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Timestamp: 2020-08-10 01:00:16+00:00

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MATE I Liro actualizado.pdf | Conjunto (Matemáticas) | Número Real
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222034_TALLER_N2_MATB0010
Los Significados de Las Fracciones_21
MODULO_LOGICA_CONJUNTOS.pdf
MC. Jesús Madueña Molina Secretario General
Dr. Juan Ignacio Velázquez Dimas Secretario Académico Universitario
MC. Manuel de Jesús Lara Salazar Secretario de Administración y Finanzas
Dr. Fidencio López Beltrán Director de Servicios Escolares
Dr. Armando Flórez Arco Director de DGEP
Dr. Armando Bueno Blanco Subdirector Académico de DGEP
Mtro. Simón Martin Díaz Quiñónez Subdirector Administrativo de DGEP
Aritmética y Algebra para Bachillerato Por competencias
Arturo Ylé Martínez
José Alfredo Juárez Duarte
Armando Flórez Arco
Aritmética y Álgebra para bachillerato
Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Armando Flórez de Arco
UAS/DGEP
Aritmética y Álgebra para bachillerato por competencias Plan 2015
Leticia Sánchez Lara Carol Judith Zazueta Rivera
Editorial: Servicios Once Ríos Editores Río Usumacinta 821 Colonia Industrial Bravo Culiacán, Sin. Tel-fax: 667 712-2950
Edición con fines académicos, no lucrativa.
Dedicamos este libro a todos los estudiantes y maestros que hacen, y han hecho, el esfuerzo cotidiano por mejorar la calidad del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en las aulas del bachillerato de la Universidad Autónoma de Sinaloa. Por supuesto, también lo dedicamos a nuestras familias y amigos. Gracias a todos por su confianza y apoyo.
NÚMEROS REALES Y ARITMÉTICA
1.1 Elementos básicos de conjuntos «
Noción y concepto de conjunto « 15 Notación e igualdad de conjuntos « 16 Conjuntos finitos e infinitos. Conjunto vacío « 18
Subconjuntos « 18 Conjunto universal. Operaciones con conjuntos. Diagramas de Venn ♦ 19
1.2 Concepto de número y sistema numérico « 23
1.3 El conjunto de los números naturales « 24
Orden en los números naturales «
Operaciones básicas de los números naturales « 25
Múltiplos y divisores de un número natural « 25
Potencias de un número natural « 28 Algunas relaciones entre la suma, la multiplicación y la división « 30 Máximo común divisor (m cd) « 32 Mínimo común múltiplo (mcm ) ♦ 33
Propiedades de las operaciones básicas de los números naturales « Signos de agrupación y orden en las operaciones » 34
1.4 Números enteros « 36 Representación gráfica y orden de los enteros « 37 Valor absoluto de números enteros « 38 Operaciones y propiedades de los números enteros « 38 Suma de números enteros « 39 Primer caso: los sumandos son positivos « 39 Segundo caso: los sumandos son negativos « 39 Tercer caso: los sumandos son de signo contrario « 40
Multiplicación de números enteros « 41 División de números enteros « 43 Potencias de números enteros « 46
1.5 Números racionales ♦ 51 Definición y representación de los racionales « 53 Propiedades y relaciones de orden en los números racionales « 54 Operaciones y propiedades de campo de los números racionales « 56 Suma y resta de números racionales « 56 Multiplicación y división de números racionales « 58 Potencias de racionales con exponentes enteros ♦ 60
Razones, porcentajes y proporciones ♦ 63 Proporcionalidad y variación directamente e inversamente proporcional « 65
1.6 Números irracionales: Definición y representaciones « 68 Operaciones y propiedades de los irracionales ♦ 70 La raíz cuadrada y los números irracionales ♦ 71 Métodos para calcular la raíz cuadrada « 72
1.7 Números reales: Definición y representación geométrica « 74
Distancia y valor absoluto de un número real «
Desigualdades, intervalos y propiedades de orden en los números reales « 75 Operaciones y propiedades de campo de los números reales ♦ 77
Potencias de números reales con exponentes enteros Radicales, raíces y potencias ♦ 82 Potencias de números reales con exponente fraccionario
Simplificación de radicales y reducción de radicales a un índice común
Suma y resta de radicales ♦ 88 Multiplicación y división de radicales
LENGUAJE ALGEBRAICO Y POLINOMIOS
Modelación y lenguaje algebraico « 93 Modelos matemáticos: fórmulas, variables, expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
De la Aritmética al Algebra: las propiedades de campo como modelos
Término algebraico: concepto, definición y componentes
Cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas y fórmulas 98 Progresiones y series aritméticas y geométricas (opcional) » 99 Clasificación de las expresiones algebraicas « 109
Polinomios • 110 Operaciones con polinomios de una y varias variables « 112 Términos semejantes. Reducción de términos semejantes « 112 Suma (o adición) de polinomios » 114 Resta (o sustracción) de polinomios « 115 Suma y resta combinada de polinomios « 116 Agrupación de términos en paréntesis « 116 Multiplicación de polinomios « 119 Operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación de polinomios « 121
Productos notables « 122 Productos notables básicos « 123 Teorema del binomio (Binomio de Newton) ♦ 124
División de polinomios « 127 Monomios entre monomios « 127 Polinomios entre monomios « 127 Polinomios entre polinomios « 128 División sintética y propiedades de la división para polinomios « 130
Factorización de polinomios ♦ 134
Factorización de polinomios por factor común « 136 Factorización de binomios que son diferencia de dos cuadrados * 137 Factorización de Binomios que son sumas o diferencias de dos cubos ♦
Factorización de Trinomios que son cuadrados perfectos « 138 Factorización de Trinomios que son de la forma: x2 + p x + q * 139 Factorización por tanteo de trinomios de la forma: mx2 + px + q, con m * 1.
Factorización de polinomios por agrupación « 142 Estrategias y consideraciones generales para factorizar polinomios « 143 Aplicaciones de la factorización: resolución de ecuaciones polinomiales «
Fracciones algebraicas « 146 Multiplicación y división de fracciones algebraicas « 148 Adición y sustracción de fracciones algebraicas » 151 Fracciones complejas « 153
E sta segunda edición del texto está destinada a los estudiantes que cursan el primer gra­ do de las preparatorias, con Plan de Estudios 2015, del bachillerato de la Universidad Autónoma de Sinaloa. Los contenidos del mismo cubren el primer semestre del ciclo
escolar, en correspondencia con las exigencias del Programa de Matemáticas I (Aritmética y
El propósito general de la asignatura de Matemáticas I es que al finalizar el curso el alumno conozca y comprenda el lenguaje algebraico y los procedimientos y operaciones aritméticas y algebraicas básicas, y los aplique en la modelación, formulación y resolución de problemas de su vida cotidiana, y de algunas áreas de las ingenierías y las ciencias.
Para lograr tal propósito las competencias genéricas y disciplinares básicas de matemáticas
a desarrollar durante el curso son las siguientes:
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos me- diante la utilización de medios, códi­ gos y herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone so­ luciones a problemas a partir de méto­ dos establecidos.
8. Participa y colabora de manera efecti­ va en equipos diversos.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante diversos sistemas de representación simbólica,
Sigue instrucciones y procedimientos de ma­ nera reflexiva en la búsqueda y adquisición de nuevos conocimientos.
Propone soluciones a problemas del orden cotidiano, científico, tecnológico y filosófico.
Emite juicios críticos y creativos, basándose en razones argumentadas y válidas.
Articula los saberes de diversos campos del conocimiento y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.
Plantea problemas y ofrece alternativas de solución al desarrollar proyectos en equipos de trabajo, y define un curso de acción con pasos específicos.
Asume una actitud constructiva al intervenir en equipos de trabajo, congruente con los co­ nocimientos y habilidades que posee.
Competencias disciplinares básicas del área de matemáticas
Construye e interpreta modelos mate­ máticos mediante la aplicación de pro­ cedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la com­ prensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Construye e interpreta modelos matemá­ ticos pertinentes para la representación, comprensión y análisis de situaciones o problemas reales, hipotéticos o formales, mediante la modelación y aplicación de con­ ceptos, procedimientos y símbolos de la arit­ mética y el álgebra.
Formula y resuelve problemas matemáti­ cos, aplicando diferentes enfoques.
Formula y resuelve problemas matemáticos reales, hipotéticos o formales, mediante la aplicación de conceptos y procedimientos de la aritmética y el álgebra.
Explica e interpreta los resultados ob­ tenidos mediante procedimientos ma­ temáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Explica e interpreta los resultados obteni­ dos en los cálculos, ejercicios y problemas resueltos sobre la aritmética y el álgebra, y los contrasta con axiomas, procedimientos y modelos establecidos y con las condiciones dadas o situaciones reales.
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráfi­ cos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comu­ nicación.
Argumenta la validez de la solución de los ejercicios y problemas resueltos sobre aritmética y álgebra, usando métodos nu­ méricos, gráficos o analíticos, mediante el lenguaje verbal y matemático.
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagra­ mas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con símbolos, conceptos y operaciones de la aritmética y el álgebra, mostrando compren­ sión en la lectura de textos de Matemáticas y emitiendo juicios correctos y bien fundados sobre las diversas representaciones de los ob­ jetos matemáticos.
El contenido tratado en este texto es de nivel básico elemental, ya qué el bachillerato uni­ versitario tiene carácter propedéutico, así los conocimientos teóricos que aparecen en cada capítulo constituyen los mínimos que se requieren para la comprensión del contenido y el desarrollo de las competencias matemáticas fundamentales. Mientras que, didácticamente, se desarrollan de manera intuitiva e informal, hasta donde sea matemáticamente posible, por lo cual se enfatiza en la visualización geométrica de los conceptos y operaciones, y en aplica­ ciones sencillas.
El texto de Matemáticas I se encuentra diseñado para ser trabajado por procesos, desde el enfoque en competencias, siguiendo una metodología activa de enseñanza/aprendizaje que deberá estar centrada en: investigaciones autónomas del alumno, exposiciones de clase, talle­ res de resolución individual y/o grupal de ejercicios y problemas escolares formales o contex-
tualizados, argumentaciones y demostraciones matemáticas, evaluación y comunicación de procedimientos y resultados, análisis y corrección de errores.
Estas orientaciones didácticas generales deberán desarrollarse en un ambiente, o micro­ cosmos cultural de practicantes o aprendices, similar al de la comunidad científica. Y se re­ comienda que el docente lo implemente a través de los siguientes momentos y funciones
didácticas (FD ): motivación, orientación hacia el objetivo, aseguramiento del nivel depar­ tida, elaboración o desarrollo del nuevo contenido de aprendizaje, consolidación yfijación del aprendizaje, control y evaluación del aprendizaje.
Los contenidos disciplinares tratados abordan ampliamente la terminología y simbología algebraica y el trabajo procedimental o algorítmico. La ejercitación que se propone en todos los temas es amplia y variada y resulta suficiente para el nivel de profundidad y complejidad con que se deben cumplir los objetivos del programa. Los ejercicios están dirigidos en lo fun­ damental al desarrollo de habilidades básicas y a través de ellos se propicia la integración del contenido. Sin embargo, recomendamos al estudiante el uso de un software, por ejemplo el Geogebra, para efecto de comprobar los resultados de algunos ejercicios.
En cada uno de los apartados, en que se dividen los capítulos, se presentan ejemplos com­ pletamente desarrollados de los problemas y ejercicios típicos correspondientes a los cono­ cimientos teóricos tratados, con el propósito de contribuir al desarrollo de habilidades en los procedimientos y estrategias de trabajo y para fijar los conocimientos. Para cada uno de los temas tratados hay una gran variedad de actividades de aprendizaje dedicadas a la resolución de problemas, lo que requiere habilidad para traducir del lenguaje común al matemático y viceversa, o sea, para la elaboración de modelos matemáticos.
El contenido del libro se ha estructurado y organizado en tres capítulos, en función de lo­ grar una mejor sistematización e integración de los conocimientos. En el primer capítulo, se
estudian los elementos de los conjuntos y los números reales en el contexto de la aritmética.
Esto en razón de que el Álgebra elemental resulta de una generalización de la aritmética, y por ende es natural y conveniente que el alumno reactive sus conocimientos de aritmética, en el contexto de los diferentes sistemas numéricos, para que se posibilite un mejor aprendizaje de esta rama de las matemáticas. Así pues, esta unidad ofrece magníficas oportunidades para reactivar los conocimientos y las habilidades aritméticas sobre operaciones combinadas con números reales, expresados de diferentes formas.
En el segundo capítulo se inicia sobre la base de la Aritmética el estudio formal del Álge­ bra Elemental. La unidad principia con el estudio del lenguaje algebraico, y se hace teniendo siempre presente que el desarrollo y comprensión del lenguaje matemático constituye una premisa esencial y básica para lograr el nivel de abstracción, generalidad y aplicación que la matemática ha alcanzado. Ya que el uso formal y correcto de la simbología y reglas de opera­ ción, así como el logro funcional o útil del conocimiento algebraico, solamente es posible si se comprende el significado del trabajo con la simbología y las operaciones con las variables (por ejemplo la traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa), en consecuencia, en
la unidad se enfatiza en los aspectos sintáctico y semántico del lenguaje algebraico.
Después de estudiarse los fundamentos del lenguaje algebraico, en esta misma unidad, se abordan los conceptos, definiciones y operaciones relativos a las expresiones algebraicas más sencillas como son los polinomios. Así por cuestiones didácticas los cálculos algebraicos se limitan de inicio a los polinomios de una, dos o tres variables. Posteriormente, en el tercer capítulo de este texto, y en el curso de Matemáticas II, los cálculos algebraicos se extienden a expresiones algebraicas más complicadas.
Por último, en el tercer capítulo, se estudia la factorización de polinomios y los con­ ceptos y operaciones fundamentales de las fracciones algebraicas. En aras de lograr la fun­ cionalidad del conocimiento algebraico y el desarrollo de habilidades en el estudiante, una vez estudiada la factorización de polinomios inmediatamente se pasa a sus aplicaciones en la simplificación de fracciones algebraicas y a la resolución de ecuaciones. En este mismo senti­ do, se estudian los conceptos y operaciones algebraicas básicas de las fracciones algebraicas, tratando de que el estudiante adquiera particularmente habilidades en la simplificación de sus resultados, y en la aplicación de sus conocimientos.
Antes de cerrar esta presentación queremos sugerir y advertir a los profesores y estudian­ tes de matemáticas del bachillerato, que usen este material como lo que es: un material de apoyo didáctico. Ningún texto, por sí solo, resuelve todos los problemas que conlleva el pro­ ceso de enseñanza/aprendizaje de la Matemática. Por lo cual, el maestro deberá aplicar toda su experiencia y competencias docentes para el uso planificado, crítico y selectivo del texto, mientras que el estudiante deberá desarrollar, con disciplina y con la guía del profesor, su ma­ yor esfuerzo para su comprensión.
Estimables lectores, aunque este texto ha sido revisado con mucho cuidado en su escritura y edición, desgraciadamente siempre se presentan errores involuntarios, por lo cual les agra­ decemos de antemano que nos hagan llegar sus comentarios, críticas y propuestas de cambio a la Academia de Matemáticas de la dgep-uas ( o a la dirección electrónica arturoyle(2>hot- mail.com), para así poder mejorarlo, conjuntamente con ustedes, en futuras ediciones.
Esta edición del libro se ha realizado en los talleres gráficos de Servicios Editoriales Once Ríos, los lectores podrán apreciar la calidad del trabajo que evidencia su profesionalismo, lo que nos produce gran satisfacción, por tal razón queremos expresarles nuestro reconocimien­ to y felicitación.
Agradecemos las facilidades que para esta publicación brindaron los directivos de la Direc­ ción General de Escuelas Preparatorias de la Universidad Autónoma de Sinaloa.
Finalmente les deseamos respectivamente a los alumnos y profesores muchos éxitos en el aprendizaje y enseñanza del Algebra y esperamos que este libro les ayude en este desempeño.
Culiacán Rosales, Sinaloa, julio de 2016
Comprende y realiza las operaciones fundamentales de los conjuntos y de la aritmética, considerando las propiedades, representaciones y subconjuntos numéricos de los números reales, y las aplica en los cálculos y en la modelación, formulación y resolución de problemas en diversos contextos.*•
• Elementos de Conjuntos: Concepto y notación de conjuntos.
Conjuntos finitos e infinitos. Conjunto vació. Conjunto universal.
Subconjuntos. Operaciones elementales entre conjuntos: unión,
intersección, diferencia y complemento. Diagramas de Venn. Apli­
caciones de los conjuntos.
• Sistemas Numéricos y Aritmética: Concepto de número. Núme­
ros naturales: definición, operaciones, potencias con exponentes
naturales y sus leyes de exponentes, factorización, números primos
y compuestos, máximo común divisor (M CD) y mínimo común
múltiplo (mcm). Números enteros: definición, operaciones y regla
de los signos, propiedades, potencias con exponentes enteros y sus
leyes de los exponentes. Números racionales: definición, represen­
taciones, operaciones y propiedades, potencias de racionales y sus
leyes de exponentes, razones, porcentajes y proporciones, variación
directamente e inversamente proporcional. Números irracionales:
definición, representaciones y operaciones, radicales (con radican­
dos números racionales) y raíces. Números reales: definición y repre­
sentación geométrica, operaciones y propiedades de campo de los
números reales, distancia y valor absoluto, propiedades de orden en
los números reales, desigualdades e intervalos, operaciones y leyes
de exponentes para potencias y radicales.
En esta unidad debe lograrse que
los alumnos sean capaces de:
1) Conocer y aplicar el concepto, la sim- bología y las operaciones de los con­ juntos en el estudio de los números reales, y de la aritmética y el álgebra
2) Conocer, identificar y aplicar los di­ versos sistemas numéricos que com­ ponen los números reales, así como sus operaciones y propiedades y di­ versas representaciones, en los cálcu­ los y en la formulación y resolución de
problemas aritméticos y algebraicos.
3) Reactivar la aritmética a través de la realización de cálculos aritméticos y algebraicos en los diversos sistemas numéricos que componen los núme­ ros reales, y de su aplicación en con­ textos problemáticos donde aparecen factores y divisores, razones, propor­
ciones y porcentajes.
Actividad preliminar: ¿Qué es un conjunto?
http://www.youtube.com/watch?v=SYNCycRsLPg http://www.youtube.com/watch?v=6vs73U9TgX4 ^
Elementos básicos de conjuntos
El concepto de conjunto es básico en la ciencia matemática, y se aplicara con mucha frecuencia en todas las asignaturas de matemáticas. En particular, el estudio y comprensión del álgebra se facilita mediante el uso del lenguaje de conjuntos. En este apartado se estudian y formalizan, a nivel elemental, los con­ ceptos y operaciones básicas de los conjuntos, en la idea de aplicarlas inmediatamente en el estudio de los números reales y en la resolución de problemas como el siguiente:
En una entrevista efectuada por teléfono a 140 personas se encontró que en los domingos: 90 per­ sonas van al cine, 70 ven televisión en casa, 40 hacen las dos cosas, mientras que el resto ni van al cine ni ven televisión. Determina cuántas personas de las entrevistadas: (a) van únicamente al cine sin ver televisión?, (b) ven únicamente televisión sin ir al cine? y (c) no hacen ninguna de las dos cosas?
Noción y concepto de conjunto
Mí noción de conjunto es:
En la vida cotidiana el concepto “conjunto” es muy familiar y de mucha aplicación. Así frecuente­ mente escuchamos, o decimos, que:
En la feria pasada fui a ver el conjunto musical los Tigres del Norte.
Ya tengo el conjunto o la colección de libros de todas las asignaturas del primer semestre.
de los números naturales son:
El conjunto de estudiantes de primer año del bachillerato de la uas durante el ciclo escolar 2016-
INÚMERO REALES Y ARITMÉTICA •
En estos ejemplos la palabra conjunto se usa intuitivamen­ te como sinónimo de colección o grupo de cosas u objetos, y generalmente no requiere de precisión conceptual ya que cumple eficazmente el propósito de comunicar algo a alguien. Sin embargo, aunque dichos conjuntos se definen con crite­ rios arbitrarios, algunas veces dichos conjuntos no están bien definidos, en el sentido de que resulta confuso determinar si un elemento pertenece o no a tal conjunto. Por ejemplo, el conjunto de las películas bonitas del año 2015 no está bien definido, porque pueden existir distintas personas con opinio­ nes diversas respecto a lo que es bonito y si una película en particular está bonita. En matemáticas también se utiliza la palabra conjunto, sin embargo, aquí se usa con significados más técnicos y precisos que en la vida cotidiana. Así decimos que:
/ El 5.87 no pertenece al conjunto de los números enteros, pero sí pertenece al conjunto de los números racionales.
/ El conjunto de los números naturales pares tiene igual números de elementos que el conjunto de los números naturales impares (Verifícalo).
/ Los números reales - 3 y 2 son elementos del conjunto solución de la ecuación cuadrática x2 + x -6 =0 (Verifícalo).
/ Una recta esta compuesta por un conjunto infinito de puntos.
Un conjunto, aunque se considera un término primario (que no se define), siempre es necesario ex- plicitar y precisar algún criterio de definición. De lo anterior, y tomando como referencia los objetivos y necesidades de este curso, para lo que sigue será suficiente la siguiente noción de conjunto:
Un conjunto es una colección de objetos cualesquiera, los cua­ les se llaman elementos del conjunto, con un criterio bien de­ finido que sirve para determinar si un elemento cualquiera es miembro o pertenece a dicho conjunto.
Notación e igualdad de conjuntos
Los elementos de un conjunto, que pueden ser a su vez otros conjuntos, se escriben entre llaves { } y se
separan por comas. Así {a, e, i, o, u} denota al conjunto de las vocales del español. En algunas ocasiones
cuando la lista es muy larga es posible utilizar puntos suspensivos, como en {a, b, c,
es imposible enlistarlos todos, como en los números naturales ( l , 2, 3, 4,
usarán siempre y cuando se conozca el elemento que sigue en cada caso; es decir, al dar un elemento
cualquiera del conjunto, sabemos cuál está después de él.
Es usual denotar los conjuntos con letras mayúsculas del alfabeto, mientras que sus elementos se denotan con letras minúsculas. Por ejemplo, el conjunto de las letras vocales puede escribirse como V={a, e, i, o, u}. De igual manera, podemos llamar G al conjunto de las letras del alfabeto griego y escri-
, Los puntos suspensivos se
x, y, z], o cuando
MATEMÁTICAS I • ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BACHILLERATO! I f f l j
bir: G={°c, (3, y, S, e, v|/, co}. O también, podemos representar al conjunto de los números naturales pares con P, y escribir:
P={2, 4, 6, 8,
conjunto A se dice que “x, es elemento de A", o bien que “x está en A''. Y se simboliza como: xeA . En caso contrario, cuan­ do un elemento “x ” no pertenece al conjunto “A”, se simboliza
así: x£A .
Cuando un elemento “x” pertenece a un
Si tenemos el conjunto M de los números naturales múltiplos de cinco, comprendidos entre 10 y 295, o sea M - {15, 20, 25,
x e A, se lee “x es elemento de A” o “x está en A” o “x pertenece a A”.
x <£ A, se lee “x
A” o “x no está en A” o "x no per­
tenece a A”.
285, 290}
M, 100 e M, 290
M, pero, 7 í
g M, 26
g M, 113 <£ M, 295
Si tenemos los conjuntos A = {l, 2, 3} y B={2, 3, 1} se observa que ambos tienen los mismos ele­ mentos aunque en diferente orden. En casos como este se dice que ambos conjuntos son iguales, y se escribe: A=B. De donde, dos o más conjuntos son iguales, si todos y cada uno de los elementos de cada conjunto son también un elemento de los demás conjuntos. En conclusión la igualdad de dos o más conjuntos no requiere que los elementos se dispongan en el mismo orden. Así, los siguientes conjuntos son iguales:
12, 8, 4}=
{12, 4, 16, 8}
Además de expresar un conjunto haciendo una lista de sus elementos, existe otra forma que consiste en representarlos por una letra seguida de una proposición que enuncia la propiedad que define al con­ junto. Ejemplo: en V={a) e, i, o, u}, la propiedad de sus elementos es la de ser una vocal, de donde, los elementos se pueden representar por la letra x, y entonces el conjunto V se expresa así:
V -{x, tal que x es una vocal}
La expresión “tal que” se acostumbra simbolizar como /; quedando el conjunto V de la siguiente mane­ ra: V={x / x es una vocal}.
Para algunos conjuntos es costumbre utilizar sím­ bolos especiales, como en el caso de los conjuntos nu­
méricos. Así tenemos qué:
El método de listar todos los elementos de un conjunto, se llama de extensión o enu­ meración y el de utilizar una propiedad se llama método de comprensión.
N= Conjunto de los números naturales= { l , 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, N= {x/x es un número natural}
Z= Conjunto de los números enteros^ {
Z= {x/x es un número entero}
-2 , -1 , 0,
a) B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, por comprensión expresa:
B= {x /x es un número natural menor que 7}, se lee: “B es el conjunto de todas las x, tales que x es un número natural menor que 7 ”.
el conjunto de los números naturales pares, por comprensión
se expresa: C={x/x es un número natural par}={2x/x € N}.
el conjunto de los números naturales múltiplos de 5, o
divisibles entre 5, entonces D= {5x/x e N}.
b) Sea: C = {2 ,4,6, 8,
c) Sea: D= {5, 10, 15, 20,
l NÚMERO REALES Y ARITMÉTICA •
d) Sea: E= {5,7, 9,11,13,
15}, el conjunto de los números naturales impares mayo­
res que 4 y menores que 16, entonces: E = {x/ x e N y 4<x< 16}.
Conjuntos finitos e infinitos. Conjunto vacío
De los ejemplos anteriores, puedes observar que al momento de listar, o describir, todos los elementos de un conjunto pueden presentarse tres situaciones: que el número de elementos sea finito, infinito o que no exista elemento alguno. En el primer caso se trata de un conjunto finito, en el segundo de un conjunto infinito y en el tercero tenemos un ( “exótico”) conjunto vacío. El número de elementos de un conjunto A se denota por n(A). Así tenemos que:
{-2 , -1 , 0, 1, 2, 3 } , es un conjunto finito, con n(G)=6
{4, 8, 12, 16,
es un conjunto infinito, con n(Ñ )=oo
{x / x e N
y x<0}= {
}, es un conjunto vacío, con n(V)= 0.
Posiblemente te resulte extraño que se hable de conjuntos vacíos, sin embargo, este tipo de conjun­ tos sin elementos es frecuente en matemáticas. Veamos un par de ejemplos: Sea, P={y /y e íB ,y 2= -9 } . Si buscamos los valores reales de y tales que y2 = -9, es decir buscamos un número que elevado al cuadra­ do de -9 , resulta claro que no existe ningún número que cumpla esta condición, pues ya sabemos que todo número positivo o negativo elevado al cuadrado es otro número positivo. Por lo tanto: P={ } es un
conjunto vacío. El conjunto vacío también se denota con el símbolo cj>, de donde, P- (y / y e 5 í,y 2= - 9 }
En la vida cotidiana los conjuntos vacíos casi no se usan, lo cual no implica que no existan. Para que te convenzas enumera los elementos del siguiente conjunto: P- {x/x es una mujer que haya sido presi­ dente de México hasta antes del año 2016}.
Si revisas la historia política del país concluirás que no existe persona que tenga esta propiedad. Por
lo tanto, el conjunto P={
}=<(>. Otro ejemplo: sea D= {x/xeN , 2<x<4, x * 3 }, resulta evidente que: D ={
}=<j).
}=cf>.
Un conjunto vacío es aquel que no tiene elementos.
}y<j). O sea: {
Los símbolos que lo representa son {
}=<J>.
Considérese los conjuntos A={x/x es habitante de Sinaloa} y B={y/y es habitante de México}. ¿Qué puede afirmarse de los elementos del conjunto A con respecto a los elementos de B?
Esta relación entre A y B se simboliza así: Ac
B, el cual se lee: “A está
contenido en B” o “A es subconjunto de B”. Así pues, dados dos con­
juntos A y B se dice que A es subconjunto de B, si y sólo si todos los ele­ mentos de A son elementos de B.
MATEMÁTICAS I • ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BACHILLERATO!
En consecuencia, un conjunto A no es subconjunto de B si existe al menos un elemento en A que no pertenece a B. Ejemplo, sí A = {l, 2, 3, 4, 5} y B = {l, 2, 3, 4, 6, 7}, como 5eA y 5g B , entonces, A no es subconjunto de B. Esto se denota como Ac2 B (Se lee: A no está contenido en B, o A no es subconjunto de B).
En particular, como el conjunto vacío no tiene elementos, es imposible que exista algún elemento en este conjunto que no pertenezca a otro conjunto cualquiera A. Por lo tanto, se concluye que el conjunto vacío es subconjunto del conjunto A.
Conjunto universal. Operaciones con conjuntos. Diagramas de Venn
Al trabajar con conjuntos es necesario definir un conjunto universal, en el que cada conjunto utilizado sea subconjunto de él, y el cual debe tener a todos aquellos elementos que intervienen en el proceso o problema a resolver. Por ejemplo, si trabajamos con el conjunto de números pares, un conjunto univer­ sal posible es el conjunto de los números naturales (N) o también el conjunto de los números enteros (Z). Si hablamos de los cuadrados, un conjunto universal podría ser el conjunto de los rectángulos o bien el conjunto de todos los cuadriláteros, esto muestra que el conjunto universal no es único y su selección depende del proceso o problema que se aborde. Para simbolizar al conjunto universal se em­ pleará la letra U.
Ejemplo | Un par de conjuntos universal para los siguientes conjuntos: A ={x/xeN }
B={0 }
y C= {-1 , -2 , -3 , -4,
Son las siguientes: U= {x/xeZ }, o bien, U= {x/ x eR }.
Con los conjuntos, al igual que con los números, se pueden realizar algunas operaciones, tales como:
la unión, la intersección, la diferencia y el complemento. A continuación definimos estas operaciones.
Unión de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, la unión de A y B, que se denota como AuB, es el conjunto formado por todos aquellos elementos que están en A o están en B. En forma simbólica y por comprensión:
A o x e
Sean 17={0,
Entonces: A u
1, 2, 3,4, 5,6, 7, 8, 9 } , A={0,
B={0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8},
C = {2 ,4, 6, 8 ,9 },
C=L7.
1, 2, 3,4, 5},
B = {2 ,4, 6, 8} y C = {9}
Intersección de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, la intersección de A y B, que se denota como A n B, es el conjunto formado por todos aquellos elementos que son comunes a A y a B. En forma simbólica y por comprensión:
Nota: Si A n B={
B = {x/x
}= <j>, los conjuntos A y B se llaman conjuntos disjuntos o ajenos.
W » B I NÚMERO REALES Y ARITMÉTICA •
={9}
conjuntos U={0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 1, 8, 9},
A={0,
B = {2,
4, 6, 8}
Entonces: A O
B={2, 4},
B n C = { } ,
A n B n C = < j> ,
17=B.
Diferencia de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de A y B, que se denota como A-B, es el conjunto formado por todos aquellos elementos que están en A y no están en B. En forma
simbólica y por comprensión:
A -B={*/x e A y x <£B}
Si U ={0,1 ,2 ,3 , 4 , 5, 6,7, 8,9}, A ={0,1,2, 3,4, 5}, B= {2,4, 6, 8} y C={9}
Entonces: A-B={0, 1, 3, 5}, B-U=<j>,
B-A={6, 8}, A -U = {},
B-C=B, U -A ={6,1, 8, 9}.
Complemento de conjuntos: Sean los conjuntos A y U, el complemento de Acón respecto a U, que se denota como Ac, es el conjunto formado por todos aquellos elementos que no están en Apero que si están en U. En forma simbólica y por comprensión:
Ac= {x /x £ A y x
G U }
Sean los conjuntos U ={0,
C ={9}
1, 2, 3, 4, S, 6,1, 8, 9}, A={0,
1, 2, 3, 4, 5}, B = {2 , 4, 6, 8}
Entonces: Ac= {6 , 1, 8, 9},
Cc= { 0 ,1, 2, 3,4,5, 6 ,7 ,8 },
( A O B )‘ = {0 ,1 ,3 , 5, 6 , 1, 8 , 9},
Bc={0, 1, 3, 5 ,7 ,9 }, (A U B > = {7 ,9 }, ]jc={ } , cj,c—U.
Las operaciones entre conjuntos pueden ser convenientemente representadas me­ diante regiones o figuras cerradas del plano que son conocidos como diagramas de Venn. Dichos diagramas son de mucha utilidad al momento de comprender y resolver problemáticas que puedan plantearse en términos de conjuntos. Por convención, se acostumbra representar al conjunto universal U con un rectángulo, mientras que cualquier subconjunto del mismo, deberá quedar incluido dentro del área del rectángulo, y sus elementos quedaran dentro de un círculo (o cualesquier curva cerrada) que lo represente. Así, s i A c U y B c U , entonces:
B= <)>
MATEMÁTICAS I • ARITMÉTICA V ÁLGEBRA PARA BACHILLERATOl W XW
A l) Investiga, reflexiona, argumenta y consulta con tu maestro o maestra, sobre las siguientes cuestiones: ¿Por qué en matemáticas no se define el concepto conjunto? ¿Por qué un conjunto debe tener un criterio de definición claro y preciso?
A2) Tarea para investigar: ¿Son correctas las siguientes igualdades entre conjuntos? Explica a tus compañeros y compañeras tus respuestas.
{3 ,7 , 5,
9}= {3, 5, 7, 9, 7}
1 ,2}= {3, { 1 ,2 } }
{ 3 ,{1 ,2 }}= {{ 2 ,I } ,3 }
{x/xeN
y2x+8=18}={x/ 17<x<19}
Sean los conjuntos A = {l,
5, 7, 9},
10} y C={0,
siguientes proposiciones son verdaderas (V )
o falsas (F)?
1 0 £ B
5 £ C
0 £ C
e B y 2 ¿ C
6 e B y ó £ C
e A y 2 £ C
e A y 2 e A
6 e A y ó £ C
10 e B o 6 e A
8 £ B
o 8 íéC
e A o 2 £ C
A4) Sea el conjunto 1V={16, 12, 8, 4}. (a) Escribe 5 conjuntos que sean iguales a W, pero cuyos elementos estén ordenados en forma diferentes, (b) ¿Cuántos conjuntos iguales a W pueden escribirse y que solo difieran en el orden de sus elementos?
A5) Expresar mediante el método de comprensión los siguientes conjuntos:
A= {5,10, 15, 20, 25, 30, 35{=
B= {1, 3, 5, 7, 11,13,
{1 ,3 , 5,
11, 1 3 ,1 5 ,1 7 ,
D= {7,
10, 13,16, 19,
E= {0 ,1 , 2, 3,4, 5 ,6 ,7 , 8, 9}=
F= {2 ,4 ,
16, 3 2 ,6 4 ,
A6) Expresar mediante el método de extensión los siguientes conjuntos:
B={9x / xeN , x>25}=
D = {(x ,y )
F={t / t eZ, t2 16=0}=
A7) De los siguientes conjuntos determina cuales son finitos, infinitos o vacíos:
A={4x / x e Z , 4<x<20}=
C = {x/xeN , x<5}=
E={x/ xeZ , x+2=0}=
/ x +y =
10}=
A= {4x / x e N , 4<x<20}
C= { ( x ,y )
/ x + y=
B= {9x / xeN , x>25}
D= {x/ x e N }, x+2=0}
A8) Si
T y W son conjuntos, y T d W y Wcz T, entonces:
A9) ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto S={ 1, 2, 3,4, 5} ?
A10) Sean los conjuntos N = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
y D = {l,
-3 , -2 ,
, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
, “Falso” o “Verdadero”, según sea el caso en las siguientes relaciones:
I={1,
<p<zZ
A ll) Dar al menos un conjunto universal para los siguientes conjuntos:
F= {íc/ * -5 = 0 },
G = {5,10, 15, 20}
A 12) Sea los conjuntos U= Z
N = {1 ,2 ,3 ,4 , 5,7, 8,9
P= (2 ,4 ,6 , 8,
H ={x / xeN y x>4}
Z“ = {
e 1= {1 ,2 ,3 ,5 ,
, Realiza las siguientes operaciones:
-3 , -2 , -1 ,},
Z+ = {0,
IuP=
N-P=
- z +y
Z+u Z“=
N-I=
(pui y=
Z-N=
(Pnl)c=
Z+ U N =
( ( z +) cn Z " ) c =
Ncn Z c =
A13) Sí A, B, y C son subconjuntos cualesquiera del conjunto universal U, cuales de las siguientes relaciones u operaciones son Falsas o Verdaderas:
ARA = A A R 0=0
BuB = B B u 0= B
AflB = BOA
-0 =A
B fl Bc = 0
(Ac)c= A
C u Cc— U
A14) Sí U ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , A={ 1, 2, 3, 4 } y B={3, 4, 5, 6}, localice en diagramas de Venn
los elementos de: U, A, AuB, AuB, A-B, B-A, AL' y Bc.
A15) En una entrevista efectuada por teléfono a 200 personas se encontró que en los domingos:
95 personas van al cine, 120 ven televisión en casa, 70 hacen las dos cosas, mientras que el resto ni van al cine ni ven televisión. Utilizando los diagramas de Venn determine ¿Cuántas personas de las entrevistadas: (a) van únicamente al cine sin ver televisión?, (b) ven únicamente televi­ sión sin ir al cine? y (c) no hacen ninguna de las dos cosas?
A ló) En un barrio donde hay 31 personas, 16 compran en el mercado, 15 en la bodega y 18 en el su­ permercado; 5, en los dos últimos sitios; únicamente 6, en los dos primeros; y 7, en el primero y último. ¿Cuál es el menor número de personas que podrían comprar solamente en el mercado?
A17) Dos ciudades, A y B, se encuentran a una distancia de 300 km. De estas ciudades, salen dos ciclistas al encuentro uno de otro, avanzando a una velocidad de 50 km/h. Junto con el primer ciclista de la ciudad A, sale volando una mosca a una velocidad de 100 km/h. La mosca adelan­ ta al primer ciclista y vuela el encuentro del segundo, que partió de B. Al encontrarse con él, la mosca da la vuelta en dirección al ciclista A. Encontrándose con éste, da nuevamente la vuelta hacia el ciclista B y así continúa sus vuelos, hacia adelante y hacia atrás, hasta que los ciclistas se encuentran. Después la mosca se tranquiliza y se posa en la gorra de uno de los ciclistas. ¿Cuántos kilómetros vuela la mosca?
MATEMÁTICAS I • ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BACHILLERATOl
¿Cómo surgieron los números? Es difícil saberlo con exactitud, sin embargo, en base a investigaciones históricas y antropológicas se pueden hacer conjeturas. Parece razonable suponer que el hombre pri­ mitivo tuvo alguna noción intuitiva de “más que” y “menos que”. En la evolución de la civilización, los recursos del entorno posibilitaron algunas formas de dar respuesta a las preguntas cuantitativas relacio­ nadas con los fenómenos u objetos.
Se puede hacer sin los
símbolos numéricos o numerales, basta con algún sistema de registro o conjunto de referencia, tales como: marcas en la arena, muescas cor­ tadas en un trozo de madera, nudos enlazados en un cordel, guijarros en una bolsa o los dedos de la mano. Cualquiera que sea el instrumen­ to u objetos usados para formar el conjunto de referencia, el principio
involucrado en el conteo siempre es el mismo: una asociación o apa­ reamiento entre los objetos que deben ser contados y el conjunto de referencia.
A partir de esto, y en un proceso de abstracción creciente, el hom­ bre desarrolló un conjunto de palabras para ser usado como un con­ junto de referencia más conveniente o para mantener el registro de “cuantos”. El siguiente paso consistió en pasar del lenguaje oral al es­ crito, después a los símbolos y al desarrollo de sistemas de numera­ ción, finalmente a los sistemas numéricos.
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos que se usan para asignar símbolos numéricos a los números (numerales). Como ejemplos más conocidos tenemos el sistema de numeración romana (i, II, III, IV, V, etc.) y el sistema de numeración decimal (0, 1, 2, 3 ,4 ,5 , 6, 7, 8 y 9).
Un sistema o conjunto numérico está compuesto por un conjun­ to de números, operaciones definidas en los números del conjunto, y reglas que rigen dichas operacio­ nes. Estos tres componentes del sistema determinan su estructura matemática. Cualquier cambio en uno de los componentes modifica el sistema y por ende su estructura.
Para responder a la pregunta de ¿Cuánto
¡NÚMERO REALES Y ARITMÉTICA •
Desde la primaria y la secundaria has estado haciendo cálculos y resolviendo problemas matemáticos en diferentes sistemas o conjuntos numéricos. Estos conjuntos son fundamentales para el trabajo y apren­ dizaje matemático que se desarrolle posteriormente, por lo cual es necesario que a continuación los recordemos y, además, profundicemos en el estudio de sus operaciones y propiedades.
Empezaremos con el más conocido y utilizado por la mayoría de las personas, nos referimos al siste­ ma o conjunto numérico de los números naturales, que son los que cotidianamente utilizas para contar y resolver problemas de tu entorno. En notación de conjuntos los números naturales se representa como:
N={1,2, 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,
Observa que el conjunto de los números naturales es un conjunto infinito, ¿por qué? Reflexiona y
Hay que mencionar que algunos autores incluyen al cero (0) en el conjunto N, otros no, atendiendo a diferentes criterios, esto es convencional. En este texto el cero se incluirá dentro del conjunto de los números enteros. Así, si al conjunto de los naturales le agregamos el cero obtendremos el conjunto de
los números enteros no negativos, que se denotan como:
= (0,1,2, 3,4,5,6,7, 8, 9,10,11,-}
Los elementos de Z+pueden ser representados geométricamente asociándolos a puntos equidistan­ tes uno del otro de una línea recta de la siguiente manera:
origen ■
1---- T---- 1-----1---- T-
V sentido positivo 4
— i------- 1--------- 1-------- 1----------►
Observa como la recta numérica de Z+representa también una sucesión ordenada de los números naturales, pues: 1 es menor que 2 ( 1<2), 2 es menor que 3 (2<3), etc. Simbólicamente esto se denota como:
1<2 <3 < > 5
<6 <[]<8 <[]<10 < ü < 12-
En general, dados dos números naturales cualquiera a y b, si b esta localizado en la recta numérica de Z+al lado derecho de a, entonces b es mayor que a, y se simboliza como: b> a (b mayor que a) o a <b
(a menor que b). De donde:
2 > 0 53>G i 4>D
; 5> □
6>G j 7 > >
[ > 7 j [ > 8
; []>9 ; > 1 0 ;
Por último, si comparamos las magnitudes de dos números naturales n y m, resulta lógico concluir que no pueden ser simultáneamente iguales y diferentes, y en caso de que sean diferentes, necesaria­ mente uno de ellos es mayor que el otro. Esto se conoce como ley de la tricotomía. Dados m y « e N , se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: |m<n 1 |m=n| m>n .
MATEMÁTICAS I • ARITMÉTICA V ÁLGEBRA PARA BACHILLERATO! P E I
Operaciones básicas de los números naturales
Con los elementos del conjunto de los naturales, como en todo sistema numérico, se realizan ciertas operaciones básicas (como la suma, la resta, la multiplicación y la división) que cumplen con ciertas reglas o propiedades generales.
Si a y beN , entonces las operaciones básicas se representan como:
Suma o adición: a+b.
Resta o sustracción: a-b.
Multiplicación: ax b- (a)(b)= a ■b= ab.
División: a + b = <=>j
j/y <=> b[a
Ejemplo: 12+100= 112. Ejemplo: 325-279= 46.
Ejemplo: 5 x 4 = (5 )(4 )= 20.
Ejemplo: 12 + 4=3
En la suma a+b, aybse llaman sumandos, de donde, en 12+100= 112,12 y 100 son sumandos de 112. En la multiplicación axb, aybse llaman factores, así en 5x4=20, 5 y 4 son factores de 20. También los números 6 0 ,2 0 y 32 son sumandos de 112, en tanto que 10 y 2 son otro par de factores de 20. (Por qué?)
En la multiplicación anterior de 5x4=20, se dice que el 20 es un múltiplo de los factores 5 y 4. En tanto que los factores 5 y 4 son divisores de 20, ya que 20+5=4 y 20+4=5. De igual manera, 15 es un múltiplo de 1, 3 y 5, ya qué, 15=1x15=3x5=5x3. Y, a su vez, 1, 3 y 5 son divisores de 15, ya qué, 15+1=15, 15+3=5 y 15+5=3.
De donde, un múltiplo (c) de un número natural (a), es el número que resulta de multiplicar el nú­ mero natural (a) por otro número natural ( b), o incluso por si mismo. Mientras que, un divisor (a o b) de un número (c) es todo aquel número que lo puede dividir de manera exacta. Dicho de otra manera, los factores de un número natural, son a su vez divisores de dicho número. Generalizando:
Sean a, b y ceN . Sí: axb=c <=> c+a-b
y c+b=a.
m entonces, también, c>a y c>b.
Sí además, a y b*l,
Si multiplicas por 2 a todos y cada uno de los elementos del conjunto de los números naturales, ob­
tienes un nuevo conjunto P= {2, 4, 6, 8, 10, 12,
de los naturales. Si factorizamos los elementos de P, obtendremos que:
llamado naturales pares que es a su vez subconjunto
P= {2, 4, 6, 8, 10, 12,
}= {2 x l, 2x2, 2x3, 2x4, 2x5, 2x6,
}= {p / p=2n, neN
De donde, concluimos que los elementos “p” del conjunto P de los números naturales pares son múl­ tiplos de 2 y pueden representarse, en general, como p=2n, con n e N. Si ahora, a todos y cada uno de los elementos de P le restas uno, ¿qué conjunto conocido resulta? I= { }. De donde, el conjunto de los naturales impares puede escribirse también como:
I={1, 3, 5, 7, 9,
} = { [ (2x 1)—1], [(2 x 2 )—l],
[ ( 2 x 3 ) - l] ,
}={w /
H S B lN Ú M E R O
reales y ARITMÉTICA •
¿Si multiplicas dos números naturales pares, el resultado es también par?
. Este resultado es im­
portante, analicémoslo más en detalle, primero en lo particular y después en lo general. Inmediatamente nos percatamos de que: 2x4=8(par), 4x6=24 (par), y en general, p1xp2=2«1x2n2=2x2xn1xn2 (par, ¿por
Cuando un número natural, diferente de uno, tiene como únicos factores o divisores al uno y él mis­
mo, se llama número primo. En caso de que tenga más de dos divisores (o factores), se llama número compuesto. Así, como los únicos divisores de 7 son el 7 y el 1, entonces, 7 es número primo. Mientras
qué, el 15 es un número compuesto, ya que tiene tres divisores (¿Cuáles son?
Al proceso de descomponer un número cualquiera como producto de factores, se le llama factoriza- ción. Ejemplos: 60=2x2x3x5 = 4x15=2x30 = 12x5 = 10x6 = 3x20 y 42=2x3x7=6x7=2x21=3x14. De donde, el 60 y el 42 son números compuestos. Observa como en las factorizaciones posibles de este par de números, aparece una factorización donde todos los factores son números primos. De hecho existe el teorema fundamental de la aritmética donde se establece que:
Todo número natural compuesto puede expresarse de forma única como un producto de números primos.
Un procedimiento práctico para factorizar un número, por ejemplo el 60, en sus factores primos es el siguiente:
0 + 2= 30 =>60 = (2)(30)
0 - 2 = 15 =>30 = (2) (15)
3= 5 => 15 = (3 )(5 )
= ( 5 ) ( l )
60= 2x30= 2x(2xl5)= 2x2x(3x5)=2x2x3x5
A l) ¿Como se llama el siguiente conjunto? N={+1, +2, +3, +4, +5, +6, + 7 ,
A2) ¿Quién tiene más elementos de A y B? compara:
A3) ¿Cuántos cuadrados hay en esta figura? Cuenta:
A4) ¿Cuál es el resultado de esta suma? Cuenta:
+47+49+50=?
MATEMÁTICAS I • ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BACHILLERATOl W 9M
AS) Completa con los símbolos “>” (mayor que) o “<” (menor que) para que las siguientes expre­ siones sean proposiciones correctas:
3 9 []1 2
; 213[]140
2 [ ] l
1 2 7 []2 4 5
1 2 3 □
A6) (a) Si: a, b y ceN , y se cumple que, a=b+c. ¿Qué relación de orden existe entre a, b y c?
a[]b
f’D0 aDc
^üc
c U b-
(b) Si: a, b y ceN , y se cumple que, a<b y c>b. ¿Qué relación de orden existe entre a ye?
A7) Aarón tiene una tarjeta de crédito con un saldo a favor de $ 18,500.00, entra a una tienda de au­ toservicio y realiza las siguientes compras: una camiseta de $168.00; un pantalón de $579.00; unos zapatos tipo tenis de $1,230.00 y un teléfono celular de $4,985.00. ¿Cuál es su saldo des­ pués de pagar las compras con su tarjeta?
A8) (a) Un automóvil recorrió una distancia de 1,190 kilómetros en un tiempo de 14 horas. ¿Cuál
(b) ¿De cuantas maneras se le pueden poner las 4 llantas
fue su velocidad promedio de viaje? nuevas al automóvil?
A9) Completa con los símbolos “>” (mayor que) o “<” (menor que) para que las siguientes expre­ siones sean proposiciones correctas:
127+315 □
(2 1 3 -1 7 9 )□ (140+4)
(1 2 3 + 2 7 )[](2 S )(7 ).
A10) Si: a, b y ceN , y se cumple que, b>a. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas?
b+c>a+c
b - o a - c
A ll) Un caracol trepa en línea recta por una pared de 15 metros, empezando desde la base. Cada hora sube un metro, pero su esfuerzo es tan grande que al final del primer metro descansa 2 minutos, al final del segundo metro descansa 4, y así sucesivamente hasta llegar al final. ¿Cuántos minutos tardara en llegar arriba?
A12) Una niña traviesa toca la puerta a intervalos iguales de tiempo. Si toca 6 veces la puerta en un tiempo de 35 segundos, ¿cuánto tardará en tocarla 12 veces?
A13) Encuentra 5 rectángulos diferentes cuyas medidas de sus lados sean números naturales, y cuyo perímetro sea igual a 200 metros. Además, determina cuál de los rectángulos tiene el área máxima. ¿De qué depende el área de estos rectángulos?
A14) Sofía planea hacer una rifa, y decide elaborar 100 números numerados del 1 al 100, la persona que participe seleccionará un número al azar y pagará una cantidad en pesos igual al número seleccionado. Si el objeto que se rifa tiene un costo de $875.00, ¿cuánto ganaría Sofía si logra vender todos los números?
AIS) ¿Cuál será el costo de 120 varillas de 24 metros de longitud por unidad, si cada metro lineal cuesta $15.00?
A ló) ¿Cuántas parejas diferentes de factores naturales existen cuya multiplicación da como resul­ tado 19?
l ! NÚMERO REALES Y ARITMÉTICA •
A17) En las siguientes multiplicaciones, detrás de cada carita está oculto un dígito, ¿eres capaz de
A18) Verificar que las fórmulas de sumatoria:
+(n+l)+n=
l 2-t-22+32+ -+ » 2= ,1('l+1) ( 2n+1)
son válidas para los números naturales 4, 5, 8, 9, 12, 17 y 20.
A19) Completa lo siguiente:
4 múltiplos de 8 son :
6 son :
^ de 42 son:
^ 3 divisores de 6 son:
A20) Factoriza el 90 en todas sus formas posibles: 90=
de estas factorizaciones está formada únicamente de factores primos? En caso afirmativo escrí­ bela:
A 2l) Encuentra 10 números que sean múltiplos de 3, y 10 números que sean múltiplos de 8. Ade­ más, determina tres números que sean múltiplos comunes para este par de números y encuen­ tra cual es el menor de ellos.
A22) Intenta elaborar o construir una argumentación (o demostración) matemática convincente para el siguiente teorema: Si se multiplica un número natural par por si mismo, el resultado es también natural par. (Coméntalas con tu maestra o maestro)
A23) Encuentra los divisores de 50, y determina si se trata de un número primo o de un número compuesto. Si es número compuesto, factorízalo en sus factores primos.
A24) Determina el conjunto de los números primos menores que 100.
Potencias de un número natura!
Si en una multiplicación los factores se repiten, la operación se puede abreviar a través de potencias. Por ejemplo, la factorización de 60=2x2x3x5, se puede abre­ viar como: 60=22x3x5; de donde, la potencia 22=2x2. De igual manera, el volu­ men ( V) de un cubo de lado a=3 cm puede expresarse como:
V= (3 cm )(3 cm )(3 cm )=(3 cm )3=27 cm3.
O en general: V= axaxa= a3
La multiplicación abreviada en forma de potencias, como 33 o a3, resulta ser fundamental para la comprensión y desarrollo de la conceptualización y operatividad algebraica. En suma, en una potencia
MATEMÁTICAS I • ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BACHILLERATOl R E I
el número que se multiplica por si mismo se llama base y el número que indica las veces que se multi­ plica la base se llama exponente, así, en 27=2x2x2x2x2x2x2= 128, el 2 es la base y el 7 el exponente de la potencia 27, mientras que el 128 es el valor de la potencia o el resultado del proceso de potenciación.
En general, si a e N y neN , la multiplicación del número natural a por sí mismo n veces se representa como:
Donde: a es la base y n (veces que se repite el factor a) es el exponente de la potencia an.
4 x4 x4=43
13x13x13x13x13= 13s
9x9x9x9x9x9x9x9=98.
Nota: Cuando el exponente de una potencia es 1, la escritura de dicho exponente suele omitirse, o
sea, su escritura es opcional. Así: 4 J=4,
Como las potencias son finalmente números, entonces también se pueden realizar con ellas las ope­ raciones básicas y derivar de las mismas algunas propiedades importantes. Por ejemplo, podemos gene­ ralizar las siguientes operaciones:
32x=32, y a1=a.
77x 73 =(7x7) x (7x7x7)=75=72+3
( 52)3 =52x52x52 = (5 x 5 ) x (5 x5 ) x (5 x 5)= 5 6 =5 2+3
(3x2)4= (3x2)(3x2)(3x2)(3x2)= (3x3x3x3)(2x2x2x2)= 34x24
para obtener las siguientes leyes de exponentes para las potencias:
Sí: a, b, m, neN , entonces:
anxam= an+m
( an)m=anm
(axb)n=anxbn
Con la notación y propiedades de las potencias se puede facilitar la escritura y los cálculos de opera­ ciones complejas como las siguientes:
2x 2 x 2x 2x 2 x 2x 2 = 27= 128
(2x2x2x2x2x2x2) x (5x5x5)= 27 x 53= 128x125=160 00
( 8x 8x 8x8x 8 ) x ( 6x6x6x6 )= 8^x 6 ^=
(7x7x7) x(7x7x7x7x7)=7Dx7D=7D+C]=
20 x 20 )x ( 20 x 20 x 20 x 20 x 20 x 20 x 20 x 20 )= 202 x 208 = 20 D= 3 5x 3 2x 3 4=3 5+2+4 =3
( 63)4 = 6D=
( 24) 2 x (23) s= 2D
(3 2 x 53) 2= (3 2)2 x (53) 2=
E Ü B I NÚMERO REALES Y ARITMÉTICA •
Algunas relaciones entre la suma, la multiplicación y la división
En ciertas ocasiones es necesario realizar sumas con números naturales repetidos. Por ejem­ plo: ¿Cuál es el costo total de 6 CDs, si cada uno de ellos tiene un precio de $5? La solución es:
$(5+5+5+5+5+5)=$30. Esta operación, como ya sabes, por conveniencia se abrevia de la siguiente ma­ nera: 5+5+5+5+5+5=6x5=30.
Esto es importante porque muestra que, en general, la multiplicación puede ser considerada como una suma abreviada. De donde, si a eN y m eN , y se tiene la suma de m veces el número natural a, en­ tonces:
a+a+fl+fl+
v m veces
6+6+6+6+6+6+6=7x6=42
16538=1x16538
+fl=
8+ 8+ 5+ 5+ 5= (2x8)+ (3x5)= 16+ 15=31 22 +22 +22 +22 +22 =5 x 22= 5x4= 20 (4+6)+(4+6)+ (4+6)=3x(4+6)= 3x10=30
(a+b)+(a+b)+(a+b)= 3 x (a+b) ; a ybeN.
Otro resultado que muestra una relación específica entre la división, la multiplicación y la suma de números naturales, es el conocido e importante algoritmo de la división. Para ilustrarlo, analicemos las siguientes divisiones:
2 (=c)
(d=) 3p7~ (=D)
1 (=r)
3 (=c)
(d=) 9[3Í (=D)
4 (=r)
6 (=c)
(d=) 15^00
10 (=r)
En los tres ejemplos anteriores se observa que: D, d, cy r eN , D>d, r<d, y, además, d no es divisor de
D, y finalmente que 7 = (3 x 2 )+ l,
Generalizando los ejemplos anteriores:
Algoritmo de la división:
Cuando D y deN , D>d y, además, d no es divisor de D, entonces, existen los naturales cyr<d, tales que:
D=dc+r.
Otro ejemplo: 21 y 9 son naturales, 21 >9, 9 no es divisor de 21, por tanto existen los naturales c=2 y r-3< 9, tales que: 21=(9x2)+3.
MATEMÁTICAS I •
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BACHILLERATOl i f
A l) Cuatro parejas de amigos se reúnen para una cena. Al final de la cena, Ana se ha comido 4 tortillas; Eloiza, 3; Sofía, 2, y Cinthya, 1. Marcos se ha comido las mismas que su mujer; Aarón, el doble que la suya; Manuel, el triple que la suya, y Héctor, cuatro veces más que la suya: Si en total todos se comieron 32 tortillas. ¿Cómo están formadas las parejas?
A2) Abrevia y/o encuentra el resultado de las siguientes operaciones:
a) 2 0 +2 0 +2 0 +2 0 =
b) 3+3+3+3+3+3+3+3=
d) S2 + 52 +52 +S2 +52 +52 =
e) 8 +8 +8 + 12+ 1 2+ 1 2=
f) ( a+b) 3 + ( a+b)3 + ( a+b) 3 + (a+b)3 + ( a+b) 3 =
A3) Escribe las siguientes multiplicaciones, o resultados, como sumas de números naturales repe­ tidos:
a) 7x8=
b) 5 x l0 3 =
d) 5 n=
e) 4 x (a+b)5 =
A4) Determina si son Falsas o Verdaderas las siguientes operaciones:
a) 2 0 ! = 2 0
8 3 x 8 2 =
8 3+2 = 8 S
b) 5x5x5=15
124 x l 2 3 =
124+3 = 127
c) 5x5=5 2
(3 4) 5 = 320
d) 5x5x5x5x5=5s
( 114) 2= l l 6
e) 53x52= 53+2
(2 5 0 7 )3 = 25021
f) 53x52= 5S
[(a+b)5 ]2= (a+by°_
AS) Determine el valor de fc (fceN) en cada uno de los siguientes casos para que la igualdad sea verdadera:
3fc=27 ; k=
b) 2 3 x 2k=
210; fc=
9fcx 9 6
9 8 ; k=
d ) ( 8 3)fc = 8
15 ; fc=
(4 fc) 8 = 8 24; k=
((2 + 3 ) 3 ) fc = 56 ; fc=
k + 52= 4 0 ;
h) 3fc-10= 50; k=
A6 ) Un tabernero tiene un barril de cerveza y cinco barriles de vino. Vende una determinada canti­ dad de vino a un cliente, y el doble de esa cantidad a otro, tras lo cual se queda sin vino. Sabien­ do que el vino lo vende por litros enteros, y que las capacidades de los barriles son de 15,16,18, 19, 20 y 31 litros, ¿cuántos litros de cerveza tiene el tabernero?
A7) En el algoritmo de la división: D=dc+r. (b) ¿Por qué debe ser red?
A 8 ) Utiliza el algoritmo de la división para establecer una relación de igualdad que involucre los elementos de cada uno de los siguiente conjuntos de números naturales:{5, 22, 4, 2}, {27, 17, 622, 35}, {47,1239,17,47}, {1, 3,4}.
(a) ¿Qué implicaciones tendría si r=0?
I NÚMERO REALES Y ARITMÉTICA •
Máximo com ún divisor (MCD)
Frecuentemente se presentan problemas donde es necesario determinar lo que en aritmética se conoce como máximo común divisor (M CD ). Ejemplo: Un negocio que vende materiales de construcción debe transportar varillas de 30 y 45 metros de longitud, pero, para facilitar y optimizar el transporte deben cortar las varillas en trozos iguales de máxima longitud. ¿De que longitud deben cortarse los trozos ?
Una manera de resolver este problema es la siguiente: primero determinamos mediante divisiones el conjunto de los factores o divisores de 30, que es A = {l, 2, 3, 5, 6 , 10, 15, 30), y después el conjunto de los factores o divisores de 45, que son B = {l, 3, 5, 9, 15, 45}. De donde, el conjunto formado por AT'iB = { 1, 3, 5, 15} es el conjunto de los divisores comunes de 30 y 45, y el elemento mayor del mismo es el máximo común divisor de ambos números. Por tanto, para este par de números el M CD= 15, y las varillas deben cortarse en trozos de 15 metros cada una.
Determinar el M CD de dos o más números a partir de la elaboración previa de la lista de los divi­ sores de dichos números, es laborioso y puede llevar mucho tiempo. Un algoritmo mas práctico para encontrar el M CD de dos o más números, consiste primeramente en factorizar cada uno de los números en sus factores primos, después el M CD se determina multiplicando los factores comunes encontrados tomándolos con su menor exponente. Por ejemplo, para 30 y 45 el M CD es:
.-.30=2x3x5
/. 45=312x5 ----- > .*. MCD= 3x5=15
5[5_
De igual manera, el M CD de 24, 32 y 20 es:
8 |2
24=23x3
.-. 22 x5
M C D = 2 2 = 4
Otro método para encontrar el M CD es usar el Algoritmo de Euclides, y consiste en dividir el número mayor entre el menor. Si el residuo obtenido es diferente de cero, se divide el divisor anterior entre el residuo obtenido, y si el nuevo residuo sigue siendo diferente de cero, entonces se repite el proceso hasta obtener un residuo igual a cero. El último residuo diferente de cero obtenido es el M CD de los números dados. Así, para 30 y 45 obtendremos que:
15 ¡30
/. el MCD=15 (resultado que coincide con el esperado)
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BACHILLERATOl H
Otro tipo de problemas interesantes de la Aritmética son aquellos que tienen relación con el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales. Por ejemplo: si Pedro y su esposa Guadalupe hacen ejercicio juntos por las mañanas en la misma pista de caminata, y Pedro da una vuelta en 4 minutos mientras que Guadalupe lo hace en 5 minutos, ¿cuántas vueltas tienen que dar cada uno para que vuel­ van a coincidir en el punto de partida?
Una solución al problema anterior es la siguiente: de entrada los números naturales nos sirven para contar las vueltas que den cada uno de los caminantes y, además, a partir de ellos podemos generar los múltiplos de 4 y 5 simplemente multiplicándolos por dichos números, así los múltiplos de 4 son el
conjunto C ={4, 8 , 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 4 0 ,
tanto, el mínimo común múltiplo de ambos números es mcm=20. En consecuencia, Pedro y Guadalupe
coinciden después de 20 minutos de caminata y cuando han completado 5 y 4 vueltas respectivamente.
Un algoritmo práctico para encontrar el mcm de dos o más números, consiste primeramente en fac- torizar cada uno de los números en sus factores primos, después el mcm se determina multiplicando los factores comunes (tomados con su mayor exponente) y no comunes encontrados. Por ejemplo, para 8
y 12 el mcm es:
y los múltiplos de 5 son el conjunto D ={5, 10, 15,
20, 25, 30, 35, 4 0 ,
De donde, sus múltiplos comunes son los elementos de C n D = {2 0 ,4 0 ,
12= 22 x3
mcm= 2 3 x3= 24
En caso de que se quiera el mcm de tres números se procede de igual manera. Así, el mcm de 24, 32
/.32=25
.-. 24= 2 3x3
5|5-
.-. 20= 2 2 x5
.-. mcm= 2s x3x5 = 480
Propiedades de las operaciones básicas de los números naturales
Algo que es importante resaltar es que tanto en la suma como en la multiplicación de naturales los resultados son también números naturales (Propiedad de cerradura), y, además también son únicos.
En el caso de la resta y la división de dos números naturales no se cumple en general la propiedad de
cerradura. Por ejemplo, en 15-10=5 y 12h-3=4 se cumple, pero en, (¿Por qué?).
Cuando la resta y la división dentro de los naturales se pueden realizar, ambas operaciones pueden replantearse en términos de suma y multiplicación respectivamente. Ejemplo, las operaciones: 15-10=?
8 -1 0 = -2 y 4-^5=0.80 no se cumple
4=> 15=? +10 y 12+3=?
12= ? Pueden reformularse respectivamente de esta otra manera:
f c E M I NÚMERO REALES Y ARITMÉTICA •
15=? + 10
¿Qué número sumado con 10 da como resultado 15?
¿Qué número multiplicado por 3 da como resultado 12?
En razón de lo anterior se dice que dentro del conjunto de los naturales, la suma y la multiplicación son las operaciones fundamentales. Estas operaciones cumplen con las siguientes propiedades, las cuales podrás verificar su validez realizando en la tabla de abajo (completar tabla) las operaciones particulares ahí indicadas.
N, b e
c £ jq
Nombre de ,
, Ia propiedad . , ,
548=
a+b e N=
Cerradura para la suma
97 6 =
f l x b e N
= o a f i e N
Cerradura para la multiplicación
(l+ 2 )+ 3 = 6
l+ (2+ 3)=
(10 x5)x4= 200
x (5x4) =
x (25+75)=1200
(I2 x 2 5 )+ (l2 x 7 5
x 1= 27
328 x 1=
Conmutativa para la suma
axb=bx a
Conmutativa para la multiplicación
(a+b) + c = a+(b+c)
Asociativa para la suma
a - (b ■c)= (a-b) ■c
a (b+c)= ab+ac
Asociativa para la multiplicación
Signos de agrupación y orden en las operaciones
Como consecuencia de las propiedades asociativas para las sumas y multiplicaciones, no existe con­ fusión al momento de sumar o multiplicar más de dos números, ya que el resultado de la operación es
independiente del orden en que se asocien o agrupen los sumando o los factores, por ejemplo:
l+2+3=(l+2)+3=3+3=6
l+ 2+ 3= l+ (2+ 3)= l+ 5= 6
10x5x4=(l0x5)x4=50x4=200
10x5x4= 10x(5x4)=10x20=200
Sin embargo, si se tiene la operación combinada 10x5+4, aquí se hace necesario precisar el agru- pamiento de los números y el orden de las operaciones, ya que el resultado depende de dicho orden.
10x5+4=(l0x5)+4=50+4=54
10x5 +4 = 10x(5+4)=10x9=90
Como se infiere de este ejemplo, el agrupamiento de los números con sus operaciones mediante el uso del paréntesis ( ) determina ya un orden de las operaciones, de tal manera que la operación dentro de él es la que debe realizarse en primer termino.
Se puede presentar el caso donde se requiera más de un paréntesis, por ejemplo si en la ope­ ración 10x5+4+2, lo que se quiere es sumar al resultado de 10x5 el resultado de 4+2, entonces, la
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BACHILLERATOl
es dividir entre dos, el resultado de multiplicar 10 por la suma de 5 y 4, entonces, los agrupamientos y el orden de las operaciones a través del uso de los paréntesis quedarían determinadas como:
operar es: (l0x5)+ (4+ 2)= 50+ 2= 52. Pero, si lo deseado
de usar los paréntesis y de
(10x (5+4)) +2=(l0x9) -2= 90-2= 45
En este último ejemplo, para no repetir dos veces el paréntesis se acostumbra usar el corchete
[ ] en sustitución del paréntesis externo. De esta manera la operación se puede escribir también
como: [10x(5+4)]-2=[10 x9]-2=[90]-2=45. Incluso, toda la operación puede ser rescrita de esta otra m anera:{ [l0 x (5 + 4 )]+ 2 }. El convenio del orden es, pues, el siguiente: primero se hacen las operaciones dentro de los paréntesis (y en caso de haya más de dos paréntesis, tiene preferen­ cia el mas interno), segundo las que están dentro de los corchetes y tercero las que estén dentro de las llaves.
En suma, cuando se tienen operaciones combinadas de más de dos números que requieran de pre­ cisar el orden de las operaciones, es conveniente el uso de símbolos especiales como los paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. En la escritura y agrupamiento de las operaciones estos símbolos quedan ordenados de la siguiente forma: { [ ( ) ] }.
Cuando en una expresión como 10+5x9 6+3 no aparece ningún símbolo de agrupamiento u orden, entonces, para evitar confusiones, se aplican los siguientes convenios para el orden de las operaciones:
y Primero: se realizan de izquierda a derecha todas las multiplicaciones y divisiones.
^ Segundo: se realizan de izquierda a derecha todas las sumas y restas.
Así, para la expresión anterior el resultado es: 10+ 5 x 9 -6 -3 = 10+ 90-2= 100-2= 98.
A l) Factoriza los números 45, 650 y 321 como producto de sus factores primos.
A2) Encuentra el M CD de los siguientes números:
(b) 45 y 1350
(c) 650 y 1274
(d) 17, 150 y 315
A3) Obtener el mcm de los siguientes números:
( b ) S 4 y l3 2
( c ) 7 y l l
A4) En una escuela preparatoria de la uas, se hizo entre los alumnos una colecta voluntaria para los damnificados de un ciclón. Se recolectaron 150 Kg de frijol, 70 kg de harina de trigo y 90 kg de arroz. Se haran despensas que contengan un número exacto de kg de cada alimento, ¿cuál es el número máximo de despensas que pueden hacerse, y cuantos kilogramos en total, y de cada producto deberán tener?
A5) Tres amigas de Culiacán que hacía tiempo no se veían coinciden un día en el aeropuerto de la ciudad, ya iniciada la plática se dan cuenta que las tres viajan frecuentemente a Guadalajara en el mismo horario, pero una de ellas lo hace cada 15 días, otra cada 10 días y la última cada 8 días. Si continúan viajando las amigas con la misma frecuencia, ¿en cuántos días más volverán a coincidir en el aeropuerto?
A6 ) Determina si son correctas las siguientes operaciones, y escribe el nombre de la propiedad que se utilizó en cada una de ellas:
30+ 40= 40+ 30= 70; Propiedad:
153x967=967x153=147951;
(3 )(8 )+ (3 )(l2 )= 3 x (8 + 1 2 )= 3 x 2 0 = 6 0 ;
(3 4 )+ (8 + 6 )= (3 4 + 8 )+ (6 )= 4 2 + 6 = 4 8 ;
7x(9x2)= (7x9)x2= 63x2= 126
A7) Realiza las siguientes operaciones:
> 20+15x9 12+4=
> [(20+15)x9] (12+4)=
> 20+{15x [9(1 2 + 4 )]}=
> (20+ 15)x [9(l2+ 4)] =
A9) Escribe un ejemplo de resta, y otro de división, de números naturales donde no se cumpla la propiedad de cerradura.
A10) ¿Cuánto es la mitad de cuatro más seis? Compara y discute tu respuesta con tus compañeros y compañeras.
A ll) Simboliza y realiza correctamente la siguiente operación: el cuadrado de la suma de 6 con 3, menos el doble de 5, es igual a:
El conjunto de los números naturales aunque son de mucha utilidad, lo cierto es que resultan insuficien­ tes para la resolución matemática de muchos problemas prácticos que se le presentan al hombre. Por ejemplo, si Aarón usa su tarjeta de crédito cuyo saldo es de $ 13,500.00, y hace un gasto de $15,000.00,
entonces su nuevo saldo sería de $(13500-15000)= ¿ do con números naturales, ¿por qué?
Otra situación en la que los números naturales son insuficientes es cuando se quiere modelar ma­ temáticamente los cambios de temperatura de una región. Por ejemplo, si en un día de invierno de la ciudad de México la temperatura registrada al medio día es de 15° y durante la noche desciende hasta -5°, ¿Cuál ha sido el cambio de temperatura?
? Este resultado no puede ser expresa­
MATEMÁTICAS I • ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BACHILLERATOl H r ü
La limitación anterior, de los números naturales, de hecho quedo expresada cuando se señaló que bajo la operación de resta no cumplían con la propiedad de cerradura. Así pues, para ampliar las posibi­ lidades del uso de los números se requiere del conjunto de los números enteros Z (o números con signo como se les denomina en la secundaria), los cuales ya se presentaron anteriormente en el tema de los conjuntos y fueron definidos como:
-3 , - 2 , - 1, 0 , 1, 2 , 3,
Como se observa, el conjunto infinito de los números enteros resulta de la
unión del conjunto de los enteros negativos Z_= {
-3 , -2 , - 1 }
to de los enteros no negativos Z+= {0, 1,2, 3,
Z= Z- U Z+. Además,
se infie­
re de inmediato que los números naturales son un subconjunto de los enteros:
Nc: Z. Esta relación entre Z y N es de suma importancia para el estudio de las operaciones y propiedades de los números enteros, ya que el hecho de que Z sea una ampliación de N, o de que los números naturales también sean enteros, nos permitirá retomar
y/o ampliar muchos de los conocimientos aprendidos con relación a N.
Representación gráfica y orden de los enteros
Al igual que los números naturales, los números enteros se representan gráficamente en una recta aso­ ciando puntos equidistantes con números de la siguiente manera:
<-------O rigen-------->
A partir de su representación gráfica se observa que:
/ El conjunto de los números enteros resultan de la unión de los enteros positivos (o naturales), enteros negativos y el cero. Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente el sentido o la cualidad de ser positi­ vos o negativos.
/ El conjunto de números enteros es infinito, y no tiene ni primer ni último elemento. O sea, todo
número entero (n) tiene un antecesor (n -l)
y un sucesor (n+l).
/ La recta numérica de Z representa también una sucesión ordenada de los enteros. O sea, para todo par de números enteros comparados, siempre el de la derecha es el mayor, de donde:
>4 >3 >2 >1
>0 > - l
> -3 > -4>
En general, dados dos números enteros cualquiera ayb,sib esta localizado en la recta numérica al
lado derecho de a, entonces b es mayor que a, y se simboliza como: b > a (b mayor que a),
o equiva­
lentemente, a < b (a menor que b). De donde:
< -2 <-l<0 <1 <2
K B M I n ÚMFRO REALES Y ARITMÉTICA •
En los números enteros, como en los números naturales, también se cumple la ley de la tricotomía. Si m y neZ , entonces, una y solo una de las siguientes relaciones es verdadera:
\m<n
[m=ñ]
m>n\.
Por construcción geométrica o física de la recta numérica de Z, los números enteros, que están represen­ tados por puntos, están separados espacialmente entre si por la misma unidad de longitud.
De donde, podemos decir que la distancia (considerada positiva) que existe del:
- 1 al 0 , es la misma que hay del + 1 al 0 ; lo que se simboliza como: |- 1 |= |+1 |= 1
- 3 al 0, es la misma que hay del +3 al 0 ; lo que se simboliza como: |-3|= |+3|=3
- 9 al 0, es la misma que hay del +9 al 0 ; lo que se simboliza como: |-9|=|+9|=9
“-n ” al 0 , es la misma que hay de “n” al 0 ; lo que se simboliza como: |-n|=|n|.
expresiones |-l| = l,|l| = l,|-3|=3,|3|=3,|-9|=9,|9|=9 se les
llama valor absoluto de -1 , +1, -3 ,
+3, - 9 y +9 respectivamente.
Dos números enteros diferentes de igual valor absoluto, o que se encuentran a la misma distancia del origen, se llaman simétricos u opuestos entre si, de donde: -1 y + 1 son simétricos, al igual que +3 y -3 , etcétera.
Operaciones y propiedades de los números enteros
Como ya se puso de manifiesto anteriormente, los números enteros surgen en la idea de modelar y resolver matemáticamente problemas que se caracterizan por tener posibles resultados con sentidos opuestos, tales como: saldo a favor o saldo en contra en el caso del uso de una tarjeta de crédito; arriba de cero o abajo de cero en el caso de las temperaturas de una región o lugar; desplazamientos hacia la derecha o hacia la izquierda en el caso del movimiento mecánico lineal; etcétera.
De esta manera, si una persona tiene un saldo a favor (haber) de $5,000.00 en su tarjeta de crédi­ to, su estado financiero se puede representar convenientemente con un entero positivo como: +5000. Mientras que un saldo en contra (deuda) de $5,000.00, se representaría por un número entero negativo como: -5 0 0 0 . Desde esta lógica, si la persona con un saldo de + 5000 en su tarjeta de crédito:
MATEMÁTICAS I • ARITMÉTICA V ÁLGEBRA PARA BACHILLERATO! H
^ depositara en su cuenta la cantidad de $2 ,0 0 0 .0 0 , ¿cómo representarías matemáticamente esta operación financiera?
> hiciera un pago con su tarjeta de $5,000.00, ¿cómo representarías matemáticamente esta opera­ ción financiera?
> hiciera un pago con su tarjeta de $7,000.00, ¿cómo representarías matemáticamente esta opera­ ción financiera?
También el juego de la cuerda, que consiste en dos grupos de personas tirando con cierta fuerza “F” de una cuerda en sentidos opuestos, se puede modelar con los números enteros. ¿Quién ganara, y con qué ventaja, en los siguientes jalones de cuerda?
F=-18 Nw
E=-15Nw
F=-10 Nw
E=+20 Nw
y Ventaja:
F=+12 Nw
F=+10 Nw
Cuando se suman dos números enteros se pueden presentar los siguientes tres casos, que ambos sean positivos, o ambos negativos, o que sean de signo contrario.
Primer caso: los sumandos son positivos
Este caso no tiene complicaciones, pues se reduce a la suma de dos números naturales. Además, física­ mente se puede interpretar como suma de desplazamientos, o de suma de fuerzas, hacia la derecha del origen.
(+ l) + (+ 3)= l+3=4=+4
Segundo caso: los sumandos son negativos
Este caso lo analizaremos desde la perspectiva geométrica de las distancias o desplazamientos lineales.
( - l ) + ( - 3 ) =
<=> Partiendo del origen, recorremos un punto hacia la izquierda, des­
pués, a partir de esta nueva posición recorreremos tres puntos más hacia la izquierda, de
tal manera, que esta última posición representa la suma de los desplazamientos.
l f l l INÚMERO REALES Y ARITMÉTICA •
Obsérvese como el resultado en este caso, como en el anterior, se puede obtener sumando los valores absolutos de los sumando y anteponiendo al resultado el signo de dichos sumandos. O sea:
(+l)+(+3)=+(| +l| +|+3|)=+(l+3)=+4
(-l)+ (-3)= -(| -1|+| -3|) = -(l+3)= -4
Tercer caso: los sum andos son de signo contrario
Este caso también se facilita si lo analizamos desde la perspectiva geométrica de los desplazamientos o fuerzas lineales.
(+ l) + ( - 3 ) = - 2 <=> Partiendo del origen, recorremos un punto hacia la derecha, después, a partir de esta nueva posición recorreremos tres puntos hacia la izquierda, de tal manera,
que esta última posición representa la suma de los desplazamientos.
origen, recorremos un punto hacia la izquierda, des­
pués, a partir de esta nueva posición recorreremos tres puntos hacia la derecha, de tal ma­
nera, que esta última posición representa la suma de los desplazamientos.
+ (+ 3)=
<=> Partiendo del
También en este caso se pueden aplicar los valores absolutos de los sumandos de tal manera que el resultado se obtiene anteponiendo el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto a lo que resulta de restar el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. O sea:
(+ l)+ (-3)= -(|-3|-|+ l|)= -(3-l)= -2
(-l)+(+3)=+(|+3|-|-l|)=+(3-l)=+2
En caso de que se tengan más de dos sumandos, se suman por separados los positivos y negativos, y después se suman los resultados parciales de signo contrario.
(+ l) +
(-1) + (-3) +(-8)= -(|-l|+ |-3|+ |-8|)= -(l+ 3+ 8)= -12 (+9) + (-1 0 ) + (+3)= + (|+9|+1+31)+(—10)= (+ 12)+ (—10)= + (|+ 12|—|—101)= +2 (+1) + (-3) + (+2) + (—5)=[(+l)+(+2)]+[(—3)+(—5)]=(+3)+ -8)= -5
(+3)+ (+15)—+ ( |+ 11+ |+3|+| + 15|)—+ (1+3+15)—+19
MATEMÁTICAS I • ARITMÉTICA V ÁLGEBRA PARA BACHILLERATO! K
Si un estudiante tiene en su haber $5.00 y gasta $3.00 en el boleto de un camión de transporte urbano, ¿Cuánto le queda de dinero?
Lo anterior se puede representar matemáticamente mediante una operación de resta o sustracción entre números enteros: 5 -3 = (+ 5 )-(+ 3 )=
Y, geométricamente queda representada como:
% m= (+5)
- 3 >>+
de donde se observa que: (+ 5 )-(+ 3 )= + 2 « (+ 5 )+ (-3 )= + 2
Generalizando lo anterior tendríamos que: para restar dos números enteros lo que se hace es sumarle al minuendo (m) el simétrico del sustraendo (s).
m-s = m +(-s)
(+ 1 0 )-(+ 6 )= (+ 1 0 )+ (-6 )= +4
(-1 0 )-(+ 6 )= (-1 0 )+ (-6 )= -16
(+ 3 )-(+ 5 )-(-1 0 )= (+ 3 )+ (-5 )+ (+ 1 0 )= [(+ 3 )+ (+ 1 0 )]+ (-5 )= (+ 1 3 )+ (-5 )= + 8
(+ 1 0 )-(-6 )= (+ 1 0 )+ (+ 6 )= + 1 6
(-1 0 )-(-6 )= (-1 0 )+ (+ 6 )= -4
Otra manera de resolver la resta de enteros es interpretarla desde la perspectiva de la suma tal como
se hizo con la resta de naturales. Así, para el ejemplo (+ 5 )-(+ 3 )= +2 la solución es la respuesta a la pre­
gunta: ¿Cuál es el número que sumado con
(+3) da como resultado (+ 5)?
De igual manera para: (+ 1 0 )-(+ 6 )=
(+6)+
(+ 10) - ( - 6)=
( - 6)+
( - 10)-(+ 6)=
= ( - 10)
( - 1 0 ) - ( - 6 ) =
(- 6 )+
( - 2 0 ) - ( - 1 5 ) =
« ( - 1 5 ) +
= - 2 0
Como en el caso de los números naturales, con los enteros también se presentan sumas con sumandos repetidos. Por ejemplo: Si una persona ahorra mensualmente $200.00, ¿cuánto ahorrara en medio año? Como el ahorro es un haber, entonces puede ser representado por (+ 200), de donde, lo acumulado será:
(+200)+(+200)+(+200)+(+200)+(+200)+(+200)=$1200.
•---------------------------------------------------------------------►
Esta operación, como ya sabes, se abrevia como: 6x200= (+ 6)(+ 200)= + 1200.
Si después de los seis meses de ahorro, esta misma persona deja de ahorrar y empieza a gastar men­ sualmente $150.00 de su haber, ¿Cuánto habrá gastado después de 4 meses? Y ¿Cuál será su nuevo estado financiero?
Como los gastos mensuales se pueden considerar como deudas que se pagan, entonces se pueden representar por (-1 2 0 ), de tal manera que al cabo de 4 meses la persona habrá gastado $480, lo cual puede ser calculado mediante la siguiente suma repetida de deudas:
(-1 2 0 )+ (-1 2 0 )+ (-1 2 0 )+ (-1 2 0 )= 4x (-120)= (+ 4)(-120)= -480.
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En tanto que su nuevo estado financiero viene dado por: (+ 1 2 00)+ (-480)= + 720, o sea que tiene un nuevo haber de $720.00.
De las operaciones anteriores entre números enteros, podemos hacer las siguientes generalizaciones. Si a e Z y m 6 N, entonces:
(+ 6)+ (+ 6)+ (+ 6)+ (+ 6)+ (+ 6)+ (+ 6)+ (+ 6)= (+ 7)(+ 6)= + 42
(-5 )+ (-5 )+ (-5 )+ (-5 )= (+ 4 )(-5 )= -2 0
0+ 0=(+2)(0)= 0
0+0+0=(+3)(0)=0
(+96538)= (+ l)(+ 96538)= 96538
(0 )(+ 6 )= 0
0+0+0+0+0=(+5)(0)=0
Por otro lado, si una persona se desplaza tres unidades de longitud hacia la derecha, dicho moviento puede ser representado por (+ 3). Y, si la persona hiciera este movimiento dos veces, entonces su despla­
seria de (+ 6 ), lo cual puede representarse con la operación (+ 3 )+ (+ 3)= (+ 2)(+ 3)= + 6. Este
resultado es correcto ya que en este caso particular los números enteros con que operamos son también números naturales, y por lo tanto dicho resultado debe ser congruente con sus reglas de operación. Esta operación quedaría representada geométricamente como:
d=|+3| + |+3l=|+6|=6
Ahora, si la persona en lugar de desplazarse hacia la derecha, lo hiciera hacia la izquierda, entonces su posición después del doble desplazamiento sería: (- 3 )+ (-3 ) = (+ 2 ) (-3 )= -6 . Y, geométricamente quedaría representado como:
% <á=|—3 1+ 1—3 1= |—6 1=6
• ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA PARA BAC HULE RATO I E
Detengámonos un momento para analizar las dos operaciones de multiplicación anteriores. Tanto
en (+ 2)(+ 3)= + 6, como en
tos en el mismo sentido que hizo la persona, mientras que el segundo factor, (+3) y (- 3 ) respectivamen­
te, significó el sentido y el número de unidades que recorrió la persona por desplazamiento.
Desde esta lógica de interpretación del factor (+ 2), resulta congruente interpretar el factor (-2 ) como un operador con efecto contrario al que realiza el (+2). En consecuencia, tendremos que:
significó el número de desplazamien­
(+2) (-3 )= - 6 , el primer factor
(-2 )(+ 3 )= -6
( - 2 ) ( - 3 ) = - 6
En términos de haber y deuda, el factor (+2) significaría sumar o multiplicar dos veces el haber (+3) o la deuda ( - 3 ) respectivamente. Mientras que el factor opuesto (- 2 ) tendrá que significar lo contrario, o sea, restar dos veces el haber (+3) o la deuda (- 3 ). De donde:
(-2 )(+ 3 )= -3 -3 = (-3 )+ (-3 )= -6
(-2 )(-3 )= -(-3 )-(-3 )= + (+ 3 )+ (+ 3 )= + 6
Nótese con estos ejemplos como el factor u operador (- 2 ) lo que hace finalmente es sumar o multi­ plicar dos veces el simétrico del segundo factor (+3) o (- 3 ). Desde este último enfoque de interpreta­ ción, cual sería el resultado de:
( - 2 )(0 )=
De los ejemplos de multiplicación anteriores se puede concluir que: para multiplicar dos números enteros, el producto se obtiene multiplicando los valores absolutos de los factores, anteponiéndole el signo mas (+ ) si los factores son de igual signo o el signo menos ( - ) si los factores son de signo contra­
rio. De aquí se establece la famosa regla de los signos para la multiplicación:
(-)(+)=(-)

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