Source: http://astronuklfyzika.cz/Gravitace1-6.htm
Timestamp: 2019-03-26 14:20:42+00:00

Document:
Prostoročas a relativita
Budeme předpokládat, že čtenář je obeznámen se základy speciální teorie relativity (STR), nebo o ní má aspoň určité povědomí *). Pro ucelenost a kompaktnost knihy však zařazujeme odstavec se stručným výkladem speciální teorie relativity z poněkud obecnějšího pohledu, směřujícího k teorii prostoru, času, elektromagnetismu a především gravitace.
*) Základy STR jsou nyní začleněny i do osnov středoškolské fyziky. K podrobnějšímu studiu STR lze doporučit především skvělou monografii V.Votruby [263], dále pak příslušné kapitoly v [183],[250],[271],[135], atd.
Cílem této kapitoly není podrobný a ucelený výklad speciální teorie relativity, ale spíše připomenout a zdůraznit klíčové prvky logické stavby relativistické fyziky a dát přehled základních pojmů, jevů a vztahů speciální teorie relativity, na které se budeme v dalším odkazovat. Seznámíme se zde rovněž s geometrickými vlastnostmi 4-rozměrného prostoročasu a podáme si 4-rozměrnou tenzorovou formulaci zákonů mechaniky a elektrodynamiky; toto bude v dalších kapitolách často používáno z hlediska obecné teorie relativity, astrofyziky a kosmologie.
Body a události v prostoru a čase
Z faktografického hlediska lze přírodu považovat za svět událostí: každý fyzikální děj si můžeme rozdělit na posloupnost jednotlivých elementárních událostí. Událostí je např. srážka dvou částic, rozpad jádra atomu, bliknutí baterky. Pohyb testovací částice je sledem událostí "částice se v určitém okamžiku nachází v určitém místě". Zkušenost nás učí, že každá událost může být zcela a jednoznačně charakterizována čtyřmi čísly: místem "kde" se stala (3 prostorové souřadnice x,y,z *) a časem "kdy" se stala (časový okamžik t).
*) Číselné hodnoty a geometrický význam těchto souřadnic, neboli koordinát, jednotlivých bodů závisí na použité souřadnicové soustavě. Nejpoužívanější je ortonormální tzv. kartézská souřadnicová soustava, kterou pro dvojrozměrný případ roviny zavedl René Descartes (1596-1650); název "kartézská" souvisí s latinským přepisem Descartesova jména "Cartesius". Tuto soustavu tvoří navzájem kolmé přímky X,Y,Z - osy, protínající se ve společném bodě zvaném počátek souřadnicové soustavy O (z lat. Origin). Poloha (x,y,z) libovolného bodu P(x,y,z) je zde dána průsečíky kolmic, spuštěných z tohoto bodu k jednotlivým osám X,Y,Z; počátku O přiřazujeme nulové hodnoty souřadnic x=y=z=0. Orientovanou spojnici r z počátku O do bodu P nazýváme průvodičem či polohovým vektorem (rádius-vektor) bodu P (o vektorech viz níže).
V dalším výkladu se setkáme i s obecnějšími souřadnicovými soustavami - přímkovými kosoúhlými souřadnicemi (viz níže pasáž "Lorentzovy transformace a relativistická kinematika", obr.1.5c) a především s křivočarými souřadnicemi (téměř celý zbytek knihy, počínaje §2.1), kde poloha bodů je určena průsečíky přesně definovaných křivek. Nejčastějšími příklady křivočarých souřadnic v rovině jsou polární souřadnice (r,j), v prostoru pak sférické (kulové) souřadnice (r,J,j) - viz §3.2, §3.4.
Transformace souřadnic. Skaláry, vektory, tenzory.
Volba počátku, orientace a měřítka souřadnicových os je zcela libovolná; je zpravidla motivována jen co největší jednoduchostí vyjádření studované úlohy. Obecně se však setkáváme se souřadnicovými systémy, jejichž počátky jsou vůči sobě posunuty, osy jsou vzájemně pootočeny, měřítka na osách jsou jiná. Potřebujeme pak najít převodové - transformační - vztahy mezi souřadnicemi bodů a dalšími veličinami, vyjádřenými v obou soustavách S a S'.
Přepočet hodnot souřadnic bodů, vyjádřených v různých souřadnicových soustavách, se provádí pomocí algebraicko-geometrických vztahů, plynoucích z analýzy pozičních vztahů mezi souřadnicovými osami. V případě pouhého posunu (translace) počátků O, O' souřadnicové soustavy o (xo,yo,zo) jsou vztahy mezi souřadnicemi x,y,z a x',y',z' dány jednoduše x'=x-xo, y'=y-yo, z'=z-zo. Při rotaci kartézské vztažné soustavy o určitý úhel a kolem některé osy jsou transformační vztahy dány sinusy a kosinusy úhlu rotace, např. kolem osy Z: x' = x.cosa + y.sina, y' = -x.sina + y.cosa, z'=z. Toto je příkladem lineárních transformací souřadnic.
Pro kompaktnější zápis transformačních vztahů je výhodné souřadnice označovat nikoli různými písmeny (x,y,z), ale různými indexy: (x1,x2,x3). Lineární transformaci pak lze vyjádřit rovnicí x'i = j=1S3aij.xj , i=1,2,3. Ještě kompaktnější zápis dostaneme zavedením tzv. Einsteinovy sumační konvence: vyskytne-li se ve výrazu nějaký index dvakrát, znamená to sumaci přes tento index, aniž vypisujeme sumační znak "S" a sumační meze (j=1,2,3 v trojrozměrném prostoru). Uvedenou transformační rovnici tedy zapíšeme x'i = aij.xj ; je ještě zvykem sumační indexy psát jeden dole a jeden nahoře (zde je to jen formální, svůj význam to má u tzv. kovariantních a kontravariantních složek vektorů a tenzorů, viz níže "Čtyřrozměrné vektory a tenzory"). Transformační rovnice x'i = aij.xj popisuje i obecné transformace mezi křivočarými souřadnicemi, přičemž ovšem koeficienty aij nejsou konstantní, ale jsou funkcemi místa (souřadnic) - viz §2.4.
Matematické a fyzikální veličiny můžeme klasifikovat podle jejich chování při transformaci souřadnic:
¨ Skalárem nazýváne takovou veličinu, která nezávisí na volbě souřadnicové soustavy - je invariantní (neměnná) při transformaci souřadnic. Číselná hodnota skalární fyzikální veličiny může záviset pouze na volbě použitých jednotek (odtud pochází název: lat. scala = stupnice, žebřík).
¨ Vektory jsou v klasické fyzice označovány veličiny, které kromě své velikosti mají i určitý směr v prostoru (lat. vector = jezdec, nosič). Zapisuje se tučným písmem či šipou nad znakem, znázorňuje se šipkou v prostoru; kolmé průměty jeho délky do souřadnicových os tvoří složky vektoru. Typickými příklady je polohový vektor (průvodič, radius-vektor) určitého bodu r o složkách (x1,x2,x3), rychlost v o složkách vişdxi/dt, hybnost p o složkách pişm.vi, zrychlení a o složkách aişdvi/dt, síla F o složkách Fişdpi/dt. Jelikož směr je spojen s volbou vztažné souřadnicové soustavy, jeho složky se transformují stejně jako souřadnice. Z tohoto hlediska tedy definujeme vektor A jako trojici veličin A1, A2, A3 (složky neboli komponenty vektoru), která se při transformaci souřadnic x'i = aij.xj transformuje stejně jako souřadnice: A'i = aij.Aj. Délka, neboli absolutní hodnota či velikost vektoru, je veličina A ş |A| ş (Ai.Ai)1/2, která je skalárem.
¨ Tenzory se nazývají soubory veličin, které se při transformacích souřadnic transformují jako součiny souřadnic. Tenzor druhého řádu nazýváme soubor veličin Tij, které se při transformacích souřadnic x'i = aik.xk transformují podle zákona T'ij = aik.ajl.Tkl (sčítá se přes k,l). Tenzory jsou zobecněním vektorů a popisují veličiny, které jsou tvořeny součiny komponent vektorů (jako je moment hybnosti či kvadrupólový moment). Název "tenzor" pochází z latinského slova tensio = napětí; nejprve se používaly k popisu deformací těles působením vektoru síly na vektorově orientovaný plošný element. Analogicky se definují tenzory vyšších řádů.
4-rozměrný prostoročas
Z matematického hlediska lze tedy každou událost zobrazit jako bod v myšleném čtyřrozměrném prostoru, tzv. prostoročasu (časoprostoru), na jehož osách se vynášejí tři prostorové souřadnice a čas; body (události) v prostoročasu se nazývají světobody. Pohybu částice pak odpovídá určitá čára - tzv. světočára - v tomto čtyřrozměrném prostoročase, jejíž body určují souřadnice částice v jednotlivých časových okamžicích (lze říci, že v průběhu času se světobod odpovídající dané částici přemísťuje v prostoročase a opisuje určitou čáru - světočáru). Rovnoměrně přímočaře se pohybující částici odpovídá přímková světočára, zrychlený pohyb je vyjádřen zakřivenou světočárou, světočára částice "stojící" v klidu vzhledem k dané vztažné soustavě je přímka rovnoběžná s časovou osou. Z fyzikálního hlediska světočára vyjadřuje kinematickou historii částice, neboť každý světobod vyjadřuje polohu částice v určitém bodě prostoru a v určitém čase. Protože prostoročas v jeho čtyřrozměrné podobě si nijak nedovedeme představit, pro grafické znázornění se jeden nebo dva prostorové rozměry vypouštějí, čímž vzniká prostoročasový diagram sledovaného děje (obr.1.6).
Zavedení čtyřrozměrného prostoročasu v klasické mechanice je zatím jen čistě formální. Není v něm definována ani metrika, protože prostorové dimenze a časová dimenze spolu nijak nesouvisejí. Nalezení hlubokých souvislostí mezi prostorem a časem a zavedení metriky ve čtyřrozměrném prostoročase je právě hlavní zásluhou speciální teorie relativity.
Klasická Newtonova mechanika
Klasická mechanika je založena na třech Newtonových zákonech :
1. Zákon setrvačnosti :
Těleso, na nějž nepůsobí vnější síla, zůstává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, tj. v ş dr/dt =const.
Pozn.: Tato formulace se vztahuje na idealizovanou hmotnou částici bez makroskopických rozměrů a vnitřní struktury. Pro reálná makroskopická tělesa lze z fenomenologického hlediska zákon setrvačnosti pro translační pohyb doplnit i o možnost setrvačného otáčení: "Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém či otáčivém pohybu, dokud není donuceno tento stav změnit působením síly". Přívlastek "vnější" u síly zde již nemusí platit - viz např. "efekt piruety" u krasobruslařky, která připažením rukou (vnitřním silovým působením) zmenší svůj moment setrvačnosti, což vede ke zvýšení rychlosti jejího otáčivého pohybu.
Při fundamentálním fyzikálním rozboru však tyto vnější složité okolnosti není třeba brát v úvahu - ve skutečnosti jsou sumárně způsobeny zákony mechaniky pro jednotlivé částice, z nichž se těleso skládá. Rotační setrvačný pohyb tělesa je tvořen rovnoměrným kruhovým pohybem jednotlivých částic tělesa kolem rotační osy, při němž je odstředivá síla kompenzována mechanickou pevností materiálu tělesa (v podstatě to jsou elektrické vazbové síly mezi atomy a molekulami). Vnitřně se jedná o nerovnoměrný pohyb částic s dostředivým zrychlením, vyvolaným vnitřními silami podle 2.Newtonova zákona; nemění se velikost, ale jen směr rychlosti. Tyto pohyby, vznikající koprodukcí zákona setrvačnosti se zákonem síly a zrychlení, spadají do oblasti mechaniky pevných těles, avšak uplatňují se i v hydrodynamice. Do základní formulace zákona setrvačnosti - v duchu "Occamovy břitvy" - není nutno rotační pohyb zavádět. Skutečný fundamentální zákon setrvačnosti tedy spočívá ve výše uvedené základní formulaci 1 pro translační pohyb.
2. Zákon pohybu (síly a zrychlení) :
Zrychlení tělesa je přímo úměrné na něj působící síle, tj. F = m.a, kde F je působící síla, a ş dv/dt ş d2r/dt2 je zrychlení, m je (setrvačná) hmotnost tělesa.
3. Zákon akce a reakce :
Při vzájemném působení dvou těles je síla, kterou druhé těleso působí na první, téže velikosti ale opačného směru než síla, kterou působí první těleso na druhé: FAB = - FBA.
Z formálně-matematického hlediska je první zákon speciálním případem zákona druhého (pro F=0 je a=0, t.j. v = const.). Přesto však má zákon setrvačnosti zásadní a samostatný fyzikální význam, protože pojmy "rychlost", "zrychlení", "klid", "přímočarý pohyb", vystupující v Newtonových zákonech, mohou být definovány teprve tehdy, když je předem dána vztažná soustava, vzhledem k níž se pohyb těles vyšetřuje. Newtonovy zákony 2. a 3. platí pouze v inerciální vztažné soustavě, dané zákonem setrvačnosti 1.
K těmto třem základním zákonům "pozemské" mechaniky se přidružuje Newtonův gravitační zákon (§1.2 "Newtonův gravitační zákon"), který je východiskem tzv. "nebeské" mechaniky pohybu hvězd, planet a měsíců kolem nich.
Vztažná soustava. Měření polohy a času.
Kdykoliv mluvíme o pohybu, máme vždy na mysli pohyb vůči vztažné soustavě. Pod vztažnou soustavou *) se rozumí soustava prostorových souřadnic udávajících polohu těles v prostoru a hodiny sloužící ke stanovování časových intervalů. Nejjednodušší způsob měření polohových souřadnic a vzdáleností těles v prostoru je pomocí přikládání dostatečně tuhých a přesných - standardních, ideálních - měřících tyčí. Nejčastější způsob měření času je použití nějakého periodického procesu (regulárně se opakujícího); kritériem správnosti je přitom to, že periodičnost jednoho procesu souhlasí s periodičností jiných procesů. Faktory, které ovlivňují jen některé takové procesy (např. teplota materiálu) jsou "neuniverzální", působí rušivě a při objektivním měření musejí být odstraněny nebo odkorigovány. V dalším budeme předpokládat, že všechna prostorová a časová měření se provádějí pomocí standardních (ideálních) hodin a měřících tyčí, tj. takových tyčí a hodin, u nichž jsou odstraněny nebo vykorigovány všechny neuniverzální rušivé vlivy (je ještě diskutováno níže v odstavci "Exaktní - ideální - měření prostoru a času"). Naproti tomu faktory stejně ovlivňující všechny periodické procesy (chod všech hodin) a délky všech měřících tyčí - univerzální vlivy - nelze nijak odkorigovat a je nutno považovat je za ovlivňující běh samotného času a vlastnosti samotného prostoru. V moderní fyzice se totiž na prostor a čas nedíváme jako na nějaké metafyzické kategorie, ale jsou vyjádřením vzájemného vztahu předmětů a událostí.
*) Pojmy "vztažná soustava" a "souřadnicová soustava" se často ztotožňují. Lze říci, že :
soustava = soustava prostoro-
časových souřadnic + způsob, jakým jsou tyto souřadnice
jednotlivým bodům přiřazovány .
Mezi vztažnou soustavou a souřadnicovou soustavou je zhruba takový rozdíl, jako mezi krajinou se skutečnými orientačními "body" a její mapou s kartografickými souřadnicemi. Základem vztažné soustavy jsou určitá reálná tělesa tvořící "opěrné body"; s jejich pomocí se vytyčují myšlené čáry a jednotlivá místa se opatřují čísly - vytváří se soustava souřadnic. Je třeba si uvědomit, že obecně:
transformace souřadnic Ü/Ţ přechod k jiné vztažné soustavě .
Z fyzikálního hlediska však většinou oba pojmy není nutno příliš rozlišovat (výjimku tvoří např. problematika gravitační energie - viz §2.8).
Exaktní - ideální - měření prostoru a času
Pro přesné měření fyzikálních veličin je obecně třeba používat takové metody, pomůcky a přístroje, které dostatečně citlivě reagují na měřenou veličinu a přitom nejsou ovlivňovány ostatními rušivými vlivy a okolnostmi měření. Pokud toto není splněno, musí být aspoň možná přesná korekce na tyto rušivé a zkreslující vlivy. Pro měření prostoru a času ve fundamentální fyzice, zvláště v teorii relativity, se modelově zavádějí standartní idealizované hodiny a měřící tyče:
Ideální hodiny
jsou takové kalibrované hodiny, jejichž rychlost chodu (frekvence použitého periodického děje) není ovlivňována žádnými neuniverzálními vlivy jako je teplota či působící síly. Naprosto nepoužitelné by zde tedy byly kyvadlové nebo přesýpací hodiny (jejichž rychlost chodu je přímo dána tíhovou silou, v beztížném stavu se zastaví); podobně i jiné mechanické hodiny by mohly být ovlivňovány mechanickými deformacemi jejich konstrukčních dílů. Nejvhodnější z tohoto hlediska jsou elektronické oscilátory, jejich nejpřesnější variantou jsou atomové hodiny :
Elektronickým základem atomových hodin je oscilátor řízený krystalem - drobným precizně vybroušeným piezoelektrickým křemenným krystalem, naladěným na vysokou gigahertzovou frekvenci odpovídající kmitům použitých atomů. Relativní přesnost samotného tohoto elektro-mechanického oscilátoru dosahuje až cca 10-7 (pro většinu aplikací naprosto postačující). Další podstatné zvýšení přesnosti je zde dosaženo citlivým elektronickým laděním oscilátoru pomocí zpětnovazební smyčky s rezonanční frekvencí použitého druhu atomů. Nejčastěji jsou to atomy cesia s rezonanční frekvencí 9,192631770 GHz. Zesílený signál z krystalového oscilátoru je připojen na vysílač rádiových vln, kterým jsou v komůrce vystaveny atomy cesia. Pokud dojde ke shodě frekvence - rezonanci - oscilátoru s frekvencí přechodu mezi základní a excitovanou hladinou hyperjemného rozštěpení energetických hladin v elektronovém obalu cesia (způsobené interakcí spinů jádra a elektronů), přejdou atomy cesia do excitovaného stavu. Aplikací magnetického pole jsou tyto excitované atomy separovány a detekovány. Pomocí množství excitovaných atomů cesia se elektronicky ve zpětné vazbě průběžně ladí frekvence krystalového oscilátoru tak, aby se neustále shodovala s rezonanční frekvencí přechodů atomů cesia - 9 192 631 770 Hz *). Počet těchto kmitů pak velmi přesně měří čas. Zdroj přesné frekvence zde pochází přímo z elektronového obalu atomů, který je stabilní a není ovlivňován žádnými běžnými vnějšími vlivy. V konečném výsledku tak dostáváme "oscilátor řízený atomovým obalem" cesia, který dosahuje relativní přesnosti 10-13.
*) Na základě atomových hodin byla v r.1967 zavedena nová definice sekundy - jako časový interval odpovídající 9 192 631 770 periodám elektromag. záření vznikajícího při přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133-Cs.
Současné atomové hodiny jsou značně složitým a dosti rozměrným laboratorním zařízením. S pokrokem techniky však lze v blízké budoucnosti očekávat jejich aspoň částečnou miniaturizaci a kompaktifikaci, aby mohly být používány v "terénu" a v kosmických sondách.
Ideální měřící tyče
jsou taková délkově kalibrovaná měřítka, jejichž délka není ovlivňována žádnými neuniverzálními vlivy jako je teplota nebo působící síly. Ideální meřící tyče by tedy měly být z teplotně neroztažného materiálu, dostatečně pevného a tuhého.
Pokud se nelze vyhnout vlivu neuniverzálních faktorů (což většinou není 100-% možné), je na tyto neuniverzální vlivy nutno provést korekci. Ve fyzikální praxi, zvláště v teorii relativity, se pro měření časů a délek většinou nepoužívají přímo "hodiny" a "tyče", ale složitější metody využívající elektromagnetického záření - metody optické a radiolokační. Měřící tyče a precizní hodiny slouží spíše pro kalibraci těchto metod.
V praxi je vztažná soustava vždy realizována nějakými materiálními tělesy. Vztažnou soustavou mohou být stěny laboratoře, zemský povrch, střed naší Galaxie, stěny kabiny kosmické rakety atd. Principiálně jsou použitelné libovolné vztažné soustavy, i když v konkrétních případech mohou být některé z nich vhodnější k popisu určitých dějů než ostatní. Je jasné, že pro studium pohybu planet je výhodnější vztažná soustava spojená se Sluncem než soustava spojená s některým z Jupiterových měsíců, nebo pro sledování tenisového míčku se lépe hodí vztažná soustava tvořená kurtem než soustava spojená s okolo projíždějícím automobilem.
První Newtonův zákon je pak vlastně tvrzením, že existují tzv. inerciální vztažné soustavy, v nichž platí zákon setrvačnosti. Je jasné, že každá vztažná soustava S', která se vzhledem k dané inerciální soustavě S pohybuje rovnoměrně přímočaře, je též inerciální; existuje tedy nekonečně mnoho inerciálních soustav. Naopak, soustavy které se vůči inerciální soustavě pohybují s nenulovým zrychlením, nejsou inerciální - zákon setrvačnosti v nich neplatí. Inerciální vztažná soustava je idealizace; v obecné teorii relativity se ukazuje, že globální inerciální soustavy neexistují, avšak vždy lze najít lokální inerciální soustavu, která v dostatečně omezené prostorové oblasti má všechny vlastnosti skutečné inerciální vztažné soustavy.
Galileiho transformace a relativita
Mějme dvě inerciální vztažné soustavy S a S' s rovnoběžně orientovanými kartézskými prostorovými souřadnicemi x,y,z a x',y',z' (obr.1.5a) takové, že soustava S' se vůči soustavě S pohybuje ve směru osy X rychlostí V; za počátek t=0=t' odečítání času v obou soustavách zvolíme okamžik, kdy počátky O a O' obou soustav splývaly. Pokud polohové souřadnice a časové intervaly v obou soustavách měříme stejnými standartními tyčemi a hodinami (což budeme vždy v dalším předpokládat), vztah mezi souřadnicemi a časy měřenými v nečárkované a čárkované soustavě bude - tzv. Galileiho transformace :
x = x' + V.t , y = y' , z = z' , t = t' . (1.64)
V obecnějším případě, kdy se inerciální soustava S' pohybuje vůči S rychlostí V v obecném směru, má Galileiho transformace vektorový tvar
r = r' + V. t , t = t' . (1.64')
Galileiho transformace (1.64) je vyjádřením běžných kinematických a geometrických představ plynoucích z každodenní zkušenosti. Z Galileiho transformace plyne obyčejný aditivní zákon skládání rychlostí: jestliže se těleso pohybuje rychlostí v' vzhledem k soustavě S', pak v soustavě S jeho rychlost činí
v = v' + V , (1.65)
neboli rychlost tělesa v nečárkované soustavě se zvětší o rychlost V čárkované soustavy vzhledem k soustavě nečárkované (resp. obě rychlosti se vektorově složí).
Zkušenost vyjádřená v klasické (Galileiho a Newtonově) mechanice učí, že neexistuje absolutní klid ani absolutní rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu. Galileův princip relativity tvrdí, že zákony mechaniky jsou stejné pro každou inerciální vztažnou soustavu - všechny inerciální soustavy jsou z hlediska klasické mechaniky rovnocenné; žádným vnitřním mechanickým pokusem nelze zjistit, jak rychle se daná inerciální soustava pohybuje. Galilei k tomuto závěru došel pozorováním, že mechanické děje na lodi plovoucí stálou rychlostí po klidné hladině probíhají stejně, jako kdyby loď byla v klidu, takže mechanickými pokusy se nelze přesvědčit, zda je loď v klidu nebo v přímočarém rovnoměrném pohybu.
Skutečně, zákony klasické mechaniky jsou invariantní vzhledem ke Galileiho transformacím (1.64). Např. 2.Newtonův zákon F = m.a ş m.d2x/dt2 = m.d2(x+V.t)/dt2 = m.d2x/dt2 = F (pokud vnější síla nezávisí na rychlosti pohybu tělesa, tj. F = F') zachovává svůj tvar a číselnou hodnotu koeficientu úměrnosti m při Galileiho transformacích mezi dvěma inerciálními soustavami, podobně jako při libovolných posunech nebo pootočeních prostorových souřadnicových os. Invariantní vůči Galileiho transformaci jsou pak i zákony zachování energie a hybnosti.
Při formulaci Newtonových zákonů klasické mechaniky se mlčky předpokládá splnění dvou (zdánlivě) samozřejmých předpokladů :
a) Předpoklad o univerzálním (absolutním) čase, podle něhož časové intervaly mezi událostmi jsou nezávislé na volbě vztažné soustavy.
b) Vzdálenosti současných poloh bodů (a tedy i rozměry těles) jsou absolutní, tj. nezávislé na volbě vztažné soustavy vzhledem k níž jsou polohy těchto bodů určovány.
Oba tyto předpoklady jsou obsaženy v Galileiho transformačních rovnicích (1.64). Newton zavedl pojem "absolutního prostoru" a setrvačnost považoval za snahu hmotných těles o zachování "pohybového stavu" v tomto absolutním prostoru. Pojem absolutního prostoru je však v rámci klasické mechaniky prázdný, neboť vzhledem k platnosti Galileiho principu relativity se sebepečlivějším zkoumáním žádných mechanických jevů nedá zjistit, které těleso nebo vztažná soustava je v "absolutním klidu". Pomocí žádného mechanického experimentu od sebe nelze odlišit dvě inerciální soustavy. Kdyby se některé fyzikální zákony lišily pro různé vzájemně se pohybující pozorovatele, bylo by možné na základě těchto rozdílů určit, které objekty jsou v prostoru v (absolutním) klidu a které se pohybují.
Dlouhou dobu se myslelo, že takovými jevy umožňujícími odlišit různé inerciální soustavy (a tedy rozlišit absolutní pohyb a klid), jsou jevy elektromagnetické. Galileiho princip relativity se totiž ukázal být neslučitelný s klasickou Maxwellovou elektrodynamikou. Použijeme-li Galileiho vztahů (1.64) k vzájemné transformaci ekvivalentních veličin v soustavách S a S', budou mít Maxwellovy rovnice odlišný tvar. Elektromagnetické jevy by tedy probíhaly různě v různých inerciálních soustavách. Maxwellovy rovnice nejsou invariantní vzhledem ke Galileiho transformacím. Ze zákona skládání rychlostí (1.65) plyne, že je-li rychlost světla vzhledem k nějaké "základní" inerciální soustavě S rovna c, pak vzhledem k jiné inerciální soustavě S' se tato rychlost zmenší nebo zvětší podle toho, pohybuje-li se světelný paprsek ve směru nebo proti směru pohybu čárkované soustavy vzhledem k nečárkované soustavě. Rychlost světla by tedy byla v různých inerciálních soustavách různá.
Maxwellova teorie by podle toho mohla platit pouze v jediné z nekonečně mnoha inerciálních soustav; tuto význačnou soustavu bychom mohli považovat za "absolutní vztažnou soustavu" ve shodě s Newtonovou koncepcí. Podle éterové hypothézy je taková soustava reprezentována nehybným světlonosným éterem, popř. by to mohla být soustava spojená s těžištěm veškeré hmoty vesmíru.
Přesná měření Michelsona a Morleye, kteří (s úmyslem přímého experimentálního potvrzení existence éteru, stanovení absolutní vztažné soustavy a zjištění rychlosti absolutního pohybu Země vůči ní) v letech 1881 až 1904 měřili rychlost světla ve směru a proti směru pohybu Země, ukázala, že rychlost světla ve vakuu je v různých inerciálních soustavách stejná.
Negativní výsledek pokusů Michelsona a Morleye, který byl později několikrát znovu a přesněji ověřen, se fyzikové snažili zpočátku vysvětlit (nebo spíš smířit jej s klasickými fyzikálními představami) zaváděním některých umělých předpokladů a dodatečných hypothéz. Tyto hypothézy však neobstojí v konfrontaci s výsledky jiných pokusů a pozorování. Např. nejjednodušší z nich - předpoklad, že éter je v okolí Země "strháván" jejím pohybem a je proto vůči ní lokálně v klidu - je neslučitelný s pozorovanou aberací světla stálic. Lorentz na základě své elektronové teorie vyslovil hypothézu o kontrakci, podle níž se délka každého tělesa pohybujícího se rychlostí v zkracuje ve směru pohybu v poměru Ö(1 - v2/c2) ve srovnání se svou klidovou délkou. Zavádění dodatečných hypothéz ad hoc, které nahrazují jednu záhadu záhadou jinou, však nemůže být uspokojivým vysvětlením žádného jevu.
Nové, zcela principiální stanovisko k rozporu mezi mechanikou a elektromagnetismem, nezatížené předsudky mechanistických představ, zaujal A.Einstein. Einstein si uvědomil, že měření rychlosti světla v libovolné inerciální soustavě dává tentýž výsledek c @ 2,998 .108 m/s, což vůbec není v rozporu, ale naopak v plném souladu s principem relativity platným v mechanice. Ve své epochální práci "O elektrodynamice pohybujících se těles" [78] Einstein zobecnil Galileiho princip relativity z mechaniky na všechny fyzikální jevy:
Teorém 1.1 (Eisteinův speciální princip relativity)
Fyzikální zákony jsou stejné pro všechny inerciální vztažné soustavy.
Všechny inerciální soustavy jsou tedy pro popis všech fyzikálních dějů zcela rovnocenné, při stejných fyzikálních podmínkách probíhají fyzikální jevy stejně v každé inerciální soustavě nezávisle na rychlosti jejího pohybu. Každý fyzikální pokus dopadne stejně, ať ho provedeme v libovolné inerciální soustavě. Einsteinův speciální princip relativity je tak vyjádřením nezjistitelnosti a neexistence univerzální (absolutní) vztažné soustavy.
Speciální princip relativity je rovněž odrazem jednoty fyziky, společné materiální podstaty přírody. Žádný elektromagnetický experiment totiž nemůže být uskutečněn bez použití hmotných těles řídících se zákony mechaniky a naopak, každého mechanického děje se účastní elektromagnetické interakce mezi částicemi materiálu pohybujících se těles. Z platnosti (Galileiho) principu relativity v mechanice tedy plyne, že i elektromagnetické a ostatní jevy by měly principu relativity vyhovovat.
V Newtonově mechanice je speciální princip relativity samozřejmě splněn. Aby speciální princip relativity platil i pro jevy elektromagnetické popsané Maxwellovými rovnicemi, musí mít veličina c (obsažená v Maxwellových rovnicích buď přímo nebo přes permitivitu vakua), rovná rychlosti šíření elektromagnetických vln ve vakuu, ve všech inerciálních soustavách stejnou hodnotu (z obecně-fyzikálního hlediska je rychlost světla diskutována v §1.1, pasáž "Rychlost světla"). Aplikace speciálního principu relativity na elektrodynamiku tak přirozeně vysvětluje výsledek Michelsonova pokusu.
Při axiomatické výstavbě obecné teorie, která by měla být základem celé fyziky, je však použití složitých Maxwellových rovnic (popisujících konkrétní oblast elektromagnetických jevů) jako výchozího axiómu nevýhodné. Einstein proto vzal poznatek o konstantnosti rychlosti světla jako primární nezávislý postulát spolu se speciálním principem relativity:
Teorém 1.2 (princip konstantní rychlosti světla)
Rychlost světla ve vakuu je stejná ve všech inerciálních soustavách bez ohledu na jakýkoliv pohyb zdroje nebo pozorovatele.
Klasická Newtonovská fyzika vychází z předpokladu o okamžité interakci těles: změna, polohy (nebo obecně nějaké charakteristiky) jednoho z interagujících těles se projeví na ostatních tělesech v tomtéž okamžiku, nezávisle na jejich vzdálenosti. Formálně je to vyjádřeno popisem interakce částic pomocí potenciální energie U(x1,x2,...,xn), která je funkcí pouze polohových souřadnic částic xi. Ve skutečnosti však žádné bezprostřední okamžité působení "na dálku" v přírodě neexistuje. Jestliže nastane nějaká změna s jedním tělesem, pak na druhém tělese, které je s ním v interakci, se tato změna začne projevovat až po uplynutí konečného časového intervalu. Tuto dobu potřebuje interakce (pole které ji zprostředkovává) k překonání vzdálenosti mezi tělesy. Vzájemné působení se tedy šíří konečnou rychlostí, takže existuje určitá maximální (mezní) rychlost šíření interakcí. Z prvního postulátu STR (speciálního principu relativity) pak plyne, že tato rychlost šíření interakcí je stejná ve všech inerciálních soustavách - je tedy univerzální konstantou. Z elektrodynamiky plyne, že tato rychlost je rovna rychlosti elektromagnetických vln - rychlosti světla ve vakuu c. Druhý základní postulát STR lze proto též formulovat ve tvaru :
Teorém 1.2' (princip univerzální rychlosti šíření interakcí)
Existuje maximální rychlost šíření interakcí ve vakuu, rovná rychlosti světla c, která je stejná pro všechny inerciální vztažné soustavy.
Postuláty 1.2 a 1.2' nejsou zcela ekvivalentní; formulace 1.2' vylučuje např. možnost existence tachyonů (částic pohybujících se nadsvětelnou rychlostí), protože jejich prostřednictvím by bylo možno uskutečnit interakci rychlostí převyšující maximální rychlost šíření interakcí. Tachyony můžeme však doposud považovat za výplod fantazie fyziků, neboť pro jejich existenci nesvědčí žádné teoretické ani experimentální důvody (viz níže). Na problematiku relativistické astrofyziky a kosmologie jemné rozdíly v obou formulacích druhého základního postulátu STR nemají vliv.
Druhý postulát speciální teorie relativity - existence univerzální rychlosti, která se co do velikosti neskládá s žádnou jinou rychlostí - je v ostrém rozporu s obvyklými kinematickými představami vyjádřenými Galileiho transformacemi a založenými na koncepci absolutního prostoru a času. Neplatí zde běžné pravidlo skládání rychlostí, jednoduché Galileiho transformace souřadnic mezi inerciálními soustavami musejí být nahrazeny obecnějšími transformacemi (Lorentzovými). Prostorové vzdálenosti a časové intervaly přestávají být objektivními absolutními veličinami *), ale závisejí na vztažné soustavě z níž se měří - stávají se relativními. Principy STR tak boří obvyklé intuitivní pojmy prostoru a času založené na zkušenosti s pohybem běžných makroskopických těles.
*) Pokud se rychlost světla jeví stejná pro pozorovatele pohybujícími se různými rychlostmi, je to možné jen tehdy, když se liší jejich "hodinky" a "pravítka" - čas a prostor je pro různé pozorovatele různý.
Dá se říci, že když se rychlost světla c ukázala být absolutní, prostorová měřítka a časové intervaly musejí být relativní...
Kdo má pravdu? - či se mýlí ?
V rámci STR se pozorovatelé, pohybující se rozdílnými rychlostmi, často rozcházejí v názoru na velikost délkových proporcí, trvání časových intervalů, časové následnosti (či současnosti) událostí. Nemusí to však být tím, že jeden z nich by měl pravdu a druhý se mýlil - každý má pravdu ve své vlastní vztažné soustavě... V čem se ale všichni pozorovatelé zákonitě musejí shodovat, je objektivní existence a průběh přírodních dějů! To, zda se dvě pohybující tělesa srazí nebo se minou, nezáleží na pozorovací vztažné soustavě; z hlediska různých soustav se může lišit jen časový údaj kdy a v jakých prostorových souřadnicích se tak stane..?.. Tyto otázky jsou dále diskutovány níže v pasáži "Paradoxy ve speciální teorii relativity".
