Source: https://es.scribd.com/doc/150522959/Lenguaje-algebraico
Timestamp: 2016-04-29 11:06:01+00:00

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Se puede pensar que el álgebra comienza cuando se empiezan a utilizar letras para representar números, pero en realidad comienza cuando los matemáticos empiezan a interesarse por las operaciones que se pueden hacer con cualquier número, más que por los mismos números, y así el gran paso de la aritmética al álgebra. La utilización de letras dentro del ambiente matemático es muy antigua, ya que los griegos y romanos las utilizaban para representar números bien determinados Las ecuaciones y sus soluciones son de mucha importancia en casi todos los campos de la tecnología y de la ciencia. Una fórmula es el enunciado algebraico de que dos expresiones representan al mismo número. Por ejemplo, la fórmula del área de un círculo es: A = π r 2 . El símbolo A representa el área, lo mismo que la expresión: π r 2 , pero aquí el área se expresa en términos de otra cantidad, el radio: r . A menudo es necesario resolver una fórmula para una letra o símbolo que aparecen en ella. En la práctica es necesario plantear ecuaciones para ser resueltas y no siempre es fácil identificar la información que nos lleva a la ecuación. Los problemas de aplicación no vienen en forma “ resuelva la ecuación”, sino que son relatos que suministran información suficiente para resolverlos y debemos ser capaces de traducir una descripción verbal al lenguaje matemático. Cualquier solución matemática debe ser verificada si es solución del problema en cuestión, porque podría tener solución matemática que carezca de sentido con el contexto del problema. Los problemas que se te proporcionará serán de mayor o menor realismo con objeto de presentarte ejercicios para calcular el o los valores de x a lo largo de toda la unidad.
En este capítulo: • Recordaremos los conceptos necesarios para operar correctamente con igualdades. • Desarrollaremos habilidad para resolver problemas aplicando ecuaciones de primero y segundo grado en una y dos incógnitas y sistemas de ecuaciones de primer grado en dos incógnitas. • Repasaremos cuestiones de álgebra elemental, casi todo lo que diremos podría considerarse de repaso de cursos anteriores. • Integraremos todos los conceptos dados hasta ahora.
2.1 El álgebra y el lenguaje simbólico
¿Qué es el álgebra?. Es el manejo de relaciones numéricas en los que una o más cantidades son desconocidas, incógnitas, a las que se las representa por letras, por lo cual el lenguaje simbólico da lugar al lenguaje algebraico. Las operaciones para números: suma, resta, producto, división, son conocidas como operaciones algebraicas y cualquier combinación de números y letras se conoce como expresión algebraica. Por lo tanto, al traducir un cierto problema al lenguaje algebraico, se obtienen expresiones algebraicas, que son una secuencia de operaciones entre números y letras. Las letras se las denomina, en general, variables o incógnitas y las simbolizamos con las últimas letras del alfabeto, en cambio las primeras letras se emplean para simbolizar números arbitrarios pero fijos, que llamamos constantes.
Frecuentemente aparecen igualdades que son de distinto tipo: identidades, ecuaciones y fórmulas. Las operaciones básicas con expresiones algebraicas, se utilizan en el importante proceso de resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y otras importantes aplicaciones de ellas. Ejemplos: Escribir en lenguaje algebraico las siguientes oraciones: a) La base es el doble que la altura. Si llamamos b = base y h = altura , la expresión algebraica es: b = 2 h , pero también se podría haber llamado x = base e y = altura entonces se obtendría: x = 2 y . b) Dos números pares consecutivos. 2n representa un número par, el siguiente número par es 2n + 2 , donde n es cualquier número entero.
1.- Escribir en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados. a) El cuadrado de la suma de dos números reales es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto. b) El espacio recorrido por un móvil es igual a su velocidad por el tiempo que está en movimiento. c) Un número elevado a la 10 significa multiplicar 10 veces ese número. d) El producto de dos potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican. e) La suma de tres números enteros es 54. f) Escribir un número natural, su anterior y su posterior. g) La superficie de un cuadrado de lado x es 121. h) El cociente de dos potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes de las potencias que se dividen
La igualdad, es el símbolo que más veces se utiliza en Matemática. Gran parte de los desarrollos matemáticos consisten en la transformación de una expresión en otra igual a ella. La igualdad verifica las siguientes propiedades: • Para todo a, se verifica a = a • Para cualquier par de números a y b, si a = b entonces b = a. • Para cualquier terna de números a, b y c, si a = b y b = c entonces a = c. • Si a los dos miembros de una igualdad se le suma (o resta) el mismo número, se obtiene otra igualdad. • Si a los dos miembros de una igualdad se la multiplica (o divide) por el mismo número distinto de cero, se obtiene otra igualdad. Estas dos últimas propiedades se utilizan continuamente para hallar la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones. Una identidad es una igualdad algebraica válida para cualquier número real que se le asigne a las letras que intervengan.
a m ⋅ a n = a m + n . recibe el nombre de identidad. x + y = 1.
¿Cuál es la ventaja de las identidades? Que se puede transformar una expresión algebraica en otra equivalente mediante operaciones elementales. 2. La solución es x = 10 . Para resolver una ecuación se utiliza las propiedades de la relación de igualdad y las propiedes de los números. sólo 2
es cierta para x = 2.
d) x ⋅ x ⋅ x = x e) x ⋅ x = x f) x ⋅ x 2 = 729 . e incluso infinitas soluciones. que la satisfacen. sólo es cierta para x = 10 .3 Ecuaciones y resolución de problemas
Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras ligadas mediante operaciones algebraicas. Averiguar si las siguientes igualdades son identidades: a) a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c b) a + a + a = 3a
c) a + a + a = 15 .
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones y verificar el resultado. La expresión 2(x − 5 ) + 1 = 2 x − 9 .
sen x = 0 y otras que no tienen solución como: x + 3 = x. que no es una identidad. resolver una ecuación es obtener las soluciones. es una identidad que se ha visto en la unidad anterior. hasta obtener la solución. por que es verdadera para todos los números reales. se llaman incógnitas. 3.
−2 x = 8
(− 2x ) ÷ (− 2) = 8 ÷ (− 2)
. Una expresión como x + (x + 1) + (x + 2) = 33 es una ecuación. a) −2x − 3 = 5 Solución: a)
−2 x − 3 + 3 = 5 + 3
b) 5(x + 3) = 2x + 3
(sumamos a ambos miembros 3) (realizamos las operaciones posibles) (dividimos ambos miembros por −2 ) (realizo las operaciones). que es el valor de la incógnita que hace cierta la igualdad inicial. usar identidades para obtener la expresión de la derecha: a) b) c)
(x + 3 )(x + 3) − (x 2 + x + 6 )
− 1 − (x − 1)2
(x + 2) (x + 6) − (x + 2)(x + 5)
1 (2x + 4) − x = x es una igualdad algebraica. Partiendo de cada una de las expresiones de la izquierda. Por lo tanto. cuyos valores son desconocidos. 2. Resolver una ecuación consiste en transformar la igualdad en otra equivalente más sencilla. si existen. Escribir cinco identidades que se han visto en la unidad anterior.
3.Ejemplos: 1. por ejemplo. Las letras. Hay ecuaciones con muchas soluciones.
esta ecuación no tiene solución.Por lo tanto. 2.
2. b ∈ R
Se llama de primer grado porque la incógnita sólo aparece elevada a la potencia uno. son ciertas para cualquier número real. tienen infinitas soluciones. es conveniente verificar en la ecuación original. 4 Queda para el lector verificar que efectivamente es la solución de la ecuación dada. Si reemplazamos en la ecuación original: −2 (−4 ) − 3 = 8 − 3 = 5 .. A la solución también se le llama raíz de la ecuación. no existe ningún número real x que satisfaga la igualdad. Por lo tanto. son identidades.Sea x = x − 3 . vemos que la verifica.Resolver las siguientes ecuaciones: a) 4x − 1 = 2 − 4x
2x + 1 x − 1 x − 3 − = 5 6 2 e) 6 x − 24 = 5(x − 4 ) + x − 4
b) 22 x − 7 x − d)
15 ⎛7 ⎞ = 10 − ⎜ x − 1⎟ 2 ⎝2 ⎠
x + 1 15 x + 11 = 2 6 f) 25x − 18 = 20 − 5(x + 3) + 30x
.. 3.Consideremos la ecuación x − 2 = 5 x − 3 .Expresiones como: x = x ó 3 x − 2 = 2 (x − 1) + x . 3 . verifica la igualdad: 5(− 4 + 3 ) = 2(− 4 ) + 3 →
Nota: Para asegurar que el valor encontrado es la solución buscada.. no es de la forma (1). a.
