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Timestamp: 2017-09-25 19:07:31+00:00

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Este informe fue presentado por el autor como trabajo de tesis previo a optar al grado de licenciado en Pedagogía y Ciencias
INTRODUCCIÓN CAPÍTULO I MARCO CONCEPTUAL 1.1 1.2 1.3 1.4 Antecedentes del problema Importancia de la investigación Planteamiento del problema Alcances y límites de la investigación 1.4.1 Alcances 1.4.2 Límites CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO 2.1 Conceptos matemáticos básicos 2.1.1 Razonamiento lógico 2.1.2 Teoría de conjuntos 2.1.3 Aritmética elemental 2.1.4 Número natural 2.1.5 Número racional 2.1.6 Fracción decimal 2.1.7 Problemas de matemática 2.2 La evaluación en matemática 2.2.1 Medición 2.2.2 Prueba objetiva de selección múltiple 2.3 2.4 Metodología para la enseñanza de la matemática Análisis de los contenidos de los programas de matemática de primaria
4 4 4 5 5 6 6 7 8 9 10 11 12
CAPÍTULO III MARCO METOLÓGICO 3.1 Objetivos 3.1.1 Objetivo general 3.1.2 Objetivos específicos 3.2 Variable 3.2.1 Definición conceptual de la variable 3.2.2 Definición operacional de la variable 3.3 3.4 3.5 Población Instrumentos Análisis estadístico CAPÍTULO IV PRESENTACIÓN DE RESULTADOS 4.1 Obtención de datos Cuadro No. 1. Resultados obtenidos por los alumnos en la prueba de diagnóstico Cuadro No. 2. Resumen de los resultados obtenidos por los alumnos con porcentajes Cuadro No. 3. Resumen de resultados obtenidos por los alumnos y puntuaciones Tipificadas Cuadro No. 4. Porcentaje de aprobados y no aprobados con puntuaciones brutas Cuadro No. 5. Porcentaje de aprobados y no aprobados con puntuaciones tipificadas Cuadro No. 6. Punteos agrupados en intervalos para cálculo de la media aritmética y la desviación típica a) Cálculo de la media aritmética b) Cálculo de la desviación típica c) Curva de distribución normal Análisis crítico Conclusiones 35 36 36 37 38 39 33 34 34 20 21 32 15 15 16 16 17 18 18 19
PROPUESTA DE CONTENIDOS PROGRAMÁTICOS Y METODOLOGÍA 1. Carátula 2. Introducción 3. Justificación 4. Objetivos 5. Propuesta de contenidos 6. Propuesta metodológica 7. Bibliografía
41 42 43 44 45 46 49 55
Bibliografía General ANEXOS 1. Contenidos de los programas de matemática del Ciclo de Educación Complementaria del Ministerio de Educación 2. Prueba de diagnóstico 3. Informe de estadística final 2004. Dirección departamental de Educación 4. Constancia INVO 5. Constancia INSO 6. Constancia INEBE “Dr. David Guerra Guzmán”
59 65 71 72 73 74
Como el problema no es solo del nivel medio sino de todo el sistema educativo. esto sin duda alguna ha motivado a las autoridades educativas a tomar medidas al respecto y es por ello que el año 2004 se aplicó a los estudiantes que egresaron del nivel medio una prueba de diagnóstico para medir su calidad educativa y llevar a cabo reformas en ese nivel. que comprende cuarto. esto ha llevado a muchos pedagogos a realizar investigaciones en busca de las causas que inciden en su aprendizaje.INTRODUCCIÓN El bajo rendimiento en la asignatura de Matemática en los distintos niveles del sistema educativo. planificación anual de la El contenido del presente trabajo de tesis es determinar qué conocimientos poseen los alumnos. no con el propósito de transferir el problema a ese nivel. sino el de hacer una propuesta de contenidos programáticos y metodología para el Ciclo de Educación Complementaria (CEC). quinto y sexto grados del nivel primario. es un problema que provoca la deserción. en el área de matemática. al egresar de las escuelas primarias urbanas oficiales. En los últimos años la Universidad de San Carlos estableció como requisito de inscripción a los alumnos de primer ingreso la aprobación de pruebas que incluyen la matemática. la repitencia escolar y la mala calidad de los egresados para proseguir estudios superiores. se consideró importante hacer un diagnóstico de los alumnos egresados del nivel primario en el área de matemática para contribuir con las autoridades en la reforma educativa y con los docentes del ciclo de educación básica con resultados que le aporten información valiosa para asignatura. i .
en el municipio de Chiquimula. puesto que se le proporcionaron los resultados del diagnóstico para que los utilizaran en la planificación de la asignatura de matemática en el presente ciclo escolar. Al revisar los contenidos de los programas de matemática vigentes en Ciclo de Educación Complementaria. es por ello que al final se hace una propuesta al respecto. así como también que los mismos no están planteados siguiendo un orden lógico. porque la mayoría de maestros del nivel primario no confían en este tipo de investigaciones y se oponen a las mismas porque consideran que lo que se pretende es evaluarlos a ellos o culparlos de los problemas del nivel medio.La investigación se realizó con alumnos que se inscribieron en primer grado básico al inicio del ciclo escolar 2005 y no con alumnos de sexto grado al finalizar el ciclo escolar 2004. El análisis estadístico de los resultados de la prueba de diagnóstico muestra que los alumnos que egresan del nivel primario oficial urbano oficial de la ciudad de Chiquimula no poseen los conocimientos básicos necesarios para el aprendizaje de la matemática en el nivel medio. se determinó que son extensos con relación al tiempo de trabajo con que cuentan los maestros y maestras para desarrollarlos. Actitud opuesta fue la mostrada por las autoridades y los catedráticos del nivel medio quienes brindaron toda la colaboración necesaria en la aplicación de la prueba. departamento de Chiquimula. en este caso del fracaso de los alumnos en la asignatura de matemática. ii . lo que se considera son causas que provocan problemas en el proceso de aprendizaje de ésta asignatura en las escuelas primarias urbanas oficiales.
Se espera que este trabajo constituya un aporte a los docentes y autoridades educativas que estén relacionados con los problemas educativos del país y que al mismo tiempo contribuya a motivar nuevas investigaciones. exigen mucho más de lo que contienen los programas. pero se debe tomar en cuenta que Guatemala es un país subdesarrollado con muchas deficiencias y necesidades en el sistema escolar. iii .Los avances tecnológicos y la época que se vive. por lo que los contenidos y la extensión de los mismos deben ajustarse a esa realidad.
Lozano y Herrera (1998) hicieron un estudio del bajo rendimiento en la asignatura de matemática de los alumnos de sexto primaria en una escuela oficial urbana mixta del municipio de Mixco. Orozco (1995) al investigar sobre el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática concluye que los contenidos curriculares oficiales no son adecuados a la edad de los alumnos y que son muy amplios. En el departamento de Chiquimula. son causas que provocan el problema. y la metodología deficiente.1 Antecedentes del Problema: El aprendizaje de la matemática es un problema serio que afecta a todo el sistema educativo del país desde hace muchos años. Guatemala. señala que una de las causas del bajo rendimiento de los alumnos es la extensión de los programas.CAPÍTULO I MARCO CONCEPTUAL 1. 1 . por lo que ha sido objeto de investigaciones tratando de determinar las causas que lo provocan. y entre sus conclusiones están que los contenidos curriculares oficiales extensos y ambiguos. el tema se ha investigado en seminarios y en algunas tesis. no se encontraron antecedentes de trabajos realizados en el nivel primario que se refieran a determinar los conocimientos básicos que poseen los alumnos al egresar de dicho nivel. la mayoría de ellas enfocadas principalmente al nivel medio y a las causas que provocan el problema.58% de los maestros de un Sector Educativo de la ciudad de Guatemala. Hernández (1973) indica que el 31.
Se han citado las anteriores investigaciones porque coinciden con las conclusiones del presente trabajo y porque fueron realizadas en el nivel primario. 1. pues con un diagnóstico de la asignatura de Matemática del nivel primario. Después de aplicar la prueba de diagnóstico y hacer un análisis de los programas en el Ciclo de Educación Complementaria del nivel primario. el Ministerio de Educación aplicó una prueba de diagnóstico a los alumnos que cursaban el último grado del nivel medio y el resultado demostró el bajo rendimiento de los alumnos en el manejo de conocimientos matemáticos. Solo teniendo conocimiento de la calidad educativa de los alumnos es posible lograr hacer propuestas que contribuyan al mejoramiento del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática en el Ciclo de Educación Complementaria del nivel primario del sector oficial en el área urbana del municipio de Chiquimula. área urbana. sector oficial. sin embargo las mismas no se refieren a un diagnóstico de contenidos matemáticos. 2 . en el municipio de Chiquimula se puede contribuir con propuestas a la reforma educativa . Es de hacer notar que a pesar de la diferencia de años entre las investigaciones las causas se mantienen y todo indica que no se ha hecho nada al respecto.2 Importancia de la Investigación La investigación es muy importante. lo que sería un nuevo aporte de las extensiones de la Facultad de Humanidades a la resolución de los problemas educativos del país. A finales del año 2004. se hace una propuesta de contenidos programáticos para la asignatura de Matemática que pueden servir de base en la elaboración de los Programas Oficiales.La mayoría de los trabajos consultados hacen mención como causa principal del problema de aprendizaje de la matemática a la falta de una metodología adecuada.
