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Timestamp: 2019-01-22 15:24:18+00:00

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De La Medicion de Magnitudes Fisicas
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Calculo de Errores Para Medidas Directas
INFORME-caminata
Cálculo de error de magnitudes físicas
Informe de Fisica-maria turpo
Error Absoluto Aleatorio
TEORIA DE ERROR.pdf
Medidas 1 Teoria de Errores
Módulo.I
FISICA Practica 1
Terminologia y Deficiones de Metrologia
Informe de Topografia 2
MediciÃ³n e incertidumbre
TEMA 10 (FIS)
Practica 1 (Lenguaje en la MetrologÃ­a)
Informe No 1. Medicion de Piezas
Qué Es Medición y Medición Eléctrica
SES.+1+MAGNITUDES+FÍSICAS+Y+ANÁLISIS+DIMENSIONAL.
CONCEPTOS BÁSICOS UTILIZADOS EN METROLOGÍA
De la medición de magnitudes físicas: unidades, cifras significativas e incertidumbres de medida. L. M.
Departamento de Física de la Materia Condensada. Facultad de Física. Universidad de Santiago de Compostela. E-15782. Santiago de Compostela. España.
Aunque centrada en el proceso de medición de magnitudes físicas, el propósito de esta ponencia que gustosamente presento al Congreso de Enciga a celebrar en Ribeira en noviembre de 2004 respondiendo a la invitación de su Comisión organizadora, es doble. Por un lado, pretende contribuir a resaltar el esencial papel formativo que para los estudiantes de ciencias tiene el entrar en contacto con los métodos de la parte experimental del método científico desde las fases iniciales de su formación; y por otro, incluye una revisión formal del proceso de medición de magnitudes físicas y la expresión de las medidas resultantes, algunos de cuyos aspectos han sido objeto de profunda revisión en las últimas décadas sin que este proceso haya tenido el necesario impacto en nuestro entorno académico. Comenzaré diciendo que, por lo que respecta al primero de los objetivos mencionados, creo necesario inculcar a los estudiantes que en la esencia misma de la Física se encuentra el método experimental, la herramienta que nos permite “interrogar” a la naturaleza para conocerla [1]. Es importante que el estudiante comprenda que el experimento nos proporciona el único pilar firme posible para un conocimiento científico de la realidad, al tiempo que reconoce el papel subordinado a la experiencia que en la Física tiene la teoría. Desde la perspectiva docente, es difícil ponderar la importancia de una adecuada transmisión de este hecho nuclear a los estudiantes de Física en particular y de ciencias naturales en general, especial mente en los primeros estadios de su formación científica. El rol central de la experiencia en el método científico y los conceptos involucrados en la medición de magnitudes (unidades, cifras significativas y redondeo, errores e incertidumbres experimentales, etc.) deben formar parte de los conocimientos de todo estudiante, debiendo ser capaces al final de su formación secundaria de valorar adecuadamente su función en el conocimiento de la realidad física. A mi juicio las reflexiones sobre las técnicas y métodos experimentales y sobre la naturaleza del propio experimento deben hacerse en pie de igualdad metodológica con cualquiera de los contenidos teóricos del programa como medio para contribuir a que el alumno asimile su importancia. Es por ello que, con ocasión de la presente ponencia y como paso previo a la parte formal de la misma, se pretende reivindicar un mayor peso y un status de mayor protagonismo para estos contenidos en los programas de Física de nuestra Enseñanza Secundaria, en ocasiones relegados a una parte práctica de la asignatura que se configura como un mero rito de “obligada” observancia, subordinado en todo caso a la dinámica de la parte teórica. La actual situación no hace justicia al papel de la teoría de la medida en la Física, por lo que creo necesario un cambio en nuestra comunidad educativa en este aspecto. En el aspecto formal, el proceso de medición física de una determinada magnitud física o mensurando es el resultado de una compleja trama de relaciones entre el observador y el sistema observado, mediadas en todo caso por algún tipo de instrumento de medida calibrado para comparar la cantidad de mensurando en el cuerpo en cuestión con alguna cantidad previamente fijada por convenio como patrón. La definición de los anteriores términos de la medición no está exenta de problemas e indefiniciones, pese a que intuitivamente se nos presenten de un modo en apariencia claro. Cuando nos enfrentamos a una medición debemos definir en primer lugar el mensurando, esto es, definir la magnitud física que hemos de medir especificando, si fuera necesario, las condiciones o