1.. x = − 4 es la solución. pues si reemplazamos en ella se 5 (− 1) = −8 + 3 → − 5 = −5 . x = −4 es la solución de la ecuación dada.1 Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a una expresión de la forma:
a x + b = 0 con a ≠ 0 . operamos y obtenemos 0 x = − 3 . pero operando 1 algebraicamente obtenemos 4 x − 1 = 0 → x = que es la solución de la ecuación.
5 x + 15 = 2 x + 3 5 x + 15 − 15 = 2x + 3 − 15
5 x = 2x − 12
5 x − 2 x = −12
(en el primer miembro hemos aplicado la propiedad distributiva) (restamos a ambos miembros 15 o sumamos el opuesto de 15) (realizo las operaciones) (sumamos el opuesto de 2x o restamos 2 x ) (realizo las operaciones) (dividimos ambos miembros por 3) (realizo las operaciones)
3 x = −12
(3 x ) ÷ 3 = (− 12) ÷ 3
x =− 4
. con lo cual obtenemos: x 1 = 10
x2 = −10 .Indicar cuál de las siguientes ecuaciones es de primer grado y luego encontrar su solución.. 2.a) La suma de tres números enteros consecutivos es 48. decimos que la ecuación es de grado dos y la llamamos ecuación cuadrática.La expresión 4 − x = 3x 2 + 5 es una ecuación con una incógnita. que
son las dos soluciones de la ecuación cuadrática. b. pues operando queda
t 3 + 2t 2 − 2t + 21 = 0 .
2 .. 3..2 − 4(x − 3) = 2x − 2 i)
h) 2(x − 3 ) + 4(x + 5 ) = 6 j) (x − 3) x = x 2
2 1 = x 4
2.La expresión t (t + 1)2 = 3 (t − 7) es una ecuación de grado 3.g) [2(x − 3) − 2]. con una incógnita y se llama de primer grado. Veamos algunas resoluciones sencillas mediante los siguientes ejemplos:
1.a) 4 x 2 = 400 . c ∈ R y a ≠ 0
Observamos que la incógnita aparece elevada a la segunda potencia. ¿Cuánto vale cada número? b) Encuentre tres números impares consecutivos cuya suma es igual a 117. 2 x + 1 15 x + 11 = 2x + 5 = a) b) 2 6 x +1 2 c) 5 + x = d) x 2 − 1 (x + 1) = 0 x +3
3. 3 .. 4.De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido. a. El grado de una ecuación es el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita.
Ejemplos: 1. 2 Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Se llama ecuación de segundo grado con una incógnita a una expresión de la forma:
ax 2 + bx + c = 0 . o de segundo grado.. de grado 2.
Una ecuación de segundo grado tiene a lo más dos raíces. después la tercera parte del resto y quedan aún 1600 litros.La expresión 2x + 3 = 5(x − 3) es una ecuación de grado 1.
4.La expresión (x + 2) (x + 3) = 0 es una ecuación de segundo grado porque operando
obtenemos: x 2 + 5 x + 6 = 0 .. Calcular la capacidad del depósito en centímetros cúbicos.
.. mediante operaciones algebraicas obtenemos: x 2 = 102 y aquí recordamos
la propiedad de los números
x 2 = x .
en este caso no es sencillo despejar la incógnita para encontrar las raíces. 2 =
− 1 ± 12 − 4 ⋅ 1(− 6 ) 2 ⋅1
− 1 ± 1 + 24 − 1± 5 = 2 2
cuyas soluciones son: x1 = 2 y x2 = −3 . por definición de valor absoluto. b = 6 y c = 1. = −c = − 4ac = b 2 − 4ac = b 2 − 4ac = = b − 4ac b − 4ac
sumamos a ambos miembros − c . Por lo tanto. el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto.9 x 2 + 6 x + 1 = 0 . las raíces buscadas son: t1 = 0 y t 2 = 10 .10.2 = − 6 ± 62 − 4 ⋅ 9 ⋅ 1 2⋅9 = 1 − 6 ± 36 − 36 −6±0 = =− 18 18 3
La deducción de la fórmula es la siguiente:
ax 2 + bx + c ax + bx 4a x + 4abx 4a 2 x 2 + 4abx + b 2
= 0. tenemos la fórmula (3)
x1. b coeficiente del término lineal y c el término independiente. de donde se obtiene. despejando x.
2.. entonces . de la siguiente manera: a el coeficiente del término cuadrático.. debemos aplicar la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.2 =
El doble signo en la fórmula antes de la raíz cuadrada.x 2 + 10 x + 8 = 0 . observamos que el primer miembro es un producto de dos factores: t y t . aplicamos raíz cuadrada aambos miembros. completamos mediante operaciones algebraicas para obtener las raíces:
x1 = 400 21 y
x 2 = − 400 21 y racionalizando resulta: x1 =
20 21 y 21
− 20 21 21
2. multiplica mos a ambos miembros por 4a.2 = − b ± b 2 − 4ac 2a
Identificamos los coeficientes a. b = 10 y c = 8.b) 21 x 2 = 400 . b = 1 y c = − 6 y reemplazando en (3) obtenemos:
x1. aplicando la fórmula (3). uno de los factores es cero.. nos proporciona las dos soluciones que tiene una ecuación cuadrática. por lo tanto reemplazando en (3):
x1. análogamente observando la ecuación tenemos: a = 2.
(2ax + b )2 (2ax + b )2
2ax + b 2ax + b
= ± b − 4ac
En consecuencia. 3.t (t − 10) = 0 . sumamos a ambos miembros b 2 .10 = 0. t = 0 ó t = 10 . Si el producto de dos factores es cero. implica t = 0 ó t . En este ejemplo.
Ejemplos: Encontrar las dos raíces de las ecuaciones de segundo grado: 1.. b y c. En nuestro caso: t(t . (2). Considerando la ecuación general de segundo grado. las soluciones se encuentran usando la fórmula:
x1. tenemos a = 1 .x 2 + x − 6 = 0 . a = 1.10) = 0.
2. las raíces son reales e iguales y el último no tiene solución real. x1.
(− 2 )2 − 4 ⋅ 1⋅ 5
a x2 + b x + c = 0 d = b2 – 4 a c
Solución real d ≥0
Sin solución real d <0
Reales e Iguales d =0
Reales y Distintas d >0
1: Dadas las ecuaciones: 2 a) 9 = 5 y − 3 . Analicemos cada una de las soluciones de los tres ejemplos anteriores. − 1 2 . b) = 2x + 5 . c) 6y + 5 = 2y + 7 ..cuyas soluciones son: x1 = x2 = −
3.5. en el segundo.Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado pero previamente identificar si son o no completas: a) 2 t 2 + 4 t − 6 = 0 d) b) (t + 7) (t − 1) + (t + 1)2 = 0 e) t 2 + 4 t = 0 c) x 2 − x − 2 = 0 f) t 2 − 1 = 0
(v + 7 )(v − 3 ) = 0
3. d) 3 x 2 − 6 = (x + 2)(x − 3) y las x +1 soluciones: −0. y si d = 0 . si d < 0 no tiene solución real.Utilizando el discriminante decir qué tipo de soluciones tienen las siguientes ecuaciones: a) x 2 − 4 x + 3 = 0 c) x 2 − 2 x + 14 = 0
⎛x⎞ b) ⎜ ⎟ − x − 3 = 0 ⎝2⎠
d) x2 − 2 x − 4=0 39
. 1 2 . Sea d = b 2 − 4ac . b = − 2 y c = 5 . por lo tanto reemplazando en (3):
2 ± − 16 = 2 ⋅1 2 como recordamos la raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución real.4 ..2 = Analicemos el radicando de la fórmula (3). − 3 . las raíces reales coinciden.x 2 − 2x + 5 = 0 .Sin resolver las ecuaciones determinar el carácter de sus raíces: a) 4 x 2 + 12 x + 9 = 0 b) 2 t 2 − 4 t + 1 = 0 c) x 2 + 4 x + 6 = 0
4. 2.. 0. En el primero observamos que tiene dos raíces reales distintas. averiguar a cuál ecuación corresponde cada solución y determinar el grado que tiene cada ecuación. si d > 0 tiene raíces reales distintas. finalmente aquí tenemos: a = 1 . llamado discriminante..
