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Über die Gleichungen des elektromagnetischen Feldes für bewegte Körper - Wikisource
Über die Gleichungen des elektromagnetischen Feldes für bewegte Körper (1901)
Göttinger Nachrichten (1901): 74–99. Google Books, Internet Archive
76419Über die Gleichungen des elektromagnetischen Feldes für bewegte KörperEmil Cohn1901
Die Maxwel'schen Grundgleichungen für ruhende Körper können wir in folgender Form schreiben:[1]
W = ∫ ∞ 1 2 ( E ⋅ E + M ⋅ M ) d τ {\displaystyle W=\int _{\infty }{\frac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})d\tau } , ... (A0)
und es bestehen zwischen den vier Vectoren E , M , E , M {\displaystyle {\mathsf {E,M}},{\mathfrak {E,M}}} die Beziehungen:
{ − ∫ ∘ E s d s = ∂ ∂ t ∫ s M N d S ∫ ∘ M s d s = ∂ ∂ t ∫ s E N d S + ∫ s Λ s d S {\displaystyle {\begin{cases}-\int _{\circ }{\mathsf {E}}_{s}ds={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{s}{\mathfrak {M}}_{N}dS\\\int _{\circ }{\mathsf {M}}_{s}ds={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{s}{\mathfrak {E}}_{N}dS+\int _{s}\Lambda _{s}dS\end{cases}}} ... (B0)
{ − P ( E ) = ∂ M ∂ t P ( M ) = ∂ E ∂ t Λ {\displaystyle {\begin{cases}-{\mathsf {P(E)}}={\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial t}}\\{\mathsf {P(M)}}={\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}}\Lambda \end{cases}}} ... (B'0)
{ Λ = λ ( E − K ) E = ϵ E M = μ M {\displaystyle {\begin{cases}\Lambda =\lambda ({\mathsf {E-K}})\\{\mathfrak {E}}=\epsilon {\mathsf {E}}\\{\mathfrak {M}}=\mu {\mathsf {M}}\end{cases}}} ... (C0)
ϵ 0 μ 0 = 1 ω 0 2 {\displaystyle \epsilon _{0}\mu _{0}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}} ... (D0)
dt ein Volumelement,
[77] − K {\displaystyle -{\mathsf {K}}} innere elektromotorische Intensität, einen in inhomogenen Leitern vorhandenen, constanten Vector,
E {\displaystyle {\mathsf {E}}} elektrische Feldintensität,
M {\displaystyle {\mathsf {M}}} magnetische Feldintensität,
E {\displaystyle {\mathfrak {E}}} elektrische Polarisation,
M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} magnetische Polarisation,
ω 0 = 3.10 10 c m s e c {\displaystyle \omega _{0}=3.10^{10}{\frac {cm}{sec}}} die Lichtgeschwindigkeit im Vacuum.
+, —, ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}} vor Vectoren: Vector-Addition, -Subtraction, -Differentiation,
[AB] oder [A.B] das Vector-Product der Vectoren A und B,
∇ α {\displaystyle \nabla \alpha } den Gradienten des Scalars α
A ∇ {\displaystyle A\nabla } den Operator A x ∂ ∂ x + A y ∂ ∂ y + A z ∂ ∂ z {\displaystyle A_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+A_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+A_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}} .
A · B = B · A ... (a)
[AB] = -[BA] ... (b)
A · [BC] = B · [CA] = C · [AB] ... (c)
A · [AB] = 0 ... (d)
[A[BC]] = (C · A)B (A · B) C ... (e)
Γ[AB) = B · P {\displaystyle {\mathsf {P}}} (A) A · P {\displaystyle {\mathsf {P}}} (B) ... (f)
P {\displaystyle {\mathsf {P}}} [AB]= Λ (B) · A Λ (A) · B + B ∇ {\displaystyle \nabla } · A A ∇ {\displaystyle \nabla } · B. ... (g)
Aus den Maxwell'schen Grundgleichungen folgt bekanntlich, daß wir dem Volumelement dτ den Energiebetrag 1 2 ( E ⋅ E + M ⋅ M ) d τ {\displaystyle {\frac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})d\tau } zuschreiben können, wenn wir annehmen, daß eine Strömung der Energie stattfindet, welche nach Größe und Richtung gegeben ist durch
Σ = [ E M ] {\displaystyle \Sigma =[{\mathsf {EM}}]} . ... (E0)
W = ∫ ∞ { 1 2 ( E P ⋅ E + M ⋅ M ) + ϵ 0 μ 0 u ⋅ [ E M ] } d τ {\displaystyle W=\int _{\infty }\left\{{\frac {1}{2}}({\mathsf {EP}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})+\epsilon _{0}\mu _{0}u\cdot [{\mathsf {EM}}]\right\}d\tau } , ... (A)
{ − ∫ ∘ E s d s = d d t ∫ s M N d S ∫ ∘ M s d s = d d t ∫ s E N d S + ∫ ∘ Λ N d S {\displaystyle {\begin{cases}-{\underset {\circ }{\int }}{\mathsf {E}}_{s}ds={\frac {d}{dt}}\int _{s}{\mathfrak {M}}_{N}dS\\{\underset {\circ }{\int }}{\mathsf {M}}_{s}ds={\frac {d}{dt}}\int _{s}{\mathfrak {E}}_{N}dS+{\underset {\circ }{\int }}\Lambda _{N}dS\end{cases}}} ... (B)
{ Λ = λ ( E − K ) E = ϵ E − ϵ 0 μ 0 [ u M ] M = μ M + ϵ 0 μ 0 [ u E ] {\displaystyle {\begin{cases}\Lambda =\lambda ({\mathsf {E-K}})\\{\mathfrak {E}}=\epsilon {\mathsf {E}}-\epsilon _{0}\mu _{0}[u{\mathsf {M}}]\\{\mathfrak {M}}=\mu {\mathsf {M}}+\epsilon _{0}\mu _{0}[u{\mathsf {E}}]\end{cases}}} ... (C)
ϵ 0 μ 0 = 1 ω 0 2 {\displaystyle \epsilon _{0}\mu _{0}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}} ... (D)
Diese Festsetzungen lassen theoretisch eine Lücke: Denken wir uns ein sehr verdünntes Gas auf stetigem Wege in ein Vacnum übergeführt. Für jede Gasdichte ϱ = ϱ 1 {\displaystyle \varrho =\varrho _{1}} , bei welcher noch von einer bestimmten Strömungsgeschwindigkeit q des Gases in jedem Punkte gesprochen werden kann, haben wir u = q zu setzen. Für ϱ = 0 {\displaystyle \varrho =0} aber soll der Werth u = 0 gelten. Es fehlt eine Vorschrift, welche den Werth von u stetig von q zu 0 überführt, während der Werth von ϱ {\displaystyle \varrho } stetig von ϱ 1 {\displaystyle \varrho _{1}} zu 0 übergeht. Praktisch aber bedürfen wir dieser Vorschrift nicht. Zwei Fälle kommen in Betracht: Wir können experimentell den Werth ϱ = 0 {\displaystyle \varrho =0} nicht erreichen. Ob für die äußersten Verdünnungen , welche wir herstellen können, in jeder physikalischen Beziehung noch ein einheitlicher Werth q angenommen werden darf, steht nicht in Frage. In dem Gebiet unserer Untersuchungen aber reichen wir mit einer solchen Annahme aus. Insbesondere — und das allein hat praktische Bedeutung — dürfen wir stets u = q setzen für den beliebig verdünnten Gasinhalt eines Gefäßes, welches eine constante Translationsgeschwindigkeit q besitzt. (Dies kommt zur Geltung in § 4.) — Ein absolutes Vacuum zum mindesten als möglich zuzulassen, sind wir lediglich genöthigt außerhalb der Atmosphären der Himmelskörper. Unsere Festsetzungen versagen für jene Schichten, welche den Uebergang aus der Atmosphäre in das Vacuum vermitteln. Aber um die Beobachtungen mit unserer Theorie zu vergleichen, brauchen wir das u dieser Schichten nicht zu kennen (s. § 2).
