes? D) I y II E) Todas A) III B) II C) IV 3a  1 D) I E) F.
1 09. Sen110º B = SenCosCos E) Sen20º. Sen110º A) (+)(+) B) (-)(-) C) (+)(-) D) (-)(+) E) F. Sen20º Cos  Cos C) Sen110º. Sen20º Sen  Sen A B) Sen110º. 83 . Sen110º. Ordenar de mayor a menor : 10.1 C) 2 D) VVV E) FFF D) .2 E) 4 08.   IIIQ. Si   IIQ. Sen220º. Sen110º. Sen20º.1)K N = Sen241(π/2) – Cos743π + Sen140π A) FVF B) VVF C) FVV A) 1 B) . Sen20º. Sen220º D) Sen220º. Calcular el valor de : ( ) Cos Kπ =(. Sen220º hallar el signo de A) Sen220º.  IV Q Sen20º.D. Sen220º.07. Afirmar si es (V) o (F) ( ) SenKπ = 0 (K  Z) ( ) Cos(2K-1)π = .
- 0 +
TANGENTE – COTANGENTE LÍNEA SECANTE: Está representada por la
abscisa del punto de intersección entre el
SECANTE – COSECANTE eje de las abscisas con la recta tangente
trazada por el extremo del arco
LÍNEA TANGENTE: Está representada por Y
la ordenada del punto de intersección entre
el eje de tangentes y la recta que pasa por B
el origen de coordenadas y el extremo del  M
arco. 
Y ET S(x; 0)
T(1; y) O X
Sec Sec
 M Tg
O A X x = Sec  S(x; 0) = S(Sec; 0)
C.T. Tg su extensión : Sec≤-1  Sec  1
- -1 0 1 +
y = Tg  T(1; y) = T(1; Tg)
su extensión : -  < Tg < + LÍNEA COSECANTE: Está representada por
el eje de las ordenadas y la recta tangente
- +
LÍNEA COTANGENTE: Está representada Y
por la abscisa del punto de intersección
C(0; y)
entre el eje de las cotangentes con la recta Csc
que pasa por el origen de coordenadas y el M
extremo del arco. 
B EC O X
Ctg Ctg A
P T(x; 1)
Csc
y = Csc  C(0; y) = C(0; Csc)
su extensión : Cos  - 1  Csc  1
x = Ctg  T(x; 1) = T(Ctg; 1)
su extensión : - < Ctg < +
I. Senoverso o verso :
Vers = 1 - Cos 3
0  Vers  2 01. Si π < x1 < x2 <
( ) Sen x1 > Sen x2
II. Cosenoverso o coverso : ( ) Tg x1 > Tg x2
( ) Cos x1 > Cos x2
Cov = 1 - Sen
0  Cov  2 A) VVF B) VFV C) FFV
III. La ex - secante o external: D) FVV E) VFF
ExSec = Sec - 1 02. Ordenar de mayor a menor:
Tg20º, Tg250º.Tg300º
ExSec  - 2 V ExSec  0
A) Tg300º; Tg250º, Tg20º
B) Tg20º; Tg250º, Tg300º
C) Tg250º; Tg20º, Tg300º
D) Tg300º; Tg20º, Tg250º
E) Tg20º; Tg300º, Tg250º
03. Siendo (K) un número entero, hallar
todos los arcos cuya tangente no se
encuentra definida
A) Kπ/2 B) Kπ C) 2Kπ
D) (2K-1)π E) (2K-1)π/2
04. ¿En qué cuadrante la línea tangente
aumenta en valor absoluto?
D) IV E) I y III
05. En qué cuadrantes se cumple:
Tgx(Senx-1)>0
A) I y II B) III y IV C) II y III
D) I y IV E) II y IV
06. ¿En qué cuadrantes el seno y la
tangente crecen en valor relativo?
A) I y II B) II y IV C) I y IV
D) III y IV E) II y III
07. Calcular el valor de:
17  
A = Tg + Sen 243 Tg200 13. Si 0 <  <  <
señalar verdadero (V) o falso (F)
A) 2 B) 3 C) 1 ( ) Tg < Tg
D) 0 E) – 2 ( ) Ctg > Ctg
3 ( ) TgCtg > 0
08. Si: < x1 < x2 < 2π; afirmar si es (V)
o (F) A) VVV B) VVF C) VFF
( ) Tgx1 < Tgx2 D) FVV E) FVF
( ) Senx1 < Senx2 14. Hallar el área de la región sombreada:
( ) Cosx1 < Cosx2
A) VVF B) FVV C) VFV
D) VVV E) FFV
09. En la figura hallar PT
P C.T.
 A
A’ O 1
A) Sen+Cos B) (Sen +
B’ Cos)
A) SenCos B) SenTg C) C) (Sen + Tg)
CosTg 1 1
D) SecTg E) D) (Cos + Ctg) E) (Cos + Tg)
CscTg
15. Hallar PT
10. Hallar el área de la región sombreada y
en la C.T. T
x C.T.
A) Tg+Sen B) Ctg+Cos
1 1 C) Tg - Sen
A) Tg B) Ctg C) Tg
2 2 D) Ctg-Cos E) Cos-Sen
D) Ctg E) 1
16. Calcular el máximo valor de la
11. Indicar el mayor valor de : expresión:
Tg50º; Tg120º; Tg140º; Tg240º; Tg300º 3 – 2Tg2x
A) Tg50º B) Tg120º C) Tg140º A) 1 B) 2 C) 3
D) Tg240º E) N.A D) 4 E) 5
12. Hallar el signo de : Tg1 Ctg2 Tg3 17. Señalar verdadero o falso:
A) + B) - C) + o - ( ) Si <<  Sen + Tg > 0
D) + y - E) N.A.
( ) Si 5 <<  Cos + Ctg > 0
Ctg) 07.  .) B) (Ctg . además Tgx = . Tg)  4 4 hallar el mayor valor entero de n A) 1 B) 2 C) 3 19.) E) (Tg. Afirmar si es (V) o (F) : ( ) x  IQ. ( ) El coseno en el IIQ es creciente 87 . Senx < 0 o Cos x > 0 1  1  ( ) x  IIQ. Si x   0. hallar los signos de : Senx  Tgx PROBLEMAS PROPUESTOS A = Senx Tgy Cosx B = Tgy  Cosx 01. |Tgx| = Tgx 20. Ctgx > 0 o Cosx < 0 2 2 2 2 1 A) VVV B) FVF C) FVV C) (Tg . Ctg) D) VVF E) FFV C) (Sen. Tg) B) (Cos. Afirmar si es (V) o (F): A) (+)(+) B) (-)(-) C) (+)(-) ( ) La tangente en el IIIQ es creciente D) (-)(+) E) F. Tgx < 0 o Secx < 0 A) (Tg . |Senx|= -Senx ( ) La tangente en el IIIC es creciente ( ) x  IVQ. 3 7 ( ) El seno en el IVQ es creciente ( ) Si <<  Tg + Ctg > 0 2 4 A) VVF B) VFV C) FFV A) VVV B) VVF C) VFV D) FVF E) FFF D) FVF E) FFF 02. Ctg)   n 2 04. D) (Cos.) 2 D) FFV E) VFV 1 1 D) (Ctg .) ( ) x  IIIQ. Calcular: A=2Cos0º-3Sen270º+4Tg180º 18. |Secx|= Secx ( ) El coseno en el IIC es creciente ( ) El seno en el IVC es creciente A) FFV B) FVV C) VFV D) FFF E) VVF A) VFF B) VFV C) VVF D) FVF E) FVV 08.D. Hallar el área de la región sombreada: D) 4 E) 5 05. Afirmar si es (V) o (F) : ( ) TgKπ=0 (K  Z) x  ( ) Cos(2K+1) =0 2 P ( ) Sen 2Kπ=0 A) VVV B) VFV C) FVF A) (Sen. Afirmar si es (V) o (F) 2 2 ( ) x  IIQ. Afirmar si es verdadero (V) o falso (F) : ( ) x  IIIQ. y  IIIQ. ( ) Tg3 > Tg4  ( ) Tg4 > Tg5 A) FVV B) VFF C) VVF x D) VFV E) FFV 06. Tg) E) (Ctg. Hallar las coordenadas del punto “P” A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 y  03. Afirmar si es (V) o (F) : y ( ) Sen 2 > Sen 3 C.T. Si x  IIQ.
Cscx  Sec2x + Csc2x = Sec2x. AUXILIARES y  Sen4x + Cos4x = 1.Cos2x   Sen6x + Cos6x = 1-3Sen2x.Cos2x  Tgx+ Ctgx = Secx. Calcular el área de la región sombreada IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS en la C.Cscx = 1  x   -n  Cos E  Cos Cosx. IDENTIDADES RECÍPROCAS (n  Z) 1 Senx. Simplificar: todo valor admisible de dicha variable. hallar los signos de: Cosx  x   -(2n+1) /2 2  3  Ctgx = Cosx  x   -n A  sen   x tan  x cos   x Senx  2     3.Csc2x x  (1±Senx ± Cosx)2 = 2(1 ± Senx) (1 ± Cosx) Senx 1  Cosx Cosx 1  Senx 1   . IDENTIDADES POR COCIENTE 1  Cos2 E  Cos2 1  sen  Sen 88 . Sec  Cos IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS E FUNDAMENTALES Csc  Sen (n  Z) Resolución: A seno y coseno: 1.  A) Ctg B) Tg C) Tg 1  Cosx Senx 1  Senx Cosx 2 1 D) Ctg E) 1 2 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS CONCEPTO: Son aquellas igualdades donde intervienen PROBLEMAS RESUELTOS razones trigonométricas de una cierta variable.2Sen2x. IDENTIDADES PITAGÓRICAS B=Cos(43π-x)Sec  139  x  2  C=Tg(111π+x)Sen(40π-x) Sen2x+Cos2x = 1  x   A) (+)(-)(+) B) (+)(+)(-) C) (-)(-)(-) 1+Tg2x = Sec2x  x   -(2n+1) /2 D) (-)(-)(+) E) (+)(+) 1+Ctg2x = Csc2x  x   -n (+) 10.T.  Tgx = Senx 09. Si: 0  x  .Secx = 1  x   -(2n+1) /2 1  Sen Tgx. las mismas que se verifican para 01.Ctgx = 1  x   -n /2 Sen 2.
Ctg  +Ctg  -Ctg  . Sen2 Sen3 3 4 E  Cos2  E  entonces: Sen = y cos = Cos  Cos3 5 5 Sen  5  5 luego: E = 3   4   10 E = Tg  2  3  4 02.Cos2 1 m  m  Sen2.3) M = (3) ((3)2 .Sen2  -Sen2  .Tg  6 Aplicando identidades auxiliares se       deduce: Ctg 3 Tg3  R = Tg3 -Ctg 3 +Ctg3 -Tg 3 = 0 1  2Sen2.Sen2.Cos2  1  3Sen . Si: Tg+Ctg = 3 se pide: Calcular: M = Tg3 + Ctg3 Sec2+Csc2=Sec2.Cos  2 2 2  3m 03.Sen2 07. Sabiendo que: Sen4   Cos4  K = Tg3 (1-Ctg6) + Ctg3 (1-Tg6) = m. Si: Sen2 + Sen2 = 8 calcular: Cos2.Cos2 .Sen2 Sen-Cos = n Resolución: M = 1-Sen2  .(1/8) = Elevando al cuadrado y sumando 7/8 miembro a miembro (Sen+Cos)2 + (Sen . calcular: Sen6  Cos6 Resolución: Sec2+Csc2 Efectuando: Resolución: 3 3 6 3 3 R = Tg  -Tg  .3) = 18 1 04.Sen2  M = 1 -(Sen2+Sen2) M = 1 . Sabiendo que: 3Sen+4Cos=5 calcular: E = 3Csc+ 4Sec  2(Sen2+Cos2) = m2+n2  m2+n2 = 2 Resolución: Del dato: 3Sen+4Cos = 5 se 08.Cos  2 2 1 m M = (Tg+Ctg) (Tg2 +Ctg2 .Cos)2 = m2+n2 05. Eliminar  de: deduce: 3 4 5 2 2 Sec2+Csc2 = a 89 .1) M = (Tg+Ctg) ((Tg+Ctg)2 .Csc2= 1 2  3m  Resolución: Sen  .Sen2.Sen2  + Sen2  . Simplificar: 06. Eliminar “”: Resolución: Sen+Cos = m M = (1-Sen2)(1-Sen2) .
Tg .Ctg = b 1 1 k  Secx  Tgx Secx  Tgx Resolución: A) 2Secx B) 2Tgx C) 2Cosx Elevando al cuadrado: D) 2Ctgx E) 2Senx (Tg-Ctg)2 = b2 Tg2 + Ctg2 . Hallar A si la igualdad. Simplificar: D) Secx E) Cscx 90 . Simplificar: 08.2 = b2 04. Simplificar: 01. Hallar A en la identidad (x  IC) 6 6 2 A = Sen x+Cos x+3Sen xCos x 2 1  Senx A  A  Tgx A) 1 B) 2 C) 3 1  Senx D) 1/2 E) 3/2 A) Senx B) Cosx C) Ctgx 03. Simplificar: (Secx+1)(Cscx+1)(1-Senx)(1-Cosx) A) SenxSecx B) CosxCscx C) SenxCosx D) SecxCscx E) TgxSenx PROBLEMAS 07. Hallar el equivalente de:  Sec2 – 1 + Csc2 – 1 – 2 = b2 Sec2   1  Csc2  b2  4 Cosx  1 4 44 2 4 4 43 a 1  Senx  a = b2+4 V a – 4 =b2 Senx 1  Cosx A) B) 1  Cosx Senx 1  Senx C) Cosx 2  Senx 2  Cosx D) E) Cosx Senx 05.x  IC A = Cscx-Ctgx + Secx  Tgx A) 1+Senx B) 1+Cosx C) 1-Senx A) Senx B) Cosx C) Secx D) 1-Cosx E) Senx+Cosx D) Cscx E) Ctgx 02. Reducir: 1 A  1  Cos2x(Cscx  Ctg). Cosx Cosx 2   1  Senx 1  Senx A es una identidad A) Senx B) Cosx C) Tgx D) Ctgx E) Secx 06.
Cscx)Cosx se obtiene : A) 1 B) 2 C) 3 A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 1/2 E) 4 D) 3 E) 4 12. Simplificar la expresión: k= 1  2SenxCosx  Senx Tg2x  Sen2x E A) Senx B) Cosx C) 2Senx Ctg2x  Cos2x D) 2Cosx E) Secx A) Sen2x B) Cos4x C) Sen4x 10. Reducir la expresión: 19. Simplificar: A) 0 B) 1 C) 2 A = TgxSenx+Cosx D) 3 E) 4 A) Senx B) Cosx C) Tgx 15. D) Secx E) Cscx 09. Simplificar: 16. Simplificar : Senx M = (Cscx . Simplificar la expresión: D) Secx E) Cscx 02.Ctgx(Ctgx+Tgx) se obtiene : 01. Simplificar: 20. Reduciendo la expresión : 18. Simplificar : (x  IC) D) Tg6x E) Sen6x Ctgx  Cscx  1 17.Ctgx)(1 + Cosx) A  Ctgx 1  Cosx A) 1 B) Senx C) Cosx A) Senx B) Cosx C) Tgx D) Sen2x E) Cos2x D) Secx E) Cscx 13. Reducir la expresión: B Ctg  Cscx  1 1  Senx Cosx A  A) Senx+Cosx B) Senx-Cosx Cosx 1  Senx C) Secx+Tgx D) Cscx+Ctgx E) Cscx-Ctgx A) 2Senx B) 2Cscx C) 2Secx D) 2Cosx E) 2Tgx 11. Hallar k de la siguiente identidad: Secx  Cosx Senx Cosx 2 A 1  Cscx  Senx 1  Cosx Senx k A) Senx B) Cosx C) Tgx A) Tgx B) Tg2x C) Tg3x D) Secx E) Cscx D) Ctg2x E) Ctg3x 14. Al reducir la expresión: PROBLEMAS PROPUESTOS K = Cscx(Cscx+Senx) . Reducir: K= (SenA + CosA)2 + (SenA .CosA)2 (1+Tgx)Ctgx + (Secx . Simplificar: 1  senx  Tgx  Secx k 1  Cosx  Ctgx  Cscx N = Tgx(1 – Ctg2x)+Ctgx(1 – Tg2x) A) 1 B) Tgx C) Ctgx A) 1 B) 2 C) – 1 91 .
Hallar A en la siguiente igualdad: CtgxCosx-Cscx(1 – 2Sen2x) = SenAx A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 1/2 04. Simplificar: 10. Reducir: D) (Tgx+Ctgx)-1 E) (Tgx- Ctgx)-1 1  Cosx Cscx  Ctgx A  . Simplificar: Cosx Tgx + 1  Senx A) Cscx B) Secx C) Ctgx D) Tgx E) Cosx 06.x  IC 1  Cosx Cscx  Ctgx A) 2Senx B) 2Cscx C) 2Ctgx 92 . Reducir: (1  Senx  Cosx)2 A 1 2(1  Cosx) A) 2Senx B) 2Cosx C) Senx D) Cosx E) Senx-Cosx 08. Reducir: K = (Secx+Tgx-1)(Secx-Tgx+1) TgxSen2x + CtgxCos2x+ 2SenxCosx A) 2Senx B) 2Cosx C) 2Tgx D) 2Secx E) 2Senx A) Tgx+Ctgx B) Tgx-Ctgx C) Ctgx- Tgx 09. D) – 2 E) 0 D) 2Tgx E) 2Secx 03. Hallar A si la igualdad: 3(1+Senx+Cosx)2=A(1+Senx)(1+Cosx) es una identidad A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 05. Reducir: A = (Sec2x+Tg2x)(Sec4x+Tg4x)+Tg8x A) Secx B) Sec2x C) Sec4x D) Sec8x E) Sec16x 07.
b cos      cos cos  sen  sen tan   tan c tan      1  tan tan d sen      sen  cos  cos sen e cos      cos cos  sen  sen f tan   tan tan      1  tan tan APLICACIONES Calcular : A) Sen75° Sen75° = Sen(45° + 30°) Sen75° = Sen45°Cos30° + Sen30°Cos45°  2   3  2  1 =              2  2   2  2 6 2 Sen75°= 4 75 4 6.2 15 6+ 2 B) Cos16° Cos16° = Cos(53°  37°) = Cos53°Cos37° + Sen53°Sen37° IDENTIDADES DE ÁNGULOS COMPUESTOS  3   4    4 3 =         5   5    5 5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS COMPUESTOS 24 Cos16° = 25 a sen      sen cos  cos sen 93 .
q.q.θ 7 Entonces Tg(α+β)= Tg(π .d. desarrollando 16 y reduciendo se obtiene: 24 tan   tan C) Tg8° (queda para el alumno)   tan  1  tan  tan efectuando: 82 Tgα+Tgβ= Tgθ+Tgα Tgβ Tgθ 8 Tgα+Tgβ+Tgθ=Tgα Tgβ Tgθ L.θ).q. Demostración: 74 25 A partir de α+β+θ=π ➞ α+β=π .q. Luego dividiendo a ambos miembros por : PROPIEDADES Tgα Tgβ Tgθ. tan   tan  tan     tan  tan  tan      Si α+β+θ=π se cumplen: tan   tan  tan   tan  tan tan  cot  cot  cot cot  cot cot   1   Si α+β+θ= se cumplen: 2 cot  cot  cot  cot  cot  cot tan  tan  tan  tan   tan tan  1 En general: Estas dos propiedades se cumplen si:       k         2k  1 2 donde k es un número entero 94 .d. se obtiene: tan   tan  tan      tan  tan  tan      Ctgβ Ctgθ+Ctgα Ctgθ+Ctgα Ctgβ=1 L.
Tg(b . Reducir : Sen85°Cos48° . Simplificar : tan50 01. mn n m D) E) m n mn PROBLEMAS 09. Ctgx+Ctgy=n hallar Ctg(x+y) m n A) mn B) m2+n2 C) m n 95 . Si : Tgx = 4 ∧ Tgy = 2 expresión : hallar : Tg(x .a) = 3 hallar :    hallar : tan   x Tg(2a + 3b)  8  A) -4/7 B) 1/8 C) 3/7 A) 2/3 B) . Calcular el máximo valor de la 03.y) 2sen x  7 cos x  1 A) 1/3 B) 2/3 C) 1/9 A) 2 B) 3 C) 4 D) 2/9 E) 3 D) 5 E) 6 04. Reducir : tan70  tan20 sen x  y  sen x  y A) 1 B) 2 C) 3 cos x D) 4 E) 5 A) Seny B) 2Seny C) Senx 10. Calcular: D) 2Senx E) Cosy sec75  sec15 tan75  tan15 02. Reducir : cos x  y cos x  y  sen2 y A) Senx B) Cosx C) Sen2x D) Cos2x E) Sec2x A) Seny B) Cosy C) Senx D) Cosx E) 1    07. Hallar : Tgα 08. Si: Tgx+Tgy=m.Sen48°Cos85° A) 6 B) 2 6 C) 2 2 6 A) 1/3 B) 2/3 C) 3/5 D) E) 4 2 D) 4/5 E) 3/4 11. Simplificar : tan2 3x  tan2 x 2sen  30  x  3 sen x 1  tan2 3x tan2 x A) Senx B) Cosx C) 2Senx A) Tgx Tg2x B) Tg2x Tg3x D) 2Cosx E) 3cosx C) Tg2x Tg4x D) Tgx Tg3x E) Tg3x Tg4x 06. Hallar el máximo valor de: cos x  y 11sen x  5 cos x  2cosy  x  y E  cot x cot y sen x sen y A) 1 B) -1 C) 2 A) 3 B) 4 C) 5 D) -2 E) 3 D) 6 E) 7 05. Simplificar : 13. Reducir : 1+Tg2xTgx 14. Si : Tg(3a + 2b) = 5.2/3 C) 1 D) 4/7 E) -1/8 D) -1 E) 1/5 16. Reducir : 12. Si: tan  x  5  8  15.
Simplificar : 2cos x  45   cot x A 2 3 D sen   x A) 1 B) 1/2 C) 1/3 A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 1/4 E) 1/5 D) 2 E) 3 19. Si : 96 . hallar Tgα 02. Calcular : n 3n tan 20       tan 25      1  tan 20      tan 25      2n θ A) 1 B) 2 C) 3/4 n D) 4/3 E) 3 05. Reducir : A) 9/8 B) 7/4 C) 6/8 D) 11/10 E) 5/3 Sen(x+y)Sen(x-y)+Sen2y+Cos2x 20. Calcular el valor aproximado de Tg29° B C A) 15/31 B) 17/31 C) 19/31 α D) 21/31 E) 23/31 03. Hallar Tgθ A) 0 B) 1 C) Sen2x D) Sen2y E) Cos2y 06. Si ABCD es un cuadrado. Hallar Tgθ 04. Reducir : sen      sen     2 2 cos      cos     A) 2 B) 6 C) 12 D) 18 E) 10/3 A) TgαTgθ B) CtgαCtgθ C) Tgα D) Tgθ E) Ctgα 18. Hallar “Tgα” A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1 E) 1/5 α PROBLEMAS PROPUESTOS 3 01. 1 θ α 3 1 2 2 2 θ 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 3/5 E) 2/3 17.