estados en las que se lleva a cabo la medición. La definición completa de un mensurando exigiría, en general, disponer de una cantidad infinita de información acerca del estado del sistema y de las perturbaciones que actúan sobre el mismo.1 La definición puede ser incompleta porque no incluya efectos cuya influencia en el mensurando se desconozca o porque incluya condiciones que en la práctica nunca podrán cumplirse y cuya realización imperfecta es de difícil reconocimiento. Por ello, debemos conformarnos en la mayoría de las situaciones experimentales concretas con una definición ideal del mensurando, despreciando las fluctuaciones que puedan afectarle en un sistema concreto, por lo que las medidas se efectúan con frecuencia sobre una magnitud que es una aproximación del mensurando ideal. Es un hecho fundamental de la teoría de medida que para cualquier mensurando existe el denominado “valor verdadero”, que sería aquel que satisface exactamente la definición del mensurando y que sería obtenido si se realizasen exactamente las condiciones del mensurando en el sistema concreto en el que se realizan las medidas. Ya hemos mencionado la dificultad que presenta tal realización, dificultad a la que además debemos añadir la imposibilidad del sujeto de conocer la realidad efectiva de ese suceso hipotético. El “valor verdadero” de una magnitud física es poco más que un ideal al que en teoría tendemos con la medida, que se nos aparece así como un proceso de estimación del valor de la magnitud que pretendemos medir. La medición nos permite, a lo sumo, acceder al mejor valor estimado del mensurando compatible con el estado actual del conocimiento físico, permaneciendo el “valor verdadero” del mensurando como una sombra al margen de la realidad 2 debido a definiciones defectuosas e indefiniciones del mensurando y a las limitaciones de nuestra capacidad de conocer la realidad. Es por ello que al enfrentarnos a una medición debemos aceptar que ésta está afectada por errores e incertidumbres que afectan a su calidad. Aunque tradicionalmente se han usado como conceptos equivalentes, es necesario distinguir entre ellos: 1) Error: Como ha quedado dicho, es imposible el acceso al “verdadero valor” del mensurando debido a imperfecciones de la medición que incluyen desde variaciones de tipo aleatorio de las observaciones (errores aleatorios) hasta correcciones imperfectas de los efectos sistemáticos y el conocimiento imperfecto de los fenómenos físicos (errores sistemáticos). Los errores aleatorios proceden de variaciones temporales y espaciales de las magnitudes de influencia, totalmente impredecibles y estocásticas, que no pueden eliminarse pero pueden reducirse incrementando el número de observaciones, ya que su valor medio (esperanza matemática) es nulo. Los errores sistemáticos, aunque igualmente no suprimibles, pueden disminuirse aplicando las correcciones o los factores de corrección pertinentes. El error experimental de una magnitud física es una medida de la desviación de
Teóricamente, en la medición de la velocidad del sonido en aire seco debemos especificar la composición del aire y las condiciones de presión y temperatura en las que se l eva a cabo la medición (e.g. T=298,15 K, p=101 325 Pa, x(fracción molar): N2=0,7808; O =0,2095; Ar=0,009 35; CO2 =0,000 35). Sin embargo, en la medición concreta de esta magnitud 2 en un sistema determinado debemos disponer de toda la información acerca del microestado del sistema concreto en el que se lleva a cabo la medición, que generalmente diferirá de las condiciones ideales fijadas para el mensurando. La mayor parte de la información microscópica acerca de este estado microscópico de un sistema físico (e.g. estados mecánicos de las partículas) resulta inaccesible en virtud de la naturaleza cuántica de los sistemas, pero aún la accesible en un determinado instante de tiempo se pierde irreversiblemente en el transcurso de la evolución temporal del sistema debido, entre otras cosas, a las perturbaciones aleatorias que afectan al sistema (inhomogeneidades en el interior del sistema, fluctuaciones en la presión y/o temperatura, en la composición local del sistema, interacciones aleatorias con el entorno, etc .). 2 La relación entre el “valor verdadero” y el valor estimado sería la misma, en términos kantianos, que la existente entre el noúmeno y el fenómeno. Mientras el primer concepto representa a la cosa en sí, la cosa considerada en cuanto no aparece, independiente de nuestra experiencia, el segundo se refiere a las apariencias pensadas según la unidad de las categorías del entendimiento humano [1,2].
