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Timestamp: 2017-02-19 16:45:52+00:00

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50856318-Programa-de-Estudio-a-l-Medio-Final
NavegarInteresesBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultNavegar porLibrosAudio librosNews & MagazinesPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseMATEMÁTICA Programa de Estudio Primero MedioPropuesta presentada a revisión del Consejo Nacional de Educación
Presentación Nociones básicas -Aprendizajes como integración de conocimientos, habilidades y actitudes -Objetivos Fundamentales Transversales -Mapas de Progreso Consideraciones generales para implementar el programa -Uso del lenguaje -Uso de las Tecnologías de Información y Comunicación -Atención a la diversidad Orientaciones para planificar y evaluar -Orientaciones para planificar -Orientaciones para la evaluación Matemáticas: Propósitos, habilidades y orientaciones didácticas Visión global del año - Cuadro sinóptico de aprendizajes esperados Unidades - Semestre 1 - Unidad 1. Números - Unidad 2. Álgebra -Semestre 2 - Unidad 3. Geometría - Unidad 4. Datos y Azar Material de apoyo sugerido Anexos: -Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares -Anexo 2: Ejemplo de Calendarización Anual -Anexo 3: Objetivos Fundamentales por Semestre y Unidad. -Anexo 4: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad -Anexo 5: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)
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El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico del año escolar. Esta propuesta tiene como propósito promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el marco curricular1.
La ley establece que cada establecimiento puede elaborar sus propios programas de estudio, previa aprobación de los mismos por parte del Mineduc. El presente programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no cuentan con programas propios. Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son: • Una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los OF y CMO del marco curricular, lo que se expresa a través de los aprendizajes esperados2. Una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades Una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación, presentadas a modo de sugerencia.
De manera adicional a estos componentes, se presenta un conjunto de elementos que se entregan con la finalidad de orientar el trabajo pedagógico realizado a partir del programa y promover el logro de los objetivos que éste propone. La totalidad de los elementos que componen el programa se organizan de la siguiente manera: • Nociones básicas. Esta sección presenta conceptos fundamentales que están a la base del Marco Curricular, y a la vez una visión general sobre la función de los mapas de progreso. Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el trabajo en torno al mismo. Orientaciones para planificar y evaluar. Entregan sugerencias generales para poner estos procesos al servicio del logro de los aprendizajes definidos en el programa. Propósitos, habilidades y orientaciones didácticas. Esta sección presenta sintéticamente los propósitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendizajes del sector y las habilidades a desarrollar. También entrega algunas orientaciones pedagógicas relevantes para implementar el programa en el sector. Visión global del año. Presenta la totalidad de aprendizajes esperados a desarrollar durante el año, organizados de acuerdo a unidades. Unidades. Junto con especificar los aprendizajes esperados propios a la unidad, incluyen indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes. Instrumentos y ejemplos de evaluación. Ilustran formas de apreciar el logro de los aprendizajes esperados, y presentan estrategias diversas que pueden ser utilizadas para este fin. Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliográficos y electrónicos que pueden ser utilizados para promover los aprendizajes del sector, distinguiendo aquéllos para ser consultados por el docente de los que pueden ser utilizados por los estudiantes.
Decretos supremos 254 y 256 de 2009. Algunos casos estos aprendizajes están formulados en los mismos términos que algunos de los OF del marco curricular. Esto ocurre cuando dicho OF puede ser desarrollado de manera íntegra en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su desgloce en definiciones más específicas.
Los aprendizajes que promueve el marco curricular y los programas de estudio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para estos efectos, estos aprendizajes involucran tanto al desarrollo de conocimientos propios de la disciplina, como habilidades y actitudes.
para enfrentar diversos desafíos, tanto en el contexto del sector de aprendizaje, como al desenvolverse en su entorno. Esto supone una orientación hacia el logro de competencias, entendidas como la movilización de conocimientos, habilidades y actitudes para desarrollar de manera efectiva una acción determinada.
…y que se desarrollan de manera integrada.
Habilidades Son importantes porque… … el aprendizaje involucra no sólo el saber, sino también el saber hacer. Por otra parte, la
continua expansión y complejización del conocimiento demanda crecientemente capacidades de pensamiento que permitan, entre otras cosas, utilizar el conocimiento de manera apropiada y rigurosa; adquirir nuevos conocimientos; examinar críticamente la diversidad de fuentes de información disponibles; y generar nuevos conocimientos e información. Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades, como por ejemplo: resolver problemas, formular conjeturas, realizar cálculos en forma mental y escrita y verificar proposiciones simples, entre otras.
Conocimientos Son importantes porque… … los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la comprensión de los
estudiantes sobre los fenómenos a los que se ven enfrentados. Les permiten relacionarse con el entorno utilizando nociones de una complejidad y profundidad que complementan de una manera crucial el saber obtenido desde el sentido común y de la experiencia cotidiana. Adicionalmente, estos conceptos son fundamentales para la construcción de nuevos aprendizajes por parte de los estudiantes. Por ejemplo, si se observa una información en un diario que contenga datos representados en tablas o gráficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre estadística para interpretar a esa información. Los conocimientos previos le capacita para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en la medida que entiende la información y así construir este nuevo conocimiento.
… los aprendizajes no son elementos que involucran únicamente la dimensión cognitiva. Siempre están asociados con las actitudes y disposiciones de los estudiantes. Dentro de los propósitos establecidos para la educación se contempla el desarrollo en los ámbitos personal, social, ético y ciudadano. Estos involucran aspectos de carácter afectivo, y a la vez el desarrollo de ciertas disposiciones. A modo de ejemplo, los aprendizajes involucran actitudes tales como perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias.
… en muchos casos requieren de los conocimientos y habilidades para su desarrollo. Estos conocimientos y habilidades entregan herramientas necesarias para elaborar juicios informados, analizar críticamente diversas circunstancias, y para contrastar criterios y decisiones, entre otros procesos involucrados en el desarrollo de actitudes. A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los conocimientos y habilidades adquiridas. Son por lo tanto un antecedente necesario para hacer un uso constructivo de estos elementos.
Son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general, y que apuntan al desarrollo personal, ético, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte constitutiva del currículum nacional, y por lo tanto los establecimientos deben hacerse cargo de promover su logro. Los OFT no se desarrollan a través de un sector de aprendizaje en particular, sino que
dependen del conjunto del currículum. Tienen lugar tanto a través de las diversas disciplinas del currículum, como de las diversas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo, a través del proyecto educativo institucional, la práctica docente, el clima organizacional, la disciplina o las ceremonias escolares).
No se trata de objetivos que involucran únicamente actitudes y valores. Supone la integración de estos elementos con el desarrollo de conocimientos y habilidades. A partir de la actualización al marco curricular realizada el año 2009, estos objetivos están
organizados bajo un esquema común para la Educación Básica y la Educación Media. De acuerdo a este esquema, los Objetivos Fundamentales Transversales se Organizan en 5 ámbitos: crecimiento y autoafirmación personal, desarrollo del pensamiento, formación ética, la persona y su entorno, y tecnologías de información y comunicación.
Son descripciones generales que señalan de qué manera progresan típicamente los
aprendizajes en las áreas clave de un sector determinado. Se trata de formulaciones
sintéticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. A partir de esto ofrecen una visión panorámica sobre el conjunto de la progresión del aprendizaje en los 12 años de escolaridad 3. Los mapas de progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en el marco curricular y los programas de estudios. La progresión que describen es una expresión más gruesa y sintética de los aprendizajes que estos dos instrumentos establecen, y que por lo tanto se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su particularidad consiste en la visión de conjunto que entregan sobre la progresión esperada a lo largo de toda la asignatura.
… de manera congruente con el marco curricular y los programas de estudio.
¿Qué utilidad tienen los mapas de progreso para el trabajo de los docentes? Los mapas de progreso pueden ser un apoyo importante tanto para definir objetivos adecuados como para realizar el proceso de evaluación (ver orientaciones para la planificación y para la evaluación que se presentan en el programa). Adicionalmente, los mapas de progreso son un referente útil para atender a la diversidad de estudiantes dentro del aula.
… y para atender la diversidad al interior del curso.
Permiten dar un paso que va más allá de la simple constatación que existen distintos niveles de aprendizaje dentro de un mismo curso. Dan pie para caracterizar e identificar con mayor precisión en qué consisten estas diferencias, a partir de su uso para analizar los desempeños de los estudiantes.
aprendizajes de los distintos grupos que se manifiestan en un mismo curso, tanto de aquellos que no han logrado el nivel esperado para el curso, como para aquellos que ya lo han alcanzado o superado. Expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector de manera sintética y alineada al marco curricular.
Los mapas de progreso describen en 7 niveles el crecimiento típico del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el Nivel I corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de Segundo Básico; el nivel 2 corresponde al término de Cuarto Básico, y así sucesivamente. El nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”, es decir, va más allá de la expectativa para Cuarto Medio, que describe el nivel 6 en cada mapa.
Objetivo Fundamental Iº medio Representar números racionales en la recta numérica, usar la representación decimal y de fracción de un racional justificando la transformación de una en otra, aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades. Contenido Mínimo Obligatorio Representación de números racionales en la recta numérica; verificación de la cerradura de la adición, sustracción, multiplicación y división en los racionales.
Orientan la labor pedagógica estableciendo Aprendizajes Esperados que dan cuenta de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos, y los organiza temporalmente a través de unidades.
Entregan una visión sintética del progreso del aprendizaje en un área clave del sector, y que se ajusta a las expectativas del marco curricular.
Ejemplo: Mapa de progreso Números y Operaciones
Ejemplo: Aprendizaje Esperado I° medio Aplicar las cuatro operaciones aritméticas con números racionales en situaciones diversas, aproximar los resultados, reconociendo las limitaciones de la calculadora.
Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numéricos… Nivel 6 Reconoce los números complejos cómo…
Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución en los racionales, y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpreta potencias de base racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos, establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza operatoria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas.
Nivel 4 Reconoce a los números enteros como… Nivel 3 Reconoce que los números naturales… Nivel 2 Utiliza los números naturales hasta1.000…
MINISTERIO DE EDUCACIÓN Utiliza los números naturales hasta 1.000… UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010
Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicación oral, de la lectura y la escritura
La lectura, la escritura y la comunicación oral deben ser promovidas en los distintos sectores de aprendizaje
como parte constitutiva del trabajo pedagógico correspondiente a cada sector de aprendizaje. Esto se justifica porque las habilidades de comunicación son herramientas fundamentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes propios de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan únicamente en el contexto del sector Lenguaje y Comunicación, sino que se consolidan a través del ejercicio en diversos espacios y en torno a diversos temas, y por lo tanto, involucran los otros sectores de aprendizaje del currículum. Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicación oral, los docentes deben procurar: Lectura: la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informativos propios del sector, textos periodísticos, narrativos, tablas y gráficos); la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos especializados del sector; la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante; la realización de resúmenes, síntesis de las ideas y argumentos presentados en los textos; la búsqueda de información en fuentes escritas, discriminándola y seleccionándola de acuerdo a su pertinencia ; la comprensión y dominio de nuevos conceptos y palabras.
Escritura: la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo, reportes, ensayos, descripciones, respuestas breves); la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas; la presentación de las ideas de una manera coherente y clara; el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos; el uso correcto de la gramática y de la ortografía. Comunicación oral: la capacidad de exponer ante otras personas; la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada; el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones; un uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión, incorporando los conceptos propios del sector; el planteamiento de preguntas para expresar dudas, inquietudes, y para superar dificultades de comprensión; la disposición para escuchar información de manera oral, manteniendo la atención durante el tiempo requerido; la interacción con otras personas para intercambiar ideas, analizar información y elaborar conexiones en relación a un tema en particular, compartir puntos de vista y desarrollar acuerdos.
(TICs) está contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos Fundamentales Transversales del marco curricular. Esto demanda que el dominio y uso de estas tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo realizado al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto se debe procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para: - buscar, acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes; y seleccionar esta información examinando críticamente su relevancia y calidad - procesar y organizar datos utilizando plantillas de cálculo, y manipular la información sistematizada en éstas para identificar tendencias, regularidades y patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector - desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto, plantillas de presentación (Power Point), así como herramientas y aplicaciones de imagen, audio y video - intercambiar información a través de las herramientas que ofrece Internet como el correo electrónico, Chat, espacios interactivos en sitios web, o comunidades virtuales - respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs, como el cuidado personal y el respeto por el otro al utilizar estas herramientas, señalar las fuentes de donde se obtiene la información, y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales.
Se puede recurrir a diversas formas de utilizar estas tecnologías.
En el trabajo pedagógico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre los estudiantes, ya sea en términos culturales, sociales, étnicos o religiosos; así como en
términos de estilos de aprendizaje y de los niveles de conocimiento. Esta diversidad trae consigo desafíos que requieren ser contemplados por los docentes. Entre estos cabe señalar: promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de tolerancia y apertura, evitando las distintas formas de discriminación procurar que los aprendizajes se desarrollen de una manera significativa en relación al contexto y la realidad de los estudiantes procurar que todos los estudiantes logren los objetivos de aprendizaje señalados en el currículum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos
Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de aprendizaje no implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes. Por el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece cuando nos damos cuenta que para que todos los alumnos alcancen altas expectativas, debemos reconocer sus necesidades didácticas personales. Aspiramos a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado.
Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad no implica “expectativas más bajas”, por
el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece cuando nos damos cuenta que para que los alumnos alcancen altas expectativas, debemos reconocer sus necesidades didácticas personales. Aspiramos a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel de curso. En atención a lo anterior, es conveniente que al momento de diseñar el trabajo en una unidad, el docente debe considerar que para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes precisarán más tiempo o métodos diferentes. Para esto debe desarrollar una planificación inteligente que genere las condiciones que le permitan: conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de los estudiantes
Esto demanda conocer qué saben, y en base a esto definir flexiblemente las diversas medidas pertinentes
evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades de aprendizaje definir la excelencia considerando el progreso individual como punto de partida incluir combinaciones didácticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) y materiales diversos (Visuales, objetos manipulables) evaluar de diversas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opciones promover la confianza de los alumnos en sí mismo Promover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación abundante
La planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los aprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los procesos y recursos necesarios para que los estudiantes logren los aprendizajes que deben alcanzar. Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herramienta de apoyo al proceso de planificación. Para estos efectos han sido elaborados como un material flexible
que los profesores pueden adaptar a su realidad en los distintos contextos educativos del país. El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son los aprendizajes esperados. De manera adicional, el programa apoya de planificación a través de la propuesta de unidades, de la estimación del tiempo cronológico requerido en cada una, y de la sugerencia de actividades para desarrollar los aprendizajes.
Consideraciones generales para realizar la planificación La planificación es un proceso que se recomienda realizar considerando los siguientes aspectos
La diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso, lo que implica planificar considerando desafíos para distintos grupos de alumnos. El tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible. Las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios. Los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materiales didácticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar, laboratorio, materiales disponibles en el Centro de Recursos de Aprendizaje (CRA), entre otros.
Sugerencias para el proceso de planificación Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe estar centrada en torno a estos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo que los estudiantes deben aprender. Para lograr esto se recomienda elaborar la planificación en los siguientes términos:
Partir por una especificación de los aprendizajes esperados que no se limite a listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo más clara posible de las expresiones concretas que estos puedan tener. Esto implica reconocer qué desempeños de los estudiantes dan cuenta del logro de los aprendizajes. Se debe poder responder preguntas como ¿Qué deberían ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado aprendizaje esperado?, ¿qué habría que observar para saber que un aprendizaje ha sido logrado?
A partir de las respuestas a estas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar y las estrategias de enseñanza. Específicamente, se requiere identificar qué tarea de evaluación es más pertinente para observar el desempeño esperado, así como las modalidades de enseñanza que facilitarán alcanzar este desempeño. enseñanza, y las instancias de retroalimentación. En base a este proceso se deben definir las evaluaciones formativas y sumativas, las actividades de
Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta sea utilizada tanto en la planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al plan de cada clase. La planificación anual: En este proceso el docente debe distribuir los aprendizajes esperados a lo largo del año escolar considerando su organización por unidades, estimar el tiempo que se requerirá para cada unidad, y priorizar las acciones que conducirán a logros académicos significativos
Para esto el docente debe: Lograr una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr durante el año, dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los estudiantes. Esto debe desarrollarse a partir de los aprendizajes esperados especificados en los programas. Adicionalmente, los mapas de progreso pueden resultar un apoyo importante. Identificar, en términos generales, el tipo de evaluación que se requerirá para verificar el logro de los aprendizajes. Esto permitirá desarrollar una idea de las demandas y requerimientos a considerar para cada unidad.
Sobre la base de esta visión, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para procurar que esta distribución resulte lo más realista posible se recomienda realizar lo siguiente: • • Listar días del año y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible. Hacer una calendarización tentativa de los aprendizajes esperados para el año completo, considerando los feriados, los días de prueba, de repaso, así como la realización de evaluaciones formativas y retroalimentación.4 • • Hacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarización. Ajustar permanentemente la calendarización o las actividades planeadas (ver ejemplo en tabla adjunta).
La planificación de la unidad: Implica la toma de decisiones más precisas sobre qué enseñar y cómo enseñar, considerando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad. La planificación de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: Realizar este proceso sin perder de vista la meta de aprendizaje de la unidad
de la unidad. Al igual que la planificación anual, esta visión debe aprendizajes esperados de la unidad, y se recomienda
complementarla con los mapas de progreso. Crear una evaluación sumativa para la unidad Crear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad Calendarizar los aprendizajes esperados por semana Establecer el tipo de actividades de enseñanza que se desarrollará Crear un sistema de seguimiento de los aprendizajes esperados, especificando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y realizar retroalimentación. Ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes.
todas sus partes estén alineadas con los aprendizajes esperados que se busca promover y con la evaluación que se utilizará. Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su inicio, desarrollo y cierre, especificando claramente qué elementos se considerarán en cada una de estas partes. Para cada uno de estos momentos de la clase resulta necesario considerar aspectos como los siguientes: Inicio: En esta fase se debe procurar que los estudiantes conozcan el propósito de la clase, es decir, qué se espera que aprendan. A la vez se debe buscar captar el interés de los estudiantes, y que visualicen cómo lo que aprenderán se relaciona con lo que ya saben y con las clases anteriores.
Desarrollo: En esta etapa el docente lleva a cabo la actividad contemplada para la clase. Cierre: Esta etapa puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En ella se debe procurar que los estudiantes logren formar una visión sobre qué aprendieron, así como sobre la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas para efectos de promover su aprendizaje.
Apoya el proceso de aprendizaje al permitir su monitoreo, retroalimentar a los estudiantes y sustentar la planificación.
debe ser utilizada como un medio para controlar qué saben los estudiantes, sino que cumple un rol central en la promoción y desarrollo del aprendizaje. Para que la evaluación efectivamente cumpla con esta función debe tener como objetivos. • • Ser un medio con el cual medimos progreso en el logro de los aprendizajes. Proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los estudiantes, y sobre esta base retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados dentro del sector. • Ser una herramienta útil para la planificación
¿Cómo promover el aprendizaje a través de la evaluación? Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si se llevan a cabo considerando lo siguiente: - Informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán. Esto facilita que
puedan orientar su actividad hacia la consecución de los aprendizajes que deben lograr. - Elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se busca
alcanzar, fundados en el análisis de los desempeños de los alumnos. Las evaluaciones entregan información para conocer las fortalezas y debilidades de los estudiantes. El análisis de esta información permite tomar decisiones dirigidas a mejorar resultados alcanzados. - Retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir esta
información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que deben seguir para avanzar. Permite también desarrollar procesos metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes, y que a la vez facilitan involucrarse y comprometerse con éstos.
Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos, ubicándolos en un continuo de progreso. Los Mapas de Progreso apoyan el seguimiento de los aprendizajes en tanto permiten:
• Reconocer aquellos aspectos y dimensiones que son esenciales de evaluar. • Clarificar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripción de cada nivel, sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta expectativa. • Observar el desarrollo, progresión o crecimiento de las competencias de un alumno, al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa. • Contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno evidenciar sus aprendizajes.
La evaluación debe diseñarse a partir de los aprendizajes esperados, con el objeto de observar el grado en que éstos son logrados. Para lograr esto se recomienda diseñar la evaluación junto a la planificación y considerar al desarrollarla las siguientes preguntas:
método empleará
estrategias de diverso tipo (ej., pruebas escritas, guías de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas conceptuales, informes de laboratorio, investigaciones). En lo posible se deben presentar situaciones que pueden ser resueltas de distintas maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes puedan resolverlas evidenciando sus distintos niveles y estilos de aprendizaje. • ¿Qué preguntas incluirá en su evaluación? Debe formular preguntas rigurosas y alineadas con los aprendizajes esperados contenido evaluado. • ¿Cuáles son los criterios de éxito ¿ Cuáles son las características de una respuesta de alta calidad? y que permitan demostrar la real comprensión del
Esto se puede responder utilizando distintas estrategias, como por ejemplo: o Comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de otros alumnos de edad similar. Para esto se pueden utilizar los ejemplos presentados en los mapas de progreso. o Identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen el nivel de desempeño esperado, y utilizarlas como modelo para otras evaluaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje. o Desarrollar rúbricas que indiquen los resultados explícitos para un desempeño específico y muestren los diferentes niveles de calidad para dicho desempeño.
El aprendizaje de la Matemática ayuda en la comprensión de la realidad y proporciona herramientas para desenvolverse en la vida cotidiana. Entre estas herramientas se encuentra el cálculo, el análisis de la información proveniente de diversas fuentes, la capacidad de generalizar situaciones, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados y la selección de estrategias para resolver problemas. Todo esto contribuye al desarrollo de un pensamiento lógico, ordenado, crítico y autónomo y al desarrollo de actitudes tales como la precisión, rigurosidad, perseverancia y confianza en sí mismo, las cuales se valoran no sólo en la Ciencia y la Tecnología sino también en todos los aspectos de la vida cotidiana. El aprendizaje de la matemática contribuye también al desarrollo de habilidades asociadas a la comunicación, proporcionando precisión y rigurosidad en la presentación de la información, así mismo generando en el receptor, las competencias para exigir precisión y rigor tanto en la información como en los argumentos que recibe. El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo tienen profundas e importantes consecuencias en el desarrollo, desempeño y vida de las personas. En efecto, el entorno social valora el conocimiento matemático y lo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden superior. De esta forma el aprendizaje de la matemática influye en el concepto que niños, jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades. El proceso de aprender matemática, por lo tanto, interviene en la capacidad de la persona para sentirse un ser autónomo y valioso en la sociedad. En consecuencia, la calidad, pertinencia y amplitud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la calidad de vida de las personas, y a nivel de la sociedad, afecta el potencial de desarrollo del país. La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar con entes abstractos y sus relaciones, preparando a los estudiantes en la comprensión del medio y de las complejas relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico de complejidad creciente. Espacios en los que la cultura, la tecnología y las ciencias se están redefiniendo y complejizando en forma permanente, donde las finanzas, los sistemas de comunicaciones, las interrelaciones entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan.
En el aprendizaje de las Matemáticas se desarrollan competencias intelectuales del estudiante tales como el razonamiento lógico, la visualización espacial y el pensamiento analítico, el cálculo, el razonamiento, el modelamiento y las habilidades para resolver problemas. La tabla siguiente puede resultar útil, por ejemplo, para: • • • • Observar transversalmente las habilidades que se desarrollan en el n sector Focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evaluaciones que enfaticen dichas habilidades. Situarse en el nivel y observar las habilidades que se intencionaron los años anteriores y las que se trabajarán más adelante. Observar diferencias y similitudes en los énfasis por ciclos de enseñanza.
Habilidades de pensamiento matemático 7° Básico Resolución de problemas en contextos diversos y significativos utilizando los contenidos del nivel. Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos. 8° Básico Resolución de problemas en contextos diversos y significativo I° Medio Analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos II° Medio Aproximar números mediante variados métodos
Argumentar respecto a variaciones que producen en representación gráfica funciones
las se la de
Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica. Realizar cálculos en forma mental y escrita. Emplear formas simples de modelamiento matemático
Ubicar raíces en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita. Emplear formas simples de modelamiento matemático. Verificar proposiciones simples, para casos particulares Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables. Diferenciar verificación demostración propiedades entre y de Modelar diversas a funciones situaciones través de
Demostrar propiedades y teoremas
Este sector está concebido como una oportunidad para que los estudiantes desarrollen aprendizajes para la vida, ya que la Matemática constituye un área de la cultura poderosa en la comprensión, explicación y predicción de situaciones y fenómenos del medio que nos rodea. De esto se desprende la importancia del esfuerzo que deben hacer los docentes para que todos los estudiantes en nuestro país aprendan los conocimientos y desarrollen las capacidades propias de esta disciplina. Se sugieren en estos programas algunas orientaciones que pueden ayudar a los docentes en su planificación y en sus clases para cumplir con este objetivo: Los conceptos Matemáticos: profundidad e integración Los estudiantes deben desarrollar y explorar las ideas matemáticas en profundidad y deben ver las matemáticas como un todo integrado, no como fragmentos aislados del conocimiento. A los estudiantes se les debe enfrentar a variadas experiencias de aprendizaje para ayudarlos a desarrollar una comprensión profunda de los conceptos matemáticos así como sus conexiones y aplicaciones de tal manera que les permita participar activamente y obtener mayor confianza en explorar y aplicar las matemáticas. Se recomienda especialmente para la enseñanza media, el uso de representaciones visuales, metáforas, trabajos prácticos y el apoyo de la tecnología como parte de estas experiencias de aprendizaje. El uso del contexto Es importante que la matemática sea presentada como una disciplina culturalmente situada, con historia, con impacto en otras áreas del conocimiento científico, social o tecnológico, con consecuencias y aplicaciones. La pregunta acerca del origen de los modelos matemáticos y su ubicación histórica en el desarrollo del pensamiento de la humanidad, son anclas importantes del conocimiento que debemos proponer a nuestros estudiantes. El uso de metáforas y representaciones cercanas a los estudiantes, son un recurso didáctico altamente recomendado, especialmente en las etapas iniciales. A su vez, se sugiere el uso de las aplicaciones de la matemática a otras áreas del conocimiento y en la vida diaria, como un apoyo en la construcción del conocimiento matemático. Este enfoque puede ser complementado en la enseñanza media enfatizando la generalización y la importancia de los modelos abstractos. Razonamiento matemático y resolución de problemas La matemática se construye a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas, de esta forma contribuye al desarrollo del razonamiento por sobre la acción mecánica. Por esto es central hacer uso frecuentemente de preguntas y situaciones que inviten a buscar regularidades, desarrollar la noción de estrategia, hacerlas explícitas, comparar diversas formas de abordar problemas, a justificar y cuando sea adecuado, de acuerdo con el nivel e interés de los estudiantes, demostrar las proposiciones matemáticas, así como generar situaciones en las que sea natural que los estudiantes formulen y verifiquen conjeturas acerca del comportamiento de los elementos y relaciones con que se trabaja, analizar los procedimientos por medio de los cuales se resuelve un problema justificar y cuando sea adecuado, verificar en casos particulares, resultados , propiedades y relaciones. Aunque los estudiantes deben ser competentes en variadas y diferentes habilidades matemáticas, el exceso de énfasis en las habilidades de procedimiento sin comprensión de los principios matemáticos subyacentes debe evitarse. En la enseñanza media el modelamiento matemático ofrece múltiples oportunidades para comprender el sentido de las relaciones y conceptos que se propone a los estudiantes. Variadas disciplinas como la física, economía o la administración, hacen frecuentemente uso de modelos matemáticos, lo cual permite que éstos, puedan servir tanto de contexto para relaciones matemáticas como de situaciones en sí mismas en las que se puede aplicar el conocimiento matemático en elaboración. Uso del error Asociado a un ambiente de búsqueda y creación, está el uso adecuado del error. En un clima de construcción, un error puede, en manos de un educador, ser una oportunidad para aprendizajes especialmente significativos. El error puede considerarse como un elemento concreto para trabajar en clases la diversidad, permitiendo que todos los alumnos alcancen los aprendizajes propuesto.
Aprendizaje matemático y desarrollo personal La clase de matemática ofrece abundantes oportunidades para el auto conocimiento y las interacciones sociales. Es una oportunidad para la meta cognición: ¿cómo lo hice?, ¿cómo lo hicieron?, ¿de qué otra manera es posible? Adicionalmente, el concepto que cada uno de nosotros tiene acerca de su capacidad para aprender y hacer matemática se ha construido a través de la retroalimentación que la experiencia nos ha brindado. En este aspecto, el reconocimiento, tanto de los esfuerzos como de los logros, es un instrumento poderoso en manos del docente. A su vez, la valoración de las diferencias, la aceptación de los logros o acciones de los pares, un clima de confianza y la forma que cada uno enfrenta las situaciones de éxito o fracaso, tanto propias como las de los demás, contribuyen a desarrollar en cada alumno o alumna la confianza en sí mismos. Tecnologías digitales y aprendizaje matemático El programa propone el uso de software y ambientes creados con tecnologías digitales para ampliar las oportunidades de aprendizaje de los estudiantes. Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a través de modelos en los que es posible experimentar con ideas matemáticas, y crear situaciones en las que los estudiantes pueden explorar las características, límites y posibilidades de conceptos, relaciones o procedimientos matemáticos. Los procesadores geométricos, simbólicos y de estadística son laboratorios para explorar relaciones y ponerlas a prueba. Con un procesador simbólico, grandes números o números muy pequeños pueden ser analizados y dotados de sentido, y se puede estudiar el comportamiento de funciones, incluso de alta complejidad. Internet ofrece múltiples ambientes en los que se puede encontrar representaciones dinámicas de una gran cantidad de objetos matemáticos. Los procesadores geométricos, en tanto, permiten la experimentación con nociones y relaciones, sea de la geometría euclidiana, cartesiana o vectorial. Todo esto, en un espacio de alto interés para los niños, niñas y jóvenes, y de alto impacto en cuanto a su formación para una vida cada vez más influida por las tecnologías digitales. Clima y motivación En el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática se debe propiciar un ambiente creativo y crítico que favorezca la formulación verificación o refutación, de parte del que aprende, de conjeturas en los problemas que aborda. Un ambiente en que el error la duda o pregunta , son considerados parte integrante y valiosa del proceso de construcción del conocimiento, ambiente en el que los aportes de todos son valorados y puestos en el contexto de una búsqueda y construcción colectiva. Debe constituirse en un espacio en el que es natural el análisis de las acciones y procedimientos de modo de comparar caminos alternativos.
1° Semestre Unidad 1 Números
1. Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales. Justificar matemáticamente que los decimales periódicos y semiperiódicos son números racionales. Establecer relaciones de orden entre números racionales. Representar números racionales en la recta numérica. Utilizar la calculadora para realizar cálculos reconociendo sus limitaciones. Verificar la densidad de los números racionales. Verificar la cerradura de las operaciones en los números racionales. Comprender el significado de las potencias de base racional y exponente entero. Resolver problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero. 1.
Unidad 2 Álgebra
Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias. Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias. Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales. Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín. Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta operación. Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado.
2° semestre Unidad 3 Geometría
1. Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el plano cartesiano, manualmente o usando un procesador geométrico. 2. Representar en el plano, adiciones, sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar. 3. Aplicar composiciones de funciones para realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano. 4. Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano. 5. Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras geométricas en el plano cartesiano. 6. Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas. 7. Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos. 8. Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos. 1.
Unidad 4 Datos y Azar
Obtener información a partir del análisis de datos, en diversos contextos, presentados en gráficos y tablas de frecuencia, considerando la interpretación de medidas de tendencia central. Producir información, en contextos diversos, a través de gráficos y tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, manualmente o mediante herramientas tecnológicas. Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia. Calcular la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas desde una población. Formular conjeturas y verificarlas en casos particulares acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas de dicha población. Interpretar información, en diversos contextos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. Producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. Utilizar el cálculo de medidas de tendencia central y de posición para analizar muestras de datos agrupados en intervalos. Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento aleatorio.
Tiempo estimado 65horas
Tiempo estimado 7o horas
Tiempo estimado 80 horas
Propósito de la unidad En esta unidad se recogen los aprendizajes que los estudiantes ya tienen sobre números enteros, fracciones y decimales, para introducir los números racionales. Se espera que los estudiantes comprendan sus características y propiedades, y sean capaces de ordenarlos, transformar de fracciones a números decimales justificando la transformación realizada, y operar con ellos. En esta unidad se introducen también las potencias de base racional y exponente entero, de modo que los estudiantes comprendan sus propiedades y las apliquen en la resolución de problemas. Conceptos claves Números racionales – potencias de base racional y exponente entero. Prerrequisitos • • • Operatoria de números enteros. Potencias de base entera y exponente natural. Propiedades de las potencias de base natural, fraccionaria y decimal con exponente natural.
