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Ce cinqui??me chaptire du Livre d Int?©gration, sixi??me Livre des ?©l?©ments de math?©matique, traite notamment d une generalisation du th?©or??me des Lebesgue-Fubini et du th?©or??me de Lebesque-Nikodym.
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mesure588
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une mesure positive114
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Elements de Mathematique. Groupes et algebres de Lie. Chapitres 7 et 8
N. BOURBAKI ELEMENTS DE MATHÉMATIQUE INTEGRATION Chapitre 5 Spri nnger
Réimpression inchangée de la seconde édition de 1967 © Hermann, Paris, 1967 © N. Bourbaki, 1981 © N. Bourbaki et Springer-Veriag Berlin Heidelberg 2007 ISBN-10 3-540-35333-X Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-35333-1 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+B usines s Media springer.com Maquette de couverture: WMXDesign GmbH, Heidelberg Imprimé sur papier non acide 41/3100/YL -54321 0-
PRÉFACE À LA SECONDE ÉDITION Les principales modifications apportées au texte du chapitre V portent sur les points suivants. L'intégrale supérieure essentielle possédant, à bien des égards, des propriétés plus satisfaisantes que l'intégrale supérieure ordinaire (voir surtout la prop. 11 du § 1), le paragraphe qui lui est consacré a été développé. De même, on a traité avec plus de détail la théorie des familles sommables de mesures positives (§ 2). La notion de diffusion a été introduite au paragraphe 3 ; celle de famille /i-adéquate de mesures positives a été légèrement généralisée, de manière à permettre la composition des diffusions. Les mesures complexes ont été traitées de manière plus systématique; cela n'a exigé la plupart du temps que des changements mineurs, sauf au paragraphe 5, où l'on a dû abandonner partiellement le point de vue des espaces de Riesz. Enfin, diverses démonstrations ont été modifiées, pour permettre l'extension ultérieure des résultats au cas des espaces séparés non nécessairement localement compacts, ; qui seront traités au chapitre IX. Nancago, automne 1965 N. Bourbaki
CHAPITRE V INTÉGRATION DES MESURES Dans tout ce chapitre, on désigne par T un espace localement compact, par /i une mesure positive sur T. Pour toute partie A d'un ensemble E, on désigne par <pA la fonction caractéristique de A (si aucune confusion n'en résulte). Par fonction numérique, nous entendrons toujours une fonction prenant ses valeurs dans R, donc pouvant prendre les valeurs +00 et —00. L'ensemble des fonctions numériques positives définies dans E sera désigné par #"+(E), ou simplement par #+ si aucune confusion n'en résulte. On convient de définir les produits 0. ( + 00) et 0 . ( — 00) en leur donnant la valeur 0 ; si f est une fonction numérique définie dans E, et A une partie de E, f(pA désigne donc la fonction qui coïncide avec f dans A et est égale à 0 dans {JA. Pour tout point a d'un espace localement compact, on désigne par ea la mesure définie par la masse unité placée au point a (chap. III, 2e éd., § 1, n° 3). La notion d'intégrale supérieure essentielle (resp. de fonction essentiellement intégrable), qui sera définie au § 1, coïncide, comme on le verra, avec la notion d'intégrale supérieure (resp. de fonction intégrable) lorsque T est un espace localement compact dénombrable à l'infini {Top. gén., 4e éd., chap. I, § 9, n° 9). Le lecteur qui ne s'intéresse qu'à l'intégration dans les espaces localement compacts dénombrables à l'infini peut donc omettre la lecture des nos 1 à 3 du § 1 ; dans le reste du chapitre, il obtiendra des énoncés valables lorsque les espaces envisagés sont dénombrables à l'infini, en Supprimant les mots «essentiel» et «essentiellement», et en remplaçant le signe /!* par fi* et le signe J" par J*.
2 INTÉGRAIiON DES MESURES Chap. V, § 1 Dans les paragraphes 1 à 4, le mot mesure signifiera toujours mesure positive; les autres mesures seront appelées explicitement, suivant le cas, mesures réelles non nécessairement positives ou mesures complexes. § 1. Intégrale supérieure essentielle 1. Définition de l'intégrale supérieure essentielle Définition 1.—Pour toute fonction fe^F+(T),on appelle intégrale supérieure essentielle de f par rapport à fi, et on note fi'(f), la borne supérieure, finie ou non, de Vensemble des nombres H*(f<pK) où K parcourt l'ensemble des parties compactes de T. Pour toute partie A de T, on pose fi'(A) = fi'((pA). On utilise aussi les notations J" f dfi, J" f(t) dfi(t), j'ffi. Comme f<pK < /pour toute partie compacte K de T, on a (!) ffd/i^\*fdn. On peut avoir fi'(f) / fi*(f); en effet, la condition fi*(f) = 0 signifie que / est négligeable tandis que la condition fi'(f) — 0 signifie que/est localement négligeable (chap. IV, § 5, n° 2, prop. 5), et il peut exister des ensembles localement négligeables et non négligeables (chap. IV, § 1, exerc. 5). L'application fx' de #+(T) dans R coïncide avec fx sur JT+(T). Il en résulte que deux mesures /j,1 et /j,2 telles que ix\ = /j,'2 sont égales. Proposition 1. — a) Si f et g sont deux fonctions numériques 5= 0, égales localement presque partout, on a Li'(f) = Li'(g). b) Si f et g sont deux fonctions numériques 5= 0, telles que f^g,on a fi'(f) ^ fi'(g). c) Si f est une fonction numérique 5= 0, et a un nombre 5= 0, on a fi'{<xf) = an'{f). d) Si f et g sont deux fonctions numériques 5= 0, on a fi'(f + g)^fi'(f) + fi'(g). e) Si (fn)neN est une suite croissante de fonctions numériques ï>0,etsif= lim /„, on a fi'{f) = lim fi'{fn). n-+ od n-* go Les propriétés a), b), c), d) se déduisent aussitôt des propriétés correspondantes de l'intégrale supérieure: a) de la
n° 1 INTÉGRALE SUPÉRIEURE ESSENTIELLE 3 proposition 6 du chap. IV, § 2, n° 3 et de la proposition 5 du chap. IV, § 5, n° 2; b), c) d) des propositions 10, 11, 12 du chap. IV, § 1, n° 3. Pour établir e), désignons par ${ l'ensemble des parties compactes de T; nous avons, d'après le théorème 3 du chap. IV, §l,n°3: lim n'(fn) = sup suph*U„<Pk) = sup sup fi*(fn(pK) n- » neN Ke« Ke« neN = sup fi*(f(pK) = fi'(f). Ke# On a l'égalité dans la relation d) si /' et g sont mesurables, d'après le cor. 4 du th. 5, chap. IV, § 5, n° 5. Plus généralement, on a le résultat suivant : Proposition 2.— Soient f, g, h trois éléments de J^+ ; si g et h sont mesurables, on a: (2) f f(g + h)dfi=j'fgdfi+ffh du. On se ramène aussitôt à la démonstration de la formule analogue pour l'intégrale supérieure. Comme on a f(g + h)=fg+jh (avec la convention 0. ( + oo) = 0), on a j*f(g + h)dfi^ J*fg du + j*fh du ; il reste à établir l'inégalité inverse. Soit u une fonction semi-continue u inférieurement telle qu'on ait u Js f(e + h). Posons v = r g + h dans l'ensemble où g + h > 0, t; = +oo dans l'ensemble où g + h = 0 ; on a i; Js / et u Js v(g + h), d'où I v(g + h) dfx 5¾ J u du et par conséquent, tétant mesurable (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 6, cor. 4 du th. 5) : r* r* r* r* J fg dfi + J fh du 5¾ J vg dpi + J vh dpi = i;(g + h) dpi 5¾ « d/i,
4 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 1 ce qui entraîne l'inégalité cherchée, s étant arbitraire. Corollaire. — Soient f une fonction 5= 0, (gn) une suite de fonctions mesurables Js 0; on a J"/(X Sn) dfi = X (f fën dfi). n n Dans le cas d'une suite finie, c'est une conséquence immédiate de la prop. 2. Le cas d'une suite infinie s'en déduit au moyen de la prop. 1, e). Proposition 3. — Pour tout nombre fini a ^ 0 et tout couple de mesures fi, v sur T, on a (a fi)' = a fi' (fi + v)' = fi' + v*. En outre, la relation fi ^ v entraîne fi' ^ v'. La démonstration est immédiate à partir de l'énoncé analogue du chapitre IV (§ 1, n° 3, prop. 15). Proposition 4.— Pour toute fonction numérique f 5= 0, semi- continue inférieurement dans T, on a fi'(f) = fi*(f\ En effet, soit g une fonction de JT+(T) telle que g < / Si K est le support (compact) de g, on a fi(g) ^ fi*{f(P\d =5¾ At*(/)- H en résulte, d'après la définition de l'intégrale supérieure, que A**(/) < t^'(f), donc fi*(f) = u'(f) (formule (1)). 2. Fonctions et mesures modérées Proposition 5.— Soit A une partie de T; les propriétés suivantes sont équivalentes: a) L'ensemble A est contenu dans la réunion d'une suite d'ouverts fi-intégrables. b) L'ensemble A est contenu dans la réunion d'une suite d'ensembles fi-intégrables. c) L'ensemble A est contenu dans la réunion d'une suite de compacts et d'un ensemble fi-négligeable. Il est clair que chacune des propriétés a) et c) entraîne b). Inversement, b) entraîne a), car tout ensemble de mesure extérieure finie est contenu dans un ouvert intégrable (chap. IV, § 1, n° 4, prop. 19), et b) entraîne c), car tout ensemble intégrable est réunion d'une suite de compacts et d'un ensemble négligeable (chap. IV, § 4, n° 6, cor. 2 du th. 4). Définition 2.— Une partie de T est dite fi-modérée si elle satisfait aux conditions équivalentes de la proposition 5. Une
n°2 INTÉGRALE SUPÉRIEURE ESSENTIELLE 5 fonction définie sur T, à valeurs dans un espace vectoriel ou dans R, est dite fi-modérée si elle est nulle dans le complémentaire d'une partie ii-modérée de T. On dit que la mesure li est modérée si T est un ensemble Li-modéré. Si li est une mesure modérée, toute fonction sur T est /i-modérée et toute partie de T est /i-modérée. Remarques. — 1) Si 6 est une mesure complexe sur T, on dira qu'une fonction/est 0-modérée (resp. que 6 est modérée) si/est |0|-modérée (resp. si |0| est modérée). 2)"Toute mesure bornée est modérée; si T est une réunion dénombrable de compacts, toute mesure sur T est modérée. 3) Soit (/„) une suite de fonctions /^-modérées à valeurs dans R. Pour chaque n, soit U„ un ouvert, réunion dénombrable d'ouverts de mesure extérieure finie, tel que /„ soit nulle hors de U„. La fonction s = £ |/„| est alors nulle hors de 1JU„; elle est donc neN neN /^-modérée, et il en est de même de toutes les fonctions majorées par s. Cela s'applique en particulier aux fonctions lim. inf/„, W-*CO lim. sup /„ et ]T /„ (si cette somme est définie). 4) Une fonction égale presque partout à une fonction modérée est modérée. Proposition 6.— Soit f une fonction numérique positive définie dans T, ii-mesurable et fi-modérée. Il existe alors une suite (/î„)„eN d'éléments de <<F+ (T), dont la somme est égale à fi possédant les propriétés suivantes : 1) La fonction h0 est ^-négligeable. 2) Pour tout n ^ 1, il existe un compact K„ tel que hn soit nulle hors de K„, et que la restriction de hn à Kn soit finie et continue. Supposons que / soit somme d'une suite (/„) de fonctions mesurables positives, dont chacune possède la propriété de l'énoncé ; il est clair que/ la possède alors aussi. Posons fn = M(fn+ l)-infan) pour tout neN;/ étant égale à la somme de la suite (/„), il nous suffira donc d'établir la proposition en supposant / modérée et bornée. Désignons alors par A l'ensemble des t eT tels que /(r) > 0; A est mesurable et modéré, et il existe donc une suite (A„) d'ensembles intégrables, deux à deux disjoints, telle que
6 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 1 A = ^_J An. On est ramené à démontrer l'énoncé pour les n fonctions fipAn; autrement dit, on peut supposer / bornée et nulle hors d'un ensemble intégrable I. Mais I est réunion d'un ensemble négligeable N et d'une suite (L„) de compacts deux à deux disjoints (chap. IV, § 4, n° 6, cor. 2 du th. 4). On est donc ramené à traiter le cas où /est bornée, nulle hors d'un compact L. Soit R l'ensemble des compacts K de T tels que /|K soit continue ;${ étant /i-dense (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 15), L est réunion d'un ensemble négligeable N, et d'une suite (Kn)n?1 d'éléments de R deux à deux disjoints (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 8, déf. 6). Les fonctions h0 = /<pN, hn = f<pKn pour n 5= 1, satisfont alors aux conditions de l'énoncé. La proposition suivante permet de ramener l'étude de l'intégrale supérieure à celle de l'intégrale supérieure essentielle. Proposition 7.— Soit f un élément de #+(T). 1) Si la fonction f n'est pas fi-modérée, fi*(f) = +00. 2) Si la fonction f est fi-modérée, fi*(f) = fi'(f). 3) Si Von a n'(f) < +00, il existe une partie ^.-modérée A, réunion d'une suite de compacts de T, telle que f = f<pA localement presque partout. La première assertion résulte aussitôt du lemme 1 du chap. IV, 2e éd., § 5, n° 6. Pour établir la seconde, désignons par A une partie modérée, telle que / soit nulle hors de A ; A est réunion d'un ensemble négligeable A0 et d'une suite (An)n^1 d'ensembles compacts, que l'on peut supposer croissante. La fonction / est alors presque partout égale à l'enveloppe supérieure des fonctions f<pAn (n ^ 1), et l'on a donc (chap. IV, § 1, n° 3, th. 3 et §2, n° 3, Prop- 6) ^(/) = Um ^{f(pAj ^ ^{f). n-* go d'où l'égalité fi*(f) = fi'if) eh vertu de 'la formule (I). Enfin, supposons que fi'(f) < + 00 ; il existe une suite croissante (A„) de compacts telle que fi'(f) = sup fi*(f(pAn). n Posons A = l^J A„ ; le second membre est égal à n*(f<pA) (chap. IV, n § 1, n° 3, th. 3), ou encore à n'(fpA) (d'après la prop. 1, ou d'après 2) ci dessus). Comme on a fi'(f) = n'(f<pA) + n'(f<ppA) (prop. 2), on a n*(f(ppA) = 0, et 3) en découle.
