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Timestamp: 2019-08-19 02:30:35+00:00

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Gloria Leticia Lopera Zuleta
Trabajo presentado como requisito parcial para optar al título de Magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Campo Educación Matemática
Directora Rosa Antonia Franco Arbeláez
Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Facultad de Ciencias
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Medellín
El presente trabajo integra dos aspectos que se complementan y cruzan en casi todo su desarrollo: En primer lugar, la reflexión alrededor de la Práctica Docente atendiendo el curso de Matemáticas Básicas, con el grupo 18, de estudiantes de primer semestre (2011-01) de la Universidad Nacional de Colombia y en segundo lugar, la descripción del desarrollo de una secuencia didáctica, bajo la estrategia del “aprendizaje basado en la resolución de problemas”, para trabajar conceptos relacionados con ecuaciones.
La reflexión sobre la práctica apunta a un informe de la misma, analizando sus logros y debilidades, para tomarlos como elemento de mejoramiento orientador hacia la propuesta de una estrategia que considere los errores de los estudiantes como una herramienta sobre la cual se pueda construir conocimiento matemático.
Los resultados descritos son el producto de una experiencia basada en las teorías de resolución de problemas planteadas por Pólya (1965), Shoenfield (1985) y De Guzmán (1991), y la teoría de los “Campos Conceptuales” 1 de Vergnaud como bases teóricas para la reflexión y la descripción de los mismos.
En este sentido, se analiza la dinámica cognitiva del grupo de estudiantes alrededor de la búsqueda de la solución a problemas que condujeran al tópico ya señalado. Las actividades desarrolladas en la secuencia permiten la toma de conciencia del estudiante de su propio actuar cognitivo durante el proceso de resolución. Se logra concebir a las Matemáticas como una forma especial de pensamiento y el aula de clases se convierte en una especie de comunidad de conocimiento, donde se desarrollan procesos de producción y socialización del mismo.
Palabras Clave: Educación, Matemáticas, Resolución de Problemas, Taller, Ecuaciones, Error, Estrategias, Enseñanza, Aprendizaje, Didáctica, Pedagogía.
1 Vergnaud, Gerard. Los campos conceptuales. Tomado de Internet:
Traducción: Juan D. Godino.
Workshop with emphasis on solving problem situations: a strategy to tackle equations concepts, with university students in first semester.
This work integrates two aspects complemented each other and intersected at most of its development: in the first place, the reflection around the Teaching Practice attending the Basic Math course, with group 18 th , of first semester students (2011-01) from National University of Colombia and secondly, the description of the development of a didactic sequence, under the strategy of "Learning based on problems resolution" to deal related concepts with equations.
The reflection on Practice points to a report of itself, analyzing its achievements and weaknesses, to take them as a guiding improvement element toward the proposal of a strategy that considers the students mistakes as a tool to build on a mathematical knowledge.
These described results are product of an experience based on the theories of solving problems posed by Pólya (1965), Shoenfield (1985) and De Guzman (1991), and the theory of "Conceptual Fields" 2 Vergnaud as theoretical foundations for reflection and description of themselves.
In this respect, the cognitive dynamics of the students group is analyzed around the solutions search to problems that would lead toward the already pointed topic. These developed activities in the sequence allow the student's awareness of their own cognitive act during the resolution process. It’s achieved to conceive mathematics as a special form of thought and the classroom becomes a kind of knowledge community, where they carry out production processes and socialization of it.
Keywords: Education, Mathematics, Resolution of Problems, Workshop, Equations, Mistake, Strategies, Learning, Didactics, Pedagogy.
2 Vergnaud, Gerard. Conceptual fields. Taken from Internet:
Traslation: Juan D. Godino.
Problema ...............................................................................................
1. MARCO TEÓRICO ...............................................................................
2.1 Grupo ...............................................................................................
2.2 Metodología de práctica
2.3 Secuencia para la resolución de problemas
2.5 Metodología para recolección de datos
2.6 Contenido de secuencia didáctica
RESULTADOS ...................................................................................
3.1 Descripción de algunas situaciones
3.2 Recomendaciones para abordar errores de los estudiantes
3.3 Resultados de pruebas aplicadas a los estudiantes:
4.2 Análisis de las tablas presentadas en los resultados
Sabemos que el desarrollo del conocimiento científico siempre ha estado ligado a errores como puede verificarse al estudiar su evolución en la historia. El reconocimiento y los análisis de estos errores han hecho posible cambiar un conocimiento antiguo y validado por la sociedad por uno actual que se deja ver con vigor, con el propio esfuerzo de quienes lo han construido y lo defienden ante cualquier adversidad.
El error, como en toda actividad humana, está también relacionado a los procesos de enseñanza-aprendizaje. Las personas que están vinculadas de una u otra manera a estos procesos, perciben al error básicamente como algo negativo. Este rechazo hacia el error se acrecienta en el ámbito universitario, sobre todo en las carreras relacionadas con las matemáticas.
Sorprende darnos cuenta que estudiantes que alcanzaron buenas notas en la Educación Media, presentan grandes dificultades en el aprendizaje de las asignaturas del nivel superior. Esto ocurre con los alumnos que terminan el ciclo del bachillerato y se enfrentan a las asignaturas relacionadas con las Matemáticas que deben aprobar en el primer semestre de la Universidad Nacional de Colombia.
Cuando se hacen análisis acerca de los porcentajes de estudiantes que reprueban los primeros cursos de Matemáticas en las universidades, se encuentra que son porcentajes relativamente altos, teniendo en cuenta que ya han aprobado un examen de admisión y que recibieron instrucción en dichos temas en su formación secundaria. Cuando se les plantean situaciones, tareas o retos alrededor de un tema, las formas de razonamiento de los muchachos muestran que estos presentan obstáculos que han perdurado después de muchos procesos. Dichos obstáculos se presentan muchas veces de forma epistemológica, operacionales, de comprensión, de ubicación, entre otros.
Es importante recalcar que los obstáculos que presentan los estudiantes de primer semestre no necesariamente son, errores que ocurren al azar, sino también, conocimientos que fueron válidos en una situación pero en otro contexto producen error, o también conocimientos erróneamente incrustados en la estructura cognitiva de los estudiantes; se evidencian situaciones en las que los sujetos generalizan algunos resultados sin percatarse de que tratan con conceptos aplicables a escenarios específicos.
Las causas del fracaso en los procesos de aprendizaje de las matemáticas se han ligado a diversos factores; por ejemplo, disminución excesiva de clases en la educación pública, planes y contenidos de estudio incompletos, ausencia de motivación hacia el estudio de las matemáticas,
malas prácticas de estudio y, entre otros, uno de los más importantes es el error en el cual incurren los estudiantes en su trabajo de matemáticas.
La asignatura Matemáticas Básicas, de la Escuela de Matemáticas de la Universidad Nacional, se encuentra ubicada en el primer semestre y abarca el estudio de conceptos matemáticos básicos, distribuidos en seis temas macro que son: geometría elemental, conjuntos y sistemas numéricos, conceptos básicos de álgebra, ecuaciones y desigualdades, funciones reales y trigonometría. Esta asignatura es de carácter instructivo, la cual hace énfasis en el uso del razonamiento formal y sistemático para la resolución de problemas. La experiencia muestra que el estudiante tiene mayores dificultades para aprender los conceptos cruciales del Cálculo, esto se debe en gran medida, precisamente, a la exigencia del razonamiento lógico-formal. Los docentes dedican gran parte del tiempo disponible para profundizar en los puntos supremos del contenido y constantemente fortalecen aquellos aspectos donde normalmente el estudiante comete errores.
Muchos de los errores en los que incurren los estudiantes involucran a su vez errores derivados del mal uso del álgebra, del desconocimiento de las nociones geométricas básicas, y algunos otros provienen de la resistencia a usar el razonamiento lógico básico para demostrar proposiciones en geometría, o de no saber cómo hacerlo. Las estrategias que debe utilizar un docente para hacer uso de los errores de los estudiantes como partida de aprendizajes significativos y su subsiguiente superación por oposición a un nuevo conocimiento, dependen de la tipología del error que manifieste el alumno, por ello es indispensable conocer la naturaleza de los errores que cometen los alumnos en esta área.
Por consiguiente, y con base en todos estos planteamientos el presente trabajo apunta a responder las preguntas: ¿cuáles son las formas de razonamiento que muestran estudiantes universitarios de primeros semestres en la búsqueda de solución de problemas que conducen a ecuaciones? ¿Cuáles son los errores más comunes en Matemáticas de los estudiantes, en este tópico? Y, con base en las respuestas a estas preguntas, proponer e implementar el planteamiento y la solución de problemas como actividades previas y durante las clases de Matemáticas Básicas, como una estrategia metodológica para afrontar esta problemática y para analizar si responde de una manera positiva hacia ella.
El presente trabajo intentará mostrar cómo pueden facilitarse los procesos de aprendizaje de objetos matemáticos como las ecuaciones, haciendo conjugar en una sucesión didáctica, situaciones problema que conduzcan al trabajo en diferentes registros (protocolos) de representación y de recorrido entre ellos, basándome en los elementos extraídos de la Práctica
Docente, llevada a cabo en la Universidad Nacional de Colombia, con estudiantes de primer semestre, en el curso de Matemáticas Básicas.
El propósito en dicha práctica fue construir y poner a prueba una serie didáctica de enseñanza para facilitar el aprendizaje de las ecuaciones y su solución. En ella se insistió en conseguir conductas matemáticas y cognitivas en el trabajo de los estudiantes que favorecieran el aprendizaje de los objetos, haciendo que el proceso y recorrido entre registros de representación fuera el centro alrededor del cual giraran las actividades.
Errores y dificultades que presentan los estudiantes de primer semestre en la apropiación de conceptos de ecuaciones.