Tiene como solución un par de valores (x. 7. Cada punto P(x. ⎨ ⎩F2 = 10 3 + 4y = 1 y x x⋅y = 1
3. 4 Sistemas de ecuaciones y resolución de problemas
Un comercio vende calculadoras aritméticas a $7. la ecuación dada tiene infinitas soluciones. Como la circunferencia tiene infinitos puntos.50 x + 18.a) Efectuar el producto (x . si llamamos x a la cantidad de calculadoras aritméticas e y a la cantidad de calculadoras científicas.Para la ecuación x 2 + bx + c = 0 con b. 5 2) . tiene infinitas soluciones.
. La linealidad viene dada por que ambas incógnitas están elevadas a la potencia uno y no se multiplican entre sí. c) ¿Existe alguna relación entre los coeficientes –7 y 12 con las soluciones x 1 = 3 y x 2 = 4 ? 6. 0).
En el capítulo 6 retomaremos el tema de ecuaciones lineales.. Cierto día el comerció vendió 16 calculadoras por un importe total de $193.4) (x – 3) . (− 2. .¿Cuál es el número cuyo triple supera en dos a su cuadrado?
2 .. podemos traducir el problema al lenguaje algebraico de la siguiente manera: x + y = 16 que es el total de calculadoras vendidas y por otro lado el monto total vendido: 7.Las expresiones
no son lineales.5.Al determinar las fuerzas F1 y F2 que actúan sobre una viga.La expresión x 2 + y 2 = 36 es una ecuación de segundo grado en dos variables.y) que la satisfacen.El cuadrado de un número entero es igual al siguiente multiplicado por − 4 .
⎧F1 = 80 . y) de la circunferencia es solución de la ecuación. b) Resolver la ecuación x 2 − 7 x + 12 = 0 . como
⎧ x =4 ⎧x = 5 ⎧x = − 2 ⎧x = − 4 ..¿Cuál es el número? 8. por ejemplo: ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ y = 5 2 y = − 1 y = 2 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ y =−2 o también se pueden escribir como par ordenado: (4. (− 4.50. . (5. b .
4. etc. que es la ecuación de la circunferencia de radio 6 y centro en (0. ¿Cuántas calculadoras eran aritméticas? Primero identificamos que hay dos tipos de calculadoras en venta.. c ∈ R ..
Ejemplos: 1. − 1) .
2 . demostrar: x1 + x2 = -b y x 1 ⋅ x 2 = c . podemos encontrar una ecuación tal como 2F1 + 4F2 = 200 que tiene como soluciones:
⎧F1 = 99 ⎨ ⎩F2 = 1 2
.. 3 . del tipo a x + b y + c = 0 con a .50 y científicas a $18.. c ∈R cuyas raíces son x1 y x2 . A este tipo de ecuaciones también se las suele llamar ecuaciones lineales.50 .. etc. 2) .x − 2 y = 0 es una ecuación lineal en dos variables: x e y .00. 3 Ecuaciones con dos incógnitas
Ya hemos visto ecuaciones del tipo a x + b = 0 (de primer grado con una incógnita) y ahora veremos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. − 2)
2.00 y = 193.
Esta es la supuesta solución del sistema. el par (x . Estos métodos se basan en una secuencia de operaciones elementales. Regla de Cramer (o Determinantes) . el valor de las incógnitas. como también en ciencias humanas y sociales. es encontrar la solución. 4 . es decir. Además hay otros métodos: Gauss. llevamos este resultado a la ecuación despejada en el paso 1 para obtener la otra incógnita. para estar seguros debemos verificar los valores en ambas ecuaciones de (1). por ejemplo
x = 16 − y
a esta expresión la reemplazamos en la segunda ecuación 7.50
2. Hay métodos convencionales de resolución de sistemas lineales: Sustitución. sociología). La respuesta al problema es: Respuesta: El negocio vendió 9 calculadoras aritméticas. ya que proveen la misma solución. (economía.50 .Estas ecuaciones determinan el siguiente sistema:
⎧x + y = 16 ⎨ ⎩7.50 → y = 7 .
⎧9 + 7 = 16 ⎨ ⎩7.Luego. para ello se siguen ciertas técnicas que dependen de la situación de cada sistema.50 (16 − y ) + 18. significa encontrar valores para las incógnitas x e y que satisfagan simultáneamente las dos ecuaciones. es decir.50y = 193. pues cualquier método de resolución de sistemas es válido. es la incógnita más fácil de despejar.00 y = 193.50
resolverlo. pero para un sistema de más de tres variables es conveniente utilizar otros métodos. ciencias naturales. psicología.50 x + 18. Los sistemas lineales aparecen frecuentemente en situaciones de la física. Otra cuestión para resaltar es que a los sistemas sencillos de dos y tres variables por lo general es más fácil de resolverlos por los métodos convencionales... etc.Verificar la solución obtenida en ambas ecuaciones. es la manera más natural de resolver un sistema.00 y = 193. operando algebraicamente: 120 + 10. llevamos este valor a (2) y obtenemos x = 9 . Despejamos indistintamente x ó y de la primera ecuación.1 Método de Sustitución
Como su nombre lo indica. Resolverlos.. Eliminación (o Reducción por suma o resta) e Igualación.. se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se sustituye en la otra. 4.50 ⋅ 9 + 18.Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación y nos queda una ecuación en una incógnita y se resuelve. 3.00 ⋅ 7 = 193. 2.Elegimos una de las ecuaciones para despejar una de las incógnitas en términos de la otra. y ) = (9. Los pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son:
1. química. 7 ) es solución matemática del sistema. en general. Repasaremos dos métodos de resolución de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Queda para el alumno identificar los pasos sugeridos.. tiene solución única: (xo . efectivamente se cumplen las dos igualdades. El sistema es determinado.1 − 2 (− 1) = 5 . vemos que es más sencillo despejar y de la segunda: y = 5 x − 6 .El sistema ⎨ .Resolver el sistema ⎨ ⎩5 x − y = 6
Observamos ambas ecuaciones. − 1 9 ) . y o ) = (2 3 . y o ) = (2 3 . − 1) ..1 − 6 = −1 . sustituimos este valor de x en la expresión despejada de y : y = 5. ⎧2 x − 3 y = 7 4.Resolver el sistema ⎨ . Por la tanto: (xo .1 + 1 = 6 que la única solución es: (x . 3 9 Paso 4: Sustituimos (2 3 . y ) = (1.. la solución es: (xo . llevamos esta expresión a la primera ecuación: 3 x − 2(5 x − 6 ) = 5 .Ejemplos:
⎧2 x + 3y = 1 1. para ello reemplazamos el par obtenido en ambas ⎧3. − 1) ..
Paso 3: El y correspondiente lo obtenemos sustituyendo este valor de x en (1): 4 1− 3 1 y = = − . para verificar que es solución:
⎧ 2 ⎛ 1⎞ ⎪2 + 3⎜ − ⎟ = 1 ⎪ 3 ⎝ 9⎠ operando ⎨ 1⎞ ⎪2 2 − 6⎛ ⎜− ⎟ = 2 ⎪ ⎝ 9⎠ ⎩ 3
⎧4 1 ⎪3 − 3 = 1 ⎪ ⎨ ⎪4 + 2 = 2 ⎪ ⎩3 3
Como se verifican ambas. ⎩2 x − 6 y = 2
Paso 1: Después de observar ambas ecuaciones. podemos despejar y de la primera ecuación: 1 − 2x 2x + 3y = 1 → y = . cuya solución es: x = 2 3 . Por lo tanto. ⎧x + 0y = 4 2. − 1 9 ) en ambas ecuaciones. (1) 3 Paso 2: Reemplazamos ahora en la segunda ecuación:
⎛ 1 − 2x ⎞ 2x − 6 ⎜ ⎟=2 ⎝ 3 ⎠
Nos queda una ecuación de primer grado en una incógnita. y ) = (1. y o ) = (4.Resolver el sistema ⎨ ⎩4 x + 5 y = 3
. − 1 9 ) . la solución aparente que obtuvimos es: (x . Verifiquemos si es solución del sistema. operando algebraicamente obtenemos: x = 1 . 5 ) . pues es evidente que verifica ⎩0 x + y = 5 ambas ecuaciones. esto quiere decir ecuaciones: ⎨ ⎩5.
