Source: https://es.scribd.com/document/302767413/G19103-Guia-Matematicas-SIN-INDICES
Timestamp: 2019-04-21 00:53:25+00:00

Document:
G19103 Guia Matematicas SIN INDICES
Cargado por Ramiro Díaz
Unidad 1 de La Aritmetica Al Algebra
Unidad 1 - Actividad 2B
Rendimiento-CICE
 Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras
 Economía
Sección Físico Química y Matemáticas
MSc. Elsa Geovany Andrade Pazmiño
Elsa Geovany Andrade Pazmiño
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJACC
CC 4.0, CC BY-NY-SA
ISBN DIGITAL - 978-9942-04-743-4
Esta versión digital ha sido acreditada bajo la licencia Creative Commons 4.0, CC BY-NY-SA: Reconocimiento-No comercial-Compartir igual; la
cual permite: copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines comerciales y se
permiten obras derivadas, siempre que mantenga la misma licencia al ser divulgada. https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es
...................4.................................. 43 2....................................................	Operaciones básicas con polinomios........................	Radicales........... 4 3....... 34 1......	10 6............................ 39 Autoevaluación 1...........	Competencias genéricas de la UTPL...................................	18 6.................................................................................................................... 28 1..........5..................................................................................	Sistema de la evaluación del componente educativo (primero y segundo bimestres). 8 4......................... 36 1..................... 43 2.........................	Racionalización de denominadores......	Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias.....................2............................................1...................... 46 2.............	Ecuaciones con radicales...	Orientaciones generales para el estudio.......................	Ecuaciones cuadráticas....	20 1..	Índice............. 23 1.....................................................	8 5..................................10.........................................	Introducción....	Productos especiales....................	Complementaria:........1..... 57 4 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ............................................................	Ecuaciones con valor absoluto........................................................................................................... 49 2...................................................................... 52 2........................	19 UNIDAD 1..	Números Reales.................	Ecuaciones con literales............................................. 22 1...	Eliminación de símbolos de agrupación.........................................................................................................................................................................8...........	Expresiones racionales...........................................	..................................................2....................	Ecuaciones................................................................................................	Básica.....	Ecuaciones lineales. Índice 2..2.9................................	8 4........................................2.......................... Planificación para el trabajo del alumno.................................... 47 2..7.....................................................1...	Multiplicación y división de expresiones racionales....	Ecuaciones fraccionarias............ 22 1....................................................................5.....................................................................3........................................ 55 2.......................................................	Factorización.....................	42 UNIDAD 2.......................................................................................................................................................	Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias...............................................................................................................................................	Bibliografía....................................................................................................................3.....................................	12 PRIMER BIMESTRE 6................................. ECUACIONES Y DESIGUALDADES.......................... FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA..............6....................................................................................................................8..........	43 2................................................................... 20 1.2.. 35 1.....6.........4...................	12 6................................... 26 1...	Exponentes...........................	13 6............................... 7 4........................1.............................................4...........7..............3..............	Desigualdades.........
........................6.......................... 115 5..... 76 3............6....................2....................................	Planificación para el trabajo del alumno.................... 64 Autoevaluación 2..	Aplicaciones......................................................... 75 3.............................................	Igualdad de matrices..................................	Introducción a los sistemas de ecuaciones....2.........................4........	Álgebra de funciones..........................................1...	Métodos de resolución................3......................................................................	Traslaciones...............................................................................................	Funciones con valor absoluto.......	Simetrías..........................	102 UNIDAD 5....................	94 4........................................................2...	89 6..............................5....................................... 97 4...........................................6........................................................................8...........5........	Funciones..........................................................	103 5................................................................................................................ 127 5....... 123 5............................ 77 3.................... 84 Autoevaluación 3..........10....................................................	Soluciones de un sistema de ecuaciones................9..............................................................12...........................1.......	Funciones definidas por partes............. 125 5........................... 126 5................................... 94 4..................................................................................................................................................................................................	Aplicación: método gauss – jordan.. 96 4..... 118 5................... 103 5..........................................................................................	Competencias genéricas de la UTPL.......................................2..1..................................................................................................7.........................................................................................	Funciones racionales............................................ 111 5...........................................	Composición de funciones................................................	Introducción a la teoría de matrices...	Sistemas de coordenadas cartesianas y líneas rectas.....	Tamaño de matrices:................................	Aplicaciones de ecuaciones y desigualdades...........................	Transpuesta de una matriz.............................................................................................................................................................. 128 5 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ........... 96 4..................... MATRICES............................5.......................... 125 5..............	Problemas de aplicación... 97 4.............	Dominio y rango de una función.	74 UNIDAD 3........4..............................	Funciones lineales......................	Otras funciones especiales y sus gráficas............................15........................9.......11..... 118 5.....................	75 3........	94 UNIDAD 4.....................................................................................	Operaciones con matrices.. 110 5................ 100 Autoevaluación 4.......................................................	Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias.........	88 SEGUNDO BIMESTRE 6.................................................13............................................. 113 5....................	Funciones polinomiales...................14............3. FUNCIONES Y GRÁFICAS...............................7............................... 116 5....... SISTEMAS DE ECUACIONES............ 105 5.........................	90 6....................4.................3................	Funciones cuadráticas.....................
.................................................................................................................................................................................................................	Propiedades de los logaritmos............................................	Problemas de aplicación.....................................2.............................. 139 6.	Función Logarítmica..............................................	Solucionario...............	Conversión de forma exponencial a logarítmica.................	147 7..	148 6 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ...................................................5.......................................6..................... 128 Autoevaluación 5............................................................ 141 6.......................................................3..................................	Ecuaciones exponenciales y logarítmicas..........	Conversión de forma logarítmica a exponencial...........................5......... 145 Autoevaluación 6.....................................................	Funciones inversas......................................	141 6.....16......................... 138 6...................................... FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA........	133 6...................... 143 6...............1...7..	Función exponencial............................................4.........................	129 UNIDAD 6................... 133 6........................
fraccionarias. de manera que se le facilite la comprensión de los contenidos a lo largo del desarrollo de esta asignatura. Administración en Gestión Pública. de tipo genérico y transversal. incluyendo algunas ecuaciones tipo como son las no lineales. permitiendo desarrollar competencias requeridas para su vida profesional. debemos fiarnos del cálculo algebraico” Euler Las Matemáticas constituyen hoy por hoy una de las herramientas básicas en el desarrollo profesional de cualquier ser humano. operaciones y finalmente se concluirá el bimestre estudiando funciones exponenciales y logarítmicas. su representación gráfica. su programación se centra en el análisis de conceptos. Economía y Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras. cuando las actividades se realizan de manera responsable. estructuras. Introducción “Mejor que de nuestro juicio. Con este componente se pretende que usted adquiera los fundamentos matemáticos básicos. La programación está dividida en seis unidades. con radicales y las desigualdades con valor absoluto. ecuaciones con literales. ordenada y secuencial. métodos. luego se analizarán las ecuaciones y desigualdades. Matemáticas es un componente que tiene cuatro créditos académicos. se complementa está unidad con el estudio paso a paso de las diferentes operaciones y se culmina el estudio con la aplicación del método de Gauss – Jordan. leyes y principios. reglas. pero se puede transformar en algo más sencillo y agradable. propiedades. necesarios para las titulaciones de: Administración de Empresas. asignatura esencial para su formación. interpretaciones y habilidades. aplicaciones. el aprendizaje de esta ciencia exige una clara comprensión y aplicación de las definiciones. se plantea métodos específicos de identificación y reconocimiento de matrices. por lo que es necesario que usted se encuentre en condiciones no solo de manejar números sino también la conceptualización necesaria para su comprensión. El primer bimestre finalizará con el estudio de los sistemas de ecuaciones y sus métodos de resolución. Administración en Banca Finanzas. Contabilidad y Auditoría. en sus diferentes tipos. En el segundo bimestre se comienza con una introducción al algebra matricial. para lo cual se requiere el manejo de álgebra elemental. 7 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . A continuación se estudiarán las funciones. Se complementará esta unidad con el análisis de problemas prácticos.Guía didáctica: Matemáticas PRELIMINARES 3. sin embargo. La educación a distancia es fundamentalmente un proceso autónomo y muy sacrificado. que se encuentran agrupadas en dos bimestres: el primer bimestre inicia con un análisis de los fundamentos básicos del álgebra. cuadráticas. por ello.
E. • Adjunto a esta guía.	Básica Haeussler.1. Loja. ejercicios de retroalimentación y aplicaciones.. puesto que las soluciones deberá ingresarlas en el Entorno Virtual de Aprendizaje en las fechas indicadas en su calendario académico. Bibliografía 4. W.2. gráficas. las autoevaluaciones por su lado se encuentran al final de cada unidad y las soluciones en las páginas finales de la guía. Contabilidad y Auditoría. Lardner (2015). • Cada tema cuenta al finalizar con ejercicios propuestos y autoevaluaciones. C. su resolución la podrá contrastar con el solucionario que se encuentra en las páginas finales de este texto Andrade.Guía didáctica: Matemáticas PRELIMINARES 4. Ecuador: EDILOJA Corresponde a la guía didáctica la misma que lo guiará a través del proceso de aprendizaje indicando técnicas y métodos para la resolución de los diferentes problemas y ejercicios. (2015). facilitando. (2015).	Complementaria: Jagdish. 8 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . que le permitirán una mejor comprensión del tema. encontrará las evaluaciones a distancia. Administración en Banca Finanzas. potenciando y activando sus conocimientos en esta ciencia. • Contiene una breve introducción a cada tema. E. 4. W. Guía dídactica de Matemáticas. Ayra. contiene más de 100 ejemplos desarrollados paso a paso. Además este material le permitirá identificar la secuencia con la que se estudiarán los temas considerados en la asignatura de Matemáticas. Matematicas Aplicadas a la Administracion y a la Economia.. entre las principales se puede destacar las siguientes: • Contiene temas de actualidad y aplicaciones a situaciones reales para las carreras de Administración de Empresas.. Matemáticas para Administración y economía. Economía y Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras. Administración en Gestión Pública. P. este documento puede utilizarlo como un borrador. México: Pearson Educación. Pearson Educación. algunas de estas actividades recomendadas tendrán relación con el texto básico. México. Este libro ha sido seleccionado cómo texto básico para la presente asignatura por varias razones. que podrá desarrollar para fortalecer y evaluar los conocimientos adquiridos. y Richard. • Adicionalmente encontrará actividades recomendadas y autoevaluaciones. Richard. • Posee una excelente presentación y un método muy didáctico que facilitará la comprensión de los temas seleccionados para esta materia.
que no han sido incluidos en el texto básico o su guía didáctica. Al igual que su texto básico encontrará al final de cada tema varios ejercicios propuestos. con los cuales podrá poner en práctica los conocimientos adquiridos y resolver problemas con temáticas diferentes. 9 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . presenta ejemplos prácticos que le permitirán al estudiante relacionar la aplicación de esta ciencia a situaciones prácticas de su vida cotidiana y sobretodo profesional. no descuida otras áreas de estudio.Guía didáctica: Matemáticas PRELIMINARES Este texto se escoge como complementario porque con sus aplicaciones refuerza las orientaciones dadas por el texto principal.
usted encontrará asesoría para su materia. debe entregarlas por medio del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA). que le permitan realizar anotaciones. y cuya solución se presenta en las páginas finales del presente material de estudio. repase nuevamente y/o consulte con su profesor tutor. Orientaciones generales para el estudio Estimado (a) estudiante. varios de estos fueron tomadas del texto básico y libros complementarios escogidos para este componente. desarrollo de las autoevaluaciones y evaluación a distancia. y dedique al menos 4 horas semanales al estudio de esta materia. üü Adicionalmente usted podrá practicar con la ayuda de las seis autoevaluaciones incluidas. como son un cuaderno. üü Después de haber realizado lo descrito. material en digital y 10 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . en el tema o unidad correspondiente. lápiz y un borrador. Si no es así. üü Programe un horario de estudio. üü Antes de iniciar un nuevo tema. utilice 6 para su estudio autónomo. Encuentre el horario de tutorías y los datos de contacto en el aula virtual correspondiente al componente. propiedades y su aplicación. revise la guía didáctica y analice los ejemplos ilustrativos. su presentación es obligatoria. üü La Universidad ha implementado el campus virtual donde además de ingresar sus evaluaciones a distancia. quien le ayudará a clarificar los temas de mayor dificultad. desarrollar ejercicios. üü Elabore sus trabajos a distancia de manera constante y paulatina con la finalidad de evitar acumulaciones. recuerde que son dos. üü Debe contar con materiales de papelería básicos. en las fechas indicadas en su calendario académico. Los materiales necesarios para realizar el estudio son: el texto básico. uno por cada bimestre. la guía didáctica que le orientará en su aprendizaje y las evaluaciones a distancia. para que usted pueda tener un aprendizaje significativo y observe la secuencialidad de los procesos en este componente. aborde el estudio de cada uno de los temas de manera secuencial. se recomienda seguir las siguientes orientaciones. Es conveniente trabajar de manera paralela con el texto y la guía didáctica. üü Recuerde que usted dispone de 8 semanas en cada bimestre. üü Lea el texto básico. y 2 semanas para repaso de la prueba presencial.Guía didáctica: Matemáticas PRELIMINARES 5. realice las actividades recomendadas y resuelva la autoevaluación que se encuentra al final de cada unidad. asegurando la comprensión de cada uno de los conceptos. es recomendable haber comprendido claramente la unidad anterior. en ellos encontrará más ejercicios que de seguro fortalecerán su aprendizaje. definiciones. üü Se ha incluido una variedad de ejercicios y problemas de modo tal que pueda observar cómo aplicar las matemáticas que está aprendiendo. üü No dude en comunicarse con el profesor tutor si tiene dificultades en su autoaprendizaje.
foros. revísela.edu. üü Recuerde la importancia de generar un aprendizaje autónomo. Nota: Por su participación en el EVA en actividades como chat. üü Se ha incluido en esta guía la “planificación para el trabajo del alumno”. esto quiere decir que podrá incrementar su nota hasta con tres puntos adicionales.Guía didáctica: Matemáticas PRELIMINARES la posibilidad de interactuar con el profesor y compañeros. es importante para programar su estudio. 11 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .utpl.ec. Acceda a través de la dirección electrónica www. usted podrá ser acreedor de hasta un punto adicional por cada actividad. y video–colaboración. responsable y organizado por lo que es necesario que siga de forma adecuada las indicaciones y desarrolle las autoevaluaciones que se encuentran al final de cada unidad. que son estrategias de aprendizaje que le permiten conocer su avance académico.
Competencias genéricas de la UTPL • Pensamiento crítico y reflexivo • Trabajo en equipo • Comportamiento ético.Guía didáctica: Matemáticas 6. • Organización y planificación del tiempo 12 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . PRIMER BIMESTRE Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias PRIMER BIMESTRE 6.1.
6.2. polinomios problemas Aplica los principios teóricos planificación enfocada a la toma marque o señale aquellos de los sistemas de 1.13 Competencias específicas del componente educativo Unidades Contenidos Actividades de aprendizaje Indicadores de aprendizaje expresiones racionales 1.	Adición de polinomios de decisiones 3.1.5.	Aplica las propiedades Analiza.	Radicales definiciones del algebra de los números reales números reales. presentados ecuaciones diferentes actividades de en el texto y en la guía 1.7. como herramientas de 1.	Suma y diferencia de Banca y Finanzas Competencias específicas de la titulación 6.	Expresiones racionales 1. Revise su texto básico 1	Identifica las leyes y propiedades de los números en el capítulo 0.	Operaciones básicas con a la resolución de 2. Fundamentos Matemáticos 1.	Exponentes la 10 encontrará la 2.	Factorización de potencias iguales Analiza las definiciones y Unidad 1.	Practique los contenidos. diferentes ejercicios las *Utiliza las herramientas Define correctamente los propiedades y leyes de 1.	Eliminación de símbolos de inversión y financiamiento didáctica Analiza.2.3.	Multiplicación de 3. En propiedades de los 1.4.	Planificación para el trabajo del alumno 8 horas de interacción en el EVA 8 horas de autoestudio Semanas 1 y 2 Tiempo de dedicación Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .6.	Números reales reales y sus aplicaciones *Analizar las variables las páginas de la 3 a números reales.	Lea detenidamente.	Sustracción de polinomios sugieran ser importantes. describe y Aplica agrupación correctamente los sistemas 4. polinomios los ejemplos.1.3.3. elemental.	Productos especiales polinomios 1.8.	Aplican en los conceptos. 1.	Factor común ejemplos que se encuentran en cada tema.4.	Simplificación de 1.6. 1. 1.1. ideas que le ecuaciones.	Factorización de ecuaciones lineales desarrollando los 1.8.4.4.2.1.6. describe y aplica las micro y macroeconómicas propiedades de los 1. 1.2.	Observe el desarrollo de tipos de sistemas de adecuadas para gestionar las los números reales.