 Los estudiantes universitarios de primer semestre, a pesar de que ya han pasado por varios procesos evaluativos, durante su currículo académico, siguen presentando una cantidad de carencias, dificultades y errores que les impiden que los conocimientos nuevos sean realmente significativos. Esto, a su vez, incide en el bajo rendimiento académico de los estudiantes, produciendo en ellos un sentimiento de frustración y conduciéndolos finalmente a la deserción. Por ejemplo, en el grupo con el que yo trabajé, inicialmente había 27 estudiantes matriculados, de los cuales sólo asistieron 25; en la medida que comencé a evaluar, uno de ellos desertó, aproximadamente, después de presentar el primer parcial, quedando solo 24; y de estos, continúan 18, actualmente en la universidad.
Proponer e implementar “El Taller con énfasis en resolución de problemas como estrategia metodológica” para afrontar las carencias de los estudiantes de primer semestre en conceptos básicos de Matemáticas, como lo son las ecuaciones.
 Detectar y clasificar los errores y las dificultades más frecuentes en los estudiantes universitarios de Matemáticas Básicas, en el tema de ecuaciones.
 Fomentar el planteamiento y la resolución de problemas como actividad previa y durante las clases del curso de Matemáticas Básicas, en el tópico de ecuaciones.
Las estrategias metodológicas para la enseñanza consisten en una serie integrada de procedimientos y recursos usados por el educador con el propósito de desarrollar y potenciar en los estudiantes capacidades para la adquisición, interpretación y procesamiento de la información; y la utilización de éstas en la generación de nuevos conocimientos para, de este modo, promover aprendizajes significativos. Las estrategias deben estar diseñadas de modo que motiven a los estudiantes a observar, analizar, opinar, formular hipótesis, buscar soluciones y descubrir el conocimiento por sí mismos.
Desde una perspectiva histórica la solución de problemas ha sido siempre el motor que ha impulsado el desarrollo de las matemáticas. Pero, este papel clave de los problemas no se traduce, en general, como la actividad principal en las sesiones de aprendizaje de matemáticas de nuestras instituciones como eje del desarrollo del mismo.
La compleja evolución de la historia de las Matemáticas muestra que el conocimiento matemático ha sido construido como respuesta a preguntas que fueron transformadas en muchos problemas provenientes de diferentes orígenes y contextos; tales como problemas de orden práctico, problemas vinculados a otras ciencias y también problemas de investigación internos a la propia matemática. De este modo se puede decir que la actividad de solución de problemas ha sido el centro de la elaboración del conocimiento matemático generando la convicción de que “hacer matemática es resolver problemas” 3 .
Al resolver problemas se aprende a pensar y a razonar matemáticamente, lo que es uno de los objetivos básicos para la formación de los estudiantes. Con ello aumentan su confianza, tornándose más perseverantes y creativos y mejorando su espíritu investigador, proporcionándoles un contexto en el que los conceptos pueden ser aprendidos y las capacidades desarrolladas.
El reconocimiento dado a este tema ha originado algunas propuestas sobre su enseñanza, distinguiendo diversas fases en el proceso de resolución, entre las cuales podemos citar las de Pólya, De Guzmán y Schoenfeld.
 El plan de George Pólya (1945) contempla cuatro fases principales para resolver un problema:
3 Pólya, G. (1965) ¿Cómo plantear y resolver problemas? Editorial Trillas. México.
Hacer la verificación.
 Miguel de Guzmán (1994) presenta el siguiente modelo:
Familiarizarse con el problema.
Llevar a cabo la estrategia.
Revisar el proceso y sacar conclusiones de él.
Podemos notar que este modelo no se diferencia mucho del de Pólya.
 La resolución de problemas, según Alan Schoenfeld (1985).
Este investigador es un continuador de la obra de Pólya, sin embargo sus trabajos se orientan hacia otra corriente psicológica, la del procesamiento de la información. En sus trabajos se propone implementar actividades que estén relacionadas con el proceso de resolver problemas en el aprendizaje de las matemáticas y, tiene como base los siguientes aspectos:
debemos favorecer condiciones
semejantes a las que los matemáticos experimentan en el estudio de esta ciencia.
Para comprender cómo los estudiantes resuelven problemas y, con base en ello proponer actividades que puedan ayudarlos, se hace necesario discutir problemas en diferentes contextos, teniendo en cuenta que en estos procesos inciden los siguientes factores:
El dominio del conocimiento, que son los recursos matemáticos con los que cuenta el estudiante y que pueden ser utilizados en el problema; tales como intuiciones, definiciones, conocimiento informal del tema, hechos, procedimientos y concepción sobre las reglas para trabajar en el dominio.
 Estrategias cognoscitivas, que contienen métodos heurísticos; por ejemplo, descomponer el problema en casos simples, establecer metas relacionadas, modificar el problema, hacer diagramas, tener acceso a material manipulable, el ensayo y el error, la realización de tablas y listas, con un orden específico, la exploración de patrones o modelos y la reconstrucción del problema.
Estrategias meta-cognitivas que se relacionan con la elección y ejecución de recursos y estrategias; es decir, actividades tales como planear, evaluar y decidir.
 El sistema de creencias, que se conforma por la posición que se tenga frente a las matemáticas y de sí mismo. Las creencias dirigen la manera como se aproxima una persona al problema, los métodos que usa, el tiempo y el esfuerzo que le dedica, entre otras.
Pero además para este tema sobre resolución de problemas, también hay que tener en cuenta las ideas de campos conceptuales de Vergnaud. La teoría de los campos conceptuales reposa sobre un principio de elaboración pragmática de los conocimientos. No se puede teorizar sobre el aprendizaje de las matemáticas ni a partir sólo del simbolismo, ni a partir sólo de las situaciones. Es necesario considerar el sentido de las situaciones y de los símbolos. La clave está en considerar la acción del sujeto en situación, y la organización de su conducta. De aquí la importancia atribuida al concepto de esquema.
El esquema integra dinamismo y funcionalidad, organiza la conducta del sujeto y admite reglas de acción y anticipaciones. Todo esto es posible porque al esquema lo conforma una representación supuesta o evidente de lo real, ya sean objetos, categorías en acto, propiedades y relaciones,
teoremas. Este conjunto de elementos, que Vergnaud llama “invariantes
operatorios” 4 ordenan la búsqueda de información adecuada en favor del problema a resolver o del fin a lograr, y orientan las deducciones.
La actividad cognitiva del sujeto en contexto depende de la situación de sus conocimientos, implícitos o explícitos. Es decir, los estilos de aprendizaje de un estudiante, sus ritmos y sus ciclos, obedecen al estado en que se encuentren sus conceptos alrededor de un tema específico, dichos conceptos pueden estar estrechamente relacionados con el contenido o pueden estar implícitamente ubicados en él. Se hace necesario entonces otorgar una gran atención al desarrollo cognitivo, a sus procesos, a sus rupturas, a los pasos obligados, a la complejidad relativa de las clases de problemas, procedimientos, representaciones simbólicas, al análisis de los principales errores y de los principales descubrimientos.
4 Vergnaud, Gerard. Los campos conceptuales. Tomado de Internet:
Es fecundo y legítimo investigar los parentescos y las rupturas en el interior del conjunto de situaciones organizadas por ideas también semejantes, en las cuales los procedimientos, las representaciones y las formulaciones pueden razonablemente derivar unas de otras. Un concepto no toma su significación en una sola clase de situaciones, y una situación no se analiza con la ayuda de un solo concepto. Es necesario por tanto proponerse como objetos de investigación conjuntos relativamente grandes de situaciones y de conceptos, clasificando los tipos de relaciones, las clases de problemas, los esquemas de tratamiento, las representaciones lingüísticas y simbólicas, y los conceptos matemáticos que organizan este conjunto. Tal y como lo plantea Vergnaud en su texto de campos conceptuales:
“Los esquemas organizan la conducta del sujeto para un tipo de situaciones dada, pero
organizan a la vez su acción y la actividad de representación simbólica, especialmente lingüística, que acompaña a esta acción; de una manera general, el tratamiento de una situación nueva se acompaña de una actividad lingüística y simbólica. Esta actividad es eventualmente interiorizada; cada vez es más importante y manifiesta a medida que la situación es más nueva y el tratamiento menos automatizado; la resolución de problemas muy nuevos es imposible sin el lenguaje, especialmente cuando esta resolución requiere conceptualizaciones nuevas y la transformación de ciertos elementos en objetos de pensamiento bien identificados.
El lenguaje tiene en primer lugar una función de comunicación, y el aprendizaje de las matemáticas es un aprendizaje muy fuertemente socializado. Pero esta función de comunicación no se puede ejercer de manera útil sino apoyándose sobre esta otra función del lenguaje que es su función de representación. En relación con estas dos funciones, se observa otra función del lenguaje: la ayuda al pensamiento y a la organización de la acción. Esta función se apoya ella misma sobre la función de representación, pero lo que se representa entonces son a la vez los elementos de la situación considerada, la acción, y sus relaciones. El lenguaje y los símbolos matemáticos juegan por tanto un papel en la conceptualización y la acción. Sin los esquemas y las situaciones, quedarían vacíos de sentido” 5 .
5 Vergnaud, Gerard. Los campos conceptuales. Tomado de Internet:
Para llevar a cabo mi propuesta, se desarrolla la práctica docente en la Universidad Nacional de Colombia, durante el semestre 01 de 2011, con el grupo 18 del curso de Matemáticas Básicas, grupo en que aparecen matriculados 27 estudiantes, de los cuales asisten 25 desde el comienzo de las clases.
Este grupo se percibe heterogéneo tanto a nivel cultural como a nivel de conocimientos; en su mayoría, son estudiantes de la carrera de Ingeniería de Control, aunque hay otros pocos de otras ingenierías. A nivel cultural, me refiero a que algunos vienen de diferentes zonas del país; a saber hay dos estudiantes de Pasto y dos de la Costa Atlántica; además que hay algunos que se graduaron de colegios privados y otros de oficiales, y algunos (dos estudiantes) ya han pasado por otras universidades como la Universidad de Antioquia y la Universidad San Buenaventura. Esto permite dilucidar que algunos de los estudiantes ya tienen un conocimiento previo de lo que se trabaja en cursos de Matemáticas, del primer semestre de su carrera.