Zu den Grundannahmen, welche in den Gleichungen (A) bis (D) ausgesprochen sind, fügen wir noch die weitere hinzu, daß auch in bewegten Körpern die Strahlung Σ normal zu E {\displaystyle {\mathsf {E}}} wie zu M {\displaystyle {\mathsf {M}}} sein soll. D. h. wir setzen
Σ = c ⋅ [ E M ] {\displaystyle \Sigma =c\cdot [{\mathsf {EM}}]} , ... (E)
d d t ∫ ∘ M N d S = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\underset {\circ }{\int }}{\mathfrak {M}}_{N}dS=0}
− d d t ∫ ∘ E N d S = ∫ ∘ Λ N d S {\displaystyle -{\frac {d}{dt}}{\underset {\circ }{\int }}{\mathfrak {E}}_{N}dS={\underset {\circ }{\int }}\Lambda _{N}dS}
Wir nennen ∫ ∘ M N d S {\displaystyle {\underset {\circ }{\int }}{\mathfrak {M}}_{N}dS} und ∫ ∘ E N d S {\displaystyle \int _{\circ }{\mathfrak {E}}_{N}dS} die von der Fläche S eingeschlossene magnetische, bzw. elektrische Menge, und entsprechend Γ ( M ) {\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {M}})} und Λ ( E ) {\displaystyle \Lambda ({\mathfrak {E}})} die magnetische, bzw. elektrische Dichte. Unsere Gleichungen sprechen dann die Continuitätseigenschaften aus, die wir mit diesen Begriffen zu verknüpfen gewöhnt sind.
{ − P ( E + [ u M ] ) = ∂ M ∂ t + Γ ( M ) ⋅ u P ( M + [ u E ] ) = ∂ E ∂ t + Γ ( E ) ⋅ u + Λ {\displaystyle {\begin{cases}-{\mathsf {P}}({\mathsf {E}}+[u{\mathfrak {M}}])={\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial t}}+\Gamma ({\mathfrak {M}})\cdot u\\{\mathsf {P}}({\mathsf {M}}+[u{\mathfrak {E}}])={\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}}+\Gamma ({\mathfrak {E}})\cdot u+\Lambda \end{cases}}} ... (B')
[wo ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}} die zeitliche Aenderung in einem festen Raumpunkt bezeichnet. (Die Ableitung findet man z. B. „elm. Feld" pag. 535 ff., die Gleichungen (B') in cartesischen Coordinaten unter (L') ( M').)
Endlich wollen wir noch eine Bezeichnung einführen: Alle bekannten Körpergeschwindigkeiten u sind sehr klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ω0; wir wollen eine Größe, welche den Faktor ( u ω 0 ) n {\displaystyle \left({\frac {u}{\omega _{0}}}\right)^{n}} enthält, eine Größe nter Ordnung nennen.
§ 2. Aberration. Doppler'sches Princip.[edit]
ϵ = ϵ 0 , μ = μ 0 , Λ = Γ ( E ) = Γ ( M ) = 0 {\displaystyle \epsilon =\epsilon _{0},\ \mu =\mu _{0},\ \Lambda =\Gamma ({\mathfrak {E}})=\Gamma ({\mathfrak {M}})=0} .
{ E ϵ 0 = E − [ u M ] M μ 0 = M + [ u E ] {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathfrak {E}}{\epsilon _{0}}}={\mathsf {E}}-[u{\mathfrak {M}}]\\{\frac {\mathfrak {M}}{\mu _{0}}}={\mathsf {M}}+[u{\mathfrak {E}}]\end{cases}}} ... (1)
{ − P ( E ϵ 0 ) = ∂ M ∂ t P = ( M μ 0 ) = ∂ E ∂ t {\displaystyle {\begin{cases}-{\mathsf {P}}\left({\frac {E}{\epsilon _{0}}}\right)={\frac {\partial {\mathfrak {M}}}{\partial t}}\\{\mathit {\mathsf {P}}}=\left({\frac {M}{\mu _{0}}}\right)={\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}}\end{cases}}} ... (2)
Die Gleichungen (2) sind identisch mit den Maxwell'schen Grundgleichungen der Lichtausbreitung in ruhenden Isolatoren, sofern man in diese die Polarisationen einführt. Sie sagen also, wie diese, aus, da$ die Werthe der beiden Polarisationen sich in transversalen Wellen fortpflanzen. Aber die Feldintensitäten sind nicht mehr den Polarisationen gleichgerichtet. — Betrachten wir insbesondere ein System ebener Wellen, deren [82] Fortpflanzungsrichtung wir zur ξ-Axe wählen in einem ruhenden Coordinatensystem der (ξ, η, ζ). Eine entsprechende Lösung von (2) ist:
{ E ξ = 0 , E η = ϵ 0 ⋅ F , E ζ = 0 | F = F ( ξ − ω 0 t | M ξ = 0 , M η = 0 , M ζ = μ 0 ⋅ F | ω 0 = 1 ϵ 0 μ 0 | {\displaystyle {\begin{cases}{\mathfrak {E}}_{\xi }=0,\ {\mathfrak {E}}_{\eta }={\sqrt {\epsilon _{0}}}\cdot F,\ {\mathfrak {E}}_{\zeta }=0&\left|F=F(\xi -\omega _{0}t\right|\\{\mathfrak {M}}_{\xi }=0,\ {\mathfrak {M}}_{\eta }=0,\ {\mathfrak {M}}_{\zeta }={\sqrt {\mu _{0}}}\cdot F&\left|\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}\right|\end{cases}}} ... (3)
Σ ξ = ( ω 0 − u ξ ) 2 c ⋅ F 2 ω 0 {\displaystyle \Sigma _{\xi }=(\omega _{0}-u_{\xi })^{2}{\frac {c\cdot F^{2}}{\omega _{0}}}}
Σ η = − u η ( ω 0 − u ξ ) c ⋅ F 2 ω 0 {\displaystyle \Sigma _{\eta }=-u_{\eta }(\omega _{0}-u_{\xi }){\frac {c\cdot F^{2}}{\omega _{0}}}}
Σ ζ = − u ζ ( ω 0 − u ξ ) c ⋅ F 2 ω 0 {\displaystyle \Sigma _{\zeta }=-u_{\zeta }(\omega _{0}-u_{\xi }){\frac {c\cdot F^{2}}{\omega _{0}}}} ,
Σξ:Ση:Σζ = (ω0-uξ):(-uη):(-uζ) ... (4)
ξ = ξ0 + u0ξ · t
ξ = ξ1 + u1ξ · t
Handle es sich ü.a monochromatisches Licht; dann ist
F ( α ) = sin ⁡ ( N ω 0 α ) {\displaystyle F(\alpha )=\sin \left({\frac {N}{\omega _{0}}}\alpha \right)} ,
wo N 2 π {\displaystyle {\frac {N}{2\pi }}} die Schwingungszahl für einen ruhenden Beobachter bedeutet. Bezeichnet nun N 0 2 π {\displaystyle {\frac {N_{0}}{2\pi }}} die Schwingungszahl für einen im System der ξ0 festen Punkt, also die wahre Schwingungszahl, und N 1 2 π {\displaystyle {\frac {N_{1}}{2\pi }}} die scheinbare Schwingungszahl für den mit der Geschwindigkeit u1, bewegten Beobachter, so folgt
N 0 = ( ω 0 − u 0 ξ ) N ω 0 {\displaystyle N_{0}=(\omega _{0}-u_{0\xi }){\frac {N}{\omega _{0}}}}
N 1 = ( ω 0 − u 1 ξ ) N ω 0 {\displaystyle N_{1}=(\omega _{0}-u_{1\xi }){\frac {N}{\omega _{0}}}}
N 1 − N 0 N 0 = u 0 ξ − u 1 ξ ω 0 {\displaystyle {\frac {N_{1}-N_{0}}{N_{0}}}={\frac {u_{0\xi }-u_{1\xi }}{\omega _{0}}}} ... (5)
§ 3. Bewegung der Erde. Umformung der Grundgleichungen.[edit]
Wir beziehen von jetzt an unsere Gleichungen auf ein Coordinatensystem, welches starr mit der Erde verbunden ist. Ruhe, Bewegung, Geschwindigkeit etc., bezogen auf dieses System, sollen im folgenden relative Ruhe, . . . heißen. Eine Differentiation nach der Zeit, bei welcher die relativen Coordinaten des betrachteten Punktes als unverändert vorausgesetzt werden, soll durch δ δ t {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}} bezeichnet werden. Es ist dann
δ δ t = ∂ ∂ t + p ∇ {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+p\nabla } .
u = p+v, wo p= const.,
P [ u E ] = P [ v E ] + P [ p E ] {\displaystyle {\mathsf {P}}[u{\mathfrak {E}}]={\mathsf {P}}[v{\mathfrak {E}}]+{\mathsf {P}}[p{\mathfrak {E}}]}
= P [ v E ] + Γ [ E ] ⋅ p − p ∇ ⋅ E {\displaystyle ={\mathsf {P}}[v{\mathfrak {E}}]+\Gamma [{\mathfrak {E}}]\cdot p-p\nabla \cdot {\mathfrak {E}}} .
