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Timestamp: 2017-11-18 23:26:05+00:00

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Solucionario #1, SlideSearchEngine.com
Solucionario #1
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CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA 1111
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA SEMANA 1 CUATRO OPERACIONES RESOLUCIÓN #01 4 doc <> 12 x 4 + 2 = 50 manz. En los 4800 que llevo hay: 4800 =96 grupos de 50 , 50 donde habrá: 2 x 96 = 192 manz. de obsequio. RESOLUCIÓN #02 Juan hace: 2 K Juntos hacen 3 K Pedro hace: 1 K En 10 días hacen 30 K Juan lo haría solo en 30 K 2 K = 15 días RESOLUCIÓN #03 T 2 <> S/. 800 S/. 1000 + 50 l ⇒ 50 l < > S/. 200 Como T 2 <> S/. 800 = 50 x 800 x 2 T 200 = 400 l RESOLUCIÓN #04 c/u recibe adicionalmente $ 15000 − $ 12500 = $ 2500 ⇒ los hijos que recibieron son: = 12500 5 2500 I. El número de hijos es: 5 + 1 = 6 → (V) II. Herencia: 12500 x 6 = $ 75000 → (V) III. Si uno no aceptaría ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA CUATRO OPERACIONES RPTA.: D RPTA.: C S/. 1000 RPTA.: E (V) (V) ⇒ c/u recibiría: = $ 7500 RPTA.: C RESOLUCIÓN PcT = $ 27000 ; 60 Tv PcU = = 27000 $ $450 / Tv 60 Tv Vende 36 Tv a $ 600 c/ Tv Los restantes 24 Tv a $x c/ Tv Teniendo en cuenta que: PvT = PcT + GT Pv1 + Pv2 = PcT + GT 21600 + 24 x = 27000 + 12600 X = $ 750 RESOLUCIÓN Compra: 4 manz_______ S/. 3 ó 20 manz _______ S/. 15 Vende: 5 manz_______ S/. 7 ó 20 manz _______ S/. 28 En la compra y venta de 20 manz. gana S/. 13, entonces: I. 200 manz gana 13 x 10 = S/. 130 → II. 320 manz gana 13 x 16 = S/. 208 → III. En una manzana gana: = S /.13 20 S/. 0,65 RESOLUCIÓN 1 doc < > 12 + 1 = 13 manz. # “docenas” = = 780 13 → # Manzanas compradas: 60 x 12 = 720 manzanas I. # decenas = 720 10 = 72 II. En 60 manzanas, que fueron de regalo ahorré: 60 x S/. 0,40 = S/. 24 → 2222 c/u recibiría: 75000 10 → (V) #05 = $ 27000 ; 60 Tv $ $450 / Tv Vende 36 Tv a $ 600 c/ Tv → PV1 = 36 x 600 = $ 21600 Los restantes 24 Tv a $x c/ Tv → PV2 = 24x Teniendo en cuenta que: T 21600 + 24 x = 27000 + 12600 X = $ 750 RPTA.: B #06 _______ S/. 3 ó _______ S/. 15 _______ S/. 7 ó _______ S/. 28 venta de 20 manz. gana S/. 13, 200 manz gana 13 x 10 = (V) II. 320 manz gana 13 x 16 = (V) En una manzana gana: S/. 0,65 → (F) RPTA.: B #07 1 doc < > 12 + 1 = 13 manz. = 780 60 # Manzanas compradas: 60 x 12 = 720 manzanas 720 = 72 → (V) En 60 manzanas, que fueron de regalo ahorré: →(F)
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA III. Gasté en 720 manzanas: 720 x S/. 0,40 = S/. 288 →(V) RESOLUCIÓN #08 S = 987 ; D = 99 Mayor = + + = = S D 987 99 543 2 2 ⇒ Σ = 5 + 4 + 3 = 12 RESOLUCIÓN #09 S = 24; D = 6 Horas transcurridas = +24 6 2 = 15h = 3 pm I. A las tres en punto se forma un ángulo recto. II. Hace una hora fue 2 pm III. Dentro de una hora será 4 pm, hora en la cual el ángulo que forman las manecillas son 120º RESOLUCIÓN #10 Ubicando las operaciones en el orden en que han sido mencionadas tenemos: + 10 x 5 − 26 x 3 = 24 Aplicando el “método del cangrejo”, tendremos: 24 ÷ 3 ↑2 + 26 ÷ 5 − 10 = 8 RESOLUCIÓN #11 En gaseosas En galletas En cigarrillos gasta ÷ 2 + 2 1 3 + 4 3 4 + 3 queda 1 2 − 2 2 3 − 4 1 4 − Aplicando “Método del Cangrejo”, cuánto tenía: 2 + 3 x 4 + 4 x 3 2 + 2 x 2 = 76 I. Gastó 76 − 2 = s/. 74 → (F) En gaseosas gastó S/. 40 ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA (V) RPTA.: C RPTA.: E = 15h = 3 pm A las tres en punto se forma un ángulo recto. (V) (V) una hora será 4 pm, hora en la o que forman las manecillas son (V) RPTA.: D Ubicando las operaciones en el orden en que han Aplicando el “método del cangrejo”, tendremos: 10 = 8 RPTA.: B En cigarrillos 3 4 + 3 1 4 − 3 Aplicando “Método del Cangrejo”, obtendremos + 2 x 2 = 76 → quedó S/. 36 En galletas gastó S/. 16 → quedó S/. 20 En cigarrillos gastó S/. 18 II. # paquetes de galletas compradas = → (V) III. Gaseosas – Cigarrillos = 40 RESOLUCIÓN 1º día Escribió + 3 3 4 Le quedó 1 4 − 3 Aplicando “Método del Cangrejo”, tendremos: 0 + 3 x 4 + 3 x 4 + 3 x 4 = ⇒ # páginas del diario : RESOLUCIÓN A 1º partida 2º partida x 2 3º partida x 2 Al final 64 ⇒ El dinero en juego es: 6 4 + 72 + 36 = 172 Aplicando el “Método del Cangrejo”: A B 64 72 ↓ ÷ 2 ↓ ÷ 2 32 36 ↓ ÷ 2 ↓ 16 ↓ 104 ↓ ÷ 2 94 52 I. Andrés empezó con S/. 94 II. Después de la primera quedaron con: S/. 16, S/. 104 y S/. 52 III. Después de la 2da partida Beto tenía S/. = 2 3333 En galletas gastó S/. 16 En cigarrillos gastó S/. 18 # paquetes de galletas compradas = = S /.16 16 S /.1 Cigarrillos = 40 − 18 = 22 → (V) RPTA.: C #12 2º día 3º día 3 4 + 3 3 4 + 3 1 4 − 3 1 4 − 3 Aplicando “Método del Cangrejo”, tendremos: 0 + 3 x 4 + 3 x 4 + 3 x 4 = 252 # páginas del diario : 252 RPTA.: A #13 A B C x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64 72 36 El dinero en juego es: 6 4 + 72 + 36 = 172 Aplicando el “Método del Cangrejo”: C 36 ↓ 104 ← 172 − 68 ↓ ÷ 2 52 ↓ ÷ 2 ← 172 − 68 26 ← 172 − 78 Andrés empezó con S/. 94 → (V) Después de la primera quedaron con: S/. 16, (V) la 2da partida Beto tenía S/.36 → (V) RPTA.: A = 0
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RESOLUCIÓN #14 Aplicando el “Método de las diferencias”: S/. 8 / prof s S/. 6/ prof f ∆u = S/. 2/prof. ∆ ⇒ T S /.18 u S /.2 /prof ∆ = ∆ = 9 profesores Costo de la minifalda = S /.6 x 9 prof 12 prof = s/. 66 (V) Pero, si cada profesor diera S/. 5 la recaudación sería 5 x 9 = S/.45 → faltaría S/. 21 para la minifalda (V) RESOLUCIÓN #15 Aplicando el “Método de las Diferencias” 5 tam/nieto s 12 tam 8 tam/nieto f 6 tam ∆u = 3tam/nieto ∆T = 18 tam T 18 tam 6 nietos u 3 tam /n ∆ = = ∆ I. Edwin tiene 5 hermanos II. # tamales = 5 x 6 + 12 = 42 III. 7 tam n x 6 n = 42 tamales RESOLUCIÓN #16 Aplicando la “Regla del Rombo” y teniendo en cuenta que cada araña tiene 8 patas y cada escarabajo 6, tenemos: 8 8 54 6 ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA Aplicando el “Método de las diferencias”: S/. 6 S/. 12 ∆T = S/. 18 = 9 profesores → (V) +x 9 prof 12 Pero, si cada profesor diera S/. 5 la recaudación sería RPTA.: E Aplicando el “Método de las Diferencias” 12 tam 6 tam = 18 tam (V) # tamales = 5 x 6 + 12 = 42 (V) (V) RPTA.: E Aplicando la “Regla del Rombo” y teniendo en cuenta que cada araña tiene 8 patas y cada # escarabajos = # arañas = 8 − ∆ = 5 − 3 = 2 escarabajos más que arañas. RESOLUCIÓN#17 Aplicando la “Regla del Rombo”. # “medios” = 320 x3 820 3 1,6− Medios = U + N = 100 Además: U − N = 20 ⇒ U = 60 ; N = 40 I. 40 niños pequeños 40 x S/. 1,6 = S/. 64 II. (V) III. Pasaje entero = 320 RESOLUCIÓN Aplicando la “Regla del Rombo” (*) F + C = 36 F − C = 20 320 personas S 330 96 frutas 250 4444 # escarabajos = − = − 8 x 8 54 5 8 6 − 5 = 3 3 = 2 escarabajos más que arañas. RPTA.: D #17 Aplicando la “Regla del Rombo”. 320 x 3 820 100 3 1,6 − = − Medios = U + N = 100 N = 40 40 niños pequeños 40 x S/. 1,6 = S/. 64 → (F) Pasaje entero = 320 − 100 = 220 → (F) RPTA.: E #18 Aplicando la “Regla del Rombo” F = 28 kg ; C = 8 kg S/. 3 S/.820 S/. 1,6 330 g 28000 g (*) 250 g
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA Número de manzanas = − = − 96x330 28000 46 330 250 → Número de naranjas = 96 − 46 = 50 → Naranjas − Manzanas = 4 → RESOLUCIÓN #19 Tomando en cuenta las equivalencias y aplicando la “Regla de conjunta”, tenemos: S/. x <> 4 Cor. 6 Cor. <> 10 Com. 5 Com. <> 12 Ten. 6 Ten. <> 9 Sarg. 4 Sarg. <> S/. 3280 4 x 6 x 5 x 6 x X = 3280 x 9 x 12 x 10 x 4 X = 19680 RESOLUCIÓN #20 Aplicando “Regla de Conjunta” S/. 5400 <> 15 M1 3 M1 <> 10 M2 2 M2 <> 9 M3 1 M3 <> S/. X 5400 × 3 ×2 × 1 = 15 × 10 × 9 × X X = 24 RESOLUCIÓN #21 Eduardo : 6k d Mario : 2k d Juntos: 9k d Hugo : 1k d En 24d x 9 216k Eduardo hace: 2 1 (216k) =108k ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA → (V) → (V) (V) RPTA.: E Tomando en cuenta las equivalencias y aplicando la 10 Com. 4 x 6 x 5 x 6 x X = 3280 x 9 x 12 x 10 x 4 RPTA.: A 5400 × 3 ×2 × 1 = 15 × 10 × 9 × X RPTA.: D 9k d (216k) =108k Mario hace Hugo hace I. Hugo lo hace en: II. Mario lo hace en: III. Eduardo lo hace en: ∴ Total =108 días RESOLUCIÓN Aplicando “Regla de conjunta” 3 10m abeto 3 9m acacia 3 5m cerezo 3 1m eucalipto 3 1m agua x kg. 10.9.5.1.1 x= 7.10.3,6.1.1000.1 x = 560 RESOLUCIÓN Aplicando “Regla del Rombo”· # aves = 24 196456 − −× I. # felinos =56-14=42 II. ∆ = 42 III. Recaudación por aves = 14x5= S/. 70 RESOLUCIÓN Chocolates refrescos galletas 56 4 2 5555 : 3 1 (108k)=36k : 108k -36k=72k Hugo lo hace en: 72k k d = 72 días→V Mario lo hace en: 36 k 2 k d = 72 días→V Eduardo lo hace en: 108 k 6 k d = 18 días Total =108 días → V RPTA.: A #22 “Regla de conjunta” <> 3 7m acacia <> 3 10m cerezo <> 3 63 m, eucalipto eucalipto <> 3 1m agua <>1000kg <> 3 1m abeto 10.9.5.1.1 x= 7.10.3,6.1.1000.1 x = 560 RPTA.: A #23 Aplicando “Regla del Rombo”· 14 196 = 14=42→ V = 42-14 = 28 → F Recaudación por aves = 14x5= S/. 70 → V RPTA.: D #24 Chocolates refrescos galletas 196 4 2
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA Gasta 8 5 3 1 9 4 Queda 8 3 3 2 9 5 Aplicando “Regla del Cangrejo”: 9 10 S /.18 3 refrescos S /.9 5 1 refresco S /.3 × = <> <> 27 2 3 18 ./S=× 5 chocolates<> S/.45 72 3 8 27 ./S=× 1 chocolate <> S/.9 Además: 4 galletas <> S/.8 1 galleta <> S/.2 I. 1Choc+1ref.+1galle<>3+9+2=S/.14 II. Tenía: S/.72; quedó: S/.10→ gastó S/.62 III. Si es cierto que le quedará S/.18. RESOLUCIÓN #25 Vende 4 3 + 2 1 4 3 + 2 1 4 3 + 2 1 Queda 4 1 - 2 1 4 1 - 2 1 4 1 - 2 1 = 2 Aplicando “cangrejo” 1 4 2 10 2   + =    1 4 10 42 2   + =    1 4 42 170 2   + =    → Tenía 170 y como le quedaron 2 I. Vendió 170-2=168 →F II. Recaudó: 168 x3 =504→V III. Después de la 2da. hora le quedó 10 bolsas RESOLUCIÓN #26 Pago total por Jornales <> 9150 26 900237 ./S d ./S = Aplicando “Regla del rombo” ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA =10 Aplicando “Regla del Cangrejo”: 10 S /.18 3 refrescos S /.9 1 refresco S /.3 5 chocolates<> S/.45 1 chocolate <> S/.9 1Choc+1ref.+1galle<>3+9+2=S/.14 → V gastó S/.62 → V Si es cierto que le quedará S/.18. → F RPTA.: C Después de la 2da. hora le quedó 10 bolsas →V RPTA.: B # mujeres = 94 105 9150 105 75 × − − # hombres = 94-24=70 RESOLUCIÓN 1881./SPcT = ; Pc S /.9,50 Al vender parte de ellas en: # Pelotas compradas= 7991 ./SPv = 508,./SPvu = # Pelotas vendidas= 98 799 → quedan 198 − a S/. x c/pelota T 1 2 T tPv Pv Pv Pc G= + = + 799 + 104 x =1881 + 218 x= S/. 12,50 RESOLUCIÓN Compré: l6 x Compré: l17 x Vende: l3 2x T 1 2 tPv Pc Pc G= + + 17 19 6 7 3 8 += xx Resolviendo x = 306 94 6666 94 105 9150 24 105 75 × − = − 24=70 RPTA.: A #27 uPc S /.9,50= /pelota Al vender parte de ellas en: # Pelotas compradas= 198 59 1881 = , 799 50 94 598 799 = , 94= 104 pelotas, para vender T 1 2 T tPv Pv Pv Pc G= + = + 799 + 104 x =1881 + 218 RPTA.: D #28 S/.7 → 1Pc = 6 7x 1Pc S/.19 → 2Pc = x 17 19 2Pc S/4 → TPv = 3 8x TPv T 1 2 tPv Pc Pc G= + + 117 17 19 + x x = 306 9150 105 75
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA ∴ Vendí: 2 (306) = 612 RESOLUCIÓN #29 “Buenas” = ( ) 38 21 64150 = −− −− RESOLUCIÓN #30 Buenas : 5k 70 Malas : 12k “Blanco”: 70-17 → 70- Puntaje total = 38 ⇒ 5k(5)+12k(−2)+(70−17k)(1) = 38 25k – 24k +70-17k =38 k=2 ∴” Blanco” : 70-17(2) =36 SEMANA 1 CONJUNTOS I RESOLUCIÓN #31 { } { } { }{ }A ;a; a ; a,b ;= φ φ I. a ⊂ A ∧ {a, b} F F II. {φ} ∉ A ∨ {φ} F V III. φ ⊂ A ∧ φ ∈ A V V I y III son verdaderas ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RPTA.: C 38 RPTA.: D -17k 17k)(1) = 38 RPTA.: A {a, b} ⊂ A = F } ⊂ A V = V A V = V RPTA.: D RESOLUCIÓN { { ({ A x N 2x 13 A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 B x A x² 2x A = ∈ ≤ ⇒ = = ∈ − ∉ x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 x² − 2x = 0 ;−1; 0 ; ⇒ B = {1; 4; 5; 6} I. ∃ x ∈ A / x² − II. ∀ x ∈ (A − B)/2x + 5 < 8 III. ∃ x ∈ (A − B) / x² RESOLUCIÓN { ( ) 3 A n Z n 600 1,2,3,4,5,...,600 B a 2 a A a A + = ∈ ≤ =    = + ∈ ∧ ∈     144424443 ⇒ a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³ ( ) (B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2 elementos de B     = + + + +           ∑ 1444444442444444443 Nota: 3 N S   =     RESOLUCIÓN #34 ( ){B x Z x 8 x 2+ = ∈ > → = (x > 8) → (x = 2) ∼ (x> 8) ∨ (x = 2) ⇒ x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ⇒ n(B) = 8 #Subconjuntos 8 Ternarios de B       7777 #32 } } ) } A x N 2x 13 A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 B x A x² 2x A = ∈ ≤ = ∈ − ∉ x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0 ; 3 ; 8; 15; 24 B = {1; 4; 5; 6} − 5 > 4 (V) B)/2x + 5 < 8 (F) B) / x² ∈ B (V) RPTA.: C #33 } { } 3 a es cubo perfecto A n Z n 600 1,2,3,4,5,...,600 B a 2 a A a A = ∈ ≤ =    = + ∈ ∧ ∈     144424443 a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³ ) ( ) ( ) ( ) 2 B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2 elementos 8 x 9 2 8 2de B 1312     = + + + +         = +       = ∑ 1444444442444444443 ( ) 2 n n 1 2  +     RPTA.: C RESOLUCIÓN #34 ( )}B x Z x 8 x 2= ∈ > → = x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 #Subconjuntos 8 8! C 3! 5!3Ternarios de B 6 x7x8 56 6   = =    = = RPTA.: D
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RESOLUCIÓN #35 A y B son unitarios: * A = {a + b; a + 2b − 3; 12} a + b = 12 a + 2b − 3 = 12 a + 2b = 15 como : a + b = 12 b = 3 → a = 9 * B = {xy ; yx ; 16} xy = yx = 24 → x = 2 ; y = 4 ∴ x + y + a² + b = 90 RESOLUCIÓN #36 D = {(x² −1)∈Z / 0 < x ≤ 4} 0 < x ≤ 4 → 0 < x² ≤ 16 → −1 <x² − 1≤ 15 D = {0; 1; 2; 3; ...;15} → n(D)= 16 #Subconjuntos 16 C 2! 14!2Binarios de D 15x16 2   = =    = 120= RESOLUCIÓN #37 * nP(A) = 128 = 27 → n(A) = 7 nP(B) = 32 = 25 → n(B) = 5 nP(A∩B) = 8 = 23 → n(A∩B) = 3 ⇒ n(A∪B) = 7 + 5 − 3 = 9 ⇒ nP(A∪B) = 29 = 512 * C = ( ) 5 3x 1 Z x 3 +  + ∈ <    ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RPTA.: E n(D)= 16 ( ) 16! 2! 14! 15x16 15x8= RPTA.: E 5 3       x 3 1 3 1+ < + (3x + 1) < 6 C = {1; 2; 3; 4; 5} n(C) = 5 ∴ nP(A∪B) + n(C) RESOLUCIÓN # de colores # de nuevos matices= 2 RESOLUCIÓN Sea n(A) = x ( ( )(       − = − − − =       x x Subconjuntos no ternarios x! 2 200 3! x 3 x 2 x 1 x 2 200 6 Luego : #Subconjuntos 8 Quinarios RESOLUCIÓN n(C) = P + 1 # subconjuntos propios de C     = +       144424443 P + 1 2P + 1 − 1 = 2P + 3 8888 5 x 3 5 x 3 1 3 1 3 < + < + (3x + 1) < 6 C = {1; 2; 3; 4; 5} (C) = 517 RPTA.: B #38 = 9 # de nuevos matices= 29 − 1 − 9 = 512 − 10 = 502 RPTA.: E #39 ) )   = − =    − = − − − − = =   = =    = = x x 3 Subconjuntos 2 C 200 no ternarios x! 2 200 3! x 3 x 2 x 1 x 2 200 6 x 8 #Subconjuntos 8 8! C 5! x 3!5Quinarios 8 x 7 x 6 56 6 RPTA.: B #40 # subconjuntos 2P 3     = +      
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA P = 2 Luego: n(A) = 4(2) + 2 = 10 n(B) = 3(2) + 6 = 12 n(A∩B) = 2 n (A∆B) = 18 RPTA.: RESOLUCIÓN #41 E={x∈Z+ /x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} { } {= ∈ < =l A x E / x 7 1,2,3,4,5,6 ⇒ A = {7, 8, 9} De: A C∩ = ( )A B C A B C ′′ ′ ′∩ ∩ = ∪ ∪ = φ A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11 RESOLUCIÓN #42 A ⊂ B ∧ B ⊄ A x ∈ C → x ∉ B Graficando las dos condiciones: I) A y B son disjuntos (F) II) (A ⊂ B) ⊂ C III) C ⊂ (A ∆ B) 1028 A = 10 B . 1 . 2. 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 BA C B A ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RPTA.: C /x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} }A x E / x 7 1,2,3,4,5,6 A B C A B C ′∩ ∩ = ∪ ∪ = φ = 3 + 5 + 3 = 11 RPTA.: E (F) (F) (F) IV) C ∉ (A ∪ RESOLUCIÓN Sean n(A) = x → n(B) = 2x # subconjuntos # subconjuntos de B propios de A     − =       14444244443 14444244443 22x − (2x −1) = 993 2x (2x −1) = 992 = 2 x = 5 Luego: # subconjuntos de #subconjuntos propios de A 2 1∴ = − RESOLUCIÓN * 3x 5 A x N / N 4 +  = ∈ ∈    3x 5 4N 5 N x 4 3 + − = → = N = 2; 5; 8 ...... X = 1; 5; 9 ...... A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....} * x 1 x B N / N 2 2 +  = ∈ ∈    { NATURAL x 1 x 1 2 2 2 + = + = ⇒ B = φ * {C x N / 2x 25= ∈ > C = {13, 14, 15, 16, 17, .....} n(A∆B) ∩ C′ ⇒ A n (A ∩ C′ ) = n(A − = n {1, 5, 9} = 3 B = 12 C C A = 9999 ∪ B) (V) RPTA.: E #43 n(B) = 2x # subconjuntos # subconjuntos 993 de B propios de A     − =       14444244443 14444244443 = 993 1) = 992 = 25 x 31 # subconjuntos de 7 B 128 2′ = = 12 #subconjuntos propios de A 2 1′∴ = − RPTA.: D #44 3x 5 A x N / N 4   = ∈ ∈    3x 5 4N 5 4 3 + − N = 2; 5; 8 ...... X = 1; 5; 9 ...... A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....} x 1 x B N / N 2 2   = ∈ ∈    NATURAL x 1 x 1 No existe natural 2 2 2 = + = }C x N / 2x 25= ∈ > C = {13, 14, 15, 16, 17, .....} A ∆ B (DIFERENCIA SIMÉTRICA) − C) = n {1, 5, 9} RPTA.: B 2 5 10 B = 10= 5 U
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RESOLUCIÓN #45 I. Si A ⊂ B ⊂ C → C B A′ ′ ′⊂ ⊂ II. A ∩ A′ = φ III. ( )− = ∪ l l A B A B IV. Si ⊂ → ⊂l l A B B A V. ( )∪ ∩ = ∪l l A B A B A RESOLUCIÓN #46 320 = n(PA) + n (PB) 320 = 2n(A) + 2n(B) 320 = 26 + 28 Luego: n(A) = 6 n(B) = 8 ⇒ n(A∆B) = 10 RESOLUCIÓN #47 ⊂ ∩ = φ ∩ = φ ⊂ − = φ − = φ 14243 144444424444443 l l l l B A ; C B ; A C A B ; C B ; A C Graficando y enumerando las regiones: ( ) (B C A A B C   ∩ − ∩ ∪ −   1442443 1442443 [2] ∩ [1; 3] = RESOLUCIÓN #48 Graficando los conjuntos A y B 4 62 A B 2 B C A 1 2 3 ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA C B A′ ′ ′ (V) (V) (V) (V) (V) RPTA.: A RPTA.: E ⊂ ∩ = φ ∩ = φ Graficando y enumerando las regiones: )B C A A B C      1442443 1442443 [1; 3] = φ RPTA.: E ( ) ( )    ′ ′∪ ∩ ∩ ∪ ∩     14243 14243 A B A B A B (A − B) { } { { } { ∩ ∩ = = ∩ 1,2,3 2,3 1,2,3 1,4 1 A B RESOLUCIÓN I) [A−(B−C)] [{1,2,3} si II) (A ∪ B) {1,2,3,4,5,6,7} no III) [(A ∪ D) {1,2,5} RESOLUCIÓN n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r ( ) { ( ) { ( ) {A B C nP nP nP 896+ + = 2m + 2m+r + 2m+2r = 896 2m [1 + 2r + 22r ] = 896 = 2 m = 7 r = 1 A B ⇒ 7 8 B 2 A A 1 2 10101010 ( )    ′ ′∪ ∩ ∩ ∪ ∩     14243 14243 l A B A B A B (B−A) } } { }∩ = = ∩ l 1,2,3 2,3 1,2,3 1,4 1 A B RPTA.: A #49 C)] ∪ [C ∩ D] [{1,2,3} − {2,6,5}] ∪ {7} = {1,3,7}: B) − (B − C) {1,2,3,4,5,6,7} − {2,5,6} = {1,3,4,7} D) − C] ∩ [A − (B−C)] {1,2,5} ∩ {1,3} = {1} no RPTA.: A #50 n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r nP nP nP 896+ + = = 896 ] = 896 = 27 x 7 r = 1 B C 8 9 31 4 B B C D 2 3 4 5 6 7
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA n(A ∪ B ∪ C) = 24 RPTA.: C SEMANA 1 TEORÍA DE EXPONENTES ECUACIÓN DE 1º GRADO RESOLUCIÓN #51 1 3 1 27 3 * − − = 1 2 1 36 6 * − − = 1 4 3 3 4 * −   =    2 1 2 4 * − = 1 1E∴ = = RESOLUCIÓN #52 ( ) 2 3 2 3 1 1 * 27 927 − − = = − ( ) ( ) 5 3 5 3 4 1 1 * 27 24327 1 * 3 81 − − − = = −− = ⇒ 0,2 0,2 1 1 2 27 1 6 E 9 243 81 243 − − − +    = − + =        0,2 0,2 5 32 243 3 E 243 32 2 −        = = =               3 2 E = RESOLUCIÓN #53 6 2 0 6 9 3 , = = ( ) 1 2 3 32 2 3 1 E 8 −   ⇒ =     1 2 3 33 32 2 2 E 8 8 4= = = ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RPTA.: C TEORÍA DE EXPONENTES ECUACIÓN DE 1º GRADO RPTA.: D 0,2 0,2 1 1 2 27 1 6 9 243 81 243 − − − +            2 0,2 0,2 5 10 32 243 3 243 32 2                     RPTA.: B E 8 8 4 RPTA.: C RESOLUCIÓN 1 1 4 2 4 1 1 1 625 9 4 625 9 4² − − −       + +            + + 5 + 3 + 16 = 24 RESOLUCIÓN ( ) + ++ + +        ⇒         ⇒ 2 n n n 3 n 3n n 1 n n 1 n² n n n2 2 n 3 2 a . a a .a a n +        n n 3 ⇒ a a RESOLUCIÓN = ÷ = = ⇒ = 48 3 344 16 2 11 18 11 7 x x A x x x A .x x x A x A x 57. Efectuar: x x 2 2x 2 20 4 2+ + A) 2 B) 3 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN + = x x x x 2 x 1 x x x 20 .20 20 .20 4 .4 4 .4 4 .20 5 5 RESOLUCIÓN ab P y Q b a ab b a = = − − 11111111 #54 2 1 1 1 625 9 4 625 9 4² − − −       + +            RPTA.: D #55 ( )+ ++ +       ⇒         2 n n n 3 n 3n n 1 n n 1 n n n2 2 a . a a .a ⇒ = 1 2 a a RPTA.: D #56 3 x x x RPTA.: E x 1 x 2 2x 2 20 4 2 + + + + B) 3 C) 4 E) 6 #57 = x x x x 2 x 1 x 20 .20 20 .20 4 .4 4 .4 4 .20 RPTA.: D #58 ( ) 1 b a ab b a− −
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA ( ) ( ) 2 1 1 ab PQ b a ab b a PQ b a ∴ = − − = − RESOLUCIÓN #59 ( ) ( a b a b a 1 b 1 1 a b 14 14 14 14 M 2 14 14 2 14 14 14 1 M 1 7 M 7 − − − + + = = + + = ⇒ = RPTA.: RESOLUCIÓN # 60 1 1 1 1 1 1 − a b a b x . y x .y 1 1 1 11 1 2 1 1 1 1 1 b b b a b b x x y y  − − −   − −     =       (*) a + b = 2ab 1 1 2 a b ⇒ + = 1 2 1 1 2 1 2 2 1 a b b b x x y y   ⇒ − = − = −      ∴ ⇒    RESOLUCIÓN #61 Cambio de variable: 1 y x = ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RPTA.: E ) a b a b a 1 b 1 1 a b 14 14 14 14 2 14 14 2 14 14 14+ + RPTA.: C 1 1 2 1 a b b b       RPTA.: A y 5y y 5y 1 y 5 5 1 y 5 y 5 y 5 y 5 y 5 x 5− ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∴ = = RESOLUCIÓN Elevando al cuadrado el dato m. ( ) 2 x 2 2 2 1 2 x 2 x 2 1 x 2 x − − − − ⇒ = ⇒ ⇒ = → = Luego: 2 x 4x x E x= ( ) ( ) 2 x 2 4x x x 4x x 4x E x x E x x E x   ⇒ = ⇒     ⇒ = = ⇒ E = x² 2 1 1 2 E   ∴ = =    RESOLUCIÓN Trabajando con cada miembro. x x n x n x n x n.......( )⇒ = ⇒ N Luego: 3 21 2 x 3 21 n 21 3 n 3 2 x n 21 2 x n 21 2 x n 21.............( ) + + − = − ⇒ = − ⇒ = − β N (α) en (β): 3 3 2 21 2 21 n n n n n n = − ⇒ = − Solo se verifica para: n = 27 12121212 5 5 5y y 5 y 5 y 5 y 5⇒ = RPTA.: B #62 Elevando al cuadrado el dato m. a.m. 2 2 2 x 2 x 2 1 2 − − ⇒ = 4x x 1 2 2 2 4x x x 1 4 x 4x 2 E x x E x x E x         ⇒     ⇒ = 1 1 2   ∴ = =    RPTA.: A # 63 Trabajando con cada miembro. n x n x n x n.......( )⇒ = α 2 x n 21 2 x n 21 2 x n 21.............( ) = − = − β Solo se verifica para: n = 27
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA 27 3 9 x 3 x 3 ⇒ = = RESOLUCIÓN #64 30 6027 51 x x− ÷ 60 60 6054 51 105 x x x− ÷ → 4 7 7 4 x x ⇒ ∴ RESOLUCIÓN #65 ( ) ( ) ( ) ( )− = ⇒ = + − = 1444442444443 x x x x 2 2 x x x x 5 2 0 5 2 5 2 2 5 .2 0 ∴ x = 0 Reemplazando: ( )( ) 1 42 E 2 − −− = − 21 2 1 1 16 16 E E − −   = =     ∴ E = 16² = 256 66. Resolver: 1 3 2 2 3 1 1 2 3 4 5x x x x x x − + + − + = − − − − − A) 3 2 B) 2 5 D) 5 2 E) 4,5 RESOLUCIÓN #66 ( ) ( ) + + + = + − − − − − − −− + = − − + − +2 2 2 1 2 2 1 3 3 x x 2 x 3 x 5 x 1 x 4 2 2x 5 3 2x 52x 5 x 5x x 5x 6 x 5x 4 ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RPTA.: C RPTA.: E 5 2 2 5 .2 0       RPTA.: B 1 3 2 2 3 1 0 1 2 3 4 5x x x x x x − + + − + = − − − − − C) 2 3 − − − − − 1 2 2 1 3 3 x x 2 x 3 x 5 x 1 x 4 x 5x x 5x 6 x 5x 4 ( ) 2 2 2 1 2 3 2x 5 0 x 5x x 5x 6 x 5x 4      − + − =  − − + − +     1444444442444444443 ≠ 0 2x 5 0 5 x 2 ⇒ − = = RESOLUCIÓN Multiplicando por “ab”. a² (x − a) + b² (x + b) = ⇒ a²x − a³ + b²x + b³ = ⇒ (a² + ab + b²)x = a³ ⇒ (a²+ab+b²)x = (a ∴ x = a − Cs = {a − b} RESOLUCIÓN 0 d ax d bx d cx x x x b c a c a b d x a b c − − − − + − + − + + + + − = + + d ax bx cx d bx ax cx b c a c d cx ax bx d ax bx cx a b a b c − − − − − − + + + + − − − − − − + = + + + ( ) 1 1 1 1 d a b c x b c a c a b a b c      ⇒ − + + + + + =   + + + + +    14444444244444443 ≠ ⇒ d = (a + b + c) x d x a b c ∴ = + + RESOLUCIÓN Recordando que: ax + b = 0 tiene infinitas soluciones, si y solo si: a = 0 ∧ b = 0 ⇒ 1 1 4 2 a x x x b b + − + − − = 13131313 2 2 2 1 2 3 2x 5 0 x 5x x 5x 6 x 5x 4      − + − =  − − + − +     1444444442444444443 2x 5 0 RPTA.: D #67 Multiplicando por “ab”. a) + b² (x + b) = −ab x a³ + b²x + b³ = −ab x (a² + ab + b²)x = a³ − b³ (a²+ab+b²)x = (a−b)(a²−ab+b²) b RPTA.: E #68 d ax d bx d cx x x x b c a c a b − − − − + − + − + + + + 0 d ax bx cx d bx ax cx b c a c d cx ax bx d ax bx cx a b a b c − − − − − − + + + + − − − − − − + = + + + 1 1 1 1 0 b c a c a b a b c     − + + + + + = + + + + +    14444444244444443 ≠ 0 d a b c+ + RPTA.: C #69 ax + b = 0 tiene infinitas soluciones, si y solo si: b = 0 1 1 2 0 4 2 a x x x+ − + − − =
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA ⇒ 1 1 1 1 2 0 4 2 a x b b     − − + + − =        ⇒ 1 1 1 1 2 4 2 a b b = + ∧ = − ⇒ 5 1 3 4 2 a b b = ∧ = ⇒ 2 5 3 6 b a= ∧ = 9 3 6 2 a b∴ + = = RESOLUCIÓN #70 − − − − + − + − = + + + x 2 x 3 x 5 1 1 1 0 3 5 2 5 2 3 ( ) 1 1 1 x 2 3 5 0 3 5 2 5 2 3   − − − + + =  + + + 14444444244444443 ≠ 0 ⇒ 2 3 5x = + + Pero nos piden: ( ) ( ) ( ) 2 4 6 5 3 2 5 9 8 22 + + = + + = SEMANA 1 SEGMENTOS - ÁNGULOS RESOLUCIÓN #71 ba A B C D 4a ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA 1 2 0     − − + + − =        1 1 1 4 2 = + ∧ = − RPTA.: B − − − − + − + − = + + + x 2 x 3 x 5 1 1 1 0 3 5 2 5 2 3 1 1 1 x 2 3 5 0 3 5 2 5 2 3   − − − + + =  + + + 14444444244444443 5 9 8 22 RPTA.: A ÁNGULOS b E * De dato AD + BE = 20 4a−b + a+b = 20 5a = 20 a = 4 RESOLUCIÓN A B 6 6 - x Dato : AB x AC = 2(AB (6 − x) x AC = 2(AB+ BC)(AB 6 − x = 2(AB 6 − x = 2(6 → 3x = 6 x = 2 RESOLUCIÓN * Del dato: 3a = 4b * 3a + 4b = 36 ( ) } ( ) } + = + = 3 4k 4 3k 36 12k 12k 36 24k 36 k ..............(I) * x = EO + 2MT a2a 36 G E 14141414 AD + BE = 20 b + a+b = 20 5a = 20 a = 4 RPTA.: B #72 X C AB x AC = 2(AB2 – BC2 ) x) x AC = 2(AB+ BC)(AB – BC) x = 2(AB−BC) x = 2(6−2x) RPTA.: B #73 Del dato: 3a = 4b → a 4 4k b 3 3k = = 3a + 4b = 36 ) } + = + = = = 3 4k 4 3k 36 12k 12k 36 24k 36 36 k ..............(I) 24 x = EO + 2MT 3bb O M T
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA } ( ) } ( ) = + = + = + =   = =    x a 2 3b x 4k 6 3k x 4k 18k 22k..............(II) (I)en (II) 36 x 22 33 24 RESOLUCIÓN #74 Datos: PQ = 2(RS) = 2a QR = 2 ( ) ( )2 QR 3 RSPQ ......( ) QR RS + = β Piden: QS = (2 + a) = ? Reemplazando en (β) 2a 2(2) 3(a) a a + = a² = 4 + 3a Resolviendo: a = 4 QS = 6 RESOLUCIÓN #75 Datos: (AB)² + b(AC) = (AC)² + (BC)² Piden: BC = x = ? Reemplazando y ordenando el dato: ( ) ( ) ( ) (AB ² BC ² AC ² b AC− = − 1442443 DIFERENCIA DE CUADRADOS 2a 2 P Q R x A B ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA x 4k 18k 22k..............(II) RPTA.: D ......( )= β RPTA.: C )AB ² BC ² AC ² b AC (AB BC AB BC AC AC b   + − = −    14243 (AC) (AB−BC) = AC(AB+BC (AB−BC) = (AB + BC RESOLUCIÓN Datos: X → punto medio de AB Y → punto medio de BC Z → punto medio de XY AB − BC = 36 Piden: ZB = a = ? BY = YC = b XZ = ZY = a + b AX = XB = 2a + b Reemplazando: AB − BC = 36 (4a + 2b) − (2b) = 36 4a = 36 a = 9 RESOLUCIÓN Datos: (QR) (RS) = K (RS − RQ).... (I) PR RS 1 PQ PR − = .....................(II) Piden: PR = x = ? De (I): S a C 2a+b a+b A X x P 15151515 ) {AB BC AB BC AC AC b   + − = −    BC) = AC(AB+BC − b) BC) = (AB + BC − b) b = 2BC b BC 2 = RPTA.: C #76 AB (AX=XB) BC (BY = YC) XY (XZ=ZY) RPTA.: C #77 RQ).... (I) .....................(II) a b b Z B Y C a Q R S b
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA 1 RS RQ 1 1 1 K QR RS QR RS K QR RS = − ⇒ = − 1 1 1 K a b = − ...(III) De (II) ( ) x b 1 xx a − = − (x − a)x = x² − b(x − a) (x − a) (x + b) = x² x² + bx − ax − ab = x² → ab = x (a−b) 1 1 1 x a b = − De (III) 1 1 x k = → k RESOLUCIÓN #78 O A B b-x x a-x a b b-a C OA 1 OB 1 OC 1 =+ 1 1 1 a b 1 (a b).x ab b a x ab x + + = → = → + = (AB).(AC) = 289 (a-x).(b-x) = 289 289xx)ba(ab 2 =++− 43421 ab – ab +x2 = 289 x2 = 289 ∴∴∴∴ x = 17 RESOLUCIÓN #79 Adecuando el dato: bya P Q R x ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA 1 RS RQ 1 1 1 K QR RS QR RS K QR RS = − RPTA.: B (a b).x ab RPTA.: D 1 1 1 1 QR PS PQ RS 1 1 1 1 y x a b x y b a yx ab b a b a yx ab yx ab yx a b m − = + − = + − +  = − = +  + + = = = = RESOLUCIÓN ( ) ( ) b a a x b 10 2 2 3 a b x 10 2 3 5 x 10 2 + + + + = + + = + = x 10 7,5 x 2,5 = − = RESOLUCIÓN a + b a 2 + A M B xR a b 2 + baa 4θ 5θ A b S 16161616 1 1 1 1 QR PS PQ RS 1 1 1 1 y x a b x y b a x y a b yx ab b a b a yx ab yx a b m − = +  = − = +  RPTA.: E #80 a 2b a 10b a a x b 10 2 2 b a 5 a b x 10 5 x 10 + + = + + + + =  + = x 10 7,5 x 2,5 = − RPTA.: B #81 b a 2 + Q N a b 2 + b 10 C 3θ β4θ θ M B C D o
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA m∠ AOB = 5θ m∠ BOC = 3θ OM → : bisectriz del ∠ AOC → (m ∠ MOB = θ) m∠ AOM − m∠ COB + m∠ COD = 40º . m ∠ MOB + m COD = θ + β Reemplazando en (I) 4 3 40ºθ − θ + β =14243 θ + β = 40º RESOLUCIÓN #82 Sean los ángulos: a + b = 100º ................. (I) C(a) − C(b) = 20º ..............(II) Piden: a ? b = En (II) (90º − a) − (90º − b) = 20º → b − a = 20º En (I) a + b = 100º Resolvemos: a = 40º b = 60º a 40º 2 b 60º 3 = = RESOLUCIÓN #83 * 2α + 2θ = 90º α + θ = 45º 2 θ α + R A M B o α α θ θ x ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA COD = 40º .....(I) β = ? RPTA.: C a 40º 2 b 60º 3 RPTA.: A * x 90 2 2 θ α α + + + θ + = ( ) ( ) + θ + α = + = = 3 x 90º 2 3 x 45º 90º 2 x 22,5º RESOLUCIÓN E D x R C O F “OR” es la bisectriz del *m ∠ AOD=m BOE = m *m ∠ AOF = 224º 2α+2β+2θ = 224º α+β+θ = 112º .….. (I) *m ∠ BOC = 52º → β= 52º.… (II ) en (I) α+52º + θ= 112º → α ∴∴∴∴ x = α + θ = 60º RESOLUCIÓN O B X X “n” rayos interiores entonces son “(n+1)” ángulos interiores m∠AOB = (n+1) 2 α θ + N S C 17171717 x 90 2 2 θ α α + + + θ + = º + θ + α = + = x 90º x 45º 90º x 22,5º RPTA.: D #84 B A “OR” es la bisectriz del ∠ COD. BOE = m COF=α+β+2θ = 112º .….. (I) = 52º.… (II) α+θ = 60º RPTA.: B #85 A B X X “n” rayos interiores entonces son “(n+1)” ángulos interiores AOB = (n+1)α=θ→α = )1n( + θ
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA x = θ - 3α x = θ - 3       + θ 1n = θ      + − 1n 2n RESOLUCIÓN #86 Sea “x” el ángulo ( ) ( )( ) ( ) ( )( )− − = x x x xS C S CC S 2C .......(I) S(2X) = ? Resolviendo (I) 180º−[(180−x)−(90−x)]= 2[90º− 180º − [90º] = 2[2x − 90º] 90º = 2 (2x − 90º) 45º = 2x − 90º 2x = 135º S(2x) = S(135) = 45º RESOLUCIÓN #87 Datos: m∠ AOB + m∠ BOC = 100º - ON → bisectriz del∠ AOB (m ∠ NOA = m∠ NOB = θ) - OQ → bisectriz del ∠ NOM (M ∠ NOQ = m∠ QOM = 20º+ - m∠ QOB = 20º - OM → bisectriz del ∠ BOC (m ∠ BOM = m∠ MOC = θ + 40º) Piden: m∠ BOC = 80º + 2θ = ? Reemplazando: θ θ 20ºθ + 40ºθ + MQBN A o 20º ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RPTA.: D S 2C .......(I) −(180−x−x)] RPTA.: B QOM = 20º+θ) + 40º) m∠ AOB + m∠ 2θ + (80º + 2 m∠ BOC = 80º + 2 RESOLUCIÓN x 3x 2x 2x Del gráfico (en 5L 6x + 3x = 180° x = 20 RESOLUCIÓN 2 i) Propiedad: 4α = 90º → 2α = 45º ...............................(I) ii) Por ángulos de lados perpendiculares x + 2α = 180º ....................... (II) De (I) y (II) x = 135° C 18181818 ∠ BOC = 100º + (80º + 2θ) = 100º 4θ = 20º θ = 5 BOC = 80º + 2θ = 90º RPTA.: A #88 x 6x 2x L4 L3 L1 L2 L5 L6 5 ) RPTA.: E #89 L1 2 x L2 = 45º ...............................(I) Por ángulos de lados perpendiculares = 180º ....................... (II) RPTA.: E
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RESOLUCIÓN #90 Si: a + b + n = 180º → m = 2n → m 2 n = SEMANA 1 SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR RESOLUCIÓN #91 Del gráfico: (−θ) + (α − 90º) = 360º ∴ α − θ = 450º RESOLUCIÓN #92 bº nºmº bº aº aº a+bº n n α o 90º ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RPTA.: C SISTEMAS DE MEDIDA RPTA.: D { { { { m m g m m 62 102 2 2 1º 2 1 2 A 2 2 ′ ′ ′ = + ′ RESOLUCIÓN g α = × = ′= 37 10 33,3º 33º18 RESOLUCIÓN R C 200R 200 = = π π # min. cent. = # min. cent. = 20000 Factor : 6363,63 22 7 RESOLUCIÓN ( ) 3 9º 3 xº 6x 4 x 6x 4 5 10 2 = − × ⇒ 2x 18x 12 16x 12 x= − ⇒ Luego: 3 3 3 rad xº rad 5 5 4 180º 400   α = = × =    RESOLUCIÓN 3θ = xº 5θ = yg L1 L2 −θ 31 + 19191919 RPTA.: A #93 g ′ 9º 10 33,3º 33º18 RPTA. : C #94 R C 200R C= = π π 200R 100× π { Factor 20000 R π 20000 Factor : 6363,63= RPTA.: C #95 ( ) g g 3 9º 3 xº 6x 4 x 6x 4 5 10 2 = − × ⇒ = − × 3 2x 18x 12 16x 12 x 4 ⇒ = → = º 3 3 3 rad xº rad 5 5 4 180º 400 π π  α = = × =    RPTA.: A #96 51 = 82
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA g g 3 xº 10 x 27 5 y 9º y 50 ⇒ = × ⇒ = Luego: 2x 27 M 1 2 1 y 50   = − = −    2 M 25 ∴ = RESOLUCIÓN #97 ∆ABC: A + B + C = 180º A + B < > 90g = 81º → C = 99º B + C = 3 rad 4 π < > 135º → ∴ C − A = 54º RESOLUCIÓN #98 4C − S = 155 4 (10k) − 9 k = 155 31 k = 155 K = 5 1 ( )k R ππ π = = = 5 20 20 4 4 RESOLUCIÓN #99 Hacemos: xx = a ( ) 6a 9 8a 6 a 12 9 10 Luego : S 6 12 9 81 rad 9 81º rad 180º 20 + − = → = = + = π π × = ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA M 1 2 1   = − = −    RPTA.: D C = 99º → A= 45º RPTA.: C RPTA.: A RPTA.: B RESOLUCIÓN S R K K K K K K 5 52 2 9 5 2 20 9 22 2 28 104 52 14 28 = + π ⇒ = + ⇒ − = ⇒ = Luego: C = 10(14) = 140 ∴ El ángulo mide 140 RESOLUCIÓN − = − S 13 2 C 2 3 3S – 39 3S – 2C 3(9K) – 2 (10K) 7K ( ) π π = =R 5 20 4 RESOLUCIÓN Dato: 1* <> 1,5 (180º) Piden: x <> 5 (90º) = 450º → = ∴ = * 450º 1 x 270º 5 x 3 RESOLUCIÓN (90 − S) + (200 − C) 20202020 #100 K K K K 5 52 9 5 52 2 20 9 22 52 2 28 52 14 π = + − = ⇒ = Luego: C = 10(14) = 140 El ángulo mide 140g RPTA.: C #101 S 13 2 C 2 3 39 = 2C – 4 2C = 35 2 (10K) = 35 7K = 35 K = 5 π π = = 20 4 RPTA.: C #102 1* <> 1,5 (180º) = 270º = 450º * 450º 1 270º 5 3 RPTA.: C #103 C) = 195 95 = S + C 95 = 9K + 10K S = 9 K C = 10 K π =R K 20
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA K = 5 ( )π π = = 5 R 20 4 RESOLUCIÓN #104 Piden: ∠ = radR Condición: Número Número Segundos − Minutos = 15700 Sexg. Cent. 3600 S − 100 C = 15700 39(9n) − (10n) = 157 314n = 157 = → = 1 n R 2 40 π ∴ ∠ = rad 40 RESOLUCIÓN #105 S = 9 n Sabemos: C = 10 n R = n 20 π Condición:     − =        Número de Número de segundos centesimales Segundos sexagesimale 10000 10n( )− 3600 (9n) = 27040 10000n − 3240n = 2704 6760n = 2704 2 n 5 = ∴ 2 R R 20 5 50 π π  = → =    RESOLUCIÓN #106 S = 180 K C = 200 K S = 9 n C = 10 n =R n ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA = 5 RPTA.: B π = → = 1 n R 2 40 RPTA.: C     − =        27040 segundos centesimales Segundos sexagesimales 27040 3240n = 2704 6760n = 2704 2 5 RPTA.: E R = πK 180K(π-200)+200K(180− 180Kπ + 20Kπ − 200πK+(200K)(180) M = 0 RESOLUCIÓN S = 180 K C = 200 K R = π K ( ) (π − π ⇒ 2 ² 180k k ² 181 ( )π − π²k² 180 ² ²k² 181 ( )( π  ²k² 181 179 181 πk = 1 = = π = π π 1 1 k R 1 RESOLUCIÓN Condición: { { { + − = + − π 5 6 7 5 6 7 20K 20K 20K S C 20 S C R R 4 S C R 9 10 5 20k (S5 +C6 −R7 ∴ =C 40 S = 180 K Sabemos C = 200 R = S = 9 n C = 10 n π =R n 20 21212121 −π)+20(πK)=M K+(200K)(180)−(180K)(200) = M RPTA.: A #107 )π − π = π ² 180k k ² 179( k) ( )= π ²k² 180 ² ²k² 179 k )   = π ²k² 181 179 179 k 181   = = π = π π  1 1 k R 1 RPTA.: A #108 ( )+ − = + −5 6 7 5 6 7S C 20 S C R R 4 S C R 1 7 ) = 4 (S5 + C6 −R7 ) k = 1 5 C 40 RPTA.: C S = 180 K C = 200 K =? R = π K
CEPREUNMSM - MATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARA CEPREUNMSM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA RESOLUCIÓN #109 θ = ? ( ) (α − α + = − − β g 10 ² 10 40 45 9 º α² − 10α + 40 = β − 5 (α + 5)² + 15 = β − 5 (α + 5)² = β − 20 β − 20 ≥ 0 → β = 20 (mínimo) −(45 −9β)º = (9β − 45)º = (180 − 45)º = 135º → θ = 45º RESOLUCIÓN #110 1x = 2g 8y = 9º ºx g y º g x y x y 1 2 9 8 9 10 1 1 8 5 5 8 Relación de Sistemas   = ×     = = → x y x 5 5 8 y 8 = ⇒ = RESOLUCIÓN #111 ′ ′′′ ′ ′      =     ′ ′ ′      º g m s1º21 2º15 4º3 a0 bc de 3 5 3 θ ( )− − β45 9 º ATERIAL EXCLUSIVO DE PREPARACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA )α − α + = − − β g 10 10 ² 10 40 45 9 º 9º = 20 (mínimo) RPTA.: D 5 8 Relación de Sistemas RPTA.: B g m s a0 bc de ′ ′′′ ′ ′           ′ ′ ′      º 81 135 243 3 5 3 27 27 81 0 30 50 250 0 30 52 50 0 ′ ′′ = = = g m s g m s g m s g m s g m s º ¨ a bc de a bc de a bc de Luego: a = 3 , b = 5, c = 2, d = 5, e = 0 5 5 5 0 15 M 3 3 2 0 5 + + + ∴ = = = + + 22222222 ′ ′′      =            g m s81 135 243 a0 bc de 27 27 81 0 30 52 50 0 g m s g m s g m s º ¨ a bc de a bc de a bc de a = 3 , b = 5, c = 2, d = 5, e = 0 5 5 5 0 15 M 3 3 2 0 5 + + + ∴ = = = + + RPTA.: E
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SOLUCIONARIO 121615 _ 0001-0100.qxd 25/6/08 17:15 Página 1 2 ... Doc. 1 En primer lugar, Rusia, que triplicó su población en estos dos siglos, ...
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