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Timestamp: 2019-10-23 23:20:50+00:00

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Mecánica vectorial para ingenieros : estática | R. C. Hibbeler ; traducción, José de la Cera Alonso ; revisión técnica, Felipe de Jesús Hidalgo Cavazos. | download
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R. C. Hibbeler, traducción, José de la Cera Alonso, revisión técnica, Felipe de Jesús Hidalgo Cavazos.
ISBN 10: 9702605016
ISBN 13: 9789702605010
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la fuerza1082
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la viga298
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MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS ESTÁTICA DÉCIMA EDICIÓN R. C. Hibbeler TRADUCCIÓN José de la Cera Alonso Profesor titular, Universidad Autónoma Metropolitana Plantel Azcapotzalco REVISIÓN TÉCNICA Felipe de Jesús Hidalgo Cavazos, MC.C. Departamento de Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey PEARSON Educación México • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela
/ Datos de catalogación bibliográfica HIBBELER, R. C. Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Décima edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004 ISBN: 970-26-0501-6 Área: Universitarios Formato: 20 x 25.5 cm Páginas: 656 Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering Mechanics Statics, Tenth Edition, by R. C. Hibbeler, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright ©2004. All rights reserved. ISBN 0-13-141167-5 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Intermedíate Engineering Mechanics Statics, Tenth Edition, por R. C. Hibbeler, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE-HALL INC., Copyright ©2004. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Guillermo Trujano Mendoza e-mail: guillermo.trujano@pearsoned.com Supervisora de desarrollo: Diana Karen Montano González Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño Assistant Manager of Electronic Composition & Digital Content: Allyson Graesser Creative Director: Carole Anson Art Director: Jonathan Boylan Electronic Composition: Clara Bartunek, Beth Gschwind, Julita Nazario, and Judith R. Wilkens Art Editor: Xiaohong Zhu Manufacturing Manager: Trudy Pisciotti Manufacturing Buyer: Lisa McDowell Sénior Marketing Manager: Holly Stark Edición en inglés Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia Horton Vice President and Director of Production and Manufacturing, ESM: David W. Riccardi Associate Editor: Dee Bernhard Editorial Assistant: Brian Hoehl Executive Managing Editor: Vince O'Brien Managing Editor: David A. George Production Editor: Rose Kernan Director of Creative Services: Paul Belfanti Manager of Electronic Composition & Digital Content: Jim Sullivan DÉCIMA EDICIÓN, 2004 DR. © 2004 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5to. piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: editorial.universidades@pearsoned.com Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0501-6 PEARSON Educación Impreso en México. Printed in México. ® 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 07 06 05 04
PREFACIO El propósito principal de este libro es proporcionar al estudiante una presentación clara y completa de la teoría y las aplicaciones de la ingeniería mecánica. Para lograr este objetivo, el autor no ha trabajado solo; en gran medida, a lo largo de sus 10 ediciones, el libro ha tomado forma gracias a los comentarios y sugerencias de más de un centenar de revisores de la profesión docente y de muchos alumnos del autor. Nuevas características Algunos aspectos únicos contenidos en esta décima edición incluyen lo siguiente: • Ilustraciones. A lo largo del libro han sido agregadas nuevas ilustraciones con base en fotografías para establecer una fuerte conexión con la naturaleza tridimensional de la ingeniería. Además, se ha puesto particular atención en proporcionar una vista de cualquier objeto físico con sus dimensiones y los vectores aplicados a él, de manera que su naturaleza pueda ser comprendida fácilmente. • Problemas. Los conjuntos de problemas han sido revisados de tal forma que los instructores pueden seleccionar problemas tanto de diseño como de análisis con un amplio rango de dificultad. Además del autor, otros dos profesionales han revisado todos los problemas para mayor claridad y exactitud de las soluciones. Al final de algunos capítulos se han incluido proyectos de diseño. • Material de repaso. Para ayudar a los alumnos a estudiar y recordar puntos clave de cada capítulo, han sido agregadas nuevas secciones de repaso al final de cada uno de ellos. Por supuesto, algunos aspectos del libro permanecen iguales: donde se ha considerado conveniente se pone un especial énfasis en el trazado de diagramas de cuerpo libre o en la importancia de seleccionar el sistema coordenado correcto, y cuando son aplicadas las ecuaciones propias de la mecánica, la convención asociada de signos para componentes de vectores es aplicada puntualmente. Contenido El libro está dividido en 11 capítulos, en los cuales los principios son aplicados primero a situaciones simples y luego a situaciones más complicadas. Con frecuencia, cada principio es aplicado primero a una partícula, luego a un cuerpo rígido sometido a un sistema coplanar de fuerzas y finalmente, a un caso general de sistemas tridimensionales de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido. Vil
El capítulo 1 empieza con una introducción a la mecánica y un análisis de unidades de medición. La notación de un vector y las propiedades de un sistema concurrente de fuerzas son presentadas en el capítulo 2. Esta teoría es aplicada entonces al equilibrio de una partícula en el capítulo 3. El capítulo 4 contiene un análisis general de sistemas de fuerzas concentradas y distribuidas, así como los métodos usados para simplificarlos. Los principios del equilibrio de un cuerpo rígido son desarrollados en el capítulo 5 y luego aplicados a problemas específicos que implican el equilibrio de armaduras, bastidores y máquinas en el capítulo 6, y después, al análisis de fuerzas internas en vigas y cables en el capítulo 7. Las aplicaciones a problemas que implican fuerzas de fricción son presentadas en el capítulo 8, y los temas relativos al centro de gravedad y al centroide se tratan en el capítulo 9. Si el tiempo lo permite, pueden tratarse secciones con temas más avanzados, las cuales se señalan mediante asteriscos (*). La mayoría de esos temas están incluidos en el capítulo 10 (momentos de inercia para área y masa) y en el capítulo 11 (trabajo virtual y energía potencial). Advierta que este material también proporciona una referencia apropiada para los principios básicos cuando éstos se tratan en cursos más avanzados. Cobertura alternativa. A discreción del instructor, parte del material puede presentarse en una secuencia diferente sin pérdida de continuidad. Por ejemplo, es posible introducir el concepto de una fuerza y todos los métodos necesarios del análisis vectorial cubriendo primero el capítulo 2 y la sección 4.2. Luego, después de cubrir el resto del capítulo 4 (sistemas de fuerza y momento), pueden analizarse los métodos de equilibrio de los capítulos 3 y 5. Características especiales . . Organización y enfoque. Los contenidos de cada capítulo están organizados en secciones bien definidas que contienen una explicación de temas específicos, ilustrativos problemas de ejemplo, y un conjunto de problemas de tarea. Los temas de cada sección están situados en subgru- pos definidos por títulos en negritas. El propósito de esto es presentar un método estructurado para introducir cada nueva definición o concepto y hacer el texto conveniente para posteriores referencias y repaso. Contenidos de los capítulos. Cada capítulo comienza con una ilustración que muestra un amplio rango de aplicaciones del material presentado. Se proporciona una lista del contenido del capítulo para dar una visión general del material a tratar. Diagramas de cuerpo libre. El primer paso al resolver problemas de mecánica consiste en trazar un diagrama. Al hacerlo así, el estudiante adquiere el hábito de tabular los datos necesarios y enfocar su atención en los aspectos físicos del problema y de su geometría asociada. Si este paso se efectúa de manera correcta, la aplicación de las ecuaciones pertinentes de la mecánica resulta casi automática, ya que los datos pueden ser tomados directamente del diagrama. Esta etapa es particularmente importante al resolver problemas de equilibrio, y por esta razón el trazo de los diagramas de cuerpo libre es muy enfatizado en todo el libro. En particular, secciones y ejemplos especiales están dedicados a mostrar cómo trazar diagramas de cuerpo libre y, para desarrollar esta práctica, han sido agregados problemas específicos de tarea en muchas secciones del libro.
Procedimientos de análisis. Estos procedimientos se encuentran al final de numerosas secciones y proporcionan al estudiante un repaso o resumen del material y un método lógico y ordenado para aplicar la teoría. Los problemas de ejemplo se resuelven usando los lincamientos de este método para dejar clara su aplicación numérica. Sin embargo, debe entenderse que una vez dominados los principios pertinentes, y adquiridos suficientes criterio y confianza, el estudiante podrá desarrollar sus propios métodos para resolver los problemas. Fotografías. Para explicar cómo los principios de la mecánica se aplican a situaciones del mundo real, en el presente libro son usadas muchas fotografías. En algunas secciones, las fotografías se emplean para mostrar cómo los ingenieros deben elaborar primero un modelo idealizado para efectuar el análisis y luego proceder a trazar un diagrama de cuerpo libre de este modelo para aplicar la teoría. Puntos importantes. Esta característica proporciona un repaso o resumen de los conceptos más importantes presentados en una sección y enfatiza los puntos de relevancia que deben observarse cuando se aplica la teoría para resolver problemas. Comprensión conceptual. Por medio del uso de fotografías, la teoría es aplicada de manera sencilla para ilustrar algunos de los aspectos más importantes y transmitir el significado físico de muchos de los términos empleados en las ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas aumentan el interés en el tema y preparan mejor al estudiante para la comprensión de los ejemplos y la resolución de los problemas. Problemas de ejemplo. Todos los problemas de ejemplo se presentan de manera concisa y en un estilo fácil de entender. Problemas de tarea • Problemas de diagrama de cuerpo libre. Muchas secciones del libro contienen problemas introductorios que sólo requieren trazar el diagrama de cuerpo libre para los problemas específicos dentro de un grupo de problemas. Estos trabajos mostrarán al estudiante la importancia de dominar esta habilidad como un requisito para lograr una solución completa de cualquier problema de equilibrio. • Análisis general y problemas de diseño. La mayoría de los problemas presentados en el libro muestran situaciones reales encontradas en la práctica de la ingeniería. Algunos provienen de productos reales usados en la industria y son formulados tal cual. Esperamos que este realismo estimule el interés del estudiante en la ingeniería mecánica y le proporcione un medio con el cual desarrollar la habilidad para reducir cualquier problema desde su descripción física hasta un modelo o representación simbólica al que puedan aplicarse los principios de la mecánica. En todo el libro hay un balance aproximado de problemas que usan ya sea el sistema de unidades FPS o el SI. Todos los conjuntos de problemas se han intentado arreglar en orden de dificultad creciente. (Los problemas de repaso que aparecen al final de cada capítulo están presentados en orden aleatorio). Excepto para cada cuarto problema, las respuestas a todos los demás están dadas al final del libro. Para alertar al usuario con respecto a un problema sin respuesta incluida, se ha colocado un asterisco (*) antes del número del problema.
