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Timestamp: 2016-10-01 22:42:24+00:00

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TABLA DE CONTENIDOS. ................................................................................................. 1
CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES ....................................................................... 6 1. DEFINICIÓN......................................................................................................................... 6 2. SUBESPACIO VECTORIAL .................................................................................................... 7 3. TEOREMA DE CARACTERIZACIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES. ................................. 7 4. SISTEMA DE VECTORES....................................................................................................... 7 5. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES ................................................................................ 7 6. VARIEDAD LINEAL VECTORIAL .......................................................................................... 7 7. SISTEMAS LIBRES Y LIGADOS ............................................................................................. 8 DETERMINACIÓN ...................................................................................................................... 8 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DEPENDENCIA LINEAL EN #3........................................... 8 8. SISTEMA DE GENERADORES................................................................................................ 9 9. SISTEMAS EQUIVALENTES .................................................................................................. 9 10. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL..................................................................................... 9 11. DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL ........................................................................ 10 12. SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES ........................................................................... 10 13. INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES ............................................................ 10 14. RELACIÓN ENTRE DIMENSIONES DE LOS SUBESPACIOS SUMA E INTERSECCIÓN. .......... 10 15. SUMA DIRECTA. ESPACIOS SUPLEMENTARIOS ............................................................... 10 16. RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES ........................................................................... 11 17. TEOREMA DE LA BASE INCOMPLETA .............................................................................. 11 CAPÍTULO 2 ....................................................................................................... MATRICES 12 1. DEFINICIONES ................................................................................................................... 12 2. ALGUNOS TIPOS PARTICULARES DE MATRICES ............................................................... 12 3. SUMA DE MATRICES .......................................................................................................... 13 4. EL GRUPO ABELIANO (MM,N , +)........................................................................................ 14 5. PRODUCTO DE UN ELEMENTO DE K POR UNA MATRIZ .................................................... 14 6. EL ESPACIO VECTORIAL MM,N (K) .................................................................................... 15 7. PRODUCTO DE MATRICES ................................................................................................. 15 8. LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN MATRICIAL ................................................... 16 9. LEY DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN MATRICIAL ................................................ 16 10. EL ANILLO DE LAS MATRICES CUADRADAS DE ORDEN N................................................ 16 11. MATRICES INVERSIBLES O REGULARES ......................................................................... 17 12. CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL ............................................................... 17 13. RANGO DE UNA MATRIZ .................................................................................................. 20 14. OPERACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ.............................................................. 20 15. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ .......................................................................... 20 16. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE TRANSFORMACIONES ELEMENTALES ... 21 CAPÍTULO 3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA .............................. 22
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1. DEFINICIÓN....................................................................................................................... 22 2. PROPIEDADES ................................................................................................................... 22 3. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO............................................. 23 4. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN MENOR DE UNA MATRIZ ........................ 23 5. CÁLCULO PRÁCTICO DE DETERMINANTES ....................................................................... 23 6. DETERMINANTE DE VANDERMONDE ................................................................................ 24 7. CARACTERIZACIÓN DE LAS MATRICES REGULARES ........................................................ 24 8. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES..................................... 24 9. RANGO DE UNA MATRIZ MEDIANTE DETERMINANTES ..................................................... 25 10. DETERMINANTE DE LA MATRIZ PRODUCTO DE OTRAS DOS ........................................... 25 CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES ................................................................... 27 1. DEFINICIÓN....................................................................................................................... 27 2. CARACTERIZACIÓN .......................................................................................................... 27 3. PRINCIPALES PROPIEDADES ............................................................................................. 27 4. IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL .............................................................................. 28 5. NÚCLEO DE UNA APLICACIÓN LINEAL .............................................................................. 28 6. DETERMINACIÓN DE UNA APLICACIÓN LINEAL. MATRIZ ................................................ 30 7. RANGO DE UNA APLICACIÓN LINEAL ............................................................................... 32 8. APLICACIONES LINEALES INYECTIVAS ............................................................................ 32 9. ISOMORFISMOS................................................................................................................. 33 10. CARACTERIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS BIYECTIVOS................................................. 34 11. CONJUNTO DE LAS APLICACIONES LINEALES ENTRE DOS ESPACIOS E Y F ................... 35 12. EL ANILLO /(E) DE LOS ENDOMORFISMOS DE E............................................................ 35 13. MATRICES ASOCIADAS A UN ENDOMORFISMO EN DOS BASES DISTINTAS ...................... 36 CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ............................................ 37 1. DEFINICIONES ................................................................................................................... 37 2. ENFOQUE VECTORIAL ...................................................................................................... 37 3. EQUIVALENCIA DE SISTEMAS ........................................................................................... 38 4. TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS ................................................................................. 38 5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES ......................................................................... 38 A) MÉTODO GENERAL............................................................................................................. 38 B) SISTEMA DE CRAMER ......................................................................................................... 39 C) MÉTODO DE GAUSS ........................................................................................................... 39 D) MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA ....................................................................................... 39 6. SISTEMA HOMOGÉNEO ASOCIADO ................................................................................... 39 7. ECUACIONES PARAMÉTRICAS E IMPLÍCITAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL ................ 40 8. CÁLCULO DE LAS ECUACIONES DE UN SUBESPACIO VECTORIAL ..................................... 40 CAPÍTULO 6. ESPACIO AFÍN .......................................................................................... 41 1. ESPACIO AFÍN ................................................................................................................... 41 2. REFERENCIA AFÍN............................................................................................................. 41 3. ECUACIONES DE UNA RECTA ............................................................................................ 41 4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN E2 ................................................................ 42 5. HAZ DE RECTAS DE VÉRTICE P ......................................................................................... 43 6. ECUACIONES DE UN PLANO............................................................................................... 44
.................................................................................................................................. INTRODUCCIÓN ...................................... 61 B) CAPÍTULO 9.............................................................................................. TEOREMA....................................... 63 4....................................... CONJUNTOS CONVEXOS: DEFINICIONES . 44 8........................................................................................................................ DISTANCIAS................................................................... 48 4.......................................................... 46 CAPÍTULO 7......... VARIEDADES LINEALES............................................................................................... 50 5....... 45 10....................... ESPACIO EUCLÍDEO ................ 62 3...................................................................................... 51 MÉTODO DE IGUALACIÓN ............... PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES .............................................................................................................................................................................................................. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS EN E3 . APLICACIONES GEOMÉTRICAS .............................................................................. PROGRAMACIÓN LINEAL.......... MÉTODOS DE ELIMINACIÓN .................................................. 47 1............................................... 54 E) CONVEXO DE SOLUCIONES .................................................... MÉTODO DE RESOLUCIÓN ............. PRODUCTO VECTORIAL ...... EL ESPACIO EUCLÍDEO............................................................ ORIENTACIÓN DE UNA REFERENCIA EN E3 ................................ VECTOR DIRECCIÓN DE UNA RECTA EXPRESADA COMO INTERSECCIÓN DE PLANOS ...................... 55 3....................................... POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN E3 ...... 64 8........................................................................................................................................................................................... 62 2................................................... ORTOGONALIDAD ...... 46 11.......... VARIEDADES LINEALES VECTORIALES ................ 54 B SEGMENTO DE EXTREMOS A Y B ........................................................................ SOLUCIONES DEL PROBLEMA ........................ 64 7........ 66 3.............................................................................................. 54 COMBINACIÓN CONVEXA....... PRODUCTO ESCALAR ................................. 45 9.. 54 A) ) CONJUNTO CONVEXO ..................... HAZ PROPIO DE PLANOS DE EJE LA RECTA R ...................................................................................... 57 5.......................................................... ÁNGULO DE DOS VECTORES............. 55 F) 2........................... 54 1................................................................................................................................................................ 54 D) VARIEDAD CONVEXA................................................................................................................. 53 MÉTODO DE REDUCCIÓN .................... 53 CAPÍTULO 8...7........ CONDICIÓN PARA QUE DOS RECTAS SE CORTEN EN E3 ................................................................................................................................... ÁREAS Y VOLÚMENES ........................................................................................ 63 6...... 65 1................. DESIGUALDADES LINEALES ........................................................................................ 54 C) EXTREMO ........................................................................................................................................................................ 63 5.............................................. SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES ............ HAZ DE PLANOS PARALELOS A UNO DADO .................................................................................................... CARACTERIZACIÓN DE VARIEDADES LINEALES MEDIANTE ECUACIONES PARAMÉTRICAS ............................................................................... 65 9........................................ 68
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............................................... 53 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN .................... 58 MÉTODO GRÁFICO ............................................. 65 2....................... ECUACIÓN DE UNA RECTA COMO INTERSECCIÓN DE PLANOS ........................ EL PROBLEMA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL ........ 56 4................................ 47 3................................................................................ 58 A) MÉTODO DEL SÍMPLEX .................................................................. 58 6....................................................... 62 1............................................................................... 51 MÉTODO MATRICIAL.................. 47 2.................
............................................................. 69 1......... SU CÁLCULO ............................................................................................. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES ............................ VECTORES CONJUGADOS RESPECTO A UNA FORMA BILINEAL SIMÉTRICA..... PROCESO DE DIAGONALIZACIÓN........... 72 12.............CAPÍTULO 10........................................................................... CLASIFICACIÓN DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS ........... CAMBIO DE BASE EN UNA FORMA BILINEAL . INTRODUCCIÓN ......... EXPRESIÓN MATRICIAL DE UNA FORMA CUADRÁTICA ......................................................... FORMAS CUADRÁTICAS DEFINIDAS ....... DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL ........................ 72 11.................................. 78 10.................................................... 73 14..................... ECUACIÓN CARACTERÍSTICA .................... FORMA POLAR ASOCIADA A UNA FORMA CUADRÁTICA .............. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES .................... DIAGONALIZACIÓN DE UNA FORMA CUADRÁTICA ...................... PROPIEDADES DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS ......................... EXPRESIÓN MATRICIAL DE UNA FORMA BILINEAL ............ FORMAS BILINEALES SOBRE UN ESPACIO VECTORIAL .............. 74 15................................ 77 8............................. 70 9....................... MATRIZ ORTOGONAL ...................................................... MATRICES CONGRUENTES ...... SUBESPACIOS PROPIOS ............................................................................................................................................................................................................ SEMEJANZA DE MATRICES ................. 69 2...................................................................... 72 10............................................................................................................................................................ FORMAS CUADRÁTICAS........................ 76 4............................................................................................................ DEFINICIÓN.................. 76 2........... 76 1....................... 69 4............... 69 3.................................... MATRICES SIMÉTRICAS ........... 77 7......................................................................................... 76 5............. 69 5................................................ 75 16........................ 77 9........ 78
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........ VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA APLICACIÓN LINEAL.............. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ CUADRADA ........................................................ CAMBIO DE BASE EN UNA FORMA CUADRÁTICA ........................................................................ 70 7....... 76 6............. 70 8............. RANGO Y SIGNATURA DE UNA FORMA CUADRÁTICA..................................... NÚCLEO ..... PROCESO DE DIAGONALIZACIÓN.................................................. 76 3... 70 6.......................................................... 73 13..... 75 CAPÍTULO 11...........................
a la terna (E. ∀ u ∈ E. En otras palabras: si las variables x. para las operaciones: (u1 . genial matemático francés nacido en 1811. +. y tal que cada uno de sus elementos admite un simétrico. Definición
Sea K un cuerpo conmutativo.
El elemento unidad 1 ∈ K es tal que 1u = u. Son espacios vectoriales de cierto interés: • Todo cuerpo K es espacio vectorial sobre si mismo. gran matemático noruego). con elemento neutro. x ∗ x' = x' ∗ x = e. v ∈ E. ∀α∈K
(α + β)u = αu + βu. x'. es también espacio vectorial sobre el mismo K. o también K-espacio vectorial. asociativa. y · es una ley externa definida: K × E → E. v2) = (u1 + v1 .
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. y denotada (α. u2 + v2)
α(u1 . el espacio vectorial E se dice. complejo o racional. " (números racionales). ∀ u ∈ E. real. ….
Los grupos para los que la ley ∗ es conmutativa se denominan abelianos (Niels Henrik ABEL −1802-1829−. respectivamente.) todo conjunto no vacio.
Definición.Capítulo 1
1. + es una ley interna que confiere a E estructura de grupo abeliano1. la estructura de grupo se rige por los cuatro axiomas: 1º 2º 3º 4º (∀x) (∀y) (∃x ∗ y) (∀x) (∀y) (∀z) (∃e) (e ∈G) (∀x) (∀x) (∃x') : : : : (x ∗ y) ∈G.  (números complejos). u2) + (v1 . G. e ∗ x = x ∗ e = x. u2) = (αu1 . #n son espacios vectoriales sobre #. … tienen G como dominio de definición. αu2) En particular: #2. u ∈ E . .− Se llama grupo (Concepto y nombre debidos a Evaristo GALOIS. Se llama espacio vectorial sobre K. • El conjunto producto cartesiano E1 × E2 de espacios vectoriales sobre K. muerto en duelo a la edad de 21 años.. Si K (cuerpo de escalares) es # (números reales). dotado de una ley de composición interna. • El conjunto  (números complejos) es un espacio vectorial sobre #.. β ∈ K ∀ u. z.. ·). (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). #3. ∀ u ∈ E. con esas operaciones. ∀ α. Los elementos de E se llaman “vectores” y los de K “escalares”. donde E es un conjunto. Los elementos de E se representarán con una raya encima. y. β ∈ K ∀ α. u) → αu. α(u + v) = αu + αv. que verifica las siguientes propiedades: α(βu) = (αβ)u.
αu ∈ S
u = α 1u1 + +α n un
6. es espacio vectorial sobre K.
. es que se verifique: ∀u .
La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto S de E. el conjunto de todos los vectores combinación lineal de vectores de F es un subespacio vectorial. Variedad lineal vectorial
Dado un sistema F de vectores de E.• El conjunto Pn[x] de los polinomios en una variable de grado menor o igual a n y coeficientes en K. Toda parte S no vacía de E. se llama subespacio vectorial de E. o familia de vectores de E. Toda combinación lineal de vectores de E es un vector de E. sea un subespacio vectorial suyo.
L( F ) = {α 1u1 + +α n un . u2 . con las operaciones usuales de suma de polinomios y de producto por un α ∈ K. Subespacio vectorial
Sea E un K-espacio vectorial. u }
u1 ∈ E
5. u2 . cualquier subconjunto finito suyo. u + v ∈ S y ∀u ∈ S.
se dirá u combinación lineal de u1. Será: F = {u1.
3. ∀α i ∈ K }
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. un } . Sistema de vectores
Se llama sistema.
2. Teorema de caracterización de subespacios vectoriales. Se indica F = {u1. . v ∈ S . Combinación lineal de vectores
Toda expresión del tipo α 1u1 + +α nun con α 1 ∈ K se llama combinación lineal de vectores de la familia F = {u1. u . que sea un K-espacio vectorial para las mismas leyes que E. u } . Se denota L(F) y se llama variedad lineal generada por F. u2 .
Sistemas libres y ligados
Un sistema de vectores F = {u1. = αn = 0
Un sistema no libre. tales que c1u + c2 v + c3w = 0
#3. c2 y c3. u2 . F = {u1. por tanto: c1u1 + c2u2 + + cn un = 0 Esto nos lleva a un sistema homogéneo de ecuaciones. Si el resultado es del tipo: 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1 0   el sistema no tiene soluciones distintas de la trivial (c1 = 0. se llama ligado. no todas cero. o linealmente independienn
α 1u1 + +α n un = 0
α1 = α2 = . u } es libre. si
. un } de vectores es linealmente dependiente. El sistema se escribe empleando una matriz aumentada y luego se reduce por filas. u } ligado ⇔
∃ui ∈ F
ui = λ 1u1 + + λ i −1ui −1 + λ i +1ui +1 + + λ n un Determinación
Si un sistema dado F = {u1.
Supóngase que c3 ≠ 0 (se obtiene un resultado similar si c1 ≠ 0 ó si c2 ≠ 0). o linealmente dependiente y en él existe al menos un vector que puede ponerse como combinación lineal de los restantes. . Interpretación geométrica de la dependencia lineal en #3 Supóngase que u . ...7. Los vectores serán linealmente dependientes si y sólo si el sistema tiene soluciones no triviales. c2 = 0. cn = 0) y en consecuencia los vectores dados son linealmente independientes. el vector cero debe poderse expresar como combinación lineal de ellos. te. Entonces ambos lados de la ecuación se pueden dividir por c3 y acondicionar los términos a fin de obtener
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. Si por el contrario el resultado es del tipo: 1 a b 0   0 1 c 0 0 0 0 0   el sistema tiene un número infinito de soluciones y al menos un vector es combinación lineal de los demás.. tal que
.. v y w son tres vectores linealmente dependientes en Entonces existen constantes c1.
