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Timestamp: 2020-08-06 21:33:49+00:00

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Capítulo 4. Esquemas numéricos para las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales | Ecuaciones | Integral
Capítulo 4. Esquemas numéricos para las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales
ESQUEMAS NUMERICOS SAINT VENNANT
06Ebc06de12
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Sitemas de Ecuaciones Juegos Ludicos
Mod Mat Sis Din-Calixto
Sesión algebras 11 de junio Resolvemos problemas con ecuaciones II
Determine La Constante de Velocidad en Reacción de La Pirita en Presencia de H2SO4
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ecuaciones de Saint Venant unidimensionales
Esquemas numéricos para las
En este capítulo se describen los esquemas numéricos utilizados en esta tesis para la resolución de las ecuaciones de Saint Venant en una dimensión.
Dependiendo del problema que se desee resolver, alguna de las formas de escribir las ecuaciones vistas en el capítulo segundo es más conveniente que otra, ya que permite utilizar discretizaciones del dominio y esquemas numéricos más apropiados a cada problema. Para la obtención de soluciones discontinuas, se puede aprovechar la similitud de las ecuaciones de Saint Venant con las ecuaciones de Euler de dinámica de gases, para las cuales se ha realizado un gran esfuerzo de obtención de este tipo de soluciones, y adaptar las técnicas desarrolladas para ellas, y en especial toda la teoría de los Riemann solvers, para obtener la solución de las ecuaciones del flujo en lámina libre. Las diferencias entre estos dos sistemas de ecuaciones, principalmente la no-homogeneidad de las últimas frente a la homogeneidad de las primeras, y el hecho de que no solamente se desea obtener soluciones en el entorno de las discontinuidades, sino que también interesa modelar correctamente las zonas suaves, requiere el desarrollo de algunas técnicas especiales. Por otro lado es necesario aceptar que existe una teoría exacta y bien demostrada para el caso unidimensional, lineal y homogéneo, pero tan sólo aproximada para las ecuaciones no lineales y con término independiente, como son las ecuaciones completas del flujo en lámina libre en una o dos dimensiones para una topografía cualquiera.
Las observaciones sobre las propiedades de las ecuaciones y los distintos esquemas numéricos, junto con la discretización en volúmenes finitos, conducen a la obtención de esquemas de alta resolución para ecuaciones diferenciales, entendiendo como tales los que cumplen las tres condiciones enunciadas en el Capítulo 1, apartado 1.2.2.2, según la propuesta de Harten y Hymann (1983). A lo largo del capítulo se verá en detalle lo que implican las tres condiciones anteriores y todo el aparato matemático necesario para conseguir esquemas que las satisfagan.
Los esquemas conservativos de primer orden pueden servir de punto de partida para el desarrollo de esquemas de segundo orden y de esquemas TVD. Entre los distintos esquemas conservativos upwind, (esquemas que tienen en cuenta como se propaga la información), destaca el método de Godunov, que es, o se puede ver como, la base de toda la familia de esquemas numéricos conocidos en la bibliografía como métodos flux difference splitting (separación de la diferencia de flujo), el tipo de esquemas utilizados en este trabajo.
Otra familia de esquemas de alta resolución son los esquemas conocidos como flux vector splitting (separación del vector de flujo), y que se utilizan mucho para las ecuaciones de Euler. Éstos son adecuados en principio para
(las ecuaciones de Euler lo hacen), aunque
sistemas que cumplen la condición de homogeneidad FU( ) = AUU( )
han sido también utilizados para las ecuaciones de Saint Venant (Vázquez-Cendón, 1999a).
En este capítulo se trata la resolución de las ecuaciones de Saint Venant en una dimensión presentadas en el capítulo segundo. En general se tratará con la forma conservativa de las ecuaciones por ser la utilizada en los esquemas numéricos empleados en esta tesis, que con la misma notación introducida en el Capítulo 2, son:
gA ( S
h −η bx η dη
tienen la particularidad que el vector de
flujo F no depende solamente de las variables U , sino que tiene una dependencia espacial F(U, x) a través del
I 1 depende de la variación en el área pero también de la irregularidad
término de presión
geométrica del cauce. En ninguna de las referencias conocidas que tratan con geometrías irregulares esto se tiene en cuenta.