Prefacio • Problemas con computadora. Se ha hecho un esfuerzo por incluir algunos problemas que pueden ser resueltos usando un procedimiento numérico ejecutable en una computadora personal o en una calculadora progra- mable de bolsillo. El Apéndice B presenta técnicas numéricas apropiadas junto con sus programas de computadora asociados. Lo que se intenta con ello es ampliar la capacidad del estudiante para usar otras formas de análisis sin sacrificar el tiempo requerido para concentrarse en la aplicación de los principios de la mecánica. Los problemas de este tipo que se pueden o se deben resolver mediante los métodos numéricos se identifican en el texto con el símbolo "cuadrado" (■), contiguo al número del problema. • Proyectos de diseño. Al final de algunos de los capítulos se han incluido proyectos de diseño. Consideramos que este tipo de tarea debe ser encomendada sólo después de que el estudiante ha desarrollado una compresión básica del tema visto. Estos proyectos se enfocan en la resolución de un problema especificando la geometría de una estructura u objeto mecánico necesarios para un fin particular. Se requiere presentar un análisis de fuerzas y, en muchos casos, que se consideren aspectos de seguridad y costos. Repasos de capítulo. Nuevas secciones de repaso de capítulo resumen puntos claves del mismo, a menudo en listas caracterizadas por puntos secuenciales. Apéndices. Los apéndices proporcionan las fórmulas matemáticas y los análisis numéricos necesarios para resolver los problemas del libro. El Apéndice C presenta un conjunto de problemas que son característicos de los encontrados en el examen estadounidense denominado Fundamentáis of Engineering. Al proporcionar una solución parcial de todos los problemas, se le da al estudiante la oportunidad de practicar adicio- nalmente sus habilidades. Agradecimientos El autor ha intentado escribir este libro de modo que suscite el interés del instructor y del estudiante. Un gran número de personas ha contribuido a desarrollarlo a lo largo de muchos años, y deseo expresarles mi agradecimiento por sus comentarios y sugerencias que mucho he apreciado. Específicamente, quiero dar las gracias a las siguientes personas por su contribución a la serie Estática y Dinámica: Paul Heyliger, Colorado State University Kenneth Sawyers, Lehigh University John Oyler, University of Pittsburgh Glenn Beltz, University of California Johannes Gessler, Colorado State University Wilfred Nixon, University of Iowa Jonathan Russell, US. Coast Guard Academy Robert Hinks, Arizona State University Cap. Mark Orwat, US. Military Academy, West Point Cetin Cetinyaka, Clarkson University Jack Xin, Kansas State University Pierre Julien, Colorado State University Stephen Bechtel, Ohio State University W. A. Curtain, Brown University Robert Oakberg, Montana State University Richard Bennett, University of Tennessee
Agradezco en particular a los profesores Will Liddell, Jr. y Henry Kuhl- man por su ayuda. Extiendo una nota especial de gracias a los revisores técnicos, Scott Hendricks de VPI y Karim Nohra de la University of South Florida, quienes diligentemente revisaron todo el texto y los problemas. Deseo reconocer también la ayuda de mi esposa, Conny (Cornelie), en la lectura de pruebas durante el tiempo que ha tomado preparar este manuscrito para su publicación. Finalmente, doy las gracias a todos mis estudiantes y a los miembros de la profesión docente que han invertido parte de su tiempo en enviarme sus sugerencias y comentarios. Dado que la lista sería muy larga como para mencionarla con todo detalle, espero que ellos acepten este reconocimiento. En cualquier momento, apreciaré conocer los comentarios, sugerencias o problemas de los lectores relacionados con esta edición. Russell Charles Hibbeler hibbeler@bellsouth.net
CONTENIDO Principios generales 3 Objetivos del capítulo 3 1.1 Mecánica 3 1.2 Conceptos fundamentales 4 1.3 Unidades de medición 6 1.4 El sistema internacional de unidades 8 1.5 Cálculos numéricos 10 1.6 Procedimiento general para el análisis 14 y % 3 3.1 3.2 3.3 3.4 ..., Equilibrio de una partícula 81 Objetivos del capítulo 81 Condiciones para el equilibrio de una partícula 81 El diagrama de cuerpo libre 82 Sistemas de fuerzas coplanares 85 Sistemas tridimensionales de fuerzas 98 4 i/ \ 2 .- - Vectores fuerza 17 Objetivos del capítulo 17 2.1 Escalares y vectores 17 2.2 Operaciones vectoriales 18 2.3 Suma vectorial de fuerzas 20 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares 31 2.5 Vectores cartesianos 42 2.6 Suma y resta de vectores cartesianos 46 2.7 Vectores de posición 55 2.8 Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea 58 2.9 Producto punto 68 i Resultantes de sistemas de fuerzas 113 Objetivos del capítulo 113 4.1 Momento de una fuerza —formulación escalar 113 4.2 Producto cruz 118 4.3 Momento de una fuerza —formulación vectorial 121 4.4 Principio de momentos 126 4.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje específico 138 4.6 Momento de un par 148 4.7 Sistema equivalente 160 4.8 Resultantes de un sistema de una fuerza y un par 162 4.9 Reducción adicional de un sistema de una fuerza y un par 166 4.10 Reducción de una carga simple distribuida 180 xiii
xiv • Contenido *. 5 !f Equilibrio de un cuerpo rígido I 193 7 Fuerzas internas 325 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 Objetivos del capítulo 193 Condiciones para el equilibrio de un cuerpo rígido 193 Equilibrio en dos dimensiones 195 Diagramas de cuerpo libre 195 Ecuaciones de equilibrio 209 Miembros de dos y tres fuerzas 218 Equilibrio en tres dimensiones 231 Diagramas de cuerpo libre 231 Ecuaciones de equilibrio 237 Restricciones para un cuerpo rígido Objetivos del capítulo 325 7.1 Fuerzas internas desarrolladas en miembros estructurales 325 *7.2 Ecuaciones y diagramas de fuerza cortante y de momento 342 *7.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento 350 •7.4 Cables 360 238 m |P6 V W Análisis estructural 257 Objetivos del capítulo 257 6.1 Armaduras simples 257 6.2 El método de los nudos 260 6.3 Miembros de fuerza cero 266 6.4 El método de las secciones 273 *6.5 Armaduras espaciales 283 6.6 Bastidores y máquinas 287 8 N Fricción 379 Objetivos del capítulo 379 8.1 Características de la fricción seca 379 8.2 Problemas que implican fricción seca 383 8.3 Cuñas 404 *8.4 Fuerzas de fricción en tornillos 406 *8.5 Fuerzas de fricción sobre bandas planas 414 *8.6 Fuerzas de fricción en chumaceras de collar, chumaceras de pivote y discos 421 *8.7 Fuerzas de fricción en chumaceras lisas 424 *8.8 Resistencia al rodamiento 426
Conten ido xv -fe' ■.->■. 9 Centro de gravedad y centroide 437 Objetivos del capítulo 437 9.1 Centro de gravedad y centro de masa para un sistema de partículas 437 9.2 Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un cuerpo 439 9.3 Cuerpos compuestos 461 *9.4 Teoremas de Pappus y Guldinus 475 *9.5 Resultante de una carga general distribuida 483 *9.6 Presión de un fluido 484 -V Ü'^SÉ 11 Trabajo virtual 551 Objetivos del capítulo 551 11.1 Definición de trabajo y trabajo virtual 551 11.2 Principio del trabajo virtual para una partícula y un cuerpo rígido 554 11.3 Principio del trabajo virtual para un sistema de cuerpos rígidos conectados 555 *11.4 Fuerzas conservadoras 568 *11.5 Energía potencial 569 *11.6 Criterio de la energía potencial para el equilibrio 570 • 11.7 Estabilidad del equilibrio 572 5^.,~ 10 Momentos de inercia 499 Objetivos del capítulo 499 10.1 Definición de momentos de inercia para áreas 499 10.2 Teorema de los ejes paralelos para un área 501 10.3 Radio de giro de un área 501 10.4 Momentos de inercia para un área por integración 502 10.5 Momentos de inercia para áreas compuestas 510 • 10.6 Producto de inercia para un área 518 *10.7 Momentos de inercia para un área con respecto a ejes inclinados 522 *10.8 Círculo de Mohr para momentos de inercia 525 10.9 Momentos de inercia de masa 535 Apéndices A. Expresiones matemáticas 584 B. Análisis numérico y por computadora 586 C. Repaso para un examen de los fundamentos de ingeniería 592 Respuestas a problemas seleccionados 611 índice 627
CA P I T U L O 1 Principios generales OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Proporcionar una introducción a las cantidades básicas e idealizaciones de la mecánica. Presentar las leyes del movimiento y de la gravitación de Newton. Repasar los principios para la aplicación del sistema SI de unidades. Examinar los procedimientos estándar para efectuar cálculos numéricos. Presentar una guía general para la resolución de problemas. 1.1 Mecánica La mecánica puede ser definida como la rama de la física que trata acerca del estado de reposo o movimiento de cuerpos que están sometidos a la acción de fuerzas. En general, este tema se subdivide en tres ramas: mecánica del cuerpo rígido, mecánica del cuerpo deformable y mecánica de fluidos. Este libro trata sólo la mecánica del cuerpo rígido ya que ésta constituye una base adecuada para el diseño y análisis de muchos tipos de dispositivos estructurales, mecánicos o eléctricos, que se encuentran en la ingeniería. Además, la mecánica del cuerpo rígido proporciona parte de la base necesaria para el estudio de la mecánica de los cuerpos deformables y la mecánica de fluidos. La mecánica del cuerpo rígido se divide en dos áreas: estática y dinámica. La estática trata con el equilibrio de los cuerpos, esto es, aquellos que están en reposo o se mueven con velocidad constante; mientras que la dinámica trata con el movimiento acelerado de los cuerpos. Aunque la estática puede ser considerada como un caso especial de la dinámica, en el sentido de que la aceleración es cero, merece un tratamiento especial en la enseñanza de la ingeniería ya que muchos objetos son diseñados con la intención de que permanezcan en equilibrio. 3
4 • CAPÍTULO 1 Principios generales Desarrollo histórico. El tema de la estática se desarrolló muy temprano en la historia porque los principios que implica pudieron ser formulados simplemente a partir de mediciones de geometría y fuerza. Por ejemplo, los escritos de Arquímedes (287-212 a. de C.) tratan con el principio de la palanca. Estudios de la polea, el plano inclinado y la llave, también están registrados en escritos antiguos, en épocas en que los requisitos de la ingeniería se limitaban principalmente a la construcción de edificios. Como los principios de la dinámica dependen de una medición precisa del tiempo, este tema se desarrolló mucho después. Galileo Galilei (1564- 1642) fue uno de los primeros y principales contribuyentes a este campo. Su trabajo consistió en experimentos con péndulos y en analizar la caída de cuerpos. Sin embargo, la más importante contribución en dinámica fue hecha por Isaac Newton (1642-1727), quien es famoso por su formulación de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la atracción gravitatoria universal. Poco después de que esas leyes fueron postuladas, Euler, D'Alembert, Lagrange y otros, desarrollaron importantes técnicas para su aplicación. 1.2 Conceptos fundamentales Antes de comenzar nuestro estudio de la mecánica, es importante entender el significado de ciertos conceptos y principios fundamentales. Cantidades básicas. Las siguientes cuatro cantidades se usan en toda la mecánica. Longitud. La longitud es necesaria para localizar la posición de un punto en el espacio y así describir el tamaño de un sistema físico. Una vez definida una unidad estándar de longitud, podemos establecer cuantitativamente distancias y propiedades geométricas de un cuerpo como múltiplos de la longitud unitaria. Tiempo. El tiempo es concebido como una sucesión de eventos. Aunque los principios de la estática son independientes del tiempo, esta cantidad juega un papel importante en el estudio de la dinámica. Masa. La masa es una propiedad de la materia por medio de la cual es posible comparar la acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atracción gravitatoria entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia de la materia a cambios de velocidad. Fuerza. En general, la fuerza es considerada como un "empuje" o un "jalón" ejercido por un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando existe contacto directo entre los cuerpos, como cuando una persona empuja una pared, o a través de una distancia cuando los cuerpos están físicamente separados. Ejemplos del último tipo incluyen las fuerzas gravitatorias, eléctricas y magnéticas. En todo caso, una fuerza se caracteriza completamente por medio de su magnitud, su dirección y su punto de aplicación.
Sección 1.2 Conceptos fundamentales • 5 Idealizaciones. Los modelos o idealizaciones, se usan en mecánica para simplificar la aplicación de la teoría. Definiremos ahora unas cuantas de las más importantes idealizaciones. Otras que son también importantes serán explicadas en donde sea necesario. Partícula. Una partícula tiene masa, pero un tamaño que puede ser ignorado. Por ejemplo, el tamaño de la Tierra es insignificante comparado con el tamaño de su órbita, y por tanto, la Tierra puede ser modelada como una partícula al estudiar su movimiento orbital. Cuando un cuerpo es idealizado como una partícula, los principios de la mecánica se reducen a una forma un tanto simplificada ya que la geometría del cuerpo no estará implicada en el análisis del problema. Cuerpo rígido. Un cuerpo rígido puede ser considerado como una combinación de un gran número de partículas en la que todas las partículas permanecen a una distancia fija unas de otras antes y después de aplicar una carga. Como resultado, las propiedades del material de cualquier cuerpo que se suponga rígido no tendrán que considerarse al analizar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. En la mayoría de los casos, las deformaciones reales que ocurren en máquinas, mecanismos y estructuras similares son relativamente pequeñas, y la hipótesis de cuerpo rígido es la adecuada para el análisis. Fuerza concentrada. Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga que se supone está actuando en un punto sobre un cuerpo. Podemos representar una carga por medio de una fuerza concentrada, siempre que el área sobre la cual la carga es aplicada, sea muy pequeña en comparación con el tamaño total del cuerpo. Un ejemplo sería la fuerza de contacto entre una rueda y el terreno. Las tres leyes del movimiento de Newton. Todo el tema de la mecánica del cuerpo rígido está formulado con base en las tres leyes del movimiento de Newton, cuya validez se basa en la observación experimental. Estas leyes se aplican al movimiento de una partícula medido desde un marco de referencia no acelerado. Con relación a la figura 1-1, las leyes del movimiento de Newton pueden ser enunciadas brevemente como sigue. Primera ley. Una partícula originalmente en reposo, o que se mueve en línea recta con velocidad constante, permanecerá en este estado siempre que no esté sometida a una fuerza que no está balanceada. Segunda ley. Una partícula sobre la que actúa una fuerza desbalanceada F experimenta una aceleración a que tiene el mismo sentido que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza.* Si F es aplicada a una partícula de masa ra, esta ley puede expresarse matemáticamente como F = raa (i-i) Tercera ley. Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales, opuestas y colineales. *Dicho de otra manera, la fuerza desbalanceada que actúa sobre la partícula es proporcional a la razón de cambio con respecto al tiempo del momento lineal de la partícula. F|nSé. *s F2 Y F3 Equilibrio O Movimiento acelerado fuerza de A sobre B A B V fuerza de B sobre A Acción - reacción Fig. 1-1
6 • CAPÍTULO 1 Principios generales Ley de la atracción gravitatoria de Newton. Poco después de formular sus tres leyes del movimiento, Newton postuló una ley que gobierna la atracción gravitatoria entre dos partículas cualesquiera. Enunciada matemáticamente resulta en, F = G^ (1-2) r donde F = fuerza de gravitación entre las dos partículas G = constante universal de gravitación; de acuerdo con la evidencia experimental, G = 66.73(10~12) m3/(kg ■ s2) mu m2 = masa de cada partícula r = distancia entre las dos partículas Peso. De acuerdo con la ecuación 1—2, dos partículas o cuerpos cualesquiera tienen una fuerza (gravitatoria) de atracción mutua que actúa entre ellas. Sin embargo, en el caso de una partícula localizada en o cerca de la superficie de la Tierra, la única fuerza gravitatoria de cierta magnitud es aquella que está entre la Tierra y la partícula. Por ello, esta fuerza, llamada peso, será la única fuerza gravitatoria que consideraremos en nuestro estudio de la mecánica. A partir de la ecuación 1—2, podemos desarrollar una expresión aproximada para encontrar el peso W de una partícula con masa rax = ra. Si suponemos que la Tierra es una esfera sin rotación de densidad constante y con una masa m2 = Me, entonces, si r es la distancia entre el centro de la Tierra y la partícula, tenemos mMe W = G—^r rL Haciendo g = GMe/r2 resulta W = mg I (1-3) Por comparación con F = raa, denominamos g a la aceleración debida a la gravedad. Como la aceleración depende de r, puede verse que el peso de un cuerpo no es una cantidad absoluta, sino que su magnitud se determina desde donde es hecha la medición. Sin embargo, para la mayoría de los cálculos de ingeniería, g se determina al nivel del mar y a una latitud de 45°, lo cual se considera la "ubicación estándar". 1.3 Unidades de medición Las cuatro cantidades básicas —fuerza, masa, longitud y tiempo— no son todas independientes una de otra; de hecho, están relacionadas por la segunda ley del movimiento de Newton, F = raa. Debido a esto, no todas las unidades usadas para medir esas cantidades pueden seleccionarse arbitrariamente. La igualdad F = raa se mantiene sólo si tres de las cuatro unidades, llamadas unidades básicas, son definidas arbitrariamente y la cuarta unidad se deriva entonces a partir de la ecuación.