Contenidos disciplinares • • • Operaciones aritméticas con números racionales. Potencias de base racional y exponente entero. Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.
Reconocer si un problema puede tener solución en los números enteros. Identificar los números racionales como un cuociente de dos números enteros, con denominador distinto de cero. Transformar números de notación decimal a fracción y viceversa. Resolver situaciones en las que es necesario operar con números racionales. Conjeturar acerca de las propiedades de los números racionales. Utilizar las potencias de base racional y exponente entero para representar situaciones.
Actitudes • Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en diversos contextos.
Aprendizajes esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales. • • •
Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Indican si la solución de una ecuación de primer grado pertenece o no al conjunto de números enteros. Reconocen cuando un problema, contextualizado, puede o no tener soluciones en el conjunto de los números enteros. Establecen condiciones para que al dividir dos números enteros el cuociente sea un número entero, y condiciones para que sea un número decimal positivo o negativo. • • Dan ejemplos de la vida cotidiana en que la información numérica corresponde a números racionales negativos. Identifican los números racionales como aquellos que pueden expresarse como un cociente de dos números enteros, con denominador distinto de cero.
Justificar matemáticamente que los decimales periódicos y semiperiódicos son números racionales.
Dan características del conjunto de los números racionales. Justifican los pasos de un procedimiento para expresar como cociente de enteros un número decimal periódico o semiperiódico. Conjeturan acerca de la existencia de números que expresados como decimales no tengan periodo. Conjeturan acerca de la existencia de números que no pueden ser expresados como cociente de enteros.
Establecer relaciones de orden entre números racionales.
semiperiódicos. Comparan números periódicos. Ordenan números racionales de manera creciente. Formulan estrategias para ubicar en la recta numérica números decimales periódicos. • Ubican en la recta numérica números racionales de acuerdo a restricciones dadas. Por ejemplo, ubican cinco números que se encuentren entre 0,01 y 0,02 de manera que la cifra de las milésimas sea un número par.
Representar racionales numérica. en la
números recta
Sistematizan procedimientos de cálculo escrito
realizar cálculos reconociendo sus limitaciones.
calculadora de las cuatro operaciones con números racionales. Realizan aproximaciones de los resultados obtenidos, mediante redondeo y truncamiento. Reconocen decimales. las limitaciones de la calculadora para aproximar
Verificar la densidad de los números racionales.
Proponen algoritmos que permiten intercalar números entre dos números racionales dados. Por ejemplo, el promedio de los números dados.
Usan el valor posicional para mostrar que, por ejemplo, entre 0,1 y 0,2 se encuentran : 0,11 , 0,12;…..
Verificar la cerradura de las operaciones en los números racionales.
Argumentan acerca de la cerradura de la suma y multiplicación en los racionales. Establecen las operaciones que son cerradas en los números racionales y justifican matemáticamente sus resultados.
Comprender el significado de las potencias de base racional y exponente entero.
Identifican situaciones que pueden ser representadas por medios de potencias de base racional y exponente entero. Realizan operaciones de multiplicación y división de potencias de base racional y exponente entero utilizando sus propiedades. Resuelven problemas utilizando potencias de base racional y exponente entero. Explican los procedimientos empleados para resolver problemas que involucran números racionales. Evalúan las soluciones de problemas con racionales en función del contexto. Aplican propiedades de las potencias de base racional y exponente entero en la resolución de problemas. Emplean más de una estrategia para resolver problemas referidos a potencias de base racional y exponente entero.
• 9. Resolver contextos problemas diversos en que • • •
involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero.
En relación a los OFT, esta unidad promueve
Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos. • • • • Participa de manera propositiva en actividades grupales. Es responsable en la tarea asignada. Toma iniciativa en actividades de carácter grupal. Proponen alternativas de solución a problemas relacionados con números enteros y potencias de base natural y exponente natural en actividades grupales.
Observaciones al docente. 1° Medio
Se sugiere introducir los números racionales como una extensión del conjunto de los números enteros, justificando su necesidad al mostrar problemas donde es imposible una solución contando sólo con números enteros. Se propone caracterizar los números racionales como aquellos que se pueden expresar como un cociente entre dos números enteros con divisor distinto de cero. Se recomienda, además, situar a los estudiantes en el contexto histórico en que estos números cobraron relevancia y los problemas que solucionaron, así como también mostrar ejemplos de números que no son racionales. La unidad ofrece la oportunidad para visitar, nuevamente, los conceptos de fracción y de número decimal, así como sus propiedades y los procedimientos para operar con esos números. Estos son dos temas en los que suele haber dificultades y lagunas de aprendizaje; de modo que, reubicar esos números y sus operaciones en el contexto de los racionales y mediante el uso de las potencias de diez, puede contribuir, tanto a su comprensión, como a asegurar las necesarias destrezas en la operatoria. La condición, impuesta a los números racionales, de ser expresables mediante un cociente de números enteros sugiere la necesidad de expresar decimales como fracciones. En esa búsqueda cobra sentido y valor, tanto la divisibilidad entre enteros como la relación entre el resto de la división con el período en la representación decimal. Más que las reglas de operación o los algoritmos, lo que interesa son los procesos. La exploración de situaciones en los que el desarrollo decimal presenta o no un período es la distinción con la que los estudiantes pueden comprender la diferencia entre un número racional y uno irracional. La ubicación de números en la recta numérica contribuye a la comprensión de dichos números. La ubicación de un racional en la recta numérica, prepara la noción de intervalo que será utilizada más adelante para tratar las probabilidades. La unidad introduce las potencias de exponente cero y negativas de números racionales. Completando así las potencias de base racional y exponente entero. Se sugiere relacionar el valor posicional de la notación decimal con las potencias de diez. Se sugiere trabajar las cuatro operaciones con números racionales, en contextos de la resolución de problemas ligados a la vida cotidiana y a temas de otros sectores de aprendizaje. La resolución de problemas genera además, espacio para abordar el concepto de cifras significativas y de aproximación.
AE 1: Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales.
Actividades 1.- Identifican ecuaciones de primer grado que no admiten solución en los números enteros, pero que sí admiten solución en los números racionales no enteros. Por ejemplo, ecuaciones del tipo: • •
2x − 1 = 6 5(4 x + 1) = 2(6 x + 3) ax + b = c , donde la incógnita es x , determinan valores para a, b, c , de manera que:
2.- En ecuaciones del tipo • •
La ecuación admita una solución entera. La ecuación admita una solución racional no entera.
3.- Identifican problemas en contextos cotidianos cuya solución pertenece a los números enteros y aquellos que admiten solución en los números racionales no enteros. Por ejemplo, identifican cuál de los problemas siguientes admite solución entera y cuál solución racional no entera: Si al triple de las bolitas que tiene una persona le agrega una bolita, entonces tiene 21 bolitas. Una persona abona $10.000 de una deuda y el resto lo divide en tres partes iguales de $6.000. ¿Cuál es la deuda?
4.- Inventan problemas que: - Admiten solución en los números enteros. - Admiten solución en los números racionales no enteros. AE 2: Justificar matemáticamente que los números decimales periódicos y semiperiódicos son números racionales. Actividades 1.- Caracterizan el conjunto de los números racionales. 2.- Demuestran que los siguientes números se pueden escribir como una fracción: - Números de la forma
0, a , 0,0a , 0,00a , 0, ab , a,0b ,
0, ab , 0,0ab ,
0, abc , etc. 0,0abc , etc. 0,00ab , 0, cd ab , a,00bc def
- Números de la forma
0,000a , 0,0ab , a,0bc ,
0,00abc , 0,00cdeabc , a, bc ,
0,000abc
Observaciones al docente: Para el caso de un número decimal infinito periódico el docente podría plantear, por ejemplo, la siguiente ecuación usando el decimal 0,666… (se repite el número 6 infinitamente)
x = 0, 666... 10 · x = 10 · 0, 666...
amplificando ambos lados por 10 tendrá:
Restando la primera ecuación a la segunda, se obtiene:
9· x =6
Y multiplicando por el inverso multiplicativo de 9 se obtiene:
Se sugiere dar tiempo a los estudiantes para que intenten el mismo procedimiento usado anteriormente (amplificar por 100) para transformar este número 1,1444… a fracción. Verifican que el número decimal asociado a la fracción obtenida es igual al número decimal 1,144. Se sugiere al docente someter a discusión este procedimiento y dar tiempo para que los alumnos intenten otra estrategia. Para el caso de número decimal infinito semiperiódico el docente podría plantear, por ejemplo, la siguiente ecuación usando el decimal 1,1444… (explica a los estudiantes que el número 4 se repite infinitamente)
x = 1,1444
amplificando ambos lados por 100, se obtendrá:
100·x = 114,44
99 · x = 113,3
Amplificando ambos lados por 10, obtenemos:
990 · x = 1133
Y multiplicando por el inverso multiplicativo de 990, se obtiene:
1.133 990
AE 3: Establecer relaciones de orden entre números racionales. AE 4: Representar números racionales en la recta numérica.
Actividades 1.- Formulan estrategias para ubicar en la recta numérica los siguientes tipos de números: - Decimales finitos - Decimales periódicos. - Decimales semiperiódicos.
2.- Formulan estrategias para comparar números: - Decimales finitos.
- Decimales periódicos y semiperiódicos.
3.- Comparan fracciones utilizando los siguientes procedimientos: - Conversión a decimales. - Conversión a fracciones de denominadores iguales.
- Multiplicaciones de numeradores por denominadores:
a c > ⇔ ad > bc b d
4.- Determinan números de acuerdo a restricciones dadas. Por ejemplo:
- Determinan 10 números racionales mayores que
0,11 y menores que 0,12
1 1 <x< 7 6 2 3
- Determinan 10 números racionales
x , tales que
- Determinan números racionales cuya distancia a
y que sean menores que
Observaciones al docente Se sugiere al docente que 0,11 lo presente en la forma 0,110, o en la forma 0,1100, lo mismo para el decimal 0,12. En el caso de la fracciones 1/7 y 1/6 se sugiere que las amplifiquen por un número adecuado de manera de tener denominadores iguales, y posteriormente que amplifiquen por potencias de 10 hasta obtener claridad acerca de los números que se deben insertar.
AE 5: Utilizar la calculadora para realizar cálculos reconociendo sus limitaciones. Actividades
1.- Realizan aproximaciones de cálculos y las verifican utilizando la calculadora. 2.- Verifican que los resultados que se obtienen con calculadoras al realizar cálculos de números decimales periódicos y semiperiódicos son aproximaciones del resultado real. Por ejemplo, discuten acerca de los diferentes resultados que se obtiene al calcular el área de un rectángulo de lados
utilizando calculadoras que arrojan distinta cantidad de cifras decimales en el visor.
3.- Utilizan la calculadora para realizar evaluar expresiones en contextos del mundo que nos rodea. Por ejemplo, determinan la masa de la tierra evaluando la expresión
g = 9,8m / s 2 , r = 6,38 ⋅ 10 6 , G = 6,67 ⋅ 10 24 Nm 2 / kg 2
AE 6: Verificar la densidad de los números racionales.
1.- Realizan las siguientes actividades: - Eligen dos números racionales positivos al azar, por ejemplo 3 y 7. A continuación: • • • Los ubican en la recta numérica. Sacan su promedio y lo ubican en la recta numérica. Verifican que la distancia entre el promedio y 3, y la distancia entre el promedio y 7 son iguales.
- Realizan el proceso anterior con números enteros negativos. - Realizan el proceso anterior con números racionales no enteros. - Generalizan el proceso seguido, es decir, concluyen la propiedad: “entre dos números racionales siempre hay un número racional”. Observaciones al docente El docente puede proponer a sus estudiantes que realicen la actividad anterior pero con expresiones algebraicas. Es decir, que: • • • Consideren
racionales tales que
Obtengan su promedio y demuestren que es mayor que Obtengan el promedio entre
a , pero menor que b .
y el promedio
, y que demuestren que
se encuentre entre esos números. Y así sucesivamente.
AE 7: Verificar la cerradura de las operaciones en los números racionales.
Actividades 1.- Demuestran que la suma de dos racionales es siempre racional. 2.- Demuestran que operaciones combinadas con números racionales siempre dan un número racional. AE 8: Comprender el significado de las potencias de base racional y exponente entero. Actividades 1.- Identifican la propiedad que permite resolver potencias del tipo:
a a     , m, n ¸Z b b
a a   :   , m, n ¸Z b b
a  c  b)     , m ¸ , o Z b d 
 a n      , m, n ∈ Z  b    
a a   :  ,m∈ Z b b
a d)   , m ∈ Z b
2.- Utilizando las propiedades anteriores realizan las siguientes demostraciones:
a   b a   b
1 a   b
,m∈Z .
b =   ,m∈Z a
AE 9: Resolver problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero. Actividades 1.- Resuelven problemas que involucran potencias de base racional y exponente entero. Por ejemplo: a) Un trozo rectangular de cartulina de lado 40cm de largo por 30cm de ancho se dobla sucesivamente por la mitad según muestra la figura:
- Responden preguntas tales como: • • ¿Cuánto medirá el área del cuadrado de la figura resultante después de hacer 8 dobleces? ¿Cuánto medirá el área del cuadrado resultante después de hacer n dobleces?
Observaciones al docente: Los estudiantes pueden realizar cálculos apropiados para estimar el área de la figura obtenida después del octavo doblez. Sin embargo, se sugiere al docente guiar el trabajo de los estudiantes en la notación de potencias para concluir que, después de n dobleces, el área de la figura es
2 −n ⋅ 1200 cm2.
b) Calculan el volumen de un paralelepípedo de largo 0,2 km, ancho 100 m y 30.000 cm de alto, y lo expresan en m3
c) Realizan comparaciones entre cantidades expresadas en potencias. Por ejemplo, calculan cuántas veces es mayor la distancia de la tierra a la estrella más cercana, que el largo de una bacteria que mide Resuelven problemas en contextos cotidianos. Por ejemplo, Las diferentes compañías telefónicas presentan ofertas de planes en UF a sus clientes en los que se incluye una determinada cantidad de minutos para hablar y un tiempo determinado para una conexión a Internet, por ejemplo:
1,5 ⋅ 10 −4 cm 2.-
Planes A B C Inalámbrico D Inalámbrico
Telefonía e Internet Velocidad (kbps) 128 – 64 kbps 256 – 128 kbps 512 – 128 kbps 256 – 128 kbps
Precio 1,82 UF 2,5 UF 1,93 UF + instalación 2,35 UF + instalación
Precio de instalación: $9.990 Responden preguntas como las siguientes: • • • ¿Cuánto cuesta cada plan con el valor de la UF al día de hoy? ¿Cuál es la diferencia en pesos entre los planes A y B, y entre C y D? Si la UF aumenta un 0,1%, ¿en cuánto aumenta el valor del plan más caro?
3.- Resuelven problemas relativos a operaciones aritméticas en contextos matemáticos. Por ejemplo: - Dados dos números racionales • •
0 < P < Q < 1,
Demuestran que P⋅Q se encuentra entre Demuestran que
Actividad de Evaluación (Números 1° Medio)
Aprendizaje Esperado: Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales. Indicadores de Evaluación: • • • • • Indican si la solución de una ecuación de primer grado pertenece o no al conjunto de números enteros. Reconocen cuando un problema, contextualizado, puede o no tener soluciones en el conjunto de los números enteros. Establecen condiciones para que al dividir dos números enteros el cuociente sea un número entero y condiciones para que sea un número decimal positivo o negativo. Dan ejemplos de la vida cotidiana en que la información numérica corresponde a números racionales. Identifican los números racionales como aquellos que pueden expresarse como un cociente de dos números enteros, con denominador distinto de cero.
Instrucciones. Responde a las interrogantes de acuerdo a las condiciones dadas en los enunciados.
Criterios de Evaluación. 1. Indique las condiciones que deben cumplir tres números enteros: a, b y c, para que la ecuación a x + b =c • • tenga una solución entera. tenga como solución un número racional positivo. 1. Indican si la solución de una ecuación de primer grado es entera. 2. Reconocen el tipo de soluciones de un problema: entera o racional. 3. Identifican números racionales.
2. Una excursión tiene una relación Mujeres – Hombres de 5 es a 3. Se incorporan tres hombre y la relación pasa a ser 2 es a 1. • • • ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuáles son las incógnitas? Escriba una ecuación que represente la relación entre las variables y los datos del problema. La solución del problema, ¿pertenece a los números enteros? Justificar.
UNIDAD 2 Álgebra Propósito de la unidad Esta unidad ofrece la oportunidad a los estudiantes de explorar naturalmente contextos multiplicativos de expresiones algebraicas y desarrollar productos, productos notables y factorizaciones de expresiones algebraicas. El programa prioriza en el desarrollo de multiplicaciones algebraicas, la comprensión de los procedimientos y el descubrimiento de reglas y propiedades a través de la formulación y verificación de conjeturas. Por otra parte, en cuanto a la progresión en el aprendizaje relacionado con las funciones, se introduce el estudio de las funciones lineales y afín. Se propone a los estudiantes identificar y representar dichas funciones a través de tablas, gráficos y algebraicamente. Finalmente, en este nivel se trabaja la composición de funciones como un paso más en el estudio de funciones. Este contenido más adelante se conecta con la unidad de Geometría, en la cual se trata bajo la mirada de las transformaciones isométricas. Conceptos claves Productos notables – factorización de expresiones algebraicas – ecuaciones literales – función lineal y afín – modelamiento – composición de funciones Prerrequisitos • • • • • • • Concepto de variable. Dependencia e independencia de variables. Variación proporcional directa e inversa. Concepto de función. Dominio y recorrido de una función. Representación gráfica de funciones. Ecuación de primer grado con dos incógnitas.
Contenidos disciplinares • • • • • Funciones lineales y afines como modelos de situaciones o fenómenos. Representación gráfica de funciones lineales y afines. Resolución de problemas mediante ecuaciones literales. Composición de funciones y propiedades asociadas. Dominio y recorrido de funciones que se obtienen al componer otras funciones.
Habilidades • • • • • • • • Establecer los productos notables a través de la búsqueda de regularidades en la multiplicación de expresiones algebraicas. Factorizar expresiones algebraicas usando los productos notables. Resolver problemas mediante ecuaciones literales. Modelar situaciones o fenómenos en diferentes contextos utilizando funciones lineales. Representar gráficamente funciones lineales y afines. Argumentar respecto a las variaciones que se producen en la representación gráfica de funciones lineales y afines, al modificar los parámetros. Resolver problemas que involucren composición de funciones. Identificar el dominio y recorrido de funciones que son el resultado de la composición de otras.
Actitudes • La perseverancia, el rigor, la flexibilidad y originalidad, al resolver problemas matemáticos.
Aprendizajes esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias. • • •
Sugerencias de indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Multiplican expresiones algebraicas y reducen el resultado. Establecen expresiones para sumas por diferencias y cuadrados de binomios. Reconocen regularidades en multiplicaciones de expresiones algebraicas. Por ejemplo, en los productos
(a + b)(a − b), (a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 ), (a 3 − b 3 )(a 3 + b 3 ) ,
……. 2. Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias. • • • Sacan factor común en expresiones algebraicas. Factorizan expresiones algebraicas utilizando productos notables. Expresan trinomios como el producto de dos binomios.
3. Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales.
Emplean técnicas algebraicas para expresar ecuaciones literales de primer grado en la forma ax = b . Resuelven ecuaciones literales de primer grado. Verifican las soluciones obtenidas.
• 4. Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín. •
Reconocen la proporcionalidad directa como un caso de la función lineal. Reconocen como funciones lineales relaciones de la física como
F = ma (Newton), V = Ri (en circuitos eléctricos) F = kx (ley de Hooke), señalando variables y constantes.
Organizan en una tabla pares ordenados de una función. Generan el gráfico cartesiano a partir de una tabla de valores. Usan un procesador simbólico para registrar diversos valores de
y = kx , variando los valores de k .
5. Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta operación. • • Demuestran que la composición de funciones cumple la propiedad de clausura. Dadas algunas funciones realizan composiciones de ellas y determinan el dominio y recorrido de la función resultante Discuten acerca de la conmutatividad de la composición de funciones. Analizan el caso en que las funciones son transformaciones isométricas. Verifican que la composición de funciones es asociativa. Verifican que la función identidad en un conjunto opera como elemento neutro para la composición de funciones. Identifican ecuaciones literales de primer grado en diversos contextos. Reconocen situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales. En situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales: a) Plantean la ecuación b) La resuelven c) La evalúan en función del contexto
• • • 6. Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado. • •
Aprendizajes esperados en relación a los OFT
La perseverancia, el rigor, la flexibilidad y originalidad, al resolver problemas matemáticos. • • • Tiene un orden y método para el registro de información. Termina los trabajos iniciados. Es tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presente en problemas matemáticos.
Observaciones al docente. 1° Medio. Álgebra (2)
Tal como lo sugieren los aprendizajes esperados, la unidad de Álgebra es una buena oportunidad para promover los Objetivos Fundamentales Transversales. A través del trabajo propuesto, se puede incentivar aspectos como el rigor, la flexibilidad y la originalidad al resolver problemas. Por otro lado, interesa que los estudiantes sean ordenados y metódicos en el registro de la información. Respecto al trabajo con Productos Notables, el enfoque tradicional ha sido exponer a los estudiantes a su estudio categorizados por nombre según el tipo de expresión (cuadrado de binomio, trinomio de cuadrado perfecto, etc.), y vistos como reglas de resolución de ciertas expresiones que los estudiantes en ocasiones no son capaces de conectar, por ejemplo, con la multiplicación. Por el contrario, este programa propone que ellos, conocedores de la multiplicación de expresiones algebraicas, conjeturen sobre productos que tienen ciertas características que los hacen justamente “notables”. Por ejemplo, el docente podría ofrecer un listado de multiplicaciones a sus estudiantes, el cual prepare el camino para que descubran las reglas que definen los productos notables. En caso de que no se produzcan los hallazgos, se sugiere tensionar las conjeturas realizando preguntas tales como: “¿existe alguna relación o regularidad entre los términos de la expresión original y los que resultan luego de realizar el producto propuesto? Respecto al estudio de las funciones lineales y afines, el propósito es que los estudiantes establezcan conexiones entre los aprendizajes nuevos propuestos en esta unidad y aquellos logrados en años anteriores, por ejemplo, los relacionados con proporcionalidad directa. Pero más aún con el concepto mismo de función que comienza a desarrollarse desde 8° básico, a través del cual se introducen la notación y elementos tales como dominio y recorrido. Por otra parte, se recomienda introducir la composición de funciones a través de metáforas que faciliten su comprensión y, posteriormente, realizar la formalización a través de la utilización del lenguaje algebraico, el cual facilitará la verificación y demostración de propiedades de la composición de funciones. Se sugiere poner énfasis en este contenido, ya que se retomará en la unidad de geometría a través del estudio de las transformaciones isométricas. Finalmente, el estudio de funciones se presta naturalmente para realizar análisis de representaciones usando software gráfico, de modo que sea posible explorar las distintas formas que toman estas funciones al variar los parámetros que las constituyen. En otras palabras este tipo de recursos tecnológicos facilitan al estudiante el análisis, la formulación de conjeturas y su verificación.
AE 1: Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias.
Actividades 1.- Realizan multiplicaciones entre expresiones algebraicas. Por ejemplo, multiplican: • • •
(a + b)(a − 2b) (a + b − c )(a − b + 2c ) (a 2 + b 2 − 1)(2a 2 − 3b 2 + 4)
2.- Establecen relaciones al observar regularidades en productos especiales: • • •
(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b3 (a − b)(a 3 + a 2b + ab 2 + b3 ) = a 4 − b 4 (a − b)(a 4 + a 3b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ) = a 5 − b 5
3.- Establecen relaciones al observar regularidades en cuadrados de polinomios: •
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b + c + d ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
Observaciones al docente: Es importante que el docente permita a sus estudiantes deducir los productos trabajados, a partir de las regularidades observadas. De esta manera se constituye en un aprendizaje significativo. Los estudiantes pueden conjeturar sobre los productos notables presentados y otros que ellos puedan encontrar. Pueden verificar resultados mediante tablas que les ayuden a organizar los datos.
AE 2: Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias.
Actividades 1.- Factorizan expresiones utilizando productos notables. De este tipo son las siguientes factorizaciones: • • • • •
4 x 2 − 16 y 2 x 2 + 4 xy + y 2 4( x − z ) 2 − 36( y + 2) 2 ( x + 2) 2 + 8( x + 2) + 16 x 4 − 16 y 4
2.- Utilizando la forma • • • •
a 2 + a (b + c) + bc = (a + b)(a + c ) . De este tipo son las siguientes factorizaciones:
x 2 + 7 x + 10 a 2 + 6a − 7 b 2 − 3b − 54 4a 2 + 14a − 8 x 2 + 7 x + 12
y como largo a
3.- Un terreno rectangular tiene una superficie los estudiantes determinan: - su ancho - su perímetro cuando
x + 4 . Respecto de este enunciado
3.- Realizando factorizaciones intermedias para llegar a la factorización final. De este tipo son las siguientes factorizaciones: • • •
ac + bc + ad + bd ax − 2ay + 3a + bx − 2by + 3b ad − dx + ac − cx
4.- Transforman expresiones algebraicas aplicando productos notables y factorizan la expresión transformada. Por ejemplo: • Factorizan la expresión
4a 4 + b 4 , con este propósito transforman esta expresión en la forma
(2a 2 + b 2 ) 2 − (2ab) 2 . 4 Factorizan la expresión 16 x + 4 , con este propósito transforman esta expresión en la forma (4 x 2 + 2) 2 − 16 x 2 .
5.- Utilizan la suma por diferencia para determinar el cambio de temperatura (dilatación) que experimenta una plancha metálica rectangular cuando, producto del calentamiento a que se expone, tanto su ancho como su largo se dilatan.
AE 3: Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales.
Actividades 1.- Elaboran estrategias para expresar una variable en función de otras variables. Por ejemplo: • Dada la ecuación otras variables. • Dada la ecuación
2a − x = y , buscan una estrategia para obtener una expresión para “x” en función de las 3
x + 2 y − 3a = 4
, buscan una estrategia para obtener una expresión para
2.- Establecen estrategias para resolver ecuaciones literales. Por ejemplo, • • Resuelven la ecuación Resuelven la ecuación
ax = bx + c , donde x es la incógnita. ax = bx + cx + d , donde x es la incógnita.
Observaciones al docente En este tipo de actividades el propósito es que los estudiantes sean capaces de relacionar variables a partir de diversos contextos y trabajar con expresiones ya entregadas, o bien que ellos deban obtener o deducir como en la actividad 2. Es importante apoyar a los estudiantes en el manejo de las ecuaciones literales, que por lo general se presentan como fórmulas en diferentes contextos, pero al ser ecuaciones es posible “despejar” cada una de las variables involucradas en función de las otras.
AE 4: Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín. Actividades 1.- Identifican funciones lineales en contextos de proporcionalidad. Por ejemplo, en el contexto geométrico del perímetro y área de un cuadrado de lado a, establecen diferencias entre la relación lado–perímetro y la relación lado–área. Para ello: • • • • • Utilizan tablas en las que asignan distintos valores al lado (a) y obtienen tanto el perímetro (P) como el área (A). Identifican las expresiones P = 4 a y A = a Grafican ambas relaciones en el plano cartesiano. Establecen cocientes entre los valores del perímetro y el lado, así como también cuocientes entre el área y el lado. Identifican en qué caso ocurre la proporcionalidad directa.
Observaciones al docente Esta actividad se focaliza en el estudio de las funciones. Tiene como objetivo que los estudiantes relacionen la función lineal con la proporcionalidad entre cantidades, que grafiquen y modelen diversas situaciones. Para lograr este objetivo es importante que los estudiantes generen datos, que los registren en tablas y posteriormente que los grafiquen. Los estudiantes a partir de cocientes entre variables deben identificar la proporcionalidad directa. Pueden verificar lo anterior considerando una función lineal cualquiera, por ejemplo,
f ( x) = 3x .
2.- Modelan situaciones asociadas a la función afín. Por ejemplo, se puede presentar la siguiente situación a sus estudiantes: Una compañía de teléfonos celulares ofrece el siguiente plan: cargo fijo de $8.590 y $94 por cada minuto que se habla en cualquier horario. Y proponerles que respondan las siguientes preguntas: • ¿Cuáles son las variables involucradas?
¿Cuánto se paga por hablar 25, 37 y 55 minutos, respectivamente? Registrar estos valores en una tabla y graficar, manualmente o usando un software adecuado los valores. Observando el gráfico, ¿qué diferencias observas respecto de la función lineal? • Si llamamos “t” al valor total de la cuenta y “x” a los minutos hablados, expresa t en función de x.
¿Qué concluyes ?
3.- Identifican gráficos que representan la función lineal y gráficos que representan la función afín. Por ejemplo, identifican cuál de los gráficos siguientes representa la función lineal y cuál representa la función afín, justificando su elección. a) b)
4.- A partir de las expresiones algebraicas de las funciones o usando tablas de valores, obtienen el gráfico de una función lineal o afín, en forma manual o utilizando algún software gráfico.
5.- Determinan si una situación particular puede ser modelada por una función lineal o afín. Por ejemplo: Considerar un conjunto de rectángulos cuyo perímetro es siempre igual a 48 cm. Los distintos rectángulos tienen bases y alturas diferentes, pero el perímetro es el mismo en cada caso. • • • Encontrar una función que modele esta situación. Determinar el dominio de la función. Graficar la función.
Observaciones al docente Para esta actividad, cada solicitud es importante, en particular lo de graficar la situación. También es clave hablar de los “valores permitidos” en este contexto particular y afianzar el concepto de dominio de una función. Además, se puede solicitar el recorrido de la función en cuestión.
®6.-
Realizan experimentos relativos a la ley de Hook. Con ese propósito se toma un resorte cualquiera y de él se suspenden masas. Se registran en una tabla la fuerza ejercida sobre el resorte: peso de la masa medido en Newton, y la deformación medida en metros. A continuación demuestran que el cociente entre la fuerza y la deformación es constante. AE5: Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta operación.
A partir de dos funciones dadas, determinan la función resultante de componer dichas funciones, así como
también el dominio y el recorrido de la nueva función. Por ejemplo, si se tienen las funciones dominio
h( x) = 2 x
Dh = {2, 4, 6,8,10}
Dg = {4,8,12,16, 20} , determinan g o h .
2.- Demuestran algunas propiedades respecto de la composición de funciones. Por ejemplo:
Verifican si la composición de funciones cumple o no la propiedad de asociatividad. Verifican que la composición de funciones no es conmutativa.
3.- Comprueban otras propiedades de la composición de funciones. Por ejemplo: a) b) c) Sean f y g funciones afines, comprobar si f o g y g o f son también funciones afines. Si f, g y h son funciones lineales, demostrar que (f o g) o h = f o (g o h). ¿Se cumple lo mismo en el caso de funciones afines? ¿Qué sucede con f o g, si g es una función constante y f una función cualquiera?
4.- A partir de dos funciones obtienen la nueva función compuesta, verifican valores y relaciones. Por ejemplo: • Si
f ( x) = ax
f (t ) = at
g ( x) = bx ,
g (t ) = b − t
encuentran la relación entre
( f o g )( x ) y ( g o f )( x ) .
, determinan el valor de
  b  g f   .  a    
AE 6: Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado. Actividades
1.- Identifican situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado.
2.- Resuelven problemas que involucran ecuaciones literales en contextos geométricos. Por ejemplo: • • • Obtienen una expresión algebraica para altura de una pirámide, a partir de la fórmula de su volumen. Encuentran una expresión para el área del trapecio en función de sus bases y altura. Obtienen los valores de la altura de un cono para distintos valores de su volumen y del radio de su base.
®3.- Resuelven problemas relativos a la velocidad del sonido. Por ejemplo, dos personas que se encuentran a s metros separadas desean escuchar, cada una, la voz de la otra persona. ¿Después de cuanto tiempo , en función de s se produce esto?
Actividad de Evaluación (Álgebra 1° Medio)
Aprendizaje Esperado: Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta operación. Indicadores de Evaluación: • • • • • Demuestran que la composición de funciones cumple la propiedad de clausura. Dadas algunas funciones realizan composiciones de ellas y determinan el dominio y recorrido de la función resultante Discuten acerca de la conmutatividad de la composición de funciones. Analizan el caso en que las funciones son transformaciones isométricas. Verifican que la composición de funciones es asociativa. Verifican que la función identidad en un conjunto opera como elemento neutro para la composición de funciones.
Instrucciones. A continuación se presentan tres funciones definidas en los racionales. Responda las preguntas referidas a la composición de estas funciones.
Criterios de Evaluación. Situación Considere las funciones f, g y h definidas en el conjunto de los números racionales, definidas por f(x) = x2, g(x) = x – 3 y h(x) = 2x + 1; para todo x racional. Preguntas a) ¿Cuál es el valor de (f ο g)(2) ? b) ¿Indique el dominio de la función g ο f? c) Verifique que f ο g ≠ g ο f d) Defina una función j(x) en los números racionales, tal que (j ο f)(x) = f(x) y (f ο j)(x) = f(x) e) Verifique la siguiente propiedad de la composición de funciones: (f ο g) ο h = f ο (g ο h) 3. Demuestra que la composición de funciones no es conmutativa. 4. Identifica a la función identidad como elemento neutro de la composición de funciones. 1. Determina el valor de la composición de dos funciones en un elemento del dominio. 2. Verifica propiedades de la composición de funciones.
UNIDAD 3 Geometría Propósito de la unidad Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de trabajar la geometría en el plano cartesiano, donde estudian las transformaciones isométricas y la congruencia de figuras, de esta manera se les presenta la oportunidad de obtener resultados geométricos y de profundizar los ya adquiridos relativos a estas transformaciones en octavo año de manera analítica. Específicamente, los estudiantes trabajan los elementos básicos del plano cartesiano, transforman figuras del plano a través de la aplicación de traslaciones, rotaciones y reflexiones, desarrollan el concepto de congruencia a partir del concepto de transformación isométrica, establecen los criterios de congruencia en triángulos, y los utilizan en la resolución de problemas y en el establecimiento de propiedades en polígonos. Conceptos claves Plano cartesiano – vector – traslación reflexión y rotación en el plano cartesiano – congruencia y criterios de congruencia. Prerrequisitos • • • • Transformaciones isométricas en el Plano Euclídeo. La recta numérica. Ángulos y lados en polígonos. Composición de funciones.
Contenidos disciplinares • • • • • • • Caracterización del plano cartesiano. Ubicación de puntos y figuras en el plano cartesiano e identificación de las coordenadas de los vértices de polígonos dibujados en él. Vectores en el plano cartesiano. Aplicación de transformaciones isométricas y composiciones de ellas en el plano cartesiano. Concepto de congruencia. Criterios de congruencia en triángulos. Aplicaciones de los criterios de congruencia.
Habilidades • • • • Caracterizar el plano cartesiano. Realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano. Caracterizar la congruencia de figuras a partir de las transformaciones isométricas. Utilizar el concepto de congruencia en la resolución de problemas.
Actitudes • • Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos
Aprendizajes esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el plano cartesiano, manualmente o usando un procesador geométrico. Representar en el plano, adiciones, sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar. • •
Sugerencias de Indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Identifican puntos y coordenadas de vértices de polígonos y de elementos de la circunferencia en el plano cartesiano. Dibujan puntos, polígonos y circunferencias en el plano cartesiano en forma manual o usando un procesador geométrico.
Representan gráficamente vectores en el plano cartesiano, dadas sus componentes. Identifican vectores y encuentran las componentes resultantes de adiciones y sustracciones entre ellos. Encuentran las componentes de vectores que resultan de la multiplicación de vectores por escalar. Efectúan composiciones de transformaciones isométricas en el plano cartesiano. Reconocen las figuras resultantes al aplicar composiciones de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano. Identifican regularidades al aplicar composiciones de reflexiones a figuras en el plano cartesiano. Identifican regularidades al aplicar sucesivas composiciones de traslaciones a figuras del plano cartesiano. Conjeturan acerca de la aplicación de composiciones de transformaciones isométricas a figuras del plano cartesiano. Conjeturan acerca de la conmutatividad de transformaciones isométricas y verifican las conjeturas formuladas en casos particulares. Verifican, en casos particulares, conjeturas formuladas acerca de la aplicación de sucesivas traslaciones a figuras en el plano cartesiano, en forma manual o usando un procesador geométrico. Reconocen que dos figuras son congruentes cuando existen transformaciones isométricas que aplicadas en una de ellas permite obtener la otra figura. Identifican las transformaciones isométricas que transforman una figura en otra que es congruente a ella.
Aplicar composiciones de funciones para realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano. Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano. Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras geométricas en el plano cartesiano.
• 6. Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas.
Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos.
Conjeturan acerca del criterio lado-ángulo-lado. Conjeturan acerca de criterios de congruencia en triángulos y dan ideas geométricas para verificar esas conjeturas. Calculan trazos en triángulos aplicando criterios de congruencia verificados. Por ejemplo, utilizan el criterio lado- lado- lado para calcular segmentos en triángulos.
8. Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos.
Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos utilizando los criterios establecidos. Demuestran propiedades de congruencia en polígonos utilizando los criterios de congruencia en triángulos. Resuelven problemas relativos a cálculos de medidas de segmentos en el plano cartesiano. Resuelven problemas relativos coordenadas de vértices de figuras en el plano cartesiano.
Actitudes de matemáticos.
Mostrar un método para realizar las tareas propuestas. Terminar los trabajos iniciados. Desarrollar tenacidad frente a obstáculos o dudas que se les presenten en problemas propuestos sobre transformaciones isométricas y congruencias.
Participar de manera propositiva en actividades grupales. Es responsable en la tarea asignada. Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal. Proponer alternativas de solución a problemas propuestos en actividades grupales.
Observaciones al docente. 1° Medio. Geometría (3)
Tal como lo sugieren los aprendizajes esperados, la unidad de Geometría es una buena oportunidad para promover los Objetivos Fundamentales Transversales. A través del trabajo propuesto, se puede incentivar aspectos como el rigor, la flexibilidad y la originalidad al resolver problemas. Por otro lado, interesa que los estudiantes sean ordenados y metódicos en el registro de la información. Además, particularmente en esta unidad cobra relevancia el que los estudiantes tomen la iniciativa en el trabajo de equipo, así como también el que propongan alternativas de solución a problemas propuestos. Se sugiere al docente enfatizar la importancia que tiene trabajar la geometría en el plano cartesiano, ya que este es un nuevo escenario que permite ver los conceptos geométricos desde una perspectiva analítica. Es importante que el
docente caracterice este plano y que mencione las diferencias que tiene con el plano euclidiano, y que las explicite a través de ejemplos. Esto cobra sentido, por ejemplo, considerando que en 8° básico también se trabajan las transformaciones isométricas, pero realizando construcciones con regla y compás. Esta vez el protagonista es el plano cartesiano. Por ello se sugiere al docente incorporar actividades que permitan a los estudiantes relacionarse con las coordenadas, por ejemplo, representando puntos, polígonos y circunferencias, así como también la resolución de problemas que involucren el cálculo de medidas de lados de polígonos. Respecto del trabajo con las transformaciones isométricas, el énfasis está puesto en el formular y verificar conjeturas respecto al resultado de aplicar traslaciones, reflexiones o rotaciones a figuras en el plano cartesiano. Primero en casos particulares, y luego generalizando algunas propiedades, por ejemplo, relacionadas con los vértices de las figuras resultantes respecto de la figura original. Por otra parte, respecto a la composición de transformaciones isométricas, se sugiere establecer una relación estrecha con lo estudiado en la unidad de álgebra. Esta es una buena oportunidad para que los estudiantes contextualicen el estudio de la composición de funciones. Por último, se sugiere potenciar todo el trabajo con el uso de un procesador geométrico. Es importante que los estudiantes vinculen las transformaciones isométricas con el concepto de congruencia, definiendo dos figuras como congruentes cuando es posible aplicar una o más transformaciones isométricas a una de esas figuras para luego obtener la otra. También se sugiere al docente que muestre a sus estudiantes que para trasladar, rotar o reflejar una figura basta con aplicar estas transformaciones isométricas a determinados puntos de la figura, en el caso de los polígonos, basta aplicar esas transformaciones a los vértices. Se sugiere, además, profundizar en el concepto de las teselaciones y su análisis a partir de las transformaciones isométricas. Finalmente, los criterios de congruencias deben ser establecidos en la clase con la participación del profesor y los estudiantes, y que no sean dados por el docente como un conocimiento que debe ser memorizado. Estos criterios son relevantes para todo lo que signifique la demostración de propiedades de congruencia en polígonos. Es importante para este nivel, que los estudiantes sean motivados para profundizar en el aspecto de la demostración matemática.
AE 1: Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el plano cartesiano, manualmente o usando un procesador geométrico.
Actividades 1.- Determinan las coordenadas de puntos en el plano cartesiano. 2.- Dadas las coordenadas de algunos puntos, los estudiantes los ubican en el plano cartesiano. 3.- Dibujan polígonos en el plano cartesiano conocidos las coordenadas de sus vértices. 4.- Dibujan en el plano radio. cartesiano una circunferencia conocidos las coordenadas del centro y la medida de su
5.- Dadas las coordenadas de tres puntos que pertenecen a una circunferencia, la dibujan en el plano cartesiano.
AE 3: Representar en el plano, adiciones, sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar. Actividades: 1.- Dibujan diferentes vectores en el plano cartesiano, dadas sus coordenadas. Por ejemplo: •
r u = (3, 2) r a = (5,1)
r v = (−3,1)
en un sistema de coordenadas rectangulares con origen en (2,3).
2.- Determinan y dibujan el vector resultante de la suma de vectores. Por ejemplo: Obtienen el vector resultante de la suma plano cartesiano. Determinan la relación que existe entre vectores dibujados en el plano cartesiano. Por ejemplo, de los vectores
u = (2,−1)
v = (−4, 5)
y lo dibujan en el
del gráfico siguiente:
3.- Determinan y dibujan el vector resultante del producto entre un vector y un escalar. Por ejemplo:
2u , donde 3u = (−1,4)
−u +u − 3u + 2v , cuando se sabe que − u + v = (2,5)
4.- Determinan el vector que representa la fuerza resultante de fuerzas aplicadas sobre un objeto.
Observaciones al docente Se sugiere al docente trabajar estas actividades con el docente de física. De esta manera los estudiantes pueden conocer herramientas que les permitirán entender conceptos de la física en este nivel o en niveles superiores.
AE 4: Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano. Actividades 1.Identifican regularidades al aplicar sucesivas traslaciones a figuras en el plano cartesiano. Por ejemplo, al donde
aplicar la composición de traslaciones vértices
Tu o Tu o Tu o Tu o ...... o Tu ,
u = (2,4) ,
al paralelogramo de
(1,1), (5,1), (7,4), (3,4) .
2.- Identifican regularidades al rotar respecto al origen y en un ángulo de 30º sucesivas veces una figura ene este plano. 3.- Identifican regularidades al reflejar respecto al eje L sucesivas veces la configuración formada por dos octógonos regulares y un cuadrado: 8 8 4
AE5: Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras geométricas en el plano cartesiano.
Actividades 1.- Observan figuras que están rotadas y conjeturan acerca de: • • Procedimientos para determinar el ángulo de rotación. Procedimientos para determinar el punto respecto al cuál se rotó la figura.
2.- Conjeturan acerca de la transformación isométrica que corresponde a la composición de reflexiones, cuando: • • Los dos ejes de simetría son paralelos. Los ejes de simetría se intersectan en un punto
formando un ángulo
Observaciones al docente Es importante que los estudiantes realicen las actividades anteriores: a) En forma manual, utilizando regla y compás. b) Utilizando un procesador geométrico.
2.- Verifican las conjeturas formuladas en las actividades 1) y 2).
3.- Conjeturan acerca de la relación entre la composición de traslaciones y la operatoria vectorial asociada. AE 6: Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas.
Actividades 1.- Dibujan una figura en el plano cartesiano y aplican sobre ella una transformación isométrica. Por ejemplo, al triángulo de vértices
A(2,1), B(5,2), C(4,5)
aplican la traslación
y obtienen el triángulo
A' , B' , C' .
Comparan las medidas de los lados de los triángulos
A' , B' , C'
y sacan conclusiones respecto a la
forma, al tamaño de sus lados y al área de ellos. De esta manera, concluyen que son congruentes.
2.- Observan dos figuras congruentes y determinan las transformaciones isométricas o composiciones de transformaciones isométricas que lleven una figura en la otra. Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en la segunda actividad. Esta es una actividad que requiere de concentración y de capacidad de visualización científica por parte del estudiante.
3.- Elaboran una definición del concepto de congruencia de figuras del plano en términos de las transformaciones isométricas.
AE 7: Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos. Actividades 1.- Formulan conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos respecto a: • Lados • Lados y ángulos 2.- Describen una idea geométrica de la demostración de las conjeturas acerca de los criterios formulados. AE 8: Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos. Actividades 1.- Determinan las coordenadas de los vértices de rectángulos, cuadrados, rombos, triángulos rectángulos y triángulos equiláteros a partir de información acerca de vértices de esos polígonos. Por ejemplo, determinan las coordenadas del cuarto vértice de un rectángulo, si se sabe que las coordenadas de tres de sus vértices son (1, 1), (1, 6) y (8,1). Observaciones al docente Se sugiere al docente facilitar el trabajo de sus estudiantes, proponiendo polígonos convexos que tengan vértices de coordenadas enteras, de esta manera se centra el trabajo en el proceso geométrico que involucra la determinación de las coordenadas y no en el cálculo numérico que implica coordenadas de lados racionales e irracionales. Se sugiere también al docente trabajar con coordenadas que sean enteras negativas o mezclas entre enteros positivos y negativos.
2.- Calculan perímetros y áreas de rectángulos cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados utilizando información relativa a sus vértices. 3.- Determinan los pasos para resolver el siguiente problema: Calcular el área de un rectángulo si se sabe que los puntos (1,2) y (7,6) son los extremos de su diagonal y que sus lados son paralelos a la abscisa y ordenada.
4.- Elaboran estrategias para calcular perímetros y áreas de paralelogramos, donde un par de lados paralelos sean, a su vez, paralelos a uno de los ejes coordenados, y para calcular perímetros y áreas de triángulos, cuando uno de sus lados es paralelos a uno de los ejes coordenados, utilizando información relativa a sus vértices y el teorema de Pitágoras. Calculan los perímetros y las áreas de esas figuras. 5.- Utilizar los criterios de congruencia en triángulos para demostrar, por ejemplo, que las diagonales de un paralelogramo se dimidian, que todo punto de la simetral de un trazo equidista de sus extremos, etc. Observaciones al docente: Es importante que el estudiante en cada demostración indique el criterio de congruencia empleado, la hipótesis y la tesis. Se sugiere que el docente enseñe explícitamente los pasos de una demostración y enfatiza en la justificación formal y matemática de cada paso de la secuencia demostrativa.
Actividad de Evaluación (Geometría 1° Medio)
Aprendizaje Esperado: Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos.
Indicadores de Evaluación: • • • • Resuelven problemas relativos a la congruencia en triángulos utilizando los criterios establecidos. Demuestran propiedades de congruencia en polígonos utilizando los criterios de congruencia en triángulos. Resuelven problemas relativos a cálculos de medidas de segmentos en el plano cartesiano. Resuelven problemas relativos coordenadas de vértices de figuras en el plano cartesiano.
Instrucciones. A continuación se presentan dos triángulos. Responder las interrogantes referidas a las condiciones para que se cumpla la congruencia entre ellas.
