Source: https://es.scribd.com/doc/68503886/Primer-y-Segundo-Grado
Timestamp: 2016-05-02 11:10:34+00:00

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Antes de empezar. 1.Expresiones Algebraicas …………….. Identidad y ecuación Solución de una ecuación
Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver ecuaciones de segundo grado tanto completas como incompletas. Utilizar el lenguaje algebraico y las ecuaciones para resolver problemas.
2.Ecuaciones de primer grado….….…. pág. 44 Definición Método de resolución Resolución de problemas 3.Ecuaciones de segundo grado …..… pág. 46 Definición. Tipos Resolución de ax²+bx=0 Resolución de ax²+c=0 Resolución de ax²+bx+c=0 Suma y producto de las raíces Discriminante de una ecuación Ecuación (x-a)·(x-b)=0 Resolución de problemas Ejercicios para practicar Para saber más Resumen Autoevaluación Actividades para enviar al tutor
¿Cuánto te costó esa radio? Un cuarto, más un quinto, más un sexto, menos 21 euros fue la mitad de todo.
Llamamos x a la cantidad buscada:
x x x x + + − 21 = 4 5 6 2 15 x 12 x 10 x 1260 30 x + + − = 60 60 60 60 60 7 x = 1260 → x = 180
Identidad: 2(x + 1) = 2x + 2
Identidad y Ecuación.
Una igualdad algebraica esta formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). • • Cuando la igualdad es cierta para algún valor de las letras se llama ecuación. Si la igualdad es cierta para cualquier valor de las letras se llama identidad.
Observa que se verifica para cualquier valor de x:
x = 0 ; 2(0 + 1) = 2 = 2(0) + 2 x = 1; 2(1 + 1) = 4 = 2(1) + 2 x = 2 ; 2(2 + 1) = 6 = 2(2) + 2
Ecuación: x + 1 = 2
Observa que se verifica sólo para x=1
x = 1; 1 + 1 = 2 x = 2; 2 + 1 = 3#2 x = 3; 3 + 1 = 4#2
El valor de la letra que hace que la igualdad se verifique se llama solución de la ecuación. Resolver una ecuación es encontrar la solución ó soluciones. Una ecuación se llama compatible si tiene solución. Si no tiene solución se llama incompatible. Dos o más ecuaciones que tienen soluciones se llaman equivalentes. las mismas
compatible solución x=3 es una ecuación tiene por única
x + 1 = 4 es una ecuación compatible tiene por única solución x=3
Las dos ecuaciones equivalentes son
es una ecuación incompatible, no tiene solución, ningún número elevado al cuadrado puede ser negativo
Para obtener una ecuación equivalente a una dada se utilizan las siguientes reglas.
Ecuaciones equivalentes a
Si sumamos o restamos a los dos miembros de una ecuación la misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación la misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.
x + 7 = 10 se obtiene sumando 2 x + 5 + 2 = 8 + 2 → x + 7 = 10 2x + 10 = 16 se obtiene multiplicando por 2
2(x + 5) = 2·8 → 2x + 10 = 16
Clasifica la siguiente expresión algebraica: 6(7x − 1) + 3x = 4x + 76 ,en identidad o ecuación. Sol: Es una ecuación, 6(7x − 1) + 3x = 42x − 6 + 3x = 45x − 6 # 4x + 76
Clasifica la siguiente expresión alegraica: 7(5x − 1) + 5x = 40x − 7 ,en identidad o ecuación. Sol: Es una identidad, 7(5x − 1) + 5x = 35x − 7 + 5x = 40x − 7
Escribe una ecuación de la forma ax+b=c cuya solución sea x=4 Sol: 3x − 5 = 7
Escribe una ecuación de la forma ax =b que sea equivalente a 5x + 4 = −16 Sol: Restando 4 a los dos miembros de la ecuación se obtiene 5x = −20
Escribe una ecuación de la forma x +b=c que sea equivalente a 5x + 20 = 15 Sol: Dividiendo por 5 a los dos miembros de la ecuación se obtiene 5x + 4 = 3
Razona si x=2 es solución de la ecuación: 5x + 3(x − 1) = 13
Sol: Si es solución 5(2) + 3(2 − 1) = 10 + 3·1 = 10 + 3 = 13
Razona si x=3 es solución de la ecuación: 7x + 3(x − 2) = 16
Sol: No es solución 7(3) + 3(3 − 2) = 21 + 3·1 = 24 #16
Comprueba que x=-1, es solución de la ecuación 5x + x2 = −4
Sol: Si es solución 5(−1) + (−1)2 = −5 + 1 = −4
Escribe una ecuación que sea incompatible
Sol: (x − 1)2 = −4 , ningún número elevado al cuadrado es negativo
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma: ax=b, siendo a y b números reales y a#0. El mayor exponente de las x debe ser 1. Si a#0 siempre tiene solución y además es única, la solución es: x=-b/a
2x + 9 = 15 Ecuación de grado 1, se puede escribir como 2x = 6
Para resolver una ecuación de primer grado se siguen estos pasos. • Se eliminan los denominadores. Para ello se calcula el mcm de los denominadores y se multiplican los dos miembros de la ecuación por él. Se quitan los paréntesis. Agrupar los términos en x a la izquierda del igual y los números a la derecha. Reducir términos semejantes.
3x + 2(x − 1) = 5 2
Quitar denominadores:
⎛ 3x ⎞ 2⎜ + 2(x − 1) ⎟ = 2·5 ⎝ 2 ⎠ 3x + 4(x − 1) = 10
3x + 4x − 4 = 10 Agrupar: 3x + 4x = 10 + 4 Reducir: 7x = 14 14 Despejar: x = =2 7
EJEMPLO 1) La edad de un padre es triple de la de su hijo, si entre los dos suman 72 años, ¿qué edad tiene cada uno? Edad del hijo: x años Edad del padre: 3x años Entre los dos 72 años → 3x+x=72 EJEMPLO 2) ¿Cuántos litros de vino de 4€ litro tenemos que mezclar con vino de 2 € litro, para obtener 40 litros de vino cuyo precio sea 3 € el litro. Vino de 4€/l: x litros Precio: 4x Vino de 2€/l: 40-x litros Precio: 2(40-x) Precio de la mezcla 40·3 → 4x+2(40-x)=3·40
Ecuación : 3x+x=72 Se resuelve: 4x=72 x=72/4=18 El hijo tiene 18 y el padre 54 años
Ecuación : 4x+2(40-x)=3·40 Se resuelve: 4x+80-2x=120 2x=40 x=40/2=20 Hay mezclar 20 litros de vino de cada precio.
−7x + 5 9x − 7 + = −1 a) 7 8
56 −7x + 5 7 + 56 9x − 7 8 = 56·( −1) → 8(−7x + 5) + 7(9x − 7) = −56 −47 7
−56x + 40 + 63x − 49 = −56 → 7x = −47 → x =
2x − (x + 1) 5x + 2 = b) 4 6
x −1 4
→ 3(x − 1) = 2(5x + 2) 7 −7 = −1
3x − 3 = 10x + 4 → −7x = 7 → x =
3x − 7(x + 1) 2x − 1 = −2 c) 6 3
3x − 7(x + 1) 6
− 6·2 → 3x − 7(x + 1) = 2(2x − 1) − 12 7 8
3x − 7x − 7 = 4x − 2 − 12 → −8x = −7 → x =
2x − 5 −2x + 8 − =x 3 7
−2x + 8 − 21 = 21x → 7(2x − 5) − 3(−2x + 8) = 21x 3 7 14x − 35 + 6x − 24 = 21x → − x = 59 → x = −59 21
6x − (x − 8) −2x − 17 = + x Sol: 6 3
+ 6x → 6x − (x − 8) = 2(−2x − 17) + 6x 6 3 5x + 8 = −4x − 34 + 6x → 3x = −42 → x = −14
6x − (x − 8)
−2x − 17
La edad de un padre es el triple que la de su hijo, si entre los dos suman 56 años ¿Cuál es la edad de cada uno?
Edad del hijo:x 56 = 14 x + 3x = 56 → 4x = 56 → x = Sol: Edad del padre:3x 4 La edad del hijo es 14 años y la del padre es 42 años
¿Cuántos litros de vino de 5€ el litro deben mezclarse con vino de 3€ el litro para obtener 50 litros de vino cuyo precio sea de 4€ el litro? Sol: Litros de vino de 5 € :x litros
vino de 3 € el litro x vino de 6 € el litro 50
precio 5x 200 5x + 3(50 − x) = 200 → 2x = 50 → x = 25
vino de 4 € el litro 50 − x 3(50 − x)
Hay que mezclar 25 litros de 5 € con vino de 3 €
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma: ax2 + bx + c = 0, siendo a, b y c números reales y a≠0.
Ecuación de segundo grado completa: 3x2 + 4x + 2 = 0 a=3 ; b=4 ; c=2 Ecuación de segundo grado incompleta: 3x2 + 2 = 0 a=3 ; b=0 ; c=2
Los coeficientes de la ecuación son a y b. El término independiente es c. Si b≠0 y c≠0, se dice que la ecuación es completa. Si b=0 ó c=0 la ecuación es incompleta.
Resolución de ax2+bx=0
La ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2+bx=0 tiene dos soluciones: x1=0 y x2=-b/a Se resuelve sacando factor común a la x e igualando los dos factores a cero.
x(3x + 9) = 0 →
⎧x = 0 ⎪ ⎨ ⎪3x + 9 ⎩
= 0 → x = 3
Resolución de ax2+c=0
La ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2+c=0, puede no tener solución ó tener dos −c soluciones distintas de la forma x = ± a
3x2 − 9 = 0
→ x = ±
Resolución de ax2+bx+c=0
La ecuación de segundo grado completa es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax2+bx+c=0, siendo a, b y c números reales ya≠0 Para obtener las soluciones utilizamos la fórmula
−(−5) ± 2 (−5) − 4·1·6 2 25 − 24 2 = 5±1 2 =
= 6 = 3 2 4 = 2 2
Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, estas cumplen las siguientes propiedades :
Las raíces son x=3 y x=2
−b c x1 + x2 = ; x1·x2 = a a
x1 + x2 = 2 + 3 = 5 = x1·x2 = 2·3 = 6 = 6 1
−(−5) 1
Se llama discriminante de una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, a la expresión: Δ=b2-4ac • • • Si Δ>0 hay dos raíces reales distintas Si Δ=0 hay dos raíces reales iguales Si Δ<0 no hay raíces reales
Δ = b2 − 4ac = 52 − 4·2·(−3) = 49
Tiene dos raíces reales distintas
3x2 + 5x + 6 = 0
Δ = b − 4ac = 5 − 4·3·6 = −37 <
No tiene raíces reales
Δ = b2 − 4ac = 62 − 4·1·9 = 0 = 0
Tiene dos raíces reales iguales
(x + 7)·(x − 9) = 0
Para que un producto sea igual a cero basta con que uno de los factores sea cero.
Para que un producto de varios factores sea cero, al menos uno de los factores ha de ser cero. Para resolver las ecuaciones en las que un producto sea igual a cero, (x-a)(x-b)=0, se igualan a cero cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones resultantes. x-a=0 ; x=a x-b=0 ; x=b
x + 7 = 0 → x = −7 x−9 = 0 → x = 9
Las ecuaciones de primer y segundo grado aparecen en multitud de ocasiones en la resolución de distintos problemas de la vida real
La suma de los cuadrados de dos números naturales es 313. ¿Cuáles son los números?
Llamamos x al menor de los números. Llamamos x+1 al consecutivo La ecuación es: x2 + ( x + 1) = 313
Comprender el enunciado Identificar la incógnita Traducir a lenguaje algebraico Plantear la ecuación Resolver Comprobar las soluciones
x2 + x2 + 2x + 1 = 313 2x2 + 2x + 1 = 313 2x2 + 2x − 312 = 0
x = −2 ± 4 + 2496 2·2 = −2 ± 2500 4 = −2 ± 50 4 = 12 −13
La solución es el número 12, (-13 no vale por no ser natural).
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
⎧x = 0 ⎪ a) x2 − 6x = 0 Sol: x(x − 6) = 0 → ⎨ ⎪x − 6 = 0 → x = 6 ⎩
⎧x = 0 ⎪ b) x2 + 27x = 0 Sol: x(x + 27) = 0 → ⎨ ⎪x + 27 = 0 → x = 27 ⎩ ⎧x = 0 ⎪ c) 3x2 + 5x = 0 Sol: x(3x + 5) = 0 → ⎨ 5 ⎪3x + 5 = 0 → x = − 3 ⎩
⎧x = 6 ⎪ a) x2 − 36 = 0 Sol: x2 = 36 → x = ± 36 → ⎨ ⎪x = −6 ⎩
3 ⎧ ⎪x = 2 9 9 ⎪ b) 4x2 − 9 = 0 Sol: x2 = → x = ± →⎨ 4 4 3 ⎪ ⎪x = − 2 ⎩
c) x2 + 9 = 0
Sol: x2 = −9 → No hay solución
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: a) x2 − 7x + 10 = 0 Sol: x =
5 7 ± 49 − 40 7 ± 9 7 ± 3 = = = 2 2 2 2
−17 ± 289 − 240 −17 ± 49 −17 ± 7 3 = = = b) 3x + 17x + 20 = 0 Sol: x = 6 6 6 −4
c) 3x2 + 5x + 4 = 0
−5 ± 25 − 48 −5 ± −23 = = No hay solución 6 6
Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raices sean x=-1, x=4: Sol:
S = −1 + 4 = 3 P = −1·4 = −4 → x2 − 3x − 4 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x − 2)(x + 3) = 0 b) (3x − 1)(x − 5) = 0 Sol: x − 2 = 0 → x = 2 ; x + 3 = 0 → x = 3 Sol: 3x − 1 = 0 → x = 1 ; x −5 = 0 → x = 5 3
1. Determina si las siguientes igualdades
algebraicas son ecuaciones:
6. Calcula el valor de x:
a) 3(x − 1) + 2x = x + 1 b) 2 − 2(x − 3) = 3(x − 3) − 8 c) 2(x + 3) + 3(x + 1) = 24 d)
3x + 2(x − 1) = 12 2
a) 6(x − 1) − 3x = 4x + 6 b) 3(x − 1) − 5 = 3x − 8 c) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 d) x − (2x − 5) = 3x − 8
7. Obtén la solución de las siguientes
el grado ecuaciones: a) x2 − 1 = x + 2
ecuaciones: a) b) c)
x −1 x + 3 − =1 2 3 x −3 − 3(x + 2) = −20 2 2 − 2(x − 3) x + 4 − =3 2 4
b) x2 − 1 = x2 + x + 2 c) x3 − 1 = x3 + x2 + 2 d) x − 1 = 3x + 2
si x=4 es solución siguientes ecuaciones: a) 3(x − 1) − 5 = 3x − 8 b) (x − 1)2 − 5 = x c) 2(x + 3) − 5x = x + 2
4(x + 1) x+3 +x− = 5 + 3(x − 2) 2 3
8. Encuentra dos números consecutivos
que sumen 71
9. Encuentra un número tal que sumado
d) x3 − 60 = x
4. Escribe una ecuación de primer grado
con su triple sea igual a 100
10. ¿Qué edad tengo ahora si dentro de 12
cuya solución sea: a) x=2 b) x=3 c) x=1
5. Resuelve las siguientes ecuaciones de
años tendré el triple de la edad que tenía hace 8 años?
11. Juan tiene 12 años menos que María,
dentro de 4 años María tendrá el triple de la edad de Juan ¿cuántos años tienen ahora?
12. A una fiesta asisten 43 personas. Si se
primer grado: a) 10 − x = 3 b) 2x − 5 = 15 c) −9 + 4x = x d) 3x − 10 = 50 + x
marchasen 3 chicos, habría el triple de chicas que de chicos.¿Cuántos chicos y chicas hay?
13. Resuelve 20. La diagonal de un rectángulo mide 10
a) x − 5x = 0 b) x2 + 3x = 0 c) x2 − 9 = 0 d) x2 + 5 = 0
14. Resuelve
cm. Halla sus dimensiones si un lado mide 2 cm menos que el otro.
21. Encuentra dos números positivos que
se diferencien en 7 unidades sabiendo que su producto es 44.
22. Encuentra dos números cuya suma sea
a) x2 − 5x + 6 = 0 b) x2 − 3x − 4 = 0 c) x2 + 3x − 10 = 0 d) x2 − 6x + 9 = 0
15. Resuelve
10 y su producto 24
23. Un campo de fútbol mide 30 m más de
largo que de ancho y su área es de 7000 m2 , halla sus dimensiones.
24. Tenemos un alambre de 17 cm. ¿Cómo
a) (x + 2)(x − 3) = 0 b) (3x + 1)(x + 5) = 0 c) x(x + 9) = 0 d) (2x + 8)(3x − 9) = 0
hemos de doblarlo para que forme un ángulo recto de modo que sus extremos queden a 13 cm?.
25. Halla el valor de los coeficientes a,b y
c en la ecuación de segundo grado 7x2 + bx + c = 0 para qué sus soluciones sean 3 y -2
una ecuación de grado cuyas raíces sean: a) x=3 y x=-5 b) x=2 y x=4 c) x=-1 y x=-9 d) x=0 y x=-5
26. La diagonal de un rectángulo tiene 10
cm. Calcula sus dimensiones si el lado pequeño mide ¾ del lado grande.
27. Reparte el número 20 en dos partes de
forma que la suma de sus cuadrados sea 202.
28. Encuentra
17. Resuelve
a) (x + 2)(x − 3) = 6 b) (x + 1)(x − 5) = 16
18. Calcula el valor de m sabiendo que
dos números positivos sabiendo que se diferencian en 7 unidades y su producto es 60. triángulo rectángulo tiene de perímetro 24 metros, y la longitud de un cateto es igual a ¾ del otro. Halla sus lados.
x=3 es solución de la ecuación de segundo grado x2 - mx+27=0
19. La suma de un número natural y su
30. Encuentra dos números sabiendo que
cuadrado es 42. ¿De qué número se trata?
suma 18 unidades y su producto es 77.
Se dice que a es congruente con b módulo m si a y b dan el mismo resto al dividir por m. Se escribe: a
17 ≡ 12 mod 5 Observa que al dividir 17 entre 5 da resto 2 y al dividir 12 entre 5 da resto 2. 17 ≡ 11 mod 2 12 ≡ 6 mod 3
≡ b mod m
Una ecuación lineal de congruencias es una ecuación de la forma:
Resolver: 2x-4 ≡ 0 mod 3
ax+b ≡ 0 mod m
Si p es una solución de la ecuación también lo son p+m, p+2m,p+3m,....
mcd(2,3)=1 hay una solución que es x=2, también lo son 2+3k
Si M=m.c.d.(a,m)=1 hay una solución Si M=m.c.d.(a,m)#1 y M es divisor de b hay M soluciones Si M=m.c.d.(a,m)#1 y M no es divisor de b no hay solución
Resolver: 2x-12 ≡ 0 mod 4
mcd(2,4)=2 y 2 divisor de 4 hay dos soluciones que son x=0, también lo son 0+4k x=2, también lo son 2+4k
Resolver: 2x-1 ≡ 0 mod 4
mcd(2,4)=2 y 2 no es divisor de 4 no hay solución. Observa que 2x-1 es impar, y ningún impar es múltiplo de 4
Identidad Igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica para cualquier valor de las letras Ecuación Igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica para algún valor de las letras
Solución de una ecuación Es el valor de la incógnita que hace cierta la igualdad. Ecuación Incompatible Es la ecuación que no tiene solución. Ecuación Compatible Es la ecuación que tiene solución. Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Ecuación de primer grado Son ecuaciones que se pueden expresar en la forma ax=b con a#0. Tienen una sola solución que es x=a/b
Completas: ax2+bx+c=0
• Si b2-4ac>0 tiene 2 soluciones • Si b2-4ac=0 tiene 1 solución doble • Si b2-4ac<0 no tiene solución
Incompletas: Si b=0 ó c=0 •
ax2+c=0 → x =
La suma de las soluciones de la ecuación de segundo grado es −b x1 + x2 = a El producto de las soluciones de la ecuación de segundo grado es c x1·x2 = a
• -c/a>0, dos soluciones • -c/a<0, no hay solución • c=0, una solución doble, x=0
Soluciones: x=0, x=-b/a
Ecuación Canónica. Si S es la suma de las raíces y P el producto la ecuación des segundo grado se puede escribir en la forma: x2-Sx+P=0
1. Escribe una ecuación de la forma ax+b=c cuya solución sea
2. Resuelve la ecuación: x −
x − 16 = 2(x + 6) 6
3. Encuentra un número sabiendo que si ha dicho número le
sumo seis veces el consecutivo el resultado es igual a 755
4. Resuelve la ecuación:
x+4 x+7 =1 + 2 3
5. Resuelve la ecuación: −4x2 − 7x = 0
6. Resuelve la ecuación: −2x2 + 8 = 0
7. Resuelve la ecuación: x2 − 24x + 108 = 0
8. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 20
9. El cuadrado de un número positivo más el doble de su
opuesto es 960. ¿Cuál es el número?
10. Resuelve: (x+9)·(4x-8)=0
1. a) ecuación c) identidad 2. a) 2 3. a) si
b) 1 b) si b) identidad d) ecuación c) 2 c) no d) 1 d) si
2 16. a) x + 2x − 15 = 0 2 b) x − 6x + 8 = 0 2 c) x + 10x + 9 = 0 2 d) x − 5x = 0
4. a) x + 3 = 5 c) 3x − 1 = 2 5. a) x=7
c) x=3 c) x=3 c) x=1
b) 2x + 1 = 7
b) x=10 d) x=30 b) x=5 d) x=4 d) x=6
17. a) x=4 , x=-3 b) x=7 , x=-3 2 c) x + 10x + 9 = 0 d) x2 − 5x = 0 18. 12 19. 6 20. 8 y 6 21. 11 y 4 22. 6 y 4 23. 100 y 70 24.
Los puntos de doblado están a 12 y 5 cm de los extremos
6. a) x=1
7. a) x=15 b) x=5 8. 35 9. 25 10. 18 11. Juan 2 y María 14 años 12. 13 chicos y 30 chicas 13. a) x=0
c) x=0 c) x=2 c) x=0 x=5 x=-3 x=3 x=-5 x=-9 b) x=3 x=-3 d) No hay solución b) x=-1 x=4 d) x=3 x=3 b) x=-1/3 x=-5 d) x=-4 x=3
25. b=-7 c=-42 26. 6 y 8 27. 11 y 9 28. 12 y 5 29. 6,8 y 10 30. 11 y 7
14. a) x=2
15. a) x=-2 x=3
1. -2x+7=-9 2. -8 3. 107 4. -4 5. 0 y -7/4 6. 2 y -2 7. 18 y 6 8. x2 − 21x + 20 = 0 9. 32 10. -9 y 2
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