Spolu s některými dalšími předpoklady, jako je homogenita a izotropie prostoru a času a jejich eukleidovské geometrické a topologické vlastnosti, umožňují tyto dva základní postuláty 1.1 a 1.2. stanovit nové transformační vztahy, zobecňující Galileiho transformaci (1.64) pro přechod od jedné inerciální soustavy k druhé a vybudovat novou kinematiku a dynamiku pohybu hmotných těles - Einsteinovu speciální teorii relativity (STR).
Název "speciální" proto, že je omezena jen na inerciální (rovnoměrně se pohybující) soustavy, "relativita" proto, že pouze relativní pohyb je fyzikálně důležitý. Slovo "relativita" dále odráží vývody STR, že některé fyzikální veličiny - jako jsou časové a prostorové intervaly, současnost a soumístnost událostí, hmotnosti těles - ztrácejí svůj dřívější absolutní význam a stávají se relativními veličinami, závislými na pohybu vztažných soustav ("pozorovatelů"). Nelze však souhlasit s často uváděným tvrzením, že "podle teorie relativity je všechno relativní"! Některé důležité veličiny, jako je rychlost světla či prostoročasové intervaly, jsou naopak "absolutní", nezávislé na vztažné soustavě (na rychlosti pohybu pozorovatele).
Mějme inerciální soustavu S s počátkem O, souřadnicemi x,y,z a časem t, a další inerciální soustavu S' s počátkem O', souřadnicemi x',y',z' a časem t', pohybující se vzhledem k S rychlostí V. Fyzikální měření ve vztažné soustavě S' se přitom provádějí stejným způsobem (za použití stejných pomůcek - standartních měřících tyčí a synchronizovaných hodin) jako v soustavě S. V čase t=t'=0 nechť je vyslán z počátku O, který v tomto okamžiku splývá s O', světelný záblesk (obr.1.5b). V soustavě S je šíření tohoto světelného signálu vyjádřeno rovnicí
s2 ş x2 + y2 + z2 - c2.t2 = 0 (1.66)
popisující kulovou vlnoplochu, jejíž poloměr r = c.t se zvětšuje rychlostí c. Ve vztažné soustavě S' se zdroj světla pohybuje rychlostí -V, avšak vzhledem k principu stálé rychlosti světla (c'= c bez ohledu na rychlost a směr pohybu zdroje) bude šíření světelného signálu vypadat stejně jako v soustavě S :
(s')2 ş (x')2 + (y')2 + (z')2 - (c.t')2 = 0 . (1.66')
Aby bylo možno vyhovět principu stálé rychlosti světla, je nutno předpokládat v obou soustavách různý čas. Ze současného splnění rovností (1.66) a (1.66') vyplynou hledané transformační vztahy mezi souřadnicemi (t,x,y,z) a (t',x',y',z').
Obr.1.5. Transformace souřadnic mezi inerciálními vztažnými soustavami.
a) Galileiho transformace.
b) K odvození Lorentzovy transformace. Světelný záblesk vyslaný v časovém okamžiku t=t'=0 z počátku O (který v té době splýval s O') se z hlediska obou soustav S i S' šíří na všechny strany stejnou rychlostí c, takže v čase t vyplňuje kulovou vlnoplochu o poloměru r = c.t, resp. r'= c.t'.
c) Geometrické znázornění Lorentzovy transformace. Je-li výchozí vztažné soustavě S v prostoročase připsána (pseudo)kartézská souřadnicová soustava c.t,x, pak přechod k pohybující se vztažné soustavě S' geometricky znamená deformaci na kosoúhlé prostoročasové souřadnice c.t',x'.
Pozn.: Pomocí obrázku hodin je symbolicky znázorněna rychlost plynutí času v soustavách S a S' (viz níže - dilatace času).
Těleso pohybující se rovnoměrně přímočaře z hlediska soustavy S se podle principu relativity musí pohybovat rovnoměrně přímočaře i v soustavě S'. Proto souřadnice x', y',z',t' musejí být lineárními funkcemi souřadnic x,y,z,t. Aby rovnice (1.66) a (1.66') byly splněny současně, musí platit s'2= k.s2, kde k je nějaký činitel. Tento koeficient nemůže záviset na souřadnicích a na čase, protože různé body a časové okamžiky by nebyly rovnocenné, což odporuje homogenitě prostoru a času. Koeficient k nemůže záviset ani na směru rychlosti V, protože prostor ve STR předpokládáme izotropní; k by mohl být funkcí nanejvýš velikosti rychlosti V = |V|, tj. s'2= k(V).s2. Soustavy S a S' jsou však rovnocenné. Proto stejná úvaha provedená z hlediska soustavy S' vzhledem k níž se nečárkovaná soustava pohybuje rychlostí -V ukazuje, že s2= k(|-V|).s'2 = k(V).s'2, z čehož plyne k2= 1, takže k = 1 (platí kladné znaménko aby zůstala zachována identičnost transformace soustavy S samé na sebe při V=0). Veličina s, tzv. interval, definovaná v rovnicích (1.66), zůstává tedy při transformaci mezi dvěma inerciálními soustavami invariantní:
s'2 ş x'2 + y'2 + z'2 - c2t'2 = x2 + y2 + z2 - c2.t2 ş s2 . (1.67)
Uvažujme, stejně jako u Galileiho transformace, speciální případ podle obr.1.5, kdy osy obou vztažných soustav jsou rovnoběžné a stejného smyslu, osy X a X' splývají a soustava S' se vzhledem k S pohybuje konstantní rychlostí V v kladném směru osy X. Potom je-li y=0, musí být i y'=0 při libovolném z a podobně je-li z=0, musí být z'=0 při libovolném y (plochy XY a X'Y', stejně jako plochy XZ a X'Z', se transformují samy na sebe). Proto y'=k.y, z'= k.z, kde koeficient k ze stejných důvodů jako předtím u intervalu nezávisí na x,y,z,t a může být funkcí pouze V. Koeficient k je zde tedy (opět vzhlesem k nerozlišitelnosti obou soustav) roven jedné, takže souřadnice kolmé na směr pohybu se nemění: y'= y, z'= z. Hledaná speciální transformace bude mít tedy (vzhledem k linearitě) tvar
x' = A . x + B . t , y' = y , z' = z , t' = P . x + Q . t . (1.68)
Dosazením do podmínky invariantnosti intervalu (1.67) dostaneme
(A2-c2P2)x2 + 2(AB-c2PQ)x.t + (B2-c2Q2) = x2 - c2.t2 .
Tento vztah musí být splněn identicky ve všech místech prostoru a v každém čase, takže se musejí sobě rovnat koeficienty u x a t na obou stranách:
A2-c2P2 = 1 , AB-c2PQ = 0 , c2Q2 - B2 = c2 .
Čtvrtou rovnici zízkáme z toho, že soustava S' se vůči S pohybuje ve směru osy X rychlostí V. Bod O' má v okamžiku t souřadnice O'= (x=V.t,y=0,z=0) z hlediska S, zatímco z hlediska S' je stále O'= (x'=0,y'=0,z'=0). Z první rovnice (1.68) tak dostáváme mezi A a B vztah x'= A.V.t + B.t = 0, tj. A.V + B = 0. Řešením této soustavy čtyř rovnic dostaneme pro transformační koeficienty v (1.68) výsledky
A = 1/Ö(1-V2/c2) , B = -V/Ö(1-V2/c2) , P = (-V2/c2)/Ö(1-V2/c2) , Q = 1/Ö(1-V2/c2) ,
přičemž záporné znaménko u B a P a kladné u A a Q je opět z důvodu identičnosti transformace při V® 0.
Po dosazení do (1.68) hledaná speciální transformace je
Tato transformace, která zobecňuje Galileiho transformaci (1.64) a zaručuje splnění obou základních postulátů STR, se nazývá Lorentzova transformace. Lorentz a Poincaré totiž ještě před vznikem speciální teorie relativity ukázali, že Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole zachovávají stejný tvar ve dvou vzájemně se pohybujících inerciálních soustavách S a S' tehdy, jestliže mezi těmito soustavami platí nikoliv jednoduché Galileiho transformace, ale složitější transformace (1.69) nazývané nyní Lorentzovy transformace. A.Einstein však ve své speciální teorii relativity podal obecné odvození těchto transformací a ukázal, že se nejedná jen o nějakou zvláštnost konkrétního (elektromagnetického) pole, ale řídí se jimi všechna pole a veškerý pohyb - jsou vyjádřením strukturních vlastností prostoru a času.
Pro přehledné grafické znázornění prostorových pohybů těles v závislosti na čase, jejich světočar, se často kreslí tzv. prostoročasové diagramy v souřadnicích x , t. Jelikož se ve STR zabýváme pohyby o rychlostech blízkých rychlosti světla, je vhodné v prostoročasových diagramech na časové ose místo prostého času t vynášet jeho c-násobek - časovou souřadnici x°= c.t, aby měřítko na časové ose bylo souměřitelné se škálami na osách prostorových. Takový prostoročasový diagram, na němž je vyznačena vodorovná osa x a k ní kolmá časová osa c.t (souřadnice y a z jsou pro jednoduchost vynechány), odpovídající výchozí vztažné soustavě S, je znázorněn na obr.1.5c. Na těchto souřadnicových osách lze odečítat prostoročasové souřadnice libovolného světobodu (události) ve vztažné soustavě S. Aby bylo možno odečítat prostoročasové souřadnice těchto událostí i ve vztažné soustavě S', pohybující se vzhledem k S ve směru osy x rychlostí V, je třeba na tomto diagramu vytyčit souřadnicové osy x' a x'°= c.t' odpovídající soustavě S'. Osa x', která je dána podmínkou t'= 0, je podle (1.69) přímka ct =(V/c).x ; osa t', daná podmínkou x'=0, je přímka x = (V/c).ct. Jak je tedy vidět z obr.1.5c, přechod k jiné inerciální soustavě pomocí Lorentzových transformací geometricky znamená přechod ke kosoúhlé soustavě prostoročasových souřadnic, jejíž osy jsou vůči původním osám nakloněny o úhel a daný vztahem tg a= V/c. Tento úhel sklonu a roste s rychlostí soustavy S' vůči S; při V®c se blíží 45°, kde osy x' a ct' splývají. Z takového geometrického vyjádření Lorentzovy transformace velmi názorně plynou kinematické efekty STR jako je kontrakce délek nebo dilatace času; rovněž se zde elegantně řeší známý paradox hodin [232],[242] - je podrobněji analyzováno níže v pasáži "Paradoxy STR".
Obrácené Lorentzovy transformace ze soustavy S' do S dostaneme vzhledem k rovnocennosti obou soustav jednoduše tak, že ve vztazích (1.69) zaměníme čárkované a nečárkované souřadnice a rychlost V nahradíme -V
(1.69')
Obecnou Lorentzovu transformaci, platnou při libovolném směru rychlosti V inerciální soustavy S' vzhledem k soustavě S, lze získat ze speciální Lorentzovy transformace (1.69) tak, že se nejprve použije pomocných souřadnic takových, že pohyb se v nich děje podél osy X, aplikuje se (1.69) a pak se provede zpětná transformace do původních souřadnic. Obecná Lorentzova transformace se obvykle zapisuje ve vektorovém tvaru
(1.69'')
kde r ş [O, (x,y,z)] je polohový vektor od počátku O k události (t,x,y,z). Složením dvou Lorentzových transformací S® S' a S® S'' vznikne správná Lorentzova transformace mezi S a S'' jen tehdy, když rychlost soustavy S'' vůči soustavě S' má stejný směr jako rychlost S' vůči S. Fyzikálně to souvisí s tím, že velikost rychlosti světla c se neskládá s žádnou jinou rychlostí, zatímco směr rychlosti světla se obecně mění (aberace světla, viz níže). Proto obecnou Lorentzovu transformaci nelze získat prostým skládáním speciálních Lorentzových transformací v jednotlivých osách X,Y,Z.
Z Lorentzových transformací (1.69) snadno plynou známé kinematické efekty speciální teorie relativity - dilatace času, kontrakce délek a neaditivní zákon skládání rychlostí:
Máme-li v soustavě S dvě soumístné události x,y,z,t a x,y,z,t+Dt oddělené časovým intervalem Dt, pak podle (1.69), vzhledem k tomu, že Dx = 0 (soumístnost), bude časový interval mezi těmito událostmi měřený ze soustavy S' roven
Dt' = Dt / Ö(1 - v2/c2) . (1.70)
Čas měřený ideálními hodinami pohybujícími se spolu s daným tělesem se nazývá vlastní čas tohoto tělesa. Vlastní čas t souvisí s prostoročasovým intervalem vztahem (jelikož dx=dy=dz=0)
dt = (1/c) . ds , (1.71)
a je tedy rovněž invariantní. Ze vztahu (1.70), nebo ekvivalentně zavedením rychlosti v2 = (dx2+dy2+dz2)/dt2 ve vztahu dt = ds/c = (1/c)Ö(-c2dt2+dx2+dy2+dz2), dostaneme
dt = Ö(1 - v2/c2) . dt ; (1.72)
interval vlastního času pohybujícího se tělesa je tedy vždy menší než odpovídající interval souřadnicivého času. Pozorovatel porovnávající chod klidových a pohybujících se hodin zjistí, že pohybující se hodiny jdou podle vztahu (1.70) tím pomaleji, čím rychleji se pohybují; tento jev se nazývá dilatace času.
Obr.1.5 - uvedený pro přehlednost znova
a) V klasické mechanice (Galileiho transformace) je rychlost toku času stejná ve všech inerciálních soustavách, nezávisle na jejich rychlosti.
b), c) Ve speciální teorii relativity se uplastňuje efekt dilatace času - v pohybující se soustavě S' teče čas pomaleji, než ve výchozí klidové soustavě S.
V předrelativistické fyzice se o současnosti dvou událostí probíhajících v různých místech dalo přesvědčit pomocí vhodného signálu, např. světelného, pro jehož rychlost platil běžný zákon skládání rychlostí. Dvě události současné z hlediska jedné vztažné soustavy jsou pak současné i v každé jiné inerciální soustavě - pojem současnosti má v klasické fyzice absolutní význam a nezávisí na pohybovém stavu pozorovatele. Z Lorentzových transformací (a vlastně již z jednoduché úvahy o nezávislosti rychlosti světla na pohybu vztažné soustavy) však plyne, že dvě události probíhající v různých místech, které se z hlediska jedné vztažné soustavy jeví jako současné, probíhají z hlediska jiné soustavy v různých časových okamžicích. Ve STR je tedy současnost pojem relativní, závisí na pohybovém stavu pozorovatele. K definování současnosti je přitom třeba podle STR použít světelných signálů, u nichž je zaručena nezávislost jejich rychlosti na vztažné soustavě.
Podobně rozměry těles a vzdálenosti mezi nimi v nerelativistické kinematice nijak nazávisí na tom, zda je sleduje klidový nebo pohybující se pozorovatel. Pro určení délky nějakého tělesa (tyče, měřítka) je nutno v dané vztažné soustavě S stanovit současné hodnoty souřadnic x1,y1,z1 a x2,y2,z2 jeho konců v daném časovém okamžiku; délka ve směru x pak je Dx = x2- x1, podobně ve směrech y a z. Provedeme-li totéž z hlediska vztažné soustavy S' pohybující se rychlostí V, potom z Lorentzových transformací (kde Dt = 0 - současnost) plyne
Dx = Dx'/Ö(1 -V2/c2) , Dy = Dy' , Dz = Dz' . (1.73)
Vlastní délkou dané tyče se rozumí její délka lo měřená ve vztažné soustavě vzhledem k níž je tato tyč v klidu. Ze vztahu (1.73) plyne, že délka tyče pohybující se v podélném směru rychlostí v bude
l = lo . Ö(1 - v2/c2) , (1.73')
Tento poznatek nazývaný Lorentzova kontrakce délek říká, že rozměr každého tělesa se ve směru pohybu jeví zkrácený v poměru Ö(1 - v2/c2) ve srovnání s klidovým rozměrem; rozměry kolmé ke směru pohybu se nemění, jsou stejné jako klidové.
Z Lorentzových transformačních vzorců (1.69) rovněž plynou vztahy mezi rychlostí částice měřenou v různých inerciálních soustavách. Jestliže v soustavě S', pohybující se vůči soustavě S rychlostí V ve směru osy X, bude mít vyšetřovaná částice rychlost v ş (v'x=dx'/dt', v'y=dy'/dt', v'z=dz'/dt') , potom ze vztahů (1.69) přepsaných v diferenciálním tvaru plynou pro složky rychlosti v v soustavě S transformační vztahy
představující Einsteinův zákon skládání rychlostí. Speciálně, pohybuje-li se v S' částice ve směru osy X rychlostí v, pak výsledek jejího složení s rychlostí V (stejného směru) soustavy S' vůči S bude
v = (v' + V)/(1 + v'.V/c2) , (1.74')
Je vidět, že součet dvou rychlostí menších nebo rovných rychlosti světla vždy dává rychlost nepřevyšující rychlost světla. Jestliže ve vztahu (1.74) položíme |v'|= c (jedná se třebas o foton), dostaneme |v| = Ö(vx2+vy2+vz2) = c - rychlost světla se co do velikosti neskládá se žádnou rychlostí. Dokonce i kdyby se soustava S' vůči S pohybovala rychlostí V=c a v soustavě S' prolétala částice rychlostí v'= c ve směru pohybu soustavy S', výsledná rychlost pohybu této částice vůči S podle vztahu (1.74') v = (c + c)/(1 + c.c/c2) = c by přesto byla rovna opět jen rychlosti světla. To potvrzuje vlastnost rychlosti světla c jakožto horní meze možných rychlostí pohybu. Pokud jsou obě rychlosti v i V malé oproti rychlosti světla c, přechází vzorec (1.74) v běžný aditivní zákon skládání rychlostí (1.65), t.j. v = v' + V.