4.14 organizaciones públicas contable y financiera de las críticamente la información *Identifica y examina Gestión Pública: de crecimiento empresarial como desarrollo de estrategías la toma de decisiones.10.9. División larga 1.	Multiplicación de expresiones racionales 1.10.10.	Al finalizar el tema.9.	Racionalización 1.1. Participe en las tutorías la autoevaluación 1 que se encuentra al final del capítulo 3. División de un multinomio entre un monomio 1.	Racionalización Del tipo 1.	Inicie el desarrollo de la evaluación a distancia virtuales que el docente tutor propondrá para reforzar el tema.2.1. así procesamiento de datos para y matemáticos en el *Aplica modelos estadísticos Administración de Empresas Competencias específicas de la titulación Competencias específicas del componente educativo Autoevaluación 1 Del tipo 1.9. realice 2.	Racionalización de denominadores 1.	División de expresiones racionales 1.9.1. Participe en el foro que el docente tutor planteará en el EVA.2.2.2.9. El tema tendrá relación con el tema que se está tratando uno de los recursos y anuncios que el docente tutor ha incluido en el EVA 1	Descargue y revise cada Actividades de aprendizaje Indicadores de aprendizaje Tiempo de dedicación Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .	Multiplicación y división de expresiones racionales Unidades Contenidos 5.2.
Ecuación con literales 2. desarrollando los ejercicios que se encuentran en el apartado: Problemas 0.4.3. ideas que le sugieran ser importantes matemáticas utilizando las variables en los capítulos 0 y 1.	Lea detenidamente.1.	Solución de ecuaciones cuadráticas Administración de Empresas 2.4. de ecuaciones y desde la apartado 0.	Ecuaciones fraccionarias 2.	Solución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización 2.	Descargue y revise cada contenidos de este.4.7.4.7 de su texto básico.	Solución de ecuaciones cuadráticas 2.	Introducción a la teoría de intervalos 2.	Desigualdades 2.	Desigualdades con valor absoluto 2. 4. ecuaciones cuadráticas 2.7 desigualdades hasta el apartado 1.8.	Ecuaciones con valor absoluto 2.3. desigualdades y 1	Revise su texto básico Unidades Contenidos de las organizaciones financieros y de inversión en la solución de problemas *Utiliza modelos matemáticos entes relacionados al turismo Administración de Empresas Economía: Contabilidad y Auditoría Competencias específicas del componente educativo Competencias específicas de la titulación 8 horas de interacción en el EVA 8 horas de autoestudio Semanas 3 y 4 Tiempo de dedicación Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE . Analiza los conceptos corresponde a ecuaciones fundamentales de las y desigualdades.	Ecuaciones con radicales cuadrática con el uso de la fórmula 2.6.5.2. tema. marque o señale aquellos 3. presentados en el texto y en la guía didáctica conceptos.	Practique los 3.8.	Plantea un problema Unidad 2.	Ecuaciones cuadráticas 2.	Analice el desarrollo de los ejemplos.8.4 que 2.2.	Ecuación lineal 2. Ecuaciones.15 Turísticas y Hoteleras *Identifica y examina criticamente la información económica y financiera de los *Desarrolla el pensamiento matemático y estadístico para la aplicación y análisis de aspectos económicos y hotelería entes relacionados al turismo económica y financiera de los criticamente la información *Identifica y examina Turísticas y Hoteleras MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA 2.2.1.1.	Ecuaciones aplicaciones completando el cuadrado y hotelería Actividades de aprendizaje 1	identifica el tipo Indicadores de aprendizaje uno de los recursos y anuncios que el docente tutor ha incluido en el EVA 5.
Problemas de una aplicación 2.	Continúe el desarrollo de virtuales que el docente tutor propondrá para reforzar el tema.9.1. Participe en el chat que el docente tutor planteará en el EVA. Aplicaciones de y desigualdades aplicaciones para ecuaciones 2.9. Aplicaciones de Unidades Contenidos la evaluación a distancia 6.2.2. Algunos casos de ecuaciones y desigualdades 2.2. Pasos para resolver ecuaciones 2. 5.1.Competencias específicas de la titulación Competencias específicas del componente educativo 16 Autoevaluación 2 aplicaciones 2.2. El tema tendrá relación con el tema que se está tratando Actividades de aprendizaje Indicadores de aprendizaje Tiempo de dedicación Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .9.9.9.	Participe en las tutorías 4.
Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales y desigualdades Unidad 3.	Método de eliminación por adición 3.	Método de eliminación por sustitución 3.	Sistemas de ecuaciones lineales.4. Solución única 3. Sistemas de ecuaciones Unidades Contenidos Repaso de Contenidos Actividades de aprendizaje Total de horas la resolución de problemas conocimientos en 4.3. 3.3.	Identifica los métodos de ecuaciones 1	Reconocen un sistema Indicadores de aprendizaje 8 horas de iteracción 64 8 horas de auto estudio Semanas 7 y 8 8 horas de interacción en el EVA 8 horas de autoestudio Semanas 5 y 6 Tiempo de dedicación Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .1.2.	Solución de un sistema de ecuaciones 3.	Resuelve sistemas de ecuaciones de resolución de 2.	Problemas de aplicación Autoevaluación 3 Unidades de la 1 a la 3 3.1.Competencias específicas de la titulación Competencias específicas del componente educativo 17 3.1.	Métodos de resolución 3.	Aplica sus ecuaciones utilizando cualquier método de resolución.2.3.2.
Sistema de la evaluación del componente educativo (primero y segundo bimestres) Formas de evaluación Prueba objetiva 3. * Son estrategias de aprendizaje. pero debe responderlas con el fin de autocomprobar su proceso de aprendizaje. que equivale al 70%. Coevaluación Interacción en el EVA*** Evaluación presencial Parte de ensayo Evaluación a distancia ** Parte objetiva 1. debe desarrollarla y enviarla a través del EVA según las fechas establecidas. orden y ortografía X X X X Dominio del contenido X X X X X X X X X 70% Investigación (cita fuentes de consulta) X Aporta con criterios y soluciones X Análisis y profundidad en el desarrollo de temas Puntaje X Estrategia de aprendizaje Conocimientos Emite juicios de valor argumentadamente PORCENTAJE X X 10% 20% 30% 2 4 6 TOTAL X 14 20 puntos X Actividades presenciales y en el EVA Habilidades Creatividad e iniciativa Actividades en el EVA: 3 puntos en cada bimestre Actitudes Competencia: criterio Para aprobar el componente se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos. Heteroevaluación Comportamiento ético X X X X X X Cumplimiento. no tienen calificación. Autoevaluación * 2. **	Recuerde: que la evaluación a distancia del primero y segundo bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo. Señor estudiante: Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es principalmente formativa. ***	Estrategias de aprendizaje opcionales y de tipo colaborativa: foro. chat y video colaboración con una valoración de un punto cada una.3.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 6. responsabilidad X X X X X X X X X X X X X X X X X X Esfuerzo e interés en los trabajos Respeto a las personas y a las normas de comunicación X Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo Presentación. 18 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . puntualidad.
estos temas son aplicables a cada titulación. ingresos. le permitirán revisar temáticas que van desde los fundamentos matemáticos hasta el planteo de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.4. 19 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Los contenidos desglosados con mucha prestancia. Los contenidos descritos y ejemplificados con ejercicios y problemas de la vida cotidiana. costos. entre otros. Esta guía didáctica pretende facilitar el estudio del alumno de modalidad a distancia. depreciaciones. en estos ejemplos se utilizan modelos que ilustran las técnicas y los conceptos básicos dados en matemáticas. impuestos. trata de que las personas que la lean vean a esta asignatura como un enlace entre la aplicación práctica de lo aprehendido y lo teórico que es requisito fundamental para cada titulación. quien debe contar con bases sólidas para aplicar estos conocimientos en su devenir académico y pre profesional.	Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias La guía didáctica da la oportunidad de revisar los conocimientos adquiridos en el bachillerato. le permitirán desarrollar las destrezas y habilidades requeridas en una competencia del área matemática básica y necesaria para la titulación escogida.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 6. Este componente permite aplicar todo lo estudiado en problemas de inversión de capitales.
Números Reales: Nota Fuente. sin embargo en este curso no será considerado de esta forma. El siguiente gráfico describe la clasificación de los números reales. que está representado por la letra Z. y los números irracionales. Además se debe recordar que se los puede escribir con notación decimal. Loja: UTPL Los números 1. Esta sucesión de números es infinita y se encuentra representada por la letra N..	Números Reales En esta unidad se explicarán conceptos fundamentales ya estudiados por usted. K. (2013). forman el conjunto de los números enteros..Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE UNIDAD 1. 4. 3..…se usan para contar y son los primeros que se aprenden en la primaria. 2. positivos y negativos. Los números naturales junto al 0 y los enteros negativos. donde los números reales son el conjunto universo y en él están inmersos los números racionales e irracionales. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 1.14). las fracciones. Adaptado de Celli. (p. a estos les llamamos: números naturales. de la siguiente manera: 20 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . pero que se consideran muy importantes para ser recordados así: Los números reales son el conjunto de todos los números enteros. Guía Didáctica Matemáticas. Figura 1. así: Nota: Algunos autores consideran al 0 dentro de los números naturales.1.
¿dónde quedan aquellos números fraccionarios que presentan decimales inexactos y noperiódicos?. Se encuentra representado por la letra Q.14159265359⊃ 21 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . a estos les corresponde el conjunto de números irracionales. 5 2 Sabe usted ¿por qué?. ejemplos generales de este tipo de números son y e. con la restricción de que el denominador sea diferente de cero. así: 1 = 0. todo entero tiene como denominador la unidad. Estos números racionales también pueden mostrarse de manera decimal. Ahora. consiste en números formados por todas las fracciones.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE El conjunto de los números racionales. para lo cual su resultado debe ser que sus cifras decimales sean periódicas o exactas. algunos ejemplos son: etc. a este conjunto se lo representa con la letra Q’. Algunos ejemplos de este tipo de números son: ≠ = 3. por su parte.
3. en los que podemos expresar a a n como n cúbica 22 a . 4 o más. raíz cuarta . puede abreviarse.3. 3.2. raíz etc.3.3 = 81 Ejemplo 2: 1. . Para este caso el valor de n nos indicará si trabajamos con una raíz cuadrada . para ello simplemente utilizamos exponentes. tal cual como se lo detalla a continuación: Ejemplo 1: 34 = 3. ya sea 2.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 1.	Radicales 1 Por el lado contrario a los exponentes. MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .	Exponentes Estimado estudiante la multiplicación de un número o símbolo por sí mismo. se encuentran los radicales.
etc.2a + 9 ) (x + 3 y )(2 x + y ) (2 x + 5 y ) 2 Cuando el polinomio contiene un solo término se denomina monomio. Algunos ejemplos que se pueden citar son: (5a + 7b .4. sustracción.3)+ (3b . como: adición.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 1. Expresiones Algebraicas Elaborado por: Andrade.	Operaciones básicas con polinomios Los polinomios son el resultado de la combinación de números y símbolos. multiplicación. mediante una o más operaciones básicas. E (2015) 23 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Aquel que contiene exactamente dos términos se llama binomio y el que contiene tres términos se denomina trinomio: A continuación usted encontrará ejemplos de los distintos tipos de expresiones algebraicas: Figura 2.
4.2 x +1 con (4 x 2 y + 6x .3 Se eliminan los signos de agrupación = + Se ordena de mayor a menos o viceversa: Se reducen términos semejantes: = 7 x2 y + 4 x .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE A continuación se estudiarán las operaciones que se pueden realizar con polinomios: 1.2 24 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .3 ) se puede optar por el siguiente 2 + 4x y + 6x .1.	Adición de polinomios La adición de polinomios es una operación en la que dos o más polinomios se suman para obtener un tercero que es el resultado total de esta suma Ejemplo 3: Si se desea sumar procedimiento: (3 x 2 ) y .
6 x 2 . es decir al minuendo se le adiciona o suma el opuesto del sustraendo Ejemplo 4: Se desea a (7 x 3 .	Multiplicación de polinomios Se llama multiplicación de polinomios cuando cada término de un polinomio se multiplica por cada uno de los términos del otro polinomio.7 Se identifica el sustraendo ) restar (5 x (5 x 3 3 + 6 x 2 + 3x + 6 + 6 x 2 + 3x + 6 ) ) Se busca el opuesto del sustraendo que consiste.4.5 x3 .6 Se ordena los términos 7 x3 .7 .4.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 1.7 . Si usted desea encontrar la solución de multiplicar .8 x 2 .3 x .8x2 + 5x .8 x 2 + 5 x .2. el procedimiento sería el siguiente: 25 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .5 x3 . los mismos términos del sustraendo pero con el signo contrario -5 x 3 .6 Se reducen términos semejantes 2 x 3 -14 x 2 + 5 x -13 1.6 Se procede a sumar el minuendo con la nueva expresión del sustraendo siguiendo el proceso de la adición.6 x 2 .3x .3x . 7 x3 .6 x 2 + 5 x .	Sustracción de polinomios Usted debe recordar que la resta es la operación opuesta a la suma y bajo este principio para poder realizar esta operación es preferible convertirla en suma.3.
4 Se realizan las operaciones indicadas 5 x 4 +10 x 3 + 20 x + 11x 3 + 22 x 2 + 44 Se ordenan los términos 5 x 4 +10 x 3 +11x 3 + 22 x 2 + 20 x + 44 Por último se reducen términos semejantes 5 x 4 + 21x 3 + 22 x 2 + 20 x + 44 1.2 x 2 + 11.x 3 + 11. en el grafico siguiente va a encontrar como está el proceso de distribución Figura 3.x 3 + 5 x.2 x 2 + 5 x. que cada término del primer binomio se multiplica por todo el segundo polinomio ( ) ( 5 x x3 + 2 x 2 + 4 +11 x 3 + 2 x 2 + 4 ) Nuevamente se aplica la propiedad distributiva 5 x.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 5: Se aplica la propiedad distributiva. corchetes y llaves y para poder operar se deben eliminar estos símbolos.	Eliminación de símbolos de agrupación Los signos de agrupación son paréntesis. debe realizar el siguiente procedimiento: 26 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .5. el proceso es el siguiente: Ejemplo 6: Para simplificar la expresión citada. Aplicación de la propiedad distributiva Elaborado por: Andrade. E (2015) Que implica.4 + 11.