la medida del mensurando de su “valor verdadero” como resultado de todos los anteriores efectos combinados. En el orden práctico es necesario indicar que, dado que los “valores verdaderos” son incognoscibles, los errores son desconocidos y nunca podrán conocerse. El error es un concepto ideal y no puede ser conocido de manera exacta3. e.g. Factores que contribuyen al error experimental en la medición de la masa de un cuerpo. a) Pequeñas diferencias en las indicaciones de la balanza en sucesivas determinaciones. b) Deficiencias en la calibración del instrumento de medida. c) influencia de la presión, temperatura y humedad ambiente que pueden afectar tanto al instrumento como a la muestra. d) Conocimiento defectuoso de otras magnitudes de influencia sobre el instrumento y sobre la muestra. 2) Incertidumbre: La incertidumbre es una evaluación de la adecuación de una determinada medida experimental de un mensurando al mejor valor estimado del mismo compatible con el estado actual del conocimiento físico. A diferencia del error experimental, la incertidumbre sí puede ser objeto de evaluación mediante técnicas estadísticas, aunque no podemos esperar que una incertidumbre pequeña corresponda a un error en el resultado de medida pequeño. No existe necesariamente correlación entre ellos, por lo que no puede considerarse a la incertidumbre como una medida de la certeza de nuestro conocimiento de la realidad, sino únicamente una determinación de la calidad del proceso de medición concreto, esto es, de su precisión en la determinación de un valor estimado atribuible a la magnitud experimental. De lo dicho anteriormente se deduce que como resultado de una medición de una magnitud experimental, hemos de asignar un valor estimado al mensurando y una incertidumbre de medida, para recoger todas las componentes que afectan a este importante proceso. Lógicamente, es necesario además referir la medida a un determinado sistema de unidades que recoja la adecuación de la medida a unos patrones de general aceptación. Por tanto, toda medida o resultado de un proceso de medición experimental de una magnitud debe ser expresada de la forma:
x = (x ± s x ) [unidades] ,
Rigurosamente, cualquier expresión que no contenga los tres términos anteriores (valor estimado del mensurando, x , incertidumbre típica de medida, sx , y unidades de medida) no puede considerarse una medida experimental, ya que no ofrece la información mínima exigible sobre el resultado de la medición, su calidad como determinación de un valor esperado y la adecuación a un patrón de medida del mensurando generalmente admitido que permita su comunicación e intercomparación. Analicemos detalladamente cada uno de los términos anteriores. a) Valor estimado ( x ): Supongamos que tenemos un conjunto de mediciones {xi }iN1 de = una determinada magnitud física X. Utilizando métodos estadísticos convencionales podemos asegurar que el mejor estimador del valor esperado de la magnitud (la media poblacional que identificamos con el mejor valor estimado de la magnitud X, y del que únicamente dispondríamos en
Todo lo más, si las principales fuentes de error sistemático son conocidas, podrán ser en la práctica corregidas o acotadas mediante un factor de corrección. Esto es lo que hacemos cuando comparamos un determinado instrumento con un patrón en una calibración.
el caso de haber obtenido los infinitos valores que puede tomar la magnitud) es el estadístico denominado media muestral: x= 1 N ∑x N i =1 i (2)
por lo que es lógico asignar este valor al valor estimado de la magnitud que se deduce de nuestro experimento. Es interesante notar que la media muestral es una función de las variables aleatorias, xi, por lo que en si mismo es una variable aleatoria. Este estimador es un estimador fiel y consistente de la media poblacional: i) Fiel: El valor esperado de la media muestral coincide con la media poblacional, µ,
E ( x ) = ∑ Pi xi =µ
ii) Consistente: Al aumentar el número de medidas la desviación típica del estimador, s(x ) , tiende a cero, definiendo progresivamente de manera más precisa el valor medio poblacional: lim s ( x ) = lim
N →0
s ( x) =0 N →0 N
donde s(x) es la desviación típica de la muestra: s2 (x ) = 1 N (x − x )2 N −1∑ i i =1 (5)
Fig. 1: Representación de la función de densidad de probabilidad del estimador media muestral, x , aquí supuesta gaussiana. En la figura se representan la desviación de la media muestral de la media poblacional, µ, o mejor valor estimado (incertidumbre experimental), y la desviación del denominado “valor verdadero”, ξ (error experimental).