β) = 2 hallar : Tg2β A) 1 B) -1 C) 1/7 D) 7 E) -7 2 07. Si : cos     cos     tan   tan  tan     tan  tan  tan      0 cos     cos     calcular : TgαTgβTgθTgδ  Si α+β+θ=π se cumplen: A) 1 B) 0 C) -1 tan   tan  tan   tan  tan tan  D) 1/2 E) -1/2 cot cot  cot  cot  cot cot  1 09. Del gráfico. Tg(α + β) = 3 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Tg(α . Si : cos 45     PROPIEDADES PARA TRES 3 hallar : cos  sen  ÁNGULOS A) 1/3 B) 2/3 C) 1/6 PROPIEDADES D) 1/5 E) 2/9 tan   tan  tan     tan  tan  tan     08. hallar Tgθ   Si α+β+θ= se cumplen: 2 θ cot  cot  cot  cot  cot  cot 2 tan  tan  tan  tan   tan tan  1 3 1 En general: A) 1/2 B) 1/3 C) 3/2 Estas dos propiedades se cumplen si: D) 3/4 E) 1/4       k  10. Hallar Tgα        2k  1 2 1 4 donde k es un número entero 3 α 1 97 .
reducir: 1 + CtgACtgB + CtgACtgC + CtgBCtgC A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 05.θ).q. D) 1 E) 2 Luego dividiendo a ambos miembros por : 03. 3 4 3 D) E) 3 3 04.q. hallar CtgC Tgα+Tgβ= Tgθ+Tgα Tgβ Tgθ A) -2 B) -3 C) -1 Tgα+Tgβ+Tgθ=Tgα Tgβ Tgθ L. simplificar y reduciendo se obtiene: TgA+TgB+TgC . se obtiene: calcular: A=k+Csc60° Ctgβ Ctgθ+Ctgα Ctgθ+Ctgα Ctgβ=1 A) 3 B) 2 3 C) 3 3 L. Dado el triángulo ABC: TgA + TgB = 2TgC tanA tanB  1 Calcular: E  tanA tanB  1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 06. CtgB=2. Si: x+y+z=90° calcular: TgxTgy + TgxTgz + TgyTgz A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2 D) 1 E) 2 98 . desarrollando 01. En un triángulo ABC.d.Demostración: A partir de α+β+θ=π ➞ α+β=π .q.θ PROBLEMAS Entonces Tg(α+β)= Tg(π . Dada la siguiente igualdad: Tg80°+Tg70°+Tg30°=kTg80°Tg70° Tgα Tgβ Tgθ.d. Dado un triángulo ABC CtgA=3.q. Dado el triángulo ABC.TgA TgB TgC tan   tan A) 0 B) 1/2 C) 1/3   tan 1  tan  tan D) 1/4 E) -2 efectuando: 02.
1 = TgB = TgC + 1 Tg21°Tg23°+Tg23°Tg46°+Tg21°Tg46° calcular: TgA + Tg2B + Tg3C A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 22 B) 23 C) 24 D) 2 E) 20 08. En un triángulo ABC:  A  B   C cot  . Si: α + β + θ = 90° y cot  cot10 cot20 3 calcular: 3 A) 1 B) 3 C) E = (3 + Tan β)(3 + Tan θ) 3 D) 2 E) 3 A) 1 B) 3 C) 5 D) 8 E) 10 09. Reducir:  3 3 A) Tg(x . 14. Si : a+b+c=36° reducir : Tg5a+Tg5b+Tg5c-Tg5aTg5bTg5c A 4a D A) -1 B) 0 C) 1 3 5 7 A) B) C) D) 2 E) -2 10 11 10 99 . sabiendo que en un triángulo 9 8 8 ABC se cumple: A) B) C) 5 7 9 sen A  B  sec  C  D   tgD   2k  1 tgA tgB tgC D) 5 E) 6 cosA cosB cosC cosD 7 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 18. Reducir : cot10  cot20  cot60 1 15.y) E) Tg(y . Simplificar: tan x  y  tan y  z  tan z  x tan x  y tan z  x 16.  A  C Calcular: cot   cot   2  2 8 E A) 1 B) 2 C) 3 θ° D) 4 E) 5 A D 11. cot  . Calcular: 2Tg20°Tg50°+ Tg220° A) 3 B) -3 C) 2 D) -2 E) 1 α° 3a 13. En un triángulo ABC: 07. calcule: Tgθ  2  2   2 6 B F C están en progresión aritmética. En la figura.y) B) Tg(y . calcular: Tgα B a C 12.   tan83  tan83  3  x)  4 D) Tg(z . Calcular : TgA . Hallar k. cot  17.z) C) Tg(z . Del gráfico mostrado. 3 3 A) 3 B) C) x) 4 4 D) 3 E) 4 10.
9 11 03. En la figura.Tg40° 01. se cumple : TgA=1. reducir: tan A  B   tan  B  C   tan C  A  37° tanA tanB tanC E A) 1 B) -1 C) 2 θ° D) -2 E) 3 D C 05. En un ΔABC. TgB=2 hallar : TgC A) 0 B) 2Tg50° C) 2Tg40° D) 2Tg80° E) 2Tg70° A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 02. Si: x + y + z = 180°. reducir: A) B) C) cos x  y cos y  z cos z  x 2 3 5 E   3 sen x sen y sen y sen z sen z sen x 3 D) E) 7 8 A) 1 B) 2 C) -2 D) 3 E) 4 PROBLEMAS PROPUESTOS 08. Si: 1+sqrt 3+Tg75°=MTg75°. Del gráfico. calcule: Tgθ B 06. donde: AB = A) 1 B) 2 C) 3 BC D) 2 3 E) 1/2 A F B 04. reducir :  A   B   B  C   C  A tan tan   tan  tan 2  tan  2 tan  2   2   2       2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2 E) 1/4 10 0 . calcular: Tgθ. En un ΔABC.Tg40° . Reducir: Tg270°. En un ΔABC se cumple: tanA tanB tanC 23 2 3   A) B) C) 2 3 4 15 3 2 3 4 Calcular: tanB  tanC  tanA  D) E) 4 3 A) 3/4 B) 5/4 C) 7/4 D) 9/4 E) 11/4 20. Si las tangentes de los ángulos de un triángulo son tres números enteros θ consecutivos entonces la suma de 4a dichas tangentes es igual a: A) 2 B) 3 C) 4 30° D) 6 E) 8 A 2a E D C 3 3 3 07. calcular : D) E) M 7 10 19. En un ΔABC.
Dado un triángulo ABC. TgB = a.1. si: IDENTIDADES DEL ÁNGULO TgA = a . TgC = a + 1 DOBLE hallar el valor de: a3 + a2 + a + 1 SABEMOS : A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 Sen(A + B) = SenACosB + SenBCosA Cos(A + B) = CosACosB . A partir de la figura hallar Ctgx tanA  tanB tan A  B   1  tanA tanB 4 3 Haciendo que : A = B = x 7 x Sen(x + x) = SenxCosx + SenxCosx A) 7 B) 8 C) 9 sen2x  2sen x cos x D) 10 E) 11 Cos(x + x) = CosxCosx .SenASenB 10.09.SenxSenx cos2x  cos2 x  sen2 x tan x  tan x tan x  x  1  tan x tan x 2tan x tan2x  1  tan2 x 10 1 .
sen4 x  cos4 x   cos4x 4 4 5 3 sen6 x  cos6 x   cos4x PROBLEMAS 8 8 4.2Tg2α . Reducir: Cos410° .RESUMIENDO :  sen2x = 2senxcosx cos2x  cos2 x  sen2 x   1  2sen2 x  2cos2 x  1 2tan x  tan2x  1  tan2 x PROPIEDADES : 1 1 1. hallar : Sen2x 2 A) 1 B) 1/2 C) 1+Tg2x 2Tgx 2 3 D) E) 3/5 2 2x 1-Tg 2x 02. calcular : Tg2α 2tan x sen2x  A) 2/3 B) 3/4 C) 4/3 1  tan2 x D) 1/3 E) 1/2 1  tan x 2 cos2x  1  tan2 x 03. sec2x  1  tan x sec2x  1  tan2x tan x A) 3Cosx B) 2Cosx C) Cosx D) 2Senx E) Senx 6.   sen x cos x  { 2 {2 Min Max 2.Sen410° A) Sen20° B) Sen50° C) Sen70° D) Sen80° E) Sen40° 10 2 . Si : 3Tgα=2 . Fórmulas de degradación 2Sen2x = 1  Cos2x 2Cos2x = 1 + Cos2x 3 1 3. Si: Senx+Cosx=func { sqrt 2}. Simplificar: tan2x 1  sen2x  sen x 5. Triángulo del Ángulo Doble 01. tan x  cot x  2csc2x cot x  tan x  2cot2x 04.
Hallar α 12. Sec2θ = 1.25 Sen2(4x + 2) E) Sen2(2x + 1) E = Ctg7° .5 Sen (2x + 1) 08. Simplificar: E = Tg2θ . Simplificar: E   20.4 tan  cot A) 1 B) 2 C) 2 Cos2θ Calcular: “x” 10 3 . Si:   .6 B) 3.Tg2θTg2θ 16. Reducir: 1  sen10  cos10 1  sen10  cos10 14. A partir de la figura hallar Tg2θ A) 5 B) 2 5 C) 2 5 2 5 θ θ D) E) 5 5 3 11.2 CTg14° A) Tg7° B) -Tg7° C) Tg14° 3 D) -Tg14° E) 1 17. Reducir: tan   sec  sen2 Sen40° E tan   1  cos2   sen  α A) Cosα B) Tgα C) Ctgα 1+Cos40° D) Secα E) Cscα A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° sen2 sen2 13.4 E) 1.4 A) Tg5° B) Tg10° C) Ctg5° calcular: Sen2αCtgα tan5 A) 0.7 D) 2 Sen2θ E) 2 Tgθ D) 4. Simplificar: 2tan1830' 6tan2630' sen2  2cos2   E 1  tan2 1830' 1  tan2 2630' sen   cos A) 2 Senθ B) 2 Cos2θ C) 2 Cosθ A) 3. D) 2 Sen2θ E) 2 Tg2θ 05. Calcular: D) 0.2 D) Ctg10° E) D) 1.6 B) 0. Si: 5 tan2   tan   5  0 . reducir: 2    09. Sabiendo que: Sen2α.6 2 15. En la figura. Simplificar: 06.8 C) 1. Simplificar: E  2  1  cos 2x  1 sen2  x  0.5 A) Tgθ B) 2 Tgθ C) Ctgθ D) 2 Ctgθ E) 1 A) 2 Sen2(2x + 1) B) 2 Sen2(4x + 2) 2 C) 0.8 E) 5. .7 07. Tgα = 0. 0°<α<45° 4cos2     4sen4   sen2 2  4 2 A) Senα B) Cosα C) 2Senα A) 4Senα B) 4Cosα C) 4Sen2α D) 2Cosα E) Cos2α D) 2+4Cosα E) 2 10. Reducir: 2  2  2cos4 .8 C) 4. Calcular:          8sen  cos  cos  cos    48  48    24  12 A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 2 3 3 A) 2/5 B) 4/5 C) 6/5 D) E) D) 8/5 C) 12/5 2 4 19. calcular : Tg2α 5 18.
