Source: https://www.scribd.com/document/3944775/Geometria-Media
Timestamp: 2018-09-21 06:14:30+00:00

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Durante 1997 y 1998 hemos llevado adelante una experiencia de desarrollo curricular acerca de la problemática de la enseñanza de la geometría en los primeros años de la escuela media. Las reflexiones generadas a apartir de la experiencia se constituyeron en aportes para la elaboración de los programas de Matemática de primer y de segundo año de la Secretaría de Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Este documento da cuenta de esa experiencia y fue reelaborado nutriéndose de las discusiones realizadas más recientemente con otros docentes, en el marco del proyecto de Actualización de Programas de Nivel Medio. Consideramos que las reflexiones y experiencias que aquí se comunican permiten iluminar más las propuestas de enseñanza de las unidades de Geometría de los programas. La experiencia que se detalla a partir del capítulo 3 se desarrolló en varias etapas. En una primera etapa se mantuvieron una serie de reuniones con un grupo de docentes donde se resolvieron y discutieron problemas de geometría y se reflexionó, a partir de esto, sobre las posibilidades y las realidades del trabajo con geometría en los primeros años del secundario. En una segunda etapa se trabajó con el grupo de docentes dos propuestas concretas, elaboradas por el equipo a partir del trabajo en la primera etapa, para ser desarrolladas una en primer año y otra en segundo. En esta etapa se discutieron y analizaron cuestiones metodológicas, de organización de la clase y relativas al rol docente. En una tercera etapa, las propuestas elaboradas fueron implementadas en tres cursos de primer año y tres de segundo año por sus respectivos docentes que participaban de esta experiencia, en diferentes escuelas medias públicas del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Finalmente, esta experiencia se cerró con un encuentro de evaluación y síntesis de lo sucedido.
DESARROLLO CURRICULAR EN GEOMETRÍA: UNA EXPERIENCIA EN 1
Participar en un proyecto de esta naturaleza demanda de los docentes una disposición a revisar sus modalidades actuales de enseñanza, a analizar propuestas nuevas, a discutir sus fundamentos y condiciones, a implementarlas efectivamente, a ofrecer sus clases como un espacio de observación y a participar de un análisis del trabajo realizado. Por ello queremos agradecer públicamente a los siguientes docentes, que en el momento de la realización de esta experiencia se desempeñaban en las escuelas que se mencionan a continuación: Ethel Walace y Lucrecia Moraubesky, del Liceo Nº1 "José F. Alcorta", D.E Nº 2. Ariel Pardo y Viviana Cepoliaro, del Colegio Manuel Belgrano (Nº 6) D.E. Nº 2. Susana Fernández y Mirta Tufani, del Colegio Manuel Belgrano (Nº 11) D.E. Nº 6. Delia Acciaresi y Germán Esmoris, del Colegio Fray Luis Beltrán (Nº 25) D.E. Nº 6. María Lusardi del C. N. Nº 3 D.E. Nº 2. Asimismo, agradecemos la colaboración de la Supervisora Elba Ancarola (que en ese momento se desempeñaba en la Región III). Y, muy particularmente, a los docentes que han ensayado las actividades con sus propios alumnos: Norma D´Auría de Lecuona - Escuela Técnica Nº 30 - 2º año Turno Mañana D. E. Nº 2 Silvia Bulstein - Escuela Técnica Nº 30 - 1º año Turno Mañana D. E. Nº 2 Graciela Bolettieri - Escuela Técnica Nº 29 - 1º año Turno Mañana D.E. Nº 6 Mario Sordelli - Escuela Técnica Nº 29 - 1º año Turno Noche D.E. Nº 6 Mónica Malirat - C. N. Nº 3 - 2º año Turno Mañana - D. E. Nº 2 El objetivo de este documento es compartir con todos los docentes del Sistema esta experiencia así como los elementos teóricos que guiaron a este equipo en la planificación y el desarrollo de ella. En el Capítulo 1, presentamos a grandes rasgos un enfoque general sobre la escuela media y la enseñanza de la Matemática. En el Capítulo 2, exponemos distintos aspectos de la problemática didáctica de la enseñanza de la geometría. En el Capítulo 3, reseñamos las distintas etapas del trabajo en los sucesivos encuentros con el grupo de docentes. Incluimos en este capítulo el análisis de varios de los problemas trabajados: el problema del templo, el problema del triángulo isósceles, el problema de los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, el problema del rectángulo.
En el Capítulo 4, mostramos distintas alternativas de un trabajo que se llevó adelante en aulas de primer y segundo año. En este documento no abordamos propuestas que apunten a la evaluación de los aprendizajes de los alumnos. Esto se debe a que las secuencias desarrolladas aquí pretenden orientar una línea de trabajo en la enseñanza de la geometría. Son propuestas que funcionan como punto de partida, por lo que no es posible proporcionar sugerencias y/o ejemplos de instrumentos de evaluación que serán abordadas, oportunamente, en documentos posteriores.
LA ESCUELA MEDIA Y LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
MUCHAS VECES LOS ALUMNOS NOS CUESTIONAN ACERCA DEL PARA QUÉ APRENDER MATEMÁTICA Y LOS DOCENTES NOS CUESTIONAMOS ACERCA DE CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA. NOS PARECE IMPORTANTE HACER EXPLÍCITA NUESTRA POSTURA ACERCA DE ESTAS CUESTIONES, QUE SE REFLEJARÁ TAMBIÉN EN LAS PROPUESTAS QUE REALIZAMOS.
ACERCA DE LAS FUNCIONES DE LA ESCUELA MEDIA
Nuestra propuesta y nuestras acciones se apoyan en una concepción de la enseñanza que ubica a la escuela en su función de trasmisora de cultura. Compartimos entonces la posición que sostiene que una de las funciones de la escuela es trasmitir a los alumnos parte de la cultura de la humanidad, la presente y la pasada también.
Y, al mismo tiempo, estamos ubicados en una posición que sostiene que se aprende construyendo los conocimientos; construcción que es entonces en alguna medida una re-construcción, aunque los regímenes de construcción de conocimientos culturales y escolares son bien diferentes. La escuela media tiene la responsabilidad de ampliar el horizonte de los alumnos, formándolos como miembros activos de una cultura. Proveer herramientas, tanto para su desempeño en la sociedad como para la continuación del estudio. Estamos afirmando con esto que adquirir cultura, formarse como miembro activo de esta cultura, coloca al individuo en mejores condiciones para desempeñarse en ella. En particular consideramos que es en este momento de la escolaridad que los alumnos van descubriendo sus habilidades y preferencias en relación con los conocimientos que van servir de base para la toma de decisiones para su futuro. Cuanto mayor y mejor calidad de conocimiento tengan los alumnos, mejores serán las condiciones para esta toma de decisiones, tornándolas más seguras.
La enseñanza de la matemática en la escuela media participa de estos objetivos y desafíos. Podríamos plantear entonces como objetivo principal la trasmisión de algunos rasgos esenciales de la cultura matemática. Hay tres aspectos diferentes que pueden identificarse al intentar esquematizar los rasgos fundamentales que definen esta cultura: - los tipos de preguntas o de problemas que aborda, - los objetos que le son propios, - las formas de trabajo. Problemas, objetos y formas de trabajo, se encuentran indisolublemente unidos en la construcción del conocimiento matemático.
Desde el punto de vista de la escuela, estos tres aspectos nos llevan a considerar las siguientes cuestiones: Con relación a los problemas: ¿cuáles son las preguntas o problemas que pueden ser planteados en los diferentes niveles escolares? ¿Qué características deberían cumplir para favorecer el aprendizaje? A grandes rasgos, podríamos decir que un problema debe ser, por un lado, comprensible y, por el otro, desafiante para los alumnos. Pero el enunciado de un problema es sólo el punto de partida. Distintos tipos de interacciones, diferentes vínculos que puedan establecer los alumnos con un problema, producirán aprendizajes diferentes. Sostenemos que el planteo y la resolución de los problemas así como la reflexión y la elaboración posterior, constituyen la actividad central en matemática donde los alumnos pueden construir los significados de los objetos y los procedimientos que aprenden. El problema puede corresponder a la realidad conocida por el alumno ("vida cotidiana") o a una realidad no tan conocida aún por él; puede también corresponder a una problemática interna de la matemática. El contexto en que se plantea un problema, no es una característica determinante a la hora de decidir si es o no un "buen problema" para el aprendizaje.1 Con relación a los objetos: la escuela considerará para su enseñanza aquellos que se han designado como objetos a enseñar y que constituyen el contenido curricular. En ese sentido, este documento no pretende avanzar en la definición de dichos contenidos, sino iluminar las propuestas de enseñanza de las unidades de Geometría de los programas de Matemática de primer y de segundo año de la Secretaría de Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Con relación a las formas de trabajo: sostenemos que son las prácticas que el alumno desarrolle, las actividades que aprenda a realizar a propósito de cada contenido, los problemas que pueda resolver, las nuevas formas de escritura que incorpore para realizarlos, las herramientas que despliegue para validar sus resultados, las que van a ir conformando su conocimiento de los distintos objetos involucrados. La escuela debe proponerse introducir a los alumnos en prácticas de trabajo que se acerquen a aquellas que son propias de la matemática, promoviendo avances en la comprensión de las
1 Para profundizar sobre el lugar del problema en el aprendizaje matemático se recomienda la lectura de Roland
Charnay, "Aprender (por medio de) la resolución de problemas", C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de las matemática, Buenos Aires, Paidós, 1994.
características que rigen el desarrollo de esta ciencia. En particular, y muy privilegiadamente, se espera que los alumnos lleguen a comprender qué significa y cómo se juega en la matemática, el establecimiento de la verdad. Nuestra posición acerca de la enseñanza de la matemática se inscribe en los lineamientos generales expuestos para Primer y Segundo ciclo de la Educación Primaria en Matemática, Documento de trabajo nº1.2 En el anexo de este documento, reproducimos algunas páginas de ese documento que se recomienda leer antes de continuar con éste.
En el Pre Diseño Curricular para la Educación General Básica. Marco General,3 aparecen formulados los própositos generales para la enseñanza de la Matemática en la Educación Primaria. Se señala en dicho documento:
"La escuela tiene la responsabilidad de: Trabajar para generar una coherencia cada vez mayor en su proyecto de enseñanza de matemática en la EGB que permita a los alumnos tener una experiencia de continuidad y evolución en sus aprendizajes. Buscar establecer, desde los inicios hasta el fin de la escolaridad obligatoria, las condiciones didácticas que favorecen que la matemática cobre el sentido formativo que de ella se espera. Afirmar y promover en toda la comunidad la convicción de que las matemáticas son posibles de ser aprendidas por todos los alumnos bajo ciertas condiciones. Trabajar para que los alumnos se sientan seguros de su capacidad de construir conocimientos matemáticos, desarrollen su autoestima y sean perseverantes en la búsqueda de soluciones.
2 MCBA, Secretaría de Educación, Dirección de Currículum. Matemática. Dcoumento de trabajo nº1. Actuali3 GCBA, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula. Pre Diseño
zación curricular, 1995.
Curricular para la Educación General Básica (Educación Primaria y Media según denominación vigente). Marco General, 1999, p. 145.
Proyectar y llevar adelante una enseñanza que permita a los alumnos construir el sentido de los conocimientos matemáticos, es decir, que sean capaces tanto de utilizarlos para resolver problemas, como de identificarlos y relacionarlos en términos matemáticos. Dicha enseñanza define como central para la actividad matemática la resolución de problemas y la reflexión sobre los conocimientos. Brindar oportunidad a los alumnos de usar en el aula los conocimientos que poseen sean éstos aprendidos en la escuela o no, sean éstos acertados, aproximados o erróneos, sean éstos expresados en lenguaje convencional o intuitivo- para ponerlos en juego en la producción colectiva del conocimiento matemático. Favorecer en el aula la identificación y la formulación tanto de los conocimientos válidos como de los erróneos, asumiendo que es fecundo para todos los alumnos trabajar sobre los aciertos y errores de algunos. Proponer un tipo de trabajo en el aula que apunte a que los alumnos se apropien de las reglas del trabajo intelectual, de las reglas sociales del debate y de la toma de decisiones pertinente. Proveer a los alumnos nuevas y variadas oportunidades de volver a trabajar los aspectos en los que han enfrentado dificultades."
En el marco de estos propósitos generales enunciados para toda la escolaridad básica, pensamos en algunos propósitos particulares para los primeros años de la escuela media. Consideramos entonces que debe ser un compromiso de la escuela, desarrollar una enseñanza de la matemática que tenga por objetivo lograr que los alumnos sean capaces de: Modelizar o matematizar un problema. Con esto queremos decir básicamente desarrollar la capacidad de seleccionar objetos y procedimientos matemáticos pertinentes para la resolución de un problema, sea éste intra o extra matemático. Tratar con lo general (la generalización misma como proceso). Si bien los procesos de enunciación de leyes generales -por ejemplo sobre los números y las operaciones-, comenzaron sin duda en la escuela primaria, consideramos como objetivo característico de esta etapa el tratamiento de conjuntos infinitos, la conjetura de propiedades para colecciones
infinitas de objetos, la formulación precisa de las mismas y su validación a partir de los conocimientos que se poseen. Interesa tanto discutir la verdad o falsedad de una cierta propiedad enunciada para un conjunto dado, como encontrar su dominio de validez, restringiendo, si fuera necesario, el conjunto original. Comprender la precisión que se otorga en matemáticas a los enunciados, aun cuando éstos sean expresados en lenguaje natural. Por ejemplo, la palabra "nunca" tiene un significado en la vida diaria ("acá no llueve nunca") diferente del significado que adquiere en matemática ("el producto de dos números impares nunca puede dar par"). Comprender esta precisión del lenguaje permite avanzar en la construcción de una cierta racionalidad matemática y comenzar a apropiarse de un rasgo fundamental de esta "cultura". Queda a cargo de la enseñanza el trabajo de los alumnos en esta dirección. Formular enunciados en lenguaje simbólico y operar en dicho lenguaje. Un lenguaje más preciso y más simbólico debería aparecer como una herramienta adaptada tanto para la tarea de modelización como para la de validación del trabajo. Disponer de una variedad de formas de representación diferentes y elegir la más conveniente para cada instancia del trabajo. Controlar la propia producción y poner en juego diferentes formas de validación del trabajo realizado. Entrar en prácticas de argumentación, acercándose a la demostración deductiva, modo de validación de las afirmaciones en la matemática. Estos propósitos se encuentran muy relacionados entre sí y atraviesan los diferentes contenidos designados para enseñar. Todos ellos se logran trabajando en el aula, en el tiempo de las clases, resolviendo distinto tipos de problemas; y también en el trabajo de los estudiantes en la casa, en la resolución de la "tarea", en el tiempo de estudio sin la presencia del profesor. Si nos centramos en el trabajo en el aula, sostenemos que las intervenciones del docente (que no se agotan en la selección de buenos problemas o actividades) juegan un papel central en el proceso de aprendizaje de los alumnos.
Y el trabajo en el aula también incluye a otros: la interacción entre pares es una gran oportunidad para hacer avanzar los tiempos de aprendizaje. Pero esta interacción no se produce espontáneamente, requiere de una planificación docente y de un aprendizaje de los alumnos. Somos conscientes de la complejidad que encierra conducir estos momentos de interacción, donde necesariamente aparecerán diferencias y contradicciones, donde la diversidad de los conocimientos y el compromiso de los alumnos salta a la vista y plantea dificultades adicionales en la gestión del docente. Pero estamos convencidos que la entrada a la cultura matemática que proponemos se realiza en el espacio colectivo de la clase, con la participación activa de cada alumno.
ANTES DE COMENZAR A PLANTEAR ALGUNAS CUESTIONES REFERIDAS A LA ENSEÑANZA DE LA
GEOMETRÍA NOS PARECE INTERESANTE REFLEXIONAR SOBRE LOS MOTIVOS QUE NOS HAN LLEVADO A ELEGIR ESTE TEMA COMO OBJETO CENTRAL DE ESTE DOCUMENTO.
PENSAMOS QUE LA GEOMETRÍA ES LA GRAN AUSENTE EN LAS AULAS DESDE HACE UN TIEMPO.
ESTA AUSENCIA IMPLICA, A NUESTRO ENTENDER, UNA PÉRDIDA MUY IMPORTANTE EN TANTO
QUE LA CONSIDERAMOS UN DOMINIO QUE FAVORECE EL DESARROLLO DE LA ARGUMENTACIÓN DEDUCTIVA.
ESTE DOCUMENTO SE PROPONE CONTINUAR CON LA LÍNEA DE TRABAJO QUE HA DES-
MATEMÁTICA DE LA DIRECCIÓN DE CURRÍCULA PARA SEGUNDO CICLO DE LA EDUCACIÓN PRIMARIA, QUE CULMINÓ CON LA ESCRITURA DE MATEMÁTICA. DOCUMENTO DE TRABAJO N° 5. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN EL SEGUNDO CICLO,4 CUYA LECTURA RECOMENDAMOS.
ARROLLADO EL EQUIPO DE
4 GCBA, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula. Matemática.
Documento de trabajo nº5. La enseñanza de la geometría en el segundo ciclo. Actualización curricular, 1998.
LA PROBLEMÁTICA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA HA SIDO CONSIDERADA EN LOS ÚLTIMOS AÑOS COMO TEMA DE INTERÉS PARA NUMEROSOS INVESTIGADORES EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA. TENIENDO EN CUENTA ESTOS APORTES, NOSOTROS IDENTIFICAMOS A CONTINUACIÓN CIERTOS ASPECTOS QUE CONSIDERAMOS RELEVANTES PARA EL TRATAMIENTO DEL TEMA.
ASPECTOS DIDÁCTICOS DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
En principio, seleccionamos dos características de la geometría que jugarán un papel fundamental para comprender el tipo de interacciones y de dificultades que aparecen en el trabajo en el aula. - Las relaciones complejas que la geometría establece con el espacio físico que nos rodea. - El uso, en geometría, de los diferentes registros de expresión.
RELACIÓN CON EL ESPACIO FÍSICO
La geometría se ha constituido en parte como una modelización del espacio físico. Se establece entonces una particular relación entre este espacio físico -con los datos que provienen de la percepción y la medición- y los objetos geométricos (figuras, cuerpos, etc.) que son objetos teóricos que obedecen a las reglas de la matemática (en su definición, sus reglas de "funcionamiento" y los modos de validación de sus propiedades). Las figuras y los cuerpos son sin duda objetos geométricos considerados para la enseñanza, tanto en la escolaridad básica como en los primeros años de la escuela secundaria. En los documentos curriculares realizados para el nivel primario, se sostiene la importancia de un trabajo con las figuras, que avance más allá del uso de la percepción y la manipulación de los objetos. Las actividades propuestas se centran en la construcción de figuras, promueven la anticipación por parte de los alumnos, permitiendo el establecimiento de relaciones entre distintos elementos de las figuras.
En los primeros años de la secundaria el trabajo con las figuras y los cuerpos continúa: se avanza en el establecimiento de relaciones más complejas (entre ellas, algunos teoremas clásicos de la geometría plana) así como en el desarrollo de la argumentación deductiva como forma de trabajo en geometría. Estamos hablando de un proceso y, para poder lograrlo, las situaciones que se presenten a los alumnos deben cumplir ciertas características: permitir que los saberes geométricos aparezcan como instrumentos en la resolución de problemas que no puedan ser resueltos desde la percepción o desde la medición. O sea, estamos pensando que un problema geométrico debe reunir ciertas características que detallamos a continuación: Para resolver el problema se ponen en juego las propiedades de los objetos geométricos. El problema pone en interacción al alumno con objetos que ya no pertenecen al espa cio físico, sino a un espacio conceptualizado al cual las figuras-dibujos trazadas por este sujeto no hacen más que representar. La función que cumplen los dibujos en la resolución del problema no es la de permitir arribar a la respuesta por simple constatación sensorial. La validación de la respuesta dada al problema -es decir la decisión autónoma del alumno acerca de la verdad o falsedad de su respuesta- no se establece empíricamente sino que se apoya en las propiedades de los objetos geométricos. Las argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de los cuerpos y las figuras producen un nuevo conocimiento sobre los mismos. Lo que estamos afirmando es que son las características de los problemas planteados y una cierta organización de la clase las que van a permitir enriquecer el trabajo en geometría. En particular, la exigencia de una argumentación podría apoyarse en la insuficiencia de lo perceptivo y de la medición para llegar a la respuesta.
Al respecto dice Dilma Fregona:
"La geometría no es sólo un conjunto de saberes sino un modo de relación con ciertos problemas". Y más adelante: "Si se quiere llevar al alumno al dominio de los conocimientos geométricos es necesario poner de relieve el obstáculo que representa la evidencia del dibujo".5
En la presentación y el tratamiento de la información en geometría se ponen en juego tres tipos diferentes de registros: - El registro figurativo, ligado al sistema perceptivo visual (representación gráfica de figuras y dibujos en general). - El registro del lenguaje natural, con sus posibilidades de descripción y explicitación. - El registro del lenguaje simbólico -propio de la matemática- que adquiere características particulares en geometría y que incluye el recurso de las fórmulas. Prestaremos especial atención al registro figurativo. Las representaciones gráficas, o sea los dibujos sobre el papel, constituyen una "parada intermedia" entre los objetos teóricos y los objetos reales. El dibujo de un cuadrado sobre una hoja puede ser considerado tanto la representación gráfica del objeto geométrico "cuadrado" como la representación de un objeto cuadrado del espacio físico. La construcción de los objetos teóricos de la geometría se constituye apoyándose en la percepción, pero al mismo tiempo oponiéndose a los datos de la evidencia. Este juego de acuerdos y desacuerdos parece ser propicio para su aprovechamiento didáctico. Como docentes debemos tener en cuenta la importancia que nuestros alumnos asignan al registro figurativo. En particular, en los casos de no congruencia entre la información dada en diferentes registros, por ejemplo, un texto acompañado de un dibujo, es usual que los
5 Fregona, D. y otros. El libro de la Matemática 7, Buenos Aires, Estrada, 1997. 14
DIFERENTES REGISTROS EN GEOMETRÍA
estudiantes consideren como más importante los datos provenientes del dibujo. Lograr una relación cuidadosa con las figuras que incluya una toma de conciencia acerca de la no concordancia entre la información en diferentes registros es un objetivo al cual apuntar, no parece ser un punto de partida a exigir. La representación gráfica de una figura que acompañe un texto del estilo: "Para todo triángulo..." o "Dado un cuadrilátero..." será siempre el dibujo de un triángulo o cuadrilátero particular, que necesariamente incluye más relaciones que las generales del enunciado. Parece necesario un trabajo, del cual la enseñanza se debe hacer cargo, para lograr que los alumnos aprendan a tratar el dibujo como una figura general y no tengan en cuenta más que las relaciones dadas en el texto. En el capítulo 3 mostraremos un problema que, por sus características, colaboraría a hacer evolucionar el trabajo en este aspecto. La representación gráfica de figuras en geometría es sin duda una herramienta poderosa en la resolución de problemas en general y, en particular, en la gestión de demostraciones. Al decir esto le asignamos a los dibujos el papel de representación de los objetos geométricos (que son objetos teóricos), y reservamos a la enseñanza lograr que los alumnos comprendan la diferencia entre el objeto y su representación. Entrar en el juego de la demostración supone entonces, poder validar las afirmaciones o conjeturas sin recurrir a la constatación empírica. Pero no estamos pensando en exigir inmediatamente demostraciones tal como se entienden en matemática. Es un proceso largo que tendrá idas y vueltas y que debe ser provocado y "empujado hacia delante", desde las actividades que se proponen para realizar en el aula. ¿Cuánta precisión requerimos para aceptar como válida una demostración? Si bien parece legítimo tener en la mira que los alumnos vayan mejorando la calidad de sus argumentaciones, es necesario poder ver esto como un proceso y aceptar de entrada justificaciones incompletas, argumentaciones imprecisas, escrituras "poco formales". Por otro lado, una mayor formalización en las escrituras podría aparecer también al servicio de una mayor claridad en las definiciones de los objetos y de una mayor precisión en la formulación de los algoritmos de construcción.
La utilización del lenguaje simbólico en geometría incluye también el uso de códigos de marcas sobre las figuras, superponiéndose entonces con el registro figurativo. Por ejemplo:
significa que los dos lados marcados son iguales. Una marca como la que sigue en un triángulo,
nos informa que ese ángulo es recto. Estas marcas sobre las figuras dibujadas las transforman en un texto válido para la toma de información. Pero, ¿todos los alumnos de la clase comprenden el significado a estas marcas? Ahora bien, cuando un texto dice: "Sea ABC un triángulo isósceles..." ¿Esta frase incluye el dato que AB y BC son los lados iguales? Quizás para algunos docentes y alumnos sea así y para otros no. Esto puede pasar porque aquí estamos hablando de convenciones. Algunas, como las de los dibujos de más arriba, son "universales" y otras, como la del triángulo isósceles, son más locales.6 Algunas hasta
pueden ser convenciones establecidas en el interior de una clase y sería quizás una marca de producción de conocimiento que un grupo de estudiantes en una clase invente convenciones y escrituras. Luego de esta breve reseña sobre algunas de las problemáticas que caracterizan la enseñanza de la geometría, presentaremos, en el próximo capítulo, cuatro problemas y las discusiones mantenidas en torno a ellos por un grupo de docentes, que nos permitirán volver sobre algunas de las nociones teóricas desarrolladas.
6 Como puede observarse en el desarrollo del segundo problema en el capítulo siguiente.
DESARROLLO CURRICULAR EN GEOMETRÍA: UNA EXPERIENCIA EN 1 2
EL TRABAJO CON EL GRUPO DE DOCENTES: ANÁLISIS DE PROBLEMAS
PARA LA PRIMERA ETAPA DEL TRABAJO, NUESTRO EQUIPO ELIGIÓ VARIOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PARA SER TRABAJADOS POR LOS DOCENTES PARTICIPANTES. ESTOS PROBLEMAS FUERON
SELECCIONADOS TENIENDO EN CUENTA ALGUNAS DE LAS CARACTERÍSTICAS QUE HAN SIDO
2 DE ESTE DOCUMENTO. ASPECTOS RELEVANTES DE LA PROBLEMÁTICA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA SURGIERON A PARTIR DE LA RESOLUCIÓN, LA DISCUSIÓN Y EL ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LOS PROBLEMAS POR PARTE DEL GRUPO DOCENTE.
DESCRIPTAS EN EL CAPÍTULO
A CONTINUACIÓN SE ENUNCIAN LOS PROBLEMAS QUE TRABAJARON LOS DOCENTES Y LOS ANÁLISIS DESARROLLADOS EN TORNO A CADA UNO DE ELLOS. PODEMOS DISTINGUIR DIFERENTES NIVELES DE ANÁLISIS : - EL DE LOS CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS INVOLUCRADOS; - EL DE LOS GRADOS DE ACEPTACIÓN DE LAS DIFERENTES FORMAS DE VALIDACIÓN DE LAS RESPUESTAS DADAS.; - EL DE LAS POSIBILIDADES DE SU FUNCIONAMIENTO DIDÁCTICO EN LAS AULAS.
PROBLEMA 1 El problema del templo De un antiguo templo indígena se conserva sólo una parte. Este es un croquis de lo que se conserva:
Se sabe que el templo era circular y que los indígenas habían guardado un tesoro en el centro del templo. Marquen en el croquis la ubicación del tesoro.
En el análisis que desarrollan, los docentes anticipan diferentes procedimientos que podrían ser desplegados por los alumnos. Algunos alumnos probablemente pinchen el compás de manera azarosa, "esperanzados" en que, al marcar la circunferencia, ésta coincida con el arco presentado. Este tipo de proceder no pone en juego ninguna propiedad ni relación geométrica y seguramente ningún alumno pueda indicar cuál es el centro de la circunferencia si lo busca al "tanteo". El grupo de docentes también plantea que, varios alumnos, pueden asignarle al dibujo presentado "más datos" que los que el dibujo porta y considerarlo un cuarto de circunferencia. A partir de esta interpretación, es posible que los alumnos tracen un segmento de un extremo hasta el otro del supuesto cuarto de círculo. A continuación dibujen una perpendicular a este segmento, de la misma longitud, por uno de los extremos:
El segmento AB es un diámetro y se marca el punto medio como ubicación del tesoro. En torno a este procedimiento, el grupo de docentes observa que, para llevar adelante una construcción como la detallada, se deberían tener disponibles ciertas propiedades (sobre triángulos isósceles, sobre ángulos inscriptos en semicírculos, sobre congruencias de triángulos) y, aún así, resultaría muy compleja su validación. Por todo esto concluyen que es poco probable que los alumnos desplieguen un procedimiento como el anteriormente descripto. Se plantea también la posibilidad de que algunos alumnos, y muy particularmente los de escuelas técnicas, tracen "a ojo" dos tangentes al arco de circunferencia (práctica habitual en taller). Luego tracen una perpendicular a cada tangente en el punto de contacto con la circunferencia. El punto donde se cruzan dichas perpendiculares, será indicado como el centro.
Finalmente, se plantea otra posible solución, ubicar tres puntos sobre el arco y trazar dos segmentos:
a continuación trazar las mediatrices correspondientes a dichos segmentos:
El punto donde se cruzan las mediatrices resulta el lugar donde se encuentra el tesoro. Este procedimiento sería posible de ser desplegado por aquellos alumnos que tengan disponible el concepto de circunferencia y círculo, las propiedades de las mediatrices y su modo de construcción. Resultó muy interesante la discusión sobre las diferencias y semejanzas entre los últimos dos procedimientos de resolución (el que se basa en el trazado de las tangentes y el que se apoya en el trazado de las mediatrices). Ambos procedimientos requieren de una planificación anticipada. Se basan en propiedades de ciertos elementos de las figuras para localizar el centro. Ambas construcciones conllevan un margen de error.
Sin embargo, el trazado de las tangentes por un punto se realiza "a ojo", considerando implícitamente como definición de tangente una recta con un sólo punto en común con la circunferencia. No hay ningún instrumento de geometría que garantice el cumplimiento de tal propiedad. Resulta sumamente dificultoso distinguir cuál sería la tangente a una circunferencia en un punto entre varias rectas de inclinaciones parecidas, por ejemplo:
¿Cómo distinguir, sin más recursos que "el ojo", cuál es la tangente al arco de circunferencia en el punto A? En cambio, en el segundo procedimiento, se trazan dos segmentos. Cada uno de ellos se construye a partir de dos puntos del arco de circunferencia (y para trazar un segmento bastan dos puntos). Este procedimiento se apoya en propiedades de ciertos elementos geométricos (en este caso de la mediatriz) y se utilizan instrumentos que, en buena medida, "garantizan" la construcción. Son las propiedades las que validan anticipadamente que el punto que se hallará, al finalizar la construcción, será el centro. Al finalizar el trabajo en torno al "Problema del templo", se destacaron ciertos aspectos que ya han sido explicitados en el Capítulo 2: - En este problema, los dibujos son tanto representaciones gráficas del espacio físico (el templo) como de objetos geométricos (el arco de circunferencia). - La resolución requiere del uso de propiedades de los objetos geométricos y producen una acción sobre la representación gráfica.
- Al dar el croquis como dato, no se aborda la complejidad de la relación entre el espacio físico y los dibujos o figuras que los representan.
PROBLEMA 2 El problema del triángulo Dado un triángulo isósceles ABC, alargar el lado AB hasta un punto Q de manera que B sea punto medio del segmento AQ. ¿El triángulo BCQ resulta isósceles?
Comentaremos, en primer lugar, el trabajo realizado con el grupo de docentes para luego considerar algunos aspectos generales del análisis didáctico del mismo. El primer aspecto que se destaca en este problema está vinculado a las convenciones. Algunos de los docentes que han discutido este problema sostienen que ABC isósceles indica que AB = BC y AC es el "desigual".
Quienes consideran esta convención, directamente resuelven apoyados en el triángulo del dibujo:
Como AB = BC y B es punto medio de AQ, entonces AB = BQ. De esto se deduce que: CB = AB = BQ luego, CB = BQ o sea que BQC es isósceles. Otros docentes, en cambio, consideran que no existe tal convención e intentan resolver el problema planteando las distintas posibilidades para la ubicación de los vértices. Para empezar, como caso particular, analizan qué sucede si ABC es equilátero, teniendo en cuenta que en este caso, la posición de los vértices no influye. 1. Si el triángulo ABC es equilátero:
Al ser ABC triángulo equilátero, se verifica que: AB = BC = CA. Como B es punto medio de AQ, también se verifica que AB = BQ. En consecuencia, CB = BQ con lo cual QBC es isósceles. Otro caso particular analizado es el siguiente:
2. El triángulo ABC es isósceles y tiene un ángulo recto. El dibujo correspondiente al recto en B sería:
Bajo la condición adicional de que el triángulo tenga ángulo recto se llega a que la respuesta al problema es afirmativa sólo si el vértice B corresponde al ángulo recto. Otro caso analizado: 3. Si el triángulo ABC es isósceles en B: Este caso es equivalente al desarrollado por quienes consideran la convención. Por último, se han considerado los siguientes casos: 4. Si el triángulo ABC es isósceles en C
En este caso, se afirma que la respuesta es negativa. El triángulo BQC no es isósceles pues BQ ≠ BC ya que BA ≠ BC pues no es equilátero (caso ya considerado), además, BQ ≠ QC pues B es el ángulo mayor al que se opone el lado mayor. 5. Si el triángulo ABC es isósceles en A:
En este último caso, los profesores afirman que BQC no es isósceles por razones equivalentes al caso anterior. El desarrollo de este problema nos ha permitido reflexionar con los docentes en torno al rol de las convenciones en la enseñanza de la geometría, problemática que ya fue planteada en el Capítulo 2 de este documento. Es interesante analizar que existe una estrecha relación entre la utilización de las convenciones, los datos del problema y su solución. El presupuesto de ciertas convenciones no especificadas condiciona las respuestas planteadas. No estamos queriendo decir que no es lícito que existan convenciones, sino que es necesario que en caso de existir, se expliciten. Los profesores manifiestan que es en su formación donde se instalan determinadas convenciones universales o locales que luego pasan a las aulas, sin que se establezcan claramente los motivos de las mismas, sin que se determinen cuáles son locales o cuáles universales. Esto conduce a la discusión sobre el uso habitual de ciertos símbolos: los triangulitos dibujados sobre tres letras (para indicar triángulo), los angulitos (para indicar ángulos), las marcas sobre los segmentos (para indicar que miden lo mismo), etc., son un conjunto de
elementos que forman parte de un "lenguaje" y que transmiten información. Es tarea de la escuela que los alumnos aprendan a "leerlos". Esto resulta aún más evidente en el caso en el que un problema es presentado con un texto y una figura o dibujo. Generalmente, como ya se dijo, los alumnos le asignan al dibujo datos que no se presentan en el enunciado. Por el contrario, cuando el dibujo aporta ciertas "marcas" que son datos, los alumnos, en general, no las consideran. El problema que hemos analizado nos ha permitido entonces poner de relieve la problemática de las convenciones. Si consideramos que en el enunciado no se establece cuáles son los lados iguales del triángulo isósceles, en la resolución del problema aparecen otras cuestiones interesantes de explotar y que son características de la actividad matemática: la cuestión de la generalización y, estrechamente vinculada con ésta, la de la exhaustividad de los casos considerados. Por ejemplo, en el análisis expuesto, si bien se han considerado todos los casos posibles, éstos no son disjuntos: la consideración del triángulo rectángulo isósceles en B no es necesaria puesto que dicho análisis está incluido en el considerado como "convención habitual". Nos parece interesante, entonces, el vínculo que se establece entre la cuestión de la exhaustividad y la economía de los procedimientos utilizados para establecerla (como una de las características del pensamiento matemático). ¿Qué podría suceder en el aula? Si en el curso existe la convención de que al decir triángulo isósceles ABC, se sabe cuáles son los lados iguales, y queremos explotar el problema en cuanto a la problemática de la exhaustividad y el análisis de casos, tendremos que modificar el enunciado. Por ejemplo, una versión podría ser: En un triángulo isósceles se prolonga un lado A en un segmento A' de longitud igual al segmento A. Se une luego el extremo libre de A' con el vértice opuesto a A y se obtiene otro triángulo, uno de cuyos lados es A'. ¿Resulta isósceles este triángulo? Esta formulación implica entonces la consideración de las cuestiones que hemos identificado como interesantes para trabajar con los alumnos. ¿Qué podemos prever como trabajo de los alumnos? En principio podemos pensar, como lo han planteado los profesores con los que estuvimos trabajando, que los alumnos considerarán casos particulares, descuidando la problemática de una clasificación exhaustiva.
Puede que algunos analicen el caso del triángulo equilátero, que otros consideren un triángulo rectángulo isósceles. También podría suceder que los alumnos no consideren triángulos particulares, sino uno isósceles genérico, pero que no tengan en cuenta el análisis en función de cada uno de sus lados. Por otro lado, podría suceder que algunos alumnos consideren un triángulo isósceles (no equilátero) y analicen las diferentes situaciones que se presentan, según el lado que se considere alargar. En este caso, dependiendo de la definición que se ha adoptado de triángulo isósceles, podría faltar la consideración particular de ser equilátero. La puesta en común de los diferentes resultados obtenidos puede ser un lugar interesante para confrontar las diferentes clasificaciones adoptadas, tanto con relación a la exhaustividad como a la economía de los casos considerados. En el caso en que no se disponga de ninguna convención, el problema puede plantearse tal como se lo ha presentado a los docentes participantes de esta experiencia. Por ejemplo, los alumnos podrían plantear: ¿Por qué se considera como lados iguales a los lados AB y BC y no a los lados AB y AC? En este caso, la clasificación estaría dada por las diferentes ubicaciones de los vértices y no por el hecho de alargar cada uno de los lados del triángulo considerado. Una observación final. Pensemos en cualquiera de los casos planteados, por ejemplo la consideración de un triángulo equilátero: ¿Qué garantiza que los alumnos no midan con la regla la longitud de los lados para decidir si el triángulo que construyen es o no isósceles? En realidad, nada. Pero como nos interesa que el alumno se apoye en propiedades y realice algún tipo de razonamiento anticipatorio, estamos pensando que este problema tendría que ser planteado una vez que el alumno se encuentre de alguna manera dentro un cierto "juego deductivo". Con esto queremos decir que por lo menos, ya se ha discutido con los alumnos que en geometría medir sobre un dibujo nos permite sospechar de un resultado o establecer una conjetura, pero que esto no es suficiente para determinar su validez.
PROBLEMA 3 El problema de los puntos medios de los lados de un cuadrilátero El siguiente problema fue trabajado en dos partes. En la primera se trató de poner en juego nuevamente la complejidad de la relación entre el texto y la figura en el trabajo en geometría. La segunda parte, que surgió como consecuencia del trabajo con la primera, se refiere a la relación entre propiedades necesarias y propiedades suficientes. En la primera parte se les daría a los alumnos el siguiente enunciado:
Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera; E, F, G y H los puntos medios de cada uno de sus lados. ¿Qué clase de cuadrilátero es EFGH?
Pensamos este problema para un momento de la escolaridad donde las propiedades básicas de los triángulos y cuadriláteros ya han sido estudiadas. Podría ser en algún momento del segundo año actual. La pregunta que formulamos a los docentes fue la siguiente: ¿Cuáles podrían ser los procedimientos que pongan en juego los alumnos?, ¿cuáles los errores posibles? Los docentes anticiparon que casi todos los alumnos se "lanzarían" a hacer dibujos. Y que probablemente se oirían distintas respuestas: "¡Es un rombo!", "¡Es un paralelogramo!", "¡Es un rectángulo!". En los intentos de justificación de cada una de las respuestas aparecerían diferentes "datos" tomados del dibujo particular de cada uno. Aquí se podrían anticipar conflictos si en los dibujos de los otros chicos no pasa lo mismo que en el propio !!!
Hicimos entonces una reflexión con los docentes: el establecimiento de ese conflicto se vería fomentado por un primer momento de trabajo individual y un segundo momento de trabajo en pequeños grupos. Para sacar a la luz que los resultados particulares obtenidos tuvieron en cuenta más datos que los del enunciado, se ve como posible analizar, a partir de uno de los dibujos, cómo se llega a la conclusión. En la validación de esta conclusión aparecerían los datos "de más". ¿Era ese un dato del problema? Es una pregunta crucial. Se ve la importancia de hacer explícita la relación entre el dibujo y el texto verbal. Se podría pedir que algún alumno vuelva a leer el enunciado y dejar bien claro que el enunciado contiene todos los datos que se pueden usar. Aparece entonces claramente un primer objetivo del problema: Que los alumnos tomen conciencia de que el dibujo hecho por ellos puede traer consigo datos extras que no estaban en el enunciado. Deben aprender a desprenderse de esos datos extras para dar sus respuestas y para argumentar. Se anticipa que, luego de este trabajo, algún alumno realizará un dibujo suficientemente general.
Al unir los puntos medios aparece una figura que parece un paralelogramo. Si todo el mundo adopta entonces el dibujo "general", el problema ha cambiado. Probablemente los alumnos afirmen que se obtiene un paralelogramo, hay que plantear ahora la necesidad de justificar esta afirmación. Antes de entrar en esta segunda parte de nuestro análisis destaquemos que hemos llegado a punto importante: la toma de conciencia de una dificultad fundamental en geometría: una
figura que acompaña a un texto, salvo expresas indicaciones, no puede ser considerada como proveedora de más datos que los que trae el texto. Sabemos que esta toma de conciencia será difícil de lograr y que probablemente la dificultad reaparezca cuando ya creíamos que todos la habían superado. Hay muchas idas y vueltas entre las constataciones sobre el dibujo y la lectura del enunciado. Esas son las marchas y contramarchas usuales en el aprendizaje cuando se trata de enfrentar y franquear dificultades que se han estado fortaleciendo por prácticas de muchos años. Estas prácticas se refieren tanto a la vida corriente del alumno, donde sin duda los datos de la percepción son datos válidos para la toma de decisiones, como a las tareas escolares en el área de geometría Si revisamos los libros de texto del ciclo primario y de los primeros años del secundario, veremos que muchos problemas de geometría contienen consignas como ésta: "Observá en el dibujo... ¿que conclusión sacás?" Un problema como el que estamos analizando favorece otro tipo de interacción con los dibujos y permite, fundamentalmente sacar a la luz la dificultad que conlleva la aprehensión a la figura dibujada. Planteamos a los docentes que si se quisiera trabajar más fuertemente sobre esta problemática podría darse el enunciado así:
El hecho de que el dibujo sea dado por el profesor acompañando el texto refuerza todavía más la convicción de los chicos de que los datos que él contiene pueden ser tomados como válidos para resolver el problema. Será en la gestión de clase que esta validez debe ser puesta en duda. Finalmente, es el docente el encargado de dejar bien en claro la función de un dibujo que acompaña a un texto, con las excepciones hechas para los dibujos que incluyen marcas específicas que sí pueden ser consideradas como datos válidos. Hemos hablado sobre las marcas y las convenciones en el segundo encuentro con el problema del triángulo isósceles. El rol de la figura dibujada, correspondiente a un problema es bien complejo, en ella se "observan" generalmente: - los datos del problema (en nuestro ejemplo que ABCD es un cuadrilátero y E, F, G y H son los puntos medios de los lados);
- las conclusiones a las que se quiere arribar (en nuestro ejemplo que EFGH es un paralelogramo); - otros datos -a menudo usados implícitamente- y otras consecuencias debidas a la particularidad de cada dibujo. Desentrañar esta complejidad es un proceso del cual la enseñanza debe sin duda hacerse cargo. No es un conocimiento que nuestros alumnos ya deberían tener y, en ese sentido, no se puede imputar su ausencia a un déficit en los aprendizajes anteriores. Ahora volvamos al problema. El docente en su aula podría preguntar cómo es que se obtuvieron los puntos H, E, F y G, fomentando que se recupere que son los puntos medios. Hay que volver a leer el enunciado cada vez, ahora que se ha tomado distancia de lo que "muestra" el dibujo.
Algún alumno recuerda una propiedad relacionada a la recta que une los puntos medios de los lados de un triángulo. ¿Pero cuál es el triángulo aquí? El que se obtiene si dibujamos una diagonal del cuadrilátero ABCD. A partir de aquí las relaciones ocultas en el enunciado del problema comienzan a hacerse visibles. Es este elemento que no aparecía explícitamente en el enunciado, una diagonal, el que permite descubrir estas relaciones.
Todos los docentes creen que los alumnos serían capaces de arribar a la justificación de que los lados opuestos del cuadrilátero EFGH son paralelos e iguales pues ambos son paralelos y mitades de la diagonal AC. La pregunta "lanzada" en el inicio estaría entonces contestada. Podemos afirmar ahora que la percepción del dibujo que acompaña al texto de un problema introduce errores en la búsqueda de una respuesta. Quizás en parte sea así, pero también es cierto que el dibujo es el apoyo sobre el cual establecemos una hipótesis de cuál es la respuesta correcta. Y es, en parte, también un apoyo en la búsqueda de las razones de esa conclusión. Se trata de mostrar el valor de verdad de esta hipótesis a partir de las propiedades de los objetos en cuanto objetos geométricos y no de los dibujos particulares que representan esos objetos. Volviendo al problema, los casos particulares que aparecieron al principio, dan pie para continuar con otro problema, con objetivos diferentes al primero. Entramos así en una segunda parte de la situación que lleva a clasificaciones "inusuales" de cuadriláteros.
¿Cómo debería ser el cuadrilátero ABCD para que el cuadrilátero EFGH obtenido uniendo los puntos medios de sus lados, resulte un rombo?, ¿y un rectángulo?, ¿y un cuadrado?
Los docentes anticiparon que los alumnos probablemente se restringirían a considerar los casos típicos que ya habían aparecido: rombo para que dé rectángulo y rectángulo para que dé rombo. Cuadrado para cuadrado. Pero fue muy interesante lo que produjeron los mismos docentes analizando el problema. Un grupo, minoritario, encaró las respuestas a partir de las propiedades que debían cumplir las bases medias del cuadrilátero ABCD. Otro grupo estableció las condiciones sobre las diagonales del cuadrilátero de partida. Llegamos así a las siguientes conclusiones: "Para obtener un rombo se necesita que el cuadrilátero ABCD tenga:
- las diagonales iguales (de la misma medida), - las bases medias perpendiculares y cortándose en su punto medio." La primera propiedad resultó ser mucho más eficaz a la hora de hacer un dibujo del correspondiente cuadrilátero. Nuevamente apareció aquí un cierto obstáculo de "figura típica": era difícil dibujar un cuadrilátero que cumpliera la propiedad y no fuera rectángulo. Grupalmente se pudo avanzar y lograr dibujos generales, o sea dibujos de cuadriláteros con sus dos diagonales iguales pero que no se cortaran en su punto medio. Por ejemplo :
Como consecuencia de todo este trabajo realizado resultó que las dos condiciones mencionadas arriba son equivalentes y surgió la idea de definir una nueva familia de cuadriláteros: "los equidiagonales". De esta familia se obtuvo: - una definición, - una definición equivalente, y - un teorema: todos los miembros de la familia cumplen con la condición que al unir los puntos medios de sus lados se obtiene un rombo. Los docentes encontraron que podía resultar de mucho valor en el aprendizaje este tipo de trabajo que incluye definiciones y teoremas ad-hoc, aunque reconocieron que está muy lejos de sus prácticas habituales. El mismo análisis se efectuó sobre las condiciones del cuadrilátero de partida para obtener finalmente un rectángulo.
En este caso las dos definiciones equivalentes que resultaron son: - ABCD tiene sus dos diagonales perpendiculares. - ABCD tiene las bases medias iguales y se cortan en su punto medio. La familia de estos cuadriláteros contiene todos los rombos pero también otros cuadriláteros como el siguiente:
El nombre propuesto para esta familia fue "rectidiagonales". Nuevamente se tienen de ellos dos definiciones equivalentes y un teorema: "Todos los cuadriláteros rectidiagonales verifican que si se unen los puntos medios de sus lados se obtiene un rectángulo". El caso del cuadrado no fue analizado por ser muy similar al anterior. De esta segunda parte hay tres cuestiones importantes para destacar: - Una concierne a ciertas características del trabajo en matemática en general y en geometría en particular, como es entender la diferencia entre condiciones necesarias y condiciones suficientes. - Una segunda es de carácter más didáctico y tiene que ver con el obstáculo que representa disponer en principio solamente de las figuras más usuales. - La tercera tiene que ver con el tipo de práctica que se instala. El relato que hicimos mostraría una clase que "está haciendo matemática". Al respecto quisiéramos recuperar
la opinión de los docentes participantes: todos encontraron de mucho valor en el aprendizaje este tipo de trabajo que incluye conjeturas y discusiones entre pares, la formulación de definiciones y el establecimiento de teoremas a cuyo enunciado se arriba después de haberlo demostrado. Todos manifestaron que no era imposible trabajar en la instalación de este funcionamiento en sus cursos a partir de problemas como este, pero reconocieron que está muy lejos de sus prácticas habituales y de las propuestas de los libros de texto. Los docentes participantes reconocen la riqueza del trabajo que podría generarse a partir de la resolución de los problemas propuestos al mismo tiempo que plantean dificultades para llevarlos a cabo en las aulas en las condiciones actuales. Teniendo en cuenta esta opinión, seleccionamos un cuarto problema que, conjuntamente con una determinada organización de la clase, permitiera poner en evidencia los límites de ciertos recursos con que los alumnos cuentan (en este caso, la medición) dando lugar a la búsqueda de otros recursos para arribar a la respuesta. Nos interesa que el alumno comience a desplegar argumentaciones basadas en propiedades (argumentaciones deductivas), como un recurso para la construcción y la validación de nuevos conocimientos geométricos. Sabemos que la "entrada" a esta forma de trabajo en geometría es un proceso que no se consigue con el desarrollo de un único problema. El ejemplo que presentaremos a continuación está pensado como parte de este largo proceso que debería ir desarrollándose durante los primeros años de la escuela media.
PROBLEMA 4 El problema del rectángulo Dado el rectángulo ABCD con AD = 10 cm y AB = 6 cm 10 cm D K A P J I
C L B Trazar la diagonal AC y marcar sobre ella un punto P a 9 cm de A. Trazar una paralela al lado AD que pase por P, llamar I al punto en que corta a AB y J al punto en que corta a CD. También por P trazar una paralela al lado AB, llamar K al punto en que corta a AD y L al punto en que corta a BC. ¿Cuál de los dos rectángulos IBLP o KPJD tiene área mayor?
Para la resolución de esta actividad se propone la siguiente organización de la clase: Primera etapa: los alumnos trabajan en forma individual. Segunda etapa: cuando todos los alumnos tienen alguna respuesta, el profesor propone que se reúnan en grupos de 4 y discutan el problema para arribar a una solución en conjunto. Por otro lado, y teniendo en cuenta que tendrán que exponer y defender ante los otros grupos su propuesta, tendrán que elaborar una justificación del trabajo que han realizado. Tercera etapa: un representante de cada grupo expone en el pizarrón sus resultados y se organiza un debate sobre ellos. Cuarta etapa: se realiza un balance final y se identifica aquello que se pretende que se aprenda a través de la actividad.
Como este problema ha sido trabajado en los cursos que hemos observado, un análisis detallado se encontrará en el próximo capítulo. En el análisis didáctico de esta actividad, desarrollado por el grupo de docentes participantes, se han anticipado los siguientes procedimientos de los alumnos: - Algunos optarán por trabajar sobre la base de las ecuaciones con la finalidad de determinar las medidas de la base y la altura del rectángulo IBLP, las medidas de la base y la altura del rectángulo PJDK, calcular las áreas respectivas y luego comparar. Este procedimiento fue desarrollado por algunos docentes, quienes advierten sobre lo engorroso que es. Como consecuencia de esto, anticipan que es probable que aquellos que ingresen por este camino lo abandonen rápidamente. - Otros podrían reproducir el dibujo respetando las medidas que allí aparecen. Luego medirían con una regla la longitud de los lados del rectángulo PJDK y la longitud de los lados del rectángulo IBLP, para calcular las áreas y compararlas. Este procedimiento deja de lado el hecho de que las medidas encontradas en el dibujo usando la regla son aproximadas. A su vez, las medidas planteadas determinan que las longitudes de los lados de los rectángulos que se deben comparar sean irracionales, con lo cual, el error de medición está garantizado. - Una tercera posibilidad es la puesta en funcionamiento de las propiedades de los objetos geométricos: la diagonal divide al rectángulo en dos triángulos que tienen la misma superficie (son congruentes), por lo tanto, el triángulo ACD tiene la misma superficie que el triángulo ABC. El triángulo APK tiene la misma superficie que el triángulo API y el triángulo PCJ tiene la misma superficie que el triángulo PCL. Entonces, por resta de superficies, el rectángulo BLPI debe tener la misma superficie que el rectángulo PJDK. En el análisis de los diferentes procedimientos, aparece un comentario interesante de aquellos profesores que han pensado en el primero de los procedimientos: manifiestan la dificultad que tienen los alumnos en el trabajo algebraico como obstáculo para resolver, mediante esta herramienta, un problema de geometría.
A partir de las reflexiones con los docentes en torno de los problemas planteados, nuestro equipo elaboró dos propuestas de trabajo que presentamos en el Capítulo 4 que fueron analizadas con los docentes en la segunda etapa del trabajo. En esta etapa también se discutieron y analizaron cuestiones metodológicas, de organización de la clase y relativas al rol docente. Estas reflexiones se enriquecieron con la lectura de los artículos que aparecen en el anexo de este documento.
EL TRABAJO CON EL GRUPO DE ALUMNOS
ELECCIÓN DE ACTIVIDADES Y PUESTA EN OBRA
Como hemos señalado en los capítulos anteriores, estamos persiguiendo a largo plazo, la instalación de la argumentación, la validación de los resultados y la demostración como prácticas propias del trabajo en matemática. En particular hemos elegido geometría tendiendo a instalar dichas prácticas como las necesarias o las más adecuadas para la resolución de los diferentes problemas que se plantean. Entendiendo esto como proceso y ubicados en la realidad actual de las aulas, hemos diseñado dos actividades, una de construcción de triángulos para primer año, que apunta al aprendizaje de los "criterios de igualdad de triángulos" y, para segundo año, el problema del rectángulo, que ya enunciamos en el Capítulo 3. La ubicación de cada una de estas actividades para primer y segundo año respectivamente es bastante relativa, y depende en gran parte de los conocimientos y prácticas habituales de los alumnos.
La actividad propuesta para segundo año, el problema del rectángulo, permite poner en evidencia los límites de ciertos recursos con que los alumnos cuentan para decidir la validez de una proposición. En este caso se trata de enfrentar a los alumnos con los límites del recurso a "la medida sobre el dibujo". Previendo que a partir de la utilización de este recurso los alumnos obtendrán resultados diferentes, se instala la duda y la puesta en debate de las distintas decisiones tomadas, situación que permitiría generar un espacio de discusión en el cual la producción de razones o argumentos puede tener cabida. Para primer año, sin embargo, pensamos que era necesario comenzar "más atrás". La actividad propuesta consiste en la construcción de triángulos a partir de datos que se hacen presentes. Estas construcciones ponen en juego relaciones entre lados, entre ángulos, y entre lados y ángulos de los triángulos. A partir de los diferentes juegos de datos, los alumnos deberán decidir si es posible construir o no un triángulo, analizar si la construcción es única o si puede haber más de un triángulo que verifique esas condiciones. Hemos optado por esta actividad teniendo en cuenta los siguientes criterios: Por un lado, queríamos que la actividad que tuvieran que desplegar los alumnos no estuviera muy distante de sus experiencias en la escuela primaria. Aunque pretendíamos un avance en la complejidad de las relaciones que se ponen en juego, se esperaba una actividad cuyos ingredientes básicos fueran las manipulaciones con los dibujos y la búsqueda de algunas argumentaciones que justifiquen ya sea las construcciones realizadas como la imposibilidad de llevarlas a cabo con los datos presentados. No esperábamos que los alumnos desarrollaran demostraciones de las distintas afirmaciones generales a las que irían arribando. Por otro lado, tuvimos en cuenta la necesidad de construcción de un conocimiento nuevo: los criterios de igualdad de triángulos. Para poder desplegar algún tipo de razonamiento deductivo es necesario disponer de conocimientos sobre los cuales sustentar dicho razonamiento. Para este año de la escolaridad, los "criterios de igualdad de triángulos" constituyen un conocimiento esencial para avanzar en el tipo de prácticas que pretendemos instalar. Necesitamos basarnos en algunas propiedades conocidas de los objetos geométricos para poder argumentar a partir de ellas y obtener nuevos resultados. Nosotros no estamos planteando en esta etapa un comienzo a partir del establecimiento de axiomas. Preferimos plantear esta tarea de construcción, entendiendo que la misma favorece la puesta en juego -implícita o explícita- de relaciones entre los elementos de un triángulo. Antes de comenzar con el análisis de las dos actividades, queremos presentar algunas reflexiones de orden más general:
- La entrada en la argumentación deductiva es compleja y se hace necesario entenderla como un proceso. Esto lleva implícito que ninguna actividad sola puede garantizar esta entrada y menos aún para la totalidad de la clase. - Las actividades que presentamos no pretenden ser un modelo garantizador de la entrada en estas prácticas. Diríamos más bien que se trata de actividades que favorecen el despliegue de las mismas. - Hay prácticas previas instaladas en las clases que en principio podrían tener mayor "status" para los alumnos que argumentar a partir de propiedades. Es necesario tener en cuenta este aspecto como constitutivo de la complejidad de la entrada en la demostración. - No estamos pensando introducir en este ciclo la estructura de un sistema axiomático deductivo. Sostenemos que es posible una iniciación a las prácticas de argumentación deductiva sin la explicitación de qué es un estructura axiomática (aspecto que sí podría ser interesante tratar en los años superiores, con una reflexión acerca del trabajo ya hecho). Dado que el objetivo de este documento es brindar apoyo tanto para la implementación efectiva de las actividades propuestas como para la selección y adaptación de otras actividades, creemos importante explicitar en nuestro análisis: - los objetivos, - la organización de la clase, - la relación entre ciertas variables de los problemas (tanto en su enunciado como en la organización prevista) y los objetivos a los que se apunta, - los procedimientos esperados de los alumnos, posibles errores y dificultades, y algunas formas de intervención docente, - el desarrollo de la puesta en común.
ACTIVIDAD PARA PRIMER AÑO: CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS
A través de los problemas 1, 2 y 3 se pretende establecer condiciones relacionadas con los lados de un triángulo de manera tal que sea posible construirlo. A su vez, se busca analizar
tales condiciones estableciendo en qué casos la construcción es única, en qué casos hay varios triángulos y en qué casos la construcción no se puede realizar. En el contexto de estos problemas, el compás aparece como un instrumento adecuado para alcanzar los objetivos.
Para la resolución de todos los problemas se propone que los alumnos trabajen en parejas. Mientras esto ocurre, el docente reproduce de manera aproximada (a escala) en el pizarrón los datos de tal forma que en el momento de la puesta en común puedan estar disponibles y sean utilizados por los alumnos para mostrar los resultados obtenidos. Durante la etapa de resolución, sería conveniente que el profesor observe las diferentes producciones de las parejas y pueda estar al tanto de las posibles respuestas que se discutirán en la puesta en común.
PROBLEMA 1 Dados los segmentos a y b
Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a a y otro lado igual a b. ¿Se pueden construir dos distintos? ¿Por qué?
Es esperable que los alumnos construyan más de un triángulo que cumpla las condiciones planteadas (utilizando para ello la regla o la escuadra y apelando casi exclusivamente a la medida) pero que sean acutángulos o bien rectángulos. En este caso será interesante que el docente proponga como otra posibilidad uno obtusángulo. Luego podrá preguntar cuántos triángulos diferentes se podrían armar. No es esperable que los alumnos recurran al compás para realizar la construcción. Es muy probable que dibujen alguno de los segmentos en la misma posición que están dados en el enunciado. En este punto, es conveniente que el docente explicite y deje bien en claro que, cuando trabajamos en geometría, diremos que dos segmentos son iguales cuando se pueden superponer (de manera que coincidan). Esta idea servirá para analizar diferentes construcciones y discutir las distintas posibilidades. Por otro lado, el docente podría presentar (luego de este análisis) una figura como esta:
a A partir de este dibujo se podría reflexionar con los alumnos en torno a cuál es la figura que describen los diferentes extremos del segmento b. Se espera que los alumnos reconozcan la circunferencia y es entonces la oportunidad para introducir el compás como un instrumento que permite, entre otras cosas, trasladar segmentos. Si algún alumno hubiese utilizado el compás, conviene retomar tal construcción evidenciando que los triángulos quedan determinados al marcar la circunferencia con centro en un extremo del segmento a y con radio igual a la medida del segmento b. Podría ocurrir que algún alumno tome como centro de la circunferencia el otro extremo del segmento a, obteniendo una serie de triángulos que resultarán simétricos a los ya construidos.
Es la oportunidad para que el docente explicite que, en geometría, dos triángulos son iguales si se pueden superponer. Si ningún alumno hace esta construcción de los simétricos, es conveniente que el docente proponga esta reflexión.
Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a a, otro lado igual a b y el otro lado igual a c. ¿Pueden construir dos distintos? ¿Por qué?
En este caso, luego de que cada pareja resuelve el problema, se les propondrá reunirse con otra pareja para que acuerden una respuesta común entre los cuatro. La consigna para este nuevo grupo será: - Acordar una respuesta en común. - Proponer argumentos para convencer a los otros si es posible o no construir dos triángulos distintos.
Se espera que los alumnos, al trabajar en parejas, realicen distintas construcciones, dudando de la posibilidad de que los triángulos construidos sean iguales ya que se encuentran en diferentes "posiciones", producto de comenzar cada construcción con un segmento distinto:
En los casos en que los alumnos sostengan que son iguales, y que por lo tanto la construcción es única, no es esperable que realicen una demostración matemática, puesto que esto requeriría apoyarse en axiomas y teoremas que no están disponibles. Se piensa en admitir argumentaciones provisorias. Alguna de dichas argumentaciones se apoyará en dibujos como el siguiente:
Se podrá discutir con los alumnos la igualdad de todos los triángulos dibujados, haciendo notar la simetría que hay entre ellos (apelando en algunos casos a la transitividad de la igualdad). De todas formas, esta argumentación será incompleta (y por eso hemos dicho provisoria) por el hecho de apelar intuitivamente a la simetría.
PROBLEMA 3 Dados los segmentos a, b y c
Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a a, otro lado igual a b y el otro lado igual a c. ¿Se pueden construir dos triángulos distintos? ¿Por qué?
En la resolución del Problema 3 se espera que los alumnos recurran al compás como instrumento para trasladar los segmentos que aparecen como datos del problema. De no ser así, el docente podrá sugerirlo al comienzo de la resolución, recordando los problemas anteriores. De las diferentes argumentaciones presentadas por los alumnos, se discutirá cuáles son correctas y cuáles no. De las correctas se analizará el diferente grado de precisión (por ejemplo, los alumnos pueden decir: no se puede hacer la construcción porque "los lados no cierran", "los lados no alcanzan", "los lados no se juntan"). Esto es un tanto subjetivo y la intención es que la clase, colectivamente, avance hacia los grados de precisión que se consideran en matemática.
Podría suceder que algún alumno se aproxime a la desigualdad triangular (será considerado un aporte valioso) pero si ninguno lo hace, no es el objetivo de este problema arribar a ella. Al finalizar estos tres problemas, el docente se hará cargo de establecer algunas conclusiones. Es importante que, en primer lugar, señale que la tarea que se ha realizado consistió en: "dada una colección de datos para construir triángulos, discutir si se obtenía un único triángulo, más de uno o ninguno". Para generalizar las conclusiones obtenidas, se construirá un cuadro como el siguiente (que el docente podrá tener preparado en papel afiche):
Dada una colección de datos para construir un triángulo, pueden aparecer las siguientes situaciones: Datos a partir de los cuales no se puede construir un triángulo Datos a partir de los cuales se puede construir un triángulo Datos a partir de los cuales se pueden construir varios triángulos distintos
Este cuadro se irá completando con la participación de los alumnos. En este momento, el docente deberá discutir con los alumnos si las conclusiones que se van anotando dependen de los datos particulares presentados o no (por ejemplo, puede preguntar "si doy dos lados cualesquiera, y no específicamente aquellos del problema 1, ¿siempre se puede construir más de un triángulo?"). Luego de estos análisis sobre la base de los problemas 1, 2 y 3, el cuadro se verá así:
Dada una colección de datos para construir un triángulo, pueden aparecer las siguientes situaciones: Datos a partir de los cuales no se puede construir un triángulo Datos a partir de los cuales se puede construir un triángulo Datos a partir de los cuales se pueden construir varios triángulos distintos Dos lados.
Tres lados "que no cierran". Tres lados "que cierran".
Los problemas 4, 5 y 6 buscan movilizar las concepciones de los alumnos en relación con la idea de ángulos interiores de los triángulos y establecer condiciones sobre dichos ángulos que permitan construir varios triángulos o hagan imposible su construcción. Por otro lado, los problemas 7 y 8 buscan poner en evidencia que también es posible "combinar" condiciones sobre lados y ángulos para construir un único triángulo.
Para la presentación de los problemas de esta segunda parte se debe prever que los alumnos dispongan de compás, escuadra y transportador. Los alumnos continúan trabajando en parejas. El docente aclara que tendrán aproximadamente 30 minutos para resolver los problemas 4, 5 y 6, que luego serán discutidos y analizados para posteriormente resolver los problemas 7 y 8.
PROBLEMA 4 Dados los ángulos A y B A B
Construyan, si es posible, un triángulo que tenga un ángulo igual a A y otro ángulo igual a B ¿Pueden construir dos distintos? ¿Por qué? ¿Será cierto que dados dos ángulos, siempre es posible construir un triángulo?
PROBLEMA 5 Construyan, si es posible, un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 45º y 75º ¿Pueden construir dos distintos? PROBLEMA 6 Construyan, si es posible, un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 45º y 105º ¿Pueden construir dos distintos? ¿Por qué?
En relación con el problema 4, se espera que los alumnos realicen las construcciones y luego puedan compararlas arribando a la conclusión de que es posible construir varios triángulos distintos si se conocen las medidas de dos de sus ángulos. La puesta en común puede ser la oportunidad para hacer explícito este hecho.
Con relación a la pregunta: "¿será cierto que, dados dos ángulos, siempre es posible construir una triángulo?", esperamos que los alumnos puedan arribar a la condición de que, si esos ángulos suman menos que 180º, la construcción será siempre posible. En tanto que si la suma de los dos ángulos es mayor que 180º, la construcción será imposible. Pueden apoyarse en construcciones como la siguiente:
100º En este caso, el triángulo no "cierra".
Suponemos que las justificaciones que den los alumnos se apoyarán mayormente en dibujos, pero no descartamos que algún alumno recuerde la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. En relación con el problema 5, es posible que algunos alumnos hagan la construcción, ubicando los ángulos de 30º y 45º, logren "cerrar" el triángulo, pero no controlen que el tercer ángulo no mide lo que corresponde según los datos del problema, o sea 75º. En este punto, en la puesta en común se debe evidenciar esta omisión y destacar la falta de control de la medida del tercer ángulo. También es posible que algunos alumnos recuperen la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, argumentando mediante dicha propiedad la imposibilidad de la construcción. En relación con el problema 6, suponemos que todos los alumnos van realizar la construcción. Algunos sin ningún tipo de control en cuanto a la suma de los ángulos interiores, y otros anticipando que, como la suma es 180º, no habrá problemas como en los casos anteriores. Estas construcciones serán confrontadas, seleccionando el docente aquellas que evidencien
las diferencias. Esta confrontación es necesaria ya que suponemos que varios alumnos anticiparán la existencia de un único triángulo. No se espera introducir en este problema la noción de semejanza, ni hablar de triángulos semejantes. Sí en cambio se espera que el trabajo permita identificar la posibilidad de construir infinitos triángulos, conociendo la medida de sus tres ángulos (siempre que la suma de éstos sea 180º).
PROBLEMA 7 Dado el segmento a y los ángulos A y B
construyan, si es posible, un triángulo en el cual uno de sus lados sea igual al segmento a y los ángulos adyacentes (o sea los que están apoyados en los extremos del segmento) sean iguales a los ángulos A y B. ¿Pueden construir dos triángulos distintos?
PROBLEMA 8 Dados los segmentos a y b y el ángulo A a b
construyan, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual al segmento a, otro lado igual segmento b y el ángulo que se forma entre estos dos lados sea igual al ángulo A. ¿Pueden construir dos triángulos distintos?
Con relación al problema 7, resulta muy probable que los alumnos realicen la siguiente construcción: Ubiquen en primer término el lado:
A continuación intenten dibujar los dos ángulos adyacentes:
Por último, prolonguen las semirrectas que conforman los ángulos hasta cerrar el triángulo. Si varios realizan el mismo tipo de construcción, resulta evidente que los triángulos son iguales. No sería tan evidente que son iguales, si se invierte la ubicación de los ángulos A y B. En este punto hay que retomar lo analizado en el problema 1 (en la clase anterior), en relación con la simetría que hay entre ambos triángulos. Por otro lado, es posible que algún alumno retome las condiciones sobre las medidas de los dos ángulos para garantizar que la construcción sea posible (problemas 4 y 5). En este punto, restaría discutir con los alumnos la unicidad de la construcción. Con relación al problema 8 la única dificultad esperable se presentaría en el caso en que haya dibujos en los que las posiciones de los segmentos aparecen invertidas. En este caso, habría que retomar una vez más el problema 1, comparar varias de las construcciones de los alumnos y poner en discusión si los triángulos son iguales o no. Se espera concluir que son iguales por rotaciones o simetrías. Finalizada esta segunda parte, se vuelve al cuadro iniciado en la clase anterior, en el cual se agregarán las conclusiones resultantes de estos problemas. La intención es que el docente pida a los alumnos que, sobre la base del trabajo realizado, confeccionen una lista de datos determinando, para cada caso, en qué columna lo ubicarían, llegando a este nuevo cuadro:
Dada una colección de datos para construir un triángulo, pueden aparecer las siguientes situaciones: Datos a partir de los cuales Datos a partir de los cuales no se pueden construir trián- se puede construir un triángulos gulo Tres lados "que no cierran". Tres lados "que cierran". Dos ángulos que suman más Un lado y dos ángulos que que 180º. sumen menos que 180º. Datos a partir de los cuales se pueden construir varios triángulos distintos Dos lados. Dos ángulos que sumen menos que 180º.
Tres ángulos que no suman 180º.
Tres ángulos que sumen 180º.
- Incorporar la altura entre los datos que se presentan para la construcción de un triángulo. - Movilizar las concepciones de altura de un triángulos disponibles en los alumnos y avanzar en su conceptualización. - Analizar diferentes condiciones sobre los datos del problema para determinar la posibilidad o no de construir un triángulo. En este caso en particular, aparece la altura como un dato relevante.
En todos los problemas de esta parte, los alumnos trabajan en parejas y se prevé una puesta en común en la cual se discutirán las soluciones a las que se han arribado.
b Construyan, si es posible, un triángulo con un lado igual al segmento a y la altura correspondiente a dicho lado igual al segmento b. ¿Cuántos triángulos diferentes podrían construir?
En este problema aparece por primera vez la altura. Es probable que algunos chicos no recuerden bien el concepto de altura y surjan preguntas desde el comienzo. Sería conveniente que el docente plantee las preguntas a toda la clase de manera de poder recuperar una definición en conjunto. Suponemos que, aun recuperado este concepto, algunos alumnos pueden objetar que falta "el dato de donde va la altura". Pensamos que esta problemática es de naturaleza distinta a la anterior, y que, si bien antes propusimos una intervención docente precisa para poder avanzar en la situación (es decir, la recuperación de la noción de altura de un triángulo), ahora proponemos una intervención más abierta que permita al alumno introducirse dentro de la problemática. Por ejemplo, el docente podría plantear que, en primer lugar, intenten realizar la construcción con los datos que se tienen, y que si piensan que son insuficientes, expliquen por qué. Anticipamos que algunos alumnos ubicarán la altura en algún lugar del lado b y dibujarán el triángulo, sin cuestionarse la posibilidad de haberla ubicado en otro punto, proponiendo entonces una respuesta única. Hemos elegido la puesta en común como la instancia adecuada para discutir esta cuestión, puesto que suponemos que las diferentes parejas habrán obtenido triángulos diferentes. De esta manera, se podrá discutir la variedad de triángulos construidos por los alumnos y poner en duda la cuestión de la unicidad. También pensamos que sería probable que aparecieran solamente triángulos acutángulos. En este caso, pensamos que el docente podrá preguntar explícitamente si es posible construir con estos datos algún triángulo recto y alguno obtusángulo. La idea es que en el pizarrón aparezcan dibujos de diferentes tipos:
Una vez discutida la cuestión de la unicidad, resta la pregunta de cuántos triángulos diferentes se pueden construir. Suponemos que los alumnos contestarán "muchos" y quizá algunos digan "infinitos"; también la puesta en común nos parece adecuada para cerrar esta discusión. Será de mucha utilidad para el problema siguiente, que los alumnos comprendan que al tener un lado y la altura que le corresponde, queda determinada una recta a la cual debe pertenecer el vértice opuesto a dicho lado. Es conveniente que esta recta quede dibujada a partir de la discusión de la cantidad posible de soluciones.
a A continuación, se reparte el enunciado de los problemas 10 y 11 a los alumnos y se les pide que justifiquen los resultados obtenidos en cada uno de ellos. Estas justificaciones serán presentadas en la puesta en común que se desarrollará al finalizar la resolución de ambos problemas.
a c b Construyan si es posible un triángulo con un lado igual a a, la altura correspondiente a este lado igual a b y otro lado igual a c. ¿Pueden construir dos triángulos distintos?
Si los alumnos utilizan la recta que determina la altura y que fue dibujada en el problema anterior, podríamos esperar que apareciese un dibujo como el siguiente:
A partir del análisis de esta figura podrá determinarse la no existencia del triángulo por el hecho de que la recta y la circunferencia determinada por el lado b no se cortan. Podría suceder que los alumnos no trazaran la recta que determina la altura. Inclusive, podría suceder que persistiera la cuestión de ubicar la altura en un punto determinado del lado dado. En este último caso, el docente puede apelar a las conclusiones del problema anterior para remover esta concepción. Aunque no se trace explícitamente la recta, podría suceder que algunos alumnos utilicen una "idea similar", dibujando el lado a, dibujando luego el lado b (suponiendo que a y b determinan un ángulo cualquiera) y utilizando una escuadra, la vayan desplazando de tal manera que su cateto menor se encuentre siempre sobre el lado a. Luego podrían ir variando el ángulo que forman a y b, para diferentes posiciones de la escuadra. En todos los casos, verificarán que la altura no se interseca con el lado b y entonces no se puede construir el triángulo. También podría suceder que los alumnos, teniendo en cuenta el trabajo desarrollado a propósito del problema anterior, no fijaran la posición de la altura, pero sí la posición del segmento b, utilizando implícitamente un dato que no figura en el problema (la amplitud del ángulo determinado por los segmentos a y b). En este caso, los alumnos arribarán a la no existencia del triángulo pero sin desplegar un análisis exhaustivo de las posibilidades. Pensamos que la puesta en común puede ser un lugar adecuado para identificar esta dificultad y someterla a discusión. Se trata aquí, más que de discutir si la respuesta es correcta o no, de analizar la pertinencia de los medios que les han permitido a los alumnos arribar a la conclusión.
PROBLEMA 11 Igual que el problema 10, pero ahora se cambia el segmento c por este
¿Pueden construir más de un triángulo con estos tres datos?
Es importante tener presente que la puesta en común del problema anterior se realiza conjuntamente con la de este problema. Por lo tanto, las únicas discusiones en torno al problema 10 han sido las que se desplegaron dentro de cada una de las parejas. Suponemos que la mayoría de las parejas arriban a una única solución. Un camino posible puede verse en el siguiente dibujo:
c´ b a
Si existen grupos que encontraron más de una solución, ambas propuestas podrán confrontarse en la puesta en común. Es probable que aquellos que hayan arribado a una solución única no hayan empleado el compás para hallar la intersección del lado b y la altura. Si éste es el caso de toda la clase, el docente podría sugerir su utilización. Finalmente debería aparecer en el pizarrón un dibujo como el siguiente, con los dos triángulos marcados:
Es la oportunidad de discutir si son o no iguales, apoyándose en argumentos que trasciendan lo visual. Es importante que como síntesis, al finalizar ambos problemas, el docente plantee la siguiente cuestión a los alumnos: "A partir de lo trabajado con estos dos problemas, dado un lado y la altura correspondiente a ese lado, ¿qué condiciones debe cumplir el otro lado para que no exista un triángulo?
¿Y para que hayan dos triángulos? ¿Habrá alguna condición para el otro lado para que exista un único triángulo? ¿Cuál?” Se espera que los alumnos puedan establecer las siguientes condiciones sobre el otro lado: - menor que la altura, para la primera pregunta, - mayor que la altura, para la segunda pregunta, - igual a la altura, para la tercera. En este último caso, se preguntará a los alumnos qué tipo de triángulo resulta. A partir de las conclusiones obtenidas, se solicita a los alumnos continuar completando el cuadro que se comenzó a llenar con la primera parte de la propuesta y se continuó con la segunda.
Dada una colección de datos para construir un triángulo, pueden aparecer las siguientes situaciones: Datos a partir de los cuales no se puede construir un triángulo. Datos a partir de los cuales se puede construir un triángulo. Datos a partir de los cuales se pueden construir varios triángulos distintos. Dos lados. Dos ángulos que suman menos que 180º. Tres ángulos que suman 180º.
Tres lados "que no cierran". Tres lados "que cierran". Dos ángulos que suman más Un lado y dos ángulos que que 180º. suman menos que 180º. Tres ángulos que no suman 180º. Un lado, la altura correspondiente a dicho lado y otro lado de longitud menor que la altura. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Un lado y la altura correspondiente a dicho lado. (Hay infinitos.)
Un lado, la altura correspondiente a dicho lado y otro
lado de longitud mayor que la altura. (Hay sólo dos.)
PROBLEMA 12 Dados los segmentos a y b y el ángulo C
b Construyan si es posible un triángulo con un lado igual a a, la altura correspondiente a ese lado igual a b y un ángulo adyacente al lado a igual al ángulo C.
Una posible forma de encarar este problema es dibujando el lado a, el ángulo adyacente a este lado, y luego, con la ayuda de la escuadra, ir desplazándola a lo largo del lado a hasta que el extremo de la altura, indicada sobre la escuadra, se encuentre con el lado del ángulo dibujado.
b C a b c a c a
También podrían dibujar el lado a, luego trazar la recta que determina la altura y, por último, dibujar el ángulo adyacente al lado a. El punto de intersección de la recta con el lado del ángulo determinará un vértice del triángulo.
c a Podría suceder que aparecieran dos triángulos, según se ubique el ángulo a derecha o a izquierda del lado a. En este caso, habría que apelar a la simetría (recurso ya utilizado en problemas anteriores). En caso de que esta cuestión no surgiera en la clase, pensamos que sería conveniente que el docente la plantee explícitamente, es decir, si todos los grupos ubicaron el ángulo en un mismo extremo del segmento a, el docente puede proponer ubicarlo en el otro extremo y analizar qué sucedería en este caso.
A partir de este análisis, se arribará a la conclusión de que existe un solo triángulo. Observemos que las condiciones establecidas en este problema podrán permitirnos construir un criterio de igualdad de triángulos que no se encuentra entre los habituales. Finalizado este análisis se pedirá a los alumnos agregar en el cuadro la información obtenida a partir del trabajo con este último problema.
Tres lados "que no cierran". Tres lados "que cierran". Dos ángulos que suman más Un lado y dos ángulos que que 180º. suman menos que 180º. Tres ángulos que no suman 180º. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Un lado, la altura correspon- Un lado, la altura correspon- Un lado y la altura corresdiente a dicho lado y otro diente a dicho lado y otro pondiente a dicho lado. lado menor que la altura. lado igual a la altura.
Un lado, la altura correspon- Un lado, la altura correspondiente a dicho lado y otro diente a dicho lado y un lado mayor que la altura. ángulo adyacente al lado dado.
Hasta este punto llegamos con la actividad en las tres clases de primer año donde fue implementada. Pensamos sin embargo que sería necesario continuar con otra actividad que per66
mita poner en juego los datos de la tabla como herramienta útil en la resolución de otros problemas. En particular, nuestra propuesta es construir a partir de ella, los criterios tradicionales de igualdad de triángulos. Este trabajo debería incluir un nivel de discusión y explicitación acerca de qué significa "un criterio de igualdad" y un nivel de información acerca de cuáles son los más usuales y que llevan, por lo tanto, ese nombre (el criterio construido con la altura, se deduce de la tabla pero quedaría fuera de este grupo). Como actividades tendiendo a lograr este objetivo -la construcción de los criterios a partir de la tabla- pensamos, por ejemplo, en las siguientes:
a) El profesor tiene dibujado en una hoja de tamaño A4 un triángulo e informa a los alumnos el valor de uno de sus ángulos. La consigna de trabajo es la siguiente: Los alumnos tienen que pedir por escrito al profesor otros dos datos del triángulo de tal forma que con los tres datos puedan dibujar un triángulo igual al que tiene el docente. El profesor envía la información solicitada también por escrito en los mismos papeles entregados por los alumnos. Cuando un grupo finaliza el dibujo, llama al docente para verificar si los triángulos coinciden. El docente entregará el dibujo que él tiene, los alumnos superponen los triángulos y realizan la verificación. El docente permanece con el grupo y retira su hoja. (La hoja no tiene que permanecer durante mucho tiempo en manos de los alumnos y solo pueden utilizarla para superponerla con la de ellos, es decir, no pueden tomar datos sobre la hoja del docente.) En caso de no coincidir se les dice a los alumnos que pueden pedir nuevamente dos datos por escrito y el juego vuelve a comenzar (se usan estos nuevos datos más el que dio el docente y no los anteriormente pedidos). b) La misma actividad que en a) pero ahora el docente tiene otro triángulo y da como dato inicial uno de sus lados. En las puestas en común es importante que se expongan los datos que se han pedido en las diferentes instancias, es decir, tanto los datos que no permitieron llegar a la construcción pedida como los que sí lo permitieron.
a) La misma actividad que en a) del problema anterior, con otro triángulo, pero dando como datos un lado y la altura correspondiente a dicho lado. Los alumnos tienen que pedir ahora un solo dato. b) Igual que la anterior, con otro triángulo y el docente da dos ángulos como datos. Los alumnos deben pedir un dato más. En la puesta en común se destacaría el hecho de que hay ciertos conjuntos de datos para los cuales, todos los triángulos que tengan esos mismos datos, resultan iguales. Algunas imágenes de la puesta en el aula de la actividad de primer año: construcción de triángulos En la puesta en el aula de las actividades relacionadas con la congruencia de triángulos interesa destacar las siguientes cuestiones: - Hubo dificultad en la lectura de los enunciados y en consecuencia en la interpretación de las consignas. A partir de las dificultades, se trabajó con los docentes en una nueva formulación de cada enunciado. - Un obstáculo que se presentó fue el concepto de ángulo, escasamente disponible en los chicos. Hubo que revisar tanto la noción de ángulo como la manipulación necesaria para medirlos y trasladarlos con transportador. En algunos casos, hubo que trabajar en la diferencia entre un ángulo y su medida: algunos alumnos afirmaban que, en un semiplano, había solamente 179 ángulos distintos. - Es notorio que en varios casos los alumnos dibujan triángulos a partir de los tres lados, pero sostienen muy fuertemente que si empiezan el dibujo con un segmento diferente cada vez, los triángulos obtenidos van a resultar diferentes. Esto se pudo remover pragmáticamente: una vez realizados ambos dibujos, giran la hoja hasta poder colocarlos en la misma posición, y esto los convence, aunque no significa que la concepción haya sido movida. Fue más dificultoso apelar a las simetrías para justificar la unicidad. - En el problema de dibujar dos triángulos dados dos ángulos, muchos alumnos producían una sola solución. La única variante que presentaban era cambiar la ubicación de los ángulos. Elegían la longitud de uno de los lados al azar pero, en una segunda construcción, ese lado elegido al azar medía lo mismo que en la primera construcción. Este fenómeno de "elegir" uno de los elementos (dentro de los infinitos posibles) para iniciar la construcción y contestar que dicha construcción es única aparece en casi todos los grupos observados. Es producto de la intervención docente el poder mover estas ideas.
- Cuando uno de los datos para la construcción es la altura correspondiente a uno de los lados, muchos alumnos ubican la altura en algunos puntos determinados de ese segmento, en particular en su punto medio. Casi ningún alumno dibuja un triángulo cuya altura sea exterior al mismo. En cuanto a la gestión de la clase cabe destacar que los alumnos aceptaron rápidamente el trabajo en parejas, pero en muchos casos el trabajo no se hizo entre los dos: cada uno hacía lo suyo, o uno hacía y el otro miraba. Requería de intervenciones externas para que trabajaran como equipo y, si a alguno le surgía una duda, inmediatamente recurría al docente; no aceptaban permanecer en un estado de duda ni consultar a su compañero. Remover esta modalidad requiere evidentemente de las explícitas intervenciones del docente y de un trabajo mucho más extenso que el que puede hacerse en tres clases. En general, aparece como dificultosa la tarea de coordinar a los alumnos haciéndolos entrar en el terreno del debate de ideas. A su vez, en algunos casos, resultó difícil para el docente reconocer que hay errores que aportan a la discusión. Producto de la ansiedad, muchas veces "nos anticipamos" a las respuestas de los alumnos. En ocasiones, "no hacemos pasar" a los que lo hacen mal, ya que no "soportamos" no dar la respuesta correcta cuando vemos errores en el trabajo. En consecuencia, en las puestas en común, estos errores ya han sido aclarados en los pequeños grupos y el debate que se busca generar es menos intenso. Es todo un proceso lograr que las "puestas en común" sean una instancia fructífera para el aprendizaje de los alumnos. Con relación a los tipos de respuesta que admitían los problemas que fueron planteados, es posible distinguir: - Aquellos para los cuales la respuesta es "no se puede construir". Dentro de éstos, algunos pueden validarse totalmente a partir de la construcción, es decir que la validación pragmática es suficiente para dar respuesta al problema, por ejemplo, el problema 10. Hay otros para los cuales el dibujo no es suficiente y hay que apelar a algún tipo de propiedad para validar (por ejemplo, el problema 5 en el cual siempre se puede pensar que habría otro triángulo "más grande", imposible de dibujar, etcétera). Se observó que para algunos alumnos comenzó a aparecer la interesante distinción entre "no me sale la construcción" y "no hay triángulo".
- Los problemas en los cuales la respuesta es "hay un solo triángulo". En estos casos, la validación de la unicidad es más compleja. En la mayor parte de los casos, la confirmación de la unicidad recayó en el docente, por ejemplo, el problema 2. En este caso, podría haberse arribado a la validez del trabajo a través de simetrías, rotaciones, etc., pero no ha aparecido en ninguno de los cursos observados. - En los casos donde hay más de un triángulo a dibujar, la validación es pragmática, es decir "muestran" que hay otro, sin necesidad de argumentar por qué este otro es distinto al anterior (quedan en el plano del dibujo: "no ves que son diferentes"). En el problema 1 los alumnos llegan a decir que hay infinitos triángulos, por una reflexión que trasciende los dibujos hechos y se instala en el plano de los dibujos posibles de hacer. Con relación a la validación, se percibe que, a medida que se fue avanzando en la resolución de los problemas, los alumnos fueron desarrollando cada vez más argumentaciones para apoyar sus respuestas. Hay que destacar que en líneas generales no hubo resistencia de los alumnos en aceptar este requerimiento de argumentaciones, a través de las cuales podían tener confirmación sobre la validez de sus resultados particulares. Es claro que la validación desplegada ha sido bastante especial (en general mas bien pragmática), pero aun dentro de este tipo de validación resulta interesante distinguir dos tipos: - Las que se apoyan exclusivamente en conocimientos anteriores, por ejemplo: "no va a poder armar un triángulo porque la suma de los ángulos no es 180º" (teniendo en cuenta que la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo es un conocimiento que los alumnos ya poseían). En este tipo de argumentaciones, los alumnos encontraban que sus conocimientos "antiguos" de geometría podían servir para responder problemas actuales. - Las que se construyen a través de la situación misma: se infieren enunciados generales a partir de la manipulación de casos particulares. Estos enunciados son en general formulados por los alumnos con una cierta imprecisión, no solamente porque los alumnos "no se expresan correctamente", sino porque tal imprecisión del lenguaje es muestra de una conceptualización en proceso de construcción; por ejemplo, teniendo en cuenta que los alumnos no conocían la propiedad triangular, han producido, a propósito del problema 3, sentencias cómo: "no es posible dibujarlo porque los lados no llegan a juntarse" …. o "este no se puede armar porque los lados que no son la base tienen que sumar más que el que es
la base". Esta última sería una enunciación parcial de la propiedad triangular; parcial, puesto que no se plantea la cuestión de que la base podría ser cualquiera de los tres lados. En las distintas clases donde se realizó la experiencia, se arribaron a distintas formulaciones de esta condición de compatibilidad, con mayor o menor intervención docente. Pero en todos los casos se proyectó volver más adelante a trabajar explícitamente sobre la propiedad triangular, la cual no era claramente el objeto de esta secuencia. Ahora bien, además de las precisiones o imprecisiones en esta formulación, el argumento de los alumnos se sustenta sobre un conocimiento que surge a partir de la manipulación con los dibujos a la que obliga el problema. Es necesario recordar aquí que el objetivo de esta actividad es la producción de los criterios de igualdad de triángulos, vía la construcción, pero que a más largo plazo, se pretenderá instalar las argumentaciones basadas en las propiedades de las figuras, como la forma de trabajo privilegiada en geometría. Llegar a esta instancia requiere además que los alumnos acepten reglas que irá enunciando el docente. Y requiere también el conocimiento de propiedades que sirvan como base de las argumentaciones. La actividad que se acaba de analizar permite la producción de nuevas propiedades, que no entran al aula por enunciación del docente sino a partir de un trabajo manipulativo de cada alumno y de un debate colectivo. Es una práctica que deberá ir evolucionando hacia aquella que se quiere instalar.
ACTIVIDAD PARA SEGUNDO AÑO: EL PROBLEMA DEL RECTÁNGULO7
En este caso, hemos elegido una actividad que junto con una organización determinada de la clase, permitiera poner en evidencia los límites del recurso a la medida para la resolución del problema planteado (resolución que incluirá la discusión sobre los procedimientos empleados por los alumnos). Presentamos a continuación el enunciado del problema, tal como ha sido entregado a los alumnos y la organización de la clase.
7 El problema ha sido extraído del artículo "Mesure et Demonstration. Un exemple d¨activité en classe
de Quatrième", por Bernard Clapponi, aparecido en la Revista Petit X, nº 17, Paris: 1988, pp. 29-48.
Primera etapa: los alumnos trabajan en forma individual. Segunda etapa: cuando todos los alumnos tienen alguna respuesta, el profesor propone que se reúnan en grupos de 4 y discutan el problema para arribar a una solución en conjunto. Por otro lado, y teniendo en cuenta que tendrán que exponer y defender ante los otros grupos su propuesta, tendrán que elaborar una justificación del trabajo que han realizado. Tercera etapa: un representante de cada grupo expone en el pizarrón sus resultados y se organiza un debate. Cuarta etapa: se realiza un balance final y se identifica aquello que se pretende que se aprenda a través de la actividad.
¿Por qué hemos elegido esta formulación del problema y esta organización de la clase? Como esperamos que la mayoría de los alumnos resuelva el problema a través de la medición de los lados de cada rectángulo y del cálculo de las áreas, hemos hecho algunas elecciones intencionales de tal forma que los resultados obtenidos por cada alumno fueran divergentes. Esto provocaría, en primer lugar, contradicciones dentro de cada uno de los grupos y luego entre los diferentes grupos que conforman la clase. Las medidas elegidas para los lados del rectángulo ABCD son tales que, los lados de los rectángulos cuyas áreas se deben comparar resultan números irracionales. Esto conduce a mayores imprecisiones en las mediciones efectuadas por los alumnos. Por otro lado, si bien hubiera sido posible proponer un enunciado sin medidas, quisimos evitarlo puesto que supusimos que la diversidad de dibujos que hubieran surgido en estas condiciones no permitiría la evidencia de una contradicción, ya que los alumnos podrían atribuir la diferencia entre los resultados obtenidos al hecho de haber dibujado rectángulos diferentes. Asimismo, decidimos que el enunciado contenga el dibujo presentado para evitar que surgieran dibujos "en apariencia" diferentes en función de la ubicación de las letras en los vértices del rectángulo (lo cual nos hubiera llevado a la necesidad de discutir la congruencia de las figuras, discusión que no aportaría demasiado a los objetivos planteados). La hoja que se presenta a los alumnos y sobre la cual deben trabajar, no es cuadriculada para evitar la elección del "cuadradito" como unidad de medida. Con relación a la formulación de la pregunta, Arsac y otros, expresan: "La cuestión podría haberse planteado así: Comparar las áreas de los rectángulos IBLP y KPJD. En este caso, un consenso en favor de la igualdad de las áreas correría el riesgo de establecerse en la clase sin ningún tipo de debate. Es en efecto, la respuesta usual a este tipo de pregunta en los problemas de matemática."8 La organización de la clase adquiere asimismo un lugar esencial para el establecimiento de condiciones que nos permitan aproximarnos al objetivo deseado. Un primer conflicto debe aparecer en cada grupo, con relación a la confrontación de respuestas diferentes, ya que nos interesa empezar a cuestionar la "exactitud de la medida" e ir modificando esta concepción de los alumnos por la idea de que toda medición es aproximada. Por esta razón hemos pen8 G. Arsac y otros. "Initiation au raisonnement déductif au college", en Presses universitaires, Lyon, 1992.
sado una instancia de trabajo individual para que cada uno llegue al grupo con una respuesta al problema. Hasta este momento del desarrollo de la actividad, el docente no se posiciona ni a favor ni en contra de las decisiones individuales o grupales. Por supuesto que el docente está activo y participa de todas las cuestiones que no comprometan el desarrollo del debate posterior. Es decir, si algún grupo llega a la instancia del debate con la confirmación del docente de que su resultado es correcto, tal debate no cumplirá la función para el cual fue previsto. ¿Qué esperábamos que sucediera en la clase? Como ya dijimos, pensamos que la estrategia mayoritaria de la clase será la de medir con la regla la longitud de los lados del rectángulo dado y calcular las dos áreas a partir de los valores obtenidos. Suponemos que cada alumno obtendrá valores diferentes para los lados y por lo tanto, para las áreas. De esta manera, aparecerán en la clase algunos alumnos que dirán que el rectángulo IBLP tiene mayor área que el KPJD o viceversa, o en algunos casos, puede haber alumnos que lleguen a la conclusión de que las áreas son iguales. ¿Y cómo podrán actuar los alumnos de un grupo frente a la contradicción que se les ha planteado? Hemos pensado diferentes posibilidades. Una sería que un integrante mida nuevamente bajo la atenta mirada del resto: ¡aparece una nueva medida que no es igual a ninguna de las anteriores! Otra puede ser que cada integrante vuelva a medir su dibujo "con mayor" precisión. También podría suceder que un grupo decida en función de lo que dice un determinado alumno, puesto que éste siempre se destaca en la clase de matemática. Y aquí es donde pensamos que el docente debe intervenir: debe tratarse de una discusión en la cual no prevalezca la fuerza de convicción de una persona, o el status que ésta tiene en la clase sino las razones sobre las cuales se sustenta la decisión. También podría suceder que los integrantes de un grupo no se pusieran de acuerdo y, en este caso, pensamos que el docente debería permitir que el grupo se presente con diferentes resultados en la puesta en común. Otro caso sería que algunos de los integrantes de un grupo o todo el grupo en conjunto produzca una prueba.
Tener previsto ciertos comportamientos de los alumnos permitirá al docente anticipar posibles intervenciones para que la situación evolucione hacia los objetivos planteados. Esto permite controlar parte de la incertidumbre que puede generar en el docente este tipo de trabajo, aunque no hay que perder de vista que siempre hay "imprevistos" en las clases y que muchas decisiones tendrán que tomarse sobre la marcha. En el momento de la puesta en común puede suceder: - que todos los grupos se apoyen en las medidas, - que haya aparecido algún tipo de prueba en alguno de los grupos. En el primer caso tendremos seguramente un conflicto por tener cada grupo resultados diferentes. Y aquí el rol del docente es fundamental: discutirá con los alumnos la imposibilidad de tomar una decisión basándose en la medición, puesto que toda medida es aproximada, y pedirá buscar otros recursos para resolver el problema presentado, volviendo a trabajar en los grupos ya conformados. Dentro de este primer caso, también podría suceder que toda la clase se haya puesto de acuerdo en que uno de los rectángulos es mayor que otro. En este caso, será el profesor el que genere un conflicto. Podría directamente plantear algo como lo que sigue. "En otro curso que hemos trabajado con este problema, un grupo respondió así: 'Las áreas son iguales porque: - el área del triángulo ACB es igual al área del triángulo ADC . - el área del triángulo API es igual al área del triángulo APK - el área del triángulo PCL es igual al área del triángulo PJC. Entonces, restando las áreas nos queda que los dos rectángulos tienen la misma área.' ¿Qué opinan de esta conclusión? " De esta manera es el docente el que introduce en la discusión un recurso diferente al propuesto por los alumnos -la "argumentación deductiva"-. En principio, el recurso es nuevo y la conclusión a la que permite arribar también. En el segundo de los casos, es decir si la prueba ha aparecido en alguno de los grupos, la discusión se planteará entre este grupo y el resto de la clase. En ambos casos el debate girará no sólo en torno de las respuestas obtenidas sino también en relación con la diferencia entre los procedimientos empleados para arribar a la decisión. Es esta una discusión que el profesor debe conducir activamente.
IMÁGENES DE LA PUESTA EN EL AULA DE LA ACTIVIDAD DE SEGUNDO AÑO :
Al principio del trabajo algunos grupos se preguntan si hay que medir con la regla o "calcular" por Pitágoras si deben buscar alguna otra cosa... Otros preguntan si hay que resolverlo geométricamente. El docente devuelve a los alumnos la responsabilidad de la resolución respondiendo que tienen que resolverlo de la manera que ellos crean que se puede arribar a una respuesta correcta. En un grupo, uno de sus integrantes dice que las áreas son iguales por resta de superficies. El docente colabora pidiéndole que explique qué quiere decir esto y le recuerda luego que deberá defender esta propuesta frente a sus compañeros en el pizarrón. Entonces, ayudado por otros compañeros, logra justificar en parte su afirmación. En un equipo, tres alumnos llegan midiendo a la misma respuesta y el cuarto no. Deciden volver a medir "entre todos". Toman nuevamente la regla y miden sobre el dibujo del chico que tenía la respuesta diferente. En la nueva medición obtienen valores diferentes nuevamente. Gran confusión, vuelven a medir. No llegan a ninguna conclusión. Hay dos chicas de otro equipo que dicen que son iguales porque uno es más largo y más fino pero el otro es más corto pero más gordo. Se compensa. No pueden avanzar en la justificación y se quedan con esto. El docente les pregunta si les parece éste un argumento fuerte para defender su propuesta ante los otros. Dicen que no, vuelven a la búsqueda de otras razones pero no las encuentran, a pesar de estar convencidas de que las áreas son iguales. Con esta variedad de trabajo en los grupos, se llega a la puesta en común donde entre todos se discute acerca de los límites de la medición y la posibilidad de arribar a la respuesta con una argumentación. Algo diferente aconteció en una escuela industrial. Por ejemplo en un grupo, todos han medido y llegaron a resultados diferentes. Uno de sus integrantes dijo: "hay problemas con las medidas, hay que hacerlo analíticamente, con trigonometría" (hay que tener en cuenta que se trata de un segundo año de una escuela industrial y que el tema que se había trabajado antes de esta experiencia es trigonometría). Frente
a la pregunta del docente de porqué hay que resolverlo analíticamente responde: "porque por 1 mm puede cambiar el resultado" y un compañero de grupo dice: "para usar los datos que me da el problema, para algo me los dan". También dijeron que tanto con medidas como con trigonometría se podía resolver. Lo hacen de las dos formas para verificar porque con trigonometría es más exacto. Siguiendo con esa escuela industrial, otro grupo, a partir de medidas desiguales -pero necesariamente próximas- concluyó que las áreas debían ser iguales "porque siempre hay error de medición". Hay aquí una utilización de la medición más próxima al uso científico y distante del plano pragmático en el que se encuentra el resto de la clase. En el momento en que el grupo produjo esa afirmación un miembro de nuestro equipo intervino planteándole a éste la necesidad de encontrar una argumentación más sólida para defender su resultado de igualdad de las áreas en el debate colectivo. Frente a esta intervención el grupo elabora una argumentación deductiva basada en la igualdad de los triángulos en que queda dividido el rectángulo a partir de su diagonal. En el momento del debate, este grupo fundamenta que las áreas son iguales apoyándose sucesivamente en los dos argumentos que ellos habían encontrado. Esto provoca un rechazo generalizado, sobre todo por parte de los alumnos más fuertes en matemática, que si bien aceptan la declaración acerca de los errores en la medición, no consideran que la argumentación deductiva sea suficiente para arribar a una respuesta: "Ustedes lo pensaron con la cabeza, pero analíticamente (refiriéndose a las cuentas), matemáticamente, no da" -dijo un alumno asumiendo la representación de la mayoría-. La clase acepta que las áreas sean iguales pero exige al grupo que llegue a esto midiendo sobre el dibujo. Para estos alumnos de escuela técnica, con hábitos muy arraigados en mediciones y cálculos, la incertidumbre provocada por resultados diferentes se resuelve afinando la medición y no lleva a un cuestionamiento de ésta en tanto práctica para decidir sobre la validez de una relación. El episodio que acabamos de relatar muestra parte de la complejidad inherente a la introducción de un tipo de práctica diferente en el aula. La demostración deductiva debe ser aceptada como práctica "superior" en relación con otras como la medición o la simple observación, pero esto no puede lograrse con una sola actividad, ni con todos los alumnos al mismo tiempo. Tampoco podrá ser comprendido si los alumnos se ven obligados a aceptarlo por imposición del docente.
Hasta aquí el relato de las dos actividades y algunas instancias de su puesta en las aulas. Son solo un pequeño trazo que puede ser parte del camino a recorrer en el intento de instalar en las aulas la práctica de la argumentación deductiva, como forma privilegiada para validar las afirmaciones en matemática.
¿Por qué enseñar matemática?9
En principio podríamos suponer que la respuesta a esta pregunta resulta evidente, pero encontramos diversas perspectivas y repuestas posibles. Muchas veces aparece como una respuesta a esta pregunta que en el nivel inicial hay que enseñar matemática para preparar a los niños para la escuela primaria y, en la escuela primaria hay que enseñar matemática para poder utilizarla en la escuela media y así sucesivamente. Pero considerar que aprender matemática sirve para seguir aprendiendo matemática no parece ser una verdadera respuesta sino una delegación del sentido al final de la escolaridad. La matemática se ha vuelto una herramienta imprescindible para comprender la realidad y desenvolverse en ella. Sabemos que la sociedad actual está impregnada de matemática. Es suficiente leer un diario para observar que se necesita un caudal importante de conocimientos matemáticos para entender la información que aparece en el mismo e interpretarla críticamente. Algunos conceptos matemáticos son ya necesarios para cualquier ciudadano para saber leer e interpretar las facturas de servicios o los recibos de sueldo, para poder viajar en medios de transporte públicos y encontrar una dirección. Por otra parte, el conjunto de disciplinas científicas que utilizan modelos matemáticos para la descripción de fenómenos y procesos que ocurren en su interior, es cada vez más amplio. Físicos, químicos, economistas, sociólogos, historiadores, psicólogos necesitan utilizar capí9 Extraído de Matemática. Documento de trabajo nº1, Actualización curricular. MCBA, Secretaría de Educación Dirección de Currículum, 1995. 79
tulos enteros de la matemática para explicar determinados comportamientos, organizar la información, etcétera. Sin embargo, tampoco consideramos que es suficiente considerar que hay que enseñar matemática sólo porque ésta es necesaria, útil. Además de los aspectos puramente instrumentales creemos que existen otras razones. La escuela es la institución primordial de socialización de los niños. Es el lugar por excelencia en el que se interroga sobre el mundo, en el que se aprende a conocerlo para actuar en él y sobre él. Para interrogarse sobre el mundo, nos interrogamos sobre los saberes. La escuela tiene la función social de hacer que los niños y los jóvenes se apropien de una parte del conocimiento que la humanidad ha producido y produce. Las matemáticas forman parte importante de la cultura que la humanidad ha construido durante siglos. Este patrimonio cultural, o por lo menos un recorte de él debe ser apropiado por los alumnos. Dicha apropiación por parte de todos los niños contribuye a la conservación y distribución de dicho conocimiento. Por otro lado, la complejidad de las comunicaciones entre los miembros de una sociedad actual implica el dominio de ciertas experiencias matemáticas. Es decir que actualmente las matemáticas constituyen un bien social, muchos de sus conceptos y vocabulario forman parte del lenguaje básico necesario para establecer una comunicación con los otros, y sin su dominio gran parte de los mensajes no pueden ser comprendidos. Una respuesta muy frecuente a la pregunta inicial es que hay que enseñar matemática porque su aprendizaje contribuye a la formación y estructuración del pensamiento. Sabemos que la enseñanza de la matemática no tiene el monopolio ni del pensamiento racional ni de la lógica pero es un lugar privilegiado para su desarrollo. Pero el simple hecho de enseñar matemática, ¿asegura que los alumnos desarrollen un pensamiento matemático? Seguramente no. La posibilidad de que los alumnos en la escuela desarrollen un pensamiento matemático está ligada a la concepción de qué es hacer matemática, y al modo en que esta sea enseñada. Consideramos que hacer matemática en la escuela implica desde los primeros aprendizajes poner en juego las ideas, escuchar a otros, ensayar y discutir soluciones, resolver problemas, apren80
der a plantearlos, buscar los datos necesarios para su solución, formular y comunicar sus procedimientos y resultados, argumentar a propósito de la validez de una solución, dar prueba de lo que se afirma, proponer ejemplos y contraejemplos, traducir de un lenguaje a otro, descubrir demostraciones e interpretar demostraciones hechas por otros. Es esta experiencia viva de hacer matemática en la escuela la que puede permitir que los alumnos establezcan una relación personal con la matemática, acepten ser actores de una aventura intelectual en un terreno en el que importa tanto la imaginación, el ingenio y la curiosidad como el rigor, la precisión y el compromiso. La enseñanza de las matemáticas propone no solamente la transmisión de conocimientos matemáticos, sino, tratar de hacer que los alumnos entren en el juego matemático, en la cultura matemática. Si no se tiene en cuenta un enfoque didáctico que contemple esta concepción de qué es hacer matemática, difícilmente la transmisión de ciertos recortes del conocimiento matemático logre los fines formativos que se atribuyen a esta ciencia. En síntesis, hay que enseñar matemática en la escuela porque ésta constituye: - Un bien instrumental necesario para comprender el mundo, operar sobre él y enriquecerlo. - Un bien formativo puesto que bajo ciertas condiciones didácticas contribuye al desarrollo del pensamiento lógico involucrado en la actividad matemática. - Un bien cultural que necesita ser mantenido ya que su construcción se ha convertido en un saber objetivado. - Un bien social ya que está incluido en las comunicaciones de la sociedad actual.
CONCEPCIÓN DE MATEMÁTICA ORIENTA ESTE ENFOQUE ?
Numerosos matemáticos de renombre reconocen que los problemas son el corazón de la actividad matemática. También desde un punto de vista de la Didáctica de las Matemáticas, Brousseau señala: "Un alumno no hace matemática si no se plantea y no resuelve problemas". La concepción de matemática que orienta este enfoque parte de analizar cómo se produce el conocimiento matemático.
El conocimiento matemático ha progresado -y progresa actualmente- en su intento de dar respuesta a necesidades planteadas por la vida cotidiana, por otras ciencias o por la misma matemática. Los problemas han sido el motor de la ciencia matemática en la medida en que su resolución ha permitido elaborar nuevos conceptos, relacionarlos con otros ya conocidos, modificar viejas ideas, inventar procedimientos. Pero esta elaboración no se realiza sin dificultad. Los problemas a menudo ofrecen resistencia; las soluciones son casi siempre parciales.10 Aprender matemática en la escuela debe tener relación, aunque sea delicado precisar sus límites, con lo que ha sido y es para la humanidad hacer matemática. Este planteamiento se apoya en la tesis de que el sujeto que aprende necesita construir por sí mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo similar al que realizaron los productores originales de los conocimientos que se quieren enseñar. Esto implica considerar como centrales las siguientes ideas: - los conocimientos se producen como soluciones a problemas específicos que los seres humanos han enfrentado en un momento u otro; -son los problemas que le han dado origen (y los que se han planteado a continuación) los que han dado sentido a la matemática producida. Diversas concepciones de matemática orientan y subyacen a las prácticas de enseñanza. Para algunos la Matemática es un conjunto de definiciones, para otros poderosas estructuras. Sin duda la concepción de matemática que tiene un currículum, que tiene un docente interviene en el modelo de enseñanza propuesto, deseado, realizado. Somos conscientes de que aun quienes comparten una concepción de matemática que reconoce en el problema la fuente, el motor y el criterio del aprendizaje, enfrentan dificultades para poder llevar adelante una enseñanza coherente con la misma.
10 R. Charnay. "Aprender (por medio de) la resolución de problemas" en C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de Matemática, Buenos Aires, Paidós, 1993. 82
Es razonable que esto suceda porque no basta una concepción del área para enfrentar los múltiples desafíos que se presentan día a día en las aulas al asumir la responsabilidad social de que los niños aprendan.
CONCEPCIÓN DE APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA ORIENTA ESTE ENFOQUE ?
Partimos de las siguientes ideas acerca de qué consideramos que es aprender: Como hipótesis sobre la adquisición de conocimientos, adoptamos la idea central de Piaget con respecto a la formación de conocimientos según la cual "los conocimientos no proceden ni de la sola experiencia de los objetos ni de una programación innata preformada del sujeto, sino de construcciones sucesivas con elaboraciones constantes de estructuras nuevas". Si bien Piaget no se centró en las relaciones entre la enseñanza y el aprendizaje, a partir de esta concepción de aprendizaje numerosas investigaciones se han realizado sobre el aprendizaje en la escuela y, en particular, sobre el aprendizaje de la matemática. Los conocimientos no se apilan, no se acumulan, sino que pasan de estados de equilibrio a estados de desequilibrio, en el transcurso de los cuales estos conocimientos anteriores son cuestionados. El pasaje de un estado de menor conocimiento a un estado de mayor conocimiento es un proceso complejo que no reside en la acumulación de pequeños sectores de saber que se van sumando sino en verdaderas reestructuraciones. Piaget ha subrayado el rol de la acción en la construcción de conocimientos. "Acción" debe ser entendido no como manipulación de objetos sino como una acción con una finalidad, en un contexto de resolución de problemas. Las acciones que pueden cumplir ese rol son aquellas que los sujetos emprenden para responder a una pregunta, a un problema que se les ha formulado o que se han planteado. La acción matemática consiste a menudo en la elaboración de una estrategia, de un procedimiento que permite anticipar el resultado de una acción no realizada todavía. Las producciones del alumno son una información sobre su estado de saber. En particular ciertas producciones erróneas no corresponden a una ausencia de saber, sino, más bien, a una manera de conocer a partir de la cual, y a veces en contra de su propia concepción, el alumno deberá construir el nuevo conocimiento.
La interacción social es un elemento importante en el aprendizaje. Se trata tanto de las relaciones maestro-alumnos, como de las relaciones alumnos-alumnos puestas en marcha en el decir, expresar, convencer, cuestionar, ayudar, etc. En la concepción de aprendizaje que estamos considerando el docente tiene una responsabilidad muy importante pues no se trata solo de que los alumnos actúen en la resolución de problemas sino de que el docente favorezca el análisis, la confrontación de ideas, la formulación de los saberes. Asimismo son de importancia crucial en esta concepción de qué es aprender matemática, las relaciones entre los alumnos, pues estamos concibiendo el quehacer matemático como una práctica social de argumentación, defensa, justificación, formulación y demostración que sólo tiene sentido en un contexto de trabajo con otros. Aprender matemática es, desde nuestra perspectiva, construir el sentido de los conocimientos y la actividad matemática esencial es la resolución de problemas y la reflexión alrededor de los mismos. Saber matemática reviste un doble aspecto: Por una parte es disponer de ciertas nociones, conocimientos, teoremas matemáticos para resolver problemas, interpretar situaciones nuevas. En tal funcionamiento las nociones y los teoremas matemáticos tienen status de herramienta, de recurso. Los problemas para los cuales un conocimiento es útil dan sentido a ese conocimiento. Saber matemática es también identificar las nociones y los teoremas como elementos de un corpus científica y socialmente reconocido. Es también formular definiciones, enunciar teoremas y demostrarlos. En este caso, las nociones, los teoremas tienen status de objeto. Una construcción que toma en cuenta el sentido de los conocimientos, necesita, a la vez, producir la articulación de esos conocimientos con el saber constituido.
CONDICIONES PLANTEA A LA ENSEÑANZA ESTE ENFOQUE DEL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA?
Constatamos a diario que muchos alumnos "saben" un montón de cosas, pero no "saben" utilizarlas en el momento adecuado. Es el caso, por ejemplo, del planteo de una ecuación para un problema: muchas horas se dedican en el colegio a resolver ecuaciones, pero esos "conocimientos" no son reutilizados en instancias alejadas del momento de aprendizaje de
las ecuaciones. Esos conocimientos (reales, desde un cierto punto de vista) permanecen vacíos de sentido en tanto no han tomado el valor de herramientas para resolver problemas. Predomina una enseñanza en la que los conocimientos son presentados, definidos para luego, quizás, ser aplicados en problemas. Se enseña un vocabulario, se enseñan procedimientos fijos, algoritmos. Se proponen ejercicios. En este proceso, es el sentido de los conocimientos lo que se sacrifica. Para generar las condiciones que permitan construir el sentido de los conocimientos se deben proponer a los alumnos situaciones en las cuales los conocimientos van a aparecer como la solución óptima y posible de descubrir a los problemas que se plantean. Es en la medida en que los conocimientos aparezcan como el producto de la propia actividad de los alumnos ante problemas de los que han podido apropiarse, que los conocimientos tendrán significado para ellos. Construir el sentido del conocimiento es no solamente reconocer las situaciones para las cuales es útil sino también conocer los límites de utilización: bajo qué condiciones se cumplen ciertas propiedades, en qué casos es necesario apelar a otra técnica o a otro concepto, cómo se relacionan entre sí los diversos conceptos, cuáles son las formas de representación más útiles para tratar y obtener información, cómo se puede controlar la adecuación de la respuesta, cómo recomenzar desde el error.
Desde este punto de vista, el primer paso para pensar la enseñanza consiste en establecer con claridad qué es lo que se quiere que los alumnos aprendan. Puede ser que aprendan un concepto, un modo de representación, un procedimiento, una técnica. Puede ser que el maestro quiera que los alumnos sean capaces de elaborar preguntas o de plantear problemas. Puede ser que quiera que aprendan a trabajar en grupo o a presentar sus procedimientos a los demás. O quizás varios de estos objetivos relacionados.
Se trata, ante cualquiera de estos objetivos, de buscar cuáles son los problemas, las consignas, los medios, la organización de la clase etc., que pueden favorecer su logro. ¿Qué es un problema? Se entiende por problema toda situación que lleve a los alumnos a poner en juego los conocimientos de los que disponen pero que, a la vez, ofrece algún tipo de dificultad que torna insuficientes dichos conocimientos y fuerza a la búsqueda de soluciones en la se producen nuevos conocimientos modificando (enriqueciendo o rechazando) los conocimientos anteriores. Estamos hablando de problemas que sirven para aprender. Esto es distinto de pensar los problemas sólo como la ocasión para aplicar algo ya aprendido. La resolución de problemas juega un rol fundamental en el aprendizaje. Los problemas favorecen la construcción de nuevos aprendizajes y brindan ocasiones de empleo de los conocimientos anteriores. Sin embargo, resolver problemas es sólo una parte del proyecto de enseñanza. Resulta central reflexionar sobre otros aspectos y referirnos al rol del maestro, absolutamente central para que el proyecto de enseñanza logre sus objetivos.
En la organización de los intercambios de los alumnos con los conocimientos podemos encontrar diferentes momentos de una clase o de un conjunto de clases destinadas a tratar un tema. Esta organización intenta instalar en el aula una dinámica de trabajo a partir de la resolución de problemas: En una primera fase del trabajo el maestro expone la consigna, distribuye el material, presenta el problema a resolver. Los alumnos se enfrentan a una situación en forma individual o en pequeños grupos intentando encontrar la solución al problema propuesto. Se trata de una actividad propia del alumno con una finalidad que debe quedar claramente establecida.
Los alumnos utilizarán diferentes procedimientos tendientes a encontrar la solución del problema puesto que el camino de resolución no estaba fijado de antemano. Las respuestas o soluciones podrán no ser las óptimas ni las convencionales. Incluirán errores y dudas en las acciones desarrolladas y probablemente no estén formuladas de un modo comprensible para toda la clase. En una segunda fase del trabajo, lo producido por cada alumno o cada grupo será debatido por toda la clase. Para ello deberán encontrar la forma de comunicar sus procedimientos de manera tal que puedan ser entendidos por sus compañeros. Dicha comunicación hace necesaria una formulación lo más clara y precisa posible de lo realizado. En la siguiente fase, se desarrolla la argumentación sobre el problema. Los alumnos realizan una confrontación y comparación de sus procedimientos sobre los que deben justificar su validez. Dan pruebas y ejemplos de lo que afirman, como también permiten que otros señalen los errores cometidos para poder corregirlos. Esta etapa de validación es central en este proceso porque a través de ella las acciones realizadas pueden ser reformuladas para dar mejor cuenta de la situación planteada por el problema; o puede mostrarse falsa, encontrarse un contraejemplo que la invalide, con lo que será necesario desarrollar un nuevo procedimiento teniendo en cuenta los errores anteriores, que son concebidos como ensayos. En una cuarta fase de trabajo con los alumnos en la resolución de problemas se destacan las características del mismo. El docente intenta resaltar el aprendizaje previsto en los objetivos. Se desprende a partir de las producciones de los alumnos lo que ellos deben retener. "Cuando el alumno ha respondido a las situaciones propuestas, no sabe que ha "producido" un conocimiento que podrá utilizar en otras ocasiones. Para transformar sus respuestas y conocimientos en saber deberá, con la ayuda del docente, sacar del contexto del problema el saber que ha producido, para poder reconocer en lo que ha hecho algo que tenga carácter universal, un conocimiento cultural reutilizable. La toma en cuenta "oficial" por el alumno del objeto de conocimiento y por el maestro del aprendizaje del alumno es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico: este doble reconocimiento es el objeto de la institucionalización."12
12 Brousseau, G. (1988) Op.cit FALTAN DATOS
El alumno trabaja ante una situación, que es nueva para él, utilizando lo que sabe. Al ir venciendo los obstáculos que la sucesión de situaciones propone, produce nuevos conocimientos. Pero... ¿cómo puede saber el alumno que ha construido algo nuevo? El único que sabe que allí hay algo nuevo importante de ser recordado es el maestro. En síntesis, el maestro organiza la presentación del trabajo de los alumnos, favorece el análisis, las confrontaciones, provoca que se formule el saber de la clase cuidando que éste se vincule con lo que se ha realizado pero que a la vez sea reconocible, reutilizable, desprendido del contexto en el que apareció. Esta selección es responsabilidad del docente. La institucionalización es una identificación del saber que puede ser usado en otras ocasiones, devuelve a los alumnos el producto de su trabajo pero también les señala lo que se ha enseñado y que empezará a ser requerido por el docente. Sin duda la enseñanza incluye muchos otros aspectos, por ejemplo, cómo asegurar en todos los alumnos las adquisiciones, cómo trabajar con los alumnos que tienen dificultades, cómo provocar vinculaciones entre unos conceptos y otros, cómo generar progresiones en plazos más largos etcétera. Además, en las líneas que anteceden no hemos querido más que esbozar una estrategia de referencia para organizar un conjunto de clases que, sin duda, ha de ser particularizada al decidir y realizar el plan de trabajo para cada uno de los contenidos.
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