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Timestamp: 2016-07-27 10:11:17+00:00

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programa estudio 8th
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MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2011
Geometría Semestre 2 Unidad 3. Datos y azar Unidad 4. Números y álgebra Unidad 2. Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)
5 7 7 9 10 12 14 17 20 21 22 23
25 27 28 35 46 47 58 63
. Álgebra MATERIAL DE APOYO SUGERIDO Anexos: Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares Anexo 2: Objetivos Fundamentales por semestre y unidad Anexo 3: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad Anexo 4: Relación entre Aprendizajes Esperados.ÍNDICE
PRESENTACIÓN Nociones básicas Aprendizajes como integración de conocimientos. habilidades y actitudes Objetivos Fundamentales Transversales Mapas de Progreso Consideraciones generales para implementar el programa Orientaciones para planificar Orientaciones para evaluar MATEMÁTICA Propósitos Habilidades Orientaciones Didácticas VISIÓN GLOBAL DEL AÑO Semestre 1 Unidad 1.
sin que sea necesario su desglose en definiciones más específicas. Una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación. previa aprobación de los mismos por parte del Mineduc. De manera adicional a estos componentes. habilidades y orientaciones didácticas. lo que se expresa a través de los Aprendizajes Esperados2.PRESENTACIÓN
El programa es una propuesta para lograr los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos
El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico del año escolar. 2 En algunos casos estos aprendizajes están formulados en los mismos términos que algunos de los OF del Marco Curricular. La totalidad de los elementos que componen el programa incluyen lo siguiente: • Nociones básicas. También entrega algunas orientaciones pedagógicas relevantes para implementar el programa en el sector. Esta sección presenta sintéticamente los propósitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendizajes del sector y las habilidades a desarrollar. Consisten en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el trabajo en torno al mismo. Esto ocurre cuando estos OF pueden ser desarrollados de manera íntegra en una misma unidad de tiempo. se presenta un conjunto de elementos que se entregan con la finalidad de orientar el trabajo pedagógico realizado a partir del programa y promover el logro de los objetivos que este propone. a la vez. El presente programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no cuentan con programas propios. • • Una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades. • Propósitos. presenta una visión general acerca de la función de los Mapas de Progreso.
Decretos supremos 254 y 256 de 2009. Esta sección presenta conceptos fundamentales que están en la base del Marco Curricular y. Esta propuesta tiene como propósito promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el Marco Curricular1. Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son: • Una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los OF y CMO del Marco Curricular. presentada a modo de sugerencia. • Consideraciones generales para implementar el programa. La ley dispone que cada establecimiento pueda elaborar sus propios programas de estudio.
organizados de acuerdo a unidades. Se trata de recursos bibliográficos y electrónicos que pueden ser utilizados para promover los aprendizajes del sector.
Material de apoyo sugerido.
Relaciones interdisciplinarias ®. Se simbolizan con ® las actividades que relacionan dos o más sectores.
Instrumentos y ejemplos de evaluación.•
Visión global del año. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la unidad. distinguiendo entre aquellos para ser consultados por el docente de los que pueden ser utilizados por los estudiantes. incluyen indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes.
. Ilustran formas de apreciar el logro de los Aprendizajes Esperados presentando estrategias diversas que pueden ser utilizadas para este fin. Presenta la totalidad de Aprendizajes Esperados a desarrollar durante el año.
habilidades y actitudes para enfrentar diversos desafíos. usar la información de manera apropiada y rigurosa. es decir. Por otra parte. porque… …el aprendizaje involucra no solo el saber. los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alumnos resultan elementos inertes. Requieren promoverse de manera metódica y estar explícitas en los propósitos que articulan el trabajo de los docentes. sino también el saber hacer. Esto supone orientarlos hacia el logro de competencias.NOCIONES BÁSICAS
la continua expansión y la creciente complejidad del conocimiento demandan cada vez más capacidades de pensamiento que permitan.
. esos aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina como las habilidades y actitudes.
Se deben desarrollar de manera integrada. elementos que no pueden poner en juego para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos. Se trata una noción de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos. tanto en el contexto del sector de aprendizaje como al desenvolverse en su entorno.
Habilidades. entre otras. realizar cálculos en forma mental y escrita y verificar proposiciones simples. como resolver problemas. entre otros aspectos. los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontáneamente al estudiar las disciplinas. las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y. Las habilidades. examinar críticamente las diversas fuentes de información disponibles y adquirir y generar nuevos conocimientos. Para tales efectos. porque…
…sin esas habilidades. Aprendizajes como integración de conocimientos. entendidas como la movilización de dichos elementos para realizar de manera efectiva una acción determinada. conocimientos y actitudes…
Habilidades Son importantes. habilidades y actitudes
Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estudio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades. a la vez. se enriquecen y potencian de forma recíproca. Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos. formular conjeturas.
porque… …los aprendizajes no involucran únicamente la dimensión cognitiva. trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias. utilizando nociones complejas y profundas que complementan.
. un antecedente necesario para usar constructivamente estos elementos. Les permiten relacionarse con el entorno. entre otros aspectos involucrados en este proceso. los aprendizajes de Matemática involucran actitudes como perseverancia. las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los conocimientos y las habilidades adquiridos. analizar críticamente diversas circunstancias y contrastar criterios y decisiones. a la vez. el estudiante utiliza sus conocimientos sobre estadística para interpretar a esa información. el saber que han obtenido por medio del sentido común y la experiencia cotidiana. se contempla el desarrollo en los ámbitos personal. Ellas no se desarrollan en un vacío. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar juicios informados. ciertas disposiciones. porque… …en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su desarrollo. porque… …los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la comprensión de los estudiantes sobre los fenómenos que les toca enfrentar.Conocimientos Son importantes. Los conocimientos previos le capacitan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en la medida que entiende la información y así construir este nuevo conocimiento. de manera crucial. porque…
…son una condición para el progreso de las habilidades. Ellos incluyen aspectos de carácter afectivo y.
Se deben enseñar de manera integrada. Son. por lo tanto. social. Además. estos conceptos son fundamentales para que los alumnos construyan nuevos. Por ejemplo. si se observa una información en un diario que contenga datos representados en tablas o gráficos. Entre los propósitos establecidos para la educación. rigor. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. ético y ciudadano. A modo de ejemplo.
Se deben desarrollar de manera integrada.
A la vez. sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos.
Actitudes Son importantes. Siempre están
asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos.
los Objetivos Fundamentales Transversales se agrupan en cinco ámbitos: crecimiento y autoafirmación personal. ético. A partir de la actualización al Marco Curricular realizada el año 2009. Los OFT no se logran a través de un sector de aprendizaje en particular. Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)
Son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general. habilidades y actitudes
No se trata de objetivos que incluyan únicamente actitudes y valores. desarrollo del pensamiento.2. Deben promoverse a través de las diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo. la persona y su entorno y tecnologías de la información y la comunicación. los establecimientos deben asumir la tarea de promover su logro. la práctica docente. y apuntan al desarrollo personal. Supone integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades. conseguirlos depende del conjunto del currículum.
Historia. el clima organizacional. Geografía y Ciencias Sociales
Biología Ciencias Naturales / Química Física
Educación / Artes Visuales Artística Artes Musicales
Integran conocimientos. formación ética. Forman parte constitutiva del currículum nacional y. por lo tanto. social e intelectual de los estudiantes. la disciplina o las ceremonias escolares). De acuerdo con este esquema. estos objetivos se
organizaron bajo un esquema común para la Educación Básica y la Educación Media. por medio del proyecto educativo institucional.
de aquellos que no han conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron • expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector. A partir de esto. de manera sintética y alineada con el Marco Curricular
Los Mapas de Progreso describen en 7 niveles el crecimiento habitual del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. y así sucesivamente. Además. Mapas de Progreso
Son descripciones generales que señalan cómo progresan habitualmente los aprendizajes en las áreas clave de un sector determinado. es decir. el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico.
. ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisión en qué consisten esas diferencias • la progresión que describen permite reconocer cómo orientar los aprendizajes de los distintos grupos del mismo curso.3. va más allá de la expectativa para 4° medio que describe el Nivel 6 en cada mapa. Por ejemplo. Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en el Marco
Curricular y los programas de estudio. por lo tanto. son un referente útil para atender a la diversidad de estudiantes dentro del aula: • permiten más que simplemente constatar que existen distintos niveles de
aprendizaje dentro de un mismo curso. El avance que describen expresa de manera más gruesa y sintética los aprendizajes que esos dos instrumentos establecen y. Su particularidad consiste en que entregan una visión de conjunto sobre la progresión esperada en todo el sector de aprendizaje. se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico. es decir. ¿Qué utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes?
Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar (ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se presentan en el programa). Se trata de formulaciones sintéticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. Si se usan para analizar los desempeños de los estudiantes. ofrecen una visión panorámica sobre la progresión del aprendizaje en los doce años de escolaridad3.
y se ajusta a las expectativas del Marco Curricular.
Entrega una visión sintética del progreso del aprendizaje en un área clave del sector.Relación entre Mapas de Progreso. Justifica la estrategia utilizada. Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros. estableciendo Aprendizajes Esperados que dan cuenta de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos. reconoce sus propiedades y los utiliza para ordenar.000… Nivel 1 Utiliza los números naturales hasta 1. decimal positivo o entero y exponente natural en la solución de diversos desafíos. y los organiza temporalmente a través de unidades. las conjeturas formuladas y los resultados obtenidos. . Ejemplo: Mapa de Progreso Números y Operaciones Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numéricos.000… MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2011 11
Orienta la labor pedagógica.
Ejemplo: Objetivo Fundamental 8º básico Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. comparar y cuantificar magnitudes. Nivel 5 Reconoce a los números racionales como… Nivel 4 Reconoce los números enteros como un conjunto numérico en donde se pueden resolver problemas que no admiten solución en los números naturales. Contenido Mínimo Obligatorio Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros. Nivel 3 Reconoce que los números naturales… Nivel 2 Utiliza los números naturales hasta 1. Nivel 6 Reconoce los números complejos como… Ejemplo: Aprendizaje Esperado 8° básico Resolver problemas que involucren las operaciones básicas con números enteros.
. procedimientos y relaciones matemáticas. Programa de Estudio y Marco Curricular
Prescribe los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios que todos los estudiantes deben lograr. utilizando conceptos. Utiliza raíces cuadradas de números enteros positivos y potencias de base fraccionaria positiva. Establece proporciones y las usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional.
sino que se consolidan a través del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y. Esto se justifica. respuestas breves) la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas la presentación de las ideas de una manera coherente y clara el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos el uso correcto de la gramática y de la ortografía
Comunicación oral: • • • • la capacidad de exponer ante otras personas la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión.CONSIDERACIONES GENERALES PARA IMPLEMENTAR EL PROGRAMA
Las orientaciones que se presentan a continuación destacan algunos elementos relevantes al momento de implementar el programa. Uso del lenguaje
La lectura. por lo tanto. involucran los otros sectores de aprendizaje del currículum.
1. Se trata de habilidades que no se desarrollan únicamente en el contexto del sector Lenguaje y Comunicación. reportes. Al momento de recurrir a la lectura. discriminándola y seleccionándola de acuerdo a su pertinencia la comprensión y el dominio de nuevos conceptos y palabras
Escritura: • • • • • la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo. descripciones. la escritura y la comunicación oral. porque las habilidades de comunicación son herramientas
fundamentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes propios de cada sector. síntesis de las ideas y argumentos presentados en los textos la búsqueda de información en fuentes escritas. Algunas de estas orientaciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en el currículum. incorporando los conceptos propios del sector MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2011
. ensayos. textos periodísticos y narrativos. la lectura y la escritura como parte constitutiva del trabajo pedagógico correspondiente a cada sector de aprendizaje. la escritura y la comunicación oral deben promoverse en los distintos sectores de aprendizaje
Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicación oral. los docentes deben procurar: Lectura:
la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informativos propios del sector. tablas y gráficos) la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos especializados del sector la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante la realización de resúmenes.
compartir puntos de vista y lograr acuerdos
2. y manipular la información sistematizada en ellas para identificar tendencias. manteniendo la atención durante el tiempo requerido la interacción con otras personas para intercambiar ideas. el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre los
La diversidad entre estudiantes establece desafíos que deben tomarse en consideración
estudiantes en términos culturales. analizar información y elaborar conexiones en relación con un tema en particular. utilizando plantillas de cálculo. Entre ellos.• • •
el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para superar dificultades de comprensión la disposición para escuchar información de manera oral. Uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación (TICs)
El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologías de la Información y Comunicación (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demanda que el dominio y uso de estas tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. como el cuidado personal y el respeto por el otro. pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2011
. evitando las distintas formas de discriminación procurar que los aprendizajes se desarrollen de una manera significativa en relación con el contexto y la realidad de los estudiantes intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje señalados en el currículum. acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes. Esa diversidad conlleva desafíos que los profesores tienen que contemplar. plantillas de presentación (power point) y herramientas y aplicaciones de imagen. y seleccionar esta información. se debe procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para: •
Debe impulsarse e uso de las TICs a través de los sectores de aprendizaje
buscar. espacios interactivos en sitios web o comunidades virtuales respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs. señalar las fuentes de donde se obtiene la información y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales
3. en un contexto de tolerancia y apertura. cabe señalar: • • • promover el respeto a cada uno de los estudiantes. Para esto. audio y video
intercambiar información a través de las herramientas que ofrece internet. sociales. étnicos o religiosos y respecto de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento. como el correo electrónico. chat. Atención a la diversidad
En el trabajo pedagógico. examinando críticamente su relevancia y calidad procesar y organizar datos. regularidades y patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector
desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto.
En atención a lo anterior. para que todos alcancen altas expectativas. Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herramienta de
apoyo al proceso de planificación. Para esto. Se aspira a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado. Para estos efectos han sido elaborados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad en los distintos contextos educativos del país. es conveniente que. la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar que hay que reconocer los requerimientos didácticos personales de los alumnos. y de la sugerencia de actividades para desarrollar los aprendizajes. considerando el progreso individual como punto de partida incluir combinaciones didácticas (agrupamientos. el docente considere que precisarán más tiempo o métodos diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. al momento de diseñar el trabajo en una unidad. sobre esa base. Orientaciones para planificar
La planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los aprendizajes de los estudiantes. el programa apoya la planificación a través de la propuesta de unidades. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar. rincones) y materiales diversos (visuales.Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de aprendizaje no implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes. El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son los Aprendizajes Esperados.
Consideraciones generales para realizar la planificación La planificación es un proceso que se recomienda realizar. de la estimación del tiempo cronológico requerido en cada una. De manera adicional. objetos manipulables) evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opciones promover la confianza de los alumnos en sí mismos promover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación abundante
4. debe desarrollar una planificación inteligente que genere las condiciones que le permitan: conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de los
Esto demanda conocer qué saben y. definir con flexibilidad las diversas medidas pertinentes
estudiantes evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades de aprendizaje definir la excelencia. trabajo grupal. considerando los siguientes aspectos:
decidir las evaluaciones.Se debe planificar tomando en cuenta la diversidad. las prácticas anteriores y los recursos disponibles
la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso. se debe definir las evaluaciones formativas y sumativas. entre otros
Sugerencias para el proceso de planificación Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes. sobre esa base. es necesario desarrollar una idea lo más clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. se requiere identificar qué tarea de evaluación es más pertinente para observar el desempeño esperado y qué modalidades de enseñanza facilitarán alcanzar este desempeño. Los Mapas de Progreso pueden resultar un apoyo importante MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2011 15
. recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar. se recomienda elaborar la planificación en los siguientes términos:
comenzar por una especificación de los Aprendizajes Esperados que no se limite a listarlos. que entregan elementos útiles para reconocer el tipo de desempeño asociado a los aprendizajes. las estrategias de enseñanza y la distribución temporal
a partir de las respuestas a esas preguntas.
La planificación anual: en este proceso. Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta se use tanto en la planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al plan de cada clase. de manera de optimizar el tiempo disponible las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares. laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de Aprendizaje (CRA). lo que implica planificar considerando desafíos para los distintos grupos de alumnos el tiempo real con que se cuenta. considerando su organización por unidades. las actividades de enseñanza y las instancias de retroalimentación
Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados especificados en los programas. el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo del año escolar. Una vez identificados. Para alcanzar este objetivo. materiales didácticos. decidir las evaluaciones a realizar y las estrategias de enseñanza. ¿qué habría que observar para saber que un aprendizaje ha sido logrado?
…y. debe estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo que los alumnos deben aprender. estimar el tiempo que se requerirá para cada unidad y priorizar las acciones que conducirán a logros académicos significativos. el tiempo real. Específicamente. Esto implica reconocer qué desempeños de los estudiantes demuestran el logro de los aprendizajes. Se deben poder responder preguntas como ¿qué deberían ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado Aprendizaje Esperado?. dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los estudiantes. Para esto el docente tiene que: •
alcanzar una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr durante el año. De acuerdo a este proceso.
pero es central. En él se debe procurar que los estudiantes se formen una visión acerca de qué aprendieron y cuál es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas para promover su aprendizaje. Para que esta distribución resulte lo más realista posible. en términos generales. y la realización de evaluaciones formativas y retroalimentación o o hacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarización ajustar permanentemente la calendarización o las actividades planificadas
La planificación de la unidad: implica tomar decisiones más precisas sobre qué enseñar y cómo enseñar. esta visión debe sustentarse en • • • • • • los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda complementarla con los Mapas de Progreso crear una evaluación sumativa para la unidad idear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana establecer las actividades de enseñanza que se desarrollarán generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados. el docente lleva a cabo la actividad contemplada para la clase • cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos). A la vez. el tipo de evaluación que se requerirá para verificar el logro de los aprendizajes.•
identificar. qué se espera que aprendan. es decir. especificando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y retroalimentación ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes
Procurar que los estudiantes sepan qué y por qué van a aprender. Esto permitirá desarrollar una idea de las demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad
sobre la base de esta visión. considerando los feriados. se recomienda: o o listar días del año y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible elaborar una calendarización tentativa de los Aprendizajes Esperados para el año completo. asignar los tiempos a destinar a cada unidad. se debe buscar captar el interés de los estudiantes y que visualicen cómo se relaciona lo que aprenderán con lo que ya saben y con las clases anteriores • desarrollo: en esta etapa. se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su inicio. desarrollo y cierre y especificando claramente qué elementos se considerarán en cada una de estas partes. Se requiere considerar aspectos como los siguientes: • inicio: en esta fase.
. Adicionalmente. considerando la necesidad de ajustarlas a los tiempos
asignados a la unidad. Al igual que la planificación anual. qué aprendieron y de qué manera
La planificación de clase: es imprescindible que cada clase sea diseñada considerando que todas sus partes estén alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con la evaluación que se utilizará. se debe procurar que los estudiantes conozcan el propósito de la clase. los días de prueba y de repaso. La planificación de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: • especificar la meta de la unidad.
sobre esta base. retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados dentro del sector • ser una herramienta útil para la planificación
¿Cómo promover el aprendizaje a través de la evaluación? Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si se llevan a cabo considerando lo siguiente: • •
informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán. Compartir esta información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que deben seguir para avanzar. esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos. retroalimentar a los estudiantes y sustentar la planificación
La evaluación forma parte constitutiva del proceso de enseñanza.
. Esto facilita que puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se busca alcanzar. Las evaluaciones entregan información para conocer sus fortalezas y debilidades. También da la posibilidad de desarrollar procesos metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes. El análisis de esta información permite tomar decisiones para mejorar resultados alcanzados
retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades.5. sino que cumple un rol central en la promoción y el desarrollo del aprendizaje. fundados en el análisis de los desempeños de los estudiantes. No se debe usar solo como un medio para controlar qué saben los estudiantes. a su vez. Para que cumpla efectivamente con esta función. debe tener como objetivos: • • ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los alumnos y. Orientaciones para evaluar
Apoya el proceso de aprendizaje al permitir su monitoreo.
En lo posible. para que los diversos estudiantes puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje. se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas maneras y con diferente grado de complejidad.
Los Mapas de Progreso apoyan el seguimiento de los aprendizajes. la progresión o el crecimiento de las competencias de un alumno. entrevistas.¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del Aprendizaje con la evaluación? Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y los ubican en un continuo de progreso. al conocer la descripción de cada nivel. con el objeto de
observar en qué grado se alcanzan. considere aquellos aprendizajes que serán duraderos y prerrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno evidenciar sus aprendizajes
¿Cómo diseñar la evaluación? La evaluación debe diseñarse a partir de los Aprendizajes Esperados.
…y luego decidir qué se requiere para su evaluación en términos de evidencias. se recomienda diseñar la evaluación junto a la planificación y considerar las siguientes preguntas: • ¿Cuáles son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcará la evaluación? Si debe priorizar. que permitan demostrar la real comprensión del contenido evaluado • ¿Cuáles son los criterios de éxito?. guías de trabajo. ¿cuáles son las características de una respuesta de alta calidad? Esto se puede responder con distintas estrategias. ensayos. entre otros). métodos. informes. mapas conceptuales. informes de laboratorio e investigaciones. • ¿Qué preguntas incluirá en la evaluación? Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Esperados. debates. los Mapas de Progreso pueden ser de especial utilidad • ¿Qué evidencia necesitarían exhibir los estudiantes para demostrar que dominan los Aprendizajes Esperados? Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluación que presenta el programa. preguntas y criterios
¿Qué método empleará para evaluar? Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas escritas. en tanto permiten: • • reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar aclarar la expectativa de aprendizaje nacional. Por ejemplo:
. Para lograrlo. Para esto. sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta expectativa • • observar el desarrollo.
comparar las respuestas de los estudiantes con las mejores respuestas de otros alumnos de edad similar. y utilizarlas como modelo para otras evaluaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje
desarrollar rúbricas4 que indiquen los resultados explícitos para un desempeño específico y muestren los diferentes niveles de calidad para dicho desempeño
Rúbrica: tabla o pauta para evaluar
. Se pueden usar los ejemplos presentados en los Mapas de Progreso
identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen el nivel de desempeño esperado.
En consecuencia. Entre ellas se encuentran el cálculo. Propósitos formativos del sector El aprendizaje de la matemática ayuda a comprender la realidad y proporciona herramientas para desenvolverse en la vida cotidiana. La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar con entes abstractos y sus relaciones y prepara a los estudiantes para que entiendan el medio y las múltiples relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico de complejidad creciente. el análisis de la información proveniente de diversas fuentes. crítico y autónomo. enseña a presentar información con precisión y rigurosidad y. la calidad.1. por una parte. contribuye a que la persona se sienta un ser autónomo y valioso. la tecnología y las ciencias se redefinen en forma permanente y se hacen más difíciles. beneficios y capacidades de orden superior. jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades. los sistemas de comunicación y los vínculos entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan. El entorno social valora el conocimiento matemático y lo asocia a logros. Todo esto contribuye a desarrollar un pensamiento lógico. El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo provocan importantes consecuencias en el desarrollo. que se valoran no solo en la ciencia y la tecnología. perseverancia y confianza en sí mismo. por lo tanto. evaluar la validez de resultados y seleccionar estrategias para resolver problemas. y a generar actitudes como precisión. a demandar exactitud y rigor en las informaciones y argumentos que se recibe. Aprender matemáticas acrecienta también las habilidades relativas a la comunicación. ordenado. por otra. formular conjeturas. el desempeño y la vida de las personas. Aprender matemática influye en el concepto que niños. rigurosidad. la pertinencia y la amplitud de ese conocimiento afectan las posibilidades y la calidad de vida de las personas y afecta el potencial de desarrollo del país. y las finanzas. Se trata de espacios en los que la cultura. sino también en la vida cotidiana. la capacidad de generalizar situaciones.
2. el estudiante adquiere –como el razonamiento lógico– la visualización espacial. La tabla siguiente puede resultar útil para:
observar transversalmente las habilidades que se desarrollan en el sector focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evaluaciones que enfaticen dichas habilidades situarse en el nivel. Habilidades matemáticas Al estudiar matemáticas. observar las habilidades que se pretendió enseñar en los años anteriores y las que se trabajarán más adelante advertir diferencias y similitudes en los énfasis por ciclos de enseñanza
4° básico Resolver problemas en contextos significativos que requieren el uso de los contenidos del nivel 5° básico Resolver problemas en contextos diversos y significativos 6° básico Resolver problemas en contextos significativos 7° básico Resolver problemas en contextos diversos y significativos. utilizando los contenidos del nivel Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos 8° básico Resolver problemas en contextos diversos y significativos I medio Analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos
Fundamentar opiniones y tomar decisiones
Formular conjeturas y verificarlas. el modelamiento y las destrezas para resolver problemas. para algunos casos particulares Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita
Formular y verificar conjeturas. en casos particulares Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita Emplear formas simples de modelamiento matemático
Realizar cálculos en forma mental y escrita Emplear formas simples de modelamiento matemático Verificar proposiciones simples. el cálculo. para casos particulares Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables Diferenciar entre verificación y demostración de propiedades
. el pensamiento analítico.
3. Orientaciones didácticas Se ha concebido este sector como una oportunidad para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida. La matemática es un área poderosa de la cultura, pues permite comprender, explicar y predecir situaciones y fenómenos del entorno. Por eso, es importante que los docentes se esfuercen para que todos los alumnos del país aprendan los conocimientos y desarrollen las capacidades propias de esta disciplina. Estos programas entregan algunas orientaciones que ayudarán a los profesores a cumplir con este objetivo por medio de la planificación y en el transcurso de las clases. Los conceptos matemáticos: profundidad e integración Los estudiantes deben explorar en las ideas matemáticas y entender que ellas constituyen un todo y no fragmentos aislados del saber. Tienen que enfrentar variadas experiencias para que comprendan en profundidad los conceptos matemáticos, sus conexiones y sus aplicaciones. De esta manera, podrán participar activamente y adquirir mayor confianza para investigar y aplicar las matemáticas. Se recomienda que usen materiales concretos, realicen trabajos prácticos y se apoyen en la tecnología, en especial en el ciclo básico. El uso del contexto Es importante que el docente aclare que esta disciplina está enraizada en la cultura y en la historia; asimismo, que impacta en otras áreas del conocimiento científico, crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarse cómo se originaron los conceptos y modelos matemáticos, en qué períodos de la historia y cómo se enlazaron con la evolución del pensamiento. Es un ancla importante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogías y representaciones cercanas a los estudiantes, en especial en las etapas de exploración. También se sugiere aplicar las matemáticas a otras áreas del saber y en la vida diaria como un modo de apoyar la construcción del conocimiento matemático. Razonamiento matemático y resolución de problemas Esta disciplina se construye a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas y ayuda a razonar en vez de actuar de modo mecánico. Por eso es importante invitar a los estudiantes a buscar regularidades. También se busca desarrollar y explicar la noción de estrategia, comparar diversas formas de abordar problemas y justificar y demostrar las proposiciones matemáticas. El docente debe procurar, asimismo, que los estudiantes conjeturen y verifiquen cómo se comportan los elementos y las relaciones con que se trabaja. Deben analizar los procedimientos para resolver un problema y comprobar resultados, propiedades y relaciones. Aunque deben ser competentes en diversas habilidades matemáticas, el profesor tiene que evitar que pongan demasiado énfasis en los procedimientos si no comprenden los principios matemáticos correspondientes. Uso del error Usar adecuadamente el error ayuda a crear un ambiente de búsqueda y creación. Un educador puede aprovechar la equivocación para inducir aprendizajes especialmente significativos, si lo hace de manera constructiva. Se debe considerar el error como un elemento concreto para trabajar la diversidad en clases y permitir que todos los alumnos alcancen los aprendizajes propuestos. Aprendizaje matemático y desarrollo personal La clase de matemática ofrece abundantes ocasiones para el autoconocimiento y las interacciones sociales. Es una oportunidad para la metacognición5: ¿cómo lo hice?, ¿cómo lo hicieron?, ¿de qué otra manera es posible? Además, la percepción que cada cual tiene de su propia capacidad para aprender y hacer matemática, surge de la retroalimentación que le ha dado la propia experiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus manos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y los logros de los alumnos. Otros aspectos que también ayudan a que cada estudiante aumente la confianza en sí mismo son valorar las diferencias, aceptar los éxitos o las acciones de sus
Metacongición: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento
pares, crear un clima de confianza y distinguir de qué modo enfrenta cada uno el triunfo o el fracaso, sea propio o de los demás. Tecnologías digitales y aprendizaje matemático El programa propone usar programas y ambientes digitales para ampliar las oportunidades de aprendizaje de los estudiantes. Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a través de modelos en los que se puede experimentar con ideas matemáticas; también se puede crear situaciones para que los alumnos exploren las características, los límites y las posibilidades de conceptos, relaciones o procedimientos matemáticos. Los procesadores geométricos, simbólicos y de estadística son laboratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba. Con un procesador simbólico, se puede analizar y entender números grandes o muy pequeños. Y se puede estudiar el comportamiento de funciones, incluso las de alta complejidad. Internet ofrece múltiples ambientes con representaciones dinámicas de una gran cantidad de objetos matemáticos. Los procesadores geométricos permiten experimentar con nociones y relaciones de la geometría euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata de un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los ayudará mucho a formarse para una vida cada vez más influida por las tecnologías digitales. Clima y motivación Se debe propiciar un ambiente creativo para que los alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturas respecto de los problemas que abordan. Ese ambiente debe admitir que el error, la duda y la pregunta son importantes y valiosos para construir conocimiento; asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y aprovecharlos para crear una búsqueda y una construcción colectiva. En ese espacio será natural analizar acciones y procedimientos y buscar caminos alternativos.
Semestre 1 Unidad 1 Números y álgebra 1. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros 2. Utilizar estrategias para determinar el valor de potencias de base entera y exponente natural 3. Determinar propiedades de multiplicación y división de potencias de base entera y exponente natural 4. Verificar qué propiedades de potencias de base entera y exponente natural se cumplen en potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural 5. Resolver problemas que involucren las operaciones con números enteros y las potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. Unidad 2 Geometría Caracterizar transformaciones isométricas de figuras planas y reconocerlas en diversas situaciones y contextos Reconocer algunas propiedades de las transformaciones isométricas Construir transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, utilizando regla y compás o procesadores geométricos Teselar6 el plano con polígonos regulares, utilizando regla y compás o procesadores geométricos Utilizar las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y semirregulares Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos Calcular el perímetro de circunferencias y de arcos de ellas Calcular el área del círculo y de sectores de él Calcular medidas de superficies de cilindros, conos y pirámides, utilizando fórmulas 10. Calcular volúmenes de cilindros y conos, utilizando fórmulas 11. Resolver problemas en contextos diversos relativos a cálculos de: 5. 4. 3. 2. 1. Unidad 3 Datos y azar Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos Representar datos, provenientes de diversas fuentes, en tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central, extendiendo al caso de datos agrupados en intervalos Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia para realizar inferencias Asignar probabilidades teóricas a la ocurrencia de eventos en experimentos aleatorios con 5. 4. 3. 2. 1. Semestre 2 Unidad 4 Álgebra Plantear ecuaciones que representan la relación entre dos variables en diversos contextos Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones por medio de ellas Identificar variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional Analizar situaciones de proporcionalidad, mediante el uso de programas computacionales gráficos Resolver problemas en diversos contextos que implican proporcionalidad directa y problemas que implican proporcionalidad inversa
Teselar: “pavimentar” una superficie con figuras regulares o irregulares, sin que queden espacios entre ellas ni se superpongan
y contrastarlas con resultados experimentales
áreas de superficies de cilindros.•
perímetros de circunferencias y áreas de círculos
resultados finitos y equiprobables7. conos y pirámides
• Tiempo estimado 55 horas
volúmenes de cilindros y conos Tiempo estimado 75 horas Tiempo estimado 65 horas Tiempo estimado 45 horas
Equiprobable: que tiene la misma probabilidad MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2011 26
propiedades de las potencias. verificar y aplicar propiedades de las potencias
Actitudes • Trabajo en equipo y mostrar iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos
.UNIDAD 1 Números y álgebra
Propósito Esta unidad permite que los estudiantes apliquen sus conocimientos sobre multiplicación y división de números naturales y sobre adiciones y sustracciones de números enteros. se extiende el trabajo con potencias de bases naturales. Además. a bases enteras con exponentes naturales. argumentar. a la multiplicación y la división de números enteros en casos particulares. Conceptos clave Potencias de base entera y exponente natural. Prerrequisitos • • Adición y sustracción de números enteros Potencias de base natural. fraccionaria y decimal positiva con exponente natural
Contenidos disciplinares • • • • Multiplicación y división de números enteros Propiedades de la multiplicación y la división de números enteros Potencias de base entera. fraccionarias y decimales positivas. fraccionaria y decimal positiva con exponente natural
Habilidades • • • • • Argumentar acerca de la validez de las propiedades de la multiplicación y la división de números enteros Establecer estrategias para resolver divisiones de números enteros Estimar mentalmente el valor de algunas potencias Interpretar información expresada en potencias Conjeturar. se realizan actividades orientadas a verificar las propiedades de estas potencias en casos particulares y a resolver problemas en contextos numéricos donde ellas intervienen. Para lograrlo. fraccionaria y decimal positiva con exponente natural Propiedades de las potencias de base entera.
Utilizar estrategias para determinar el valor de potencias de base entera y exponente natural • estrategias para calcular • • •
Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Calculan multiplicaciones de enteros utilizando la
multiplicaciones y divisiones de números
estrategia establecida Calculan divisiones de enteros utilizando la estrategia establecida Utilizan estrategias para determina cuando el signo de
expresiones del tipo natural Utilizan estrategias
es un número el valor de
determinar cuando
expresiones del tipo naturales •
a. Establecer enteros 2.
Resuelven problemas relativos a multiplicaciones de enteros Aplican correctamente la regla de los signos y la prioridad de las operaciones en la resolución de problemas de operatoria combinada con números enteros
enteros y las
potencias de base entera.Aprendizajes Esperados
Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. Verificar qué propiedades de potencias de base entera y exponente natural se cumplen en potencias de base fraccionaria positiva. utilizando la propiedad relativa a multiplicación de potencias de igual base entera y exponente natural Verifican qué propiedades relativas a la división de potencias de base entera y exponente natural se cumplen en potencias de base fraccionaria positiva
Explican de manera escrita los pasos realizados en la verificación de potencias de potencias de base decimal positiva y exponentes naturales
5. estima (-7)4 como 49  49. Por ejemplo. obteniendo un número menor a 2500
Determinar propiedades de multiplicación y división de potencias de base entera y exponente natural
Explican los pasos realizados para determinar las propiedades de potencias de base entera y exponente natural
• 4. n
son números
Estiman mentalmente potencias de base entera de un dígito y exponente natural menor de 5. fraccionaria o decimal positiva y exponente natural
Resuelven problemas en contextos cotidianos que involucren potencias de base entera y exponente natural
Verifican los resultados obtenidos en función del contexto del problema Analizan los procedimientos utilizados en términos de los resultados obtenidos
. decimal positiva y exponente natural • •
Calculan potencias de base entera y exponente natural utilizando las propiedades determinadas Calculan multiplicaciones de potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural.
además. Es habitual que los estudiantes presenten ritmos de comprensión muy variados cuando tengan que establecer generalizaciones. se debe buscar que los alumnos entiendan y evitar que solo aprendan de memoria los procedimientos.
Como estrategia. eso ayuda a dar tiempos diferenciados a cada estudiante y. pero sí de memorizar. Se recomienda que docente use metáforas o analogías para ayudarlos a comprender los procedimientos involucrados. es decir. en vez de limitarse a la ejercitación rutinaria.Aprendizaje Esperados en relación con los OFT Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos • • • • Participa activamente en actividades grupales Es responsable en la tarea asignada Toma iniciativa en actividades de carácter grupal Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales
Esta unidad amplía las operaciones con números enteros. con a. ejemplificar y trabajar con números para luego generalizar) y realizar también el proceso inverso. por último. n en los naturales y. se recomienda al docente enseñarlas de un modo similar a las operaciones de adición y sustracción. potencias de base fraccionaria de la forma (− ) b
multiplicaciones de potencias con base fraccionaria de la forma con
a. en las operaciones con potencias se recomienda partir de lo particular y llegar a lo general (es decir. la “lleven” a un terreno familiar. b. Por lo tanto. con a. por eso.
comprendan expresiones
(−a) ⋅ (−b) . n en los naturales. Al respecto. b. Ahí puedan aflorar naturalmente líderes intelectuales que apoyen la labor docente al interior de cada grupo y permitan diversificar los ritmos de producción. b
en los naturales. Conviene recomendar a los estudiantes que. Las reglas para operar con números enteros no son muy fáciles de comprender. con potencias elevadas a otra potencias ((− a) n ) m . se recomienda diseñar actividades que contemplen el trabajo en equipo.
En el tema de las potencias. n en los
naturales. posibilita el diálogo y la discusión. cada vez que una expresión algebraica carezca de sentido y sea difícil de entender. se pueden aplicar expresiones del tipo
(−1) n para calcular potencias del tipo
(−a) n .
a c a a (− ) n ⋅ (− ) n ó (− ) n ⋅ (− ) m con b b b d
a. que estudien su comportamiento para distintos
numéricos. donde a
pertenece a los naturales. multiplicaciones de potencias expresadas como (−a ) ⋅ (−b) m o
a n (−a ) n ⋅ (−a) m .
. pues incorpora la multiplicación y la división.
expresan este cuociente en la forma a ⋅ (− ) . Al respecto.
divisiones de la forma
( − a ) : ( −b)
A continuación la utilizan para realizar cálculos del tipo: • 3. Formulan estrategias para multiplicar números enteros y las aplican para calcular multiplicaciones en las que intervienen estos números.Ejemplos de actividades
AE 1 Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. Por ejemplo. Aplican estas estrategias para realizar cálculos del tipo: • 2. para calcular
[(−a ) ⋅ (−b) + c ⋅ (−d )] : [a ⋅ (−b)]
1 a : ( −b) . formulan estrategias para: • realizar divisiones de la forma
a : ( −b)
Observaciones al docente Puede sugerir a los estudiantes que expresen la división anterior en la forma
− a:b . b
. Actividades 1.
− ( −( − a )) [( − a ) ⋅ ( −b) + c ⋅ ( − d )][ a + ( −b)]
• Formulan estrategias para dividir números enteros y las aplican para calcular divisiones en este contexto numérico. utilizando las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo. Es importante que no enseñe las reglas de los signos a los alumnos antes de que elaboren las estrategias. formulan estrategias para: • • multiplicar números de la forma multiplicar números de la forma
a ⋅ ( −b) ( − a ) ⋅ ( −b)
Observaciones al docente El profesor puede sugerirles que usen la representación de los números enteros en la recta numérica.
− ( −( −a )) : ( −b)
• Resuelven divisiones de números enteros. deben establecer juntos dichas reglas a través de estas actividades.
AE 4 Verificar qué propiedades de potencias de base entera y exponente natural se cumplen en potencias de base fraccionaria positiva.AE 2 Utilizar estrategias para determinar el valor de potencias de base entera y exponente natural. es decir.
y lo utilizan para realizar
( −a) n
y cálculos del tipo
b( −a ) n .. Por ejemplo: 2 ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) + 3 ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5)
AE 3 Determinar propiedades de multiplicación y división de potencias de base entera y exponente natural.
Verifican en casos particulares que cálculos del tipo
( −1) 2 n +1 = −1
n∈ N . Usan estrategias para calcular expresiones del tipo
(−a ) + (−a) + (−a ) + .
resultados obtenidos en 7° básico respecto de multiplicaciones de potencias de igual base natural y exponentes naturales. Comprueban que las propiedades de multiplicaciones de potencias de base entera y exponente natural se verifican en multiplicaciones de potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. que
. donde la base es entera y los exponentes son números naturales.
Utilizan estrategias para estimar potencias de base entera de un dígito y exponente natural.
Emplean estos resultados para resolver cálculos asociados a expresiones donde intervienen potencias del tipo
b( −a ) n ... ( −1) 2 n = 1
3. cuando n ∈ N . acerca de expresiones del tipo
donde la base y los exponentes son números naturales) para determinar propiedades respecto de
multiplicaciones del tipo
. Actividades Los estudiantes utilizan resultados acerca de potencias del tipo 1. Por ejemplo.
resultados obtenidos en 7° básico respecto de potencias de potencias (es decir.
Comprueban que las propiedades de potencias de potencias de enteros de base entera y exponentes naturales se verifican en potencias de potencias de números de base fraccionaria o decimal positiva y exponentes
nm  a m     = a  b   b nm   n
a n ⋅ a m .. estiman
( −3) 2 ⋅ ( −7) 2 . Actividades 1. Actividades 1.  =   b b b
a a a   . para determinar propiedades respecto de multiplicaciones del tipo y los exponentes son números naturales. es decir. donde la base es entera
2. 2. decimal positiva y exponente natural. donde se ha sumado
y convierten esta suma en forma de potencias.
2 ⋅ ( −3) 5
4. + (−a) .
Verifican que las propiedades de divisiones de potencias de base entera y exponente natural se cumplen en divisiones de potencias de igual base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. Actividades 1. En el caso de la actividad anterior analizan los procedimientos utilizados para determinar el tipo de cuadriláteros que se forman. este proceso puede ocurrir cada 20 minutos.
Usan las operaciones básicas de los números enteros para responder preguntas del tipo: • • la temperatura ha aumentado 2° Celsius cada hora durante 4 horas. del quinto cuadrilátero formado
Analizan los procedimientos utilizados y verifican.
Inventan problemas que se resuelven con las operaciones: • •
(−5) ⋅ (−4)
( −10) : 2 + 5 ⋅ ( −6)
En la fisión binaria hay una duplicación idéntica del material genético y de sus mutaciones.
®Aplican las propiedades de las potencias de base fraccionaria y decimal positiva con exponente natural en situaciones reales. es decir. ¿Cuántos grados ha disminuido la temperatura en ese tiempo?
4. y en este nuevo cuadrilátero se vuelven a unir los puntos medios de sus lados.
Comprueban que las propiedades de divisiones de potencias de bases enteras y exponente natural se verifican en divisiones de potencias de números de base fraccionaria o decimal positiva e igual exponente natural. Por ejemplo: •
. del tipo: • un buzo profesional desciende a 10 metros de profundidad para realizar un experimento. (Fuente:
http://infobiol. por ejemplo. usando un software geométrico. los resultados obtenidos.
Resuelven problemas sencillos que requieren operatoria con números enteros. determinar el tipo de cuadriláteros que se forman calcular el área de cualquiera de esos cuadriláteros.
3. luego sube 27 metros y después desciende 4 veces el descenso inicial. que dará lugar a dos células hijas idénticas. que
AE 5 Resolver problemas que involucren las operaciones con números enteros y las potencias de base entera. ¿Cuánto ha aumentado la temperatura en ese tiempo? la temperatura ha disminuido 4° Celsius cada hora durante 5 horas.3. es decir. cuando se forma un tabique que se encargará de producir un estrangulamiento en la célula. Se pide: • • 2. y así sucesivamente. fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. que
4. Luego comienza la bipartición. en un cuadrado de lado 10 cm. En las bacterias. Esta reproducción requiere solo un progenitor.com/fisionbinaria). y verifican los resultados obtenidos utilizando un software geométrico. entonces aumenta su contenido celular y su tamaño en forma alargada. ¿A qué profundidad quedó?
5. se unen los puntos medios de sus lados. Resuelven problemas en contextos geométricos que involucren potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural. lo que sucede cuando la célula esta lista para reproducirse.
Estiman mentalmente potencias de base entera de un dígito y exponente natural menor de 5.
( −2) 2 n+1 + 2 2 n+1
n .500. Por ejemplo. • Aplican las propiedades de las operaciones de las potencias para resolver problemas matemáticos. Indicadores de Evaluación • • • Utilizan estrategias para determinan el signo de expresiones del tipo
( −1) n
es un número natural. n calcule el valor numérico de ( A − 1) para distintos valores numéricos de n.
Escriba su estimación en el recuadro:
2 n +3 y la mitad de 2 n +1 . ¿cuántas habrá después de 6 divisiones?
Aprendizaje Esperado Utilizar estrategias para determinar el valor de potencias de base entera y exponente natural.
considerando que n puede tomar solo valores naturales. la diferencia entre la octava parte de • Estiman el valor de potencias de base un dígito entero.o
Si se tiene inicialmente una célula.
Actividad Lea cuidadosamente la situación dada.
( −a)
a. Si la expresión anterior se representa por A . sabiendo que n puede tomar solo valores naturales.
Utilizan estrategias para determinar el valor de expresiones del tipo naturales. en términos de potencias. • Estime mentalmente el valor de la expresión distintos valores de Criterios de evaluación Al evaluar. considerar los siguientes criterios: • • Dé un argumento que apoye la validez de la propiedad de la división de potencias de igual base aplicada en el ejercicio • Escriba. estiman (-7)4 como 49  49 y obtienen un número menor a 2. Expresan como potencias productos en que los factores son potencias de base entera. Responda las preguntas propuestas. • Argumentan acerca de la validez de la propiedad del cuociente de potencias de igual exponente.
el cilindro y la pirámide) y ampliarán su lenguaje geométrico mediante el trabajo con lugares geométricos. cilindros y pirámides
Habilidades • • • • • • • Construir transformaciones isométricas Realizar teselaciones Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos Comprender el número pi Calcular el perímetro de la circunferencia Calcular áreas del círculo y de la superficie de conos. ángulos en 6º básico y construcciones geométricas en 7º básico. Esta unidad les permite aplicar los conocimientos trabajados acerca de áreas en 5º básico. los estudiantes estudiarán las transformaciones isométricas. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos
. conocerán el número pi. rigor. conocerán el concepto de lugar geométrico y calcularán áreas en el círculo. Pueden integrar la geometría con otras disciplinas. pues aprenderán a construir teselaciones. perímetros en la circunferencia y áreas y volúmenes en figuras tridimensionales.UNIDAD 2 Geometría Propósito En esta unidad. profundizarán sus conocimientos acerca de figuras tridimensionales (como el cono. lugares geométricos. Conceptos clave Traslaciones. rotaciones y reflexiones Teselaciones Circunferencia y círculo como lugares geométricos Perímetro de la circunferencia Área del círculo Áreas de la superficie de conos. teselaciones. áreas de superficies y volúmenes. cilindros y pirámides Calcular el volumen de conos. cilindros y pirámides Volúmenes de conos. específicamente con el arte plástico. reflexiones. rotaciones. Prerrequisitos • • • • Ángulos en polígonos Construcciones de polígonos Áreas en triángulos y cuadriláteros Características de conos. cilindros y pirámides
Contenidos disciplinares • • • • • • • • • Vectores en el plano Ejes de simetría Traslaciones. cilindros y pirámides
Actitudes • • Perseverancia.
utilizando longitudes
con valores Por ejemplo. utilizando regla y compás o un procesador geométrico Trasladan polígonos y luego los reflejan.14
MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2011 36
Rotan figuras en el plano. calculan el
aproximados del número
π. utilizando regla y compás o procesadores geométricos
Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos
Explican el concepto de lugar geométrico Explican las diferencias entre círculo y circunferencia.
Calcular el perímetro de circunferencias y de arcos de ellas
Aproximan valores del número y diámetros de circunferencias Calculan perímetros
π . teselan el plano con hexágonos regulares por medio de regla y compás
Teselar el plano con polígonos regulares. utilizando transformaciones isométricas
7.Aprendizajes Esperados
Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. utilizando traslaciones y reflexiones Construyen la configuración base de una teselación con más de un polígono regular. utilizando el concepto de lugar geométrico
Reconocen propiedades de la traslación en traslaciones de figuras del plano Explican propiedades reconocidas de la rotación en figuras que han sido rotadas en el plano
perímetro de una circunferencia de radio
3cm con
Utilizar las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y teselaciones semirregulares
Teselan el plano con un solo polígono regular. utilizando regla y compás o procesadores geométricos Por ejemplo. utilizando regla y compás o procesadores geométricos
Determinan las condiciones que deben satisfacer los elementos de los polígonos que participan de una teselación en el plano
Determinan las posibles combinaciones de polígonos regulares con las que se puede realizar una teselación Teselan el plano solamente con polígonos regulares de un tipo. Caracterizar transformaciones isométricas de figuras planas y reconocerlas en diversas situaciones y contextos • • • •
Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Caracterizan vectores en el plano y los reconocen en contextos diversos Caracterizan la traslación de figuras en el plano Identifican ángulos y puntos respecto de los que se han efectuado rotaciones Caracterizan los ejes de simetría de una reflexión de figuras en el plano
2. utilizando regla y compás o un procesador geométrico Describen patrones que se observan al aplicar reflexiones a figuras del plano
en contextos diversos. empleando distintos valores de de sus volúmenes Resuelven problemas en contextos geométricos relativos a determinar áreas de figuras en que intervienen círculos. conos y pirámides. Por ejemplo. rigor. conos y pirámides volúmenes de cilindros y conos • •
Calculan perímetros de arcos de circunferencias Calculan valores aproximados del área de círculos con valores aproximados de
Calculan áreas de sectores de círculos Calculan la suma de áreas de círculos y la expresan en un solo término Comparan áreas de superficies de conos y pirámides Aproximan áreas de cilindros.• 7. Calcular volúmenes de cilindros y conos. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos • • • • Muestra un método para realizar las transformaciones isométricas Persevera en la realización de teselaciones Termina las tareas iniciadas. relativos a cálculos de: • • • perímetros de circunferencias y áreas de círculos áreas de superficies de cilindros. conos y pirámides de acuerdo a valores distintos de de su superficie Comparan volúmenes de superficies de conos y cilindros Aproximan volúmenes de cilindros y conos. Resolver problemas. calculan el volumen del espacio que existe entre dos cilindros de bases distintas y de igual altura
Calculan radios y alturas de conos en términos del área
Calculan radios y alturas de conos y cilindros en función
Resuelven problemas relativos a calcular áreas de superficies de pirámides en contextos del mundo real. verifican áreas de la superficie de las pirámides de Egipto
Actitudes de perseverancia. Calcular medidas de superficies de cilindros. calculan el área de la superficie comprendida entre un cuadrado y un círculo inscrito en él Resuelven problemas que implican calcular volúmenes de cilindros en contextos geométricos Por ejemplo. utilizando fórmulas • • • 10. Por ejemplo. Calcular el área del círculo y de sectores de él • • • 8. relativas a los temas tratados Desarrolla tenacidad frente a obstáculos o dudas que se les presenten en problemas propuestos
Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos • • • • Participa activamente en actividades grupales Es responsable en la tarea asignada Toma iniciativa en actividades de carácter grupal Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales
. utilizando fórmulas • • • 9.
lo presente mediante un proyector y pida que los alumnos participen activamente. se les entrega algunas figuras trasladadas. es un buen momento para observar y fomentar la originalidad en las producciones y el rigor y la perseverancia en el trabajo. Actividades 1. Por ello. en parejas o pequeños grupos frente a un computador. De hecho. suman 360°. Se sugiere diseñar actividades que posibiliten el trabajo en equipo o en parejas. Otro ejercicio que resulta desafiante para los estudiantes es trabajar con los procesos inversos de las transformaciones isométricas. La primera consiste en que el profesor maneje el programa computacional. en términos de los vectores respecto de los cuales ellas se realizan reconocen traslaciones de figuras en contextos diversos. por ejemplo. la matemática se torna artística. Caracterizan traslaciones de figuras en el plano y las reconocen en diversas situaciones. les cuesta concentrarse por períodos prolongados y asocian la utilización del computador al ocio y las comunicaciones más que al trabajo guiado. En este nivel se proponen transformaciones solo en el plano euclidiano.Orientaciones didácticas para la unidad
La introducción de transformaciones isométricas en 8° básico permite a los estudiantes estudiar la geometría euclidiana “en movimiento”. En cuanto al cálculo de áreas de las superficies de las caras de figuras 3D. rotadas y reflejadas y se les pide deduzcan los vectores. Los teselados permiten aplicar transformaciones isométricas y resulta interesante establecer las conexiones entre ambas. es importante que el docente diseñe actividades que estimulen a los estudiantes a deducir las fórmulas para determinar dichas áreas. puntos. Resulta de gran ayuda usar algún software que permita manipular y estudiar las distintas figuras generadas. De esta manera. En este contexto. Es decir. Al respecto: MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2011 38
AE 1 Caracterizar transformaciones isométricas de figuras planas y reconocerlas en diversas situaciones y contextos. ángulos y ejes de simetría respecto de los que se realizaron las transformaciones en cuestión. dos figuras son congruentes cuando existe una transformación isométrica que lleva a una en la otra. es recomendable estimularlos para que entiendan que las transformaciones isométricas. en el arte
Caracterizan reflexiones de figuras en el plano y las reconocen en contextos diversos. Las traslaciones. en el caso de los teselados regulares o semi-regulares. mantienen inalterables los lados y los ángulos de las polígonos transformados. Al respecto: • • • 2. o procesadores geométricos. surge de manera natural la necesidad de establecer. Cuando los estudiantes construyen teselados. caracterizan vectores en el plano caracterizan traslaciones en el plano. Las transformaciones en el plano cartesiano se verán en I° medio. La otra opción es que los estudiantes trabajen solos. en este caso. que corresponden cuyos ángulos interiores que concurren en un vértice. Se puede hacer de dos maneras. las rotaciones y las reflexiones se trabajan en el plano euclidiano. utilizando instrumentos como la regla y el compás. pues los de este nivel suelen ser dispersos. se recomienda construir material de trabajo que sirva para orientar y monitorear el trabajo de los alumnos. los polígonos que permiten teselar el plano. se debe poner el énfasis en las construcciones con regla y compás (o con un procesador geométrico).
AE 3 Construir transformaciones isométricas de figuras geométricas planas. Actividades 1. por ejemplo.
. en diferentes teselaciones de M. cuadriláteros y pentágonos con respecto de vectores dados.
caracterizan los ejes de simetría comprenden que las reflexiones de figuras del plano se realizan respecto de ejes de simetría reconocen reflexiones de figuras del plano en contextos diversos. Al respecto:
®Reconocen transformaciones isométricas en contextos diversos.com).
Observaciones al docente El docente puede guiar a los estudiantes. utilizando regla y compás o procesadores geométricos. pentágonos y hexágonos) respecto de rectas dadas. 2. Se aconseja que revise las observaciones y que juntos concluyan que: • • 2.• • • 3. en física
Caracterizan rotaciones de figuras en el plano y las reconocen en diversos contextos. los estudiantes pueden determinar el eje de simetría de una reflexión cuando observan figuras reflejadas AE 4 Teselar el plano con polígonos regulares. por ejemplo. • • 4. 3.
AE 2 Reconocer algunas propiedades de las transformaciones isométricas. AB=A’B’ y AA’=BB’ AA’B’B es un paralelogramo Los estudiantes giran dos puntos (A y B) respecto de un mismo punto y en un mismo ángulo. utilizando regla y compás. Rotan figuras como triángulos respecto de puntos y ángulos dados.mcescher. Reflejan figuras en el plano (triángulos. y reconocen propiedades de la rotación. cuadriláteros.
Observaciones al docente Se sugiere: • • • • • mostrar que basta con trasladar los vértices de las figuras en cuestión para trasladar la figura completa trabajar con los alumnos para que entiendan cómo determinar el vector de traslación cuando hay figuras que han sido trasladadas reconocer punto y ángulo de rotación. en el mundo de los insectos comprenden que ellas se realizan respecto de un punto y en un ángulo dado reconocen rotaciones de figuras en contextos diversos. dado un triángulo al que se aplicó una rotación repasar la construcción de rectas perpendiculares mostrar que basta con reflejar los vértices de los polígonos para que esa figura quede reflejada. Escher (www. diciéndoles que observen lo que sucede cuando dos puntos (A y B) se trasladan a puntos A’ y B’ respectivamente. utilizando regla y compás. por ejemplo. Trasladan figuras como triángulos. Reconocen propiedades de la traslación. Actividades 1. C. utilizando regla y compás o procesadores geométricos.
π . 3... A partir de la definición de lugar geométrico. utilizando regla y compás. investiga con seriedad en las fuentes y participa activamente en las conclusiones que obtienen. aplican transformaciones isométricas a la configuración formada por dos octógonos y un cuadrado. Utilizando diversa bibliografía. γ . indagan en grupos acerca de las formas de calcular el número la razón entre el perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. se sugiere que el docente guíe los avances de cada grupo. Construyen la configuración base de una teselación semirregular.. Por ejemplo: con hexágonos regulares (con regla y compás).... Actividades 1..
AE 6 Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos.
cuya suma
α + β + γ + .. Teselan el plano solamente con polígonos regulares de un tipo. 2. por ejemplo. mediante ensayo y error. 4. un hexágono regular y un cuadrado. Por ejemplo. construyen la configuración que generan un dodecágono regular.
. Determinan las posibles combinaciones de polígonos regulares con las que se puede teselar el plano. construyen los conceptos de circunferencia y círculo. Aplican transformaciones isométricas a la configuración base para teselar una región determinada del plano. Para este propósito. se les pide encontrar los polígonos regulares de ángulos interiores
α . encuentren las combinaciones de polígonos regulares donde la suma de los ángulos interiores de cada uno de ellos sea 360°. utilizando regla y compás o procesadores geométricos... β . Puede pedir que. Por ejemplo. todos de igual medida. Sin embargo. cada estudiante se compromete responsablemente con su rol en el equipo.... Observaciones al docente En la actividad de indagación. Actividades 1. = 360°
Observaciones al docente Se sugiere que presente una combinación de polígonos regulares que satisfacen la condición de teselación y que explique la estrategia que se usó.AE 5 Utilizar las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y teselaciones semirregulares. 2.
Calculan el radio de una circunferencia. Actividades 1.
AE 8 Calcular el área del círculo y de sectores de él.AE 7 Calcular el perímetro de circunferencias y de arcos de ellas. por el centro del otro círculo. Por ejemplo:
. Por ejemplo. utilizando fórmulas. 2. calculan el ángulo asociado a él. el cono y diferentes pirámides. de radio que pasan. elaboran una estrategia para determinar el área de la superficie comprendida entre dos círculos de 3 cm. cada uno. Calculan perímetros de circunferencias de diámetro conocido. respectivamente. elaboran estrategias para
calcular áreas relativas a sectores circulares y aplican la expresión generada en contextos diversos. Calcular áreas de superficies donde intervienen círculos. Conocida la medida de un arco de circunferencia. Actividades 1. Actividades 1. de 10 cm. conocido su perímetro. y 8 cm. 3. Por ejemplo: • calcular el área achurada.
AE 9 Calcular medidas de superficies de cilindros. sabiendo que las circunferencias son concéntricas y que los radios de la mayor y la menor son.
2. conos y pirámides. conjeturan en grupos acerca de las estrategias de cálculo de las superficies de estos cuerpos geométricos. Utilizando las redes del cilindro.
Deducen que la expresión
πr 2 ⋅ α °
es el área de un sector circular de ángulo
con los que se puede envasar 1 metro cúbico de líquido. usando diversas estrategias. Si prepararon 500.000 cc. uno con forma de cono de altura 12 cm. de jugo: o o ¿de qué envase se necesita menos cantidad para envasar todo el jugo? ¿cuántos envases de cada tipo se requieren para envasar el jugo?
AE 10 Calcular volúmenes de cilindros y conos utilizando fórmulas. y radio 9 cm. con el afán de reunir dinero.
. Para esto. Determinan las dimensiones de tres cilindros expresándolas en cm. realiza una venta de jugos de piña. y altura de la pirámide 9 cm. y una pirámide de base cuadrada cuyas medidas son: lado del cuadrado 12 cm. en situaciones del tipo: • Un octavo básico.
• 2. Verifican. y altura 12 cm.•
calculan el área total de un cilindro con los datos de la figura: base de radio 4 cm.
generalizan el resultado para obtener una expresión que represente el área total de un cilindro
Calculan volúmenes de figuras donde intervienen conos y cilindros. Francisco diseña 2 envases. que el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro de la misma altura y radio:
Elaboran estrategias para determinar longitudes de arcos de circunferencia y las aplican en contextos diversos.AE 11 Resolver problemas en contextos diversos relativos a cálculos de: • • • perímetros de circunferencias y áreas de círculos áreas de superficies de cilindros. sabiendo que el lado del jardín mide 8 m. Resuelven problemas que involucran cálculo de volúmenes de cilindros y conos del tipo: • calculan el volumen total que ocupan las cuatro cajas cilíndricas para guardar sombreros. conos y pirámides volúmenes de cilindros y conos
Actividades 1. como indica la figura. dado que una milla marina equivale a 1. Por ejemplo: • • calculan el perímetro de una circunferencia inscrita en un cuadrado de área conocida determinan la cantidad de alambre necesaria para cercar una superficie de forma circular
Resuelven problemas que involucran cálculo de áreas de circunferencias del tipo: • En un jardín cuadrado se quiere sembrar pasto y dejar espacio para instalar una pileta con forma de semicircunferencia. • Por ejemplo. aplican las estrategias elaboradas para determinar la longitud del arco de circunferencia que describe un faro al girar 120° a dos millas marinas del faro.
5 cm 10 15 20
5 cm 10 15
2. Calcular el área en que se sembrará pasto.
4.852 metros.
. ¿cuántos tarros se necesitan?
Observaciones al docente Se sugiere al docente que establezca la relación que existe entre el lado de un cuadrado y su diagonal. un grupo de expertos decidió pintarla con un compuesto especial. La pirámide tiene base cuadrada de lado 10 metros y su altura es de 12 metros. Si un tarro del compuesto especial tiene la capacidad de pintar 1 m2.
®Aplican los conocimientos referidos a áreas de superficies para resolver problemas del tipo:
• Para restaurar una pirámide. Es importante que los estudiantes verifiquen esta relación en casos particulares.
el teselado. • • Indican las combinaciones posibles de polígonos en un teselado.
Actividad propuesta A continuación se presenta un teselado.
. Construyen la configuración base de una teselación con más de un polígono regular. Responda a las preguntas propuestas: Criterios de evaluación Al evaluar. ¿Es posible construir un teselado con un cuadrado y un triángulo isósceles? ¿Por qué? ¿Con qué transformaciones isométricas se puede construir este teselado? ¿Aplicadas sobre qué figura? Justifique. Identifican las transformaciones isométricas aplicables para construir • • • • • ¿Qué tipo de teselado es el de la figura? ¿Cuál es el patrón seguido en el teselado de la figura? ¿Qué tipo de triángulo se utilizó para construir el teselado de la figura? Justifica. utilizando transformaciones isométricas. considerar los siguientes criterios: • • Identifican patrones en el teselado. Explican las condiciones que deben cumplir los polígonos en un teselado.Ejemplos de evaluación
Aprendizaje Esperado Utilizar las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y teselaciones semirregulares. utilizando traslaciones y reflexiones. Indicadores de Evaluación
Teselan el plano con un solo polígono regular.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2001
En esta unidad se espera que los estudiantes sean capaces de comparar resultados experimentales con resultados teóricos. A su vez. se profundiza en los conceptos de población y muestra introducidos en 6º básico. por lo que será importante el uso de herramientas tecnológicas que permitan simular un gran número de veces un cierto experimento aleatorio y contrastar el gráfico experimental con el gráfico teórico. en función de la información que se gana o pierde. El énfasis está en el análisis de diferentes situaciones que impliquen tomar decisiones respecto de la pertinencia o no de agrupar datos en intervalos y cuál es un número “razonable” de ellos. espacio muestral.UNIDAD 3 Datos y Azar Propósito En esta unidad. en diversos contextos. Por último. Se espera que los estudiantes comprendan las ventajas y desventajas de agrupar datos. modelo de Laplace. Conceptos clave Datos agrupados en intervalos. los estudiantes profundizan en lo que ya han aprendido sobre datos y azar en cursos anteriores. Prerrequisitos • • • • • Población y muestra Frecuencias absolutas y relativas Experimento aleatorio Probabilidad de un evento Gráficos de frecuencia
Contenidos disciplinares • • • • • • • • • • • • Intervalos Amplitud de un intervalo Marca de clase de un intervalo Tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos Media aritmética y moda para datos agrupados en intervalos Muestreo aleatorio simple Equiprobabilidad de eventos Principio multiplicativo Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio Probabilidad teórica de un evento Modelo de Laplace Condiciones del modelo de Laplace: finitud del espacio muestral y equiprobabilidad
. En azar (probabilidades) se aborda la probabilidad desde un punto de vista teórico con la introducción del modelo de Laplace. evento y eventos equiprobables. En datos (estadística) los estudiantes aprenderán a construir e interpretar tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. muestras aleatorias. se espera que los estudiantes comprendan los conceptos de espacio muestral. Por último. utilizando medidas de tendencia central para datos agrupados. frecuencias de datos agrupados. se espera que sean capaces de interpretar y producir información. aunque la experimentación con el uso de tablas de frecuencias y gráficos sigue siendo importante en este nivel. avanzando en la comprensión del concepto de aleatoriedad al momento de usar muestras y su importancia en la realización de inferencias acerca de la población. equiprobabilidad.
rigor. a partir de una tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos. Obtienen información. de diversos contextos. cuyos datos están agrupados en intervalos. • Determinan la moda. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos
Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. extendiendo al caso de datos agrupados en intervalos. provenientes de diversas fuentes.Habilidades • • • • • • • • Resolver problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos Construir tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. y la interpretan de acuerdo al contexto. en forma manual y mediante herramientas tecnológicas Decidir sobre el tipo de muestra en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia. Construyen tablas de frecuencia. Comprenden el significado de la frecuencia de un intervalo en una tabla de frecuencias con datos agrupados.
Explican la pertinencia y ventajas de representar un conjunto de datos. con datos agrupados en intervalos. ejemplifican Analizar el comportamiento de una muestra de datos. en tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos.
Interpretar y producir información. usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan Identificar el conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y los eventos o sucesos como subconjuntos de aquel Utilizar el principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos Verificar si un experimento aleatorio cumple con las condiciones del modelo de Laplace Asignar en forma teórica la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio utilizando el modelo de Laplace Actitudes • • Perseverancia.
Determinan la media a
partir de una tabla de
frecuencia con datos agrupados en intervalos.
3. • Extraen información desde datos numéricos agrupados en intervalos y resumidos a través de la media o moda
. mediante el análisis de datos presentados en tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. en contextos diversos. en forma manual y mediante herramientas tecnológicas. a través de una tabla de frecuencia con datos agrupados en intervalos. mediante el uso de medidas de tendencia central.
Aplican criterio para decidir el número de intervalos apropiados para agrupar un conjunto de datos. y la interpretan de acuerdo al contexto. • • •
Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Identifican tablas de frecuencias con datos agrupados.
con el valor de la frecuencia relativa obtenida al simular el experimento un gran número de veces mediante el uso de la tecnología. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias. y comunican sus conclusiones. de acuerdo respecto al tipo de o datos más involucrados. en diferentes contextos.relacionados con una situación o fenómeno. una calculadora. Utilizan un recurso tecnológico. • • • Describen el espacio muestral de un experimento aleatorio dado y obtienen su cardinalidad. información de dos conjuntos de datos. realizando una simulación con apoyo de la tecnología. y contrastarlas con resultados experimentales. utilizando medidas de tendencia central y comunican sus conclusiones. Determinan la probabilidad de ocurrencia de un cierto evento en un experimento aleatorio. a través del uso de medidas de tendencia central. para generar números aleatorios y usarlos para • extraer una muestra desde una población específica. y comunican sus conclusiones. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos • • • Seguir los pasos indicados hasta completar su trabajo Proponer interpretaciones originales de los datos Es metódico o metódica en el uso de las fuentes de información
Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos • • Es responsable en trabajos grupales Participa activamente en actividades grupales MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2001 49
. y el gráfico de las frecuencias relativas del mismo experimento simulado mediante el uso de tecnología. mediante el modelo de Laplace. 5. Argumentan acerca de la importancia de extraer muestras en forma aleatoria para las conclusiones que se puedan realizar acerca de una población. muestras en forma aleatoria de un determinado tamaño. Evalúan la pertinencia del uso de las medidas de tendencia • Comparan central. 4. Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos. por ejemplo. al lanzar un dado. • Comparan el gráfico teórico de los resultados de un experimento aleatorio. obtenido mediante el modelo de Laplace. • • Interpretan información. rigor. en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables. obtenido a través del modelo de Laplace. • • Establecen estrategias para escoger población específica. • Comparan el valor de la probabilidad de un cierto evento en un experimento aleatorio. Argumentan acerca de la equiprobabilidad de cada resultado posible en un experimento aleatorio. Por ejemplo. desde una
Aprendizajes Esperados en relación con los OFT Perseverancia.
en el caso del lanzamiento de dos dados existen 36 combinaciones posibles de las caras de los dados. A través del trabajo propuesto en Datos y Azar. enfatizando en el aspecto de aleatoriedad y la validez de las conclusiones o inferencias respecto de la población. esta unidad se conecta naturalmente con los Objetivos Fundamentales Transversales. De hecho. de igual modo. Un tema importante será que los estudiantes tengan claridad en las condiciones que permiten aplicar el modelo de Laplace. determinando los “casos favorables” y los “casos posibles o totales”. de modo que en este nivel los estudiantes tienen la posibilidad de contrastar el modelo experimental (frecuencias relativas) y el modelo teórico (Laplace). activos y responsables en el trabajo grupal. se puede incentivar el interés por conocer la realidad y la búsqueda de la información en diversas fuentes. posteriormente. también interesa que los estudiantes sean originales en sus interpretaciones. En cuanto a los conceptos de población y muestra. aparte de una actitud crítica frente a la información.
. Por ello se sugiere que estos sean extraídos desde diarios. Cabe destacar que los estudiantes ya vienen trabajando desde años anteriores con las frecuencias relativas. Se sugiere el uso de algún recurso tecnológico (calculadora. esta vez considerando los datos agrupados en intervalos. como: “que la suma sea igual a 7”. luego. se recomienda proponer a los estudiantes discusiones relacionadas con las formas de seleccionar una muestra. Por otro lado. en los que puedan determinar el espacio muestral conjunto de todos los resultados posibles y los eventos como subconjuntos de dicho espacio muestral. Por ejemplo. revistas o Internet. el camino hacia las probabilidades ha sido justamente ese: de lo experimental a lo teórico. Es importante que los estudiantes comprendan que lo primero corresponde a la cardinalidad del espacio muestral y lo segundo a la cardinalidad del subconjunto o evento. metódicos en el uso de de las fuentes de información y. Por ejemplo. Se sugiere que en este nivel los estudiantes comparen el gráfico de las frecuencias relativas (tras un gran número de iteraciones por medio de la tecnología) con el gráfico de las probabilidades obtenidas por la regla de Laplace. aplicado al experimento de la suma de dos dados. Para este nivel. Se sugiere.• •
Toma iniciativa en actividades de carácter grupal Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales
Orientaciones didácticas para la unidad Tal como lo sugieren los Aprendizajes Esperados. Se sugiere al docente que trabaje algunos ejemplos donde el modelo de Laplace no se puede aplicar directamente. Para este caso se sugiere profundizar en las medidas de tendencia central. trabajar con el modelo de Laplace. sean capaces de determinar otros eventos (subconjuntos). de modo que los estudiantes vean que esta dimensión de la matemática está en conexión con la vida cotidiana y es una herramienta para interpretar y modelar la realidad a través de diversas representaciones. En la parte estadística (Datos) es importante trabajar con contextos que sean de interés para los estudiantes. Es importante que los estudiantes verifiquen este resultado y. o bien “que la suma sea un múltiplo de 3”. En la parte de probabilidades (azar) se recomienda proponer a los estudiantes diversas situaciones y experimentos aleatorios. se sugiere analizar diferentes situaciones que impliquen tomar decisiones sobre agrupar datos en intervalos y cuál sería un número “razonable” de ellos. por ejemplo) para generar números aleatorios. En esto será clave la comprensión acerca de la equiprobabilidad de los eventos elementales y que el espacio muestral debe ser finito.
30 a 59 min.0] de Punto medio
Frecuencia9
1.cadem.0] [2. Por ejemplo: • • ¿qué porcentaje de estudiantes tiene nota mayor o igual a 4. extrayendo la información de la tabla y visualizando la utilidad de cada columna de frecuencias.0 – 7. Por ejemplo.5 4.0] [5. Agosto 2008. ¿cuánto tiempo se conectan las personas? Porcentaje 48% 22% 25% 5%
También conocido como “Marca de Clase”. calculan los valores de cada frecuencia relativa y relativa porcentual. Dada una tabla de frecuencias por intervalos.0 – 3.5 6.0? ¿qué porcentaje de alumnos obtiene nota “roja” en la asignatura en el segundo trimestre?
®3. considerando el tiempo que permanecen conectados: Tiempo conectado 5 a 29 min.0] [4. según un estudio10 sobre el uso de facebook (403 individuos) se obtuvo la siguiente información. Obtienen información de diversos medios de comunicación que esté presentada en tablas de frecuencia con datos agrupados por intervalos.0 – 4.0] [3. Escriben en su cuaderno las respuestas a las preguntas planteadas por el profesor.5 Total
4 6 3 14 9 4 40
2. También denominada “Frecuencia Absoluta”.5 3.cl/media/temas/documentos/Estudio_Facebook.0] [6.pdf
Actividad 1.5 5.Ejemplos de actividades
AE 1 Interpretar información a partir de tablas de frecuencia. en la tabla siguiente se muestran las notas (promedios) de los estudiantes de un curso al finalizar el segundo trimestre en la asignatura de matemática: Intervalos Notas [1. verificando la pertinencia de la información que entregan las columnas de frecuencias.? ¿cuál es la moda del conjunto de datos? en promedio. la registran en sus cuadernos y la ponen en común.0 – 5. cuyos datos están agrupados en intervalos.0 – 2.5 2.0 – 6. Por ejemplo. www. 1 a 3 horas Todo el día conectado Total Responden preguntas del tipo: • • • ¿cuántos individuos se conectan entre 30 a 59 min. Estudio CADEM Research Facebook. el fenómeno en Chile.
8 2.1 2.5 4. Obtienen información de todos los estudiantes del curso con respecto de su estatura y a su número de hermanos.
Recopilan datos de interés en los medios de comunicación.cl
. Después de registrar los datos en una lista. en función del tipo de datos y el propósito de lo que se quiere presentar.sismologia.4 3.
3.7 4.2 4.2 3.7 3.AE 2 Representar datos.4 4.1 3 3 4.2 3. provenientes de diversas fuentes. Registran las estaturas de los estudiantes en una lista y presentar datos en tablas de frecuencia con datos agrupados. Es recomendable utilizar una planilla electrónica para simplificar los cálculos de los elementos de la tabla. ingresan a la página del Servicio Sismológico de la Universidad de Chile11 y obtienen la actividad sísmica de los últimos 2 días:
Fecha-hora Local 2010/10/25 17:18:24 2010/10/25 16:25:28 2010/10/25 15:28:48 2010/10/25 15:18:00 2010/10/25 14:04:05 2010/10/25 13:14:11 2010/10/25 10:54:52 2010/10/25 04:45:18 2010/10/25 04:20:41 2010/10/25 03:10:07 2010/10/25 02:45:38 2010/10/24 23:03:12 2010/10/24 22:26:06 2010/10/24 19:56:27 2010/10/24 18:11:21 2010/10/24 13:44:41 2010/10/24 13:39:06 2010/10/24 07:59:18 2010/10/24 07:53:09 2010/10/24 07:47:00 2010/10/24 06:44:50
Magnitud 3 3.6 4.3 3. los distintos grupos representarán los datos obtenidos en tablas de frecuencia con datos agrupados. A partir de esto. Cada grupo decidirá sobre el número de intervalos a utilizar. Por ejemplo. el docente explicita la necesidad de trabajar con tablas de datos simples y tablas de datos agrupados por intervalos. 2.9 4.5 3.3 3. Actividad 1. Observaciones al docente Se sugiere al docente realizar esta actividad en grupo.7
Sensible No No No Sí No No No Sí No Sí Sí No Sí Sí Sí Sí No No Sí No No
Localidad 18 km al NO de Pichilemu 26 km al NE de Calama 26 km al NE de Calama 64 km al NO de Valparaíso 134 km al SE de Vallenar 25 km al N de Pichilemu 24 km al O de Navidad 57 km al NO de Constitución 23 km al O de Pichilemu 56 km al O de Cobquecura 64 km al NO de Cobquecura 32 km al SE de Navidad 42 km al O de San Antonio 16 km al O de La Serena 27 km al S de Rancagua 19 km al NO de Melipilla 42 km al S de Pichilemu 47 km al NO de Pichilemu 52 km al NO de Arauco 85 km al SE de Ollagüe 17 km al O de Navidad
www. en tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Es recomendable que los estudiantes tengan la oportunidad de discutir y decidir cuándo es apropiado usar intervalos.4 4.
7 2. Actividad 1. si se considera el consumo eléctrico mensual de un hogar en KWH.9 2. Para la construcción es necesario identificar la magnitud mínima y la máxima.9
27 km al SE de Pichilemu 22 km al SO de Los Vilos 13 km al NO de La Ligua 81 km al O de San Antonio
4.5 2. en contextos diversos.
.2010/10/24 03:19:36 2010/10/23 23:59:07 2010/10/23 23:54:08 2010/10/23 22:55:43
2. calculan la media de la muestra (promedio ponderado) y su moda. Frecuencia Absoluta.
Construyen tablas sencillas por intervalos. Por ejemplo. A partir de una tabla de frecuencias simple obtenida a partir de datos de su interés. verificando que la cantidad de intervalos debe simplificar la presentación de los datos y no debe dejar que se pierda información importante. extendiendo al caso de datos agrupados en intervalos.
AE 3 Interpretar y producir información. y sobre la cual se deben construir los intervalos.
Observaciones al docente Hacer notar a los estudiantes que la variable en cuestión corresponde a la magnitud del sismo. KWH [144 – 170] [170 – 196] [196 – 222] [222 – 248] [248 – 274] [274 – 300] Total Punto medio12 Frecuencia13 6 6 5 7 4 2 30
2. a partir de los puntajes obtenidos en la PSU por los estudiantes de un establecimiento educacional:
361 728 225 601 780 435 458 460
543 658 351 417 515 552 584 325
640 742 800 430 427 368 451 531
475 321 410 630 625 490 610 679
321 420 729 562 651 620 381 780
370 573 777 518 478 328 504 800
553 660 389 383 760 500 677 600
431 410 520 820 555 470 478 580
555 770 478 330 400 690 643 390
245 445 545 645 745 800 790 700
Marca de Clase. mediante el uso de medidas de tendencia central. Por ejemplo.
Construyen en sus cuadernos una tabla por intervalos con información y completan las columnas de frecuencias.
Escriben en su cuaderno conjeturas acerca de procedimientos para calcular la media y la moda en este conjunto de datos agrupados por intervalos. quien les proporciona algunos métodos usuales. de los cuales se conoce la media y/o la moda.
Calculan las marcas de clase o puntos medios de cada intervalo. 4.
A partir de distintas tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos que proporciona el profesor. 5.
5. Dado que deben trabajar las medidas de tendencia central. Registran conclusiones a partir de distintos experimentos y encuestas obtenidos de distintos medios de comunicación. la misma encuesta para dos muestras distintas. Extraen información y datos de estudios públicos de diferentes medios de comunicación y escriben las especificaciones de cada muestra escogida.
7. Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar a los alumnos en algunos experimentos o encuestas para alcanzar el aprendizaje esperado.3. una sobre una muestra aleatoria y la otra no. y contrastarlas con resultados experimentales. Escriben en su cuaderno la importancia de la aleatoriedad de una muestra. representativo del intervalo que corresponde. Escriben el significado de estos valores de acuerdo al contexto del problema. A partir de una lista.
Comparan dos conjuntos de datos y calculan e interpretan sus medidas de tendencia central. con los datos sin agrupar. se gana en organización y presentación de los datos pero se pierde en exactitud. 6. 2. En esta actividad se sugiere retomar la actividad del registro de estaturas por grupo. estas medidas pueden no ser representativas. Como criterio.
Observaciones al docente Se sugiere al docente enfatizar en el uso de la marca de clase (punto medio) como un valor de la variable. en el caso de la media aritmética se define el “punto medio” del intervalo y con este valor. Actividad 1.
AE 4 Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias. considerando que al tabular de esta manera.
AE 5 Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos. se pedirá a los grupos estimar el promedio de los datos utilizando los datos agrupados y comparar con el promedio real. Ponen en común los estudios recopilados y la información de sus respectivas muestras en grupos. Vale aquí el ejercicio de comprobar qué tan cercanos están la media aritmética obtenida. en ocasiones.
. Por ejemplo. como representante. calculan la media y la moda. Verifican sus conjeturas con ayuda del profesor. Por ejemplo. Escriben en su cuaderno las condiciones necesarias para asegurar la aleatoriedad de una muestra. Verifican que. es importante que los estudiantes verifiquen las formas de obtener dichas medidas a partir de un conjunto de datos agrupados. en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables. 3. y la media aritmética con datos agrupados utilizando el punto medio. se obtiene la media aritmética con el mismo procedimiento que para el caso de datos no agrupados. visualizando la importancia de la aleatoriedad de la muestra. Analizan los resultados de dos encuestas distintas en un contexto significativo. 4. clasifican las muestras en aleatorias y no aleatorias.
los cuales con pocos lanzamientos sería muy difícil observar. cobra relevancia el uso de herramientas tecnológicas que permitan simular experimentos aleatorios una gran cantidad de iteraciones. Sacan conclusiones al respecto. 3. ya que los estudiantes pueden constatar sus conjeturas en forma visual. sin embargo. determinan la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma sea menor o igual a 5. pueden “ver” lo que está pasando. Comparan el gráfico asociado a las frecuencias relativas (experimental) con el gráfico de barras ideal. Observaciones al docente Es importante que los estudiantes realicen completamente la experiencia e identifiquen cada etapa del proceso. Además. Lo fundamental del trabajo con esta actividades la capacidad de observar los patrones o regularidades respecto de las frecuencias relativas porcentuales para cada resultado. Lanzan un dado 20 veces cada uno en grupos de 4 o 5 alumnos. Realizan el lanzamiento de dos dados una gran cantidad de veces y registran los resultados para la suma de los puntajes de las caras. Utilizan apoyo de la tecnología y grafican. Determinan las combinaciones posibles para el lanzamiento de dos dados y grafican los resultados “teóricos” para la suma de las caras. Comparan la probabilidad teórica con la frecuencia relativa en el experimento de lanzar 100 veces una moneda. como es un contexto lúdico. Utilizan un gráfico de barras para estos resultados ideales. 6. Por lo anterior. utilicen la misma escala y la frecuencia relativa porcentual para poder comparar los gráficos. es recomendable que la experiencia se maneje en términos de “apuestas”. en cada etapa. Responden a la pregunta ¿qué suma tiene más probabilidades de salir? 5. Es necesario que los estudiantes. Esta actividad se presta para la utilización de un simulador de lanzamientos. los estudiantes pueden establecer conclusiones al observar patrones. Por ejemplo: • 2. Por ejemplo. Calculan probabilidades de eventos asociados al experimento con dados mediante el modelo de Laplace. escribir el espacio muestral de “lanzar dos monedas al aire”. 4. Escriben por extensión en sus cuadernos los elementos de los espacios muestrales de distintos experimentos. Es importante motivar a los estudiantes a que permanentemente realicen conjeturas acerca del resultado del lanzamiento del dado.
. Aumentan el número de lanzamientos usando un recurso tecnológico. es decir. respecto del experimento de la suma de los dados. Ellos deberían partir con una apuesta inicial. En esto los gráficos cumplen una función importante. a medida que se realice el experimento puede que sus conjeturas vayan cambiando y modifiquen su apuesta. Observan y registran en sus cuadernos la frecuencia relativa de cada resultado (equiprobables). De este modo. 7.Actividad 1.
pero si salen distintas –en el primero cara y en el segundo sello o viceversa–. obtenido mediante el modelo de Laplace. ¿tienen igual probabilidad de ocurrencia?. se obtiene la siguiente tabla de frecuencias: Resultados cc cs sc ss o o • Frecuencia 22 24 28 26 compare gráficamente los resultados obtenidos en la repetición del experimento con los teóricos. primero lanza uno (Rosa. 3. 4. mediante el modelo de Laplace Comparan el valor de la probabilidad de un cierto evento en un experimento aleatorio. Al evaluar. El juego consiste en lanzar una moneda dos veces. 5. al lanzar un dado Determinan la probabilidad de ocurrencia de un cierto evento en un experimento aleatorio. Comparan gráficamente las probabilidades teóricas y empíricas. Ernesto y Rosa juegan con monedas. y contrastarlas con resultados experimentales. según la tabla. Si en ambos lanzamientos salen caras o en ambos sello. Argumentan sobre la equiprobabilidad de ocurrencia de los elementos del espacio muestral. luego el otro y después se alternan. y el gráfico de las frecuencias relativas del mismo experimento simulado mediante el uso de tecnología. comparan las probabilidades de ocurrencia. 2. con el valor de la frecuencia relativa obtenida al simular el experimento un gran número de veces mediante el uso de la tecnología. que gane Ernesto en el juego? ¿Es un juego justo? 1.Ejemplo de evaluación Aprendizaje Esperado Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos. gana Rosa. realizando una simulación con apoyo de la tecnología Por ejemplo. y comunican sus conclusiones Actividad propuesta Lea cuidadosamente la situación dada. ¿A qué atribuye la diferencia? ¿cuál es la probabilidad. ¿cuántos elementos tiene? ¿Cuál es la probabilidad teórica de que gane Rosa? Los elementos del espacio muestral. aplicando Laplace y las frecuencias relativas. ¿cual es el espacio muestral?. obtenido a través del modelo de Laplace. considerar los siguientes criterios: Criterios de evaluación
. Aplican el modelo de Laplace para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento. por ejemplo). gana Ernesto. y comunican sus conclusiones • Comparan el gráfico teórico de los resultados de un experimento aleatorio. ¿por qué? Si al repetir 100 veces el juego. en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables. Indicadores de Evaluación • • • • Describen el espacio muestral de un experimento aleatorio dado y obtienen su cardinalidad Argumentan acerca de la equiprobabilidad de cada resultado posible en un experimento aleatorio. Describen el espacio muestral y determinan su cardinalidad. Preguntas: • • • • En una instancia del juego. Responda las preguntas propuestas.
dominio y recorrido de una función. En este nivel el trabajo con ecuaciones progresa hacia el planteamiento y resolución de ecuaciones con más de una incógnita. en el trabajo propuesto los estudiantes deben reconocer conceptos clave como dominio y recorrido. variación proporcional inversa. variación proporcional directa. que resulten interesantes para los estudiantes. ecuaciones que representan relaciones físicas. Todo esto se incorpora al repertorio de temas que aportan al desarrollo del razonamiento matemático. Por una parte. La unidad ofrece también la posibilidad de visitar nuevamente tópicos relativos a proporcionalidad directa e inversa. pero con mayor énfasis en el concepto de variación proporcional y tratado desde el punto de vista algebraico. ecuación de primer grado con dos incógnitas. Por ejemplo. Prerrequisitos • • • Proporcionalidad directa e inversa Representación gráfica de la proporcionalidad directa e inversa Resolución de problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita
Contenidos disciplinares • • • • • Situaciones de variación proporcional y no proporcional Situaciones de variación proporcional directa e inversa Concepto de función y sus diferentes representaciones Dominio y recorrido de funciones Ecuaciones de primer grado con más de una incógnita
Habilidades • • • • • • • Identificar situaciones de variación proporcional y no proporcional Resolver problemas que involucran variación proporcional directa Resolver problemas que involucran variación proporcional inversa Reconocer funciones en diversos contextos Identificar dominio y recorrido de funciones en diversos contextos Resolver problemas que involucran funciones en diversos contextos Plantear y resolver ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Actitudes • Trabajo en equipo y muestra iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos
. lo que introduce algunos elementos de lenguaje conjuntista. variación proporcional y no proporcional. Conceptos clave Variable. la capacidad para realizar representaciones de objetos abstractos. función. la idea es desarrollar el concepto de función asociado a algunas metáforas que facilitan su comprensión y vincularlo a conceptos matemáticos ya trabajados en años anteriores. en especial.UNIDAD 4 Álgebra Propósito En la unidad de álgebra los estudiantes comienzan el reconocimiento de funciones y su distinción con las relaciones en contextos diversos. fórmulas geométricas o expresiones que reflejen situaciones de la vida cotidiana. Por otra parte.
Dan ejemplos de funciones en contextos cercanos. proporcionalidad
5. dependencias no proporcionales. Identifican la constante de proporcionalidad en dependencias proporcionales. Identifican en un contexto determinado. • Utilizan la constante de proporcionalidad para argumentar la proporcionalidad directa e inversa entre variables. situaciones de proporcionalidad. Determinan la constante de proporcionalidad en datos que varían proporcionalmente y los utilizan para realizar cálculos.
4. Utilizan
Identifican en un contexto determinado. identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas. Analizan. ecuaciones entre dos que representan en la • • •
Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Identifican las variables que están involucradas en
situaciones de la vida cotidiana. en tablas y gráficos. Plantear relación contextos.Aprendizajes Esperados
Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1.
dependen proporcionalmente de otras variables. Evalúan ecuaciones planteadas en función del contexto del problema. • Comparan el producto entre valores asignados a variables para identificar una relación de proporcionalidad inversa entre variables.
Identifican el dominio y recorrido de una función. relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables. softwares gráficos asociadas a proporcionalidad inversa.
Reconocer funciones en diversos contextos.
Identifican. Despejan una variable en función de la otra en ecuaciones que tienen dos incógnitas. datos representativos de situaciones para determinar si estas son proporcionales. Identifican variables dependientes de otras variables en diversas situaciones.
3. Utilizan notaciones empleadas en funciones para expresar dependencias de variables. Comparan el cuociente entre valores asignados a variables para identificar una relación de proporcionalidad directa entre variables.
Resolver problemas en diversos contextos que implican que proporcionalidad implican directa y problemas inversa.
asociadas a proporcionalidad directa.
Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional. Representan.
situaciones situaciones
gráficos. utilizando softwares gráficos.
Ejemplos clásicos pueden ser tomados de fórmulas que representan relaciones físicas. con el agregado que al estar bajo el alero del álgebra se enriquece su trabajo y se potencia el concepto de variación proporcional. fomentando el liderazgo intelectual y el carácter. En relación con tema de funciones. Una de las situaciones que se debe evitar es que los estudiantes trabajen con las expresiones algebraicas que representan relaciones o funciones sin comprender qué describen. El apoyo de tecnología. En este nivel. D
Esta es la oportunidad para introducir las representaciones algebraicas de una relación proporcional directa o inversa. interpretando la igualdad
P = Pi como la expresión que representa dicha situación. Se abandona la clásica progresión que se iniciaba con una rigurosa definición del producto cartesiano. Por ejemplo: la frecuencia (f) de una onda y su período (T) están relacionados a través de la ecuación:
La unidad ofrece también la posibilidad de trabajar nuevamente tópicos relativos a proporcionalidad directa e inversa. como la proporcionalidad directa e inversa. le permitirán tanto al estudiante como al docente observar las distintas gráficas de cada función en estudio. Por ejemplo. para luego definir el concepto de relación y terminar presentando las funciones como un caso particular de las relaciones. aunque cumplan con alguna de las características de las proporciones. Reconocer en una función el dominio y recorrido permite a los estudiantes distinguirlos de una relación cualquiera. si el docente lo estima conveniente puede utilizar aquellos términos y conceptos relacionados con teoría de conjuntos que sean necesarios y faciliten el aprendizaje. así como la asignación de roles. Es importante que los estudiantes sean capaces de reconocer el dominio y el recorrido de una función. El trabajo en equipo facilita la discusión y análisis de situaciones problema. y que el valor que puede tomar la incógnita dependerá del valor que tome la otra variable. Interesa que los estudiantes analicen las funciones desde la relación entre dos variables y. Aunque el currículo no propone como tema el uso del lenguaje conjuntista. el uso de tecnología facilita la relación conceptual entre la expresión algebraica y su representación geométrica. El énfasis debe estar puesto en que los estudiantes comprendan que las variables de este tipo de ecuaciones pueden ser despejadas en función de la otra variable. Este hecho es particularmente relevante cuando se quiere analizar el enfoque de los temas propuestos en esta unidad. El trabajo en álgebra se presta favorablemente para alternar entre reflexión y estudio personal con el planteamiento y discusión de situaciones problemáticas. a pesar de que cuando una variable aumenta
.Orientaciones didácticas para la unidad La unidad de álgebra se presenta por primera vez en el programa de estudio con autonomía de los temas tratados en números.
y = 2 x + 1 como una relación no proporcional. los estudiantes podrían concluir que al ser el cuociente entre el perímetro y el diámetro de cualquier circunferencia siempre el mismo número. es esperable para el nivel que los estudiantes identifiquen la expresión también lo hace la otra. se trata de una relación directamente proporcional. en particular. en esta oportunidad se propone desarrollar el concepto de función asociado a algunas metáforas que facilitan su comprensión y vinculado a conceptos matemáticos que ya fueron trabajados años anteriores por los estudiantes. el trabajo con ecuaciones progresa hacia el planteamiento y resolución de ecuaciones con dos incógnitas en diversos contextos. distingan entre variables dependientes e independientes. Por ejemplo. relación que no es natural para la mayoría de los estudiantes. especialmente de aquellos softwares que permiten graficar funciones. y mostrar sus diferencias con representaciones de relaciones que no varían proporcionalmente. Además.
Utilizan la notación
para identificar que está en función de
está en función de
x. Representan situaciones en contextos cotidianos a través de funciones. identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas. Identifican variables independientes y otras dependientes de ellas. Por revelar el rollo le cobran $1. Modelan situaciones en contextos cotidianos.
Por ejemplo.000 en monedas de $100 y $500
P = 1000 + 50 F .
toma los valores en el conjunto de los números naturales impares
mayores que 5 y menores que 16.000 y por cada foto que salga bien le cobran $50. Identifican dominios y determinan recorridos de funciones. determinan el recorrido de la función en la función 4. Obtiene la siguiente fórmula: o o determinan la ecuación que permite conocer las maneras de envasar 50 kilos de azúcar en bolsas de 2 y 5 kilos determinan la ecuación que permite conocer las maneras de juntar $10.
y = 2( x − 1) . y establecen el término función. en la relación
b = 3a − 5 .Ejemplos de actividades
AE 1 Plantear ecuaciones que representan la relación entre dos variables en diversos contextos. Decide calcular el revelador del rollo dependiendo del número de fotos. Actividades 1. Modelan situaciones de la vida cotidiana mediante ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2001 60
. Actividades 1. identifican que b
• dependencia en la forma o o
y notan esta dependencia en la forma
En las siguientes igualdades identifican las variables dependiente e independiente y notan esta
y = 3z − 4
c = a−5
Observaciones al docente Se sugiere al docente mostrar distintos tipos de funciones en las que una variable dependa de otra variable. Adicionalmente se aconseja mostrar a modo de ejemplo dependencias de más de una variable. Se sugiere además guiar al estudiante en el proceso de modelamiento. en la situación: • Marcos cotiza el revelado de fotos en una tienda. y a esta dependencia la llama función
Observaciones al docente Se sugiere al docente mostrar modelamientos de situaciones antes de que los estudiantes intenten llegar a un modelo que represente una situación dada. Por ejemplo. 3. Identifican ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. donde P
es el precio que debe pagar por revelar
identifican la variable independiente y la variable dependiente comprenden que la variable dependiente depende de la variable independiente. 2. Por ejemplo. Por ejemplo: • • AE 2 Reconocer funciones en diversos contextos.
2. Por ejemplo. y la utilizan para calcular el valor de y
4. usando datos de la situación que representan. Actividades 1. Actividades 1. Argumentando al respecto. También se sugiere que deje lo más claro posible el significado matemático de este concepto. 3. Analizan datos correspondientes a situaciones en diversos contextos mediante el uso de softwares gráficos para determinar si las situaciones que representan estos datos son proporcionales. Observaciones al docente
Resuelven problemas que implican proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa en distintos contextos.
Observaciones al docente Se sugiere al docente mostrar variables que dependen de otra de manera proporcional.
Calculan la constante de proporcionalidad en proporciones directas y en proporciones inversas. pero que no son directamente proporcionales 2. situaciones de proporcionalidad. Resuelven problemas relativos a magnitudes proporcionales utilizando softwares gráficos. calculan la constante de proporcionalidad en una proporción directa
y = kx .AE Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional.
AE 5 Resolver problemas en diversos contextos que impliquen proporcionalidad directa y problemas que impliquen proporcionalidad inversa. Actividades 1.
Se sugiere al docente mostrar distintas proporciones directas e inversas y reforzar el concepto matemático que implican estas dependencias mediante exposiciones gráficas. y a la función y =
x = 10 . Completan tablas asociadas a la función
y = kx . mediante el uso de softwares gráficos. construyen una tabla con valores de las variables determinadas y a partir de cálculos realizados con ellas establecen si están relacionadas de manera proporcional.
Indagan en Internet acerca de situaciones que corresponden a variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional. donde k x
2. y la utilizan para obtener valores desconocidos de esa situación.
AE 4 Analizar. Al respecto el docente podría presentar a los estudiantes situaciones donde: • una de las variables involucradas aumenta cuando la otra variable aumenta. Comprenden los conceptos de proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa e identifican este tipo de cantidades en contextos diversos.
Identifican situaciones que corresponden a variables relacionadas de manera proporcional y situaciones donde la variación no es proporcional.
Determinan la constante de proporcionalidad en datos que varían proporcionalmente y los utilizan para realizar cálculos. Representan gráficamente la relación de proporcionalidad entre dos variables Resuelven problemas. de mineros rescatados y el tiempo. • Al evaluar. 1. el día 13 de octubre de madrugada se inició el rescate de los 33 mineros atrapados en el fondo de la mina San José. El lapso que transcurre entre el rescate de dos mineros consecutivos. Criterios de evaluación
. considerar los siguientes criterios: • • Identifican las relaciones de proporcionalidad entre las variables. 3. Actividad propuesta A continuación se entrega información relacionada con un hecho real. N. que transcurre en el rescate de los N mineros? Justifique. Representan en tablas y gráficos relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables. Si se mantienen invariables los datos entregados en el enunciado. t. ¿Qué tipo de relación existe entre el número. demorándose 15 minutos y 40 segundos en hacer un viaje desde el fondo de la mina a la superficie o bien desde la superficie al fondo de la mina. utilizando las relaciones de proporcionalidad entre variables. Indicadores de Evaluación • • • Obtienen ecuaciones de situaciones asociadas a proporcionalidad directa. Lea cuidadosamente la información y responda a las preguntas propuestas. es de 40 minutos. La velocidad con que la cápsula Fénix se desplaza es de 1 metro por segundo. ¿cuánto tiempo tomaría el rescate de los 33 mineros? Justifique. ¿Qué relación existe entre el tiempo que toma rescatar un minero (viaje desde el fondo de la mina a la superficie) y la velocidad de subida de la cápsula Fénix? Construya un gráfico que represente la relación entre las variables. Rescate de los mineros De acuerdo con las noticias. Preguntas.Ejemplo de evaluación
Aprendizaje Esperado Resolver problemas en diversos contextos que implican proporcionalidad directa y problemas que implican proporcionalidad inversa. 2.
Materiales para construir la geometría. (2006). Universidad de Santiago de Chile. ARGÜELLES RODRÍGUEZ. Introducción a la didáctica de las ciencias y la matemática. M. T. (1968). Calculadoras: Introducción al álgebra. y GONZÁLEZ. Las matemáticas. NAFRÍA. MCyE. Claudia. Historia de la matemática. SANTISO. J. DÍAZ. BERLANGA. Argentina: Libros del Zorzal. y otros. Síntesis. C. y otros. Hoja de Cálculo en la enseñanza de las matemáticas en Secundaria. (2006). Encuentros cercanos con la matemática. Educación matemática.. Azar y probabilidad.. Ingeniería didáctica en educación matemática. (1994). FORTUNY. DÍEZ. Barcelona: Grao. El número de oro. C. CEDILLO. Un club de Matemática para la diversidad. J. (1996). Buscando un orden para el azar. J. ARIAS. Funciones y gráficas. (1998). MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE. GOVINDEN L. (1997). (1995). Barcelona: Grao. México: Novedades Educativas. E. métodos y significado. KOSTOVSKY. J. ALSINA CATALÁ. DICKSON. (2003). Akal. C. Simetría dinámica. P. MALILA C. DUHALDE. ¿para qué? Síntesis. (1984). JOHSUA. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2001 63
. Matemática. (2004). Números decimales: ¿por qué?. ALSINA CATALÁ. R. (1990). ARAYA S. RODRIGUEZ. Construcciones geométricas mediante un compás. (2008). R. PLANAS. A. Introducción a la estadística. México: Iberoamericana. Síntesis. Buenos Aires: Poseidón. G. Colombia: Magisterio. Madrid: Grao. (1997). (1997). SAAVEDRA G. (coord. J. Barcelona: Labor. (1991). La matemática: su contenido. N. Mc Graw Hill. y otros. Razones para enseñar geometría en la educación básica. Educación matemática y buenas prácticas. y otros. Enseñar matemática hoy. Argentina: Aique. Síntesis. C. L. y TAPIA. (2000). y otros. (2005). México: Iberoamericana. Madrid: Universidad Autónoma de Madrid. A. J. Razonamiento matemático. N. (1994). D’AMORE. Didáctica de la matemática. L. M. “Una introducción a la didáctica de la matemática”.. AZCÁRATE. (2005). M. (Malba Tahan). Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Santiago: Universitaria. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios. Barcelona: Graó. P. (2002). Cómo desarrollar el razonamiento lógico matemático. Buenos Aires: Colihue. Selección bibliográfica. Tomo I: Los ritmos. Revista UNO. Programa de estudio 8º básico. (2008). S. SADOVSKY. CORBALÁN. (1968). (1989). y otros. M. El ingenio en las matemáticas. HONSBERGER.MATERIAL DE APOYO SUGERIDO
Bibliografía para el docente ALEKSANDROV. (2004). y otros. ALSINA CATALÁ. (1976). ALSINA. BRESSAN. (1997). (2000). Matemática. El aprendizaje de las Matemáticas. (1995). y otros. Madrid: Narcea. C. MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE. Programa de estudio I medio. traducción para el PTFD. y otros. L. J. MALILA C. J. ESCALANTE. (1987). Madrid: Síntesis. A. tomo II: Los ritos. México: Fondo de Cultura Económica. CENTENO. Las matemáticas en el entorno. Santiago: Universidad de Santiago. (2009). Buenos Aires: Limusa. G. Barcelona: Grao. Madrid: Síntesis. (2005). I medio. El currículo de matemática en los inicios del siglo XXI. Enseñar matemáticas. DE MELLO E SOUZA. Contenidos básicos de estadística y probabilidad. (2005). (1988). T. perejil de todas las salsas. COFRÉ. México: Internacional Thompson. M. Manual para kinder a 8º básico. Santiago: Enlaces GOÑI. (1995). B. MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE. Santiago: Centro Comenius. y otros. Roberto y MATUS. La matemática de los modelos proporcionales. Madrid: Alianza universidad. M. A. ARTIGUE.). GIMÉNEZ y TORRA. Á.. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Invitación a la didáctica de la geometría. y DEULOFEU. DOMÍNGUEZ. en Enseñanza de la Matemática. ARTIGUE. CALLEJO. F. y DUPIN. Madrid: DLS-Euler. Moscú: Mir. Michèle y otros. BURGUÉS. Buenos Aires: Poseidón. (1992). (1990). y otros. y ALSINA. El hombre que calculaba. (1994).
Argentina: AIQUE.eduteka. Matemáticas: cultura y aprendizaje.org/directorio/index. D. Madrid: Síntesis.gob.keypress. Aprendizaje cooperativo en matemática.cl Instituto Nacional de Estadísticas: www. VILLANUEVA. luego elegir la carpeta “Matemáticas” o bien desde el enlace directo: www.html Eduteka. (1997).educacion. y otros. I.gob.cl/recursos-educativos-digitales?nivel_educativo=50&subsector_basica=65 Proyecto Descartes.edu/es/nav/vlibrary. Lom. Uno.Base/Web/verContenido.sep.reformasecundaria.mx/mat_ed/mat_ed_01.cl Red Maestros de Maestros (Mineduc): www.): www. Textos para el docente y el estudiante educación secundaria México: www. VILLELA. (2001).xml (Ver capítulos de lecciones en español). etc. dos.SERRANO. Páginas web recomendadas Ministerio de Educación de Chile: www.eduteka. y otros. Santiago: Universidad Católica de Chile.keypress. (2001). H. Geometría elemental.cl/Portal. WINSTON. M. (1993).org/MI/master/interactivate
.php Recursos digitales interactivos en la web: Portal Educar Chile: www.rmm.php?t=sub_pages&cat=204 Actividades sugeridas por temas: www. España: http://recursostic. Colombia: www. F.aspx?ID=186119 Enlaces: www.mineduc. Álgebra: www.org/directorio. applets de la Universidad de UTAH: http://nlvm. tres… geometría otra vez. J. Portal Educativo.ine. (1990).mx/matematicas/recdidactico.cl Instrumentos curriculares (Mapas de Progreso. J. 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales transversales. Programas de Estudio.com/x19578.currículum-mineduc. y otros. Números enteros.html http://telesecundaria.eduteka.cl Sitio Key Currículum Press de textos de matemática: Geometría: www.educarchile.dgme.usu. Universidad de Murcia. VARGAS-MACHUCA.catalogored.es/descartes/web/ Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales.sep. y ELPHICK.com/x19850.xml (Ver capítulos de lecciones en español).
usu. El hombre que calculaba. Akal. GOVINDEN. (1994). R. Santiago: Centro Comenius. Síntesis. y MATUS.Base/Web/verContenido.eduteka.educarchile.mx/matematicas/recdidactico. (1990). México: www.sep. Mc Graw Hill. España: http://recursostic. (Malba Tahan).org/directorio/index.usu. ARAYA. C. (1992). C.cl/Portal. J. J.edu/es/nav/category_g_3_t_2.eduteka.usu. DÍEZ. HONSBERGER. Limusa.dgme. J. Números y operaciones: http://nlvm. (1989). R.html http://nlvm.sep.eduteka. Ediciones de la Universidad Autónoma de Madrid.org/directorio/index.usu.html http://telesecundaria.Bibliografía para el estudiante ARGÜELLES RODRÍGUEZ. Páginas web recomendadas: Textos para el docente y el estudiante educación secundaria.educacion. Introducción a la estadística.eduteka.html Álgebra: http://nlvm.reformasecundaria. Colombia: Actividades sugeridas: www.gob. y otros.. (2002).gob.edu/es/nav/category_g_3_t_4.edu/es/nav/category_g_3_t_5. applets de la Universidad de UTAH: Enlace genérico: • • • • http://nlvm. Hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas en secundaria. Universidad de Santiago de Chile.php?t=sub_pages&cat=362 Geometría: www.eduteka. Portal Educativo. P. y DEULOFEU.php Recursos digitales interactivos en la web: Proyecto Descartes.edu/es/nav/category_g_3_t_3.php Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales.aspx?ID=186119 Enlaces: www.usu. Madrid: DLS-Euler. DE MELLO E SOUZA.edu/es/nav/category_g_3_t_1.html Geometría: http://nlvm.org/MI/master/interactivate/ Enlace genérico de las unidades temáticas: www. ARIAS. enlaces directos: • • Números y operaciones: www. DOMÍNGUEZ.cl/recursos-educativos-digitales?nivel_educativo=50&subsector_basica=65 Eduteka.mx/mat_ed/mat_ed_01. (2008).php?t=sub_pages&cat=363 www.html • Análisis de datos y probabilidad: http://nlvm. C. NAFRÍA.html Portal Educar Chile: www.org/directorio.php?t=sub_pages&cat=364 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN JUNIO DE 2001 enlaces directos:
. Funciones y gráficas. (1998). Historia de la matemática.es/descartes/web/aplicaciones. AZCÁRATE. Buscando un orden para el azar.org/directorio/index. El ingenio en las matemáticas.catalogored.edu/es/nav.usu. SANTISO.
Unidad 2 VARIOS AUTORES. Festival de ingenio. (2006). A.n. Sólidos geométricos. Madrid: Anaya. Barcelona: Parramón.d. s. M. Santiago de Chile: RIL. México: La Vasija. y PÉREZ. (2005). COLLANTES. Ch. El idioma de los espías. Cubos en base dos. (2005). Learning Resources. (2007).php?t=sub_pages&cat=365 Álgebra: www. H. R.
. Usa las matemáticas: soluciona desafíos de la vida real. Todas las unidades BLUM.. y SCOTT. Santiago de Chile. SNAPE.php?t=sub_pages&cat=366
Bibliografía CRA A continuación se detallan publicaciones posibles de encontrar en las bibliotecas de los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) a lo largo del país: Unidad 1 VARIOS AUTORES. Santiago de Chile: RIL. I.org/directorio/index. El asesinato del profesor de matemáticas. (2000). Madrid: Alfaguara. Matecuentos 3: cuentos con problemas. VARIOS AUTORES. s. (2006). s.f.org/directorio/index.eduteka. SIERRA I FABRA. MOSCOVICH. GARDNER. J. J. VARIOS AUTORES. (2008). Unidad 3 VARIOS AUTORES. Apuntes de matemáticas.• •
Probabilidad y estadística: www. ¡Sal si puedes! México: Limusa. Madrid: Nivola Libros. Juegos de naipes ingleses. Imaginación geométrica.eduteka. (2008).
haciendo uso de los recursos entregados por el Mineduc a través de: • • los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) y los materiales impresos. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”. Estos se pueden usar de manera flexible para apoyar el diseño e implementación de estrategias didácticas y para evaluar los aprendizajes.cl/ayuda/documentos/). Ofrecen un marco global para conocer cómo progresan los aprendizajes clave a lo largo de la escolaridad15. Por ejemplo.
. Orientan sobre la progresión típica de los aprendizajes Pueden usarse. ya que permiten: • • caracterizar los distintos niveles de aprendizaje en los que se encuentran los estudiantes de un curso reconocer de qué manera deben continuar progresando los aprendizajes de los grupos de estudiantes que se encuentran en estos distintos niveles
Textos escolares.curriculum-mineduc.
Los docentes también pueden enriquecer la implementación del currículum. entre otras posibilidades. va más allá de la expectativa para IV° medio que describe el Nivel 6 en cada mapa. y así sucesivamente. y les entregan explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación. 15 En una página describen en 7 niveles el crecimiento habitual del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector a lo largo de los 12 años de escolaridad obligatoria. Desarrollan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos Obligatorios para apoyar el trabajo de los alumnos en el aula y fuera de ella. el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico. como un apoyo para abordar la diversidad de aprendizajes que se expresa al interior de un curso.ANEXOS
Existe un conjunto de instrumentos curriculares que los docentes pueden utilizar de manera conjunta y complementaria con el programa de estudio. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Mapas de Progreso14. el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico. es decir. audiovisuales. digitales y concretos que entregan el Programa Enlaces y las herramientas tecnológicas que ha puesto a disposición de los establecimientos
14 En la página web del Ministerio de Educación se encuentra disponible el documento “Orientaciones para el uso de los Mapas de Progreso del Aprendizaje” y otros materiales que buscan apoyar el trabajo con los mapas (www.
Reconocer funciones en diversos contextos. 11. para casos particulares. 2. utilizar los conceptos de perímetro de una circunferencia. 4. y utilizar medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra de datos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. 10. Utilización de estrategias de cálculo que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias. verificar proposiciones simples. cuyos datos están agrupados en intervalos y utilizar este tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes. evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar opiniones y tomar decisiones. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional y resolver problemas en diversos contextos que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad. ampliando al caso de datos agrupados en intervalos. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia. reconocer algunas de sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichas transformaciones. 3. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos. determinar y aplicar sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.ANEXO 2: Objetivos Fundamentales por semestre y unidad
Semestre 1 Objetivo Fundamental 1. volumen de cilindros y conos rectos. 5. en contextos diversos. 8. en la resolución de problemas en contextos diversos. Emplear formas simples de modelamiento matemático. Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas planas. área del círculo y de la superficie del cilindro y cono. 7. y contrastarlas con resultados experimentales. Determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos. mediante el uso de medidas de tendencia central. Interpretar y producir información. 6. en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables. x x x x x x x x x x x x x Unidades: 1 x 2 Semestre 2 Unidades: 3 4
. 9. y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos. identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas.
Realización de traslaciones. Construcción argumentación de teselaciones de las regulares y semirregulares y x acerca transformaciones isométricas x x x x x crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. 6. 2. potencias de base entera. reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico. distinción entre variables dependientes e independientes en ellas e identificación de sus 7. GEOMETRÍA 10. Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional. función uso de e las x interpretación de la notación de funciones. x
. discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones. 9. 8. Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias y de base de entera y exponente relativas natural. Discusión y aplicación de dicho algoritmo. Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de números enteros.ANEXO 3: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad
Semestre 1 Contenidos Mínimos Obligatorios NÚMEROS 1. mediante el uso de software gráfico. fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 4. como recorrido. 11. Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. a la determinación aplicación propiedades x x x Unidades: 1 2 Semestre 2 Unidades: 3 4
multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros. 3. elementos y constituyentes: representación dominio. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales. en contextos significativos. Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros. y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. Reconocimiento de funciones en diversos contextos. Reconocimiento una relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables. enfatizando en el análisis ÁLGEBRA 5.
utilizadas en dichas teselaciones. x x x x x x x x
. la superficie del cilindro. Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las x características de poblaciones. 17. 15. 21. 13. Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. en casos particulares. 12. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia. 18. con un número finito de resultados posibles y equiprobables. en diversos contextos. a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y moda en estos casos. tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas. a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas. Identificación del conjunto de los resultados posibles en x experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquel. cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono. Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco. Resolución de problemas en situaciones significativas que x involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia. Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables. DATOS Y AZAR 16. Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. usando el modelo de Laplace. en forma manual y mediante herramientas tecnológicas. Análisis del comportamiento de una muestra de datos. cuerda. 19. 14. 22. uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos. secante y tangente. usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan. cálculo del área de la superficie del cilindro y cono. Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio. 20. Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono. ejemplificación de casos. mediante el uso de un procesador geométrico. y verificación. el área del círculo.
utilizando fórmulas. Resolver problemas en contextos diversos relativos a cálculos de: • • • perímetros de circunferencias y áreas de círculos áreas de superficies de cilindros. 2. Reconocer algunas propiedades de las transformaciones isométricas.ANEXO 4: Relación entre Aprendizajes Esperados. Verificar qué propiedades de potencias de base entera y exponente natural se cumplen en potencias de base fraccionaria positiva. 8. 10. Teselar el plano con polígonos regulares. Utilizar las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y teselaciones semirregulares. Resolver problemas que involucren las operaciones con números enteros y las potencias de base entera. 3. Unidad 2: Geometría 1. Calcular el área del círculo y de sectores de él. 5. utilizando regla y compás o procesadores geométricos. Determinar propiedades de multiplicación y división de potencias de base entera y exponente natural. Construir transformaciones isométricas de figuras geométricas planas utilizando regla y compás o procesadores geométricos. 4. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos. conos y pirámides volúmenes de cilindros y conos 6-11 13-14-15 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 10 10 10 11 11 12 13 13 14 14 1-2-11 1-2-3-4 2 3 1 2 2 1-2 3 3 OF CMO
. 5. Utilizar estrategias para determinar el valor de potencias de base entera y exponente natural. Caracterizar transformaciones isométricas de figuras planas y reconocerlas en diversas situaciones y contextos. 9. Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)
Semestre 1 Aprendizajes Esperados Unidad 1: Números y álgebra 1. 7. fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 11. 6. Calcular volúmenes de cilindros y conos. conos y pirámides utilizando fórmulas. 2. 3. Calcular el perímetro de circunferencias y de arcos de ellas. 4. decimal positiva y exponente natural. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. Calcular medidas de superficies de cilindros.
2. identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas. Analizar mediante el uso de softwares gráficos situaciones de proporcionalidad. 5. y contrastarlas con resultados experimentales. Resolver problemas en diversos contextos que implique proporcionalidad directa y problemas que implique proporcionalidad inversa. extendiendo al caso de datos agrupados en intervalos. 3. 3. en contextos diversos. Interpretar y producir información.Semestre 2 Aprendizajes Esperados Unidad 3: Datos y azar 1. mediante el uso de medidas de tendencia central. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias. Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos. en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional. 5. 4 9 3 6 4 5 10 20-21-22 9 18-19 8 17-19 7 7 16 17 OF CMO
. Unidad 4: Álgebra 1. en tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. provenientes de diversas fuentes. Plantear ecuaciones que representan la relación entre dos variables en diversos contextos. 4. cuyos datos están agrupados en intervalos. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia. Reconocer funciones en diversos contextos. Representar datos. 4. 2.
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