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Timestamp: 2017-09-26 13:07:38+00:00

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Cargado por Carlos González
Instituto La Salle San Martín BB. Y SS. Electromecánica
ESTÁTICA ...................................................................................................................................................................... 3 CONCEPTOS BÁSICOS .................................................................................................................................................... 3 ELEMENTOS DEL VECTOR ............................................................................................................................................. 6 RESULTANTE DEL SISTEMA DE FUERZAS: ........................................................................................................ 6 PRINCIPIO O REGLA DEL PARALELOGRAMO .................................................................................................................. 6 FUERZAS CON LA MISMA RECTA DE ACCIÓN .................................................................................................. 9 TODAS LAS FUERZAS DADAS TIENEN EL MISMO SENTIDO .............................................................................................. 9 FUERZAS DADAS CON SENTIDO DIFERENTE O CONTRARIO ............................................................................................. 9 PRINCIPIO DE LOS SISTEMAS NULOS ........................................................................................................................... 11 PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN ................................................................................................................. 12 PRINCIPIO DE ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN DE SISTEMAS NULOS ........................................................... 13 FUERZAS CONCURRENTES.................................................................................................................................... 14 FUERZAS COPLANARES O ESPACIALES........................................................................................................... 14 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES Y CONCURRENTES........................................................................ 15 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................................... 15 RESOLUCIÓN ............................................................................................................................................................... 15 PROYECCIONES DE UN VECTOR ......................................................................................................................... 18 RESOLUCIÓN DE POLÍGONOS DE FUERZAS O POLIOGONOS VECTORIALES PARA SISTEMAS COPLANARES Y CONCURRENTES....................................................................................................................... 20 FUERZAS COPLANARES NO CONCURRENTES ................................................................................................ 24 RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GENERAL .................................................................................................................... 24 MÉTODO DEL POLÍGONO FUNICULAR.......................................................................................................................... 25 RESULTANTES PARCIALES .......................................................................................................................................... 29 FUERZAS COPLANARES PARALELAS ................................................................................................................ 30 FUERZAS COPLANARES PARALELAS DE SOLO 2 FUERZAS ........................................................................................... 30 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES PARALELAS CON MÁS DE 2 FUERZAS ............................................................... 31 MOMENTO ESTÁTICO DE UNA FUERZA............................................................................................................ 34 TEOREMA DE VARIGNON ............................................................................................................................................ 34 PARES DE FUERZAS ................................................................................................................................................. 35 MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS RESPECTO DE UN PUNTO COPLANAR................................................................ 35 TRASLACIÓN DE UNA FUERZA ..................................................................................................................................... 36 EQUILIBRIO DE LAS FUERZAS ............................................................................................................................. 37 EQUILIBRIO DE FUERZAS COPLANARES Y CONCURRENTES ......................................................................................... 37 EQUILIBRIO DE FUERZAS NO CONCURRENTES............................................................................................................. 38 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA ...................................................................................................................................... 40
Profesor: Lic. Ricardo Julián Aimó
La física es la ciencia que estudia los cuerpos y sus propiedades mientras no cambia su composición química, ni los agentes naturales con sus fenómenos que ejercen influencia sobre los cuerpos en estudio. La mecánica es la parte de la física que estudia las condiciones de movimiento o reposo de un cuerpo. La mecánica se divide en tres ramas: • Cinemática: estudia el movimiento de los cuerpos prescindiendo de las causas que lo producen. • Dinámica: estudia el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo producen. • Estática: estudia las condiciones de nulidad e inexistencia de movimiento a pesar de las causas que actuen.
Podemos decir que: Es la parte de la mecánica que se ocupa de todos los problemas relativos a las fuerzas en los cuerpos sólidos, estudiando las condiciones de equilibrio que deben cumplir las “FUERZAS EXTERIORES” o “CARGAS APLICADAS” a dichos cuerpos. Para el estudio a los cuerpos se los considerara infinitamente resistentes e indeformables.
En estática no se tienen en cuenta las deformaciones que forzosamente sufriría un cuerpo como efecto de las fuerzas que soporta. Al considerarse las deformaciones como nulas (que no se producen cambios) se puede decir que un cuerpo es rígido: “Cuando se mantienen invariables las distancias entre sus puntos, arbitrariamente elegidos, bajo la acción de un sistema de fuerzas”
Un cuerpo animado de movimiento rectilíneo uniforme (MUR) o en estado de reposo, tiende a persistir en el estado en que se encuentra. Tal tendencia se la denomina “INERCIA DEL CUERPO”.
Se manifiesta cuando un cuerpo tiende a variar de estado. Se puede definir como la causa capaz de provocar un desplazamiento en un cuerpo libre. La presencia de una fuerza solamente puede apreciarse por sus efectos. Es la causa que puede modificar el estado de movimiento (magnitud y/o dirección) de un cuerpo. Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza se modifica su estado de inercia. La fuerza se representa por un vector.
Es utilizada para representar gráficamente los vectores mediante un segmento rectilíneo con una magnitud escalar. Para ello se debe establecer una relación de proporcionalidad entre la magnitud vectorial y la escalar con la que se dibujara. Es la relación que representa en unidades de longitud a las unidades de fuerza. Por ejemplo 1cm = 1N
De la 2da. ley de Newton, define aceleración como la razón entre la fuerza aplicada y la masa que recibe esa fuerza (a = F/m) puede deducirse la fuerza como el producto de la masa por la aceleración (F = m . a) y de allí se obtiene: • • • en el sistema cgs: g cm/s2 , que recibe el nombre de "dina" (Din) (término que, en griego, significa "fuerza"). en el sistema MKS: kg m/s2 , que recibe el nombre de "Newton" (N) (en homenaje al científico inglés). en el sistema técnico, la unidad de fuerza es una unidad fundamental (no derivada de otras), el Kg fuerza, que es el peso del Kg, medido a nivel del mar y a 45º de latitud.
Por el Sistema Legal Argentino (SIMELA) se adopta la unidad del sistema MKS. g Nota: No confundir kg (masa) con Kg (fuerza).8 m/s2.80665 N 1N = 1 → 9.8 Kg 1N = 10 5 Din 1Din = 10 −5 N Profesor: Lic. y la aceleración de 1 metro sobre segundo al cuadrado. El “newton” es la cantidad de fuerza que se entrega a un cuerpo cuya masa es 1 Kg. kg s2/m La aceleración que relaciona el Peso (fuerza con que la Tierra atrae a una masa) con esa masa atraída (medido a nivel del mar y a 45º de latitud) es la llamada "aceleración de la gravedad" (g) y tiene un valor de 9. Son unidades de dos magnitudes diferentes. 1N = 1Kg m seg 2 → Antiguamente las unidades utilizadas eran el Kilogramo fuerza (Kgf ó Kg ) o sus derivadas. Actualmente se utiliza el newton (N) y sus derivadas. es decir. la unidad que se utilizara será el “newton”. Y SS. simbolizado con la letra “N” mayúscula. La relación entre unidades es: → 1 Kg = 9. Electromecánica De allí se obtiene la unidad de masa en el sistema técnico (UTM) deduciendo que: m = F/a y por tanto será kg/(m/s2). La única relación que tienen es que l Kg (fuerza) es la fuerza con que la Tierra atrae 1 kg (masa) a nivel del mar y a 45º de latitud. Podemos establecer así que: Peso = masa .Estática Instituto La Salle San Martín BB. Ricardo Julián Aimó 5 .
Llamada Recta de Acción. Sentido: Es hacia donde se dirige la fuerza. Principio o Regla del Paralelogramo Gráficamente: F1 R O F2 Profesor: Lic. Siempre tendrá sentido opuesto e igual dirección e intensidad que la fuerza que se necesitaría agregar para equilibrar el sistema. Dirección o Recta de acción Punto de Aplicación Intensidad Sentido Resultante del Sistema de Fuerzas: Es una fuerza capaz de remplazar a todas las fuerzas del sistema causando los mismos efectos.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Electromecánica Elementos del Vector Punto de Aplicación: Es lugar donde se ejerce la fuerza (se lo representa en el origen del vector). Dirección: Es la recta por la cual se halla aplicada la fuerza. Intensidad: Es el valor de la fuerza que gráficamente se representa por una longitud o modulo proporcional a dicho valor. Y SS. Ricardo Julián Aimó 6 .
Conocida como “Teorema del Coseno” r a b β α Donde: r2=a2 + b2 – 2 a b cos β . Si lo aplicamos al paralelogramo de fuerzas: F1 R O β α F2 Sí β = 180º .α Siendo α el ángulo entre F1 y F2 Por lo cual podemos decir que: cos β = . Ricardo Julián Aimó 7 .cos α . Electromecánica Analíticamente: Se desprende de la aplicación trigonométrica que dice: “el cuadrado de un lado de un triangulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido”. Remplazando llegamos a la siguiente ecuación: R 2 = F12 + F 2 − 2 F 1 F 2 (− cos α ) 2 R 2 = F12 + F22 + 2 F 1 F 2 (cos α ) Profesor: Lic.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Y SS.
Estática Instituto La Salle San Martín BB. Ricardo Julián Aimó 8 . por lo cual por lo cual se aplica directamente el Teorema de Pitágoras. Electromecánica Si α es un ángulo recto el coseno es igual a cero. Y SS. R = F12 + F22 + 2 F 1 F 2 (cos α ) R = F12 + F22 + 2 F 1 F 2 0 0 De donde: 2 R = F12 + F22 2 Teorema de Pitágoras Profesor: Lic. que es un desprendimiento del Teorema del Coseno. Sí α= 90º 2 cos 90º = 0 .
De Igual Sentido De igual recta de acción De Sentido contrario Todas las fuerzas dadas tienen el mismo sentido Gráficamente: F1 F2 F3 F4 R Analíticamente: n R = F1 + F2 + F3 + F4 = ∑ F i i =1 R = ∑Fi i =1 n Fuerzas dadas con sentido diferente o contrario F1 F2 F3 F4 F5 Gráficamente La solución Gráfica se puede realizar de varias maneras: 1. Ricardo Julián Aimó 9 . Y SS. Sumar las fuerzas de un sentido y luego las del sentido contrario. Para luego restarlas de donde se obtiene la RESULTANTE del sistema de Fuerzas F1 F3 F5 F4 F2 Profesor: Lic. Electromecánica Fuerzas con la Misma Recta de Acción Entendemos como Recta de Acción al elemento que en un vector es la dirección.Estática Instituto La Salle San Martín BB.
Sumar y restar las fuerzas ordenadas por sentido sobre una misma recta de acción. Profesor: Lic. pero los conceptos son validos para todas las rectas de acción. 2. Para resolver los casos de fuerzas con una misma recta de acción no es necesario tener en cuenta si es un sistema que se halla en el espacio (espacial) o en el plano (coplanar). Electromecánica 2. Sumar y restar miembro a miembro en el orden de las fuerzas. F1 F4 R F3 F5 F2 3. Y SS. a tener en cuenta: 1. Siendo la RESULTANTE del sistema aquel sector en el cual las fuerzas no se han superpuesto. Encontrándose como RESULTANTE el segmento de recta que va del inicio de la primera fuerza al final de la última fuerza del sistema de fuerzas. Ricardo Julián Aimó 10 . F2 F4 F 5F1 F 3 R Analíticamente: R = F1 − F2 + F3 − F4 = ∑ F i i =1 n Por ser una suma Algebraica de Vectores los signos indican el sentido de las fuerzas. posibles en el plano y el espacio. la resolución siempre es la misma. Los sistemas utilizados están sobre una recta de acción horizontal. Por lo cual podemos enunciar: R = ∑Fi i =1 n Nota.Estática Instituto La Salle San Martín BB.
Ricardo Julián Aimó 11 .Estática Instituto La Salle San Martín BB. dando lo que se conoce como “Sistema Nulo”. igual dirección y sentido contrario se equilibran entre sí. En otras palabras son dos fuerzas opuestas que se anulan mutuamente y se hallan en la misma recta de acción F1 F2 F1 F2 F1 F2 Sí: F1 y F2 son de igual intensidad y dirección. Electromecánica Principio de los Sistemas Nulos Las fuerzas de igual intensidad. Y SS. R = F1 − F2 = 0 De donde: R = ∑ Fi = 0 i =1 n Ecuación de Equilibrio Profesor: Lic. pero de sentido opuesto.
Electromecánica Principio de Acción y Reacción Cuando una fuerza exterior actúa sobre un cuerpo. Y SS. Ricardo Julián Aimó 12 . Dirección y de Sentido contrario. Profesor: Lic. Acción R Reacción − R Acción R Esta reacción del cuerpo busca mantener el equilibrio del Sistema de Fuerzas. hace nacer de este otra fuerza de igual Intensidad. En otras palabras hace que el cuerpo se quede quieto.Estática Instituto La Salle San Martín BB.
Cuando se aplica una fuerza y el cuerpo se mantiene quieto se dice que se mantiene en equilibrio. o sea que el punto de aplicación de una fuerza puede desplazarse sobre su recta de acción sin que se modifique su efecto. (para simplificar tomaremos un sistema de una sola fuerza y aplicaremos el sistema nulo sobre la misma recta de acción de la F 1 ) Sistema Nulo Sistema Original F1 F3 F2 O r r F2 = − F3 Sistema Adicionado F3 F2 F1 O Este principio también es conocido como TEOREMA DE LA TRANSMISIBILIDAD DE FUERZAS. De este principio se desprende que el punto de aplicación de una fuerza puede ser cualquiera de los puntos de su recta de acción. Ricardo Julián Aimó 13 . Para que el cuerpo no se mueva será necesario ejercer una fuerza − R . Y SS. Principio de Adicción y Sustracción de Sistemas Nulos Si se tiene un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido y se le agrega o quita un sistema de fuerzas nulo. Electromecánica Equilibrio: Se dice de la tendencia de un cuerpo a mantener el estado en el que se encuentra (reposo o movimiento). En este caso la acción esta representada por R y la reacción por − R . Veamos el siguiente ejemplo. el efecto que producía el sistema original no se vera alterado. Pero si el cuerpo se desplaza. igual y contraria a R . cambia de posición y/o gira se dice que se ha roto el equilibrio. Profesor: Lic.Estática Instituto La Salle San Martín BB.
Y SS.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Coplanares 2 direcciones X. Ricardo Julián Aimó 14 . por ejemplo la hoja de papel) por lo cual los vectores que componen las fuerzas se pueden descomponer en 2 direcciones. F1 F2 En estos casos cada una de estas fuerzas esta equilibrada por todas las restantes. Los sistemas coplanares son aquellos que se despliegan en un único plano. Y Sistemas Espaciales 3 direcciones X. Los sistemas espaciales son los que consideran la descomposición de los vectores en tres direcciones. Electromecánica Fuerzas Concurrentes Un sistema concurrente es todo aquel en el cual las fuerzas que se consideran poseen un único punto en común donde sus rectas de acción se intersecan (ej. F3 M F4 Fuerzas Coplanares o Espaciales Los sistemas de fuerzas pueden ser considerados Coplanares o Espaciales. Punto M). Y. Z Profesor: Lic. (si se tratara de un elemento diríamos que solo posee 2 dimensiones largo y alto.
En los sistemas coplanares y concurrentes el problema consiste en que se tendrán tres o mas fuerzas. Las soluciones. Electromecánica Sistemas de Fuerzas Coplanares y Concurrentes Introducción El sistema compuesto por 2 vectores fuerzas como hemos visto en los casos anteriores nos resulta indiferente si están en el espacio o en el plano ya la solución es la misma. dos rectas paralelas o 2 rectas que se intersectan. pero al llegar a esta última solo será aplicable desde la teoría y no en la práctica. grafica y analítica serian las siguientes. Gráficamente: El sistema dado es: F3 F2 F1 M F4 Profesor: Lic. Sentido y Dirección. lo que establece la diferencia con los casos anteriores. Y SS. con lo visto hasta ahora podríamos plantear una resolución sucesiva de paralelogramos de fuerzas. F2 F1 F3 Resolución Para resolver un sistema de fuerzas coplanares y concurrentes. Tengamos en cuenta que el vector se definía por tres elementos Modulo. este se aplicaría a pares de fuerzas y así obtendríamos resultantes parciales y repitiendo el método de manera sucesiva hasta obtener la RESULTANTE DEFINITIVA.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Con lo cual se irían hallando las resultantes parciales mediante el método del paralelogramo. Ricardo Julián Aimó 15 . esto se debe a los principios de geometría que establecen para definir un plano. siendo este ultimo también conocido por RECTA DE ACCION. Por lo cual el método NO SRA VERIFICABLE. entre otras posibilidades.
Ricardo Julián Aimó 16 .Estática Instituto La Salle San Martín BB. Electromecánica Primer paso: se debe hallar la resultante parcial entre F1 y F2 “R1-2” F3 F2 R1−2 F1 M F4 Segundo paso: luego se halla la resultante entre F3 y F4 “R3-4” F3 F2 R1−2 R 3−4 F1 M F4 Por ultimo se halla la resultante entre las resultantes parciales “R” R F2 R1−2 F3 R 3−4 F1 M F4 Profesor: Lic. Y SS.
la Resultante. Electromecánica Analíticamente: Para proceder a hallar la resultante del sistema se debe proceder en forma análoga al método gráfico. Por lo cual No Podremos Aplicar este Método.Estática Instituto La Salle San Martín BB. cosα 2 2 2 Habiendo resuelto por 1 y 2 las resultantes parciales. cos δ Llegados aquí nos encontramos con un problema práctico NO CONOCEMOS el valor de “δ”. por lo cual NO ES POSIBLE llegar al valor de R . Ricardo Julián Aimó 17 . el sistema original ha sido remplazado por el siguiente sistema: R 3−4 R1−2 б M Siendo la formula final: R = R12−2 + R32−4 + 2. La formula a aplicar será la del coseno modificada que hemos visto en el título Fuerzas Concurrentes.F 4 .F 3 .R1−2 .F 2 .R 3−4 . Y SS. Profesor: Lic. cos β 2 2 1 F1 F4 R 3−4 = F 3 + F 4 + 2.F 1 . F3 F2 λ β α M R 1− 2 = F 1 + F 2 + 2 .
2.Estática Instituto La Salle San Martín BB. El sentido de los ejes se toma por convención: Profesor: Lic. A aplicar los ejes cartesianos ortogonales Vector Fuerza y sus proyeccionesFy forman un triángulo rectángulo. Y SS. Electromecánica Proyecciones de un Vector El objetivo de las proyecciones es el descomponer un vector. Fx = F cos β F Fy = F senβ β Fx Para resolver aplicando este método ante todo debemos tener en cuenta las siguientes pautas sobre los sistemas de coordenadas. 1. Para conocer el valor de sus proyecciones operamos trigonometricamente. en nuestro caso fuerza. Esto nos permitirá operar con ellas en forma separada. Para la resolución analítica como gráfica. Ricardo Julián Aimó 18 . Y Fy ΛY F β Fx 0 0 ΛX X Al proyectar un Vector Fuerza en un sistema de Ejes Cartesianos se los descompone en dos proyecciones ortogonales. en dos vectores (en el caso coplanar) o en tres (en el caso espacial) que sigan direcciones preestablecidas por el operador. Esto nos permitirá luego de tener todos las proyecciones aplicar la resolución por el método de Fuerzas con la Misma Recta de Acción. Las proyecciones llevaran el signo según corresponda al sentido que tomen respecto al eje de proyección con que se este operando.
Mientras que para el eje Y los positivos se toman del centro hacia arriba y hacia abajo los negativos. Y X b. El más utilizado en las diversas materias de estudio es aquel que toma valores positivos para X del centro hacia la derecha y negativos hacia la izquierda. se lo conocerá con el nombre de Eje Z.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Otra convención de signos que se puede encontrar habitualmente al estudiar bibliografía sobre Estática es aquella que coloca el signo positivo de Y hacia abajo. haciendo coincidir así gran cantidad de fuerzas que toman el sentido de la gravedad. siendo positivo a la izquierda y negativo a la derecha. En el Espacio Z Reacomodamiento Z o o X Y Y X Por lo cual en el plano queda: En el Plano Z Y Profesor: Lic. Electromecánica a. Ricardo Julián Aimó 19 . Y SS. El horizontal por tratarse de un reacomodamiento de los ejes espaciales.
Y SS. Siguiendo un orden cardinal1 solo a los fines F3 prácticos. Para ello desde un punto cualquiera del plano se pueden trazar a escala los vectores representativos. etc. es la de recurrir a la noción de suma de vectores. Ahora lo resolveremos con el método del Polígono Vectorial o Polígono de Fuerzas. 2.: F3 F2 F1 M F4 La solución para resolver este método. Supongamos el mismo sistema que es el utilizado en el titulo anterior.Estática Instituto La Salle San Martín BB. uno a continuación del otro. como ya indicamos antes. Electromecánica Resolución de Polígonos de Fuerzas o Polígonos Vectoriales para Sistemas Coplanares y Concurrentes Gráficamente: En el título “Fuerzas Coplanares y Concurrentes” dimos como forma de resolución el ir tomando de a pares de fuerzas y remplazándolas por Resultantes Parciales.) 20 Profesor: Lic. 4. 3. Ricardo Julián Aimó . Fuerzas Coplanares y Concurrentes. F4 F2 F1 1 Siguiendo el orden numérico que le hemos dado a los vectores (1. Dicho orden sí es alterado no cambiara el resultado del sistema.
Es fácil comprobar que si se permuta el orden de las fuerzas la línea de cierre siempre será la misma. F1 Si se desea verificar las resultantes parciales halladas por el método del Paralelogramo de Fuerzas pueden trazarse en el Polígono de Fuerzas. la línea de cierre representara a la Equilibrante. F2 F3 F1 R F4 Sí se rompe la Inercia del cuerpo con el Sistema de Fuerzas que actúa sobre él. Ricardo Julián Aimó 21 . Electromecánica Del final de la última fuerza (F4) hasta el inicio de la primera (F1) se traza una línea que cierra el sistema. F3 F4 Esta figura que se obtiene recibe el nombre de Polígono de Fuerzas. F2 F3 F4 F1 E F2 En el caso de estar buscando la fuerza que equilibre el sistema para evitar vencer la Inercia del Cuerpo. Y SS. Profesor: Lic.Estática Instituto La Salle San Martín BB. la línea de cierre estará representando a la Resultante del Sistema.
lo mismo ocurre en el eje Y. Y SS. Analíticamente: Al obtener las proyecciones de las fuerzas que componen el sistema en los ejes de coordenadas X e Y se puede proceder con todas las proyecciones halladas de cada eje de igual manera que en el caso de Fuerzas con la misma Recta de Acción. en otras palabras tienen la misma DIRECCIÓN. Electromecánica F3 R3− 4 F4 R F2 R1− 2 F1 Nota: el método del Polígono de Fuerzas resulta más prolijo y menos engorroso para el trazado gráfico que el Paralelogramos de Fuerzas con resultantes parciales sucesivas. Ricardo Julián Aimó 22 . Por lo visto en “Proyecciones de un Vector” las correspondientes al eje X se hallaran aplicando: Fx = F cos β De donde podemos decir que la proyección de la Resultante en el eje X será (para el sistema considerado): R X = Fx1 + Fx 2 + Fx 3 + Fx 4 Rx = F1 cos β1 + F 2 cos β 2 + F 3 cos β 3 + F 4 cos β 4 En forma general: R x = ∑ Fι cos βι i =1 n Siendo: Rx = R cos β i Podemos decir: R cos β R = ∑ Fi cos β i i =1 n Profesor: Lic. Analizando de a un eje por ves tendremos que todas las proyecciones de las fuerzas en el eje X están sobre la misma recta de acción.Estática Instituto La Salle San Martín BB.
Estática Instituto La Salle San Martín BB. Y SS. Electromecánica Para el Eje Y: Fy = F senβ De donde podemos decir que la proyección de la Resultante en el eje X será (para el sistema considerado): R y = Fy1 + Fy 2 + Fy 3 + Fy 4 R y = F1 sen β1 + F 2 sen β 2 + F3 sen β 3 + F 4 sen β 4 En forma general: R y = ∑ Fi senβ i i =1 n Siendo: R y = R sen β R Podemos decir: R sen β R = ∑ Fi senβ i =1 n Esto resulta de observar el siguiente gráfico: Y Fy 4 Fy 3 Ry F3 F4 R F3 F2 Fy 2 F2 F y1 F1 M F4 0 0 Fx 2 F x1 X Fx 3 Fx 4 Rx Profesor: Lic. Ricardo Julián Aimó 23 .
Estática Instituto La Salle San Martín BB. Tomamos de a pares de fuerzas encontrando así resultantes parciales. Electromecánica Fuerzas Coplanares No Concurrentes Estas fuerzas se hallan en una mismo plano. y se repite el método hasta llegar a la Resultante de todo el Sistema. Y SS. Hallamos las resultantes parciales F3 F1 F2 R 3-4 F4 R1-2 Profesor: Lic. F1 F3 F2 F4 Resolución por el Método General Este método también conocido como del Paralelogramo de Fuerzas. Ricardo Julián Aimó 24 . pero no todas sus rectas de acción se intersectan en un mismo punto. 1.
cuyas rectas de acción se cortan en un mismo punto de la recta de acción de la Resultante. Electromecánica 2. Al haber desarrollado el método observaremos donde se encuentra la semejanza. en 2 fuerzas coplanares.Estática Instituto La Salle San Martín BB. R 2 1 Profesor: Lic. El planteo sería el siguiente: Dada la fuerza R y las direcciones (o rectas de acción) de las fuerzas en las que se descompone la Resultante. Ricardo Julián Aimó 25 . Principio de descomposición de una Fuerza La fuerza a descomponer será la Resultante. Tomando las Resultantes Parciales hallamos la Resultante del Sistema. Y SS. se desea hallar las fuerzas P1 y P2. R1-2 R 3-4 R Método del Polígono Funicular Definamos Funicular: esta palabra proviene del latín FUNICULUS que significa CUERDA.
a 1 O 2 b R b P2 a P1 O Polígono de Fuerzas o Polígono Vectorial De lo anterior podemos entonces suponer que si invertimos el método. uniendo el inicio del primero con el final del último el segmento obtenido representara el vector resultante buscado. al punto final del vector lo llamamos “b”. Electromecánica El procedimiento a seguir será: 1. Por un punto “a” cualquiera se representa el vector R. Por los puntos a y b se trazan paralelas a las direcciones 1 y 2. 4.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Queda así cerrado el triángulo abo. F1 F3 F2 F4 Profesor: Lic. los sentidos de las fuerzas componentes son los que van al encuentro del sentido de la fuerza R. partiendo de conocer los vectores fuerzas del sistema. Y SS. 2. cuyos segmentos ao y bo representan los valores de P1 y P2 respectivamente. Apliquemos esto al sistema de fuerzas dado para el ejemplo del Método General. Ricardo Julián Aimó 26 . 3. al componer un polígono con los vectores ordenados en forma sucesiva.
d. 4.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Cada uno de los rayos proyectantes se los enumera con números Romanos. Ahora resta ubicarla dentro del sistema de fuerzas. Y SS. Profesor: Lic. Electromecánica Resolviendo: a F1 b F2 c F3 d a R F4 e F1 b II I De esta manera hemos obtenido la Resultante del Sistema. Para ello debemos hallar un punto de la recta de acción del vector Resultante. 3. Damos un punto “p”. 2. donde se desee. para cada una de las fuerzas componentes del sistema. e) con el punto p (polo). c. b. la única condición es que no este sobre uno de los vectores. Se construye el polígono vectorial. F2 c III p VI F3 d V F4 e R Nota: es recomendable que al elegir el polo visualmente los rayos polares I y el último rayo formen un ángulo aproximado de 90º. Se procede de la siguiente manera 1. Ricardo Julián Aimó 27 . Para ubicar dicho punto en el sistema de fuerzas aplicaremos nuevamente el Principio de descomposición de una Fuerza. Se trazan rayos polares que unen cada uno de los puntos (a. llamado polo.
Allí se colocara el vector R. por donde el rayo polar I interfecto la recta de acción de F1. se hace pasar el rayo polar II y se lo prolonga hasta intercepte la recta de acción de la F2. 3. Electromecánica Polígono Funicular El polígono funicular se arma a partir del sistema de fuerzas dados. el rayo I y el ultimo rayo se los prolonga hasta que se intercepten. 7. 4. en esa ultima intersección se hace pasar el ultimo rayo polar 6. El proceso será el siguiente: 1.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Se traslada el rayo polar I de manera que intercepte en un punto cualquiera la recta de acción de la F1. A este punto se traslada el vector R. Y SS. Profesor: Lic. así se seguí sucesivamente hasta interceptar la ultima recta de acción. 2. en nuestro sistema es la recta de la F4. en esta nueva intersección se pasa el rayo polar III y se lo prolonga hasta la recta de acción de F3. trasladando los rayos polares al sistema. 5. la intersección determina el punto que pertenece la recta de acción de la fuerza resultante. Ricardo Julián Aimó 28 . Hasta encontrar “el punto” que pertenece a la recta de acción de la resultante. II III I IV F3 F4 F1 F2 V R Conclusión: El método reduce las fuerzas a un vector resultante y a este lo descompone en dos fuerzas (el primer rayo polar y el último) por medio del Principio de descomposición de una Fuerza.
Y los rayos que lleguen a sus extremos serán los que darán su posición en el polígono funicular. Ricardo Julián Aimó 29 . La resultante de las F1 y F2 es R1-2. veámoslo en el siguiente gráfico. Así se pueden hallar las resultantes parciales combinando cualquier par de fuerzas. La resultante de las F3 y F4 es R3-4. va desde el punto “a” hasta el “c” y sus rayos son I y II. va desde el punto “c” hasta el “f” y sus rayos son IV y V. F1 b I R1− 2 II F2 c III p VI F3 d R 3− 4 V R F4 e II III F3 IV F1 I F2 F4 V R3−4 R1−2 R Profesor: Lic. son también los rayos del vector resultante parcial. Sí observamos el rayo polar que se encuentra en el inicio de la primera fuerza y el rayo que se halla en el final de la fuerza siguiente.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Electromecánica Resultantes Parciales a Al trazar el polígono vectorial se pueden hallar las resultantes parciales entre las fuerzas trazadas en forma consecutivas. Y SS.
Y SS. Ricardo Julián Aimó 30 . Electromecánica Fuerzas Coplanares Paralelas Este caso tiene varias posibilidades que se planteen: De igual sentido Solo 2 fuerzas Fuerzas Coplanares paralelas Más de 2 fuerzas De diferentes sentidos De sentidos contrarios De igual sentido Fuerzas Coplanares Paralelas de solo 2 Fuerzas De Igual Sentido R = F1 + F 2 De Diferente Sentido R R = F1 − F 2 Profesor: Lic.Estática Instituto La Salle San Martín BB.
Y SS.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Ricardo Julián Aimó 31 . F1 F2 F4 F5 F3 Desarrollamos el Polígono de Fuerzas o Polígono Vectorial F1 I F2 II III F3 IV P V R F4 IV F5 Profesor: Lic. Electromecánica Sistemas de Fuerzas Coplanares Paralelas con más de 2 Fuerzas De igual sentido: La solución del sistema resulta de la aplicación Polígono Funicular veámoslo aplicado en siguiente ejemplo: Supongamos tener el siguiente sistema de fuerzas.
Y SS. Electromecánica Trasladamos la resultante al sistema planteado construyendo el polígono funicular.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Ricardo Julián Aimó 32 . F1 II F2 F4 F5 III F3 IV I VI V R De diferente sentido: F1 F2 F4 F5 F3 Profesor: Lic.
Estática Instituto La Salle San Martín BB. Electromecánica Desarrollamos el Polígono de Fuerzas o Polígono Vectorial F2 F1 III I II F3 R F5 IV VI P F4 V Trasladamos la resultante al sistema planteado construyendo el polígono funicular. Y SS. F1 F2 F4 F5 II I F3 VI V III R IV Profesor: Lic. Ricardo Julián Aimó 33 .
Dice así: “El momento respecto a un punto (O) de la resultante (R) de un sistema de fuerzas. Las unidades están dadas por la unidad vectorial de la fuerza en newton o sus derivadas y la distancia en la unidad escalar en metros o sus derivadas. Siendo las más frecuentes dNcm. Teorema de Varignon El teorema de Varignon constituye el teorema fundamental de los momentos estáticos.d1 + F2 . dNm y MNcm. Se considera que el giro del momento es positivo cuando sigue el sentido de las agujas del reloj y negativo cuando ocurre lo contrario.d1 + F2 .dr = F1 .d 2 rO r M R = R. “Se llama momento estático de una fuerza con respecto a un punto al producto de la intensidad de la fuerza por la distancia del punto a la recta de acción de dicha fuerza” d F O r M = F .d i i =1 F1 Podemos decir que: Generalizando: R Profesor: Lic.dr r r r R.d 2 n r rO M R = ∑ Fi . es igual a la suma algebraica de los momentos de cada una de las fuerzas que lo componen respecto del mismo punto (O)” Aplicando la noción del momento estático de una fuerza rO rO rO podemos decir que: d1 O d2 α β dR M R = M F1 + M F 2 Remplazando: Sí: F2 rO r r M R = F1 .d [Nm ] = [N ][m] . y dicho cuerpo se halla fijado un punto (O). Y SS. Ricardo Julián Aimó 34 .Estática Instituto La Salle San Martín BB. Electromecánica Momento Estático de una Fuerza Si sobre un cuerpo se ejerce una fuerza (F). La fuerza (F) provocara que el cuerpo gire alrededor del punto (O) en cuestión. La distancia (d) es el brazo de la fuerza o brazo de palanca.
sentido contrario y sus rectas de acción o direcciones son paralelas. Momento De Un Par De Fuerzas Respecto De Un Punto Coplanar Veremos a continuación que el momento de un par de fuerzas respecto de un punto cualquiera (O) es igual al valor del Momento del propio Par.d Llegando así a la conclusión que el momento con respecto a cualquier punto de un plano generado por un par de fuerzas SIEMPRE es igual al momento del propio par. r r r M = F1. Profesor: Lic. r r r M o = F1. r r F1 F1 = − F2 Un par de fuerzas se caracterizan por tener una resultante nula (R = 0).d r r M = F . Su efecto se mide por el producto de una de sus fuerzas por la distancia que las separa.d 2 r r Si F1 = F2 podemos plantear r r M o = F . + - Este efecto es observable en la vida diaria cuando utilizamos un sacacorchos o al abrir o cerrar una canilla de patio. Y SS.(d1 − d 2 ) (F es lo mismo que F1 o F2) Siendo: d = (d1 − d 2 ) De donde podemos decir que r r M o = F . Ricardo Julián Aimó 35 . Si el giro que provocan es en el sentido contrario de las agujas del reloj se considera al momento negativo.d = F2 .Estática Instituto La Salle San Martín BB.d d F2 Si el giro que provocan es en el sentido de las agujas del reloj se considera al momento positivo.d1 − F2 . Separadas por una distancia (dicha distancia nunca puede llegar a ser igual a cero). Electromecánica Pares de Fuerzas Son sistemas compuestos por 2 fuerzas de igual intensidad.
De esta manera se logra desplazar la fuerza deseada sin alterar el sistema y a pesar que se agregan fuerzas estas al ser de igual intensidad y dirección y sentido contrario se anulan sin modificar la situación de equilibrio del sistema en estudio. sin que el sistema de fuerzas cambie el efecto que causa al cuerpo rígido sobre el que se aplica. sentido e intensidad. Electromecánica Traslación de una Fuerza Si se tiene una fuerza (F) que se desea trasladar de un punto de aplicación a otro (O). Profesor: Lic.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Ricardo Julián Aimó 36 . Y SS. respetando su dirección. Se ha de proceder de la siguiente manera en el lugar que se halla F se debe colocar un fuerza (P1) de igual dirección e intensidad pero de sentido contrario y con una distancia igual a la que separa a la fuerza (F) al punto (O) otra fuerza (P2) de igual intensidad y sentido pero de dirección paralela a la fuerza (F). se puede recurrir a un Par de Fuerzas.
existiría resultante y el sistema de fuerza provocaría una traslación del objeto sobre el cual actúa. entonces podremos decir que el sistema esta en equilibrio. Nota: Sí el sistema no estuviera en equilibrio. Equilibrio de Fuerzas Coplanares y Concurrentes Es condición necesaria y suficiente para que un sistema de fuerzas planas y concurrentes este en equilibrio que la resultante del sistema sea nula. n ∑ F cosα i =1 i i =0 En la proyección del eje y. Por lo tanto: En la proyección del eje x. F4 F3 F1 F1 F2 F4 F2 F3 Resulta evidente que cada una de las fuerzas equilibra al resto de las que componen el sistema. Para ello se debe verificar que el polígono vectorial o polígono de fuerzas sea cerrado. Electromecánica Equilibrio de las Fuerzas Un sistema de fuerzas esta en reposo si sus resultante vale cero. Sí la resultante del sistema es nula debiera ser nula la proyección de cada una de ellas sobre los ejes correspondientes. Ricardo Julián Aimó 37 . Analíticamente la condición esta dada sobre las proyecciones respecto a cada uno de los ejes coordenado. Profesor: Lic.Estática Instituto La Salle San Martín BB. En otras palabras hay equilibrio cuando el sistema de fuerzas es un “sistema nulo”. ∑ F senα i =1 i n i =0 Con i = 1 hasta la n-ésima fuerza. ello se comprueba si se lo recorren todas las fuerzas en orden cíclico indicado por las flechas de los vectores. Y SS.
Sino también que en el polígono funicular el primer (I) rayo y el ultimo (n-ésima) coincida ya que de esta manera se asegura que tampoco el sistema pueda rotar. su polígono funicular tenga sus primer y ultimo rayos coincidentes (polígono funicular cerrado). F4 F3 F1 F2 Sistema de Fuerzas Coplanar no concurrente F1 F4 Polígono de Fuerzas o Polígono Vectorial cerrado F2 F3 Polígono Funicular cerrado F1 F4 I=V P IV II III F2 F3 Analíticamente este planteo de las nulidades gráficas se traduce en tres ecuaciones que se pueden plantear de tres maneras diferentes. Ricardo Julián Aimó 38 . Las enunciaremos por la combinación más frecuente. 2. Profesor: Lic.Estática Instituto La Salle San Martín BB. su polígono de fuerzas sea cerrado. Y SS. para evitar la rotación. para evitar la traslación. Electromecánica Equilibrio de Fuerzas no Concurrentes En este caso para que el sistema este en equilibrio no alcanza con que el polígono de fuerzas sea cerrado. Son condiciones necesarias y suficientes para que un sistema de fuerzas coplanar no concurrente este en equilibrio en forma gráfica que: 1.
con la única condición que la recta que pase por esos dos puntos no sea perpendicular al eje de proyección. Electromecánica Primer caso: Dos ecuaciones de proyecciones sobre dos ejes una ecuación de momentos con respecto a un punto cualquiera del plano: r ∑ P cosα n i =1 n i i =1 i i =0 r ∑ P senα = 0 rC ∑ M Pi = 0 i n i =1 Segundo caso: Una ecuación de proyecciones sobre un eje y dos ecuaciones de momentos con respecto a dos puntos cualquiera del plano. rC ∑ M Pi rA ∑ M Pi rA ∑ M Pi n i =1 n i =1 n i =1 =0 =0 =0 Profesor: Lic. r ∑ P cosα = 0 rC ∑ M Pi = 0 rA ∑M P = 0 n i =1 i i n i =1 n i =1 i Tercer caso: Tres ecuaciones de momentos con respecto a tres puntos no alineados del plano. Y SS.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Ricardo Julián Aimó 39 .
Electromecánica Bibliografía Consultada Curso Básico de Estática. Ricardo Julián Aimó 40 . Liberia Garcia Santos. Y SS.htm.es/fisica. Editorial Kapeluz. Ediciones Marymar. Enrique Flies. de Horacio Vidal y Carlos Agustín. Física Elemental. José S. de Aarón Helfgot. Librería Mitre.iespana. Editorial Nigar. Profesor: Lic. Sitio Web http://olydan. Estabilidad I.Estática Instituto La Salle San Martín BB. Fernández y Ernesto Galloni. Curso Elemental de Física. Pérez Avedaño. Estática Gráfica.
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