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Timestamp: 2017-05-23 18:39:43+00:00

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Regresar > Matemática	Métodos numéricos. Guía de resolución de problemas
Autor: A.A. Samarski	Páginas: 240	ISBN: 5-354-00441-1	Clic: 470	Puntuación: / 3
BajoAlto Resumen
La presente guía práctica de estudio pretende ser un complemento de los cursos de métodos numéricos que se imparten en las instituciones de educación superior con un programa de matemáticas de nivel elevado. Los problemas y ejercicios abarcan los temas principales del análisis matemático: interpolación, integración numérica, métodos directos e iterativos del álgebra lineal, problemas espectrales, sistemas de ecuaciones no lineales, problemas de minimización de funciones, ecuaciones integrales, problemas de contorno y de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. En cada sección se expone brevemente el material teórico necesario, ejercicios resueltos y una colección de ejercicios propuestos.
1 Interpolación y aproximación de funciones
Problemas de interpolación y aproximación de funciones
Algoritmos de interpolación y aproximación de funciones
Interpolación algebraica
Splines interpolantes
Aproximación de funciones en espacios normados
2 Integración numérica
Problemas de cálculo aproximado de integrales
Algoritmos de cálculo aproximado de integrales
Fórmulas generalizadas de integración numérica
Fórmulas de integración numérica tipo interpolación
Fórmulas de integración numérica de Gauss
3 Métodos directos en el álgebra lineal
Algoritmos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Número de condición de una matriz. Estimación de la precisión de la solución de un sistema de ecuaciones lineales
Método de Gauss de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
4 Métodos iterativos en el álgebra lineal
Resolución iterativa de sistemas de ecuaciones lineales
Algoritmos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Métodos iterativos clásicos
Métodos iterativos de dos capas
Métodos iterativos variacionales
5 Problemas espectrales en el álgebra lineal
Valores y vectores propios de una matriz
Métodos numéricos de búsqueda de valores propios
Métodos iterativos de resolución del problema parcial de valores propios
Solución del problema completo de valores propios
6 Ecuaciones y sistemas no lineales
Resolución de ecuaciones y sistemas no lineales
Métodos iterativos de resolución de ecuaciones no lineales
Algoritmos de resolución de ecuaciones no lineales
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales
7 Problemas de minimización de funciones
Búsqueda del mínimo de una función de varias variables
Métodos de resolución de problemas de optimización
Búsqueda del mínimo de una función de una variable
Minimización de funciones de varias variables
Problemas de minimización condicional
Problemas de ecuaciones integrales
Métodos de resolución de ecuaciones integrales
Ecuación integral de Fredholm de segunda especie
Ecuaciones integrales con límites de integración variables
Ecuación integral de Fredholm de primera especie
9 Problema de Cauchy para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
Problemas de condiciones iniciales para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
Métodos numéricos de resolución del problema de Cauchy
Métodos de Runge--Kutta
Sistemas rígidos de ecuaciones diferenciales ordinarias
10 Problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias
Métodos numéricos de resolución de problemas de contorno
Aproximación de problemas de contorno
Convergencia de los esquemas en diferencias
Otros problemas de contorno
Resolución de ecuaciones reticulares
11 Problemas de contorno para ecuaciones elípticas
Problemas bidimensionales de contorno
Solución numérica de problemas de contorno
Aproximación de problemas de contorno para ecuaciones elípticas
Principio del máximo
Ecuaciones en diferencias en espacios de Hilbert
12 Problemas no estacionarios de la física matemática
Problemas de contorno no estacionarios
Métodos de diferencias para problemas estacionarios
Estabilidad de los esquemas de operadores en diferencias de dos capas
Estabilidad de los esquemas en diferencias de tres capas
Esquemas en diferencias para ecuaciones parabólicas
Ecuaciones hiperbólicas
Problemas multidimensionales
Un curso de métodos numéricos es fundamental en la formación de especialistas en matemática aplicada y matemática computacional. En él se exponen las bases de los métodos numéricos de resolución de problemas de álgebra, análisis matemático, ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, y se estudian con la profundidad necesaria problemas relacionados con la construcción y argumentación teórica de algoritmos de cálculo. Se plantea y resuelve el problema de la preparación de los estudiantes para la aplicación práctica de los métodos numéricos a la resolución de problemas.
El curso de métodos numéricos debe desarrollarse tanto en el aspecto teórico como en el práctico. La consolidación del material básico teórico se lleva a cabo en las clases de métodos numéricos. El hábito del empleo correcto de los métodos numéricos se adquiere en la práctica computacional. Utilizando las bibliotecas modernas de análisis numérico para computadoras, se puede efectuar un análisis de la potencia de los algoritmos de cálculo en la resolución de problemas estándares. La gran dotación técnica y el aumento de las posibilidades de las técnicas de cálculo permiten enriquecer considerablemente el contenido de la práctica computacional de métodos numéricos.
La presente guía de estudio tiene por objetivo reforzar en los estudiantes el material teórico del curso de métodos numéricos. Las clases prácticas y las tareas individuales están dirigidas a la formación de hábitos de construcción de algoritmos de cálculo para la resolución de problemas básicos de análisis numérico y de investigación de las propiedades de los algoritmos (precisión, estabilidad, número de operaciones aritméticas, etcétera.).
Este libro está construido según el esquema siguiente. Se destacan las secciones relativamente independientes del análisis numérico. Se estudian en capítulos separados la interpolación y aproximación de funciones, la integración numérica, los métodos directos e iterativos del álgebra lineal, los problemas espectrales del álgebra lineal, los sistemas de ecuaciones no lineales, los problemas de la minimización de las funciones, las ecuaciones integrales, los problemas de contorno y problemas de condiciones iniciales para ecuaciones ordinarias,y los problemas estacionarios y no estacionarios de las ecuaciones en derivadas parciales.
Cada capítulo (tema de análisis numérico) comienza con la formulación del problema y la exposición de los hechos fundamentales para la construcción y análisis de los algoritmos de cálculo para esa clase de problemas. Este material no pretende abarcar todo el contenido del análisis numérico, sino, simplemente, orientar al lector durante el estudio del material del curso de métodos numéricos. Se proporcionan, asimismo, bastantes problemas con soluciones (ejemplos) de carácter demostrativo. Se presta especial atención a los problemas para resolver individualmente. En una serie de casos los problemas están formulados de un modo bastante general que permite analizarlos con diferente profundidad.
La preparación de este manual de problemas y ejercicios de métodos numéricos fue analizada ampliamente y con mucho interés en la cátedra de métodos numéricos de la facultad de matemática computacional y cibernética de la Universidad Estatal de Moscú M.V.Lomonósov durante largo tiempo. En particular, fueron útiles para nosotros las observaciones constructivas hechas por A.V.Gulin y E.S.Nikoláev. Los autores estarán muy agradecidos por las observaciones sobre nuestro trabajo, y especialmente por las sugerencias relacionadas con aclaraciones de los problemas.
A.A.Samarski
P.N.Vabischévich
E.A.Samárskaya
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