Source: https://issuu.com/evantorello/docs/orientaciones_dd_geometr_a
Timestamp: 2017-10-21 03:08:31+00:00

Document:
geom, by evangelina torello - issuu
Introducción Durante los últimos cuatro años se han desarrollado numerosos encuentros organizados por esta dirección con maestros, profesores, directores e inspectores de diferentes escuelas, distritos y regiones. La finalidad de los mismos fue ofrecer espacios de reflexión conjunta sobre la enseñanza de diversos contenidos del área de matemática. En el marco de estas experiencias, se han elaborado ya los documentos 1/99 y Orientaciones sobre la Enseñanza de la División (1/01) en los que se recuperan experiencias de maestros y directores con el objetivo de difundirlas. En estos años, muchos de los docentes participantes, han realizado acciones de difusión en sus escuelas o distritos, convocando a colegas a compartir sus experiencias. Este documento apunta en esa misma dirección: acercar al resto de los docentes el trabajo realizado por los participantes de los encuentros. En este caso particular, sobre la enseñanza de la geometría. Queremos agradecer la colaboración y el apoyo brindado por: Jefes de Inspectores, inspectores, directores, profesores y maestros, maestros recuperadores, orientadores educacionales y a los directores de las escuelas sedes de los encuentros. Todos ellos han participado de modos diversos para su realización. También, y muy especialmente, agradecemos a los docentes que difundido sus experiencias organizando encuentros, a los maestros que abierto las puertas de sus aulas para compartir clases, y a todos aquellos nos hicieron llegar informes del trabajo en las aulas y producciones de alumnos con la finalidad de difundir y compartir experiencias didácticas. podemos mencionarlos a todos aquí por ser muchos docentes)
han han que sus (No
La Enseñanza de la Geometría en los tres ciclos de la EGB ¿Por qué la enseñanza de la geometría? Muchos docentes solicitaron trabajar en torno a este contenido dada la gran cantidad de interrogantes que se presentan en su enseñanza y que hacen que, muchas veces, esté casi ausente en el trabajo en las aulas. A partir de estas dificultades propusimos revisar su enseñanza. Intentaremos en este documento desarrollar algunas ideas y propuestas didácticas producto del trabajo realizado1. El marco teórico desde el cual trabajamos es la Didáctica de la Matemática francesa. Consideramos en especial los aportes de Brousseau (1986); los estudios de Berteloth y Salin (1994), Laborde (1990,1991); Balacheff (1987), las investigaciones de Fregona (1995) y el trabajo de Gálvez (1994). Nos apoyamos también en trabajos de difusión de propuestas didácticas (Saiz, 1995) , y principalmente en un trabajo de desarrollo curricular de la Ciudad de Buenos Aires ( Sadovsky, Parra, Itzcovich y Broitman, 1998). ¿Cuál es el objetivo de la enseñanza de la geometría desde esta perspectiva en la EGB? En líneas generales, la enseñanza de la geometría en la EGB apunta a dos grandes objetivos. Por una parte, el estudio de las propiedades de las figuras y de los cuerpos geométricos; y por la otra, al inicio en un modo de pensar propio del saber geométrico 2. Ampliaremos estas dos ideas a lo largo de este documento. El estudio de las propiedades de las figuras y los cuerpos implica mucho más que reconocerlas perceptivamente y saber sus nombres. Implica conocer, cada vez con mayor profundidad, sus propiedades y poder tenerlas disponibles para resolver diversos tipos de problemas geométricos. Este aspecto es posible de ser abordado desde el primer ciclo. El “modo de pensar geométrico” supone poder apoyarse en propiedades estudiadas de las figuras y de los cuerpos para poder anticipar relaciones no conocidas. Se trata de poder obtener un resultado – en principio desconocidoa partir de relaciones ya conocidas. Esta es la anticipación. Por otra parte poder saber que dicho resultado es el correcto porque las propiedades puestas en juego lo garantizan. En geometría el modo de demostrar la validez de una afirmación no es empírico (por ejemplo midiendo o dibujando) , sino racional (a través de argumentos). Estos aspectos del estudio de la geometría se inician en los primeros años, pero son más propios del segundo y tercer ciclo3. 1
Estas ideas fueron trabajadas en los encuentros con los docentes a partir de ciertos problemas planteados. Por ejemplo: “Analizar para los datos que se dan a continuación si todos los triángulos pueden ser construidos. En caso negativo analizar por qué no lo son y en caso positivo determinar la cantidad de soluciones posibles 4. - un triángulo equilátero cuyos ángulos sean de 60º, 70º y 50º” - un triángulo cuyos ángulos sean 100º,30º y 50º - un triángulo cuyos lados midan 3cm. , 4 cm y 5 cm respectivamente. Luego de que los docentes, en pequeños grupos resolvieron estos problemas, iniciamos la comparación de respuestas y soluciones. A partir del análisis colectivo se elaboraron algunas primeras conclusiones didácticas: -
Algunos problemas geométricos no tienen solución, como el primero. Surgió el debate acerca de cuál sería la intencionalidad de plantear a los alumnos problemas sin solución. Su interés radica en que este tipo de problemas provoca la necesidad de justificar la imposibilidad de la construcción. Se intenta que los alumnos puedan avanzar del “no me sale el triángulo” al “no se puede hacer esa construcción”. Este salto involucra pensar – en el problema del ejemplo- en las propiedades del triángulo equilátero para finalmente, sin necesidad de hacer el dibujo, concluir que “Los triángulos equiláteros tienen sus lados iguales, por lo tanto tienen sus ángulos iguales. Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo mide 180º, entonces sus ángulos miden todos 60º”. Retomamos aquí la idea antes planteada de que en geometría se acepta la validez de una afirmación por la argumentación y no por el dibujo o la medición.