Criterios de evaluación Dados los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura: 1. Reconocen que los triángulos son congruentes por aplicación de transformaciones. 2. Conjeturan acerca de criterios de congruencia. 3. Verifican propiedades de la congruencia de triángulos. 4. Resuelven problemas relativos a la congruencia de triángulos.
a) Se afirma que los triángulos son congruentes. ¿Qué transformaciones isométricas aplicarías al triángulo ABC para verificar (o descartar) la afirmación? Fundamentar. b) Se sabe que los trazos AB y A’B’ son congruentes y que la medida de los ángulos de los vértices en A y en A’ son iguales. ¿Qué condición, mínima, agregarías para asegurar la congruencia de los triángulos? Justificar. c) Se sabe que los triángulos ABC y A’B’C’ tienen la medida sus ángulos interiores respectivamente iguales, esto es C’. ¿Podemos concluir que los triángulos son congruentes? A = A’, B= B’ y C =
UNIDAD 4 Datos y Azar Propósito de la unidad En el ámbito del tratamiento de datos, los estudiantes comienzan el estudio de representaciones gráficas para datos agrupados en intervalos tales como histogramas y polígonos de frecuencia. El propósito es que al finalizar la unidad, los estudiantes sean capaces tanto de interpretar, como de producir información a través de estos gráficos, en diversos contextos. El énfasis estará puesto en el análisis de diferentes situaciones donde deban tomar decisiones respecto de cuándo es pertinente utilizar histogramas o polígonos de frecuencia. Asimismo, se espera que los estudiantes interpreten y produzcan información, en diversos contextos, utilizando tanto medidas de tendencia central como medidas de posición, considerando el tipo de datos involucrados. Respecto a los conceptos de población y muestra, se espera que los estudiantes reconozcan relaciones entre la media aritmética de una población finita y la media aritmética de las medias muestrales, cuando se extraen muestras de igual tamaño desde la misma población. En cuanto al ámbito del manejo del azar, en esta unidad continúa el trabajo con la probabilidad desde un punto de vista teórico (modelo de Laplace) y desde lo experimental (frecuencias relativas), solo que ahora los estudiantes deben decidir cuándo es posible aplicar un modelo u otro, dependiendo de las condiciones particulares de cada situación o experimento aleatorio. Además, se incorporan las técnicas combinatorias, que se constituyen como verdaderas herramientas para ayudar en el conteo de los elementos de un espacio muestral. Por ejemplo, dado un conjunto de 4 elementos diferentes {a, b, c y d} es interesante plantear a los estudiantes que establezcan la diferencia entre determinar el número de subconjuntos de dos o más elementos en los casos: Conceptos claves Gráficos de datos agrupados en intervalos tales como histogramas y polígonos de frecuencia. Prerrequisitos • • • • • • • • • • • • Población y muestra. Experimento aleatorio. Gráficos de frecuencia. Tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. Media aritmética y moda para datos agrupados en intervalos. Muestreo aleatorio simple. Equiprobabilidad de eventos. Principio multiplicativo. Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Probabilidad Teórica de un evento. Modelo de Laplace. Condiciones del modelo de Laplace: finitud del espacio muestral y equiprobabilidad.
Contenidos disciplinares • • • • • Histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición. Medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartales) de datos agrupados en intervalos. Técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades. Muestras de un tamaño dado, en las que se pueden extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo. Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin reemplazo. Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.
Habilidades • • Obtener información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición. Organizar y representar datos usando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas, construidos manualmente y con herramientas tecnológicas.
Analizar una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones. Resolver diversos problemas que involucren técnicas combinatorias para el cálculo de probabilidades. Utilizar y establecer estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, que se pueden extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo. Formular y verificar conjeturas, en casos particulares, acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin reemplazo. Resolver problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.
Actitudes • Interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos.
Aprendizajes esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. Obtener información a partir del análisis de datos presentados en gráficos, considerando la interpretación de medidas de tendencia central. •
Sugerencias de Indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Explican la pertinencia y ventajas de representar un conjunto de datos, a través de un histograma o polígono de frecuencia, respecto a otras representaciones gráficas. Obtienen información mediante el análisis de datos presentados en histogramas y polígonos de frecuencia. Interpretan datos agrupados en intervalos y organizados en tablas de frecuencia, en diversos contextos. Calculan la media, moda y mediana, a partir de una tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos, y las interpretan de acuerdo al contexto. Comparan dos o más conjuntos de datos usando medidas de tendencia central. Determinan un número adecuado de intervalos para organizar (agrupar) un conjunto de datos, acorde a la cantidad de datos disponibles. Construyen tablas de frecuencias con datos agrupados, donde seleccionen el tipo de frecuencia según el análisis que se requiera hacer. Representan un conjunto de datos agrupados en intervalos mediante un histograma e interpretan la información acorde al contexto. Construyen, a partir de un histograma, el polígono de frecuencia asociado y justifican la utilización de dicha representación gráfica. Construir un histograma o polígono de frecuencia, utilizando una herramienta tecnológica. Determinan la cardinalidad de un espacio muestral utilizando el principio multiplicativo en diversos experimentos aleatorios. Por ejemplo, al lanzar un dado y una moneda, el espacio muestral tiene 6 · 2 = 12 resultados posibles. Obtienen el número de muestras aleatorias posibles de un tamaño dado que se pueden extraer, sin reposición, desde una población de tamaño finito, aplicando el número combinatorio. Seleccionan la técnica combinatoria apropiada para resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades, acorde a los requerimientos de cada problema. Establecen estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, con o sin reemplazo, que se pueden extraer desde una población de tamaño finita. Calculan el promedio de cada una de las muestras de igual tamaño extraídas desde una población. Calculan el promedio de todos los promedios de muestras de igual tamaño extraídas desde una población.
• 2. Producir información, en contextos diversos, a través de gráficos obtenidos desde tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, manualmente o mediante herramientas tecnológicas. •
Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia.
Calcular la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas desde una población.
Formular conjeturas y verificarlas en casos particulares acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas de dicha
Realizan diferentes comparaciones entre la media de una población con la media de cada uno de los promedios de muestras de igual tamaño extraídas desde una población. Conjeturan acerca de la relación que existe entre la media de una población y el promedio de cada uno de los
población. • 6. Interpretar información, en diversos contextos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. •
promedios de muestras de igual tamaño extraídas desde una población. Verifican, utilizando herramientas tecnológicas, la conjetura formulada. Interpretan información estadística, expresada en términos de cuartiles o quintiles publicada en medios de comunicación. Evalúan la pertinencia del uso de medidas de posición o tendencia central de acuerdo al tipo de datos involucrados. Extraen información respecto de medidas de posición, a partir de un polígono de frecuencias acumuladas. Comparan información respecto a dos o más conjuntos de datos, utilizando medidas de tendencia central y de posición y comunican sus conclusiones. Extraen información en relación a una situación o fenómeno, en la que se presentan datos por medio de alguna de las medidas de tendencia central. Comunican información estadística acerca de algún fenómeno utilizando medidas de posición, por ejemplo, cuartiles. Construyen un polígono de frecuencias acumuladas, en forma manual o mediante herramientas tecnológicas, a partir de un cierto contexto, e interpretan desde esta representación algunas medidas de posición. Deciden según el tipo de datos (ordinales, nominales, cuantitativos, etc.) los parámetros a utilizar para resumir información estadística referida a algún fenómeno o situación. Determinan medidas de tendencia central o posición mediante una planilla electrónica u otra herramienta tecnológica.
Producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.
Utilizar el cálculo de medidas de tendencia central y de posición para analizar muestras de datos agrupados en intervalos.
Determinan el valor de la media muestral de datos agrupados en intervalos. Determinan la mediana de muestras de datos agrupados en intervalos. Determinan cuartiles y percentiles de muestras de datos agrupados en intervalos. Analizan muestras de datos agrupados en intervalos mediante cuartiles. Utilizan la media para analizar muestras de datos agrupados en intervalos.
Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento aleatorio.
A partir de diferentes experimentos aleatorios, identifican resultados equiprobables. Por ejemplo, una ruleta dividida en sectores iguales. Identifican experimentos aleatorios que permiten asignar probabilidades a sus eventos en forma teórica mediante el modelo de Laplace. Identifican experimentos aleatorios que permiten asignar probabilidades a sus eventos de acuerdo a las frecuencias relativas. Asignan probabilidades de ocurrencia a eventos, mediante el modelo de Laplace o las frecuencias relativas, de acuerdo a las características del experimento aleatorio.
Interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos.
Propone temas de su interés para trabajar en clases. Aporta información complementaria sobre los temas abordados. Formula preguntas sobre los temas implicados en la información trabajada. Plantea opiniones al interpretar los datos. Argumenta y contraargumenta con base en los datos analizados.
Observaciones al docente Tal como lo sugieren los aprendizajes esperados, esta unidad se conecta naturalmente con los Objetivos Fundamentales Transversales. A través del trabajo propuesto en Datos y Azar, se puede incentivar el interés por conocer la realidad y la búsqueda de la información en diversas fuentes. Por otra parte, el terreno es propicio para promover una actitud crítica frente a la información presente en los diferentes medios de comunicación y el trabajo en equipo en la resolución de problemas que involucren el análisis de datos. Aspectos deseables son también el formular preguntas, plantear opiniones y argumentar con base en los datos analizados Es importante trabajar en contextos de interés para los estudiantes, especialmente en el ámbito de la estadística. Estos contextos pueden extraerse de diarios, revistas o Internet, de modo que los estudiantes vean permanentemente que la estadística está en conexión con la vida cotidiana y es una herramienta para interpretar y modelar la realidad a través de representaciones tales como tablas y gráficos. Se recomienda motivar a los estudiantes a que discutan respecto a cuándo es más pertinente utilizar histogramas y cuándo es pertinente usar polígonos de frecuencia, de modo que ellos desarrollen la capacidad de decidir respecto al uso de este tipo de representaciones, en función del tipo de datos y el propósito de un estudio. Dado que también deben trabajar las medidas de tendencia central (media, moda y mediana), es importante que los estudiantes verifiquen las formas de obtener dichas medidas a partir de un conjunto de datos agrupados. Se sugiere además incorporar a la discusión las medidas de posición, las cuales permiten obtener nueva información y comparar conjuntos de datos. A partir de los cuartiles, esta es una buena ocasión para mostrar la utilidad de los gráficos de “caja y bigotes”, los cuales permiten comparar conjuntos de datos. Respecto a los contenidos de población y muestra, se recomienda plantear discusiones con los estudiantes acerca de qué sucede al tomar distintas muestras de igual tamaño desde una misma población. Por ejemplo, si se tiene el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} y se toman muestras de tamaño 2, la idea sería comparar la media aritmética del conjunto original que es igual a 3, con la media aritmética de las medias muestrales y conjeturar acerca de la relación existente. Finalmente, concluir acerca de ¿qué sucede si se toman todas las muestras de tamaño 2? En la parte de probabilidades, se pone énfasis en la obtención de la “cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de probabilidades en diversas situaciones”. Esa es una oportunidad para incorporar las técnicas combinatorias que principalmente potencian el conteo. Por otra parte, se sugiere realizar situaciones experimentales en las que no sea posible aplicar el modelo de Laplace. El propósito es que los estudiantes verifiquen las condiciones del experimento y establezcan que si no es posible aplicar Laplace, entonces – por ejemplo – se puede realizar el experimento o simularlo y verificar qué sucede con las frecuencias relativas. En otras palabras deben buscar regularidades en los resultados al ejecutar los lanzamientos. Por ejemplo, utilizar un dado cargado (no está perfectamente equilibrado) con el cual no se puede fijar a priori que cada cara tiene 1/6 de posibilidades de salir. En este caso es necesario utilizar una tabla de frecuencias y registrar un número razonablemente elevado de lanzamientos para ver dónde se estabilizan las frecuencias para cada cara del dado. Otros casos resultan al analizar experimentos aleatorios donde se deja caer un vaso plástico (material liviano) o un “chinche”. Lo primero es determinar cuáles son los eventos posibles al caer: hacia arriba, de costado o hacia abajo. Luego la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia para cada uno de los eventos? Al igual que el caso del dado, aquí es necesario hacer el experimento.
Por último, se puede referenciar situaciones en las que el modelo de Laplace, por ejemplo, ha sido aplicado erróneamente. Un ejemplo histórico es el clásico “error de D’Alembert” al trabajar con el experimento de lanzar dos monedas.
AE1: Obtener información a partir del análisis de datos, en diversos contextos, presentados en gráficos y tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, considerando la interpretación de medidas de tendencia central. Actividades 1.- Obtienen información a partir de la lectura de histogramas y polígonos de frecuencia en diferentes contextos. Por ejemplo, el siguiente histograma 5, representa las frecuencias relativas obtenidas de las estaturas de un grupo aleatorio de 100 personas.
[120 - 130[ [130 - 140[
0,03 0,024 0,02 0,016 0,01 0,01 0,004 0,002 0
[120 - 130[ [130 - 140[ [140 - 150[ [150 - 160[ [160 - 170[ [170 - 180[ [180 - 190[ [190 - 200]
[140 - 150[ [150 - 160[ [160 - 170[
0,017 0,015 0,012
[170 - 180[ [180 - 190[ [190 - 200]
Observaciones al docente Notar que cada barra debe tener área igual a la frecuencia relativa del intervalo que forma su base. Por esta razón se divide la frecuencia relativa de un intervalo por su longitud, y se usa este valor como la altura del rectángulo que dibujamos en el gráfico. Dado que cada rectángulo del histograma tiene área igual a la frecuencia relativa, y como la suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1, se tiene que el área total bajo el histograma es igual a 1, pues corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos. Puedes observar esto en el histograma anterior. Cuando las longitudes de las clases (intervalos) sean iguales, como en el ejemplo anterior, es posible construir el histograma considerando, como alto de barras, sólo las frecuencias relativas o absolutas de la variable.
Tomado del texto del estudiante “El poder de la información y la toma de decisiones”. Unidad de Estadística 4° Medio. Enlaces Matemática. Centro Comenius USACH.
Responden preguntas del tipo: Aproximadamente, ¿dónde se encuentran la media y la moda del conjunto de datos? 2.- Extraen información y escriben conclusiones de información estadística entregada con distintos tipos de gráficos. Por ejemplo: Observan el gráfico6 que se presenta a continuación y responden: La cantidad de hombres mayores de 35 años va disminuyendo sistemáticamente. ¿Qué ocurre con la cantidad de mujeres en ese rango de edad? El grupo de mayores de 80 años, ¿por qué sexo está compuesto mayoritariamente?
Observaciones al docente Se sugiere que el docente genere más preguntas para incentivar la discusión entre los estudiantes con opiniones basadas en la extracción correcta de información del gráfico. Se puede complementar el análisis pidiendo a los estudiantes que justifiquen el uso de este tipo de gráfico para representar el conjunto de datos.
FUENTE: Chile Proyecciones y Estimación de población Censo 2002. http://www.ine.cl/canales/menu/publicaciones/compendio_estadistico/pdf/2009/1_2_estadisticas_demograficas.pdf
3.- Extraen información y escriben conclusiones de información estadística entregada en tablas de frecuencia. Por ejemplo: La tabla que se muestra a continuación resume la estatura de 60 deportistas de un club. Frecuencia Punto Frecuencia Intervalo Frecuencia Relativa medio Relativa Porcentual [1,65 – 1,70[ [1,70 – 1,75[ [1,75 – 1,80[ [1,80 – 1,85[ [1,85 – 1,90[ [1,90 – 1,95] N=60 a) Completan la tabla de distribución de frecuencias con las columnas que aparecen. b) Calculan las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) de la muestra. c) Interpretan el significado de cada una de las medidas de tendencia central acorde al contexto. Observaciones al docente: Se sugiere que el docente genere más preguntas para justificar la construcción de cada columna de la tabla, de modo que de cada una de ellas el estudiante pueda extraer información útil. Se sugiere que los estudiantes en conjunto con el docente revisen y discutan procedimientos para obtener las medidas de tendencia central para datos agrupados en intervalos. Es necesario considerar cuándo se está realizando una aproximación del valor. Los estudiantes pueden verificar esto, por ejemplo, tomando un conjunto de datos y determinar el promedio con todos ellos. Luego aplican alguna estrategia para trabajar con los datos agrupados y obtienen el promedio de esta manera. Deben comparar ambos resultados. 8 12 18 14 6 2
AE2: Producir información, en contextos diversos, a través de gráficos y tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, manualmente o mediante herramientas tecnológicas. Actividades 1.- Producen información relevante, a partir de un conjunto de datos en un cierto contexto. Por ejemplo: A un grupo de 45 fumadores de distintas edades se les consultó por la cantidad de años que llevan fumando. El resultado de la encuesta se da en la siguiente tabla: 1 31 28 41 2 18 38 20 3 22 25 27 43 22 23 29 25 28 19 31 6 16 3 12 1 19 32 35 15 36 29 42 7 2 38 28 29 30 10 46 16 50 20 18 28
2.- Construyen una tabla de distribución de frecuencias en intervalos para organizar la información, estableciendo la cantidad de intervalos y su ancho más adecuado. Incluyen en la tabla el punto medio o marca de clase del intervalo, las frecuencias, las frecuencias relativas y las frecuencias relativas porcentuales. 3.- Escogen y construyen un gráfico para presentar la información. 4.- Calculan las medidas de tendencia central de la muestra (media, mediana y moda).
5.- Ingresan los datos a una planilla electrónica y construyen un gráfico adecuado para verificar la respuesta anterior. 6.- Responden a la pregunta: ¿cuál es la menor cantidad de años que lleva un fumador? ¿Y la mayor? 7.- Responden a la pregunta: ¿cuánto tiempo como mínimo lleva fumando la mayoría de los encuestados? Observaciones al docente: La construcción de la tabla requiere el cálculo del rango de los datos y la determinación del ancho de los intervalos que se formarán, valores que están sometidos a recomendaciones prácticas para no perder exactitud de la información y no dificultar su tratamiento. Se sugiere al docente enseñar explícitamente la utilización de un software que permita la manipulación de datos y la construcción de gráficos.