Son estudiantes jóvenes, sus edades oscilan entre los 17 y 24 años, y no poseen a priori ninguna característica especial que haga pensar en diferencias sustanciales con el resto de la población universitaria de primer semestre, pero no hubo muestreo aleatorio ni se procuró la representatividad por niveles educativos ni por edades; se trató de una muestra de conveniencia de acuerdo al grupo asignado por práctica docente, de modo que los resultados obtenidos no pueden ser extrapolados a toda la población estudiantil (no hay garantías de validez externa, además porque el grupo consta de muy pocos estudiantes). Sin embargo, las condiciones de la práctica sí permiten asegurar una adecuada validez interna, como se mostrará a continuación.
Consecuente con mi propuesta de trabajo, la práctica lleva una secuencia didáctica que consiste en las siguientes fases:
Fase 1: Exploración del problema
Antes de cada clase se plantean preguntas alrededor de un problema o un ejercicio que esté relacionado con la temática que se va a trabajar. Para esta fase se les solicita a los estudiantes que, de manera individual exploren el problema, los datos aportados por el mismo y las incógnitas a
plantear. También se les pide incluir, en su perspectiva de solución, una reflexión sobre aquello de lo que ya posee en su estructura cognitiva, cuáles conocimientos o aprendizajes anteriores les sirve para solucionarlo. Se les solicita que escriban sobre los conceptos que ya poseen y que les ayudan a la posible solución del problema planteado. En esta fase se desarrolla una reactivación de los conocimientos previos. (Registro 1:
Fase 2: Solución del problema (individual)
Durante esta fase, el estudiante de manera individual trata de solucionar o soluciona el problema, haciendo énfasis en aquellos conceptos que reactivó para su solución. (Registro 1: R1)
Fase 3: Exposición de la solución planteada al problema
Al inicio de la clase, los estudiantes exponen ante sus compañeros la manera como resolvieron el problema, si lo resolvieron, y si no, por lo menos como lo abordaron. Se hace énfasis en que si alguien tiene ideas diferentes las exponga, de lo contrario, se acoja a las ideas de los compañeros que vayan exponiendo.
Ahora bien, en esta etapa, se les solicita también a los jóvenes que vayan indicando qué aprendizajes previos usaron para la solución y se van apuntando para tenerlos en cuenta más adelante en la re-construcción de los conceptos en los que se pretende profundizar dentro del curso.
Fase 4: Análisis grupal de las diferentes soluciones
Durante esta etapa (simultánea con la anterior) se analizan las diferentes respuestas de los estudiantes y se ponen en consideración de todos para estudiar a la vez en qué dificultades o errores incurren algunos para encontrar la respuesta (en caso de que haya); en caso tal de que del mismo grupo no surja esto y existan errores, la docente les indaga alrededor del error, algo pertinente que les haga notarlo. Esto es importante, porque se parte de la visualización y la notoriedad del obstáculo hacia un aprendizaje más significativo. (Registro 2: R2)
Fase 5: Reconstrucción de conceptos o conceptualización
Con base en lo obtenido en las fases 3 y 4, se comienzan a “reconstruir” los conceptos alrededor de la temática a considerar, teniendo en cuenta todos aquellos preconceptos que relacionaron los estudiantes con su propuesta de solución e introduciendo aquellos que les hicieron falta y que están relacionados con dicha temática, proponiendo ejemplos que intenten puntualizar en aquellos errores que se detectan y tratando de profundizar
en los conceptos donde se presentan obstáculos de aprendizaje. (Registro 3: R3)
Fase 6: Taller de planteamiento y resolución de problemas
la docente) otros
problemas que apunten a la misma temática y se les sugiere que propongan los propios para trabajarlos durante la clase. Para ello se les recomienda tener muy en cuenta el modelo de solución de problemas que propone Miguel de Guzmán: familiarizarse con el problema, buscar estrategias, llevar a cabo la estrategia, revisar el proceso y sacar conclusiones de él.
Cabe resaltar que en los problemas que conducían a sistemas de ecuaciones lineales o ecuaciones cuadráticas se les solicitó a los estudiantes que hicieran un registro gráfico, para ello podían utilizar diferentes programas (Software de graficación: Graph y Geogebra). (Registro3: R3). Este registro es importante porque les permite dilucidar con más profundidad errores que pudieran cometer en sus procesos, también para hallar la solución a un problema sin usar métodos algebraicos, pues las gráficas les aporta ideas para plantear ecuaciones. Además, el registro gráfico les permite ir más allá de la solución, porque al hacer modificaciones en algunos datos de la gráfica, les orienta hacia todas aquellas variaciones que puede tener un mismo problema.
Para la resolución de problemas planteo entonces una serie de pasos ligados al modelo que propone Miguel de Guzmán. Considero que es el más apropiado porque este autor resalta la importancia de la enseñanza de procesos de pensamiento propios de la matemática más bien que la mera transmisión de contenidos. Nos hace comprender que la matemática es, sobre todo, saber hacer, constituyéndose en una ciencia donde el estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la psicología cognitiva, nos hace llegar a la obtención del conocimiento.
En la situación de transformación vertiginosa del mundo de hoy, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelvan obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes. Así que es mucho más preponderante hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que se conviertan en ideas que se puedan combinar con otras para formar redes dinámicas en pro de solucionar verdaderos problemas, de manera autónoma, pero procurando a la vez el trabajo en equipo.
Consecuente entonces con el modelo que sigue Miguel de Guzmán para resolver problemas, se proponen los siguientes pasos con las respectivas preguntas que debe hacerse y responder, en cada uno de ellos, el estudiante en sus respectivos procesos.
 Familiarizarse con el problema:
 Lee el enunciado del problema. Subraya los datos más relevantes: ¿Qué información te da el problema? ¿Qué datos del enunciado son los más importantes?
 ¿Comprendes todos los términos del problema? ¿Con qué conceptos que ya conozcas los relacionas?
 ¿Qué te pide el problema? ¿Qué tienes que encontrar? ¿Dónde tienes que llegar?
 ¿Qué datos ya conoces? Anótalos brevemente.
 Anota los datos que tienes que encontrar para solucionar el problema.
 Buscar estrategias:
 ¿Recuerdas otro problema semejante a éste, que pueda servir de base para resolverlo?
 ¿Puedes plantear el problema de otra forma? Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada.
 ¿Estás usando todos los datos?, ¿todas las condiciones?, ¿has tenido en cuenta todas las ideas relevantes incluidas en el problema?
 ¿Es posible resolver el problema por partes?
 Prueba organizar los datos en tablas o gráficos.
 ¿Hay diferentes alternativas para resolver este problema?
 ¿Cuál es tu estrategia para resolver el problema?
 Llevar a cabo la estrategia:
Las estrategias pueden ser: tanteo, ensayo y error, realizar problemas más simples, figuras, diagramas, tablas, ecuaciones, sistemas de ecuaciones, gráficas.
 Revisar el proceso y sacar conclusiones:
 ¿Es lógica la respuesta? ¿Cumple con las condiciones del problema?
 ¿Está de acuerdo con la información aportada por el problema?
 ¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento para resolver problemas semejantes?
 ¿Se puede generalizar el resultado?
 ¿Has encontrado algún error en la representación o interpretación de los datos?
 ¿Alguna de las partes del problema se podría calcular de alguna otra manera? ¿Cómo?
 Repasa los cálculos que has realizado. ¿Has encontrado algún error? ¿De qué tipo de error se trata? ¿Cómo puedes evitar en el futuro cometer este tipo de error?
Durante todo el semestre se hace un seguimiento de los estudiantes, a
través de “tareas” (3 o 4 por cada 20% evaluado), dentro de estas tareas se
incluyen las situaciones problema que se les propone durante el trabajo de las temáticas de ecuaciones. Se les aplica un total de 3 pruebas parciales, dentro de las cuales se tienen en cuenta los tópicos anteriores y un quiz final correspondiente al contenido de trigonometría, donde, de alguna manera, también se hace alusión a los tópicos de ecuaciones.
El análisis de esta evaluación y de los resultados, dará cuenta de los procesos de pensamiento que siguen los estudiantes en la solución de los problemas propuestos, y servirá de sustento para los análisis de resultados de la estrategia implementada (el taller).
En concordancia con la naturaleza, la orientación disciplinaria, la clase de información obtenida, el tratamiento dado a ésta, y la concepción asumida
en relación con los tópicos de análisis, el diseño del estudio que sirvió de base para la elaboración del presente informe de práctica se corresponde
con el de un “Estudio de Caso Simple de Orientación Etnográfica Interpretativa” 6 .
Las técnicas e instrumentos aplicados fueron: (a) Observación participante activa (R1 y R2); (b) Protocolos verbales del alumno (R1 y R2); (c) Hojas de trabajo (R2 y R3); y (d) Cuaderno de notas (R1 y R3).
El procedimiento para la recolección de la información de campo consistió en una secuencia didáctica sobre resolución de problemas matemáticos, diseñado, facilitado y evaluado por la propia docente. En cada uno de los encuentros constitutivos de esta secuencia, la docente presentaba verbalmente o por escrito, el enunciado de uno o varios problemas que fueran poco conocidos por todos o la mayoría de los estudiantes
6 Sanjosé, Vicente; Valenzuela, Tomás; Fortes, Mª Carmen y Solaz-Portolés, Joan Josep. Dificultades algebraicas en la resolución de problemas por transferencia. Revista Electrónica de Enseñanza de las Ciencias Vol. 6, Nº3, pg. 538-561 (2007).
participantes. Se les orientaba para que (individualmente, en parejas o en pequeños grupos) abordaran el problema durante un lapso determinado (variable de acuerdo a la dificultad que presentara el problema con el cual se estuviera trabajando).
Luego, se pasaba a la realización de una sesión de socialización (plenaria de trabajo en grupo total). Una vez concluida la "puesta en común" del trabajo realizado, se procedía a proporcionar premisas y asignaciones, sobre algún otro problema que sirviera de base para iniciar la próxima clase.
