Source: https://es.scribd.com/doc/57100591/Nociones-y-conceptos-basicos
Timestamp: 2016-05-31 18:49:05+00:00

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Aunque el conocido manual DSM-IV de la Asociación Americana de Psiquiatría señala que sólo el 1% de los niños en edad escolar sufre un trastorno específico relacionado con el aprendizaje del cálculo, que se pondría especialmente de manifiesto en 2º y 3er grado, lo cierto es que las matemáticas constituyen a menudo la piedra de toque del "fracaso escolar", especialmente en la Etapa Secundaria: la mayor parte de los estudios internacionales señalan que entre un 40% y un 60% de los estudiantes de esta etapa no llega a alcanzar un nivel funcional mínimo en matemáticas para responder a las demandas y exigencias del entorno social. Siendo así, no es extraño que las matemáticas se perciban habitualmente como una especie de misión imposible para la mayoría de la población, ni que su estudio genere sentimientos de ansiedad, frustración y actitudes negativas hacia la escuela en un importante sector del alumnado... al tiempo que la mayoría de los especialistas en el tema ponen de relieve que no estamos tanto ante un fenómeno masivo de dificultades "de aprendizaje", como ante las consecuencias de una enseñanza "manifiestamente mejorable", incluso si nos referimos específicamente al caso de los niños y niñas cuyas dificultades se han analizado tradicionalmente desde el concepto de «discalculia». Y es que las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas no pueden reducirse en ningún caso a variables del alumno, incluso cuando éstas juegan un papel central en el problema, ni mucho menos dentro de tales variables la cuestión puede reducirse, como a veces se pretende, ni a fallos en el desarrollo de ciertos procesos neuropsicológicos, ni a limitaciones en el "razonamiento lógico". Los objetivos de la educación matemática básica son tan amplios, que las eventuales dificultades sobrepasan con creces las posibilidades explicativas de tan restrictivas interpretaciones, ya que se trata de: a) Posibilitar que cada alumno desarrolle la comprensión y destrezas matemáticas exigidas para la vida adulta, teniendo en cuenta las dificultades que algunos puedan experimentar para una comprensión adecuada. b) Proporcionar al alumno las bases matemáticas necesarias para el estudio de otras materias. c) Desarrollar actitudes positivas hacia las mismas, considerando el papel relevante que han tenido y seguirán teniendo en el desarrollo científico y tecnológico de nuestra civilización.
d) Concienciar al alumno de que las matemáticas constituyen un medio eficaz para explorar, crear y acomodarse al mundo actual. Dicho de otro modo, la educación matemática básica se orienta tanto a desarrollar una serie de actitudes intelectuales, como a adquirir un conocimiento declarativo y el dominio de ciertas herramientas sin los que, hoy por hoy, es absolutamente imposible participar de forma activa e inteligente en la sociedad, y es desde esta perspectiva global, sin reduccionismos, desde donde creemos que debe abordarse la cuestión de la evaluación psicopedagógica de las dificultades de aprendizaje en este área, aun cuando para encarar tanta complejidad no podamos contar, por el momento al menos, con la cantidad de investigación psicológica y pedagógica (y, por tanto, de conocimiento sólido y fiable) de que disponemos con respecto a, por ejemplo, la enseñanza y el aprendizaje de la lengua escrita.
2. LOS APRENDIZAJES MATEMÁTICOS.
Dada la complejidad que, como acabamos de apuntar, caracteriza al área matemática, el primer paso en un capítulo como éste debe ser clarificar el contenido al que vamos a referirnos, diferenciando entre los distintos tipos de aprendizajes que se incluyen en ella. Aunque las clasificaciones más habituales suelen dividir tales aprendizajes en ocho grandes categorías (numeración, cálculo, resolución de problemas, estimación, uso de instrumentos tecnológicos, fracciones y decimales, medida y geometría), en la medida en que éstas no son en absoluto independientes entre sí, sino que mantienen estrechas relaciones, incluso de tipo jerárquico, creemos que pueden reducirse a tres grupos básicos: (1) aprendizaje de las nociones y procesos básicos que se encuentran en la base de los aprendizajes aritméticos y geométricos; (2) aprendizaje de la numeración y del cálculo; y (3) aprendizaje de la resolución de problemas.
2.1. Nociones y procesos básicos.
Con esta expresión nos referimos a toda una serie de conceptos y de procesos mentales que suelen caracterizar, en líneas generales, los logros matemáticos propios de la Etapa Infantil, aunque en muchos casos su consolidación se retrase hasta el Primer Ciclo de la Enseñanza Primaria. Nos estamos refiriendo, por tanto, a los siguientes contenidos: (A) Conceptos básicos. Los conceptos básicos son denominados así, según A. Boehm, porque constituyen nociones elementales que sirven de base para otros aprendizajes conceptuales más complejos y porque, al mismo tiempo, son expresiones verbales de uso frecuente en la interacción comunicativa en el aula, de modo que la comunicación profesor-alumno se ve gravemente interferida cuando este último no los domina, al menos desde el punto de vista comprensivo.
Aunque esa comunicación se ve favorecida o dificultada por todos los conceptos básicos (dimensionales, espaciales, temporales, cuantificadores...), en relación con los aprendizajes matemáticos se suele destacar habitualmente el papel central de los denominados cuantificadores, o conceptos básicos de cantidad, que constituyen formas evolutivamente anteriores al número en la codificación de la cantidad. En general, se trata de conceptos aproximativos (mucho/poco, nada/todo, algunos/ninguno...) y comparativos (más que, menos que, tantos como, ...), pero se incluyen también en esta categoría las transformaciones relacionadas con las operaciones manipulativas que puedan realizarse afectando a la cantidad (poner, quitar, añadir, repartir, etc). No obstante, los cuantificadores no son los únicos conceptos básicos relevantes para los aprendizajes matemáticos; también son fundamentales los conceptos básicos espaciales (delante/detrás, arriba/abajo...) y temporales (antes/después, primero, segundo, tercero, ni primero ni último...), que constituyen la expresión verbal del nivel de desarrollo de la organización espacio-temporal a partir de la cual el niño puede afrontar al menos ciertos aspectos de la noción de número, de las operaciones aritméticas y, sobre todo, los aprendizajes relacionados con la geometría. Evidentemente, la incidencia de las dificultades de adquisición de los conceptos básicos es mucho mayor en los primeros años de la escolaridad básica que en momentos posteriores, pero no es tampoco infrecuente, en absoluto, encontrar alumnos y alumnas de niveles educativos superiores que, en el marco de otra serie de problemas, no usan de manera precisa dichos conceptos. Tanto es así, que programas de mejora del funcionamiento intelectual como el P.E.I., ideados para alumnos de 12 a 14 años, incluyen como contenidos específicos el desarrollo de la capacidad de ordenación del tiempo y el espacio, además de otros destinados a la automatización del procesamiento de las series numéricas. (B) Operaciones lógico-matemáticas. Desde los modelos de enseñanza y aprendizaje derivados de las teorías psicogenéticas (básicamente, de la de Piaget), se ha puesto de relieve que los problemas que a veces experimentan los alumnos en el desarrollo de las operaciones lógico-matemáticas (especialmente de clasificación y seriación), de la noción de conservación o de la comprensión de la reversibilidad, entre otras características del pensamiento operatorio, interfieren con la adquisición de la noción de número y del sistema de numeración, ya que se trataría de adquisiciones evolutivamente previas y base psicogenética para la posterior construcción de estos últimos aprendizajes. Como sabemos, concretamente, la tesis fundamental que se sostiene es que las operaciones lógicas de clasificación y seriación son el fundamento de la noción de número, en la medida en que ésta sería el resultado de la síntesis entre la cardinalidad y la ordinalidad... Una síntesis que sólo sería posible como consecuencia de un proceso genético de construcción de la noción de conservación de la cantidad. El argumento central en este planteamiento es, por tanto, que los aprendizajes matemáticos elementales se basan en la construcción de un tipo de pensamiento lógico a partir de las formas "prelógicas" del pensamiento
La capacidad para representarse mentalmente el proceso inverso a una transformación observada (reversibilidad del pensamiento). estando presente. sugiriendo que los procesos mentales prerrequisitos para una correcta iniciación en las matemáticas serían: La capacidad para retener mentalmente un objeto no presente o transformado (conservación del objeto). valor posicional de las cifras. como tendremos ocasión de comentar dentro de un momento
2. Aunque estas adquisiciones presuntamente previas a la comprensión del número constituyen un referente presente en la gran mayoría de las monografías sobre las dificultades del aprendizaje matemático entre los 5 y los 10 años . volumen o cantidad) cuando ésta esté ausente o. escolares o no. del principio de seriación.
La capacidad de asociar mentalmente procesos agrupaciones iguales generando una nueva (transitividad). La capacidad para representarse mentalmente una sustancia (masa. del principio de correspondencia que incluiría los principios de conservación (del objeto y la substancia).2. sufra variaciones con respecto a su estado inicial (conservación de la sustancia). de ordenar mentalmente las realidades o o
La capacidad de asociar mentalmente agrupaciones iguales (correspondencias). La capacidad para jerarquizar mentalmente las agrupaciones de dichas realidades (inclusión). clasificación e inclusión. La capacidad para formar clases agrupando los objetos en función de ciertas características específicas o generales (clasificación). La capacidad (seriación). o no.intuitivo. etc.) se enseñe en nuestras escuelas con cierta independencia de los símbolos que expresan
. que consideran más que discutible su valor como sustento (no digamos ya prerrequisito) en la adquisición de la noción de número.
En resumen. o no. ya que ésta parece asociarse más bien a las experiencias infantiles de «conteo». La noción de número y el sistema numérico. b) La compresión de las relaciones de orden entre los objetos supondría el uso implícito. podemos decir que desde las posiciones psicogenéticas se afirma que la adquisición del número está precedida por: a) La comprensión de los conjuntos que implicaría el uso implícito. lo cierto es que su importancia real suele ser minimizada en los planteamientos más recientes.
Aunque es bastante corriente que la noción de número y el sistema numérico (noción de número. así como a la realización de actividades. que tienen que ver con la verbalización de la cuantificación de la realidad que rodea a los niños.
+. cuando aparece. tiendan a considerarse aprendizajes separados. cosa que no ocurría antes. Para algunos autores tales experiencias de conteo ponen de manifiesto que el aprendizaje de la numeración implica la elaboración de 5 principios por parte del niño: 1) Principio de correspondencia uno a uno: Aparece cuando el niño coordina el proceso de participación (mantener en mente dos grupos de objetos: los contados y los aún por contar) y el proceso de etiquetación (utilización del nombre de los números para hacer corresponder cada nombre con un objeto contado). en el proceso que describimos. ese conjunto se puede enumerar de cuantos modos se desee y. producto de una reestructuración constructiva que tenga lugar gracias a la aparición de un nuevo tipo de pensamiento lógico en el desarrollo infantil (o lo que es lo mismo. etc. no supone que la secuencia empleada sea la convencional (uno. el niño comprende que los números simbolizan una cualidad abstracta. pero sí es ya. de modo que en este apartado incluiremos unos y otros.. y no es sólo el nombre del último de ellos. el cardinal del conjunto será siempre el mismo. siempre la misma. correspondencia y seriación). la adquisición de la noción de número no parece que sea un proceso de todo o nada. dos. cuatro. >. desde nuestra perspectiva se trata de aprendizajes profundamente relacionados entre sí. Este principio supone:
. tres. sobre todo por el nivel de representación que exigen del sistema cognitivo.relaciones entre números (<. 5) Principio de irrelevancia de orden: El proceso culmina cuando el niño comprende que el orden de enumeración es del todo irrelevante para determinar el cardinal de un conjunto. diferentes. pero está claro que ese nombre no conlleva el «concepto» de número. establece que para contar es indispensable establecer una secuencia de «palabras numéricas» (nombre de números) estable y coherente.) y que. Aquí aparece el conocimiento del nombre de los números. 4) Principio de abstracción: Aparece cuando.. al menos. sobre que la adquisición de la noción de número. frente a lo defendido por las teorías psicogenéticas. considerándose como el resultado de un proceso gradual. una adquisición progresiva relacionada con la experiencia de atender a las cantidades de las cosas a través del "conteo" y de las actividades asociadas al mismo. resultan imprescindibles la ejecución de las llamadas operaciones "prelógicas": conservación. bien al contrario. Como acabamos de señalar hace un momento. (A) Adquisición de la noción de número. 2) Principio de orden estable: Este principio. 3) Principio de cardinalidad: La noción de cardinal aparece cuando el niño comprende que la última «palabra numérica» de su secuencia de recuento significa el número total de elementos del conjunto contado. =. por tanto. pese a todo. que no depende en absoluto del aspecto físico de los objetos.). hoy existe un relativo consenso. los principios anteriores se aplican entonces tanto a conjuntos de objetos homogéneos como heterogéneos.
bloques lógicos.. . regletas.. reparto irregular (por ejemplo.. que tienen un marcado carácter simbólico. existen determinados ejercicios que facilitan la comprensión de la noción de número más que otros. volver a repartir 8 lápices entre 2 alumnos habiéndolos repartidos previamente entre 4) b) Actividades de mezcla de códigos: en este tipo. c) Actividades con la cadena numérica: se trataría de identificar los números que se encuentran definidos por una posición. La mayoría de los niños de cuatro a cinco años memorizan la secuencia numérica progresivamente (0. cuenta 5 números a partir del 3.)...) a través de los medios informales en que se desenvuelven. hasta el reequilibrio de repartos (por ejemplo.9. el alumno habría de cardinalizar las cantidades de diversas maneras (por ejemplo. II. Si el aprendizaje no se ha producido a esta edad es preferible practicar en la adquisición de la habilidad de contar que dirigir los esfuerzos al desarrollo de operaciones lógicas y los conceptos básicos.Comprender que lo contado son cosas distintas a los números que se les aplican al enumerarlos.. por ejemplo.Que el mismo número cardinal resulta siempre de los distintos tipos de recuento posible..8. @@.2. un lápiz para cada niño). Como señala Martínez Montero. aun cuando en la asimilación de los conceptos examinados resulta útil.Comprender que las «palabras numéricas» se aplican arbitrariamente a los elementos del conjunto porque son cosas distintas a ellos. contrariamente a lo que indican los modelos piagietianos. entre 2. ya que es independiente del orden del conteo y constituye una propiedad cuantitativa del conjunto. dar 2 lápices a Juan por cada uno que le demos a José). el uso y manipulación reiterados de materiales concretos (objetos de la vida real. 2.. repartir de todas las formas posibles 4 lápices para 2 alumnos). pasando por reparto uniforme (a cada elemento le corresponde la misma cantidad. Para finalizar este comentario sobre el aprendizaje de la numeración nos gustaría precisar que. no es la experiencia en sí lo que realmente parece contar: manipulación y vivenciación son útiles en la medida en que propician la formación de representaciones mentales que darán significado a las nociones aritméticas al irse elaborando por el alumno.
. para lo que puede utilizarse la recta numérica (por ejemplo: Cuenta hasta el 7.). si no necesario.). etc. reparto proporcional (por ejemplo.. que permiten establecer diverso tipo de correspondencias entre dos conjuntos de objetos y que irían desde la correspondencia uno a uno (por ejemplo.1. .). 6 entre 3.. etc.) y regresivamente (10. aunque ambos procedimientos pueden simultanearse.3. ¿Cuántos números hay entre el 4 y el 8?. como pueden ser: a) Actividades de reparto (dealing)... primero en forma de "conceptos" intuitivos (a través de la representación gráfica figurativa) y luego en forma de auténticos conceptos matemáticos.
Consideración simultánea de las unidades de un número (p. por ejemplo. 70. como: .e. bien al contrario. las actividades que facilitarían el dominio del sistema decimal serían: a) Actividades de partición de un número. sucesivamente. en. como son no comenzar los cálculos escritos desde la derecha o fallar con las "llevadas". . 10 + 10 + 10 +4.
. b) Actividades de agrupación.: ¿Cuantas decenas existen en 3214? ¿Cuántas centenas? ¿Cuántas unidades de millar? . . hallar la otra. pero lo es cuando consideramos que el problema incluye la falta de una comprensión meramente «intuitiva» de estas nociones. que implica reagrupaciones a partir de unidades secundarias: decenas. decenas...). como «imaginar» la decena como una bolsita. caja. etc. no son las únicas.(B) El sistema de numeración.. como lo pone de manifiesto. evidentemente.). Si nos estuviésemos refiriendo a una comprensión matemática profunda de la naturaleza del sistema decimal.Dada una parte de un número. asimismo. centenas.Composición de un número a partir de sus unidades. que contiene10 unidades. no comprender la naturaleza del sistema de numeración lleva a dificultades en la comprensión y manejo de los decimales. Resaltando dicho autor la importancia que tiene el que las descomposiciones que se realicen tengan carácter múltiple (p. que pretenden que el alumno componga un número a partir de sus unidades constitutivas.Descomposición de un número en sus unidades constitutivas (unidades.. centenas. entendiendo por ello que el alumno disponga de representaciones mentales concretas de estas nociones. Aunque las dificultades relacionadas con la adquisición de la noción de número son importantes y frecuentes durante toda la Primaria (una etapa en donde un importante número de alumnos no llegan a elaborar los principios citados de cardinalidad. agrupaciones y relaciones entre los diferentes elementos constitutivos de un número.e..) . las fracciones. esta dificultad conceptual corre pareja con otras de tipo procedimental. Por supuesto.. es decir. este fenómeno no sería extraño.Operaciones mixtas de sumar. que 7 representa cantidades diferentes según su posición (7. De esta manera. . 700... que se derivan directamente de no entender el valor posicional de las cifras..: 24 se puede descomponer en 20 + 4. la centena como una colección de diez «bolsitas» que contienen 10 unidades cada una y así. Para llegar al dominio del sistema decimal resulta fundamental el que el alumno realice y establezca particiones. son aún más frecuentes las dificultades en la comprensión del carácter «ordenado» del sistema de numeración y la Iógica del sistema decimal.. abstracción e irrelevancia de orden). etc. por ejemplo. el tipo de errores más comunes en el cálculo en estas edades.
. nos encontramos con los siguientes: . La dificultad en la adquisición de la regla de los ceros intermedios. aunque pueda aprender determinados algoritmos de identificación de unidades. A pesar de la insistencia de numerosos autores sobre la necesidad de realizar actividades diversas. decenas y centenas tiene el número 234¿) ya que el alumno puede aplicar un
. una cuestión básica es que dichas actividades se planteen con un nivel de abstracción (manipulativo-vivencial. A todas ellas podemos añadir las relativas a diferentes sistemas de numeración. Las actividades que pueden hacerse son: . el número 25 se lee veinticinco. es necesario subrayar que el uso de los números (contar) no significa que se posea la noción de número. . en nuestra opinión.Determinación de los números mayores y menores que pueden componerse con cifras dadas.Identificación de los números "vecinos" de otro dado. para la comprensión y dominio del sistema de numeración. .Completación/continuación de series ascendentes y descendentes de números. Entre los problemas más frecuentes relacionados con la numeración. por lo difícil que resulta comprender los órdenes de unidades y las reglas para codificar y decodificar las relaciones entre dichas cifras. ya que en caso contrario las dificultades pueden mantenerse en lo relativo a la comprensión del mismo.Dificultad para adquirir la noción de número (comprensión) La dificultad para reconocer y escribir algunos números. b) La comprensión del sistema numérico decimal no puede comprobarse mediante la ejecución de las actividades de descomposición habituales (p.Composición de todos los números posibles. como las indicadas por Martínez Montero. Cuando se procede a evaluar el dominio de la numeración por parte de un alumno es preciso tener en cuenta las siguientes consideraciones: a) En primer lugar.Identificar números números realizados en una base diferente a la decimal. gráfico o simbólico) adecuado a las competencias del sujeto.c) Actividades de relación. y no dos y cinco. por ejemplo. La dificultad en la adquisición de los órdenes de unidades y el valor proposicional de los números.Leer y escribir números en sistemas diferentes al decimal.:?Cuántas unidades. Ya que la comprensión de la noción de número se pone de manifiesto a través de la ejecución correcta de actividades como: .e. que se refiere a las relaciones que se establecen entre las cifras que componen un número. como: .
resta. como procedimientos mecánicos que se aplican rutinariamente para la obtención de un resultado.. más adelante. aunque es preciso distinguir distintas dificultades en relación con esta nueva faceta. etc. incluimos aquí la persistente tendencia a realizar los cálculos escritos en órdenes inadecuados (sumar y restar comenzando desde la columna situada a la izquierda. etc. multiplicación o división de dos cifras. inexistencia o imprecisión
.Consideración simultánea de las unidades de un números. No olvidemos en este sentido. Con este expresión queremos referirnos a uno de los problemas más frecuentes en los primeros años de la escolaridad obligatoria. hábitos incorrectos de resolución de las operaciones escritas.. resta.Actividades de composición Para finalizar. emplear ese conocimiento en la resolución de problemas y. .
2. La primera tiene que ver con la comprensión de los conceptos mismos de suma. multiplicar sin ordenar el producto de cada multiplicación -cuando el multiplicador tiene dos o más cifras. etc. por ello será necesario utilizar actividades como: . el propio profesorado de la etapa no considera su enseñanza como algo importante o. multiplicación.
A los aprendizajes anteriores.algoritmo de identificación que no implique la comprensión del valor posicional.3. división.comenzando por dejar libre la columna de la derecha. en la Etapa Primaria se le deben añadir aquellos otros que afectan específicamente a la correcta adquisición de las operaciones de cálculo aritmético. Lo cierto es que este aprendizaje no suele constituir motivo de consulta al orientador escolar porque. raíces. (B) La “mecánica” de las operaciones aritméticas. (A) Comprensión de las operaciones. generalmente.). entonces. sobre todo. queremos resaltar el papel preponderante que tiene en el dominio del sistema de numeración los conocimientos previos que el sujeto posea en un momento determinado. es decir. al menos. los errores de cálculo derivados de imprecisiones en la suma. que son a menudo asimiladas en términos puramente algorítmicos. que el propio término «operaciones» trata de expresar que nos encontramos ante «acciones interiorizadas» que conforman un sistema de relaciones lógico-matemáticas entre ellas: sólo así es posible realizar una adquisición comprensiva de las propiedades de cada una de ellas (que suelen estudiarse de manera absolutamente desconectada de las operaciones reales mismas) y. en la realización de aprendizajes matemáticos más complejos y de nivel jerárquico superior. en concreto. causa más preocupación. al alcance de sus alumnos y alumnas. otro tipo de problemas más relacionados con una insuficiente automatización de cálculo.. El cálculo numérico. potencias.
es decir. sino que supone la ascensión gradual de un camino no exento de dificultades. raíces. un conjunto de errores que suelen relacionarse con: . el de la multiplicación no presenta grandes dificultades.) lo son de la educación matemática de la Educación Secundaria. En definitiva. en la alineación o colocación correcta de las cifras y en los procedimientos de llevada cuando está presente el cero.la falta de una práctica suficientemente bien supervisada. según algunos autores. La sustracción. al igual que otros cálculos más complejos (potencias. en general. así como los algoritmos para su resolución.. con los errores en la adición y al tomar el multiplicando como multiplicador.las dificultades ya comentadas. En cuanto a la división. . Para la sustracción . La comprensión de esta complejidad y el dominio de las estrategias de resolución no es un proceso de todo o nada. no es dominada hasta tercero o cuarto de Primaria. restar. . los niños también desarrollan y aplican estrategias que varían en función de los problemas a resolver. con la suma de los números que se llevan. cuyo resultado final debe ser una
. al ser la operación inversa a la multiplicación implica una reorganización de este concepto. multiplicación y división. los niños deben adquirir los conceptos y los símbolos de las mismas. y . Los errores más frecuentes están relacionados con las combinaciones básicas. antes de ser iniciados en el cálculo escrito de estas cuatro operaciones. ya que la multiplicación se representa como la adición sucesiva del mismo número. el aprendizaje de los algoritmos. En relación con las llamadas operaciones básicas. A partir de las experiencias informales y formales de contar. procedimientos de cálculo compuestos por una secuencia ordenada de pasos que permiten llegar a la solución correcta en operaciones con multidígitos. Si se tiene bien adquirido el concepto de adición. El dominio de las cuatro operaciones básicas (sumar. sustracción. aplicando una secuencia de pasos impuestos sin explicación y memorizada sin más. del grado de abstracción de la tarea y de la edad. se usa la estrategia de sumar 5 + 5 quitando 2). al suponer mayor nivel de complejidad. En la suma se utilizan estrategias que van desde el apoyo de los dedos u objetos físicos al uso de las combinaciones numéricas básicas.en el cálculo mental. multiplicar y dividir) es uno de los objetivos de la enseñanza elemental. etc. con la escritura de una hilera de ceros cuando hay un cero en el multiplicador. para calcular 5 + 3..la falta de atención. produciéndose los errores más frecuentes con las «llevadas». Y también. logaritmos.la inexistencia de estrategias de verificación en el desarrollo de tareas que se ejecutan mecánicamente. los niños van elaborando los conceptos básicos de adición. pasando por los algoritmos de cálculo escrito y por las estrategias y reglas de cálculo mental que se apoyan en la composición y descomposición de los números ( por ejemplo.
sosteniendo como principio general que la mayoría de los errores se producen por una inadecuada o incompleta asimilación del valor posicional de los números. logaritmos. el aprendizaje de la división es el más difícil de todos los algoritmos: -porque se lleva de izquierda a derecha. en lugar de dos. .). de otro. el más frecuente de ellos tenga que ver con las habitualmente denominadas «restas con llevada». Ello significa la consolidación de una red de conexiones entre los diferentes conceptos aritméticos. el niño inventa una regla. En cualquier caso. etc. -porque requiere que los otros algoritmos estén automatizados. a un inadecuado aprendizaje del algoritmo correspondiente de otro.estructura de conocimiento aritmético unificada que incluya las cuatro operaciones. cuando algunos de los pasos del procedimiento no están claros. de manera que. a menudo los orígenes suelen remontarse.omitir el cero y . para resolver la situación. y -porque es un procedimiento sólo semiautomático. en este caso. que es la que permitirá su aplicación flexible.errores con las llevadas. no existen problemas si el alumno comprende. Así. decenas. para restar 9 a 27. al contrario que los anteriores. de un lado. pero ello implica que ya sólo queda un decena. a un inadecuado dominio de las operaciones básicas implicadas (estas operaciones siempre suponen el dominio de las operaciones básicas) y. Estos errores suelen tener su origen en un mal aprendizaje. raíces. -porque aporta dos resultados. cuando en la sustracción nos encontramos con que la cifra del sustraendo en una posición dada (unidades. cociente y resto.) es mayor que la correspondiente en el minuendo. (C) Errores conceptuales en el cálculo. Cuando las dificultades aparecen en otras operaciones matemáticas más complejas (como las potencias. Con esa tercera categoría de dificultades nos referimos a todos aquellos errores que se derivan de la inexistencia de los conceptos adecuados. generalmente inadecuada. son: . aunque sea intuitivamente. este último 7 se aumenta hasta 17. centenas. en los anteriores sólo uno... .operar de izquierda a derecha. los errores más frecuentes en las operaciones básicas de los alumnos con DAM (Dificultades de Aprendizaje en Matemáticas). ya que tiene una fase de tanteo que conlleva ciertas probabilidades como que el resto sea mayor que el cociente.operar sin tener en cuenta la posición. Posiblemente. es decir. en la siguiente
.. que el «déficit» de esa determinada posición en el minuendo desaparece cuando trasladamos a él una «unidad secundaria» de la posición siguiente (es decir.
omisiones de números. en cuanto falla en cualquier eslabón. escritura «en espejo» de números. en el sentido que aquí se le da.
.e. de un fenómeno natural en ciertos momentos del proceso de aprendizaje matemático. Otro tanto cabe decir de las dificultades para el cálculo con números fraccionarios. del valor posicional de estos últimos. Cuando tal comprensión no existe. etc. La evaluación del nivel de competencia de un sujeto respecto a las operaciones aritméticas. ..los fallos en la identificación de los números.: 27 +11). más allá de ese punto. puede realizarse con una colección de ítems relativos a cada operación y secuenciados en orden de dificultad. de relación. lo que implica el aprendizaje. en gruposclase completos que han sufrido una enseñanza inicial irregular.: 7 + 2). el la cual aparecen con abundancia -en particular en el primer ciclo de primaria. el alumno se ve entregado a practicar un ritual incomprensible y arbitrario de «préstamos entre vecinos» sujeto a una secuencia de actos que. es necesario diferenciar su comprensión de su dominio algorítmico. <. sin embargo. incluso. ya que es muy evidente su presencia.Sumas de dígitos que totalizan menos de 10 (p. que serían las más frecuentes en la escolaridad obligatoria. persistiendo a veces hasta los 8 ó 10 años en alumnos de medios desfavorecidos e. la obtención de porcentajes. condena al error. siendo relativamente lento el proceso que permite al niño terminar por leer y escribir los signos y los números.). La evaluación de este último. son errores que no suelen persistir sino en sujetos con discalculia asociada a trastornos específicos de la lecto-escritura. o la realización de operaciones más complejas. Se trata. >. Este tipo de error ha sido investigado bastante en la historia del trabajo sobre dificultades del aprendizaje matemático. etc. cambios posicionales de cifras. (D) Lectura y escritura de símbolos numéricos. hay que decir que aparecen como algo muy corriente durante la fase de iniciación de los alumnos en numeración y cálculo aritmético. sobre todo. además.Sumas de números con dos cifras sin "llevadas" (p. como por ejemplo la siguiente referida a la suma: . se adquiere antes el reconocimiento de estos símbolos y el acto de nombrarlos que su escritura. Respecto a la incidencia de dificultades en este tipo de aprendizajes. que ha ido asociada tanto a trastornos específicos (lesiones cerebrales con efecto sobre las adquisiciones matemáticas). =. Evolutivamente. pues. /) y aquellos otros que representan relaciones matemáticas esenciales (=. -. La expresión símbolos numéricos escritos incluye.columna).e. . así como en algunos alumnos impulsivos e hiperactivos.. como a dificultades evolutivas. x. confusiones entre números semejantes. tanto a los números propiamente dichos como a los símbolos de las operaciones numéricas (+. confusión en la lectura de los signos de operación y.
los distintos logros y errores de un alumno o alumna.. ya que pudiera ocurrir que un alumno poseyera uno y no el otro.: 3 + 4 + 2) b) Rebasándola en el tercer sumando (p. Resolución de problemas. es necesario analizar el concepto mismo de problema y el conjunto de operaciones mentales implicadas en su resolución. Además de todo ello. el aprendizaje de esta capacidad incluye la comprensión de los enunciados.e. A la hora de evaluar el dominio de las operaciones aritméticas por los alumnos es conveniente tener en cuenta las siguientes consideraciones: a) En la valoración de cada operación es necesario diferenciar su comprensión del dominio algorítmico que se posea de la misma. así como de la capacidad de traducir de unos lenguajes (modos de representación) a otros.: 12+7). como una situación en la que a partir de un cierto estado de cosas inicial se trata de alcanzar una meta identificando y aplicando el único procedimiento adecuado o seleccionando uno entre varios posibles. en general. b) Se deben emplear diferentes modelos de operaciones: verticales y horizontales. reglas y estrategias generales y específicas.Etc.e.Sumas de dos dígitos rebasando la decena (p.: 3 + 5 + 3). Así.Sumas de dos números de una y dos cifras.: 6 + 9). en este sentido.e. . podría afirmarse que existe un problema siempre que la situación
. . "sin llevadas"(p. desde ahí. y la habilidad para establecer relaciones entre los conceptos y procedimientos implicados para. para cuya consecución no basta con que el alumno domine las operaciones elementales de cálculo: requiere un aprendizaje específico de ciertas habilidades de representación. que nos permite chequear en poco tiempo. Este tipo de colecciones. conforman lo que se denomina una prueba analítica. que resulta fácil elaborar una el automatismo de cada operación básica.4. .
2.Sumas de tres dígitos: a) Sin rebasar la decena (p. comenzaremos señalando que un problema puede considerarse. analizar las vías de solución posibles en cada caso y valorar cuál de ellas es la apropiada. En cualquier caso. para entender el modo en que el alumno llega a aprender a resolver correctamente los problemas matemáticos (o por qué no llega a hacerlo). está claro que constituye uno de los objetivos finales en la enseñanza de las matemáticas en la escuela obligatoria.e. aunque no lo parezca a veces. que exige la decodificación adecuada del mensaje verbal para formarse una representación mental adecuada al estado de cosas descrito en el problema. y de manera sistemática. c) Rebasándola en el segundo solamente.
En cuanto a la resolución de problemas.
y que se conocen como límites o restricciones. índice de precios al consumo. en los diferentes tipos de problemas matemáticos que pueden plantearse. cada una de estas fases supone la ejecución correcta de una serie de pasos o tareas. al menos. tasa de éxito en la universidad. Resolver un problema. la planificación y la ejecución pueden presentarse juntas dado que. que consistiría en la aplicación del procedimiento apropiado (los operadores matemáticos. De los componentes mencionados. transformar cada proposición del problema en una representación interna. 1) La traducción del problema. comporta pasar de una situación a otra. no podemos estar verdaderamente seguros de haber elegido la estrategia correcta hasta no haberla ejecutado y haber observado si se ha logrado hacerla funcionar. en el proceso de resolución de cualquier problema es posible que tengamos que enfrentarnos a unas reglas que especifican cuáles son las operaciones que están permitidas. desarrollamos nuestras propias ideas y conceptos. incluso. cuando se resuelve un problema. No obstante. la de representación del problema.
. en la que debemos construir un modelo del estado de cosas que representa el enunciado. así.. Para resolver el problema de las prendas de vestir es posible que alguien. una posible solución es tener un sacacorchos a mano y probar a abrir la botella. en el proceso de resolución podríamos distinguir. en ocasiones. Como es obvio. hemos de resolver el problema de abrirla. Cuando traducimos un problema nos valemos de las ideas y conceptos elaborados por personas que ya se han enfrentado con problemas similares o. no siempre se es consciente de que se está procediendo mediante una secuencia lineal que respeta el orden en que aquí se presentan las diferentes tareas sino que. es decir. por tanto. en el tema que nos ocupa) para alcanzar la meta final perseguida a partir de la situación de partida. realizar ciertas operaciones sobre el estado inicial para alcanzar el objetivo: si queremos tomarnos esa copa de vino. Además. si queremos tomar una copa de vino de una botella cerrada. dos partes principales... bien al contrario. (A) Fases en la resolución de problemas. el pri-mero (la traducción del problema). Dada esta naturaleza de los problemas. comience aplicando dicha estrategia aún antes de que sea consciente de los términos en que está definiendo el problema.actual sea diferente de la situación (meta) deseada. supone definirlo. que haya desarrollado antes con éxito la estrategia de construir una tabla numérica de doble entrada y completar los datos que faltan. La creación de unidades de medida tales como litros de gasolina por cada cien kilómetros. y la solución del problema propiamente dicha. son otros tantos ejemplos a propósito. las lindes entre ellos suelen ser difusas durante el proceso mismo de la resolución del problema. uno puede empezar por planificar la solución del problema antes de ser consciente de la traducción del problema mismo. Por ejemplo. tales tareas no se dan en compartimentos siempre independientes y perfectamente distinguibles unos de otros.. Finalmente. por ejemplo.
En este sentido. y que una función importante de los esquemas es la de construir interpretaciones de nuevas situaciones. las funciones y cometidos que tiene cada uno (picador.: "Es un problema de regla de tres simple") y.. implica agrupar las proposiciones textuales del problema en una representación coherente. Así. define el tiempo dedicado a la preparación del examen de Lengua como no vinculado con el tiempo dedicado a la preparación del examen de Matemáticas o al de Historia. etc. está asociada al conocimiento que posee acerca del tipo de problemas matemáticos que se le pueden plantear. Si dedicó el doble de tiempo a Lengua que a Matemáticas y 3 horas menos a Historia que a Lengua. Para poder entender un incidente como éste.Veamos un ejemplo tomado de Bransford y Stein (Solución IDEAL de problemas. Una forma diferente de traducir el problema es a partir de proposiciones que incluyan las relaciones entre los tiempos de preparación de dos asignaturas.e. por tanto. decimos que el tiempo dedicado a Matemáticas es L/2 (la mitad que el dedicado a Lengua) o que el tiempo dedicado a Historia es L-3 (tres horas menos que las dedicadas a Lengua). El segundo componente. La teoría de los esquemas supone que existen estructuras (esquemas) en la memoria para las situaciones repetidas que se experimentan. claro es. en el que el problema es el siguiente: Un estudiante dedicó 22 horas de estudio a la preparación de sus exámenes de Lengua. por consiguiente. se equivoca. matador. Matemáticas e Historia. Supongamos que. Esa representación que hace el alumno refleja su forma de entenderlo (p. bastante frecuente en las plazas de toros. el picador sobrepasó la raya . El alumno.. utiliza su conocimiento esquemático para situar las proposiciones extraídas del enunciado del problema dentro de una de las categorías de problemas con las que ya ha tenido alguna experiencia previa. la integración del problema. subalternos. el alumno considera cada una de las materias de forma independiente. resuelve dividiendo las 22 horas entre las tres asignaturas mencionadas y. Los investigadores conciben el esquema como una estructura de información modificable que representa conceptos genéricos almacenados en la memoria. ¿cuánto tiempo dedicó a cada asignatura? Al traducir el problema... la persona que escucha la noticia en la radio debe poseer un buen conocimiento sobre la lidia de reses bravas. presidente. en medio de la zaragata de la cena de fin de año. Este conocimiento previo se representa en la memoria mediante un esquema que especifica las reglas del juego que deben observar las personas que participan en una corrida de toros. 2) La integración del problema. alcanzamos a oír en la televisión la siguiente noticia: El toro no embestía al caballo . el matador pagó una multa a la autoridad. los esquemas contienen una información prototípica sobre las situaciones experimentadas frecuentemente y se utilizan para interpretar nuevas situaciones y observaciones. Los objetos de un esquema pueden entenderse como
. Editorial Labor). es decir.) en el desarrollo de la lidia y el tipo de situaciones que acontecen durante la misma. consecuentemente.
Cuando el halcón alcanza el segundo tren. echa a volar en el sentido de la marcha del primer tren hasta la máquina del segundo tren. A la una del mediodía del domingo arranca de cada una de las estaciones un tren. Un esquema activo puede guiar al sujeto en la búsqueda de información para rellenar las restantes ranuras pero. Si aplicáramos las conclusiones de estos investigadores a un problema como éste: "Dos estaciones de ferrocarril distan 100 kilómetros. veríamos que en él resultan accesorias la mayoría de las informaciones (a la una del mediodía del domingo arranca de cada una de las estaciones un tren. como Robinson y Hayes. Por ejemplo. Si se rellenan suficientes ranuras de un esquema determinado. Así. obra citada). en los diversos estudios pudo comprobarse que los alumnos eran capaces de categorizar los problemas de forma casi inmediata. bien porque no lo conozca o porque se trate de un tipo de problema poco habitual en su experiencia previa. al igual que cuando el alumno no posee el esquema de un tipo de problema determinado. si esa información adicional no está disponible en el entorno.. el esquema es una estructura prototípica que puede incorporar fenómenos observados. El halcón prosigue de igual modo hasta que los trenes se cruzan.
. Otros investigadores. Supongamos que ambos trenes viajen a la velocidad de 50 km/h.. En efecto. un halcón echa a volar en el sentido de la marcha del primer tren. son relevantes las informaciones relativas a la velocidad de los trenes y del halcón o la distancia entre estaciones.. y analicemos algunas de las dificultades que pueden planteársele al alumno cuando no conoce este tipo de problemas. cada uno de los cuales se dirige hacia el otro. un alumno puede decir: "¡Ya está! Éste es uno de aquellos problemas de corriente de ríos". Después de oír las primeras palabras de un problema como "Un barco fluvial recorre 36 kms a favor de la corriente. cuando el halcón alcanza el segundo tren. éste se convierte en activo. da media vuelta y vuela en dirección al primero. el halcón prosigue de igual modo hasta que los trenes se cruzan. y que el halcón vuele a la velocidad constante de 200 km.). ¿cuántos kilómetros habrá recorrido el halcón?" (Bransford y Stein. han encontrado que los alumnos utilizan sus esquemas para hacer juicios acertados respecto a cuál es la información importante en un problema y cuál es la accesoria. Cuando un alumno utiliza un esquema equivocado para comprender un problema. gracias a la cual las personas reaccionamos a menudo muy rápida y eficazmente ante nuevos estímulos. hasta la máquina del segundo tren. se activarán sus procedimientos y se accederá a cualquier otro conocimiento que contenga.". en cambio./h: cuando los trenes se crucen. tiene bastantes dificultades para hallar la solución correcta. da media vuelta y vuela en dirección al primero..variables o "ranuras" en las que puede acomodarse la nueva información. En el instante en que los trenes arrancan.. consideremos el problema del reloj y la pulsera. se rellenarán sus ranuras con la información normal de una situación determinada.
problemas de correlación por problemas de contraste. hacer una tabla o empezar por el final (se parte del resultado final y se van recorriendo los pasos pero al revés). que veíamos hace un momento. etc. Un nuevo componente. En el ejemplo de la dedicación del estudiante a la preparación de los exámenes. Integrar la información relativa a un problema requiere. por tanto. Así. En matemáticas. los que se utilizan para encontrar el área bajo la curva normal).400 = 800.d. L + L/2 + L-3. Como hemos visto. el precio del reloj será igual al triple del precio de la pulsera. el precio de la pulsera es 1/4 del total. esto es. el precio total incluye el del reloj y el de la pulsera y. la tarea de integración requiere reunir las distintas proposiciones que afectan a las relaciones entre las horas invertidas en las asignaturas. es igual a la tercera parte del precio del reloj. hacer un dibujo que represente cosas y sus relaciones.e. por ende. Por consiguiente 1/4 + 3/4 = precio total". la planificación de la solución. Estamos utilizando un esquema que corresponde al de la resolución de una ecuación con una sola incógnita: x + x/2 + x-3 = 22. un conocimiento específico de los tipos de problemas.
..El precio de la pulsera de un reloj es igual a la tercera parte del precio del reloj. cada vez está más extendida la idea de que se necesitan y. problemas de m. pensar un problema más fácil. aprendemos a apoyarnos en estrategias desarrollados por otros para afrontar un tipo particular de problemas (p.. desde luego.c. que traemos de nuestra memoria para afrontar el mismo tipo de problema o uno similar al que alguna vez hemos resuelto. utilizando dicho esquema diría: "Dado que el precio de la pulsera es igual a un tercio del precio del reloj. Lo que el estudiante dedica a preparar sus exámenes es. sin duda. 3) La planificación de la solución. Por tanto. Si el alumno hubiera conocido los problemas sobre múltiplos y divisores hubiera procedido de forma diferente. aborda el diseño de un plan para solucionar el problema.. por los m.e.600 y la pulsera vale 800. En este caso.400 pesetas ?Cuál es el precio de la pulsera? Una posible respuesta puede ser: 1/3 de 2. nos valemos de estrategias generales aplicables a un sinfín de tipos de problemas (p.. el reloj vale 1. no se ha interpretado correctamente la proposición "el precio de la pulsera . se usan esquemas cognitivos para integrar o comprender los problemas. empezar por el final) y. Existen muchos ejemplos de aplicaciones de esquemas inadecuados para resolver problemas. dado que el precio del reloj debería ser igual al triple del precio de la pulsera (el inverso de 3 es 1/3) y con la solución aportada no lo es (1..c. en realidad.600 no es el triple de 800). Por todo lo expuesto. para resolver problemas se necesita poseer alguna estrategia acomodada a las propias exigencias de cada problema: tantear. son algunas de las estrategias que los alumnos ya aprenden en el último ciclo de la Educación Primaria. Algunas de las confusiones más frecuentes al seleccionar los esquemas a utilizar son: problemas de sumas por problemas de restas.m. esos esquemas representan modos ya experimentados de abordar un problema. El reloj con la pulsera cuesta 2.
Editorial SM) la estrategia más adecuada podría ser la de empezar por el final (si a 1. Respecto a las estrategias específicas. En el problema "El cociente de dos números es 3 y su suma 72. suponiendo que todos los jugadores comparezcan? Se trata de un problema del tipo N-1 y que puede resolverse más fácilmente si probamos primero una situación concreta más sencilla como p. las estrategias generales que utilizamos al planificar la solución de un problema. pero que sepamos hacer. Veamos el siguiente problema tomado de nuevo de la obra de Bransford y Stein: Es usted el director de un campeonato de tenis. para resolverlo. el alumno debe conocer la estrategia que le lleva a aplicar una fórmula de comparación determinada (z =
.344 pesetas. Igualmente aplicamos la misma prueba a otra muestra de 95 estudiantes universitarios comprendidos entre los 20 y 24 años de edad.07 ?Podemos afirmar a un nivel de confianza del 5% que la población de universitarios menores de 20 años es más inteligente que la de 20-24 años? Como habrá observado.e. en el problema "Teresa compra un lote de tres cuadernos en espiral tamaño folio y una mochila para ir al colegio por 1.344 le restamos 297. ¿qué números son?". que ha de celebrarse próximamente. ¿Cuántos centímetros de carretera han hecho en total? Por muy elemental que nos parezca el problema. en cambio. Veamos como muestra un problema en 4º Curso de Primaria (Editorial Santillana): Inés y Álvaro están haciendo una carretera para jugar a las chapas. Inés ha hecho 2 m y 48 cm. se trata de un problema de comparación entre medias en grupos independientes y. De este modo.59. Una de ellas es la conocida como pensar un problema más fácil y consiste en considerar un problema que sea parecido al que tenemos. necesita conocer que un 1 metro equivale a 100 centímetros. La mochila cuesta 297 pesetas más que el doble del lote de cuadernos ¿Cuál es el precio de cada cosa?" (Matemáticas 6º Primaria. de carretera y Álvaro 1 m y 73 cm. el jugador queda eliminado). por supuesto. en primer lugar. habría casi tantas como tipos de problemas puedan identificarse en matemáticas. Si hace falta para cada encuentro una ficha de puntuaciones e incidencias. Se han inscrito 103 participantes en el torneo.Consideremos. queda el precio de tres lotes iguales de cuadernos). ¿cuántas serán necesarias. para resolverlo un alumno necesita conocer la estrategia específica que le permite situar todas las medidas en una misma unidad y. podemos comprobar que siempre se necesita un número de fichas de puntuaciones e incidencias menor (una unidad) que el total de participantes. Veamos ahora un problema más complicado. que puede ayudarnos a entender mejor el concepto de estrategia específica: Aplicamos una prueba de inteligencia a una muestra de 129 estudiantes universitarios de menos de 20 años y obtenemos una media de 28 y una desviación típica de 4. la estrategia más adecuada podría ser el tanteo. y obtenemos una media de 25.36 y una desviación tipo de 5. que se juega por simple eliminación (en cuanto pierda una vez. N = 3.
la respuesta "18 litros" era absurda. a lo que respondió "¡Dos tercios de litro!". hasta que ponemos en práctica la solución ideada no podemos estar completamente seguros de que las etapas anteriores se hayan cubierto de forma adecuada. que describe las conductas de los alumnos en la escuela y el tipo de actuaciones que les llevan a suspender en determinadas materias. en una relación cuantitativa entre las dos variables implicadas (Juan y Pedro). Emplear el tanteo (cuánto puede dar esto) puede ser una estrategia adecuada para pronosticar una solución aproximada y verificar lo verosímil de la solución finalmente encontrada al problema. entender afirmaciones del tipo Juan tiene un duro como equivalentes a Juan tiene cinco pesetas. por ejemplo. también requiere de algún tipo de conocimiento general que permita al alumno. que pueden ser tan simples como los implicados en la suma o tan complejos como los asociados al cálculo infenitesimal y. Holt le preguntó entonces "¿Cuánto hay en cada jarra?". Esta última etapa implica que el alumno efectúe una serie de operaciones . el chico se limitó a encogerse de hombros: "¡Eso es lo que sale al calcularlo!". Otros ejemplos parecidos tienen lugar cuando el alumno obtiene como media de un conjunto de valores otro valor superior a cualesquiera de ellos. si había seis jarras y todas contenían menos de un litro. 4) La ejecución de la solución. sin verificación de ningún tipo. La traducción del problema requiere algún conocimiento del lenguaje por parte del alumno que le permita. en el ejemplo. Holt le preguntó si esa cantidad era mayor o menor que un litro y.05 y a decidir en función del valor teórico encontrado para z. uno de los chicos que Holt describe estaba trabajando en el siguiente problema: Si tenemos 6 jarras y queremos verter en cada una 2/3 de libro de limonada. no es en absoluto un mero trámite. transformar la proposición: Juan tiene cinco duros más que Pedro. incluso cuando todo lo anterior ha sido correcto. a operar con un riesgo concreto a= 0. (B) Conocimientos implicados en la resolución de problemas.x2 * / s s2/N1-1 + s2/N2-1). pero. Cada uno de los componentes en la resolución de problemas requiere de una serie de conocimientos en el alumno. En la muy citada obra de Holt How Children Fail. Sólo al ejecutar la estrategia de resolución podemos verificar la adecuación del proceso seguido. Cuando se le hizo observar que. le volvió a interrogar: "¿Cuántas jarras hay?". ¿cuánta limonada nos hará falta? y respondió que18 litros. así como que una vez hecha la elección la aplican a ciegas. tras decir el alumno que menos. contra lo que pudiera pensarse en un principio. cuando la probabilidad de un suceso aleatorio es superior a la unidad o cuando la suma de las partes superan al todo. A continuación. a lo que el chico contestó que eran 6. Por ejemplo. se destaca que con frecuencia los alumnos no piensan demasiado en la estrategia a seguir para resolver un problema.
.*x1 .
En general. el alumno tiene que saber sumar. En nuestro ejemplo. una vez recuperadas de la memoria. de modo que pueda resolver que la suma de 3 +5 es igual a 8. siendo los de cambio los más fáciles y los de comparación los más complejos. redactándolo de una manera más sencilla. -Que el problema a resolver se simplifique al máximo para hacerlo más comprensible. es decir. la integración del problema demanda del alumno alguna forma de conocimiento estructurado que le ayude en su representación del problema. una colección incluyendo: a) Problemas que exigen los diferentes tipos anteriores de sumas para su resolución. el alumno tiene que identificar el problema como un problema de comparación en el que deben compararse dos variables entre sí. Relacionado con el tipo de conocimiento necesario para resolver un problema está el de los distintos tipos de problemas de matemáticas a los que se enfrentan los escolares. generalmente se distinguen tres tipos de problemas (de cambio. En el ejemplo. -Que aprenda a analizar la estructura semántica subyacente a los problemas. el alumno debe poseer cierto conocimiento esquemático del tipo de problemas que se le pueden presentar. para lo cual es necesario que se acostumbre a leerlo varias veces y desentrañar cada uno de los conceptos del mismo. -Que preste atención a las ideas fundamentales y las ordene según su importancia o en secuencias espacio-temporales. Finalmente. utilizamos para interpretar nuevas situaciones y observaciones. De ahí que se insista en la necesidad de instruir al alumno en procedimientos a través de los cuales aprenda a realizar análisis y esquemas. Un esquema contiene una información prototipo sobre las situaciones que ya hemos experimentado con anterioridad y que. pueden aplicarse colecciones de problemas del estilo de los mencionados para cada operación de cálculo. es decir. En este sentido. y de cara a la práctica educativa convendrá tener en cuenta las siguientes recomendaciones: -Que el alumno comprenda el problema.
. la ejecución de la solución demanda del alumno algún conocimiento sobre los procedimientos de solución.Por su parte. sobre los conocimientos algorítmicos. En la planificación de la solución. aplicando el principio científico de la parsimonia. ya que según como sea presentará niveles de dificultad distintos. combinación y comparación). En cuanto a la evaluación de la resolución de problemas. antes de pensar en la forma de resolverlo. De cara a la intervención con alumnos que tienen dificultad en la resolución de problemas. breve y comprensible. la mayor parte de los autores y programas existentes se centran en mayor o menor medida en cada una de estas tres fases. como resultado de las exigencias que se derivan del propio currículum de educación primaria y educación secundaria. la que implicaría en el caso de los problemas de suma. el alumno debe poseer algún conocimiento heurístico o estratégico de la resolución de problemas.
concepto de decena. si es de sumar por una multiplicación. aunque sea muy brevemente los contenidos de las categorías restantes relacionadas con la estimación. es una forma de cálculo mental utilizada con frecuencia en la vida cotidiana. magnitudes diversas). También es necesaria cuando sólo se pueda dar una respuesta aproximada. En cualquier caso. problemas que ofrecen distintas alternativas de solución posibles. -el ajuste o compensación para anular una operación.. superficie. y de otra. planificación o ejecución de la solución.
. las derivadas de la ausencia de dominio de las operaciones básicas. c) Problemas que exigen diferentes vías de solución (una suma simple y directa. lo que estos ejercicios deben permitirnos es averiguar en que fase de la resolución del problema aparecen las dificultades: traducción. Además. trabajo con números negativos. problemas que exigen una respuesta diferente al algoritmo aritmético.
2.5. el uso de instrumentos tecnológicos. las que tienen relación directa con los conocimientos que implican cada una de ellas. así como para resolver situaciones que demandan una rápida respuesta y no es posible realizar los cálculos exactos.). El dominio de las magnitudes (unidades de longitud. con la finalidad de que sirva de punto de apoyo fundamental en el ajuste correspondiente del programa educativo. heterogéneos. cálculo y resolución de problemas. etc.
Aunque la investigación educativa se ha centrado principalmente en la numeración. La estimación se refiere al ejercicio o capacidad de calcular el resultado de un problema antes de resolverlo.. por ejemplo. comprensión del sentido de las operaciones aritméticas. o mejor. y el alumno se va a ver condenado a uso. fracciones y decimales. haciendo otra equivalente en dirección contraria y -por selección de otra estrategia cambiando la estructura del problema.b) Problemas en donde los elementos objeto de adición son de diferente naturaleza (homogéneos. vamos a considerar. Se lleva a cabo mediante: -el redondeo o reformulación de los números para hacerlos más manejables. medida y geometría. En dicho dominio inciden dos tipos de dificultades: de una parte. volumen y sistema monetario) constituyen uno de los aprendizajes matemáticos de mayor utilidad práctica ya que forman parte de la vida cotidiana de manera habitual. peso. El empleo de tipo de colecciones respecto a los diferentes tipos de problemas debe completarse con una valoración explícita de los aspectos conceptuales del aprendizaje matemático: noción de número. Otros conocimientos matemáticos. problemas en donde debe inventarse un texto para una solución ofrecida. de centena. integración. juega un papel importante en los procesos de control de la propia actividad matemática el poner de relieve las incoherencias entre el cálculo realizado y el estimado.
contamos con una cierta cantidad de investigación acerca de las dificultades de aprendizaje en el área matemática. en parte. muy frecuentes en la Enseñanza Primaria. más marcada por los problemas relacionados con las dificultades en la lengua escrita. y aunque son muchas esas teorías. etc. Desde ambas posiciones. pronto quedó en evidencia que ciertos niños y jóvenes presentaban alteraciones matemáticas conductualmente semejantes sin que existiera constatación posible alguna de lesión cerebral adquirida. anomalías en la zona occipito-parietal. pese a sus diferencias. y si en un principio se trató de adultos que padecían tales trastornos como consecuencia de lesiones cerebrales adquiridas. pudiéndose advertir. la perspectiva dominante ha sido durante muchos años (y lo es todavía. cuando no enfrentadas. como son la orientación espacio-temporal. Como en el caso de la lecto-escritura. una investigación que a menudo se ha llevado a cabo desde perspectivas diferentes. simplemente.
. por ejemplo. no es un problema exclusivo de nuestro país). todo hay que decirlo. se supone que los aprendizajes matemáticos se edifican sobre una serie de funciones previas y más generales. como en el lenguaje escrito. casuísticamente.1. dependiendo de las teorías del aprendizaje en las que se apoyan. lo cierto es que la mayor parte de los trabajos se han realizado desde dos perspectivas: la neuropsicológica y la cognitiva. cuando el fracaso en el área aparece como el más notorio y escandaloso (aunque.3. en el ámbito profesional.
La aparición de dificultades en los aprendizajes descritos son. desde el siglo pasado se han venido identificando individuos que presentan una dificultad específica para los aprendizajes de tipo aritmético. la debilidad de los aprendizajes adquiridos en matemáticas durante la etapa de los 6 a los 12 años suele manifestarse con más fuerza en la Secundaria.
3. que relaciona las dificultades en estos aprendizajes con alteraciones en las funciones cerebrales y dispositivos básicos del aprendizaje. tanto una posición "fuerte" que asocia directa y contundentemente las dificultades en los aprendizajes matemáticos con alteraciones neurológicas más o menos concretas. El enfoque neuropsicológico. dado el conjunto de variables implicadas en el aprendizaje matemático que se comentaba en la introducción al tema. No obstante. aunque no en el investigador) la neuropsicológica. LAS DIFICULTADES EN LOS APRENDIZAJES MATEMÁTICOS
Aun cuando las dificultades específicas con los aprendizajes matemáticos son un motivo relativamente infrecuente de consulta y derivación en la Etapa Primaria. como otra más moderada que sitúa el origen de las dificultades matemáticas en déficits en la maduración . ello no supone que no haya problemas en este ámbito. Consecuentemente. el esquema corporal. las aptitudes visomotrices.
los primeros investigadores y clínicos interesados por el problema hablaron de la acalculia como de un trastorno sintomático asociado bien a un déficit primario unido a una lesión cerebral adquirida (no coexistente con otras alteraciones del lenguaje ni del razonamiento). tal y como los describe el DSM en su definición de la dificultad específica del aprendizaje aritmético. Sin embargo otros autores utilizan el término de «acalculia» para referirse a trastornos adquiridos como resultado de una lesión cerebral. Al generalizarse el tema al mundo de los niños sin lesión cerebral. individuos. con la insuficiente «madurez» de algunas funciones neuropsicológicas supuestamente prerrequisito de los aprendizajes aritméticos. la cual no afecta sin embargo al resto de las funciones mentales. y desde este enfoque. Kosch. la memoria o las habilidades visoespaciales. partiendo de esas posibles bases del aprendizaje matemático. propuso en los años setenta una clasificación muy difundida de diferentes subtipos posibles de discalculia. Para los defensores de esta interpretación. Dentro de esta categoría se establecen. alternativamente. Por otra parte. viso-espaciales. Así.se ha mantenido la idea de su relación con alguna alteración neurológica no identificable por su alcance limitado (como «disfunción cerebral mínima») o. posterior a la adquisición de las habilidades matemáticas. se han venido utilizando indistintamente los términos de discalculia o acalculia para hacer referencia a la dificultad para procesar números y realizar cálculos con ellos. aunque -desde una orientación neuropsicológica. que podían presentarse aisladamente o en combinación:
. En la acalculia primaria se presentan las dificultades sólo en el ámbito de las matemáticas. sin trastornos emocionales graves a los que poder atribuir la dificultad específica de aprendizaje.. sino presentes en individuos de inteligencia normal y que han disfrutado de oportunidades socioculturales y educativas apropiadas para adquirir tales aprendizajes. utilizan el término de «discalculia» en referencia a la dificultad del alumno para comprender el número y dominar las combinaciones numéricas básicas y la solución de problemas. bien secundario a otros trastornos de base verbal o espacio-temporal. Tradicionalmente. diferenciándose la acalculia secundaria atáxica (unida a alexia y/o agrafía de número) y acalculia secundaria visoespacial (unida a alteraciones visoespaciales.. sin que existan alteraciones en otras funciones como el lenguaje. la discalculia es un trastorno estructural de las habilidades matemáticas debido a una alteración del substrato anatómico-fisiológico de las funciones vinculadas al aprendizaje matemático (audio-temporales.). además.Términos como los de acalculia y discalculia se acuñaron para referirse con precisión y de manera particular a trastornos específicos del aprendizaje matemático no ocasionados por un déficit intelectual global. En la acalculia secundaria las dificultades matemáticas van asociadas a trastornos en otras áreas. han sido muy diferentes las definiciones y explicaciones etiológicas propuestas en la literatura especializada. Como en el caso del trastorno específico de la lectura denominado dislexia (con el que frecuentemente se asocian algunos de los problemas matemáticos antes descritos). dos modalidades: acalculia primaria y secundaria. se ha tendido más bien a hablar de discalculia. a su vez.
etc. etc. cantidad. 3. etc. suele apreciarse la tríada hiperactividad/déficit atencional/impulsividad. Léxica: Describe la falta de habilidad para entender símbolos matemáticos o números. 5. sin duda. Algo. Este mismo autor.1. en las habilidades de discriminación. Desde la perspectiva que estamos comentando en este apartado. clasificación. 2. presenta un conjunto más o menos amplio de problemas añadidos. verbales o escritas..
. para escribir números. 6. discalcúlico. es decir. con especial incidencia en el área perceptivo-visual y más concretamente. (b) Déficit de memoria: En particular. (e) Alteraciones conductuales: Como en la práctica totalidad de los individuos con trastornos específicos del aprendizaje.) sugiriendo lo que el denominó discalculia evolutiva. encontró que el 35% de ellos mostraban signos menores de trastorno neurológico (dificultades de orientación derecha-izquierda. Gráfica: Discapacidad específica para manipular símbolos matemáticos mediante la escritura. problemático para la realización de operaciones mínimamente complejas y para la solución de problemas. agnosia digital. en un estudio con 68 niños con DAM. (d) Déficit cognitivos que afectan a los procesos elementales de pensamiento: comparación. (c) Déficits simbólicos: Especialmente en el ámbito lingüístico general. Verbal: Incapacidad para comprender conceptos matemáticos y relaciones presentadas verbalmente. unida a menudo a perseverancia. Operacional: Describe la falta de capacidad para efectuar operaciones aritméticas básicas de cualquier tipo. que dificulta mantener activas en el almacén de memoria informaciones durante un cierto tiempo. Ideognósica: Falta de habilidad para entender conceptos matemáticos y relaciones entre ellos. se considera que el alumno con dificultades específicas para las matemáticas.. 4. además de para efectuar cálculos mentales. Pratognósica: trastorno en la manipulación de objetos tal y como es requerida para hacer comparaciones de tamaño. deducción de inferencias. figura-fondo y orientación espacial. pero que también se registran en las actividades de lectura y escritura. como son: (a) Déficits perceptivos: Generalmente. en el funcionamiento y resultados de la memoria a corto plazo o memoria de trabajo.
La segunda crítica tiene que ver con la relación que se establece entre dificultades matemáticas y los "signos neurológicos menores" insistiendo la mayoría de los investigadores en la ausencia de demostración de dicha relación. Sin negar que pueda existir un grupo reducido de ellos con algún trastorno neurológico subyacente. tienen un rendimiento es-colar pobre. déficits de la percepción y el juicio sociales. con lo inadecuadas que pueden resultar las conclusiones derivadas exclusivamente de estudios de esa índole. En resumen. déficits en la integración del esquema corporal.
El estudio e investigación de los aprendizajes matemáticos desde la perspectiva neuropsicológica tradicional ha recibido en los últimos años.2. En primer lugar. resumiendo las descripciones de otros autores. naturalmente.Ana Miranda. Y es que dicha relación se establece. se ha criticado la escasez y debilidad metodológica de los estudios neuropsicológicos sobre la discalculia. En tercero. se critica el hecho de que careciendo de una definición operativa. y en el mejor de los casos. que pierden las capacidades previamente adquiridas).
3. dificultades para hacer estimaciones de tiempo y distancia. empleándose tareas inadecuada para la medida de ésta. no tener problemas emocionales. por las calificaciones escolares) y se llegue a una definición positiva: las conciben como una "entidad". ni deficiencias sensoriales. realizada en términos negativos (son alumnos que a pesar de mostrar una inteligencia normal. definido por las bajas puntuaciones en pruebas de rendimiento y. se critica el que los estudios se basen en concepciones superficiales de las actividades matemáticas en lugar de en una teoría fundamentada de la competencia matemática. mayoritariamente.
. abundantes críticas. problemas de orientación en el análisis y representación de las relaciones espaciales. siendo las más importantes las siguientes. "conviene guardar una prudente reserva antes de trasladar el modelo de lesión o disfunción a los niños que encuentran difícil adquirir representaciones matemáticas o habilidades de cálculo en la escolaridad normal (a diferencia de los adultos con lesiones. no hay pruebas para aceptar la idea de que éste se produce en todos los niños con dificultades específicas para el aprendizaje de las matemáticas". Finalmente. apraxia viso-motriz. Resulta algo más que anecdótico que la mayoría de los estudios neuropsicológicos no profundice en los procesos cognitivos implicados en cada uno de los aprendizajes matemáticos. concreta este conjunto de alteraciones en un «perfil típico» del sujeto con discalculia. El enfoque cognitivo. rigurosa y universalmente aceptada de "dificultades específicas de aprendizaje" se parta de una definición descriptiva. desequilibrio a favor de las capacidades verbales frente a las no verbales en escalas de inteligencia tipo Wechsler. pues. el cual incluiría: déficit en la organización viso-espacial e integración verbal. como algo que el niño "tiene" y que probablemente esté causado por alguna alteración neurológica. como señalara Rivière hace más de una década. a partir de estudios de carácter correlacional.
de tal manera que la habilidad matemática es susceptible de descomponerse en una serie de habilidades entre las que podemos distinguir la numeración. En la memoria de trabajo es posible realizar. Es bastante probable que una parte de los alumnos o alumnas que presentan dificultades en las matemáticas posean estrategias inadecuadas en el "ahorro" de esfuerzos cognitivos y su posterior redistribución para la realización de los diferentes subprocesos que componen cada tarea matemática. La realización de tareas matemáticas exige una distribución adecuada de los recursos de procesamiento mental y memoria así como el empleo de estrategias ordenadas y jerarquizadas.Desde el enfoque alternativo a estas viejas teorías sobre las DAM. se suele llamar la atención de la importancia que poseen para la adquisición de los aprendizajes matemáticos algunos procesos cognitivos como: a) La atención. algoritmos de las operaciones aritméticas. juegan un papel trascendental en la realización de la mayor parte de los procesos intelectuales. la resolución de problemas. se considera en términos generales que tanto para el aprendizaje de las matemáticas. las siguientes operaciones: de un lado. En este sentido. y que en el caso de los aprendizajes matemáticos son especialmente abundantes (en cualquier operación de cálculo
. Es obvio. el cálculo. Como han señalado prácticamente todos los investigadores cognitivos. Hasta las tareas matemáticas más simples (p. descomponerse en cada uno de los procesos y estrategias que se emplean en su ejecución.: intente seguir leyendo y realizar mentalmente la operación 27 + 15) exigen suspender temporalmente otras tareas que estemos realizando para de esa manera ahorrar "recursos atencionales" que puedan dedicarse a la resolución de la tarea en cuestión. al menos. que una manera importante de "ahorrar" este tipo de recursos es mediante la automatización de todos los procesos posibles en cada caso (tablas de multiplicar. etc. Una cuestión crucial en la operatividad matemática es la exigencia de poseer estrategias que faciliten la acumulación momentánea de recursos atencionales dedicados exclusivamente a la tarea matemática que se ejecuta. y deben.) Los recursos atencionales que se "ahorran" al centrar la atención en la tarea matemática van a posibilitar los procesos de recuperación y almacenamiento de información en la Memoria de Trabajo y en la Memoria a Largo Plazo. como para remediar las dificultades se debe de instaurar una enseñanza que esté en correspondencia con los procesos cognitivos que subyacen a la ejecución de dichos aprendizajes. b) La memoria. hay que tener en cuenta que la competencia matemática sigue un proceso de construcción lento y gradual que va de lo concreto a lo abstracto y de lo específico a lo general. habilidades que a su vez pueden. los diferentes tipos de memoria y especialmente la memoria de trabajo (working memory). la estimación. que implican un encaje progresivo de unos procedimientos en otros: la acción de sumar. Asimismo. sirven de almacén donde se "guardan" los resultados parciales de las operaciones cognitivas que realizamos. el concepto de medida y algunas nociones de geometría. implica necesariamente la de contar.e.
pero resultan de una especial relevancia en el ámbito matemático. jerarquización e interrelación del conocimiento matemático junto con el doble carácter del conocimiento previo necesario para realizar tareas matemáticas. de otro. posibilitan el que los "bloqueos" en
.. sirve de almacén temporal para la información recuperada de la MLP (Memoria a Largo Plazo). tipo de números. que afirman que el funcionamiento cognitivo de los niños con dificultades específicas para el aprendizaje de las matemáticas es normal. El elevado nivel de abstracción. o sirve de escenario para la conjunción entre la nueva información (adquirida) y la recuperada de la MLP. en las matemáticas resultan clave dos tipos de conocimientos previos: los declarativos (conceptos de las operaciones. si se exceptúa su pobre conocimiento de hechos numéricos. La importancia de la Memoria en los aprendizajes matemáticos. etc.es necesario "guardar" los resultados obtenidos en cada una de las columnas de cada "cuenta"). Cuestión que muy probablemente se encuentre entre los orígenes de las dificultades matemáticas de muchos alumnos y alumnas. estos van perdiendo la conexión con el mundo concreto y se constituyen en una "abstracción" desvinculada de las intenciones y metas del que aprende: tienen que superar su tendencia a hacer depender las relaciones de la intenciones para comprender las relaciones matemáticas.).Y tercero. Estos conocimientos juegan un papel importante en cualquier actividad intelectual (son los que posibilitan la construcción de los nuevos aprendizajes. Esta idea. sobre la importancia de la memoria se ha visto reforzada por otras muchas investigaciones que establecen de una manera clara que la dificultad de los niños que poseen dificultades específicas en los aprendizajes matemáticos para operar con información de carácter numérico debido al carácter de "dominio específico" de la Memoria de Trabajo.Primero. puede derivarse la importancia de poseer estrategias adecuadas para la recuperación. ¿Por qué son tan "importantes" los conocimientos previos en la ejecución de las tareas matemáticas?: . porque mientras en otras áreas los conocimientos tienen esencialmente un carácter declarativo. que llevaría a que algunas personas tuvieran un procesamiento desigual dependiendo del tipo de estímulo que se utiliza (verbal o numérico).) y los procedimentales (algoritmos de las diferentes operaciones. .Segundo. viene demostrada por estudios como los de Russell y Ginsburg. almacenamiento y manipulación de la información en los diversos niveles de la Memoria. De lo anterior. así como la ejecución de los mecanismos de aplicación). c) Los conocimientos previos. porque los conocimientos matemáticos tienen un elevado nivel de interrelación y jerarquización. . además de por los datos empíricos. porque a partir de un determinado nivel de aprendizajes matemáticos. estrategias de solución de problemas..
ya lograr las representaciones cognitivas adecuadas. porque el conocimiento formal no produce automáticamente competencia procedimental. el estudio de estos errores pone de relieve que se aplican principios. Los procesos metacognitivos de control y guía de la propia actividad tienen mucha importancia en la ejecución competente. 5. 4. 7. Consecuentemente y desde esta perspectiva. Así. lo que le conducirá a nuevas elaboraciones y reestructuraciones del conocimiento. en las que predomina la regulación externa. Considerando las limitaciones de la capacidad de procesamiento del alumno es necesario adquirir los automatismos elementales relacionados con las operaciones básicas (+. en cuanto que son factores que favorecen o entorpecen el aprendizaje por el efecto circular que provoca el éxito o fracaso experimentado. ricas y complejas. x. Los conocimientos previos constituyen la base para la adquisición y comprensión de los nuevos. reglas o estrategias incorrectas por su parte. 8. se aportan una serie de principios bien establecidos que pueden aplicarse a las situaciones educativas concretas en el proceso enseñanza-aprendizaje: 1. Los procesos motivacionales y sociales desempeñan también un importante papel. la conexión e integración del conocimiento previo con el nuevo es lo que dará lugar a las reestructuraciones y representaciones. 2. 6. Para el conocimiento matemático el alumno tiene que ser capaz de establecer relaciones conceptuales.las tareas de este área sean más abundantes que en otras áreas del conocimiento. De manera que. Tanto el conocimiento declarativo (conocimiento de los conceptos matemáticos) como el procedimental (conocimiento de las estrategias y habilidades matemáticas) deben ser enseñados explícitamente. y : ) para liberar recursos cognitivos que puedan ser utilizados en tareas de orden superior como el control de la ejecución matemática y la interpretación de los problemas. La existencia de conocimientos previos y de las estrategias adecuadas para su recuperación de la MLP aparecen de esta manera como un elemento central en la adquisición y desarrollo de las habilidades matemáticas. 3. superando así la fase de acumulación de conocimientos aislados y descontextualizados. Esta importancia es menor en las fases iniciales. muchos fracasos iniciales conducen al alumno a evitar implicarse y a desarrollar actitudes negativas hacia
. La competencia matemática se logra aplicando los conocimientos adquiridos a los distintos contextos en los que se desenvuelve el alumno. -. Precisamente porque el análisis de los errores sistemáticos constituyen muchas veces las únicas ventanas de acceso a las mentes de los alumnos.
el peso relativo de cada factor en una situación concreta).las matemáticas. resulta arriesgado establecerlas como causa. tales dificultades son el resultado de una compleja ecuación causal en la que cada factor concreto posee unos valores propios y específicos. en general. y más si es causa única. las siguientes líneas sólo pueden ayudarnos como una especie de esquema general para la exploración individualizada del caso (especialmente.
3. entrando en una circularidad negativa de difícil solución.
. llevados a cabo. en un capítulo como éste es inevitable hacer referencia. se busca determinar la existencia de trastornos neurológicos en los alumnos con DAM y se asume que pueden ser debidas a un desorden estructural congénito de las zonas cerebrales concernidas por las habilidades matemáticas.3. No obstante. en cada caso. padres y profesores con respecto a estos aprendizajes. en la medida en que. Son numerosos los estudios. Desde el enfoque cognitivo y en relación con la problemática centrada en el sujeto. otras relacionados con las creencias y expectativas existentes por parte de alumnos. sí a toda una serie de variables que influyen de manera decisiva en ellas. En las DAM que presentan muchos alumnos no se aprecia correlato neurológico alguno. finalmente. las DAM se relacionan. sin negar que la presencia de ciertas alteraciones neurológicas puedan acompañar a las DAM (Dificultades en Aprendizajes Matemáticos). tal y como hemos analizado más detenidamente en capítulos anteriores. si no a las "causas" de las DAM. Algunos factores básicos en las dificultades de aprendizaje de las matemáticas. si tenemos en cuenta que con los instrumentos de medición existentes es imposible establecer con un nivel de credibilidad aceptable. otras centradas en el propio alumno. de la misma manera que con los problemas de lectoescritura. que hacemos a continuación no debería servir para explicar las dificultades concretas que un alumno en particular presenta en un momento determinado. en relación con este enfoque. y las críticas a los mismos que se han realizado desde todos los frentes por lo que. principalmente del hemisferio derecho. (A) Factores relacionados con los alumnos Desde el enfoque neuropsicológico. unas inherentes a la propia naturaleza de las matemáticas.
Aunque a partir de los conocimientos actuales sólo se pueden dar respuestas parciales e incompletas acerca de cuáles son los factores que inciden en el elevado fracaso en este área. un tercer grupo relacionado con las formas de enseñanza y. con representaciones internas y estrategias cognitivas inadecuadas que se producen indistintamente en la entrada. la descripción de los factores de esa diversa índole relacionados con las DAM. procesamiento y/o salida de la información.
a ello sólo es atribuible lo siguiente . condicionada a su vez por aspectos como su estilo de aprendizaje. las estrategias de enseñanza seguidas.
. el lenguaje o la lectura. demasiado apegada a la adquisición de rutinas). Son un complemento necesario para el correcto aprendizaje matemático. El aprendizaje matemático implica el conocimiento de conceptos y métodos matemáticos que dependen de la historia acumulada de aprendizajes del alumno en el área. Los problemas más frecuentes en relación con este factor son: . la falta de conciencia de los pasos a seguir y los fallos estratégicos.Déficits en ese conocimiento. 79107): 1) El dominio de los recursos. que pueden interferir con el aprendizaje de nuevos procedimientos. se han considerado como factores responsables de las diferencias en la ejecución matemática a la actividad perceptivo motora. etc. . 2) Manejo de heurísticos. según Rguez. Estos procesos son los responsables de que el alumno tenga conciencia de sus propios conocimientos. Ortiz (La intervención psicoeducativa en las dificultades de aprendizaje de las matemáticas. 3) Procesos de autorregulación. así como del aprendizaje independiente y de la realización autónoma de tareas (matemáticas y de otro tipo). la lentitud en la respuesta o los problemas de memoria para automatizar las combinaciones numéricas básicas. Apuntes de psicología. .El desconocimiento acerca de cuándo deben ser aplicados estos conocimientos adquiridos. lo que puede llevar a no usarlos cuando se precisa y a usarlos cuando no es adecuado. que dificulta la comprensión de las nuevas tareas. las habilidades verbales.De forma más específica.Déficits en ese conocimiento.No perciba cuáles son los recursos apropiados de que dispone para afrontar la resolución de una tarea. carentes de contenido matemático específico. pero que aumentan la posibilidad de aplicar adecuadamente el conocimiento disponible en situaciones problemáticas. como vamos a ver continuación. . la organización espacial. Aunque los alumnos suelen aparecer como el único factor de este tipo de dificultades. pero fallan a menudo en los alumnos por los inadecuados planteamientos de la educación matemática (poco reflexiva. Los heurísticos son estrategias generales de resolución de problemas. cuando es de tipo procedimental. la falta de motivación. cuando es de tipo semántico. el material empleado. Su carencia o disminución hace que el alumno: . También se han considerado las dificultades de pensamiento abstracto. 93.La aplicación del conocimiento disponible sólo en aquellas actividades y aprendizajes que lo demandan explícitamente.
sino que dependen estrechamente de las estrategias y estilos de enseñanza que se le dirija. así como en su manera de utilizar los conocimientos adquiridos.No sepa por qué emplear un procedimiento. Otra dificultad se deriva de la complejidad de los conceptos matemáticos. Por eso. si no se da un cierto dominio o capacidad relacionada con habilidades como la abstracción y la generalización. Por otra parte. así como un relativo dominio de su carácter lógico y su lenguaje específico..Actúe de manera rutinaria y no reflexione en la realización de las actividades de enseñanza-aprendizaje que se le proponen.Se muestre inflexible cuando debe abandonar una estrategia o punto de vista que le está dificultando una ejecución apropiada. emociones y motivaciones. con la tarea o la naturaleza propia de la
Todas las asignaturas. estratégico) de aprendizaje que adopta el alumno frente a los contenidos. la comprensión de los conceptos y su estructura jerárquica. Leyes o teoremas lo más generales posible. actitudes. . La dificultad se plantea cuando los alumnos perciben las características particulares de algo como parte integral de las ideas o conceptos asociándolos naturalmente con ellos. 4) Las creencias. (B) Factores relacionados matemáticas. por lo que el profesor tiene que realizar actividades y utilizar estrategias de aprendizaje que permitan al alumno conocer y desentrañar el concepto
. quedándose con lo abstracto y fundamental. especialmente las matemáticas entrañan dificultades. La construcción de las matemáticas ha implicado el desarrollo de conceptos cada vez más abstractos y desligados de representaciones habituales. el contexto o las situaciones particulares. aunque sepa que debe emplearlo. ni -por tanto. profundo. . la generalización constituye también otro factor importante del conocimiento matemático a través del cual se tiende a buscar y utilizar conceptos. En este sentido. de ahí su carácter eminentemente abstracto. . así como de la significatividad personal de los contextos y situaciones de enseñanza-aprendizaje. y unido a la abstracción.No ponga en juego las destrezas de verificación necesarias para comprobar los resultados a los que llega. En cualquier caso. Últimamente se ha incrementado la investigación que pone de relieve la gran importancia de estos factores en el enfoque (superficial. el conocimiento matemático intenta reflejar lo esencial de las relaciones eliminando las inferencias. ese mismo cuerpo de investigadores tiende a poner de relieve que las concepciones previas y motivaciones del alumno no son sólo responsabilidad de éste. uno de los objetivos del desarrollo matemático es conseguir que el alumno aprenda a despojarse de lo no esencial.autovalorar la adecuación de la aplicación del mismo.
Y. Una de las dificultades más frecuentes desde los aspectos formales es el de las formas de notación y el uso de las reglas en sí mismas. El carácter lógico (deductivo formal) de las matemáticas se ha considerado como una de las principales dificultades en su aprendizaje. porque el nivel de abstracción que se necesita para llegar a la pretendida simplicidad puede estar fuera de su alcance.mediante una programación apropiada. Además del nivel de abstracción y la complejidad. es frecuente el uso de analogías y la abstracción. Al alumno le resulta difícil coordinar ambos significados. en la utilización habitual. el desconocimiento del lenguaje matemático genera también dificultades de aprendizaje. así como un aumento del rigor y la exactitud que viene dada por la estricta significación de los términos. el uso forma de la notación puede llevar al uso de reglas sin fundamento. a una manipulación sin significado. en cuanto que en esta materia se utiliza un lenguaje formal muy distinto al lenguaje natural que se usa habitualmente. Una de las funciones de la analogía es hacer disponibles las ideas relevantes y estimular al alumno a integrar activamente la nueva información con la anterior aprendida. estas deben ser justificadas por su significado pero. Este ha sido un error muy frecuente en la enseñanza de esta disciplina. los conceptos matemáticos tienen una estructura jerárquica y una organización lógica precisa. la manipulación formal deberá seguir siendo una característica esencial de las matemáticas. De esta manera se convierten los contenidos informativos en algo más imaginativo y concreto. a la utilización de un vocabulario
. a su vez. se trata de alejar los conceptos matemáticos de las experiencias significativas de los alumnos. Al principio. dada la tendencia del alumno a fijarse en aspectos y variaciones de los contextos en que se presentan los conceptos matemáticos. Finalmente. las dificultades más frecuentes relacionadas con el lenguaje y la lectura en matemáticas son debidas a la complejidad sintáctica del lenguaje utilizado. los aprendizajes matemáticos constituyen una cadena en la que cada conocimiento se apoya en el anterior. Este carácter lógico de la disciplina tiene que ser adaptado a las características evolutivas del pensamiento del alumno individual y colectivamente para no plantear objetivos por encima de sus posibilidades. Para ello. En definitiva. El lenguaje matemático traduce el lenguaje natural a un lenguaje universal formalizado que permite la abstracción de lo esencial de las relaciones matemáticas implicadas. no obstante. Y el hecho es que la falta de atención sobre el pensamiento lógico es muy frecuente por lo que se constituye en uno de los orígenes de las DAM. Por otra parte. Es decir. exactitud y formalidad. El dominio del lenguaje matemático requiere la comprensión de un significado formal intrínseco en el que unos símbolos hacen referencia a otros dentro de un código específico y un significado pragmático que permite la traducción al lenguaje natural y al mundo real. son las formas de notación las que determinan la elección de las reglas. caracterizado por su rigor. De ahí que el lenguaje natural en contextos matemáticos pueda generar confusiones en cuanto que su flexibilidad y amplitud interpretativa choca con el lenguaje matemático. hay profesores que consideran que la simplicidad de la idea matemática se capta mejor exponiéndola sola. Por ello.
2) Los métodos de enseñanza. el «pensamiento matemático». Tradicionalmente existen creencias y actitudes. y la ejecución mecánica de procedimientos aprendidos como algoritmos. se sigue habitualmente un enfoque deductivo rígido (exposición de un concepto o principio «-ilustración del mismo con un ejemplo-» problemas de control de comprensión. Las percepciones y actitudes que con mayor frecuencia se observan en los alumnos sobre la naturaleza de las matemáticas.problemas de consolidación). la naturaleza jerárquica del proceso de aprendizaje que exigen (cada nueva adquisición descansa en una adquisición sólida de otras anteriores: de ahí la manifestación en secundaria de muchos problemas que se gestaron en primaria). 3) La evaluación. inmutables. de un lado. se hace de manera puntual y asistemática. Rodríguez Ortiz relaciona con el currículum matemático.
. sino también sobre la propia valía personal. se incrementan por la escasez de recursos empleados para favorecer la comprensión matemática auténtica y la elaboración de nociones y principios abstractos. que es el resultado de un largo proceso de elaboración histórica. por otra parte. sin tener en cuenta los procesos de aprendizaje comprensivo del alumno. una colección de reglas y hechos que deben ser recordados y una ofensa al sentido común en algunas de las cosas que asegura. con conceptos complejos. las peculiaridades del lenguaje matemático. un verdadero sistema simbólico con reglas propias. se evalúa sólo la ejecución de los alumnos. al tiempo que adoptan un enfoque rutinario de los procedimientos. y términos también empleados con otro sentido en el lenguaje ordinario. en secundaria. Estas dificultades. y se valoran sólo a petición de principios y conceptos. suele ser el «pariente pobre». En primaria. Las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas no se pueden comprender sin tener en cuenta aspectos como su naturaleza esencialmente abstracta. se descubren los conceptos y el uso reflexivo de los procedimientos. un área en la que se harán juicios no sólo sobre la capacidad intelectual. De los métodos más habituales en el área priman los aprendizajes pasivo-receptivos. Como en el resto de las áreas. externas. de otro. son descritas como fijas. ya que no tienen por qué tener sentido. los siguientes factores: 1) Factores relacionados con los contenidos. abstractas y que no están relacionadas con la realidad: un conocimiento cuya comprensión está reservada a muy pocos. procedentes del mismo campo educativo. que tienen una influencia negativa en el aprendizaje y que llegan a generar ansiedad y trastornos socioemocionales. factores ambos que complican el proceso de aprendizaje adecuado. (C) Factores relacionados con el contexto educativo. a la utilización de notación matemática y a la dificultad de relacionar las matemáticas con el contexto.técnico.
Por ello. sustituidos por la apropiación mecánica de formulaciones verbales carentes de significado y de «rituales» de actuación. son algunos de los errores metodológicos que generan fracasos en este ámbito.
. cuando se enseña el uso adecuado de las reglas. adaptando los programas a las características del alumno. vamos a considerar algunos factores explicativos de las DAM que se encuentran en el propio contexto educativo. Por otra parte. Cubrir unos objetivos sin haber resuelto suficientemente estos prerrequisitos es conducir al fracaso seguro al alumno en esta disciplina. como los procedimientos didácticos y la programación inadecuada de los contenidos. como hemos dicho. si el nivel de abstracción es el adecuado y si se da por parte del alumno la capacidad suficiente para abordar los contenidos que se proponen. la ausencia de supervisión del progreso del alumno y la utilización de un lenguaje poco comprensible. lo que favorece la creación de aprendices pasivos y sin capacidad para autorregular su aprendizaje. unidireccionales. no están bien comprendidos y cuando los niveles de abstracción y competencia cognitiva sean inadecuados. sobre todo los básicos. especialmente cuando presenta algún problema de maduración o lentitud de aprendizaje. es fundamental conocer si hay ausencia de conocimientos previos o dominio de los anteriores. con suavidad y al mismo tiempo con fortaleza. toda la situación está en manos del profesor. basada más en la manipulación sintáctica de los símbolos y reglas que en el significado de los mismos. en parte. que habrá que conseguir en los diferentes niveles escolares. Los contenidos suelen estar estructurados en torno a objetivos. los siguientes elementos: a) El proceso de aprendizaje matemático se concibe como un proceso unidireccional de conocimientos «empaquetados». lo que dificulta una verdadera elaboración de aprendizajes significativos. pero sin detenerse más de lo necesario. Rodríguez Ortiz señala como factores del contexto de enseñanza. sin dar lugar a una interacción social y cognitiva auténtica entre implicados y entre estos y los contenidos. Independientemente de las actitudes previas sobre las matemáticas. b) En los contextos habituales de enseñanza-aprendizaje. de las tendencias formalistas de la enseñanza tradicional. que existen tanto en la mentalidad de los padres y de los alumnos.Esta actitud se deriva. La exposición poco clara y fuera del contexto del alumnado. la ausencia de ejemplos y ejercicios que ilustren las explicaciones. Sin embargo. los alumnos desarrollan la confianza en sí mismos y la motivación para el logro. como en la de los profesores. Intentar compatibilizar la consecución de los objetivos del curso con la adaptación a las características propias del grupo de clase requiere establecer un ritmo que se ajuste a la evolución y progreso de los alumnos sin forzar demasiado. podemos encontrar toda una serie de dificultades o limitaciones centradas en el ritmo de trabajo. Las metodologías inadecuadas en cuanto a la exposición de los contenidos y al ritmo de trabajo establecido es otra de las posibles causas externas de las DAM. Las dificultades se presentarán bajo diversas modalidades cuando los conocimientos.
ALLER. Madrid: Aprendizaje-Visor/MEC. que son «demasiado difíciles y no están al alcance de todos». R. la capacidad de sus alumnos. (1996): Enseñar matemáticas. Y PÉREZ. Barcelona: Grao. porque se descuida una comprensión verdadera de los conceptos y métodos matemáticos. incluimos a continuación una serie de referencias bibliográficas que. A. aunque hemos procurado incluir en nuestra lista obras tanto teóricas como aplicadas y representativas de tendencias diferentes. facilitan también la aparición de actitudes de rechazo ante la materia: en el «ranking» de las más odiadas aparecen las matemáticas en lugar destacado como el fracaso en su aprendizaje. con fines ignotos para él y sin interacciones sociales. ASHMAN. BRISSIAU. P. Sevilla: Quercus. (1988): El pensamiento matemático de los niños.N. Madrid: Visor. sino una variable presente en la explicación del comportamiento de todo individuo: un profesor enseña de uno u otro modo no sólo en función de su información. porque no existe nada para dotar a los futuros profesores (incluso. tanto en primaria como en secundaria. (1998): Cuentos de los primeros números. C. Y OTROS. a los profesores en ejercicio) del conocimiento psicopedagógico necesario para aprender a ayudar a otros a aprender matemáticas. De hecho. en donde el alumno se somete a actividades que no comprende. sino también -sobre todo. BAROODY.E. es un tanto arbitraria. Y entre los factores asociados al profesor.
Para profundizar en la cuestión. sencillamente. y CONWAY. (1993): El aprendizaje del cálculo. Madrid: Santillana. se han investigado la influencia en el fracaso matemático. A. el papel de su materia en la formación de estos. etc. necesariamente. (1990): Estrategias cognitivas en E. 2) Creencias y actitudes de los profesores.
. C. En Primaria. una de las razones más frecuentes para explicar el fracaso matemático de los adolescentes es.c) Esos mismos contextos.en función de sus creencias sobre la materia que imparte. de modo que se hace difícil que un profesorado así formado pueda contribuir a una verdadera educación matemática.F. Las «concepciones previas» no son algo de los alumnos. que ejercen los siguientes: 1) La formación matemática del profesor. en secundaria. ALSINA. D. Se considera uno de los aspectos más deficitarios. en favor de aprendizajes rutinarios y mecanicistas.
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