n° 3 INTÉGRALE SUPÉRIEURE ESSENTIELLE 7 Corollaire 1. — Pour que fsoit négligeable, il faut et il suffit quelle soit localement négligeable et modérée. Corollaire 2. — Si p. est une mesure modérée (en particulier si p est bornée, ou si T est dénombrable à Vinfini), on a fi* = ff. Proposition 8.—a) Soit H un ensemble de fonctions ^0, semi-continues inférieurement, filtrant pour la relation ^ ; on a alors : fi'(suph) = supfi'(h). heH heH b) Soit H un ensemble de fonctions ^ 0, semi-continues^ supérieurement, filtrant pour la relation 5= ; s'il existe dans H une fonction h0 telle que fi'(h0) < oo, on a : fi'(inîh)= mîfi'(h). heH heH L'assertion a), compte tenu de la prop. 4, est une répétition du théorème 1 du chap. IV, § 1, n° 1. Pour établir b), posons n = inf h, et soit a un nombre > 0. Il existe un compact K tel heH que l'on ait (chap. IV, 2e éd., § 4, n° 4, cor. 1 de la prop. 5) : fi'(h0) - a s= fi*(hQ(pK) = fi(h0(pK) s= ff(h0). Les fonctions h<pK, où h parcourt H, forment un ensemble de fonctions semi-continues supérieurement, filtrant pour la relation ^, et qui contient une fonction intégrablé. On a donc (chap. IV, 2e éd., § 4, n° 4, cor. 2 de la prop. 5) : M*(Wk) = inf fi*(h(pid. heH Mais on a (chap. IV, 2eéd., §4, n°4,cor. 1 de la prop. 5) fi'(h0<ppK)^a, d'où n'(h(ppç) 5¾ a pour toute fonction heH majorée par h0. On a donc finalement : H'(r\) ^ A**(Wk) — mi A**(^k) ^ inf/i*(/î) — a. heH heH L'inégalité fi'(r\) ^ inf fi'(h) étant évidente, et a étant arbitraire, heH la proposition est établie. 3. Fonctions essentiellement intégrables Soit F un espace de Banach réel; rappelons que les éléments des espaces JF£ (chap. IV, § 3, n° 3) et i?.£ (chap. IV, § 3, n° 4, déf. 2) sont des fonctions /i-modérées (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 6,
8 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 1 lemme 1); JfY désignant toujours l'espace des applications négligeables de T dans F, nous introduirons l'espace ,yTp des applications localement négligeables de T dans F. Lemme 1. — Soient g et g' deux applications ^-modérées à valeurs dans F,- si g et g' sont égales localement presque partout à une même fonction f, on a g = g' presque partout. En effet, soit D l'ensemble des t e T tels que g(t) / g'(t) ; D est localement négligeable et modéré, donc négligeable (cor. 1 de la prop. 7). Nous désignerons par #p(T, y) (ou simplement ^%(n\ &?, si aucune confusion n'en résulte) l'ensemble des applications f de T dans F, telles qu'il existe une fonction g e J^£ égale à f localement presque partout. Le nombre Np(g) ne dépendant que de f d'après le lemme 1, nous poserons Np(f) = Np(g). La fonction Np est évidemment une semi-norme sur <^£ , et nous supposerons toujours que #£ est muni de la topologie définie par Np. L'adhérence de 0 pour cette topologie est l'espace Jf§ ; les relations #£ = J*£ + Jf? , jV j? nf^/p (lemme 1), montrent que l'espace norme #£/,yK"p s'identifie canoniquement à 3FyjfY, qui est complet (chap. IV, § 3, n° 3, prop. 5); #£ est donc lui-même complet. Nous désignerons de même par J?£(T, /i) (ou i?£(/i), ou 2%) le sous-espace S£\ + ,/Kp de #£: on peut aussi caractériser i?£ comme le sous-espace de #£ constitué par les applications mesurables (chap. IV, § 5, n° 6, th. 5). L'espace norme J?£/,yK"j? s'identifie canoniquement à L£ ; J?£ est donc complet. Ses éléments sont appelés fonctions de puissance p-ième essentiellement intégrable, cette terminologie étant justifiée par la proposition suivante : Proposition 9. — Pour qu'une application f de T dans F appartienne à !F\ (resp. à ££%) il faut et il suffit que Von ait (resp. que f soit mesurable et que Von ait) H'(W)< +oo. On a alors Np(f) = n'(\f\p)flp. On peut évidemment se limiter à l'assertion concernant #£ . Si f appartient à #£ , soit g une fonction appartenant à J^£ , égale à f localement presque partout; on a alors |f|p = |g|p
n° 3 INTÉGRALE SUPÉRIEURE ESSENTIELLE 9 localement presque partout, donc/i*(|f|p) = /i*(|g|p) = /i*(|g|p) < +00 (prop. 1, a) et prop. 7), et d'autre part, par définition de N , Np(f) = Np(g) = (A**(|g|p))1/p. Inversement, supposons que l'on ait /i*(|f|p) < +00; il existe alors un ensemble modéré A tel que f soit nulle localement presque partout dans T — A (prop. 7). La fonction f<pA, égale localement presque partout à f, est telle que Np(f<pA) = N (f) < + 00 ; elle appartient donc à ;¥% , et on a f e #F. Corollaire. — Pour que f appartienne à ï£F, il faut et il suffit que f appartienne à ifF et soit modérée. Définition 3.— Les éléments de ï£\ sont appelés fonctions essentiellement /i-intégrables à valeurs dans F. En composant l'application /1—»■ fx(J) de LF dans F avec l'application canonique de ï£\ sur LF, on obtient une application linéaire continue de .<£\ dans F, qui prolonge l'application fi—»■ \ld\i de S£\ dans F. On note encore jfdfi ou /i(f) la valeur de cette application pour fei>fF, et on dit que cet élément est /'intégrale de f par rapport à /i. Deux fonctions essentiellement intégrables et égales localement presque partout ont même intégrale. Pour toute fonction / 5= 0, finie et essentiellement intégrable, on a j'fdfi = $fd[i. Si A est un ensemble dont la fonction caractéristique est essentiellement intégrable, on dit que A est un ensemble essentiellement fi-intégrable ; J <pAdfi se note aussi /i(A) et s'appelle encore la mesure de A. Si une fonction f, à valeurs dans F, est définie localement presque partout dans T, on dit encore que f est essentiellement intégrable si elle est égale, localement presque partout, à une fonction fl partout définie et intégrable ; on pose alors J f dfx = J f l dfx, et cette définition ne dépend pas de la fonction intégrable f\ partout définie et localement presque partout égale à f(lemme 1). On définit de même la notion de fonction essentiellement intégrable pour les fonctions à valeurs dans R, définies et finies localement presque partout.
10 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 1 Le lecteur n'aura aucune peine à étendre aux fonctions essentiellement intégrables les résultats du chap. IV, §4 sur les fonctions intégrables, en remplaçant dans les énoncés «presque partout» par «localement presque partout». Signalons par exemple l'inégalité: (3) \\{dfx\^j\{\dfx valable pour toute fonction essentiellement intégrable f à valeurs dans un espace de Banach. Proposition 10. — Soit R un ensemble fx-dense de parties compactes de T. a) Si f est une fonction numérique ^ 0, on a: (4) fi'(f) = supn*( fcpK). Kefl b) Si f est une fonction à valeurs dans un espace de Banach F, essentiellement intégrable, on a : J f dfx = lim J f<pK dfx la limite étant prise suivant Vensemble filtrant (pour a) R. Pour établir a), il suffit de montrer que pour toute partie compacte L de T, on a J" fcpL dfx = sup J" f(pK dfx, où K parcourt l'ensemble des parties de L appartenant à 5L Comme L est réunion d'un ensemble négligeable et d'une suite croissante (KJ d'éléments de R (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 8, prop. 12), cela résulte du théorème de passage à la limite dans les intégrales supérieures (chap. IV, § 1, n° 3, th. 3). Supposons maintenant que f appartienne à ifp ; soit e un nombre > 0, et soit K un élément de R tel que j\f\(pKdfx^j\f\dfx-s (il en existe d'après a)). On a alors pour tout compact H contenant K: 1//^ -jf<pHd[i < JI/>(jh^ ^j\f\(p^Kdn < e. Extension aux espaces de Banach et aux mesures complexes. Soit F un espace de Banach complexe; par abus de notation, nous désignerons encore par F l'espace de Banach réel sous-jacent à F. L'espace de Banach =S?£(T, A*) peut alors être muni d'une structure
n° 4 INTÉGRALE SUPÉRIEURE ESSENTIELLE 11 d'espace de Banach complexe naturelle, et il conviendra de préciser si l'on utilise la structure réelle ou complexe de cet espace. Dans ce chapitre, et sauf mention expresse du contraire, il s'agira toujours de la structure réelle. _ Soit 6 une mesure complexe; on posera =S?£fT, 6) = =S?£(T, |0|); si F est un espace de Banach complexe, il y a lieu de faire les mêmes remarques que ci-dessus. En particulier, une fonction f à valeurs dans F sera dite essentiellement intégrable pour 6 si elle est essentiellement intégrable pour |0|. L'assertion b) de la prop. 10 s'étend aussitôt aux mesures complexes. 4. Une propriété spéciale à l'intégrale supérieure essentielle Le résultat suivant sera fréquemment utilisé dans la suite. On ne peut pas remplacer dans l'énoncé les intégrales supérieures essentielles par des intégrales supérieures ordinaires (voir l'exerc. 4). Proposition 11.— Soit (Xa)aeA une famille de mesures positives sur T, filtrante pour la relation ^ et admettant dans Ji(l) une borne supérieure X. On a alors pour toute fonction numérique f ^ 0 (5) k-(f) = supk;(f). aeA Lorsque / appartient à Jf (T), cette relation se réduit à la définition de la borne supérieure d'un ensemble filtrant dans ,M(Y) (chap. II, § 2, n° 2, lemme 1). Supposons ensuite que / soit majorée par une fonction ge Jf+ (autrement dit, que/soit bornée et nulle hors d'un compact K); soit a un indice tel que l'on ait Xa(g) 5= X(g) — e, où s est un nombre > 0; la mesure v = X — Xa étant positive, on a v*(/) ^ v(g) ^ e, ou À%(f) 5= X*(f) — s (chap. IV, § 1, n° 3, prop. 15). Il en résulte (e étant arbitraire) que le second membre de (6) majore le premier ; l'inégalité inverse étant évidente, (6) est établie dans le cas particulier envisagé. Supposons ensuite que / soit nulle hors de K, mais non nécessairement bornée, et posons /„ = inf(/, n) pour tout entier n. On a : -**(/) = SUP A'() = sup sup X'a{fn) = sup sup Xl{Q = sup X'a(f). neN neN aeA aeA neN <xeA Enfin, si l'on ne fait plus aucune restriction sur/,' on a, en désignant par ${ l'ensemble des parties compactes de T, X'(f) = sup X'(fcpK) = sup sup X;(f(pK) Kefi Kefi aeA = sup sup k'(fipK) - supÀ'(f). aeA Ke$\ aeA
12 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 2 Corollaire 1. - - Pour qu'une partie N de T soit localement X-négligeable, il faut et il suffit que N soit localement Xa-négligeable pour tout a e A. Corollaire 2.— Pour quune application g de T dans un espace topologique G soit À-mesurable, il faut et il suffit qu'elle soit Xa-mesurable pour tout a e A. La condition est évidemment nécessaire, car Xa ^ X pour tout a (chap. IV, § 1, n° 3, prop. 15). Inversement, supposons que g soit /la-mesurable pour tout a, désignons par R l'ensemble des compacts K de T tels que g|K soit continue, et soit L un compact tel que L n K soit /l-négligeable pour tout K e R. L'ensemble R étant Xa- dense, L est /la-négligeable pour tout a (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 8, prop. 12), donc /l-négligeable (cor. 1). Il en résulte que SK est /l-dense, et que g est/l-mesurable (chap. IV, 2e éd., § 5,n° 10, prop. 15). § 2. Familles sommables de mesures positives 1. Définition des familles sommables de mesures Soit (Xa)aeA une famille de mesures positives sur un espace localement compact X; on dit que la famille (/la)aeA est une famille sommable de mesures si elle est sommable dans l'espace vectoriel Ji(X) des mesures réelles sur X, muni de la topologie vague (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 5, n° 1). Cela revient à dire que, pour toute fonction / e >T(X), la famille des nombres Xa(f) est sommable dans R. En effet, cette condition est évidemment nécessaire; inversement, si elle est réalisée, la forme linéaire /•—>■ X K(f) sur ^PO est positive, c'est donc une mesure positive aeA v (chap. III, 2e éd., § 3, th. 1), et l'on vérifie aussitôt que les sommes partielles finies de la famille (Xa) convergent vaguement vers v, suivant le filtre des sections de l'ensemble des parties finies de A (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 5, n° 1, déf. 1). Tout élément de JT(X) étant différence de deux éléments de Jf+(X), la famille (Xa) est sommable si et seulement si l'on a 0) ZW)<+°° aeA pour toute fonction fe JT+(X). Cette condition équivaut encore à la suivante : (2) XW<+» aeA pour tout compact K c: X.
