Source: https://es.scribd.com/document/29523824/LIBRO-PSU
Timestamp: 2016-10-21 19:08:40+00:00

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describen de manera unívoca al conjunto de los números naturales de la siguiente forma: • Sea el número natural 1 • Cada número natural a tiene un subsiguiente, denotado por a + 1. • No hay números naturales cuyo subsiguiente sea 1. • Si dos números naturales son distintos, sus subsiguientes también lo son, esto es: si a ? b, entonces a + 1 ? b + 1. • Si S es un subconjunto de los números naturales tal que 1. 1 está en S 2. si n está en S entonces n+1 está en S, entonces S es el conjunto de los números naturales Los postulados mencionados anteriormente dan una base matemática a la definición de números naturales, sobre ellos trabajaremos en todo lo relacionado a la teoría de números. 1.2 Mínimo común múltiplo. “El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es común a cada una de estas cantidades”. Ejemplo: Determinemos el m. c. m. entre 6; 8 y 12. Utilizando la famosa tabla en la que vamos dividiendo los números dados por los números primos comenzando desde el 2 (cuando hay algún par). Cuando la división no da exacta se "baja" el número. 6 8 12 : 2 3 4 6 : 2 3 2 3 : 2 3 1 3 : 3 1 1 El m.c.m. es 2·2·2·3 = 24 1
Giuseppe Peano: (1858-1932), matemático italiano, fue el creador del sistema axiomático del cual derivan la aritmética de los números naturales 2 1.3 Máximo común divisor. El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el número mayor que los divide. Ejemplo: Determinemos el m. c. d. entre 18 y 24. Determinemos los divisores de 18, o sea números que dividen al 18. D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Determinemos ahora los divisores de 24, o sea números que dividen al 24. D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Si observas verás que hay varios números que son divisores comunes (1, 2, 3, y 6), pero el máximo, o sea el mayor es 6, por tanto el m.c.d es este número. hemos usado el termino “que lo divide”, esto quiere decir que si dividimos un natural por otro natural y el resultado es un natural entonces esto quiere decir que lo divide Para facilitar la búsqueda de divisores de un número tenemos Las siguientes reglas de divisibilidad: 1.3.1 Reglas de divisibilidad. Por 2: Cuando su último dígito es 0 ó par. Por 3: Cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo 324 es divisible por 3 ya que 3 + 2 + 4 = 9 y el 9 es divisible por 3. Por 4: Cuando los dos últimos dígitos del número son 0 o un múltiplo de 4. Ejemplo: 3516; 4300 Por 5: Cuando el último dígito del número es 0 ó 5. Por 6: Si lo es por 2 y 3 a la vez. Por 7: Esta regla es demasiado compleja, por lo que es mejor efectuar la división directamente. 1.4 Números Cardinales Es el conjunto formado por los Naturales y el cero. INo = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...} Como subconjunto de los números cardinales, tenemos a los números dígitos que son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 3 1.5 Subconjuntos de los números naturales. 1.5.1 Números Pares {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}, Los cuales se pueden representar algebraicamente como 2n, por ser todos ellos múltiplos de 2. 1.5.2 Números Impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...} ¿Cómo se representan algebraicamente? Tenemos dos opciones (2n + 1) ó (2n - 1). Estas representaciones algebraicas las utilizaremos permanentemente, así que no las olvides 1.5.3 Números Primos Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí mismo. Ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3. El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12. “Los números naturales mayores que 1 que no son primos se llaman números compuestos, o sea el 12 es un número compuesto”. Es importante que recuerdes que el 2 es el único número primo que es par y que el 1 no es un número primo. 1.6 Teorema fundamental de la aritmética. Todo número compuesto se puede descomponer de manera única como producto de números primos Ejemplo: la descomposición de 105 en sus factores primos es: 105 = 5·3·7 y ésta descomposición es única. 1.7 NUMEROS ENTEROS Es el conjunto formado por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero. = {.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} Estos números nacen en forma natural para representar situaciones de la vida diaria, como por ejemplo: -Representar simbólicamente los pisos bajo el suelo en un ascenso -Tener un sobregiro de $200.000 en una cuenta corriente -representar la temperatura en una ciudad que sea menos que 0°C . 4 En este contexto podemos decir que los números naturales son subconjunto de los números enteros, como te darás cuenta vamos “agrandando el conjunto de números”, con esto surgen algunas complicación naturales para el calculo de operaciones aritméticas, veamos algunas propiedades de este conjunto. 1.7.1 Propiedades de la adición y la multiplicación en a) Clausura: Si a, b son números enteros, entonces (a + b) y (a · b) también son números enteros b) Asociatividad: Si a, b, c son números enteros entonces: (a + b) + c = a + ( b + c) y (a · b) · c = a · (b · c) c) Elemento neutro: “numero que mantiene intacto al numero que estamos operando” Elemento neutro de la adición: “0” Elemento neutro de la multiplicación: “1” Es decir: a + 0 = 0 + a = a y 1 · a = a · 1 = a d) Elementos inversos: Cualquier número “a” entero tiene su inverso que es (-a) tal que: a + (-a) = (-a) + a = 0 Observación: no existen en los enteros elementos inversos multiplicativos e) Conmutatividad: Para a, b enteros se cumple: a + b = b + a y a · b = b · a f) Distributividad: Para a, b, c enteros se cumple a · (b + c) = (a · b) + (a · c) 1.7.2 Operatoria en los Enteros Hasta el momento ya hemos mencionado teóricamente al conjunto de los números naturales y el conjunto de los números enteros, ahora y lo más importante es aprender a trabajar con estos números para efectuar infinidades de cálculos: 5 1.7.2.1 Orden de Operación Para operar correctamente, no te olvides que existe un orden (prioridad) que se debe respetar y es el siguiente: 1º Paréntesis 2º Potencias 3º Multiplicación y División 4º Suma y Resta Ejemplo: 4 + 5 · 7 El típico error es comenzar el ejercicio efectuando la suma de 4 y 5, pero como ya sabemos que existe un orden establecido, lo correcto es hacer primero el producto 5 · 7, o sea 4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39 Otro ejemplo: 57 - 5·(8 - 6)
.Resolvamos en el orden adecuado: 57 - 5 · 2
= 57 - 5 · 8 = 57 - 40 = 17 “Debes tener presente al operar con 0 que la división por 0 no está definida” Veamos otros ejemplos: 5 + 7 = 12 5 - 7 = -2, o lo que es lo mismo: 5 + (-7) = -2 -5 + 7 = 2 -5 - 7 = -12, o lo que es lo mismo: -5 + (-7) = -12 Si observas adecuadamente verás que siempre se conserva el signo del número mayor y que si los números son de signos iguales se suman, mientras que si son de signos distintos se restan. 1.7.2.2 Regla de los signos Esta regla ri ge para la multiplicación de números en los enteros + · + = + + · - = - - · + = - - · - = + Estas reglas son bastante importantes cuando hay que solucionar operaciones como las siguientes: 5 + (-3) - (-6) = 5 - 3 + 6 = 2 + 6 = 8. ¡Cuidado! hay alumnos que cometen el siguiente error al efectuar 5 - 3 + 6. Suman el 3 con el 6 y les queda 5 - 9 = -4. La equivocación está en tomar el 3 como positivo cuando en realidad es un número negativo, como puedes ver en el planteamiento del ejercicio. Para la división se aplica la misma regla de los signos que para la multiplicación. Así: -8 : -2 = 4 ; 6 : -2 = -3 6 1.7.2.3 Uso de Paréntesis Los paréntesis indican el orden en que las operaciones deben ser efectuadas. Ejemplo: {-5 - [-4 - (-7 + 2)]} Primero resolvemos el paréntesis redondo (-7 + 2) lo que da -5. Luego el paréntesis cuadrado [-4 - - 5] y resulta -1. Finalmente, el paréntesis llave {-5 - 1}, siendo el resultado final igual a -6 7 EJERCICIOS 1. Si p es un número impar y q es un número par, ¿cuál de las siguientes combinaciones es siempre un número impar? a) pq b) 5pq + q c) p + 5q d) 3pq + q e) p : q 2. [(-5) + (-3) · 7] : (-2) = a) 28 b) -28 c) -13 d) 13 e) -24 3. Un número entero positivo p se compone de dos dígitos que son de izquierda a derecha a y b respectivamente. Entonces el inverso aditivo de p es: a) 10a + b b) –10a + b c) 10b + a d) –10a - b e) –10b - a 4. Si “a” es un número natural y “b” es un número cardinal, entonces puede darse que: a) a + b = 0 b) a : b = 0 c) b : a = 0 d) a + b
= b e) b
= 1 5. Si a y b son números naturales impares, entonces es(son) siempre un número par: I. a + b II. a – b III. a · b IV. a + 1 a) Sólo I b) Sólo II y IV c) Sólo I y IV d) Sólo III y IV e) Sólo I, III y IV 6. Si se divide el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor entre los números 30, 54, 18 y 12; se obtiene: a) 5 b) 15 c) 30 d) 45 e) 90 7. Si a, b y c son respectivamente los tres primeros números primos, entonces a + b + c = a) 6 b) 10 c) 15 d) 17 e) 30 8. En la expresión que q = 5n(7m + 3n); si n = 3, ¿qué valor puede tener m para que q sea par? a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) Ninguno 9. El valor de 7 - 4•(1 – 4)
a) 42 b) 27 c) 20 d) 19 e) -29 10. ¿Cuántos elementos en común tienen los conjuntos de los divisores del 18 y del 16? a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 11. Si la mitad de 15 es 9, entonces el doble de la tercera parte de 15 es: a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18 8 Capitulo 2 CONJUNTOS NUMERICOS (CONTINUACION) 2.1 NUMEROS RACIONALES ¿Existe algún número que multiplicado por 2 de 1? Con los conjuntos numéricos mencionados en el capitulo anterior es imposible resolver este problema, es por ello que los matemáticos se vieron obligados a introducir un nuevo conjunto numérico llamado “números racionales” . Se representan por (del inglés quotient: cuociente) y se define como: = {(a / b), a ∈ , b ∈ - {0} } “a” se llama numerador y “b” se llama denominador Dentro de este contexto ejemplos de números racionales son los siguientes: 3/65 ; 6/7 ; 8/9 ………. Y números que no son racionales “ni siquiera están definidos ” : 5/0 ; 8/0 ; 567/0 ………. Nota: dado que todo numero entero k se puede escribir de la forma k/1 concluimos que el conjunto de los números enteros está incluido en En este contexto ¿como podemos representar el 0? Analicemos el elemento 3/8 perteneciente al conjunto Esta fracción indica que un entero ha sido dividido en 8 partes equivalentes y que se han considerado 3 partes de ella. (Ver figura) En la fracción 3/8 el 3 recibe el nombre de numerador y el 8 de denominador Si efectuamos la división 3 : 8, obtenemos como resultado exactamente 0,375 3 : 8 = 0,375 0// y los nombres al efectuar esta operación son: el 3 se llama dividendo, el 8 divisor, el 0,375 cuociente y el 0 resto. 9 ¿Y cómo representar 5/3?. Para ello necesitamos conocer a los números mixtos 2.2 Tipos de Fracciones 2.2.1 Fracción propia Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Ejemplo: 2/3; 5/7; 12/37 Si efectúas la división de estos números en una calculadora te darás cuenta que los números obtenidos están entre 0 y 1 2.2.2 Fracción impropia Son aquellas cuyo numerador en mayor que el denominador, por lo tanto son mayores que 1. Para ubicarlas en la recta numérica se necesita transformarlas a número mixto. 2.3 Número Mixto La fracción 5/3 se puede escribir como un número mixto, o sea un número con una parte entera y otra fraccionaria. 3
· , esto resulta de efectuar la división 5:3 = 1 con resto 2. Si queremos transformar, por ejemplo,
3 , debemos multiplicar 5•3 y sumarle 4, resultando 5
. 2.4 Orden en Esto se refiere a establecer cuándo un elemento de Q es mayor, menor o igual que otro elemento. Aquí se nos presentan dos casos: a) Si los denominadores son iguales, resulta fácil, será mayor la fracción que tenga el numerador mayor. Ejemplo: 8/25, 3/25, 16/25 Ordenadas de menor a mayor quedan así: 3/25 < 8/25 < 16/25 b) Si los denominadores son distintos, habrá que igualarlos. Primero determinamos el m.c.m. y luego se amplifica para que todos tengan el mismo denominador. Ejemplo: ordenar de menor a mayor 2/3, 1/6 y 5/8 El m.c.m. es 24. Amplificamos cada fracción de modo que queden con denominador 24, resultando 4/24 < 15/24 < 16/24. O sea 1/6 < 5/8 < 2/3 Otro método es el de los productos cruzados ¿Cuál fracción es menor 9
? Se efectúa el producto 7•7 = 49 y 9•11 = 99, como 49 es menor que 99, se concluye que 9
10 Si al realizar el producto cruzado nos da el mismo número, entonces las fracciones son iguales 2.5 Amplificación y simplificación 2.5.1 Amplificación Amplificar una fracción es multiplicar su numerador y denominador por un mismo número natural. La fracción obtenida es equivalente a la original. Ejemplo: Amplifiquemos 2/5 por 7. Entonces debemos multiplicar el numerador y el denominador por 7 quedando la fracción como 14/35. Luego 2/5 y 14/35 son fracciones equivalentes. 2.5.2 Simplificación Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número natural, para lo cual el numerador y el denominador deben ser múltiplos de ese número. De lo contrario, no se puede simplificar la fracción. Si una fracción no se puede simplificar, decimos que se trata de una fracción irreducible. Como ser 3/7. Ejemplo: 30/42 la podemos simplificar por 2, por 3, por 6. Lo más conveniente es por 6 así queda de inmediato irreducible. Al simplificarla se obtiene 5/7 2.6 Operatoria en Siempre antes de operar, debemos revisar si todas las fracciones son irreductibles, si no lo son es conveniente simplificar. 2.6.1 Suma y Resta a) Fracciones con el mismo denominador: se suman (o restan) los numeradores y se conserva el denominador. Ejemplo: 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3 b) Fracciones con distinto denominador: lo primero es obtener fracciones equivalentes, basados en el mcm de los denominadores y luego resolver como en la situación anterior. Ejemplo: 2/3 + 1/4 - 5/8 = El m.c.m. entre 3, 4 y 8 es 24, por la tanto las fracciones equivalentes son: 16/24 + 6/24 - 15/24 = 37/24 2.6.2 Multiplicación Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. 11 Ejemplo: 28
· • 2.6.2.1 Mitad de un racional En múltiples ocasiones hemos tenido que utilizar el término mitad. Todos tenemos claro que su significado es dividir algo en dos partes iguales, pero cuando trabajemos con fracciones, especialmente en los problemas verbales, lo anotaremos de otro modo. Veamos: La mitad de 3/7 es 3/7 : 2, que al resolver resulta 3/7 · 1/2 = 3/14. MITAD: Multiplicar por 1/2 Luego, la mitad de la mitad de 7/13 es 1/2 · 1/2 · 7/13 = 7/52. 2.6.2.2 Doble de un racional El doble de 5/7 es dos veces 5/7, o sea 5/7 + 5/7, pero es mucho mejor traducirlo a 5/7 · 2 = 10/7 O sea, el doble nos indica que debemos multiplicar por 2. DOBLE: Multiplicar por 2 Luego el doble de 1/3 es 1/3 · 2 = 2/3 2.6.2.3 Fracción de Fracción Ya estamos claros con la mitad y el doble, pero ¿qué debemos hacer si nos piden, por ejemplo, las tres cuartas partes de 2/5? La fracción de una fracción corresponde al producto entre ellas. Ejemplos: 1. Determinar los 6/5 de 3/7 6/5 · 3/7 = 30/21, simplificando por 3 resulta 10/7 2. Determinar los 2/3 de los 5/9 de 4/7 2/3 · 5/9 · 4/7 = 40/189 2.6.3 División Para dividir fracciones multiplicamos la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción. Ejemplo: 9
· • · Otro método para dividir fracciones es multiplicando en forma cruzada, ésta es la forma mas rápida de efectuar la división, ¡compruébalo con el ejemplo anterior! 12 2.7 Transformación de Fracciones a decimales Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el numerador por el denominador. Ejemplo: Sí queremos convertir a decimal la fracción 8
tenemos que efectuar la división 1 : 8 1 : 8 = 0,125 o sea un decimal exacto Efectuemos ahora la transformación de 3
a forma decimal. _ 2 : 3 = 0,66666...= 0,6 o sea un decimal periódico Convirtamos a decimal la fracción 6
1 : 6 = 0,166666...= 0,16 o sea un decimal Semi-periódico 2.8 Transformación de decimales a Fracción 2.8.1 Decimal exacto La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 10; dependiendo la cantidad de ceros, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar. Ejemplo: 0,4 = 4/10 = 2/5 0,36 = 36/100 = 9/25 3,2 = 32/10 = 16/5 2.8.2 Decimal Periódico La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 9; dependiendo la cantidad de nueves, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar. _ Ejemplo: 0,4 = 0,44444……... = 4/9 __ 0,17 =0,1717171…..= 17/99 Caso especial es cuando la parte entera no es cero, en ese caso se debe restar a todo el número la parte entera como lo indican los siguientes ejemplos: _ 2,7 = (27 - 2) / 9 = 25/9 13 _ 12,3 = (123 - 12) / 9 = 111/9 Si el decimal es semi-periódico, se procede similarmente al caso anterior. _ Ejemplo: 2,53 = 2,533333333 = (253-25)/90 = 228/90 =114/45 = 38/15 2.9 Potencias de base 10 y exponente entero Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación en que se repite un mismo factor un cierto número de veces veces) ...(N a·a a·a·a·a·a· a·a·a·a·a· ·
Aquí: a es la base N es el exponente Cuando definimos un numero decimal hablamos de potencia de 10. Observamos que los números 10, 100, 1000, 10000. Son potencias de 10. Como tú sabes, para escribir tantos ceros usamos la siguiente notación 10 10
· 10 100
· 10 1000
· y así sucesivamente… Esta notación de llama notación exponencial y es muy usada en matemáticas y en otras ciencias. Si el exponente es un entero positivo su significado es que la potencia consta de tantos ceros como unidades indica el exponente. Tratemos ahora de ver en forma elemental que pasa con potencias de números negativos Veamos: En la sucesión de potencias ... , , ,
Cada termino se obtiene del anterior restándole un exponente. Según esto, los cuatro términos siguientes serian .....
Por lo tanto los valores buscados son: 1 10
(o bien 0,1) 100
(o bien 0,01) …. 14 La aplicación inmediata de las potencias se encuentra en el desarrollo decimal de un numero entero o de un numero decimal 2.9.1 Números en potencia de 10 Todo número puede ser expresado en potencia de diez Ejemplo: 739 = 7·100 + 3·10 + 9·1 = 7·10
+ 3· 10
+ 9·10
= 7 centenas + 3 decenas + 9 unidades. ¿Cómo representarías de esta forma el numero 0,125? 2.9.2 Notación Científica Normalmente se recurre a las potencias para representar números muy grandes, tales como la energía liberada en un terremoto de magnitud 6, que alcanza 600.000.000. 000.000 ergios de energía, o la masa aproximada de nuestro planeta, 5.970.000.000.000.000.000.000.000 kg. O bien otros como la masa de un átomo de hidrogeno: 0,00000000000000000000000000167 kg. La notación científica es una forma de representar un número como el producto de un número entre 1 y 10 y una potencia de 10 10
10 1 < ≤ a y n ∈ En este contexto la masa de la tierra en notación científica seria: . ·
976 , 5
kg 2.10 NÚMEROS IRRACIONALES Corresponde al conjunto de los números que no pueden expresarse en forma fraccionaria, como decimales infinitos no periódicos, raíces inexactas y algunas constantes. Ejemplo: 2 = 1,41421356……….. π = 3,14159265……….. e = 2,71828182….
En este texto es poco lo que se puede decir de estos números, ya que carecen de reglas para operaciones básica debido a que son números con infinitas cifras, mencionaremos algunas cosas que debes tener presente de estos números: - estos números no pueden escribirse como fracción del tipo a/b - este conjunto se representa por la letra I “i mayúscula”. - Los conjuntos e I son disjuntos, esto quiere decir que ninguno de sus elemento coincide, distinto al caso de los enteros con los naturales, matemáticamente decimos que su intersección es vacía. - La unión de estos dos conjuntos da un nuevo conjunto numérico llamado Reales 2
Este numero es la base del sistema de logaritmos naturales o neperianos 15 2.11 NÚMEROS REALES Es el conjunto determinado por la unión de los conjuntos Racionales e Irracionales. Veamos el siguiente diagrama (Diagrama de Venn)
Este diagrama viene a resumir lo que hemos visto de los conjuntos numéricos, existen otros números que no estudiaremos en este texto que se llaman números complejos
2.11.1 Operatoria con números Reales Todas las reglas vistas anteriormente son aplicables a estos números, ya que es la composición de todos los conjuntos anteriores. Debes tener presente que existen algunas expresiones que no están definidas en el conjunto de los números reales (no son números reales) algunas de ellas son: a. Raíces de índice par de números negativos .. 16 ; 2 :
− − Ejemplo b. Cuociente en que el divisor es 0 0
: Ejemplo c. Potencia de base cero y exponente 0 ) (
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las matemáticas conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes 4
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más dignas de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos recibe el nombre de variable compleja o análisis complejo. 16 EJERCICIOS 1. ¿Cuál de los siguientes números es mayor que 3 pero menor o igual que 4? a) 9 b) 3/4 c) 4/3 d) 5 , 3 e) 10 2. Π + 7 es un número: a) Racional b) Entero c) Irracional d) Entero positivo e) Periódico 3. Si x = 3 . ¿Cuál de los números siguientes no posee inverso multiplicativo? a) x
- 3 c) x
+ 3 d) x
+ 3 e) x
- 3 4. 6 0 , 0 equivale a: a) 1/3 b) 2/3 c) 1/15 d) 10/15 e) 1/6 5. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) racional(es)? I) 3,1415 II) 3 1+ III) 3 , 2 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I y III 6. ¿Para qué valor de p, la expresión p − 5 es un número irracional? a) 5 b) 4 c) 1 d) -1 e) -4 7. · +
3 1 , 0 a) 0,9 b) 0,99 c) 6 2 , 0 d) 1 e) 26/15 8. ab es racional si: a) a = 2b b) b = 2a c) b = -1/a d) a = 1/b e) a=5 y b=4 9. El número 1a42 es divisible por 6, entonces a= a) 0 b) 3 c) 6 d) 7 e) 8 10. ¿Qué valor debe tener x para que 6
· x ? a) 36
2 b) 36 c) 12 d) 6 e) 3 11. El cuociente de 5 , 2 :
+ + es: a) 2,5 b) 0,8 c) 4 d) 0,4 e) 25/6 17 Capitulo 3 RAZONES Y PROPORCIONES Imaginemos que dos niños, Alberto y Andrés, tienen $8.000 y $10.000, respectivamente. Al comparar estas dos cantidades podemos decir que Andrés tiene $2.000 mas que Alberto. Sin embargo, esta diferencia no seria significativa si las cantidades de dinero fueran muy grandes. Otra forma en que podemos compararlas es mediante la división, es decir: ,
· Luego de la simplificación Esto nos dice que por cada $4 que tiene Alberto, Andrés tiene $5. También es posible interpretarlo diciendo que la cantidad de dinero de Alberto es múltiplo de 4 y la cantidad de dinero de Andrés es múltiplo de 5 ¿podrías dar otra interpretación? 3.1 Razón Es la comparación entre dos cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente. Ejemplos. 1. Repartir $ 75.000 entre Marta y Ricardo en razón 2 : 3, respectivamente. (Esta palabra significa que tiene que ser en el orden dado, o sea Marta ---> 2 partes y Ricardo ---> 3 partes) Al sumar las partes que le corresponden a Marta con las que le corresponden a Ricardo da el total de dinero a repartir, o sea 2 partes + 3 partes = $75.000. 2p + 3p = 75.000 5p = 75.000 p = 15.000 Luego cada parte es de $15.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde: Marta = 2 partes = 2 • 15.000 = $ 30.000 Ricardo = 3 partes = 3 • 15.000 = $ 45.000 2. Los ángulos de un triángulo están en razón de 1:3:5. ¿Cuánto mide el ángulo mayor? Como en un triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º, planteamos p + 3p + 5p = 180º 9p = 180 p = 20 Por lo tanto, los ángulos miden p = 20º; 3p = 3•20 = 60º; 5p = 5•20 = 100º. La respuesta es 100º 18 3. El perímetro de un rectángulo es 48 cm. Si sus lados están en razón 5 : 3, ¿Cuánto mide su área? Con cuidado ya que si nos hablan del perímetro hay que considerar los 4 lados. Por lo tanto: 5p + 3p + 5p + 3p = 48 16p = 48 p = 3 Luego los lados del rectángulo miden 5p = 5•3 = 15 cm y 3p = 3•3 = 9 cm El área del rectángulo es largo por ancho, o sea 15 cm por 9 cm = 135 cm
. 4. Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60. ¿Cuáles son los números? 5p - 2p = 60 3p = 60 p = 20 Los números son 5p = 5•20 = 100 y 2p = 2•20 = 40 Con los 4 ejemplos dados espero se te haya aclarado el significado y la utilización de las razones, que como ves es de gran importancia para resolver algunos tipos de ejercicios. 3.2 Proporción Es la igualdad entre dos razones. Ejemplo: tenemos las razones 2 es a 5 y 6 es a 15 Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones 2 : 5 = 0,4 y 6 : 15 = 0,4 Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas. Así: 2 : 5 = 6 : 15 Para verificar esta proporción efectuamos el producto de los extremos 2·15 y el producto de los medios 5·6, como ambos dan 30 entonces la proporción es correcta. En forma general: a : b = c : d <===> a·d = b·c 3.2.1 Proporcionalidad Directa Dos cantidades a y b son directamente proporcionales si su cuociente es constante. k
· 19 Ejemplo: Por 500 fotocopias me cobran $ 15.000, ¿Cuánto deberé pagar por 100 fotocopias? Analizar que si baja la cantidad de fotocopias, obviamente bajará la cantidad a cancelar. En estos casos estamos hablando de una proporción directa. x
· 500x = 1.500.000 x = 3.000 Por las 100 fotocopias se pagará $ 3.000. Revisa el siguiente cuadro para entender mejor lo que significa la constante k. a=n°de fotocopias b=dinero a cancelar a/b k 100 $ 3.000 100 : 3000 0,03... 200 $ 6.000 200 : 6000 0,03... 300 $ 9.000 300 : 9000 0,03... 400 $ 12.000 400 : 12000 0,03... 500 $ 15.000 400 : 15000 0,03... Veamos ahora la representación gráfica de una proporcionalidad directa: Si un sobre vale $ 30, entonces 2 sobres valen $ 60 y 5 sobres valen $ 150. Gráficamente lo podemos representar así: 3.2.2 Proporcionalidad Inversa Dos cantidades a y b son inversamente proporcionales si su producto es constante. a · b = k Para ambos casos, k recibe el nombre de constante de proporcionalidad. 20 Ejemplo: Si 20 obreros demoran en hacer una obra 12 días, ¿cuánto demorarán 5 obreros en realizar la misma obra y en las mismas condiciones? Al analizar el problema debemos prestar mucha atención a la baja del número de trabajadores lo que implicará una mayor cantidad de días de trabajo para finalizar la obra. O sea se establece una proporcionalidad inversa. (Cuidado al plantear la ecuación) 12 5
· 5x = 240 x = 48 ds. Veamos en la siguiente tabla lo definido sobre la constante de proporcionalidad a=n°de obreros b=n°de días a • b k 20 12 20 • 12 240 15 16 15 • 16 240 10 24 10 • 24 240 5 48 5 • 48 240 1 240 1 • 240 240 Grafiquemos la siguiente situación: Un vehículo a 40 km/hr demora 4 horas en llegar a su destino, por lo que a 80 km/hr llegará en sólo 2 horas. Si el viaje fuese a 160 km/hr, demoraría 1 hora. ¿A qué velocidad demoró 16 horas? 21 EJERCICIOS 1. La diferencia de dos números es 56 y su razón es 9:5. ¿Cuál es el número mayor? a) 126 b) 70 c) 36 d) 20 e) 14 2. La tabla siguiente muestra los valores de x e y, donde x es directamente proporcional a y. ¿Cuál es el valor de P + Q? x y 3 5 6 Q P 25 a) 10 b) 25 c) 24 d) 25 e) 31 3. Si A : B : C = 4 : 6 : 5 y A + B + C = 45. El valor de A + B - C es: a) 12 b) 15 c) 30 d) 45 e) 60 4. Cuatro pares de zapatos valen $ t. Entonces dos docenas de zapatos valen: a) $ 6t b) $ 4t c) $ 3t d) $ 1,5t e) 0,5t 5. La tabla siguiente muestra los valores de x e y, donde x es inversamente proporcional a y. El valor de P es: x y 2 18 6 P a) 54 b) 36 c) 24 d) 22 e) 6 6. Cuatro obreros cavan en dos horas una zanja de 12 m. ¿Cuántos metros cavarán, en el mismo tiempo, seis obreros? a) 8 b) 12 c) 18 d) 36 e) 72 7. Con un jarro de jugo se alcanza a llenar 36 vasos, ¿cuántos de estos vasos se podrán servir si sólo son llenados hasta 3/4 de su capacidad? a) 12 b) 27 c) 36 d) 37 e) 48 8. Los lados de un rectángulo están en la razón de 3 : 8. Si su área es 600 cm
, entonces su lado mayor mide: a) 15 cm b) 30 cm. c) 40 cm. d) 80 cm. e) 90 cm. 9. Una dactilógrafa escribe a máquina una página de 54 líneas a doble espacio. ¿Cuántas líneas escribirá en la misma página a triple espacio? a) 18 b) 36 c) 81 d) 162 e) 324 22 Capitulo 4 PORCENTAJE E INTERES PORCENTAJE 4.1 Porcentaje o tanto por ciento Consideremos la siguient e situación: Una persona invierte $100.000 en un negocio. Al cabo de un cierto tiempo retira $120.000. Su utilidad es de $20.000, esto significa que por cada $100.000 invertidos gana $20.000 o por cada $100 invertidos gana $20. Esto se abrevia diciendo que su utilidad ha sido de un 20% Definición: Un porcentaje o tanto por ciento es una fracción con denominador constante e igual a 100. Notación: La expresión porcentaje o tanto por ciento se abrevia mediante el símbolo %, que es la deformación de la abreviatura ciento (cto). Ejemplo: a por ciento = a % = a / 100 4.1.2 Calculo de un tanto por ciento de una cantidad De acuerdo con la definición, para establecer el tanto por cient o de una cantidad calculamos la fracción decimal correspondiente a dicha cantidad. El a % de b es 100
· Ejemplo: ¿Cuánto es el 5% de 30? 5% de 30 = 5 , 1 30 ·
· 4.1.3 Calcular que tanto por ciento es una cantidad de otra ¿Qué porcentaje es a de b ? Para contestar esta pregunta debemos tener en cuenta que toda cantidad es de si misma el 100%, en este caso b es el 100% y a es de b el porcentaje que queremos determinar, es decir, representa el x% Podemos plantear la proporción: % % 100 x
· Donde x = 100 · a b 23 4.1.4 Calcular el porcentaje de un porcentaje Queremos hallar una expresión para calcular (el b% del c% del d%...........................de “a”) a · )) (.......))
¿Por qué?, piénsalo!!!! 4.1.5 Calculo de la variación porcentual Si tenemos una cantidad inicial (Qi) y esta aumenta(disminuye) a otra cantidad (Qf) entonces cual fue la variación porcentual ? 100 · %
Qi Qf −
· ∆ En algunos cálculos esta cantidad nos podría dar negativa, pero la variación porcentual es siempre positiva, por lo tanto si te sale un número negativo no te preocupes y solo escribe tu resultado como un número positivo. Ejemplo: si tenemos $100 y nos roban $20 ¿cual fue la variación porcentual de nuestro dinero? Qi = 100 Qf= 100 – 20 = 80 Por lo tanto la variación porcentual fue de un 20% (positiva!!!) 4.2 Porcentajes Especiales Las siguientes equivalencias pueden facilitarnos enormemente el cálculo con porcentajes: 1% 100
24 25% 4
33,3…% 3
O sea intuitivamente nos damos cuenta, por ejemplo, que el 25% de una cantidad es una cuarto de ella. 4.3 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO En lo siguiente presentaremos de manera rápida el concepto de interés
4.3.1 Interés Simple: El capital permanece constante, durante el tiempo que dure su imposición. I = r·p·t Dónde I = Interés p = Depósito original r = tasa de interés en decimal t = Tiempo 5
Interes es el precio pagado por el uso del ahorro en todas sus formas, entre ellas el propio dinero, su legitimidad fue objeto de muchas discusiones por parte de filosofos, teologos y moralistas desde la antigüedad hasta la Edad Media. Aristóteles y Santo Tomas de Aquino, basandose en citas del antiguo y nuevo testamento repudiaron al interes, de acuerdo a esto el prestamo a interes se llego a considerar como usura, y fue prohibido por las leyes civiles a pesar de lo cual se siguió practicando. Tal prohibición fue abolida, debido a la transformación del sistema economico en la edad moderna (Siglo XIX) como consecuencia de la revolucion industrial. Los prestamos tenian por objetro crear bienes instrumentales que cooperasen en la producción. Los economistas comenzaron a analizarlo, apareciendo numerosas teorias que provocaron profundas escisiones entre ellos mismos. Los especialistas contemporaneos han aclarado que el interes puede revelarse ineficaz por si solo para asegurar la igualdad entre el ahorro y la inversion, que es factor esencial para mantener el equilibrio economico. El tipo de interes influye sobre las desiciones de los ahorrantes al elegir entre el empleo de las cantidades ahorradas o su consevacion en caja. 25 4.3.1.1 Calculando el interés simple Determinemos el interés simple, si se deposita $100 a una tasa de interés de 14% durante tres años. I=prt I = $100 x 0,14 x 3 I = $42 El interés acumulado es $42. El total en la cuenta será $142. 4.3.2 Interés Compuesto
Cuando el interés pasa a formar parte del capital, se dice que los intereses se capitalizan. n
i P A ) 1 ( + ·
Dónde A = La cantidad en la cuenta P = Depósito original i = La tasa de interés anual en decimales n = El número de años compuesto. En los ejercicios siguientes se utilizarán cantidades pequeñas para facilitar los cálculos y las explicaciones) 4.3.2.1 Calculando el interés compuesto Si se comienza con un depósito de $500 y una tasa de interés compuesto del 6% anual. ¿Cuánto dinero se tendría después de cinco años? n
i P A ) 1 ( + · 5
) 06 , 0 1 ( 500 + · A Se tendría $669,11. 4.3.3 Comparación entre interés simple y compuesto. Supongamos que vamos a colocar durante 5 años un capital de $1.000 en dos bancos, el primero en interés simple y el segundo en interés compuesto, con un tipo del 10% anual en ambos casos. En el primer banco, cada año, el capital inicial produciría un interés de 1.000 · 10% = 100. Así, al acabar el primer año tendríamos $1.100 . Al final del segundo año (al no acumularse el interés) tendríamos $1.200 y al final del tercero $1.300, del cuarto $1.400 y del quinto $1.500 . 6
Es el que usualmente ocupan los bancos y entidades financieras 26 En el segundo banco el primer año obtendríamos un interés de 1.000 · 10%=100 y al acabar el primer año tendríamos $1.100. Para calcular el interés en el segundo año (al acumularse los intereses) tendríamos 1.100 · 10% = 110, y al final del segundo año tendríamos $1.210. Al final del tercer año tendríamos $1.331, al final del cuarto $1.464,10 y al final del quinto $1.610,51 Como se puede observar en el ejemplo, el interés compuesto produce un mayor capital final que el interés simple para un mismo capital, duración y tanto. A un año los capitales finales que producen son iguales. Por este motivo suele utilizarse el interés compuesto en operaciones de duración superior a un año y el interés simple en operaciones de duración inferior al año. 27 EJERCICIOS 1. ¿Cuál es el 25% de $ 60.000? a) 2.400
c) 41.667
d) 45.000
2. Si 3 alumnos inasistentes de un curso corresponden al 10%, ¿cuántos alumnos tiene el curso? a) 13
3. Un grupo de personas asiste a un concierto de música donde se hace rebaja de un 10% por cada 5 entradas. Si una persona junta a 14 personas más y cada entrada individual sale a $5000, ¿cuál es el valor de cada entrada con l a rebaja? a) 4.750 b) 4.500 c) 4.400 d) 4.200
4. En un curso de 30 alumnos el 55% tiene buenas notas, el 35% tiene notas regulares y el resto notas deficientes. Entonces, los alumnos con notas deficientes son: a) 10
5. El 10 % de 10 es a) 10
6. En un colegio hay elecciones para el centro de alumnos. Por Juan votaron 300 estudiantes, por María votaron 125 y por Antonio 75. ¿Qué porcentaje obtuvo Juan del total de los votos? a) 60%
7. Una tienda ofrece el 20 % de descuento. Al comprar un artículo con esta rebaja pagué $ 10.000 ¿Cuál fue el monto del descuento? a) $ 2.000
d) $ 1250
8. Los expertos estiman que el 25 % del total de accidentes en moto involucran heridas en la cabeza, y que un 80 % de estas heridas son fatales. ¿Qué porcentaje del total de los accidentes en moto involucran heridas fatales en la cabeza? a) 16%
9. Un artículo aumenta de precio de $ 600 a $ 750 ¿Cuál es el porcentaje de aumento? a) 15%
10. Una piscina tiene una capacidad de 320 m
. Si está hasta la mitad de su capacidad con agua y se le sacó un 40 % de dicha cantidad ¿Cuánta agua deberemos agregarle para llenarla completamente? a) 160 m
3 b) 192 cm
3 c) 224 cm
3 d) 256 cm
3 e) Ninguna de las anteriores
28 11. Calcular la tasa de interés a que está invertido un capital de 40.000 pesos si en un año se han convertido en 43.200 pesos a) 0,08%
b) 1,08%
e) 108%
12. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de $25.000 invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual a) $ 60
b) $ 600
d) $ 60.000
e) $ 600.000
13. Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %. a) $ 192.000
b) $1.399.680 c) $ 1.920.000
d) $ 19.200.000
e) $ 97.200.000
14. Calcular el interés simple producido por $30.000 durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. a) $ 30.375
c) $ 3.750
d) $ 375
15. Un préstamo de $20.000 se convierte al cabo de un año en 22.400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? a) 12%
b) 8,3%
c) 1,12%
d) 0,88%
16. ¿A qué % anual se colocaron $ 75.000 que en 24 días han producido $ 250? a) 1%
17. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el capital de dicha cuenta en ese año? a) $ 1.940
b) $ 4.850
c) $ 48.500
d) $ 485.000
18. Se deposita $10.000 durante 3 meses al 20% de interés simple mensual. ¿Cuánto dinero se tiene al finalizar esta operación? a) $ 12.000
b) $ 14.000
c) $ 14.520
d) $ 16.000
19. Al depositar $8.000 durante 2 meses con un interés compuesto de 10% mensual, ¿qué cantidad de dinero se gana? a) $ 800
b) $ 880
c) $ 1.680
d) $ 8.800
e) $ 9680
20. Al depositar $ 20.000, con un interés compuesto del 10% anual, ¿cuánto dinero se tiene en 3 años? a) $ 26.000
b) $ 26.620
c) $ 30.000
d) $ 600.000
29 Capítulo 5 POTENCIACIÓN El concepto de potencia nace del caso de multiplicar un mismo numero una cierta cantidad de veces, por ejemplo el caso de multiplicar el numero tres cuatro veces se representa de la siguiente manera. 4
3 3 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ · , y esto se lee tres elevado a cuatro, en general: b
a se le llama base y a b exponente, y se lee “a elevado a b”. Ahora vamos a ver algunas definiciones y propiedades de las potencias. 5.1 Potencia de base real y exponente entero Se denomina de esta forma a toda expresión de la forma: n
a , con a Real y n entero Ejemplos: i).- 3
ii).- ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4 64 − · − ⋅ − ⋅ − · − 5.2 Signo de las potencias Dependiendo del signo de la base y del valor del exponente, las potencias pueden tener diversos resultados en sus signos. Así cuando una base sea positiva, el valor de la potencia siempre va a ser positiva, pero en el caso de las potencias de base negativa se pueden distinguir dos casos. Si a < 0 y n un entero entonces: 0, 2
Donde k es un número entero (puede ser negativo inclusive). Nota : 1
además n n
30 Ejemplos: i) ( )
2 16 − · ii) ( )
− · − iv) 2
5.3 Operaciones de las potencias. 5.3.1 Multiplicación de potencias de igual base. Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes ( )
m factores n factores
m n factores
⋅ · ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅
1442443 14243
∴ ⋅ · Esto se extiende al producto de tres o más potencias, en general: n m y z n m y z
+ +⋅⋅⋅+ +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ · 5.3.2 División de potencias de igual base. Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes m
5.3.3 Multiplicación de potencias de igual exponente. La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación ( )
a b a b ⋅ · ⋅ Lo mismo se da para tres o más potencias de igual exponente. 31 5.3.4 División de potencias de igual exponentes. La potenciación es distributiva con respecto a la división m
5.4 Propiedades de las potencias. 5.4.1 Potencia con exponente igual a cero. Toda potencia de base real no nula y exponente cero vale 1 0
1 a · 5.4.2 Potencia de una potencia. Para Elevar una potencia a un exponente, se conserva la base y se multiplican los exponentes mn n m
a a · ) (
· ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( ) ( ) ... ... ... ...
n multiplicaciones de m factores a
m n factores de a
· ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
14243142431442443
5.5 Ejercicios resueltos i) 3 0 3
2 2 7 343
En Matemáticas a diferencias de otras ciencias pocas cosas son al azar, es por esto que la demostración es tan importante, así podemos trabajar con verdades comprobadas y asegurarnos que son válidas. 32 ii) 3 2 5 8
3 5 2 5 5 2 8 3
· 8 7 3 11
iii) ( ) ( ) ( )
2 3 3 6 6 6 6
+ − − · + − − ·
iv) Resolver ( ) ( ) ( )
a b a b a b − + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b b a a b a b a b a b a b − + − + − · − + − + − · − Nota: En una expresión de la forma( )
x y − cuando n pertenece a los enteros se da lo siguiente ( ) ( )
x y y x − · − , esto se justifica por el hecho de que el resultado de la potencia siempre va a tener un valor positivo, además el valor de x y − e y x − , solo difieren en el signo. ¿Que pasa en el caso ( )
− , donde 0 x y − < , a que es igual? Mas ejemplos v) 2
3 3 2 3 1 3 2
iv) 4 2 4 2
3 6 3 3 2 3 3
− ⋅ − ⋅ ⋅
33 EJERCICIOS 1. El valor numérico de la expresión 2
es: a) 500 b) 400 c) 50 d) 31,25 e) 1/2 2. El valor numérico de la expresión 3 2
3/ 2 m m − − . Cuando 3/ 2 m · − es: a) -57/8 b) -3/8 c) -1/8 d) 33/8 e) 3/8 3. ¿Cuantas veces el cuadrado de la expresión 15
0,2 0, 7
⋅ − es 2
? a) 5/8 b) 1,6 c) 3
d) 6,25 e) 2
4 4. En la expresión 10
, u es un numero entero. ¿Para cual de los valores siguientes, la expresión representa un número racional? I) u = 2 II) u = -5 III) u = 0 a) Solo I b) Solo I y II c) Solo II y III d) Solo I y III e) I, II y III 5. 7 8
· a) 5
a a − c) 2
1 a − d) 7
1 a − e) ( ) 1 a a − 6. De las igualdades siguientes: I) 4 2
· II) 9 / 2 3
4 8 · III) 25 10
25 0, 2
· Son verdaderas: a) Ninguna b) Solo I y III c) Solo II d) Solo II y III e) Todas 7. El valor de la expresión 1 1
, es igual a: a) -5 b) -1/5 c) -5/4 d) -4/5 e) 3/5 8. ¿Cuáles son los valores que deben tomar p y q para que el trinomio 3
− + sea de primer grado? a) p = 2; q = 3 b) p = -3; q = 4 c) p = -2; q = 3 d) p = -3;q = -4 p = -4; q = 4 34 Capítulo 6 RADICACIÓN 6.1 Raíces de Números Reales La radicación es una propiedad inversa a la potenciación. La raíz n-ésima de un número “a” es otro número “b” que elevado a “n” nos da el primero. b a
Además se cumple que b
a a · 6.2 Propiedades de las Raíces 6.2.1 Suma y resta de raíces Solo se pueden sumar y restar raíces semejantes, o sea del mismo índice y mismo radicando: 7 2 7 7 · + Como se puede comprobar, la raíz de una suma o resta no es la suma de raíces: 9 16 9 16 + ≠ +
6.2.2 Producto y división de raíces Solo se pueden multiplicar y dividir raíces del mismo índice: 6 216 27 8 27 • 8
· · ⋅ · 4 16 4 : 64 4 : 64 · · · De manera inversa de puede enunciar que la raíz de un producto es el producto de raíces (lo mismo para el cociente): 8 2 4 4 • 16 4 • 16 · ⋅ · · 3 3 3 9 3 9 27 · ⋅ · ⋅ · (Descomponer una raíz) 5
· · 35 6.2.3 Raíz de una raíz Para calcular la raíz de una raíz, se multiplican los índices. 6 3
a a · 6.3 Racionalización Consiste en eliminar las raíces del denominador. Casos: 1º Que el denominador sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por la misma raíz. 2
2º Que el denominador no sea una raíz cuadrada: en este caso se multiplica numerador y denominador por una raíz del mismo índice que el denominador, pero con un radicando elevado a un exponente que pueda eliminar raíz del denominador. 2
· · 3º Que el denominador sea un binomio con raíces cuadradas: en este caso debemos de multiplicar numerador y denominador por el conjugado. ( )
) 3 5 ( • ) 3 5 (
) 3 5 ( • 2
6.4 Ecuaciones Irracionales Son aquellas en las cuales la incógnita está en la cantidad Sub-radical. Para resolver una ecuación irracional se despeja la raíz que contiene la incógnita, luego se elevan ambos miembros al índice de la raíz para eliminar esta y finalmente se calcula la incógnita como una ecuación lineal cualquiera. Ejemplo: 17 5 15 3 · + − x 12 15 3 · − x 4 15 · − x ( )
15 – x = 16 -x = 1 x = -1 36 EJERCICIOS 1. El valor equivalente a 5 , 0 es: a) 0,25 b) 2 c) 2
e) 1 2. La expresión equivalente a 12 es a) 6 2 b) 3 2 c) 2 3 d) 2 6 e) 6 3. Determinar el lado de un cuadrado de área 8 cm
a) 2 cm. b) 2 2 cm. c) 2 4 cm. d) 4 cm. e) 64 4. Determinar el volumen de un cubo cuya área total es 12 cm
. a) 2 cm
3 b) 8 cm
3 c) 2 cm
3 d) 2 2 cm
3 e) 12
3 5. ¿Cuál de los siguientes tríos corresponde a un trío pitagórico? a) 1, 2, 3 b) 1, 3, 5 c) 11, 12, 13 d) 1, 2 , 3 e) 3, 4, 5 6. Determinar el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 2 cm. a) 2 cm. b) 4 cm. c) 2 d) 2 2 e) Ninguna de las anteriores 7. El valor de x en la ecuación 1 2
− · + x x x es a) –1/2 b) –1/4 c) 1/2 d) 1/4 e) No tiene solución 8. Al resolver la expresión ) 2 3 ( 2 + se obtiene: a) 10 b) 6 2 c) 2 6 + d) 2 5 + e) 7 9. Al racionalizar la expresión 2 2
b) – 2 c) 2 2 + d) 3
e) Ninguna de las anteriores 37 Capítulo 7 LENGUAJE ALGEBRAICO 7.1 Lenguaje Algebraico Es esencial, para tener un buen manejo algebraico, el saber la equivalencia entre el lenguaje verbal cotidiano y el lenguaje algebraico. Para esto, te entregamos un listado de palabras con su respectivo significado algebraico que es fundamental que te aprendas para su posterior aplicación, en especial, en el planteamiento de problemas verbales. Aquí vamos: Más, suma, adición, agregar, añadir, aumentar -----> + Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar -----> - Multiplicación, de, del, veces, producto, por, factor -----> · División, cuociente, razón, es a -----> : Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a -----> = Un número cualquiera -----> x Antecesor de un número cualquiera -----> x - 1 Sucesor de un número cualquiera -----> x + 1 Cuadrado de un número cualquiera -----> x
Cubo de un número cualquiera -----> x
Doble de un número, duplo, dos veces, número par -----> 2x Triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de -----> 3x Cuádruplo de un número -----> 4x Quíntuplo -----> 5x Mitad de un número -----> x
Tercera parte de un número -----> x
Número impar cualquiera -----> 2x+1 ó 2x - 1 Semi-suma de dos números -----> 2
Semi-diferencia de dos números -----> 2
Números consecutivos cualesquiera -----> x, x+1, x+2, x+3, x+4, ..... Números pares consecutivos -----> 2x, 2x+2, 2x+4, 2x+6, 2x+8 ..... Números impares consecutivos -----> 2x+1, 2x+3, 2x+5, 2x+7, 2x+9 ..... Inverso multiplicativo (recíproco) de un número cualquiera ----> x
Número cualquiera de dos dígitos -----> 10x + y (Ya que , por ejemplo, 59 = 5·10 + 9) 38 Ejemplos: Vamos a escribir en lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas: 1) x - 4: "La diferencia entre un número cualquiera y 4" 2) 2x + 3y: " Al doble de un número agregarle el triple de otro número" 4) 4
+ 3y: "A la cuarta parte de un número agregarle el triple de otro número" 5) (x - 3)
: "El cuadrado de la diferencia entre un número cualquiera y 3" 6) x
- 3: "La diferencia entre el cuadrado de un número y 3" 7) 4
3 2 y x −
: "La cuarta parte de la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro número" 8) 3
: "La tercera parte del cuadrado de la suma entre dos números" 9) 4
x + : "A un número cualquiera añadirle su cuarta parte" 10) (5x)
: "El cuadrado del quíntuplo de un número" 11) 5x
: "El quíntuplo del cuadrado de un número" 12) (2x)
: "El exceso del cubo del doble de un número sobre el cuádruplo del cuadrado de otro número" 13) 5
: “La quinta parte de la diferencia entre el triple del cuadrado de un número y el cubo del doble de otro número” Ahora el proceso inverso y que es el que más nos ayudará a resolver problemas verbales algebraicos. 1. El doble de un número disminuido en el triple de otro número: 2x – 3y 2. Un número aumentado en su mitad: 2
x + 3. El exceso de un número sobre 3: x – 3 4 El cuádruplo del exceso de un número sobre 8: 4(x – 8) 5. El exceso del cuádruplo de un número sobre 8: 4x - 8 6. El doble del cubo de un número: 2x
7. El cubo del cuádruplo de un número: (4x)
3 8. La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y la tercera parte del cuadrado de otro número: 3 4
− 9. La mitad del exceso del cuadrado del triple de un número sobre el doble del cubo de otro número: 2
10. La suma de dos múltiplos de cinco cualesquiera: 5x + 5x+ 39 EJERCICIOS 1. El antecesor del número natural 5(n – 1) está representado por: a) 5n b) 5n – 1 c) 5n - 3 d) 5n – 4 e) 5n - 5 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número que tiene m unidades menos que el número n? a) n – m b) m + n c) m – n d) n : m e) m : n 3. El papá de Alvaro tenía x años cuando él nació. Si ahora Alvaro tiene y años. ¿Qué edad tendrá el papá en y años más? a) 2y b) x + 2y c) 2x + y d) x – 2y e) 2x – y 4. Si y es el antecesor de x + 2, entonces el doble del sucesor de y, expresado en función de x es: a) 2x + 2 b) 2x + 3 c) 2x + 4 d) 2x + 6 e) 2x + 8 5. El promedio entre 5 números naturales consecutivos es k, ¿cuál es el número central? a) k + 5 b) k - 5 c) 5k d) 3k e) k 6. La expresión que representa al enunciado “el cuadrado de la diferencia entre dos números” es: a) 2x – 2y b) 2x - y c) x
- y d) (x – y)
7. “Al número h se le suma m, dicha suma se divide por k y el resultado se multiplica por p”, se representa por: a) (h + m : k) · p b) (h + m · p) : k c) h : k + m · p d) [(h + m) : k] · p e) h · p + m : k 8. Si el inverso multiplicativo de 4
es –6, entonces n = a) -2 b) -10 c) 23/6 d) 25/6 e) –25/6 9. ¿Cuál es la expresión que corresponde al enunciado: “encontrar un número x cuyo cubo es igual a 8
de 56”? a) 56
· x b) 56
⋅ · x c) 56 ·
· x d) 3
· x e) 56 :
· x 10. El enunciado: “el cuadrado de la suma de dos números a y b es igual al doble de la diferencia de los cuadrados de esos números”, se expresa: a) a
2 b) a
=2(a-b)
2 c) a
) d) (a+b)
2 e) (a+b)
) 11. Sean a, b, y c números enteros tales que a – b = c. Si a = 3 y c = 10a, entonces el cuádruplo de b es: a) 120 b) 30 c) –27/4 d) -108 e) -27 40 12. “El cubo del doble de la diferencia de p y q”, se representa por: a) 2(p
) b) 2(p – q)
c) (2p – 2q)
d) [2(p – q)]
e) 3[2(p – q)] 13. Si a = 2/3 y b = 1/2, entonces el aditivo inverso de a•b es: a) –1/3 b) 1/3 c) 1/6 d) –1/6 e) 3 14. La expresión (2x)
se lee: a) El doble del cubo de un número b) El doble del triple de un número c) El cubo del doble de un número d) El cubo del cuadrado de un número e) El triple del doble de un número 15. Dentro de 10 años Rafael tendrá el triple de la edad que tiene ahora. Entonces ahora tiene: a) 2 años b) 3 años c) 4 años d) 5 años e) 6 años 16. Siendo n un número entero, el cuociente entre un número impar cualquiera y el número impar que le antecede es: a) 1 + n
1+ d) n 2
1+ e) 3 2
17. El triple de la diferencia entre 0,6 y su inverso multiplicativo es: a) 3,2 b) 32 c) –3,2 d) 45/16 e) -3 18. Si el largo de un rectángulo se triplica y su ancho disminuye al 50%, entonces se afirma que su área: I) se hace 1,5 veces mayor II) se incrementa en el 50% III) aumenta en el 150% de estas afirmaciones son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) I, II y III 19 . Si se triplica la expresión 3
se obtiene: a) 3
6 b) 3
15 c) 9
5 d) 9
6 e) 9
15 20. El doble de un número n más su cuadrado, se expresa por: a) 2n
(n+1) d) 3n e) n(2+n) 41 Capítulo 8 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 8.1 Expresiones Algebraicas Recordemos algunas definiciones básicas para nuestro trabajo algebraico. 8.1.1 Expresión Algebraica: Conjunto de cantidades expresadas con letras y números unidos entre sí por operaciones. Ejemplos: a) 4ax – 7y b) –5a
c) a + b – c + d 8.1.2 Término Expresión algebraica conformada exclusivamente por productos y/o cuocientes. Ejemplo: 2mn
En un término hay que distinguir el factor numérico y el factor literal. El factor numérico (o coeficiente) que indica las veces que el factor literal se repite como sumando. En el término 2m
el coeficiente es 2. En el término –5ab el coeficiente es –5. El factor literal, que es la letra con su exponente. En el término 4a
el factor literal es a
En el término 7a
8.1.3 Grado de un término algebraico Corresponde a la suma de los exponentes de la parte literal. Ejemplo: El grado de –3x
es 6 que resulta de sumar los exponentes 2 + 1 + 3. 8.1.4 Monomio Expresión algebraica de un solo término. Ejemplos a) 7k 42 b) –0,5xy 8.1.5 Polinomio Es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Ejemplos a) -7x
+ 4x – 5xy b) 6x
+ 4x + 9 De acuerdo a la cantidad de sumando, el polinomio recibe otras denominaciones: 8.1.5.1 Binomio Polinomio que consta de dos términos . Ejemplos a) 5x
b) -4x + 3y 8.1.5.2 Trinomio Polinomio que consta de tres términos Ejemplos a) 5x + 6y + 3z b) –1 + ab + 3a
b 8.2 Evaluación de expresiones algebraicas Evaluar o valorar una expresión algebraica significa asignar un valor a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Ejemplo: Valoremos la expresión 4x
- xy, considerando que x = -1 e y = 2. 2 2
4x y - 5xy - xy = 4·(-1)2·2 - 5·(-1) ·22 - (-1) ·2 = 4·1·2 - 5·(-1) ·4 - (-1) ·2 = 8 + 20 + 2 = 30
8.3 Términos semejantes Dos términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Ejemplos a) 4m y –2m son términos semejantes b) pq y p
q NO son términos semejantes 43 8.3.1 Adición de términos algebraicos Para sumar dos o más términos algebraicos, éstos deben ser términos semejantes Ejemplos 1. 8x - 4x + 3x - x = 6x 2. -2ab + 6ab + 4ab - 8ab - ab = - ab 3.- 2 2 2 2
x y + 5 x y - 2x y = 4x y 8.4 Eliminación de paréntesis Tenemos dos situaciones: que al paréntesis lo anteceda un signo positivo o un signo negativo. Si es positivo, no varían los términos al eliminar el parént esis. Si es negativo, todos los términos cambian al signo opuesto que tenía. Ejemplos: a) a + (b + c) = a + b + c b) a - (b + c) = a - b - c c) x + (y + z) - (x - y + z) = x + y + z - x + y - z = 2y 8.5 Productos algebraicos y factorización Se debe multiplicar cada término del primer factor por cada término del otro factor, considerando en la parte literal la regla correspondiente a la multiplicación de potencias de igual base, y luego reducir los términos semejantes, si los hay. Ejemplos: 1. 2 3 2 4 4
5xy · -7x y = -35x y 2. 2 2 2
2xy·(-5x + 4y - 3xy) = -10x y + 8xy - 6xy 3. 2 2 2 2
(3x - 2y)(4x + 5y) = 12x + 15xy - 8xy - 10y = 12x + 7xy - 10y 4. 2 2 2 2
(2a - 5b)(a - 2b + 5ab - 7) = 2a - 4ab + 10a b - 14a - 5ab + 10b - 25ab + 35b . En los productos algebraicos existen algunos casos que pueden ser resueltos a través de una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables. 8.5.1 Cuadrado de Binomio Corresponde al producto de un binomio por sí mismo. Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede expresarse como 2
(a + b) y luego (a - b)(a - b) que puede expresarse como 2
(a - b) 2 2 2 2
(a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + ab + b = a + 2ab + b 2 2 2 2
(a - b) = (a - b)(a - b) = a - ab - ab + b = a - 2ab + b 44 En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. Luego podemos enunciar que: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término” La estructura que representa esta fórmula es: 2 2 2
(a b) = a 2ab + b t t Donde a es el primer término y b el segundo termino. Ejemplos a) 2 2
(x + 7) = x + 14x + 49 b) 2 2 2
(2a - 3b) = 4a - 12ab + 9b 8.5.2 Suma por Diferencia Corresponde al producto de la suma de dos términos por su diferencia. Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a – b) 2 2 2 2
(a + b)(a - b) = a - ab + ab - b = a - b “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo” Ejemplos: a) 2 2
(2x + 5y)(2x - 5y) = 4x - 25y b) 2 3 2 3 4 6
(7m + 5n )(7m - 5n ) = 49m - 25n 8.5.2 Multiplicación de Binomios con un Término Común Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios (x + a) por (x + b), siendo el término común x. Ejemplos. 2 2
(x + 5)(x + 3) = x + 3x + 5x + 15 = x + 8x + 15 Observa que 5 + 3 = 8 y que 5·3 = 15 2 2
(x - 7)(x + 2) = x + 2x - 7x - 14 = x - 5x - 14 Observa que –7 + 2 = -5 y que -7·2 = -14 45 La estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente: 2
( )( ) ( ) x a x b x a b x a b + + · + + + ⋅ Concluimos entonces que “El producto de binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos” Ejemplos a) 2
(x + 6)(x + 12) = x + 18 x + 72 b) 2
(a + 7)(a - 3) = a + 4a - 21 8.6 Factorización Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. 8.6.1 Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común. Sabemos que m( x - y + z ) = mx - my + mz . Luego, factorizar este último polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor común. O sea m( x - y + z ) = mx - my + mz . Ejemplos: Factorizar a) 2 2 3 2
6ab - 18a b = 6ab (1 - 3b) b)
5a2bx4 - 15ab x - 20ab x = 5abx (ax - 3b - 4b x) . 8.6.2 Factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Sabemos que (a t b)
. Luego, se tendrá inversamente que: a
=(a t b)
. Ejemplos: Factorizar a) 2 2
x - 10x + 25 = (x - 5) b) 2 2 2
4x + 12xy + 9y = (2x + 3y) 8.6.3 Factorización de la diferencia de dos cuadrados. Sabemos que (a + b)(a - b) = a
= (a + b)(a - b). Ejemplos: Factorizar a) 2 2 2 2
9a - 16b = (3a) - (4b) = (3a + 4b)(3a - 4b). b) 2 2 2
4x - 0,01 = (2x) - (0,1) = (2x + 0,1)(2x - 0,1) 46 8.6.4 Factorizar un trinomio de la forma x
+ mx + n. Sabemos que 2
( )( ) ( ) x a x b x a b x ab + + · + + + . Luego, se tendrá inversamente que: 2
( ) ( )( ) x a b x ab x a x b + + + · + + Ejemplos: Factorizar a) 2 2
x + 7x + 12 = x + (4 + 3)x + 4·3 = (x + 4)(x + 3) b) 2 2
x + 5x - 14 = x + (7 - 2)x - 7·-2 = (x + 7)(x - 2) 8.6.5 Factorización de la suma y diferencia de cubos Es una expresión de la forma 3 3
a b t . La factorización de la suma y diferencia de cubos va dada por: ( )( )
Trataremos de dar una justificación para la diferencia de cubos, la justificación para la suma es análoga. 3 3 3 2 2 2 2 3
sumo ceros
a b a a b a b ab ab b
− · + − + − −
14444244443 Ejemplo i) ( ) ( )
8 2 2 4 2 b b b b b − · − · − + + Este es un ejemplo en el que se aplica casi todas las técnicas de factorización Factorizar 4 4 3 3
2 2 x y x y xy x y − + − − + 4 4 3 3
2 2 x y x y xy x y − + − − + · ( ) ( ) ( )
x y x y xy x y x y
· − + + − − −
· − + + − −
· − + − + + + +
47 EJERCICIOS 1. Los lados de un triángulo son a, 2a y 3a. Entonces su perímetro es: a) 5a b) 6a c) 5a
3 d) 6a
e) Falta Información 2. Si x = 2 e y = -1, el valor de la expresión 2x
y – 3xy
+ xy es: a) -16 b) -22 c) -26 d) -4 e) -12 3. El producto de (a
) es: a) a
4 b) 2a
6 c) a
9 d) a
4. El producto (a + b)·n es igual a: a) ab + n b) a + bn c) abn d) an + bn e) (a + b)
n 5. La edad de una persona es (a – 2). ¿Cuántos años tenía hace (10 – a) años? a) 2a - 12 b) -12 c) 12 – 2a d) 2a - 8 e) 8 – 2a 6. Si p – q = 7 y r – s = 8, entonces p – q – 2r + 2s es: a) -9 b) -3 c) -1 d) 15 e) 23 7. El área de un rectángulo de lados a y a + b es: a) 2a + b b) 4a + 2b c) a
+ b d) a
+ ab e) 2a + ab 8. La expresión x
– 5x + 6 es equivalente a: a) (x – 3)(x + 2) b) (x – 3)(x – 2) c) (x + 3)(x - 2)
d) (x – 1)(x + 6)
e) (x + 1)(x – 6)
9. El área de un cuadrado de lado (2 – x) es: a) 8 – 4x b) 4 – 4x + x
2 c) 4 + x
d) 4 – 2x e) 4 + 4x + x
2 10. La expresión equivalente a x
es: a) x
– 1) d) x
– x) e) (x
3 48 Capítulo 9 FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es el cuociente entre dos expresiones algebraicas. Ejemplos 2
3 7 5 log 5 3
, ,1 , ,
2 5 7 2ln
Nota: A toda expresión algebraica cuando se le cambia el signo del numerador y del denominador esta expresión permanece inalterable, esto es: x y x y
Una expresión que aparece bastante al resolver problemas es la expresión de la forma siguiente: 1
Otras propiedades que se cumplen en las fracciones algebraicas son: Al multiplicar o dividir el denominador y numerador por una cantidad, la expresión algebraica permanece inalterable: Ejemplos ( )
6 4 : 2
2 8 2 8 : 2 4
y y xy xy
9.1 Reducción y simplificación de fracciones algebraicas Para reducir y simplificar una expresión algebraica se debe factorizar el numerador y denominador en factores comunes y luego simplificar entre en el numerador y denominador. Ejemplos i) 2
49 ii) ( )( )
4 5 4 2 2 40
2 14 20 5 2 2 2 7 10
− + − + + − +
9.2 Operaciones con fracciones algebraicas. 9.2.1 Suma y resta de fracciones algebraicas Para sumar y restar fracciones algebraicas, se procede del modo siguiente: a) Se simplifican al máximo las fracciones algebraicas dadas. b) Se factorizan los numeradores, para ver si se encuentran factores comunes entre las fracciones que se están sumando y se reduce al mínimo común denominador. c) Se efectúan las multiplicaciones de los factores no comunes en el denominador con los numeradores respectivos d) Se suman los numeradores encontrados, y se dividen por el mínimo común denominador. e) Se reducen los términos semejantes en el numerador f) Se simplifica al máximo la expresión algebraica encontrada. Ejemplos i) 2
+ + · 5 5 4 8 2 2
mcd x y
− + · 2 2
3 6 4 12 2 4
3 4 4 12 4
x y xy x x xy y
9.2.2 Multiplicación y división de fracciones algebraicas. Método de resolución: a) Se descomponen factorialmente los términos de las fracciones algebraicas. b) Se simplifica suprimiendo los factores comunes del denominador y denominador. c) Lo que queda se multiplica, en el caso de la multiplicación entre denominadores y numeradores, y en el caso de la división se procede a multiplicar cruzado o se da “vuelta” el divisor y se multiplica. 50 Vamos a ilustrar los casos en que se multiplica y divide para que quede un poco mas claro. 9.2.2.1 Multiplicación a c ac
9.2.2.2 División Ejemplos i) 2
27 8 3 9 2 4 36
xy yz xy yz y
/ / ⋅ ⋅
ii) 2 3 2 2
2 4 2 8 2 8
51 iv) 4 4 2
9.3 Expresiones algebraicas mixtas Son aquellas en las que están formadas por una parte entera y una racional. Ejemplo: 2
x x etc
Al operar con fracciones de este tipo, lo primero que se debe hacer es llevarlas a una expresión algebraica simple. En los casos anteriores quedaría: 2
y xz y
+ · ; ( )
x x y y y x xy y
Más ejemplos. ( ) ( ) ( )
+ + − | ` | ` + + + − | ` | `
+ ⋅ − · ⋅ · ⋅ · −
| ` + | ` | ` | `
+ + · ⋅ · ·
− + − + − + + −
Muchas veces nos encontramos con ejercicios del tipo 2
, en este caso el denominador como el numerador se simplifica has obtener una expresión algebraica fraccionaria simple, y después se resuelve usando la forma de siempre. 52 Este quedaría 2
. Nota: a
· Ejemplo 1 1 1 1 1
· · · · · +
53 EJERCICIOS 1. La expresión ( ) ( )
2 x ax x ax a
, es igual a : a) 2 2
x a − b) ( ) x x a − c) ( )
x a + d) 2
x a − e) ( )
a x − 2. La expresión 1
, es igual a: a) -1 b) 1 / x c) -x d) x e) -1 / x 3. Para que valores de n, la fracción 2 3
no está definida a) 2
4. Factoriza y simplifica la fracción 6 12
a) 1 − b) 6
d) b a 2
5. El cuociente entre 3 2
1 x x x − + − y 1 x − es igual a: a) ( )
1 x x − b) ( )
1 x x − c) ( )
1 x + d) 2
1 x + e) 2
1 x − 6. ¿Qué valor toma la expresión 7 3
para n = -5? a) 4
a) b + 1 b) b − −1 c) b + −1 d) b − 1 e) 1
− b 8. Al dividir el trinomio 2
2 10 x x − − por ( ) 2 x + resulta: a) 2
2 5 x − b) 2 5 x − c) 2 5 x + d) 10 x − e) 5 x − 54 9. Al Simplificar 2
queda: a) 0 b) 5
c) -1 d) 1
e) 1 10. ¿Cuál es el valor de a b a b
− , sabiendo que b≠0? a) 0 b) 1 c) 2 d) 2a e) 2b 55 Capítulo 10 FUNCIONES 10.1 Producto cartesiano Sea (a,b) el par ordenado donde a “a” se le llama primera componente y a “b” segunda componente, además “a” y “b” son elementos que pertenecen a un conjunto universo dado. Si se tienen dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano, que se simboliza por A B × , al conjunto de todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes pertenecen al conjunto B. Matemáticamente seria: ( ) { ¦ , / A B a b a A b B × · ∈ ∧ ∈ 10.1.2 Representación grafica en el plano cartesiano Se llama plano cartesiano a dos rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical. A la horizontal se le denomina eje de las abscisas, que se designa con la letra X, y a la recta vertical eje de las ordenadas, que se designa con la letra Y. En cada eje se representa los números reales. Además como se observa en la figura se divide en cuatro cuadrantes de manera Anti -horaria, los cuales son I, II, III y IV. De esta manera tenemos una representación para un par ordenado, el cual es designado por el eje x y el eje y. Entonces a la primera coordenada la vamos a representar en el eje X y a la segunda coordenada del par ordenado por el eje y. Por ejemplo si quisiéramos representar el punto (1,2) , quedaría representado de la siguiente manera: 56 10.2 Funciones de una variable. Definición (general) Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A a B, es una regla de asignación, a la que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Lo anterior seria una definición formal para las funciones, pero lo que a nosotros nos interesa es la siguiente definición. Definición. (De una variable real) Sea A y B subconjuntos de los números reales, una función f de A en B, es un subconjunto de ( ) { ¦ , / A B x y x A y B × · ∈ ∧ ∈ que satisface que para cada x A ∈ existe un único y B ∈ el cual satisface la asignación de la función. Por comprensión seria de la siguiente forma: , x A ∀ ∈ ! / ( ) y B f x y ∃ ∈ · Lo anterior se denota de la forma : f A B → , donde a A se le llama dominio de la función (o conjunto de partida) y a B el recorrido de la función (o conjunto de llegada). Nota: Tenemos que hacer una observación con respecto a que A y B sean subconjuntos de los números reales, esto significa que puede ser el conjunto de los números Naturales, racionales, irracionales, un subconjunto acotado de los reales o un subconjunto no acotado. Algunos ejemplos de funciones serian. 2
( ) 2 1, ( ) , 2
( ) , ( ) , ( ) ln( ), f x x J x y x
I x x h x x g x x etc
En el caso de 2 2
25 x y + · , no es función ya que para dos valores de y se tiene el mismo valor de x, por ejemplo cuando x = 3, y puede valer 5 o -5. La figura de la ecuación descrita anteriormente es una circunferencia con centro en el origen, y de radio 5. Nota: Origen se le llama al punto en el plano cartesiano en donde se interceptan las abscisas y las ordenadas, o sea el punto (0,0). Ejemplos. 1.- Sea 1
· , determinar el dominio y el recorri do de esta función. Claramente en este caso x no puede tomar el valor de cero, esto es por que cuando x se hace cero la función se indefine. Luego el dominio de f es Dom { ¦ 0 f R · − 57 Ahora ver el recorrido es un poco más difícil, pero se hará de la siguiente manera; se despeja x en términos de y para así obtener restricciones de esta última. En el caso anterior esto quedaría: 1
Luego con esto se ve que y no puede tomar el valor cero, algo que es intuitivamente lógico ¿O no? Ejemplo Determine el dominio de: 1.- 5 2
Respuestas: 1.- Domy = R – { ¦
− 2.- Domy = { ¦ 1 R
− Importante: En general para determinar el dominio de funciones que son racionales, o sea en que en el denominador tenga la variable x, se debe restringir de manera tal que este, el denominador no se haga cero. Cuando se trata de funciones con raíces de radical par, la restricción es que todo lo que esta en el interior de la raíz debe ser positivo, o sea, mayor que cero. 10.3 Funciones elementales 10.3.1 Función constante Sea c una constante real, la función : f R R → definida por ( ) f x c · se denomina función constante. 58 10.3.2 Función identidad La función identidad es la función : f R R → definida por ( ) f x x · . 10.3.3 Función valor absoluto Es la función 0
: f R R
→ , donde f esta definida por ( ) f x x · , donde ( ) f x es x , si 0 x ≥ y toma el valor - x , si x es menor que cero. 59 EJERCICIOS 1.- En la función real ( ) 125 1,5
N t · ⋅ , entonces cual es el valor de ( 1)
· a) 125 b) 1 c) 1,5 d) 1.5
1,5 2. En una región geográfica de Chile se está observando un aumento gradual en la cantidad de cierta variedad de árbol A, lo que estaría afectando al clima. Si P = 20 + 0,2t expresa el % de esos árboles en la región, en función del tiempo t, en años, y T°= 25 + t expresa la temperatura media T°en la región, en función del tiempo t, en años; entonces, la temperatura, en función de la proporción P de árboles A, puede ser expresada como: a) T°= 5P – 75 b) T°= 5P + 75 c) T°= 5P – 20 d) T°= 4P + 25 e) T° = 4P – 20 3.- Se define la función real ( ) 50 (1 2 )
f t · ⋅ − , con t mayor que cero. El valor de f(3) : f(2) es igual a: a) 0,8 b) 11,7 c) 7/4 d) 6/7 e) 7/6 4.- Dada la función f que asocia a cada número su triple menos 2 unidades, ¿Cuánto vale ) 2 ( f ? a) -2 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 5.- Si 2
) ( x x f · , entonces ) 3 ( + x f es igual a: a) 2
3 x + b) 3 + x c) 9 6
+ + x x d) 9 3
+ + x x e) 9
+ x 6.- La grafica de la figura corresponde a la de la función f(x). Entonces ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( f f f f + + + − es igual a: a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 60 Capítulo 11 FUNCIÓN LINEAL 11.1 Funciones lineales Son las funciones de la forma y = mx, donde m es constante de proporcionalidad, denominada pendiente. 11.2 Variaciones de la pendiente Al graficar las funciones y = 0,5x; y = 1,5x; y = 2,5x; y = 3x. -20
Se puede observar que todas las rectas pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el primer y tercer cuadrante. Al graficar y = -x; y = -1,5x; y = -2,5x; y = -3x. -15
Observamos que las rectas pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el segundo y cuarto cuadrante. Para ambos casos el coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente (y) y la variable independiente (x). Generalizando, si x e y son las coordenadas de un punto perteneciente a una recta L que pasa por el origen, entonces existe m tal que y = f(x) = mx , denominada función lineal. También, viendo los gráficos concluimos que si m > 0, entonces y = mx es una función creciente y que si m < 0, entonces y = mx es una función decreciente. Por lo tanto, el valor de m nos indica la orientación de la recta. 61 11.2 Función Afín Las variables x e y están relacionadas por una función afín si satisfacen una ecuación de tipo y mx n · + , en la cual m y n son constantes. En esta ecuación aparece el termino nuevo “n” el cual se llama coeficiente de posición y es donde la recta interfecta al eje Y 11.3 Conceptos básicos de Geometría Analítica Como vimos anteriormente, para determinar la posición de un punto en el plano cartesiano se le asocia un par ordenado ( , ) x y de números reales, que se llaman coordenadas en un sistema de ejes cartesianos. Generalmente los puntos tanto en el plano como en cualquier caso de geometría se asignan con una letra mayúscula, por ejemplo en el caso de los puntos. (3,4)
Como pequeño ejercicio graficar los puntos anteriores en el plano cartesiano e indicar en que cuadrante se encuentran. 11.3.1 Distancia entre dos puntos. Supongamos que tenemos los puntos
( , ) A x y y 2 2
( , ) B x y , como se ve en la figura adjunta Como vemos se forma un triángulo rectángulo, en el cual los catetos son 1 2
( ) a x x · − y 1 2
( ) b y y · − Luego la distancia _____
AB (hipotenusa), según el teorema de Pitágoras
seria: _____
( ) ( ) AB x x y y · − + − 8
El teorema de Pitágoras dice que la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado. 62 11.3.2 Punto medio de un segmento El punto medio M de un segmento _____
AB con las mismas coordenadas descritas anteriormente es: 1 2 1 2
Ejercicio: Considere el cuadrado ABCD con vértices ( 2,1); (2, 3); (6,1); (2,5) A B C D − − , Encuentre: i) El perímetro ii) El punto medio de los lados y el punto medio de sus diagonales E iii) El perímetro del triangulo ABE y el area del triangulo ABE y ABC. Respuestas: El perímetro del cuadrado ABCD es 16 2 , (2,1) E · el perímetro del triangulo ABE es 8 4 2 + . Las áreas quedan propuestas. 11.4 La línea recta Una recta es la representación gráfica de una función de primer grado. Toda función de la forma y ax b · + de IR en IR representa una línea recta. Se denomina a x variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama variable dependiente, ya que su valor está determinado por el valor que tome x. Si un par de valores (x,y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación. Ejemplo: El punto (7,2) satisface la ecuación y = x - 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 - 5 lo que resulta verdadero. La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas: Forma General: ax + by + c = 0 Forma Principal: y = mx + n La forma principal proviene de despejar Y de la forma General 11.4.2 Pendiente de una Recta. En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición. La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7). 63 Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x
), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir; 1 2
· Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0, lo que es fácilmente observable. 11.5 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean P(x
) dos puntos de una recta, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es: 1
Que también se puede expresar como 1 2
− · − a esta ultima expresión se le llama ecuación de la recta dados dos puntos de la misma. Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4) 4 2
1 2 y x − · − 1 0 x y − + · , forma general. 11.6 Ecuación de la recta dado punto-pendiente La ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por 1
64 pero 1 2
· luego reemplazando en la ecuación anterior se obtiene 1
· despejando, obtenemos que: 1 1
y - y = m(x - x ) Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendi ente -4 y que pasa por el punto (5,-3) Usando el hecho que 1 1
( ) y y m x x − · − Y luego reemplazando en los valores dados, esto queda: ( 3) 4( 5) y x − − · − − Luego la ecuación pedida es 4x + y - 16 = 0 . ¿y esta ecuación en forma principal? . 11.7 Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos, o sea 1 1 1
: L y m x n · + 2 2 2
: L y m x n · + Entonces L
sí y sólo si m
distinto a n
Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5 ; y = 4x - 2 son paralelas. Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición iguales, o sea Entonces L
coincidente con L
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1. Entonces L
= -1 Ejemplo: L
: y = -2x + 3 L
: y = 0,5x - 4 Entonces L
ya que -2 · 0,5 = -1 65 EJERCICIOS 1. En la función lineal 3y = -6x + 1, el valor de la pendiente es: a) -6 b) -2 c) 1/3 d) 1 e) 3 2. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) y es paralela con la recta x + 5y – 3 = 0, es: a) –x+y+5=0 b) x+5y+19=0 c) x+y+3=0 d) –5x+y+9=0 e) x+5y+21=0 3. La ecuación de la recta que pasa por el punto (5,6) y que es paralela con la recta que une los puntos (-4,0) y (1,-6) es: a) –5x+6y=11 b) 6x+5y=60 c) -6x+5y=0 d) –5x-6y=0 e) y-2x=-4 4. El perímetro del triángulo cuyos vértices son (3,0); (3,4) y (0,4), es: a) 5 b) 6 c) 12 d) 16 e) 25 5. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta 3x + 2y – 4 = 0 a) (0,2) b) (2,2) c) (-2,2) d) (0, -2) e) (1, -1) 6. La pendiente de la recta que pasa por los puntos P(6,-2) y Q(-8,4), es: a) -7 b) –7/3 c) -1 d) –3/7 e) –1/7 7. Determinar el valor de K de modo que el punto (4,-3) pertenezca a la recta Kx – y = -2. a) K = -5/4 b) K = -2/3 c) K = -2/7 d) K = ¼ e) K = 4 8. Dadas las rectas L
: y = Kx-3 y L
: y = 2x – 4K. Determinar el valor de K para que L
. a) K = 2 b) K = 4/3 c) K = 3/4 d) K = -2 e) K = -3 9. Determinar el valor de K para que las rectas y + 3 = Kx y 2x = -4K – y sean perpendiculares. a) K = 3/4 b) K = ½ c) K = -1/2 d) K = –4/3 e) K = -2 10. Determina el coeficiente de posición de la función 4x – 3y – 5 = 0 a) 4 b) 4/3 c) –5 d) -3 e) –5/3 66 Capítulo 12 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS En el capítulo anterior analizamos lo relacionado con la ecuación de la recta. Vimos que dos rectas son paralelas si tienen igual pendiente y que dos rectas dos perpendiculares si el producto de sus pendientes es –1. Ahora nos toca considerar el caso en que dos rectas se cortan en un punto cualquiera y analizar de qué modo podemos determinar ese punto de intersección. Sabemos que si un punto pertenece a una recta, debe satisfacer la ecuación. por lo tanto el punto de intersección de dos rectas debe satisfacer a ambas, es decir, al reemplazar los valor x e y obtenidos se comprobarán dos identidades. Existen varios métodos para determinar el punto de intersección de dos rectas. Ahora revisaremos algunos: 12.1 Resolución por igualación Resolvamos el siguiente sistema: En ambas ecuaciones despejamos la misma incógnita, por ejemplo y. Como ambos son el valor de y, entonces se verifica la siguiente igualdad: Al desarrollar la ecuación resultante, obtenemos: Ahora reemplazamos el valor de x obtenido, en cualquiera de las ecuaciones anteriores, para obtener y y=2 67 Verificamos, en ambas ecuaciones, la respuesta obtenida: Por lo tanto las rectas dadas, se interceptan en el punto (4,2) 12.2 Resolución por sustitución. Resolvamos el sistema: 4 3 22
Despejemos una de las variables (cualquiera) en una de las ecuaciones Y la reemplazamos en la otra ecuación: Ahora resolvemos la ecuación sin dificultades ya que tiene una única incógnita. Ahora reemplazamos el valor de x, para obtener y. Entonces (x,y) = (4,2), que es el punto de intersección de ambas rectas. 68 12.3 Resolución por reducción En este método se trata de dejar en las dos ecuaciones los coeficientes de la incógnita que se trata de eliminar en forma inversa aditiva que facilitará su eliminación. Para ello debemos multiplicar una o ambas ecuaciones por el (los) número(s) adecuado(s). Una vez eliminada se calcula la otra incógnita la que luego se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones para determinar la que fue eliminada inicialmente. Ejemplo: Multiplicando la segunda ecuación por –2, con el fin de eliminar x, resulta Sumando obtenemos que: -7y = -14 y = 2 Reemplazamos el valor de y, para obtener el de x. La solución corresponde al punto (x,y) = (4,2). O sea las rectas dadas, al graficarlas, se interceptan en el punto (4,2) 12.4 Resolución de Problemas Pero la utilización fundamental de los sistemas de ecuaciones estará en los problemas verbales. Ejemplos: El largo de una piscina rectangular es 3 veces su ancho. Si su perímetro es 32 metros, ¿cuánto mide su largo? 3
- 3 0 /· 2
2 2 32 /· 3
69 8 96
El largo es de 12 metros. Dos números están en la razón de 6 : 4. Si se resta 6 del primero y se suma 6 al segundo, quedan en la razón 2 : 3. ¿Cuáles son los números? : 6 : 4
( - 6) : ( 6) 2: 3/
3 -18 2 12
3 - 2 30 /·-3
-9 6 -90
5 -90 /-1
Como 4x = 6y, reemplazando x tenemos: 4·18 = 6y 72 = 6y 12 = y Los números son 18 y 12. Ejercicios propuestos 1. La suma de dos cifras de un numero es 9 y la diferencia entre el y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número original? R.- 72 2. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de 10 y de 50. ¿Cuántas monedas de 10 y 50 tiene? R.- 50 de $10 y 150 de $50 3. Encontrar un número entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las unidades es el doble que la de las decenas y que si se invierten, el número aumenta en 36. R.- 48 4. Hace tres años la edad de Gonzalo era el doble de la de Mónica. Dentro de siete años la edad de Gonzalo será 4/3m de la edad de Mónica. ¿Cuántos años tienen actualmente? R.- Gonzalo, 13 años y Mónica 8 años. 70 En los sistemas del tipo: i) ax by c
Nos encontramos en el caso de dos rectas en el plano cartesiano, estas dos rectas pueden interceptarse (a), ser coincidentes (b) y ser paralelas (c). En el primer caso se dirá que el sistema de ecuaciones tiene solución para un único par ordenado y para que ocurra esto en i) debiera observarse lo siguiente. a d
≠ , o sea que las pendiente de cada recta por separado deben ser distintas. Para el caso de las rectas coincidentes, este sistema tiene solución para todo número real. Y esto ocurre cuando ; a d c f
· · , este caso es cuando, tanto como el coeficiente de posición y las pendientes son iguales. Cuando las rectas son paralelas, las rectas nunca van a coincidir en ningún punto, en este caso se dice que el sistema de ecuaciones es incompatible y no tiene solución. Esto pasa cuando las pendientes de cada recta del sistema de ecuaciones son iguales. O sea: ; a d c f
· ≠ 71 EJERCICIOS 1. La suma de dos números es 20. El triple del número menor es igual al doble del mayor. ¿Cuál es el doble del menor? a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24 2. Una polera y un par de calcetines costaron $ 5.600. Si la polera costó siete veces lo que costó el par de calcetines, ¿cuánto costó la polera? a) $ 700 b) $ 800 c) $ 4.800 d) $ 4.900 e) Ninguna de las anteriores 3. Si se cumple que 2m - n = 4 y m + n = 5, entonces es verdad que: a) m < 0 b) n < 0 c) m – n < 0 d) m + n < 0 e) n – m < 0 4. Las rectas 3x + 2y = 0 y x – y + 2 = 0, se interceptan en el punto de coordenadas: a) (-4/5,6/5) b) (-4/5,-6/5) c) (4/5,-6/5) d) (6/5,-4/5) e) (4/5,6/5) 5. Si 0
· , entonces el recíproco de q es: a) 4 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) -4 6. En un colegio se toma la medida de dar a cada alumno $100 como premio, cada vez que llega a la hora, pero debe pagar $ 50 por cada atraso que tenga. Si un alumno en un período de 20 días ha juntado $ 950. ¿Cuántas veces llegó tarde? a) 13 b) 10 c) 8 d) 7 e) 6 7. La mitad de (3x + 4y) es 5 y el doble de (4x + y) es 18, entonces el doble de la suma de (x + y) es igual a: a) 3/2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 8. Si 2A – B = 1 y A + 3B = 11, entonces los valores A y B son, respectivamente: a) 1 y 11 b) 2 y 3 c) 3 y 2 d) 1 y 1 e) 2 y 1 9. Dos ángulos ? y ? son suplementarios y se sabe que ? mide 40°más que ?. ¿Cuál es el complemento de ? ? a) 20° b) 25° c) 65° d) 70° e) 110°
10. El promedio entre A y AB es B + B
y si B = x, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I) A = B II) A/2 = B III) A = 2x a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo II y III d) I, II y III e) Ninguna 72 Capitulo 13 FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función definida por: 2
( ) f x ax bx c · + + donde , , a b c R ∈ La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio son los números reales, y el recorrido depende de la ecuación de la parábola. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola abre hacia abajo. Si a > 0 y b > 0, entonces la parábola se encuentra hacia la izquierda del eje y. Si a > 0 y b < 0, entonces la parábola se encuentra hacia la derecha del eje y. Si a < 0 y b > 0, entonces la parábola se encuentra hacia la derecha del eje y. Si a < 0 y b < 0, entonces la parábola se encuentra hacia la izquierda del eje y. Si b = 0, el eje y, es eje de simetría de la parábola. El punto (0, c) indica la intersección de la parábola con el eje y. 13.1 Ecuaciones Cuadráticas o de Segundo Grado Corresponden a las expresiones de la forma 0
· + + c bx ax , donde a, b, c ∈ IR. Veamos los tipos de ecuaciones de segundo grado que existen. 13.1.2 Ecuación de segundo grado completa La expresión de una ecuación de segundo grado completa es 0
· + + c bx ax con a, b, y c distintos de cero. Cuando a = 1, la ecuación recibe el nombre de completa particular 73 13.1.3 Ecuación de segundo grado incompleta Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b ó c, o ambos, son cero. Así tenemos: 2
0 ax · ; si b = 0 y c = 0. 2
0 ax c + · ; si b = 0. 2
0 ax bx + · ; si c = 0. 13.2 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas 1) 2
0 ax · , con a ≠ 0 Despejando x
se tiene: 0 0 0
· ⇒ · ⇒ · · x x
Por lo tanto, las ecuaciones de la forma 2
0 ax · tienen como solución única x = 0. 2) 2
0 ax bx + · , con a ≠ 0. Se saca factor común, obteniéndose ( ) 0 x ax b + · Si el producto de dos factores da como resultado cero, uno de ellos debe ser cero: ¹
x b ax b ax
x x − · ∧ · 0
2 4 0 x + · ¹
0 ) 4 2 (
0 x · y 2
2 x · − . 74 3) 2
0 ax c + · De donde: a
Si c<0 la ecuación no tiene solución, pues no existe la raíz cuadrada de un número negativo. Ejemplo: 3x
- 27 = 0 3 9 9
t · ⇒ t · ⇒ · ⇒ · ⇒ · x x x x x
La ecuación tiene dos soluciones, x
= 3 y x
= -3. Completas Para resolver una ecuación de segundo grado de la forma 0
· + + c bx ax , se hace lo siguiente: Se forma un cuadrado de binomio. 2
+ + · ⋅
+ + + − · . , . ,
Obteniéndose. a
Esta es la solución general de una ecuación de segundo grado. De donde: a
· 75 Ejemplo: Resolver la ecuación x
- 5x + 6 = 0. Resolución: a = 1; b = -5; c = 6. 2
6 1 4 ) 5 ( ) 5 (
⋅ ⋅ − − t − −
· x y x
O sea: x
= 2. 13.3 Discusión de las soluciones de una ecuación de segundo grado Se denomina Discriminante a la expresión b
- 4ac., y se representa por ∆, letra griega delta mayúscula. Entonces: ∆ = b
- 4ac. Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución. Se distinguen tres casos: Si ∆ > 0, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas. Si ∆ = 0, las dos soluciones son la misma, o sea, x
. Si ∆ < 0, la ecuación de segundo grado no tiene solución real. La justificación de lo anterior esta en la resolución de la ecuación completa. Ejercicios Propuestos 1) Encontrar la expresión para el producto y suma de raíces. 2) Formar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 4 y –2. 3) Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168. 76 13.5 Función Raíz Cuadrada La ecuación que representa a la función raíz cuadrada corresponde a: c bx a x f + + · ) ( El dominio de la función corresponde a los valores obtenidos al desarrollar la desigualdad a + bx ≥ 0. Una vez obtenido el dominio, se elabora una tabla de valores, se grafica y se obtiene el recorrido. Ejemplo: Graficar la función 5 2 ) ( − · x x f , determinar su dominio y recorrido. Obtengamos el dominio desarrollando la desigualdad 2x – 5 ≥ 0, de donde se determina que x ≥ 2,5. x f(x) 2,5 3 4 5 6 0 1 1.7 2.2 2.6 Luego el dominio de la función 5 2 ) ( − · x x f corresponde al intervalo [ [ +∞ , 5 , 2 y el recorrido al intervalo [ [ +∞ , 0 77 EJERCICIOS 1. ¿Cuál de los siguientes puntos no pertenece a la función cuadrática 2
1 ) ( x x f − · ? a) (0,1) b) (1,0) c) (-1,0) d) ( 2 ,-1) e) (1,1) 2. Al graficar la parábola y = 2x
– 3x + 5, esta intercepta al eje y en el punto: a) (0,2) b) (0,3) c) (0,5) d) (0, -3) e) (0, -5) 3. La función y = -3x
es una parábola cuyo vértice es: a) (0,3) b) (0,0) c) (0,-3) d) (-3,0) e) (3,0) 4. El eje y, es eje de simetría de una parábola, cuando: a) a > 0 b) a < 0 c) b < 0 d) b > 0 e) b = 0 5. En un terreno rectangular, el largo tiene 2 metros más que su ancho. Si su área es de 24 m
, ¿cuánto mide su largo? a) 3 m. b) 4 m. c) 6 m. d) 8 m. e) 12 m. 6. El valor del discriminante de la ecuación –x
– 1 = 0 es: a) -4 b) -3 c) 1 d) 4 e) 1 − 7. ¿Para qué valores de x, la expresión x
– 1 es negativa? a) x = 1 b) x = -1 c) x > 1 d) x < -1 e) –1 < x < 1 8. ¿Cuál es el valor de k, si la parábola y = 7x
– 4x + 2k – 10 pasa por el origen? a) 10 b) 5 c) 0 d) -5 e) Ninguna de las anteriores 9.- La ecuación cuadrática que tiene como raíces x
= -1 es: a) x
+ 1 = 0 b) x
+ x = 0 c) x
10. El Dominio de la función x x f 3 2 ) ( − · es a) 3
≤ x b) 2
≤ x c) 3
≥ x d) 2
≥ x e) 2 - 3x = 0 78 Capitulo 14 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 14.1 Función Exponencial Dado un número a real y positivo, llamamos función exponencial de base a, a la función ( )
f x a · cuyas propiedades generales son:
• Si a = 1 la función siempre vale 1. • Es siempre positiva: su recorrido es el conjunto de los reales positivos y la gráfica está en el semiplano positivo de ordenadas. • La recta y = 0 es una asíntota horizontal. Si a > 1 • Es una función creciente. Una función f(x) es creciente si cuando x crece, f(x) también crece. • Para x > 0 la función siempre es mayor que 1. • Para x < 0 la función siempre está en [0, 1] Si a ∈ ] 0, 1 [ • Es una función decreciente. Una función f(x) es decreciente si cuando c crece, f(x) decrece. • Para x > 0 la función siempre está en [ 0, 1] . • Si x < 0 la función es mayor que 1. • La recta y = 0 es una asíntota horizontal. Ejemplos 14.2 Función Logarítmica Dado un número "a" positivo y distinto de 1. Llamamos función logarítmica de base a a la función ( ) log
f x x · cuyas propiedades son: • Es la función inversa de y = a
• Esta bien definida sólo para valores positivos. ( su dominio son los reales positivos). 79 • En x = 0 la función no existe y presenta una asíntota vertical. • Para x=1 la función siempre vale 0, sea cual sea la base a, la gráfica pasa por el punto (1, 0) • Si a >1 la función es creciente y si a <1 la función es decreciente. Ejemplo 14.3 Logaritmo de base a de un número n Es el exponente al que debemos elevar el número a, positivo y distinto de 1, para obtener el número n: n a X n
• Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal, y no se indica la base en su escritura así escribimos: log x en vez de log
x • Si la base del logaritmo es el número e, se llama logaritmo natural ó neperiano, en honor a John Neper, o Napier, un matemático escocés de la segunda mitad del siglo XVI que estudió e inventó los logaritmos. Para estos logaritmos se usa la notación ln x, así escribimos: ln x en vez de x
log 14.4 Propiedades 1 ) El logaritmo del producto de dos números: log ( ) log log
a b a b ⋅ · + 80 Ejemplo: log5 log20 log(5 20) log100 2 + · ⋅ · · 2 ) El logaritmo del cociente de dos números: log log log
· − Ejemplo: 20
log20 log2 log log10 1
3 ) El logaritmo de una potencia: log log
a n a · ⋅
log 36 = log 6 = 2·log 6 4 ) El logaritmo de una raíz. 1
log 8 log 2 3log 2 3 · · · 5 ) El logaritmo de 1. log 1 0
· 6 ) El logaritmo de un número a, en base a. 1 log · a
7) “Cambio de base” Se cumple que: b
siendo la más utilizada aquella en que debemos trasformar logaritmos a base 10, o sea b
81 EJERCICIOS 1. La expresión 2
log(x - 16) - log(x - 4) equivale a: a) log(x + 4)
b) logx - log 4 c) log
d) log(x - 4)
e) log(x - 12)
2. Si log 2 = 0,3 y log 3 = 0,48. Calcular el log 6. a) 0,144
3. El valor de x en la expresión 4 log
4. Al desarrollar la expresión 2 2
log(a - b ) se obtiene: a) loga
b) 2log(a - b)
c) log(a+b)+log(a-b)
5. Al reducir la expresión log a + 2 a un solo logaritmo se obtiene: a) log(a + 2)
c) log 2a
d) log 100a
6. Calcular x en la expresión x · 64 log
7. Desarrollar la expresión b log a log
+ se obtiene: a) ) log(
b) ) log( a b
d) ab log
e) b a log +
8. Reducir a un solo logaritmo la expresión b log
+ resulta: a) 6 2 3
b) ab log
c) 2loga + 3logb
d) ) log(
9. Si 1 )
log( − ·
, entonces x vale: a) -11
10. La expresión equivalente a a
log es a) log a
b b) log b
c) log ab
d) a log
e) b log
82 Capitulo 15 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTIMICAS 15.1 Ecuaciones exponenciales Son aquellas en las que las incógnitas forman parte de un exponente. Ejemplo: 2 3 5 2 + −
a a Veamos cómo debemos resolver este tipo de ecuaciones: Calcular x en la ecuación 128 2 ·
Podemos transformarla en 7
de donde se obtiene que x = 7. En general si y x a a
· ⇒ · si b a b a
· ⇒ · Ejemplo: Resolver la ecuación exponencial: 3 1
9 27 ·
) 3 ( ) 3 ( ·
3 3 · − x
Ejemplos 1. Encontrar el valor de x en 1 1 1 1
⋅ ⋅ · 1 1 1 1
83 2.- Encontrar el valor de x en 1
+ · : 1 1
2 2 2 48
2 (2 1) 48
3 2 16 3/ 3
⋅ · ⋅ ÷
A veces hay que poner un poco mas de imaginación… 15.2 Ecuaciones logarítmicas Son aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un logaritmo. ejemplo: log(x + 7) = 1 + log(x - 4) Resolver la ecuaciónlog(x + 6) = log(2x - 1) . Parece lógico que para que esta ecuación sea cierta, debe ser: x + 6 = 2x - 1 o sea x = 7. El método para resolver numéricamente las ecuaciones logarítmicas se basa en lo siguiente: Se trata de conseguir por tanto una ecuación del tipo log(...) = log(...). Para ello de deben tener muy claras las propiedades de los logaritmos: Ejemplo: Determinar el valor de x en la ecuación: log(x + 6) = 1 + log(x - 3) . log(x + 6) = 1 + log(x - 3) ; log(x + 6) = log 10 + log(x - 3) ; [ ] log(x + 6) = log 10(x - 3) . x + 6 = 10(x - 3) x = 4. Debemos considerar, al resolver ecuaciones logarítmicas, lo siguiente: En algunas ecuaciones logarítmicas podemos obtener soluciones numéricas que no son válidas, lo que nos obliga a comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación inicial para decidir sobre su validez 84 Ejemplo: Resolver la ecuación 2
log (3 - x ) =log 2 + log x 2
log (3 - x ) =log 2x , 2
3 2 x x − · 2
2 3 0 x x − + · de donde se obtiene que 1
x = 1 y 2
x = - 3 Al sustituir el valor -3 en la ecuación inicial, se obtiene que log(-6) = log2 + log (-3), pero los ¡Logaritmos de números negativos que no existen!. Por tanto la única solución de esta ecuación es x = 1. 85 EJERCICIOS 1. El valor de x en la expresión 2
= 1 es: a) 7
2. Si 64
, entonces x = ? a) 16
3. En la expresión 0 2 4
el valor de x es: a) -13
4. Al resolver la ecuación 9 x 4 2 x 6
· se obtiene que x es: a) -19
5. El valor de x en la ecuación log(2x- 4) = 1, es: a) –3/2
6. Si log(x + 3) = log2 – log(x + 2), entonces x = a) 4
7. El log4x = 3log2 + 4 log3. Determinar x. a) 3
d) 45/2 e) 162
8. Al calcular x en la expresión x 4 3 x
· resulta: a) 29/2 b) 11/2 c) –11/2
9. El valor de x en la ecuación logarítmica log(x – a) – log(x + a) = logx – log(x – a) es: a) a/3
10. En la ecuación log(x + 1) = -1, el valor de x es: a) 1,1
86 Capitulo 16 INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ¿Qué es una recta?, un rayo?, un ángulo?, preguntas que responderemos en esta unidad. Las respuestas a estas preguntas corresponden a las definiciones más básicas respecto a lo que es Geometría, por esto es que serán la base sobre la cual construiremos el resto de la materia de la unidad. 16.1 Conceptos Antes que todo y como siempre, las definiciones: 16.1.1 Punto La base de toda la Geometría, no tiene dimensiones, solo una posición en el espacio. Se representan con una letra mayúscula. 16.1.2 Recta Infinita cantidad de puntos en una línea recta que no tiene principio ni fin. Se designa con una letra mayúscula. Es de considerar siempre que dados dos puntos no coincidentes pasa una y solo una recta, así como también que por un punto pasan infinitas rectas. 16.1.3. Plano Así como dos puntos generan una recta, tres puntos no “colineales” generan lo que llamamos un plano. 87 16.1.4 Rayo Conjunto infinito de puntos, que tiene un origen pero no un fin. 16.1.5 Angulo La medida que corresponde a la abertura existente entre dos rayos de origen común, este origen común se denomina vértice. Se designa con 3 letras mayúsculas, y el símbolo S , de forma que la primera letra es un punto perteneciente a un rayo, la letra de en medio corresponde al vértice y la última corresponde a un punto perteneciente al otro rayo. Ahora que conocemos el esquema básico podemos empezar a conocer nuevas propiedades con respecto a estos elementos. 16.2 Rectas 16.2.1. Rectas Secantes Corresponde a rectas que se intersectan en un punto 16.2.1.1 Rectas Perpendiculares Son aquellas rectas en las que la intersección se produce en un ángulo de 90º, también llamado ángulo recto. 16.2.1.2 Rectas Oblicuas Son aquellas rectas en que la intersección se produce en un ángulo distinto a 90º. 88 16.2.1.3 Rectas Paralelas Corresponde a rectas que no se intersectan en ningún punto, (ver también el capitulo de sistemas de ecuaciones). 16.3 Ángulos en rectas secantes y paralelas Ahora, con estos conceptos podemos entrar en una materia muy común en lo que es la PSU, como es la de ángulos en un conjunto de rectas secantes y paralelas como el de la figura. En la figura L1 y L2 son paralelas entre sí, lo mismo sucede con L4 y L5. Angulos: 1. Correspondientes 2. Alternos Internos 3. Alternos Externos 4. Opuestos por el vértice 5. Suplementarios 89 Tanto los ángulos correspondientes, como los alternos, ya sean externos o internos y además los opuestos por el vértice tienen la misma medida, los ángulos suplementarios a su vez suman 180º. 16.4 Semejanza y Congruencia de polígonos Estos conceptos serán muy important es a la hora de analizar una de las figuras más comunes en la PSU como son los triángulos. 16.4.1 Semejanza Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, de manera que una de ellas se puede considerar como ampliación o reducción de la otra. Para ello deben cumplirse dos condiciones: 1°) Los ángulos respectivos deben de ser iguales 2°) Los lados respectivos han de ser proporcionales '; '; '.... α α β β γ γ · · · Los vértices, lados y ángulos correspondientes a dos polígonos semejantes se llaman homólogos; y a la constante de proporcionalidad, que es la razón entre las longitudes de dos lados homólogos, se llama razón de semejanza. Es importante recordar que: 1. La razón de los “perímetros” de dos polígonos semejantes es igual a su razón de semejanza. 2. 2. La razón de las “áreas” de dos polígonos es igual al cuadrado de su razón de semejanza. Como nota muy importante podemos recalcar dos fórmulas que nos entregarán datos importantes sobre cualquier polígono: a) Diagonales: Para cualquier polígono, la fórmula para hallar la cantidad de diagonales que posee es: b) Suma de ángulos internos: Para cualquier polígono la suma de sus ángulos internos es: 180(n – 2) 90 16.4.2 Congruencia Dos figuras son congruentes cuando son semejantes y su razón de semejanza es igual a 1. Por esto podemos decir que la congruencia es un caso particular de la semejanza. En algunos textos, se define congruencia como el hecho de que una de las figuras pueda ser convertida en la otra por medio de movimientos tales como rotación, traslación, simetría, estas últimas conocidas como “isometrías” (mas información más adelante). ; ; ;
/ / / / 1 AB EF AC EG CD GH BD FH
α ε β η γ θ δ λ · · · ·
uuur uuur uuur suur uuur suur uuur uuur
16.5 Triángulos Es el polígono que junto al cuadrado y el rectángulo son los mas usados en la PSU, por tanto su comprensión es fundamental a la hora de su rendición, así como también forman parte del marco necesario para tener una idea completa de lo que son los conceptos de la matemática y de cómo se relacionan a fin de lograr una contextualización de lo aprendido. 16.5.1 Ángulos en el triángulo En esta sección se revisaran distintas propiedades relativas a los ángulos dentro de un triángulo. La mas importante es la ya comentada anteriormente, que es: “la suma de los ángulos internos de un triángulo SIEMPRE es 180°” 180º α β γ + + · 91 16.5.2 Tipos de Triángulos Se pueden ordenar de dos formas: MEDIDA DE SUS LADOS MEDIDA DE SUS ANGULOS Nombre Descripción Nombre Descripción Equilátero Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°) Acutángulo Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo. Isósceles Tiene dos lados iguales, con lo cual dos de sus ángulos miden lo mismo Rectángulo Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa. Escaleno Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos Obtusángulo Uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) 16.5.3 Criterios de Semejanza y Congruencia de Triángulos 16.5.3.1. Criterios de Semejanza de Triángulos Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes: Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA) Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales. Ejemplo: Si se dice que ∠A = ∠D y que el ∠C = ∠F, entonces el ∆ABC ≅ ∆DEF 92 Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado ( LAL) Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman. Ejemplo: Si se dice que EF
· y que ∠B = ∠E, entonces el ∆ABC ≅ ∆DEF Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL) Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales. Ejemplo: Si se dice que FD
· · entonces el ∆ABC ≅ ∆DEF 16.5.3.2. Criterios de Congruencia de Triángulos Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia y se expresan en los siguientes: Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos también congruente. D F C B E A 93 ∆ABC ≅ ∆DEF porque, AB ≅ DE; ∠ABC ≅ ∠DEF y BC ≅ EF. Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado común a ellos, también congruente. ∆GHI ≅ ∆JKL porque, ∠GHI ≅ ∠JKL; HI ≅ KL y ∠HIG ≅ ∠KLJ Criterio LLL (Lado-Lado-Lado) Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes. ∆MNO ≅ ∆PQR porque, MN ≅ PQ; NO ≅ QR y OM ≅ RP Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor medida, también congruente. ∆ACE ≅ ∆BDF porque, AC ≅ BD; CE ≅ DF y ∠CEA ≅ ∠DFB, siendo AC y BD los lados de mayor medida. 94 16.5.4 Teoremas en Triángulos 16.5.4.1 Teorema de Pitágoras Para cualquier triángulo rectángulo cuyos catetos midan a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica que: 2 2 2
a b c + · 16.5.4.2 Teorema de Euclides Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, se verifica que: 1°) ∆ADC ≈ ∆BDC ≈ ∆ACB 2°) 2
CD AD BD · ⋅ 3°) 2
AC AB AD · ⋅ 2
BC AB BD · ⋅ 1°) Los triángulos que resultan son semejantes al triángulo dado y por tanto semejantes entre sí. 2°) La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos de la hipotenusa. 3°) Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. 16.5.4.3. Teorema de Thales El filósofo y matemático griego Thales de Mileto fue uno de los siete sabios más grandes de la antigüedad. El teorema de Thales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí. 95 El teorema de Thales afirma: Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales. Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada división se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W. En la figura las medidas de los segmentos son las siguientes: OP = 2 cm; PQ = 2.5 cm; QR = 3 cm OU = 3 cm; UV = 3.75 cm; V W = 4.5 cm Al establecer proporciones con las medidas, se observa que: Es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales. También se enuncia que: Si una recta intersecta a dos lados de un triángulo, y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado. El teorema fundamental de semejanza de triángulos, surge como consecuencia del teorema de Tales: Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero. 96 Ejemplos 1. En la Figura, las rectas L1 y L2 son paralelas, det. el ángulo x Antes que nada es necesario despejar el ángulo y: Como son suplementarios podemos sumar e igualar a 180°(ángulo extendido) 2 180 60 y y y + · ° ⇒ · Ahora aplicamos “Ángulos Correspondientes” y tenemos Aquí hay varias formas de continuar, usaremos la propiedad del triángulo que dice, “el suplemento de un ángulo del triángulo, es igual a la suma de los otros dos ángulos que lo conforman” O sea: 30 60
97 2. Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes. I) II) III) Para encontrar la congruencia debemos intentar pareja por pareja. I y II: Aplicando los criterios, notemos que corresponde al criterio ALA (ángulo-lado-ángulo) pues aún cuando no este anotado en la figura el tercer ángulo mide lo mismo en ambos triángulos, y entre ellos tenemos un lado que mide lo mismo para ambos triángulos. II y III: Notemos que no hay criterio a aplicar para la congruencia, pues el lado que sale con su medida notificada en ambos triángulos no son correspondientes entre si, por tanto no hay congruencia, además esto implica que entre I y III tampoco hay congruencia, porque I ES congruente con II y éste NO es congruente con III. La respuesta en tanto es: Solo I y II 3. En la figura siguiente AD = 3 m. y AC = 5 m., el valor de BD es: Aplicando el teorema de Euclides: 2
AC AB AD · ⋅ “Arreglando” un poco la expresión, y nombrando X al largo del segmento AB, tenemos que: 2
( ) AC AD AD X · ⋅ + 2
AC AD AD X
( ) AC AD AD X
Ahora reemplazando los datos tenemos que: 2 2
X X X BD
· ⇔ · ⇔ · ·
80° 10 cm. 70° 80° 10 cm. 70° 80° 10 cm. 70° 98 4. En la figura, ST//QR, si SQ = x + 1, QP = x + 2, TR = x + 5, RP = x + 6. La expresión que permite determinar x es: Basta enunciar el teorema de Thales: 1 5
SQ TR x x
x x QP RP
uuur uuur , esta es la expresión que permite calcular x. S T R Q P 99 EJERCICIOS 1. En un triángulo isósceles las medidas del ángulo de la base y del vértice están en la razón 1:3; el ángulo mayor mide: a) 36º b) 45º c) 90º d) 108º e) 135º 2. Dos cuadriláteros A y B son semejantes. los lados del cuadrilátero A son 10, 15, 18 y 12 cm. Si la constante de proporcionalidad es 3, ¿cuánto mide el menor de los lados de B? a) 3 , 0 cm. b) 3 , 3 cm. c) 5 cm. d) 6 cm. e) 30 cm. 3. En un triángulo las medidas de los ángulos interiores están en la razón 4 : 9 : 5. El triángulo es: I) Isósceles II) Rectángulo III) Acutángulo a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I y III 4. La sombra de un edificio es de 50 metros y a esa misma hora la sombra de una casa de 5 metros de altura, es de 10 metros. ¿Cuál es la altura del edificio? a) 10 m. b) 25 m. c) 45 m. d) 50 m. e) 100 m. 5. En la figura, el ∆ABC ≅ ∆DEF, entonces se verifica que: a) AC ≅ DF b) BC ≅ DE c) AB ≅ FE d) AC ≅ FE e) AB ≅ FD C A B D F E 100 6. Los triángulos ABC y DEF de la figura son congruentes, entonces la medida de EF es: a) 9 b) 15 c) 17 d) 40 e) Falta información 7. Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura, son congruentes, es necesario saber que: a) AB ≅ DC b) ∠BAO ≅ ∠DCO c) AB // CD d) AO ≅ DO y AB ≅ CD e) BO ≅ CO y AO ≅ DO 8. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm. y 4 cm. Determinar la proyección mayor de los catetos sobre la hipotenusa. a) 1,8 cm. b) 3,2 cm. c) 4 cm. d) 5 cm. e) 2
cm. 9 A C B 40 80 15 F D E 60 80 B O A D C 101 9. En la figura siguient e, CD = 6 cm.; AD = 3 cm. Determinar el área del triángulo ABC. a) 9 cm
10. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm. Determinar la altura del triángulo. a) 5
cm. b) 5
cm. c) 5
cm. d) 5 cm. e) Ninguna de las anteriores 11. En la figura AE // CB. Determinar la medida de DB si AD = 20 cm, AC = 6 cm. y ED = 18 cm. a) 9 cm b) 11 cm c) 12,6 cm d) 54 cm e) Ninguna de las anteriores 58° C D A B E 58° 102 12. En la figura, DE // AB, entonces I) CD
· II) EC
· III) CD
· a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III e) I, II y III 13. En la figura, AB = a, BC = b, CE = c. Si BD//CE, entonces DB queda determinado por la expresión: a) c
b a a ) ( +
14. Si L//M, PA = 5, AC = 8, AB = 6, el valor de CD es a) 15,6 b) 9,6 c) 9 d) 6,6 e) 3,7 A D B E C D E C B A A C P M L D B 103 15. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones se verifica(n) en la figura, siendo BE//CF y CE//DF? I) CF
· II) EF
· III) AF
· a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) I, II y III A B E C F D 104 Capitulo 17 PERIMETROS, AREAS Y VOLUMENES “Chile, país largo, con una extensión de Arica a Pta. Arenas de mas de 4.700 Km” “El nuevo complejo deportivo, de mas de 25.000 m2, será inaugurado este martes” “El consumo de agua por este verano, quedara restringido a solo 40 m3 por Cliente” 17.1 Conceptos Perímetro: es la medida que corresponde a la suma de los lados del polígono Área: también llamada superficie, corresponde a la medida de la región interior de un polígono Volumen: es la medida que ocupa un cuerpo en el espacio 17.2. Figuras Geométricas, perímetros y áreas 17.2.1 Triángulo Polígono de 3 lados, sus ángulos internos siempre suman 180º Perímetro = a b c + + Área = 2
base altura ⋅
c h ⋅
Caso Especial: Triángulo Equilátero: Todos sus lados de igual medida. Perímetro = 3a Área = 2
105 17.2.2 Cuadrado Polígono de 4 lados, en el cual sus cuatro lados tienen la misma medida, y se intersectan en 90º Perímetro = 4a Área = 2
17.2.3. Rectángulo Polígono de 4 lados, los cuales se intersectan en 90º Perímetro = 2 2 a b + Área = a b ⋅ 17.2.4 Rombo Similar al cuadrado, cuatro lados iguales, pero no se intersectan en 90º Perímetro = 4a Área = 2
⋅ · 106 17.2.5 Romboide Similar al rectángulo, dos parejas de lados iguales, pero que no se intersectan en 90º Perímetro = 2 2 a b + Área = a h ⋅ 17.2.6 Trapecio Cuadrilátero con solo un par de lados paralelos Perímetro = a b c d + + + Área = ( )
· ⋅ 17.2.7 Círculo Figura encerrada por una frontera de puntos que “equidistan” de un punto central, a esta frontera suele llamársele circunferencia Perímetro 2 a π · (también se le conoce como “largo de circunferencia”) Área 2
a π · 107 17.2.7.1 Sector Circular Un sector de círculo, delimitado por dos radios, que forman un ángulo determinado Perímetro = 2
+ Área = 2
r π α
17.3 Problemas de áreas Un problema muy común en la PSU, se dan de dos tipos 17.3.1 Suma de Áreas Se trata principalmente de la composición de una figura un tanto extraña, por medio de figuras mas simples, como es esto?, con un ejemplo quedará mucho mas claro. La figura mostrada a continuación, consta de un cuadrado ABCD de lado a = 2 cm, el segmento AE mide a, ¿El área achurada es? Lo primero a considerar es que tenemos una figura para la cual no tenemos una fórmula definida, ¿Qué hacer?, lo mejor es dividir el problema, en trozos en los que sí tengamos formulas. Tenemos dos figuras conocidas, el cuadrado y el triangulo,(notar que este último es un triángulo rectángulo), ahora el problema se reduce a aplicar las fórmulas conocidas para tales figuras: Área de cuadrado ABCD =
a = 4 Área de triángulo EAB = 2
base altura a ⋅
· = 2 Área Total = Área de cuadrado + Área de triángulo = 4 + 2 = 6 ¿Fácil no? 108 17.3.2 Resta de Áreas Muy similar al anterior, es el típico ejercicio en el cual hay figuras dentro de otras. La forma general de solución es verificar las figuras, separando en partes comprensibles y luego restar las áreas. Ejemplo Se tiene un cuadrado ABCD de lado 4 cm., y un círculo inscrito en él, Calcular el área sombreada. El hecho de estar inscrito, significa que el círculo es lo más grande que puede para estar dentro del cuadrado, es decir si el círculo creciera más, no cabría dentro del cuadrado. Esto implica que el diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado. Es claro que el Área sombreada corresponde a la diferencia de tamaño entre el cuadrado y el círculo. Calculemos: 2
A r π π π π
16 4 4(4 )
Sombreada Cuadrado Círculo
A A A π π
− · − · − 17.4 Volumen en cuerpos Geométricos 17.4.1 Cubo Cuerpo geométrico de 6 caras, todas ellas cuadrados del mismo lado Área = 2
6a Volumen = 3
a 109 17.4.2 Paralelepípedo Cuerpo geométrico de 6 caras, en el cual de ellas son iguales y se encuentran opuestas entre si, y las otras cuatro caras son iguales entre ellas. Área = 2( ) ab ac bc + + Volumen = a b c ⋅ ⋅ 17.4.3 Pirámide Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos. Es importante notar que existen múltiples pirámides, según sea el polígono que sirva de base.(en la figura una pirámide de base triangular) Área = suma de las áreas de las caras Volumen = 3
17.4.4 Cono Se forma por la rotación de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos Volumen = 2
17.4.5 Cilindro 110 Se forma por la rotación de un rectángulo en torno a uno de sus lados Área = 2
2 2 2 ( ) r rh r r h π π π + · + Volumen = 2
r h π 17.4.6 Esfera Se forma por la rotación de una semicircunferencia en torno a su diámetro. Área = 2
4 r π Volumen = 3
r π Ejemplos 1. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble. ¿Qué ocurre con el área y su perímetro? Consideremos un cuadrado de lado a, donde su perímetro es 4a y su área a
. Si su lado aumenta al doble, ahora medirá 2a. Aplicando las fórmulas de perímetro y área de este nuevo cuadrado obtenemos que su perímetro es 8a y que su área es 4a
. Por lo tanto, al comparar los perímetros, vemos que aumentó el doble (de 4a a 8a) y que el área aumentó 4 veces, o sea se cuadruplicó (de a
) 2. Unas pelotas se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si el diámetro de la lata es de 6 cm. Calcular el volumen, en cm
, que queda libre en el interior de una lata. Primero un dibujo Tenemos el dato del diámetro de la lata, el que corresponde también al diámetro de las pelotas que se guardan en él, además, al saber que caben tres pelotas en la lata, tenemos la altura de esta (ya que conocemos el diámetro de ellas). Ahora tenemos la altura y el diámetro de la lata, con lo cual tenemos su volumen (por calcular), también tenemos los datos de las pelotas, con lo cual podemos calcular el volumen que ellas ocupan. Ahora a calcular: Teniendo el diámetro de la lata, tenemos también el de las pelotas, y con ello su radio r=3 cm 111 2 3
6 4 2 2 27 54
libre Lata Pelotas
V V V r r r π π π π π · − · − · · ⋅ · 3. En un rectángulo, el largo excede en 2 cm. al ancho. Si el perímetro mide 60 cm., su superficie es: Hay que usar los datos que tenemos, primero que todo tenemos que el largo excede en 2 cm al ancho, es decir: a = b +2 donde a es el largo y b el ancho y además tenemos que el perímetro es 60 cm. O sea: 60 = 2a + 2b = 2 (b+2) + 2 (b) = 4b + 4 = 60 Y ahora tenemos una ecuación de primer grado: 4b + 4 = 60 4b = 56 b = 14 esto implica que a = b + 2 o sea a=16 ahora el área es de 2
A a b cm · ⋅ · ⋅ · 112 EJERCICIOS 1. Calcular el volumen, en cm
, de un cilindro de diámetro 10 cm y altura 12 cm a) 1200π
b) 300π
c) 240π
d) 120π
e) 120 2. La cúpula de San Pedro del Vaticano mide 42 m de diámetro, ¿cuál es su superficie si suponemos que es semiesférica? a) 220,5π
b) 882π
c) 1.764π
d) 3.582π
e) 7.056π 3. Determinar el volumen, en cm
, de una superficie esférica de 6 cm. de diámetro. a) 9π
e) 288π 4. Calcular el volumen, en m
, de un depósito cilíndrico de radio 3 m y altura 4 m terminado en una semiesfera. a) 54π
c) 30π
e) Ninguna de las anteriores 5. La diagonal de una de las caras de un cubo es 2 3 m. Calcular, en cm
, la superficie del cubo. a) 9
c) 18 2
e) 54 6. Cada arista del cubo de la figura, mide 2 cm. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrilátero sombreado? a) 4 cm
2 113 d) 2 2 cm
7. La superficie de un cuadrado es 4x
+ 4x + 1. si el lado aumenta en 2 unidades, su área aumenta en: a) 2 cm
c) (8x + 8) cm
2 d) 8 cm
e) 8x cm
8. El Triangulo de la figura se hace girar en torno al cateto mayor. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado? a) 50π cm
b) 52π cm
c) 100π cm
d) 300π cm
e) 240π cm
3 9. La figura adjunta corresponde a un cuarto de círculo de radio 6 cm. Si esta figura se hace girar indefinidamente en torno a se obtiene un cuerpo cuyo volumen es a) 36π cm
b) 72π cm
c) 144π cm
d) 202π cm
e) 288π cm
3 114 10. En la figura, la esfera está inscrita en el cubo. ¿Cuál es la razón entre sus áreas? a) π : 2 b) π : 3 c) π : 4 d) π : 6 e) 2π : 3
115 Capitulo 18 CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO Un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran comprendidos en una circunferencia. Usualmente, el círculo es el área, mientras que la circunferencia es la curva que lo delimita. 18.1 Elementos de la Circunferencia 18.1.1 Radio (AB) Segmento que une al centro del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia. 18.1.2 Cuerda (CD) Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. 18.1.3 Diámetro (GH) Segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro del círculo; se le considera como la cuerda de mayor tamaño que divide al círculo en dos partes congruentes 18.1.4 Arco (LM) Parte de la circunferencia, limitada por dos puntos de ella. 116 18.2 Ángulos y arcos en el Círculo 18.2.1 Ángulo Central (<ABC) Ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia. 18.2.2 Ángulo Inscrito (<DEF) Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son cuerdas del círculo. 18.2.3 Ángulo semi-inscrito (<GHI) Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados lo forman una tangente y una secante. Todo ángulo del centro determina un arco, como vemos en la figura siguiente, entonces decimos que el ángulo AOB “subtiende” el arco AB. 18.3 Propiedades de la Circunferencia Una amplia gama de relaciones muy importantes, que deben en su mayoría ser dominadas para cualquier problema relacionado con circunferencias. . 117 1. El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos inscritos que subtienden el mismo arco. <AOC = 2<ABC 2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo 3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 4. Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes. RP = RS 118 5. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes. 2
· < 6. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos correspondientes. 2
· < 7. En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia los ángulos opuestos son suplementarios. 180 α γ δ β + · + · ° 18.4 Teoremas en la circunferencia Los siguientes teoremas presentados a continuación son muy importantes, al punto de ser imprescindibles para resolver muchos de los problemas relacionados con circunferencias. 18.4.1 Teorema de las Cuerdas Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda. 119 PA • PC = PB • PD 18.4.2 Teorema de las Secantes Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida de una secante por la medida de su segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra secante por la medida de su exterior. PB • PA = PD • PC. 18.4.3 Teorema de la Secante-Tangente Si a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, el cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medida de la secante por la medida de su exterior. PC
= PB • PA 120 Ejemplos 1. Según los datos de la figura, x = Para resolver este problema, notemos que tenemos dos ángulos inscritos que comparten un mismo arco, por la tanto tienen la misma medida, ahora tenemos el sgte. Triángulo: Solo falta recordar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°, por lo tanto: 75 20 180 85 x x + + · ⇒ · 2. En la circunferencia de centro O, el ángulo AOB es la mitad del ángulo BAO. ¿Cuánto mide el <ACB? A primera vista parece que faltan datos, pero notemos que tenemos un triángulo isósceles ( AOB V ), y con ello tenemos el dato de que sus ángulos basales son iguales. Juntando esto con el dato que nos da el enunciado (recordando la suma de los ángulos internos de un triángulo): 121 5
180 180 5 360 72
α α α α + + · ⇒ · ⇒ · ⇒ · ° Con esto tenemos el valor del ángulo α , mas, este corresponde al ángulo BAO y no al que nos preguntan, usando nuevamente el dato sabemos que el ángulo AOB es la mitad del ángulo BAO, por tanto sabemos que el ángulo central mide 36°, aún cuando esto tampoco es lo que pide la pregunta, pero basta recordad el teorema que nos dice, que todo ángulo inscrito (en este caso <ACB) mide la mitad del arco que lo subtiende (en este caso el arco es AB, que mide lo mismo que el ángulo AOB), por lo tanto: 36
ACB ACB · ⇒ · · °
S S 3. En la circunferencia de centro O, los arcos AB y BC son iguales, CD // BE y el <DCE = 30°, entonces el <AOB mide: Conociendo que CD // BE, podremos saber que <BEC es igual a <DCE, por lo tanto mide 30°, ahora como conocemos que los arcos AB y BC son iguales, podemos decir que sus ángulos inscritos también lo son, y usando la relación entre ángulo inscrito y ángulo del centro tenemos que: 2 2 30 60 BEC AOB AOB AOB · ⇒ ⋅ · ⇒ ° · S S S S Por lo tanto 60 AOB · ° S 122 EJERCICIOS 1. En la figura siguiente, AC y BC son tangentes a la circunferencia de centro O. Si <ACB = 70°, entonces el <ABO = a) 20°
2. Desde un punto distante 5 cm. del centro de una circunferencia se ha trazado a ésta una tangente de 3 cm de longitud. Determinar la medida del diámetro de la circunferencia. a) 2,5 cm. b) 4 cm. c) 5 cm. d) 8 cm. e) 10 cm. 3. En la circunferencia siguiente se da la medida de dos trazos determinados por la intersección de las cuerdas y la medida total de una de las cuerdas. Calcular el menor valor del segmento y. a) 1 b) 3,25 c) 4 d) 6,5 e) 9 123 4. El valor de z en la siguiente circunferencia es: a) 40 b) 24 c) 4 d) 2,6 e) 1,5 5. En la figura, la tangente mide 8 cm y los segmentos determinados por la secante miden 4 cm y w cm. Calcular la medida de w. a) 2 b) 4 c) 12 d) 16 e) Ninguna de las anteriores 6. AB es diámetro de la circunferencia de centro O. Los arcos AC y AD son iguales y <AOD = 30°. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) <CBO = <OCB II) <CDO = CBO III) <OCB = <AOD a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) I, II y III 124 7. Según los datos de la figura, y sabiendo que O es el centro de la circunferencia, se deduce que x mide: a) 12° b) 25° c) 50° d) 80° e) 100° 8. es una semicircunferencia y ACO = 40°. Entonces, el ABC mide: a) 20° b) 40° c) 50° d) 70° e) 80°
9. En la figura, es un segmento tangente a la circunferencia que mide 6 cm. Si mide 4 cm, entonces mide: 125 a) 2 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 9 cm e) 13 cm 10. En la figura: son tangentes a la circunferencia. Si APB = 70°, entonces x = a) 20° b) 40° c) 55° d) 65° e) 110°
126 Capitulo 19 TRANSFORMACIONES ISOMETRICAS Una transformación isométrica es una transformación geométrica que conserva la medida de los lados de los ángulos. Es decir, una transformación isométrica convierte una figura en otra que es congruente a la original. 19.1 Traslación La traslación consiste en “mover” simplemente una figura, manteniendo su forma, es decir, de forma más precisa, consiste en mover cada punto de la figura conforme a un mismo vector, lo que implica que la figura trasladada mantiene las mismas relaciones internas y en resumen la misma forma que la figura original. De manera más informal, es como deslizar la figura sobre el plano, como si este estuviera hecho de hielo. En general esta traslación no se realizara en un plano cualquiera, sino que para el fin de ejercicios y problemas se encontrara habitualmente en el plano cartesiano, con lo cual se agregan coordenadas para tener datos concretos a utilizar en los cálculos. De esta forma, si al punto A(a, b) le aplicamos una traslación en la dirección ( , ) d k m
el punto resultante será el punto A’(a+k, b+m). 19.2 Giro o Rotación Consiste en tomar un punto de referencia (al cual llamaremos pivote) y manteniendo ese punto fijo, rotar todo lo demás con respecto a él, es decir, de manera simplificada, es como clavar un alfiler en un punto de la figura, y rotarla en torno a ese pivote. 127 Toda rotación consta de dos elementos, el primero, el punto de rotación o pivote y el ángulo de rotación, el cual SIEMPRE se mide en sentido antihorario (en contra de las manecillas del reloj). Al rotar la figura dentro de un plano cartesiano en ciertos ángulos importantes, se cumplen ciertas propiedades muy útiles de conocer: 19.2.1 Rotación en 90° El punto P(x ,y) se transforma en el punto P’(-y ,x) 19.2.2 Rotación en 180° El punto P(x,y) se transforma en el punto P’(-x,-y) 19.2.3 Rotación en 270° El punto P(x,y) se transforma en el punto P’(y,-x) 128 19.3 Reflexión en torno a un eje (Simetría Axial) Consiste en “reflejar” una figura con respecto a un eje, de manera mas sencilla es como poner un espejo junto a la imagen, en esta analogía el eje de simetría (por lo general una recta) es sencillamente la frontera entre la imagen real y su reflejo. La reflexión del punto A en torno a la recta L es un punto A’, de modo que se cumplen las siguientes condiciones: (1) (2) AP = PA’ Cuando la reflexión se efectúa dentro de un plano cartesiano y en torno a uno de los ejes cartesianos, se cumplen las sgtes. Propiedades: 19.3.1 Reflexión en torno al eje x: El punto P(x ,y) se transforma en el punto P’(x ,-y). 19.3.2 Reflexión en torno al eje y: El punto P(x ,y) se transforma en el punto P’(-x ,y). 129 19.4 Reflexión en torno a un punto (Simetría Central) Supongamos que tenemos un punto P y un punto O diferente de P. La reflexión de P en torno de O es un punto P’ que cumple las siguientes condiciones: (1) O, P y P’ son colineales (2) OP = OP’ Si la reflexión se hace en torno al origen del sistema cartesiano es equivalente a hacer una rotación en 180°con respecto al mismo punto. 19.5 Teselaciones Teselar un plano es recubrirlo con figuras geométricas de modo que no se superpongan ni dejen espacio entre ellas, en palabras simples es como “embal dosar” el plano con figuras geométricas. Existen tres tipos de teselaciones: 19.5.1 Teselaciones Regulares Corresponde a la teselación realizada solo con un tipo de polígonos regulares Ejemplos Con triángulos equiláteros: 130 Con hexágonos regulares: 19.5.2 Teselaciones Semi-Regulares Corresponde a la teselación realizada con mas de un tipo de polígonos regulares Ejemplos Con hexágonos y triángulos equiláteros: Con octógonos y cuadrados: 19.5.3 Teselaciones Con Polígonos No Regulares Corresponde a la teselación realizada con polígonos no regulares Ejemplos Con rectángulos: Con paralelogramos: 131 EJERCICIOS 1. El punto (-1,5) se traslada transformándose en el punto (2,3). Si al punto (-2,4) se le aplica la misma traslación, quedará en el punto a)(-5,6) b) (1,2) c) (5,-6) d) (-1,2) e) (1, -2) 2. El punto (-2,4) se refleja primero en torno del eje x y después en torno del eje y; entonces, queda en la posición a) (2,4) b) (4, -2) c) (4,2) d) (2, -4) e) (-2,4) 3. El cuadrado ABCD de la figura se ha trasladado transformándose en el cuadrado EFGH. ¿Cuál es la dirección de la traslación? a) (1,2) b) (1, -2) c) (2,1) d) (2, -1) e) (-2,1) 4. Si el punto (-3,2) se gira en 90º en torno al origen, queda en el punto a) (3, -2) b) (2, -3) c) (-2,-3) d) (3,2) e) (-2,3) 132 5. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras tiene(n) seis ejes de simetría? I. Hexágono regular. II. Cuadrado. III. Estrella de David. a) Solo I. b) Solo II. c) Solo I y II d) Solo I y III. e) I, II y III. 6. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura siguiente? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 7. Un carrusel de niños es un ejemplo de: a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Isometría e) Teselación 8. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el vector de traslación (4,1), el vértice homólogo correspondiente a B’ es: a) (3,6) b) (2,1) c) (6,0) d) (6,1) e) (7,2) 9. Una circunferencia tiene como centro el punto (3,5). Si el vector de traslación de este punto es (-5, 1), ¿Cuál es el centro de la circunferencia trasladada? a) (-2,6) b) (8,6) c) (-2,4) d) (-15,5) e) (8,4) 10. ¿Cuál de las siguientes letras de nuestro abecedario no tiene ningún eje de simetría? a) C b) M c) A d) R e) X
133 Capitulo 20 TRIGONOMETRIA La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo rectángulo y las relaciones entre ellos. Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. 20.1 Funciones Trigonométricas El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia. • El seno (abrevi ado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, • El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, 134 • La tangente (abreviado como tan) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente, Es el cuociente del seno entre el coseno Aquí una definición alternativa que usa una circunferencia de radio 1 (llamado también Circulo Goniométrico). 20.2 Otras funciones Trigonométricas Se definen las funciones cosecante, secante y cotangente, como las funciones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo: • cosecante: (abreviado como csc) es la inversa de seno: • secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno: • cotangente: (abreviado como cot) es la inversa de la tangente: 135 20.3 Valor de las Funciones Trigonométricas A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar: Ángulo sen cos tan csc sec ctg 20.4 Identidades Trigonométricas Es imprescindible en el estudio de las funciones trigonométricas no manejar algunas identidades básicas, pero es posible deducir la mayoría en base a una sola. Antes de nombrarla, tomemos el caso del circulo goni ométrico (radio 1). 136 En el cual el coseno, es la proyección horizontal del radio y el seno es la proyección vertical del mismo, ahora recordemos que por ser un triángulo rectángulo, cumple con el teorema de Pitágoras. Pero podemos reemplazar con los datos que tenemos: 1
AC sen a
Con esto podemos formar la identidad más importante: 2 2
cos ( ) ( ) 1 a sen a + · Notemos que nunca se uso el valor del ángulo a, por lo que la identidad se puede usar con cualquier ángulo. Ahora a partir de esta identidad despejemos otras: • 2 2
cos ( ) ( ) 1 a sen a + · 2 2
cos ( ) ( ) 1
1 ( ) sec ( )
tg a a
( ) 1 sec ( )
sen a sen a sen a
ctg a a
20.5 Aplicaciones de la Trigonometría AB: Línea Visual 137 α : Ángulo de depresión: Se refiere al ángulo formado con la horizontal cuando el objeto es observado desde lo alto. β : Ángulo de elevación: Se refiere al ángulo formado con la horizontal cuando el objeto es observado desde abajo hacia arriba. En este tipo de ejercicios siempre es recomendable hacer una figura que permita visualizar mejor el problema. Ejemplos 1. Una escalera apoya su pie a 3 m. de un muro. La parte superior se apoya justo en el borde del muro. El ángulo formado entre el piso y la escala mide 60º. El largo de la escalera es: Primero que todo el dibujo: Aquí es imprescindible conocer los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos mas importantes (0°,30°,45°,60°,90°). En este caso la incógnita es el largo de la escalera, el cual corresponde a la hipotenusa del triángulo formado por la escalera y la pared. Tenemos el lado adyacente al ángulo y necesitamos la hipotenusa, es muy importante en estos ejercicios reconocer cual es la función trigonométrica mas apropiada, en este caso es el coseno, pues relaciona lo que es el cateto adyacente con la hipotenusa. Por tanto, tenemos: 3( )
x hipotenusa
° · Pero como conocemos el valor de cos 60°, podemos aplicarlo 1 1 3
cos60 6
° · ⇒ · ⇒ · En conclusi ón la escalera mide 6m. 2. Una colina mide 420 metros de altura. Se encuentra que el ángulo de elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45º. Determinar la distancia desde A hasta la cima de la colina. Nuevamente el dibujo: Este problema tiene dos formas de resolverse, veremos la más larga primero. Tenemos el dato de uno de los catetos, y necesitamos el largo del otro cateto, la función mas apropiada es la tangente: 420
° · 138 Pero sabemos que tan45 1 ° · ; por tanto: 420
1 420 x
· ⇒ · Con lo que el resultado aflora, ahora, si revisamos lo que se nombro que había otra forma, en general aplicable a los problemas de la PSU, que consiste principalmente en obtener soluciones a priori en base a los ángulos dados como dato. Es decir, al identificar el ángulo de 45° y saber de antemano que el triángulo formado ES un triángulo rectángulo, podría notarse que es a la vez un triángulo isósceles, con lo cual la altura sería igual a la base, todo esto sin realizar ningún cálculo, claro está que para esto es necesario un dominio y confianza que solo se consiguen con práctica. 139 EJERCICIOS 1. El triángulo de la figura es rectángulo en Q. PQ = 3 cm y sen α = 1/2. Entonces PR mide: a) 3 2 cm. b) 3 cm. c) 2 cm. d) 2
cm. e) 6 cm. 2. En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos β = cot β , entonces el valor de β es: a) 0º b) 30º c) 45º d) 60º e) Ninguna de las anteriores 3. Si sen α = 13
, donde α es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo, entonces el valor de cos α es: a) 12
4. ABCD trapecio. AD = 10 cm. y BC = 13 cm. Si sen α = 0,5, entonces cos β es: a) 5
P α R Q D β α A B C 140 d) 12
5. Un triángulo isósceles tiene 8 cm. de base y el coseno del ángulo adyacente a ella es 3
. El perímetro del triángulo es: a) 12 cm. b) 18 cm. c) 20 cm. d) 24 cm. e) 26 cm. 6. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB = 5 cm. y tg α = 2
, entonces BC = a) 3 cm. b) 13
cm. c) 13
cm. d) 2
cm. e) 2 cm. 7. En una semicircunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base AB, igual al diámetro. La tangente del ángulo ABC es: a) 1 b) 2
d) 3 e) Falta Información A α B C 141 8. Según la información dada en la figura, mide a) 1 b) 1,5 c) 2 d) e) 9. Según la información dada en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes razones corresponde(n) a tg α? I. II. III. a) Solo I. b) Solo II. c) Solo I y II. d) Solo II y III. e) Ninguna de ellas. 142 10. Según la información dada en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. sen α = cos β . II. tg α = ctg β III. sec α = cosec β . a) Solo I. b) Solo II. c) Solo I y II. d) Solo II y III. e) I, II y III. 143 Capitulo 21 EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS Para esta nueva prueba de ingreso a la universidad se estimó mantener este tipo de preguntas que aparecían en la P.A.A. ya que “contribuyen a discriminar mejor en el grupo superior de los postulantes” El trabajo de hoy es sumamente importante ya que aprenderás a manejar la forma de resolver este tipo de interrogantes y de seguro no tienes mucha práctica en estas preguntas ya que su aplicación en educación media es nula. No se puede hablar de preguntas difíciles ya que con un breve, pero dedicado tiempo, comenzarás a ver su esencia y a responderlas correctamente. En ellas no se considera un contenido determinado por lo que al resolverlas debes recurrir a todos tus conocimientos adquiridos durante la educación media. Estos problemas tiene una estructura bien definida: Lo fundamental es que no se pide la solución al problema, sino que decidas si los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Las alternativas que se dan son: A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional. A) (1) por sí sola Esta alternativa se marca si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola Esta alternativa se marca si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2) Se marca esta alternativa, si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se marca esta alternativa, si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional Se marca si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución 144 21.1 Ejemplo de ejercicios típicos Con los siguientes ejemplos esperamos que te quede claro cual es la forma de enfrentar ente tipo de problemas. 1. ¿Cuál es el valor numérico de x + y? (1) x = 2 (2) y = 5 Si consideramos la afirmación (1) vemos que x + y = 2 + y, lo cual no nos da un valor numérico, o sea, no nos servirá para obtener la solución. Trabajamos ahora con la afirmación (2) y nos “olvidamos” de la (1) quedando x + y = x + 5, lo que tampoco nos permite dar respuesta a la pregunta. Juntamos las afirmaciones (1) y (2), entonces x + y = 2 + 5 = 7. Alternativa C. 2. ¿Cuál es el valor de α? (1) <C recto (2) AC = BC Consideremos la afirmación (1). Que el ángulo C sea recto, no nos da información sobre los otros ángulos del triángulo, aunque no piense que son de 45º cada uno, lo que no es correcto ya que ningún dato nos ha dicho que esos ángulos son iguales y, además, debes recordar que las figuras del facsímil no están hechas como para sacar conclusiones visualmente. La afirmación (2) señala que el triángulo es isósceles ya que AC = BC, pero no tenemos ninguna medida para intentar hacer algo (De los 90º de la afirmación (1) ya me “olvidé”) Juntamos las afirmaciones (1) y (2) y ahora sí podemos resolver el ejercicio. Alternativa C. 3. AC es una diagonal. ¿Cuál es el valor de a? (1) ABCD cuadrado (2) <DAC ≈ <BAC Con la afirmación (1), que nos señala que la figura es un cuadrado, podemos determinar α basándonos en las propiedades que tiene la diagonal de un cuadrado. Luego α mide 45º. La afirmación (2) nos dice que los ángulo DAC y BAC son congruentes, o sea tienen igual medida, pero ¿qué figura es? (Supongo que “eliminaste” de tu mente la afirmación (1)). 145 Como sólo sirve la afirmación (1) para determinar la solución del problema la alternativa es A. Finalmente, hay que señalar que existe un tipo de pregunta que complica a los estudiantes y que son aquellas que finalizan su planteamiento con un SI, como en el siguiente ejemplo: La expresión x
– 7x + 12 es distinta de cero si: (1) x = 3 (2) x = 4 Para resolverlas se deben trabajar de atrás hacia delante, comenzando con el si, o sea: Si x = 3, entonces x
– 7x + 12 es distinto de cero. Si x = 4, entonces x
– 7x + 12 es distinto de cero. Verifiquemos cada una de ellas: para x = 3, resulta 3
– 7•3 + 12 = 9 – 21 + 12 = 0. No se cumple para x = 4, resulta 4
- 7•4 + 12 = 16 – 28 + 12 = 0, No se cumple Si consideramos los dos valores a la vez, obvio que tampoco, por lo que la alternativa correcta es E. 146 EJERCICIOS 1. ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo? (1) Su área es 54 cm
(2) Uno de sus lados mide 6 cm. a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional 2. Para que x
- 5x > 0 se requiere que: (1) x > 5 (2) x < 0 a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional 3. Los hermanos Alberto y Catalina tienen en conjunto un ahorro de $800.000, ¿cuál es el ahorro realizado por Catalina? (1) Las partes de Alberto y Catalina están en la razón de 5 : 3, respectivamente. (2) Alberto tiene más ahorros que Catalina. a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional 4. La expresión 10 – x es siempre mayor que 5 si: (1) 0 < x < 5 (2) x + 10 = 14 a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional 5. La fracción a/b es mayor que 1 si: (1) a < 0 y b < 0 (2) a < b a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional 6. En los siguientes datos: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 5, 3, 5, 4, 3, 4; el valor 4 corresponde a: (1) La media aritmética (2) La moda a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional 7. Se puede determinar que dos triángulos son semejante si: (1) Tienen uno de sus ángulos iguales. (2) Tienen dos de sus lados proporcionales. a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional 147 8. Si x
+ 5x + 6 = 0, se puede concluir que (1) x + 3 = 0 (2) x + 2 = 0 a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional 9.¿Qué número es y? (1) y = 9 - x (2) x = 5 + y a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional 10. El valor 0,25 indica la probabilidad: (1) de obtener un número par al lanzar un dado (2) de obtener sello-sello al lanzar una moneda dos veces. a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional 148 Capítulo 22 PROBABILIDADES La rama de las matemáticas conocida actualmente como probabilidad consiste en ciertos experimentos llamados aleatorios, es decir, libres de determinación previa, a grandes rasgos el calculo de probabilidades determinan la posibilidad de ganar o perder en un evento especifico, de hecho nació de la necesidad de conocer las leyes que gobiernan los juegos de azar como el KINO LOTO entre otros. Más en general el cálculo de probabilidades permite el análisis de resultados relacionados con fenómenos de carácter social, político, económico entre otros. En este capitulo trataremos de hallar una forma matemática de abordar problemas o preguntas tales como: Al lanzar un dado ¿cual es la probabilidad de que salga un 5, o que salga un número impar, o que salga un número menor que 4? De un mazo de cartas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un Rey o un As? Pero ¿qué es la probabilidad? 22.1 Probabilidad Mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. 22.2 Experimento aleatorio Es aquel que está regido por el azar, es decir, se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cual será en particular el resultado del experimento Ejemplos 1 lanzar una moneda 2 lanzar un dado 3 extracción de una carta de un mazo de naipes 22.3 Espacio Muestral Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento En el caso anterior el espacio muestra de 1 y 2 es: E = {casa, sello} E= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 22.4 Evento o Suceso Corresponde a todo subconjunto de un espacio muestral 149 En el espacio muestral E = {1,2,3,4,5,6}, relacionado con el lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: 1.- Obtener un número primo A= {2, 3 ,5} 2.- Obtener un número mayor o igual a 5 A= {5,6} 22.4.1 Eventos mutuamente excluyentes Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, es decir, su intersección es vacía: Ejemplo En el lanzamiento de un dado los evento A: obtener un número par B: Obtener el numero 3 Son mutuamente excluyentes Veamos, el espacio muestral es E= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y los eventos son: A= {2, 4, 6} B= {3} Claramente A ∩ B = φ entonces son mutuamente excluyentes Si la unión de estos dos conjuntos nos da E diremos que A y B son eventos complementarios 22.5 Probabilidad Clásica 22.5.1 Regla de La Place La probabilidad de que se cumpla un suceso está determinada por el cociente entre los casos favorables y los casos posibles. Posibles Casos
Favorables Casos
) A ( P · A partir de esta regla las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar la experiencia Ejemplos a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%) 150 b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto: P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%) c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%) d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%) ¿Merece la pena? Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías? Para poder aplicar la Regla de La Place el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos: 1.- El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero. 2.- Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla. A la regla de La Place también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades Observación - La probabilidad toma valores entre 0 y 1 que en tanto por ciento significa entre 0% y 100%. (Normalmente cuando hagamos el calculo de alguna probabilidad nos dará un numero entre 0 y 1 “si nos da un numero fuera de este rango quiere decir que los calculo se han hecho de forma errónea”, para llevar este resultado a porcentajes solo basta multiplicarlo por 100) 151 22.6 Suceso Imposible Corresponde al valor cero. Por ejemplo, si se tira un dado y queremos determinar la probabilidad de que salga el número 7 P(A) = 0/6 = 0 22.7 Suceso Seguro Corresponde al valor uno. Al lanzar un dado al aire la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno, o sea el 100% P(A) = 6/6 = 1 22.8 Sucesos Independientes Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A, la probabilidad se dará por el producto de ambas probabilidades. Ejemplo La probabilidad de obtener cara al tirar una moneda es 1/2 y la de obtener un 4 al lanzar un dado es 1/6. La probabilidad de la ocurrencia de ambos eventos es 1/2 por 1/6, o sea 1/12 = 0,08 = 8% 22.9 Probabilidades Totales Se define la Probabilidad Total como la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos. La podemos determinar a través de la siguiente fórmula: ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P ∩ − + · ∪ Ejemplo Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener el número 3 ó un número primo? Evento A: Obtener el número 3. Evento B: Obtener un número primo. 2
) ( ) ( ) ( ) ( · − + · ∩ − + · ∪ B A P B P A P B A P Si los eventos son excluyentes (A ∩ B = φ), la probabilidad de que se produzca A o B es: ) ( ) ( ) ( B P A P B A P + · ∪ 152 22.10 Probabilidad Condicional Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación inicial. Ejemplo Al tirar un dado la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información, por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par, entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6. Se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A. ) (
· Donde: P (B ∩ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B P (A) es la probabilidad a priori del suceso A En el ejemplo anterior: P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A). P (B ∩ A) es la probabilidad de que salga el dos y número par. P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par. Por lo tanto: P (B ∩ A) = 1/6 P (A) = 1/2 P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3 Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3. La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A. O sea: ) / ( ) ( ) ( A B P A P B A P ⋅ · ∩ “ésta no es una nueva formula, solo un acomodamiento de la formula anterior” Ejemplo Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados. De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos. Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tenga más de 2 hijos. P (A) = 35/100 = 0,35 P (B/A) = 0,30 P (A ∩ B) = 0,35 ⋅ 0,30 = 0,105 Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2 hijos. 153 Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A, entonces: ) ( ) ( ) ( B P A P B A P • · ∩ Ejemplo Calcular la probabilidad de obtener un rey y un as de un naipe de 52 cartas, reponiendo la primera carta al naipe. Evento A: Sacar un rey Evento B: Sacar un as 169
) ( ) ( ) ( · ⋅ · ⋅ · ⋅ · ∩ B P A P B A p La probabilidad es de 1/169 = 0,0059 = 0,59% 154 EJERCICIOS 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos en el lanzamiento de dos dados? a) 1/6 b) 1/2 c) 7/12 d) 7/36 e) 7/2 2. Al lanzar dos monedas, qué probabilidad hay de obtener una cara y un sello? a) 4 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 1/4 3. Una caja contiene 12 bolas negras y 8 rojas, ¿qué probabilidad hay de no sacar una bola negra? a) 2/5 b) 3/5 c) 2/3 d) 3/2 e) 8 4. Se lanza un dado y sale 4. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor que 9? a) 1/9 b) 5/6 c) 7/36 d) 4/9 e) 2/3 5. En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés y 1/10 habla los dos idiomas, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo un idioma? a) 1/3 b) 1/4 c) 23/60 d) 29/60 e) 7/12 6. ¿Cuál de las siguientes expresiones no corresponde a un suceso aleatorio? a) Jugar un juego de azar b) Enfriar agua a 0º C. c) Lanzar una piedra y medir su alcance d) Preguntarle a un desconocido si fuma e) Apostar en una carrera de caballos 7. ¿Qué probabilidad hay de que la lanzar 2 dados se obtenga una suma menor que 6? a) 10 b) 5/6 c) 1/6 d) 5/18 e) 5/36 8. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio de un rifa para la cual se venden 20 listas y cada lista tiene 20 números, si se compran 4 números? a) 1/100 b) 1/10 c) 1/5 d) 1/4 e) Ninguna de las anteriores 9. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que se obtiene al lanzar 3 monedas? a) 27 b) 9 c) 8 d) 6 e) 3 10. Al lanzar un dado 2 veces consecutivas, ¿qué probabilidad hay de obtener primero un 3 y luego un número par? a) 1/3 b) 1/12 c) 1/9 d) 2/3 e) 4 155 11. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas. a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6 d) 1/18 e) 0 12. Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera carta al naipe. a) 1/26 b) 1/352 c) 4/663 d) 1/221 e) 3/674 13. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor que 10? a) 1/72 b) 1/12 c) 1/4 d) 1/6 e) Ninguna de las anteriores 14. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas. a) 3/4 b) 2/7 c) 6/49 d) 1/7 e) 9/49 15. Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3. a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3 d) 1/6 e) 5/6 16. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. a) 1/100 b) 1/5 c) 1/130 d) 23/130 e) 1/20 17. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4? a) 1/3 b) 1/4 c) 5/18 d) 3/10 e) Ninguna de las anteriores 18. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 6. a) 0 b) 1/1296 c) 10/3 d) 2/3 e) 625/1296 19. En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de que sean números distintos. a) 1/64.000 b) 3/40 c) 1/59.280 d) 4/3.705 e) 192/247 20. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? a) 6/5 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/5 e) 4/5 156 Capítulo 23 ESTADISTICAS Rama de las matemáticas aplicadas, que estudia los hechos económicos, sociales y físicos a base de datos numéricos; entre las estadísticas más antiguas cuentan los censos de población, el cálculo de ganados y cosechas, etc. La estadística es una ciencia, pues aplica el Método Científico al ocuparse de la toma, organización, recopilación y análisis de datos, tanto para la deducción de conclusiones, para la toma de decisiones razonables de acuerdo a tales análisis. 23.1 Población Se le llama población o universo, al conjunto total de individuos u objetos que se desean investigar. 23.2 Muestra Es un grupo de una población. Se utiliza cuando la población es muy numerosa, infinita o muy difícil de examinar. 23.3 Estadística Descriptiva Es la parte de la estadística que trata solamente de describir y analizar un grupo dado sin sacar conclusiones o inferencias de un grupo mayor, a partir de ella. La estadística descriptiva incluye las técnicas que se relacionan con el resumen y la descripción de datos numéricos. Estos datos pueden ser gráficos o pueden incluir análisis computacional. 23.4 Estadística Inferencial Cuando una muestra es representativa de una población se pueden deducir importantes conclusiones acerca de esta, a partir de su análisis. La inferencia estadística comprende aquellas técnicas por medio de las cuales se toma decisiones sobre una población estadística basadas solo en la muestra observada. Debido a que dichas decisiones se toman en condiciones de incertidumbre, entonces estas serán confiables con cierto grado de probabilidad. Considerando que las características medidas de una muestra se denominan estadísticas de la muestra, las características medidas de una población estadística, o universo se llaman parámetros de la población. 23.5 Análisis estadístico 23.5.1 Distribución de Frecuencias Las distribuciones de frecuencias, son series estadísticas ordenadas por intervalos de clases, y por lo tanto, corresponden a la clasificación de grupo de datos, de acuerdo a una característica cuantitativa. Estas distribuciones se elaboran cuando se tiene una masa de datos, para reducirla a grupos homogéneos y poco numerosos, con fines de descripción, análisis y obtención de indicadores. 157 23.5.2 Serie simple o arreglo Es un simple listado de la información obtenida de una fuente de datos. Ejemplo Sueldos mensuales, en pesos, pagados a 20 trabajadores de una empresa, ordenados en forma ascendente: 210.000 – 250.000 – 250.000 – 280.000 – 280.000 – 300.000 – 300.000 – 350.000 – 350.000 – 400.000 – 400.000 – 450.000 – 450.000 – 500.000 – 550.000 – 550.000 – 600.000 – 600.000 – 700.000 – 750.000 Como el sueldo es mínimo es $210.000 y el máximo $750.000, el Rango de los salarios es: 750.000 – 210.000 igual a $540.000. Como esta tabla no permite tener un idea de la distribución de los sueldos, hay que clasificarlos en un cuadro de frecuencias. 23.5.3 Tabla de frecuencias sin clase (datos no agrupados) Los datos de la tabla anterior se pueden resumir, al registrarse el número de trabajadores, de acuerdo a su sueldo. Sueldo ($) Número de Obreros (Frecuencias) 210.000 1 250.000 2 280.000 2 300.000 2 350.000 2 400.000 2 450.000 2 500.000 1 550.000 2 600.000 2 700.000 1 750.000 1 23.5.4 Tabla de frecuencias con clase (con datos agrupados) Para ello debemos considerar cada intervalo con límites cerrado y abierto, o sea [210.000,300.000[ La tabla siguiente la vamos a elaborar con frecuencias absolutas, estas frecuencias son las que se obtienen directamente del conteo, pero, también incorporaremos las frecuencias relativas que corresponden a los porcentajes de cada frecuencia absoluta, en este caso, se determina con respecto al total de trabajadores (20). También incorporaremos a la tabla la frecuencia absoluta acumulada que corresponde a la frecuencia absoluta del intervalo más la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores y la frecuencia relativa acumulada que corresponde al porcentaje de la frecuencia relativa del intervalo más la suma de las frecuencias relativas de todos los valores anteriores. La marca de clase corresponde al valor medio de cada intervalo. 158 Sueldo ($) Marca de Clase recuenci
a Frecuencia Relativa % Frecuencia Absoluta Acumulada Frecuencia Relativa Acumulada % 200.000 – 300.000 250.000 5 25 5 25 300.000 – 400.000 350.000 4 20 9 45 400.000 – 500.000 450.000 4 20 13 65 500.000 – 600.000 550.000 3 15 16 80 600.000 – 700.000 650.000 2 10 18 90 700.000 – 800.000 750.000 2 10 20 100 23.6 Representaciones Gráficas Para hacer más clara y evidente la información que nos dan las tablas se utilizan los gráficos. Existen múltiples tipos de gráficos, pero aquí trataremos solamente de los usados más frecuentemente, que son: gráfico de barras, gráfico de sectores o circular (pastel), histograma, polígono de frecuencias, la ojiva y el pictograma. 23.6.1 Gráfico de Barras Se usa fundamentalmente para representar distribuciones de frecuencias de una variable cualitativa o cuantitativa discreta y, ocasionalmente, en la representación de series cronológicas o históricas. Uno de los ejes sirve para inscribir las frecuencias, ya sean absolutas o relativas (%), y el otro para la escala de clasificación utilizada. Ejemplo 23.6.2 Gráfico circular Se usa, fundamentalmente, para representar distribuciones de frecuencias relativas (%) de una variable cualitativa o cuantitativa discreta. En este gráfico se hace corresponder la medida del ángulo de cada sector con la frecuencia correspondiente a la clase en cuestión. Si los 360º del círculo representan el 100 % de los datos clasificados, a cada 1% le corresponderán 3,6º. Luego, para obtener el tamaño del ángulo para un sector dado bastaría con multiplicar el por ciento correspondiente por 3,6º (por simple regla de tres). 159 Ejemplo 23.6.3 Histograma Este gráfico se usa para representar una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua. Habitualmente se representa la frecuencia observada en el eje Y, y en el eje X la variable Ejemplo 23.6.4 Polígono de frecuencias Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero como no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo gráfico más de una distribución. 160 Ejemplo 23.6.5 Ojiva Su objetivo, al igual que el histograma y el polígono de frecuencias es representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero sólo para frecuencias acumuladas Ejemplo 23.6.6 Pictograma Se utiliza un dibujo relacionado con el tema, para representar cierta cantidad de frecuencias. Este tipo de gráfica atrae la atención por los dibujos, pero la desventaja es que se lee en forma aproximada. 161 23.7 Medidas de Tendencia Central La utilidad de las medidas de tendencia central se puede ver claramente cuando es necesario determinar, por ejemplo, en qué lugar se ubica la persona promedio o típica de un grupo, para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico, para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones, para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos y otros casos. Las medidas de tendencia central más comunes son: 23.7.1 La media aritmética (Promedio) Comúnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de una letra M en otros casos por X . Para calcular la media aritmética de un conjunto de datos, se suma cada uno de los valores y se divide entre el total de casos. Sea X una variable estadística que toma los valores n
x x x x ..., , , ,
, con frecuencias absolutas n
f f f f ..., , , ,
, respectivamente, la media viene dada por: ∑
Si la variable es continua, o aún siendo discreta si están los datos agrupados en clases, se toman como valores n
, las marcas de clase. 23.7.2 La mediana La cual es el puntaje que es ubica en el centro de una distribución. Se representa como Md. Para determinar la mediana, se ordenan los valores de mayor a menor o lo contrario. Se divide el total de casos entre dos, una vez el valor resultante corresponde al número del caso que representa la mediana de la distribución. En muchas ocasiones, los casos son tan numerosos que no se pueden ordenar uno tras otro sino que se agrupan por frecuencia de ocurrencia en cada valor o por intervalos de clase cuando el rango de posibles valores de la variable es muy amplio. 162 En estos casos el proceso es un poco más complejo y requiere de la utilización de la siguiente fórmula i
⋅ + · ·
L Límite inferior de la clase mediana · c Amplitud del intervalo · N Número total de datos ·
F Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la mediana ·
f Frecuencia absoluta de la clase mediana “No te compliques mucho con ésta formula, para enfrentar un problema en el que no sean tantos los datos solo ordénalos de menos a mayor y localiza su centro” 23.7.3 La moda Es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo La moda se identifica al observar el valor que se presenta con más frecuencia en la distribución. Ahora bien, en el caso de datos agrupados en intervalos, es fácil determinar la clase modal (clase con mayor frecuencia), pero el valor dentro del intervalo que se presume tenga mayor frecuencia se obtiene a partir de la siguiente expresión: 2 1
L Límite inferior de la clase modal. · c Amplitud de los intervalos. ·
D Diferencia entre la frecuencia absol uta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase anterior. ·
D Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase siguiente. “Nuevamente no te asustes con la formula, si los datos son pocos, es conveniente que los agrupes de menor a mayor y te darás cuenta en forma automática cual es la moda” 163 23.8 Formas de organización de datos 23.8.1 Cuantiles La mediana divide a la distribución en dos partes iguales, los cuantiles son parámetros que dividen los datos de la distribución en partes iguales. Los más usados son: 23.8.2 Cuartiles Se llaman cuartiles a tres valores que dividen a la serie de datos en cuatro partes iguales. 3 2 1
, Q y Q Q ( Cuartil primero, cuartil segundo y cuartil tercero ) 23.8.3 Quintiles Se llaman quintiles a cuatro valores que dividen a la serie en cinco partes iguales. 4 3 2 1
, , K y K K K (Quintil primero,... ) 23.8.4 Deciles Nueve valores iguales que dividen la distribución en 10 partes iguales. 9 2 1
... , , D y D D (Decil primero,...) 23.8.5 Percentiles Noventa y nueve valores que dividen la serie en 100 partes iguales. 99 2 1
... , , P y P P (percentil primero,... ) El cálculo es análogo al de la mediana. 164 EJERCICIOS 1. Hallar la mediana de los valores 5, 8, 13, 8, 6, 8, 10, 12, 8. a) 5
d) 6 , 8
2. Para un trabajo determinado, una empresa contrata 80 operarios, 60 de ellos ganarán $ 50.000 semanales y los 20 restantes $ 70.000 a la semana. ¿Cuál es el sueldo medio de los operarios en una semana? a) $ 50.000
b) $ 55.000
c) $ 60.000
d) $ 62.857
e) $ 70.000
3. ¿Cuál es el valor de la media en la tabla de notas siguiente, correspondiente a 10 alumnos? Notas Frecuencias 1 - 3 1 3 – 5 3 5 – 7 6 a) 10/7 b) 10/3 c) 50/3
4. En la serie de números 2, 4, 4, 5, 5, 5, 17, el valor de la moda es(son): a) 2 y 17
5. Queremos construir un gráfico circular con la cantidad de veces que ha salido cada vocal en la página de un libro. ¿Cuántos grados le corresponden a la letra “a” en el gráfico? Vocales Frecuencia a 10 e 13 i 4 o 2 u 1 a) 10° b) 12° c) 60° d) 120° e) 150°
6. En un curso hay n
n 30 +
alumnos y en otro curso n
n 10 −
alumnos, entonces el promedio de alumnos es: a) 2
n 20 2 + c) 20
7. En una tabla de frecuencias el intervalo 20 – 40, tiene frecuencia 18, la marca de clase es: a) 18
8. La media de seis elementos es 10. Sabiendo que cinco de ellos son 8, 12, 13, 5 y 9; hallar el elemento que falta. a) 9,5
e) 60/47
165 9. Un alumno obtiene en tres pruebas parciales las siguientes notas: 7, 5 y 3. En el examen final consigue un 6. Si esta nota final tiene doble valor que las parciales, ¿cuál será su nota media? a) 4,2
10. Si la única moda de los siguientes datos: 5, 5, 7, x, 7, 7, 8, 8, 9, x; es 5, entonces el valor de x es: a) 5
Leer más sobre este usuarioVectores III° B RESUMEN.pdfangulos alternativasAngulos en Triangulos2angulos entre paralelasTaller Complement a Rio de Linea RectaResumen-Matemática 2010SOLUCIONES GUÍA PSU DE LOGARITMOSComplement AriaComplement AriaPSUResumenLibroMatePPVJLibro Psu a OmmTabla Puntajes PSU 2009ESC. NEMprueba 1
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