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Timestamp: 2017-07-26 22:34:01+00:00

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Programacion LinealCargado por Natti NattramnIntereses relacionadosLinear ProgrammingPlane (Geometry)Line (Geometry)SlopeEquationsCalificación y estadísticas0.0 (0)Acciones de documentosDescargaCompartir o incrustar documentosInsertarVer másCopyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Precio de lista: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentINTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEALY
..............Introducción a la Programación Lineal
................ página Capítulo 2 – Resoluciones .................................................... página
..........27 29 ..............55
Introducción....................................... ................................................................................. página Capítulo 1 – Resoluciones ............................................................................................................................................................... página Capítulo 1 – Enunciados .....................35 37 .... página
Capítulo 2 – Enunciados ..... ............... página
1 3 – 13 15 – 17 19 .......
En el Capítulo (2) los primeros ocho ejercicios se refieren a la maximización y/o minimización de funciones lineales de dos variables.Introducción a la Programación Lineal. En ésta . pero si además de ello eres capaz de resolverlos. introductorios al tema de Programación Lineal. básicamente. con su correspondiente resolución . En el Capítulo (1) te proponemos ejercicios sobre resolución de inecuaciones
lineales en dos variables y de sistemas de inecuaciones lineales en dos variables. mientras que del ejercicio nueve en adelante te proponemos situaciones problemáticas genuinas. Nuestra intención es agregar a ellos un material adicional que esperamos te resulte útil durante el desarrollo del curso como también eventualmente en la preparación del examen correspondiente. Hemos dividido la publicación en 2 capítulos y una Introducción. En modo alguno pretende sustituir los ejercicios que el docente que dicta el curso de matemática en la orientación que has elegido te proponga.
LOS AUTORES. desarrollamos con algún detalle la resolución de un ejercicio tipo a fin de que refresques aquellos conocimientos adquiridos en el curso y que deberás aplicar directamente. Prólogo
. Si logras convencerte que con los conocimientos adquiridos en este primer curso de Matemática de los Bachilleratos Tecnológicos estás capacitado para resolver ejercicios introductorios sobre Programación Lineal habrás dado un paso adelante. enhorabuena.
mientras cada unidad de los del tipo (B) necesita 15 metros de tela y 16 horas de trabajo.
Ejercicio No. Ingeniería . entre los cuales merece especial destaque George B. etc. especialmente en el mundo de la economía . La tapicería dispone semanalmente de 300 m de tela y 336 horas de trabajo. Suponiendo que todos los sillones tapizados se venden y que no existe escasez de otros elementos como hilo. El problema de asignar convenientemente recursos escasos es un problema conocido desde la antigüedad . que iremos desarrollando para que recuerdes los conocimientos matemáticos necesarios para su resolución y puedas entonces dedicarte a los ejercicios que te proponemos en esta publicación. Cada unidad del sillón tipo (A) necesita 10 metros de tela de tapicería y 12 horas de trabajo . En esencia trata de maximizar y/o minimizar una función lineal de dos o más variables teniendo en cuenta que las mismas deben cumplir determinadas exigencias derivadas de la escasez de recursos disponibles en la realidad. 0
Una tapicería está dedicada al tapizado de dos tipos de sillones a los que denominaremos tipo (A) y tipo (B). Biología . y los del tipo (B) una utilidad de $ 2100. Los sillones del tipo (A) dan a la empresa una utilidad de $ 1500 . Dantzing . tachuelas . se sentaron las bases para la resolución de problemas de Programación Lineal y No Lineal. Sociología . economistas y físicos. se desea saber cuántos sillones de cada tipo deben tapizarse para que la empresa obtenga máxima ganancia
. Fue en la década de los años 40 del siglo XX que a través del trabajo de equipos formados por matemáticos. clavos .etc.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
La Programación Lineal es una técnica matemática utilizada para dar solución a problemas que se plantean muy comúnmente en diversas disciplinas como Economía . Entendemos que nada mejor para comprender la esencia del tema que plantearte un ejercicio. aunque una solución matemática al mismo es relativamente reciente.
y) = 1500x + 2100y debiendo las variables cumplir con las restricciones: 10 x + 15 y ≤ 300 12 x + 16 y ≤ 336 x≥0 y≥0 (1) (2) (3) (4)
. la función G será tal que: G(x. deberá cumplirse 10 x + 15 y ≤ 300 (1)
En resumen el modelo matemático adoptado para resolver el ejercicio propuesto consiste en maximizar la función G tal que G(x. limitaciones a las que denominaremos “restricciones ” y que se traducen matemáticamente por inecuaciones lineales. que llamaremos G. tipo (A) y al número de unidades de sillones tapizados por semana . que en nuestro caso será lograr que la ganancia de la empresa expresada en $/semana sea máxima. A tales efectos llamaremos: x al número de unidades de sillones tapizados por semana . deberemos expresarla como función lineal de dos variables. en nuestro caso los metros de tela de que dispone por semana la tapicería (300 m ) y las horas de trabajo posibles por semana (336 horas).Introducción a la Programación Lineal – Introducción
En todo problema de Programación Lineal encontraremos una tarea que debe realizarse con la máxima “efectividad” .)
La escasez de recursos. Esa ganancia . imponen limitaciones a nuestras variables. En efecto: Si cada sillón del tipo (A) necesita 10m de tela y cada sillón del tipo (B) necesita 15m de tela.y) = 1500 x + 2100 y ( $ / sem. tipo (B) Como las utilidades de la venta son 1500 y 2100 pesos por unidad respectivamente.
Nos surge sin embargo la duda de si no existirá la posibilidad de tapizar ambos tipos de sillones logrando con ello una ganancia superior a 42000 $ / sem. 20 = 42000 $ / sem. Las infinitas parejas (x . siendo menor el tiempo de tapizado de los sillones tipo (A) . Los problemas de Programación Lineal en dos variables que tratamos en esta publicación admiten una resolución gráfica sencilla . En ese caso tendríamos x = 0 y deberíamos hallar el máximo valor de “y” que cumpla las restricciones dadas . obtendremos la solución correcta. lo conveniente sería dedicarse sólo a ese tipo de sillones pues la cantidad de ellos sería mayor.y) que verifiquen la doble condición: 10x +15y = 300 10x + 15 y < 300 Consideremos un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal (XOY). 0) = 1500 . según veremos a continuación . 28 = 42000 $ / sem. 10 x + 15 y ≤ 300 Resolver la inecuación significa hallar el conjunto de parejas (x.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Tratando de encontrarle solución al ejercicio podrías pensar . La ganancia de la empresa sería entonces: G(0. Ana Coló Herrera 5 Héctor Patritti
. lo que nos daría y = 300 / 15 = 20 ya que si tomáramos y = 336 / 12 = 21 se incumpliría la restricción (1). Sin embargo podrías pensar que. La ganancia sería entonces : G(28. y) que cumplen la primera condición son coordenadas de los infinitos puntos de la recta de ecuación 10x + 15y = 300. en tapizar sólo ese tipo de sillones. Lo primero que debes recordar es la resolución gráfica de inecuaciones lineales en dos variables que has visto en el curso. Tratemos de llevarla adelante paso a paso. teniendo en cuenta que los sillones del tipo (B) dan mayor ganancia. En estas condiciones tendríamos entonces: y = 0 y deberíamos hallar el valor
máximo de “x” lo que nos conduciría a x = 336 /12 = 28. El resultado estaría indicando que en el problema propuesto y desde el punto de vista de la ganancia de la empresa sería indiferente una u otra de las soluciones. 20) =2100 . Tomemos la restricción número (1) de nuestro ejercicio. Una vez resuelto el problema matemáticamente .
Debemos ahora encontrar las infinitas parejas que verifican la segunda condición. El origen de coordenadas verifica pues la desigualdad y el semiplano que lo contiene representará gráficamente la solución buscada. En forma similar resolvemos las restantes restricciones. en caso de que no verifiquen el semiplano buscado será el opuesto.(0) +15. (4)
.(0) = 0 < 300. el semiplano al cual pertenece el punto será el buscado. Tendremos entonces: 10. Si la verifican . (2)
O Fig. Para ello basta que tomemos un punto arbitrario del plano no perteneciente a la recta que hemos considerado y verifiquemos si sus coordenadas verifican o no la inecuación.
O Fig. (1)
O Fig. La unión de la recta y el semiplano hallado es la solución de la restricción número (1) de nuestro ejercicio. Si nuestra recta no pasa por el origen de coordenadas el punto más sencillo para efectuar el tanteo es justamente el (0. La recta anterior divide al plano en dos semiplanos y desde el punto de vista gráfico uno de ellos es la solución de la inecuación 10x + 15y < 300 . (3)
X Fig. Las figuras siguientes nos muestran las soluciones . Queda por determinar cuál de los dos es la solución.0).
6) = 1500.30) que claramente es exterior al polígono . si tomamos por ejemplo el punto (20 . Ello nos conduce al polígono convexo OABC de la Fig. Recuerda que las parejas (0 . Basta para ello hallar el conjunto intersección de los cuatro semiplanos que hemos representado en las figuras anteriores.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Estamos ahora en condiciones de hallar las infinitas parejas de números reales (x . 12) C(28 . teóricamente la empresa podría obtener una ganancia de : G(20. queriendo significar con ello que cualquier punto perteneciente a él tiene por coordenadas una pareja de números (x . 0) daban una ganancia mayor. 20) y (28 .(5) +2100 . mientras que las
coordenadas de cualquier punto del plano no perteneciente al recinto no verifican el sistema.(6) = 20100 $ /sem. 20)
Si tomamos por ejemplo el punto P (5. Sin embargo la tapicería no estaría en condiciones de tapizar 20 sillones tipo (A) Ana Coló Herrera 7 Héctor Patritti
C B(12 . Por otro lado. al que denominaremos “recinto de puntos factibles”. (5).0)
A (0 . En ese caso la ganancia que obtendría sería : G( 5.(30) = 93000 $ / sem. 30) = 1500.y ) que verifican el sistema de inecuaciones formado por las restricciones.6) que evidentemente pertenece al recinto podemos concluir que la empresa puede decidir tapizar 5 sillones del tipo (A) y 6 sillones del tipo B a la semana pues sus recursos escasos no se lo impiden. 0)
O (0. Si bien se trata de una opción posible para la empresa claramente no resulta
conveniente. y) que verifican todas las restricciones impuestas. Y
Fig. (20) + 2100.
Desde el punto de vista matemático la pareja (20. En la figura (6) representamos algunas de ellas para distintos valores de k.y) = k con k ε R pues conocemos el conjunto de las parejas
1500 5 k . 30) viola las restricciones (1) y (2).
. Para dar solución definitiva al ejercicio haremos uso ahora de las curvas de nivel de la función G.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
y 30 sillones tipo (B) a la semana pues no contaría con la tela ni con las horas de trabajo necesarias para ello. Si bien seguimos sin saber aún cuál o cuales parejas solucionan nuestro problema hemos avanzado en su resolución posibles. Recuerda que llamamos curvas de nivel de una función f de variables x . y a la familia de curvas del plano XOY que cumplen que f(x . N Y K=45000 W S E
Observa que al aumentar k la recta se traslada en la dirección noreste alejándose del origen de coordenadas. = − y ordenada en el origen n = 2100 7 2100
Las rectas serán por consiguiente paralelas entre sí.
es decir la ecuación : 1500x + 2100y = 30000. por lo menos teóricamente . Y
A K=30000 M B Fig. la conclusión es que si la empresa tapizara un número x de sillones del tipo (A) e y sillones del tipo (B) siendo la pareja (x . Si observas la recta de k = 30000 podrás concluir que para obtener esa ganancia semanal la empresa sólo podrá trabajar en puntos del segmento MN . en nuestro caso cada recta. (5) correspondiente a K=30000. Porqué afirmamos “por lo menos teóricamente”. Permitiéndonos cierta libertad en el lenguaje podemos afirmar que la empresa no tendrá la opción de elegir cualquier recta de nivel para trabajar sino sólo aquellas que contengan puntos del recinto de puntos factibles. no pudiendo en cambio trabajar en ningún punto de la recta de k = 60000 ya que ésta no contiene ningún punto del recinto. Pues porque no debemos olvidarnos del “recinto de puntos factibles” que ya teníamos determinado.y) que verifican la ecuación de la misma . Como el primer miembro de la ecuación es la expresión analítica de la función ganancia G. es una “recta de ganancia constante” y la ganancia está dada justamente por el valor de k.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Podemos preguntarnos porqué utilizar el concepto de curvas de nivel en la resolución de nuestro ejercicio.(6) K=60000
. Cualquier punto de esa recta tiene por coordenadas parejas de números reales (x. Cada una de las recta está indicando entonces una posible ganancia a obtener por la empresa . y) coordenadas de un punto cualquiera de esa recta . ¿Qué propiedad tienen las curvas de nivel que vuelve pertinente su aplicación? Considera por ejemplo la recta de la fig. En este sentido podríamos decir que cada curva de nivel . la ganancia que obtendría sería de 30000 $ / sem. (6) hemos graficado dos rectas de distinta ganancia. En la fig.
Obtenemos así el vértice B del polígono de puntos factibles. Para lograrlo te sugerimos dibujar alguna de ellas. para resolver los problemas de Programación Lineal que te proponemos en esta publicación deberás: 1) Elegir las incógnitas del problema y hallar la expresión analítica de la función que se te pide maximizar y/o minimizar que en todos los casos será una función lineal de dos variables. En la Fig. y luego trasladarla en la dirección y sentido correctos (en nuestro caso en la dirección noreste) hasta encontrar el punto buscado. Deberemos buscar la recta de nivel correspondiente al mayor valor de k que contenga algún punto del recinto de puntos factibles.(12) = 43200 $ / sem.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Estamos a un paso de hallar la solución del ejercicio planteado y seguros estamos que ya has deducido como encontrarla. Ana Coló Herrera
. (6) hemos representado la recta de nivel que nos da la solución buscada. por ejemplo la correspondiente a k=0 que obviamente pasará por el origen de coordenadas. vértice cuyas coordenadas eran (12 .
A B (12.
En resumen. 12).(12) + 2100.12)
obteniendo así el recinto de puntos factibles. 5) Usando las coordenadas del punto hallado calcular el valor funcional correspondiente si el problema lo requiere.
La resolución gráfica que hemos desarrollado exige de tu parte especial cuidado a la hora de representar las rectas involucradas en el problema.0 sin recurrir a la representación gráfica. sean lados del recinto de puntos factibles como curvas de nivel de la función. 4) Utilizar las rectas de nivel de la función en cuestión para hallar el vértice (o lado) del recinto de puntos factibles donde se produce el máximo y/o mínimo buscado. 3) Resolver gráficamente el sistema de inecuaciones formado. Cualquier error o falta de precisión en la representación puede provocar un cambio en las pendientes de las rectas y conducirte a un vértice equivocado.
Observaciones.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
2) Deberás expresar en forma de inecuaciones las limitaciones a que quedarán sometidas las variables sea por su propio significado como por la escasez de recursos disponibles. Ana Coló Herrera
. en un problema de programación lineal de dos variables. Debemos en primer lugar determinar los vértices del recinto de puntos factibles. Las inecuaciones serán siempre lineales. Esta forma de resolución la utilizaremos en algunos de nuestros ejercicios.
Aceptando la proposición que hemos enunciado líneas arriba podemos resolver nuestro ejercicio sin recurrir al método gráfico.
El hecho de que la función ganancia de nuestro ejercicio se maximizara en un vértice del polígono de puntos factibles no ha sido casual. sea este recinto acotado o no acotado”. Entre los ejercicios que te proponemos encontrarás alguno en que este hecho se produce.
Cuando la pendiente de las curvas de nivel de la función coincida con la pendiente de uno de los lados del recinto de puntos factibles la función se maximizará o minimizará en todos los puntos de ese lado. Muchas veces esas pendientes son muy cercanas y exigen especial atención. ocurre siempre en uno de los vértices o lado del recinto poligonal convexo de puntos factibles.
Resolvamos ahora nuevamente el ejercicio No. Recuerda del curso que es posible demostrar la siguiente proposición: “ El valor máximo y/o mínimo de la función objetivo.
ganancia de la empresa alcanza a 43200 ($ / sem) resultado al que habíamos llegado anteriormente. Una vez determinados los vértices sólo restará hallar los valores funcionales de la función objetivo y decidir entonces cual o cuales corresponden a las solución buscada. 21)
(28. El valor común es m = .12)
(30.5/7.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Los vértices del recinto serán puntos de intersección de rectas definidas por las restricciones aunque no todos los puntos de intersección serán vértices. Estos últimos serán los puntos de intersección cuyas coordenadas verifiquen todas las restricciones impuestas. 0)
(12. Observa en el cuadro que los vértices A y C corresponden a iguales ganancias lo que indica que ambos pertenecen a una misma curva de nivel de la función G y ello ocurre porque los coeficientes angulares de la recta AC y de las rectas de nivel son iguales como fácilmente puedes comprobar. En el cuadro siguiente sintetizamos todos los cálculos necesarios. 0)
(0. Como comentario final de esta introducción mencionaremos que los problemas de programación lineal suelen ser generalmente de más de dos variables y con un número de restricciones que suelen superar a veces largamente las cuatro que hemos utilizado en nuestros ejercicios Ana Coló Herrera
Es posible que en cursos posteriores o por interés personal desees profundizar sobre programación lineal y no lineal por la relevancia que el tema posee. se vuelve inconveniente (debemos trabajar en el espacio en lugar del plano) y para un número mayor de variables obviamente deja de tener sentido. Los ejercicios que te proponemos son sólo una introducción al tema.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Ya para tres variables el método gráfico. si bien es aplicable. por lo que aparecen nuevos métodos que resuelven esos problemas pero que están fuera de lo pretendido por el programa de la asignatura.
. El método de cálculo al que recurrimos como segunda alternativa se vuelve extremadamente laborioso.
.1 (Resolución pag.19)
Ejercicio No.Programación Lineal .2 (Resolución pag.5 (Resolución pag.3 (Resolución pag.Enunciados
Ejercicio No. 20)
Resolver gráficamente las siguientes inecuaciones: a) b) x >2 y≤3 (Resolución pag.19)
Ejercicio No.Capítulo 1 .
Capítulo 1 . 23)
Ejercicio No.8 (Resolución pag.Enunciados
Ejercicio No.Introducción a la Programación Lineal . 24)
Ejercicio No.6 (Resolución pag.7 (Resolución pag. 25)
Ejercicio No.11 (Resolución pag.Enunciados
Ejercicio No.Introducción a la Programación Lineal . 25)
Ejercicio No. 26)
Ejercicio No.9 (Resolución pag.10 (Resolución pag. 26)
.12 (Resolución pag.Capítulo 1 .
concluimos que la solución es el semiplano que no contiene al origen de coordenadas
b) La única diferencia con la parte a) es que en este caso la recta 2x – y = 4 es parte del conjunto solución.Introducción a la Programación Lineal -Capítulo 1 .Resoluciones
Ejercicio No. Probando en la desigualdad dada con cualquier punto del plano no perteneciente a la recta. 1
. Y 2x – y = 4
a) Para resolver el sistema representaremos separadamente ambas inecuaciones y luego en un mismo sistema de ejes buscaremos la intersección de ambos conjuntos solución. (2) Fig. Y
a) Se deduce fácilmente que la solución es la indicada.Introducción a la Programación Lineal -Capítulo 1 – Resoluciones
b) La misma solución incluyendo la recta 2x + 4y = 2 . (1) Y
0 . -1) b) y
fig.Resoluciones
De las soluciones anteriores concluyes que la solución del sistema es la indicada en la figura (3). (3)
Punto P(3.Introducción a la Programación Lineal -Capítulo 1 .
.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1 . b) y y -6x + 3y = 3 1 -2x + y = 1 1
Como ambas rectas son coincidentes (coeficientes proporcionales).Resoluciónes
Ejercicio No. la solución está expresada gráficamente por la recta. (3).
fig. (3) La solución del sistema planteado es la indicada en la fig. 5
.Resoluciónes
La solución gráfica del sistema está dada por el triángulo de la figura.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1 .
Los vértices tienen por coordenadas : O(0.
.2) B( 3.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1 . solución del sistema.Resoluciónes
La intersección de los cuatro semiplanos nos da el cuadrilátero convexo de la figura.0) .0) A(0.1) C(2.
Ejercicio No. y ) = 2x – y.
Ejercicio No. Repara en el hecho que se trata de un recinto no acotado. 10
Considera la función f : f(x .Resoluciónes
La solución gráfica del sistema está dada por el cuadrilátero convexo OABC de la figura cuyos vértices tienen por coordenadas : O (0.0) A( 0.0) . que es un haz de rectas paralelas. En este ejercicio te estamos pidiendo que grafiques algunas de sus curvas de nivel. 8
La solución gráfica del sistema está representada por los puntos del cuadrilátero convexo OABC de la figura. 400) B(
C (300.2) C(12.0)
Ejercicio No. Y
A 0 Los vértices tienen por coordenadas: O(0.
.0) A ( 0 . 9
La solución es la zona sombreada de la figura.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1.
Obtendrás rectas paralelas con pendiente negativa igual a -1/2. Y
.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1 .y) = 4x + 2y tienen pendiente igual a -2.Resoluciónes
. Las ecuaciones de esas rectas están dadas por la ecuación : y = 2x . 11
Este ejercicio es completamente similar al anterior.n
Las rectas paralelas . curvas de nivel de la función f: f (x.
Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1 .Resoluciónes
Ejercicio No. 40)
f(x.0) a) Representa el polígono de puntos factibles.y) = 4 x + 5 y
Ejercicio No.1 (Resolución pag.3
(Resolución pag.4) .Introducción a la Programación Lineal .3) .0) . 38)
f(x. A(0. y) = 10 x + 10 y
Si el polígono de puntos factibles tiene por vértices los puntos: O(0. y) no te pedimos:
Ejercicio No.y)= 12 x + 8 y
. b) Maximiza la función si se admiten como soluciones valores necesariamente enteros .2 (Resolución pag. (x . D(8. c) ¿Cuántas soluciones con (x ) e ( y ) enteros crees que existen? Indícalas. C(7.6) .Capítulo 2 . 37)
f (x . B (6.
x +y ≤ 8 x≥0 y≥0
a) Representa el polígono de puntos factibles.Enunciados
Ejercicio No. 42)
f(x. 41)
f(x.6
(Resolución pag.y) = 4 x +4 y
2x +3y ≤ 12 2. c) Maximiza la función “f ” sujeta a las restricciones dadas.4 (Resolución pag. b) Determina las coordenadas de cada vértice y el correspondiente valor de la función “f ”.5 (Resolución pag.y) = 3 x +4 y
f (x.y) = 4 x + 3 y
.Capítulo 2 .Introducción a la Programación Lineal . 43)
Ejercicio No.9 – Fabricación de juguetes . Función “f ”: f(x. La fabricación de cada unidad del juguete Tipo (I) necesita 0.5 horas de trabajo de una máquina M1 y 0.Introducción a la Programación Lineal . 44)
Una empresa está dedicada a la fabricación de juguetes de plástico de dos tipos diferentes que llamaremos Tipo (I) y Tipo (II). Función “f ” : f(x. 44)
Muestra que el siguiente problema de maximización no tiene solución e indica porqué.y) = a x + b y Restricciones con (a) y (b) números reales positivos.(Resolución pag.8 (Resolución pag.
Muestra que el siguiente problema de maximización no tiene solución e indica porqué.y) = 5 x + y Restricciones: x+y≥5 3x+y≥6 x≥0 y≥0
Ejercicio No.Capítulo 2 . El juguete del Tipo (II) necesita 1 hora de M1 y 1 hora de M2 .
. El orden en que se efectúan las operaciones en las máquinas es indiferente.7 (Resolución pag.25 horas de otra máquina M2.
11 – Ganancia de empresa
(Resolución pag. El Art. El empresario está fabricando 3 unidades por día del artículo (A) y 2 unidades por día del artículo (B) y te consulta si está trabajando adecuadamente para obtener máxima ganancia. 47)
Una empresa está fabricando dos tipos de artículos que llamaremos Art. de plástico y 1. ¿ Qué le contestarías al empresario?
Ejercicio No. La máquina está disponible 8 horas al día. (2) necesita 1.(2).(1) necesita 1 Kg. mientras que el artículo (B) necesita 1 hora. mientras que el Art. y el artículo (B) de 5 U$S por unidad. El artículo (A) dá una ganancia de 2. Determina las cantidades a fabricar por semana de cada tipo de artículo para obtener máxima ganancia si: Ana Coló Herrera 32 Héctor Patritti
.5 Kg.5 Kg. de aluminio.(1) y Art. de aluminio.5 Kg. se desea saber cuántas unidades deben fabricarse por semana de cada uno de los tipos de juguetes para que la empresa obtenga máxima ganancia. El fabricante dispone semanalmente de 50 Kg de plástico y 60 Kg.Enunciados
La máquina M1 está disponible 40 horas por semana y la máquina M2 .
Ejercicio No. Cada unidad del artículo (A) insume 2 Kg. por día.Introducción a la Programación Lineal .Capítulo 2 . El artículo (A) necesita 2 horas de trabajo en máquina. de aluminio. de plástico y 1.5 U$S por unidad . Si se sabe que todos los juguetes fabricados serán vendidos. 25 horas por semana. Cada unidad del juguete Tipo (I) dá una ganancia o utilidad de U$S 10 y cada unidad del juguete Tipo (II) dá una ganancia de U$S 30. La fábrica tiene asegurada una existencia de materia prima de 12 Kg. 10 – Ganancia de empresa (Resolución pag. de materia prima y cada unidad del artículo (B) 3 Kg. 46)
Una pequeña empresa está fabricando dos tipos de artículo que llamaremos (A) y (B).
3 ).y) que corresponden a puntos del segmento BC debemos encontrar aquellas que tienen componentes enteras.1 la recta ( a ) que corresponde al máximo valor de k que contiene algún punto del recinto coincide con el lado BC.(7) +10.(6) + 10.(4) = f(7.1
a) Representamos los vértices dados O(0. EL máximo valor de “ f ” se produce entonces en cualquier punto del segmento BC.
f(x .(3) = 100
. D (8. Dado que el lado BC del polígono de puntos factibles también tiene pendiente m = .4) .Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
Ejercicio No. 4) y ( 7 .3) .El valor máximo de la función es: f(6.0) .
De las infinitas parejas (x .0) obteniendo el polígono convexo de la figura. B (6. Siendo x = 6 la abscisa del punto B y x = 7 la abscisa del punto C concluímos que las únicas soluciones enteras posibles son : ( 6 .3) = 10. polígono de puntos factibles.4) = =10. A (0.y) = 10x + 10y
paralelas de pendiente m = . y A a B C
kmax.1 y de ecuación 10x + 10y = k. C(7.6) .
Comencemos por encontrar la solución gráfica del sistema de inecuaciones formado por las restricciones impuestas. vemos que la recta correspondiente al máximo de la función es la que contiene al vértice B. x + 2y ≤ 6 x+y≤4 x≥0 y≥0 (I) (II) (III) (IV)
Obtenemos el polígono convexo OABC de la figura. y ) = ( 2 . C(4.4/5 y de ecuación 4x +5y = k.2) =4 (2) +5 (2) =18. En conscuencia la función se maximiza para ( x . Representando la recta correspondiente a k = 0 .Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
Ejercicio No.y) = 4x + 5y tiene por curvas de nivel rectas de pendiente .3) . Y
.0). 2 ) y su valor máximo es f(2. siendo A(0. B(2. La función a maximizar f / f(x.2) .
En nuestro ejercicio tendremos:
Pto. Para encontrar los vértices deberemos hallar los puntos de intersección de las rectas definidas por cada una de las restricciones tomadas por parejas y comprobar posteriormente cuales de esos puntos son realmente vértices del polígono de puntos factibles teniendo en cuenta que para serlo deberán verificar cada una de las restricciones dadas. Intersección
Vértice Valor func.3)
(0.2) y vale 18.) Calcular el valor funcional en cada uno de ellos. 2do. resultado al que habíamos llegado gráficamente.0)
(4.) Hallar todos los vértices del polígono de puntos factibles.0)
El máximo se produce en el punto (2. Debemos entonces : 1ro.0)
. bastará que calculemos el valor de la función problema en cada uno de los vétices para luego decidir cuál es la solución buscada.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
Como te indicábamos en la INTRODUCCION puedes resolver estos ejercicios sin necesidad de recurrir a la representación gráfica. Admitiendo que los máximos (mínimos) se producen en los vértices o
y) = 12x + 8y sujeta a las restricciones: 3x +2y ≥ 1 4x + y ≥ 1 x≥0 y≥0 (I) (II) (III) (IV)
Tendremos entonces: Rectas 3x +2y=1 4x+y=1 3x+2y=1 x=0 3x+2y=1 y=0 4x+y=1 x=0 4x+y=1 y=0 x=0 y=0 (0.1) Ninguna A 8 (1 / 3 . Puedes pensar en este caso qué contestarías si se te pidiéramos que investigaras
. En la figura representamos ese recinto pudiéndose comprobar que la pendiente de las curvas de nivel de la función “f” cuyo valor es –12 / 8 = .0) (I) -------(0. Como puedes observar la recta de nivel que corresponde al valor mínimo de la funcion “f” es la recta BC .3 / 2 coincide con la pendiente del lado BC.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
Ejercicio No. 1/5) Ninguna B 4 Intersección Viola restricción Vértice Valor funcional
El valor mínimo de la función es entonces 4 y como ese valor se produce en los vértices B y C ello indica que se producirá en todos los puntos del lado BC del recinto de puntos factibles. 0 ) Ninguna C 4 (0 .0) (I) y (II) -------(¼. como así también que el recinto de puntos factibles es un recinto no acotado. ½ ) (II) -------(1/5 .3
En este ejercicio se te pide minimizar la función f(x.
Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
sobre el valor máximo de la función sujeta a las restricciones dadas.y) = 3x + 4y (IV) y ≥ 0 Restricciones: (I) x + y ≤ 4 (II) 2x + y ≤ 5
(5/2 .4)
(4.25 1/3 X
Ejercicio No.0)
a) f (x.0)
B (1/5.3)
O (0.0) Valor funcional f(0. La nueva pendiente de las rectas de nivel de la función vale ahora . A efectos de que lo visualices te mostramos en la figura el polígono de puntos factibles y la recta de nivel que corresponde al máximo de la función.4) = 12 f(1.
El recinto de puntos factibles es el mismo que en la parte a) del ejercicio.4) y su valor es 16. A (0. B (1.3) = 13 f(5/2 . 0) Pto. 0) = 10 f(0.4) Pto. Calculemos la función en los vértices: Pto. C (5/2 .0) = 0
El máximo se produce entonces ahora en el vértice B y su valor es 13.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
De acuerdo a los cálculos el máximo de la función se produce en el vértica A (0.5
.3) Pto.4 / 3. cambiando solamente la función a maximizar.
f(x.2) y vale 20.0) A(0.4) B(3. 2) =70.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
b) Vértices O(0.y) = 5x + 10y Restricciones: 5x +5y ≤ 60 (I) a) y 2x +10y ≤ 40 (II) x ≥ 0 (III) y≥0 (IV)
Vértices O(0 . 4) B(10 . 0) A(0 . 0)
c) De acuerdo a los resultados obtenidos el máximo se produce en el vértice B y su valor es f(10 .2) C(4. . Ana Coló Herrera 43 Héctor Patritti
Ejercicio No. 2) C(12 .0) Valor funcional 0 16 20 16
b) De acuerdo a los valores obtenidos el máximo de la función se produce en el punto (3.
5. notémosla con “G”.y) = 5x + y Restricciones : x + y ≥ 5 (I) 3x + y ≥ 6 (II) x ≥ 0 (III) y≥0 (IV)
El conjunto de puntos factibles es el indicado en la figura.
En este ejercicio te pedimos que determines el número de unidades de cada tipo de juguete que se debe fabricar por semana para obtener máxima ganancia. Comencemos: la función a maximizar es la ganancia de la empresa . En este tipo de ejercicio es conveniente. Como el recinto es no
La pendiente de las rectas de nivel de la función es acotado la función no tiene máximo. como te decíamos en la introducción.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
Ejercicio No. trabajar ordenadamente por la cantidad de datos que el problema involucra. En primer lugar debes tratar de identificar y luego hallar la expresión analítica de la función a maximizar.
Ejercicio No. Una vez logrado esto.
.y) = ax + by Restricciones: x + y ≥ 5 (I) 2x + 3y ≤ 6 (II) x ≥ 0 (III) y ≥ 0 (IV)
Al intentar resolver el sistema de inecuaciones dadas comprobarás que el conjunto de puntos factibles es el conjunto vacío por lo que el problema planteado no admite solución.7
f(x. debes encontrar el sistema de inecuaciones que traduce las restricciones impuestas. 8
Si cada unidad del juguete (I) necesita 0. se necesitarán 0. Las horas totales de utilización de la máquina M1 no podrán superar las 40 por lo que podremos escribir: 0.5 x horas de máqina.
. Para ello llamemos: (x) al número de unidades / semana del juguete tipo (I) que se fabrican . Tenemos la restricción de que la cantidad de horas disponibles para la máquina M1 es de 40 horas semanales. En forma análoga las “y” unidades del juguete del tipo (II) necesitarán 1. La función ganancia total G tendrá entonces la siguiente expresión analítica: G(x. (y) al número de unidades / semana del juguete tipo (II) que se fabrican.5 horas de máquina y se fabrican “x” unidades.5 x + 1 y ≤ 40 0. En forma similar la ganancia para el juguete tipo (II) será de 30.25 x + 1 y ≤ 25 Obviamente además deberán ser: x≥0 (1)
Las restricciones serán entonces las inecuaciones numeradas del (1) al (4).Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 – Resoluciones
Intentemos ahora hallar su expresión analítica. Puedes optar por la resolución gráfica utilizando curvas de nivel o calculando los valores de la función ganancia en los vértices del recinto de puntos factibles.y U$S/ sem.x U$S / sem. A efectos de que visualices el recinto te lo indicamos en la figura. Como cada unidad del juguete tipo (I) da una ganancia de 10 U$S la fabricación de x unidades por semana dará una ganancia de 10. A partir de este momento la resolución del problema es similar a los ejercicios que has resuelto con anterioridad.y horas de máquina.y) = 10x + 30y Dediquémonos ahora a las restricciones.
5 y cada unidad del artículo (B) una ganancia de U$S 5.5x + y = 40 y=0 0.25x + y =25 x=0 0.0 )
( 0 .0 )
( 0. Deberán fabricarse 60 unidades del juguete Tipo (I) y 10 unidades del juguete Tipo (II) semanalmente.25x + y =25 0.5x + y = 40 x=0 0.5x + y = 40 0. 25 )
( 100. Si cada unidad del artículo (A) da una ganancia de U$S 2. la ganancia diaria total será: G ( x .40)
( 80. de materia prima y disponiendo la empresa de un máximo de 12 Kg.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .25x + y =25 y=0 x=0 y=0
( 60.10 )
El máximo se produce en el vértice B ( 60.10 ) y la ganancia máxima es entonces de 900 U$S / semana.
. por día de materia prima deberá cumplirse que: 2x +3y ≤ 12 (1)
Como el artículo (A) necesita 2 horas de trabajo de máquina y el artículo (B) necesita 1 hora y disponiéndose de la máquina sólo 8 horas diarias deberá cumplirse que: 2x + 1y ≤ 8 (2) Evidentemente además deberán ser : x≥0 (3) y ≥ 0 (4).5x + 5y Como cada unidad del artículo (A) insume 2 Kg. y ) = 2. 10
Llamemos x al número de unidades del artículo (A) e y al número de unidades del artículo (B) que se fabrican por día. 3Kg. de materia prima y cada unidad del artículo (B) .Resoluciones
Interseccion (3.4).Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 . la función Ana Coló Herrera 47 Héctor Patritti
. y al número de unidades del artículo (2) fabricados por semana. 11
Llamemos: x al número de unidades del artículo (1) fabricados por semana.2)
Valor funcional 17.5 U$S / día mientras que si fabricara únicamente 4 unidades del artículo (B) obtendría una ganancia de 20 U$S / día.0)
El máximo de la función es 20 y se produce en el punto de coordenadas (0.
Ejercicio No. El empresario no está entonces trabajando en forma conveniente ya que al producir 3 unidades del artículo (A) y 2 unidades del artículo (B) obtiene una ganancia de 17.0)
(0. Seguramente tu respuesta sería: “ Deje de fabricar el artículo (A) y fabrique 4 unidades del artículo (B)”.Resoluciones
Tenemos ya todos los elementos necesarios para resolver el problema y poder dar contestación a la pregunta del empresario.8)
(0. a) Siendo la ganancia por unidad de 4 U$S y 5 U$S respectivamente. Trata de llegar a esta misma conclusión haciendo la representación gráfica del recinto de puntos factibles y utilizando las curvas de nivel de la función ganancia.
la nueva función ganancia será: G(x.y) = 4x + 5y 1. 100 /3) = 500 /3 G(20 . 0)
(0 .5) (50 . 50/1. G( 0 .5x + 1.5y =50 x + 1.x + 1. 40 )
(40 .5y =60 x=0 x + 1.5x +1.0) = 0 G(40 .y) = 6x +5y Como las restricciones no han variado el polígono de puntos factibles sigue siendo el mismo.Resoluciones
G(x.5 y ≤ 60 x≥0 y≥0 (3) (4)
Rectas x + 1.5y =60 y=0 x=0 y=0
Intersección (20 .5 y ≤ 50 1.5y = 60 x=0 1. Basta que calculemos los nuevos valores funcionales en los vértices O. 20) = 220 y finalmente
. A. B y C.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .5x +1. 0)
(0 . b) Siendo ahora la utilidad del artículo (A) de 6 U$S por unidad y de 5 U$S por unidad la del artículo (B) . 0)
La empresa deberá entonces fabricar 20 artículos de cada tipo semanalmente obteniendo una ganancia de U$S 180.5 x + 1.5y =50 1. Tendremos: G(0. 20)
(0. 0) = 240.5y = 50 y=0 1.
En el caso b) la pendiente de las rectas de nivel de la función ganancia es en cambio igual a .1.y ≤ 200 Se cumplirá además: x≥0 y ≥0 Ana Coló Herrera (3) (4) 49 Héctor Patritti
.x + 1. y
A B Recta de pendiente .0.4 /5 = .Resoluciones
La ganancia máxima se obtiene entonces fabricando 40 unidades del artículo (A) y ninguna del artículo (B). En la parte a) del ejercicio el máximo de la función ganancia se produjo en el vértice B mientras que en la parte b) se produjo en el vértice C.2
En el caso a) la pendiente de las rectas de nivel de la función ganancia es igual a .1.0.8 siendo por tanto el vértice B el correspondiente al máximo. Tratemos de interpretar gráficamente la razón de ello. Como las utilidades de cada modelo son 60 y 30 U$S / unidad respectivamente. El recinto de puntos factibles es el mismo en ambos casos y es el indicado en la figura. siendo la misma de U$S 240 semanales.y ≤ 120 2.6 /5 = . y número de computadoras del modelo (II) fabricadas por semana.y) = 60x + 30y 1.8
O Recta de pendiente .
Llamemos : x número de computadoras del modelo (I) fabricadas por semana.x + 1. la función ganancia será: G(x.2 lo que hace que sea el vértice C el correspondiente al máximo.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .
es -2.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 . La ecuación de la recta BC ( y= .600
Valor funcional 6. como puedes verificar.0) bastará encontrar la cantidad de números enteros comprendidos entre 80 y 100 inclusives. Ello ocurre porque las rectas de nivel de la función G y la recta BC tienen la misma pendiente cuyo valor.000
(0. como podrían ser .
. etc. por ejemplo. lado del polígono de puntos factibles.0)
(0. a) En esta parte del ejercicio se nos exigen soluciones enteras.2x+200) asegura que siendo x entero lo será también y . o bien 85 del modelo (I) y 30 del modelo (II) .200)
3. Esto significa que la función ganancia se maximiza en cualquier punto del segmento BC .Resoluciones
Intersección (80. Siendo B (80. La respuesta a la pregunta es entonces : existen 21 posibilidades de fabricación que darán la ganancia máxima de 6000 U$S por semana. Debemos hallar entonces aquellos puntos del segmento BC cuyas coordenadas sean números enteros. es decir el armado de las computadoras completas.0)
Como puede deducirse del cuadro la ganancia máxima de 6000 U$S por semana corresponde a los vértices B y C del polígono de puntos factibles . 90 del modelo (I) y 20 del modelo (II) .40) y C (100.0)
c) El mayor número de unidades del modelo (I) será de 100 unidades semanales no debiéndose. por semana del alimento (B) Determinemos la función Costo (C) de la dieta.Resoluciones
b) El menor número de unidades del modelo (I) será de 80 unidades semanales y del modelo (II) 40 unidades semanales. en este caso.4y ≥ 0.y) = 20x + 40y ( $ / semana )
Veamos las restricciones impuestas por la exigencia de la dieta que obliga a la persona a consumir por lo menos 1 Kg. por semana del alimento (A) y a la cantidad de Kg.1x+0. 13
Llamemos: x a la cantidad de Kg.6y ≥ 1 Restricción por proteínas: 0.9x+0. Restricción por carbohidratos: 0. tendremos: C(x.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .1x + 0.5 Se cumplirá además naturalmente que : x≥0 (3) y≥0 (4) (2) (1)
Representemos gráficamente el recinto de puntos factibles.5
Recta de nivel correspondiente a costo mínimo. y
0. de proteínas.
Ejercicio No.4y = 0. Como el alimento (A) cuesta 20 $ / Kg y el alimento (B) 40 $ /Kg. armar ninguna unidad del modelo (II).5y =1 B
O 0. de carbohidratos y ½ Kg.9x + 0.
del alimento (B) por semana.y) = 40x + 50y
Como restricciones tendremos. 0) (0 .3 3 6 3 sem. trabajando en minutos: Restricción por uso de la máquina M1 Restricción por uso de la máquina M2 En consecuencia: Rectas 5x+6y=2400 3x+2y=900 5x+6y=2400 x =0 5x+6y=2400 y=0 3x+2y=900 x=0 3x+6y=900 y=0 x=0 y=0 (0 .
Ejercicio No. 675 ) 2 Viola restricción Ninguna Vértice B Valor funcional 19875
. 400) (480 . La persona deberá consumir 1/3 Kg. + 40.14
De acuerdo a las utilidades que producen las ventas de ambos tipos de prendas. La resolución del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las rectas AB y BC indica que las coordenadas del vértice B son: (
1 7 ). la función ganancia G será:
G(x. 0) Ninguna (2) (1) Ninguna Ninguna A ----C O 20000 ------------12000 0 Intersección (75 .Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .Resoluciones
De la resolución gráfica deducimos que el mínimo de la función costo se produce en el punto B. del alimento (A) y 7/6 Kg. . 3 6
El costo mínimo de la dieta será: 1 7 160 $ Cmin = 20. 450) (300 . = ≅ 53. 0) (0 .
Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .
Ejercicio No.50
7x+y = 21 3x+5y=25 x=0 3x+5y=25 y=0 7x+y = 21 x=0 7x+y = 21 y=0 x=0 y=0 (0 . ) 2 2 (0 .
G(x.15
y el número de bibliotecas del tipo (II) fabricadas por semana. 0) Ninguna O 0 (3 .y ≤ 21 Se cumplirá además: Tendremos entonces: Rectas 3x+5y=25 Intersección Viola restricción Vértice Valor funcional
5 7 ( .
Fabricando semanalmente 400 de ellas se obtendrá la máxima ganancia que asciende a $ 20000 por semana. 5)
137.Resoluciones
De acuerdo a lo indicado en el cuadro anterior solamente deberán prendas del modelo (II). 21) (1) ------( 25 .y) = 20x + 25y
Las restricciones generadas por la existencia de los materiales necesarios serán: Restricción debida a la existencia de piezas (A): 3x +5y ≤ 25 Restricción debida a la existencia de piezas (B): 7x + 1. 0) 3 (2) ------Ninguna A 125
. 0) Ninguna C 60 (0 .
b) Redondearemos la solución fraccionaria hallada. Por tanto resulta más conveniente que la situación generada por el redondeo de la parte b) . Resumimos las distintas posibilidades en el cuadro siguiente. Exterior al polígono Punto interior al polígono
La solución redondeada consistiría entonces en fabricar 2 unidades de la biblioteca tipo (I) y 3 unidades de la biblioteca tipo (II) lo que generaría una ganancia semanal de U$S 115.50. Exterior al polígono Pto. es decir.5 bibliotecas del tipo (II) por semana obteniéndose una ganancia de U$S 137.4) .
Ejercicio No.1) .
y = 3. 16
a) Siendo los vértices O(0.y) = 40x + 30y tendremos: G(0.0) y la función
ganancia G(x.
del ejercicio.3) .
Observación Pto.4) = 160 G(3.5 bibliotecas del tipo (I) y 3. C(3.Resoluciones
fabricándose 2. Exterior al polígono Pto.5
Podemos pensar en redondear por exceso y por defecto.0) = 120
. La exigencia de soluciones enteras nos cambia la solución de un vértice a otro del polígono de puntos factibles en nuestro caso.y) con coordenadas enteras que es necesario verificar si pertenecen o no al recinto de puntos factibles. B(1. Obtendremos un conjunto de puntos (x. A del polígono de puntos factibles) y ninguna unidad de las bibliotecas tipo (I).0) . si violan o no alguna de las restricciones del problema.3) = 210 G(4. A(0.3) = 90 G(1.3) . la ganancia obtenida será de 125 U$S / sem.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .1) = 190 G(3.0) = 0 G(0. E(3. De él podemos concluir que si la empresa trabaja fabricando 5 unidades de la biblioteca tipo (II) ( Pto. D(4.
el máximo de la función G seguirá produciéndose en el vértice C mientras la pendiente (m) de las rectas de nivel de la función ganancia se encuentre comprendida entre las pendientes de las rectas BC y CD.2 En consecuencia debe cumplirse que :
Gráficamente la recta de nivel que pasa por el vértice C deberá estar incluída en la zona indicada.1). Pendiente de la recta BC : mBC = .½ Pendiente de la recta CD: mCD = .Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .Resoluciones
El valor máximo de la función es entonces 210 y se produce en el punto C(4.
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