⎧3 x − 2 y = 5 3.
⎧6 x + 10 y = 8 6. luego la supuesta solución es (x . (2
son soluciones. Para cualquier número real que se asigne a t. en este caso.
1 . se dice que el sistema es indeterminado. resolviendo obtenemos: 0 x = −2 . (2. y ) = ⎜ ⎜
⎧2 x + y = 5 7. vemos que la primera ecuación multiplicada por − 3 . por ejemplo: (0. 2 2 Queda para el lector verificar el paso 4 y resolver el sistema nuevamente despejando la incógnita y. en forma general la solución del sistema se puede expresar como (t . Por lo tanto. ⎧3 x − 5 y = 4 8. ahora llevamos este valor a 2 2⎠ ⎝
3 (− 1) + 7 = 2 . 4 )... el sistema tiene infinitas soluciones. esto nos dice que en realidad tenemos una sola ecuación con dos incógnitas. válida para todo valor de x ó de y. nos decidimos por la primera ecuación: x = y + y la reemplazamos 2 2 7⎞ ⎛3 en la segunda: 4 ⎜ y + ⎟ + 5y = 3 . − 1) . (x . pues si a la primera la dividimos por 2 tenemos una sola ecuación. luego el sistema no tiene solución o también se dice que el sistema es incompatible o inconsistente. 4 − 2t ) .. las infinitas
− 5x ⎞ ⎟ de una ecuación también lo son de la otra. es decir. Si observamos detenidamente el sistema..Resolver el sistema ⎨ ⎩3 x + 5 y = 4 Observamos que las dos ecuaciones son prácticamente la misma.Resolver el sistema ⎨ ⎩4 x + 2 y = 8 Despejamos y de la primera ecuación: y = −2 x + 5 y la reemplazamos en la segunda: 4 x + 2 (−2 x + 5 ) = 8 . A continuación veremos dos ejemplos con otras características:
x. porque todos tienen solución. y ) = (2. resolviendo tenemos y = −1.y = 0 .
la expresión despejada de x : x =
Los cuatro ejemplos anteriores muestran sistemas con solución única. obtenemos el valor de y correspondiente. operando obtenemos 0 x = 0 . Operando se llega a una expresión del tipo 0. donde t es un número real. veamos ahora el siguiente ejemplo: ⎧2 x + y = 4 5.Resolver el sistema ⎨ ⎩− 6 x − 3 y = −12 Despejamos y de la primera ecuación y = 4 − 2 x . También en este caso se dice que el sistema es indeterminado. esta igualdad se cumple para cualquier valor de x . nuevamente se dice que el sistema no tiene solución o que es incompatible (inconsistente) y en este caso se llega operando a una expresión del tipo 0 x = 2 ó 0 y = 2 . etc. 3 ).Después de observar ambas ecuaciones vemos que es indistinto la incógnita a elegir para 3 7 despejar. − 6x − 3 (4 − 2x ) = −12 .. es igual a la segunda. ¡¡absurdo!!.. reemplazamos en la segunda ecuación.Resolver el sistema: ⎨ ⎩3 x − 5 y = 2 Es imposible encontrar una misma solución para ambas ecuaciones. por lo tanto tiene infinitas soluciones. 3 ⎟ ⎠ ⎝ En los seis ejemplos anteriores los sistemas son compatibles o consistentes. 0 ) .
. Es decir.x = 0 ó 0.
c1 . Estos resultados podemos resumirlos en el siguiente cuadro:
Sistemas compatibles o consistentes
Sistemas incompatibles o inconsistentes
Solución Única o Sistema determinado
Infinitas Soluciones o Sistema Indeterminado
1. a 2 . 3. ¿Cuáles son los números? 4. ¿Cuáles son las dimensiones del campo si se sabe que la diferencia entre la longitud y el ancho es de 5 Km?
.. es encontrar un par ( x o . c 2 ∈ R .El perímetro de un rectángulo mide 17 cm y su base mide 0. Se quiere averiguar cuales son las medidas en metros del rectángulo. hemos analizado sistemas del tipo:
⎧a1x + b1y = c1 ⎨ ⎩a 2 x + b2 y = c 2
Resolver un sistema de ecuaciones (1). b2 .1 dm más que el doble de la altura..La suma de dos números es 81 y la diferencia del doble de primero y el triple del segundo es 62. y o ) que será solución del sistema si y sólo si.. es decir.Resumiendo: Dados a1 .Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
⎧3 x + 2 y = 78 a) ⎨ ⎩4 x + y = 54 ⎧4 x − 3y = 12 d) ⎨ ⎩6 x + 5 y = −1 ⎧2 x − y = 1 g) ⎨ ⎩4 x − 2 y − 4 = 0
⎧4 x − 3 y = 24 b) ⎨ ⎩x 5 = y 4
⎧− 3 x + 7 y = 4 ⎪ e) ⎨ 3 7 ⎪− x + y = 4 5 ⎩ 5
⎧3 x + 2 y = 14 c) ⎨ ⎩2 x + y = 8 ⎧2 x − 5 y = 3 f) ⎨ ⎩3 x − 5 y = −10
⎧ x − 2y = −4 h) ⎨ ⎩3 x − 6 y + 12 = 0
⎧a1x o + b1 y o = c1 ⎨ ⎩a 2 x o + b2 y o = c 2
El sistema (1) puede tener una ó infinitas soluciones ó no tener solución. b1 .Se necesitaron 30 Km de cerca para un campo rectangular.. verifica ambas ecuaciones simultáneamente.
y ) = (5. para igualar los coeficientes de ⎧ 2 x + 3 y = 19 . restando miembro a miembro tenemos x = 5. en ambas ecuaciones. Ejemplos: Resolver los sistemas: a)
⎧3 x + y = 7 ⎨ ⎩3 x − 5 y = 1
⎧2 x + 3 y = 19 b) ⎨ ⎩4 x + y = 23
⎧3 x − 6 y = 2 c) ⎨ ⎩5 x + 4 y = 1
a) Después de observar el sistema vemos que x tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones. multiplicando (dividiendo) por una constante (número) adecuada para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente. se obtiene una ecuación con una incógnita menos .
. 2.Preparamos ambas ecuaciones.Restamos (o sumamos). salvo signo que puede ser positivo (o negativo). esto quiere decir que se redujo el número de incógnitas... restamos miembro a miembro y obtenemos y = 3 . miembro a miembro ambas ecuaciones y con ello desaparece una incógnita. restando o sumando miembro a miembro las ecuaciones. la solución única es: (x .. 1) ⎩3 ⋅ 2 − 5 ⋅ 1 = 1
b) En este ejemplo después de observar el sistema.Verificar la solución obtenida. Los pasos a seguir son:
1. 2 Método de Reducción por suma o resta o de Eliminación
Recordemos que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjuntos solución. en ambas ecuaciones. si dividimos por 3: 1 ⎧2 x+y = ⎪ ⎪3 3 ⎨ ⎪4 x + y = 23 ⎪ ⎩
Queda para el lector completar el ejemplo y verificar que se obtiene la misma solución. El método de reducción consiste en transformar el sistema dado en uno equivalente. ⎨ ⎩ 4 x + y = 23 Ahora multiplicamos la segunda ecuación por 3.2. Luego.
⎧3 ⋅ 2 + 1 = 7 Verificación: ⎨ . 5. 3 ) Verificación: ⎨ ⎩4 ⋅ 5 + 3 = 23
Segundo: En la primera ecuación podemos igualar los coeficientes de y. de allí el nombre de reducción o eliminación. en nuestro caso a una ecuación. 4..Luego a este resultado lo llevamos a cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para obtener la otra incógnita (o podemos emplear la misma técnica para despejar la otra incógnita).Resolvemos la ecuación obtenida. luego. 3. ⎨ ⎩12 x + 3 y = 69
⎧2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 3 = 19 . así reducimos el número de ecuaciones. tenemos dos posibilidades: Primero: Igualamos los coeficientes de x multiplicando por 2 la primera ecuación: ⎧4 x + 6 y = 38 . 4. En esencia consiste primero en ver si alguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones. luego la solución única es: (x . según signo del coeficiente.. si no es así se trata de acomodar para que así lo sea. finalmente reemplazado en la primera ecuación resulta x = 2. por lo tanto restando miembro a miembro obtenemos la ecuación: y + 5 y = 6 de donde y =1. y ) = (2.
esto se debe a menudo. En los problemas nos planteamos la o las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas. pero no está explícitamente establecida. para ello procedemos de la siguiente ⎧15 x − 30 y = 10 manera.