5 + 2x ) Propiedad distributiva = -40 x 3 .(5 . desarrollando la operación requerida para cada caso: Se reducen los términos semejantes que se encuentran dentro de las llaves Por último se aplica la propiedad distributiva y se eliminan las llaves 72 x 2 + 78 x .2 x 2 +10 .6 27 Eliminación de las llaves.2 x 2 .45 Se sugiere revisar los ejemplos que se presentan a continuación: Ejemplo 7: ( ) -5( 4 x 2 (2 x + 2 ).2 (x 2 . MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .9b .2 x ) ( = -5 8 x 3 + 8 x 2 ).4 x Propiedad distributiva = -40 x 3 .42 x 2 .40 x 2 . los paréntesis: Eliminar ahora los corchetes.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Eliminar signos de agrupación más internos.4 x +10 Reducción de Términos semejantes Ejemplo 8: Propiedad distributiva Propiedad distributiva = 6a + 2ab .
o los coeficientes numéricos contienen algún factor que es común para todos ellos.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 9: Propiedad distributiva Términos semejantes Ejemplo 10: 1. estas expresiones se dice que son factores de la expresión que se obtuvo como producto. y las letras a y b que son comunes en todo el polinomio. con lo que obtenemos lo siguiente: 6ab (8c . a continuación se examinarán ciertos métodos para factorizar expresiones algebraicas: 1.1.6.	Factorización Si dos o más expresiones algebraicas se multiplican a la vez.	Factor común Existe cuando en todos los términos de un polinomio se repiten una o más letras.4b + 2acd + cde ) 28 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .24ab 2 +12a 2bcd + 6abcde Para su factorización tomamos el coeficiente numérico de menor valor (6 en este caso). El proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores se denomina factorización de la expresión. 48abc .6. porque se encuentra contenido en el resto de términos.
z )(y + w ) 1.5 y ) 29 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .	Suma y diferencia de potencias iguales Es necesario que usted considere que dentro de los productos notables se tiene la diferencia de cuadrados.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 11: 3 xy .z (y + w ) (3x .yz + 3 xw .yz )+ (3 xw . de esta manera: (3 xy .6. luego simplemente en cada grupo desarrollamos el procedimiento antes indicado. la misma que para ser factorizada se la descompone en el producto de la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas Ejemplo 12: 36 x 2 .wz ) y (3 x .2.25 y 2 = (6 x + 5 y )(6 x .z ) (3x .z )+ w (3 x .z )(y + w ) Otra manera de agrupar podría ser: (3 xy + 3 xw ).wz Para su factorización. usted deberá agrupar los términos que contienen algún factor común.(yz + wz ) 3x (y + w ). con la condición de que estos grupos deberán ser de igual número de términos.
b ) a 2 + ab + b 2 ) ) Ejemplo 13: ( 64 x 3 + y 3 = (4 x + y ) 16 x 2 . por ejemplo. Ejemplo 14: 9a 2 -12ab + 4b 2 Se verifica que tenga las características de un trinomio perfecto. es decir que posea dos términos que son cuadrados perfectos positivos y un tercer término que corresponde al doble producto de las raíces de los anteriores: 9a 2 -12ab + 4b 2 2 (3a )(2b )= 12ab Las raíces de los dos términos que son cuadrados perfectos positivos las elevamos al cuadrado. de esta manera obtenemos el resultado 30 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . considerando el signo del término que corresponde al doble producto de estas raíces.6. están conformados por dos términos que son cuadrados perfectos y positivos.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Un caso particular de analizar es la factorización de suma o diferencia de cubos.4 xy + y 2 ) 1.	Factorizacion de trinomios y polinomios Los trinomios cuadrados perfectos.3. para lo que se aconseja tener presente siempre lo siguiente: ( a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 .ab + b 2 ( a 3b 3 = (a . el tercer término corresponde al doble producto de las raíces de los dos anteriores.
para los cuales será necesario un procedimiento diferente. Estos dos términos pueden ser -2 y -3: Se divide al primer término en dos grupos y se le agrega los términos encontrados en el paso anterior y obtenemos la respuesta: Caso 2: Ejemplo 16: 3 x 2 +11x + 6 3 x 2 +11x + 6 31 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .5 x + 6 Se encuentran dos factores del término constante 6 y que además sumados den como resultado el coeficiente de x. como por ejemplo trinomios cuyo resultado sean dos factores: Caso 1: Ejemplo 15: x2 .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Pero existen trinomios que pueden ser factorizados a pesar de no poseer estas características.5x + 6 1x 2 .
de esta forma no se altera el ejercicio inicial. Estos números pueden ser: Se reemplaza el coeficiente del segundo término por los dos factores encontrados 3 x 2 + (9 + 2 )x + 6 Se aplica la propiedad distributiva en el segundo término 3x 2 + 9 x + 2 x + 6 Se agrupan los términos considerando la posibilidad de tener un factor común (3 x 2 ) + 9 x + (2 x + 6 ) 3 x (x + 3)+ 2 (x + 3) Se aplica nuevamente factor común (x + 3)(3 x + 2 ) Ejemplo 17: 4 x2 + 8x + 3 Se multiplica a todo el polinomio por el coeficiente del término cuadrático y se divide para el mismo. en este caso 11. 4 x2 + 8x + 3 = (4 x ) 2 = 32 ( 4 4 x2 + 8x + 3 4 ) + 8 (4 x )+ 4 (3) 4 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE El 3 es diferente de 1 Se multiplica el coeficiente del término cuadrático con el término constante 3 (6 )= 18 Se busca dos términos que multiplicados den como resultado 18 y sumados o restados den como resultado el coeficiente de x.
3) 33 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . __________________________ La suma del resultado de multiplicar en cruz ambos factores debe ser igual al segundo término: x es el segundo término del trinomio El resultado se encontrará expresado por la multiplicación de factores encontrados así: (x + 3)(x .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Se busca dos números que multiplicados den como resultado 4 (3)= 12 y sumados o restados den como resultado 8 que es el coeficiente de x: (4 x ) + 8 (4 x )+ 4 (3) 2 4 (4 x ) 2 = = + 8 (4 x )+ 12 4 (4 x + 6 )(4 x + 2 ) 4 Se tiene en cada paréntesis un factor común = 2 (2 x + 3)2 (2 x + 1) 4 Se simplifica quedando como resultado (2 x + 3)(2 x +1) Ejemplo 18: x 2 + x -12 Se buscan dos factores que al multiplicarse entre sí den como resultado el término constante y sumados o restados den como resultado el término de x.
(3 x + 2 ) 3 = (3 x ) + 3 (2 )(3 x ) + 3 (2 ) (3 x )+ (2 ) 3 2 2 3 ¿Qué regla se aplicó? La regla 7.a 2 (x + a ) 3 = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3 (x . 34 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .a ) = x 3 . Productos especiales Nota Fuente. (p. Guía Didáctica Matemáticas.a ) 2 (cuadrado de un binomio) = x 2 + 2ax + a 2 (cuadrado de un binomio) = x 2 . K.2ax + a 2 (producto de suma diferencia) (cubo de un binomio) (x + a )(x . (2013).a 3 3 o (cubo de un binomio) Figura 4.3ax 2 + 3a 2 x .	Productos especiales Existen ciertos productos especiales que pueden obtenerse a partir de la propiedad distributiva y son útiles al multiplicar expresiones algebraicas. A continuación se presentarán algunos casos especiales: Productos Especiales (propiedad distributiva) x (y + z )= xy + xz (x + a )(x + b )= x 2 (a + b )x + ab (ax + c )(bx + d )= abx 2 + (ad + cb )x + cd (x + a ) 2 (x .7.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 1.a )= x 2 .24). Loja: UTPL Ejemplo 19: En el siguiente ejercicio se aplicará una de las reglas dadas para la resolución de productos especiales. Adaptado de Celli.
2 ) -2 (2 x + 1) 2 (x .20 x + 24 6 +10 x . A continuación se presenta la solución de las operaciones más comunes con este tipo de expresiones: 1.5 x .1.8.2 )(x . las propiedades de los números reales se aplican también a las expresiones algebraicas.2 ) .	Expresiones racionales Una expresión racional es una combinación de variables y constantes que posee la forma: a (x ) b (x ) Donde son polinomios y Dado que las variables incluidas en las expresiones algebraicas representan números reales.	Simplificación de expresiones racionales Una expresión racional está simplificada cuando ha sido reducida a su mínima expresión.3 4 (x .3) -2 (2 x +1)(x .8.5x + 6 ) ) -2 2 x 2 .(2 x + 1) -2 (x . Ejemplo 20: Simplifique la siguiente expresión algebraica: 4 x 2 . esto es cuando tanto el numerador como el denominador no tienen factores comunes distintos de 1 y -1.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 1.4 x 2 Se ordenan los polinomios 4 x 2 .2 ) (2 x +1) MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .20 x + 24 -4 x 2 +10 x + 6 = Se factoriza por completo el numerador y el denominador = Se simplifica los primeros términos comunes = Si es el caso se simplifica otros términos comunes = Para finalizar se puede cambiar los signos.3) 4 (x . con la finalidad de eliminar el signo negativo en el denominador = 35 ( ( 4 x2 .
los factores comunes que se presenten.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 1.9.	División de un multinomio entre un monomio Para resolver este tipo de ejercicios.	División de expresiones racionales 1. bastará con dividir cada término del multinomio por el monomio. usando la propiedad distributiva 36 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . ya que cada uno de ellas amerita una breve explicación acompañado de los ejemplos respectivos. 1. Ejemplo 22: 40 x 4 y 5 z 2 -16 x 3 y 4 z 3 + 32 x 2 y 3 z 4 -8 x 2 y 3 z 2 Cada término del numerador se divide para el denominador. de deben multiplicar numeradores y denominadores entre sí. Para facilitar este proceso puede iniciar simplificando. si es posible.2.9.9.	Multiplicación de expresiones racionales En la multiplicación de expresiones algebraicas racionales.	Multiplicación y división de expresiones racionales Este tema será tratado en forma separada.2.1.1. Ejemplo 21: 3x 3 y 4 15m2 n3 .9. 10 mn 2 6 x 5 y 4 Se multiplican numeradores y denominadores entre sí: 45 x 3 y 4 m 2 n3 60mn 2 x 5 y 4 Se simplifican los términos comunes: 1.
si el polinomio está incompleto es conveniente dejar un espacio en blanco. Se divide el primer término del dividendo para el primer término del divisor y el resultado es el primer dividendo del cociente.2. 37 3x 2 .2. a continuación estudie el procedimiento para su resolución: Ejemplo 23: Se ordena los dividendos en forma decreciente respecto a una misma variable. luego se multiplica este resultado por todo el divisor y ese resultado se lo resta del dividendo (es necesario el cambio de signo).9.4 x + 3 3x + 2 3x + 2 3x 2 .4 z 2 1.	División larga Una vez que usted ha comprendido el procedimiento para dividir un multinomio entre un monomio. se encontrará apto para de realizar divisiones entre polinomios o división larga.4 x + 3 x MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Se divide cada una de las expresiones racionales formadas se simplifica cada uno de los términos: = -5 x 2 y 2 + 2 xyz .
Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE x -2 Se repite el procedimiento anterior. pero en esta ocasión para el nuevo resultado que se obtiene en el dividendo El resultado queda expresado de la siguiente forma: x -2 + 7 3x + 2 Ejemplo 24: Respuesta: 38 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 1.	Racionalización del tipo para b↑0 En este caso es eliminar el radical del denominador pero cuando este es un monomio Ejemplo 25: 2 5 El denominador puede ser expresado como una potencia = 2 51/ 2 En esta nueva expresión para eliminar el exponente del denominador .	Racionalización de denominadores Racionalizar es el proceso por el cual se eliminan los radicales del denominador de una fracción. 39 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .10. tanto al numerador como al denominador. permitiendo expresar el resultado como una fracción equivalente donde el denominador ya no tiene radical.1. que usted encontrará en la página 10 de su texto básico.10. 1. para que no se altere la fracción Se aplica en el denominador la ley 1 de las leyes básicas de los exponentes y radicales. Por último se aplica la ley 11. se le debe multiplicar por un factor igual.
= 40 2 3− 2 5 ( 3) − ( 5 ) 2 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .10.5 Se obtiene una diferencia de cuadrados en el denominador propiedad 6 de los productos especiales.	Racionalización del tipo a b+ c Este tipo de expresiones algebraicas poseen en el denominador binomios de radicales. Ejemplo 27: 2 3+ 5 Se multiplica por el conjugado del denominador 3 + 5 que es: 3 .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 26: 1. el proceso a seguir es multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.2.
25 y 26. = 5−2 3 2 Actividades Recomendadas Desarrolle los ejercicios 0. Se ha concluido el estudio de esta primera unidad. 2 ( −1) = 3− −2 5 −2 3 + 5 2 Finalmente se aplica la propiedad conmutativa en el numerador. que le permitirá conocer su nivel de conocimientos.6 de su texto básico. Se encuentran en las páginas 18. Recuerde que puede verificar los resultados en el solucionario que se encuentra en las hojas finales del texto básico.4.5 y 0.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Se aplica la ley 17 de las leyes básicas de los exponentes y radicales = 2 3− 5 3− 5 = 2 3− 5 −2 Se hace positivo al denominador multiplicando por -1 al numerador y denominador = ( −1) . 0. 41 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . lo invito a responder por lo tanto la siguiente autoevaluación. 20.
2 x + 5 x . ( )	x . obtenemos 10 + 4 x 5 5 x3 y . ( )	La expresión 2 x 5 − 2 x 3 y 2 + 6 xy se refiere a un polinomio ordenado. i = 2. 8. ( )	5 3 2 4 5 El siguiente polinomio es homogéneo: 2 x − 2 x y + 6 xy − 4 y + 20 7. ( )	4 3 4 De -10 x 4 + 30 x 3 y -15 y 4 restar -10 x + 25 x y -14 y . n x 2 = 12 2 4 2 2x = x 2x Verifique sus respuestas en el solucionario que se encuentra al final de la presente guía didáctica. ( )	m 9. (Realice el procedimiento. ( )	En la siguiente expresión entonces y=2 6.6 x .n x = m. ( )	El valor de la expresión 4 x +16 es igual a 4.4 4. puedes hacerlo…” Walt Disney ¡¡ Éxitos en la tarea emprendida!! Ir a solucionario 42 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . x = 26 5.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Autoevaluación 1 Estimado estudiante escriba dentro del paréntesis una V o una F según considere verdaderas o falsas las proposiciones que se plantean. 1. en los casos que sea necesario). ( )	El siguiente polinomio es completo: 2 x + 3 x . ( )	3 4 10.y 4 x = -2 4 3 2 . cuando 3. “Si puedes soñarlo. ( )	2. cuando m = 3.
Ecuaciones Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones denominadas (lados o miembros) separadas por el signo igual.(9 x .	Ecuaciones lineales A las ecuaciones lineales también se las conoce como ecuaciones de primer grado o ecuaciones de grado uno ya que. la potencia más alta de la variable que aparece en la ecuación es la primera: donde a y b son constantes y a ↑ 0 Ejemplo 28: 7 x + 3 9x − 8 − =6 2 4 Se eliminan las fracciones. y la resolución consiste en encontrar el valor de dichas variables 2. dichas expresiones pueden contener variables ya sea una o varias.2.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE UNIDAD 2. para ello se puede multiplicar a ambos lados de la ecuación por un mínimo común múltiplo de los denominadores.8 )= (4 )(6 ) Se multiplica y se eliminan los paréntesis: 14 x + 6 . para este caso 4: Se aplica la propiedad distributiva: Se simplifica (2 )(7 x + 3). ECUACIONES Y DESIGUALDADES 2.1.9 x + 8 = 24 Se reducen términos semejantes: 5 x + 14 = 24 Se resta 14 a ambos lados 5 x + 14 -14 = 24 -14 5 x = 10 Por último se divide entre 5 a ambos lados: 5 x 10 = 5 5 x =2 43 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . como puede observar.
p 4p + p =7 5p = 7 p= 7 5 Ejemplo 30: 5 (x .4 )= 3 x 5 x .6 x .8 -4 x = 27 -x = (-1).x = x =- 44 27 4 27 (-1) 4 27 4 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .7 ).35 .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE A continuación algunos ejemplos de ecuaciones lineales: Ejemplo 29: 4p =1 7.6 x + 8 = 3 x 5 x .p 4p =7.3 x = 35 .2 (3 x .
8 5 x = 10 x= 10 5 x =2 45 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 31: 4 x 7+ x = 9 2 4 x x .= -7 9 2 x 8−9 18 = −7 1 18 = −7 x − x= x= −7 1 − 18 ( 7 )(18) (1)(1) x = 126 Ejemplo 32: 7x + 3 9x -8 =6 2 4 2 (7 x + 3).(9 x .(9 x .8 )= (6 )(4 ) 14 x + 6 .9 x = 24 .8 ) 4 =6 2 (7 x + 3).9 x + 8 = 24 14 x .6 .
p = 8q -1 -8q = .ad = bd .p -1)(-1) 46 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .p -1 (-1)(-8q )= (. se utilizan las primeras del alfabeto: incógnitas continuamos con las letras finales Ejemplo 33: ax . generalmente.	Ecuaciones con literales Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante mientras que para las el uso de letras y.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 2.bx Se agrupan en un solo miembro de la ecuación los términos que tengan la variable y en el otro lado de la ecuación se agrupan los demás términos: ax + bx = bd + ad Se aplica factor común x (a + b )= d (b + a ) Se despeja la incógnita x x= Finalmente se simplifica x =d d (b + a ) (a + b ) Ejemplo 34: x x x + + = a +b +c bc ca ab ax + bx + cx = a +b +c abc ax + bx + cx = (abc )(a + b + c ) x (a + b + c )= (abc )(a + b + c ) x= (abc )(a + b + c ) (a + b + c ) x = abc Ejemplo 35: En el siguiente ejercicio despeje q de tal forma que quede en función de p.3.