Sección 1.3 Unidades de medición • 7 Unidades SI. El Sistema Internacional de unidades, abreviado SI a partir del término francés "Systéme International d'Unités", es una versión moderna del sistema métrico que ha recibido reconocimiento mundial. Como se muestra en la tabla 1 — 1, el SI especifica la longitud en metros (m), el tiempo en segundos (s) y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuerza, llamada newton (N), se deriva de F = ma. Así, 1 newton es igual a una fuerza requerida para dar a 1 kilogramo de masa una aceleración de 1 m/s2 (N = kg • m/s2). Si el peso de un cuerpo situado en la "ubicación estándar" va a ser determinado en newtons, entonces debe aplicarse la ecuación 1—3. Aquí g = 9.806 65 m/s2; sin embargo, para los cálculos se usará el valor g = 9.81 m/s2. Entonces, W = mg {g = 9.81 m/s2) (1-*) Por tanto, un cuerpo de masa de 1 kg tiene un peso de 9.81 N, un cuerpo de 2 kg pesa 19.62 N, y así sucesivamente, figura 1—2a. Unidades comunes en Estados Unidos. En el sistema de unidades empleado comúnmente en Estados Unidos (FPS), la longitud se mide en pies (ft), la fuerza en libras (Ib) y el tiempo en segundos (s), tabla 1 — 1. La unidad de masa, llamada slug, es derivada de F = ma. Por tanto, 1 slug es igual a la cantidad de materia que es acelerada a 1 pie/s2 cuando actúa sobre ella una fuerza de 1 Ib (slug = Ib ■ s2/pies). Para determinar la masa de un cuerpo que tenga un peso medido en libras, debemos aplicar la ecuación 1—3. Si las mediciones son hechas en la "ubicación estándar", entonces g = 32.2 pies/s2 será usada para los cálculos. Por tanto, m V W g (g V 32.2 pies/s2) (1-5) Así, un cuerpo que pese 32.2 Ib tiene una masa de 1 slug, un cuerpo de 64.4 Ib tiene una masa de 2 slugs, y así sucesivamente, figura 1—2b. ,rV lkg r9.81N (a) 1*1 1 slug 32.2 Ib (b) Píg. 1-2 TABLA 1-1 • Sistema de unidades Nombre Sistema Internacional de unidades (SI) Sistema de unidades comunes en Estados Unidos (FPS) Longitud metro (m) pie (ft) Tiempo segundo (s) segundo (s) Masa kilogramo (kg) | slug* | Fuerza l newton* [ (N) libra (ib) *Unidad derivada.
8 • CAPÍTULO 1 Principios generales Conversión de unidades. La tabla 1—2 proporciona un conjunto de factores de conversión directa entre unidades FPS y SI para las cantidades básicas. Recuérdese, además, que en el sistema FPS 1 pie = 12 pulg (pulgadas), 5280 pies = 1 mi (milla), 1000 Ib = 1 kip (kilo-pound), y 2000 Ib = 1 ton (tonelada). TABLA 1-2 • Factores de conversión Unidad de Unidad de Cantidad medición (FPS) Igual a medición (SI) 4.448 2 N 14.593 8 kg 0.304 8 m Fuerza Masa Longitud Ib slug ft 1.4 El sistema internacional de unidades El SI de unidades se usa ampliamente en este libro ya que se pretende que llegue a ser el estándar mundial de medidas. En consecuencia, las reglas para su uso y parte de la terminología que es importante en la mecánica se presentarán enseguida. Prefijos. Cuando una cantidad numérica es muy grande o muy pequeña, las unidades usadas para definir su tamaño pueden ser modificadas mediante un prefijo. Algunos de los prefijos usados en el SI se muestran en la tabla 1—3. Cada uno representa un múltiplo o un submúltiplo de una unidad que, si es aplicada sucesivamente, mueve el punto decimal de una cantidad numérica a cada tercer lugar.* Por ejemplo, 4 000 000 N = 4 000 kN (kilo-newton) = 4 MN (mega-newton), o 0.005 m = 5 mm (milímetros). Advierta que el SI no incluye el múltiplo deca (10) o el submúltiplo centi (0.01), los cuales forman parte del sistema métrico. Excepto por algunas medidas de volumen y área, el uso de esos prefijos debe evitarse en ciencia e ingeniería. TABLA 1-3 Múltiplo 1 000 000 000 1 000 000 1000 Submúltiplo 0.001 0.000 001 0.000 000 001 • Pr« Forma iflJOS i exponencial 109 106 103 io-3 10"6 10"9 Prefijo giga mega kilo mili micro nano Símbolo SI G M k m M n *E1 kilogramo es la única unidad básica que se define con un prefijo.
Sección 1.4 El sistema Internacional de unidades • 9 Reglas para su uso. Las siguientes reglas se proporcionan para fomentar el uso apropiado de los diversos símbolos del SI: 1. Un símbolo nunca se escribe con una "s" de plural, ya que puede ser confundido con la unidad de segundo (s). 2. Los símbolos se escriben siempre en letras minúsculas, con las siguientes excepciones: los símbolos para los dos prefijos más grandes mostrados en la tabla 1—3, giga y mega, se escriben como G y M, respectivamente; los símbolos denominados con un nombre propio se escriben también con mayúscula, por ejemplo, N (Newton). 3. Las cantidades definidas por varias unidades que son múltiplos de otra unidad deben ir separadas por un punto para evitar confusión con la notación de prefijo, tal como es indicado por N = kg • m/s2 = kg • m • s~2. También, m • s (metro-segundo), pero ms (milise- gundo). 4. La potencia exponencial representada para una unidad con un prefijo se refiere tanto a la unidad como a su prefijo. Por ejemplo, juN2 = (/¿N)2 = /iN - /jN. De igual manera, mm2 representa (mm)2 = mm • mm. 5. Las constantes físicas o números que tengan varios dígitos en cualquier lado del punto decimal deben ser reportados con un espacio entre cada tres dígitos en vez de con una coma; por ejemplo, 73 569.213 427. En el caso de cuatro dígitos en cualquier lado del decimal, el espa- ciamiento es opcional; por ejemplo, 8357 u 8 537. Además, trate siempre de usar decimales y evitar fracciones; esto es, escriba 15.25 y no 151. 6. Al efectuar cálculos, represente los números en términos de sus unidades básicas o derivadas convirtiendo todos los prefijos a potencias de 10. El resultado final debe ser expresado entonces usando un solo prefijo. Además, después de los cálculos, es mejor mantener los valores numéricos entre 0.1 y 1000; de otra manera, debe escogerse un prefijo adecuado. Por ejemplo, (50kN)(60nm) = [50(103) N][60(10-9) m] = 3000(10-6) N • m = 3(10-3) N • m = 3 mN ■ m 7. Los prefijos compuestos no deben usarse; por ejemplo, k/¿s (kilo- micro-segundo) debe expresarse como ms (mili-segundo) ya que 1 k/¿s = l(103)(10"6)s - l(10"3)s = 1 ms. 8. Con la excepción de la unidad básica de kilogramo, evite en general el uso de un prefijo en el denominador de unidades compuestas. Por ejemplo, no escriba N/mm, sino kN/m; también, m/mg debe escribirse como Mm/kg. 9. Aunque no se expresan en múltiplos de 10, el minuto, la hora, etc., para fines prácticos, se conservan como múltiplos del segundo. Además, para mediciones angulares planas se usan radianes (rad). Sin embargo, en este libro se usarán a menudo grados, donde 180° = tt rad.
10 • CAPÍTULO 1 Principios generales 1.5 Cálculos numéricos En la práctica de la ingeniería, con mucha frecuencia el trabajo numérico es efectuado usando calculadoras de mano y computadoras. Sin embargo, es importante que las respuestas a cualquier problema sean reportadas con precisión justificable y cifras significativas apropiadas. En £sta sección analizaremos esos temas junto con otros aspectos importantes implicados en todo cálculo de ingeniería. Homogeneidad dimensional. Los términos de cualquier ecuación usada para describir un proceso físico deben ser dimensionalmente homogéneos', esto es, cada término debe ser expresado en las mismas unidades. Si este es el caso, entonces todos los términos de una ecuación pueden combinarse si son sustituidos valores numéricos por las variables. Por ejemplo, considere la ecuación s = vt + ^at , donde, en unidades SI, s es la posición en metros, m, t es el tiempo en segundos, s, v es la velocidad en m/s, y a es la aceleración en m/s2. Independientemente de cómo sea evaluada esta ecuación, mantiene su homogeneidad dimensional. En la forma dada, cada uno de los tres términos está expresado en metros [m, (m/¿)¿, (m/¿2)¿2,] o despejando para a, a = Is/i1 — 2v/t, cada uno de los términos están expresados en unidades de m/s2 [m/s2, m/s2, (m/s)/s]. Como en mecánica los problemas implican la solución de ecuaciones dimensionalmente homogéneas, el hecho de que todos los términos de una ecuación se representen mediante un conjunto consistente de unidades puede usarse como una verificación parcial de las manipulaciones algebraicas de una ecuación. Cifras significativas. La precisión de un número queda especificada por la cantidad de cifras significativas que contenga. Una cifra significativa es cualquier dígito, incluido el cero, siempre que no se use para especificar la posición del punto decimal para el número. Por ejemplo, los números 5604 y 34.52 tienen cada uno cuatro cifras significativas. Sin Q- A" 1 y \í ,\ i ■ *=*f / En ingeniería, las computadoras se usan con frecuencia para efectuar diseños y análisis avanzados.
embargo, cuando los números empiezan o terminan con ceros, es difícil decir cuántas cifras significativas contienen. Considere el número 400. ¿Tiene una (4), o tal vez dos (40), o tres 400) cifras significativas? Para aclarar esta situación, el número debe ser reportado usando potencias de 10. Usando la notación de ingeniería, el exponente es exhibido en múltiplos de tres para facilitar la conversión de unidades SI a unidades con un prefijo apropiado. Así, 400, expresado con una cifra significativa, sería 0.4(103). Igualmente, 2500 y 0.00546 expresados con tres cifras significativas serían 2.50(103) y 5.46(10"3). Redondeo de números. Para cálculos numéricos, por lo general, la precisión obtenida en la solución de un problema nunca puede ser mejor que la precisión de los datos del problema. Esto es lo que cabe esperar, pero a menudo calculadoras portátiles o computadoras implican más cifras en la respuesta que el número de cifras significativas usadas para los datos. Por esta razón, un resultado calculado siempre debe "redondearse" a un número apropiado de cifras significativas. Para expresar una precisión adecuada, aplique las siguientes reglas al redondear un número a n cifras significativas: • Si el dígito n + 1 es menor que 5, el dígito n + 1 y los dígitos que le siguen se cancelan. Por ejemplo, 2.326 y 0.451, redondeados an = 2 cifras significativas, serán 2.3 y 0.45. • Si el dígito n + 1 es igual a 5 con ceros siguiéndolo, entonces redondee el n—ésimo dígito a un número par. Por ejemplo, 1.245(103) y 0.8655, redondeados a n = 3 cifras significativas, se convierten en 1.24(103) y 0.866. • Si el dígito n + 1 es mayor que 5 o igual a 5 sin dígitos ni ceros siguiéndolo, entonces incremente el n—ésimo dígito en 1 y cancele el n + 1 dígito y los dígitos siguientes. Por ejemplo, 0.723 87 y 565.500 3, redondeados a n = 3 cifras significativas, se convierten en 0.724 y 566. Cálculos. Como regla general, para garantizar la exactitud de un resultado final al efectuar cálculos con una calculadora de bolsillo, conserve siempre un número mayor de dígitos que los contenidos en los datos del problema. Si es posible, trate de llevar a cabo los cálculos de manera que números que sean aproximadamente iguales no tengan que restarse ya que a menudo se pierde exactitud con este tipo de operaciones. En ingeniería, generalmente redondeamos las respuestas finales a tres cifras significativas ya que los datos de geometría, cargas y otras cantidades a menudo son reportados con esta precisión.* Por ello, en este libro los cálculos intermedios para los ejemplos están elaborados con cuatro cifras significativas y las respuestas se presentan comúnmente con tres cifras significativas. *Por supuesto, algunos números, como ir, e, o números usados en fórmulas derivadas son exactos y, por tanto, precisos a un número infinito de cifras significativas.