Hallar K: Cos2(45° .(Senx .Tg4x 4 θ θ A) Ctg2x B) 2Ctg2x C) Ctg8x x D) 2Ctg8x E) 2Tg2x A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 04. Simplificar:  x 1  cos x sen     1  tan2  45     2 2 1  tan2  45    10 4 . Reducir A) 5/12 B) 12/5 C) 3/4 D) 4/3 E) 3 cos  sen  cos  sen   : cos  sen cos  sen  02.8Sen4θ A) Cos2θ B) 8 Cos2θ C) 4 PROBLEMAS PROPUESTOS Cos2θ D) Sen2θ E) 4 sen x cos x Sen2θ 01. Si se cumple: 2sen2    1  cos x Sen4x+Cos4x=A+BCos4x  2 hallar: A – B  x 2cos2    1  cos x  2 A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2 Despejando: D) 1 E) 2 06. Reducir: (Senx+Cosx)2 . A) = F θ° KSenACosA θ° A E C x A) -2 B) -1 C) 1 A) 2 B) 4 C) 6 D) 2 E) 2/3 D) 8 E) 10 08. Reducir: E = 3 + Cos4θ . Hallar “x” 10Sen2x 5 03. A) . Reducir: Ctg4x . hallar : Tg2x 2 3 09. Si:  . B A) Senθ B) Cosθ C) Sen2θ D) Cos2θ E) -Sen2θ θ 07.Cosx)2 A) Tgα B) 2Tgα C) Tg2α D) 2Tg2α E) 4Tg2α A) Sen2x B) 2Sen2x C) 4Sen2x D) 8Sen2x E) 10. Simplificar: 1 1 1 1   cos4x 2 2 2 2 IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD  x  x A) cos  B) cos  C) cosx  4  2 IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD 1  x  x D) cos  E) cos 2  2  8 Por degradación:  x 05. Sen2(45° .
va a depender del cuadrante 17 17 34  x A) B)  C) del ángulo   2 2 10  2 34 D)  E) 1 10 FÓRMULAS RACIONALIZADAS 1  x   x sen x 02. entonces 25 NOTA:  x sen   es :  2 El signo + o . Si: cos x  .5 2 ➞ 1 2 2 2  05.5 2 D) 2 E) 2. Si: cos x  y  x  2  2  1 4 4 4 4 2 4 4 4 43 4 2 n radicales 10 5 . Calcular: Tg22°30' Calcular Sen22°30' 2 A) 21 B) 2 C) 2 Resolución: D) 21 E) 2 2  1  45 ➞ sen22°30' = sen  04. ¿cuál es la cotangente de la mitad 1  cos45 de dicho ángulo? ➞ sen22°30'= A) 0.  x 1  cos x cos     2 2 PROBLEMAS  x 1  cos x tan    01. Si la cotangente de un ángulo es 5 over  2 12.5 B) 1 C) 1. calcular cos  ( 0  x  ) tan   csc x  cot x  8  2 2 2   1  cos x A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4  x sen x D) 2/5 E) 3/5 cot   csc x  cot x   2 1  cos x Ejemplo: 03. Si:  x   x 22°30' cot   tan   2   2  2  ncscn x 2+ 2 tan x PROPIEDAD calcular “n” A) 8 B) 6 C) 4   D) 2 E) 1  2sen n1  2  2  2  K  2  2  1 4 4 4 4 2 4 4 4 43 n radicales   1 3  2cos n1  2  2  2  K  2 07. Simplificar: sen2230'  2 4  x 2tan  E  2  x cot   2cot x 2 2  2 ∴ Sen22°30' = A) 1 B) 2 C) -1 2 D) 0 E) -2 67°30' 2 2.2 06. Si “x” es un ángulo agudo del primer  2 1  cos x 8 cuadrante y cos x  .
Si: 270° < x < 360° y sec x  . x  IIIQ . Reducir : (0 < x < 90°) 13. Si: cos x  0. Si: α ∈ IIIC. D)  E) -1/4 2 4 calcular:       8 2  sen   7 cos   08.25 E) 0.2 C) 0. hallar: tan  30 sen   2  2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6 3 3 A)  B)  C) 7 2 2    2 2 6 1 7 16. calcular : D) E)  4  3 7 2 6   x tan2    10.2 . Si:  8 2 1  sen20  tan  A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3 1  sen20 D) 3/2 E) 2 calcular “θ”. Simplificar: 9 9 10 A) B)  C)  x   x 10 10 3 sec2    csc2  2     2 10 10 E D) E)  4 30 30 A) Sen2x B) Sec2x C) Csc2x D) 1 E) Cos2x 19. Calcular el valor de la expresión: A) 30° B) 28° C) 35°      D) 38° E) 37° csc  cot   cot tan  E  2   2 2   2  12 tan    cot   11.125 15.1 B) 0. Si: Cos2 = 4 over 9. C) 4 4 4 3 6 14. hallar:  x   09. Si 2Sen2θ = 3Senθ ∧    2 . donde:      2  25 2 D) 5 E) 5      calcular: sen   csc   2   2 12.5 D) 0. 270°[ .  x A) 1 B) 2 C) 3 calcular: sen  D) 1/2 E) 1/3  2 3 3 6 A) B) . α ∈ ]180°. donde: sen    . Si: sen  x  . Calcular:  x   x E  sen  1  cos x  cos  1  cos x } cot15  3tan45  2   2 E cot2230' cot2630' 10 6 . calcule  2   2 13 el valor de : A) 1 B) 1/2 C) 1/4     D) 2 E) 4 sen 2   5cos 2     A) 1 B) 13 C) 3    7 3 18. θ ∈ IC 17. Si: sen  2  . calcular  2     2 7 A)  2 B) 2 2 C) 3 2  x el valor de: sen   D) 4 2 E)  14  2 A) 0.
Si: Sen4 = k. x  IC calcular:  x   x E  cot   tan   2   2 A)  2 B) 1 C) 1  2 2 2 D)  E) 2 2 10 7 . Reducir:   2sen2    1  cos   2 1 1 1 1 1 E    1  cos8  A) Sen B) Cosα C) Sen α 2 2 2 2 2 2 D) Cos2α E) 1 A) Cosα B) Cos2α C) Sen2α D) Senα E) Tgα 02. Considerando que: cot26  2sen x 39 D) 0 E) Senx calcular: Tan32° A) 5/8 B) 3/7 C) 1/7    20. Reducir:     09. Si: 90° < x < 180° y cos2 x  6 3 6 6 81 A B)  C)   x 2 2 2 Calcular: cos  2 D) 3 6 E) 6 A) -4/7 B) -3/7 C) 1/3 2 6 D) 3/7 E) 4/7 05. Reducir: 08. 2 A) 2Senx B) sen x C) 2 80 06. Calcular: A) B)  C)  1 k 1 k 1 k M  2 2  2 sen2230' D) k1 E) 1k 2 A) 2 2 B) C) 1/2 2 PROBLEMAS PROPUESTOS D) 1 E) 2 01. Si: csc x  cot x  2. Sabiendo que:  4   4    x 2 2 sen x   ∧ 270°<x<360° C) tan   3  4 2 Calcular:   x   x D) tan   E) tan    x   x  4 2  4 4 E  2csc   sec   2   2 49 04. Reducir: sen   tan  cot   1 E = Cscx + Csc2x + Csc4x + Csc8x   2   x  x A) Ctgθ B) Cosθ C) Senθ A) cot  B) tan   D) Tgθ E) 1  2  2   x C) cot   tan8x 03. calcular : tan   2 D) 3/13 E) 12/13  4  1 k 1 k 1 k 07. Hallar el equivalente de:  2 1  sen x  x  x E D) cot   cot8x E) cot   cot8x 1  sen x  2  2       A) tan  x B) cot  x 10.
Reducir: 1 3cos x  cos3x P   4sen15 E 4 sen2x cos x A) 2Sen3x B) 4Tgx C) 4Ctgx D) 2Ctgx E) 2Tgx 10 8 .3Cos3A E 1  3tan2 x 3tan10  tan3 10 Tg30° = Tg3(10°) = A) Tg3x. Si: sen   3  tan  60  x tan x tan  60  x  tan3x calcular: Sen3α También: 27 23 A) B) C) 1 sen3x  sen x  2cos2x  1 29 27 1 1 cos3x  cos x  2cos2x  1 D) E) 9 17 Ejemplo: E  sen5 sen55 sen65 07. Reducir: 4 sen3A E  4cos2 A senA 4 10-2 5 A) Sen3A B) Cos3A C) 0 D) 1 E) -1 36° 5 +1 05.Tgx E) tan x Valores Notables 03.Sen2A PROPIEDADES A) 2Cos2A B) -Sen3A C) Sen3A D) Cos3A E) -Cos3A  4sen  60  x sen x sen  60  x  sen3x  4cos 60  x cos x cos 60  x  cos3x 1 06. Calcular: 5 1 3sen20  4 sen3 20 sen18  E 4 3cos20  4cos3 20 4 5 -1 18° A) 3 B)  3 C) 2 3 10+2 5 3 D) 2 3 E)  2 5 1 cos36  04. A qué es igual: Sen60°= Sen3(20°) = 3Sen20° .IDENTIDADES DEL ÁNGULO 1 6  2 6 2 P   P  TRIPLE 4  4   16 PROBLEMAS  sen3x  3sen x  4sen3 x 01.4Sen320° 3  tan2 x Cos9A = Cos3(3A) = 4Cos33A .Tg2x B) Tg23x C) 2Tg3x 1  3tan2 10 tan3x D) Tg3x. Reducir: E = CosA -2SenA . Calcular:   3   cos3x  4cos x  3cos x 3 E  3sen    4 sen  12  12   3tan x  tan3 x 2  tan3x  A) 2 B)  2 C) 1  3tan2 x 2 2 D)  E) 8 Ejemplos 2 02.
Tg71° A) 2tan11° B) tan44° C) tan22° 10 9 .Tg49°. 1 D) tan33 E) tan33° 4 08. Calcular: P = Sec36° + Sec72° A) Sen20° B) 8Cos210° C) 8Sen210° A) 0 B) -4 C) 4 D) 8Cos310° E) D) 2 5 E) 2 5 8Sen310° 19. Hallar el lado de un decágono regular inscrito en una circunferencia de 2 m A) Sen23x B) Cos23x C) 3Sen3x de radio. Si:  k1 P = Ctg9° + Tg9° . Calcular: cos3x 12. A qué es igual: D)   5 1 m E) 5m P = 4cos2x-1 17. Reducir: sen3x  sen3 x E sen2x 1 1 15. D) 3Cos3x E) 1 A) 4 m B)   5 1 m C) 2 m 10. Reducir: E  3  6cos10 18. Senx 3 3 D) cos x E) sen x 2 2 A) Cos6x B) Sen6x C) Cos9x D) Sen9x E) Sen3x 09.2 cos x calcular: cos4x A) 2 B)  5 C) 5 A) k -2 2 B) k +2 2 C) k -2 D) 2 5 E) 2 5 k2  2 k2  2 D) E) 2 2 20. Calcular: sen3x P = Sen162° + Sen54° A) sen3x B) C) cos3x sen x 1 A) -2 5 B)  5 C) cos3x 4 D) sen3x.24Sen4 x 16. Reducir: A) 3cosx B) sen x C) cos x 2 2 P = (2Cos2x+1)(2Cos6x+1) .Sen40°.senx E) cos x 5 D) 2 5 E) 2 11. Reducir: P = Tg11°.Sen80° A) 2Tg3x B) 3Tg3x C) -3Tgx 1 1 D) Tg3x E) 2Tg3x 3 A) B) C) 4 8 8 1 3 D) E) 9 4 14. Calcular: P = Sen20°. Reducir: P = 9Sen2x + 16Sen6x . Reducir: P = Tgx + Tg(x-120°) + Tg(x+120°) 13.
001 C) 0. A qué es igual: 02.296 E) -0.5 C) 1 A) -Cos3α B) Cos3α C) Sen3α D) -1 E) 3 D) -Sen3α E) 3Senα 07.Cosx cos3x D) Cos23x E) Sen3x.003 B) -0.9 04. Calcular: P = 4Cos320° .4Sen2x Calcular: Cos3α A) 0. Cosx cos3A A) -Sen3x B) Sen6x C) Cos6x E  4sen2 A cosA D) Cos9x E) Sen9x A) -2 B) 2 C) 0 10.296 cos3x A) Cos3x B) cos x 03.5 B) 0. A qué es igual: P = 4Sen3α .4 P = Cos10° .3Cos20° 01.2 C) 0. Cos50° . Reducir P = (2Cos2x-1)(2Cos6x-1) . Si: Cosα = 0.2 cos x 08.3Senα A) 0. Cos70° D) 0. Calcular: A) 0.5 B) -0. Reducir: D) 1 E) -1 P = Ctg27° + Tg27° + 2 A) 2 5 B) 2 5 C) 5 D)  5 E) 4 11 0 .001 D) 0. Reducir: 3 1 1 A) B) C) P = 16Cos6x .1 P = 1 . Hallar: Cos2x C) Cos3x. PROBLEMAS PROPUESTOS 06.Senx si:  0.6 E) 0.24Cos4x + 9Cos2x 4 4 16 1 3 A) 2Cos3x B) Cos3x C) Cos23x D) E) 8 8 D) Sen23x E) 2Sen3x 09. Reducir: 05.