Solución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización Resolver una ecuación cuadrática mediante factorización.1.2 )= 0 a la vez sumen y el valor sea igual a 2: Cada factor se iguala a cero y se despeja la variable x 47 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 8q = p +1 q= p +1 8 Ejemplo 36: En el siguiente ejercicio despeje q de tal forma que quede en función de p. escogerlo dependerá del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver.p q= 6. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas.p 3 q= 6 p 3 3 q =2- p 3 2. consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios y luego buscar el valor de x de cada binomio. Ejemplo 37: x2 + 2x .	Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma: ax 2 + bx + c = 0 Donde a. b y c son números reales y a≠0.4. p = -3q + 6 3q = 6 .4. a continuación revisamos los más comunes: 2.8 = 0 Se buscan dos números que multipliquen y den el valor de -8 y que (x + 4 )(x .
= 4 4 4 4 x 2 + 3x .	Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado Para resolver una ecuación cuadrática mediante éste método. la ecuación tiene que estar en su forma: Donde a=1 ax 2 + bx + c = 0 Ejemplo 39: Como a debe ser 1. ( como se observa se factora el trinomio cuadrado perfecto) 48 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .4. se divide por la constante a.2 = 0 x 2 + 3x = 2 x 2 + 3x + 9 17 = 4 4 Se factoriza. es decir por 4: La constante pasa al lado opuesto En cada lado se suma la mitad del coeficiente del segundo término elevado al cuadrado: 4 x 2 12 x 8 0 + .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Otros ejemplos: Ejemplo 38: 2.2.
4 (1)(-8 ) 2 (1) -2 ± 36 2 Se evalúa los posibles resultados 2.	Ecuaciones con radicales Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.5. mediante este método.56 2 x1 = Se evalúan los posibles resultados x2 = . hay que sustituir los valores de a.4.56 2 2. 49 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .3 = -3.4ac 2a Ejemplo 40: Considerando que a=1.	Solución de ecuaciones cuadráticas con el uso de la fórmula cuadrática. b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: x= -b ± b 2 .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Se elimina el exponente con radicales: 17 . ax 2 + bx + c = 0 Para resolver.17 . se reemplaza estos valores en la fórmula general x= Se resuelve primero lo que se encuentra dentro del radical x= -2 ± 2 2 .3 = 0. b=2 y c=-8.3.
x +1 = 1 .k 2 + 8k 8k = 20 k= 20 8 k= 5 2 Ejemplo 43: x .x +1 = 1 . pasando al otro miembro el resto de los términos.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 41: 4 .4 ) 2 2 k 2 .x (-1)(- ) x +1 = 50 ( x + 1 = (-1) 1 - x ) x -1 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .4 = k 2 .3x +1 = 0 Se aísla un radical en uno de los dos miembros.8k + 16 k 2 .3 x +1 = -4 (-1)(- 3 x + 1) = (-4 )(-1) ( ) =4 3x +1 2 2 3 x +1 = 16 3 x = 16 -1 Se resuelve la ecuación obtenida: x =5 Ejemplo 42: k2 -4 = k -4 ( k2 -4 ) = (k . aunque tengan también radicales: Se multiplica por (-1) ambos miembros de la ecuación para eliminar el signo negativo: Se elevan al cuadrado los dos miembros: .
2 x + 1 x .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE ( x +1 ) =( 2 ) x -1 2 x -1 = x .x + 2 x = 1 +1 2 x =2 x= 2 2 x =1 ( x ) =1 2 2 Ejemplo 44: 51 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
por esta razón se debe determinar el mínimo común múltiplo 52 (3 x + 4 )(x .5 12 = 2 x +2 x -4 x .	Ecuaciones fraccionarias Es ecuación fraccionaria cuando la variable se encuentra presente en el denominador de la ecuación y para resolver este tipo de ecuaciones se debe tener en cuenta el tipo de fracción que forma la ecuación para eso se analizará varios ejemplos: Ejemplo 45: Ejemplo 46: 3x + 4 3x .4 ) 12 x2 .5 )(x + 2 )= (x + 2 )(x .4 ).(3 x .6.2 x .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 2.2x -8 Es una fracción heterogénea.8 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
6 x + 5 x + 10 (x + 2 )(x .x x +2 x +1 =x -1 3. -x = 18 9 (-1)(-x )= (-1)(2 ) x = -2 Ejemplo 47: x + 2 x +1 + =0 x -1 3 .4 ).4 ) = 12 x 2 + ( )(x .5 x -10 (x + 2 )(x .3 x 2 .4 ) (x + 2 )(x .4 ) = Se destruye el paréntesis y se reducen los términos semejantes ) 12 (x + 2 )(x .(3 x .x 53 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .5 )(x + 2 )= 12 (x + 2 )(x .4 ) ( 3 x 2 -12 x + 4 x -16 .6 = 12 -9 x = 12 + 6 Se despeja x y se multiplica por (-1).3 x 2 + 6 x .Guía didáctica: Matemáticas Factorar el trinomio del segundo término Se aplica distributiva la propiedad PRIMER BIMESTRE (3 x + 4 )(x .4 ) Como se tiene en ambos lados el mismo denominador se simplifica -9 x .4 ) 3 x 2 -12 x + 4 x -16 .
Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE (x + 2 )(3 .x 2 + 6 .x 2 .2 x = .x + x -1 -x 2 + x + 6 = -x 2 +1 -x 2 + x 2 + x = 1 .(x +1)(x -1) ( ) 3 x .6 x = -5 Ejemplo 48: 54 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .x )= .
En el gráfico siguiente se manifiesta el argumento de valor absoluto: Si Figura 5.7.7 -3 x = -2 x= 55 2 3 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 2. se calcula la ecuación tanto para 5 como para -5: Se resuelve cada ecuación hasta encontrar el valor de x.3x = 5 Dado que es la distancia entre la ecuación y el cero. esto es: a = -a Es importante considerar este argumento ya que se lo usa para resolver ecuaciones con valor absoluto. Noción de cantidad Elaborado por: Andrade. para cada sub – ecuación: Primero para (a) -3 x = 5 .	Ecuaciones con valor absoluto El valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica. Ejemplo 49: 7 . E (2015) Si se habla de ecuaciones con valor absoluto se trabaja con la siguiente forma: ax + b = c Donde a≠0 y c es un número positivo.
Se resuelve cada ecuación hasta encontrar el
valor de x, para cada sub – ecuación: luego
-3 x = -5 - 7
-3 x = -12
En este caso las respuestas son las mismas.
2.8.	Desigualdades
Una desigualdad es una relación de orden, es decir la una expresión es mayor o menor que la otra o
viceversa. Las expresiones están separadas por un símbolo que indica cómo la una expresión se relaciona
Los símbolos pueden ser:
Figura 6. Símbolos. Relación de orden
Elaborado por: Andrade, E (2015)
2.8.1.	Introducción a los intervalos
Al hablar de intervalos es importante distinguir dos grupos de ellos, los primeros están conformados por
intervalos finitos y los segundos por intervalos infinitos.
Los intervalos finitos pueden ser: abiertos, cerrados o semiabiertos, en el gráfico siguiente se representarán
este tipo de intervalos, tanto en su representación gráfica como en su escritura:
Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 54: Intervalos abiertos: Ejemplo 55: Intervalos cerrados: Ejemplo 56: Intervalos semiabiertos: [-5. ∞) 59 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
8.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE (-∞.	Desigualdades con valor absoluto La resolución de desigualdades con valor absoluto corresponde a las siguientes reglas básicas a aplicarse.6 -3x > 6 -3 x 6 < -3 -3 x < -2 La solución y gráfica de esta desigualdad viene dada por: (-∞.7 x > 12 .-2) 2. solo es necesario tener en cuenta las operaciones que generarán un cambio en el sentido de la desigualdad Se inicia agrupando los términos en función a su semejanza: Se reducen términos semejantes Se divide para -3 a cada miembro (Nótese el cambio del sentido de la desigualdad) 4 x + 6 > 7 x +12 4 x .2. usted encontrará esas reglas en el gráfico siguiente: 60 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .1] Ejemplo 57: Resolución de una desigualdad: 4 x + 6 > 7 x +12 Su resolución es muy similar a la de una ecuación.
entonces se tiene que: 61 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . (p. Guía Didáctica Matemáticas. se aplicará la número 3.44). Adaptado de Celli. Reglas básicas de desigualdades con valor absoluto Nota Fuente.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Figura 8. Loja: UTPL Ejemplo 58: 4x + 2 > 6 En este ejemplo y en función a las reglas indicadas previamente. (2013). K.
−2) ∪ (1. aplicaremos la número 2.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE La solución y gráfica de esta desigualdad viene dada por: ( −° . entonces tenemos que: La solución y gráfica de esta desigualdad viene dada por: Ejemplo 60: -16 < 3x .4 < 16 -16 + 4 < 3x < 16 + 4 -12 < 3x < 20 62 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . ° ) Ejemplo 59: 3x x − ʺ 4 5 2 En función a las reglas indicadas previamente.
Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE - 12 20 <x< 3 3 -4 < x < 20 3 Ejemplo 61: 63 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
Inicialmente se verán problemas de aplicación de ecuaciones: 2. MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Su utilización le permitirá resolver problemas prácticos. A continuación se analizarán solo algunos casos. Ejemplo 62:­ Jorge tiene 6 años más que Claudia. estos están relacionados a su formación profesional. veamos uno de estos ejemplos antes de iniciar con las aplicaciones relacionadas a su formación profesional.	Aplicación de ecuaciones Seguramente recordará aquellos problemas en los que mediante la utilización de ecuaciones se pedía encontrar las edades particulares de ciertas personas. por ello es necesario que practique conforme avance con el estudio.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 2. repita varias veces los ejercicios planteados y compruebe el procedimiento. 2.	Aplicaciones de ecuaciones y desigualdades Se han revisado los temas de ecuaciones y desigualdades. hace 12 años la edad de Claudia era ½ de la edad actual de Jorge.	Algunos casos de aplicación para ecuaciones y desigualdades Diferentes son las situaciones en las que podrá aplicar tanto ecuaciones como desigualdades.1.9. ahora es necesario que usted aprenda a aplicar estos temas en casos particulares a su desarrollo profesional.9. ¿Cuántos años tiene cada uno? En base a los datos iniciales se tiene: x x +6 x -12 64 Corresponde a la edad actual de Claudia + Corresponde a la edad actual de Jorge Corresponde a la edad que tenía Claudia hace 12 años. para lo cual será necesario que usted traduzca estas situaciones y/o problemas a símbolos matemáticos.2.9.
2. para ello puede utilizar técnicas que faciliten su planteamiento como por ejemplo preguntarse: ¿A qué es igual el precio? O simplemente enunciados que revelen un concepto. x + 6 = 30 + 6 = 36 Edad actual de Jorge.	Pasos para resolver una aplicación de ecuaciones Como no es posible contar con un procedimiento general para la resolución de problemas mediante la aplicación de ecuaciones. y.x = 6 + 24 x = 30 E inferir en los resultados: x = 30 Edad actual de Claudia. • Desarrolle las operaciones indicadas en la ecuación. para ello generalmente se utilizan las últimas letras del abecedario: x. etc.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Entonces. como: la utilidad total es igual a los ingresos totales menos los costos totales.1. q= cantidad. para ello tome como referencia los contenidos analizados en la unidad 2 de esta guía didáctica. • Escriba una ecuación que refleje exactamente las condiciones del problema. pero en función a su conveniencia puede representarlo con letras que impliquen el significado de la variable. se puede plantear la ecuación de la siguiente manera: 1 x -12 = (x + 6 ) 2 2 (x -12 )= (x + 6 ) 2 x . esta debe corresponder también a la realidad que intenta resolver.9. por ejemplo: si analizamos una ecuación sobre la variable “tiempo” la respuesta jamás podrá corresponder a un valor negativo. • Identifique la o las incógnitas. z. variables y cantidades conocidas planteadas en el problema y determine la relación de estas con la incógnita. • Finalmente es recomendable que verifique la solución final. por ejemplo: p=precio.2. t=tiempo. es decir el valor desconocido. a continuación se resumen seis pasos básicos para la resolución de este tipo de ejercicios: • Lea y analice el problema planteado cuidadosamente y cuantas veces sea necesario con el fin de lograr comprender el objeto de análisis. 65 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . tomando como referencia la explicación del problema. Además separe y anote los datos. x -12 = 30 -12 = 18 Edad que tenía Claudia hace 12 años.24 = (x + 6 ) 2 x . • Represente la incógnita mediante variables.
Una vez identificadas las variables para cada institución será necesario incluir la ganancia que cada una generará. para representarlo vamos a utilizar la variable x. Si el precio de uno de sus artículos es de 86 dólares.9. y el resto en una institución B. ¿cuál era su precio antes de la liquidación? Al leer el problema claramente podemos identificar que la variable incógnita es el precio del artículo antes de la liquidación. que es el valor a invertir en la institución A y la diferencia.40 x = 86 La ecuación se resuelve: 0. otros datos generados en el problema indican que existe un descuento del 40% y que el precio actual es de 86 dólares.Por temporada cierto almacén liquida su mercadería con un 40% de descuento para todos sus productos.Un inversionista coloca 25000 dólares en dos partes. 2500 .33 dólares.x corresponderá a la inversión a realizar en la institución B. el precio inicial del artículo era de 143.60 x = 86 x= 86 0. se vende actualmente en 86 dólares: Ejemplo 64: Inversión.60 x =143. es decir.0.33 Es decir. con una ganancia del 9%. con una ganancia del 15%. el cual luego de liquidarlo con una rebaja del 40%. Una parte la coloca en una institución A.	Problemas de aplicación Ejemplo 63: Ventas.2. ¿Cuánto debe invertir en cada institución para obtener una ganancia de 3500 dólares después de un año? Es claro que la pregunta a resolver equivale a decidir cómo debe el inversionista colocar su dinero en las instituciones de modo tal que al final del año se genere 3500 dólares. es decir: 66 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Se representará la incógnita con la variable x.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 2.2. traducimos estos datos matemáticamente: Precio inicial – Descuento = Precio actual x .
0. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $8000? 67 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .15 x = 3500 .67 dólares mientras que en la institución B. se invertirá un total de 20833. Al comprobar estos datos tenemos que: 4166.06 x = 4166.09 )+ 20833.x ) Se sabe que la suma de las ganancias de ambas instituciones al final debe ser 3500 dólares.67 Como x representa la cantidad de dinero invertida en la institución A. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 5% o con mayor riesgo al 9% con bonos hipotecarios.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Institución A 0.09 x + 3750 .Una persona desea invertir $100000 y desea recibir un ingreso anual de $10000.15 (25000 .06 x = -250 x= -250 -0.67 (0.09 x + 0.15 x = 3500 0. la ecuación será: 0.15 )= 3500 375 + 3125 = 3500 375 + 3125 = 3500 Ejemplo 65: Inversiones.x )= 3500 Se resuelve la ecuación: 0. quiere decir que se invertirá 4166.x )= 3500 0.09 x .0.15 (25000 .09 x + 0.33 (0.15 (25000 .3750 -0.09 x Institución B 0.33 dólares.
Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Primero se coloca el problema en símbolos matemáticos. Ahora es importante reflexionar sobre los valores obtenidos. se plantea la ecuación para bonos del gobierno y se asume que la cantidad invertida es x 0.x )= 8000 En este punto resolvemos la ecuación 0. para los bonos hipotecarios 0.0.25000 ) en bonos hipotecarios para obtener $8000 y minimizar sus riesgos. ¿debe distribuirse de esa manera las inversiones? Esta interrogante se resuelve con una breve y simple comprobación: 68 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . se unifican las dos ecuaciones anteriores y se igualan a este valor. 0.04 x = -1000 x = 25000 Esta persona deberá invertir $25000 en bonos del gobierno y $75000 (100000 .x ) Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser de $8000 .09 (100000 .05 x + 9000 .05 x + 0.09 x = 8000 -0.05 x Luego se plantea una segunda ecuación.09 (100000 .
69 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .x .5 x . el número de huevos vendidos por semana será de x millones de docenas. entonces reemplacemos este valor en la ecuación: 0.0.25 millones. donde p = 2 . El costo para la industria de producir x millones de docenas de huevos por semana está dado por CT = 0. ¿A qué precio debe vender los huevos este comerciante.25 = -x 2 +1.Un comerciante sabe que si cobra p dólares por docena de huevos.25 + 0. para lo que se debe plantear la siguiente ecuación: Recuerde que el comerciante desea saber el precio x al que deberá vender los huevos para obtener una utilidad de $0.5 x millones de dólares.25 millones? El problema ya indica las ecuaciones tanto para el ingreso como para los costos.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 66: Precios. recordará usted que la utilidad o beneficio es lo que queda luego de haber restado los costos a los ingresos. Entonces su ingreso semanal total será IT = xp = x (2 .x ) millones de dólares.25 Se Iguala a cero y se resuelve la ecuación utilizando la fórmula cuadrática. para obtener una utilidad de $0.
Se ha planteado el siguiente ejemplo con la finalidad de una mejor comprensión del tema: Ejemplo 67: Utilidades.3. Un ejemplo anterior referente a aplicación de ecuaciones.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 2.	Aplicación de desigualdades Al igual que las ecuaciones las desigualdades permiten solucionar problemas y/o situaciones. UT = IT . en este caso y partiendo del concepto de desigualdad. utilizando símbolos matemáticos solo que.CT 70 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .9. ya permitió conocer cómo está compuesta la utilidad y/o beneficio en una empresa. El precio de venta al público es de costos fijos por otro lado son de ¿cuántos televisores deberá vender para que la compañía obtenga utilidades? por televisor.Una compañía que fabrica televisores. los planteamientos se elaborarán en torno a condiciones diferentes entre los elementos. es decir establecen que uno es menor a otro o viceversa. Los por televisor. gasta en mano de obra y materiales .
el costo combinado de mano de obra y material es de 42 dólares por calefón. el valor de la utilidad sea mayor a cero. es decir. UT > 0† Entonces dado que UT = IT . ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades? Es necesario reflexionar sobre el hecho de que una compañía generará utilidades cuando al restar a sus ingresos los costos. es decir UT > 0 UT > 0 500q .Para una compañía que fabrica calefones. Si el precio de venta de cada calefón es de 70 dólares.CT la desigualdad será: 71 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Dónde: IT = 500q CT = 80000 +180q CT = 80000 + 180q Ahora plantee la desigualdad considerando que la restricción se refiere a que la compañía obtenga utilidades.(80000 + 180q )> 0 La desigualdad se resuelve: 320q .80000 > 0 320q > 80000 q> 80000 320 q > 250 Con este resultado se concluye que la compañía deberá vender al menos 251 televisores para obtener utilidad Ejemplo 68: Utilidades. Los costos fijos son 140000 dólares.
se obtiene: El ejemplo restringe el valor del ingreso este debe ser mayor a 5000 dólares. Dado que el precio es igual a . para que la compañía obtenga utilidades. se planteará la siguiente expresión: .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Deben venderse al menos 5001 calefones. sabe que el ingreso total es igual al precio multiplicado por la cantidad Partiendo del concepto y considerando los datos proporcionados en el problema. ¿Cuál es el número mínimo que deben venderse para que el ingreso por ventas sea mayor que $5000? Los conceptos previamente adquiridos de utilidad se aplicarán en la resolución del ejercicio. además. con lo que finalmente la desigualdad quedaría así: 72 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Ejemplo 69: Ingreso. se .Suponga que los consumidores comprarán unidades de un producto al precio de dólares por cada una.
+ q > 5000
100 + q > 5000
q > 5000 -100
q > 4900
Por lo tanto deberán venderse mínimo 4901 unidades para obtener un ingreso mayor a 5000 dólares.
Desarrolle los siguientes ejercicios:
Ecuaciones y desigualdades:
11, 13, 17 y 31 de la página 54 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 1.2.
29, 31, 33 y 35 de la página 61 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 1.4.
Recuerde que puede verificar sus resultados en el solucionario que se encuentra en las hojas finales del
Problemas de aplicación de ecuaciones y desigualdades
Desarrolle los siguientes problemas de aplicación:
9, 11, 21 y 31 de la página 48 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 1.1.
1, 5 y 7 de las páginas 57 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 1.3.
¡¡Felicitaciones!! se ha concluido la segunda unidad, lo invito a responder la siguiente autoevaluación
que le permitirá conocer su nivel de logros
Utilizando las reglas incluidas en esta unidad para la resolución de desigualdades con valor absoluto,
Una persona tiene en total $3000 en dos cuentas de ahorro diferentes que le producen
respectivamente, el 18% y 21%. Si en un año recibe $594 por intereses, ¿qué cantidad de dinero
tiene invertido en cada cuenta?
Una firma industrial fabrica un producto que tiene costos variables de $22 por unidad. Si los costos
fijos son $95000 y se vende cada unidad en $30, ¿cuántas unidades deben venderse para que la
compañía obtenga utilidades de $50000?
La compañía IRC fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $6 y el costo
fijo es de $80000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de artículos
que deben venderse para obtener una utilidad de $60000.
La compañía ABC fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo
unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el número mínimo de unidades que
deben venderse para que la empresa tenga utilidades.
Recuerde que las respuestas se encuentran en el solucionario al final de la guía didáctica.
UNIDAD 3. SISTEMAS DE ECUACIONES
3.1.	Introducción a los sistemas de ecuaciones
Existe un sistema de ecuaciones lineales cuando se tienen un conjunto de n variables y de m ecuaciones,
Este sistema de ecuaciones puede ser expresado en forma matricial, observe a continuación:
Primero la matriz de los coeficientes:
A continuación se describe. es importante determinar si el sistema arrojará al final este tipo de solución. para ello podemos utilizar el siguiente criterio detallado.Guía didáctica: Matemáticas Ahora dos matrices columnas a las que llamaremos PRIMER BIMESTRE X y Y: Ejemplo 70: 3.1.2.	Soluciones de un sistema de ecuaciones Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. es necesario encontrar un conjunto de números ordenados que satisfacen a todas las ecuaciones del sistema. Considerando el sistema: Tiene solución única si y solo si: 76 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . paso a paso.	Sistemas de ecuaciones lineales: solución única Antes de iniciar con los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con solución única.2. la resolución de un sistema de ecuaciones lineales con solución única: 3.
Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 71: Ejemplo 72: Como 3.3.	Método de eliminación por adición Este método se caracteriza por eliminar una incógnita mediante el proceso de suma y resta: Ejemplo 73: 77 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .1.	Métodos de resolución Existen varios métodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones lineales: 3.3.
y = -1 Ejemplo 74: Se ordenan los términos de las ecuaciones Se suman las ecuaciones (1) y (2) Se despeja la variable: y= 14 =2 7 El valor de la variable se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales: 4x + 2 y = 9 78 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Se analiza el sistema y se observa que la variable posee signos diferentes dentro de las ecuaciones esta circunstancia va a permitir mediante el siguiente proceso eliminar esta incógnita: A la ecuación (1) se le multiplica por (3) y a la ecuación (2) se le multiplica por (4) Se multiplica cada una de las ecuaciones por el factor indicado y se suman las ecuaciones Se despeja la variable 2x + 3y = 3 2 (3)+ 3 y = 3 El valor encontrado de la variable se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales.
2 (10 ) x = -12 Ejemplo 76: De la ecuación 2.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 4 x + 2 (2 )= 9 x= 5 4 3.2.2 y )+ 2 y + 4 = 0 16 . se despeja x -x + 2 y = 7 79 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .2 y = 0 y =10 y =10 Se resuelve la ecuación x =8-2y El valor encontrado de la incógnita se reemplaza en la ecuación despejada x = 8 .3.4 y + 2 y + 4 = 0 Se aplica en este nuevo resultado la propiedad distributiva y se reducen términos semejantes 20 . Ejemplo 75: Despeje de una de las variables de cualquiera de las dos ecuaciones Esta nueva ecuación se reemplaza en la ecuación que NO fue utilizada en el despeje x + 2 y -8 = 0 x =8-2y 2x + 2 y + 4 = 0 2 (8 .	Método de eliminación por sustitución Este método se fundamenta en el despeje de una incógnita de una de las ecuaciones del sistema y en el reemplazo del nuevo resultado en la otra ecuación.
y =1 2 (2 y .2 y x = 2y -7 Este nuevo valor se reemplaza en la ecuación (1): 2x .7 x =3 Ejemplo 77: Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.y = 1 Se aplica la propiedad distributiva: 4 y -14 .y = 1 Se reducen los términos semejantes 3 y -14 = 1 Se despeja la variable 3 y -14 = 1 y= 15 =5 3 y =5 x = 2 (5 ).7 ). también puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables: Utilizando el método de eliminación por adición: 80 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE -x = 7 .
Se debe seleccionar la misma variable que la anterior.3 (2 )+ 2 z = 5 5 .y = 19 21 .3 y + 2 z = 5 3x + 4 y .2z = 2 7x = 7 7x = 7 Se despeja la variable Nuevamente se escogen dos ecuaciones.3 z )= (2 )(2 ) 15 x .y = 19 .3 y + 2 z = 5 5 (1).3 y + 2 z = 5 2x + 3y .Guía didáctica: Matemáticas Se escoge dos ecuaciones que tengan términos semejantes con coeficientes iguales y con signos opuestos en este caso podrían ser y ó z.y = 19 Se despeja la incógnita Se multiplica por (-1) . pero una de las escogidas debe ser la que aún no ha sido utilizada.9 y + 6 z = 15 6x + 8 y .21 (-1)(.3z = 2 (3)(5 x . operar los coeficientes con factores hasta lograr que tengan los mismos coeficientes y luego sumar: Se aplica la propiedad distributiva en ambas ecuaciones y se suman x= 7 =1 7 x =1 5x .y )= (-1)(-2 ) y =2 5x .3 y + 2 z )= (3)(5 ) (2 )(3 x + 4 y .y = 19 Se reemplaza en la nueva ecuación la variable encontrada anteriormente 21(1).y = 19 21x .6z = 4 21x . Si los coeficientes de esas variables escogidas son diferentes se busca un término común: PRIMER BIMESTRE 5x .6 + 2z = 5 Encontrados los dos valores se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales -1 + 2 z = 5 2 z = 5 +1 2z = 6 z= 6 =3 2 z =3 81 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
24 z = 360 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .5 z 30 (3) x y+z + =1 4 5 5 x + 4 (y + z ) =2 3 x + 3 y . (1) (2) x+y z .6 z = 90 Se ha formado un nuevo sistema: Se toman dos ecuaciones y se multiplican por un factor.z ) 30 5 x + 4 y + 4 z = 20 =3 5 y + 6 x .20 z = 240 25 x + 20 y + 20 z = 100 ____________________________ 37 x + 32 y = 340 Ecuación (2) Ecuación (3): Se ordena (6 ) (5 x + 4 y + 4 z )= (6)20 (4) (6 x + 5 y .=2 10 6 3 (x + y ).20 z = 240 25 x + 20 y + 20 z = 100 Ecuación (1)+ Ecuación (2) 12 x +12 y .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 78: Se eliminan los denominadores buscando el mínimo común múltiplo y luego se realiza la multiplicación del denominador con el término independiente.6 z )= (4 )90 30 x + 24 y + 24 z = 1 20 82 24 x + 20 y . de tal forma que permitan mediante la adición eliminar una variable Ecuación (1) Ecuación (2) (4)( 12 x +12 y .5 z = 60 20 y x -z + =3 6 5 =1 5 y + 6 (x .
24 z = 360 _______________________________ 54 x + 44 y = 480 La nueva ecuación tiene como factor común el (2) se lo extrae y se simplifica 2 (27 x + 22 y )= 2 (240 ) 27 x + 22 y = 240 83 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ecuación (2)+ Ecuación (3) 30 x + 24 y + 24 z = 1 20 24 x + 20 y .
Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE 3. Ejemplo 79: Un fabricante de productos químicos debe surtir una orden de 500 litros de solución de ácido al 25% (veinticinco por ciento del volumen de ácido). Si hay disponibles en existencia soluciones al 30% y al 18%.	Problemas de aplicación Es necesario que los conocimientos adquiridos a lo largo de cada unidad se aplique en problemas de la cotidianidad y algunos referentes a su titulación.4. ¿Cuantos litros de cada una debe mezclar para surtir el pedido? A continuación se realiza el gráfico que representa la distribución de las diferentes soluciones que indica el problema: 84 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
(2) Para la resolución se utilizará el método de eliminación de una variable por sustitución: 85 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . P. (p. Matemáticas para administración y economía. y Richard. Richard. Pero como el fabricante tiene soluciones en distintos porcentajes de concentración entonces: ec. Una solución está compuesta de x litros de un ingrediente y (1) litros de otro ingrediente ec. Adaptado Haeussler.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Figura 9. México: Pearson Educación. W.. (2015). 143). E. Sistemas de ecuaciones Nota Fuente.
Si un agente recibió $8500 por ventas de $175000 y otro recibió $14800 por ventas de $280000. más otro porcentaje sobre cualquier cantidad por encima de los $100000. 86 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Ejemplo 80: Una compañía paga a sus agentes de ventas con base de un porcentaje de los primeros $100000 en ventas. encuentre los dos porcentajes.
27.4. 35 y 39 de la página 157 de su texto básico. sección: PROBLEMAS 3. Recuerde que puede verificar sus resultados en el solucionario que se encuentra en las hojas finales del texto básico. 31. 17 y 24 de la página 157 de su texto básico. ha culminado la unidad 3 y también el primer bimestre. 13. sección: PROBLEMAS 3. responda la siguiente autoevaluación y sabrá cómo está su nivel de conocimientos 87 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Actividades recomendadas Desarrolle los siguientes ejercicios y problemas: Sistemas de ecuaciones y problemas de aplicación: 3. ¡¡¡Muy bien!!! Lo está consiguiendo.4.
“Tus grandes proezas serán logradas no por tu fuerza… sino por tu PERSEVERANCIA” Anónimo 88 Ir a solucionario MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . infinidad de soluciones o ninguna solución: Un fabricante de productos químicos desea surtir un pedido de 800 galones de una solución de ácido al 25%. ¿Cuántos galones de cada solución debe mezclar para surtir el pedido? Un jardinero tiene dos fertilizantes que contienen diferentes concentraciones de nitrógeno. recuerde que pueden tener una única solución. En existencia tiene soluciones al 20% y 35%. ¿Cuántas libras de fertilizante debe mezclar para obtener 20 libras de una concentración al 9%? Recuerde que las respuestas se encuentran en el solucionario al final de la guía didáctica.Guía didáctica: Matemáticas PRIMER BIMESTRE Autoevaluación 3 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Uno tiene 3% y el otro tiene 11%.
• Orientación a la innovación y a la investigación. • Comportamiento ético. • Comunicación oral y escrita. • Compromiso e implicación social.5.	Competencias genéricas de la UTPL • Vivencia de los valores universales del Humanismo de Cristo. • Trabajo en equipo. • Organización y planificación del tiempo 89 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE SEGUNDO BIMESTRE 6. • Pensamiento crítico y reflexivo.