La información así recolectada es sometida a un proceso de análisis cualitativo de contenido, a partir de lo cual se pueden identificar características y obstáculos de producción de saberes matemáticos propiciados en el contexto de los encuentros centrados en resolución de problemas, que constituyen la base para la propuesta didáctica que se le hará a la Escuela de Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia (Sede Medellín).
En este punto, como ejemplo, expondré de una manera resumida, los contenidos de la secuencia didáctica para la clase, cuyo tema principal es el de ecuaciones, del curso de Matemáticas Básicas con el grupo de práctica.
 Problema previo a la clase:
“Un joyero tiene
anillos, cada uno pesa
gramos y son de una aleación
de oro. Decide fundir los anillos y añadir suficiente
plata para reducir el contenido de oro a
¿Cuánta plata debe añadir?” 7
 Contenidos o temáticas que los estudiantes tuvieron en cuenta para la resolución del problema (de manera individual):
 Ecuaciones lineales sencillas
 Operaciones con decimales
 Porcentajes
 Contenidos o temáticas que se ampliaron en el desarrollo de la clase:
 Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales
7 Stewart, J., L. Redlin y S. Watson, Precálculo, matemáticas para el cálculo, 5ª. Ed., Cengage Learning, 2007.
 Otros tipos de ecuaciones: Con las variables en el denominador de expresiones fraccionarias, con las variables en los subradicales, con potencias racionales y con valor absoluto.
 Ecuación de la circunferencia
 Otros problemas y situaciones trabajados durante la clase (trabajo en equipo y entre todo el grupo):
 Resolver la siguiente ecuación lineal:
 Resolver la ecuación:
 Resolver la ecuación: √
 Resolver la ecuación: | |
 “Un hombre se aleja caminando de un poste cuya lámpara está por arriba del suelo. El hombre tiene una estatura de . ¿Cuánto mide la sombra del hombre cuando está a del poste?” 8
 “Un comerciante mezcla un tipo de té que vende a
con otro tipo que vende a
dólares la libra, para producir
libras de una mezcla que vende a dólares la libra. ¿Cuántas libras de cada tipo de té debe usar el comerciante en su mezcla?” 9
 “Un jardín rectangular mide
más de largo que de ancho. Su
área es de , ¿cuánto miden sus dimensiones?” 10
 “Cindy y Tim comparten una ruta de entrega de periódicos. Cindy tarda minutos en entregar todos los periódicos, y Tim se tarda minutos. ¿Cuánto se tardan los dos cuando trabajan en forma conjunta?” 11
 Problemas que deberán ser trabajados previamente a la siguiente clase:
 Determinar la ecuación de la
circunferencia, para la cual, los
8 Stewart, J., L. Redlin y S. Watson, Precálculo, matemáticas para el cálculo, 5ª. Ed., Cengage Learning, 2007. 9 Stewart, J., L. Redlin y S. Watson, Precálculo, matemáticas para el cálculo, 5ª. Ed., Cengage Learning, 2007. 10 Stewart, J., L. Redlin y S. Watson, Precálculo, matemáticas para el cálculo, 5ª. Ed., Cengage Learning, 2007. 11 Stewart, J., L. Redlin y S. Watson, Precálculo, matemáticas para el cálculo, 5ª. Ed., Cengage Learning, 2007.
 “Una compañía que renta vehículos ofrece dos planes para rentar un automóvil. Plan A:
dólares por día y
Plan B: dólares por día y gratis millas recorridas ilimitadas. ¿Para qué valor de millas, el plan B le hará ahorrar dinero a una persona que quiera rentar un automóvil?” 12
(Ver anexos: Registros 1 y 2, Clase 12)
12 Stewart, J., L. Redlin y S. Watson, Precálculo, matemáticas para el cálculo, 5ª. Ed., Cengage Learning, 2007.
Los resultados serán presentados en dos niveles:
 Un nivel descriptivo, donde se exponen las ideas presentadas por los estudiantes alrededor de algunos de los problemas planteados en la clase y las discusiones que se dan en torno a estos. A partir de éste, ubicaré algunos de los errores o dificultades más comunes que se presentan en los estudiantes a la hora de enfrentar problemas que conducen a ecuaciones, situando los estudiantes en clases determinadas por las formas de razonamiento que van mostrando en este proceso.
 Un nivel cuantitativo, donde mostraré las notas obtenidas por los estudiantes del curso, en el seguimiento relacionado con la temática y en el parcial 2, donde la temática principal fueron ecuaciones.
En el problema del joyero: “Un joyero tiene anillos, cada uno pesa gramos y son de una aleación de de plata y de oro. Decide fundir los anillos y añadir suficiente plata para reducir el contenido de oro a
¿Cuánta plata debe añadir?”
Cuando se les indaga a los alumnos por el abordaje personal e individual del problema, nos encontramos que sólo tres estudiantes (E1, E2 y E3) de los 24, lo habían analizado.
E1 dice: -Yo lo analicé pero no supe plantear las ecuaciones, se me ha dificultado trabajar con los porcentajes-
Con relación a esto estuvieron de acuerdo, la mayoría de los demás estudiantes.
E2 dice que buscó estrategias en el texto de Stewart (Precálculo) y, con base en lo que allí encontró, logró resolver el problema, haciendo divisiones y expresando ciertas cantidades con decimales.
En este punto se les pregunta en general, que temas se deben retomar para abordar este tipo de problemas y todos estuvieron de acuerdo en los siguientes:
ecuaciones, porcentajes y operaciones con números racionales. Y se le solicita a E2 que presente la manera como resolvió el problema. E2 pasa al tablero y muestra lo siguiente:
E3 dice que ella también lo planteó pero expresó los porcentajes como fracciones para resolverlo, así que presentó la siguiente forma de resolverlo:
Comenzamos un diálogo a partir de los resultados aportados por estos dos estudiantes, reconstruyendo la solución del problema, ya para todo el grupo, así:
Docente: -¿Qué significa el
en ambos casos?-
A lo cual responden (coincidiendo) que es el total de gramos que pesan los
anillos, al ser , y cada uno pesar gramos.
Docente: -¿Qué tal entonces comenzar por ahí?- Vamos a seguir el camino que sugiere De Guzmán. Veamos:
 Familiarizarse con el problema: D: -¿Comprendemos todos los términos del problema?- E: Sí
D: -¿Qué datos conocemos?
E: - Que son
D: Por tanto el peso total de los
anillos es:
D: ¿Qué más conocemos?
de la aleación es de plata y
de la misma es de oro
D: ¿Eso qué significa?
E: Que de los
es plata y el
D: ¿Qué más conocemos? E: Que debemos disminuir el contenido de oro hasta un , añadiendo plata a la aleación. D: Ahora, ¿qué desconocemos? E: Cuántos gramos de plata debemos añadir para que el contenido de oro se reduzca hasta lo solicitado.
 Buscar estrategias: D: Ahora busquemos estrategias… ¿Cómo podríamos encontrar la solución? E1: Podríamos ir indicando qué cantidad de plata agregamos, hallamos los porcentajes y analizamos como quedan, apuntando esto, hasta encontrar la respuesta. E2: Planteamos una ecuación. D: Bueno, la primera propuesta es viable… pero requiere un camino largo, porque se trata de ir tanteando hasta dar con la respuesta… así que es mejor la segunda propuesta… ¿Cuál sería la ecuación?
 Llevamos a cabo la estrategia: D: Cuando dijimos que de los
que pesan los anillos el
es plata…
Entonces ¿Cuántos gramos de plata hay en la aleación?
E: Hay de plata. D: ¿Cómo se consigue este resultado? E1: Multiplicando:
E2: Pero yo también puedo multiplicar
D: Sí es verdad, también se puede resolver de este modo. Ahora, entonces
llamamos a la cantidad de gramos de plata que debemos agregar y ¿cómo planteamos la ecuación? E1: Entonces ahí sí podemos escribir la ecuación como la teníamos
D: Sí, de cualquiera de las dos maneras es correcto… Pero ¿Qué significa
E1: Que la cantidad de gramos de plata actual más lo que agregamos debe
del total de la aleación, después de haber agregado
cantidad de gramos de plata.
D: ¿Y por qué
E: Porque si la cantidad de oro se debe reducir al
restante debe ser de plata, con los gramos que se le agregan.
D: Muy bien, ahora resolvemos la ecuación. E: Sí ya lo habíamos hecho…
 Revisamos el proceso y sacamos conclusiones: D: ¿Qué operaciones tenemos en cuenta? E: Sumas, restas, multiplicaciones y divisiones D: ¿Qué cantidad de aleación queda finalmente? ¿Por qué? E:
, porque a los
iniciales se le agregan
D: ¿Cuánto oro hay en la aleación antes y después de la adición de plata? E1: ¿Es que cambia? E2: No, éste no varía… La cantidad de oro siempre es la misma y sería
NOTA: Acá en este diálogo, hago referencia a los estudiantes (E1 y E2), pero
podían ser diferentes alumnos… Estas son las connotaciones más importantes
que se establecieron durante la puesta en común con todos ellos. Este mismo proceso se seguía con todos los ejercicios propuestos para trabajar dentro de las clases.
Cuando se les indaga a los demás estudiantes del grupo por la razón por la cual no resolvieron el problema, aducen que tuvieron dificultades a la hora de plantear ecuaciones, otros decían que no encontraban la manera de modelar el problema y otros, unos pocos, se sumaban a lo que habían hecho los tres compañeros que presentan sus resultados.
Otro tipo de problema que abordamos fue el siguiente:
“Un comerciante mezcla un tipo de té que vende a dólares la libra con otro tipo que vende a dólares la libra, para producir libras de una mezcla que vende a dólares la libra. ¿Cuántas libras de cada tipo de té debe usar el comerciante en su mezcla?” 13
Cuando entramos en su análisis les propuse que siguiéramos los mismos pasos enunciados por De Guzmán, para solucionar problemas y llevamos el siguiente proceso:
 Leamos el enunciado del problema. Subrayemos los datos más relevantes: ¿Qué nos da el problema? ¿Qué datos del enunciado son los más importantes? Sabemos que hay dos tipos de té, uno a un precio diferente del otro. Que se combinan para obtener una mezcla y venderla a otro precio. Los datos más importantes son el precio al que vende cada tipo de té y la cantidad de libras que quiere obtener en la mezcla.
