Source: https://es.scribd.com/doc/54507971/cbnAlgebra
Timestamp: 2016-02-06 07:49:19+00:00

Document:
SubirSign inJoinBooksAudiobooksComicsSheet MusicScribd Selects BooksHand-picked favorites from our editorsScribd Selects AudiobooksHand-picked favorites from our editorsScribd Selects ComicsHand-picked favorites from our editorsScribd Selects Sheet MusicHand-picked favorites from our editorsTop BooksWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop AudiobooksWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop ComicsWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop Sheet MusicWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreCategoriesArts & IdeasBiography & MemoirBusiness & LeadershipChildren'sComputers & TechnologyCooking & FoodCrafts & HobbiesFantasyFiction & LiteratureHappiness & Self-HelpHealth & WellnessHistoryHome & GardenHumorLGBTMystery, Thriller & CrimePolitics & EconomyReferenceReligionRomanceScience & NatureScience FictionSociety & CultureSports & AdventureTravelYoung AdultCategoriesArts & IdeasBiography & MemoirBusiness & LeadershipChildren'sComputers & TechnologyCooking & FoodFantasyFiction & LiteratureHappiness & Self-HelpHealth & WellnessHistoryHome & GardenHumorLGBTMystery, Thriller & CrimePolitics & EconomyReferenceReligionRomanceScience & NatureScience FictionSociety & CultureSports & AdventureTravelYoung AdultCategoriesAdaptationsChildren’sCrime & MysteryFictionHumorMangaNonfictionRomanceSciFi, Fantasy & HorrorSuperheroesYoung AdultPublishersArcanaArchie ComicsBOOM! StudiosDynamiteIDW PublishingKingstone ComicsMarvel ComicsSpace Goat ProductionsTop Cow ComicsTop Shelf ProductionsValiant Comics ZenescopeDifficultyBeginnerIntermediateAdvancedMixedInstrumentBrassDrums & PercussionGuitar, Bass, and FrettedPianoStringsVocalWoodwindsGenreClassicalCountryFolkJazz & BluesMovies & MusicalsPop & RockReligious & HolidayStandardsP. 1cbnAlgebracbnAlgebra|Views: 4.603|Likes: 50Publicado porCaesar AlexanderMore info:Published by: Caesar Alexander on May 03, 2011Copyright:Attribution Non-commercialAvailability:Read on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate content|Agregar a la colecciónSee moreSee lesshttps://es.scribd.com/doc/54507971/cbnAlgebra07/17/2013pdftextoriginalSectionsI. TIPOS DE NÚMEROS Y SU
LOS NÚMEROS RACIONALESIII. POTENCIAS Y RADICALESIV. OPERACIONES CON POLINOMIOSV. FACTORIZACIÓNVI. ECUACIONESORGANIZACIÓN DE TEMAS POR SESIONES2Contenido I. TIPOS DE NÚMEROS Y SU REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NÚMÉRICA. ....................................... 3 II. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RACIONALES. .......................................... 6 III. POTENCIAS Y RADICALES ......................................................................................................... 18 IV. OPERACIONES CON POLINOMIOS ........................................................................................... 34 V. FACTORIZACIÓN ....................................................................................................................... 51 VI. ECUACIONES ........................................................................................................................... 60 ORGANIZACIÓN DE TEMAS POR SESIONES ................................................................................... 75 3 I. TIPOS DE NÚMEROS Y SU REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NÚMÉRICA. 1.1 Algunas clasificaciones de los números. Existen diversas clasificaciones de los números de acuerdo a sus características, recordemos algunas de éstas: Los números naturales son los que nos sirven para contar: 0, 1, 2, … este conjunto de números se expresa como N. Los números enteros incluyen a los números …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. es decir, los enteros negativos y positivos; este conjunto se denota como Z. Tal como los números naturales son necesarios para el proceso de contar, los números racionales resultan útiles a la hora de medir (áreas, longitudes, pesos, tiempo, etc.). Su característica principal es que son números que pueden representarse como la razón (división) de dos números enteros b
ejemplos de este tipo de números son: 11
, etc. Siempre y cuando b no tome el valor de 0. Este conjunto se denota por la letra Q. En los ejemplos anteriores, podemos decir que la fracción es propia por que el numerador es menor que el denominador. En casos como ,
etc. Son fracciones impropias ya que el numerador es mayor que el denominador. Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como la razón de dos números, ejemplo de ellos son los números π, 7 , 2 , etc. Por último, el conjunto de los números reales abarca todos los tipos de números anteriores naturales, enteros, racionales e irracionales; a este grupo de números se le denota como R. 4 1.2 Representación de los números reales en la recta numérica. Podemos representar cualquier número real en la recta numérica; esta representación la llevamos a cabo mediante el trazo de una línea recta, eligiendo un punto de ella como el origen, denotado por 0. A la derecha de este origen, se encuentran todos los números positivos (enteros, racionales e irracionales) por el contrario, a la izquierda encontraremos todos los números reales negativos. En la siguiente figura podrás observar lo que se ha comentado: En la figura 1.2.1 se pueden apreciar la posición de los números naturales y los enteros; sin embargo, debemos ver que entre ellos también se encuentran los racionales y los irracionales, veamos la siguiente figura: Recordemos que al comparar dos números, el que se encuentra a la derecha es el mayor y el de la izquierda es menor; por ejemplo, de la Figura 1.2.2 el número 3 es mayor al 2 ya que se encuentra a la derecha de éste, matemáticamente representamos esto como 3 > 2 o bien: 2 < 3 que se lee 2 es menor que 3. En otro ejemplo, -3 es mayor que -4 por la misma razón de encontrarse a la derecha de éste en la recta numérica; la representación matemática de este hecho es -3 > -4 o bien, -4 < -3 que se lee: -4 es menor que -3. 5 Ejercicios 1.1 Para realizar de tarea Representa en la recta numérica los siguientes puntos y ordénalos de mayor a menor: a) 1.1 , 6 , 2/3 , -5/2 , - 3/4 , -3.3333 b) -1/7, -0.15, 3.141920, π, e, 2.5, 9/7 c) 1/15, -1/15, -2/9, 1/5, 2/5 6 II. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RACIONALES. 2.1 Algunos aspectos que tenemos que recordar. 1. Al sumar dos o más números reales de igual signo, se suman sus valores absolutos (sin signo) y al resultado ponemos el signo común a dichos números. Ejemplos: 15 9 6
19 ) 10 ( 9
7 ) 4 ( 3
2. En la suma de dos números con signo diferente, restamos el valor absoluto (sin signo) de estos números (mayor menos menor) y al resultado ponemos el signo del número mayor. Ejemplos: 5 ) 3 ( 8
5 ) 10 ( 5
11 ) 2 ( 13
3. Las reglas de los signos son: 4. Con frecuencia, diversas operaciones se combinan en una sola expresión; en estos casos, los signos de agrupación son muy útiles, recordemos que podemos utilizar los siguientes elementos: ( ), [ ], { } y | | en este orden de jerarquía. Cuando una operación se encierra entre signos de agrupación, ello nos indica que en primer lugar deberemos realizar las operaciones que se encuentran entre dichos signos y después realizar las demás operaciones indicadas. En caso de presentarse diversos signos de agrupación en una expresión, comenzaremos de adentro hacia afuera realizando primero operaciones entre paréntesis, luego entre corchetes, llaves y al final entre barras. 5. Las operaciones también siguen una línea de jerarquía; primero llevamos a cabo potencias, luego multiplicaciones y divisiones y al final sumas y restas. Producto División (+) (+) = + (+) / (+) = + (+) (-) = - (+) / (-) = - (-) (+) = - (-) / (+) = - (-) (-) = + (-) / (-) = + 7 6. Podemos representar cada número como el producto de sus factores (números primos). Ejemplos: 4 = ( 2 ) ( 2) Ya no podemos descomponer más ya que 2 es número primo. Nota: Se llaman números primos aquellos que solo son divisibles entre sí mismos y entre la unidad. Los números que no son primos se llaman números compuestos. Por ejemplo, 4 es un número compuesto de (2)(2). 8 = ( 4 ) ( 2 ) = ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) Primero descomponemos al 8 en sus factores 4 y 2; como 4 no es número primo aún podemos seguir descomponiendo en 2 x 2 y al final, 2 es número primo, ya no podemos seguir descomponiendo. 20 = ( 10 ) ( 2 ) = ( 5 ) ( 2 ) ( 2 ) Primero descomponemos 20 en 10 x 2, luego, 10 no es número primo, por lo que podemos seguir descomponiendo en 5 x 2 que son números primos y ya no podemos descomponer más; por lo tanto, la factorización de 20 es (5)(2)(2). O bien: 20 = ( 5 ) ( 4 ) = ( 5 ) ( 2 ) ( 2 ) Basándonos en el mismo razonamiento, 4 no es primo y podemos seguir descomponiendo; así llegamos a la misma descomposición por factores de 20. 2.2 Simplificación de fracciones. En muchas ocasiones, al realizar operaciones con números racionales obtenemos resultados que pueden ser simplificados. Esta simplificación puede llevarse a cabo si descomponemos cada número que compone la fracción (numerador y denominador en sus diversos factores y observamos alguno en común para los dos). Observemos lo siguiente: Ejemplo 1 Vamos a simplificar la siguiente fracción: 8 3
) 3 )( 7 (
) 2 )( 7 (
= = Observemos que tanto el numerador como el denominador fueron descompuestos en sus diferentes factores; como el 7 se encuentra arriba y abajo, pueden eliminarse y la fracción que nos queda es 2/3. Nota: Recuerda que podemos eliminar estos términos solamente porque éstos se encuentran multiplicando; si hubiera un signo + o menos entre ellos, esto no hubiera podido llevarse a cabo. 3
o bien 3
,etc. Ejemplo 2: Simplifiquemos la siguiente fracción: 5
) 2 )( 5 )( 2 )( 2 (
) 2 )( 2 )( 2 )( 2 )( 2 (
) 2 )( 2 )( 2 )( 4 (
) 2 )( 5 )( 4 (
) 2 )( 2 )( 8 (
) 2 )( 20 (
) 2 )( 16 (
= = = = = = Se muestra la descomposición en factores tanto de 32 como de 40; observemos que al final, podemos eliminar 3 términos 2 tanto de arriba como abajo; y lo que nos queda es multiplicar en el numerador para expresar el resultado. Observa que hubiera sido lo mismo si nos hubiéramos quedado en el tercer paso, sin descomponer el 4 en factores. Ejemplo 3: Simplifica ahora esta fracción 19
) 2 )( 19 (
) 2 )( 13 (
= = Observa que nos quedamos hasta este paso ya que no podemos descomponer en más factores puesto que ya todos son números primos; como tenemos un 2 arriba y abajo podremos eliminarlos y el resultado son los factores que quedan sin haberse eliminado. 9 Ejercicios 2.2 a) Para resolver en clase. Simplifica las siguientes fracciones: 1. 14
b) Para realizar de tarea. Simplifica las siguientes fracciones: 1. 24
8. 468
10 2.3 Suma y Resta de Fracciones En el caso de suma y resta de fracciones, podemos encontrar dos casos: i) Fracciones homogéneas son aquellas fracciones cuyo denominador es el mismo, por ejemplo: ,...
, etc. En estos casos, la suma o resta de fracciones entre estas fracciones es muy sencilla, lo único que tendremos que hacer es sumar o restar los numeradores y el denominador seguirá siendo el mismo. Ejemplo 1: 7
= + Observa en el primer paso solamente sumamos los numeradores y el denominador pasa igual; ya en el segundo paso, el resultado es simplemente la suma de 8 + 4, el denominador sigue siendo el mismo. Ejemplo 2: 8
= ÷ y simplificando: 2
= Ejemplo 3: 8
= + + o bien puedes verlo así: 8
) 3 )( 8 (
= = Ejemplo 4: 11
= + ÷ + observa que el procedimiento es el mismo, el denominador se mantiene, puesto que es el mismo en cada fracción y lo único que hacemos es sumar o restar los numeradores según sea el caso. En el caso del resultado, la fracción ya no es reducible, por lo tanto, así queda. ii) Fracciones no homogéneas son aquellas fracciones cuyo denominador es diferente, por ejemplo: . ,
etc En estos casos, encontrarás en diversos libros que se manejan diferentes formas de llevarlas a cabo; probablemente las más rápidas podrían ser: a) Que cambiemos nuestras funciones a homogéneas. 11 Ejemplo 1. 2
+ al ser fracciones no homogéneas, no puedo sumar directamente; sin embargo, puedo multiplicar una función (arriba y abajo) por el denominador de la segunda fracción y la primera también multiplicarla arriba y abajo por el denominador de la segunda; así: 10
= + = - + - Al multiplicarse ambas fracciones por el denominador contrario, obtenemos una suma de fracciones homogéneas que es fácilmente resuelta. b) La segunda forma de llevar a cabo nuestra suma o resta de fracciones es: - Multiplicar todos los términos de los denominadores y ponerlos como denominador. - Luego, tomar el denominador y dividirlo entre el primer denominador. - Al resultado anterior, lo multiplico por el numerador de esa fracción y lo paso a la parte de arriba. - Hago el mismo procedimiento con cada fracción que yo esté sumando o restando; voy poniéndolas arriba con su respectivo signo y al final sumo o resto los numeradores según sea el caso. Ejemplo 2: 7
+ Notamos que estas fracciones no tienen el mismo denominador; por lo tanto, procedo a multiplicar los denominadores (9) (7) = 63 y pongo este número como denominador. 63 7
= + Continúo y tomo ahora el 63 y digo: “63 entre 9 es 7”; y multiplico este valor por el numerador de la fracción en cuestión, que en este caso es 4, poniendo el resultado como el primer término de mi suma en el numerador, así: 63
= + continuando, pongo el + después del 28 ya que eso es lo que estoy haciendo, una suma entre estas fracciones. Para terminar, paso con la segunda fracción y diré: 63 entre 7 es 9 y 9 por 2 es 18, lo coloco en el segundo término a 12 sumar en mi numerador, quedando de ésta forma: 63
= + finalmente, la suma resultante es: 63
= + como no puedo simplificar, así queda mi resultado. El procedimientos para 3 o más fracciones será el mismo. Ejemplo 3: 42 2
= ÷ + el denominador resulta de multiplicar (7)(3)(2) y entonces divido el 42 entre cada denominador, multiplicando por su numerador, así: 42
189 70 12
= ÷ + y el resultado final será : 42
como esta fracción ya no puede simplificarse, puesto que 107 es primo y no hay factores con 42, el resultado quedará así. 13 Ejercicios 2.3 a) Para resolver en clase: Realiza las siguientes sumas y/o restas de fracciones; en los casos en los que puedas hacerlo, simplifica la fracción resultante. 1. 12
÷ + 2. 17
÷ + ÷ + 3. 4
÷ + ÷ 4. 4
÷ ÷ + b) Para realizar de tarea: 1. 7
+ + ÷ 2. 8
+ + 3. 4
+ + + 4. 4
2 4 + 5. 7
5 + + ÷ 6. Hallar el perímetro de un terreno con forma de rectángulo cuya base mide 7
5 m y de altura tiene medidas de 7
m. 7. Hallar la distancia que una peregrino recorre durante 4 días, si el primer día cubrió 4
km; el segundo día, su recorrido fue 8
3 km; el tercer día caminó la misma distancia que el primero y el cuarto día logró avanzar 4
3 km. 14 2.4 Multiplicación y División de fracciones. 2.4.1 Multiplicación de fracciones La multiplicación de dos o más fracciones se lleva a cabo de una forma muy sencilla; lo único que tenemos que hacer es multiplicar los numeradores y el resultado ponerlo en la parte del numerador de la fracción final; luego, multiplicar denominadores y el resultado ponerlo como denominador de la fracción final. Ejemplo 1: Realizar la siguiente operación: 63
) 7 )( 9 (
como el resultado no se puede simplificar, así queda. Ejemplo 2: Realizar la siguiente operación: 66
simplificando: 33
= que es mi resultado final. 2.4.2 División de fracciones. Para dividir fracciones existen dos caminos, dependerá del que te parezca más conveniente: i) Multiplicar por el recíproco El recíproco de un número es la unidad dividida entre este número; por ejemplo, el recíproco de 3 es 3
, ya la posición que tiene el 3 es de multiplicar, por lo tanto su posición contraria es la de dividir; el recíproco de 2 es 2
, el de 7 es 7
, el de 5
es 5 (ya que 5 está dividiendo, entonces su posición contraria es multiplicando); el recíproco de 3
observa que 3 está dividiendo su contrario es estar multiplicando, para el dos es que está multiplicando y su inverso es que esté dividiendo. Nota: Cuando a un número lo multiplicamos por su recíproco, el resultado es 1. Así pues, el primer camino a seguir para realizar una división de fracciones es que multipliquemos la fracción a la que se está dividiendo por el recíproco de la fracción que la está dividiendo. 15 Ejemplo 1: Realizar la siguiente división de fracciones: |
Observa que el recíproco de 4/3 es 3/4 por lo tanto es por este último número por el que debemos multiplicar. Así pues, el resultado es: 5
= Ejemplo 2: 16
= es importante que visualices que al numerador de la función no lo cambiamos, en este caso 3/4 se mantiene igual; el único cambio se da en el denominador, que en este caso por ser 4 se convirtió en 1/4. 16 ii) Utilizando la Ley de los Medios y los Extremos Esta ley dice lo siguiente “Medios por medios y van abajo, extremos por extremos y van arriba” en la siguiente figura podemos ver qué partes de nuestras fracciones se consideran como los medios y cuales como los extremos: Ejemplo 1. Resuelva la siguiente división entre fracciones: 9
identificando como extremos a 8 y 9 y como medios a los números 7 y 4, aplicamos la Ley de los Medios y los Extremos y tenemos lo siguiente: 28
= simplificando la fracción tenemos que el resultado es: 7
El mismo resultado será obtenido si multiplicamos por el recíproco de 4/9 que es 9/4: 7
= = - = Según esta Ley, los extremos serán 8 y 3 y su multiplicación que es 24 la colocaremos arriba; por otro lado, el denominador queda formado por la multiplicación de los medios 5 y 4, así el resultado será 5
= el mismo que el obtenido anteriormente (ejemplo 1). 17 Ejercicios 2.4 a) Para realizar en clase Realiza las siguientes operaciones: 1. |
12 - 4. 2
÷ 5. |
- ÷ |
b) Para realizar de tarea 1. 2
- - 2. 4
+ ÷ 3. Una persona camina a razón de 5
1 km por hora durante 7
2 horas. ¿Qué distancia recorrió durante este tiempo? 4. Si tuviéramos 60 litros de agua purificada y quisiéramos llenar botellas que tienen una capacidad de 5
litro ¿Cuántas botellas podríamos llenar? 5. Un pintor puede pintar una pared a una rapidez de 7
por hora; otro pintor lo hace a razón de 2
por hora. ¿Cuántos m
de superficie pintan entre los dos en dos horas? 6. De una pieza de tela, un comerciante vende 7
de ella y luego vende 8
del resto ¿Cuántos metros de tela le quedaron? 18 III. POTENCIAS Y RADICALES 3.1 Potencias La potencia es el resultado que se obtiene cuando se multiplica tantas veces un número (al que se le denomina base) como lo indique otro número (al que se le conoce como exponente). Así pues, si un mismo número se multiplica varias veces, entonces esta operación se puede expresar como una potencia. Ejemplo 1: Si multiplicamos 3 veces 2 por él mismo tendremos: 2 x 2 x 2; entonces, el número que estoy multiplicando es la base y las veces que lo estoy haciendo es el exponente; dicho esto puedo expresar 2 x 2 x 2 como 2
; pongo la base y como superíndice el exponente; el resultado que es 8 se conoce como la potencia. Ejemplo 2: x x x x x - - - =
es decir, estoy multiplicando 4 veces el mismo número x. Ejemplo 3: y y y y y
- - - - = ... hasta haber multiplicado n veces el número y. 3.2 Propiedades de los exponentes En los siguientes ejercicios entenderemos a x y y como números reales y a los valores m y n como números enteros. 1. Cuando multiplicamos la misma base con exponentes diferentes. La base queda igual y sumamos los exponentes. (a
m+n 19 Ejemplos:  1953125 5 5 5 5
 177147 3 3 3 3 3
11 3 2 6 3 2 6
= = = - -
 18 6 4 5 3 6 4 5 3
7 7 7 7 7 7 = = - - -
 12 4 5 3 4 5 3
x x x x x = = - -
 2 2 + +
y y y y 2. Bases diferentes que se multiplican o dividen elevadas a un mismo exponente. En los casos exclusivos de multiplicación y división en los cuales dos términos se elevan a una potencia es válido aplicar la potencia a cada término. ( )
y x y x - = - y n
Ejemplos:  ( ) ( ) 1296 6 3 2
= = - lo que se hizo aquí es primero realizar la multiplicación que se encuentra dentro del paréntesis; luego, elevamos a la potencia 4; sin embargo, si aplicamos la propiedad mencionada anteriormente tenemos:  ( ) 1296 81 16 3 2 3 2
= - = - = - recuerda que en este caso, primero debemos desarrollar potencias y luego multiplicar por la jerarquía de las operaciones, así que primero elevamos 2 a la 4 y 3 a la 4 y al final multiplicamos estos resultados.  ( )
= ÷  3
+ Observa que en este caso primero tuvimos que hacer la suma de fracciones ya que el signo + no nos permite aplicar término a término el exponente, una vez que tenemos una fracción única 20 aplicamos el exponente a cada término; ¡nunca te olvides que solo podemos aplicar el exponente término a término en multiplicaciones y divisiones! 3. Cuando tenemos una base elevada a un exponente y todo esto elevado a otro exponente. En situaciones como esta, queda la misma base pero los exponentes se multiplican, así: ( )
= también ( )
- = - y p m
Ejemplos:  ( )
2 2 2 = =
 ( ) ( ) ( ) ) 5 )( 3 ( ) 5 )( 3 ( 5 3 5 3
6 9 3 2 3 3
4. Cuando tenemos divisiones de la misma base elevada a una potencia diferente. En los casos en que dividimos una base elevada a un exponente entre la misma base pero elevada a un exponente diferente como se muestra a continuación: n m
= Lo anterior obedece a la definición de que n
por lo tanto, si aplicamos esto tendremos: n m n m
= - recuerda la multiplicación de las mismas bases a potencias diferentes. Así mismo, n n
21 Ejemplos:  3 7 10 7 10
 2 6 8 6 8
= = - = =
Observa que 64 fue expresado como una potencia de 2, es decir 2
.  1 40 40
0 1001 1001
Recuerda que todo número elevado a la 0 da 1; o bien, todo número dividido entre él mismo da como resultado la unidad. 22 Ejercicios 3.1.1 a) Para resolver en clase: Aplicando las leyes de los exponentes, resuelve los siguientes ejercicios y calcula su potencia, remueve los exponentes negativos en donde se presenten. 1. ) 2 )( 2 )( 2 )( 2 (
4. 5 8 4
b) Para resolver de tarea: Aplicando las leyes de los exponentes, resuelve los siguientes ejercicios y calcula su potencia, remueve los exponentes negativos en donde se presenten. 1. 4
23 3.3 Radicación La radicación es la operación contraria a la potenciación. Recordemos que la potenciación consiste en que a partir de una base, multiplicada n veces, donde n es el exponente, llegar a un número resultante llamado potencia. Pues bien, la radicación consiste en que a un número, al que se le llama radicando (X) le aplicamos un radical n
donde n es el índice de la raíz (que nos indica cuantas veces deberemos multiplicar el resultado para volver al radicando) y llegamos a un número a (raíz n-ésima) que será aquel que en potenciación conocemos como base. Ejemplo 1: 2 4 = cuando el índice del radical no se exhibe, se entiende que éste es 2; por lo tanto, raíz cuadrada de 4 es dos, porque si multiplicamos en dos ocasiones 2 llegaremos de nuevo al 4: 2 x 2 = 4. Sin embargo, también 2 4 ÷ = porque si multiplicamos en dos ocasiones a -2 llegaremos de la misma forma al mismo radicando: -2 x -2 = (-)(-)(2)(2) = 4. Nota: Cuando el índice del radical es par y el signo del radicando es positivo, tendremos dos raíces como resultado; así: 2 4 ± = . Ejemplo 2: ? 2 4 ¿ ? 2 4 ¿ ÷ = ÷ = ÷ o Observa que en ninguno de los casos la multiplicación en dos ocasiones de alguno de los términos me produce -4: 2 x 2 = +4 y -2 x -2 = +4. Nota: Si el índice del radical es par, pero el signo del radicando es negativo, entonces, diremos que la raíz no existe; porque no podemos encontrar ningún número real que cumpla con lo anterior. Este tipo de radicales merece un estudio especial y lo verás en los temas de números complejos que por el momento no estudiaremos aquí. Ejemplo 3. 2 8
+ = porque si multiplico en 3 ocasiones al número 2 obtendré: 2 x 2 x 2 = +8; en cambio; si multiplico en 3 ocasiones -2 obtendré: -2 x -2 x -2 = -8 por lo que concluimos que en estos casos obtenemos solamente 1 resultado. 24 Nota: Si el índice de la raíz es impar y el número del radicando es positivo o negativo, obtenemos una sola raíz con el mismo signo que el del radicando. Ejemplo 4. 5 125
÷ = ÷ por que (-5)(-5)(-5) = (-)(-)(-)(5)(5)(5) = -125 3.4 Exponente fraccionario Todo radical se puede expresar también como un exponente de la siguiente forma: n n
= y también : ( )
x x x x = = =
Ejemplo 1: 10000 100 100 100
= = = Ejemplo 2: 7
3 3 = como no podemos simplificar la fracción del exponente, así se queda el resultado. 25 Ejercicios 3.4 a) Para realizar en clase: Expresa en forma fraccionaria (simplificada) los siguientes radicales: 1. 8 4
9 2. 4
7 3. 4 3
3 4. 3 9
2 5. 4 14
10 b) Para realizar de tarea: Expresa en forma de radical los siguientes términos con exponentes fraccionarios. En los casos donde sea necesario simplifica el exponente. 1. 2
7 2. 4
11 3. 3
6 26 3.5 Propiedades de los radicales Existen diversas propiedades que debemos observar en cuanto a los radicales. 1. Cuando el índice de la raíz y el exponente del radicando son iguales. x x x x
Ejemplos: - 2 2 2 8
= = = El ejemplo ilustra cómo se representa un número como potencia de otro; en el caso de 8 es potencia de 2, así que se representa así y al aplicar esta propiedad, el resultado es 2. - 100 100 100
= = 2. Multiplicación de radicales que tienen el mismo índice. Cuando multiplicamos diferentes bases, pero con el mismo radical entonces: n n
xy y x = - Ejemplos: - 3 9 3 3 3 3 = = - = - o bien: 3 3 3 3 3 3
5 2 5 2 = - 3. Radicación de una fracción. n
= Ejemplos: 27 - 4
= = = - 9
= = = = 4. Radicación de otro radical. Existen ocasiones en que se aplican radicales a radicales, en estos casos el radical se conserva y el índice toma el valor de la multiplicación de los índices de cada radical. m n m n m n
Ejemplos: - 81 9 9 9 9 9
12 24 4 3 24 3 4 24
o bien : ( ) 81 9 9 9 9 9
= - ( ) 11 11 11 11 11
18 18 3 6 9 2 6 3
28 Ejercicios 3.5 a) Para realizar en clase: 1. 2 2
5 3 2. 33
) 100 ( 100 - 3. 3 3
) 2 ( 4. 3 4
y x b) Para realizar de tarea: 1. ( )( )
5 3 2. 5
y x 3. 4
m 7. 4 2
29 3.6 Descomposición en factores dentro de un radical Existen ocasiones en que al descomponer el radicando en factores, la expresión puede simplificarse. Lo que tenemos que hacer es descomponer el radicando en sus factores primos y observar si podemos expresar alguno en función de un exponente común al índice de la raíz. Ejemplo 1: ( ) 2 5 2 5 2 5 2 25 50
= - = - = - = Nota que el primer paso fue descomponer a 25 en sus factores; luego, nos dimos cuenta que 25 era una potencia de 5 y lo expresamos entonces como 5 al cuadrado, por lo tanto, al aplicar la raíz (cuyo índice coincide con el exponente) el exponente quedó como 1. Ejemplo 2: 4 4 4
10 3 3 ) 5 )( 2 ( ) 3 )( 5 )( 2 ( ) 5 )( 3 )( 3 )( 3 )( 3 )( 2 ( 810 = - = = = 30 Ejercicios 3.6 a) Para realizar en clase Utiliza la descomposición en factores para simplificar el radicando de los siguientes ejercicios. 1. 3
216 2. 4
3750 3. 5
224 4. 588 b) Para realizar de tarea Utiliza la descomposición en factores para simplificar el radicando de los siguientes ejercicios. 1. 3
1296 2. 3
6000 3. 4
112 4. 3
216 5. 11025 31 3.7 Racionalización Racionalizar quiere decir quitar radicales del denominador. En matemáticas los resultados los expresamos sin exponentes negativos y sin radicales en el denominador; por lo tanto, siempre que podamos deberemos eliminar estos dos elementos. Para llevar a cabo la racionalización de un número, debemos primeramente recordar una propiedad de los números, la cual nos dice que el valor de un número racional no se altera si se multiplica tanto el numerador como el denominador por alguna cantidad. Por ejemplo: 8
= - nota que multiplicamos arriba y abajo por dos, por lo que no se altera la fracción, si bien cambia a otros números, puedes checar con tu calculadora que el resultado de ambas divisiones 3/4 y 6/8 es exactamente la misma. Este principio será utilizado en el proceso de racionalización. Ejemplos: Racionalizar los siguientes números: - 2
notamos que si bien no se tiene un radical, se tiene un exponente fraccionario que es equivalente; debemos ver que el exponente es ½ y buscar alguna cantidad que sumarle a ½ para que el resultado me dé 1 entero; yo sé que esta cantidad es ½. Por lo tanto: x
Observa que la cantidad de ½ la pusimos como exponente de la misma base que queremos racionalizar, esto se hizo para poder aprovechar la propiedad de que en multiplicación de mismas bases los exponentes se suman. Como multiplicamos abajo, debemos multiplicar arriba por el mismo término para que la fracción no se vea alterada. - 3
el exponente de y es 1/3, por lo que para alcanzar el próximo número entero deberé sumarle 2/3; por lo que multiplico por: 32 y
y hemos eliminado el radical del denominador (exponente fraccionario) - 7
nota que el exponente de x en el denominador pasó el 1 (9/7 = 1.2857) por lo tanto, el próximo número entero a alcanzar será 2 y para lograr este valor debo sumar al exponente 5/7 para obtener el resultado de 2. Así : 2
y el radical ha sido eliminado 33 Ejercicios 3.7 Racionaliza los siguientes números: a) Para realizar en clase 1. 5
b) Para realizar de tarea Racionalizar las siguientes fracciones y simplificar cuando sea posible 1. 6 2
3. 4 7
34 IV. OPERACIONES CON POLINOMIOS 4.1 Definiciones En álgebra, las operaciones utilizadas son las que ya hemos manejado anteriormente: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. En esta rama, además de utilizar números concretos, se utilizan letras del alfabeto para representar cantidades conocidas o desconocidas. Cualquier expresión que contenga una o varias operaciones algebraicas se llama expresión algebraica. Ejemplos de estas son: 3x + y , 2x
, (3x+2)(4x-3), otros. Un término algebraico es una expresión compuesta por números concretos y letras que representan también números que se relacionan entre sí por operaciones como multiplicaciones, divisiones, potenciación y radicación. Ejemplos: 3x , 4x
, otros. Entre los elementos que componen a un término distinguimos al signo que le precede (véase figura 4.1.1) éste dirá si el término es positivo o negativo. También tenemos al coeficiente que no es más que un número que multiplica o divide al valor de la literal; siendo ésta última representada por una letra y representa algún valor (conocido o desconocido). Por último, el grado de un término es la suma de los exponentes de las literales que contiene; así pues, para el término de la figura 4.1.1 el grado es 2. 4.2 Lenguaje Algebraico En álgebra, es muy común que para solucionar algún problema sea necesaria una expresión algebraica, dicha expresión pasará toda la información que tenemos en el problema real a una forma matemática para poder trabajar con ésta. 35 Ejemplos: Enunciado en forma verbal Enunciado expresado en notación algebraica El doble de un número 2x La diferencia de dos números x-y La raíz cúbica de un número 3
x La mitad de un número x
El triple de un número disminuido en cuatro 3x - 4 Enunciado expresado en notación algebraica Enunciado en forma verbal 3 3
y x + La suma de dos cubos m + p
Un número más el cuadrado de otro zx
2 Un número por el cuadrado de otro 5(x+y) El quíntuple de la suma de dos números 3
x Las dos terceras partes del cubo de un número Ejercicios 4.2 a) Para realizar en clase Escribe una expresión algebraica que represente cada uno de los siguientes enunciados: 1. Una séptima parte del producto de dos números 2. Dos octavas partes de la suma de dos números. 3. El cubo del producto de cuatro números. 4. Un tercio de un número que está disminuido en tres. 36 5. El triple del cuadrado de un número disminuido en siete. 6. El doble de un número aumentado en siete. 7. El doble de un número que está aumentado en siete. b) Para realizar de tarea. I. Rellena la siguiente tabla identificando cada elemento faltante. Término Algebraico Coeficiente Numérico Parte Literal Exponentes de la parte literal Grado y
3 ÷ 2 3 5
32 y x ÷ 6x
6 -4x
5 II. Escribe una expresión algebraica que represente cada uno de los siguientes enunciados: 1. La cuarta parte de la raíz quinta de un número. 2. El quíntuple de la suma del producto de dos pares de números. 3. El producto del cuadrado de un número por la suma de otros dos. 4. El producto del cubo de un número por la diferencia de otros dos. 5. El cuadrado de la tercera parte de un número sumado a otro. 6. Cinco veces el cubo de un número aumentado en 7. 37 4.3 Términos Semejantes Decimos que dos términos son semejantes cuando su parte literal (incluyendo el exponente) es la misma; es decir, solo varían por su coeficiente o el signo de éste. Ejemplos de términos semejantes tenemos: -6n
, ½ n
5 n , etc. Observe el siguiente ejemplo: 3 2
5 q p y 2 3
18 q p en este caso, estos dos términos no son semejantes, pese a tener las mismas literales; esto se debe a que los exponentes de p en cada término son diferentes, lo mismo sucede con los exponentes de la literal q. Cuando trabajamos con expresiones algebraicas, nos encontraremos muy frecuentemente con términos semejantes los cuales podemos reducir; este procedimiento es muy sencillo, lo único que hay que hacer es la suma algebraica de sus coeficientes. Ejemplos: - 4+4x
+6y-8x
-3y+2 observamos en este ejemplo varios términos semejantes: los términos con x
, aquellos con y y por último los términos que no tienen literal; entonces, la reducción de términos semejantes quedaría: x
(4-8) + y (6-3) + (4+2) y al realizar las operaciones entre paréntesis tendríamos: -4x
2 + 3y + 6, lo cual simplifica la expresión. - 2x-y+7z
+3x+5y+8z
-10x-20z
+5x+10z
-3 observa que en este ejemplo tenemos varios términos semejantes, por lo que la reducción se haría de la siguiente manera: x (2+3-10+5) + y(-1+5) + z
(7+8-20+10) -3 nota que el término -
3 no tiene semejantes, por lo que lo dejamos así. Haciendo las operaciones de los paréntesis tendremos finalmente : 0x + 4y + 5z
-3 ya que el coeficiente de x es 0 podemos no poner ya este término recuerda que todo número multiplicado por 0 nos da 0. Acomodando entonces la expresión tendremos: 5z
+ 4y -3. - m xy m xy 8 2 7 5
+ + ÷ ya que el índice de la raíz y el radicando son iguales en algunos de los términos que se presentan en este ejemplo, podemos considerarlos como semejantes y hacer la reducción de la misma forma que hemos trabajado: ( ) ( ) 8 7 2 5
+ ÷ + + m xy observa que manejamos el radical como el término semejante y solamente sumamos sus coeficientes con todo y signo; realizando las operaciones de los signos de agrupación tenemos entonces la expresión final: m xy +
7 . 38 Ejercicios 4.3 Realiza la reducción de términos semejantes en las siguientes expresiones: a) Para realizar en clase 1. y x a y x a
+ ÷ + ÷ + 2. x m x m
+ ÷ + 3. 5 5
8 2 3 8 xy np xy np x + + + ÷ b) Para realizar de tarea 1. 4a + 3np – 5ª - 2np 2. 4ab
+ 2cd +3ab
d – 8ab
– 6cd + 3c
d 3. 3 2 3
o o o o o + ÷ ÷ + 4. y m x y m x
+ + ÷ + + 5. 4 3
xy y x p xy p y x ÷ ÷ + + ÷ 39 4.4 Suma y Resta de Polinomios El caso de una suma de polinomios es muy sencillo, solamente deberemos escribir los dos polinomios sumándose y reducir términos. Ejemplo 1: Sumar los siguientes polinomios: - 4 2 7 3 + ÷ + z y x y 12 12 7 8 + + ÷ z y x Procedemos de la siguiente forma: ) 12 12 7 8 ( 4 2 7 3 + + ÷ + + ÷ + z y x z y x como el signo + no altera los signos podemos quitar el símbolo de agrupación que pusimos, por lo tanto nos quedaría la siguiente expresión: 3x+7y-2z+4+8x-7y+12z+12 y lo que resta es reducir términos semejantes, con lo cual el resultado sería: x(3+8) + y(7-7) + z(-2+12) + (4+12) y efectuando las operaciones: 11x + 0y + 10z + 16 podemos quitar el término de las y ya que su coeficiente es 0 y tendríamos finalmente: 11x + 10z + 16. Para el caso de restar polinomios deberemos primero escribir el polinomio teniendo cuidado de que el signo – de resta afecta a todo el segundo polinomio. Ejemplo 2: Restar los siguientes polinomios: - 4 2 7 3 + ÷ + z y x y 12 12 7 8 + + ÷ z y x Procedemos de la siguiente forma: ) 12 12 7 8 ( 4 2 7 3 + + ÷ ÷ + ÷ + z y x z y x observa que hemos indicado la resta de los dos polinomios, el signo menos afecta a todos los términos encerrados dentro de los símbolos de agrupamiento, por lo que para quitarlos, tendremos que modificar el signo de cada término: 12 12 7 8 4 2 7 3 ÷ ÷ + ÷ + ÷ + z y x z y x en este paso hemos metido el signo negativo a cada término del segundo polinomio; luego de esto, lo que resta es reducir términos semejantes: ) 12 4 ( ) 12 2 ( ) 7 7 ( ) 8 3 ( ÷ + ÷ ÷ + + + ÷ z z y x y al realizar las operaciones dentro de los paréntesis llegaremos al resultado final: -5x+14y-14z-12 40 Ejercicios 4.4 Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios: a) Para realizar en clase Sean P1 = 4x
– 8 + 6x
– 9x P2 = 2x – 4x
– 5 + x
P3 = -5x
+ 19 + 3x – x
a) P1 + P2 ; b) P1 + P3 ; c) P2 + P3 d) P1 + P2 + P3 e) P1 – P2 ; f) P2 – P1 ; g) P2 – P3 h) (P1+P2) – P3 b) Para realizar de tarea Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios: Sean P1 = 2x
– 5xy + y
– 7 ; P2 = -3y
2 – 7xy -1 ; P3 = 5x
–xy + 6 a) P1 + P2 b) P1 + P3 c) P2 + P3 d) P1 – P2 e) P1 – P3 f) P1 + (P2 – P3) g) (P1+P3) – (P2+P3) h) P1 – (P2-P3) 41 4.5 Multiplicación de Polinomios Respecto a esta operación puede hablarse de tres casos: 1) Multiplicación de monomios 2) Multiplicación de un monomio por un polinomio 3) Multiplicación de un polinomio por una polinomio Para cualquiera de los casos anteriores debemos tener en cuenta las leyes de los signos, propiedades de exponentes y radicales, y las reglas de la multiplicación. 1. Multiplicación de monomios. Este caso es el más sencillo, solo tendremos que: a) Identificar el signo de la multiplicación b) Multiplicar los coeficientes numéricos c) Multiplicar las literales tomando en cuenta las leyes de los exponentes. Ejemplo: - (3x
) = (3)(4)(x
) = 12x
observa que multiplicamos coeficientes por coeficientes, en cuanto a las literales multiplicamos las bases comúnes recuerda que en multiplicación de las mismas bases, se deja la base y se suman los exponentes. 2. Multiplicación de un monomio por un polinomio. En este caso se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: - 2x
y (3x
y–2y
+7xy–2) = 2x
y) + (2x
y)(– 2y
) + (2x
y)(7xy) + (2x
y)( – 2) y entonces procedemos como el primer caso, multiplicación de dos monomios; así el resultado será: 6x
y 42 3. Multiplicación de un polinomio por un polinomio Este es el caso más complejo; sin embargo, también podremos verlo como una multiplicación monomio por monomio, simplemente tendremos que tomar cada término del primer polinomio y multiplicarlo por cada término del segundo. Ejemplo: - (3x
– 7xy) (2x
– 8x +2) tomamos el primer término del primer polinomio y lo multiplicamos por cada término del segundo; cuando hayamos terminado, seguiremos con el segundo término del primer polinomio y haremos lo mismo; continuaremos este procedimiento hasta el último elemento del primer polinomio. De esta manera tendremos lo siguiente: (3x
) + (3x
)(-8x) + (3x
)(2) + ( – 7xy)(2x
) + ( – 7xy)(-8x) + ( – 7xy)(2) = 6x
y + 56x
y – 14xy como no hay términos semejantes el resultado queda de esta forma; si hubiéramos tenido términos semejantes habrá que reducirlos. 43 Ejercicios 4.5 a) Para realizar en clase Sean P1 = 3x
3 P2 = 3x + 2 P3 = 3x
-3 P4 = 5x
+3 Realiza los siguientes productos de polinomios y monomios: a) P1 x P1 b) P1 x P2 c) P1 x P4 d) P2 x P4 e) P3 x P4 b) Para realizar de tarea Sean P1 = 7 2 3
p m x ; P2 = m x y
+ ; P3 = 3x
y ; P4 = 3 2 3
p y x p m ÷ + Realiza los siguientes productos de polinomios y monomios: a) P1 x P4 ; b) P1 x P3 ; c) P2 x P3 ; d) P4 x P1 x P3 ; e) P2 x P4 f) P1 x P2 ; g) P3 x P4 ; h) P1 x P2 X P4 44 4.6 Productos Notables Existen ocasiones en que al multiplicar algunas expresiones algebraicas se obtienen productos con algunas características notables. A este tipo de productos los conocemos como productos notables. Si logramos distinguir este tipo de expresiones, nos ayudará a ahorrar tiempo y esfuerzo cuando multipliquemos. Caso 1. Producto de dos binomios conjugados El conjugado de un binomio es el mismo binomio pero con el signo intermedio cambiado; por ejemplo para 2x + 3y su conjugado será 2x – 3y. Para llevar a cabo una multiplicación entre dos binomios conjugados existe la siguiente regla: el producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. Ejemplos: - (2x + 3y) (2x – 3y) = 4y
como anteriormente identificamos, tenemos el producto de dos binomios conjugados; tomando a 2x como el primer término y 3y como el segundo término aplicamos la regla. Para comprobar lo anterior, podemos realizar la multiplicación de binomios de la manera en que lo hemos hecho anteriormente: (2x + 3y) (2x – 3y) = (2x)(2x)+(2x)(-3y)+(3y)(2x)+(3y)(-3y) (2x + 3y) (2x – 3y) = 4x
-6xy +6xy – 9y
observa que los términos -6xy y 6xy se anulan al reducir términos semejantes, por lo que nuestro resultado final es 4x
. - ( ( )( )
4 3 2 3 2 3 b a b a b a ÷ = ÷ + en este caso, nuestro primer término será 3
a y al elevarlo al cuadrado, el exponente de 3 se hace 1, pero el exponente de a si es 2. Caso 2. Cuadrado de un binomio El producto de un binomio es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Matemáticamente: (x + y)
2 Ejemplos: - (2x + 3y)
+ 2(2x)(3y) + (3y)
+ 12xy + 9y
45 - ( ) ( )
÷ b b a a b a Nota que al sustituir los términos lo hacemos con todo y signo; deberás tener en cuenta las propiedades de multiplicación de signos en este caso. Desarrollando las operaciones que tenemos en la expresión anterior llegamos a lo siguiente: 4 2 2 4
) )( )( 2 )( 3 )( 2 (
9 b ab a b
a + ÷ = +
+ Caso 3. Producto de dos binomios que tienen un término común El producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del término común por la suma de los no comunes, más el producto de los términos no comunes. ab b a x x b x a x + + + = + + ) ( ) )( (
Ejemplos: - ( 3x+2 )( 3x + 4) Observamos que el término común entre los dos binomios es 3x y aplicando la regla tendremos: ( ) ( ) 8 18 9 8 ) 6 ( 3 9 ) 4 )( 2 ( 4 2 3 3
+ + = + + = + + + x x x x x x - ) 4 )( 3 ( ) 4 3 ( 4 ) 4 ( ) 4 4 )( 3 4 (
y y x x x y x ÷ + + ÷ + = + ÷ y x y x x 12 16 12 16
÷ + ÷ = al no haber términos semejantes para reducir el resultado puede quedar de esta forma. Caso 4. El cubo de un binomio El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. 3 2 2 3 3
Ejemplos: - ( )
64 144 108 27 ) 4 3 (
) 4 ( ) 4 )( 3 ( 3 ) 4 ( ) 3 )( 3 ( ) 3 ( 4 3
d cd d c c d c
46 - ( ) ( ) ( )
÷ r r r r Nota que si usamos la forma mencionada en la regla, donde alternamos los signos, los términos deberán ser tomados sin signo; por el contrario, si te cuesta aprenderte dos formas, lo único que tendrás que hacer es tomar la primera forma en donde todos los términos se suman y sustituir el segundo término con todo y signo; el resultado no deberá variar; solo ten en cuenta las leyes de los signos. 47 Ejercicios 4.6 a) Para resolver en clase Utiliza productos notables para llevar a cabo las siguientes multiplicaciones de binomios. 1. (x+7)(x-7) 2. (y-4)
3. (5b-3)
+ r 5. |
÷ + 4
t s t s 6. ) )( (
t x t x ÷ + b) Para resolver de tarea 1. ( )
2 4 p t + ÷ 2. 3
÷ + x t 3. ( )( )
y x y x ÷ + 4. ( )( ) t t 3 2 2 3 + ÷ 5. |
+ ÷ 3
y x y x 48 4.7 División de Polinomios La división de dos polinomios puede llevarse a cabo bajo el mismo procedimiento que seguimos en una división normal. A continuación se listan los pasos a cubrir para esta operación. 1. Se ordenan los dos polinomios en orden decreciente de una de las letras comunes a ambos polinomios, incluyendo los términos con coeficiente cero para las potencias faltantes. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, con lo que se obtiene el primer término del cociente. 3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo. 4. Con el nuevo dividendo se repiten las operaciones de los pasos dos y tres hasta que el polinomio resultante sea 0 o contenga la letra con respecto a la cual se hizo el procedimiento del punto 1, con un exponente menor que el que posee dicha letra en el divisor. 5. Puede verificarse que el resultado sea correcto, multiplicando el cociente por el divisor y al producto obtenido se le suma el residuo de la división. El resultado debe coincidir con el polinomio dividendo. 6. El resultado de la división será el polinomio obtenido en el cociente + el residuo dividido entre el divisor. 49 Ejemplos: Dividir (4+ 6x
– 7x) ÷(6 + x
– 3x) Lo primero que debemos hacer es ordenar los polinomios en forma decreciente, luego del ordenamiento la expresión queda de la siguiente forma: 6 3
Por último, expresamos el resultado de la división de la forma siguiente: Cociente + (residuo / divisor) es decir: 6 3
x x 50 Ejercicios 4.7 Para realizar en clase y de tarea Efectúa las siguientes divisiones entre polinomios: 1. 2 2
8 36 9 17 10
y xy y x y x x
5. ( ) ) 3 ( 27
+ ÷ + x x 6. ( ) ( ) 2 1 5 3 2
÷ ÷ ÷ + ÷ + x x x x x 7. ( ) ( ) 2 / 2 3 5 4
+ ÷ + ÷ x x x x 8. 2 2
9. ( ) ( ) 3 4 23 2 10 3
÷ + ÷ + + + ÷ x x x x x x 10. 2 2
8 38 5 24 27
b ab b a b a a
51 V. FACTORIZACIÓN Dependiendo de la expresión algebraica que tengamos podremos encontrar diferentes formas en las podemos factorizar. 5.1 Factorización de polinomios cuando todos sus términos tienen un término semejante. Cuando todos los términos de un polinomio contienen un factor común, podemos expresarlo como el producto de dos factores, donde uno de ellos es un monomio en común. Ejemplos: Factorizar: - 2m + 2p observamos que ambos términos contienen un elemento en común que es el 2; por lo tanto, podemos “extraerlo” de cada término y colocarlo como un producto de la siguiente forma: 2 (m + p) si al término 2m le quito 2 solo me quedará m y es lo que pongo dentro del paréntesis; lo mismo ocurre con el término 2p. - 8a
– 24a podemos ver que los coeficientes de cada término los puedo expresar en función de 8 así: 8a
– 24a = 8(a)(a) – (8)(4)a
a – (8)(3)a de lo cual se ve que en cuanto al coeficiente lo máximo que puedo sacar de término es un 8; de parte de las literales lo máximo que puedo sacar es una a; por lo tanto, saco los términos comunes y obtengo: 8a
– 24a = 8a (a - 4a
-3) puedes realizar a manera de comprobación la multiplicación monomio – polinomio para que veas que es exactamente lo mismo. Como el término dentro del paréntesis ya no puede factorizarse más, el resultado puede quedar así. 5.2 Diferencia de cuadrados Debemos recordar la multiplicación de dos binomios conjugados: (x + y) (x – y) = x
solo que en este caso el proceso es inverso, en lugar de realizar el producto quiero dejar mi expresión como el producto de dos factores; por ello, cuando observe una diferencia de cuadrados que no es más que el resultado del producto de los binomios conjugados, podré regresar al producto de 52 éstos diciendo: (raíz del primero + raíz del segundo) (raíz del primero – raíz del segundo) Ejemplos: Factorizar - 25y
– 9 observo que tengo una diferencia de cuadrados, por lo tanto, todo lo que está antes del signo (-) es mi primer término: 25y
y lo que queda después del signo será entonces mi segundo término: 9. Nota que no tomamos en cuenta el signo en este caso. Aplicando la regla de diferencia de cuadrados tendremos la factorización como sigue: ( )( ) ) 3 5 )( 3 5 ( 9 25 9 25 9 25
÷ + = ÷ + = ÷ y y y y y - z m
÷ en este ejemplo puedo ver que en el segundo término z está elevado a la 1 ¿podré factorizarlo entonces? La respuesta es sí, puedo factorizar de la misma manera y quedaría de la siguiente forma: |
+ = ÷ z m z m z m
y aplicando las propiedades de los radicales que nos permiten aplicar la raíz en cada término ya sea en productos o divisiones tendremos: |
z m z m z m z m z m en este caso, como no puedo sacar la raíz de z la dejo expresada y puedo ponerlo como radical o exponente fraccionario. 5.3 Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es el producto de un binomio cuadrado perfecto; podremos identificarlo si tiene la forma: x
2 + 2xy + y
Para verificar si una expresión algebraica es un trinomio cuadrado perfecto checamos los siguientes puntos: 53 - Si el trinomio está ordenado en relación con una literal, su primero y último términos son positivos y tienen raíz cuadrada perfecta. - El segundo término es el doble del producto de las raíces de los términos cuadráticos, en valor absoluto; es decir, sin importar el signo que le precede. La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado del binomio que resulta al extraer raíz cuadrada a los término cuadráticos, escribiendo entre ellos el signo del término no cuadrático. Ejemplos: Factorizar: - 4x
+ 20xy + 25y
para saber si se trata de un trinomio cuadrado perfecto checamos las dos condiciones dadas, podemos ver que se encuentra ordenado respecto a la variable x; vemos también que tanto x
son positivos y que sí tienen raíz cuadrada perfecta; en el caso de 4x
2 es 2x, para el término 25y
su raíz es 5y. Verificamos ahora que el segundo término sea el producto de las raíces anteriores: 2(2x)(5y) = 20xy. Como cumplió las condiciones, concluimos que es un trinomio cuadrado perfecto y procedemos a la factorización: 4x
2 = (2x + 5y)
observa que entre las raíces de los términos cuadráticos pusimos el signo + que pertenece al término 20xy. - y
– 16y + 64 verificación: y y =
luego 8 64 = y y y 16 ) 8 )( ( 2 = por lo tanto sí es un trinomio cuadrado perfecto y factorizando tenemos: y
– 16y + 64 = (y – 8)
el signo menos es por el signo del término -16y. 5.4 Factorización de trinomios cuadráticos de la forma x
+ bx + c. 5.4.1 Factorización prueba y error Existen expresiones algebraicas de la forma x
+ bx + c que resultan de multiplicar dos binomios de la forma (x + m)(x+n); por lo tanto, su factorización es el regreso al producto de estos dos binomios. Para identificar estos casos debemos tener en cuenta las siguientes características: - Tienen un término común, el cual es la raíz cuadrada del término x
. 54 - Los términos no comúnes son aquellos que al sumarse dan como resultado el valor del coeficiente del término bx; es decir, igual a “b” y cuyo producto es igual a “c”. Es decir: mn = c y m + n = b. Ejemplos: Factorizar: - x
2 + 3x -10 para factorizar, hacemos lo siguiente: Primero buscamos todos los pares de números que multiplicados me den 10 y voy viendo si algún par me da como suma o resta el 3; para simplificar esto puedo hacer la siguiente tabla: Factor 1 Factor 2 Suma Factores Resta F1-F2 Resta F2-F1 10 1 11 9 -9 5 2 7 3 -3 En la tabla puedo visualizar que los números que busco son 5 y 2, así que procedo a colocarlos de la siguiente forma: (x 5) (x 2) el signo a poner en cada uno de los términos dependerá del signo del término medio, en este caso es positivo, por lo tanto, como deben restarse, debo poner un + y un - el más irá en el 5 para que al restarse sea el que predomine. Así la factorización queda: (x + 5)(x – 2). - x
– 5x – 36 Buscando factores para 36: Factor 1 Factor 2 Suma Factores Resta F1-F2 Resta F2-F1 18 2 20 16 -16 9 4 13 5 -5 6 6 12 0 0 12 3 15 9 -9 55 Por lo tanto, mis números buscados son 9 y 4; factorizando: (x 9) (x 4) como en el término medio debo tener -5, decido que el – debe ir con el número mayor, es decir 9. Así: (x - 9)(x + 4). 5.4.2 Factorización por fórmula cuadrática En ocasiones es demasiado largo el proceso de búsqueda de factores en el método anterior, como alternativa tenemos este otro método; que consiste en encontrar las raíces (valores de x que sustituidos en la expresión harán que todo el polinomio se haga 0) a través de la fórmula cuadrática; para ello, igualaremos el trinomio a cero: x
+ bx + c =0 y aplicaremos la siguiente fórmula: a
= nota que de esta expresión obtendremos dos valores para x, debido al + que antecede al radical. Una vez que encontremos los valores x
= b, lo único que tendremos que hacer es pasar las raíces a un mismo lado para dejarlos como factores; la factorización completa será el producto de los factores encontrados. Ejemplos: Factorizar: - x
+ x - 6 primero, igualamos a 0 el polinomio para poder aplicar la fórmula cuadrática: x
+ x - 6 = 0 si aplicamos fórmula cuadrática, a = 1 ; b = 1 y c= -6, por lo tanto: 2
) 6 )( 1 ( 4 ) 1 ( 1
= x el signo + es el que me dará los dos valores para x; por lo tanto: 2
= x y 3
= x Solo tendremos que verificar que los dos valores cumplan con la igualación a 0: Para x
= 2 : (2)
+ 2 -6 = 0 ; 0 = 0 Por lo tanto, el valor cumple Para x
= -3 : (-3)
- 3 - 6 = 0 ; 0 = 0 Por lo tanto, el valor cumple 56 Así que solo resta transformar la raíz a factor de la siguiente manera: Para x = 2 , paso el 2 a la izquierda y tendré el factor: x-2 = 0 el factor es la parte izquierda. Para x = -3, paso el -3 a la izquierda y tendré el factor x+3 = 0, el factor es la parte izquierda. Y la factorización queda entonces: (x – 2) (x + 3) 5.5 Factorización de suma y diferencia de cubos Si tenemos expresiones de la forma: x
Las factorizaciones serán de la siguiente manera: x
= (x+y) (x
= (x-y) (x
) Observa que en el primer binomio ponemos el signo que existe entre los dos términos que están elevado al cubo; luego, en el siguiente polinomio solamente invertimos dicho signo en el término de en medio; x y y son las raíces cúbicas del primer y segundo término. Ejemplos: Factorizar completamente: - 8x
– 27y
observamos que es una diferencia de cubos, por lo que: x x 2 8
3 27 y y = y sustituyendo en cada polinomio: 8x
6 = ( )( ) ( )( ) ( ) | | ( )( )
9 6 4 3 2 3 3 2 2 3 2 y xy x y x y y x x y x + + ÷ = + + ÷ - a
+ 64 tenemos que a a =
y que 4 64
= factorizando llegamos a: ( )( ) 16 4 4 64
+ ÷ + = + a a a a 57 5.6 Factorización por división sintética Hemos visto ya como factorizar expresiones de la forma ax
+ bx + c; sin embargo, en ocasiones resulta necesario factorizar polinomios que no tienen esta forma, sino algunas más complejas; para este tipo de situaciones la división sintética es de gran ayuda. Para realizar división sintética debemos seguir los siguientes pasos: 1. Ordenar el polinomio respecto al exponente mayor, en forma decreciente. 2. Obtener todos los factores de los coeficientes extremos (coeficiente del término mayor y del término independiente). 3. Luego, las posibles raíces serán cualquiera de esos factores o bien, la división de cada factor entre todos los demás, lo mismo para cada factor. 4. Utilizar división sintética para probar las posibles raíces. 5. Cuando hayamos obtenido como residuo un 0 habremos encontrado una raíz x = a; la forma de cambiar a factor es la misma que la utilizada en el método de la fórmula cuadrática. Ejemplos: Factorizar: - 3x
– 12x – 24 Factores de 3: +3 y +1 Factores de 24: + 1, + 24, + 2, + 12, + 3, + 8, + 6, + 4 Posibles raíces: + 1, + 24, + 2, + 12, + 3, + 8, + 6 y + 4 o bien + 1/24, +1/2, + 1/3, + 1/4, + 1/6, …todos entre todos. 58 Para probar utilizamos división sintética: Resolviendo el polinomio 3x
+ 12x + 12 tendremos lo siguiente: 3(x
+4x+4)=0 hacemos x
+4x+4 = 0 y observamos que este es un trinomio cuadrado perfecto, por lo cual su factorización es: (x+2)
=0; podemos ver que tenemos dos raíces iguales: x
=-2 y x
=-2. De todo lo anterior tenemos que : x = 2 ; x = -2 y x = -2 Factorizando: (x-2)(3)(x+2)(x+2) observa que el 3 se debe a que al factorizar 3x
+ 12x + 12 sacamos un 3 como factor común : 3(x
+4x+4). Puedes hacer el producto de (x-2)(3)(x+2)(x+2) para comprobar la factorización. 59 Ejercicios 5.1 Factoriza completamente las siguientes expresiones. a) Para realizar en clase 1. 2x
+ x – 3 2. 6x
+ 5x – 6 3. x
– 5x + 6 4. x – y 5. 20ab
b 6. 25y
-10y b) Para realizar de tarea 1. z
+ ½ z 2. 15n
3 – 60n
– 35nm
6 6. t
+ 18t + 64 7. 9n
+ 48nm + 64m
3 + 125 9. 64t
– 1 10. 8x
– 216 11. x
– x + 6 12. x
– x + 12 13. 2x
– 8x - 3 60 VI. ECUACIONES Una ecuación es una expresión que nos indica que dos cantidades (como quiera que se presenten) son iguales. Por ejemplo: 3x + 2 = 8 Puedes ver que una ecuación tiene dos partes, izquierda y derecha, en medio tenemos el signo = esto es importante, pues la principal característica de una igualdad o identidad como esta, requiere que lo que se encuentre del lado izquierdo sea exactamente lo del lado derecho; no importa que tantas operaciones se hagan de uno u otro lado, al final, los resultados deberán ser semejantes para que se cumpla dicha igualdad. Al conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen una igualdad, se le conoce como raíces o conjunto solución. Por ejemplo, en la ecuación 7y – 10 = 18 la raíz es y=4 por que si sustituimos este valor en la ecuación tendremos que: 7(4) – 10 = 18 18 = 18 6.1 Resolución de ecuaciones con una incógnita. Una ecuación lineal con una incógnita es de la forma ax + b = 0 y es el caso más sencillo que podemos encontrar; para resolverla lo único que debemos hacer es dejar la literal “solita” de cualquier lado de la ecuación; para hacer esto debemos tener en cuenta cada operación matemática y su contraria; leyes de signos, y demás propiedades que ya has manejado anteriormente para cada operación. Ten en cuenta también que lo que haces de un lado, lo haces del otro para no afectar el equilibrio de la igualdad. Ejemplos: Resolver para x las siguientes igualdades: - 6x + 9 = 27 queremos encontrar un valor específico de x que cumpla con la igualdad; por lo tanto, habrá que despejar x: Comenzamos en orden inverso a la jerarquía de las operaciones, primero quitamos los términos que estén sumando o restando; luego los que estén multiplicando o dividiendo y al final las potencias o raíces: 61 Como quiero quitar el 9 del lado izquierdo, deberé restarle 9 al lado izquierdo de la ecuación; si lo hago del lado izquierdo, lo hago del lado derecho: 6x + 9 – 9 = 27 – 9 de esta forma: 6x = 18 y entonces quito el 6 que está multiplicando, para hacerlo divido entre el mismo: 6
de nuevo, lo que hago del lado izquierdo, lo hago del derecho y si divido 6/6 = 1 por ello: x = 3 y ese es el valor que cumplirá en la igualdad, veamos: 6(3) + 9 = 27 por lo tanto 27 = 27 Observa que es más rápido mover términos de un lado a otro si decimos “el número que está sumando, pasa restando al lado contrario; si está restando, pasa sumando; si está multiplicando pasa dividiendo, si está dividiendo pasa multiplicando (recuerda que en el caso de la multiplicación o división el signo se conserva). - 3
= ÷ x el primer número a quitar del lado izquierdo es el 2, como está restando pasa sumando: 3
= ¬ + = x x luego, por la jerarquía de las operaciones puedo pasar cualquier término primero, ya sea 7 o 3, entonces, como 3 está dividiendo pasa multiplicando, recuerda, con su mismo signo: 28 7 ) 3 (
7 = ¬ |
= x x y como 7 está multiplicando, pasa dividiendo, también con su mismo signo, por lo tanto: 4
= ¬ = x x verificamos que el resultado sea correcto sustituyendo dicho valor en la ecuación original: 3
= ¬ = ÷ ¬ = ÷ |
por lo tanto, si cumple. 62 - 3
8 3 7 x + = siguiendo el mismo procedimiento, primero quitaremos el 3 que se encuentra a la derecha a fin de ir dejando solo el término que contiene x; como está sumando pasa al lado contrario restando: 3 3
8 4 8 3 7 x x = ¬ = ÷ por último quitamos el radical, recuerda que la operación contraria de sacar raíz es obtener una potencia; para eliminar la raíz cúbica debemos elevar al cubo de esta forma: ( ) ( ) ( ) 8
8 64 8 64 8 4 3
= ¬ = ¬ = ¬ = ¬
= x x x x x verificando el resultado obtenido: 7 7 64 3 7 ) 8 )( 8 ( 3 7
= ¬ + = ¬ + = y si cumple. 63 Ejemplos 6.1 Encuentra el valor de x que cumpla con la igualdad. a) Para resolver en clase 1. 5 2
2. -5 = 7 – 3x 3. 14 = -2 + 3
4. 11 2 9 = + x 4. 1 7 9 ÷ = ÷ x 5. 4(x-3) – 8(x-6) = 7(x-6) + 34 b) Para resolver de tarea 1. 9(2x-6) – (x+3) = 4x – 18 2. x(x-15) – 3 = (x+6)(x-6) – 18x 3. (x+3)
+ 5 = (x+5) (x-5) + (4-x) 4. 10
13 4 ÷
64 6.2 Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más ecuaciones de la forma: ax + by = c. Su característica principal es que los valores de x y y que sean solución a todo el sistema, tendrán que cumplir con las igualdades marcadas en todas las ecuaciones que conforman el sistema. 6.2.1 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas podemos emplear cualquier de los siguientes métodos: 1. Método de Eliminación (Suma y Resta de Ecuaciones) 2. Método de sustitución 3. Método de igualación 4. Método por determinantes o Regla de Cramer 1. Método de eliminación (suma y resta de ecuaciones) Este método consiste en eliminar una de las incógnita (cualquiera que ésta sea) de tal forma que nuestro sistema se reduzca a una sola ecuación con una incógnita. Ejemplos: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: - 3 7
puedo comenzar numerando mis ecuaciones ) 2 ( 3 7
) 1 ( 8 4
ec y x
Observa que ambas ecuaciones tienen y y –y así que si sumamos la ecuación 1 y 2 podremos eliminar una variable: ec (1) + ec (2): 1 11 11 11 0 11
= ¬ = ¬ = +
65 Y sustituyendo el valor de x en cualquier ecuación tendré que: Sustituyendo x en ec(1): 4 8 4 8 ) 1 ( 4 ÷ = ¬ ÷ = ¬ = ÷ y y y Verificando el cumplimiento de x y y en ambas ecuaciones tendré que: En la ecuación (1): 4(1) - (-4) = 8 ; 4 + 4 = 8 ; 8 = 8 si cumple En la ecuación (2): 7(1) + (-4) = 3 ; 7 – 4 = 3 ; 3 = 3 si cumple - ) 2 ( 2 7 3
) 1 ( 7 4 2
cuando de restar o sumar directamente las ecuaciones no se elimina ninguna variable, lo que puedo hacer es elegir que variable quiero eliminar, y luego multiplicar cada ecuación por el coeficiente de la misma variable en la otra ecuación; luego podré sumar o restar ambas ecuaciones y eliminar alguna variable. ec(1) x 3 + ec(2) x 2: 2
25 2 25 2 0
÷ = ¬ = ÷ ¬ = ÷
Y sustituyendo y en la ec(1): 2
57 2 7 50 2 7
4 2 = ¬ = ¬ = ÷ ¬ = |
÷ + x x x x 66 2. Método de sustitución Este método consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación para lograr una sola ecuación con una incógnita y poder despejar. Veamos uno de los ejemplos anteriores resueltos por este método: - ) 2 ( 3 7
De la ec(1) despejo y: y = 4x – 8 Luego sustituyo en ec(2) y despejo x: 1 11 11 3 8 4 7 3 ) 8 4 ( 7 = ¬ = ¬ = ÷ + ¬ = ÷ + x x x x x x Sustituyo x en el despeje de y = 4x – 8 4 8 ) 1 ( 4 ÷ = ¬ ÷ = y y Ejercicios 6.2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) Para resolver en clase 1. 6 9 4
4. 18 4 3
5. 1 3 4
b) Para resolver de tarea 1. 16 2
2. 21 9
3. 6 9 4
4. 8 3 2
5. 9 2
67 6.3 Las ecuaciones lineales como modelos matemáticos Las ecuaciones pueden servirnos para modelar problemas de la vida real; para ello, debemos pasar la información que tenemos en lenguaje verbal y/o escrito, a un lenguaje matemático a fin de poder encontrar una solución. Para resolver problemas planteados en lenguaje verbal, será útil que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones: 1. Lee el problema con atención e identifica las incógnitas y las cantidades conocidas. 2. Elige las letras que utilizarás para representar las incógnitas en tu problema. 3. Establece una ecuación que relacione los datos que tienes en tu problema. 4. Resuelve las ecuaciones obtenidas en el paso anterior para tus incógnitas. 5. Verifica la solución que obtuviste. Ejemplos: La edad de Gabriel es tres veces la de Carlos. Hace 5 años era cuatro veces la edad del mismo. Hallar la edad de Gabriel. Si designamos como C la edad de Carlos entonces tenemos: - La expresión para la edad de Gabriel actual es: 3C - La expresión que representa la edad de Carlos hace 5 años es: C – 5 - La expresión que representa la edad de Gabriel hace 5 años es: 3C – 5 - La expresión que representa la edad de ambos hace 5 años es: 3C – 5 = 4 ( C-5 ) resolviendo: C C C C C = ¬ ÷ = + ÷ ¬ ÷ = ÷ 15 3 4 20 5 20 4 5 3 por lo tanto, la edad de Carlos es de 15 años y para encontrar la edad de Gabriel: años C Gabriel 45 ) 15 ( 3 3 = = = Hallar 3 números consecutivos cuya suma sea 105: Si denotamos al primer número de la serie como x, entonces el consecutivo será x+1 y el tercero x+2; por lo tanto puedo plantear la siguiente relación: 68 34
105 ) 2 ( ) 1 (
En un juego de salón se vendieron 10000 boletos. El precio de los boletos en la sección numerada fue de $40 y en la general fue de $15; si el ingreso total obtenido fue de $310000. Determínese cuántos boletos se vendieron en la sección numerada y cuántos en la general. Como se aprecia, en este problema intervienen dos variables, la correspondiente al número de boletos en la sección numerada (n) y la respectiva para el número de boletos en la sección general (g). Sabemos que en total fueron 10000 boletos vendidos, por lo tanto: n + g = 10000 Y también sabemos el costo de cada boleto por sección y el total de ingreso obtenido, así que: n(40) + g(15) = 310000 Como puedes ver tenemos un sistema de ecuaciones: ) 2 ( 310000 15 40
) 1 ( 10000
ec g n
Por lo tanto los tres números son: 34, 35 y 36; verificando: 34 + 35 + 36 = 105 105 = 105 y si cumple 69 Resolviendo tendremos: De la ec(1) despejo n y sustituyo en ec(2): boletos g g
90000 25
400000 310000 25
310000 15 40 400000
310000 15 ) 10000 ( 40
Sustituyendo en el despeje de n: boletos n
Se vendieron 3600 boletos en la sección general y 6400 boletos en la numerada. Puedes verificar los resultados en cada una de las ecuaciones para ver que si cumple con lo establecido en el enunciado. 70 Ejercicios 6.3: Resuelve los siguientes problemas planteados: a) Para resolver en clase y para tarea 1. Ana es mayor que Carlos, pero hace 3 años tenía el triple de edad que él. Determina la edad que tiene cada uno de ellos actualmente. 2. Gloria es dos veces mayor que Gina. Dentro de 15 años la suma de sus edades será 105 años. ¿Qué edad tienen actualmente? 3. Hallar tres números impares consecutivos tales que seis veces el mayor sea ocho veces el menor disminuido en dieciocho unidades. 4. La suma de los dígitos de un número natural de dos cifras es 15. Si se invierten sus cifras el número que resulta es 27 unidades mayor que el original. Hallar el número original. 5. Si 12 kilogramos de papas y 6 kilogramos de arroz cuestan $102.00, mientras que 9 kilogramos de papas y 13 kilogramos de arroz cuestan $153.00, ¿cuál es el precio por kilogramo de cada producto? 6. Guillermo invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. El concepto de interés por ambas inversiones totalizó $300.00. Si hubiera intercambiado sus inversiones el ingreso habría totalizado $2940.00. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión? 7. El municipio gasta $120000 en la compra de automóviles y camiones. Si el precio unitario del camión es de $14000 y el del automóvil $9000. ¿Cuántos vehículos de cada clase compraron si se adquirieron 10 vehículos? 8. Un avión avanza con una rapidez de 600 millas por hora con el viento a su favor y con una rapidez de 560 millas por hora con el viento en contra. Calcula la rapidez del viento. 9. 8 litros de gasolina magna y 10 litros de gasolina Premium cuestan $82, mientras que 4 litros de gasolina magna y 7 litros de gasolina Premium cuestan $51 ¿cuál es el precio por litro de cada tipo de gasolina? 10. Se mezcla una solución salina al 40% con otra similar al 80% para obtener 50 litros de solución salina al 60%, ¿cuántos litros de cada una se deben mezclar? 71 6.4 Resolución de ecuaciones cuadráticas. Una ecuación de segundo grado, es llamada también cuadrática con una incógnita y tiene la forma: ax
+ bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0. Tenemos varios casos de estas formas: ax
+ c = 0 ecuación cuadrática pura cuya solución está dada por a
± = si el radicando es negativo, la ecuación no tiene solución; si es positivo; la ecuación tendrá dos soluciones. ax
+ bx = 0 con a y b constantes y diferentes de cero se conoce como ecuación cuadrática mixta cuya solución se obtiene de factorizar: x(ax+b) = 0 e igualar cada término a 0 y encontrar las raíces (soluciones) de la ecuación. La forma ax
+ bx + c = 0 será fácilmente resuelta por factorización de prueba y error o bien por la fórmula cuadrática. El conjunto de raíces de una ecuación cuadrática consta a lo sumo de dos raíces. Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones: - x
+ 7x + 12 = 0 esta ecuación podemos resolverla por el método de prueba y error o bien, por la fórmula cuadrática. Si tomamos la primera opción, tendremos que encontrar 2 números que multiplicados nos den 12 y sumados o restados 7. Si optamos por la fórmula cuadrática el valor de a = 1, el de b = 7 y el de c = 12 y habrá que sustituirlos en la fórmula cuadrática. Por prueba y error vemos que los número buscados son 3 y 4 y la factorización queda: (x+3)(x+4) = 0 recordemos que para que la multiplicación de dos números nos dé 0 por lo menos uno de ellos tiene que valer 0; por lo tanto cada factor lo igualamos a 0: 4 0 4
÷ = ¬ = +
Por lo tanto, hemos encontrado las dos raíces de x. 72 - x
+ 6x = 0 podemos observar que tenemos como factor común a x, por lo tanto podemos factorizar de la forma: x(x+6) = 0 al igual que en el ejemplo anterior, igualamos los factores a 0, de lo cual llegamos a: 6 0 6
– 98 = 0 como no podemos factorizar la expresión anterior lo que hacemos es dejar sola a x, por lo tanto: 7
Ejercicios 6.4 Encuentre el valor de la literal en las siguientes ecuaciones: a) Para resolver en clase y de tarea 1. 2x
-14x = 0 2. x
– 3x – 10 = 0 3. x
+ x – 20 4. x
– 3x – 18 = 0 5. x
+ 3x – 4 = 0 6. x
– 7x – 18 = 0 7. 2x
– x – 21 = 0 8. x
+ 6x – 16 = 0 9. x
– 8x – 20 = 10. -3x
+ 2x – 9 = 0 11. 5x
– 12x + 3 = 0 12. 3x
+ 17x – 28 = 0 73 6.5 Las ecuaciones cuadráticas como modelos matemáticos. A continuación se incluyen una serie de problemas de planteo que involucran ecuaciones cuadráticas. Ejemplos: El producto de dos número enteros pares consecutivos es 360. Encuentra el número mayor. Si consideramos a x como el número menor, entonces el segundo número será x+2 y: 20 20
) 360 )( 1 ( 4 ) 2 ( 2
360 ) 2 (
Verificando los valores: Para x
= 18, el número mayor sería x+2 = 20 y: (18)(20) = 360 360 = 360 y si cumple Para x
= -20, el número mayor sería x+2 = -18 y: (-18)(-20) = 360 360 = 360 también cumple 74 Ejercicios 6.5 Resuelve los siguientes problemas de planteo que involucran ecuaciones cuadráticas: Para resolver en clase y de tarea 1. El largo de un rectángulo mide 6 m más que su ancho. Si su área es de 280 m
encuentra sus dimensiones. 2. José es 4 años mayor que Luis. Si el producto de los número que expresan sus edades en años es 525 ¿cuál es la edad de cada uno de ellos? 3. Jaime es 3 años más joven que Juan. Si el producto de los números que expresan sus edades es 88 ¿Qué edad tiene cada uno de ellos? 4. Don Gabriel es cuatro veces mayor que Héctor si el producto de los número que expresan sus edades es 256 ¿Cuál es la edad de Héctor? 5. El Sr. Rodríguez es 5 años más viejo que la Sra. Rodríguez, si la suma de los números que expresan los cuadrados de sus edades es 1525 ¿Qué edad tiene cada uno? 6. El largo de un rectángulo dado mide 2m más que su ancho, si el área es de 120 m
determina sus dimensiones. 75 ORGANIZACIÓN DE TEMAS POR SESIONES UNIDAD y TEMA SEMANA SESIÓN I. TIPOS DE NÚMEROS Y SU REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA. 1.1 Algunas clasificaciones de los números 1 1 1.2 Representación de los números reales en la recta numérica 1 1 II. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RACIONALES. 2.1 Algunos aspectos a recordar 1 1 2.2 Simplificación de fracciones 1 2 2.3 Suma y Resta de fracciones 1 2 y 3 2.4 Multiplicación y División de fracciones 2.4.1 Multiplicación de fracciones 1 3 2.4.2 División de fracciones 1 4 y 5 III. POTENCIAS Y RADICALES 3.1 Potencias 2 6 3.2 Propiedades de los exponentes 2 6 y 7 3.3 Radicación 2 8 3.4 Exponente fraccionario 2 8 3.5 Propiedades de los radicales 2 9 3.6 Descomposición en factores dentro de un radical 2 9 y 10 3.7 Racionalización 3 11 IV. OPERACIONES CON POLINOMIOS 4.1 Definiciones 3 12 4.2 Lenguaje algebraico 3 12 4.3 Términos semejantes 3 12 4.4 Suma y Resta de polinomios 3 13 4.5 Multiplicación de polinomios 3 13 4.6 Productos Notables 3 14 y 15 4.7 División de Polinomios 3 y 4 15 y 16 76 V. FACTORIZACIÓN 5.1 Factorización de polinomios cuando todos sus términos tienen un términos semejantes 4 17 5.2 Diferencia de cuadrados 4 17 5.3 Trinomio cuadrado perfecto 4 17 5.4 Factorización de trinomios de la forma x
+ bx + c 5.4.1 Factorización prueba y error 4 18 5.4.2 Factorización por fórmula cuadrática 4 18 5.5 Factorización de suma y diferencia de cubos 4 18 5.6 Factorización por División Sintética 4 19 y 20 VI. ECUACIONES 6.1 Resolución de ecuaciones con una incógnita 5 21 6.2 Sistemas de ecuaciones lineales 6.2.1 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 5 22 y 23 6.3 Las ecuaciones lineales como modelos matemáticos 5 23 y 24 6.4 Resolución de ecuaciones cuadráticas 5 y 6 25 y 26 6.5 Las ecuaciones cuadráticas como modelos matemáticos 6 27 y 28 Carretera Irapuato – Silao Km. 12.5 Irapuato, Gto., México Tel (462) 60 67 900 www.itesi.edu.mx Contenido
I. TIPOS DE NÚMEROS Y SU REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NÚMÉRICA. ....................................... 3 II. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RACIONALES........................................... 6 III. POTENCIAS Y RADICALES ......................................................................................................... 18 IV. OPERACIONES CON POLINOMIOS ........................................................................................... 34 V. FACTORIZACIÓN....................................................................................................................... 51 VI. ECUACIONES ........................................................................................................................... 60 ORGANIZACIÓN DE TEMAS POR SESIONES ................................................................................... 75
I. TIPOS DE NÚMEROS Y SU REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NÚMÉRICA.
1.1 Algunas clasificaciones de los números. Existen diversas clasificaciones de los números de acuerdo a sus características, recordemos algunas de éstas: Los números naturales son los que nos sirven para contar: 0, 1, 2, … este conjunto de números se expresa como N. Los números enteros incluyen a los números …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. es decir, los enteros negativos y positivos; este conjunto se denota como Z. Tal como los números naturales son necesarios para el proceso de contar, los números racionales resultan útiles a la hora de medir (áreas, longitudes, pesos, tiempo, etc.). Su característica principal es que son números que pueden a representarse como la razón (división) de dos números enteros ejemplos de b 1 3 8 este tipo de números son: , , , etc. Siempre y cuando b no tome el valor de 2 7 11 0. Este conjunto se denota por la letra Q. En los ejemplos anteriores, podemos decir que la fracción es propia por que el numerador es menor que el denominador.
3 7 9 , , , etc. Son fracciones impropias ya que el numerador es 2 3 4 mayor que el denominador.
En casos como Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como la razón de dos números, ejemplo de ellos son los números π, 2 , 7 , etc. Por último, el conjunto de los números reales abarca todos los tipos de números anteriores naturales, enteros, racionales e irracionales; a este grupo de números se le denota como R.
En otro ejemplo. A la derecha de este origen.
.1 se pueden apreciar la posición de los números naturales y los enteros. denotado por 0.1. matemáticamente representamos esto como 3 > 2 o bien: 2 < 3 que se lee 2 es menor que 3. de la Figura 1. a la izquierda encontraremos todos los números reales negativos. racionales e irracionales) por el contrario. debemos ver que entre ellos también se encuentran los racionales y los irracionales. esta representación la llevamos a cabo mediante el trazo de una línea recta.2 Representación de los números reales en la recta numérica.2 el número 3 es mayor al 2 ya que se encuentra a la derecha de éste. la representación matemática de este hecho es -3 > -4 o bien. veamos la siguiente figura:
Recordemos que al comparar dos números. -3 es mayor que -4 por la misma razón de encontrarse a la derecha de éste en la recta numérica.2. por ejemplo. En la siguiente figura podrás observar lo que se ha comentado:
En la figura 1. sin embargo. el que se encuentra a la derecha es el mayor y el de la izquierda es menor. eligiendo un punto de ella como el origen. Podemos representar cualquier número real en la recta numérica. -4 < -3 que se lee: -4 es menor que -3.2. se encuentran todos los números positivos (enteros.
1 . -5/2 . 1/5.Ejercicios 1. -2/9. 3. 6 . -1/15.3/4 .3333 b) -1/7. 2/5
.1 Para realizar de tarea Representa en la recta numérica los siguientes puntos y ordénalos de mayor a menor: a) 1. -3. 2. 2/3 . 9/7 c) 1/15.141920. .15. e.5. π. -0.
recordemos que podemos utilizar los siguientes elementos: ( ). En caso de presentarse diversos signos de agrupación en una expresión. comenzaremos de adentro hacia afuera realizando primero operaciones entre paréntesis. Las operaciones también siguen una línea de jerarquía. diversas operaciones se combinan en una sola expresión. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RACIONALES.
. Con frecuencia. luego multiplicaciones y divisiones y al final sumas y restas. En la suma de dos números con signo diferente.
2. ello nos indica que en primer lugar deberemos realizar las operaciones que se encuentran entre dichos signos y después realizar las demás operaciones indicadas. luego entre corchetes. Las reglas de los signos son: Producto (+) (+) = + (+) (-) = (-) (+) = (-) (-) = +
 15  30  15 13  (2)  11
División (+) / (+) = + (+) / (-) = (-) / (+) = (-) / (-) = +
4. Al sumar dos o más números reales de igual signo. { } y | | en este orden de jerarquía. Ejemplos:
5  (10)  5  8  (3)  5
3. en estos casos. primero llevamos a cabo potencias. Cuando una operación se encierra entre signos de agrupación. 1. Ejemplos:  3  (4)  7 3 2  5  9  (10)  19 6  9  15 2.
5. llaves y al final entre barras.1 Algunos aspectos que tenemos que recordar. los signos de agrupación son muy útiles.II. [ ]. restamos el valor absoluto (sin signo) de estos números (mayor menos menor) y al resultado ponemos el signo del número mayor. se suman sus valores absolutos (sin signo) y al resultado ponemos el signo común a dichos números.
Ejemplos: 4 = ( 2 ) ( 2) Ya no podemos descomponer más ya que 2 es número primo. O bien: 20 = ( 5 ) ( 4 ) = ( 5 ) ( 2 ) ( 2 ) Basándonos en el mismo razonamiento.6. 20 = ( 10 ) ( 2 ) = ( 5 ) ( 2 ) ( 2 ) Primero descomponemos 20 en 10 x 2. 4 es un número compuesto de (2)(2). 4 no es primo y podemos seguir descomponiendo.2 Simplificación de fracciones. En muchas ocasiones. por lo tanto. 2 es número primo. así llegamos a la misma descomposición por factores de 20. 10 no es número primo. Podemos representar cada número como el producto de sus factores (números primos). Observemos lo siguiente: Ejemplo 1 Vamos a simplificar la siguiente fracción:
8 = ( 4 ) ( 2 ) = ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) Primero descomponemos al 8 en sus factores 4 y 2.
Nota: Se llaman números primos aquellos que solo son divisibles entre sí mismos y entre la unidad. ya no podemos seguir descomponiendo. por lo que podemos seguir descomponiendo en 5 x 2 que son números primos y ya no podemos descomponer más. como 4 no es número primo aún podemos seguir descomponiendo en 2 x 2 y al final. Por ejemplo. al realizar operaciones con números racionales obtenemos resultados que pueden ser simplificados. Esta simplificación puede llevarse a cabo si descomponemos cada número que compone la fracción (numerador y denominador en sus diversos factores y observamos alguno en común para los dos). la factorización de 20 es (5)(2)(2).
2. luego. Los números que no son primos se llaman números compuestos.
Observa que hubiera sido lo mismo si nos hubiéramos quedado en el tercer paso.
Nota: Recuerda que podemos eliminar estos términos solamente porque éstos se encuentran multiplicando. como tenemos un 2 arriba y abajo podremos eliminarlos y el resultado son los factores que quedan sin haberse eliminado. podemos eliminar 3 términos 2 tanto de arriba como abajo. y lo que nos queda es multiplicar en el numerador para expresar el resultado. pueden eliminarse y la fracción que nos queda es 2/3.
.14 (7)(2) 2   Observemos que tanto el numerador como el denominador fueron 21 (7)(3) 3 descompuestos en sus diferentes factores.  o bien  .etc. sin descomponer el 4 en factores. si hubiera un signo + o menos entre ellos. 73 3 73 3 Ejemplo 2: Simplifiquemos la siguiente fracción:
32 (16)(2) (8)(2)(2) (4)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2)(2) (2)(2) 4       Se muestra la 40 (20)(2) (4)(5)(2) (2)(2)(5)(2) (2)(2)(5)(2) 5 5 descomposición en factores tanto de 32 como de 40. como el 7 se encuentra arriba y abajo. esto no 72 2 72 2 hubiera podido llevarse a cabo.
Ejemplo 3: Simplifica ahora esta fracción
26 (13)(2) 13   Observa que nos quedamos hasta este paso ya que no 38 (19)(2) 19 podemos descomponer en más factores puesto que ya todos son números primos. observemos que al final.
b) Para realizar de tarea.
3. Simplifica las siguientes fracciones: 1. Simplifica las siguientes fracciones: 1.
5.2 a) Para resolver en clase.Ejercicios 2.
. lo único que tendremos que hacer es sumar o restar los numeradores y el denominador seguirá siendo el mismo. por lo tanto. el 11 11 11 11 11 11 denominador se mantiene. el resultado es simplemente la suma de 8 + 4. etc. puesto que es el mismo en cada fracción y lo único que hacemos es sumar o restar los numeradores según sea el caso.
ii) Fracciones no homogéneas son aquellas fracciones cuyo denominador es 2 1 4 diferente. .
4 1 15 11 15  11 4     y simplificando: (4)(2) 2 8 8 8 8
2 8 14 2  8  14 24 24 (8)(3)      8 o bien puedes verlo así:  8 3 3 3 3 3 3 3
13 4 2 1 13  4  2  1 16      observa que el procedimiento es el mismo. por ejemplo: .. etc.2.. .. En estos casos.. o . el denominador sigue siendo el mismo. . la suma o resta de fracciones entre estas fracciones es muy sencilla. podemos encontrar dos casos: i) Fracciones homogéneas son aquellas fracciones cuyo denominador es el 2 7 11 1 7 14 mismo. así queda. . . por ejemplo: . . encontrarás en diversos libros 5 3 7 que se manejan diferentes formas de llevarlas a cabo. probablemente las más rápidas podrían ser: a) Que cambiemos nuestras funciones a homogéneas.
.3 Suma y Resta de Fracciones En el caso de suma y resta de fracciones. . la fracción ya no es reducible. ya en el segundo paso.. En el caso del resultado. Ejemplo 1:
8 4 8  4 12 Observa en el primer paso solamente sumamos los    7 7 7 7 numeradores y el denominador pasa igual. 5 5 5 3 3 3 En estos casos.
obtenemos una suma de fracciones homogéneas que es fácilmente resuelta. procedo a multiplicar los denominadores (9) (7) = 63 y pongo este número como denominador. lo multiplico por el numerador de esa fracción y lo paso a la parte de arriba.
b) La segunda forma de llevar a cabo nuestra suma o resta de fracciones es: Multiplicar todos los términos de los denominadores y ponerlos como denominador.
4 2   Continúo y tomo ahora el 63 y digo: “63 entre 9 es 7”. y multiplico este 9 7 63 valor por el numerador de la fracción en cuestión.Ejemplo 1. por lo 9 7 tanto. paso con la segunda fracción y diré: 63 entre 7 es 9 y 9 por 2 es 18. puedo multiplicar una función (arriba y abajo) por el denominador de la segunda fracción y la primera también multiplicarla arriba y abajo por el denominador de la segunda. Luego. Hago el mismo procedimiento con cada fracción que yo esté sumando o restando. así: 4 2 28    continuando. poniendo el resultado como el primer término de mi suma en el numerador. una suma entre estas fracciones. sin 5 2 embargo. tomar el denominador y dividirlo entre el primer denominador. voy poniéndolas arriba con su respectivo signo y al final sumo o resto los numeradores según sea el caso. Para terminar. así: 3 2 7 5 6 35 41 Al multiplicarse ambas fracciones por el denominador       5 2 2 5 10 10 10 contrario. lo coloco en el segundo término a
4 2  Notamos que estas fracciones no tienen el mismo denominador.
3 7  al ser fracciones no homogéneas. pongo el + después del 28 ya que eso es lo que estoy 9 7 63 haciendo. Al resultado anterior. que en este caso es 4. no puedo sumar directamente.
  9 7 63
El procedimientos para 3 o más fracciones será el mismo. multiplicando por su numerador.
.sumar en mi numerador. quedando de ésta forma: suma resultante es:
4 2 28  18 finalmente. Ejemplo 3:
2 5 9 el denominador resulta de multiplicar (7)(3)(2) y entonces divido el    7 3 2 42 42 entre cada denominador. el resultado quedará así. así queda mi resultado. la   9 7 63
4 2 46 como no puedo simplificar. puesto que 107 es primo y no hay factores con 42. así: 2 5 9 12  70  189  107 y el resultado final será : como esta fracción ya no    7 3 2 42 42 puede simplificarse.
el segundo día.3 a) Para resolver en clase: Realiza las siguientes sumas y/o restas de fracciones. 
4 5 7   9 7 4
6 1 3 4    5 2 9 7
2. Hallar el perímetro de un terreno con forma de rectángulo cuya base mide 6 15 m. Hallar la distancia que una peregrino recorre durante 4 días. su recorrido fue 3 km. el tercer día caminó la 2 8 3 misma distancia que el primero y el cuarto día logró avanzar 3 km.
2. 5 m y de altura tiene medidas de 7 7 7.Ejercicios 2.
7 9 1 5    5 2 3 4
1 1 3   12 9 8
1 3 5   12 12 12 4 5 7 7 4. 5  3  5  3 5 2 9 7
6. si el primer día 1 5 cubrió 4 km.
5 7 50 1 3     17 17 17 17 17
3. simplifica la fracción resultante.    11 2 3 4
1. b) Para realizar de tarea: 1. 4  2
6 1 7 4 5. 4
. en los casos en los que puedas hacerlo.
2. Así pues. 2.4 Multiplicación y División de fracciones. ya la posición que tiene el 3 es de multiplicar. lo único que tenemos que hacer es multiplicar los numeradores y el resultado ponerlo en la parte del numerador de la fracción final.4. el recíproco de 2 es . para el dos es que está multiplicando y su inverso es que esté dividiendo. dependerá del que te parezca más conveniente: i) Multiplicar por el recíproco El recíproco de un número es la unidad dividida entre este número. el primer camino a seguir para realizar una división de fracciones es que multipliquemos la fracción a la que se está dividiendo por el recíproco de la fracción que la está dividiendo. el 2 3 recíproco de es observa que 3 está dividiendo su contrario es estar 3 2 multiplicando.       9  7  (9)(7) 63
Ejemplo 2: Realizar la siguiente operación:
112 56  2 56  8  2  7  8  2  7 112  simplificando: que es mi resultado        66 2  33 33  3  11  2  3  11  2 66 final. el 1 recíproco de 3 es . Para dividir fracciones existen dos caminos.2. por lo tanto su 3 1 1 1 posición contraria es la de dividir. el de es 2 7 5 5 (ya que 5 está dividiendo. luego. así queda.
. Nota: Cuando a un número lo multiplicamos por su recíproco.1 Multiplicación de fracciones La multiplicación de dos o más fracciones se lleva a cabo de una forma muy sencilla. entonces su posición contraria es multiplicando). el de 7 es . por ejemplo.2 División de fracciones.4. Ejemplo 1: Realizar la siguiente operación:
 2  5  (2)(5) 10 como el resultado no se puede simplificar. el resultado es 1. multiplicar denominadores y el resultado ponerlo como denominador de la fracción final.
Así pues. que en este caso por ser 4 se convirtió en 1/4.
.Ejemplo 1: Realizar la siguiente división de fracciones:
8 5   8  3  Observa que el recíproco de 4/3 es 3/4 por lo tanto es por este último    4  5  4  3 número por el que debemos multiplicar. en este caso 3/4 se mantiene igual. el resultado es: 8 5   8  3   8  3  24  6    4  5  4  5  4 20 5 3
Ejemplo 2: 3 4   3  1   3 es importante que visualices que al numerador de la función no lo    4  4  4  16 cambiamos. el único cambio se da en el denominador.
4 9 aplicamos la Ley de los Medios y los Extremos y tenemos lo siguiente: 8 7  8  9  72 simplificando la fracción tenemos que el resultado es: 18 4 7  4 28 7 9
El mismo resultado será obtenido si multiplicamos por el recíproco de 4/9 que es 9/4:
8 7  8  9  72  18 4 7 4 28 7 9
. los extremos serán 8 y 3 y su multiplicación que es 24 la colocaremos arriba.
Ejemplo 1.ii) Utilizando la Ley de los Medios y los Extremos Esta ley dice lo siguiente “Medios por medios y van abajo. así el resultado será el mismo  20 5 que el obtenido anteriormente (ejemplo 1). el denominador queda formado por la multiplicación de los medios 5 24 6 y 4. extremos por extremos y van arriba” en la siguiente figura podemos ver qué partes de nuestras fracciones se consideran como los medios y cuales como los extremos: Según esta Ley. Resuelva la siguiente división entre fracciones:
8 7 identificando como extremos a 8 y 9 y como medios a los números 7 y 4. por otro lado.
   2   4 3  2
 5  7 2. De una pieza de tela. Un pintor puede pintar una pared a una rapidez de 7 m2 por hora. Una persona camina a razón de 1 km por hora durante 2 6 horas. Si tuviéramos 60 litros de agua purificada y quisiéramos llenar botellas que 3 tienen una capacidad de litro ¿Cuántas botellas podríamos llenar? 5 3 5. ¿Cuántos m2 de superficie pintan entre los dos 5 en dos horas? 6.Ejercicios 2. 3    2    4  2
2 3. 12 
2 5 7  5. ¿Qué 7 5 distancia recorrió durante este tiempo?
 7  2  1  1  4           3  9  3  3  7 
15 11  4 2
2.       3  3 7 8 
b) Para realizar de tarea
1 2  13 1.
5  1  2 7       7  2  3 2 
3. un comerciante vende resto ¿Cuántos metros de tela le quedaron?
1 3 de ella y luego vende del 7 8
. otro pintor lo 4 2 2 hace a razón de 2 m por hora.4 a) Para realizar en clase Realiza las siguientes operaciones: 1.
pongo la base y como superíndice el exponente..III. Así pues. (am) (an) = am+n
. el resultado que es 8 se conoce como la potencia. POTENCIAS Y RADICALES
3. 1.  y hasta haber multiplicado n veces el número y. Ejemplo 3: y n  y  y  y  . entonces esta operación se puede expresar como una potencia.2 Propiedades de los exponentes En los siguientes ejercicios entenderemos a x y y como números reales y a los valores m y n como números enteros. si un mismo número se multiplica varias veces. Cuando multiplicamos la misma base con exponentes diferentes. entonces..
Ejemplo 2: x 4  x  x  x  x es decir. La base queda igual y sumamos los exponentes. dicho esto puedo expresar 2 x 2 x 2 como 2 3.1 Potencias La potencia es el resultado que se obtiene cuando se multiplica tantas veces un número (al que se le denomina base) como lo indique otro número (al que se le conoce como exponente). el número que estoy multiplicando es la base y las veces que lo estoy haciendo es el exponente. estoy multiplicando 4 veces el mismo número x.
Ejemplo 1: Si multiplicamos 3 veces 2 por él mismo tendremos: 2 x 2 x 2.
una vez que tenemos una fracción única
2  34   2   
2 4 16  3 4 81
53 1  1  4     2   Observa que en este caso primero tuvimos que   3 2 2   2  hacer la suma de fracciones ya que el signo + no nos permite aplicar término a término el exponente. así que primero elevamos 2 a la 4 y 3 a la 4 y al final multiplicamos estos resultados. luego. sin embargo. Bases diferentes que se multiplican o dividen elevadas a un mismo exponente. En los casos exclusivos de multiplicación y división en los cuales dos términos se elevan a una potencia es válido aplicar la potencia a cada término.Ejemplos:     
5 6  53  5 63  59  1953125 36  32  33  36 23  311  177147
7 3  7 5  7 4  7 6  7 35 46  718
x 3  x 5  x 4  x 35 4  x12
y m  y n  y 2  y m n 2
2. elevamos a la potencia 4. si aplicamos la propiedad mencionada anteriormente tenemos:
2  34  64  1296
2  34  2 4  34  16  81  1296 recuerda que en este caso. primero debemos
desarrollar potencias y luego multiplicar por la jerarquía de las operaciones.
x  y 
Ejemplos: 
x y
 x xn    n  y y  
lo que se hizo aquí es primero realizar la multiplicación que se encuentra dentro del paréntesis.
En los casos en que dividimos una base elevada a un exponente entre la misma base pero elevada a un exponente diferente como se muestra a continuación:
xm  x mn xn
Lo anterior obedece a la definición de que tendremos:
1  x  n por lo tanto. queda la misma base pero los exponentes se multiplican. así:
nm
y
n p
m p
 xn  m y 
 x n p   m p  y 
Ejemplos:  23 
  2 2 3  5   3   5 
4 34 12
 (333 )(5 23 )  (39 )(5 6 )
 47   5 3 
 4 77 4 49   57  35  3 3 
4.aplicamos el exponente a cada término. Cuando tenemos divisiones de la misma base elevada a una potencia diferente. si aplicamos esto xn
x m  x  n  x mn recuerda la multiplicación de las mismas bases a potencias diferentes. ¡nunca te olvides que solo podemos aplicar el exponente término a término en multiplicaciones y divisiones!
Así mismo. Cuando tenemos una base elevada a un exponente y todo esto elevado a otro exponente. En situaciones como esta.
1  x (  n )  x n n x
510  510  5 7  5107  5 3 57 28 28   6  2 8  2 6  2 86  2 2 Observa que 64 fue expresado como una potencia 64 2 de 2. es decir 26.
. o  1001 40 bien. 401001  4010011001  40 0  1 Recuerda que todo número elevado a la 0 da 1. todo número dividido entre él mismo da como resultado la unidad.
remueve los exponentes negativos en donde se presenten.1.
1000 3  1000 5  100010
1000  1000  10006
        
.   5  x  4  y 6 
      x 7 y 5 x  6 y 8  5.    1024 
 3 x2  y3 3. resuelve los siguientes ejercicios y calcula su potencia.  3 2   x  y 
2  x 3  x 6  x 5 3  x 4  x 8  x 5
b) Para resolver de tarea: Aplicando las leyes de los exponentes.
 x3  x5  y3 2.
5 9  5 3 1. remueve los exponentes negativos en donde se presenten.  2  y  y3  x7 
 x 2  y 3 3. resuelve los siguientes ejercicios y calcula su potencia.Ejercicios 3. 2   5    x 1     y  2 y 8              
 32  2.1 a) Para resolver en clase: Aplicando las leyes de los exponentes. (2 2 )(2 4 )(2 2 )(2 4 ) 4.
donde n es el exponente. porque si multiplicamos en dos ocasiones 2 llegaremos de nuevo al 4: 2 x 2 = 4. Ejemplo 3. al que se le llama radicando (X) le aplicamos un radical n donde n es el índice de la raíz (que nos indica cuantas veces deberemos multiplicar el resultado para volver al radicando) y llegamos a un número a (raíz n-ésima) que será aquel que en potenciación conocemos como base. Este tipo de radicales merece un estudio especial y lo verás en los temas de números complejos que por el momento no estudiaremos aquí. también 4  2 porque si multiplicamos en dos ocasiones a -2 llegaremos de la misma forma al mismo radicando: -2 x -2 = (-)(-)(2)(2) = 4. Ejemplo 1:
4  2 cuando el índice del radical no se exhibe. pero el signo del radicando es negativo. Nota: Cuando el índice del radical es par y el signo del radicando es positivo. porque no podemos encontrar ningún número real que cumpla con lo anterior. llegar a un número resultante llamado potencia. la radicación consiste en que a un número.
. diremos que la raíz no existe. en cambio. multiplicada n veces. por lo tanto.
8  2 porque si multiplico en 3 ocasiones al número 2 obtendré: 2 x 2 x 2 = +8.
Nota: Si el índice del radical es par. así: 4  2 . tendremos dos raíces como resultado. si multiplico en 3 ocasiones -2 obtendré: -2 x -2 x -2 = -8 por lo que concluimos que en estos casos obtenemos solamente 1 resultado. Recordemos que la potenciación consiste en que a partir de una base.
¿  4  2 ? o ¿  4  2 ? Observa que en ninguno de los casos la multiplicación en dos ocasiones de alguno de los términos me produce -4: 2 x 2 = +4 y -2 x -2 = +4.3 Radicación La radicación es la operación contraria a la potenciación.3. se entiende que éste es 2. entonces. raíz cuadrada de 4 es dos. Pues bien.
Nota: Si el índice de la raíz es impar y el número del radicando es positivo o negativo. así se queda el resultado.4 Exponente fraccionario Todo radical se puede expresar también como un exponente de la siguiente forma:
1 ( m )( ) n
100 8  100 4  100 2  10000
3  3 como no podemos simplificar la fracción del exponente. Ejemplo 4.
. obtenemos una sola raíz con el mismo signo que el del radicando.
 125  5 por que (-5)(-5)(-5) = (-)(-)(-)(5)(5)(5) = -125
2.Ejercicios 3.
3. En los casos donde sea necesario simplifica el exponente. 6
b) Para realizar de tarea: Expresa en forma de radical los siguientes términos con exponentes fraccionarios.4 a) Para realizar en clase: Expresa en forma fraccionaria (simplificada) los siguientes radicales: 1.
3 3 4. 7
en el caso de 8 es potencia de 2. Radicación de una fracción. así que se representa así y al aplicar esta propiedad.
.3.5 Propiedades de los radicales Existen diversas propiedades que debemos observar en cuanto a los radicales. Multiplicación de radicales que tienen el mismo índice.
x n  x n  x1  x
8  3 2 3  2 3  2 El ejemplo ilustra cómo se representa un número como potencia de otro.
100100  100 100  100
2. Cuando el índice de la raíz y el exponente del radicando son iguales. Cuando multiplicamos diferentes bases. pero con el mismo radical entonces:
x  n y  n xy
Ejemplos:  
3  3  3  3  9  3 o bien:
3  3  3 3  3
1 1  2 2
2 4  3 5 4  3 2 5
3. el resultado es 2.
Radicación de otro radical.
 x x  
1 1 1   n m nm  x x  nm x  
9 24  34 9 24  12 9 24  9 12  9 2  81
 24  3  9 4   96    
63 29
 9 3  9 2  81
11 
 11  11  11
x8  y 16
x8 y 16
215 5 215 2 5 2 3 8   10  2  9 310 5 310 3 35
4. Existen ocasiones en que se aplican radicales a radicales. en estos casos el radical se conserva y el índice toma el valor de la multiplicación de los índices de cada radical.
2.5 a) Para realizar en clase:
x5 5    4 2
 3  5 
 x3   12  y   
 1 6 m4 p     
100  (100 )
3.Ejercicios 3.
 1 2 x3 y     
b) Para realizar de tarea:
 2   m3  m 10  5  p4   
3.  8  4 x 16 y 20   
3   100  2   
4 x y   5.
luego. la expresión puede simplificarse. Ejemplo 2:
810  4 (2)(3)(3)(3)(3)(5)  4 (2)(5)(3 4 )  4 (2)(5)  4 3 4  34 10
50  25  2 
5   2 
52  2  5 2
descomponer a 25 en sus factores.6 Descomposición en factores dentro de un radical Existen ocasiones en que al descomponer el radicando en factores. nos dimos cuenta que 25 era una potencia de 5 y lo expresamos entonces como 5 al cuadrado. por lo tanto. al aplicar la raíz (cuyo índice coincide con el exponente) el exponente quedó como 1. Lo que tenemos que hacer es descomponer el radicando en sus factores primos y observar si podemos expresar alguno en función de un exponente común al índice de la raíz.
3. 1.Ejercicios 3. 1. 11025
b) Para realizar de tarea Utiliza la descomposición en factores para simplificar el radicando de los siguientes ejercicios.
5. 4 112
4.6 a) Para realizar en clase Utiliza la descomposición en factores para simplificar el radicando de los siguientes ejercicios.
7 Racionalización Racionalizar quiere decir quitar radicales del denominador.
x Observa que la cantidad de ½ la pusimos como exponente x
el exponente de y es 1/3. debemos ver que el exponente es ½ y buscar alguna cantidad que sumarle a ½ para que el resultado me dé 1 entero. se tiene un exponente
x fraccionario que es equivalente. esto se hizo para poder aprovechar la propiedad de que en multiplicación de mismas bases los exponentes se suman. por lo que para alcanzar el próximo número
entero deberé sumarle 2/3. Este principio será utilizado en el proceso de racionalización. si bien cambia a otros números. Para llevar a cabo la racionalización de un número. la cual nos dice que el valor de un número racional no se altera si se multiplica tanto el numerador como el 3 2 6 denominador por alguna cantidad. Como multiplicamos abajo. por lo tanto. En matemáticas los resultados los expresamos sin exponentes negativos y sin radicales en el denominador. Por ejemplo:   nota que multiplicamos 4 2 8 arriba y abajo por dos. por lo que multiplico por:
x x x de la misma base que queremos racionalizar. yo sé que esta cantidad es ½. siempre que podamos deberemos eliminar estos dos elementos. por lo que no se altera la fracción. debemos multiplicar arriba por el mismo término para que la fracción no se vea alterada. debemos primeramente recordar una propiedad de los números. puedes checar con tu calculadora que el resultado de ambas divisiones 3/4 y 6/8 es exactamente la misma.3. Ejemplos: Racionalizar los siguientes números: 
notamos que si bien no se tiene un radical.
y hemos eliminado el radical del denominador (exponente
fraccionario)
y4 px
nota que el exponente de x en el denominador pasó el 1 (9/7 = 1. Así :
x y px 7
9 5  7
x y4 y el radical ha sido eliminado px 2
.2857)
por lo tanto. el próximo número entero a alcanzar será 2 y para lograr este valor debo sumar al exponente 5/7 para obtener el resultado de 2.
b) Para realizar de tarea Racionalizar las siguientes fracciones y simplificar cuando sea posible
x 9 y 3 z3
3. 3 25
2y 3 x4 x 7
10 2.7 Racionaliza los siguientes números: a) Para realizar en clase
x 3 y 11 x y
Entre los elementos que componen a un término distinguimos al signo que le precede (véase figura 4. se utilizan letras del alfabeto para representar cantidades conocidas o desconocidas.1 Definiciones En álgebra.
4. OPERACIONES CON POLINOMIOS
4.1 el grado es 2. Cualquier expresión que contenga una o varias operaciones algebraicas se llama expresión algebraica. siendo ésta última representada por una letra y representa algún valor (conocido o desconocido). 1/2 x1/2. es muy común que para solucionar algún problema sea necesaria una expresión algebraica. potenciación y radicación. 2x2 + 5y7 . las operaciones utilizadas son las que ya hemos manejado anteriormente: suma. división. divisiones. resta. además de utilizar números concretos.1. así pues.IV. potenciación y radicación. el grado de un término es la suma de los exponentes de las literales que contiene. Por último. 4x2 .1) éste dirá si el término es positivo o negativo.2 Lenguaje Algebraico En álgebra. otros. otros. Un término algebraico es una expresión compuesta por números concretos y letras que representan también números que se relacionan entre sí por operaciones como multiplicaciones. Ejemplos de estas son: 3x + y .1. También tenemos al coeficiente que no es más que un número que multiplica o divide al valor de la literal. para el término de la figura 4.
. dicha expresión pasará toda la información que tenemos en el problema real a una forma matemática para poder trabajar con ésta. multiplicación. (3x+2)(4x-3). En esta rama. Ejemplos: 3x .
2 a) Para realizar en clase Escribe una expresión algebraica que represente cada uno de los siguientes enunciados: 1. Una séptima parte del producto de dos números 2. Dos octavas partes de la suma de dos números.
. El cubo del producto de cuatro números.Ejemplos: Enunciado en forma verbal Enunciado expresado en notación algebraica 2x x-y 3 x 1 x 2 3x . Un tercio de un número que está disminuido en tres. 4.4
El doble de un número La diferencia de dos números La raíz cúbica de un número La mitad de un número El triple de un número disminuido en cuatro Enunciado expresado en notación algebraica x3  y3 m + p2 zx2 5(x+y)
Enunciado en forma verbal La suma de dos cubos Un número más el cuadrado de otro Un número por el cuadrado de otro El quíntuple de la suma de dos números Las dos terceras partes del cubo de un número
Ejercicios 4. 3.
4. El quíntuple de la suma del producto de dos pares de números. Cinco veces el cubo de un número aumentado en 7. El producto del cubo de un número por la diferencia de otros dos. Término Algebraico Coeficiente Numérico Parte Literal Exponentes de la parte literal Grado
 32 x 3 y 2 6x-2y3z6 -4x4m5
II.5. 6. Escribe una expresión algebraica que represente cada uno de los siguientes enunciados: 1.
. I. b) Para realizar de tarea. Rellena la siguiente tabla identificando cada elemento faltante. El producto del cuadrado de un número por la suma de otros dos. El cuadrado de la tercera parte de un número sumado a otro. 3. El doble de un número aumentado en siete. La cuarta parte de la raíz quinta de un número. El doble de un número que está aumentado en siete. 6. 7. El triple del cuadrado de un número disminuido en siete. 2. 5.
4.3 Términos Semejantes Decimos que dos términos son semejantes cuando su parte literal (incluyendo el exponente) es la misma; es decir, solo varían por su coeficiente o el signo de éste. 5 2 7 2 2 Ejemplos de términos semejantes tenemos: -6n2 , ½ n2, n , 5 n , etc. 3 Observe el siguiente ejemplo: 5 p 2 q 3 y 18 p 3 q 2 en este caso, estos dos términos no son semejantes, pese a tener las mismas literales; esto se debe a que los exponentes de p en cada término son diferentes, lo mismo sucede con los exponentes de la literal q. Cuando trabajamos con expresiones algebraicas, nos encontraremos muy frecuentemente con términos semejantes los cuales podemos reducir; este procedimiento es muy sencillo, lo único que hay que hacer es la suma algebraica de sus coeficientes. Ejemplos:  4+4x2+6y-8x2-3y+2 observamos en este ejemplo varios términos semejantes: los términos con x2, aquellos con y y por último los términos que no tienen literal; entonces, la reducción de términos semejantes quedaría: x 2 (4-8) + y (6-3) + (4+2) y al realizar las operaciones entre paréntesis tendríamos: -4x2 + 3y + 6, lo cual simplifica la expresión.  2x-y+7z3+3x+5y+8z3-10x-20z3+5x+10z3-3 observa que en este ejemplo tenemos varios términos semejantes, por lo que la reducción se haría de la siguiente manera: x (2+3-10+5) + y(-1+5) + z3(7+8-20+10) -3 nota que el término 3 no tiene semejantes, por lo que lo dejamos así. Haciendo las operaciones de los paréntesis tendremos finalmente : 0x + 4y + 5z 3 -3 ya que el coeficiente de x es 0 podemos no poner ya este término recuerda que todo número multiplicado por 0 nos da 0. Acomodando entonces la expresión tendremos: 5z 3 + 4y -3.  53 xy  7 m  23 xy  8 m ya que el índice de la raíz y el radicando son iguales en algunos de los términos que se presentan en este ejemplo, podemos considerarlos como semejantes y hacer la reducción de la misma forma que hemos trabajado:
xy 5  2  m  7  8 observa que manejamos el radical como
el término semejante y solamente sumamos sus coeficientes con todo y signo; realizando las operaciones de los signos de agrupación tenemos entonces la expresión final: 73 xy  m .
Ejercicios 4.3 Realiza la reducción de términos semejantes en las siguientes expresiones: a) Para realizar en clase 1.
1 2 4 1 11 a  2x  y  a  x  y 3 7 3 2 2
2. 3m 2  3 x  8m 2 
3. 85 x  3 np  25 xy  8 np  5 xy b) Para realizar de tarea 1. 4a + 3np – 5ª - 2np 3. 2. 4ab2 + 2cd +3ab2 + 5c2d – 8ab2 – 6cd + 3c2d 4.
2 5 1 3 11 o  o  o3  o2  o3 3 8 7 2 2
5 x  2m  2 y  3 x 
1 2 m y 2 7
23 3 1 11 x y  7 p  24 xy  8 p  3 x 3 y  4 xy 9 2 10
4.4 Suma y Resta de Polinomios El caso de una suma de polinomios es muy sencillo, solamente deberemos escribir los dos polinomios sumándose y reducir términos. Ejemplo 1: Sumar los siguientes polinomios:  3x  7 y  2 z  4 y 8x  7 y  12 z  12 Procedemos de la siguiente forma:
3x  7 y  2 z  4  (8x  7 y  12 z  12) como el signo + no altera los signos podemos
quitar el símbolo de agrupación que pusimos, por lo tanto nos quedaría la siguiente expresión: 3x+7y-2z+4+8x-7y+12z+12 y lo que resta es reducir términos semejantes, con lo cual el resultado sería: x(3+8) + y(7-7) + z(-2+12) + (4+12) y efectuando las operaciones: 11x + 0y + 10z + 16 podemos quitar el término de las y ya que su coeficiente es 0 y tendríamos finalmente: 11x + 10z + 16. Para el caso de restar polinomios deberemos primero escribir el polinomio teniendo cuidado de que el signo – de resta afecta a todo el segundo polinomio.
Ejemplo 2: Restar los siguientes polinomios:  3x  7 y  2 z  4 y
8x  7 y  12 z  12 Procedemos de la siguiente forma:
3x  7 y  2 z  4  (8x  7 y  12 z  12) observa que hemos indicado la resta de los
dos polinomios, el signo menos afecta a todos los términos encerrados dentro de los símbolos de agrupamiento, por lo que para quitarlos, tendremos que modificar el signo de cada término:
3x  7 y  2 z  4  8x  7 y  12 z  12 en este paso hemos metido el signo negativo a
cada término del segundo polinomio; luego de esto, lo que resta es reducir términos semejantes: x(3  8)  y(7  7)  z(2  12 z)  (4  12) y al realizar las operaciones dentro de los paréntesis llegaremos al resultado final: -5x+14y-14z-12
Ejercicios 4. f) P2 – P1 . P2 = -3y2 . c) P2 + P3 g) P2 – P3 d) P1 + P2 + P3 h) (P1+P2) – P3
b) Para realizar de tarea Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios: Sean P1 = 2x2 – 5xy + y2 – 7 . b) P1 + P3 . .4 Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios: a) Para realizar en clase Sean P1 = 4x3 – 8 + 6x2 – x4 – 9x P2 = 2x – 4x2 – 5 + x3 – x4
P3 = -5x3 -2x4 + 19 + 3x – x2 a) P1 + P2 e) P1 – P2 . P3 = 5x2 –xy + 6 a) P1 + P2 f) P1 + (P2 – P3) b) P1 + P3 c) P2 + P3 d) P1 – P2 e) P1 – P3
g) (P1+P3) – (P2+P3)
h) P1 – (P2-P3)
.x2 – 7xy -1 .
propiedades de exponentes y radicales. y las reglas de la multiplicación. Ejemplo:  2x3y (3x5y–2y2+7xy–2) = 2x3y (3x5y) + (2x3y)(– 2y2) + (2x3y)(7xy) + (2x3y)( – 2) y entonces procedemos como el primer caso. se deja la base y se suman los exponentes. así el resultado será: 6x8y2 – 4x3y3 + 14x4y2 – 4x3y
1. multiplicación de dos monomios.4. En este caso se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
2. en cuanto a las literales multiplicamos las bases comúnes recuerda que en multiplicación de las mismas bases.5 Multiplicación de Polinomios Respecto a esta operación puede hablarse de tres casos: 1) Multiplicación de monomios 2) Multiplicación de un monomio por un polinomio 3) Multiplicación de un polinomio por una polinomio Para cualquiera de los casos anteriores debemos tener en cuenta las leyes de los signos. solo tendremos que: a) Identificar el signo de la multiplicación b) Multiplicar los coeficientes numéricos c) Multiplicar las literales tomando en cuenta las leyes de los exponentes.
Ejemplo:  (3x2y2) (4x3y6) = (3)(4)(x2+3)(y2+6) = 12x5y8 observa que multiplicamos coeficientes por coeficientes. Multiplicación de monomios. Multiplicación de un monomio por un polinomio. Este caso es el más sencillo.
seguiremos con el segundo término del primer polinomio y haremos lo mismo. sin embargo.
. continuaremos este procedimiento hasta el último elemento del primer polinomio. también podremos verlo como una multiplicación monomio por monomio. cuando hayamos terminado.3.
Ejemplo:  (3x2 – 7xy) (2x3 – 8x +2) tomamos el primer término del primer polinomio y lo multiplicamos por cada término del segundo. De esta manera tendremos lo siguiente: (3x2)(2x3) + (3x2)(-8x) + (3x2)(2) + ( – 7xy)(2x3) + ( – 7xy)(-8x) + ( – 7xy)(2) = 6x5 – 24x3 + 6x2 -14x4y + 56x2y – 14xy como no hay términos semejantes el resultado queda de esta forma. si hubiéramos tenido términos semejantes habrá que reducirlos. Multiplicación de un polinomio por un polinomio Este es el caso más complejo. simplemente tendremos que tomar cada término del primer polinomio y multiplicarlo por cada término del segundo.
e) P2 x P4 f) P1 x P2 . 7 5 7
1 3 m p  2x  3y 2 p 3 3
Realiza los siguientes productos de polinomios y monomios: a) P1 x P4 . d) P4 x P1 x P3 . g) P3 x P4 .5 a) Para realizar en clase Sean P1 = 3x2y3 P2 = 3x + 2 P3 = 3x3 + 2y2 -3 P4 = 5x5 + 7x3y4 – 2y2 +3
Realiza los siguientes productos de polinomios y monomios: a) P1 x P1 b) P1 x P2 c) P1 x P4 d) P2 x P4 e) P3 x P4
b) Para realizar de tarea Sean P1 =
3 3 2 7 3 1 x m p . h) P1 x P2 X P4
. b) P1 x P3 .Ejercicios 4. P3 = 3x4y . c) P2 x P3 . P2 = y 2  x 2 m .
más el cuadrado del segundo. Matemáticamente: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Ejemplos:  (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y) + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
. Producto de dos binomios conjugados El conjugado de un binomio es el mismo binomio pero con el signo intermedio cambiado. Cuadrado de un binomio El producto de un binomio es igual al cuadrado del primero. por lo que nuestro resultado final es 4x 2 – 9y2. Para llevar a cabo una multiplicación entre dos binomios conjugados existe la siguiente regla: el producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. nos ayudará a ahorrar tiempo y esfuerzo cuando multipliquemos. por ejemplo para 2x + 3y su conjugado será 2x – 3y. más el doble producto del primero por el segundo. Ejemplos:  (2x + 3y) (2x – 3y) = 4y2 – 9y2 como anteriormente identificamos. tenemos el producto de dos binomios conjugados. Para comprobar lo anterior. podemos realizar la multiplicación de binomios de la manera en que lo hemos hecho anteriormente: (2x + 3y) (2x – 3y) = (2x)(2x)+(2x)(-3y)+(3y)(2x)+(3y)(-3y) (2x + 3y) (2x – 3y) = 4x2 -6xy +6xy – 9y2 observa que los términos -6xy y 6xy se anulan al reducir términos semejantes. A este tipo de productos los conocemos como productos notables. Caso 2. nuestro primer término será 3 1/2a y
al elevarlo al cuadrado.6 Productos Notables Existen ocasiones en que al multiplicar algunas expresiones algebraicas se obtienen productos con algunas características notables. tomando a 2x como el primer término y 3y como el segundo término aplicamos la regla. el exponente de 3 se hace 1. Si logramos distinguir este tipo de expresiones.  (
3a  2b
3a  2b  3a 2  4b 2 en este caso. pero el exponente de a si es 2. Caso 1.4.
Producto de dos binomios que tienen un término común El producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común. más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo. Caso 4.2    2   2  2   3a  b 2   3a   23a   b 2     b 2  Nota que al sustituir los términos 3    3   3  lo hacemos con todo y signo. Desarrollando las operaciones que tenemos en la expresión anterior llegamos a lo siguiente:
9a 2 
(2)(3)(2)(a)(b 2 ) 4 4 4  b  9a 2  4ab 2  b 4 3 9 9
Caso 3. más el producto del término común por la suma de los no comunes. más el cubo del segundo. El cubo de un binomio El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término.
( x  a)( x  b)  x 2  x(a  b)  ab
Ejemplos:  ( 3x+2 )( 3x + 4) Observamos que el término común entre los dos binomios es 3x y aplicando la regla tendremos:
3x2  3x2  4  (2)(4)  9x 2  3x(6)  8  9x 2  18x  8
 (4 x 2  3 y)(4 x 2  4)  (4 x 2 ) 2  4 x 2 (3 y  4)  (3 y)(4)
 16 x 4  12 x 2 y  16 x 2  12 y
al no haber términos semejantes para reducir el
resultado puede quedar de esta forma.
( x  y ) 3  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3 ( x  y ) 3  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3
3c  4d 3  (3c) 3  (3)(3c) 2 (4d )  3(3c)(4d ) 2  (4d ) 3
(3c  4d ) 3  27c 3  108c 2 d  144cd 2  64d 3
. más el producto de los términos no comunes. más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo. deberás tener en cuenta las propiedades de multiplicación de signos en este caso.
solo ten en cuenta las leyes de los signos.1  1  1  1  2 3   r  2    r   3 r  2  3 r 2  2 2  2  2  2 
Nota que si usamos la forma mencionada en la regla. los términos deberán ser tomados sin signo. el resultado no deberá variar. por el contrario. si te cuesta aprenderte dos formas.
. lo único que tendrás que hacer es tomar la primera forma en donde todos los términos se suman y sustituir el segundo término con todo y signo. donde alternamos los signos.
4t  2  p 
1  2.  r  4  2 
1  1  5. 3t  22  3t 
1  1  5.6 a) Para resolver en clase Utiliza productos notables para llevar a cabo las siguientes multiplicaciones de binomios. 1. (y-4)
3.Ejercicios 4. ( x  t )( x  t )
b) Para resolver de tarea 1.  t  4  x  2 
1  4. (x+7)(x-7) 2.  s  t  4  s  t  4  3  3 
6.  x  3  y  x  y  3  3  3 
x 4 y
x 4 y
multiplicando el cociente por el divisor y al producto obtenido se le suma el residuo de la división. Puede verificarse que el resultado sea correcto. 5. con un exponente menor que el que posee dicha letra en el divisor.7 División de Polinomios La división de dos polinomios puede llevarse a cabo bajo el mismo procedimiento que seguimos en una división normal. Se ordenan los dos polinomios en orden decreciente de una de las letras comunes a ambos polinomios. con lo que se obtiene el primer término del cociente. 2. 6. Con el nuevo dividendo se repiten las operaciones de los pasos dos y tres hasta que el polinomio resultante sea 0 o contenga la letra con respecto a la cual se hizo el procedimiento del punto 1.4. 4. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo. 3. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. obteniendo un nuevo dividendo. El resultado de la división será el polinomio obtenido en el cociente + el residuo dividido entre el divisor. 1. A continuación se listan los pasos a cubrir para esta operación. El resultado debe coincidir con el polinomio dividendo. incluyendo los términos con coeficiente cero para las potencias faltantes.
luego del ordenamiento la expresión queda de la siguiente forma:
x 4  6 x 2  5x 3  7 x  4 x 2  3x  6
Por último.Ejemplos: Dividir (4+ 6x2 + x4 – 5x3 – 7x)  (6 + x2 – 3x) Lo primero que debemos hacer es ordenar los polinomios en forma decreciente. expresamos el resultado de la división de la forma siguiente: Cociente + (residuo / divisor) es decir: x 2  2 x  6 
 13x  40 x 2  3x  6
3x  10 x  2 x  23x  4  x  x  3
27a 4  24a 3 b  5a 2 b 2  38ab 3  8b 4 10.7 Para realizar en clase y de tarea Efectúa las siguientes divisiones entre polinomios: 1.
a3  b3 ab
10 x 4  17 x 3 y  9 x 2 y 2  36 xy 3  8 y 4 2 x 2  5 xy  y 2
2. 9a 2  7ab  2b 2
. 4 x  5x  3x  2 / x  2
8 x 3  2 x 2 y  8 xy 2  2 y 3 8. 2 x 4  3x 3  x 2  5x  1  x  2
x 2  9 x  14 x2
5.Ejercicios 4.
9a 2  3a  6 3a
4. x 3  27  ( x  3)
6. 4 x 2  3xy  y 2
por lo tanto. saco los términos comunes y obtengo: 8a2 – 32a3 – 24a = 8a (a . el resultado puede quedar así. podemos expresarlo como el producto de dos factores. en lugar de realizar el producto quiero dejar mi expresión como el producto de dos factores. por ello.  8a2 – 32a3 – 24a podemos ver que los coeficientes de cada término los puedo expresar en función de 8 así: 8a2 – 32a3 – 24a = 8(a)(a) – (8)(4)a2a – (8)(3)a de lo cual se ve que en cuanto al coeficiente lo máximo que puedo sacar de término es un 8. 5. de parte de las literales lo máximo que puedo sacar es una a. podré regresar al producto de
.2 Diferencia de cuadrados Debemos recordar la multiplicación de dos binomios conjugados: (x + y) (x – y) = x2 – y2 solo que en este caso el proceso es inverso.1 Factorización de polinomios cuando todos sus términos tienen un término semejante. lo mismo ocurre con el término 2p. FACTORIZACIÓN
Dependiendo de la expresión algebraica que tengamos podremos encontrar diferentes formas en las podemos factorizar. por lo tanto. Ejemplos: Factorizar:  2m + 2p observamos que ambos términos contienen un elemento en común que es el 2.V. donde uno de ellos es un monomio en común. 5. Como el término dentro del paréntesis ya no puede factorizarse más. Cuando todos los términos de un polinomio contienen un factor común.4a2 -3) puedes realizar a manera de comprobación la multiplicación monomio – polinomio para que veas que es exactamente lo mismo. cuando observe una diferencia de cuadrados que no es más que el resultado del producto de los binomios conjugados. podemos “extraerlo” de cada término y colocarlo como un producto de la siguiente forma: 2 (m + p) si al término 2m le quito 2 solo me quedará m y es lo que pongo dentro del paréntesis.
éstos diciendo: (raíz del primero + raíz del segundo) (raíz del primero – raíz del segundo)
Ejemplos: Factorizar  25y2 – 9 observo que tengo una diferencia de cuadrados. puedo factorizar de la misma manera y quedaría de la siguiente forma:
 1 4 1 4 4 4  1 4 4  m  z  m  z  m  z  y aplicando las propiedades de los  4 4 9 9  4 9     radicales que nos permiten aplicar la raíz en cada término ya sea en productos o divisiones tendremos:
1 1  1  1 4 2  1 2  z  m4  z    m 2  z 2  m 2  z 2  en  4  2 3  2 3  9      este caso.
 1 1 4 4 4 m  z  m4   4 4 9 9 
5. Nota que no tomamos en cuenta el signo en este caso. por lo tanto.3 Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es el producto de un binomio cuadrado perfecto. como no puedo sacar la raíz de z la dejo expresada y puedo ponerlo como radical o exponente fraccionario. todo lo que está antes del signo (-) es mi primer término: 25y2 y lo que queda después del signo será entonces mi segundo término: 9. podremos identificarlo si tiene la forma: x2 + 2xy + y2 Para verificar si una expresión algebraica es un trinomio cuadrado perfecto checamos los siguientes puntos:
. Aplicando la regla de diferencia de cuadrados tendremos la factorización como sigue:
25 y 2  9 
 25 y
 25 y
 9  (5 y  3)(5 y  3)
1 4 4 m  z en este ejemplo puedo ver que en el segundo término z está elevado 4 9 a la 1 ¿podré factorizarlo entonces? La respuesta es sí.
5. Si el trinomio está ordenado en relación con una literal. su primero y último términos son positivos y tienen raíz cuadrada perfecta. Ejemplos: Factorizar:  4x2 + 20xy + 25y2 para saber si se trata de un trinomio cuadrado perfecto checamos las dos condiciones dadas. el cual es la raíz cuadrada del término x2. por lo tanto. sin importar el signo que le precede. es decir. La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado del binomio que resulta al extraer raíz cuadrada a los término cuadráticos. vemos también que tanto x2 y y2 son positivos y que sí tienen raíz cuadrada perfecta. podemos ver que se encuentra ordenado respecto a la variable x. en valor absoluto.
. para el término 25y2 su raíz es 5y. escribiendo entre ellos el signo del término no cuadrático.  El segundo término es el doble del producto de las raíces de los términos cuadráticos.4 Factorización de trinomios cuadráticos de la forma x 2 + bx + c. en el caso de 4x2 es 2x. Verificamos ahora que el segundo término sea el producto de las raíces anteriores: 2(2x)(5y) = 20xy.
5.1 Factorización prueba y error Existen expresiones algebraicas de la forma x2 + bx + c que resultan de multiplicar dos binomios de la forma (x + m)(x+n). su factorización es el regreso al producto de estos dos binomios. Como cumplió las condiciones. Para identificar estos casos debemos tener en cuenta las siguientes características:  Tienen un término común. concluimos que es un trinomio cuadrado perfecto y procedemos a la factorización: 4x2 + 20xy + 25y2 = (2x + 5y)2 observa que entre las raíces de los términos cuadráticos pusimos el signo + que pertenece al término 20xy.4.  y2 – 16y + 64 verificación:
y 2  y luego
64  8 y 2( y)(8)  16 y por lo tanto sí
es un trinomio cuadrado perfecto y factorizando tenemos: y2 – 16y + 64 = (y – 8)2 el signo menos es por el signo del término -16y.
Es decir: mn = c y m + n = b.el más irá en el 5 para que al restarse sea el que predomine. en este caso es positivo. es decir. Los términos no comúnes son aquellos que al sumarse dan como resultado el valor del coeficiente del término bx.  x2 – 5x – 36 Buscando factores para 36: Factor 1 18 9 6 12 Factor 2 2 4 6 3 Suma Factores 20 13 12 15 Resta F1-F2 16 5 0 9 Resta F2-F1 -16 -5 0 -9
. para simplificar esto puedo hacer la siguiente tabla: Factor 1 10 5 Factor 2 1 2 Suma Factores 11 7 Resta F1-F2 9 3 Resta F2-F1 -9 -3
En la tabla puedo visualizar que los números que busco son 5 y 2. por lo tanto. debo poner un + y un . como deben restarse. hacemos lo siguiente:
Primero buscamos todos los pares de números que multiplicados me den 10 y voy viendo si algún par me da como suma o resta el 3.
Ejemplos: Factorizar:  x2 + 3x -10 para factorizar. igual a “b” y cuyo producto es igual a “c”. así que procedo a colocarlos de la siguiente forma: (x 5) (x 2) el signo a poner en cada uno de los términos dependerá del signo del término medio. Así la factorización queda: (x + 5)(x – 2).
a = 1 . 2a debido al + que antecede al radical. el valor cumple Para x2 = -3 : (-3)2 . es decir 9.Por lo tanto.
5. 0 = 0 Por lo tanto.4. el valor cumple
. lo único que tendremos que hacer es pasar las raíces a un mismo lado para dejarlos como factores.3 . mis números buscados son 9 y 4. Ejemplos: Factorizar:  x2 + x . por lo tanto:
 1  (1) 2  4(1)(6) (2)(1)
 1  1  24  1  25  1  5 el signo + es el que me   2 2 2
dará los dos valores para x. como alternativa tenemos este otro método.6 = 0 si aplicamos fórmula cuadrática. b = 1 y c= -6. por lo tanto:
1 5 1 5 2 x2   3 Solo tendremos que verificar que los dos y 2 2 valores cumplan con la igualación a 0: x1 
Para x1 = 2 : (2)2 + 2 -6 = 0 . Así: (x .9)(x + 4).2 Factorización por fórmula cuadrática En ocasiones es demasiado largo el proceso de búsqueda de factores en el método anterior. para ello. x
Una vez que encontremos los valores x1 = a y x2 = b.6 = 0 . igualaremos el trinomio a cero: x2 + bx + c =0 y aplicaremos la siguiente fórmula:
 b  b 2  4ac nota que de esta expresión obtendremos dos valores para x. la factorización completa será el producto de los factores encontrados.6 primero. 0 = 0 Por lo tanto. igualamos a 0 el polinomio para poder aplicar la fórmula cuadrática: x2 + x . decido que el – debe ir con el número mayor. factorizando: (x 9) (x 4) como en el término medio debo tener -5. que consiste en encontrar las raíces (valores de x que sustituidos en la expresión harán que todo el polinomio se haga 0) a través de la fórmula cuadrática.
Para x = -3. x y y son las raíces cúbicas del primer y segundo término.
Ejemplos: Factorizar completamente:  8x3 – 27y6 observamos que es una diferencia de cubos.Así que solo resta transformar la raíz a factor de la siguiente manera: Para x = 2 . Y la factorización queda entonces: (x – 2) (x + 3)
5. el factor es la parte izquierda. paso el -3 a la izquierda y tendré el factor x+3 = 0. en el siguiente polinomio solamente invertimos dicho signo en el término de en medio. luego. por lo que:
8x 3  2 x
27 y 6  3 y 2 y sustituyendo en cada polinomio:
8x3 – 27y6 = 2 x  3 y 2 2 x   2 x  3 y 2  3 y 2
     2x  3 y 4x
 6 xy 2  9 y 4
 a3 + 64 tenemos que
a 3  a y que
64  4 factorizando llegamos a:
a 3  64  a  4 a 2  4a  16
. paso el 2 a la izquierda y tendré el factor: x-2 = 0 el factor es la parte izquierda.5 Factorización de suma y diferencia de cubos Si tenemos expresiones de la forma: x3 + y3 o bien x3 – y3
Las factorizaciones serán de la siguiente manera: x3 + y3 = (x+y) (x2 – xy + y2) x3 – y3 = (x-y) (x2 + xy + y2) Observa que en el primer binomio ponemos el signo que existe entre los dos términos que están elevado al cubo.
+ 2. Utilizar división sintética para probar las posibles raíces. 3. 2. lo mismo para cada factor. +1/2. Para realizar división sintética debemos seguir los siguientes pasos: 1.
Ejemplos: Factorizar:  3x3 + 6x2 – 12x – 24 Factores de 3: +3 y +1 Factores de 24: + 1. + 8.6 Factorización por división sintética Hemos visto ya como factorizar expresiones de la forma ax2 + bx + c. Luego. Obtener todos los factores de los coeficientes extremos (coeficiente del término mayor y del término independiente). + 6 y + 4 o bien + 1/24. en ocasiones resulta necesario factorizar polinomios que no tienen esta forma.5. 4. + 1/3. + 24. la división de cada factor entre todos los demás. + 8. + 6. sino algunas más complejas. + 3. las posibles raíces serán cualquiera de esos factores o bien. Cuando hayamos obtenido como residuo un 0 habremos encontrado una raíz x = a. + 1/6. + 1/4. + 2. para este tipo de situaciones la división sintética es de gran ayuda. en forma decreciente. la forma de cambiar a factor es la misma que la utilizada en el método de la fórmula cuadrática. + 24. + 3. + 12. sin embargo.
. …todos entre todos. 5. + 12. + 4
Posibles raíces: + 1. Ordenar el polinomio respecto al exponente mayor.
podemos ver que tenemos dos raíces iguales: x1=-2 y x2=-2.Para probar utilizamos división sintética:
Resolviendo el polinomio 3x2 + 12x + 12 tendremos lo siguiente: 3(x2+4x+4)=0 hacemos x2+4x+4 = 0 y observamos que este es un trinomio cuadrado perfecto. Puedes hacer el producto de (x-2)(3)(x+2)(x+2) para comprobar la factorización. por lo cual su factorización es: (x+2) 2=0.
. x = -2 y x = -2 Factorizando: (x-2)(3)(x+2)(x+2) observa que el 3 se debe a que al factorizar 3x2 + 12x + 12 sacamos un 3 como factor común : 3(x2+4x+4). De todo lo anterior tenemos que : x = 2 .
x3 – 2x2 – 5x + 6 4. 20ab2 – 15a3b 2. 8x6 – 216 13. z3 + 125 11. a) Para realizar en clase 1.3
8. 2x2 + x – 3 5.1 Factoriza completamente las siguientes expresiones. 64t3 – 1
12. 25y3 – 15y2 -10y
b) Para realizar de tarea 1. x4 + x3 + 7x2 – x + 6
9. t2 + 18t + 64
3.Ejercicios 5. z5 – 3z2 + ½ z
1 1 b4
2. 15n2m3 – 60n3m2 – 35nm5 5. x6 – y6 6. 6x2 + 5x – 6 3.
7. 2x3 – 3x2 – 8x . 9n2 + 48nm + 64m2 10. t2 -
4. x – y
6. x4 + x3 – 13x2 – x + 12
requiere que lo que se encuentre del lado izquierdo sea exactamente lo del lado derecho. los resultados deberán ser semejantes para que se cumpla dicha igualdad. habrá que despejar x: Comenzamos en orden inverso a la jerarquía de las operaciones. lo haces del otro para no afectar el equilibrio de la igualdad. para hacer esto debemos tener en cuenta cada operación matemática y su contraria. para resolverla lo único que debemos hacer es dejar la literal “solita” de cualquier lado de la ecuación.VI. al final. por lo tanto. se le conoce como raíces o conjunto solución. Por ejemplo.
Una ecuación lineal con una incógnita es de la forma ax + b = 0 y es el caso más sencillo que podemos encontrar. Ejemplos: Resolver para x las siguientes igualdades:  6x + 9 = 27 queremos encontrar un valor específico de x que cumpla con la igualdad. primero quitamos los términos que estén sumando o restando. y demás propiedades que ya has manejado anteriormente para cada operación. Al conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen una igualdad. leyes de signos. Por ejemplo: 3x + 2 = 8 Puedes ver que una ecuación tiene dos partes. en medio tenemos el signo = esto es importante. Ten en cuenta también que lo que haces de un lado. luego los que estén multiplicando o dividiendo y al final las potencias o raíces:
. ECUACIONES
Una ecuación es una expresión que nos indica que dos cantidades (como quiera que se presenten) son iguales. izquierda y derecha.1
Resolución de ecuaciones con una incógnita. pues la principal característica de una igualdad o identidad como esta. en la ecuación 7y – 10 = 18 la raíz es y=4 por que si sustituimos este valor en la ecuación tendremos que: 7(4) – 10 = 18 18 = 18
6. no importa que tantas operaciones se hagan de uno u otro lado.
7 22 el primer número a quitar del lado izquierdo es el 2. como 3 está dividiendo pasa multiplicando. por lo tanto: x  7 correcto sustituyendo dicho valor en la ecuación original: 22 28 22 22 22 7  2   por lo tanto. lo hago del lado derecho: 6x + 9 – 9 = 27 – 9 de esta forma: 6x = 18 y entonces quito el 6 que está multiplicando. recuerda. si cumple. con su mismo signo:
 28  7 x   (3)  7 x  28 y como 7 está multiplicando. pasa restando al lado contrario.  (4)  2  3 3 3 3 3  3
. deberé restarle 9 al lado izquierdo de la ecuación. por la jerarquía de las operaciones puedo pasar 3 3 3 3 cualquier término primero. pasa sumando. lo que hago del lado izquierdo. para hacerlo divido entre el mismo:
6 x 18 de nuevo. si está restando.Como quiero quitar el 9 del lado izquierdo. también con  3 28  x  4 verificamos que el resultado sea su mismo signo. pasa dividiendo. entonces. si está dividiendo pasa multiplicando (recuerda que en el caso de la multiplicación o división el signo se conserva). como está x2 3 3 restando pasa sumando:
7 22 7 28 x  2 x luego. si está multiplicando pasa dividiendo. si lo hago del lado izquierdo. lo hago del derecho y si divido  6 6 6/6 = 1 por ello: x = 3 y ese es el valor que cumplirá en la igualdad. ya sea 7 o 3. veamos:
6(3) + 9 = 27 por lo tanto 27 = 27
Observa que es más rápido mover términos de un lado a otro si decimos “el número que está sumando.
como está sumando pasa al lado contrario restando:
7  3  3 8x  4  3 8x por último quitamos el radical. para eliminar la raíz cúbica debemos elevar al cubo de esta forma:
43  8x  3   
 64  8 x  3  64  8 x  x 
64  x  8 verificando 8
obtenido: 7  3  3 (8)(8)  7  3  3 64  7  7 y si cumple.
. recuerda que la operación contraria de sacar raíz es obtener una potencia. 7  3  3 8x siguiendo el mismo procedimiento. primero quitaremos el 3 que se encuentra a la derecha a fin de ir dejando solo el término que contiene x.
9(2x-6) – (x+3) = 4x – 18 3.
4 x  13 3x  5 1 7 10
x 25 3
2.1 Encuentra el valor de x que cumpla con la igualdad.
9 x  2  11
9 x  7  1
5. a) Para resolver en clase 1. 4(x-3) – 8(x-6) = 7(x-6) + 34
b) Para resolver de tarea 1. x(x-15) – 3 = (x+6)(x-6) – 18x 4. 4. -5 = 7 – 3x
3.Ejemplos 6. 14 = -2 +
4. (x+3)2 + 5 = (x+5) (x-5) + (4-x) 2.
Método de igualación 4. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas podemos emplear cualquier de los siguientes métodos: 1.1 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. tendrán que cumplir con las igualdades marcadas en todas las ecuaciones que conforman el sistema.2 Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más ecuaciones de la forma: ax + by = c. Ejemplos: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 
4x  y  8 4 x  y  8  ec (1) puedo comenzar numerando mis ecuaciones 7x  y  3 7 x  y  3  ec (2)
Observa que ambas ecuaciones tienen y y –y así que si sumamos la ecuación 1 y 2 podremos eliminar una variable:
4x  y  8  ec (1) + ec (2): 7x  y  3 11x  0 y  11  11x  11  x  1
. Método de Eliminación (Suma y Resta de Ecuaciones) 2. Método de sustitución 3. Método de eliminación (suma y resta de ecuaciones) Este método consiste en eliminar una de las incógnita (cualquiera que ésta sea) de tal forma que nuestro sistema se reduzca a una sola ecuación con una incógnita.6.2. Método por determinantes o Regla de Cramer
6. Su característica principal es que los valores de x y y que sean solución a todo el sistema.
En la ecuación (2): 7(1) + (-4) = 3 .(-4) = 8 . 4 + 4 = 8 .Y sustituyendo el valor de x en cualquier ecuación tendré que: Sustituyendo x en ec(1):
4(1)  y  8  y  4  8  y  4
Verificando el cumplimiento de x y y en ambas ecuaciones tendré que: En la ecuación (1): 4(1) . y luego multiplicar cada ecuación por el coeficiente de la misma variable en la otra ecuación. luego podré sumar o restar ambas ecuaciones y eliminar alguna variable. 8 = 8 si cumple 7 – 4 = 3 . ec(1) x 3 + ec(2) x 2:
6 x  12 y  21   6 x  14 y  4 0 x  2 y  25  2 y  25  y  
Y sustituyendo y en la ec(1):
57  25  2 x  4    7  2 x  50  7  2 x  57  x  2  2
. 3 = 3 si cumple
2 x  4 y  7  ec (1) cuando de restar o sumar directamente las ecuaciones no  3x  7 y  2  ec (2)
se elimina ninguna variable. lo que puedo hacer es elegir que variable quiero eliminar.
2x  3y  5 3x  4 y  18
3x  5 y  15 2 x  y  16
6 x  5 y  28 4 x  9 y  6
4. Veamos uno de los ejemplos anteriores resueltos por este método: 
4 x  y  8  ec (1) 7 x  y  3  ec (2)
De la ec(1) despejo y: y = 4x – 8 Luego sustituyo en ec(2) y despejo x:
7 x  (4 x  8)  3  7 x  4 x  8  3  11x  11  x  1
Sustituyo x en el despeje de y = 4x – 8
y  4(1)  8  y  4
2x  y  6 x  2 y  9
b) Para resolver de tarea 1.
3x  2 y  2  2x  y  8
8 x  5 y  4 2 x  3 y  8
x  3 y  4 2x  y  7
4.2 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) Para resolver en clase 1.
3x  y  30 4x  3y  1
2. Método de sustitución Este método consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación para lograr una sola ecuación con una incógnita y poder despejar.
7 x  8 y  5  x  9 y  21
Hace 5 años era cuatro veces la edad del mismo. Lee el problema con atención e identifica las incógnitas y las cantidades conocidas. Verifica la solución que obtuviste. Para resolver problemas planteados en lenguaje verbal. 5.3 Las ecuaciones lineales como modelos matemáticos Las ecuaciones pueden servirnos para modelar problemas de la vida real. por lo tanto puedo plantear la siguiente relación:
.6. 3. Ejemplos: La edad de Gabriel es tres veces la de Carlos. Si designamos como C la edad de Carlos entonces tenemos:  La expresión para la edad de Gabriel actual es: 3C  La expresión que representa la edad de Carlos hace 5 años es: C – 5  La expresión que representa la edad de Gabriel hace 5 años es: 3C – 5  La expresión que representa la edad de ambos hace 5 años es: 3C – 5 = 4 ( C-5 ) resolviendo:
3C  5  4C  20  5  20  4C  3C  15  C por lo tanto. Resuelve las ecuaciones obtenidas en el paso anterior para tus incógnitas. entonces el consecutivo será x+1 y el tercero x+2. para ello. 4. la edad de Carlos es de 15 años y para encontrar la edad de Gabriel:
Gabriel  3C  3(15)  45años
Hallar 3 números consecutivos cuya suma sea 105: Si denotamos al primer número de la serie como x. debemos pasar la información que tenemos en lenguaje verbal y/o escrito. Establece una ecuación que relacione los datos que tienes en tu problema. a un lenguaje matemático a fin de poder encontrar una solución. 2. Hallar la edad de Gabriel. Elige las letras que utilizarás para representar las incógnitas en tu problema. será útil que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones: 1.
Determínese cuántos boletos se vendieron en la sección numerada y cuántos en la general. así que: n(40) + g(15) = 310000 Como puedes ver tenemos un sistema de ecuaciones:
n  g  10000  ec (1) 40n  15 g  310000  ec (2)
. en este problema intervienen dos variables. si el ingreso total obtenido fue de $310000. por lo tanto: n + g = 10000 Y también sabemos el costo de cada boleto por sección y el total de ingreso obtenido. 35 y 36. la correspondiente al número de boletos en la sección numerada (n) y la respectiva para el número de boletos en la sección general (g). verificando: 34 + 35 + 36 = 105 105 = 105 y si cumple
En un juego de salón se vendieron 10000 boletos. Como se aprecia. Sabemos que en total fueron 10000 boletos vendidos.x  ( x  1)  ( x  2)  105 x  x  1  x  2  105 3x  3  105 3x  105  3 102 x  34 3
Por lo tanto los tres números son: 34. El precio de los boletos en la sección numerada fue de $40 y en la general fue de $15.
. Puedes verificar los resultados en cada una de las ecuaciones para ver que si cumple con lo establecido en el enunciado.Resolviendo tendremos: De la ec(1) despejo n y sustituyo en ec(2):
n  10000  g 40(10000  g )  15 g  310000 400000  40 g  15 g  310000  25 g  310000  400000  25 g  90000  90000 g  g  3600boletos  25
Sustituyendo en el despeje de n: n  10000  3600 n  6400boletos Se vendieron 3600 boletos en la sección general y 6400 boletos en la numerada.
Si se invierten sus cifras el número que resulta es 27 unidades mayor que el original. La suma de los dígitos de un número natural de dos cifras es 15. 5. Si el precio unitario del camión es de $14000 y el del automóvil $9000. Ana es mayor que Carlos. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión? 7. Dentro de 15 años la suma de sus edades será 105 años. 8 litros de gasolina magna y 10 litros de gasolina Premium cuestan $82. Guillermo invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. Calcula la rapidez del viento. Se mezcla una solución salina al 40% con otra similar al 80% para obtener 50 litros de solución salina al 60%. Hallar el número original. Hallar tres números impares consecutivos tales que seis veces el mayor sea ocho veces el menor disminuido en dieciocho unidades. ¿Qué edad tienen actualmente? 3. El concepto de interés por ambas inversiones totalizó $300. El municipio gasta $120000 en la compra de automóviles y camiones. 2.3: Resuelve los siguientes problemas planteados: a) Para resolver en clase y para tarea
1.00. 4.00.00. 9. ¿cuántos litros de cada una se deben mezclar?
.00. mientras que 4 litros de gasolina magna y 7 litros de gasolina Premium cuestan $51 ¿cuál es el precio por litro de cada tipo de gasolina? 10. Si hubiera intercambiado sus inversiones el ingreso habría totalizado $2940. Gloria es dos veces mayor que Gina. Si 12 kilogramos de papas y 6 kilogramos de arroz cuestan $102. mientras que 9 kilogramos de papas y 13 kilogramos de arroz cuestan $153. pero hace 3 años tenía el triple de edad que él. ¿Cuántos vehículos de cada clase compraron si se adquirieron 10 vehículos? 8. Determina la edad que tiene cada uno de ellos actualmente. ¿cuál es el precio por kilogramo de cada producto? 6.Ejercicios 6. Un avión avanza con una rapidez de 600 millas por hora con el viento a su favor y con una rapidez de 560 millas por hora con el viento en contra.
por lo tanto cada factor lo igualamos a 0:
x  3  0  x  3 Por lo tanto.6. donde a. tendremos que encontrar 2 números que multiplicados nos den 12 y sumados o restados 7. Tenemos varios casos de estas formas:
c si el a radicando es negativo. Si optamos por la fórmula cuadrática el valor de a = 1. hemos encontrado las dos raíces de x.
ax2 + c = 0 ecuación cuadrática pura cuya solución está dada por x   ax2 + bx = 0 con a y b constantes y diferentes de cero se conoce como ecuación cuadrática mixta cuya solución se obtiene de factorizar: x(ax+b) = 0 e igualar cada término a 0 y encontrar las raíces (soluciones) de la ecuación. y x  4  0  x  4
Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones:  x2 + 7x + 12 = 0 esta ecuación podemos resolverla por el método de prueba y error o bien.4 Resolución de ecuaciones cuadráticas. es llamada también cuadrática con una incógnita y tiene la forma: ax2 + bx + c = 0. si es positivo. Por prueba y error vemos que los número buscados son 3 y 4 y la factorización queda: (x+3)(x+4) = 0 recordemos que para que la multiplicación de dos números nos dé 0 por lo menos uno de ellos tiene que valer 0. la ecuación no tiene solución. la ecuación tendrá dos soluciones. El conjunto de raíces de una ecuación cuadrática consta a lo sumo de dos raíces. por la fórmula cuadrática. La forma ax2+ bx + c = 0 será fácilmente resuelta por factorización de prueba y error o bien por la fórmula cuadrática. Si tomamos la primera opción. b y c son constantes y a ≠ 0. Una ecuación de segundo grado. el de b = 7 y el de c = 12 y habrá que sustituirlos en la fórmula cuadrática.
x2 – 8x – 20 = 12. x2 + x – 20 6. x2 – 3x – 18 = 0 7. 2x2 – x – 21 = 0 10. x2 – 3x – 10 = 0 5. 3x2 + 17x – 28 = 0
. 5x2 – 12x + 3 = 0 3. por lo tanto podemos factorizar de la forma: x(x+6) = 0 al igual que en el ejemplo anterior. x2 + 6x – 16 = 0 11. x2 – 7x – 18 = 0 9. -3x2 + 2x – 9 = 0 2. por lo tanto:
2 x 2  98 98 x2  2 x 2   49 x  7
Ejercicios 6.4 Encuentre el valor de la literal en las siguientes ecuaciones: a) Para resolver en clase y de tarea 1. de lo cual llegamos a:
x0 y x  6  0  x  6
 2x2 – 98 = 0 como no podemos factorizar la expresión anterior lo que hacemos es dejar sola a x. x2 + 3x – 4 = 0 8. igualamos los factores a 0. x2 + 6x = 0 podemos observar que tenemos como factor común a x. 2x2 -14x = 0 4.
el número mayor sería x+2 = 20 y: (18)(20) = 360 360 = 360 y si cumple
 2  1444  2  38  2 2  2  38 x1   18  x1  18 2  2  38 x2   20  x 2  20 2
Para x2 = -20. entonces el segundo número será x+2 y:
x( x  2)  360 x 2  2 x  360 x 2  2 x  360  0 x x  2  (2) 2  4(1)(360) (2)(1)
Verificando los valores: Para x1 = 18. Encuentra el
Si consideramos a x como el número menor.5 Las ecuaciones cuadráticas como modelos matemáticos. número mayor. A continuación se incluyen una serie de problemas de planteo que involucran ecuaciones cuadráticas.6. Ejemplos: El producto de dos número enteros pares consecutivos es 360. el número mayor sería x+2 = -18 y: (-18)(-20) = 360 360 = 360 también cumple
2.Ejercicios 6. Don Gabriel es cuatro veces mayor que Héctor si el producto de los número que expresan sus edades es 256 ¿Cuál es la edad de Héctor? 5. El Sr. si el área es de 120 m2 determina sus dimensiones. Rodríguez es 5 años más viejo que la Sra. El largo de un rectángulo mide 6 m más que su ancho. si la suma de los números que expresan los cuadrados de sus edades es 1525 ¿Qué edad tiene cada uno? 6.
. José es 4 años mayor que Luis. Jaime es 3 años más joven que Juan.5 Resuelve los siguientes problemas de planteo que involucran ecuaciones cuadráticas: Para resolver en clase y de tarea 1. Rodríguez. Si su área es de 280 m 2 encuentra sus dimensiones. El largo de un rectángulo dado mide 2m más que su ancho. Si el producto de los números que expresan sus edades es 88 ¿Qué edad tiene cada uno de ellos? 4. Si el producto de los número que expresan sus edades en años es 525 ¿cuál es la edad de cada uno de ellos? 3.
2 Propiedades de los exponentes 3.6 Descomposición en factores dentro de un radical 3.3 Suma y Resta de fracciones 2.5 Propiedades de los radicales 3.4.4.1 Algunos aspectos a recordar 2. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RACIONALES.1 Definiciones 4. 1.2 División de fracciones
1 2 2y3 3 4y5
III.2 Lenguaje algebraico 4.2 Simplificación de fracciones 2.7 División de Polinomios
3 3 3 3 3 3 3y4
12 12 12 13 13 14 y 15 15 y 16
.6 Productos Notables 4. 2. POTENCIAS Y RADICALES 3.1 Potencias 3.7 Racionalización
6 6y7 8 8 9 9 y 10 11
IV.3 Radicación 3.3 Términos semejantes 4.2 Representación de los números reales en la recta numérica
II.4 Multiplicación y División de fracciones 2. OPERACIONES CON POLINOMIOS 4.5 Multiplicación de polinomios 4.4 Suma y Resta de polinomios 4.ORGANIZACIÓN DE TEMAS POR SESIONES
UNIDAD y TEMA SEMANA SESIÓN
I.1 Multiplicación de fracciones 2.4 Exponente fraccionario 3.1 Algunas clasificaciones de los números 1. TIPOS DE NÚMEROS Y SU REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA.
2 Sistemas de ecuaciones lineales 6.edu.2 Diferencia de cuadrados 5.4.3 Trinomio cuadrado perfecto 5. ECUACIONES 6.2 Factorización por fórmula cuadrática 5.mx
.3 Las ecuaciones lineales como modelos matemáticos 6.itesi. FACTORIZACIÓN 5.2. México Tel (462) 60 67 900 www.5 Las ecuaciones cuadráticas como modelos matemáticos
5 5 5 5y6 6
21 22 y 23 23 y 24 25 y 26 27 y 28
Carretera Irapuato – Silao Km. 12. Gto..5 Irapuato.5 Factorización de suma y diferencia de cubos 5.4.6 Factorización por División Sintética
18 18 18 19 y 20
VI.V.1 Factorización prueba y error 5.4 Factorización de trinomios de la forma x 2 + bx + c 5.1 Resolución de ecuaciones con una incógnita 6.1 Factorización de polinomios cuando todos sus términos tienen un términos semejantes 5.1 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 6.4 Resolución de ecuaciones cuadráticas 6.
Más de este usuarioPractica Brazo Robotico 2Caesar AlexanderPractica Brazo Robotico 2EVALUACION DIAGNOSTICA EyMCaesar AlexanderEVALUACION DIAGNOSTICA EyMInstrumentación Didáctica de La Materia Para La Formación y Desarrollo de Competencias (ITSPR)Caesar AlexanderInstrumentación Didáctica de La Materia Para La Formación y Desarrollo de Competencias (ITSPR)Tesis Segidor SolarCaesar AlexanderTesis Segidor SolarPropuesta de Proyecto AcademicoCaesar AlexanderPropuesta de Proyecto AcademicoEstrategias didacticasCaesar AlexanderEstrategias didacticasPropuesta de Proyecto AcademicoCaesar AlexanderPropuesta de Proyecto AcademicoSistemas ElevadoresCaesar AlexanderSistemas ElevadoresBandas TransportadorasCaesar AlexanderBandas TransportadorasEVALUACION DIAGNOSTICA ElectroMagnetismoCaesar AlexanderEVALUACION DIAGNOSTICA ElectroMagnetismoEvaluacion Diagnostica SEPCaesar AlexanderEvaluacion Diagnostica SEPNeumatica AplicadaCaesar AlexanderNeumatica AplicadaBrazo ManipuladorCaesar AlexanderBrazo ManipuladorOperacion y Programacion de Robot Mh5Caesar AlexanderOperacion y Programacion de Robot Mh5Robot motomanCaesar AlexanderRobot motomanSistemas ElevadoresCaesar AlexanderSistemas ElevadoresGenerador Van de GraaffCaesar AlexanderGenerador Van de GraaffElectricidad y MagnetismoCaesar AlexanderElectricidad y MagnetismoCampo ElectricoCaesar AlexanderCampo ElectricoADALINEYMADALINE2Caesar AlexanderADALINEYMADALINE2ECUACIONES DIFERECIALES MODELADOCaesar AlexanderECUACIONES DIFERECIALES MODELADODSO Nano v2 ManualCaesar AlexanderDSO Nano v2 ManualConvocatoria Robo HoopsCaesar AlexanderConvocatoria Robo HoopsCuadernillo Geometría Analítica (1)Caesar AlexanderCuadernillo Geometría Analítica (1)2 Eym Plan de CursoCaesar Alexander2 Eym Plan de Curso
RecomendadoApuntes De Matemáticas Para El Acceso A UnedcorzotronicMODULO DE MATEMATICAS BÁSICASshintakunNIVELACION MATEMATICASJorge AguayoSelectividad Extremadura CCNN Tomo 1 2000 2010ADAMA.CORVIEstadistica descritiva e inferencial colegio de bachillerespuga_2402Algebra LinealAlejandro Herrera3922559[1]Problemas Resueltos de Calculochicho6404para los que tenemos problemas para entender he aqui unos ejemplos que nos ac...Selectividad Extremadura CCNN Tomo 2 2000 2010ADAMA.CORVIProblemas de Razonamiento Lgico_libro de RespuestasWilson LiebanoGUIA_DE_EXAMENAgustin Barron EstradaSelectividad_Madrid_CCNN_2000_2011ADAMA.CORVIPROPEDEUTICO_cuadernilloSilvia Ramirez PerezEste es un cuadernillo utilizados , para los cursos de matematicas impartido ...ALGAIDA_BAC_1_CCNN_Problemas_Resueltos_Complejos_GeometriaADAMA.CORVIEDITEX_SOL_BAC_2_CCNN_2002ADAMA.CORVILibro de Ejercicios Selectividad Resueltos as Fisica Quimica IPatricio Cornejo GarridoANAYA_SOL_BAC_2_CCNN_2008ADAMA.CORVIMcGrawHill_SOL_BAC_1_CCNN_2008ADAMA.CORVIsolucionario20071ing_pemsolucionario20081Oscar GonzalesLibro SuperiorV_ctor_Estrada_2545Libro MatematicasViktor MigAlgebra Recrecativa-Yakov Perelmanapi-3699625Manual Álgebra Aplicadamjaravalenzuela9179EDITEX_SOL_BAC_2_CCSS_2008ADAMA.CORVIMatemáticas
María José Rui...calculo18121584Matematicas1_trillasAlberto EstradaSANTILLANA_SOL_2_BAC_CCSSADAMA.CORVIMcGrawHill_SOL_BAC_2_CCSS_2008ADAMA.CORVIBRUÑO_SOL_BAC_2_CCNNADAMA.CORVISANTILLANA_SOL_1_BAC_CCNNADAMA.CORVIAnterior|PróximoPage 1 of 8Similar to cbnAlgebraApuntes De Matemáticas Para El Acceso A UnedcorzotronicApuntes De Matemáticas Para El Acceso A UnedMODULO DE MATEMATICAS BÁSICASshintakunMODULO DE MATEMATICAS BÁSICASNIVELACION MATEMATICASJorge AguayoNIVELACION MATEMATICASSelectividad Extremadura CCNN Tomo 1 2000 2010ADAMA.CORVISelectividad Extremadura CCNN Tomo 1 2000 2010Estadistica descritiva e inferencial colegio de bachillerespuga_2402Estadistica descritiva e inferencial colegio de bachilleresAlgebra LinealAlejandro HerreraAlgebra Lineal3922559[1]Problemas Resueltos de Calculochicho64043922559[1]Problemas Resueltos de CalculoSelectividad Extremadura CCNN Tomo 2 2000 2010ADAMA.CORVISelectividad Extremadura CCNN Tomo 2 2000 2010Problemas de Razonamiento Lgico_libro de RespuestasWilson LiebanoProblemas de Razonamiento Lgico_libro de RespuestasGUIA_DE_EXAMENAgustin Barron EstradaGUIA_DE_EXAMENSelectividad_Madrid_CCNN_2000_2011ADAMA.CORVISelectividad_Madrid_CCNN_2000_2011PROPEDEUTICO_cuadernilloSilvia Ramirez PerezPROPEDEUTICO_cuadernilloALGAIDA_BAC_1_CCNN_Problemas_Resueltos_Complejos_GeometriaADAMA.CORVIALGAIDA_BAC_1_CCNN_Problemas_Resueltos_Complejos_GeometriaEDITEX_SOL_BAC_2_CCNN_2002ADAMA.CORVIEDITEX_SOL_BAC_2_CCNN_2002Libro de Ejercicios Selectividad Resueltos as Fisica Quimica IPatricio Cornejo GarridoLibro de Ejercicios Selectividad Resueltos as Fisica Quimica IANAYA_SOL_BAC_2_CCNN_2008ADAMA.CORVIANAYA_SOL_BAC_2_CCNN_2008McGrawHill_SOL_BAC_1_CCNN_2008ADAMA.CORVIMcGrawHill_SOL_BAC_1_CCNN_2008solucionario20071ing_pemsolucionario20071solucionario20081Oscar Gonzalessolucionario20081Libro SuperiorV_ctor_Estrada_2545Libro SuperiorLibro MatematicasViktor MigLibro MatematicasAlgebra Recrecativa-Yakov Perelmanapi-3699625Algebra Recrecativa-Yakov PerelmanManual Álgebra Aplicadamjaravalenzuela9179Manual Álgebra AplicadaEDITEX_SOL_BAC_2_CCSS_2008ADAMA.CORVIEDITEX_SOL_BAC_2_CCSS_2008calculo18121584calculoMatematicas1_trillasAlberto EstradaMatematicas1_trillasSANTILLANA_SOL_2_BAC_CCSSADAMA.CORVISANTILLANA_SOL_2_BAC_CCSSMcGrawHill_SOL_BAC_2_CCSS_2008ADAMA.CORVIMcGrawHill_SOL_BAC_2_CCSS_2008BRUÑO_SOL_BAC_2_CCNNADAMA.CORVIBRUÑO_SOL_BAC_2_CCNNSANTILLANA_SOL_1_BAC_CCNNADAMA.CORVISANTILLANA_SOL_1_BAC_CCNN

References: Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 

Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución