Source: https://es.scribd.com/doc/71626305/Fracciones
Timestamp: 2016-05-27 03:35:06+00:00

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establecer relaciones de orden entre fracciones . Expresan cantidades fraccionarias utilizando fracciones y/o números mixtos y transforman de notación fraccionaria a números mixtos y viceversa. reconociendo que todas ellas expresan una misma cantidad.. que impliquen: . directos e inversos. capacidad. hacen estimaciones y evalúan resultados (Aprendizaje Nº 4).). sustracción. Reconocen la unidad escrita en forma de fracción (2/2.. analizan y representan informaciones referidas a situaciones cotidianas y fenómenos del mundo real.
Dan sentido a cantidades expresadas con fracciones y números mixtos.Sexto Básico
Representan situaciones que contienen magnitudes diversas (longitud. en forma concreta. 4/4. multiplicación y división con números naturales. Resuelven problemas aditivos simples y combinados. Manejan los algoritmos para la adición. . representándolas. Identifican y producen familias de fracciones equivalentes mediante la amplificación y simplificación. gráfica y numérica. tiempo) y colecciones. cambio y comparación). en contextos de medición. 3/3. Interpretan las cantidades fraccionarias en relación a la unidad correspondiente.expresar datos y/o resultados como fracciones propias e impropias (Aprendizaje Nº 2) En situaciones problema resuelven adiciones y sustracciones de fracciones. Justifican los procedimientos de cálculo que emplean para obtener los resultados. que estén expresadas con fracciones y/o números mixtos. Resuelven problemas multiplicativos de reparto equitativo e iteración de una medida con números naturales. directos e inversos que involucren números naturales. Resuelven problemas aditivos de diversos tipos con fracciones y/o números mixtos (simples y compuestos. de composición.
Calculan adiciones y sustracciones de fracciones y números mixtos. El tipo de problema según la forma en que el enunciado relaciona datos e incógnita: directo e inverso.
2. privilegiando medidas de longitud. Notación utilizada para representar las cantidades. Disponibilidad de material concreto para poder representar el problema y su solución. cambio y comparación. identifican las operaciones que permiten modelarlo. en el estudio de problemas aditivos se trabajará con el modelo de la fracción como medida. Tareas matemáticas
Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes esperados de esta unidad son: • • • • • Resuelven problemas aditivos simples y combinados de composición. “Cuantificando y comparando medidas no enteras”. Dentro del ámbito de problemas aditivos se abordarán problemas directos e inversos ya sea de composición. Elaboran problemas aditivos a partir de una situación dada. fracciones con denominadores iguales. incógnita. uno múltiplo del otro o primos entre sí. Construyen estrategias generales para resolver problemas: distinguen datos.I
En la presente unidad se aborda la tarea de estudiar y resolver problemas del campo aditivo con fracciones y números mixtos. A continuación se detallan los aspectos didácticos matemáticos que estructuran esta unidad:
1. En esta unidad se aprovecha todo el trabajo realizado en la Unidad Didáctica de este mismo curso. área. Disponibilidad o no de la tabla pitagórica. De ese modo. interpretan el significado de los cálculos en el contexto de una situación. números mixtos o ambas. volumen y peso. Estiman el resultado de adiciones y sustracciones. Variables didácticas
Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las tareas matemáticas que niñas y niños realizan son: • • • • • • El tipo de problema según la cantidad de operaciones que lo resuelven: simples o combinados. Relación entre los números que participan en un cálculo aditivo. 6
. cambio o comparación. explicando los procedimientos empleados. fracciones.
o Distinguen los datos y la incógnita del problema. El numerador de la fracción resultante corresponde a la cantidad de piezas utilizadas para completar la tira y el denominador es el mismo que el de las piezas utilizadas en dicha completación. en el material concreto. o Disciernen las operaciones que permiten responder a la pregunta del problema. en un esquema gráfico o bien.3. o Comprueban el resultado y lo interpretan en el contexto del problema. construyen una tira utilizando para ello las piezas (que representan fracciones unitarias) necesarias para representar cada uno de los sumandos. de tal forma que todos los sumandos tengan denominadores iguales. que dé cuenta de la relación aritmética entre datos e incógnita. Escriben directamente el resultado de la suma en notación mixta. • Para calcular sumas y/o restas de fracciones con denominadores distintos: o Con material concreto. Procedimientos
Los procedimientos que niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son: • Para la resolución de problemas siguen una estrategia que considera 5 fases que corresponde a un ciclo de matematización: o Comprenden el enunciado del problema. completan la longitud de la tira de los sustraendos para igualarla a la de los sumandos. donde la parte entera es la cantidad de grupos formados y la parte fraccionaria corresponde a una fracción cuyo numerador son las unidades restantes que no se han podido agrupar y su denominador el denominador de los sumandos. Utilizando piezas de un solo tamaño. o Transforman y reordenan la suma de los numeradores (utilizando la técnica del trasvasije) en grupos de tantas unidades como tienen los denominadores de las fracciones. o Realizan los cálculos de sumas y restas de fracciones y números mixtos. Siguiendo el mismo procedimiento. construyen debajo y con los inicios coincidiendo. o Expresan las cantidades de cada uno de los sumandos mediante fracciones equivalentes. apoyándose. convierten el resultado a número mixto. y de que el problema lo requiera. o Expresan el resultado de las sumas y/o restas de fracciones mediante la fracción que tiene como numerador la suma de los numeradores y como denominador el mismo que los sumandos. o En caso de que la fracción resultante sea mayor a la unidad. • Para calcular sumas y restas de fracciones con denominadores iguales: o Calculan las sumas y/o restas de los numeradores. si es necesario. una tira representando todos los sustraendos. o Para determinar el común denominador de todos los sumandos: 7
Restan las partes enteras y luego las partes fraccionarias. para cada uno de los denominadores desarrollan una lista de múltiplos hasta encontrar un múltiplo que esté en todas las listas. y una vez representada.
o Una vez hecho lo anterior. de forma de obtener fracciones equivalentes que tengan como denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores. • Para calcular restas de números mixtos: o Con material concreto (papel lustre): se representa la cantidad del minuendo utilizando papel lustre. o Si la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo. se calcula la cantidad restante. • Para calcular sumas de números mixtos: o Con material concreto (papel lustre): se representa cada una de las cantidades con papeles lustre y luego se calcula la cantidad total. Luego. Si la fracción resultante de dicha suma es impropia. respondiendo a la pregunta: ¿cuál es el significado de esta solución matemática en el contexto del problema? • Hay problemas en los que las operaciones que lo resuelven se deducen de forma inmediata del enunciado dado que se corresponden al tipo de acción sugerida en el 8
. se le sustrae la cantidad del sustraendo.-
realizan el producto de los denominadores. o Calculan la suma de las partes enteras y luego suman las partes fraccionarias. descomponen los denominadores en factores primos y amplifican cada una de las fracciones por los factores necesarios. esta se transforma a número mixto. Fundamentos centrales de la Unidad
• Una estrategia general de resolución de problemas. Amplifican cada fracción para obtener en el denominador dicho múltiplo. utilizan el procedimiento descrito en el punto precedente para sumar fracciones con denominadores iguales. tal y como se suman las fracciones. agregando la parte entera al resultado obtenido de la suma de las partes enteras. incluye las siguientes fases: fase1: comprender el enunciado del problema fase 2: identificar datos e incógnita fase 3: decidir qué operaciones permiten modelar el problema fase 4: resolver el problema matemático correspondiente fase 5: interpretar el resultado de las operaciones. transforman la parte fraccionaria del minuendo en una fracción impropia añadiéndole una unidad prestada de la parte entera.
Por ejemplo. A este tipo de problemas los llamamos inversos. particularmente en el caso de problemas inversos. siendo en algunos casos unas técnicas más adecuadas que otras.
• Para calcular comprensivamente sumas y restas con fracciones. resulta conveniente descomponer aditivamente los números en función de la relación que exista entre ellos. Llamaremos problemas aditivos simples a aquellos que se pueden modelizar por una operación ( + o -). un esquema básico que se puede emplear para representar la relación de composición a+b+c= total es el siguiente:
• • • • • El campo de problemas aditivo está definido por todos aquellos problemas que se pueden modelizar mediante un conjunto de adiciones y/o sustracciones. pueden fracasar. aunque puedan existir distintas técnicas para realizar un mismo cálculo. Hay otros problemas en los que las operaciones que los resuelven son inversas a las que el tipo de acción del enunciado sugiere. 9
. Es decir. de esta forma. un proceso muy laborioso. Cambio y Comparación.enunciado. deducir las operaciones. A estos problemas les llamamos directos. Llamaremos problemas aditivos combinados a aquellos que requieren de más de una operación aditiva para ser modelizados. lo cual implica. se amplifican una o ambas fracciones hasta encontrar un denominador común. • Para realizar la adición o sustracción de dos cantidades fraccionarias. de forma que es necesario hacer un trabajo específico para poder deducir y justificar la operación (u operaciones) que lo resuelven. • Para expresar dos cantidades fraccionarias mediante denominadores iguales. Frente a un determinado cálculo de suma o resta de cantidades fraccionarias pueden existir distintas técnicas que lo resuelven. Asimismo. estas deben hacer referencia a una misma unidad de medida o unidades de medida equivalentes. estas deben estar expresadas mediante denominadores iguales. el uso de dibujos esquemáticos resulta muy provechoso. • En la resolución de problemas. no siempre son todas igualmente eficientes. unas técnicas que resultan eficientes para realizar un determinado cálculo. pueden no serlo frente a otro cálculo e incluso. ya que su construcción permite evidenciar las relaciones entre datos e incógnita y. generalmente. • Para poder sumar o restar dos o más cantidades fraccionarias. Según el tipo de acción involucrada en el enunciado existen los siguientes tipos de problemas aditivos simples: Composición.
con lo que es necesario reescribir la cantidad total obtenida traspasando tantas unidades como sea posible de la fracción obtenida en la suma. de forma tal que la diferencia se mantenga constante y que la parte fraccionaria del sustraendo desaparezca o bien. Primero se estudian problemas aditivos en los cuales para efectuar los cálculos. Después. cambio y comparación con fracciones. La etapa culmina con el planteamiento de variados problemas que se resuelven por una adición o una sustracción. se construyen los algoritmos de suma y de resta para los números mixtos. Finalmente.5. La etapa culmina un estudio retrospectivo de la Unidad en el cual se resuelven problemas aditivos con fracciones y números mixtos de todo tipo. tanto directos como inversos. aprovechando el algoritmo para sumar fracciones que se desarrolló en la etapa anterior. se estudian problemas en los que la suma de las partes fraccionarias de las cantidades involucradas resulta mayor que la unidad. El aprendizaje y uso de esquemas que representen las situaciones problemáticas cobra mayor importancia. basta con sumar o restar las partes enteras y luego sumar o restar las partes fraccionarias. partiendo de aquellos en que ambas fracciones tienen denominadores iguales. Descripción global del proceso
Los aprendizajes esperados de la Unidad se desarrollan en tres etapas progresivas y estrechamente ligadas. se abordan problemas simples aditivos y se construyen las técnicas para sumar y restar fracciones. Para empezar. En la segunda etapa se abordarán problemas aditivos inversos de composición.
. se estudian problemas de sustracción en los que para poder efectuar la resta es necesario transformar solo el minuendo o ambos términos. En esta etapa se introducen los números mixtos y. para continuar con problemas en el que uno de los denominadores de las fracciones involucradas es múltiplo del otro. esperándose que el alumnado recurra a esquemas en los casos más complejos y que manejen con soltura técnicas convencionales para sumar y restar cantidades fraccionarias. cambio y comparación. Los casos se abordarán en forma progresiva. sea menor que la parte fraccionaria del minuendo. y luego pasar a problemas donde los denominadores de las fracciones involucradas son primos entre sí. En la tercera etapa se estudian problemas combinados. a la parte entera. de forma tal de añadir una unidad a la parte fraccionaria del minuendo se pueda efectuar la resta). Inicialmente. La primera etapa queda caracterizada por el trabajo con problemas directos de composición. se estudian problemas simples en los cuales interesa que los estudiantes distingan claramente entre datos e incógnita y cómo se relacionan entre sí. (En este último caso se puede descomponer la parte entera del minuendo.
Antes de dar inicio al estudio de la Unidad. Amplifican y simplifican fracciones para obtener fracciones equivalentes. Resuelven problemas aditivos simples y combinados.. Calculan el producto de dos números naturales. es aquella medida que al iterarla b veces da como resultado la unidad. siendo a/b la fracción resultante de iterar a veces la cantidad de medida 1/b. directos e inversos que involucren números naturales. Transforman de número mixto a fracción y viceversa. A su vez. Manejan los algoritmos para la adición y sustracción con números naturales. Interesa que los estudiantes activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes esperados en ella.6.
.) Están familiarizados con el uso de la Tabla Pitagórica para determinar productos de números naturales. es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. Comparan fracciones con denominadores distintos. 3/3. Están familiarizados en la escritura de la unidad en forma de fracciones (2/2. Están familiarizados con la interpretación de fracción como una cantidad medida. El docente debe asegurarse que todos los niños y niñas: Dan sentido a cantidades expresadas con fracciones y números mixtos representándolas. la cantidad de medida 1/b.. 4/4.
FUNDAMENTOS CENTRALES Al amplificar cada fracción por el producto de todos los denominadores de las otras fracciones.
CONDICIONES TAREAS MATEMÁTICAS • Resuelven problemas • Problemas de enunciado aditivos combinados directos verbal.
APRENDIZAJES ESPERADOS ETAPA 3 TÉCNICAS • Resuelven problemas con la estrategia apoyándose en esquemas • Para sumar/restar más de dos de fracciones: .Los mismos que en la etapa anterior. Si la fracción mixtos. esquemas. • Explican los procedimientos usados para realizar los • Sumas y restas con cálculos y resolver el números mixtos: problema. dos datos.Fracciones con el denominador común de todas ellas • Resuelven problemas denominadores iguales. e inversos. distintos. amplificadas. por la propiedad asociativa de la suma. Luego.Calculan el denominador común de todas ellas mediante el producto de denominadores y suman/restan los numeradores. expresados mediante: .
FUNDAMENTOS CENTRALES La propiedad asociativa y conmutativa de la suma. todos los denominadores de las fracciones amplificadas van a ser iguales. Al amplificar cada fracción por un factor tal de obtener en el denominador un múltiplo común entre los denominadores.sin reserva • Elaboran problemas . mediante el “producto de aditivos directos de .con reserva aditivos a partir de una situación dada. de forma tal que los dos primeros sean las dos partes enteras y los dos segundos las dos partes fraccionarias. • Para sumar números mixtos: • Calculan sumas y restas de . utilizando • Los datos vienen fracciones y/o números expresados mediante: mixtos.Amplifican las fracciones calculando . • Analizan problemas aditivos .
ETAPA 2 CONDICIONES TAREAS MATEMÁTICAS TÉCNICAS • Resuelven problemas • Problemas de enunciado • Resuelven problemas apoyándose en aditivos simples. la propiedad conmutativa permite reordenar los términos. Usando la definición de número mixto se escribe cada término como la suma de la parte entera más la parte fraccionaria. se puede expresar la suma como una expresión de cuatro términos sin prioridad alguna. La propiedad asociativa nos permite
. .Fracciones con y establecen semejanzas y denominadores diferencias. todos los denominadores de las fracciones amplificadas van a ser iguales. Luego. ya que en todos los casos los denominadores obtenidos corresponden al producto de todos los denominadores.Fracciones con denominadores” y suman/restan los composición y de cambio denominadores numeradores de las fracciones que involucran más de distintos.Suman las partes enteras y luego las fracciones y números partes fraccionarias.Calculan el denominador común de todas ellas para obtener un múltiplo común de los denominadores y suman/restan los numeradores. . La existencia de dicho factor para cada denominador está garantizada por el hecho de que el denominador amplificado es múltiplo de todos los denominadores sin amplificar.II. • Para sumar / restar fracciones distinto cambio y comparación denominador: • Los datos vienen utilizando fracciones. • Para sumar y restar números mixtos: . inversos de composición. directos e verbal.
Si la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo.suman/restan los numeradores y conservan el denominador.Amplifican cada fracción por un factor igual al denominador de la otra.
• Los datos vienen expresados mediante: . . • Explican los métodos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas. el denominador de las fracciones amplificadas resulta ser el producto de los denominadores de las fracciones sin amplificar. • Para restar números mixtos: . .Se añade a ambos términos la fracción que completa a la unidad la parte fraccionaria del sustraendo.sin reserva . • Para sumar/restar fracciones con distinto denominador: .
Fracciones con denominadores distintos. cambio y comparación utilizando fracciones. Al amplificar una fracción por el denominador de la otra y viceversa.con reserva
resultante de la suma es impropia. descomponer dicha fracción en parte entera más parte fraccionaria. la propiedad asociativa permite.
. . transforman la parte fraccionaria del minuendo en una fracción impropia tomando una unidad de la parte entera.Fracciones con denominadores iguales. la suma no varía dado que la cantidad que expresa cada término de las fracciones amplificadas es exactamente igual a la que expresaban las fracciones originales. ETAPA 1 TÉCNICAS • Resuelven problemas haciendo dibujos esquemáticos para relacionar datos e incógnita.
• Sumas y restas números mixtos: .• Explican los métodos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas. a su vez. lo que garantiza que las dos fracciones amplificadas tengan denominadores iguales.
TAREAS MATEMÁTICAS Resuelven problemas aditivos simples. Al añadir una misma cantidad a cada uno de los términos de una diferencia la diferencia se conserva. • Para sumar/restar fracciones con igual denominador: . • Calculan sumas y restas de fracciones.
CONDICIONES • Problemas de enunciado verbal. En caso de que la fracción obtenida sea impropia. APRENDIZAJES PREVIOS
calcular dicha suma sumando los dos primeros términos y los dos últimos.Encuentran fracciones equivalentes cuyos denominadores sean iguales. directos de composición. Esta propiedad se conoce como el “Traslado de la diferencia”.
FUNDAMENTOS CENTRALES Al reemplazar cada uno de los términos de la suma/resta por una fracción equivalente.Las representan y miden el resultado con el material concreto. Reemplazan cada término de la suma/resta por la fracción equivalente encontrada. la transforman a Nº mixto y lo añaden a la suma de partes enteras ya obtenida.
fase 3: decidir qué operaciones permiten modelar el problema. busca un modelo matemático que de cuenta de él. el problema es directo. su modelización depende de las acciones implicadas en el enunciado. Una estrategia general de resolución de problemas. En ese caso decimos que el problema es inverso. fase 4: resolver el problema matemático correspondiente. los estudiantes desarrollarán procedimientos para efectuar sumas y restas con estos números. respondiendo a la pregunta: ¿cuál es el significado de esta solución matemática en el contexto del problema? En estas cinco fases se puede reconocer el ciclo de matematización propio del quehacer matemático que.III
La propuesta didáctica de esta unidad está centrada en que niñas y niños apliquen estrategias para resolver problemas aditivos. fase 5 :interpretar el resultado de las operaciones. 14
. incluye las siguientes fases: fase 1: comprender el enunciado del problema fase 2: identificar datos e incógnita. Cuando esto no sucede. pero ahora dentro del ámbito numérico de las fracciones y los números mixtos. El esquema que representa este ciclo es el siguiente:
Fases 1. En forma paralela. Si el cálculo que hay que efectuar para resolverlo coincide con la modelización.2 y 3
• Dado un problema aditivo. luego opera en el modelo matemático para finalmente volver a la situación original y resignificar la solución matemática en el contexto original del problema. hay que hacer un trabajo específico sobre la modelización para determinar el cálculo que resuelve el problema. partiendo de un problema del mundo real. ya estudiados en años anteriores.
en términos que permiten obtener información crucial para formular el modelo matemático buscado. los estudiantes produzcan esquemas muy básicos. Es muy probable que. • Dibujos esquemáticos hay de varios tipos y de distinto nivel de desarrollo. el uso de dibujos esquemáticos resulta muy provechoso. • Es importante desafiar a los estudiantes a que produzcan sus propios esquemas. los cuales podrán ser descartados o validados en una discusión a nivel de curso. Por ejemplo. inicialmente. por ejemplo:
Es importante discutir con el curso la utilidad y las posibilidades de cada esquema. muy cercanos a lo figurativo. ¿Cuantos kg de harina se tienen en total? pueden surgir diversos esquemas. de esta forma. Su importancia en el desarrollo del pensamiento matemático debe ser destacada. uno de ¾ de kg y otro de ½ kg. ya que su construcción permite evidenciar las relaciones entre datos e incógnita y. según sean más o menos útiles.• En el caso de problemas en que la identificación de las operaciones que los modelan no es inmediata. para luego avanzar a otros que sean más potentes. con preguntas como: ¿los cuatro esquemas dibujados reflejan la misma situación?
. para el siguiente problema de composición: Se juntan dos paquetes de harina. deducir las operaciones.
ya que ayuda al alumno y alumna a formarse una idea muy clara del problema planteado. dado que representan cantidades de referentes distintos.En este caso. Veamos un ejemplo: Ej. Además. El esquema b) aparece muy vinculado al contexto del problema. Dentro de ese modelo es muy frecuente que el concepto de unidad de referencia pase desapercibido. En este sentido. Este requerimiento no es específico de las fracciones. a un rol de carácter técnico en el que el dibujo del esquema pasa a ser una función esencial en el proceso de resolución. La necesidad de una unidad de medida común. reflejando la acción involucrada y poniendo de manifiesto el hecho de que para resolverlo es necesario efectuar una suma de ambas cantidades. es necesario saber antes de dibujarlo el cálculo que hay que efectuar. • Para realizar la adición o sustracción de dos cantidades fraccionarias. Es evidente que esa suma no da 7 y que para poder calcular el resultado de ella. primero se deben expresar ambas cantidades en una unidad común.: Mi papá encargó para cenar una promoción de tres pizzas. a la larga es una gran limitación. las fracciones obtenidas de cada uno de los todos no se pueden sumar. Además. 2 m + 5 000 m = 5 002 m. otra mediana y una individual. presenta la ventaja de ser fácilmente generalizable a problemas similares y a problemas más complejos. En el modelo parte/todo suele ser común interpretar la fracción como una forma de etiquetar las partes sin hacer demasiado énfasis en el significado de la fracción como la cantidad que cuantifica el tamaño de la parte respecto al referente (o todo). El esquema d). dado que el dibujo enfatiza aspectos demasiado particulares y que no son relevantes para su resolución. por ejemplo. ¿Qué cantidad de pizza nos comimos entre los tres? 16
. es importante distinguir el rol que pueden jugar los esquemas en la resolución de problemas. ya que permite determinar la secuencia de cálculos que hay que realizar para resolver el problema. En el esquema c) hay que saber interpretar que el círculo indica la acción de juntar. Además. sucede lo mismo cuando uno trata de sumar 2 m + 5 km. puesto que al todo se le designa habitualmente como la unidad. resulta difícil extender dicho tipo de esquema a situaciones de sustracción. dado que se dibujan los sacos de harina y la acción efectuada. puesto que a medida que los problemas se vuelven más complejos. el dibujo se vuelve inoperante. mi mamá la mitad de la pizza mediana y yo la mitad de la pizza individual. en su lectura se pueden destacar fácilmente todos los aspectos relevantes del problema. el esquema a) juega un rol mas bien de carácter ilustrativo. con ese tipo de dibujos es difícil establecer relaciones y ver semejanzas con otros problemas resueltos. Este puede ir desde un rol meramente ilustrativo. En ese caso. Mi papá se comió un cuarto de la pizza familiar. si bien en un primer momento puede resultar un poco mas lejano del contexto del problema que el b). Los esquemas b) y d) reflejan claramente la acción de juntar que aparece en el enunciado del problema. Si bien en un primer momento dicha vinculación puede ser positiva. El problema surge cuando hay mas de un “todo” que se ha fraccionado y que estos todos no son equivalentes entre sí. una de tamaño familiar. estas deben hacer referencia a una misma unidad de medida o unidades de medida equivalentes.
las sumas o restas de fracciones son operaciones más complejas que las realizadas con números naturales.Respuesta errónea:
Dado que los tamaños de las pizzas no son iguales no podemos sumar las fracciones. lo que hace que tengan denominadores distintos. referentes que sean equivalentes. en la suma de 3/8 con 2/8 puede entenderse el 3/8 como 3 veces 1/8 y el 2/8 como 2 veces 1/8. siendo la cantidad 1/b aquella cantidad que iterada b veces da como resultado la unidad.: 3/7 + 2/5
El primer paso permite desarrollar un algoritmo para realizar la suma a partir del significado de las fracciones dado en el contexto de la medida. Ello se debe a que las cantidades fraccionarias suelen estar expresadas utilizando distintas subdivisiones de la unidad. Ej. Esto resulta fácil de ver si se realiza la siguiente reflexión. a nivel formal. una pizza mediana o una nueva pizza? Está claro entonces que para poder sumar diversas cantidades fraccionarias. estas deben estar expresadas respecto a un mismo referente o bien. estas deben estar expresadas mediante denominadores iguales. Al igual que sucedía con la comparación de fracciones. una pizza individual. de modo que uno no es múltiplo del otro. lo que da un total de 5 veces 1/8. Por ello proponemos desarrollar un conjunto de técnicas de adición y sustracción de fracciones secuenciada en tres pasos inclusivos: Adición y sustracción de fracciones con un mismo denominador Ej. ¿Qué significa sumar a ½ pizza mediana ½ pizza individual? Suponiendo que la suma sea 1. De hecho. donde la fracción a/b se interpreta como a veces la cantidad 1/b. el problema anterior puede ser formulado así:
.: 3/4 + 2/8 Adición y sustracción de fracciones con denominadores distintos. • Para poder sumar/restar dos o más cantidades fraccionarias. De ese modo. ¿cuál podría ser el significado de ese unidad.: 3/8 + 2/8 Adición y sustracción de fracciones con un denominador múltiplo del otro Ej. La necesidad de un denominador común.
que son 5/8. con argumentos del tipo: si tengo 2 veces 1/8 y le añado 3 veces 1/8. los numeradores se suman. Lo más importante es que lleguen a la conclusión de que para sumar dos cantidades fraccionarias. se debe hacer énfasis en que el denominador de las fracciones se conserva. dado que cada uno de ellos expresa la cantidad de veces que está contenido 1/8 en cada uno de los sumandos. Ello se debe a que los estudiantes suelen interpretar a la fracción como dos números naturales separados por una rayita. dado que los octavos no dejan de ser octavos por mucho que le sume o le reste una determinada cantidad de octavos. pero no como una forma de expresar una cantidad de medida. Uno de los errores más comunes en la adición de fracciones es el de sumar los numeradores y los denominadores de forma independiente.
. distinguiendo los que son erróneos de los correctos. estas deben expresarse previamente mediante denominadores iguales. En cambio. En el segundo paso proponemos abordar la suma de cantidades fraccionarias con distinto denominador en el que un denominador es múltiplo del otro.unidad
El procedimiento mostrado da pistas a los docentes sobre los pasos que habría que seguir para desarrollar una secuencia que permita a los estudiantes generar el algoritmo para sumar fracciones con un mismo denominador. finalmente obtengo 5 veces 1/8. De ese modo. aplican el algoritmo de los naturales a cada uno de los naturales (numerador y denominador) que componen las fracciones. Una vez que los alumnos entiendan la técnica que se está desarrollando y la sepan justificar. Es importante dejar la posibilidad de que alumnas y alumnos desarrollen sus propios procedimientos y que usen el material para validarlos.
Recordemos que sucedía algo muy parecido en la comparación de fracciones no unitarias con distinto denominador. Ahora bien. sobre todo si los denominadores les son familiares (medios. Lo mismo sucede con los octavos. cuartos. hecho que no varía el resultado. pero manteniendo dicha cantidad. el resultado de dicha suma da 4. Entonces. ¿Qué significado tiene ese 4? ¿Son cuatro “medios”? ¿O cuatro “octavos”? ¿O cuatro “décimos”? Es fácil probar que ninguna de las tres afirmaciones anteriores es cierta. En el ejemplo presentado. tercios. a su vez. de forma que todos los sumandos queden expresados mediante fracciones con denominadores iguales (o denominador común).). dado que para que ese resultado fuese correcto. donde no tenía sentido comparar los numeradores de las fracciones cuando el denominador de ambas fracciones era distinto. Es claro que esta estrategia lleva a escribir la cantidad ½ en términos de “octavos”. no se puede dar ningún sentido a sumar directamente los numeradores de ambas fracciones. siendo que dicha fracción es uno de los sumandos. los tres “octavos” en tres “décimos”. todas las cantidades están expresadas utilizando un mismo fraccionamiento de la unidad. suponiendo que se suman los numeradores (al igual que sucedía con fracciones de igual denominador). octavos.. ni tampoco a sumar los denominadores. dado que ambas fracciones expresan exactamente una misma cantidad. el “medio” tendría que haberse convertido como por arte de magia en un “décimo” y. se puede hacer las reflexiones siguientes.. es decir. podrían concluir que para sumar dos (o más) cantidades fraccionarias con distinto denominador. cuestión que se logra mediante 4/8. sextos. El mismo razonamiento puede ser utilizado para descartar el resultado de 4/10. Así. pues en el primer caso implicaría que las tres piezas de 1/8 se han transformado como por arte de magia en tres piezas de ½. carece de sentido sumar los numeradores. Dado que cada “medio” y cada “octavo” expresa una cantidad de medida distinta. dado que en ese caso es el “medio” el que se transforma en un “octavo”. El hecho de que uno de los denominadores sea múltiplo del otro facilita que surja de los alumnos y alumnas una estrategia para sumarlas. alterando de ese modo la cantidad que representa dicho sumando. al comparar cualquiera de los tres resultados propuestos anteriormente. El sumando ½ es reemplazado por el sumando 4/8. Una posible solución al problema de cómo sumar fracciones cuando estas tienen denominadores distintos consiste en reemplazar cada una de las cantidades fraccionarias por una fracción equivalente. resulta que todos ellos son cantidades menores que 1/2. Eso es porque los numeradores expresan la cantidad de veces que se repiten cada una de las fracciones unitarias “medio” y “octavos” (1 vez el “medio” y tres veces el “octavo”). dado que ambas respuestas carecen de sentido. podemos afirmar que si se tiene una suma de dos fracciones con distinto denominador. Una vez
. son equivalentes. Por otro lado. En ese caso.Ejemplo de cálculo erróneo:
Creemos que una manera efectiva de superar este error es centrarse en el significado de cada una de estas cantidades fraccionarias. hay que transformar ambas cantidades de tal manera que queden expresadas con denominadores iguales. 1/2 más 3/8 significa a un “medio” de unidad agregarle tres “octavos” de unidad.
salvo que en este caso el proceso de encontrar un denominador común que permita escribir las dos cantidades es un poco más laborioso.que tenemos a los dos sumandos con un mismo denominador. la suma se resuelve mediante la técnica desarrollada en la etapa 1. Esta situación es parecida a la anterior. a visualizar los distintos pasos que conlleva la tarea de sumar fracciones con distinto denominador. para sumar la fracción ½ con la fracción 2/3 se puede empezar a construir una lista de fracciones equivalentes para cada uno de los sumandos y buscar en las listas fracciones equivalentes a aquellas que expresen ambas cantidades utilizando un mismo denominador. a partir de lo aprendido en la etapa anterior. De ese modo. de forma que uno no es múltiplo del otro. para que los alumnos logren construir el procedimiento es necesario que manejen el concepto de fracción equivalente y tengan a su disposición alguna técnica para calcular colecciones de fracciones equivalentes. pueden lograr construir una técnica para sumar este tipo de cantidades fraccionarias. Por ejemplo. Llegados a este punto. como tercer paso proponemos abordar la suma de fracciones con denominadores distintos. como docentes.
formalización que nos ayuda.
simplificando por dos la fracción 14 /12. el 21...Ejemplo :
6 7 ⎧1 2 3 4 5 ⎫ = = = .⎬ ⎨ = ⎩ 7 14 21 28 35 42 49 ⎭
. al observar la familia de fracciones equivalentes a 2/3 del ejemplo anterior se observa que en los denominadores de las fracciones amplificadas van apareciendo todos los múltiplos de 3. lo que da como resultado 14/12. dado que en el procedimiento para amplificar se multiplica tanto el numerador como el denominador de la fracción por un mismo factor.⎬ ⎨ = = = = ⎩ 2 4 6 8 10 12 14 ⎭ ⎧ 2 4 6 8 10 ⎫ = = .. en los numeradores de las fracciones amplificadas aparecerán sucesivamente el 10. Una vez que tenemos todos los sumandos expresados con denominadores iguales. Luego se procede a reemplazar cada sumando por una fracción equivalente. es muy posible que surja en los estudiantes la necesidad de disponer de una técnica para encontrar de forma rápida el denominador común de todos los sumandos (sobre todo en el caso de que los denominadores sean ambos de números bastante grandes o bien. y los 2/3 como 8/12.. Dicha solución no es la única. 3. Surge entonces la pregunta de si 7 /6 y 14/12 deben necesariamente expresar una misma cantidad. se realiza la suma según lo visto en el primer paso. ½ se expresa como 3/6 . mientras que en los numeradores van apareciendo los múltiplos de 2. respectivamente.⎬ ⎨ = = = ⎩ 3 6 9 12 15 ⎭
Por ejemplo. de forma tal de lograr que los denominadores de los dos sumandos sean iguales. y 2/3 como 4/6. Esto sucede sea cual sea la fracción que se amplifica. Por ejemplo. Este es un hecho que se aprecia claramente al amplificar una determinada fracción por 2. por ejemplo. del numerador y denominador de la fracción original. podríamos haber expresado la cantidad ½ como /12 . el 28…
⎧ 5 10 15 20 25 30 35 ⎫ = = = = = = . Así. hecho que puede comprobarse amplificando por 2 la fracción 7/6 o bien. 4.. etc..
En este paso. al amplificar la fracción 5/7. el 15. de que la suma tenga tres o más sumandos). Al amplificar una fracción por un determinado factor. tanto el numerador como el denominador de la fracción amplificada son múltiplos. el 20 … mientras que en los denominadores aparecerá el 14.. después de haber solucionado varios casos con el procedimiento anterior.
pues llegamos a la conclusión que sirve cualquier múltiplo común a 6 y 9. En particular el 54. y podríamos resolver la suma de la forma siguiente:
. es posible amplificar dicha fracción por un factor tal de forma que el denominador de la fracción amplificada sea exactamente dicho múltiplo. A su vez. En particular podemos tratar de buscar el mínimo común múltiplo de 6 y 9. por ejemplo. de los denominadores). ¿es el 54 el único numero que sirve? La respuesta a esta pregunta en realidad ya la hemos dado antes. Al aplicar este método al ejemplo anterior (método que se conoce como el producto de los denominadores). obtenemos
Ahora bien. en ambos casos se obtiene como denominador 54. que es 18 (método que se conoce como el m. Por ejemplo. en este caso 2/6 es equivalente a 1/3. En este caso. a la vez. para obtener el 18 en el denominador tengo que amplificar 5/9 por 2 y 2/6 por 3:
A veces. el denominador de la fracción amplificada siempre va a ser múltiplo del denominador de la fracción original.c. y obviamente 54 es solo uno de ellos. ya que al amplificar la fracción 5/9 por 6 y la fracción 2/6 por 9. para efectuar la siguiente suma de fracciones:
Entonces llegamos a concluir que los números que sirven como denominador común son aquellos números que son múltiplos de 9 y 6. si alguna de las cantidades de los sumandos viene expresada mediante una fracción que a simple vista resulta fácil de simplificar. dado cualquier múltiplo del denominador de una fracción. puede resultar conveniente simplificarla antes de iniciar la búsqueda del común denominador. Si usamos este razonamiento en la búsqueda del denominador común. que es el producto de los denominadores 9 x 6.De manera que podemos afirmar que cualquiera que sea el factor de amplificación que uno use para una determinada fracción.m.
Es el propio cálculo el que. por ejemplo el 12. ya que podemos sumar primero los cinco “novenos” con el “noveno” restante y los dos “sextos” con los tres “sextos”:
de forma que se logra reducir la suma de seis términos a solo cuatro. es posible simplificar las fracciones cuando ello sea posible. Luego. si se utiliza la propiedad conmutativa y asociativa de la suma podemos simplificar bastante el cálculo. el que hará que determinadas técnicas sean más eficientes que otras. la relación entre los distintos denominadores y la cantidad de sumandos. e incluso que algunas de ellas fracasen.
. sino dejar que decidan el procedimiento que utilizan para resolver un determinado cálculo.
y luego determinar un múltiplo común de los denominadores. si queremos realizar la siguiente suma de fracciones:
es necesario amplificar seis fracciones. Sin embargo. presentando a nuestro parecer tres hitos claves:
Dos cantidades fraccionarias no se pueden sumar mientras no estén expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. Una misma cantidad fraccionaria puede expresarse utilizando distintas fracciones.Es importante no obligar a los alumnos a utilizar un único procedimiento. siempre y cuando estas sean equivalentes entre sí. Por ejemplo. de forma que obtenemos
Lo expuesto hasta ahora da cuenta de cómo detrás de la técnica general para sumar fracciones existe una justificación que es conveniente abordar en varios pasos. según sea el ámbito numérico.
Por ejemplo. Esta drástica reducción del algoritmo de la suma de fracciones oculta los pasos principales que permiten su comprensión. se obtienen dos fracciones equivalentes a las primeras. una versión reducida de forma que solo se indica el paso final del mismo:
reducción que se conoce oralmente como: “Para sumar dos fracciones de distinto denominador se calcula la suma de los productos cruzados como numerador y el producto de denominadores como denominador”. dado que habrá que escribir ambas cantidades fraccionarias mediante expresiones equivalentes.
El primer hito problematiza la tarea de sumar. apenas iniciado el estudio. El segundo hito permite encaminar la búsqueda de una solución al problema. el tercer hito otorga un método sistemático de amplificación que permite garantizar que ambas cantidades fraccionarias sean escritas mediante dos fracciones con un mismo denominador. de forma que no es de extrañar que sea de difícil memorización para los estudiantes. finalmente. Dichos hitos se pueden encontrar en los distintos pasos necesarios para realizar una justificación a nivel formal del procedimiento del producto de denominadores para sumar fracciones:
Una tendencia de la enseñanza al estudiar este algoritmo consiste en presentar a los alumnos y alumnas.-
Al amplificar la fracción del primer sumando por un factor igual al denominador de la fracción del segundo sumando y viceversa. dado que no sabemos cómo proceder al no presentar un mismo denominador ambas cantidades fraccionarias. pero con denominadores iguales (procedimiento que es conocido como producto de los denominadores). para sumar 3 2 con 5 según dicha reducción se procede: 2
. de forma que tengan un mismo denominador y.
. pero expresadas de tal forma que ambas fracciones tengan denominadores iguales (ya que entonces podremos sumarlas. de tal forma que las fracciones amplificadas tengan denominadores iguales.. hay que sumar esas mismas cantidades. En este algoritmo queda claro que cada fracción se amplifica por el denominador de la otra. Es muy factible que las respuestas a las preguntas que surgen de este algoritmo sean respondidas por la mayoría de los alumnos y alumnas. Por ello recomendamos no presentar al curso dicha reducción. ya que el tamaño de un “medio” y de un “quinto” no son iguales. por tanto. ¿Cómo encontrar aquella pareja de fracciones que siendo equivalentes a cada uno de los sumandos. las dos fracciones amplificadas tendrán como denominador el producto de los denominadores de las fracciones originales. Luego. a la pregunta ¿por qué no podemos sumar directamente las fracciones?. de tal forma de
4 obtener dos fracciones que sean equivalentes a las fracciones originales ( 15 y 10 ). se están reemplazando ambos sumandos por fracciones equivalentes. y viceversa. se puede responder: porque no podemos sumar fracciones con denominadores distintos. ¿Cómo expresar entonces dichas cantidades fraccionarias de forma que podamos asegurar que la suma se conserve? La única forma de reemplazar los sumandos por otros de forma que podamos asegurar que la suma se conserve es reemplazar cada sumando por una fracción equivalente (que dos fracciones sean equivalentes significa que expresan exactamente la misma cantidad). En esta unidad proponemos incentivar la escritura y uso del algoritmo del producto de denominadores de la forma siguiente:
pero utilizando solo cantidades específicas al trabajarlo con los alumnos. Un ejemplo sería:
. y que 10 tengan denominadores iguales (o sea “décimos”).3× 5 + 2 × 2 3 2 3 2 3× 5 + 2 × 2 15 + 4 19 + = + = = = 2 5 2 5 2×5 10 10
haciendo muy difícil la comprensión y justificación de los pasos: ¿Por qué se calcula el numerador sumando los productos cruzados? ¿Por qué se calcula el denominador mediante el producto de los denominadores? ¿Cómo podemos justificar que la fracción obtenida es realmente el resultado de sumar los dos sumandos? .. Por ejemplo. ambas tengan denominadores iguales? Al amplificar la primera fracción por un factor igual al denominador de la segunda. pues ambos sumandos vendrán expresados en “décimos”).
¿Cuánto mide en total el conjunto escultórico de la estatua con su pedestal? El uso de esquemas para modelizar los problemas puede facilitar considerablemente la tarea de resolución de los mismos. el esquema sirve como medio para explicitar. Ejemplo: El pedestal de una estatua mide 2 ½ m . comunicar y validar el procedimiento de resolución utilizado. Tipología de problemas según el tipo de acción involucrada Dentro del campo de problemas aditivos. agrupar/desagrupar y las variables implicadas suelen ser el tamaño de las partes y del total. A su vez. que llamaremos el campo de problemas aditivo. sobre todo en el caso de que el problema sea complejo.
. se trata de potenciar la idea que las operaciones de adición y sustracción están íntimamente relacionadas y resulta muy provechoso para el estudio integrar ambas operaciones a un solo campo de problemas. En este sentido. En este tipo de problemas suelen aparecer las acciones de juntar/separar. El campo de problemas aditivos viene definido por todos aquellos problemas que se pueden modelizar mediante una secuencia de adiciones y/o sustracciones. mientras que la estatua mide 3 1/4 m de altura. según el tipo de acciones involucradas en los enunciados de los problemas distinguimos los siguientes cuatro tipos distintos de problemas: Problemas de Composición Problemas de Cambio Problemas de Comparación Problemas Combinados Problemas de Composición Son aquellos problemas donde se consideran un conjunto de partes y el total de ellas.• Para expresar dos cantidades fraccionarias mediante denominadores iguales se amplifican o simplifican una o ambas fracciones hasta encontrar un denominador común. El campo de problemas aditivos La principal tarea matemática que pretende desarrollar esta UD consiste en elaborar estrategias de resolución de problemas aditivos que involucran adiciones y/o sustracciones de cantidades fraccionarias expresadas mediante fracciones y/o números mixtos.
en este caso. hay que saber interpretar correctamente cuál es la situación inicial. Eso se debe a que. = frut. Problemas de Cambio Son aquellos problemas donde hay una determinada cantidad inicial. Pedestal + alt. luego se varía la situación inicial agregando/quitando a dicha cantidad otra. ¿Cuántos kilos de frutillas le quedan? Un esquema para representar esta situación podría ser el siguiente:
frut. total
La altura total del conjunto es de 5 ¾ m.¾ kg = 1 kg +
Diversas investigaciones en el área de la Didáctica de las Matemáticas. pese a tener un esquema bastante similar a los de composición.frut. Estatua = alt. interpretación que involucra una determinada secuencia temporal. Ej.
. muestran cómo los problemas de cambio. que usó
frut. que compró 1 ½ kg ¿kg? ¿cuánto queda? ¾ kg frut.altura pedestal 2 ½m
altura estatua 3 ¼m alt. Por ello distinguimos en estos problemas un estado o situación inicial. Utilizó 3/4 de kilo para preparar un postre. una acción de transformación y un estado o situación final. que queda
1 ½ kg . la modificación realizada y la situación final. por lo que es más compleja que la requerida para resolver los problemas de composición (identificar las partes de un total). usó. compró .: José compró un kilo y medio de frutillas en la feria. dando lugar a una cantidad final. su resolución supone mayores dificultades para los alumnos.
mientras 2 que la bebida de Diego es de l. Para poderlas comparar es conveniente hacer coincidir el inicio de ambas. Ej. = dif.
Son aquellos problemas en los que en el enunciado se combina (de ahí su nombre) más de una acción distinta (juntar/separar.: Johanna y Diego se compraron dos bebidas. ¿Cuál es la diferencia de líquido entre las dos bebidas? 5 Un esquema típico para los problemas de comparación sería:
beb. – beb D. ½ kg de cebollas y 3 ½ kg de papas. Ej.2 l = l 2×5 2 5
O sea que la bebida de Johanna tiene 1/10 l más que la bebida de Diego Nótese que en el esquema de comparación aparecen dos barras separadas. Además. agregar/quitar y/o comparar). la diferencia. J.
1× 5 1 l . lo que trata de indicar que son dos cantidades distintas (indicando de ese modo dos objetos distintos). de forma que su modelización requiere combinar varios de los esquemas anteriores y. Las preguntas típicas asociadas a este tipo de problemas son cuánto más/ cuánto menos o bien. en este tipo de problemas puede ser conveniente determinar cuál de las dos fracciones es la mayor antes de hacer el esquema.: Jorge fue a la feria y compró 2½ kg de naranjas. para indicar que se trata de un mismo objeto que ha variado su medida. a diferencia del problema de cambio. pues de lo contrario puede resultar bastante difícil establecer la operación que resuelve el problema.
dif. el cálculo de la solución conlleva a realizar más de una operación. donde la barra de la situación final la representamos adosada a la de la situación inicial. ½ kg de frambuesas. a su vez. 1¼ kg de zanahorias.Problemas de Comparación por diferencia Son aquellos problemas en los que aparece involucrado un determinado conjunto de medidas y las respectivas diferencias entre ellas. ¿De qué compró
. La bebida de Johanna es de ½ l. 1¾ kg de manzanas.
1 kg. Esta situación responde precisamente a que para poder resolver este tipo de problemas no es suficiente manejar procedimientos de cálculo. No es de extrañar que en el proceso de enseñanza rara vez aparezcan problemas aditivos de composición. en el momento de resolver los problemas de composición. dif. que aquellos por los que se pregunta por una de las cantidades) y al resolver problemas de cambio (presentan un mayor desempeño cuando se pregunta por la cantidad final. la cantidad correspondiente a la transformación).
zanahorias ceb . que cuando se pregunta por la cantidad inicial o bien. problemas de cambio en los que no se pregunte por la situación final o bien. Este no es un hecho aislado. de fruta o de verdura? ¿Qué puede comprar para que lleve la misma cantidad de kilos de fruta que de verdura?
naranjas manzanas fram. ¼ kg . para poder determinar la operación que lo resuelve.. Varias investigaciones realizadas muestran cómo los alumnos.
Tipologías de problemas según la relación entre la modelización y el cálculo que lo resuelve. problemas de comparación en los que no se pregunte por la diferencia.
.mayor cantidad. papas
2½ kg + 1¾ kg + ½ kg = 3 kg + 1 kg + ¾ kg = 4¾ kg 1¼ kg + ½ kg + 3½ kg = 4 kg + 1 kg + ¼ kg = 5¼ kg Compró mayor cantidad de verdura que de fruta. sino que requieren de modelizar previamente el problema. respecto de cuando se pregunta por una de las partes. en que la incógnita no sea el total.
5 ¼kg . ½ kg . suelen presentar mejores desempeños cuando se pregunta por el total. sino que una de las partes.4 ¾kg = 2/4 kg = ½ kg Puede comprar ½ kilo más de naranjas. sino que sucede lo mismo al resolver problemas de comparación (presentan un mejor desempeño en aquellos problemas que se pregunta por la diferencia.
y suelen ser inversos cuando se conoce la cantidad final y la cantidad inicial y se pregunta por la cantidad correspondiente al cambio o bien. entonces sería inverso. dado que presenta una situación en la que dos partes se juntan para formar un total. obteniendo 1¼ kg. mientras que en los problemas inversos sucede lo contrario. para calcular la cantidad de harina del otro paquete es necesario restar a la cantidad total de harina la parte correspondiente a uno de los paquetes. Si uno de los paquetes tenia ¾ kg de harina. y se pregunta por el total (dado que juntar. la acción involucrada es la de juntar. y se pregunta por la otra cantidad. Si uno de los paquetes tenía ¾ kg de harina y el otro ½ kg. sin embargo el problema se resuelve con una resta).En esta unidad proponemos introducir un tipo de clasificación que permite caracterizar la problemática que está detrás de los hechos anteriormente descritos.: Rayén juntó la harina que tenia en dos paquetes abiertos. hecho que efectivamente es así. los problemas de composición son directos cuando se conocen las partes.
. implica sumar y el problema se resuelve mediante una suma). Para ello clasificamos los problemas en directos e inversos. la cantidad correspondiente al cambio y se pregunta por la cantidad final. por ejemplo: Ej. Los problemas directos son aquellos en que la operación a efectuar para poder calcular la cantidad incógnita del problema coincide con la operación que corresponde a la acción involucrada en el enunciado. cuando se conoce la cantidad final y la cantidad correspondiente al cambio y se pregunta la cantidad inicial. en casos en que la acción involucrada es de juntar (dado que la acción se modeliza mediante una suma. ¿cuánta harina tenía el otro paquete? Este problema es inverso por el hecho de que pese a que la acción de Rayén fue la de juntar.: Rayén juntó la harina que tenía en dos paquetes abiertos. Son inversos cuando se da una parte y el total. Si en lugar de preguntar por el total. estos son directos cuando se dan las cantidades y se pregunta por la diferencia. Habitualmente. Por ello este problema es un problema de composición directo. Por otro lado. Pongamos un ejemplo de ello: Ej. ¿cuántos kilos de harina juntó? Este es un problema de composición. los problemas de cambio suelen ser directos cuando se conoce la cantidad inicial. y son inversos cuando se da una de las cantidades y la diferencia. en el caso de los problemas de comparación. y se pregunta por la otra parte. Por último. La propia acción involucrada en el problema (unir) sugiere que el problema se resuelve con una adición. la incógnita del problema hubiese sido una de las partes.
La etapa culmina con el algoritmo del “producto de denominadores”.…PRIMERA ETAPA
En esta etapa niñas y niños resuelven problemas aditivos directos en los que es necesario calcular sumas y restas de cantidades fraccionarias. al juntar ambas cantidades obtengo 5 piezas de “un sexto” lo que resulta ser 5/6. Además de sumar y restar fracciones con igual denominador. a lo que se espera que respondan que es dos veces 1/5 de m. determinado por el tamaño de la tira unidad. puede preguntar a su curso por el significado de 2/5 m. Por ejemplo. Sugerimos que cada docente preste especial atención a quienes presenten dificultades al resolver la primera parte de la Actividad 1. El propósito de esta actividad es que los estudiantes hagan explícito el procedimiento que utilizan para calcular la suma de dos fracciones de denominadores iguales. con lo que 1/5 de metro es aquella longitud que repetida cinco veces es 1 metro. y que los apoye recordándoles la noción de fracción en el contexto de medida. Se pondrá especial dedicación al estudio de los procedimientos para sumar y restar fracciones. este procedimiento no debiera plantearles mayores dificultades.. y luego de escuchar varias respuestas. La etapa se inicia con un breve recordatorio del significado de una fracción en el contexto de la medida. Una vez recordada la interpretación de la fracción en el contexto de la medida. se procede a iniciar la primera parte de la Actividad 1 de la Ficha 1 : “armando franjas de un solo color”. antes de pasar a la segunda parte de la actividad. cambio y comparación. o sea. Ej. mientras que el denominador es igual a los denominadores de los sumandos. por tanto. resulta bastante fácil de argumentar.: Calcular el largo de unir una franja de 2/6 de tira con una de 3/6 de tira. Si alumnas y alumnos manejan la interpretación de la fracción como medida. 31
. estudiarán técnicas para sumar y restar fracciones con distinto denominador. Luego. con ayuda del material concreto de que disponen. mientras que 3/6 son 3 piezas de “un sexto”.…. A lo largo de la etapa se van aplicando los procedimientos construidos a problemas aditivos simples directos de composición. que el numerador de la fracción resultante corresponde a la suma los numeradores. 2/6 son 2 piezas de “un sexto”. O sea 2/6 + 3/6 = 2 “sextos” + 3 “sextos” = 5 “sextos” = 5/6 El hecho de que los denominadores se conserven puede justificarse apelando a que el “sexto” de tira tiene un tamaño fijo. De hecho. enfatiza que en la Unidad Didáctica van a trabajar con interpretaciones de la fracción como medida. la profesora o el profesor puede preguntar ¿qué significa 1/5 de metro?.
en la segunda parte de la actividad. puede preguntarles: ¿Por qué la pieza naranja es 1/6 de tira? ¿Cuántas veces cabe dicha pieza en la tira? ¿Cómo puedo construir una pieza de 5/6 de largo si solo dispongo de una pieza de 1/6? Antes de pasar a la segunda parte de la actividad es importante que el profesor o profesora haga una breve puesta en común de los resultados y dé un ejemplo de cómo desarrollar el problema con el material concreto: Ej. esta puede ser una herramienta para los estudiantes cuando se vean enfrentados a la tarea de sumar cantidades fraccionarias con denominadores distintos. en este caso las fracciones que aparecen tienen denominadores distintos. varios alumnos y alumnas sumen el 2 con el 5.Por ejemplo. La segunda parte de la Actividad 1. en esta situación. lo que da 7 y luego escriban 7/6 o bien. 7/18. Ej. plantea una problemática muy similar a la de la primera parte.: Calcular el largo de unir una franja de 2/6 de tira con una de 3/6 de tira
ya que si bien en este caso la representación puede jugar más bien un rol de justificación del procedimiento.: Calcular el largo de unir una franja de 2/6 de tira con una de 5/12 de tira 2 piezas de “un sexto” más 5 piezas de “un doceavo” Es posible que. 7/12 o bien. de forma que el procedimiento anterior ya no es válido y por tanto hay que construir otro. sin embargo. Frente a esta situación cada docente puede indicar que los “sextos” son “sextos” y los “doceavos” son “doceavos” y que 1/6 y 1/12
de un solo tamaño. y en el tercer caso que tanto los 2/6 como los 5/12 han sido considerados en la suma como 2/18 y 5/18. De hecho. en el segundo caso que los 2/6 han sido considerados en la suma como 2/12. registrando en la pizarra los diferentes métodos. Sugerimos aprovechar el material concreto para representar un esquema similar al siguiente en el pizarrón. esquema típico de los problemas aditivos simples de composición. Se sugiere que una vez que hayan establecido algún argumento que descarte las respuestas anteriores. Entonces. dado que tienen el material disponible. De ese modo se espera que concluyan que los 2 “sextos” no se pueden sumar directamente con los 5 “doceavos”.
. pero ¿a cuantos doceavos equivale cada sexto? Si se miden los 2/6 utilizando piezas de 1/12. pero utilizando piezas de un solo color. el docente puede formular preguntas para que deduzcan que es necesario expresar una (o ambas) de las cantidades mediante una fracción equivalente. de forma tal que los denominadores de ambos sumandos resulten iguales. se puede realizar una puesta en común. por el hecho de que la primera respuesta significa que los 5/12 han sido considerados en la suma como 5/6 lo que da un resultado erróneo. ¿qué se obtiene? Cuando la mayoría del curso haya encontrado la solución.tienen tamaños distintos. comprueben dichas respuestas representándolas con el material concreto. lo que es absurdo. por lo tanto. ya que las piezas de “un sexto” son más grandes que las de “un doceavo”. En el caso de algunos estudiantes que no sepan qué hacer. no se pueden sumar. pueden tratar de construir una franja de la misma longitud que la de la franja bicolor que quieren medir. La idea es que alumnas y alumnos se den cuenta de que las tres respuestas son erróneas. Son apropiadas preguntas como: Bueno. puede pedirles que traten de argumentar por qué ninguna de las respuestas anteriores es correcta. Es de esperar que emerjan en manos de los estudiantes determinados procedimientos para calcular las sumas de fracciones planteadas en la actividad.
sumando 10 y quitando 1. alumnas y alumnos se apropien de la idea de que para sumar dos cantidades fraccionarias. tiene la intención de que aparezcan combinaciones aditivas de fracciones tales que un denominador sea múltiplo del otro. verde. cuyos denominadores sean iguales. Recordemos que las dimensiones de las piezas de esos colores son:
de forma que.1. Este procedimiento podría escribirse numéricamente así:
Se espera que con la discusión de los resultados. el 9 es equivalente al 10 . rojo o lila. o sea. Pero. salvo en la combinación de colores rojo con verde. ¿por qué se pudo hacer dicho reemplazo? Porque tanto 2/6 como 4/12 expresan exactamente la misma cantidad. De ese modo es más fácil que surja del alumnado la idea de reemplazar un sumando por una fracción amplificada. El hecho de restringir el uso de las piezas a los colores naranja.
. o sea. cuyo denominador es el mismo que el del otro sumando. Esto es similar al procedimiento de cálculo que se usa en los números naturales para sumar 9.Preguntar: ¿Qué es lo que se hizo para poder sumar los 2/6 con los 5/12? Se espera que respondan que se reemplazó la fracción 2/6 por la fracción 4/12. en todas las demás la combinación aditiva de fracciones que aparece es tal que un denominador es múltiplo del otro. son fracciones equivalentes. primero estas deben expresarse mediante fracciones equivalentes a cada una de ellas.
lo que complica bastante el problema. teniendo como datos el tamaño de la pieza original y el de uno de los pedazos. Sin embargo. el profesor o profesora puede ampliar la Actividad 1 sugiriéndoles que formen franjas de colores amarilloverde. La etapa continúa con la Actividad 3 de la Ficha 2.A quienes resuelven la actividad sin mayores dificultades. de forma que se familiaricen con el uso de esquemas. ya que dicha actividad tiene como propósito que el alumnado adquiera cierto grado de seguridad y destreza en los procedimientos que están desarrollando para sumar fracciones de distinto denominador. y que expliciten por escrito los cálculos que realizan. pero en esta ocasión se sugiere que trabajen individualmente y sin hacer uso del material concreto.: Se cortó otra pieza de que obtuvo mide de
1 de tira en dos pedazos. en la que se les propone resolver el problema de cuantificar uno de los pedazos que se obtienen al partir una determinada pieza en dos. pero en este caso lo generalicen a sumas y restas. El propósito de esta actividad es que los alumnos adopten un procedimiento similar al desarrollado para sumar fracciones. azul-rojo. considerando que en la clase anterior los estudiantes desarrollaron un procedimiento para la suma de fracciones. ¿Cuál es la medida del otro pedazo? 3
. y con “décimos en el caso de azul-rojo”) lo que posibilita que alumnas y alumnos resuelvan el problema utilizando el material concreto. De ese modo los denominadores de las fracciones que cuantifican a cada sumando no serán uno múltiplo del otro. Por ejemplo. La Actividad 2 de la Ficha 1 les propone una tarea muy similar a la anterior. pueden ser medidas con alguna de las piezas del material concreto de menor tamaño ( con “doceavos” en el caso de amarillo-verde y amarillo naranja. Este es un problema simple de composición directo. las franjas formadas por las combinaciones de colores anteriores. amarillo-naranja. Esta actividad no debiese presentar mayores dificultades. de tal forma que uno de los pedazos 2
1 de tira. sobre todo en los dos primeros cálculos. que se resuelve con una resta. para resolver el problema siguiente: Ej. Es conveniente que recurran al uso del material concreto para representar la situación.
no son múltiplos el uno del otro. además. por ejemplo. los casos planteados en las filas d) y k) son los de mayor dificultad de resolución. el problema planteado en la fila k) incorpora. sin utilizar el material concreto. por parejas. Aquí nuevamente se sugiere que se pida al alumnado que busquen un procedimiento para poder anticipar el resultado. de forma que el denominador de una de ellas es múltiplo del denominador de la otra. podríamos usar una pieza de 1/6. amplificando ambas fracciones:
Luego. en estos casos el problema está planteado de forma inversa. se pide que traten de completar las medidas que faltan en la tabla. por lo que debieran ser de resolución relativamente simple. los estudiantes comprueban cada uno de los resultados utilizando el material concreto y.1 2 1 3
y luego buscar cómo completar el 1/3 con otras piezas de forma de llegar a obtener el ½. Las filas a) y c) plantean situaciones en que las cantidades involucradas están expresadas mediante dos fracciones. Finalmente. la dificultad de que la solución del mismo no se puede formar con ninguna de las piezas del material concreto. La Actividad 4 propone que discutan y comparen. Por ejemplo. lo que puede suponer una mayor dificultad. sin embargo. la fila e) plantea una situación donde las cantidades vienen expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. Una vez completadas. los corrigen. Dentro de la tabla. dado que además de que los denominadores de las fracciones involucradas son distintos. si es necesario. el 36
. En particular. Sucede lo mismo con las cantidades que aparecen en las filas g) e i). dos procedimientos distintos para sumar y restar fracciones con denominadores distintos. Por un lado.
el docente realiza una puesta en común caracterizando cada método y su validez. donde se propone que resuelvan tres problemas aditivos. y que traten de representar el proceso de resolución de cada uno mediante un esquema. preguntando cómo identificaron las operaciones que había que hacer para resolver los problemas y qué operaciones utilizaron para resolverlos. los problemas van siendo cada vez más complejos. sino que cada esquema trata de reflejar de forma comprensible la relación entre los datos y el valor a calcular que se establece en el problema. El otro procedimiento consiste en amplificar una fracción por un factor igual al denominador de la otra y viceversa. La actividad finaliza con una puesta en práctica de ambos procedimientos. Luego realizan los cálculos planteados en la Actividad 6. para lo cual basta con amplificar por 2 las fracciones obtenidas por Paula. La etapa prosigue con la Actividad 5 de la Ficha 3. de forma que los esquemas pasan a ser de gran utilidad para resolverlos. Después de la discusión por parejas. en el que se pregunta por la diferencia. mientras que el segundo es un problema de cambio compuesto (involucra más de una operación). Este procedimiento asegura que las dos fracciones amplificadas tengan denominadores iguales. Luego. de forma que tengan denominadores iguales.procedimiento de amplificar sucesivamente cada una de las fracciones hasta encontrar dos fracciones equivalentes a cada uno de los sumandos. Si bien en este tipo de problemas el esquema juega un rol más bien de carácter justificativo. El primero es un problema de composición simple. mientras que el tercero es un problema de comparación. Cierre de la etapa 1 En parejas realizan la Actividad 7: “Resumiendo lo aprendido” En este momento de cierre se sistematizan los conocimientos que aparecieron en la etapa. Se espera que sean los propios alumnos quienes se den cuenta de que los resultados de Juan son equivalentes a los resultados de Paula. Se les puede sugerir que traten de representar el problema con el material concreto del que disponen. Es importante hacer notar al curso que no todos los esquemas son iguales. se reemplazan los sumandos originales por las fracciones amplificadas y se procede a sumar dichas fracciones. ya que en ambos casos el denominador es el producto de los dos denominadores.
. Se les pregunta cómo son los problemas que han estudiado en la clase y se les pide que den un ejemplo. a medida que avanza el estudio de la unidad. y preguntando a los alumnos cómo podrían demostrar que ambos resultados son iguales.
. si se amplifica la primera por un factor igual al denominador de la segunda. puesto que en algunos casos es relativamente sencillo identificar las operaciones que los resuelven. Dichos denominadores son precisamente el producto de los denominadores de las fracciones sin amplificar originales. se amplifica una o ambas fracciones hasta lograr que ambas cantidades queden expresadas con denominadores iguales. ya que en ambos casos es necesario expresar previamente ambas cantidades mediante fracciones equivalentes que tengan un mismo denominador. ya sea sumas o restas. • Hay problemas más difíciles que otros. Es importante identificar a quienes se equivocaron al sumar o restar fracciones y cuál fue el error o errores. mientras que en otros resulta más complejo. las dos fracciones amplificadas que se obtienen tienen denominadores iguales. Se espera que niños y niñas formulen. reduciendo el problema al caso anterior. afirmaciones del tipo:
Para poder sumar y restar dos cantidades fraccionarias con denominadores iguales. qué dificultades tuvieron para hacerlo y que discutan sobre la eficacia de los procedimientos que usaron. que: • Son problemas en que hay que realizar una o más operaciones para resolverlos.Se espera que niños y niñas digan. Los procedimientos de suma y resta de cantidades fraccionarias son parecidos a los de comparación de fracciones. En estos casos podemos hacer un esquema que exprese gráficamente la relación entre los datos del problema y la cantidad que hay que calcular. ya que ambas cantidades están expresadas mediante un mismo fraccionamiento de la unidad. Se estimula que digan cómo calcularon las sumas y las restas con fracciones. y luego la segunda por un factor igual al denominador de la primera. con sus palabras. Dadas dos fracciones con denominadores distintos. en sus palabras. se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. Para sumar o restar dos cantidades fraccionarias que no están expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. de forma que nos ayude a determinar la o las operaciones a realizar.
Veamos algunos ejemplos de posibles procedimientos para realizar los cálculos que aparecen en la Actividad 9. es una suma con reserva. se tiende a reducir el algoritmo de suma/resta de números mixtos a que se suman/restan las partes enteras y luego se suman/restan las partes fraccionarias. sugerimos que deje un espacio para que hagan una puesta en común de los procedimientos que han desarrollado para realizar los cálculos. Usualmente. lo que hace un poco más complejo el cálculo. dado que basta con usar el significado de número mixto para hacer correctamente el cálculo. al sumar las partes fraccionarias de los distintos sumandos. En los casos de sumas e). entonces no es posible efectuar la resta de las partes fraccionarias con lo que es necesario descomponer aditivamente el minuendo. se simplifica el procedimiento de la suma. ya que 4 + 5/6 es por definición 4 5/6 y para calcular 21/5 + 2/5. Consiste en. de hecho. Si bien este discurso es cierto. Resolvamos el cálculo g) como ejemplo de suma de números mixtos con reserva: 3 2/3 + 1 4/5 = 3 + 2/3 + 1 + 4/5 = 3 + 1 + 2/3 + 4/5 = 4+
En los casos de sumas de números mixtos. ya que al sobrepasar la unidad. que contrasten dichos procedimientos y que establezcan equivalencias entre ellos. el e) resulta ser el más sencillo.Una vez que la mayoría haya terminado de realizar y verificar sus cálculos. basta con utilizar la definición de número mixto para escribir dicha suma como (2 + 1/5) + 2/5. al restar dos números mixtos. si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo. la suma de las partes fraccionarias debe descomponerse en parte entera y parte fraccionaria. Algo similar sucede en el caso c). las sumas de las partes fraccionarias exceden una unidad. con lo que hay que reescribir dicha fracción como número mixto. la fracción obtenida es una fracción impropia. al tener ambas partes fraccionarias denominadores iguales. puesto que a pesar de la reserva. no es suficiente. En esta etapa del estudio los cálculos a) y b) no debiesen presentar dificultades. sin embargo. traspasar unidades
. la técnica de “completación de unidades por trasvasije” resulta bastante útil para simplificar los cálculos. de tal forma que sea posible efectuar la resta. una vez que las dos partes fraccionarias ya están expresadas con iguales denominadores. pero dado que la suma es asociativa. y añadir dicha parte entera al resultado de la suma de las partes enteras de los sumandos. salvo que en él las cantidades fraccionarias tienen denominadores distintos. De estos tres casos. g) e i). por lo que es necesario convertir el resultado de la suma de las partes fraccionarias a número mixto para poder expresar el resultado correctamente. podemos afirmar que dicha suma es la misma que 2 + (1/5 + 2/5) de manera que obtenemos 2 + 3/5. que por definición es el número mixto 2 3/5 . dado que a veces. resulta bastante fácil la búsqueda del denominador común dado que uno es múltiplo del otro. Igualmente. ya que para sumar las partes fraccionarias se hace necesario expresarlas previamente mediante denominadores iguales.
(1 + 3/10) se convierte en (2 . ambas tienen que tener denominadores iguales.3/10). no sucede lo mismo si las fracciones son 4/5 + 3/6. o sea. Si bien el procedimiento para restar números mixtos es bastante similar al de la suma (dado que se restan las partes enteras y las partes fraccionarias). para que se comparta con el curso. por lo que le sugerimos que en esos casos haga preguntas del tipo: Bueno. pues de lo contrario se estaría modificando la cantidad. tengo que quitarle más de una unidad?
. para completar una unidad (15/15). puesto que si traspasamos una unidad de un numerador a otro obtenemos 3/5 + 4/6. con el propósito de obtener una unidad. Si nos fijamos bien. sino que también a la parte fraccionaria. Comprender la aparición del signo menos entre las partes fraccionarias puede resultar un poco complejo para algunos alumnos. es decir. que fuera mayor que la unidad). por tanto la suma ha disminuido. ¿pero qué significa quitarle a una determinada cantidad 1 3/10?.1) + (7/10 . donde los cálculos implican una mayor cantidad de sumandos. La aplicación de la técnica del trasvasije consiste en traspasar unidades de un numerador a otro con el fin de completarlo a la unidad. es posible que emerja en la etapa siguiente. se ha quitado más cantidad de la que se ha añadido. En el caso de la suma anterior la aplicación de esta técnica consistiría en traspasar 3 unidades del numerador 10/15 al numerador de 12/15. de forma que el resultado de 22/15. de forma que el cálculo 2 7/10 . y en ese caso la técnica se vuelve cada vez más útil. h) y j). suma que no es igual a la anterior. Le sugerimos poner atención a si algún alumno o alumna plantea esta forma de resolución. sino también la parte fraccionaria. En primer lugar.del numerador de una de las partes fraccionarias a la otra. tuvo que ser reexpresado como 1 7/15. que lo que se quita al minuendo no es solo la parte entera del sustraendo. 4 + 10/15 + 12/15 = 4 + 7/15 + 15/15 = 5 7/15 Si bien puede ser que dicha técnica no emerja en este momento en manos de los alumnos. ¿tengo que quitarle una sola unidad o bien. y a su vez esta es la misma que 1/6 + 6/6. f). o sea. Está claro que 4/6 + 3/6 es la misma cantidad que 3/6 + 4/6 y esta es la misma que 2/6 + 5/6. puesto que en este caso se ha quitado 1/5 a un sumando y se le ha añadido 1/6 al otro sumando. presenta ciertas peculiaridades que merecen una especial atención. requiere de una explicación algo más compleja el hecho de que el signo negativo de resta no solo afecte a la parte entera del sustraendo. dado que en todos los casos se ha quitado 1/6 a un sumando y se le ha añadido 1/6 al otro sumando. Sin embargo. Los cálculos d).1 3/10 = (2 + 7/10) . en el cálculo anterior al sumar los 10/15 con los 12/15 era previsible que dicha suma pasara de los 15/15 (o sea. son restas de números mixtos. Al emplear la técnica del trasvasije entre fracciones es necesario tener siempre presente que para poder traspasar unidades del numerador de una fracción a otra. O sea.
no siempre resulta sencillo predecir cuál de las partes fraccionarias es la mayor. y en consecuencia no se puede efectuar dicha resta. Una técnica de cálculo que puede simplificar notoriamente dicha tarea es por “completación del sustraendo por traslado de la diferencia”. añadiendo el 1 al 3/8. y por ende. Para ello amplificamos los 5/8 por 3 y los 2/3 por 8. Una forma de hacer dicha resta es descomponiendo aditivamente el minuendo (3) en (2+1) y luego expresando la unidad como 4/4. en ambos casos. podemos comparar las fracciones 5/8 con 2/3.7 16/24 = ⎜12 + ⎟ − ⎜7 + ⎟ = 24 ⎠ 24 ⎠ ⎝ ⎝
Como se puede apreciar. tal y como mostramos a continuación: 3 3 /8 . para ver cuál es la mayor y luego efectuar la operación.7 2/3 = 12
15 ⎞ 16 ⎞ ⎛ ⎛ /24 . En esos casos resulta conveniente expresar primero ambas cantidades fraccionarias mediante fracciones equivalentes que tengan denominadores iguales. de modo que podemos escribir:
12 5/8 .2 5 /8 = ⎛ 3 + 3 ⎞ − ⎛ 2 + 5 ⎞ = ⎛ 2 + 8 + 3 ⎞ − ⎛ 2 + 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
En los dos casos anteriores era predecible la necesidad de incrementar la parte fraccionaria en una unidad para poder hacer la sustracción de las partes fraccionarias. en el cálculo 12 5/8 . en el caso de la resta 3 – 1/4 el minuendo no tiene parte fraccionaria. En este caso se podría resolver de forma similar a la anterior. y luego efectuando la resta. Por ejemplo. Esta técnica se basa en
. dado que no es posible quitarle 5/8 a 3/8.En los casos f) y h). Por ejemplo. si es necesario descomponer el minuendo o no. el cálculo de la resta se complica un poco más.7 2/3 . Sin embargo.2 5/8 . de forma que obtenemos las fracciones equivalentes 15/24 y 16/24 respectivamente. Esto se debe a que. con lo que es necesario restar el ¼ al 3. restar dos números mixtos puede resultar un procedimiento bastante engorroso. descomponiendo el 3 en 2+1. De ese modo el cálculo se efectúa de la forma:
Algo similar sucede en el caso de la resta 3 3/8 . la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo. dado que en estos casos la regla de restar las partes enteras y luego las partes fraccionarias no es suficiente.
una forma muy extendida en el sistema escolar de efectuar restas entre naturales con reservas utiliza esta propiedad. dado que al añadir (o quitar) la misma cantidad a ambos términos la distancia entre ellos no varía. la diferencia se conserva. complemento a la unidad ¾.2 5/8 = (3 + 3/8 + 3/8) .(2 + 5/8 + 3/8) = 3 6/8 .3 =
. ¿Cómo aprovechar dicha propiedad en el cálculo de restas con números mixtos? Pues añadiendo a las partes fraccionarias el complemento a la unidad de la parte fraccionaria del sustraendo. si se aplica dicha técnica en el caso de las tres restas anteriores obtenemos los cálculos siguientes: 3 – ¼ . mientras que en el sustraendo se agrega una decena en la posición correspondiente.la propiedad de que al añadir (o quitar) una misma cantidad al minuendo y al sustraendo. con la diferencia de que en el minuendo las diez unidades se agregan a la posición unidad. conocida en los naturales como “el traslado de la diferencia”.2 5/8 sería: 3 3/8 . parte fraccionaria del sustraendo ¼. con lo que se obtiene 3 ¾ . Esta misma técnica aplicada al cálculo de 3 3/8 . De hecho.127
En realidad. lo que se hace es añadir diez unidades al minuendo y al sustraendo. pero descompuesta en (300 + 40 + 15) – (100 + 30 + 7). Es posible que algunos alumnos y alumnas hayan utilizado anteriormente una técnica similar en las restas de números naturales.1 o sea 2 ¾. De esa forma la resta que en realidad se hace es 355 – 137. Por ejemplo. se añaden ¾ al minuendo y al sustraendo. Veamos un ejemplo de ello para restar:
345 . o sea que se incrementó el minuendo y el sustraendo en 10 unidades.
8 = (12 +
/24 + 9/24) . Una vez finalizada la puesta en común de los diversos procedimientos de cálculo utilizados.8 = 5 1/24
donde además se ha aplicado la técnica de la “completación por trasvasije”. Otra forma es sumar/restar las partes enteras y las partes fraccionarias.8 = (12 +
/24 + 1/24) . Por ejemplo. el otro es trasladar la diferencia añadiendo al minuendo y al sustraendo la fracción que completa el sustraendo a un número entero.7 2/3 = (12 + 5/8 + 1/3) . Una forma de sumar/restar números mixtos es que se pueden convertir ambos números en fracciones. En este caso hay que tener la precaución de que si la suma de las partes enteras es mayor que la unidad. Si en la resta la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo. realicen la Actividad 10. se propone que por parejas. si la resta a efectuar hubiese sido 12 2/3 . el cálculo sería: 12 2/3 . ya que desaparece la resta entre las partes fraccionarias y en su lugar aparece una suma de fracciones en el minuendo.8 = 4
La ventaja de dicha técnica es que no es necesario establecer cuál de las dos partes fraccionarias es mayor.7 5/8 . hay que “pasar” una unidad de la fracción resultante de la suma al entero. uno es prestarle una unidad del entero a la parte fraccionaria del minuendo. se suman/restan las fracciones y luego se convierte nuevamente el resultado a número mixto. ya que se puede aplicar independientemente de que haya o no reserva en la resta. destacando que hay varios procedimientos para sumar y restar números mixtos. en la que estudian diversos procedimientos de resolución y los explican a sus compañeros. para poder restar las partes fraccionarias hay dos procedimientos. El profesor o profesora hace un pequeño cierre con lo que se ha visto hasta ahora. De todos modos puede simplificar los cálculos.0
El último cálculo utilizando esta técnica se podría resumir en: 12 5/8 .
.7 5/8 = (12 + 2/3 + 3/8) .
puesto que pese a que se pesan juntos. se equivoquen. este desplaza un volumen de líquido equivalente a su volumen”. en el que se da la situación inicial y la situación final. Es inverso. El primer problema es un problema de composición donde los datos son el peso total y el peso de una de las partes. Su dificultad reside fundamentalmente en dos aspectos. un posible esquema para dicho problema sería:
El segundo problema es un problema de comparación inverso. y por otro parece la palabra “menos” asociada a la diferencia. el problema se resuelve mediante una resta. la diferencia y el sentido de la diferencia. representar la relación entre datos e incógnita mediante un esquema
evidencia que el cálculo que resuelve el problema es la suma entre los datos. El problema 3 es un problema de cambio simple directo. el problema requiere establecer uno de los famosos principios de Arquímedes que dice que “Al sumergir completamente un sólido. La segunda
. Sin embargo. principio que permite medir fácilmente el volumen de cualquier sólido independientemente de su forma (siempre y cuando se pueda sumergir). donde los datos son la cantidad que compró Fanny. en la que se propone al alumnado resolver individualmente tres problemas aditivos. dado que por un lado los problemas de diferencia suelen resolverse mediante una resta. Es muy probable que aquellos alumnos que no se representen el problema mediante algún tipo de esquema que les ayude a dilucidar el cálculo que lo resuelve. en primer lugar. lo que refuerza aun más la idea de que hay que efectuar una resta entre los datos del problema.La etapa continúa con la Actividad 11.
Una posible estrategia para abordar el problema es partir por el libro más pesado (“Cuentos de hadas”) y ver si al juntarlo con otro no sobrepasa los tres kilos. así que podemos juntarlo con el libro más pesado que va quedando. juntándolos todos. junto a otro que pesara ½ kg o menos. el problema 4 es un problema de composición. De lo contrario el número de combinaciones que se pueden hacer al azar es muy numeroso. Finamente. “Parque Jurásico”. dado que pesa 2½ kg.dificultad es que es necesario interpretar correctamente el nivel del agua en la escala graduada para obtener los datos. ya que ambos pesan menos de medio kilo. Ese libro se puede juntar con cualquiera que pese menos de 1½ kg. con la complejidad de que no se trata de calcular la suma de las partes. Luego. entonces se podría hacer un solo paquete con ese libro. por lo que se puede armar un tercer paquete. Para tener éxito en este problema los estudiantes tienen que tener una cierta habilidad de estimar aproximadamente si una determinada combinación de libros excederá o no los 3 kg.
. que se acerquen lo más posible a dicho peso. Por ejemplo. “Charlie y la fábrica de chocolate” que pesa 1½ kg. sino que hay que agrupar los libros de tal forma que los paquetes formados no pasen de los 3 kg de peso. “Pinocho” o “El príncipe y el mendigo”. Se puede proseguir con el siguiente más pesado de la lista. este no llega a 3 kg. y a su vez. si se suma el peso de los tres libros que faltan. De hecho.
En este tipo de problemas resulta bastante complejo hacer un esquema que represente la situación.
. hay que juntar libros que no pesen más de 3 kilos. lo que se podría representar:
Hay que juntar libros de forma que su peso no pase de 3 kg. Un posible esquema para este problema sería
Peso de los libros (en Kg.) a) b) c) d) e) f) g)
Luego. 3 kg.
. el hecho de ir simplificando las partes fraccionarias de las cantidades puede simplificar notoriamente los cálculos. La regla señala que los números de cada nivel inmediatamente superior se obtienen por la suma de los dos que están conectados con el de un nivel más abajo. pide que completen el cuadro siguiente:
y se espera que los alumnos realicen los cálculos sin demasiadas dificultades. En este tipo de problemas. Una vez que el docente esté seguro de que el curso haya comprendido la dinámica del juego. De hecho.con lo que queda claro el procedimiento de resolución del problema. Por ejemplo:
Donde el profesor(a) escribe en la pizarra solo aquellos números del dibujo de la izquierda y los estudiantes tienen que determinar los números de las casillas restantes. Recomendamos que cada docente plante un ejemplo con números naturales antes de proceder a resolver un problema similar con números fraccionarios. es necesario sumar los pesos y que el resultado dé menos de 3 kg. para poder anticipar si una determinada combinación de libros no va a exceder los 3 kilos. La etapa prosigue con la inclusión de un juego que consiste en encontrar los números que faltan en una disposición triangular.
¿En qué casilleros deberían ir los datos si solo se resuelve con sumas? 2. Cierre de la etapa 2 Se sistematizan los conocimientos que aparecieron en la etapa. Luego. ¿Cuál es el mínimo número de datos para que se pueda resolver? 3. en parejas. Luego se les pide que expliquen los procedimientos que utilizaron para sumar y restar números mixtos y que pasaba cuando las sumas y las restas tenían reserva. de la Ficha 5. intercambian con otra pareja y resuelven. coloquen cuatro datos (números mixtos) de tal forma que el cuadro se pueda resolver. ¿En qué casilleros deberían ir los datos para que se complete con sumas y restas? También se puede entregar una plantilla en blanco para que.
. el profesor(a) pide que realicen la actividad 12. Se les pregunta cómo son los diversos problemas que han estudiado en la clase y se les pide que den algunos ejemplos de ellos.Luego.
Este juego permite desarrollar varios análisis a través de preguntas: 1. preguntando cómo identificaron las operaciones que había que hacer para resolver los problemas y qué operaciones utilizaron para resolverlos.
otra es transformando las cantidades a fracciones. sumando/restando las fracciones y luego volviendo a transformar la fracción resultante a número mixto. si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo. o bien agregar la cantidad necesaria para completar la parte fraccionaria del sustraendo a la unidad y agregar esa misma cantidad al minuendo. Hay problemas más difíciles que otros puesto que en algunos casos es relativamente sencillo identificar las operaciones que los resuelven mientras que en otros casos resulta complejo. sobretodo en aquellos en los cuales la operación sugerida por la acción presentada en el enunciado no corresponde con la operación que es necesario efectuar para resolverlo. Los esquemas es una forma de representar la relación entre datos e incógnita y ayudan comprender cómo resolver los problemas. en sus palabras. que:
Son problemas en que hay que realizar una o más de una operación para resolverlos. Al sumar dos (o más) nº mixtos la parte fraccionaria obtenida de excede la unidad es necesario convertir dicha cantidad a número mixto de forma de traspasar a la parte entera del resultado las unidades necesarias para que la parte fraccionaria quede menor de una unidad. Al restar dos nº mixtos. es necesario traspasar una unidad de la parte entera del minuendo a su parte fraccionaria. ya sea sumas o restas.
. Una forma de sumar/restar números mixtos es sumando/restando las partes enteras y las partes fraccionarias.Se espera que niños y niñas digan. para que de ese modo se pueda efectuar la resta. En estos casos es conveniente hacer un esquema que exprese gráficamente la relación entre datos e incógnita.
de cambio y de comparación que involucran más de dos datos. El primer problema es un problema de composición. 4 4 4 4 4
En este tipo de problemas el esquema es simples. Aparecen también problemas aditivos combinados. en los que es necesario calcular varias sumas y restas de cantidades fraccionarias.
.…. en los que se combinan composiciones con comparaciones y/o con transformaciones. bien sea en la parte entera. se promueve que desarrollen procedimientos que permiten abreviar los cálculos de sumas y restas de fracciones y números mixtos cuando hay más de dos términos. La Etapa se inicia planteando al curso que resuelvan por parejas los problemas descritos en la Actividad 14 de la Ficha 6.…TERCERA ETAPA
En esta etapa se pretende que niñas y niños activen los conocimientos que aprendieron años anteriores para resolver problemas aditivos directos e inversos de composición. 8 8 4 4
Se espera que varios estudiantes desarrollen primero la estrategia de agrupar los sumandos. En este tipo de problemas los esquemas resultan de gran utilidad. bien sea en la parte fraccionaria. Esta estrategia lleva a agrupar los sumandos de la suma de la forma:
+ 2 + 3 + 2) . Además. Es posible que planteen un cálculo similar al siguiente:
3 3 + 2 1 + 3 + 2 + 2 1 + + 3 + 2.
y si utilizamos la técnica de agrupar los sumandos fraccionarios en unidades enteras. juntando aquellos que tienen denominadores iguales. ya que resulta difícil deducir directamente del enunciado la secuencia de cálculos necesarios que hay que efectuar para resolverlos. donde para resolverlo es necesario que los alumnos se den cuenta de que para construir el arco se usan dos trozos de PVC de cada medida.. dicha suma se podría efectuar de la forma
4 2 2 + + 4 8 + 10 = 1 2 + 4 1 + 10 = 15 3 .
. 3 de 1½ litro y una bebida de 2¼ de litro. En la fiesta se consumieron 7 ¼ litros. 3 de ½ litro. si antes de efectuar la suma de las fracciones de distinto denominador nos hubiésemos fijado en la cantidad que hay que sustraer. el cálculo se hubiese podido 2 simplificar notoriamente.El segundo problema 2. menos la cantidad de bebida que se gastó.7 = (13 –7) +( + + =6 5 4 4 5 4 4 5 de forma que nos ahorramos tener que buscar el común denominador para sumar y. Partiendo de que la cantidad total de bebida es 13 + 5 + 1 . ya que hay una parte del problema que se modeliza mediante una situación de composición (que permite calcular el total de bebida que se compró). 4 tenemos que: 1 1 1 1 1 1 1 13+ + . ¿Cuántos litros de bebida sobraron? Este es un problema combinado.
. Aquí. facilita mucho la tarea de determinar los cálculos que hay que realizar para resolverlo. y otra parte mediante una situación de cambio (la bebida que sobró es la cantidad de bebida que se compró. una forma de realizar el cálculo del total de bebida que se compró sería
Y si a dicho cálculo le restamos la bebida que se consumió. dibujarse un esquema que represente la relación existente entre los diversos datos del problema y la incógnita. restar las fracciones. Veamos un ejemplo de esquema:
Luego.Pablo compró para una fiesta 6 bebidas de /3 de litro . 2 de 13/5 litro. tenemos:
Ahora bien. posteriormente.
5 bebidas de ½ l .. y luego se hace suma de las que quedan sin “cancelar”
donde además se ha aplicado la técnica de completación a la unidad por trasvasije. Cada docente puede sugerir al curso un problema similar para que practiquen las técnicas de cálculo anteriormente descritas. 3 bebidas de litro y dos bebidas de 2 ¼ l. como por ejemplo: Miguel compró 8 bebidas de 1/3 de litro. primero “cancelamos” las bebidas que sobraron con parte de las bebidas que se compraron. veamos el ejemplo de ello:
en lugar de efectuar la suma de términos para obtener el minuendo y luego el sustraendo. 1 bebida de ½ l y 1 bebida de 1½ l. ya que por una parte hay que calcular el total de cinta que se ocupó en recorrer la caja (problema de composición con más de dos sumandos) y por otro. de forma que la operación se reduce a
lo que prueba la eficacia que pueden tener los procedimientos estudiados en la reducción de los cálculos. El tercer problema 3. ¿cuánta cinta se ocupó en la rosa con que se anudó la cinta? Es un problema combinado. 3 bebidas de 1 ½ l. Después de la fiesta sobraron 2 bebidas de 1/3 de l. Si la cinta empleada medía 80 pulgadas.O sea. para efectuar un cálculo con números mixtos en el que se deben sumar una determinada cantidad términos y luego restar otros. la estrategia de reducir términos antes de realizar los cálculos respectivos simplifica notoriamente el problema.A una caja cuadrada que tiene 103/8 x103/8 de fondo y 6½ pulgadas de alto se le ató una cinta como muestra la figura. ¿Cuántos litros de bebida se consumieron en la fiesta? En este problema. es muy aconsejable que se simplifique todo lo que se pueda antes de realizar las sumas y las restas.
Para ello basta con sumergir el sólido en agua y medir el volumen de agua que ha desplazado el sólido al sumergirlo. En este caso el esquema podría ser como este:
El problema 5. y que el oro era de los metales más pesados. En este problema se añade la dificultad de que los sumandos no están dados y hay que aplicar conocimientos básicos de geometría para poder deducirlos. dado que no todas las caras de la caja son visibles. puesto que aparecen tres datos. El problema es inverso. Este tipo de problemas de cambio suelen ser más difíciles de resolver por los alumnos. es la de dar un método muy simple. este desplaza un volumen de líquido equivalente a su propio volumen”. y por tanto se modeliza mediante una resta. Este principio puede anunciarse de la forma siguiente: “Al sumergir cualquier sólido dentro de un líquido. el gran aporte de la solución al problema de la corona. es la siguiente: ¿Qué es más pesado. ¿Qué significa que un material sea más pesado que otro? ¿A qué cualidad nos estamos refiriendo exactamente? Una pregunta típica que nos ayuda a aclarar el concepto “más pesado que”. dado que se gastó parte de la fruta que se compró. mientras que el cobre era más ligero que el oro. Para poder comprender el razonamiento de Arquímedes es importante entender este punto. el cálculo necesario que resuelve el problema es una suma. En esa época ya se sabía que no todos los metales pesaban lo mismo.dicho resultado hay que restarlo del total de cinta. y solo se da como información las dimensiones de la caja. para calcular la parte de cinta que sobró para hacer la rosa de adorno (problema de cambio). que fue magistralmente resuelto por Arquímedes. pero a su vez eficaz para medir directamente el volumen de cualquier sólido que sea más pesado que el agua. por lo que puede ser de gran ayuda el hecho de representar la relación entre los datos y la incógnita mediante un esquema. es uno de los problemas más famosos de la “física antigua”. En realidad. un kilo de paja o un kilo de hierro?
. EL cuarto problema es un problema de cambio compuesto. Sin embargo. puesto que la incógnita es la situación inicial.
hay que realizar una composición para calcular los totales de cada mezcla y por otro. El “peso” (entendido como densidad) es una característica de cada uno de los materiales. El sexto problema es un problema aditivo combinado. con lo que podemos afirmar con seguridad que la corona está hecha de un material que es más ligero que el oro puro. ya que cada material tienen un “peso” distinto. se sobreentiende que se están comparando volúmenes similares de ambos materiales. una vez finalizado el experimento. para poder calcular el volumen de cada cuerpo necesitan deducir que este es igual a la cantidad de agua desplazada. Si sabemos que el oro es más pesado que el cobre. En este problema se espera que alumnas y alumnos hagan la relación de que si la corona fuese de oro. además de oro. no es imprescindible calcular los dos totales. sino que la corona desplaza más agua. dado que en ambos casos se trata de un kilo. pero ello no significa que la paja sea más pesada que el cobre. De lo contrario. la paja o el hierro? A lo que obviamente respondemos que el hierro. en la graduación de los envases. Dado que en el problema no se pregunta por ninguno de los dos totales. Por un lado. es porque lo que usualmente interpretamos de la pregunta es: ¿Qué es más pesado. y por tanto podemos aplicar la técnica de cancelación de términos descrita anteriormente. Por tanto. Si se profundiza en por qué es tan común cometer dicho error. Además. obviamente que será más pesado el fardo. respuesta que es errónea. al ser sumergida en agua tendría que desplazar la misma cantidad de agua que al sumergir un trozo de oro puro que pesase lo mismo que la corona. Arquímedes concluyó que en la fabricación de la corona se habían empleado otros materiales. y la forma de obtener los datos para efectuar dicho cálculo a partir del dibujo es identificando. Cuando afirmamos que un determinado material es más pesado que otro. O sea. en realidad lo que se esta comparando es la densidad los materiales ( peso/volumen). es que no son exactamente el mismo material. hay que comparar dichos totales para poder establecer cuál de los dos es mayor. dando por sentado que el volumen de paja y de hierro que estamos comparando es el mismo. Resulta que al sumergir la corona y el trozo de oro puro en agua observamos que no desplazan la misma cantidad de agua. Con este razonamiento. Veamos cómo dicha técnica reduciría notablemente el cálculo:
. entonces un kilo de oro ocupará menos volumen que un kilo de cobre. Si comparamos el peso de un fardo de paja con el de una moneda de cobre. si la corona fuese de oro puro. sino que únicamente se pregunta con cuál de las mezclas se obtiene una mayor cantidad del producto. el volumen que representan los distintos niveles de agua.La tendencia natural de la mayoría es responder que es más pesado el kilo de hierro. al sumergirla debería desplazar la misma cantidad de agua que el trozo de oro macizo.
la diferencia se conserva (traslado de la diferencia). mcla. que pretende que consoliden los procedimientos estudiados para sumar y restar fracciones. completación por trasvasije. De todas formas es posible que la mayoría del curso haga el cálculo completo. Para justificar el procedimiento de reducción de términos. En ese caso sería conveniente que el profesor o profesora mostrara un ejemplo de reducción de términos en la pizarra y pidiese que trataran de explicar dicho procedimiento.Cálculo a efectuar. mcla. si se usan dichas técnicas la mayoría de los cálculos se simplifican en forma notoria. La etapa prosigue con la Actividad 15. Si bien los cálculos que aparecen son bastante engorrosos. basta con considerar que si le quito la misma cantidad de baldes a la mezcla 1 y a la mezcla 2. 1 vol. en lugar de recurrir a esta técnica. Veamos algunos ejemplos de ello: El cálculo
. reducción de términos y completación por traslado de la diferencia. especialmente las técnicas de simplificación de los cálculos. comparar el total de mezcla 1 con el total de mezcla 2:
vol. 2 1+1+
De forma que con la mezcla 2 se obtienen 3/8 de balde más que con la mezcla 1.
el estudio prosigue proponiendo al curso que resuelvan los tres problemas de la Actividad 16. 3 Luego de practicar las estrategias de cálculo.
.⎛5 2 3 1⎞ ⎛1 2 1 ⎞ Mientras que el cálculo ⎜ + + + ⎟ − ⎜ + + ⎟ podría hacerse: ⎝8 3 5 2⎠ ⎝5 3 8 ⎠
donde además de las técnicas de reducción y de completación por trasvasije se ha aplicado la técnica de completación por traslado de la diferencia en la resta 10 − 1 2 .
Maite volvió a partir el pedazo que quedaba en cuatro.. Después. Una vez que todos terminaron su pedazo. volvió a partir el pedazo que sobraba en cuatro nuevamente. miden cada uno ¼ de torta. David y Maite compraron una torta cuadrada para compartirla. De esa forma no resulta difícil establecer que los tres primeros pedazos que se reparten. y los tres últimos. mientras que los tres segundos 1/16 de torta. Veamos el problema: 1. de la misma forma que había partido la torta. él dijo que casi un tercio. dando un pedazo a cada amigo. que cada uno se come 21/64 de torta. junto con el pedazo que queda por repartir. miden 1/64 de torta. Maite partió la torta en cuatro partes iguales y repartió un pedazo a cada uno.El propósito del primer problema es que el alumnado se familiarice con un determinado procedimiento iterativo de partición y que sean capaces de reconocer el resultado de aplicar dicho método “ad infinitum”. ¿Es eso cierto?
Para establecer los tamaños de un determinado pedazo basta con determinar cuántas veces hay que iterar dicho pedazo para reconstruir la unidad.¿CUÁNTO FALTA PARA EL TERCIO? Ángela. la torta completa. como decidieron comer más torta. dando de nuevo un pedazo a cada uno. Para poder contrastar la afirmación de David de que prácticamente se ha comido 1/3 de torta. o sea. ¿Qué parte de la torta quedó sin repartir? ¿Qué parte de torta se comió cada uno? Al preguntarle a David sobre la cantidad de torta que comió. Por tanto la cantidad de torta que se comió cada uno se puede calcular mediante la suma:
Es decir. de manera que si dibujamos de un color distinto lo que se ha comido cada uno obtenemos el dibujo
. podemos apoyarnos en el dibujo.
nunca llegamos a obtener el 1/3. en lugar de hacer el cálculo de lo que se compró y de lo que se gastó. Para ello basta con hacer suficientes cortes. cerca de media centésima. pero nos vamos acercando más y más cada vez. es decir. si queremos calcular con precisión la diferencia entre 1/3 y lo que realmente se ha comido cada uno. ¿Nos acercaríamos más y más a 1/3.. O sea. Se espera que la mayoría de alumnos.⎬ tiene por límite O sea. de forma que se observa que cada vez el pedazo que va sobrando es más y más chico. basta con que lo sumemos 1/192. podemos efectuar el cálculo siguiente:
o sea.. Esto es:
.. que la suma de los términos ⎨ + + + ⎩ 4 16 64 256 1024 4096 ⎭ 1/3. Ahora bien.
1 1 1 ⎧1 1 1 ⎫ + + + .
El segundo problema es muy similar a un problema anterior. la diferencia es que en este caso viene el desglose tanto de las bebidas que se compraron para la fiesta como de las que sobraron.Donde queda claro que la torta queda dividida por colores en tres partes iguales y falta una pequeña parte por repartir (1/64). y así sucesivamente. De manera que nunca llegamos a completar exactamente el 1/3. procedan a simplificar en el mismo dibujo. para luego hacer la resta. pero sin llegar? ¿O bien habría un momento en que nos pasaríamos de 1/3? Para responder a estas preguntas basta con seguir dibujando las particiones. pero podemos acercarnos a esa cantidad tanto como queramos. que para llegar a completar los 21/64 de forma tal de obtener el tercio. Aquí podemos preguntar al curso que sucedería si seguimos partiendo el pedazo de 1/64 entre cuatro y damos un trozo a cada uno. pero siempre sobra un pedazo.
. 2 lt. 1
1 lt. lo que da 2 3
El tercer problema tiene la característica de que hay que efectuar varios cálculos para determinar las dimensiones de todas las paredes.Bebidas compradas
con lo que resulta que la bebida que se consumió es 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 + 2 . teniendo que relacionar la medida de varias paredes para poder calcular la longitud de las paredes que no ha sido medidas.
de otra tira cortamos 3¼ m.( 1 m + ¼ m + ¼ m). para ver cuántas tiras se necesitan. sin contar la puerta (dado que esta no lleva zócalo). Luego. para calcular la cantidad de zócalo que hay que instalar se calcula el perímetro de la figura. De ahí podemos sacar un pedazo de ½ m y otro de ¼ m. nos sobra un pedazo de 1¾ m. Luego. con lo que nos sobran ¾ m. Dado que el zócalo se vende en tiras de 4 m y se ha decidido que haya un solo trozo por cada pared es necesario establecer cómo se cortarán las piezas. Por ejemplo. mientras que para calcular la pared de abajo hay que efectuar el cálculo 3¼ m . Por tanto se necesitaría comprar 3 tiras y nos sobraría un pedazo de 3¾ m. si de una tira cortamos 2¼ m para la pared izquierda. se realiza un cierre de la etapa donde el curso. que es justo la medida de la pared derecha. junto al profesor o profesora sistematizan los aspectos más importantes de lo estudiado en la unidad. Finalmente. teniendo en cuenta que el número de una determinada casilla es la suma de los dos números de las casillas que tiene debajo.
. hay que realizar el cálculo 2¼ m . Así que si compramos 2 tiras de 4 m nos estaría faltando un pedazo de ¼ m.½ m. La etapa continúa pidiendo a alumnas y alumnos que completen las casillas vacías de la pirámide de la Actividad 17.3¼m
Por ejemplo. para calcular la medida de la pared del lado derecho.
de forma tal que ambos términos tengan denominadores iguales.
. Cuando la parte fraccionaria resultante de la suma es mayor que la unidad. Esta consiste en traspasar unidades entre los numeradores de aquellas partes fraccionarias que tienen denominadores iguales. El uso de esquemas nos permiten representar la relación entre datos e incógnita en los problemas y son de gran ayuda para establecer la secuencia de cálculos que hay que efectuar para resolverlos. de manera tal de transformar la mayor cantidad de partes fraccionarias posibles en unidades. Para sumar/restar números mixtos se suman/restan las partes enteras y las partes fraccionarias. Esta consiste en simplificar todos aquellos términos que están tanto en el minuendo como en el sustraendo. Para sumar o restar dos cantidades fraccionarias que no están expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. se puede trasladar la diferencia añadiendo a ambos términos la fracción que completa la parte fraccionaria del minuendo a la unidad. La técnica de completación por trasvasije ayuda a reducir los cálculos que hay que efectuar al sumar con más de dos sumandos. Cuando la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo.Cierre de la etapa:
Para sumar y restar dos cantidades fraccionarias con denominadores iguales se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. hay que reducirla quitándole tantas unidades como sea posible. se remplazan estas por fracciones equivalentes. La técnica de reducción de términos ayuda a reducir los cálculos que hay que efectuar al resolver restas de más de dos términos. unidades que sumamos a la parte entera.
de hecho. Sigue preguntado el significado de 3/5 m. Cuando observe que la mayoría sabe la respuesta a las preguntas se puede realizar una breve puesta en común. debido a que las piezas utilizadas en la franja eran de dos tamaños distintos. se les pide que realicen la segunda parte de la actividad. esta vez individualmente y sin usar el material concreto en el cálculo. sin embargo en la segunda parte sí. por ejemplo. Calculan sumas de fracciones.
El profesor (a) inicia la clase planteando un ejemplo de una fracción en el contexto de la medida para que los alumnos la interpreten. Emplean la Ficha 1 (material: juego de piezas que representan fracciones). registrando en la pizarra el significado de 2/5 m. La profesora o profesor propone que desarrollen en parejas la primera parte de la Actividad 1 de la Ficha 1. aquella longitud que al repetirla cinco veces da un metro. Una vez que la mayoría ha terminado. Se recomienda que se revisen algunas respuestas en la pizarra y que expliquen los procedimientos utilizados para calcular los largos. Por ejemplo: ¿Qué significa 1/5 m? Se espera que la mayoría diga que es una longitud menor a 1m. • Para sumar dos fracciones con denominadores distintos es necesario reemplazar una (o las dos) fracciones por fracciones equivalentes tales. y las corrigen en caso de que sea necesario. se suman los numeradores y se conserva el denominador. Luego. Que es.IV
Clase 1. el profesor(a) pide que respondan al problema planteado en la Actividad 2. proceden a revisar los procedimientos y las respuestas de los estudiantes en la pizarra.
. Se espera que respondan que no han tenido mayores dificultades en la primera parte de la actividad. sacan el material concreto para verificar cada una de sus respuestas. Tareas matemáticas: resuelven problemas aditivos simples y directos de composición con fracciones. Luego. Una vez que la mayoría ha terminado. A medida que van terminando. que los dos sumandos tengan denominadores iguales. se les pregunta si se han encontrado con algunas dificultades para calcular los largos de las franjas y cómo las han resuelto. en la que tienen que cuantificar la medida de la yuxtaposición de dos franjas hechas con piezas de una misma longitud. A medida que van terminado la primera parte de la actividad. Cierre de la clase 1 • Para sumar dos fracciones con denominadores iguales. poniendo especial atención a la efectividad de los procedimientos empleados y haciendo un cierre con las ideas más importantes que se trabajaron. se suman con el procedimiento anterior.
e). Luego. El profesor sugiere a quienes están más retrasados en la resolución del problema. en especial si presentan dificultades en resolver los apartados b) y e). utilizando. en caso de que lo necesiten. identificando en cada representación los datos. Se sugiere que mientras realizan la actividad.Clase 2. la incógnita y la relación entre ellos. Una vez que la mayoría de alumnos hayan llegado a la conclusión de que ambos métodos son correctos y que los resultados obtenidos son equivalentes. g) o i). el docente ponga especial atención en aquellos alumnos que presentan dificultades para resolver los distintos apartados del problema. para sumar o restar dos cantidades fraccionarias que no están expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. reparte la Ficha 2 y pide que primero resuelvan. En esos casos puede sugerirles que. el profesor plantea a los alumnos que apliquen dichos procedimientos para hacer los cálculos propuestos en la Ficha. f). En ese caso sugerimos que les ayude diciéndoles que se fijen en el rol de cada dato del problema y que el largo de la pieza inicial tiene que ser más grande que cada uno de los trozos. c). resuelvan primera parte de la Actividad 4. el problema planteado en la Actividad 3. se amplifican las fracciones hasta lograr que ambas cantidades queden expresadas con denominadores iguales. b). sea por el hecho de que dichos problemas están planteados de forma inversa. o una similar. Dichos denominadores son precisamente el producto de los denominadores de las fracciones sin amplificar.
. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos simples y directos con fracciones. La profesora o profesor plantea la situación siguiente. Emplean la
Ficha 2 (material: juego de piezas que representan fracciones). Se espera que la mayoría resuelva correctamente los cálculos a). por parejas. el profesor(a) plantea al curso que. g) e i). Se espera que los alumnos sean capaces de adoptar los procedimientos que han desarrollado en la clase anterior para sumar fracciones y restar fracciones. • Al igual que con la comparación de fracciones. se pide que completen la Tabla individualmente. que se apoyen en el material concreto para resolver aquellos apartados que les presentan mayores dificultades. y no en el resto de apartados. Es muy probable que aquellos alumnos que presenten dificultades a la hora de resolver los apartados e). • Dadas dos fracciones con denominadores distintos. si es necesario. ¿cuánto mide la otra parte? Luego de que la mayoría responda. utilicen el material concreto para resolver los demás apartados. y luego la segunda por un factor igual al denominador de la primera. Si una de las partes que obtuvo mide 1/8 de tira. Una vez la mayoría ha finalizado la actividad. sin hacer uso del material concreto. Cierre de la clase 2 • Para poder sumar y restar dos cantidades fraccionarias con denominadores iguales se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. por parejas. Calculan sumas y restas de fracciones. representando la situación planteada en cada apartado con el material concreto. Se espera que alumnas y alumnos sean capaces de apropiarse de ambos procedimientos y de reconocer que cuál o cuáles de ellos han usado para resolver los cálculos de la Actividad 3. el profesor les pide que comprueben los resultados. A medida que los alumnos terminan de completar la tabla. las dos fracciones amplificadas que se obtienen tienen denominadores iguales. También se espera que los alumnos reconozcan que los resultados obtenidos por Paula y Juan son equivalentes. para que la resuelvan en parejas y luego efectúen una puesta en común: Pedro cortó una pieza de ½ de tira en dos partes. si se amplifica la primera por un factor igual al denominador de la segunda. el material concreto. Los apartados d) y e) del problema son los que presentan problemas de mayor dificultad.
Se inicia pidiendo al curso que resuelvan los tres problemas planteados en la Actividad 5. cambio y comparación.Clase 3. Cuando el profesor(a) observe que la mayoría ya encontró la solución a los problemas. • Los procedimientos de suma y resta de cantidades fraccionarias son parecidos a los de comparación de fracciones. aprovechando de discutir acerca de los esquemas empleados. • Los esquemas son una herramienta útil para identificar las operaciones que los resuelven. Según el resultado obtenido en esta prueba. en sus palabras.
Clase 4: Aplicación de una prueba parcial de la Etapa I durante la 1ª hora de clases (Para elaborarla. Una vez finalizada la puesta en común y discusión de los resultados. La etapa culmina con la Actividad 7. Además. pedirles que compartan y expliquen los procedimientos empleados para realizar los cálculos. de la Ficha 3. ya sea sumas o restas de fracciones. se aprovecha esta instancia para hacer el cierre de la etapa. Emplean la Ficha 3. se puede realizar una puesta en común. puede basarse en las fichas correspondientes) y luego realizar su corrección en la pizarra. de los procedimientos posibles de emplear y su costo en tiempo. el profesor(a) pide que resuelvan los cálculos planteados en la Actividad 6. • Para sumar/restar dos fracciones con denominadores iguales se suman/restan los numeradores y se conserva el denominador. Detectar el uso de esquemas a través de preguntas tales como: ¿Alguno de Uds. ya que en ambos casos es necesario expresar previamente ambas cantidades mediante fracciones equivalentes que tengan un mismo denominador. en los que el uso de esquemas puede ser de gran ayuda para su resolución. Esta clase se centra en la resolución de distintos tipos de problemas aditivos.
. • Hay diversos tipos de esquemas. y algunos son más útiles que otros. Cierre de la etapa Se espera que niños y niñas digan. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos directos con fracciones. destacando los procedimientos de suma y resta de fracciones y su justificación. • Una forma de sumar/restar dos fracciones con denominadores distintos es amplificando la primera por el denominador de la segunda y luego amplificando la segunda por el denominador de la primera. A su vez. registrando en la pizarra los diversos procedimientos que hayan empleado los alumnos. De ese modo. Calculan sumas y restas de fracciones utilizando algoritmos apropiados. si fueron necesarios o no. y la utilidad de los esquemas para representar las situaciones planteadas en los problemas y como apoyo para establecer los cálculos que los resuelven. de composición. ambas cantidades quedan expresadas mediante dos fracciones que son equivalentes a las iniciales. Explican los métodos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas. que los problemas vistos: • Son problemas en que hay que realizar una operación para resolverlos. pero que tienen un mismo denominador. el profesor o profesora decidirá si pasa a la Etapa II o retoma aquellos puntos de la Etapa I en que el alumnado no muestre un dominio aceptable. en la que los alumnos se plantean entre ellos las dudas sobre lo estudiado hasta ahora y las resuelven junto al profesor. ¿cómo podrían representar esta situación mediante un dibujo o esquema? Que contrasten los esquemas dibujados por varios alumnos en la resolución de un determinado problema y que comparen los esquemas utilizados para los distintos problemas. ya que expresan más claramente la relación que existe entre datos e incógnita. hizo algún dibujo para solucionar los problema? o bien.
la longitud resultante al agregarle a 7 metros ¼ de metro. • Al restar dos números mixtos. otra es transformando las cantidades a fracciones. que reflexionen sobre la utilidad de representar el problema y de cómo esa representación les ayuda a explicar el proceso de resolución del mismo. • Una forma de sumar/restar números mixtos es sumando/restando las partes enteras y las partes fraccionarias. y que a medida que van obteniendo los distintos resultados.Plan de la Segunda Etapa
Clase 5. una vez que hayan resuelto un determinado problema. usen el material concreto para comprobar el resultado obtenido. ¿qué altura medirá el conjunto? Se aprovecha el planteamiento para preguntar a los alumnos qué significado le dan a 71/4 m. y que establezcan equivalencias entre ellos. sugerimos que hagan una puesta en común de los procedimientos que han desarrollado para realizar los cálculos. si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo. De hecho. Una vez que la mayoría haya terminado de realizar y verificar sus cálculos. que contrasten dichos procedimientos. Luego.1 2/5 utilizando cada uno de los procedimientos anteriores. Finalmente. por parejas. se les pide que. es necesario convertir dicha cantidad a número mixto de forma de traspasar a la parte entera del resultado las unidades necesarias para que la parte fraccionaria quede menor de una unidad. El profesor(a) pide que. Estudian y explican los métodos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas. Luego. Se pide al curso que realicen los cálculos propuestos en la Actividad 9. se puede comprobar la mayoría de ellos.
El profesor(a) plantea una actividad de resolución de un problema aditivo directo en el que las cantidades fraccionarias están dadas mediante números mixtos. para que de ese modo se pueda efectuar la resta o bien. tratando de convencerlo de que es correcto. Se espera que sepan interpretar dichas cantidades como 7 metros y ¼ de metro. También. Si situamos ese mástil encima de un pedestal de 41/4 m. sugerimos dejar un espacio para que alumnas y alumnos hagan una puesta en común de los procedimientos que han desarrollado para realizar los cálculos. cambio y
comparación. sobre todo en aquellos en los cuales la operación sugerida por la acción presentada en el enunciado no corresponde con la operación que es necesario efectuar para resolverlo. resuelvan el cálculo 3 3/10 . ltraten de comprobarlos con el material concreto.
. alumnas y alumnos ponen en común los resultados obtenidos y los procedimientos empleados y resuelven en pareja los problemas de la Actividad 8 de la Ficha 4. La clase prosigue proponiendo que desarrollen la Actividad 10 en parejas. que contrasten dichos procedimientos y establezcan equivalencias entre ellos. o sea. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos simples directos e inversos con fracciones y números mixtos de composición. Una vez que la mayoría haya resuelto los problemas. cada alumno y alumna toma uno de los procedimientos y lo explica a su compañero. es decir 7 + 1/4 metros. es necesario traspasar una unidad de la parte entera del minuendo a su parte fraccionaria. Es importante dar un tiempo para que estudien los diversos procedimientos de cálculo. el profesor pregunte por qué no se pueden comprobar y qué tipo de piezas se necesitarían para hacerlo. Solo los cálculos de los apartados g). sumando/restando las fracciones y luego volviendo a transformar la fracción resultante a número mixto. como por ejemplo: Se tiene un mástil de 71/4 m. Cierre de la clase 5 • Los esquemas son una forma de representar la relación entre datos e incógnita y ayudan comprender cómo resolver los problemas. Emplean la Ficha 4 y el material concreto. Sería conveniente que una vez que los alumnos se hayan dado cuenta que no se pueden comprobar dichos apartados. y representando cada paso del cálculo con el material concreto. Calculan sumas y restas de fracciones y números mixtos. i) y l j) no puede ser comprobados con el material. agregar la cantidad necesaria para completar la parte fraccionaria del sustraendo a la unidad y agregar esa misma cantidad al minuendo. • Al sumar dos (o más) números mixtos si la parte fraccionaria obtenida excede la unidad.
es necesario traspasar una unidad de la parte entera del minuendo a su parte fraccionaria. • Al sumar dos (o más) números mixtos. Clase 7: Aplicación de una prueba parcial de la Etapa II durante la 1ª hora de clases. y luego realizar su corrección en la pizarra. para que de ese modo se pueda efectuar la resta o bien. puede realizar una puesta en común. el profesor o profesora decidirá si pasa a la Etapa III o retoma aquellos puntos de la Etapa II en que sus alumnos no muestren dominio. pueden decidir los números que ponen en los casilleros y pasar el desafío a otro compañero para que lo resuelva. otra es transformando las cantidades a fracciones. Cierre de la Etapa • Hay problemas más difíciles que otros. • Al restar dos números mixtos.
La etapa avanza con la inclusión de un juego numérico que consiste en una competencia de quién encuentra primero los números que faltan en una disposición triangular. sumando/restando las fracciones y luego volviendo a transformar la fracción resultante a número mixto. • Los esquemas son una forma de representar la relación entre datos e incógnita y ayudan comprender cómo resolver los problemas. Luego.
A este juego se le puede sacar mucho partido a través de preguntas claves: ¿Cuántos números se deben dar como mínimo para poder resolver el desafío? ¿En qué posiciones de los datos se deben efectuar solo sumas para resolverlo? ¿Es posible poner los datos en algunos casilleros de tal manera que solo sea necesario efectuar restas? Posteriormente. mientras que en otros casos resulta complejo.
. de los procedimientos posibles de emplear para sumar y restar números mixtos y su costo en tiempo. registrando en la pizarra los diferentes métodos utilizados con el fin de realizar una comparación entre los métodos y los procedimientos de cálculo empleados.
Explican los métodos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas. Cuando observe que la mayoría encontró la solución de los problemas planteados. Según el resultado obtenido en esta prueba. Calculan sumas y restas de números mixtos. Uso de esquemas en los casos en que sea necesario para distinguir la relación entre datos e incógnita. si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo. Material: piezas de diversos tamaños y Ficha 5. sobre todo aquellos en los cuales la operación sugerida por la acción presentada en el enunciado no corresponde con la operación que es necesario efectuar para resolverlo. aprovechando de discutir acerca de los esquemas empleados. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos simples inversos con números mixtos. Se puede partir con números naturales y seguir con números mixtos planteado primero un ejemplo con los cuatro datos situados en la base. Para elaborarla.
El profesor o profesora propone que resuelvan los tres problemas de la Actividad 11 de la Ficha 5. si fueron necesarios o no lo fueron. agregar la cantidad necesaria para completar la parte fraccionaria del sustraendo a la unidad y agregar esa misma cantidad al minuendo. es necesario convertir dicha cantidad a número mixto de forma de traspasar a la parte entera del resultado las unidades necesarias para que la parte fraccionaria quede menor de una unidad. • Una forma de sumar/restar números mixtos es sumando/restando las partes enteras y las partes fraccionarias. En estos casos es conveniente hacer un esquema que exprese gráficamente la relación entre datos e incógnita. si la parte fraccionaria obtenida excede la unidad. se propone realizar en conjunto la Actividad 13. puede basarse en las fichas correspondientes). puesto que en algunos casos es relativamente sencillo identificar las operaciones que los resuelven.Clase 6. en la que se espera que los alumnos resuman los aspectos más importantes estudiados en la etapa y que forman parte del cierre de la etapa.
esta vez en parejas. Este procedimiento puede reducir considerablemente el procedimiento de cálculo de la suma. De hecho. ya que permiten obtener información acerca de la relación entre datos e incógnitas. se hace una nueva puesta en común en la que se vuelve a discutir los procedimientos de resolución de los alumnos. El profesor(a) pregunta cuál de los dos problemas les ha sido más difícil de resolver y que traten de explicar por qué. Este procedimiento puede ayudar a reducir notoriamente los cálculos que hay que efectuar al resolver restas de más de dos términos. Dada la dificultad que presenta la resolución de ambos problemas. puesto que al ser un problema combinado inverso. Luego se hace una puesta en común sobre cuáles de los esquemas dibujados permiten reflejar mejor la relación entre datos e incógnita.Plan de la tercera Etapa
Clase 8. de forma de completar a la unidad la máxima cantidad de términos fraccionarios que aparecen en la suma. los discutan y los resuelvan junto a su compañero. el tercer problema se presta para utilizar la técnica de reducción de términos. mientras que en el segundo se les ocurra cancelar el ¼ de la parte fraccionaria del sustraendo con alguno de los “cuartos” del minuendo. Elaboran problemas aditivos a partir de una situación dada.
. Los alumnos continúan resolviendo. donde exponen sus procedimientos de resolución y los resultados que ha obtenido. pide que traten de resolver solos los problemas 3 y 4. se espera que alumnas y alumnos se apoyen en el uso de esquemas para poder establecer los cálculos que los resuelven. Cierre de la clase 8 o Los esquemas son un soporte visual muy importante en el momento de resolver los problemas combinados. Se espera que varios alumnos desarrollen la estrategia de agrupar las partes fraccionarias de los sumandos que tienen denominadores iguales. El profesor(a) pide que resuelvan en parejas los dos primeros problemas de la actividad. o La técnica de reducción de términos consiste en simplificar todos aquellos términos que están tanto en el minuendo como en el sustraendo de una determinada resta. se realiza una puesta en común. Se hace una puesta en común de los resultados y el profesor(a) aprovecha dicha puesta en común para contar un poco más sobre la experiencia de Arquímedes. Emplean la Ficha 6. así como las técnicas utilizadas para abreviar los cálculos. Se espera que en el caso del problema 6 la mayoría utilice la técnica de reducción de términos para simplificar los cálculos. Analizan problemas aditivos y establecen semejanzas y diferencias. Una vez que la mayoría ha resuelto los problemas. Una vez que la mayoría ha resuelto los dos problemas. o La técnica de completación por trasvasije utiliza la posibilidad de traspasar unidades entre los numeradores de los sumandos que tienen denominadores iguales. los problemas 5 y 6. Luego. Explican los procedimientos usados para realizar los cálculos y resolver los problemas. Sugerimos que si hay algunos estudiantes que presentan muchas dificultades en la resolución de los problemas. La clase se centra íntegramente en la resolución de los problemas planteados en la Actividad 14 de la Ficha 6. dado que varios de los términos que aparecen en el sustraendo están presentes también en el minuendo. es muy difícil que puedan establecer que el cálculo que lo resuelve es la suma de la parte de frutillas que sobró con las partes de frutillas que se gastaron. poniendo especial énfasis en los esquemas como herramienta de apoyo para resolverlos. Recoge los diversos esquemas que han hecho los alumnos y los va representando en la pizarra. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos combinados con fracciones y números mixtos. Desarrollan procedimientos que permiten abreviar los cálculos de sumas y restas de más de dos términos. Especialmente útil puede resultar el uso de esquemas en el problema 4.
completan individualmente las casillas vacías de la pirámide. Después. enfatizando aquellos aspectos donde cometieron más errores. • La técnica de reducción de términos ayuda a reducir los cálculos que hay que efectuar al resolver restas de más de dos términos. Tareas matemáticas: Resuelven problemas aditivos combinados con fracciones y números mixtos. 2 5 3 + 1 + 2 + 8 . En otra clase se sugiere realizar su corrección en la pizarra. de forma tal que ambos términos tengan denominadores iguales. de manera tal de transformar la mayor cantidad de partes fraccionarias posibles en unidades. Se espera que la gran mayoría. finalmente se pide al alumno o alumna que 4 3
Luego. Cuando la parte fraccionaria resultante de la suma es mayor que la unidad. Luego. se escogen los 4
3 dos alumnos que hicieron el cálculo con mayor rapidez y se les pide efectuar el cálculo 8 + explique en la pizarra los procedimientos que empleó para efectuar los tres últimos cálculos. • Para sumar/restar números mixtos se suman/restan las partes enteras y las partes fraccionarias. Emplean la Ficha 7. Clase 10: Aplicación de una prueba global durante una clase (ver pág. Se seleccionan los 8 primeros estudiantes que hicieron bien el cálculo. Se apropian de los procedimientos que permiten abreviar los cálculos de sumas y restas de más de dos términos desarrollados en la clase anterior. si fueron necesarios o no. Una vez que la mayoría ha terminado de efectuar los cálculos. especialmente en el segundo problema.
. siguiendo la regla de que la cantidad de una determinada casilla es la suma de los dos números de las casillas que tiene debajo. se remplazan estas por fracciones equivalentes. se corrigen los resultados en una breve puesta en común. de los procedimientos posibles de emplear y su costo en tiempo. En el problema 3. • La técnica de completación por trasvasije ayuda a reducir los cálculos que hay que efectuar al sumar con más de dos sumandos. se pide que realicen individualmente los cálculos de la Actividad 15 de la Ficha 7. Sistematizan lo aprendido en la unidad. aprovechando de discutir acerca de los esquemas empleados. se divide la pizarra entre esos 8 y se les 3 4 4 2 propone que realicen simultáneamente el cálculo 2 7 + 5 + 5 2 + 3 1 + 1 − 5 7 + 3 5 . 72). hay que reducirla quitándole tantas unidades como sea posible. La clase se inicia planteando al curso un juego de cálculo rápido con números mixtos: 3 2 2 Escribe en la pizarra el siguiente cálculo 1 1 + 2 5 + 3 2 + 7 + 5 3 + 5 + 1 1 y plantea que realicen dicho cálculo lo más rápido que puedan. Se 3 7 3
3 seleccionan los cuatro alumnos que efectuaron dicho cálculo correctamente con mayor rapidez y se les sugiere hacer el cálculo 5 5 − 2 3 .Clase 9. y que a medida 4 3 4 3 que vayan terminando. unidades que sumamos a la parte entera. En caso de dudas pueden consultar con el compañero(a). se espera que sean capaces de determinar las medidas de las paredes que les faltan utilizando las medidas de las paredes que sí tienen. con el fin de darles respuestas a sus dudas y repasar los procedimientos de cálculo. levanten la mano. Esta consiste en simplificar todos aquellos términos que están tanto en el minuendo como en el sustraendo. Se hace una pequeña puesta en común de los resultados y de los procedimientos de resolución. Cierre de la Unidad • Para sumar y restar dos cantidades fraccionarias con denominadores iguales se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. Cuando la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo se puede trasladar la diferencia añadiendo a ambos términos la fracción que completa la parte fraccionaria del minuendo a la unidad. utilicen la técnica de reducción de términos para efectuar el cálculo. • Para sumar o restar dos cantidades fraccionarias que no están expresadas mediante fracciones con denominadores iguales. • El uso de esquemas nos permite representar la relación entre datos e incógnita en los problemas y son de gran ayuda para establecer la secuencia de cálculos que hay que efectuar para resolverlos. donde exponen las dudas y los errores que han cometido. se propone que resuelvan en parejas los tres problemas planteados en la Actividad 16. Consiste en traspasar unidades entre los numeradores de aquellas partes fraccionarias que tienen denominadores iguales. mientras el resto trata de hacerlo desde su sitio.
¿Cuántos kilos de calabaza compró?
1. Lidia y Milena se pesan en una balanza por separado. mientras que Milena pesa 18 ¼ kg. Pablo fue a la feria y compró calabaza para hacer un guiso. Luego deciden pesarse las dos juntas. ¿Cuántos kilos marcará la balanza?
2. de forma que al pesarse Lidia la balanza marca 23 ½ kg. Ocupó 21/3 kg para el guiso y le sobraron 1¼ kg.
Pilar o Jorge? ¿Cuántos kilos más compraron uno que el otro?
. En cada lata viene especificado el peso de la lata en kilos.3. ni en el espacio de la ventana hay que poner guarda. Pilar y Jorge fueron a comprar diversas latas de conserva. Tiene un dibujo a escala de la pieza con algunas medidas.
Mauro está empapelando la pieza de su hija y hoy va a ir a comprar la guarda. ¿Cuántos metros de guarda necesita? Ten en cuenta que ni en el espacio de la puerta. ¿Quién compró más kilos de comida en conserva.
Busque en el momento de cierre de cada uno de los planes de clase.
traspasando unidades entre los numeradores de las fracciones de forma tal de completar tantas fracciones a la unidad como sea posible Convertir una resta en otra equivalente que conserva la “distancia” entre minuendo y sustraendo y que sea más fácil de calcular. Fracciones que expresan una misma cantidad de medida. En toda fracción impropia el numerador es mayor b
. añadiendo al minuendo y al sustraendo aquella fracción que completa la parte fraccionaria del sustraendo a la unidad. obteniendo de ese modo una fracción equivalente. a su vez. logrando de ese modo que el sustraendo sea una cantidad entera. luego se varía la situación inicial agregando/quitando a dicha cantidad. pero que el cálculo que hay que efectuar para resolverlo no coincide con las operaciones que lo modelizan. y un estado o situación final Problemas en los que aparecen involucradas un determinado conjunto de cantidades y las respectivas diferencias entre ellas. Las preguntas típicas asociadas a este tipo de problemas son cuánto más/ cuánto menos o bien. En toda fracción propia el numerador es b
que el denominador. llamada parte entera. En este tipo de problemas suelen aparecer las acciones de unir/separar o agrupar/desagrupar y las variables implicadas suelen ser las partes y el total. Por ello distinguimos en estos problemas un estado o situación inicial. agregar/quitar. Está compuesto por dos partes. Sistema de numeración para representar cantidades no enteras mayores a una unidad. Figuras que pretenden hacer visibles las relaciones entre datos e incógnitas y de esta forma deducir las operaciones buscadas. y/o comparar) de forma que su modelización requiere de combinar varios esquemas y.VII
Toda fracción menor que la unidad ( menor que el denominador. de forma que la cantidad total es la suma de las dos partes. dando lugar a una situación final nueva. obteniendo de ese modo una fracción equivalente. Para ello se resta o se suma el mismo número al minuendo y al sustraendo. Convierten una suma en otra equivalente. para ello restan cierta cantidad a uno de los sumandos y se la suman al otro sumando Consiste en utilizar la técnica del trasvasije entre sumandos que tienen denominadores iguales. es un número natural que representa el total de unidades enteras contenidas en la cantidad y la segunda parte es la fracción propia que falta para completar dicha cantidad. que es más fácil de calcular. Consiste en utilizar la técnica del traslado de la diferencia. el cálculo de la solución conlleva a realizar más de una operación. la primera parte. Problemas donde se consideran un conjunto de partes y el total de ellas.
a < 1 ). Problemas en los que el cálculo que hay que efectuar para resolverlos coincide con las operaciones que lo modelizan. Problemas donde hay una determinada cantidad inicial. Operación que consiste en multiplicar el numerador y denominador de una fracción por un mismo número natural.
a > 1 ). Problemas que se modelizan mediante una determinada operación. una acción de transformación. Operación que consiste en dividir el numerador y denominador de una fracción por un mismo número natural. Problemas en que se combinan más de una acción de distinto tipo (juntar/separar. la diferencia.
Anota el resultado en la tabla y comparen.Ficha 1
Materiales por alumno: Una bolsa con piezas fraccionarias de diferentes tamaños. pero formando franjas de color rosado. Utilizando las piezas que representan fracciones de unidad de la tira blanca.
Actividad 1: Formando y midiendo franjas de colores (en parejas) Formando franjas de un solo color. Anota esos datos en la tabla y con esa información trata de calcular el largo que se obtendrá al juntar tu franja con la de tu pareja. azul y lila. del largo que quieras. forma una franja celeste.
. regla y una bolsa plástica con cierre para guardar las piezas y una tira blanca de longitud la unidad. Repite la actividad. Calcula el largo de la franja que has formado y el largo de la franja que ha formado tu pareja. Junten las franjas y comprueben el resultado.
.Formando franjas bicolor (Utiliza solo piezas de color naranja. Calcula con tu pareja el largo total de la franja bicolor que han formado y anótalo en la tabla. y tu pareja forma otra franja de un color distinto. verde. verde. Anota en la tabla el largo de cada una de las franjas de un solo color. Repite la actividad. rojo o lila). rojo o lila) Forma una franja de un solo color. utilizando piezas de otro color (naranja. Formen una franja bicolor. juntando las dos franjas.
Comprueba junto a tu pareja los resultados obtenidos. utilizando para ello el material concreto.
Anota cómo has calculado el largo de cada franja bicolor.
Corrígelos si es necesario.Actividad 2: Calculando largos de franjas. Trata de calcular el largo que tendrán las franjas bicolor al juntar las piezas siguientes:
. utilizando solo números y símbolos matemáticos.
. regla y una bolsa plástica con cierre para guardar las piezas y tiras blancas de longitud la unidad. por lo que decidió cortar las piezas grandes que le sobraban de forma de obtener piezas más chicas.
3 de tira en dos pedazos. ¿Cuál es la medida del otro pedazo? 3 Dibuja un esquema que represente el problema planteado.Ficha 2
Materiales por alumno: Una bolsa con piezas fraccionarias de diferentes tamaños. de tal forma que uno de los pedazos que 2
1 de tira. ¿cuál es la medida del otro pedazo? 5 Dibuja un esquema que represente el problema planteado. Si sabemos que uno de los pedazos que obtuvo 5
1 de tira. se dio cuenta que le sobraban muchas piezas grandes y le faltaban piezas chicas. A mitad de su trabajo. Pedro estaba haciendo un mosaico de colores con piezas iguales a las que tú tienes.
1 de tira en dos pedazos. Actividad 3: Partiendo las piezas en dos trozos de diferentes tamaños.
En la tabla siguiente Pedro registró las medidas de algunas de las piezas que cortó en dos pedazos y la medida de algunos de los pedazos. sin utilizar el material concreto. Junto con tu pareja.
Una vez hayas completado la tabla.
5 6 de formas distintas.. trata de convencerle de que el procedimiento de Juan es correcto.. lee atentamente el procedimiento de Juan y explícaselo...Actividad 4. Si tu pareja está a tu izquierda. 12 16 15 = . lee atentamente el procedimiento de Pilar y luego trata de convencerle de que dicho procedimiento es correcto.¿Quién tiene razón? (en parejas) 1 5 Pilar y Juan resolvieron los cálculos a) + 4 6 Procedimiento de Pilar: a)
3 4 = = .. ¿Pueden ser los dos procedimientos correctos si dan distintos resultados? Con ayuda de la tabla pitagórica extendida hagan los siguientes cálculos utilizando el procedimiento de Pilar y anota el resultado: c)
. 24 32 40
Si tu pareja está a tu derecha... − 8 10 3 10 12 12
15 20 25 = = = .
¿Cuánta harina le queda?
3.Diego tiene
2 de una barra de chocolate y su amiga María tiene la mitad de esa misma 5 barra. La bebida de Johanna es de 1/2 l.Ficha 3
Actividad 5: Resolviendo problemas. mientras que la bebida de Diego es de 2/5 l. 1. ¿Cuál es la diferencia de líquido entre las dos bebidas?
.. Resuelve los siguientes problemas. Trata de representar mediante un esquema el proceso de resolución. el panadero.Johanna y Diego se compraron dos bebidas. Gastó la tercera parte del saco en hacer el pan y regaló la cuarta parte del saco al Hogar de Cristo. ¿Qué cantidad de la barra de chocolate tienen entre los dos?
2. tenía un saco entero de harina...Martín.
Actividad 7: Resumiendo lo aprendido.Actividad 6: Practicando el cálculo. Anota en el recuadro las ideas más importantes que has aprendido en las últimas clases de matemáticas.
. Luego. plantea el cálculo que lo resuelve y resuélvelo. trata de resolverlas con la ayuda de tus compañeros y de tu profesor(a). Describe el procedimiento para sumar/restar dos fracciones con denominadores iguales:
Representa mediante un esquema la situación que plantea el problema escrito en la pizarra. Sin utilizar el material concreto. Plantea a tu compañero(a) las dudas que tengas sobre lo que has estudiado hasta ahora.
Marco mide 1 ¾ m y su amigo Keno mide 12/3 m. ¿Cuanta bebida consumió en el almuerzo?
. ¿De qué largo quedó la tela una vez cosida?
2.Rosa cosió dos trozos de tela que tenía.Ficha 4
Actividad 8: Resuelve junto con tu compañero(a) los problemas siguientes. Durante el almuerzo abrió la bebida.. 1.Rayén juntó la harina que tenía en dos paquetes abiertos. uno de 2¼ m de largo y otro de 1 1/2 m. obteniendo 1¼ kg. Comprueba la solución representando la situación del problema con el material concreto.... Si uno de los paquetes tenia ¾ kg de harina.Pablo compró una bebida de dos litros y cuarto. ¿Cuánto más mide Marco que Keno?
3. Finalizado el almuerzo solo quedaban ¾ de litro. ¿cuánta harina tenia el otro paquete?
¿Pueden ser correctos los dos procedimientos si dan distintos resultados? Luego. Junta tus piezas con las de tu pareja y calcula la resta 3 3/10 .1 2/5 utilizando primero el procedimiento de Jorge y luego el de Viviana.1 = 4 3 2/3 + 1 4/5 = 3 3/8 .4 2/3 ⇒ ⎜6 + ⎟ − ⎜ 4 + 8⎠ ⎝ ⎝
5⎞ ⎛ 2⎞ 5 1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ ⎛ 6 5/8 . Representen cada uno de los pasos con el material concreto.4 2/3 ⇒ ⎜6 + ⎟ − ⎜ 4 + ⎟ ⇒ ⎜ 6 + + ⎟ − ⎜ 4 + + ⎟ 8⎠ ⎝ 3⎠ 8 3⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ ⎝ ⇒
Si tu pareja está a tu izquierda lee atentamente el procedimiento de Laura. junto a tu pareja traten de entender el procedimiento que utilizó Viviana.
3 . Trata de convencer a tu pareja que dicho procedimiento es correcto.7 2/3 =
3 3/5 + 1 1/10 = 2 7/10 . Jorge y Viviana resolvieron el cálculo siguiente de formas distintas.1 3/10 = 2 4/5 + 1 2/5 =
Actividad 10: ¿Quién tiene razón? (en parejas) Laura.2 5/8 = 9 5/7 + 1 2/3 = 12 5/8 .4 2/3 ⇒ ⎜ + ⎟ −⎜ + ⎟ ⇒ 8⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝8 53 14 53×3 14×8 − ⇒ − ⇒ 8 3 8×3 3×8 159 112 − 24 24 ⇒ 47 24
5⎞ ⎛ ⎛ 6 5/8 . ¿Cuántas piezas se necesitan y de qué tamaño para poder representar este cálculo utilizando el procedimiento de Laura?
. lee atentamente el procedimiento de Jorge. De lo contrario. Procedimiento de Laura:
⎛ 48 5 ⎞ ⎛12 2 ⎞ 6 5/8 .Actividad 9: Realiza los cálculos siguientes y trata de comprobar cada uno de los resultados que obtengas con las piezas del material concreto.
4.. Para ello medía cuánto variaba el volumen de agua al sumergir el sólido en ella. Fue a Correos a preguntar cómo enviarlos y le aconsejaron que.Josefina quiere saber cuánto pesa su hijo de 8 meses.Lidia quiere mandar 10 libros por envío postal a su amiga Daniela. ¿Cuánto pesa su hijo?
. La única restricción era que cada paquete no podía pesar más de 3 kg. de forma que los dos juntos pesan 57 ½ kg. Si Fanny compró 2 ¾ kg de naranjas. Ayuda a Lidia a hacer los paquetes. ¿cuántos kg de naranjas compró Mauro?
3..Ficha 5
Actividad 11: Resuelve los problemas siguientes: 1.. Va con él a la farmacia y se pesa con su hijo en brazos. Luego se pesa ella sola y pesa 51 ¼ kg. ¿Cómo podía saber el volumen del sólido con ese experimento? Mide el volumen de la estatua. dado que eran libros.Mauro y Fanny fueron a comprar naranjas a la feria.Arquímedes ideó una forma de calcular el volumen de cualquier sólido. Fanny compró 1 1/3 kg menos que Mauro. la forma más económica y rápida era siguiendo el mismo procedimiento que una carta.
trata de resolverlas con la ayuda de tus compañeros y de tu profesor(a).
Actividad 13: Resumiendo lo aprendido. ¿Qué sucede si la fracción obtenida al sumar las partes fraccionarias es mayor que la unidad?
Describe el procedimiento para restar dos números mixtos.Actividad 12: Complete con los números que faltan en este esquema. siguiendo las flechas. ¿Qué sucede si la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la del minuendo ¿ Qué sucede si la fracción obtenida al sumar las partes fraccionarias es mayor que la unidad?
. Plantea a tu compañero(a) las dudas que tengas sobre lo que has estudiado hasta ahora. Anota en el recuadro las ideas más importantes que has aprendido. sabiendo que cada número de un casillero superior se forma por la suma de los dos inferiores. Luego. Describe el procedimiento para sumar dos números mixtos.
¿cuánta cinta se ocupó en la rosa con que se anudó la cinta?
4. junto con tu compañero(a) los problemas siguientes: 1. Buscaron información en Internet sobre cómo construirlo y bajaron el plano siguiente.Ficha 6
Actividad 14: Resuelve. Ayúdales calcular los metros de PVC que necesitan comprar para armar el arco según las medidas del plano. Si la cinta empleada medía 80 pulgadas.. 3 de ½ litro. 2 de 13/5 litro.. 3 de 1½ litro y una bebida de 2¼ de litro. utilizando tubos de PVC...Laura compró frutillas en la feria. Luego ocupó 1½ kg en preparar un jugo y todavía le sobraron 21/4 kg. ¿Cuánta frutilla compró Laura en la feria?
.A una caja cuadrada que tiene 103/8 x 103/8 pulgadas de fondo y 6½ pulgadas de alto se le ató una cinta como muestra la figura.
2.Pablo compró para una fiesta 6 bebidas de 1/3 l. ¿Cuántos litros de bebida sobraron de la fiesta?
3.Matías y Marina quieren construir un arco de fútbol para el patio de su escuela. En la fiesta se consumieron 7 ¼ litros. Gastó 13/4 kg en preparar un postre.
a un orfebre que le fabricara una corona de oro puro. De repente gritó: “eureka.5. rey de Siracusa.. eureka. verifica que la pieza de oro y la corona pesen lo mismo. Al recibir la corona. Calcula el volumen de la corona de Hierón y de la pieza de oro.
Teniendo en consideración que las pesas representan kilos o fracciones de kilos. el rey sospechó que no era en realidad de oro puro y que el artesano se había guardado parte del oro que le habían entregado. sustituyéndolo por cobre. que vivió en el siglo III antes de Cristo.
Luego calculó el volumen de la corona sumergiéndola dentro de un balde con agua e hizo lo mismo con la pieza de oro. encontré la solución”. Así que Hierón encargó a Arquímedes que tratara de averiguar si la corona era o no de oro puro. pariente de Arquímedes. Cuenta la historia que el rey Hierón II. Arquímedes sabía que el oro era más pesado que el cobre y se le ocurrió hacer el siguiente experimento para poder resolver el problema: primero pesó la corona y luego mandó fabricar una pieza de oro puro que pesara igual que la corona. y fue a dar
inmediatamente una respuesta al rey.LA CORONA DEL REY Arquímedes fue un matemático muy famoso de Alejandría. ¿Crees que la corona está hecha de oro puro? ¿O crees que es de oro mezclado con cobre? ¿Por qué?
LAS MEZCLAS DEL ALBAÑIL Los elementos que usa un albañil para hacer sus mezclas son. al endurecerse y dar volumen. que es la piedra de río o piedra partida (de cantera) o arcilla expandida. puede usarse canto rodado. Hay mezclas que como aglomerantes llevan solamente cemento (se las llama concreto) y otras donde el aglutinante principal es la cal. empleando como medida habitual un balde.. ¿Con cuál de las dos mezclas se obtuvo más cantidad de cal reforzada?
. losas. Agua: Da plasticidad a la mezcla para que se pueda trabajar y provoca la reacción química que produce el fragüe.6. sufriendo un proceso que empieza por el fragüe. en general: Arena: Sirve para reducir las fisuras que aparecen en la mezcla. Don José hizo dos mezclas diferentes. a la que se le puede agregar un poco de cemento para reforzarla (cal reforzada). columnas. Piedra: Se utiliza en la preparación de hormigones resistentes para bases. Las cales se venden en bolsas de 25 ó 30 kg. Cal y cemento: Reaccionan en contacto con el agua. según la marca y el cemento en bolsas de 50 kg.
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