11. Pero w está en el mismo plano. se llaman coordenadas de u en B. Sea n = u × v . si L(F) = S
9. si F es un sistema ligado. siendo éstas únicas en esta base. se dice que el sistema F de vectores genera. al número de vectores de cualquiera de sus bases. . el sistema resultante de eliminar en F el vector combinación lineal de los restantes. v y w son coplanares. αn tales que u = α 1e1 + +α nen .w=−
c1 c u − 2 v = Au + Bv c3 c3
donde A = − c1 /c3 y B = − c2 /c3. Sistemas equivalentes
Dos sistemas F1 . (Ver 9. En todo espacio vectorial existe al menos una base. De la misma forma. si L(F1) = L(F2) Si a un sistema F se le añade un vector combinación lineal de los de F. es equivalente a F. En un espacio vectorial. todas las bases tienen el mismo número de vectores. Se calcula w ⋅ ( u × v ) = ( Au + Bv ) ⋅ ( u × v ) = A[ u ⋅ ( u × v )] + B[ v ⋅ ( u × v )] = A ⋅ 0 + B ⋅ 0 = 0 ya que tanto u como v son ortogonales a u × v . Entonces u y v se encuentran en un plano que consiste en todos los vectores que pasan por el origen y que son ortogonales a n . Los escalares α1 . Sistema de generadores
Dado un subespacio vectorial S. Sea E un espacio vectorial y B = {e1. Es decir. Se llega así a la conclusión siguiente: Tres vectores en #3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares.. Dimensión de un espacio vectorial
Se llama dimensión de un espacio vectorial.
10.. A continuación se demuestra que u . Esto muestra que u .
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. o es un sistema de generadores de S. Base de un espacio vectorial
Se llama base de un espacio vectorial todo sistema libre de generadores. en } una base de E y u ∈ E . v y w son coplanares.. se obtiene un sistema equivalente. . F2 son equivalentes si generan el mismo espacio vectorial. porque w ⋅ n = w ⋅ ( u × v ) = 0.7 Producto mixto de tres vectores)
Si E es un espacio vectorial de dimensión n: • Todo sistema de generadores de E con n vectores. En este caso. Relación entre dimensiones de los subespacios suma e intersección. • Todo sistema libre de E tiene un número de vectores ≤ n. ∃v ∈ S2 / x = u + v . el conjunto S1 ∩ S2 es también subespacio vectorial de E. E = S1 ⊕ S2. es ligado. ∃u1 ∈ S1 ( u1 único). los subespacios S1 y S2 se llaman suplementarios en S. todo vector de E puede descomponerse.
12. ⇔ ∀x ∈ E . Suma directa. de manera única ahora. ∃u ∈ S1 . Suma de subespacios vectoriales
Si S1 y S2 son subespacios vectoriales de E(K). Espacios suplementarios
La suma S1 + S2 de subespacios vectoriales de E es directa si su intersección es nula. ∀v ∈ S2 } Verifica: • S1 + S2 es un subespacio vectorial de E. S1 + S2 = L(F1 ∪ F2) • Si S1 + S2 = S entonces ∀x ∈ S . S1 y S2 son suplementarios. todo vector de S puede descomponerse como suma de uno de S1 y otro de S2. • Si F1 y F2 son sistemas de E tales que S1 = L(F1) y S2 = L(F2). ∀u ∈ S1. es una base de E. Es decir.
13. Se denota S1 ⊕ S2. el conjunto suma: S1 + S2 = {x = u + v . • Todo sistema de E con más de n vectores.
Se verifica: dim (S1 + S2) + dim (S1 ∩ S2) = dim S1 + dim S2
15. Intersección de subespacios vectoriales
Si S1 y S2 son subespacios vectoriales de E. si S = S1 + S2 siendo S1 ∩ S2 ={0}. como suma de un vector de S1 y otro de S2. En el caso particular de ser E = S1 ⊕ S2.
14. Así. los subespacios S1 y S2 se llaman “suplementarios”. se dice que S es suma directa de S1 y de S2. u2 ∈ S2 ( u2 único)
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.r vectores añadidos a F son base del subespacio suplementario del L(F). Rango de un sistema de vectores
Se llama rango de un sistema F de vectores a la dimensión del subespacio S generado por F. equivalente a: rango de un sistema de vectores. ur } (r < n) un sistema libre de E. Teorema de la base incompleta
Si E es un espacio vectorial de dimensión n y F = {u1.
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. Se denota rg(F). es el mayor número de vectores independientes contenidos en él.r vectores de E que añadidos a F forman una base de E.
16. Consecuencia: El espacio vectorial generado por los n .tal que x = u1 + u2 . existen n . Esta definición es pues.
una familia de elementos de K con índice en I × J. Se llama matriz de m filas y n columnas la imagen de una aplicación del conjunto I × J en el cuerpo K. . Definiciones
Sean I = {1. n).. n). Algunos tipos particulares de matrices
• Si m ≠ n la matriz A se dice rectangular. D = [aij]. • Si A es una matriz de orden (m. n} dos conjuntos finitos..Capítulo 2
1.. 2. • Matriz nula de orden (m. .  a 11 a 12  a 21 a 22 A = [aij] =   . Una matriz de tamaño. 2.   . Si A = [aij]. m) tal que: At = [bij] tal que bij = aji es la matriz que resulta de A al cambiar filas por columnas. j) → aij Para escribirla.
−A = [bij] tal que bij = −aij
• Si A es de orden (m... se colocan los elementos aij en una tabla rectangular de m filas y n columnas. D diagonal ⇔ aij = 0 ∀i ≠ j Sólo tiene elementos distintos de cero las aii (se llama diagonal de la matriz). a 2 n   . se designa por D. de modo que el elemento aij esté colocado en la fila i y en la columna j. a 1n  .. u orden. Si A = [aij].... aij = 0 ∀ij • Matriz diagonal es la que tiene los elementos aij = 0 y es cuadrada. m por n o (m. sobre un cuerpo K es. por tanto... • La matriz A de orden (1. n) se designa [0] y es tal que: [0] = [aij].... se llama opuesta de A. • La matriz de orden (m...  am1 am 2 .. ... se llama matriz traspuesta de A y se designa At la matriz de orden (n. amn 
2. n) la matriz −A. m} y J = {1. . Se denota: A:I×J→K (i.. 1) se dice matriz columna.
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. n) cuyos elementos son los opuestos de los correspondientes de A. n) se dice matriz fila. • Si m = n la matriz se dice cuadrada de tamaño u orden n. de orden (m.
Se define suma de matrices de Mm.n otra matriz de Mm. dejándola inalterada: AIn = InA = A) • Matriz simétrica es la matriz cuadrada que coincide con su traspuesta. • Matriz unidad de orden n es la matriz escalar con elementos 1 en la diagonal. (La matriz unidad o matriz identidad puede multiplicarse por la derecha o por la izquierda con cualquier matriz cuadrada del mismo orden. existe una serie finita de matrices elementales E1. con elementos en un cuerpo K.n obtenida de la siguiente manera: A = [aij].
3. Si A es una matriz inversible. E2. A + B = C = [cij] ∈ Mm. es el producto de matrices elementales. efectuando una sola operación elemental sobre sus filas. Una matriz cuadrada es inversible. Tiene iguales los elementos simétricos respecto a la diagonal A simétrica ⇔ aij = aji ⇔ A = At • Matriz antisimétrica o hemisimétrica es la matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta. con S simétrica y T antisimétrica. Suma de matrices
Sea Mm. tales que En En-1 .• Matriz escalar es la matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales. S= 1 1 ( A + At ) .. Admitiendo una descomposición A = S + T.. Toda matriz elemental es inversible. E2 E1 A = I. Tiene ceros los elementos de la diagonal y los elementos situados encima son opuestos a sus simétricos respecto de la diagonal.. T = ( A − At ) 2 2 ⇔ aii = 0 y aij = -aji si i ≠ j ⇔ A = -At. por consiguiente.
• Matriz elemental es la matriz que se puede obtener a partir de la matriz identidad. n el conjunto de matrices con m filas y n columnas. • Matriz triangular superior y matriz triangular inferior es la matriz cuadrada que tiene todos los elementos situados debajo (encima) de la diagonal principal iguales a cero. A antisimétrica Teorema: Toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simétrica y de otra antisimétrica. esta descomposición es única. .n . En..n tal que cij = aij + bij
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. si y solo si. se tiene que At = S − T.. B = [bij] ∈ Mm. La inversa de una matriz elemental es otra matriz del mismo tipo.
− X + 3Y =  3 0 0 1    Solución:  x11 Siendo X =   x 21 x12   y11  e Y = y x 22   21 y12  . es grupo abeliano.
5. (A + B)t = At + Bt. y el escalar α ∈ Κ. n) y + es la operación de suma de matrices. donde Mm.Es decir. +)
El par (Mm.n . es la matriz cuyos elementos son la suma de los elementos de las matrices sumandos que ocupan el mismo lugar. El grupo abeliano (Mm.n .n . +). la matriz:
αA = [αaij] Es decir.n es el conjunto de las matrices de orden (m. es ele elemento opuesto de la matriz A.
4. Producto de un elemento de K por una matriz
Dada la matriz A ∈ Mm. A = [aij]. resulta: y 22  
2 x11 − 5 y11 = 1 2 x − 5 y = −2 12  12 2 x 21 − 5 y 21 = 0  2 x 22 − 5 y 22 = 1  − x11 + 3 y11 = 2 − x12 + 3 y12 = 1  − x 21 + 3 y 21 = 3 − x 22 + 3 y 22 = 0 
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. n) es el elemento neutro. donde: • La matriz nula de orden (m.
Ejercicio: Determínense dos matrices. la matriz cuyos elementos son los productos de α por los elementos de A que ocupan el mismo lugar. • La matriz opuesta de A. cuadradas y de orden 2. y se designa por αA. matriz suma de dos matrices dadas. X e Y. Teorema: La traspuesta de una suma es la suma de las traspuestas. se define matriz producto de α × A. que verifiquen el sistema lineal: 1 − 2 2 1 2 X − 5Y =   .
El conjunto  1 0 ... se obtiene:
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.n (K) es. ... 1         de las matrices que van teniendo 1 en un elemento y los demás cero de forma alternativa en todos los aij.. 0   0 0 . ..n . 0         B = . es una base del espacio vectorial. Consecuencia de ello es que Mm. En particular.
7.. y se designa A × B la matriz C = [cij] ∈ Mm.. El espacio vectorial Mm. por tanto.. se define matriz producto de A y B. .. ..... 0   0 0 . ...resolviendo este sistema tenemos: 2 0  0  0 − 1  0 0  0  0 2 0 0 0 −1 0 0 0 0 2 0 0 0 −1 0 0 0 0 2 0 0 0 −1 −5 0 0 0 3 0 0 0 0 −5 0 0 0 3 0 0 0 0 −5 0 0 0 3 0 0 1  1 0 0 0 − 2  0 1 0   0 0  0 0 1   − 5 1  0 0 0 → 0 2  0 0 0   0 1  0 0 0 0 3  0 0 0   3 0  0 0 0   0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13  − 1  15   3 5  0 6  1 
13 − 1 X =  15 3 
5 0 Y=  6 1
6.p (de orden m. .. que la primera tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.n (K)
El producto de un elemento de K por una matriz es una operación externa f : K × Mm..n (K) es un espacio vectorial con las operaciones suma de matrices y producto de un elemento de K por una matriz. 0   0 0 . ...n que verifica las propiedades de una ley externa en los espacios vectoriales.p es decir..n → Mm. .. La dimensión de Mm. .. . . es la llamada base natural o canónica... Si se desarrolla. 0   0 1 ... Producto de matrices
Dadas las matrices sobre el mismo cuerpo K: A = [aij] ∈ Mm........ B = [bij] ∈ Mn. ..   0 0 ... p) tal que el elemento ij-ésimo de C es igual al producto escalar de la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B. el conjunto Mn de matrices cuadradas de orden n es un K-espacio vectorial de dimensión n2 ... . m × n.
cij = ai1b1j + ai2b2j + . entonces: A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC
10. definimos sobre A una estructura de anillo dotando a este conjunto de una segunda ley interna. 3. 2. z elementos cualesquiera de A. los productos de matrices no son conmutativos. 2.. ... + ainbnj =
para todo i = 1. (∀x) (∃−x) : (−x) + x = x + (−x) = 0. Existe una ley denotada por ×. La estructura algebraica (Mn . 1. (∀x) (∀y) (∀z) : (xy)z = x(yz). Los axiomas de la estructura de anillo son los siguientes: I. (∀x) (∀y) (∀z) : (x + y) + z = x + (y + z).. 4. llamada multiplicación. Ley asociativa de la multiplicación matricial
Sea A = [aij] una matriz m × n. 1.
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. Es más.
Dado un grupo abeliano A. m . donde el elemento unidad es la matriz unidad In del mismo orden. + . (∀x) (∀y) : (xy) ∈ A... En general. B = [bij] una matriz de n × p y C = [cij] de m × p. j = 1. . que denotaremos aditivamente. Ley distributiva de la multiplicación matricial
Si todas las sumas y productos que siguen están definidos. y. asociativa y doblemente distributiva con relación a la adición. Existe una ley que denotaremos por + (∀x) (∀y) : (x + y) ∈ A.. Grupo abeliano aditivo. Dos matrices se pueden multiplicar solamente si el número de filas de la primera es igual al número de columnas de la segunda. Segunda ley interna: multiplicación. (∀x) (∀y) : x + y = y + x.At
8. o incluso por la ausencia de signo.
II. El anillo de las matrices cuadradas de orden n
El producto de matrices es una operación interna sólo en el conjunto Mn de matrices cuadradas de orden n. p. · ) donde + es la suma de matrices y · el producto es un “Anillo unitario2”. o ·. 5. (∃0) (0 ∈ A) (∀x) : 0 + x = x + 0 = x.Sean x.. Teorema: Se obtiene la traspuesta de un producto multiplicando en orden inverso las traspuestas de los diferentes factores: (A. Entonces es válida la ley asociativa A(BC) = (AB)C
9.B)t = Bt. puede ocurrir que el producto AB esté definido pero que BA no lo esté..
Existen. Es decir: A = (aij ) ∈ Mn -1 A regular ⇔ ∃ A ∈ Mn tal que A· A-1 = A-1· A = In Esta matriz A-1 se llama Matriz inversa de A. Entonces B1 = 0 1 1  −1 {u1 . de los que el más importante es el de las matrices cuadradas. .
x  Sea x =  1  un  x2 
 x1  1 0 x =   = x1   + x2   = x1u1 + x2u2 0 1  x2 
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. Como v1 y v2 son li3 2 nealmente independientes B2 = {v1. Hay un número infinito de bases de donde escoger. En Pn se utiliza la base canónica {1.
1  0 Empezaremos con un ejemplo sencillo. Estas bases son las que se utilizan más comúnmente porque es relativamente fácil trabajar con ellas.. en efecto. sucede que a veces existen bases más convenientes. n vectores cualesquiera. A continuación se verá cómo cambiar de una base a otra mediante el cálculo de cierta matriz. x2. linealmente independientes.11. El conjunto de las matrices regulares de orden n. si y solo si. v2} es una segunda base de vector en
# . anillos no conmutativos. se llama regular o inversible si en el anillo (Mn . ya que en un espacio vectorial de n dimensiones. + . xn}. 1. (∀x) (∀y) (∀z) : (y + z)x = yx + zx. 2. el anillo se llama conmutativo. Para un anillo que no sea de integridad. j =   . Axiomas que ligan las dos leyes. x.− Cuando la multiplicación es conmutativa. existen ciertos elementos no nulos cuyo producto es nulo: los llamados divisores de cero. Mrn tiene con la suma y producto estructura de cuerpo.. 0 1 n En # se define la base canónica {e1.
OBSERVACIONES. Cambio de base en un espacio vectorial
1 0 En #2 los vectores se escriben en términos de la base canónica i =   . No obstante. (MRn .. . su determinante es distinto de cero. Matrices inversibles o regulares
Una matriz cuadrada de tamaño n sobre un cuerpo K. · ) Una matriz cuadrada es inversible. Sean v1 =   y v2 =   . en } . Esto significa que
#2. forman una base. + . · ) tiene elemento inverso. (∀x) (∀y) (∀z) : x(y + z) = xy + xz. Sean u1 =   y u2 =   . e2 . u2} es la base canónica en #2.
los vectores de la base original ( u1 y u2 ) se escriben en términos de los vectores de la nueva base ( v1 y v2 ).Es decir.  2 1  5   (u1 ) B2 =  3  y (u2 ) B2 =  5  1 −     5 5 Entonces 3  1  2 1 x = x1u1 + x2u2 = x1 v1 − v2  + x2  v1 + v2  = 5 5 5  5  1  1  2  3  x1 + x2  v1 +  − x1 + x2  v2 5  5 5  5  y 2 1 x1 + x2 5 5 3 1 c2 = − x1 + x2 5 5 c1 = o bien 1  2   2  c1   5 x1 + 5 x 2   5 ( x ) B2 =   =  3 = c2   − x + 1 x   − 3  5 1 5 2  5  3 Por ejemplo. Es fácil verificar que 1 2 1 3  − 1 2 3 u1 =   =   −   = v1 − v2 5 0 5 3 5  2  5 0 1 1 1  − 1 1 1 u2 =   =   +   = v1 + v2 5 1 5 3 5  2  5 Es decir. si ( x ) B1 =   . se escribe  c1  ( x ) B2 =   c2  a fin de identificar que ahora x está expresado en términos de los vectores de B2. se escribe  x1  ( x ) B1 =    x2  2 . entonces − 4 1 5   x1  1   x2    5
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. existen escalares c1 y c2 tales que x = c1v1 + c2 v2
Como B2 es otra base de
Una vez que se ha determinado estos escalares. Para hallar los números c1 y c2. Con objeto de recalcar este hecho. x está escrito en términos de la base B1.