{ − P ( E − [ v M ] ) = δ M δ t + Γ ( M ) ⋅ v P ( M + [ v E ] ) = δ E δ t + Γ ( E ) ⋅ v + Λ {\displaystyle {\begin{cases}-{\mathsf {{\mathsf {P}}(E}}-[v{\mathfrak {M}}])={\frac {\delta {\mathfrak {M}}}{\delta t}}+\Gamma ({\mathfrak {M}})\cdot v\\{\mathsf {P(M}}+[v{\mathfrak {E}}])={\frac {\delta {\mathfrak {E}}}{\delta t}}+\Gamma ({\mathfrak {E}})\cdot v+\Lambda \end{cases}}} ... (B1)
{ Λ = λ ( E − K ) E = ϵ E − ϵ 0 μ 0 [ ( p + v ) M ] M = μ M + ϵ 0 μ 0 [ ( p + v ) E ] {\displaystyle {\begin{cases}\Lambda =\lambda ({\mathsf {E-K}})\\{\mathfrak {E}}=\epsilon {\mathsf {E}}-\epsilon _{0}\mu _{0}[(p+v){\mathsf {M}}]\\{\mathfrak {M}}=\mu {\mathsf {M}}+\epsilon _{0}\mu _{0}[(p+v){\mathsf {E}}]\end{cases}}} ... (C1)
§ 4. Relativ ruhende Körper.[edit]
{ − P ( E ) = δ M δ t P ( M ) = δ E δ t + Λ {\displaystyle {\begin{cases}-{\mathsf {P(E)}}={\frac {\delta {\mathfrak {M}}}{\delta t}}\\{\mathsf {P(M)}}={\frac {\delta {\mathfrak {E}}}{\delta t}}+\Lambda \end{cases}}} ... (B2)
{ Λ = λ ( E − K ) E = ϵ E − ϵ 0 μ 0 [ p M ] M = μ M + ϵ 0 μ 0 [ p E ] {\displaystyle {\begin{cases}\Lambda =\lambda ({\mathsf {E-K}})\\{\mathfrak {E}}=\epsilon {\mathsf {E}}-\epsilon _{0}\mu _{0}[p{\mathsf {M}}]\\{\mathfrak {M}}=\mu {\mathsf {M}}+\epsilon _{0}\mu _{0}[p{\mathsf {E}}]\end{cases}}} ... (C1)
a. Stationäre Felder.[edit]
Stationäre Erscheinungen — genauer: Erscheinungen, welche stationär bleiben für den mitbewegten Beobachter — sind dadurch charakterisirt, daß δ δ t = 0 {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}=0} ist. Für sie gilt also:
{ − P ( E ) = 0 P ( M ) = Λ {\displaystyle {\begin{cases}-{\mathsf {P(E)}}=0\\{\mathsf {P(M)}}=\Lambda \end{cases}}} ... (6)
Γ(Λ) = 0. ... (7)
Die Gleichungen (6) stimmen überein mit den Gleichungen der Maxwell'schen Theorie für stationäre Felder. Durch sie ist das Feld eindeutig bestimmt, sobald noch die Werthe Γ ( μ M ) {\displaystyle \Gamma (\mu {\mathsf {M}})} überall, die Werthe Γ ( μ E ) {\displaystyle \Gamma (\mu {\mathsf {E}})} durchweg im Dielektricum, und die Werthe ∫ ϵ E N d S {\displaystyle \int \epsilon {\mathsf {E}}_{N}dS} für die Gesammtoberfläche jedes Leiters vorgeschrieben sind (vgl. „elm. Feld" p. 375 f.). Diese Werthe bedeuten in der Maxwell'schen Theorie bzw. die magnetische Dichte, die elektrische Dichte, die gesammte Elektricitätsmenge eines Leiters. Die gleichen Größen sind in unserer Theorie dargestellt durch die Werthe Γ ( M ) , Γ ( E ) , Γ M s d S {\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {M}}),\Gamma ({\mathfrak {E}}),\Gamma {\mathfrak {M}}_{s}dS} (s. oben p. 80). Wir wollen zeigen, daß sie in Folge der Gleichungen (C2) und (6) den obigen bzw. gleich sind. Es ist nach (C0) und (f)
Γ ( M ) = Γ ( μ M ) − ϵ 0 μ 0 p ⋅ P ( E ) {\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {M}})=\Gamma (\mu {\mathsf {M}})-\epsilon _{0}\mu _{0}p\cdot P({\mathsf {E}})} ,
Γ ( M ) = Γ ( μ M ) {\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {M}})=\Gamma (\mu M)} . ... (8a)
Γ ( E ) = Γ ( ϵ E ) + ϵ 0 μ 0 p ⋅ P ( M ) {\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {E}})=\Gamma (\epsilon {\mathsf {E}})+\epsilon _{0}\mu _{0}p\cdot P({\mathsf {M}})} ,
= Γ ( ϵ E ) + ϵ 0 μ 0 p ⋅ Λ {\displaystyle =\Gamma (\epsilon {\mathsf {E}})+\epsilon _{0}\mu _{0}p\cdot \Lambda } ... (8b)
Γ ( E ) = Γ ( ϵ E ) {\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {E}})=\Gamma (\epsilon {\mathsf {E}})} ; ... (8c)
∫ E x d S = ∫ Γ ( E ) d τ = ∫ ϵ E x d S + ϵ 0 μ 0 ∫ p ⋅ Λ d τ {\displaystyle \int {\mathfrak {E}}_{x}dS=\int \Gamma ({\mathfrak {E}})d\tau =\int \epsilon {\mathsf {E}}_{x}dS+\epsilon _{0}\mu _{0}\int p\cdot \Lambda d\tau } .
p ∫ d x ∫ ∫ Λ x d y d z {\displaystyle p\int dx\int \int \Lambda _{x}dy\ dz} .
∫ ∫ Λ x d y d z = 0 {\displaystyle \int \int \Lambda _{x}dy\ dz=0} ,
∫ E N d S = ∫ ϵ E N d S {\displaystyle \int {\mathfrak {E}}_{N}dS=\int \epsilon {\mathsf {E}}_{N}dS} . ... (8d)
b. Quasistationäre Felder.[edit]
{ − P ( E ) = δ M δ t P ( M ) = Λ {\displaystyle {\begin{cases}-{\mathsf {P(E)}}={\frac {\delta {\mathfrak {M}}}{\delta t}}\\{\mathsf {P(M)}}=\Lambda \end{cases}}} ... (9)
Die erste der Gleichungen (9) enthält das Gesetz der inducirten elektromotorischen Kräfte. Sie hat die Form des Faradayschen Inductionsgesetzes; aber M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} bedeutet nicht mehr die Größe μ M {\displaystyle \mu {\mathsf {M}}} , sondern den in (C2) gegebenen Werth. Es tritt also in einer Curve s, welche die Fläche S umspannt, neben der Faraday'schen elektromotorischen Kraft
E = − δ δ t ∫ μ M N d S {\displaystyle E=-{\frac {\delta }{\delta t}}\int \mu {\mathsf {M}}_{N}dS}
E ′ = − δ δ t ∫ ϵ 0 μ 0 [ p E ] N d S {\displaystyle E'=-{\frac {\delta }{\delta t}}\int \epsilon _{0}\mu _{0}[p{\mathsf {E}}]_{N}dS} .
