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MATEMÁTICAS DE LAS VARIABLES | El Blog del Profe Nelson
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Publicado el 23/12/2009	por profbaptista
Estudiaremos independientemente cada uno de estos siglos:
•	Siglo XVI
•	Siglo XVII
•	Siglo XVIII
A finales del siglo XVI, Europa Occidental había recuperado ya, la mayor parte de las obras matemáticas más importantes de la antigüedad que se han conservado hasta nuestros días. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada, introduciendo un cierto simbolismo y la trigonometría, se había convertido en una disciplina independiente. La época estaba ya casi madura, para llevar a cabo ciertos avances que superaran las contribuciones tanto antiguas, como medievales y renacentistas. Pero la transición del Renacimiento al mundo moderno, se hizo también a través de un considerable número de figuras intermedias: Galileo, Cavalieri, Briggs, Neper, Kepler y Viète entre otros.
Durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En sustitución de los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como las Academias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones y sociedades científicas, que se convirtieron en una forma fructífera de trabajo en equipo de los científicos. También comenzaron durante este siglo las publicaciones periódicas. Sin embargo se produjo un cambio muy importante en la concepción de las matemáticas, complementando el estudio de los números y demás magnitudes constantes, con el estudio de los movimientos y transformaciones. En este siglo es cuando tienen comienzo todas o casi todas las disciplinas matemáticas:
•	Geometría Analítica.
•	Métodos Integrales.
•	Métodos Diferenciales.
•	Análisis Infinitesimal.
•	Cálculo de Probabilidades.
Geometría Analítica: En los trabajos de René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1655), comenzó a fraguarse la geometría analítica como un método de expresión de las relaciones numéricas de las dimensiones, formas y propiedades de los objetos geométricos, utilizando esencialmente el método de coordenadas. La última parte de la famosa obra de Descartes “Discurso del Método” denominada “Géometrie”, detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas.
Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarrolló un sistema análogo al de aquél. Las ideas de la geometría analítica, esto es, la introducción de coordenadas rectangulares y la aplicación a la geometría de los métodos algebraicos, se concentran en una pequeña obra: “Introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales”. Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y los representados por cónicas, especiales. Fermat abordó a la tarea de reconstruir los “Lugares Planos” de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometría analítica: “siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva”.
Utilizando la notación de Viète, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores. La extensión de la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos. Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la geometría analítica del espacio quedó sin culminar. Lo que sí está totalmente demostrado, es que la introducción del método de coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no ejercio tanta influencia como la Géometrie de Descartes, debido a la tardanza de su edición y al engorroso lenguaje algebraico utilizado.
El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre la unificación del álgebra y geometría no pudo realizarse sino que siguieron un camino separado aunque relacionado. L. Euler dio a la geometría analítica un aspecto próximo al actual, dedicando a esto el segundo tomo de “Introducción al análisis” (1748). Le precedió sólo Clairaut (1713-1765) que extendió la geometría analítica al espacio tridimensional mediante la introducción de un sistema de tres ejes coordenados rectangulares. La denominación geométrica analítica fue introducida por primera vez por el matemático francés S. F. Lacroix (1764-1848) a finales del siglo XVIII.
El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del análisis infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la construcción de la mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significando la aparición de las posibilidades para la creación del análisis de variables.
Métodos Integrales: Al comienzo, estos métodos se elaboraban, acumulaban e independizaban en el transcurso de la resolución de problemas sobre el cálculo de volúmenes, áreas, centros de gravedad… formándose como métodos de integración definida. El primero de los métodos publicado fue el de las operaciones directas con infinitesimales actuales. Apareció en el año 1615 en las obras de Kepler. Para la demostración matemática de las leyes de Kepler fue necesario utilizar las magnitudes infinitesimales. Sin embargo, fue en su obra “Nueva estereometría de toneles de vino…” donde expuso su método de utilización de magnitudes infinitesimales y los fundamentos para la sumación de estos. Muchos científicos dedicaron sus trabajos al perfeccionamiento del lado operativo de esta empresa, y a la explicación racional de los conceptos que surgían sobre esto. La mayor fama la adquirió la geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un método universal de la geometría. Este método fue creado para la determinación de las medidas de las figuras planas y cuerpos, los cuales se representaban como elementos compuestos de elementos de dimensión menor. Así, las figuras constan de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo, este método era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los correspondientes indivisibles (los puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la integración definida en forma de cuadraturas geométricas, adquirió fama en la primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas que podían resolver. Las ideas que incluyen elementos de integración definida abarcaban hacia los años 60 del siglo XVII amplias clases de funciones algebraicas y trigonométricas. Era necesario sólo un impulso, la consideración total de los métodos desde un punto de vista único, para cambiar radicalmente toda la problemática de integración y crear el cálculo integral.
Métodos Diferenciales: En las matemáticas del siglo XVII junto a los métodos integrales, se formaron también los métodos diferenciales, dando sus primeros pasos en la resolución de problemas. Tales problemas eran en aquella época de tres tipos: determinación de las tangentes a las curvas, búsqueda de máximos y mínimos de funciones y búsqueda de las condiciones de existencia de raíces múltiples de las ecuaciones algebráicas. En el transcurso de este siglo los problemas diferenciales, aun se resolvían por los métodos más diversos. veamos algunos casos. Ya en la escuela de Galileo, para la búsqueda de tangentes y normales a las curvas, se aplicaban simultáneamente los métodos cinemáticos, considerando diferentes lanzamientos y movimientos complejos, determinando la tangente en cualquier punto de la trayectoria. Torricelli, admirador de Galileo, estudió las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo con velocidad inicial constante, pero con ángulos de elevación sobre la horizontal variables, descubriendo que la envolvente de todas esas parábolas era otra parábola, la llamada parábola de seguridad. Al pasar de la ecuación de la distancia a la de la velocidad, ambas en función del tiempo, y recíprocamente, se dio cuenta Torricelli del carácter inverso que presentan los problemas de cuadraturas en determinación de tangentes. Sin embargo, su muerte repentina a los 39 años, truncó lo que podía haber sido la invención del cálculo infinitesimal. La exposición sistemática del método y sus aplicaciones más importantes las dio Roberval en 1640. La acumulación de los métodos del cálculo diferencial adquirió su forma más clara en Fermat, quien resolvió el problema de la determinación de los valores extrémales de una función f(x). También está próximo al cálculo diferencial su método de búsqueda de las tangentes a las curvas algebraicas, si bien las funciones estudiadas eran polinómicas.
Hacia mediados del siglo XVII se acumuló una reserva lo suficientemente grande de recursos de resolución de problemas, actualmente resolubles mediante le diferenciación. Sin embargo, no habían sido aun separados la operación específica de diferenciación y los conceptos equivalentes a los de derivada y diferencial.
El análisis matemático se formaba en los dominios y en los términos del álgebra, la geometría, la mecánica, formadas ya entonces como ciencias. Así, cada nuevo cálculo matemático siempre atraviesa un periodo de formación en los límites del ya existente sistema de ciencias matemáticas, utilizando sus recursos.
Análisis Infinitesimal: La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes… Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la resolución de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos científicos: Kepler, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Walis, Roberval, Fermat, Descartes, Barrow, Newton, Leibniz, Euler,…
La última etapa del desarrollo del análisis infinitesimal, fue el establecimiento de la relación e inversibilidad mutua entre las investigaciones diferenciales e integrales, y a partir de aquí la formación del cálculo diferencial e integral. Este último surgió como una parte independiente de las matemáticas, casi simultáneamente en dos formas diferentes: en la forma de teoría de fluxiones de Newton y bajo la forma del cálculo de diferenciales de G.W. Leibniz.
