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Cours de mathematiques. Algebre II | Chambadal L., Ovaert J.-L. | download
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CHAMBADAL J.L.OVAERT COURS DE MATHÉMATIQUES algèbre II gauthîer- villars
Lucien CHAMBADAL Jean-Louis OVAERT Anciens élèves de l'École Normale Supérieure Agrégés de Mathématiques COURS DE MATHÉMATIQUES ALGÈBRE II GAUTHIER-VILLARS ÉDITEUR 55, quai des Grands-Augustins, Paris-6e 1972
DES MÊMES AUTEURS L. CHAMBADAL J. L. OVAERT • COURS DE MATHÉMATIQUES 1 Notions fondamentales d'algèbre et d'analyse Algèbre II. Analyse IL *\ Algèbre III. Analyse III. par Gauthier-Villars éditeur • Algèbre linéaire et algèbre tensorielle (Dunod éditeur). L. CHAMBADAL • Exercices et problèmes résolus d'algèbre • Exercices et problèmes résolus d'analyse (en préparation) Gauthier-Villars éditeur • Dictionnaire des mathématiques modernes (Larousse). • Les ensembles (Bordas). • Cours de mathématiques CB-BG (Dunod). • Calcul des probabilités Premier cycle (Dunod). • Mathématiques pour les enseignements supérieurs économiques et commerciaux (Dunod) : 1. Éléments d'algèbre. 2. Éléments d'analyse. 3. Éléments de calcul des probabilités. 4. Compléments et exercices. © GAUTHIER-VILLARS, 1972 La loi du 11 mars 1957 n'autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l'Article 41, d'une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l'Article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code Pénal.
AVERTISSEMENT L'évolution de l'enseignement des mathématiques nous a conduits à publier séparément l'algèbre et ses applications à la géométrie d'une part, l'analyse et ses applications à la géométrie d'autre part. Dans ce tome, une référence telle que prop. 1.2.12 renvoie à la proposition 12 du chapitre 2 des Notions fondamentales d'algèbre et d'analyse, tandis qu'une référence telle que Analyse IL, prop. 1.15 renvoie à la proposition 15 du chapitre 1 d'Analyse II. Nous tenons à remercier tous ceux qui ont contribué à la mise au point de ce tome, et en particulier Mme M.-T. Barthel, MM. J. Cazalet, J.-P. Lavi- gne, G. Mathieu, A. Renaud, B. Skalli, C. Trink et P. Wrobel. Les auteurs.
TABLE DES MATIÈRES Chapitre 1. — Polynômes à une indéterminée 1. Polynômes à une indéterminée 3 2. Fractions rationnelles à une indéterminée 7 3. Fonctions polynomiales et rationnelles 10 4. Division euclidienne. Idéaux de polynômes 20 5. Décomposition en facteurs irréductibles 23 6. Applications de la théorie de la divisibilité 30 1. Calcul du P. G. C. D. de deux polynômes 30 2. Forme réduite d'une fraction rationnelle 32 3. Parties principales des fractions rationnelles 34 7. Dérivation des polynômes et des fractions rationnelles 40 8. Étude locale des polynômes et des fractions rationnelles 48 1. Partie principale d'une fraction rationnelle en un point. ..... 48 2. Division suivant les puissances croissantes 51 3. Formule de Taylor 54 i 9. Corps algébriquement clos 57 1. Corps algébriquement clos 57 2. Théorème fondamental de l'algèbre 61 3. Polynômes et fractions rationnelles à coefficients réels ou complexes . . 63 10. Séries entières formelles 67 1. Séries entières formelles 67 2. Exponentielle formelle 82 3. Fonctions d'une variable entière . 92 Exercices 95 Chapitre 2. — Polynômes à plusieurs indéterminées 1. Polynômes à une indéterminée à coefficients dans un anneau 134 1. Polynômes. Fonctions polynomiales 134 2. Idéaux de polynômes 136 3. Décomposition en facteurs irréductibles 138 2. Polynômes et fractions rationnelles à plusieurs indéterminées 146 3. Fonctions polynomiales et rationnelles de plusieurs variables 156
VIII TABLE DES MATIÈRES 4. Dérivation des polynômes et des fractions rationnelles 165 5. Polynômes et fractions rationnelles symétriques 176 1. Groupe symétrique I76 2. Signature d'une permutation 184 3. Polynômes et fractions rationnelles symétriques 191 6. Séries entières formelles à plusieurs indéterminées 207 1. Séries entières formelles 207 2. Opérateurs de composition 222 Exercices 231 Chapitre 3. — Algèbre multilinéaire 1. Applications /^-linéaires 258 1. Applications /^-linéaires 258 2. Formes /^-linéaires 263 3. Développement des applications /^-linéaires 267 4. Développement des applications /^-linéaires alternées 269 2. Déterminants 274 1. Déterminant de n vecteurs 274 2. Déterminant d'un endomorphisme 277 3. Calculs de déterminants 282 1. Déterminants de matrices carrées remarquables 282 2. Développement d'un déterminant suivant une colonne, ou une ligne . . 284 3. Applications de la théorie des polynômes 287 4. Trace d'un endomorphisme 291 5. Notions sur le calcul tensoriel et sur le calcul extérieur 295 1. Algèbre des formes multilinéaires 295 2. Algèbre des formes multilinéaires alternées 297 6. Algèbre multilinéaire sur un module 299 Exercices 303 Chapitre 4. — Équations linéaires 1. Rang d'une matrice 326 1. Rang d'une matrice 326 2. Matrices principales 327 3. Matrices équivalentes 329 4. Opérations élémentaires 331 2. Équations linéaires 334 3. Exemples d'équations linéaires 340 4. Équations linéaires, en dimension finie 347 5. Résolution des systèmes linéaires . 352 1. Emploi des déterminants, dans le cas de Cramer 352 2. Emploi des déterminants, dans le cas général. ... - 353 3. Systèmes linéaires vectoriels 356 4. Méthode de substitution 358 5. Méthode d'addition 359 6. Recherche de l'inverse d'une matrice carrée 361 Exercices 363
TABLE DES MATIÈRES IX Chapitre 5. — Réduction des endomorphismes A. Cas général 389 1. Endomorphismes annulant un polynôme 389 1. Décomposition du noyau d'un polynôme d'un endomorphisme .... 389 2. Polynôme minimal d'un endomorphisme 393 2. Sous-espaces spectraux 396 3. Réduction des endomorphismes 401 1. Endomorphismes scindés 401 2. Endomorphismes diagonalisables 404 3. Structure des sous-espaces vectoriels stables 407 B. Cas de la dimension finie 409 4. Réduction des endomorphismes, en dimension finie 409 1. Conséquences de la théorie générale 409 2. Polynôme caractéristique d'un endomorphisme 418 3. Endomorphismes trigonalisables 421 4. Réduction d'une famille commutative d'endomorphismes 427 5. Décompositions additive et multiplicative d'un endomorphisme .... 430 5. Réduction des endomorphismes d'un espace vectoriel sur le corps des réels. . . 432 1. Extension complexe d'un espace vectoriel sur le corps des réels .... 432 2. Involution canonique d'une extension complexe 437 3. Réduction des endomorphismes d'un espace vectoriel sur le corps des réels. 440 6. Réduction des matrices 445 7. Réduite de Jordan 452 8. Applications de la théorie de la réduction 463 1. Équations aux différences finies linéaires à coefficients constants . . 463 2. Équations différentielles linéaires à coefficients constants 470 Exercices 477
NOTATIONS Chapitre 1 P(£), K[X] algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K. K(X) corps des fractions rationnelles à une indéterminée à coefficients dans K. d° (P) degré du polynôme P. d° (R) degré de la fraction rationnelle R. v0(P) valuation du polynôme P. va(P) valuation du polynôme P au point a. va(R) valuation de la fraction rationnelle R au point a. vP(A) valuation du polynôme A relative à P. vP(R) valuation de la fraction rationnelle R relative à P. P fonction polynominale associée au polynôme P. R fonction rationnelle associée à la fraction rationnelle R. Po Q polynôme composé des polynômes P et Q. R © S fraction rationnelle composée des fractions rationnelles R et S. Pr00(P) partie entière de la fraction rationnelle R. PrP(i?) partie principale de la fraction rationnelle R relative à P. Pra(i?) partie principale de R au point a. Resa(i£) résidu de R au point a. P. G. C. D. (8) plus grand commun diviseur de la famille 8. P. P. C. M. (8) plus petit commun multiple de la famille 8. D dérivation canonique de l'algèbre K[X], ou de l'algèbre K(X). O Ka[X] sous-espace vectoriel des fractions rationnelles élémentaires relatives à a de degré strictement négatif. KatP[X] sous-espace vectoriel des fractions rationnelles élémentaires relatives à a de degré strictement inférieur à p. Prxp(R) développement limité à l'ordre p de R au point a. P conjugué du polynôme P. R conjuguée de la fraction rationnelle R.
XII NOTATIONS S(K), K[[X]] algèbre des séries entières formelles à une indéterminée à coefficients dans K. K((X)) corps des séries entières formelles généralisées. Tp troncature à l'ordre /?. somme d'une famille sommable de séries entières &r formelles. 3P idéal des séries entières formelles de valuation strictement supérieure à p. SOI idéal des séries entières formelles non inversibles. Il ensemble des séries entières formelles de la forme 1 + N, où NeWi. exp (^4) exponentielle formelle de A. A(S) algèbre de convolution du monoïde S. f*g produit de convolution de/et de g. Chapitre 2 A[X] algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans A. (f abréviation pour °. | s | abréviation pour ^?s(i). iel s ! abréviation pour ]~Js(0 ! iel P7(^4), A[Xt]iel algèbre des polynômes à coefficients dans A construits sur /. A[XU X2y ..Xn] algèbre des polynômes à n indéterminées à coefficients dans A. K(Xi)ieI corps des fractions rationnelles à coefficients dans K construites sur /. K(Xl9 X2, ..Xn) corps des fractions rationnelles à n indéterminées à coefficients dans K. d/(P) degré partiel de P relativement à /. d°(P) degré de P relativement à Xt. V(P) ensemble des points en lesquels le polynôme P s'annule. (TP(P)) développement taylorien de P. dP différentielle du polynôme P. 7>P ^YD^P) fième dérivée partielle de P. 3) algèbre des opérateurs différentiels à coefficients constants. [xl9 x2, ..., xp] cycle de support { xl9 x2, ..., xp }. Oa ensemble des orbites associées à a.
NOTATIONS XIII Oa ensemble des orbites associées à a non réduites à un point. s(a) signature de la permutation o\ <5E groupe symétrique de E. UE groupe alterné de E. <5n groupe symétrique de degré n. VLn groupe alterné de degré n. Sp polynôme symétrique élémentaire de degré p. n(P) poids du polynôme P. Np polynôme de Newton de degré p. Fs polynôme symétrique fondamental associé à s. Sj(A)9 A[[Xi]]i€I algèbre des séries formelles à coefficients dans A construites sur /. ^[[A^, X2, ..Xn]] algèbre des séries formelles à n indéterminées à coefficients dans A. Ap[[Xl9 X2, ..., Xn]] module des séries entières formelles à n indéterminées à coefficients dans A. 3), #[[!>]] algèbre des opérateurs de composition. Ta opérateur de translation défini par a. Bn wième polynôme de Bernoulli. /?„ wième nombre de Bernoulli. Chapitre 3 Jl>p(E, F) espace vectoriel des applications /7-linéaires de E dans F. $P(E, F) espace vectoriel des applications /7-linéaires symétriques de E dans F. &P(E, F) espace vectoriel des applications /7-linéaires alternées de E dans F. Up extension pième de l'application linéaire U. M opérateur de symétrisation. A opérateur d'antisymétrisation. *M>P(E) espace vectoriel des formes /7-linéaires sur E. $P(E) espace vectoriel des formes /?-linéaires symétriques sur E. Ap(E) espace vectoriel des formes /7-linéaires alternées sur E. y* ®y2 ® • • • ®y* produit tensoriel des formes linéaires jy*,J>f, • • y* • y* ••• yt produit symétrique des formes linéaires jv*,^*» y* A y* A ... A y* produit extérieur des formes linéaires y*,y2, ..y*. & ensemble des applications de [1, p] dans [1, n], (^)xe5r base de Jk>p(E) associée à une base de E. if ensemble des applications .s de [1, n] dans N telles n que £ *(./) = .p.
XIV NOTATIONS (es)se$ base de $P(E) associée à une base de E. $ eusemble des parties de [1, n] à p éléments. (ep)pe$ base de &P(E) associée à une base de E. DetB(xl9 x2, ..., xn) déterminant dans la base B des vecteurs xl9 x29 ..., xn. Det U déterminant de l'endomorphisme U. SL(E) groupe spécial linéaire de E. Det M déterminant de la matrice carrée M. SL(n9K) groupe spécial linéaire de type n. M matrice complémentaire de M. Ua*,b application linéaire élémentaire associée à (a*9 b). Tr U trace de l'endomorphisme U. Tr M trace de la matrice carrée M. f ® g produit tensoriel de / et de g. f.g produit symétrique de / et de g. f A g produit extérieur de / et de g. JL(E) algèbre des formes multilinéaires sur E. $(E) algèbre des formes multilinéaires symétriques sur E. A(E) algèbre des formes multilinéaires alternées sur E. Chapitre 4 rang (M) rang de la matrice M. Aj affinité d'axe Kej de rapport X relative à l'hyperplan <*;,*> = o. Ujk transvection d'axe Kek de rapport X relative à l'hyperplan (e*9 x} = 0. Pb polynôme d'interpolation de Lagrange associé à b. Hn nièmc polynôme de Hilbert. (S') système linéaire. (S) système homogène associé à (S'). M = (ay) matrice associée à (S'). a, 7ième vecteur colonne de M. at /ième vecteur ligne de M. b second membre de (S'). Chapitre 5 nU9 n polynôme minimal de U. EXtr{U)9EXtT noyau de (U - XIE)r. EÀU)9 Ex ' noyau de U - XIE. FX(U)9 Fx réunion des noyaux itérés de U - XIE. sp {U) spectre de U. n{X) indice de la valeur propre X. PX(U\PX projecteur spectral de U.
NOTATIONS XV polynôme caractéristique de la matrice M. àu polynôme caractéristique de l'endomorphisme U. m(X) multiplicité de la valeur propre A. coefficient du polynôme caractéristique de M. coefficient du polynôme caractéristique de U. Fc extension complexe de l'espace vectoriel F. Uc extension complexe de l'application linéaire U. z conjugué du vecteur z. V application linéaire conjuguée de l'application linéaire V. M matrice conjuguée de la matrice M. annulateur du vecteur x. Ex sous-espace vectoriel de E stable par U engendré par x. matrice de Jordan de type (A, n). exp (XU) exponentielle formelle de XU.
CHAPITRE 1 POLYNÔMES À UNE INDÉTERMINÉE introduction dans les neuf premiers paragraphes de ce chapitre, nous exposons la théorie des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif. historiquement, on a d'abord appelé polynômes les fonctions d'une variable réelle de la forme x i-> a0 + (xxx + ol2x2 + ... + (xnxn. on s'est ensuite aperçu que bien des propriétés des polynômes sont formelles, c'est-à-dire sont des propriétés des coefficients, et cette remarque a conduit à définir les polynômes comme suites de coefficients; c'est le point de vue maintenant universellement adopté. les trois premiers paragraphes sont consacrés à la définition et aux propriétés élémentaires des polynômes et des fractions rationnelles à une indéterminée, et des fonctions polynomiales et rationnelles. les résultats obtenus s'étendront aux polynômes et aux fractions rationnelles à plusieurs indéterminées à coefficients dans un anneau unitaire. le plan suivi dans les §§ 4 à 6 est calqué sur celui de l'étude de la divisibilité dans l'anneau Z (cf. § 1.2.3). dans le § 4, nous exposons la théorie des idéaux de l'anneau des polynômes. les résultats sont spéciaux au cas des polynômes à une seule indéterminée. C'est pourquoi nous consacrons le § 5 à la décomposition en facteurs irréductibles, qui se généralise au cas des polynômes et des fractions rationnelles à plusieurs indéterminées à coefficients dans un corps. dans le § 7, nous appliquons les résultats précédents à la décomposition des fractions rationnelles en parties principales. dans cette étude, comme dans celle de la décomposition en facteurs irréductibles, nous avons d'abord voulu introduire la notion de partie principale, ou de valuation, d'une fraction rationnelle relativement à un polynôme irréductible donné, et montrer ensuite comment on peut reconstituer une fraction rationnelle à partir de ses parties principales, ou de ses valuations, relativement aux différents polynômes irréductibles. chambadal et ovaert. — Cours de mathématiques. Algèbre IL 1
2 POLYNÔMES A UNE INDÉTERMINÉE [CHAP. 1] Dans le § 7, nous exposons une théorie purement algébrique de la dérivation des polynômes et des fractions rationnelles. Pour mettre en évidence le lien entre cette théorie et les autres notions de dérivation (dérivation des séries entières formelles, dérivation des fonctions d'une variable réelle ou complexe), nous introduisons la notion de dérivation d'une algèbre. C'est dans le même esprit qu'est construit le § 8, consacré à l'étude locale des polynômes et des fractions rationnelles, et en particulier au développement limité des fractions rationnelles et à la formule de Taylor. Dans le § 9, nous étudions les polynômes et fractions rationnelles à coefficients dans un corps algébriquement clos, et nous démontrons le théorème fondamental de l'algèbre (théorème de D'Alembert-Gauss). La théorie des classes résiduelles dans les anneaux de polynômes, liée de manière très étroite à la théorie des extensions de corps, sera exposée au chapitre IIL3. Enfin, dans le dernier paragraphe, nous exposons la théorie des séries entières formelles à une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif. L'utilité de cette notion apparaît dans de très nombreux domaines de l'analyse : séries entières à une variable, fonctions transcendantes élémentaires, équations différentielles; elle apparaît aussi à travers les notions de fonctions d'une variable entière et de série génératrice, dans l'étude de problèmes combina- toires : équations aux différences finies, arithmétique additive. La théorie des séries de Dirichlet formelles, commode pour l'arithmétique multiplicative, est rejetée en exercice.
Dans tout ce chapitre, K désigne un corps commutatif. § 1. polynômes a une indéterminée définition 1.1. — algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps. — Soient K un corps commutatif, a^(n) Vespace vectoriel des suites d'éléments de K à support fini, c'est-à-dire dont les termes sont nuls à partir d'un certain rang (cf. § 1.3.4), et (e„)nen fa base canonique de ^t(n). On considère la structure de K-algèbre définie sur #(N) par la table de multiplication (1) ei.eJ=ei+j, pour tout couple (i,j) d'entiers naturels. Il résulte immédiatement de la formule (1) et de la proposition 1.3.38 que cette algèbre est associative et commutative, et qu'elle admet e0 pour élément unité. Cette algèbre unitaire se note Y(K). Ainsi, tout élément P de cette algèbre s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme p= 2 «a» nen où, pour tout entier naturel n, ocn est un scalaire; ce qu'on écrit encore + 00 n = 0 Les scalaires ccn s'appellent coefficients de P. Les éléments de J*(K) s'appellent polynômes à coefficients dans K, et l'algèbre unitaire T?(K) s'appelle algèbre des polynômes à coefficients dans K. un polynôme dont tous les coefficients sauf au plus un sont nuls est appelé monôme. l'application qui à tout scalaire a associe le monôme <xe0 est un isomor- phisme du corps k sur la sous-algèbre unitaire Ke0 de p(at). On identifiera désormais K et Ke0. En particulier, e0 sera noté 1, où 1 désigne l'élément unité du corps K. le monôme et s'appelle indéterminée, et se note souvent X. pour tout entier naturel n, (2) e„ = X".
4 polynômes a une indéterminée [chap. 1] l'algèbre unitaire *P(K) se note alors K[X]. c'est pourquoi l'algèbre unitaire p(at) s'appelle encore algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K. avec ces notations, les monômes 1, X, X2, ..., Xn, ... constituent la base + 00 canonique de l'espace vectoriel K[X]. le produit du polynôme P = 2 <*PXP p=0 + 00 +oo et du polynôme 6=2 nest autre clue *e polynôme 2 y»^9 pour 9=0 n=0 tout entier naturel n9 vn = 2 m« = aoPn + «la,-! + - • • + 0g8n_p + . . . + *nPo> p + q = n Proposition 1.1. — propriétés de l'algèbre des polynômes. — Soit K[X] Valgèbre des polynômes à coefficients dans un corps K. 1. La sous-algèbre unitaire de K[X] engendrée par X n'est autre que K[X], 2. L'algèbre K[X] possède la propriété universelle suivante: Pour toute K-algèbre associative unitaire E et pour tout élément a de E9 il existe un morphisme f et un seul de l'algèbre unitaire K[X] dans l'algèbre unitaire E tel que (3) f{X) - a. + 00 Alors, pour tout polynôme P = 2 an^n> n = 0 (4) /(/>) = +f a„a". n = 0 L'assertion 1 est immédiate. Assertion 2. — unicité dey. — puisque / est un morphisme d'algèbres unitaires, /(p) est nécessairement donné par la formule (4). l'unicité de / en découle. existence de/. — l'application / définie par la formule (4) est visiblement linéaire. pour montrer que / est un morphisme d'algèbres, il suffit donc de prouver que, pour tout couple (p9 q) d'entiers naturels, f(x>x«)=f(x*yf(x*)9 ce qui est immédiat. Remarque. — nous étudierons plus en détail le morphisme / au chapitre iii.3.
§ 1. polynômes a une indéterminée 5 pour définir le degré et la valuation d'un polynôme, il est commode d'introduire auparavant la notion suivante : étant donné l'ensemble totalement ordonné n, nous noterons n l'ensemble totalement ordonné défini au § 1.1.5, en adjoignant à n deux éléments, notés + oo et — oo. nous conviendrons de plus que pour tout entier naturel n, « + (+oo)= + oo+/î= + oo + oo)= — oo+/î= — 00, et que -f- 00 + 00 = + 00 — 00 — 00 = — 00. nous pouvons alors poser la + 00 Définition 1.2. — Degré d'un polynôme. — SoitP = ^anXn un élément n = 0 de K[X]. — sï P est non nul, on appelle degré de P le plus grand des entiers n tels que a„ soit non nul. — Si P est nul, on appelle degré de P Vêlement — oo. Le degré d'un polynôme P se note d° (P); c'est un élément de n, différent de + oo. Proposition 1.2. — Degré d'une somme, degré d'un produit. — Soient P et Q deux éléments de K[X], et a un élément de K*. Alors : d° (p + Q) < sup [d« (P), d° (0], avec égalité si d° (P) ^ d° (g); d°(ap) = d°(p) â?(PQ) = d°(p) + d°(0. la vérification est immédiate. évidemment, les conventions concernant le degré du polynôme nul ont été précisément choisies pour que les formules précédentes soient vraies sans aucune restriction sur P et Q. Remarque. — si d° (P) = d° (Q), il se peut que d° (P + Q) soit strictement inférieur à sup [d°(p), d° (Q)]. c'est le cas lorsque P = X2, et Q = X - X2, par exemple. + oo Définition 1.3. — Valuation d'un polynôme. — Soit P = ^ an^w m élément de K[X]. — Si P est non nul, on appelle valuation de P le plus petit des entiers n tels que an soit non nul. — Si P est nul, on appelle valuation de P l'élément + <x>.
6 polynômes a une indéterminée [chap. 1] La valuation d'un polynôme P se note v0(P); c'est un élément de n, différent de — co. Proposition 1.3. — valuation d'une somme, valuation d'un produit. — Soient P et Q deux éléments de K[X], et a un élément de K*. Alors : v0(P+ Q)>inf[v0(P),v0(Q)], avec égalité si v0(P) # v0(Q); v0(*P) = v0(P) v0(PQ) = v0(P) + v0(Q). voici une application simple de ces notions : Pour tout entier naturel n, l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n est un sous-espace vectoriel de K[X]; de même pour l'ensemble des polynômes de valuation supérieure ou égale à n. remarque. — Il n'en est pas de même pour l'ensemble des polynômes de degré égal à n, ou de valuation égale à n : en effet, Xn et — Xn sont de degré n, et de valuation nt tandis que Xn — Xn = 0. Proposition 1.4. — familles libres de polynômes. — Soit (Pi)ieï une famille d'éléments non nuls de K[X], Si l'application f (resp. g) de I dans n qui à tout élément i de I associe d° (pf) fresp. v0(Pt)) est injective, alors la famille (Pi)ieI est une famille libre de K[X], supposons en effet par l'absurde qu'il existe une relation linéaire non triviale 2at^» = 0 entre *es éléments de la famille (P^iei- l'ensemble / des iel éléments i de / tels que af soit non nul est fini non vide. considérons le cas où / est injective. il existe alors un élément i0 et un seul de / tel que pour tout élément i de / différent de /0, d° (Pt) < d° (Pio); il en résulte que d° / 2a^A = ^° ^*'o)> ce ^ contredit la relation ^jXiPt = 0. \iej / iej le cas où g est injective se traite de même. Corollaire 1. — Soit n un entier naturel Toute suite (P0, Pu ..., Pn) de n + 1 éléments de K[X] tels que pour tout i e [0, n], d° (Pt) = /, est une base de l'espace vectoriel des éléments de K[X] de degré inférieur ou égal à n. en effet, la famille (1, X, ..., Xn) est une base de cet espace vectoriel, qui est donc de dimension n + 1. d'après la proposition précédente, la famille (p0, Pl9 ..., Pn) est libre. comme elle possède n + 1 éléments, c'est une base de l'espace vectoriel considéré (cf. cor. 4 du th. 1.3.4). Corollaire 2. — Soit (Pi)ieI une famille d'éléments non nuls de K[X]. Si l'application 11-> d°(pf) de I dans n est surjective fresp. bijective), la famille (Pùiei est génératrice fresp. est une base).
fractions rationnelles a une indéterminée 7 il suffit de prouver que si cette application est surjective, tout monôme Xn appartient au sous-espace engendré par les polynômes Pt. considérons pour cela le sous-espace de K[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n; il résulte aussitôt du corollaire 1 que les polynômes pf dont le degré est inférieur ou égal à n forment une famille génératrice de cet espace vectoriel, d'où le résultat. exemples. 1. Soit (aw) une suite d'éléments de K. Posons Pn = (X — an)w ; alors les polynômes P0 = 1, Pv P2 Pn, ... forment une base de K[X). n 2. Soit une suite d'éléments de K. Posons Qn = j~j(^_ $p) \ alors les polynômes p=i q0 = 1, Qv Qv ..., Qn, ... forment une base de K[X]. remarque. — Le corollaire 2 n'est pas vrai dans le cas des valuations; cf. exercice 1. exercices conseillés : 2 à 8. § 2. fractions rationnelles a une indéterminée Proposition 1.5. — intégrité de l'anneau des polynômes. 1. Vanneau K[X] des polynômes à une indéterminée X à coefficients dans K est intègre. 2. Dans cet anneau, les seuls éléments inversibles sont les polynômes de degré 0. Assertion 1. — nous savons déjà que K[X] est un anneau commutatif unitaire. il reste à montrer que si P et Q sont deux polynômes non nuls, le polynôme PQ est non nul. cela résulte aussitôt de ce que d° (p) 3> 0 et d° (Q) > 0; d'où d° (PQ) = d° (p) + d° (Q) > 0. Assertion 2. — il est évident que les polynômes de degré 0, c'est-à-dire les scalaires non nuls, sont inversibles, puisque K est un corps. réciproquement, soit p un polynôme inversible; il existe un polynôme Q tel que PQ = 1. donc d° (p) + d° (0 = 0, ce qui impose d° (p) = d° (Q) = 0. il en résulte que tout polynôme non nul est un élément régulier de l'anneau K[X], et que l'ensemble K[X]*, constitué des polynômes non nuls, est stable pour la multiplication. rappelons que, conformément aux définitions du § 1.2.2, un polynôme A divise un polynôme B s'il existe un polynôme Q tel que B = A Q, ce qu'on note A | B. nous savons qu'on introduit ainsi une relation binaire dans K[X], réflexive et transitive, et que si un polynôme A divise les polynômes n Bu B2, ...,p„, alors A divise le polynôme ^?PiBi9 quels que soient les polynômes Pl9 P2, ...,p„.
8 polynômes a une indéterminée [chap. 1] considérons enfin deux polynômes non nuls A et B, et cherchons une condition nécessaire et suffisante pour que A divise B et B divise A. nous savons (cf. prop. 1.2.23) que cette relation équivaut à l'existence d'un élément inversible Q de K[X] tel que A = QB, c'est-à-dire, d'après la proposition 1.5, à l'existence d'un scalaire non nul c tel que A = cB. pour éviter ces facteurs scalaires, on introduit la notion de polynôme unitaire : Définition 1.4. — polynômes unitaires. — On appelle coefficient dominant d'un élément non nul P de K[X] le coefficient de son monôme de plus haut degré. On dit qu'un polynôme P est unitaire siP est non nul, et si son coefficient dominant est égal à 1. Proposition 1.6. — propriétés des polynômes unitaires. 1. Tout polynôme P non nul s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme P = olPx, où oc est un scalaire non nul, et où Px est un polynôme unitaire; le polynôme Px s'appelle polynôme unitaire associé à P. 2. Soient P et Q deux polynômes non nuls, ayant Pt et Qx pour polynômes unitaires associés ; alors la relation P \ Q est équivalente à la relation Pt \ Qv 3. Dans l'ensemble des polynômes unitaires, la relation de divisibilité est une relation d'ordre. 4. Soient P et Q deux polynômes non nuls; alors le coefficient dominant de PQ est égal au produit des coefficients dominants de P et de Q, et le polynôme unitaire associé à PQ est le produit des polynômes unitaires associés à P et à Q. En particulier, l'ensemble des polynômes unitaires est stable pour la multiplication. nous avons vu (cf. prop. 1.5) que l'anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps K est un anneau intègre, et n'est pas un corps. nous allons donc appliquer le théorème d'existence du corps des quotients (cf. th. 1.2.7), qui nous a déjà permis de construire le corps Q des nombres rationnels à partir de l'anneau Z des entiers rationnels. nous obtenons ainsi le Théorème 1.1. — corps des fractions rationnelles. — Soit K[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans K. Il existe un corps commutatif, appelé corps des fractions rationnelles à coefficients dans Ket notéK(X), possédant les propriétés suivantes : a) L'anneau K[X] est un sous-anneau unitaire du corps K(X). b) Le corps K(X) est engendré par l'anneau K[X], c'est-à-dire que tout élément R de K(X) peut s'écrire sous la forme R = PQ'1, où P et Q sont des polynômes, Q étant non nul. Deux tels corps sont isomorphes. comme pour les nombres rationnels, nous noterons aussi les fractions ration- p nelles par le symbole R = — , ce qui ne présente pas d'inconvénient, puisque la multiplication est commutative.
fractions rationnelles a une indéterminée 9 voici maintenant quelques définitions et propriétés des polynômes qui s'étendent aisément aux fractions rationnelles : U application de K x K(X) dans K(X) qui associe au couple (a, R) la fraction rationnelle otR (a étant considéré comme un polynôme) permet de munir K(X) d'une structure d'algèbre sur le corps K. en particulier, les fractions rationnelles forment un espace vectoriel sur K, et nous pourrons donc parler de fractions rationnelles linéairement indépendantes, de bases dans l'espace des fractions rationnelles, etc. pour définir le degré et la valuation d'une fraction rationnelle, on introduit l'ensemble totalement ordonné Z défini au § 1.1.5, obtenu en adjoignant à Z les éléments + oo et — oo. nous conviendrons de plus que pour tout entier rationnel, n, « + (+oo)= + oo+fl= + oo n -{- (— oo)= — co + n = — co, et que + oo + oo = + oo — oo — oo = — oo. nous pouvons alors énoncer la Proposition 1.7. — degré d'une fraction rationnelle. l // existe une application et une seule, appelée degré, notée d°, de K(X) dans Z u { - oo }, prolongeant l'application P i-> d° (p) de K[X] dans n u { - oo }, et possédant la propriété suivante : Pour tout couple (R, R') d'éléments de K(X), (1) d° (RR) = d° (R) + d° (R'). p 2, Si une fraction rationnelle R est écrite sous la forme R = -q, où P e K [X] et oùQeK[X]*, (2) d°(p) = d°(p) - d°(fi). 3. Enfin, si R et R' sont deux éléments de K(X), d° (R + R') < sup [d° (R), d° (R')], avec égalité si d° (R) # d° (R'). supposons d'abord qu'une telle application existe, et considérons une p fraction rationnelle R = -, où p e K[X], et g g K[X]* : il résulte aussitôt de la formule (1) que le degré de R est nécessairement donné par la formule (2), ce qui prouve l'unicité de l'application degré. pour voir son existence, nous définissons le degré d'une fraction rationnelle R par la formule (2), ce qui est licite, car le nombre d° (p) — d° (Q) ne
10 polynômes a une indéterminée [chap. 1] P' dépend que de R: écrivons R sous la forme R = ^7, oùp' eK[X], et fi' eK[X]*; la relation PQ' = p'fi implique la suivante : do (p) - do (fi) = do (P') - do (fi'). les propriétés du degré d'une fraction rationnelle s'établissent alors aisément. Remarque. — nous définirons la valuation d'une fraction rationnelle au § 3. § 3. fonctions polynomiales et rationnelles jusqu'à présent, nous avons développé la théorie des polynômes considérés comme suites de coefficients; nous faisons maintenant le lien avec le point de vue classique des fonctions polynomiales. Définition 1.5. — substitutions dans un polynôme. — Soient K[X] Valgèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K9 E une K-algèbre associative unitaire, et a un élément de E. On sait (cf. prop. 1) qu'il existe un morphisme ôa et un seul de l'algèbre unitaire K[X] dans l'algèbre unitaire E tel que ôa(X) = a. Soit P un élément de K[X], écrit sous la forme + » n = 0 alors ô„{p) = %y. n = 0 C'est pourquoi on dit que l'élément ôa(P) est obtenu en substituant l'élément a de E à l'indéterminée X dans le polynôme P. Définition 1.6. — fonctions polynomiales. — Soit E une K-algèbre asso- + 00 ciative unitaire. Étant donné un élément P = ^ a«^w ^e K[X]9 on note P Vappli- n = 0 + 00 cation de E dans E qui à tout élément a de E associe l'élément ôa(P) = ^ ot^. n = 0 Soit maintenant B une partie de E. On dit qu'une application f de B dans E est une fonction polynomiale s'il existe un élément P de K[X] tel que, pour tout élément a de B,f(a) = P(d). Étant donné un élément P de K[X], la fonction P s'appelle fonction polynomiale sur E associée à P; pour tout élément a de E, l'élément P(a), valeur au point a de la fonction polynomiale P, s'appelle encore valeur de P en a.
fonctions polynomiales et rationnelles 11 Remarque. — si E = K, et si le polynôme p est de la forme p = a, où a g#, la fonction polynomiale p associée à p est la fonction constante a; c'est pourquoi les polynômes de cette forme sont appelés polynômes constants. Proposition 1.8. — propriétés des substitutions dans les polynômes. — Soit E une K-algèbre associative unitaire. Alors Vapplication de K[X] dans Valgèbre ^(E) des applications de E dans E qui à tout polynôme P associe la fonction polynomiale P est un morphisme d'algèbres unitaires. Exemples. 1. on prend pour E le corps K lui-même. lorsque K = r, la notion de fonction polynomiale sur r définie dans ce paragraphe coïncide avec celle qui a été introduite au § 1.4.9. 2. plus généralement, on peut prendre pour E un corps K' contenant K comme sous-corps. le cas où K' = c et K = r est fréquent dans les applications. 3. on prend pour E l'algèbre £(P) des endomorphismes d'un espace vectoriel F sur K9 ou encore l'algèbre Mn(K) des matrices carrées d'ordre n à éléments dans K. 4. composé de deux polynômes. — on prend pour E l'algèbre K[X] elle- même. étant donné un élément Q de K[X]9 il existe un endomorphisme et un seul de l'algèbre unitaire K[X] transformant X en Q; cet endomorphisme + oo s'obtient en associant à tout élément p = anXn de K[X] le polynôme n = 0 + oo P(Q) = 2 a«ôn- ce dernier polynôme est donc obtenu en substituant Q n = 0 à X dans p; il est encore appelé composé du polynôme Q et du polynôme p, et notépo Q. ainsi, l'application ph>pog est un endomorphisme de l'algèbre unitaire K[X]. la notation p o Q est suggérée par la Proposition 1.9. — propriétés de la composition des polynômes. — Pour toute K-algèbre associative unitaire E9 la fonction polynomiale sur E associée au composé po Q de deux polynômes P et Q n'est autre que l'application composée Po Q. Autrement dit9 pour tout élément a de E9 (1) (P^M = P[Q(a)]. en effet, d'une part l'application p h> P[Q(a)] est un morphisme d'algèbres unitaires. d'autre part, l'application ph»p° Q est un morphisme d'algèbres unitaires; il en est donc de même de l'application Ph- (po Q)(a). par suite, il suffit de prouver la relation (1) lorsque p = X, ce qui est trivial.
12 POLYNÔMES A UNE INDÉTERMINÉE [CHAP. 1] Corollaire. — Associativité de la composition des polynômes. — Pour tout triplet (P, Q, R) d'éléments de K[X], (PoQ)oR = Po(QoR). Il suffit d'appliquer la proposition au cas où E = K[X] et où a = R. remarque 1. — Soient P, Q et g' trois éléments de K[X]; on se gardera de croire que P o (g + go = P © g + P o g'. (On examinera par exemple le cas où le polynôme P est constant.) remarque 2. — Pour obtenir le polynôme composé P o g, on peut utiliser le procédé mnémotechnique suivant : on écrit le polynôme P en notant y l'indéterminée, c'est-à-dire en +00 posant Y = ex\ ainsi P s'écrit sous la forme P = ^?<*n Yn- On remplace ensuite F par Q dans n=o cette expression. C'est pourquoi faire la substitution de Q k X dans P s'appelle encore faire le changement de variable Y = Q(X). Le polynôme P o Q se note encore P(Q). En particulier, lorsque Q = X, + oo P(Q) = = P; ainsi' PW = p- n = 0 v exemple. — polynômes pairs, polynômes impairs. — Soit P un polynôme. On note P le v v polynôme composé P(— X). On dit que P est /rair si P = P, impair si P = — P. Si K est de caractéristique différente de 2, les polynômes pairs et les polynômes impairs constituent deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans K[X]. Pour que P soit pair (resp. impair), il faut et il suffit que tous ses coefficients d'indice impair (resp. pair) soient nuls. Dans la suite de ce paragraphe, nous prendrons pour l'algèbre E le corps K lui-même. Définition 1.7. — Racines d'un polynôme. — On dit qu'un scalaire a est une racine d'un élément P de K[X] si la valeur de P au point a est égale à 0, c'est-à-dire si P(a) = 0. Proposition 1.10. — Caractérisation des racines d'un polynôme. — Pour qu'un scalaire a soit racine d'un élément P de K[X], il faut et il suffit que P soit divisible par X — a. Cette condition est évidemment suffisante. Pour montrer qu'elle est nécessaire, nous allons prouver que pour tout polynôme P, X — a divise P — P(a). Par linéarité, nous nous ramenons aussitôt à prouver que X — a divise Xn — aw pour tout entier n strictement positif, ce qui est une conséquence de la proposition 1.2.34. Soient maintenant P un polynôme non nul, et a un scalaire. L'ensemble des entiers naturels m tels que (X — a)m divise P contient 0, et est majoré par le degré de P. (On rappelle que, par convention, (X — a)0 = 1.) Cet ensemble possède donc un plus grand élément.
fonctions polynomiales et rationnelles 13 Définition 1.8. — Valuation d'un polynôme en un point. — Soient P un élément de K[X], et oc un scalaire. — Si P est non nul, on appelle valuation de P au point a le plus grand des entiers m tels que (X — oc)m divise P. — Si P est nul, on appelle valuation de P au point oc Vêlement + oo. La valuation d'un polynôme P au point oc se note va(P). Cette notation est licite, car lorsque oc = 0, la notion de valuation au point oc coïncide avec la notion de valuation donnée dans la définition 1.3. Proposition 1.11. — Propriétés de la valuation en un point. 1. Soit P un polynôme non nul; pour que va(P) soit égal à un entier naturel m, il faut et il suffit qu'il existe un polynôme Q tel que P = (X-oc)mQ et Q(oc)*0. 2. Soient P et Q deux éléments de K[X], et /? un élément de K*. Alors, pour tout point oc de K : va(P +Q)> inf [vJLP)9 vJLQ)l avec égalité si va(P) # va(Q); va(pP) = vJLP), va(PQ) = vJLP) + vJLQ), va(X - P) = 0 si p * oc, et va(X - a) = 1. Assertion 1. — Il est immédiat que va(P) est égal à m si et seulement s'il existe un polynôme Q non divisible par X — oc, et tel que P = (X — oc)mQ. L'assertion 1 résulte alors de la proposition 1.10. Assertion 2. — Posons p = va(P) et q = va(Q). Écartons le cas trivial où l'un des deux polynômes P et Q est nul : il existe alors deux polynômes P1 et Qt tels que P = (X - oc)pPl9 et P^oc) ï 0 Q = (X-oc)qQl9 et QMïO. L'assertion en découle aisément; calculons par exemple va(PQ) : PQ = (X- ocy+«R, où R = P.Q,. Comme K est intègre, R(oc) = Pi(a)gi(a) ± 0. Donc va(PQ) = P + q. Définition 1.9. — Ordre de multiplicité d'une racine. — Soit P un polynôme non nul. Lorsqu'un scalaire oc est racine de P, l'entier va(P) s'appelle encore ordre de multiplicité de la racine a. Une racine oc de P dont l'ordre de multiplicité est égal à un entier m est appelée plus simplement racine d'ordre m du polynôme P. Une racine oc de P d'ordre 1 est dite simple. Une racine ocdeP d'ordre strictement supérieur à 1 est dite multiple. Enfin, une racine oc de P d'ordre 2 (resp. 3, 4, etc.) est dite double (resp. triple, quadruple, etc.).
14 polynômes a une indéterminée [chap. 1] Avec cette nouvelle terminologie, l'assertion 1 de la proposition 1.11 peut encore s'énoncer : pour qu'une racine a d'un polynôme P soit d'ordre m, il faut et il suffit qu'il existe un polynôme Q tel que P = (Z-a)Mô, et g(a)#0. Ce qui peut se généraliser de la façon suivante : Théorème 1.2. — Divisibilité par un produit de facteurs du premier degré. — Soient P un polynôme non nul, et (al9 a2, ..., ar) une suite de r éléments de K distincts deux à deux. Si, pour tout ie[l, r], le scalaire at est racine d'ordre nt r de P, alors P est divisible par le polynôme Q = Y\(^ — a;)"'. De manière plus précise, il existe un polynôme R et un seul tel que P = QR; alors, pour tout entier ie[l,r], R(oct) * 0. r En particulier, si le nombre ^ntest égal au degré de P, il existe un scalaire i = l non nul P et un seul tel que P = PQ. L'unicité du polynôme jR est immédiate, puisque l'anneau K[X] est intègre. Nous allons démontrer l'existence de R par récurrence sur l'entier r. Lorsque r = 1, nous venons de l'établir. Soit donc r un entier > 1; supposons qu'il r-l existe un polynôme R' tel que P = Q'R!, où Q' = YJ(% — <*i)n\ et que, pour tout ie [1, r — 1], P'(ai) ^ 0. Comme ar est distinct de af pour tout i < r, var(P) = vJL&) + var(R') = var(R'). Donc ar est racine d'ordre nr de R'\ il en découle qu'il existe un polynôme R tel que R = (Z — ocr)nrR9 et que R(ocr) ^ 0. Ce polynôme R convient visiblement. Nous en déduisons immédiatement le résultat fondamental suivant : Théorème 1.3. — Propriétés de l'ensemble des racines d'un polynôme. — Soit P un polynôme à coefficients dans K. S'il existe r scalaires a1? a2, ..., ar r distincts deux à deux tels que ^ v«i(P) > d° c^x alors P est nul. i= 1 Autrement dit : si P est un polynôme non nul, de degré inférieur ou égal à n, oùneN, l'ensemble de ses racines est fini, et la somme des ordres de multiplicité de ces racines est inférieure ou égale à n. Corollaire 1. Soit P un polynôme à coefficients dans K. Si P est de degré n ^ 0, P a au plus n racines. En particulier, tout polynôme dont l'ensemble des racines est infini est nul.
fonctions polynomiales et rationnelles 15 Corollaire 2. — lien entre polynômes et fonctions polynomiales. 1. Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K, de degré inférieur à n9 où neN. S'il existe n + 1 scalaires <xl9 <x2, ..., an+1 distincts deux à deux tels que, pour tout entier ie[l,n + 1], p(af) = ô(af), alors P = Q. 2. Soient K un corps infini, B une partie infinie de K, f et g deux fonctions polynomiales sur K. Si, pour tout élément fi de B, f(f$) = g(fi)9 alors f = g. Assertion 1. — il suffit d'appliquer le corollaire 1 au polynôme P — Q. L'assertion 2 s'en déduit aussitôt. Corollaire 3. — injectivité de l'application ph>p. — Si le corps K est infini, le morphisme de l'algèbre unitaire K[X] dans l'algèbre unitaire fF(K) qui associe au polynôme P la fonction polynomiale P est injectif C'est en particulier le cas lorsque le corps K est de caractéristique 0. — Si le corps K est fini, et si l'on désigne par al5 a2, ..., ap ses éléments, alors le noyau du morphisme précédent est l'idéal de K[X] engendré par le poly- p nome N = Y\(% — o^). i= i soit en effet P un élément du noyau de ce morphisme. cela revient à dire que tout élément de K est racine du polynôme P. — si j^t est infini, le corollaire 1 montre aussitôt que P est nul. — si K est fini, le théorème 1.2 montre que P est divisible par N, c'est-à-dire qu'il appartient à l'idéal engendré par N. réciproquement, il est immédiat que tout polynôme appartenant à cet idéal est dans le noyau du morphisme P\-+P. exemple. —Prenons pour K le corps Z/pZ des entiers modulo un nombre premier p. Alors les polynômes P à coefficients dans K tels que P = 0 sont les multiples du polynôme N = X(X — 1) ... (X — p -\- i). remarque 1. — L'étude des fonctions polynomiales sur les corps finis est esquissée dans l'exercice 10. remarque 2. — Lorsque le corps K est infini, le corollaire 3 montre qu'on peut identifier sans inconvénient un polynôme P à la fonction polynomiale P qu'il définit sur K. La valeur P(a) de P en un point a de K sera désormais notée P(a). Lorsque aucune erreur n'est à craindre, nous emploierons cette notation même quand le corps K est fini. remarque 3. — Le polynôme à coefficients réels X2 -f 1 n'admet pas de racine. Or le polynôme à coefficients complexes X2 + 1 admet deux racines, à savoir i et — i. On voit apparaître sur cet exemple l'intérêt de la définition suivante : Définition 1.10. — extension du corps des scalaires. — Soient K un corps commutatif, et K' un corps commutatif contenant K comme sous-corps. Tout élément de K[X] est un élément de K'[X]; l'algèbreK[X] est une sous-algèbre unitaire de la K-algèbre unitaire K'[X].
16 polynômes a une indéterminée [chap. 1] Soit alors P un polynôme à coefficients dans K. On dit qu'un élément a de K' est une racine de P dans K' si c'est une racine de P, considéré comme polynôme à coefficients dans K'. + 00 + 00 ^ SiP = 2 an^n> cela signifie donc que ^ ^v" — 0, c'est-à-dire queP(a) = 0, n = 0 n=0 où P désigne la fonction polynomiale sur K' associée à P. De plus, il résulte aussitôt de la proposition 1.11 que pour tout élément a de K, et pour tout élément P de K[X], la valuation de P au point a ne change pas lorsqu'on passe de K à K'. Ainsi, toute racine a d'ordre n de P dans K est encore racine de P dans K' au même ordre n. En particulier, l'ensemble 8 des racines de P dans K est contenu dans l'ensemble 8' des racines de P dans K'\ cette inclusion peut fort bien être stricte, comme le montre l'exemple considéré ci-dessus. Voici cependant un cas où ce phénomène ne se produit pas : Définition 1.11. — Polynômes scindés sur K. — On dit qu'un polynôme P à coefficients dans K est scindé sur K si P = 0, ou, dans le cas contraire, si ]>>.(/>) = d°(i>). Si P n'est pas constant, cela revient à dire qu'en désignant par ocl9 a2, ..., ar les racines de P dans K, par nl9 n2, ..., nr leurs ordres de multiplicité, et par /? le coefficient dominant de P, p = pf\(x; - a?'. i=l Si P est un polynôme scindé sur K, alors, pour tout corps ^'contenant K comme sous-corps, les seules racines de P dans K' sont les racines de P dans K. Nous verrons (cf. chapitre III. 3) que, pour tout élément P de K[X]9 il existe un corps K' contenant K comme sous-corps, tel que P soit scindé sur K'. C'est pourquoi, par abus de langage, un polynôme scindé sur K est dit aussi avoir toutes ses racines dans K. Abordons enfin l'étude des fonctions rationnelles. Définition 1.12. — Éléments substituables dans une fraction rationnelle. — Soient K(X) le corps des fractions rationnelles à une indéterminée X à coefficients dans un corps K, et E une K-algèbre associative unitaire. Un élément a de E est dit substituable dans une fraction rationnelle R e K(X) s'il existe un P élément (P, Q) de K[X] x K[X]* tel que R = — , et que Q(a) soit un élément inversible dans E. Soit a un élément de E substituable dans une fraction rationnelle R; considérons deux éléments (P, Q) et (P', Q') de K[X] x K[X]* tels que R = ^ = ^ et que Q(à) et Q'ia) soient inversibles dans E. Il est alors immédiat
§ 3. fonctions polynomiales et rationnelles 17 que P(a)-[Q(a)Y1 = P,(d)t[Qf(a)]~1. Cet élément de E ne dépend donc que de R; on Vappelle valeur de R au point a. Définition 1.13. — fonctions rationnelles. — Soit E une K-algèbre associative unitaire. Étant donné un élément R de K(X), on note R Vapplication qui à tout élément a de E substituable dans R associe la valeur de R au point a. Soit maintenant B une partie de E. On dit qu'une application f de B dans E est une fonction rationnelle s'il existe un élément R de K(X) satisfaisant aux conditions suivantes : a) tout élément de B est substituable dans R; b) pour tout élément a de B, f(a) = R(à). Étant donné un élément R de K(X)9 V application R s'appelle fonction rationnelle associée à R. Exemples 1. fonctions rationnelles sur k — lorsque E = K, une condition nécessaire et suffisante pour qu'un élément a de K soit substituable dans un élément R de K(X) est qu'il existe un élément (P, Q) de K[X] x K[X]* tel que p R = — et que Q(cc) soit non nul. l'ensemble des éléments de at non substitua- bles dans R est donc fini (cf. th. 1.3). Dans le présent cas, on peut d'ailleurs prolonger la fonction rationnelle R associée à R de la manière suivante : On introduit l'ensemble Px(K) obtenu en adjoignant à K un élément, noté oo. (Nous verrons au chapitre III.2 que PxCK) n'est autre que la droite projective construite sur K, l'élément oo s'appelant alors point à l'infini.) Lorsqu'un élément a de K n'est pas substituable dans R, on dit que la valeur de R au point a est oo. On prolonge donc la fonction rationnelle associée à R aux éléments a de K non substituables dans R en posant R(<x) = oo. Enfin, on prolonge cette dernière fonction en une application de PX(K) dans Px(K) en définissant R(oo) de la manière suivante : — si d°(R) < 0, on pose R(œ) = 0; — si d°(R) > 0, on pose i?(oo) = oo ; — si d°(i?) = 0, on écrit R sous la forme ~ a où op 0 et $p ^ 0, et on pose i?(oo) = . (On vérifie aisément que ce scalaire ne dépend que de R.) Il est immédiat que l'application R f-> i?(oo) est un morphisme de l'algèbre des fractions rationnelles de degré négatif ou nul dans K. L'intérêt de ces considérations apparaît dans les exercices 17 et 18. 2. Lorsque K = r, la notion de fonction rationnelle définie dans ce paragraphe coïncide avec celle qui a été introduite au § 1.4.9.
18 polynômes a une indéterminée [chap. 1] 3. composée de deux fractions rationnelles. — On prend pour E l'algèbre K(X) elle-même. Soit S un élément de K(X) substituable dans un élément R de K(X); la fraction rationnelle obtenue en substituant S à l'indéterminée X dans R s'appelle composée de S et de R, et se note R o S, ou encore R(S). En particulier, R(X) = R. Soient maintenant S un élément de K(X), E une ^-algèbre associative unitaire, et a un élément de E substituable dans S. En écrivant S sous la forme d'un quotient de deux polynômes, on voit aussitôt que, pour tout élément P de K[X], a est substituable dans P o S, et que (1) (PÎSM = P[S(a)]. Soient ensuite R et S deux éléments de K(X), E une j^-algèbre associative unitaire, et a un élément de E. En écrivant R sous la forme d'un quotient de polynômes, et en utilisant la relation (1), on voit que si a est substituable dans S, et si S(a) est substituable dans R, alors S est substituable dans R, a est substituable dans R o S, et (2) ctf7s)(a) = R[S(a)]. En appliquant enfin ce dernier résultat au cas où E = K(X), et où a est un élément T de K(X)9 on obtient l'associativité de la composition des fractions rationnelles. On prouvera au § 6 que toute fraction rationnelle non constante est substituable dans toute fraction rationnelle. A ce sujet, on pourra aussi consulter l'exercice 12. exemple. — fractions rationnelles paires, fractions rationnelles impaires. — Soit R une v fraction rationnelle. Le polynôme — X est évidemment substituable dans R. On note R v v la fraction rationnelle composée R(— X). On dit que R est paire si R = R, impaire si R = — R. Si K est de caractéristique différente de 2, les fractions rationnelles paires et les fractions rationnelles impaires constituent deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans K(X). nous pouvons maintenant définir la notion de valuation en un point d'une fraction rationnelle, grâce à la Proposition 1.12. — valuation d'une fraction rationnelle en un point. — Soient R une fraction rationnelle non nulle à coefficients dans K et ol un élément de K. Il existe alors un couple (n, S), où n est un entier rationnel, et où S est un élément de K(X)9 satisfaisant aux conditions suivantes : a) R = (X — oifS; b) Vêlement a est substituable dans S, et 5(a) # 0. Un tel couple est unique. L'entier rationnel n s'appelle valuation de R au point a, et se note va(R). On convient de poser va(0) = + oo. unicité. — soit («', S') un autre couple satisfaisant aux conditions de l'énoncé. lorsque n = n'9 il est immédiat que S = .s", puisque K(X) est intègre. supposons par l'absurde que n±n'\ soit par exemple n > n'. la relation (X - ays = (X — <x)n'S' peut s'écrire (X - ocf'^S = S'. en substituant à X le scalaire a, nous obtenons la relation S'(<x) = 0, d'où la contradiction. p existence. — ecrivons R sous la forme R = — , où P et Q sont deux polynômes non nuls. d'après la proposition 11, il existe des polynômes Px et Qt et des entiers naturels p et q tels que P = (X-oî)pPu p!(a)#0 et Q = (X-a)qQl9 Qt((x) # 0.
FONCTIONS POLYNOMIALES ET RATIONNELLES 19 Le couple yp — q, j convient visiblement. remarque 1. — L'assertion 1 de la proposition 1.11 montre que si r est un polynôme, la notion de valuation introduite ci-dessus coïncide avec celle de valuation des polynômes. remarque 2. — A titre d'exercice, on pourra étendre aux fractions rationnelles les propriétés des valuations des polynômes énoncées dans l'assertion 2 de la proposition 1.11. Définition 1.14. — Pôles et zéros d'une fraction rationnelle. — Soient R un élément de K(X), et a un scalaire. On dit que a est un pôle de R si va(R) < 0; cela revient à dire que a n'est pas substituable dans R. L'entier strictement positif — va(R) s'appelle alors ordre de multiplicité du pôle a. Un pôle d'ordre 1 est dit simple, un pôle d'ordre strie- tement supérieur à 1 est dit multiple. On dit que a est un zéro de R si va(R) > 0; si R est un polynôme, la notion de zéro coïncide avec celle de racine. Lorsque R ^ 0, l'entier strictement positif va(R) s'appelle ordre de multiplicité du zéro a. Un zéro d'ordre 1 est dit simple, un zéro d'ordre strictement supérieur à 1 est dit multiple. Proposition 1.13. — Lien entre fractions rationnelles et fonctions rationnelles. — Soient K un corps infini et R une partie infinie de K. 1. Soient R et R' deux éléments de K(X). Si, pour tout élément oc de R substituable à la fois dans R et dans R', R(ol) = R'(ol), alors R = R'. 2. Soient f et g deux fonctions rationnelles sur K définies sur une même partie de K contenants. Si, pour tout élément P de B, /(/?) = g(j3), alors f = g. P P' Assertion 1. — Ecrivons R et R' sous la forme R = —, R' = — , où P et P' sont des éléments de K[X], Q et Q des éléments non nuls de K[X], Désignons par Bx (resp. B[) l'ensemble des racines de Q (resp. de Q'). Nous savons (cf. th. 1.3) que Bt et B[ sont finis. Il en résulte que B' = B - (Bx u B[) est infini. Tout élément a de B' est substituable à la fois dans R et dans R', et P(a) = , R'(oc) = ^, P(a) = R\oc). Q(oc) Q\oc) Il s'ensuit que le polynôme PQ' — QP' prend la valeur 0 en tout point de B'\ ce polynôme est donc nul (cf. cor. 2 du th. 1.3), et R = R!. L'assertion 2 s'en déduit aussitôt. Corollaire. — Soit K un corps infini. Si les fonctions rationnelles sur K associées à deux éléments R et R' de K(X) prennent même valeur en tout point de K où elles sont toutes deux définies, alors R = R'. Exercices conseillés : 9 à 18.
20 polynômes a une indéterminée [chap. 1] § 4. division euclidienne. idéaux de polynomes pour l'étude de la relation de divisibilité dans l'anneau K[X], nous établirons d'abord le théorème fondamental suivant : Théorème 1. 4. — division euclidienne des polynômes.— Soit K[X] Vanneau des polynômes à une indéterminée dans K. Étant donnés deux éléments A et B de K[X], le polynôme B étant supposé unitaire, il existe un couple (Q, R) et un seul d'éléments de K[X] tel que A = BQ + R et d° (R) < d° (B). unicité. — soit (Q', R') un second couple d'éléments de K[X] tel que A = BQ + R' et d° (R!) < d° (B). il en résulte que B(Q - Q') = R' - R; d'où la relation : (1) do (R' — R) = d° (B) + d° (Q' - Q). nous savons d'autre part que d° (R' - R) < sup [d° (R), d° (R')]; donc : (2) d° (R' - R) < d° (B). des relations (1) et (2) nous déduisons que do (B) + do(ô - Q') < d°(B). comme B n'est pas nul, cette dernière relation entraîne Q = Q', et enfin jr = R'. existence. — la démonstration s'effectue par récurrence sur le degré de A; elle fournit une méthode pratique d'obtention de Q et de R. lorsque d° (a) < d° (B), le couple (0, A) convient visiblement. supposons l'existence du couple (Q, R) établie pour tous les polynômes de degré strictement inférieur à n, où n est un entier supérieur ou égal à d° (B), et considérons un polynôme A de degré n. écrivons A et B sous la forme suivante : A = ocnXn + a^!^"1 + ... + a0, où a„ # 0, B= IH/Î^-1 + ... +/J0. comme n ^ p, nous pouvons introduire le polynôme Ax = A — anXn~pB. ce polynôme est de degré strictement inférieur à n. nous pouvons donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence : il existe un couple (Qu Rt) d'éléments de K[X] tel que Ai = ^ôi + ^i et d° (pj) < d° (B). il en résulte que A = B{Q1 + ocnXn~p) + Rt; le couple (Ql + unXn~p, Rx) convient donc.
division euclidienne. idéaux de polynômes 21 Corollaire 1. — Soient A et B deux éléments de K[X]9 le polynôme B étant supposé non nul II existe alors un couple unique (Q9 R) d'éléments de K[X] tel que (1) A = BQ + R et d° (R) < d° (B). Les polynômes Q et R s'appellent respectivement quotient et reste de la division euclidienne de A par B. En effet, le polynôme B peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme B = fiBl9 où fie K* et où Bt est un polynôme unitaire. La relation (1) est équivalente à la suivante : fi"1 A = BXQ + p~xR et doOS"1*) < d0^)- L'existence et l'unicité du couple (Q, R) en découlent. remarque. — La pratique de la division s'en déduit : — On ordonne les polynômes A et B suivant les puissances décroissantes, on place A au dividende, en laissant des vides pour les degrés manquants, et on place B au diviseur. a« _ — Le premier terme du quotient est — Xn p. *p a/i _ — On écrit le polynôme — Xn p B en dessous du polynôme A, et on le retranche de A ; on obtient ainsi Av — On répète ces opérations jusqu'à obtention au dividende d'un polynôme de degré strictement inférieur au degré de B; ce polynôme est le reste R, tandis que Q est écrit à l'emplacement traditionnel du quotient. exemple. — Division euclidienne de A = X* + 1 par B = X2 + X + 1. X* + 2 X* + X+l X* + X* + X2 X2- X — X3 — X2 - X* - X2 - + / X X+l Le quotient Q est donc X2— X, et le reste R est X + 1. Corollaire 2. — Divisibilité et extension du corps des scalaires. — Soient K un sous-corps d'un corps commutatif K'9 A et B deux polynômes non nuls, à coefficients dansK. Pour que B divise A dansK[X], il faut et il suffit que B divise A dansKf[X]. Il est évident que cette condition est nécessaire. Réciproquement, supposons qu'il existe un élément C de K'[X] tel que A = BC. Effectuons la division euclidienne de A par B dans K[X] ; il existe un couple (Q9 R) et un seul d'éléments de K[X] tel que A = BQ + R, d° (jR) < d° (B).
22 polynômes a une indéterminée [chap. 1] l'unicité du quotient et du reste de la division euclidienne de A par B dans K'[X] montre que Q = C et R = 0, ce qui prouve que les coefficients de C appartiennent à K. Proposition 1.14. — reste d'une somme, reste d'un produit. — Soient Al9 A 2 et B trois éléments de K[X], le polynôme B étant supposé non nul. On désigne par (Ql9 RJ et (Q2, R2) les couples associés à Axet A2 dans leur division euclidienne par B. Alors le couple associé à At + A2 dans sa division par B est (Qi + (?2> R-i + ^2)- D'autre part, le reste de la division euclidienne de A1A2 par B est égal au reste de la division euclidienne de R1R2 par B. nous étudions maintenant les idéaux de l'anneau K[X] : l'ensemble des multiples d'un polynôme A est un idéal de K[X]; comme pour l'anneau Z des entiers rationnels (cf. th. 1.2.4), nous allons montrer que tous les idéaux de K[X] sont de ce type. Théorème 1.5. — structure des idéaux de l'anneau K[X]. — Soit 3 un idéal non réduit à { 0 } de Vanneau K[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K. Il existe alors dans 3 un polynôme unitaire D et un seul tel que 3 soit Vensemble des multiples de D. Le polynôme D s'appelle le générateur de l'idéal 3. En particulier, tous les idéaux de l'anneau K[X] sont principaux. unicité du générateur. — supposons que D' soit un polynôme unitaire appartenant à 3 et tel que 3 soit l'ensemble des multiples de D'. la relation Z) g 3 entraîne D' \ D; de même, la relation D' e 3 entraîne D | Df. puisque D et D' sont unitaires, D = D'. existence du générateur. — considérons l'ensemble 8 des entiers naturels n tels qu'il existe un élément de 3 de degré n. puisque 3 est non réduit à { 0 }, 8 est une partie non vide de n; elle possède donc un plus petit élément (cf. th. 1.1.3), soit «o- introduisons alors un élément P0 de 3 ayant pour degré n0, et désignons par D le polynôme unitaire associé à P0. le polynôme D convient : en effet, d'une part D appartient à 3, puisque D = ocP0, où a e K*, et que P0 appartient à 3; soit d'autre part P un élément quelconque de 3. effectuons la division euclidienne de P par D (cf. th. 1.4) : il existe un couple (Q, R) d'éléments de K[X] tel que P = DQ + R et d° (R) < d° (D). le polynôme R = P - DQ appartient à 3, puisque D et P appartiennent à 3. or, par définition de nQ = d° (D), il n'existe pas de polynôme non nul dans 3 dont le degré soit strictement inférieur à n0 ; cela montre que R = 0, ce qui achève la démonstration. Corollaire 1. — caractérisation du générateur de l'idéal engendré par n polynômes non nuls. — Soient Al9 A29 ..., An des 'éléments non nuls deK[X]. Alors le générateur D de l'idéal 3 engendré par ces polynômes est le seul polynôme unitaire qui divise tous les polynômes At et qui puisse s'écrire sous la n forme PtA i9 où Pt e K[X]. »=i
décomposition en facteurs irréductibles 23 en effet le générateur D de 3 satisfait à ces conditions. réciproquement, soit D' un polynôme unitaire satisfaisant à ces conditions. puisque D' peut r s'écrire sous la forme ^PtAi9 le polynôme D' appartient à l'idéal 3; donc D' i= 1 est un multiple de D. d'autre part, D' divisant tous les polynômes Ai9 divise tout élément non nul de 3, et donc divise D. comme D et D' sont unitaires, cela entraîne D' = D. Corollaire 2. — identité de bezout. — Soient Al9 A2, ..., An des éléments non nuls de K[X]. Il est équivalent de dire : 1. Les seuls diviseurs communs aux polynômes At sont les constantes non nulles. 2. Le générateur de Vidéal engendré par Al9 Al9 ..., Anest 1. 3. L'idéal engendré par Al9 A29 ..., An est K[X] tout entier. 4. Il existe une suite (Ul9 U29 ..., Un) de polynômes telle que n ^AiUi = 1 (identité de Bezout). On dit dans ces conditions que les polynômes Al9 A2, ..., An sont premiers entre eux dans leur ensemble. (lorsque n = 2, cette notion coïncide avec celle qui a été introduite dans la définition 1.2.27.) Corollaire 3. — propriété de gauss. — Soient A9 B. C, trois polynômes non nuls; si A divise BC9 et si A et B sont premiers entre eux, alors A divise C. en effet, le corollaire 2 montre qu'il existe des polynômes U et V tels que AU + BV = 1 ; d'autre part il existe un polynôme Q tel que BC = AQ. d'où la relation : C = C(AU + BV) = ACU + BCV = A(CU + QV). remarque. — Les théorèmes 1.4 et 1.5 et les corollaires ci-dessus sont liés à la théorie des anneaux euclidiens (exercice 1.2.44) et à celle des anneaux principaux (exercice 1.2.45). exercices conseillés : 19 à 23. § 5. décomposition en facteurs irréductibles dans tout ce paragraphe, nous ne retiendrons du § 4 que la propriété de gauss (cf. cor. 3 du th. 1.5), dont nous rappelons l'énoncé : Soient A9 B9 C trois éléments non nuls de K[X]; si A divise BC et si A et B sont premiers entre eux9 alors A divise C.
24 polynômes a une indéterminée [chap. 1] voici une première conséquence, très importante, de cet énoncé : Proposition 1.15. — Soient A, B. C trois polynômes non nuls. Si A est premier avec B et C, alors A est premier avec BC. soit en effet P un diviseur commun à A et BC. les polynômes P et B sont premiers entre eux : en effet, tout diviseur commun à P et B est un diviseur commun à A et B, qui sont premiers entre eux. puisque P et B sont premiers entre eux, et que P divise BC, la propriété de gauss montre que P divise C. D'autre part, P divise A, et les polynômes A et C sont premiers entre eux. par suite, P est constant non nul, ce qu'il fallait prouver. Corollaire. — Si un polynôme A est premier avec les polynômes Al9 A 2, ..., An, alors A est premier avec le produit AtA2 ... An. cela résulte aussitôt de la proposition 1.15, par récurrence sur n. Définition 1.15. — polynômes irréductibles sur K. — Soit A un polyônme à une indéterminée à coefficients dans un corps K. On dit que A est irréductible sur K (ou, plus simplement, irréductible lorsque aucune confusion n'est à craindre) si A est un élément irréductible (au sens de la définition 1.2.27) de Vanneau K[X], Plus généralement, si K' est un corps commutatif contenant K comme sous- corps, un polynôme A à coefficients dans K est dit irréductible sur K' si A est un élément irréductible de K'[X]. Exemples. 1. Tout polynôme à coefficients dans K de degré 1 est irréductible sur K. un tel polynôme est même irréductible sur K', pour tout corps K' contenant K comme sous-corps. cependant, un polynôme à coefficients dans K peut fort bien être irréductible sur K, et ne pas l'être sur K' : 2. Le polynôme à coefficients rationnels A = X2 — 2 est irréductible sur Q, mais ne Vest pas sur R. si A n'était pas irréductible sur Q, il existerait deux éléments q et r de Q tels que A = X2 — 2 = (X — q)(X — r). une telle relation entraîne r = — q, et q2 = 2, ce qui est impossible. au contraire, A n'est pas irréductible sur R, puisque X2 - 2 = (z- VÏ)(X+ V2). 3. De même, le polynôme à coefficients réels X2 + 1 est irréductible sur R, et ne Vest pas sur C. en pratique, l'étude des polynômes irréductibles se ramène aussitôt à celle des polynômes unitaires irréductibles : en effet, il est clair qu'un polynôme est irréductible si et seulement si le polynôme unitaire qui lui est associé est irréductible. De plus, pour qu'un polynôme unitaire P soit irréductible, il faut et il suffit que son degré soit strictement positif, et que les seuls polynômes unitaires divisant P soient 1 et P.
décomposition en facteurs irréductibles 25 Nous sommes en mesure d'aborder le théorème fondamental de décomposition des polynômes en facteurs irréductibles : Théorème 1.6. — Décomposition en facteurs irréductibles. — Soit K[X] Vanneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K. 1. Soit P un polynôme unitaire irréductible à coefficients dans K. Pour tout élément A non nul de K[X], il existe un couple (n, B), où n est un entier naturel, et où B est un élément non nul de K[X] premier avec P, tel que A = PnB. Un tel couple est unique. L'application qui à tout élément A non nul de K[X] associe Ventier naturel n défini ci-dessus s'appelle valuation relative à P, et se note vP. L'entier n est donc noté vP(A). On convient de poser vP(0) = + oo. 2. Pour tout élément A non nul de K[X], l'ensemble des polynômes unitaires irréductibles P tels que vP(A) soit non nul est fini, et (1) A = ocY\Pvp(A\ PeE où a désigne le coefficient dominant du polynôme A, et où E désigne l'ensemble des polynômes unitaires irréductibles à coefficients dans K. Une telle décomposition est unique, c'est-à-dire que si A peut être écrit sous la forme (2) a = py{pmp> PeE où P e K*, et où (mP) est une famille à support fini d'entiers naturels, alors P = a et, pour tout élément P de E, mp = vP(A). Cette décomposition s'appelle décomposition du polynôme A en facteurs unitaires irréductibles. Remarque. — Les produits ci-dessus, bien que portant a priori sur un ensemble infini d'indices, ont un sens : ce sont de simples notations, qui signifient qu'on effectue le produit des polynômes Pmp où P est tel que mP ^ 0. Assertion 1. — L'existence du couple (n, B) se prouve par récurrence sur le degré du polynôme A. Si d° (A) = 0, elle est évidente; supposons-la démontrée pour tous les éléments A' de K[X] non nuls et tels que d° 04') < r, et soit A un polynôme de degré r, où r > 0. Si A est premier avec P, l'assertion est claire : il suffit de prendre n = 0, et B = A; sinon, P divise A, puisque P est irréductible. Il existe alors un polynôme non nul A' tel que A = PA'. Puisque d°(P)> 0, l'hypothèse de récurrence s'applique à A', ce qui fournit une décomposition de A. Pour démontrer l'unicité, considérons deux couples (n, B) et (ri, B') satisfaisant aux conditions de l'énoncé : alors PnB = Pn B'. Le polynôme Pw divise Pn B' et est premier avec B', puisque P est premier avec B' (cf. cor. de la prop. 1.15); il divise doncP" (propriété de Gauss), d'où n < ri. De même, ri < n; finalement, ri = n, et donc B' = B, puisque K[X] est intègre.
26 POLYNÔMES A UNE INDÉTERMINÉE [CHAP. 1] Assertion 2. — Nous allons d'abord démontrer l'existence d'une décomposition du polynôme A sous la forme (2), en procédant par récurrence sur d° (^4). Si d°(A) = 0, c'est évident; de même si d°(^4) = 1, puisque tout polynôme unitaire de degré 1 appartient à E. Soit donc r un entier supérieur ou égal à 2; supposons cette existence prouvée pour tous les polynômes de degré strictement inférieur à r. Considérons enfin un polynôme A de degré r. Nous l'écrivons sous la forme A = f}A\ où fieK*, et où A' est unitaire. Deux cas se présentent : ou bien A' est irréductible, et l'assertion est prouvée; ou bien A' n'est pas irréductible, et peut s'écrire A' = A±A29 où At et A2 sont des polynômes unitaires de degré strictement positif. Il en résulte que d0^) et d° (A2) sont strictement inférieurs à r. L'hypothèse de récurrence s'applique donc à At et A2, ce qui fournit une décomposition de A. Ainsi, nous pouvons écrire A sous la forme (2) A = pYlpmp> PeE où P eK*9 l'ensemble des éléments P de E tels que mP ^ 0 étant fini. Pour achever la démonstration de l'assertion 2, il suffit de prouver que j? = a, ce qui est évident, et que pour tout élément P de E, mP = vP(A). Écrivons pour cela A sous la forme A = PmpB, où B = p Y\ P'mp'. P' eE P'^P Il résulte du corollaire de la proposition 1.15 que B est premier avec P. Nous déduisons alors de l'assertion 1 que mP = vP(A). Remarque. — Parmi les polynômes unitaires irréductibles, on trouve en particulier les polynômes de la forme X — y, où y Or nous avons défini la valuation vy (cf. déf. 1.8). Nous allons montrer que pour tout polynôme non nul A, vx_y(A) = vy(A). (La notion de valuation relative à un polynôme premier généralise donc celle de valuation en un point.) D'après la proposition 1.11, il existe un polynôme Q tel que A — {X— y)Vy(A^Q9 et que Q(y) =jé 0. Il en découle que Q n'est pas divisible par X— y, donc est premier avec X — y. D'après l'assertion 1 du théorème de décomposition en facteurs irréductibles, cela implique que vy(A) = vx_y(A). Corollaire 1. — Propriétés des valuations. 1. Pour tout couple (A, B) de polynômes, et pour tout polynôme unitaire irréductible P, (1) vP(AB) = vP(A) + vP(B); (2) vP(A + B) ^ inf [vP(A)9 vP(B)\ avec égalité si vP(A) # vP(B). Il en découle que Vensemble des éléments A de K[X] tels que vP(A) soit supérieur à un entier naturel donné, est un idéal de Valgèbre K[X],
§ 5. décomposition en facteurs irréductibles 27 2. Pour qu'un polynôme non nul A divise un polynôme non nul B, il faut et il suffit que, pour tout élément P de E, vP(A) < vP(B). Assertion 1. — écartons le cas trivial où l'un au moins des polynômes A et B est nul, et écrivons A = PmU, et B = PnV, où m et n sont des entiers naturels, et où U et V sont des polynômes premiers avec P. la formule (1) résulte aussitôt de la relation AB = Pm+nUV. pour démontrer la formule (2), supposons par exemple m < n, et écrivons A + B sous la forme A + B = pw(t7 + p"-wf). Sin ^ m, il est immédiat que U + Pn~mVest premier avecp, d'où la formule (2) dans ce cas. le cas où n = m est évident. Assertion 2. — si pour tout élément P de E, vP(A) est inférieur à vP(B), il est évident que A divise b. réciproquement, si A divise B, il existe un polynôme C non nul tel que B = AC. l'assertion 1 montre que pour tout élément pde£, vP(B) = vP(A) + vP(C) ^ vP(A). Corollaire 2. — divisibilité par un produit. — Soit A un polynôme non nul, divisible par des polynômes non nuls Al9 A2, ..., An premiers entre eux deux à deux. Alors A est divisible par le polynôme Ax A2 ... An. grâce au corollaire de la proposition 1.15, nous nous ramenons, par récurrence sur n, au cas de deux polynômes non nuls B et C, premiers entre eux et divisant A. d'après le corollaire 1, il suffit alors de prouver que pour tout élément P de E, vP(BC) est inférieur à vP(A). cela résulte aussitôt de la formule vP(BC) = vP(B) + vP(C), et des hypothèses, que nous pouvons écrire sous la forme suivante : vP(B) < vP(A), vP(C) < vP(A), et inf [vP(B), vP(C)] = 0. Corollaire 3. — p. g. C. d. d'un ensemble de polynômes. — Soit 8 une partie non vide de K[X] constituée de polynômes non tous nuls. Il existe un polynôme unitaire D et un seul satisfaisant aux conditions suivantes : a) Le polynôme D divise tout élément de 8. b) Le polynôme D est un multiple de tous les diviseurs communs aux éléments deZ. Ce polynôme s'appelle plus grand commun diviseur des éléments de 8, et se note p. g. C. d. (8). Pour tout polynôme unitaire irréductible P, vP(D) = inf vP(A).
28 polynômes a une indéterminée [chap. 1] unicité. — soient Dt et D2 deux polynômes unitaires satisfaisant aux conditions de l'énoncé. il est clair que Dt divise D2, et que D2 divise D±. comme D± et D2 sont unitaires, cela implique que Dx = D2. existence. — pour tout élément P de E, posons n(P) = inf vP(A), AeZ et considérons le polynôme D = ]^[pn(i>). PeE il est immédiat que P est un polynôme unitaire, que D divise tout élément de 8, et que D est un multiple de tous les diviseurs communs aux éléments de 8 (cf. cor. 1). remarque. — Nous verrons au § 6 des caractérisations du p. G. C. d. de deux polynômes, et un autre moyen de calcul pratique de celui-ci. soit maintenant (At)ieI une famille d'éléments non tous nuls de K[X]. le p. g. C. d. de l'ensemble constitué par les polynômes At s'appelle p. g. C. d. de la famille (A^)iel9 et se note p. g. C. d. ((Ai)i€ï). lorsque tous les polynômes At sont décomposés en facteurs unitaires irréductibles, la décomposition de p. g. C. d. ((Ai)ieI) en facteurs unitaires irréductibles s'obtient de la manière suivante : l'exposant de P dans ce polynôme est le plus petit des exposants de P dans la décomposition des polynômes At. En particulier, lorsque I = [1, n], où n e N*, le P. G. C. D. des polynômes Al9 A2, ..., Anse note P. G. C. D. (Al9 A2, ..., An). Pour que les polynômes Al9 A2, ..., An soient premiers entre eux dans leur ensemble, il faut et il suffit que P. G. CD. (Al9 A2, ..., An) = 1. Corollaire 4. — p. p. c. m. d'un ensemble fini de polynômes. — Soit 8 une partie finie non vide de K[X] constituée de polynômes non nuls. Il existe un polynôme unitaire M et un seul satisfaisant aux conditions suivantes : a) Le polynôme M est un multiple de tout élément de 8. b) Le polynôme M divise tous les multiples communs aux éléments de 8. Ce polynôme s'appelle plus petit commun multiple des éléments de 8, et se note P. P. C. M. (8). Pour tout polynôme unitaire irréductible P, vP(M) = sup vP(A). AeZ la démonstration est calquée sur celle du corollaire 3. on définit de même le p. p. C. m. d'une famille finie (Ad et d'éléments non nuls de K[X]; lorsque /= [l,n], ce p. p. C. m. se note p. p. c. m. (AUA2, ...,An).
§ 5. décomposition en facteurs irréductibles 29 Proposition 1.16. — propriétés du p. G. C d. et du p. p. c. M. 1. Soient A et B deux polynômes non nuls, D leur P. G. CD., M leur P. P. C. M., ccet p leurs coefficients dominants. Alors : AB = afiDM. 2. Soient Al9 A2, ..., An des polynômes non nuls, D leur P. G. C. D. et M leur P. P. C. M. Soit d'autre part B un polynôme unitaire. Alors : P. g. c. D. (BAl9 BA2, ..BAn) = BD P. P. c. M. (BAl9 BA29 ..., BAn) = BM. Par suite, si C est un polynôme unitaire divisant AUA2, ..., An, et si on pose At = CA[, A2 = CA2, ..., An = CA'n9 alors : P. g. c. D.(A[,A2, ...9A'n) = ^. A A A En particulier, les polynômes , , • • • > sont Premiers entre eux dans leur ensemble. L'assertion 1 découle aussitôt de la formule suivante : pour tout couple (n, ri) d'entiers naturels, sup (n, ri) + inf (n, ri) = n + ri. L'assertion 2 découle de même des formules suivantes : pour toute suite (PuPii • ->Pn) d'entiers naturels, et pour tout entier naturel p, inf (p + pd = p + inf pt »e[l,n] ie[l,n] sup (p + pd = p + sup pt. *e[l,n] »e[l,,i] Corollaire. — caractérisation des couples de polynômes dont le p. G. c. d. est différent de 1. — Soient A et B deux éléments non nuls de K[X], et D leur P. G. C. D. 1. Si D est différent de \, il existe un couple (U, V) de polynômes premiers entre eux tel que AU + BV — 0 d° (U) = d° (B) - d° (D), d° (V) = d° (A) - d° (D). 2. Réciproquement, s'il existe un couple (U, V) de polynômes premiers entre eux tel que AU + BV = 0 d° (U) < d° (B) d° (V) < d° (A), alors D est différent de 1. Plus précisément, d°(D) = d°(B) - d°(U) = d°(A) - d°(V).
30 polynômes a une indéterminée [chap. 1] Assertion 1. — Par hypothèse, il existe deux polynômes At et Bx tels que A = DA± et B = DB±. Le couple (Bl9 — A±) convient, car At et Bx sont premiers entre eux. Assertion 2. — Puisque U divise AU = — 1?F et que U est premier avec F, U divise 1?. Il existe donc un polynôme Dt tel que B = £/. La relation ^4*7 + BV = 0 montre alors que A = — DtV. Puisque U et V sont premiers entre eux, il découle des relations B = DtU et A = — Z^Kque le polynôme unitaire associé à Dx est égal à D. L'assertion en découle. Exercices conseillés : 26 à 35. § 6. APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE LA DIVISIBILITÉ 1. CALCUL DU P. G. C. D. DE DEUX POLYNOMES Du théorème de structure des idéaux de K[X] (cf. th. 1.5), nous déduisons la Proposition 1.17. — Caractérisation du P. G. C. D. de n polynômes. — Soient Al9 A29 ..., An des polynômes non nuls à coefficients dansK. Le P. G. C. Z>. de ces polynômes ri est autre que le générateur de V idéal 3 de K[X] engendré par les éléments Al9 A29 ..., An. Désignons en effet par D le générateur de l'idéal 3, et par D'le P. G. C. D. des polynômes Al9 A29 ..., An. D'après la caractérisation de D (cf. cor. 1 du th. 1.5), D divise tous les polynômes At; donc, par définition du plus grand commun diviseur, D divise D'. D'autre part, D peut s'écrire sous la n forme D = AtUi9 où, pour tout i e [1, n], Ut appartient à K[X]. Puisque D' i=l divise tous les polynômes Ai9 D' divise D. Comme D et D' sont unitaires, il en découle que D = D'. En pratique, pour calculer le P. G. C. D. de Al9 A2, ..., An9 on se ramène^ par récurrence au cas de deux polynômes; on utilise alors une méthode fondée sur l'existence d'une division euclidienne dans l'anneau K[X] (cf. th. 1.4). Nous nous servirons du Lemme. — Soient A' et B' deux polynômes non nuls et R le reste de la division euclidienne de A' par B'. — Si R' est nul, le P. G. C. D. de A' et B' est le polynôme unitaire associé àB'. — Si R' est non nul, les diviseurs communs à A' et B' sont exactement les diviseurs communs à B' et R'. Cela résulte aussitôt de la relation A' = B'Q + R'.
§ 6. applications de la théorie de la divisibilité 31 X - 1 X + 1 X" - X* + 4X2 - X + 3 X3 + 2X+ 3 X2 - X + 3 X* + 2X2 + 3X X3 - X2 + 3X - X3 + 2X2 - 4X + 3 X2 - X+ 3 - X3 - 2X - 3 X2 - X+3 2X2 -2X+6 0 Le p. g. c. d. est donc X2- X + 3. Nous pouvons préciser l'identité de Bezout de la manière suivante : Proposition 1.18. — Identité de Bezout pour deux polynômes. — Soient A et B deux polynômes non nuls premiers entre eux. Pour tout polynôme P9 il existe un couple (U9 V) et un seul de polynômes tel que P = AU + BV9 d° (V) < d° (A). De plus, si d° (P) < d° (A) + d° (B\ alors àP(U)< d° (B). Considérons les polynômes donnés A et B9 et supposons par exemple que d° (A) ^ d° (B). Dans ce cas, on commence par effectuer la division euclidienne de A par B; on écrit donc A = BQt + jR1? où d° (Rx) < d° (B). — Ou bien Rx = 0, et le P. G. C. D. de A et B est alors le polynôme unitaire associé à B. — Ou bien Rx ^ 0, et le lemme précédent montre que P. G. C. D. (A, B) = P. G. C. D. (B9 RJ. On est alors ramené au calcul du P. G. C. D. de B et de Rl9 où d° (R±) < d° (B). On répète ces opérations, et, puisque le degré du reste décroît d'au moins une unité à chaque division euclidienne effectuée, on aboutit au bout de n divisions au plus (où n = d° (B)) à l'un des deux cas suivants : — le dernier reste non nul n'est pas un polynôme constant ; dans ce cas, le P. G. C. D. de A et de B est le polynôme unitaire associé à ce polynôme; — le dernier reste non nul est un polynôme constant; dans ce cas, A et B sont premiers entre eux. On notera enfin que le P. G. C. D. de deux polynômes n'étant pas changé lorsqu'on multiplie ces polynômes par des scalaires non nuls, on pourra éviter l'écriture de coefficients fractionnaires dans les divisions successives en multipliant le dividende par un scalaire convenable. La méthode précédente porte le nom d'algorithme d'Euclide. exemple. — Calculons le p. g. c. d. de X* + 2X + 3 et de X* — X* + 4X2 — X + 3. On notera laTdisposition particulière des quotients, laquelle facilite les calculs.
32 polynômes a une indéterminée [chap. 1] En particulier, si A et B ne sont pas constants, il existe un couple (U,V)de polynômes et un seul tel que 1 = AU + BV, d° (V) < d° (A), d° (U) < d° (B) (identité de Bezout avec condition sur les degrés). Unicité. — Soit (U', V) un autre couple satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Il en résulte que A{U — U') = B(V — V). Supposons par l'absurde que V 7e V : le polynôme A divise B(V — V), et est premier avec B; donc A divise V — V, d'après la propriété de Gauss (cf. cor. 3 du th. 1.5), ce qui contredit la relation d° (V - V) < d° (A). Donc V = V, et, par suite, U' = U. Existence. — L'existence d'un couple (Uu Vt) tel queP = AUt + BVX est immédiate, puisque A et B sont premiers entre eux (cf. cor. 2 du th. 1.5). Effectuons la division euclidienne de Vt par A : Vt = AQ + V, d° (V) < d° (A). D'où la relation P = AU + BV, en posant U = Ux + Si nous supposons maintenant que d° (P) < d° (^4) + d° (B), alors d° (17) < d° (B), comme il résulte aussitôt de la relation AU = P - BV. Une méthode de calcul explicite du couple (U, V) est esquissée dans l'exercice 42. Exercices conseillés : 24, 25 et 41. 2. FORME RÉDUITE D'UNE FRACTION RATIONNELLE Nous appliquons maintenant les résultats du § 5 à la théorie des fractions rationnelles. Proposition 1.19. — Forme réduite d'une fraction rationnelle. — Soit R une fraction rationnelle non nulle à coefficients dans K. Il existe un couple (P, Q) p et un seul de polynômes non nuls et premiers entre eux tel que R = —, Q étant unitaire. Ce couple s'appelle forme réduite de la fraction rationnelle R. Les polynômes P et Q s'appellent respectivement numérateur et dénominateur de R. Unicité. — Soient (P, Q) et (P', Q') deux couples de polynômes satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Alors PQ' = P'Q. Le polynôme Q' divise donc P'Q; étant premier avec P', il divise Q (propriété de Gauss). De même, Q divise Q'. Ces deux polynômes, étant de plus unitaires, sont égaux. L'anneau K[X] étant intègre, il en résulte que P = P', ce qui achève la démonstration.
applications de la théorie de la divisibilité 33 existence. — soit (Pl9 Qt) un couple de polynômes tel que Q1 # 0 et que R = -j-. puisque R ^ 0, Pt # 0; désignons donc par D le p. g. c. d. de Px et Ql9 et écrivons P1 et Qt sous la forme Px = DP29 et Q1 = DQ2. nous savons que P2 et Q2 sont premiers entre eux (cf. prop. 16). de plus, R = , et il suffit maintenant de rendre Q2 unitaire pour obtenir la décomposition cherchée. corollaire. — Soient R et S deux éléments de K(X). Si S est non constante, S est substituable dans R. Écrivons en effet R sous la forme R = ^, où U, Ve K[X], V ^= 0, et S sous la forme P P réduite S = — . Il suffit de prouver que ko -n'est pas nulle. Écartons le cas trivial où V est un monôme, et posons «m*™ + °wi*w+1 + • • • + Où «m * 0, a„ * 0. P Supposons par l'absurde que ko-=0, c'est-à-dire que *mQn-m + °w1gn-m-1P + ... + *nPn-m = 0. Il en découle que P divise Qn~m, comme P est premier avec Q, P est constant. De même, Q est constant, ce qui est impossible, puisque S est non constante. Proposition 1.20. — décomposition en facteurs irréductibles. — On désigne encore par E Vensemble des polynômes unitaires irréductibles à coefficients dans K. 1. Soit P un élément de E. Pour toute fraction rationnelle R non nulle à coefficients dans K9 il existe un triplet («, B9 c), où n est un entier rationnel, où B est un polynôme non nul premier avec P, et où C est un polynôme unitaire premier avec P, tel que R = Pn—,et que B et C soient premiers entre eux. Un tel triplet est unique. U application qui à tout élément non nul R de K[X] associe V entier rationnel n défini ci-dessus s'appelle valuation relative à P, et se note vP. L'entier n est donc noté vP(R). On convient de poser vP(0) = + oo. 2. Pour tout élément non nul R de K(X), l'ensemble des éléments P de E tels que vP(R) soit non nul est fini, et : (1) R = an*" PeE ou a est un scalaire non nul. Une telle décomposition est unique, c'est-à-dire que si R peut être écrite sous la forme (2) R = py]*"*, PeE chambadal et ovaert. — Cours de mathématiques. Algèbre II. 2
34 polynômes a une indéterminée [chap. 1] 3. parties principales des fractions rationnelles appliquons maintenant les résultats du § 4. Proposition 1.21. — partie entière d'une fraction rationnelle. — Pour tout élément R de K(X), il existe un couple (U, R!) constitué d'un polynôme U et d'une fraction rationnelle R' et un seul tel que R = U+ R'9 dQ(R') < 0; où P e K*9 et où (mP) est une famille à support fini d'entiers naturels, alors P = a et, pour tout élément P de E, mP = vP(R). Cette décomposition s'appelle décomposition en facteurs unitaires irréductibles de la fraction rationnelle R. Assertion 1. — pour montrer l'existence d'un tel triplet, nous écrivons R B' sous forme réduite R = — ; il suffit alors d'appliquer l'assertion 1 du théo- rème 1.6 aux polynômes B' et c". soient (n, B, C) et (nl9 Bi9 Cx) deux triplets satisfaisant aux conditions de B B l'énoncé ; alors Pn - = Pni —^. supposons par exemple n1 ^ n, et posons m = n± — n. la relation précédente s'écrit encore BCt = PmB1C; en prenant les valuations relatives à P des polynômes et PmB1C, nous obtenons la 2? B relation m = 0. donc = «, et = — ; il découle alors de la proposition 1.19 que = £ et q = c. Assertion 2. — l'existence d'une décomposition de sous la forme (2) B' est immédiate : il suffit d'écrire R sous la forme réduite R = — , et de décom- poser les polynômes B' et C en facteurs unitaires irréductibles. comme dans la démonstration du théorème 1.6, on vérifiera aisément que si R est mise sous la forme (2), nécessairement mP = vP(R) pour tout élément P de E. remarque 1. — Bien entendu, lorsque R est un polynôme, la notion de valuation introduite ci-dessus coïncide avec celle qui a été introduite au théorème 1.6; et lorsque P est de la forme X — y, où yeK, elle coïncide avec la notion de valuation d'une fraction rationnelle au point y, introduite dans la proposition 1.12. remarque 2. — Comme pour les polynômes, il résulte aisément du théorème précédent que pour tout couple (R, S) d'éléments de K(X) et pour tout élément P de E, vp(RS) = vp(R) + vp(S); vp(R + S) > inf \vp{R\ vp(5)], avec égalité si vp(R) ^ vp(.S). Il en découle que l'ensemble des éléments R de K(X) tels que vp(R) soit supérieur à un entier rationnel donné est un sous-espace vectoriel de K(X).
§ 6. applications de la théorie de la divisibilité 35 P_ „ . v Q le couple ( U, ^ i convient. Remarque. — pour que la partie principale à l'infini de R soit nulle, il faut et il suffit que -r(oo) appartienne à K, ce qui explique la terminologie employée. le résultat suivant est fondamental : Théorème 1.7. — décomposition des fractions rationnelles. — Soit R une fraction rationnelle non nulle à coefficients dans K, écrite sous forme réduite p R = —. Soit (Ql9 Q2, Qn) une suite de polynômes unitaires, premiers entre eux deux à deux, et telle que q = fie- i=l 1. // existe une suite (Pl9 P2, ..Pn) de polynômes telle que (I> -Ma- 2. Si l'on suppose de plus d° (P) < d° (0, il existe une suite (Pl9 P29 ..., Pn) et une seule de polynômes telle que pour tout ie [1, n]9 d° (Pt) < d° (Qt)9 et qui satisfasse à la relation (1). Autrement dit, les polynômes, et les fractions rationnelles de degré strictement négatif, constituent deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans Vespace vectoriel K(X). Le polynôme U ainsi défini s'appelle partie entière de R9 ou encore partie principale à l'infini de R, et se note pr00(i?). P Si R est écrite sous la forme R = — , où P et Q sont des polynômes, et où Q # 0, alors Fr^R) est le quotient de la division euclidienne de P par Q. L'application pr^ qui à tout élément R de K(X) associe sa partie entière pr^jr) est donc un projecteur de l'espace vectoriel K{X), dont l'image est le sous-espace vectoriel K[X], l'unicité du couple (U, R') résulte aussitôt de considérations de degré. p existence du couple (U, R'). écrivons R sous la forme R = — ; il existe (cf. th. 1.4) un couple (U, V) de polynômes tel que P = QU + V, d°(V)<d°(Q). il s'ensuit que
36 POLYNÔMES A UNE INDÉTERMINÉE [CHAP. 1] Assertion 1. — Procédons par récurrence sur le nombre n de facteurs. Considérons d'abord le cas où n = 2, c'est-à-dire où Q est écrit sous la forme Q = QiQiy où Qx et Q2 sont unitaires et premiers entre eux. L'idéal engendré par Q1 et Q2 est donc K[X] tout entier. En particulier, il existe un couple (Pl9 P2) de polynômes tel que P = P^Q2 + P2Qu d'où il résulte que P _P\ P± Supposons maintenant le résultat établi à l'ordre n — 1, et soit (Ôij Ô2> Qn) une suite de polynômes satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Le polynôme Qn est premier avec Ql9 Q29 ..., Qn-l9 donc est premier avec leur produit Q' (cf. cor. de la prop. 1.15). Comme l'assertion est déjà établie lorsque n = 2, nous voyons qu'il existe un couple (P'9 Pn) de polynômes tel que P _ _P_ _ F I\_ Q~~ Q'Qn ~~ Q'* Qn' P' En appliquant l'hypothèse de récurrence à — , nous obtenons la décomposition annoncée. ^ Assertion 2. — Existence. — Nous procédons encore par récurrence sur n. Lorsque n = 2, la proposition 1.18 affirme l'existence d'un couple (Pl9 P2) de polynômes satisfaisant aux conditions suivantes : P = PtQ2 + P2QU d»< d° (Q,), d"(P2) < d« (ô2); d'où la décomposition annoncée. Le cas général s'en déduit exactement comme dans l'assertion 1. Unicité. — Par différence, nous nous ramenons à prouver que si (Pl9P2, ...,P„) est une suite de polynômes telle que pour tout ie[l,«], d°(Pf) < d°(ôf)> et que n p (2) 2fH> alors tous les polynômes Pt sont nuls. Supposons par l'absurde que Pn9 par exemple, soit non nul. Il découle aussitôt de la relation (2) qu'il existe un polynôme P' tel que Qn Q'' ce qui signifie encore que P„Q' = P'Q„. Ainsi Qn divise P„Q'; comme Q„ est premier avec Q', il s'ensuit que Qn divise P„, ce qui contredit la relation do(P„)<do(ô„). Le théorème est complètement démontré.
§ 6. applications de la théorie de la divisibilité 37 (i) B = PmU + CV, d° (V) < d° cpm). pour appliquer le théorème précédent à la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme Q, nous aurons besoin de la notion suivante : Définition 1.16. — fractions rationnelles p-adiques. — Soit P un polynôme unitaire irréductible à coefficients dans K. On dit qu'une fraction rationnelle R est P-adique s'il existe un entier naturel m tel que RPm soit un polynôme. soit R un élément non nul de K(X); il est immédiat que R est une fraction rationnelle p-adique si et seulement si R peut s'écrire sous la forme R = PnB, où « e z, et où R est un polynôme premier avec P. nous savons d'ailleurs qu'une telle écriture est unique, grâce à la proposition 1.20. il est non moins immédiat que les fractions rationnelles p-adiques constituent un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel K(X), et que les fractions rationnelles p-adiques de degré strictement négatif constituent un sous-espace vectoriel du précédent. ce dernier sous-espace vectoriel est noté KP[X]. l'étude de l'espace vectoriel KP[X] est esquissée dans l'exercice 43. Proposition 1.22. — partie principale d'une fraction rationnelle. — Soit P un polynôme unitaire irréductible à coefficients dans K. Pour toute fraction rationnelle R, il existe un couple (S, T) de fractions rationnelles et un seul tel que R = S+T, SeKP[X], vP(T) ^ 0. Autrement dit, les fractions rationnelles P-adiques de degré strictement négatif, et les fractions rationnelles dont la valuation relative à P est positive, constituent deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans l'espace vectoriel K(X). La fraction rationnelle S ainsi définie s'appelle partie principale de R relative à P, et se note PrP(R). L'application prp qui à tout élément R de K(X) associe sa partie principale relative à P est donc un projecteur de l'espace vectoriel K{X), dont l'image est le sous-espace vectoriel KP[X]. unicité du couple (S, T). — par différence, tout revient à montrer que si Rt est une fraction rationnelle p-adique telle que d° (Rt) < 0 et que tfpc^i) ^ 0> alors Rt est nulle. supposons par l'absurde que Rx soit non nulle : comme Rt est p-adique, nous pouvons écrire Rt = PnB, où n e z et où B est un polynôme premier avec P; de plus, par définition des valuations, tfp(^i) = »• comme, par hypothèse, v^Rj) ^ 0, nous voyons que Rx est un polynôme non nul, ce qui contredit la relation d° (Rt) < 0. existence du couple (S, T). — si vP(R) est positif, le couple (0, R) convient. dans le cas contraire, R peut s'écrire sous la forme R = Pn—, où n est un entier rationnel strictement négatif, où B et c sont des polynômes premiers entre eux et premiers avec P, C étant unitaire. posons m = — n, et appliquons la proposition 1.18 aux polynômes premiers entre eux Pm et c : il existe des polynômes U et V tels que
38 polynômes a une indéterminée [chap. 1] d'où la relation C C P \PmJ le couple ( ^- , — | convient visiblement. \Pm C) remarque. — Le calcul effectif de la partie principale d'une fraction R relative à p se ramène à la détermination d'un polynôme V satisfaisant à la relation (1). Un algorithme y conduisant sera trouvé dans l'exercice 42. Théorème 1.8. — décomposition des fractions rationnelles en parties principales. — On désigne par E l'ensemble des polynômes unitaires irréductibles à coefficients dans K. 1. Soient R un élément de K(X), pr00(i^) Sa partie entière, et prp(.r) sa partie principale relative au polynôme unitaire irréductible p. Alors l'ensemble des éléments P de E tels que prp(lf) # 0 coïncide avec l'ensemble des éléments P de E tels que vP{K) < 0, donc est fini. De plus, (D Jl = 1^(10 + 2?rP(R). PeE 2. Une telle décomposition est unique, c'est-à-dire que si R peut être écrite sous la forme (2) R=U+^RP, PeE où U est un élément de K[X], et où (RP) est une famille à support fini d'éléments de KP[X]9 alors U^Pr^R), et, VPeE, RP = PrP(R). On peut donc formuler ce théorème de la manière suivante : L'espace vectoriel K(X) est somme directe du sous-espace K[X] et de la famille des sous-espaces KP[X], où P parcourt E; de plus, la famille constituée de l'application pr^ et des applications FrP, où P parcourt E, n'est autre que la famille de projecteurs associée à la décomposition de l'espace vectoriel K(X) en la somme directe précédente. nous prouvons d'abord que tout élément R de K(X) peut être écrit sous la forme (2). en effet, d'après la proposition 1.21, R peut s'écrire sous la forme R = U + R, où UeK[X], et où d° (R') < 0. si R' = 0, l'assertion est évi- A dente; dans le cas contraire, nous écrivons R' sous forme réduite R' = ~. décomposons le polynôme unitaire R en facteurs unitaires irréductibles
applications de la théorie de la divisibilité 39 (cf. th. 1.6) : il existe une suite (Pl9 P2, ..Pr) d'éléments de E et une suite (ni9 nl9 ..., nr) d'entiers strictement positifs telles que i= 1 Posons B{ = P"'; les polynômes Bt étant premiers entre eux deux à deux, et R' étant de degré strictement négatif, nous pouvons appliquer l'assertion 2 du théorème 1.7 : il existe une suite (Al9 Al9 ..Ar) de polynômes telle que pour tout i g [1, r], d° (At) < d° (Bt)9 et que A> Les fractions rationnelles —1 appartenant à -KpJ-Xl, la décomposition cherchée en découle. Il nous reste à montrer que si une fraction rationnelle R est mise sous la forme (2), alors U = Pr«,(#), et, pour tout PgE9 RP = YrP(R). a) Pour démontrer que U = Pr00(i^), posons R' = ^ ^p- Comme le degré de iÊp est strictement négatif pour tout élément P de E9 nous voyons qu'il en est de même du degré de R'. Ainsi R = U + R'9 àQ(R!) < 0; d'où la conclusion, par définition même des parties entières (cf. prop. 1.21). b) Pour démontrer qu'étant donné un élément P de E9 RP = PrP(R)9 posons TP = U + ^ Rq* Il est immédiat que pour tout élément Q de E q e E différent de P, le nombre vP(RQ) est positif. Comme il est évident que vP(U) est positif, la proposition 1.20 montre que vP(TP) est positif. Ainsi, R = R} + TP9 RpgKp[X]9 vp(Tp) > 0; d'où la conclusion, par définition même des parties principales (cf. prop. 1.22). La preuve du théorème est achevée. Remarque 1. — En pratique, pour obtenir la décomposition d'une fraction rationnelle R # 0, on procède de la façon suivante : 1. On calcule la partie entière de R (cf. prop. 1.21). P 2. On écrit R sous forme réduite R = — (cf. prop. 1.19). 3. On décompose Q en facteurs unitaires irréductibles (cf. th. 1.6). 4. On calcule les parties principales de R relatives à chaque polynôme unitaire irréductible intervenant dans la décomposition de Q (cf. prop. 1.22 et exercice 42).
40 polynômes a une indéterminée [chap. 1] 5. la fraction rationnelle R n'est autre que la somme de sa partie entière et de toutes ses parties principales. Remarque 2. — on peut encore décomposer chaque partie principale en une somme de fractions rationnelle d'un type encore plus particulier, appelées éléments simples. la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples fera l'objet du § 9 lorsque le corps K est supposé algébriquement clos; dans le cas général, cette théorie fait l'objet de l'exercice 44. § 7. dérivation des polynomes et des fractions rationnelles Proposition 1.23. — dérivation des polynômes. — Soit K[X] Valgèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K. Il existe un endomorphisme D et un seul de Vespace vectoriel K[X] tel que a) pour tout couple (p, Q) d'éléments de K[X], (1) D(PQ) = D(P)Q + PD(Q); b) D(X) = 1. + oo De plus, pour tout polynôme P = ]T

References: l'Article 41
 l'Article 40
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 § 7
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 § 8
 § 9
 § 1
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