12 • CAPÍTULO 1 Principios generales EJE P L O 11 Convierta 2 km/h a m/s. ¿Cuánto es esto en pies/s? Solución Como 1 km = 1000 m y 1 h = 3600 s, los factores de conversión se arreglan en el siguiente orden, de manera que una cancelación de las unidades pueda ser aplicada: i „, #l 2kfTí/1000mV I* A 2km/h = ^rv^rA3^-s) 2000 m = ~T7^— = 0.556 m/s /?esp. 3600 s ' F A partir de la tabla 1—2, sabemos que 1 pie = 0.3048 m. Entonces 0.556 hí 1 pie 0.556 m/s s 0.3048 hí = 1.82 pies/s /tes/?. EJE P L O 1.2 Convierta las cantidades 300 Ib • s y 52 slug/pies3 a las unidades SI apropiadas. Solución Usando la tabla 1-2, tenemos que 1 Ib = 4.448 2 N. /4.448 2N\ \ Vó ) 3001b-s = 300H5-S = 1334.5 N • s = 1.33 kN • s Resp. También, 1 slug = 14.593 8 kg y 1 pie = 0.304 8 m. - 52skrg/14.593 8kgV Ipfc V 52 slug/pies =-—r{ iaag Xo3Ó48^J = 26.8(103)kg/m3 = 26.8 Mg/m3 Resp.
Sección 1.5 Cálculos numéricos • 13 EJE P L O 13 Evalúe cada una de las siguientes cantidades y expréselas en unidades SI con un prefijo apropiado: (a) (50 mN)(6 GN), (b) (400 mm)(0.6 MN)2, (c) 45 MN3/900 Gg. Solución Primero convierta cada número a unidades básicas, efectúe las operaciones indicadas, y luego elija un prefijo apropiado (vea la regla 6 en la página 9). Parte (a) (50mN)(6GN) = [50(KT3) N][6(109) N] = 300(106) N2 . SOOdoWlM.VA|N\ v VIO3 N/VIO3 N/ = 300 kN2 Resp. Tenga en cuenta la convención kN2 = (kN)2 = 106 N2 (regla 4 en la página 9). Parte (b) (400mm)(0.6MN)2 = [400(10~3) m][0.6(106) N]2 = [400(10-3) m][0.36(1012) N2] = 144(109)m-N2 = 144 Gm ■ N2 Resp. Podemos escribir también = 0.144 m-MN2 Parte (c) 45(106N)3 45 MN3/900 Gg = —-—7-J— ' B 900(106) kg = 0.05 (1012) N3/kg = 0.05(1012)N3f^Y^- v ; V103N/ kg = 0.05(103) kN3/kg = 50 kN3/kg Resp. Aquí hemos usado las reglas 4 y 8 de la página 9.
14 • CAPÍTULO 1 Principios generales 1.6 Procedimiento general para el análisis La manera más efectiva de aprender los principios de la mecánica es resolviendo problemas. Para tener éxito en esto, es importante efectuar siempre el trabajo en una manera lógica y ordenada, tal como está sugerido por la siguiente secuencia de pasos: 1. Lea cuidadosamente el problema y trate de correlacionar la situación física real con la teoría estudiada. 2. Trace cualquier diagrama necesario y tabule los datos del problema. 3. Aplique los principios importantes, generalmente en forma matemática. 4. Resuelva algebraicamente las ecuaciones necesarias en tanto que esto sea práctico, y luego, estando seguro de que son dimensio- nalmente homogéneas, use un conjunto consistente de unidades y complete la solución numéricamente. Presente la respuesta con no más cifras significativas que las precisadas en los datos dados. 5. Estudie la respuesta con juicio técnico y sentido común para determinar si parece razonable. PUNTOS IMPORTANTES • La estática es el estudio de los cuerpos que están en reposo o se mueven con velocidad constante. • Una partícula tiene masa, pero un tamaño que puede ser ignorado. • Un cuerpo rígido no se deforma bajo carga. • Se supone que las fuerzas concentradas actúan en un punto sobre un cuerpo. • Las tres leyes del movimiento de Newton deben ser memorizadas. • La masa es una propiedad de la materia que no cambia de una ubicación a otra. • El peso se refiere a la atracción gravitatoria de la Tierra sobre un cuerpo o una cantidad de masa. Su magnitud depende de la elevación a la que se encuentre la masa. • En el SI la unidad de fuerza, el newton, es una unidad derivada. El metro, el segundo y el kilogramo son unidades básicas. • Los prefijos G, M, k, m, /¿, n son usados para representar cantidades numéricas grandes y pequeñas. Su tamaño exponencial debe ser conocido, junto con las reglas para usar las unidades SI. • Efectúe los cálculos numéricos con varias cifras significativas y luego reporte la respuesta final con tres cifras significativas. • Las manipulaciones algebraicas de una ecuación pueden ser revisadas, en parte, verificando que la ecuación se conserva di- mensionalmente homogénea. • Aprenda las reglas para redondear números. Al resolver problemas trabaje tan limpia y ordenadamente como le sea posible. Esto estimula en general el pensamiento claro y ordenado, y viceversa.
Problemas • 15 PROBLEMAS 1-1. Redondee los siguientes números a tres cifras significativas: (a) 4.65735 m, (b) 55.578 s, (c) 4555 N, (d) 2768 kg. 1-2. La madera tiene una densidad de 4.70 slug/pie3. ¿Cuál es su densidad expresada en unidades SI? 1-3- Represente cada una de las siguientes cantidades en la forma SI correcta usando un prefijo apropiado: (a) 0.000431 kg, (b) 35.3(103) N, (c) 0.00532 km. *l-4. Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en la forma SI correcta usando un prefijo apropiado: (a) m/ms, (b) /¿km, (c) ks/mg, y (d) km • /¿N. 1-5. Si un automóvil está viajando a 55 mi/h, determine su rapidez en kilómetros por hora y en metros por segundo. 1-6. Evalúe cada una de las siguientes cantidades y expréselas con un prefijo apropiado: (a) (430 kg)2, (b) (0.002 mg)2, y (c) (230 m)3. 1-7. Un cohete tiene una masa de 250(103) slugs sobre la Tierra. Especifique (a) su masa en unidades SI, y (b) su peso en unidades SI. Si el cohete está en la Luna, donde la aceleración de la gravedad es gm = 5.30 pies/s2, determine con tres cifras significativas (c) su peso en unidades SI, y (d) su masa en unidades SI. *l-8. Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en la forma SI correcta: (a) kN//¿s, (b) Mg/mN, y (c) MN/(kg • ms). 1-9. El pascal (Pa) es una unidad de presión muy pequeña. Para mostrar esto, convierta 1 Pa = 1 N/m2 a lb/pie2. La presión atmosférica al nivel del mar es de 14.7 lb/pulg2. ¿A cuántos paséales corresponde esto? 1-10. ¿Cuál es el peso en newtons de un objeto que tiene una masa de: (a) 10 kg, (b) 0.5 g, (c) 4.50 Mg? Exprese el resultado con tres cifras significativas. Use un prefijo apropiado. 1-11. Evalúe cada una de las siguientes cantidades con tres cifras significativas y exprese cada respuesta en unidades SI usando un prefijo apropiado: (a) 354 mg(45 km)/ (0.035 6 kN), (b) (.004 53 Mg)(201 ms), (c) 435 MN/23.2 mm. *1-12. Convierta cada una de las siguientes cantidades y exprese la respuesta usando un prefijo apropiado: (a) 175 lb/pie3 a kN/m3, (b) 6 pies/h a mm/s, y (c) 835 Ib • pie a kN • m. 1-13. Convierta cada una de las siguientes cantidades a cantidades con tres cifras significativas, (a) 20 Ib • pie a N • m, (b) 450 lb/pie3 a kN/m3, y (c) 15 pies/h a mm/s. 1-14. Si un objeto tiene una masa de 40 slugs, determine su masa en kilogramos. 1-15. El agua tiene densidad de 1.94 slug/pie3. ¿Cuál es su densidad expresada en unidades SI? Exprese la respuesta con tres cifras significativas. *1-16. Dos partículas tienen masa de 8 y 12 kg, respectivamente. Si están separadas 800 mm, determine la fuerza gravitatoria que actúa entre ellas. Compare este resultado con el peso de cada partícula. 1-17. Determine la masa de un objeto que tiene un peso de (a) 20 mN, (b) 150 kN, (c) 60 MN Exprese la respuesta con tres cifras significativas. 1-18. Si un hombre pesa 155 Ib sobre la Tierra, especifique (a) su masa en slugs, (b) su masa en kilogramos, y (c) su peso en newtons. Si el hombre está en la Luna, donde la aceleración de la gravedad es gm = 5.30 pies/s2, determine (d) su peso en libras, y (e) su masa en kilogramos. 1-19. Usando las unidades básicas del SI, muestre que la ecuación 1—2 es dimensionalmente homogénea y da F en newtons. Determine con tres cifras significativas la fuerza gravitatoria que actúa entre dos esferas que se tocan una a otra. La masa de cada esfera es de 200 kg y el radio de 300 mm. *l-20. Evalúe cada una de las siguientes cantidades con tres cifras significativas y exprese cada respuesta en unidades SI usando un prefijo apropiado: (a) (0.631 Mm)/ (8.60 kg)2, (b) (35 mm)2 (48 kg)3.