AE 3: Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia. Actividades 1.- Determinan las combinaciones posibles a partir de un conjunto finito de objetos. Por ejemplo, ante la siguiente situación: María tiene en su closet 6 blusas de las cuales 2 son blancas, 3 son verdes y una es negra con lunares blancos, 8 pantalones 4 negros dos café y dos azules, los estudiantes pueden responder preguntas del tipo: ¿De cuántas maneras posibles puede combinar las blusas con los pantalones? ¿Cuántas combinaciones posibles puede hacer de una blusa verde con un pantalón negro? Si María se viste sacando al azar una blusa y un pantalón ¿cuál es la probabilidad que María vista una blusa negra con lunares blancos y un pantalón negro? Observaciones al docente Se debe estimular el uso de técnicas combinatorias, en particular el principio multiplicativo, como herramientas para ayudar en el conteo de los elementos de un espacio muestral. Finalmente, generar discusión en torno a las técnicas utilizadas para responder las preguntas.
2.- Utilizan diagramas de árbol para determinar el espacio muestral de diversos experimentos aleatorios. Por ejemplo, el lanzamiento de dos dados, el lanzamiento de un dado y una moneda, el lanzamiento de tres monedas, etc. 3.- Utilizan técnicas combinatorias apropiadas para determinar la cardinalidad de espacios muestrales de experimentos aleatorios. 4.- Seleccionan la técnica combinatoria apropiada para resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades, acorde a los requerimientos de cada problema. Por ejemplo, combinaciones.
AE 5:
Formular conjeturas y verificarlas en casos particulares acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas de dicha población.
Actividades 1.- Extraen muestras al azar de igual tamaño de una población finita P. Por ejemplo, de una población que tiene como elementos los números 2, 4, 5, 6, 7, 9: a) Extraen 5 muestras al azar de tamaño 3. b) Calculan la media de cada una de las muestras, con esto obtiene los números c) Calculan la media de los números
x1 , x 2 , x3 , x 4 , x 5
y la denota
d) Calculan la media de la población y la compara con
2.- Extraen, de P, un número mayor de muestras de tamaño 3, por ejemplo 7 y repite el proceso anterior, es decir: a) Calculan la media de cada una de las muestras, con esto obtiene los números c) Calculan la media la media de los números
x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x 6 , x7
d) Comparan la media de la población P con
3.- Realizan nuevamente el experimento anterior pero con mayor cantidad de muestras de tamaño 3 y calculan la media de las medias y la comparan con la media de la población. 4.- Conjeturan acerca de la relación que existe entre la media de las medias de muestras de igual tamaño extraídas desde una población y la media de ésta. 5.- Verifican la conjetura formulada en casos particulares.
Observaciones al docente Puede resultar útil proponer el uso de la calculadora para generar números aleatorios. La idea es utilizar la función “aleatorio” para generar números al azar entre 0 y 1. También puede generar números aleatorios entre 1 y 15, usando la misma función. Cabe mencionar que en esta experiencia también se podría utilizar una planilla electrónica para generar dichos números. Esta actividad es una oportunidad para observar la manera en que los estudiantes establecen métodos para generar muestras aleatorias a partir de un conjunto mayor o población. En la elección de muestras aleatorias podría ser útil usar “papelitos” con los números de las bolitas y extraer 5 de ellos al azar. En este punto es importante destacar que cada bolita – dada las condiciones de la elección – tiene la misma probabilidad de ser escogida que las demás. La comprensión de este hecho apunta a la importancia de la elección de muestras aleatorias, en el sentido de que no haya un sesgo en el experimento. Ahora bien, el uso de la calculadora o planilla electrónica permite el mismo resultado que la bolsa con papelitos. El potencial en este caso es la simulación de números aleatorios entre dos valores dados.
AE 6: Interpretar información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. AE 7: Producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.
Actividades ®1.- A partir de un gráfico o de una tabla de datos de su interés, extraen información relevante para el contexto. Por ejemplo: El siguiente gráfico muestra el gasto y el ingreso medio de los hogares de Santiago, según quintil.
http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/encuestas_presupuestos_familiares/2008/Presentacion%20EPF%20200 6-2007.pdf • • • • • Interpretan el gráfico extrayendo información relevante basada en las medidas de posición (quintiles) y de tendencia central (promedio) que se muestran (hacen una estimación de estas medidas). Conjeturan acerca del gasto-ingreso medio del percentil 80. Comparan los promedios de gasto e ingreso en los primeros cuatro quintiles. Estiman el valor de las medidas de tendencia central de la muestra. Discuten sobre los factores que influyen en los datos.
2.- Comparan dos o más conjuntos de datos usando medidas de tendencia central y de posición. Por ejemplo, comparan usando diagramas de caja y bigotes. En el siguiente gráfico7 se muestra la valoración (puntaje) hacia las opciones de TV abierta y TV pagada respecto de la programación infantil. Se evalúan 297 programas.
Fuente: CNTV Departamento de Estudios 2007.
Otros datos son: Media 5,14 5,47 Mediana 5,08 5,43
Responden a la pregunta ¿qué se puede concluir respecto a la valoración de la TV pagada versus la TV abierta?
Observaciones al docente Esta es una buena oportunidad para introducir los diagramas de caja y bigotes, los cuales permiten comparar conjuntos de datos a partir de los valores: máximo, primer cuartil, segundo cuartil, tercer cuartil y mínimo.
3.- A partir de información gráfica expresada en polígonos de frecuencia acumulada, establecen relaciones considerando medidas de posición tales como cuartiles, quintiles u otro percentil. 4.- Realizan un estudio estadístico de un tema de interés que incluya: Recopilación de información Síntesis de la información mediante el cálculo de las medidas de tendencia central y algunas medidas de posición Representación gráfica de la información, seleccionando el gráfico más adecuado de acuerdo a la clasificación de la variable en estudio Análisis de la información a través de una planilla electrónica que facilita los cálculos y permite verificar los propios, además de contribuir en la exactitud de la representación gráfica.
Observaciones al docente Esta actividad puede constituirse como un proyecto de curso, en el cual los estudiantes se motiven a realizar un estudio de interés que parte de una o varias preguntas que necesitan ser respondidas. La importancia de este trabajo radica en el hecho de que puede integrar a más de un aprendizaje esperado.
AE 8:Utilizar el cálculo de medidas de tendencia central y de posición para analizar muestras de datos agrupados en intervalos. Actividades 1.- Calculan la media de muestras obtenidas de una población y que están agrupadas en intervalos, y utilizan este cálculo para analizar la muestra. Por ejemplo, en un colegio se toman muestras de estudiantes de edades entre 10 y 11 años para analizar sus pesos. El docente entrega a los estudiantes información relativa a estas muestras en intervalos y les pide que la analicen utilizando cálculos de la media de estos datos.
2. El docente pide ahora a sus estudiantes que utilicen cuartiles para analizar la información anterior y entreguen conclusiones al respecto.
AE 9: Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento aleatorio. Actividades 1.- Realizan una lista de experimentos aleatorios y destacan aquéllos que tienen resultados equiprobables. 2.- Discuten situaciones o anécdotas históricas respecto a la equiprobabilidad de sucesos y el modelo de Laplace: Por ejemplo, acerca del error de D’Alembert respecto al lanzamiento de dos monedas idénticas. Observaciones al docente Para mayor información respecto al error de D’Alembert, se puede ingresar a: http://www2.scielo.org.ve/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1317-58152009000100004&lng=es&nrm=iso
3.- Realizan una lista de experimentos en los que “a priori” no pueden asegurar equiprobabilidad de los resultados. Por ejemplo, lanzar dados cargados o no equilibrados, lanzar chinches o vasos plásticos. Justifican entonces por qué no se puede aplicar el modelo de Laplace. 4.- Calculan probabilidades en experimentos de diversos contextos, escribiendo en su cuaderno la justificación del modelo (frecuencias relativas o Laplace) utilizado en el cálculo. Por ejemplo: En el juego de la ruleta, cierto jugador experto registró los resultados de 100.000 lanzamientos en un mes. Obtuvo que la bolita cayó aproximadamente 49.500 veces en el color negro, aproximadamente 48.500 veces en el color rojo y, el resto de las ocasiones cayó en el cero (verde). Si el jugador se dispone a apostar, ¿por qué color lo hará? Justifique su respuesta. La ruleta tiene 36 números negros, 36 números rojos y 1 número verde. Sabiendo que los resultados son equiprobables, ¿qué color jugaría usted? ¿Todos los colores tienen la misma probabilidad de ocurrencia?
Observaciones al docente Se sugiere al docente implementar el cálculo de probabilidades utilizando tanto el modelo de frecuencias relativas como el modelo de Laplace.
Aprendizajes Esperados: • Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia. Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento aleatorio.
Indicadores de Evaluación: • Determinan la cardinalidad de un espacio muestral utilizando el principio multiplicativo en diversos experimentos aleatorios. Por ejemplo, al lanzar un dado y una moneda, el espacio muestral tiene 6 · 2 = 12 resultados posibles. Obtienen el número de muestras aleatorias posibles de un tamaño dado que se pueden extraer, sin reposición, desde una población de tamaño finito, aplicando el número combinatorio. Seleccionan la técnica combinatoria apropiada para resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades, acorde a los requerimientos de cada problema. Asignan probabilidades de ocurrencia a eventos, mediante el modelo de Laplace o las frecuencias relativas, de acuerdo a las características del experimento aleatorio.
Instrucciones. Responda a las siguientes preguntas de acuerdo a las situaciones propuestas.
1. Una caja contiene 6 fichas numeradas del 1 al 6. Se sacan al azar tres fichas de una vez. Luego se forman, con las tres fichas sacadas, todos los números de tres cifras posibles. a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b) ¿Cuál es la probabilidad que al sacar las tres fichas se pueda formar exactamente un número par? c) ¿Cuál es la probabilidad que al sacar las tres fichas se pueda formar al menos un número impar? 2. En un curso de 50 estudiantes, ¿cuántas muestras de 5 estudiantes se pueden seleccionar al azar, sin que se repitan estudiantes en las distintas muestras?
Criterios de evaluación 1. Determinan cardinalidad de un espacio muestral. 2. Obtienen número de muestras posibles. 3. Calculan la probabilidad de un evento utilizando técnicas de combinatoria.
Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, Matemática. Ministerio de Educación de Chile. Mayo 2009. Ministerio de Educación. Matemática. Programa de Estudio, Primer Año Medio.2004. Ministerio de Educación. Matemática. Programa de Estudio, Segundo Año Medio. 2004. Ministerio de Educación. Matemática. Guía didáctica para el profesor. Primer Año Medio. Reyes, C. y Valenzuela, Marisol. Editorial Mc Graw Hill. 2006. Enseñar matemáticas. Alsina, Burgués, Fortuny, Giménez y Torra. Editorial Graó, Madrid. 1996. Ingeniería didáctica en educación matemática. Artigue, Michéle y otros. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1ª edición. 1995. Números decimales. Centeno Jlia. Editorial Síntesis. Madrid. 1995. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Corbalán Fernando. Editorial Graó, Barcelona, 1995. El aprendizaje de las Matemáticas. Dickson L., Brown M., y Gibson O. Editorial Labor S.A. Barcelona, 1991. Razonamiento Matemático. Rodriguez, José y otros. Internacional Thompson Editores, México, 1997, 1ª edición. Números Enteros. Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. Vargas-Machuca, Inmaculada; González, José Luis y otros. Editorial Síntesis, Madrid. 1990 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales transversales. Winston H Elphick D. Lom Ediciones, 2001. Fundamentos de matemática universitaria. Álgebra y Cálculo. Valenzuela, P. H. Editorial Pearson. 2006. Álgebra y Trigonometría. Séptima Edición. Sullivan, M. Pearson/ Prentice Hall. 2006. Álgebra Superior. Schaum. Tercera Edición. Spiegel M., Moyer R. E. Mc Graw Hill. 2006. Álgebra. Lehmann, Charles. Editorial Limusa. 2001. Álgebra, trigonometría y geometría. Smith, Stanley A. Prentice Hall. El poder de la generalización. Primero Medio. Material del Estudiante. Enlaces Matemática Aprender Matemática Creando Soluciones. Moya, M.; Troncoso, M.; Yañez, M. 2008. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Cedillo, Tenoch. Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1997. 1ª edición. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Malila C. Ghyka. Editorial Poseidón, Buenos Aires. 1968. El hombre que calculaba. Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan). Editorial Limusa S.A. De C.V., 2002. Construcciones Geométricas Mediante un Compás, A. N. Kostovsky, Editorial Mir, Moscú, 1984. Geometría elemental. Villanueva y otros. Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago 1993. Buscando un orden para el azar, Proyecto Enlaces Matemática. Araya S. Roberto y Matus Claudia. Editado por Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile. 2008. 2ª edición. Azar y probabilidad. Díaz J y otros. Editorial Síntesis, Madrid, 1987. Introducción a la Estadística. Portus Govinden L. Editorial Mc Graw Hill, 1998. 2ª Edición. Contenidos Básicos de Estadística y Probabilidad. Saavedra G. Eugenio. Editorial Universidad de Santiago, colección ciencias. 2005. Educación Matemática y buenas prácticas. Nuria Planas y Ángel Alsina. Editorial Grao. Barcelona. 2005. Didáctica de la Matemática. Bruno D’Amore. Cooperativa Editorial Magisterio. Colombia. 2006. Enseñar Matemática Hoy. P. Sadovsky. Libros del Zorzal. Argentina 2005. Aprendizaje Cooperativo en Matemática. J.M. Serrano y otros. Universidad de Murcia. 1997. El Currículo de Matemática en los inicios del siglo XXI. J.M. Goñi (Coord.). Editorial Grao. Barcelona. 2000. Las Matemáticas en el entorno. Revista UNO. Editorial Grao. Barcelona. 1997 Encuentros cercanos con la matemática. M.E. Duhalde, M.T González. Editorial AIQUE. Argentina. 2003. Un club de Matemática para la diversidad. Luz Callejo. Narcea. Madrid.1994. Heurística Geométrica. G. García Talavera Editorial Limusa. México. 1998. Las Matemáticas, perejil de todas las salsas. R. Berlanga, C. Bosch, J. Rivaud Fondo de Cultura Económica. México. 2000. Matemática Educativa. C. Dolores, G. Martínez, R. Farfán, C. Carrillo, I. López y C. Navarro Edit. Díaz de Santos. Madrid. 2007. Desarrollo del pensamiento Matemático. R. Cantoral, R. Farfán, F. Cordero, J. Alanis, R. Rodríguez, A. garza 2003. “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza de la Matemática, Artigue, M., Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE 1994.
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Proyecto Descartes, España: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, applets de la Universidad de UTAH: http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html EDUTEKA, Portal Educativo, Colombia: - http://www.eduteka.org/directorio, luego elegir la carpeta “Matemáticas” o bien desde el enlace directo: - http://www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=204 - Actividades sugeridas por temas: http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/
Heurística Geométrica. G. García Talavera Editorial Limusa. México. 1998. Desarrollo del pensamiento Matemático. R. Cantoral, R. Farfán, F. Cordero, J. Alanis, R. Rodríguez, A. garza 2003. Historia de la matemática. Argüelles Rodríguez, J. Editorial Akal. 1989. Hoja de Cálculo en la enseñanza de las matemáticas en Secundaria. Arias, Nafría, Domínguez, Santiso, Díez, Garrán, Timón, Caravantes, Martínez, Villarino, Sáenz Y González. Ediciones de la Universidad Autónoma de Madrid. 1992. Funciones y gráficas. Azcárate Giménez, C.; Deulofeu Piquet, J. Editorial Síntesis. 1990. Historia de las Matemáticas. Boyer, C.B. (1987). Alianza Universidad Textos. Madrid. Curso de Álgebra y Geometría. Burgos De, J. Alhambra Longman. Madrid. 1994. La matemática creación y descubrimiento. Cañón, C. Universidad Pontifica de Comillas. Madrid. 1993. Retorno a la Geometría. Colección "La Tortuga de Aquiles". Coxeter, H.S.M. y S.L. Greitzer. DLS-Euler Editores. Madrid. 1994. El ingenio en las Matemáticas. Colección "La Tortuga de Aquiles". Honsberger, R. DLS-Euler Editores. Madrid. 1994. El hombre que calculaba. Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan). Editorial Limusa S.A. De C.V., 2002. Buscando un orden para el azar. Proyecto Enlaces Matemática. Araya S. Roberto y Matus Claudia. Editado por Centro Comenius, Universidad de Santiago de Chile. 2008. 2ª edición. Introducción a la Estadística. Portus Govinden L. Editorial Mc Graw Hill, 1998. 2ª Edición. El poder de la generalización. Primero Medio. Material del Estudiante. Enlaces Matemática Aprender Matemática Creando Soluciones. Moya, M.; Troncoso, M.; Yañez, M. 2008.