Algunos problemas geométricos tienen infinitas soluciones, como por ejemplo, el segundo de los triángulos. Aquí también se espera que los alumnos puedan pasar de su inicial construcción, a considerar que existen otras, las de sus compañeros; y luego, apoyándose en ciertas relaciones, empezar a concebir que hay infinitas. Se espera que puedan argumentar que “los lados pueden agrandarse o achicarse - mientras los lados de todos los otros sean paralelos a los lados del construido - y no se modifican las medidas de los ángulos”. Hemos planteado que en geometría no se demuestra dibujando. Sin embargo, aclaramos , que tal vez, dicha argumentación, se pueda apoyar en un dibujo, aunque este no sea preciso. No es el dibujo el que permite demostrar que hay infinitos triángulos que cumplen con dichas condiciones, pero éste puede ser un punto de apoyo para explicar ciertos razonamientos.
Otros problemas geométricos tienen una única solución. Tal es el caso de la construcción del triángulo para el que se dan las medidas de los tres lados. Poder pasar de “a mí me salió éste” a “éste es el único posible” es parte de
aquello que definimos como “modo de pensar geométrico”. Aquí se trata de que los alumnos lleguen a la conclusión de que “dadas las medidas de los tres lados, las medidas de los ángulos son siempre las mismas” y “aunque cambia la posición, se trata del mismo triángulo” (o triángulos congruentes) Y ya a un nivel más general, se pudo discutir en los encuentros a partir de la resolución y el análisis de estas construcciones, cuáles son las características que tiene que tener una situación para ser considerada un problema geométrico. Como sucede también en el terreno aritmético, para que una situación sea un problema para los alumnos es necesario que: -
implique un cierto nivel de dificultad, presente un desafío, tenga algo de “novedad” para los alumnos, exija usar los conocimientos previos, pero que éstos no sean totalmente suficientes, se realice un análisis de los mismos y se tomen decisiones. Reproducimos a continuación las características específicas que Sessa (1998) señala que debe tener un problema geométrico:
Para resolverlo se deben poner en juego las propiedades de los objetos geométricos. El problema pone en interacción al alumno con objetos que ya no pertenecen al espacio físico, sino a un espacio conceptualizado representado por las figuras – dibujos. En la resolución del problema, los dibujos no permiten arribar a la respuesta por simple constatación sensorial. La validación de la respuesta dada al problema – es decir la decisión autónoma del alumno acerca de la verdad o falsedad de la respuesta- no se establece empíricamente, sino que se apoya en las propiedades de los objetos geométricos. Las argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de los cuerpos y figuras, producen nuevo conocimiento acerca de los mismos.