Hallar: Tg2x  2  sen3x  sen x  a sen8x  sen2x si :  } Ejemplo: P   cos3x  cos x  b cos8x  cos2x Transformando: a 2Sen5x . Cos10° + Sen40°  A  B  A  B senA  senB  2sen  cos  2   2  A) Sen10° B) Cos10° C)Sen20°  A  B  A  B D) Cos20° E)Sen40° cosA  cosB  2cos cos  2    2   A  B  A - B 03.PRODUCTO Si: A > B. Reducir: P = 2Sen10° . Cos3x b queda: D) a+b E) a P = Tg5x 05. se cumple: A) Tg4x B) -Tg4x C) Ctg4x D) -Ctg4x E) -1  A  B  A  B senA  senB  2sen   cos  2   2  02. TRANSFORMACIONES PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICAS 01. Cos210° 11 1 . Reducir: (PRIMER CASO) cos7x  cos x E sen7x  sen x IDENTIDADES SUMA . Reducir: cosA  cosB  2sen  sen  2   2  E sen50  cos50 cos5 CASO PARTICULAR  A A)  2 B) 2 C) 2 1  cosA  2cos2   D) -2 E) 0  2  A 1  cosA  2sen2   04. Reducir: P= 2Cos20° . Cos3x A) a. Reducir: Ejemplo : P  1  2cos20  cos40 sen9x  sen3x E cos2 3x Arreglo: P= 1 + Cos40° + 2Cos20° A) 2Sen6x B) 2Cos3x C) 2Sen3x Transformando: D) 4Sen3x E) 4Cos3x P= 2Cos220° + 2Cos20° P= 2Cos20°(Cos20° + 1) 06. 2Cos210° 1  cos40 E Queda: sen40 P= 4Cos20° .b B) C) a-b P= b 2Cos5x .
Cosx E  1  sen400 E) 4Sen5x.Cos(α-30°) 11. Reducir: C) func{ sqrt 2 } . 15. Transformar a producto: P = 1 + Cos2A + Cos4A + Cos6A A) 2Cos20° B) 2Cos10° C) Tg20° D) 2Cos40° E) 2Sen10° A) 4CosA.CosA A) 2Sen5° B) 2cos5 C) Sen5° 16.Sec40° 13.Sec40° E) Cos5°.Cos5°.Cos2x. Convertir a monomio: D) 4Sen5x.Cos40° B) func{ sqrt 2 } .Sen6A P = Cos20° + Cos50° + Cos100° D) Cos12A.Cos2A B) Cosθ. Convertir a monomio: D) 2sen5 E) Cos5° P = 1 + 2Cos2α 10.SenA E) Sen12a. Hallar su hipotenusa.Cos4x C) 4Cos5x.Cos(30°-α) A) Senx B) -Senx C) 0 D) 4Sen(30°+α).Sen40° E = Sen2(A+θ) . Convertir a monomio: 4 P = Sen2x + Sen4x + Sen6x + Sen8x A) -1 B) 0 C) 2 D) 1 E) -2 11 2 . Convertir a monomio: 17.Sen2x.Cos4x D) Tg20° E) Ctg20° B) 8Sen5x.Cos2A.Cos2A Calcular: Tg2x. Simplificar: P = 2(Cos5x+Cos3x). Calcular el mínimo valor de: P = 3+5Sen23° P = (Sen3x-Senx).Cosx A) 2Sen13° B) Cos14° C) Sen14° A) 1 B) -2 C) -1 D) 5Sen7° E) 5Cos7° 1 1 D)  E)  2 4 12.Sen2(A-θ) D) Cos5°.Sen2A  a ≠ kπ ∧ x ≠  2n  1 14.CosA 19.Sen2A.Ctga E) Sen2θ. Si:   sen3x  sen x  sena D) Cos2θ. Reducir: C) 4CosA.Sen40° A) Sen2θ.CosA  cos3x  cos x  cosa C) Senθ.Cosx 07.Cos2x.Sen(30°-α) D) Cosx E) -Cosx E) 4Sen2α. A) Tg10° B) 2Ctg20° C) 2Tg20° A) 8Cos5x.Cos3A B) 4SenA. Reducir: P = 1 + Tg40° A) Cos4x B) Cos8x C) Sen6x D) Sen8x E) Sen16x A) Sen5°.Senx A) Sen20° B) 2Sen25° C) 2 sen25 D) 2Cos25° E) 2cos25 08. Calcular: A) 4Cos(60°-α) S = Cos(x-120°) + Cosx + Cos(x+120°) B) 4Sen(60°-α) C) 4Cos(30°+α).Sen3A 09. Los catetos de un triángulo rectángulo son: 1+Cos20° y Sen20°.(Sen3x-Senx) 18.Cos5°.Cos2A.
Sen20° E = 2Senx .Ctgx A) 2Cos10° B) 2Sen10° C) A) 5 B) 4 C) 3 2Cos25° D) 2 E) 1 D) 2Sen25° E) 4 2 05.Cos2x D) 4Sen4x. Cosx + Sen6x A) Sen8x B) Sen4x.Cos20° E) 02.Sen26x 03. A qué es igual: P = 1 .Sen14x B) E Sen4x.Cos10x D) -4 E) 1 09.   C) 2sen sen 20.Cos2x E) Sen4x.Cos14x D) Cos2x.Sen20° B) A) -2 B) 2 C)  2 4Sen10°. Transformar a producto: P = Cos28x .(Tgx+Ctgx) A)  2 B) 2 C) 0 A) 2Cosx B) 2Senx C) 4Senx D) 1 E) -1 D) 4Cosx E) 4Sen2x 06. Simplificar: sen5x 3 sen50 04. Reducir: P = Sen(x+40°) + Sen(20°-x) P = (Sen3x+Senx). Reducir: 3  2sen10 A) Sen2x.Cosx 08.Cos20° D) 2 E) 0 C) -4Sen10°. Reducir: 2Sen10°.     A) 8sen cos B) 4sen cos 8 24 8 24 11 3 .Csc25° A) 4Sen10°.Sen14x sen35 cos25 C) Cos4x. Reducir: 8 24 P = Sec2x .Cosx C) 2Sen4x.Tg2x     D) 2cos cos E) sen cos 8 24 8 24 A) Tg(45°+x) B) Tg(45°-x) C) Ctgx D) -Ctgx E) Tg4x PROBLEMAS PROPUESTOS 07.Cos14x E) A) 2 B) -2 C) 4 Cos2x.Sen20° D) -4Sen10°. La expresión: E  6  2  2 indicarla como un producto de razones trigonométricas. Si:  E sen3x 2 sen55  cos85 calcular: P = Tg4x. Hallar el mínimo valor de: 10.2Cos80° 01. Calcular: P = (Sen70°-Sen20°).
u : último ángulo n : número de términos 11 4 .Sen(x- y) 2Cosx Cosy = Cos(x+y) + Cos(x-y) 2Senx Seny = Cos(x-y) - Cos(x+y) PROPIEDADES I.A. Si: α + β + θ = 180° (triángulos)         sen   sen  sen  4cos  cos  cos   2   2   2 TRANSFORMACIONES         cos  cos  cos  4sen  sen  sen   1  2   2   2 TRIGONOMÉTRICAS II.SUMA 2     2   2 Si x > y. Si: α + β + θ = 360° (SEGUNDO CASO)         sen   sen  sen   4sen  sen  sen  IDENTIDADES PRODUCTO . 2Senx Cosy = Sen(x+y) + Sen(x-y) 2Seny Cosx = Sen(x+y) . se cumple:         cos  cos  cos  4cos  cos  cos   1 2     2   2 SERIES TRIGONOMÉTRICAS  nr sen  sena  sen a  r  sen  a  2r  K  sen  a   n  1 r   2 sen  a  u  2   r   sen  2    nr sen  cosa  cos a  r  cos a  2r  K  cos a   n  1 r   2 cos a  u  2   r   sen   2 NOTA: a : 1er ángulo r : razón de la P.
Cos25°+Sen5° A) 2Cos3x B) 2Sen3x C) Sen3x D) Cos3x E) Tg3x 2 A) 2 B) 2 C) 2 09.Cos3x B) Cos4x. PROBLEMAS A) Senx. Calcular: P = 2Sen20°.Sen6x)2 . reducir: 07. Simplificar  2  2   2 P = (2Sen5x .Cos4x D) 7 E) 8 10.4Cos2x + Cos4x 03.Cos4x D) 6 . Si: 2sen  cos   senAx  senBx  2   2 B) 3 + 4Cos2x + Cos4x Hallar: A+B C) 3 . Reducir: A) -Sen4x B) Sen4x C) -Sen2x sen2x  2cos4x  1 D) Sen2x E) 2Senx E sen3x 02.Cosα-Sen4α)2  A  B   C A) tan  tan  tan  2    2   2 A) Sen22α B) Sen22α C) Cos22α  A  B   C D) Sen2α E) Cos4α B) cot  cot  cot  06.Cos2x P = Sen2x + 2Senx . Para un triángulo ABC reducir: D) Tg8A E) -Tg6A senA  senB  senC E cosA  cosB  cosC  1 05. Cos3x 08.Cos24x C) 1 D) -1 E) 0 A) Cos8x B) -Cos8x C) Cos6x D) -Cos6x E) 2Cos4x 12. Simplificar: E  sen(  )sen(  )  sen(  )sen(  )  sen2  2sen5A cos3A  sen2A A) Sen2α B) Sen2β C) Sen2θ E 2cos7A cosA  cos6A 2 D) Cos α E) Cos2θ A) -Tg8A B) Tg2A C) Tg6A 11. Reducir: P = Cos0-(2Sen3α. Reducir: D) Sen2x. Para un triángulo ABC.Cos4x E) Sen4x.Cos2x + Cos4x A) 1 B) 2 C) 3 E) 6 + Cos2x .Cos2x C) Sen2x. Transformar: 1 P = 8Sen4x D) E) 3 2  7x   x A) 3 . Cos5x . Cosx .4Cos2x .Sen3x . Cos9x senA  senB  senC 11 5 .Sen4x 01. Reducir: 04. Simplificar: senA senB senC E P = Sen7x .
SenC D) Cos5x . Cosx 2cos6x cos2x  cos4x E sen16x A) 2+ 2 B) 4 C) 2 1 1 1 2 2 2 2 A) sec8x B) csc8x C) sec4x D) E) 2 2 2 2 2 1 1 D) csc4x E) csc9x 2 2 18. Sen6x . Sen8x P = Cos80° + 2Sen70° . Cos2x = ASenx + BSen3x D) 2sen  sen  sen   2  2   2 1 1 E) 1 A) 0 B) C)  2 2 D) 1 E) -1 13. Reducir: 17. Sen6x . Cosz 2 9 E) Cosx . Cosz 1 1 D)  E) 3 3 14. Reducir: A) Sen5x . Calcular: A) Senx .5 E) 2 E) Senx . Cscx A) SenA . Sen9x 03. Cosy .4Senx .Sen4x 16.1 SenB + SenC = 2Sen A  B  C A) 1 Calcular: tan  tan  2    2 B) Senx . SenB . Cos5x C) Sen5x . Cosy . Transformar a producto: A) Senx B) Sen2x C) Sen3x P= D) Sen5x E) Sen6x Sen2x+Sen4x+Sen6x+Sen8x+Sen10x 02.. Seny . Reducir: P = Sen1° + Sen2° + Sen3° + . + Sen180° A) Tg30° B) Tg1° C) Ctg30´ D) Ctg1° E) 0 15. Sen10° B) Cosx . Hallar el máximo valor de: P = 2Cos(x+45°) . Secx B) CosA . Cscx B) Sen5x . Cosx . Transformar a producto: P = 1 . Senz A) B) C) 9 D) 4Cosx . Cos6x . En un triángulo ABC se cumple: P = Cos2x + Cos2y + Cos2z . Si: x + y + z = 90° reducir: 20. Secx 11 6 .. CosB .5 C) -0. Sen6x . C) Cos5x . Reducir: D) 5 E) 2 P = 2Sen3x . Senz 1 1 C) 4Senx . CosC  A  B   C C) 2cos  cos  cos   2  2   2 19. Sen3x 04. Csc5x D) 1. Hallar: A + B en la identidad  A  B   C Senx .5 D) Senx . Cosx E) Cos5x . Calcular: P = Sen210°+Sen220°+Sen230°+… +Sen290° PROBLEMAS PROPUESTOS A) 0 B) 15 C) 10 01. Seny . Cscx A) 1 B) 0.
Senx B) Sen5x. Si: α + β + θ = 180°.Secx D) Cos5x. Reducir: cos x  2cos2x  1 E cos3x 1 A) B) 1 C) -1 2 1 1 D)  E) 2 2 06. Transformar a producto: P = 4Cosx . Cosα .Cosx B) Sen25x. P = Sen7α .Cos2α E) Senα.Sen2α 05.Senx E) Cos5x. Reducir: P= Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x + Sen9x A) Sen5x.Cos5α . Cosx         cos  cos  cos  4cos  cos  cos   1  2   2   2 2 2 ( ) sen2  sen2  sen2  4sen  sen sen  A) B) 2 C) -2 2 A) VVF B) VVV C) FFF 2 2 D) FVV E) VFV D) -1 E) 2 11 7 .Cos2α C) Sen8α D) Sen4α. Hallar el mínimo valor de: ( ) P = 2Sen(45°+x) .Cscx C) Sen5x.Cosx E) Sen7x.Senx 07. indicar (V) o (F): C) 3Senx-Sen3x ( ) D) 3Senx+Sen3x-1 E) 2Senx.Cscx D) Sen5x. Transformar: E = 4Sen3x A) Senx-Sen3x B) Senx+Sen3x 10.         sen   sen  sen   4cos  cos  cos  Sen3x+1  2   2   2 09. Sen3α A) Cos8α B) Cos4α.Cscx C) Cos25x.Senx 08. Cos3x + 1 A) Sen5x.
(2. π.T(x)} nπ/n Z Ejemplo: Si : y = Senx iii.1  . DOMINIO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Es el conjunto que tiene como elementos a los valores de la variable “x” (en radianes).. de tal manera que la función exista. Se observa que existe los Senx  x  ¡  DomF = ¡ o también . y) tal que y = F. Es decir: es decir x  nπ / n  Z DomF = ¡ - F = {(x..Sen1)..Sen1). y = F. Sen2).  . . . y = Secx .. y = Senx Ubicamos los “x” en C.Sen  .    6 2  2  11 8 . y = Senx ii.(1.    6 6   2  2     1       F   (0..RANGO ii.T(x) (regla de es fracción existe si el denominador : correspondencia) Senx  0  x  0.Cscx Resolución: i.T. 2π... y = Ctgx Cosx Sabemos que y = Una función trigonométrica es aquella Senx función donde sus pares ordenados son de la forma (x. ... y  ¡ .Sen  .Sen0).Cscx           F   (0. y) / x . ...0)..(1.. y = Ctgx iii. Recordar: a i) existe si b  0 b ii) a  ¡ o a0 1  iii) ¡ a a ¡  iv) a2  a a ¡  Ejemplos: Hallar el dominio de las siguientes funciones: i. < x < + FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: DOMINIO . . y = Secx ..
2.. .T..T(x) NOTA: Los criterios que se tiene para calcular el rango de una función trigonométrica es dependiendo de la forma y tomando en cuenta los criterios de las funciones reales.2.  x  / n Z x x 2 2 2 2 2 X  ¡   X  ¡   n 1 b DomF = ¡ . / n Z x+  2 ax+  2 ab 2 x x  ab > 0 RANGO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Es el conjunto que tiene como elementos a los valores de la variable “y” tal que y = F..5  3Senx + 4 Cosx  5 2 2 2 x  0... 1] X ii) y = 2Senx + 3 Se sabe que : -1  Senx  1  x  ¡ C.. y = 2Senx + 3 iii.. . .. ........ 6  Ordenando : x  0. .4  y  6  RanF =  4... x ¡ 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 43  3 5 Propiedad de ngulos compuestos es decir : x  ..... i) X ¡   ii) X  ¡   2 2 1 b  2 3 4 n x+  2 ax   2 ab  x  0.2  2Senx  2 1  2Senx + 3  5 1 1  1  y  5  RanF = [1. .. Y Sabemos que la extensión de : ... 5] Sabemos que y =  Cosx Senx iii) y = 3Senx + 4Cosx Se sabe que: esta función existe si Cosx  0  Senx  0 32  42  3senx  4Cosx  32  42 ... y = 3Senx + 4Cosx + 1 Resolución: i) y = Senx 11 9 . Ejemplos: Hallar el rango de las siguientes funciones: i. .... 2π. Formando la función: . ..1  y  1  RanF = [-1.. .... π.1  Senx  1 ..  ... .1  3Senx + 4 Cosx + 1  6  .. y = Senx ii.  2 Recordar: 2 3 .  .  x  ¡  .
  
01. Si:  ;2n  1 pertenece a la gráfica de 07. Hallar el rango de la función:
la función: y = Senx, hallar “n” y = 7Cosx + 3
A) 1/2 B) -1/2 C) 1/4 A) [4; 10] B) [-10; 4] C) [-10;
D) -1/4 E) 1 -4]
D) [-10; 10] E) [-4; 10]
  2
02. Si:  ;2n   pertenece a la gráfica 08. De la siguiente función:
 4 4 
de la función: y = Cosx, hallar “n” y = 3 – Cos2x
2 2 2 indicar el valor de :
A) B) C) Fmínimo + Fmáximo
2 A) 0 B) 6 C) 5
16 D) 3 E) 2
03. Siendo “DF” y “RF” dominio y rango de 09. Graficar la función:
la función “F”, indicar verdadero (V) o 4x
falso (F) en : y  2Sen
( ) F(x) = Sen DF  ¡  RF   1; 1 Indicando su amplitud y su período
x 3 5
( ) F(x) = 7Cos DF  A) 2; B) 2; 2 C) 3;
¡  RF   7; 7 3 4
D) 4; E) 2;
( ) F(x) = Cos2x + 4 DF 
¡  RF   4; 5 10. Graficar la función:
A) VFV B) VFF C) VVV 4
D) FFV E) FVV indicando su amplitud y su periodo
04. Hallar el rango de la función: 1  1 2 1 5
2 3 6 3 6 3
y = 3Senx + 2 1  1 2
A) [-1; 1] B) [-1; 5] C) [1; 5]
D) [0; 5] E) [-5; 1]
11. Hallar la amplitud (A) y el periodo (T) de
las siguientes funciones sin graficar
05. Hallar el rango de la función:
 A  .............
I. y  4Sen3x  
y = 5Cosx – 2  T  .............
1 x  A  .............
A) [-3; 7] B) [3; 7] C) [-7; 3] II. y  Sen  
D) [-7; -3] E) [0; 7] 3 4  T  .............
A) I) 4; II) 3; 2
06. Hallar el rango de la función: 2
1 3 1
y = 4Senx + 3 B) I) ; II) ; 8
A) [1; 7] B) [-7; 7] C) [-1; 7] 1
C) I) 2; 2 II) ; 8
D) [-7; 1] E) [0; 7] 3
2 1 1 
D) I) 4; II) ; 8 C) I)  ; II) 2; 2
  D) I) 1;2 II) 2; 2
E) I) 1; II) 3;
2 4  1
12. Hallar la amplitud (A) y el periodo (T) de E) I)  1; II) ; 
las siguientes funciones sin graficar 16. Graficar las siguientes funciones :
I. y = 3 - 2Sen4x
 A  ............. II. y = 2 + 3Cos2x
I. y  6Cos4x  
 T  ............. indicando su amplitud y su periodo
1 2x  A  .............
II. y  Cos  
3 5  T  ............. A) I)  2; II) 3; 
3 3 B) I) 2; II) 3; 
A) I) 6; II) 2; 2
 1 C) I)  2; II)3;
B) I) 6; II) ; 5 2
1 D) I)  3; II) 2;
C) I) 4; 2 II) ; 5 2
 1 E) I) 3; II)2; 
D) I) 3; II) ; 5 2
 1 3 17. La ecuación de la gráfica es :
E) I) 3; II) ;
3 3 2 y = 2Sen4x
13. Graficar las siguientes funciones : Calcular el área del triángulo
I. y = - Senx sombreado
II. y = - 3Sen2x
indicando la suma de sus amplitudes y y
la suma de sus periodos
A) - 4; 3 B) 4; 3 C) – 2;
3 3 O
D) 4; E) – 4;
14. Graficar las siguientes funciones :
I. y = -Cosx
II. y = -2Cos4x  2  2  2
indicando la suma de sus amplitudes y 4 8 2
la suma de sus periodos D) u2 E) 2 u2
9 5 18. La ecuación de la gráfica es:
A) - 3; 5 B) – 3; C) – 3;
2 2 y = 1 – Sen2x
9 9 Calcular el área del triángulo
D) 3; E) 3; sombreado
15. Graficar las siguientes funciones :
II. y = 2Senx - 1
indicando su amplitud y su periodo
A) I) 1;2 II) 2;
B) I) ; II) ; 8
y  2  2
D) u E) u
 2  2  2
D) u2 E)  u2
19. La ecuación de la gráfica es:
y  2Sen2
sombreado PROBLEMAS PROPUESTOS
y 01. Hallar el dominio de la función:
F(x) Cosx  1
A) x = nπ  n  Z
B) nπ  x  2nπ  n  Z
C) nπ < x < 2nπ  n  Z
D) x = 2nπ  n  Z
E) x = (2n + 1)π  n  Z
02. Graficar las siguientes funciones:
I. y = Cosx + 1
 2  2 II. y = 2Cosx - 1
A) u B) u C)  u2
4 2 hallar la suma de periodos de (I) y (II) y
D) 2 u2 E) 4 u2 la suma de amplitudes de (I) y (II)
20. La ecuación de la gráfica es: A) 3π; 3 B) 2π; 6 C) 4π; 3
D) π; 21 E) 5π; -3
y  Sen2x
2 03. Graficar las siguientes funciones:
Calcular el área del triángulo 1
sombreado I. y =  Senx
II. y = 4Sen
A) I)  ;2 II)  4; 8
B) I) ; II) 4; 8
 2 C) I) ; II)  4; 8
A) 2 u2 B)  u2 C) u 2
y = -2Senx + 1 indicando su amplitud y su periodo Calcular la ecuación de la gráfica A) I) -1. La siguiente curva es una cosinusoide II. 1 C) I) 3. 2π II) 2. 2π II) 3. y = Senx . 4π 2 E) I) 3. 2π 2 06.2 II)2. 4 3 1 3 C) I) .2 II)  4. π II) 3. Graficar las siguientes funciones: x 1 x y  (1  Sen ) I.4 A) u B) u C)  u2 3 4 4 2 05. y = -2Cosx + 1 indicando su amplitud y su periodo y A) I) 1. Graficar las siguientes funciones : x O  /2  I. 8 2 08.2 07. π II) 3. 8 D) I) 2.1 09. 2 D) y = 1 + Cos2x E) y = 1 – Cos2x 2 2 D) I) 1.4 II)4.2 II)  .1 II. 2 E) I)  1.2 II) 4. 4 8 1 8 D) I) . 2π D) I) 2. II)  1. Graficar las siguientes funciones : I. 2π 1 1 E) I) -1. 8π B) I) 2. π II) 2. 2π A) y = Cosx – 1 B) y = 1 – Cos 1 x B) I) . 2π II) -2. 2 2 2 C) y = Cos2x – 1 1 1 C) I)  . 4 5  1  2  2 E) I) 4. 2π II) -2. π/2 12 3 . Graficar las siguientes funciones : D) 2 u2 E) 4 u2 I. π II) 2. y = Cosx .2 II) 2. 2π II) 2.4 II) 4.2 II) . y = 3 . y = 2 + 3Sen2x II. y = 4Cos 4 sombreada indicando su amplitud y su periodo y 1 3 A) I)  . 2π II) . π II) -1. 2π C) I) 2. y =  Cos 2 4 2 3x Calcular el área de la región triangular II. 4π D) I)  4. II)  . π/2 1 E) I) . O x 2 8 1 8 B) I) . 2π 2 B) I) 1.2Cos4x indicando su amplitud y su periodo A) I) 2. La ecuación de la gráfica es: 04.2 II)2.
Hallar el rango de la función : FUNCIONES F(x) = 4Senx – 5 TRIGONOMÉTRICAS: GRÁFICAS A) [-8. -5] B) [-8.T(x) Ejemplo: Graficar: y = Senx Realizamos una tabulación: Ubicamos en el plano cartesiano los pares ordenados y se obtiene: 12 4 . -3] C) [-8. -5] GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Es el conjunto de todos los puntos (x.10. -3] E) [-9. -1] D) [-5. y) ubicados en el plano cartesiano tal que: y = F.
Cosxo ) De la gráfica se obtiene : 1  Dominio : DomF = ¡ . < Tgx < +  1) y = Senx Y  Curva: Tangenoide. yo)  y = Ctgx  yo = Ctgxo 12 5 . Tgxo) 1  Secnx < + X - xo 3 5 7 . 1]  -1  Senx  1  Asíntotas : x = (2n + 1) /n  Z 2  Curva : Senoide .3 - 0   2 3 1  Cscnx < + 2 2 2 2 2 2 Asíntota Si n es impar .nπ  x  nπ / n  -  /2  3 -2 0 xo 3 2 5 X Z 2 2 -1  Rango : RanF = ¡  . yo)  y = 3 /2 Cosx  yo = Cosxo 0   1    X 6 4 3 2  Función par : Cos(-x) = Cosx  Función creciente y decreciente  Continua  x  ¡ NOTA:  Periodo T = 2π  Cos(x + 2π) = Cosx Si n es par 0  Sennx  1 3) y = Tgx 0  Cosnx  1 Y 0  Tgnx < + y=Tgx 0  Ctgnx < + (xo. Ctgxo)  Período T = 2π  Sen(x + 2π) = Senx -  X -2 . Y De la gráfica se obtiene:  Dominio : DomF = ¡  -1  x  1 1 Sen1 2 /2  Rango : RanF = [-1.  n . si P(xo. 1]  -1  Cosx  1 1/2  Curva : Cosenoide .1  Cosnx  1 . < Ctgnx < + 2 Secnx  -1 V Secnx  1  Cscnx -1 V Cscnx  1 n  Z  x  (2n + 1) /n  Z 2 En general:  Rango: RanF = ¡  .n  Z  2 2  De la gráfica se obtiene:  Periodo T = π  Tg(x + π) = Tgx  Dominio : DomF = ¡  . yo)  y = Tgx  yo = Tgxo y=Senx 1 (xo .1  Sennx  1 De la gráfica se obtiene: .3 - 0 xo  3 2 5 3 2) y = Cosx 2 2 2 2 2 Y Asíntota y=Cosx (xo . < Ctgx < +  Curva : Cotangeoide. si P(xo. < x < +   Rango : RanF = [-1.   n. si P(xo. yo)  y = Senx 4) y = Ctgx  yo = Senxo  Función impar : Sen(-x) = -Senx Y  Función creciente y decreciente  Continua  x  ¡ y=Ctgx (xo. < Tgnx < +   Dominio: DomF= ¡ -(2n + 1) . Senxo )  Función impar: Tg(-x) = -Tgx - /2 3 /2 7 /2  Función creciente en su dominio X -2 -3 /2  0  /2 xo  2 5 /2 3 4     -1  Continua  x  . si P(xo.
-1]  [1. nπ + π[ . +[ Cscx  Función decreciente en su dominio  -1 V Cscx  1  Continua  x  ]nπ. Cscx o ) PROBLEMAS y=Senx 1 0 x 01..1 V Secx  1  Curva : Secantoide .  n ..3 - - xo   3 2 5 3 7 4 X 2 2 2 2 2 2 -1 2 Asíntota De la gráfica se obtiene :  Dominio : DomF = ¡ . + [ Secx  .nπ  x  nπ / n  Z 12 6 . yo)  y = Secx  yo = Secxo  Función par : Sec(-x) = Secx  Función creciente y decreciente      Continua  x     n. 0 xo  2 3 2 5 7 4 X 2 2 2 2 2 -1 y=Cosx De la gráfica se obtiene:  Dominio: DomF = ¡ -(2n + 1)  /2 x  (2n+1)  /2 / n  Z  Rango : RanF = ]. Secxo) 1 -  -3 -2 . Graficar: y  Cos -2 . si P(xo.3 . si P(xo. nπ + π[ . -1]  [1. n  Z  Periodo T = 2π  Csc(x + 2π) = Cscx Y  Asíntotas : x = nπ / n  Z y=Secx (xo. yo)  y =  Periodo T = π  Ctg(x + π) = Ctgx Cscx  yo = Cscxo  Asíntotas : x = nπ / n  Z  Función impar : Csc(-x) = -Cscx  Función creciente y decreciente 5) y = Secx  Continua  x  ]nπ.n  Z  2 2   Periodo T = 2π  Sec(x + 2π) = Secx   Asíntotas : x = (2n + 1) /nZ 2 6) y = Cscx Y y=Cscx (xo . n  Z  Curva : Cosecantoide . Función impar : Ctg(-x) = -Ctgx  Rango : RanF = ].
Del gráfico calcular A. Del gráfico calcular B 3 0 0 x x y y 0 2 C) D) 1 1 -3 y = ACosBx 0 0 E) x x A) 1/4 B) 3/4 C) 4 y D) 12 E) 1/12 1 07. Del gráfico calcular a + b. Calcular el área de la región 1 sombreada: 08.(2n-1)π E) ¡ . Dadas las funciones: 3 x y  Sen . Afirmar si es (V) o (F) : ( ) x  IIC.B 0 x y 8 -1 03. entonces |Cosx| + Cosx = 0  x ( ) x  IIIC.n  Z 1  Cosx y = Cosx A) ¡ B) ¡ . entonces |Senx| + Senx = -8 0 A) VVV B) VVF C) VFV A) 12 B) 14 C) 16 D) VFF E) FFF D) 18 E) 20 04. y  Cosx y = (a+1)Senbx 4 indicar cuántos puntos de intersección 0  3 se obtiene para x  ]0. entonces |Tgx| + Tgx = 0 y = ASenBx ( ) x  IVC.(n+1)π  2 2  2  2 2 09. Indicar el dominio de: y  . En el problema anterior indicar uno de A) u B) u C) u 8 8 4 los puntos de intersección. 10. A) y B) y A 1 1 06.nπ n C) ¡ - 2 y = Senx D) ¡ .2π[ 4 4 A) 1 B) 2 C) 3 -3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 12 7 .  2  2 2 D) u E) u A) π/4 B) π/5 C) π/6 4 2 D) 2π/5 E) π/10 05.
18.1[ C) ¡ e.[-2. Afirmar si es (V) o (F) para: y = Senx .]-1.-2] E) ]-8.2  2   5 n  1 19. Calcular el área de la región decrecientes sombreada. Si x  [0.8] 14. Si: x   .11. y = Cosx 17.  pertenece a la  3 n  1 15.7] B) [-7. Si: x ]π/2.8] B) [-2. afirmar si es (V) o (F) Calcular (n) ( ) La función seno es creciente A) 1/3 B) – 1/3 C) 1/2 ( ) La función coseno es decreciente D) – 1/2 E) 1/4 ( ) Las funciones seno y coseno se intersectan en un punto A) VVF B) VFV C) VVV D) FVF E) FVV 12 8 .2 ambas funciones y  2  son crecientes ( ) Para x  ]π. El punto  . El punto  . y = 2Cos(x + π) + 5 [0.2] E) ¡ e. Indicar el rango de la función: [0.2] A) [-3. [-1. Indicar el dominio y rango de: A) [2.1] D) ¡ e.  pertenece a la afirmar si es (V) o (F) :  6 n  1 ( ) La función seno es creciente gráfica de la función y = Senx.7] E) [3.2] y = 1 – Senx D) [-8. 2π] indicar la suma de las abscisas de los A) 2π u2 B) 4π u2 C) 6π u2 puntos de intersección de las funciones: D) 8π u2 E) 10π u2 y = Senx . y = Cosx ( ) Son funciones crecientes y 16.  3  ( ) Para x   .-7]  3  D) [3.1] B) ¡ e . 2π[ ambas se intersectan en 2 puntos x A) VVV B) VFF C) VFV y = 4Sen x D) VVF E) FVF 4 12. . Indicar el rango de: A) π/2 B) π C) 3π/2  x   D) 2π E) 5π/2 y  5Sen  3  6  13. Calcular ( ) La función coseno es decreciente (n) ( ) Las funciones seno y coseno se intersectan en un punto A) 1 B) 3 C) -1 D) -3 E) 1/2 A) VVV B) VVF C) FVF D) VFV E) VFF  2 n  1 20.8] C) [-8.-2[ A) ¡ e. π[ gráfica de la función y = Cosx.8] C) [-3.
[0. ]-1.2] y = ASenBx 0  x 05.7] B) [-1.1[ C) ¡ e.nπ C) ¡ - 2   D) ¡ + n E) ¡ -n y  3Sen x    4  4 07.5] y 5   3n  1 02. Indicar el dominio de: 1 PROBLEMAS PROPUESTOS y . 5 [0. n Z Senx 01. Afirmar si es (V) o (F): 8 x ( ) El periodo de la función y  es  -5 2 ( ) El periodo de la función y = Cos2x A) 1 B) 2 C) 3 es π D) 6 E) 12 12 9 . 08. Si el punto  . Calcular el área de la región sombreada.B y = 1 – Cosx y A) ¡ e. Del gráfico calcular A.2] E) ¡ e-[- 2.  6 2    x 2 pertenece a la gráfica de la función y = y = ACosBx Cos2x. ( ) El periodo de la función y = SenBx 2 es B A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFV 06. Hallar el rango de la función: n A) ¡ B) ¡ . Indicar el dominio y rango de: 09. [-1. Del gráfico calcular A + B A) [1.1] B) ¡ e.1] D) ¡ e.-1] D) [1. calcular el valor de n -5 A) 1 B) -1 C) 1/2 D) -1/3 E) 2/3 A) 1 B) -1 C) 3 D) -3 E) 5 03.7] C) [-7. Del gráfico calcular A + B + M y y = 2Cos x y 6 3 F(x)=A+BSenMx x 1   3 2 2 0 x -1 A) π u2 B) 3π u2 C) 5π u2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 7π u2 E) 9π u2 D) 4 E) 5 04.5] E) [-1.
T(n) b  b  b  b cot     arccot a  a Notación Inglesa c  c sec      arcsec     =R. entonces “θ” es el arco o c  c ángulo cuya R.T.T es igual a “n” b  b cos     arccos c  c Notación Francesa a  a tan      arctan   =Arc R.10. así por ejemplo si se tiene a  a sen     arcsen  que : R.T.  n   R. Calcular la suma de los valores que  2 2 toma la expresión: Si:   arccos   cos   3 3 Senx Cosx Tgx  5 5 Si:   arctan   tan  K    7 7 Senx Cosx Tgx en cada uno de los cuadrantes OBSERVACIÓN A) 1 B) 3 C) 2 Todo arco o ángulo se puede expresar de D) 0 E) -1 seis formas diferentes. esto se debe a que son seis las razones trigonométricas del ángulo o arco que se pueden calcular. todas ellas equivalentes entre sí.   n 13 13 5 Ejemplos :   12  3 3 Si:   arcsen   sen  Luego se tendrá:  4 4 13 0 .T(θ)=n. es decir: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS c a NOTACIONES PARA EL ARCO :  b Todo arco o ángulo puede ser expresado en términos del valor de sus razones trigonométricas.T-1 (n) b  b Ejemplos: c  c csc      arccsc  a  a 2  2 Si: sen      arcsen   3  3 Ejemplo: Calcule el valor de: 3  3 Si: cos     arccos    12  4  4 S  4  13sen arccos    13  4  4 Si: tan     arctan 9  9 Resolución:  12 Sea:   arccos   S  4  13sen   13 EXPRESIONES EQUIVALENTES: 12 Como: cos   = arcR.
x  ¡  1.) Se llama así a aquel valor del arco que verifica una determinada igualdad y que se encuentra en los intervalos donde se definen las funciones trigonométricas inversas.x   1. x  0 2 2 2 2 Estos intervalos muestran el RANGO de las funciones inversas.x  ¡ 2  arcsec x  arccsc x  . x  0  n1 Si : xy  1. x  0  n  1 13 1 . Además S=4+13( 5 ( 13  x  y S=4+13Senα ➞ arctan x  arctan y  arctan .P. PROPIEDAD  arcsen x  arccos x  .1 2  arctan x  arccot x  .1 2 PROPIEDAD ∀ x ∈ Dom(F-1) arcsen   x   arcsen x arccos  x    arccos x arctan   x   arctan x arccot   x    arccot x arcsec   x    arcsec x arccsc   x   arccsc x PROPIEDAD  x  y arctan x  arctan y  arctan   n  1  xy  Si : xy  1  n 0 Si : xy  1. siendo estos intervalos los siguientes:   0  arccotx     arcsen x  2 2 0  arccosx    0  arcsec x  .si x  0  y  0 ∴ S=9  1  xy  VALOR PRINCIPAL DEL ARCO (V. x  2       arctan x    arccsc x  .
6 C) 0.5  2 2  arcsen     2   8 08. 1 8 2 A)  B) C) 3 3 3 3 1 D) E) 3 3 05. Calcular:   E  sec2 arctan 5  cot2  arccsc5 A) 15 B) 20 C) 30 D) 24 E) 16 06. Indicar (V) o (F): ( )   1  1 sen arcsen    3  3 ( ) PROBLEMAS  tan arctan 11  11  ( ) 01.8 E) 0. Calcular:   1  E  tan arccos          5 4 E  sen arctan sen    4  13 2 . Calcular: ( )   arcsec  tan60  arccsc  2sen60  arctan  1   4    ( ) A) B)  C) 4 2 2  1   arccos     D) 0 E)  2 3 6 A) VVV B) FFF C) VVF D) VFV E) FVV 09. Hallar x:  3 03. Reducir:    3  5  D)  E)  E  cos  arcsec  3 4  2  4  02. Calcular: 04. Calcular:   1  1  1 sec  arcsec      arcsen   2arctan1  arcsec2   5  5  2 A) VVV B) FFF C) VFV   D) VVF E) FFV A) B) C) 0 2 3 07. Indicar (V) o (F): ( ) A) 0.6 B) 0.8 D) 0. Calcular: si: arcsen  3x  1  arctan   4     arccos tan arcsec 2  arccot3  A) 11 B) 7 C) 8    15 15 15 A) B) C) 2 1 6 3 2 D) E)  15 15 D) π E) 8 10.
Hallar el equivalente de: 2ArcCosx 13. Si: arccos x  arccosy   arcsen sen    6 6 calcular: E  cot arccos x  cot arccosy A) 1 B) -1 C) 2 13 3 . y. Calcular: A) 0 B) π C) 2π   arctan2  arctan3  D) E) π  3 5 2 A)  B) C) 4 4 4  5 D) E)  2 4 18. Calcular:   arcsen  1  arccos 1  arctan  1 A) arccos 2x  1 B) arccos 2x 2 C) arccos x  1 2   C)  A) 2 B) 2π 2 D) arccos  2x  1  E) arccos  x 1   D) π E) 4 19. Si: x. Calcular: arccot   x   arccot x  1   1   arctan   arctan   2   3 A) VVV B) FFF C) VVF D) VFF E) VFV   3 A) B)  C) 4 4 4 12. z   1. Hallar el equivalente de:  x  1 arcsec  .x  1 14.1  x  1   arcsen x  arcsen y  arcsen z  4  2 x  2 x Calcular: arccos x  arccosy  arccos z A) arctan  B) arctan   x  1  x  1 17 A) 2π B) π C) 4  x C) arctan  3 5  x  1 D) E) 4 4  x D) arctan  E) arctan x 15. 1 ( ) A) 3 B) C) -3 3   4  4 arccos cos   1   3  3 D)  E) 2 3 ( )      11. Indicar (V) o (F):  x  1 ( )  5 5 20. Indicar (V) o (F) arctan tan      2 2 ( ) arcsen   x   arcsen  x A) VVV B) VVF C) FFF ( ) D) FVV E) FFV arccos  x   arccos x ( ) 16. Calcular:   3   3 D) E) π   arccos   arccos   2  7   7 17.
D) 0 E) 2 06. A qué es igual: sec  arctank 08. Indicar (V) o (F):   ( ) D) E) 2 7  1  arcsen     2 3 07. Calcular:  1 arcsen    arctan1  2 E arcsec2 5 5 A) 1 B) C) 7 6 5 2 D) E) 4 7 03. Reducir: 4 2 3  E  sec   arctan 24  D)  6 E) π 1 1 2 A)  B) C) 5 09. Calcular: A) k  1 2 B) k  1 2 C) k1   arctan 7  arccsc2 2 D) k  1 E) k2  1    A) B) C) 05. Hallar “x”: ( )  5 si: arccos   arcsen x  arctan 2  3   12   3 ( ) 1 2 1 A) B) C)  2  6 3 4 arccos 2 4 1 2   D) E) 5 5 A) VVV B) FFF C) FFV D) FVV E) FVF 02. Si: arctana  arctanb  arctanc  5 5 3 D) 5 E)  24 calcular: arccota  arccotb  arccotc 13 4 . Calcular:   E  sen arctan 2  3  arcsec2   6 2 6 2 1 A) B) C) 4 4 2 1 D)  E) 1 2 04. Calcular:  1   1   arcsen   arcsen    7   7 PROBLEMAS PROPUESTOS A) 0 B) π C) π 01.
ejemplo: Resolver: 1 1. 750°. kx  a . 870°.. 510°.. Toda ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones.α Las otras soluciones se obtienen adicionando (o restando) múltiplos de 360° ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS OBSERVACIÓN : Son igualdades entre razones trigonométricas de una o más variables y que se verifican para determinados valores de dichas variables. 3   A) B) C)  4 2 3 OBSERVACIÓN: 5 5 sen x  cos x  0 (Ecuación trigonométrica) D) E) 6 3 tan3x  cos x  x (No es una ecuación trigonométrica) 10.. . 2. 150°. entonces si hubiese otra solución en el: IIC: este sería: 180° .α IIIC: este sería: 180° + α IVC: este sería: 360° . Indicar (V) o (F): ( ) ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS      ELEMENTALES arccos cos      3 3 ( ) Son igualdades de la forma: arccot cot   ( ) F. son D) VFV E) FVV las soluciones de la ecuación. 13 5 ..T. tanx = 1 ➞ x = 45°. 675°. 390°. en ese sentido se puede considerar lo siguiente: Si la solución del IC es “α”. OBSERVACIÓN: Es importante encontrar las dos primeras soluciones positivas de la ecuación. sen x  2 ➞ x = 30°. 765°. k  ¡      arccsc csc     2  2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA A) FFF B) VVV C) VFF Los valores que verifiquen la ecuación.. 225°. . 405°.
Resolver: Ejemplo: Sen3x = 0 . 945°. Cos   A)  2n  1 B)  2n  1 C) 2nπ 2 4 Sen n D) (2n+1)π E) 4 02. A) 500° B) 400° C) 480° D) 600° E) 240° 03. 05.. Resolver: k k 3 A) B) C) 2kπ sen2x  6 2 2 k D) kπ E) 3 2x = 60°.    A) B) C)  4 12 4 3  D)  E)  4 12 06..5 1  3tan2 x A) 26°30' B) 18°30' C) 6°10' D) 15°20' E) 8°50' 07. Resolver: Tg Cos2x = 0.  C. 1215°. 60°.. . 405°. 240°. 210°. Resolver:  x 2 A) 1 B) 2 C) 3 cos   D) 4 E) 5  3 2 x = 45°.T. . 315°. ↓ ↓ 04. n ∈ Z 180° . Resolver: 3tan x  tan3 x  0. 420°. . 480°. 8π] 2.. Resolver: IC IIC sen2 x  7sen x  6  0 ➞ x = 30°. Indicar el valor principal: 3 tan3x  1  0 x = 135°. 120°. Resolver: 2sen5x cos x  sen4 x  1   A)  4k  1 B)  4k  1 C) 2kπ 4 4 k D) E) 2 PROBLEMAS (2k+1)π 13 6 . K ∈ Z 1.. e indicar el número de soluciones por intervalo [-0.. . Resolver:  x 180° +  tan   3  2 360° ... 01.
2π] 13.  C)  .  B)  . k  A) B)  4k  1 C) 2kπ 08.   4 4  4 18.  E)  0. Resolver: sen x  3cos x  2 5 A) 6π B) C) 3π 2 A) 120° B) 150° C) 180° D) 2π E) 4π D) 0° E) 300° 17. Resolver:  sen x  cos x sen x sen  60  x sen  60  x  0. Resolver: 10. Resolver: k D) 2kπ E) 4sen x  3sen x  1 3 2 13 7 . Resolver: tan x  tan2x  tan x tan2x tan3x  0 3tan x  cot x  4 k k k A) B) C) A) 45° y 30° B) 45° y 18°30' C) 30° 2 6 3 D) 45° y 26°30' E) 60° D) 2kπ E) kπ 12. Resolver: [0. 2π] A)  . Resolver: 4 6 sen2x  sen x k k D) E) 6 3 e indicar el número de soluciones para 15. Resolver: sen2 x  1  0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 10 e indicar la suma de las soluciones para el intervalo [0. Resolver: cos2x  cos x  1  0 sen x  cos x  2 e indicar cuantas soluciones existen en   3   9   7 el intervalo [0. Resolver: 19. 2π[ 09. 2π] 16.   4 4  4 4  4 4 A) 6 B) 2 C) 4   11   D) 8 E) 5 D)  .125 2  3sen2x A) 60° B) 90° C) 15° D) 30° E) 37° e indicar la suma de las soluciones para el intervalo [0. Resolver: 11. Resolver: 4 4 3 3 sen4 x  cos4 x  1  5  5 D) y E) y k 8 8 4 8 A) (2k+1)π B) kπ C) 4 14. 2π] sen4x 0 sen x A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 7 e indicar cuantas soluciones hay para el intervalo ]0. Resolver: cos3x  cos x k  1 A) B) C) 2π sen3x  sen x 2 2 D) 3π E) 4π  5  5 A) y B) y C) 0 y 2π 20.
k  ¢ tan x  2cot x  3 k A) B) kπ C) 2kπ 2 A) 18°30’ B) 26°30’ C) 63°30’ k k D) 71°30’ E) 37° D) E) 4 3 03. 8π] A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 06. A) 15° y 18° B) 12° y 48° C) 30° y 48° D) 18° y 48° E) 45° y 30° PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Indicar el valor principal de: 1 sen5x   2    A) B) C) 15 30 12   D)  E)  30 15 04. Resolver: 08. Resolver: 2cos7x cos x  cos6x  0   k A)  2k  1 B)  2k  1 C) 6 8 8 k D) E) kπ 4 05. k  ¢ 07. Resolver: cos2 x  4cos x  3  0 e indicar el número de soluciones para el intervalo [0. Resolver: sen7x  sen3x  3 cos7x  cos3x 13 8 . Resolver: cos3x  1. Resolver: tan2x  0. Resolver:  2k  sen x  cos x 2 A) (2k+1)π B)  2k  1 C)  sen2x 3 3 k k D) E) A) 30° B) 150° C) 90° 3 2 D) 75° E) 180° 02.
2π] A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6 10. Resolver: sen2x  2cos x e indicar el número de soluciones para [0.   4 4   3  5 D)  .  B)  .   4 4  4 4  3 7 C)  .  E)    2 4  9 13 9 .09. Resolver: sen x  cos x  2   3  3 11 A)  .
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