Teoría de fluxiones: En el método de fluxiones se estudian las magnitudes variables, introducidas como abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico continuo. Estas magnitudes variables se consideran cantidades que van fluyendo o “fluentes”. Después se introducen las velocidades de la corriente de los fluentes, esto es, las derivadas con relación al tiempo. Ellas se denominan fluxiones, que a su vez son también variables y poseen también sus fluxiones y así sucesivamente. Los símbolos de la primera, segunda… fluxiones, si el fluente se designa por y serán,
Para el cálculo de las velocidades instantáneas, es decir, de las fluxiones, se exigían variaciones infinitesimales de los fluentes, denominados por Newton momentos. El símbolo del momento tiempo es 0; el momento del fluente “y” se escribe ., es decir, el producto de la velocidad instantánea por el momento tiempo. En esencia, el momento del fluente es su diferencial. Con esta teoría se resuelven dos problemas fundamentales: – determinación de la velocidad de movimiento en un momento de tiempo dado, según un camino dado. De otro modo: determinación de la relación entre las fluxiones dada la relación entre los fluentes. – dada la velocidad de movimiento determinar el camino recorrido en un tiempo dado. En términos matemáticos, determinar la relación entre los fluentes dada la relación entre las fluxiones. El primer problema, llamado problema directo, representa el problema de la diferenciación implícita de funciones y obtención de la ecuación diferencial, que expresa las leyes fundamentales de la naturaleza. El segundo, llamado problema inverso, es el problema de la integración de las ecuaciones diferenciales.
Cálculo de los diferenciales: en el plano puramente matemático el cálculo de Leibniz se formó bajo las siguientes premisas:
1.	Problemas de sumación de series y la utilización de los sistemas de diferencias finitas.
2.	Resolución de problemas sobre tangentes, el triángulo de Pascal y el paso gradual de las relaciones entre elementos finitos a arbitrarios y después infinitesimales.
3.	Problemas inversos de tangentes, sumación de diferencias infinitamente pequeñas, descubrimiento de la inversibilidad mutua entre los problemas diferenciales e integrales.
Él llegó a la idea sobre el símbolo “d” (abreviatura de la palabra “diferencia”) para la designación de diferencias infinitesimales. Igualmente representó la integral como suma de “todas” las ordenadas, que son una cantidad infinita y lo escribió con el símbolo omny. Más tarde incorporó el símbolo inicial de la palabra Summa. Posteriormente aclaró la necesidad de perfeccionar el símbolo integral, incluyendo en él, el símbolo de diferencial del argumento . Se formularon reglas de diferenciación de las magnitudes de las magnitudes constantes, de la suma, diferencia, producto, cociente, potencia y raíz de funciones. Los diferenciales se interpretaron incialmente como magnitudes proporcionales al incremento instantáneo de la magnitud. Verdaderamente, más tarde, los diferenciales se definieron como diferencias infinitesimales. Los estudios sobre cálculo diferencial e integral se publicaron en 1684 y 1686 respectivamente. En trabajos posteriores de Leibniz se abarca, en esencia, todas las partes del cálculo diferencial e integral obteniendo, por ejemplo, la regla de diferenciación de la función exponencial general, y la fórmula de diferenciación múltiple del producto. Generalizó también el concepto de diferencial al caso de exponente fraccionario y negativo.
Mediante el nuevo cálculo los matemáticos de finales de siglo y comienzos del XVIII lograron resolver un número, que crecía rápidamente, de importantes problemas difíciles y prácticos. Estos éxitos prácticos y la elaboración del cálculo, alcanzaron tal nivel, que a finales de siglo (1696), apareció el primer manual de cálculo diferencial y sus aplicaciones a la geometría; “Análisis Infinitesimal” de G.F. L’Hopital. Un extenso lugar en las obras sobre historia de las matemáticas de esta época, estuvo marcado por la disputa en la prioridad del descubrimiento del cálculo diferencial e integral, por parte de Newton o Leibniz; descubrimiento que, como se ha demostrado posteriormente tuvo lugar de forma simultánea e independiente
El álgebra siguió rompiendo su hermandad con la geometría, fortaleciéndose el aparato simbólico literal, alcanzando gran desarrollo la teoría de ecuaciones. La teoría de números se enriqueció con las famosas investigaciones de Fermat. En particular a él pertenece el conocido “Gran teorema de Fermat”. En el año 1665 B. Pascal formuló el principio de inducción matemática.
Durante el siglo XVIII la elaboración científica y matemática se centró casi exclusivamente en Europa. Gradualmente fue creciendo el papel de los centros superiores de enseñanza, haciéndose particularmente notable hacia finales de siglo con la revolución francesa.
Se podría decir que el siglo XVIII fue un trámite entre los siglos XVII, cuando se inventaron la geometría analítica y el cálculo infinitesimal y el siglo XIX, origen del rigor matemático y espectador de lujo del brillante florecimiento de la geometría.
Los matemáticos más importantes de la época fueron casi todos franceses: Monge, Lagrange, D’Alembert, Laplace, legendre, Carnot y Condorcet. las dos grandísimas excepciones a esta lista fueron Euler y Gauss.
El concepto de análisis infinitesimal se completó de nuevos hechos, encontrando las operaciones de diferenciación e integración aplicaciones a una cada vez mayor gama de funciones, dando lugar al análisis funcional y dentro de él, al cálculo de variaciones como una de las partes más importantes del análisis matemático moderno.
Comentar, por último, que una revisión del desarrollo de las matemáticas en el siglo XVIII sería incompleta sin nombrar los trabajos teóricos realizados en el terreno de la probabilidad.
La elaboración científica de los problemas matemáticos se concentró casi exclusivamente en los países de Europa.
•	Análisis Infinitesimal
•	Análisis Matemático.
o	Cálculo Diferencial.
o	Cálculo Integral.
•	Cálculo de Variaciones.
•	Desarrollo de la Geometría.
o	Geometría Analítica.
o	Geometría Diferencial.
o	Geometría Descriptiva y Proyectiva.
•	Teoría de Probabilidades.
Análisis Infinitesimal: El problema de la creación de la teoría de funciones se convirtió en el problema preliminar del análisis infinitesimal. El concepto de función tenía dos aspectos: la función como correspondencia y la función como expresión analítica. Los éxitos prácticos del análisis infinitesimal, impulsaron a los científicos a poner más atención a este tratamiento del concepto de función, el cual permitía operar con funciones concretas. Fue en el transcurso de los años 30 y 40, en lo fundamental gracias a Euler, cuando se elaboró, sistematizó y clasificó la teoría de las funciones elementales analíticas. La experiencia señaló a los matemáticos que todas las funciones conocidas, eran desarrollables mediante series de potencias. Igualmente se crearon las premisas para la teoría de funciones de variable compleja.
Uno de los rasgos más característicos del análisis infinitesimal en el siglo XVIII era la poca claridad de sus conceptos primarios, la imposibilidad de explicar racionalmente la validez de las operaciones introducidas. Las ideas de los creadores del análisis en esta materia no se distinguían ni por su constancia ni por su determinación. Tanto Newton como Leibniz llevaron a cabo un conjunto de intentos de explicar sus cálculos, sin lograr éxito. Entre los numerosos esfuerzos por encontrar una fundamentación rigurosa al análisis infinitesimal, destacan los de Euler y D’Alembert. Según Euler, el concepto fundamental no es el de diferencial, sino el de derivada; en lo que se refiere a los infinitesimales o diferenciales, ellos son simplemente ceros exactos. Pero esta teoría de Euler no pudo ser reconocida como satisfactoria pues se limitaba a enmascarar los pasos reales al límite, los cuales prácticamente se llevaban a cabo en la diferenciación de funciones. D’Alembert por su parte, ponía objeciones a la teoría de los ceros de Eules y sostenía que la notación de los diferenciales no es más que una manera vaga de hablar, que depende para su justificación del lenguaje de los límites. Sin embargo, la teoría de los límites del siglo XVIII, no obtuvo el reconocimiento de la mayoría de sus contemporáneos. El trabajo más serio que reveló la posibilidad total del cálculo diferencial algebraico y que determinó su destino fue el gran trabajo de Lagrange, “Teoría de las funciones analíticas…”. Demostró que toda función y=f(x+h) puede ser desarrollada en serie de potencias en la forma f(x+h)=f(x)+ph+qh2+rh3… excepto en determinados valores del argumento. Las series de potencias fueron pues, utilizadas para la aproximación de cualquier función por polinomios. Además dedujo la fórmula del resto y el teorema del valor medio. Los coeficientes del desarrollo polinómico fueron definidos por Lagrange como derivadas sucesivas. Pero siguió sin resolver el concepto de límite y las operaciones con series carecían de fundamento, al realizarse sin el estudio de la convergencia de la serie. Semejantes dificultades existieron durante mucho tiempo, hasta que a finales del siglo XIX fue creado el “aparato delta, epsilon” de la teoría de límites.
Análisis Matemático: La riqueza real del análisis acumulada durante el siglo XVIII es tremenda. Veamos algunas de sus particularidades.
Cálculo Diferencial: el cálculo diferencial conservó una estrecha relación con el cálculo de diferencias finitas, originado en los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de las serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual.
Ecuaciones Diferenciales: la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias se había desarrollado ya considerablemente antes de esta época, pero el problema más difícil de la resolución de ecuaciones en derivadas parciales era entonces un campo abierto para los pioneros. El problema de la integración de ecuaciones diferenciales, en su inicio, se presentaba como parte de un problema más general: el problema inverso del análisis infinitesimal. Además cada una de las ecuaciones estaba justificada por la existencia de un problema concreto, no existiendo a principios de siglo una teoría general, con lo que la vía utilizada, fue la de resolver clases de ecuaciones lo más amplias posibles. Los primeros intentos de resolución se centraron en las ecuaciones diferenciales lineales, advirtiéndose resultados notables ya en los años 20 con los trabajos de Ricatti, Golbach, Bernoulli y Leibniz. En el año 1743 Euler publicó el método de resolución de una ecuación diferencial lineal homogéneo de cualquier orden, mediante la sustitución y=ekx o similares. D’Alembert encontró en 1766 que la solución general de una ecuación no homogénea lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea. Junto a las ecuaciones diferenciales ordinarias, fueron encontradas las soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales, llevadas a cabo especialmente por Euler y D’Alembert. Así, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden surgieron preferentemente en el curso de resolución de problemas físicos, entre los que cabe señalar el problema de la cuerda, que conduce a la ecuación: resuelta por Euler. Fue a finales de los 70 cuando Lagrange estableció la forma de obtener soluciones singulares, así como la interpretación de las mismas como la familia de envolventes de las curvas integrales. El estudio de estas familias de curvas integrales y la solución de problemas sobre la búsqueda de trayectorias envolventes e isogonales dio lugar a la aparición de una nueva rama dentro de la geometría: la geometría diferencial.
En resumen, el aparato del análisis matemático en el transcurso del siglo XVIII se desarrolló con rapidez extraordinaria tomando una forma y un volumen próximo al actual. La diferenciación y también la integración mediante funciones elementales fueron, en lo fundamental concluidas. Las ecuaciones diferenciales tanto las ordinarias como en derivadas parciales, poco a poco, se convirtieron en una parte importantísima del análisis matemático, en su tratamiento algorítmico-operativo. Junto a la elaboración de los métodos de resolución de clases independientes de ecuaciones se formaron los elementos de la teoría general.
Cálculo de Variaciones: El cálculo de variaciones surgido en este siglo, recibió en los trabajos de Euler y Lagrange la forma de una teoría matemática rigurosa, posibilitando la resolución de un gran número de problemas de carácter práctico, referidos a la determinación de los extremos de las funciones y que no admitían resolución con los medios del recientemente aparecido análisis infinitesimal. Entre estos problemas citaremos el de la braquistócrona, el problema isoperimétrico o el de las líneas geodésicas sobre las superficies.
El primer método general de resolución de problemas de variaciones, fue elaborado en una serie de trabajos de Euler durante los años 1726 a 1744, presentando la primera formulación general de un problema de variaciones unidimensionales en 1735. Cuatro años después, este método fue generalizado, publicando ya en 1744, el que podríamos considerar como primer libro de la historia sobre cálculo de variaciones. En el libro de Euler se citan más de 60 ejemplos que ilustran las posibilidades del nuevo método. En ellos se demuestra el valor práctico del cálculo y se establece su estrecha relación con la mecánica y la física. El objetivo de este método general era la búsqueda de líneas curvas para las cuales cierta magnitud prefijable, alcanza su valor máximo o mínimo. Pese a la practicidad del método, éste adolecía de cierta falta de rigor sobre todo en cuestiones relacionadas con los pasos al límite.
La situación cambió como consecuencia de la puesta en común de ideas por parte de Euler y Lagrange, al comunicar éste último, el método general analítico de cálculo de la variación de la integral, mediante la integración por partes. Este método se basaba en la introducción de la variación de una función y en la extensión a las variaciones de las reglas del cálculo diferencial. Lagrange fue, además, el primero en señalar la posibilidad de utilizar la segunda variación para diferenciar el tipo de extremal encontrado. Con posterioridad esta posibilidad fue convertida en condición por Legendre y K. Jacobi (s. XIX) y reafirmada por Weierstrass en 1879.
Desarrollo de la Geometría: Prácticamente todas las ramas clásicas de la geometría, excluyendo sólo las geometrías no euclideanas, se formaron en este siglo. Se trata de las geometrías analítica, diferencial, descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría. Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal. De ellas surgió y se desarrolló la geometría diferencial, la ciencia que ocupó durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema de las disciplinas geométricas.
Geometría Analítica: bajo esta denominación se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas.
Las puertas a esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, pero sólo incluían problemas planos. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, “Enumeración de las curvas de tercer orden”, clasificando las curvas según el número posible de puntos de intersección con una recta, obteniendo un total de 72 tipos de curvas, que se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos. Si designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las soluciones indicadas serán: xy2+ey=A ; xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes.
Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling, Maclaurin, Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch y otros. Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra “Introducción al análisis…” que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica.
Geometría diferencial: esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas, superficies etc… Su singularidad consiste en que partiendo de la geometría analítica utiliza métodos del cálculo diferencial.
A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría bidimensional al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada, como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler. El primer logro de Euler en este terreno, fue la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie, desarrollando a continuación una completa teoría de superficies, introduciendo entre otros el concepto de superficie desarrollable. A finales de siglo, es desarrollo de esta rama entró en un ligero declive, debido principalmente a la pesadez y complejidad del aparato matemático.
Geometría descriptiva y proyectiva: los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en los trabjos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto “Géometrie descriptive”. En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores la intersección de superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies.
El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de proyección contituyeron el contenido fundamental de los trabajos sobre geometría proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de base a la nueva geometría.
Análisis Numérico: La independencia de álgebra y geometría (en contra de las ideas de Descartes) se determinó ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la “Aritmética Universal” de Newton. En ella el álgebra se exponía en estrecha relación con el desarrollo de los métodos de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominio de las aplicaciones. La esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la formación de una ecuación algebraica, cuya raíz es la solución del problema. Culmina el libro con los resultados de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica de éstas, mediante la construcción geométrica de las raíces. Este famoso tratado contiene las fórmulas, para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica, fórmulas conocidas habitualmente como “identidades de Newton”. Aparece también un teorema que permite determinar el número de raíces reales de un polinomio, así como una regla para determinar una cota superior de las raíces positivas.
Así, en esencia, el álgebra se convirtió en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas. En ella se incluía además, la elaboración del aparato simbólico-literal necesario para la resolución de tales ecuaciones. También se profundizó en el concepto de número, produciéndose de una manera definitiva la admisión de los números irracionales. Igualmente se profundizó en las reglas de operaciones con números imaginarios y complejos, pero siempre bajo la premisa de la obtención de raíces de ecuaciones.
Teoría de Probabilidades: La teoría de probabilidades debe más a Laplace que a ningún otro matemático. Desde1774 escribió muchos artículos sobre el tema y los resultados obtenidos los incorporó y organizó en su obra “Teoría Analítica de las Probabilidades” publicada en 1812. Sin embargo el primero de los resultados teóricos en esta rama fue, al parecer, la demostración realizada por Moivre en 1730 del teorema local del límite central.
El problema del cálculo de probabilidades sobre la base de observaciones en diferentes aspectos, también fue tratado por D.Bernoulli, Euler, Simpson y Condorcet, siendo uno de los resultados más importantes las fórmulas de Bayes publicadas en 1764. Junto a esto Legendre, Laplace y Gauss elaboraron el método de mínimos cuadrados.
Todo el aparato matemático que permitió desarrollar la teoría de probabilidades está extraído del análisis combinatorio, disciplina iniciada por Leibniz y Ja. Bernoulli. Posteriormente se introdujo la teoría de límites disminuyendo el peso específico de los métodos combinatorios.
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