Source: https://es.scribd.com/doc/129096638/Matematica-Sexto-Grado
Timestamp: 2017-03-23 18:36:36+00:00

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NavegarInteresesStay InformedCareerPersonal GrowthFiction & BiographiesHealth & FitnessLifestyleCultureNavegar porLibrosAudio librosNoticias & RevistasPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseMATEMÁTICAMATERIAL PARA docEnTEs sExTo gRAdo EducAcIón PRIMARIA
Argentina Hecho el depósito que establece la Ley 11. . Prohibida su venta
. Buenos Aires.Estos materiales han sido producidos por los especialistas del área de Matemática del IIPE-UNESCO Buenos Aires: Equipo del área de Matemática Autores Silvana Seoane | Betina Seoane Referentes María Mónica Becerril |Andrea Novembre | Beatriz Moreno | Mónica Urquiza | Alejandro Rossetti |Héctor Ponce | Inés Sancha | Horacio Itzcovich Agradecemos el aporte de Ana Lía Crippa. I. Seoane. Internet. Equipo de desarrollo editorial Coordinación general y edición Ruth Schaposchnik | Nora Legorburu Corrección Pilar Flaster | Gladys Berisso Diseño gráfico y diagramación Evelyn Muñoz y Matías Moauro . artículo 10. Matemática.1
IIPE . ISBN 978-987-1836-87-1 1. Silvana Matemática material para docentes sexto grado educación primaria / Silvana Seoane y Betina Seoane. 2. si éste excediera la extensión mencionada deberá solicitarse autorización al Editor. colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente. Guía para Docentes. hasta 1. 2011 Permitida la transcripción parcial de los textos incluidos en esta obra.723 Libro de edición argentina.UNESCO Buenos Aires Agüero 2071 (C1425EHS). Título CDD 371. .000 palabras. según Ley 11.723.Imagodg
Seoane. 2012.
Material de distribución gratuita.1a ed. Betina II.Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Instituto Internacional de Planeamiento de la educación IIPE-Unesco.
Sandra Manzanal Corrientes: Mónica Miño. Zunilda Del Valle. Valentina González. Andrea Paula Drews. los capacitadores y los docentes. Mario Martin. José Pereyra. Laura Delgado. Alfredo Salvatierra. Mónica Rinke. Viviana Benegas.
. Ana Barone. Lía Vazquez. Daniela Pere Campana-Pilar-san Nicolás: Teresita Chelle. Nilda Martin. Laura Sbolci. Mónica Escobar. Mirta Ricagno. Norma Gómez. Marta Lopez de Arancibia. Patricia Dellamea Virasoro: Elena Ayala. Irma Bastiani. Nora Fagre. Viviana Mata. Luciana Neme. Analía Cortona. María Irene Flores. Esperamos resulte un aporte a la compleja tarea de enseñar y aprender matemática que permita ofrecer mayor cantidad de oportunidades a los niños para aventurarse en el desafío intelectual que se propicia. Marta Sanduay. a lo largo de toda esta experiencia. Miriam Cabral. Mónica Magdalena Rodríguez Carlos Casares: Daniela Zermoglio. Graciela Borda Córdoba: Felisa Aguirre. Verónica Grimaldi. Patricio Smitsaart santa Cruz: Gabriela Rodríguez. Equipo de Matemática Tucumán: Cecilia Catuara. Ana García Ensenada: Cecilia Wall. Ana Benchoff Chaco: Laura Ochoa.La producción de este material ha sido posible gracias a los intercambios desarrollados entre los referentes locales. Irma Neves Benítez. Alicia Viviana Moreno. Gloria Robalo Ana Felisa Espil.
desarrollo y evaluación de la enseñanza. Por este motivo. Estos lineamientos generales son los que fundamentan las selecciones desarrolladas en los materiales. desde 1. diseño de evaluaciones. para que la actividad matemática sea realmente anticipatoria de la experiencia. carpetas didácticas. los recortes establecidos.º hasta 6. etcétera. se parte de la idea de que los alumnos tengan la oportunidad de reconstruir los conceptos matemáticos a partir de diferentes actividades intelectuales que se ponen en juego frente a un problema para cuya resolución resultan insuficientes los conocimientos de los que se dispone hasta el momento… Hay dos cuestiones centrales que también hacen al enfoque adoptado. Los distintos tipos de recursos que constituyen este material se sustentan en un proyecto de enseñanza que considera la Matemática desde una perspectiva determinada. elaboración de actividades. Para cada grado. en otras palabras. se trata de generar condiciones que permitan a los alumnos producir recursos que les permitan obtener resultados frente a una amplia variedad de problemas. organizados por grado. Y estos desafíos generalmente son poco considerados a la hora de valorar la labor de los docentes. ayudar a los alumnos a concebir la Matemática como una disciplina que permite conocer el resultado de algunas experiencias sin necesidad de realizarlas efectivamente. los problemas seleccionados.MATEMÁTICA
los docentes. Es decir. es necesario validar la anticipación.º. este material ofrece diferentes tipos de recursos para que estén disponibles y puedan ser un insumo que colabore en la planificación. Es decir. sin necesidad de recurrir a la experiencia empírica y producir argumentos que les permitan responsabilizarse matemáticamente por la validez de esos resultados. los ejemplos elaborados. Es reconocida la complejidad que adquiere dicha práctica al momento de pensar la enseñanza: armado de planificaciones. y buscando acompañar las decisiones que toman los docentes. selección de libros de texto. En primer lugar. Este material contiene entonces diferentes recursos que se detallan a continuación. es necesario estar seguro de que esa anticipación fue realizada correctamente. Y por otro lado. se podrá encontrar:
considerar diferentes criterios para su corrección. 4. Asimismo. bIMEsTrAlEs o por CoNTENIDos DE TrAbAjo Se trata en este caso de ofrecer a los docentes insumos para pensar las evaluaciones.
5. 3. brindan la posibilidad de tomar decisiones: alterar el orden de las actividades. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs MENsuAlEs Se trata de una primera “lupa” sobre la planificación de un mes determinado. podrá orientar la labor de directivos para preservar la coherencia en la distribución de contenidos en los grados y en los ciclos. se explicitan las actividades propuestas para cada clase. Son ejemplos y. modificar algunos datos de los problemas. que podrán orientar la perspectiva adoptada. Al ser ejemplos. Se ofrece en este caso una mirada ampliada al interior de uno de los meses y se detalla el asunto que será prioritario en ese mes. adecuaciones semanales. es decir que tenga presente la horizontalidad del trabajo. etcétera. los tiempos que demandarán. requieren ser completados con aquellas sugerencias esbozadas en las orientaciones curriculares jurisdiccionales. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs sEMANAlEs Se trata de un ejemplo del desarrollo del trabajo a lo largo de una semana de clases. Lo que se busca con estos ejemplos es preservar el espíritu del trabajo elaborado en las planificaciones y en los cuadernillos de manera de forjar el mayor grado de coherencia entre lo que se planifica.
. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs ANuAlEs Se trata de propuestas de distribución de los contenidos de enseñanza a lo largo del año. se podrán transformar en herramientas para que cada docente pueda pensar su propio recorrido anual. las discusiones que se propiciarán con los alumnos. como tales. Por lo tanto. las conclusiones a las que se pretende arribar y los aprendizajes esperables. la organización del trabajo en el aula. En este ejemplo. lo que se enseña y lo que se evalúa. ejemplos de problemas.1. Se construyeron considerando los aspectos comunes que se esbozan en los Diseños Curriculares de cada Jurisdicción y los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. incorporar otros problemas. asumiendo que estos recursos no son los únicos modos de identificar los avances de los alumnos y repensar la enseñanza. desplegados para cada grado y organizados por ciclos. 2. los mapas curriculares se presentan en formato de planillas. quitar alguno. MApAs CurrICulArEs orIENTATIvos Estos mapas curriculares son ejemplos que explicitan los contenidos de enseñanza a lo largo de toda la escolaridad. EjEMplos DE EvAluACIoNEs ANuAlEs. con el grado asignado y en función de sus alumnos. de tal manera que cada escuela pueda analizar y establecer los contenidos en relación con el año de escolaridad y en correlación con años anteriores y posteriores. Para facilitar su identificación.
Se recomiendan estas herramientas a los docentes para que puedan profundizar sus conocimientos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática.6. a medida que los alumnos resuelvan los problemas. el orden de uso será determinado por el docente. Se parte de la idea de que la corrección debe ser un aporte a la enseñanza y al aprendizaje. establecer generalidades. EjEMplos DE CrITErIos DE CorrECCIóN Se proponen también. La intención es que. el docente pueda gestionar debates sobre los procedimientos de resolución. diferentes maneras de pensar la corrección de las pruebas o problemas que se les presentan a los alumnos. Al tratarse de cuadernillos o carpetas independientes. CuADErNIllos DE ACTIvIDADEs pArA los AluMNos En función de la planificación anual. Son actividades y no presentan aspectos teóricos que quedan en manos del docente. 8. etcétera. que recorren y acompañan esa planificación. En este sentido. A su vez. solo basta citar la fuente. a la luz de los ejemplos de evaluaciones y a raíz de un problema. decidir si algo es correcto. el docente deberá cuidar que la propuesta conserve las relaciones entre los conocimientos y el avance en la profundidad del estudio. buscar explicaciones que permitan interpretar errores. aunque cabe aclarar que ciertos contenidos son necesarios para abordar otros y que algunos cuadernillos recuperan conocimientos tratados en otros. se presentan cuadernillos con problemas para trabajar con los alumnos. 7. ser impreso o disponer de él de la manera en que a cada docente y a cada escuela le resulte más conveniente. aunque no aparezcan en la lista confeccionada. pero demandan debates particulares para cada alumno y para cada etapa del año. Los cuadernillos están pensados para ser entregados a los alumnos para el estudio y trabajo en torno a cada tipo de problema. bIblIogrAfÍA y lINks rECoMENDADos Se presenta también una bibliografía que aborda diferentes aspectos relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática. Por eso. Todo lo publicado es susceptible de ser fotocopiado e impreso. es insuficiente entregar los resultados de las pruebas y que allí termine la tarea: ¿Qué se les dice a los alumnos? ¿Cómo se recuperan los resultados de las evaluaciones para que los alumnos sepan qué les pasó y por qué les pasó lo que les pasó? ¿Cómo se reorienta la enseñanza para que los alumnos avancen? ¿Qué aspectos o qué resultados se consideran para la promoción? Estas cuestiones se plantean en un modo general. para cada material recomendado. hay otros materiales que también podrán resultar de interés. organizados según los temas. se indica el link del cual puede ser “bajado” para su estudio. En dichos links. Es nuestro deseo que este material se transforme en un insumo de consulta y uso que permita a los docentes sentirse acompañados. analizar si un recurso puede ser vuelto a utilizar en otro problema. Equipo de Matemática
cada uno de sus alumnos) haya tenido la oportunidad de realizar con relación a ese concepto. De allí que en este Proyecto. el aprendizaje de los alumnos también sería distintos. y aquellos aspectos relacionados con las magnitudes. los números racionales y sus operaciones. etc. Ahora bien. el estudio de las figuras y de los cuerpos geométricos. las aproximaciones a los conocimientos matemáticos que tendrán los alumnos serán muy diferentes. los contenidos de enseñanza esbozados para cada grado están formados tanto por esos títulos fácilmente reconocibles (los números. Estas dependen de cuánto una persona (en este caso. podrían desarrollarse en cada escuela proyectos de enseñanza con características muy diferentes y.). hay muchas maneras de conocer un concepto matemático. O sea.MATEMÁTICA
Los conocimientos matemáticos que pueblan las aulas responden habitualmente a títulos reconocidos por los docentes: los números naturales y sus operaciones. el conjunto de prácticas que despliega un alumno a propósito de un concepto matemático constituirá el sentido de ese concepto para ese alumno. Por eso. los modos de presentación que se propongan a los alumnos. sino también por las características del trabajo matemático. su secuenciación. las operaciones. formas de representación. La intención es acercar a los alumnos a una porción de la cultura matemática identificada no solo por las relaciones establecidas (propiedades. Las interacciones que se promuevan entre los alumnos y las situaciones que se les propongan. las prácticas también forman parte de los contenidos a enseñar y se encuentran estrechamente ligadas al sentido que estos contenidos adquieren al ser aprendidos. Las modalidades de intervención docente a lo largo del proceso de enseñanza. como por las formas en que son producidos y las prácticas por medio de las cuales se elaboran. por ende. ¿Cómo se determinan estas prácticas? Algunos de los elementos que configuran estas prácticas son: Las elecciones que se realicen respecto de los tipos de problemas. ¿Cuáles son algunas de las marcas que se pueden identificar como parte de las prácticas matemáticas?
. etc. ¿Por qué afirmamos esto? Desde la perspectiva que adoptamos. definiciones. de sus propiedades. Y si los proyectos de enseñanza propician prácticas diferentes.). las medidas y las proporciones. con estos mismos “títulos”.
hasta que adquieren carácter de verdad. les permita probar con otros recursos. en la escuela se deberá ofrecer a los alumnos –frente a la resolución de problemas– un espacio y un tiempo que posibilite el ensayo y error. probar. abandonar.El avance de la Matemática está marcado por problemas externos e internos a esta disciplina que han demandado la construcción de nuevos conocimientos. las maneras de representar también han sido una preocupación para los matemáticos. será necesario –aunque no suficiente– enfrentarlos a diversos tipos de problemas. representar para imaginar o entender. incluso. Otro aspecto del trabajo matemático posible de identificar es la producción de un modo de representación pertinente para la situación que se pretende resolver. las relaciones que establezcan. Para que los alumnos también puedan involucrarse en la producción de conocimientos matemáticos. conjeturar. Los diferentes modos de representación matemática forman parte del conocimiento en cuestión. Estas respuestas. Estas ideas y las respuestas provisorias que producen los niños son conjeturas o hipótesis que demandarán más conocimientos para que dejen de serlo. se promoverá que los alumnos expliciten las ideas que van elaborando (las respuestas que encuentren. Muchos problemas o preguntas que han surgido a lo largo de la historia de la Matemática han admitido respuestas que no podían ser probadas inmediatamente. tomar decisiones. resulte incompleta o incorrecta. ensayar. aun cuando no sea claro para ellos. etcétera. en un principio. y otras aún no tienen demostración. A lo largo de la historia. habilite aproximaciones a la resolución que muchas veces serán correctas y otras tantas incorrectas. etc. Explorar. Será necesario entonces favorecer en la escuela tanto la producción de representaciones propias por parte de los alumnos durante la exploración de ciertos problemas. ensayar. son reconocidas con el nombre de “conjeturas”. a raíz de la resolución y análisis de diferentes problemas. el estudio y el uso de diversas formas de representación de la Matemática. aunque esta. Por lo tanto. Una característica central entonces del trabajo matemático es la resolución de diferentes tipos de problemas. Un problema es tal en tanto y en cuanto permite a los alumnos introducirse en el desafío de resolverlo a partir de los conocimientos disponibles y les demanda la producción de ciertas relaciones en la dirección de una solución posible. si son del todo ciertas. abandonar lo hecho y comenzar nuevamente la búsqueda es parte del trabajo matemático que este Proyecto propone desplegar en el aula. desde el principio. etcétera. propicie la búsqueda de ejemplos que ayuden a seguir ensayando.
. Algunas exploraciones han demandado años de trabajo a los matemáticos e.). El establecimiento de puentes entre las representaciones producidas por los alumnos y las que son reconocidas en la Matemática será también objeto de estudio. Otra característica de la actividad matemática es el despliegue de un trabajo de tipo exploratorio: probar. En las interacciones que se propicien en el aula. como el análisis. muchas de las preguntas y de los problemas elaborados hace mucho tiempo siguen en esta etapa de exploración porque aún no han sido resueltos.
sino de intentar que desde los primeros contactos con esta disciplina. los
. Si para constatarlo los niños cuentan las chapitas de la caja. usando diferentes tipos de conocimientos matemáticos. En este Proyecto. Se comunican los modos de producción –o las prácticas matemáticas– asociados a los “títulos” a los que se hacía referencia inicialmente con la intención de promover prácticas de enseñanza que favorezcan que los conocimientos de los alumnos se carguen de un cierto sentido. nuevos problemas y permite producir otros modelos matemáticos. recurrir a los conocimientos matemáticos para decidir si una afirmación. A veces. a la vista de todos. en primer grado. Supongamos por ejemplo que.El quehacer matemático involucra también determinar la validez de los resultados obtenidos y de las conjeturas producidas. el estudio de la Matemática sea una forma de acercarse a sus distintas maneras de producir. 8 chapitas. más adelante. se excluye la posibilidad de acción efectiva sobre los objetos y se les pide a los chicos que muestren mediante argumentos que su resultado es correcto. en este juego de anticipación-validación argumentativa-corroboración empírica. Reordenar y sistematizar genera nuevas relaciones. Hay distintas maneras de recurrir al uso de este tipo de materiales. en cambio. estarán haciendo una comprobación empírica. estarán haciendo una validación de tipo argumentativo. es imprescindible proponer la anticipación de los resultados que luego se leerán en la comprobación (en la situación de la caja los niños primero anticipan y luego corroboran). Utilizando diversas estrategias. dar cuenta de la verdad o falsedad de los resultados que se encuentran y de las relaciones que se establecen. Determinar bajo qué condiciones una conjetura es cierta o no implica analizar si aquello que se estableció como válido para algún caso particular funciona para cualquier otro caso o no. Una última característica a destacar del trabajo matemático es la reorganización y el establecimiento de relaciones entre diferentes conceptos ya reconocidos. Si. Se les pide a los niños que encuentren una manera de saber cuántas chapitas hay en la caja. una relación o un resultado son válidos o no y bajo qué condiciones. Generalizar o determinar el dominio de validez es también parte del trabajo matemático. 7 chapitas en una caja. es decir. cuando las comprobaciones son de tipo empírico. también a la vista de todos. la validez de una conjetura podrá aplicarse a todos los casos y podrá elaborarse entonces una generalización. solo algunos alumnos accedan a las maneras de pensar y producir en Matemática. sin corroborarlo empíricamente. se les propone a los alumnos la siguiente situación: un niño pasa al frente y pone. se adopta la idea de que enseñar Matemática es también introducir a los alumnos en las prácticas y en el quehacer propio de esta disciplina. los niños arribarán a un resultado. Es necesario entonces que los alumnos puedan progresivamente “hacerse cargo” –y. Otras veces la conjetura será válida solo para un conjunto de casos. No se trata de enseñar en la escuela primaria algunos rudimentos y técnicas para que luego. después pasa otro niño y pone. Es necesario señalar que. Una cuestión que ha dado lugar a muchas discusiones en distintos momentos de la enseñanza de la Matemática se refiere al lugar que ocupa –sobre todo en los primeros grados– la utilización de “material concreto” para producir resultados o para comprobarlos. De esta manera.
se empieza a hacer observable la potencia de la Matemática como herramienta que permite anticipar los resultados de experiencias no realizadas. no puede independizarse del contexto particular en el que se desarrolló. una imagen de sí positiva. Nos interesa que el niño comprenda que la Matemática es una disciplina que ofrece herramientas para resolver ciertos problemas de la realidad. los niños manipulan material. de ponerlos a prueba. Circula en algunos medios una concepción instrumentalista de la enseñanza de la Matemática que sostiene dos principios fundamentales: 1) Su enseñanza se justifica por la utilidad que tienen los saberes matemáticos para resolver problemas cotidianos y 2) los problemas cotidianos son la única vía para que los niños encuentren el sentido de la Matemática. a través de su actividad matemática. Pensamos con Bkouche que:
Hay una motivación tanto o más fundamental que la utilidad: el desafío que plantea al alumno un problema en tanto tal. Sin esta anticipación. de hacer matemática. como forma de pensamiento.
Por otra parte. Sin esta interacción. es la imagen que puede tener de sí mismo como alguien capaz de resolver problemas. ellos no tendrían posibilidad de hacer funcionar esos modelos.
. como práctica. valorizante. En otras palabras.). desde nuestra perspectiva. Esta concepción es. ¿Resulta esta afirmación un argumento para descartar las comprobaciones empíricas? De ninguna manera hacemos esa aseveración. Concluimos entonces que. Lo que es importante para el alumno no es conocer la solución. y los resultados leídos en la corroboración. es el éxito de aquel que lo ha resuelto por sus propios medios. cuando la comprobación es empírica. (. pensar en las aplicaciones como única fuente de sentido es renunciar a que el niño comprenda que el conocimiento matemático también se produce para dar respuestas a problemas que surgen del interior de la disciplina y esta renuncia minimiza las posibilidades de comprender la lógica interna de la Matemática. es ser capaz de encontrarla él mismo y de construirse así. frente a la Matemática.niños irán descubriendo que los resultados que obtienen son una consecuencia necesaria de haber puesto en funcionamiento ciertas herramientas del aparato matemático. La recompensa del problema resuelto no es la solución del problema. objeto de varios cuestionamientos. y sus resultados no se integran a ninguna organización de conocimiento específica. esta última se plantea solo con relación a ella misma. Las comprobaciones de tipo experimental hacen posible una interacción entre los modelos matemáticos que los niños van elaborando y los aspectos de la realidad que son modelizables a través de las herramientas matemáticas. esa relación de necesariedad entre las acciones realizadas para anticipar.. si no hay articulación entre anticipación y comprobación empírica. cuando las constataciones empíricas se plantean como una verificación de aquello que se ha anticipado. como modo de argumentación. de aprender. y los resultados que obtienen son producto de una contingencia (se obtuvieron estos. Pero centrarse exclusivamente en la utilidad hace perder de vista a la Matemática como producto cultural.. pero podrían haberse obtenido otros). Es necesario señalar que.
de alguna manera. Toda situación de aprendizaje. las expectativas. sino las marcas de las prácticas matemáticas que asociadas a ellos. de expectativas. útil. los itinerarios de formación que toman sentido en una red compleja de deseos. las identificaciones. El problema no es suscitar la curiosidad. sino proponer a los jóvenes las actividades. (. más allá de aspectos específicamente didácticos.. de sus capacidades. se han considerado.) Es muy reductor invocar simplemente aquí palabras tan vagas como “curiosidad” o incluso “motivación”. los desafíos personales. En dicha selección. resolver o validar los problemas que están enfrentando. ¿Cuál es el sentido de esta situación para aquel que aprende? ¿Cuál es la imagen de sí mismo. ¿vale la pena? Esta relación con el saber pone en juego los deseos. las normas sociales. Tomamos la opción de privilegiar los contextos de aplicación extra matemática cuando estos ofrecen al alumno elementos para pensar. entretenida. ¿soy capaz?. el inconsciente.Hay una tercera cuestión que es necesario señalar: el hecho de que el problema se plantee en un contexto extra matemático no siempre aporta a la comprensión o a la resolución del problema. abordar.
Los aspectos destacados en estos párrafos están considerados implícita o explícitamente en la organización y distribución de contenidos que ofrecemos como ejemplo. de sus oportunidades de éxito en esta situación? En términos más triviales: ¿qué hago acá?. sino que se enraíza en la historia personal y social del sujeto. no solo los títulos que constituyen los objetos de enseñanza.. Volvemos a citar a Bkouche:
Ahora bien. lo que da profundamente sentido en la actividad matemática. plantea dos preguntas ineludibles. los pareceres sobre el porvenir. no es que es curiosa. las prácticas. los modelos de referencia. de normas interiorizadas y que contribuyen a reestructurar esa red.
. se propicia desplegar en las aulas.
etcétera. el orden. los objetos matemáticos seguirán siendo herramientas para enfrentar variadas clases de problemas y a la vez serán visitados también para estudiar. profundizar en las propiedades de las cuatro operaciones y enfrentarse a los desafíos que ofrece el terreno de la divisibilidad abren un nuevo universo: poder saber un resultado sin hacer la cuenta. este Segundo Ciclo es un tiempo propicio para acompañar a los alumnos en un reconocimiento más fecundo de los modos de hacer y de producir que tiene la Matemática. la validez o no de un resultado. de una propiedad a partir de la elaboración de argumentos y relaciones basados en los conocimientos matemáticos. tales como la comparación. a la búsqueda de un número entre dos dados. por ejemplo. a la equivalencia con infinitas expresiones fraccionarias. En este sentido.sEguNDo CIClo
El recorrido de los alumnos a lo largo del Segundo Ciclo de la escolaridad involucra algunas cuestiones fundamentales. al cálculo. En este sentido. aparecerán desafíos más complejos con relación al tamaño y comportamiento de los números naturales. La entrada en un tipo de racionalidad propia de esta disciplina es central en este ciclo. problemas de medida. deberán explorar diversos tipos de problemas para los cuales las fracciones son un medio de solución. Es un momento en el cual se puede avanzar en el trabajo en torno a la posibilidad de decidir autónomamente la verdad o falsedad de una afirmación. poder anticipar si será cierto o no una igualdad sin usar algoritmos son nuevas marcas de la actividad matemática. etcétera. etcétera. Por un lado. tanto en su expresión fraccionaria como en su expresión decimal. así como se podrá avanzar en el estudio de las figuras. Pero también −del mismo modo que para los números naturales− deberán enfrentarse a desentrañar algunas cuestiones de su funcionamiento. Será parte de la tarea docente enfrentar a los alumnos a un nuevo campo de números: los números racionales. las diferentes maneras de representar una misma cantidad. Pero el ingreso de los alumnos en el Segundo Ciclo les depara también algunas rupturas con lo aprendido en el Primer Ciclo. el cálculo. Es decir. El docente podrá propiciar la resolución de problemas que inviten a elaborar nuevos sentidos de las cuatro operaciones básicas.
. Y se “jugará” en cada uno de los grandes ejes de contenidos. su funcionamiento “interno”.
Por el otro. problemas de reparto y partición. con más profundidad. es el tiempo de afianzar y profundizar los conocimientos elaborados en el Primer Ciclo. Respecto de las expresiones decimales. al orden. también se propondrá una entrada a través de su uso social −el dinero y la medida– para luego adentrarse en cuestiones internas ligadas al valor posicional. Por un lado.
5 el número “se achicará”). los niños validan sus producciones recurriendo a ejemplos. tales como los que involucran la relación entre dividendo. escribir. En el Primer Ciclo. seguro es mayor”. cociente y resto.000.000 les permitirá. el número se agranda”) dejan de ser ciertas cuando aparecen los números racionales (ya que un número puede ser más largo que otro y ser menor –1. serán las ideas de múltiplos. descomponiendo y componiendo con 10. Por ejemplo. algunas relaciones que eran válidas para los números naturales (“un número. 100 y 1. el estudio de diversos sistemas de numeración antiguos tiene el propósito de favorecer la comparación entre sistemas para enriquecer y complejizar la mirada respecto del que se usa actualmente. especialmente para la multiplicación y la división. Del mismo modo. Estas cuestiones se podrán tratar a partir de una diversidad de problemas: algunos con enunciados verbales y otros estrictamente numéricos que permitirán avanzar sobre ciertas prácticas de argumentación y demostración. Un nuevo aspecto que podrá aparecer en las aulas (asociado a la multiplicación y a la división).Y el estudio de este nuevo campo de números provocará en los alumnos ciertas contradicciones en relación con el trabajo en el campo de los números naturales.9999 y 2–. resta. a constataciones empíricas y a argumentos muy ligados al contexto en que produjeron sus resultados. divisor. si es más largo que otro. En el Segundo Ciclo. o los problemas en los que se repite una cantidad y es necesario determinar cuántas veces. Además de una ampliación de la clase de problemas. el incipiente análisis del valor posicional que han abordado en el Primer Ciclo. multiplicación y división por la unidad seguida de ceros. comprender la naturaleza más profunda de nuestro sistema: el agrupamiento en base 10 y la posicionalidad de tal manera de aprender a “ver” en la escritura del número la información que porta y la potencia para cálculos de suma. Harán su aparición nuevos problemas de división. el estudio de estas operaciones podrá abarcar también aspectos más “internos” a su funcionamiento. entre 2 y 3 habrá infinitos números y si se multiplica por 0. Acompañar a los alumnos en identificar estos “cortes” los ayudará a posicionarse de mejor manera a la hora de ofrecerles una propuesta de trabajo que ponga en escena estas rupturas. En el Segundo Ciclo. en este ciclo. el docente podrá ofrecer diferentes actividades que permitan a los alumnos construir nuevos sentidos. Paralelamente.
los EjEs CENTrAlEs DEl TrAbAjo MATEMÁTICo EN El sEguNDo CIClo Respecto de los números naturales.000 o 15. la comprensión de las reglas que subyacen a nuestro sistema de numeración y la información sobre “números redondos” permitirá que los alumnos puedan leer o escribir cualquier número natural. la exploración y formulación de las propiedades. al mismo tiempo que se propone recuperar la diversidad de cálculos y problemas abordados en el Primer Ciclo. “si se multiplica. “entre 2 y 3 no hay ningún número”. los alumnos han estudiado en el Primer Ciclo cómo leer. como por ejemplo. ordenar números hasta aproximadamente 10.
. A través de problemas de construcción y de determinación de medidas –sin medir– y usando las propiedades estudiadas. El trabajo geométrico en el Segundo Ciclo podrá permitir a los alumnos profundizar en el estudio de las figuras y de los cuerpos geométricos. En el terreno de las operaciones con números naturales. divisores y divisibilidad. es posible favorecer la idea de que los conocimientos son un medio para poder establecer afirmaciones sobre los objetos con los que tratan sin necesidad de apelar a la constatación empírica.
problemas para resolver y entregar en un tiempo determinado. El estudio requiere de un trabajo comprometido y sistemático de los alumnos que deberá ser enseñado. Aparecen también nuevos objetos que. el estudio de la medida se podrá iniciar a partir del uso social. En este ciclo. de la constante. por ejemplo. La validación empírica será entonces insuficiente. no dará justo 180º.resulta fundamental ofrecer oportunidades para que los alumnos comiencen a elaborar argumentos que validen sus afirmaciones. ¿Qué sE EspErA logrAr CoN lA ENsEñANzA EN EsTos Años? Si la escuela ha generado ciertas condiciones para la producción. que puedan identificar los problemas que más les han costado y aquellos en los que más han avanzado. su estudio implicará un análisis más profundo de las propiedades de la proporcionalidad. Este contenido articula cuestiones ligadas a los números naturales y racionales. Del mismo modo que para otros objetos. que tengan guías de estudio. Los alumnos también tienen que aprender. no es posible demostrar que la suma de los ángulos interiores del triángulo mide 180º por medir y sumar sus ángulos. ya que si se miden. triples. difusión y reorganización de los conocimientos matemáticos. Pero en este ciclo. etcétera. clasificar y reordenar los problemas. de la exploración de algunas unidades de medida y de instrumentos usados fuera de la escuela que han circulado en el Primer Ciclo. en la escuela. Será necesario elaborar otras formas de justificación. se podrá avanzar hacia un análisis más riguroso de los múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida de longitud. que puedan registrar avances y dudas. y la otra –a fines del Segundo Ciclo– asociada a la determinación y al cálculo de áreas y perímetros y al establecimiento de las unidades convencionales. entre diferentes conocimientos puestos en juego. sus operaciones y conocimientos ligados al campo de la medida. Una de ellas dirigida a la diferenciación de ambas nociones y a sus aspectos más cualitativos. apoyados en propiedades de las figuras. y las relaciones de proporcionalidad. mitades. Enseñar a estudiar Matemática es parte de la responsabilidad de la escuela. El punto de partida para su estudio nuevamente será el uso que los niños ya conocen de esta relación: resolver problemas en los que se requiere multiplicar o dividir en torno a series proporcionales y poner en juego las ideas de dobles. Una cuestión central en el Segundo Ciclo es la necesidad de involucrar a los alumnos en el proceso de estudio de esta disciplina. El tratamiento del sistema de medidas será analizado a la luz de sus vinculaciones con el sistema de numeración decimal. a estudiar autónomamente. en el Segundo Ciclo se estudiarán en forma más sistemática. capacidad y peso. los alumnos al finalizar el Segundo Ciclo deberían poder: Hacerse responsables de sus producciones y de su proceso de estudio. volver sobre lo realizado.
. Se espera poder generar más espacios que permitan a los alumnos reorganizar su trabajo. Elaborar estrategias personales para resolver problemas y modos de comunicar procedimientos y resultados. establecer relaciones entre lo viejo y lo nuevo. Un ejemplo de ello es la proporcionalidad. del porcentaje y también de los límites de esta noción para resolver problemas. si bien ya han sido visitados de manera más intuitiva. Por otro lado. Esto implicará que resuelvan problemas similares a los realizados en el aula. el estudio del perímetro y el área puede abordarse desde dos perspectivas. sostenido y propiciado por parte de los docentes. la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros.
Seleccionar y usar variadas estrategias de cálculo (mental. algorítmico. multiplicar y dividir de acuerdo con la situación y con los números involucrados verificando con una estrategia los resultados obtenidos por medio de otra. restar. Resolver problemas que involucran distintos sentidos de las fracciones utilizando. elaborar conjeturas y debatir acerca de la validez o no de diferentes tipos de enunciados. Leer. capacidad y peso estableciendo relaciones entre fracciones. divisores y a los criterios de divisibilidad para resolver diferentes clases de problemas. Resolver problemas que involucran relaciones de proporcionalidad con números naturales y racionales. Resolver problemas que involucran el análisis de las variaciones en perímetros y áreas y el estudio de algunas unidades y fórmulas convencionales para medir áreas de triángulos y cuadriláteros. resta. restar. restar y multiplicar expresiones fraccionarias entre sí y con números naturales. unidades de medida y nociones de proporcionalidad.
. Resolver problemas que implican estimar medidas y determinar la unidad de medida más conveniente. Resolver problemas que involucran el uso del Sistema Métrico Legal (SIMELA) para longitud. Resolver problemas que exigen descomponer aditiva y multiplicativamente los números a partir de considerar el valor posicional. Recurrir a las ideas de múltiplos. multiplicar y dividir expresiones decimales entre sí y con números naturales y sumar. Resolver problemas que exigen poner en juego propiedades del círculo y la circunferencia. comunicando y comparando estrategias posibles. expresiones decimales. analizar relaciones entre cálculos y anticipar resultados. Comparar características de diversos sistemas de numeración. Valorar el intercambio de ideas. el debate y la confrontación de posiciones respecto de una supuesta verdad. Resolver problemas que exigen poner en juego propiedades de cubos.Asumir progresivamente la responsabilidad de validar sus producciones e ideas. de los triángulos y de los cuadriláteros para copiarlos. prismas y pirámides y permitan elaborar conjeturas y debatir acerca de la validez o no de diferentes tipos de enunciados. construirlos. describirlos o anticipar medidas. Comparar y calcular porcentajes apelando a las relaciones con los números racionales y las proporciones. Construir variados recursos de cálculo mental exacto y aproximado que permitan sumar. Resolver problemas que involucran distintos sentidos de las operaciones de suma. multiplicación y división utilizando. comunicando y comparando diversas estrategias y cálculos posibles. escribir y comparar números naturales sin límite. aproximado y con calculadora) para sumar. Resolver problemas que involucran considerar características del funcionamiento de las fracciones y de las expresiones decimales y las relaciones entre ambas.
selección y uso de variadas estrategias de cálculo para multiplicar y dividir (mental. escribir y comparar números sin límite. aproximado y con calculadora) de acuerdo con la situación y con los números involucrados verificando con una estrategia los resultados obtenidos por medio de otra. aproximado y con calculadora) de acuerdo con la situación y con los números involucrados verificando con una estrategia los resultados obtenidos por medio de otra. leer. • Resolución de problemas que demanden recurrir a las relaciones entre el entero y las partes.
. comunicando y comparando estrategias posibles. • Exploración de las características del sistema de numeración romano y la comparación con el sistema de numeración posicional decimal. • Análisis de las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales para favorecer la comprensión del valor posicional en las escrituras decimales. escribir y comparar números sin límite. algorítmico.
. • Resolución de problemas que demanden recurrir a las fracciones para representar proporciones. aproximado y con calculadora) de acuerdo con la situación y con los números involucrados verificando con una estrategia los resultados obtenidos por medio de otra. escribir y comparar números hasta el orden de los millones. relaciones de proporcionalidad directa en los que la constante es un número fraccionario) utilizando. cálculo mental. • Construcción. • Resolución de problemas que involucren distintos sentidos de las operaciones de suma y resta. algorítmico. relaciones entre partes y entero y viceversa. comunicando y comparando estrategias posibles. • Construcción. exacto y aproximado que permitan sumar. • Resolución de problemas que demanden recurrir a las relaciones entre el entero y las partes. • Resolución de problemas que involucren las nociones de múltiplo y divisor.º grado 6. • Orden de expresiones fraccionarias y representación en una recta numérica. • Multiplicación de fracciones en el contexto de la proporcionalidad y la superficie. divisores y de los criterios de divisibilidad para resolver diferentes clases de problemas. • Construcción. • Exploración de diversos sistemas de numeración posicionales. escribiendo los cálculos que representan la operación realizada. • Análisis del funcionamiento de las fracciones (comparar expresiones fraccionarias. • Uso de expresiones decimales en los contextos del dinero y la medida.
• Resolución de problemas que involucran distintos sentidos de las fracciones (repartos. comunicando y comparando diversas estrategias. decimales. • Relaciones entre los números que intervienen en una división entera con la fracción que expresa el resultado de un reparto. así como entre las partes entre sí. algorítmico.º grado
• Resolución de problemas que impliquen usar. • Análisis de las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales en el contexto del dinero y la medida. leer. comunicando y comparando diversas estrategias.
• Resolución de problemas que impliquen usar. • Análisis de la multiplicación y división de números decimales por la unidad seguida de ceros y establececimiento de relaciones con el valor posicional de las cifras decimales. • Análisis del funcionamiento de las fracciones (comparación. • Exploración de las equivalencias entre expresiones fraccionarias y decimales considerando la posibilidad de buscar fracciones a partir de cualquier expresión decimal y los problemas que surgen al buscar expresiones decimales para algunas fracciones. • Estudio del funcionamiento de las expresiones decimales en términos de décimos. restar y multiplicar una fracción por un entero). restar. • Resolución de problemas que demanden recurrir a las relaciones entre el entero y las partes. • Construcción de variados recursos de cálculo mental. • Resolución de problemas que exijan descomponer aditiva y multiplicativamente los números y analizar el valor posicional de las cifras. relaciones de proporcionalidad directa donde la constante es una fracción de uso social) utilizando. leer. • Resolución de problemas que involucren diversos sentidos de la multiplicación y la división utilizando. • Resolución de problemas que exijan descomponer aditiva y multiplicativamente los números y analizar el valor posicional.
• Resolución de problemas que involucran distintos sentidos de las fracciones utilizando. representar fracciones en una recta numérica y construir recursos de cálculo mental y algorítmico para sumar. escribiendo los cálculos que representan la operación realizada.EjEMplo DE MApA CurrICulAr DE sEguNDo CIClo
5. comunicando y comparando diversas estrategias y cálculos posibles. • Relaciones entre los números que intervienen en una división entera con la fracción que expresa el resultado de un reparto. • Búsqueda de fracciones entre dos fracciones dadas. relaciones entre enteros y partes y entre las partes. fracción de un natural) a partir de los problemas que resuelven. multiplicativos. comunicando y comparando estrategias posibles. selección y uso de variadas estrategias de cálculo para multiplicar y dividir (mental. • Uso de las nociones de múltiplos. • Construcción de recursos de cálculo mental que permitan multiplicar fracciones entre sí y fracciones con números naturales. aditivos.º grado
4. Análisis de su evolución histórica y comparación con el sistema decimal posicional.Resolución de problemas que impliquen usar. • Exploración del uso social de los números decimales en los contextos del dinero y la medida.
• Resolución de problemas que involucran distintos sentidos de las fracciones (repartos. • Resolución de problemas que exijan descomponer aditiva y multiplicativamente los números y analizar el valor posicional. utilizando. así como entre las partes entre sí. selección y uso de variadas estrategias de cálculo para multiplicar y dividir (mental. Análisis de las relaciones entre cálculos a partir de la idea de múltiplo: descomposiciones para usar resultados conocidos en la búsqueda de productos o divisiones desconocidas. • Anticipación del resultado de cálculos a partir de la información que brinda la escritura de los números. analizar relaciones entre cálculos y anticipar resultados de multiplicaciones y divisiones. no posicionales. • Resolución de problemas que involucren diversos sentidos de la multiplicación y la división utilizando. • Construcción de recursos de cálculo mental que permitan sumar y restar fracciones entre sí y fracciones con números naturales. comunicando y comparando diversas estrategias y cálculos posibles. • Resolución de problemas que involucren diversos sentidos de la multiplicación y la división utilizando. multiplicar y dividir expresiones decimales entre sí y con números naturales. centésimos y milésimos en contextos de medida. así como entre las partes entre sí.
• Identificación de la pertinencia de usar o no las propiedades de la proporcionalidad para resolver diferentes tipos de situaciones.
• Resolución de problemas que exijan poner en juego propiedades de circunferencias y círculos. cuadrados y rombos en problemas que demanden construcciones. rectángulos. comunicar datos de dibujos.º grado
6. reproducir figuras.Bloques
• Resolución de problemas que involucren relaciones de proporcionalidad directa con números naturales y racionales. • Resolución de problemas que exijan poner en juego propiedades de cubos. • Resolución de problemas que impliquen establecer relaciones entre fracciones. para reproducirlos y para decidir acerca de la posibilidad de construcción. • Resolución de problemas que impliquen estimar medidas y determinar la conveniencia de unas u otras unidades. • Uso de las relaciones entre los lados de un triángulo y estudio de la propiedad de la suma de los ángulos interiores para identificarlos. • Resolución de problemas que exijan poner en juego propiedades de diferentes cuerpos geométricos identificando y formulando algunas características y elementos de los cuerpos geométricos. • Uso de instrumentos no convencionales y transportador para reproducir y comparar dibujos que incluyen ángulos. prismas y pirámides.
4. • Resolución de problemas que involucren medir áreas de rectángulos con estrategias diversas. capacidad y peso estableciendo relaciones entre fracciones. transportador y escuadra).
. comunicando y comparando diversas estrategias posibles. capacidad y peso con unidades de uso social. expresiones decimales y unidades de medida. triángulos. conos y esferas. en función de los datos disponibles. • Resolución de problemas que involucren propiedades de paralelogramos y otros cuadriláteros • Resolución de problemas que exijan poner en juego propiedades de cubos. compás. • Exploración y uso de la propiedad de la suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros. a las características del sistema de numeración y al uso de fracciones decimales y expresiones decimales. escuadra y transportador. como por ejemplo.
• Resolución de problemas que involucren el uso del Sistema Métrico (SIMELA) para longitud. • Análisis de la pertinencia de usar las relaciones de proporcionalidad directa para resolver situaciones que –aunque no son de proporcionalidad– pueden ser resueltas parcialmente usando dichas relaciones. etcétera. • Exploración de la independencia entre la variación del perímetro y la variación del área. capacidad y peso. prismas. expresiones decimales y unidades de medida. el litro y el gramo recurriendo a relaciones de proporcionalidad directa. a las características del sistema de numeración y al uso de fracciones y expresiones decimales. • Resolución de problemas que exijan poner en juego propiedades de triángulos explorando y utilizando las relaciones entre sus lados.
• Resolución de problemas que exijan poner en juego propiedades del círculo y la circunferencia. • Resolución de problemas que involucren el cálculo de medidas de áreas de diversas figuras utilizando unidades de medida convencionales. • Resolución de problemas que exijan poner en juego propiedades de cuadrados. • Resolución de problemas que exijan poner en juego propiedades de cuadrados y rectángulos (construcción y reproducción de figuras utilizando regla. • Resolución de problemas que impliquen estimar medidas y determinar la unidad de medida más conveniente. pirámides. • Establecimiento de relaciones entre múltiplos y submúltiplos del metro.
• Resolución de problemas que involucren el estudio del Sistema Métrico (SIMELA) para longitud. comunicando y comparando diversas estrategias posibles. copiados y comunicación de información. • Establecimiento de relaciones entre los elementos de las figuras para decidir acerca de la posibilidad o no de construcción.º grado
5. • Propiedades de rectángulos. • Establecimiento de relaciones entre múltiplos y submúltiplos del metro. cilindros. • Resolución de problemas que exijan poner en juego la noción y la medida de ángulos. Uso de regla. compás. • Resolución de problemas que involucran relaciones de proporcionalidad directa con fracciones y decimales de uso social. • Resolución de problemas que impliquen establecer relaciones entre fracciones usuales y unidades de medida. • Uso de las propiedades de las figuras y de los cuerpos para elaborar conjeturas y debatir acerca de la validez o no de diferentes tipos de enunciados.º grado
• Resolución de problemas que involucren relaciones de proporcionalidad directa con números naturales utilizando. • Resolución de problemas que involucren el análisis de las variaciones en perímetros y áreas.
• Resolución de problemas que involucren medidas de longitud. • Comparación de perímetros y áreas sin necesidad de recurrir al cálculo. gramo y litro recurriendo a relaciones de proporcionalidad directa.
• Resolución de problemas que involucren relaciones de proporcionalidad directa con números naturales utilizando. rombos y circunferencias. • Identificación de la pertinencia de usar o no las propiedades de la proporcionalidad para resolver diferentes tipos de situaciones.
• Comparación y orden de expresiones decimales. • Análisis de desarrollos planos de cubos. • Utilización de recursos de cálculo mental y algorítmico. • Resolución de problemas que involucran la interpretación y la producción de gráficos circulares utilizando las relaciones entre proporcionalidad. • Resolución de problemas que requieren considerar a la fracción como una proporción. • Resolución de problemas de medida en los cuales las relaciones entre partes o entre partes y el todo pueden expresarse usando fracciones. TRIÁNguLOs Y CuADRILÁTEROs • Construcción de figuras a partir de instrucciones o copia. • Resolución de problemas sencillos que involucran multiplicaciones y divisiones: series proporcionales. restar. • Resolución de problemas que introducen la noción de potencia. y múltiplos y divisores comunes entre varios números. bases o alturas. • Revisión: suma de los ángulos interiores de los triángulos. organizaciones rectangulares. • Suma de los ángulos interiores de los polígonos. capacidades y pesos. • Resolución de problemas que demandan buscar una fracción de una cantidad entera. el cuadrado. • Construcción de paralelogramos y trapecios como medio para estudiar algunas de sus propiedades. prismas y pirámides para profundizar en el estudio de sus propiedades. POLÍgONOs Y CuERPOs • Construcción de figuras a partir de instrucciones o copia. • Resolución de problemas que implican profundizar las equivalencias entre las unidades del Sistema Métrico Legal (SIMELA) para longitud. MÚLTIPLOs Y DIVIsOREs • Resolución de problemas que implican el uso de múltiplos y divisores. Diciembre • Resolución de problemas que implican calcular y comparar porcentajes por medio de cálculos mentales. • Resolución de problemas que implican calcular el área del rectángulo. capacidad y peso.6. y la multiplicación y división entre fracciones. • Resolución de problemas que promueven el trabajo sobre las propiedades de las operaciones. de las propiedades de la proporcionalidad y/o usando la calculadora. para sumar. ExPREsIONEs FRACCIONARIAs • Resolución de problemas de división en los que tiene sentido repartir el resto y poner en juego relaciones entre fracciones y división. • Resolución de problemas que involucran la multiplicación y la división entre una fracción y un entero. rectángulos y rombos para identificar propiedades relativas a sus lados y ángulos.
PROPORCIONALIDAD • Resolución de problemas de proporcionalidad directa que involucran números naturales y racionales. el triángulo. • Construcción de triángulos a partir de las medidas de sus lados y ángulos para recordar sus propiedades. encontrar resultados de multiplicaciones. • Resolución de problemas que demandan analizar la multiplicación y división de números decimales por la unidad seguida de ceros. porcentaje. repartos y particiones. fracciones y medidas de ángulos. ExPREsIONEs DECIMALEs • Resolución de problemas que exigen analizar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales. • Resolución de problemas que implican determinar la cantidad que resulta de combinar y permutar elementos por medio de diversas estrategias y cálculos. y decidir la validez de ciertas afirmaciones. • Análisis de la variación del perímetro y del área de un rectángulo en función de la medida de sus lados. • Resolución de problemas que implican analizar el funcionamiento de la división. • Construcción de cuadrados. • Análisis de la pertinencia del modelo proporcional para resolver problemas. • Suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros. leer. • Resolución de problemas de proporcionalidad directa en los que la constante es una fracción. • Exploración de la variación del área de una figura en función de la variación de la medida de sus lados. • Resolución de problemas que implican el uso de múltiplos y divisores para realizar descomposiciones multiplicativas. escribir y comparar números naturales sin límite. MEDIDA • Realización de cálculos aproximados de longitudes. • Resolución de problemas que involucran interpretar y producir representaciones gráficas de magnitudes directamente proporNoviembre cionales. el rombo. exacto y aproximado. • Comparación de fracciones y determinación de equivalencias. el paralelogramo y el trapecio. • Resolución de problemas que exigen componer y descomponer en forma aditiva y multiplicativa los números. OPERACIONEs CON NÚMEROs NATuRALEs • Resolución de problemas de varios pasos con las cuatro operaciones y diferentes modos de presentar la información. • Resolución de problemas que implican el uso de criterios de divisibilidad para establecer relaciones numéricas y anticipar resultados.
. cocientes y restos.º grADo MATEMÁTICA
NuMERACIóN • Resolución de problemas que implican usar. multiplicar y dividir expresiones decimales entre sí y con números naturales.
• Perímetro y área de triángulos y cuadriláteros. Construcciones y propiedades. SIMELA. Relaciones de proporcionalidad en estas medidas. • Problemas de proporcionalidad directa usando tablas en las cuales se incluyan ahora fracciones y decimales. • Multiplicación y división de fracciones y decimales. fracciones y decimales. • Problemas con multiplicaciones y divisiones. Funcionamiento de la cuenta de dividir. • Revisión de triángulos. • Repaso general de todos los temas. Recta numérica.000.
. • Resolución de problemas de proporcionalidad directa. rectángulos y rombos. • Resolución de diferentes tipos de problemas que involucren sumas. • Repaso de operaciones con números naturales. • Múltiplos y divisores. • Composición y descomposición de números usando sumas y multiplicaciones x 10. • Las fracciones y los decimales en el contexto de las medidas de longitud. 100.6. etc. • Estudio de propiedades de cuerpos: prismas y pirámides. • Equivalencia entre fracciones y decimales.º grADo MATEMÁTICA
• Revisión de propiedades del sistema de numeración. 1. restas y multiplicaciones. capacidad y peso. • Estudio de propiedades del paralelogramo por medio de construcciones a partir de datos que incluyen lados y ángulos. Análisis de tablas de proporcionalidad y propiedades. cuadrados. • Recta numérica para estudiar más sobre fracciones y decimales.
bases o alturas. y conocimientos geométricos sobre las figuras y sus propiedades. en este período. capacidad y peso estableciendo relaciones entre fracciones. el triángulo.
CoNTENIDos Realización de cálculos aproximados de longitudes. expresiones decimales. Exploración de la variación del área de una figura en función de la variación de la medida de sus lados. se generen las condiciones para que al finalizar el mes los alumnos hayan profundizado sus capacidades para: Resolver problemas que involucran el uso del Sistema Métrico Legal (SIMELA) para longitud. Además. por un lado.
. Resolver problemas que involucran el análisis de las variaciones en perímetros y áreas.º grADo
fuNDAMENTACIóN El trabajo con la medida en este cierre del ciclo implica. Su estudio pone en juego relaciones entre conocimientos aritméticos sobre los números y las operaciones. el cuadrado. capacidad y peso. profundizar en el estudio de la longitud. Resolución de problemas que implican calcular el área del rectángulo. capacidades y pesos. unidades de medida y nociones de proporcionalidad. Análisis de la variación del perímetro y del área de un rectángulo en función de la medida de sus lados.
INDICADorEs DE AvANCEs Se espera que. la capacidad y el peso enfatizando el análisis de las relaciones entre sistema de medida y sistema de numeración. Resolución de problemas que implican profundizar las equivalencias entre las unidades del Sistema Métrico Legal para longitud. Resolver problemas que implican estimar medidas y determinar la unidad de medida más conveniente a utilizar. el rombo. se incorporan el perímetro y el área como nuevas magnitudes.6. el paralelogramo y el trapecio. y el estudio de algunas unidades y fórmulas convencionales para medir áreas de triángulos y cuadriláteros.
EvAluACIóN Oral. Proponer problemas en los que los niños precisen enfrentarse a situaciones que les presentan un cierto grado de dificultad para que puedan poner en juego un trabajo matemático. en distintos momentos del desarrollo de esta propuesta.EsTrATEgIAs DoCENTEs Identificar los saberes previos. Considerar el error como una marca visible del estado de los conocimientos de los chicos a partir del cual se debe trabajar. Escrita. Corrección de los trabajos realizados en clase. Promover la explicitación de las ideas que los chicos van elaborando en sus actividades.
. de proceso.
hasta elegir la que les parezca más adecuada para explicarla al resto de la clase. Después de esa primera puesta en común. b) Ahora intentá escribirlo como el resultado de multiplicar 5 números. problema 3 a) Si escribís la escala ascendente de 5 en 5 partiendo del 0. para realizar una puesta en común general. pero que ninguno de ellos sea el 1. con una posterior puesta en común general. Se trabajará en forma individual. Si ponen 5 golosinas en cada bolsita. ¿Cuántas golosinas se han comprado en total. circularán en el aula para ser analizadas y comparadas.6. La elección de números chicos favorece la exploración. cada grupo elegirá un representante que pasará a socializar con el resto de la clase la forma de resolución elegida en cada caso. pero que ninguno de ellos sea el 1. también empezando de 0. el problema 3 presenta números más grandes para cuestionar las estrategias utilizadas y buscar nuevas formas (o más económicas) de pensar las situaciones. se van a armar bolsitas con golosinas. con una primera puesta en común en grupos de a 4 alumnos para intercambiar sus primeros resultados. ¿llegarías a esos números? puesta en común En la instancia de la puesta en común.º grADo MATEMÁTICA
ClAsE 1 La idea es presentar el tema mediante el trabajo con problemas que involucren las nociones de múltiplos y divisores que los alumnos podrán resolver por sus propios medios. Sus estrategias.