Důležitým speciálním případem Einsteinova zákona skládání rychlostí je vztah popisující změnu směru šíření světla při přechodu od jedné inerciální soustavy ke druhé - tzv. aberaci světla. Pohybuje-li se foton v rovině XY soustavy S' tak, že směr jeho pohybu svírá s osou X (tj. se směrem rychlosti pohybu V soustavy S') úhel J, budou složky jeho rychlosti v soustavě S' rovny v'x=c.cosJ', v'y=c.sinJ'. Pro úhel J pohybu tohoto fotonu v soustavě S (vx=c.cosJ, vy=c.sinJ) plyne z transformačních vztahů (1.74)
sin J = [(1 - V2/c2)/(1 + (V/c)cosJ')] sin J' , cos J = (cosJ' + V/c)/(1 + (V/c)cosJ')
Pro případ V « c (s přesností do členů prvního řádu ve V/c) odtud plyne pro úhel aberace světla DJ = J'- J klasický vztah DJ = (V/c).sinJ.
Relativnost kinematických efektů STR
Je třeba upozornit, že výše uvedené kinematické efekty, způsobené rychlostí pohybu tělesa, jsou pozorovatelné jen relativně při vzájemném pohybu pozorovaného tělesa a pozorovatele. Pokud by se pozorovatel *) rozhodl "přistihnout pohybující se objekt při činu" (co tam, k čertu, s těmi měřítky a hodinami čaruje..?!..), skočil by za ním, dostihl jej a začal se pohybovat spolu ním stejnou rychlostí, nezjistil by vůbec nic - měřítka i hodiny by byly v pořádku a všechny relativistické efekty by při takovém pozorování vymizely..!.. V teorii relativity neexistuje absolutní úhel pohledu.
*) Samotné slovo "pozorovatel" je obecně ve fyzice třeba brát s rezervou: musí být oproštěn od jakýchkoli subjektivních vlivů, zdání a pocitů! Objektivním "pozorovatelem" může být i přístroj či průběh nějakého přírodního děje...
Neobvyklost kinematických zákonitostí speciální teorie relativity, které zdánlivě odporují "zdravému rozumu" *), vyvolávala (a v laické veřejnosti vyvolává někdy i dnes) řadu námitek formulovaných často pomocí "paradoxů". Všechny tyto paradoxy vznikají chybným nebo nedůsledným použitím zákonitostí STR (nejčastěji se zapomíná na relativnost současnosti); část úvahy se provede relativisticky, část klasicky: Ţ rozpor. Nyní jsou již zdánlivé paradoxy tohoto druhu spolehlivě vyřešeny [232],[242], mají jen historický význam, avšak sehrály důležitou úlohu při formulování a tříbení myšlenkových postupů STR.
*) STR není teorií "selského rozumu", nýbrž - ať se nám to líbí či je nám to proti mysli - popisuje vlastnosti skutečného prostoročasu, v němž žijeme. Lze říci, že tato teorie představuje vítězství skutečného objektivního rozumu nad tzv. "selským rozumem", vycházejícím z omezené zkušenosti každodenního života lidí v našich pozemských podmínkách...
Nejpodivnějším vývodem teorie relativity se jeví efekt dilatace času - tvrzení o různé rychlosti běhu času v různých vztažných soustavách, pro různé pozorovatele. Máme-li výchozí inerciální vztažnou soustavu S a druhou soustavu S', kerá se vůči S pohybuje velkou rychlostí V, bude pozorovatel v S vidět, že hodiny v S' jdou ve srovnání s jeho "klidovými" hodinami pomaleji, podle relativistické dilatace času. Pozorovatel v S' však může stejným právem tvrdit, že jeho soustava je "klidová" a naopak soustava S je pohybuje rychlostí -V, takže naopak hodiny v S jdou pomaleji. Kdo má pravdu? Tento zdánlivý nesoulad se často formuluje jako paradox hodin, zvaný též paradox dvojčat :
Představme si v myšleném ("sci-fi") experimentu dva pozorovatele A a B, kteří jsou dvojčata stejného stáří (mají příp. na rukou přesné, "ideální" hodinky). Pozorovatel A zůstane zde na Zemi (odhlédneme od její tíže, rotace a oběhu), zatímco B nasedne do rakety a odletí na mezihvězdnou vesmírnou cestu rychlostí blízkou rychlosti světla. Pokud budou spojeni rádiovými signály, podle STR se pozemskému pozorovateli A bude na raketě B jevit pomalejší běh času; astronaut B bude naopak registrovat dilataci času na pozemské základně A. Po návratu za několik let se oba bratři opět setkají a porovnají své stáří a hodinky. Budou mít stejný fyzický věk *) a časový údaj na hodinkách? - nebo který z nich bude "starší" či "mladší"?
*) Na otázku, zda cestovatel bude stárnout v souhlase s chodem svých standardních "ideálních" hodin, odpovídá biochemie kladně: stárnutí je důsledkem biochemických procesů na molekulární a atomární úrovni, jejichž rychlost odpovídá fyzikálnímu běhu času, měřenému standardizovanými hodinami. Z filosofického hlediska lze s trochou nadsázky říct, že "všichni jsme jakýmisi hodinami - a naše tváře jsou ciferníky let"... (A.Eddington)
K relativistické analýze tohoto myšleného experimentu podle STR si v prvé řadě zavedeme jednu stálou inerciální vztažnou soustavu S s počátkem O ve světobodě startu, spojenou s "klidovým" pozorovatelem A; ta zůstáva neměnná během celého pokusu. Pohyb astronauta B si můžeme rozdělit na 5 etap:
I. Zrychlování pohybu po zapálení raketových motorů v bodě O, na jejímž konci dosáhne raketa rychlost V ve směru osy O-x, blízkou rychlosti světla c.
II. Rovnoměrný pohyb rychlostí V po vypnutí raketových motorů směrem od Země k pozorovacímu cíli (třebas vzdálené hvězdě).
III. Zrychlený pohyb - po dosažení pozorovacího cíle (vzdálené hvězdy) se znovu zapálí raketové motory, aby se směr pohybu sondy změnil na opačný, k Zemi.
IV. Rovnoměrný pohyb opět relativistickou rychlostí -V, po vypnutí raketových motorů, směrem k Zemi.
V. Zpomalený pohyb po zapnutí raketových motorů k zabrzdění z vysoké rychlosti V, k přistání na Zemi.
V tomto idealizovaném myšleném pokusu budeme pro jednoduchost předpokládat, že raketové motory jsou velmi výkonné (a kosmonaut B velmi odolný proti přetížení, jakož i jeho standardní hodinky), takže fáze urychlení (I.), zpětný manévr (III.) a zabrzdění (V.) budou velmi rychlé, s dobou trvání zanedbatelně krátkou vzhledem k etapám II. a IV. rovnoměrného pohybu relativistickou rychlostí V. Pro pohyb astronauta B pak můžeme nakreslit prostoročasový diagram :
Prostoročasový diagram mezihvězdného letu a návratu kosmonauta B při analýze "paradoxu dvojčat".
Pohyb kosmonauta B je znázorněn silnější linií O-K´-L´-M´´-N´´-P, která má krátké zakřivené úseky O-K´, L´-M´´ a N´´-P, odpovídající urychlování a brzdění rakety, a dlouhé přímé úseky odpovídající inerciálnímu pohybu tam a zpět. Šikmými tenšími čarami je vyznačeno několik linií současnosti mezi soustavou S´ odlétající rakety a změněnou soustavou S´´ vracející se rakety - ty mají opačný sklon!
Pozn.: Vlastní kosoúhlé souřadnicové osy soustav S´ a S´´ v diagramu nejsou zakresleny, obrázek by se stal nepřehledným.
Světočára klidového pozorovatele A je svislá úsečka O-P podél časové osy t v klidové inerciální soustavě S; odpočítávání času pro pozorovatele A je na svislé ose t (resp. c.t). Pohyb "dvojčete"-kosmonauta B je znázorněn čárou O-K´-L´-M´´-N´´-P, která je nejprve po startu nakloněná šikmo doprava (úsek O-L´), pak se po návratovém manévru láme směrem doleva (úsek M´´-L´´) a nakonec přistává na Zemi ve světobodě P. Při časové analýze mezi dvěma vzájemně se pohybujícími inerciálními soustavami je v prostoročasovém diagramu obecně potřeba používat souřadnicové linie současnosti, které jsou nakloněny šikmo pod úhlem daným podílem V/c (srov. obr.1.5). Pro odečet času je v našem případě důležitou "fintou" uvědomit si, že po obrácerní směru pohybu v etapě III. se již v etapě IV. jedná o jinou inerciální soustavu, která má linie současnosti nakloněny opačně než v etapě II. - ve směru "-V"! Podrobná analýza vede k výsledku, že součet úseků O-L+M-P zobrazuje kratší časový interval, než odpovídá úseku OP pro pozorovatele A. Do společného bodu P se tedy astronaut B vrátí za kratší vlastní čas - mladší - než mezi tím uplynul čas klidovému pozorovateli A. V našem zjednodušeném případě, kde astronaut B letěl tam i zpět rychlostí V (a úseky zrychlených pohybů jsou zanedbatelně krátké), bude diference časových intervalů DtA a DtB obou pozorovatelů odpovídat standardnímu vzorci pro dilataci času (1.72):
DtB = DtA . Ö(1 - V2/c2) .
Pokud by se tedy astronaut B vydal k nejbližší hvězdě Proxima Centauri, vzdálené 4,2 světelných let, rychlostí např. 0,8 c (cca 240 000 km/s) tam i zpět, pak podle pozemského pozorovatele A by se vrátil za 14 let; o tuto dobu by pozemský pozorovatel A zestárnul. Astronaut B by však při tomto letu zestárnul pouze o 8,2 let vlastního času, byl by tedy po návratu o 5,5 let mladší než jeho pozemský bratr A.
V obecném případě dvou standardních hodin, které se v učitém okamžiku od sebe rozletí a později se znova setkají, bude časová diference záviset na "historiích" jejich pohybů - rychlostech a směrech inerciálních pohybů a dynamikách neinerciálních změn. Resp. na symetriích obou pohybů. Pokud se oba pozorovatelé pohybují symetricky - rakety se rozletí v opačných směrech stejnými rychlostmi a zrychleními a pak se zase vrátí stejnými pohyby, v místě setkání se vzájemné relativistické dilatace anulují. V druhém krajním případě - úplné asymetrie, který odpovídá zde rozebíranému případu, se projeví plná hodnota relativistické dilatace času.
Pozn.: V popularizační literatuře se občas tvrdí, že k řešení paradoxu dvojčat je třeba použít obecnou teorii relativity (OTR), neboť vztažná soustava cestovatele je neinerciální: že příslušný časový rozdíl vzniká právě ve fázi brzdění a opačného urychlování pohybu druhého pozorovatele. Toto tvrzení je zavádějící a nepřesvědčivé; zavedení OTR je jen jiným alternativním způsobem řešení, který je zbytečně komplikovanější a nepřináší nové informace, pokud nejsou přítomná "reálná" gravitační pole, buzená distribucí hmoty-energie. Ve skutečnosti lze vlastní paradox dvojčat korektně vyřešit v rámci samotné speciální teorie relativity s použitím tří inerciálních vztažných soustav: jedné klidové soustavy S prvního pozorovatele a dvou rozdílných pohybujících se soustav S´ a S´´ druhého pozorovatele při jeho pohybu tam a pak zpět, jak bylo výše nastíněno.
Paradox délky
Druhým podivným vývodem speciální teorie relativity je efekt kontrakce délek v různých vztažných soustavách - různé délky pro různé pozorovatele. Máme-li výchozí inerciální vztažnou soustavu S a druhou soustavu S', kerá se vůči S pohybuje velkou rychlostí V, bude pozorovatel v S vidět, že standardní tyče jsou v S' ve srovnání s jeho "klidovými" tyčemi kratší, podle relativistické kontrakce délek. Pozorovatel v S' však může stejným právem tvrdit, že jeho soustava je "klidová" a naopak soustava S je pohybuje rychlostí -V, takže naopak tyče v S jsou zkrácené. Opět vyvstává otázka "kdo má pravdu?". Tento zdánlivý nesoulad se obecně označuje jako paradox délek a ilustruje se na různých pohybujících se tělesech - tyč a stodola, automobil a garáž, letadlo a hangár, vlak a nádraží či tunel. V nejjednoduší formulaci "paradox tyče a stodoly" spočívá v následujícím :
Postavme v myšleném experimentu jednoduché stavení (přístřešek, kůlnu, stodolu) délky třebas L= 10 m, která má v přední a zadní stěně dveře. Tuto stodolu obhospodařuje (a přední a zadní dveře otvírá či zavírá) pozorovatel A ve výchozí klidové vztažné soustavě S. Dále je zde vzdálený pozorovatel B, který ve směru středů těchto dvou dveří vrhne relativistickou rychlostí např. V= 0,8c (cca 240 000 km/s) tyč délky l= 12 m a bude se pohybovat spolu s ní jakožto pozorovatel B´ v inerciální soustavě S´. Co se stane při vniknutí tyče a jejím průletu stodolou? - "vejde" se tam ta tyč nebo ne? Z hlediska pozorovatele A se tyč jeví relativistickou kontrakcí podle vzorce (1.73') zkrácena na délku l´= 7,2 m a tudíž by se měla do 10m stodoly v pohodě vejít. Pozorovateli B´ se však naopak délka stodoly jeví zkrácená na L´= 6 m, takže bude očekávat problémy při průletu své 12m tyče stodolou. Pro posouzení toho, zda se prolétající tyč do stodoly vejde či nikoli, mohou sloužit okamžiky otevření a zavření předních a zadních dveří. Pokud ze svého hlediska soustavy S pozorovatel A uzavře oboje dveře v okamžiku, kdy tyč bude celá uvnitř (konec tyče proletěl zadními dveřmi), prokáže se tím zkrácení tyče. Z hlediska pozorovatele B´ se to však jeví jinak: zadní dveře byly uzavřeny, když moje tyč již předtím narazila do přednách dveří; moje tyč byla delší než stodola pozorovatele A. Jejich nesouhlas spočívá v načasování zavření dveří. V tom, co se rozumí současností dvou vzdálených událostí (byť zde vzdálených jen o několik metrů, časové údaje se liší o pouhé pikosekundy) . Z tohoto hlediska je vztah současnosti mezi soustavami S a S´ potřeba analyzovat pomocí linií současnosti, rovnoběžných s osou X´ na kosoúhlém prostoročasovém diagramu (poněkud podobném jako u výše uvedeného obrázku "Paradox času"; vzhledem k celkové marginálnosti tohoto problému jsme zde speciální obrázek nekreslili...). Podle pozorovatele A (v jeho vztažné soustavě S) byly v jistém okamžiku oba konce tyče uvnitř stodoly. Z pohledu pozorovatele B´ nebyly konce tyče nikdy současně uvnitř stodoly, tyč je delší než stodola. Z formálního hlediska mají oba pozorovatelé pravdu, jedná se svým způsobem o "optický klam". Z fyzikálního hlediska je zde důležitá jedině situace, kdy se oba pozorovatelé setkají v "zabrzděném" stavu a z hlediska společné vztažné soustavy snadno zjistí, zda se tyč do stodoly vejde či ne. Všechno ostatní je jen "STR folklór", který může být sice pěkný a zajímavý, ale se skutečnou přírodní realitou již nemusí mít nic společného..!..
Důležité jsou pouze fyzikální interakce částic a těles. Pokud probíhají vysokými (relativistickými) rychlostmi, mohou se při nich reálně uplatňovat efekty dilatace času a kontrakce délek - viz např. "Vysokoenergetické srážky těžších jader. Kvark-gluonová plasma.", kde je na obrázku vlevo dole vidět, že při vysokých energiích se jádra srážejí nikoli jako "kuličky", ale jako "ploché disky", vlivem kontrakce délky...
Zatím jsme vyšetřovali jen čistě kinematické zákonitosti speciální teorie relativity. Aplikací relativistické kinematiky na zákony dynamiky vzniká relativistická dynamika, poskytující další pozoruhodné efekty.
Newtonovu pohybovou rovnici hmotného bodu dp/dt = F , která je invariantní vzhledem ke Galileiho transformaci, je třeba modifikovat (zobecnit) tak, aby byla invariantní vůči Lorentzově transformaci, a přitom pro malé rychlosti přecházela v původní Newtonovu rovnici. Každé hmotné částici pohybující se vůči inerciální soustavě S rychlostí v se přiřazuje vektor hybnosti p
p =def. m . v
úměrný rychlosti v; koeficient úměrnosti m představuje setrvačnou hmotnost částice.
Aby Newtonova pohybová rovnice a zákon zachování hybnosti byly slučitelné s relativistickou kinematikou, nebude hmotnost m již na pohybu nezávislou konstantou jako v klasické mechanice, ale bude univerzální funkcí m = f(v) velikosti rychlosti částice v ş |v| (na směru rychlosti nemůže záležet vzhledem k izotropii prostoru). Z principu relativity plyne, že při přechodu k jiné vztažné soustavě S', vůči níž se sledovaná částice pohybuje rychlostí v', bude p'= m'.v', kde m'=f(v') je tatáž funkce argumentu v', jako funkce m = f(v) argumentu v (form-invariantnost). Tvar této funkce f je jednoznačně dán požadavkem, aby zákon zachování hybnosti platil v libovolné inerciální soustavě. Nejsnadněji lze k němu dojít analýzou srážky dvou stejných částic prováděnou z hlediska dvou různých vztažných soustav S a S' za použití relativistické kinematiky, tj. Lorentzových transformací (tvar funkce f lze rovněž zízkat z požadavku, aby se p chovala jako vektor při Lorentzových transformacích). Vychází f(v) = f(0)/Ö(1 - v2/c2), takže hmotnost částice pohybující se rychlostí v je rovna
m = mo / Ö(1 - v2/c2) , (1.75)
kde mo je vlastní neboli klidová hmotnost částice shodná s hmotností v Newtonovské mechanice. Pohybující se těleso tedy vykazuje vyšší setrvačnou hmotnost, klade větší odpor proti dalšímu urychlování. V našem běžném životě jsou rychlosti těles malé, takže žádnou změnu hmotnosti nepozorujeme. V mikrosvětě se však částice často pohybují rychlostmi blízkými rychlosti světla a změna hmotnosti je zde již nezanedbatelná. V urychlovačích se připravují vysokoenergetické částice, které mají mnohonásobně vyšší hmotnost než je jejich hmotnost klidová.
Při v®c roste hmotnost m nade všechny meze, což je dynamickou překážkou zabraňující tělesům s nenulovou klidovou hmotností mo dosáhnout rychlosti světla v=c. Existují však i částice (kvanta) s nulovou klidovou hmotností mo=0, např. fotony nebo dosud hypotetické gravitony. U těchto částic s mo=0 může hybnost zůstat konečná i při dosažení rychlosti světla (vztah (1.75) dává při v=c neurčitý výraz 0/0). Rychlost částic s nulovou klidovou hmotností dokonce vždy musí být rovna přesně rychlosti světla c a jejich relativistická hmotnost je dána velikostí energie kterou přenášejí (tato energie je přímo úměrná frekvenci vlnění, jehož kvantem je daná částice: E=h.f). Hybnost takové částice s nulovou klidovou hmotností je pak třeba udávat zvlášť - nezávisle na její rychlosti (která je identicky rovna c).
Rychlost, a tedy i hybnost volné částice, je časově konstantní. Interaguje-li částice s okolím, rychlost jejího pohybu se obecně mění, přičemž měřítkem působící síly je změna hybnosti částice za jednotku času:
F =def. dp / dt . (1.76)
Tuto definici síly je výhodné ponechat i v relativistické mechanice, protože (na rozdíl od součinu hmotnosti a zrychlení) vede k ekvivalenci zákona akce a reakce se zákonem zachování hybnosti. Pokud je síla F, která je příčinou změny hybnosti částice, dána jako funkce místa a času, je vztah (1.76) rovnicí pohybu dané částice. Na rozdíl od Newtonovy mechaniky proměnnost m způsobuje, že vektory síly a zrychlení nemusejí mít stejný směr.
Práce vykonaná silou F s danou částicí hmotnosti m se, stejně jako v Newtonově mechanice, definuje jako součin působící síly a vzdálenosti, kterou během tohoto působení částice prošla:
dA =def. F . dr . (1.77)
Pokud síla F působí na jinak volnou částici, lze předpokládat, že dodaná práce se přemění na kinetickou energii částice:
dEkin =def. dA = F.dr .
Pohybuje-li se částice hmotnosti m rychlostí v, po dosazení z (1.76) a (1.75) dostaneme
dEkin = m (dv/dt) .dr + (dm/dt) .v. dr = mv.dv - v2dm =
= mov.dv/Ö(1 -v2/c2)3 = c2 dm . (1.78)
Integrací od 0 do v vznikne vztah
Ekin = moc2/Ö(1 - v2/c2) - moc2 = c2(m - mo) (1.79)
udávající kinetickou energii částice s klidovou hmotností mo pohybující se rychlostí v, tj. se setrvačnou hmotností m. Při rychlostech v<<c malých ve srovnání s rychlostí světla tento vztah nabývá přibližný tvar Ekin»(1/2).mov2 odpovídající známému vzorci pro kinetickou energii v klasické mechanice.
Vztah (1.78) udává, že vzrůst kinetické energie tělesa je doprovázen úměrným zvětšením jeho (setrvačné) hmotnosti m. Z analýzy mechanických dějů, jako je dokonale nepružná srážka dvou hmotných těles, s použitím relativistické kinematiky a zákona zachování energie plyne, že podobný vztah přímé úměrnosti platí i mezi dodanou energií a vzrůstem klidové hmotnosti tělesa, přičemž zachovávající se celková energie
E = m . c2 = moc2/Ö(1 - v2/c2) = Eo + Ekin (1.80)
se skládá z kinetické energie
Ekin = (m - mo) . c2 (1.80a)
a z klidové energie
Eo = mo . c2 . (1.80b)
Mezi změnou hmotnosti a energie platí univerzální Einsteinův vztah "ekvivalence hmoty a energie"
DE = Dm . c2 (1.80c)
nezávisle na tom, čím je změna energie nebo hmotnosti způsobena. Z (1.80) a definice hybnosti p = m.v plyne (vyloučením v) důležitý obecný vztah mezi energií a hybností:
E2 = p2 c2 + mo2 c4 . (1.81)
Vztahy (1.75) a (1.78)-(1.81), které jsou dynamickým důsledkem relativistické kinematiky, byly zcela přesně ověřeny experimenty v atomové fyzice, jaderné fyzice a fyzice elementárních částic; staly se již "inženýrskou součástí" jaderné techniky.
V nerelativistické fyzice platily dva zcela samostatné a izolované zákony zachování: hmoty a energie. Mezi (setrvačnou) hmotností a energií tělesa neexistoval žádný univerzální vztah. V Einsteinově teorii relativity však platí obecný vztah E = m.c2, podle něhož hmotnost m a energie E každého hmotného objektu jsou si vzájemně úměrné s univerzálním koeficientem c2. Hmotnost a energie, které v klasické fyzice popisují kvalitativně různé vlastnosti matérie, se v teorii relativity ukazují být ekvivalentními charakteristikami množství hmoty.
Geometrie prostoročasu. Čtyřtenzory.
V předrelativistické fyzice prostor a čas vystupovaly jako nezávislé pojmy pro popis pohybu těles. STR však ukazuje, že ve skutečnosti se prostor a čas nerozlučně prolínají. Lorentzovy transformace "promíchávají" časovou souřadnici se souřadnicemi prostorovými při přechodu od jedné vztažné soustavy ke druhé. Fyzikální veličinu, k jejímuž změření stačí jednomu pozorovateli jen pravítko, musí jiný pozorovatel měřit pomocí pravítka i hodinek. Čtyřrozměrný prostoročas, který jsme si zavedli na začátku tohoto odstavce, tak přestává být jen formálním modelem, ale nabývá hluboký geometricko-fyzikální význam. K vyjasnění tohoto významu je třeba zavést v prostoročase metriku, tj. definovat prostoročasové "vzdálenosti" (odlehlosti) mezi událostmi.
Prostoro-časový interval a metrika
Důležitou vlastností vzdálenosti l = Ö[(x2-x1)2 +(y2-y1)2 +(z2-z1)2] dvou bodů (x1,y1,z1) , (x2,y2,z2) v trojrozměrném Eukleidovském prostoru je její neměnnost při přechodu k jiné soustavě prostorových souřadnic (třebas při posunech nebo pootočení souřadnicových os). Výše jsme si ukázali, že veličina s definovaná v (1.66) zachovává svou hodnotu v libovolné inerciální soustavě, při libovolných Lorentzových transformacích prostoročasových souřadnic. Invariantní veličina s definovaná vztahem
s1,22 = -c2(t2-t1)2 + (x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2 (1.82)
a nazývaná prostoročasovým intervalem mezi událostmi (t1,x1,y1,z1) a (t2,x2,y2,z2), hraje tedy úlohu prostoročasové vzdálenosti (odlehlosti) dvou událostí *).
*) Prostočasový interval s a jeho diferenciální element ds hraje v teorii relativity klíčovou úlohu. Vyjadřuje, jak jsou prostoročasové události od sebe "daleko" - v prostoru i čase. Podle našich konvenčních představ dvě události mohou být od sebe "daleko" ze dvou důvodů:
1. Buď se odehrály v různých od sebe vzdálených místech prostoru;
2. Nebo se staly v různou dobu, proběhl mezi nimi dlouhý "časový interval".
Teorie relativity "promíchává" prostor a čas a slučuje je do jednotného prostoročasového kontinua. Prostoro-časová "vzdálenost" mezi dvěma událostmi "1" a "2" se pak vyjadřuje pomocí prostoročasového intervalu s1,2 podle vztahu (1.82). Něco jako Pythagorova věta zobecněná na 4-rozměrný (pseudo)eukleidovský prostoročas. Tato hodnota prostoročasového intervalu nezávisí na vztažné či souřadnicové soustavě, vzhledem k níž je stanovována (plyne to z konstantní rychlosti světla c; a z toho pak plynou výše odvozené Lorentzovy transformace (1.69) STR) - je zcela objektivní.
V STR vystačíme zpravidla s makroskopickým vyjádřením intervalu s, resp. s2. V následující kapitole 2 (jakož i ve všech dalších kapitolách knihy) uvidíme, že v zakřiveném prostoročase obecné teorie relativity je třeba použít diferenciální element intervalu ds (resp. jeho kvadrát ds2), který má speciální funkční vyjádření, charakterizující zakřivení prostoročasu - že v různých místech jsou odlišná prostorová měřítka a různá rychlost plynutí (souřadnicového) času.
Jestliže známe prostoročasový interval, tj. závislost elementu ds2 na souřadnicích, víme o prostoročasu "všechno" a můžeme pomocí toho zkoumat, jak se v něm budou pohybovat tělesa (částice) a šířit světlo (fotony). Jinými slovy, známe metrický tenzor gik a rovnice geodetických čar - trajektorií volných částic v gravitačním poli (§2.4 "Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase").
Tím máme v prostoročase zavedenou tzv. Minkowského metriku, kterou v diferenciálním tvaru můžeme zapsat
ds2 = -c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 ;
zavedeme-li nové označení x°ş ct, x1şx, x2şy, x3şz , bude Minkowskiho metrika mít tvar *)
ds2 = -(dx°)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 . (1.83)
Od normální Eukleidovské metriky se liší záporným znaménkem u časové souřadnice. Taková metrika se označuje jako pseudoeukleidovská. Zatímco v Eukleidově geometrii je vzdálenost mezi dvěma body rovna nule jen tehdy, když oba body splývají, interval mezi dvěma událostmi v prostoročase může být nulový i tehdy, když obě události jsou od sebe velmi daleko (např. jednou takovou událostí může být vyslání rádiového signálu zde na Zemi a druhou událostí jím vyvolaný manévr kosmické rakety třebas někde u Jupitera).
*) Ve speciální teorii relativity (zvláště ve starší literatuře) se často používá imaginární časová souřadnice x4= ict, která byla Minkowským zavedena proto, aby se geometrie prostoročasu formálně podobala geometrii Eukleidova prostoru: ds2 = (dx4)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 . Tento formalismus má při geometrické intetepretaci STR některé výhody, např. Lorentzova transformace může být znázorněna jako pootočení souřadnicového systému. Použití imaginární časové souřadnice má však též nevýhody. Zakrývá některé důležité strukturní vlastnosti plynoucí z pseudoeukleidovského charakteru prostoročasu a k výpočtu některých fyzikálních veličin, které jsou reálné, se zbytečně používají operace s komplexními čísly. Hlavně však použití imaginární časové souřadnice ztrácí jakýkoliv význam v obecné teorii relativity, kde geometrii zakřiveného prostoročasu nelze nijak "připodobnit" Eukleidově geometrii. A protože STR nám zde slouží jako základ pro vybudování obecné teorie relativity a studium obecných vlastností prostoročasu, budeme zásadně používat reálnou časovou souřadnici x° = c t .
Jelikož se ve STR zabýváme pohyby o rychlostech blízkých rychlosti světla, je vhodné v prostoročasových diagramech na časové ose místo prostého času t vynášet časovou souřadnici x°= c.t, aby měřítko na časové ose bylo souměřitelné se škálami na osách prostorových. Takový prostoročasový diagram, na němž je vyznačena osa x a k ní kolmá časová osa c.t (souřadnice y a z jsou pro jednoduchost vynechány), odpovídající výchozí vztažné soustavě S, je znázorněn na obr.1.5c. Na těchto souřadnicových osách lze odečítat prostoročasové souřadnice libovolného světobodu (události) ve vztažné soustavě S. Aby bylo možno odečítat prostoročasové souřadnice těchto událostí ve vztažné soustavě S', pohybující se vzhledem k S ve směru osy x rychlostí V, je třeba na tomto diagramu vytyčit souřadnicové osy x' a x'°= c.t' odpovídající soustavě S'. Osa x', která je dána podmínkou t'= 0, je podle (1.69) přímka ct =(V/c).x ; osa t', daná podmínkou x'=0, je přímka x = (V/c).ct. Jak je tedy vidět z obr.1.5c, přechod k jiné inerciální soustavě pomocí Lorentzových transformací geometricky znamená přechod ke kosoúhlé soustavě prostoročasových souřadnic, jejíž osy jsou vůči původním osám nakloněny o úhel a daný vztahem tga= V/c. Tento úhel sklonu a roste s rychlostí soustavy S' vůči S, a při V®c se blíží 45°, kdy osy x' a ct' splývají. Z takového geometrického vyjádření Lorentzovy transformace velmi názorně plynou kinematické efekty STR jako je kontrakce délek nebo dilatace času; rovněž se zde elegantně řeší známý paradox hodin [232],[242] - je podrobněji analyzováno výše v pasáži "Paradoxy STR".
Kauzální vztahy v prostoročase
Prostorové a časové souvislosti mezi událostmi a tělesy jsou vyjádřeny geometrickými vztahy mezi příslušnými útvary ve čtyřrozměrném prostoročase. Nejjednoduššími geometrickými objekty v prostoročase jsou již zmíněné světobody představující jednotlivé elementární události.
Základem našeho poznávání objektivní reality jsou příčinné (kauzální) vztahy mezi jevy a událostmi. Podívejme se proto, jaká omezení na příčinné vztahy mezi událostmi kladou zákonitosti STR. Sledujme dvě události Aş(tA,xA,yA,zA) a Bş(tB, xB,yB,zB) z hlediska vztažné soustavy S (obr.1.6a). Časový interval mezi nimi označíme tAB = tB - tA a jejich prostorovou vzdálenost lAB: lAB2 = (xB-xA)2 +(yB-yA)2 + (zB-zA)2; prostoročasový interval sAB mezi nimi bude sAB2 = -c2t2AB + l2AB. Událost B může mít nějakou příčinnou souvislost s událostí A pouze tehdy, když tyto události mohou být spojeny signálem šířícím se pomaleji než světlo, tj. za předpokladu, že lAB < c.tAB, neboli
sAB2 < 0 .
Interval splňující tuto nerovnost se nazývá časový (časového typu, "času-podobný"). Zda dvě události spojené intervalem časového typu spolu skutečně souvisejí, záleží na konkrétních okolnostech - v zásadě však vždy mohou.
Je-li interval mezi dvěma událostmi časového charakteru, lze vždy nalézt takovou vztažnou soustavu S', v níž obě události proběhnou ve stejném místě rostoru (l'AB=0). Časový interval mezi oběma událostmi v této soustavě pak je t'AB = Ö(-s2AB/c2) > 0. Pokud interval mezi dvěma událostmi A a B je časového charakteru a z hlediska vztažné soustavy S událost B nastala později než A, tj. tB > tA, platí tato časová relace i v každé jiné inerciální soustavě (neexistuje žádná vztažná soustava, v níž by událost B předcházela události A) - událost B je tedy absolutně budoucí vzhledem k A. Probíhají-li dvě události A a B s týmž tělesem, je interval mezi nimi vždy časového typu, protože dráha lAB, kterou těleso mezi oběma událostmi proběhne, je vždy menší neš c.tAB (rychlost tělesa nemůže být větší než c), takže s2AB = l2AB - c2t2AB < 0.
Jsou-li naopak dvě události A a C odděleny intervalem splňujícím nerovnost
s2AC > 0 - interval prostorového typu,
je lAC > c.tAC, takže mezi těmito událostmi nemůže být žádná příčinná souvislost (událost A nemohla události C o sobě "dát vědět", protože událost C nastala dříve, než by jakýkoliv signál mohl překonat vzdálenost lAC). Pro každé dvě události A a C oddělené intervalem prostorového charakteru lze vždy nalézt takovou vztažnou soustavu S', v níž t'AC=0, tj. v níž obě události proběhnou současně; prostorová vzdálenost obou událostí je zde přitom rovna lAC = sAC. Navíc, pokud v soustavě S událost C nastala později než A (tC > tA), existuje vztažná soustava S'', z jejíhož hlediska je časový sled obou událostí opačný: t''A> t''C. Přitom neexistuje žádná vztažná soustava, v níž by takové události A a C byly soumístné - události oddělené prostorovým intervalem jsou tedy od sebe absolutně vzdálené.
Obr.1.6. Příčinná struktura a pohyb částic v Minkowského prostoročase speciální teorie relativity.
a) Prostoročasový diagram třech událostí A,B,C. Událost B může příčinně souviset s A (s2AB < 0), zatímco událost C nemůže na události A nijak záviset (s2AC > 0).
b) Hmotná tělesa (částice) se v prostoročase pohybují po světočárách časového typu ležících uvnitř světelných kuželů, světlo se šíří po izotropních světočárách ležících na plášti světelného kuželu, hypotetické tachyony opisují světočáry prostorového typu.
c) Světelný kužel rozděluje pro každý světobod prostoročas na příčinně související oblasti absolutní budoucnosti a minulosti a na absolutně vzdálené oblasti bez příčinné souvislosti.
Jednorozměrné křivky - světočáry - ve 4-rozměrném prostoročase reprezentují pohyby částic. Protože rychlost každého hmotného tělesa je limitována rychlostí světla, bude na prostoročasovém diagramu světočára každé částice svírat s časovou osou x° úhel menší než 45°; množina všech světočar zkušebních částic procházejících daným bodem O tedy vyplňuje v prostoročase "kužel" (4-kužel)
x2 + y2 + z2 - c2.t2 < 0
s vrcholem v tomto bodě O podle obr.1.6b (kde je událost O vzata jako počátek souřadnicové soustavy). Takové světočáry se nazývají časového typu, protože interval mezi jejich dvěma libovolnými světobody (t,x,y,z) a (t+dt,x+dx,y+dy,z+dz) splňuje relaci ds2 < 0 - je časového charakteru.
Foton se pohybuje po světočáře dx2 = (dx°)2, tj. po přímce nakloněné 45° k časové ose. Množina světočar všech fotonů procházejících bodem O (tj. z bodu O vyzářených nebo do bodu O přicházejících) tvoří v prostoročase "plochu" (hyperplochu)
x2 + y2 + z2 - c2.t2 = 0 ,
tj. plášť zmíněného kužele - tzv. prostoročasového světelného kužele rozbíhajícího se z bodu O na všechny strany pod úhlem 45° k časové ose x°. Tento plášť světelného kuželu v prostoročase vyjadřuje šíření kulové světelné vlny vycházející z počátku O (x=y=z=0) v časovém okamžiku t=0. Světočáry ležící na plášti světelného kuželu se nazývají světelné, izotropní nebo nulové; prostoročasový interval mezi libovolnými jejich světobody je roven nule: ds = 0.
Světelný kužel namířený z dané události O do budoucnosti obsahuje všechny události, které mohou být událostí O ovlivněny; světelný kužel sbíhající se v bodě O z minulosti obsahuje všechny události, které mohly událost O ovlivnit. Množina všech dvojitých světelných kuželů vycházejících z každého bodu (události) prostoročasu v něm vytváří rozvětvující se příčinnou strukturu. Příslušný světelný kužel pro každou událost (světobod) rozděluje prostoročas na tři oblasti (obr.1.6c): oblast absolutní budoucnosti a absolutní minulosti uvnitř světelného kužele, a mimo něj ležící oblast obsahující "absolutně vzdálené" události bez příčinné souvislosti.
V prostoročase si dále můžeme představit též světočáry prostorového typu, které leží mimo světelný kužel a interval mezi jejichž světobody ds2> 0 je prostorového charakteru. Světočáry prostorového typu reprezentují pohyb nadsvětelnou rychlostí a nemohou proto odpovídat žádnému reálnému tělesu. Mohly by vyjadřovat pohyb hypotetických tachyonů (viz níže). Pohyb po světočárách prostorového typu je doprovázen "patologickým" kinematickým a kauzálním chováním: na prostoročasovém diagramu lze snadno nalézt vztažnou soustavu, v níž taková částice bude současně na dvou různých místech, i soustavy v nichž tachyon doletí do svého cíle dříve, než byl svým zdrojem vyzářen - poruší příčinnost (existuje sice interpretace, v níž porušení kauzality nenastává, avšak i zde jsou určité problémy [102]). V dalším nebudeme proto světočárám prostorového typu připisovat fyzikální význam. Zařadíme zde ale stručnou pasáž o tachyonech :
Tachyony - částice rychlejší než světlo?
Ze speciální teorie relativity plyne, že žádné hmotné těleso či částice se nemůže pohybovat rychleji než světlo, přičemž rychlostí světla se pohybují pouze částice s nulovou klidovou hmotností. Někteří fyzikové se však s tímto omezením a asymetrií v oblasti rychlostí nechtěli smířit a vyslovili spekulativní hypotézu, že by mohly existovat exotické částice zvané tachyony (řec. tachyos = rychlý), které by se pohybovaly vyšší rychlostí než světlo [80],[102] *).
*) Zastánci hypotézy tachyonů rozdělují částice na tři druhy: Částice s (reálnou) nenulovou klidovou hmotností, pohybující se podsvětelnou rychlostí, nazývají bradyony či tardyony. Částice s nulovou klidovou hmotností, pohybující se rychlostí světla, označují jako luxony. A částice, které by se pohybovaly nadsvětelnou rychlostí, se všeobecně nazývají tachyony.
Ze základních vztahů (1.75) a (1.81) relativistické dynamiky mezi (setrvačnou) hmotností, rychlostí, hybností a energií, plynou některé neobvyklé "exotické" vlastnosti tachyonů. Ze vztahu m = mo/Ö(1 - v2/c2) při v>c vychází imaginární hmotnost tachyonu; totéž platí pro jeho energii E. Pokud tachyon urychlujeme, snižuje se jeho energie; tachyon s nulovou energií by se pohyboval nekonečně rychle. Z hlediska kvantové fyziky by se naráželo na problém, že při vzniku virtuálních párů tachyonů by se tyto od sebe vzdálily velmi rychle na větší vzdálenost než je Comptonova a nemohly by zpětně anihilovat - vakuum by se tím stalo zcela nestabilní. Pokud by byl tachyon elektricky nabitý, při svém pohybu vakuem nadsvětelnou rychlostí by snad vyzařoval Čerenkovovo elektromagnetické záření *) - to by snižovalo jeho energii a tedy zvyšovalo jeho rychlost, elektricky nabité tachyony by samovolně vyzářily veškerou svoji energii. I u elektricky nenabitého tachyonu lze podle obecné teorie relativity očekávat, že při svém pohybu vakuem rychlostí větší než c by měl tachyon vyzařovat gravitační Čerenkovovo záření (vytvářející kužel táhnoucí se za ním), které by odnášelo energii tachyonu, který by se tím urychloval na stále vyšší rychlost.
*) Čerenkovovo záření je elektromagnetické záření vznikající tehdy, když se elektricky nabitá částice pohybuje v optickém prostředí rychlostí převyšující rychlost světla v tomto prostředí (která je menší než c). Toto záření je jakousi "rázovou vlnou" podobnou akustickému třesku v atmosféře u letadla pohybujícího se nadzvukovou rychlostí. Fyzikální mechanismus vzniku Čerenkovova záření je popsán v pasáži "Čerenkovovo záření" §1.6 "Ionizující záření" knihy "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření". "Klasické" Čerenkovovo záření vzniká interferencí depolarizačních elektromagnetických vln látkového prostředí z jednotlivých míst dráhy částice. V případě tachyonu ve vakuu však látkové prostředí chybí, snad by se zde mohla projevit elektrická polarizace vakua, jejíž "virtualitě" by částice "uletěla" a polarizace by se stala reálnou..?..
Jelikož podobně jako v elektrodynamice zrychleným pohybem elektrických nábojů vznikají elektromagnetické vlny, podle obecné teorie relativity vznikají zrychleným pohybem hmoty gravitační vlny šířící se rovněž rychlostí c, lze očekávat i gravitační analogii Čerenkovova záření (k tomuto je autor této knihy skeptický - jakým mechanismem by se parciální vlny budily..?..).
Tyto "divoké" dynamické vlastnosti tachyonů, stejně jako shora zmíněné kinematické a kauzální patologie, jsou z fyzikálního hlediska jen těžko přijatelné. Proto je reálná existence tachyonů ve fyzice obecně odmítána. Žádné jevy svědčící pro účast tachyonů nebyly pozorovány, tyto částice nemají ani žádnou úlohu v logické stavbě teoretické fyziky, nejsou nutné k vysvětlení žádného dosud pozorovaného jevu. Podle principu Occamovy břitvy (je diskutován v §1.1) se tedy předpokládá, že neexistují.
Tachyony se občas objevují jako některá řešení ve formalismu unitárních teorií pole, viz. §B.6 "Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny.". Zařazení tachyonů mezi další "exotické" a hypotetické částice do systematiky elementárních částic je zmíněno v §1.5 "Elementární částice", pasáž "Hypotetické a modelové částice" knihy "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření".
Vzhledem k invariantnosti intervalu má klasifikace prostoročasových intervalů mezi událostmi a světočar částic na časové, izotropní (nulové) a prostorové, stejně jako rozdělení oblastí prostoročasu podle kauzální souvislosti na absolutně budoucí nebo minulé a absolutně vzdálené, absolutní význam, nezávislý na vztažné soustavě. I když konkrétní prostorové a časové relace mezi událostmi obecně závisejí na vztažné soustavě z níž jsou pozorovány, u příčinně souvisejících událostí mají pojmy "dříve" a "později" absolutní význam. Jen tak mohou mít smysl pojmy příčiny a následku. Teorie relativity tedy fyzikálně konkretizuje pojem příčinnosti na základě vlastností šíření interakcí. Souvislosti mezi příčinností a strukturou prostoročasu budou podrobněji rozvedeny v §3.2 a 3.3.
Obr.1.7. Vyjádření evoluce a pohybu těles ve čtyřrozměrném prostoročase.
a) Těleso T v trojrozměrném prostoru a jeho projekce do roviny XY.
b) Hyperrovina x° = const. = c.t ve čtyřrozměrném prostoročase představuje celý nekonečný trojrozměrný prostor v časovém okamžiku to.
c) Těleso T opisuje ("vyřezává") při svém pohybu v prostoročase čtyřrozměrnou "světovou trubici".
d) Světová trubice pulzujícího tělesa.
Dalšími geometrickými útvary v prostoročase jsou dvojrozměrné plochy a trojrozměrné hyperplochy ("nadplochy"). Hyperrovina x° = const., tj. t = const.= to v prostoročase je vlastně celý nekonečný trojrozměrný prostor v časovém okamžiku t = to. Máme-li nějaké (trojrozměrné) těleso T (obr.1.7a) v okamžiku to, bude v prostoročase vyjádřeno jako příslušný ohraničený útvar v hyperrovině x°= c.to= const. (obr.1.7b), jehož (dvojrozměrná) hranice představuje povrch tělesa T v čase t = to. Fyzikální soustava konečných rozměrů (např. vnitřek tělesa T) při svém pohybu a vývoji opisuje ("vyřezává") v prostoročase jakousi čtyřrozměrnou "trubici" zvanou prostoročasová neboli světová trubice, která vyjadřuje množinu všech bodů soustavy (tělesa) ve všech časech t (obr.1.7c). Trojrozměrný "plášť" této trubice představuje povrch tělesa ve všech časech - evoluci tvaru tělesa. Např. povrch kulového tělesa o konstantním poloměru R se středem v počátku souřadnic (tj. kulová plocha x2+y2+z2 = R2= const.) ve všech časech t bude v prostoročase tvořit válcovou hyperplochu s osou x°.
Důležitým speciálním případem 4-rozměrné prostoročasové (světové) trubice je světelný kužel, analyzovaný výše v části "Kauzální vztahy v prostoročase", obr.1.6. Jeho trojrozměrný plášť daný rovnicí x2+y2+z2-c2t2 = 0 (světelný "hyperkužel") představuje povrch obyčejné koule (vlnoplochu světelného signálu) se středem v počátku, jejíž poloměr se nejprve zmenšuje rychlostí světla z nekonečna až k nule, a potom zase roste rychlostí c do nekonečna. Většinou se však bere jen ta polovina světelného kužele, která směřuje do budoucnosti.
Podobně jako světočáry, i hyperplochy v prostoročase se klasifikují na prostorové, izotropní (světelné) a časové podle toho, zda čtverec intervalu mezi jejich světobody je vždy kladný, může být nulový nebo záporný. Např. hyperrovina t=const. je prostorového typu, plášť světelného kuželu je izotropní hyperplochou.
Čtyřrozměrné vektory a tenzory
Prostoročasové souřadnice a komponenty veličin v prostoročase budeme označovat latinskými indexy i,j,k,..,m,n,..., které nabývají hodnoty 0,1,2,3; např. xi ş (x°,x1,x2,x3). Čistě prostorové souřadnice a komponenty budeme opatřovat řeckými indexy a,b,....,m,n,..., probíhajícími hodnoty 1,2,3; např. xaş (x1,x2,x3). Při zápise algebraických operací s těmito indexovanými veličinami je velmi výhodné používat tzv. Einsteinova sumačního pravidla, podle něhož přes každý index, vyskytující se v součinu dvakrát, se provádí sčítání, přičemž sumační symbol S se vynechává. Například i=0S3AiAi = A°Ao+A1A1+A2A2+A3A3 ş AiAi; zjednodušení zápisu je evidentní.
Výraz pro prostoročasový interval (1.83) STR je speciálním případem obecné kvadratické formy
ds2 = gik dxi dxk = hik dxi dxk , (1.84)
jejíž koeficienty, tzv. metrický tenzor gik (viz §2.1) *), má speciální tvar
gik = hik ş / -1 0 0 0 \ ;
hik se někdy nazývá Minkowského metrický tenzor.
*) Zde v STR je zavedení metrického tenzoru jen formální, při použití běžných kartézských souřadnic má triviální hodnoty komponent. V kap.2 (a ve všech dalších) uvidíme, že metrický tenzor má klíčový význam v obecné teorii relativity - popisuje gravitaci jakožto geometrii zakřiveného prostoročasu.
Přechod od inerciální soustavy S se souřadnicemi xi ş (x°,x1,x2,x3) k soustavě S' se souřadnicemi x'i ş (x'°,x'1,x'2,x'3) musí být lineární transformací prostoročasových souřadnic
x'i = k=0S3aik xk + bi = aik xk + bi , i=0,1,2,3 (1.86)
(aik a bi jsou konstanty nezávislé na x), protože podle principu relativity částice, pohybující se rovnoměrně přímočaře v inerciální soustavě S, se musí rovnoměrně přímočaře pohybovat i z hlediska každé jiné inerciální soustavy S'. Aby byl splněn princip stálé rychlosti světla, musí tato transformace dále vyhovovat podmínce
s2 = hik xi xk = hik x'i x'k = s'2 (1.87)
invariantnosti intervalu. Transformace xi®x'i (1.86) vyhovující podmínce (1.87) jsou čtyřrozměrným vyjádřením obecných Lorentzových transformací mezi inerciálními soustavami S a S'. Jestliže souřadnice a čas měříme takovým způsobem, že při t=t'=0 počátky kartézských souřadnic v obou soustavách S a S' splývají, jsou bi = 0 - jedná se o tzv. homogenní Lorentzovy transformace
x'i = aik xk . (1.86')
Na obr.1.5c jsme si ukázali, že Lorentzova transformace geometricky znamená přechod mezi kosoúhlými prostoročasovými souřadnicemi.
Transformační vztah (1.86) obsahuje celkem 4´4=16 zdánlivě nezávislých koeficientů aik. Dosazením z transformačního vztahu (1.86') do (1.87) však dostaneme podmínku hik = hlm ali amk, která tyto koeficienty svazuje 10-ti rovnicemi (vzhledem k symettrii v indexech i,k). Zůstává proto pouze 6 nezávislých transformačních koeficientů v (1.86')- odpovídají třem parametrům udávajícím směr os x',y',z' a třem komponentám vektoru rychlosti pohybu soustavy S' vůči S. Množina všech homogenních Lorentzových transformací (1.86') tvoří grupu - spojitou 6-parametrovou Lorentzovu grupu (Ą6).
Rovněž množina všech nehomogenních Lorentzových transformací (1.86), které z homogenních transformací vznikají přidáním čtyř transformací posunu počátku prostoročasových souřadnic x'i®x'i + bi, tvoří 6+4=10-parametrovou grupu - tzv. Poincarého grupu.
V případě speciální Lorentzovy transformace vztah (1.86') přejde v (1.69), takže koeficienty aik mají hodnoty
(1.86'')
Hlavním úkolem speciální teorie relativity je formulace fyzikálních zákonů nezávisle na inerciální vztažné soustavě. Ve čtyřrozměrném prostoročase tyto fyzikální zákony přecházejí v geometrické vztahy mezi objekty v prostoročase, které jsou nezávislé na volbě prostoročasových souřadnic. Podobně jako v trojrozměrném prostoru klasické fyziky vektorový zápis fyzikálních zákonů zaručuje jejich platnost nezávisle na použitých prostorových souřadnicích (neměnnost např. při posunech nebo pootočeních souřadnicových os), splnění principu relativity ve STR lze nejlépe vyjádřit tím, že fyzikální zákony budou formulovány jako vektorové a tenzorové rovnice ve čtyřrozměrném prostoročase. Taková vektorová nebo tenzorová rovnice platná v jedné souřadnicové soustavě, automaticky platí i v každé jiné soustavě souřadnic. Navíc zákony mechaniky a elektrodynamiky nabývají zvláště jednoduchý a názorný charakter, jsou-li vyjádřeny pomocí vztahů mezi vektory a tenzory ve čtyřrozměrném prostoročase - viz níže "Čtyřrozměrná mechanika" a "Čtyřrozměrná elektrodynamika".
Souřadnice (ct,x,y,z) = (x°,x1,x2,x3) ş xi dané události lze považovat za komponenty čtyřrozměrného "polohového vektoru" příslušného světobodu v prostoročase. Čtverec "délky" tohoto polohového 4-vektoru lze pak definovat jako interval mezi počátkem (0,0,0,0) a daným světobodem (x°,x1,x2,x3): (xi)2 = -(x°)2 +(x1)2+(x2)2 +(x3)2 = hik xi xk ; je to veličina invariantní vzhledem k Lorentzovým transformacím. V kontextu s obecnou definicí vektorů v n-rozměrném prostoru se pod čtyřrozměrným vektorem (4-vektorem) Ai rozumí soubor čtyř veličin A°,A1,A2,A3, které se při transformacích (1.69') prostoročasových souřadnic transformují stejně jako souřadnice xi :
A'i = aik Ak = (¶x'i/¶xk) . Ak . (1.88)
Kromě uvedených komponent 4-vektorů Ai s indexy nahoře, zvaných kontravariantní, se zavádějí též tzv. kovariantní složky Ai s indexy dole pomocí vztahu
Ai ş hik Ak , tj. Ao = -A° , A1 = A1 , A2 = A2 , A3 = A3 . (1.89)
Lze snadno ukázat, že transformační vlastnosti kovariantních složek jsou
A'i = (¶xk/¶x'i) . Ak , (1.88')
tj. kovariantní a kontravariantní složky se transformují navzájem "kontragredientně".
Pod skalárním součinem dvou 4-vektorů A a B se rozumí algebraický výraz AiBi = A°Bo + A1B1 + A2B2 + A3B3 = hikAiBk = -A°B°+A1B1+A2B2+A3B3 = AiBi; jedná se o skalár invariantní vzhledem k transformacím souřadnic. Čtverec velikosti daného 4-vektoru A se definuje jako jeho skalární součin samého se sebou: (A)2 ş AiAi = -(A°)2+(A1)2 +(A2)2+ (A3)2. Podle znaménka čtverce 4-vektoru se prostoročasové čtyřvektory rozdělují na tři skupiny : AiAi < 0 - vektor časového typu; AiAi = 0 - nulový neboli izotropní vektor; AiAi > 0 - vektor prostorového typu. Tři prostorové složky A1,A2,A3 4-vektoru Ai tvoří trojrozměrný vektor A (vzhledem k transformacím čistě prostorových souřadnic), takže soubor komponent 4-vektoru lze symbolicky zapsat jako Ai ş (A°,A). Takové rozložení 4-vektoru na prostorovou a časovou část lze provést v každé inerciální soustavě, mění se však samozřejmě při Lorentzových transformacích. Čtverec 4-vektoru Ai potom je AiAi = -(A°)2+ A2. Pro vektor Ai časového typu lze vždy nalézt takovou soustavu S', v níž prostorový vektor A'=0 (je to soustava S', jejíž časová osa má směr 4-vektoru Ai); podobně pro každý vektor Bi prostorového typu lze najít soustavu S', v níž je jeho časová komponenta B'°= 0.
V prostoročase se dále pomocí svých transformačních vlastností zavádějí složitější veličiny - tenzory. Kontravariantním 4-tenzorem r-tého řádu se rozumí souhrn 4r veličin Ti1,i2,...,ir, které se při transformaci souřadnicové soustavy xi®x'i = aikxk transformují jako součin r-souřadnic xi :
T'i1,i2,...,ir = ai1k1. ai2k2 ... airkr . Tk1,k2,...,kr .
Analogicky kovariantní a smíšené tenzory - viz obecnou definici v §3.1. Skalár je tenzorem 0.řádu, vektor tenzorem 1.řádu.
Souvislost mezi kovariantními a kontravariantními složkami tenzorů, tj. "zvedání" a "spouštění" indexů, se uskutečňuje přes metrický tenzor, ve STR tedy přes Minkowského tenzor hik. Např. Tik =himTmk = hil.hkm.Tlm. Při použité Minkowskiho metrice platí jednoduché pravidlo: při zvedání a spouštění prostorových indexů (1,2,3) se hodnoty komponent nemění, při zvedání a spouštění časového indexu (o) se mění znaménko této složky.
Aritmetické operace mezi tenzory (složkami tenzorů) se řídí jednoduchými a přirozenými pravidly tenzorové algebry [214],[163],[33]. Pomocí tenzorového součinu vznikají tenzory vyšších řádů, např. součinem tenzoru 2.řádu Aij a 1.řádu Bk (tj. čtyřvektoru) vzniká tenzor 3.řádu Tijk = Aij.Bk ; analogicky pro smíšené tenzory. Naopak, pomocí operace "zúžení", spočívající v sumaci přes dvojici indexů v daném tenzoru, vznikají tenzory nižších řádů. Např. z tenzoru čtvrtého řádu Aiklm zúžením vznikne tenzor druhého řádu Aik = Aikll; zúžením tenzoru 2.řádu Aik dostaneme skalár A = Aii = A°o+A11+A22+A33 , který se nazývá stopou tenzoru Aik.
Mezi tenzory 2.řádu zaujímají zvláštní postavení Minkowskiho tenzor hik a hik, a rovněž tzv. Kroneckerův delta-symbol dik : dik=1 pro i=k, dik=0 pro iąk - jeho stopa dii= 4; komponenty těchto tenzorů jsou stejné ve všech souřadnicových soustavách STR. Takové tenzory se nazývají izotropní. Platí him.hmk = dik a pro každý vektor Ai je dkiAi= Ak; tenzor dki má tedy charakter jednotkového 4-tenzoru 2.řádu. V tenzorovém počtu se rovněž často používá jednotkový izotropní tenzor 4.řádu - Levi-Civitův tenzor eiklm antisymetrický ve všech indexech, jehož složka e0123 = +1 a ostatní nenulové složky (tj. ty, u nichž jsou všechny čtyři indexy různé) jsou rovny +1 nebo -1 podle toho, zda daná posloupnost indexů i,k,l,m je z posloupnosti 0,1,2,3 utvořena sudým nebo lichým počtem permutací.
Máme-li skalární, vektorové nebo tenzorové veličiny definovány nejen v jednom bodě, ale v každém bodě dané oblasti prostoru (zde prostoročasu), mluvíme o skalárních, vektorových a tenzorových polích. Pravidla a operace vektorové analýzy, tak užitečné ve fyzice pole a kontinua, je přirozené přenést a zobecnit na čtyřrozměrný prostoročas.
4-gradient skalárního pole j = j(xi) se definuje jako čtyřvektor, jehož kovariantní složky jsou
Čtřdivergencí vektorového pole Ai = Ai(xk) se rozumí skalární pole
Ai,i ş ¶Ai/¶xi = ¶A°/¶t + div A ; (1.91)
analogicky 4-divergencí tenzorového pole Tik je čtyřvektor (vektorové pole) Ti = Tik,k ş ¶Tik/¶xk. Diferenciální operátor ¶/¶xi je výhodné označovat prostě indexem s čárkou " ,i ", což podstatně zjednodušuje zápis takových vztahů. Operátor ¶/¶xi je zobecněním Hamiltonova operátoru Ń = i. ¶/¶x + j.¶/¶y +k.¶/¶z . Prostoročasovým zobecněním Laplaceova diferenciálního operátoru D = ¶2/¶x2 + ¶2/¶y2 + ¶2/¶z2 je d'Alembertův operátor
Tedy žj = j ,i,i = ¶2j/¶x2 + ¶2j/¶y2 + ¶2j/¶z2 - (1/c2) ¶2j/¶t2.
Gaussova věta vektorové analýzy v trojrozměrném Eukleidovském prostoru
podle níž integrál divergence vektoru A přes nějaký objem V je roven toku tohoto vektoru přes uzavřenou plochu S = ¶V ohraničující tento objem, se ve čtyřrozměrném prostoročase zobecňuje na tvar
(1.93')
kde dW = dx0dx1dx2dx3 = c.t.dV je element 4-objemu v prostoročase a dSi jsou složky 4-vektoru elementu hyperplochy S = ¶W ohraničující 4-objem W, přes který se integruje na levé straně; dS° =dx1dx2dx3 = dV, dS1 = dx0dx2dx3 = c.dt.dy.dz, podobně dS2 a dS3.
Vztah mezi křivkovým integrálem vektoru přes uzavřenou křivku C a plošným integrálem přes plochu S, ohraničenou křivkou C, je v trojrozměrné vektorové analýze dán Stokesovou větou
Integrál podél uzavřené čtyřrozměrné křivky C se převádí na integrál přes hyperplochu S ohraničenou touto křivkou C obecně tak, že dxi se nahradí dSik ¶/¶xi. Přímé zobecnění Stokesovy věty pro křivkový integrál 4-vektoru Ai pak zní :
(1.94')
kde komponenty antisymetrického tenzoru plochy dSik = dxidx'k - dxkdx'i udávají projekce plošného elementu (braného jako rovnoběžník se stranami dxi a dx'i) do souřadnicových rovin). Analogicky pro tenzory vyšších řádů.
Čtyřrozměrná mechanika
Pohyb hmotné částice je v klasické mechanice popsán trajektorií v trojrozměrném Eukleidově prostoru
r = r(t) , tj. xa = xa(t) , a = 1,2,3 .
Ve čtyřrozměrném prostoročase je pohyb částice reprezentován její světočárou, kterou lze popsat parametrickou rovnicí
xi = xi ( l ) , (1.95)
kde l je vhodný parametr. Jako parametr l lze použít buď souřadnicový čas t, lépe však invariantní veličiny - vlastní čas t nebo přímo "délku" světočáry danou prostoročasovým intervalem s.
Vektory rychlosti v = dx/dt a zrychlení a = dv/dt = d2x/dt2 hrají důležitou úlohu v klasické mechanice, takže je užitečné zavést jejich čtyřrozměrné analogie. Přímým zobecněním vzniklá veličina dxi/dt se nehodí, protože to není čtyřvektor (dt není invariant). Invariantni mírou času je vlastní čas t, takže jako čtyřrychlost je přirozené definovat 4-vektor se složkami *)
ui =def dxi/dt = c . dx i/ds . (1.96)
Vzhledem ke vztahu (1.72) mezi dt a dt lze složky čtyřrychlosti vyjádřit pomocí obyčejné rychlosti v ve tvaru
(1.96')
při malých rychlostech v«c prostorová část 4-rychlosti přechází v obyčejnou rychlost v. Ze vztahu dxidxi = c2dt2 snadno plyne
u i . u i = c2 . (1.97)
Z geometrického hlediska je čtyřvektor c.ui jednotkový tečný vektor ke světočáře dané částice.
*) Často se 4-rychlost definuje jako ui = dxi/ds = c-1dxi/dt ; takto definovaná čtyřrychlost je bezrozměrnou veličinou.
4-zrychlení částice se definuje jako
ai =def dui/dt = d2xi/dt2 = c2 d2xi/ds2 , (1.98)
Z derivace vztahu (1.97) podle t pak plyne
a i . u i = 0 . (1.99)
tj. čtyřvektory rychlosti a zrychlení v prostoročase jsou vzájemně kolmé. Pohyb volné částice, který probíhá rovnoměrně přímočaře (v=const., a = 0), je ve čtyřrozměrném tvaru vyjádřen rovnicí
a i ş d2xi/dt2 = 0 (1.100)
popisující přímkovou světočáru.
Čtyřrozměrným zobecněním hybnosti p = mo.v klasické mechaniky je 4-vektor
p i =def mo . u i (1.101)
zvaný čtyřhybnost. Dosazením složek u i z (1.96') dostáváme
Srovnáním se vztahy (1.75) a (1.80) pro hybnost a energii ve STR je vidět, že prostorová část 4-hybnosti je rovna relativistické hybnosti p = m.v = mo.v/Ö(1-v2/c2) a časová komponenta je p° = E/c. Složky 4-hybnosti lze proto zapsat jako
p i = ( E/c , p ) . (1.101')
Z prostoročasového hlediska jsou tedy energie E a hybnost p částice složkami jediného čtyřvektoru - 4-hybnosti, kterou lze proto označit za jakýsi "vektor energie-hybnosti" jednoznačně charakterizující pohybový stav částice. Čtverec 4-hybnosti pipi = (moui).(moui) = mo.c2 je podle (1.101) roven pipi = E2/c2 - p.c2, což vede ke vztahu (1.81).
4-vektor síly neboli čtyřsíla se definuje jako časová změna 4-hybnosti částice
f i =def dpi/dt = mo dui/dt . (1.102)
S obyčejným trojrozměrným vektorem síly F = dp/dt souvisejí komponenty 4-síly vztahem
(1.102')
Mezi 4-sílou a 4-hybností platí vztah f i.ui = 0, tj. 4-síla je v prostoročase "kolmá" k 4-rychlosti.
Newtonova pohybová rovnice dp/dt = F má ve čtyřrozměrném zobecnění tvar
dpi/dt = f i ; (1.103)
prostorová část této rovnice popisuje změnu hybnosti, časová komponenta změnu energie částice pod vlivem působící síly.
V teoretické fyzice se pohybové zákony často odvozují pomocí variačního principu nejmenší akce [165]. Volná (relativistická) částice o klidové hmotnosti mo, pohybující se v prostoročase od bodu A bo bodu B, se popisuje integrálem akce
kde s je prostoročasový interval a t vlastní čas částice. Tato akce S je úměrná délce světočáry částice, tj. relativistickému intervalu s. Variační princip nejmenší akce dS = 0 pak vede k Lagrangeovým rovnicím, z nichž plynou pohybové rovnice relativistické mechaniky (1.100).
Tenzor energie-hybnosti
Veličiny energie a hybnost se užívají buď jako charakteristiky jednotlivých diskrétních částic a těles, nebo jako úhrnné veličiny charakterizující danou soustavu jako celek. Máme-li však částice ve vyšetřovaném systému rozloženy dostatečně hustě tak, že je můžeme považovat za kontinuum, nebo se jedná dokonce o pole (v §1.5 jsme si ukázali, že pole je určitou "rozprostřenou" formou hmoty), je třeba vyšetřovat hustotu, s jakou jsou základní fyzikální charakteristiky jako je hmotnost, energie, hybnost, moment hybnosti, elektrický náboj a pod., v prostoru rozloženy. Kromě toho je užitečné popsat, jak tyto veličiny v systému proudí z jednoho místa na druhé.
Označíme-li hustoru energie e = dE/dt, je lokální zákon zachování energie vyjádřen rovnicí kontinuity
¶e / ¶t + div (v.e ) = 0 . (1.104)
Díky univerzálnímu vztahu (1.81) mezi energií, hmotností a hybností je hustota rozložení hybnosti P = dp/dV dána hustotou proudu energie v.e : P = v.e/c (=v.r pro nekoherentní prach). Lokální zákon zachování hybnosti může být napsán ve tvaru
div (v. Pa) + ¶Pa/¶t = 0 , (a = 1,2,3) (1.105)
(zachovává se každá komponenta Pa hybnosti).
Víme, že energie a hybnost jsou v prostoročase složkami 4-vektoru energie-hybnosti (4-hybnosti). Stejně tak rovnice (1.104) a (1.105) zachování energie a hybnosti lze sloučit do jedné tenzorové rovnice
¶ Tik/¶xk ş T ik,k = 0 , (1.106)
Tik = e . / 1 vx/c vy/c vz/c \ (1.107')
| vx/c vxvx/c2 vyvx/c2 vzvx/c2 |
| vy/c vxvy/c2 vyvy/c2 vzvy/c2 |
\ vz/c vxvz/c2 vyvz/c2 vzvz/c2 /
je tenzor energie-hybnosti.
Tenzor energie-hybnosti, který úplně popisuje rozložení a pohyb energie a hybnosti v dané fyzikální soustavě, má obecně strukturu :
tj. (hustota hybnosti)/c \ (1.107)
Rozepsáním tenzorového zákona zachování (1.106) ve složkách a oddělením prostorových a časových derivací dostaneme rovnice
(1/c) (¶T°°/¶t) + ¶T°a/¶xa = 0 , (1/c) (¶Ta°/¶t) + ¶Tab/¶xb = 0 .
Jejich integrací přes nějakou (libovolnou) prostorovou oblast V:
(1/c) ¶/¶t VňT°° dV+ Vň(¶T°a/¶xa) dV = 0 , (1/c) ¶/¶t VňTa° dV+ Vň(¶Tab/¶xb) dV = 0
a po úpravě pomocí Gaussovy věty (trojrozměrné) vznikají dvě rovnice
(1.106'')
kde integrály na pravé straně se berou přes uzavřenou plochu S = ¶V obklopující objem V. Podle první z těchto rovnic je rychlost změny energie obsažené v objemu V rovna toku energie přes uzavřenou plochu S ohraničující tento objem. Podobně druhá rovnice říká, že změna hybnosti obsažené v objemu V za jednotku času je rovna proudu hybnosti přes ohraničující plochu S. Rovnice (1.106'') vyjadřují zákon zachování energie a hybnosti v integrálním tvaru. Obecně, celková čtyřhybnost pi je pomocí tenzoru energie-hybnosti vyjádřena integrálem
p i = (1/c) ň T ik dSk
přes hyperplochu zahrnující celý trojrozměrný prostor. Rovnice (1.106) je pak ekvivalentní tvrzení, že tato 4-hybnost se zachovává.
Obyčejný (trojrozměrný) vektor momentu hybnosti J klasické mechaniky, definovaný jako J = r ´ p (vektorový součin), se ve STR nahrazuje obecnějším 4-tenzorem momentu hybnosti
J ik = xi pk - xk pi .
Je to antisymetrický tenzor, jehož prostorové složky jsou rovny složkám trojrozměrného vektoru J. Pro kontinuum je Jik = ň(xidpk -xkdpi) = (1/c) ň(xiTkm - xkTim)dSm. Aby platil zákon zachování momentu hybnosti Jik,k = 0, musí být (xiTkm - xkTim),m = 0; kromě zákona (1,106) je k tomu zapotřebí, aby tenzor energie-hybnosti byl symetrický (Tik = Tki).
Nejjednodušším typem látky - kontinua - je soubor vzájemně neinteragujících částic označovaný jako nekoherentní prach. Hustota čtyřhybnosti částic v takové soustavě pak je r.ui, takže T°a = r.c2ua (a = 1,2,3). Hustota energie je T°°=r.c2 a hustota proudu hybnosti Tab = r.c.dxa/dtdxb/dt . Tenzor energie-hybnosti nekoherentního prachu tedy je
T ik = r . u i u k .
Použijeme-li při sledování ideální kapaliny vztažnou soustavu v níž uvažovaný objemový element je v klidu, bude platit Pascalův zákon podle něhož tlak p je stejný ve všech směrech. V takové vztažné soustavě tenzor napětí bude roven s ab = p.d ab =Tab ; hustota hybnosti je zde rovna nule, takže T°a = 0, a hustota energie T°°= e = r.c2.
Tenzor energie-hybnosti ideální kapaliny v klidové vztažné soustavě tedy je
T ik = / e 0 0 0 \ .
\ 0 0 0 p /
Po transformaci do obecné vztažné soustavy, v níž daný objemový element se pohybuje čtyřrychlostí ui, bude tenzor energie-hybnosti ideální kapaliny dán vztahem
Tik = (p + e) ui uk + p.hik , resp. Tik = (p + e) ui uk + p.dik . (1.108)
Koncepci tenzoru energie-hybnosti je výhodné zachovat i v případě, kdy se nejedná o skutečné kontinuum. Sestává-li vyšetřovaná soustava z N "bodových" částic o hmotnostech ma (a=1,2,...,N), které se pohybují čtyřrychlostmi uia, pak tenzor energie-hybnosti může být definován jako
kde d3(x) je trojrozměrná Diracova delta-funkce.
Čtyřrozměrná elektrodynamika
Maxwellovy rovnice elektrodynamiky, i když původně vznikly na základě klasických nerelativistických představ, jsou invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci. Elektrodynamika je proto od základu relativistická - elektromagnetické jevy jsou vlastně jediným případem, kdy se s relativistickými efekty setkáváme v běžném životě (není ale snadné si toho všimnout!). Elektrodynamika tedy nepotřebuje žádnou relativistickou reformulaci, teorie relativity nevede k žádným novým a neočekávaným elektromagnetickým jevům. Aplikace zákonitostí speciálni teorie relativity však zavádí v elektrodynamice jasnější a jednotnější řád a ukazuje na hluboké vnitřní souvislosti jevů, které jsou z klasického hlediska chápány jako nezávislé empirické skutečnosti. Tato jednota elektromagnetických zákonitostí zvláště zřetelně vystupuje při čtyřrozměrné prostoročasové formulaci.
Základní veličinou elektrodynamiky je elektrický náboj, pro nějž platí zákon zachování (1.31). Elektrický náboj je definován jako invariantní skalární veličina, takže velikost náboje tělesa je stejná ve všech inerciálních vztažných soustavách:
dq' = r'. dV = r dV ş r . dx1dx2dx3 = dq .
Jelikož objem se při přechodu k jiné inerciální soustavě transformuje podle vztahu dV' = Ö(1 - V2/c2) dV , je transformační zákon pro r stejný jako pro dx°: r' = r/Ö(1 - V2/c2). Hustota elektrického náboje se tedy transformuje jako časová složka nějakého čtyřvektoru. Složky vektoru proudové hustoty j = r.v, které jsou ja = r.va = r .dxa/dt (a = 1,2,3), se vzhledem k chování r transformují jako dxa, tj. jako prostorové složky čtyřvektoru. Veličiny r a j je proto přirozené sjednotit do jednoho 4-vektoru ji ş (c.r, j), tzv. čtyřproudu, jehož komponenty jsou
j° = c.r , j1 = jx , j2 = jy , j3 = jz . (1.109)
Protože složku j° = c.r můžeme vyjádřit pomocí x° = c.t jako j°= r.dx°/dt, lze komponenty 4-proudu definovat takto :
j k = r . dxk / dt . (1.109')
Rovnici kontinuity (1.31b) ¶r/¶t + div j = 0, vyjadřující zákon zachování elektrického náboje, lze potom zapsat ve čtyřrozměrném tvaru
¶ j k / ¶x k = 0 , neboli j k ,k = 0 (1.110)
(4-divergence čtyřproudu je rovna nule).
Podobně pro potenciál z rovnic (1.46a,b) plyne, že co do transformačních vlastností se veličina j chová jako časová a veličiny Aa =(A) jako prostorové složky 4-vektoru, takže elektrický skalární potenciál j a magnetický vektorový potenciál A lze sjednotit do jednoho 4-vektoru
A k ş ( j , A ) , (1.111)
který se nazývá čtyřpotenciál. Rovnice (1.46a) a (1.46b) lze potom sloučit do jedné prostoročasové rovnice
ž A k ş ¶2Ak/¶xm¶xm = -(4p/c) . j k , (1.112)
přičemž Lorentzova kalibrační podmínka (1.45) ve čtyřrozměrném tvaru
¶Ak/¶xk ş A k ,k = 0 (1.113)
značí, že 4-potenciál je volen tak, aby jeho čtyřdivergence byla rovna nule. Rozepsání vztahů E = -gradj -(1/c)¶A/¶t , B = rot A mezi potenciály a intenzitami elektrického a magnetického pole ukazuje, že složky vektorů E a B lze interpretovat jako komponenty antisymetrického 4-tenzoru Fik
F ik =def ¶Ak/¶xi - ¶Ai/¶xk , (1.114)
který se nazývá tenzor elektromagnetického pole. Tento tenzor elektromagnetického pole, vyjádřený pomocí komponent vektorů E a B, má strukturu :
F ik = / 0 Ex Ey Ez \ . (1.114')
| -Ex 0 0 0 |
| -Ey Bz 0 -Bx |
\ -Ez -By Bx 0 /
Je to určitý sjednocující "konglomerát" složek elektrického a magnetického pole, který ve čtyřrozměrném prostoročase úplně popisuje elektromagnetické pole.
Pozn.: Tenzor elektromagnetického pole Fik se někdy nazývá Faradayův tenzor, ačkoli ve Faradayově době ještě žádné tenzory (a už vůbec ne 4-rozměrné!) nebyly známé. Odráží totiž sjednocení elektrického a magnetického pole v duchu Faradayova zákona elektromagnetické indukce.
Lorentzovy pohybové rovnice (1.30 ) nabité hmotné částice v elektromagnetickém poli
lze interpretovat jako prostorové složky čtyřrozměrné rovnice pohybu nabité částice
mo du i / dt = (q/c) Fik uk ; (1.115)
časová komponenta této rovnice popisuje změny energie částice v důsledku práce vykonané elektromagnetickými silami.
První dvojici Maxwellových rovnic (1.40)-(1.41) lze zapsat jako jednu rovnici pro složky tenzoru elektromagnetického pole :
Druhou dvojici Maxwellových rovnic (1.38)-(1.39) lze pak pomocí Fik sjednotit do jediné čtyřrozměrné rovnice
popisující buzení elektromagnetického pole čtyřproudem ji.
Pro formulaci elektrodynamiky pomocí Hamiltonova principu nejmenší akce je lagrangián elektromagnetického pole ve 4-rozměrném tvaru :
L = (1/16pc) FikFik + (1/c2)Ai ji ; (1.117)
z variačního principu dS= d ňL dW = 0 (při variaci složek 4-potenciálu při zadaném rozložení a pohybu nábojů) pak můžeme získat Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole (116a,b).
Vztahy (1.52)-(1.56), vyjadřující hustotu a proud energie a hybnosti v elektromagnetickém poli, lze shrnout pomocí tenzoru energie-hybnosti elektromagnetického pole, který je roven
Tikelmag. = - 1/4p Fim Fkm + 1/16p Flm Flm (1.118)
Po dosazení hodnot Fik z (1.114') je vidět, že T°°elmag. je rovna hustotě energie (1.52) a komponenty T°aelmag. jsou rovny složkám Poyntingova vektoru (1.55). Prostorové složky
T abelmag. = sab = 1/4p [1/2(E2 + B2) dab - EaEb - BaBb]
tvoří trojrozměrný tenzor zvaný Maxwellův tenzor napětí.
Pro jevy mechanické a elektrodynamické je tedy speciální teorie relativity dokonale rozpracována a exrimentálně ověřena. Je však nutno přiznat, že pro jiné jevy než elektromagnetické není speciální teorie relativity přímo ověřena... Nepřímé indicie jsou však velmi pádné..!..
Nelineární elektrodynamika
Při všech intenzitách, které pozorujeme v přírodě i laboratoři, se nám elektické a magnetické pole ve vakuu jeví jako lineární - pro hodnoty intenzit E a B, jakož i pro potenciály, přesně platí princip superpozice. Otázkou je, jak je to u extrémně silných elektromagnetických polí? Pro tuto situaci byly zkonstruovány varianty zobecněné nelineární elektrodynamiky NED, v níž neplatí princip superpozice (výsledné elektromagnetické pole dvou nábojů není rovnou součtu polí jednotlivých nábojů). Projevuje se zde samointerakce pole - dochází např. k rozptylu "světla na světle". Očekává se, že tyto jevy nelineární elektrodynamiky *) by se mohly projevovat v oblasti velmi silných elektromag. polí a vysoce intenzívních svazků elektromagnetického záření (zatím nedosažených v našich experimentech).
*) Máme zde na mysli chování polí ve vakuu, nikoli jevy nelineární optiky způsobené nelineární polarizací či magnetizací v látkových prostředích.
Motivace pro zobecnění klasické elektrodynamiky se začaly objevovat již na počátku 20.stol. v souvislosti s ne zcela uspokojivým modelem nabité částice (bodová nabitá částice v centru vykazovala nekonečné hodnoty Coulombova pole, s nekonečnou energií - singularitu). V r.1912 G.Mie navrhl, že elektromagnetické pole by mohlo být složeno ze součtu klasického Maxwellova pole a druhého nelineárního přídavného členu (složeného z potenciálů A), který by byl významný pouze v oblasti atomárních rozměrů (tato varianta nepronikla do širšího povědomí fyzikální veřejnosti).
Zkoušely se i některé jiné modifikace Coulombova zákona pro intenzitu E a potenciál F :
- Malá oprava "e" v zákonu obrácených čtverců: E(r) = Q/r2+e ;
- Do standardního Coulombovského potenciálu F(r) = Q/r zařadit složku s Yukawovým potenciálem F´(r) = Q.e-m.r/r (používaným v jaderné fyzice - je zmíněn např. v pasáži "Silná jaderná interakce" §1.1 monografie "Jaderná fyzika a ionizující záření"). Toto by bylo ekvivalentní zavedení nenulové hmotnosti fotonu mf s Comptonovou délkou m = mf.c/h......
Žádný z těchto prvotních pokusů o nelineárních rozšíření elektrodynamiky nevedl k uspokojivým výsledkům...
Základní konzistentní variantu nelineárního zobecnění klasické Maxwellovy elektrodynamiky NED navrhli v r.1934 M.Born a L.Infeld [23] - Born-Infeldova elektrodynamika (B-I). Motivací bylo odstranění singularity v bodovém náboji - s cílem stanovení konečné hodnoty vlastní elektrické energie elektronu. Pro tento účel zde zavedli hypotézu maximální možné hodnoty intenzity elektrického pole Emax a potenciálu Fmax, analogicky jako v relativistické mechanice STR existuje maximální možná (limitní) rychlost c pohybu hmotných těles. Realizovali to zavedením speciálního parametru nelinearity "b" v modifikovaných rovnicích pole tak, aby intenzita elektrického pole bodového náboje Q (místo standardního Coulombova zákona E=Q/r2) závisela na vzdálenosti r podle zákona :
E(r) = Q/Ö(r4 + Q2.b2)
(tečkovaná křivka na obr.1.8 vpravo), při němž je intenzita elektrického pole v počátku r=0 konečná a rovněž celková energie elektrického pole je konečná (vztahy (1.122-123)).
Pozn.: Někdy se parametr "b" značí řeckým "b" a používá se jeho převrácená hodnota 1/b či 1/b.
V klasické Maxwellově elektrodynamice je lagrangián ve 4-rozměrné formulaci dán výše uvedeným vztahem (1.117):
L = (1/16pc) FikFik + (1/c2)Ai ji .
Lagrangián elektromag. pole v B-I je modelován ve zobecněném tvaru obsahujícím parametr nelinearity "b" (který pak v rovnicích charakterizuje maximální možnou intenzitu elektrického pole - viz níže vztahy (1.123)) :
LBI = b-2 [(1 - Ö[1 + b2.FikFik/2 - b4.(FikFikeiklm)2/16]] + Ai ji , (1.119)
kde Fik je tenzor elektromagnetického pole (1.114) (F ..= F.. . eiklm. je jeho ..sdružený.., násobený jednotkovým ... Levi-Civitův tenzor eiklm antisymetrický ...doplmit,upravit ; v lagrangiánech zatím vynecháváme c (konvence c=1)............).
Pro čistě elektrické pole E, tj. při B=0, je L = b-2 [1 - Ö(1 - b2.E2)].
V 3-rozměrné vektorové symbolice elektrické intenzity E a magnetické indukce B je standardní Maxwellovský lagrangián (1.42): L = 1/8p (E2-B2) + j.A - r.j , zatímco v B-I NED má lagrangián tvar :
LBI = b-2 [(1 - Ö[1 + b2(B2-E2) - b4.(B.E)2]] + j.A - r.f . (1.119´)
V limitě b-->0 dostáváme standardní Maxwellovu elektrodynamiku, pro b>0 jsme ve variantě nelinearity.
Z principu nejmenší akce s lagrangiánem LBI (1.119´) plynou rovnice elektromagnetického pole v BI modelu :
které jsou formálně stejné jako standardní lineární Maxwellovy rovnice (1.38-41). Nelinearita je "skryta" ve veličinách D ("elektrická indukce") a H ("magnetická intenzita") :
D = ¶L/¶E = [E + b2(B.E) B]/Ö[1 + b2(B2-E2) - b4.(B.E)2]] ,
H = ¶L/¶B = [B - b2(B.E) E]/Ö[1 + b2(B2-E2) - b4.(B.E)2]] , (1.121)
které obsahují faktor "b". Je to analogické jako v elektrodynamice kontinua, kde vztahy mezi E a D=E/e , B a H=B/m obsahují matriálové koeficienty elektrické permitivity e a magnetické permeability m (včetně příp. nehomogenit a nelinearit polarizace a magnetizace).
Řešení rovnic pole (1.120-121) pro sféricky symetrické elektrostatické pole vede k funkční závislosti potenciálu F a intenzity E elektrického pole na radiální vzdálenosti r od bodového náboje Q :
Integrál obsažený ve funkci F(r) pro potenciál lze explicitně vyjádřit pomocí dvou druhů speciálních funkcí :
kde "F(...)" je Legenderova eliptická funkce 1.druhu a "2F1(...)" je tzv. hypergeometrická funkce (složitější mocninná řada z Q2b2/r4). Konkrétní hodnoty těchto složitých funkcí lze pro fyzikální výpočty nalézt ve speciálních tabulkách, v poslední době pro ně existují i počítačové programy.
Lze zapsat též :
E(r) = q/Ö[ro4 + r4] ; Emax = 1/b ,
kde ro = Ö(q.b/4p) je "efektivní poloměr bodového náboje" .
F(r) = F(r/ro).q/ro (F je kombinovaná eliptická funkce) , číselně vychází F(0) = 1,854 Emax . (1.122b)
Tyto závislosti elektrického potenciálu a intenzity v B-I NED modelu (čárkované křivky na obr.1.8) jsou ve větších vzdálenostech r podobné standardnímu Coulombovu zákonu (plné křivky na obr.1.8). V malých vzdálenostech se však podstatně liší: zatímco podle Coulombova zákona s přibližováním r-->0 roste potenciál a intenzita do nekonečna, v BI modelu dosahují konečné hodnoty F(r=0)=Fmax, E(r=0)=Emax ~ 1/b .
Obr.1.8. Závislost potenciálu F (vlevo) a intenzity E (vpravo) elektrického pole na vzdálenosti r od bodového náboje (elektronu) podle standardního Coulombova zákona (_____) a podle nelineární B-I elektrodynamiky (........).
Konkrétní hodnotu základního parametru "b" v nelineární B-I elektrodynamice lze stanovit z fyzikálního rozboru elektrického pole elektronu - elektron je totiž fundamentální elementární částice bez vnitřní struktury - není z ničeho "složen", z hlediska klasické fyziky jej lze považovat za "polní objekt". Lze proto fyzikálně požadovat, aby veškerá klidová hmotnost elektronu me byla elektrického původu. Klidová energie elektronu me.c2 s nábojem q=e by tedy v klasické fyzice měla být dána celkovou energií jeho elektrického pole: me.c2 = e . 0ňĄdr/Ö[ro4 + r4]. Pro elektron tak vychází :
r0e = 1,2361.e2/mec2 = 2,28 . 10-13 cm ;
Emax = 1,187.1020 V/m . (1.123)
Hodnota Emax platí nejen pro elektron, ale je to v B-E elektrodynamice fundamentální maximální možná hodnota intenzity elektrického pole, daná parametrem "b".
V klasické fyzice se B-I elektrodynamika považuje především za model elektronu.
Z fyzikálního hlediska - atomové, jaderné a částicové fyziky - jsou otázky "velikosti" či rozměrů částic mikrosvěta diskutovány v §1.5 "Elementární částice a urychlovače", pasáži "Velikost, rozměry a tvar částic? -problematické!" monografie "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření".
V poslední době se někdy zavádí modifikované varianty nelineární elektrodynamiky NED s lagrangiánem v exponenciálním či logaritmickém tvaru :
LNED = b-2[exp(-FikFik/b2) - 1] nebo LNED = -8 b-2 ln[(1 + FikFik/(8b2)] , za účelem širších možností gravitačně-elektrodynamických řešení...
Nelineární elektrodynamika, i když je zatím jen teoretická a hypotetická, poskytuje zajímavé možnosti řešení v teorii elektricky nabitých černých děr, kde za určitých okolností umožňuje zbavit se singularit (!) - §3.5, pasáž "Reissner-Nordstromovo řešení s nelineární elektrodynamikou", §3.6, pasáž "Kerr-Newmanova geometrie s nelineární elektrodynamikou" a zmínka v §4... .... . Je určitá naděje, že nelinearita elektrodynamiky by se mohla "vyrušit" s nelinearitou gravitace v OTR, za vzniku fyzikálně realističtějších regulárních řešení..?.. - bude jistě předmětem budoucích teoretických výzkumů...
Zda se toto někde v přírodě "realizuje" se zatím neví - na experimentální ověření není naděje v dohledné budoucnosti...
Klasická, kvantová a gravitační nelineární elektrodynamika
V klasické NED se maximální možná hodnota intenzity elektrického pole Emax v blízkosti bodového náboje "uměle" hypoteticky postulovala zavedením parametru "b" nelinearity v rovnicích pole. V kvantové elektrodynamice limitní elektrická intenzita vychází fyzikálně - dynamicky jako důsledek zvýšené produkce elektron-pozitronových párů z polarizovaného vakua v silném poli v blízkosti bodového náboje.
Nelinearita elektrodynamiky, geometricky indukovaná gravitačním zakřivením prostoročasu v OTR, je jinou záležitostí - bude analyzovaná v §2.4, část "Gravitační elektrodynamika a optika". "Exotickým" efektem je zakřivení prostoročasu energií elektromagnetického pole - mohutných elektromagnetických vln v rámci geometrodynamiky (§B3 "Klasická geometrodynamika. Gravitace a topologie.", geony, obr.B2).
1.5. Elektromagnetické pole.
Maxwellovy rovnice 2. Obecná teorie relativity

References: §2
 §3
 §3
 §2
 §2
 §1
 §1
 §1
 §1
 §3
 §2
 §3
 §1
 §1
 §1
 §3
 §3
 §4
 §2