departamento de Chiquimula? 1. área urbana. sector oficial. 3 . departamento de Chiquimula.2 Límites Este trabajo se ha limitado a los alumnos que egresaron del nivel primario. sector oficial. especialmente en la región oriental. por ser una muestra representativa del problema.4 . Izabal y El Progreso. Jalapa. área urbana. del municipio de Chiquimula. Jutiapa. 1.3 Planteamiento del Problema Con el propósito de hacer un diagnóstico acerca de los conocimientos matemáticos que poseen los alumnos al egresar del nivel primario.1 Alcances Considerando que los programas del nivel primario son iguales en todo el país y tomando en cuenta que los problemas son similares. sector oficial. los resultados de este trabajo pueden aplicarse en otros departamentos como Zacapa. se plantea el siguiente problema: ¿Qué conocimientos básicos en el área de Matemática poseen los alumnos egresados del nivel primario.1.4 Alcances y Límites de la Investigación 1. departamento de Chiquimula.4. área urbana del municipio de Chiquimula. del municipio de Chiquimula.
o sea que se derivan conclusiones a partir de premisas (Copi 1962). el individuo interactuando con el medio construye sus esquemas conceptuales.1 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS Cuando los alumnos egresan del nivel primario.CAPITULO II MARCO TEÓRICO 2.1 Razonamiento Lógico: proceso mental a través del cual se deducen unos conocimientos de otros para llegar a conclusiones válidas.1. ya que es en los primeros años de su niñez cuando. sin reconocer su efecto unificador de la Matemática. 4 . En matemática este proceso mental se desarrolla por medio ejercicios. 11 – 13 años de edad.1. según Piaget. lo que facilita su ingreso en el campo de la matemática. deben poseer los conocimientos matemáticos básicos que les permitan el aprendizaje de esta asignatura en el ciclo de educación básica. 2. Mucho se ha dicho sobre la teoría de conjuntos pero uno de los errores que se cometen con mucha frecuencia en su enseñanza.2 Teoría de Conjuntos: el estudio de la teoría de conjuntos es importante porque desarrolla en los estudiantes la capacidad de pensar y le proporciona el lenguaje matemático necesario para poder expresarse en forma breve y precisa. es que se imparte como un tema independiente y sin ninguna aplicación práctica. juegos y actividades que pongan al niño en sus primeros años en relación con su medio. El estudio de la lógica es el estudio de los métodos y los principios usados par distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. El razonamiento es un género especial de pensamiento en el cual se realizan inferencias. 2.
1. (Baldor 1971). los números dígitos y polidígitos. González 1978). 9. diferencia. y así sucesivamente. 10. } El conjunto de los números naturales es un conjunto infinito. montón de entes u objetos llamados sus elementos. del cual poseemos nociones intuitivas tales como: colección. 5 . 12. diferencia simétrica y complemento. el sistema decimal de numeración. .“A finales del siglo pasado. (Suger. 8. 4. etc.. Es decir: N = { 0. Sin embargo a partir del advenimiento de la Teoría de Conjuntos. 1 + 1 = 2. . matemático alemán. 11. 6. en ese sentido tenía sentido hablar de las Matemáticas. 5. 3 + 1 = 4. 7. Se considera a Georg Cantor. agrupación. cada rama de la Matemática tenía su propio lenguaje. 2. el valor absoluto y el valor relativo de las cifras. 2 + 1 = 3.3 Aritmética Elemental: es la parte de la Matemática que tiene por objeto el estudio de los números reales positivos. Con conjuntos podemos efectuar las operaciones de unión. así: 0 + 1 = 1. 3. como el creador de la Teoría de Conjuntos. la Química. 2. 4 + 1 = 5. Como parte importante de la Aritmética esta la Numeración que es la que enseña a expresar y a escribir los números. En ella se estudian las cifras. lo correcto es hablar de la Matemática” (Morales. se tuvo un lenguaje único para las Matemáticas y al igual que la Física. la Biología. intersección. Morales. en la cual se introduce como término no definido el conjunto.4 Número Natural: es el conjunto de todos los números que principian en “cero” y que los siguientes se van formando sumándole “1” al anterior.1. 2. Pinot 1971). .1.
Los contenidos del programa de matemática del nivel primario incluyen operaciones de adición. 075 Es importante el aprendizaje del algoritmo de las operaciones básicas: adición. 6 . así: Q = { a / b | a ∈ Z ∧ b ∈ Z.1. multiplicación y división.6 Fracción Decimal: es toda fracción cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. un cero y luego el punto decimal. En quinto y sexto grados se les enseña la potenciación y la radicación (específicamente la raíz cuadrada). con b ≠ 0 } Donde: “a” es el numerador y “b” es el denominador. multiplicación y división con números racionales. y si no la hay.5 Número Racional: el número racional se define como la razón de dos números enteros. Así: 7 / 10 . setenta y cinco milésimas: 75 / 1000 se escribe: 0. multiplicación y división con números decimales. según la cual “toda cifra escrita a la derecha de otra representa unidades diez veces menores que las que representa la anterior”. sustracción. 11/ 100 y 13 / 1000 son fracciones decimales. Después se escriben las cifras decimales teniendo cuidado de que cada una ocupe el lugar que le corresponde.Desde los primeros años de la escuela primaria se le enseña a los alumnos el algoritmo de las operaciones básicas de adición. Para escribir una fracción decimal en notación decimal se sigue el principio fundamental de la numeración decimal escrita. sustracción. Para escribir un decimal.1. Por ejemplo. de igual y de distinto denominador. 2. se escribe la parte entera si la hay. 2. sustracción.
6.2. Análisis de la pregunta planteada. Para enseñar a los estudiantes a resolver problemas. hallar el 15% de 80 se considera una técnica y no un problema. 7 . Obtención de los datos importantes. 3. 3. si recibo un descuento del 15%?. Básico es. se le explica por medio de un ejemplo ilustrativo. en la mayoría de los libros de texto todavía se recurre a un procedimiento común: se da un problema tipo. La persona que lo enfrente tiene interés en resolverlo. Se dice que un problema es catalogado como tal cuando cumple las siguientes condiciones: 1. Ejecución del plan. la solución de problemas se ha considerado generalmente como sinónimo de encontrar soluciones a problemas enunciados en palabras. Para resolver un problema se sugiere realizar los siguientes pasos: 1. y luego se añaden 10 o 20 problemas que requieren las mismas técnicas para su solución.7 Problemas de Matemática La aplicación de los conceptos encuentra su mayor realización en la solución de problemas. 2. se considera un resultado de solución de problemas. Pero la solución de: ¿Cuánto ahorro en un artículo de 80 quetzales. 5. Un problema matemático debe cumplir con tales condiciones y. 7. entonces. Para resolverlo se recurre a experiencias previas. Lectura cuidadosa para comprender e interpretar la situación. Revisión para determinar si la respuesta es lógica o no. Dar respuesta al problema. 2. crearlas de tal manera que el alumno realmente se vea involucrado en la resolución de los mismos. Decisión de la estrategia a seguir para resolver el problema.1. reales. pero no realiza un verdadero raciocinio más allá del reconocimiento de un tipo ( Fehr 1970). que las situaciones planteadas sean significativas. El estudiante memoriza así un procedimiento y desarrolla una técnica. en el caso de las escuelas. La situación planteada es totalmente novedosa. En esta forma. En matemática. 4. referidas al contexto en el que el estudiante se desenvuelve.
sobre todo en el nivel medio. la evaluación juega un papel preponderante. probar con otra hasta lograr la respuesta correcta. al menos las más significativas. Decidir una Operación: una vez comprendido el problema. Incluso. Si está errada. 8 . Todo estudiante debe tener la habilidad y la oportunidad de escoger adecuadamente la estrategia conveniente para la resolución de diferentes problemas. como el “filtro” para pasar a estudios del nivel superior.2 LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICA: En la enseñanza de la Matemática. En ese momento se descubre un patrón y ello facilita responder el problema. Dibujar: representar la situación planteada haciendo uso de un dibujo sencillo. A nivel mundial se ha tomado a la matemática. usar una operación matemática que lo resuelva. pero en lo general no hay tal. Descubrir un Patrón: al realizar los cálculos se puede encontrar una constante. Se podría pensar que al mismo tiempo se refinan los mecanismos de medición. Es labor del educador presentar la variedad (Caciá 1994). 2. podríamos afirmar que cada vez se utilizan técnicas más complicadas para evaluar sin hacer un análisis con mayor o menor precisión sobre los contenidos que se evalúan y las diferentes variables que intervienen. Dramatizar: asignar roles a personas u objetos de manera que representen la situación planteada en el problema. algo que se repite. Lo peor es que la mayoría de las veces la evaluación sólo se traduce en una calificación para el alumno.Hay diversas estrategias que se usan en matemática para resolver un problema: Ensayo y Error: probar una respuesta. Imaginar: mentalmente situarse en el problema para buscar la solución correcta. sin producir reflexiones en el profesor sobre los resultados obtenidos.
