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Sistemas de ecuaciones lineales
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José Jiménez López
1 Sistemas de ecuaciones lineales
2 Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2 2. Método de sustitución 5 3. Método de igualación 9 4. Método de eliminación Conclusión 16
3 1 Sistemas de ecuaciones lineales En este documento estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales 2 2, es decir, de dos ecuaciones y dos incógnitas. Estos sistemas tienen la siguiente forma: Sistema de ecuaciones lineales 2 a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 El problema a resolver es encontrar el valor de las incógnitas x,y tales que las dos ecuaciones sean verdaderas. En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes: 1. El sistema tiene una única solución. 2. El sistema no tiene solución. 3. El sistema tiene más de una solución (infinidad de soluciones). Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se verán a continuación, sin embargo, todos ellos nos deben de dar la misma solución.
4 Antes de revisar los métodos podemos mencionar un criterio que nos permitirá saber si el sistema tiene ó no, una única solución: El sistema Solución única a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 tiene una única solución si y sólo si a 11 a 22 a 12 a 21 0 Si a 11 a 22 a 12 a 21 = 0, y 1. a 11,a 12,b 1 son múltiplos de a 21,a 22,b 2, respectivamente. Entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones. 2. a 11,a 12 son múltiplos de a 21,a 22 respectivamente, pero b 1 no lo es de b 2. Entonces el sistema no tiene solución. 3 Ejemplos: Ejemplo 1 Consideremos el sistema 2x + 3y = 1 3x y = 1 como (2)( 1) (3)(3) = 2 9 = 11 0, entonces el sistema tiene una única solución. Ejemplo 2 Consideremos el sistema 3x + 4y = 4 6x 2y = 2 como (3)( 2) (6)(4) = 6 24 = 30 0, entonces el sistema tiene una única solución. Ejemplo 3 Consideremos el sistema 2x + y = 6 4x + 2y = 1
5 como (2)(2) (4)(1) = 4 4 = 0, entonces el sistema NO tiene una única solución, pero como 4x+2y es el doble de 2x+y, pero 1 no es el doble de 6, el sistema NO tiene solución. Ejemplo 4 Consideremos el sistema 3x 3y = 2 x y = 5 como (3)( 1) ( 3)(1) = = 0, entonces el sistema no tiene una única solución. Y como la primera ecuación es el triple de la segunda, pero 2 no es el triple de 5. Tenemos que el sistema no tiene solución. Ejemplo 5 Consideremos el sistema 1 2 x y = x + y = 1 como ( 1 2 )(1) (1 3 )(3 ) = 0, entonces el sistema NO tiene una única solución. Y 2 como la segunda ecuación es el triple de la primera, incluyendo la constante, por lo tanto el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones. 4
6 2 Método de sustitución El método de sustitución trabaja de la siguiente manera: 1. De la primera ecuación se despeja una incógnita, digamos x. 2. Se sustituye la incógnita despejada en la segunda ecuación. 3. Se reduce la segunda ecuación, y se encuentra el valor de y. 4. Finalmente se sustituye el valor de y, en la ecuación del paso 1, y se encuentra x. Es posible cambiar de incógnita. 5 Ejemplos: Resolver el sistema Ejemplo 2.1 x + y = 1 x y = 1 Paso 1 Despejamos de la primera ecuación a x, entonces x = 1 y. Paso 2 Sustituimos a x = 1 y, en la segunda ecuación: x y = 1 (1 y) y = 1
7 Paso 3 Reducimos la ecuación anterior: (1 y) y = 1 1 2y = = 2y 0 = 2y de donde y = 0. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en la ecuación del paso 1, x = 1 y. Entonces x = 1 (0) = 1. Paso 5 Por tanto la solución del sistema es: x = 1 y = 0 Ejemplo Resolver el sistema 2x + y = 3 3x + 2y = 2 Paso 1 Despejamos de la primera ecuación a x, entonces x = 3 y 2. Paso 2 Sustituimos a x = 3 y, en la segunda ecuación: 2 3x + 2y = 2 3( 3 y 2 ) + 2y = 2
8 Paso 3 Reducimos la ecuación anterior: 3( 3 y 2 ) + 2y = y + 2y = y = y = y = 5 2 y = 5 de donde y = 5. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 5, en la ecuación del paso 1, x = 3 y 2. Entonces x = 3 ( 5) = = 4. Paso 5 Por lo tanto la solución del sistema es: x = 4 y = 5 7 Resolver el sistema Ejemplo 2.3 x y = 1 2x 3y = 5 Paso 1 Despejamos de la primera ecuación a x, entonces x = y 1. Paso 2 Sustituimos a x = y 1, en la segunda ecuación: 2x 3y = 5 2(y 1) 3y = 5
9 Paso 3 Reducimos la ecuación anterior: 2(y 1) 3y = 5 2y 2 3y = 5 y = y = 7 de donde y = 7. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 7, en la ecuación del paso 1, x = y 1. Entonces x = ( 7) 1 = 8. Paso 5 Por lo tanto la solución del sistema es: x = 8 y = 7 8
10 3 Método de igualación El método de igualación trabaja de la siguiente manera: 1. Despejamos de ambas ecuaciones una incógnita, digamos x. 2. Igualamos ambos despejes. 3. Despejamos, entonces a y de la ecuación obtenida del paso anterior. 4. Obtenemos a x, al sustituir y, en cualquier ecuación obtenida del paso 1. 9 Ejemplos: Resolver el sistema Ejemplo 3.1 x + y = 1 x y = 1 Paso 1 Despejamos de ambas ecuaciones a x, entonces: x = 1 y x = 1 + y Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: 1 y = 1 + y.
11 Paso 3 Despejamos a y de la ecuación anterior: 1 y = 1 + y 0 = 2y de donde y = 0. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en cualquier ecuación del paso 1, x = 1 y. Entonces x = 1 (0) = 1. Paso 5 Por lo tanto la solución del sistema es: x = 1 y = 0 Resolver el sistema Ejemplo 3.2 2x + y = 3 3x + 2y = 2 10 Paso 1 Despejamos de ambas ecuaciones a x, entonces: x = 3 y 2 x = 2 2y 3 Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: 3 y 2 = 2 2y. 3
12 Paso 3 Despejamos a y de la ecuación anterior: 3 y = 2 2y 2 3 3(3 y) = 2(2 2y) 9 3y = 4 4y 9 4 = 4y + 3y 5 = y de donde y = 5. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 5, en cualquier la ecuación del paso 1, x = 3 y 3 ( 5). Entonces x = = = 4. Paso 5 Por lo tanto la solución del sistema es: x = 4 y = 5 11 Resolver el sistema Ejemplo 3.3 x y = 1 2x 3y = 5 Paso 1 Despejamos de ambas ecuación a x, entonces: x = y 1 x = 5 + 3y 2 Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: y 1 = 5 + 3y 2
13 Paso 3 Despejamos a y de la ecuación anterior: y 1 = 5 + 3y 2 2y 2 = 5 + 3y 2 5 = 3y 2y 7 = y de donde y = 7. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 7, en cualquier ecuación del paso 1, x = y 1. Entonces x = ( 7) 1 = 8. Paso 5 Por lo tanto la solución del sistema es: x = 8 y = 7 12
14 4 Método de eliminación El método de igualación trabaja de la siguiente manera: 1. Se observan las ecuaciones, si tenemos los mismos x, (y) en la primera que en la segunda con signo contrario, si no, entonces buscamos un número real tal que al multiplicar una ecuación por ese número r obtengamos los mismos x, (y) en ambas ecuaciones con signo contrario. 2. Observación: si multiplicamos una ecuación por un número real r, la solución del sistema no cambia. 3. Posteriormente sumamos ambas ecuaciones, y así reducimos nuestro sistema a una sola ecuación con x ó y. 4. Despejamos ese x ó y, y sustituimos en cualquier ecuación del sistema para obtener el y ó x restante. 13 Ejemplos: Resolver el sistema Ejemplo 4.1 x + y = 1 x y = 1
15 Paso 1 Obsérvese que tenemos en ambas ecuaciones a las mismas y con signo contrario, por lo tanto, si sumamos ambas ecuaciones tenemos: 2x = 2, por lo tanto x = 1. Paso 2 Sustituimos a x = 1, en cualquier ecuación del sistema: (1) + y = 1, entonces y = 0. Paso 3 Por lo tanto la solución del sistema es: x = 1 y = 0 Resolver el sistema Ejemplo 4.2 2x + y = 3 3x + 2y = 2 14 Paso 1 Obsérvese que tenemos en ambas ecuaciones a y, y 2y por lo tanto, si multiplicamos a la primera ecuación por 2, obtenemos: 4x 2y = 6 3x + 2y = 2 Paso 2 Sumando ambas ecuaciones del paso anterior obtenemos: x = 4, entonces x = 4. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de x = 4, en cualquier la ecuación del paso 1, 2(4) + y = 3, obtenemos que y = 3 8 = 5. Paso 5 Por lo tanto la solución del sistema es: x = 4 y = 5
16 Resolver el sistema Ejemplo 4.3 x y = 1 2x 3y = 5 Paso 1 Obsérvese que tenemos en ambas ecuaciones a x, y 2x por lo tanto, si multiplicamos a la primera ecuación por 2, obtenemos: 2x + 2y = 2 2x 3y = 5 Paso 2 Sumando ambas ecuaciones del paso anterior obtenemos: 2y 3y = 2+7, entonces y = 7. Paso 3 Ahora, sustituimos el valor de y = 7, en cualquier ecuación del paso 1, x = y 1. Entonces x = ( 7) 1 = Paso 4 Por lo tanto la solución del sistema es: x = 8 y = 7
17 5 Conclusión De los ejemplos anteriores podemos concluir que los tres métodos para obtener la solución a un sistema de ecuaciones 2 2, dan el mismo resultado. También podemos concluir que el método más eficiente es el tercero, el método de eliminación. Este método se puede generalizar para sistemas de ecuaciones más grandes, de hecho es el método más usado para dar solución a sistemas de ecuaciones lineales con n ecuaciones y m incógnitas éste lleva el nombre de método de Gauss. 16
MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta.
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