Source: https://www.scribd.com/doc/132015165/Solucionario-Matematica-2011-I-2-Unlocked
Timestamp: 2016-12-04 10:50:48+00:00

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En un triángulo ABC, el lado AB mide 2 cm, mA=30º y mB=45º. Calcule la longitud (en cm) de la mediana relativa al lado AB. A)	B)	C)	D)	E)	11 − 6 3 11 − 5 3 11 − 4 3 11 − 3 3 11 − 2 3
ABC es un triángulo isósceles (AC=BC). I es el incentro del triángulo. Si AB=6 cm, AC=8 cm, la distancia de I al lado BC es 4 cm y la prolongación de BI corta a AC en M , calcule la longitud (en cm) de BM. A)	D)	44 7 B)	55 7 C)	E)	57 7 65 7
Resolución Tema: Congruencia de triángulos Análisis y procedimiento
Piden x B
Resolución Tema: Proporcionalidad Análisis y procedimiento
Nos piden BM. C θ θ
4 I 4 5 3
Sea CM: mediana relativa al lado AB Usando triángulos notables CHB: HB=a CHA: HA=a 3 Como HA+HB=AB=2 → a= 2 (1 + 3 ) HM=1 – HB=1 – a → b= 3 −1 3 +1
Finalmente x2=a2+b2 ∴ x = 11 − 6 3
Dato IT=4 I: incentro del ABC Teorema IQ=IT=4 → BI=5 ABC: teorema del incentro BI 8 + 6 = ; BI=5 IM 8 → IM= 20 7
11 − 6 3
Luego, BM=BI+IM 55 ∴	BM= 7
Observación En los vértices A y B notamos que los ángulos son de 106º, lo cual implica que el problema es absurdo.
MH: base media del ∴	x=6
AP=2(MH) → x+2=2(4)
En un triángulo ABC la mediatriz relativa al lado AC interseca a BC en P. AP y BM se intersecan en Q. Determine AQ (en cm), si MQ=QB y BP=4 cm. A)	2	B)	4	D)	8	C)	6 E)	10
Un tronco de cilindro circular recto se encuentra circunscrito a una esfera de radio r= 2 cm, el eje AB de la elipse forma un ángulo de 45º con la generatriz máxima BC. Calcule el volumen (en cm3) del tronco de cilindro. A)	2π ( 2+ 2 ) B)	2π (1+ 2 ) C)	π ( 2+ 2 ) D)	2π ( 2 − 2 ) E)	2π ( 2 − 1)
Resolución Tema: Aplicaciones de la congruencia
Observación En el problema no indican la posición de M, pero se considera que es el punto medio de AC.
Resolución Tema: Tronco de cilindro
4 4 4 α h H α C
P m 2 Q θ θ x α A Piden AQ h M m θ
Sea AQ=x Dato: BQ=QM Se ubica H en PC, tal que BP=PH=4. Entonces QP: base media del MBH mPMH=mMPH=θ MH=4 → QP=2 MH // AP y AM=MC
v TC = πR 2   
g M + gm    2
v TC = πR 2 ·e
B 45º 45º 2 Q 2 2 A D O S M A 2 B
Resolución Tema: Semejanza de triángulos
En el gráfico se cumple que AB+CD=BC+AD (teorema de Pitot) C
Piden VTC=πR2 × ST Del gráfico tenemos •	OQ=TC →	R= 2 •	•	•	SO // BC → mMSO = 45º MSO: notable 45º SO=2 ST=2+ 2
Nos piden BC=x C x B  α I 3 A Dato: AI=3(BI) Sea BI= → AI=3 Del gráfico se puede ver que BCI ∼ ADI (AA) 3x R r D
∴ VTC=2π ( 2 + 2 )
VTC=π ( 2 ) ( 2 + 2 )
2π (2+ 2 )
3
x → AD = 3 x AD
ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de radio r y circunscrito a una circunferencia de radio R. Si BD interseca a AC en I, 3BI=AI y AB+CD=a cm (a > 0), calcule la longitud (en cm) de BC. A)	a 2 B)	a 3 C)	a 4
Como ABCD es circunscrito, entonces aplicamos el teorema de Pitot. AB + CD = x + 3 x dato
a=4x a x= 4
a D)	5
a E)	6
En un exaedro regular los puntos medios de sus aristas son los vértices de un poliedro. Determine volumen del poliedro la relación . volumen del exaedro A)	D)	1 2 B)	2 3 C)	3 4
L es una recta que contiene un punto C, ABC es un triángulo rectángulo (recto en B) cuyo cateto AB es paralelo a la recta L. Si BC = 3 cm y AB = 2 cm, entonces el volumen (en cm3) del sólido de revolución que se obtiene al girar el triángulo alrededor de L es: A)	2p	D)	B)	5π 2 C)	3p E)	4p
Resolución Tema: Volumen de sólidos
Nos piden volumen del poliedro volumen del exaedro
Resolución Tema: Pappus y Guldin G.
Recuerde que el centroide de una región triangular coincide con su baricentro.
a a a a pirámide a a a a
B 2 2m A
3 m x 3 2 C
El volumen del exaedro regular es (2a) =8a . El volumen del poliedro es el volumen del cubo menos 8 veces el volumen de la pirámide, entonces tenemos que  1 a2  5 Vpoliedro = 8a 3 − 8  a = (8 a 3 ) 3 2   6 luego volumen del poliedro 5 = volumen del exaedro 6 3
2· 3 = 3 2
 3 2m + ( 3 ) m     3 x= 2 =2 3m 3
Por Pappus 2 3 V = 2πx A = 2π   3  3  Por lo tanto
v
de las 24   nivel de   = v H 2O incremento bolas esféricas     24 × 4 3 ( πr = π × 5 2 ) × 4, 32 3
Despejando r =1,5 ∴	2r = 3
En un depósito cilíndrico de radio 5 m, que contiene cierta cantidad de agua; se introducen 24 bolas esféricas de igual radio. Si el nivel del agua se incrementa en 4,32 m, entonces el diámetro (en m) de las bolas es: A)	B)	C)	D)	E)	3,0 3,2 3,4 3,6	3,8
Halle el número de diagonales de un polígono regular ABCDE... sabiendo que las mediatrices de los lados AB y DE forman un ángulo de 60º. A)	90	B)	105	D)	135	C)	120 E)	150
Resolución Tema: Cilindro Análisis y procedimiento
Piden 2r
se introducen las 24 bolas esféricas
Resolución Tema: Polígonos Análisis y procedimiento
Nos piden ND: número de diagonales. C
4,32 m A
r r 5m
60º r H 19
L 1 y L 2: mediatrices de AB y DE
Sea n el número de lados del polígono regular. Del hexágono MBCDNH tenemos que a h c En el gráfico se cumple que a · b=c · h b
∑mi=720º
3q+180º+60º=720º →	q = 160º y θ = 180º (n − 2) n
Piden la distancia del centro a una cara. M
Luego, n=18 ND n ( n − 3) = 2 ND =
(18 ) (15 ) 2
3 2 x 3 B
∴	ND=135
Sea O: centro del octaedro OM = 3 2 OT ⊥ AMB →	OT: distancia del centro a una cara OT=x MOS 3⋅3 2 = 3 3 ⋅ x
La arista de un octaedro regular mide 6 m. Calcule la distancia (en m) del centro del octaedro a una cara. A)	B)	C)	D)	E)	3 5 6 7 8 \	x = 6
Resolución Tema: Poliedros regulares
En la figura, AB es el lado de un exágono regular inscrito en la circunferencia de centro O. El diámetro CD es perpendicular a AB y D es punto de tangencia. Si EF=3r. Determine el valor de E r 3/3 D A 30º E A O r D B F r O
Nos piden CF
CD 
3r F B
 CD
( π = 3,14 ) .
r C Calculamos CF. En el CDF, se aplica el teorema de Pitágoras.
  ( CF ) 2 = ( 2r ) 2 +  3r − r 3   3 
A)	1 4
B)	C)	1
( CF ) 2 = 4r 2 + 9r 2 + r − 2r 2 3 3
40  ( CF ) 2 = r 2  − 2 3   3  (CF)2=r 2(9,87) (I)	(valor aproximado)
Resolución Tema: Polígonos regulares
Si AB es lado de un exágono regular inscrito en C, entonces la m  AB = 60º y AB=r ; además, . m AD = m DB D A B
→ CF=r(3,14)	y como CD  = πr
CD  = 3, 14 r De (I) y (II) CF = 3,14r 3,14r
Por el vértice B de un triángulo rectángulo ABC (recto en B). Se traza BD perpendicular al plano ABC, el punto D se une con las vértices A y C. Si 36 3 u , entonces la 5 medida del diedro AC (en grados sexagesimales) es: AB=9 u, BC=12 u y BD = A)	37	B)	45	D)	54	C)	53 E)	60 Y θ β (– 4, – 3) X
En la figura mostrada (tanθ)(cotβ) es igual a:
Resolución Tema: Ángulo diedro
D (– 3, – 4)
36 3 5 β A 53º 9 h B
C 37º 12
A)	9 16
B)	1	C)	16 9
D)	7 2
Piden el valor de β. ABC (producto de catetos): 9(12)=15h 36 h= 5 Luego 36 3 5 36 5
Resolución Tema: Razones trigonométricas de ángulos en
posición normal Recuerde que
P(x, y) r
β ∴	β=60º
Piden: (tanθ)(cotb) Y θ β 90º – 90º (– 4, – 3) X
Calcule el valor de E=sec80º+8cos280º A)	4	B)	6	D)	10	C)	8 E)	12
Resolución Tema: Identidades de arco triple Análisis y procedimiento
Piden E=sec80º+8cos280º = 1 + 8 cos 2 80º cos 80º
Se observa que •	cot(90º + θ) = 4 3 4 3 −4 −3 Por ángulos complementarios cos80º=sen10º
− tan θ = tan θ = − Reemplazando 1 E= + 8 sen 2 10º sen 10º = 1 + 2 ( 4 sen 3 10º ) sen 10º
−4 •	tan(− 90º + β) = −3 4 − tan(90º − β) = 3 4 − cot β = 3 cot β = − 4 3
Recuerde que 4sen3x=3senx – sen3x
En el problema E= 1 + 2 ( 3 sen 10º − sen 30º ) sen 10º 1 + 6 sen 10º − 1 sen 10º
 4   4  16 (tan θ)(cot β) =  −   −  =  3 3 9
Al resolver la inecuación π arc senx − arc cot x < , 2 se tiene que x ∈ [a, b]. Calcule el valor de (a2+b2). 1 4 1 2 Del gráfico tenemos ∀ x ∈ [– 1; 1] verifica – arccotx<arccosx comparamos con x ∈ [a, b] ∴ a2+b2=2
A)	B)	C)	1 E)	4
D)	2	Alternativa
Resolución Tema: Funciones trigonométricas inversas
Recuerde que π arcsenx+arccosx= ; x ∈[– 1; 1] 2
Sea la función f(x)=arccosx+arccot x, cuyo rango es [m, M]. M Determine el valor de . m A)	B)	C)	D)	1 3 5 7
De la condición tenemos π arcsenx – arccotx< 2 π – arccot x< − arc sen x 2 – arccot x<arccos x
Resolución Tema: Funciones trigonométricas inversas Análisis y procedimiento
π π/2 y=arccosx X Nos piden el valor de Datos y=–arccotx f(x)=arccosx+arccotx; Rf=[m; M] M . m
Graficamos ambas funciones en su dominio de definición. Y
1 – π/2
Hallamos el rango de f(x). Debido a que la función arccosx y arccotx son funciones decrecientes, al analizar f(x), se define en un dominio de [– 1; 1]
Entonces establecemos que: 0 ≤ arccosx ≤ π	3π π  ≤ arccotx ≤  4 4 (I)
Resolución Tema: Ecuaciones trigonométricas Análisis y procedimiento
6sen(2x) – 8cosx+9senx – 6=0 12senxcosx – 8cosx+9senx – 6=0
Sumando (I) y (II) π 7π  ≤ arccosx+arccotx ≤  4 4 f(x) π 7π  ≤ f(x) ≤  4 4  π 7π  Rf =  ;  4 4 
Factorizando 4cosx(3senx – 2)+3(3senx – 2)=0 → (3senx – 2)(4cosx+3)=0
2 π π Como x ∈ − ; : sen x = 3 2 2 Como senx > 0 → x ∈ 0; π 2
Por lo tanto, existe un único valor para x.
π 7π y M= 4 4
M ∴ =7 m
En un triángulo acutángulo ABC. Calcule el valor de: E= satisfacen la A)	B)	C)	D)	E)	3 4 5 6 8 cos ( A − B) cos ( B − C ) cos ( A − C ) + + sen A  sen B sen B  sen C sen A  sen C
π π Cuántos valores de x ∈ − , 2 2 ecuación: 6sen(2x) – 8cosx+9senx – 6=0 A)	B)	C)	D)	E)	1 2 3 4 6
Resolución Tema: Identidad de ángulos compuestos
cos ( A − B) cos ( B − C ) cos ( A − C ) E= + + sen A sen B sen B sen C sen A sen C
x=cos2t	y=sen t	2
donde 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 Sumando (I) y (II) x+y=1
cos Acos B + sen A sen B cos Bcos C + sen B senC + + sen A sen B sen B senC
cos A cos C + sen A sen C sen A sen C
Se tiene la ecuación de un segmento de recta debido a que x e y están acotados.
E=cot Acot B+1+cot Bcot C+1+cot Acot C+1 Se sabe por propiedad que si A+B+C=180º, cot Acot B+cot Bcot C+cot Acot C=1
A es un segmento de recta
∴ E=4
En un triángulo ABC recto en A, el valor de la expresión:
C (a − b ) 2 + 4 ab sen 2   2  E= C (a + b ) 2 − 2bc cot    2
Sea A={(x, y) ∈ R2 / x=cos2t, y=sen2t; t ∈ R} Entonces podemos afirmar que: A)	B)	C)	D)	E)	A es una semicircunferencia A es un segmento de recta A es una semielipse A es una recta A es un segmento de parábola donde a, b y c son los lados del triángulo, es igual a: A)	– 2	B)	– 1	D)	2	C)	1 E)	4
Resolución Tema:
agudo Recordemos que •	2sen2q=1 – cos2q θ •	cot =cscq+cotq 2 Razones trigonométricas de un ángulo
Resolución Tema: Ecuación paramétrica de la recta Análisis y procedimiento
Sea A={(x, y) ∈ R2 / x=cos2t, y=sen2t; t ∈ R}
Dato B c A b a C =
( a − b ) 2 + 2ab (1 − cos C ) ( a + b ) 2 − 2bc ( csc C + cot C )
b ( a − b ) 2 + 2ab  1−    a = a  2 ( a + b ) − 2bc  + b  c c  
Nos piden C ( a − b ) 2 + 4 ab sen 2   2  E= C   2 ( a + b ) − 2bc cot   2  C  ( a − b ) + 2ab  2 sen 2      2   = C  ( a + b ) 2 − 2bc cot   2 
2 2 a −b
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