Vectores fuerza OBJETIVOS DEL CAPÍTULO • Mostrar cómo sumar fuerzas y resolverlas en componentes usando la ley del paralelogramo. • Expresar la fuerza y la posición en forma vectorial cartesiana y explicar cómo determinar la magnitud y el sentido del vector. • Presentar el producto punto para determinar el ángulo entre dos vectores o la proyección de un vector en otro. 2.1 Escalares y vectores La mayor parte de las cantidades físicas en mecánica pueden ser expresadas matemáticamente por medio de escalares y vectores. Escalar. Una cantidad caracterizada por un número positivo o negativo se denomina un escalar. Por ejemplo, masa, volumen y longitud son cantidades escalares empleadas a menudo en estática. En este libro, los escalares están indicados por letras en cursivas, tal como el escalar A. Vector. Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección. En estática, las cantidades vectoriales encontradas con frecuencia son posición, fuerza y momento. En trabajos realizados a mano, un vector es representado generalmente por una letra con una línea sobre ella, tal como A. La magnitud se designa mediante | A| o simplemente con A. En este libro los vectores se simbolizarán mediante tipos en negrita; por ejemplo, A se usa para designar el vector "A". Su magnitud, que es siempre una cantidad positiva, se representa mediante cursivas, tal como \A\, o simplemente A cuando se sobreentienda que A es un escalar positivo. CAPÍTULO 17
18 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza Cola Línea de acción - Cabeza - Fig. 2-1 Un vector se representa gráficamente por medio de una flecha, la cual se usa para definir su magnitud, dirección y sentido. La magnitud del vector es la longitud de la flecha, la dirección es definida por el ángulo entre un eje de referencia y la línea de acción de la flecha, y el sentido queda indicado por la cabeza de la flecha. Por ejemplo, el vector A mostrado en la figura 2—1 tiene una magnitud de 4 unidades, una dirección de 20° medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje horizontal, y un sentido que es hacia arriba y hacia la derecha. El punto O se llama la cola del vector y el punto P la punta o cabeza del vector. 2.2 Operaciones vectoriales Vector A y su contraparte negativa Fig. 2-2 Multiplicación y división escalar Fig. 2-3 Multiplicación y división de un vector por un escalar. El producto de un vector A y un escalar a, que da a A, se define como un vector con magnitud \aA\. El sentido de a A es el mismo que A siempre que a sea positivo, y es opuesto a A si a es negativo. En particular, el negativo de un vector se forma multiplicando el vector por el escalar (—1), figura 2—2. La división de un vector entre un escalar se puede definir usando las leyes de multiplicación, ya que A/a = (l/a)A, a =£ 0. Ejemplos gráficos de estas operaciones se muestran en la figura 2—3. Suma de vectores. Dos vectores AyB, tal como los de fuerza o posición, figura 2-4a, pueden sumarse para formar un vector "resultante" R = A + B usando la ley del paralelogramo. Para hacer esto, A y B se unen en sus colas, figura 2—4b. Se trazan líneas paralelas desde la cabeza de cada vector cortándose en un punto común, formando así los lados adyacentes de un paralelogramo. Como se muestra, la resultante R es la diagonal del paralelogramo, la cual se extiende desde las colas de A y B hasta la intersección de las líneas. También podemos sumar B a A usando una construcción triangular, un caso especial de la ley del paralelogramo, en donde el vector B se suma al vector A en forma de "cabeza a cola", esto es, conectando la cabeza de A a la cola de B, figura 2—4c. La resultante R se extiende desde la cola de A hasta la cabeza de B. De manera similar, R también puede ser obtenida sumando A a B, figura 2—4d. Por comparación, se ve que la suma vectorial es conmutativa; en otras palabras, los vectores pueden sumarse en cualquier orden, es decir, R = A + B = B + A. R = B + A Ley del paralelogramo (b) R = A + B Construcción triangular (c) Construcción triangular (d) Suma vectorial Fig. 2-4
Sección 2.2 Operaciones vectoriales • 19 Como un caso especial, si los dos vectores A y B son colineales, es decir, si ambos tienen la misma línea de acción, la ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar R = A + Z?, como se muestra en la figura 2—5. Resta de vectores. La diferencia resultante entre dos vectores A y B del mismo tipo puede ser expresada como R' = A-B = A + (-B) Esta suma vectorial se muestra gráficamente en la figura 2-6. Dado que la resta se define como un caso especial de la suma, las reglas de la suma vectorial también se aplican a la resta vectorial. R A B R = A+B Suma de vectores colineales Fig. 2-5 A o Ley del paralelogramo Resta vectorial Fig. 2-6 Construcción triangular Resolución de un vector. Un vector puede ser resuelto en dos "componentes" con líneas de acción conocidas usando la ley del paralelogramo. Por ejemplo, si en la figura 2—la, R debe ser resuelto en componentes que actúen a lo largo de las líneas a y fe, comenzamos en la cabeza de R y extendemos una línea paralela a a hasta que corte a b. Igualmente, se traza una línea paralela a b desde la cabeza de R hasta el punto de intersección con a, figura 2—la. Las dos componentes A y B se trazan luego en forma tal que se extiendan desde la cola de R hasta los puntos de intersección, como se muestra en la figura 2—Ib. Resultante Extienda líneas paralelas desde la cabeza de R para formar componentes (a) Componentes (b) Resolución de un vector Fig. 2-7
i 20 . CAPÍTULO 2 Vectores fuerza 2.3 Suma vectorial de fuerzas La evidencia experimental ha mostrado que una fuerza es una cantidad Fi +F2 ^ vectorial ya que tiene una magnitud específica, dirección y sentido, y que , se suma de acuerdo con la ley del paralelogramo. Dos problemas comu- / nes en estática implican encontrar la fuerza resultante, conocidas sus / componentes, o resolver una fuerza conocida en dos componentes. Como ' se vio en la sección 2.2, ambos problemas requieren de la aplicación de ' la ley del paralelogramo. -^F Si más de dos fuerzas deben ser sumadas, pueden llevarse a cabo aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo para obtener la fuerza 8 resultante. Por ejemplo, si tres fuerzas Fb F2, F3 actúan en un punto O, figura 2—8, se calcula la resultante de dos cualesquiera de las fuerzas, digamos Fx + F2, y luego esta resultante se suma a la tercera fuerza, dando la resultante de las tres fuerzas; es decir, ¥R = (Fj + F2) + F3. Aplicar la ley del paralelogramo para sumar más de dos fuerzas, como vemos aquí, a menudo requiere de extensos cálculos geométricos y trigonométricos para determinar los valores numéricos de la magnitud y la dirección de la resultante. En vez de ello, los problemas de este tipo fácilmente son resueltos usando el "método de las componentes rectangulares", el cual veremos en la sección 2.4. Si conocemos las fuerzas ¥a y F¿ que las dos cadenas a y b ejercen sobre el gancho, podemos encontrar su fuerza resultante Fc aplicando la ley del paralelogramo. Esto requiere trazar líneas paralelas a a y b desde las cabezas de Fa y F¿> tal como se muestra, formando así un paralelogramo. De manera similar, si se conoce la fuerza Fc a lo largo de la cadena c, entonces sus dos componentes Fa y F¿> que actúan a lo largo de a y b, pueden ser determinadas aplicando la ley del paralelogramo. Aquí debemos comenzar en la cabeza de Fc y construir líneas paralelas a a y b, formando así el paralelogramo. $
V Sección 2.3 Suma vectorial de fuerzas • 21 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Los problemas que implican la suma de dos fuerzas pueden resolverse como sigue: Ley del paralelogramo. • Trace un croquis mostrando la adición vectorial usando la ley del paralelogramo. • Dos fuerzas "componentes" se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo, produciendo una fuerza resultante que forma la diagonal del paralelogramo. • Si una fuerza debe resolverse en componentes a lo largo de dos ejes dirigidos desde la cola de la fuerza, entonces comience en la cabeza de la fuerza y construya líneas paralelas a los ejes, formando así el paralelogramo. Los lados del paralelogramo representan las componentes. • Marque todas las magnitudes de fuerzas conocidas y desconocidas y los ángulos sobre el croquis e identifique las dos incógnitas. Trigonometría. • Trace de nuevo media porción del paralelogramo para ilustrar la adición triangular cabeza a cola de las componentes. • La magnitud de la fuerza resultante puede ser determinada con la ley de los cosenos, y su dirección mediante la ley de los senos, figura 2-9. • La magnitud de dos componentes de fuerza está determinada a partir de la ley de los senos, figura 2—9. Fig. 2-9 PUNTOS IMPORTANTES • Un escalar es un número positivo o negativo. • Un vector es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido. • La multiplicación o la división de un vector por, o entre, un escalar cambiará la magnitud del vector. El sentido del vector cambiará si el escalar es negativo. • Como un caso especial, si los vectores son colineales, la resultante se obtiene con una suma algebraica o escalar. Ley de los senos: A , B , C sen a sen b sen c Ley de los cosenos: C=^¡A2 + B2-2ABcosc
CAPÍTULO 2 Vectores fuerza E P L O 2-1 La armella roscada que se ve en la figura 2—10a está sometida a dos fuerzas, Fx y F2. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante. F„ =150 N (a) 115° 150 N (c) Solución Ley del paralelogramo. La ley de adición del paralelogramo se muestra en la figura 2—10b. Las dos incógnitas son la magnitud de ¥R y el ángulo 9 (teta). Trigonometría. A partir de la figura 2—10b, se construye el triángulo vectorial, figura 2—10c. FR se determina usando la ley de los cosenos: Fr = \/(100N)2 + (150 N)2 - 2(100 N)(150N) eos 115° = VIO 000 + 22 500 - 30 000(-0.4226) = 212.6 N = 213 N Resp El ángulo 9 se determina aplicando la ley de los senos, usando el valor calculado de FR. 150 N 212.6 N sen 9 sen 115° 6 = 39.8° Así, la dirección <¡> (fi) de ¥R, medida desde la horizontal, es <f> = 39.8° + 15.0° = 54.8° ¿& Resp.
Sección 2.3 Suma vectorial de fuerzas • 23 E J E P L O Resuelva la fuerza de 200 Ib que actúa sobre el tubo, figura 2—lia, en componentes en las direcciones (a) x y y, y en las direcciones (b) x' y y. 2001b 30^ 2001b (b) 2001b F, 40° (c) j-j (a) Fig.2-11 Solución En cada caso se usa la ley del paralelogramo para resolver F en sus dos componentes, y luego se construye el triángulo vectorial para determinar los resultados numéricos por trigonometría. Parte (a). La suma vectorial F = ¥x + F^ se muestra en la figura 2—11b. En particular, advierta que la longitud de las componentes se ha trazado a escala a lo largo de los ejes x y y construyendo primero líneas desde la punta de F paralelas a los ejes de acuerdo con la ley del paralelogramo. A partir del triángulo vectorial, figura 2-11c, Fx = 200 Ib eos 40° = 153 Ib Fv = 200 Ib sen 40° = 129 Ib Resp. Resp. Parte (b). La suma vectorial F = Fx> + Fy se muestra en la figura 2—lid. Observe cuidadosamente cómo se construye el paralelogramo. Aplicando la ley de los senos y usando los datos del triángulo vectorial, figura 2—lie, se obtiene /v 200 Ib sen 50° sen 60° _ „ , sen 50° Fx. = 200 Ib \ sen 60° 1771b Resp. 2001b sen 70° sen 60° Fy = 200 Ib /sen 70° \ V sen 60° ) 2171b Resp. 2001b 200 Ib 50Ü (e)
24 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza EJE P L O La fuerza F que actúa sobre la estructura mostrada en la figura 2—12a tiene una magnitud de 500 N y debe resolverse en dos componentes actuando a lo largo de las barras AB y AC. Determine el ángulo 0, medido bajo la horizontal, de manera que la componente ¥AC esté dirigida de A hacia C y tenga una magnitud de 400 N. 30° 500 N 500 N (b) Solución Usando la ley del paralelogramo, la suma vectorial de las dos componentes da la resultante mostrada en la figura 2—126. Observe cuidadosamente cómo la fuerza resultante es resuelta en las dos componentes ¥AB y ¥AC, las cuales tienen líneas de acción especificadas. El correspondiente triángulo vectorial se muestra en la figura 2—12c. El ángulo <j> puede ser determinado usando la ley de los senos: 400 N 500 N sen 4> sen 60° /400N\ sen 60° = 0.6928 <j> = 43.9° Por consiguiente, 0 = 180° - 60° - 43.9° = 76.1° ^ Resp. Usando este valor para 0, aplique la ley de los cosenos o la de los senos y muestre que ¥AB tiene una magnitud de 561 N. Advierta que F también puede estar dirigida a un ángulo 6 por arriba de la horizontal, como se muestra en la figura 2—12d, y aún producir la componente requerida ¥AC. Demuestre que en este caso 0 = 16.1° y FAB = 161 N.
Sección 2.3 Suma vectorial de fuerzas • 25 E J E PLO 2.4 El anillo mostrado en la figura 2-13a está sometido a dos fuerzas, Fi y F2. Si se requiere que la fuerza resultante tenga magnitud de 1 kN y esté dirigida verticalmente hacia abajo, determine (a) las magnitudes de Fx y F2 si 9 = 30°, y (b) las magnitudes de Fx y F2 si F2 debe ser mínima. 180°-50' "~~T~20o «• V (a) V20c 1000 N 1000 N Fig. 2-13 Solución Parte (a). En la figura 2—136 se muestra un croquis de la suma vectorial según la ley del paralelogramo. A partir del triángulo vectorial construido en la figura 2—13c, las magnitudes desconocidas Fi y F2 se determinan usando la ley de los senos: Fi sen 30° Ft F2 1000 N sen 130° = 653 N 1000 N sen 20° sen 130° F2 = 446 N Resp. Resp. Parte (b) Si 9 no está especificado, entonces, por el triángulo vectorial, figura 2—13d, F2 puede ser sumada a Fx de varias maneras para obtener la fuerza resultante de 1000 N. En particular, la longitud mínima o la magnitud de F2 ocurrirá cuando su línea de acción sea perpendicular a Fx. Cualquier otra dirección, como OA u OB, dará un valor mayor para F2. Por consiguiente, cuando 9 = 90° - 20° = 70°, F2 es mínima. A partir del triángulo mostrado en la figura 2-13e, se ve que Fx = 1000 sen 70°N = 940 N Resp. F2 = 1000 eos 70°N = 342 N Resp. ^>0 1000 N 1000 N
26 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza PROBLEMAS 2-1. Determine la magnitud de la fuerza resultante FR = Fx + F2 y su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje jc positivo. F2 = 800 N Fx =600N Prob.2- 2-2. Determine la magnitud de la fuerza resultante si: (a) F* = Fa + F2; (b) F'* = Fx - F2. F, = 100N 60° F2 = 80 N 45° Prob. 2-2 2-3. Determine la magnitud de la fuerza resultante ¥R = ¥i + F2 así como su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje jc positivo. : 250 Ib r30\, + 45° *2-4. Determine la magnitud de la fuerza resultante F/? = Fj + F2 y su dirección, medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje u positivo. 2-5. Resuelva la fuerza Fi en componentes que actúen a lo largo de los ejes u y v y determine las magnitudes de las componentes. 2-6. Resuelva la fuerza F2 en componentes que actúen a lo largo de los ejes u y v y determine las magnitudes de las componentes. 2-7. La placa está sometida a las dos fuerzas en A y B, como se muestra. Si 6 = 60°, determine la magnitud de la resultante de esas dos fuerzas y su dirección medida desde la horizontal. *2-8. Determine el ángulo 6 para conectar la barra A a la placa de manera que la fuerza resultante de FA y FB esté dirigida horizontalmente hacia la derecha. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante? FA = 8kN F2 = 375 Ib FB=6kN Prob. 2-3 Probs. 2-7/8
2-9. La fuerza vertical F actúa hacia abajo en A sobre la estructura de dos barras. Determine las magnitudes de las dos componentes de F dirigidas a lo largo de los ejes de AB y AC. Considere F = 500 N. 2-10. Resuelva el problema 2-9 con F = 350 Ib. Probs. 2-9/10 2-11. La fuerza que actúa sobre el diente del engrane es F = 20 Ib. Resuelva esta fuerza en dos componentes actuando a lo largo de las líneas aa y bb. 2-12. Se requiere que la componente de la fuerza F que actúa a lo largo de la línea aa sea de 30 Ib. Determine la magnitud de F y su componente a lo largo de la línea bb. Problemas • 27 2-13. La fuerza de 500 Ib que actúa sobre la estructura debe resolverse en dos componentes actuando a lo largo de los ejes de las barras AB y AC. Si la componente de fuerza a lo largo de AC debe ser de 300 Ib, dirigida de A a C, determine la magnitud de la fuerza que debe actuar a lo largo de AB y el ángulo 6 de la fuerza de 500 Ib. F=5001b Prob.2-13 2-14. El poste va a ser extraído del terreno usando dos cuerdas A y B. La cuerda A estará sometida a una fuerza de 600 Ib y será dirigida a 60° desde la horizontal. Si la fuerza resultante que actuará sobre el poste va a ser de 1200 Ib, vertical hacia arriba, determine la fuerza T en la cuerda B y el correspondiente ángulo 6. 6001b Probs. 2-11/12 Prc1 2-14
28 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza 2-15. Determine el ángulo de diseño 0(0° < 6 < 90°) para la barra AB de manera que la fuerza horizontal de 400 Ib tenga una componente de 500 Ib dirigida de A hacia C. ¿Cuál es la componente de fuerza que actúa a lo largo de la barra AB! Considere 6 = 40°. 2-16. Determine el ángulo de diseño </>(0° ^ 4> ^ 90°) entre las barras AB y AC de manera que la fuerza horizontal de 400 Ib tenga una componente de 600 Ib actuando hacia arriba y hacia la izquierda, en la misma dirección que de B hacia A. Considere 6 = 30°. 2-18. Dos fuerzas son aplicadas en el extremo de una armella roscada para extraer el poste. Determine el ángulo 0(0° < 0 < 90°) y la magnitud de la fuerza F para que la fuerza resultante sobre el poste esté dirigida ver- ticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 750 N. 500 N Vi»,,**VI-A»V Probs. 2-15/16 Prob. 2-18 2-17. El cincel ejerce una fuerza de 20 Ib sobre la barra de madera que gira en un torno. Resuelva esta fuerza en componentes que actúen (a) a lo largo de los ejes n y r, y (b) a lo largo de los ejes x y y. 2-19. Si F\ = F2 = 30 Ib, determine los ángulos 6 y </> de manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje x positivo y tenga una magnitud FR = 20 Ib. Prob. 2-17 Prob.2-19
Problemas • 29 *2-20. El camión es jalado usando dos cuerdas. Determine la magnitud de las fuerzas F^ y FB que deben actuar en las cuerdas para desarrollar una fuerza resultante de 950 N dirigida a lo largo del eje x positivo. Considere 6 = 50°. 2-22. Determine la magnitud y la dirección de la resultante FR = Fi + F2 + F3 de las tres fuerzas encontrando primero la resultante F' = Fi + F2, y formando luego FR = F'+ F3. 2-23. Determine la magnitud y la dirección de la resultante FR = Fj + F2 + F3 de las tres fuerzas encontrando primero la resultante F' = F2 + F3, y formando luego FR = F' + ¥x. F, = 30 N Prob. 2-20 Probs. 2-22/23 2-21. El camión va a ser jalado usando dos cuerdas. Si la fuerza resultante va a ser de 950 N, dirigida a lo largo del eje x positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúan en cada cuerda y el ángulo 6 de FB de manera que la magnitud de FB sea un mínimo. FA actúa a 20° desde el eje x, como se muestra. *2-24. Resuelva la fuerza de 50 Ib en componentes que actúen a lo largo (a) de los ejes x y y, y (b) a lo largo de los ejes x y y'. 501b Prob. 2-21 Prob. 2-24
30 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza 2-25. El tronco de un árbol es remolcado por dos tractores A y B. Determine la magnitud de las dos fuerzas de remolque F^ y ¥B si se requiere que la fuerza resultante tenga una magnitud FR = 10 kN y esté dirigida a lo largo del eje x. Considere 6 = 15°. 2-26. Si la resultante F^ de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco debe estar dirigida a lo largo del eje x positivo y tener una magnitud de 10 kN, determine el ángulo 6 del cable unido a B, hágalo en forma tal que la fuerza FB en este cable sea mínima. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación? y Probs. 2-25/26 %sc%í^a*S2w 30° A B _ I 2-27. La viga va a ser levantada usando dos cadenas. Determine las magnitudes de las fuerzas F^ y ¥B sobre cada cadena para que desarrollen una fuerza resultante de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo. Considere 6 = 45°. *2-28. La viga va a ser levantada usando dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N dirigida a lo largo del eje y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas F^ y FB sobre cada cadena y la orientación 6 de FB de manera que la magnitud de ¥B sea mínima. ¥A actúa a 30° desde el eje y como se muestra. 2-29. Tres cadenas actúan sobre la ménsula en forma tal que generan una fuerza resultante con magnitud de 500 Ib. , Si dos de las cadenas están sometidas a fuerzas conocidas, como se muestra, determine la orientación 6 de la tercera cadena, medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de manera que la magnitud de la fuerza F en esta cadena sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x—y. ¿Cuál es la magnitud de F? Sugerencia: Encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. La fuerza F actúa en esta dirección. y 3001b 200 Ib Prob. 2-29 2-30. Tres cables jalan el tubo generando una fuerza resultante con magnitud de 900 Ib. Si dos de los cables están sometidos a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determine la dirección 6 del tercer cable de manera que la magnitud de la fuerza F en este cable sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x—y. ¿Cuál es la magnitud de F? Sugerencia: Encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. 6001b 4001b Probs. 2-27/28 Prob. 2-30
Sección 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares • 31 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares Cuando tiene que obtenerse la resultante de más de dos fuerzas, es más fácil encontrar las componentes de cada fuerza a lo largo de ejes especificados, sumar esas componentes algebraicamente, y luego formar la resultante, en vez de formar la resultante de las fuerzas por aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo como se vio en la sección 2.3. En esta sección resolveremos cada fuerza en sus componentes rectangulares Fx y Fy, las cuales se encuentran a lo largo de los ejes x y y, respectivamente, como se ve en la figura 2—14a. Aunque los ejes son horizontal y vertical, por lo general pueden estar dirigidos con cualquier inclinación, siempre que permanezcan perpendiculares entre sí, como en la figura 2—146. En todo caso, por la ley del paralelogramo, requerimos que F = Fv + Fv F' = F'r + F'v Como se muestra en la figura 2-14, el sentido de cada componente de fuerza está representado gráficamente por la cabeza de la flecha. Sin embargo, en un trabajo analítico debemos establecer cierta notación para representar el sentido de las componentes rectangulares. Esto puede hacerse de dos maneras. Notación escalar. Como los ejes x y y tienen asignadas direcciones positiva y negativa, la magnitud y el sentido direccional de las componentes rectangulares de una fuerza pueden expresarse en términos de escalares algebraicos. Por ejemplo, las componentes de F en la figura 2—14a pueden ser representadas por escalares positivos Fx yJFy ya que sus sentidos de dirección son a lo largo de los ejes x y y positivos, respectivamente. De manera similar, las componentes de F' en la figura 2—14b son F'x y — F'y. Aquí la componente y es negativa, ya que ¥'y está dirigida a lo largo del eje y negativo. Es importante tener en mente que esta notación escalar se usa sólo para'fines de cálculo, no para representaciones gráficas en las figuras. A lo largo de este libro, la cabeza de un vector flecha en cualquier figura indica el sentido del vector gráficamente', los signos algebraicos no se usan para este fin. Así, los vectores en las figuras 2—14a y 2—14b están designados usando notación en negritas.* Siempre que se escriben símbolos en tipos cursivos cerca de flechas de vector en figuras, indican la magnitud del vector, la cual siempre es una cantidad positiva. *Los signos negativos se usan sólo en figuras con notación en negritas cuando muestran parejas de vectores iguales pero opuestos, como en la figura 2—2.
32 . CAPÍTULO 2 Vectores fuerza Notación vectorial cartesiana. También es posible representar las componentes de una fuerza en términos de vectores unitarios cartesianos. Cuando hacemos esto, los métodos del álgebra vectorial son más fáciles de aplicar, y veremos que esto resulta particularmente conveniente en la resolución de problemas tridimensionales. En dos dimensiones, los vectores unitarios cartesianos i y j se usan para designar las direcciones de los ejes x y y, respectivamente, figura 2—15a* Esos vectores tienen una magnitud adimensional de la unidad y sus sentidos (o cabeza de flecha) serán descritos analíticamente por un signo más o uno menos, dependiendo de si señalan a lo largo de los ejes x o y positivos o negativos. Como se muestra en la figura 2—15a, la magnitud de cada componente de F es siempre una cantidad positiva, la cual está representada por los escalares (positivos) Fx y Fy. Por tanto, una vez establecida una notación para representar la magnitud y la dirección de cada componente vectorial, podemos expresar F en la figura 2—15a como el vector cartesiano, F = Fxi + Fyi De la misma manera, F' en la figura 2—156 puede ser expresado como F' = F'xi + F'y(-i) o simplemente F = F'xi - F'yi (b) Fig. 2-15 *En trabajos a mano, generalmente los vectores se indican utilizando un acento circunflejo, por ejemplo: i y /.
Sección 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares • 33 Resultantes de fuerzas coplanares. Cualquiera de los dos métodos descritos puede ser usado para determinar la resultante de varias fuerzas coplanares. Para hacer esto, cada fuerza es resuelta primero en sus componentes x y y, y luego las componentes respectivas son sumadas usando álgebra escalar ya que son colineales. La fuerza resultante se forma entonces sumando las resultantes de las componentes xy y mediante la ley del paralelogramo. Por ejemplo, considere las tres fuerzas concurrentes en la figura 2—16a, que tienen componentes xy y como se muestra en la figura 2—16b. Para resolver este problema usando notación vectorial cartesiana, cada fuerza se representa primero como un vector cartesiano, es decir, F2 = Flxi + Fly\ F2 = ~F2xi + F2y\ . F3 = F3xi - F3y] El vector resultante es, por tanto, F/? = Fx + F2 + F3 = Fixi + Flyj - F2x\ + F2y] + F3xi - F3yj (Fu ~ F2x + F3x)i + (Fly + F2y (FRx)i + (FRy)j F3y)Í Si se usa notación escalar, entonces, a partir de la figura 2—166, como x es positiva a la derecha y y es positiva hacia arriba, tenemos (a) F3,NL_*J (b) (+T) ^Rx rRy ^lx F2r + F, 3x F\y + F2y - F3y Esos resultados son los mismos que las componentes i y j de F# determinadas antes. En el caso general, las componentes x y y de la resultante de cualquier número de fuerzas coplanares pueden ser representadas simbólicamente por medio de la suma algebraica de las componentes x y y de todas las fuerzas, es decir, FRx = 2F,I FRy = SFy¡ (2-1) Al aplicar estas ecuaciones, es importante usar la convención de signos establecida para las componentes; esto es, las componentes que tienen un sentido a lo largo de los ejes coordenados positivos son consideradas como escalares positivos, mientras que aquellas que tienen un sentido a lo largo de los ejes coordenados negativos son consideradas escalares negativos. Si se sigue esta convención, entonces los signos de las componentes resultantes especificarán el sentido de esas componentes. Por ejemplo, un resultado positivo indica que la componente tiene un sentido direccional en la dirección coordenada positiva.
34 . CAPÍTULO 2 Vectores fuerza (a) La fuerza resultante de las cuatro fuerzas en los cables que actúan sobre el muerto de soporte pueden ser determinadas sumando algebraicamente por separado las componentes x y y de cada fuerza de cable. Esta resultante FR produce el mismo efecto de extracción sobre el muerto que los cuatro cables. ■<— W i '/ X *R ■ w (b) Fig. 2-16 (c) Una vez que se determinen las componentes de la resultante, pueden trazarse en un croquis a lo largo de los ejes xyyen sus propias direcciones, y la fuerza resultante puede ser determinada con la suma vectorial, como se muestra en la figura 2—16c. A partir de este croquis, la magnitud de ¥R se encuentra entonces con el teorema de Pitágoras; esto es, Fr = \/F2Rx + F\ Ry También, el ángulo 6 de dirección, que especifica la orientación de la fuerza, se determina por trigonometría: 6 = tan rRy nRx Los conceptos anteriores están ilustrados numéricamente en los ejemplos que siguen. PUNTOS IMPORTANTES • La resultante de varias fuerzas coplanares puede ser determinada fácilmente si se establece un sistema coordenado x,y y las fuerzas se resuelven a lo largo de los ejes. • La dirección de cada fuerza está especificada por el ángulo que forma su línea de acción con uno de los ejes, o por medio de un triángulo de pendiente. • La orientación de los ejes x y y es arbitraria, y sus direcciones positivas pueden ser especificadas mediante los vectores unitarios cartesianos i y j. • Las componentes x y y de la fuerza resultante son simplemente la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas coplanares. • La magnitud de la fuerza resultante se determina mediante el teorema de Pitágoras, y cuando las componentes son trazadas sobre los ejes x y y, la dirección puede ser determinada por trigonometría.
Sección 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares • 35 E J E P L O 2.5 Determine las componentes x y y de Fj y F2 que actúan sobre la barra mostrada en la figura 2—lia. Exprese cada fuerza como un vector cartesiano. Solución Notación escalar. Por la ley del paralelogramo, Fx se resuelve en sus componentes x y y, figura 2—17b. La magnitud de cada componente se determina por trigonometría. Como Fljc actúa en la dirección — jt, y F1>; actúa en la dirección +y, tenemos Flx = -200 sen 30° N - -100 N = 100 N «- Resp. Fly = 200 eos 30° N = 173 N = 173 N| Resp. = 200N (a) F2= 260 N La fuerza F2 se resuelve en sus componentes jc y y como se muestra en la figura 2—17c. Aquí se indica la pendiente de la línea de acción de la fuerza. A partir de este "triángulo de pendiente" podríamos obtener el ángulo 0, por ejemplo, 6 = tan-1^), y luego proceder a determinar las magnitudes de las componentes de la misma manera que para Fx. Sin embargo, un método más fácil consiste en usar partes proporcionales de triángulos semejantes, por ejemplo, ?2x 260 N 12 13 F2x = 260 NI = 240N Ft = 200 N \ \Fly = 200 eos 30° N \30c De manera similar, (b) v2y 260 N 13 = 100 N Advierta que la magnitud de la componente horizontal, F^, se obtuvo multiplicando la magnitud de la fuerza por la razón del cateto horizontal del triángulo de pendiente dividido entre la hipotenusa, mientras que la magnitud de la componente vertical, F2y, se obtuvo multiplicando la magnitud de la fuerza por la razón del cateto vertical dividido entre la hipotenusa. Por tanto, usando notación escalar, F2x = 240N = 240N^ F2y = -100N = 100N j Resp. Resp. Notación vectorial cartesiana. Una vez determinadas las magnitudes y direcciones de las componentes de cada fuerza, podemos expresar cada fuerza como un vector cartesiano. Fx = {-100i + 173j}N F2 = {240i - 100j}N Resp. Resp. F2y = 260(^)N F2 = 260 N Fig. 2-17
36 CAPITULO 2 Vectores fuerza E J E P L O 2-6 F2 = 400 N = 600N T (a) 30° F2 = 400 N ^ \30° Fx = 600 N (b) 582.8 Ni u\ 236.8 N (c) F¡g. 2-18 La armella que se muestra en la figura 2—18a está sometida a las dos fuerzas Fj y F2. Determine la magnitud y la orientación de la fuerza resultante. Solución I Notación escalar. Este problema puede ser resuelto usando la ley del paralelogramo; sin embargo, aquí resolveremos cada fuerza en sus componentes x y y, figura 2—186, y sumaremos esas componentes algebraicamente. Indicando el sentido "positivo" de las componentes x y y a un lado de cada ecuación, tenemos -^ FRx = 2FX; FRx = 600 eos 30° N - 400 sen 45° N = 236.8 N^ + ¡FRy = 2/y, FRy = 600 sen 30° N + 400 eos 45° N 582.8 N| La fuerza resultante, mostrada en la figura 2—18c, tiene una magnitud de FR = \/(236-8 N)2 + (582-8 N)2 = 629 N Resp. A partir de la suma vectorial, figura 2—18c, el ángulo director 6 es 0 = tan Y582.8N V236.8N )■ 67.9° Resp. Solución II Notación vectorial cartesiana. A partir de la figura 2—186, cada fuerza es expresada como un vector cartesiano Fx = {600 eos 30°i + 600 sen 30°j} N F2 = {-400 sen 45°i + 400 eos 45°j} N Entonces, F^ = Fx + F2 = (600 eos 30° N - 400 sen 45° N)¡ + (600 sen 30° N + 400 eos 45° N)j = {236.8Í + 582.8J} N La magnitud y la dirección de F# se determinan de la misma manera que antes. Comparando los dos métodos de solución, advierta que el uso de la notación escalar es más eficiente ya que las componentes pueden encontrarse directamente, sin tener que expresar primero cada fuerza como un vector cartesiano antes de sumar las componentes. Luego mostraremos que el análisis con vectores cartesianos es muy conveniente para la resolución de problemas tridimensionales.
Sección 2.4 Suma de un sistema de fuerzas coplanares • 37 E J E P L O 2.7 El extremo O de la barra mostrada en la figura 2—19a está sometido a tres fuerzas coplanares concurrentes. Determine la magnitud y la orientación de la fuerza resultante. F2 = 250 N O F,=400N (a) Fig. 2-19 200 N 250 N Solución Cada fuerza es resuelta en sus componentes * y y, como se muestra en la figura 2—196. Al sumar las componentes x, tenemos 4- FRx = 2FX; FRx = -400 N + 250 sen 45° N - 200© N = -383.2 N = 383.2 N^- El signo negativo indica que FRx actúa hacia la izquierda, es decir, en la dirección x negativa como lo indica la flecha. Al sumar las componentes y resulta + ]FRy = XFy] FRy = 250 eos 45° N + 200(f) N = 296.8 N| La fuerza resultante, mostrada en la figura 2—19c, tiene una magnitud de FR = \/(-383-2N)2 + (296.8N)2 = 485 N Resp. A partir de la suma vectorial mostrada en la figura 2—19c, el ángulo director 6 es Y296.8 6 = tan H —— V 383.2 37.8° Resp. Advierta qué conveniente es usar este método, en comparación con dos aplicaciones de la ley del paralelogramo. 383.2 N 296.8 N (c)
38 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza PROBLEMAS 2-31. Determine las componentes x y y de la fuerza de 800 Ib. 2-33. Determine la magnitud de la fuerza F de manera que la resultante FR de las tres fuerzas sea tan pequeña como sea posible. 8001b Prob. 2-31 12kN 20 kN Prob. 2-33 *2-32. Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su dirección, medida ésta en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 2-34. Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su dirección, medida ésta en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 65 N F2 = 625 N Prob. 2-32 Prob. 2-34
Problemas • 39 2-35. Tres fuerzas actúan sobre la ménsula. Determine la magnitud y la dirección 6 de Fi de manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje x' positivo y tenga una magnitud de 1 kN. *2-36. Si Fx = 300 N y 6 = 20°, determine la magnitud y la dirección, medida ésta en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x\ de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan sobre la ménsula. F2 = 450N F3 = 200N ► x Probs. 2-35/36 2-37. Determine la magnitud y la dirección 6 de F1 de manera que la fuerza resultante esté dirigida verticalmen- te hacia arriba y tenga una magnitud de 800 N. 2-38. Determine la magnitud y la dirección, medida ésta en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el anillo A. Considere F1 = 500 N y 6 = 20°. 600 N 400 N 2-39. Exprese Fi y F2 como vectores cartesianos. *2-40. Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su dirección medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje r positivo. = 26kN Fx = 30 kN Probs. 2-39/40 2-41. Resuelva el problema 2—1 sumando las componentes rectangulares oijde las fuerzas para obtener la fuerza resultante. 2-42. Resuelva el problema 2—22 sumando las componentes rectangulares o jc, y de las fuerzas para obtener la fuerza resultante. 2-43. Determine la magnitud y la orientación 6 de FB de manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje y positivo y tenga una magnitud de 1500 N. *2-44. Determine la magnitud y la orientación, medida ésta en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje y positivo, de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula, si FB = 600 Ny0 = 20°. 700 N Probs. 2-37/38 Probs. 2-43/44
40 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza 2-45. Determine las componentes x y y de Fj y F2. 2-46. Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su dirección, medida ésta en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. ■► F, = 200 N F2 =150N Probs. 2-45/46 2-47. Determine las componentes x y y de cada fuerza que actúa sobre la placa de nudo de la armadura de puente. Muestre que la fuerza resultante es cero. Prob. 2-47 *2-48. Si 0 = 60° y F = 20 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 50 kN 2-49. Determine la magnitud y la dirección 6 de F^ de manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje x positivo y tenga una magnitud de 1250 N. 2-50. Determine la magnitud y la dirección, medida ésta en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de la fuerza resultante que actúa sobre el anillo en O, si FA = 750 N y 6 = 45°. F^ = 800N Probs. 2-49/50 2-51. Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan sobre la columna en forma vectorial cartesiana y calcule la magnitud de la fuerza resultante. F1 = 1501b m F2 = 2751b F3 = 751b 40 kN 60° Prob.2-48 Prob. 2-51
Problemas • 41 *2-52. Las tres fuerzas concurrentes que actúan sobre la armella roscada producen una fuerza resultante ¥R = 0. Si F2 = | Fi y Fx debe estar a 90° de F2 como se muestra, determine la magnitud requerida de F3 expresada en términos de Fj y del ángulo 6. 2-54. Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan sobre el soporte en forma vectorial cartesiana con respecto a los ejes x y y. Determine la magnitud y la dirección 6 de Fx de manera que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje x' positivo y tenga una magnitud de FR = 600 N. F2 = 350 N Prob. 2-52 Prob. 2-54 2-53. Determine la magnitud de la fuerza F de manera que la resultante ¥R de las tres fuerzas sea tan pequeña como sea posible. ¿Cuál es la magnitud mínima deFtf? 2-55. Las tres fuerzas concurrentes que actúan sobre el poste producen una fuerza resultante F^ = 0. Si F2 = \Fx, y Fi está a 90° de F2 como se muestra, determine la magnitud F3 requerida expresada en términos de F\ y del ángulo 6. ► x ► 5kN 4kN Prob. 2-53 Prob. 2-55
42 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza *2-56. Tres fuerzas actúan sobre el poste. Determine la magnitud y la orientación 6 de F2 para que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje u positivo y tenga una magnitud de 50 Ib. 2-57. Si F2 = 150 Ib y 6 = 55°, determine la magnitud y la orientación, medida ésta en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el poste. 2-58. Determine la magnitud de la fuerza F de manera que la fuerza resultante de las tres fuerzas sea tan pequeña como sea posible. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante? 14 kN ► 8kN Prob. 2-58 ""*••*».♦ ■**>.**- Probs. 2-56/57 2.5 Vectores cartesianos V Sistema coordenado derecho. Fig. 2-20 Las operaciones del álgebra vectorial, al aplicarse a la resolución de problemas en tres dimensiones, se simplifican considerablemente cuando los vectores se representan primero en forma vectorial cartesiana. En esta sección presentaremos un método general para hacer esto; luego, en la siguiente sección, aplicaremos este método a la resolución de problemas que impliquen la suma de fuerzas. Aplicaciones similares serán ilustradas para los vectores de posición y de momento dados en secciones posteriores del libro. Sistema coordenado derecho. Usaremos un sistema coordenado derecho para desarrollar la teoría del álgebra vectorial que sigue. Se dice que un sistema rectangular, o sistema coordenado cartesiano, es derecho si el pulgar de la mano derecha señala en la dirección del eje z positivo cuando los dedos de la mano derecha se enrollan alrededor de este eje y están dirigidos del eje x positivo hacia el eje y positivo, figura 2—20. Además, de acuerdo con esta regla, el eje z para un problema bidimensional como el de la figura 2—19 estará dirigido hacia fuera, perpendicularmente a la página.
