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Timestamp: 2018-11-12 18:53:59+00:00

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Cálculos en Ingeniería Química: octubre 2015
Solución Reacciones oscilantes
El balance macroscópico de ambas especies X y Y es
acumulación = entra - sale + generación - consumo
Para un sistema de lotes (cerrado), el reactor, los términos de entrada y salida son cero. Si seguimos los pasos delineados en los problemas anteriores, los términos de generación y consumo serán.
Ejemplo Reacciones oscilantes
En un reactor isótermico tienen lugar las siguientes reacciones:
Solución Balance de materia en una destilación por lotes
Puesto que el propano y el butano forman disoluciones ideales, no tenemos que preocuparnos por cambios de volumen durante la mezcla o la separación. Sólo necesitamos el balance de materia para responder a las preguntas hechas. Si t es la variable independiente y xS es la variable dependiente, podemos decir que:
Ejemplo Balance de materia en una destilación por lotes (I)
Un destilador pequeño está separando propano y butano a 135°C; en un principio contiene 10 kg mol de una mezcla cuya composición es x = 0.30 (x= fracción molar de butano). Se alimenta mezcla adicional (xf = 0.30) a razón de 5kgmol/h. Si el volumen total del líquido en el destilador es constante y la concentración del vapor del destilador (xD) está relacionada con xS como sigue:
Solución Balance de materia en estado no estacionario sin generación (II)
Desafortunadamente, ésta es una ecuación con una variable independiente, t, y dos variables dependientes, h y v*. Es preciso encontrar otra ecuación para eliminar ya sea h o v* si queremos obtener una solución. Como queremos que nuestra ecuación final esté expresada en términos de h, el siguiente paso es encontrar alguna función que relacione v* con h y t, y luego podemos sustituir v* en la ecuación de estado no estacionario (b)
Utilizaremos la ecuación de balance de energía mecánica en estado estacionario para un fluido incompresible que analizamos en la sección 5.5 para relacionar v* y h. Vea la figura E7.2b, Con W = 0 y Ev =0, los balances de energía mecánica en estado estacionario se reducen a
Solución Balance de materia en estado no estacionario sin generación (I)
Paso 1 Dibuje un diagrama del proceso y anote los datos. Vea la figura E7.2a.
Ejemplo Balance de materia en estado no estacionario sin generación
Un tanque cuadrado de 4 m por lado y 10 m de altura se llena hasta el borde con agua. Calcule el tiempo que tardará en vaciarse a través de un agujero en el fondo con un área de 5 cm²
Solución Balance de materia de estado no estacionario sin generación.
Plantearemos desde el principio las ecuaciones diferenciales que describen el proceso.
Haga un dibujo y anote los datos conocidos. Vea la figura E7.1
Ejemplo Balance de materia de estado no estacionario sin generación.
Un tanque contiene 100 galones de una disolución de sal en agua que contiene 4.0 lb de sal. Entra agua en el tanque a razón de 5 gal/min y la disolución de sal se desborda con la misma velocidad. Si el mezclado en el tanque es suficiente para mantener la concentración de sal en el tanque uniforme en todo momento. Cuánta sal habrá en el tanque al término de 50min? Suponga que la densidad de la disolución de sal es prácticamente la misma que la del agua.
Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (VIII)
Puede ser bastante difícil resolver analíticamente una de las ecuaciones muy generales (7.6), (7.7) o (7.8), o cualquier combinación de ellas, así que en los siguientes ejemplos tendremos que restringir nuestro análisis a casos sencillos. Si hacemos suficientes suposiciones (razonables) y trabajamos con problemas sencillos, podermos consolidar o eliminar suficientes términos de las ecuaciones como para poderlas integrar y obtener respuestas analíticas. Si no es posible obtener soluciones analíticas, podemos usar un programa de computadora que nos permita obtener una solución numérica para un caso específico.
En la formulación de ecuaciones de estado no estacionario aplicamos los procedimientos usuales de resolución de problemas que vimos en los capítulos anteriores. Podemos plantear la ecuación como en las ecuacione (7.2)-(7.4) o utilizar directamente las ecuaciones diferenciales (7.5)-(7.7). Para completar la formulación de problema será necesario incluir un valor conocido de la variable dependiente (o de su derivada) en un instante específicado, por lo regular la condición inicial.
A continuación examinaremos algunos problemas de estado no estacionario muy sencillos. El lector encontrará ejemplos más complicados en textos que tratan todos los aspectos de la transferencia de masa, la transferencia de calor y la dinámica de fluidos.
Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (VII)
La relación entre el balance de energía dado por la ecuación (7.8), que tiene dimensiones de energía por unidad de tiempo y el balance de energía dado por la ecuación (5.13), que tiene dimensioens de energía, deberá quedar bastante clara. La ecuación (5.13) representa la integración de la ecuación (7.8) respecto al tiempo, lo que se expresa formalmente así:
Las cantidades que aparecen en la ecuación (5.13) sin el punto encima son los valores integrados respectivos de la ecuación (7.9).
Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (VI)
El resto de la notación de los balances de materia y de energía es idéntica a la usada en los capítulos 3 y 5; observe que el trabajo, el calor, la generación y el transporte de masa ahora se expresan todos como términos de velocidad (masa o energía por unidad de tiempo).
Si dividimos ambos miembros de la ecuación (7.2) entre Δt obtenemos
Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (V)
La introducción de todos estos términos en la ecuación (7.1) produce la ecuación (7.2). Las ecuaciones (7.3) y (7.4) se pueden obtener siguiendo exactamente el mismo tipo de análisis. Trate de formular las ecuaciones (7.3) y (7.4) usted mismo.
Balance de materia de la especie A:
Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (IV)
Observe una vez m'as que las dimensiones netas del término de transporte son las de masa de A. Los demás tipos de transporte a través de la frontera del sistema se pueden presentar por
Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (III)
Dividiremos el transporte de masa a través de la frontera del sistema en dos partes: el transporte a través de las superficies definidas S1 y S2 cuyas áres se conocen y el transporte a través de la frontera del sistema por otras superficies (no definidas). El transporte neto de A hacia el interior (a través de S1) y hacia el exterior (a través de S2) del sistema por las superficies definidas se puede escribir así:
Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (II)
Entonces, si usamos el balance de masa de los componentes como ejemplo, la acumulación será la masa de A que hay en el sistema al instante t + Δt menos la masa de A que hay en el sistema en el instante t,
y el símbolo ︱t significa que las cantidades que van antes de la línea vertical se evalúan en el instante t, o en el instante t + Δt, o en la superficie S, o en la superficie S2, según sea el caso denotado por el subíndice. Observe que las dimensiones netas del término de acumulación son las de masa de A.
Conceptos principales Balance de materia y de energía en estado no estacionario (I)
El balance macroscópico ignora todos los detalles de un sistema y por tanto equivale a un balance alrededor de todo el sistema. El tiempo es la variable independiente en el balance.La variables dependientes, como la concentración y la temperatura, no son funciones de la posición, sino que representan promedios globales que abarcan todo el volumen del sistema. Se da por hecho que el sistema está bien mezclado, así que la concentraciones y temperaturas de salida son equivalentes a las concentraciones y temperaturas dentro del sistema.
La traslación ayuda a la ecuación (7.1)
Temas por tratar Balance de materia y de energía en estado no estacionario
En esta sección describiremos cómo se realizan los balances de materia y de energía macroscópicos agrupados para procesos en estado no estacionario en los que el tiempo es la variable independiente.
Balance de materia y de energía en estado no estacionario
Sus objetivos al estudiar esta sección serán capaz de:
Escribir los balances de materia y de energia macroscópicos en estado no estacionario, tanto en palabras como en símbolos.
Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias simples de balance de materia y de energía dadas las condiciones iniciales.
Convertir un problema planteado en palabras en una o más ecuaciones diferenciales.
Los problemas de estado no estacionario de capítulos anteriores han utilizado el término de acumulación global o integrada en los balances de materia y de energía. ahora concentraremos brevemente nuestra atención en los procesos en estado no estacionario en los que interesa el valor del estado (variable dependiente) en función del tiempo. Recuérdese que el término estado no estacionario se refiere a los procesos en los que las cantidades o las condiciones operativas dentro del sistema cambian con el tiempo. Es posible que el lector se encuentre con el término estado transitorio aplicado a tales procesos. El estado no estacionario es un poco más complicado que el estado estacionario, y en general los problemas que implican procesos en estado no estacionario son más díficiles de formular y resolver que aquellos en los que intervienen procesos en estado estacionario. Sin embargo, una amplia variedad de problemas industriales en reacciones por lotes, el cambio de un conjunto de condiciones de operación a otro y las perturbaciones que aparecen cuando fluctúan las condiciones de un proceso.
Ideas Clave Resolución de balances empleando diagramación de flujos
Un diagrama de flujo es una presentación gráfica de los flujos de materia y de energía (y de información) de un proceso.
Los ingenieros resuelven los balances de materia y de energía de un proceso mediante un programa de computadora denominado programa de simulación de procesos.
En el programa de computadora, los balances de materia y de energía se pueden representar pro medio de a) ecuaciones y/o b) módulos. Cada una de estas representaciones requiere estrategias diferentes para su resolución, algunas de las cuales están patentadas.
Retrospectiva Resolución de balances empleando diagramación de flujos
En esta sección describimos las dos formas principales de resolver los balances de materia y de energía con programas de simulación: a) con base en ecuaciones y b) con base en módulos.
Simulación de procesos basada en módulos (XII)
Durante casi 25 años el método de Wegstein (consulte el Apend. L) ha sido la herramienta principal para acelerar la convergencia de las corrientes de recirculación durante la simulación secuencial modular. Aunque este método ignora las posibles interacciones entre las variables de las corrientes de segregación, en la mayor parte de los sistemas funciona muy bien. Se han inventado varios métodos heurísticos para mejorar la convergencia aplazando la aplicación del paso de aceleración de Westing hasta que e ha efectuado un número especificado de paos de sustitución directa, y fijando límites para la aceleración máxima permitida. Cuando se usa el método de Wegstein o la sustitución directa, es necesario controlar la convergencia de las corrientes de recirculación con independencia de la convergencia de las especificaciones de los módulos. También es posible utilizar métodos de Newton o cuasi-Newton para resolver las corrientes de recirculación.
Simulación de procesos basada en módulos (XI)
Una vez que se han identificado las corrientes de segregación y que se ha especificado la secuencia de cálculo, todo está listo para resolver los balances de materia y de energía. Lo único que falta por hacer es calcular los valores correctos para las velocidades de flujo de las corrientes y sus propiedades. Algunos programas de computadora efectúan estos cálculos empleando el método de sustituciones sucesivas que se describe en el apéndice L.La(s) salida(s) de cada módulo en la iteración k se expresan como una función explícita de la(s) entrada(s) calculada(s) de la iteración anterior, k-1. Por ejemplo, en la figura 6.15 para el módulo 1,
S2^(k) = f(S1^(k-1), S10^(k-1), coeficientes)
Simulación de procesos basada en módulos (X)
Un ingeniero por lo regular puede efectuar por inspección la segregación en niveles y la anidación para un diagrama de flujo, y determinar su secuencia de cálculo, si el diagrama no es demasiado complicado. En algunos programas el usuario suministra la secuencia de cálculo como entrada. Otros programas determinan la secuencia en forma automática. En ASPEN, por ejemplo, el programa tiene la capacidad para determinar la secuencia completa de cálculo, pero el usuario puede proporcionar tantas especificaciones como desee, hasta la secuencia completa inclusive. Consulte una de las referencias citadas al final del capítulo sidesea información detallada sobre las técnicas de segregación en niveles óptima, las cuales estánmás allá de los objetivos de este texto.
Figura Secuecia de computación para programas de simulación modular
Se estiman los valores iniciales de ambas recirculaciones y luego se resuelven los módulos en el orden 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Los valores calculados para las corrientes de recirculación S9 y S10 se comparan con los valores estimados dentro de un bloque de convergencia y, a menos que la diferencia sea menor que cierta tolerancia prescrita, se realiza otra iteración con los valores calculado, o con estimaciones basadas en ellos, formando los nuevos vlores estimados iniciales de las corrientes de recirculación.
Simulación de procesos basada en módulos (IX)
El criterio físico y la experiencia en el análisis numérico es importante para seleccionar cuáles variables conviene segregar. Por ejemplo, la figura 6.14 ilustra un separador de vapor-líquido en equilibrio para el cual las ecuaciones combinadas de materia y equilibrio dan la relación.
donde zj es la fracción molar de la especie j de entre C componentes de la corriente de alimentación, Kj = yk/xj es el coeficiente de equilibrio vapor-líquido, dependiente de la temperatura, y las velocidades de flujo de las corrientes son las que se indican en la figura. En el caso de sistemas con intervalos de ebullición angostos, es posible estimar V/F, yj y xj, y utilizar la ecuación (6.3) para calcular Kj y de ahí la temperatura. ESte enfoque funciona bien porque T se encuentra dentro de un intervalo estrecho. En el caso de materiales con intervalo de ebullición amplio, la estrategia no converge bien, y es mejor resolver la ecuación (6.3) para V/F estimando T, y y x, porque V/F se encuentra dentro de un intervalor estrecho aún para cambios grandes de T. Por lo regular, las rutinas de convergencia del programa comprende un módulo separador cuyas variables se conectan a los demás módulos a través de las variables de segregación.
Simulación de procesos basada en módulos (VIII)
Para resolver secuencialmente un conjunto de módulos es preciso segregar ciertas corrientes. La segregación, en el contexto de la simulación modular de procesos, implica desacoplar las interconexiones de los mósulos de modo que pueda haber un flujo secuencial de la información. La segregación se hace necesaria debido a los ciclos de información creados por las corrientes de recirculación. Lo que se hace al segregar es proporcionar estimaciones iniciales de los valroes de aglnas de las incógnitas (las variables de segregación), por lo regular (aunque no forzosamente) las corrientes de recirculación, y luego calcular los valores de las variables de segregación a partir de los módulos. Estos valores calculados se conviertene en las nuevas estimaciones, y asís sucesivamente, hasta que las diverencias entre los valores estimados y los calculados se hacen pequeñas. La anidación de los cálculos determina cuáles corrientes de segregación se deben hacer converger simultáneamente y en qué orden se deben hacer converger estos grupos corrientes.
Simulación de procesos basada en módulos (VII)
Ya eliminaos todos los módulos del diagrama de bloques y no hay más caminos que recorrer. En la bibliografia complementaria al final del capítulo el lector puede encontrar técnicas de computadora para segregar en niveles conjuntos complejos de módulos, además de la que hemos descrito. Los conjuntos sencillos se pueden dividir por inspección.
Desde un punto de vista computacional, la presencia de corrientes de recirculación es uno de los impedimientos para la resolución secuencial de un problema de simulación. Si no hubiera corrientes de recirculación, el flujo de información siempre avanzaría en una dirección y la secuencia de cálculo para los módulos se podría determinar con facilidad a partir del análisis de orden de precedencia que acabamos de describir. Si están presentes corrientes de recirculación, es preciso resolver simultáneamente grupos grandes de módulos, lo que se opone al concepto de resolución secuencial módulo por módulo. Por ejemplo, en la figura 6.13 no es posible realizar un balance de materia del reactor sin conocer la información de la corriente S6, pero para evaluar S6 primero es necesario realizar los cálculos correspondientes al módulo del enfriador, que a su vez depende del módulo del separador, el cual depende del módulo del reactor. La segregación en niveles identificará los grupos de módulos que es necesario resolver imultáneamente (denominados subsistemas ciclicos máximos o redes irreducibles)
Simulación de procesos basada en módulos (VI)
Comenzamos con una unidad arbitraria, digamos la 4, y cualquier secuencia:
Ponemos el número 9 en la lista de orden de precedencia y eliminaos el módulo 9 del diagrama de bloques de información
Continuar: (45621) → (78) → 9 Terminar (poner 78 en la lista antes de 9)
Eliminamos (78) del diagrama de bloques
Continuar: (45621) Terminar (poner 45621 en la lista antes de 78)
Eliminamos (45621) del diagrama de bloques
Con esto completamos la búsqueda por la ruta 1, ya que no hay más molidos.
Ruta 2: Comenzar: 10 →3 Terminar (poner 3 en la lista antes de 45621)
Continuar: 10 Terminar (poner 10 en la lista antes de 3)
Simulación de procesos basada en módulos (V)
Si quiere obtener una solución para los balances de materia y de energía de un diagrama de flujo por el método modular secuencial, usted o el programa deberá dividir el diagrama de flujo en niveles, seleccionar corrientes segregadas, anidar los cálculos y asi determinar la secuencia de cálculo.
Existen muchos métodos para segregar en niveles los módulos de un diagrama de bloques de información y así obtener subconjuntos de módulos de tamaño minimoque es preciso resolver simultaneamente. Como en el caso de los conjuntos de ecuaciones, el objetivo es obtener el bloque de módulos más pequeño en el que los módulos individuales estén vinculados por el flujo de información de las entradas y las salidas. El flujo de información entre los bloques se efectúa en serie. Un algoritmo sencillo consiste en rastrear una ruta del flujo de información (usualmente materia, aunque puede ser energía o una señal) de un módulo al siguiente a través de las corrientes de salida de los módulos. El rastreo continúa hata que I) se encuentra otra vez un m'doulo de la ruta, en cuyo caso todos los módulos de la ruta hasta el módulo repetido formarán un grupo que agrupará y se tratará como un solo módulo en los rastreos subsecuentes o 2) se llegue a un módulo o a un grupo que no tenga salidas, en cuyo caso el módulo o grupo de módulos se eliminará del diagrama de bloques. Por ejemplo, el diagrama de bloques de la figura 6.12 se puede segregar en niveles siguiendo estos pasos.
Solución Balance de materia en una destilación por...
Ejemplo Balance de materia en una destilación por ...
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