Al igual que ha sido planteado para la enseñanza de los conocimientos aritméticos en los Documentos 1/97, 1/99, 1/01 los problemas pueden ser el punto de partida para aprender algo nuevo. También en geometría adoptamos la concepción de los problemas como motor de avance de la producción del conocimiento matemático 5. Citamos a continuación un párrafo del Pre Diseño Curricular del GCBA Matemática 2do ciclo (1999): “...Para que los alumnos puedan profundizar sus conocimientos geométricos, es decir para que puedan avanzar en el análisis de las 5
propiedades de las figuras será necesario – como ocurre en otros ámbitos de la actividad matemática- que el conocimiento geométrico se elabore a partir de la resolución de los problemas que los niños enfrenten”. En los encuentros, estos primeros problemas permitieron abordar otro tipo de conclusiones acerca del trabajo en geometría. Algunas de las mismas fueron las siguientes: -
A. Juegos de adivinación7 En este tipo de problemas, se les presenta a los alumnos una colección de figuras geométricas o de cuerpos. Una persona (docente o alumno) elige uno, no dice cuál eligió y el resto de la clase tiene que preguntar para adivinar cuál es. Desde la perspectiva de los alumnos, la finalidad del juego es adivinar cuál es la figura o cuerpo seleccionado por el docente o por un alumno. La restricción es que las preguntas sólo pueden ser contestadas por “Sí” o por “No”. También puede plantearse en pequeños grupos, cada grupo con su colección de figuras o cuerpos en los que el rol de elegir es rotativo. Ahora bien, adivinar cuál es la figura o cuerpo es la finalidad para los alumnos. ¿Cuáles son en cambio las intenciones didácticas? Desde el punto de 7
Presentamos a continuación una de las actividades que Verónica Wagner, maestra de 3º año de la Escuela 46 de Lobería, propuso a sus alumnos, con el objetivo de establecer relaciones que permitan encontrar algunas características de ciertas figuras planas: Cada grupo de niños recibe una fotocopia con varias figuras (cuadrados, rectángulos, rombos, triángulos, paralelogramos, etc.) La maestra elige una de las figuras y los alumnos tienen que hacer preguntas que serán contestadas únicamente por sí o no. Mediante dichas preguntas, deben trata de adivinar de 8
Evidentemente, los alumnos de estos grupos ya disponían de un cierto vocabulario y el conocimiento de varias relaciones que forman parte de las características de algunas figuras. A pesar de ello, la idea de paralelismo entre lados es una cuestión a seguir trabajando (como se evidencia en la producción del grupo 1). Esta actividad puede permitir al docente recuperar este concepto y someterlo a discusión con toda la clase - luego de que los alumnos resuelven la situación- mediante la presentación de nuevos desafíos, la introducción de cierto vocabulario, la explicitación de algunas propiedades que pusieron en juego los chicos, etc. Al presentar a los alumnos problemas de esta naturaleza, se debe tener muy presente, - como ha sido mencionado anteriormente - cuál es el objetivo a alcanzar y cuál es el conocimiento que se pretende que los alumnos aprendan (Por ejemplo: caracterizar una colección de figuras; incorporar un vocabulario; identificar similitudes y diferencias entre figuras; abordar la idea de paralelismo etc.) Dicho conocimiento es el que condiciona la selección de la colección de figuras sobre la que se va a trabajar. Esta última consideración es la que también tienen presentes en la Escuela 39 de Morón cuando les proponen el mismo tipo de actividad a los alumnos de sexto año. En este caso, el contenido es la clasificación de triángulos. En consecuencia, la fotocopia con figuras que la maestra y la maestra recuperadora entregan a los alumnos está conformada por una amplia variedad de triángulos (equiláteros, escalenos e isósceles; acutángulos, rectángulos y obtusángulos). 9
La maestra elige una de esas figuras y los alumnos deben anotar preguntas intentando, mediante las misma, obtener información para averiguar de qué figura se trata. Transcribimos a continuación una parte del registro de la clase confeccionado por docentes de esa escuela: Los alumnos tienen dificultades en un principio, para diferenciar las características. Surgen preguntas como: ¿Tiene las partes iguales?; ¿Es alto?; ¿Es ancho? Se van haciendo intervenciones (docentes) solicitando mayor precisión. (La intervención docente en este caso permite a los alumnos reconocer que el ancho o el alto no da “pistas” sobre una figura). Comienzan a surgir preguntas en función de los lados, y, en un grupo, en función de los ángulos. Concluido el tiempo previsto por el docente, se anotan en el pizarrón las preguntas formuladas para ser analizadas por toda la clase: ¿Tiene todos los lados iguales? ¿Tiene lados chicos? ¿Es ancho? ¿Es parecido a una escuadra? ¿Tiene un ángulo recto? ¿Tiene sus tres lados desiguales? Estas preguntas y las respuestas que da la docente durante el transcurso del juego , le permiten a los alumnos avanzar en la determinación de qué triángulo se trata. Luego, el mismo conjunto de preguntas se “transforman” en un objeto de análisis en sí mismo. Las docentes invitan a sus alumnos a discutir cuáles preguntas eran mejores y cuáles no aportaban demasiado. Entre otras cosas, llegan a concluir que preguntar por el ancho, o si los lados son chicos no son preguntas válidas. Las docentes proponen luego una segunda vuelta del juego. Volvemos a transcribir parte del registro: El juego se realizará sin escribir las preguntas. Se formularán seis preguntas….. ….Es notable como los chicos van “afinando” las preguntas, buscando definir las relaciones de manera más efectiva…. ….En una tercera vuelta del juego, serán solo cuatro las preguntas que podrán hacer…. ….Se aprecia que hay dos grupos que participan velozmente…. Otros necesitan más tiempo y muchas veces son sobrepasados por los anteriores…. Es muy interesante resaltar dos cuestiones, a partir del registro de la clase, que permiten reflexionar sobre las decisiones didácticas. La primera tiene que ver con disminuir la cantidad de preguntas que se autoriza hacer a los alumnos. Esta restricción, tal como señala el registro, exige a los alumnos 10
precisar las relaciones, detectando aquellas características que permitan “englobar” o “descartar” a una buena parte de la colección de figuras. Por ejemplo la pregunta “¿tiene un ángulo agudo?” seguramente da cuenta de una característica que identifique a cierta cantidad de triángulos y deje afuera a otra. Es decir que, esta restricción es intencional, permite provocar avances en el análisis de propiedades de las figuras. La segunda cuestión tiene que ver con los tiempos que demanda la resolución de cada situación a los alumnos, problema que aparece enunciado en el registro y en muchos relatos de los docentes. Al igual que sucede en cualquier clase de matemática, hay heterogeneidad de ritmos de trabajo en los alumnos, heterogeneidad de conocimientos e incluso de niveles de participación. ¿Qué se propone desde este enfoque didáctico en relación con esta diversidad esperable? Se trata de poder generar en el aula condiciones que promuevan la circulación de los “descubrimientos” y reflexiones que hacen los alumnos. Forma parte del trabajo sobre un problema “dar la palabra” a los alumnos para que expliciten resultados y estrategias, generar la circulación y difusión a toda la clase de aquello que han producido algunos, promover el análisis colectivo de los errores y de los aciertos, resaltar al finalizar la clase qué es lo importante que los alumnos deberán retener y que ha sido producido por todos. Contemplamos que el trabajo en el aula con la diversidad de alumnos exige entonces al docente una diversidad de estrategias para lograr, a lo largo de un conjunto de problemas, que sea posible “hacer de todos” el conocimiento que ha circulado, para hacer “público” y colectivo lo que en otra fase del trabajo ha sido “privado”, individual. Aquí también hay una intencionalidad didáctica a destacar: intervenir de maneras diversas, para favorecer dicha circulación del conocimiento. Resaltamos también la importancia del trabajo continuado a lo largo de varias clases y nuevos problemas, considerando que la “enseñanza” no se agotó en un primer juego, aunque algunos alumnos hayan aprendido muy rápidamente. Seguramente será necesario retomar en las clases siguientes lo elaborado por todos, volver a resaltarlo, promover el registro escrito de las conclusiones, de tal manera que aquellos alumnos que menos han avanzado “mientras jugaban” tengan luego varias oportunidades de aprender. Posiblemente algunos alumnos precisarán incluso alguna actividad individual para volver a mediar con dicho problema y el conocimiento en cuestión. Se puede presentar a los niños que lo precisen, actividades escritas individuales que simulen una parte del juego. Por ejemplo: “Un nene tenía estas figuras y no sabía cuál habían elegido. ¿Qué preguntas le conviene hacer? O “el mismo nene hizo estas preguntas ¿te parece que todas eran necesarias? ¿por qué?”. También es interesante presentar las figuras y dos o tres preguntas contestadas y que el alumno señale las figuras que pueden ser y elabore una nueva pregunta para continuar. 11
La mayoría de los alumnos no tuvo inconvenientes en copiar el dibujo. Hubo diversas estrategias que usaron para lograrlo, algunas acertadas y otras con ciertos errores. Ambos tipos de producciones fueron objeto de discusión en la clase, cuestión intencionalmente promovida por las docentes. Algunos niños pinchaban el compás en el centro (aunque no lo llamaban así) y abrían el compás hasta la circunferencia. Con esta medida, pinchaban en la hoja en blanco y obtenían una “copia fiel” de la circunferencia. En donde se produjeron errores fue en el trazado de los diámetros. (Como se 14
En esta actividad, hay dos decisiones que toman las docentes que merecen ser destacadas: La primera de ellas es que los alumnos pueden empezar a resolver la situación, con aciertos y errores, apelando a diferentes estrategias. Y es a partir de estas resoluciones que se busca intencionalmente que los alumnos se encaminen en discusiones colectivas en las cuales, comienzan a utilizar algunas palabras (redondo, círculo, puntito del medio, la rayita etc.). Destacamos que las docentes, a partir de dichas expresiones, deciden instalar en la clase los nombres socialmente reconocidos. Este vocabulario aparece en el marco de la comunicación de las estrategias empleadas, en consecuencia, se transforma en un recurso útil y necesario para poder entender de qué se está hablando. La segunda decisión está relacionada con favorecer la entrada en la racionalidad geométrica, fundamentalmente cuando la docente pregunta ¿Y cómo se que estas rayas son iguales? Esta intervención provoca en los alumnos avances en los análisis: “las dos rayitas son iguales porque los círculos son iguales” (hablando del diámetro horizontal). Esta afirmación no se apoya en la medida, no se basa en la superposición de las figuras. Se infiere a 15
C. Dictado de figuras10. Este tipo de problemas forma parte de los juegos de comunicación en donde hay un grupo o alumno receptor y otro emisor, aunque sus roles sean posteriormente intercambiables. La comunicación –escrita en este caso- exige también, como en los otros tipos de problemas mencionados, un análisis de la figura presentada, una explicitación de propiedades, el uso de vocabulario específico, etc. Habitualmente se divide a la clase en varios grupos. Cada grupo es “socio” de otro grupo. La mitad de los grupos (los llamaremos grupos A) recibe una misma figura y la otra mitad (grupos B) otra figura. En general ambas son parecidas, ya que se tratan de mismos conocimientos que hay que poner en juego en esa clase. Cada grupo A elabora un mensaje escrito con instrucciones para que su grupo socio B, al recibirlo, pueda reproducir la figura. Los grupos B hacen sus mensajes para los grupos A. Luego se intercambian los mensajes y ambos grupos inician la construcción a partir de las instrucciones recibidas. Luego, se comparan y analizan los errores. Ganan los “socios” (grupo A y B) que hayan logrado reproducir ambos mensajes. Se plantea a los niños que los mensajes no pueden tener dibujos con la finalidad de que tengan que esforzarse en explicitar el máximo de relaciones en palabras. Este tipo de juego no es una actividad aislada. Es interesante que los alumnos puedan enfrentarse a este tipo de problemas a lo largo de un conjunto de varias clases, de tal modo que, el análisis de las dificultades y de los errores, se constituya en aprendizajes. En general, los alumnos no logran en el primer intento reproducir la figura ya que presentan intencionalmente, un cierto nivel de desafío. Se trata de promover en los niños el entusiasmo por analizar las dificultades e incorporar nuevos conceptos con el fin de “volver a jugar”. Desde la perspectiva de los alumnos la puesta en común y el análisis de los errores son ocasiones para “jugar mejor la próxima vez”. Por ello, que a los alumnos en el primer intento no les salga la reproducción, es motor de avance para seguir trabajando. En tanto que, desde la perspectiva del docente, el trabajo colectivo posterior al juego, será la ocasión para analizar las propiedades, las definiciones, el vocabulario, y para instalar aquello nuevo que pretende enseñar. Será necesario registrar entonces las conclusiones a las que se arriba y que se espera que los alumnos retengan como nuevos conocimientos. (Por ejemplo: “si decimos rectángulo no hace falta decir que tiene cuatro lados”; “cuando hay rombos con sus diagonales trazadas no es necesario decir que son perpendiculares porque siempre lo son”; “desde hoy 10
llamaremos diámetro y radio a estos segmentos que....”) Las situaciones de dictado de figuras permiten tomar algunas decisiones luego de que los niños han jugado y se ha realizado la puesta en común: -
proponer en la clase siguiente a los alumnos la lectura y revisión de los mensajes que cada grupo ha elaborado. Será necesario para su reelaboración tomar en cuenta las conclusiones obtenidas a partir del trabajo colectivo.
Agregar en el siguiente juego, la restricción de que ganará el grupo que elabore el mensaje que haya sido eficaz y que además sea “el más corto posible”. Esta restricción en la cantidad de palabras favorece la utilización de vocabulario específico y el análisis de la información contenida en una definición (“No pongamos que tiene dos diagonales porque ya se sabe” o “escribamos triángulo rectángulo y ya va a saber que uno de los ángulos es recto”, etc.)
Para que un grupo pueda reproducir la figura que no ha visto, el 18
secretario deberá tomar decisiones en torno a cuáles son las características que deberá informar. Dichas decisiones deben considerar la necesidad de establecer relaciones, utilizar un vocabulario “comprensible”, dar información sobre las medidas. Es así como uno de los secretarios enuncia el siguiente dictado: Dibujen un rectángulo. Midan el lado de arriba y hagan una marca en la mitad. Hagan una raya de esa marca hasta la punta de abajo….Y para la otra punta también. Determinar si el dibujo es igual que el original (por superposición) permite al docente promover un análisis sobre el dictado realizado. En varias de estas situaciones hay dibujos que coinciden con el original, en tanto que otros no. Este aspecto le posibilita al docente, confrontar los diferentes dictados y permitir a los alumnos evidenciar que información ha sido pertinente y cuál no. Por ejemplo: Me olvidé de decirles cuánto miden los lados Por otro lado, resulta oportuno instalar el vocabulario pertinente. Por ejemplo, el docente podrá decir: “Este punto se llama punto medio” ; o bien, “No se dice punta, se llama vértice”. En general, las actividades de dictado de figuras habilitan al docente a incorporar el lenguaje geométrico a las relaciones que los alumnos establecen. Cuando un niño dice: “Hacé una rayita de la punta de arriba a la de abajo” está intentando caracterizar elementos de una figura. No es lo mismo ponerle “nombre” a esta caracterización, que aprenderlo desprovisto de un problema que le otorga sentido. En este tipo de situaciones, también deberá estar presente - con mucha claridad- cuál es el conocimiento que se pretende que los alumnos aprendan. Es el contenido el que determina los diferentes dibujos que se les presentarán a los alumnos para que elaboren los dictados. En particular, con el dibujo anteriormente presentado, se pondrá en juego la idea de rectángulo, la idea punto medio y, seguramente, algunas cuestiones relacionadas con los triángulos. En la Escuela Nº 11 de Claromecó, la maestra Adriana Mariezcurrena propuso a sus alumnos de 5º año un dictado de figuras. En este caso, el “dictado” lo hizo la propia maestra y tenía la finalidad de que los alumnos recuperen ciertas relaciones de las figuras y algunos términos propios de la geometría: -
Es un rectángulo cuya base es mayor que la altura Su lado mayor mide 19 cm y el lado menor 14 cm Dividir el rectángulo en dos partes iguales por su base Ubicar en ese segmento el punto medio Apoyado en el punto medio, trazar una circunferencia cuyo diámetro es de 3 cm y 6 mm, y su radio es de 1 cm y 8 mm Sobre cada lado menor del rectángulo marcar un punto que esté a 3 cm y 3 mm de cada vértice A partir del segmento marcado a la izquierda y a la derecha del rectángulo mayor, construir un rectángulo que tiene como base ese segmento y la 19
La maestra Marilina Barrios de la Escuela 4 de De La Garna, propuso a sus alumnos de 6º año la siguiente construcción: “Construir un triángulo en el cual uno de sus ángulos mida 70º y otro de sus ángulos mida 30º” El primer objetivo era que los alumnos reconocieran la posibilidad de construir varios triángulos que cumplieran las condiciones planteadas. Producto del trabajo desplegado por los chicos y la comparación de los dibujos que realizaron, se verifica que hay muchas construcciones posibles(aunque no son del todo precisas): 22
Este alumno elabora una conjetura, que es incompleta. En este caso, es posible proponer a los alumnos que intenten construir varios triángulos diferentes con los valores de dos de sus ángulos y la medida de uno de sus lados, de manera tal de contradecir la conjetura elaborada por uno de los chicos. Es parte del trabajo a desarrollar lograr que los alumnos se animen a ensayar, a probar, a buscar argumentos. Es esperable que en varias 12
determinar si es posible o no que alguno de los otros ángulos mida 120º.”15 Este problema pone en juego algunas propiedades de los paralelogramos. Apoyándose en dichas propiedades, es posible inferir que ningún ángulo de ese paralelogramo puede medir 120º. Los argumentos que se podrían usar para arribar a esta conclusión están relacionados, por un lado, con reconocer que la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360º. Y, por otro lado, apoyarse en que los ángulos opuestos son iguales en todo paralelogramo. En consecuencia, el opuesto al ángulo de 40º deberá medir 40º, en tanto que la suma de los otros dos, deberá medir 280º (para que la suma de los cuatro ángulos sea 360º). Finalmente, hay dos ángulos que miden 140º (ya que deben ser iguales) 140º
Ahora bien, entrar en el juego de la demostración supone entonces, poder validar las afirmaciones o conjeturas sin recurrir a la constatación empírica. Pero no estamos pensando en exigir inmediatamente demostraciones tal como se entienden en matemática. Es un proceso largo que tendrá idas y vueltas y que debe ser provocado desde las actividades que se proponen para realizar en el aula. ¿Cuánta precisión requerimos para aceptar como válida una demostración? Si bien parece legítimo tener en la mira que los alumnos vayan mejorando la calidad de sus argumentaciones, es necesario poder ver esto como un proceso y aceptar de entrada justificaciones incompletas, argumentaciones imprecisas y escrituras "poco formales". Es importante señalar que en el trabajo de entrada, por parte de los alumnos, en la producción de argumentaciones deductivas, se deberán aceptar algunas “primeras propiedades” como verdaderas, para permitir la elaboración de los argumentos que permitirán establecer el carácter necesario de otras. Estas propiedades de partida resulta una cuestión compleja a elaborar. No es pertinente “sentenciar” aquí cuales son, pues dependen de cada grupo de alumnos, de cada situación. Lo que sí es posible expresar son algunos criterios que permitan pensar esta complejidad, como por ejemplo, considerar los saberes de los alumnos; aquellas propiedades que resultan muy “evidentes” - aunque sabemos que el grado de “evidencia depende de los conocimientos disponibles- (por ejemplo 15
Notas sobre el trabajo con los docentes En el marco de los encuentros con los docentes surgieron algunos interrogantes que nos parece útil compartir porque, tal vez, sean preguntas también de los lectores que no asistieron a los encuentros. Ensayamos para cada una, un intento de síntesis del tipo de cuestiones que se intentó promover. Presentamos nuestros puntos de vista, con la intención de promover la discusión y el debate institucional. Se incluyen en muchos casos, citas bibliográficas para ampliar el debate. Algunas de las preguntas más frecuentes que surgieron fueron las siguientes: ¿Estudiar geometría en la escuela permitirá a los niños ubicarse mejor en el espacio real? En principio, parece interesante distinguir, aunque haya aspectos en común y relaciones complejas entre ambos- el estudio del espacio y el estudio de la geometría. Entre algunas de las diferencias, señalan Berteloth y Salin16, se encuentran las siguientes: -
Los conocimientos espaciales conciernen al espacio físico mientras los conocimientos geométricos a un espacio conceptualizado.
Algunos conocimientos sobre el espacio físico (ubicación geográfica, lectura de planos, etc.) no forman parte de la disciplina matemática, a diferencia de los conocimientos geométricos, que sí pertenecen sin duda a esta disciplina.
Algunos conocimientos espaciales serían de adquisición más espontánea y no precisan de una enseñanza sistemática, como sí lo exigen los conocimientos geométricos.
No parece nada evidente que estudiar geometría abone a la ubicación espacial. Muchas personas tienen una excelente ubicación espacial y no dominan los conocimientos geométricos de la escolaridad básica y viceversa. Parece que los procesos de aprendizaje de unos y otros son muy diferentes.
Si aparentemente estudiar geometría no ayuda a ubicarse en el espacio real, ¿cuál es la finalidad de su enseñanza? Muchas propuestas didácticas y documentos curriculares de diferentes años plantean desde sus fundamentos la idea de que enseñar matemática debe servir para la vida social. Es decir, adoptan una concepción instrumentalista de la enseñanza de la matemática. Pensamos, por el contrario, que la actividad matemática en la escuela, no se debería centrar exclusivamente en su posibilidad de uso en la vida cotidiana. La motivación principal no debería ser la utilidad práctica, sino el desafío intelectual. “Una centración exclusiva en la utilidad hace perder de vista a la matemática como producto cultural, como práctica, como forma de pensamiento” (Marco General Pre Diseño GCBA, 1999) Esta perspectiva no excluye la posibilidad de que las matemáticas escolares tengan muchas relaciones con la matemática de uso social. Incluso entre las preocupaciones actuales de la didáctica está cómo recuperar los conocimientos extraescolares de los alumnos como punto de partida para aprender lo nuevo (Ver documento de división, 2001). Sin embargo, una de las razones principales por las cuales es importante su enseñanza es porque la escuela es un lugar de creación, de transmisión y de conservación de una parte seleccionada de la cultura. Y la geometría forma parte de ella. Como señala Artigue (1990): “...lo que se propone la enseñanza de las matemáticas no es simplemente la transmisión de conocimientos matemáticos, sino , más globalmente, la transmisión de una cultura. Se trata de que los alumnos entren en el juego matemático”. 17
Aunque la finalidad de la enseñanza de la geometría no sea el uso social, ¿los problemas de la vida cotidiana no son un buen recurso para interesar a los alumnos? Desde nuestra perspectiva, como hemos mencionado, intentaremos interesar a los alumnos por el juego intelectual de producción de conocimientos, que puedan involucrarse activamente en debates matemáticos, por el simple interés de aprender y conocer. Es ese el “interés” que queremos fomentar en las clases. Esto no significa que no haya algunos “buenos” problemas de la vida cotidiana que no puedan ser una buena vía de entrada al estudio de algunos conceptos geométricos (Por ejemplo: ¿Qué medidas tomar cuando se rompe un vidrio que hay que reemplazar?), pero la mayor parte de los mismos precisará de problemas puramente geométricos18. Por otra parte, está estudiado que el hecho de que los problemas estén presentados en un contexto extramatemático no siempre implica que mejore la comprensión de los conceptos (Pre Diseño GCBA Marco General, 1999; 18
Hoy, frente al desarrollo de la didáctica de la matemática y la gran cantidad de estudios psicológicos sobre los procesos de construcción de conocimiento de los niños sobre diferentes objetos matemáticos, estamos en condiciones de reorientar la enseñanza teniendo en cuenta la necesaria complejidad de los objetos matemáticos y también los procesos cognitivos de los alumnos. Vale la pena desnaturalizar la idea de qué es lo simple y qué es lo complejo para los niños, conceptos que no siempre coinciden con el punto de vista de los adultos. Y por otra parte, consideramos que es importante resguardar el sentido de los conocimientos matemáticos, es decir, que los mismos estén ligados a los problemas que permiten resolver. Como señala Gálvez, (1994) “Hasta la fecha, ha predominado una concepción según la cual basta con descomponer un saber, en su modalidad cultural, en pequeños trocitos aislados, y luego organizar su ingestión por los alumnos, en períodos breves y bien delimitados, según secuencias determinadas sobre la base del análisis del propio saber”. Estas ideas también tuvieron sus consecuencias en la enseñanza de la geometría: “primero enseñar elementos aislados (punto, recta, plano) y luego las figuras” o bien “primero enseñar cuerpos y luego figuras”, bajo el supuesto didáctico de que había que partir de lo vivencial y concreto hacia la abstracción21. Con respecto a la primera idea, recordemos que el objeto de estudio de la EGB en geometría son las propiedades de figuras y cuerpos geométricos. Esto no signifique que no sea importante definir o conceptualizar ciertos elementos (por ejemplo, distinguir segmento de recta), incorporar vocabulario nuevo (por ejemplo, “vamos a llamar “vértice” a lo que Uds. hasta ahora llamaban punta”), establecer acuerdos sobre formas de representación con los alumnos (por ej. “en este problema vamos a usar las letras minúsculas para representar los vértices, pero tengan en cuenta que en nuestro libro usan siempre mayúsculas para los puntos y minúsculas para las rectas) , o inventar nuevas denominaciones (por ej. “entonces vamos a llamar “romboides rectangulares” a aquellos que tienen solamente un ángulo recto). Desde la perspectiva que hemos desarrollado, las denominaciones, representaciones, vocabulario, los acuerdos no son presentadas a los alumnos para ser usados luego, desprovistos de significado, sino que se institucionalizan o instalan como nuevo al servicio de los problemas con los que enfrentamos a los alumnos (por ejemplo, “vamos a seguir acortando este mensaje, para ello vamos a tratar de usar la mayor cantidad de vocabulario que estuvimos anotando en este cartel”). Con respecto a la segunda cuestión, la secuenciación entre cuerpos y figuras, no hay estudios didácticos que permitan hoy día afirmar que el estudio 21
Artigue, M. : “Epistemología y Didáctica”. En Recherches en Didactique des Mathematiques 10, 1990 Balacheff, N. (1987) : “Devolution d´un probleme et construction d´une conjecture. Le cas de la somme des angles d´un triangle”. Cahier de Didactique des Mathematiques 39. Irem de Paris 7. Barallobres, G., Itzcovich, H. Y Sessa, C. (aún sin publicar): Documento sobre la enseñanza de la Geometría. Tercer Ciclo. Dirección de Currícula, Secretaría de Educación, Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Berthelot, R. y Salin, M.H. (1994) :“La enseñanza del espacio y de la geometría en la escolaridad obligatoria. Tesis. Publicada en Documentos del PTFD, y reproducida en documento 1/97 PBA Brissiaud,R. (1984) “La lecture des énoncés de problemes” en INRP, Rencontres Pédagogiques. Nro 4. París Broitman ,C. e Itzcovich,H.(1991): “Taller de Resolución de Problemas”. Dirección de Currículum. Secretaría de Educación de la M.C.B.A Broitman, C.(2000) “Reflexiones en torno a la enseñanza del espacio” en: De Cero a Cinco, Revista de Nivel Inicial de Novedades Educativas. Castorina, Coll y otros (1998): Piaget en la Educación. Debate en torno de sus aportaciones. Editorial Paidós, México. Castro, A. (2000): “Actividades de Exploración con cuerpos geométricos. Análisis de una propuesta de trabajo para la sala de cinco” en: Malajovich (comp.): Recorridos didácticos en la educación Inicial. Editorial Paidós. Bs. As. Charnay, R (1994): "Aprender por medio de la resolución de problemas". En: Didáctica de Matemáticas, Parra, C y Saiz, I.(Comp.),Editorial Paidós. Coll (1983): “Las aportaciones de la Psicología a la Educación. El caso de la psicología Genética y de los aprendizajes escolares” en Coll (comp.): Psicología genética y aprendizajes escolares. Madrid. Siglo XXI. Diseño Curricular Provincia de Bs. As. Tomo I (1999). Documento Nº 1 /97. Gabinete Pedagógico Curricular – Matemática- D.E.P. Prov. Bs. As. Documento Nº 1 /99. Gabinete Pedagógico Curricular – Matemática- D.E.P. Prov. Bs. As. Fregona, D. (1995): “Les figures planes comme “milieu” dans l’enseignement de la géométrie : interactions, contrats et transpositions didactiques”. Thèse, Université de Bordeaux I Fregona,D. (1995) : “Diferentes dominios de declaración sobre las figuras”. Ponencia de la IX CIAEM. Chile. Fuenlabrada,I. et al (1986) : “Los Cuadriláteros y sus Diagonales”. Laboratorio de Psicomatemática Nro. 7. DIE. CINVESTAV. México. Gálvez, G.: “La Didáctica de la Matemática” en Didáctica de Matemáticas, Paidós, 1994. Gálvez,G. (1994) : “La Geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría en la escuela elemental”. En Parra, C y Saiz (comp.), Didáctica de Matemática. Paidós, Bs. As.
evantorello

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución