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Timestamp: 2016-10-24 09:04:36+00:00

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Portafoliio algebra - HubslideToggle navigationBUSINESSEDUCATIONTECHNOLOGYTRAVELMORE TOPICSSign upSign in HomeDaniela QuirozPortafoliio algebra of 191Portafoliio algebra Daniela QuirozPublished on: Mar 4, 2016 Transcripts - Portafoliio algebra
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS
NOMBRE: Daniela Quiroz
humanistas, La
emprendedores y competentes, poseedores Agropecuario
de conocimientos científicos y tecnológicos; Provincial, Regional y Nacional, entregando
comprometida con la investigación y la profesionales
solución de problemas del entorno para producción, transformación, investigación y
contribuir con el desarrollo y la integración dinamización del sector agropecuario y
agroindustrial, vinculados con la comunidad,
todo esto con criterios de eficiencia y calidad
Ser una Universidad Politécnica acreditada Liderar a nivel regional el proceso de formación y
por su calidad y posicionamiento regional
profesionales competentes en Desarrollo Integral
Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el
profesionalismo y actualización de los docentes, en la
estudiantes, con una moderna infraestructura que
incorpore los últimos adelantos tecnológicos,
pedagógicos y que implique un ejercicio profesional
caracterizado por la explotación racional de los
recursos naturales, producción limpia, principios de
equidad, participación, ancestralidad, que den
Oscar René Lomas Reyes Ing.
0986054587
062-932310
oscar.lomas@upec.edu.ec
EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre)
ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color
LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC
para estudio)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera,
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del
entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,
análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera
preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)
Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas
para plantear y resolver problemas del entorno.
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)
durante el desarrollo del pensamiento lógico
CONCEPTUAL.-Si
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER,
métodos de investigación, y los criterios para el uso de
habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
Demostrar la utilidad de las matemáticas para
el desarrollo del razonamiento lógico
Plantear alternativas mediante la aplicación de
la matemática que permitan dar solución a los
HACER, métodos de investigación, y los criterios para el
uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir
EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL,
así como la sensibilización y el conocimiento del propio
Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas
Demostrar comprensión sobre los tipos
Recta de números Reales
Aceptar errores y elevar el autoestima
para que pueda actuar de manera
autónoma y eficiente
Cooperar con el grupo en la resolución
Plantear alternativas mediante
la aplicación de la matemática
que permitan dar solución a
Identificar los sistemas líneas y su
Elaborar modelos matemáticos en
la solución de problemas de la
respetando los criterios en la resolución
propuestas valorando las iniciativas de
cuadráticas por factoreo.
Encontrar la relación
9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio
7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable
8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio
4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable
COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)
Identifica los tipos de polinomios
Distinguir plenamente entre expresiones racionales 3
plenamente Libros.
Dar solución a ecuaciones de primer grado
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima
segunda edición: México
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición:
SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal,
Edición Primera, Ecuador.
Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de
números pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un conjunto se denomina
elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno un poco circular. Las palabras
conjunto y elemento son semejantes a línea y punto en geometría plana. No puede
pedirse definirlos en términos más primitivos, es sólo con la práctica que es posible
entender su significado. La situación es también parecida en la forma en la que el niño
aprende su primer idioma. Sin conocer ninguna palabra, un niño infiere el significado de
unas cuantas palabras muy simples y termina usándolas para construir un vocabulario
Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar. De la
misma forma, es posible aprender matemáticas prácticas sin involucrarse con términos
básico no definidos.
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal,
incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los
números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los
fracciones; y todos los números irracionales; aquellos cuyos desarrollos en decimales
nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son:
√ 2 = 1.4142135623730951 . . .
e = 2.718281828459045 . . .
Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como
mostrado aquí.
Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el
punto corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a a.
El conjunto de los números naturales, que se denota por
N o también por
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –
2.Puede notarse que N ⊂ Z.
ecuaciónax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus
propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier
disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.
La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números
reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:
Importante:La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO
para la división, no se puede dividir entre cero.
La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el
orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por
Importante:La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues
el resultado se altera.
La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o
multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o
multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:
Importante:La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el
La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de
adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones
La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento
neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:
25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado
elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado
de la multiplicación:
25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.
28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el número
La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como
factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números
negativos será un número negativo.
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del
número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero,
el signo de la respuesta será el mismo signo que el número con mayor valor absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor
que el número 3, por lo que la suma es negativa.
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio
de la regla siguiente.
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un
número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número
par de números negativos.
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual
que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que
la base se multiplica por sí misma:
Una de las definiciones de la potenciación, por recurcion, es la siguiente:
Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos términos
de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en
principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos
atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base,
es decir que la potencia pasa con exponente positivo.
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual
a la multiplicación de los primeros exponentes.
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a
y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la resta de los exponentes respectivos.
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo
es con respecto a la suma ni a la resta.
En general: ab = ba
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos
en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades
posee el exponente.
gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su
extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de
crecimiento es positivo en ambas direcciones.
Es el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo
que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: “La radicación de la
empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretaría de Producción”, “Los hechos
muestran que la radicación en suelo australiano no fue una buena idea para la familia
González”,
“Tenemos que luchar contra la radicación de esos hábitos nocivos en nuestra comunidad”.
En el campo de la matemática, se conoce como radicación a la operación que consiste
en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicación es el
proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la raíz. Ésta será la cifra
que, una vez elevada al índice, dará como resultado el radicando.
Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman
un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que indica el
índice, da como resultado el radicando.
Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raíz cúbica de 8.
Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica). A
través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado alcubo (2 x 2
x 2) es igual a 8.
Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a
la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x
2 (2elevado al cubo) llegamos a la raíz cúbica de 8.
Expresión Algebraica: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más
Término:Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
Grado Absoluto de un Término: Es la suma de los exponentes de sus factores literales.
Grado de un Término con relación a una Letra: Es el exponente de dicha letra.
El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el que
tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional el que
tiene radical.
Términos Homogéneos:Son los que tienen el mismo grado absoluto.
Términos Heterogéneos: Son los de distinto grado absoluto.
Términos Semejantes: Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 =
y2x)
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c
9.5 ¿Cuál es el grado de:
9.6 ¿Cuál es el grado de:
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal;
fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador;
racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene radical;
homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto;
POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA.
Es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al
más bajo que tenga dicha letra en el polinomio.
POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el cual
los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o
ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes de
una letra escogida come letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente.
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del
mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del
mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0,
como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar
de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.
(el polinomio A ordenado y completo)
(el polinomio B ordenado y completo)
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros.
Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que
quede encolumnado término a término con el otro polinomio.
A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen
los términos con coeficiente cero.
A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x
0x3 + 4x2 - 2x - 3
5x3 + 0x2 - x + 6
Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con
un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede
observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin
modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son
los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma "parte literal").
Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y
sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes
literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10
(el polinomio B con los signos cambiados)
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio
que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que
sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer
en la suma.
B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2
-4x3 + 5x2 - 2x - 1
-4x3 + 2x2 + 3x - 5
A - B = -4x3 + 2x2 + 3x – 5
Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros
términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los
polinomios, para que quede en columnado término a término con el otro polinomio.
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica
la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender
polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que
son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar
era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo
sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro
número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también
la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en
realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios)
Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la
multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro.
Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la
letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una
paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva.
polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan
también completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su grado, porque
van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los
polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias
cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se
baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse
una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que
Ejemplo 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y
-2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más
fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va
saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se
puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién
aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni
multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin
completar los polinomios.
-2x2 + 3
(polinomio B incompleto pero ordenado)
- 27x2 + 3x
-10x6 + 18x4 - 2x3
-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de
multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden
encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para
hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener
que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término.
-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3
- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =
- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3
+ 12x6y4 =
-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 +
70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4
ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo
renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los términos, hay que
sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de
igual base. Luego, se "juntan" los términos semejantes (iguales letras con iguales
exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos términos semejantes: -24x3y3 con
60x3y3. Los demás quedan como están.
Ejemplo 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el
Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -27x2,
y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás salió
ordenado por grado.
3 - 2x2
+ 18x4 - 2x3
+ 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el
espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que
obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los
grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su
derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes
resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo
término, para los grados intermedios que faltan.
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y
las reglas de división de fracciones de la aritmética.
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el
divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas
a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio,
esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido
por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el capítulo
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a
seguir son los siguientes.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre
el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca
este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca
este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí
(de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a +
b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 +
ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los
números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
15ab= 3 x 5 x a x b
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores
distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo
son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que
sólo son divisibles por la unidad ypor ellas mismas, en consecuencia, no son el producto
de otras expresiones algebraicas. Así a + b nopuede descomponerse en dos factores
distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por la unidad.
paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el
cociente entre a2 y a y 2a ya
b)Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se
escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se
haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor común
será 10b
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y luego
se extrae el factor común de cada uno.
a)Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor
común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también
en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene:
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el
Así, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es
la raíz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la
raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su coeficiente
numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el
producto de dos binomios iguales.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas
raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada
del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b
Trinomios de la forma x2 + bx + c
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un
trinomio de la forma x2 + bx + c, haciendo para ello a + b = b y ab = c
Un trinomio de la forma x2 + bx + q se puede descomponer en el producto de dos
factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica
sea b y cuyo producto sea c
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es
decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio,
y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo
del 2do término del trinomio y el signo del tercer término del trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos
números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los
segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos
números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números
es el primer término del primer binomio, y el menor, es el segundo término del segundo
c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28
expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a + b)3.
expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a – b)3.
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +
subproblemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como
cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica, además de
otros cálculos en álgebra.
algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es
fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra
computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas
se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas.
Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab
2a^4-2a^2b^2
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b)
(Se aplicó Caso I de Factorización)
–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b)
(Se aplicó Caso I y IV de
por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la Solución.
NOTA: Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores o
Factorización, según el Caso que le corresponda.
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2)
Se aplicó el Caso IV de Factorización
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2)
Se aplicó el Caso III de Factorización.
–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4,
x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.
–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b)
Se aplicó el Caso I de Factorización.
–> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b)
Factor común de 2a(a +b)
4a(a -b)
es = 2a
4a^2 -4ab es = 2a
<– Solución.
6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2)
9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Factor común de 3x^2y(2x -2)
3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y
3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3
9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y
4a^3b^2 -8a^2b^3
–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
Factor común de 4a^2b^2(3b)
4) Hallar el m.c.d. de
(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2
12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2
ab +b
a^2 +a
–> a^2 +a = a(a +1)
Factor común de
5) Hallar el m.c.d. de
a(a +1) es
x^2 -x
= (a +1)
y x^3 -x^2
–> x^3 -x^2 = x^2(x -1)
Factor común de x(x -1)
x^2(x -1) es = x(x -1)
y x^2(x -1) es = x(x -1)
(3)(5)(x)(x)(2a -x)
(2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x
10axy^2 -20x^2y^2 es =
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de
ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de
primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema
lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3
que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación
lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. a)
ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a
1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones
algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el
paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones,
esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano
bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta.
La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a
las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas
las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional,
siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un
único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la
intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas
soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que
dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que
pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas
que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por
un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas
compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de
una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de
vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el
determinante de la matriz es diferente de cero:
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla
en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por
su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En
ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el
inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo,
supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y
que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación, para
así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X
resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5,y si ahora sustituimos esta incógnita por
su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7
sistema queda ya resuelto.
, con lo que el
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación
se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si
despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo
que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las
ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para
despejar x después de averiguar el valor de la y.
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los
casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado
para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las
ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos
ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto
signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o
cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita,
donde el método de resolución es simple.
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para
ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con
sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma
obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las
incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma
columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método
(manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un
espacio de dimensión 2.
resuelve en los siguientes pasos:
2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la
tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las
respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden
ambas. «Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en
Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la
segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino
dos formas de expresar la misma ecuación.
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales.
Las ecuaciones lineales son
ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de
grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son
Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos
(−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a
identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos
resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2,
b=3 y
c = −5, así es que:
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron.
Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron el examen?
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el
doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada
con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro
40 y a juanita 100 millones.
Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que
pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada
tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión total?
Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir al
Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 = $15,600
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales,
también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay
unos símbolos:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La
Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según particulares de "a" y de "b", puede tenerse
lee "a" menor que "b", cuando la diferencia
es negativa. Desigualdad "es la
expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los
términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo
mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias,
a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un arreglo
para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con valor
2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x)
Primero quitamos los paréntesis:
2x –[x –x +50] < x –800 +3x
2x –[50] < 4x –800
Ahora quitamos los corchetes
2x –50 < 4x –800
2x –4x < –800 +50
Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a
–2x < –750
Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita, entonces
cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y además cambiamos el
sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).
2x > 750
Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.
Aplicación de Desigualdades
Una compañía produce un determinado número de microscopios; Si duplica su
producción y vende 60 le quedan más de 26 pero si bajara su producción a la tercera
parte y vendiera 5, entonces tendría menos de 10 microscopios. ¿Cuántos microscopios
se fabricaron?
Número de microscopios fabricados: x
La compañía duplica su producción: 2x
Vende 60
: 2x-60
Le quedan más de 26
: 2x-60 > 26……… (I)
Baja su producción a la tercera parte: x/3
Vende 5 microscopios
: x/3 – 5
Tendría menos de 10
: x/3 – 5 < 10…..... (II)
Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:
mcm:3
Es decir, el numero de microscopios fabricados debe ser “mayor que 43” pero “menor que
45”, resultando x=44.
Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.
No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si nos
encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemático y luego
realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que
deseamos conocer).
Veamos un problema sencillo como ejemplo:
Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene actualmente
edad de Ximena
edad de Ximena en 5 años
Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de cinco
años, Ximena tendrá no menos de 18 años).
x + 5 > 18
x > 18 -5
Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no
podemos determinar exactamente su edad.
Dos ejemplos de inecuaciones representando la solución en la recta numérica e indicando
el intervalo en el cual se ubica ésta:
X pertenece al intervalo que va entre la fracción incluida y el infinito hacia la derecha.
Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es
Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que
podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.
Observa que en la recta de arriba:
4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.
–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica
–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica
0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica
Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo se
relacionan entre sí dos expresiones lineales.
Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.
Como resolver una inecuación
Resolver una inecuación es encontrar el valor de la incógnita para los cuales se cumple
la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión
de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso
de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números reales.
Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se
emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades
Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una utilizando la
recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la
desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica
representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no
incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.
Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)
Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al
7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe:
Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)
Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e
incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se
Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada
Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita
Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)
Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en
este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le
aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de la
Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3
4x > 53 +3
4x > 56
Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo
pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la
multiplicación es la división).
x > 56 ÷ 4
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14,
no incluyendo al 14.
Gráficamente, esta solución la representamos así:
Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha
todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.
Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36
Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos
independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas
donde era necesario).
–11x –5x +65x < 36 –1
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente
49x < 35
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X
(Llamado dominio).
Y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de
Forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del
Codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al
proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo
de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una
encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los
de la izquierda en la siguiente lista?:
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de
función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
x --------> x2
f(x) = x2 .
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama
la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio)
constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.
Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos.
Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el
mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada
uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del
segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento
enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo
elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X
(dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una
regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B
f : X -----> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la
función y B es el codominio o conjunto de llegada.
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es
la preimagen del número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles
de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es
B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es
"asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos
4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento
de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3}
Recorrido = {4, 8, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son
funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son,
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los
elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que
(1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya
que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},
Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de
correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz
cuadrada".
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (
), pero a los números −4 y −1 no les corresponden
elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de
Y, esta relación no es funciónde X en Y.
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la
función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable
independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser
cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los
valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real
diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los
números reales para los cuales la función tiene sentido.
números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero
para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los
números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+
anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo), el dominio está
conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está
conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es
el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente;
estos valores están determinados además, por el dominio de la función.
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los
cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son
mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto
que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo
la función f.
El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la
gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje
y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y
los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).
La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le
corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe
pertenecer al dominio de definición de la función.
Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una
tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos
valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo
estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.
Las gráficas de x ≥ -2 y y < 3, mostradas arriba no tienen nada de especial. Pudimos
haber representado las dos relaciones en una recta numérica, y dependiendo del
problema que tratamos de resolver, habría sido más fácil hacerlo.
Las cosas se vuelven más interesantes cuando graficamos desigualdades lineales con
dos variables. Empecemos con una desigualdad básica de dos variables: x > y.
Graficar otras desigualdades en la forma estándar y = mx + b es bastante simple también.
Una vez que graficamos la línea límite, podemos encontrar cuál es la región a sombrear si
probamos algunos pares ordenados dentro de la región o, en muchos casos, sólo
observando la desigualdad.
La gráfica de la desigualdad y > 4x − 5.5 se muestra abajo. La línea límite es la recta y =
4x − 5.5, y está punteada porque nuestro término y es “mayor que,” no “mayor o igual
Gráficas en Coordenadas Rectangulares
Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares,
que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se
llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.
Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo
un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de
ordenadas, su correspondiente imagen.
La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el
Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero,
m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es
una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido
(rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales.
Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales
y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El
intercepto en y es (0,b).Related DocumentsKeep on trucking`
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