Igualdad de matrices 4.	R propiedades de las matrices.5.	Planificación para el trabajo del alumno Participe en las tutorías virtuales que el docente tutor propondrá para reforzar el tema. Matrices 6.2. ideas que le sugieran ser importantes matrices definiciones. define y describe las *Analizar las variables propiedades y teoremas fundamentales de micro y las matrices macroeconómicas Banca y Finanzas Competencias específicas de la titulación Unidades Contenidos 4.	Método de Gauss . Analiza.1.4.	R esuelve problemas de y leyes de las matrices 3.	Inicie el desarrollo de la evaluación a distancia 8. 1	Identifica las leyes y Indicadores de aprendizaje 8 horas de interacción en el EVA 8 horas de autoestudio Semanas 1 y2 Tiempo de dedicación Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . El tema tendrá relación 6.2. En Actividades de aprendizaje matrices 4.3. del segundo bimestre 9.	A plica las propiedades diferentes tipos de matrices econoce los 2.6.5.1. Multiplicación por un escalar 4.	Suma de matrices 4.	Introducción a la teoría de Matrices Unidad 4.5. Propiedades de la suma de matrices. presentados en el texto y en la guía didáctica 2. realice la autoevaluación 4 con el tema que se está tratando planteará en el EVA.	Multiplicación de matrices 4.	Lea detenidamente.	Transpuesta de una matriz 4.	Practique los contenidos. Observe el desarrollo de los ejemplos.5.	Al finalizar el tema.	Descargue y revise cada uno de los recursos y anuncios que el docente tutor ha incluido en el EVA 4. marque o señale aquellos conceptos.1.5. propiedades y ejemplos de las las páginas de la 227 a la 231 encontrará las 1	Revise su texto básico en el capítulo 6. desarrollando los ejemplos que se encuentran en cada tema 3.	Sustracción de matrices.1. así como desarrollo de estrategías de crecimiento empresarial procesamiento de datos para *Aplica modelos estadísticos y matemáticos en el Administración de Empresas *Trabajo en equipo *Pensamiento crítico y reflexivo de inversión y financiamiento *Utiliza las herramientas adecuadas para gestionar las diferentes actividades como herramientas de planificación enfocada a la toma de decisiones Aplica correctamente los métodos de resolución de matrices.6. 4. que se encuentra al final del capítulo 7.5.2.Jordán Autoevaluación 4 4.	Participe en el foro que el docente tutor 5. 4.90 Competencias específicas del componente educativo la toma de decisiones.	Tamaño de matrices 4.	Operaciones con matrices 4.3.1.
13.3 de su desarrollando los ejercicios que se encuentran 4. 5. ideas que le sugieran ser 2.	Función definida por partes 5.1.	Traslaciones verticales 5.16.1.	Rango de una función 5.2.	Función racional 5.1.2.	5.2 y 2.2.1.1. Ecuaciones de rectas 5.	Dominio y rango de una función puntos 5. Lea detenidamente.	Participe en el chat que el docente tutor el EVA anuncios que el docente tutor ha incluido en 5.	Grafica funciones con 1	Identifica los diferentes Semanas 3 y4 tipos de funciones Indicadores de aprendizaje Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE . Pendiente de una recta Describe Unidad 5.8.7.	Función inversa Autoevaluación 5 5.	Simetrías 5.	Resuelve problemas de 8 horas de interacción funciones en el EVA la información dada 2.91 de aspectos económicos para la aplicación y análisis matemático y estadístico *Desarrolla el pensamiento Economía: organizaciones públicas contable y financiera de las críticamente la información *Identifica y examina Gestión Pública: Competencias específicas de la titulación Unidades Contenidos Analiza y describe correctamente las propiedades de las funciones y sus aplicaciones MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA 5.2.11.9. importantes aquellos conceptos. tema.14.	Funciones lineales 5.	Aplicaciones 5.5.7. 7.15.3. Descargue y revise cada uno de los recursos y texto.3. Actividades de aprendizaje Tiempo de dedicación 8 horas de autoestudio 3.	Representación gráfica de 5. 2. presentados en el texto y en la guía didáctica 3. Funciones y gráficos correctamente utilizando métodos 5.1.1.	Función Cuadrática 5.1. marque o señale 1	Revise su texto básico el capítulo 2.	Función polinomial.1.	Participe en las tutorías virtuales que el con el tema que se está tratando planteará en el EVA.	Traslaciones 5.	Funciones con valor absoluto 5.	Funciones 5. en el apartado: Problemas 2. El tema tendrá relación 6.	5.1.	Practique los contenidos de este.	Otras funciones especiales y sus gráficos.4.1.	Composición de funciones 5.	Sistemas de coordenadas cartesianas gráfico las funciones lineales Competencias específicas del componente educativo distancia 8.6.10.2.12.	Dominio de una función 5.	Continúe el desarrollo de la evaluación a docente tutor propondrá para reforzar el tema.1.	Algebra de funciones 5.	Función Constante 5.13. 5.3.	Analice el desarrollo de los ejemplos.
diferencia las funciones autoestudio logarítmicas y exponenciales 1	identifica funciones Indicadores de aprendizaje anuncios que el docente tutor ha incluido en 5. 6. Función Exponencial y Unidades Contenidos conocimientos en la resolución de problemas 5.	Al finalizar el tema.1.	Lea detenidamente. presentados en el texto y en la guía didáctica 3.7.	Propiedades de los logaritmos 6.2. importantes aquellos conceptos. tema.6.	Analice el desarrollo de los ejemplos.5.	Continúe el desarrollo de la evaluación a docente tutor propondrá para reforzar el tema. realice la autoevaluación 6 tendrá relación con el tema que se está tratando docente tutor planteará en el EVA. Aplica las propiedades logarítmicas de las exponenciales el EVA distancia 9.3. Descargue y revise cada uno de los recursos y básico.	Conversión de forma exponencial a logarítmica 6. en el apartado: Problemas 4. 8. Aplica sus y ejercicios de ecuaciones exponenciales y logarítmicas 4.92 criticamente la información económica y financiera de los entes relacionados al turismo y hotelería *Identifica y examina Turísticas y Hoteleras Administración de Empresas de las organizaciones financieros y de inversión en la solución de problemas *Utiliza modelos matemáticos Contabilidad y Auditoría Competencias específicas de la titulación Analiza y aplica correctamente los principios de las fuciones exponenciales y logaritmicas Identifica.1.	Resuelve problemas de los logaritmos 3.1.1 y 4.	Función logarítmica 6. ideas que le sugieran ser 2.	Participe en las tutorías virtuales que el que se encuentra al final del capítulo 7.4. que corresponde a función logarítmica y 1	R evise su texto básico en la unidad 4 Actividades de aprendizaje Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . marque o señale exponencial.	Participe en la vídeo colaboración que el Semanas 5 y6 Tiempo de dedicación 8 horas de interacción en el EVA 8 horas de 2.	Conversión de forma logarítmica a exponencial. El tema 6.	Practique los contenidos de este.2 de su texto desarrollando los ejercicios que se encuentran 4. Competencias específicas del componente educativo 6.	Función Exponencial Logarítmica Unidad 6.	Gráficos de funciones exponenciales 6.	Ecuaciones exponencial y logarítmica Autoevaluación 6 6.	Problemas de aplicación 6. describe las funciones exponenciales y logaritmicas.
Competencias específicas de la titulación Competencias específicas del componente educativo 93 Unidades de la 4 al 6 Unidades Contenidos Repaso de Contenidos Actividades de aprendizaje TOTAL Indicadores de aprendizaje 8 horas de iteracción 64 8 horas de auto estudio Semana 7 y 8 Tiempo de dedicación Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
exponenciales y logarítmicas.	Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias Antes de iniciar con el desarrollo del segundo bimestre.1. UNIDAD 4. cada una de ellas con aplicaciones propias para su especialidad. los mismos que describen situaciones matemáticas.	Introducción a la teoría de matrices Las matrices son arreglos de números. MATRICES 4.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE 6. es necesario que usted tenga en cuenta que los contenidos revisados en el primer bimestre podrán ser utilizados en cualquier unidad siguiente. pero se acercan a la realidad de lo que debe conocer para su titulación. por lo que es necesario que usted haya adquirido las habilidades procedimentales para continuar con sus estudios. Ejemplo 81: La determinación de formas para describir situaciones en matemáticas conduce al estudio de arreglos rectangulares. Su aplicación tiene gran importancia porque se puede graficar en sistemas coordenados. Las matrices y el álgebra matricial tienen una aplicación potencial siempre que una información se pueda acomodar de manera significativa en bloques rectangulares.7. se verán temas como matrices y sus aplicaciones y todo lo referente a funciones entre estás las funciones lineales. Los contenidos ahora son algo más complejos. cuadráticas. Las ecuaciones pueden ser expresadas en forma matricial: 94 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Ejemplo 82: Otro ejemplo muy práctico es en el uso de tablas que se pueden representar como matrices a continuación un ejemplo de su aplicabilidad: Figura 10. (2015).227). México: Pearson Educación. Matemáticas para administración y economía. W.227). se lee 2 por 3. (2015). W. Como A tiene dos renglones y tres columnas entonces tienen el tamaño de 2x3. (p. 95 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . P. Tabla de Renglones y columnas Nota Fuente. P.. E. Richard. Tabla de producto Nota Fuente. E. (p. Richard. Adaptado Haeussler.. Adaptado Haeussler. México: Pearson Educación. Matemáticas para administración y economía. donde se especifica el número de renglones y el número de columnas Figura 11. y Richard. y Richard.
Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE 4.3.	Igualdad de matrices Las matrices i y cada j.2.	Tamaño de matrices: Ejemplo 83: Matriz renglón:	Matriz columna:	Ejemplo 84: Ejemplo 85: 4. y son iguales si y solo si tienen el mismo tamaño y para cada Ejemplo 86: Ejemplo 87: 96 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
5. Ejemplo 90: Ejemplo 91: 97 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .	Operaciones con matrices 4.	Suma de matrices La suma de matrices y se obtiene al sumar las entradas correspondientes de A y de B.5.4.1.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE 4.	Transpuesta de una matriz Si A es una matriz. la matriz que se forma a partir de A mediante el intercambio de sus renglones con sus columnas toma el nombre de transpuesta de A ó Ejemplo 88: Ejemplo 89: 4.
Propiedades para la suma de matrices Propiedades para la suma de matrices A+B=B+A Propiedad conmutativa A+(B+C)=(A+B)+C Propiedad asociativa A+0=0+A=A Propiedad de identidad 4.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE 4.5.	Sustracción de matrices Para que dos matrices puedan sumarse o restarse deben tener el mismo tamaño (dimensiones). se llama múltiplo escalar de A.	Multiplicación por un escalar A los números reales se los llama como escalares en el contexto de las matrices se representa como kA .1. Ejemplo 94: 98 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .1.5.5.1.2.2. Ejemplo 92: Ejemplo 93: 4.
La matriz producto o resultado tendrá como dimensiones al número de filas de la primera matriz multiplicando por el número de columnas de la segunda matriz multiplicando.3.5. lo que significa que el número de columnas en la primera matriz es igual al número de renglones en la segunda matriz.2 B 4.	Multiplicación de matrices Solo se pueden multiplicar dos matrices si sus dimensiones son compatibles.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Ejemplo 95: y Si Calcular AT . Ejemplo 96: 99 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
4.6.	Aplicación: método gauss – jordan
El método de eliminación de Gauss-Jordan, consiste en transformar una matriz ampliada en otra que
contenga los elementos de la diagonal como los primeros diferentes de 0 en cada fila.
Dado el sistema, resolver por el método de Gauss – Jordán
3x − 2 y + 3z = 2
4 x − 3 y + z = −1
Colocamos los coeficientes de las ecuaciones
en forma de matriz
x + 5 y − 6z = 5
Se debe hacer ceros debajo del primer elemento de la primera fila, siguiendo el siguiente procedimiento;
4 . F1 − 3 . F2
F1 - 3F3
Se debe hacer ceros debajo del segundo elemento de la segunda fila, siguiendo el siguiente
F3 +17 F2
Se resuelve el sistema de manera escalonada y de abajo hacia arriba
Desarrolle los ejercicios de su texto básico página 251 y 252, correspondientes a la sección Problemas
3, 5, 11, 37
Desarrolle los ejercicios de su texto básico página 262, correspondientes a la sección Problemas 6.3
1, 20, 29.
Se ha concluido la cuarta unidad, que es la primera del segundo bimestre, ahora lo invito a responder la
siguiente autoevaluación, está le permitirá conocer su nivel de conocimientos.
Resuelva los siguientes ejercicios de matrices por el método de Gauss – Jordán.
Calcule el resultado final de la siguiente operación de matrices 2B-3A+2C
Con las matrices del problema anterior calcule A+2B-
Si ya resolvió la autoevaluación, verifique su respuesta en el solucionario que se encuentra al final de la
“Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica… LA
y.y1 x2 .x1 ). y2 ). y1 ) y (x2 .1. 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS Una función es una relación entre dos conjuntos tales que uno es de entrada y otro es de salida y donde se asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. Ubicación de un punto en el plano cartesiano Nota Fuente.1.png. Recuperado de: http://eltamiz.5) Figura 12. 08/05/2015 5.y1 ).	Sistemas de coordenadas cartesianas y líneas rectas Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números para determinar la posición de un punto. situados en una misma dirección.5. mientras que el cambio en y se calcula como (y2 .	Pendiente de una recta Una recta es una sucesión infinita de puntos. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos: m= 103 y2 .-0. entre 2 puntos de la recta: Dados los puntos (x1 .com/images/2011/May/habitacion-mosca-posicion. la diferencia en es (x2 .1.x1 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE UNIDAD 5. 5. En el gráfico siguiente se tiene un sistema de 3 coordenadas (x. La pendiente está definida como el cambio o diferencia en el eje dividido por el respectivo cambio en el eje . z)= (1.
disminuyen los de y. usted se encontrará con diferentes pendientes. es decir. en la expresión analítica m > 0 . cuando al aumentar los valores de x. (p. Cuando la recta es decreciente. Pendiente positiva y pendiente negativa Elaborado por: Andrade. E (2015) Cuando la recta es creciente. (2013). Loja: UTPL 104 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Guía Didáctica Matemáticas.62). en el gráfico que a continuación se presenta. K. Pendiente m=0 y sin pendiente Nota Fuente. Adaptado de Celli. en la expresión analítica m < 0 . es decir cuando al aumentar los valores de x aumentan los de y su pendiente es positiva. Figura 14. su pendiente es negativa.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Al desarrollar los ejercicios. se muestran dos rectas con pendientes diferentes: Figura 13.
1.4 de la página 129 de su texto básico. Existen diferentes formas de ecuaciones para rectas. aquí algunos ejemplos: Forma punto – pendiente y . considerando la razón de cambio de y con respecto a x.y1 = (x .	Ecuaciones de rectas La ecuación de una recta se encuentra dada por la forma y = mx + b Donde. perpendiculares o ninguna de las dos. De la página 134 de su texto básico desarrolle los ejercicios 41. 5. 105 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta.	Funciones Una función expresa la idea de que una cantidad depende de otra o de que está determinada por otra. 45 y 47. con el que usted podrá graficar las rectas y determinar si estas son paralelas.x1 ) Forma pendiente – intersección y = x +b Forma lineal general x+ y =0 Recta vertical Recta horizontal x =a y =b 5. ¿Qué puede decir usted al respecto? Analice los cambios que se encuentran presentados en los puntos de la recta. Está compuesta por números de entrada (dominio) y números de salida (rango). mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.2. el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y b es el coeficiente de posición.2. 43. notará que en ella se encuentra representada una recta precio–cantidad.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Actividades recomendadas Revise la figura 3. considerando que a cada entrada siempre le corresponderá un único número de salida.
Representación gráfica de puntos Los cuadrantes: En el siguiente gráfico se muestra la formación de los cuadrantes. Figura 16. cuando se cortan perpendicularmente el eje de las ordenadas y las abscisas. (p. (2013). 5.1.64).Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Actividades recomendadas Una vez revisado el texto. observe detenidamente las siguientes gráficas e indique si representan o no una función: Figura 15. Adaptado de Celli. verifique las respuestas repasando una vez más los conceptos y los ejemplos en esta sección planteados.2. Representación gráfica de los cuadrantes Elaborado por: Andrade. K. Guía Didáctica Matemáticas. Ejemplos de diferentes tipos de funciones Nota Fuente. Loja: UTPL Revise nuevamente su texto básico en la página 105. E (2015) 106 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
Signos de los cuadrantes Elaborado por: Andrade. E (2015) El origen de coordenadas. En el gráfico siguiente se encuentra expresado el punto O que tiene de coordenadas el origen (0. E (2015) 107 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . 0). tiene de coordenadas: O (0. Figura 18.0). O. Representación gráfica del origen Elaborado por: Andrade. Figura 17.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Los signos: En el cuadro siguiente se muestra los signos que adquieren los cuadrantes de acuerdo al signo de cada coordenada.
E (2015) La siguiente tabla nos indica el número de estudiantes que consiguen una determinada nota en una prueba. (3.4). mediante pares ordenados. La siguiente tabla muestra la variación del precio de los tomates. (3.−3) en que cuadrante se encuentran situados Tablas de valores: Una tabla de valores es una representación de datos. (−1.4).−3).−3). Representación gráfica de una tabla de valores Elaborado por: Andrade. Figura 19. E (2015) 108 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Representación gráfica de una tabla de valores Elaborado por: Andrade. (0.0) • Los puntos: (1.0).1). según el número de kilogramos que compremos. expresan la relación existente entre dos magnitudes o dos situaciones.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Actividades recomendadas • Graficar los siguientes puntos: (−3. (−3. Figura 20. (5.
• Complete la tabla que relaciona el lado de un cuadrado con su perímetro. pasaba 5 cm del metro. b) A los dos años medía 13 cm más. 87 cm. • Relacione la altura de Juan con su edad usando los siguientes datos: a) Al año de edad medía medio metro. Complete la tabla que relaciona el número de días de alquiler con el precio. 109 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . f )	A los seis. medía 1m y 10 cm • Complete la tabla que relaciona un número con su opuesto. d) A los cuatro.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Actividades recomendadas • El alquiler de un auto cuesta 10 $/día. e) A los cinco le faltaban dos centímetros para llegar al metro de altura. c) A los tres años medía 76 cm. g) Y a los siete.
K.	Dominio de una función El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función.Guía didáctica: Matemáticas • SEGUNDO BIMESTRE Complete la tabla que relaciona el lado de un cuadrado con su área. se asigna un valor negativo.64). Guía Didáctica Matemáticas.3. si el ejercicio es de la forma: f (x ) = x En este caso. Loja: UTPL 5. por lo tanto para encontrar el dominio de funciones con radicales se debe tomar en cuenta que: x≥0 110 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Figura 21. (2013). el dominio de la función corresponderá a aquellos valores que den como resultado de la función a un número real. 5. Ejemplo 99: Si f(x ) = x x Podrá tomar cualquier valor. (p. Adaptado de Celli. se estará intentando resolver una raíz cuadrada de un número negativo. Ejemplos de diferentes tipos de funciones Nota Fuente. lo cual no es posible.	Dominio y rango de una función La Función está compuesta por números de entrada (dominio) y números de salida (rango).3. es decir el dominio consistirá en todos los números reales. si por ejemplo. Es así que. Ejemplo 100: Por otro lado.1.
(2013). ya que de ser así la expresión sería indeterminada. el dominio de la función consistirá en todos los números reales excepto el 5.3.7 Al igualar el denominador a cero. Ejemplo 102: f (x ) = x 2 Como x . el rango de esta función estará conformado por el cero y todos los números positivos. Corresponden a la variable dependiente. f (x ) = 9x + 9 2x . 5. (p. Guía Didáctica Matemáticas. por lo tanto. Ejemplo 101: El tercer caso a analizar corresponde a las funciones fraccionarias. se tiene: 2x .	Álgebra de funciones A continuación encontrará las reglas básicas para realizar operaciones entre funciones: Figura 22. K. Reglas básica para operar con funciones Nota Fuente.4. para lo cual bastará con tener presente que una fracción jamás deberá tener por denominador al cero.	Rango de una función El rango de una función se encuentra determinado por todos los valores de salida. Loja: UTPL 111 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . independiente del valor que se le asigne sea este positivo o negativo.66). se encuentra elevado al cuadrado.2. los valores de salida o resultados de la función siempre serán positivos. el dominio de la función consistirá en todos los números reales.7 = 0 2x = 7 x =- 7 2 Por lo tanto.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Por lo tanto. mayores o iguales que cero. Adaptado de Celli.
5 g (x ) = 3 x + 4 La suma.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Ejemplo 103: Considere las funciones f y g siguientes: f (x ) = 2 x 2 . producto y cociente de estas funciones serían: Suma = 2 x 2 − 5 + 3x + 4 = 2 x 2 + 3x − 1 Diferencia (f −g ) x = f ( x ) − g( x ) 2 = 2 x − 5 − 3x − 4 = 2 x 2 − 3x − 9 Producto =( ) ( 3x + 4 ) 2x2 − 5 = 6 x 3 + 8 x 2 − 15x − 20 Cociente 112 f g = x f( x ) g( x ) = 2x2 − 5 3x + 4 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . diferencia.
y que los valores de deberán . K. (p. Guía Didáctica Matemáticas. Ejemplo 104: Considerando las funciones y 113 del ejemplo anterior MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .67).5. (2013).	Composición de funciones Las funciones pueden ser combinadas para formar nuevas funciones. Loja: UTPL 5. Adaptado de Celli.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Figura 23. Los valores de deberán estar en el dominio de estar en el dominio de para para . Representación gráfica de las operaciones con funciones Nota Fuente.
E (2015) 114 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Representación gráfica de una función compuesta Elaborado por: Andrade.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Figura 24. E (2015) Figura 25. Representación gráfica de una función compuesta Elaborado por: Andrade.
K. Guía Didáctica Matemáticas. (2013). es decir ( ) ( ) f −x = − f x Ejemplo 105: f ( x) = x 4 − 3x 2 + 4 = f ( x) Figura 27. Guía Didáctica Matemáticas. Loja: UTPL 115 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . así como también al tema de Traslaciones. 5. K. Loja: UTPL La función es simétrica respecto al eje de ordenadas si esta es una función par. sin embargo.	Simetrías Quizá intentó revisar este tema en su texto básico en el que. Adaptado de Celli.6. (p. En el gráfico siguiente encontrará ejemplos de simetrías Figura 26. por su importancia se ha incorporado en esta sección.69).Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Así como los números pueden ser combinados de diferentes maneras. las funciones también pueden ser combinadas para formar nuevas funciones. lastimosamente. no ha sido incluido. Simetrías Nota Fuente. Adaptado de Celli. Simetrías 1 Nota Fuente.69). (2013). (p.
Adaptado de Celli. Ejemplo de una función inicial Nota Fuente. Loja: UTPL 5. K. Simetrías 1 Nota Fuente. Guía Didáctica Matemáticas. se estudia la forma como varía la gráfica de la función al sustituir x por x-a y a es un número entero. (p.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE En cambio. (2013). (2013). Loja: UTPL 116 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . una función es simétrica respecto al origen si esta es una función impar.70).	Traslaciones Dada una función cuando se habla de traslaciones. Traslaciones. Guía Didáctica Matemáticas.7.69). es decir: ( ) ( ) f −x = f x Figura 28. Ejemplo 106: Si se parte de la función: Figura 29. K. Adaptado de Celli. (p.
70).71). Adaptado de Celli. Adaptado de Celli. en cambio aquí se estudia también cómo varía la función pero sumando una constante a la función. Adaptado de Celli. K. en el caso de traslaciones verticales.71). (p. Guía Didáctica Matemáticas. Función inicial Nota Fuente. Loja: UTPL 5. K. Guía Didáctica Matemáticas. Traslación vertical Nota Fuente. (2013). Ejemplo 107: Utilizando la función anterior: Figura 31. Guía Didáctica Matemáticas.2 ) y = (x + 2 ) 2 2 Figura 30.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Efectos de trabajar con traslaciones y = (x . K.7.1. (p. Loja: UTPL Figura 32. Efecto de aplicar la traslación Nota Fuente. Traslaciones.	Traslaciones verticales Dada una función . (2013). Loja: UTPL 117 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . (2013). (p.
Aplicaciones El estudio de las funciones lineales. etc.8. bajo la condición “cetaris paribus”.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE 5. además de las curvas podemos determinar las ecuaciones de oferta y demanda. 118 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .	Funciones lineales El uso de funciones lineales dentro de las carreras del área administrativa. por ejemplo.9. permiten analizar problemas sobre Demanda de Mercado: Ejemplo 108: La demanda del detergente de marca A. así como la aplicación de otro tipo de funciones como cuadráticas e inclusive sistemas de ecuaciones. a medida que aumenta el precio del bien disminuye la cantidad de artículos que los compradores están dispuestos a adquirir. efecto de impuestos. el Ingreso máximo. a diferentes precios y por un determinado consumidor. Se observa que la relación empírica entre el precio del bien y la cantidad demandada es inversa. A partir de la recolección de datos reales de la demanda individual de un comprador. permiten determinar. las curvas de oferta y demanda y con ellas el punto de equilibrio. se confecciona la tabla de demanda. entre otras cosas: los niveles de producción de una compañía. f Donde y (x )= mx + b son constantes 5.
Loja: UTPL Cada punto del plano de coordenadas . Aplicación de funciones lineales Nota Fuente. (p. (p.72).71).Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Figura 33. (2013). Cantidad demanda = f (precio por unidad) La demanda es una función decreciente que se representa gráficamente en el primer cuadrante 119 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Adaptado de Celli. al unirlos se obtiene la curva de la demanda del detergente A en un determinado período de tiempo para cada uno de los posibles precios. (2013). Representación gráfica de la demanda Nota Fuente. Adaptado de Celli. muestra un precio y una cantidad que será demandada. Guía Didáctica Matemáticas. K. Guía Didáctica Matemáticas. K. Loja: UTPL Con los datos obtenidos se confecciona el gráfico de la curva decreciente de la demanda. Figura 34.
40000 ) y (3. pendiente negativa Nota Fuente. obteniéndose: m= 40000 . K. Adaptado de Celli.74). (2013).Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Ejemplo 109: Dos puntos (p. finalmente. la demanda disminuirá en 7500 unidades. que por cada dólar que aumente el precio de la unidad. (p. Loja: UTPL 120 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Determine la función de demanda q = f (p ). 25000 ). se obtiene: 40000 = (-7500 )(1)+ b b = 40000 + 7500 b = 47500 q= f (p )= -7500 p + 47500 Ahora se sustituye q = 20000 unidades a un precio de 3. lo que implica. Primero debemos calcular la pendiente por medio de la fórmula de los dos puntos. a que precio se dará una demanda de 20000 unidades. Figura 35. q ) sobre la función de la demanda son (1.25000 1-3 m= 15000 -2 m = -7500 Sustituimos el valor de m = -7500 para determinar la función de demanda. Gráfica de la función de la demanda.67 dólares. Calcule la pendiente de la función y finalmente grafiquela. Guía Didáctica Matemáticas. Para realizar. la gráfica de esta función es importante recordar que el valor de la pendiente resulto: -7500.
Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Ejemplo 110: Suponga dos puntos sobre la función lineal de oferta (2300) y (3350). para obtener el precio correspondiente a este valor: 500 = 50 p + 200 p= 500 . Con estos datos determine la función oferta . a medida que aumenta el precio. Además se considera que la pendiente es de valor 50 y se traza la curva. observe la relación directa entre el precio y la cantidad. si el precio de la unidad que se ofrece en el mercado es de 6 dólares. es decir. Para el cálculo de la pendiente utilice nuevamente la fórmula de los dos puntos: m= 300 .350 2 -3 m= -50 -1 m = 50 Use el valor de la pendiente y de los puntos para obtener la función de oferta: 300 = (50 )(2 )+ b b = 300 -100 b = 200 q= f (p )= 50 p + 200 Se sustituye q = 500 . el productor estará dispuesto a ofrecer más de su producto. 121 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Trace la función e interprete su pendiente.200 50 = 300 50 =6 Con este resultado se concluye que el productor está dispuesto a ofrecer a la venta 300 unidades. el precio al cual el producto ofrecerá 500 unidades.
dónde: . 122 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Guía Didáctica Matemáticas. (2013). Adaptado de Celli. K. y está expresada por: ¿Cuál es el precio en el que la oferta es igual a la demanda? Trace las gráficas en el mismo plano. (p.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Figura 36. K. (2013). con ellos usted aplicará el concepto de funciones lineales. Relación directa del precio y la cantidad Nota Fuente. Adaptado de Celli. Función de costos Nota Fuente. con el precio en dólares de acuerdo a la siguiente función: se relaciona . Guía Didáctica Matemáticas. Loja: UTPL Actividades recomendadas Desarrolle los siguientes problemas. gráficas y su aplicación al concepto de Equilibrio de mercado: • Problema 1: Se ha determinado que para cierto artículo la demanda semanal.75).75). (p. La oferta semanal también es función lineal del precio . Loja: UTPL Figura 37.
f(x)) de una función cuadrática. 5. donde y está expresada por en La oferta semanal ¿Cuál es el precio en el que la oferta es igual a la demanda? Trace las gráficas en el mismo plano. se expresa en unidades y en pesos. Ejemplo 111: Suponga que la función de demanda de un producto particular es: Donde . tenemos: MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .	Funciones cuadráticas Una función cuadrática es aquella que puede ser escrita como: Donde a. se relaciona con el precio . se obtiene una curva llamada parábola. ¿Cuántas unidades serán demandadas a ese precio? y.Guía didáctica: Matemáticas • SEGUNDO BIMESTRE Problema 2: Para cierto juguete la demanda semanal. donde es una función de o sea ¿A qué precio se maximizará el ingreso total?. dólares mediante la ecuación: también es función lineal del precio . grafique la función de ingreso. Para iniciar la solución a este ejercicio. Determine la función cuadrática del ingreso total. es decir: Dado que el ejercicio plantea que 123 debe estar en función de . es resultado del producto entre el precio y la cantidad vendida. finalmente. Si se representan “todos” los puntos (x.10. tenga en cuenta que el ingreso total. b y c son números reales cualesquiera diferentes de cero.
las intersecciones del eje x con la parábola son 0 y 30: Figura 38. Función de ingreso Nota Fuente. es decir las unidades que estará dispuesto a vender a un precio determinado. dado en dólares.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Se factoriza Así.77). ¿Cuál será el precio mínimo para el cuál el proveedor colocará los bolígrafos en el mercado? Para resolver este ejercicio se graficará la función y se interpretará lo que se observa en ella. Guía Didáctica Matemáticas.1q + 3 Donde es el precio unitario al mayoreo. Adaptado de Celli. K.01q 2 + 0. 124 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . . (2013). Loja: UTPL Ejemplo 112: Suponga que la función de oferta para bolígrafos está dada por: p = s (q )= 0. (p. representa la cantidad que el proveedor pondrá en el mercado.
Figura 39. Función de precio
Nota Fuente. Adaptado de Celli. K, (2013), Guía Didáctica Matemáticas, (p.78), Loja: UTPL
La intersección en el eje que representa el precio, se da en un valor de 3 dólares, a partir de este valor el
productor ofertará sus productos en el mercado.
5.11.	Funciones polinomiales
Si una función f está definida por:
, Son números reales
es un entero negativo, entonces, f se llama
una función polinomial de grado .
Ejemplo 113:
A continuación algunos ejemplos de funciones polinomiales:
; es una función polinomial de grado 5.
Una función lineal es una función polinomial de grado 1.
Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2.
Una función cúbica, es una función polinomial de grado 3.
5.12.	Funciones racionales
Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales se llama función
racional, así:
Q (x )=
En este tipo de funciones, la variable x no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso,
el dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de g.
Ejemplo 114:
El dominio está formado por todos los números reales excepto el (-1); además se puede identificar las
intercepciones de esta función, con respecto al eje y, es (-3) esto es:
f (0 )= -3
; . Mientras que con el eje x es
; cuando:
5.13.	Otras funciones especiales y sus gráficas
5.13.1.	Funciones constantes
Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y se la puede representar como
una función matemática de la forma:
f (x )= a
Ejemplo 115:
Cualquiera que fuese el valor que se asigne a , el valor de la función seguirá siendo el mismo. Suponga
Como puede observar el valor de la función es constante.
5.14.	Funciones definidas por partes
Algunas funciones, de acuerdo a su estructura, difieren del criterio para los valores de la variable
independiente (variable “ ”), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de
Ejemplo 116:
De acuerdo con los criterios planteados en la función, revise los siguientes ejercicios:
Cuando x = -100 , de acuerdo al criterio planteado en la función
Se dirá que
Enctonces de acuerdo con el criterio de la función, la imagen de 4 no está definida.
de acuerdo con el criterio de la función se tiene que
Continuando con el análisis y de acuerdo con el criterio de la función se tiene que f (x )= x si x > 7 ,
f (7 )=
corresponden a los no negativos. es decir. y ). por lo tanto. está le permitirá conocer su nivel de conocimientos.	Funciones con valor absoluto La función valor absoluto f (x )= x . por lo que el rango está determinado por todos reales no negativos.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE 5.16. su valor sin tener en cuenta el signo. asocia a cada número su valor absoluto. Ejemplo 117: f (x )= x -3 x -3 = 0 x =3 5. puede ser cualquier número real. De acuerdo con la definición. el dominio está representado por los números reales. x ) definido mediante: Si y solo si ¡¡¡Muy bien!!! Se ha concluido la quinta unidad. Las imágenes de . entonces existe una función denominada inversa de . 128 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .	Funciones inversas Si es una función uno a uno. ahora lo invito a responder la siguiente autoevaluación. donde es el conjunto de pares ordenados (y.15. considerada como el conjunto de pares ordenados (x.
Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Autoevaluación 5 Elija la opción correcta: • En el dibujo siguiente se señala el: a) Eje de abscisas b) Eje de ordenadas c) Eje vertical • En el dibujo siguiente se señala e: a) El eje de ordenadas. b) Siempre se encuentra en el eje Y. c) Las dos respuestas anteriores son correctas. 129 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . c) Ninguna de las dos respuestas anteriores son correctas. • La primera coordenada de un punto a) Siempre se encuentra en el eje X. b) El eje vertical.
c) Las dos respuestas anteriores son correctas. • SEGUNDO BIMESTRE Los ejes cartesianos o ejes de coordenadas a) Siempre son perpendiculares. • El punto A se encuentra situado en a) El eje X.0) b) Donde se cortan los dos ejes de coordenadas.. • 130 El punto B se encuentra situado en MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .. b) El eje Y. • El origen de coordenadas es el punto. b) Se llama ordenada del punto..Guía didáctica: Matemáticas • La segunda coordenada de un punto. c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta. c) Las dos respuestas anteriores son correctas. a) Se llama abscisa del punto. c) El origen de coordenadas. b) Siempre son secantes y pueden ser o no perpendiculares.. a) (0.
Guía didáctica: Matemáticas a) El eje de abscisas. c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. • El punto P de la figura puede tener coordenadas a) P(x.1) b) P(1.3 4 c) f (x )= x +3 x -2 131 SEGUNDO BIMESTRE MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. b) El eje de ordenadas.1) • Determina el dominio y rango de las siguientes funciones: (x )= 2 x +1 a) f b)	f (x )= 2x . b) El eje de ordenadas. • El punto C se encuentra situado en a) El eje de abscisas.x) c) P(1.
concéntrate en los estudios que juntos compartiremos tu éxito. sigue adelante.” Anónimo Ir a solucionario 132 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas d) f (x )= x 2 e) f (x )= 2x + 3 x -1 f )	f (x )= 1 x f (x )= 2 x -1 2x +1 g)	h) f (x )= 3 SEGUNDO BIMESTRE x -1 “Sé que estas luchando contra viento y marea para ser alguien en la vida.
. economía y otras áreas de estudio y consiste en una constante que se encuentra elevada a una potencia que es una variable. las cuales dependen del valor que tome la constante . las siguientes son funciones exponenciales Ejemplo 118: La gráfica de la función exponencial tiene las siguientes formas.	Función exponencial Existe una función que desempeña un papel importante no solo en matemáticas. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 6.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE UNIDAD 6. Gráficas de la función exponencial Elaborado por: Andrade. definida por . por ejemplo: Si Si Figura 40.La función exponencial de base . E (2015) 133 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . donde se llama función Por ejemplo.1. sino también en el campo de las finanzas. así se tiene la siguiente |definición: Definición.
Gráficas de la función exponencial Elaborado por: Andrade.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Ejemplo 119: Gráfica de la función A partir de la función Se obtiene la función	La función tiene la forma donde A continuación se muestra la gráfica de las dos funciones: Figura 41. E (2015) Ejemplo 120: La población en una ciudad ecuatoriana se encuentra proyectada por la relación Donde t es el número de años a partir de 2000. ¿Cuál es la población que se pronostica para el año 2020? Calculamos el número de años transcurridos Establecemos la población para 134 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
E (2015) 135 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Se concluye que la población al cabo de 20 años será de habitantes 6. Función exponencial de y = 5 Elaborado por: Andrade. Tabla de valores para la función y = 5x Elaborado por: Andrade.1.	Gráficas de funciones exponenciales Ejemplo 121: Graficar la función exponencial Dar valores a .1. E (2015) x Figura 43. y calcular el resultado Los valores encontrados ubicar en la tabla y gráficar Figura 42.
Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Ejemplo 122: Graficar la función exponencial Dar valores a y calcular el resultado de la función Ubicar estos valores en una tabla y graficar Figura 44. Función exponencial de y = (1 / 2 ) x Elaborado por: Andrade. E (2015) Figura 45. las gráficas de las funciones exponenciales pueden tomar dos posibles formas que dependen del valor de la base 136 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Tabla de valores para la función y = (1 / 2 ) x Elaborado por: Andrade. E (2015) En general.
S = P (1 + r ) n Dónde: S = Monto compuesto P = Capital r = interés t = Número de años 137 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . la gráfica asciende de izquierda a derecha. 143). y Richard. (2015). W. la función exponencial es creciente. México: Pearson Educación.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Propiedades de la función exponencial El dominio de una función exponencial consiste en todos los números reales. Esto se aplica mediante la fórmula siguiente. la gráfica se acerca al eje x conforme x disminuye Si 0 < a < 1. (p. El rango consiste de todos los números positivos. . E. x La gráfica de f (x )= a tiene intersección y (0.. Si 0 < a < 1.1) No hay intersección x Si a >1 . Las funciones exponenciales tienen mucha relación con el interés compuesto. Matemáticas para administración y economía. Es decir este nuevo interés genera un nuevo capital por lo tanto existe “interés sobre interés”. en el cuál el interés que genera una cantidad de dinero llamada capital. se invierte nuevamente de modo que siga generando intereses. Adaptado Haeussler. la gráfica se acerca al eje x conforme x aumenta Figura 46. la gráfica desciende de izquierda a derecha Si a >1 . Richard. P. la función exponencial es decrecientes. Propiedades de la función exponencial Nota Fuente.
es importante que se busque su aplicabilidad en problemas de la cotidianidad y relacionados con su titulación así: Ejemplo 123: Suponga que se invierten $1000 dólares durante 10 años al 6% compuesto anualmente.2. E (2015) Del problema anterior encuentre el interés compuesto. Se parte de la ecuación anterior para establecer los datos S = P (1 + r ) n P =1000 r = 0. Utilizando el resultado del problema anterior se tiene: 138 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . 85 Figura 45.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE 6.	Problemas de aplicación Después de haber revisado los contenidos referentes a Función exponencial.06 n =10 Reemplazando se tiene: S = 1000 (1 + 0.06 ) 10 S = $1790.06 ) 10 S = 1000 (1. Monto compuesto de acuerdo al tiempo Elaborado por: Andrade. Encuentre al monto compuesto.
El monto acumulado S de un capital P que se tendría al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r estaría dada por: Si Interés compuesto Actividades recomendadas Grafique los ejercicios de la página 184 de su texto básico. 6. De manera que si función inversa 139 la función exponencial de base a (donde 0 < a < 1 ó 1 < b) entonces la se llama la función logarítmica de base a y se denota: MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . todas son funciones uno a uno. De esto se deduce que cada función exponencial tiene una inversa a esta función inversa se le conoce con el nombre de función logarítmica.3. sección Problemas 4.25 % de interés compuesto diariamente (un año tiene 365 días).	Función Logarítmica Las funciones exponenciales pasan la prueba de la recta horizontal.1.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Ejemplo 124: Suponga que: $8000 durante 3 años a 6.
Función Exponencial y Logarítmica de la función y = 2 Elaborado por: Andrade.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Ejemplo 125: Grafica de la función exponencial y logarítmica de la función x Figura 46. E (2015) 140 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Valores de las funciones exponencial y logarítmica de la función y = 2 Elaborado por: Andrade. E (2015) x Figura 47.
Conversión de forma logarítmica a exponencial.4. Conversión de la forma logarítmica a exponencial Elaborado por: Andrade.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE 6.	Conversión de forma exponencial a logarítmica. Ejemplo 126: Figura 47. Conversión de la forma exponencial a logarítmica Elaborado por: Andrade.5. Ejemplo 127: Figura 48. E (2015) 6. E (2015) Ejemplo 128: Se debe transformar la función a su forma exponencial equivalente 141 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .
25 1 0.5 1 0.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Como segundo paso se realiza un cambio de variable Se debe realizar una tabla de valores x y -2 16 -1. Valores para la función logarítmica Elaborado por: Andrade.5 0.0625 2 Figura 49.5 2 0 1 0.5 4 -1 2 -0.25 2 0.5 0.5 8 -1 4 -0. E (2015) Se grafica la función logarítmica x y 16 -2 8 -1. Grafico para la función Elaborado por: Andrade.5 1 0 Figura 51. Valores para la función Elaborado por: Andrade. E (2015) Figura 50. E (2015) 142 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .5 0.0625 0.
E (2015) Ejemplo 129: Una muestra de 10 miligramos de polonio radiactivo 210 (que se denota por 210Po) decae de acuerdo a la ecuación: Donde N es el número de miligramos presentes después de t días. 143 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . página 191.	Propiedades de los logaritmos Los logaritmos tienen varias propiedades a saber: El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de esos números.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Figura 50.2 de su texto básico.6. Grafico para la función Elaborado por: Andrade. El logaritmo de una división es la diferencia del logaritmos del numerados menos el logaritmos del denominador. 6. resuelva y grafique los Problemas de la sección 4. Determine la vida media del 210Po La constante de decaimiento Actividades recomendadas Revise.
7) =log8+log7 =log23+log7 =3log2+log7 =0. y para poder operar.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE El logaritmo de una potencia de un número es el exponente por el logaritmo del número.8451 =1.7482 Ejemplo 131: log(9/2)=log9-log2 =log32-log2 =2log3-log2 =1. ya que los ejercicios suelen estar en bases diferentes. Propiedades de los logaritmos Elaborado por: Andrade. Figura 51.9031+0. es necesario trabajar en una misma base.8062 Ejemplo 132: log 5 = log 51/ 2 = 1 (0.6990 ) 2 = 0.3495 144 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . Muchas veces es necesario recurrir al cambio de base. E (2015) Ejemplo 130: log56=log(8.
páginas 197 y 198.885logx Donde y fue el número de micro litros de oxígeno consumidos por hora y x el peso del animal (en gramos).3 de su texto básico.7.885logx Como 145 es una función uno a uno MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .934 + log 0. 6. Resuelva para y. 934 + 0.885logx = log 5. 934 + 0. En él se determinó el logaritmo de la cantidad de oxígeno consumido por hora para algunos de los animales. y se graficó contra los logaritmos de su peso. Ecuación exponencial es aquella que tiene en el exponente una incógnita.	Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Una ecuación logarítmica es aquella que incluye en la expresión una incógnita. Se encontró que: logy = log 5.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Actividades recomendadas Realice los ejercicios de la sección Problemas 4. logy = log 5. Logarítmica 2ln (x + 4 )= 5 Exponencial 23x = 7 Ejemplo 133: Se llevó a cabo un experimento con cierto tipo particular de animal de talla pequeña.
ahora lo invito a realizar la autoevaluación que se encuentra a continuación así usted podrá conocer el nivel de conocimientos que ha alcanzado.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE ¡¡¡Excelente!!! ha llegado al final del último capítulo. 146 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . lo ha realizado muy bien este es el último del segundo bimestre.
Ir a solucionario 147 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . y c. “No abandones las ganas de hacer de tu vida algo extraordinario hoy” Anónimo. b. ) 5 Escriba la expresión en términos de x x +1 En los siguientes ejercicios exprese el resultado como un solo logaritmo.Guía didáctica: Matemáticas SEGUNDO BIMESTRE Autoevaluación 6 • Si log • 6 25 Sin usar la calculadora determine el valor de la expresión ( log 5 5 5 • ln • exprese el logaritmo indicado en términos de a.log 2 (x + 1) Encuentre x de las expresiones siguientes • e3lnx = 8 • 10logx = 4 • e2 x . e5 x = e14 • 7 2 x+3 = 9 2 Recuerde que puede verificar las respuestas al final donde encontrará el solucionario. log 6 + log 4 log 2 (2 x ).
V 3. V 5. V 8. F 7. V MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas SOLUCIONARIO 7. V 6. V 2. Solucionario PRIMER BIMESTRE Autoevaluación 1 148 Pregunta Respuesta 1. V 4. F 9. V 10.
q =18125 Se deben vender 18125 unidades para generar una utilidad de $50000 9. x =1200 y =1800 8. 5. 2. 4. q >12000 Deben venderse al menos 12001 unidades para generar utilidades. 7. 149 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . q = 35000 Deben venderse 35000 unidades para generar una utilidad de $60 000 10. 3.Guía didáctica: Matemáticas SOLUCIONARIO Autoevaluación 2 Pregunta Respuesta 1. Ó 6.
y=1 z=-1 x=-3 5. y=5 x=12/11 7. y=1 x=4 2. y=3/11 x=800/3 8. y=-1 z=3 x=-2 4. y=15 150 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . y=3 x=2 3.Guía didáctica: Matemáticas SOLUCIONARIO Autoevaluación 3 Pregunta Respuesta x=2 1. y=1600/3 x=5 9. y=-5 z=0 x=11 6.
8. 151 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . b=37 c=-34 x=0 4. y=2 z=-5 5. y=-1/8 z=-1/8 x=-1 2. 6.Guía didáctica: Matemáticas SOLUCIONARIO SEGUNDO BIMESTRE Autoevaluación 4 Pregunta Respuesta x=3/4 1. 7. y=2 z=0 a=31 3.
b 3. y= x= 1 1 y2 2 2x . y = 2 x +1 f -1(x ) = f (x ) = 12.0) 6. a 11. y= 4y +3 2 f (x ) = x +3 x -2 x +3 x -2 x= f -1 (x )= 152 1 1 y2 2 2y +3 y -1 2x + 3 x -1 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . b 9. (0. a 7.Guía didáctica: Matemáticas SOLUCIONARIO Autoevaluación 5 Pregunta Respuesta 1.3 4 2x .3 4y +3 x= 4 2 f -1 (x )= 13. c 10. a 8. a 4. b 5. a 2.
y= 3 f 153 x= (x ) = f (x ) = 1 y 2 x -1 2 x +1 -1 f 1 y x= . y = x2 x=± y f (x )= 15.y -1 2y -2 3 x -1 x -1 x = y 3 + 1 (x ) = -1 y 3 +1 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA . y= 2 x -1 2 x +1 18. y= f 2x + 3 x -1 y +3 2x + 3 x= y -2 x -1 -1 (x ) y +3 y -2 = f(x ) = y= 16. 1 x 1 x f -1(x ) = f (x ) = 17.Guía didáctica: Matemáticas SOLUCIONARIO Autoevaluación 5 Pregunta Respuesta f (x ) = x 2 14.y -1 2y -2 .
EAP\gg\28-07-2015\156 pág. 3. 4. 5. 2. PDF INTERACTIVO/kvv-24-08-2015 154 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA .Guía didáctica: Matemáticas SOLUCIONARIO Autoevaluación 6 Pregunta Respuesta 1.
Documentos similares a G19103 Guia Matematicas SIN INDICES
fichas fracciones decimales
Taller_de_primaria_MPT_i2.pdf
Más de Ramiro Díaz
G15809
Ejemplo Ecuacion Linea Recta
Informa Etica 3
Computación - Texto Guía.pdf
e 152062
Consideraciones Para El Calculo Del IPC
2 Bim. Mercados de Fondos Disponibles Para Prestamos
2 Bim. Fuentes de Demanda de Dinero
diferencias divididas.pdf
Remedial noveno
Los Números Reales y Sus Operaciones
Algoritmo de Booth y Hardware
Propiedades de La Resta de Números Naturales
DocumentSlides.org-Matemática 3º Básico - Cuaderno de Ejercicios

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución