Source: https://es.scribd.com/doc/150561164/Resolucion-de-Problemas-Matematicos
Timestamp: 2016-12-10 13:14:42+00:00

Document:
NavegarInteresesBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultNavegar porLibrosAudio librosArticlesPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseJESÚS ESCUDERO MARTÍN (Profesor coordinador) CARLOS GONZÁLEZ RODRIGO, ÁNGEL OREJA MARTÍN, GUILLERMO CASTÁN BREZNES, JUAN JESÚS IGLESIAS RUÍZ (Alumnos de 4º de ESO)
: 84-89005-25-7 Depósito Legal: S. desarrollo curricular y materiales didácticos.R.N. Salamanca y los autores Diseño de cubierta: Jesús Luengo I.La serie Documentos curriculares del Centro de Profesores y Recursos e Salamanca pretende difundir las experiencias de los profesores con na finalidad práctica y divulgará temas de innovación educativa. S.
© C.A.P.B.S.
. investigación. 59-1999 Imprime: EUROPA ARTES GRÁFICAS.
Introducción Ideas. etc. Problemas. Rasgos que caracterizan a los buenos problemas. Bibliografía. Desarrollo de algunas estrategias de resolución de problemas. creencias. Soluciones. Pautas a seguir en la resolución de problemas. sobre la resolución de problemas. 7 8 11 13 17 29 73 97
INTRODUCCIÓN. quien no quiere hacer nada encuentra una excusa”. lo cual no significa ausencia de esfuerzo. En el caso del idioma matemático.
“Quien quiere hacer algo encuentra un medio. Ese idioma se pretende que sea aprendido por nuestros alumnos. y por su aplicación a situaciones muy sencillas y ajenas a sus vivencias (los ejercicios). de unas técnicas para hacerlo. 1958)
Matemáticas es la única asignatura que se estudia en todos los países del mundo y en todos los niveles educativos.
. tradicionalmente. hasta conseguir que lo "hablen". La causa fundamental de esa universal presencia hay que buscarla en que las matemáticas constituyen un idioma “poderoso. Supone un pilar básico de la enseñanza en todos ellos. por todos los medios.7 -
. por supuesto. sino. y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario. 1985). Pero sobre todo se necesitan situaciones que inviten a comunicarse por medio de ese idioma. transformar este sufrimiento en goce. y. La utilización de un idioma requiere de unos conocimientos mínimos para poder desarrollarse. la tortura de los escolares del mundo entero. (Proverbio chino) “La matemática ha constituido. desde luego. a esforzarse en lograrlo. (Puig Adam. alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces”. conciso y sin ambigüedades” (según la formulación del Informe Cockroft. y no seríamos buenos profesores si no procuráramos. pero la enseñanza no debe ser una tortura. una de las técnicas fundamentales de comunicación son los métodos de Resolución de Proble-
mas. En general por medio de la contemplación de cómo los hacen otros (sus profesores). por el contrario.
hace conjeturas y sugiere explicaciones”. • El párrafo 243 del Informe Cockroft señala en su punto quinto que la enseñanza de las Matemáticas debe considerar la “resolución de problemas.
• Santaló (1985).T. gran matemático español y además muy interesado en su didáctica. hábitos. los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea. CREENCIAS. señala que “enseñar matemáticas debe ser equivalente a enseñar
.M. sino como un proceso en el que el alumno estima. actitudes.Jesús Escudero Martín
IDEAS. declaraba hace más de diez años que “el
objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas”. Gödel. el corazón de las matemáticas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones. siempre y cuando éstos no sean vistos como situaciones que requieran una respuesta única (conocida previamente por el profesor que encamina hacia ella). ideas para el desarrollo de herramientas.
• M. TENDENCIAS.8 -
. la vida propia de las matemáticas”.C. SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los matemáticos de todas las épocas.
• En el libro de Hofsdadter. Escher y Bach. Mediante la resolución de problemas. • El N. de Estados Unidos.
La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación matemática. incluyendo la aplicación de las mismas situaciones de la vida diaria”. se dice que “las capaci-
dades básicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemáticas a partir de la resolución de problemas. ETC. en una palabra. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado. de Guzmán (1984) comenta que “lo que sobre todo deberíamos propor-
cionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos. con razón.
incluso puede haber varios. Pero. contengan problemas. Los problemas pueden incluso considerarse como la parte más esencial de la educación matemática”.9 -
. en general. el currículo del Área de Matemáticas en Primaria y Secundaria concede extraordinaria importancia al tema dedicándole mucha atención. los que llevan dentro una cierta "historia". se trata de aplicar un algoritmo. Nos acerca más al sentido de qué es un problema la expresión de "problema de letra" que los alumnos emplean con frecuencia: son aquellos que hacen referencia a contextos ajenos a las matemáticas propiamente dichas. Ahí acaban. hay que relacionar saberes procedentes de campos diferentes. que pueden conocer o ignorar. Justamente. se aplica y basta. Pero. siquiera sea en grandes rasgos. en cuanto se les plantea una tarea a realizar. y desde luego no está codificado y enseñado previamente. especialmente desde los contenidos de procedimientos y actitudes. como la palabra "problema" se usa en contextos diferentes y con matices diversos. No aportan mucha claridad las definiciones de los diccionarios generales. Aunque no es sencillo.
. haremos un esfuerzo por clarificar a qué nos referimos. y no siempre de matemáticas. tras una somera reflexión. para entendernos es interesante delimitar. hay que poner a punto relaciones nuevas. una vez localizado.Jesús Escudero Martín
a resolver problemas. En los problemas no es evidente el camino a seguir. Los que abren las ventanas del aula y hacen un puente (aunque sea frágil) entre las matemáticas y la vida. En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no.
justificado que todos los textos de matemáticas. según hayan localizado o no el algoritmo apropiado. Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas”. y quizás parezca superfluo.
• En España. Hay que apelar a conocimientos dispersos. Pero no es el único aspecto a destacar. la proliferación de ejercicios en clase de matemáticas ha desarrollado y arraigado en los alumnos un síndrome generalizado. sus elucubraciones. También hay que caracterizar los "problemas" por oposición a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnos porque constituye el núcleo fundamental de su quehacer matemático). qué es lo que entendemos por problema. que se pueden contar. contestan: "lo sé" o "no lo sé".
nos proporciona relaciones nuevas entre lo que ya sabíamos o nos aporta otros puntos de vista de situaciones ya conocidas. Los problemas los alumbramos nosotros. en un porcentaje muy importante. Pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto personal y decidimos en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar resolverlos. • Las situaciones existen en la realidad. Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema están descritos en el párrafo anterior. E incluso. el que un problema pase a ser considerado como tal por nuestros alumnos. sino que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos. matemáticos o no. sin haber logrado la solución. Resaltemos una vez más la fuerte componente de compromiso personal en los problemas. porque de cómo se plantea la cuestión. por utilizar la expresión de Koestler (1983). Suponen el aporte de la chispa de la creatividad. que nos provoque las ganas de resolverla. Como consecuencia de todo ello. encontraremos una componente placentera. sin haber acabado el proceso. y la importancia que tiene la manera en que se nos presenten para que lo asumamos como tales. también en el proceso de búsqueda. en los avances que vamos realizando. una vez resuelta nos proporciona una sensación considerable de placer. • La resolución de un problema añade algo a lo que ya conocíamos. Pero además tiene que ser una cuestión que nos interese.
. Y en ese contexto no es difícil de adivinar el poco interés con que se recibe la misma.Jesús Escudero Martín
Por tanto. un "problema" sería una cuestión a la que no es posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad. aquella que aparece de cuando en cuando. Todo ello es de particular interés en la enseñanza. el contexto en que se sitúe y de la "tecnología" expositiva utilizada depende.10 -
. y buscar relaciones nuevas entre ellos. y que logra. todavía creemos conveniente añadir algunos comentarios adicionales sobre los mismos: • Los algoritmos que se suelen explicar en clase. estamos dando la respuesta antes de que exista la pregunta. que dos y dos son cinco. una tarea a la que estemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. resuelven grupos enteros de problemas. Lo que pasa es que si no situamos previamente los problemas a los que responden. o que aparecen en los libros de texto.
No son cuestiones con trampas ni acertijos. 2.
Una vez que tenemos un problema. es bien dificultoso hacerlo. Reseñamos y comentamos los más importantes (Grupo Cero. Representan un desafío a las cualidades deseables en un matemático. y así se van formando cadenas que explican su rápida difusión. los buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que. Y se tiende a pensar que coinciden en líneas generales con las cualidades propias de los matemáticos. aunque si se tienen que señalar cuáles son. más tarde. Es importante hacer esta distinción en la enseñanza porque los alumnos.Jesús Escudero Martín
RASGOS QUE CARACTERIZAN A LOS BUENOS PROBLEMAS. La práctica sistemática resolviendo problemas hace que esa percepción habitual vaya cambiando. Pasa como con los chistes que nos gustan. los hay mejores y peores.
. 3. Parece obvio para todo el mundo que existen unas cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas con facilidad. tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún procedimiento. 4. Así como hay otras cuestiones cuya importancia proviene de que tienen un campo de aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan). Pueden o no tener aplicaciones.11 -
. el interés de los problemas es por el propio proceso. Pero a pesar de ello. se pueden aplicar a muchos otros campos. Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su
vez intenten resolverlos. cuando se les plantean problemas. pero el interés es por ellos mismos. seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún tipo de truco o de "magia". Lo mismo sucede con los buenos problemas. que los
contamos enseguida a otros. vamos a referirnos a los rasgos que caracterizan a los buenos problemas. 1984): 1.
¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?: • ¿Es posible obtener la misma solución por otro método? • ¿Puede quedar concretada en caso particulares?
. con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo. 1. • Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.15 -
. Exploración. Probar a simplificar el problema.Jesús Escudero Martín
• ¿Hay algún otro modo de resolver el problema? • ¿Se puede hallar alguna otra solución? • Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado. Examinar casos particulares. Trazar un diagrama. Schoenfeld da una lista de técnicas heurísticas de uso frecuente. análisis dimensional o cambio de escala? 2. 3. Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. Examinar problemas ligeramente modificados. Examinar problemas ampliamente modificados. Examinar problemas esencialmente equivalentes. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca. 2. Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya. 1. 1. que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás. 3. ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?: • ¿Utiliza todos los datos pertinentes? • ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? • ¿Resiste a ensayos de simetría. Comprobación de la solución obtenida. y que extractamos: Análisis. 2. que agrupa en tres fases.
Luego. no sólo a nivel teórico. Cambio de estados. Principio del palomar. que parece una perogrullada. Empezar por el final (dar el problema por resuelto). dibujos (representación). Experimentar y extraer pautas (inducir). Hacer esquemas. Analizar los casos límite. Seguir un método (organización). Fernández (1992) serían: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Ensayo-error. al menos como poco significativo. pero vistos en acción. comunicación). tiene una gran importancia.Jesús Escudero Martín
• ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? • ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido? Finalmente. Reformular el problema. Conjeturar. Hacer recuente (conteo). tanto para determinar el éxito o fracaso en la resolución de los mismos. Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar). gráfico. Sacar partido de la simetría. que por parte de los profesores se tienden a considerar como irrelevante o. Según S. tablas.16 -
. Utilizar un método de expresión adecuado: verbal. resolver un problema semejante más sencillo. La primera hace referencia a que el contexto en el que se sitúen los problemas. algebraico. es un conocimiento vacío.
. Manipular y experimentar manualmente. Deducir y sacar conclusiones. Resolver problemas análogos (analogía). numérico (codificar. hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática. como para incidir en el futuro de la relación entre las matemáticas y los alumnos. es que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas. Suponer que no (reducción al absurdo). Empezar por lo fácil.
Para terminar sólo queremos hacer dos consideraciones. es muy bueno conocer técnicas y procedimientos. expresión. hacemos una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas. porque si no. La segunda.
aplíquémosla. una notación apropiada. Tratar de demostrarlas. pero no se sabe cómo.Jesús Escudero Martín
DESARROLLO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. observando los modos de proceder. como el de la pintura. encontrar la forma de salir de una dificultad. a dónde se quiere ir. etc. F. y. o con toda claridad. que no se consigue de forma inmediata. Polya)]
A veces no sabremos si la herramienta adecuada para la situación está entre la colección de técnicas que dominamos o ni siquiera si se ha creado una técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. Supongamos que no es así. regularidades.
Si consideramos un problema como una situación que se presenta en la que se sabe más o menos. B. conseguir el fin deseado. (G. por otra parte. busca pautas. Si tenemos una receta y estamos seguros de que se ajusta al problema. Es la misma forma de transmisión que la de cualquier otro arte.. en matemáticas y en cualquier otro campo. Escoger un lenguaje adecuado. Comenzar resolviendo un problema semejante más fácil. Las estrategias que tendremos ocasión de aprender y ejercitar son: A.. un diagrama. de sortear un obstáculo.
. Esta es precisamente la circunstancia del investigador. la música. G. Hacer conjeturas. entonces resolver un problema es precisamente aclarar dicha situación y encontrar algún camino adecuado que lleve a la meta. [“Resolver un problema es encontrar un
camino allí donde no se conocía previamente camino alguno.17 -
. Dibujar una figura. ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra vida normal. utilizando los medios adecuados”. tratando de sacar el mejor partido posible de los muchos seguros fracasos iniciales. D. comparándolos con los de los expertos y procurando ajustar adecuadamente los procesos de pensamiento a los de ellos. Supongamos el problema resuelto. un esquema. La destreza para resolver genuinos problemas es un verdadero arte que se aprende con paciencia y considerable esfuerzo. a multitud de problemas diversos. observar. H. sin angustias. C. Hacer experimentos. E. Inducción. enfrentándose con tranquilidad.
Para empezar. . debemos resolver un problema semejante lo más sencillo posible. En el problema sencillo suelen aparecer. y en descampado. La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño. más transparentes. Un problema puede resultar difícil por su tamaño. Luego lo complicaremos hasta llegar al propuesto inicialmente. UNA MOSCA ANTOJADIZA. b. .Jesús Escudero Martín
A. sin necesidad de cambiar marchas. COMENZAR RESOLVIENDO UN PROBLEMA SEMEJANTE MÁS FÁCIL. Procediendo así. Si estudiamos derivadas. Manipulación más fácil. Empezamos animándonos con el probable éxito. lo mejor es circular primero despacio. De orden racional. Si se aprende a conducir un coche.
Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias. Empieza con un triciclo para atender primero el problema de los pedales y del volante. De orden psicológico. El niño que aprende a andar en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran velocidad. Ya vendrán luego los problemas conduciendo en la calle.. nos lanzamos más lejos. aunque parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica.. se comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva. la de un monomio como x2. las haremos sencillas. c. principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del problema inicial.18 -
. La manipulación efectiva en un problema de pocas piezas es más fácil que en uno de muchas. Luego vendrá el problema del equilibrio y se ensayará con dos ruedas. obtenemos varios provechos: a. luego pasamos a un polinomio y cuando sentimos cierta familiaridad con el proceso. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:
. sino también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto. primero. En matemáticas sucede lo mismo. para poder jugar con el volante. Incluso. por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro.
también. En los restantes. la suma de las coordenadas es par.1) (-1. en el caso de 3x3=9 monedas. habría más vértices impares que pares. Así: O O O O O O O O O Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Vamos a probar con menos. (-1. pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda.0). impares. a veces se puede hacer el paseo. y otras no. Llamaremos pares a estos vértices y.1) (0. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?
Solución.-1) Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0. (0.
. Ambas cosas son falsas.0) (1.19 -
.-1) (0. Si se posa en el centro. como fácilmente se observa. la suma de las coordenadas es impar. Son muchas 25 monedas. Pero si se posa en cualquier otra moneda.-1) (1. sería: Impar ⇒ Par ⇒ Impar ⇒ Par ⇒ . Probemos con 3x3=9 monedas. Si terminase en impar. Si terminase en par. Así. con 2x2=4 monedas. habría igual número de las dos clases. El paseo de la mosca. ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? Señalemos los centros de las monedas con coordenadas: (-1.Jesús Escudero Martín
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar! Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. lo tiene imposible.0)! En ellos. Así: O O O O Es obvio que se pose donde se pose. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.1) (1.1).0) (0.0) (-1. la mosca tiene el camino bien fácil. Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido. pero..-1). a los otros. (1. empezando por un vértice impar. por ejemplo. Hay cuatro vértices impares y cinco pares.. Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas.
imágenes. Se sigue experimentando con nuevos casos. introduciendo elementos auxiliares. HACER CONJETURAS. no todas iguales. Si también en ellos sucede lo que se barrunta. BUSCAR PAUTAS. para hablar de sus problemas comunes. Haz el diagrama de saludos. Imagina que la cofradía tiene 4 socios y sus visitantes son 3. . Los siguientes ejemplos dan una idea de la variedad de experimentos que se pueden llevar a cabo.
UN NÚMERO MÁGICO. del pueblo vecino. TRATAR DE DEMOSTRARLAS. Pero los experimentos matemáticos son mucho más fáciles de realizar y menos costosos. Con el experimento y la observación surge la conjetura. hay que modificar la conjetura inicial hasta dar con una que cubra todos los casos observados. Si en algún caso no sucede lo que se espera. por ejemplo 373..Jesús Escudero Martín
B. Se elige un número cualquiera de 3 cifras. Cuando van a saludarse a Isidro se le ocurrió una feliz idea: Aprovechemos cada apretón de manos para partir una nuez. a fin de enlazar diversas situaciones y de establecer conexiones que sospechamos que existen entre los objetos que manipulamos. al igual que en el resto de las ciencias. Se construye otro ordenando sus cifras de mayor a
. cambiándolas.
En matemáticas las buenas ideas surgen muy a menudo a través de experimentos. Saludos = 18x11 = 198. REGULRIDADES. Los hay de muy diversos tipos: • Ensayos en casos particulares la aparición de una cierta propiedad. HACER EXPERIMENTOS.20 -
. tratando de contrastar. Ve aumentando el número de socios .. NOGALEROS Y NUECES ROTAS. con la demostración de la conjetura. Los 18 socios de la Cofradía de Nogaleros Unidos reciben en su local de Villafría de la Sierra a los 11 miembros de la Hermandad de la Buena Nuez. Luego vendrá la tarea de dar con la razón por la cual la conjetura se verifica siempre. ¿Cuántas nueces pudieron partir con sus saludos?
Solución.. OBSERVAR. Entonces se sabrá que la conjetura tiene que verificarse en todos los casos posibles. • Mirar ciertas figuras.. dibujos. de poner a prueba la conjetura.. la conjetura va adquiriendo más fuerza. Así lo hicieron.
623. Así: n9. Se repite la operación unas cuantas veces con el resultado 396 y los sucesivos. n17. 623 termina en 6. resultan los mismos dígitos finales. 223. por ejemplo. respectivamente.4 entonces nk termina en lo mismo que ns. 723. Es decir: 123. 6. La cosa es muy sencilla en estos casos. 3.. pues 86=21x4+2. si: k = 4i + s . 786 termina en 9. 323.
CONTANDO DIAGONALES. 5. 34. 923 Experimentando un poco.Jesús Escudero Martín
menor: 733. 2. de esta experimentación que hemos hecho resulta que. por ejemplo. Podría uno pensar en calcular tales potencias. . en: 1. 223.21 -
. 423. Experimentamos un poco más haciéndonos una tabla de la cifra final de las potencias sucesivas para los primeros números. ¿Cuáles son los dígitos finales de las potencias de exponente 23 de los números 31. termina en lo mismo que 723 y así nuestro problema se reduce a ver en qué dígito terminan: 123. 523. 37. Enseguida surge la idea de que 3723.2. 523 termina en 5. Sin necesidad de seguir con la tabla. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de 85 lados?
. n21 23 terminan en n y n termina en lo mismo que n3. Es decir. Ahora se las ordena de menor a mayor: 337.. 38 y 39?
Solución. 4.337 = 396. 36. ahora está claro que. 33. En su resolución. pero no hay ordenador que nos proporcione números tan enormes. 32. vemos que 123 termina en 1.. n13. Así. ¿Qué se observa? ¿Cuál es la razón? ¿Qué pasa con un número de dos o de cuatro cifras al hacer un proceso semejante? DÍGITOS FINALES DE LAS POTENCIAS. la experimentación juega un papel decisivo. 923 terminan. 35.3. s=1. 823. al aumentar exponente en 4 unidades. 9 Además. 786 termina en lo mismo que 72. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 n termina en 1 4 9 6 5 6 9 4 1 n3 termina en 1 8 7 4 5 6 3 2 9 n4 termina en 1 6 1 6 5 6 1 6 1 5 n termina en 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n6 termina en 1 4 9 6 5 6 9 4 1 Y así sucesivamente. Al restar estos dos números se obtiene: 733 . 7. 323. 8.
Y=Brasileña. Z=Española. Dibujamos las dos posibilidades de la situación. Y. Posibilidad A Posibilidad B X X=Arg Y Z=Arg Z Y Introduzcamos el dato: "La señora X ha pasado una carta a la señora que ha pasado una carta a la brasileña". DIBUJAR UNA FIGURA. ¿Cuál es la nacionalidad de X. Cada una ha pasado una carta a la que se sienta a su derecha. incorporar los datos relevantes y suprimir los superfluos que pueden conducir a confusión. Por eso es muy aconsejable. JUGANDO A LAS CARTAS. una española y una brasileña. UN DIAGRAMA. pues “no hay nada en el intelecto que no haya estado primero en los sentidos”. símbolos solamente. una argentina. para mayor claridad. incluso pintar de colores. UN ESQUEMA. Pensamos mucho mejor con el apoyo de las imágenes que con el de palabras.Jesús Escudero Martín
C.22 -
. Las señoras X. Z. sentadas alrededor de una mesa camilla. (Aristóteles) Hay muchos problemas que se hacen muy transparentes cuando se logra encontrar una representación visual adecuada de los elementos que en él intervienen. debe. números. los elementos que aparecen en la situación estudiada.
. La señora X ha pasado una carta a la señora que ha pasado una carta a la brasileña. De esta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos importantes del problema y de ahí muy a menudo. Y y Z?
Solución. La señora Y ha pasado a la argentina.
Las matemáticas se comprenden a través de los sentidos. La imagen o diagrama que fabriquemos de un problema. se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación. aunque no por este orden. Posibilidad A Posibilidad B X X=Arg Y Z=Arg=Bra Z Y=Bra Descartada Aceptada Luego: X=Argentina. de alguna forma sencilla. a fin de dar con ideas buenas que sirvan para resolver el problema. Posibilidad A Posibilidad B X X Y Z Z Y Introduzcamos el dato: "La señora Y ha pasado a la argentina". esquematizar y dibujar. están jugando a las cartas.
Sucede muchas veces que el ser o no capaz de resolver un problema depende fundamentalmente de que el estilo de pensamiento aplicado sea o no el adecuado al problema. Una mente menos inclinada matemáticamente puede tener la idea de hacer descender a un monje ficticio. decidir que no estaban de acuerdo con la automasacre?
. UNA NOTACIÓN APROPIADA. A Josephus y otro amigo la idea no les gustaba. Josephus y otros cuarenta judíos se refugiaron en una cueva.. la luz. EL MONJE EN LA MONTAÑA. emprende el camino a su ermita por el mismo sendero.. Allí pasa la noche y a la mañana siguiente. Propusieron hacerlo. En su libro De Bello Judaico. Tiene pocos datos para ello. en el mismo día que el monje real sube. Por eso hay que pensar bien antes de empezar a trabajar. o bien un simple diagrama. tal vez. cartón. se puede entender en los siguientes ejemplos. o tal vez vendrá bien aquí un lenguaje algebraico.? La adopción de un modo apropiado de encarar un problema tiene su importancia. ¿En qué lugares se colocaron Josephus y su amigo para ser los dos últimos y... o analítico? ¿Tal vez lo que venga bien sea una modelización con papel. Se colocarían en círculo y se irían suicidando contando tres a partir de un entusiasta que a toda costa quería ser el primero. ESCOGER UN LENGUAJE ADECUADO. Allí decidieron los 41 judíos suicidarse antes que entregarse. Hegesipo cuenta que cuando los romanos capturaron la ciudad de Jotapat. y a mayor velocidad. Lo que es un lenguaje adecuado o un lenguaje inadecuado. Un monje decide subir desde su ermita a la montaña para pasar allí la noche orando. replicando exactamente el camino de bajada que el monje real hace al día siguiente. Al ir bajando.Jesús Escudero Martín
Usar una buena notación es muy útil en álgebra. se pregunta: ¿Habrá algún punto del camino en el que hoy esté a la misma hora que estuve ayer?
Solución. pero con orden. Como salen a la misma hora. Una mente inclinada matemáticamente comienza. seguramente. a las 9 de la mañana. Las matemáticas están de sobra. por hacerse una gráfica de la caminata del monje en cada uno de los días. .
EL PROBLEMA DE JOSEPHUS. ¿Será bueno utilizar un lenguaje geométrico. Sale de la ermita a las 9 de la mañana y después de caminar todo el día llega a la cumbre. una vez en mayoría absoluta. Se los inventa. es claro que a alguna hora se encuentran en el camino. Con un poco de trabajo verá.23 -
Normalmente hay que buscar la simplicidad.1 2 x 3 x 4 x 5 = 120 = 112 . los datos del problema y su posible vinculación con lo que se busca. Naturalmente. con p entero. Los siguientes ejemplos ponen de manifiesto la importancia de una elección adecuada del lenguaje y de la notación. ponen bien en claro lo más relevante del problema.40. El problema tiene sabor matemático y se pueden ensayar herramientas matemáticas. Si se utiliza un diagrama o un esquema. hay que prestar atención a la notación empleada. hay que procurar que éste incorpore lo esencial del problema. sin detalles superfluos que pueden perturbar la comprensión y oscurecer lo verdaderamente importante.
. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS.1 3 x 4 x 5 x 6 = 360 = 192 . Si el enfoque es algebraico. Por ejemplo así: M2-5/4 = (x+1/2)2-5/4 = x2+1/4+x-5/4 = x2+x-1. hay que acudir a consideraciones más matemáticas..1 ¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos es siempre un cuadrado perfecto menos 1?
Solución.2.. su producto es: (M-3/2)(M-1/2)(M+1/2)(M+3/2) = (M2-9/4)(M2-1/4) = (M2-5/4)2-1 y es fácil ver que M25/4 es un entero. El producto de cuatro números enteros consecutivos se puede expresar así: a(a+1)(a+2)(a+3) con a entero. Si M es el centro de los cuatro enteros. de una forma más sencilla. Observemos las igualdades: 1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 52 . la simetría. los elementos que. Pero resulta más sencillo colocar en círculo 41 papelillos con un número 1.41 cada uno y luego ir simulando los suicidios para ver qué dos papelillos quedan los últimos. Se colocaron en los lugares 16 y 31.24 -
. parece engorroso. ésta debe representar.3.. hay que dedicar un rato a pensar en la forma concreta de aplicarlo.Jesús Escudero Martín
Una vez decidido el modo de pensamiento. de la forma más cómoda y manejable. En lo posible.. Probar que esto es p2-1. que si se quiere obtener un resultado general con m judíos que se suicidan contando de n en n.
que si uno cualquiera de estos números tiene una cierta propiedad P. entonces también h+1 tiene la propiedad P. El siguiente ejemplo indica la forma de proceder y es útil para practicar. y de forma que si cae una. en fila india. hay dos cosas importantes de las que cerciorarse: a.... SUMA DE IMPARES. Demostrar que la suma de los n primeros números naturales impares es igual a n2. entonces también el siguiente la tiene. Un gracioso tira la primera hacia la segunda. 1+3+5+.25 -
.+(2k-1)+[2(k+1)-1]. De estas dos cosas concluimos que la propiedad P es verdadera para todos los números naturales. ¿Conclusión? Claramente todos los números naturales tienen la propiedad P.. ¿Qué pasará? ¡Se caerán todas! Esto viene a ser la inducción.+(2k-1) = k2 (hipótesis inductiva). como las fichas del dominó.. Si usamos la hipótesis inductiva. El número 1 (o tal vez el 25).. o sea: 1+3+5+. Luego demostramos que si la propiedad P era cierta para k (hipótesis inductiva) entonces era también cierta para k+1... tiene la propiedad P. 4. cae seguro la siguiente. tienen la propiedad. claro está.
La inducción matemática es uno de los métodos de demostración utilizados con mayor frecuencia en algunos campos de la matemática. INDUCCIÓN.
Repasemos el esquema de la demostración precedente: Primero comprobamos que la propiedad P era válida para k=1. se concluye que todos. demostrar.+(2k-1)+[2(k+1)-1] = k2+[2(k+1)-1] = k2+2k+1 = (k+1)2 y por lo tanto k+1 tiene esa propiedad. pero no el 1... tiene la propiedad P. A veces se puede probar que el número 25 tiene la propiedad P. pues 1 = 12. Entonces. b. + (2k-1) = k2. a partir del 25. Si h tiene la propiedad P. El número 1 tiene la propiedad. 3. La suma de los primeros k+1 impares es: 1+3+5+. el 1.Jesús Escudero Martín
E. Es decir: 1 + 3 + 5 + . A continuación nos aseguramos de que el primero. Resumiendo. Suponemos seguro. Podemos considerar los números 1. . 2. Supongamos que k tiene la propiedad.
Solución. La idea se entiende con facilidad: Imaginemos delante de nosotros las 28 fichas del dominó colocadas de pie.
Entonces b2 es par.
NÚMEROS PRIMOS. y este divisor primo será mayor que P. Entonces a = 2k.b) = 1 racional. que (a. Por tanto.Jesús Escudero Martín
F. (*) es verdadera. (a. Si este número es primo ya está demostrado. Si se consigue.b) es distinto de 1. luego b es par. Este es un proceso de pensamiento muy usual en la resolución de problemas. es decir.
Probablemente las matemáticas nos han habituado ya a la siguiente forma de razonar para demostrar que una cierta situación A es verdadera. Luego. Se tiene. sea P el mayor primo obtenido. Entonces a es un número par. Entonces a2 es un número par. pues el número en cuestión no es divisible por ninguno de los números primos inferiores a P. Tal vez a través de una serie de experimentos hemos llegado a la conjetura de que se verifica una cierta situación P. principio. teorema o hipótesis que se da por cierto. Entonces está claro que nuestro punto de partida NO A es falso. ya que en todas las divisiones se obtiene resto igual a 1. Tenemos que
2 = a/b con a y b enteros. admitirá un divisor primo. El número (2≅3≅5≅7≅11≅. tratando de llegar a una contradicción con algún hecho.26 -
. Es decir: (es decir que la fracción a/b fue simplificada todo lo posible).
Solución. Demostremos que hay un número primo mayor que P. En efecto: Supongamos que (*) es falsa. con una que dice algo absurdo. que A es verdadero. Contradicción. por fin. Suponemos que no lo es. además. Pero si a y b son pares. Demostrar que hay infinitos números primos. no puede haber un número finito de números primos. (*)
Solución. Supuesta formada una tabla de números primos.
2 NO ES UN NÚMERO RACIONAL. que se verifica NO A. entonces b2 = 2k2. Si es compuesto. Podemos suponer. que 2=3. elevando al cuadrado que 2b2=a2. SUPONGAMOS QUE NO ES ASÍ. Vamos deduciendo correctamente consecuencias de NO A y nos encontramos. ¿Cómo demostrar que la conjetura P es cierta? Se parte de NO P y se analiza qué se deduce de ahí. Es decir.. se ha terminado. Entonces a2 = 4k2.≅P)+1 es mayor que P. por ejemplo..
Buscar un valor donde la función f(x)=x3-3x+1 tenga un mínimo relativo. SUMAR SU CUADRADO. f(a)=3a2-3=0. No sabemos cuál es. consiste en colocarse arriba con un helicóptero y desde allí estudiar los caminos posibles. Lo llamamos a y sabemos que si en él hay un mínimo. Un buen modo de descubrir el mejor camino para escalar una montaña. pero procedemos como si lo supiéramos. este procedimiento es barato y de uso corriente. No sabemos cuál es. pero procedemos como si lo supiéramos. aunque un poco caro.
. entonces la derivada f' en ese punto es 0.Jesús Escudero Martín
Se aplica muchísimo en construcciones geométricas. Así sólo tenemos que mirar si en a=1 ó en a=-1 hay un mínimo relativo.
Solución. SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO. Lo llamamos x y sabemos que tiene que pasar que x + x2 = 30 y ahora nos las ingeniamos para hallar x.27 -
. Buscar un número tal que si le sumamos su cuadrado resulte 30. ni siquiera sabemos si lo habrá.
MÍNIMO RELATIVO. En la resolución de problemas.
Sin pensarlo dos veces. En un cine hay 1. GATOS Y LOROS. de propina al acomodador.
1. LA CUADRILLA. casi el 43% perdió un ojo y el 50% de los restantes perdió ambos ojos. sin lápiz ni papel y en un tiempo prefijado. El 13% de ellos le ha dado 5 ptas.31 -
. ¿CUÁNTOS NUEVES? En una calle hay 100 edificios. generalmente unos cuantos segundos. y la otra mitad. ¿cuánto pesa un ladrillo? 4. Del 87% restante. Se llama a un fabricante de números para que ponga números a todas las casas del uno al cien. ACABÓ LA GUERRA. Da la casualidad que la altura media de estos gigantes es diez metros más que la mitad de su altura. éste tendrá que encargar los números para hacer el trabajo. Si un ladrillo se equilibra con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo. ¿Cuántos animales tengo en casa. EL PESO DE UN LADRILLO. PROPINAS AL ACOMODADOR. ¿CUÁNTO BENEFICIO? Un comerciante compró un artículo por 7 ptas.. lo vendió por 8. y que todos son loros menos dos? 2. ¿Cuántos hombres componen la cuadrilla? 5. PERROS. ¿Cuánto beneficio sacó?
. todos son gatos menos dos. ¿Cuántos ojos quedaron? 6. ¿cuánto miden? 3. ¿Cuánto dinero recibe el acomodador? 7. De 138 soldados vueltos del frente.Jesús Escudero Martín
Problemas para resolver mentalmente.300 espectadores. MENUDA RAZA DE GIGANTES. la mitad le ha dado 10 ptas. lo volvió a comprar por 9 y lo vendió finalmente por 10. ¿Cuántos nueves necesitará? 8. Una cuadrilla de segadores está compuesta por sus tres cuartas partes más tres cuartos de hombre. En el Libro del Delirium Tremens se habla de una raza de gigantes muy especial. sabiendo que todos son perros menos dos. nada.
más que el tapón. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. ¿Cuántos limones llevaba cada uno? 18. y 10 gramos. Antonio: Si me das tres limones. EL MISMO DINERO. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. ¿cuánto habrá de tardar en completar 60 vueltas? 11. ¿Cuánto pesa la botella? ¿Y el tapón? 15. Antonio y Pedro se encuentran teniendo cada uno de ellos una carga de limones. La botella pesa 1 Kg. tendremos cada uno la misma carga. Un piloto de Fórmula 1 completó una vuelta del circuito del Jarama en un minuto veintitrés segundos. PILOTO DE FÓRMULA 1. permutando regularmente las ruedas (incluida la de repuesto) para que todas sufrieran igual desgaste. ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 17. ¿Cuánto cuesta cada uno? 14. ¿durante cuántos kilómetros ha sido utilizada cada rueda?
9. tendríamos las mismas”.32 -
. PEDRO Y LOS LIMONES. El vino cuesta nueve dólares más que la botella. Pero si tú me das una de las tuyas. Los dos juntos cuestan 50 ptas. Una botella y su tapón pesan 1 Kg. Al terminar el viaje. Un viajante recorrió en coche 5000 Km. más que su tapón. ANTONIO. ¿Cuánto tiene que dar Arturo a Benito para que Benito tenga 10 ptas. ¿Cuánto cuesta la botella? 13. Pedro: Si tú me das seis limones. Arturo y Benito tienen la misma cantidad de dinero. Una botella de vino cuesta 10 dólares. más que Arturo? 16. EL PRECIO DE LA BOTELLA. ENTRE PASTORES. LOS TANTOS POR CIENTO. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. A este ritmo. ¿Cuánto valen 10 agujas de coser a 1000 ptas.. el 25% de 75 o el 75% de 25? 12. ¿Qué es más. el millar? 10. Una botella cuesta 30 ptas. Un pastor le dijo a otro: “Si te regalo una de mis ovejas. tendré el doble de los que te quedan. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. tú tendrás el doble de las que yo tengo.
. Como consecuencia. ¿Cuántos dedos hay en 10 manos? 24. LA AMEBA. ¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360 caracteres en total? 20. Por un objeto se pagan 9 duros más la mitad de lo que vale. 26. Al granjero le quedaron 10 Ha. Del juego del dominó se separan las fichas que tienen un 6. etc. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. si quedan del día la tercera parte de las horas que han pasado? 25. ¿CUÁNTA TIERRA? Cierto pequeño granjero no tenía dinero para pagar sus impuestos. DOCENAS DE HUEVOS. Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el mismo tiempo.. el recaudador real de impuestos le quitó un décimo de sus tierras. ¿QUÉ HORA SERÁ? ¿Qué hora será. Dos amebas en un tubo de ensayo pueden llenarlo por completo en dos horas. antes de intentar calcularlo. Quieres colocar sobre la mesa las 21 fichas que quedan siguiendo las reglas del juego. Una ameba se divide en dos (y así se reproduce) exactamente cada minuto. éste con el 5-4. MANOS Y DEDOS. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones. ¿podrás hacerlo? 22.. ¿Cuánto tiempo le llevará a una sola ameba llenar otro tubo de ensayo de la misma capacidad? 23.
. Hallar la diferencia entre media docena de docenas de huevos y seis docenas de huevos. ESCRIBIENDO A MÁQUINA. o bien la pregunta carece de solución. ¿Cuánto vale el objeto? 27. En una mano hay 5 dedos. es decir el 2-3 puede ir empalmado con el 3-5. DOMINÓ. o bien el problema no se ha comprendido correctamente. en 2 manos hay 10 dedos. ¿Cuánta tierra tenía al principio? 21. Si un pastor tiene 15 ovejas y se le mueren todas menos nueve. EL PRECIO DEL OBJETO.Jesús Escudero Martín
19. ¿cuántas le quedan?
En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar..
ESCALA DE ESTATURAS. Pero si tú me das una de las tuyas. Juan y Antonio? 33.200 segundos? 32. tú tendrás el doble de las que yo tengo. ¿cuánto costarán siete sardinas y media?
. Pedro tiene la estatura que tendrá Juan cuando crezca lo que le falta a Antonio para tener la estatura de Pedro. ENTRE PASTORES. A real y medio la sardina y media. A un cerezo trepé. ¿Cuántas partidas jugó cada uno? 39. EL CEREZO. y medio ladrillo.Jesús Escudero Martín
28. LA ALTURA DEL ÁRBOL. que cerezas tenía. ¿Cuántas cerezas había? 38. de lado se pinta completamente de rojo. de lado cada uno. JUGANDO AL AJEDREZ. ¿Cuánto pesa un ladrillo y medio? 29. ¿Cuántos días hay en 43. ¿Qué altura tiene un árbol. ¿Cuál es el mínimo número de colores para pintar un cubo de forma que dos caras adyacentes no tengan el mismo color? 34. Un pastor le dijo a otro: si te regalo una de mis ovejas. tendré tantas como a ti te quedan. Un cubo de madera de 30 cm. Si un ladrillo pesa 2 kg.34 -
. ¿Cuántas cerezas había? 37. En total jugaron tres partidas. mas cerezas no dejé. tendríamos las mismas. ¿Cuántos serán los cubitos serrados que presentarían sólo dos caras pintadas? 36. Pedro: Si tú me das 6 tendré el doble de las que a ti te quedan. LO DE LA SARDINA. EL CUBO PINTADO. que es 2 metros más corto que un poste de altura triple que la del árbol? 30. ni cerezas toqué. OTRO CEREZO. ¿Cuánto dinero tienen Juan y Pedro? 35. A un cerezo subí. OTRO LADRILLO. Tres amigos jugaron al ajedrez. yo cerezas no comí. que con cerezas hallé. ¿Qué relación hay entre las estaturas de Pedro. ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 31. Juan: Si me das 3 ptas. DINERO DE JUAN Y PEDRO. PINTANDO UN CUBO. DÍAS Y SEGUNDOS. luego se sierra en 27 cubitos de 10 cm. ni cerezas dejé.
¿Cuántos fumadores de las mismas características serán necesarios para consumir 90 cajetillas en 30 días? 48. ¿cuántos pares de medias son? 44. MILÍMETROS CUADRADOS. y tres panes y medio. PAN. LAS 16 CERVEZAS. MEDIAS MEDIAS. Cuatro medios pares de medias medias. Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y medio. Si construyéramos un modelo perfectamente a escala. LAS CERVEZAS. ¿cuánto pesaría? 49. A MODO DE CHIMENEAS. Supongamos un cuadrado de un metro de lado. Dos fumadores consumen 3 cajetillas diarias. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. pan y pan. cuatro medios panes. Si tres niños cazan tres moscas en tres minutos. LO DE LOS ARENQUES. ¿Cuánto tardarán treinta niños en cazar treinta moscas? 47. en los brazos de dos marineros y medio en dos horas y media.
40. LOS TATUADORES. pan y pan y medio. PAN Y PAN. Cuatro amigos se reúnen en un bar y consumen entre todos 16 cervezas. adosados unos a otros. Dos tatuadores y medio pueden tatuar dos sirenas y media. NIÑOS Y MOSCAS. ¿cuántos panes son? 43. Pan. dividido en cuadraditos de un milímetro. ¿Cuántos tatuadores se necesitarán para tatuar 24 sirenas. ¿Cuánto costarán 18 huevos? 41. Calcule mentalmente qué longitud se obtendría si colocásemos todos los cuadraditos en línea. Docena y media de huevos cuestan dieciséis duros y medio. LA TORRE EIFFEL. Cuando piden la cuenta pretenden pagar cada uno lo suyo. ¿cuántas cervezas beberán seis hombres en seis días? 45. ¿cuánto costarán doce arenques? 42. con el mismo material y que tuviera la mitad de su altura. 50. en los brazos de 24 marineros en 24 horas? 46. Si un arenque y medio cuesta tres medios peniques.35 -
. La torre Eiffel tiene 320 metros de altura y pesa 7.000 toneladas.
700 puntos. ¿a qué precio se vendieron cada uno de ellas? 57. Luis y Antonio tienen 500 ptas. y cada vez que falla pierde 300. ¿A qué será debido?
. Cuando se le pregunta a la vieja Margarita con cuántos gatos vive. rabioso aficionado al cine descubrió que una película de Buñuel duraba una hora y veinte minutos. LAS FOCAS DEL ZOO. MULAS Y BURROS.Jesús Escudero Martín
¿Cuántas cervezas debe pagar cada amigo sabiendo que cada uno de ellos tomó dos cervezas más y/o dos cervezas menos que otro? 51.000 duros. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? Entre Pedro. Sólo siete octavos de las focas más siete octavos de foca. Cada vez que un tirador da en el blanco gana 500 puntos. pero cuando hace ese mismo camino en sentido contrario sólo tarda 80 minutos. ¿Cuántas focas había? 54. ¿Qué longitud deberá tener el tercer lado para conseguir que el triángulo tenga la máxima área posible? 52. ¿cuántas veces hizo diana exactamente? 58. responde melancólicamente: "Con los cuatro quintos de mis gatos más cuatro quintos de gato. CURIOSA PELÍCULA. CONEJOS Y PALOMAS. hay 35 cabezas y 94 patas.36 -
. OJO QUE ES UN CIRCUITO. Sabiendo que Antonio tiene doble que Luis y éste tres veces más que Pedro. los días pares. los impares. Estuve el otro día en el zoológico." ¿Con cuántos gatos vive Margarita? 53. Se han vendido 9 burros y 7 mulas y se ha cobrado por ellos 75. ¿cuántas aves hay exactamente? 55. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 4 cm. ¿cuánto tiene Pedro? 56. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. LOS GATOS DE MARGARITA. En una jaula con conejos y palomas. Vi focas pero no había muchas. Sabiendo que los burros los pagan al doble que las mulas. ¿A qué se debe esa diferencia? 59. Con estos datos. Sabiendo que después de 15 disparos obtuvo 2. y sólo ochenta minutos. EL TIRO AL BLANCO. Mi amigo Bonifacio. Un caracol tarda una hora y veinte minutos en recorrer un circuito en sentido horario.
¿Cuántas monedas de cada clase tengo? 67. LOS CHICOS DE LA FERIA. Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. ¿Cuánta agua se derramó? 64. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. A la feria benéfica de la escuela cada chico debía concurrir con un adulto. MITOLOGÍA. ¿Cuántas extremidades tienen 3 centauros? 68. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA. un litro al día por persona. ¿Cuántos cupones vale un bote de detergente? 62. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? 63.37 -
. Suponiendo que en este momento están exactamente a 5. Tengo igual cantidad de monedas de 5 ptas. El agua duró exactamente lo que se esperaba. Una de ellas viaja a 8 km. En un rectángulo. el cliente puede canjearlos por un nuevo bote de detergente. Con cada bote de detergente la casa fabricante incluye un cupón de regalo. el largo es el doble del ancho y el perímetro es de 360 m. EN DOS DADOS. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos puntos hay en total en un par de dados?
. EL GRAN CHOQUE.000 km. ¿CUÁNTA AGUA SE DERRAMÓ? La tripulación de un barco hundido tenía agua sólo para trece días. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 65. Se recaudaron 180 dólares. por minuto y la otra a 12 km/minuto. Los adultos pagan 2 dólares y los chicos 1 dólar de entrada. y entre las dos tengo 90 ptas. ¿cuánto distarán una de otra un minuto antes de estrellarse? 61. ¿Cuántos chicos fueron a la feria? 66. LA GALLINA PONEDORA. El quinto día se derramó algo de agua sin querer y murió uno de los hombres. que de 1 pta. TRABALENGUAS.Jesús Escudero Martín
60. de distancia. Una vez reunidos 10 cupones.
Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema.
Álgebra. que datan del año 1900 a. se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos.
El idioma del álgebra es la ecuación. C. Así. He aquí alguno de ellos:
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación: 64x-14800=54x ⇒ 10x=14800 ⇒ x=1480. del inglés u otra lengua al idioma algebraico” También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales.. Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia.38 -
. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes.
LA VIDA DE DIOFANTO. EL CABALLO Y EL MULO. x/6 Había transcurrido además una duodécima parte de su vida. . cuán larga fue su vida. En cambio. Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo. plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. su hermosa existencia. efectivamente. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto. por el procedimiento de resolución. tarea fácil. cuya sexta parte constituyó su infancia. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad. a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento 5 de su precioso primogénito. y cuántos el mulo?
. en traducir “la lengua vernácula a la algebraica”. . que duró x/2 tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste. con frecuencia. Reproducimos esta inscripción: Usando En lengua vernácula álgebra ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. por la solución.Jesús Escudero Martín
La solución de una ecuación es. Y con profunda pena descendió a la sepultura. notable matemático de la antigüedad. ¡oh milagro!. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. en cambio. Y la séptima parte de su existencia transcurrió x/7 en un matrimonio estéril. sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. tu carga se igualaría a la mía”. inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga.39 -
. mi carga sería el doble que la tuya. x/12 cuando de vello cubriose su barbilla. x Y los números pueden mostrar. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro. por su enunciado. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo. 70.
69. por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. habiendo . si yo te doy un saco. que entregó su cuerpo. etc. Problemas más o menos originales. como se verá.
Cuatro hermanos tienen 45 duros. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. de 4 en 4. Dos comerciantes de vinos entraron en París llevando 64 y 20 barriles de vino respectivamente. x+y+z+t=45 Si al dinero del primero se le agregan 2 euros x+2 al del segundo se restan 2 euros y-2 el del tercero se duplica 2z y el del cuarto se divide por. más caro por docena. hasta de 10 en 10. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos.Jesús Escudero Martín
En lengua vernácula Si yo te tomara un saco mi carga sería el doble que la tuya. COMERCIANTES DE VINOS. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones? 74.. por los que pagó 60 ptas. con lo que el precio le resultó 12 ptas. tu carga se igualaría a la mía
71. le sobra 1. con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. LOS CUATRO HERMANOS. el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad. ¿Cuánto dinero tenía cada uno? En lengua vernácula Usando álgebra Los cuatro hermanos tienen 45 euros. el primero de ellos dio 5 barriles y 40 francos. x+2 = y-2 = 2z = t/2 72.. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia?
. mientras que el segundo dio 2 barriles. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3. Si las cuenta de dos en dos. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Y si te doy un saco.40 -
. ¿Cuál era el precio de cada barril y su impuesto aduanero? 73. etc. dos. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Como no tenían dinero suficiente para pagar los derechos de aduana. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos. el del segundo se reduce en 2 duros.. todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. t/2 a todos les quedará la misma cantidad de euros. recibiendo 40 francos como cambio.
El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. LAS TIERRAS DEL GRANJERO.41 -
. cada animal es un perro o un gato. ¿Cuántos eran. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. inicialmente. ¿Cuánto vale un tintero y un cuaderno? 80.750 puntos cada uno. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. LA MÁQUINA DE PETACOS. un quinto al cultivo de judías. los amigos? ¿Cuántos puntos necesitan para hacer partida?
. ¿Cuál es el precio de cada pájaro? 77. para obtener la deseada partida. por 3 tinteros y 4 cuadernos. la otra dos. Un granjero tenía algunas tierras. Dos personas mondaron 400 patatas. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay? 76. han calculado que. y 6 melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. TINTEROS Y CUADERNOS. tienen que conseguir 392. cinco. MONDANDO PATATAS. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon? 78. para hacer partida. una de ellas mondaba tres patatas por minuto. Uno de ellos ha tenido que marcharse antes de comenzar a jugar con lo que. Un tercio lo destinaba al cultivo del trigo. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20 dólares menos. LOS DIEZ ANIMALES. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones. LOROS Y PERIQUITOS. Unos amigos.Jesús Escudero Martín
75. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales. Luis ha pagado 46 ptas. Antonio ha comprado 5 tinteros y 4 cuadernos por 70 ptas. cada loro se vende a dos veces el precio de un periquito. entre coches y motos. ¿Cuánto tiempo trabajó cada una? 79. y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total? 82. ¿Cuántos melocotones serán necesarios para equilibrar una pera? 81. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato. Entró una señora y compró cinco loros y tres pequeños. En un taller fueron reparados 40 vehículos.300 puntos cada uno. antes de echar una moneda en una máquina de petacos. Cierta tienda de animales vende loros y periquitos. un cuarto al cultivo de guisantes. los restantes amigos deben de conseguir 471. COCHES Y MOTOS.
La tercera clienta sólo compró un huevo. VENGA PASTELES. PASTELES PARA LOS INVITADOS. dio uno de sus pasteles a Carlos. ¿Cuántos soldados se licenciaron? 86. En un regimiento hay 4. al segundo.. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. decidió dar 4 pasteles a cada uno de los invitados preferidos. En lugar de cortar ningún . Diego tiene la mitad que Carlos. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. A continuación Diego se comió 7/11 de los pasteles restantes. Tres docenas de limones cuestan tantos duros como limones dan por 16 duros. la mitad de las sobrantes más dos. Carlos se comió 5/16 de los pasteles que había en la mesa. Con esto terminó la venta. al primero. porque la campesina no tenía más huevos. Tenía 100 pasteles para repartir entre ellos. ¿Cuántas llevaba al principio? 84. al tercero. A regañadientes.2297297297. Se licencian un cierto número de ellos.. LAS MANZANAS DEL HORTELANO.. Carlos no estaba muy conforme. Ana tiene triple de pasteles que Carlos. Aún sobró una manzana. SOLDADOS DEL REGIMIENTO.636363. la mitad de las que le quedan más dos y. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno? 90.% tiene carnet de conducir y que el 92. Ana y Carlos están merendando pasteles. Ana. Un hortelano lleva un canasto con manzanas.42 -
. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina? 87. MÁS PASTELES. Cierto día Ana estaba atendiendo a 30 invitados. LOS PASTELES. Ana tiene el triple que Carlos. ¿Cuántos eran sus invitados preferidos? 88.pastel a trozos. ¿Cuánto vale la docena de limones? 85. ¿Cuántos pasteles comió cada uno de los otros dos?
. la mitad de las manzanas más dos.Jesús Escudero Martín
83. De los que quedan sabemos que el 63. La primera clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. Ahora todavía tenía el doble que Carlos. ¿Cuántos pasteles más tiene que darle Ana a Carlos para que cada uno tenga los mismos? ¿Cuántos pasteles había en total? 89.% no usa gafas.. VENTA DE HUEVOS. Quedaron 8 pasteles para Ana. EL PRECIO DE LOS LIMONES. y tres a cada uno de los demás invitados.000 soldados. Encuentra a tres amigos y las da.
. GANANCIA Y PÉRDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. antes de encarecerla o después de abaratarla? 94. ¿Cuánto cuesta un pastel grande? 92. ¿Cuándo era más barata. recargó el precio de compra en un 10 por ciento. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. ¿Estaba en lo cierto? 96. Blas se comió la mitad de los que que.Jesús Escudero Martín
91. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. Siete grandes y cuatro pequeños cuestas 12 ptas. se presentaron 37 candidatos. antes de abaratarla o después de encarecerla? 95. y 100 por cada periquito. Si las vende ahora con un 15% de incremento sobre el precio de taquilla. HÁMSTERES Y PERIQUITOS. ¿De acuerdo? 93. Manuel ha comprado dos entradas para ir al fútbol con un 10% de recargo. más que cuatro grandes y siete pequeños. Ana se comió la mitad y uno más. "Eso significa que hoy me he quedado igual que estaba". Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. se dijo. pues. Para su venta al público. se gana un 5% sobre el recargo que pagó. dado por el valor colectivo de los siete animales restante. descubrió que había recibido por los ya vendidos exactamente lo mismo que había pagado por todos ellos inicialmente. PASTELES SOBRE LA MESA. Pagó los hámsteres a 200 pesetas cada uno. Con uno sacó un beneficio del 10% y con el otro sufrió una pérdida del 10%. El dueño de una pajarería compró cierto número de hámsteres y la mitad de ese número de parejas de periquitos. Una mercancía se abarató un 10% y luego se encareció en un 10%. LA REVENTA. Su posible beneficio viene. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. A unas oposiciones al Ayuntamiento de Salamanca. Sobre la mesa había una cierta cantidad de pasteles. Todos los residentes en Salamanca capital consiguieron plaza y su número representaba el 95% del total de aprobados. ¿Cuántos aprobaron y cuántos eran de Salamanca capital? 98. PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. ¿Cuándo era más barata. ¿Cuál es el posible beneficio? 97. Un tratante de arte americano vendió un día dos cuadros por novecientos noventa dólares cada uno. Cuando tan sólo le quedaban siete animalitos por vender. Una mercancía encareció un 10% y luego abarató en un 10%.
vendía sus manojos de espárragos a 160 ptas. Una empresa contrató a un empleado para trabajar durante 26 días.Jesús Escudero Martín
daban y uno más. JUEGO EN FAMILIA. Estipularon que por cada día que trabajara. LOS DOS BEBEDORES. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. pero por cada día que holgazaneara no sólo no recibiría ninguno. José y Luis. de longitud y formaba así manojos que vendía a 80 ptas. Cada uno marcó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo (es decir: si alguien tiró 10 tiros anotó diez puntos en cada tiro). Si medía de 3 en 3 metros me sobraban 2 metros. ¿Cuántos metros medía? 102. Carlos se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Diego se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Cómo esos manojos le parecían demasiado pequeños. VESTIDOS A GOGÓ. ¿Calculaba bien la verdulera? ¿Qué precio debería pedir por cada manojo de espárragos? 101. Si de 5 en 5 me sobraban 4 metros. Si de 4 en 4 me sobraban 3 metros. recibiría 3 pasteles. cada uno. Si de 6 en 6 me sobraban 5 metros. Estaba seguro de que el cable medía menos de 100 metros. cada uno. Al tratar de medir un cable que tenía en casa. con nuestros hijos Julio. disparamos con dardos sobre una diana con número en cada casilla. PASTELES COMO PAGO. Una verdulera de legumbres tenía la costumbre de atar sus espárragos con un bramante de 30 cm. Sonia tiene un número de vestidos igual a los que posee Alicia divididos por los que tiene Ana. pero tendría 8 veces los que tiene Gema si tuviera 14 más. MIDIENDO UN CABLE. ¿Cuántos días trabajó? 100. pero si el alemán se hubiera dormido en vez del inglés y éste hubiese continuado bebiendo. observé lo siguiente: Si medía de 2 en 2 metros me sobraba 1 metro. en consecuencia. sino que tendría que darle uno a la empresa. Con esto se acabaron los pasteles. ¿En cuánto tiempo se lo hubiera bebido cada uno? 104. habría tardado en vaciar el barril 4 horas y 40 minutos. El empleado terminó ganando 62 pasteles. Alicia posee 42.44 -
. ¿Cuántos había sobre la mesa? 99. dio en utilizar bramantes de doble longitud y. Mis amigos Juan y Pablo. Cada padre se anotó 45 puntos más
. Un inglés y un alemán beben de un barril de cerveza por espacio de dos horas. al cabo de las cuales el inglés se queda dormido y el alemán se bebe lo que resta en 2 horas y 48 minutos. ¿Cuántos vestidos tiene Sonia? 103.
¿A cuántos collares equivale una lanza? 110.Jesús Escudero Martín
que su hijo. ¿Cuánto vino puro le queda por beber. considerando la capacidad del vaso? 106. Lo llena por segunda vez de agua y entonces bebe la mitad del vaso. EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. b) Una lanza se cambia por tres cuchillos. En una tribu del Amazonas. cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. Yo disparé 7 tiros más que Luis y Julio 15 más que Pablo. ¿Cómo se llama mi hijo? ¿Quién es el hijo de Juan? ¿Cuántos puntos se marcaron? ¿Cuántos tiros se tiraron? 105. Pero si en cada estaca se posan dos chovas en una de las estacas no habrá chova. a excepción de un reducido sector del prado pequeño. uno tenía doble superficie que el otro. Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados. Si en cada estaca se posa una chova. Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla en el prado grande. después de la comida. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla? 109. donde todavía subsiste el trueque.45 -
. Durante esa tarde fueron terminadas las dos siegas. hay una chova que se queda sin estaca. NEGOCIANDO POLLOS. ¿Cuántas eran las chovas y cuántas las estacas? 107. vuelve a llenarlo con agua y bebe una tercera parte de la mezcla. entre los dos. Si extendiesen las hojas de los dos libros. Se supone que 5 caballos tienen el mismo valor que 12 vacas. y la otra mitad trabajó en el pequeño. Un escritor ha compuesto dos libros que suman. Paco llena un vaso de vino y bebe una cuarta parte. ¿Cuántas páginas tiene cada libro? 108. sobre la base de que 85 pollos equivalen a un caballo y una vaca. Un granjero y su buena esposa están en el mercado para negociar sus aves de corral por ganado.
. LIBROS DESHOJADOS.. y el del segundo de 17x12. EL VASO DE VINO. se tienen las siguientes equivalencias de cambio: a) Un collar y un escudo se cambian por una lanza. c) Dos escudos se cambian por tres cuchillos. Llegaron las chovas y se posaron en estacas. LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. 356 páginas. cubrirían 4'2264 m2. una mitad de la gente quedó en el prado grande. LA CUADRILLA DE SEGADORES. El formato del primero es de 20x15 cm.
Al cabo de 3 años se encuentra duplicado su capital. Cada vez que María se quedaba con 4 castañas. y tendríamos la cantidad exacta de pollos para hacer el canje. y por cada 6 que recibía María. Entonces Granjero: Creo que deberíamos tener más vacas que esas. y aumentaron su carga con la mitad de lo que habían tomado. a un tercero. Un hombre tomó una posada por 30 días. PAGO EXACTO Y PUNTUAL. ¿Cuántos denarios valía cada pieza? ¿Cómo se pagaba con ella? 112. Todavía los dos mayores se vieron capaces de aumentar su carga con un tercio de la que ya llevaban y así lo hicieron. ¿Cuántos pollos llevaron al mercado el granjero y su esposa? 111. Cuatro muchachos se encontraron un enorme tesoro de monedas de oro. Más aún. a otro dos discos y 1/7 de todos los restantes. Antonio repartió entre sus amigos los discos que tenía.46 -
duplicáramos el número de vacas que hemos elegido. SE QUEDÓ SIN DISCOS. En total se llevaron entre los cuatro 138 kg. ¿Cuántos discos tenía y entre cuántos amigos los repartió?
. Y con estas piezas cada día pagaba la posada. el mayor se atrevió aún a añadir una quinta parte más de lo que llevaba. Un negociante separa al principio de cada año 100 dólares para los gastos del año y aumenta todos los años su capital en 1/3. Este huésped no tenía otro dinero. sino 5 piezas de plata que todas ellas valían 30 denarios.Jesús Escudero Martín
Esposa: Llevemos otros tantos caballos como los que ya hemos elegido. ¿Cuántas castañas recibió cada niña? 115. pero los tres mayores vieron que podían con más. tres discos y 1/7 de los restantes y así sucesivamente. ni ella a él. Susana tomaba 7. ¿Cuál era el capital al empezar el primero de estos años? 114. y no le quedaba debiendo nada a la patrona. de oro. tendríamos en total 19 vacas y caballos. De primera intención los cuatro cargaron con pesos iguales. NEGOCIANTE METÓDICO. tres niñas las repartieron de modo que las cantidades recibidas guardaran proporción con sus edades. ¿Cuánto cargó cada uno? 113. por precio de un denario cada día. TRANSPORTE DE UN TESORO. Lola tomaba 3. hasta que repartió todos sus discos. EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS. A uno le regaló un disco y 1/7 de los restantes. Tras recoger 770 castañas. creo que si
tendremos tan sólo 17 caballos y vacas que alimentar durante el invierno. Pero al cargarlo de nuevo.
dejó establecido que el hijo mayor recibiría 100.000 alumnos que son atendidos por 19 personas entre maestros y maestras.000 ptas. Si repartían 7 para cada uno les faltaban 8. ¿Cuántos ladrones y cuántos rollos de tela había? 120. ¿Cuántos eran los ladrones? (Resolverlo sin utilizar el álgebra) 119. el jefe les dijo: "El de menor grado se quedará con una cámara.Jesús Escudero Martín
116. Si vendo 75 pollos. con lo que nuestras reservas de pienso nos durarán 15 días menos”. Al final todos recibieron igual cantidad. Últimamente se decidió aumentar en 8 alumnos más la clase de cada maestra. lo que nos permitirá terminar la campaña sin más abastecimientos. EL REPARTO DE LA HERENCIA. Un granjero le dice a su mujer: “No sé qué hacer. Si repartían 6 para cada uno les sobraban 5. más la quinta parte del nuevo resto. Si cada uno de nosotros toma seis. El jefe de unos bandidos decía a sus hombres: "Hemos robado unas piezas de tela. nos faltarían ocho". Pero como los pollos se pagan bien. El siguiente 200. MAESTROS Y ESCOLARES.47 -
. EL GRANJERO Y LOS POLLOS. que ahora están difíciles. más la quinta parte del resto. En una comunidad existen 1.000 ptas. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo 100. Curiosamente todos los amigos recibieron la misma cantidad de discos. reduciéndose así las de los maestros. el del grado inmediatamente superior se quedará con dos. Cada maestro atiende 30 alumnos más que cada maestra. Los ladrones se rebelaron contra esta injusticia y el más audaz de ellos dijo: "Tomaremos cinco cámaras cada uno". tal vez convenga comprar 100 pollos. al morir. Un padre. LOS LADRONES Y LOS CUADROS. las reservas de pienso que tenemos nos durarán 20 días más de lo previsto. LOS LADRONES Y LAS CÁMARAS DE FOTOS. ¿Cuántas cámaras fotográficas habían robado? 118. LOS LADRONES Y LAS TELAS. quedarán cinco piezas. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada uno? 117. En una banda de ladrones cada uno tenía un grado diferente. el de tercer grado con tres y así sucesivamnente".
. Unos ladrones robaron varios rollos de tela. Una noche después de haber robado una partida de cámaras fotográficas. Pero si cada uno de nosotros quiere siete. ¿A cuántos niños atiende ahora cada maestro? 121.000 más que el anterior y la quinta parte del resto. Y así se hizo.
Muerto el padre. porque la campesina no tenía más huevos. partieron la hacienda. Un rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de perlas. Al salir tropezó con un guardián que. ¿cuántos pollos tiene el granjero? 122. Pídese cuántos hijos dejó el padre. Un mercader estando enfermo hizo testamento. cuánta hacienda. les dijo que todas ellas se llevarían el mismo número de perlas. y al tercero la sexta parte del restante y 900 ducados más. VENTA DE HUEVOS.Jesús Escudero Martín
Dejando al granjero que resuelva el dilema con su mujer. y 300 ducados más. le dejó pasar haciéndole entregar la mitad de las naranjas que llevaba y otra media naranja. Con el segundo guardián consiguió por lástima de sus ruegos. El juez. tras contar las perlas. 123.48 -
. una perla más 1/7 de las restantes. LAS PERLAS DEL RAJÁ. y cuanto vino por cada uno. y así sucesivamente todas las demás hijas. y 300 ducados más al uno que al otro. y hallaron que tanto vino al uno como al otro. ORIGINAL TESTAMENTO. pero dándole también la mitad de las naranjas que tenía más media naranja. la 3ª tres perlas más 1/7 de las restantes. compadecido por su necesidad. ¿Cuántas hijas y perlas había? 125. dando siempre a cada uno la sexta parte del restante. Un vagabundo furtivo entró en un huerto ajeno para apropiarse algunas naranjas. y cierta cantidad de hacienda. ordenando que al hijo primero le diesen la sexta parte de la hacienda. y al segundo la sexta parte del restante. ¿Cuántas naranjas había cogido al principio? 124. y con este orden en los demás. y 600 ducados más. Tenían que repartírselas de una forma muy especial. que también le dejase pasar. dejando ciertos hijos. La primera clienta le compró la mitad de los huevos más medio huevo. Después de esto el ladronzuelo se vio en campo libre y en posesión de dos naranjas. LOS GUARDIANES DE LAS NARANJAS. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. Y lo mismo exactamente le sucedió con un tercer guardián. Cada hija recibiría: La mayor. Con esto terminó la venta. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. La tercera clienta sólo compró un huevo. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto. la 2ª dos perlas más 1/7 de las restantes. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina?
¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores? 128. Cada vaca le costó 10 dólares. Un pastor tiene 2 panes y otro 1 pan. Volvió a casa con 19 gansos que le sobraron. cuya mujer está a punto de dar a luz. ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 132. Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. ¿Cuántos gansos llevó al mercado el campesino? Hay que tener en cuenta que ningún ganso fue dividido. Cada vaca le costó 4 dólares. en total ocho. Vendió al primer cliente la mitad de los gansos más medio ganso. medio dólar. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca. CERDOS Y OVEJAS (3). 3. Juntan los 3 panes y los tres comen partes iguales. Un chiquillo cazó varias arañas y escarabajos. disponiendo en su testamento lo siguiente: "Si la criatura que va a nacer es niño. Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. éste se llevará 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. CERDOS Y OVEJAS (1). y cada oveja. un cerdo. el cazador les deja 3 monedas.49 -
. Cada vaca le costó 5 dólares. cada cerdo. medio dólar. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales resultan 54 patas. Para complicar las cosas. cada cerdo. LOS 3 PANES Y LAS 3 MONEDAS. Al despedirse.
. y los guardó en una caja. niño y niña. VACAS. ARAÑAS Y ESCARABAJOS. Al tercer cliente un cuarto de los que le quedaban más tres cuartos de ganso. muere. Un campesino fue al mercado a vender gansos. VACAS. ésta se llevará 1/3 y 2/3 la madre. 2. ¿Cómo deben repartirse las 14 vacas entre los tres? 129. CERDOS Y OVEJAS (2). 127. sucedió que nacieron mellizos. CURIOSO TESTAMENTO. y cada oveja. VENTA DE GANSOS. Al segundo cliente la tercera parte del resto más un tercio de ganso. 2." Las posesiones del padre eran únicamente 14 hermosas vacas.Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. Al cuarto cliente un quinto de los que le quedaban más un quinto de ganso. Un hombre.Jesús Escudero Martín
126. y una oveja. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja? 130. cada cerdo. ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 131. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca. un cerdo. y una oveja. Si es niña. VACAS. Se encuentran con un cazador que no lleva comida.
pagándoles tantos reales como ellos tienen. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca. Tres jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. pagándole a cada uno tantos reales como ellos tienen. y 80 céntimos. cada jugador se retira con 200 ptas. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno el juego?
. CURIOSA PARTIDA (2). un cerdo. ¿un aumento de 150 dólares anuales o uno de 50 dólares cada semestre?" Los dos primeros aceptaron la primera alternativa. de 1.50 -
. NEGOCIO PARA TRES. eligió la segunda. ¿Con cuántos reales habían llegado a la feria? 134. Por último. el tercero compra aceite a los otros dos.Jesús Escudero Martín
y cada oveja. Si su trabajo es satisfactorio y decidimos que sigan. perdieron todos ellos. El primero compra vino a los otros dos. LOS ASPIRANTES AL PUESTO DE TRABAJO. ¿Por qué? ¿Fue acaso que al gerente de personal le gustó su modestia y su aparente deseo de ahorrarle dinero a la compañía? 135. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego? 136. pagaderos por semestres. un tercio de dólar. después de pensarlo. Una gran empresa proyectaba abrir una sucursal en cierta ciudad y puso anuncios solicitando tres empleados. Inmediatamente lo pusieron al frente de los otros dos. y les dijo: "Sus sueldos han de ser. Terminados estos negocios se vuelven a su casa con 48 reales cada uno. pagando a cada uno tantos reales como ellos tienen. CURIOSA PARTIDA (1). pero el tercero. es decir. pero. al empezar. Al acabar todos tenían el mismo dinero: 12 pesetas. el segundo compra garbanzos a los otros dos. Siete jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros seis. se les aumentará el sueldo. Después de haber perdido todos ellos una partida. ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 133. y una oveja. Tres feriantes tienen cada uno un cierto número de reales. Jugaron siete partidas y cada vez perdió un jugador distinto. El gerente eligió a tres jóvenes que parecían prometer. díganme que prefieren. Después.000 dólares anuales.
de manera que en lugar de escribir 136 escribe 253. 5 y 6 da respectivamente los restos 1. pero algunos me ven como si fuera un 9. Encuentra los tres números. PRIMERA ESCRITURA DEL CIEN. del 2 al 10 sólo hay un divisor mío. ¿Por qué? 141. 4 y 5? 142. 3.
. ¿es par o impar? 139. dividido por 2. AÑO DE NACIMIENTO. Restad a vuestro año de nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. no se ponga a multiplicar. Se obtiene un resultado divisible por 9. pero hay una cantidad finita de ellos. tengo cuatro cifras. 2.Jesús Escudero Martín
Problemas sobre números. ¿Cuál es el menor número con 7 divisores y no más? ¿Y. Escribe el número 100 empleando cinco cifras iguales. ¿Cuál es el menor número que. MENOR NÚMERO. Multipliquémoslos todos entre sí. imagine que alguien ya hizo esa multiplicación por Vd. a) ¿Con qué cifra del 0 al 9 termina P? b) La segunda cifra (la de las decenas). Llamemos al resultado P. LA BASE DESCONOCIDA. ¿QUE NÚMERO SOY? Soy capicúa. curiosidades numéricas. Las nueve cifras de los tres números: ABC DEF GHI son distintas. El segundo es el doble del primero. 4. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. TODOS LOS PRIMOS. etc. Mi hijo ha aprendido a contar según una base no decimal.51 -
. ¿Cuál es esta base? 144. ¿Cuáles son estos números? 145.024. El producto de cuatro números enteros consecutivos es 3. No. y el tercero es triple del primero. con 8 divisores? 143. ¿Qué número soy? 140.
137. 3. 138. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. EL MENOR CON X DIVISORES. Los números primos detectados hasta ahora son muchísimos.
¿Podría Vd. Una mecanógrafa inexperta estaba copiando un libro de matemáticas. El producto de cualquier número entero por 100 da como resultado el citado número con dos ceros más a su derecha. el citado número con dos ceros más a su derecha. El cociente de 1. -. DIVISIONES EXACTAS. 1.52 -
. para que ambos modos de escribir signifiquen el mismo número? (En este caso el error mecanográfico no hubiese tenido importancia en el resultado).001 entre 7 da como resultado el número 142. Los números del 2 al 9 pueden ser expresados como fracciones en las cuales cada dígito. 3. ¿verdad? ¿Por qué? 147. No muy lejos de ellos hay otros dos números. 8 y 9. 146.Jesús Escudero Martín
Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +. 5+8+3+2=18.000. Encuentra fracciones similares que den por resultado 3.913.857. Por ejemplo: 234234. excepto el 0. CURIOSA PROPIEDAD. 2. Si ahora sumamos las cifras del resultado 4+9+1+3. El cociente de 100 entre 4 da como resultado el número 25. encontrar otras cuatro cifras. 6. x. 151. consecutivos. que es muy distinto. Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero.832. : y ( ). el nuevo cociente entre 13. Por ejemplo: 2=13458/6729. ¿Cuáles son?
. dividiendo entre 4. ERROR MECANOGRÁFICO.000. se puede obtener. después el cociente entre 11 y. aparece una y sólo una vez. por último. Divide este número entre 7. Lo mismo ocurre con el 18.857. 4=15768/3942. EL NÚMERO 25. 2. donde debía escribir 5423. que gozan de la misma propiedad. 183=5.857. El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142. Obtenido así: 35741900 : 4 = 8935475. 1. Ejemplo. El producto de cualquier número por 25.000. CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9.143.001 da como resultado el citado número de 9 cifras duplicado. 3. 5. 7.143. 173=4. volvemos a tener el 17. EL NÚMERO 142. Obtienes divisiones parciales exactas y al final tu número inicial. escribió 5423. El producto de cualquier número de 9 cifras por 1. 357419 x 25 = 8935475.000.143. 148. ¿cómo se puede obtener rápidamente sin tener que realizar la multiplicación? 150. 149.
potencias.3=3/10. /. !. Empleando cuatro treses (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+. . 153. 155. .3333.5555.Jesús Escudero Martín
152.53 -
. Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas.5=5/10. etc. También se admite: 0. /.. b) 5432 x 9876.. etc.. x. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos +. También se admite: 0. -. potencias. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN.=5/9. c) 1234 x 56789.
. -. 154. Todavía lo practican algunos árabes de ciertas regiones.. SEGUNDA ESCRITURA DEL CIEN. En el ejemplo se muestra el producto de 346 x 2674 = 925204.=3/9. Empleando cuatro cincos (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+. : y ( ).
Realiza por este método: a) 789 x 1358. x.5 período=0.) expresar todos los números del 1 al 10. !. Se puede usar la notación anglosajona 0'3=.) expresar todos los números del 1 al 10. -.3 período=0. x. CON 4 TRESES. Se puede usar la notación anglosajona 0'5=. CON 4 CINCOS.
159. 76. ¿Qué representa la siguiente secuencia? O.
. O. dan la misma secuencia? 162.Jesús Escudero Martín
SERIES . 5. Las siguientes anotaciones parecen corresponder a una partida de ajedrez. 6. ni en una semana.. 3.MILLAR .. 6. se tachan los números naturales que no cumplan ese criterio. 6. NI EN UNA SEMANA. ¿Qué representa la siguiente secuencia? 0.. CON CALCULADORA MEJOR. SON PARIENTES.RESTA . . 9. 81. 73. 63. P3T. ¿Qué representa la siguiente secuencia? 0. 21. 5. ¿Las iniciales de qué otros cuatro elementos. R1T. sucesiones.
156. ALFA COMO PISTA. 17. 5. 3. S. D14R.FAZ . S. SECUENCIA QUE RUEDA. 1. 7. ¿Cuál es el criterio. 6. 66. 8. Pero la última es más bien extraña. 15. 2. 157. . 2 y mil? 163. Las letras iniciales de los números 7. 62. ¿Qué representa la siguiente secuencia? 6. 4. ¿Qué representa la siguiente secuencia? 6. 72. S. 19. A2D.LAGO . S.SOLAR . 4. SOND y SOND. 2. tomados también en orden.SECUENCIAS
Problemas sobre series.SIGLO 161. si al final quedan únicamente 1. 7. 15. 32. ¿Qué emparenta a todas estas palabras? DOLOR . 8.. 160.. S.. 34. secuencias. 84. 2. 5.54 -
. . PRINCIPIO Y FIN. VAYA CRITERIO. A1C. Siguiendo un criterio lógico. 4. 158. 8. EXTRAÑA PARTIDA DE AJEDREZ. 27. ¿De qué se trata entonces? 164. 13. 9 y 10 forman la secuencia SOND. Apuesto a que no lo saca Vd.
Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 5. y los suman a los números elegidos anteriormente. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA. ¿Cuál es la estrategia ganadora? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 167. El que se lleve el último pierde.55 -
. ¿Cuál es la estrategia ganadora? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 166. El que se lleve el último gana. consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente.
165. que es para competir dos jugadores entre sí. LLEGAR A 50. Veamos una partida: Primer jugador 3 4 1 5 4 5 1 Segundo jugador 5 4 3 5 4 1 5 Suma total 3 8 12 16 17 20 25 30 34 38 43 44 45 50 ¡Gana el segundo jugador! Después de jugar algunas partidas. ¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?
. El juego.Jesús Escudero Martín
No podrían faltar los problemas que surgen a partir de los juegos de estrategia. El primer jugador que consigue sumar exactamente 50 es el ganador. Es un juego para dos jugadores. El juego. consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. Los números del 1 al 15 están escritos en tres filas como se muestra más adelante. que es para competir dos jugadores entre sí. Los números del 1 al 16 están escritos en cuatro filas como se muestra más adelante. Suelen ser muy interesantes. DE HOLA RAFFAELA EN TVE.
si se sale por la derecha. para mayor comodidad la serie de los números naturales. el número consecutivo de la serie se coloca en la celda inmediatamente inferior a la del número precedente. Como ejemplo. de tal modo que la suma de cada una de sus filas. de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales dé el mismo resultado.Jesús Escudero Martín
Los cuadrados mágicos son ordenaciones de números en celdas formando un cuadrado. se sigue por la primera celda. Los cuadrados mágicos se clasifican de acuerdo con el número de celdas que tiene cada fila o columna. 2) La cifra consecutiva a una cualquiera debe colocarse en la celda que le sigue diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha.56 -
. entonces se llaman "cuadrados latinos". 3) Si al hacer esto se sale del cuadrado por el límite superior del contorno del mismo. uno con 5 celdas se dice que es de quinto orden. El origen de los cuadrados mágicos es muy antiguo. realicemos un cuadrado mágico de quinto orden:
. saltaremos a la celda de la columna siguiente hacia la derecha y en su fila inferior. 1) Tomemos una serie aritmética cualquiera. y coloquemos el número 1 en la celda central de la fila superior. 4) Cuando la celda siguiente está ocupada. Así. a partir de la izquierda.
Veamos un modo de construir fácilmente cuadrados mágicos de orden impar. Si la condición no se cumple para las diagonales. comenzando así un nuevo camino en la dirección de la diagonal. Los chinos y los indios los conocían antes del comienzo de la era cristiana. de la fila superior.
NUEVE CONSECUTIVOS. E.
168. SUMA 24. de manera que la suma de las filas y la suma de las columnas sea 18. o les añadimos un mismo sumando. TRES CONSECUTIVOS. Construye un cuadrado mágico de 4x4. 172. COMPLETA 3x3. Hallar A. Coloca nueve números consecutivos en un cuadrado de 3x3. es claro que podemos alterar fácilmente. (Suma=34) 170. D y E en el siguiente cuadrado mágico: 15 A 35 50 B C 25 D E
. C. C. Construye un cuadrado mágico de 3x3. DE ORDEN 4.Jesús Escudero Martín
Finalmente. B.57 -
. D. 67 43 73 173. de manera que la suma de las filas y la de las columnas sea 24. CALCULA: A. Completa los casilleros que faltan para que resulte mágicos el siguiente cuadrado: 7 5 8 11 9 174. ORDEN 3. Coloca tres números consecutivos en un cuadrado de 3x3. Completa el siguiente cuadrado para que sea "mágico". DE ORDEN 3. ORDEN 3. en esta forma el llenado de las casillas. puesto que las sumas siguen siendo iguales entre si cuando multiplicamos todos los números de las casillas por un mismo factor. A COMPLETAR. SUMA 18. (Suma=15) 169. 171. B.
No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante cuatro pesadas solamente. 123. rompiéndose en 4 pedazos cuyos pesos respectivos eran números exactos de kilos. 125. con una sola pesada. podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda. 176. 120. 118. y no de 10 como él ordena. LAS 27 BOLAS. que se le cayó.Jesús Escudero Martín
Los problemas sobre pesas y pesadas suelen ser muy interesantes. (Cuatro
. entre las cuales hay una más pesada que las otras. con el fin de cortarle la cabeza? 177. CON SÓLO DOS PESAS. Cinco gruesas niñas que descubrieron que pesándose de a dos e intercambiándose de a una por vez. ¿Cómo podrá. un rey espera que cada uno de sus 30 vasallos le entregue 30 monedas de oro. Se tienen 81 bolas semejantes.
175. 116 y 114. entre las cuales hay una más pesada que las otras. realizadas en una balanza que carece de pesas. (Tres pesadas 181. asimismo. identificar al culpable.400 gramos. Pero sabe que uno de ellos ha adoptado la triste costumbre de darle monedas de 9 gr. Se tienen 27 bolas semejantes. LAS 30 MONEDAS DE ORO. LAS 9 BOLAS. realizadas en una balanza que carece de pesas. Como cada año. 121. LAS 81 BOLAS. Descubre el peso de cada una por separado. ENGAÑANDO A LA BALANZA. 178. LAS PESAS DEL MERCADER. En sólo tres pesadas. entre las cuales hay una más pesada que las otras. un número exacto de kilos comprendido entre 1 y 40 ambos inclusive. Un mercader tenía una pesa de 40 Kg. Determinar el peso de cada uno de los 4 pedazos en que se rompió la pesa inicial. En su resolución se usan razonamientos matemáticos. una de 10 gramos y la otra de 40 gramos.58 -
. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante dos pesadas solamente. (Dos pesadas
180. 179. El juego de pesas de una balanza consta sólo de dos pesas. Se tienen 9 bolas semejantes.800 gramos de semillas en dos bolsas de 400 y 1. realizadas en una balanza que carece de pesas. 122. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante tres pesadas solamente. Encontraron que de a pares pesaban 129 kilos. y por medio de los cuales podía pesar cualquier carga que fuese. separa 1.
Llevaban esperando media hora los Gómez. Viaja con aire en calma.59 -
. ¿Cuál será la velocidad media para el recorrido total? (Se supone. EL BÓLIDO Y LOS TRES MOJONES. Hay que tener mucho cuidado al calcularlas. y fijan el lugar de la primera parada. claro está. Una hora después pasa frente al mojón BA.
182. Parten a la vez de Madrid. PROMEDIANDO. a 30 km/h. Un automóvil pasa frente a un mojón que lleva el número kilométrico AB. Un esquiador sube en telesilla a 5 km/h. acuerdan realizar un viaje al alimón. una hora más tarde frente al mojón A0B. ¿A cuántos kilómetros de Madrid estaba situada la primera parada? 185. Un avión vuela en línea recta desde el aeropuerto A hasta el aeropuerto B. manteniendo el motor siempre en el mismo régimen. Los Gómez y los Arias. EL AVIÓN Y EL VIENTO. y a continuación regresa también en línea recta desde B hasta A. Estos fueron con una velocidad media de 60 km/h. El otro día. cuando fuimos al campo de merienda. y al de 6 km/h al bajarla. inicia el descenso) 183. y el número de revoluciones se mantiene como antes. Si soplara un fuerte viento de A hacia B. La velocidad media de cualquier viaje se calcula siempre dividiendo la distancia total por el tiempo total.Jesús Escudero Martín
La mayor parte de la gente se hace con facilidad un lío en los problemas relativos a velocidades medias. Una persona camina al ritmo de 2 km/h al subir una cuesta. y los Gómez con una velocidad media de 70 km/h. ¿Qué velocidad media conseguí en el viaje completo? 184. que tan pronto alcanza la cima. ¿A qué velocidad tendrá que descender esquiando para conseguir una velocidad de 10 km/h. AL CAMPO DE MERIENDA. ¿sufrirá alguna modificación el tiempo invertido en el trayecto de ida y vuelta? 187. UN ALTO EN EL CAMINO. en el recorrido total? 186. y el de vuelta. cuando llegó el coche de los Arias. el viaje de ida lo hice a una velocidad media de 60 km/h. EL ESQUIADOR FRUSTADO. ¿Qué números tienen los mojones y cuál es la velocidad (constante) del automóvil?
Herodoto. otorgando a cada uno un rectángulo de igual tamaño. o de la demostración de un teorema. el súbdito correspondiente debía acudir al rey para notificarlo.Jesús Escudero Martín
Creer que una ciencia existe a partir de determinado momento o de tal acontecimiento parece una ingenuidad. No podemos decir exactamente qué entienden por "precioso" los matemáticos. de la exclamación: "¡Precioso!". Sin embargo. Pero todos los matemáticos perciben la belleza de un teorema. ¿Cuál tiene una superficie mayor. Por la riqueza de sus aspectos visuales. seguida invariablemente. relata el origen de la geometría (palabra que en griego significa medición de la tierra). Pero cuando el paso del Nilo redujese una porción. Quizá tenga que ver con la sorpresa de lo inesperadamente sencillo. 5. “Se cuenta también que el rey Sesostris dividió la tierra entre todos los egipcios. 5. 6 o uno con lados 5.
Cuando un matemático se tropieza por primera vez con teoremas como algunos de los que veremos a continuación.
188. que vivió en Grecia en el siglo V antes de Cristo. de manera que el propietario pagase la parte proporcional del impuesto. Entonces éste mandaba a sus inspectores. que controlasen la reducción del terreno. un triángulo con lados 5. 8?
. Es frecuente que la resolución de problemas geométricos resulte prácticamente trivial atinando a usar uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclídea. en sus Historias. la geometría guarda un tesoro de hermosos teoremas y preciosas demostraciones. TRIÁNGULOS ORIGINALES. De esta forma. se originó la geometría.60 -
. que se difundió más tarde por la Hélade”. con la misma claridad con que se aprecia la belleza de las personas. casi siempre manifiesta admiración. me parece. con la intención de cobrar la renta por medio de un impuesto que sería recaudado anualmente.
En el triángulo ABC. hallar el radio del círculo. ¿Cuánto mide el lado del rombo?
191. GOLPE DE VISTA. EL RADIO DEL CÍRCULO.Jesús Escudero Martín
189. Por uno de los puntos (O) donde se cortan las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ.
Hay problemas que nos dejan perplejos porque la respuesta elemental. EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES. Dos circunferencias secantes tienen por centros respectivos P y Q.. la hipotenusa a=10. En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50º. ¿Cuánto mide MN?
194. el cateto b=8 y el cateto c=6. según la figura.61 -
. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias.
190. ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos diagonales de las caras del cubo?
. Hallar en 30 segundos el valor de la mediana AM. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
193. a menudo se complica de un modo inverosímil. se quiere construir un estanque de forma rómbica. Teniendo en cuenta la figura. rectángulo en A. EL VALOR DE LA MEDIANA. EL LADO DEL ROMBO. El segmento PQ mide 3 cm. EL ÁNGULO EXTERIOR. En una plaza circular de R=9 m.
¿Es posible dibujar cada uno de los sobres sin levantar el lápiz del papel. Se trata de trazar una línea continua a través de la red cerrada de la figura. CUADRADOS QUE SE CORTAN. Calcula el valor de todos los ángulos de la figura sabiendo que el ángulo 1 vale 70Ε. Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos. DIBUJANDO SOBRES. EL CRUCE DE LA RED.
197. que marca la doblez de cierre. y sin pasar más de una vez por el mismo trazo. En la figura tenemos dos sobres ligeramente diferentes ya que el segundo tiene una línea más. evidentemente una solución del problema.62 -
. ¿En qué posición el área comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible?
198. NUEVE ÁNGULOS. de manera que un vértice de uno está siempre en el centro del otro.Jesús Escudero Martín
195. Se ha dibujado solamente a fin de hacer patente el significado del enunciado del problema. de modo que dicha línea cruce cada uno de los 16 segmentos que componen la red una vez solamente.
. La línea continua dibujada no es. ya que deja un segmento sin cruzar.
pero con 5 monedas en cada lado del cuadrado.63 -
. . de tal modo que en cada lado haya 4 monedas.. Divide la figura adjunta en cuatro piezas idénticas. Moviendo sólo una de ellas. con palillos. LAS DOCE MONEDAS. TRES MONEDAS. LOS SEIS PALILLOS. de 6 soldados cada una. Se trata de disponerlas igualmente formando un cuadrado. Con 12 monedas formamos un cuadrado. trapecios. LOS SEIS CUADRADOS. Con seis palillos formar cuatro triángulos equiláteros.Jesús Escudero Martín
Construcciones. divisiones. SEIS SOLDADOS. Formar con 12 cerillas 6 cuadrados iguales. 203. empleando para ello 24 soldados. monedas.
200. conseguir dos filas con tres monedas cada una. polígonos. cuadrados. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?
. etc. EN 4 PIEZAS IDÉNTICAS. MUCHOS CUADRADOS. cerillas.. 201. 204. Colocar 4 monedas como si fueran los vértices de un cuadrado. SEIS FILAS.
199. 205. Formar 6 filas. trasposiciones. triángulos. 202. DOS FILAS.
La transposición consiste en mezclar.) en una obra que constituye el primer tratado de criptografía conocido. discutidos y discutibles. Restablecer el texto claro partiendo del texto cifrado sin que de antemano se conozca el procedimiento de cifras es el desciframiento. Para leer el mensaje bastaba con conocer su primera letra. otras cifras. sus talentos de criptógrafo no igualaban a los del general.Jesús Escudero Martín
La criptografía es. Hoy el arte de cifrar utiliza las técnicas de la electrónica y ya no tiene ninguna relación con los procedimientos que acabamos de describir. B por E. el arte de las escrituras secretas. el procedimiento criptográfico más antiguo que se conoce es la escitala de los lacedemonios. Los romanos emplearon un procedimiento muy ingenioso indicado por Eneas el Tácito (siglo IV a de C.64 -
. las letras. La tira desenrollada mostraba un texto sin relación aparente con el texto inicial. Por Suetonio conocemos la manera en que Julio César cifraba las órdenes que enviaba a sus generales. pero que podía leerse volviendo a enrollar la tira sobre un palo del mismo diámetro que el primero. Si dejamos de lado los textos bíblicos en cifra. otras palabras u otros signos. Sobre esa tira se escribía el mensaje en columnas paralelas al eje del palo. Su objeto es transformar un mensaje claro en un mensaje secreto que en principio sólo podrá ser leído por su destinatario legítimo (operación de cifrar). a pesar de su diversidad y de su número ilimitado. etc. las cifras. a esto sigue la operación inversa llevada a cabo por el destinatario (operación de descifrar). como lo indica su etimología. de conformidad con cierta ley. La escitala era un palo en el cual se enrollaba en espiral una tira de cuero. El procedimiento consistía en enrollar un hilo en un disco que tenía muescas correspondientes a las letras del alfabeto. Pero posteriormente este procedimiento se perdió. La sustitución consiste en reemplazar esos elementos por otras letras. Si el correo era capturado sólo tenía que quitar el hilo del disco y el mensaje desaparecía. Julio César se limitaba a utilizar un alfabeto desplazado en tres puntos: A era reemplazada por D. de la que Plutarco nos dice que fue empleada en la época de Licurgo (siglo IX antes de nuestra era).
. entran en una de las dos categorías siguientes: transposición o sustitución. Todos los procedimientos de cifrar antiguos y modernos. las palabras o las frases del texto claro.
208. PARA PRINCIPIANTES. 207. FACILÓN. 212. Resolver: IS + SO = SOS.
. Por eso se aconseja que se dediquen a este género de problemas sólo los lectores pacientes y minuciosos. en ciertos sitios se puede marcar simplemente el lugar de una cifra con un punto o un asterisco. Reconstruir éste: PLAYA . OTRA SUMA FÁCIL. La criptaritmética no es más que un juego. En el caso extremo solo quedan asteriscos. Resuelve: PAR + RAS = ASSA. SEÑAL DE SOCORRO. ÚNICA SOLUCIÓN. Reconstruir la suma: 3A2ABC + C8A4DD = E1DE19. OTRO MUY FACILÓN. La criptaritmética consiste en reemplazar las cifras por letras en la transcripción de una operación de aritmética clásica. MUY FACILÓN. 214. No sé en qué época se inventó. cálculos largos y trabajosos que implican grandes riesgos de confusión. Reconstruir la suma: ABC52C + D31ECA = G45GH7. en consecuencia.NADAR = 31744. Reconstruir la suma: ABC23D + C4EFGB = B769C7. Para complicar las cosas. OTRA SUMA FÁCIL. Reconstruir el siguiente: R1G + 1G3 + 305 = GN5. Éste tiene solución única: ABCDE x 4 = EDCBA. sus soluciones no presentan dificultades matemáticas pero en cambio exigen numerosísimas hipótesis y. 211.65 -
. 210.Jesús Escudero Martín
La criptografía es un arte que desempeñó un importante papel en el desenvolvimiento de la historia. de una ecuación. Los enunciados criptaritméticos son a veces seductores. Es fácil ver que la criptaritmética es un procedimiento de cifrar por sustitución y que la clave es una regla matemática. Reconstruir la suma: 3AB32C + B2DECA = F51CD6. 209.
206. El problema consiste en hallar las cifras que están "bajo" las letras. 213. SUMA FÁCIL. pero los aficionados a las variedades comenzaron a interesarse por ellas en el primer congreso internacional de recreaciones matemáticas que se reunió en Bruselas en 1935.
Entre las 12 del mediodía y las 12 de la noche. con la intención de dormir hasta las 10 de la mañana del día siguiente. que debe durar 15 minutos? 222. A LAS TRES Y DIEZ. EL MINUTERO TRES VECES MENOS. Siendo las tres en punto. ¿Durante cuánto tiempo habían estado funcionando estos dos relojes? 220. LOS DOS RELOJES. ¿Cuánto tardará en dar las 12? 218. ¿cuál es el método más rápido para controlar la cocción de un huevo. Cuando volví a fijarme. y de otro de 11 minutos. Unos 20 minutos después de acostarse ya estaba dormido. SONÓ EL DESPERTADOR. ¿Cuánto medirá el ángulo diez minutos después? 217. ¿Qué hora es? 221. EL RELOJ DE CUCO. Disponiendo de un reloj de arena de 7 minutos. Puse en marcha dos relojes al mismo tiempo y descubrí que uno de ellos se atrasaba dos minutos por hora y que el otro se adelantaba un minuto por hora. Miro el reloj. disponiendo de un reloj de arena de 7 minutos y otro de 4 minutos?
. ¿Cuánto pudo descansar antes de que el despertador sonase? 219. OTROS DOS RELOJES DE ARENA. el que se adelantaba marcaba exactamente una hora más que el otro.66 -
215. A partir de ahora la aguja de las horas va a tardar justo el triple de tiempo que el minutero para llegar al número 6. ¿cuántas veces pasa el minutero sobre la aguja horaria? 216. ¿Cuál es el método más rápido para cronometrar 9 minutos. DOS RELOJES DE ARENA. Para ello puso su despertador a las 10. Un reloj de cuco tarda 5 segundos en dar las 6.Jesús Escudero Martín
En la resolución de problemas relativos a relojes se usan razonamientos matemáticos. el ángulo formado por la aguja horaria y el minutero del reloj es de 90Ε. OJO AL MINUTERO. Mi tío estaba tan cansado que se acostó a las 9 de la noche.
. ¿Quién es mayor.000 sabiendo que esa edad será igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento? 224. ¿cuándo nació? 225. Mi hermano me lleva 8 años. GÓMEZ. el niño o la niña? 226. 4. si hace tres años era el triple? 229. ¿Dentro de cuántos años su edad será el doble que la mía. Gómez a sus amigos.Jesús Escudero Martín
Los problemas relativos a edades son siempre interesantes y ejercen cierta fascinación sobre los jóvenes con inclinaciones matemáticas. Bien. gustaba decir el Sr. ¿Qué edad tiene Juan? 228. ¿Cuántos años tiene?
. ¿QUIÉN ES MAYOR? Dentro de dos años mi hijo será dos veces mayor que era hace dos años. ¿Qué edad tendrá Carlos en el año 2. vivió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento”. 6 y 8 da de resto 1. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. MI HERMANO Y YO. La edad de Juan es 1/6 la de su padre. ¿A qué edad murió? 227. LA EDAD DE MI HIJO. Por lo general son extremadamente simples. LA EDAD DE JUAN. pero al dividirla por 5 da de resto cero. LA EDAD DEL SR. La edad del padre dividida por 2. Pero hace cinco años era cuatro veces más joven. POBRE PÍO. "Yo tenía n años en el año n2". En una lápida podía leerse esta inscripción: “Aquí yace Pío Niro. CARLOS EN EL AÑO 2. muerto en 1971.000. Y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor que era hace tres años.
. a los 57 años de edad. Si se escribe tres veces seguidas su edad se obtiene un número que es el producto de su edad multiplicada por la de su mujer y la de sus cuatro hijos. El capitán dice a su hijo: tres veces el cuadrado de tu edad más 26 años dan el cuadrado de mi edad. ¿Cuál es la edad del capitán? 232. LA EDAD DEL CAPITÁN. El famoso cuadro Las Meninas fue pintado por Velázquez en 1656. Carlos frisa en la cuarentena. LAS MENINAS. ¿A qué edad se casó? 231.68 -
230. LA FAMILIA DE CARLOS. donde se había instalado a los 4 años de casado. después de vivir 34 años en Madrid.
¿Quién es el hijo de tu padre que no es tu hermano? 237. a lo que él contestó. ¿Cómo puede ser esto? 238. Supongamos que en esa misma situación. Cada uno de tres hermanos tiene una hermana. LOS HERMANOS DE LA FAMILIA. ¿Quién es esa persona? 234. pero el hijo de este hombre es el hijo de mi padre" ¿De quién sería la fotografía?
. Carlos estaba mirando un retrato y alguien le preguntó: "¿De quién es esa fotografía?". OTRA VEZ CARLOS Y LA FOTO. CARLOS Y LA FOTOGRAFÍA. ¿Qué clase de pariente mío es el hijo de la hermana de mi madre? 236. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Teresa? 240. ¿Cuántos son entre todos? 239. SUEGRA FENOMENAL. La persona que más quiero en este mundo es.69 -
. El hermano de Teresa tiene un hermano más que hermanas. Carlos hubiera contestado: "Ni hermanos. HIJO DE LA HERMANA DE MI MADRE. ni hermanas tengo. pero el tipo de razonamiento que se necesita para resolverlos es muy parecido al que usan a veces los matemáticos.
233. Marta y María son hermanas. ¿De quién era la fotografía que estaba mirando Carlos? 241. ¿QUIÉN ES ANTONIO? Antonio se preguntaba que si el hijo de Pedro era el padre de su hijo. LAS HERMANAS.Jesús Escudero Martín
Estrictamente hablando los problemas de parentescos no forman parte de las Matemáticas. HIJO DE TU PADRE. la suegra de la mujer de mi hermano. Marta tiene dos sobrinas. precisamente. "Ni hermanos ni hermanas tengo. HERMANDAD. ¿qué era él de Pedro? 235. que no son sobrinas de María. pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre".
. Una madre compró a su hija 25 libros y otra madre regaló a la suya 7 libros. ¿Cómo se explica este fenómeno? 243. Entre las dos hijas aumentaron su capital literario en 25 libros.70 -
.REGALAR CULTURA.Jesús Escudero Martín
Los tres van sacando. en los cuales la solución no es la que parece a primera vista. pueden ser verdaderos rompecabezas. ¿Podría Vd.71 -
. ¿Cuál de los cuatro será más barato de mantener?
Para finalizar. Para elegir a un muchacho entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. Dos ajedrecistas de igual maestría juegan al ajedrez. un par de problemas de probabilidad. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados? 247. 248. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. y D ha llegado en medio de A y C. un dogo.
249. una bola que no devuelven. LOS CUATRO PERROS. PARTIDAS DE AJEDREZ. el segundo o el tercero? 250.
244. LA NOTA MEDIA. De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B. a veces. decirnos en qué medio de transporte llega a su destino Tomás. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. calcular el orden de llegada? 246. TRES BOLAS. Tenemos cuatro perros: un galgo. pero éste come más que el podenco. ¿Qué es más probable: ganar dos de cuatro partidas o tres de seis partidas? (Los empates no se toman en consideración)
. ¿Quién lleva más ventaja: el primero. cada dos. Éste último come más que el galgo.Jesús Escudero Martín
Los problemas de lógica. el alano come más que el galgo y menos que el dogo. ¿habla Ángela más alto o más bajo que Celia? 245. Quien saque la bola blanca gana. SILENCIO. Si Carlos no va acompañado de Darío ni hace uso del avión. un alano y un podenco. por orden. podría Vd. utilizar diferentes medios de transporte. Andrés viaja en avión. La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido de 6. Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden. LOS CUATRO ATLETAS. Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa. sabemos que Alejandro no utiliza el coche ya que éste acompaña a Benito que no va en avión.
. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. EL MISMO DINERO. PEDRO Y LOS LIMONES. 138 ojos.300 duros. Entonces: 4 x 3/4 = 3 hombres. 14. 9. 7. Antonio 24 y Pedro 30 limones.Jesús Escudero Martín
1. 12. GATOS Y LOROS. ¿CUÁNTO BENEFICIO? 2 ptas. 8. 6. la pesa representará el cuarto que falta. ENTRE PASTORES. 11. EL PRECIO DE LA BOTELLA. El ladrillo entero pesa 3 kilos. Igual. El vino 9 dólares y 50 centavos. PILOTO DE FÓRMULA 1. y 5 gramos. 2. PROPINAS AL ACOMODADOR. 5 ptas. Las tres cuartas partes de hombre es el cuarto que le falta a la cuadrilla.73 -
. Como ya tenemos en un platillo 3/4 de ladrillo. 15. La botella 50 centavos. Al multiplicar por 60. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. El tapón 5 gramos. 20 metros. PERROS. ACABÓ LA GUERRA. EL PESO DE UN LADRILLO. un gato y un loro. MENUDA RAZA DE GIGANTES. LOS TANTOS POR CIENTO. 10. 10 ptas. 1. El primero 5 y el segundo 7. LA CUADRILLA. Una hora y 23 minutos. ANTONIO. horas. Un perro. los segundos pasan a ser minutos y los minutos. 4. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. El tapón 10 ptas. 17. La botella 40 ptas. 3. 5. La botella 1 Kg. ¿CUÁNTOS NUEVES? Veinte. 16. Por tanto bastará multiplicar por 4 el valor de la pesa para tener el resultado.
DÍAS Y SEGUNDOS. Pedro es el más alto. es decir. 19. 50. 29. EL PRECIO DEL OBJETO. EL CUBO PINTADO. 21. Transcurrido sólo un minuto. ESCRIBIENDO A MAQUINA. x=3x-2. Medio día. 33. y sabemos que dos amebas llenan el tubo en dos horas. ENTRE PASTORES. No.. 18 duros. Por tanto. 35. 30. DOMINÓ. Cada cubierta se utiliza 4/5 partes del tiempo total.Jesús Escudero Martín
18. 20. Juan 24 ptas y Pedro 30 ptas. MANOS Y DEDOS. 26. x=1 metro. LA ALTURA DEL ÁRBOL. 2 cerezas. Tres colores. 34. 6 Kg. En efecto: 100/9 – 10/9 = 90/9 = 10 Ha. 25. 31. ¿QUÉ HORA SERÁ? Las 6 de la tarde. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. ya se ha dividido en dos. 72 . x=altura del árbol. Nueve. 40 segundos. 23. 22. 12. DOCENAS DE HUEVOS. Juan y Antonio tienen igual estatura. ¿CUÁNTA TIERRA? 100/9 Ha. 24. Es frecuente que se conteste 100. 28. OTRO LADRILLO. ESCALA DE ESTATURAS. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. pues le falta lo mismo para llegar a la de Pedro. 27. LA AMEBA. 36.74 -
. cada una ha sufrido un desgaste de 4/5 de 5000 Km. El primero 5 y el segundo 7. DINERO DE JUAN Y PEDRO.
.72 = 0. 32. PINTANDO UN CUBO. 4000 Km. Dos horas y un minuto. EL CEREZO. Las caras opuestas se pintan del mismo color.
Por lo tanto. NIÑOS Y MOSCAS. A MODO DE CHIMENEAS. 50. constituyen un metro. LOS TATUADORES. Cada mil mm2. Tres minutos. Cada uno jugó dos partidas: A-B. LO DE LOS ARENQUES. 44. LAS 16 CERVEZAS. Dos tatuadores y medio. cómo en el caso a). de mucha suerte. o mitades superiores (musleras). Dos fumadores. 11 pares. En un metro cuadrado hay un millón de milímetros cuadrados. o talones. 3. o inferiores (calcetas). A-C y B-C. tendrá que coser. si quiere ponerse el par. y encajan las cuatro medias medias dos a dos. 45. b) Pueden ser una media y dos medias medias. 46. 24 cervezas. mil millares formarán mil metros. JUGANDO AL AJEDREZ. MEDIAS MEDIAS. En este caso. 2 cerezas. sino también su ancho y su profundidad. que no encajan para formar ni siquiera una media porque las medias medias sean todas punteras. 12 peniques (1 chelín). MILÍMETROS CUADRADOS. 38. 1. pero las otras dos medias medias no. LAS CERVEZAS. 47.
. si tiene Vd. LO DE LA SARDINA. la línea formada tendrá un kilómetro de longitud. 49. dispuestos uno junto al otro. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. c) Si está Vd. 41. PAN Y PAN. 42. 43. 48. LA TORRE EIFFEL. 5 y 7 cervezas. PAN. Depende de cómo hayan sido los cortes. 39. OTRO CEREZO. Siete reales y medio. 40. o cualesquiera mezclas heterogéneas pero incoherentes de estas dichas. la suerte de que dos de ellas encajen para venir a darle una media. Si hechos al azar pueden darse tres casos: a) Puede que sean cuatro medias medias sueltas. puede llegar a ser dueño (o dueña) de un par de medias. No sólo se reduce la altura de la torre. por lo que su peso disminuye a un octavo del peso original. Dieciséis duros y medio. 875 toneladas. más desgraciado.75 -
62. es decir la altura mide 4 cm. pero un minuto antes de chocar.76 -
. 52. 57. El agua derramada le habría durado ocho días al hombre que murió. El dato de 5. cm. Siendo B=coste en cupones de un bote de detergente. B=9. 58.000 ptas. la altura máxima se conseguirá cuando el otro lado esté perpendicular al anterior. así que se derramaron ocho litros. Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos. OJO QUE ES UN CIRCUITO. 53. no lo olvidemos.000 km. La distancia será: 8 + 12 = 20 km. MULAS Y BURROS. Largo 120 m. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO.. ancho 60 m. el cliente recibe un bote de detergente con el cupón correspondiente. 54. 23 palomas. Como el área de un triángulo es máxima cuando sea máxima la altura. Así: 10=B+1. EL GRAN CHOQUE. Sea n el número de gatos. quedaba agua para ocho días. Nueve veces. 55. 64. LA GALLINA PONEDORA. Cada gallina tiene que poner 6 huevos. Por 10 cupones. Sea n el número de focas. es irrelevante. es decir. lo que se consigue al cabo de 9 días. A 15. LAS FOCAS DEL ZOO. pues se pide la distancia a la que se encuentran antes de chocar. Margarita vive con 4 gatos. EL TIRO AL BLANCO. 61. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? 50 ptas.Jesús Escudero Martín
51. antes de que se derramara el agua. Tenemos: n=4/5·Αn+4/5 ⇒ n=4. CURIOSA PELÍCULA. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. 60. 56. considerando como base uno de los lados iguales. ¿CUÁNTA AGUA SE DERRAMÓ? El quinto día. TRABALENGUAS. LOS GATOS DE MARGARITA. Había 7 focas en el zoológico. Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos. El tercer lado entonces será la hipotenusa. Tenemos: n = 7/8·Αn + 7/8 ⇒ n=7. CONEJOS Y PALOMAS. Nueve cupones. 59.
EL CABALLO Y EL MULO. Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: x=8. Sabemos que la diferencia es de 20 dólares. Resolviendo el sistema: x=120 francos. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA. Bien. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. y=12. 2x-40=20y. 70. COMERCIANTES DE VINOS. ahora quedan seis galletas. 68.Jesús Escudero Martín
65. Px=60 ⇒ P=60/x P'(x-2)=60 ⇒ P'=60/(x-2) Pero P'=P+12/12 60/(x-2) = 60/x + 1 = (60+x)/x ⇒ 60x=60x-120+x2-2x ⇒ x2-2x-120=0 ⇒ x=12. 42.3. tres loros. mcm (2. Así que dos periquitos valen 20 dólares. que es dos periquitos.7. Así que la diferencia entre comprar cinco loros y tres periquitos o comprar tres loros y cinco periquitos es igual que la diferencia entre comprar trece periquitos y comprar once periquitos. cinco loros más tres periquitos valen lo que trece periquitos.9. EN DOS DADOS. 76. Por tanto. Por otro lado. x=Precio de cada barril. y=10 francos. 15 de cada clase. Puesto que un loro vale lo que dos periquitos. (6 x 6 + 5 x 4 = 36 +20 = 56). lo que significa que un periquito vale 10 dólares y un
. 74. 69.6. LA VIDA DE DIOFANTO. El caballo llevaba 5 sacos y el mulo 7 sacos. perdió a su hijo a los 80 años y murió a los 84. 5x+40=64y. las seis galletas restantes son para los perros. y=7.77 -
. Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. t=20.521. más cinco periquitos valen lo que once periquitos. MITOLOGÍA. Tres centauros tienen 3x6 = 18 extremidades. conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años. 67. LOROS Y PERIQUITOS. Sea x el número de huevos y P y P' los precios inicial y resultante tras la rotura. 66. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x=5. 73.10) + 1 = 2. LOS CUATRO HERMANOS. 60 chicos. y puesto que cada perro ha de recibir una galleta más. 75. z=5.4. debe haber seis perros y cuatro gatos. 72. fue padre a los 38 años.8. Por tanto. cinco loros valen lo que diez periquitos.5. LOS DIEZ ANIMALES. 84. LOS CHICOS DE LA FERIA. Primero damos cinco galletas a cada uno de los diez animales. 71. los gatos ya han recibido su parte. y=Impuesto aduanero.
1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60. 20 menos que en realidad.Jesús Escudero Martín
loro 20 dólares. Por lo tanto se repararon 10 coches y 30 motos. 78. 3≅70+2≅95=400. Por 16 duros dan 16/x limones. 80. 36x = 16/x. por los cuatro cuadernos. La sustitución de una moto por un coche hace que el número total de ruedas aumente en dos. dividiendo 350 entre 5. es decir. entonces una manzana pesa lo mismo que un melocotón. LA MAQUINA DE PETACOS.750 = 78. (5 loros + 3 periquitos = 130 dólares. Reducimos todo a sesentavos. trabajando el mismo tiempo las dos mondaron 350 patatas. Esto deja 13/60 para el cultivo de maíz. la segunda trabajó 70+25=95 minutos. COCHES Y MOTOS.392. 82. 36. o sea que un cuaderno cuesta 10/4 = 2'50 ptas. Luego un tintero cuesta 12 ptas. TINTEROS Y CUADERNOS. Este es el tiempo real que trabajó la primera persona. por los tinteros. Es evidente que hay que hacer 10 sustituciones de este tipo para que la diferencia se reduzca a cero. es decir. la segunda persona mondó 2≅25=50 patatas. x2 = 16/36. La diferencia 471. Por tanto una pera se equilibra con 7 melocotones.300 por 5 = 2. 81. Para conseguir partida necesitan 392. 79.356. LAS MANZANAS DEL HORTELANO.78 -
. 77. Por consiguiente. luego 70-60=10 ptas. el número total de ruedas sería 80. hallamos que. En los 25 minutos de más. La tierra tiene 120 Ha. Sea "x" el precio de un limón expresado en duros.
. Restando estas 50 patatas de las 400. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. 36 limones cuestan 36x duros. x = 2/3 duros. 36x2 = 16. Como cada minuto ambas mondan en común 2+3=5 patatas.300 . Antonio pagó 60 ptas.550 son los puntos que cada amigo tiene que hacer de más por faltar uno de los amigos. MONDANDO PATATAS. 60 debe ser la mitad del número total de Ha.500 puntos. hallamos que cada una trabajó 70 minutos. Como 4 manzanas y 6 melocotones se equilibran con 10 melocotones. EL PRECIO DE LOS LIMONES. 10≅4+30≅2=40+60=100. 539750/78550 son 5 veces los puntos en cuestión. la diferencia disminuye en dos. Dos tinteros cuestan 70-46=24 ptas. 83. 84. 3 loros + 5 periquitos = 110 dólares). LAS TIERRAS DEL GRANJERO. y como 13 es la mitad de 26.750 por 6 = 471. Luego los amigos eran inicialmente eran 6. Si todos los vehículos hubieran sido motos. 13/60 de la tierra es 26.
Por tanto N también debe ser múltiplo de 296. 12 limones valen 8 duros. 88.000 soldados. el 700/11 % de los que quedan tiene carnet de conducir. Sabemos que 1G = 3P.110 ptas. Al principio Ana tenía 9 y Carlos 3. 91. Si N es el número de los que quedan. tienen carnet de conducir 700/11·1/100·N = 7N/11.. LA REVENTA.=6825/74 entonces: 6825/74·1/100·N = 273N/296 no llevan gafas. pues. Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas.
. Así.19P = 6P = 12 ptas.2297297.110x/100 ptas... Añadiendo medio huevo.256 soldados.abarata 10% . Por tanto N debe ser múltiplo de 11. En total había 12 pasteles. PASTELES PARA LOS INVITADOS. por lo que N=3. VENGA PASTELES. Había 10 invitados preferidos.encarece 10% . Como 63.abarata 10% . SOLDADOS DEL REGIMIENTO. Ana 24.99.63636363. . LOS PASTELES. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. Había 32 pasteles. = 700/11.256=744. el proceso es: 100 ptas . Después de que la segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que quedaban más medio huevo.256. 90. PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. Está claro que el resto completo eran tres huevos. ⇒ 1G = 6 ptas. a la campesina sólo le quedó un huevo. 92. Es decir. 10Α4 + 20Α3 = 40 + 60 = 100.. 89. Igualmente como. 86. En general: x .encarece 10% . 85.. VENTA DE HUEVOS. Pero en el regimiento sólo había 4. Por lo tanto. MÁS PASTELES. 92. . Carlos 8 y Diego 4. 7G + 4P = 21P + 4P = 25P 4G + 7P = 12P + 7P = 16P 25P . Siempre es más barata después de abaratarla. un huevo y medio constituyen la segunda mitad de lo que le quedó después de la primera venta. ⇒ 1P = 2 ptas.000-3. El porcentaje sobre el recargo que se gana Manuel es del 50%. Así N es múltiplo de 296≅11=3.Jesús Escudero Martín
Luego.79 -
. obtenemos la mitad de los que tenía la campesina al principio. Ana tiene que darle a Carlos 2 pasteles. Luego es más barata después de abaratarla.99x/100. el número de huevos que trajo al mercado era siete. 87. 93. Carlos comió 10 y Diego 14. se han licenciado 4.
. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. y además y no puede ser mayor que 7. ¿cuánto pagó por él? El beneficio no es el 10% de 990.99x/100 ptas. GANANCIA Y PÉRDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. Este dato permite desechar la solución y=2.320 pesetas. Como x e y han de ser enteros positivos. Por consiguiente perdió 110 dólares con el segundo cuadro.abarata 10% . y el número de periquitos vendidos (a 110 pesetas cada uno) es evidentemente x-7+y. el proceso es: 100 ptas . vendió por el 90% de lo que pagó. Consideremos ahora el segundo cuadro: Perdió el 10% de lo que pagó por él. que es 990 dólares. Veamos por qué: Consideremos primero el cuadro que vendió con un beneficio del 10%. Por consiguiente sacó 90 dólares con el primer cuadro. Podemos ahora dar la solución completa. Llamaremos y al número de hámsteres que quedan entre los animalitos aún no vendidos. Se nos dice que estos dos totales son iguales. 100x pesetas. 95. es igual a x-y. Luego es más barata después de encarecerla. de modo que lo. HÁMSTERES Y PERIQUITOS. Por lo tanto concluimos que y es 5.80 -
.. por los que recibirá 220. que es 90 dólares. perdió 20 dólares ese día.90 ptas. . El tratante no calculó bien: No se quedó igual que estaba. El número de hámsteres vendidos a 200 pesetas cada uno. lo que le da un beneficio de 1. lo que hace un total de 330x .100 pesetas.200 pesetas por todos ellos. y una pareja de periquitos.Jesús Escudero Martín
94.99. Por tanto pagó 1100 dólares. El pajarero compró 44 hámsteres y 22 parejas de periquitos.110y . Sea x dicho número. y el de los periquitos. En general: x . Solamente hay dos: 5 y 2.encarece 10% . Se compraron inicialmente tantos hámsteres como periquitos. y recibió 990 dólares. es cosa sencilla tantear con los ocho valores posibles (incluido el 0) de y a fin de determinar las soluciones enteras de x. así que lo vendió por 1100 menos 110. Los hámsteres vendidos han reportado 220(x-y) pesetas y los periquitos 110(x-7+y) pesetas. Ambas podrían ser soluciones del problema si olvidamos el hecho de que los periquitos se compraron por pares. De modo que 990 dólares es el 110% de lo que pagó. Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas. y el 10% de 1100 es 110.200 pesetas. Por el cuadro le dieron 990 dólares.770 pesetas. tras de lo cual se obtiene la siguiente ecuación diofántica con dos incógnitas enteras: 3x = 11y + 77. .encarece 10% . Vendió 39 hámsteres y 21 parejas de periquitos. que es la solución del problema. lo que hace un total de 300x pesetas. 96. así que los igualamos y simplificamos. pagando en total 13. El número de periquitos será entonces 7-y. Su pérdida neta fue de 20 dólares.abarata 10% . Esto significa que pagó 900 dólares. sino el 10% de lo que pagó. que da para x el valor impar de 33. El costo de compra de los hámsteres es por tanto 200x pesetas. recaudando un total de 13. Siempre es más barata después de encarecerla. tras aumentar en un 10% el precio de compra. hizo el 10% de 900 dólares. y ganó sólo 90 con el primero. Le quedaron 5 hámsteres cuyo valor al venderlos será de 1.99x/100.
En este caso. 100. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. 30 pasteles. en vivo. y la superficie de ese círculo está multiplicada por 4 (S=πR2). Diego encontró 2 = 1+1. de donde x=10. 101. VESTIDOS A GOGÓ. luego 16/4=4. e las horas que tarda el alemán. En 2 horas y 48 minutos el alemán bebe: (2+4/5)·1/y. entre 1 y 36.81 -
. Combinaciones de factores posibles: (x+y): 45. con velocidad uniforme de salida cada uno. Cada día que holgazanea pierde 4 (3 que no recibe y 1 que da). En 4 horas y 40 minutos el inglés bebe: (4+2/3)·1/y. fracciones de personas). solo es posible el 20. 99. (x-y)(x+y)=45. En este caso. De suerte que los nuevos manojos contienen cuatro veces más espárragos y su precio debería ser 80 x 4 = 320 ptas. Por holgazanear perdió 16. 9 con (x-y):1. Blas encontró 14 = (6+1)2. LOS DOS BEBEDORES. cuyo 5% (100-95) sea un número natural. Supongamos que un padre dispara x tiros y que su hijo dispara y tiros: x2-y2=45. Número total de aprobados: 20. el procedimiento más fácil para hallar la cantidad correspondiente al 95% es buscar un número. el alemán se bebería el barril en 6 horas y el inglés en 10 horas. 59 metros. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. 102. JUEGO EN FAMILIA. Se puede considerar a los personajes como desagües de un barril. Carlos encontró 6 = (2+1)2.
. 3. 2(1/x+1/y) + (2+4/5)·1/y = 1 2(1/x+1/y) + (4+2/3)·1/x = 1 Sistema que se resuelve fácilmente tomando como incógnitas 1/x=x' y 1/y=y'. La cantidad de espárragos del manojo es aproximadamente proporcional a la superficie del círculo formado por el bramante. PASTELES COMO PAGO. Ana encontró 30 = (14+1)2. y=6. Número de aprobados de Salamanca capital (el 95%): 19. El máximo es 3x26=78. El 95% del número de aprobados ha de ser un número natural (no existen. Sean x las horas que tarda el inglés en beber todo el barril. 103. MIDIENDO UN CABLE. Un número cuyo 5% sea un número natural ha de ser 20 o múltiplo de 20. 6. 15. Cuando se dobla la longitud del bramante se dobla el radio del círculo. PASTELES SOBRE LA MESA. Holgazaneó 4 días y trabajó 22 días. Es decir. Si el 5% es una cantidad exacta. 5. Los dos juntos en dos horas habrán bebido 2(1/x+1/y) parte del barril. 98. 104. también lo será el 95%.Jesús Escudero Martín
97. Ganó sólo 62.
. 106. LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS.. Por tanto.. (Conviene hacer un dibujo) 109.. 8 y 15 denarios de valor. y con 0 la moneda que tiene el hombre. mi hijo. lo que haría un total de 650... Por consiguiente... 1 0 ... PAGO EXACTO Y PUNTUAL. 1 1 . Se tiraron 39 tiros y se marcaron 1183 puntos. 0 0 .. Pablo: 7 tiros.. 1 1
2 0 1 1 . LIBROS DESHOJADOS... 0 0 .. Cuatro chovas y tres estacas.15 8 da Día 11 Día 21 Día 31 . le quedan 175 pollos. Día 161 Día 171 .. Una vaca vale 25 pollos.. Si un segador siega en un día 1/6 del prado y si fueron segados 6/6+2/6=8/6.. NEGOCIANDO POLLOS. Un caballo vale sesenta pollos.. su hijo. 124 páginas el primero y 232 páginas el segundo. Las piezas son de 1. Día 291 Día 301 0 0 0 . Una cuarta parte. Tomemos como unidad de medida el prado grande. 4. LA CUADRILLA DE SEGADORES. 105. EL VASO DE VINO... 0 1 .82 -
4 0 0 0 .. 107. fácilmente: Yo: 9 tiros. José: 6 tiros. en el prado chico quedaba sin segar 1/2-1/3=1/6. que valen 475 pollos. 0 1
0 0 0 . Julio: 22 tiros. 111. la situación diaria se puede expresar como sigue: Valor de la mone... 1 1
De donde. Si esto se completa con a) resulta que un collar se cambia por un escudo. y por la mitad de la gente en el resto de la jornada. 1 1
1 1 0 1 . Juan: 23 tiros. una lanza equivale a dos collares. 110. esto quiere decir que había 8 segadores. Indicando con 1 la moneda que tiene la patrona... 2. Luis: 2 tiros. De b) y c) se obtiene que una lanza se cambia por 2 escudos. Si el prado grande fue segado por todo el personal de la cuadrilla en medio día. se deduce que media cuadrilla en medio día segó 1/3 del prado.. Ya deben haber elegido 5 caballos y 7 vacas. EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS... 108. su hijo.. y como tienen lo suficiente como para conseguir 7 vacas más.
1er intento: 20 .(C-100000)/25 ⇒ C = 1. 115. Es decir. n=70.20 . podemos escribir: xn+(19-x)(n-30)=1.000) . LOS LADRONES Y LOS CUADROS.200. x<19. siendo al mismo tiempo.570 ⇒ n=10/19 (157-3x).600. 117.000 ptas. + n = n(n+1)/2 En el segundo reparto: N = 5n n(n+1)/2 = 5n por lo tanto n(n-9)=0.40 . Fin del 1er año: 4/3·x – 4/3·100 Fin del 21 año: 1x – 28/9·100 Fin del 3er año: 64/27·x – 148/27·100 = 2x de donde x=1. 116.000 .. MAESTROS Y ESCOLARES. 114. Si x es el número de maestros y n el de alumnos que le eran asignados antes de la modificación. N=9x5=45 cámaras robadas. El 11 recibió: 100.40 Finalmente: 20 . Luego: 4 herederos a 400.60. En el primer reparto: N = 1 + 2 + 3 + . Sea x el capital buscado. Las niñas recibieron: 198.48 113. 36 discos entre 6 y dio 6 discos a cada uno.20 . NEGOCIANTE METÓDICO. LOS LADRONES Y LAS CÁMARAS DE FOTOS. La única posibilidad es x=8. TRANSPORTE DE UN TESORO. 119. Sea n el número de ladrones y N el número de aparatos robados.000] Igualando lo recibido por cada uno se obtiene: (C-100000)/5 = 100.30 3er intento: 20 .480 dólares. EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS.83 -
.30 . 120. x=13 ladrones. pues. que había 8 maestros y 11 maestras.30 . SE QUEDÓ SIN DISCOS. 7x=y+8. Cada maestro atendía
. 264 y 308 castañas. 118. 112.000 + C/5 .000 ⇒ 19n+30x=1. n=9. LOS LADRONES Y LAS TELAS. cada uno.40 .(C-100000)/5 .30 .000 + (C-100000)/5 El 21 recibió: 200. 6x+5=y.000 + 1/5 [(C-100.000 ptas.30 . 13. Las edades de las niñas están en la proporción 9:12:14. EL REPARTO DE LA HERENCIA.20 21 intento: 20 . Como n es un número entero (157-3x) ha de ser múltiplo de 19.Jesús Escudero Martín
Este cuadro hace evidente que el estado contable en cualquier día puede deducirse de la expresión binaria (en base 2) del número correspondiente. y=83 rollos de tela. El hecho de que los ladrones disminuyan cada uno en una pieza de tela su parte (6 en lugar de 7) hace que queden trece piezas disponibles (5+8).. Siendo C el importe total de la herencia. Los ladrones eran.
VENTA DE GANSOS. 122. LOS GUARDIANES DE LAS NARANJAS. Después de que la segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que quedaban más medio huevo. lo que hace un total de 528 alumnos para las maestras.20 49
⇒ x=36 perlas. Llevó al mercado 101 gansos. A/(P-75)=D+20. Pues que salió con 2. La hacienda de 9000 ducados. x=perlas. Pastor B = 0 monedas. 124. Y si del primero salió con 11. Es decir.
. Pastor A Pastor B Cazador Panes que aporta 2 1 0 Parte que come 3/3 3/3 3/3 Parte que regala 3/3 0 0 Parte del dinero 3 0 Pastor A = 3 monedas. tocando pues a 59 alumnos. al tercer guardián llegó con 5. VENTA DE HUEVOS. Está claro que el resto completo eran tres huevos. 560 en total. 121. un huevo y medio constituyen la segunda mitad de lo que le quedó después de la primera venta. quedan: x-[1+
6x . El resto. quiere decir que llegó a él con 23. La mayor coge: 1+ La 20 coge: 2+[ 1+
. A/(P+100)=D-15. Con la variación cada maestra atiende 48 niños. a la campesina sólo le quedó un huevo. Por esto.20 49
6x . 126. Resolviendo: P=300. 440 en total. Es decir: 300 pollos con pienso para 60 días. ORIGINAL TESTAMENTO. Así.6 7
6x .6
6x . obtenemos la mitad de los que tenía la campesina al principio. P=Pollos que tiene actualmente. pues. A/P=D.Jesús Escudero Martín
a 70 niños.84 -
125. (51 + 17 + 9 + 5 + 19) 127. LAS PERLAS DEL RAJÁ. El método para resolver problemas de este tipo es el de hacer el camino inverso. Sean A=Cantidad total de pienso (en unidades pollos-día). 472. 123. Cada maestra atendía 40 niños. Añadiendo medio huevo. el número de huevos que trajo al mercado era siete. al segundo llegó con 11. Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. repartida entre 5 hijos. D=Número de días que le duraría con los pollos que tiene. se reparten entre los 8 maestros. LOS 3 PANES Y LAS 3 MONEDAS. da 1800 ducados para cada uno. EL GRANJERO Y LOS POLLOS.
VACAS. éste heredaba doble que la madre.000500 + 550 = 1. Recreativas de Y. CURIOSA PARTIDA (2). ya que el aumento anual que a él le correspondía siempre sería 50 dólares mayor que el de ellos. 78. 200. VACAS. (5 vacas. niño=4x. niña=x.85 -
. en 50. CERDOS Y OVEJAS (1). pero aquél. 325. NEGOCIO PARA TRES. VACAS. en la caja hay 3 arañas y 5 escarabajos. 135. CERDOS Y OVEJAS (2). 130. 129. ARAÑAS Y ESCARABAJOS. Al nacer niño y niña mantengamos esta proporción entre los tres. sino su despierta inteligencia. 100. LOS ASPIRANTES AL PUESTO DE TRABAJO. CERDOS Y OVEJAS (3). Si nacía niña. El reparto fue así: Niña=2 vacas. madre=2x. . 29 cerdos.450 41 año:725 + 725 = 1. Estos llegaron precipitadamente a la conclusión de que un aumento de 50 dólares cada semestre equivalía a otro de 100 dólares anuales. En realidad. 9x+3y=100. No hay solución.650 De esta forma se dio cuenta inmediatamente de que su sueldo excedería al de los otros en los años subsiguientes. Si nacía niño. 19x+5y=100. 132. CURIOSO TESTAMENTO. y estudió las dos posibilidades de este modo: 150 de aumento anual50 de aumento semestral 1er año:500 + 500 = 1. Madre=4 vacas. Así. 94 ovejas) 131. 10x+3y+2(100-x-y)=100. dólares. 5x+2y+2(100-x-y)=100. 78 ovejas) 133.. 4x+2x+x=1.250 3er año:650 + 650 = 1. y como le correspondía por su cargo. Perelman)
. (En página 215-216 de Mat. x=1/7.050 21 año:575 + 575 = 1. ésta heredaba la mitad que la madre.Jesús Escudero Martín
128. Hay que saber que las arañas tienen 8 patas y que los escarabajos tienen 6 patas. 4x+2y+1/3 (100-x-y)=100. su modestia.300700 + 750 = 1.150600 + 650 = 1. CURIOSA PARTIDA (1). 10x+4y+100-x-y=200. Niño=8 vacas. 11x+5y=200. Lo que impresionó a su nuevo patrón no fue. 72 ovejas) (15 vacas. 1 cerdo. 12x+6y+100-xy=300. 136. 134. 7x=1. 150. había tomado en consideración todas las condiciones del problema..450800 + 850 = 1. 20x+6y+100-x-y=200. 66 ovejas) (10 vacas. 175 y 100 ptas. cobraba un salario más elevado que sus compañeros. Ni mucho menos. pues. 7 cerdos. 42 y 24 reales. 18 cerdos. (5 vacas.
5 y 6. ¿QUE NÚMERO SOY? El 1001 que en numeración binaria corresponde al 9. 5 y 6 es 60. el mínimo común múltiplo de 2. Luego n=59. ya que al dividir n por 3 da resto 2.86 -
. Ya que n dividido por 2 da resto 1. 100 = 111-11. Sea b la base desconocida.000. b) La cifra de las decenas es impar. Obviamente debe dar el número de partida. 6=
. n+1 es divisible por 4. Es decir. 7=
. 20) Dividir por 1001 de forma disfrazada. luego ninguno de los cuatro números es divisible por 5 ni por 10. a) Termina en 0. porque si fuera par. 7 x 11 x 13 = 1001. 145. n+1 es divisible por 2. 100 = (5+5+5+5)x5 146. 2b2+5b+3=136 ⇒ b=7. AÑO DE NACIMIENTO. lo que es imposible. Evidentemente los buscados son 6-7-8-9. DIVISIONES EXACTAS. 657. P sería múltiplo de 4. n+1 es divisible por 3.Jesús Escudero Martín
137. 4. De la misma manera. TODOS LOS PRIMOS. PRIMERA ESCRITURA DEL CIEN. abcabc = abc x 1001. 9=
. etc. 143. 100 = 33x3+(3:3) 100 = 5x(5x5-5). Ahora bien. EL MENOR CON X DIVISORES. 3. 144. Con 7 divisores el 64. 142. 219. LA BASE DESCONOCIDA. Sea mcdu es el año de nacimiento.024 no acaba ni en 0 ni en 5.CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9.
. 8=
. Con 8 divisores el 24. el producto sería mayor que 10.
147. porque P tiene los factores 2 y 5. 141. 140. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. 138. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. 3. 100 = 5x5x5-5x5. Sea n el número desconocido. MENOR NÚMERO. 5=
. 1000m + 100c + 10d + u . 3=
. Así: n+1=60. 139. Luego solamente tenemos como posibles soluciones 1-2-3-4 y 6-7-8-9.(m+c+d+u) = 999m + 99c + 9d que es múltiplo de 9. las dos únicas operaciones que hacemos son: 10) Multiplicar por 1001 el número de partida. Si los números fueran mayores que 10. 438.
= abc. 234 x 1001 = 234234 ⇒ 234234 : 1001 = 234.
CON 4 TRESES.143 = 141077562569648991.. 159. El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142.576.Jesús Escudero Martín
149. Se ha obtenido así: 987. 100 = 5x5x5-(5x5)+5-5+5-5. 2592 = 2592. 1 = 5 = 3+ 8=
155.937.542. 154. 263=17.857.569. El 26 y el 27. ERROR MECANOGRÁFICO.
. ALFA COMO PISTA. 100 = 111-11+11-11. 152.937 : 7 = 141. 100 = (99+99):(9+9)x9+(9:9) 153. 1 = 5 = 5+ 8=
5x5 .5
156. Es el número de barritas que se encienden en la calculadora en la formación de cada dígito. CURIOSA PROPIEDAD.542.562. 273=19. PRINCIPIO Y FIN. Números cuyos nombres empiezan y terminan con la misma letra. 100 = 88+8+[8x8x8:8:(8+8)]. 100 = 22x2x2+2+(2x2x2)+2. 100 = 66+(6x6)-[(6+6):6x(6:6)]. Ejemplo: 987.5 5
55 .683. 100 = 333:3-(3x3)-3+(3:3). SEGUNDA ESCRITURA DEL CIEN.857. desde el 0 hasta el 9. 100 = 444:4-4-4-4+(4:4). MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. 151. Son los números del 0 al 9 escritos por orden alfabético. 100 = 7x7x(7+7):7+(7:7)+(7:7). . CON CALCULADORA MEJOR. 158.937 x 142.991 150. SECUENCIA QUE RUEDA.648. 157..077. Son algunos de los números de la ruleta.987.542. tal como se suceden en la rueda.87 -
. CON 4 CINCOS.143 se puede obtener dividiendo el citado número de 9 cifras duplicado entre 7.
167. Son las últimas letras de los días de la semana.Jesús Escudero Martín
160. 161. 166. SON PARIENTES. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA. 6 7 2 169. 162. SUMA 18. Así entre A y C hay 1 (la B). EXTRAÑA PARTIDA DE AJEDREZ. VAYA CRITERIO. NI EN UNA SEMANA. . 12 8 4 5 10 9 7 6 11 171. ORDEN 3. Cada palabra empieza con el nombre de una nota musical. SUMA 24. TRES CONSECUTIVOS. 164... entre A y D. y así hasta las 14 que hay entre D y R. La estrategia ganadora es: .. NUEVE CONSECUTIVOS.. 168. La estrategia ganadora es: Coger primero un número de cualquiera de las filas. 165. LLEGAR A 50.. 2. SOND y SOND. cuando volvamos a coger hay que dejar al contrario los siguientes números en cada fila: 1-1-1 ó 2-2-0 ó 3-3-0 ó 4-4-0 ó 5-5-0 ó 3-2-1 ó 5-4-1 ó 6-4-2. 7-4-3 ó 7-5-2. DE HOLA RAFFAELA EN TVE. DE ORDEN 3. El número indica la cantidad de letras que hay en el abecedario entre las dos letras que aparecen. ORDEN 3.88 -
. Después. Tachar los números cuyo nombre no tenga tres letras. 6 7 5 6 6 6 6 5 7
. Septiembre. 163. Octubre. DE ORDEN 4.. Noviembre y Diciembre. 16 3 5 10 9 6 4 15 2 11 7 14 13 8 12 1 1 5 9 8 3 4
170. Así se consigue dejar al contrario para que elija: 6-53.
. 67 1 43 61 13 37 43
31 73 7 Tiene la particularidad de estar compuesto sólo por números primos. LAS 30 MONEDAS DE ORO. no tendremos más que poner el peso p en el platillo opuesto a la carga y añadir la combinación de pesas necesarias para compensar la diferencia x entre los dos platillos.. Si faltan 30. 3. Si falta 1 gr.89 -
.... .. es el trigésimo. por tanto: 1. CON SÓLO DOS PESAS. pues equivale a pesar una carga comprendida entre 1 y n. 176. lo que es siempre posible. podemos mediante una nueva pesa de p=2n+1 Kg. el camino seguido para hallar la solución nos permite ver rápidamente cuál sería la combinación de pesas en cada caso. b=1.800 gramos en dos bolsas de 900 gramos cada una. La solución es. n=13. Incidentalmente..
. p=2n+1. LAS PESAS DEL MERCADER. dos del segundo. y 30 del trigésimo. 175. es el segundo. A COMPLETAR. Si faltan 2. Por lo tanto: K=37.. el resto es sencillo. E. p=2n+1. Es suficiente pesar un montón de monedas de oro formado por una pieza entregada por el primer vasallo. CALCULA: A. para pesar ahora cualquier carga que valga p+x ó p-x (siendo x un número de 1 hasta n). p=3. siendo ahora 13 el tope superior: 3n+1=13. 174. p=9. Observemos primero. p=2n+1. 173. . puesto que con las primitivas pesas podíamos pesar desde 1 hasta n. tres del tercero. 9 y 27 Kg.. el montón pesaría: 10(1+2+3+. Debiendo ser la cuarta pesa p=n=1. pondremos: 3n+1=40. En efecto. COMPLETA 3x3. Como el extremo de nuestro margen de medida es 40. 177. 10 pesada: Se reparten los 1. el culpable es el primer vasallo.. De la misma forma: 3n+1=4. que si tenemos un juego de pesas que nos permita pesar desde 1 hasta n. B. Una vez visto esto. No tendremos más que repetir el razonamiento.. Si todos los vasallos hubieran entregado piezas de 10 gr. C. p=27. 67 b K 73 67 + b + 43 = b + K + 73 = 3K.Jesús Escudero Martín
172. n=1. D.+30) = 10≅465 = 4650 gr. n=4. etc. Las tres restantes han de permitirnos pesar desde 1 hasta 13. aumentar el campo de pesada hasta 3n+1 Kg.
LAS 27 BOLAS. Como no sabemos le distancia recorrida. por consiguiente.. 183. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. el tiempo total de viaje sería: t = y la velocidad media: v = 2d :
184. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. 58.Jesús Escudero Martín
20 pesada: Una bolsa de 900 gramos se reparte en dos bolsas de 450 gramos. 178. LAS 9 BOLAS. El resto de las semillas pesa 1. 182. Hacemos tres grupos de 27 bolas. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos. Hacemos tres grupos de tres bolas. ENGAÑANDO A LA BALANZA. En general. Llamemos D a la longitud de la cuesta. de ventaja por cada hora de viaje. Hacemos tres grupos de nueve bolas. 181. : (1+2) h. El coche de los Gómez le saca al de los Arias 10 km. El tiempo empleado en subir será D/2 y en bajar D/6. = 40 km/h. El total. por lo que la velocidad media sería: v = (60+60) km. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada.90 -
. Hacemos tres grupos de nueve bolas. : 3 h.
. hubiera tardado 1 hora en el viaje de ida y 2 horas en el de vuelta.400 gramos. partamos del supuesto que fuese de 60 km. En este caso. el coche de los Arias recorre 30 km. 60. Hacemos tres grupos de tres bolas. durante la media hora que los Gómez estuvieron esperándole. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos. 180. es: T = D/2 + D/6 = 2D/3. 179. 64 y 65 kilos. = 120 km. Hacemos tres grupos de tres bolas. llamando d a la distancia recorrida en cada uno de los viajes de ida y de vuelta. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos. AL CAMPO DE MERIENDA. La velocidad media: Vm = 2D/T = 3 km/h. PROMEDIANDO. 30 pesada: Con las dos pesas se retiran 50 gramos de una de las bolsas anteriores y en ella quedan 400 gramos. Las niñas pesan 56. UN ALTO EN EL CAMINO. A la velocidad de 60 km/h. LAS 81 BOLAS. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada.
Tienen la misma área. Desea descender con tal velocidad que su velocidad media en el recorrido de ida y vuelta sea doble que la primera. 4. B=6. Sin embargo. EL VALOR DE LA MEDIANA. ¡sería descender en tiempo nulo! Al principio puede parecer que habrá que tener en cuenta las distancias recorridas al subir y bajar la ladera. x 3 h. EL ESQUIADOR FRUSTRADO.91 -
. TRIÁNGULOS ORIGINALES. pues en cada hora conseguía la ventaja de 10 km. Por lo tanto. son iguales en longitud. El esquiador asciende una cierta distancia. 61. EL BÓLIDO Y LOS TRES MOJONES. 106. Cuesta creerlo. de distancia de la primera parada. el coche de los Gómez tuvo que circular durante 3 horas. Sin embargo. el trayecto fue de: 70 km/h. Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectángulo. pues el tiempo durante el cual la velocidad del avión se incrementa es menor que el tiempo durante el cual sufre retardo. 5. BA . Como el viento aumenta la velocidad del avión en la mitad del recorrido en la misma cantidad en que la disminuye en el trayecto de regreso. Basta recordar que todo triángulo rectángulo puede inscribirse siempre en un círculo cuyo diámetro CB=a=10 es la hipotenusa.Jesús Escudero Martín
Estos 30 km.AB = A0B .A. Como esto es imposible. EL LADO DEL ROMBO. así que AM=radio=5.BA. tal parámetro carece de importancia en este problema. así que el efecto total es de retraso. para lograrlo ha de bajar en un tiempo cero.
. Los números que llevan los mojones son: 16.10A . EL AVIÓN Y EL VIENTO. Madrid estaba a 210 km. Velocidad del bólido: 45 Km/h. 185. Ambos pueden dividirse por la mitad para dar lugar a dos triángulos 3. 187. Para conseguirlo tendría que hacer dos veces la distancia primitiva en el mismo tiempo que invirtió en el ascenso. A. diferente de 0 no puede ser sino 1. 189. de cualquier fuerza y dirección con tal de que permanezcan constantes. 10B + A . Por tanto. El tiempo total de vuelo con viento. con una cierta velocidad. es siempre mayor que si no hubiera viento.B = 100A + B . resulta tentador suponer que el tiempo total invertido en el viaje de ida y vuelta no sufrirá modificación.10B . éste no es el caso. Para obtenerla. pero la única forma de que el promedio de subida y bajada alcanzase los 10 km/h. Lado del rombo = 9 m. = 210 km. Como es obvio. representan la ventaja total de un coche sobre otro. 190. 186. 188. no hay forma de que su velocidad media pase de 5 km/h a 10 km/h.
191. 196. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN. Todo vértice en el que concurren un número impar de líneas ha de ser comienzo o fin del trazado. Dado que la diagonal de 8 cm. ya que si no. En efecto.
193. El primero en cambio. la solución del problema es imposible. EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES. no. 60Ε. MN = 6 centímetros.
192. Como cada vez que se cruza un segmento se pasa de dentro a fuera del rectángulo o viceversa. surge la respuesta. en los vértices inferiores
. EL RADIO DEL CÍRCULO.
195. EL CRUCE DE LA RED. En la segunda figura.A 2
= 65°. por cada entrada ha de haber un salida. la respuesta es 8 cm. la realidad es que puede dibujarse en las condiciones estipuladas. Basta observar que se trata de un triángulo equilátero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara. Puesto que es isósceles: B = C = Por lo tanto: x= 180°-C = 180 . Aunque el segundo parece el más complicado de dibujar. DIBUJANDO SOBRES. y como hay tres rectángulos mientras que la línea continua no tiene más que dos extremos. quiere decirse que en los tres debe de haber una terminación de la línea en su interior para que la línea cruce el número impar de segmentos una sola vez.65 = 115°. Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ. EL ÁNGULO EXTERIOR.92 -
. El problema no tiene solución. tiene la misma longitud que el radio del círculo. obtenemos los puntos R y S. cada uno de los tres rectángulos mayores de la figura tiene un número impar de segmentos. GOLPE DE VISTA.
Por tanto el ángulo 7 mide 40Ε.
. FACILÓN. el ángulo 7 mide 50Ε y los ángulos 8 y 9 son rectos. 206. De donde el ángulo 2 es la mitad del ángulo 7. 91+10=101. Formar un cubo. 16 + 8 + 4 + 1 = 30.Jesús Escudero Martín
ocurre esto. los ángulos 4 y 5 miden 20Ε cada uno. NUEVE ÁNGULOS. 205. De la primera columna O=0. Los triángulos ABC y CDE son iguales.93 -
⇒ P=5. Colocar una moneda cualquiera encima de otra. 203. DOS FILAS. 198. es imposible dibujarlo en las condiciones propuestas.
200. 21978 x 4 = 87912. pues el ángulo total abarca el diámetro. A+A+1=S. PARA PRINCIPIANTES. Por tratarse de un triángulo isósceles (dos lados son radios) los ángulos 4 y 5 son iguales. (Ver figura) En el primer sobre son cuatro los vértices en los que concurren un número impar de líneas. 204. 199. 207. La suma de los ángulos 2. S+R=11. LAS DOCE MONEDAS. CUADRADOS QUE SE CORTAN. como no puede haber más que un fin y un comienzo. En total hay 30. 332364 + 483455 = 815819. LOS SEIS PALILLOS. De estas dos condiciones se obtiene que la suma de los ángulos 2 y 4 es igual al ángulo 7. A=1. 201. TRES MONEDAS. luego uno puede ser comienzo y el otro fin del dibujo. EN 4 PIEZAS IDÉNTICAS. una encima de la otra. Los 16 pequeños. S=1. Formar un hexágono. De la segunda. 4 de nueve pequeños cada uno y el envolvente. SEIS FILAS. 9 de cuatro cuadrados cada uno. 8+P=13 La suma completa es 518 + 813 = 1331. El área comprendida entre ambos siempre es la cuarta parte de la de un cuadrado. 208. R=8. El ángulo 2 mide 20Ε. Y el ángulo 7 es igual a dos veces el ángulo 4. 202. ⇒ S=3. 197. SEÑAL DE SOCORRO. 209. En los vértices poner dos monedas. I=9. el ángulo 6 mide 140Ε.
. Formar un tetraedro. 3 y 4 es 90Ε. SEIS SOLDADOS. MUCHOS CUADRADOS. LOS SEIS CUADRADOS. ÚNICA SOLUCIÓN.
Al agotarse por segunda vez la arena de este reloj habrán transcurrido 15 minutos. Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos. 218. 216. Uno de los relojes se adelanta tres minutos con respecto al otro por cada hora. 217. 219. 317 + 173 + 305 = 795. OJO AL MINUTERO. 35º. 215. en dar las 12 tardará 11 segundos. Cuando se agote la arena en el reloj de 11 minutos. Aunque la solución anterior es la que menos tiempo requiere. 221. OTRA SUMA FÁCIL. pero más sencilla en el sentido de que sólo es necesario voltear una vez uno de los relojes. Se ponen a contar los dos relojes de 7 y 11 minutos. 213. es que los intervalos entre campanadas son de un segundo. Casi todo el mundo dice que 11 veces. 325324 + 526142 = 851466. Las 5 y 15. OTRO MUY FACILÓN. pero la solución correcta son 10. 220. Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos. 53161 .94 -
. EL MINUTERO TRES VECES MENOS. 214. al mismo tiempo que echamos el huevo en el agua hirviente. SONÓ EL DESPERTADOR. échele un vistazo a su reloj. EL RELOJ DE CUCO. 132234 + 244693 = 376927. OTRA SUMA FÁCIL. Se ponen a contar los dos relojes a la vez. MUY FACILÓN. Entonces le damos la vuelta otra vez al reloj de 7 minutos. 314524 + 231043 = 545567. 211. Así. El minutero tarda desde aquí 15 minutos en llegar al número 6. Mi tío durmió solamente 40 minutos. Si no le parece cierto.Jesús Escudero Martín
210. A LAS TRES Y DIEZ.21417 = 31744. Se ponen ambos en marcha simultáneamente y. DOS RELOJES DE ARENA. le damos la vuelta y esperamos a que se agote el de 11. transcurridos los primeros 7 minutos se inicia la cocción del huevo. de modo que después de veinte horas estará una hora adelantado. le damos la vuelta. LOS DOS RELOJES. 212. Si un reloj de pared tarda 5 segundos en dar las 6. OTROS DOS RELOJES DE ARENA. Cuando se agote también la arena habrán transcurrido 15 minutos. Hay otra solución más larga (que precisa de 22 minutos en total). le damos la vuelta (han pasado 4
. obliga a dar dos vueltas a uno de los relojes. mientras que el horario tarda 45 minutos. 222. SUMA FÁCIL.
han transcurrido los 9 minutos. LA EDAD DE MI HIJO.15). un cuadrado será múltiplo de 3 o múltiplo de 3 más 1. Edades dentro de un año: (8. 232. no conviene exagerar.. 19 años. GÓMEZ. el reloj de 7 minutos ha funcionado durante 1 minuto.000. (k=6. 15-5=10=4x40 230. No existe solución. Murió a los 18 años. ¿QUIÉN ES ANTONIO? Su hijo. 225. LA FAMILIA DE CARLOS. tenía 44 años en el año 442=1936. 226.Jesús Escudero Martín
minutos). Como el mcm(2. LA EDAD DEL CAPITÁN. CARLOS EN EL AÑO 2. MI HERMANO Y YO. HIJO DE LA HERMANA DE MI MADRE.. nunca múltiplo de 3 más 2. Sea x la edad del padre. Le damos la vuelta una vez más. Edades hace 3 años: (4. 7 y 13 años.). Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos. POBRE PÍO.8)=24 ⇒ x = 24k+1 = 25h (h entero) que se cumple para k=1.
. 227. Se casó a los 234=19 años. 228. Es cierto que caben otras soluciones. 1+9+8+1=19. SUEGRA FENOMENAL.11. 6+3=9=3x3. 15=45/3. Prueba: 6+2=8=2x4. pero implican para el padre edades superiores a 144 años. 3. Nació en 1981. 235. LA EDAD DE JUAN. Dentro de un año. Edades actuales: (7. ababab = ab0000 + ab00 + ab = 10101 x ab = 1 x 3 x 7 x 13 x 37 x ab.12).6.3. lo que las excluye. 233. 8x2=16. LAS MENINAS. Así: 25 es la edad del padre y 25/6=4 años y 2 meses la edad de Juan. Pero. por segunda vez le damos la vuelta (han pasado 8 minutos). 224. Padre 45 años. QUIÉN ES MAYOR? Son mellizos y tienen 6 años. 229. le damos la vuelta (han pasado 7 minutos). 234. Se tendría: a2 = 3b2 + 26 = 3n + 2. 4x3=12. su mujer 37 y sus hijos 1. 15-7=8. 223. Nació en 1892. Nació en 1953.. Hijo 15 años. Primo. Se instaló en Madrid a los 57-34=23 años. Sea ab la edad de Víctor.4. Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos.95 -
. Carlos tiene 39 años. Mi madre.16). 231. Cuando se termine la arena. pues hubiese engendrado el hijo después de 120 años y. LA EDAD DEL SR.
249. Ocho. De su hijo. LOS CUATRO ATLETAS. REGALAR CULTURA. P(2 de 4) = 6/16 P(3 de 6) = 20/64 = 5/16.Jesús Escudero Martín
236. su madre y su abuela.96 -
. B-C-D-A. HIJO DE TU PADRE. 238. Porque las sobrinas de Marta son precisamente las hijas de María. 244. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. p(21) = 2/3·1/2 = 1/3. LOS HERMANOS DE LA FAMILIA. 237. LA NOTA MEDIA. En coche. 248. 241. CARLOS Y LA FOTOGRAFÍA.
. TRES BOLAS. 250. 240. 246. separó 7 para dárselos a su hija. Cuatro. Los personajes son: una hija. Luego es más probable ganar dos de cuatro partidas. De su padre. Yo. OTRA VEZ CARLOS Y LA FOTO. HERMANA DE MI HERMANA. 242. p(31) = 2/3·1/2·1 = 1/3. Luego los tres tienen la misma probabilidad. Tú. PARTIDAS DE AJEDREZ. SILENCIO. 245. p(11) = 1/3. LOS CUATRO PERROS. 243. El galgo. 247. LAS HERMANAS. HERMANDAD. De los 25 libros que la madre recibió de la abuela. 239. Teresa tiene tres hermanos más que hermanas. Más bajo.
Martínez Roca. . Alianza. P.Divertimientos lógicos y matemáticos. .Cajón de sastre matemático. Barcelona. (1979) Mataix. (1981) Mataix. (1987) Mataix. M. (1989)
. (1985) Gardner. . (1983) Mataix. Barcelona. M. . Barcelona. M. M. P. . Marcombo.Juegos de recreación mental para los muy intelig. .Ocio matemático. Gedisa.¡Ajá! Paradojas que hacen pensar. de . . (1994) Falleta. Gedisa. Barcelona. (1988) Lánder. . . . Lábor. Alhambra. . .Mirar y ver. Madrid. . Reverté. (1983) Gardner. (1978) Mataix. . Síntesis. Gedisa.Jesús Escudero Martín
Albaiges Olivart J. M. (1987) Corbalán. M. . . Alianza. .En busca de la solución. (1980) Mataix.¿Se atreve Vd. M.Magia matemática. mat. J. M. (1981) Gardner.Ruedas vida y otras div. (1984) Allem.¡Ajá! Inspiración ¡Ajá! Lábor. Barcelona. Marcombo. Barcelona. Marcombo. Selector. M. M. .Paradojas y juegos. (1987) Guzmán. M. Barcelona. Barcelona. Barcelona. . .Acertijos Clásicos. Barcelona. (1976) Holt.Juegos matemáticos para secundaria y Bach. Marcombo. M. Gedisa. (1994) Berrondo. (1988) Holt. J. . Barcelona. Barcelona. Barcelona. .Nuevos divertimientos matemáticos. R.El discreto encanto de las matemáticas. (1986) Fixx. I. . M.Matemáticas recreativas 2..Juegos y enigmas de otros mundos. Martínez Roca. M. Ilustraciones. F. (1980) Gardner. . Barcelona. Barcelona. . Marcombo. Escuela Española.Cuentos con cuentas. de . N.Los juegos matemáticos de eureka. . Barcelona. M. M. menos fácil y difícil. Barcelona. (1988) García Solano. J. Barcelona. Lábor. .Juegos de ingenio y entretenimiento mat. Madrid.. Marcombo. Barcelona. Barcelona. matemáticas. Barcelona.Matemáticas mágicas. (1981) Allem. Barcelona. Gedisa. Madrid. Barcelona. Barcelona. M. Lábor. M. Barcelona.Matemáticas recreativas 3. Barcelona. (1982) Mataix. M. (1984) Guzmán.Festival mágico-matemático. Barcelona. . Alianza. (1983) Gardner. (1980) Gardner.Fácil.Nuevos juegos de ingenio y entret. Lábor. Marcombo. con ellos? Marcombo.Circo matemático.Problemas para no dormir. M. . (1984) Gardner. (1984) Mataix. Marcombo.Droga matemática. .Nuevos pasatiempos matemáticos. (1985) Mataix.97 -
. (1988) Gardner. Alianza. M. M. Charles. Marcombo. (1984) Barry Townsend. M.Carnaval matemático.
(1981) Smullyan. (1978) Perelman.98 -
. (1976) Revistas: SUMA.Primos o algunos dislates sobre números. P. Barcelona.Diversiones matemáticas. (1983) Rodríguez Vidal. Barcelona.Cuentos y cuentas de los mat.mec. R. Revistas: UNO . Alhambra. I. Y.es/jescuder/
. R.Enjambre matemático. .¿La dama o el tigre? Cátedra. Madrid.Jesús Escudero Martín
Mathematical Association of America .Matemáticas recreativas. (1988) Smullyan. I. (1983) Smullyan. Mir.Problemas y experimentos recreativos. . . Barcelona.Juegos visuales.Paradojas matemáticas. .ICE. R. Martínez Roca. Moscú. Cátedra. . .Concursos de mat. Zaragoza. . Y. (1984) Thio de Pol. Madrid. . . R. (1978) Perelman.Alicia en el país de las adivinanzas. Y. (1996) Northrop. S.pntic. .Álgebra recreativa. R. (1977) Paraquín.Laboratorio de matemáticas. Barcelona. . Reverté. Madrid. I. Barcelona. Mir. Reverté. Lábor. (1983) Rodríguez Vidal. Reverté. Barcelona. Moscú. H. Grao. . (1986) Rodríguez Vidal. E. Madrid. . Madrid. México. (1977) Perelman. K. Euler. Uteha. R. (1996) Estos problemas y muchos más se encuentran en Internet en la siguiente dirección:
http://platea.¿Cómo se llama este libro? Cátedra.
Leer más sobre este usuarioAgenda MarzoAgenda AbrilbiofisicaAcerca de La Geometria de Lobachevski - A. S. SmogorzhevskiAA. VV. - Cuentos de Terror (r1.0 Syd)Division InexactaDocument 5DocumentScratch Gui Are Ferenc i a 14078 082 ScratchLM28.CropProblemacap234128075 Acerca de La Demostracion en GeometriaCREACARTEL-2013rs07_p000vol81202.5074Revista Optica BajaRevista Optica BajaSolucion Minima SudokuTaller de Redaccion 1 eredaccion2The Beginnings of Spontaneous Symmetry Breaking in Particle Physicsl Ubuntu
Resolucion de Problemas Matematicos por Jose Francisco Suriano Chacon646 visitaInsertarDescargaLeer en Scribd móvil: iPhone, iPad y Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Precio de lista: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMás informaciónMostrar menos
RelacionadoPreguntas de Matematicas Saber 11 Marzo 29 2016por Eugenio1- Tic y Matematicaspor JuanLezcanoResolucion de Problemas Matematicos (Vol 3)por Jack NaiperEscudero 2por alberto rojasExploracion de Algunos Conceptos No Convencionales Del Triangulo Con Cabripor EugenioEXAMEN SIMULACRO DOCENTEpor Antonio MoralesMartín Gardnerpor belem0301Simulacro Prueba Aptitud Matemática Concurso Docente Colombiapor EugenioAPTITUD NUMÉRICApor Carlos Andres Diaz RamirezCuestionario Matematicas Noveno Gradopor EugenioRevista Olimpiada 2012por Pedro Corcho6203-Guía_de_Problemas_-_Electricidad_y_Magnetismo_por antoniorixPRUEBA APTITUD MATEMATICApor EugenioSimulacro de Examen de Razonamiento Verbalpor Eling Camones BazánTeoria de Numeros Segunda Partepor Jorge SantosPensamiento numérico del preescolar hasta primariapor Jice MarceTeoria de Numeros Primera Partepor Jorge SantosCONCURSO MERITOSpor api-3827058Olimpiada Matemática Mayopor Eliana Berrios OlivaresGuia Algebrapor Villa UlisesNuevos Puntos y Rectas Notables en Un Triangulopor Eugenio Therán PalacioEstrategias Metacognitivas Resolución Problemas Matematicospor Felipe Antonio Gallego LópezguiaProfesor4topor Rina Garate RoblesLibro de Matematicaspor Radaid Pérez LópezGuía Computo Telmex 2014 Para Los 3 Intentospor Paqui RapibaOlimpiadas Matemáticaspor Annie Solucion de Problemaspor Jonnathan Valbuenaortografiapor ana ganzoSimilar to Resolucion de Problemas MatematicosPreguntas de Matematicas Saber 11 Marzo 29 20161- Tic y MatematicasResolucion de Problemas Matematicos (Vol 3)Escudero 2Exploracion de Algunos Conceptos No Convencionales Del Triangulo Con CabriEXAMEN SIMULACRO DOCENTEMartín GardnerSimulacro Prueba Aptitud Matemática Concurso Docente ColombiaAPTITUD NUMÉRICACuestionario Matematicas Noveno GradoRevista Olimpiada 20126203-Guía_de_Problemas_-_Electricidad_y_Magnetismo_PRUEBA APTITUD MATEMATICASimulacro de Examen de Razonamiento VerbalTeoria de Numeros Segunda PartePensamiento numérico del preescolar hasta primariaTeoria de Numeros Primera ParteCONCURSO MERITOSOlimpiada Matemática MayoGuia AlgebraNuevos Puntos y Rectas Notables en Un TrianguloEstrategias Metacognitivas Resolución Problemas MatematicosguiaProfesor4toLibro de MatematicasGuía Computo Telmex 2014 Para Los 3 IntentosOlimpiadas MatemáticasSolucion de ProblemasortografiaManual Word 2003ConcursoDocentesResolucion de Problemas Matematicos

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 RESOLUCIÓN 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 RESOLUCIÓN 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 Resolución