Sie ist selbst für die stärksten herstellbaren E {\displaystyle {\mathsf {E}}} sehr klein, und könnte nur erkannt werden durch den Stromstoß in einem Leiter, der in der Curve s verläuft. Es sei etwa p // x, E {\displaystyle {\mathsf {E}}} // y, N // z; dann ist
∫ t 0 t 1 E ′ δ t = − ϵ 0 μ 0 p ⋅ { ∫ ∫ E y d x d y } t 0 t 1 {\displaystyle {\overset {t_{1}}{\underset {t_{0}}{\int }}}E'\delta t=-\epsilon _{0}\mu _{0}p\cdot \left\{\int \int {\mathsf {E}}_{y}dx\ dy\right\}_{t_{0}}^{t_{1}}} ... (10)
Vor wie nach dem Inductionsstoß ist aber das Linienintegral von E {\displaystyle {\mathsf {E}}} zwischen zwei beliebigen Punkten des Leiters gleich Null. D. h. in (10) ist ∫ E y d y = 0 {\displaystyle \int {\mathsf {E}}_{y}\ dy=0} sowohl für t = t0 wie für t = t1 und daher ist die rechte Seite selbst gleich Null. Die Correction am Faraday'schen Inductionsgesetz ergiebt somit keine wahrnehmbaren Folgen.
c. Strahlungsvorgänge.[edit]
t' = t-ε0μ0p·r ... (11)
x'=x, y'=y, z'=z, t'=t-ε0μ0(px·x+py·y+pz·z). ... (11')
{ − P ′ ( E ) = δ ( μ M ) ∂ t ′ P ′ ( M ) = δ ( ϵ E ) ∂ t ′ + Λ {\displaystyle {\begin{cases}-{\mathsf {P'(E)}}={\frac {\delta (\mu {\mathsf {M}})}{\partial t'}}\\{\mathsf {P'(M)}}={\frac {\delta (\epsilon {\mathsf {E}})}{\partial t'}}+\Lambda \end{cases}}} ... (12)
Λ = λ ( E − K ) {\displaystyle \Lambda =\lambda ({\mathsf {E-K}})}
Jedem im ruhenden System möglichen Vorgang entspricht ein möglicher Vorgang im bewegten System, bei welchem die gleichen Werthe E , M {\displaystyle {\mathsf {E,M}}} , welche im Punkte P zur Zeit t stattfanden, jetzt zur Zeit t' eintreten. Der Zeitunterschied t'-t ist eindeutige Function der Lage von P.
Richtung des Strahles ist die gemeinsame Normale von E {\displaystyle {\mathsf {E}}} und M {\displaystyle {\mathsf {M}}} . Sie wird nach dem vorstehenden durch die Erdbewegung nicht beeinflußt. Also:
α = vx·x' + vy·y' +vz·z'-t' .
v x 2 + v y 2 + v z 2 = ϵ μ {\displaystyle v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=\epsilon \mu } ... (13)
und E {\displaystyle {\mathsf {E}}} , wie M {\displaystyle {\mathsf {M}}} normal zu v sein.
α = n x ⋅ x + n y ⋅ y + n z ⋅ z − t {\displaystyle \alpha =n_{x}\cdot x+n_{y}\cdot y+n_{z}\cdot z-t} , ... (14)
wo n x = v x + ϵ 0 μ 0 p x , n y = v y + ϵ 0 μ 0 p y , n z = v z + ϵ 0 μ 0 p z {\displaystyle \ n_{x}=v_{x}+\epsilon _{0}\mu _{0}p_{x},\ n_{y}=v_{y}+\epsilon _{0}\mu _{0}p_{y},\ n_{z}=v_{z}+\epsilon _{0}\mu _{0}p_{z}} .
Die Lösung stellt also eine ebene Welle dar, deren Normale die Richtung von n hat, während der Strahl parallel zu v ist.
{ n x ⋅ U x + n y ⋅ U y + n z ⋅ U z = 1 U x = χ ⋅ v x , U y = χ ⋅ v y , U z = χ ⋅ v z . {\displaystyle {\begin{cases}n_{x}\cdot U_{x}+n_{y}\cdot U_{y}+n_{z}\cdot U_{z}=1\\U_{x}=\chi \cdot v_{x},\ U_{y}=\chi \cdot v_{y},\ U_{z}=\chi \cdot v_{z}.\ \end{cases}}} ... (15)
U = v v x ⋅ n x + v y ⋅ n y + v z ⋅ n z {\displaystyle U={\frac {v}{v_{x}\cdot n_{x}+v_{y}\cdot n_{y}+v_{z}\cdot n_{z}}}} ,
1 U = ϵ μ + ϵ 0 μ 0 p v {\displaystyle {\frac {1}{U}}={\sqrt {\epsilon \mu }}+\epsilon _{0}\mu _{0}p_{v}} , ... (16)
wo pv die Componente von p nach der Richtung des Strahles bedeutet.
ω = 1 ϵ μ {\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {\epsilon \mu }}}} und β = ϵ μ ϵ 0 μ 0 {\displaystyle \beta ={\sqrt {\frac {\epsilon \mu }{\epsilon _{0}\mu _{0}}}}}
t = s ω + p ⋅ S p ω 0 2 {\displaystyle t={\frac {s}{\omega }}+{\frac {p\cdot S_{p}}{\omega _{0}^{2}}}} , ... (17)
U = ω − p v β 2 {\displaystyle U=\omega -{\frac {p_{v}}{\beta ^{2}}}} . ... (18)
§ 5. Relative Bewegungen.[edit]
{ − P ( E − [ v ⋅ μ M ] ) = δ M δ t + Γ ( μ M ) ⋅ v P ( M + [ v ⋅ ϵ E ] ) = δ E δ t + Γ ( ϵ E ) ⋅ v + Λ {\displaystyle {\begin{cases}-{\mathsf {P(E}}-[v\cdot \mu {\mathsf {M}}])={\frac {\delta {\mathfrak {M}}}{\delta t}}+\Gamma (\mu {\mathsf {M}})\cdot v\\{\mathsf {P(M}}+[v\cdot \epsilon {\mathsf {E}}])={\frac {\delta {\mathfrak {E}}}{\delta t}}+\Gamma (\epsilon {\mathsf {E}})\cdot v+\Lambda \end{cases}}} ... (19)
Ferner aber durften wir, wie in § 4 gezeigt wurde, unter dem [91] Zeichen δ δ t {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}} die mit dem Factor ε0μ0p behafteten Glieder fortlassen, ohne dadurch Ungenauigkeiten hervorzurufen, welche für elektromagnetische Methoden erkennbar sind. Um so mehr gilt dies für die Glieder mit ε0μ0p. Vernachlässigen wir die einen, wie die anderen, so haben wir in (19) für mathfrak{E} und mathfrak{M} an Stelle der in (C1) gegebenen Werthe zu setzen:
{ E = ϵ E M = μ M {\displaystyle {\begin{cases}{\mathfrak {E}}=\epsilon {\mathsf {E}}\\{\mathfrak {M}}=\mu {\mathsf {M}}\end{cases}}} ... (20)
Es bleibt uns also nur zu untersuchen, was unsere Gleichungen über die Optik bewegter Medien aussagen. Die wenigen vorliegenden Versuche (angestellt an strömendem Wasser von Fizeau, wiederholt von Michelson und Morley) lassen sich ausreichend discutieren, sofern man das Gesetz der Ausbreitung ebener Wellen in gleichförmig bewegten Medien kennt; der gleichförmigen Geschwindigkeit sind lediglich für die verschiedenen Theile des Apparates verschiedene Werthe beizulegen. Diesen Fall haben wir bereits in § 4, c behandelt, und zwar ohne alle Vernachlässigung auf Grundlage unserer Fundamentalgleichungen. Wir haben nur das p des §4 jetzt durch p + v zu ersetzen, und zu beachten, daß die so entstehenden Gleichungen für ein Coordinatensystem gelten, welches die Geschwindigkeit p + v theilt. Die so verstandene Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist nach (18):
ω − p v + v v β 2 {\displaystyle \omega -{\frac {p_{v}+v_{v}}{\beta ^{2}}}}
ω − v v β 2 {\displaystyle \omega -{\frac {v_{v}}{\beta ^{2}}}}
ω + ( 1 − 1 β 2 ) v v {\displaystyle \omega +\left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}}}\right)v_{v}} ... (21)
§ 6. Mechanische Kräfte.[edit]
p = 0 , v = u , δ δ t = ∂ ∂ t {\displaystyle p=0,\ v=u,\ {\frac {\delta }{\delta t}}={\frac {\partial }{\partial t}}} ... (22)
Wir multipliciren die erste der Gleichungen (B1) mit M + [ v E ] {\displaystyle {\mathsf {M}}+[v{\mathfrak {E}}]} die zweite mit M − [ v M ] {\displaystyle {\mathsf {M}}-[v{\mathfrak {M}}]} und addiren; dann entsteht nach (f):
− Γ [ ( E − [ v M ] ( M + [ v E ] ) ] = {\displaystyle -\Gamma [({\mathsf {E}}-[v{\mathfrak {M}}]({\mathsf {M}}+[v{\mathfrak {E}}])]=}
( δ M δ t + Γ ( M ) ⋅ v ) ⋅ ( M + [ v E ] ) + ( δ E δ t + Γ ( E ) ⋅ v + Λ ) ⋅ ( E − [ v M ] ) {\displaystyle \left({\frac {\delta {\mathfrak {M}}}{\delta t}}+\Gamma ({\mathfrak {M}})\cdot v\right)\cdot ({\mathsf {M}}+[v{\mathfrak {E}}])+\left({\frac {\delta {\mathfrak {E}}}{\delta t}}+\Gamma ({\mathfrak {E}})\cdot v+\Lambda \right)\cdot ({\mathsf {E}}-[v{\mathfrak {M}}])}
M ⋅ δ M δ t + E ⋅ δ E δ t = {\displaystyle {\mathsf {M}}\cdot {\frac {\delta {\mathfrak {M}}}{\delta t}}+{\mathsf {E}}\cdot {\frac {\delta {\mathfrak {E}}}{\delta t}}=}
M ⋅ δ ( μ M ) δ t + E ⋅ δ ( ϵ E ) δ t + ϵ 0 μ 0 ( p + v ) ⋅ δ ( E M ) δ t + 2 ϵ 0 μ 0 δ ( p + v ) δ t ⋅ [ E M ] {\displaystyle {\mathsf {M}}\cdot {\frac {\delta (\mu {\mathsf {M}})}{\delta t}}+{\mathsf {E}}\cdot {\frac {\delta (\epsilon {\mathsf {E}})}{\delta t}}+\epsilon _{0}\mu _{0}(p+v)\cdot {\frac {\delta ({\mathsf {EM}})}{\delta t}}+2\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\delta (p+v)}{\delta t}}\cdot [{\mathsf {EM}}]} ,
{ − Γ [ ( E − [ v M ] ( M + [ v E ] ) ] = E ⋅ δ ( ϵ E ) δ t + M ⋅ δ ( ϵ M ) δ t + ϵ 0 μ 0 ( p + v ) ⋅ δ ( E M ) δ t + 2 ϵ 0 μ 0 δ ( p + v ) δ t ⋅ [ E M ] + E ⋅ Λ + v ⋅ { Γ ( E ) E + Γ ( M ) M + δ δ t [ E M ] + [ Λ M ] + [ Γ ( E ) v ⋅ M ] − [ Γ ( M ) v ⋅ E ] } {\displaystyle {\begin{cases}&-\Gamma [({\mathsf {E}}-[v{\mathfrak {M}}]({\mathsf {M}}+[v{\mathfrak {E}}])]=\\\\&{\mathsf {E}}\cdot {\frac {\delta (\epsilon {\mathsf {E}})}{\delta t}}+{\mathsf {M}}\cdot {\frac {\delta (\epsilon {\mathsf {M}})}{\delta t}}+\epsilon _{0}\mu _{0}(p+v)\cdot {\frac {\delta ({\mathsf {EM}})}{\delta t}}+2\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\delta (p+v)}{\delta t}}\cdot [{\mathsf {EM}}]+{\mathsf {E}}\cdot \Lambda \\\\&+v\cdot \left\{\Gamma ({\mathfrak {E}}){\mathsf {E}}+\Gamma ({\mathfrak {M}}){\mathsf {M}}+{\frac {\delta }{\delta t}}[{\mathfrak {EM}}]+[\Lambda {\mathfrak {M}}]+[\Gamma ({\mathfrak {E}})v\cdot {\mathfrak {M}}]-[\Gamma ({\mathfrak {M}})v\cdot {\mathfrak {E}}]\right\}\end{cases}}} ... (23)
W = ∫ ∞ w d τ {\displaystyle W=\int _{\infty }w\ d\tau } ,
w = 1 2 ( E ⋅ E + M ⋅ M ) + ϵ 0 μ 0 ( p + v ) ⋅ [ E M ] {\displaystyle w={\frac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})+\epsilon _{0}\mu _{0}(p+v)\cdot [{\mathsf {EM}}]} ,
w = 1 2 ( ϵ E 2 + μ M 2 ) + 2 ϵ 0 μ 0 ( p + v ) ⋅ [ E M ] {\displaystyle w={\frac {1}{2}}(\epsilon {\mathsf {E}}^{2}+\mu {\mathsf {M}}^{2})+2\epsilon _{0}\mu _{0}(p+v)\cdot [{\mathsf {EM}}]} , ... (24)
Wir bilden δ w δ t {\displaystyle {\frac {\delta w}{\delta t}}} , und beachten dabei, daß die Werthe von ε und μ an der bewegten Materie haften, daß also
δ ϵ δ t = − v ⋅ ∇ ϵ , δ μ δ t = − v ⋅ ∇ μ {\displaystyle {\frac {\delta \epsilon }{\delta t}}=-v\cdot \nabla \epsilon ,\ {\frac {\delta \mu }{\delta t}}=-v\cdot \nabla \mu }
{ δ w δ t = E ⋅ δ ( ϵ E ) δ t + 1 2 E 2 v ⋅ ∇ ϵ + M ⋅ δ ( ϵ M ) δ t + 1 2 M 2 v ⋅ ∇ μ + 2 ϵ 0 μ 0 ( p + v ) ⋅ δ ( E M ) δ t + 2 ϵ 0 μ 0 δ ( p + v ) δ t ⋅ [ E M ] {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\delta w}{\delta t}}={\mathsf {E}}\cdot {\frac {\delta (\epsilon {\mathsf {E}})}{\delta t}}+{\frac {1}{2}}{\mathsf {E}}^{2}v\cdot \nabla \epsilon +{\mathsf {M}}\cdot {\frac {\delta (\epsilon {\mathsf {M}})}{\delta t}}+{\frac {1}{2}}{\mathsf {M}}^{2}v\cdot \nabla \mu \\\\+2\epsilon _{0}\mu _{0}(p+v)\cdot {\frac {\delta ({\mathsf {EM}})}{\delta t}}+2\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\delta (p+v)}{\delta t}}\cdot [{\mathsf {EM}}]\end{cases}}} ... (25)
− Γ [ ( E − [ v M ] ) ( M + [ v E ] ) = δ w δ t + E ⋅ Λ − p ⋅ ϵ 0 μ 0 δ ( E M ) δ t + v ⋅ f {\displaystyle -\Gamma [({\mathsf {E}}-[v{\mathfrak {M}}])({\mathsf {M}}+[v{\mathfrak {E}}])={\frac {\delta w}{\delta t}}+{\mathsf {E}}\cdot \Lambda -p\cdot \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\delta ({\mathsf {EM}})}{\delta t}}+v\cdot f} , ... (26)
{ f = Γ ( E ) E − 1 2 E 2 ∇ ϵ + Γ ( M ) M − 1 2 M 2 ∇ μ + ( Λ M ) + δ δ t { [ E M ] − ϵ 0 μ 0 [ E M ] } + [ Γ ( E ) v ⋅ M ] − [ Γ ( M ) v ⋅ E ] . {\displaystyle {\begin{cases}f=\Gamma ({\mathfrak {E}}){\mathsf {E}}-{\frac {1}{2}}{\mathsf {E}}^{2}\nabla \epsilon +\Gamma ({\mathfrak {M}}){\mathsf {M}}-{\frac {1}{2}}{\mathsf {M}}^{2}\nabla \mu +(\Lambda {\mathfrak {M}})\\\\+{\frac {\delta }{\delta t}}\{[{\mathfrak {EM}}]-\epsilon _{0}\mu _{0}[{\mathsf {EM}}]\}+[\Gamma ({\mathfrak {E}})v\cdot {\mathfrak {M}}]-[\Gamma ({\mathfrak {M}})v\cdot {\mathfrak {E}}].\end{cases}}} ... (27)
Wir multipliciren die Gleichung (26) mit dτ und integriren über das ganze Feld. Dann bildet sich links ein Oberflächen-Integral, dessen Integrand überall Null ist. Rechts entsteht aus dem ersten Glied: δ W δ t = ∂ W ∂ t {\displaystyle {\frac {\delta W}{\delta t}}={\frac {\partial W}{\partial t}}} . Also:
− ∂ W ∂ t = ∫ ∞ E ⋅ Λ d τ − p ⋅ ∂ ∂ t ∫ ∞ ϵ 0 μ 0 [ E M ] d τ + ∫ ∞ v ⋅ f d τ {\displaystyle -{\frac {\partial W}{\partial t}}=\int _{\infty }{\mathsf {E}}\cdot \Lambda d\tau -p\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\infty }\epsilon _{0}\mu _{0}[{\mathsf {EM}}]d\tau +\int _{\infty }v\cdot f\ d\tau } . ... (28)
− ∂ W ∂ t = ∫ ∞ E ⋅ Λ d τ + ∫ ∞ u ⋅ f d τ {\displaystyle -{\frac {\partial W}{\partial t}}=\int _{\infty }{\mathsf {E}}\cdot \Lambda d\tau +\int _{\infty }u\cdot f\ d\tau } ... (29)
{ f 0 = Γ ( E ) E − 1 2 E 2 ∇ ϵ + Γ ( M ) M − 1 2 M 2 ∇ μ + ( Λ M ) + δ δ t { [ E M ] − ϵ 0 μ 0 [ E M ] } + [ Γ ( E ) u ⋅ M ] − [ Γ ( M ) u ⋅ E ] . {\displaystyle {\begin{cases}f_{0}=\Gamma ({\mathfrak {E}}){\mathsf {E}}-{\frac {1}{2}}{\mathsf {E}}^{2}\nabla \epsilon +\Gamma ({\mathfrak {M}}){\mathsf {M}}-{\frac {1}{2}}{\mathsf {M}}^{2}\nabla \mu +(\Lambda {\mathfrak {M}})\\\\+{\frac {\delta }{\delta t}}\{[{\mathfrak {EM}}]-\epsilon _{0}\mu _{0}[{\mathsf {EM}}]\}+[\Gamma ({\mathfrak {E}})u\cdot {\mathfrak {M}}]-[\Gamma ({\mathfrak {M}})u\cdot {\mathfrak {E}}].\end{cases}}} ... (30)
Nun ist erfahrungsmäßig ∫ ∞ E ⋅ Λ d τ {\displaystyle \int _{\infty }{\mathsf {E}}\cdot \Lambda d\tau } der Energiebetrag, welcher per Zeiteinheit in den Leitern in der Form von Wärme und chemischer Energie abgegeben wird. Die Gleichung (29) lehrt also, daß das Energieprincip gewahrt ist, sofern wir W als die elektromagnetische Energie des Feldes und ∫ ∞ u ⋅ f 0 d τ {\displaystyle \int _{\infty }u\cdot f_{0}d\tau } als die in der Zeiteinheit geleistete mechanische Arbeit betrachten dürfen. Als Energie dürfen wir jede eindeutige Function von E , M {\displaystyle {\mathsf {E,M}}} und u ansprechen; den von Gleichung (29) geforderten Werth haben wir bereits in (A) vorweggenommen. Der Arbeit dürfen wir den angegebenen Werth zuschreiben, wenn wir ohne Widerspruch erstens mit unseren Grundannahmen und zweitens mit der Erfahrung f0 als die auf den Inhalt der Volumeinheit wirkende Kraft ansehen dürfen.
Bezüglich der rsten Forderung bemerken wir, das für ein Volumelement im Vacuum gilt:
Γ ( E ) = Γ ( M ) = ∇ ϵ = ∇ μ = Λ = 0 , ϵ = ϵ 0 , μ = μ 0 {\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {E}})=\Gamma ({\mathfrak {M}})=\nabla \epsilon =\nabla \mu =\Lambda =0,\ \epsilon =\epsilon _{0},\ \mu =\mu _{0}} ,
u=0, also E = ϵ 0 E , M = ϵ 0 M {\displaystyle {\mathfrak {E}}=\epsilon _{0}{\mathsf {E}},\ {\mathfrak {M}}=\epsilon _{0}{\mathsf {M}}} .
F = − ∂ ∂ t ∫ ∞ ϵ 0 μ 0 [ E M ] d τ {\displaystyle F=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\infty }\epsilon _{0}\mu _{0}[{\mathsf {EM}}]d\tau }
Der zweite Theilbetrag ∫ ∞ v ⋅ f d τ {\displaystyle \int _{\infty }v\cdot fd\tau } entspricht den relativen Bewegungen der im Felde vorhandenen Körper; er bedeutet, daß diese Bewegungen durch die Kräfte f beherrscht sind. Es fragt [95] sich also, ob die f in (27) thatsächlich die von uns beobachteten Kräfte sind.
Aus dem Ausdruck von f können wir zunächst die beiden letzten Glieder ausscheiden. Das erste dieser Glieder bedeutet eine Kraft auf ein bewegtes elektrisch geladenes Theilchen, welche dasselbe normal zur magnetischen Polarisation und normal zu seiner Bewegungsrichtung fortzutreiben sucht. An ausgedehnten Massen wird sie wegen der Kleinheit des Factors v kaum nachzuweisen sein. (Sie ist herbeigezogen worden zur Deutung der an den Kathodenstrahlen beobachteten Erscheinungen und des Zeeman Effects.) Aber wie dem auch sein mag: die Arbeit einer solchen Kraft ist Null; ihre Existenz oder Nichtexistenz ändert also nichts bezüglich der Energiegleichung. Das gleiche gilt für die Kraft auf ein im elektrischen Felde bewegtes magnetisches Theilchen , welche durch das zweite der in Frage stehenden Glieder dargestellt wird. In Zeichen: nach (d) ist v ⋅ [ v M ] = 0 , v ⋅ [ v E ] = 0 {\displaystyle v\cdot [v{\mathfrak {M}}]=0,\ v\cdot [v{\mathfrak {E}}]=0} ; wir hätten also in (23) sogleich die beiden letzten Terme unterdrücken können.
Weiter: Der Term δ δ t { [ E M ] − ϵ 0 μ 0 [ E M ] } {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}\{[{\mathfrak {EM}}]-\epsilon _{0}\mu _{0}[{\mathsf {EM}}]\}} bezeichnet zwei Partialkräfte, welche stets so klein bleiben, daß jede einzelne von ihnen höchstens in äußerst verdünnten Gasen zu wahrnehmbaren Bewegungen führen könnte (vgl. Hertz, Ausbreitung der elektrischen Kraft, pag. 284 ; Helmholtz , Wissenschaftl. Abhandlungen, Bd. 3, pag. 531 f.). In diesem Fall aber ist ε=ε0, μ=μ0; die beiden Kräfte compensiren sich daher in den Größen niedrigster Ordnung; es bleiben nur Glieder der Form p + v ω 0 2 δ δ t {\displaystyle {\frac {p+v}{\omega _{0}^{2}}}{\frac {\delta }{\delta t}}} übrig, welche unter keinen Umständen zu merkbaren Bewegungen Anlaß geben können.
Die wahrnehmbaren Kräfte werden somit dargestellt durch die fünf ersten Terme in f. Diese bezeichnen in strenger Vollständigkeit die Kräfte im relativ ruhenden, stationären Felde. Diese Kräfte sind es zugleich, welche das Objcct aller genauen Messungen bilden. Um sie als Functionen von E {\displaystyle {\mathsf {E}}} und M {\displaystyle {\mathsf {M}}} auszudrücken, haben wir die Werthe von M , Γ ( E ) , Γ ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {M}},\ \Gamma ({\mathfrak {E}}),\ \Gamma ({\mathfrak {M}})} aus (C2) und (8) zu entnehmen. Aus (8b) folgt:
Γ ( E ) E = Γ ( ϵ E ) E + ϵ 0 μ 0 ( p ⋅ Λ ) E {\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {E}}){\mathsf {E}}=\Gamma (\epsilon {\mathsf {E}}){\mathsf {E}}+\epsilon _{0}\mu _{0}(p\cdot \Lambda ){\mathsf {E}}} ,
= Γ ( ϵ E ) E + ϵ 0 μ 0 ( p ⋅ E ) p − [ Λ [ p E ] ] } {\displaystyle =\Gamma (\epsilon {\mathsf {E}}){\mathsf {E}}+\epsilon _{0}\mu _{0}(p\cdot {\mathsf {E}})p-[\Lambda [p{\mathsf {E}}]]\}} .
Den letzten Term vereinigen wir mit dem Term [ Λ M ] {\displaystyle [\Lambda {\mathfrak {M}}]} in f, und [96] erhalten so:
f = Γ ( ϵ E ) E − 1 2 E 2 ∇ ϵ + Γ ( μ M ) M − 1 2 M 2 ∇ μ + ( Λ ⋅ μ M ) + ϵ 0 μ 0 ( Λ ⋅ E ) p {\displaystyle f=\Gamma (\epsilon {\mathsf {E}}){\mathsf {E}}-{\frac {1}{2}}{\mathsf {E}}^{2}\nabla \epsilon +\Gamma (\mu {\mathsf {M}}){\mathsf {M}}-{\frac {1}{2}}{\mathsf {M}}^{2}\nabla \mu +(\Lambda \cdot \mu {\mathsf {M}})+\epsilon _{0}\mu _{0}(\Lambda \cdot {\mathsf {E}})p} . ... (31)
Die fünf ersten Terme dieses Ausdrucks stellen die bekannten Kräfte des stationären Feldes vollständig dar: die Kräfte auf die Träger von Elektricitätsmengen, auf ungeladene Dielektrica, auf die Theilchen permanenter Magnete, auf temporär magnetisirte Körper, auf durchströmte Leiter. Zu diesen bekannten Kräften gesellt sich nach unserer Theorie eine weitere Kraft auf durchströmte Leiter, welche bisher nicht beobachtet ist: ϵ 0 μ 0 ( Λ ⋅ E ) p {\displaystyle \epsilon _{0}\mu _{0}(\Lambda \cdot {\mathsf {E}})p} . Sie hat die Richtung der Erdbewegung, und würde für ein Stück Kupfer bei der Stromdichte 1 A m p e r e m m 2 {\displaystyle 1{\frac {Ampere}{mm^{2}}}} den 1013ten Theil des Kupfergewichts betragen.
§ 7. Localisirung der Energie.[edit]
Σ = c [ E M ] {\displaystyle \Sigma =c[{\mathsf {EM}}]}
p=0, v=u, δ δ t = ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}={\frac {\partial }{\partial t}}} ,
Γ [ [ u M ] [ u E ] ] {\displaystyle \Gamma [[u{\mathfrak {M}}][u{\mathfrak {E}}]]}
[ u E ] ⋅ P [ u M ] − [ u M ] ⋅ P [ u E ] = u ⋅ [ E ⋅ P [ u M ] − u ⋅ [ M ⋅ P [ u E ] {\displaystyle [u{\mathfrak {E}}]\cdot {\mathsf {P}}[u{\mathfrak {M}}]-[u{\mathfrak {M}}]\cdot {\mathsf {P}}[u{\mathfrak {E}}]=u\cdot [E\cdot {\mathsf {P}}[u{\mathfrak {M}}]-u\cdot [{\mathfrak {M}}\cdot {\mathsf {P}}[u{\mathfrak {E}}]}
− Γ ( T ) = δ w δ t + E ⋅ Λ + u ⋅ ( f 0 + f 1 ) {\displaystyle -\Gamma (T)={\frac {\delta w}{\delta t}}+{\mathsf {E}}\cdot \Lambda +u\cdot (f_{0}+f_{1})} , ... (32)
T = [ E M ] + [ E [ u E ] ] + [ M [ u M ] ] f 1 = − [ E ⋅ P [ u M ] + [ M ⋅ P [ u E ] w = 1 2 ( E ⋅ E + M ⋅ M ) + ϵ 0 μ 0 u ⋅ [ E M ] {\displaystyle {\begin{array}{c}T=[{\mathsf {EM}}]+[{\mathsf {E}}[u{\mathfrak {E}}]]+[{\mathsf {M}}[u{\mathfrak {M}}]]\\\\f_{1}=-[{\mathfrak {E}}\cdot {\mathsf {P}}[u{\mathfrak {M}}]+[{\mathfrak {M}}\cdot {\mathsf {P}}[u{\mathfrak {E}}]\\\\w={\frac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})+\epsilon _{0}\mu _{0}u\cdot [{\mathsf {EM}}]\end{array}}} ... (33)
E [ u E ] ] + [ M [ u M ] ] = ( E ⋅ E + M ⋅ M ) u − ( u ⋅ E ) E − ( u ⋅ M ) M {\displaystyle {\mathsf {E}}[u{\mathfrak {E}}]]+[{\mathsf {M}}[u{\mathfrak {M}}]]=({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})u-(u\cdot {\mathsf {E}}){\mathfrak {E}}-(u\cdot {\mathsf {M}}){\mathfrak {M}}}
= ( E ⋅ E + M ⋅ M ) u − ( u ⋅ E ) ϵ E − ( u ⋅ M ) μ M {\displaystyle =({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})u-(u\cdot {\mathsf {E}})\epsilon {\mathsf {E}}-(u\cdot {\mathsf {M}})\mu {\mathsf {M}}}
− ϵ 0 μ 0 { − ( u ⋅ E ) [ u M ] + ( u ⋅ M ) [ u E ] } {\displaystyle -\epsilon _{0}\mu _{0}\{-(u\cdot {\mathsf {E}})[u{\mathsf {M}}]+(u\cdot {\mathsf {M}})[u{\mathsf {E}}]\}} .
{ } = [ u { E ( u ⋅ M ) − M ( u ⋅ E ) } ] = [ u [ u [ E M ] ] ] {\displaystyle \{\ \}=[u\{{\mathsf {E}}(u\cdot {\mathsf {M}})-{\mathsf {M}}(u\cdot {\mathsf {E}})\}]=[u[u[{\mathsf {EM}}]]]}
= ( u ⋅ [ E M ] ) u − u 2 [ E M ] {\displaystyle =(u\cdot [{\mathsf {EM}}])u-u^{2}[{\mathsf {EM}}]}
E ⋅ E + M ⋅ M = ϵ E 2 + μ M 2 + 2 ϵ 0 μ 0 u ⋅ [ E M ] {\displaystyle {\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}}=\epsilon {\mathsf {E}}^{2}+\mu {\mathsf {M}}^{2}+2\epsilon _{0}\mu _{0}u\cdot [{\mathsf {EM}}]} .
T = ( 1 + ϵ 0 μ 0 u 2 ) [ E M ] + 1 2 ( E ⋅ E + M ⋅ M ) u + 1 2 ( ϵ E 2 + μ M 2 ) u − ( u ⋅ E ) ϵ E {\displaystyle T=(1+\epsilon _{0}\mu _{0}u^{2})[{\mathsf {EM}}]+{\frac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})u+{\frac {1}{2}}(\epsilon {\mathfrak {E}}^{2}+\mu {\mathfrak {M}}^{2})u-(u\cdot {\mathsf {E}})\epsilon {\mathfrak {E}}}
− ( u ⋅ M ) μ M {\displaystyle -(u\cdot {\mathsf {M}})\mu {\mathsf {M}}} .
{ − Γ ( Σ + w 1 u ) − Γ ( Y ) = ∂ w ∂ t + E ⋅ Λ + u ⋅ ( f 0 + f 1 ) o d e r ∫ ( Σ n + w 1 u n ) d S + ∫ Y n d S = ∂ ∂ t ∫ w d τ + ∫ E ⋅ Λ d τ + ∫ u ⋅ ( f 0 + f 1 ) d τ {\displaystyle {\begin{cases}-\Gamma (\Sigma +w_{1}u)-\Gamma (Y)={\frac {\partial w}{\partial t}}+E\cdot \Lambda +u\cdot (f_{0}+f_{1})\\oder\\\int (\Sigma _{n}+w_{1}u_{n})dS+\int Y_{n}dS={\frac {\partial }{\partial t}}\int w\ d\tau +\int E\cdot \Lambda \ d\tau +\int u\cdot (f_{0}+f_{1})d\tau \end{cases}}} ... (34)
Σ = ( 1 + ϵ 0 μ 0 u 2 ) [ E M ] {\displaystyle \Sigma =(1+\epsilon _{0}\mu _{0}u^{2})[{\mathsf {EM}}]} ... (35)
w 1 = 1 2 ( E ⋅ E + M ⋅ M ) {\displaystyle w_{1}={\frac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})} ... (36)
w = 1 2 ( E ⋅ E + M ⋅ M ) + ϵ 0 μ 0 u ⋅ [ E M ] {\displaystyle w={\frac {1}{2}}({\mathsf {E}}\cdot {\mathfrak {E}}+{\mathsf {M}}\cdot {\mathfrak {M}})+\epsilon _{0}\mu _{0}u\cdot [{\mathsf {EM}}]} ... (36)
Y m = 1 2 ( ϵ E 2 + μ M 2 ) u 0 − ( u ⋅ E ) ϵ E n − ( u ⋅ M ) μ M n {\displaystyle Y_{m}={\frac {1}{2}}(\epsilon {\mathsf {E}}^{2}+\mu {\mathsf {M}}^{2})u_{0}-(u\cdot {\mathsf {E}})\epsilon {\mathsf {E}}_{n}-(u\cdot {\mathsf {M}})\mu {\mathsf {M}}_{n}} ... (37)
{ Y n = − u ⋅ π n , w o π n e i n V e c t o r m i t d e n C o m p o n e n t e n π x n , π y n , π z n ; π x n = π x x cos ⁡ ( n x ) + π x y cos ⁡ ( n x ) + π x z cos ⁡ ( n z ) ; π x x = − 1 2 ( ϵ E 2 + μ M 2 ) + ϵ E x E x + μ M x M x π x y = π y x = ϵ E x E y μ M + x M y e t c . {\displaystyle {\begin{cases}Y^{n}=-u\cdot \pi ^{n},\ wo\ \pi ^{n}\ ein\ Vector\ mit\ den\ Componenten\ \pi _{x}^{n},\ \pi _{y}^{n},\ \pi _{z}^{n};\\\pi _{x}^{n}=\pi _{x}^{x}\cos(nx)+\pi _{x}^{y}\cos(nx)+\pi _{x}^{z}\cos(nz);\\\pi _{x}^{x}=-{\frac {1}{2}}(\epsilon {\mathsf {E}}^{2}+\mu {\mathsf {M}}^{2})+\epsilon {\mathsf {E}}_{x}{\mathsf {E}}_{x}+\mu {\mathsf {M}}_{x}{\mathsf {M}}_{x}\\\pi _{x}^{y}=\pi _{y}^{x}=\epsilon {\mathsf {E}}_{x}{\mathsf {E}}_{y}\mu {\mathsf {M}}+_{x}{\mathsf {M}}_{y}etc.\end{cases}}} ... (37')
[98] Die Gleichung (34) können wir folgendermaßen interpretiren: Die Energie der Volumeinheit ist w; hiervon haftet der Antheil w1 an der Materie derart, daß er ihre Bewegungen theilt. Abgesehen von dieser Fortführung der Energie findet eine Strömung derselben durch Strahlung im Betrage Σ statt. Zu den bereits betrachteten Kräften f0 treten neue Volumkräfte f1; diese enthalten ebenso, wie die letzten Partialkräfte in f0 die Geschwindigkeit als Factor; ihre Existenz ändert nichts an den in § 6 gezogenen Schlüssen. Endlich erhalten wir neben diesen Volnmkräften noch Oberflächen-Spannungen n; sie sind identisch mit den Spannungen der Maxwell'schen und der Hertz'schen Theorie.
Diese Interpretation der Gleichung (34) giebt der Strahlung I. den in (E) geforderten und in §§ 2—5 benutzten Ausdruck. Sie ist also eine für uns zulässige Interpretation — aber keineswegs die einzige. In der That ist willkürlich zunächst die Art, wie wir die in die Richtung von u fallende Componente von T in zwei Theile zerlegt haben. Ferner aber hätten wir die Größe Γ [ [ u M ] [ u E ] {\displaystyle \Gamma [[u{\mathfrak {M}}][u{\mathfrak {E}}]} , welche wir in die Form -u·f1 brachten, auch als − Γ { ( u ⋅ [ E M ] ) u } {\displaystyle -\Gamma \{(u\cdot [{\mathfrak {EM}}])u\}} mit -Γ(T) vereinigt lassen können. Das heißt zusammen: wir dürfen die mitgeführte Energie w1 um einen willkürlichen Betrag vergrößern, sofern wir nur um den gleichen Betrag auch die Normalcomponente πnn der Oberflächenspannungen vermehren, und wir dürfen ferner, unter Aufgabe der Kräfte f1 noch den Betrag u ⋅ [ E M ] {\displaystyle u\cdot [{\mathfrak {EM}}]} zu w1 hinzufügen. Die oben gewählte Darstellung ergiebt den möglichst engen Anschluß an die Deutung, welche Hertz seinen Gleichungen gegeben hat.
Anhang.[edit]
Ueberall ist Aether vorhanden, und überall ist er in absoluter Ruhe. Alle Geschwindigkeiten, von denen wir sprechen, sind Geschwindigkeiten relativ zum Aether. Unseren bisherigen Erfahrungen gegenüber genügt es, die Fixsterne ohne „Eigenbewegung" als ruhend gegen den Aether anzusehen. — Die Polarisationen E {\displaystyle {\mathfrak {E}}} und M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} gehören zum Theil dem Aether, zum Theil der Materie an. Jeder der beiden Antheile ist das Product ans Feldintensität und elektrischer, bezw. magnetischer Constante. Dem Aether kommen die Constanten ε0, μ0 zu, der Materie die Constanten
ε1=ε-ε0, μ1=/mu;-μ 0. ... (C1)
Die Feldintensitäten sind in der Materie die Größen E , M {\displaystyle {\mathsf {E,M}}} , welche auf der linken Seite der Gleichungen (B) auftreten, — dieselben, welche auch für den Fall der Ruhe gelten würden ; denn die in (B) auftretenden Flächen und Curven liegen fest in der Materie. Die Feldintensitäten sind im Aether Größen E 0 , M 0 {\displaystyle {\mathsf {E_{0},M_{0}}}} , welche sich von E , M {\displaystyle {\mathsf {E,M}}} durch „inducirte" Antheile unterscheiden; denn der Aether hat gegen das Bezugssystem der Gleichungen (B) die Geschwindigkeit —u. Es ist
E 0 = E − [ u ⋅ μ 0 M ] ; M 0 = M + [ u ⋅ μ 0 E ] {\displaystyle {\mathsf {E}}_{0}={\mathsf {E}}-[u\cdot \mu _{0}{\mathsf {M}}];\ {\mathsf {M}}_{0}={\mathsf {M}}+[u\cdot \mu _{0}{\mathsf {E}}]} ... (C2)
E = ϵ 1 E + ϵ 0 E 0 ; M = μ 1 M + μ 0 M 0 {\displaystyle {\mathfrak {E}}=\epsilon _{1}{\mathsf {E}}+\epsilon _{0}{\mathsf {E}}_{0};\ {\mathfrak {M}}=\mu _{1}{\mathsf {M}}+\mu _{0}{\mathsf {M}}_{0}} . ... (C2)
↑ Für den speciellen Fall der optischen Erscheinungen in gleichförmig bewegten Medien habe ich die Gleichungen bereits in Archives Néerlandaises (2) 5 (Lorentz-Jubelband) pag. 516 aufgestellt und discutirt. Dort habe ich auch den Weg angegeben, auf welchem ich zu den Gleichungen gelanugt bin. Die hier folgenden Gleichungen sind nichts anderes, als die einfachste mögliche Verallgemeinerung der dortigen.
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References: § 4
 § 2

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§ 3

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§ 5
 § 4
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§ 6

§ 7
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