2. Planificación de la actividad a desarrollar y elección del objeto de estudio.La investigación en educación matemática. Lo que se pretende es tener una medición más justa para el alumno y una mayor precisión del estado actual de la educación. Interpretación de los resultados. que utilice la evaluación como un instrumento de retroalimentación en su labor docente con el fin de mejorar su trabajo en el aula. 4. Elaboración de instrumentos de medición. Medición: es el proceso de asignación de números a acontecimientos de acuerdo con un método significativo. La medición del rendimiento escolar normalmente se realiza por medio de Pruebas Objetivas. La evaluación hace uso de criterios y niveles para comparar con ellos la ejecución (Clifford 1987).1. 9 . y evaluación es el proceso consistente en juzgar el valor de esos números y los acontecimientos a que se refieren. participe en la detección de problemas ligados al aprendizaje de la asignatura. a través de experimentos educativos dentro de su establecimiento. se distinguen varias etapas: 1. La evaluación dentro de este contexto difiere significativamente de la idea de examen. 2. y en función del nivel de aprendizaje esperado. Desde este punto de vista. generó reflexiones profundas sobre el papel de la evaluación en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Emisión de juicios. evaluación es “un proceso que consiste en obtener información sistemática y objetiva acerca de un fenómeno y en interpretar dicha información a fin de seleccionar entre distintas alternativas de decisión” (Rajano 1983). instrumentos que se utilizan en función de las características del proceso de enseñanza que se esta desarrollando. Medición. 3. Es necesario que el profesor de matemática. 5.2. Al concebir a la evaluación como un proceso.
4. así es posible construir un examen a la medida y dificultad adecuadas a la población a la cual se aplicará. la prueba previa muestra la dificultad de cada pregunta. 10 . fomentar la memorización mecánica y la adivinación. Se ha afirmado que este tipo de pruebas fomentan la memorización mecánica y la adivinación. 2.2 Prueba Objetiva de Selección Múltiple Un ítem de selección múltiple consiste en un elemento incompleto (frase. las cuales se pueden resumir como sigue: 1. Ambos argumentos contienen algo de verdad. e inducir a conclusiones erróneas al interpretar los resultados.2. Una Prueba Objetiva de Selección Múltiple tiene varias ventajas sobre una de tipo convencional. una prueba de selección múltiple contiene mayor número de preguntas que una de tipo convencional. 3. pero los ítems confeccionados apresuradamente y sin cuidado pueden obstaculizar el aprendizaje. enunciado o pregunta) que puede completarse mediante la elección de la opción correcta de una serie de respuestas ordenadas. Un ítem de selección múltiple bien construido puede constituir un medio excelente para medir distintos niveles de aprendizaje. Por otra parte. la calificación obtenida por el alumno es simplemente el numero total de preguntas que el ha contestado (Rajano 1983).2. existen expertos en la confección de tests que las consideran como una de la mejores configuraciones para un test. las preguntas de selección múltiple están bien definidas y no son ambiguas.
más críticas y más cercanas a la manera como se producen. Las teorías epistemológicas recientes apuntan hacia una enseñanza de las matemáticas menos dogmáticas. es alguien capaz de facilitar el aprendizaje del estudiante.La asignación de puntuaciones a las pruebas de opción múltiple utiliza la fórmula para corregir el azar en la selección de la respuesta correcta. Trigueros 1988). el sujeto que aprende es activo. N = número de opciones. 11 . E = errores. En las teorías de Popper y Piaget. el que el alumno asuma su aprendizaje como tarea propia y el que el profesor sea ante todo un facilitador del aprendizaje del estudiante.3 METODOLOGÍA PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA En los últimos años se ha insistido en un cambio metodológico en la enseñanza que busque entre otras cosas. El objetivo global de la metodología es lograr el aprendizaje significativo ( Alférez. 2. Si va a utilizar la fórmula debe advertirlo a los alumnos para que no traten de adivinar la respuesta. A aciertos. Dicha fórmula es: E P = A – _______ N–1 Donde: P = punteo. ya que las preguntas que no son respondidas no se computan como errores (Galo De Lara 1989). es un creador y el profesor.
específicamente los de cuarto. ¿Cómo es posible calcular áreas y perímetros antes de revisar las operaciones básicas? . la matemática que se enseña sigue apegada a los moldes que se plantearon en los años 1960. se hacen las siguientes observaciones: a) desde el punto de vista curricular. Si bien es cierto que en tercer grado se estudia la multiplicación.4 ANÁLISIS DE LOS CONTENIDOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICA DEL CICLO DE EDUCACIÓN COMPLEMENTARIA DEL NIVEL PRIMARIO. pero. es necesario hacer un análisis de los contenidos de los programas que actualmente se desarrollan en el nivel primario. los temas que deberían retroalimentarse y ampliarse son aquellos de mayor importancia. la Unidad 3: Geometría y Medición incluye áreas y perímetros. Así también. Después de analizar los mismos. en el programa de Cuarto Grado. y luego la Unidad 4: Operaciones Básicas. cuando la Matemática Moderna fue introducida en todos los niveles educativos (Radford 1993). quinto y sexto grados casi todos los temas se repiten. por ejemplo. sin “comprender”. el máximo común divisor esta antes del estudio de números primos y compuestos. 12 (ver . b) los programas son muy extensos. se refiere a la adición. lo lógico sería revisar y reforzar el tema y luego ingresar al cálculo de áreas y perímetros.2. lo que hace que los contenidos no se enfoquen con la profundidad necesaria y se les enseña a los alumnos a “hacer”. c) los contenidos en los programas no siguen un orden lógico. en la Unidad 5 del programa de quinto grado está primero el estudio del mínimo común múltiplo y luego el de factores y divisores. Propuesta de Guía Programática). Es verdad que el enfoque cambia en cada grado. quinto y sexto grados. multiplicación y división. Con el propósito de sustentar la propuesta programática. que surge del bajo rendimiento obtenido por los alumnos en la prueba de diagnóstico. d) los programas son extensos porque en cuarto.
Para comprender lo anteriormente expuesto. repitan casi lo mismo en los tres grados. quinto y sexto grados del nivel primario del Ministerio de Educación. CUARTO GRADO Unidad 1: CONJUNTOS Conjuntos . Se evitaría llenarle la cabeza a los alumnos de términos matemáticos que no aplica ni se relaciona en la vida diaria. se comparan varias unidades de los programas vigentes de cuarto. Conjuntos iguales. Diagramas de Venn. Unión de conjuntos. ¿Por qué no incluir el tema de conjuntos únicamente en cuarto grado con los contenidos que actualmente se distribuyen en los tres grados? . Los contenidos programáticos de los tres grados son casi los mismos con la diferencia de profundización en el tema. Se evitaría la repetición y los programas no serían tan extensos. Unión de conjuntos disjuntos. por el poco dominio de los mismos. Intersección de conjuntos. QUINTO GRADO Unidad 1: CONJUNTOS ¿Qué es un conjunto? Unión de conjuntos. Conjuntos iguales. lo que contribuye a que los programas se hagan muy extensos y a que los docentes en muchos casos. Conjuntos equivalentes. Conjunto vacío. 13 . Intersección de conjuntos. Unión de conjuntos Conjuntos disjuntos Unión de conjuntos disjuntos. o sea. en grados posteriores utilizarse como un tema integrador de otros contenidos. Además la teoría de conjuntos podría retroalimentarse al desarrollar otros temas. Subconjuntos de un conjunto. SEXTO GRADO Unidad 1: CONJUNTOS Conjuntos.
Unidad 3: GEOMETRÍA Y MEDICIÓN Figuras geométricas. Numeración maya. Tipos de cuadriláteros. 14 . Líneas perpendiculares. Los numerales mayas. Aproximación a centenas. Comparemos números. Líneas paralelas. Unidad 4: GEOMETRÍA Y MEDICIÓN Figuras geométricas. Lectura y escritura de cantidades. Series numéricas. Valor de posición en el sistema de numeración decimal. se da con los otros temas incluidos en los contenidos. Numerales romanos. Partes y tipos de poliedros. Cuadriláteros. Resolvamos problemas. Tipos de polígonos. Noción de un millón. Áreas y perímetros. como ejemplo se han escrito los que se refieren a Sistema de Numeración Decimal y a Geometría. Triángulos. Clasificación. Nombres de triángulos. Ordenemos números. Tipos de paralelogramos. Otros polígonos. Figuras geométricas. Unidades métricas.CUARTO GRADO Unidad 2: SISTEMAS DE NUMERACIÓN Sistema decimal. Área de un triángulo. Longitud y perímetro. Otros sistemas de numeración. Medidas de longitud. Valores de posición decimal. Lectura y escritura de cantidades. Numerales ordinales. Polígonos convexos y no convexos. SEXTO GRADO Unidad 2: SISTEMAS DE NUMERACIÓN Sistema de numeración decimal. Midiendo volumen. Aproximación de números. Medidas. Figuras sólidas. Triángulos y cuadriláteros. Poliedros. Área. Poliedros. Unidad 4: GEOMETRÍA Y MEDICIÓN Figuras geométricas. QUINTO GRADO Unidad 2: SISTEMAS DE NUMERACIÓN Sistema decimal. Polígonos. Se puede observar que lo mismo que ocurre con Teoría de Conjuntos.