13 Stewart, J., L. Redlin y S. Watson, Precálculo, matemáticas para el cálculo, 5ª. Ed., Cengage Learning, 2007.
 ¿Qué te pide el problema? ¿Qué tienes que encontrar? ¿Dónde tienes que llegar? El problema nos pide la cantidad de libras de cada tipo de té que hay que utilizar para obtener la mezcla.
dólares/libra)
Por ejemplo, en este punto los estudiantes incurren en error, porque ellos
no se percatan que cuando hablamos de
, estamos hablando es del
tipo de té y no de una cantidad de té. Entonces ellos inmediatamente lo
que hacen es plantear una suma, así . Esto, aunque
inicialmente no presenta un problema mayor, interpretación de la otra ecuación.
Debemos comprender que la cantidad en libras del tipo de té más la
cantidad en libras del tipo
que se utilicen nos debe sumar un total de
libras. Y que esta mezcla se va a vender a dólares la libra.
 Anota los datos que tienes que encontrar para solucionar el problema. Lo que debemos encontrar es la cantidad en libras de té tipo
cantidad en libras de té tipo
que se deben combinar para que nos dé
como resultado la mezcla con las condiciones dadas.
 ¿Cómo podríamos encontrar la solución? Planteamos ecuaciones.
 ¿Cómo haríamos esto?
primero es nombrar con letras lo
nos están pidiendo (uso del
álgebra), así:
--------- ecuación (1) ---------- ecuación (2)
Hay que reconocer que para el planteamiento de la ecuación (2) hubo una gran dificultad porque los estudiantes no veían la relación precio contra cantidad de té vendido. Es decir, aquí hay una falencia del concepto de relaciones entre dos variables y proporcionalidad.
 Ahora bien, ¿cómo resolvemos este sistema de ecuaciones? Acá la mayoría de los estudiantes recordaron los nombres de los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales : de sustitución, igualación y reducción. Sin embargo, no recordaban los procesos que se seguían en cada uno de ellos para encontrar los valores de las incógnitas, por lo que muchos recurren al tanteo (la técnica de ensayo-error).
 Llevamos a cabo la estrategia: Resolvamos el sistema por el método de sustitución, así:
 Despejemos , en la ecuación (1):
-------- ecuación (3)
 Sustituimos (3) en (2), y resolvemos la ecuación para y , así:
 Sustituimos este valor en la ecuación (3), para hallar el valor de
 Revisamos el proceso y sacamos conclusiones:
 ¿Qué operaciones tenemos en cuenta? La propiedad uniforme de igualdades, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números reales.
 ¿Qué cantidad de libras de cada tipo de té se utilizan? Se utilizan
libras de té tipo
libras del tipo
Los muchachos me preguntaban en este punto por qué se igualaba el
ingreso total obtenido por la venta de libras de té tipo
libras de té
tipo (a precios iniciales), con el ingreso total percibido por la venta de las libras de la mezcla al precio predeterminado, si de esta manera el comerciante no obtenía ninguna ganancia.
Al respecto, cabe anotar que el precio no está relacionado con ganancia (sólo con precio de la mezcla). La información suministrada en el problema, no incluye costos ni utilidades. De modo que no se puede hacer ninguna referencia a la ganancia obtenida.
Otro tipo de problema que trabajamos, con la propuesta de De Guzmán fue:
“Un jardín rectangular mide
más de largo que de ancho. Su área es
, ¿cuánto miden sus dimensiones?” 14
 Leamos el enunciado del problema. Subrayemos los datos más relevantes: ¿Qué nos pide el problema? ¿Qué datos del enunciado son los más importantes? Es un problema geométrico. Nos hablan de un jardín rectangular, así que debemos recordar cómo se calcula el área de un rectángulo.
 ¿Hacer un dibujo ayudaría? Si Realizamos el dibujo:
Recordemos que el área de
un rectángulo se
calcula por medio de
Con base en esto, lo que nos da el problema es el área del jardín y nos da
la pista de que el largo mide
más que el ancho del mismo.
El problema nos pide encontrar las dimensiones del jardín, es decir, las medidas del ancho y el largo del mismo.
 ¿Recordamos algún problema parecido a éste que pueda ayudarnos a resolverlo? Recordamos los ejercicios de geometría relacionados con áreas de figuras planas.
14 Stewart, J., L. Redlin y S. Watson, Precálculo, matemáticas para el cálculo, 5ª. Ed., Cengage Learning, 2007.
 Con base en esto, ¿qué podemos hacer para encontrar lo que nos piden? Partamos del dibujo del rectángulo y ubiquemos en él, lo que conocemos y desconocemos. Así:
Teniendo en cuenta estos aspectos, planteamos una ecuación que relacione las dimensiones con el área del rectángulo.
 Llevamos a cabo la estrategia:
 Con base en lo que tenemos ¿cuál sería la ecuación?
Como en el problema nos dicen que el largo mide
más que el ancho,
Sustituyendo esta ecuación en la anterior tenemos:
Resolvemos operaciones:
------- ecuación (2)
----- ecuación (2)
Ésta es una ecuación cuadrática, ¿cómo la podemos resolver?
Podemos aplicar la fórmula general, o también la podemos resolver por
factorización. Hubo un estudiante que recordó el método de “completando cuadrados”. Bueno, les dije, ¿cuál aplicamos?
Casi todos pedían resolver por fórmula general, yo les indiqué que es bueno también trabajar por factorización, porque este método casi siempre, simplifica más el trabajo. Finalmente, lo resolvimos usando factorización, así:
Factorizamos, el lado izquierdo:
Como las longitudes no pueden ser negativas, entonces el ancho del jardín es
Sustituimos esto, en la ecuación inicial y obtenemos que:
Encontramos entonces que el largo del jardín es
 ¿Cuáles son las dimensiones del jardín? Las dimensiones del jardín son
condiciones? Observamos que sí.
planteamiento de ecuaciones; saben vislumbrar los datos, las incógnitas,
pero lenguaje algebraico.
Los siguientes son procesos seguidos por ellos en diferentes ejercicios y problemas relacionados con los tópicos de ecuaciones, donde podemos evidenciar las dificultades y los obstáculos que presentan a la hora de tratar de darles solución. Expongo éstas por presentar algunos errores y obstáculos recurrentes:
En estos procesos podemos percibir en los estudiantes dificultades tales como:
No tienen claridad al despejar la incógnita con lo relacionado a la transposición de términos, lo que es básicamente un desconocimiento de la propiedad uniforme de las igualdades.  Siguen presentando errores en el manejo de operaciones básicas, sobre todo las que tienen que ver con los números racionales. Errores de traslación directa de procedimientos aritméticos, como sumar términos con y sin variable.  Errores relativos a los signos, tales como deficiencias en el manejo de signos de agrupación, olvido de signos, cálculos con valores de diferente signo. No tienen un buen manejo de las propiedades de potenciación, radicación y logaritmación, lo que impide una eficiente aplicación de las mismas en la solución de ecuaciones. No le dan importancia a proporcionar ciertos pasos que son previos a otros, como dándolos por entendidos. Esto le quita validez a los procesos, al no ser claro si ellos ya lo comprenden o si fue que lo copiaron de otros compañeros. Esto se percibe en la ecuación exponencial, que inicialmente se puede plantear como una cuadrática.  Presentan grandes dificultades para plantear ecuaciones. Se les dificulta interpretar en el lenguaje algebraico, expresiones dadas en el lenguaje común.
Para abordar este tipo de errores la recomendación es propiciar y realizar un tratamiento didáctico y pedagógico de los mismos, dentro del taller de solución de problemas, involucrando tres momentos:
 Descubrimiento de errores. La primera fase del tratamiento didáctico de los errores está en detectarlos. Mientras no se localicen y se tome conciencia de ellos no es posible seguir adelante. Esta detección puede ser realizada por el educador, la persona que ha cometido el error o los compañeros. Pero lo ideal es que quien lo cometió lo detecte; todo dependerá del tipo de error de que se trate. Mientras que resulta relativamente fácil descubrir los errores en un examen, no lo es tanto cuando se trata de acciones o estrategias.
A pesar de que los educadores presentamos omisiones en la corrección de tareas, somos, sin embargo, los principales actores de detección de errores. Nuestra función entonces es darlo a conocer al alumno para que éste tome conciencia y nota de su error. Las estrategias y técnicas usadas pueden ser tan variadas como las metodologías seguidas. Podemos utilizar códigos verbales o no verbales, así como una información personalizada o grupal. Las dos preguntas base son: ¿En qué se basa el error o dificultad? ¿Cómo decírselo al estudiante para que lo tome en cuenta? Veamos algunas técnicas pertinentes:
 La indagación (pedagogía de la pregunta) es un modo positivo de indicar al estudiante que ha cometido un error. Cuando el educador pregunta: "¿Estás seguro de que así se plantea?" "¿No será de otra manera?", "¿No sería mejor si
le estamos alertando sobre alguna falla cometida o
... estimulando a buscar otra alternativa. La interrogación es una técnica heurística de significativo valor cognitivo, por cuanto induce y orienta al estudiante, para que indague y descubra por sí mismo nuevas opciones.
 La corrección colectiva es tal vez una de las mejores técnicas cuando se trata de comprobar la corrección de los ejercicios o tareas de clase. Resulta positiva porque en poco tiempo se da una información rápida a todos los estudiantes, sin embargo no tiene en cuenta las variantes particulares ni procesos seguidos por cada persona. Es bueno para la revisión y corrección de errores en evaluaciones parciales. En estos casos la identificación del error se hace de forma genérica.
 La corrección transversal o intercambio de ejercicios resueltos es otra buena estrategia. Son los propios compañeros los que localizan los errores, con el inconveniente de que se pueden introducir distorsiones y con las ventajas de verse implicado el propio sujeto en el proceso de detección de errores y de analizar otras alternativas de solución.
 La captación del error es una estrategia que consiste en proporcionar problemas o soluciones a ellos, que contengan determinados errores que ha de descubrir el estudiante. En
función del nivel de éstos se les puede suministrar algunas pistas. Cuando estos ejercicios se realizan en grupo revisten gran motivación por el deseo de superar un grupo a otro, ya sean en el tiempo o en el número de errores descubiertos.
 Caracterización de errores. La mayor parte de las veces nos quedamos en la localización del error, sin pasar a su caracterización, descripción del tipo de error y causas del mismo. Comprobado el desajuste de la respuesta es correcto analizar qué criterio se ha transgredido y por qué. Puede tratarse de un error de entrada, por cuanto el problema supera la capacidad o competencia del sujeto; de organización de información y relación con conocimientos previos; de ejecución, por falta de práctica o tiempo. ¿Tenemos en cuenta qué quiso expresar el estudiante? La tipificación de errores atendiendo a la rama, ayudará a caracterizar los mismos. En Matemáticas interesa la comprensión del problema, el planteamiento, el desarrollo lógico del proceso, el uso correcto de las operaciones. El estudiante puede saber que se ha equivocado y dónde ha sido, pero desconocer en qué está el error, qué regla, ideas o conceptos se ha saltado.
Introducirnos en las causas del error implica adentrarnos en la psicología de quien aprende, puesto que todo error comporta un aspecto relacional; esto es, un desacuerdo entre la mente del sujeto y una determinada regla lógica o convencional. Pero no tiene que ser necesariamente el profesor quien identifique el error, sino que el propio estudiante puede contribuir a su esclarecimiento. Favorece a ello el hecho de saber preguntar y no sólo responder. Por eso debemos motivar a los muchachos a que indaguen y a que aprendan a hacer preguntas, porque esto puede ser aún más importante que saber responder a ellas.
Los errores fluctúan según los sujetos, las horas de aprendizaje y las circunstancias personales. El error debe ser tomado en consideración. La formación matemática aporta a los sujetos una nueva dimensión de la realidad y con ella, un enriquecimiento conceptual que no le aporta ninguna otra disciplina. Los conceptos de número, de operación, de proporción, contribuyen a configurar unos procesos lógicos, que nos acompañarán a lo largo de la vida. Una clasificación general de los errores en Matemáticas, en la resolución de problemas que conducen a ecuaciones, nos lleva a identificar los siguientes tipos: 1) Inadecuada percepción de aquello que se pide en el problema o tarea. Tal falla puede darse por una lectura precipitada, pasando por alto ciertos datos. El estudiante suele darse cuenta de este tipo de errores, cuando lo comenta con los compañeros, después de haber hecho su propio proceso. 2) Errores de planteamiento, debido generalmente a una mala
comprensión de los principales términos del problema, que lleva a seleccionar procedimientos o ecuaciones inadecuadas. 3) Errores de concepto cuando se plantean cuestiones teóricas. 4) Errores de seguimiento de los pasos en la solución de un problema, desarrollando antes, unas operaciones que otras, por ejemplo al eliminar los paréntesis. 5) Errores operativos o de cálculo.
 Rectificación de errores. Ubicado y caracterizado el error llegamos al objetivo final: su corrección. Pero, más que corregir el error, nuestro interés debe enfocarse a producir cierto cambio de actitud en los procesos de aprendizaje del estudiante. El aprendizaje y la formación deben ser descritos en términos de cambio. Mientras no ocurra éste, no hay un aprendizaje realmente significativo. De esta manera, la conciencia del alumno sobre sus errores contribuirá a eliminarlos. La corrección del docente por sí sola no introduce cambios en el estudiante, mientras éste no reflexione sobre ellos. La idea de rectificación aquí se refiere a la conciencia del error, por qué se cometió y cómo evitarlo; esto conlleva a darle mayor importancia a la autocorrección junto a la corrección del educador. Este aspecto nos debe convocar al replanteamiento de la evaluación, para verla más como un proceso formativo, fluido y natural donde el estudiante sea partícipe, teniendo en cuenta sus dificultades y limitaciones, que a la vez le permita percatarse de cuánto ha logrado; en contraposición a una evaluación como instrumento de control o de poder para indicarle cuánto le falta por aprender. Hay variadas prácticas de corrección y rectificación, algunas de ellas mencionadas por J. M. Ferrán (1990), P. Lennon (1991), entre otros autores que trabajan en torno al error como herramienta didáctica dentro de los procesos de enseñanza-aprendizaje. Las sugerencias que nos aportan estos pedagogos apuntan a concebir la importancia de rectificar los errores luego de identificarlos y localizarlos, de ahí también la relevancia de implementar un modelo de análisis didáctico del error, ya que siempre prevalecerán unos más que otros. Dentro de este modelo, las actividades más pertinentes podrían ser:
 Tarjeta-registro de errores. Consiste en el análisis y registro sistemático de los errores que cometen con más frecuencia los estudiantes. Podemos disponer una ficha para cada tipo de error en la que se tengan en cuenta los siguientes aspectos: 1) Errores cometidos según tipología. 2) Caracterización del error indicando la regla o el concepto errado. 3) Corrección o resolución correcta del problema. 4) Técnica de rectificación que usaríamos para que el estudiante confronte las formas correctas y evite futuros
errores. Podríamos incluso llevar un fichero de errores que nos sirva en semestres sucesivos.
 Corregir o mejorar ejercicios. Usando la información recogida mediante la estrategia anterior, podemos introducir aquel tipo de errores que sea más frecuente, en ejercicios o problemas, pidiendo a los estudiantes que individualmente, o mejor aún en equipos, encuentren, caractericen y corrijan tales errores. Es muy importante que logren explicar por qué está mal, ya que esto nos sugiere la interiorización de conceptos e ideas adecuadas en sus estructuras cognitivas.
 Otra oportunidad. Una de las mejores estrategias de corrección y mejora en el aprendizaje consiste en dar al estudiante una segunda oportunidad de presentar sus trabajos o ejercicios una vez que hemos realizado algunas observaciones. Si después de una primera valoración baja, debido a las falencias del trabajo, le sugerimos que puede presentarlo de nuevo para otra valoración, el estudiante tratará de evadir aquellos errores que lo demeritaron, esto logra su motivación.
 Corrección cooperativa. Debemos entender el proceso enseñanza- aprendizaje como un proceso interactivo, que tiene lugar dentro y fuera del aula, con soporte de los docentes y mediante influjos de los compañeros, es manifiesto que también ellos tienen su rol en la rectificación del error. El aprendizaje compartido y el aprendizaje entre pares, no se agota con el intercambio de ideas sino que tiene su implicación en las explicaciones de los errores por los propios compañeros. Podemos sugerir que se corrijan los problemas por parejas o pequeños grupos en los que al encontrar entre ellos diferencias de resultados, surgirá una fructuosa discusión, recurriendo a nosotros como mediadores, en caso de conflicto o desacuerdo. No se trata tan sólo de hacer ejercicios en grupo, sino, una vez realizados, que sean los propios compañeros los que ubiquen, identifiquen y den cuenta de qué resultados están mal y por qué.
 Revisión de ejercicios mal resueltos. Pensar en evaluar a los estudiantes mediante ejercicios o problemas mal resueltos, de este modo valoramos el dominio del procedimiento y la capacidad de análisis. La revisión de ejercicios mal resueltos ayuda a identificar procesos, desde el planteamiento inicial hasta su realización. Incluso podemos regular el tipo de errores, desde un nivel de error operativo, hasta un nivel de error de planteamiento.
estudiantes que dentro de alguna explicación del desarrollo de un
ejemplo o problema habrán
deberán descubrir. Se puede establecer una especie de
competencia, en la que por cada
error detectado se anota un
produce que la atención a las explicaciones aumente significativamente porque hay un grado más de motivación.
 Autorreflexión o meta-cognición. Luego de una evaluación parcial, resulta muy útil hacer la corrección de la misma, ya sea por parte del docente o solicitando a los mismos estudiantes que sabemos que lo hicieron bien que la resuelvan ante sus propios compañeros; esto es muy positivo porque se puede recurrir a una descripción de los errores cometidos por otros, cómo ocurrieron y a qué se debieron. La meta-cognición nos lleva a examinar el porqué de nuestros aciertos y desaciertos, y al hacerlo, ubicamos, identificamos y corregimos posibles fallas.
Los estudiantes y educadores debemos comprender que la generalización es aplicable a todas las situaciones que se puedan modelar en procesos matemáticos, por lo que el lenguaje algebraico debe estar presente como herramienta de trabajo en todas las ramas de las matemáticas, de ahí la importancia de la modelación y del planteamiento de ecuaciones para abordar los problemas que, en este nivel, se nos presentan.
 En una primera instancia, presento los resultados obtenidos por los estudiantes en el parcial 1 y en el seguimiento 1 del curso. El contenido tenido en cuenta en estas pruebas no se trabajó con la estrategia:
 En las siguientes, muestro los resultados obtenidos por los estudiantes en el parcial 2 y seguimiento 2, respectivamente. Dichas pruebas estuvieron altamente relacionadas con los tópicos de interés en el presente trabajo (Ver anexo: parcial 2 y procesos de algunos estudiantes).
7.41 2-3
14.8 3-4
El análisis de resultados lo voy a exponer en tres ítems, de la siguiente manera: un nivel descriptivo donde hago énfasis en los procesos de pensamiento de los estudiantes al enfrentar los problemas propuestos, otro nivel de análisis de la tabulación exhibida en los resultados y, en una última instancia, presentaré unas conclusiones, donde expondré las debilidades y fortalezas de mi propuesta.
Igualmente como presenté los resultados, me dispongo a realizar el análisis de la parte descriptiva del proceso, es decir, a analizar los resultados de los puntos de vista de los estudiantes al dar solución a un problema o al trabajar un ejercicio. En este intento, trataré de profundizar en los errores que se perciben, mediante una categorización de los mismos.
Cuando, en una primera instancia, les pedí a los estudiantes que ellos mismos buscaran la solución al problema planteado noté una resistencia, pues algunos de ellos me expresaban que no tenían las herramientas necesarias para hacerlo. Les respondí que se trataba, precisamente, de que ellos buscaran estrategias, y revisaran entre lo que ya conocían, qué podía servir de insumo para afrontar el problema.
De este modo encontré que los estudiantes de primer semestre presentan algunas dificultades para el trabajo del ABP (Aprendizaje Basado en Problemas), dentro de las cuales menciono las siguientes:
 Presentan bajo compromiso para desarrollar trabajo independiente y autónomo. Esto hace que no busquen estrategias adecuadas para afrontar una situación y pierden el interés rápidamente cuando no dilucidan un camino de solución.
 Presentan dificultades en los procesos de construcción de las representaciones de los problemas, proveniente de una ausencia de comprensión de la situación que se describe, o del proceso de interpretación, donde se dificulta a la vez la traducción del lenguaje natural del enunciado y el lenguaje matemático. Sabemos que la representación de un problema determina su codificación y permanencia en la estructura cognitiva del sujeto; así mismo, esta codificación abre la posibilidad de identificar y construir vínculos analógicos con otros problemas (véase “Campos Conceptuales” de Vergnaud).
 Los errores detectados en los estudiantes, dentro de sus procesos para darle solución a problemas que conducen a ecuaciones, se pueden clasificar en tres categorías, de acuerdo a lo que nos dice Brousseau:
 Errores de tipo algebraico: Relacionados específicamente con deficiencias en el aprendizaje de los conceptos propios del álgebra. Estos errores se perciben cuando los estudiantes usan de una manera inadecuada las notaciones algebraicas, y cuando realiza incorrectamente operaciones asociadas a potencias, raíces, simplificaciones, valor absoluto, productos notables, factorización, entre otros.
 Errores de razonamiento: Aquí se ubican aquellos errores que devienen del uso incorrecto de las implicaciones y equivalencias lógicas, lo que conduce al mal manejo de los datos o la información que aporta un problema. Se evidencian, cuando los estudiantes añaden hipótesis falsas en la solución del problema, o cuando intenta resolver el problema sin usar ciertos datos dados por el mismo, interpreta y utiliza inadecuadamente definiciones y conceptos.
 Errores de técnica: Se pueden llamar también errores de procedimiento, surgen por la aplicación inadecuada de algoritmos. Se evidencian este tipo de errores cuando los estudiantes aplican un buen procedimiento pero se equivocan en su ejecución o cuando presentan proposiciones verdaderas sin una válida justificación.
 Durante y después de la puesta en marcha de la secuencia didáctica acá planteada, se percibe en los estudiantes un deseo por resolver los problemas planteados de una manera autónoma, pero teniendo en cuenta la búsqueda de apoyo en otros compañeros. Me doy cuenta de la diferencia del nivel de conocimientos que tiene el grupo, algunos de ellos (una mayoría) tienen buenas bases con relación a conceptos algebraicos necesarios para la solución de los problemas propuestos, lo que produce que los muchachos busquen trabajar en equipo para compartir saberes.
 Después de haber trabajado, teniendo en cuenta esta estrategia de taller, se notó un aumento del interés de los estudiantes en asistir a las clases y a las asesorías. Igualmente se nota una gran mejoría en las notas de sus trabajos y la implementación del estudio por equipos.
Como dije anteriormente, las tablas 1 y 2 muestran los resultados obtenidos por los estudiantes en el parcial 1 y en el seguimiento 1 respectivamente, de la evaluación propuesta durante el semestre. Los temas evaluados dentro de estas pruebas no se trabajaron teniendo en cuenta la secuencia didáctica aquí propuesta.
Analizando las tablas 2 y 4, correspondientes a las notas obtenidas en los seguimientos, se puede percibir el gran interés de los estudiantes en desarrollar sus trabajos al pasar de un 51.8% a un 26% de ellos con notas por debajo de 3.0 y de un 14.8% a un 70.4% con notas entre 4.0 y 5.0, en el seguimiento, que tiene en cuenta además del trabajo en equipo, la participación en clase y la realización de actividades individuales.
Ahora pasando a las tablas1 y 3, nos encontramos con algo muy parecido y existen las mismas tendencias del análisis anterior. Observamos que de un 48.1% se pasó a un 22.2% de los estudiantes presentando notas por debajo de 3.0; que el 33.3% que exhibían notas entre 3.0 y 4.0 rebajó a un 14.8% y que el 18.5% que presentaba notas mayores de 4.0 aumentó a un
Esto es muy significativo porque el parcial 2 se aplicó después de haber llevado a cabo la secuencia didáctica del taller, y el seguimiento 2, durante la puesta en práctica de la misma. Esto nos sugiere que hubo una positiva incidencia de lo trabajado en los resultados presentados por los estudiantes durante estas pruebas. Se evidencia un mejor desenvolvimiento en el momento de plantear las ecuaciones, una mayor comprensión de los problemas y una significativa mejoría en los procesos de pensamiento al abordar los mismos.
Cabe anotar acá que el 11.1% correspondiente a estudiantes con notas entre 0.0 y 1.0, fueron desertores, 2 estudiantes que nunca asistieron a las clases y 1 estudiante que se retiró después de haber presentado el parcial
La estrategia implementada buscó desarrollar “El Taller” en todas sus
connotaciones, sin embargo, aunque se aplicaron muchos de sus aspectos
no podría afirmar que fue exactamente un taller lo que se realizó, debido a que su implementación requiere de más tiempo (ya que el taller es una estrategia a largo plazo) para apuntar a un proyecto específico de grupo, porque éste connota una forma de aprender, por medio de la ejecución de
“algo”, que se realiza colectivamente: “Es un aprender haciendo en
grupo” 15 ; es decir que debe existir un producto final, y en este caso, no se da esto.
Mi estrategia respalda más bien un “taller” para obtener destrezas y habilidades metodológicas que podrán ser aplicadas luego a la disciplina científica en la que se profesionalizan los estudiantes o bien, en una práctica profesional determinada. De todos modos sí utilicé muchas de las facetas que lo distinguen y de esto quiero ocuparme un poco. Por ejemplo se tuvieron en cuenta los siguientes aspectos característicos:
 Se promovió y desarrolló la capacidad de reflexionar en grupo y el trabajo en equipo, determinando las tareas a realizar colectivamente, acordes a las actividades a realizar para alcanzar los objetivos del taller.
 Se implementó la capacidad de “aprender a aprender”, con un elevado énfasis en la autoformación, donde los estudiantes se dan cuenta de la importancia que tiene para ellos mismos desarrollar sus propias estrategias de aprendizaje para abordar las diferentes situaciones.
 Se fomentó la iniciativa, la participación, el trabajo autónomo con responsabilidad, la originalidad y aún la creatividad para actuar frente a los problemas propuestos, teniendo en cuenta los aprendizajes previos.
El aprendizaje basado en la resolución de problemas, teniendo en cuenta la secuencia didáctica acá propuesta, me condujo, pero aún más importante, llevó a los mismos estudiantes a detectar sus propios errores; pues al darle cabida al error en la clase nos dispuso a trabajarlo encontrando cuáles fueron las conjeturas que lo produjeron, buscando otras alternativas para redescubrir los conceptos avalados y matemáticamente aceptados, y comparando versiones de soluciones “correctas” con “erróneas”. De este modo, esta estrategia apunta a la pedagogía de la pregunta, del docente al estudiante cada vez que participa en la exhibición de sus ideas y del estudiante consigo mismo en el proceso de encontrar la solución a un problema.
Pienso que esto es lo más importante y lo que nos debería convocar a docentes de Matemáticas (de Básica y Universitarios) a buscar alternativas para el manejo del error, que se proyecten más allá de un diagnóstico y el empleo del análisis y la reflexión alrededor de él como parte del proceso de construcción de los conceptos matemáticos, como también, de la comprensión de la naturaleza y métodos propios de las Matemáticas. Los errores pueden utilizarse como herramienta de estimulación y como
15 Ander-Egg, Ezequiel. El Taller, una alternativa para la renovación pedagógica, 2ª. Ed., Magisterio del Río de la Plata, Buenos Aires, 1991.
arranque para indagaciones matemáticas creativas que involucren actividades significativas de planteamiento y resolución de problemas.
Puede ser verdad que sea más sencillo aprender conocimientos nuevos que desaprender errores viejos, pero si nuestro real interés está en el proceso de aprendizaje de las Matemáticas, el error puede ser transformado y tomado como una herramienta de identificación de vacíos del currículo o de metodologías de enseñanza y, al tenerlos en cuenta, podrán ser superados.
- [1][3][4]Vergnaud, Gerard. Los campos conceptuales. Tomado de Internet: http://ipes.anep.edu.uy/documentos/curso_dir_07/modulo2/mater iales/didactica/campos.pdf. Traducción: Juan D. Godino.
- [2]Pólya, G. (1965) ¿Cómo plantear y resolver problemas? Editorial Trillas. México.
- [5] Sanjosé, Vicente; Valenzuela, Tomás; Fortes, Mª Carmeny Solaz- Portolés, Joan Josep. Dificultades algebraicas en la resolución de problemas por transferencia. Revista Electrónica de Enseñanza de las Ciencias Vol. 6, Nº3, pg. 538-561 (2007).
- [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] Stewart, J., L. Redlin y S. Watson, Precálculo, matemáticas para el cálculo, 5ª. Ed., Cengage Learning,
- [14] Ander-Egg, Ezequiel. El Taller,
renovación pedagógica, 2ª. Ed., Magisterio del Río de la Plata,
- Barrantes, H. (2006). Resolución de Problemas: el trabajo de Allan Schoenfeld. En Editorial CIMM, /UCR. Cuadernos de investigación y formación en Educación Matemática. “Resolución de problemas: Conceptos básicos.” Año 1, N°1. San José, Costa Rica.
- Rico, L. (1995). Errores y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. Educación Matemática, Grupo Editorial Iberoamérica, México, D.F.
1. EJEMPLOS DE REGISTROS 1 Y
Y R2): ACTIVIDADES EN EL
CUADERNO, HOJAS DE TRABAJO Y SALIDA AL TABLERO
2. EJEMPLOS DE REGISTROS 2 Y 3 (TAREAS PROPUESTA Y RESUELTA POR ESTUDIANTE)
a. Blanca y Paola fueron contratadas para pintar las casas de una unidad residencial. Si trabajan juntas,
pintar una casa en dos tercios del tiempo que tarda Paola si trabaja sola. Blanca tarda en pintar una casa sola. ¿Cuánto se tarda Paola en pintar una casa si trabaja sola?
radiador de un
automóvil está lleno con una solución de
de anticongelante y de agua. El fabricante del anticongelante recomienda que, en verano, el enfriamiento óptimo
del motor se logra con solo capacidad del radiador es de
de anticongelante. Si la , ¿cuánto anticongelante se
nivel recomendado?
pero dentro de la circunferencia
3. CLASE 12
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLIN CLASE No.12
Beatriz Eugenia Tangarife M. Gloria Leticia Lopera Zuleta Carlos Guevara Wbeimar Cifuentes
Una ecuación es la afirmación de que dos expresiones algebraicas son iguales. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones:
Los valores de la incógnita que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación, y el proceso para determinar las soluciones se llama resolución de una ecuación.
Dada una ecuación, el subconjunto
del dominio de la incógnita que contiene
únicamente las soluciones de la ecuación dada recibe el
Lo anterior afirma que si
es el conjunto solución de una ecuación,
están las soluciones y todo elemento de
, el dominio de la incógnita es
, un valor de
igualdad sea verdadera es y cómo es un elemento de y además
es la única solución de la ecuación dada, entonces su
conjunto solución es { } o sea:
soluciones de la ecuación dada. Como
se puede demostrar que y son las únicas soluciones de la ecuación dada,
entonces su conjunto solución es
Resolver una ecuación es encontrar todas las soluciones de la ecuación, y para ello transformamos la ecuación inicial en una ecuación equivalente más simple, usando las siguientes propiedades de la igualdad entre expresiones algebraicas:
Si , y representan expresiones algebraicas:
Una ecuación lineal o de primer grado en
es una ecuación de la forma
constantes (números reales) y
Estas ecuaciones tienen una única solución
Resolver la siguiente ecuación lineal:
Debemos transformar la ecuación original en una equivalente, que sólo involucre la variable y su valor, es decir, debemos "despejar la variable"
(Ecuación original)
(Se suma
a cada lado de la igualdad)
(Se realizan las operaciones)
cada lado de la igualdad)
Para verificar que original, así:
es la solución reemplazamos
que es una proposición verdadera. Luego
si es la solución de la ecuación
Una ecuación cuadrática o de segundo grado en
, es una ecuación de la forma
Las ecuaciones cuadráticas en una variable pueden tener una raíz de multiplicidad , es decir dos soluciones iguales, dos soluciones distintas, o no tener solución real.
Las ecuaciones cuadráticas pueden resolverse usando factorización y la siguiente propiedad:
Para utilizar esta propiedad agrupamos todos los términos a un lado de la igualdad, de tal forma que el otro lado de la igualdad sea cero.
Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación y aplicamos la propiedad
Así, las soluciones de la ecuación son
Verificamos que éstas son soluciones reemplazando los valores de ecuación original:
satisfacen la ecuación original, son efectivamente las soluciones de .
Si la ecuación cuadrática es de la forma
, es decir, es una ecuación
cuadrática que no tiene término lineal, se dice que es una ecuación cuadrática simple y siempre se puede resolver factorizando y aplicando la propiedad.
Luego, las soluciones de
2. Encontrar el conjunto solución de la siguiente ecuación:
y el conjunto solución de la ecuación
Solución de ecuaciones cuadráticas por formula general
Para resolver ecuaciones cuadráticas se puede aplicar la fórmula cuadrática
Encontrar las soluciones de la siguiente ecuación:
. Reemplazando en la fórmula cuadrática
Se llama discriminante de la ecuación
Con base en la fórmula cuadrática, las siguientes proposiciones son verdaderas:
la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
la ecuación tiene una solución real de multiplicidad .
la ecuación no tiene soluciones reales. (Las soluciones son números
Algunas ecuaciones se presentan en otras formas, las cuales, mediante operaciones algebraicas se transforman en ecuaciones lineales o cuadráticas.
1. Ecuaciones en las que la variable o variables hacen parte del denominador de expresiones fraccionarias
Si en una ecuación las variables aparecen en los denominadores de expresiones fraccionarias, realizamos las operaciones indicadas, y analizamos la expresión simplificada para determinar qué ecuación debe resolverse.
Entonces, para que el cociente sea igual a cero
, el numerador tiene que ser
igual a cero, y como
la única posibilidad es que
Es decir, nuestro problema se reduce a resolver la ecuación cuadrática
Por tanto las soluciones de la ecuación original son y
2. Ecuaciones en las que la variable o variables son parte de cantidades subradicales
Para resolver una ecuación que comprende radicales se efectúan los siguientes pasos:
a. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos.
b. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuación obtenida
y se igualan entre sí (depende del índice de la raíz involucrada).
c. Si la ecuación obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por
el contrario, contiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se resuelve esta última ecuación.
d. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las raíces extrañas.
El proceso de liberar la ecuación de radicales se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.
Restando 3 a ambos lados de la ecuación,
en la ecuación original para chequear si es una raíz extraña o
no, nos percatamos que √
es correcta. Por tanto,
2. Resolver la ecuación √
Veamos si son raíces de la ecuación original √
lo es también de la
en la ecuación original, tenemos
, que es solución de .
, no lo es de la ecuación original
Entonces, la única solución de la ecuación original es .
Si en la ecuación aparece más de un radical con variables en su interior, se escribe uno de estos a un lado y los demás al otro lado, de la igualdad y se realizan las operaciones. El procedimiento se repite hasta que desaparezcan todos los radicales.
En las ecuaciones que involucran radicales siempre se deben chequear las soluciones obtenidas en la ecuación original, para determinar si son o no soluciones de ésta.
3. Ecuaciones de la forma
Estas ecuaciones se pueden transformar en ecuaciones cuadráticas utilizando otra variable en reemplazo de . Si la ecuación original se escribe como ; que es una ecuación cuadrática en la variable la cual sabemos resolver conociendo los valores de que satisfacen esta nueva ecuación, los reemplazamos en , y hallamos los correspondientes valores de que son las soluciones de la ecuación original. El procedimiento anteriormente descrito se llama solución de ecuaciones usando cambio de variable.
Por factorización sería:
La ecuación elevado al cuadrado de
no tiene solución porque no hay ningún número que
El conjunto solución es S={ }
4. Ecuaciones con potencias racionales
Se resuelve haciendo cambio de variable, de tal manera que la nueva variable sea la variable original elevada a la menor potencia.
Determinar todas las soluciones de la ecuación
Agrupamos todos los términos a la izquierda de la igualdad, de manera que el
lado derecho sea cero y hacemos cambio de variable
Y las soluciones de la nueva ecuación son
Para hallar las raíces de la ecuación original, reemplazamos estos valores en la ecuación
Nuevamente debemos verificar estas soluciones en la ecuación original, veamos:
es solución de la ecuación original.
Para resolver ecuaciones que involucran valor absoluto, recordemos que
1. Resolver la ecuación |
De acuerdo con la definición de valor absoluto, | |
2. Resolver la ecuación |
Otros problemas analizados son los siguientes:
1. “Un hombre se aleja caminando de un poste cuya lámpara está por
arriba del suelo. El hombre tiene una estatura de sombra del hombre cuando está a del poste?”
. ¿Cuánto mide la
2. “Un comerciante mezcla un tipo de té que vende a
dólares la libra con
otro tipo que vende a dólares la libra, para producir 80 libras de una
mezcla que vende a dólares la libra. ¿Cuántas libras de cada tipo de té
debe usar el comerciante en su mezcla?”
3. “Un jardín rectangular mide
más de largo que de ancho. Su área
, ¿cuánto miden sus dimensiones?”
4. “Cindy y Tim comparten una ruta de entrega de periódicos. Cindy tarda
minutos en entregar todos los periódicos, y Tim se tarda
¿Cuánto se tardan los dos cuando trabajan en forma conjunta?”
, denotada
; es la
longitud del segmento de recta que los une, y está dada por:
¿Cuál de los puntos ?
está más cercano al punto
Calculamos la distancia de cada uno de los puntos
está más cercano a
LA CIRCUNFERENCIA es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio.
La ecuación de la circunferencia puede escribirse en la forma
Ecuación de la circunferencia con centro
el centro de una circunferencia y sea
de la circunferencia. Entonces, por la fórmula de la distancia
obtiene la forma normal
1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene un diámetro de extremos y
Centro: (
2. Demostrar que la ecuación circunferencia y determinar el centro y el radio.
Debemos expresar la ecuación dada en la forma
Luego, la ecuación representa una circunferencia de centro en (
3. Escribir la ecuación de la circunferencia:
canónica, hallar centro y radio.
Dividimos por a ambos lados de la ecuación, obteniendo:
Organizamos la expresión para obtener cuadrados perfectos para la variable y para la variable , restamos a ambos lados de la ecuación y tenemos:
Completamos cuadrados para la variable no alterar la expresión, así:
y restándolo a la vez para
Factorizamos el Trinomio Cuadrado Perfecto y sumamos ecuación:
Resolvemos operaciones
Escribimos la ecuación en su forma normal
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UNIDAD I 5°
Plus de Affra Milena Gomez

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