Source: https://es.scribd.com/doc/50255355/Estrategias-para-resolver-problemas
Timestamp: 2017-11-24 03:54:29+00:00

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Rosa Viar Pérez (rosaviar@hotmail.com) I.E.S. “Conde de Aranda” ALAGON (9 de Noviembre de 2007) INTRODUCCIÓN
Antes de empezar a hablar de las diferentes estrategias que existen, me gustaría comentar tanto lo que es un problema como lo que es un modelo de resolución.
¿Qué es un buen problema?
_ Representa un desafío para quien lo intenta resolver
_ No deja bloqueado de entrada a quien lo ha de resolver _ Tiene interés por sí mismo _ Estimula en quien lo resuelve el deseo de proponerlo a otras personas _ Proporciona al resolverlo un determinado placer difícil de explicar pero agradable La resolución del problema es el proceso de ataque de ese problema: aceptar el desafío, formular preguntas, clarificar el objetivo, definir y ejecutar el plan de acción y evaluar la solución. Llevará consigo el uso de la heurística, pero no de una manera predecible, por que si la heurística pudiera ser prescrita de antemano, entonces ella se convertiría en algoritmo y el problema en ejercicio. En la resolución de problemas podemos servirnos de modelos o guías que nos faciliten el camino que debemos recorrer a lo largo de todo el proceso de resolución. Existen varios modelos de resolución de problemas pero sólo voy a comentar el de un gran matemático llamado Miguel de Guzmán (sí os interesan otros os puedo dar bibliografía) La finalidad de éste modelo consiste en adquirir unos cuantos hábitos mentales que capaciten para un manejo eficaz de los problemas. Si dichos hábitos son sanos, la actividad mental será un ejercicio menos costoso, suave e incluso placentero. Para pensar mejor es bueno: _ Tener un modelo al que ajustarse _ Hacer mucha práctica de pensar, tratando de ajustarla a dicho modelo _ Tener una forma de examinar nuestro proceso, pues sucede con frecuencia que sólo interesa el resultado de un problema y no su proceso de resolución. En esquema éste modelo se basa en cuatro fases: 1
Para facilitar el flujo de ideas posibles. Esta fase del proceso puede ser la más provechosa de todas. y la que con más frecuencia olvidamos de realizar. nos podemos ejercitar en la práctica de unas cuantas normas generales. Es conveniente y necesario a la hora de resolver problemas. que es tratar de mejorar los procesos de pensamiento en la resolución de problemas.. ya se ha decidido finalizar el trabajo sobre la resolución del problema que nos ocupa.1ª. En la primera fase intentaremos sacar todo el mensaje contenido en el enunciado mirando el problema pausadamente y con tranquilidad para saber claramente cuál es la situación de partida.. En la segunda fase.. se debe tratar de acumular distintas formas de ataque del problema. Para poder realizar con éxito la segunda fase del modelo de resolución de problemas.Búsqueda de estrategias 3ª. En la cuarta fase. en ocasiones las más estrafalarias pueden resultar las mejores. En la tercera fase.. Se trata de que fluyan de la mente muchas ideas. es la reflexión profunda sobre la marcha que se ha seguido. El objetivo que se pretende.Familiarización con el problema 2ª.Llevar adelante la estrategia 4ª. Estas son: 2 . Lo que sí es muy importante para conseguir el objetivo. Después de elegir una la llevamos adelante con decisión y si no nos condujera a buen puerto volveríamos a la fase anterior de búsqueda de estrategias hasta conseguir dar con la o las adecuadas que nos conduzcan a la solución.. aquella o aquellas que tengan más probabilidad de éxito. cuál la de llegada y lo que hay que lograr. puede quedar perfectamente realizado tanto en un caso como en el otro. que permiten construir diversas estrategias en la resolución de problemas. nos centraremos en el tema: ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: DESCRIPCIÓN Y EJEMPLOS Las estrategias nos permiten transformar el problema en una situación más sencilla y que sepamos resolver. es el momento de juzgar de entre todas las estrategias que han surgido. a veces se aprende más de los problemas intentados con interés y tesón. aunque en principio puedan parecer descabelladas.. conocer las posibles estrategias o herramientas heurísticas que existen. que de los que se resuelven casi a primera vista... no importa mucho que se haya resuelto o no. y no resueltos.Revisar el proceso y sacar conclusiones de él.
ENSAYO Y ERROR 5.. Figura. datos...1...SIMPLIFICAR. Notación.. Modelos manipulativos 4. submetas. -Analiza los casos límite. REDUCCIÓN AL ABSURDO O CONTRADICCIÓN -Método de INDUCCIÓN MATEMÁTICA -Principio del PALOMAR DE DIRICHLET 3 .Empezar por casos sencillos . -Proponer subproblemas.Intentar llevar adelante las conjeturas.. CODIFICACIÓN -Técnicas asociadas: Esquema. -Utilizar menor número de variables. Diagrama. etc. regularidades y leyes. PARTICULARIZAR 3.EXPERIMENTACIÓN: Sacar pautas.MODIFICAR EL PROBLEMA -Descomposición en problemas más pequeños.CONJETURAR .ORGANIZACIÓN.. 7.. 10. 9..EXPLORACIÓN -Saca partido a la simetría. 11.HAZ RECUENTO -Realiza un conteo parcial -Practica los recuentos exhaustivos.....ANALOGÍA O SEMEJANZA 2. 8.-TRABAJAR MARCHA ATRÁS O CONSIDERAR EL PROBLEMA RESUELTO 6. Gráfico.TÉCNICAS GENERALES -Supón que no. Lenguaje.
al final de cada una. juegos etc.. a fin de encontrar un buen asidero que nos proporcione confianza. Esta estrategia suele ir asociada a la PARTICULARIZACIÓN y GENERALIZACIÓN. problemas. ante la situación que nos ocupa. en general se necesitará la utilización de varias.. nos podemos preguntar: . Al hacerlo.Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura Solución: El área lateral corresponde al siguiente desarrollo Se parece a . será más fácil cuanta más experiencia tengamos en la resolución de problemas. buscar situaciones semejantes a la propuesta. que nos proporcionarán estrategias válidas para la que nos ocupa. ¡ Un trapecio ¡ ( Estamos utilizando la analogía ) . Esta búsqueda.¿A qué nos recuerda? . Posteriormente.. surgirán procedimientos de ataque de dichas situaciones semejantes. similitudes) en el “archivo” de la experiencia.ANALOGÍA O SEMEJANZA Consiste en la búsqueda de semejanzas (parecidos. El área del trapecio es igual: Base mayor + base menor Area = ---------------------------------. se dará una lista de problemas para trabajar y así conseguir una buena práctica en la aplicación de la estrategia. con casos.. probablemente.. (las que queden se verán el curso próximo) resolviendo además un problema que ejemplifique dicha estrategia. que ya se hayan resuelto. Problema.¿Es como aquella otra? Es muy bueno. relaciones. Se debe tener en cuenta que muy pocos problemas se resuelven utilizando una única estrategia. 1. A veces.A continuación vamos a describir de forma detenida alguna de estas estrategias. altura 2 h= lado generatriz del tronco de cono h= H 2 + ( R − r) 2 luego Area = 2πR + 2πr 2 ⋅ H 2 + ( R − r) 2 ¿Será cierto? 4 ..
Su disposición es notable... Intenta elaborar dos estrategias que puedan conducir a la victoria: una para usarla si eres tú el primero en comenzar y otra si te toca en segundo lugar.En cada fila. Cada uno coge una ficha por turno.. intenta primero resolver el problema análogo para 10!= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 2...-Cuadrados Mágicos 2 9 4 7 5 3 6 1 8 Este cuadrado rellenado de números (9 primeros números) se llama CUADRADO MÁGICO. Nota. 4.-Sumar quince. Nota.Nueve fichas numeradas del 1 al 9. encuentra la expresión de su diagonal en función de las medidas anteriores.En cada fila . 3. La suma de los números en una misma fila. columna y diagonal sólo haya una carta de cada palo.. Gana el primero que sume 15.-¿En cuántos ceros termina el número100! =100x99x98x.Analogía: cuadrado mágico 3x3 . columna o diagonal es la misma.Para una caja de zapatos (paralelepípedo) de medidas a..x4x3x2x1? Nota: como el resultado de 100! es un numero muy grande.Con todos los ases.. sotas. columna y diagonal sólo haya una carta de cada figura 2.-Uno de cartas.Analogía: plano-espacio 5.Problemas para trabajar: 1. Juegan dos jugadores. 375 y –120 (considera cuadrados 3x3). b y c... 5 .-Caja de zapatos. caballos y reyes de una baraja (16 cartas) construye un cuadrado 4x4 de forma que: 1. se ponen sobre la mesa.-Muchos ceros. 2+7+6 = 15 (suma de los números de la 1ª fila) 9+5+1 = 15 (suma de los números de la 2ª fila) 2+5+8 = 15 (suma de los números de una diagonal) 6+1+8 = 15 (suma de los números de la 3ª columna) Al número 15 se le llama característica del cuadrado mágico. Se pide: construir cuadrados mágicos de característica 24.
c=Copas y e=Espadas 2. b=Bastos. En este caso se puede empezar construyendo un problema semejante más sencillo. R=Rey. entonces para empezar se puede abordar una parte de él que parezca más simple.. Experimentación. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos? 6 . tratar de resolverlo y luego proceder a complicarlo hasta llegar al propuesto inicialmente. por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro.No hay estrategia ganadora. A veces te encuentras con un problema que resulta difícil por su tamaño. ya que en múltiples ocasiones te permitirá lograr un avance. si se juega bien no hay vencedor 4.. Veamos un ejemplo. S=Sota.Soluciones: 1. Es una de las mejores estrategias para los principiantes. Puede ir relacionada con otras estrategias como : Generalización.24 3. significa simplificar el problema haciéndolo más concreto y específico.Ao Rb Se Cc Cb So Rc Ae Sc Ab Re Co Ce Ro Ac Sb Esta es una solución.. Otras veces el problema visto en su conjunto resulta inabordable. Particularizar. C=Caballo. pero hay 71 más. La particularización puede hacerse al azar para entender el significado del problema o de forma sistemática para preparar el terreno hacia la generalización Acude a ésta estrategia cuando no poseas ninguna idea que te haga prosperar.SIMPLIFICAR. Modificación del problema.D = a 2 + b 2 + c 2 5. Se utiliza en la técnica de demostración lógica denominada “contraejemplo”: basta encontrar una sola excepción para refutar de forma irrevocable lo que pretende ser una regla o una afirmación de carácter general. pues sirve para adquirir confianza y en otros casos proporciona ayuda en los atascos y bloqueos y nos permite manipulando los datos entrar en materia. hasta que sea posible hacer algún progreso. PARTICULARIZAR Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a considerar un conjunto más pequeño (o incluso un solo objeto) contenido en el conjunto dado.16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en la primera ronda.Nota: A=As.. o=Oros.
(1.Este es un castillo de cartas de tres pisos. claramente hay una sola forma.Cuadrados.Capicúas.¿Puede terminar el cuadrado de un número entero por tres cifras idénticas distintas de cero? 3. 4. comenzamos con dos jugadores. que se leen lo mismo de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. Si los jugadores son 6. un emparejamiento 1 NO NO NO NO 2 SÍ NO NO NO 3 SÍ SÍ NO NO 4 SÍ SÍ SÍ NO 4 jugadores. (2. tenemos los siguientes 6 grupos: (1.La rosa mística.4). tenemos 3 emparejamientos.Alguien dijo una vez que el tablero de ajedrez contiene 204 cuadrados ¿Estará en lo cierto? 2..-Castillo de cartas.. Cada punto está unido a todos los demás. Tengo un amigo que asegura que todos los números capicúas de 4 cifras son divisibles por 11 ¿Es cierto? 7 ... aparecen 15 grupos (compruébalo) ¿Serías capaz de encontrar una ley y deducir cuántos emparejamientos hay con 16 jugadores?.A los números como 12321. Se necesitan 15 cartas.. Si los jugadores son 4..El record mundial está en 61 pisos.4).2). (2. ¿Cuántas cartas necesitarías para batir ese record y hacer un castillo de 62 pisos de altura?.Solución: Como el número de jugadores es elevado.4) y (3.-Uno de números. Si el número de jugadores es 3.Este diagrama se ha realizado uniendo entre sí con líneas rectas los 18 puntos del círculo.3). (1. Otra forma de resolver el problema es visualizar las diversas situaciones en diagramas y sacar conclusiones 1 1 2 NO NO 2 SÍ NO 1 2 3 4 2 jugadores.3). 6 emparejamientos Problemas para trabajar 1. -¿Cuántas cartas se necesitarán para un castillo similar de 10 pisos de altura? .. se les llama capicúas.. ¿Cuántas líneas rectas hay en total? 5.
fáciles de conocer y fáciles de recordar.-Son inversas 3. Suele ser de gran ayuda enfocar el problema en términos de tres componentes fundamentales: antecedentes (origen y datos). Las diferentes notaciones y códigos nos conducen a utilizar un determinado lenguaje. De ésta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos más importantes del problema y de ahí muy a menudo se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación.-Sí 6. diagramas y esquemas. 5797 4. que nada tienen de geométrico. esquemas.-1296 7. probabilístico etc. ) y el imaginativo o pictórico (figuras. consiste en adoptar un enfoque sistemático del problema. mediante números impares y con cuatro sumandos.Rectángulos.-Sí 2.Los lenguajes que resultan útiles en la resolución de problemas son: El lenguaje de la lógica. Las técnicas asociadas a la organización.6. en general.-155. por ejemplo el 1444 3. el de las Matemáticas (geométrico. algebraico. Las figuras que te fabriques del problema deben incorporar.-Soluciones. una figura o gráfico puede ayudar considerablemente en todo tipo de problemas. figuras.ORGANIZACIÓN. 10 = 1+3+3+3. CODIFICACIÓN La organización. 10 = 1+1+3+5. Una buena organización suele ir asociada con la elección de una notación o código que organice la búsqueda de posibles caminos hacia la solución. Veámoslo en el siguiente ejemplo: Hay varias formas de sumar 10.. diagramas etc. de alguna forma sencilla.. tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como nuevas soluciones) Para obtener 20 con 8 sumandos impares ¿Cuántas formas hay? 8 .¿Qué relación hay entre las soluciones de las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 y cx2 + bx +a = 0? Soluciones: 1. Estos símbolos o dibujos no se reservan al uso exclusivo de la Geometría. ya que las figuras trazadas sobre el papel son fáciles de hacer. pasan por realizar: símbolos apropiados. el objetivo y las operaciones que pueden realizarse en el ámbito del problema.). tenemos: 10 =1+1+1+7. croquis. gráficos..-153 5.-Sí. manipulaciones etc.. los datos relevantes y suprimir los superfluos que pueden conducir a confusión. Una buena organización es un buen punto de arranque y a veces allí se encuentra la clave del éxito. el analógico (modelos.).¿Cuántos rectángulos de lados paralelos a los lados del tablero hay en un tablero de ajedrez? 7. analítico..
2 Euros. uno de doble superficie que el otro.Pepe y Pablo hacen footing de A a B.. Durante medio día trabajó todo el personal en el prado grande.. . 10+20=30 etc. 10 Euros y 20 Euros. dando lugar al diagrama en árbol anterior... Cada moneda puede figurar o no figurar (~).. Ejemplo.. en la 2ª un guante y en la 3ª dos guantes.Artel de segadores. a excepción de un reducido sector del prado pequeño. ¿Cuántas combinaciones hay? Un esquema como el siguiente nos lleva a la solución.. Quizás este código nos resulte más fácil de manejar y así resolver el problema. todos ellos iguales ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas? Después de jugar un poco con el problema se puede llegar a definir un código que nos organice la búsqueda. Pablo corre la mitad del tiempo y anda la otra mitad. Los dos corren a la misma velocidad y los dos andan a la misma velocidad.. así llegamos hasta 11 combinaciones posibles ¿Te atreves? Codificación. Pepe corre la mitad de la distancia y anda la otra mitad.Desde luego hay que organizarse un poco y ser sistemático: 20= 1+1+1+1+1+1+1+13.En tu bolsillo tienes 5 monedas: 1 Euro. 1+10=11.. la secuencia BAA BA BAA nos indica que en la 1ª caja hay dos guantes.. la mitad de la gente quedó en el prado grande y la otra mitad trabajó en el pequeño. Ejemplo. Así si los guantes los representamos por A y las cajas por B.Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados. 20=1+1+1+1+1+1+7+7. ¿Quién llega antes? 9 .. después de la comida. cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. 20 = 1+1+1+1+1+1+3+11. Durante esa tarde se terminaron los dos campos. 5 Euros. así 1+2=3. seguramente nos liaremos. 2. Problemas para trabajar 1. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla?.Tenemos 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda..-Haciendo footing. ¿Cuántas cantidades distintas puedes formar? Solución: Si empezamos una búsqueda poco organizada.
Ensayo y error dirigido: en él contrastamos cada respuesta para ver si estamos más cerca o más lejos del objetivo buscado. Se supone que no puede pasar dos veces por el mismo sitio.-Elegimos un valor: el 10 2. emprende el camino a su ermita por el mismo sendero. 2. 3. a las 9 de la mañana.-8 a 1+ 5 5.-Llevar a cabo con éste valor las condiciones indicadas por el problema. 142+14 =210 . 10 ... operación o propiedad) posible..Ensayo y error sistemático: los valores no se eligen a la ventura.8 2. obtenemos 132 Solución: 1. Un gato quiere llegar a la posición de salida.-Sí 4.Ensayo y error fortuito: realizado sin pautas o al azar.3.Problema. 3. Sale de su ermita a las 9 de la mañana y después de caminar todo el día llega a la cumbre.-Calcular un número tal que al elevarlo al cuadrado y sumarle el número buscado.Pablo 3. Veamos un ejemplo.. 210 es mayor de 132 luego será 11.-LLevamos a cabo con éste valor las condiciones del problema 102+10 =110 3.Se inscribe un cuadrado en un semicírculo.El monje en la montaña. de forma que eliminemos las posibles repeticiones de ensayo agotando las las soluciones posibles hasta encontrar lo que buscamos.-Elegir un valor (resultado.... ¿Cuántos caminos diferentes tiene?. Allí pasa la noche y a la mañana siguiente..= b 2 4.Aquí aparece el plano de un solar.. sino de manera ordenada. 5.-ENSAYO Y ERROR Consiste en realizar los siguientes pasos: 1. Al ir bajando se pregunta: ¿habrá algún punto del camino en el que hoy esté a la misma hora que estuve ayer? 4.-Probar si hemos logrado el objetivo: 110 es menor de 132 Volvemos a empezar con otro número :14.. 2.Uno de Geometría...Un monje decide subir desde su ermita a la montaña para pasar allí la noche orando.-Probar si hemos alcanzado el objetivo buscado. 12 ó 13. Esta estrategia puede ser puesta en práctica de formas diferentes. Calcula la relación entre a y b Soluciones: 1. estas son: 1.
21.16. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito un número.17.De forma sistemática.3. Si lanzamos los dos discos al aire y sumamos los dos números. podemos obtener estos resultados: 11.Ensayo y error fortuito... Durante su estancia vieron un corral con cerdos y gallinas.Ejemplo. Gallinas 17 16 15 Patas 38 40 3.Judit y Teodoro fueron de visita a la granja de su abuelo.Discos Aquí tienes dos discos circulares.16 y 17.20. Se van dando valores de forma sistemática 1..12.20.22.16. Gallinas 4 6 8 Patas 64 60 2. En la otra cara tiene escrito otro número.13.-De forma dirigida Cerdos 10 9 8 7 Gallinas 8 9 10 11 Patas 56(nos hemos pasado) sobran cerdos 54 “ “ “ “ 52 “ “ “ “ 50 es la solución Problemas para trabajar 1. Solución: 1.. Cerdos 14 12 10 Etc. qué números estarían escritos en la cara oculta de cada disco? 11 . ¿Y si los resultados obtenidos fuesen 12. etc. Damos valores al azar.15.19.21. Cerdos 1 2 3 Etc.23. Judit afirma haber contado un total de 50 patas ¿Cuántos cerdos había? (sin utilizar ecuaciones).2.17. Teodoro dijo haber contado 18 animales en total.18. Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco Prueba ahora con estos tres discos sabiendo que los resultados que se obtienen son : 15.
El resultado de dividir dos números de dos cifras en una calculadora ha sido 0. Cada una tiene huevos de una clase... 3: 321 y 322 27 6. Hállalos.El huevero tiene ante sí seis cestas con huevos.4.3 ó 1.4..7 2.9310344 ¿Cuáles eran esos números? Soluciones: 1.. 71 y 73.252 es el producto de dos números consecutivos. 2.. 3.2..-Rectas e iguales. ¿Cuáles son? 3. 4.Con dos discos 2 y 9 ó 6 y 5 Con tres discos y los primeros resultados. Cada cesta tiene el número de huevos que se indica: 6 15 29 12 14 23 El huevero dice señalando una cesta que no acierto a ver cual es exactamente: “si vendo esta cesta.627 es el producto de tres números impares consecutivos.-Dos números. 5.357.7 ó 3.Números..2. no hay solución entera Con tres discos y los segundos resultados.3 ó 5. 2: 123 y 124.-15.Juega con tu calculadora 1. de gallina o de pata.Los huevos de gallina y pata.-206.29 12 ... 3.-Se trata de trazar cuatro rectas de manera que la suma de los números encerrados en cada una de las once regiones resultantes sea siempre igual a 10. ¿Cuáles son? 6. me quedará el doble de huevos de gallina que de pata”.1: 69. utilizando solamente 4 cuatros y los signos de las operaciones.2.725 es la suma de dos cuadrados perfectos consecutivos.Vende la cesta que contiene 12 huevos 5.5 ó 5.6.-Obtener todos los números del 1 al 10.
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