Es de destacar que las ecuaciones de Saint Venant en una dimensión
I 1 . La variación de
Otro aspecto que se ha cuidado en los desarrollos que se presentan en este capítulo es la capacidad de los esquemas numéricos de reproducir correctamente el régimen permanente. Hasta la fecha algunas referencias hacían hincapié en la capacidad de los esquemas en volúmenes finitos presentados de modelar correctamente una situación de agua parada con geometrías irregulares. Incluso dos de ellas de ellas (Hubbard y García-Navarro, 2000) (Tseng ,(2004) demuestran la capacidad de sus esquemas de converger a una situación en régimen permanente, pero no al régimen permanente correcto. En este capítulo se demuestra que los esquemas numéricos presentados si lo hacen (es decir, para flujo en régimen permanente gradualmente variado, la solución que se obtiene con los esquemas numéricos que se desarrollan respeta la conservación de la energía).
4.2. Esquema conservativo de primer orden: Método de Godunov en una dimensión
Para un sistema de ecuaciones hiperbólico del tipo:
el método de Godunov es un esquema conservativo que utiliza la discretización en volúmenes finitos y que, por lo tanto, se puede escribir en la forma:
La particularidad del método de Godunov es que el flujo numérico
e i +1 , se obtiene de la solución del problema de Riemann local (en cada intercelda o contorno de cada elemento de volumen) definido por el sistema (4.5) y las condiciones iniciales:
entre dos celdas o volúmenes finitos i
(, x t
1   . En este intervalo de tiempo, si se cumple la condición de Courant, la solución del problema de
Riemann es constante sobre el eje de tiempos, como se ha visto en el Capítulo 2. En el caso unidimensional, para el problema local el subíndice L se refiere, como en el Capítulo 2, al estado inicial de la izquierda con y el
es la solución del problema de Riemann local mencionado ((4.5)(4.7)) en
subíndice R al estado de la derecha (
origen de este problema de Riemann local.
), mientras que 0 indicará la abscisa
Para aplicar el método de Godunov es necesario en primer lugar resolver un problema de Riemann, a
continuación encontrar la solución en
del problema de Riemann y la evaluación de la solución es donde aparecen las distintas variantes que dan lugar a esquemas numéricos distintos.
y finalmente evaluar el flujo F con dicha solución. En la resolución
Es ilustrativo ver como se concreta el método de Godunov para la ecuación escalar homogénea
u + fu
con f (u) = λu . Como se ha visto en el capítulo anterior, el problema de Riemann asociado a la intercelda i +1/2 es:
uxt (,)
y su solución, que es trivial, viene dada por
de manera que el flujo numérico vendrá dado por
126 Capítulo 4. Esquemas numéricos para las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales
Sustituyendo éste en la expresión (4.6) el esquema resulta:
 ∆ t
∆ x
− 
∆  x
Comparando con (3.39), queda claro que para esta ecuación el método de Godunov coincide con el esquema upwind de primer orden presentado en el capítulo anterior. Para desarrollos posteriores es interesante ver que este flujo numérico del método de Godunov aplicado a la ecuación escalar lineal se puede escribir:
=+ (1
suλ )(
siendo s el signo de λ , o lo que es lo mismo:
Se ha visto en el Capítulo 2 que, para un sistema de ecuaciones no lineal e hiperbólico como son las ecuaciones de Saint Venant, el problema de Riemann tiene una estructura compleja y encontrar su solución es costoso. Por ello varios autores desarrollaron métodos numéricos para encontrar una solución aproximada del problema de Riemann, lo que se conoce como aproxímate Riemann Solvers. Estos Riemann Solvers utilizan el hecho que para aplicar el método de Godunov no necesitamos saber el detalle de toda la solución del problema de Riemann, sino sólo el valor de la solución en el contorno entre dos volúmenes finitos.
4.2.1. Approximate Riemann Solver de Roe en una dimensión
El Riemann Solver de Roe se desarrolló en principio para las ecuaciones de Euler (Roe, 1981). Desde entonces se ha aplicado a una gran variedad de problemas físicos, entre ellos las ecuaciones de Saint Venant. A menudo en la literatura se denomina al método de Godunov con el Riemann Solver de Roe simplemente como esquema de Roe.
El sistema de ecuaciones no lineales (4.5) también se puede escribir, como se ha visto en el capítulo segundo como:
donde A es el jacobiano y viene dado por (2.68). La base del Riemann solver de Roe consiste en aproximar en cada incremento de tiempo este sistema de ecuaciones por el sistema de ecuaciones lineal a coeficientes constantes
en el cual la matriz A , es una aproximación a A y se encuentra con los datos del problema de Riemann local
A = AU
, y debe cumplir tres propiedades que son:
1. El nuevo sistema (4.17) debe preservar el carácter hiperbólico del sistema inicial, por lo que A
tener valores propios independientes.
λ ,λ
reales con sus vectores propios correspondientes
2. El sistema debe ser consistente con el sistema original, lo que quiere decir que debe
cumplirse AUU(
) = AU(
3. La matriz A
debe asegurar la propiedad (algunas veces llamada conservatividad):
− FU ()
=−AU (
se puede aplicar directamente lo visto en 2.5.7.1 para el problema de Riemann en
sistemas hiperbólicos unidimensionales a coeficientes constantes, para el cual la solución está formada por
estados constantes separados por las distintas ondas. Si se denota con
de Reimann aproximado en se tiene, con la notación de 2.5.7.1:
a la solución de este problema
Una vez obtenida la matriz A
U i +
1/2 (,) x t
(para distinguirlo de la solución del problema de Riemann exacto
propios de A . Las dos expresiones anteriores se pueden combinar para tener:
son unos coeficientes constantes (llamados fuerzas de cada onda), y los valores
signo(
Para la obtención del flujo numérico ahora sea provechan los resultados del Capitulo 2, apartado 2.5.7.2. Para ello la ecuación (2.211) se reescribe como(lo mismo se podría hacer con la ecuación (2.212)):
Por otro lado, el sistema aproximado (4.17) se puede entender como un sistema de leyes de conservación
+ FU =
con F(U) = AU , que definirá otro problema de Riemman (que llamaremos problema de
Riemann aproximado) y al que también se le puede aplicar el resultado anterior:
La expresión (4.22) se refiere al problema de Riemann exacto, mientras que (4.23) se refiere al problema de
Riemann aproximado. El Riemann solver de Roe considera que la solución exacta
aproximar por
. Así, suponiendo pues que los integrandos en estas dos últimas expresiones son
iguales, sustituyendo una en la otra se obtiene:
1/2 (,
F =++FFF
Volviendo a coordenadas globales:
++FU
y sustituyendo aquí (4.19) y la definición del flujo F(U) = AU , queda finalmente:
128 Capítulo 4. Esquemas numéricos para las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales
El mismo desarrollo para el lado derecho del problema de Riemann a partir de la ecuación (2.212) daría:
y combinando estas dos últimas expresiones se obtiene el flujo numérico para el método de Godunov con el Riemann solver de Roe (o esquema de Roe):
Por analogía con lo realizado por Roe para las ecuaciones de Euler (Roe, 1981), en el caso de las ecuaciones de
Saint Venant unidimensionales se puede encontrar la matriz A , o
para el problema de Riemann centrado
) . De la misma manera
A i+1/2
, obteniendo primero un estado promedio
tiene unos valores y vectores propios que dependen de U (ecuación (2.71), los valores
=± u
Como debe cumplirse la propiedad 1, un salto en las variables a través de la intercelda i +1/ 2 se podrá escribir como:
=−UU
. Desarrollando (4.30) y teniendo en cuenta (2.52) se obtienen los coeficientes
La propiedad 3 de la matriz
, ecuación (4.18) se puede rescribir con la notación utilizada:
sustituyendo en ella (4.30) y utilizando que ∂I / ∂=x
para las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales:
+ Ah∂
/ ∂x , se obtiene el valor de la variable promedio u
En cuanto a c , una posible expresión es:
De esta manera quedan determinadas todas las variables en (4.28) para la aplicación del método de Godunov con el Riemann solver de Roe para las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales, sin haber considerado aun el
son una aproximación del área y ancho superficial en el contorno, para los cuales
término independiente. A y B
se puede tomar en principio la media aritmética de los valores en los elementos contiguos, aunque en el apartado 4.6. se verá otra expresión más adecuada para asegurar la correcta modelación del régimen permanente.
Con lo visto hasta el momento, el Riemann solver de Roe aproxima el problema de Riemann para las ecuaciones de Saint Venant en cada intercelda por otro problema de Riemann asociado a un sistema de ecuaciones hiperbólico lineal (4.17). En el apartado 2.5.7.1. del Capítulo 2 se ha visto que para este último las ondas que se producen son líneas en el plano (x,t) que separan estados constantes. En cambio, para el sistema original las ondas pueden ser ondas de choque u ondas de depresión y, en este último caso, la onda no se limita a una línea
en el espacio (,)x t
sino que se esparce en un abanico. En el caso que dicho abanico comprenda el eje de tiempos
(como ocurre por ejemplo en la rotura de presa, ver Figura 2.28 del Capítulo 2) el signo de λ , y por tanto el signo de la pendiente de las líneas características, cambia dentro del abanico. Lo que en cierta manera hace el Riemann solver de Roe es condensar todo el abanico a una única línea (Figura 4.1) y tener, para la onda correspondiente, una onda de choque que no se corresponde con la realidad (onda de choque de depresión como se ha visto en el apartado 2.5.2 del Capítulo 2) y que viola la condición de entropía (2.167).
los estados situados respectivamente a izquierda y derecha de la onda. En ese caso se suele
utilizar la corrección de entropía de Harten y Hyman (1982) que resulta de aproximar la zona comprendida
dentro del abanico de la onda de depresión por un estado constante
ecuaciones en un volumen que comprende la onda, y buscar el valor que debe tomar
estado constante con las expresiones (4.19) o (4.20). En definitiva se trata de aproximar la solución en la intercelda i +1/ 2 de una manera más precisa que con el Riemann solver de Roe (que aproxima dicha solución por el estado constante comprendido entre las dos ondas, sin tener en cuenta que en algún caso el contorno puede quedar comprendida en una de las ondas).
U , aplicar la forma integral del sistema de
para calcular dicho
Cuando se produce esta situación (onda de depresión transcrítica j ), se cumple
< λ U
Figura 4.1. Esquema de una onda de depresión transcrítica (a) y la aproximación de la misma, en forma de onda de onda de choque de depresión no admisible físicamente, del Riemann solver de Roe (b)
130 Capítulo 4. Esquemas numéricos para las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales
La corrección de entropía de Harten y Hyman consiste en reemplazar
en (4.28) por ϕ
ε ji
max 0,(
Finalmente el método de Godunov con el Rieman solver de Roe y la corrección de entropía de Harten y Hyman se puede escribir:
4.2.1.1 Término independiente en el esquema Godunov+Roe 1D
En el flujo de agua en lámina libre el efecto de la fricción y la pendiente de fondo pueden ser determinantes. Este
efecto se plasma en el término independiente de las ecuaciones, por lo que se debe asegurar un correcto tratamiento del mismo ,y en concreto, utilizar una discretización en el esquema numérico que esté de acuerdo con el tratamiento del vector de flujo. Esto que parece obvio no es inmediato, porque el término independiente de las ecuaciones de Saint Venant en forma conservativa no se puede poner fácilmente de forma discreta como una diferencia tal como se hace con el vector de flujo.
Ello ha llevado a que tradicionalmente la consideración del término independiente se haya hecho para cada elemento de volumen según la expresión (3.11), es decir, considerando el valor medio del mismo en el centro del elemento. Sin embargo, esta aproximación centrada no consigue un correcto balance entre el término independiente y el vector de flujo, por lo que lleva a errores importantes. Esto se puede ver fácilmente intentando modelar una situación de agua parada sobre fondo irregular. En un elemento con fondo horizontal contiguo a otro con pendiente, la pendiente de fondo según (3.11) sería nula, mientras que los flujos numéricos en los contornos del elemento serían distintos (por haber niveles de agua distintos a ambos lados) y el esquema numérico produciría una solución no estacionaria. Con este tratamiento del término independiente los resultados que se obtienen para un problema estacionario son variables en el tiempo, lo que es evidentemente incorrecto. Un requisito indispensable es entonces que en situaciones estacionarias el tratamiento del termino independiente tenga un correcto balance con la discretización del vector de flujo, de manera que el efecto de ambos se anule y se obtenga una solución también estacionaria.
Conviene destacar (Hubbard et al 2000, Brufau, 2000) que la parte del término independiente correspondiente a la pendiente de fondo tiene un claro equilibrio con el vector de flujo, no ocurriendo lo mismo con los términos de fricción. Así, para el tratamiento del término independiente es conveniente la descomposición del mismo separando los términos de fricción, que admiten un tratamiento centrado, aunque pueden crear problemas de estabilidad en caso de ser importantes, del resto. De ahora en adelante se considerará:
Los primeros trabajos para equilibrar el término independiente con el vector de flujo se deben a Glaister (1988) para canales horizontales con fondo horizontal y ancho variable, seguidos bastante más tarde por Vázquez- Cendón (1999) en esquemas de primer orden en una y dos dimensiones y geometrías irregulares, planteándose la extensión a segundo orden de precisión y esquemas TVD por Hubbard y García-Navarro (2000).
En volúmenes finitos, el esquema numérico para la resolución de un sistema de ecuaciones con término independiente
donde las expresiones del flujo numérico son las vistas en
independiente H , y representa el término independiente integrado en todo el volumen finito.
es la expresión numérica del término
En nuestro caso, con (4.38), se tiene:
, que incluye los términos de fricción, se puede considerar una discretización centrada simple:
= ∆xH
La parte correspondiente a expone a continuación
deberá tratarse de acuerdo con el esquema numérico utilizado según lo que se
1 y para que se establezca un correcto balance entre el término independiente y la parte homogénea de la
ecuación, la discretización deberá de hacerse de la misma manera que para el vector de flujo, por lo que, a la
vista de (4.6), parece lógico considerar también dos contribuciones al término independiente, una en cada contorno del elemento de volumen, o sea:
ii, −1/2
ii, +1/2
El esquema de Roe descompone la diferencia del vector de flujo a través de un contorno en función de los vectores propios del jacobiano del sistema (4.32). Una descomposición análoga del término independiente en función de los mismos vectores propios consiste en aproximar el término independiente en un contorno, o más concretamente la integral del término independiente en el volumen comprendido entre los centros de dos volúmenes finitos contiguos según:
son unos coeficientes. De las dos últimas expresiones se deduce:
132 Capítulo 4. Esquemas numéricos para las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales
y con esta última, junto con (4.42), (4.45), (4.44) y (4.45), se obtiene la expresión del método de Godunov y el Riemann solver de Roe para un sistema de ecuaciones con término independiente:
responde a (4.28),
Para obtener los coeficientes
a (4.48), y
a (4.40).
, considerando (4.47) junto con (4.39) se tiene:
 1 1
Sx∆
= −∆z
∂I / ∂=x
/ ∂x resulta:
∆ +∆
4.2.2. Dependencia espacial del vector de flujo en geometrías irregulares.
Las ecuaciones de Saint Venant en una dimensión (2.51) tienen la particularidad que el vector de flujo F no depende solamente de las variables U = ( A,Q) , sino que tiene una dependencia espacial F(U, x) a través del
(4.18) y lo que de ella se deriva. La ecuación (4.18) se verifica cuando
I 1 . Esto modifica lo visto hasta ahora en este subapartado 4.2. , concretamente la expresión
mientras en una geometría irregular se tiene:
representa la fuerza producida por la distribución de presiones en una sección del río y, como se observa en
(4.3), depende de A , a través de h , pero también de x a través de la dependencia espacial de b . Un primera aproximación a sistemas de ecuaciones con dependencia espacial del vector de flujo se encuentra en Hubbard y García-Navarro (2000) para canales rectangulares.
De esta manera lo presentado en el subapartado anterior sería válido para canales prismáticos, pero no para
I 1 depende de la variación en el área pero también de la
geometrías irregulares. Para éstas la variación de
irregularidad geométrica del cauce. Dos secciones de un río pueden tener la misma área pero distinto valor de
I 1 de un elemento de
volumen a otro se debe a la variación que sufre el valor del área a través de dicho contorno, pero también a la variación geométrica del cauce:
es una aproximación a A =∂FU/ ∂ , se
=∆cA
g∆ I
. En geometrías irregulares el incremento que sufre el valor de
A indica el valor de la resultante de las presiones en una sección para un valor del área igual a A .
La ecuación anterior indica que la diferencia de la resultante de las presiones entre dos secciones transversales del río depende de la diferencia de áreas entre dos secciones pero también de la diferencia de presión en ambas
secciones a igualdad de área. En un canal prismático se tendría
Con estas consideraciones, ahora la ecuación (4.32) se puede rescribir como:
son el resultado de la descomposición en base a los vectores propios
de ∆ (
A es un valor representativo del área en el contorno entre dos volúmenes finitos.
Es destacable que ninguna de las referencias conocidas que tratan con geometrías irregulares utiliza una formulación que tenga en cuenta el efecto del último término de (4.56).
En las referencias se encuentran
1 )/2
1 )/2 ,
)/2 , c = gI∆∆/ A . Todas ellas son una
en cauces irregulares:
buena aproximación en canales prismáticos, pero ninguna consigue calcular correctamente el salto en las fuerzas
si en (4.55) no se considera el último término de la ecuación (y habitualmente no se hace).
Por otro lado, es evidente que ninguna de las expresiones vistas reproduce correctamente la descomposición del salto de las fuerzas de presión (4.56).
Por todo lo visto, se propone la siguiente expresión para la celeridad:
se calcula facilmente como la diferencia de las fuerzas de presión en i +1 y i :
( ∆=−
son las fuerzas de presión en el volumen finito i para un valor del área
A podría ser cualquier valor comprendido entre
A . Con lo visto hasta
, aunque más adelante (apartado 4.6. ) se verá
134 Capítulo 4. Esquemas numéricos para las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales
que para mantener un correcto balance con el término independiente en el caso de flujo estacionario debe utilizarse la media harmónica.
Es de destacar que mientras se cumpla
y signo
 ()
)/2 .
, la expresión (4.59) está correctamente definida ya que
cualquiera de las definiciones de la celeridad vistas es posible. En este caso, en esta tesis se ha utilizado la
de la fuerza de presión por variación del área es cero, la expresión (4.55) se reduce a
Con lo visto, un desarrollo paralelo al del subapartado 4.2.1, pero considerando la variabilidad espacial del vector de flujo, permite obtener la expresión final del método de Godunov con el Rieman solver de Roe y la corrección de entropía de Harten y Hyman para las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales:
γ signo () λ
4.3. Esquemas de segundo orden en una dimensión
Ya se ha visto en el capítulo anterior que los esquemas de segundo orden son incompatibles con la condición de no tener oscilaciones espurias en el entorno de las discontinuidades, pero también se ha adelantado ya que los esquemas TVD o de alta resolución consiguen evitar estas oscilaciones manteniendo el segundo orden de precisión en prácticamente todo el dominio. Los esquemas de segundo orden, que se abordan en este apartado son la base para el posterior desarrollo de esquemas TVD.
De entre la multitud de esquemas de segundo orden existentes para las ecuaciones de Saint Venant se tratan aquellos que son útiles más delante para el desarrollo de métodos TVD, y que permiten además un tratamiento adecuado del término independiente.
A partir del método de Godunov se pueden desarrollar esquemas de segundo orden en base a dos planteamientos
distintos: los esquemas tipo WAF (de Weight Averaged Flux o flujo ponderado) y los esquemas tipo MUSCL (de
Monotone Upstream-centered Scheme for Conservation Laws) también llamados esquemas de extrapolación de variables.
Los esquemas de segundo orden se presentan aquí por ser la base de los esquemas de alta resolución presentados en 4.4. , aunque carecen de utilidad práctica por si solos debido a las oscilaciones espurias que conllevan en caso de existir discontinuidades en el flujo. Por ello no se han utilizado en las simulaciones, y solamente se presenta
el esquema para la parte homogénea de las ecuaciones.
4.3.1. Esquema WAF en una dimensión
donde U(,)x t
además en (4.62) se aproxima la integral en el tiempo por el punto medio resulta:
es la solución del problema de Riemann con datos iniciales

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