. junto con otras que se podrían proponer para la discusión. Si ponen 4 golosinas en cada bolsita. ClAsE 2 La propuesta para la segunda clase apunta a “hacer visibles” las nociones de múltiplos y divisores. si se sabe que fueron más de 50 pero menos de 100? ¿Hay una sola posibilidad? problema 2 a) Intentá escribir el número 48 como resultado de multiplicar 3 números. tampoco sobra ninguna. no sobra ninguna. es esperable que aparezcan distintas formas de pensar estas situaciones. y para comparar las estrategias utilizadas. apoyados en sus conocimientos sobre la multiplicación y la división. La propuesta puede plantearse de manera individual. ¿llegarás justo al número 115? ¿Y al 486? ¿Cómo te diste cuenta? b) ¿Y si escribieras la escala de 3. problema 1 Para un cumpleaños.
Los problema 2 y 3 permiten un acercamiento a estas definiciones. c) El resto de hacer 96 : 12 es 0. la maestra compró golosinas para darles a sus alumnos: 48 chupetines. sin hacer cuentas. y que sean la mayor cantidad de golosinas posibles. 24 turrones y 60 caramelos. e) Como 96 = 12 × 8. La profesora organiza a los grupos: el de las cajas chinas toca cada 2 tiempos. ClAsE 3 Las situaciones planteadas para esta clase apuntan a reinvertir lo trabajado en las anteriores. ¿Cuántos creés que habrá? 2) a) Escribí divisores de 24. b) Escribí divisores de 150. b) Como 96 = 12 × 8. cada 3 tiempos. entonces 96 es múltiplo de 8. puesta en común Después de comparar las formas de resolución utilizadas.000. g) Todos los múltiplos de 12 son múltiplos a la vez de 2 y de 10. 560? ¿Por qué? problema 2 1) a) Escribí tres múltiplos de 12. 96 es múltiplo de 4. cada 4 tiempos. a) Buscá dos números con los que estés seguro de ganar. aunque aplicadas a ejemplos. Si quiere darle la misma cantidad de cada golosina a cada chico. b) Escribí tres múltiplos de 12 mayores a 1. y el de los cascabeles. Se gana si en algún momento se obtiene el 0. el de los panderos. 123. si es correcta o no la frase que se propone. en cada caso.problema 1 Un juego consiste en escribir un número de tres cifras en la calculadora y restarle 4 todas las veces que se pueda. problema 1 Para el día del niño. aunque profundizando las nociones para abordar los múltiplos y divisores comunes a varios números. y 8 = 2 × 4. acompañan una canción con instrumentos musicales. f) Todos los múltiplos de 8 son múltiplos a la vez de 2 y de 4. problema 3 Decidí. ¿Cuándo es la primera vez que los tres grupos tocan juntos?
. se formalizarán los conceptos de múltiplos y divisores. ¿qué cantidad de cada golosina debe darle a cada alumno? ¿Para cuántos alumnos le alcanzará? problema 2 En la clase de música. ¿Todos pensaron los mismos? c) ¿Cuántos números ganadores habrá? d) ¿Se gana con los números 500. d) El resto de hacer 96 : 8 es 12. entonces. b) Comparalos con los de tus compañeros. a) Como 96 es múltiplo de 12. entonces 96 = 12 × 8.
problema 3 1) a) ¿16 es múltiplo de 2. de 4 y de 8? b) ¿Es el menor? c) ¿Será cierto que 2 x 4 x 8 da un múltiplo común entre 2. 4 y 8? 2) a) ¿Cuáles son los divisores comunes entre 24. ClAsE 4 En este encuentro. se evaluará la necesidad de volver a insistir sobre estos conceptos o la posibilidad de avanzar hacia un trabajo sobre los criterios de divisibilidad. mientras que el tercero propone el análisis y la reflexión acerca de los múltiplos y divisores comunes. deberían proponerse situaciones que permitieran reinvertir lo trabajado sobre múltiplos y divisores comunes a varios números. ClAsEs sIguIENTEs De acuerdo con lo observado en estos trabajos.
. sus características y las estrategias más económicas para hallarlos. 4 y 8? d) ¿Será el menor? e) ¿Se puede encontrar el múltiplo común mayor entre 2. 48 y 60? b) ¿Cuál es el divisor común mayor? c) ¿Se puede hacer la lista de todos los divisores de cada uno y buscar entre los que se repiten cuál es el mayor? d) ¿Cuál es el divisor común mayor entre 13 y 7? ¿Y el menor? puesta en común Los problemas 1 y 2 presentan situaciones contextualizadas.
Se considerará parcialmente correcta si el alumno responde “muchas”. Se considerará parcialmente correcta cualquier respuesta que surja de un procedimiento correcto. b) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir que cumplan estas condiciones? ¿Por qué? Criterio de corrección Pregunta a) Se considerará correcta cualquier respuesta que surja de multiplicar 21 por cualquier número mayor que 8. pero con algún error de cuentas o de tablas de multiplicar.º grADo 2. sobre aquellos aspectos que hacen al análisis de la relación entre dividendo.º Año/grADo
DIvIsIóN Esta selección de problemas puede ser utilizada para evaluar a los alumnos. Se considerará parcialmente correcta cualquier respuesta que surja de un procedimiento correcto.6. problema 1 a) Escribí una cuenta de dividir que tenga cociente 21 y resto 8.
. o si como explicación. o cualquier respuesta similar. o cualquier resultado correcto al que se arribe por ensayos sucesivos. se obtuvo 15 y un resto de 4. problema 2 Al dividir un número por 24. y a ese resultado sumarle 8. Pregunta b) Se considerará correcta la respuesta si el alumno responde “infinitas. Se considerará incorrecta cualquier respuesta con un divisor menor o igual a 8. al finalizar el trabajo con la división. Se considerará incorrecta cualquier respuesta que surja de un procedimiento incorrecto. Se considerará incorrecta la respuesta si escribe cualquier otra explicación. ¿Qué número se dividió?
Criterio de corrección Se considerará correcta la respuesta si el alumno responde 364. cociente y resto. o cualquier otro resultado que no cumpla las condiciones requeridas. divisor. teniendo en cuenta que el divisor puede ser cualquier número mayor que 8 y el dividendo surge de multiplicar el divisor elegido por 21 y a ese resultado sumarle el resto”. producto de multiplicar el 24 del dividendo por el 15 del cociente. y a ese resultado sumarle los 4 del resto. ejemplifica. pero con algún error de cuentas o de tablas de multiplicar.
Criterio de corrección Se considerará correcta la respuesta si el alumno demuestra en su explicación haber comprendido.º grADo
problema 3 Inés hizo la cuenta 346 : 7. 349 : 7 . 348 : 7 . que el cociente se mantiene y aumenta el resto.6. y también haber comprendido que. 3. al llegar a un resto igual al divisor. Explicá.
. sin hacer las cuentas. aunque no logre explicarlo con palabras. cuál será el cociente y el resto de estas divisiones y cómo te diste cuenta. Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir: 347 : 7 . que es el caso de la cuarta cuenta propuesta. Se considerará parcialmente correcta la respuesta si el alumno logra determinar el cociente y el resto correctamente en todos los casos. Se considerará incorrecta la respuesta si escribe cualquier otra explicación. aumenta el cociente y el resto queda en 0. para las tres primeras cuentas pedidas. 350 : 7. y obtuvo de cociente 49 y de resto.
º grado.500 al contado y el resto en 36 cuotas fijas iguales. Escribí los siguientes números de tres maneras diferentes. Puede ser utilizada total o parcialmente. 1. b) Escribí en letras la población aproximada del continente más poblado y del menos poblado.605 =
e) 807.380. y quiere exhibirlas en un panel rectangular.º deben mostrar un trabajo sobre países latinoamericanos.000 + 34 × 10 + 5 b) 293 = d) 23. Los chicos de 6. ¿Cuál es el valor de la cuota en cada caso? 4. a) 2.º grADo 5.6. Esta es la población aproximada de cada uno de los continentes del planeta (ordenados alfabéticamente): África 877. 100.703.761 =
f) 2. 2.º Año/grADo 2. usando sumas y multiplicaciones por 10. 1. ¿En cuántas filas y cuántas columnas deberán distribuirlas? ¿Hay una sola posibilidad? Si hay más de una.614 =
3.º Año/grADo
. escribilas todas.879. Plan B: la mitad al contado y el resto en 12 cuotas fijas iguales. El primero va de ejemplo. se propone una selección de problemas que podrían servir como ejemplos para la elaboración de una prueba de fin de 6.000.345 = 23 × 100 + 4 × 10 + 5 = 234 × 10 + 5 = 2 × 1. dada su extensión.000.000 habitantes América 881 millones de habitantes Asia 3. o implementada en más de un día. 3 millones de habitantes Oceanía 32 millones de habitantes a) Ordená los continentes del de mayor población al de menor población.500. El grupo que investiga Panamá consiguió 36 fotos.000 habitantes Europa 727.344 =
c) 4. etcétera. Karina quiere comprar un departamento que cuesta $148. En la inmobiliaria. le ofrecen dos formas de pago: Plan A: $28.
c) El resto de hacer 72 : 12 es 0. Cuando sea posible. sabiendo que este dibujo representa un rombo cuyos vértices están en los puntos medios de los lados de un rectángulo. a) Escribí una cuenta de dividir que tenga cociente 21 y resto 8. a) Como 72 es múltiplo de 12. Un juego consiste en escribir un número de tres cifras en la calculadora y restarle 6 todas las veces que se pueda. explicá con qué dificultad te encontraste. g) Todos los múltiplos de 12 son múltiplos a la vez de 2 y de 10. ¿Qué número se dividió? 6. Dibujá estas figuras. f) Todos los múltiplos de 8 son múltiplos a la vez de 2 y de 4. construí en una hoja un triángulo con los datos indicados para cada caso. B = 110º c) AB = 5 cm. CA = 3 cm b) A = 50º. d) El resto de hacer 72 : 6 es 12. y 6 = 2 × 3. En los casos en que no puedas completar la construcción. A = 30º. sabiendo que se trata de cuadrados. a) Buscá dos números con los que estés seguro de ganar. C = 60º e) A = 40º. Se gana si en algún momento se obtiene el 0. calculá la medida del ángulo M. 123.5. a) AB = 5 cm. en cada caso. CA = 3 cm d) A = 30º. b) ¿Cuántos números ganadores habrá? c) ¿Se gana con los números 500. Decidí. si es correcta o no la frase que se propone sin hacer cuentas.
. Sin medir. C = 80º f) AB = 6 cm. BC = 2 cm. B = 100º 23º 11. b) ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles? c) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué? 7. B = 50º. entonces 72 = 12 × 6. 9. BC = 3 cm. B = 60º. se obtuvo 15 de cociente y 4 de resto. entonces 72 es múltiplo de 3.
10. de forma que te queden el doble del tamaño de las que aparecen acá. b) Como 72 = 12 × 6. e) Como 72 = 12 × 6. Al dividir un número por 24. circunferencias y triángulos. entonces 72 es múltiplo de 6. 690? ¿Por qué? 8.
Débora escribió esta cuenta: 39 4/ 5 7
¿Es posible responder las siguientes preguntas usando solo la información que brinda esta cuenta? Si pensás que sí.6
0.12. Para repartir chocolates. caras y aristas que no se pueden ver porque quedaron ocultas por el dibujo. pintá del mismo color las expresiones que representen el mismo número. En cada tira. si creés que no es posible.
3. explicá por qué.625
. Hay vértices.2
2. ¿Qué parte del rectángulo está pintada en cada caso?
15. a) ¿Entre cuántas personas repartió Débora sus chocolates? b) ¿Cuántos chocolates repartió? c) ¿Qué cantidad recibió cada una si no quedó nada sin ser repartido y a todos les tocó la misma cantidad? 14. escribí la respuesta.75
0. Los siguientes dibujos representan dos cuerpos geométricos.
. 15 1 .. La cancha de Vélez Sarsfield tiene de largo 105 metros y de ancho 70 metros. menor o igual perímetro que el rectángulo A.
18.. menor o igual área que el rectángulo A. 19.36 o 83.40
.5? 17. ¿Cuál de estos dos números está más cerca de 83... .. Completá las siguientes tablas de proporcionalidad directa... Precio viejo
2. 2.. . En un comercio.. Calculá el área de las dos canchas.. La cancha de Argentinos Juniors tiene 100 metros de largo y 66 metros de ancho. 6
. 3.5 .
1 .4: 83. 4 y 5 tienen: a) Mayor...... 25 . Cantidad de pintura
8 ..16. deciden rebajar sus precios un 15%.. b) Mayor.
20 . Indicá si las figuras 1.. 1 12.. Armá la nueva lista de precios..
G. Buenos Aires: Aique. S. Desarrollo curricular.buenosaires.ar/ areas/educacion/curricula/media. “La Matemática y su didáctica. Secretaría de Educación. Quaranta. (1994).php?menu_id=20709#matematica.buenosaires. M.buenosaires. Dirección de Currícula.. C. Gascón. A.) Didáctica de matemáticas. Boch. Didácticas especiales.gov. “Discusiones en las clases de matemáticas: ¿qué se discute?. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires” [en línea] http://www.ar/areas/educacion/curricula/pluri_mate. Ministerio de Educación. Barcelona. C.pdf.. Enseñar Matemática hoy.php?menu_id=20709. En Panizza (comp. G.ar/areas/educacion/curricula/ docum/matematica. P.php. G.ar/areas/educacion/curricula/docum/areas/matemat/ lnlmyln. “Los niños. M. Buenos Aires: Paidós. J. M.o grado” [en línea] http://estatico.. Sessa C.gov. Editorial Horsori. En Parra. II. Buenos Aires: Paidós. y Saiz. Estudiar Matemática . B. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. ¿para qué? y ¿cómo?”. Nuevos y antiguos debates”. Buenos Aires: Paidós. AspECTos gENErAlEs sobrE lA ENsEñANzA DE lA MATEMÁTICA Brousseau. Dirección de Currícula (1997). (1997).. “Cálculo mental con números naturales.) Enseñar matemática en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB: Análisis y Propuestas. Estado del debate. (1997). presentamos una colección de materiales editados en libros o accesible en páginas de Internet que podrían resultar interesantes para docentes y directivos . C. Sadovsky. Sadovsky. (2000).buenosaires. P. Dirección de Currícula (1992). I. “Documento de actualización curricular N. los maestros y los números. Matemática.° 4. (2005).) Enseñar matemática en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB: Análisis y Propuestas.Serie Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del Ministerio de Educación. Wolman. “Reflexiones generales acerca de la enseñanza de la Matemática. (2002).gov.gov. Dirección de Currícula (2006). Ministerio de Educación. (comps. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Libros del Zorzal. [en línea] http://www.bIblIogrAfÍA
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escribí cómo se llaman estos números: a) 4.000.408 2.007.070. EsCrITurA y orDEN DE NúMEros 1.000.631. a)
0 200.6º grADo ACTIvIDADEs
lECTurA.000 __________________________________________________________________
Actividades . Si así se escribe cuatro mil millones: 4.007.404.400 km2 Honduras: 112.408 2. ¿Cuál de los siguientes es ese número? 2.000.000 ____________________________________________________________________ d) 400.444 _____________________________________________________________________ b) 400.000.000
0 25.444.000 10.514.215 km2 2 Canadá: 9. Estas rectas tienen ubicados algunos números.408. en km2.418 km2 a) Ordená las superficies de menor a mayor.877 km2 uruguay: 176.000.492 km2 Brasil: 8.670 km Venezuela: 916.070.000. c) La superficie de Colombia.000 500.480 2.000 2.444.Página 1
. ¿Estás de acuerdo con esta idea? ¿Por qué? 2.000.408 2.048 2. ¿Cuáles deberían ir en los espacios vacíos? Escribilos.000 __________________________________________________________________ c) 4. con la superficie de sus territorios.780.984. entonces Venezuela es mayor que Argentina.070. b) Escribí los números en letras.000.000
NúMEros Muy grANDEs 3.445 km2 Estados unidos: 9.000
0 5.700. es dos millones setenta mil cuatrocientos ocho.480
d) ¿Entre qué dos países de la lista anterior debería ubicarse? e) Matías dice que si la superficie de Venezuela empieza con 9 y la de Argentina con 2.000 150.070.000. Argentina: 2.000. ordenados alfabéticamente.400. Esta es una lista de algunos países americanos.048 2.070.
Saturno y Venus.4 millones de km Tierra: 149.000 5.000.94 millones de km Mercurio: 57.000 km saturno: 1. las distancias del Sol a Marte.000? 6.050 5.000 602. Escribilas utilizando números.083.000 Uno más
Actividades . a) 3. las distancias del Sol a Júpiter.218 b) 14.201 8. Escribí un cálculo que permita modificar solo la cifra señalada en cada número. usando solamente números.005.100 800. Esta es la población estimada de América según datos de la ONU del 2009: América del Norte: 480 millones de habitantes América Central: 41. Estas son las distancias aproximadas entre algunos planetas y el Sol: Júpiter: 778.000 d) 407.005
5.63 millones ¿es 63.050.009.500.910.102. 630.000 km Marte: 227.500. 7.000 km Venus: 108. usando números con coma y la palabra millones.2 millones de km a) Escribí una lista ordenada con los nombres de los planetas.099 201.300.500.500. b) Escribí. y la de Neptuno es de cuatro mil quinientos cuatro millones trescientos mil kilómetros. Mercurio y la Tierra.907 c) 26.429.2 millones de habitantes ¿La población total del continente americano supera los ochocientos millones de habitantes? sIsTEMA DE NuMErACIóN y vAlor posICIoNAl 9.005. del más cercano al más lejano del Sol.000. ¿Cuál de estos es el número cinco mil cincuenta millones quinientos mil cinco? 5.104 Número 46.3 millones? ¿Es más o menos que un millón? b) La cantidad 0. c) Escribí.500.000 habitantes América del sur: 357.000 o 6.Página 2
.050. d) La distancia aproximada de Urano al Sol es de dos mil ochocientos setenta millones novecientos noventa mil kilómetros.288. a) ¿Qué número representa 0.005 5.330. Completá la tabla con las cantidades correspondientes: Uno menos 13.NúMEros NATurAlEs
4.600.005 5.739.
000 Diez mil más Cien mil más Un millón más
Actividades . Este cuadro muestra la cantidad de fichas que obtuvo cada jugador al terminar el partido.NúMEros NATurAlEs
10. 10.230.Página 3
. ¿Qué número se forma en cada caso? a) 27 x 1. 1.206 12.000 + 452 x 1 = ______________
14.211.403 276.734 56. En un juego hay fichas de diferentes valores: 100.206 14. FICHAS 1.516 900.236. Completalo.000 – 987 x 1 c) 756 x 1. ¿Con cuáles de estos cálculos se obtiene el número 756.211.000.596
12.298.000 + 2 x 1.867 se le resta … para obtener … 3.000 + 9 x 100 + 8 x 10 + 7 d) 7 x 100. Un millón menos Cien mil menos Diez mil menos Número 1.932 7.000.000 + 5 x 10 = ______________ c) 31 x 100.000 + 4 x 1 = ______________ d) 963 x 1.562.060
11.254 8.000 0 2
10. 10 y 1.932 7.000.590 1.987? a) 756 x 100. Completá la tabla. ¿Cuánto le restarías a cada número propuesto para obtener el resultado pedido? Al número … 3.000 + 56 x 1.981. 100.000 + 8 x 100 = ______________ b) 4 x 10.000 100 2 7 9 0 PUNTAJE FINAL
100.562.000 + 7 x 1+ 8 x 10 + 100 x 9 13.000 26 3 23
1.937.789.000 + 987 x 100 b) 756 x 1.516 983.907.000.
000.000 + 650 17.000 + 7 × 1.284 : 10 5. Escribí los siguientes números de tres maneras diferentes usando sumas y multiplicaciones por 10.Página 4
. a) ¿Cuántos paquetes de 10 caramelos se necesitan para guardar 157 caramelos? b) ¿Cuántos paquetes de 100 caramelos se necesitan para guardar 4.965 =
f) 307.650.000 + 6 × 10 + 5 176 × 100 + 50
1 × 10.000 +34 × 10 + 5 d) 19. Teniendo en cuenta la idea de Ernesto de la actividad anterior.345 = 23 × 100 + 4 × 10 + 5 = 234 × 10 + 5 = 2 × 1.000 + 600 + 50 17 × 1. 100.806 : 1. 19.216 =
17.806 : 10 94. encontrá el cociente y el resto de cada una de las siguientes divisiones.NúMEros NATurAlEs
sIsTEMA DE NuMErACIóN y opErACIoNEs 15. Ernesto dice: Para hacer 5.702 =
e) 614. yo sé que el cociente es 53 y el resto es 12.312 : 100 alcanza con mirar bien los números.806 : 100 94.000 + 6 × 100 + 5 × 10 16. y sin hacer las cuentas. El primero va de ejemplo.211 =
c) 2.038 : 100 94. Sin hacer la cuenta de dividir.587 caramelos? 18. etcétera. a) 2. Señalá los cálculos que dan como resultado 17. 17. División 927 : 10 6.000 Cociente Resto
Actividades . 1. Explicá cómo puede haber obtenido los resultados que menciona.
problEMAs QuE sE rEsuElvEN CoN vArIos CÁlCulos 1. En la inmobiliaria.000? 3.° quieren organizar un torneo de fútbol. armaron 7 equipos. Analía fue a comprar ropa a un negocio que vende al por mayor. Como tuvo que devolver 20 pantalones que había comprado antes. a $51 cada uno. Silvina quiere pintar una parte de su casa y necesita: dos rodillos un pincel fino cinta de pintor (20 metros. El taxi para ir y volver del negocio le costó $40. Lisandro recibió $117.Página 5
. Deben jugar dos veces todos contra todos (partido y revancha). Camilo y Lisandro se repartieron una suma de dinero de la siguiente manera: Martina recibió el doble de lo que recibió Camilo. Compró 12 camisas a $21 cada una. a) ¿Cuántos partidos se jugarán en total? b) ¿Cuántas fechas tendrá el torneo si en cada fecha se juegan 3 partidos?
Actividades . Los alumnos de 6. ¿Cuál es el valor de la cuota en cada caso? 4.380. ¿Le alcanzó el dinero. y 40 polleras a $56 cada una. si llevó $2.500 al contado y el resto en 36 cuotas fijas iguales. 24 remeras a $11 cada una. Para ello. a) ¿Qué cantidad de dinero repartieron? b) ¿Cuánto recibieron Martina y Camilo? c) ¿Cómo podés asegurar que tu respuesta es correcta? 2. Martina. Plan B: la mitad al contado y el resto en 12 cuotas fijas iguales. Karina quiere comprar un departamento que cuesta $148. le ofrecen dos formas de pago: Plan A: $28. se lo descontaron del total que debía pagar. aproximadamente) cuatro litros de pintura sintética veinte litros de pintura al agua Pidió presupuesto en dos pinturerías y le pasaron estas listas de precios: PINTURERÍA A Rodillo: $13 c/u Pincel fino: $14 Cinta de pintor de 10 m: $8 Pintura sintética (lata de 1 litro): $24 Pintura al agua (lata de 10 litros): $140 PINTURERÍA B Rodillos: $20 el paquete de dos Pincel fino: $17 Cinta de pintor de 5 m: $5 Pintura sintética (lata de 2 litros): $41 Pintura al agua (lata de 10 litros): $156
¿Dónde gastará menos dinero si quiere comprar todo en el mismo lugar? problEMAs DE MulTIplICACIóN y DIvIsIóN 5. Lisandro recibió la misma cantidad que Martina y Camilo juntos.
En una isla. Tienen 120 sillas para el público. Cantidad de cajas Cantidad de hamburguesas 8 10 18 360 480 48
9. hay más de 12 y menos de 18 cerámicos. se dejó una pareja de conejos.opErACIoNEs CoN NúMEros NATurAlEs
6. 2×3 2×2×2 2×2×2×2×2×2×2 6×2
problEMAs pArA EsTuDIAr CóMo fuNCIoNA lA DIvIsIóN 12. el 98. Todos los cerámicos son cuadrados y están enteros.º están estudiando algunos países latinoamericanos. a) Si los conejos se siguen reproduciendo a este ritmo. cada uno. Con los dígitos 9. Los chicos de 6. A los seis meses. 3 chicos difunden. se pueden formar muchos números de cinco cifras.Página 6
. 7. ¿Cuántos cerámicos hay en cada fila? ¿Cuántos en cada columna? ¿Hay una sola posibilidad? ¿Por qué?
Actividades . Los chicos de sexto están organizando un festival. Si se duplica el largo y el ancho. El piso del aula es rectangular y tiene en total 330 cerámicos. se contaron 4 conejos y al año. a) ¿Cuál de los siguientes cálculos permite saber cuántos números diferentes se pueden formar sin repetir los dígitos? 5+4+3+2+1 5×4×3×2×1 5×5×5×5×5 5+5+5+5+5
b) Si se pudieran repetir los dígitos. escribilas todas. Por ejemplo.765 o el 56. Completá la tabla. Si se colocan en 9 filas. se venden hamburguesas en cajas de 24 unidades. En cada fila. ¿Cuántos chicos se enteran del mensaje? 11. señalá el que sirve para obtener la cantidad de conejos que habrá a los 3 años. ¿En cuántas filas y cuántas columnas deberán distribuirlas? ¿Hay una sola posibilidad? Si hay más de una. ¿cuántos números diferentes se podrían armar? 7. ¿se duplicará la cantidad de baldosas? 8. Un patio tiene 7 filas de 3 baldosas cada una. Hay 123 sillas para los actos escolares. El grupo que investiga Cuba consiguió 48 fotos y quieren exhibirlas en un panel rectangular. En un negocio. ¿cuántos conejos se contarán a los dos años? ¿Y a los 4 años? b) Entre los siguientes cálculos. quienes a su vez le avisan a otros 3 y estos. 6 y 5.789. Si en cada fila colocan 15 sillas. ¿cuántas filas pueden armar? 13. 8. 10. un mensaje a otros 3 chicos. Para pasar una cadena telefónica. ¿cuántas sillas tendrá cada fila? ¿Sobran sillas? ¿Cuántas? 14. Explicá qué tuviste en cuenta para elegirlo. 8 conejos. a otros 3 cada uno.
explicá por qué no. manteniendo el mismo divisor? c) ¿Cuántas cuentas puede escribir Lisandro que tengan como divisor 9. Al dividir un número por 24. + y –. 125 : 9. explicá cómo puede hacerlo. a) Escribí una cuenta de dividir que tenga cociente 21 y resto 8. 126 : 9. En una calculadora. ¿Cómo podrían resolverse estos cálculos? Escribilo al lado de cada uno. 127 : 9. b) ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles? c) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué? 16. se obtuvo 15 y un resto de 4. a) ¿Puede Lisandro determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible. Lisandro hizo la cuenta 123 : 9 y obtuvo de cociente 13 y de resto 6. b) ¿En cuánto tiene que modificar Lisandro el dividendo de la cuenta que hizo para obtener cociente 9 y resto 0. como cociente 13 y como resto no necesariamente 0? 19. ¿Cuál o cuáles de los siguientes números de la tabla pueden completar correctamente esta cuenta?
problEMAs y propIEDADEs 20. ¿Qué número se dividió? 17. ¿Hay una única posibilidad?
18. a) 28 x 8 = _______________________________________________________________________ b) 48 x 39 = ______________________________________________________________________
Actividades . no funcionan las teclas 9. 8. Si no.opErACIoNEs CoN NúMEros NATurAlEs
15.Página 7
. Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir: 124 : 9.
Claudia obtuvo 15. 2 x 23 = 46 3 x 23 = 69 4 x 23 = 92 × 23 6 8 10 12 14 22
23. a) 125 × 16 = __________ b) 375 × 32 =__________ c) 250 × 16 = __________ d) 250 × 8 = __________ e) 125 × 32 =__________ f) 1.560 156 156 156 3.560 1. ¿Cómo se puede resolver 456 : 24 con una calculadora en la que no funciona la tecla del 4? 24. indicá si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa.Página 8
. a) 215 x 25 = 215 x 20 + 215 x 5 e) 378 x 18 = 378 x 10 x 8 b) 215 x 25 = 215 x 5 x 5 f) 378 x 18 = 378 x 9 x 2 c) 215 x 25 = 25 x 215 g) 378 x 18 = 370 x 18 + 8 x 18 d) 215 x 25 = 25 x 5 + 25 x 5 h) 378 x 18 = 378 x 20 – 2
EsTrATEgIAs DE CÁlCulo y propIEDADEs I 26. Juan hace una cuenta de multiplicar así: 156 × 23 1. Sin hacer las cuentas.000. Al hacer 240 : 8 : 2. completá la tabla. Justificá tus respuestas. a) ¿Qué habrá hecho cada una para llegar a esos resultados? b) ¿Quién resolvió el cálculo correctamente? 25. en cambio. encontrá los resultados de los siguientes cálculos sin efectuarlos. Usando como información que 125 × 8 = 1.opErACIoNEs CoN NúMEros NATurAlEs
c) 99 x 12 = ______________________________________________________________________ d) 18 x 72 = ______________________________________________________________________ 21. Usando estos resultados. a Marcela le dio 60.588 a) ¿Cómo habrá pensado al hacer esos cálculos? ¿Qué propiedades de la multiplicación usa? b) Intentá resolver la cuenta de multiplicar 248 x 31 de la forma que lo hace Juan.250 × 80 =__________
Actividades . 22.
450 Resolvé los siguientes cálculos usando procedimientos similares a los de Lisandro.opErACIoNEs CoN NúMEros NATurAlEs
27. 15 × 1 15 15 × 2 30 15 × 3 15 × 4 15 × 5 15 × 6 15 × 7 15 × 8
a) Completá los resultados que faltan en la tabla.500 25 × 2 = 50 25 × 98 = 2. Para encontrar el resultado de 25 × 98. La siguiente tabla presenta algunos resultados de multiplicar por 15.400 120 × 5 = 600 120 × 25 = 2. Lisandro hizo lo siguiente: 25 × 100 = 2. resolvé cada uno de los siguientes cálculos: a) 24 × 50 = __________ b) 125 × 5 = __________ c) 52 × 25 = __________ d) 462 × 150 = __________
Actividades . Para encontrar el resultado de 120 × 25. 100 y 1.Página 9
. a) 520 × 24 = ___________ b) 1520 ×12 = __________ c) 340 × 21 = ___________ 28.000. 15 × 9 = __________ 15 × 12 = __________ 15 × 18 = __________ 15 × 20 = __________ 15 × 24 = __________ 15 × 53 = __________
30. b) Usá la información de la tabla para determinar los resultados de los siguientes cálculos.500 – 50 = 2.400 + 600 = 3. Martina hizo lo siguiente: 120 × 20 = 2.000 Resolvé los siguientes cálculos usando procedimientos similares a los de Martina. Usando las multiplicaciones por 10. a) 24 × 98 = __________ b) 52 × 19 = __________ c) 45 × 998 = __________ 29.
Juan hizo con la calculadora la siguiente cuenta 762 : 25 y obtuvo como resultado 30. Marcá con una cruz entre qué números. sin resolverlos. Gonza y Fede hicieron lo siguiente: Gonza 128 : 4 : 2 = 16 Fede 128 : 4 : 2 = 64
¿Cómo es posible que la misma cuenta de dos resultados diferentes? 36. Usando esta información. si al 747 se lo piensa como 700 + 47 y se hace 700 : 9 y 47 : 9.000 450 x 40 799 x 200 2. y no 83. encontrá el resto de las siguientes divisiones. el resultado es 82. En cambio. ¿Cómo harías para encontrar el resto sin hacer la cuenta y aprovechar lo que hizo la calculadora? 34. y sin hacer la cuenta. Menos de 1.000 y 10. ¿Qué falta para obtener el resultado correcto? 35.630 x 110 2. 32.000
Actividades .Página 10
. va a estar el resultado de cada cálculo. Sin hacer la cuenta. Al hacer 747 : 9.opErACIoNEs CoN NúMEros NATurAlEs
EsTrATEgIAs DE CÁlCulo y propIEDADEs II 31. se obtiene lo siguiente:
Ahora bien.48. a) 370 : 25 Resto: _______ b) 359 : 25 Resto: ______ c) 375 : 25 Resto: ________
33. indicá cuántas cifras tendrá el cociente de 13. si se suman ambos cocientes. Para encontrar el resultado de 128 : 4 : 2.000 Más de 10.845 : 12. Explicá cómo lo pensaste. se obtiene como cociente 83 y resto 0. aproximadamente. Si se realiza la cuenta 350 : 25 se obtiene cociente 14 y resto 0.490 x 12 Entre 1.
¿Hay una sola posibilidad? 4. 33.202 : 2 Resto: ________ Resto: ________ c) 13. a) 605 : 3 b) 20.9___9 ___5
34.000.MúlTIplos y DIvIsorEs
31. por 100 y por 1.059 707 270 880 2.14___ 2___4 9. entonces es divisible por 8? 32.104
35.648 : 5 d) 804 : 4 Resto: ________ Resto: ________
Actividades . sin hacer cuentas.5___3 8.Página 14
. ¿Será verdad que si un número es divisible por 2 y por 4. Completá los espacios de modo que se obtenga en cada caso un múltiplo de 9. cuál será el resto de estas divisiones. Explicá cómo podés saber si un número es divisible por 10. Determiná. Es divisible por 5 6
Número 4. según corresponda. Colocá SÍ o NO. sin hacer las cuentas y usando los criterios de divisibilidad.
Trasladar el segmento AB sobre una semirrecta usando el compás y la regla. Seguí las instrucciones para dibujar un cuadrilátero ABCD a partir de la semirrecta que se presenta:
a) Sobre la semirrecta AM. circunferencias y triángulos. perpendicular a AB. b) Trazá por el punto B un segmento BC de 2 cm. Martina siguió las indicaciones que se presentan a continuación. trazá un segmento AB de 3 cm. ¿Qué información creés que falta? D C
Actividades . 3.Página 15
. Para copiar el dibujo de la derecha.6º grADo ACTIvIDADEs
rEproDuCCIóN DE fIgurAs 1. c) Construí un ángulo BCD igual al ángulo P que aparece dibujado. marcá el punto D a 3 cm de C. sabiendo que se trata de cuadrados. Copiá estos dibujos en una hoja lisa.
2. e) Uní A con D. pero sin medir con la regla Trazar el segmento BC Trasladar el segmento DC A Unir D con A Cuando quiso copiar el dibujo. Escribí los pasos que hiciste para realizar las copias.
d) Sobre el último segmento dibujado. dijo que faltaba información.
Indicá con cuáles es posible construir un triángulo y con cuáles no. A = 30°. y los ángulos que se apoyan sobre ese lado que midan 60° y 80°. explicá con qué dificultad te encontraste. Pablo dice que no se puede construir un triángulo que tenga un ángulo de 80° y otro de 120°. 10. 8. otro lado de 8 cm y el ángulo que forman esos lados que sea de 70°. cambiá la medida de uno de los ángulos de modo que se pueda construir un triángulo. ¿Cuáles de estas informaciones permiten construir un único triángulo? a) La medida de los tres lados b) La medida de los tres ángulos c) La medida de dos lados y uno cualquiera de los ángulos d) La medida de dos ángulos y uno cualquiera de los lados e) La medida de dos ángulos y la medida del lado comprendido entre ellos f) La medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos TrIÁNgulos y CuADrIlÁTEros 12. B = 60°. C = 80° f) AB = 6 cm. construí en una hoja un triángulo con los datos indicados para cada caso. ¿Se puede dibujar otro distinto? ¿Qué tipo de triángulo es? 11. A continuación se presentan ternas de medidas de ángulos. F = 40° c) G = 85°. a) ¿Cuántos triángulos como el ABC necesitarías para construir un rectángulo? B
Actividades .Página 16
. BC = 3 cm. C = 60° e) A = 40°. BC = 2 cm. B = 120°.TrIÁNgulos y CuADrIlÁTEros
TrIÁNgulos 4. a) A = 30°. B = 110° c) AB = 5 cm. CA = 3 cm d) A = 30°. En aquellos grupos de datos de la actividad anterior con los que no se puede construir un triángulo. Construí en una hoja en blanco un triángulo que tenga un lado de 6 cm. J = 40° sí sí sí No No No
7. 5. Construí un triángulo con un lado de 4 cm. E = 20°. C = 30° b) D = 70°. a) AB = 5 cm. H = 60°. B = 50°. Construí un triángulo que tenga un lado de 3 cm y los ángulos que se apoyan en ese lado que sean de 45° cada uno. Cuando sea posible. B = 100°
9. ¿Estás de acuerdo con lo que dice Pablo? ¿Por qué? 6. Justificá tu respuesta en cada caso. En los casos en que no puedas completar la construcción. CA = 3 cm b) A = 50°.
. De la siguiente figura.TrIÁNgulos y CuADrIlÁTEros
c) ¿Cuál de los triángulos propuestos en las partes a) y b) podrías utilizar para construir un rombo? ¿Cuántos necesitarías? 13.
ADCB es un cuadrado. A 60º M P 80º D N C 80º B
a) Encontrá las medidas de M. b) ¿Cómo son los triángulos ABD y DCB? ¿Por qué? 14. N y P.
Actividades . sin usar transportador. Calculá la medida de los ángulos que se indican con arcos en cada figura. se sabe que AB = DC y AD = BC.
Indicá cuántos rombos distintos se pueden construir con esos datos. los puntos que forman el rombo y el rectángulo interior son puntos medios de los lados. 17. usando regla y escuadra. Completá el siguiente dibujo de manera de obtener un rombo. Escribí los pasos que seguiste para construirlo. considerando que los segmentos dibujados son parte de sus lados.Página 18
. usando regla y compás. Construí.
16. Copiá el siguiente dibujo. En cada caso. un rectángulo cuyos lados midan 5 cm y 3 cm. Completá el siguiente dibujo de manera de obtener un cuadrado. usando regla y compás. D E M H A P G B N F O C
Actividades . a) ¿Será cierto que si se conoce la medida de un lado de un cuadrado se puede construir un único cuadrado? ¿Por qué? B) ¿Será cierto que si se conoce la medida de un lado de un rectángulo se pueden construir muchos rectángulos? ¿Por qué? C) ¿Será cierto que si se conoce la medida del lado de un rombo se pueden construir muchos rombos? 19. Anotá los pasos que seguiste para construirlo.TrIÁNgulos y CuADrIlÁTEros
CuADrIlÁTEros 15.
d) Si un rectángulo tiene diagonales que se cortan perpendicularmente. en una hoja en blanco. Cada par de segmentos dibujado son las diagonales de un cuadrilátero. y un cuadrado cuya diagonal mida 4 cm. entonces es un cuadrado. un cuadrilátero que tenga sus diagonales perpendiculares. entonces es un cuadrado. 24. Decidí si las siguientes frases son correctas o no. Dibujá la circunferencia que pasa por los cuatro vértices de estos cuadriláteros. a) Dibujá. c) Dibujá. e) Las diagonales del rombo se cortan en el punto medio de cada una de ellas.Página 19
. ¿Podés dibujar dos diferentes? b) Dibujá. al menos tres cuadriláteros diferentes que tengan sus diagonales de igual longitud. a) Construí un rombo cuyas diagonales midan 4 cm y 3. 25. b) El rectángulo tiene sus diagonales perpendiculares. c) Si un rombo tiene diagonales iguales. a) El cuadrado tiene sus diagonales perpendiculares. en una hoja en blanco. a) b) c)
Actividades . b) ¿Cuantos rombos distintos se pueden construir con estos datos? 23. Completá los dibujos e indicá cuáles de los cuadriláteros que quedaron dibujados tienen dos pares de lados paralelos.5 cm. un cuadrilátero que tenga sus diagonales iguales y perpendiculares.TrIÁNgulos y CuADrIlÁTEros
DIAgoNAlEs DE los CuADrIlÁTEros 20. en una hoja en blanco.
22. ¿Hay una única figura en cada caso? 21. Construí un rectángulo cuya diagonal mida 5 cm.
b) El ángulo 1 mide lo mismo que el ángulo 3. Construí. sabiendo que ABCD es un rectángulo y el ángulo ADB mide 50°. Indicá cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas. A 2 1 3 4 D C 5 B
a) El ángulo 1 mide lo mismo que el ángulo 2. un rombo en el cual uno de sus ángulos mida 150° y otro de sus ángulos mida 30°. Sin medir. sabiendo que ABCD es un rectángulo y que E. f) La medida del ángulo 4 es igual a la medida del ángulo 2. 2. h) La suma de las medidas de 1. g) El ángulo 5 mide lo mismo que el ángulo 1. 3 y 4 es 360°. calculá la medida del ángulo m. e) La suma entre las medidas de 4 y 3 es 180°.TrIÁNgulos y CuADrIlÁTEros
ÁNgulos DE los CuADrIlÁTEros 26. Sin medir.Página 20
. en una hoja en blanco. G y H son los puntos medios de los lados del rectángulo. El siguiente dibujo representa un paralelogramo. A E
Actividades . d) La medida del ángulo 4 es la misma que la medida del ángulo 5. 28. calculá la amplitud del ángulo DAB. A B
27. F. c) La suma entre las medidas de los ángulos 3 y 5 es 180°. 29.
Cada uno debe tener a uno de los segmentos dibujados como lado y una altura de 3 cm. El siguiente dibujo representa un trapecio isósceles. c) El ángulo A mide 150°. Dibujá tres paralelogramos. A
Indicá cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas y cuáles no. La figura MNRS es un paralelogramo. d) La suma de las medidas del ángulo D y del ángulo A es 180°. Copiá el siguiente dibujo teniendo en cuenta que AB es paralela a DC y que AD tiene la misma longitud que BC. a) El ángulo m mide 10°.Página 21
31. M N
32. D C
A 33.TrIÁNgulos y CuADrIlÁTEros
TrApECIos y pArAlElogrAMos 30. b) El ángulo n mide 30°.
Actividades . ¿Cuál es la medida del ángulo M? Respondé sin medir.
polÍgoNos 1.
Decidí cuáles de las siguientes frases permiten identificar a un único polígono entre los anteriores. Copiá el siguiente polígono que tiene todos sus lados iguales. d) Tiene ocho lados iguales. c) Tiene cinco lados diferentes que no son todos iguales. A partir del siguiente segmento. Los siguientes dibujos representan polígonos. Anotá los pasos que seguiste para realizarlo. b) Tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. e) Tiene seis lados.
3.Página 22
. f) Tiene cinco ángulos iguales. g) Tiene lados opuestos paralelos. ¿Cuántas figuras de cinco lados se podrán dibujar?
2. dibujá una figura que tenga cinco lados. usando los instrumentos de geometría que necesites. h) Tiene seis ángulos que no son todos iguales. a) Tiene cinco lados. i) Tiene cinco diagonales.
dibujá un rombo. El siguiente dibujo es un triángulo.
Con dos triángulos iguales al propuesto.Página 23
. ¿Cuántos triángulos se necesitan?
5. ¿Hay una única posibilidad?
b) Usando ahora triángulos como este. es posible construir un rectángulo. ¿Cuántos triángulos como el que está dibujado son necesarios para cubrir el polígono sin que se superpongan los triángulos?
a) Usando ahora triángulos como el siguiente.polÍgoNos y CuErpos
polÍgoNos y TrIÁNgulos 4.
c) Usando triángulos como este. dibujá un polígono de cuatro lados que no sea cuadrado ni rectángulo. dibujá un polígono de seis lados iguales.
Cubrí los siguientes polígonos con la menor cantidad posible de triángulos.Página 24
b) ¿Se podrá cubrir el dibujo anterior con solo tres triángulos? 7.polÍgoNos y CuErpos
6. Los triángulos no se pueden superponer. a) Completá el siguiente cuadro. Polígono N. a) b)
suMA DE los ÁNgulos INTErIorEs DE los polÍgoNos 7.º de lados Cantidad mínima de triángulos que lo cubren
Actividades . a) Intentá cubrir el siguiente pentágono usando triángulos sin que se superpongan entre sí.
Indicá cuáles y cuántas de las siguientes figuras se necesitan para cubrir esta pirámide de base rectangular. a) b) c)
28. Dibujá el desarrollo de estos cuerpos.Página 28
Actividades .polÍgoNos y CuErpos
27. Explicá cómo te diste cuenta.
Para saber cuántos darle a cada una. Ana dibujó todos los alfajores y “cortó” cada uno en 3 partes iguales. Utilizá el procedimiento de Ana para averiguar cuál es el resultado de repartir 7 alfajores entre 4 chicos de manera que todos reciban lo mismo y que no quede nada sin ser repartido. sin que sobre nada. Matías realizó un reparto de alfajores. escribí la respuesta.Página 29
. entre cierta cantidad de personas. a) ¿Entre cuántas personas repartió Daniela sus chocolates? b) ¿Cuántos chocolates repartió? c) ¿Qué cantidad recibió cada persona si no quedó nada sin ser repartido y a todos les tocó la misma cantidad? 6. hizo esta cuenta: 9 1 4 2
Ahora dice que a cada persona le tocan dos alfajores enteros y un cuarto. en partes iguales. indicá cuánto chocolate le corresponde a cada chico. 4. Se quieren repartir. 3. 4 ¿Cuál de las siguientes cuentas podría ser la que hizo Matías para averiguar cuánto entregarle a cada persona? 14 2 4 3 11 3 4 2 11 3 2 4
Actividades . Ernesto tiene que repartir en partes iguales 9 alfajores entre 4 personas de manera que no sobre nada. Se sabe 3 que cada una de esas personas recibió 2 alfajores enteros y . a) 3 chocolates entre 4 chicos b) 4 chocolates entre 5 chicos c) 5 chocolates entre 8 chicos 2. indicó que le correspondería un tercio de cada alfajor para cada chico. Después. Débora escribió esta cuenta: 39 4 5 7
¿Es posible responder las siguientes preguntas usando solo la información que brinda esta cuenta? Si pensás que es posible. o sea que en total cada chico recibe cinco tercios de alfajor. 15 chocolates entre 5 chicos. teniendo en cuenta que se trata de repartir sin que sobre nada y en partes iguales. ¿Te parece correcta esa respuesta? ¿Por qué? 5. explicá por qué. en partes iguales y sin que sobre nada.6º grADo ACTIvIDADEs
FRACCIONEs. En cada caso. REPARTOs Y DIVIsIONEs 1. si creés que no. Para repartir en partes iguales 5 alfajores entre 3 chicos. Para repartir chocolates. ¿Cuántos chocolates recibirá cada uno? Explicá cómo lo pensaste.
¿cuánto mide la tira C?________ 10. Pintá
1 de cada una de estas figuras.frACCIoNEs
frACCIoNEs y MEDIDA 7.Página 30
. ¿Qué parte del rectángulo está pintado en cada caso?
Actividades . 4
11. Esta tira mide
1 de una tira entera. respondé las preguntas:
a) ¿Cuántas tiras A se necesitan para formar la tira B? ________ b) ¿Qué parte de la tira A es la tira C?________ c) ¿Cuántas tiras C hacen falta para armar la tira B?________ d) Si se toma como unidad de medida la tira B. 5
9. A partir de los dibujos que se presentan. Esta tira mide
3 de la unidad. Dibujá toda la tira. Dibujá la unidad.
1 3 de una unidad.frACCIoNEs
12. Dibujá esa unidad. 3
15. 3 4
frACCIoNEs EQuIvAlENTEs 16. ¿Cuántos cuartos se necesitan para tener 17. Dibujá una tira que mida de esa misma unidad. a) ¿Cuántas fracciones equivalentes a 3 podés encontrar? b) ¿Cuántas fracciones equivalentes a 3 con denominador 12 podés encontrar?
19. Los dos rectángulos son iguales. ¿Es cierto que en los dos se pintó la misma cantidad?
4 de una unidad. _______ 24
20. a) Encontrá una fracción equivalente a b) Encontrá una fracción equivalente a
5 con denominador 3. El resultado de dividir 11 por 4 es . Este rectángulo es
3 de una unidad. 4
14. Encontrá otra división entre números naturales que tam4 11 bién dé .Página 31
. ______ 15
15 con denominador 3. Dibujá esa unidad. 4 ¿Es posible encontrar más de una?
Actividades . ¿Será cierto que
una equivalente que tenga un denominador menor que el de la fracción original. Martín escribió esta cuenta: 42 6 Y Pablo escribió esta otra: 35 5 10 3 12 3
Martín sostiene que en ambos casos cada persona recibe 3 alfajores enteros. __________
1 . pero como 6 es más que 5. __________ 4 2
Actividades . a) 15
22. Pablo insiste en que ese argumento está equivocado. ¿Es más corta. encontrá. La siguiente tira mide de un entero. Escribí: a) Dos fracciones entre 0 y 1. Explicá cómo lo pensaste: a) b)
25.frACCIoNEs
21. Indicá cuál es la fracción mayor de cada par. Martín y Pablo discuten mientras hacen la tarea de matemática. cada una de ellas recibe más que si se reparten 35 alfajores entre 10 personas. __________ 2 1 1 c) Dos fracciones entre y . si es posible. en el primer reparto se termina entregando más a cada uno. Martín dice que si se reparten 42 alfajores entre 12 personas. Para cada una de las siguientes fracciones. más larga o igual que otra que mide del 4 4 mismo entero?
CoMpArACIóN ENTrE frACCIoNEs 24.Página 32
. ¿Quién de los dos tiene razón? ¿Por qué? 23.
¿Podrías escribir 5? ¿Y 6? ¿Cuántas podrías escribir? 27. una fracción que se encuentre entre las dadas.
32. En la siguiente recta. Juan va a hacer un viaje de 1. Escribí. . ¿Es posible escribir más de una 2 4 fracción diferente que cumpla con esta condición? 28.frACCIoNEs
29.800 km. Indicá qué números corresponden a las letras en la siguiente recta numérica. 4 4
30. para cada caso.Página 33
. ubicá el número 2. Escribí una fracción con denominador 8 que esté entre y . 5 2 3 2 2 10
1 3 y . Ubicá en la siguiente recta numérica las fracciones
frACCIóN DE uNA CANTIDAD 33. Ordená las siguientes fracciones de menor a mayor. Ya recorrió 450 km. ¿Qué parte del viaje recorrió?
Actividades . Escribí 4 fracciones que estén ubicadas entre 5 y 5 . . Ana leyó 120 páginas que representan
3 partes de un libro. .
3 9 4 3 1 9 . ¿cuántas páginas le falta leer? 4
y luego multiplicó 20 por 2. ¿Cuántas empanadas de cada gusto había? 37. 41.
40. Cuando se la entregaron.Página 34
. ¿Te parece correcto el procedimiento que usó Camilo? Explicá tu respuesta. Para calcular 5 de 100. ¿Quién comió más galletitas? 36. ¿Cuánto pagarán en cada cuota? CÁlCulos MENTAlEs CoN frACCIoNEs 44. Ana se fue de vacaciones y gastó del dinero que llevaba en hospedaje. Un camión transporta naranjas en bolsas. y pagarán el resto en 5 cuotas iguales. 5 4 ¿Cuántos metros de cinta quedaron después del segundo corte? 39. Sol y Matías compraron una heladera que cuesta $2. Escribí cuánto le falta a cada número para llegar a 1: a) 1 _____
Actividades . Para una reunión de amigos Taty encargó 6 docenas de empanadas: la mitad son de carne. Juani comió 8 de su paquete de 24 galletitas. Le quedan $1. El primer día. Calculá: a) 1 de 80 = ___________ c) 3 de 80 = ___________ e) 3 de 600 = ___________ 4 4 5 7 2 3 b) de 120 = ___________ d) de 180 = ___________ f) de 180 = ___________ 5 3 2 42. el segundo día. sin recargo. Camilo hizo lo siguiente: buscó 5 de 100. Completá la tabla anotando en cada caso la fracción del total que se pide.frACCIoNEs
35.000 bolsas restantes. las 2. ¿Qué cantidad de dinero llevó a su viaje? 38. De una tira de cinta de 30 metros de largo.000. un tercio de pollo y el resto de jamón y queso. se cortó primero y luego de lo que quedaba. del total y el tercer día.500. en comida y 2 5 20 en salidas. y Agustín comió 3 de su paquete de 30 galletitas. ¿Cuántas bolsas de 3 naranjas había en el camión al iniciar el recorrido? 43. que es 20. descargaron de las bolsas que lle5 2 vaban. pagaron 5 del precio al contado.
. 3 4 3 1 – dé un resultado mayor que 1. = 1 7 1 x ... = 1 3 3 4
d) 3 + . decidí si es posible que: a) 2 + b)
11 dé un resultado menor que 3.... a)
1 x .. = 2 5 1 – ....... a) 4 + 1 = b) 4 + 2 = c) 2 + 4 =
46...... =
h) 4 – ... = 4 2
8 – ... Sin realizar la cuenta. = 1 2 9 – . Calculá mentalmente qué fracción es necesario sumar o restar para obtener el resultado que se indica en cada caso........ 4 5 dé un resultado menor que 8..... = 3 3 7 + . = 1 4 1 x .... 3
47. 4 2 5 dé un resultado mayor que 4. = 2 12 1 – ... =
48............. = 3 11
1 x ..... = 1 3 1 x .... 4
1 7 + dé un resultado menor que 1. = 6 4 11 2
5 – .. Calculá mentalmente el factor que falta en cada una de los siguientes cálculos.... = 2 9 1 x ... = 2 6
1 x . a)
2 + .. 5
3 + 1 dé un resultado mayor que 2. = 2 5
17 + ...frACCIoNEs
45.... Calculá mentalmente las siguientes sumas y restas....... = 3 7
Una parte de un terreno rectangular se destinará a la construcción de una escuela. ¿Qué parte del lote ocuparía la escuela si se le asignara
53...... = 1 4
2 x .Página 36
.. = 1 9
50..... Investigá qué fracciones deben colocarse en cada caso para obtener el producto que se indica..... Averiguá el factor que falta en las siguientes multiplicaciones: a)
1 6 x ...... = 5 4
2 5 x . = 1 5 3 x .... = 9 2 7 8 x . = 5 65
MulTIplICACIóN y DIvIsIóN DE frACCIoNEs 51. = 3 7 3 2 x .. = 1 21 5 x ...... ¿Cuál de los siguientes cálculos permite averiguar qué parte de este rectángulo está pintado de verde? a)
Actividades .... = 7 3
4 6 x . = 9 35 1 7 x .... = 1 3 4 x .. El sector 2 3 del ancho y del largo del terreno.... a)
3 x ........frACCIoNEs
49...... ¿Cuál será la superficie destinado a la construcción tendrá 3 4 que ocupará la escuela si se toma como unidad de medida el área de todo el terreno?
52. = 1 7
9 x 6 = es mayor / menor / igual que 6. a) Se quiere hacer un jugo que tenga el mismo gusto usando 5 vasos de jugo concentrado. 4 1 = es mayor / menor / igual que 12. Escribí una división de fracciones en la que se obtenga un número natural como cociente. 56. Para hacer jugo. elegí y subrayá la opción que consideres correcta en cada caso. detectaron que 1 de cada 20 alfajores salían con poco relleno. ¿cuántos vasos de jugo concentrado se deben usar para conservar el gusto? 59. se mezclan 9 vasos de agua con 4 vasos de jugo concentrado. 4 5 4 2 1 2 : = es mayor / menor / igual que .Página 37
. 3 de cada 5 personas son de Boca. En una fábrica de alfajores. 4 3 4
frACCIoNEs y proporCIoNEs 58. a) El lunes fabricaron 600 alfajores. Escribí una división de fracciones en la que se obtenga 1 como cociente. ¿Qué auto va a mayor velocidad: uno que viaja a 120 km/h u otro que viaja a 2 km/min? 60. ¿cuántos es esperable que salgan con poco relleno? b) ¿Qué parte de los alfajores sale con poco relleno? 61. ¿Podés encontrar más de una división? 57. 2 2 3 3 : 4 = es mayor / menor / igual que . 5 3 5 1 7 1 : = es mayor / menor / igual que . Sin hacer ninguna cuenta. seleccioná y subrayá la opción que consideres correcta. En otro grupo. 4 4 3 7 3 : = es mayor / menor / igual que . 2
55. Después. ¿Cuántos vasos de agua se deben usar? b) Si se ponen 8 vasos de agua. 4 de cada 6 personas son de Boca. Sin hacer ninguna cuenta. a) b)
3 x 5 = es mayor / menor / igual que 5. En un grupo. a) b) c) d) e)
1 1 : 2 = es mayor / menor / igual que .frACCIoNEs
54. 4 7 x 3 = es mayor / menor / igual que 3. ¿En cuál de los dos grupos hay más cantidad de hinchas de Boca en proporción a la cantidad de personas?
Actividades . verificá realizando el cálculo.
°A: De cada 3 alumnos. ¿Cuál de los dos tiene mayor consumo?
Actividades . se presenta la relación entre el lado de un cuadrado y su perímetro. ¿Estás de acuerdo con esa afirmación? 3
64. Martina tiene estas dos tiras: Tira A
2 de la tira B. En la siguiente tabla. Longitud del lado (en cm) Perímetro (en cm) 5 20 4
66. 2 aprobaron. 3 aprobaron. Cantidad de naranjas (en kg) Cantidad de jugo (en litros)
litros de nafta cada 20 km y otro auto B consume 5 litros cada 67.° B: De cada 4 alumnos.° C: De cada 5 alumnos. 6. En la siguiente tabla. se indican las cantidades de jugo (en litros) que se obtienen según la cantidad de naranjas (en kilos) que se exprimen en cada caso. Un auto A consume 3 4 8 30 km. 6.° grado de una escuela y se dio la siguiente información sobre los resultados.frACCIoNEs
62. Completá la tabla. Camilo tiene estas dos tiras: Tira A
Tira B ¿Qué parte de la tira B es la tira A? frACCIoNEs y proporCIoNAlIDAD 65. 4 aprobaron. ¿Cuál de los tres grados tuvo mejor rendimiento en esa evaluación? 63. 6. Completá la tabla.Página 38
. Se tomó una evaluación de Historia en los tres grupos de 6.
¿Qué fracción representa la cantidad de alumnos aprobados?
Actividades . solo 16 pudieron aprobarlo. Para lograr una tonalidad celeste. ¿Cuánto deberá pagarse por 2 kg de asado si no se 71. se mezclan 3 litros de pintura azul con 4 litros de pintura blanca. a) ¿Cuántos litros de pintura blanca se necesitan si se usan 5 litros de pintura azul? b) ¿Cuántos litros de pintura azul se necesitan si se usan 7 litros de pintura blanca? kg de asado se pagaron $18. Se realiza una fotocopia ampliada. De los 24 alumnos que se presentaron a un examen. Por 4 2 realiza ningún tipo de descuento? 72. salen al mismo tiempo. Cuando comienzan a dar vueltas a la pista. Laura y María son ciclistas y se están entrenando juntas para una carrera. Un rectángulo mide 8 cm de ancho y 12 cm de largo. ¿Cuál será la medida del largo en la fotocopia? 69. en la copia mide 10 cm.Página 39
. María da 6. ¿cuántas vueltas dio Laura? c) Si María dio
70. Cuando Laura da 8 vueltas completas a la pista. pero a velocidades distintas.30. de manera tal que el lado que en el original mide 8 cm.frACCIoNEs
68. a) ¿Cuántas vueltas dio María cuando Laura dio 3 vueltas? b) ¿Cuántas vueltas dio María cuando Laura dio 5 vueltas? 13 de vuelta.
La fracción decimal y la cuenta 1 : 10 se corresponden con el número 0.1. En la casa de Camilo. ¿Cuántas botellitas puede comprar? 2.075 e) 1.000 3 8 + = ______ 10 1.000
Actividades .6º grADo ACTIvIDADEs
frACCIoNEs DECIMAlEs y EXprEsIoNEs DECIMAlEs 1. Observá el procedimiento que utilizó Ana para expresar el número 4. Martina tiene $20.000 45 1 + = ______ 100 1.Página 40
. se juntaron 10 amigos. ¿Cuáles de las siguientes expresiones indican la cantidad de dinero que debe poner cada uno? $150
$1.001 d) 0.5
$0. Compraron jugo y galletitas y gastaron $15.101
5.000 4 9 8 + + = ______ 10 100 1. a)
3 3 3 + + = ______ 10 100 1.02 f) 1.12 como fracción: 4. 10 ¿Con qué números se corresponden las siguientes fracciones decimales y divisiones? a) b)
4. Quiere comprar botellitas de jugo que cuestan $2 cada una. Decidieron repartir el gasto en partes iguales.500 c) 2.000
11 3 21 + + = ______ 10 100 1.15
81 23 + = ______ 10 1.12 = 4 +
Utilizá un procedimiento similar al de Ana para expresar como fracción cada uno de los siguientes números: a) 6. Escribí como número decimal el resultado de cada una de las siguientes sumas.358 b) 3.
Las siguientes medidas están expresadas en metros.000 9 = ________________________________________________ 10 37
c) 82. Buscá otra forma de escribir cada uno de estos números usando expresiones decimales o fraccionarias.75
0. Considerá los siguientes números. expresalos como fracciones con denominador 10.4 y Facundo 9. ¿Alguno de los dos lo hizo en forma correcta? Explicá tu respuesta.4
Actividades .000
6.25. explicá el motivo.25 m = ________ c) 0.05 m = ________
8.Página 41
3. pintá del mismo color las expresiones que representen el mismo número.625
625 1. 10. Graciela 9. a) 36 décimos.000. En los casos en los que sea posible. En cada fila.5 m = ________ b) 0. 100 o 1.06 +
usando expresiones decimales.EXprEsIoNEs DECIMAlEs
6.75 m = ________ d) 0.6
0. Escribilas usando fracciones y considerando el metro como unidad. 3 milésimos = _____________________________________ b)
17 4 35 + + = ___________________________________________ 10 100 1. En los casos en los que no lo sea. a) 0. a)
frACCIoNEs y DECIMAlEs 7.2
15. Graciela y Facundo tenían que escribir el número 4 escribió 37.
2 y 18 d)
7 y 0.
Actividades . ¿Cuál de estos dos números está más cerca de 83.05 m 2.4: el 83.3 m 1.02 m Segundo salto 2.4 m 1. Escribí las siguientes expresiones como números decimales. Escribí una expresión decimal para cada una de estas expresiones fraccionarias: a) b)
3.4 porque 35 es mayor que 4.7 b) 13. cada uno podía hacer tres intentos.9 m 2m
b) Indicá cuál de los chicos es el que obtuvo la mejor marca de salto en largo. un milésimo ______________ c) Quince enteros. Primer salto 2.48 y 5.09 m 1.2 m Tercer salto 2. un milésimo ______________ b) Cinco enteros.EXprEsIoNEs DECIMAlEs
11. diez centésimos ______________ CoMpArACIóN y orDEN DE EXprEsIoNEs DECIMAlEs 13.36 o el 83.35 es mayor que 41.9 m 1.29 y 13.7 10 1 2
15 y 1. mil centésimos ______________ f) Diez enteros.17 m 2. a) Seis enteros.8 m 2. a) Señalá cuál fue el mejor salto de cada uno de los chicos de esta lista. Franco dice que 41.83 m 2.260 = _______________ 10 945 = _____________ 4
12.Página 42
. En la competencia de salto en largo. Compará los siguientes pares de números: a) 5. diez décimos.042 100
15. y se registraba el mejor de los resultados obtenidos.08 10 42 y 0. ¿Estás de acuerdo con esa idea? Explica por qué. dos décimos.5? 16.5 c) 18. veinte centésimos ______________ d) Ochenta milésimos ______________ e) Un décimo. 14. Los chicos de sexto participaron en un encuentro de atletismo.
escribí tres números comprendidos entre los dos que se indican. Antonella dice que entre 7.7 ________________ b) 5.Página 43
.000 x 3.81 = __________ c) 100 x 49.3 y 2.82 345.23 ________________ c) 6. 20.065 90 120.1 0. Escribí cuentas de multiplicar o de dividir usando solamente números enteros que den por resultado 0.74 = ________ f) 14.204 Cálculo Resultado 4.98 29.4 y 6
d) 14. Ubicá en esta recta numérica los números 2.EXprEsIoNEs DECIMAlEs
17. Si estás de acuerdo con esa afirmación.368 de modo que el resultado tenga: a) un 8 en el lugar de los décimos. explicá por qué.09 1.4
23. Buscá un número por el cual se pueda multiplicar o dividir el número 684. Resolvé los siguientes cálculos y después comprobá los resultados con la calculadora. 18. escribí algunos ejemplos.
Actividades .215 = ________ e) 1.16 es posible hallar muchos números decimales.28 = _________ d) 100 x 6. b) un 6 en el lugar de las unidades. a) 10 x 0.8 2. 24.6182 3.23 = _________ b) 10 x 7. En cada renglón de la tabla siguiente.22 y 5.000 = ________ i) 5.984.841 6.72 : 1. En cada caso.459. Escribí 3 números que estén entre 47.3 : 10 = _____________
22.5 0. Número 461.72 : 100 = __________ h) 14.72 : 10 = __________ g) 14.15 y 7. Si no estás de acuerdo.6 y 8.1.59. escribí un cálculo que pueda hacerse a partir del número de la primera columna para obtener el resultado que se indica.5 y después señalá tres números que se encuentren comprendidos entre ellos:
19. a) 8.58 y 47.9 y 15 ________________
MulTIplICACIóN y DIvIsIóN por 1 sEguIDo DE CEros 21.
Usando este procedimiento. Lisandro juntó 9 monedas de 25 centavos.488 × 100 × 10 : 1. 987 : 100 0.25 9 + 25 9×
29.987 x 10 0.12 × 2. ¿Cuáles de estos cálculos dan como resultado 9.987 x 100 987 : 1.Página 44
. 3.EXprEsIoNEs DECIMAlEs
25. resolvé las multiplicaciones siguientes.5 kilos? 30.01 : 100 = _________ g) 10 : 0.000 312 × 24 7.4 c) 1.01 x 10 = __________ c) 0.987 : 10
27.05 × 0.04
Actividades .4 b) 0. ¿Cuáles de los siguientes cálculos permiten conocer la cantidad de dinero que juntó Lisandro? Marcalos con una cruz. a) 3.50.000 0.000 = __________ e) 10 : 0.01 = __________
MulTIplICACIóN DE NúMEros DECIMAlEs 28.1 = __________ b) 0.25 c) 134.001 x 100 = __________ d) 0. Esta es una manera correcta de realizar una multiplicación entre números decimales. 9 × 25 9 × 0. resolvé: a) 10 x 0. El kilo de queso cuesta $32. Sin hacer las cuentas.0987 x 100 98.87? Marcalos con una cruz. Escribí una división o una multiplicación con números enteros que dé como resultado el número que se indica en cada caso.7 x 100 98. a) 6.35 × 2.001 : 10 = __________ g) 1 : 0.72 × 0. comprobá los resultados con la calculadora.4 7. ¿Cuánto hay que pagar por 1.001 x 1.7 : 10 0. Luego.8
26.1 = ___________ f) 0.1 = ____________ h) 0.1 b) 19.
DIvIsIóN DE NúMEros DECIMAlEs 35. Averiguá cuánto debe pagarse por: a)
b) 3.01 en lugar de por 0. Completá la tabla colocando otros pares de números que cumplan esta condición. El cociente de hacer 24 : 10 es 2. 34.4 kg
d) 2.1 = __________ 204 × 0.5 kg
33.5 × 0. Encontrá un número que multiplicado por 5 dé 4. En la tabla siguiente.4
1 4.4. anticipá cuál sería el resultado de los cálculos anteriores si se multiplicara por 0. al dividirlos.1 = __________ 33.
32. el kilo de pan cuesta $4.1 = __________ 45 × 0.1.1 = __________ a) ¿Cómo podés explicar que los resultados que se obtienen son menores que el primero de los factores de cada una las multiplicaciones? b) Sin hacer ninguna cuenta.Página 45
.15. Realizá los siguientes cálculos con la calculadora. se relaciona la cantidad de litros de combustible que gasta un auto con los kilómetros que recorre. y luego respondé.1 = __________ 99. 8 × 0. A B 24 10 2.EXprEsIoNEs DECIMAlEs
31. Pero no son los únicos números que. permiten obtener ese resultado. Completala.5 x 0.1 = __________ 7.9 × 0. En la panadería La espiga de oro.
De una cinta de 24. resolvé estas divisiones.75 = _________ 4 4
Actividades .Página 46
.75 cm se cortaron trozos de 2. el cociente de esa división no cambia.05 + d)
3 + 2.16 : 2. se cortaron 6 trozos iguales y no sobró cinta.6 : 24 516 : 240
37.5 litros. ¿cuánto se podría agregar para que no sobrara nada? CÁlCulo MENTAl CoN EXprEsIoNEs DECIMAlEs 42. De una cinta de 73.25 : 1. Mauro tenía que averiguar el resultado de 3.25.EXprEsIoNEs DECIMAlEs
36. Se desea envasar 43.8 + 0.5 + b)
c) 25 – 3. Hay que repartir 1. ¿Cuánto hay que poner en cada vaso? 39. Entonces hizo esta cuenta: 337. Resolvé mentalmente.4 Entonces: 5.8 51. ¿Cuánto mide cada trozo? 40.25 cm y no sobró cinta. ¿Cuántos trozos se cortaron? 41.5 litro de jugo en 4 vasos de manera que no sobre nada y que en todos se coloque la misma cantidad.75 litros de jugo en botellas de 2.25 = _________ 4
1 5 + + 2. Por ejemplo. Camilo le explica a su hermano: Si en una división se multiplica al dividendo y al divisor por el mismo número.5 : 2. estas tres divisiones dan el mismo cociente: 5.5 c) 4. 38.2 : 1. a) 29.5 b) 100.16 : 2. a) ¿Cuántas botellas van a llenarse? b) Si queda jugo sin envasar.375 : 2.6 : 24 = 516 : 24 Teniendo en cuenta lo que dice Camilo. a) 1.5 225 225 15 1125 1125 0 ¿Está bien lo que hizo Mauro? Explicá cómo lo pensaste.5 cm de longitud.4 = 51.
34 : 0. escribí tres números distintos que al multiplicarse por 5.45 : 10 = _________ b) 3. a) 4. c) 0. Calculá mentalmente: a) 8.015 para obtener 0. Sin hacer la cuenta.0035 100 1.035 =
d) 0.72 den por resultado un número mayor que 5.35. 47.025 para obtener 3 enteros? _________
44.1 1.8 3. escribí tres números distintos que al multiplicarse por 2.18 3.EXprEsIoNEs DECIMAlEs
43.72.002345 =
45. Calculá mentalmente: a) 0.50 0.95 para obtener 2 enteros? _________ c) 0.9 × 2 = _________
49.005 para obtener 1 décimo? _________ d) 2.000 0.Página 47
.2345 : 0.25 va a dar un resultado mayor que 36.1 = _________ d) 93.75 : 10 = _________ c) 17. Sin hacer ninguna cuenta.08 + 0. indicá si cada afirmación te parece correcta.15 va a dar un resultado menor que 4.25 : 0. d) 2.09 = b) 4 – 0.01 + 0.
Actividades .4 × 7 = _________ b) 3 × 0. a) 0. Luego comprobá con la calculadora.35 den por resultado un número menor que 2.75 × 0.25 va a dar un resultado mayor que 9.99 = 3.8 = _________ 48.75 × 0.01 3.1? _________ b) 1. subrayá el resultado correcto en cada caso.34. ¿Qué número hay que sumarle a: a) 0. Sin hacer ninguna cuenta.1 = _________ c) 4.89 × 36.5 × 1.001 350 10 0. 46. b) 9.34 va a dar un resultado mayor que 0.5 × 3 = _________ d) 1. Sin hacer el cálculo escrito.018
c) 100 × 0.
450 cg = ____________
Actividades .120 500
6. a) El peso de un camión b) El peso de una manzana c) La cantidad de jarabe contra la tos que hay en una dosis d) La longitud de un río e) El peso de un tornillo f) La altura de una montaña g) El diámetro de una moneda h) La cantidad de nafta que entra en el tanque de un auto 2.75 m
3. Paula lleva. Expresá en gramos cada una de las siguientes cantidades.000 5. una bolsa que pesa 945 g. otra es de 1.5 kg. entre los pesos de las dos bolsas? 4. 1 b) ¿Cuántas botellitas de litro puede llenar con la de 0.6º grADo ACTIvIDADEs
MEDICIoNEs 1.05 hl?
uNIDADEs DE MEDIDA 5.500 ml y la tercera es de 0. a) 1. Ana tiene tres botellas llenas de agua. Lisandro necesita comprar listones de madera de 1 m con 50 cm cada uno. ¿Cuál es el tamaño que le conviene comprar. en gramos. Para armar el techo de su casa. Una es de 2 litros y medio. otra bolsa que pesa 1.05 hl. Completá la siguiente tabla.5 kg = _____________ c)
b) 1. para que el desperdicio sea la menor cantidad de madera posible?
0. ¿Cuál de las dos bolsas es más pesada? ¿Cuál es la diferencia que hay. en una mano. entre los que hay.600 11. a) ¿Puede llenar un bidón de 5 litros con el contenido de las tres botellas? Justificá la respuesta. Indicá la unidad que consideres más adecuada para expresar cada una de las siguientes medidas. Medida en milímetros Medida en metros Medida en kilómetros 1.Página 48
. y en la otra.
b) La capacidad de una pileta de natación es de 250........5 m
11. Longitud entre 5 m y 10 m Peso menor a 10 kg Capacidad entre 20 l y 50 l
9. = 200 km d) .000 l. Indicá cuál o cuáles de las siguientes expresiones representan la misma capacidad que 3..200 g
1. en la tabla..25 litros.5 dam + ……… = 700 dm c) 18 km + .... 10. Escribí.85 kl
8...085 kl
8. Uní con flechas las expresiones que indiquen la misma medida..... a) Una lapicera pesa 12500 mg. objetos que tengan aproximadamente las medidas indicadas en cada columna. a) 3 l + 25 cl b) 3 l + 25 dl c) 3 l + 2 dl + 5 cl d) 3 l + 100 l
3.MEDIDA
7..Página 49
..5 cg
3.500 l 1.000 km. una de la primera columna con otra de la segunda. Completá los espacios en blanco de manera tal que se verifiquen las igualdades: a) 4 m + ………… = 650 cm b) 3. A los números que aparecen en las frases siguientes se les borró la coma... + 82 dm = 9. ¿Cuáles de las siguientes escrituras representan 85 litros? ¿Cómo te diste cuenta? 80 l + 500 cl 0... Colocá una coma en cada uno de modo que las medidas que resulten puedan ser reales.000
8. c) La distancia desde Buenos Aires a Jujuy es 180..500 cl
0..500 g
pero que tenga un perímetro menor que el de este? Si te parece que es posible. ¿Cuál es la medida del contorno de ese rectángulo. es decir. explicá por qué. pero esos cuadraditos tienen 1 cm de lado. dibujalo.
Actividades .Página 50
.MEDIDA
pErÍMETros y ÁrEAs 13. Tomá las medidas que necesites con una regla y calculá la medida del contorno de cada figura. 14. Determiná cuántos cuadraditos como el gris se necesitan para cubrir cada una de las siguientes figuras. Si creés que es imposible. su perímetro? b) ¿Es posible dibujar otro rectángulo que se pueda cubrir con la misma cantidad de estos cuadraditos. Este cuadradito representa una unidad de medida: a) ¿Cuántos cuadraditos son necesarios para cubrir el rectángulo siguiente?
a) Otro rectángulo se cubrió con la misma cantidad de cuadraditos que este. sin que se superpongan cuadraditos.
entran 48 cuadraditos iguales. La siguiente tabla muestra las medidas de los lados de diferentes rectángulos y sus perímetros. No es necesario usar regla. Determiná. Completá la tabla con las medidas de otros rectángulos.Página 51
16. menos o igual área que la otra.
Actividades . En todos ellos. si alguna de las dos figuras tiene más. en cada caso. Cuadraditos que entran 6 x 8 = 48 4 x 12 = 48
e) Si una figura A tiene menor perímetro que otra figura B. Indicá si cada una de las frases siguientes es verdadera o falsa.
21. indicá: a) Si su área es mayor. Compará cada una de las figuras numeradas con el rectángulo. también tendrá menor perímetro. Dibujá un cuadrado y realizale las transformaciones indicadas para poder responder. puede ocurrir que el área de A sea menor. ¿Se duplica su perímetro? ¿Se duplica su área? 20. y luego.
a) ¿Hay una sola posibilidad? b) ¿Será cierto que el perímetro del rectángulo que dibujaste es el doble del perímetro del rectángulo original? 19. también tendrá menor área. a) Si se duplica uno de sus lados. Para cada una. ¿Se duplica su perímetro? ¿Se duplica su área? b) Si al cuadrado original se le duplican todos sus lados. d) Si una figura A tiene mayor área que otra figura B. mayor o igual que la de B. puede ocurrir que el perímetro de A sea mayor. c) El perímetro y la superficie son medidas independientes entre sí. menor o igual que el de B. b) Si su perímetro es mayor. se transforma en otro cuadrado. menor o igual que la del rectángulo. a) Siempre que una figura tiene el perímetro mayor que otra. se transforma en un rectángulo.MEDIDA
18.Página 52
. menor o igual que el del rectángulo. b) Siempre que una figura tiene menor área que otra.
Actividades . respondé las preguntas. Dibujá otro rectángulo que tenga el doble del área que el que está dibujado.
de 3 ambientes. Cocina de 2. eligió algunos de los avisos clasificados:
Hermoso depto. ¿Es posible calcular su área. Balcón de 4 m x 1. Escribí lo que hacés para hallarla. Bajas expensas. 22 cm y 24 cm.5 m x 1. 26. Determiná el área de un cuadrado de 4 cm de lado. Martina está buscando un departamento para alquilar. El área de un rectángulo es de 21 cm2.8 m x 2 m y living de 5 m x 3 m.
Actividades . respectivamente. La cancha de Olimpo de Bahía Blanca tiene de largo 95 m y de ancho 70 m.
¿Cuál de los dos departamentos es más grande? 25. ¿Cuál de las dos canchas tiene mayor área? Anotá lo que hacés para averiguarlo.2 m. Excelente estado. Baño de 1. 24.
Excelente depto. La cancha de Argentinos Juniors tiene 100 m de largo y 66 m de ancho. 27. cocina. Luminoso. 3m 2m
23.MEDIDA
22. sabiendo que el otro mide 3 cm. baño y balcón.5 m. 2 ambientes luminosos de 3 m x 2 m c/u. Todos a la calle. En el diario.Página 53
. Amplio. conociendo solamente este dato? 28. 35 m2. Calculá las áreas de tres cuadrados cuyos perímetros miden 20 cm. Calculá la medida de uno de los lados. Un rectángulo tiene un perímetro de 20 cm. El siguiente rectángulo representa un patio que tiene las medidas que se indican en el dibujo.
usalo para calcular el área de los siguientes triángulos rectángulos. encontrá el área de los dos triángulos mediante algún otro recurso. Santiago hizo así: 7 cm × 2 cm = 14 cm2 14 : 2 = 7
Si te parece que lo que dice Débora es cierto. Débora dijo lo siguiente: Cualquier triángulo rectángulo es la mitad de un rectángulo. 30. 3 cm
Si te parece que lo que dice Débora no es cierto.
Actividades .MEDIDA
29.Página 54
. El siguiente dibujo representa un triángulo y está trazada una de sus alturas con línea punteada. Así que. busco el área del rectángulo y la divido por 2. Alexis hizo lo siguiente: 2 cm × 2 cm = 4 cm2 4:2=2 Área I = 2 cm2 Área del triángulo = 2 cm2 + 5 cm2 = 7 cm2 5 cm × 2 cm = 10 cm 10 : 2 = 5 Área II = 5 cm2
En cambio. 2 cm 5 cm
Para calcular el área de este triángulo. Para calcular el área de un triángulo rectángulo.
36. y calculá su área. el lado paralelo al anterior mide 4 cm y la altura es de 3 cm. sabiendo que tiene un lado de 6 cm. Tomá las medidas que consideres convenientes y calculá el área del paralelogramo. el rectángulo A tiene un área de 20 cm2.MEDIDA
31. En el siguiente paralelogramo. y su altura es de 5 cm. Determiná el área del rombo. Calculá el área del paralelogramo teniendo en cuenta las medidas indicadas en la figura. Calculá el área del siguiente trapecio isósceles. 4 cm
Actividades . Dibujá un rombo cuyas diagonales miden 2 cm y 6 cm.
7 cm 32. usando como unidad de medida el cm2.Página 55
34. 35. y calculá su área. Dibujá un trapecio isósceles cuyos lados desiguales miden 9 cm y 6 cm.
. Un automóvil azul recorre 150 metros cada 4 segundos..6º grADo ACTIvIDADEs
propiedades de la proporcionalidad 1. a) ¿Cuánto habrá que pagar por 6 pares de medias? b) ¿Y por 15 pares de medias? c) ¿Y por 30 pares de esas medias? 4. ¿cuánto deberán pagar para que cada chico tenga un cuaderno? 8... 15 1 .60 los 100 gramos. ¿Cuántos kilómetros recorrerá? 6.. equivalentes a 12. el mismo tipo de salame cuesta $3. venden 3 pares de medias a $14. 1
7. Un proyecto propone llevarlo a una profundidad de 44 pies. En el almacén Cholita. siempre a la misma velocidad.20 metros. En el almacén Pipo.. ¿En cuál de los dos almacenes es más barato? 5.. . 6 1 .5 .. venden 250 gramos de salame a $8. . se llevará uno más de regalo. Iris pagó $199 por la compra de 50 dólares. Pero quien compre 3 cuadernos. ... En una tienda.. . ¿A qué precio pagó el dólar? 3.. 1 12.Página 56
. Completá las siguientes tablas de proporcionalidad directa... El lunes tardó media hora en recorrer 6 km. y otro rojo recorre 120 km cada hora. 4 40 8 . En la librería de Camilo.. 20 . a) ¿Cuánto tardaría en recorrer 12 km... Diego sale a trotar todas las mañanas. ¿Cuál de los dos marcha a mayor velocidad?
Actividades . a) Cantidad de pintura Cantidad de metros cuadrados que se pintan b) Cantidad de litros de combustible Cantidad de kilómetros que se recorren 5 60 25 ... se vende cada cuaderno para la escuela a $5. Si en el grado de Lisandro son 27. El Puerto Quequén tiene una profundidad de 40 pies.50.. si trotara siempre a la misma velocidad? ¿Y 3 km? ¿Y 15 km? b) El jueves planea trotar 45 minutos. ¿A cuántos metros equivaldría? 2.
recorre 200 kilómetros. c) El tren. si el tiempo es 0. se representa la relación entre el tiempo que transcurre. espacio (km) 200 espacio (km) 300
A partir de la información que aparece en los gráficos. distancia recorrida (km) 270 180 90
a) ¿Qué datos se informan en el eje horizontal? ¿Y en el eje vertical? b) ¿Cuántos km recorre en 3 horas? ¿Y en 2 horas? 10. en 2 horas. se representa una relación entre el tiempo que transcurre. d) En cualquiera de los dos gráficos.Página 57
Actividades . medido en kilómetros.proporCIoNAlIDAD
rEprEsENTACIoNEs grÁfICAs (I) 9. la distancia que recorre cada uno también es 0. en 2 horas. recorre 100 kilómetros. medido en horas. medido en horas. e) El gráfico que representa al tren es una relación de proporcionalidad directa. y el espacio que recorre un tren. b) El auto. En el otro. En uno de los gráficos. medido en kilómetros. señalá con una cruz las frases que consideres correctas. El siguiente gráfico representa la distancia que recorre un auto en un determinado tiempo yendo siempre a la misma velocidad. a) El tren va más rápido que el auto. y el espacio que recorre un auto.
¿Bajo qué condiciones este enunciado sería cierto? 14.Página 58
. Si se duplicara la longitud de sus lados. pesó 11 kilos. ¿Cuántos litros se necesitan para 2 preparar 3 kilos de pan? f) En una semana. ¿se duplicaría su área? 12.10 por la bajada de bandera y $1. años pesó 16 kilos. Al año.800. los taxis cobran $3. hay 7 días. un niño tiene 4 dientes. ¿Cuánto pagará una persona que viaja 3 km? ¿Y 6 km? ¿Y 9 km? 13.proporCIoNAlIDAD
¿soN o No proporCIoNAlEs? 11. Un empleado cobra $30 la hora extra de trabajo. se utiliza 1 litro de agua. entonces recorrerá 360 kilómetros en 4 horas y media. se le paga un sueldo fijo mensual de $2. ¿se duplicaría su perímetro? h) Un rectángulo de 5 cm x 8 cm tiene 40 cm2 de área. Decidí cuáles de las siguientes situaciones podrían ser tratadas como una relación de proporcionalidad directa y cuáles no. ¿Cuántos días hay en 52 semanas? g) Un cuadrado de 4 cm de lado tiene un perímetro de 16 cm. ¿Cuánto pesará a los 10 años? ¿Y a los 20? e) Para preparar 1 kilogramo de pan. a) Al año.60 por cada km recorrido. Además. Si se duplicara la longitud de sus lados. y explicá tu respuesta en cada caso. un bebé pesó 3 kilos 800 gramos. En una ciudad. ¿Cuántos litros necesita para recorrer 340 kilómetros? c) Tres albañiles tardan 8 horas en levantar una pared. ¿Cuántos dientes tendrá a los 5 años? ¿Y a los 12? b) Un auto consume 10 litros de nafta para recorrer 120 kilómetros. Leé el siguiente enunciado: Si un auto recorre 120 kilómetros en 1 hora y media. ¿Cuánto tardarán 24 albañiles? d) Al nacer. ¿Cuál de los siguientes gráficos podría corresponder a la situación? ¿Por qué?
Actividades . A los dos.
17. En 6.° A.50 0. si creés que no. En un cierto negocio. ¿Cuál será el descuento que le realizarán a Marta por una campera de $240? ¿Cuánto dinero deberá pagar? 18. Armá la nueva lista de precios. Si en el grado son 30 alumnos. Completá la tabla sobre los precios y los descuentos en ese negocio. En 6. faltaron 3 de los 25 alumnos. En un comercio.proporCIoNAlIDAD
porCENTAjE 15.75 18
Actividades . El 20% del grado es de Vélez. explicá por qué. Precio viejo Aumento Precio nuevo 19. mostrá un ejemplo. Un negocio está realizando un descuento del 10% en todos sus productos.50 0. Realizaron una pequeña encuesta entre todos los chicos de su grado y obtuvieron estos resultados: El 40% del grado es de Boca. Juan y Ernesto son fanáticos del futbol. El 30% del grado es de River. En un negocio de ropa. ¿En cuál de los dos grados hubo más porcentaje de ausentes? 21. Armá la nueva lista de precios. deciden aumentar un 10% a los precios de sus productos. 100 20 35 48 24 36 0. están de liquidación y realizan un 20% de descuento en todas las prendas de invierno.° B. indicá cuántos chicos son simpatizantes de cada club.Página 59
. faltaron 4 de los 32 alumnos. Precio viejo Descuento Precio nuevo 20. ¿Será cierto que hablar del 10% de una cierta cantidad es lo mismo que hablar de la décima parte de esa cantidad? Si pensás que sí. El 10% del grado es de Argentinos Juniors. Precio del producto ($) Descuento ($) 100 50 150 250 20 30 10
16. deciden rebajar sus precios un 15%.75 1 3 10 100 12 1 36 48 24 0.
porCENTAjEs y CÁlCulo 22. d) 125 es el ________________ % de 250. b) 4. y justificá tus respuestas. d) El 30% de una cierta cantidad está justo en el medio entre la cuarta parte y la mitad de la cantidad de que se trata. ¿Será cierto que para buscar el 15% de 3. Sabiendo que el 10% de 480 es 48.5 es el ________________ % de 30.600 se puede buscar el 10%.Página 60
. Calculá estos porcentajes: a) 25% de 80: ________________ b) 1% de 200: ________________ c) 10% de 240: ________________ d) 11% de 200: ________________
29. Si el 10% de una cantidad es 52. c) 600 es el ________________ % de 800. ¿qué parte del total será el 25%? ¿Y el 75%? ¿Y el 20%? 26. a) El 10% de una cierta cantidad es el doble que el 5% de esa misma cantidad. Si se sabe que el 50% de una cierta cantidad es la mitad de esa cantidad. determiná mentalmente los siguientes porcentajes. b) El 10% de una cierta cantidad es el doble que el 20% de esa misma cantidad.
23. c) El 20% de una cierta cantidad es la quinta parte de esa cantidad. a) El 20% de 480 es ________________ b) El 5% de 480 es ________________ c) El 1% de 480 es ________________ d) El 21% de 480 es ________________. ¿cuál es esa cantidad? 25. Indicá qué porcentaje representa cada número del otro: a) 7. determiná mentalmente los siguientes porcentajes: a) El 40% de 240 es ________________ b) El 80% de 240 es ________________ c) El 10% de 240 es ________________ d) El 90% de 240 es ________________
24. Indicá si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. luego el 5% y finalmente sumar esos porcentajes? 28. 27.
Actividades . Sabiendo que el 20% de 240 es 48.2 es el ________________ % de 42.
para pagar el servicio de emergencias médicas. ¿Qué porcentajes representa? ¿Cómo lo averiguaste?
Hay un gráfico que no se corresponde con ninguna de las situaciones planteadas.
¿Te parece un procedimiento válido? Proponé un ejemplo que acompañe tu respuesta. representa el 100%. 31. 33. b) Un tercio de los encuestados prefieren los jugos con sabor a naranja. se establece que todo el giro del círculo. el 60% estará representado por una parte del círculo correspondiente a 216°. por lo tanto.º estaban investigando la forma en que llega la información a sus casas.proporCIoNAlIDAD
rEprEsENTACIoNEs grÁfICAs (II) 30. y un tercio opta por otros sabores. Indicá qué gráfico te parece que se corresponde con cada una de las situaciones planteadas: a) La mitad de los aportes de la Cooperadora serán destinados a la mantención del edificio.Página 61
. Los chicos de 6. Los resultados fueron representados en este gráfico. un tercio elige los de sabor a manzana. y realizaron una encuesta. que es el resultado de hacer 360 x 60 . Marcelo le explicaba a Gabriel: Para construir este gráfico. es decir los 360°. De lo que resta. la mitad se utilizará para la compra de material didáctico y la otra mitad. En un gráfico circular… a) ¿Cuál es la amplitud del ángulo correspondiente al 25%? b) ¿Cuánto medirá el ángulo correspondiente al 30%? ¿Y al 10%? c) ¿60% se representa con un ángulo de 60º? ¿Por qué? 32. un 40 % estuvo en contra y el 20% restante prefirió no opinar.
a) ¿Qué porcentaje le corresponde a “diarios”? b) Calculá la amplitud del ángulo que le corresponde a cada una de las categorías en el gráfico. c) Un 40 % se manifestó a favor de la nueva disposición.
María de las Mercedes González
.Provincia de Buenos Aires Gobernador Dn. Mario Oporto Vicepresidente 1º del Consejo General de Cultura y Educación Prof. Alberto Balestrini Director General de Cultura y Educación Prof. Gustavo Corradini Subsecretario de Educación Lic. Daniel Belinche Directora Provincial de Educación Primaria Prof. Daniel Lauría Subsecretario Administrativo Dn. Daniel Scioli Vicegobernador Dr.
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