Sección 2.5 Vectores cartesianos • Componentes rectangulares de un vector. Un vector A puede tener una, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes coordenados x,y,z, dependiendo de cómo esté orientado con respecto a los ejes. En general, cuando A está dirigido dentro de un octante del marco x, y, z, figura 2—21, entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, podemos resolver el vector en componentes como A = A' + Az y luego A' = A^. 4- Ay. Combinando estas ecuaciones, A es representado por la suma vectorial de sus tres componentes rectangulares, + \y + A, (2-2) Vector unitario. La dirección de A puede ser especificada usando un vector unitario. Este vector se llama así porque tiene una magnitud de 1. Si A es un vector con una magnitud A =£ 0, entonces el vector unitario que tenga la misma dirección que A se representa mediante "A A A (2-3) Fig. 2-21 De manera que A = AuA (2-4) Como A es de un cierto tipo, por ejemplo, un vector fuerza, se acostumbra usar el conjunto apropiado de unidades para su descripción. La magnitud A también tiene este mismo conjunto de unidades; por tanto, a partir de la ecuación 2—3, el vector unitario no tendrá dimensiones ya que las unidades se cancelarán. La ecuación 2—4 indica, por tanto, que el vector A puede ser expresado en términos de su magnitud y su dirección separadamente; esto es, A (un escalar positivo) define la magnitud de A, y u^ (un vector sin dimensiones) define la dirección y el sentido de A, figura 2-22. Vectores unitarios cartesianos. En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos, i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x,y9z, respectivamente. Como se indicó en la sección 2.4, el sentido (o cabeza de la flecha) de esos vectores será descrito analíticamente por un signo más o menos, dependiendo de si los vectores señalan a lo largo de los ejes jc, y o z positivos o negativos. En la figura 2—23 se muestran los vectores unitarios cartesianos positivos. Fig. 2-23
44 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza AMJt Fig. 2-25 —y Fig. 2-26 Representación de un vector cartesiano. Como las tres componentes de A en la ecuación 2—2 actúan en las direcciones positivas i, j y k, figura 2—24, podemos escribir A en forma vectorial cartesiana como A = Ax\ + Ay] + Azk (2-5) Existe una clara ventaja en escribir los vectores de esta manera. Advierta que la magnitud y la dirección de cada componente vectorial están separadas, y como resultado esto simplificará las operaciones del álgebra vectorial, particularmente en tres dimensiones. Magnitud de un vector cartesiano. Siempre es posible obtener la magnitud de A si está expresado en forma vectorial cartesiana. Como se muestra en la figura 2—25, a partir del triángulo recto coloreado, A ~- A + Az, y del triángulo recto sombreado, A' Ax + Ay. Combinando estas ecuaciones resulta A = \/a2x + A2y + A\ (2-6) Por consiguiente, la magnitud de A es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de sus componentes. Dirección de un vector cartesiano. La orientación de A es definida por los ángulos coordenados de dirección a, ¡3 y y, medidos entre la cola de A y los ejes x, y, z positivos localizados en la cola de A, figura 2—26. Advierta que independientemente de hacia dónde esté dirigido A, cada uno de esos ángulos estará entre 0o y 180°. Para determinar a, (3 y y, considere la proyección de A sobre los ejes x, y, z9 figura 2—27. Con referencia a los triángulos rectos coloreados en azul, mostrados en cada figura, tenemos eos a eos fi = — eos y = (2-7) Estos números se conocen como cosenos directores de A. Una vez obtenidos, los ángulos directores coordenados a, ¡3 y y, pueden ser determinados entonces mediante los cosenos inversos. Una manera fácil de obtener los cosenos directores de A es formar un vector unitario en la dirección de A, ecuación 2—3. Si A está expresado en forma vectorial cartesiana, A = Ax\ + Ay\ + Azk (Ecuación 2—5), entonces
Sección 2.5 Vectores cartesianos • 45 (a) (b) Fig. 2-27 (c) Ua=a = Ti + ^j + Tk (2-8) donde A = \J A2X + A2y + A2Z (Ecuación 2-6). Por comparación con las ecuaciones 2—7, se ve que las componentes i, j, k de uA representan los cosenos directores de A, esto es, uA = eos ai + eos /3j + eos yk (2-9) Como la magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes, y u^ tiene una magnitud de 1, a partir de la ecuación 2—9 puede formularse entonces una importante relación entre los cosenos directores como eos2 a + eos2 [3 4- eos2 y = 1 (2-10) Si el vector A se encuentra en un octante conocido, esta ecuación puede usarse para determinar uno de los ángulos coordenados de dirección si los otros dos son conocidos. Finalmente, si la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de A son dados, A puede ser expresado en la forma vectorial cartesiana como (2-11) 1 A = AuA = A eos ai + A eos /3j = Ax\ + Ayj + Azk + A eos yk
46 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza 2.6 Suma y resta de vectores cartesianos Las operaciones vectoriales de suma y resta de dos o más vectores se simplifican considerablemente si los vectores son expresados en términos de sus componentes cartesianas. Por ejemplo, si A = Ax\ + Ay\ + Azk y B = Bx\ + By\ + Bzk, figura 2-28, entonces el vector resultante, R, tiene componentes que representan las sumas escalares de las componentes i, j, k de A y B, es decir, R = A + B = (AX + Bx)i + (Ay + By)¡ + (Az + Bz)k La resta vectorial, un caso especial de la suma vectorial, requiere simplemente una resta escalar de las respectivas componentes i, j, k de A o B. Por ejemplo, R'=A-B = (AX- Bx)\ + (Ay - By)j + (Az - Bz)k Sistemas de fuerzas concurrentes. Si el concepto anterior de suma vectorial es generalizado y aplicado a un sistema de varias fuerzas concu- ,8* ~~ rrentes, entonces la fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas presentes en el sistema y puede escribirse como F* = 2F = 2/y + 2/y + SFzk (2-12) Aquí, ]LFjc, HFy, y £FZ representan las sumas algebraicas de las respectivas componentes x, y, z o i, j, k de cada fuerza presente en el sistema. Los ejemplos que siguen ilustran numéricamente los métodos usados para aplicar la teoría anterior a la resolución de problemas que implican a la fuerza como una cantidad vectorial. La fuerza F que la cuerda de amarre ejerce sobre el soporte O en el suelo, está dirigida a lo largo de la cuerda. Usando los ejes locales jc, y, z, pueden medirse los ángulos coordenados de dirección a, /3, y. Los cosenos de sus valores forman las componentes de un vector unitario u que actúa en la dirección de la cuerda. Si la fuerza tiene una magnitud F, entonces puede escribirse en forma vectorial cartesiana, como F = Fu = F eos ai + F eos j8j + F eos yk. -*;#';k 1*W- ***„ ■Ntí.- ■5?\ ~\$&* -J3-- O
Sección 2.6 Suma y resta de vectores cartesianos • 47 PUNTOS IMPORTANTES • El análisis vectorial cartesiano se usa a menudo para resolver problemas en tres dimensiones. • La dirección positiva de los ejes x, y, z se define mediante los vectores unitarios cartesianos i, j, k, respectivamente. • La magnitud de un vector cartesiano es A = y A2 + A2y + A2Z. • La dirección de un vector cartesiano se especifica usando ángulos coordenados de dirección que la cola del vector forma con los ejes x, y, z positivos, respectivamente. Las componentes del vector unitario u = A/A representan los cosenos directores de a, /3, 7. Sólo dos de los ángulos a, /3, y tienen que ser especificados. El tercer ángulo se determina a partir de la relación eos2 a + eos2 /3 + eos2 7 = 1. • Para encontrar la resultante de un sistema concurrente de fuerzas, exprese cada fuerza como un vector cartesiano y sume las componentes i, j, k de todas las fuerzas del sistema. E J E P L O 2.8 Exprese la fuerza F mostrada en la figura 2—29 como un vector cartesiano. Solución Como sólo se especifican dos ángulos coordenados de dirección, el tercer ángulo a debe ser determinado con la ecuación 2—10; es decir, eos2 a + eos2 (3 + eos2 7 = 1 eos2 a + eos2 60° + eos2 45° = 1 eos a = \/l - (0.5)2 - (0.707)2 = ±0.5 Por consiguiente, existen dos posibilidades, a = eos-1 (0.5) = 60° a = eos-1 (-0.5) = 120° Por inspección de la figura 2-29, es necesario que a = 60°, ya que ¥x tiene la dirección +jc. Usando la ecuación 2—11, con F = 200 N, tenemos ¥ = F eos cá + F eos (3j + F eos 7k = (200 eos 60° N)i + (200 eos 60° N)j + (200 eos 45° N)k = {100.0Í + 100.0J + 141.4k}N Resp. Aplicando la ecuación 2—6, advertimos que efectivamente la magnitud de F = 200 N. F = \/F2x + F2y + F\ = \/(100-0)2 + (100.0)2 + (141.4)2 = 200N Fig. 2-29
48 • CAPÍTULO 2 Vectores fuerza E J E P L O 2.9 Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza resultante que actúa sobre el anillo en la figura 2—30a. F2={50i-100j+100k}lb F1 = {60j + 80k}lb F^={50i-40j + 180k}lb (a) Fig. 2-30 7=19.6° (b) Solución Como cada fuerza está representada en forma vectorial cartesiana, la fuerza resultante, mostrada en la figura 2—306, es ¥R = 2F = Fx + F2 = {60j + 80k} Ib + {50i - lOOj + 100k} Ib = {50i - 40j + 180k} Ib La magnitud de FR se encuentra con la ecuación 2—6, y obtenemos FR = \/(50)2 + (~40)2 + (180)2 = 191-0 - 191 Ib Resp. Los ángulos coordenados de dirección a, /3, y se determinan a partir de las componentes del vector unitario actuando en la dirección deF*. 50 . 40 . 180 , J+T^rk UpR Fr 191.0l 191.0 de manera que 191.0 = 0.2617Í - 0.2094J + 0.9422k cosa = 0.2617 a = 74.8° cos/3 = -0.2094 p = 102° eos y = 0.9422 y = 19.6° Resp. Resp. Resp. Estos ángulos se muestran en la figura 2—306. En particular, advierta que ¡3 > 90° ya que la componente j de uFr es negativa.
Sección 2.6 Suma y resta de vectores cartesianos • 49 E J E PLO 2.10 Exprese la fuerza Fx, mostrada en la figura 2—31a, como un vector cartesiano. Solución Los ángulos de 60° y 45° que definen la dirección de Fx no son ángulos coordenados de dirección. Las dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo que son necesarias para resolver Fx en sus componentes x, y, z se muestran en la figura 2—316. Por trigonometría, las magnitudes de las componentes son Flz = 100 sen 60° Ib = 86.6 Ib F' = 100 eos 60° Ib = 50 Ib Flx = 50 eos 45° Ib = 35.4 Ib Fly = 50 sen 45° Ib = 35.4 Ib Observando que ¥iy tiene una dirección definida por — j, tenemos F2 = {35.4Í - 35.4J + 86.6k} Ib Resp. Para mostrar que la magnitud de este vector es efectivamente de 100 Ib, aplicamos la ecuación 2—6, 3001b : 100 Ib Fi = \/f¿ + H + F¿ = \/{35A)2 + (-35.4)2 + (86.6)2 = 100 Ib Si se requieren, los ángulos coordenados de dirección de Ft pueden ser determinados a partir de las componentes del vector unitario que actúa en la dirección de Fj. Por tanto, «i Fi 35.4 F\ Fx Fi (b) 35.4 ■j + 86.6, de modo que 100 100J 100 = 0.354Í - 0.354J + 0.866k «x = cos_1(0.354) = 69.3° 0i = cos_1(-0.354) = 111° yx = eos-1 (0.866) = 30.0° Estos resultados se muestran en la figura 2—31c. Usando este mismo método, muestre que F2 en la figura 2—31¿z puede escribirse en forma vectorial cartesiana como fx = loo ib F2 = {106i + 184j - 212k} N Resp.
. CAPÍTULO 2 Vectores fuerza J E P L O Dos fuerzas actúan sobre el gancho mostrado en la figura 2—32a. Especifique los ángulos coordenados de dirección de F2 de modo que la fuerza resultante ¥R actúe a lo largo del eje y positivo y tenga una magnitud de 800 N. = 700N (a) 700 N Solución Para resolver este problema, la fuerza resultante ¥R y sus dos componentes, Fx y F2, serán expresadas cada una en forma vectorial cartesiana. Entonces, como se muestra en la figura 2—32b, es necesario que F* = Fx + F2. Aplicando la ecuación 2—11, Fx = Fi eos c¿ii + F\ eos f$i\ + Fi eos 7Xk = 300 eos 45° Ni + 300 eos 60° Nj + 300 eos 120° k = {212.1Í + 150j - 150k} N F2 = F2xi + F2y\ + F2zk Como la fuerza resultante FR tiene una magnitud de 800 N y actúa en la dirección +j, F*=(800N)(+j) = {800j}N Requerimos que F¿? = Fi + F2 800j = 212.U + 150j - 150k + F2x\ + F2yj + F2zk 800j = (212.1 + F2x)i + (150 + F2y)¡ + (-150 + F2z)k Para satisfacer esta ecuación, las correspondientes componentes i, j, k en los lados izquierdo y derecho deben ser iguales. Esto es equivalente a establecer que las componentes x, y, z de F# deben ser iguales a las correspondientes componentes x, y, z de (¥1 + F2). Por consiguiente, F2x = -212.1 N = 800N — y 0 = 212.1 + F2x 800 = 150 + F2y 0 = -150 + F2z F2y = 650 N F2z = 150 N R = 300 N (b) Fig. 2-32 Como las magnitudes de F2 y sus componentes son conocidas, podemos usar la ecuación 2—11 para determinar a2, /32, y2. -212.1 = 700 eos a2\ a2 = eos" 650 = 700 eos ¡32; 150 = 700 eos y2\ y2 =

References: resolución 
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