n° 2 FAMILLES SOMMABLES DE MESURES POSITIVES 13 En effet, (2) entraîne (1), car ona/^ ||/|| . cps, où S désigne le support compact de / Inversement, si K est un compact, il existe une fonction fe JT+(X) telle que q>K ^ f (chap. III, 2e éd., § 1, n° 2, lemme 1), et il en résulte que (1) entraîne (2). Remarques. — 1) Il est immédiat que, lorsque la famille (AJaeA est sommable, sa somme est la borne supérieure, dans ^#+(X), des sommes partielles finies £ Àx, où J parcourt l'ensemble des ace J parties finies de A. 2) Soit (6x)xeA une famille de mesures complexes sur X; on dira que la famille (6a) est sommable si la famille (\6J) de mesures positives est sommable ; il ne suffit pas pour cela que la famille (9a) 2 soit sommable dans l'espace vectoriel ,J?(X ; C) muni de la topologie vague (cf. exerc.- 3). 2. Intégration par rapport à une somme de mesures positives Dans tout ce numéro, X désigne un espace localement compact, (Xa)aeA une famille sommable de mesures positives sur X, et v la mesure aeA Proposition 1. — Soit f une fonction numérique positive définie dans X. On a (3) v'(f) = X Xl(f). aeA Cela résulte aussitôt de la remarque 1, de la prop. 11 du § 1, n° 3 et de la prop. 3 du § 1, n° 1. Corollaire 1. — Pour tout partie compacte (resp. ouverte et relativement compacte) M de X, on a v(M) = X Aa(M). aeA Corollaire 2.— Pour qu'une partie N de X soit localement v-négligeable, il faut et il suffit que, pour tout a e A, N soit localement Xa-négligeable. Corollaire 3. — On a pour toute fonction f e ^(X) (4) v*(/) > S k*(ft aeA
14 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 2 Cette inégalité est évidente si/n'est pas v-modérée, car alors v*(f) = +°o (§ 1, n° 2, prop. 7). Si / est v-modérée, / est /Immodérée pour tout a e A, car tout ouvert v-intégrable est /la-intégrable ; la relation (4) résulte alors aussitôt de (3), et de la prop. 7 du § 1, n° 2. Il peut arriver que les deux membres de (4) ne soient pas égaux, même lorsque A est dénombrable, et que chacune des mesures Xx est ponctuelle (§1, exerc. 4a)). Proposition 2. — Soit f une application de X dans un espace topologique G. Pour que f soit v-mesurable, il faut et il suffit que f soit Xa-mesurable pour tout a e A. Cela résulte immédiatement du cor. 2 de la prop. 11 du § 1. Proposition .3. — Pour qu'une application f de X dans un espace de Banach F soit essentiellement v-intégrable, il faut et il suffît que f soit essentiellement Xa-intégrable pour tout a e A, et qu'on ait (5) Xj"lfl^a<+œ. aeA La famille {§îdXa)aeA est alors absolument sommable dans F, et l'on a : (6) ffdv=Yj\fdla. aeA En effet, pour que f soit essentiellement v-intégrable (resp. essentiellement /la-intégrable), il faut et il suffit que f soit mesurable pour la mesure v (resp. Àa), et qu'on ait v*(|f|) < +oo (resp. A'(\f\) < +oo), en vertu de la prop. 9 du § 1, n° 3. La première partie de l'énoncé résulte donc aussitôt des prop. 2 et 1. Si f est essentiellement v-intégrable, l'inégalité X \ffdxa\^ £ J|f|<tta = v(|f|) aeA aeA entraîne que la famille (jfdla) est absolument sommable dans F, et que la norme de sa somme est au plus égale à la norme de f dans S£\{v). L'ensemble des/e j^p(v) qui satisfont à (6) est donc un sous-espace fermé Jf de ï£\{v)\ or ce sous-espace est aussi dense dans S£\{y), car il contient les fonctions de la forme /. a, où a e F, et où / désigne une fonction intégrable finie et positive (prop. 1). On a donc Jf = S£\{v\ et la proposition est établie.
n° 3 FAMILLES SOMMABLES DE MESURES POSITIVES 15 La prop. 3 peut aussi se déduire du théorème général d'intégration qui sera prouvé au paragraphe 3 (n° 3, th. 1). Corollaire 1. — Supposons que f soit v-intégrable ; f est alors Xa-intégrable pour tout a e A, et on a la formule (6). Inversement, si Vensemble A est fini, et si f est Xa-intégrable pour tout a e A, la fonction f est v-intégrable. Si f est v-intégrable, f est essentiellement v-intégrable et v-modérée (§ 1, n° 3, cor. de la prop. 9); f est donc essentiellement /la-intégrable et /la-modérée, -donc /la-intégrable, pour tout a e A. Inversement, si A est fini, et si f est /la-intégrable pour tout a e A, f est essentiellement v-intégrable d'après la prop. 3, et il suffit de vérifier que v*(|f|) < +oo; cela résulte aussitôt de la relation v;! = £ X* (chap. IV, § 1, n° 4, prop. 15). aeA Corollaire 2.— Soit 6 une mesure complexe sur X; on pose 0l = (@0) + , 62 = (my, 03 = (<f0)+, 6A = (./0)-. Pour qu'une application f de X dans un espace topologique G (resp. dans un espace de Banach F) soit mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour la mesure 0, il faut et il suffit qu'elle soit mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour chacune des mesures 0t(i = 1, 2, 3,4). Si/est mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour 6, f est par définition mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour la mesure |0|, donc aussi pour les mesures 6{, qui sont majorées par |0|. Inversement, si/est mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour les mesures 6t, la prop. 2 (resp. la prop. 3, le cor. 1 de la prop. 3) entraîne que / est mesurable (resp. essentiellement intégrable, intégrable) pour la mesure 0r + 62 + 63 + #4, qui majore |0|. 3. Décomposition d'une mesure en somme de mesures à supports compacts Proposition 4.— Soit /i une mesure positive sur un espace localement compact T, et soit $t un ensemble fi-dense de parties compactes de T. // existe une famille sommable (/ia)aeA de mesures positives sur T, telle qu'on ait /i = £ /ia, que les supports des aeA mesures /ia appartiennent à Si, et forment une famille localement dénombrable de compacts deux à deux disjoints. Si la mesure /i est modérée, l'ensemble d'indices A peut être supposé dénombrable.
16 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, §3 En effet, considérons une famille localement dénombrable (Ka)aeA d'éléments de ft deux à deux disjoints, telle que l'ensemble N = T — l^J Ka soit localement /i-négligeable (chap. IV, 2e éd., aeA § 5, n° 9, prop. 14). Pour toute fonction / e Jf(T), posons A*«(/) = A*(/<PkJ; la forme linéaire fxa sur jf(T) est positive, c'est donc une mesure positive, de support contenu dans Ka. Comme tout compact contenu dans un élément de R appartient à R, on a Supp(/ia) e ${ pour tout aeA. Il reste seulement à montrer que la famille (jia) est sommable, et que sa somme est égale à n; autrement dit, qu'on a £ fJ-Jif) = Kf) pour toute fonction fe Jf+ÇT). Or, soit aeA S le support (compact) de /, et soit A' l'ensemble dénombrable constitué par les aeA tels que S n K„ / 0. L'ensemble N n S étant /i-négligeable, on a M/) = lAf<PÙ = Z M/VsokJ = Z A*(/<PkJ aeA' aeA' = Z A*(/<PkJ = Z A*«(/)- aeA aeA Cela achève la démonstration du cas général. Si fi est modérée, l'ensemble T est /i-modéré, et T est donc réunion d'une suite (L„) de compacts et d'un ensemble négligeable (§ 1, n° 2, prop. 5); soit A' l'ensemble dénombrable des aeA tels que Ka rencontre l'un des Ln. On a /ia = 0 pour a $ A', et la dernière phrase de l'énoncé en résulte immédiatement. Remarque. — Une mesure positive peut être somme d'une suite de mesures à support compact, et ne pas être modérée (voir l'exerc. 4a) du § 1). § 3. Intégration de mesures positives 1. Fonctions à valeurs dans un espace de mesures Soient X un espace localement compact, ^# + (X) le cône convexe des mesures positives sur X. Dans toute la suite de ce chapitre, Ji+{X) sera muni de la topologie induite par la topologie vague sur JiQi) (chap. III, 2e éd., § 1, n° 9); dire qu'une application A:t>-^At de l'espace localement compact T dans ^#+(X) est continue signifie donc que, pour toute fonction / e JT(X), la
n°l INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES 17 fonction numérique t ■—»■ Xt(f) est continue. Nous dirons encore dans ce cas que A est vaguement continue dans T. Dire qu'une application A : t>—>Àt est /i-mesurable signifie que l'ensemble des parties compactes K de T, telles que la restriction de A à K soit vaguement continue, est /i-dense (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 15). On dira alors que A est vaguement ^-mesurable. Soit A : 11—>■ Xt une application de T dans Jt + (X); nous dirons que A est scalairement essentiellement intégrable pour la mesure /i si, pour toute fonction / e JT(X), la fonction t ■—»■ /1,(/) est essentiellement /i-intégrable. Si l'on pose v(f) = J" Xt(f) dfi(t), il est clair que v est une forme linéaire positive sur JT(X), et par suite (chap. III, 2e éd., § 1, n° 6, th. 1) une mesure sur X. Nous dirons que v est Yintégrale de la fonction A à valeurs dans ^#+(X), et nous- écrirons v = J" Xt dfi(t). La définition précédente est un cas particulier de la notion d'intégrale faible, qui sera traitée de façon générale au chap. VI. Si / désigne un élément de Jf(X), l'intégrale J" Xt(f) dfi(t) sera aussi notée, par abus de notation, J" dfi(t) J" f(x) dXt(x) ; la définition de l'intégrale v = J" Xt dfi(t) s'écrit alors : (1) J/(x) dv(x) = jdfi(t) jf(x) dXt(x). Nous ferons des abus de notation analogues dans la suite, pour les intégrales supérieures, les intégrales supérieures essentielles, les intégrales de fonctions à valeurs dans un espace de Banach. Exemples. — 1) Supposons que T soit un espace discret, et que /j, soit la mesure sur T définie par la masse +1 placée en chaque point de T (chap. III, 2e éd., § 1, n° 3). Soit h une fonction ^0 définie dans T: la fonction h étant semi-continue inférieurement (et même continue) dans T, on a fi*(h) = /j,' (h) = £ h(t) (chap. IV, reT § 1, n° 1, Exemple). Pour la mesure n, les notions de fonction intégrable et de fonction essentiellement intégrable sont donc identiques. Cela étant, dire qu'une application t >—► Xt de T dans .Ji+(X) est scalairement essentiellement /^-intégrable revient à dire que la famille (Xt)teT est sommable (§2, n° 1), et on a alors J Xt d/j,(t) = Yj K ■ On notera que l'application ti—yXt est vaguement reT continue. 2) L'application t >—► st de T dans ^#+(T) est vaguement continue, scalairement essentiellement /^-intégrable pour toute mesure positive /j, sur T, et on a J et d/j,(t) = /j,.
18 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 3 Proposition 1.— Supposons que fi soit la borne supérieure d'une famille filtrante croissante (^tf)teI de mesures positives sur T ; pour que A;ti—>Àt soit scalairement essentiellement fx-intégrable, il faut et il suffit que A soit scalairement essentiellement fxrintégrable pour tout i e I, et que la famille (j Xt d/i,-(Y))fe, soit majorée dans ~#(X). On a dans ce cas (2) \Xt dfi(t) = sup \Àtdfii(t). fei En effet, vérifier que A est scalairement essentiellement integrable pour une mesure positive n sur T revient à vérifier que 11—>■ Xt(g) est ^-mesurable et admet une integrable supérieure essentielle finie par rapport à n, quelle que soit la fonction g e JT+(X). La proposition résulte donc aussitôt de la prop. 11 du § 1, n°4 et de son corollaire 2. Corollaire. — Supposons que /i soit la somme d'une famille sommable (/ia)aeA de mesures positives sur T ; pour que A : t >—>■ Xt soit scalairement essentiellement fi-intégrable, il faut et il suffit que A soit scalairement essentiellement na-intégrable pour a e A, et que la famille des mesures J" X, dfix(t) soit sommable. On a alors (3) \ktdn(t)= X ^tduM aeA Il en résulte immédiatement que toute application scalairement essentiellement /^-integrable est aussi scalairement essentiellement //-integrable pour toute mesure // < /j,. Nous nous bornerons dans ce paragraphe à l'étude des applications scalairement essentiellement intégrables de T dans J£+ ÇX) qui possèdent la propriété envisagée dans la définition suivante. Définition 1. — Soient X un espace localement compact, A : 11—>■ Xt une application scalairement essentiellement fi-intégrable de T dans ,#+(X), et v Vintégrale de A. On dit que A est fx-pré-adéquate si, pour toute fonction semi- continue inférieurement f ^ 0 définie dans X, la fonction f ■—»■ J* fdXt est fi-mesurable dans T, et si l'on a (4) j'f(x)dv(x) =f dfi(t)j'f(x)dXt(x).
n° 7 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES 19 On dit que A est fi-adéquate* si A est fi'-pré-adéquate pour toute mesure positive fi' ^ fi. On peut montrer que si A est /^-pré-adéquate, et si la mesure v est modérée — en particulier si X est dénombrable à l'infini — alors A est /i-adéquate (exerc. 7); mais on ignore si ces notions sont équivalentes en général. Dans les énoncés des nos 2 et 3 ci-dessous, les assertions précédées d'un a) ou d'un b) s'étendent aussitôt aux applications pré-adéquates, tandis que celles qui sont précédées d'un c) valent seulement pour les applications adéquates. La proposition suivante permet souvent de vérifier qu'une application donnée est /i-adéquate. Proposition 2. — Soit A:t>—>Àt une application scalairement essentiellement intégrable de T dans Ji+{X), et soit v = J" Xt dfi(t), a) Si A est vaguement continue, Vapplication ti—>-X'(f) est semi-continue inférieur ement pour toute fonction semi-continue inférieur ement f ^ 0 définie dans X, A est fi-adéquate, et on a la relation (5) J* f(x) dv(x) = J* dfi(x) J* f(x) dÀt(x). b) Si A est vaguement fi-mesurable, A est fi-adéquate. c) Si la topologie de X admet une base dénombrable, A est vaguement mesurable (et donc aussi fi-adéquate). Soit/une fonction semi-continue inférieurement 5=0 définie dans X. Soit F l'ensemble, filtrant pour la relation ^, des fonctions g e JT(X) telles que 0 ^ g ^ f. Pour geF, notons hg la fonction définie dans T par hg(t) = Xt(g). Posons de même MO = W) = W) = suP hg(t) geF (§ 1, n° 1, prop. 4). Faisons l'hypothèse suivante, plus faible que celle de a): supposons seulement que la restriction de A à S soit vaguement continue, S étant un fermé de T contenant le support de fi. Pour geF, notons hg la fonction numérique qui coïncide avec hg dans S et qui vaut -t- oo dans Qs. Posons hf = sup hg ; geF on a hf — hf dans S. Pour toute g e F la fonction hg est semi- continue inférieurement; hf est donc semi-continue inférieurement * Dans la Ve édition, on appelait applications /^-adéquates les applications scalairement /^-intégrables et vaguement /^-mesurables. La définition qui est donnée ici est plus générale (prop. 2).
