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Timestamp: 2017-02-25 04:47:06+00:00

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BrowseInterestsBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultBrowse byBooksAudiobooksNews & MagazinesSheet MusicBrowse allUploadSign inJoinUNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL VALLEJOMATEMÁTICAS IV
Se pretende que este material sea útil y contribuya al aprovechamiento del alumno permitiéndole que:
El material permite que el estudiante perciba las conexiones entre las distintas ramas de la matemática. La cultura básica que continúa desarrollando el proyecto originario de 1971, es formativo y pone énfasis en las habilidades de trabajo intelectual y en el aprendizaje;
El uso de fuentes y la superación del aprendizaje de comentarios que asume el profesor como proveedor principal, si no exclusivo de información y conocimiento, mientras que el modelo del colegio promueve que el alumno recurra directamente a las fuentes de la cultura e información primarias; La definición del alumno como sujeto de su formación y de la cultura, capaz de comprender los contenidos de la enseñanza, pero también de dar cuenta de sus fundamentos, y si fuera de caso de trascenderlos y modificarlos, como sujeto crecientemente autónomo en su saber y crítico. La relación de los aprendizajes con la experiencia personal del alumno y su capacidad de aplicarlos, de maneras que su cultura sea no únicamente escolar ni conceptual, sino práctica y productiva e interdisciplinaria por la combinación de aprendizajes procedentes de distintos campos del saber y del hacer. – Aprender a aprender – Aprender a hacer – Aprender a ser Síntesis práctica de los enfoques desarrollados.
De esta manera, en el Colegio de Ciencias y Humanidades la concepción de la matemática conlleva una intención del para qué queremos enseñarla, y cómo contribuye a la formación de un sujeto capaz de buscar y adquirir por sí mismo nuevos conocimientos; además de analizar e interpretar el mundo que lo rodea de forma reflexiva, analítica, sistemática y constructiva. Por ello, en el CCH se concibe a la matemática como una disciplina que: ○ Posee un carácter dual: Es una ciencia y una herramienta. ○ Manifiesta una gran unidad. ○ Contiene un conjunto de simbologías propias y bien estructuradas, sujetas a reglas específicas que permiten establecer representaciones a distintos niveles de generalidades, que nos permite avanzar en su construcción como ciencia y extender el potencial de sus aplicaciones. ○ El libro conserva el enfoque, metodología distribución en el tiempo y profundidad sugeridos por el plan de estudios del CCH.
Como en el CCH, un aspecto fundamental es la búsqueda del desarrollo de habilidades de pensamiento que permitan al estudiante adquirir por su cuenta nuevos conocimientos, se plantea que la puesta en práctica de estos programas, la enseñanza considere: • Promover la formación de significados de los conceptos y procedimientos, cuidando que éstos surjan como necesidades del análisis de situaciones o de la resolución de problemas, y se sistematicen y complementen finalmente, con una actividad práctica de aplicación en diversos contextos. Las
precisiones teóricas se establecerán cuando los alumnos dispongan de la experiencia y los ejemplos suficientes para garantizar su comprensión. • Propiciar, sistemáticamente, el tránsito entre diversos conceptos,
 Empleo de diversas formas de pensamiento reflexivo.  Adquisición de aprendizajes de manera independiente.
 Comprensión de conceptos, símbolos y procedimientos matemáticos a nivel bachillerato.  Capacidad de análisis.  Capacidad de formular conjeturas.  Capacidad de aprender acierto-error.  Capacidad para generalizar.  Habilidad en el manejo de estrategias.  Incorporación de lenguaje científico.  Aplicación de conocimientos.  Interés por la lectura y comprensión de texto científico.  Valoración del conocimiento científico.
1. hrs.
4. hrs.
Barnett Raymond, et al. Algebra, Mc. Graw-Hill, Interamericana, México 2000. Barnett Raymond, et al. Precalculo: Funciones y Gráficas. Mc. Graw-Hill, México 2000 Johnson, Murphy, y Stefferson, Arnold. Álgebra y trigonometría con aplicaciones. Trillas, México 1998. Larson, Ronald, Hostetler, Robert. Álgebra. Publicaciones, Cultural, México 1996.
Leithol, Louis. Matemáticas previas al cálculo: Análisis Funcional y Geometría Analítica, Harla, México 1996. Sullivan, Michael. Precálculo. Prentice- Hall, Hispanoamericana, México 1997. Swokowski, Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo editorial Iberoamericana, México 2002. Rodríguez, Fco., et al. Paquete didáctico para Matemáticas IV. Guía del profesor. CCH Oriente. UNAM. , México 2002. Walter Fleming, Dale Varberg, Hamline University, Prentice-Hall
Hispanoamericana, S.A., México, Englewood Cliffs, Londres, Sydney, Toronto, Nueva Delhi, Tokio, Singapur, Rió de Janeiro. Bohuslov, Ronald, Geometría analítica, introducción al precalculo, Union tipografica editorial Hispano- Americana, S. A. De C.V. México 1983. Santaló Sors Marcelo, Carbonell Chaure Vicente, Cálculo Diferencial e Integral, Grupo Editorial Éxodo, México 2004. Lehmann, Charles H. , Geometria Analitica, The Cooper School of Engineering , Noriega Editores, Editorial Limusa S .A . de C . V . México 1989. Diplomado en docencía de ciencias y humanidades en el contexto actual
 Situaciones que dan lugar a función polinomial----28 duración 2hrs.  Noción generalizada de función. -------------------------31 a) Relación entre dos variables que cumple ciertas condiciones b) Conjuntos asociados c) Regla de correspondencia d) Notación funcional f(x). e) Problemas f) Ejercicios Duración: 4 hrs.  Concepto de función Polinomial ------------------------ 49 a) Notación: F(x)= a n x n +…+ a 3 x ³+ a x² + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 b) Grado de una función Polinomial c) Gráfica de funciones Polinomiales de la forma:
f(x) = a x³ + c f(x) = a x + c Duración: 4hrs.
con a , c Є R con a , c Є R
 Métodos de exploración para la obtención de los ceros, aplicables a las funciones factorizables de grado 3 y 4.----------------53 a) División de Polinomios b) División sintética c) Teorema del residuo d) Teorema del factor y su recíproco e) Divisores del término independiente f) Identificación de tipos de raíz: Enteras, racionales, reales, complejas y su multiplicidad. Duración: 4 hrs.  Bosquejo de la gráfica de una función Polinomial. ------60 F(x) = a n xn+…+ a3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 a) Intersecciones de la gráfica con los ejes cartesianos. b) Análisis del comportamiento: Valor An, Concavidad, Índice de crecimiento (Alargamiento o compresión). c) Traslación horizontal y vertical f(x+k), f(x) + k d) Noción de intervalo e) Intervalo donde: f(x) es positiva f(x) es negativa f) La no-interrupción de la gráfica. Duración: 4 hrs.  Problemas de aplicación ---------------------------------------67 Duración: 3 hrs.
 Evaluación Diagnostica ---------------------------------------------------------72 Duración 2 hrs.  Situaciones que dan lugar a funciones racionales. -------------------74 Duración 2 hrs.  Noción de intervalo en la recta real. ---------------------------------------78 Duración 2 hrs.  Estudio del comportamiento analítico y gráfico; local y al infinito por medio del dominio y rango de las funciones tipo: --------------90 f(x) = a / x + b + c … f(x) = a / (x + b ) 2 + c Duración 2 hrs.
f(x) = P(x) / Q(x) ; con P(x) y Q(x) lineales o cuadráticas, con a , b , y c Є R Duración 2 hrs.
 Problemas de aplicación. __________________97  Duración 2 hrs.
 Evaluación Diagnostica____________________ 101  Duración 2 hrs.
 Situaciones que dan lugar a funciones con radicales del tipo: f(x) = ax + c ; f(x) = ax² + bx + c Duración 2 hrs.  Estudio analítico y gráfico del dominio y el rango de una función del tipo anterior. Duración 4 hrs.  Resolución de problemas con fenómenos de diversa índole (geométricos y físicos), susceptibles de modelarse a través de funciones racionales o con radicales. Duración 4 hrs.
 Situaciones que involucran variación periódica. Duración 2 hrs.  Generalización en el plano cartesiano de las razones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Duración 2 hrs.
 Círculo unitario: extensión de las funciones seno y coseno para ángulos no agudos. a) Ángulos positivos y negativos. b) Ángulo de referencia. Sus cuatro posiciones. c) Medida de ángulos con distintas unidades: grados y radianes. d) Cálculo de seno y coseno para ángulos mayores de 90° Duración 2 hrs.  Gráfica de las funciones seno, coseno y tangente. a) Análisis del dominio y rango. b) Noción de amplitud, periodo y frecuencia. Duración 4 hrs.  Definición de función periódica: f(x+k) = f(x). Duración 2 hrs.  Gráfica de las funciones: f(x) = a sen (bx + c) + d f(x) = a cos (bx + c) + d a) Análisis del comportamiento de sus parámetros a, b, c y d. b) Fase y ángulo de desfasamiento. Duración 4 hrs.  Las funciones trigonométricas, como modelos de fenómenos periódicos. Duración 2hrs.  Ejemplos.  Problemas de aplicación.  Ejercicios. Duración 4 hrs.
FUNCIONES EXPONENCIALES  Situaciones que involucran crecimiento y decaimiento exponencial.  Análisis de la variación exponencial: a) Papel que desempeña la variable. b) Crecimiento y decaimiento. c) Representación algebraica. d) Contraste de comportamientos entre funciones exponenciales y funciones potencia.  Estudio analítico y gráfico del comportamiento de funciones exponenciales del tipo: f(x) = c a x f(x) = c (1 ∕ a) x con a > 1 y c ≠ 0 con a > 1 y c ≠ 0
Revisión del dominio y del rango. Papel que desempeña c.  Importancia y caracterización del número e.  Las propiedades a x a y = a x + y ; (a x) y = a xy  Ejemplos.  Ejercicios.  Problemas diversos de aplicación.
FUNCIONES LOGARÍTMICAS  Situaciones que dan lugar a funciones logarítmicas.  La función logaritmo como inversa de la función exponencial. Noción de función inversa.  Equivalencia de las expresiones: y = a y log y = x.
 Logaritmos con base 10 y naturales. Propiedades de los logaritmos incluyendo la expresión para cambio de base.  Gráficas de funciones logarítmicas. Su relación con la gráfica de la función.  Exponencial de la misma base. Su dominio y rango.  Ejemplos.  Ejercicios.  Problemas diversos de aplicación.
UNIDAD 1: Funciones Polinomiales. NUM. Examen diagnostico Situaciones que dan lugar a una función polinomial. 1.1 El estudiante: 1.1.1 Explorará en una situación o problema, que da lugar a una función polinomial, las condiciones, relaciones o comportamientos que le permitan obtener información y sean útiles para establecer la representación algebraica. 1.1.2 1.1.3 1.1.4 Modelará situaciones que den lugar a una función polinomial. Establecerá la noción de función. Examinará ecuaciones algebraicas con dos variables o su gráfica para decidir si se trata de una función o no. TEMÁTICA Y OBJETIVOS
Concepto de función polinomial. 1.2 1.2.1 1.2.2 El estudiante: Explorará las situaciones que dan lugar a una función polinomial. Noción generalizada de función. a) Relación entre dos variables que cumplen ciertas condiciones. b) Conjuntos asociados, dominio y rango. c) Regla de correspondencia. d) Notación funcional f(x). 1.2.3 Concepto de función polinomial. a) Notación f(x) = an xn +. . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 b) grado de una función polinomial. c) Gráfica de funciones polinomiales de la forma: f(x) = a x3 + c con a, c Є R f(x) = a x4 + c con a, c Є R
Métodos de exploración para la obtención de los ceros, aplicable a las funciones polinomiales factorizables de grado 3 y 4. a) División de polinomios. b) División sintética. c) Teorema del residuo. d) Teorema del factor y su recíproco e) Divisores del término independiente f) Identificación de tipos de raíz: Enteras, racionales, reales, complejas y su multiplicidad.
Bosquejo de la gráfica de una función polinomial. F(x) = an xn + . . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 a) Intersección de la gráfica con los ejes cartesianos. b) Análisis del comportamiento:
Duración 2 hrs. A. Define los siguientes conceptos: 1. Define el concepto de función. 2. Define el concepto de ecuación. 3. ¿Cuál es la diferencia entre ecuación y función? 4. ¿Toda ecuación tiene una función asociada y viceversa? 5. ¿Qué es un polinomio? 6. ¿Cómo se clasifican las funciones? 7. Escribe las leyes de potencias 8. ¿Qué es un término? 9. ¿Qué es una expresión alfanumérica? 10. ¿Cómo se clasifican las expresiones alfanuméricas? 11. ¿Qué es un polinomio? 12. ¿Cómo se factoriza un polinomio? 13. ¿Cómo se determina el grado de un polinomio? A. Polinomios, productos notables y factorización. 1. Realiza la suma, resta, multiplicación y división entre cada par de polinomios: a) x 4 + x 2 – x + 2; x 2 + x + 1 b) 3 – x – x 2 ; x + 9 – x 3 c) x – (3 + 4i) ; x – (3 – 4 I) d) Divide 3 x 3 – 2 x 2 + x – 2 ; entre x – 2 e) Divide x 3 – 5 x 2 – 5 x + 6 ; entre x – 3 2. Factoriza los siguientes polinomios: a) x 2 – 4 x + 5 = b) 2 x 2 = c) x + x – x + 2 = d) 3 x 3 – 2 x 2 + x – 2 =
e) 2 x 3 – 6 x = f) 4 x + 8 = g) 25 x 2 – 10 x + 1 = h) x 3 – 1 =
3. Dados los siguientes números complejos Z 1 = 3 + 2 i ; Z 2 = 4 – 8 i , Efectúa las operaciones según se indique:
d) Z 1 / Z =
A. Analiza cuidadosamente cada una de las preguntas y contesta SI o NO 1. ¿En una relación a cada uno de los elementos de un conjunto se le pueden hacer corresponder uno o más elementos de otro conjunto?________
2. ¿Si compramos un boleto para el teatro, entre el boleto y el asiento se establece: o una relación o una función?___________________
3. Explica por qué:____________________________________________
4. Menciona dos ejemplos de relación y dos de función: ________________________________________________________
Analiza cuidadosamente cada una de las preguntas y completa lo que falta. 5. ¿En una relación a cada uno de los elementos de un conjunto se le pueden hacer corresponder uno o más elementos de otro conjunto?________ 6. ¿Si compramos un boleto para el teatro, entre el boleto y el asiento se establece: o una relación o una función?___________________ 7. Explica por qué:__________________________________________________ 8. En una función a cada elemento del dominio le corresponde un elemento del _____________________________________. 9. ¿En base a qué, se establece la clasificación de funciones?
________________________________________________________________ ________________________________________________________________ _________________________________________________________. 11. ¿Cómo se clasifican las ecuaciones?
________________________________________________________________ _________________________________________________. 12. ¿Para cada ecuación hay un método de resolución?____________________.
13. ¿Para cada función hay un método de resolución? _____________________.
14. Menciona dos ejemplos de relación y dos de función:____________________
– – Lectura del material en voz alta. Resolución de problemas por equipo. Duración 2 hrs.
1. Si se lanza una pelota hacia arriba en dirección vertical con una velocidad inicial de 80 pies/seg, su distancia s (en pies), de la tierra en cualquier instante t (en segundos) se da por: s = 80 t – 16 t²
a. Graficar esta función en un sistema de coordenadas t – s s
b) Determinar el instante en el cuál la pelota alcanzará su punto más alto (máximo) . t = Vf – Vo / g ; t = 0 – 80 ft/s / 32 ft/s² = 2.5 seg. c) Calcular la altura máxima que alcanzó la pelota. s = Velocidad inicial (t) - ½ g t² s = 80 ft/s (2.5 seg.) + ½ (32 ft/seg²) (2.5 seg)² = 80 + 16 (2.5)² = 80 + 16 (6.25) = 80 + 100 = 180 ft d) Hallar los instantes en que la pelota estará en reposo. La pelota está en reposo cuando alcanza su altura máxima 180 ft y cuando:_____________________________________________________________ e) ¿Cuál es la velocidad promedio durante los dos primeros segundos del recorrido?
Actividades extra clase resuelve los siguientes problemas:
Se construirá una alcantarilla de desagüe con una pieza de lámina de 12 pulgadas de ancho doblando sobre la orilla cantidades iguales de hoja.
¿Qué cantidad de lámina se deberá doblar para que la capacidad de acarreo sea máximo?.
1.1.2 Noción generalizada de función – – – – Discusión del tema. Composición del tema por equipo Exposición frente a pizarrón. Duración 2 hrs.
Compruébalo:___________________________________________________ ______________________________________________________________________ __________________________________________________________________
A los elementos del rango se les representa generalmente con la letra ______en minúscula. Al conjunto del rango se le representa generalmente con la letra ______ en mayúscula.
De igual manera que si se tratara de una recreación o diversión donde hay que obedecer ciertas reglas o condiciones establecidas al inicio del juego, en el tema de funciones también se deben obedecer las reglas o condiciones establecidas al inicio del problema.
Antes de seguir adelante sería conveniente dar la definición de función.
P.G. Lejeune Dirichlet (1805-1859), matemático francés, definió a la función así: Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto (llamado dominio), exactamente un valor de otro conjunto (llamado rango). Otra definición:
Una función determina una correspondencia biunívoca (de uno a uno) entre los elementos de dos conjuntos, uno llamado dominio y el otro rango.
En base a las definiciones anteriores podemos decir que geométricamente una función determina la posición de un solo punto o de una serie de puntos en el plano cartesiano, la serie de puntos unidos por medio de un trazo suave da origen al lugar geométrico que llamamos gráfica o dibujo.
Al conjunto del rango también se le llama: rango.
La regla se representa por:
El dominio se representa usualmente con la letra x y va dentro del paréntesis, señalando así que sobre esos elementos recaen las operaciones que señala la regla.
El rango se representa con la letra y. Como quedó asentado arriba, los valores que se obtienen al realizar las operaciones a los elementos del conjunto dominio, forman el conjunto del rango.
La notación funcional queda: f (x) = y
Obtén las gráficas de las siguientes funciones: 1. f(x) = ± x³ - 1; 2. f(x) = ± x 3 + 1 -4≤x≤4 -4≤x≤4
3. f(x) = ± x 2 – x – 3 -1 < x < 6 4. f(x) = ± x 2 + x + 3 - 1 < x < 6
Completa las siguientes frases usando los conceptos: Función, relación, variable dependiente, variable independiente.
1. Si los valores de una variable y dependen de los de otra variable x y a cada valor de x le corresponde uno o más de y, se dice que x y y están _________.
2. Si a cada valor de x le corresponde un solo valor de y, se dice que y es una _________de x.
3. A la variable x, se le llama: variable ____________ , a la variable y, se le llama: variable__________o función.
No se crea que la regla que da origen al rango y que se aplica a los elementos del dominio, es necesariamente difícil de obtener, pues en muchos casos es obvia y hasta fácil de determinar.
1) La segunda ley de Newton, F = m a. Es una función de dos variables. 2) La aceleración angular α = wf – wi / t. Es una función de tres variables. 3) El área de un triángulo depende de la base y de la altura. Es una función de dos variables.
Ordenamos la información en un instrumento llamado tabla de____________, donde incluimos valores del dominio, rango y el par ordenado o coordenadas.
El par ordenado de valores nos muestra la posición de un punto en el espacio; para ubicarlo en el espacio necesitamos un marco de referencia, dado por el plano llamado:_____________, en honor de René Descartes (filósofo y matemático francés 1596-1650).
Sus características principales son: a) cada cuadrante mide 90° b) Los ejes señalan sentidos positivos y negativos. El eje de las abscisas (horizontal o eje x) del origen hacia la derecha tiene sentido positivo y hacia la izquierda su sentido es negativo; el eje de las ordenadas (vertical o eje de las y) del origen hacia arriba tiene sentido positivo y hacia abajo tiene sentido negativo. Los ejes son rectas numéricas que en su graduación deben mantener una proporcionalidad; es decir, debe o no indicarse la graduación de los ejes dependiendo de la importancia del problema, con el fin de obtener gráficas fieles, libres de distorsiones o errores.
Ejercicios: a) Ubica los siguientes pares ordenados de valores en el plano cartesiano: (x,y), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)
b) A los pares ordenados de valores llamados: _____________________se les puede representar con letras en mayúscula del alfabeto. Al plano cartesiano también se le llama sistema de referencia rectangular, esto se debe a que para ubicar un punto en el plano se lanzan líneas punteadas perpendiculares a cada uno de los valores de la coordenada, y el punto de intersección será el punto buscado.
a) Ubica la coordenada (a, b), en el plano cartesiano, según se indica: b) Ubica el valor de a en el eje x, ubica el valor de b en el eje y. c) Desde a lanza una línea punteada perpendicular al eje y; desde b lanza una línea punteada perpendicular al eje x, el punto de intersección es el que buscamos. Si hubiese más puntos por ubicar se utilizaría el mismo procedimiento.
A las figuras geométricas que se forman al entrelazar todos los puntos, por medio de un trazo, se les llama gráficas.
La gráfica es un dibujo y un método que representa los estados de un fenómeno, esquematiza los datos y señala sus relaciones principales.
Obtén el rango, tabla de valores y las gráficas de las siguientes funciones:
FUNCIÓN Y SU REPRESENTACIÓN GEOMETRICA Las funciones son expresiones matemáticas que nos ayudan a comprender la relación entre variables, partes o componentes de cualquier proceso, ya sea estadístico, biológico, físico, químico, etc.
La gráfica es la herramienta visual o método que nos permite observar punto por punto el desarrollo del proceso: crecimiento, decaimiento, puntos de inflexión (crestas, valles), máximos, mínimos etc.
FUNCIÓN La definición de función que nos enseñan en la escuela dice: Una función es un tipo especial de relación en donde a cada elemento de un conjunto A corresponde un solo elemento de otro conjunto B.
A los elementos del conjunto A, los podemos representar con la letra x y al conjunto A lo podemos llamar dominio. Yendo más lejos, podemos representar al conjunto del dominio y sus elementos x así:
Representación por comprensión:
Dominio = {x / x Є reales}
D = {x / x Є reales} Se leería así: El conjunto del dominio esta formado por un elemento x, tal que x pertenece al conjunto de los números reales (números positivos, el cero y los negativos, enteros o racionales) Al conjunto B lo podemos llamar rango o imagen y a sus elementos los podemos representar con la letra y. La representación por comprensión o simbólica sería así:
Imagen = {y / y Є reales} O I = {y / y Є reales} Leeríamos así: El conjunto del rango o imagen está formado por un elemento y, tal que y pertenece al conjunto de los números reales.
Se determina la relación entre las variables x, y de los conjuntos dominio y rango, sometiendo a los elementos del conjunto dominio a una serie de operaciones matemáticas, lo cual se representa así: F(x) La F representa las operaciones matemáticas que se realizan con o sobre los elementos x del conjunto dominio. La relación biunívoca o función queda establecida cuando a los resultados de f(x) los agrupamos para formar el conjunto que con anterioridad nombramos rango o imagen. La relación entre conjuntos, llamada función, la representamos así: F(x) = y
Y = f(x) Por tanto, una función establece la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos e implica la idea de subordinación o dependencia, pues los valores del rango dependen, se obtienen o resultan, del valor que en ese momento tenga x, que es el valor con que se realizan las operaciones y de las cuales se obtienen los resultados y. Así concluimos: i) ii) iii) iv) v) x representa a uno o cualquier valor del dominio y representa a uno o cualquier valor del rango o imagen x es la variable independiente y es la variable dependiente y = f(x), establece la correspondencia de uno a uno (correspondencia biunívoca o función) entre los elementos de los conjuntos del dominio y del rango.
Radicalesalese funciones:ete formas diferentes o podemos afirmar que existen REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA FUNCIÓN
A( Y X II II Y X x, V I y)
Si al eje horizontal llamado también eje de las abscisas o eje de las x, le llamamos dominio. Y si al eje vertical llamado también eje de las ordenadas o eje de las y, le llamamos imagen o rango. Estableceremos el paralelismo entre la definición de función y la coordenada de un punto. Ubicando un punto cualquiera dentro del plano cartesiano y lanzando líneas punteadas del punto hacia los ejes x, y, los valores determinados por las líneas punteadas sobre los ejes serán las coordenadas del punto, estos valores también satisfacen a la función. Por tanto, a partir de ahora, podemos referirlos como sinónimos pues ambas establecen la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos.
Debido a las operaciones matemáticas que se realizan con los elementos x del dominio para obtener los valores del rango, las funciones se pueden clasificar en siete familias diferentes, cada una con sus propias características y propiedades: 1.- Funciones enteras. 2.- Funciones racionales. 3.- Funciones radicales.
4.- Funciones exponenciales. 5.- Funciones logarítmicas. 6.- Funciones trascendentes o trigonométricas. 7.- Funciones polinomiales.
Cada tipo de función tendrá un tipo diferente de gráfica, y para determinar los valores del rango, a partir de los valores del dominio en cada tipo de función, se aplicará uno o más procedimientos exclusivos de la familia a la que pertenece la función. i) La función y las coordenadas de un punto en el plano cartesiano son sinónimos, pues ambas, establecen la correspondencia de uno a uno (x, y) entre los elementos de dos conjuntos (dominio, rango) = (abscisas, ordenadas) ii) El par de valores (x, y) obtenidos en la función se utilizan como coordenadas de un punto sobre el plano cartesiano. iii) Si los puntos en el plano cartesiano se unen por medio de una línea forman la grafica característica de la función. iv) Hay siete tipos de funciones y por lo tanto siete familias diferentes de gráficas v) La gráfica de la función se forma punto por punto o por una serie de características bien determinadas.
Una función establece la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos uno llamado dominio y el otro rango y geométricamente determina la ubicación de un punto o de una serie de puntos en el plano cartesiano que al ser unidos por un trazo suave da como resultado los lugares geométricos que llamamos gráficas.
La correspondencia es una regla definida en términos operacionales (suma, resta, etc.) entre los elementos de esos conjuntos; de hecho, la regla se aplica a los elementos del dominio y arroja como resultado los elementos del rango.
Un conjunto es una agrupación, reunión o colección ordenada o no de elementos de una misma especie, los elementos son representados por una letra en minúscula del abecedario, mientras que al conjunto se le representa con una letra en mayúscula.
aЄA
En una función se hacen corresponder los elementos de dos conjuntos por medio de una regla.
El dominio es un conjunto de valores dados al inicio del problema, el conjunto de valores del dominio sirven de parámetro, de donde a donde debemos considerar del problema, estos valores determinan la función.
Se representa la función así:
Plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares: y II 180º 90º + I
Los puntos están representados por las coordenadas (dominio, rango), (x,y).
El valor x se ubica en el eje de las abscisas u horizontal.
El valor y se ubica en el eje de las ordenadas o vertical.
Los elementos del dominio (elementos del conjunto dominio), se llaman variables independientes porque se dan al inicio del problema, y no depende de operación alguna para tener ese valor.
Los valores del rango (resultados obtenidos al aplicar la regla a los elementos del dominio), se llaman dependientes porque el valor que adquiere depende del valor del dominio. Actividades extra clase: 1. Obtén la gráfica de la expresión: y = 4x² – 5. 2. La expresión anterior ¿Es una función? ¿Por qué? 3. Enuncia con tus propias palabras que entiendes por función:______________ Menciona 4 ejemplos de relación. 4. Menciona 4 ejemplos de función.
5. Menciona un ejemplo de cantidades que estén relacionadas y que la relación no sea una función. 6. De la expresión: y = f (x) = 4 x² + 16 x + 16 determina el dominio y el rango. 7. Define con tus palabras asíntota. 8. ¿Cuál es el dominio de la función?: y = (x – 6)½ 9. ¿Dónde corta la función?: x² + 3x – 5 / x³ + 2
1.1.3 Concepto de función polinomial. – – Investigación en la biblioteca. Discusión en clase Resolución de ejercicios y problemas frente a pizarrón, individual. Duración 4 hrs.
FUNCIONES POLINOMIALES Fundamentalmente un polinomio es una expresión que puede obtenerse utilizando sólo las operaciones de suma, resta y multiplicación a partir de los números reales. Por ejemplo, se obtiene: 5 x 4 multiplicando (5) (x) (x) (x) (x) (x). Se puede obtener 6 x³ con el mismo proceso.
¿Por qué 2 x – 2 = 2 / x², no es polinomio?
Las funciones polinomiales son aquellas que satisfacen la siguiente definición:
A una función P se le llama función polinomial si es del tipo:
P(x) = a 0 x n + a 1 x n- 1+ ··· + a n – 1 x + a n
Donde n es un número entero positivo o cero y los coeficientes a 0, a son (n + 1) números reales o complejos.
····, a n – 1, a n
P(x) es de grado n siempre que a 0 ≠ 0, aunque algunos o todos los coeficientes restantes pueden ser cero. Cada una de las expresiones tales como: a j x
; 0 ≤ j ≤ n se
denomina término del polinomio. Cuando n = 0 el polinomio consta de un solo término al cual se le asigna el grado cero. Una excepción a esto es la constante cero a la que no se le asigna ningún grado.
P(x) = 2 x 4 – 5 x 3 + x.
En este caso se ha utilizado una abreviatura obvia. Sin ésta, el polinomio sería:
P(x) = 2 x 4 + (- 5) x 3 + 0 x 2 + (1) x + 0
Note que el polinomio es de cuarto grado con coeficientes:
a 0 = 2,
a 1= - 5 ,
Una función polinomial es de la forma: _____________________________________ Donde n es un número entero positivo o cero y los coeficientes a 0, a 1,..., a n, son (n + 1) números reales o complejos.
Se sabe que la grafica de la función lineal: f(x) = ax + b es siempre una __________. Y que si a = 0, la gráfica de ax² + bx + c es una: _____________.
1. Si n es par y a < 0, la gráfica tendrá dos valles; si n es par y a > 0, tendrá dos crestas. Esto se debe al dominio del término de grado más alto para valores grandes | x |. 2. Si n es impar, tendrá un valle y una cresta. Nuevamente se debe al dominio del término de grado más alto.
3. El número combinado de valles y crestas no puede exceder a n – 1; aunque puede ser menor.
a) Dada la función polinomial P(x) y un valor del dominio a, hallar P(a). b) Dada una función polinomial P(x), determinar todos los valores del dominio para los cuales P(x) = 0. c) Dada una función polinomial P, construir su gráfica de la manera más fácil y eficiente.
1.1.4 Métodos de exploración para la obtención de los ceros, aplicable a las funciones polinomiales factorizables de grado 3 y 4. – – – – – Trabajo por equipo, máximo cuatro alumnos. Resolución de series de problemas y ejercicios. Resolución de problemas tipo en el pizarrón. Lluvia de ideas. Duración 6 hrs.
Los siguientes teoremas son importantes en la determinación de los incisos anteriores. Los elementos de la división son: a) Dividendo b) Divisor c) Cociente d) Residuo
División de Polinomios. Sea P(x) el polinomio que se va a dividir (dividendo), G(x) el polinomio que divide (divisor), de grado menor o igual a P(x); C(x) el polinomio que se obtiene como resultado de la división (cociente), y R(x) el polinomio que sobra de la división (residuo).
Dividendo----- P(x) Divisor----------G(x) Cociente____ C(x)
h) Residuo---------R(x) i) Por eso podemos decir que el algoritmo de la división de polinomios es: Teorema (i): Algoritmo de la división: P(x) = G(x) C(x) + R(x) Dados un dividendo P(x) y un divisor G(x) se tiene únicamente un cociente C(x) y un residuo R(x). Ejemplo: Si P(x) = x 4 + x 2 – x + 2 y D(x) = x 2 + x +1, hallar C(x) y R(x) de modo que: P(x) = G(x) C(x) + R(x) x2-x+1 x 2+ x + 1 x4+ +x2 -x+2
De acuerdo al teorema (i): P(x) = x 4 + x 2 – x + 2; C(x) = x 2 - x + 1 G(x) = x2 – x + 1, R(x) = - x + 1
Como puede comprobarse. x 4 + x 2 – x + 2 = (x2 – x + 1) (x 2 - x + 1) + - x + 1 Teorema (ii): Teorema del residuo.
Si P(x) es un polinomio de grado mayor o igual a 1 y se divide entre G(x) un polinomio igual a (x – a) donde a es cualquier número real o complejo, hasta obtener un residuo numérico, entonces el polinomio P(a) = al residuo numérico R. Estableciéndose el teorema del residuo:
Teorema (ii):
P(x) = (x – a) G(x) + P(a)
El teorema del residuo es importante porque el residuo de la división es igual al valor del polinomio P(x), para el valor x = a, es decir:
El teorema del residuo se puede emplear para resolver problemas como el siguiente:
a) Dada una función polinomial representada por P(x) y un número a del dominio de P, hallar P(a).
b) Dada una función polinomial representada por P(x), determinar todos los valores del dominio para los cuales P(x) = 0. A estos números se les llama ceros del polinomio o raíces de la ecuación polinomial P(x) = 0.
Ejemplo: Sea P(x) = 3 x 3 – 2 x 2 + x – 2. Determinar P(2) utilizando el teorema del residuo. Solución: De acuerdo al teorema anterior, el valor de P(2) es el residuo de la división de P(x) entre (x – 2).
3x2+4x +9 x–2 3x3– 2x2 + x - 2 -3x3+6x2 4x2+ x -4x2+8x 9x - 2 - 9 x + 18 16 = P(2)
Sea P(x) = x 3 + 27. Determinar un cero de P(x) y factorizar P(x).
Teorema (v): Teorema fundamental del álgebra.
División Sintética, Teorema del Residuo y Gráficas La división sintética y el teorema del residuo proporcionan una forma eficiente para graficar las funciones polinomiales. El proceso se agiliza al formar una tabla de
divisiones sintéticas secuenciadas (una tras otra) en donde el elemento que divide se mueve en el dominio de la variable.
Divide P(x) = x3 + 3 x2 – x – 3 entre los valores del dominio –4 ≤ x ≤ 2, las parejas ordenadas de valores (x, P(x) ) son las coordenadas de los puntos que forman la gráfica.
Coordenadas (-4, -15) (-3, 0) (-2, 3) (-1, 0) (0, - 3) (1, 0) (2, 15)
Actividad extra clase PROBLEMAS: a) Exprese 2 x4 + x3 – x2 – 2 / x3 + 1, como un polinomio más una expresión racional propia.
b) Encuentra el cociente y el residuo cuando x4 + 6 x3 – 2 x2 + 4 x – 15 se divide entre x2 - 2 x + 3.
a) Resuelve con división sintética: • • • x4 - 4x3 + 29 entre x – 3 2x4 – x3 + 2x – 4 entre x + ½ x4 + 4x3 + 4 √ 3x2 + 3 √ 3x + 3 √ 3 entre x + √ 3
a) Demuestra que el segundo polinomio es factor del primero y determina el otro factor. • • • x5 + x4 – 16 x – 16 ; x – 2 x5 + 32 ; x + 2 x4 – 3 / 2 x3 + 3 x2 + 6x + 2 ; x + ½
a) Utiliza la división sintética para demostrar que el segundo polinomio es un factor del primero y determínese el otro factor. • • • x4 + x3 – x – 1 ; x2 – 1 x4 – x3 + 2x2 – 4x – 8 ; x2 –x – 2 x4 + 2 x3 – 4 x – 4 ; x2 + 4
a) Encuentra k de modo que el segundo polinomio sea un factor del primero. • x3 + x2 – 10 x + k ; x – 4
x4 + kx + 10 ; x – 1 k2 x3 – 4kx + 4 ; x – 1
a) Determina h y k tales que ambos, x – 3 y x + 2 sean factores de: x4 – x3 + hx2 + kx – 6.
b) Determina a, b, y c tales que (x – 1)3 sea un factor de: x4 + ax3 + bx2 + cx - 4
1.1.5 Bosquejo de la gráfica de una función polinomial. – – – – Graficación de una serie de funciones. Discusión sobre su comportamiento. Definición de propiedades y características Duración 4 hrs.
Caso uno: Grafica la función:
f(x) = a x²;
1. ¿Cómo es la gráfica con respecto al eje y? 2. ¿Cómo es la gráfica con respecto al eje x? 3. ¿Cuánto vale el cero de la función?
Contesta SI o NO: 1. ¿La curva se encuentra contenida en un solo lado del eje x? 2. ¿El lado del eje x donde esta contenida la gráfica esta determinado por el signo del coeficiente a? 3. ¿La curva se encuentra arriba o abajo del eje x según que el coeficiente a del término cuadrático sea positivo o negativo?
Caso dos: Grafica la función polinomial:
f(x) = a x² + c;
a > 0, c = 0.
a) ¿Cuál es la diferencia que observar entre esta función y la del caso anterior? b) ¿La gráfica de la función está afectada por la constante c? c) ¿La gráfica se trasladó sobre el eje vertical?
Contesta SI o NO. a) ¿Si c > 0, la gráfica se desplaza sobre el eje y hacia arriba una distancia igual a la señalada por c?
b) ¿SÍ c < 0, la curva se desplaza sobre el eje y hacia abajo una distancia igual a la señalada por c?
Caso tres. Construye la función polinomial: f(x) = a x² + b x + c;
Obtén la traslación de la función dentro del plano cartesiano y contesta: 1. ¿Cuáles son las coordenadas de la parábola?
Actividades extra clase: 1. En cada uno de los ejercicios construye la curva correspondiente a la ecuación que se da. a) y = x3 – 2 x2 – x + 2. b) y = 2 x4 – 11 x3 + 20 x2 – 12 x. c) Y = x5 – 5 x4 – 6 x3 + 38 x2 – 43 x + 5.
1. Si la función polinomial general f(x), igualada a cero, tiene por raíces los números complejos conjugados (a + bi) y (a – bi), en que a y b son reales, b ≠
0, y i = √ -1, demuéstrese que f(x) tiene un factor cuadrático positivo para todos los valores reales de x, y por tanto, que no hay ningún punto de intersección de la curva y = f(x) con el eje x. 2. Si la función polinomial general f(x), igualada a cero, tiene raíces reales de orden impar, iguales cada una al valor a, demuéstrese que la curva y = f(x) corta al eje x en el punto (a, 0). 3. Si la función polinomial general f(x), igualada a cero, tiene raíces reales de orden par, iguales cada una al valor a, demuéstrese que la curva y = f(x) es tangente al eje x en el punto (a, 0). 4. Para las curvas potenciales y = xn , demuestra: a) Que todas las curvas del tipo parabólico pasan por el punto (1, 1) y el origen. b) Que todas las curvas del tipo hiperbólico son asíntotas a los ejes coordenados.
Completa las coordenadas donde la gráfica choca en el eje de las x:
(-3, __), (__,0), (4,0)
Se puede bosquejar rápidamente la gráfica realizando las consideraciones siguientes: - ∞ < x < -3, -3 < x < 1, 1<x<4 4<x<+∞
Contesta SI o NO: 1. Si aplicamos el teorema del residuo a la región -∞ < x < -3, ¿P(x) < 0? Demuéstralo. 2. Si aplicamos el teorema del residuo a la región: –3 < x < 1, ¿P(x) > 0? Demuéstralo. 3. Si aplicamos el teorema del residuo a la región: 1 < x < 4, ¿P(x) > 0? Demuéstralo.
4. Si aplicamos el teorema del residuo a la región: 4 < x < + ∞, ¿P(x) > 0? Demuéstralo. Toma los puntos medios de esas regiones y construye la gráfica. Y
1.1.6 Problemas de aplicación. – – Trabajo por equipo. Duración 2 hrs.
1. Traza la gráfica de de la función P(x) = ½ (x – 3 x³ - x² + 3x).
a) Factoriza el polinomio. b) Determina los ceros del polinomio. c) Determina las coordenadas de la gráfica del polinomio.
Utilizando el teorema del residuo determina otros puntos de la gráfica:
Como podrás notar los puntos de inflexión y giro no se pueden determinar; por eso solo podemos trazar un esquema de la gráfica, basados en las coordenadas obtenidas. Actividades extra clase. 2. En cada caso construye las curvas potenciales cuyas ecuaciones se dan. a) y = (x – 1)3 b) y = (x + 1)5 c) y = x4 + 1 d) y – 2 = (x – 3)4 e) y + 1 = (x – 1 ) 3 / 2 f) y – 1 = ( x + 1) 2 / 3 g) y – 3 = (x + 2) - 4
3. A partir de sus ecuaciones paramétricas, obtén la ecuación rectangular de la curva de Agnesi: y = 8 a3 / x2+ 4 a2. Efectuar una discusión completa de la curva.
4. Traza la curva cuya ecuación es: x3 + xy2 – 3 ax2 + ay2 = 0. Esta curva se llama: trisectriz de Maclaurin. Como su nombre lo indica puede usarse para trisecar un ángulo cualquiera.
5. Traza la curva cuya ecuación es: x4 + y4 = a4. Esta curva se conoce con el nombre de: curva de cuarto grado de Lamé.
6. En el mismo sistema de ejes coordenados dibujar las porciones de curvas de la familia de curvas xn + yn = 1, correspondientes al primer cuadrante cuando a n se le asignan sucesivamente los valores de ½, 2/3, 1, 2, y 4. Identificar cada lugar geométrico y observar el efecto obtenido haciendo variar el valor de n.
7. Trazar el lugar geométrico de: x3 + y3 – 3 axy = 0. Esta curva se llama: hoja de Descartes.
8. Trazar la gráfica de: (x2 + y2)2 – ax2y = 0. Esta curva se llama: bifoliada.
9. Trazar la curva cuya ecuación es: x3 + xy2 + ax2 – ay2 = 0. Su lugar geométrico es la estrofoide.
10. Trazar el lugar geométrico de: x2y – a2x + b2y = 0. Esta curva se llama: serpentina.
11. Trazar el lugar geométrico de: y1/6 – 2ay3 + a2x2 = 0.
12. Trazar el lugar geométrico de: x2y2 = a2(x2+ y2). Esta curva se llama: cruciforme. Se debe notar que aunque el origen pertenece a la gráfica ningún otro punto de la vecindad de origen está sobre la curva. Un punto, tal como el origen, se llama entonces punto aislado.
13. Obtén de las siguientes funciones su gráfica, dominio, rango, raíces o ceros. a) f(x) = (x + 5) (x + 3) (x + 3) (x + 3) (x – 2) (x – 2) (x – 5) b) f(x) = (x + 4) (x +1) (x – 3) x2 c) f(x) = (x – 2)4 (x + 5)3 x3 d) f(x) = (x – 3)3 (x + 3)2 (x – 5)2 e) f(x) = (x + 3)2 (x – 2)4 x3 (x – 5)3 f ) f(x) = x3 (x2 + 3x +2)
g) f(x) = x3 + 2x2 – 5 x - 6 h) f(x) = x4 – 13x2 – 12x
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