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Proyecto Descartes, España: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/aplicaciones.php Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, applets de la Universidad de UTAH: - El enlace genérico es http://nlvm.usu.edu/es/nav, o bien puede escoger los enlaces directos: - Números y operaciones: http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_4_t_1.html - Álgebra: http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_4_t_2.html - Geometría: http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_4_t_3.html http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_4_t_4.html - Análisis de Datos y Probabilidad: http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_4_t_5.html EDUTEKA, Portal Educativo, Colombia: - Actividades sugeridas: http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/ - El enlace genérico de las unidades temáticas es http://www.eduteka.org/directorio o bien puede escoger los enlaces directos:
- Números y operaciones: http://www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=362 - Geometría http://www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=363 http://www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=364 - Probabilidad y Estadística http://www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=365 - Álgebra http://www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=366
Unidad 1 Baldor, Aurelio. Aritmética. México D.F., Publicaciones Cultural, 2002. Gardner, Martin. Carnaval matemático. Madrid, Alianza Editorial, 1995, 1ª ed.. Unidad 2 Moreno, R.. Alhacén, el arquímides árabe. Madrid, Nivola Libros, 2007. Rojano, T. ; Ursini, S.. Aprendiendo algebra con hojas electrónicas de cálculo. , Iberoamérica, 1997. Unidad 3 Baldor, Aurelio. Geometría y trigonometría. México D.F., Publicaciones Cultural. Filloy, E. ; Hitt, F.. Geometría analítica. , Iberoamérica, 1981 Unidades 1 y 2 Varios Autores. Aritmética y álgebra. Santiago de Chile, Santillana, . Todas las Unidades Argüelles, Juan. Matemática recreativa. México, Akal, 1994. Argüelles, Juan. Historia de la matemática. , Akal, 1989. Berlanga ; otros. Las matemáticas, perejil de todas las salsas. , Fondo de Cultura Económica, 1999. Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Barcelona, Graó, 1995. Galdós, L. Consultor matemático. Madrid, Cultural de Ediciones, 1995, 1ª ed. Gardner, Martin. Los acertijos de Sam Loyd. España, Zugarto, 2007. Gardner, Martin. Magia Inteligente. España, Zugarto, 1992, 1ª edición. Gardner, Martin. Matemática para divertirse. España, Zugarto, 1994, 1ª ed. Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números. Barcelona, Ediciones B, 1998. Heber Nieto, José. Olimpiadas matemáticas: el arte de resolver problemas. , Los libros de El Nacional, 2005. Irizo, Constanza ; López, Jorge. De la prensa a las matemáticas. Barcelona, Octaedro, 1992. Jiménez, Douglas. Matemáticos que cambiaron al mundo. , Los libros de El Nacional, 2006. Kline, Morris. Matemáticas para los estudiantes de humanidades. México, Fondo de Cultura Económica, 1992. Mataix, Mariano. Esbozos biográficos y pasatiempos matemáticos. Barcelona, Marcombo, 1993, 1ª ed. Nomdedeu, X. Mujeres, manzanas y matemáticas, entretejidas. Madrid, Nivola Libros, 2000.
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Existe un conjunto de instrumentos curriculares que los docentes pueden utilizar de manera conjunta y complementaria con el programa de estudio. Estos pueden ser usados de manera flexible para apoyar el diseño e implementación estrategias didácticas y para evaluar los aprendizajes. Mapas de progreso8. Ofrecen un marco global para conocer cómo progresan los aprendizajes clave a lo largo de la escolaridad 9. imagen
Pueden ser usados, entre otras posibilidades, como un apoyo para abordar la diversidad de aprendizajes que se expresa al interior de un curso, ya que permiten: caracterizar los distintos niveles de aprendizaje en los que se encuentran los estudiantes de un curso. reconocer de qué manera deben continuar progresando los aprendizajes de los grupos de estudiantes que se encuentran en estos distintos niveles.
Textos escolares. Desarrollan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos Obligatorios para apoyar el trabajo de los alumnos en el aula y fuera de ella, y les entregan Imagen explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación. texto
Los docentes pueden enriquecer la implementación del currículum haciendo también uso de los recursos entregados por el Mineduc a través de: Los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) y los materiales impresos, audiovisuales, digitales y concretos entregados a través de éstos. El Programa Enlaces, y las herramientas tecnológicas que éste ha puesto a disposición de los establecimientos.
En la página web del Ministerio de Educación se encuentra disponible el documento “Orientaciones para el uso de los Mapas de Progreso del Aprendizaje” y otros materiales que buscan apoyar el trabajo con los mapas (http://www.curriculum-mineduc.cl/ayuda/documentos/). 9 En una página describen en 7 niveles el crecimiento típico del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector a lo largo de los 12 años de escolaridad obligatoria. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el Nivel I corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de Segundo Básico; el nivel 2 corresponde al término de Cuarto Básico, y así sucesivamente. El nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”, es decir, va más allá de la expectativa para Cuarto Medio, que describe el nivel 6 en cada mapa
Marz May o Presentación del curso. M3 gráficos de barras múltiples. Escalas y variables. Julio
Evaluación expresiones algebraicas. Revisión de la evaluación.
Mi14 Estimación de áreas de superficies planas J 15 estrategias para estimar áreas y formas de rectángulos . Calculo de áreas de figuras planas.
Repaso de los temas vistos en geometría. Ejercicios adicionales acerca de áreas. Repaso números naturales, fraccionarios y decimales. Repaso
Lectura de números de más de 6 cifras.
Escritura de números de más de 6 cifras. Posición de los dígitos
Construcción de gráficos de barras múltiples Gráficos de líneas o barras múltiples. gráficos de líneas o barras múltiples usando herramientas tecnológicas. Variables en contexto.
M 13 Áreas de triángulos rectángulos. Ejercitación de áreas rectángulos y triángulos rectángulos. M 20 Evaluación acerca de cálculos de áreas en rectángulos y triángulos rectángulos. Mi21 Revisión de la evaluación. V 16
Revisión de la prueba global.
Predicción gráficos de barras y de líneas del comportamiento de variables. Evaluación de la materia tratada referente a datos.
de fracciones propias, impropias y números mixtos. Lectura y escritura de decimales positivos.
Estrategias Cálculo áreas en paralelogramos. Calculo áreas paralelogramos,. Ejercitación acerca de áreas en paralelogramos. Ejercicios y revisión áreas en paralelogramos. estrategias calculo áreas de triángulos acutángulos.
V 18 Revisión de la evaluación.
fracciones propias o impropias y números mixtos en magnitudes. Fraccionamientos a nivel concreto y gráfico. Ejemplos números decimales. fracciones y decimales.
Descripción de situaciones de incerteza.
V 20 Justificación de la probabilidad de ocurrencia
Determinar reglas de divisibilidad. factores, divisores y múltiplos. Conjeturas Verificar conjeturas
Comparación y descripción de eventos Ejemplos probabilidad segura, posible, probable o imposible. Repaso a probabilidades.
Fracciones en números decimales. decimales finitos positivos a fracciones. Comparar fracciones positivas y decimales positivos. Orden de fracciones positivas. Orden en los decimales positivos. Resolución de problemas fracciones y decimales. Estimación de cantidades o medidas. Resolución de problemas con estimaciones. números naturales, fracciones y decimales en la recta numérica. fracciones equivalentes
estrategias cálculo de las áreas. Revisión estrategias
Repaso álgebra.
Ejercicios triángulos acutángulos. Evaluación triángulos acutángulos. Revisión de la evaluación.
Diviidir Relación .
Resolución de ejercicios prueba de síntesis. Ejercicios para la prueba de síntesis.
Trabajo áreas de triángulos obtusángulos. Trabajo calcular áreas de triángulos obtusángulos. Revisión de las estrategias formuladas. Justificación de resultados en l problema. Trabajo grupal áreas en triángulos obtusángulos. Revisión del trabajo.
ejercicios para la prueba de síntesis. Prueba de síntesis.
Estimación resolución de un problema. Composición y descomposición suma y resta sumar y restar mentalmente
Calculo mental de adiciones y sustracciones múltiplos de 100 mil millón y aplicación en la resolución de problemas. Composición y descomposición aditiva de factores para multiplicar números. cálculo mental en que se reemplaza un factor por un cuociente equivalente.
numéricos de expresiones algebraicas.
Justificación de resultados en función del contexto del problema. Adición y sustracciones de fracciones simplificando fracciones.
V 10 Ejercitación algebraicas y ejercicios propuestos.
Adición y sustracción de fracciones mediante factorización prima. Calculo de adiciones y sustracciones con decimales , propiedades
Concepto de variación.
Conjeturas . área de paralelogramos. al variar la medida de lados.
de la adición de números naturales. Mie 13 Calculo mental multiplicaciones y divisiones múltiplos de 100 mil y de un millón resolución de problemas. Orden en números naturales de más de 6 cifras. Calculo escrito de multiplicaciones y divisiones números naturales de más de 6 cifras. Cálculos utilizando la calculadora. Evaluación acerca de las materias tratadas. Revisión de la evaluación. Mi 15 Identificación de propiedades en lenguaje simbólico. V 26 Resolución de problemas adición y sustracción con fracciones positivas. M 25 Formulación de conjeturas relativas variaciones del área de paralelogramos al variar la medida de lados. Trabajo verificación de conjeturas formuladas. área de un rombo o romboide al variar las medidas de sus diagonales. área de un rombo o romboide al variar las medidas de sus diagonales. J 15
Ejercitación acerca de las propiedades identificadas. Control acerca de valorización de expresiones algebraicas. Revisión del control.
Resolución de problemas adición y sustracción con decimales positivos. Estimaciones de resultados de operaciones.
Recapitulación de los contenidos tratados. Lectura e interpretación de información a partir de datos organizados en gráficos de línea. Lectura e interpretación gráficos de barras múltiples. Comparación n gráficos de línea.
factores numéricos y literales en expresiones algebraicas. J 23 Escritura, propiedades de las operaciones de los números naturales. V 24 Conjeturas respecto a la inclusión del cero como factor o divisor. M Propiedades adición y 28 multiplicación Mi 29 Equivalencia en la escritura de expresiones.
Justificación de resultados en problema. Evaluación de fracciones y decimales positivos. Revisión de la evaluación
Introducción a la unidad de geometría Repaso acerca de temas referentes a áreas tratados en cuarto básico. Unidades de medidas de áreas. Repaso álgebra
Conjeturas área de triángulos acutángulos y obtusángulos. Conjeturas variación del área de triángulos acutángulos y obtusángulos. Verificación de las conjeturas formuladas.
Evaluación acerca de variaciones de áreas. Revisión de la evaluación.
(* Ejemplo válido para todos los niveles, las fechas son referenciales)
Semestre 1 Unidades: 1 2 x Semestre 2 Unidades: 1 2
Objetivo Fundamental 1. Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números enteros y caracterizarlos como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero. Representar números racionales en la recta numérica, usar la representación decimal y de fracción de un racional justificando la transformación de una en otra, aproximar números racionales, aplicar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades. Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y exponente entero y utilizar sus propiedades. Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias utilizando diversas estrategias y utilizar las funciones lineales y afines como modelos de situaciones o fenómenos y representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas tecnológicas. Identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas en el plano cartesiano, formular y verificar conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de estas transformaciones sobre figuras geométricas. Comprender los conceptos y propiedades de la composición de funciones y utilizarlos para resolver problemas relacionados con las transformaciones isométricas. Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio de la congruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar propiedades. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante gráficos que se obtienen desde tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos. Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de probabilidades en diversas situaciones. Comprender la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento, ya sea en forma teórica o experimentalmente, dependiendo de las características del experimento aleatorio. Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables, diferenciar entre verificación y demostración de propiedades y analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos, para fundamentar opiniones y tomar decisiones.
Semestre 1 Unidades: 1 2 Semestre 2 Unidades: 1 2
Contenidos Mínimos Obligatorios NÚMEROS: 1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales y caracterización de éstos últimos. 2. Representación de números racionales en la recta numérica, verificación de la cerradura de la adición, sustracción, multiplicación y división en los racionales y verificación de la propiedad: “entre dos números racionales siempre existe otro número racional”. 3. Justificación de la transformación de números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción. 4. Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números racionales y su aplicación en la resolución de problemas. 5. Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento, y reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales. 6. Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero y aplicación de ellas en diferentes contextos. 7. Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero, enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. ALGEBRA: 8. Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos notables y factorizaciones. 9. Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado. 10. Análisis de las distintas representaciones de la función lineal10, su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa. 11. Estudio de la composición de funciones, análisis de sus propiedades y aplicación a las transformaciones isométricas. 12. Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín, análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros11. GEOMETRÍA: 13. Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figuras geométricas manualmente y haciendo uso de un procesador geométrico. 14. Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicación de la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas. 15. Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de traslaciones, reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el plano cartesiano y verificación, en casos particulares, de dichas conjeturas mediante el uso de un procesador geométrico o manualmente.
16. Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas, formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de criterios de congruencia en triángulos y utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades en polígonos.
DATOS Y AZAR: 17. Obtención de información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas, polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas, considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición. 18. Organización y representación de datos, extraídos desde diversas fuentes, usando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas, construidos manualmente y con herramientas tecnológicas. 19. Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos, mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media, moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles), en diversos contextos y situaciones. 20. Uso de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades. 21. Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado, que se pueden extraer desde una población de tamaño finito, con y sin reemplazo. 22. Formulación y verificación de conjeturas, en casos particulares, acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población, con y sin reemplazo. 23. Resolución de problemas en contextos de incerteza, aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema.
Anexo 5: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) Semestre 1: Aprendizajes Esperados Unidad 1: Números
1.- Distinguir problemas que no admiten solución en los números enteros y que pueden ser resueltos en los números racionales no enteros. 2.- Justificar matemáticamente que los decimales periódicos y semiperiódicos son números racionales.
3.- Establecer relaciones de orden entre números racionales. 4.- Representar números racionales en la recta numérica. 5.- Utilizar la calculadora para realizar cálculos reconociendo sus limitaciones. 6.- Verificar la densidad de los números racionales. 7.- Verificar la cerradura de las operaciones en los números racionales. 8.- Comprender el significado de las potencias de base racional y exponente entero. 9.- Resolver problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero. Unidad 2: Álgebra 1.- Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias. 2.- Factorizar expresiones algebraicas no fraccionarias. 3.- Establecer estrategias para resolver ecuaciones lineales. 4.- Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín. 5.- Realizar composiciones de funciones y establecer algunas propiedades algebraicas de esta operación.
2 2 4-5 2 2 6
8 8 9 10-12
6.- Resolver problemas asociados a situaciones cuyos modelos son ecuaciones literales de primer grado.
Aprendizajes Esperados Unidad 3: Geometría
1.- Identificar y representar puntos y coordenadas de figuras geométricas en el plano cartesiano, manualmente o usando un procesador geométrico. 2.- Representar en el plano, adiciones, sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar. 3.- Aplicar composiciones de funciones para realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano. 4.- Identificar regularidades en la aplicación de transformaciones isométricas a figuras en el plano cartesiano. 5.- Formular y verificar conjeturas acerca de la aplicación de transformaciones isométricas a figuras geométricas en el plano cartesiano. 6.- Establecer el concepto de congruencia a partir de las transformaciones isométricas. 7.- Formular y verificar conjeturas acerca de criterios de congruencia en triángulos. 8.- Resolver problemas relativos a cálculos de vértices y lados de figuras geométricas del plano cartesiano y a la congruencia de triángulos. Unidad 4: Datos y Azar 1.- Obtener información a partir del análisis de datos, en diversos contextos, presentados en gráficos y tablas de frecuencia, considerando la interpretación de medidas de tendencia central. 2.- Producir información, en contextos diversos, a través de gráficos y tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, manualmente o mediante herramientas tecnológicas. 3.- Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos, en experimentos aleatorios finitos, usando más de una estrategia. 4.- Calcular la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas desde una población. 5.- Formular conjeturas y verificarlas en casos particulares acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas de dicha población. 6.- Interpretar información, en diversos contextos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. 7.- Producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando.
8.- Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades, aplicando el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las características del experimento aleatorio.
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