Segundo: Podríamos haber elegido de igualar los coeficientes de y. física.El perímetro de un triángulo isósceles es de 18 cm. a las personas de la tercera edad se les hace un descuento de 2$.
. Son ellas y sus soluciones de gran importancia en casi todos los campos de la tecnología y de la ciencia. Lo haremos por este último. el cine vendió 525 boletos y recaudó 3580$.. ahora ⎩15 x + 12 y = 3
restamos miembro a miembro: 42 y = −7 . finalmente miramos el sistema dado y vemos que nos conviene reemplazar en la primera ecuación y obtenemos el valor de x = 1 3 . COMPLETAR LOS PASOS INTERMEDIOS DE LOS TRES EJEMPLOS. es decir.
Queda para el lector encontrar el valor de y por este segundo camino. y = − 1 6 . ¿Cuántos boletos vendió de cada tipo? 5.. En una tarde. por lo tanto. Escribir la solución y verificarla. 5 Cómo plantear y resolver Problemas
A lo largo del desarrollo de esta unidad hemos visto problemas sencillos.Resolver los siguientes sistemas: a)
⎧3 x − y = 7 ⎨ ⎩2 x + 3 y = 1
⎧2x + 3y = 7 b) ⎨ ⎩− 2x − 2y = 4
⎧5 x − y = 12 c) ⎨ ⎩x + y = 3
1 ⎧ 2x + y = 0 ⎪ ⎪ 2 d) ⎨ ⎪3x − 4y = − 19 ⎪ 2 ⎩
2. Queda para el lector la verificación de que la solución única es: (x. A continuación mostraremos la forma en que se utilizan las expresiones algebraicas para plantear y resolver ecuaciones lineales y /o cuadráticas en alguna de sus aplicaciones. − 1 .Un cine vende boletos a 8$ cada uno pero. Al salir uno de ellos le pregunto al otro: “¿Cuántos pavos y corderos había? Averígualo. Además.b) En este sistema las incógnitas no tienen coeficientes iguales ni tampoco múltiplos uno del otro. multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda por 3: ⎨ .
1. 3. Primero: Tratamos de igualar los coeficientes de x.. a que parte de la información se infiere. ingeniería y otros campos. Cada uno de los lados iguales es 3 unidades mayor que la base. ¿Cuáles son las medidas de los lados en metros?
2 . ¿Cuántas habitaciones de cada tipo tiene el hotel? 4.. y ) = 1 . multiplicando la primera ⎧6 x − 12 y = 4 ecuación por 2 y la segunda por 3: ⎨ . vi 72 ojos y 122 patas”. en esta sección veremos gran cantidad de problemas resueltos para que tengamos al menos una base y técnicas para resolverlos.. Lo difícil es identificar la información que nos lleva a la ecuación que debemos resolver.En un hotel hay habitaciones simples y dobles.Dos amigos fueron de visita a una granja en la que había pavos y corderos. sumando miembro a miembro resulta ⎩15 x + 12 y = 3 x =1 3. Una de las aplicaciones más importantes se presenta en matemáticas. tenemos dos opciones para resolverlo: elegir el método de sustitución o el método de reducción. Tiene un total de 50 habitaciones y 87 camas.
EJECUTAR el plan IV.EXAMINAR la solución obtenida: Supone: Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. • Si hay alguna figura relacionada con el problema. sino nos serán útiles cuando se nos presenten a lo largo de la carrera y por lo tanto estaremos mejor preparados. • Introducimos una notación adecuada.. Se debe poner atención en la solución. qué cálculos.
IV. Para concebir un plan debemos tener claro si nuestros conocimientos son suficientes. • Encontramos la relación entre los datos y las incógnitas.. Cuando tropezamos con alguna dificultad que nos deja bloqueados.
. puesto que es imposible resolver un problema si desconocemos por completo el tema del cual trata. qué es lo que se conoce del problema. III.. alejada de todo mecanicismo.
En síntesis.COMPRENDER el problema: • Leer el enunciado. ¿Parece lógicamente posible? ¿Es posible comprobar la solución? ¿Es posible encontrar alguna otra solución?
Siguiendo estos cuatro pasos podremos tener una buena idea y base para pensar acerca de cómo encarar distintas situaciones problemáticas y adquirir más habilidad para resolverlos no solo aquí. que necesariamente se van a producir saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica. Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. ¿Se puede ver claramente qué cada paso es correcto? Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con ésto? Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace. si es necesario. la dibujamos. al menos a grosso modo. reordenar las ideas y probar de nuevo. Con frecuencia es adecuado abordar un problema planteándonos las siguientes preguntas: ¿Hemos resuelto un problema semejante? o ¿Hemos visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? ¿Conocemos un problema relacionado con éste?.COMPRENDER EL PROBLEMA II. Si no podemos resolver el problema propuesto tratamos de resolver primero algún problema similar más sencillo que nos aporte información para el nuestro.EXAMINAR la solución obtenida
I. un mapa conceptual o un esquema de la situación. • Elaboramos.EJECUTAR el plan:
Esta etapa también hay que plantearla de una manera flexible. Señalamos cuáles son los datos.5.1 Pasos útiles para resolver problemas
I. debemos plantearnos las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición que relaciona los datos con las incógnitas? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Es redundante? ¿Es contradictoria?
II.2. qué razonamientos o construcciones habremos de efectuar para determinar la incógnita”..CONCEBIR un plan: “Tenemos un plan cuando sabemos. Se debe tener presente que el pensamiento no es lineal...CONCEBIR un plan III... se debe volver al principio.
2. ⎨ ⎩2 x + y = 33 III.CONCEBIR un plan De acuerdo al punto I.
Ejemplo 2 En una confitería han preparado 60 litros de refresco de ananá con el 10% de jugo puro de fruta.¿Cuánto jugo puro de ananá deben agregarle para que el refresco contenga el 20% de dicho jugo? Resolvamos teniendo en cuenta los pasos sugeridos en la página 47: 1. es: 9 + 9 + 15 = 33.EXAMINAR la solución obtenida:
Verificamos que la solución matemática es la solución del problema: Según la notación que adoptamos los lados iguales miden 9 cm y el tercer lado 15 cm. luego el perímetro. • ¿Cuáles son los datos? 60 litros de refresco de ananá con el 10% de jugo de fruta. Finalmente. es decir. como se verifica el resultado. ubicamos cuál o cuáles son las incógnitas e introducimos la notación.. Acá representa la longitud de uno de los dos lados iguales del triángulo e y al lado desigual. Cantidad de jugo de ananá que deben agregarle a los 60 litros de refresco para que resulte uno con el 20% de jugo puro de ananá. es la solución del problema.Comprender el problema • Lectura comprensiva del texto • ¿Cuál es la incógnita?.
Sea “x” la cantidad (medida en litros) de jugo de ananá que debe agregarse.Concebir un plan. que es la solución matemática del sistema. Obtenemos x = 9 e y = 15.. por ejemplo x . que es la suma de las longitudes de los tres lados. vemos que obtuvimos dos ecuaciones con dos incógnitas: ⎧y = 2 x − 3 .. b)
Consideramos los datos: Uno de los datos que tenemos es que el lado desigual mide 3cm menos que la suma de los lados iguales.Ejemplo 1
Un lado de un triángulo isósceles mide 3 cm menos que la suma de los dos lados iguales. entonces x = 9 cm e y = 15 cm.EJECUTAR el plan: Es resolver dicho sistema de ecuaciones por cualquier método. IV. Respuesta: Las longitudes de los lados del triángulo son: 9 cm. 2 x + y = 33
II. Hacemos una tabla que representa las relaciones entre los datos y la incógnita:
. El perímetro es de 33 cm. y = 2x − 3 y el otro dato es que el perímetro es de 33cm. ¿Cuánto mide cada lado?
Solución: I. Es decir. 9 cm y 15 cm..COMPRENDER el problema a) Primero leemos el problema y determinamos que nos pide. es decir.
como “una de ellas tiene una masa de 3 Kgr más que la otra”. podemos escribir: m2 = m1 + 3 .5 l. el cual tiene la cantidad de 13.2 x = 12 − 6
0 .2 (60 + x ) = 6 + x 3.Ejecutar el plan Resolviendo la ecuación planteada obtenemos: 6 + x = 12 + 0. En los ejemplos que siguen. ¿Cuáles son las masas respectivas?
El problema nos pide calcular la masa de cada una de las partes que integran la máquina.5
Respuesta: Se debe agregar 7.Tengo Cantidad en litros de refresco Concentración de jugo puro de ananá Cantidad de jugo puro de ananá en litros
Agrego jugo puro
60 + x
20% 20% de (60+x)= 0.5 l responden a la concentración pedida: 20% de (67.2 (60+x)
El aspecto clave para convertir la información de la tabla en una ecuación.8 = 7 . 6 litros antes de la mezcla más el agregado de 7. los cuatro pasos sugeridos en la resolución de problemas no los detallamos. Sea m1 = masa de la parte más liviana.
4 . Además.Examinar la solución obtenida
El comerciante va a obtener 67.5 l de refresco de ananá.5 litros. debemos verificar si los 13. Por otro lado.
.5 l de jugo puro. es observar que la cantidad total de jugo puro de ananá en la nueva mezcla debe ser igual a la que ya contenía más la que se agrega: 0. Por lo cual podemos afirmar que la nueva cantidad de refresco que tiene el comerciante responde a lo pedido.
Una máquina tiene una masa de 17 Kgr. Aconsejamos al lector resolver los ejemplos usando esta técnica antes de mirar la solución.5) es 13.8 x = x = 6 6 0 . con lo que hemos establecido una de las incógnitas (o también podríamos haber representado con ella a la parte más pesada o haber utilizado cualquier otra letra).5 l de jugo puro de ananá para que el refresco tenga una concentración del 20%. Si está compuesta por dos partes y una de ellas pesa 3 Kgr más que la otra.2 x x − 0.
Dos inversiones que totalizan $ 18000 producen un ingreso anual de $ 700.055 x y la segunda:
. Queda para el lector verificar que hay que añadir 2l de alcohol puro a la solución original para tener 4l de alcohol en el volumen total de 10 l. es decir.6 % . Por lo tanto. las acciones habían bajado un 4%.Como las dos masas juntas pesan 17 Kgr.6%. La cantidad final de alcohol que tendremos será: 2 + x y el volumen de la mezcla resultante será: 8+x. Además que la primera produce anualmente: 0. ¿Cuál es el monto de cada una de las inversiones?
Llamamos x = al monto de la primera inversión e y = el monto de la segunda.5% y la segunda de 3.96 x + 0. el precio final es de: 0. Hallar el porcentaje de variación de precio del 2003 respecto de la compra. En la misma fecha del 2002. correspondiente de la mezcla debe ser: . Esto significa: 5 8+x 5 Respuesta: Se debe añadir 2 litros de alcohol a la solución. decir. las acciones aumentaron un 10% respecto de 0.096 x . pero su precio en enero de 2003 era un 10% superior al del año anterior. nos pide: precio 2001
Respuesta: El porcentaje de variación es de 5.96 x = 0. El problema nos pide el porcentaje que varió el precio actual respecto del precio de compra.96 x .96 x . Por lo tanto el volumen de alcohol final comparado con el volumen total 2 2+ x 2 = . La solución del problema es: Respuesta: La masa más liviana pesa 7 Kgr y la más pesada 10 Kgr
Una solución de alcohol y agua contiene 2 l de alcohol y 6 l de agua. ¿Cuánto alcohol puro se 2 debe añadir a esta solución para que la solución resultante tenga de alcohol? 5
Llamemos x al número de litros de alcohol que debemos añadir a la solución cuyo volumen es de 8 l . tenemos: m1 + m2 = 17 . reemplazamos m2 en esta expresión. Por lo tanto el precio de las acciones fue: x − 0.
Si el precio de las acciones en el 2001 fue de x pesos. de donde x = 2.4 pesos).
Juan compró en enero de 2001 acciones en una empresa.1 ⋅ 0. Sabemos que el total es: x + y = 18000 . El precio en el 2002 disminuyó en un 4% ( 0. En el año 2003.096 x = 1.0%. 0. es precio 2003 − precio 2001 ⋅ 100 % = 5.056 x . Si la primera inversión tiene una tasa de interés de 5. obtenemos: m1 + m1 + 3 = 17 → 2m1 = 14 → m1 = 7 .4 x = 0.
¿Cuál es la velocidad promedio del carro al ir a la ciudad?
Sea v = velocidad promedio de ir a la ciudad y t = tiempo empleado para llegar a la ciudad. 055 x + 0. cuyas soluciones matemáticas son: v 1 = 90 y v 2 = 12 . reemplazando obtenemos a = 17 y c = 6 . de donde obtenemos: ⎧a + b + c = 37 ⎧a + 2b = 45 ⎪ . Puesto que el perímetro es 37 cm. y ) = (6400 .
v 2 − 102 v + 1080 = 0 . La raíz v 2 = 12 no puede ser solución. Queda para el lector verificar que efectivamente cumple las condiciones del problema. Todo esto nos lleva al sistema: ⎨ cuya solución matemática es: 0 . Sea a = longitud del lado mayor. Con esta elección de incógnitas tenemos v ⋅ t = 72 (la distancia es igual a la velocidad por el tiempo).06 m
Primero construimos una figura que nos ayuda a visualizar e interpretar el problema. Si la velocidad promedio en el viaje de regreso es de 30 Km/h menor que en el viaje de ida. 0. ⎨ a − b = 3 sumando la primera con la tercera reducimos el sistema a: ⎨ =3 ⎩a − b ⎪ b−c = 8 ⎩
restando miembro a miembro nos queda b = 14 . el cuál a su vez tiene 8 cm más que el lado más corto.03 x . que es 30 Km/h menor que la de ida.
Un carro hace en dos horas un viaje de ida y vuelta a una ciudad que dista a 72 Km. Hallar las longitudes de cada lado en metros.
Veamos cual de las dos raíces matemáticas es solución del problema. Respuesta La velocidad promedio es de 90 Km /h
Un triángulo tiene perímetro de 37cm. 11600 ) y la solución del problema es:
Respuesta: Las inversiones son de $ 6400 y $ 11600 respectivamente. Respuesta: Los lados del triángulo miden 0.14 m y 0. El lado mayor tiene 3 cm más que el que le sigue en longitud. como deseamos obtener v eliminamos t 72 ⎞ (v − 30 ) ⎛ ⎜2 − ⎟ ⎝
= 72 .x + y = 18 000 ⎧ 0. Además sabemos que la velocidad de regreso fue v − 30 y que el tiempo requerido para dicho viaje fue 2 − t .17 m. Como la distancia recorrida al regresar fue de 72 Km.
Por otro lado las condiciones del problema nos llevan a las siguientes ecuaciones: a = b + 3 y b = c + 8 . b = lado siguiente y c = lado más corto.03 y = 700 ⎩ (x . Por lo tanto la solución es v1 = 90 Km/h. tenemos que : a + b + c = 37 . podemos escribir que y nos queda: (v − 30) (2 − t ) = 72 . sería negativa. por que la velocidad de retorno.
3. Una paloma le contesta: “Miente usted gavilán.. otras tantas como éstas.
1. ¿Cuántos litros de cada solución hay que mezclar para obtener 100 litros de una solución cuya concentración sea del 25%?. 4.Un laboratorio químico tiene dos recipientes con soluciones diferentes.¿Cuál es la longitud de una varilla si su quinta parte es roja. ¿Cuál es la longitud del lado de la granja ? 7. el ciento serán”..Pasó un gavilán por un palomar y dijo: “Adiós palomar de 100 palomas”. Encontrar el número de bancos y de alumnos. hay dos tercios pintados de blanco y restan aún dos metros por pintar? 6.La diagonal de una granja cuadrada tiene 10 km más que uno de sus lados. ¿Cuántas palomas había? 2. Con éstas.En un aula disponiendo 9 alumnos por banco quedan 3 alumnos sin asiento y disponiendo 10 por banco quedan 5 lugares vacíos..Si considero 3 veces los años que tendré dentro de 3 años y le resto 3 veces los años que tenía hace 3 años resulta exactamente los años que tengo ahora..¿Cuántos gramos de plata pura deben añadirse a 36 grs de plata al 60% para obtener una aleación de plata al 76%. Uno contiene una solución al 10% de ácido nítrico (HNO3) y el segundo al 30%. la cuarta parte de éstas y usted gavilán.. ¿Cuántos años tengo? 5...
