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Timestamp: 2018-06-20 08:03:58+00:00

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Descripción: El libro de matematicas IV de Funciones, aun esta en proceso, espero te sea de utilidad. Roberto Laguna
El libro de matematicas IV de Funciones, aun esta en proceso, espero te sea de utilidad. Roberto Laguna
PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE DE MATEMATICAS IV PLAN DE ESTUDIOS ACTUALIZADOS
SECRETARIA ADMINISTRATIVA SECRETARIA DE SERVICIOS ESCOLARES JEFE DE SECCIÓN ACADEMICA JEFE DEPTO. IMPRESIONES
Como siempre nuestra máxima preocupación es el aprendizaje que podamos promover en nuestros alumnos.
En este material se señalan, en primer lugar, los objetivos generales propios de la asignatura de matemáticas IV; posteriormente se da el enfoque de la Universidad Nacional Autónoma de México y la interpretación personal que los autores hacen del mismo, así como los contenidos temáticos que lo conforman; para finalmente presentar algunas fichas bibliográficas de los textos que se pueden consultar con el fin de contar con los elementos suficientes para la resolución de problemas.
Este material está diseñado de forma que los contenidos temáticos se dividan en un número de clases, determinado por las horas propuestas para el desarrollo del programa de Matemáticas IV. Se espera que los alumnos adquieran un conocimiento perdurable sobre el tema de funciones, sabiendo que, para conseguirlo, el desarrollo de los ejes temáticos debe cobrar sentido en la percepción que los alumnos tienen respecto al mundo que nos rodea, desarrollando con estos conocimientos su capacidad de trabajo y sus aptitudes para la investigación, búsqueda de interrogantes y respuestas, que propenda a la comunicación de ideas. Las definiciones, problemas y ejercicios van de acuerdo al nivel de estudio de los alumnos, por lo que el grado de profundidad permite que los alumnos practiquen el
razonamiento deductivo, eficientando el uso de herramientas de matemáticas: tablas, graficas, lenguaje de matemáticas, el uso de calculadora y la computadora.
 Enriquezca
procedimientos de la aritmética, el álgebra, la trigonometría, la geometría euclidiana y analítica, en el estudio y modelación del tipo de funciones expuestas en este curso.
El material permite que el estudiante perciba las conexiones entre las distintas ramas de la matemática. ARITMÉTICA Y ALGEBRA
Los contenidos permiten desarrollar procesos y soluciones que van ligados con otras ramas de las matemáticas y que en el tema de funciones terminan por aterrizar. De la solución de problemas surge la necesidad de aprender los procedimientos que desembocan en conocimientos sistematizados conforme a las posibilidades y condiciones del alumnado.
Muchos de los contenidos temáticos de los programas de matemáticas del Colegio de Ciencias y Humanidades, por su naturaleza, forman parte del currículo de cualquier institución educativa del nivel medio superior del país. Sin embargo, la forma de enfocarlos, presentarlos y trabajarlos con el estudiante, es lo que hace la diferencia y atiende a los principios educativos que pretende cada institución. De esta manera, en el Colegio de Ciencias y Humanidades la concepción de la matemática conlleva una intención del para qué queremos enseñarla, y cómo contribuye a la formación de un sujeto capaz de buscar y adquirir por sí mismo nuevos conocimientos; además de analizar e interpretar el mundo que lo rodea de forma reflexiva, analítica, sistemática y constructiva. Por ello, en el CCH se concibe a la matemática como una disciplina que: o Posee un carácter dual: Es una ciencia y una herramienta. o Manifiesta una gran unidad. o Contiene un conjunto de simbologías propias y bien estructuradas, sujetas a reglas específicas que permiten establecer representaciones a distintos niveles de generalidades, que nos permite avanzar en su construcción como ciencia y extender el potencial de sus aplicaciones. o El libro conserva el enfoque, metodología distribución en el tiempo y profundidad sugeridos por el plan de estudios del CCH.
Barnett Raymond, et al. Algebra, Mc. Graw-Hill, Interamericana, México 2000.
Barnett Raymond, et al. Precalculo: Funciones y Gráficas. Mc. Graw-Hill, México 2000
Johnson, Murphy, y Stefferson, Arnold. Álgebra y trigonometría con aplicaciones. Trillas, México 1998.
Larson, Ronald, Hostetler, Robert. Álgebra. Publicaciones, Cultural, México 1996.
Leithol, Louis. Matemáticas previas al cálculo: Análisis Funcional y Geometría Analítica, Harla, México 1996.
Sullivan, Michael. Precálculo. Prentice- Hall, Hispanoamericana, México 1997.
Swokowski, Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo editorial Iberoamericana, México 2002.
Rodríguez, Fco., et al. Paquete didáctico para Matemáticas IV. Guía del profesor. CCH Oriente. UNAM. , México 2002.
Walter Fleming, Dale Varberg, Hamline University, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, Englewood Cliffs, Londres, Sydney, Toronto, Nueva Delhi, Tokio, Singapur, Rió de Janeiro.
Bohuslov, Ronald, Geometría analítica, introducción al precalculo, Union tipografica editorial Hispano- Americana, S. A. De C.V. México 1983.
Sántalo Sors Marcelo, Carbonell Chaure Vicente, Cálculo Diferencial e Integral, Grupo Editorial Éxodo, México 2004.
Lehmann, Charles H . , Geometria Analitica, The Cooper School of Engineering , Noriega Editores, Editorial Limusa S .A . de C . V . México 1989.
UNIDAD UNO FUNCIONES POLINOMIALES
Situaciones que dan lugar a una función polinomial. Duración: 1hr.
Noción generalizada de función. a) Relación entre dos variables que cumple ciertas condiciones b) Conjuntos asociados c) Regla de correspondencia d) Notación funcional f(x). e) Problemas f) Ejercicios Duración: 4 hrs.
Concepto de función Polinomial a ) Notación: F(x)= a n x n +…+ a 3 x ³+ a x² + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 b) Grado de una función Polinomial c) Gráfica de funciones Polinomiales de la forma: f(x) = a x³ + c f(x) = a x + c Duración: 4hrs. con a , c Є R con a , c Є R
Métodos de exploración para la obtención de los ceros, aplicables a las funciones factorizables de grado 3 y 4. a) División de Polinomios b) División sintética c) Teorema del residuo d) Teorema del factor y su recíproco e) Divisores del término independiente f) Identificación de tipos de raíz: Enteras, racionales, reales, complejas y su multiplicidad. Duración: 4 hrs.
Bosquejo de la gráfica de una función Polinomial. F(x) = a n xn+ …+ a3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 a) Intersecciones de la gráfica con los ejes cartesianos. b) Análisis del comportamiento: Valor An, Concavidad, Índice de crecimiento (Alargamiento o compresión). c) Traslación horizontal y vertical f(x+k), f(x) + k d) Noción de intervalo e) Intervalo donde: f(x) es positiva f(x) es negativa f) La no-interrupción de la gráfica Duración: 4 hrs.
Problemas de aplicación Duración: 3 hrs.
UNIDAD DOS FUNCIONES RACIONALES
Situaciones que dan lugar a funciones racionales. Duración 2 hrs.
Noción de intervalo en la recta real. Duración 2 hrs.
Estudio del comportamiento analítico y gráfico; local y al infinito por medio del dominio y rango de las funciones tipo: f(x) = a / x + b + c … f(x) = a / (x + b ) 2 + c Duración 2 hrs. f(x) = P(x) / Q(x) ; con P(x) y Q(x) lineales o cuadráticas, con a , b , y c Є R Duración 2 hrs.
Problemas de aplicación. Duración 2 hrs.
Situaciones que dan lugar a funciones con radicales del tipo: f(x) = ax + c ; f(x) = ax² + bx + c Duración 2 hrs.
Estudio analítico y gráfico del dominio y el rango de una función del tipo anterior. Duración 4 hrs.
Resolución de problemas con fenómenos de diversa índole (geométricos y físicos), susceptibles de modelarse a través de funciones racionales o con radicales. Duración 4 hrs.
UNIDAD TRES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Situaciones que involucran variación periódica. Duración 2 hrs.
Generalización en el plano cartesiano de las razones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Duración xxx
Círculo unitario: extensión de las funciones seno y coseno para ángulos no agudos. a ) Ángulos positivos y negativos. b) Ángulo de referencia. Sus cuatro posiciones. c ) Medida de ángulos con distintas unidades: grados y radianes. d ) Cálculo del seno y el coseno para ángulos mayores de 90° Duración 2 hrs.
Gráfica de las funciones seno, coseno y tangente. a ) Análisis del dominio y rango. b ) Noción de amplitud, periodo y frecuencia. Duración 4 hrs.
Definición de función periódica: f(x+k) = f(x). Duración 2 hrs.
Gráfica de las funciones: f(x) = a sen (bx + c) + d f(x) = a cos (bx + c) + d a ) Análisis del comportamiento de sus parámetros a, b, c y d. b ) Fase y ángulo de desfasamiento. Duración 4 hrs.
Las funciones trigonométricas, como modelos de fenómenos periódicos. Duración 2hrs.
Ejemplos. Problemas de aplicación. Ejercicios. Duración 4 hrs.
UNIDAD CUATRO FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Situaciones que involucran crecimiento y decaimiento exponencial. Análisis de la variación exponencial: a) Papel que desempeña la variable. b) Crecimiento y decaimiento.
c) Representación algebraica. d) Contraste de comportamientos entre funciones exponenciales y funciones potencia.
exponenciales del tipo: f(x) = c a x f(x) = c (1 ∕ a) x con a > 1 y c ≠ 0 con a > 1 y c ≠ 0
Revisión del dominio y del rango. Papel que desempeña c.
Importancia y caracterización del número e. Las propiedades a x a y = a x + y ; (a x) y = a xy Ejemplos. Ejercicios. Problemas diversos de aplicación.
Situaciones que dan lugar a funciones logarítmicas. La función logaritmo como inversa de la función exponencial. Noción de función inversa.
Equivalencia de las expresiones: y = a
log y = x.
Logaritmos con base 10 y naturales. Propiedades de los logaritmos incluyendo la expresión para cambio de base.
Gráficas de funciones logarítmicas. Su relación con la gráfica de la función.
Exponencial de la misma base. Su dominio y rango. Ejemplos. Ejercicios. Problemas diversos de aplicación.
MATEMÁTICAS IV. UNIDAD UNO. FUNCIONES POLINOMIALES
Situaciones que dan lugar a una función polinomial. 1.1 1.1.1 El estudiante: Explorará en una situación o problema, que da lugar a una función polinomial, las condiciones, relaciones o comportamientos que le permitan obtener información y sean útiles para establecer la representación algebraica. 1.1.2 1.1.3 1.1.4 Modelará situaciones que den lugar a una función polinomial. Establecerá la noción de función. Examinará ecuaciones algebraicas con dos variables o su gráfica para decidir si se trata de una función o no.
Concepto de función polinomial. 1.2 1.2.1 1.2.2 El estudiante: Explorará las situaciones que dan lugar a una función polinomial. Noción generalizada de función.
a) Relación entre dos variables que cumplen ciertas condiciones. b) Conjuntos asociados, dominio y rango. c) Regla de correspondencia. d) Notación funcional f(x). 1.2.3 Concepto de función polinomial. a) Notación f(x) = an xn + . . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 b) grado de una función polinomial. c) Gráfica de funciones polinomiales de la forma: f(x) = a x3 + c con a, c Є R f(x) = a x4 + c con a, c Є R 1.2.4 Métodos de exploración para la obtención de los ceros, aplicable a las funciones polinomiales factorizables de grado 3 y 4. a) División de polinomios. b) División sintética. c) Teorema del residuo. d) Teorema del factor y su recíproco e) Divisores del término independiente f) Identificación de tipos de raíz: Enteras, racionales, reales, complejas y su multiplicidad. 1.2.5 Bosquejo de la gráfica de una función polinomial. F(x) = an xn + . . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 a) Intersección de la gráfica con los ejes cartesianos. b) Análisis del comportamiento:
Valor de an Concavidad Índice de crecimiento (alargamiento o compresión) c) Traslación horizontal y vertical. d) Noción de intervalo. e) Intervalos donde: f(x) es positiva f(x) es negativa f) La no- interrupción de la gráfica. 1.2.6 Problemas de aplicación.
MATEMÁTICAS IV. UNIDAD UNO FUNCIONES POLINOMIALES
A. Define los siguientes conceptos: 1. Define el concepto de función. 2. Define el concepto de ecuación. 3. ¿Cuál es la diferencia entre ecuación y función? 4. ¿Toda ecuación tiene una función asociada y viceversa? 5. ¿Qué es un polinomio?
B. Polinomios, productos notables y factorización.
1. Realiza la suma, resta, multiplicación y división entre cada par de polinomios: a) x 4 + x 2 – x + 2; x 2 + x + 1 x+9–x3 x – (3 – 4 I)
b) 3 – x – x 2 ; c) x – (3 + 4i) ;
d) Divide 3 x 3 – 2 x 2 + x – 2 ; entre x – 2 e) Divide x 3 – 5 x 2 – 5 x + 6 ; entre x – 3
2. Factoriza los siguientes polinomios: a) x 2 – 4 x + 5 = b) 2 x 2 = c) x 4 + x 2 – x + 2 = d) 3 x 3 – 2 x 2 + x – 2 = e) 2 x 3 – 6 x = f) 4 x + 8 = g) 25 x 2 – 10 x + 1 = h) x 3 – 1 =
C. Dados los siguientes números complejos Z operaciones según se indique:
= 3 + 2 i ; Z 2 = 4 – 8 i , efectúa las
a) Z 1 + Z 2 =
b) Z 1 – Z 2 =
c) Z 1 · Z 2 =
d) Z 1 / Z 2 =
1.1.1 Situaciones que dan lugar a funciones polinomiales
Lectura del material en voz alta. Resolución de problemas por equipo.
1. Si se lanza una pelota hacia arriba en dirección vertical con una velocidad inicial de 80 pies/seg, su distancia s (en pies), de la tierra en cualquier instante t (en segundos) se da por: s = 80 t – 16 t ² .
La fórmula anterior de distancia para caída libre de los cuerpos es una función cuadrática con un solo término, término cuadrático, término de primer grado y término independiente. Por esto se le considera una función polinomial.
s = distancia o altura t = tiempo g = gravedad = 9.8 m/seg. = 32 ft/seg. Velocidad inicial = 80 ft/seg. Velocidad final = 0, la pelota se detiene al llegar a su altura máxima.
a) Graficar esta función en un sistema de coordenadas t - s s
b) Determinar el instante en el cuál la pelota alcanzará su punto más alto (máximo) . t = Vf – Vo / g ; t = 0 – 80 ft/s / 32 ft/s² = 2.5 seg.
c) Calcular la altura máxima que alcanzó la pelota. s = Velocidad inicial (t) - ½ g t² s = 80 ft/s (2.5 seg.) + ½ (32 ft/seg²) (2.5 seg)² = 80 + 16 (2.5)² = 80 + 16 (6.25) = 80 + 100 = 180 ft
d) Hallar los instantes en que la pelota estará en reposo. La pelota está en reposo cuando alcanza su altura máxima 180 ft y cuando xxx
e) ¿Cuál es la velocidad promedio durante los dos primeros segundos del recorrido?
1. Un ranchero desea cercar un terreno rectangular. Uno de sus lados está a lo largo de un arroyo, por lo que no requiere alambrada. Si hay 100 yardas de alambre disponible para cercar los otros tres lados, hallar las dimensiones del terreno de tal manera que su área sea máxima.
Se construirá una alcantarilla de desagüe con una pieza de lámina de 12 pulgadas de ancho doblando sobre la orilla cantidades iguales de hoja. ¿Qué cantidad de lámina se deberá doblar para que la capacidad de acarreo sea máximo?.
Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que se pueda inscribir en un triángulo isósceles de altura 8 y base 4. Se supone que uno de los lados del rectángulo está sobre la base del triángulo.
Encontrar una fórmula para el área de todos los rectángulos con perímetro dado.
Demostrar que el rectángulo de área máxima para un perímetro dado es un cuadrado.
Analiza cuidadosamente cada una de las preguntas y contesta SI o NO 1. ¿En una relación a cada uno de los elementos de un conjunto se le pueden hacer corresponder uno o más elementos de otro conjunto?________ 2. ¿Si compramos un boleto para el teatro, entre el boleto y el asiento se establece: o una relación o una función?___________________ 3. Explica por qué:__________________________________________________ 4. Menciona dos ejemplos de relación y dos de función:____________________ _______________________________________________________________
1.1.2 Noción generalizada de función
Discusión del tema. Composición del tema por equipo Exposición frente a pizarrón. Duración 2 hrs.
Un caso particular de relación es el de función. Alcanzar el concepto de función es algo sencillo, pues podemos hacer corresponder los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto.
1----------------------------------- 3 2----------------------------------- 6 3----------------------------------- 9 4-----------------------------------12
Recuerdas: 1. ¿Cómo se llama el primer conjunto? R.__________________________________
2. ¿Cómo se llama el segundo conjunto? R.___________________________________
3. Establece cuál es la regla de correspondencia que se aplica a los elementos del dominio y da como resultado los elementos del rango.
Compruébalo:___________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
Se llama variable a la letra en minúscula del alfabeto, se le pueden asignar diferentes valores en un mismo problema y a la totalidad de valores que toma le llamamos: intervalo de variación de la variable.
A los elementos del dominio se les representa generalmente con la letra ______en minúscula. Al conjunto del dominio se le representa generalmente con la letra ______ en mayúscula.
A los elementos del rango se les representa generalmente con la letra ______en minúscula, al conjunto del rango se le representa generalmente con la letra ______ en mayúscula.
De igual manera que si se tratara de una recreación o diversión donde hay que obedecer las reglas o condiciones establecidas al inicio del juego, en el tema de funciones también se deben obedecer las reglas o condiciones establecidas al inicio del problema.
Como queda dicho: La regla de correspondencia se aplica a los elementos del __________, la serie de resultados obtenidos forman el conjunto del _________.
La regla de correspondencia se compone, confecciona o construye de acuerdo al análisis hecho al fenómeno u objeto de nuestro estudio. Para aclarar este punto estudia el ejemplo siguiente:
Se deja caer un cuerpo. A partir de este fenómeno debemos, según nuestras aptitudes, determinar el valor de la fuerza de gravedad. Llamamos gravedad a la fuerza con que la tierra atrae los cuerpos hacia su centro. Newton, después de un arduo proceso de investigación, obtuvo el valor de 9.8 m/s² ó 32 ft/s², para este fenómeno natural.
Ejercicio: Deja caer un cuerpo y determina la fuerza de gravedad. Explica que proceso de investigación utilizarías para encontrar el mismo valor que obtuvo Newton.
Antes de seguir adelante sería conveniente dar la definición de función. P.G. Lejeune Dirichlet (1805-1859), matemático francés, definió a la función así: Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto (llamado dominio), exactamente un valor de otro conjunto (llamado rango). Otra definición:
Una función determina una correspondencia biunívoca (de uno a uno) entre los elementos de dos conjuntos, uno llamado dominio y el otro rango. Al conjunto del rango también se le llama: imagen. La regla se representa por: f( )=
El dominio se representa usualmente con la letra x y va dentro del paréntesis, señalando así que sobre esos elementos recaen las operaciones que señala la regla. El rango se representa con la letra y. Como quedó asentado arriba, los valores que se obtienen al realizar las operaciones a los elementos del conjunto dominio, forman el conjunto del rango. La notación funcional queda: f (x) = y Ejercicios: Obtén las gráficas de las siguientes funciones: 1. f(x) = ± x³ - 1; 2. f(x) = ± x 3 + 1 -4≤x≤4 -4≤x≤4
3. f(x) = ± x 2 – x – 3 -1 < x < 6 4. f(x) = ± x 2 + x + 3 - 1 < x < 6 Completa las siguientes frases usando los conceptos: Función, relación, variable dependiente, variable independiente.
1. Si los valores de una variable y dependen de los de otra variable x y a cada valor de x le corresponde uno o más de y, se dice que x y y están _________. 2. Si a cada valor de x le corresponde un solo valor de y, se dice que y es una _________de x.
3. A la variable x, se le llama: variable ____________ , a la variable y, se le llama: variable__________o función. No se crea que la regla que da origen al rango y que se aplica a los elementos del dominio, es necesariamente difícil de obtener, pues en muchos casos es obvia y hasta fácil de determinar.
EJEMPLOS: 1) La segunda ley de Newton, F = m a. Es una función de dos variables. 2) La aceleración angular α = wf – wi / t. Es una función de tres variables. 3) El área de un triángulo depende de la base y de la altura. Es una función de dos variables. Ordenamos la información en un instrumento llamado tabla de____________, donde incluimos valores del dominio, rango y el par ordenado o coordenadas. El par ordenado de valores nos muestra la posición de un punto en el espacio; para ubicarlo en el espacio necesitamos un marco de referencia, dado por el plano llamado:_____________, en honor de René Descartes (filósofo y matemático francés 1596-1650).
Este plano cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un: ________; al que llamamos:_____________e indica el cero o principio de la referencia. El plano cartesiano corta el espacio en cuatro cuadrantes numerados en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj. Al eje horizontal se le llama eje x, del dominio o de las abscisas; al eje vertical se le llama eje y, del rango u ordenadas.
y II 180º
+ I 90º x
270º III 360º IV
Sus características principales son: a) cada cuadrante mide 90° b) Los ejes señalan sentidos positivos y negativos.
El eje de las abscisas (horizontal o eje x) del origen hacia la derecha tiene sentido positivo y hacia la izquierda su sentido es negativo; el eje de las ordenadas (vertical o eje de las y) del origen hacia arriba tiene sentido positivo y hacia abajo tiene sentido negativo.
Los ejes son rectas numéricas que en su graduación deben mantener una proporcionalidad; es decir, debe o no indicarse la graduación de los ejes dependiendo de la importancia del problema, con el fin de obtener gráficas fieles, libres de distorsiones o errores.
Ejercicios: a) Ubica los siguientes pares ordenados de valores en el plano cartesiano: (x,y), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16) b) A los pares ordenados de valores llamados: _____________________se les puede representar con letras en mayúscula del alfabeto. Al plano cartesiano también se le llama sistema de referencia rectangular, esto se debe a que para ubicar un punto en el plano se lanzan líneas punteadas perpendiculares a cada uno de los valores de la coordenada, y el punto de intersección será el punto buscado. Ejercicios: a) Ubica la coordenada ( a, b ), en el plano cartesiano, según se indica: b) Ubica el valor de a en el eje x, ubica el valor de b en el eje y. c) Desde a lanza una línea punteada perpendicular al eje y; desde b lanza una línea punteada perpendicular al eje x, el punto de intersección es el que buscamos. Si hubiese más puntos por ubicar se utilizaría el mismo procedimiento. A las figuras geométricas que se forman al entrelazar todos los puntos, por medio de un trazo, se les llama gráficas. La gráfica es un dibujo y un método que representa los estados de un fenómeno, esquematiza los datos y señala sus relaciones principales.
Ejercicios: Obtén el rango, tabla de valores y las gráficas de las siguientes funciones:
1. f(x) = 4 x – 3; 2. f(x) = 3 x + 2; 3. f(x) = ¾ x - ¼ 4. f(x) = 3 x + 2
-3 < x < 3. -3 < x < 4. -2 < x < 6. - 4 < x < 4.
FUNCIÓN Y SU REPRESENTACIÓN GEOMETRICA Introducción
Las funciones son expresiones matemáticas que nos ayudan a comprender la relación entre las variables, partes o componentes de cualquier proceso, ya sea estadístico, biológico, físico, químico, etc. La gráfica es la herramienta visual que nos permite observar punto por punto el desarrollo del proceso: crecimiento, decaimiento, puntos de inflexión (crestas, valles), máximos, mínimos etc. Los autores Clementina Mendoza Carrillo y Roberto Laguna Luna establecen en este articulo el paralelismo entre los conceptos de función y coordenada del punto en el plano cartesiano, pues ambos tienen la misma definición.
La definición de función que nos enseñan en la escuela dice: Una función es un tipo especial de relación en donde a cada elemento de un conjunto A corresponde un solo elemento de otro conjunto B. A los elementos del conjunto A, los podemos representar con la letra x y al conjunto A lo podemos llamar dominio. Yendo más lejos, podemos representar al conjunto del dominio y sus elementos x así: Representación por comprensión:
Dominio = { x / x Є reales} O D = { x / x Є reales} Se leería así: El conjunto del dominio esta formado por un elemento x, tal que x pertenece al conjunto de los números reales (números positivos, el cero y los negativos, enteros o racionales) Al conjunto B lo podemos llamar rango o imagen y a sus elementos los podemos representar con la letra y. La representación por comprensión o simbólica sería así: Imagen = { y / y Є reales } O I = { y / y Є reales } Leeríamos así: El conjunto del rango o imagen está formado por un elemento y, tal que y pertenece al conjunto de los números reales. Se determina la relación entre las variables x, y de los conjuntos dominio y rango, sometiendo a los elementos del conjunto dominio a una serie de operaciones matemáticas, lo cual se representa así: F(x) La F representa las operaciones matemáticas que se realizan con o sobre los elementos x del conjunto dominio. La relación biunívoca o función queda establecida cuando a los resultados de f(x) los agrupamos para formar el conjunto que con anterioridad nombramos rango o imagen. La relación entre conjuntos, llamada función, la representamos así: F(x) = y O Y = f(x)
Por tanto, una función establece la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos e implica la idea de subordinación o dependencia, pues los valores del rango dependen, se obtienen o resultan, del valor que en ese momento tenga x, que es el valor con que se realizan las operaciones y de las cuales se obtienen los resultados y. Así concluimos: i) x representa a uno o cualquier valor del dominio ii) y representa a uno o cualquier valor del rango o imagen iii) x es la variable independiente iv) y es la variable dependiente v) y = f(x), establece la correspondencia de uno a uno (correspondencia biunívoca o función) entre los elementos de los conjuntos del dominio y del rango.
Un punto en el plano cartesiano queda definido por sus coordenadas (x, y). Del estudio de la coordenada determinamos el parecido o similitud que tiene con la definición de función ya que ambos establecen la correspondencia de uno a uno (correspondencia biunívoca) entre los elementos de dos conjuntos, como se justifica a continuación.
A(x,y) x
En el plano cartesiano los ejes x, y son rectas numéricas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto, al que llamamos origen. El plano divide al espacio en cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario al movimientos de las agujas del reloj, los puntos o el punto ubicado(s) en cualquier cuadrante queda(n) determinado(s) por dos dimensiones, x-distancia horizontal (ancho); y-distancia vertical (altura). Estas dimensiones expresadas numéricamente y representadas juntas, dentro un par de paréntesis, forman la(s) coordenada(s) y establece(n) la correspondencia de uno a uno o biunívoca entre los elementos del conjunto x y el conjunto y. Así, A(x, y), la letra A designa al punto de coordenadas (x, y).
Si al eje horizontal llamado también eje de las abscisas o eje de las x, le llamamos dominio. Y si al eje vertical llamado también eje de las ordenadas o eje de las y, le llamamos imagen o rango. Estableceremos el paralelismo entre la definición de función y la coordenada de un punto. Ubicando un punto cualquiera dentro del plano cartesiano y lanzando líneas punteadas del punto hacia los ejes x, y, los valores determinados por las líneas punteadas sobre los ejes serán las coordenadas del punto, estos valores también satisfacen a la función. Por tanto, a partir de ahora, podemos referirlos como sinónimos pues ambas establecen la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos. Debido a las operaciones matemáticas que se realizan con los elementos x del dominio para obtener los valores del rango, las funciones se pueden clasificar en siete familias diferentes, cada una con sus propias características y propiedades: 1.- Funciones enteras. 2 .- Funciones racionales. 3 .- Funciones radicales. 4 .- Funciones exponenciales. 5 .- Funciones logarítmicas. 6 .- Funciones trascendentes o trigonométricas. 7 .- Funciones polinomiales. Cada tipo de función tendrá un tipo diferente de gráfica, y para determinar los valores del rango, a partir de los valores del dominio en cada tipo de función, se aplicará uno o más procedimientos exclusivos de la familia a la que pertenece la función. i) La función y las coordenadas de un punto en el plano cartesiano son sinónimos, pues ambas, establecen la correspondencia de uno a uno (x, y) entre los elementos de dos conjuntos (dominio, rango) = (abscisas, ordenadas) ii) El par de valores (x, y) obtenidos en la función se utilizan como coordenadas de un punto sobre el plano cartesiano. iii) Si los puntos en el plano cartesiano se unen por medio de una línea forman la grafica característica de la función. iv) Hay siete tipos de funciones y por lo tanto siete familias diferentes de gráficas v) La gráfica de la función se forma punto por punto o por una serie de características bien determinadas. Una función establece la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos uno llamado dominio y el otro rango. La correspondencia es una regla definida en términos operacionales (suma, resta, …) entre los elementos de esos conjuntos; de hecho, la regla se aplica a los elementos del dominio y arroja como resultado los elementos del rango.
Un conjunto es una agrupación, reunión o colección ordenada o no de elementos de una misma especie, los elementos son representados por una letra en minúscula del abecedario, mientras que al conjunto se le representa con un letra en mayúscula. aЄA En una función se hacen corresponder los elementos de dos conjuntos por medio de una regla. El dominio es un conjunto de valores dados al inicio del problema, el conjunto de valores del dominio sirven de parámetro, de donde a donde debemos considerar del problema, estos valores determinan la función. Se representa la función así: f(x) = y ó y = f(x)
Plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares: y II 180º 90º x + I
Los puntos están representados por las coordenadas (dominio, rango), (x, y). El valor x se ubica en el eje de las abscisas u horizontal.
El valor y se ubica en el eje de las ordenadas o vertical. Los elementos del dominio (elementos del conjunto dominio), se llaman variables independientes porque se dan al inicio del problema, y no depende de operación alguna para tener ese valor. Los valores del rango (resultados obtenidos al aplicar la regla a los elementos del dominio), se llaman dependientes porque el valor que adquiere depende del valor del dominio.
1. Obtén la gráfica de la expresión: y = 4x² – 5.
2. La expresión anterior ¿Es una función? ¿Por qué? 3. Enuncia con tus propias palabras que entiendes por función:______________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 4. Menciona 4 ejemplos de relación. 5. Menciona 4 ejemplos de función. 6. Menciona un ejemplo de cantidades que estén relacionadas y que la relación no sea una función. 7. De la expresión: y = f (x) = 4 x² + 16 x + 16 determina el dominio y el rango. 8. Define con tus palabras asíntota. 9. ¿Cuál es el dominio de la función?: y = (x – 6)½ 10. ¿Dónde corta la función?: x² + 3x – 5 / x³ + 2
1.1.3 Concepto de función polinomial. Investigación en la biblioteca. Discusión en clase Resolución de ejercicios y problemas frente a pizarrón, individual. Duración 4 hrs.
Fundamentalmente un polinomio es una expresión que puede obtenerse utilizando sólo las operaciones de suma, resta y multiplicación a partir de los números reales. Por ejemplo, se obtiene: 5 · x · x · x · x = 5 x
multiplicando. Se puede obtener 6 x³
con el mismo proceso y después de sumar 3 x obtener: 3 x + 6 x³ ¿Por qué 2 x – 2 = 2 / x² , no es polinomio? Las funciones polinomiales son aquellas que satisfacen la siguiente definición: A una función P se le llama función polinomial si es del tipo: P(x) = a 0 x n + a 1 x n- 1+ · · · + a n – 1 x + a n Donde n es un número entero positivo o cero y los coeficientes a 0 , a 1 , · · · , a n – 1 , a
son (n + 1) números reales o complejos. ≠ 0 , aunque algunos o todos los coeficientes
P(x) es de grado n siempre que a
restantes pueden ser cero. Cada una de las expresiones tales como: a j x n – j ; 0 ≤ j ≤ n se denomina término del polinomio. Cuando n = 0 el polinomio consta de un solo término al cual se le asigna el grado cero. Una excepción a esto es la constante cero a la que no se le asigna ningún grado.
EJEMPLOS: P(x) = 2 x 4 – 5 x 3 + x. En este caso se ha utilizado una abreviatura obvia. Sin ésta, el polinomio sería: P(x) = 2 x 4 + (- 5) x 3 + 0 x 2 + (1) x + 0
Note que el polinomio es de primer grado con coeficientes: a0= 2 , a 1= - 5 , a2=0, a3=1, a4=0
En general las funciones se especifican con reglas de correspondencia; pero la función no está determinada sino hasta que se da su dominio. Las reglas son adecuadas para mostrar la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos y son fundamentales para determinar información numérica exacta. Una vez especificados el dominio de la función y la regla de correspondencia, quedan determinados los resultados que forman el rango de la función; sin embargo, los aspectos específicos de una función no quedan claros hasta que se dibujan. Al dibujo de una función se le llama gráfica. Y la gráfica de una función es la gráfica de la ecuación asociada a la función f (x), es decir: y = f (x).
Una función polinomial es de la forma: _____________________________________ Donde n es un número entero positivo o cero y los coeficientes a , a , ..., a , a son (n + 1) números reales o complejos.
La función polinomial P(x) es siempre de grado n (exponente) si a (coeficiente)= 0; por su parte, los coeficientes de los otros términos pueden o no ser cero.
Se sabe que la grafica de la función líneal: f(x) = ax + b es siempre una __________. Y que si a = 0, la gráfica de ax² + bx + c es una: _____________.
La función P(x) = 2 x7 + ¾ x ___________________________.
+ ¼ x
+ x + 5 ¿De qué grado es?:
Construye las gráficas de las siguientes funciones: 1. F(x) = 4x – 2; dominio -3 ≤ x ≤ 3 2. F(x) = √ x – 3; dominio x ≥ 3 3. F(x) = 1 / (x – 2) 2; dominio x ≠ 2 La construcción de gráficas de polinomios de grado mayor a dos necesita de las siguientes consideraciones:
1. Si n es par y a < 0, la gráfica tendrá dos brazos caídos; si n es par y a > 0, tendrá ambos brazos levantados. Esto se debe al dominio del término de grado más alto para valores grandes |x|. 2. Si n es impar, un brazo cae y el otro se levanta. Nuevamente se debe al dominio del término de grado más alto. 3. El número combinado de valles y cúspides no puede exceder a n – 1; aunque puede ser menor.
Por lo general, al considerar polinomios el objetivo es obtener la solución de uno o más de los siguientes problemas:
a) Dada la función polinomial P(x) y un valor del dominio a , hallar P(a). b) Dada una función polinomial P(x), determinar todos los valores del dominio para los cuales P(x) = 0. c) Dada una función polinomial P , construir su gráfica de la manera más fácil y eficiente.
1.1.4 Métodos de exploración para la obtención de los ceros, aplicable a las funciones polinomiales factorizables de grado 3 y 4.
Trabajo por equipo, máximo cuatro alumnos. Resolución de series de problemas y ejercicios. Resolución de problemas tipo en el pizarrón. Lluvia de ideas. Duración 6 hrs.
Los siguientes teoremas son importantes en la determinación de los incisos anteriores.
Sea P(x) el polinomio que se va a dividir (dividendo), G(x) el polinomio que divide (divisor), de grado menor o igual a P(x); C(x) el polinomio que se obtiene como resultado de realizar la división (cociente), y R(x) el polinomio que sobra de la división (residuo).
Por eso podemos decir que el algoritmo de la división de polinomios es:
Teorema (i): Algoritmo de la división:
P(x) = G(x) C(x) + R(x)
Dados un dividendo P(x) y un divisor G(x) se tiene únicamente un cociente C(x) y un residuo R(x).
Si P(x) = x 4 + x 2 – x + 2 y D(x) = x 2 + x +1, hallar Q(x) y R(x) de modo que: P(x) = G(x) C(x) + R(x) x2-x+1 x 2+ x + 1 x4+ +x2 -x+2
-x4 -x3-x2 -x3 -x+2
+ x 3+ x 2+ x +x2 +2
- x2 - x -1 - x + 1.
De acuerdo al teorema (i) G(x) = x2 – x + 1, Como puede comprobarse. R(x) = - x + 1
Teorema (ii): Teorema del residuo.
Si P(x) es un polinomio de grado mayor o igual a 1 y se divide entre G(x) un polinomio igual a (x – a) donde a es cualquier número real o complejo, hasta obtener un residuo numérico, entonces el polinomio P(a) = al residuo numérico R. Estableciéndose el teorema del residuo: Teorema (ii): P(x) = (x – a) G(x) + P(a)
El teorema del residuo es importante porque el residuo de la división es igual al valor del polinomio P(x), para el valor x = a, es decir: P(a) = R El teorema del residuo se puede emplear para resolver problemas como el siguiente: a) Dada una función polinomial representada por P(x) y un número a del dominio de P, hallar P(a). b) Dada una función polinomial representada por P(x), determinar todos los valores del dominio para los cuales P(x) = 0. A estos números se les llama ceros del polinomio o raíces de la ecuación polinomial P(x) = 0. Ejemplo: Sea P(x) = 3 x 3 – 2 x residuo. Solución: De acuerdo al teorema anterior, el valor de P(2) es el residuo de la división de P(x) entre (x – 2).
+ x – 2. Determinar P(2) utilizando el teorema del
3x2+4x +9 x–2 3x3– 2x2 + x - 2 -3x3+6x2 4x2+ x
-4x2+8x 9x - 2 - 9 x + 18 16 = P(2)
Este teorema tiene significado cuando se consideran los siguientes teoremas:
Teorema (iii): Teorema del factor.
Si a es un cero del polinomio P(x) de grado n > 0, entonces (x – a) es un factor de P(x) igual que lo sería G(x). P(x) = (x – a) G(x).
De otra forma si el polinomio P(x) se factoriza y uno de los factores es (x – a), el valor x = a, será un cero de dicho polinomio, es decir P(a) = 0, si el otro factor resultante de la factorización es G(x) entonces: P(x) = (x – a) G(x).
El teorema afirma que si x es un cero a de P(x), podemos factorizar P(x) como producto de un factor lineal (x – a) y un polinomio de menor grado que P(x).
EJEMPLO: Sea P(x) = x 3 + 27. Determinar un cero de P(x) y factorizar P(x).
Teorema (iv): Recíproco del teorema del factor.
Si (x – a) es un factor del polinomio P(x), entonces x = a y a es el cero de P(x).
Los factores lineales de P(x) nos dan a conocer los ceros del polinomio P(x).
Teorema (v):
Toda función polinomial P(x), existe un valor c real o complejo, tal que c es un cero del polinomio P(x), o sea que P(c) = 0.
División Sintética, Teorema del Residuo y Gráficas
La división sintética y el teorema del residuo proporcionan una forma eficiente para graficar las funciones polinomiales. El proceso se agiliza al formar una tabla de divisiones sintéticas secuenciadas (una tras otra) en donde el elemento que divide se mueve en el dominio de la variable. Divide P(x) = x3 + 3 x2 – x – 3 entre los valores del dominio –4 ≤ x ≤ 2, las parejas ordenadas de valores (x, P(x) ) son las coordenadas de los puntos que forman la gráfica.
1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1
3 -1 0 1 2 3 4 5
-1 3 -1 -3 3 -1 3 9
-3 -15 0 3 0 -3 0 15 = P (-4) = P (-3) = P (-2) = P (-1) = P (0) = P (1) = P (2)
Coordenadas (-4, -15) (-3, 0) (-2, 3) (-1, 0) ( 0, - 3) (1, 0) (2, 15)
a) Exprese 2 x4 + x3 – x2 – 2 / x3 + 1, como un polinomio más una expresión racional propia. b) Encuentra el cociente y el residuo cuando x4 + 6 x3 – 2 x2 + 4 x – 15 se divide entre x2 - 2 x + 3.
c) Divide los polinomios: • • • 2 x3 + 3 x2 – 11 x + 9 entre x2 2(x + 3)2 + 10(x + 3) – 14 entre x + 3 (x2 + 3)3 + 2x (x2 + 3) + 4x – 1 entre x2 + 3
d) Resuelve con división sintética: • • • x4 - 4x3 + 29 entre x – 3 2x4 – x3 + 2x – 4 entre x + ½ x4 + 4x3 + 4 √ 3x2 + 3 √ 3x + 3 √ 3 entre x + √ 3
e) Demuestra que el segundo polinomio es factor del primero y determina el otro factor. • • • x5 + x4 – 16 x – 16 ; x – 2 x5 + 32 ; x + 2 x4 – 3 / 2 x3 + 3 x2 + 6x + 2 ; x + ½
f) Utiliza la división sintética para demostrar que el segundo polinomio es un factor del primero y determínese el otro factor. • • • x4 + x3 – x – 1 ; x2 – 1 x4 – x3 + 2x2 – 4x – 8 ; x2 –x – 2 x4 + 2 x3 – 4 x – 4 ; x2 + 4
g) Encuentra k de modo que el segundo polinomio sea un factor del primero. • • • x3 + x2 – 10 x + k ; x – 4 x4 + kx + 10 ; x – 1 k2 x3 – 4kx + 4 ; x – 1
h) Determina h y k tales que ambos, x – 3 y x + 2 sean factores de: x4 – x3 + hx2 + kx – 6.
i) Determina a, b, y c tales que (x – 1)3 sea un factor de: x4 + ax3 + bx2 + cx - 4
1.1.5 Bosquejo de la gráfica de una función polinomial.
Graficación de una serie de funciones. Discusión sobre su comportamiento. Definición de propiedades y características Duración 4 hrs.
Consideremos el problema de la construcción de gráficas de ciertas funciones polinomiales. f(x) = an xn + . . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
Los puntos de giro, inflexión y las intersecciones con el eje x, requiere de la aplicación del cálculo; pero si el polinomio se puede factorizar en factores lineales o cuadráticos, entonces sí es posible obtener la gráfica del polinomio con facilidad.
Los métodos que utilizaremos más bien serán generales y se aplicarán para trazar un bosquejo de la gráfica y no para obtener una gráfica exacta.
La función polinomial de segundo grado P(x) = ax² + bx + c, con (a, b y c reales), función cuadrática, nos ayudará a repasar las propiedades esenciales.
Grafica la función: f(x) = a x²; a = 0.
1. ¿Cómo es la gráfica con respecto al eje y? 2. ¿Cómo es la gráfica con respecto al eje x? 3. ¿Cuánto vale el cero de la función? Contesta SI o NO: 1. ¿La curva se encuentra contenida en un solo lado del eje x? 2. ¿El lado del eje x donde esta contenida la gráfica esta determinado por el signo del coeficiente a? 3. ¿La curva se encuentra arriba o abajo del eje x según que el coeficiente a del término cuadrático sea positivo o negativo?
Grafica la función polinomial: f(x) = a x² + c; a > 0, c = 0.
a) ¿Cuál es la diferencia que observar entre esta función y la del caso anterior? b) ¿La gráfica de la función está afectada por la constante c? c) ¿La gráfica se trasladó sobre el eje vertical? Contesta SI o NO. a) ¿Si c > 0, la gráfica se desplaza sobre el eje y hacia arriba una distancia igual a la señalada por c?
b) ¿SÍ c < 0, la curva se desplaza sobre el eje y hacia abajo una distancia igual a la señalada por c?.
Construye la función polinomial: f(x) = a x² + b x + c; a = 0.
Análisis. Contesta SI o NO. 1. ¿Las intersecciones de la curva con el eje de las x se puede obtener con la fórmula general para funciones completas de segundo grado? 2. ¿Al punto más alto de la curva se le llama máximo? 3. ¿Al punto más bajo se le llama mínimo? 4. ¿Sí a < 0 la curva tiene un mínimo? 5. ¿Sí a > 0 la curva tiene un máximo? 6. ¿La curva que se obtiene es una parábola?
Obtén la traslación de la función dentro del plano cartesiano y contesta:
1. ¿Cuáles son las coordenadas de la parábola?
1. En cada uno de los ejercicios construye la curva correspondiente a la ecuación que se da. a) y = x3 – 2 x2 – x + 2. b) y = 2 x4 – 11 x3 + 20 x2 – 12 x. c) Y = x5 – 5 x4 – 6 x3 + 38 x2 – 43 x + 5.
2. Si la función polinomial general f(x), igualada a cero, tiene por raíces los números complejos conjugados (a + bi) y (a – bi), en que a y b son reales, b ≠ 0, y i = √ -1, demuéstrese que f(x) tiene un factor cuadrático positivo para todos los valores reales de x, y por tanto, que no hay ningún punto de intersección de la curva y = f(x) con el eje x. 3. Si la función polinomial general f(x), igualada a cero, tiene raíces reales de orden impar , iguales cada una al valor a, demuéstrese que la curva y = f(x) corta al eje x en el punto (a, 0). 4. Si la función polinomial general f(x), igualada a cero, tiene raíces reales de orden par, iguales cada una al valor a, demuéstrese que la curva y = f(x) es tangente al eje x en el punto (a, 0).
5. Para las curvas potenciales y = xn , demuestra: a) Que todas las curvas del tipo parabólico pasan por el punto (1, 1) y el origen. b) Que todas las curvas del tipo hiperbólico son asíntotas a los ejes coordenados.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE POLINOMIOS DE GRADO SUPERIOR
Ejemplo (i): Trazar la gráfica de la función polinomial: P(x) = ½ x³ - x² - 5.5 x + 6
Realiza la factorización del polinomio y completa los espacios en blanco: P(x) = ½ (x + ) (x 1) ( - 4).
Los ceros de P(x) son –3, 1, 4.
Completa las coordenadas donde la gráfica choca en el eje de las x: (-3, ), ( ,0), (4,0) Se puede bosquejar rápidamente la gráfica realizando las consideraciones siguientes: - ∞ < x < -3, -3 < x < 1, 1<x<4 4<x<+∞
Contesta SI o NO: 1. Si aplicamos el teorema del residuo a la región -∞ < x < -3, ¿P(x) < 0? Demuéstralo. 2. Si aplicamos el teorema del residuo a la región: –3 < x < 1, ¿P(x) > 0? Demuéstralo. 3. Si aplicamos el teorema del residuo a la región: 1 < x < 4, ¿P(x) > 0? Demuéstralo 4. Si aplicamos el teorema del residuo a la región: 4 < x < + ∞, ¿P(x) > 0 Demuéstralo. Toma los puntos medios de esas regiones y construye la gráfica.
Hasta el momento se ha considerado que las gráficas constaban de un solo trazo, es decir, no tenían cortes ni puntos aislados, esto se conoce como continuidad. Las funciones polinomiales tienen gráficas continuas, continuidad significa que la gráfica no contiene cortes o saltos.
1.1.6 Problemas de aplicación.
Trabajo por equipo. Duración 2 hrs.
1. Traza la gráfica de de la función P(x) = ½ (x – 3 x³ - x² + 3x). a) Factoriza el polinomio. b) Determina los ceros del polinomio. c) Determina las coordenadas de la gráfica del polinomio. Utilizando el teorema del residuo determina otros puntos de la gráfica: Como podrás notar los puntos de inflexión y giro no se pueden determinar; por eso solo podemos trazar un esquema de la gráfica, basados en las coordenadas obtenidas. 2. En cada caso construye las curvas potenciales cuyas ecuaciones se dan. a) y = (x – 1)3 b) y = (x + 1)5 c) y = x4 + 1 d) y – 2 = (x – 3)4 e) y + 1 = (x – 1 ) 3 / 2 f) y – 1 = ( x + 1) 2 / 3 g) y – 3 = (x + 2) - 4 3. A partir de sus ecuaciones paramétricas, obtén la ecuación rectangular de la curva de Agnesi: y = 8 a3 / x2+ 4 a2 . Efectuar una discusión completa de la curva.
4. Traza la curva cuya ecuación es: x3 + xy2 – 3 ax2 + ay2 = 0. Esta curva se llama: trisectriz de Maclaurin. Como su nombre lo indica puede usarse para trisecar un ángulo cualquiera. 5. Traza la curva cuya ecuación es: x4 + y4 = a4. Esta curva se conoce con el nombre de: curva de cuarto grado de Lamé. 6. En el mismo sistema de ejes coordenados dibujar las porciones de curvas de la familia de curvas xn + yn = 1, correspondientes al primer cuadrante cuando a n se le asignan sucesivamente los valores de ½, 2/3, 1, 2, y 4. Identificar cada lugar geométrico y observar el efecto obtenido haciendo variar el valor de n. 7. Trazar el lugar geométrico de: x3 + y3 – 3 axy = 0. Esta curva se llama: hoja de Descartes. 8. Trazar la gráfica de: (x2 + y2)2 – ax2y = 0. Esta curva se llama: bifoliada. 9. Trazar la curva cuya ecuación es: x3 + xy2 + ax2 – ay2 = 0. Su lugar geométrico es la estrofoide. 10. Trazar el lugar geométrico de: x2y – a2x + b2y = 0. Esta curva se llama: serpentina. 11. Trazar el lugar geométrico de: y1/6 – 2ay3 + a2x2 = 0. 12. Trazar el lugar geométrico de: x2y2 = a2(x2+ y2). Esta curva se llama: cruciforme. Se debe notar que aunque el origen pertenece a la gráfica ningún otro punto de la vecindad de origen está sobre la curva. Un punto, tal como el origen, se llama entonces punto aislado.
13. Obtén de las siguientes funciones su gráfica, dominio, rango, raíces o ceros. a) f(x) = (x + 5) (x + 3) (x + 3) (x + 3) (x – 2) (x – 2) (x – 5) b) f(x) = (x + 4) (x +1) (x – 3) x2 c) f(x) = (x – 2)4 (x + 5)3 x3 d) f(x) = (x – 3)3 (x + 3)2 (x – 5)2 e) f(x) = (x + 3)2 (x – 2)4 x3 (x – 5)3 f ) f(x) = x3 (x2 + 3x +2) g) f(x) = x3 + 2x2 – 5 x - 6 h) f(x) = x4 – 13x2 – 12x
MATEMÁTICAS IV TABLA DE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE UNIDAD DOS. FUNCIONES CON RACIONALES Y RADICALES DURACIÓN 20 HRS. NUM. TEMÁTICA Y OBJETIVOS___________________ Funciones racionales
2.1 2.1.1 El estudiante: Explorará situaciones o problemas que dan lugar a una función racional, en particular las que involucran variación inversa o inversamente proporcional al cuadrado de la variable. Analizará las relaciones y comportamientos que le permitan obtener información para establecer su representación algebraica. 2.1.2 Establecerá la regla de correspondencia de una función racional, asociada a un problema. 2.1.3 A partir de la regla de correspondencia de una función racional, elaborará una tabla de valores que le permita construir su gráfica e identificará su(s) punto(s) de ruptura y asíntotas. 2.1.4 Identificará el dominio de definición y el rango de una función racional, a partir de su regla de correspondencia y de las condiciones del problema.
Interpretará los resultados de la tabla o de la gráfica de una función racional, y obtendrá conclusiones sobre el problema correspondiente.
Resolverá problemas sobre valores extremos, en una función racional, por medio de una aproximación numérica.
2.2 3.1 El alumno: Explorará en una situación o problema que da lugar a una función con radicales. Las relaciones y comportamientos que le permitan obtener información para establecer su representación algebraica. 3.2 Establecerá la regla de correspondencia de una función con radicales, asociada a un problema. 3.3 A partir de la regla de correspondencia de una función con radicales, asociada a un problema. 3.4 Identificará el dominio y rango de una función con radicales, a partir de su regla de correspondencia y de las condiciones del problema. 3.5 Interpretará los resultados de la tabla o de la gráfica de una función con radicales y obtendrá conclusiones sobre el problema de correspondencia. 3.6 Resolverá problemas sobre valores extremos, por medio de aproximaciones numéricas en las cuales se utilicen funciones con radicales.
MATEMATICAS IV. UNIDAD 2
FUNCIONES CON RACIONALES
1. Define al conjunto de los números racionales. 2. Realiza las siguientes operaciones: a) (¾) (1/2) = b) 3 (2/4) + 2/5 (3) = c) 7 (4/7) – 3 (3/2) =
d) ¾ + 4/2 + 3/8 – 2/7 = e) 12/3 + 3/16 – 4/12 – 4(3/8) = 3. Ubica los siguientes números en la recta numérica. Q = { 2/6, 6/8, 12/5, 3/9, 23/34, 9/7, 4/11} 4. Escribe como una razón: a) ¿La fracción de días transcurridos en lo que va del mes? b) ¿La fracción de meses completos que han transcurrido en lo que va del año? c) ¿La fracción de años completos que han transcurrido en lo que va del siglo? 5. ¿Cuántas horas del día duermes?___________¿Qué porcentaje del día estás despierto?__________. 6. ¿Qué número le corresponde al punto p, situado a la mitad de –1 y 0?_________, ¿A qué número racional equivale?_____________. 7. ¿Cómo se obtiene 15/ 21 a partir de 5/7?________________________________, _________________________________________________________________. 8. Si se han leído 50 paginas de un libro de 230 paginas, ¿qué parte del libro se ha leído?____________. ¿Cuánto falta por leer?.
9. Un camión debe recorrer 239 2/4 Km para llegar a una ciudad. Si ha recorrido 173 3/8 Km. ¿ Cuántos Km le faltan para llegar?. 10. Encuentra las fracciones equivalentes completando lo que falta. a) 5 / 3 =___ / -3 d) x / 4 = 2 x / ___ b) 6 / 7 = -6 / ___ e) –3 / ___ = 1 / 5 c) – 1 / 2 = - 1 / ___ f) ___ / - 7 = 5 / - 35
11. Expresa los siguientes números como el cociente de dos números enteros: a) 11 = ____ b) 12 = ___ c) 3 = ___ d) 0 = ___ e) –30 = ___ f) – 23 = ____
12. Ubica los siguientes números en la recta numérica: 1/7 , 2/3, 4/5, 1/2, 4/6, 25/ 17 13. Realiza las siguientes operaciones. a) 7/2 + ½ + 9/2 = c) 8/3 – 3/5 = e) 17/18 – 7/8 = b) 4/3 + 2/5 + 3/8 = d) 34/ 23 – 5/3 = f) 9/12 + 2/3 + 1/5 =
14. Obtén el m.c.d. (máximo común divisor) de los siguientes números. a) 45, 90, 180 c) 9, 6, 18 e) 81, 162, 27 b) 12, 24, 36 d) 15, 45, 90 f) 4, 8, 12
15. Obtén el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de los siguientes números. a) 2,6,9 e) 9, 12, 15 b) 3,9 12 f) 8, 10, 12 c) 4, 8, 12 g) 5, 10, 15 d) 3, 6, 9 h) 10, 14, 18
16. Un camión debe recorrer 180 ½ km para llegar a una ciudad. Ha recorrido 123 2/5 km. ¿Cuántos Km. le faltan para llegar? 17. Realiza las siguientes operaciones: a) (2/3) (3/5) = b) (- 2/8) (4/6) =
18. Gráfica la siguiente función, f(x) = ¾ x + 3
2.1.1 Situaciones que dan lugar a funciones racionales:
Análisis del tema por equipo. Discusión guiada. Resolución de problemas por equipo máximo 4 alumnos. Duración 2 hrs.
Las funciones algebraicas son aquellas que se pueden representar con un número finito de operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división y raíces. Resuelve la siguiente función, para los valores dados del dominio. F(x) = 2 x / 3 – ¾ Un ejemplo: Para obtener las gráficas se consideran únicamente los valores de x para los cuales la función está definida y es real. Responde SI o NO: ¿Las funciones racionales son algebraicas? ; -2 < x < 4.
1. Un fabricante de juguetes tiene gastos fijos de $ 20,000 anuales y costos directos (mano de obra y materia prima) de $ 50 por juguete. Escribe una expresión G(x), el costo promedio por unidad. Si la compañía produce x juguetes cada año. Obténgase la gráfica de G(x) y analícese la figura.
2. Una lata debe contener 10 π pulgadas cúbicas. Escribe una fórmula para f(r), el área total de superficie en términos del radio r. Obtén la gráfica de f(r) y útiliza esta para obtener el radio de la lata que necesita menos material para ser producida.
3. Encuentra una formula para f(x) si f es una función racional cuya gráfica pasa por (2, 5) y tiene exactamente dos asíntotas, y = 2x + 3 y x = 3.
4. ¿Dónde cruza la gráfica de f(x) = (x3 + x2 – 2x + 1) / (x3 + 2x2 – 2) a su asintota horizontal?
Contesta SI o NO. 1. ¿La razón f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones, expresa una función racional?
2. ¿Las funciones que se representan así siempre son continuas?
3. ¿Para los valores en que Q(x) = 0, es decir, los ceros del denominador. La función es discontinua?
4. ¿Los ceros del denominador indican discontinuidad en la función y en la gráfica representan asíntotas?
Una función f es racional sí, para toda x en su dominio f(x) = g(x) / h(x) en donde g(x) y h(x) son polinomios.
Las funciones que se representan en esta forma son siempre continuas a excepción de un número finito de valores de la variable independiente; en particular, aquellos valores para los cuales Q(x) = 0, es decir, los ceros de Q(x). Estos ceros se deben excluir del dominio de f(x) con el objeto de que la razón o cociente P(x) / Q(x) tenga un significado. Con esta restricción el rango es un subconjunto de los números reales, el comportamiento de la gráfica se desarrolla en un entorno de discontinuidad formado por estos puntos. Las expresiones racionales se suman, multiplican, restan, y dividen usando las mismas reglas que se utilizan para los números racionales. El resultado es siempre una expresión racional. Mínima Expresión. Una expresión racional está en su mínima expresión si el numerador y el
denominador no tienen un factor común (excepto el 1). Por ejemplo x / (x – 2) está en su mínima expresión. Para reducir expresiones racionales hay que factorizar al numerador y al denominador y agrupar y dividir (o cancelar) los factores comunes. Reduce las siguientes expresiones racionales:
a) x + 6 / x2 – 36 b) y2 + y / 5y + 5 c) (x + 2)3 / x2 – 4 d) zx2 + 4xyz + 4y2z / x2 + 3xy + 2y2
Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios más simples; factorizarlo sobre los enteros es escribirlo como producto de polinomios conn coeficientes enteros.
He aquí cinco ejemplo:
X2 – 2ax = x(x – 2a)
4x2 – 25 = (2x + 5) (2x – 5)
6x2 + x – 15 = (2x – 3) (3x + 5)
x3 + 1000 = (x + 10) (x2 – 10x + 100) Suma de cubos
2.1.2 Noción de intervalo en la recta real.
Discusión del tema Investigación en la biblioteca Exposición frente al pizarrón Lluvia de ideas Duración 2 hrs.
Los números reales y la recta numérica.
Supongamos que M denota el conjunto de los números enteros M = {0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, . . ., -n, n,. . .} Y que N es el conjunto de los puntos P de una recta l, es decir, N = {P / P es un punto de la recta l} Con el objeto de establecer una correspondencia de M con un subconjunto de N, primero se elige cualquier punto P0 de N, al que denominamos origen de coordenadas. A este punto le corresponde de M al entero 0. El punto P0 toma el punto medio de la recta l, uno de esos lados se escoge como positivo y el otro como negativo. En el segmento positivo se marca una longitud a la que se llama unidad, con origen en el punto P0. Al punto en que termina el segmento unidad le corresponde el entero 1 de M y representa el rango en N; si le llamamos P 1 tendremos: 1  P1. El valor absoluto de la unidad longitud se coloca sobre la recta tantas veces como números se requieran.
Así establecemos la correspondencia entre el conjunto de los números y los puntos de la recta numérica. Ahora podemos ampliar el dominio de esta función manteniendo la misma longitud de la unidad de distancia y el mismo punto donde acaba la unidad, considerando el conjunto de números racionales R. R = { r = p/q / p, q Є M y q ≠ 0} A cada número racional le corresponde un punto de la gráfica de tal manera que: r  Pr ; rЄR ; Pr Є N
Según esto la distancia entre dos puntos se da por: Distancia Pa Pb = /b – a/. Veamos ahora cómo se localiza el punto de l que corresponde a un número real irracional que, como sabemos, se puede expresar como una fracción decimal no periódica infinita. Por ejemplo al valor π = 3.14159265. . ., le corresponde el punto Pπ : Se divide el segmento donde debe ubicarse el valor π hasta el decimal que se desea. Postulado A cada uno de los puntos Px de la recta le corresponde un número real único x y recíprocamente: a cada uno de los números reales x le corresponde un solo punto Px de la recta. Cuando se lleva a cabo esta correspondencia a la recta l se le llama eje coordenado y al número x se le denomina coordenada del punto. El número real x y el rango Px son diferentes, sin embargo es común referirse al punto x y no al punto Px cuya coordenada es x.
Una recta se convierte en eje coordenado cuando a cada uno de los puntos de la recta se le relaciona con un número. La recta l con coordenadas se denomina recta real o eje real. π -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 recta l
1. Cuáles son las coordenadas de los siguientes puntos: a) El punto está a ¼ de distancia de –1 y 3 b) El punto está localizado a 1/5 de distancia de 0 a 10.
Intervalos y desigualdades.
Ya que todo número real es positivo, negativo o cero, se puede enunciar más formalmente la relación de orden. Sean a y b dos números reales. Se dice que a es menor que b (a < b) si y solo si (b – a) es un número positivo. Cuando a < b entonces b es mayor que a (b > a). Ciertos conjuntos de números en el eje real se denominan intervalos, y su definición requiere el uso del simbolismo anterior. Intervalo de una variable, es el conjunto de valores del dominio comprendidos entre dos de ellos que se llaman extremos del intervalo. (a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo abierto es el conjunto de todos los números que se encuentran entre a y b. Amplitud del intervalo cuyos valores extremos son a y b, siendo a < b, es la diferencia b – a. Intervalos cerrados son los que comprenden todos los números que se encuentran entre a y b, incluyendo a sus extremos. [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}. Utilizando estos conceptos, es posible describir intervalos del eje real que son abiertos por un extremo y cerrados por el otro. Los intervalos de este tipo incluyen un extremo y excluyen el otro. De tal manera que se dan dos posibilidades: [a, b) = {x / a ≤ x < b} y (a, b] = {x / a < x ≤ b}
llamados abierto a la derecha y abierto a la izquierda, respectivamente. Los intervalos, siendo conjuntos, están sujetos a las leyes de operaciones, donde el conjunto universal U es el eje real.
1. Consideremos el intervalo abierto (2, 5) y el intervalo cerrado [3, 7]. L a unión de estos intervalos resulta del intervalo abierto por un extremo y cerrado por el otro: (2, 5) U [3, 7] = (2, 7].
[ 0 1 2 ( 3 4
3≤x≤7 5 ) 6
] 7 8
2. Consideremos la intersección de los intervalos [2, 4] y (0, 5). Su intersección está formada solamente por las x comunes a los intervalos. Es abierto por un extremo y cerrado por el otro (0, 4]. Las desigualdades -2 ≤ x ≤ 4 deben satisfacerse y se verifica: 0<x y x≤4 y 0<x<5
lo que indica que la intersección es un intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha.
[ -3 -2 -1
-2 ≤ x ≤ 4 0 ( 1 2 3
] 4 5 ) 6 7
1. Obtén la intersección de los dos intervalos cerrados [2, 3] y [3, 4]
2. Obtén la unión de los intervalos [2, 5] y [10, 12]
3. Obtén la intersección de los intervalos [2, 5] y [10, 12]
Ahora consideremos el intervalo abierto (a, b). El complemento de este intervalo, en símbolos (a, b)´ , es la unión de dos conjuntos (a, b)´ = {x / x ≤ a} U { x / x ≥ b}. El conjunto {x / x ≥ b} es un intervalo que no tiene extremo a la derecha. Se utiliza el símbolo ∞ (infinito) para señalar la inexistencia del extremo derecho y se expresa el intervalo por medio de: [b, ∞) = {x / x ≥ b} Empleando el símbolo -∞ para indicar la inexistencia del extremo izquierdo en el intervalo definido por medio de {x / x ≤ a} da: (- ∞, a] = {x / x ≤ a}. El símbolo ∞ no representa un número real. Se aplica una terminología y notación similar al intervalo (- ∞, a], abierto a la izquierda o [b, ∞) abierto a la derecha. Con estos convenios: (a, b)´= (- ∞, a] U [b, ∞). Si un intervalo es un conjunto vacío, su complemento es el eje real; R = (- ∞, ∞)
1. Localiza el o los intervalos que corresponden a: a) (2, 4] U [3, 6]. b) (2, 4)´ U )3, 6)´. c) (-∞, 3)´. d) (- ∞, 4) U (3, ∞) e) (- ∞, 4] ∩ [3, ∞). Muchos de los símbolos anteriores se pueden utilizar para especificar conjuntos más complejos de puntos del eje real. a) Si A = {x / x – 4 ≥ 0} demuestra que x – 4 ≥ 0 equivale a x ≥ 4, y que el intervalo resultado es [4, ∞), ilústralo en la recta. b) Si B = { x / x | x – 4 |= 1} . Recordando las propiedades de los valores absolutos |x - 4| = 1 equivale a x – 4 = 1 o x – 4 = - 1 ; de aquí que x = 5 ó x = 3. Por lo que : B = {x / |x - 4| = 1} = {3, 5} Observa que el resultado no es un intervalo sino un par de puntos cuyas coordenadas están en 3 y 5.
c) C = {x / |x - 4| ≤ 1}. La condición ‌ x – 4 ‌ ≤ 1 equivale a las desigualdades simultáneas: -1 ≤ x – 4 ≤ 1 Según el teorema (i) de esta sección se puede sumar 4 a los dos miembros y resulta 3≤x≤5
Este par de desigualdades especifica el conjunto {x / 3 ≤ x ≤ 5} o el intervalo [3, 5]. Realiza la gráfica. d) D = {x / (x – 4) / (x – 1) > 0}. Para simplificar la condición (x – 4) / (x – 1) > 0, se necesita que x – 4 y x – 1 sean ambos positivos o negativos. El primer caso x – 4 > 0 por lo tanto x > 4 es parte de la respuesta; en el segundo caso, cuando x – 1 es
negativo, entonces x < 1 , pero x – 4 también es negativo; de aquí que x < 1 es el resto de la respuesta. Al combinar las dos soluciones:
{x / x –1 / x – 1} = {x / x < 1} U { x / x > 4} e) Obtén la gráfica del intervalo.
f) A través de una factorización obtén el intervalo de E = {x / x2 – 5x + 6 = 0} ¿Es un intervalo o dos puntos?
g) F = {x / x2 - 5x + 6 < 0}. Considerando de nuevo la factorización: x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3) < 0. Para que el producto sea negativo, los dos factores deben ser de signos opuestos: Caso 1. Las desigualdades (x – 2) > 0 y (x – 3) < 0 equivalen a x > 2 y x < 3, o simplemente , a 2 < x < 3 . El conjunto {x / 2 < x < 3} es el intervalo abierto (2, 3). Fig 1.
Caso 2. Las desigualdades (x – 2) < 0 y (x – 3) > 0, requiere que sea tal que: x<2 y x > 3,
lo que es imposibles; de aquí que la solución es la obtenida en el caso 1.
Definición de vecindad o entorno de un intervalo.
Supongamos que x0 es un punto fijo sobre el eje real y r un número positivo. Un entorno de x0 de radio r significa un intervalo abierto de centro x0 y longitud 2r. Esta noción se expresa simbólicamente así (N significa entorno): N (x0; r) = (x0 – r, x0 + r). X0 – r < x < x 0 + r ( X0 - r Fig 2 En la fig 2 ,se observa que la desigualdad X0 – r < x < x 0 + r Es una representación de este conjunto utilizando una notación de desigualdad; ahora, al aplicar la ley aditiva (teorema 1) sumando – x0 a todos los términos -r < x – x0 < r. De esta manera la desigualdad se expresa, en notación del valor absoluto así: X0 ) X0 + r
| x – x0 | < r, y el intervalo abierto (x0 – r, x0 + r) y el conjunto {x / | x – x0| < r} son representaciones del mismo conjunto sobre el eje real. Para simplificar la notación basta expresar que N (x0; r) y |x – x0| < r identifican el mismo intervalo abierto: N (x0; r) = | x – x0 | < r.
a) Supongamos que x0 = 2 y r = 1 . Sustituyendo se tiene: N (2; 1) = | x – 2 | < 1 Que representa un entorno de x0 = 2 con radio r = 1 N(2;1) 0 1 2 3 4 5 6
Ahora demostraremos que cada intervalo abierto (a, b) forma un entorno y por lo tanto, puede expresarse por medio de la notación de valor absoluto. Para un intervalo abierto dado(a, b), observemos que la longitud de (a, b) es b – a que nos da: 2r = (b – a) y r = (b – a) / 2
y como el punto medio de (a, b) es el promedio de los extremos, resulta que: x0 = a + b / 2. El intervalo abierto (a, b) viene dado por: (a + b) / 2 – (b – a) / 2 < x < (a + b) / 2 + (b – a) / 2 que es de la forma x0 – r < x < x + r, que es equivalente a: x – (a + b) / 2 < (b – a) / 2,
y, por lo tanto, el intervalo abierto (a, b) se puede expresar en la notación de entorno en la forma: (a, b) = N (a + b) / 2; (b – a) / 2 = x – (a + b) / 2 < (b – a) / 2
b) Sea en intervalo abierto (-1, 4). Fig 3. El radio r = (4 – (- 1) / 2 = 5 / 2 y el punto medio x0 = (-1 + 4) / 2 = 3 / 2. N(3/2; 5/2) ( l -2 l -1 l 0 l l l l 3 ) l 4 l 5 l 6 l 7 l 8
Así (-1, 4) y | x – 3/2 |< 5/2 son representaciones del entorno: N (3/2; 5/2). c) Graficar con el entorno N(2; 3). Ya que por definición: N(2;3) = (2 – 3, 2 + 3) = (-1, 5), Se tiene solamente que graficar el intervalo abierto (-1, 5). N (2; 3) ( -2 -1 0 1 2 3 4 ) 5 6
Intervalo infinito. Si el dominio de una variable es todos los números reales y se considera el intervalo formado por los números mayores que uno dado, o el formado por los números menores que uno dado, se tienen intervalos infinitos. Si comprenden a los números dados se llaman cerrados, en caso contrario abiertos
1. Traza las gráficas de los siguientes conjuntos de números. a) [2, 3] U (3, 4]. c) [-1, 1] ∩ (0, ∞) b) [3, 5] ∩ [4, 5]. d) (-1, 5) ∩ (-5, 1).
2. Trazar los siguientes conjuntos de números y describirlos utilizando: i) la notación de intervalo y ii) la de valores absolutos. a) A = {x / ‌ x + 2 ‌ ≤ 3} b) B = {x / x ≥ 3 ó x < -1}. c) C = {x / (x – 2) (x + 1)(x + 3) > 0} d) D = {x / (x – 1) / (x + 1) > 0}. e) E = {x / x ≤ 0} 3. Gráfica los siguientes intervalos abiertos y descríbelos utilizando: i) la notación del entorno ii) la de valores absolutos. a) (–1,1) b) (-5, 1) U (-1, 5) c) (x, x + 1) d) (x – 1, x + 1)
4. Gráfica los entornos y descríbelos empleando la notación de intervalo. a) N(0; ½). b) N(p;q). c) N(x; x + 1); x > - 1. d) N(n; 1/n); n = entero positivo. N(π; | π |).
2.1.3 Estudio del comportamiento analítico y gráfico; local y al infinito por medio del dominio y rango de las funciones del tipo: F(x) = a / x + b + c . . . f(x) = a / (x + b)2 + c f(x) = P(x) / Q (x); con P(x) y Q(x) lineales o cuadráticas; a, b y c Є R
Discusión del tema. Composición del tema por equipo. Resolución de problemas y ejercicios. Duración 2 hrs. f(x) = x / (x² - 1)
Ayuda a desarrollar el siguiente ejemplo:
Factoriza el denominador: f(x) = x / (
) (x – 1)
El dominio de esta función es el conjunto de los números reales, con excepción de: x = ± 1. En la gráfica las coordenadas A(1,0) y B(-1,0), determinan los puntos por donde deben ser trazadas las asíntotas.
Traza las asíntotas en el plano cartesiano.
El dominio de la función es el conjunto de los números reales, con excepción de: x = ± 1, esta consideración ayuda a definir las siguientes regiones:
- ∞ < x < - 1,
1 < x < +∞
En base a estas regiones sabemos que:
En la región uno: f(x) = 0 f(x) = - ∞ cuando x cuando x - ∞, -1 por la izquierda.
En la región dos. f(x) = + ∞ f(x) = - ∞ cuando x cuando x -1 +∞ por la derecha. por la izquierda.
En la región tres. f(x) = + ∞ f(x) 0 cuando cuando x x 1 +∞ por la derecha.
En base a estas observaciones termina de construir la gráfica.
Las rectas x = -1 y x = 1 separan las tres ramas de la gráfica, por eso se dice que son sus límites naturales.
Observa que la separación de la curva respecto de la recta tiende a cero; cuando un punto se aleja indefinidamente del origen a lo largo de la curva y la separación con la recta tiende a cero, la recta se llama asíntota. En el ejemplo anterior observa que el eje x cumple con esta condición y por eso también es una asíntota.
En las funciones racionales siempre es conveniente encontrar y construir las asíntotas, para después definir las regiones que nos indican la extensión del dominio para finalmente utilizar esta información y determinar las ramas de la curva. Si se desea graficar una función algebraica dada (recuérdese que la función racional también es algebraica), se deben tomar en cuenta las asíntotas, ya sean verticales u
horizontales las regiones que determinan en la gráfica sus ramas, puntos aislados y demás. Determina la gráfica de la función definida por:
f(x) = (x² - 1)½
Si x² < 1 la función determinaría un número imaginario; pero solo estamos interesados en números reales, por lo tanto x² - 1 debe ser mayor o igual a 0, o sea que x² debe ser mayor o igual a 1. Esta restricción se satisface para x menor o igual a –1 ó x mayor o igual a 1, así en el dominio excluiríamos el intervalo abierto –1 < x <
1. Si observamos la función vemos que f(x) = f(-x), por lo que sabemos la gráfica es simétrica respecto del eje y, además por ser la función mayor o igual a 0, la gráfica debe estar sobre el eje x.
Finalmente se puede demostrar que la función y tiende a ± x, que son las asíntotas inclinadas de las ramas de la curva.
Con la información obtenida de nuestro análisis construye la gráfica.
Traza la gráfica de la función: f(x) = (x (x² - 1))½.
Factorizando la función se observa que sus raíces o ceros son: x = 0, -1, 1, con lo que podemos establecer las regiones:
Región uno: -1 < o igual a x < o igual a 0.
Región dos: De cero a uno se obtendrían resultados imaginarios y por estar solo interesados en resultados reales pasamos a la región tres. Región tres: 1< o igual a x < + ∞ En base a estas observaciones construye la gráfica.
Ejemplo tres: Traza la gráfica de la función: f(x) = x² - 2 x / x² - 2x –3.
Recuerda que la función tiene asíntotas para los ceros del denominador.
Obtén los ceros del denominador factorizándolo. x² - 2x –3 = (x + ) (x 3)
En los puntos x = ___ y x = 3 se deben trazar las asíntotas,
Factorizando el numerador x² - 2x, se obtiene: x(x – 2), cuyas raíces x = 0 y x = 2, nos indican los puntos donde la gráfica choca con el eje de las x.
Las regiones que se forman son las siguientes:
Región uno: - ∞ < x < -1
Si damos valores negativos muy grandes a x, la función y tiende a + 1, por lo que se piensa que en y = + 1, debe existir una asíntota. f(x) +∞ cuando x -1 por la izquierda.
Debido a este análisis la primera rama de la función está limitada por las asíntotas x =___ , y x = ____.
Región dos: -1 < x < 3
f(x) Y f(x)
Además debe recordarse que la gráfica según el numerador choca en x = 0 y x= 2. Suponiendo que el punto medio nos muestre el máximo tendremos f(1) = 0.25
Región tres. 3<x<+∞ f(x) f(x) +∞ +1 cuando x cuando x 3 +∞ por la derecha.
En base a esta información construye la gráfica.
1. Construye la gráfica de la función f(x) = x / √ 4 – x2 ; para valores del domminio –4 < x < 4 y contesta las siguientes preguntas: a) ¿En que puntos f(x) corta al eje x? b) ¿Qué pasa cuando x se acerca a 0 por la derecha? c) ¿ Qué pasa cuando x se acerca a 0 por la izquierda? d) ¿ Qué pasa cuando x tiende al infinito? e) Cuál será la asíntota vertical y cuál la horizontal?
2. Traza la gráfica de la función f(x) = 1 / x; para valores del dominio x = {0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 3, 4, 5} y contesta las siguientes preguntas: a) ¿En que puntos f(x) corta al eje x? b) ¿Qué pasa cuando x se acerca a 0 por la derecha? c) ¿ Qué pasa cuando x se acerca a 0 por la izquierda? d) ¿ Qué pasa cuando x tiende al infinito? e) Cuál será la asíntota vertical y cuál la horizontal?
3. Traza la gráfica de la función f(x) = 1 / x – 2; para valores del dominio x = {-2, 0, 1.5, 1.9, 2, 2.1, 2.5, 3, 5} y contesta las siguientes preguntas: a) ¿En que puntos f(x) corta al eje x? b) ¿Qué pasa cuando x se acerca a 0 por la derecha? c) ¿ Qué pasa cuando x se acerca a 0 por la izquierda?
d) ¿ Qué pasa cuando x tiende al infinito? e) Cuál será la asíntota vertical y cuál la horizontal? En general, una función racional puede tener numerosas asíntotas verticales que serán los valores con los cuales el denominador sea cero; pero tendrá cuando más una asíntota horizontal, que se obtendrá dando valores muy grandes o muy pequeños a x, y f(x) tendera a un valor que será el valor de la asíntota horizontal. 1. Determina la asíntota horizontal de las funciones siguientes. 6 x2 + 1 f(x) = 3 x2 - 4 8 x 4 – 2 x3 + 5 b) f(x) = 2 x4 + 3 x -2 3 x 3 – 2 x2 + 5 c) f(x) = 2 x3 + 3 x + 3 Para determinar las asíntotas horizontales de una función racional se sigue el teorema: anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2. . . + a0 Sea f(x) = bmxm + bm-1xm-1 +bm-2xm-2. . . + b0 si n < m, la asíntota horizontal y = 0, si n = m, la asíntota horizontal es y = an / bn si n > m, no hay asíntotas horizontales. x–1 Ejemplo: Traza la gráfica de la función f(x) = x2 – x – 6 = (x – 3) (x + 2) x-1 para valores del dominio x = {10, 100, 1000 } para valores del dominio x = { 10, 100, 1000 }
Paso 1) Se factoriza numerador y denominador, las raíces del numerador señalan los puntos donde la gráfica corta al eje x, las raíces del denominador señalan el lugar por donde pasan las asíntotas verticales. Para x = 1 el numerador se hace 0, por lo tanto 1 es una raíz de la ecuación. Para x = - 2 y x = 3 el denominador se hace 0, por lo tanto por las coordenadas –2 y 3 del eje x pasan las asíntotas verticales. Las asíntotas y raíces determinan varios intervalos a continuación analizaremos cada uno de ellos: Cuando x  - 2 - f(x)  - ∞ para el intervalo (- ∞, - 2). Tercer cuadrante abajo de x Cuando x  - 2+ f(x)  + ∞ para el intervalo (- 2, 1). Arriba del eje x. Cuando x = 1 f(x) = 0 corta el eje x. Punto de inflexión.
Cuando x  3 - f(x)  - ∞ para el intervalo (1, 3) abajo del eje x. Cuando x  3+ f(x)  + ∞ para el intervalo (3, ∞) arriba del eje x.
Paso 2) Al localizar en el eje x las raíces del númerador y denominador, se obtiene para cada intervalo el signo que adquiere la función en cada intervalo, es decir, si la función esta arriba o abajo del eje x. Primer intervalo hacia abajo. Segundo intervalo hacia arriba. Tercer intervalo hacia abajo. Cuarto intervalo hacia arriba. Paso 3) El teorema de las asíntotas horizontales determina cual es la asíntota. Aplicando el teorema de las asíntotas horizontales como n < m la asíntota es y = 0
1. Realiza la gráfica de las siguientes funciones: a) f(x) = 2x2 – 3x – 2 / x2 – x - 12 b) f(x) = x2 + x 6 / x - 2 c) f(x) = 2 / x2 + x - 12 d) f(x) = x + 2 / x2 – 2 x - 8 e) f(x) = x – 2 / x2 – 2 x - 15 f) f(x) = x2 + x – 6 / x2 + x - 20 g) f(x) = x2 / x2 - 4 h) f(x) = x2 – 4 / x2 i) f(x) = x2 / x2 – 7 x + 10 j) f(x) = 1 / x3 + x2 - 6 k) f(x) = 2 x4 / x4 + 1
MATEMATICAS IV. UNIDAD 2 FUNCIONES CON RADICALES DURACIÓN 10 HRS. EVALUACIÓN DIAGNOSTICA
1. Determina las siguientes raíces. a) 2√ 16 x2 b) 2√ 49 / 36 c) 3√ 81 x3 d) 3√ 144 m4 e) 2√ 225 q8 f) 2√ 289 f6 2. Simplifica los radicales a) 5√ 48 c) √ 125 q8 r4 e) √ 169 r6 b) √ 180 x4 d) √ 81f3 f) 3√ 343 m-4
3. Considera radicales semejantes para sumar. a) 12 √ 45 – 7 √ 80 c) √ 125 – 2 √ 20 + √ 180 e) √ 28 + √ 175 – 3 √ 343 b) 6 √ 5 – 29 √ 5 + 20 √ 5 d) √ 12 + √ 72 – 2 √ 48 f) √ 25 / 3 + √ 4 / 3 + √ 16 / 3
4. Racionaliza los denominadores de las expresiones siguientes: a) 22 / √ 11 c) 5 / 8 - √ 6 b) 2 √ 3 / 5√ 2 d) 6 / √ 3 + 4
e) 3 √ 2 / 7 – 2 √ 3 5. Escribe con radicales. a) (27)2/3 b) (4)3/2
f) √ 5 – 2 √ 6 / √ 3 – 4 √ 5
c) (8)4/3
d) (5ab)5/4
2.2.1 Situaciones que dan lugar a funciones con radicales del tipo f(x) = √ ax + b ; f(x) = √ ax² + bx + c
2.2.3 Estudio analítico y gráfico del dominio y el rango de una función del tipo anterior.
2.2.4 Resolución de problemas con fenómenos de diversa índole (geométricos y físicos), susceptibles de modelarse a través de funciones racionales o con radicales.
MATEMÁTICAS IV TABLA DE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE UNIDAD TRES: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS NUM. TEMÁTICA Y OBJETIVOS Situaciones que involucran variación periódica
3.1 3.1.1 El estudiante: Explorará, en una situación o fenómeno de variación periódica, valores, condiciones, relaciones, o comportamientos, a través de diagramas, tablas expresiones algebraicas, etc. que le permitan obtener información de ello como un paso previo al establecimiento de conceptos, y al manejo de las representaciones pertinentes. 3.1.2 Generalización en el plano cartesiano, de las razones trigonométricas para un ángulo cualquiera. 2.3 Círculo unitario: extensión de las funciones seno y coseno para ángulos no Agudos. 2.4 2.5 2.6 2.7 3.1.3 Ángulos positivos y negativos. Ángulo de referencia. Sus cuatro posiciones. Medida de ángulos con distintas unidades: grados y radianes. Cálculo del seno y coseno para ángulos mayores de 90º. Gráfica de la función seno, coseno y tangente. a) Análisis del dominio y rango.
b) Noción de amplitud, período y frecuencia. 3.1.4 Definición de función periódica: a) f(x + k) = f(x) 3.1.5 Gráfica de las funciones: f(x) = a sen (bx + c) + d f(x) = a cos (bx + c) + d a) Análisis de l comportamiento de sus parámetros a, b. c d. b) Fase y ángulo de desfasamiento. 3.1.6 Las funciones trigonométricas, como modelos de fenómenos periódicos. Problemas de aplicación
MATEMATICAS IV. UNIDAD 3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DURACION 20 HRS. EVALUACIÓN DIAGNOSTICA
Un triángulo es una figura plana cerrada compuesta por tres segmentos de recta. 1. ¿Cuántos clases de triángulos conoces, menciónalos?
2. Clasifica los triángulos respecto a sus ángulos, dibujalos.
Sea el triángulo rectángulo con ángulo recto en C. El lado opuesto al ángulo recto se conoce como hipotenusa. De acuerdo con el teorema de Pitagoras: a² + b² = c² En el triángulo rectángulo señala cuál es el ángulo recto y la hipotenusa.
Las funciones trigonométricas con respecto al ángulo agudo a son: a) Seno es igual a cateto opuesto sobre hipotenusa b) Coseno es igual a cateto adyacente sobre hipotenusa c) Tangente es igual a cateto opuesto sobre cateto adyacente 1. Completa las siguientes funciones trigonométricas: Sea: A = Ángulo agudo respecto al cuál se obtienen las funciones trigonométricas c = Hipotenusa b = Cateto Adyacente c = Cateto Opuesto 2. Con base en esta información completa las funciones trigonometricas siguientes: a) Sen A = a / b) Cos A = / c c) Tan A = a / b d) Csc A = c / e) Sec A = c / f) Cot A = b /
3. Obtén las funciones trigonométricas con respecto al ángulo b
Resuelve los siguientes problemas: 1 . Una escalera de 30 pies se apoya en un muro formando un ángulo de 45º con el suelo.
a) ¿A qué distancia aproximada está el pie de la escalera de la base del muro.
3 . Dos personas A y B que se encuentran en el mismo margen se paran frente a un río con una separación entre ellos de 250 ft. El punto C se ubica en la otra orilla, frente al individuo B. El individuo A determina que el ángulo BAC mide 60º. Obtén la anchura del río que es igual a la distancia BC.
5 . El tope de una escalera de 18 ft descansa en el pretil de la ventana de una casa. La escalera forma un ángulo de 60º con el suelo y toca el borde superior de un muro paralelo a a la casa. Si el muro mide 7 ft de altura y 9 pulgadas de espesor, hallar la distancia que existe entre ambos muros.
Para ángulos agudos cuando aumenta la medida del ángulo las funciones seno y tangente aumentan y la función coseno disminuye. Para entender porqué observa los dos triángulos y sigue el razonamiento.
B c=1 A b a c=1 C A b
1 . Halla las longitudes de los lados del triángulo y la medida de sus ángulos internos.
3.1.1 Situaciones que involucran variación periódica.
Lluvia de ideas Trabajo en equipos, máximo cuatro alumnos. Duración 2hrs. Investigación, ejercicios, y problemas de tarea.
1.- La rueda delantera de un triciclo tiene un diámetro de 21 pulgadas ¿Qué tan lejos llegará pedaleando a 60 revoluciones? 2.- Una banda se mueve a razón de 60 ft por segundo y hace girar una polea (una rueda) a razón de 900 revoluciones por minuto. Encuentra el radio de la polea.
3.- La órbita de la tierra es una esfera de radio 3 960 millas. ¿Qué tan rápido se mueve (en millas por hora) un punto en el ecuador como resultado de la rotación de la tierra alrededor de su eje?
3.1.2 Generalización en el plano Cartesiano, de las razones trigonométricas para un ángulo cualquiera.
Investigación en la biblioteca Equipos de trabajo con un máximo de cuatro alumnos Lluvia de ideas Duración 2 hrs. Investigación, ejercicios y problemas.
Cos QOP = x / 1 = x Sen QOP = y / 1 = y Sea θ = QOP, entonces
3. Cada una de esas 360 partes iguales recibe el nombre de 1º. Así la abertura que se forma entre dos rectas que chocan en un punto, al que se llama vértice, se mide en __________, un grado se puede dividir en_____partes iguales, una de esas 60
partes iguales se llama minuto, se representa con una comita, un minuto también se puede dividir en _____ partes iguales, a una de esas _____ partes iguales se le llama segundo, se representa con doble coma. Aunque si se desea medir todo en grados se usan partes decimales del grado, así 35º 40’ (treinta y cinco grados cuarenta minutos), se puede escribir 35. 666°.
4. Convierte a grados minutos y segundos a grados: a) 50° 38’ 25” = b) 27° 15’ 13” = c) 76° 56’ =
5. Convierte de grados a grados minutos y segundos. a) 51. 724º = b) 78. 345º = c) 12.518º =
6.Por convención los grados se consideran positivos cuando se generan en sentido ___________ al movimiento de las manecillas del reloj. Y se consideran negativos cuando se generan en____________al movimiento de las manecillas del reloj.
MEDIDAS EN RADIANES. La medida en radianes aparece cuando se considera la fórmula C = 2 π r. Despejando r del segundo miembro se tiene que C / r = 2π, lo que significa que la circunferencia tiene 2π (aprox. 6.28) arcos de longitud r alrededor de él.
Extendiéndonos en el razonamiento de ángulos podemos formar un ángulo con vértice en el centro del círculo, con un ángulo determinado por un arco de longitud igual al radio a la medida de ese ángulo se le llama radian y equivale a 57.3° o lo que es lo mismo:
Por todo esto podemos establecer dos reglas sencillas de conversión de grados a radianes. Para convertir de grados a radianes, se multiplica por π / 180. 1. Convierte de grados a radianes: a) 35º = _______radianes. b) 125º = _______radianes. c) 92º = ________radianes. d) 68º = ________radianes.
Para convertir de radianes a grados se multiplica por 180 / π. 1. Convierte de radianes a grados: a) 6 rad = b) 23 rad = c) 17 rad = d) 45 rad =
2.Se define un radián como la medida del ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al___________.
En general el número de radianes del ángulo central es igual a longitud del arco / longitud del radio.
Un ángulo central de dos radianes subtiende un arco cuya longitud es el doble del radio de la circunferencia.
Sea rad. la medida del ángulo en radianes Sea r el radio de la circunferencia. Sea B la longitud del arco.
1 . ¿Cuánto medirá la altura de la sombra sobre el eje de las Y proyectada por el vector?
2 . Será cierto que la altura de la sombra en el eje Y esta dada por la función: y = sen θ, demuéstralo. 3 . ¿Cuánto medirá la distancia horizontal que proyecta el vector sobre el eje x? 4. Será cierto que la distancia horizontal que la sombra proyecta sobre el eje x dada por la función: x = cos θ, demuéstralo. 5. Construye con el vector de desplazamiento un triángulo rectángulo y obtén las funciones trigonométricas. Con ello se ha realizado una extensión en el concepto de función porqué además de incorporar el concepto de función trigonométrica para cualquier número θ dado o no en radianes, se ha visto que una de sus muchas aplicaciones sería en el campo de la esta
física donde las funciones trigonométricas se pueden referir al concepto de vector con todo lo que ello implica.
Fig. 1 x > 0, y > 0 cos θ = x / 1> 0, sen θ = y / 1 > 0 6=1∕2
fig. 2 x = √ 3 ∕ 2, y = ½ cos π / 6 = √3 ∕ 2, sen π ∕
Construye un circulo unitario y demuestra lo anteriormente dicho:
Cuando el vector o segmento inclinado se encuentra en el tercer cuadrante cos θ y sen θ son negativos. 3. Construye un circulo y demuestra el dicho.
Cot θ = 1 / tanθ
Cuando el vector o segmento inclinado se encuentra en los cuadrantes II, III, IV, se toma como ángulo de referencia el formado por la componente del vector en el eje x y el vector figuras 3, 4, y 5. Así el ángulo agudo λ se conoce como ángulo de referencia de θ. 1. Si: π / 2 < θ < π , entonces λ = π – θ ; (El ángulo θ varía de 90º hasta 180º ; El
ángulo λ ángulo de referencia de θ , es igual a 180º menos el valor del ángulo θ) Si θ = 3 π / 4, entonces λ = π – 3 π / 4 = π / 4 , así: θ = 3(180º) / 4 = 540º / 4 = 135º
Si π < θ < 3 π / 2 , entonces λ = θ – π. Si θ = 7 π / 6, entonces λ = 7 π /6 – π = π / 6. 3. Construye un circulo y demuestra el ejemplo anterior:
1 . Hallar los valores de las seis funciones trigonométricas de 3 π / 4.
2 . Hallar los valores de las seis funciones trigonométricas de 7 π / 6.
3 . Hallar: ( - π / 5), cos (- π / 5), tan (- π / 5), cot (- π / 5)
4 . Hallar los valores de las funciones trigonométricas de 4 π / 5
3.1.3. Gráfica de las funciones seno, coseno, y tangente
Trabajo de investigación por equipo en la biblioteca Duración 4 hrs. Ejercicios y problemas de tarea
Gráfica de la senosoide. Algunas funciones como sen x repiten sus valores a intervalos regulares. Las propiedades de esta función pueden estudiarse convenientemente por medio de la ecuación
2. f(x – p ) = f(x).
El menor de dichos números positivos p se llama entonces periodo de la función. Todas las funciones trigonométricas son periódicas.
Para obtener el período tanto de la función coseno como de la función seno. Recuérdese que cada ángulo central determina un punto en el círculo unitario. El ángulo central del círculo completo es 2 π (360º). Por tanto, cuando se aumenta 2 π al ángulo central, el punto p después de dar una vuelta vuelve a coincidir con su posición inicial. Puesto que las coordenadas (x, y) de p se dan por:
(cos θ - 2π , sen θ – 2 π)
Para el menor número positivo p = 2 π (360º) para el cual sen (θ + p) = sen θ, observe que sen θ = 1 sólo cuando y = 1, y por lo tanto P= (0, 1). Esto ocurre cuando θ = π / 2, o cuando θ = π / 2 + (un múltiplo entero de 2 π). Se deduce que el seno tiene un periodo de 2 π. En forma similar, cos θ = 1 sólo cuando x = 1 , y por consiguiente P(1, 0). De modo que, cos θ = cos 2 π = 1 , pero cos θ < 1 para 0 < θ < 2π Entonces el coseno también tiene un periodo de 2 π . Cuándo se gráfica el seno o el coseno, una vez que se ha trazado la gráfica para un intervalo de 2 π unidades, el resto de la curva se repite. Por lo tanto, es fácil extender la gráfica a otros valores de θ.
-4π,-7π/2,-3π,-5π/2
, - 2 π, -3 π / 2, - π, - π / 2, 0, π / 2, π, 3 π / 2, 2 π, 5 π / 2, 3 π, 7 π / 2, 4 π
1. La curva es simétrica con respecto al origen 0. 2. A la variable x pueden asignársele todos los valores reales 3. La variable y puede tomar valores reales cualesquiera en el intervalo -1≤ senθ ≤ 1. 4. La curva no tiene asíntotas 5. Por tanto, el lugar geométrico (gráfica) se extiende indefinidamente hacia la derecha y hacia la izquierda del eje x, entre los valores de sen θ = ± 1. 6. Las intersecciones con el eje θ son 0, ± π, ± 2 π, ± 3 π...
7. sen (θ+ π) = - sen θ para toda θ.
Sen (π / 2 + π) = sen 3 π / 2 = - 1 = - sen π / 2
8. sen (- θ) = - sen θ para toda θ. (El seno es una función impar) 9. sen (π – θ) = sen θ para toda θ. 10. La función seno es periódica, con periodo 2π.
Gráfica la función y = sen θ , para los valores del dominio θ = 0 , π / 4 , π / 2 , 3 π /4 ,π
Gráfica de la Cosinusoide. La función trigonométrica cos x se estudia por medio de la ecuación:
Y = cos θ , para el dominio θ = Análisis:
1. El dominio es el conjunto de todos los números reales 2. El rango y esta determinado por el intervalo cerrado [ - 1 , 1] . 3. La ordenada al origen es 1 4. Las intersecciones con el eje x son: ± π / 2 , ± 3 π / 2 , ±5 π / 2... 5. cos (θ + π) = - cos θ , para toda θ 6. cos ( π – θ) = - cos θ para toda θ.
Cos (0 – π) = cos π = - 1 = - cos 7. La función coseno es periódica , con periodo 2 π
Construye la gráfica de y = sen (x + π / 2) ; dados los mismo valores del dominio que en el ejemplo anterior.
a) y = cos θ , 0 ≤ θ ≤ 2π
c) y = cos θ , - π / 2 ≤ θ ≤ 2π
tan θ = sen θ / cos θ ; pero
Además tan θ = 0 cuando sen θ = 0 ; es decir , cuando θ = 0 , ± π , ± 2 π , . . .
De hecho , para toda θ del dominio de la tangente,
Tan (- θ ) = sen (- θ) / cos (- θ) = - sen θ / - cos θ = tan θ
Es evidente que π es el menor número positivo p para el cual tan (θ + p) = tan θ para toda θ puesto que tan θ = tan π = 0 para 0 ≤ θ ≤ π. Por consiguiente la función tangente tiene como periodo π , por lo que su gráfica se repite cada π unidades.
-π/3,π/2,-π/4,0,π/4,π/3,π/2,2π/3,3π/4,π,5π/4,3π/
2,7π/4, 2π
Análisis de la gráfica: 1. El dominio es el conjunto de todos los números reales, con excepción de : ± π / 2 , ± 3 π 2 , ± 5 π / 2 ... 2. El rango es el conjunto de todos los números reales. 3. La ordenada al origen es 0. 4. Las intersecciones con el eje θ son 0 , ± π , ± 2 π , ± 3 π, ... 5. tan (θ + π) = tan θ para toda θ del dominio de la tangente. De hecho la tangente es periódica con periodo π
6. tan ( - θ) = - tan θ para toda θ del dominio de la tangente. (la tangente es una función impar) 7. tan θ tiende a infinito cuando θ se acerca a π / 2 a través de argumentos menores que π/2. En realidad las rectas cuyas ecuaciones son θ=±π/2, θ=±3π/2, θ=±5π/2,... Son asíntotas verticales de la función tangente.
Ejercicios: a) y = tan θ, b) y = 3 tan θ / 2. c) y = tan 2 θ -¾π<θ<¾π –π<θ<π -π/2<θ<π/2
3.1.4 Generalizará el concepto de razón trigonométrica para ángulos agudos en particular seno, coseno, tangente. Trabajo en equipo, máximo cuatro alumnos Duración 2 hrs.
3.1.6 Gráfica de las funciones: f(x) = a sen (bx + c) + d f(x) = a cos (bx + c) + d Trabajo por equipo, máximo cuatro personas. Exposición frente a pizarrón. Hrs.
donde a , k y α son constantes. La amplitud de la curva esta dada por el valor absoluto de la constante a = | a |; la constante a se llama factor de amplitud. Un ciclo completo de la gráfica se obtiene al variar el ángulo kx + α en 2 π radianes. La variación p del periodo de la curva se realizá sumando p a la variable x . Para determinar el valor de p :
k( x + p) + α – (kx + α) = 2π, de donde,
kp = 2 π, y variación periodica p = 2π / k.
observamos que son idénticos en forma, pero si se trazan en el mismo sistema de ejes coordenados aparecen como curvas separadas para las cuales los puntos correspondientes tienen las mismas ordenadas pero sus abscisas difieren en una
cantidad igual a α / k. Se dice entonces que las dos curvas están fuera de fase o defasadas, y el ángulo α / k se le da por esto el nombre de ángulo de fase.
Y = 2 sen ½( x + 2).
Como x = x’ – 2, el nuevo origen de O’ es el punto (-2,0). Y la gráfica puede trazarse con relación a los ejes x y y’ . Una parte de la curva resultante se ha representado en la figura 2; por supuesto, que esta gráfica es tambien el lugar geometrico de la ecuación ( y = 2 sen (½ x + 1)) con relación a los ejes x y y. La escala señalada encima del eje x es con relación al eje y’; la escala inferior es con relación el eje y , se emplea para leer las coordenadas de los puntos que están sobre la gráfica de la ecuación (y = 2 sen (½ x + 1)).
COSINUSOIDE Las cinco restantes funciones trigonométricas pueden estudiarse por medio de sus gráficas, cada una de las cuales recibe un nombre en relación con la función
trigonométrica correspondiente. Así, la función trigonométrica cos x se estudia por medio de la ecuación
la cual significa que y es el arco cuyo seno es x . La ecuación (1) se escribe frecuentemente en la forma: y = sen- 1 x , pero nosotros utilizaremos la notación de la ecuación (1). La relación expresada por la ecuación (1) puede obtenerse a partir de la ecuación: x = sen y despejando y en función de x . Por tanto, la relación (1) es inversa de la relación (2); consecuentemente, la función arc sen x se llama una función inversa del seno, y la gráfica de la ecuación (1) se llama curva seno inversa. Como la ecuación (1) se deduce de la ecuación (2), la gráfica de la ecuación (1) puede obtenerse partiendo de la ecuación (2).
Parte de la gráfica se ha trazado en la fugura (1) , pero llamaremos la atención sobre unn hecho importante: En el caso de la sinusoide, y = sen x, para cada valor asignado a x , se obtiene uno y solamente un valor de y . Decimos entonces que y es una función uniforme de x . En cambio , en el caso de la curva inversa (1), para cada valor que se le asigna a x , se obtiene un número infinito de valores para y. Así , si se le asigna a x el valor ½ , y puede tener uno cualquiera de los valores
siendo n un número entero cualquiera. De acuerdo con esto, se dice entonces que y es una funciónn multiforme de x. Para ciertos estudios se hace necesario restringir los valores de y a un cierto intervalo con el fin de convertir a esta función en uniforme. Para la función arc sen x, este intervalo es: 3π / 2 ≤ arc sen x ≤ π / 2 , y estos valores se llaman los valores principales del arc sen x. El estudiante debe observar que , dentro del intervalo (3) , la variable x puede tomar todos los valores desde –1 a + 1, inclusive. Aquella porción de la curva seno inversa (1) incluída en el intervalo (3) se llama rama principal de la curva ; esta curva es la trazada con una línea más gruesa en la fig. (1). Para la curva coseno inversa cuya ecuación es: y = arc sen x , la variación de los valores principales está dada por el intervalo: 0 ≤ arc cos x ≤ π.
La rama principal de esta curva es la trazada en línea gruesa en la figura (2) Para la curva tangente inversa cuya ecuaciónn es:
y = arc tan x ,
UNIDAD 4: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS NUM. TEMATICA Y OBJETIVOS Funciones Exponenciales
4.1 4.1.1 El estudiante: Explorará en una situación o fenómeno que presente crecimiento o decaimiento exponencial, las relaciones o condiciones existentes y analizará la forma en que varían los valores de la función respectiva. 4.1.2 igualmente espaciados, son constantes las razones de los valores correspondientes de f(x). 4.1.3 Identificará que en la regla de correspondencia de las funciones que Modelan este tipo de situaciones, la variable ocupa el lugar del exponente. 4.1.4 problema Obtendrá, mediante el análisis de las condiciones de una situación o Reconocerá que en este tipo de situaciones, para valores de x
o bien del estudio del comportamiento de algunos valores que obtenga, la expresión algebraica f(x) = caXXX que le corresponda. 4.1.5. Explicará por qué la base a debe ser mayor que 1, en las funciones del Tipo f(x) = aXXX y f(x) = (I/ a)XXX. 4.1.6 Recordará el significado de un exponente negativo, y lo utilizará Para manejar la equivalencia entre f(x) = (1/ a)XXX y f(x) = aXXX 4.1.7 4.1.8 Proporcionará el dominio y el rango de una función exponencial dada. Trazará la gráfica de algunas funciones exponenciales como: 2 , 3 , 10 , e . Les aplicará las modificaciones pertinentes que produzcan, en la gráfica traslaciones horizontales y verticales. 4.1.9 Comparará funciones Potencia. (2 con x² o con x³ por ejemplo). Obtendrá conclusiones al respecto. 4.1.10 Identificará que en f(x) = a (con a > 1) un exponente positivo indica crecimiento decaimiento. Interpretará este hecho tanto en la gráfica de la función como en el contexto De la situación dada. 4.1.11 Aplicará los conocimientos adquiridos respecto a funciones exponencial, mientras que uno negativo, habla de el comportamiento entre funciones exponenciales y
exponenciales, Para modelar algunas situaciones de diversos contextos.
Funciones Logarítmicas 4.2.1 4.2.2 Explicará verbalmente el significado de log x. Explicará el porqué de la equivalencia entre las expresiones y = a y log y = x. Transitará de una expresión a la otra. 4.2.3 Identificará que para una misma base a, la función exponencial y la función Logaritmo respectiva, plantean situaciones inversas una de la otra. (log a =x Ya 4.2.4 = x)
Conocerá la noción de función inversa y explicará en sus propias palabras qué Sucede cuando se aplica una después de la otra.
Representará por medio de funciones logarítmicas algunas situaciones que se Le presenten, y aplicará en ellas, cuando se requiera, las propiedades de los Logaritmos.
Mencionará las ventajas de trabajar con los exponentes para efectuar cálculos Y resolver problemas.
Construirá la gráfica de algunas funciones logarítmicas, en particular de f(x) = log x (para algún valor de a) a partir de reflejar la gráfica de su inversa, en la recta y = x.
Reconocerá a las funciones exponenciales y logarítmicas como una herramienta útil para representar y analizar diversas situaciones.
EVALUACIÓN DIAGNOSTICA. 1. Escribe cada una de las expresiones en forma de potencia y resuelve. a) 3 √ 7-2 c) 3√ 814 d) 4√ 144 f) 5 √ 123 2. Resuelve las siguientes expresiones: a)32 / 3 c) 82 / 3 e) 343 / 6 g) (½)-3 i) 83 62 8- 1 / 2 3. Simplifica y encuentra el resultado: a) (3a1/2) (-2a3/2) c) (21/2x-2/3)6 e) (xy-2/3)3(x1/2y)2 4. Despeja x: a) 4x+1 = (1/2)2x b) 24x 4x-3 = (64)x-1 b) (2x3/4) (5x-3/4) d) (√3x-1/4 y3/4)4 f) (a2 b-1/4)2 (a-1/3 b1/2)3 b) 121 / 3 d) 164 / 2 f) 215 / 3 h) 64 – 2 / 3 j) (4-2) –1/3 b) 2√ 162 c) 1 / 5√ 21 e) 4 (3√ 225) f) 2√ 49 2√ 49
c) x2/3 – 3x1/3 = -2 e) 22x – 2x+1 – 8 = 0
d) (x2 + x + 4)3/4 = 8 f) 5xx-2 = 25
4.1.1 Situaciones que involucran crecimiento y decaimiento exponencial. Leer los problemas en voz alta. Lluvia de ideas. Trabajo de investigación de soluciones en la biblioteca. 2 hrs.
3. Se dice que la isla de Manhattan fue adquirida por Peter Minuit en 1626, que la compro a los indios en $24 dólares. Si en lugar de realizar esa compra Minuit hubiera
depositado el dinero en una cuenta al 6 % compuesto cada año, ¿cuánto dinero habría en esa cuenta en el año 2000?
a) 25½ = c) 71/3 = e) (0. 0023)4 / 3 = g) 123/ 2 = i) 43 / 5 =
b) 82 / 3 = d) (- 0. 234)3 / 5 = f) 45 / 3 = h) (4- 2)3 / 2 = j) 236 / 4 =
Una de las aplicaciones de las funciones exponenciales es en el crecimiento bacteriano y se pueden utilizar para representar el crecimiento de esta poblaciónn en particular. Se observa experimentalmente que el número de bacterias se duplico cada día, si al comienzo hay 1000 bacterias entonces se define la siguiente tabla, en la cual t es el tiempo en días y f(t) es la cantidad de bacterias cuando el tiempo es t:
2 200 0 000 800 0 000
4.1.2 Análisis de la variación exponencial.
Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma f(x) = ax o y = ax , donde la base de la potencia a es constante y el exponente la variable x. Observa las siguientes funciones:
Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2x . Mientras que cuando a < 1 , la función exponencial es una función decreciente, como lo es f(x) = 2 - x
Definimos una función exponencial como una función de la forma y = ax , donde a > 0 y a ≠ 1, además a es un número real positivo y x es un entero positivo, entonces
a x = a · a . . . · a , donde a se repite x veces como factor.
3. f(x) = ax ;
a=⅛;
Si q es negativo , entonces a q = 1 / a – q .
Por ejemplo: 271 / 3 = 3 √ 27 , 811 / 2 = 2 √ 81 = 9, 25½ = 2 √ 25 = 5.
(a1 / n)m = am / n y (am)1 / n = am / n Por lo que definimos:
Am / n = (n √ a)m = n √ am
Con base en estas definiciones, definimos a y q√ a
como q √ a p donde p y q son enteros
es la raíz q – ésima de a p . Le hemos dado así significado a expresiones de
la forma ax , donde la base a es un número real positivo y el exponente x es un número racional.
a-m / n = 1 / am / n Tenemos:
Exponentes reales.
Las potencias irracionales como 2π , se redondean hasta el decimal requerido. Sea:
b es una constante denominada base y el exponente x es una variable. Se requiere que b sea positivo para evitar trabajar con números complejos como (-2) ½. Pero, ¿qué significa ax , donde la base es un número real positivo y el exponente x es un número irracional?. Es posible demostrar que para x irracional b
aproximar hasta donde se desee, usando aproximaciones de números racionales para x. Dado que √2 = 1.414213 . . . por ejemplo la sucesión 2 1.4 , 21.41 , 21.414 , . . . se aproxima a 2
y conforme se aumentan las cifras decimales a la derecha mejora
dicha aproximación.
Algunos tipos de bacterias se reproducen por mitosis, dividiéndose la célula en dos en espacios de tiempos muy pequeños, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se produciran en estos casos, a partir de una sola bacteria, en un día?
Esto nos da una idea del llamado crecimiento exponencial, expresión que se utiliza cuando algo crece muy de prisa. De esta observaciones deducimos las primeras consecuencias para las funciones exponenciales: Para que la función tenga sentido y se pueda dibujar su gráfica a > 0. Habrás observado también que la función cuando a > 1 es muy distinta que cuando a < 1 y además que cuando a = 1 se trata de una recta. Evidentemente si a = 1 se trata de la función y = 1 que es una recta horizontal.
- Los valores de y son siempre positivos por tanto: la función siempre toma valores positivos para cualquier valor de x. - La función siempre es creciente o siempre decreciente (para cualquier valor de x), dependiendo de los valores de la base “a” - La función se acerca al eje x tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacía la derecha en el caso en que a < 1 y hacia la izquierda en caso de que a > 1.
Caso particular a > 1 (y especial a = e) Seguro habras observado que: - Si la base es mayor que 1 , la gráfica de la función es siempre creciente. - El eje x es una asíntota hacia la izquierda, mientras que hacía la derecha la función tiende a infinito.
La frase crecimiento exponencial con frecuencia la relacionamos con temas como el de la explosión demográfica, tasa de rendimiento bancario, gasto de energía, producción de alimentos, etc..., la gente siempre piensa en crecimientos explosivos, el que una función f(x) crezca exponencialmente con el paso del tiempo significa que satisface la siguiente expresión:
En la división celular, una célula se divide de manera que después de pasado un tiempo x hay dos células, cada célula repite el ciclo de reproducción de manera que al cabo de otro tiempo x habría cuatro células el proceso sigue en progreso de manera que percibimos el crecimiento a través de la siguiente sucesión:
T F(t) c = 100;
a = crecimiento de las bacterias en base = 2 ,
para este caso. El modelo de crecimiento exponencial aporta una muy buena aproximación al crecimiento de organismos simples siempre y cuando la población inicial sea muy grande. En general, si A (t) es la cantidad al tiempo t de una cifra que crece exponencialmente a una razón r (escrita como decimal), entonces:
A(0) es la cifra inicial, al tiempo t = 0.
Se depositan $ 1000 al 8 % de interes compuesto cada año. Después de un año se añaden intereses de (0. 08)(1000) = $ 80 a sus $1000, dándole un total de $1080. pero obsérvese que 1080 = 1000 (1.08). Durante el segundo año, 1080 gana intereses. Al final de ese año, el banco añade (0.08) (1080) a la cuenta, dando un total de: 1080 + (0.08) (1080) = (1080) (1.08) = (1000) (1.08) (1.080) = 1000 (1.08)2
Declinación Exponencial. Como parte del proceso natural algunas cosas decrecen o decaen exponencialmente, esto significa que la función f(x) decrece con el tiempo t y satisface : y = cat
donde c y a son constantes , además c > 0 y 0 < a < 1.
Características de las funciones exponenciales crecientes:
1)El dominio es el conjunto de los números reales. 2) El rango es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos. 4) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas. 6) El limite de y = ax cuando x disminuye indefinidamente se aproxima a cero, esto es, lim ax = 0. x ∞ Características de las funciones exponenciales decrecientes. 1) El dominio es el conjunto de los números reales. 2) El rango es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos. 4) Todas las funciones intersecan en el eje y en el punto (0, 1). 5) Son funciones continuas. 6) El limite de y = a
cuando x aumenta indefinidamente la función se aproxima a
cero, esto es, lim a –x = 0.
x∞ Ya sabes como calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x. Ahora queremos proceder en forma inversa. Partiendo de y, ¿cómo podemos determinar a x? Por ejemplo: Sí 8 = 2x ¿cuál es el valor de x?_____________; si 100 = 10x . ¿cuál es el valor de x_________.
4.1.4 Importancia y caracterización del número e
Para propósitos inductorios, es conveniente es conveniente la elección de las bases 2 y ½ ; sin embargo, se utiliza mucho más a menudo como base exponencial cierto número irracional, denotado por e, para fines teóricos y prácticos. En efecto, con frecuencia se hace referencia a f(x) = e x. El valor de e esta dado aproximadamente por (1 + 1 / n)n Se trata de un número irracional, con infinitas cifras decimales y no periódico, cuyo valor es 2.718281. . . En sus seis primeras cifras decimales. Evidentemente e > 1 Además de escribirse y = ex , también se puede escribir y = exp (x).
3. ¿ Qué función obtenida a partir de la exponencial, cortaría al eje x como asíntota horizontal?
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES 1. ax ay = ax + y 2. ax/ ay = ax – y 3. (ax)y = axy 4. (ab)x = ax by 5. (a / b)x = ax / bx
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL.
GRÁFICAS EXPONENCIALES USUALES.
Es útil comparar las gráficas de y = 2x con y = (½)x = 2-x mediante la representación de ambas gráficas en el mismo sistema de coordenadas. La gráfica de f(x) = bx ; b > 1 resultara muy parecida a la gráfica de y = 2 x , y la gráfica de f(x) = bx ; con 0 < b < 1 resultará muy parecida a la gráfica y = (½) x. Ambos casos el eje x es una asíntota horizontal y la gráfica nunca lo tocara. Una función exponencial es creciente o decreciente y por lo tanto es uno a uno y tiene una inversa que es una función. Este hecho será importante cuando se defina una función logarítmica, como la inversa de la función exponencial.
1. Resolver la ecuación Y = 3 5x – 8 = 9 x + 2
2. Si f(x) = (3 / 2)x y g(x) = 3x , traza las gráficas en el mismo plano. Por ser 3 / 2 > 1, 3 > 1cada gráfica asciende al aumentar x.
4.2.1 Situaciones que dan lugar a funciones logarítmicas.
A la inversa de la función exponencial con base a se le llama función logarítmica con base a , y se representa: y = log a x, a > 0, a≠1
En las funciones logarítmicas la base permanece la misma y el valor del exponente cambia, así cualquier número real, con excepción de 0 y 1, puede usarse como base “ a ” de un sistema de logaritmos. Son funciones donde el dominio debe ser mayor de cero, pues no existe el logaritmo de cero ni de un número negativo, el porque de dicha característica reside en el hecho que al elevar una base positiva nunca puede obtenerse como resultado un valor negativo ni menor de cero. Para hallar el dominio de la función conviene establecer una inecuación con la función afectada por el logaritmo (U(x) > 0) y despejar x . La solución de dicha inecuación será el dominio de la función (siempre y cuando no se encuentre una variable x por fuera del logaritmo).
El rango de la función abarca todo el conjunto de los números reales. F(x) = log (U(x)). La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R en R. Loga : R+  R+ X  loga y = x [a > 0, a ≠ 1] 1. La función logarítmica solo está definida para números positivos. 2. Los números negativos y el cero no tienen logaritmos
3. La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. 4. Las funciones logarítmicas más usuales son las de base 10 y la de base e = 2.718281. . . Debido a la continuidad de la función logarítmica, los limites de la forma: Lim [loga f(x)] xa se hallan por medio de la fórmula: lim [loga f(x)] = loga [lim f(x)] x a x a Propiedades de la función logarítmica 1. El dominio de la función es el conjunto de los números reales positivos. 2. El rango de la función es el conjunto de los números reales. 3. El valor de x donde f(x) = 0 , es 1 , la gráfica de f no tiene intersección con el eje y. 4. El eje y es una asíntota vertical de la gráfica de f. 5. La función es creciente en el intervalo (0, ∞) si b > 1 y decreciente en el intervalo (0, ∞) si 0 < b < 1 6. La función f es uno a uno. Es importante recordar que y = logb y x = by describen la misma función, por lo que se dice que son equivalentes; mientras que y = bx es otra función exponencial que está relacionada. Y concluyendo, puesto que el dominio de una función exponencial incluye a todos los números reales y su rango es el conjunto de los números reales positivos, el dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos y su rango es el conjunto de todos los números reales. Recuerde que
el logaritmo de cero, o de un número negativo, no está definido, se sugiere ver la gráfica de b > 1 para un mejor entendimiento de este fenómeno. A las operaciones, adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, añadimos una nueva que llamamos logarítmación. Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar o incluso hacer posible cálculos numéricos. Un problema Se convierte en un problema De Adición Substracción Multiplicación
de Multiplicación División Potencias y raíces
Propiedades de los logaritmos Con b > 0, b ≠ 1, M > 0, N > 0 1. logb bx = x 2. logb MN = logb M + logb N 3. logb M / N = logb M – logb N 4. logb Mp = p logb M 5. logb M = logb N si y sólo si M = N 6. logb 1 = 0 Características útiles:
1. Dominio (0 , ∞) 2. Recorrido (- ∞ , ∞) 3. puntos: (1 , 0) 4. Siempre creciente 5. Continua
6. lim (loga x) = + ∞ x∞ 7. lim (loga x) = - ∞ a) Gráfica la siguiente función. y = log2 x 2 < x < 20
Y = loga x (0 < a < 1) 1.Dominio: (0 , ∞) 2. Rango: (- ∞ , ∞) 3. Puntos: (1 , 0) 4. Siempre decreciente. 5. Continua 6. lim (loga x) = - ∞ x∞
7. lim (loga x) = + ∞ a) Gráfica la función y = log½x; Para el dominio x = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}.
2. Efectúe el cambio de la forma logarítmico a la forma exponencial. a)log2 8 = 3----------8 = 23 b) log5 5 = 1---------5 = 51 c) log8 (1 / 512) = - 3--------1 / 512 = 8-3 d) log9 3 = 1 / 2----------3 = 91/2 e) log3 1.4422 = 1 / 3-------1.4422 = 31/3 f) log2 (1 / 4) = - 2-----------1 / 4 = 2-2 g) log4 (1 / 16) = - 2--------1 / 16 = 4-2
Sistemas de ecuaciones logarítmicas Se llaman sistemas de ecuaciones logaritmicas a aquellos en los cuales una o más incógnitas se encuentran dentro de una operación de logaritmos. Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.
Resolver el sistema: 2 log x – log y = 5 log (x · y) = 4 (1) (2)
Cambio de base de logaritmos.
Si tenemos las imágenes de cualquier número x Є R
mediante , por ejemplo log2 ,
para hallar los mismos rangos (y) mediante log10 de los mismos x , bastará con multiplicar las primeras por una misma constante k. Elijamos como constante:
Comprobaremos que esta última función es precisamente log. En efecto, la función logaritmo: x log (x) es continua por definición. Al multiplicar cada una de las
imágenes por la constante k, la función obtenida seguirá siendo continúa y creciente como log, pues la constante k, la función obtenida seguirá siendo continúa y creciente como log, pues la constante k = 1 / log2 10 es mayor que 0.
Por ser continua y creciente en todo semieje positivo, la nueva función es una aplicación biyectiva: R+0 dominio del número 10? R. Así por ejemplo, nos podemos preguntar, ¿cuál es el
[1 / log2 (10) ] log2 (10) = 1
Gráfica de funciones logarítmicas y exponenciales.
Puesto que las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversas entre sí, la gráfica de una función logarítmica y = log a x es la reflexión de la gráfica de la función exponencial y = ax respecto de la línea y = x. a) Gráfica en un mismo plano cartesiano las funciones: y=ax, y = loga x
b) Gráfica en un mismo plano cartesiano las funciones: y = ax , y = loga x y=x Puesto que la función de logaritmo natural y = ln x y la función exponencial y = e x son funciones inversas, podemos obtener la gráfica de y = ln x por reflexión de la gráfica de y = ex respecto de la línea y = x. c) Gráfica e un mismo plano cartesiano las funciones: y = ln x y = ex y=x
La gráfica de una función inversa puede obtenerse reflejando la gráfica de la función original en la recta y = x. Así puede obtenerse la gráfica de y = log a x para a > 1, calculando los puntos como se muestra en la tabla:
X Y = ax con a = 2
Y = loga con a = 2 (x , y)
0. 125 0. 25 0. 5 1 2 4
(-3 0.125) (-2 , 0.25) (-1 , 0. 5) (0 , 1) (1 , 2) (2 , 4)
, 0. 125 0. 25 0. 5 1 2 4
(0. 125 , - 3) (0. 25 , -2) (0. 5 , -1) (1 , 0) (2 , 1) (4 , 2)
a) Registra los datos de la tabla en un plano cartesiano, dobla la hoja de papel a lo largo de la recta y = x. b) ¿Coinciden las gráficas exactamente?, c) ¿Por qué, como son las funciones?
La gráfica y = loga x para 0 < a < 1 se muestra a continuación:
X y = ax con a = 0.5 (x , y) -3 -2 -1 0 1 2 3 8 4 2 1 0. 5 0. 25 0. 125
X 8 4 2 1 0. 5 0. 25 0. 125
y = loga x; con a = 0. 5 (- 3 , 8) -3 (- 2 , 4) -2 (- 1 , 2) -1 ( 0 , 1) 0 ( 1 , 0.5) 1 ( 2 , 0. 25) 2 ( 3 , 0. 3 125)
1. f(x) = ln(x2 + 1) 2. f(x) = (ln x) / x 3. f(x) = x ln (x)
R = ½ bh ;
2. Paralelogramo R = bh
3. Trapecio 4. Círculo
R = ½ (b1 + b2) h C=2πr;R=πr2
B = área de la base. h = altura r = radio s = lado 6. Prisma 7. Pirámide V=Bh V = 1 / 3 B h; AL = ½ p · a; AT = AL + AB = P(a + a´) / 2 S = área lateral E = área de la esfera T = área total V = volumen
8. Cilindro circular recto S = 2 π r h ; T = 2 π r ( h + r) ; V = π r 2 h. 9. Cono circular recto S = π r s ; T = π r ( s + r) ; 10. Esfera S = 4 π r 2 ; V = 4 / 3 π r 3 V=1/3πr2h
1. Dos figuras son semejantes si: Si una es reproducción a escala de la otra. Tienen la misma forma, y tienen o no el mismo tamaño. Si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. 2. Dos triángulos son semejantes si: Sus ángulos correspondientes son iguales. Sus lados correspondientes son proporcionales. Dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo.
Un ángulo agudo de uno es igual a un ángulo agudo del otro triángulo. Dos pares de lados correspondientes son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual en ambos triángulos.
LA REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE PI (π)
Desde tiempos primigenios los científicos se dieron a la tarea de estudiar la ardorosa carrera del astro rey. De sus innumerables observaciones determinaron que el sol describe una semi-circunferencia sobre el horizonte. A esta semi-circunferencia le dieron el nombre de pi La estructura de la semi-circunferencia consta de: a) Semi-perímetro o arco – a b) Diámetro o cuerda – D c) Radio – r d) Centro – c a) El semi-perímetro o arco está formado por una serie de puntos que equidistan de uno llamado centro. b) El diámetro es la línea recta que pasa por el punto llamado centro y va de un extremo a otro de la semi-circunferencia. c) El radio es la distancia entre el punto llamado centro y cualquiera de los extremos de la semi-circunferencia. d) El centro es el punto que divide al diámetro en dos radios. También se dice que es el punto que equidista de cualquier punto del arco.
Diámetro c radio
e1 y e2 = Extremos de la semi-circunferencia.
En la media circunferencia el arco y el radio desarrollan una proporción: a) El radio sobre el arco cabe 3.1416 veces Esto se puede representar de las tres siguientes formas: i) ii) π / r = 3.1416
0.1416 rad
π = r + r + r + 0.1416r = 3.1416r
b) Si en la media circunferencia el radio gira sobre el punto llamado centro en sentido contrario a las manecillas del reloj, de un extremo a otro engendra un ángulo de 180 °, un grado equivale a dividir la circunferencia en 360 partes iguales, a una de esas partes se le llama grado. π = 180° c) Si en la media circunferencia el centro y los puntos que deja el radio sobre el arco determina 3.1416 ángulos iguales a cada ángulo se le llama radian. i)
Cada radian equivale a 57.3° aproximadamente. π / 3.1416 = radian = 57.3° ; π = 180° ; 180° / 3.1416 = radian = 57.3°
a) La semi-circunferencia representa geométricamente a pi (π) b) Sus elementos o partes interactúan de las siguientes formas: i) El radio sobre el arco cabe 3.1416 veces; π / r = 3.1416 ii) En la semi-circunferencia hay 180°; π = 180° iii) En la semi-circunferencia hay 3.1416 radianes iv) Cada radian equivale a 57.3° aproximadamente.
a) 2π representa geométricamente a la circunferencia b) π + π = 2π
Sobre la circunferencia el diámetro cabe 3.1416 veces: D = 2r 2π / D = 2π / 2r = π / r = 3.1416 Para determinar el perímetro de la circunferencia se multiplica 2π por el radio Pc = 2πr Ejemplo: Calcula el perímetro de una circunferencia de radio igual a 3 centímetros. Pc = 2πr =2(3.1416) (3cm) = 18.85 cm.
Un ángulo expresado en grados se puede expresar en términos de π, obteniendo su razón con 180° y multiplicando el resultado por π. Ejemplo:
25° = 25° / 180° = 5 / 36 Multiplicando por π 25° = (5 / 36) (π) El resultado está en medida circular Comprobación: 25° = 5 (180°) / 36 = 900° / 36 = 25° Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales 1 radian = 57.3° 1 radian = 206,265`` Para convertir de grados a radianes se dividen los grados entre los radianes en grados. El resultado estará en radianes. Ejemplo: Convierte 75° a radianes 75° / 57.3° = 1.308 radianes Comprobación: 1.308 (57.3°) = 75°
B. Algebra ECUACIONES
Los objetos del mundo real, cuando se dibujan en papel dan lugar o forma a los llamados cuerpos geométricos, estos cuerpos geométricos o sus secciones (partes del cuerpo geométrico) son dibujos que matemáticamente pueden representarse como ecuaciones. Son ejemplos de cuerpos geométricos: i) Las pirámides ii) Los conos iii) Los cubos iv) Los cilindros, etc. Las secciones o partes de los cuerpos geométricos más comunes son: i) La línea recta ii) La circunferencia iii) La parábola iv) La elipse v) La hipérbola, etc. En la escuela nos enseñan que la palabra ecuación es una palabra de origen francés que en nuestro idioma, significa igualdad, en matemáticas la igualdad consta de dos miembros separados por el signo de igual, el miembro izquierdo recibe el nombre de primer miembro y el de la derecha, segundo miembro. Por ejemplo, la ecuación general de la recta es así: Ax + By + C = 0 Esto significa que la familia de rectas siempre se representa de esta forma y solo se diferencian una recta de otra, sustituyendo las letras A, B, C, con valores numéricos diferentes. En fin, la expresión Ax + By + C = 0, cumple con la definición de ecuación, siendo el primer miembro Ax + By + C, y el segundo miembro es 0. La función asociada de cualquier ecuación se obtiene despejando y, en el caso de la ecuación general de la recta será: y = - ( A/B ) x – (C/B) ------ Función asociada La geometría analítica es la rama de las matemáticas encargada de estudiar las características, propiedades y el comportamiento de los cuerpos geométricos o sus secciones, en el caso de la recta, algunas preguntas sobre estas características, propiedades o comportamiento podrían ser: i) ¿Cuál es la pendiente de la recta? ii) ¿En que punto choca con el eje x o y? iii) ¿Cuál es el dominio de la ecuación? iv) ¿Cuál es el rango de la ecuación? v) ¿Cuál es la función asociada? vi) ¿Cuál es la coordenada de su punto medio?
La geometría analítica desarrolla métodos y procedimientos para contestar preguntas como las de arriba, algunos serían: i) Factorización ii) División sintética iii) Simplificación de la ecuación general iv) Vectores en el plano v) Coordenadas en el espacio tridimensional Herramientas como las anteriores se utilizan para darle cara a problemas que necesitamos resolver en lo físico, como por ejemplo: i) ¿Cuál es la relación entre distancia y tiempo? ii) ¿Cuál es la relación entre velocidad y tiempo? iii) ¿Cuál es la órbita que sigue Saturno? iv) ¿Cuál es el brazo de palanca en determinado momento de torsión? O desarrollar temas como: a) Presión b) Temperatura c) Ondas mecánicas, etc.
ECUACIONES CUADRATICAS.
1. La división por cero es una operación excluida. 2. Si el producto de dos o más cantidades es igual a cero , uno de los factores , por lo menos debe ser igual a cero. 3. Ecuación de segundo grado. La ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0, tiene las raíces: x = - b ± √ b2- 4 ac ∕ 2 a a ≠ 0,
en donde D = b
– 4 a c se llama discriminante. Si a, b, y c son todos números
reales, estas raíces son reales e iguales si D = 0 ; reales y desiguales si D > 0 ; complejas conjugadas si D < 0. Suma de las raíces = - b / a ; producto de las raíces = c / a
Sean a y b dos números reales. Se dice que a es menor que b (en símbolos a < b) si y sólo (b – a) es un número positivo. Cuando a < b entonces b es mayor que a ( b > a). Teorema (i): Ley aditiva Si a < b y c es cualquier número real, entonces (a + c ) < (b + c).
Teorema (ii): Ley multiplicativa Si a < b y c es positivo (c > 0), entonces ac < bc Corolario de teorema (ii)
Si a < b y c es negativo, entonces ac > bc Teorema (iii): Ley transitiva Si a < b y b < c, entonces a < c.
1. Las potencias enteras de los números complejos, se obtienen empleando el teorema de Moivre.
√ Z = (Z) 1∕ n = (r) 1 ∕ n cos ( θ + 2 k π / n ) + i sen ( θ + 2 k π / n
Están uniformemente distribuidas en un círculo de radio (r)
que tiene su centro en
el origen. El valor del ángulo entre dos raíces consecutivas es 360 º / n.
1. Las ecuaciones de la forma x n ± a = 0 se denominan ecuaciones binomias.
+ c = 0 se les llama y el segundo x 2, las
ecuaciones TRINOMIAS y cuando el primer término tiene x ecuaciones se llaman BICUADRATICAS.
3. Teorema fundamental del álgebra: Independientemente del grado de una ecuación polinomial , ésta por lo menos tiene una raíz.
5. Todo polinomio P(x) de grado n ≥ 1 , con coeficientes reales o complejos, tiene por lo menos un cero real o complejo y por lo tanto toda ecuación P(x) = 0 tiene por lo menos una raíz real o compleja.
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base al número 10.
Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base al número e.
Log 49 = 1.6901. Antilog 1.6901 = 49 · 101.6901 = 49
Colog N = log 1 / N = - log N
5. La posición de un punto P con relación al eje polar y al polo, se determina cuando se conocen r y θ. Estas dos cantidades se dicen las Coordenadas Polares del punto P, a r se le llama Radio vector y a θ se le llama Ángulo polar o Argumento de P y la posición del punto se simboliza por P (r , θ).
6. Para encontrar las coordenadas polares cilíndricas de cada punto (x , y, z) se representan la primera y segunda coordenadas en términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera por ello:
r = √ x2 + y 2 , θ = π + tan – 1 y / x 2 π + tan – 1 y / x
si x >0 , y < 0
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