. B1 = matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de B2 en B1 (se llama matriz de paso)..     x n   a n1
.. x2. y2.. Generalización: Sea E un K-espacio vectorial de dimensión n y sean B1 = {e1. Llamando de forma simplificada: UB1 = matriz columna que expresa las coordenadas de u en B1 UB2 = matriz columna que expresa las coordenadas de u en B2 M B2. .. e } .. B1 · UB2 Dado que la matriz M B2.. a nn   y n  Esta expresión se llama ecuación matricial del cambio de base. B1 es regular. v n = an1e1 + an2e2 + + annen Sea un vector u ∈ E que en cada base tiene de coordenadas: u = (x1.. an2
Apuntes de Álgebra 19 e 77
 x1   a11  x  a  2  =  21  . a1n   y1  . donde los vectores de B2 en B1 son:
v1 = a11e1 + a12e2 + + a1n en v2 = a21e1 + a22e2 + + a2 nen . e2 .   .... v2 . .. Será UB1 = M B2..   . tiene inversa y se verifica: a12 a 22 .. a 2 n   y 2    .. v }
bases de E..
.. yn) en la base B2 La relación existente entre ambos sistemas de coordenadas es: . .    .
B2 = {v1. y se 1 −   5 5 ha mostrado que ( x ) B2 = A ( x ) B1 . 2  ( x ) B2 =  53 −  5 Comprobación:
1  2  3  5  5  1  − 4 =  13     −  5  5
 2 13  0 2 1 13 − 1  5 + 5   3  1 2 13 v1 − v 2 =   −   =  6 26  =   = 3  − 4   = 3u1 − 4u2 0 −4 5 3 5  2   5 5 1 −      5 5   2 1   La matriz A =  53 5  recibe el nombre de matriz de transición de B1 a B2..... xn) en la base B1 u = (y1...
y sólo si. Escribir la matriz C cuyas columnas son v1. v2 . . B1 · UB1 Procedimiento para hallar la matriz de transición de la base canónica a la base B2 = {v1. el rango de sus filas es igual al rango de sus columnas y se llama rango de la matriz. se llama: Rango de las filas de la matriz el rango de los vectores fila de la matriz. si se efectúan estas operaciones en las filas (o columnas) de una matriz. vn } 1. entre ellos:
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. v2 . Se llaman operaciones elementales.
a) Permutar entre sí dos vectores cualesquiera. B2 Y con ello la otra expresión del cambio de base: UB2 = M −1 B2. A se multiplica por la izquierda por la matriz elemental apropiada. Calcular C . Rango de las columnas de la matriz el rango de los vectores columna.
14. Rango de una matriz
Dada una matriz A = (aij ) con aij ∈ K. u2 . B1 = M B1. Esta es la matriz de transición requerida.
. y el sistema obtenido al realizarlas es equivalente al primero. u } . Proposición: Una matriz cuadrada de orden n es regular si. se obtendrá otra con el mismo rango. Cálculo del rango de una matriz
Existen distintos procedimientos que suponen el cálculo del rango de los vectores que forman las filas (o columnas) de la matriz. o el mayor número de vectores columna que son linealmente independientes. Pues bien.
13. b) Sustituir uno de ellos por el mismo más una combinación lineal de los restantes ui = ui + α 1u1 + +α n un (αj = escalares) c) Multiplicar uno de ellos por un escalar. o el mayor número de vectores fila que son linealmente independientes. su rango es n.M −1 B2. Para efectuar una operación elemental de fila en la matriz A de m × n. Operaciones elementales en una matriz
Las siguientes operaciones en un sistema de vectores {u1. Para cualquier matriz.
Si la reducción por filas de A lleva a una fila de ceros a la izquierda de la barra vertical. con lo que se obtiene la matriz [A | I ] de doble número de columnas y en ella se realizan sucesivas operaciones elementales sobre sus filas hasta conseguir la matriz [I | B ] (es decir.1.
16. 2. Mediante determinantes: El cálculo de determinantes ofrece una técnica muy operativa para hallar el rango de una matriz. Cálculo de la matriz inversa mediante transformaciones elementales
Puede calcularse la inversa de una matriz dada A de la siguiente forma: Se escribe la matriz A y a su derecha la matriz unidad I. Calculando el máximo número de filas (o columnas) independientes mediante la propia definición de sistema libre o ligado de vectores. entonces A no es inversible. Mediante transformaciones elementales en las filas (o columnas) de la matriz eligiendo un 1 en la matriz y haciendo cero los elementos de su misma fila o columna. transformar A en la unidad I). Si A puede reducirse a la matriz identidad. entonces B será la matriz inversa de A.
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• El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal. d) Si en una matriz se expresa una de sus líneas como suma de dos nuevas.2 son del mismo orden. si n = 2 |A| = a11 a12 = a11a22 − a12a21 a 21 a 22
El sumando a11a22 está precedido del signo + . porque las permutaciones ahora: 1. porque las permutaciones que indican filas y columnas: 1. de tal forma que cada sumando es el producto de n factores siendo cada factor un elemento de la matriz perteneciente a fila y columna distinta de los restantes. se multiplican todos los elementos por un mismo escalar α. Definición
Sea (aij) = A. b) Si se permutan entre si dos líneas (filas o columnas) paralelas. según que la permutación que indica las filas y la que indica las columnas sean del mismo o distinto orden respectivamente. el determinante es igual a la suma de los dos determinantes que se obtienen de sustituir la línea por cada una de las líneas sumandos. una matriz cuadrada de orden n sobre un cuerpo K. |I| = 1 • El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal. c) Si en una línea.Capítulo 3
1. Se llama determinante de A el escalar que resulta de sumar algebraicamente n! sumandos. el determinante cambia de signo. Así. El sumando a12a21 está precedido del signo − .
2. Cada sumando estará afectado del signo + o − . el determinante queda multiplicado por α.
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.2 y 2. Propiedades
a) El determinante de una matriz cuadrada A es igual al determinante de su traspuesta. Si n = 3 a11 a12 |A| = a 21 a 22 a 31 a 32 a13 a23 = a33
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33− a11a23a32 Consecuencias: • El determinante de una matriz unidad es siempre el elemento unidad del cuerpo al que pertenecen los elementos de la matriz.1 son de distinto orden.1 y 2. Se designa |A| .
a1n a11 . Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario si i + j = par. de una matriz cuadrada de orden n.. al determinante de orden n − p que resulta de eliminar en A las filas y columnas a las que pertenece el menor. ar1Ak1 + ar2Ak2 + . b1 a1n .. g) El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los elementos situados en su diagonal.. + arnAkn = 0
4..... y solo si. En particular: • Si existe una línea con todos ceros. . el determinante de la matriz obtenida coincide con el de la primera matriz. . a1 + b1 a21 ... Se llama menor complementario de un menor de orden p.. El adjunto del menor será el menor complementario con el mismo o distinto signo según que la suma de los números que indican las filas y columnas que ocupa el menor sea par o impar respectivamente. a1 .. el determinante de orden n − 1 que resulta de eliminar en A la fila i y la columna j... aparte de la definición. . b2 a 2 n a 2n a + 21 ..... Se denomina ∆ij y como se deduce de la definición no depende del valor del elemento sino de su posición en la matriz.. an + bn
a1n a11 . . . . ann an1 .. y al menor complementario cambiado de signo si i + j = impar.. Menor complementario y adjunto de un menor de una matriz
Es una generalización de los conceptos anteriores. sin alterar las demás.. a2 + b2 .
5.. a 2 a2 n a = 21 . el determinante es cero.. los vectores que indican las filas (o las columnas) son linealmente dependientes.. . Menor complementario y adjunto de un elemento
Se llama menor complementario del elemento aij de la matriz A = (aij). .....
3..... el determinante es cero. .. Cálculo práctico de determinantes
Existen varios métodos de cálculo...
Apuntes de Álgebra 23 e 77
. a nn an1 . f) Si en una matriz se sustituye una línea por ella misma más una combinación lineal de otras paralelas.a11 .. • Si existe una línea combinación lineal de otras paralelas.... an1 . es cero. • Si dos filas o columnas son iguales. bn a nn
e) El determinante de una matriz cuadrada es nulo si... el determinante es cero... de orden n.. Se designa por Aij y será: Aij = (−1)i + j ∆ij Propiedad: La suma de los productos de los elementos de una línea de un determinante por los adjuntos de una paralela.
.. es igual a la suma de todos los productos posibles de los menores de orden p (p < n) que se pueden formar con p filas (o columnas) prefijadas.. 3...
6. A regular ⇔ |A| ≠ 0 En caso contrario se dice singular.
n a 2 −1
8. y solo si. por sus correspondientes adjuntos.. a1n−1
1 a2 2 a2 . n . El determinante de una matriz A es igual a los elementos de una línea. hasta conseguir.. Caracterización de las matrices regulares
Una matriz cuadrada es regular si. diagonal.. Mediante aplicación de las propiedades. Llamando: A = Matriz adjunta de A (matriz que resulta de sustituir en A cada elemento por su adjunto). por sus adjuntos correspondientes. (donde
i =1 j >i
7. Para ello se elige en una fila o columna un elemento pivote y se hacen ceros los elementos de su misma columna.. Es decir. El determinante de una matriz cuadrada A de orden n. Consiste en aplicar reiteradamente y de forma acertada las distintas propiedades para obtener determinantes más sencillos de calcular de algunas matrices específicas (triangular. un determinante conocido. 1 . Se verifica
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. .. Cálculo de la matriz inversa mediante determinantes
Sea A una matriz regular (|A| ≠ 0). a n 2 . Desarrollar por los elementos de una línea... etc. Determinante de Vandermonde
Se denomina así al siguiente determinante: 1 a1 2 Dn = a1 .
y su valor es: Dn = ∏ (a j − ai ) . Desarrollar por los menores de un conjunto de líneas paralelas (Regla de Laplace).. + anjAnj De esta forma.. se reduce a calcular determinantes de un orden menos. dada una matriz cuadrada de orden n: A ∈ Mn . an .1. a n −1 significa “producto”). 2..).. procediendo repetidas veces. |A| = a1jA1j + a2jA2j + . su determinante es distinto de cero..
Esta definición permite calcular el rango de una matriz hallando todos sus menores y observando cual o cuales son los de mayor orden. no nulos.
9. se amplia éste de la misma forma y así sucesivamente.
10. el determinante del producto de dos matrices es igual al del producto de sus traspuestas. Primero es aconsejable observar si hay líneas iguales a otras. con lo cual en esta formula. Si alguno de tercer orden es distinto de cero. Si todos son cero el rango de la matriz es 2.
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. Se calcula el determinante de A.
ADVERTENCIA Algunos autores denominan matriz adjunta a la traspuesta de la matriz que resulta de sustituir cada elemento de la matriz por su adjunto. Se halla la traspuesta de la matriz adjunta. Rango de una matriz mediante determinantes
Definición: El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de sus menores no nulos. Determinante de la matriz producto de otras dos
El determinante de la matriz producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices factores. |A · B| = |A| · |B| Consecuencia: Recordando que |A| = |At| se verifica: |A · B| = |A| · |B| = |At| · |Bt| = |At · Bt| Es decir. obteniendo matrices más simples. En este caso se eliminan. Se divide cada elemento de la matriz A t por el valor |A|.A −1 =
1 ( A)t A
Esta fórmula ofrece los pasos a seguir para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada regular A: Se calcula la matriz adjunta de A. resultaría la matriz inversa igual al cociente de la matriz adjunta por el determinante de la matriz. Para ello es conveniente seguir el siguiente camino que simplificará el proceso. Después se toma un menor de orden 2 no nulo (si es que el rango es al menos 2) y se le amplia con una fila fija y se forman los determinantes de tercer orden resultantes de ampliar las columnas una a una. o combinación lineal de varias paralelas.
Dados dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo de definición K. entonces: f ( L ) = { f (u ). se verifica: a) f( 0 ) = 0 b) ∀u ∈ E.
d) Si L = {u1. . ∀u . e) Si L = {u . . una aplicación f : E → F se llama aplicación lineal u homomorfismo entre E y F si para cualquier par de vectores u .Capítulo 4
1. β ∈ K. v ∈ E y todo escalar α ∈ K se verifica: f ( u + v ) = f (u ) + f ( v ) f (αu ) = αf ( u )
2. ◊ La aplicación lineal de un espacio sobre su cuerpo de escalares. u } es un sistema ligado de E. se dice aplicación en. f lineal ⇔ ∀ α.
. ◊ El endomorfismo biyectivo se dice automorfismo. Caracterización
Estas dos propiedades son equivalentes a: f : E → F . f : E(K) → K se dice forma lineal. la aplicación lineal es isomorfismo. u } sistema de generadores de E. f ( u )} es sistema ligado de f(E). f ( u )} es sistema de generadores de f(E). v ∈ E es f (αu + βv ) = αf ( u ) + βf ( v ) Tipos: ◊ Si f biyectiva.
1 n n 1 n 1 n
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. ◊ Si f no es inyectiva ni sobreyectiva. ◊ Si f : E → E la aplicación se dice endomorfismo. . entonces: f ( L ) = { f (u ). S subespacio vectorial de E ⇒ f(S) subespacio vectorial de F. Principales propiedades
Si f : E → F es aplicación lineal. f ( − u ) = − f ( u ) c) S ⊂ E.
1) f(0. u = f ( v ) = f ( a1v1 + a2 v2 +
 + a v ) = a f (v ) + a f (v ) +  + a f (v )
n n 1 1 2 2 n n
y por tanto los vectores f( v1 ).. a2. 0) = (1. f( v2 ). 0) = (-1. . + an v n . tal que f( x ) = 0 } = f -1( 0 ) N(f) es subespacio vectorial de E. el conjunto de vectores de E que se aplican en el vector nulo de F. y se verifica: dim(N(f)) + dim(Im(f)) = dim E Ejemplo: Dada la aplicación lineal f :
# →#
f(x. Los vectores v1 . f( v n ) generan a Im(f). 0. 0. Solución: 1) Las imágenes de los siguientes generadores de
generan la imagen U de f:
f(1. 1... entonces f( v ) = u para algún vector v ∈ E.. 1) = (1. Es decir. y. -3) Formamos la matriz cuyas filas son los generadores de U y la reducimos por filas a la forma escalonada
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. v n generan a E. an tales que v = a1 v1 + a2 v2 + . s. Supongamos que u ∈ Im(f). 0.
5. Se denomina Im(f) = f(E). . . f( v n ) ∈ F generan Im(f)... y se denota Ker(f) o bien N(f). 3) f(0. 2.. 0. x + 2s − t. ..4. es la imagen inversa del vector nulo de F. 0. En consecuencia.. 0) = (1. Como los vi generan a E y v ∈ E.. 0. se llama imagen de f.. N(f) = { x ∈ E... La aplicación lineal f : E → F será sobreyectiva si f(E) = F. 1. 0. 1) f(0. -1. 1. el conjunto f(E) ⊂ F que es también espacio vectorial. t) = (x − y + s + t. x + y + 3s − 3t) Se trata de hallar una base y la dimensión de: 1) la imagen U de f y 2) el núcleo W de f. Imagen de una aplicación lineal
Dada una aplicación lineal f : E → F. f( v2 ). existen escalares a1. v2 .. los vectores f( v1 ). se llama Núcleo de f . Núcleo de una aplicación lineal
Dada una aplicación lineal f : E → F.
1) f(0. 0.1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 1 0 0 1 0 1 2  1 2    a   a   0 1 0 0 0 1 2 3 2         1 − 1 − 3 0 − 2 − 4  0 0 0 Luego {(1. Hacemos a) s = -1. 1).)
Ejemplo: Dada la aplicación lineal f :
f(x. y. esto es f(x. y. 0. 0. 0) = (2. 0)
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. 1. 1. luego dimW = 2. (1. x + y + 3s − 3t) = (0. forman el siguiente sistema homogéneo cuyo espacio solución es el núcleo W de f. -1. 0. 0. 1. 0. z) = (x + 2y . s.  x − y + s +t  +2 s − t x  x + y +3s −3t  ó =0 =0 =0 ó  x − y + s +t  y + s − 2t   2 y +2 s −4t  =0 =0 =0
 x − y + s +t = 0  y + s −2t = 0  Las variables libres son s y t. 0. x + y -2z) = (0. t) tales que f(x. 2) Buscamos el conjunto de los (x. -1)} es una base de U. (0. 1) f(0. 0). 1). t) = (x − y + s + t. z) = (x + 2y . y + z. t) = (0. t = 0 para obtener la solución (2. 2. (Obsérvese que dimU + dimW = 2 + 2 = 4. -1. 1). y. 1. f(x. (0. z) = (0. s. 2)} es una base de U. 1. s. y. y. 1)} es una base de W. b) s = 0.z. por tanto dimU = 2. 0. 0) Igualando las componentes correspondientes. 0). x + 2s − t. 2) Buscamos el conjunto de los (x. por tanto dimU = 2. 1) Las imágenes de los generadores de 3 generan la imagen U de f:
f(1. y + z. esto es. que es la dimensión del dominio 4 de f. -2) Formamos la matriz cuyas filas son los generadores de U y la reducimos por filas a la forma escalonada 1 0 1  1 0 1  1 0 1         2 1 1  a 0 1 − 1 a 0 1 − 1 − 1 1 − 2 0 1 − 1 0 0 0        Luego {(1. y. 0). 0) = (1. Luego {(2. 1. 0. 1) = (-1. 0). t = 1 para obtener la solución (1. y. 0.z. 2. 1. z) tales que f(x. y. x + y -2z) Se trata de hallar una base y la dimensión de: 1) la imagen U de f y 2) el núcleo W de f. 1. 0.
xn) en la base B y su imagen f ( u ) tiene de coordenadas (y1..
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. y sea B = {e1... f ( en ) en la base B' de F. .. las imágenes por f de los vectores de la base de E. e2 .. a12. (Obsérvese que dimU + dimW = 2 + 1 = 3. . . Sea m la dimensión del espacio vectorial F. entonces y = −1 y x = 3. a1m) en la base B' . .        y m  a1m a 2 m . . luego dimW = 1.... y sea B' = {v1... Así: f ( e1 ) = (a11. vm} una base de F. Sea z = 1... x2..B.)
6..   . f ( en ) = (an1.. a n 2   x 2     . a nm   x n  donde las columnas de la matriz A son las coordenadas de los vectores f ( e1 ) ..... Luego {(3.. que es la dimensión del dominio 3 de f. a n1   x1   y  a .. Y = AX  2  =  12 a 22  .. y2... -1... Si u ∈ E tiene de coordenadas (x1.. . ym) en la base B'.. Sea n la dimensión del espacio vectorial E..  x +2 y − z = 0  y +z = 0   x + y −2 z = 0  ó  x +2 y − z = 0  y +z = 0   − y −z = 0 
 x +2 y − z = 0 ó  y +z = 0  La única variable libre es z. . 1)} es una base de W. Matriz
Una aplicación lineal f : E → F queda determinada conociendo las imágenes de los elementos de una base de E.. anm) en la base B' La expresión matricial puede resumirse: YB' = M(f.. f ( en ) .Igualando las componentes correspondientes formamos el sistema homogéneo cuyo espacio solución es el núcleo W de f.. Determinación de una aplicación lineal.. an2. es decir.   . .B')XB y se llama expresión matricial de f en las bases B y B'.. . en } una base de E. .. Una aplicación lineal queda determinada conociendo f ( e1 ) . v2 . Se verifica la siguiente ecuación matricial:
 y1   a11 a 21 .. ...
Luego A satisface las condiciones requeridas. −4) y (2. 0) = (1. 0. 2. 0. 0.Conocida M(f. e3 = (0. Ejemplo 1: Hallar una aplicación lineal f : (1. 2. cada matriz determina una aplicación lineal. z): f(x. 4) En concreto. e2 = (0. se piden sendas bases del núcleo y la imagen. Hallamos un formula general para f(x. 0. La aplicación lineal f existe y es única. y. 2x. Las ecuaciones deducidas al resolver la expresión matricial de f. 0. cuyas columnas son los vectores dados. esa matriz se llama matriz de f en las bases B y B'. 0. f(e2) = (2. 0. −1. 0). 1) f(0. 0. −3). 0. Consideremos la base usual de 3: e1 = (1. 2) f(0. 1. −1. Formamos una matriz A4×3. 1. −5. y. 0. se llaman ecuaciones de f. 0. −4) + y(2. 0. de la
 x1   1 2 4 −1   −1 1 −1 −5  x 2    x   2 1 5 4  3    x  4
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. la ecuación matricial. −4). 0. 5) f(0. 0. Y = AX. Hacemos f(e1) = (1. −3) y f(e3) = (0. y elegidas previamente las bases. 0.
cuya imagen es generada por
Método 1. 0) = (x + 2y. 0. por ejemplo: 2 0  1 2 0 0   A=  0 − 1 0    − 4 − 3 0 Recordamos que A determina una aplicación lineal A : 3 → 4 cuya imagen es generada por las columnas de A. 1. 0. 2. además la imagen de f es generada por los f(ei). −y. -3) + z(0. 0). −1. 0.B') queda determinada la aplicación. 0) = (2. 0) = (4. −1. z) = f(xe1 + ye2 + ze3) = xf(e1) + yf(e2) + zf(e3) = x(1. 1.B. 1) = (-1. −1.
Ejemplo 2: Hallar el núcleo y la imagen de la aplicación lineal f:
f(1. 0). 1). Resolución: Respecto de las bases canónicas de aplicación lineal es:  y1  y  =  2  y3   
# y # . −4x−3y) Método 2.
rg(f) = dim(Im(f)) = dim(f(E)) Propiedad: El rg(f) coincide con el rango de la matriz asociada a f en cualquier base: rg(f) = rg(Mf)
8. esto es: (1. su núcleo contiene sólo el vector nulo. se obtiene sucesivamente:  1 0 0 0  −1 3 3 −6     2 −3 −3 6   1 0 0 0  −1 1 0 0     2 −1 0 0   1 0 0 0  1 1 0 0    0 −1 0 0 
Por tanto. Rango de una aplicación lineal
Se llama rango de una aplicación lineal f : E → F la dimensión del espacio vectorial imagen. 1) forman una base de N(f). Se denota rg(f). Una aplicación lineal f : E → F es inyectiva si. Realizando operaciones elementales en las columnas de A se obtienen sistemas de columnas equivalentes al dado. Es decir: f : E → F . 1. Aplicaciones lineales inyectivas
Las aplicaciones lineales inyectivas son de especial interés. generan la imagen y. son base de ella. f inyectiva ⇔ N(f) = { 0 }
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. 0) y (0. Para resolver este sistema lineal homogéneo.El núcleo lo forman las soluciones de f( x ) = 0 . los vectores del núcleo son los que cumplen (para α. 1. realizando operaciones elementales en las filas de su matriz A.
7. La imagen es el espacio de R3 que engendran las cuatro columnas de A. 0. y solo si. que si se usan coordenadas se pone en la forma AX = 0. al proceder de este modo. 2. 1. como son independientes. β ∈ x1 x2 x3 x4
(-2. los dos vectores columna no nulos de la última matriz. -1) forman una base de Im(f). -1. 1. 0) y (-3. se obtienen sucesivamente las matrices:  1 2 4 −1 0 3 3 −6    0 −3 −3 6   1 2 4 −1 0 1 1 −2     0 0 0 0  = −2α − 3β  = −α + 2β    luego =α   =β  3 1 0 2 0 1 1 −2    0 0 0 0 
Desde el punto de vista de los espacios vectoriales. 1. 0. 2. entonces f −1:F → E también es un isomorfismo. x + y. un sistema libre de E se aplica en un sistema libre de F. y.2. 0) = (0. Es decir. entre dos espacios vectoriales E y F. Si E tiene dimensión finita. Una aplicación lineal f:E → F es isomorfismo si y sólo si: Im(f) = F y N(f) = 0 3. 0) = (1. Si f:E → F es un isomorfismo. se pueden identificar. 1. ya que son linealmente independientes. entonces f es inyectiva si y solo si dim E = dim f(E) o también rg(Mf) = dim E. 1) f(0. Ejemplo: La aplicación lineal f:
f(x. también. Estas aplicaciones lineales y biyectivas se llaman isomorfismos. f inyectiva ⇔ [B base de E ⇒ f(B) base de f(E)] 3. y solo si. una aplicación lineal f:E → E es un automorfismo si y sólo si es inyectiva o sobreyectiva. así es. x + y + z) es inyectiva ya que las imágenes de los vectores de la base canónica de 3 son los vectores: f(1. z) = (x. La composición de dos isomorfismos es. 1. 1. de un espacio en sí mismo. 1. Isomorfismos
Cuando se dispone de una aplicación lineal. recibe el nombre de automorfismo. una aplicación lineal f:E → F es un isomorfismo si y sólo si: dim E = dim f(E) = dim F 4. 1. no hay nada que permita diferenciar a E de F. 5. La inyectividad de f también se podía haber comprobado viendo que N(f) = 0. y + z. 1) = (0. 1) que forman una base de la imagen. Si E tiene dimensión finita. puede considerarse que E y F son iguales. 0.
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. si la imagen de una base de E es una base de f(E). que además es biyectiva. Una aplicación lineal f : E → F es inyectiva si. 0. 1) f(0. Si E tiene dimensión finita. un isomorfismo. 0. Un isomorfismo f:E → E. ya que:
x x + y  N ( f ):  y + z x + y + z 
=0 =0 ⇔ =0 =0
x = 0  N ( f ):  y = 0 ⇔ N ( f ) = 0 z = 0 
+ an-1xn-1) = (a0 + a1 + a2 + .. se tiene sucesivamente:
f(a + bx +cx2) = (a + b − 2c.
10. es decir. pues. hallar una base de la imagen Im(f). Un isomorfismo entre ellos lo es la aplicación f:V → n dada por f(a0 + a1x + a2x2 + . su determinante será distinto de cero f : E → E biyectivo ⇔ |Mf| ≠ 0
.. 2a + 3b + hc)
1 1 − 2  1 0 1 0 0  0        5  → 2 1 0  A = 2 1 1  → 2 − 1 2 3 h  2 1 h + 4 2 − 1 h + 9        La matriz A es singular para h = −9. Para este valor. Solución: El valor buscado de h es aquel que hace singular a la matriz A de f (en la base usual de V y en la canónica de 3). operaciones elementales en las columnas de A. Si el endomorfismo es biyectivo el rango de la matriz será la dimensión de E. 2) y (0. es decir. -1) de 3..6. la dimensión de Im(f) es 2 y una base de este espacio la forman las dos columnas no nulas de la última matriz.. Para dicho valor de h. los vectores (1. 2a + b + c. 2. La matriz de f en una base será cuadrada. Caracterización de endomorfismos biyectivos
Las aplicaciones lineales f : E → E son endomorfismos.
Ejemplo 2: Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que 2 y considérese la aplicación lineal f:V → 3 definida por
Hallar h ∈ para que f no sea un isomorfismo. 1. + an-1).
El espacio vectorial n es isomorfo al espacio vectorial V de los polinomios de grado menor que n. realizando. el rango de A vale 2. Dos espacios vectoriales de dimensión finita (sobre el mismo cuerpo K) son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.
B) = M(g.F) /(E. Si α ∈ K y f ∈ ción αf : E → F la aplicación tal que. f. se llama producto de f y g la aplicación g f : E → E
∀u ∈ E. Conjunto de las aplicaciones lineales entre dos espacios EyF
El conjunto de todas las aplicaciones lineales entre E y F.
Si f. ( f + g )( u ) = f ( u ) + g( u ) La suma así definida es interna: (f + g) ∈
/(E. B. + . B') = M(f. La aplicación αf es aplicación lineal. se define aplica-
Si B y B' son dos bases de E y F respectivamente.
Si B es una base de E. también f ∈ /(E) y su matriz
M ( f −1 . se define:
Aplicación suma de f y g. B. B') = αM(f.F) con las operaciones suma y producto por un escalar es un
12. ∀u ∈ E . ( g f )( u ) = g( f ( u ))
La aplicación así definida es aplicación lineal. B. ·) es anillo unitario.
/(E. es posible definir otra operación interna. g f ∈
/(E). y se verifica: M(αf. B. a la aplicación f + g : E → F tal que: ∀u ∈ E.F). B. B') y M(g. g ∈
/(E.B) El conjunto ( (E).F). Si f ∈
/(E) tiene aplicación inversa f . y M(f. B ) = M (−f1. B )
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. espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. se denota (E. que será la propia composición de aplicaciones. el producto. además de las operaciones suma y producto por un escalar. (αf )u = αf ( u ) . B. B') son las matrices de f y g en esas bases. B.11. B) · M(f. se verifica la relación entre matrices: M(g º f. B') El conjunto K-espacio vectorial. B') Aplicación producto por un escalar.F). B') + M(g. se verifica: M(f + g. Dados f : E → E y g : E → F endomorfismos en E. El anillo
/(E) de los endomorfismos de E
En el conjunto (E) de las aplicaciones lineales sobre E. g son dos aplicaciones lineales entre E y F.
. v }
bases de E. B1 ) y M ( f .... e2 . B1 ) ⋅ C quedará
1 M ( f . donde los vectores de B2 en B1 son: v1 = a11e1 + a12e2 +
+ a 
1n en
.. a nn  la matriz que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base B2 expresados en B1.... La relación existente entre ambas matrices es: M ( f .... B1 ) = M (−B1 .... B2 ) ⋅ M ( f . v2 . B2 = {v1 ...... . ...   a n1
la expresión M ( f . B1 ) ⋅ C donde C = Matriz de cambio de base ...   a n2 .. B2 )
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.... Matrices asociadas a un endomorfismo en dos bases distintas
Sea E un K-espacio vectorial de dimensión n y sean: B1 = {e1...... B2 ) en las bases B1 y B2 respectivamente.. a 2 n  = M ( B2 ... B2 ) = C −1 ⋅ M ( f .. . B1 ) ⋅ M (−B1 ....13. Recordando que a12 a 22
1 M ( B2 ... B2 ) = C −1 ⋅ M ( f ... B2 ) = M ( B1 . B1 ) .. a1n  ... B2 )
 a11 a 21 C =  . v n = an1e1 + an 2e2 + + annen Sea una aplicación lineal f : E → E de matrices M ( f ..... en } .
........
1.. x2....... tales que sustituidos en (x1...   ..... ... .....
2............ B=   X=  . de matriz asociada A donde E es un K-espacio vectorial de dimensión n y F un K-espacio vectorial de dimensión m y tal que la búsqueda de soluciones equivale a hallar vectores u = (x1.. En este caso no existe u = (x1... x2. .        a m1 a m2 .. A =  21 . Se llama solución del sistema la n-upla (α1. a 2 n  2  2  ........ El sistema no tiene solución (sistema incompatible)...
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.. + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ..... puede expresarse en forma matricial: AX = B donde:  a11 a12 .  .. xn) ∈ E que se aplican en el vector b = (b1....... + amnxn = bm en las que aij y bi son escalares de un cuerpo Ki y x1. La discusión del sistema puede realizarse según que b pertenezca o no al conjunto Im(f)....... x2. Un sistema de ecuaciones lineales en el que bi = 0 se llama homogéneo.. Existen vectores u tales que f( u ) = b ...  . α2. b) b ∈ Im(f)... xn son las incógnitas... a mn  bn   xn  Por tanto.. .... x2. αn) de elementos de K. b2. de la siguiente forma: a) b ∉ Im(f). Enfoque vectorial
Un sistema de ecuaciones tal como el del apartado 1. am1x1 + am2x2 + . .. Definiciones
Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de ecuaciones de la forma: a11x1 + a12x2 + ... .. bm) ∈ F. a1n  b1   x1  a  b  x  a 22 . El sistema tiene solución (sistema compatible). .... xn) verifican todas las ecuaciones.. un sistema de m ecuaciones con n incógnitas puede interpretarse como la expresión de una aplicación lineal: f : E → F.... xn) tal que f( u ) = b . .... + a2nxn = b2 ..
0)). En el caso particular de un sistema homogéneo (AX = 0).. Es decir. la matriz obtenida corresponde a un sistema de ecuaciones equivalente al primero... al ser N(f) ≠ 0. se verifica: La condición necesaria y suficiente para que el sistema AX = B sea compatible es que coincidan los rangos de la matriz A y de la matriz A|B que resulta de ampliar A con la columna matriz de los términos independientes B. Teorema de Rouché-Frobenius
Empleando notación matricial AX = B para un sistema de ecuaciones lineales. es decir. . respectivamente). la búsqueda de soluciones equivale al cálculo del N(f). Si en A se efectúan operaciones elementales con las filas. al ser r(A) = r(A|0) es sistema es compatible. Suponiendo que sea la matriz correspondiente a las r primeras filas y r primeras columnas (si no fuese así. El problema de interés ahora es buscar si existen o no más soluciones. Equivalencia de sistemas
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen los mismos sistemas de soluciones. 0.
5. En este caso. cuyo determinante es distinto de cero. II) Si r(A) = r(A|B) < n el sistema es indeterminado. el núcleo de la aplicación lineal de matriz A. Será: I) = n determinado (solución única u = (0. compatible. Proposición: Sea un sistema de ecuaciones lineales de matriz A.
3.Cabe ahora investigar si la solución es o no única (sistema determinado o indeterminado.. Si r = r(A). Resolución de ecuaciones lineales
Se presentan algunos métodos de interés: a) Método general Sea el sistema AX = B de m ecuaciones con n incógnitas. existe una submatriz cuadrada de orden r obtenida de A. lo que equivale a analizar si la aplicación es o no inyectiva. Sistema AX = B compatible ⇔ r(A) = r(A|B) Consecuencias: Si n = número de incógnitas del sistema. .. II) < n indeterminado. 0). En el caso de sistema homogéneo (AX = 0). y el sistema es compatible: I) Si r(A) = r(A|B) = n el sistema es determinado.
4. 0. un sistema homogéneo tiene al menos la solución u = (0.
Apuntes de Álgebra 37 e 77
. se intercambiarían ecuaciones para ponerlas de esta forma)..
.... podemos multiplicar ambos términos de la igualdad por A−1.... el sistema dado es equivalente al siguiente: a11x1 + ... con A regular. Entonces su diferencia..... su solución es única: xi = Ai A i = 1....... luego X = A−1B. d) Método de la matriz inversa Expresado el sistema en su forma matricial AX = B. x1 − x2..... y se han eliminado las ecuaciones que tampoco intervienen en la misma matriz.. Supóngase que x1 y x2 son soluciones del sistema no homogéneo.. transformaciones elementales de las filas hasta conseguir una matriz A triangular.... A(x1 − x2) = Ax1 − Ax2 = B − B = 0
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. es una solución del sistema homogéneo asociado... + a1nxn) a21x1 + . + a1rxr = b1 − (a1r+1xr+1 + .. resultando A−1AX = A−1B.... es determinado. c) Método de Gauss Es un método de fácil programación y por tanto de sencilla resolución con ayuda informática. ... Dado un sistema de Cramer AX = B. Este nuevo sistema. + a2nxn) . 2.
6..... llamando parámetros a las incógnitas xr+1.. . se denomina sistema homogéneo asociado al resultante de hacer cero la matriz de términos independientes AX = 0.. + a2rxr = b2 − (a2r+1xr+1 + ....... o lo que es lo mismo.......... Sistema homogéneo asociado
Dado un sistema lineal de ecuaciones AX = B........ + arrxr = br − (ar r+1xr+1 + .. Se resolvería por cualquiera de los métodos clásicos de reducción o eliminación... que nos da la solución del sistema....... n
donde Ai es la matriz que resulta de sustituir en A la columna i por el vector columna B de los términos independientes. ar1x1 + ... xn. Un sistema determinado puede reducirse a uno de Cramer siguiendo el procedimiento general indicado en el apartado anterior. calculando la inversa de la matriz de los coeficientes y multiplicándola por la matriz de los términos independientes.... + ar nxn) donde se han pasado al segundo miembro las incógnitas que no intervienen en la matriz regular de orden r.En ese supuesto. cuyo sistema asociado es fácilmente resoluble........ La idea del método es aplicar a la matriz ampliada A|B del sistema. IX = A−1B... b) Sistema de Cramer Un sistema de ecuaciones se dice de Cramer si tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas y la matriz del sistema es regular.....
b) Conocidas las ecuaciones paramétricas del subespacio Se eliminan los parámetros hasta obtener un número de ecuaciones independientes igual al número de incógnitas menos el número de parámetros.Sean x e y dos soluciones particulares del sistema no homogéneo. Se resuelve el sistema. y el paso de un tipo a otro de ecuaciones se efectúa de la siguiente manera: a) Conocida las ecuaciones implícitas. AX = 0 Se halla el rango de la matriz A. Cálculo de las ecuaciones de un subespacio vectorial
Las ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio vectorial. En el caso de que el sistema tenga infinitas soluciones. dichas soluciones.
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. que sería el número de ecuaciones independientes. Las ecuaciones de dicho sistema se llaman ecuaciones implícitas o no paramétricas del subespacio vectorial solución. basta con hallar una solución y todas las soluciones del sistema homogéneo asociado. se verifica la siguiente relación: Dimensión del subespacio = Número de incógnitas − Número de ecuaciones independientes. se llaman ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial. entonces existe una solución h del sistema homogéneo asociado tal que y = x + h. igual al número de incógnitas menos el rango de la matriz A.
8. Esa solución en función de parámetros serán las ecuaciones paramétricas.
7. entonces h = y − x es solución del sistema homogéneo asociado y por tanto y = x + h) Para hallar todas las soluciones de un sistema no homogéneo. en función de los parámetros correspondientes. Ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio vectorial
El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo es un subespacio vectorial (es el núcleo de una aplicación). (Siendo x e y soluciones del sistema no homogéneo. Al ser el número de parámetros a utilizar en la resolución del sistema AX = 0.
Una recta es un subespacio de dimensión 1 en un espacio afín.0). .Q) = 0 ⇒ P = Q 3º ∀ P. un } . . tales que PR = PQ + QR ⇒ f(P.
2.. Espacio afín
Sea E un conjunto E = {P. R ∈ E.0). . u1. E3 es el espacio de puntos asociado al espacio vectorial el cuerpo .0). Se determina por: a) Un punto y una dirección (vector de dirección de la recta).0). u1 = (1. se llama referencia afín de E. Q) + f(Q.Q) = v = PQ ) y que verifique: 1º ∀ P ∈ E. u2 = (0. u1. donde O = (0.1).. Q) le haga corresponder un vector v ∈V que se le denominará v = PQ (es decir: f(P.
Apuntes de Álgebra 40 e 77
. u2} .} cuyos elementos se llamarán puntos y sea V un K-espacio vectorial.
3. u3} . R) La dimensión del espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado. donde O ∈ E y B = {u1.0. un } es una base de V.. b) Dos puntos no coincidentes. . donde O = (0.. ∀v ∈V . u3 = (0. u2 . ∃ Q ∈ E tal que f(P. . Se denota E2 el espacio de puntos en el plano asociado al espacio vectorial sobre . Q. u1 = (1.. Supongamos E2. Se dice que E es un espacio afín asociado a V. si se define una aplicación: f:E×E→V tal que a cada par de puntos (P. u2 = (0.1) En E3 será: R = {O.
Un punto P ∈ E tiene de coordenadas en R las que el vector OP tiene en la base vectorial B..1.0). u2 . de dimensión n.
De igual forma.. u2 . p3) en B En E2 la referencia usual es: R = {O.0. p3) en R ⇔ OP = (p1. Q. El conjunto R = {O.Q) = v = PQ ) 2º f(P. Referencia afín
Sea E un espacio afín asociado al espacio vectorial V. Es decir: P(p1. R) = f(P. p2..Capítulo 6
1. R. Cada caso se hallaría de la siguiente manera. u1 . p2.0.
a) Si el punto es P = (a, b) y la dirección d = (d1, d2), la recta r puede expresarse de las siguientes formas: Ecuación vectorial: OX = OP + λ d ; donde x = (x, y) ∈ r. Ecuaciones paramétricas: x = a + λd1 y = b + λd2 Ecuación continua: x−a y−b = d1 d2 Ecuación cartesiana: Ax + By + C = 0; donde A = d2; B = −d1; C = d2a − d1b b) La recta que contiene los puntos P = (a, b) y Q = (c, d) es la recta que tiene como dirección d = PQ = (c − a, d − b). Se reduce al caso anterior. Si el espacio afín es E3 las ecuaciones serán similares con tres coordenadas. No tendría una expresión la ecuación cartesiana, su correspondiente es la expresión de una recta como intersección de dos planos.
4. Posiciones relativas de dos rectas en E2
Sean las rectas r y s de direcciones respectivas d r = (u1, u2) y d s = (v1, v2): 1. Si d r = k d s ⇔ u1 v1 = ⇒ r y s paralelas. u2 v2
2. Si d r = k d s y además P ∈ r es P ∈ s ⇒ r y s coincidentes. 3. Si d r ≠ k d s ⇒ r y s se cortan en un punto solución del sistema de ecuaciones cartesianas de ambas. Si las rectas vienen expresadas por su ecuación cartesiana, se verifica: Intersección de dos rectas: Dadas dos rectas r y s cuyas ecuaciones generales son r : a1x + a2y + a0 = 0 y s : b1x + b2y + b0 = 0, y llamando M y M' a las matrices: a1 M= b1 a2  a1 y M'=  b2  b1  a2 b2 a0  b0  
• rg[M] = 2 ⇒ r ∩ s consta de un solo punto (r y s son secantes). • rg[M] = 1 y rg[M'] = 2 ⇒ r ∩ s = ∅ y las rectas son paralelas. • rg[M] = rg[M'] = 1 ⇒ las rectas coinciden (son la misma). Intersección de tres rectas: Dadas las siguientes rectas r, s y t, y llamando M y M' a las matrices que abajo se señalan r : a1x + a2y + a0 = 0 s : b1x + b2y + b0 = 0
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t : c1x + c2y + c0 = 0 a1  M = b1  c1  a1 a2    b2  y M ' = b1  c1 c2    a2 b2 c2 a0   b0  c0  
• rg[M'] = 3 ⇒ r ∩ s ∩ t = ∅ y forman triángulo o dos son paralelas. • rg[M] = rg[M'] = 2 ⇒ r ∩ s ∩ t consta de un solo punto. • rg[M] = 1 y rg[M'] = 2 ⇒ r ∩ s ∩ t = ∅ (son paralelas y no coinciden las tres) • rg[M] = rg[M'] = 1 ⇒ las tres rectas coinciden (son la misma).
5. Haz de rectas de vértice P
Si las rectas r y s se cortan en un punto P = (a, b), la ecuación
αr + βs = 0 ; α, β ∈
donde r y s representan las ecuaciones cartesianas respectivas, es la del conjunto de rectas de E2 que pasan por P (haz de rectas de vértice P). Para cada valor de α y β real se obtiene una recta del haz. r P s
Ejercicio: Hallar la recta t que es paralela a r y pasa por la intersección de s1 y s2, siendo r, s1 y s2 las rectas de ecuaciones generales r : 3x + 2y + 5 = 0; s1 : x + 2y +1 = 0; s2 : 2x + y = 7 Solución: La recta t, como pasa por la intersección de s1 y s2, pertenece al haz que estas definen, luego: t : (x + 2y +1) + λ(2x + y − 7) = 0 para un cierto λ∈ 1 + 2λ 2 + λ = , luego λ = 4 y t : 3x + 2y = 9. 3 2
Dado que t y r son paralelas, tendrán proporcionales los coeficientes de x e y:
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6. Ecuaciones de un plano
Un plano es un subespacio de dimensión 2 en un espacio afín. Puede determinarse por: a) Un punto y dos vectores contenidos. b) Tres puntos no alineados. c) Un punto y un vector perpendicular (vector director o dirección del plano). Se hallaría de la siguiente manera: a) Si el punto es P = (a, b, c), y los vectores contenidos: u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3); el plano π puede expresarse por las siguientes ecuaciones: Ecuación vectorial: OX = OP + λu + µv ; donde X ∈ Ecuaciones paramétricas: Si X = (x, y, z) x = a + λ u1 + µ v1 y = b + λ u2 + µ v2 z = c + λ u3 + µ v3 Ecuación cartesiana: x − a u1 y − b u2 z − c u3 v1 v2 = 0; A(x − a) + B(y − b) + C(z − c) = 0 v3 u2 u3 v2 u ; B= 1 v3 u3 v1 u ;C= 1 v3 u2 v1 v2
donde A, B, C serán los menores: A=
b) El plano que contiene los tres puntos: P1 = (a1, b1, c1); P2 = (a2, b2, c2); y P3 = (a3, b3, c3) será el plano que contiene como vectores, por ejemplo, PP2 y 1 PP , y contiene a un punto cualquiera de los tres dados. 1 3 c) El plano que contiene al punto P = (a, b, c) y tiene como vector de dirección d = (A, B, C) tiene la ecuación cartesiana A(x − a) + B(y − b) + C(z − c) = 0 Las restantes ecuaciones pueden hallarse eligiendo tres puntos cualesquiera y procediendo como en el caso b) anterior.
7. Posiciones relativas de dos planos en E3
Sean los planos π1 y π2 de ecuaciones: π1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0; π2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Analizando las soluciones del sistema formado por ambas, utilizando el teorema de Rouché se obtiene:  A1 B1 [M | N] =   A2 B2
C1 | D1  C2 | D2  
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9. la ecuación:
α(A1x + B1y + C1z + D1) + β(A2x + B2y + C2z + D2) = 0. Ecuación de una recta como intersección de planos
Toda recta en E3 puede expresarse como intersección de dos planos. Haz propio de planos de eje la recta r
Dados los planos: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 que se cortan según la recta r. resulta: d2 ( x − a ) − d1 ( y − b) = 0 r≡  d3 ( x − a ) − d1( z − c ) = 0 que es la ecuación de dos planos cuya intersección es la recta r.
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. 3. Ese conjunto se llama haz propio de planos de eje r. Si r[M] = r [M | N] = 1 ⇒ Planos coincidentes Esto sucede cuando: A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 2.
8. La recta: r≡ x − a y −b z − c = = d1 d2 d3
resolviendo dos de las tres igualdades. cuando el vector de dirección coincide en ambos planos. Si r[M] = r[M | N] = 2 ⇒ Los planos se cortan según una recta. r[M | N] = 2 ⇒ Planos paralelos Esto sucede cuando: A1 B1 C1 = = A2 B2 C2 Es decir. β se obtiene uno de ellos. Si r[M] = 1. β ∈
representa el conjunto de planos que contienen a r.1. α. Para cada par de valores α.
d) Si r[M] = 2. π3 de ecuaciones: π1 ≡ A1x + B1y + C1z + D1 = 0 π2 ≡ A2x + B2y + C2z + D2 = 0 π3 ≡ A3x + B3y + C3z + D3 = 0 Sus posiciones relativas se obtendrán del análisis del sistema de matrices:  A1 B1 C1 | D1    [M | N] =  A2 B2 C2 | D2  A B C | D  3  3 3 3 a) Si r[M] = r[M | N] = 1 ⇒ Los tres planos son coincidentes. b) Si r[M] = 1. r[M | N] = 2 ⇒ Tres planos paralelos o dos planos coincidentes y el otro. Haz de planos paralelos a uno dado
Dado un plano π de ecuación: Ax + By + Cz + D = 0 La ecuación Ax + By + Cz + λ = 0. representa para cada λ ∈ R. c) Si r[M] = r[M | N] = 2 ⇒ Se cortan según una recta r (forman haz propio). r[M | N] = 3 ⇒ Se cortan dos a dos (forman prisma) o dos paralelos cortados por el otro.10. e) Si r[M] = r[M | N] = 3 ⇒ Se cortan en un solo punto (forman triedro). un plano paralelo a π. El conjunto de todos ellos se llama haz impropio de planos paralelo a π.
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. π2.
11. Posición relativa de tres planos en E3
Dados tres planos π1. paralelo.
x3) ∈ 3 / (x1. A este espacio tan notable como útil le llamaremos Vn y escribiremos Vn = n. x2.. a esta fórmula la llamamos ecuaciones implícitas del subespacio vectorial. . x2. x3) = λ(1. para no interferir con el concepto genérico. Introducción
Variedades lineales vectoriales
Al trabajar con subespacios vectoriales se suelen encontrar expresiones del tipo: L = {(x1. (1. x2. 1. y el rango de la matriz. B = {(1. el número de incógnitas a determinar serán dos. que es la diferencia entre el número de incógnitas. x2. 1) que pertenecen a L y tienen la propiedad de que a la vez de ser generadores de L. cuando n = 3. por tanto. 1.
A los subespacios vectoriales de Vn les llamaremos variedades lineales. considerada la ecuación implícita del subespacio como un sistema de ecuaciones lineales homogéneo de una ecuación con tres incógnitas. x3) ∈ 3 / x1 − x2 + x3 = 0}
Esta expresión significa que L es el subconjunto de los vectores de 3 cuyas coordenadas verifican la relación x1 − x2 + x3 = 0. x2. 0) + µ(0. 2.. (0. Resulta menos frecuente pero es así mismo muy interesante ver expresiones de un subespacio vectorial escrito de la siguiente forma: L = {(x1. 1. son linealmente independientes por lo que constituyen una base de L. Es obvio pues que la dimensión de ese espacio es de dos y que el número de parámetros utilizados en la expresión es dos y que a su vez. Cuando n = 2 nos queremos referir al plano vectorial V2. 0) y (0. 0). x2 = λ + µ. x3) = λ(1.. 1..Capítulo 7
1. llamaremos a V3 el espacio vectorial o espacio. xn) con xi ∈ para i = 1. Es evidente que V2 y V3 tienen dimensiones 2 y 3 respectivamente por lo que pueden darse las siguientes situaciones:
Apuntes de Álgebra 46 e 77
. Es interesante observar que la última de las tres expresiones se dedujo de la segunda. n ≥ 2.. 1) es la ecuación que expresa el conjunto de todos los vectores de L para los diferentes valores de los parámetros λ y µ. desarrollando la igualdad vectorial y que dicha expresión quiere decir que cualquier vector de L se puede escribir como combinación lineal de dos vectores de 3 notables. Por tanto. 1. . uno en esta ocasión. 1. 1. Variedades lineales
Hemos considerado hasta ahora el espacio vectorial n como el conjunto de las n-uplas con números reales de la forma (x1. su rango será uno y. 0) + µ(0. x2. n. 1)}
o lo que es lo mismo: L = {(x1. tres en este caso. x3 = µ}
esta última expresión constituye las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial L. 1)} son una base de L y la expresión (x1. x3) ∈
/ x1 = λ..
.. entonces:  Si dim L = 0. Consideremos x1 y x2 dos soluciones del sistema. v2 ∈ L son linealmente independientes. de dimensión igual a n menos el rango de la matriz de los coeficientes del sistema.. consideremos L ⊂ V3 una variedad lineal propia... si el rango de la matriz A de los coeficientes del sistema es r....
3. L ≠ V2).. entonces:  Si dim L = 0... siendo n el número de incógnitas y r el rango de la matriz A de los coeficientes del sistema..... αx1 + βx2 es solución....... consideremos L ⊂ V2 una variedad lineal propia (es decir.. e3} una base de V3 a) Si L es una recta vectorial del espacio V3 y v ∈ L con v ≠ 0 .. se tiene que u = λv para cualquier λ que pertenece a .... Sea B = {e1...... consideremos el sistema de la forma vectorial Ax = 0 ....  Si dim L = 1.  Si dim L = 1... Teorema
El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con n incógnitas es un subespacio vectorial de n... + arrxr = − arr+1xr+1 − .#
En el plano V2...
En efecto..  Si dim L = 1.. L es una recta vectorial del espacio V3. − a1nxn ....
b) Si L es un plano vectorial y v1. e2 } de V2.. eso significa que existen r ecuaciones del sistema (eventualmente puede coincidir con m) que son linealmente independientes y que podemos escribir: a11x1 + a12x2 + . L es un plano vectorial del espacio V3... L = { 0 }.. β ∈ se verifica que:
A(αx1 + βx2 ) = αAx1 + βAx2 = 0 pues Ax1 = 0 y Ax2 = 0 luego si x1 y x2 son soluciones... En efecto.. L = { 0 }. es decir de n filas y una columna....... luego el conjunto de soluciones del sistema es una variedad lineal de n.. Evidentemente cualquiera que sea α... Será A una matriz m × n donde m es el número de ecuaciones y n el de incógnitas y x es un vector n ×1. − arnxn
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... Si L es una recta vectorial del plano V2 y v ∈ L con v ≠ 0 . e2 ......... β) ∈ 2.... Dada una base {e1......... se tiene que u = αv1 + βv2 para cualquier pareja (α.. entonces cualquier vector de L es de la forma λv para todo λ que pertenece a . ar1x1 + ar2x2 + ... + a1rxr = − a1r+1xr+1 − . En el plano V3..
Veamos si la dimensión de la variedad lineal de la soluciones es n − r. L es una recta vectorial del plano V2.
xr+2 = 0.. x nr  x11 x 21 rango   . si x1. .. x 2 r .. x2 ... que son linealmente independientes y evidentemente.. x n2 ... ... pues los vectores x1..... Se puede demostrar que recíprocamente.. .. x2 ....   x n1
Ejemplo: Consideremos una variedad lineal L de 4 que tiene por base los vectores (−1. y se verificará:
− 1 2 rango  0  3 y además
1 x1  3 x2  = 2 1 x3   0 x4 
−1 1 ≠0 2 3
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. 2... x ) = r
ya que x necesariamente tendrá que ser una combinación lineal de los vectores de la base........ xr correspondientes. xr ....... xn = 1 Obtenemos las soluciones x1. . xr+2 = 0. 3) y (1... será combinación lineal de los vectores de la base.. 1.. La condición para que la matriz anterior tenga rango r es que con cada una de las n − r filas restantes obtenemos al primer determinante aludido añadiendo así mismo la última columna y todos los determinantes así obtenidos iguales a uno.. x12 x 22 ... si (x1... 3...... xr+1 = 0... 0..... se verificará: rango L( x1. 0).. . x3. xr+2 = λ2. .. llegaremos así a n − r ecuaciones homogéneas que se denominan ecuaciones cartesianas del subespacio.. . . cualquier otra solución será combinación lineal de ellas... x2 . También podemos escribir: x1  x2  =r . x4) es otro vector de la variedad lineal..   xn  Donde evidentemente el determinante de las r primeras filas y columnas es no nulo. xn = λn−r será λ 1x1 + λ 2 x2 + + λ n − r xr por lo que la dimensión de la variedad lineal de las soluciones del sistema es n − r como queríamos demostrar. pues la solución asociada a los valores: xr+1 = λ1.. xr son linealmente independientes. x1r . .. xr+2 = 1....Si consideramos los valores: xr+1 = 1.. . x2. xn = 0 xr+1 = 0. dada una variedad lineal de dimensión r.. xn = 0 .. x2 ... xr es una base de la variedad lineal y x es un vector de dicha variedad..
. Eliminar los parámetros λ1...
4..... λr tales que x = λ1e1 + λ 2e2 + + λ r er ó bien su expresión desarrollada: x1 = λ1e11 + λ2e21 + ........ la condición para que el rango de la matriz considerada sea 2. + λrer2 . r
.... x3.... er } cuyas coordenadas serán: ei = ( ei1.... Como resumen podemos establecer que. + λrern ecuaciones que caracterizan al subespacio L y se denominan ecuaciones paramétricas de la variedad lineal L. para calcular las ecuaciones cartesianas o implícitas de la variedad lineal. x4) ∈ L tendrán que verificar dichas ecuaciones...Por lo tanto.. y la solución consistirá en expresar n − r variables como combinación de las restantes r variables... + λrer1 x2 = λ1e12 + λ2e22 + . e )
i = 1.. Resulta evidente que el número de parámetros de las ecuaciones paramétricas coincide con la dimensión del subespacio vectorial de procedencia... . . .. dado un subespacio vectorial o variedad lineal L de dimensión r contenido en un espacio vectorial V de dimensión n.. e2 . es hallar las relaciones que deben cumplir los coeficientes para que el
Apuntes de Álgebra 49 e 77
... es decir: −1 1 x1 −1 1 x1 2 3 x2 = 0 .. hay que llevar a cabo un proceso que se llama de eliminación de parámetros. Recíprocamente...... ei 2 ..... Caracterización de Variedades Lineales mediante ecuaciones paramétricas
Sea un espacio vectorial V de dimensión n y un subespacio L de dimensión r que tiene como base los vectores B = {e1. el subespacio vectorial está caracterizado por sus ecuaciones cartesianas..... Si igualamos estas a r parámetros. es que los dos menores que resultan de orlar el anterior determinante con las filas tercera y cuarta sean iguales a cero. λ2.. xn = λ1e1n + λ2e2n + . .. x2. 2... que serán n − r ecuaciones homogéneas linealmente independientes.. λr de un sistema de ecuaciones lineales.... a partir de las paramétricas. λ2.. Resolveremos el sistema. 2 3 x2 = 0 0 1 x3 3 0 x4 y desarrollando ambos determinantes obtenemos: 2 x1 + x2 − 5 x3 = 0  9 x1 − 3x2 + 5x4 = 0 que son las ecuaciones cartesianas de la variedad lineal y quieren decir que si (x1... obtenemos n variables como combinación lineal de r parámetros que son las ecuaciones paramétricas. los vectores de la variedad lineal L se caracterizan por que si x ∈ L existirán r escalares λ1..
x2 . Métodos de eliminación
Método matricial Las ecuaciones paramétricas de una variedad lineal son un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: x1 = x1(λ1. λ2...
Ejemplo: Sea el subespacio L de
cuya ecuación matricial es:
 x1  1 2 0   0 Ax =    x2  =   = 0 1 3 2    0  x3  Como el rango de la matriz A es dos..sistema tenga solución. .. λ2.. . ... Considerando el sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas λ1.. λr) .. . buscar este sistema.... pues n − r es igual a uno en este caso). existirá una submatriz Ar × r tal que |Ar × r| ≠ 0. resulta: x1 + 2 x2 = 0  x1 + 3x2 + x3 = 0 que son las ecuaciones implícitas de la variedad lineal. . y el número de incógnitas es tres.. x2. λr) x2 = x2(λ1....
5... parametrizando la coordenada x2 (como cualquier otra.. entonces la condición analítica de la expresión rg[A| x ] = r la obtendremos obligando a que todos los menores obtenidos orlando a
Apuntes de Álgebra 50 e 77
........ λr) cuya expresión matricial es Aλ = x . donde
λt = ( λ1... λ )
y x t = ( x1 . O expresado de otra forma.
y A es una matriz n × r.... pero solo una. será: x1 = −2λ   x2 = λ ∀λ ∈ x3 = − λ   que son las ecuaciones paramétricas de la variedad lineal.... λ 2 . λr con los términos independientes x1.... Si rg[A] = r. λ2... la condición de compatibilidad resulta ser: rg[ A] = rg[ A x ] siendo [A| x ] la matriz ampliada de A con los términos independientes x .
.. Haciendo x2 = λ.. xn... es decir. aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. considerando la expresión paramétrica como solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.. xn = xn(λ1.. λ2.. x )
Veamos un ejemplo de este método que es el más seguro. la eliminación de éstos produce n − r ecuaciones cartesianas.
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. cuidando de interpretar correctamente los resultados. podemos enunciar: Si n ecuaciones paramétricas contienen r parámetros. Ejemplo: Sean las ecuaciones paramétricas: x1 = λ1 + λ2 x2 = λ1 − λ2 x3 = 2λ1 − λ2 x4 = λ1 + 2λ2 Escribiéndolas en forma matricial serán: 1 1   x1  1 − 1 λ     1  =  x2  = x  Aλ = 2 − 1 λ2   x 3         x4  1 2  es evidente que A es de rango 2 y que una submatriz de 2 × 2 tiene por determinante A2 × 2 = 1 1 = −2 ≠ 0 1 −1
luego la condición de compatibilidad será: 1 1 x1  1 − 1 x  2 rg[A] = 2 = rg[A| x ] = rg  2 − 1 x 3    1 2 x 4  y eso implica: 1 1 x1 1 1 x1 1 −1 x2 = 0 y 1 −1 x 2 = 0 2 −1 x 3 1 2 x4 que desarrolladas serán: x1 + 3x2 − 2 x3 = 0  3x1 − x2 − 2 x4 = 0 ecuaciones cartesianas implícitas de la variedad. El resto de los procedimientos constituyen artificios de cálculo interesantes y podrán ser usados. como podemos adjuntar n − r filas distintas.Ar × r con una fila y una columna sean iguales a cero.
por ejemplo λ1. Continuando el proceso llegamos a tener n − r ecuaciones sin parámetros. Método de sustitución Consiste en despejar un parámetro de la primera ecuación e introducirlo en las restantes. x1 + λ 2 = x2 − λ 2   o también 1 x 2 − λ 2 = ( x 3 − λ 2 )  2 
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. tendremos ahora n − 1 ecuaciones con r − 1 parámetros. Método de reducción Consiste en aplicar el método de Gauss al sistema de ecuaciones en los parámetros. Si eran n ecuaciones y r parámetros.Método de igualación Ejemplo: Sean las ecuaciones paramétricas x1 = λ1 − λ2 x2 = λ1 + λ2 x3 = 2λ1 + λ2 Despejamos uno de los parámetros. hasta conseguir un nuevo sistema de ecuaciones sin parámetros. Estas últimas serian las ecuaciones implícitas cartesianas de la variedad. resulta: x1 − 3x2 − 2x3 = 0 que es la ecuación cartesiana implícita de la variedad lineal. será: 1 λ1 = x1 + λ2 = x2 − λ2 = (x3 − λ2) 2 que podemos escribir: 1  λ 2 = ( x2 − x1 )  2 λ 2 = 2 x2 − x3  que no contiene λ1. igualando ambas expresiones tenemos: 1 (x2 − x1) = 2x2 − x3 2 y operando. Por tanto.
. F convexo ⇔ A.. B] = {P ∈ E tales que P = αA + (1−α)B. α ∈ R. 0 ≤ α ≤ 1} De esta definición se deduce que: Proposición 1: Un punto P ⊂ E es combinación convexa de A y B si P pertenece al segmento de extremos A y B. si P no pertenece a ningún segmento que tenga por extremos dos puntos distintos de P.. B] también pertenece a F. a) Combinación convexa Se dice que un punto P de E es combinación convexa de los puntos A1. de F. el segmento que los une está incluido en dicho conjunto. d) Extremo Un punto P de un conjunto convexo F de E recibe el nombre de extremo. + αm = 1 Esta definición es independiente del punto O elegido. B. + αm OAm . B de puntos de F. + αmAm. Es decir. Se representa por V(S). Es el conjunto convexo más pequeño que contiene a S.Capítulo 8
1. . α2. Am de E si existen números reales positivos α1. asociado a un espacio vectorial V. + αm = 1 b) Conjunto convexo Un conjunto F de E se dice convexo si para todo par de puntos A.. A2.. B ∈ F .. c) Segmento de extremos A y B Dados dos puntos A y B de E. αm tales que para un punto O de E: OP = α1 OA1 + α2 OA2 + .. Puede abreviarse P = α1A1+ α2A2+ . toda combinación convexa de A y B pertenece a F. Conjuntos convexos: Definiciones
Sea E un espacio afín real de n-dimensiones. el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos de S se llama variedad convexa de S... el segmento [A. B al conjunto: [A. Proposición 2: Un subconjunto F ⊂ E es convexo si para todo par A.
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. si P no puede ser expresado como combinación convexa de otros dos puntos de F distintos de P.. α1 + α2 + . α1 + α2 + ... e) Variedad convexa Dado un conjunto S de puntos de E. . se llama segmento de extremos A. P = α1A + α2B ∈ F con α1 + α2 = 1 De una manera sencilla: Un conjunto es convexo cuando para todo par de puntos...
Ejemplo: Graficar el conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad 2x ........ La desigualdad dada es equivalente a y <
Apuntes de Álgebra 54 e 77
.... o lo que es lo mismo... + a1nxn ≤ b1 .3y > 6. pero también estamos buscando los puntos que cumplen la desigualdad x + y > 3....... por lo que el conjunto solución de la desigualdad dada es el semiplano que está por encima de la recta incluyéndola... + a1nxn ≤ b1 definen un semiespacio en el espacio n-dimensional. Un convexo de soluciones es de área finita cuando la poligonal que lo delimita es cerrada y es de área infinita cuando dicha poligonal es abierta. Así. 2 x − 2 .. Desigualdades lineales
En general... El conjunto de puntos solución del sistema de desigualdades: a11x1 + a12x2 + ... los puntos que satisfacen una desigualdad lineal a11x1 + a12x2 + .......
2.... y > −x + 3.....f) Convexo de soluciones Es el recinto del plano que satisface simultáneamente cada una de las desigualdades lineales del sistema.. Los puntos del plano que la satisfacen son los que se hallan sobre la recta correspondiente.. Luego el conjunto de 3 puntos que satisfacen la desigualdad debe estar por debajo de la recta...
Ejemplo: Graficar el conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad x + y ≥ 3... am1x1 + am2x2 + . + amnxn ≤ bm es un conjunto convexo..... Comenzamos por graficar x + y = 3..... la desigualdad a11x1 + a12x2 ≤ b define un semiplano en el espacio afín E2...
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. es conveniente tener en cuenta las siguientes reglas: 1.y
Para trazar una desigualdad de las mencionadas. entonces el conjunto buscado es el semiplano que lo contiene. la solución corresponde al otro semiplano. 2. que no pertenezca a la recta. Transformaremos cada desigualdad del sistema en ecuación. Sistemas de desigualdades lineales
Mediante un ejemplo analizaremos el procedimiento a seguir para hallar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales. graficaremos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales el semiplano solución de cada desigualdad. Para cada inecuación buscaremos un semiplano solución. Dibujar la recta ax + by = c. 1. Numeraremos cada una de las desigualdades del sistema dado. Si dicho punto satisface la desigualdad. Puntualicemos los pasos a seguir para llegar al conjunto de desigualdades dado. a efectos de poder graficar la frontera del semiplano solución de cada desigualdad. para simplificar el gráfico. Si no la satisface. empleando línea continua si se incluye la igualdad y discontinua si no se la incluye. 2.
Ejemplo: Consideremos el sistema  x≥y 3x + y ≥ 6    y ≤5  x≤7  Para mostrar su conjunto solución.
3. señalándolo mediante una flecha apoyada en la frontera con sentido orientado hacia el conjunto solución. La intersección de estos semiplanos nos dará una región del plano que será el conjunto del sistema de desigualdades lineales. Elegir un punto del plano. 3.
La función lineal a optimizar se llama función objetivo (o económica) y las ecuaciones se llaman restricciones o ligaduras del problema... de forma que todas ellas sean positivas y que verifiquen a su vez un sistema de desigualdades lineales............. (restricciones o ligaduras) am1x1 + am2x2 + .. x n que optimicen una función lineal de ellas dada: c1x1 + c2x2 + ....... + cnxn........... + a1nxn = b1 ..... x 2 . El problema de la programación lineal
El problema de la programación lineal consiste en encontrar los valores de ciertas variables x1 ........ ya que en caso contrario se sustituirán por otro sistema equivalente que lo fuese......... el subconjunto del plano que es solución del sistema.. am1x1 + am2x2 + ......... + cnxn sujeta a a11x1 + a12x2 + ....4....... Si las restricciones se dan en forma de desigualdades a11x1 + a12x2 + ... x≥ y 1) 2) 3x + y ≥ 6   y ≤5 3) 4) x≤7  y
x=y 1) 2) 3x + y = 6   y=5 3) 4) x=7 
4.. + amnxn = bm Se supone que las ecuaciones ligaduras son independientes......... + a1nxn ≤ b1 ..... Se puede escribir: Optimizar: (función objetivo) z = c1x1 + c2x2 + ...... + amnxn ≤ bm
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.... Señalaremos mediante un sombreado....... ..........
6...... todas ellas paralelas y cuya intersección con el conjunto convexo de soluciones representan puntos que corresponden cada uno de ellos a un determinado valor de z.
Apuntes de Álgebra 57 e 77
.. Al encontrarse el óptimo en uno de los extremos O........ Solución posible óptima: Es la solución posible que optimiza la función económica. Se llama: Solución posible: Todo punto x = (x1. determinar aquel o aquellos para los cuales se optimice una cierta función lineal (función objetivo)..... A. cualquier combinación convexa de ellas es también solución óptima... El sistema anterior quedaría: a11x1 + a12x2 + .... Proposición 5: Cuando existan dos o más soluciones optimas.
5. En la figura. el problema de programación lineal puede ser descrito así: Sea un conjunto convexo definido por un sistema lineal de desigualdades (ligaduras)... De todos los puntos del convexo. D del poliedro convexo de las restricciones basta con hallar los valores de z en cada punto y el óptimo (máximo o mínimo) será el buscado....... Proposición 3: El conjunto de todas las soluciones posibles al problema de programación lineal es un conjunto convexo........ la zona sombreada representa el convexo de soluciones y las rectas z las correspondientes a la función objetivo. Método de resolución
a) Método gráfico El problema de programación lineal consiste en encontrar el punto del conjunto convexo determinado por las ecuaciones restricción que optimice la función objetivo. . Solución posible básica: Es la solución posible que no posee más de m coordenadas positivas. consideraremos el espacio bidimensional... am1x1 + am2x2 + . Se llama también solución factible.. Para ilustrar este método. B... Proposición 4: Toda solución posible óptima se alcanza en un punto extremo del conjunto convexo de las soluciones posibles.. + a1nxn + xn + 1 = b1 .... C..... xn) cuyas coordenadas son todas positivas y verifica las restricciones. x2..puede ser transformado en igualdades sumando a cada desigualdad un número positivo desconocido. + amnxn + xn + m = bm Como problema matemático..... Estos números se llaman variables de holgura.. Soluciones del problema
Sea el problema de programación lineal con n variables y m restricciones independientes..... La función objetivo z = c1x1 + c2x2 representa un conjunto de rectas al variar z.
cada uno de ellos resulta de las intersecciones de un par de lados de la poligonal. 0) Nuestro problema concreto ahora es determinar para que punto del interior. Buscamos el convexo de soluciones del sistema de desigualdades dado: y
2. Para resolver esta situación:
A C @ B
? @ A B
58 e 77
. o de la frontera. C resulta de y . del convexo de soluciones se alcanza el óptimo y cuánto vale éste. C(100. B(0. D resulta de intersecar y y finalmente E se obtiene de intersecar y . 50). D(150. 100). E(150. 0). B se obtiene de y . 100). A continuación buscaremos los cinco vértices de la poligonal que delimita nuestro recinto. así A se obtiene de la intersección de y . con lo que se obtiene: A(0.x2
Ejemplo: Maximizar la función z = 2x + y sujeta a las condiciones: 1) 2)   3) 4)  5)  x≥0 y≥0 x + y ≤ 200 x ≤ 150 y ≤ 100
procuraremos con esto desarrollar un criterio de cálculo que nos permita elegir el punto para el cual la función objetivo alcanza su valor máximo. 100) C(100. 100) D(150. Si una función objetivo alcanza un máximo (o un mínimo).3. Buscamos ahora un método para determinar el vértice en el que se alcanza el máximo. lo hace en alguno de los vértices del convexo solución. los valores de la función objetivo. Debemos graficar la recta que resulta de hacer. sin recurrir al reconocimiento analítico precedente. Así pues si hacemos z = 0. Construimos una tabla de valores en la que calculamos para las coordenadas de los vértices pertenecientes al convexo de soluciones. 150) E(150. y
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. 0) B(0.
Vértice A(0. en la función objetivo. la sustitución de z por un valor numérico arbitrario. 0)
z = 2x + y 0 100 300 350 300
4º Observamos que el máximo valor alcanzado para z es z = 350 y las coordenadas para las cuales se alcanza dicho valor máximo corresponden al vértice D(150. La teoría de la convexidad nos proporciona el criterio gráfico para lograr tal reconocimiento. obtendremos la recta 2x + y = 0 cuya representación gráfica agregamos a la de la solución del sistema de inecuaciones. pues tales puntos nunca podrán optimizar dicha función. 50). Esto nos indica que no hace falta que especifiquemos en la función objetivo las coordenadas de puntos que no son vértices del convexo.
de entre las soluciones posibles un conjunto que converge en la solución óptima. o aquel en que disminuye. deja al convexo en el mismo semiplano.
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. b) Método del Símplex El método del Símplex es un procedimiento que selecciona de manera ordenada. cuando dicha función debe ser maximizada. solo uno cumple con la condición de maximizar la función. la recta alcanza los distintos vértices B. C. Pero B. La condición necesaria para que una función objetivo pueda optimizarse en un cierto vértice V. sin embargo. Mediante este procedimiento. pero que no optimizan la función. Si gráficamente vemos que existen dos vértices. C y E no pueden corresponder a la posición en que la función alcanza el máximo. D es el vértice para el que se cumple la inclusión del convexo en el semiplano inferior respecto a dicha recta. en D se alcanza el máximo de la función objetivo. pues el convexo no queda incluido en su totalidad en un mismo semiplano respecto de la recta 2x + y = 0 tomada como frontera. partiendo de una solución posible básica y en un número finito de iteraciones. de los dos.La recta 2x + y = 0. en su traslación. E y finalmente D. también los alcanzará en los infinitos puntos que son combinación convexa de los anteriores. se alcanza la solución óptima. Desde su posición inicial desplazaremos la recta paralelamente a si misma en el sentido indicado por la flecha que es el de barrido del convexo de soluciones. ocurriendo pues que hay vértices para los que se cumple la condición de inclusión.
Si una función objetivo alcanza su óptimo valor en dos vértices del convexo. es que todo el convexo de soluciones quede incluido en el mismo semiplano respecto de la recta representativa de dicha función que pasa por dicho vértice. El sentido correcto de desplazamiento de la recta representativa de la función objetivo es el que corresponde al aumento de su valor. A y D que cumplen que la recta 2x + y = c que pasa por ellos. que contiene el vértice A del convexo de soluciones. cuando debe ser minimizada. Por tanto. deja a éste en un mismo semiplano respecto a dicha recta tomada como frontera.
En un espacio euclídeo E se define: Norma de un vector como la raíz cuadrada del producto escalar del vector por si mismo u ∈E . v ∈V 3. ∀u . ∀λ ∈ R . . ∀u . u ⋅ u ≥ 0 . E3 es el espacio euclídeo de los vectores libres del espacio de tres dimensiones con el mismo producto escalar. Producto escalar
Sea V un espacio vectorial sobre . v ∈V 4. ya que ( u ⋅ v ) y ( v ⋅ w ) son escalares. ( λu ) ⋅ v = λ ( u ⋅ v ) . Espacio euclídeo
Un espacio euclídeo es un espacio vectorial provisto de un producto escalar (se llama también “Espacio vectorial euclídeo”). un ) y v = ( v1. En E2 y E3. u ⋅ v = v ⋅ u . La expresión ( u ⋅ v ) ⋅ w = u ⋅ ( v ⋅ w ) no tiene sentido porque ninguno de los dos lados de la ecuación están definidos. ∀u ∈V y u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0 2. se llama producto escalar si verifica: 1. v ) Análogamente. Una aplicación f : V × V → f(u. Generalizando le llamaremos espacio euclídeo a este último.
2. v2 . el producto escalar de u y v es un escalar y su valor viene dado por: u ⋅ v = u1v1 + u2 v2 + + un vn
# definida
Nótese que no existe una ley asociativa del producto escalar. la norma de un vector coincide con su módulo u = u ⋅u = Se verifica: u + v ≤ u + v (desigualdad triangular) u ⋅ v ≤ u ⋅ v (desigualdad de Schwartz) u ⋅ u cos 0º = u
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. v n ) dos vectores que necesariamente deben tener el mismo número de componentes.Capítulo 9
1.v) = u ⋅ v. u ⋅ ( v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w Sea u = ( u1. u = u ⋅ u Se denota E2 el espacio euclídeo de los vectores libres del plano con producto escalar definido de la siguiente forma: u ⋅ v = u v cos( u . u2 . . Un espacio afín provisto de un producto escalar se llama “Espacio afín euclídeo”.
ui3) son las coordenadas del vector ui en la base ortonormal usual {i . x3). x2. j . si u = (x1. x3)
2 2 u = x12 + x2 + x3
El vector unitario (de módulo unidad). el unitario de la misma dirección es:  x1 x 2 x 3  |u | . Orientación de una referencia en E3
En E3 una referencia R = {0. x3). i ≠ j Ortonormal ⇔ Ortogonal y ui = 1. se dice referencia ortonormal. u3} ortonormal es de dirección positiva si u11 u 21 u 31 u12 u 22 u 32 u13 u 23 > 0 u 33
donde (ui1. En E3 la base ortonormal se denota {i . . v = (y1. u ⊥v ⇔ u ⋅ v = 0 En E2 y E3. de la misma dirección que el u . En ella. u3} es ortogonal.
4. ∀i Una referencia afín R = {0.
5. v ) = 0 ⇒ u perpendicular a v Una base vectorial {u1.. y2. u3} en E3 en que la base vectorial {u1 . x2. se obtiene dividiendo cada coordenada por el módulo de u .3. x2.. dos vectores u . u2 . k } . k } . u2 . u1. u2. el producto escalar de dos vectores que tienen de coordenadas u = (x1. v se dicen ortogonales ( u ⊥v ) cuando su producto escalar es cero. j . v la aplicación:
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. Así. u2 . dos vectores no nulos son ortogonales si son perpendiculares u ⊥v ⇔ u ⋅ v = 0 ⇒ u v cos( u . v ) = 0 ⇒ cos( u . y3) es u ⋅ v = x1y1 + x2y2 + x3y3 y el módulo de un vector u = (x1. u2 . De otra forma {u1 . |u | . u3} es de orientación positiva si la dirección de u3 es la de avance de un sacacorchos que se mueve de u1 a u2 . u1. ui2. |u|   Análogamente sería en E2. Producto vectorial
En el espacio euclídeo E3 se llama producto vectorial de dos vectores u .. un} se dice: Ortogonal ⇔ ui ⊥ uj. Ortogonalidad
En un espacio euclídeo.
v3). se define producto mixto de tres vectores u .
# ×# →#
2º u × v perpendicular a ambos.
[ u. w ]
= u ⋅ (v × w )
Si en (i . x3). v2. perpendicular al plano determinado por ambos vectores. w = (w1. la dirección de r es el producto vectorial de la dirección de ambos planos. (αu ) × v = α ( u × v ) = u × (αv ) 3. v . Y por tanto. v . k } es: i u × v = x1 y1 j x2 y2 k x3 y3 C
6. es de orientación positiva. el módulo del producto vectorial de dos vectores. u × ( v + w ) = ( u × v ) + ( u × v ) Geométricamente. es el área del paralelogramo construido sobre ellos A h 0 ya que: u × v = u v sen α = u ⋅ h = área del paralelogramo 0ACB Si u = (x1. Producto mixto de tres vectores
En E3. u3). w ] . v .f: definida f( u . w2. Vector dirección de una recta expresada como intersección de planos
Si la recta r viene expresada como intersección de los planos π1 y π2. v = (y1. w3)
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. j. w como el producto escalar de u por el vectorial de v y w . k ) son u = (u1. Si v = αu ⇒ u × v = 0 4. y2. x2. j . v. Además verifica: 1. u × u = 0(αu ) × v 2. u × v } es libre. 3º Si {u . v = (v1. d r = dπ1 × dπ 2
7. Se denota [ u . v ) = u × v tal que: 1º u × v = u v sen( u . u2. y3) en la base {i . v ) .
w ] = −[ u . v . la distancia es el módulo del vector que determinan. v . v = 0 . donde A ∈ r. w ] = 0 si u = 0 . [ u . AB . v . x3). w . x2. v . Tres vectores son coplanarios si. w ] 5. x3). d s . w ] = v1 v2 w1 w2
Sus propiedades fundamentales: 1. v ] = [ v . x3). x2. [ u . v . π ≡ Ax + By + Cz + D Ax 1 + Bx 2 + Cx 3 + D d(P. Aplicaciones geométricas
1. su producto mixto es cero. y3). sea cero r corta a s ⇔ dr . Condición para que dos rectas se corten en E3
La condición necesaria y suficiente para que dos rectas en E3 se corten es que el producto mixto de los vectores de dirección de ambas y un vector que una dos puntos cualesquiera de ellas. x2. v . w1 + w2 ] = [ u .Q) = | PQ | = ( y 1 − x1 ) 2 + ( y 2 − x 2 ) 2 + ( y 3 − x 3 ) 2 | AP × d r | donde A ∈ r |dr |
b) Entre un punto y una recta: P = (x1. [ u . Q = (y1. ó w = 0 3. w1 ] + [ u . resulta d(P. αw ] = α [ u . v . B ∈ s r
9. y2. π) = |dn | d) Entre dos rectas que se cruzan:
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. u ] =
2. y recta de dirección d r d(P. por lo tanto.
u1 u2 u . [ u . v . r) =
c) Entre un punto y un plano: P = (x1. y solo si. w2 ] 4. w . Distancias a) Entre dos puntos: P = (x1.
B ∈ s |dr × d s |
Sean u y v dos vectores diferentes de cero.d(r. b2)
Entonces. entonces cosϕ = Demostración: Según la ley de los cosenos. AB] .
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. v − u = v + u − 2 v u cos ϕ . Pero. por otra parte v − u = ( v − u ) ⋅ ( v − u ) = v ⋅ v − 2 v ⋅ u + u ⋅ u = v − 2v ⋅ u + u
Así. después de simplificar. b1) y v = (a2. se obtiene −2 v ⋅ u = −2 v u cos ϕ . donde A ∈ r. y (a1. de donde sigue la obtención de la formula del ángulo formado por los dos vectores. ds . b2). Ángulo de dos vectores
[d r . s) = 2. Si ϕ es el ángulo entre ellos. por la ley de los cosenos. b1)
(a2. en el triángulo de la figura B c A a C b u ⋅v u v
c2 = a2 + b2 − 2ab cosC Ahora se colocan las representaciones de y con sus puntos iniciales en el origen de modo que u = (a1.
el vector u⋅v w=u− 2 v v
es ortogonal a v . si u es un vector cualquiera. se les llama ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es π/2. como se demuestra en el siguiente desarrollo:  (u ⋅ v ) v  ⋅ = w ⋅ v = u − ⋅v = 2 v     2 (u ⋅ v ) v ( u ⋅ v )( v ⋅ v ) u ⋅v − = u ⋅v − = u ⋅v − u ⋅v = 0 2 2 v v f) Proyección en 2: Sea u y v vectores diferentes de cero. Adviértase que los vectores paralelos pueden tener direcciones iguales u opuestas. que se define por proy v u = u⋅v v
v u ⋅v v
La componente de u en la dirección de v es
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. w1) y (u2. Los vectores u y v diferentes de cero. e) Vectores ortogonales en 2: A los vectores u y v diferentes de cero. w2) respectivamente. son paralelos si el ángulo entre ellos es cero ó π. v1. Entonces la proyección de u sobre v es un vector. v2. luego resulta: cos α = dr ⋅ ds = |d r | ⋅ | d s | u1 u2 + v1v 2 + w1 w2
2 2 2 u12 + v12 + w12 u2 + v 2 + w2
r dr ds s
b) Ángulo de recta r y plano π. Sea v un vector diferente de cero. Entonces. con vectores directores (u1.a) Ángulo de dos rectas r y s. cos( d ⋅d π − α) = r π 2 |d r |⋅ | d π |
c) Ángulo de dos planos: El de sus vectores de dirección. denotado por proy v u . son ortogonales si y solo si u ⋅v = 0. es el mismo que determinan sus vectores directores. d) Vectores paralelos en 2: Dos vectores u y v diferentes de cero.
Se definen α como el ángulo entre v y la parte positiva del eje x. y. AD ] 6
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. |v |
De cualquier manera. Volumen =
1 [ AB. β como el ángulo entre v y la parte positiva del eje y y γ como el ángulo entre v y la parte positiva del eje z. Y su valor se puede calcular mediante las siguientes fórmulas: x y z cos α = cos β = cos γ = v v v Los cosenos de estos ángulos reciben el nombre genérico de cosenos directores del vector v y satisfacen la igualdad:
2 2 2 cos2α + cos2β + cos2γ = x + y 2 + z = 1
3. B. AD ] c) Volumen de un tetraedro de vértices A. AC y AD. Los ángulos α. Volumen = [ AB. C. resulta conveniente definir la dirección de un vector en términos de ciertos ángulos. 1 Área = | AB × AC | 2 b) Volumen de un paralelepípedo de lados concurrentes AB. Áreas y volúmenes a) Área del triángulo de vértices A. B. C. D.g) Dirección de un vector v = (x. β y γ reciben el nombre de ángulos de dirección o ángulos directores del vector. AC . AC . z) diferente de cero en v un vector unitario u = .
Valores y vectores propios de una aplicación lineal
Sea f : V → V una aplicación lineal sobre el espacio vectorial V. Como se verá. El polinomio en λ: | A − λI | se llama polinomio característico de A. respecto a la cual la expresión analítica del endomorfismo es diagonal.
3. en este caso las matrices correspondientes son semejantes entre si. Valores y vectores propios de una matriz cuadrada
Al ser toda matriz cuadrada A representante de una aplicación lineal f : V → V.
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. son las soluciones de la ecuación matricial: (A − λI)X = 0 La ecuación: | A − λI | = 0 se llama ecuación característica de A. correspondiente al autovalor λ es todo vector u no nulo de V tal que f( u ) = λ u . En forma matricial: λ autovalor de A ⇔ ∃ X ≠ 0 tal que AX = λX X ≠ 0. sus soluciones son los autovalores de A.
2. los vectores propios asociados al valor λ. Ecuación característica
Para una matriz cuadrada A. Autovector o vector propio de f. se define valor y vector propio de A el valor y vector propio de la aplicación asociada. Se define: Autovalor o valor propio de f es todo escalar λ tal que existe un vector u ∈ V no nulo para el que f( u ) = λ u . Introducción
En este capítulo se analizan las expresiones analíticas de un mismo endomorfismo respecto de diferentes bases. Se busca que en esta clase exista una matriz diagonal y en su caso la matriz asociada al cambio de base. y todas ellas pertenecen a una clase de equivalencia. En este capítulo se estudian las condiciones necesarias y suficientes para que una matriz sea diagonalizable.Capítulo 10
1. X autovector de A ⇔ ∃ λ ∈ R tal que AX = λX
4. no siempre todas las matrices de una clase son semejantes a una matriz diagonal.
− Las matrices asociadas a un endomorfismo en diferentes bases. − Si A y B son semejantes. La ecuación característica tiene n raíces reales (iguales o no). Teorema de caracterización de matrices diagonalizables: Una matriz A de orden n. α2. tienen la misma ecuación característica y. tal que: B = P-1AP (P = matriz de paso) Algunas propiedades de interés: − Si A y B son semejantes |A| = |B|... Para cada λ ese conjunto es un subespacio vectorial que se llama subespacio propio asociado a λ. y su dimensión es: dím Lλ = n − rg(A − λI) donde n = orden de A. es diagonalizable si.
8. Proposición: Si λ1. Semejanza de matrices
Dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz P regular.
6. el conjunto X de autovectores asociado se obtiene resolviendo el sistema resultante de la ecuación: (A − λI)X = 0.. es semejante a una matriz D diagonal. El orden de multiplicidad de cada autovalor en la ecuación característica coincide con la dimensión del subespacio propio asociado. y solo si. admite n vectores propios linealmente independientes. Diagonalización de matrices
Una matriz cuadrada A de orden n se dice diagonalizable si. es un sistema libre. − Si A y B son semejantes. Si además p = n. Diagonalizar una matriz es el proceso de encontrar la matriz D diagonal semejante y la matriz P de paso. respectivamente (α1 + α2 + . λp son autovalores de una matriz de orden n. son los autovalores con ordenes de multiplicidad α1. .. λ2. el sistema {X1. con números reales. son semejantes. tal que D = P-1AP. distintos dos a dos. si existe una matriz P.. . y solo si. donde Xi es vector propio asociado a λi.5. Es decir. Su cálculo
Sea A matriz de orden n diagonalizable...
7. 2... los mismos autovalores con el mismo orden de multiplicidad en ella.. . λ2. λr.. Esto sucede cuando: 1. también lo son An y Bn. Subespacios propios
Para cada autovalor de λ de A. Se denota Lλ. Proceso de diagonalización. αr. . X2.. regular. el sistema es una base del espacio vectorial V de definición de la aplicación asociada a A. entonces
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.. Xn}. + αr = n). Si λ1.. con ello.
la aplicación lineal f. de matriz asociada A. tiene también asociada en una cierta base la matriz diagonal D cuya diagonal principal es
 .2.  ( λ . λ . para λ1 = 1:  2 − 1 0   u1  0 2u1 − u2 = 0 2u1 − u2 = 0       − 1 1 − 1 u2  = 0 ⇒ − u1 + u2 − u3 = 0 ⇒   − u2 + 2u3 = 0   0 − 1 2  u3  0 − u2 + 2u3 = 0      u1 = δ. δ). los vectores de una base del subespacio propio asociado a λ2. Para calcular los vectores propios correspondientes a cada un de ellos. Este proceso de diagonalización se llama por semejanza.
Para λ2 = 3:  0 − 1 0   u1      − 1 − 1 − 1 u2  =  0 − 1 0  u3    
0 u2 = 0   0 ⇒   u1 + u2 + u3 = 0 0  
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. los vectores de una base del subespacio asociado a λ1. 2δ. Las α2 siguientes. u3 = δ . Ese conjunto de vectores propios que forman las columnas de P son la base donde f tiene asociada la matriz D. λ . Ejemplo: Dada la matriz  3 −1 0    A =  − 1 2 − 1  0 −1 3    calcularemos los valores propios. λ . la matriz diagonal y la matriz de paso.  . λ . y así sucesivamente. La ecuación característica será: 3−λ |A − λI| = −1 0 −1 0 2−λ −1 = (3 − λ)[λ2 − 5λ + 4] −1 3 − λ
cuyos autovalores son λ1 = 1.1). λ )
α1 α2 αr
1 1 2 2 r r
La matriz de paso P es la que tiene por columnas: Las α1 primeras. . u2 = 2δ. λ2 = 3. ∀ δ ∈ }. tenemos la ecuación matricial (A − λI) = 0 . los vectores propios correspondientes. . y siendo  u1    u = u2  u3    resultará. ∀ δ ∈ o bien escribiendo L1 = {(δ. λ3 = 4. La base de L1 será (1.
Si la matriz A es simétrica.
# o bien escribiendo L
= {(ϕ.1). es decir: A simétrica ⇒ ∃P ortogonal tal que D = P-1AP es diagonal
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. 0. ∀ψ ∈
#}. b) Verifican el teorema de caracterización de matrices diagonalizables. u3 = −ψ. Matriz ortogonal
Dividiendo cada vector de la base ortogonal por su módulo se obtiene una base ortonormal (ortonormalización). u3 = ϕ.−1). con el resto de los términos igual a 0. ∀ϕ ∈ La base de L3 será (1. ∀ψ ∈ La base de L2 será (1.
 − 1 − 1 0   u1  0 u1 + u2 = 0 u1 + u2 = 0       − 1 − 2 − 1 u2  = 0 ⇒ u1 + 2u2 + u3 = 0 ⇒   u2 + u3 = 0   0 − 1 − 1 u3  0 u2 + u3 = 0      u1 = ϕ.0. c) La base de vectores propios es ortogonal. La matriz cuadrada que tiene por columnas (o filas) un sistema ortogonal se llama Matriz ortogonal y verifica: A ortogonal ⇔ A' = A-1
11. en la diagonalización existen ciertas características: a) Los autovalores son todos reales. Diagonalización ortogonal
Toda matriz real y simétrica es ortogonalmente diagonalizable.−1.
9. u2 = 0.
La matriz diagonal se compone colocando los autovalores en la diagonal de una matriz. −ψ). ϕ). y la matriz de paso formando una matriz cuyas columnas son los las bases de cada uno de los vectores propios: 1 0 0   D = 0 3 0 0 0 4   1 1 1   P = 2 0 − 1 1 − 1 1   
Para comprobar la corrección de la solución debería verificarse que D = P-1AP. u2 = −ϕ.
10. −ϕ.u1 = ψ. ∀ϕ ∈
#}. Para λ3 = 4:
= {(ψ.
∀u . y ) = [ x1 x2 ]    5 4   y2 
13. n Por tanto. Expresión matricial de una forma bilineal
Sea f : V × V → una forma bilineal sobre V de dimensión n. i. f (αu1 + βu2 . y ) = f [ ( x1 . . u ) . e j ) . v ) = [ x1 x 2
a11 a 21 xn ]    a n1
 a  y   a  y  = X AY      a  a  y 
1n 1 2 2n
donde: Xt = matriz fila de las coordenadas de X en B.. y sea B = {e1. la forma bilineal se dice real. v ∈V .( y1 . Cada aij de A en la base B verifica aij = f ( ei . Una forma bilineal se dice alternada si f ( u . 2.
que a cada par de vectores x = ( x1. f ( u . x2 .
f ( x . Una forma bilineal se dice simétrica si f ( u . v = ( y1. la imagen f ( u . Formas bilineales sobre un espacio vectorial
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.αv1 + βv2 ) = α f ( u . v2 ) Si el cuerpo K = R (reales). u ) ..12. x n ) . Si u = ( x1. Una forma bilineal sobre V es una aplicación f : V × V → K. y2 ) le asigna el valor
#. v ) = α f ( u1. . Nótese que esta forma bilineal se puede expresar matri-
3 −6  y1  f ( x . v1 ) + β f ( u . v ) 2. v ) + β f ( u2 . una forma bilineal f en una base B queda determinada conociendo la imagen por f de cada par de vectores de B. tal que: 1. yn ) son las coordenadas de ambos vectores en la base B. . ∀u . Y = matriz columna de las coordenadas de Y en B. y2 )] = 3x1 y1 − 6 x1 y2 + 5x2 y1 + 4 x2 y2 es una forma bilineal sobre cialmente poniendo:
# . v ∈V ). u ) = 0 . en } una base de V. Ejemplo:
La aplicación f: 2× y = ( y1. x2 ).. (Esta definición es equivalente a: f ( u . . ∀u ∈V . v ) = f ( v . y2 . e2 . v ) puede expresarse: f ( u . x2 ) .
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. v ) = − f ( v . j = 1. A = matriz asociada a f en la base B.
B' = {e '1 .x3). an2. ... Consecuencia: Una forma bilineal f de matriz asociada A es: Simétrica si A simétrica Alternada si A es antisimétrica. e2 .. u1 )  f (u3 ..
. será:  f (u1 ...
Ejemplo: Sea f:
# × # → # la forma bilineal definida por
f((x1..... dos bases de V. u1 )  A' =  f (u2 .0). donde u1 = (2.......x3).... u3 ) .......... e ' }
.Se dice que A es la matriz (de Gram) de la forma bilineal f en la base B. u3 )   f ( u2 ..... u2 = (1....(y1. Es decir..y2... .y3)) = x1
2 − 3 6   y1     x 3 1 0 0   y 2  = XtAY 0 4 − 1  y 3    
La matriz A' de f en la nueva base ( u1.. u3 )    8 − 8 − 6   − 2 − 9  8 − 10 21 9   
14.....x2. u2 ..... ann) en B
Si A y A' son las matrices de f en las bases B y B'. La correspondencia f •→ A es un isomorfismo del espacio vectorial (V).2.. .... Cambio de base en una forma bilineal
Sea f : V × V → una forma bilineal y B = {e1.0.. u3 )  = f ( u3 ... respectivamente..0) y u3 = (-3... a12. de las matrices cuadradas n x n...y3)) = 2x1y1 − 3x1y2 + x2y1 + 6x1y3 + 4x3y2 − x3y3 La expresión matricial de f en la base canónica de
f((x1.... en } ..... se verifica: A' = P tAP donde P es la matriz que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de B' expresadas en B.1).. u1 )  f (u1 ... u2 ) f (u1 ...... e '2 . e ' n = an1e1 + an2e2 +
+ a
nnen =
(an1. en el espacio vectorial Mn..(y1. u2 ) f ( u2 . tales que: e '1 = a11e1 + a12e2 + + a1n en = (a11. de las formas bilineales sobre el espacio V de dimensión n..1...y2.. u 2 ) f ( u 3 .... a1n) en B
..x2...
∀v ∈ B siendo B = base de S f:V×V→
Se llama núcleo de una forma bilineal simétrica vectores de V conjugados con todos los de V. el conjunto de
N(f) = { u ∈ V tal que f ( u . v ) = 0.. a11 a 12 P=   . Matrices congruentes
Dos matrices A y B cuadradas del mismo orden se dicen congruentes si existe una matriz regular P tal que: A = PtBP Las matrices A y A' de una forma bilineal sobre dos bases diferentes.... a2n
.. son congruentes. ∀v ∈V } Al ser f ( u .. es decir.. la anterior definición es equivalente a: f ( u . . v ) = 0.   ..
16. si: f (u . v ) = 0. u conjugado con S ⇔ u conjugado con S ⇔ f ( u ...  a1n
a 21 a 22 .. Vectores conjugados respecto a una forma bilineal simétrica. v ) = X t AY = 0 ⇒ N(f) = {Y tal que AY = 0} Una forma bilineal simétrica se dice degenerada si N(f) = 0.. Núcleo
Dos vectores u . cuando: rg(A) < n (n = dím V)
74 e 77
. v son conjugados respecto una forma bilineal simétrica f. a nn 
#. ∀v ∈ S
Si B es base de S... a n 2   . a n1  . v ) = 0 Un vector u es conjugado con un subespacio S respecto de f si lo es con todos los vectores de S.
Formas cuadráticas definidas
En toda forma cuadrática es q( 0 ) = 0 . v ) = X t AY
75 e 77
. Propiedades de las formas cuadráticas
Si q : V →
# es la forma cuadrática asociada a f : V × V → #. u )
4. podría haber otros vectores u ∈V tales que q( u ) = 0 . existen diferentes formas bilineales asociadas a una forma cuadrática. De todas ellas una sola es simétrica y se llama Forma polar de la forma cuadrática. será:
f ( u . si q : V →
f:V×V→
# tal que
f (u . Ahora bien. es una forma cuadrática. Forma polar asociada a una forma cuadrática
De la definición de forma cuadrática se deduce que existe una sola forma cuadrática asociada a una forma bilineal dada.
a) q( λu ) = f ( λu . Se llama forma cuadrática asociada a f. Expresión matricial de una forma cuadrática
Si f : V × V →
# es una forma bilineal de matriz A en una base B. v ) =
1 [ q( u + v ) − q( u ) − q( v )] 2
3. El recíproco no es cierto. su forma polar está definida: Así.Capítulo 11
1. v ) + f ( v . u ) = λ2 q( u ) b) q( q( 0 ) = 0 ) = 0 c) q( u + v ) = f ( u + v . q : V → q definida ⇔
[ q( u ) = 0 ⇒ u = 0]
# se dice definida si
Sea V un espacio vectorial real y f : V × V → una forma bilineal sobre V. u ) para todo u ∈V
2. λu ) = λ2 f ( u . Una forma cuadrática. la aplicación q : V → definida por
q( u ) = f ( u . u + v ) = q(u ) + q( v ) + f ( u .
dos matrices cuadradas del mismo orden con congruentes si lo son de una misma forma cuadrática en dos bases distintas. m) donde p es Signatura de una forma cuadrática q : V → el número de elementos positivos que posee la diagonal de la matriz diagonal asociada a q. y es P la matriz que expresa en columnas las coordenadas de los vectores de una nueva base B' en B. en la misma base de V será: q( u ) = f (u .La forma cuadrática asociada a f. Cambio de base en una forma cuadrática
Si q( u ) = X t AX es la expresión de una forma cuadrática en la base B. simétrica. Esta matriz será.
. Por tanto. congruentes.
+a
# existe alguna base de V donde
2 nn xn
8. quedará reducida a una suma de cuadrados
2 q( u ) = a11x12 + a22 x2 +
Proposición: En toda forma cuadrática q : V → la matriz asociada a q es diagonal. Rango y signatura de una forma cuadrática
El rango de una forma cuadrática es el rango de su matriz rg(q) = rg(A) se llama al par (p. Se designa sg(q) y se verifica: p + m = rg(q) Teorema de Silvester: El número de elementos positivos que hay en la matriz diagonal de cualquiera de las matrices diagonales asociadas a una forma cuadrática dada. por tanto. Su expresión. en esa nueva base. Diagonalización de una forma cuadrática
Diagonalizar una forma cuadrática consiste en encontrar una base respecto de la cual la matriz sea diagonal. Tanto el rango como la signatura de una forma cuadrática son invariantes expresada la forma en cualquier base. la expresión de q en B' será: q( u ) = X t AX siendo A' = P tAP Las dos matrices A y A' son. al existir diferentes formas bilineales asociadas a q. es el mismo. u ) = X t AX Ahora bien. por lo tanto.
6. se define: Matriz de una forma cuadrática la matriz de su forma polar asociada. y m los negativos.
Así: 1. Si q( u ) ≤ 0. con alguno de ellos cero. donde dímV = n. Clasificación de las formas cuadráticas
Sea q : V → ser: 1. cuando todos los autovalores son positivos. con alguno de ellos cero. Indefinida: Restantes casos.9. ∀u ∈V . q( u2 ) < 0 . 5. La forma cuadrática puede
. Si q( u ) > 0. 0). Semidefinida positiva. Definida negativa: sg(q) = (0.
10. rg(q) = r < n los autovalores son mayores que cero. u ≠ 0. 3. ∃u = 0 tal que q(u ) = 0 . u2 ∈V tal que q( u1 ) > 0. ∀u ∈V . Semidefinida negativa: sg(q) = (0. Una forma cuadrática puede clasificarse haciendo uso de su diagonalización y recordando que tanto el rango como la signatura son invariantes. Definida positiva: sg(q) = (n. 2. 4. Semidefinida negativa. 2. Definida negativa. r). Si ∃u1. ∀u ∈V . 5. 0). cuando todos los autovalores son negativos. ∃u ≠ 0 tal que q(u ) = 0 . Si q( u ) ≥ 0. rg(q) = r < n los autovalores son negativos. 3. Indefinida. Los autovalores son positivos y negativos. Semidefinida positiva: sg(q) = (r. 4. Definida positiva. rg(q) = n o bien. u ≠ 0. Proceso de diagonalización
Hay diversas formas de diagonalizar una forma cuadrática e incluso la misma matriz asociada diagonal no es única. Si q( u ) < 0. Las formas distintas son las mismas de la diagonalización de matrices simétricas. rg(q) = n o bien. n).
forma cuadrática. ∀u ∈V .
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