20 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 3 et on a, la famille (hg)geF étant filtrante fi*(hf) = sup fi*(hg) = sup fi*(hg) = sup v(g) = v*(f) geF geF geF (chap. IV, § 1, n° 1, th. 1 et § 2, n° 3, prop. 6). Comme hf = hf dans S, donc presque partout, ceci s'écrit aussi fi*(hf) = v*(f), égalité identique à (5). De même,/et hf étant semi-continues inférieurement, les relations précédentes donnent l'égalité fi'(hf) = v'(f) (§ 1, n° 1, prop. 4); comme hf = hf sur S, il vient fi'(hf) = v'(f) (§ 1, n° 1, prop. 1), égalité identique à (4). L'application À est donc /i-pré-adéquate ; mais on aurait pu remplacer partout dans ce raisonnement fi par // ^ fi, v par v' = J" Xt dfi'(t), car A est aussi scalairement essentiellement //-intégrable, et S contient le support de //. Il en résulte que A est /i-adéquate. Supposons A vaguement continue; on peut prendre S = T; alors hf = hf est semi-continue inférieurement, ce qui achève de prouver la partie a) de l'énoncé. Supposons A vaguement /i-mesurable, et démontrons b). L'ensemble R des compacts K de T tels que la restriction de A à K soit continue étant /i-dense (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 15), il existe une famille sommable (na)aeA de mesures sur T, telle qu'on ait fi = £ fia et que le support Sa de chacune des mesures aeA fia appartienne à R (§ 2, n° 3, prop. 4). Pour tout aeA, l'application A est scalairement essentiellement /ia-intégrable, et nous poserons va = J Xt dfia(t) ; la famille (va) est sommable, et sa somme est égale à v (cor. de la prop. 1). Si/est une fonction semi-continue inférieurement positive définie sur X, la première partie de la démonstration appliquée aux mesures fia et aux fermés Sa montre : 1° que hf est /ia-mesurable pour tout aeA, donc /i-mesurable (§2, n°2, prop. 2); 2° que l'on a: J /(x) dvjx) = J dfia(t)\ f(x)dkt(x\ La formule (4) s'en déduit en sommant sur a (§ 2, n° 2, prop. 1). En appliquant le raisonnement précédent à une mesure fi! quelconque majorée par fi (ce qui est légitime, car A est scalairement essentiellement //-intégrable et vaguement //-mesurable, cf. §2, n° 2, prop. 2), on constate que A est /i-adéquate, et b) est démontrée. Enfin, supposons que la topologie de X admette une base dénombrable, et montrons que toute application scalairement
n°2 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES 21 essentiellement /i-intégrable A :fi—»■ Xt de T dans .Ji+ (X) est vaguement /i-mesurable. Cela résultera du lemme suivant: Lemme 1. — Soit X un espace localement compact ayant une base dénombrable. Il existe alors dans Jf(X) une partie dénombrable S possédant la propriété suivante: pour toute fonction f e Jf (X), il existe une suite (fn) d'éléments de S, une fonction positive q> e S, telles que, quel que soit le nombre e > 0, Von ait \f„ — f\ ^ £<p dès que n est suffisamment grand. Soit X' le compactifié d'Alexandroff de X, qui est un compact métrisable (Top. gén., chap. IX, n° 9, prop. 16 et cor.); nous identifierons JT(X) à une partie de C€{X!\ Soit S' une partie dénombrable dense de l'espace de Banach ^(X') (Top. gén., chap. X, 2e éd., §3, th. 1); on peut supposer que S' contient la fonction constante n pour tout n e N. Soit (U„) une suite d'ouverts relativement compacts de X, de réunion X, tels que U„ c: U„+1 pour tout n (Top. gén., chap. I, 4e éd., §9, prop. 15), et soit ç>„ une fonction de X+(X) égale à 1 sur U„. Nous désignerons par S l'ensemble dénombrable des éléments de JT(X) de la forme (png (n e N, ge S'). Si/e JT(X), soit (gn) une suite d'éléments de S' qui converge uniformément vers /, et soit k un entier tel que le support de / soit contenu dans Uk. Soit enfin m un entier qui majore les normes des fonctions gn. Les fonctions /„ = ç>^„ appartiennent à S, et satisfont à l'énoncé, avec ç> = mcpk. Ce lemme étant établi, et l'application t >—> Xt(g) étant scalaire- ment essentiellement intégrable pour tout g e S, l'application 11—>■ (Àt(g))geS de T dans Rs est /i-mesurable (chap. IV, § 5, n° 3, th. 1). L'ensemble R des compacts K de T tels que la restriction de cette application à K soit continue est donc /i-dense, et il nous suffira de montrer que la restriction de A à tout K e ${ est continue. Or soient/un élément-quelconque-de Jf(X),fn et q> des éléments de S satisfaisant à l'énoncé du lemme 1 ; la fonction t >—>■ Xt(f) est alors limite uniforme dans K des fonctions continues t ■—»■ Àt(f„) ; elle est donc continue dans K, et la proposition est démontrée. 2. Intégrales superposées de fonctions positives Dans toute la suite de ce paragraphe, sauf mention expresse du contraire, nous désignons par X un espace localement compact, par A : f i—>■ Xt une application ^-adéquate de T dans Jt + (X), et par v V intégrale de A.
22 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 3 Proposition 3. — Soit f une fonction numérique 5=0 définie dans X. a) On a l'inégalité (6) J*/(x) dv(x) > fdn(t) J*/(x) dXt(x) > fdfi(t) J"/(x) d^(x). b) Si A est vaguement continue, on a (7) J*/(x) dv(x) > f dn(t) J*/(x) AW- c) Si /'on a /l*(l) < + oo localement fi-presque partout, on. a (8) j" f(x) dv(x) > j" dn(t)\*f{x) dXt(x) = j dfi(t) j f(x) dXt(x). Soit g une fonction semi-continue inférieurement dans X telle que f ^ g. Pour tout t e T, on a | /(x) d^(x) s£ j g(x) dXt(x), donc, d'après (4) et la prop. 4 du § 1, dfi(t)\ f(x)dXt(x)^\ dfi(t)\ g(x) dXt(x) = J g(x)dv(x). La première des inégalités (6) résulte alors de la définition de j*f(x) dv(x) (chap. IV, § 1, n° 3, déf. 3), et la seconde en résulte aussitôt. L'inégalité (7) se démontre de manière analogue si A est vaguement continue, en utilisant (5) au lieu de (4). Passons à la démonstration de (8). L'application f ■—»■ /*(1) est mesurable, finie localement /i-presque partout. L'ensemble R des compacts K de T tels que la restriction de f ■—»■ X*(l) à K soit finie et continue est donc /i-dense, et la prop. 4 du § 2, n° 3 entraîne l'existence d'une famille sommable (na)aeA de mesures positives, dont les supports appartiennent à R, telle que /i = £ fia. L'ap- aeA plication A est /^-adéquate pour tout a e A ; posons va = J" Xt dna(t). La prop. 1 montre que v — £ va, et la relation (4), appliquée à aeA la mesure /ia et à la fonction 1, montre que va est une mesure bornée (car Xf(\) est borné sur Supp(/ia)). Etrivons alors la formule
n° 2 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES 23 (6) pour la mesure /ia, en remplaçant le symbole J" au premier membre par J", ce qui est légitime d'après la prop. 7 du § 1 ; il vient ff(x)dya(x) > j" d^(t)\*f{x)dXt{x) = f dna(t)\' f(x)dXt{x) (la dernière égalité provient de ce que Xt est bornée localement presque partout, et de la prop. 7 du § 1). L'inégalité (7) s'obtient en sommant sur a (§2, n°2, prop. 1). Si l'on ne fait aucune hypothèse analogue à celle de c), l'inégalité (8) peut être mise en défaut (exerc. 2). Corollaire 1.— Soit f une fonction ^0 définie dans X, et soit H Pensemble des t e T tels que f ne soit pas Xt-négligeable. a) Si f est v-négligeable, H est localement ^-négligeable. b) Si f est v-négligeable, et si A est vaguement continue, H est fi-négligeable. c) Si f est localement v-négligeable, et si X'(i) < + oo localement ^-presque partout, H est localement pi-négligeable. Corollaire 2.— Soit f une fonction 5=0 définie dans X et y-modérée. V ensemble des teT tels que f ne soit pas Xt-modérée est alors localement ^-négligeable (et même fi-négligeable si A est vaguement continue). En effet, / est la somme d'une suite de fonctions fn 5= 0, telle que /„ soit nulle hors d'un compact K„ pour n ^ 1, et que f0 soit v-négligeable (§1, n° 2, prop. 6); f0 est alors ^-négligeable, sauf pour des t qui forment un ensemble localement /i-négligeable (et même /i-négligeable si A est vaguement continue) d'après le cor. 1, et l'énoncé en résulte aussitôt. Proposition 4.— Soit f une fonction y-mesurable définie dans X, à valeurs dans un espace topologique G, et soit M l'ensemble des teT tels que f ne soit pas X,-mesurable. a) Supposons que f soit constante dans le complémentaire d'une partie y-modérée de X; M est alors localement fi-négligeable. b) Supposons que f soit constante dans le complémentaire d'une partie y-modérée de X, et que A soit vaguement continue; M est alors fi-négligeable.
24 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 3 c) Supposons qu on ait /l*(l) < +00 localement fx-presque partout; M est alors localement ^-négligeable. Démontrons d'abord a) (resp. b)). Tout ensemble v-intégrable étant contenu dans un ouvert v-intégrable, la fonction / est constante dans le complémentaire B d'une réunion dénombrable d'ouverts v-intégrables. Il existe une partition de X — B formée d'un ensemble v-négligeable N, et d'une suite (K„) d'ensembles compacts tels que la.restriction de/à chacun des Kn soit continue. Soit S l'ensemble des teT tels que N ne soit pas ^-négligeable: S est localement /i-négligeable (resp. /i-négligeable) d'après le Cor. 1 de la prop. 3. Les ensembles K„, B, N sont mesurables pour toute mesure sur T, et la restriction de /à chacun d'eux est /l£-mesurable pour tout t$S. La fonction / est donc /,£-mesurable pour tout t $ S (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 6). Pour établir c), reprenons les notations de la démonstration de la prop. 3 ; / étant v-mesurable, est mesurable pour chacune des mesures va ^ v. Or ces mesures sont bornées, donc modérées, et il résulte de a) que M est localement /ia-négligeable pour tout a e A. Cela entraîne que M est localement /i-négligeable (§ 2, n° 2, cor. 2 de la prop. 1). Proposition 5.— Soit f une fonction numérique positive v- mesurable définie dans X, et soit N Y ensemble des teT tels que f ne soit pas Xt-mesurable et Immodérée. a) Supposons que f soit v-modérée. L'ensemble N est alors localement ^-négligeable, la fonction f •—>■ J f(x) dXt(x) est /i- mesurable, et on a (9) /' f(x) dv(x) = f dfi(t)ff(x) dXt(x). b) Supposons que f soit v-modérée, et que A soit vaguement :ontinue, Vensemble N est alors ^-négligeable, la fonction fi—>■ j*f(x)dXt(x) est ^-mesurable et ^-modérée, et on a (10) j*f(x) dv(x) = j* dn(t)j*f(x) dXt(x). c) Supposons qu'on ait X'(l) < +oo localement ^-presque partout. Vensemble N est alors localement ^-négligeable, la fonction 11—>■ J /(x) dXt(x) est ^-mesurable, et on a (9). Démontrons d'abord a) (resp. b)) en supposant que / soit v-modérée. Les assertions concernant l'ensemble N ont déjà été établies (prop. 4, et cor. 2 de la prop. 3). D'après la prop. 6 du
n° 3 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES 25 § 1, nous pouvons nous borner à prouver a) (resp. b)) dans chacun des cas particuliers suivants: 1) La fonction/est v-négligeable. 2) Il existe un compact K tel que / soit nulle hors de K, et que la restriction de / à K soit continue. Le cas particulier 1) a déjà été traité (cor. 1 de la prop. 3). Pour traiter le second, désignons par G un ouvert v-intégrable contenant K, par M une constante qui majore/, par h la fonction semi-continue inférieurement Mç>G , et par g la fonction h — f. La fonction / étant semi-continue supérieurement dans X, g est semi-continue inférieurement et positive. En outre, f, g, h sont v-intégrables. Appliquons alors la formule (4) (resp. (5)) aux fonctions semi-continues inférieurement h et g. Il apparaît par différence que la fonction 1i—»■ J" f(x) dXt(x) (resp. J*/(x) dXt(x)) est /i- mesurable, et qu'on a la formule (9) (resp. (10)). Enfin, sous l'hypothèse b), la fonction t i—»■ J*/(x) dXt(x) a une intégrale supérieure finie: elle est donc bien /i-modérée. Pour démontrer c), reprenons les mesures /ia et va de la démonstration de la prop. 3 ; / étant va-mesurable et va-modérée, l'assertion a) entraîné que t >—>■ j' f(x) dXt(x) est /ia-mesurable, et que .. .. .. J f(x)dva(x)=J dna(t)\ f(x)dXt(x). Il ne reste plus qu'à sommer sur a, en appliquant les prop. 1 et 2 du § 2, n° 2. Si/n'est pas supposée v-modérée, et si l'on ne fait pas l'hypothèse de c), la relation (9) peut être inexacte (exerc. 3). Corollaire.— Soit f une fonction définie dans X, à valeurs dans un espace de Banach F ou dans R, v-mesurable et v-modérée. Pour que f soit v-intégrable, il faut et il suffit que J dfi(t)j |f(x)| dXt(x) <+ oo. Cela résulte aussitôt de la prop. 5 et du critère d'intégrabilité (chap. IV, § 5, n° 6, th. 5). 3. Intégrales superposées de fonctions à valeurs dans un espace de Banach Théorème 1. — Soit f une fonction à valeurs dans un espace de Banach F ou dans R, et soit H /'ensemble des teT pour lesquels f n'est pas Xt-intégrable.
26 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 3 a) Si f est v-intégrable, H est localement ^-négligeable, la fonction f •—>■ J f(x) dXt(x) (définie pour t ¢11) est essentiellement fi-intégrable, et on a (11) /f(x) dv(x) = jdn(t) /f(x) dXt(x). b) Si f est v-intégrable, et si A est vaguement continue, H estf de plus fi-négligeable, et la fonction /1—> J* f(x) dXt(x) (définie pour r<£H) est fi-intégrable. c) Si l'on a X'(l) < +oo localement ^-presque partout, les conclusions de a) restent vraies pour une fonction f essentiellement v-intégrable. Nous allons établir d'abord a) (resp. b)). Cet énoncé est vrai lorsque f est une fonction numérique positive (prop. 5); si f est une fonction intégrable à valeurs dans R, ce résultat s'applique aux fonctions positives f+ et f-, et s'étend donc à f par différence. Reste à traiter le cas des fonctions à valeurs dans F. Soit Jf le sous-espace de J^p(v) constitué par les combinaisons linéaires, à coefficients dans F, de fonctions de JT(X): le résultat relatif aux fonctions réelles entraîne aussitôt la validité de l'énoncé pour les éléments de Jf. Or Jf est dense dans ifpOO; pour tout f e ^f(vX il existe donc une suite (f„) d'éléments de Jf, qui possède les propriétés suivantes : 1) la suite (f„) converge vers f en moyenne dans ^l(v), et v-presque partout ; 2) la fonction g = |f0| + £ |fn+1 — f„| est telle que neN v*(g) < + oo (chap. IV, § 3, n° 4, th. 3). Soit Nt l'ensemble des ïeT tels que Xf(g) = +00 :Nj est localement //-négligeable (resp. /i-négligeable) d'après la formule (6) (resp. (7)). Pour t¢N1, les f„ appartiennent à ifp(/Lt), la suite (f„) converge /l£-presque partout, ainsi que pour la topologie de la convergence en moyenne dans if p(^t) (chap. IV, § 3, n° 3, prop. 6). Soit M l'ensemble des x e X tels que f„(x) ne converge pas vers f(x) : M étant v-négligeable, l'ensemble N2 des t e T tels que M ne soit pas /^-négligeable est localement /i-négligeable (resp. /i-négligeable) d'après le cor. 1 de la prop. 3. Supposons que t n'appartienne pas à Nx u N2 ; la suite (f„) converge en moyenne dans if p(/lt), et converge /l£-presque partout vers f. On a donc fe ifF(/lt), et Jf dXt = lim Jf„ dXt (chap. IV, §4, n-*co n° 1). L'ensemble H de l'énoncé est donc contenu dans Nx u N2 ;
n°5 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES 27 il est par suite localement /i-négligeable (resp. /i-négligeable). D'autre part, la fonction t>—> Jf dXt est égale localement /i-presque partout à la limite d'une suite de fonctions /i-mesurables ; elle est donc /i-mesurable. Enfin, on a pour tout t <£ N\ u N2 et tout n, \\in(x)dXt(x)\^\* g(x)dXt(x) en vertu de l'inégalité |f„| ^ g, et.de la prop. 2 du chap. IV, §4, n° 2. Or la fonction ti—»■ J* g(x) dXt(x) est essentiellement /i-inté- grable (resp. /i-intégrable) d'après la prop. 5. On peut donc appliquer le théorème de Lebesgue, et il vient : \dfx(t) f(x) dXt(x) = lim dpi(t) în(x)dXt(x) = lim I f„(x) dv(x). Comme Jf„(x) dv(x) tend vers Jf(x) dv(x) lorsque n tend vers + oo, d'après les hypothèses faites sur la suite (f„), la relation (11) en résulte, et on a prouvé a) (resp. b)). Supposons maintenant que X'(\) < +co localement /i- presque partout, et que g soit une fonction essentiellement v-intégrable. Soit f une fonction v-intégrable telle que g = f localement v-presque partout (§ 1, n° 3). On a alors g = f presque partout pour Xt, sauf pour des t qui forment un ensemble localement /i-négligeable P (cor. 1 c) de la prop. 3). On a J g dXt = J f dXt pour 14 P u H, et cela achève la démonstration. Remarque. — Soit A : f ■—»■ Xt une application /i-adéquate de T dans Ji+{X). Si une application A' :t>-^-X't de T dans Ji+(X) est égale à A localement /i-presque partout, il résulte aussitôt des définitions que A' est aussi /i-adéquate, et que A et A' ont même intégrale. Si maintenant H : 11—>■ r\t est une fonction à valeurs dans ^#+(X), définie localement /i-presque partout, nous dirons encore que H est /i-adéquate si elle est égale localement ^-presque partout à une application A : t*-* Xt, partout définie et /i-adéquate. On pose alors J r\t dfx(t) = J Xt dfi(t), définition qui ne dépend pas de la fonction A utilisée. Nous laisserons au lecteur le soin de vérifier que les propositions démontrées dans les numéros précédents s'étendent aux fonctions /i-adéquates définies localement /i-presque partout.
28 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 3 4. Fonctions universellement mesurables Définition 2.— On dit qu'une application f de T dans un espace topologique F est universellement mesurable si elle est ii-mesurable pour toute mesure positive li sur T. Les sous-ensembles de T dont la fonction caractéristique est universellement mesurable sont appelés ensembles universellement mesurables. Ils forment une tribu sur T (chap. IV, 2e éd.,. § 5, n° 4, cor. 2 du th. 2) qui contient les ensembles boréliens (même réf., cor. 3), et les ensembles sousliniens si T est métrisable (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 1, cor. 2 de la prop. 3). Pour qu'une application/de T dans un espace topologique F, métrisable de type dénombrable, soit universellement mesurable, il faut et il suffit que l'image réciproque par / de toute boule fermée de F soit une partie universellement mesurable de T (chap. IV, § 5, n° 5, th. 4). Proposition 6. — Pour qu'une application f de T dans un espace topologique F soit universellement mesurable, il faut et il suffit que f soit mesurable pour toute mesure positive sur T à support compact. Cette condition est évidemment nécessaire; elle est d'autre part suffisante, car toute mesure positive li est somme d'une famille de mesures à support compact (§ 2, n° 3, prop. 4): l'énoncé résulte alors de la prop. 2 du § 2, n° 2. Proposition 7. — Soit li une mesure positive sur T, et soit f une application Li-mesurable de T dans un espace topologique F. Il existe alors une application universellement mesurable f de T dans F, telle que f = f localement Li-presque partout. Soit R l'ensemble des compacts de T tels que la restriction de / à K soit continue ; ft étant /i-dense (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 13), il existe une famille (K,-)feI d'éléments de ft deux à deux disjoints, localement dénombrable, telle que l'ensemble N = T-ljKi soit localement /i-négligeable (chap. IV, 2e éd., § 5, iel n° 9, prop. 14). Soit x un élément de F; posons f'(t)= f(t) si teU^i, •iel f'if) = x si t e N. Les fonctions / et /' sont égales localement /i-presque partout.
n°5 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES 29 D'autre part, NnK est une partie borélienne de K pour tout compact K de T, du fait que la famille (K,) est localement dénombrable. Il en résulte que N est un ensemble universellement mesurable, et que /' est une fonction universellement mesurable (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 16). 5. Diffusions Définition 3.—Soit X un espace localement compact, et soit A : r i—> ylr une application de T dans Ji+{X). On dit que A est une diffusion de T dans X si A est adéquate pour toute mesure positive sur T à support compact. On dit que la diffusion A est bornée si toutes les mesures Xt sont bornées et si on a sup \\Xt\\ < + co ; (eT cette quantité est alors appelée la norme de A, et notée ||A||. La proposition suivante ne fait que traduire la définition : Proposition 8. — Pour qu'une application A : /i—>■ Xt de T dans -JÉ+{X) soit une diffusion, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites: 1) Pour toute fonction semi-continue inférieurement f > 0 définie dans X, la fonction t^^-X'(f) est universellement mesurable dans T. 2) Pour toute fonction geJT+(X), la fonction t>-^Xt(g) est localement bornée dans T. 3) Pour toute fonction semi-continue inférieur ement f ^ 0 définie dans X, et toute mesure positive /i à support compact dans T, on a la relation suivante, où v désigne f Xt dfi(t) : (12) f f(x) dv(x) = f dfx(t)f f(x) dXt{x). Supposons que A soit une diffusion. La condition 1) est alors satisfaite d'après la définition des applications adéquates (n° 1, déf. 1), et la prop. 6 ; la condition 3) est satisfaite d'après la formule (4), puisque A est ^-adéquate. Soit ge JT+(X), et soit u la fonction t'-^Xt(g) (universellement mesurable d'après 1)); supposons que u ne soit pas localement bornée. Il existe alors un compact K tel que u ne soit pas bornée sur K, et il existe donc une suite (tn) d'éléments de K telle que u(xn) 5= n2 pour tout n 5= 1 ; u n'est donc pas intégrable pour la mesure à support compact fi = £ —^et ,
30 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 3 en contradiction avec l'hypothèse faite sur A, qui entraîne que 1>—> À,(g) est intégrable pour toute mesure positive à support compact. Les trois conditions ci-dessus sont donc nécessaires. Inversement, les conditions 1) et 2) entraînent que A est scalaire - ment essentiellement /i-intégrable pour toute mesure fi à support compact. Comme toute mesure fi > 0 majorée par une mesure fi à support compact a aussi un support compact, les conditions 1) et 3) expriment que A est /i-adéquate pour toute mesure positive à support compact, ce qui est bien le résultat cherché. Proposition 9. — Soit A:ti—>Àt une application de T dans ^#+(X), telle que la fonction t*-^- Xt(g) soit universellement mesurable et localement bornée dans T pour tout ge JT+(X). On peut affirmer que A est une diffusion dans chacun des cas suivants : a) la topologie de X admet une base dénombrable; b) A est universellement mesurable pour la topologie vague. En effet, soit fi une mesure positive à support compact dans T; l'application • A est scalairement essentiellement /i-intégrable, donc /i-adéquate si a) ou b) est satisfaite (prop. 2). Dans toute la fin de ce paragraphe, nous adopterons les notations suivantes : nous désignerons par (j], h} l'intégrale supérieure essentielle, pour une mesure positive n, d'une fonction positive ^-mesurable h. L'application A : ( >—>■ Xt sera une diffusion de T dans X. Si / est une fonction universellement mesurable positive définie dans X, nous noterons A/l'application t>—>■!'(/). Si fi est une mesure positive sur T telle que A soit scalairement essentiellement /i-intégrable, nous noterons fiA la mesure J Xt dfi(t). La définition de l'intégrale prend alors la forme (fiA,/} = (fi, A/> pour/e Jf+(X). Nous dirons qu'une mesure positive fi sur T -appartient au domaine de A si A est /i-adéquate : cela revient à dire (compte tenu de la prop. 8) que A est scalairement essentiellement /i-intégrable et qu'on a <//A,/> = <//, A/> pour toute mesure positive fi' ^ fi et pour toute fonction / positive semi-continue inférieurement. Proposition 10. — Soient f, g deux fonctions universellement mesurables positives sur X, a un nombre > 0, fi et v deux mesures positives sur T.
n°5 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES 31 a) On a A(/ + g) = A/ + Ag, A(qf) = aA/ b) Si n et v appartiennent au domaine de A, il en est de même de fi + v et de a/x, et on a (fi + v)A = fxA + vA, (a/i)A = a(fxA). Le seul point non évident est l'appartenance de (fx + v) au domaine de A, qui se traite en remarquant que toute mesure positive majorée par fx + v est de la forme fx + v', où fx ^ fi, v' ^ v (« lemme de décomposition », chap. II, § 1, n° 1). Voir aussi la prop. 11 ci après. Proposition 11.— Pour qu'une mesure positive fx sur T appartienne au domaine de A,41 faut et il suffit que A soit scalaire- ment essentiellement /x-intégrable. Cette condition est évidemment nécessaire. Inversement, supposons-la satisfaite, et soit / une fonction positive semi- continue inférieurement définie dans X. La fonction A/ est universellement mesurable, donc /i-mesurable. Nous allons prouver qu'on a </i, A/> = </iA,/> ; comme cette égalité vaudra aussi pour toute mesure positive fx =¾ fx, puisque A est aussi scalaire- ment essentiellement //-intégrable, il en résultera que A est /i-adéquate. Soit (/i;)rei une famille sommable de mesures positives à support compact, telle que fx = £ fxt (§ 2, n° 3, prop. 4) ; la famille tel des mesures fx;A est alors sommable, et fxA = £ fxtA (n° 1, cor. de ieï la prop. 1). On a par conséquent </iA,/> = £ </i;A,/> (§2, n° 1, ieï prop. 1); mais A est /i,-adéquate, de sorte qu'on a <A*A/> = <a*î,A/>. En appliquant de nouveau la prop. 1 du § 2, on obtient l'égalité cherchée: <M,/> = E<M,/> = Ka^AO = <a*,a/>. tel tel Corollaire 1. — Si A est une diffusion bornée, toute mesure positive bornée fx appartient au domaine de A, et on a IIMII ^ UW l|A||. Corollaire 2.— Supposons que fx soit somme d'une famille sommable (fxa)aeA de mesures positives appartenant au domaine de A. Pour que fx appartienne au domaine de A, il faut et il suffit que
32 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, §3 la famille des mesures fi^A soit sommable, et on a dans ce cas aeA Il suffi t d'appliquer le cor. de la prop. 1 du n° 1. La proposition 5, exprimée dans le langage des diffusions, prend la forme suivante : Proposition 12.— Soit fi une mesure positive sur T qui appartient au domaine de A, et soit f une fonction universellement mesurable ^ 0 définie dans X. Si f est modérée pour la mesure /xA, ou si les mesures X, sont bornées, la fonction A/ est fi-mesurable et on a (13) <fiAJ) = (fi,Af). Corollaire.— Si X est dénombrable à l'infini, ou si les mesures Xl sont bornées, la fonction Afest universellement mesurable dans T pour toute fonction universellement mesurable f ^ 0 définie dans X, et on a (13). 6. Composition des diffusions bornées Proposition 13.— Soient T, X, Y trois espaces localement compacts, A : t >—>■ Xt une diffusion bornée de T dans X, H : x >—>■ nx une diffusion bornée de X dans Y. L'application t >—>■ XtH est alors une diffusion bornée de T dans Y, que l'on désigne par AH, et on a (14) ||AH|| < ||A|| ||H||. Soient f une fonction universellement mesurable ^0 définie dans Y, fi une mesure sur T. Supposons que fi appartienne au domaine de A, et que fi A appartienne au domaine de H ; alors fi appartient au domaine de AH et on a: <MAH),/> = 0*A, h/> = {fi, AHf> ; (fiA)W = fi{AU) ; A(H/) = (AH/. Posons yt = XtW; nous désignerons par Y l'application AH de T dans Ji+(Y), et par r/la fonction f ■—»■ <y£,/> (par abus de notation, car nous ignorons encore si T est une diffusion). On a <yt,/> = (XtH,f} = (Xt,Hf} d'après (13); la fonction H/ étant positive et universellement mesurable dans X (cor. de la prop. 12),
n° 6 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES 33 il en résulte d'abord que Tf = A(Hf), et ensuite que Tf est universellement mesurable dans T (même référence). Il est clair que toutes les mesures yt ont une masse totale au plus égale à Il A || || H ||. Par conséquent, Y g est universellement mesurable et bornée pour toute fonction geJf+(Y); F est donc scalairement essentiellement intégrable pour toute mesure bornée sur T, et en particulier pour toute mesure à support compact. Plus généralement, si fi est une mesure du domaine de A, telle que fiA appartienne au domaine de H, on a, pour g e JT+(Y), (fi,Fg) = <A*,A(Hg)> = <A*A,Hg> = <(A<A)H,g>. Cette dernière quantité étant finie, on voit que T est scalairement essentiellement /i-intégrable. Désignons par /xF l'intégrale J yt dfx(t) (par abus de notation, car nous ignorons encore si F est une diffusion). Les relations précédentes s'écrivent alors <Air,g> = <(AtA)H,g>, ou encore fiF = (/iA)H, car g est arbitraire dans .#"+(Y). Considérons à nouveau la fonction universellement mesurable / 5= 0. Nous avons </<rj> = <(M)H,/> = <M,H/> = (n,A(Hf)) = (n,Tf\ Lorsque/est semi-continue inférieurement, et lorsque fi parcourt l'ensemble des mesures positives à support compact, ces relations expriment que F est une diffusion de T dans Y. L'énoncé ne fait alors qu'expliciter les relations obtenues au cours de la démonstration ci-dessus. Définition 4.— Les notations étant celles de la proposition 13, la diffusion AH est appelée la diffusion composée des diffusions bornées H et A. Soient X1, X2 , X3 , X4 quatre espaces localement compacts, Al, A2 , A3 trois diffusions bornées de X, dans X2 , X2 dans X3 , X3 dans X4 respectivement. Il résulte aussitôt de la prop. 13 qu'on a (AiA2)A3 = A1(A2A3). On utilisera donc des notations sans parenthèses pour la composition des diffusions.
34 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 4 Exemple. — Soient u une application universellement mesurable de T dans X, v. une application universellement mesurable de X dans Y; d'après la prop. 2b), on définit des diffusions A et H par les formules: la diffusion T = AH est alors définie par On prendra donc garde que l'ordre de composition des diffusions est l'opposé de l'ordre habituel de composition des fonctions. §4. Intégration de mesures positives ponctuelles 1. Familles de mesures ponctuelles Soient X et T deux espaces localement compacts, n une application de T dans X, g une fonction numérique finie et ^0, définie dans T; ces deux fonctions définissent une application t>—>Àt = g(t)sn(t) de T dans l'espace Ji(X) des mesures sur X, telle que pour tout t e T, Xt soit une mesure ponctuelle (chap. III, 2e éd., §2, n° 4) ou soit égale à 0. Si/est une fonction numérique 5s0 définie dans X, on a/*/(x)dXt(x) = f f(x)dXt(x) = f(n(t))g{t) (rappelons qu'on a convenu de prendre ce produit égal à 0 lorsque g(t) = 0 et f(n(t)) = + oo). Toute fonction (à valeurs dans un espace topologique) définie dans X, est /l£-mesurable pour tout t e T. Toute application f de X dans un espace de Banach F est /l£-intégrable pour tout teT et on a /f(x)dXt(x) = f(n(t))g(t). Enfin, si / est une fonction numérique quelconque définie dans X, pour que / soit /lr-intégrable, il faut et il suffit que f(n(t))g(t) soit fini, et on a alors //(x) dXt(x) = f (n(t))g(t). Définition 1.— Soit /i une mesure positive sur T. On dit que le couple (n, g) est ^-adapté si les conditions suivantes sont satisfaites : 1° Les fonctions n et g sont fi-mesurables. 2° Pour toute fonction f e Jf (X), Vapplication t*-^-f(n(t))g(t) est essentiellement fi-intégrable. Proposition 1.— Si le couple (n, g) est ^-adapté, Vapplication A:t>-^-Xt — g(t)c^t) de T dans ^#+(X) est scalairement essentiellement fi-intégrable, vaguement ^-mesurable et ^-adéquate. Inversement,
n° 1 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES PONCTUELLES 35 si A est scalairement essentiellement /i-intégrable et vaguement fi-mesurable, la fonction g est fi-mesurable, et la restriction de n à l'ensemble S des feT tels que g(t) ^ 0 est fx-mesurable. En effet, supposons que le couple (n, g) soit /i-adapté ; pour toute fonction /eJT(X), la fonction t*-^(f,Àt} = f(n(t))g(t) est alors essentiellement /i-intégrable. Montrons que t>-+Àt est vaguement /i-mesurable. En effet, notons d'abord que, si n et g sont continues, l'application 1i—»■ Xt est vaguement continue. Dans le cas général, l'ensemble des parties compactes K de T telles que les restrictions de n et de g à K soient continues est /i-dense (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 15); si K est un tel ensemble, la restriction de t >—> Xt à K est vaguement continue, d'où la première assertion de l'énoncé. La prop. 2 du § 3, n° 1, montre que A est /i-adéquate. Inversement, supposons que A soit scalairement essentiellement intégrable et vaguement /i-mesurable ; elle est alors /i- adéquate (§ 3, n° 1, prop. 2). La fonction 1 étant semi-continue inférieurement dans X, la fonction t>—> Àt(l) = g(t) est /i-mesurable (§ 3, déf. 1). L'ensemble S est donc mesurable (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 5, prop. 7). L'ensemble R des compacts K c S tels que g|K soit continue et A|K vaguement continue est /i-dense dans S (chap. IV, 2e éd., §5, n° 10, prop. 15); si K e ft, la restriction à K de l'application /"!—»■£„(,, = —2, est donc vaguement continue, et cela entraîne la continuité de 7t|K (chap. III, 2e éd., § 1, n° 9, prop. 13). Comme ft est /i-dense dans S, la restriction de n à S est mesurable. Nous utiliserons le lemme suivant : Lemme 1. — Soient T et X deux espaces topologiques, n une application continue propre (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 10, déf. 1) de T dans X. Soit g une fonction numérique semi-continue inférieurement, définie dans T. Pour tout xeX, soit f(x) la borne inférieure de la fonction g(t) dans Vensemble n (x) (borne inférieure égale à + co si n (x) = 0; cf. Ens., chap. 111, § 1, n° 9). Alors f est semi- continue inférieurement dans X. Pour tout nombre réel (fini) a, notons Ba l'ensemble des xe X tels que/(x) ^ a, Aa l'ensemble des teT tels que g(t) ^ a; tout revient à montrer que Ba est fermé (Top. gén., chap. IV, § 6, n° 2, prop. 1). Or Aa est fermé (même réf.) et l'application propre n est fermée (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 10, n° 1, prop. 1); on est donc ramené à prouver que n(Aa) = Ba. La relation évidente
36 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 4 f(n(t)) 5¾ g(t) pour tout t e T entraîne que n(Aa) a Ba. Inversement, soit xeBa; l'ensemble n (x) est quasi-compact (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 10, n° 2, th. 1) et non vide, et il existe donc un t e n (x) tel que g(t) = inf g(u) = f(x) (Top. gén., chap. IV, § 6, n° 2, th. 3) ; on a alors t e Aa et n(t) = x. 2. Intégrales supérieures de fonctions positives par rapport à une intégrale de mesures ponctuelles Nous allons voir que, lorsque (n, g) est un couple /i-adapté, on peut préciser les résultats obtenus en appliquant les propositions du § 3 à la famille t>-+Àt = g(t)sn(l), qui est /i-adéquate d'après la prop. 1. Théorème 1. — Soit (n, g) un couple ^-adapté, et soit v = J g(t)sn(t) dfx(t). Pour toute fonction numérique f 5= 0 définie dans X, on a (1) j'f(x) dv(x) =j'f(7l(t))g(t) dfi(t). A) Supposons d'abord que la mesure fi ait un support compact K, et que les restrictions à K des fonctions g et n soient continues. On a, d'après la formule (4) du § 3, n° 1, v*(l) = J*K g(t)dfx(t) < + oo, de sorte que toutes les mesures qui interviennent dans la formule (1) sont bornées. On peut donc remplacer au premier membre J par J*. Compte tenu de la formule (6) du § 3, n° 2, tout revient à prouver que : (2) \* f(x)dv(x)^\' f(n(t))g(t)dn(t) où le symbole /" au second membre peut à son tour être remplacé par J *. D'après la définition de l'intégrale supérieure, il suffit de vérifier l'inégalité (3) j*f(x) dv(x) ^ /* h(t) d/i(t) pour toute fonction h, semi-continue inférieurement dans T, majorant la fonction t>-^ f(n(t))g(t). Or soit s un nombre >0, et soit u la fonction (h + s)/g, qui est semi-continue inférieurement dans K. Si l'on a te n ({x}) n K, on a u(t) Js /(x): c'est évident
n° 2 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES PONCTUELLES 37 si g(t) — 0, car alors u(t) = + co ; si g(t) > 0, on a u(t)g(t) = h(t) + s > /(7t(0)g(0 = /(x)g(fX d'où l'inégalité annoncée. Dans ces conditions soit v(x), pour tout x e X, la borne inférieure de u(t) pour t e n ({x}) n K. La fonction y majore / d'après ce qui précède, elle est semi-continue inférieurement dans X d'après le lemme 1 (appliqué à la restriction de n à K),- et on a v(n(t))g(t) ^ h(t) + s pour tout (eK (rappelons que le premier membre est nul par convention si g(t) = 0). Appliquons alors à y la formule (4) du § 3, n° 1. Il vient : (4) j*f(x) dv(x) s= j* v(x) dv(x) = j* v(n(t))g(t) dfi(t) < /* (h(t) + e) dn(t) h(t)dfi(t) + e^(l). La mesure /i étant bornée, et s étant arbitraire, l'inégalité (3) en résulte. B) Passons maintenant au cas général. L'application tt-+(n(t), g(t)) de T dans X x R+ étant /i-mesurable (chap. IV, § 5, n° 3, th. 1), l'ensemble R des compacts K de T tels que les restrictions de n et g à K soient continues est /i-dense (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 15). D'après la prop. 4 du §2, n° 3, fi est somme d'une famille sommable (na)aeA de mesures portées par des éléments de R ; le couple (n,g) étant /^-adapté pour tout oceA, soit va la mesure J g(t)sn(t) dfia(t). On a alors d'après A) (5) /' f(x) dvjx) = j' f(7l(t))g(t) dfiM Mais les va forment une famille sommable dont la somme est égale à v (§ 3, n° 1, cor. de la prop. 1). On a donc d'après la prop. 1 du § 2, n° 1, (6) j'j[x)dv(x)= XJV(x)^(x). aeA On a une relation analogue pour le second membre de (5), et (1) résulte donc de (5) par sommation sur a. Corollaire. — Pour qu'une partie N de X soit localement négligeable pour v, il faut et il suffit que Vintersection de n (N) et
38 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 4 de V'ensemble des points teT où g(t) > 0, soit localement négligeable pour fi. Proposition 2.— Soient n une application continue et propre (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 10, n° 1) de T dans X, g une fonction numérique finie et continue dans T, telle que g(t) > 0 pour tout t e T. Alors le couple (n, g) est ^-adapté, et si on pose v = jg(t)en(t) dfi(t), on a, pour toute fonction numérique f 5= 0 définie dans X, (7) j * /(x) dv(x) = f f(n(t))g(t) dn(t). Il est clair que n et g sont /i-mesurables ; en outre, pour toute fonction \p e JT(X), ij/ ° 7t est continue et à support compact, puisque 7t est propre; le couple (n, g) est donc /i-adapté, et en outre l'application t -> g(/)¾) est vaguement continue. Soit /î une fonction semi-continue inférieurement dans T, telle que f(n(t))g(t) ^ h(t) pour tout reT. Nous allons montrer que (8) \*f(x)dv(x)^j*h(t)dfi(t). Par définition de l'intégrale supérieure, il en résultera l'inégalité j*f(x)dvix)<j*f(n(t))g(t)d/x(t) ce qui, joint à l'inégalité (7) du § 3, n° 2, démontrera (7). Pour démontrer (8), définissons dans X une fonction / de la façon suivante: /(x) est la borne inférieure de h(t)/g(t) dans l'ensemble n (x) (borne inférieure égale à + oo si n (x) = 0). La fonction/possède les propriétés suivantes : 1° /(x) Js /(x) pour tout x e X (puisque g(t) > 0 pour tout teT). 2° f(n(t))g(t) < h(t) pour tout t e T. 3° La fonction/est semi-continue inférieurement, en vertu du lemme 1, la fonction h/g étant semi-continue inférieurement dans T. On a par suite, compte tenu de la prop. 2a) du § 3, n° 1 : Çf(x)dv(x) ^ \*f(x)dv(x) = f f(n(t))g(t)d[i(t) <{* /i(W) ce qui établit (8), et achève la démonstration.
n° 3 INTÉGRATION DE MESURES POSITIVES PONCTUELLES 39 3. Mesurabilité par rapport à une intégrale de mesures ponctuelles Proposition3. — Soit (n, g) un couple fx-adapté, et soit v = Jg(t)sn(t) dfi(t). Soient f une application de X dans un espace topologique G, S l'ensemble (fi-mesurable) des points feT tels que g(t) > 0. Pour que f soit v-mesurable, il faut et il suffit que la restriction de f on à S soit fi-mesurable. Supposons d'abord que / soit v-mesurable. Par hypothèse, l'ensemble R des parties compactes K de S telles que la restriction de n à K soit continue, est /i-dense dans S (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 15). Pour montrer que la restriction à S de/° n est /i-mesurable, il suffit donc de prouver que, pour tout K e ft, l'ensemble des parties compactes H de K, telles que la restriction de / o n à H soit continue, est /i-dense dans K (chap. IV, 2e éd., §5, n° 8, prop. 13). Mais par hypothèse, il existe une partition de l'ensemble compact 7t(K) formée d'un ensemble v-négligeable N et d'une suite d'ensembles compacts (C„) tels que la restriction de/à chacun des C„ soit continue. Dans ces conditions, K n n (N) et les ensembles Kn n (C„) forment une partition de K; mais K n n (N) est /i-négligeable en vertu du cor. du th. 1 du n° 2, les ensembles K n n (C„) sont compacts et la restriction de/°7T à chacun de ces derniers est continue, ce qui prouve que la restriction à S de / o n est /i-mesurable. Inversement, supposons qu'il en soit ainsi ; pour montrer que /est v-mesurable, il suffit de prouver que l'ensemble Q des parties compactes L de X, telles que la restriction de/à L soit continue, est v-dense (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 15). Soit N une partie de X telle que N n L soit v-négligeable pour tout Le fl, et montrons que N est localement v-négligeable. Pour cela, nous devons montrer que n (N) n S est localement /i-négligeable (cor. du th. 1 du n° 2). Or, l'ensemble § des parties compactes H de S, telles que les restrictions à H de n et de/° n soient continues, est par hypothèse /i-dense dans S (chap. IV, 2 éd., § 5, n° 10, prop. 15). Il nous suffit donc de prouver que n (N) n H est /i-négligeable pour tout He§. Or, 7t(H) est compact et peut être identifié à l'espace quotient de H par la relation d'équivalence n(t) = n(t'\ n étant identifiée à l'application canonique de H sur cet espace quotient (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 5, n° 2, prop. 3). Comme la restriction de/°7T à H est continue, la restriction de/à 7t(H) est donc continue, autrement dit n(H) e £, et par suite N n 7t(H)
40 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 4 est v-négligeable. En vertu du cor. du th. 1 du n° 2, n (N n n(H)) n S est localement /i-négligeable; il en est donc de même de l'ensemble H n ~n(N) c V(N n tt(H)) n S; mais comme H est compact, Hn ?t (N) est /i-négligeable, ce qui achève la démonstration. Remarque. — Si f est une application de X dans un espace de Banach F, il revient au même de dire que la restriction de f ° n à S est /^-mesurable, ou que la fonction (f°7t)g (définie dans T) est /^-mesurable, puisque g est /^-mesurable, ne s'annule pas dans S, et est nulle dans T - S (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 15). 4. Intégration des fonctions à valeurs dans un espace de Banach, par rapport à une intégrale de mesures ponctuelles Théorème 2. — Soit (n, g) un couple fi-adapté, et soit v = j g(0e^(£) dfi(t). Soit f une fonction définie dans X, à valeurs dans un espace de Banach F ou dans R. Pour que f soit essentiellement v-intégrable, il faut et il suffit que t*-^- f(n(t))g(t) soit essentiellement fx-intégrable, et on a alors (9) jf(x)dv(x)=jf(n(t))g(t)dfi(ty Supposons en outre que n soit continue et propre, et que g soit continue et telle que g(t) > 0 pour tout teT. Alors, pour que f soit v-intégrable, il faut et il suffit que 11—»■ f(n(t))g(t) soit fx-intégrable. A) Nous commencerons par traiter le cas où la mesure fi est portée par un compact K, sur lequel g est bornée. Les mesures /i et v sont alors bornées, et on peut remplacer dans l'énoncé « essentiellement integrable » par « integrable ». Supposons que f soit v-intégrable: la fonction i(n(t))g(t) est alors /i-intégrable, et la relation (9) est vérifiée, d'après le th. 1 du § 3, n° 3. Inversement, supposons que î(n(t))g(t) soit /i-intégrable : f est alors v-mesurable (n° 3, prop. 3 et Remarque), et on a f if(x)i dV(x) = f \mt)Mt) Mt) < + » (n° 2, th. 1): / est donc essentiellement v-intégrable (§1, n° 3, prop. 9), donc v-intégrable. Le th. 1 du § 3, n° 3 entraîne alors (9). B) Passons au cas général. Soit R l'ensemble des parties compactes K de T telles que g\ K soit continue : R est /i-dense (chap. IV, 2e
§5, n° l MESURES DÉFINIES PAR DES DENSITÉS NUMÉRIQUES 41 éd., § 5, n° 10, prop. 15), et la mesure fi est donc somme d'une famille (/OreA de mesures portées par des éléments de R (§ 2, n° 3, prop. 4). Le couple (g, h) est évidemment /^-adapté pour tout a e A, et la mesure v est somme de la famille des mesures va = J" sn(t)g(t) d/ia(t) (§ 3, n° 1, prop. 12). Le raisonnement de A) s'appliquant aux mesures fia,va, la première partie de l'énoncé résulte alors de la prop. 3 du §2,n°2. . Pour que la fonction f (resp. fi—»-f(7t(t))g(t)) soit intégrable pour v (resp. pour fi), il faut et il suffit qu'elle soit essentiellement intégrable, et qu'on ait f * r* J | f(x)| dv(x) < + co (resp.) \f(n(t))\g(t) d/i(t) < + oo). La seconde partie de l'énoncé résulte donc de la première partie, et de la proposition 2. Remarque. — Soient (n, g) un couple /i-adapté, n' une application de T dans X, g' une fonction numérique finie et ^ 0 définie dans T, telles que n' (resp. g') soit égale à n (resp. g) localement presque partout pour fi. Alors le couple (n', g') est /i-adapté, les mesures Xt = g{t)£n(t) et X't — g'(t)sn,(t) sont égales localement presque partout, et on a J g(t)em dfi(t) = J g'(f)V(o ^(0- Si maintenant n' et g' sont seulement définies localement presque partout (pour fi), et s'il existe un couple /i-adapté (n, g) tel que n' (resp. g') soit égale à n (resp. g) localement presque partout, on dit encore que le couple (n', g') est /i-adapté, et on pose alors JgVK-u) Mt) = jg(tK(t) âfiit) (cf. § 3, n° 3, Remarque). Les énoncés des th. 1 et 2 et de la prop. 3 restent valables lorsqu'on suppose seulement n et g définis localement presque partout. § 5. Mesures définies par des densités numériques 1. Fonctions localement intégrables Proposition 1. — Soit g une fonction définie localement presque partout dans T {pour la mesure positive fi), à valeurs dans un espace de Banach F (resp. dans R). Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) Pour tout point teT, il existe un voisinage Y de t tel que la fonction g<pv soit fi-intégrable.
42 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 5 b) La fonction g est ^-mesurable et, pour tout ensemble compact K c T, on a J* |g|<pK dfi < + oo. c) Pour toute fonction numérique h e JT(T), g/î es? fi-intégrable. Montrons que a) entraîne b); la fonction g est en effet mesurable en vertu du principe de localisation (chap. IV, § 5, n° 2, prop. 4). D'autre part, pour tout teK, il existe par hypothèse un voisinage V£ de t dans T tel que g<pVi soit intégrable; on peut donc recouvrir K par un nombre fini de voisinages V; (1 < i < n) tels que les fonctions g<pV( soient intégrables. Comme n |g|<?K < £ l8l<Pv,> ; = i on a J* |g|<pK dfi < + co. En second lieu, b) entraîne c), car g/î est alors mesurable, et si L est le support compact de h, on a \gh\ < \\h\\ . |g|<pL, donc J*|g/î| dfi < + co par hypothèse; g/i est par suite intégrable en vertu du critère d'intégrabilité (chap. IV, § 5, n° 6, th. 5). Enfin, c) entraîne a). En effet, pour tout t e T, soit V un voisinage compact de t. Il existe une application continue h de T dans (0,1 ), égale à 1 dans V et à support compact (chap. III, 2e éd., § 1, n° 2, lemme 1); par hypothèse g/î est intégrable, donc il en est de même de g<pv = (gh)<pY (chap. IV, § 5, n° 6, cor. 3 du th. 5). Définition 1. — On dit qu'une fonction g, définie localement presque partout dans T (pour la mesure positive /i), à valeurs dans un espace de Banach F (resp. dans R) est localement intégrable pour /i {ou localement fx-intégrable) si elle satisfait aux conditions a), b), c) de la prop. 1. Si 6 est une mesure complexe, on dit qu'une fonction g définie localement 6-presque partout est localement 9-intégrable si elle est localement intégrable pour la mesure positive \9\. Si g est localement 0-intégrable, toute fonction égale à g localement presque partout est localement intégrable. Il est clair que la somme de deux fonctions localement intégrables est localement intégrable. Les fonctions à valeurs dans F, partout définies et localement intégrables pour 6 forment un espace vectoriel noté J?toc(T, 6 ; F) ; lorsque F = R ou C, la mention de F est souvent omise s'il n'y a pas d'ambiguïté. Cet espace sera toujours muni (sauf mention expresse du contraire) de la topologie définie par les semi-normes g>—>• J" |g<pK| d\9\, où K parcourt
n° 2 MESURES DÉFINIES PAR DES DENSITÉS NUMÉRIQUES 43 l'ensemble des compacts de T. L'espace séparé associé, quotient de ^ioc(T, ô ; F) par le sous-espace y)/tt>(F) des applications nulles localement presque partout, est noté L^T, 6 ; F). Les espaces LioC(T, 6 ; F) et L/ocCT, 16\ ; F) sont identiques. On peut montrer que les espaces vectoriels topologiques qui viennent d'être définis sont complets (exerc. 31). Toute fonction mesurable g essentiellement bornée dans tout ensemble compact est localement integrable. Pour tout nombre p tel que 1 ^ p < + co, toute fonction g e i?£ est localement integrable ; en effet, pour toute fonction h e JT(T), h appartient' à S£q (où q est l'exposant conjugué de p), donc g/î est integrable (chap. IV, 2e éd., § 6, n° 4, cor. 4 du th. 2). Soient F, G, H trois espaces de Banach, et (u, v) >—>• ¢(11, v) une application bilinéaire continue de F x G dans H. Si f est localement integrable et prend ses valeurs dans F, et si g e £Cq , <D(f, g) est localement integrable (chap. IV, § 6, n° 4, cor. 1 du th. 2). 2. Mesures définies par des densités numériques Soit g une fonction numérique positive définie localement /i-presque partout dans T, localement /i-intégrable ; l'ensemble des t tels que g(t) = + co est alors localement /i-négligeable, car g<pK est /i-intégrable pour tout compact K (chap. IV, § 2, n° 3, prop. 7). Soit alors g' une fonction localement integrable positive et finie, égale à g localement /i-presque partout ; posons X't — g'{t)st. L'application r>—> X't de T dans Ji+(T) est vaguement /i-mesurable et scalairement essentiellement integrable (ou encore, le couple (I, g'), où I est l'application identique de T, est /i-adapté) ; l'intégrale v = j À't dfi(t) ne dépend pas de la fonction g', localement presque partout égale à g, utilisée dans la définition des mesures X[. Cette mesure v est définie par la condition (1) jf(t)dv(t) =jf(t)g(t)dn(t) pour/e jf(T). Si maintenant 0 est une mesure complexe, et si u est une fonction complexe (ou une fonction à valeurs dans R) définie localement 0-presque partout et localement integrable pour 6, on peut écrire M = gl - gl + %3 - g*) 0 = fii - n2 + Kt*3 - au)*
44 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 5 où nt * (my, n2 = (my, ^ = {jey, nA = {jey (chap. m, 2e éd., § 1), et où gl5 g2, g3, g4 ont des significations analogues; \y\ étant localement |0|-intégrable, chacune des fonctions positives g,- (i — 1, 2, 3, 4) est localement intégrable pour chaque mesure positive fij (j = 1, 2, 3, 4), de sorte que l'application f^jf(t)u(t)d9(t) sur JT(T) est une mesure complexe. Définition 2.— Soit 9 une mesure complexe, et soit u une fonction complexe {ou une fonction à valeurs dans R) définie localement 6-presque partout et localement 9-intégrable. On dit que la mesure complexe f'<—> J" fu dO sur T est le produit de la mesure 9 par la fonction u, ou la mesure de densité u par rapport à 9, et on la note u. 9. Toute mesure complexe, produit d'une mesure positive j.i par une fonction localement fi-intégrable, est appelée mesure de base /i. La relation n = u . 0 s'écrit encore par convention dn{t) = u(t) d9{t). Lorsque u est partout définie et continue, on retrouve la définition donnée au chap. III, 2e éd., § 1, n° 4. Il est clair que si u1 et u2 sont localement 0-intégrables, on a {ut + u2). 9 = ul. 0 + u2 . 0. De même, si 9l et 92 sont deux mesures sur T, et si u est une fonction localement intégrable pour 6l et 92, u est localement intégrable pour 9l + 92 et on a u . (9l + 92) — u.9t + u.92. Nous nous bornerons désormais au cas des fonctions partout définies; l'extension aux fonctions définies localement presque partout, toujours évidente, est laissée au lecteur. La proposition suivante permet de ramener en grande partie le cas des mesures complexes à celui des mesures positives: Proposition 2.— Soient 9 une mesure complexe, u une fonction complexe localement 9-intégrable; on a (3) \u.9\ = \u\.\9\ Nous commencerons par un résultat auxiliaire: Lemme 1. — Soit 9 une mesure complexe, et soit f un élément
n° 2 MESURES DÉFINIES PAR DES DENSITÉS NUMÉRIQUES 45 de =S?c(T, &). On a alors (4) <|0|, |/|> = sup |<0, cf)\ = sup |<0, cf)\ où ,iCx (resp. 331) désigne Vensemble des fonctions complexes c continues à support compact (resp. boréliennes) telles que \c\ < 1. Traitons d'abord le cas où fe JT(T ; C). On a évidemment sup|<0,c/>| < sup|<0,c/>| < <|0U/|>(chap.IV,§4,n°2,prop.2). D'autre part, soit g un élément de JT(T; C) tel que \g\ < \f\ ; g est limite uniforme d'une suite (g„) d'éléments de JT(T ; C), dont les supports sont contenus dans l'ouvert U formé des t tels que f(t) # 0, et l'on peut évidemment supposer que |g„| ^ \f\ pour tout n. Posons cn(t) = g„{t)/f{t) pour (eU, c„{t) = 0 pour t¢U; on a cnert\, g = lim c„/, donc |<0, g>| = lim |<0, c„/>|, et w -♦ oo n-* oo finalement sup |<0, g>| < sup |<0, cf>|. On conclut en |g[s:|/[,gejr(T;C) reT, remarquant que le premier membre de cette inégalité est égal à <|0|, |/|> (chap. III, 2e éd., § 1, n° 6, formule (12)). Désignons ensuite par / un élément de ^c(9), et montrons que (4) est encore vraie : il suffit de vérifier que les trois membres de cette relation dépendent continûment de / pour la topologie de ~S?c(0)> puisqu'ils coïncident sur le sous-espace dense JT(T;C). Cela résulte aussitôt des inégalités suivantes, où / et /' désignent des éléments de S'ciô): l<|0|, l/l> - <|0|, l/'l>l < <|0|, \f ~ /1> = Nt(/ - /') |<0, cf) - <0, c/'>| < <|0|, \c\ \f - f\) < N,(/ - /') pour tout ce Se^. Le lemme est donc établi. Passons à la démonstration de la proposition 2: appliquons le lemme à la fonction uh, où h appartient à JT+(T). Il vient : <\0\,\uh\y = sup|<0, cuh)\ = sup \{u . 9, ch}\ = <|m.0|,/i> Mais le premier membre est aussi égal à <|0|,Nh> = <|M|.|0|,h>. Les deux mesures \u\ . \6\ et \u . 6\ sont donc égales. Corollaire. — Soient gi et g2 deux fonctions numériques localement fi-intégrables; on a inf (gi .n,g2.pi) = inf (gls g2). fi ; sup(gt , /i, g2 . fi) = sup(gt, g2). fi.
46 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 5 En particulier, si g est une fonction numérique localement fx-intégrable, on a {g.fi)+ = g+ -fx; (g.nr = g~ .fi, Cela résulte aussitôt de la prop. 2 et des formules (6) du chap. II, § 1, n° 1. 3. Intégration par rapport à une mesure définie par une densité Dans les énoncés de ce numéro, g désigne une fonction numérique positive, partout définie et localement fx-intégrable, 9 désigne une mesure complexe, et u une fonction complexe localement O-intégrable. Les remarques du n° 2 montrent que les résultats du § 4 sont applicables à la mesure v = g . /x = j g(t)st dfi(t) (bien que la mesure g(t)st ne soit définie que si g(t) # + co). On obtient ainsi l'énoncé suivant : Proposition 3.-- Pour toute fonction numérique f 5= 0, définie dans T, on a (5) {'fdv=j'(fg)dfi Cela résulte du th. 1 du § 4, n° 2. Corollaire 1. — Pour qu'une fonction f, à valeurs dans un espace de Banach ou dans R, soit localement négligeable pour la mesure u. 9, il faut et il suffit que ui soit localement négligeable pour 9. Dire que f (resp. ui) est localement négligeable pour u. 9 (resp. pour 9) équivaut à dire que |f| (resp. \u\ . |f|) est localement négligeable pour \u.9\ (resp. pour |fl|). On est donc ramené, compte tenu de la prop. 2 du n° 2, au cas où/, u, 9 sont positives; l'énoncé résulte alors aussitôt de la prop. 3. Corollaire 2. — Soient ul et u2 deux fonctions complexes localement O-intégrable s. Pour que ui .0 = u2 ■ 0, il faut et il suffit que uL et u2 soient égales localement presque partout. On se ramène aussitôt à montrer que u. 9 = 0 entraîne u(t) = 0 localement presque partout ; mais u. 9 = 0 signifie que la
n° 3 MESURES DÉFINIES PAR DES DENSITÉS NUMÉRIQUES 47 fonction 1 est localement négligeable pour la mesure u. 6. On applique alors le corollaire 1. Corollaire 3. — Soit u une fonction complexe localement intégrable pour la mesure positive li. Pour que u. li soit une mesure positive, il faut et il suffit que u(t) 5= 0 localement presque partout. En effet, u. li est positive si et seulement si u . li = \u . li\ = \u\ . LI (prop. 2), et cela équivaut à u = \u\ localement presque partout (cor. 2). Proposition 4.— Pour qu'une application f de T dans un espace topologique G soit mesurable pour la mesure u .0, il faut et il suffit que la restriction de f à F ensemble 9-mesurable S des t tels que u(t) # 0 soit 9-mesurable. Lorsque u et 6 sont positives, cela résulte aussitôt de la prop. 3 du §4, n° 3. Le résultat s'étend alors au cas où u et 6 sont complexes grâce à la prop. 2. Corollaire.— Soit f une fonction définie dans T, à valeurs dans un espace de Banach F ou dans R. Pour que f soit (u. 0)- mesurable, il faut et il suffit que uf soit O-mesurable. En effet, uf est le prolongement par 0 de (wf)| S à T. Théorème 1.— Soit f une fonction définie dans T, à valeurs dans un espace de Banach F ou dans R. Pour que f soit essentiellement intégrable pour la mesure n = u . 6, il faut et il suffit que uf soit essentiellement 9-intégrable, et on a alors (6) jfdn = j(uf)d6. Supposons en outre que u soit continue et que u(t) # 0 pour tout t e T ; f est alors intégrable pour la mesure n si et seulement si uf est intégrable pour 6. Le cas où u et 6 sont positives résulte aussitôt du th. 2 du § 4, n° 4. La première et la dernière assertion de l'énoncé s'en déduisent aussitôt, car f est essentiellement intégrable (resp. intégrable) par rapport à n = u .6 si et seulement si elle est essentiellement intégrable (resp. intégrable) pour \n\ — \u\ . \9\. Enfin, supposons que f soit essentiellement intégrable pour n (donc pour \n\); utilisons la décomposition (2) : f est essentiellement
48 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 5 intégrable pour chacune des mesures ntj = gt.fij {i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3, 4), car celles-ci sont majorées par \n\. On a Jfdrltj = jgfdfij. La formule (6) s'en déduit immédiatement. Corollaire. — Pour que la mesure u . 6 soit bornée, il faut et il suffit que u soit essentiellement 6-intégrable. Exemple. — Soit A une partie de T; pour que <pA soit localement /i-intégrable, il faut et il suffit que A soit fi-mesurable. Supposant cette condition remplie, posons v = cpA . fi ; pour toute fonction numérique/ ^ 0 définie dans T, on a alors j fdv = j fipA dp, valeur que Ton note encore J" fdfi (cf. chap. IV, §5, n° 6). Pour qu'une application g de T dans un espace topologique G soit v-mesurable, il faut et il suffit que la restriction de g à A soit /i-mesurable. Pour qu'une application f de T dans un espace de Banach F ou dans R soit essentiellement v-intégrable, il faut et il suffit que f<pA soit essentiellement /i-intégrable, et on a J fdv = J f(pAdfx, expression qu'on note encore J fdfx. On notera que, si deux applications de T dans G (resp. F, R) coïncident dans A, pour que l'une d'elles soit v-mesurable (resp. essentiellement v-intégrable) il faut et il suffit que l'autre le soit. Si maintenant g est une application dans G d'une partie quelconque B d A de T, on dit que g est fx-mesurable dans A si un prolongement quelconque à T de la restriction de g à A est v-mesurable, ce qui revient à dire que la restriction de g à A est /i-mesurable. On dit qu'une application f de B dans un espace de Banach F, ou dans R, est essentiellement fi-intégrable dans A si un prolongement f à T de la restriction de f à A est essentiellement v-intégrable ; on pose alors J f dfi = J fdfi =J f<pAdfi, et on dit que J.f^/i est l'intégrale de f dans A* (ou étendue à A).
n° 4 MESURES DÉFINIES PAR DES DENSITÉS NUMÉRIQUES 49 Si/est une fonction numérique 5=0 définie dans B d A, on définit de même ^fdfi et $'Afd[i. Enfin, on dit qu'une fonction numérique g définie dans B => A est localement fi-intégrable dans A si un prolongement g à T de la restriction de g à A est localement v-intégrable : cela équivaut à dire que, pour toute partie compacte K de T, g<pKnA est /i-intégrable. 4. Comportement du produit par rapport aux opérations usuelles Proposition 5. — Soit (Xa)œA une famille de mesures positives sur T, filtrante pour la relation <, admettant dans Ji(T) une borne supérieure X. Pour qu'une fonction numérique positive g soit localement X-intégrable, il faut et il suffit que g soit localement Xa-intégrable pour tout a e A, et que la famille (g. XJ soit majorée dans Ji{J) ; on a alors g . X = sup g . Xa. aeA Il est clair que la condition est nécessaire. Inversement, supposons que g soit localement intégrable pour chaque mesure Xa, et que la famille (g. X JaeA soit majorée ; désignons par X' sa borne supérieure. La fonction g est alors X-mesurable (§1, n° 4, cor, 2 de la prop, 11); on a de plus, pour toute fonction he Jf+(T) J (hg) dX = sup J {hg)dXa = supj hd(g,Xa)=] hdX' aeA aeA (§ 1, n° 4, prop, 11). Cela entraîne d'abord que le premier membre est fini quel que soit h, de sorte que g est localement /l-intégrable ; on peut donc remplacer le symbole J* par J, et la formule s'écrit J h d(g . X) = J h dX'. Il en résulte que g . X — X\ et ceci achève la démonstration. Corollaire. — Supposons que /i soit la somme d'une famille OOaeA de mesures sur T. Pour qu'une fonction numérique positive g définie dans T soit localement fi-intégrable, il faut et il suffit que g soit localement fxx-intégrable pour tout aeA, et que la famille (g . /ia)aeA soit sommable. On a dans ce cas (7) g-fi = £g-Ai„. aeA
50 INTÉGRATION DES MESURES Chap. V, § 5 Soit (ga)aeA une famille de fonctions positives /i-mesurables définies dans T. Soit Aa l'ensemble des (eT tels que ga(t) # 0. Nous dirons que la famille (ga) est localement dénombrable si la famille (Aa) est localement dénombrable (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 9); cela revient à dire que, pour tout compact K de T, l'ensemble des ae A tels que gJK ne soit pas nulle est dénombrable. Proposition 6. — Soit (ga)aeA une famille localement dénombrable de fonctions numériques positives localement fi-intégrables définies dans T. Pour que la fonction g = £ ga soit localement aeA fx-intégrable, il faut et il suffit que la famille de mesures (ga. /i)œA soit sommable, et on a dans ce cas : (8) £ • A* = £ £„ • A*. aeA Il est clair que g est /i-mesurable (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 16). Pour que g soit localement /i-intégrable, il faut et il suffit par conséquent que n'(gf) soit fini pour tout fe JT+(T). Or l'ensemble des aeA tels que gaf # 0 étant dénombrable, on a ffigf) = £ v'igJ) (§ h n° 1, cor. de la prop, 2). Posons creA Va = ga-Hl la condition fi'igf) < + oo équivaut à la condition £ vÀf) < + oo : autrement dit, g est localement /i-intégrable si et aeA seulement si la famille (va) est sommable. Si l'on désigne alors par v la somme de cette famille, le calcul précédent donne l'égalité vif) = <"*(&A qui équivaut à (8). Corollaire.— Soit (g„) une suite de fonctions numériques localement fi-intégrables, et telle que la suite des mesures gn. /i soit croissante. Pour que cette suite soit majorée dans l'espace vectoriel ordonné Ji(Y) des mesures sur T, il faut et il suffit que la fonction g = supg„ soit localement fx-intégrable; la borne supérieure dans Ji(T) de la suite (g„. /i) est alors la mesure g. /i. Il suffit d'appliquer la prop. 6 aux fonctions (positives localement presque partout) g'n= g„+l - g„. Proposition 7. — Soit X un espace localement compact dénombrable à l'infini, et soit t<—>Xt une application ^-adéquate de T dans ^# + (X). Soit g une fonction numérique positive définie dans X, localement intégrable pour la mesure v = J" Xt dfx(t). L'ensemble
n° 4 MESURES DÉFINIES PAR DES DENSITÉS NUMÉRIQUES 51 des teT tels que g ne soit pas localement Xt-intégrable est alors localement négligeable pour fi, Vapplication t>—>g.lt (définie localement fi-presque partout) est fi-adéquate, et on a'. (9) g.v = \(g.Xt)dfx{t). Soit (K„)„eN une suite croissante de compacts de X dont les intérieurs recouvrent X; si n est une mesure positive quelconque sur X, dire que g est localement rç-intégrable équivaut à dire que gcpKn est rç-intégrable pour tout n. Or soit H„ l'ensemble des teT tels que g<pKn ne soit pas /lt-intégrable, et soit H = l^J H„ ; H„ étant localement /i-négligeable pour tout n (§ 3, n° 3, th. 1), il en est de même de H, ce qui établit la première assertion de l'énoncé. Quitte à remplacer Xt par 0 sur H (ce qui ne change pas la mesure v), on peut supposer que g est localement /l£-intégrable pour tout teT. On a pour toute fonction positive v-mesurable h définie dans X, d'après la prop. 3, et la prop. 5 du § 3, n° 2, \' hd(g.v) = J" (gh)dv = j' dn(t)j' igh)dXt = /' dfi(t)\' hd{g. Xt). Cette formule et la prop. 5

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 § 10
 § 3
 § 3
 § 5
 §5
 § 5
 § 5
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 § 4
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§5
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 §2
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 § 1
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 § 6
 § 6
 § 2
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 § 1
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 § 3