3x 2 + 4x − 3 = 0 4 x 2 + 12x + 3 = 0
− 2 x 2 + 3 x + 1= 0
No tiene solución real
x1 ≠ x 2
...........6 PRÁCTICO: LENGUAJE ALGEBRAICO Y ECUACIONES
Ejercicio 1: Decir si las siguientes igualdades son ecuaciones y en caso afirmativo encuentre sus raíces: a) c)
x + 4 = 4 (x − 26)
3 x + 5 = 2 x + 10
b) 4 x 2 − 2 x − 3 = 3 x 2 − 4 x
d) 3 x 2 − 3 x + 7 = 3 x 2 + 2 x − 9 x + 7
Ejercicio 2: Resolver las siguientes ecuaciones y decir qué grado tienen: a) 4 x − 1 = 2 − 4 x c) x + 2x − 3 = 0 e) 4 x 2 + 12 x + 9 = 0
b) 22 x − 7 x − 15 2 = 10 −
d) x 2 − x + 1 − (x + 1) 2 = 3 − 3 x 2 f) 2x + x + 9 = (x + 4)(x + 1)
(7 x − 1) 2
Ejercicio 3: Responder con verdadero a) b) c) d) e) f)
x x = +1 3 2
a las siguientes proposiciones: ........
2x = 3 x + 1
7⋅x = 0
x =1/ 7
El número cero no puede ser solución (raíz) de una ecuación La ecuación 5 = 4
x 2 + 2x + 1= 0
........ ....................................................2........................... .................................. .........
Ejercicio 4: Despejar x en las siguientes ecuaciones: a)
2a + x =2 2a − x
x − 3 (x − 2 ) 2 3 − + =0 2 2x 2
x +1 a + 5 = x −1 a − 5
(a ≠ 5)
1 1 2 − = x −2 x +2 x +2
Ejercicio 5: Resolver y comprobar las soluciones (raíces) de las siguientes igualdades: a)
x− 2 1⎛ 1 ⎞ x = ⎜ − x⎟ 3 5⎝3 ⎠
3x + 2 1 − x = 8 5
1 − 1 3 =1 1 + 1 x 4
c) x −
x + 2 3x = +2 6 4
1 1 1 = − x 3 2
6 3 2 − = x 4x − 5 3x
......................................................... ......................................................................................... → → →
si x1 y x2 son sus raíces. Hallar k y las raíces de la ecuación para los siguientes casos: a) Una de las raíces es 7 b) Las dos raíces son iguales Ejercicio 10: Dada la ecuación: x 2 + ax + 14 = 0 . es decir. pero antes pensar si se puede simplificar las expresiones siguientes: a) 2 x 2 − 1 x − 1 = 0 9 3 2 5 2 c) x − 2x + = 0 5 2 b) d)
3 x 2 + 16 x + 5 =1 2 x + 10
x 2 − 16 x 2 + 7 x + 12 = 8 16
Ejercicio 7: Resolver las siguientes ecuaciones y verificar la solución obtenida en cada una de ellas. Ejercicio 11: ¿Para qué valor de k la ecuación: k x 2 − 2 k x + 1 = 0 admite raíces reales iguales? Luego. Ejercicio 12: Averiguar para que valor de k las ecuaciones cuadráticas tiene las raíces indicadas.
Ejercicio 9: Dada la ecuación: x 2 − 10 x + k = 0 . a) x 2 + 24 = k x − 1 si x 1 = x 2 = 5 b) x 2 + k x − 15 = 0 c) 3 x 2 + 2 x − k = 0
si x 1= −5 y x 2 = 3 si x 1 = −1 y x 2 = 1 3
Ejercicio 13: Escribir la ecuación de segundo grado. tenga como
2 x 2 1 + = + x 3 5 4 i) x − 1 (2x − 1) = 0 2
Ejercicio 8: Hallar el valor de a de tal manera que la ecuación
solución x = 3 4 . entonces a) Si a = 0 ¿existe la ecuación de segundo grado? b) Si a ≠ 0 y b = c = 0 . ¿Es una ecuación de segundo grado? Justificar las respuestas en cada ítem. Además. Hallar la otra raíz y el valor de a. a x 2 = 0 .Ejercicio 6: Resolver. una de las raíces es 2. encontrar las raíces de la ecuación. a) 33 − 4 x = −24 − 7 x c) x 2 − x − 2 = 0 e) x + 12 = 15 + 4 x − 2 g) b) 2 (x + 3 ) (x − 1) − (2 x + 3 ) (x + 4 ) = 0 d) 2 (x + 3 ) + 4 (x + 5 ) = 6 2 f) 4 x + 9 = 0 h) 5 x 2 + 10 x = 75 j) (x + 5 ) 2 = 4
x (1 + a ) a +1 + 1 = a − 1. decir que tipo de soluciones y grado tienen las ecuaciones. Ejercicio 14: La ecuación cuadrática se distingue por tener el término x2. Ejercicio 15: Sin resolver las ecuaciones determinar el carácter de sus raíces: a) 4 x 2 + 12 x + 9 = 0 b) 2 x 2 − 4 x + 1 = 0 c) x 2 + 2 x + 6 = 0
1. La contestación fue compleja: tomad 5 veces los años que tenía hace de 3 años. la que a su vez es 2A menos que la mayor. ¿Es posible aumentar ambos lados con una misma cantidad para que el área se duplique? Ejercicio 23: En un rombo de 8m de perímetro.5)
⎧10 x + 5 k y = − 9 b) ⎨ ⎩ x + 2 y = 50 k
(xo . restadle 3 veces los años que tendré dentro 3 años y resultará los años que tengo ahora. ¿Cuántos años tiene?
. b) Dada la ecuación: x 2 − 10 x + k = 0 . y o ) = (− 1. y o ) = (1.2. Hallar k y las raíces de la ecuación. Si la suma de las corrientes es de 0.
⎧ x − 16 k y + 5 = 0 a) ⎨ ⎩2 k x + y = 2
(xo . Ejercicio 22: Los lados de un rectángulo miden 1 y 2 m. Si la más pequeña es de 2A menos que la siguiente. ¿Cuánto mide su área en centímetros cuadrados? Ejercicio 24: ¿Cuál es el número cuyo triple supera en 2 a su cuadrado? Ejercicio 25: La suma de tres corrientes es de 12A (Amperes).2 y 4 b) raíces reales distintas: 3 y –3
Ejercicio 18: Resolver los siguientes sistemas lineales:
⎧2 x + 3 y = 1 a) ⎨ ⎩ − 3 x + 3 y = −9
1 ⎧ ⎪ − x + 2 y = −1 d) ⎨ ⎪ ⎩2 x − y = −3
⎧ x + 5 y = 13 ⎩x − y = 7
5x − y = 3 c) ⎧ ⎨
⎩2 x + 3 y = 8
⎧4 x − 8 y = −12 e) ⎨ ⎩2y − x = 3
x − 2y = −1 h) ⎧ ⎨
⎧4 x − 1 = y f) ⎨ ⎩2 x − y = 10 − 2 x
3 1 ⎧ ⎪ x− 2y =1 i) ⎨ 2 ⎪ ⎩3 y − x = −2
⎧3 x + 5 y = 31 g) ⎨ ⎩2 x + 3 y = 8
⎩ 4y = 5 + 2x
Ejercicio 19: Resolver los siguientes sistemas:
⎧x = 2 [y − (x − y ) ] a) ⎨ ⎩x + [x − (x − y ) ]= 63
⎧6 5 ⎪x + y = 3 ⎪ b) ⎨ ⎪ 21 − 10 = 5 ⎪x y ⎩
Ejercicio 20: Hallar el valor de k para que el sistema tenga la solución indicada. una de las diagonales mide el doble de la otra.Ejercicio 16: a) Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son números opuestos a las de la
ecuación 3 x 2 − 10 x + 2 = 0 sin resolverla. ¿Cuáles son los valores de las tres corrientes? Ejercicio 26: La corriente eléctrica en una resistencia es tres veces mayor que en otra resistencia. Si el voltaje es constante. si una de ellas es la inversa de la otra.5)
Ejercicio 21: Hallar dos números naturales pares consecutivos sabiendo que la suma de sus cuadrados es 100.012A.
Ejercicio 17: Escribir la ecuación de segundo grado conocidas sus raíces: a) raíces reales iguales a 1 c) raíces reales distintas: . ¿cuál es la corriente en cada una de ellas? Ejercicio 27: A un aficionado a los rompecabezas le preguntaron cuántos años tenía.
De los siguientes sistema de ecuaciones. Ejercicio 35: Una máquina tiene una pieza rectangular cuya longitud es de 4 mm mayor que su ancho.25. Si dividimos uno por el otro. Si luego de corregida la prueba obtuvo 7 puntos. El cociente nos da 3 y el resto es 8. y ) = (1. Por otro lado. La relación entre la corriente i (en Amperes).
Ejercicio 33: La suma de dos números enteros es igual a 100. Ejercicio 29: Un hombre que rema a v Km/h cubre 8 Km en una hora cuando va a favor de la corriente. E y R está dada por la expresión: i 2 R + i E = 800 . ¿Qué corriente i ( i > 0 ) fluye por el circuito? Ejercicio 31: En electrónica la resistencia equivalente a la de dos resistencias conectadas en
paralelo está dada por:
1 1 1 . 0 )
Ejercicio 38: La edad de Gabriel es la tercera parte de la edad de Pedro. y ) = (3 . y ) = (0 . ¿Cuáles son las resistencias?
Ejercicio 32: Si en una fracción al numerador se la suma 2. y ) = (− 1. es solución del ⎩3 x − 2y = −3 sistema?
A) (x . ¿Cuáles son las dimensiones de la pieza? Ejercicio 36: Considerando la ecuación de segundo grado 3 x 2 = 5(6 x − 15 ) ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera? A) La ecuación no tiene raíces reales. si al denominador se le suma 1. calcula cuántas respuestas correctas tuvo. ¿Cuál de los pares siguientes.Ejercicio 28: Calcular cuánto miden los lados de una granja rectangular cuyo contorno es de 2100 centímetros y su superficie es de 26 metros cuadrados.
⎧ x + 4 y = −1 Ejercicio 37: Dado el sistema ⎨ . la edad de Pedro será el doble de la de Gabriel disminuida en 3 años.5 puntos y por cada respuesta incorrecta o no contestada se le resta 0. C) Las raíces son x = 5 + 2 y x = 5 − 2 B) x =
5 y x = 0 son las raíces. 3 )
B) (x . la fracción que se obtiene es igual
1 . ¿Cuál utilizarías para calcular las edades de Gabriel y Pedro?
⎧3 G = 3 P A) ⎨ ⎩P = (2 G + 15) − 3
B) ⎪ ⎨
P 3 ⎪P + 15 = 2(G + 15 ) − 3 ⎩ G=
. ¿Puedes encontrar dichos números? Ejercicio 34: Juan para ingresar a la universidad debe rendir un examen tipo “test” que consta de 20 preguntas. Dentro de 15 años. Si el área de dicha pieza es de 96 mm2. − 1)
C) (x . − 1)
D) (x . la fracción que queda es igual 3 Encontrar la fracción. Ejercicio 30: En cierto circuito eléctrico hay una resistencia R de 2 Ω y un voltaje E de 60 V. Hallar la velocidad original a la que remaba y la velocidad de la corriente. Remando dos veces más rápido cuando va en contra de la corriente. Si dos resistencias conectadas en paralelo tienen una resistencia equivalente 3 Ω y ellas mismas en serie una resistencia equivalente a 16 Ω . Por cada respuesta correcta obtiene 0. puede cubrir solamente 7 Km en una hora. a 2 . Dos resistencias conectadas en serie está dada = + R R1 R2
por: R = R1 + R2 . 2
D) x = 5 es raíz doble.
G = 3P ⎧ C) ⎨ ⎩P + 3 = 2G + 15
1 ⎧ G= P ⎪ D) ⎨ 3 ⎪P − 15 = 2(G − 15 ) + 3 ⎩
Ejercicio 39: a) La pureza del oro se mide en quilates. Hacer un dibujo y verificar lo que obtuvo. Dos de ellas resultan insolventes y esto hace que la deuda de cada una de las restantes aumente en $ 9000. hallar las horas que tarda cada uno de los grifos en llenar el depósito de agua. el oro puro es de 24 quilates. si es posible. porque la ganancia resulta igual en cada venta. oro de 18 quilates es .o 24 75% de oro puro. pero hace 18 años la quintuplicaba. ¿Cuánto le corresponde a cada una? Ejercicio 50: Un competidor de una maratón el primer día avanza 1 del circuito. y así sucesivamente. hallar el número de lados del polígono. y repartiendo a razón de 20 centavos por mendigo le sobran 25 centavos. Graciela e Irma deben repartirse $ 335 ahorrados para el viaje de fin de año. Ejercicio 42: ¿Qué círculo duplica su área al aumentar su radio en 3 cm? Ejercicio 43: Una vendedora comenta que no importa si vende un par de zapatos a $31 o dos pares a $49. Otras 18 purezas se expresan como partes proporcionales de oro puro. ¿Cómo averiguar cuántas conchas hay que dar por cada arco. con oro puro para obtener 60 gramos de 16 quilates? Ejercicio 40: Sabiendo hay que un polígono convexo que tiene tantas diagonales como lados. (Ayuda: El n (n − 3) número de diagonales de un polígono convexo de n lados es igual a ). Dando a cada mendigo 25 centavos le faltan 10 centavos. Así. de modo que Victoria recibe $25 más que Graciela. ¿Cuánto le cuesta un par de zapatos a la vendedora y cuál es su ganancia? Ejercicio 44: En una tribu india utilizan conchas como monedas. oro de 12 quilates es 50% de oro puro. Hallar el número de deudores. además se sabe que tienen igual perímetro. Sabiendo que el segundo tarda 8 horas más que el primero en llenar solo el depósito. ¿Cuánto oro de 12 quilates debe ser mezclado. Hallar el kilometraje del
circuito. el segundo 3
2 día 5 y el tercer día avanza 16 Km para llegar al punto de partida. Sabemos que tres espejos y dos arcos cuestan 78 conchas y que cuatro espejos y un arco 54 conchas.
Ejercicio 51: Un hombre que va por la calle se encuentra con varios mendigos.
. y un rectángulo de altura 3m cuya base está apoyada sobre uno de los lados del triángulo. y Graciela $5 más que Irma. Ejercicio 47: Varias personas deben pagar solidariamente en partes iguales la suma de $108000. Encuentra el número de mendigos y la cantidad de dinero que repartió. Lleva cierta cantidad de monedas y las quiere repartir en partes iguales. Hallar las edades actuales del padre e hijo. Ejercicio 45: ¿Quedan determinadas las dimensiones de un terreno rectangular sabiendo que su perímetro es de 300 m? ¿Y si además se sabe que el largo excede al ancho en 20 m? Ejercicio 46: La edad de un padre es el doble de la edad de su hijo. Ejercicio 48: Dos grifos tardan en llenar un depósito de agua 3 horas. Ejercicio 49: Victoria. 2 Ejercicio 41: Sea un triángulo equilátero de lado x. Calcular el área del rectángulo en centímetros.
Ejercicio 53: Un avión. ¿En cuánto tiempo se vaciaría el depósito si se cerrara la fuente? Ejercicio 55: Un laboratorio químico tiene dos recipientes con soluciones diferentes.
. Suponiendo que el viento sopla con velocidad constante en la dirección y sentido de San Luis a Córdoba. Ejercicio 54: Un grifo llena un depósito en dos horas. En el momento de llenarse. ¿Cuántos litros de cada solución hay que mezclar para obtener 100 litros de una solución cuya concentración sea del 25%?. Hallar dichos números. Encuentra la velocidad del avión en el supuesto que no sopla viento alguno y la velocidad del viento en los vuelos expuestos. se abre un desagüe que vacía el depósito en cuatro horas. para ir de la ciudad de San Luis a la ciudad de Córdoba (la distancia en línea recta es aproximadamente 594Km) tarda 54 minutos y para volver tarda 66 minutos.Ejercicio 52: La diferencia de dos números menos 1 es igual al menor y la suma más 22 es igual al doble del mayor. y sin cerrar el grifo. Uno contiene una solución al 10% de ácido nítrico (HNO3) y el segundo al 30%.
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