e) la aplicación de los algoritmos de la adición. Establecer en los alumnos: a) la capacidad de razonamiento. potenciación y radicación con números naturales. sustracción. 15 .1. sustracción.1 OBJETIVOS: 3. en el área de matemática. 2. multiplicación y división con números decimales. división. multiplicación. que poseen los alumnos egresados del nivel primario. sustracción.1. área urbana del municipio de Chiquimula. g) la aplicación de contenidos en la solución de problemas aritméticos con números naturales.2 Objetivos Específicos 1. f) la aplicación de los algoritmos de la adición.CAPITULO III MARCO METODOLÓGICO 3.1 Objetivo General Determinar los conocimientos básicos. c) los conocimientos respecto a los conceptos básicos del sistema decimal de numeración. departamento de Chiquimula. b) los conocimientos respecto a teoría de conjuntos. multiplicación y división con números racionales. Proponer una Guía de Contenidos Programáticos y una Metodología para la Enseñanza de la Matemática en el Ciclo de Educación Complementaria del Nivel Primario. sector oficial. 3. d) la aplicación de los algoritmos de la adición.
al razonamiento lógico. departamento de Chiquimula. así como la solución de problemas con números naturales. área urbana del municipio de Chiquimula. área urbana del municipio de Chiquimula. manejo de teoría de conjuntos. sector oficial. sector oficial. 16 . departamento de Chiquimula.2. operaciones básicas con números naturales.3.2 VARIABLE Los conocimientos básicos en el área de matemática que poseen los alumnos egresados del nivel primario.1 Definición Conceptual de la Variable Se entiende por conocimientos básicos en el área de matemática que poseen los alumnos del nivel primario. 3. números racionales y números decimales. conceptos aritméticos.
en el municipio de Chiquimula. 18 . en los establecimientos educativos oficiales: a) Instituto Normal para Varones de Oriente (INVO).4 INSTRUMENTOS: Para la recolección de datos se utilizó una Prueba Objetiva de Diagnóstico (Ver Anexo) con la cual a través de ítems de selección múltiple se midió el manejo de contenidos matemáticos básicos que poseen los alumnos que egresaron del nivel primario en el ciclo escolar 2004.3 POBLACIÓN Para la investigación se tomó la población de 323 alumnos que egresaron del nivel primario. b) Instituto Normal para Señoritas de Oriente (INSO) c) Instituto de Educación Básica Experimental “Dr. 3. departamento de Chiquimula (Informe Estadístico de la Dirección de Educación Departamental de Chiquimula 2004). David Guerra Guzmán” Los 323 alumnos representan el 61% de los 531 alumnos que egresaron de las 14 escuelas urbanas estatales en el ciclo escolar 2004. sector oficial.3. área urbana del municipio de Chiquimula en el año 2004 y que se inscribieron en primer grado básico en el año 2005.
sustracción. La prueba fue elaborada considerando los contenidos de los programas de nivel primario. Parte 5: 5 ítems respecto a los algoritmos de la adición. específicamente de cuarto. multiplicación y división con números decimales. Parte 4: 6 ítems respecto a los algoritmos de la adición. Se hizo la tipificación de las puntuaciones para analizar con mayor claridad los resultados. sustracción. subconjunto y operaciones unión e intersección entre conjuntos. multiplicación. Parte 6: 4 ítems respecto a los algoritmos de la adición. 3. sustracción. Parte 2: 5 ítems respecto a noción de conjunto. Heath 1980). Parte 3: 10 ítems respecto a conceptos básicos del sistema decimal de numeración. división. Como las puntuaciones tipificadas son unidades de medida iguales y como su valor es independiente de la distribución.La Prueba de Diagnóstico consta de 40 ítems. tiene un tiempo máximo de resolución de 90 minutos y esta dividida en siete partes: Parte 1: 5 ítems de razonamiento. quinto y sexto grados. Parte 7: 5 ítems para medir la capacidad de resolución de problemas con números naturales. multiplicación y división con números fraccionarios. potenciación y raíz cuadrada con números naturales.5 ANÁLISIS ESTADÍSTICO: Se analizarán los datos obtenidos de la prueba elaborando cuadros de resultados obtenidos en la prueba con cálculos porcentuales así también se calculará la media aritmética y la desviación estándar. 19 . constituyen una herramienta muy útil. tanto en la redacción de informes sobre las puntuaciones de un test como en investigación a partir de unos resultados ( Downie.
(5) : número de respuestas correctas de 5 en teoría de conjuntos.5.1 OBTENCIÓN DE DATOS Los datos de los siguientes cuadros son el resultado de las calificaciones obtenidas por los alumnos en la Prueba de Diagnóstico. R.CAPÍTULO IV PRESENTACIÓN DE RESULTADOS 4. con las siguientes columnas: No.F. T. (5) : número de respuestas correctas de 5 en razonamiento lógico. TOTAL (40): número de respuestas correctas de 40. que se obtiene multiplicando el resultado de la columna TOTAL (40) por 2. z: puntuaciones tipificadas 20 .N. : número de alumno.N. distribuidas las respuestas correctas por indicador. (10): número de respuestas correctas de 10 en conceptos básicos del sistema de numeración decimal. (6) : número de respuestas correctas de 6 en operaciones con números naturales. (4) : número de respuestas correctas de 4 en operaciones con números decimales. O. (5) : número de respuestas correctas de 5 en resolución de problemas con números naturales.C. P.D.L. n/100 : puntuaciones brutas n/100. C. (5) : número de respuestas correctas de 5 en operaciones con números fraccionarios O. 1. En el CUADRO No. se encuentran los resultados obtenidos por los 323 alumnos que fueron evaluados.B. O.
6 PUNTEOS AGRUPADOS EN INTERVALOS PARA EL CALCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA Y LA DESVIACIÓN TÍPICA I f x’ f x’ f x’ ______________________________________________________________________________ 5 – 10 11 – 16 17 – 22 23 – 28 29 – 34 35 – 40 41 – 46 47 – 52 53 – 58 59 – 64 65 – 70 71 – 76 2 5 42 49 62 62 36 41 10 5 6 3 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 – 10 – 20 – 126 – 98 – 62 0 36 82 30 20 30 18 50 80 378 196 62 0 36 164 90 80 150 108 2 N = 323 ∑ f x’ = – 100 ∑ f x’ = 1394 2 35 .CUADRO No.
3 36 .6 b) CALCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA: ( ∑ f x’ ) – _________ ] N 2 2 ∑x 2 = i 2 [ ∑ f x’ 2 ∑x 2 = ( 6 ) 2 [ 1394 – ( – 100 ) _________ ] 323 = 49069.92 = 12.5 + ( – 1.3 δ = = δ = 12.86 ) = 35.5 + _ X = 35. 44 δ = ________ ∑x2 √ _____ N ____________ √ 40069.44 323 ________ √ 151.a) CALCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA: _ X = M’ + _ X = 37.6 ∑ f x’ ( i ) N (– 100 ) ( 6 ) 323 = 37.
que contiene los punteos brutos. 38 . d) Los contenidos programáticos del Ciclo de Educación Complementaria en el nivel primario deben revisarse para establecer en ellos un orden lógico y dosificar los contenidos tomando en cuenta el tiempo de labores docentes. se observa que al tipificar las puntuaciones brutas aumenta el número de alumnos aprobados a 65 o sea el 20% y disminuye el número de alumnos no aprobados a 258 o sea al 80%.7% y la media aritmética 35.3% y 309 no aprobaron o sea el 95.ANÁLISIS CRÍTICO a) En el cuadro No.6 se confirma lo expuesto en el inciso anterior. 5.6. 4. esto indica que los alumnos egresados del nivel primario de las escuelas oficiales urbanas del municipio de Chiquimula. b) En el cuadro No. no poseen los conocimientos básicos necesarios para el aprendizaje de la matemática. si embargo si se toma en cuenta la media aritmética 35. se observa que de los 323 alumnos sólo 14 aprobaron la prueba o sea 4. c) Los alumnos egresados del nivel primario de las escuelas oficiales urbanas del municipio de Chiquimula tienen poca habilidad para la resolución de operaciones aritméticas básicas y problemas . Al realizar la revisión debe de tomarse en cuenta que el aprendizaje de la matemática es un proceso y que en el nivel primario se deben de dar las bases para un aprendizaje posterior y no preparar a los alumnos para “no aprobar” que es algo distinto y erróneo.
Aunque las preguntas no tienen alto grado de dificultad. Con la aplicación de la prueba se logro establecer: a) En la aplicación de razonamiento lógico para obtener conclusiones válidas. d) En las operaciones con números naturales los resultados indican que solo el 1% obtuvo las 6 respuestas correctas y el 76% obtuvo 3 o menos respuestas correctas. e) En operaciones con números racionales el 55% obtuvo “cero” respuestas correctas y si se suman los porcentajes de 0 y 1 respuestas correctas: 55% + 33% = 88%. Lo anterior indica que tomando en cuenta el grado de dificultad de las operaciones de la prueba. por lo que los resultados son aceptables. los alumnos no dominan el algoritmo de las operaciones con números naturales. ni razonan adecuadamente.CONCLUSIONES 1. sin poner la atención necesaria en el aprendizaje y ejercitación de las operaciones. se observa que el 84% de los alumnos obtuvo 2 o menos respuestas correctas y que ni uno obtuvo todas las respuestas correctas. pero los resultados indican que muchos alumnos no analizan. en este tema los alumnos poseen conocimientos básicos. b) En teoría de conjuntos. se puede 39 . c) En conceptos básicos del sistema de numeración decimal el 48% obtuvo 5 o más respuestas correctas. Debe considerarse que la teoría de éste contenido se repite en todo el Ciclo de Educación Complementaria (CEC). es el único indicador donde el 4% contestó correctamente el total de preguntas y que solo el 3% obtuvo cero respuestas correctas. En este indicador por el tipo y número de preguntas no pueden darse conclusiones totalmente válidas.
los alumnos no dominan el algoritmo de las operaciones de adición. g) En solución de problemas los resultados son similares a los obtenidos en la parte operacional. f) En operaciones con números decimales. multiplicación y división. los porcentajes obtenidos en la prueba indican que no poseen los conocimientos básicos de aplicación en éste indicador. 2. Para el objetivo específico 2 se elaboró la siguiente Propuesta de Contenidos para la asignatura de Matemática en el Ciclo de Educación Complementaria (CEC) del nivel primario y una Propuesta Metodológica. multiplicación y división con números racionales. los alumnos no interpretan la lectura ni razonan adecuadamente para hacer el planteamiento correcto y encontrar la respuesta correcta. sustracción.concluir que casi la totalidad de alumnos no puede efectuar operaciones básicas de adición. sustracción. 40 .
7. Propuesta Metodológica. 6. Carátula. 3.PROPUESTA DE CONTENIDOS PROGRAMÁTICOS Y METODOLOGÍA PARA LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICA DEL CICLO DE EDUCACIÓN COMPLEMENTARIA DEL NIVEL PRIMARIO 1. 5. 4. 41 . Introducción Justificación. Propuesta de contenidos programáticos. Bibliografía. Objetivos. 2.
MANUEL ENRIQUE CAMPOS PAIZ PROPUESTAS DE CONTENIDOS PROGRAMÁTICOS Y METODOLOGÍA DE MATEMÁTICA PARA EL CICLO DE EDUCACIÓN COMPLEMENTARIA DEL NIVEL PRIMARIO ÁREA URBANA Asesora: Licda. Judith Adalgisa Franco Sandoval Universidad de San Carlos de Guatemala FACULTAD DE HUMANIDADES DEPARTAMENTO DE PEDAGOGÍA 42 .
pues es un tema que debe desarrollarse cuando el alumno tenga dominio de las operaciones básicas. los cálculos geométricos solo se incluyen en sexto grado. se ha elaborado con el propósito de contribuir con los docentes en la labor educativa. La teoría de conjuntos se incluye solo en cuarto grado. Introducción: Esta propuesta de Contenidos Programáticos y Metodología de Matemática para el Ciclo de Educación Complementaria (CEC) del nivel primario. 43 . Se ha eliminado el tema de la proporcionalidad.2. En la propuesta se hace énfasis en la necesidad de que los alumnos que egresen del nivel primario deben dominar las operaciones básicas con números naturales. Los contenidos son los mismos de los programas que se desarrollan actualmente. pues si el tema se enfoca adecuadamente es suficiente para su aplicación en grados posteriores. considerando que con ello se logra un mejor orden y enfoque de los temas. lo que se ha hecho es ordenarlos y dosificarlos de otra forma para cada grado. no porque carezca de importancia sino porque éste es estudiado con mayor amplitud en el ciclo básico y porque se pretende hacer menos extensos los contenidos programáticos. con fracciones y con decimales.
3. tomando en cuenta el tiempo y otros factores que son determinantes en el proceso de enseñanza aprendizaje en el nivel primario. es por ello que la propuesta hace énfasis en el conocimiento y la adquisición de habilidades de las operaciones aritméticas básicas. Justificación: Una de las causas por las cuales los alumnos que egresan del nivel primario no poseen los conocimientos básicos que le permitan el aprendizaje de la matemática en el ciclo básico. Es por ello que es necesario hacer una revisión y una adecuada dosificación de los contenidos programáticos. Actualmente los alumnos no adquieren el carácter formativo ni el informativo de la asignatura por lo que también es importante revisar la metodología utilizada por los docentes. 44 . La metodología propuesta para la enseñanza de la matemática fue hecha tomando en cuenta la realidad del docente en las escuelas oficiales de nuestro país y al igual que la de contenidos programáticos pretende ser una guía para contribuir a mejorar la calidad de la educación. Al analizar los resultados de la Prueba Objetiva de Diagnóstico se comprueba que los alumnos que egresan del nivel primario no dominan el algoritmo de las operaciones básicas. es la falta de un orden lógico de los contenidos en los programas del ciclo de educación complementaria y lo extenso de los mismos.
4. Proporcionar a los profesores del ciclo de educación complementaria del nivel primario. quinto y sexto grados de primaria. Objetivos: 1. Proporcionar a los profesores del ciclo de educación complementaria del nivel primario. 45 . una Guía de Contenidos que contribuyan a mejorar la calidad del proceso de aprendizaje de la matemática. área urbana del sector oficial. área urbana del sector oficial. una Guía Metodológica para el proceso de enseñanza aprendizaje. 2. 3. Ordenar y dosificar los contenidos de los programas de matemática vigentes en cuarto. adecuado a la situación de la educación guatemalteca.
1 Conversión de fracciones impropias a mixtos. 3. 46 .1 Sistema de numeración decimal.4 1. 3.5 Sistema de numeración Maya.1 Adición. Definición. Conjuntos especiales: conjunto vacío y conjunto unitario.2 Intersección 1. Definición y propiedades. 2. UNIDAD 4: FRACCIONES 4. 3.1 Unión 1.4 División.2. Definición.4 Numerales Mixtos: 4.7.4 Numerales ordinales. Operaciones entre conjuntos: 1.2.7. 4.2 Sustracción. 2.1 1. 4. 2.5 Operaciones básicas con fracciones.3 Lectura y escritura de cantidades.6 1.7 UNIDAD 2: SISTEMA DE NUMERACIÓN 2. Definición y propiedades. Diagramas de Venn.1 Fracciones.3 1. 4.2 Valores de posición decimal.2.4.7. 2. Definición. Determinar conjuntos en forma enumerativa o por extensión.5 1. 1. 3. Subconjuntos de un conjunto.2.3 Multiplicación.4. Definición y clasificación.3 Problemas en el conjunto de los números naturales. 3.2 Equivalencia de fracciones. Pertenencia a un conjunto. 2.2 Operaciones básicas en el conjunto de los números naturales: 3. UNIDAD 3: OPERACIONES BÁSICAS 3.3 Diferencia.1 Conjunto de los números naturales.6 Numerales romanos.2 1. 4.3 Simplificación de fracciones. 4. PROPUESTA DE CONTENIDOS PROGRAMÁTICOS DE MATEMÁTICA Cuarto Grado Primaria UNIDAD 1: TEORÍA DE CONJUNTOS Noción de conjunto.2 Conversión de mixtos a fracciones impropias.5.
3. 3.1 De igual denominador. 3.4 Problemas de aplicación con fracciones.1.Quinto Grado Primaria UNIDAD 1: SISTEMA DE NUMERACIÓN 1. Definición. Definición y propiedades.1 Adición. 2. 47 .5 Operaciones combinadas con paréntesis.1.1 Fracciones.3 1. Máximo común divisor.6 Potenciación. Definición.7 Sistema de numeración decimal. UNIDAD 2: OPERACIONES BÁSICAS 2. Otros sistemas: sistema binario. 3. mixtos y naturales.2.1. 2. Criterios de divisibilidad: 2.2 Sustracción. 3.2 Operaciones con fracciones: 3. Descomposición en factores primos. Múltiplos y divisores.1. 3 y 5.7 Problemas de aplicación con decimales.3 Operaciones combinadas con fracciones. Mínimo común múltiplo.2 De distinto denominador.1.1 1.3 Multiplicación.6 Operaciones básicas con decimales. Definición y propiedades. Definición UNIDAD 3: FRACCIONES Y DECIMALES 3.2 1.6 1. 2.1.4 División. 3.4 1.1 Operaciones básicas en el conjunto de los números naturales: 2.2.5 Numerales decimales.5 1. Definición y clasificación. Definición. Números primos y compuestos. 2. 2. 3.
1. Definición. Definición. mixtos y naturales. 3.1 De igual denominador.1.6 Potenciación. 2.2 De distinto denominador.1. 1.1 Operaciones básicas en el conjunto de los números naturales: 1. 2.4 Áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros. 3.2 Operaciones combinadas con fracciones. Definición y propiedades.6 Problemas de aplicación con decimales. Definición. 2.Sexto Grado Primaria UNIDAD 1: OPERACIONES BÁSICAS 1. 3.3 Figuras geométricas: 3. 1.1. 2. 2.5 Operaciones básicas con decimales.1.2 Unidades de superficie.1 Sistema métrico decimal.7 Raíz cuadrada. 2.5 Problemas de áreas y perímetros.1. UNIDAD 2: SISTEMA METRICO DECIMAL 2.2 Cuadriláteros.1. 3.1.1. 2.1 Geometría. UNIDAD 2: FRACCIONES Y DECIMALES 2.1 Triángulos.3 Multiplicación.3. 1.4 División.1 Adición. 1. 3.3 Problemas de aplicación con fracciones. 1. Definición y propiedades. UNIDAD 3: GEOMETRÍA 3. Definición.1.1. 1. Definición y clasificación. Definición. Definición y clasificación.2 Sustracción. 2.1.1 Operaciones con fracciones: 2.5 Operaciones combinadas con paréntesis. 2.3.2 Líneas paralelas y líneas perpendiculares. 48 .1 Unidades de longitud.3 Unidades de volumen.4 Numerales decimales.8 Ejercicios y problemas. 1.1.
es alguien capaz de facilitar el aprendizaje del estudiante (Alférez. PROPUESTA METODOLÓGICA La presente propuesta metodológica tiene como objetivo proporcionar a los docentes del ciclo de educación complementaria una guía que contribuya a mejorar el proceso de aprendizaje de la matemática. que si bien son eficientes no son las adecuadas a la realidad que se vive en el aula. El docente guatemalteco no cuenta con los recursos ni con el tiempo suficiente para aplicarlos. Tomando en cuenta la situación del docente en la escuela primaria. verbalización. es un creador y el Profesor. tomando en cuenta la situación real de la educación de nuestro país. y además hay otros factores que inciden en su aplicación. Adquisición Fijación. fijación y generalización. simbolización. Generalización. Caciá (1994) hace una propuesta metodológica que consiste en seis fases secuenciales : comprensión. se proponen las siguientes fases: a) b) c) d) Revisión. 49 . el sujeto que aprende es activo. Se debe considerar que un profesor con dominio de la materia y que utilice los recursos que el medio le proporciona puede llevar a cabo una enseñanza de calidad. el problema con el sistema educativo es que muchos maestros no tienen la suficiente preparación y que las autoridades educativas les proponen metodologías. En las Teorías de Popper y de Piaget.6. adquisición. Trigueros 1988).
ADQUISICIÓN: adquirir nuevos conocimientos tratando de que los alumnos formalicen conceptos. a través de la comprensión y análisis. A continuación se presenta un ejemplo del desarrollo de un contenido matemático. Revisión de conceptos a través de la interrogación y la participación activa de los alumnos. 50 . La motivación.REVISIÓN: consiste en la exploración de los conocimientos adquiridos anteriormente por los alumnos. la evaluación y la retroalimentación como procesos deben estar presentes de todas las fases del método. Durante esta fase se busca obtener un diagnóstico de los conocimientos adquiridos por los alumnos en los grados anteriores. FIJACIÓN: fijar conocimientos a través de la ejercitación. GENERALIZACIÓN: generalizar los conocimientos adquiridos a las situaciones de la vida diaria.
al abrirse el telón. ¿Por qué? . Luego. una casa y un conejo. volver a preguntar ¿Quiénes forman el conjunto? ¿Cómo se llaman a los que forman el conjunto?. será que Luis hace la misma pregunta. se le pide a los alumnos que digan. b) determine conjuntos numéricos utilizando conocimientos adquiridos con anterioridad. GRADO: Cuarto Grado Primaria. aparece un grupo de jóvenes con guitarras y otros instrumentos musicales. Luego se les dice. OBJETIVOS: Que el alumno: a) adquiera la noción de conjunto. los alumnos responderán : un conjunto. por ejemplo: Luis asiste a una velada artística y durante el desarrollo de la misma.TEMA: NOCIÓN DE CONJUNTO. Se pueden también hacer relatos donde se pueda captar la “noción” que tenemos de conjunto. ¿qué pregunta Luis?. Por ejemplo. y si al abrirse el telón solo aparece un joven con una guitarra. La mayoría estará de acuerdo en que la pregunta será ¿cómo se llama el conjunto?. luego preguntarles ¿Qué tenemos en el cartel? o ¿Qué tenemos en el pizarrón?. como Luis no conoce el nombre del grupo musical. dentro de un círculo dibujar un árbol. No. CÁPSULA DE REVISIÓN Dibujar en el pizarrón o llevar carteles con gráficas de conjuntos similares a los estudiados en el ciclo de educación fundamental y luego interrogarlos acerca de los mismos. ¿Por qué? 52 .
Se dirá que “conjunto” debe tomarse como sinónimo de colección. de los números polidígitos. Sus elementos son: a. de los números primos. letras. u. 5. Ejemplos: a) El conjunto de las letras vocales del alfabeto. piezas de cartón. números. Después de dar varios conjuntos con diversos elementos. números. objetos. se trabajara con conjuntos cuyos elementos son números: conjuntos numéricos. de los divisores. de los números dígitos. De esta forma se generaliza el concepto a nuestro sistema decimal de numeración. c) El conjunto de los colores de la bandera nacional de Guatemala. 1.. blanco. b) El conjunto de los números dígitos. figuras de animales. e. 6. de los números pares. Sus elementos son: azul. 8. 4. nombres. debe explicárseles de que como el curso es matemática. 3. b) Elementos del medio donde se imparte la clase: compañeros. colores. Se habla de los números naturales. de los múltiplos. 7. a éstos se les llama “elementos” del conjunto. 53 .CONTENIDOS La noción que se tiene del término “conjunto” servirá para el desarrollo del curso. 2. montón o agrupación de objetos y de todo en lo que se pueda pensar: letras. i. etc. etc. Sus elementos son: 0. de los números impares. o. 9. RECURSOS a) Carteles. etc.
b) El alumno puede formar conjuntos numéricos utilizando conceptos del sistema de numeración decimal. EVIDENCIAS DEL LOGRO DE OBJETIVOS a) El alumnos es capaz dar ejemplos de conjuntos con diferentes elementos. 54 .ACTIVIDADES a) Pedir a los alumnos que formen conjuntos utilizando como elementos a sus compañeros de clase. Por ejemplo. b) Pedir a los alumnos que formen conjuntos utilizando números. el conjunto de los alumnos que nacieron en “tal” año.
M. p. Trigueros. 208 p. Matemática: sexto grado de primaria. México.1988. aprendizaje 3. 2000. Alférez. Caciá. MG. (2.. 2000. (Serie Camino a la Excelencia). 84 p. Guatemala. Ed. 2000. ________. Guatemala). Centro impresor Piedra Santa. MINEDUC ( Ministerio de Educación.P. (Serie Camino a la Excelencia). 200 p. Guatemala. 240 p.7 Bibliografía 1.N. Material de apoyo para el desarrollo del proceso de enseñanzade la matemática. Una propuesta metodológica para la enseñanza de las matemáticas. UNESCO / ASÍES. Sección de Matemática Educativa Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del I. Taller Gráfico de la Sección de Matemática Educativa del CINVESTAV. Impresos Delgado. ________. (Serie Camino a la Excelencia). Memorias. In Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa. 4. Guatemala. Matemática: cuarto grado de primaria. GT). D. Guatemala. Matemática: quinto grado de primaria. 2. 55 . 1988. 1994. 5. 57 – 61. Centro impresor Piedra Santa.
Guatemala. In Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa. p. 13. Guatemala). Hernández De León. 1994. 1973. 1970. Enciclopedia práctica de la pedagogía: medición y evaluación. Centro impresor Piedra Santa. (Serie Camino a la Excelencia). 7. AR.. IM. p. 633 – 686. AR. Alférez. D. GT). v. Fac. Centro impresor Piedra Santa. 1988. Tesis Licda. Introducción a la lógica. Clifford. 8. Guatemala. México. Métodos estadísticos aplicados. 1980. 240 p. Taller Gráfico de la Sección de Matemática Educativa del CINVESTAV. México. 6. 56 . (Serie Camino a la Excelencia). Evaluación del aprendizaje. A Gutiérrez Vásquez. Caciá. 119 p. Harla. p. grado y rendimiento de los estudiantes. 1989. Matemática: cuarto grado de primaria. ________ 2003. CM. Buenos Aires. 12. Cultural Centroamericana.BIBLIOGRAFÍA GENERAL 1. 11. Guatemala. Océano. USAC. 3. Matemática: quinto grado de primaria. 57 – 61. ES. 2000. 10. Matemática: sexto grado de primaria. 1962. Guatemala. Ed. 17 – 19. s. Trad. p.N. A.49 p. Guatemala. 1987. MM. ________. Aspectos difíciles y fáciles del programa de matemática de 6º. HF. Heath.e. 2000. Editorial Universitaria de Buenos Aires. 1971. p. Downie. H Míguez. (2. Guatemala. RW. 9. Editorial Piedra Santa. Trad. 75 p. Aritmética. ________. M. 25 – 35. 3. Trigueros. (Serie Camino a la Excelencia). Baldor. 208 p. Guatemala. Trad. JP Vilaplana. 5. AID. Fehr. Sección de Matemática Educativa Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del I. Humanidades. Impresos Delgado. Una propuesta metodológica para la enseñanza de las matemáticas. Pedagogía y Ciencias de la Educación. Guatemala. 200 p. S.1988. 3 –36. 4. Módulos de aprendizaje: sexto grado. 84 p. A. 2. Memorias. Barcelona. MG. Galo De Lara. Enseñanza de la matemática. 2000. UNESCO / ASÍES. MINEDUC ( Ministerio de Educación. NM. 373 p.P. OM. Buenos Aires. Material de apoyo para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. A Echaurri. Copi.
J. SF. T. 1993. 1998. Evaluación en Educación matemática. Morales B. Humanidades. 1971. 31 Darío Gonzáles. FN. El proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática en el primer grado de educación primaria. Radford. A. 1995. 17. 16. 9 – 10. USAC. BA. Morales Figueroa. Ixchiguán. S. Tajumulco.14. Fac. 334 p. Orozco Godínez. 57 . Guatemala. Guatemala. P. Rajano. 1978. departamento de San Marcos y su incidencia en el rendimiento escolar de los alumnos. 18. E. USAC – IIME. El bajo rendimiento académico en la asignatura de matemática de los alumnos de sexto primaria secciones A. 1. 289 p. México. 127 p. USAC. Papelera Fuentes. 15. en las escuelas oficiales de San Lorenzo. Taller Gráfico de la Sección de Matemática Educativa del CINEVESTAV. B. Pedagogía y CCEE. México. Lozano. Geometría: un punto de vista vectorial. ubicada en la colonia Primero de Julio. Guatemala. Tesis Lic. 57 p. p. Comitancillo. González. Fac. L. Limusa – Wiley. Humanidades. Tesis Licenciatura en Pedagogía y CCEE. 19. Matemática. jornada matutina. Mixco. Pinot Leiva. Introducción a la matemática moderna. Guatemala. B y C de la Escuela Oficial Urbana Mixta No. Suger Cofiño. zona 5. 1983. L. Herrera Colón.
Tipos de poliedros. Numerales ordinales. Perímetro. Numerales romanos. Conjuntos iguales. Series numéricas. Unidad 2: SISTEMAS DE NUMERACIÓN Sistema decimal. Figuras geométricas.Contenidos de los Programas de Matemática Cuarto Grado de Primaria Serie Camino a la Excelencia Tabla de Contenidos Unidad 1: CONJUNTOS Conjuntos. Subconjuntos de un conjunto. Unidad 3: GEOMETRÍA Y MEDICIÓN. Ordenemos números. Valores de posición decimal. Poliedros. Polígonos. Unión de conjuntos. Comparemos números. Triángulos. Lectura y escritura de cantidades. Conjuntos disjuntos. Unión de conjuntos disjuntos. Partes de los poliedros. Unidades métricas. Cuadriláteros. Medidas. Áreas. Medidas de longitud. Polígonos convexos y no convexos. Los numerales mayas. Resolvamos problemas. 59 . Clasificación de cuadriláteros.
Multipliquemos. Fracciones. Operaciones combinadas. Propiedades de la suma. Usemos la multiplicación. Sumemos. Factores y divisores. Expresión de mixtos como fracciones. Buscando el número que falta. Factores. Propiedades de la multiplicación. Expresando fracciones impropias como mixtas. Resolvamos problemas. Unidad 5: FRACCIONES Múltiplos. Sumemos y restemos fracciones.Unidad 4: OPERACIONES BÁSICAS Partes de la Adición y la sustracción. Propiedades de la multiplicación. División. Fracciones equivalentes. Comparando y ordenando fracciones. Divisibilidad. 60 . Los números mixtos. Restemos.
Recordemos la multiplicación y la división. Diagrama de Venn Unidad 2: SISTEMAS DE NUMERACIÓN Sistema Decimal. Unidad 3: OPERACIONES BÁSICAS Trabajemos con estadística. Aproximación a centenas. Encontrando el número que falta. Operaciones con paréntesis. Factores. Lectura y escritura de cantidades. Intersección de conjuntos. 61 . Valor de posición en el sistema de numeración decimal Noción de un millón. Unión de conjuntos disjuntos. Numeración maya.Quinto Grado de Primaria Serie Camino a la Excelencia Tabla de Contenidos Unidad 1: CONJUNTOS ¿Qué es un conjunto? Conjuntos iguales y conjuntos equivalentes Unión de conjuntos. Multiplicando y dividiendo. Sumas y restas. Descubriendo la operación.
Comparemos fracciones. Multiplicación de fracciones.Unidad 4: GEOMETRÍA Y MEDICIÓN Figuras geométricas. Potencias. Tipos de paralelogramos. Divisibilidad. Figuras sólidas. Tipos de fracciones. Área. Longitud y perímetro. Cuadriláteros. Unidad 5: SISTEMAS DE NUMERACIÓN Múltiplos comunes y mínimo común múltiplo. Cómo calcular potencias. Unidad 6: OPERACIONES BÁSICAS Fracciones. Triángulos. Líneas paralelas. Fracciones equivalentes. Factores o divisores. Números primos y compuestos. División de fracciones. 62 . Figuras que se pueden formar con los elementos básicos de la Geometría. Máximo común divisor. Fracciones impropias y números mixtos. Suma y resta de fracciones. Fracciones decimales. Tipos de polígonos. Área de un triángulo.
Unidad 3: FACTORIZACIÓN Factorización. Unión de conjuntos. Mínimo común múltiplo. Nombres de triángulos. Intersección de conjuntos. Árbol de factores. Unidad 4: GEOMETRÍA Y MEDICIÓN Figuras geométricas. Sistema de numeración decimal. 63 . Líneas perpendiculares. Otros polígonos. Máximo común divisor. Otros sistemas de numeración. Poliedros.Sexto Grado de Primaria Serie Camino a la Excelencia Tabla de Contenidos Unidad 1: CONJUNTOS Conjuntos. Midiendo volumen. Unidad 2: SISTEMAS DE NUMERACIÓN Objetivos. Conjunto vacío. Aproximación de números. Tipos de cuadriláteros.
Proporciones. Tipos de fracciones. Fracciones impropias. Simplificación de fracciones. Operaciones básicas con decimales. Operaciones abiertas de suma y multiplicación. Encontremos el término que falta. Tanto por ciento y las fracciones. Fracciones decimales. Mixtos y fracciones. Tanto por ciento y porcentaje. 64 . Unidad 6: DECIMALES Decimales. Comparación y orden de cantidades. Multiplicación y división de fracciones. Unidad 7: RAZONES. Fracciones con el mismo denominador. Tanto por ciento y porcentaje de un número.Unidad 5: FRACCIONES Fracciones. PROPORCIONES Y TANTO POR CIENTO Razones y proporciones. Resolver problemas. Forma de escribir fracciones impropias.
la operación debe hacerla en la hoja en blanco que se le entregará. Luego. Ni haga operaciones en el Folleto de Preguntas. 2. En la Hoja de Respuestas. La prueba se iniciará hasta que el examinador lo indique. La suma de 10 + 5 es: A. 3. Por ejemplo. A B C D 6. debe proceder así: a) Lea detenidamente la pregunta y si es necesaria alguna operación para dar la respuesta correcta. b) Edad c) Sexo d) Nombre y Ubicación de la escuela donde aprobó el Sexto Grado de Primaria. PRUEBA DE DIAGNÓSTICO MATEMÁTICA HOJA DE INSTRUCCIONES 1. Para resolver la prueba tiene 90 minutos. b) La Hoja de Respuestas. 7. Al finalizar la prueba debe entregar a la Comisión de Evaluación: a) El Folleto con Instrucciones y Preguntas. conteste únicamente en la Hoja de Respuestas. 65 . debe llenar el cuadro que corresponde a la letra de la respuesta correcta. 20 C. La parte final de la Hoja de Respuestas es de uso exclusivo de la Comisión de Evaluación. No haga en ella ninguna anotación. la número 1 fuera: 1.UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Facultad de Humanidades. ni la manche. Para responder en la Hoja de Respuestas. 4. 15 D. se llena el cuadro de ésta letra en la Hoja de Respuestas: 1. 5. 5 B. No subraye. 25 Como 15 es la respuesta correcta y 15 está en la letra C. No escriba. En la Hoja de Respuestas escriba con lapicero lo que se le indica: a) Nombres y Apellidos Completos. si en el Folleto de Preguntas.
3. Colección D. 3.UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Facultad de Humanidades PRUEBA DE DIAGNÓSTICO MATEMÁTICA 1. 4 } el resultado de A ∪ B es: A. Intersección D. Sustracción C. Dados los conjuntos: A = { 0. 1. En la siguiente serie: 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 . 6 } B. 10 3. { 1. 8 2. 3 } y B = { 1. 2. Cada uno tiene su hermana. 2 D. . 72 segundos B. Juego C. 6 } el resultado de A ∩ B es: A. 12 C. 12 B. el número que sigue es: A. Adición B. 3 } C. 3 } D. 15 5. 1. 20 B. 6 C. División 8. 8 D. 2. 1. 11 6. ¿Cuántos son en total? A. 3 } y B = { 0. 5 D. ¿cuántas tiene? A. 4 } 9. 21 C. 3. { 0. 3 } C. { 4. 2. 180 segundos C. . En matemática el término “conjunto” se toma como sinónimo de: A. 3 B. { 1. 2. Entre dos conjuntos podemos realizar la operación: A. 2. { 0. { 0. Si un reloj tarda 30 segundos en dar 6 campanadas. Operación 7. ¿cuánto tarda en dar 12 campanadas? A. 8 B. 4. En una caja hay 20 monedas. { 0. 2 } D. 4. 60 segundos D. Dados los conjuntos: A = { 0. 1. Si tengo una caja grande con tres cajas pequeñas adentro y cuatro cajitas en cada una de Las cajas pequeñas. En una familia hay 10 hermanos varones. 6 } 66 . { 1. 3. 4 } B. Acción B. 1. 10 D. 66 segundos 4. Si toma 8. 16 C. 2. ¿cuántas cajas tengo por todas? A.
4. 70 unidades. 0. 1. Trescientas mil. cinco unidades. 2002 B. { 0. DOS UNIDADES. 4. 5 }.000 unidades. 40 + 40 + 10 D. 2. C. Los FACTORES PRIMOS de 90 son: A. 6 D. 5 unidades.50 C. 78 unidades. 2000002 D. 90 x 1 B. 6. D. 5 y 10 B. 3. 20000002 C. 1.10. 5. 7 } C.5000 B. La cantidad 30005 se lee: A. 10 y 5 D. 0. ¿Cuál de las siguientes parejas de números son de números PARES? A.5 B. 2. 3. 7 unidades. C. Tres mil. { 0. 2 x 3 x 3 x 5 16. 500 unidades. 7 } B. El número decimal 0. 13 14. 2 y 3 C.5 es equivalente a: A. ¿Cuál es el VALOR RELATIVO de la cifra “5” en el número 108. 2000200 20. ¿Cuál de los siguientes números es PRIMO? A. Todos los números anteriores. 2. 17. B. 6 D. 2. 50 unidades. se escribe: A.520? A. 10 C. D. 0. B. Es subconjunto de A el conjunto: A.25 13. 2 y 5 12. 19. 7 } 11. cinco unidades. ¿Cuál de los siguientes números es DÍGITO? A. Los DIVISORES de 10 son: A. 5 y 10 15. 5. 5. 18. cinco unidades B. 4 } D. 3. 0. 0 unidades. 2. 21 B. 2. 5 y 10 C. La cantidad DOS MILLONES. C.500 D. { 0. 1. 2 y 5 D. 67 . 4 C. 0 y 6 B. 180 : 2 C. { 1. Dado el conjunto: A = { 0. 1. 2. ¿En cuántas unidades disminuye el número 278 si cambiamos el 7 por un cero (0)? A. cinco mil unidades. 0. Tres mil. 1. Treinta mil. D.
708.824 C.095 B. Si a 180.005 C.906 D. 82 x 2 D.360 entre 45 el cociente es: A. 84. La suma de 3 / 4 + 5 / 4 es: A. 19 / 15 B.173 C. 708. 2 / 3 D. 5 / 8 31. 16 68 . 89. 108 C. El producto de 908 por 780 es: A. 76. 32 B. 25 B. 125 C.240 B. el resultado es: A. Al multiplicar 3 / 5 por 2 / 3 obtenemos como producto: A. 89. 2 D. 625 : 5 D. La suma de 3. 1 / 2 28. 224.915 22.006 + 7 + 195 es: A. El cuadrado del número 82 o sea 82 es: A. 6 / 8 C. Si dividimos 8 entre 1 / 4 el cociente es: A.020 le restamos 90.040 + 25 + 80.273 24. La suma de 2 / 3 + 3 / 5 es: A. 625 : 2 27. 80. 9 / 6 D. 7 / 6 30.040 D. 2 C.21. 83. 90. 164 B. 2 / 5 B. 3 / 3 B. 1800 B.995 D. 83. 1 / 4 D. 7 / 6 29. 5 / 8 C. 8 / 8 B. 70. 6724 C. 6 / 5 D. 3 / 9 C.025.440 23.273 B. 18 D. Si a 4 / 3 le restamos 1 / 6 obtenemos: A. 1 C. 1008 2 25. 82 + 82 26. La raíz cuadrada de 625 es: A. Si dividimos 45.
100 quetzales B.5 por 4. 4515 35. 39. 21 años. 0.8 B. Tenía 3. 20 36.33 D. 2938 B.6 obtenemos: A. 45años.2 entre 0. 8. 2. C. ¿Gané o perdí y cuánto? A. 98 km.75 + 0.07 + 4. 44 km 37.000 quetzales. B. Gasté 120 quetzales y con el resto compré 30 quintales de azúcar.000 quetzales. 104 quetzales D. 26 quetzales. La suma de 24. Al multiplicar 10.38 C. 29. 54 km. 0. 44.2 D.045 le restamos 1. De Zacapa a Esquipulas hay 76 km de distancia. 2 C. 40. ¿cuántos km hay de Chiquimula a Esquipulas? A. 19 años.029 D. D. 38. Compré 115 pollos a 7 quetzales cada uno. 2029 B.445 C. Gané 685 quetzales. se murieron 15 y el resto lo vendí a 8 quetzales cada pollo.45 34.5 D. 69 . Si Pedro tuviera 13 años menos tendría 47 años. 2.8 + 0.32. B. Si de Zacapa a Chiquimula hay 22 km de distancia.457 quetzales.3 obtenemos: A. 451. 4. 23 años. ¿Cuánto más joven es Juan que Pedro? A.38 es: A. Perdí 5 quetzales. Gané 5 quetzales. MECP/mecp. 40. 50 km. 96 quetzales C. D. 45. Gané 925 quetzales. B. C.000 quetzales.174 quetzales D. Si a 2. 4. B. ¿Cuánto me costó una computadora si al venderla en 2587 quetzales me dejó una pérdida de 587 quetzales? A. 30 33. y si Juan tuviera 11 años más tendría 26 años. C. 200 B. 3. C. Al dividir 3.15 C.16 obtenemos: A. D. ¿Cuánto me costó cada quintal de azúcar? A.
....... 5................. A 33..... A 24.. A 21. ( 1 a 5 ) ........................ A 31........... A 32.............. 9..... 70 ____________ ____________ ____________ ___________ ___________ ___________ ................UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Facultad de Humanidades....... A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D D D 15..... A 35........ ( 21 a 26 ) ... ( 36 a 40 ) ............................ A 13.......... F y D................. 10...................................... A 40................ ( 27 a 31 ) .............. A 23......... Conceptos Básicos......... A 28.............. HOJA DE RESPUESTAS Nombres y Apellidos Completos: __________________________________________________________________________________________ Primer Apellido Segundo Apellido Primer Nombre Segundo Nombre Tercer Nombre Edad:_____ años............. ( 11 a 20 ) ....... A 25.......... A 22............... SEXO: Masculino Femenino DATOS DEL CENTRO EDUCATIVO DONDE CURSO SEXTO GRADO DE PRIMARIA: Nombre de la Escuela :_________________________________________________________________________ SECTOR: Oficial Privado ÁREA: Urbana Rural Año en que aprobó Sexto Grado:_________ Aldea: ______________________ Municipio:____________________ Departamento:______________________ RESPUESTAS 1........... A 12... A 30.. ( 6 a 10 ) ............ 4...................... Total de respuestas correctas: ......... A 17. ____________ Operaciones en F ....... A 39.. Teoría de Conjuntos .. A B B B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D D D 29............... A 38.. A 19.. 3... 7. A 36.. A USO EXCLUSIVO DE LA COMISIÓN DE EVALUACIÓN: Lógica ... A B B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D D ..... ____________ Operaciones en D ......................... A 20.... A 27................. A 11.................. Operaciones en N . A 18............ ____________ Operaciones Básicas en N......... A 26... 6........ ( 32 a 35 ) .... ( 21 a 35 ) ............ 2.. Resolución de Problemas en N .................... A 37. A 34.... 8... A 16........ A 14......
0 x= 35. .c) CURVA DE DISTRIBUCION NORMAL -3s -2s=11.6 -1s=23.2 +3s Si analizamos entre -1s = 23.3 +1s=47.9 +2s=60. por lo que los cálculos son correctos y la distribución obtenida es normal.9 está el 69% de los datos y en una curva normal está el 68%.3 y +1s = 47.
35 Problemas de aplicación con números naturales.3. 36 .20 Operaciones básicas con números naturales. 27 .40 17 .2. Conceptos aritméticos básicos del sistema de númeración decimal.31 Operaciones básicas con números decimales. Conocimientos sobre Teoría de Conjuntos en la resolución de operaciones : unión e intersección.2 Definición Operacional de la Variable: Definición Operativa Variable Los conocimientos básicos en el área de matemática que poseen lo alumnos egresados del nivel primario Indicador Razonamiento lógico para obtener conclusiones válidas. 32 .10 11 .26 Operaciones básicas con números racionales. Instrumento Número de Pregunta 1-5 Prueba Objetiva de Diagnóstico 6 . 21 .
(5) O.D. (5) T.(6) O.L. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 INDICADOR TOTAL (40) n/100 R.F.N.B.(10) O.N. 1 RESULTADOS OBTENIDOS POR LOS ALUMNOS EN LA PRUEBA DIAGNOSTICO No. (4) P. C.CUADRO No.(5) C. (5) 1 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 0 0 2 0 3 1 1 2 2 2 2 1 0 2 2 1 2 2 2 3 1 2 2 2 0 2 2 0 1 0 3 0 0 0 1 3 1 0 3 2 1 2 5 2 1 0 4 2 0 0 1 0 0 3 3 4 2 2 3 3 5 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 0 2 2 1 1 1 3 2 3 2 2 2 0 1 2 2 2 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 1 0 0 3 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 5 10 12 12 15 15 15 18 18 18 18 18 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 22 22 22 22 22 z 25 29 31 31 33 33 33 35 35 35 35 35 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 37 39 39 39 39 39 .
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