b) Incertidumbre experimental (sx ): Esta magnitud es una medida de la calidad de la medida, entendida la calidad como la capacidad de la media muestral o valor atribuido a la medida de estimar
el valor óptimo que podemos atribuir a la magnitud física correspondiente. Insistimos una vez más que la incertidumbre de medida debe distinguirse claramente del error experimental. El binomio valor medido (estimado) y su incertidumbre deben oponerse a las magnitudes desconocidas valor “verdadero” y error. Tradicionalmente las categorías utilizadas para el error experimental (aleatoria y sistemática) se extendieron a la incertidumbre, como consecuencia de la indiferenciación existente entre ambos conceptos. Sin embargo, la evaluación de incertidumbres experimentales ha sufrido una notable variación en las últimas décadas, estando el criterio actualmente aceptado por la comunidad científica internacional recogido en la Recomendación INC-1 de 1980 del Grupo de Trabajo sobre la Expresión de Incertidumbres convocado por el Bureau Internacional de Pesas y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures, BIPM) en respuesta a una petición del Comité Internacional de Pesas y Medidas (Comité International des Poids et Mesures, CIPM), dependientes ambos de la Conferencia General de Pesas y Medidas (Conférence Générale des Poids et Mesures, CGPM)4. La Recomendación INC-1, elaborada por el Grupo de Trabajo a partir de consultas realizadas a los diferentes Institutos Nacionales de Metrología y Laboratorios de calibración nacionales, fue aprobada y ratificada por el CIPM en sus Recomendaciones CI-1981 y CI-1986 respectivamente. El cuerpo formado por todos estos documentos metrológicos fue posteriormente incorporado a una Guía (Guide for the Expression of the Uncertainty of Measurement, GUM) realizada en colaboración con la Organización Internacional de Normalización (ISO), que ha sido recientemente recibido en nuestro país por el Centro Español de Metrología (CEM) dependiente en la actualidad del Ministerio de Industria, Turismo y Comercio [3]. Según la Recomendación INC-1, la incertidumbre de medida consta de diversas componentes que pueden agruparse en dos categorías fundamentales dependiendo de la forma de su evaluación: • categoría A que comprende aquellas componentes de la incertidumbre que se evalúan por métodos estadísticos y proceden de la repetición de observaciones experimentales. Estas componentes se caracterizan, como veremos a continuación por medio de varianzas estimadas, s2, usando funciones de densidad obtenidas a partir de la muestra de datos. • Categoría B comprensiva de las que se evalúan por otros métodos y no se encuentran asociadas a la repetición de medidas (e.g. precisión del instrumento, etc.). Las componentes tipo B de la incertidumbre se cuantifican usando varianzas estimadas, cuya existencia se asume. La incertidumbre total que podemos atribuir a la incertidumbre de medida, sx , es el resultante de la suma de ambas incertidumbres, que se obtiene a partir de las anteriores mediante el método convencional de suma de desviaciones típicas. Además de estas, existen otras categorías de incertidumbres que no trataremos en la presente ponencia 5 Ciertamente no existe correspondencia
Este organismo internacional fue creado por la Convención del Metro, un Tratado internacional suscrito en París el 20 de mayo de 1875 por 17 Estados y hoy extendido a 51 Estados miembros, entre ellos el Reino de España,4 y a 16 Estados asociados. La CGPM está dotada de para actuar en cuestiones de metrología internacional, y en particular las referidas a estándares de medida de precisión creciente, y la equivalencia entre los diferentes estándares de medida nacionales. Hay que mencionar que sus dictámenes y recomendaciones obligan a España en virtud de las disposiciones del Tratado, normas internacionales con rango superior a la ley interna en virtud del artículo 96 de la Constitución Española de 1978. 5 Cuando el resultado de una medición se obtiene a partir de los valores de otras magnitudes varias la incertidumbre típica del resultado se denomina incertidumbre típica combinada y se calcula por propagación de incertidumbres a partir de las incertidumbres de las magnitudes de influencia. En determinadas aplicaciones industriales y comerciales la incertidumbre típica combinada ha de multiplicarse aún por un factor denominado de cobertura para obtener la
inmediata e inequívoca entre las categorías tradicionales y las nuevas categorías de incertidumbre que recoge la GUM, que aconseja incluso prescindir de la categoría de incertidumbre sistemática , por conducir a “errores de interpretación, por lo que debe evitarse”. Evaluación de las incertidumbres de medida: Ya hemos visto que la evaluación de las dos componentes de la incertidumbre se basa en distribuciones de probabilidad, por lo que debemos calificar ambas componentes como estadísticas en sentido estricto del término. La diferencia entre ambas es que mientras la incertidumbre tipo A se evalúa a partir de una función densidad de probabilidad derivada o estimada a partir de una distribución de frecuencias observada a partir de la muestra de datos, la incertidumbre tipo B se obtiene a partir de una función de densidad de probabilidad supuesta o asumida a partir de información precedente o de un análisis de tipo teórico del problema. Analicemos detenidamente cada una de las componentes de la incertidumbre. Tipo A Consideremos la distribución de los resultados de medida obtenidos para una determinada magnitud física X, {xi }N=1 , procedentes de una población (el conjunto de todas las i posibles medidas de la magnitud física X) que supondremos que está normalmente distribuida en torno a una media µ. La incertidumbre típica de tipo A de la magnitud X se calcula como la desviación típica experimental de la media: s( x ) =
N 1 ∑ (x i − x )2 ≡ sA (x ) N (N − 1) i =1
Recordemos de la estadística matemática que, supuesta una población madre normal, la desviación típica de la media muestral en torno a la media poblacional s( x ), es (§ Fig. 1): s( x ) = donde, s( x ) = 1 N 2 ∑ (xi − x ) N − 1 i =1 (8) s(x ) N (7)
es el estadístico desviación típica muestral, estimador de la desviación típica de la población. El término N-1 en el denominador del radicando de la ecuación (8) está motivado por la necesidad de que s(x) sea un estimador fiel de la desviación típica muestral. Tipo B En general, debemos asignar una incertidumbre a la medida relacionada con componentes de la misma como la precisión del instrumento de medida con el que operamos no directamente relacionada con la existencia de observaciones repetidas de la magnitud de entrada X. Ya hemos dicho que esta componente de la incertidumbre experimental se evalúa también de manera estadística, pero en este caso la distribución de probabilidad debe ser supuesta a partir de datos como:
denominada incertidumbre expandida , cuyo objetivo es proporcionar un intervalo de confianza en el que razonablemente se pueda esperar que se encuentren una gran parte de los valores del mensurando [3].
resultados de medidas anteriores del mismo mensurando con el mismo instrumento; experienc ia y conocimiento general del comportamiento de los sistemas e instrumentos utilizados en la medición; - datos especificados por el fabricante del instrumento (certificados de calibración...) - datos asignados a la incertidumbre en libros y manuales Como vemos, las fuentes anteriores (y otras que no han sido mencionadas en la relación anterior) componen un conjunto bastante heterogéneo y relativamente indefinido de fuentes de conocimiento de la incertidumbre de tipo B. Esto no debe inducirnos a pensar que la incertidumbre de tipo B es menos fiable que una de tipo A, ya que, en general, la primera puede proporcionar tanta y tan buena información sobre la calidad de la medida como la segunda, especialmente en aquellas situaciones en las que disponemos de un número pequeño de observaciones independientes.6 La incertidumbre tradicional que se asigna a la medida correspondiente a la categoría de incertidumbres de tipo B es la denominada “precisión del instrumento”. Sin duda alguna esta es la principal contribución a las incertidumbres de tipo B, aunque nada obsta para que en un proceso de medición concreto puedan estar presentes otras contribuciones incluso más importantes que ésta (e.g fluctuaciones en las magnitudes de interés, etc.). Con miras a determinar la contribución de esta componente a la incertidumbre experimental podemos considerar que una medición con un determinado instrumento (analógico o digital) nos proporciona una lectura que podemos considerar comprendida usualmente en un intervalo (a1,a2) en el cual los resultados se distribuyen de acuerdo con una determinada distribución de probabilidad (Fig. 2). -
Fig. 2 Lectura de la longitud de un objeto con un instrumento analógico de precisión a2-a1.
Para evaluar la contribución a la incertidumbre de tipo B derivada de la existencia de un límite de precisión del instrumento hemos de asignar una distribución de probabilidad a los valores del intervalo de resolución mínima del instrumento. Evidentemente podemos optar por una notable variedad de opciones que van desde considerar que todos los valores posibles dentro de ese intervalo son igualmente probables (distribución uniforme) a asignar diferentes pesos a los mismos (distribución triangular, tapezoidal, normal o cualquier otra según nuestra experiencia o conocimiento). 7 Las opciones más populares –que son además las recogidas en la GUM - son las que corresponden a valores equiprobables (distribución uniforme, Fig. 3) y a una distribución
Pensemos que en el límite en el que dispongamos de una única medida la incertidumbre de tipo B es la única que podremos asignar a la medida experimental. 7 Es evidente que en el caso concreto de la Fig. 2 –representativa de la lectura de una magnitud en la escala de un instrumento analógico- podemos precisar visualmente más de lo que lo hacemos al asignar δ a 2-a 1 como resolución = mínima del instrumento de medida. Sin embargo, este hecho cuantitativo únicamente supone que al interponer un instrumento más preciso que la escala del aparato de medida (el ojo humano) en la lectura estamos de hecho realizando una partición más fina de la escala del instrumento, lo que no aporta nada cualitativo al argumento presente de asignación de una distribución de probabilidad uniforme a los valores del intervalo (a1, a2). En el caso de que se trate de un instrumento digital no existe este problema al no interponerse en la lectura ningún aparato más preciso que el instrumento de medida.
triangular para los valores de (a1, a2). En esta ponencia comentaremos, por brevedad, únicamente la primera de ellas. • Distribución uniforme : La distribución uniforme, debido a su sencillez, es con mucho la más utilizada para calcular la contribución de la resolución del instrumento a la incertidumbre de tipo B. Corresponde a una función de densidad de probabilidad: C f ( x) =  0 x ∈ ( a1 , a 2 ) resto (9)
donde por normalización C = 1 / (a2 − a1 ) . La desviación típica de esta distribución de probabilidad es la que corresponde a la contribución de la resolución instrumental a la incertidumbre tipo B: sB = a 2 − a1 (a2 − a1 ) / 2 = 12 3 (10)
Es evidente que la distribución uniforme ofrece algunos problemas en instrumentos de tipo analógico, en el que se superpone un segundo instrumento de medida (el ojo humano) en el proceso de lectura de datos, pero es perfectamente adecuado para instrumentos digitales en el que no existe ninguna base para otorgar diferencias de probabilidad a los valores del mensurando dentro del intervalo de resolución mínima del instrumento (§ nota 7).
Fig. 3 Representación de las principales funciones de densidad de probabilidad usualmente supuestas para la evaluación de incertidumbres tipo B.
Una vez evaluadas las componentes de tipo A y de tipo B de la incertidumbre de la medida de una magnitud física X asignamos a la incertidumbre de medida, sx, el valor obtenido a partir de la suma convencional de desviaciones típicas:
sx = s2 + s2 A B
Finalmente, hay que decir que en lo referente a la expresión de las cantidades la Guía GUM aconseja expresar los resultados de incertidumbre de medida con dos cifras significativas, lo que lógicamente condiciona las cifras significativas que debe poseer el valor estimado de la magnitud
física correspondiente,8 y exige probablemente el redondeo de la cantidad obtenida según las reglas convencionales. El concepto de cifra significativa es uno de los más confusos del análisis de incertidumbres, al superponerse en él consideraciones de tipo matemático y de tipo físico. En general, estamos interesados en encontrar un concepto de significación física (por tanto experimental, no exclusivamente numérica) de una determinada cifra integrante de una expresión numérica. Es evidente que ello dependerá de la medida concreta y vendrá determinada por su incertidumbre experimental concreta. Podemos definir el concepto de cifra significativa como aquella que aporta información no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida experimental. Esta definición nos conduce a las siguientes reglas de cómputo de cifras significativas, general aunque no universalmente admitidas: 1. Todas las cifras diferentes de cero que expresen cantidades iguales o superiores a la incertidumbre experimental son significativas (4123 4 cifras; 0. 4123 4 cifras). 2. Los ceros únicamente son significativos cuando se encuentran entre dos cifras diferentes de cero. (203 3 cifras; 230 2 cifras). 3. Los ceros a la izquierda de una cifra diferente de cero no son significativos ya que únicamente ndican la posición de la coma decimal y pueden ser anulados mediante un i cambio de unidades (0.0023 m 2 cifras ; 2,3 mm 2 cifras). 4. Los ceros a la derecha de cifras no nulas pueden o no ser significativos, dependiendo de la incertidumbre experimental (0,023000 g 2 cifras si apreciamos el mg; y 5 cifras si apreciamos el µg; 230 2 cifras; 230, 3 cifras; 230,0 4 cifras). En general, la mejor manera de calcular el número de cifras significativas es expresar el número en notación científica y practicar el recuento sobre el factor multiplicativo de la potencia de diez correspondiente. e.g 0,023000 con incertidumbre de mg = 2.3 10-2 g 2 cifras; 0,023000 con incertidumbre de µg = 2,3000 10-2 5 cifras En cualquier caso, antes de proceder a la fijación de las cifras significativas de una cantidad resultado de una medición hemos de disponer de su incertidumbre, que determinará de manera decisiva este hecho. e.g. Supongamos que obtenemos para el valor de una determinada masa el valor 5,000 673 g con una incertidumbre 28 µg. Como la incertidumbre ha de expresarse con dos cifras significativas tendremos que el resultado de la medida de la resistencia en concreto es: m = (5 000 673 ± 28) µg Por lo que concluimos que la cantidad asignada como valor estimado tiene en este caso 7 cifras significativas. Si la incertidumbre obtenida hubiese sido 278 Ω, entonces obtendríamos una resistencia experimental: m = (5,000 67 ± 28) 10-5 g Teniendo ahora únicamente sentido físico 6 cifras significativas, aunque matemáticamente hubiésemos obtenido siete. e.g. Supongamos que al medir la masa de un determinado cuerpo con una balanza que aprecia el miligramo obtienen las medidas recogidas en al tabla siguiente.
Es trivial obtener:
m = 1 10
= 22 .7000 mg
(Nota: mantenemos en esta fase del cálculo 4 cifras para evitar errores de redondeo al calcular la incertidumbre total).
1 10 1 .8886 ∑ ( mi − m ) 2 =1.8886 mg; sA( x )= 10 mg = 0.5972 mg 9 i =1
sB(m)=
mg= 0.2887 mg
El anterior tratamiento estadístico de la muestra de datos nos lleva a asignar un valor a la masa problema de:
2 sm= s 2 ( m ) + s B ( m) =0.6633 mg ≈ 0.66 mg A
donde hemos redondeado a dos cifras significativas de acuerdo con el criterio mencionado anteriormente. Luego, la masa del cuerpo determinada mediante el proceso de medición es: m=(22.70 ± 0.66) mg c) Unidades : La forma de medir revela el concepto que tiene una sociedad de lo que es un intercambio justo desde tiempo inmemorial9. Después de una larga época en la que fueron objeto de agrias disputas entre la comunidad científica, la anteriormente mencionada Convención del Metro vino a poner fin a una época de diversidad de medidas propia del Estado Absoluto 10, culminando uno
Ya en los Textos Sagrados de las diferentes religiones monoteístas podemos encontrar referencias a la necesidad de disponer de medidas únicas y justas para garantizar el comercio y la comunicación de cantidades en la ingeniería y en la industria. Así pueden citarse: Antiguo Testamento: "No tendrás en tu mano dos clases de pesas, una para comprar y otra para vender. Deberás tener un peso exacto y justo, a fin de que tus días se te prolonguen en la tierra que te ha dado tu Dios, ya que es abominable el que realizare estas cosas o el que cometier e estas iniquidades." "No cometeréis injusticia alguna en el juicio, en la medida, en el peso y en el contenido. Tendréis balanzas de justicia, pesos de justicia, un ephah de justicia, un hin de justicia.” “La utilización de una falsa balanza es una acción abominable, el no poseer pesas justas constituye el gran delito...” El Corán: "En nombre de Alá, el muy Misericordioso, desgraciados aquellos que defraudan en el peso o en la medida; cuando miden contra los otros utilizan una medida completa, pero cuando miden o pesan para ellos la disminuyen." Talmud: "El tendero está obligado a limpiar sus medidas dos veces por semana, sus pesas una vez por semana y sus balanzas después de cada pesada." 10 Según Ken Alder (La medida de todas las cosas, Taurus, Madrid, 2003) hay estimaciones de contemporáneos de la Revolución francesa, de que bajo unas ochocientas denominaciones existían en la Francia del Ancien Regime unas 250.000 unidades diferentes de pesos y medidas. Su unificación era fundamental para crear un espacio comercial (y por tanto político) interior unificado en Francia, eliminando las barreras interiores comerciales, jurisdiccionales, etc. propias del feudalismo medieval. La cuestión de las unidades de medida estaba sí en el núcleo mismo de la construcción de la Nación moderna, liberal e ilustrada, por lo que, además de ser un problema científico y por tanto muy adecuado al espíritu de la Ilustración, adquirieron una enorme importancia política en el emergente régimen liberal de la Francia de la época.
de los ideales de la Ilustración, que cuajó en una de las ansias de la Francia revolucionaria, de crear un sistema métrico universal y una forma de medir que elevase a la razón al rango de “único déspota del universo”, acabando con las arbitrariedades, abusos y obstáculos al progreso político, económico y social derivados de la multiplicidad de medidas. En 1954, la 10a CGPM siguiendo la recomendación del BIPM incorporó a las tres unidades fundamentales tradicionales de masa (kilogramo, kg), longitud (metro, m) y tiempo (segundo, s), las unidades de carga eléctrica (ampere, A), temperatura termodinámica (kelvin, K) e intensidad luminosa (candela, cd). Con base en estas magnitudes fundamentales, en 1960 la 11a CGPM introdujo el nombre de Sistema Internacional de Unidades (SI), completado en 1971 añadiendo la unidad fundamental de cantidad de sustancia (mol). Este sistema de medida ha proporcionado un marco de uniformidad a todas las mediciones científico-técnicas, favoreciendo de manera general la ciencia, la ingeniería, el comercio, la industria y la actividad de los Estados en materia normativa. El Estado español ha recogido en su ordenamiento jurídico interno el Sistema Internacional de Unidades en el Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las Unidades Legales de Medida, (BOE de 3 de noviembre), y que recoge además de las Resoluciones de la CGPM, la Directiva del Consejo de las Comunidades Europeas 80/181/CEE, modificada por a Directiva 85/1/CEE, así como el contenido del Documento Internacional “Unidades de Medidas Legales” de la Organización Internacional de Metrología Legal. El citado RD 1317/1989, que se incluye como anexo a la presente ponencia, en su artículo único dispone:
Tabla 1. Unidades SI básicas (BOE 3 de noviembre de 1989)
“1.- El Sistema legal de Unidades de Medida obligatorio en España es el sistema métrico decimal de siete unidades básicas, denominado Sistema Internacional de Unidades (SI), adoptado en la Conferencia General de Pesas y Medidas y vigente en la Comunidad Económica Europea.
Es interesante resaltar que restos de esta fragmentación interior aún se conservan en la actualidad en las medidas agrarias de regiones como Galicia. Por ejemplo, el “ferrado” (y la “fanega” equivalente a una cantidad variable entre 4 y 6 ferrados según las zonas y hoy totalmente en desuso) es una medida tradicional usada en la medición de la superficie de predios rústicos en Galicia, y también una medida de capacidad de cereales, áridos, etc. La Gran Enciclopedia Gallega Silverio Cañada recoge 21 equivalencias con el sistema métrico decimal en los Ayuntamientos de la provincia de A Coruña, 26 en los de Lugo, 17 en los de Pontevedra y 4 en los de Ourense. Hay que citar que no existe tampoco uniformidad dentro del ámbito municipal, lo que nos proporciona una idea de la enorme complejidad que estas medidas suponen para el tráfico jurídico y comercial.
2.- Quedan relacionadas y definidas en el anexo al presente Real Decreto las unidades SI básicas y suplementarias (capitulo I), las unidades SI derivadas (capítulo II) y las reglas para la formación de los múltiplos y submúltiplos de dichas unidades (capítulo III).” BOE nº 269 de 10 Ley 88/1967, de 8 de noviembre, declarando de uso legal en España el de noviembre de denominado Sistema Internacional de Unidades (SI) 1967 Decreto 1257/1974 de 25 de abril, sobre modificaciones del Sistema BOE nº 110 se 8 Internacional de Unidades, denominado SI, vigente en España por Ley de mayo de 1974 88/1967, de 8 de noviembre. BOE nº 264 de 3 Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las de noviembre de Unidades Legales de Medida 1989 BOE nº 21 de 24 Corrección de errores del Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, de enero de 1990 por el que se establecen las Unidades Legales de Medida BOE nº 289 de 3 Real Decreto 1737/1997, de 20 de noviembre, por el que se modifica de diciembre de Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las 1997 Unidades Legales de Medida
Tabla 2: Diferentes disposiciones normativas publicadas en el Boletín Oficial del Estado (BOE) en materia de unidades.
AGRADECIMIENTOS: El autor desea agradecer sinceramente la ayuda en la revisión del presente documento de los Profesores de la Facultad de Física de la Universidad de Santiago de Compostela, Manuel García Sánchez y Faustino Rodríguez González, así como las innumerables conversaciones científicas mantenidas a lo largo de los últimos tiempos sobre el tema.
REFERENCIAS [1] I. Kant, Crítica de la Razón Pura, 20a ed. (Alfaguara, Madrid, 2002). [2] F. Copleston, Historia de la Filosofía, 4a ed., vol. 6, p. 256. (Ariel, Barcelona, 2000). [3] Guía para la Expresión d la Incertidumbre de Medida, 2a ed. (Centro Español de Metrología, e Madrid, 2000).
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References: artículo 96
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