Source: https://www.scribd.com/document/182126422/Formula-Preferida
Timestamp: 2019-01-23 09:26:32+00:00

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Argumento.......................................................................................................3 La autora.........................................................................................................3 El director........................................................................................................3 Justificación de la elección de esta película ....................................................4 Nivel curricular ...............................................................................................4 Objetivos did cticos generales........................................................................4 !etodología.....................................................................................................4 "untos #calientes$ del episodio.......................................................................% &emporali'ación..............................................................................................% "untos de inter(s antes del visionado de la película.......................................% Aspectos a comentar tras el visionado de la película......................................) *ugerencias did cticas....................................................................................) Actividad +, &eorema de los n-meros primos.................................................. /ise0o de 1./., 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria +
Actividad 5, 6actorial de un n-mero................................................................7 Actividad 3, N-meros perfectos.....................................................................+8 Actividad 4, N-meros amigos........................................................................++ Actividad %, /ivisibilidad................................................................................+% /ivisibilidad en los n-meros naturales......................................................+% /ivisores de un n-mero.............................................................................+% !-ltiplos de un n-mero.............................................................................+) N-meros primos 3 compuestos .................................................................+) 2riterios de divisibilidad ............................................................................+. 6actori'ación de un n-mero.......................................................................+7 !ínimo com-n m-ltiplo 3 m 9imo com-n divisor .....................................+7 2riba de Erastótenes..................................................................................+: Algoritmo de Euclides................................................................................58 ;dentidad de <('out ..................................................................................58 "roblemas para aplicar..............................................................................55 Autoevaluación..........................................................................................55 Aprendi'aje afectivo......................................................................................54 Los profesores alcan'an la inmortalidad a trav(s de sus alumnos............54 El test del buen profesor ...........................................................................54 1n test para el alumnado ..........................................................................5% Actividad ), =esolución de problemas...........................................................5. Actividad ., N-meros triangulares................................................................5: /efinición...................................................................................................5: >eb?uest..................................................................................................5: >eb?uest +, @En Au( terminan los n-meros triangularesB...................5: >eb?uest 5, =econocimiento de n-meros triangulares........................38 >eb?uest 3, Avan'ando un poco. N-meros poligonales.......................3+ Actividad 7, &ipos de n-meros naturales.......................................................35 Otros tipos de n-meros..............................................................................34 Actividad :, Lenguaje matem tico. La Cistoria de los n-meros....................3) :.+. Aritm(tica 3 lenguaje num(rico..........................................................3) :.5. Cistoria de nuestro sistema de numeración.......................................3: :.3. Cistoria de nuestros símbolos aritm(ticos..........................................4+ :.4 *istemas de numeración Distóricos.....................................................45 :.4.+. El *istema de Numeración <abilonio............................................45 :.4.5. El *istema de Numeración Egipcio...............................................43 :.4.3. El *istema de Numeración 2Dino.................................................43 :.4.4. El *istema de Numeración Eriego................................................44 :.4.%. El *istema de Numeración romano..............................................44 :.4.). El *istema de Numeración !a3a..................................................4%
/ise0o de 1./., 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria
The Professor and his beloved equation (English title)
D T!" T#$%&$!"
Dire'tor, &aFasDi Goi'umi (uionista, &aFasDi Goi'umi basado en la novela de HoFo OgaIa )o, 588) Dura'ión, + D %. min *e'ha de estreno, 5+ de enero de 588) JJapónK &nt+rpretes, AFira &erao J"rofesorKL Eri 6uFatsu JG3oFoKL &aFanari *aito J=oot M jovenKL CidetaFa HosDioFa J=ootKL =uriFo AsaoFa J2u0ada del "rofesorKL CisasDi ;gaIa JAgente de la compa0íaK
N1na Distoria de amorL amistad 3 transmisión del saber...O *e nos cuenta delicadamente la Distoria de una madre soltera Aue entra a trabajar como asisP tenta en casa de un viejo 3 Dura0o profesor de matem ticas Aue perdió la memoria en un acciP dente de cocDe Jmejor dicDoL la autonomía de su memoriaL Aue sólo le dura 78 minutosK. ApaP sionado por los n-merosL el profesor se ir encari0ando con la asistenta 3 su Dijo de +8 a0osL al Aue bauti'a N=ootO JN=aí' 2uadradaO en ingl(sK 3 con Auien comparte la pasión por el b(isbolL Dasta Aue se fragua entre ellos una verdadera Distoria de amorL amistad 3 transmisión del saP berL no sólo matem ticoQ 2omo dice en su postfacio el profesor León Eon' le' *otosL NasistiP mos al emocionado ajetreoL de venerable filiación platónicaL entre la anónima dom(sticaL el tambi(n R@innombrableBR "rofesor 3 el pupilo =oot. Entre idas 3 venidasL tareas caseras 3 cuidados piadosos a su mu3 especial clienteL (ste va desvelando las arcanas relaciones num(P ricas Aue los datos cotidianos m s anodinos pueden encerrar.O
Dttp,SSIII.lecturalia.comSlibroS+744%SlaPformulaPpreferidaPdelPprofesor
,oko !ga-a nace en OFa3ama en +:)5. Estudia en la 1niversidad >aseda de &oF3o. En +:7) inicia una carrera de escritoraL inspirada por sus lecturas de los cl sicos niponesL #El diario de Ana Frank# 3 las obras de Gen'aburo O(. Ha con su primera novelaL #$uando la mariposa se des'ompone$L obtiene en +:77 el prestigioso "remio GaienL 3 desde entonces su fama no Da DecDo m s Aue crecer en el e9tranjero. En +::+L logra el gran premio AFutagaIa por #El em. bara/o de mi hermana$L Aue se convierte inmediatamente en un best–seller en su país. A partir de entonces todas sus obras son grandes (9itos de crítica 3 de p-blico en JapónL donde es indiscutiblemente el autorL en este caso autoraL de m s ventas. !ucDas de sus obras se Dan traducido a las principales lenguas occiP dentales. En 5883 publica #La fórmula preferida del profesor$L Aue obtiene varios premios Jel "remio YomiuriL el "remio de las Librerías Japonesas 3 el de la *ociedad Nacional de !ateP m ticas #Por haber mostrado la belleza de esta disciplina$K. A raí' del (9ito de la novela 3 de su adaptación al cineL a la radio 3 al cómicL en 588) coescribe con el matem tico !asaDiFo 6uP jiIara 1na introducción a las matem ticas m s elegantes. Actualmente vive con su familia en la antigua ciudad mercantil de GurasDiFi 3 se dedica e9clusivamente a la literatura.
&aFasDi Goi'umi nació el ) de Noviembre de +:44 en !ito JJapónK. Ca traP bajado como a3udante de AFira GurosaIa en películas como Dreams J+::8KL 0an J+:7%K 3 1agemusha J+:78K. *u filmografía se compone de % títulos, 2est 3ishes for Tomorro- J588.KL The professor and his beloved equation J588)KL Lettter from the 4ountain J5885KL fter the rain J+:::K 3 5ietnam J+:):K. El guión de After The rain es de GurosaIaL rodada un a0o despu(s de su muerte como Domenaje póstumo. La visuali'ación de (staL junto con The professor 6 nos permiten indicar algunas características del cine de &aP FasDi Goi'umi. El paisaje 3 la fotografía de la naturale'a son una parte imP
portante de sus obrasL integr ndose con sus personajes Aue en ambos casos conviven con un entorno natural respetado 3 no invadido por la mano Dumana. Los personajes femeninos admiten de forma resignada su e9istenciaL a veces supeditada a un marido o al cuidado de su Dijo por parte de madre soltera. Los protagonistas masculinos son educadosL tratando de respetar a los dem sL siendo en general bondadosos. No obstanteL el ronin no deja de defenderse cuando es atacado por un grupo de enemigos. El mundo Aue refleja el director est lleno de serenidad 3 belle'a me'clada con mucDa melancolía. "ara el p-blico juvenil se trata de un cine mu3 lentoL con escasa acción. Nuestro amigo Comer *impson entonaría r pidamente su famoso #Tme aburroU$L pero aporta una visión de la realidad diferente de la occidentalL con elementos mu3 valiosos para nuestro mundo educativo, respeto a los ma3ores JTincluidos los profesoresUKL el valor del silencio o el respeto a la naturale'a.
Justificación de la elección de esta película
Al Dilo del reciente descubrimiento de los primos de !ersenne 4%V 3 4)V se desarrollar n ciertas actividades relativas a la &eoría de N-merosL DaP ciendo (nfasis tambi(n en el uso de los logaritmosL del n-mero e 3 de las apro9imaciones. "or otro ladoL es interesante ver cómo son las aulasL las clasesL el alumP nadoL Q en otros paísesL en este caso JapónL así como conocer otro tipo de cineL con su propio ritmoL fotografíaL uso de las pausasL etc(tera.
*e proponen temas variados Aue pueden utili'arse tanto en la E.*.O. JcualAuier cursoK como en <acDillerato. /esde otro punto de vistaL intentamos Dacer una refle9ión sobre nuestro papel como docentesL nuestras motivaciones 3 la forma en Aue vemos a nuestros alumnos 3 alumnas J3 ellosSas nos ven a nosotrosSasK.
Objetivos did cticos generales
En esta película se introducen conceptos Aue permiten trabajar, +. Aspectos b sicos pero de actualidad sobre &eoría de n-meros, +. N-meros primos 5. /ivisibilidad 3. &ipos de n-meros 4. Origen Distórico %. Los n-meros #especiales$, πL eL i 5. 6actorial 3 Logaritmos. 3. 1so de las Nuevas &ecnologías, +. <-sAueda de información en internet, ▪ >iFipedia 3 >olfram !atDIorld. ▪ >eb?uest 5. 1tilidad del uso de fórmulas de apro9imación. 3. Empleo de la Doja de c lculo. 4. =esolución de problemas %. !ulticulturalidad 3 lenguaje matem tico
!etodología
/ependiendo del grupo con el Aue se est( trabajandoL puede ser aconsejable visuali'ar -nicaP mente los segmentos de película indicados. La pro3ección completa presenta varios inconveP nientes, sonido en japon(s con subtítulos en espa0olL la parte final casi no aporta contenidos matem ticos 3 para los interesados podría sugerirse Aue la vean fuera del Dorario lectivo. En caso de visionarla íntegraL puede ser interesante pro3ectarla sobre una pi'arra blanca e ir pausando el vídeo en aAuellos puntos interesantes para aprovecDar la escena imagen fija en nuestra e9plicación. "or ejemploL los carteles Aue =aí' va colocando en #su$ pi'arra cuando e9P plica el factorial permiten escribir el signo #9$ entre los n-merosL a3udando a nuestra e9plicaP ción complementaria. Otra alternativa es detener las escenas cuando =aí' o el profesor Dacen preguntas al aula o a la asistentaL respectivamenteL 3 ver si nuestros alumnosSas son capaces de responderles. Esto puede potenciar la implicación del alumnado en la película 3 reducir la sensación de lejanía Aue acarrea la diferencia de idioma.
+8.53.4% 8+. "untos de inter(s antes del visionado de la película Nos parece de suma importancia Aue el alumnado sepa de antemano Aue la película no Da sido doblada al castellano.88 88.53.88 88.5% 8+."untos #calientes$ del episodio O<JE&.4% 88. "or otro ladoL 3 al igual Aue con Alicia en el "aís de las !aravillasL se puede coordinar la activiP dad con el /epartamento de Lengua 3 LiteraturaL Daciendo la lectura del libro.38 8+.ncreíblementeL Demos e9perimentado con alumnos de +V de E*O 3 no Demos recibido ninguna Aueja.E!"O 88.%8 8+.55.88.85 88.88 88.3:. +.88 88.3:.4% 88. /estacamos Aue el cine japon(sL en su ma3oríaL tiene un ritmo lento 3 con abundancia de pauP sas.34.+% 8+.5).88 88.+3.%8 88.88 8+.85. La ma3oría de las actividades Aue proponemos encajan perfectaP mente en esos períodos #stand-by$ Aue aparecen.88 8+..+:.47.8:.88.+:. /ise0o de 1.+3.34.8% 88.+%.58.4% 8+.%5.+8 88.38 88. /e este modoL no nos es posible dar una temporali'ación #universal$L sino Aue (sta depender de Au( actividades 3 en Au( forma se pro3ecte la película en el aula.+8 88. *i se visiona completaL debe considerarse la opción de ir pausando la película en cada momento #crítico$L es decirL cuando se muestra un tema interesante Jver tabla anteriorK.88 88.88 88.5:.+8.54.+% 8+.4% 8+.57.%8 8+.37.+:.53. "ensamos AueL en este casoL no sólo somos nosotros los Aue motivamos a nuestros alumnosL sino Aue es un #profesor$ a-n m s especial el Aue nos estar a3udando a motivarlos.87. El respeto &emporali'ación La temporali'ación adecuada para esta película depende de si se reali'a el visionado completo o no.48 88.38 88./W2&.%%.%% 8+. Esto supone Aue el visionado Da de reali'arse con el #a0adido$L no siemP pre bien aceptadoL de la lectura de subtítulos. .88 88.+3.38 88.57.3% 88.58 88.%8 88.5).3:.3% 88. La multiculturalidad 5.+7.2O* 2ON2=E&O* Lenguaje !atem tico AunAue est presente en toda la películaL destaca en lo instantes siguientes 6actoriales &. Esto es enormemente positivo a la Dora de parar la pro3ección 3 proponer al alumno la reali'ación de algunas de las actividades Aue adjuntamos o las Aue el docente Aue imparte la clase considere oportuno.%8 88.88 8+.8).35.+8 N-meros primos 3 factori'ación La belle'a de una demostración N-meros amigos Cistoria 3 origen de los n-meros 1nidad imaginaria *emejan'a entre !atem ticas 3 Agricultura =esolución de problemas N-meros perfectos AbstracciónL concepto de recta 3 segmento La unidad 3 su definición !atem ticas en la vida cotidiana M 2ódigos secretos La e9presión de Euler 3 su e9plicación A lo largo de la película tambi(n se observa el comportamiento de los japoneses en el aula 3 en el trato a otras personas en función de su cargoL edadL Q "uede utili'arse como base para tratar.48 8+.8+.%5.8.47.4O* /.38 88. ?ui' s podría considerarse como una actividad dentro del "lan de Lectura Aue se est llevando a cabo en la actualidad en todos los centros.5:.3).++.38 88.88 88./..5:.38 88.%8. Esto permitiría anali'ar la fidelidad con la Aue #el cine$ adapta las obras literariasL con un debate acerca de cu l de las formas de arte es #mejor$.3% 8+.38 88.+%.88 88.58. La parte positiva es Aue el film es suficientemente lento como para Aue cualAuier alumno tenga tiempo a leer los citados subtítuP los sin ma3or problema.3% M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M 88.4% 8+. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria % .
1na de las características m s destacables de la película es su gran componente emocional. La aparición protagonista del n-mero e en la película nos invita a introducírselo a nuestros alumnos de un modo ameno e incluso estelar./. &odos Demos oído con freP cuencia a nuestros alumnos frases como. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria ) . Es el momento de perder el miedo a los problemas de !atem ticas. #A mí los problemas se me dan mal$ o #No profeL en el e9amen no pongas problemas$. *ugerencias did cticas La película Dace numerosas referencias a la &eoría de N-meros. Nos Dace meditar sobre puntos mu3 b sicos en el desarrollo de nuestra actividad docente en los AueL a veces por inerciaL no nos paramos a pensar. Esta actividad inclu3e aspectos Aue no siempre teneP mos en cuentaL como puede ser la importancia de la entonación en la lectura para la adecuada comprensión de un enunciado 3 la posterior resolución del problema. /ise0o de 1. • @*e te da bien resolver problemasB • @?u( pasos sigues cuando tienes Au( resolver un problemaB • @Lees detenidamente el enunciadoB • @E9traes los datos m s relevantesB • @.nterrelacionas los datos Aue aparecenB • @Eres ordenado en tu desarrolloB • @E9presas las soluciones con claridadB Esto nos permitir L con a3uda de la películaL corregir vicios 3 miedos Aue aparecen en la resolución de problemasL 3 Aue Dan sido adAuiridos durante largos a0os. A #=aí'$ de la películaL proponemos una actividad preciosa sobre las pautas m s recomendables para enfrenP tarnos a la resolución de un problema. "ropoP nemos Aue se les lleveL de forma guiadaL desde los primeros *istemas de Numeración conociP dos Dasta los Aue utili'amos en la actualidadL e9tendi(ndonos a los Aue para nuestra cultura son m s #e9tra0os$. Nos permite Dablar de n-meP ros primosL n-meros amigosL n-meros perfectosL n-meros triangularesL Q Las e9plicaciones del #profesor$ son claras 3 deliciosamente sencillas. 2on este finL sugerimos plantear a los alumnos la siguiente preguntas antes del visionado. "ara ello desarrollamos una actividad fabulosa sobre *istemas de NumeP raciónL con suficiente material para una e9posición clara 3 mu3 enriAuecedora. *ería mu3 recomendable Aue el profesor viera el film antes del visionado conjunto 3 programara su pro3ección para desarrollar temas comoL por ejemploL divisibilidad. • @2ómo perciben las !atem ticas nuestros a alumnos 3 alumnasB • @2ómo nos ven a nosotrosB • @2ómo nos vemos a nosotrosSas mismosSas como docentesB • @En Au( podemos mejorarB • Q Cemos e9traídoL tras cuidadosa recogida de datos en la redL una serie de rasgos Aue e9M alumnos de diferentes partes del mundo consideran imprescindibles en el perfil de un profesor. Esperamos Aue con esta aportación enriAue'camos nuestra competencia diaria 3L con elloL nuestras vidas 3 las de nuestros alumnos.Aspectos a comentar tras el visionado de la película AprovecDando la nacionalidad de la película 3 su e9otismo para nuestros alumnosL nos parece mu3 apropiado Dablarles de los distintos *istemas de Numeración Aue Da3 en el mundo. 2reemos apropiado dedicarle a este peAue0oPgran trauma un poco de tiempo 3L en lo posibleL ir cur ndolo..
.Actividad +. Desarrollo +./. &eorema de los n-meros primos .)+L4%%. 4erifica si la afirmación del profesor coincide con los c lculos reali'ados (u7a para la resolu'ión En primer lugar Da3 Aue Dacer ver la dificultad Aue entra0a el c lculo directo de la función πJnK. .11. "or -ltimoL se tiene Aue verificar si la afirmación del profesor coincide con los c lculos reali'adosL para comentar el problema Aue supone el diferente significado de billón en Europa 3 en EE. A continuación se e9plica la Dipótesis de EaussL m s adelante conocida como el teorema de los n-meros primos. aK <usca información en internet para completar la primera columna bK 1sa una Doja de c lculo para el resto de la tabla. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria . n +88 +888 +8) +8: +8+5 πJnK L  n = n ln n π  n − L  n  5. =ellena la tabla.ntroducción El profesor e9pone Aue el n-mero de primos menores Aue un billón es %L. /ise0o de 1. "ara enconP trar este valor deberíamos determinar todos 3 cada uno de los primos Aue Da3 en este intervaP lo. Eauss estableció la Dipótesis posteriormente demostrada de Aue el n-mero de primos menores Aue un n-mero nL denotado como πJnKL es apro9imadamente igual a. L  n = 4aterial ne'esario n ln n "referiblemente se desarrollar en un aula con ordenadores 3 cone9ión a internet. *in embargoL el famoso matem tico 2arl 6. "ara completar la primera columP na se tiene Aue buscar la información en internet 3 para el resto de la tabla se tiene Aue usar una Doja de c lculo. El siguiente paso es rellenar la tabla.
6actorial de un n-mero. 4aterial ne'esario "referiblemente se desarrollar en un aula con ordenadores 3 cone9ión a internet. . 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 7 ..8. 2ompletar la tabla. 1tili'ando la igualdad. El n-mero eL la base de los logaritmos naturalesL se puede calcular utili'ando la e9preP sión. 3. 5. e = 1 1 1 1    1! 2! 3! +.ntroducción El profesor le e9plica a su asistenta la definición de factorial. n . ?ueremos Dacer ver Aue el factoP rial de un n-mero crece mu3 r pidamenteL 3 pronto genera un n-mero mu3 grande.% +88 +%8 nU 2  n  n e n /ise0o de 1./. E9plica el significado de los puntos suspensivos. Desarrollo "ara observar la comprensión de la definición de factorial se plantear el ejercicio. @2u ntos sumandos son necesarios para obtener el n-mero e con 7 decimales coP rrectosB 5. 1⌊ log n ⌋ siendo ⌊ log n ⌋ la parte entera del logaritmo de n.Actividad 5. La fórmula para el n-mero de dígitos en base +8 Aue tiene un n-mero n es. log n ! = log 1 log2 log 3log  n −1 log n 3 la Doja de c lculoL determinar el n-mero de dígitos del factorial de +888 3. +. 2on una Doja de c lculo sólo se puede calcular directamente el factorial de un n-mero menor o igual Aue +. 2on una Doja de c lculoL determina el error relativo Aue se produce al apro9imar e con 5% sumandos.
2on una Doja de c lculo determinar el error relativo cometido al apro9imar el factorial de n por la e9presión %. 2ompleta la tabla.4.8. n +8 %8 ./. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria : . 2  n  n e n en los tres casos del ejercicio anterior. Los alumnos tienen Aue encontrar en internet una fórmula para el n-mero de díP gitos en base +8 de un n-mero.. /eber n ser capaces de calcular con a3uda de la Doja de c lculo log n ! =log 1log 2 log3  log  n−1 log n &ambi(n se sugerir el empleo de la apro9imación de *tirling log n ! ≈n log n −n /ise0o de 1. 1⌊ log n ⌋ 3 aplicarla en el caso de los factoriales.% +88 +%8 588 n! n 2 π n e  n /ígitos de n ! 2on la Doja de c lculo sólo se puede calcular directamente el factorial de un n-mero menor o igual Aue +.
ntroducción La asistentaL a partir de la idea de n-meros amigosL le cuenta al profesor su descubrimiento personal de Aue el n-mero 57 es igual a la suma de sus divisores propios. N-meros perfectos.ndica la condición para Aue un n-mero impar sea perfecto.112 . En la p gina III.org se describe la b-sAueda de estos primos 3 los premios Aue otorga la Elecronic Frontier Foundation a los descubridores de primos giganP tescos./.SSIII. . 4aterial ne'esario "referiblemente se desarrollar en un aula con ordenadores 3 cone9ión a internet. +.mersenne. &ambi(n se comentar el reciente descubrimiento del 4%V primo de !ersenne 3 su relación con los n-meros perfectos pares.esSsindecimalesSaritmeticaSiniaritmetica. @2u ndo un n-mero se llama primo de !ersenneB 3. Escribe las primeras parejas de n-meros amigosL su descubridor 3 el a0o en Aue se proP dujo.. 1tili'anP do la Doja de c lculo bus'ador de naturales Aue se encuentra en Dttp.667 −1 3 243. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria +8 . 1tili'ando la fórmula 3a conocidaL determina el n-mero de dígitos de los dos n-meros. 237.ndica la condición para Aue un n-mero par n =2 p −1  2 p −1  sea perfecto. Desarrollo *e sugerir la b-sAueda de información en la >iFipedia sobre los n-meros perfectos.Actividad 3. /ise0o de 1. . %.Dtm se locali'ar n los primeros n-meros perfectos. .609−1 4. 5.156. n =2 p − 1  2 p − 1  "ara Aue un n-mero par sea perfectoL 2 p −1 tiene Aue ser un n-mero primoL Aue se llama priP mo de !ersenne.Dojamat.
. . "it goras Di'o una importante declaración. – T2ontemplaQ esta Dermosa cadena de n-merosU *uma todos los divisores de 574 3 obP tienes 558. La cuestión es 558 3 574 Masí Aue borra el encerado 3 escribe ambos n-meP rosM @?u( opinasB G3oFo no sabe por dónde salirL ni lo Aue el profesor pretende con la preguntaL por lo Aue le Dabla del n-mero de dígitos Aue tienenL de la dificultad de distinguir 558 gramos de 578 en la carniceríaQ – 2omprende intuitivamente los n-meros desde el cora'ón Mle comenta el profesorM @*aP bes lo Aue es un divisorB – *íL eso creo. – @No es DermosoB &u cumplea0os 3 el n-mero grabado en mi reloj. antes de 2risto. – – @Os importaría descubrir alguna otra pareja de n-meros amigosB Mante el silencio de la claseM "or ciertoL los siguientes n-meros amigos m s cercanos son ++74 3 +5+8. Lo importante es pensar Aue lo Di'o sin darse por vencido.EO*U M3 escribe su nombre en la pi'arraL por supuestoL en japon(sM &ales parejas son mu3 raras. – El 58 de febrero Mresponde. TEn el institutoU Mdice un alumno. La primera persona Aue descubrió los n-meros amigos fue "it goras Me9plica =aí' en el enceradoM. Es'ena8 98:. – 558 Mremarca el profesorM T?u( n-mero tan encantadorU EcDa un vista'o a esto MenseP 0 ndole un reloj Aue le Dan dado en la 1niversidadM Ean( el "remio "residente por mi trabajo sobre la teoría trascendental de los n-meros Ma la ve' Aue le muestra el reverso del mismo. "od(is creerme cuando os digo Aue "aganini tenía +) a0os. 98:=8<9 El profesor trata de ense0arle la belle'a de las !atem ticas a G3oFoL así Aue le pregunta por su cumplea0os. T2uatro dígitosU Esta parejaL en +7))L "aganiniL un italianoL Nicolo "aP ganini descubrió esta pareja. H siguen comentando cosas acerca del origen de los n-P merosL en generalL para volver al tema de los n-meros amigos.. *on n-meros vinculados por la voluntad de /ios. El profesor empie'a a escribir todos los divisores de 558L e9ceptuando el propio n-meroL ante la sorpresa de la cDicaL por reali'arlos mentalmente 3 con gran facilidad. =ecuerdo Daberlos estudiado. – THa est U Mdice satisfecDaL preocupada por Dacer las sumas correctamente 3 sin fijarse e interpretar los resultados. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria ++ . – "remio "residente n-mero 574 Mlee G3oFoM @?uiere decir Aue usted fue el 574 Aue lo recibióB – *upongo. *uma todos los divisores de 558 3 obtienes 574 Mante la sorpresa de G3oFo Aue mira incr(dulaM T*ON NX!E=O* A!. – – /ise0o de 1. +L 5L 4L .Actividad 4. N-meros amigos 4amos a reproducir la escena 3a Aue nos muestraL de una forma mu3 did cticaL dentro del arP gumento de la propia películaL Au( son los n-meros amigos. +L 5L 4L %L +8L ++L 58L 55L 44L %%L ++8 A continuación 3 de la misma maneraL los divisoP res de 574.+L +45 – T*-malosU Mpide el profesorM T&ómate tu tiempoU M3 G3oFo empie'a a sumarL los primeros mentalmente 3 los -ltimos con el algoritmo de la suma..8:< . A continuación se vuelve al presente 3 vemos a =aí' e9plicando los n-meros amigos a sus alumnos. En el siglo 4./. Los números son la esencia de las cosas.ncluso 6ermat 3 /escartes descuP brieron un par cada uno.
. Los comentaristas de las Escrituras locali'aron el n-P mero 558 en el n-mero de cabras Aue Jacob dio a Esa-../.^ + _ 5 _ +. Estos dos n-merosL el 558 3 574L fueron conocidos 3a por los pitagóricos 3 se consideraban como símbolos de amistad. "ara n [ + la terna ]pL L r^ es ]5L %L +. a [ 5n \ p \ b [ 5n \ r @*er n verdaderamente 58 3 34 amigosB /ivisores de 34L e9ceptu ndolo a (l. *abia elecciónL Dicieron notarL porAue siendo 558 uno de los integrantes del par amigoL era e9presión del afecto Aue Jacob sentía por Esa-.O.$omentario A trav(s de la películaL adere'ado con una serie de pinceladas DistóricasL descubrimos este tipo de n-meros. ]+L 5L 4L %L +8^ + _ 5 _ 4 _ % _ +8 [ 55 TNo son amigosU @?u( fallaB /ise0o de 1. Cagamos unas tablas de valores para n [ + Dasta n [ ) con las funciones se0aladas arriba p [ 3 \ 5n M + M + [ 3 \ 5n M + r [ : \ 5 5n M + M + b [ 5n \ r 3 r sean primosL de forma AueQ $aso n > . ]+L 5L +.L siglos de luP ces 3 sombras en cuanto a las matem ticasL 3 redescubierto por 6ermat en +)3). a [ 5n \ p \ siempre 3 cuando pL 3 p [ 3 \ 5n M + M + [ 3 \ 5n M + r [ : \ 5 5n M + M + No todos los n-meros amigos se obtienen con esta fórmulaL pero sí son amigos todos los n-P meros Aue se obtienen con la fórmula.^L 3 vemos Aue los 3 son primosL por lo tanto definiP mos las dos nuevas variables a 3 b como n-meros amigos 3 miramos su valor para 9 [ +. [ 58 T4amos bienU /ivisores de 58L e9ceptu ndolo a (l.5:) 3 +74+) es el siguiente par de n-meros amigosL descubierto en el siglo Y. 4amos a reali'ar esta actividad con la a3uda de una Derramienta de f cil uso 3 mu3 accesible como lo es una calculadora de la gama E* de 2A*. 6ermat traP bajó el tema 3 estableció Aue para cualAuier n Z +L a 3 b ser n amigos siendo. 'tividad 'on 'al'uladora +.. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria +5 .
NO es primo J57.\4+K $aso n > @ La terna ]pL L r^ cuando n [ 4 es. $aso n > ? "ara n [ 3 la terna ]pL L r^ es. $aso n > < *i Dacemos n [ % la terna ]pL L r^ es.L ++%+^ 53 es primo 4..+^ % es primo ++ es primo .^ 4. 6ermat retó a /escartes a encontrar otro par de amigosL pero la tarea era complicada pues en aAu(l entonces las operaciones se reali'aban a mano. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria +3 .^ ++ es primo *eguimos buscando 53 es primo 57./.. es primo :% NO es primo 4)8. es primo ++%+ es primo 3L como vemos Aue los 3 son primosL definimos otra ve' las variables a 3 b como n-meros amiP gos 3 miramos su valor para n [ 4 a [ 5n \ p \ b [ 5n \ r Cubo Aue esperar Dasta +)3) para Aue se descubrieran este otro par de n-meros amigosL +. no nos molestamos /ise0o de 1. ]%L ++L .+ es primo 3 vemos Aue los 3 son primosL por lo tanto definimos las dos nuevas variables a 3 b como n-P meros amigos 3 miramos su valor para n [ 5 a [ 5n \ p \ b [ 5n \ r @*er n verdaderamente 558 3 574 amigosB No Dace falta comprobarloL 3a Aue lo Demos visto demostrado en la película. ]4.5:) 3 +7.L :%L 4)8.4+) Dallados por el gran "ierre de 6ermat. ]53L 4.¡Hay que leerse los enunciados detenidamente! Para n>1 $aso n > : 4eamos para n [ 5L @pL 3 r son primosB "ara n [ 5 la terna ]pL L r^ es. ]++L 53L 57. [ .
@?ui(n es Aui(nB 5.Y encontró esa regla para obtenerlos.3)3. *i un n-mero es amigo de sí mismoL se dice Aue es un an-mero perfectoa.bn ?urra en el siP glo . @2onoces alP gunoB 3.. /ise0o de 1. &anto 6ermat como =en( /escartes redescubrieron independientemente uno de otro esa regla para construir pares de n-meros amigos. &odos los grandes matem tiP cos se saltaron la pareja ++74 3 +5+8 descubierta a0os m s tarde por "aganini. =ese0ar Aue no todos los amigos se obtienen con esta fórmula./. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria +4 . <usca alguna referencia de 6ermatL /escartes 3 "aganini a los n-meros amigos.8%). L r^ 'tividades de investiga'ión +.$aso n > < /e nuevo nos preguntamosL @pL 3 r son primosB ADora Dacemos n [ )L 3 la terna ]pL Aue Dallamos es ]:%L +:+L +743+^ :% NO es primo H A*` *EE1. <usca m s parejas de n-meros amigos.=`A!O* <1*2AN/OL dependiendo de la paciencia de cada uno. Eracias a ellaL /escartes no se dio por vencido 3 enP contró un tercer par..43.%74 3 :. :. En Donor a la verdad debemos reconocer Aue 3a el matem tico rabe &Dabit .
En este caso se cumple /[d\c_r siendo / [ dividendoL d [ divisorL c [ cociente 3 r [ resto. 3.  )3 es divisible por :.  : es divisor de )3. EAer'i'ios +. 4.) 3 +)L +75 3 +:L 355 3 +7L e9iste alg-n criterio de diP visibilidad. Calla todos los divisores de +)L 54L 3) 3 %4. El n-mero a no es divisible por %. *abiendo Aue el n-mero a es divisible por 4L Dalla a si el cociente de la división es 5:. 'ión de divisibilidad. 5. 2omprueba si entre las parejas 4. / d r c /[d\c_r • • Ejercicios +. *i un n-mero es divisible por otroL @cu l es el resto de la divisiónB 4.. Calla a si el cociente de la división es 37 3 el resto :. 1n n-mero a es divisor de otro n-mero b si la división de b entre a es e9acta.Actividad %. En este caso se cumple Aue /[d\c siendo / [ dividendoL d [ divisor 3 c [ cociente.  : es m-ltiplo de )3. 1na división es ine9acta o entera si su resto es distinto de cero./. /ivisibilidad 2uando el profesor le muestra a la asistenta su reloj 3 le pregunta su fecDa de nacimientoL coge los dos n-meros 3 los escribe en la pi'arra junto con otros Aue va obteniendo Q El profesor dice Aue #sólo est utili'ando la intuición$L pero Q @Dabr algo m sB /ivisibilidad en los n-meros naturales • 1na división es e9acta si su resto es cero. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria +% . El dividendo de una división es 5+4L el divisor 5+ 3 el cociente +8. @"or Au( n-meros es divisible +44B 3. @Es divisible 5+4 por 5+B /ivisores de un n-mero La asistentaL Aue 3a sabe algo m sL le pregunta. 2uando la división entre dos n-meros es e9actaL decimos Aue e9iste entre ellos rela. *i )3 es m-ltiplo de :L @cu les de las siguientes afirmaciones son ciertasB  )3 es divisor de :. 5. /ise0o de 1.
. @*on todos los m-ltiplos de +% m-ltiplos de 3B N-meros primos 3 compuestos Antes de esta escenaL =aí' dice a sus alumnos 3 alumnas. • *i un n-mero tiene m s de dos divisoresL decimos Aue es un n-mero compuesto. @?u( esB @?u( puedes observar en la serie. Euclides reali'ó la primera demostración alrededor del a0o 388 a. #Estos n-meros primos .. +547 +3: + 5 % +8 + ++ + 5 3 4 ) +5 + +3 + 5 . 4. Calla los m-ltiplos de 4 menores Aue %8..L ++L +3L +. Escribe el primer m-ltiplo de 35 Aue sea ma3or Aue 5888.L Q Aue tienen en com-n todos ellosB =aí' tambi(n nos e9plica Aue los símbolos Aue usan en japon(s para representarlos significan #aut(nticos$L #genuinos 3 sin adornos$L Q @Au( Auiere decir con elloB • 1n n-mero a es primo si solo tiene dos divisores..$ 3 tambi(n escribe una serie de n-meros en la pi'arraL pero esta ve' pasa algo distinto con ellos. 2. (l mismo 3 la unidad. 555 33 5% ++ 553 +3 5. EAer'i'ios +. 3% 5555 *a'tores primos + +5 +3 +54 +% +53) +. No se considera un n-mero primo pero tampoco compuesto.L 53L 5:L 3+L 3. /ise0o de 1. +4 + 3 % +% + 5 4 7 +) Divisores 2omo nos dijo =aí'L e9isten infinitos n-meros primos. 7 : +8 ++ +5 +3 +4 +% +) 5 3 55 % 53 . • La siguiente tabla muestra los factores primos 3 divisores de los +) primeros n-meros. Tabla de fa'tores primos B divisores %Cmero + 5 3 4 % ) . Calla los m-ltiplos comunes de % 3 7 3 menores Aue %8./. 5L 3L %L . 3. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria +) . Calla los m-ltiplos de ++ comprendidos entre 48 3 +88.!-ltiplos de un n-mero 1n n-mero b es m-ltiplo de otro n-mero a si la división de b entre a es e9acta. Calla los ) primeros m-ltiplos de 4. %. Calla un n-mero entre 53% 3 57: Aue sea m-ltiplo de 5:. ). • El n-mero + sólo tiene un divisorL (l mismo. 5..
EAer'i'io +. *i los -ltimos 3 dígitos son divisibles por 7L el n-mero tambi(n lo es. *i el n-mero es divisible entre 3 3 4L tambi(n es divisible entre +5. Escribe los n-meros primos comprendidos entre 38 3 +88. 5L 4LL )L 7L +8L +5L +4L +)L +7L Q bK <. *i el n-mero es divisible entre 5 3 3L tambi(n es divisible entre )./. *i la suma de sus cifras es m-ltiplo de 3.. EAer'i'ios +. "on un ejemplo. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria +. %L +8L +%L 58L 5%L 38L Q cK . 3.Otros matem ticos Dan demostrado la infinitud de los n-meros primos con m(todos diversosL cont ndose entre ellos Wlgebra 2onmutativa 3 &opología. 1n n-mero de dos cifras es divisible por 3. Divisible por6 $riterio de divisibilidad 5 3 4 % ) *i la -ltima cifra es 8 o par. +8L 58L 38L 48L %8L Q dK ?. *i la -ltima cifra es 8. Los siguientes n-meros son m-ltiplos del Aue comien'a la serie. <orra el -ltimo dígito del n-meroL entonces resP ta : veces el dígito borrado del n-mero restanP te. .5 5. . *i tiene m s de dos cifrasL acabas antes DacienP do la división. *i lo Aue Aueda es divisible entre +3L entonP ces el n-mero original tambi(n lo es. 2ompleta la siguiente tabla. *i la suma de los dígitos es divisible entre :L el n-mero tambi(n lo es. @Eres capa' de enconP trar una relación entre ellosB aK :. %Cmeros 33 3: )+ . Divisores +L 3L ++L 33 Primo D $ompuesto 2ompuesto 2riterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas Aue nos permiten reconocerL sin reali'ar la divisiónL si un n-mero es divisible por otro. @*e puede decir Aue es primoB 5.9. 7 : +8 ++ +5 +3 /ise0o de 1. *i los dos -ltimos dígitos son divisibles por 4 *i la -ltima cifra es 8 ó %. +. Jinclu3endo al 8KL el n-mero tambi(n lo es. 3L )L :L +5L +%L +7L 5+L 54L 5. *i la diferencia entre la suma de las cifras de luP gar para 3 la suma de las de lugar impar es 8 o m-ltiplo de ++. &oma el -ltimo dígitoL duplícalo 3 r(stalo del resto del n-meroL si el resultado es divisible enP tre .L Q Lo Aue Das encontrado se llama 'riterios de divisibilidadL 3 para los primeros n-meros son los siguientes.
*i a 3 b no tienen divisores comunes entoncesL mcdJaLbK [ + 3 mcmJaLbK [ ab. "ara factori'ar un n-mero dividimos por cada uno de los n-meP ros primos J5L 3L %L QK 3 nos Auedamos con el cocienteL el cual lo volvemos a dividir por el misP mo primo mientras podamos Jcuando no sea divisibleL pasamos al siguiente primoK. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria +7 . La medida del lado de la baldosa tiene Aue #caber$ un n-mero e9acto de veces en .L7 m de largo por 3 m de ancDo se Auiere alicatar con baldosas cuadradas lo m s grandes posibles. *a'tori/ar un n-mero es descomponerlo en factores primosL es decirL e9presarlo como proP ducto de sus divisores primos.K de dos o m s n-meros es el menor de los m-ltiplos comunes. @Ca factori'ado ambos n-merosB La respuesta es no. +58 [ 53 \ 3 \ % EAer'i'ios +. /escompón los siguientes n-meros en producto de factores primos. &e dar s cuenta de la importancia de conocer las reglas de divisibilidad para no Dacer m s operaciones de la cuenta. @2u l es la descomposición en factores primos de un n-mero primoB !ínimo com-n m-ltiplo 3 m 9imo com-n divisor • • • El mínimo com-n m-ltiplo Jm. dK +%+ eK 35% fK 55) gK 485 DK +37 iK +588 5.78 cm 3 388 cmL luego Da3 Aue buscar n-meros Aue dividan e9actamente a las ve' a amP /ise0o de 1.c.m./.c. Ejemplo. 6actori'ación del n-mero +58 +58 5 )8 5 38 5 +% 3 % % + El resultado es.d..K de dos o m s n-meros es el ma3or de sus divisores comunes.6actori'ación de un n-mero =ecuperemos la escena del profesor delante de la pi'arra con los n-meros 558 3 574 3 sus diP visores. El m 9imo com-n divisor Jm. 1na Dabitación rectangular de . @2u nto deber medir el lado de cada una si al colocarlas no se Auiere romper ningunaB "ara Dacer los c lculos con n-meros naturales vamos a e9presar los c lculos con centíP metrosL . aK %) bK +88 cK +7. EAemplos +.78 cm de largo 3 388 cm de ancDo.
bos n-meros Jdivisores comunesK. 5./. "or tantoL la capacidad del recipiente de menor capacidad es de +5 litros.%L :8 3 +8% 5. *e van a poner plaAuetas cuadradas del ma3or tama0o posible en un aula rectangular de +5 m de largo por +8 m de ancDo. Los cromos se venden en sobres de % cromos cada uno. Esto se Dace recorriendo una tabla de n-meros usando el siguienP te algoritmo.78 3 388. EAer'i'ios +.K. "or tantoL el lado de cada baldosa cuadrada deber medir )8 cm JmcdJ388L. 1n Delicóptero transporta víveres a un refugio de la monta0a cada +8 díasL 3 otroL cada 7 días.. @2u l es el n-mero de tro'os igualesL de tama0o m 9imoL Aue se puede Dacer con los rollos de cuerdaB 2riba de Erastótenes Al presentarse por primera ve' la sirvienta en la casa del profesorL (l le pregunta por su n-meP ro de tel(fono. aK +) 3 54 bK 4% 3 . M @Cas dicDo %L.5 cK +5 3 3) dK 57 3 4: eK 7L +5 3 +7 fK +)L 58 3 57 gK 4%L %4 3 7+ DK 48L 4% 3 %% iK .B 3. El n-mero de litros del recipiente tiene Aue ser m-ltiplo de 3L 4 3 )L 3 como tiene Aue ser el de menor capacidad posibleL entre todos los m-ltiplos comunes se elige el menor de ellos. Luego Da3 Aue calcular el mínimo com-n m-ltiplo de esos tres n-merosL 3L 4 3 )L obteniendo Aue mcmJ3L4L)K [ +5. Ella responde r pidamente #%. *e dispone de dos rollos de cuerda Aue tienen +44 3 +58 m de longitudL respectivamenP te. 2alcula la capacidad del menor recipiente Aue puede llenarse con el líAuido de un n-P mero e9acto de garrafas de 4L 3 o ) litros. "ero como la baldosa tiene Aue se lo m s grande poP sibleL Da3 Aue elegir el ma3or de los divisores comunes. Los cromos se venden en sobres con % cromos cada uno. aK @2u l es el tama0o de cada plaAuetaB bK @2u ntas plaAuetas se pondr nB %.)+L4%%B @"ero cómoB TEs magníficoU Q @2ómo podemos conocer todos los primosB La 2riba de Eratóstenes es un procedimiento para determinar todos los n-meros primos Dasta cierto n-mero natural dado. *uponiendo Aue no se repita ning-n cromoL @cu ntos sobres tiene Aue comprar como mínimoB 4.)M+4%%$L pero (l lo modifica preguntando.78K [ )8K. Este n-mero es el m 9imo coP m-n divisor de . 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria +: . • Empe'amos en el n-mero 5L resaltamos el n-mero 5 como primo pero tacDamos todos los m-ltiplos de 5 Jes decirL tacDamos 4L )L 7L etc. /ise0o de 1. @"uede comprar +% cromosB @H +. • *e contin-a con el siguiente n-mero no tacDado en la tablaL en este caso el n-mero 3L resaltamos el n-mero 3 como primo 3 tacDamos todos los m-ltiplos de 3 Jes decir taP cDamos )L :L +5L etc. !aría est Daciendo una colección de cromos. Juan tiene un lbum de +78 cromos.K. Calla el mínimo com-n m-ltiplo 3 el m 9imo com-n divisor de los siguientes n-meros. *i los dos Delicópteros Dan coincidido Do3L @cu ntos días tardar n en volver a coincidirB ).
.5 +. ). 3..) :) +. + 5+ 4+ )+ 7+ 5 55 45 )5 75 3 53 43 )3 73 4 54 44 )4 74 % 5% 4% )% 7% ) 5) 4) )) 7) .d.. El m 9imo com-n divisor de a 3 b es el mismo Aue el de b 3 r. +87 +8: ++8 +++ ++5 ++3 ++4 ++% ++) ++. +47 +4: +%8 +%+ +%5 +%3 +%4 +%% +%) +%. 5. +77 +7: +:8 +:+ +:5 +:3 +:4 +:% +:) +:.: :: 58 48 )8 78 +88 +8+ +85 +83 +84 +8% +8) +8.: +78 +7+ +75 +73 +74 +7% +7) +7. :.% +.4 :4 +% 3% %% . "aso + 5 3 !pera'ión 55% dividido entre )8 es 3 3 sobran 4% )8 dividido entre 4% es + 3 sobran +% 4% dividido entre +% es 3 3 sobra 8 "ignifi'ado mcdJ55%L)8K [ mcdJ)8L4%K mcdJ)8L4%K [ mcdJ4%L+%K mcdJ4%L+%K [ mcdJ+%L8K[+% . 4. +:7 +:: 588 Algoritmo de Euclides Al dividir a entre b Jn-meros enterosKL se obtiene un cociente A 3 un resto r. 4. H el m 9imo com-n divisor de cualAuier n-mero a 3 8 es precisamente a. aK +7L 3) 3 .3 +.% bK +4L 45 3 %) cK 5. +37 +3: +48 +4+ +45 +43 +44 +4% +4) +4. +7 37 %7 . Escribe 558 como producto de factores primos.4 +.L 3) 3 )3 /ise0o de 1. +)7 +): +. a9_b3[d donde los n-meros 9 e 3L no se determinan de forma unívoca. . 2alcula el m. JP+K \55% _ 4\)8 [ +% 3 tambi(n 9 [ P% e 3 [ +: JP%K \55% _ +:\)8 [ +% EAer'i'ios de amplia'ión +. 4amos a ver Aue se cumple para el ejemplo anteriorL teníamos./.• El siguiente n-mero no tacDado en la tabla es el %L resaltamos el n-mero % como primo 3 tacDamos todos los m-ltiplos de % Jes decir tacDamos +8L +%L 58L etc. de cada grupo de n-meros.+ :+ +5 35 %5 . 7 57 47 )7 77 : 5: 4: ): 7: +8 38 %8 .3 :3 +4 34 %4 .5 :5 +3 33 %3 .+ +. @4erdadero o falsoB aK 5% es divisible por % bK +88 es m-ltiplo de % cK 3 es divisor de 54 dK 5 es m-ltiplo de +) 5.K Ese es el resultado del proceso en una peAue0a tabla de n-meros Dasta el 588. 7. +57 +5: +38 +3+ +35 +33 +34 +3% +3) +3.8 :8 ++ 3+ %+ . +%7 +%: +)8 +)+ +)5 +)3 +)4 +)% +)) +). @2u nto Da de valer el signo b para Aue el n-mero 5b7 sea m-ltiplo de 3B @H para Aue lo sea de 5B %. ++7 ++: +58 +5+ +55 +53 +54 +5% +5) +5. mcdJ55%L)8K [ +% entonces podemos considerar 9 [ P+ e 3 [4 3 se cumple. <usca todos los divisores de 5)L 37 3 )%.7 +.dentidad de <('out La identidad de <('out enuncia Aue si a 3 b son n-meros enteros con m 9imo com-n divisor dL mcdJaL bK [ dL entonces e9isten enteros 9 e 3 tales Aue.7 :7 +: 3: %: . 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 58 . 3.% :% +) 3) %) .8 +.c. +.) +. 4amos a ver un ejemplo calculando el m 9imo com-n divisor de 55% 3 )8. %.
/efine Au( es un n-mero primo.). Escribe % n-meros primos.m.L5:L)5^ 58.. aK A..]3L+%L+. +5. . +%. 3 +5 58 +4 7 38 % 4% 5 )8 +8 ) +% +.ndica cu l de los siguientes conjuntos tiene la propiedad de ser m-ltiplo de un cierto n-mero natural.]8L.]8L3%L:)L4+L5. de los siguientes n-meros. 54 es divisible por +L 54L 5L 3L 4 3 ).d. /escompón estos n-meros en factores primos.c.c. Escribe 3 divisores de cada uno de los siguientes n-meros. aK 4 3 ) bK 58 3 38 cK 4 3 7 dK +5 3 54 eK +5 3 +: fK . 38 _ 55% _ +8% 5+. 2alcula 4 m-ltiplos de cada uno de las siguientes cifras.^ dK /..c. /escompón en factores primos el n-mero 4:8 +7. Calla el m./. ++. Los alumnos de una clase pueden formar grupos de 5L 3L % 3 ) personas. .5 3 +87 bK %)8 3 %77 cK 4)L )3 3 :7 . 3 ++ +8. 2alcula el m. @Es el cero. +3.]%L54L33L)+L+7L5+L3.5 3 74 gK :8 3 +58 DK 54 3 %8 +). Escribe % n-meros compuestos.ndica de los siguientes n-meros cuales son primos. aK . /escompón los siguientes sumandos en factores primos 3 saca el ma3or factor com-n. 3% 53 +% 74 +58 :7 +7 +54 )) +7 45 :% . *e0ala por Au( n-meros son divisibles las siguientes cantidades. 3 el m.% . de.+L :5L +55L +%48+ +. Ejemplo. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 5+ .8 +88 )3 +85 5) 57 +4. /efine Au( es un n-mero compuesto. 1na tienda de animales envía 54 canarios 3 3) periAuitos en jaulas igualesL sin me'clarP losL de modo Aue en todas Auepa el mismo n-mero de animales.) %% 3% 4: 388 .. @2u ntos alumnos ser n como mínimoB 7.L4%L53L8L+4^ bK <. @2u ntos animales deP ben ir en cada jaula si su n-mero es el ma3or posibleB :. )3L . aK m-ltiplo de alg-n n-meroB bK divisor de alg-n n-meroB cK @/ebe ser tenido en cuenta el 8 como factor a la Dora de ser descompuestos en facP tores primos cualAuier n-meroB +:. /escompón en factores primos los siguientes n-meros +4%)8 +7:8 ):7%44 /ise0o de 1.L4:L%)L74L:+L:7^ cK 2.m.
m. 2alcula el m. *i coloca +5 bombillas en cada cajaL AueP dar n 3 sin colocar. *e0ala cu les de los siguientes n-meros son primos 3 escribe los compuestos como producto de dos n-meros./.. En el patio del colegio Da3 m s de 48 alumnos 3 menos de %8. En una biblioteca Da3 entre +%8 3 588 libros. /escompón en factores primos. / J)8K [ ]+L 5L 3L 4L %L )L +8L +5L +%L 58L 38L )8^ Los divisores ma3ores Aue 3 3 menores Aue +5 son. Escribe todos los n-meros primos comprendidos entre cada par de n-meros. 2elia tiene aDorrados +48 euros 3 Auiere tener su dinero en billetes del mismo valor.L 555L ++%L +78L indica. 3. El profesor los Auiere coP locar en filasL de modo Aue Da3a el mismo n-mero de alumnos en cada fila. Los m-ltiplos de 5 Los m-ltiplos de 3 Los m-ltiplos de % ). @/e cu ntas maneras se pueden colocar 4.d. Escribe los +8 primeros m-ltiplos de . @2u nto medir cada tro'oB +8..3L 547L +%8L )5. Luego podr cuatro maneras. /eseamos partir dos cuerdas de 58 m 3 38 m en tro'os iguales lo m s grandes posible 3 sin desperdiciar nada.c. dK ). aK @2u ntas Auedarían sin colocar si pusiera ) en cada cajaB @H si pusiera sólo 4B bK Ca3 menos de +88 bombillas 3 su n-mero es capic-a. *ólo puede Dacerlo de tres maneras. +44 3 55% .. bolígrafos en estucDesL de modo Aue cada estucDe tenga el mismo n-mero de bolígrafosB 3. 5. @/e cu ntas formas puede DacerloL si Auiere Aue cada paAuete tenga m s de 3 libros 3 menos de +5B 0espuesta "odr poner en cada paAuete tantos n-meros como divisores tiene )8. aK 5+ bK 53 cK ). 3 el m.c. colocarlos de EAer'i'ios +. Escribe los divisores de 47L %4 3 +88. *i la línea A pasa cada 54 minutos 3 la línea <L cada 3)L @a Au( Dora despu(s de las sieteL vuelven a coincidir las salidasB /ise0o de 1. aK 54 3 3) bK %8L +88 3 +5% 7. de. Las lineas de autobuses A 3 < inician su actividad a las siete de la ma0ana desde el mismo punto de partida. @2u ntos alumnos Da3 en el patioB 4. !aría est guardando los adornos de Navidad. 4L %L ) 3 +8. @/e cu ntas formas puede DacerloB 5. @2u ntos son e9actamente si pueden agruparse en cajas de %L de :L de +% 3 de +7 unidadesB :. aK 48 3 %8 bK 78 3 +88 cK +88 3 +58 4. eK %3 fK 3% %."roblemas para aplicar Problema resuelto Wlvaro tiene )8 libros 3 Auiere empaAuetarlos poniendo el mismo n-mero de libros en cada paP Auete. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 55 . @2u ntas bombillas Da3B Autoevaluación +. /e aK bK cK todos estos n-meros 53+L 3.
2omo era un caballeroL decidió no pregunt rsela direcP tamente a ellaL por lo Aue recurrió a uno de los sacerdotes egipcios para Aue le resolviera la duda.correodelmaestro./. admiradores 3 por tanto su edad es 4 9 . – @No me puede dar m s datosL como por ejemploL cu ntos admiradores tiene 2leopatraB Mpreguntó confundido el emperador romano. Es decirL 2leopatra tiene .comSanterioresS+::7Smar'oSsinum55. +L 5L 4L n 3 5nc (stos son los -nicosL puesL como n es primoL sus -nicos divisoP res son + 3 n. 3 +4L 3 57 [ + _ 5 _ 4 _ . entonces n[. @2u l era la edad de 2leopatra en ese momentoB "olu'ión Obviamente 2leopatra tiene 5 bra'os 3 5 piernas.Dtm 1no de los emperadores romanos miraba embelesado a 2leopatra el día en Aue la conoció 3 mientras tanto se preguntaba su edad. 2omo este n-mero es perfectoL es igual a la suma de sus divisores propios. Así pues.Problema8 verigua la edad de $leopatra Dttp. Los divisores propios de 57 son +L 5L 4L .SSIII. – !ultipliAue el n-mero de los bra'os por el n-mero de piernas de 2leopatra 3 luego por el n-mero de sus admiradoresL Aue es un n-mero primoc al resolver esta sencilla operaP ción obtendr la edad de la emperatri'. 4n [ . /ise0o de 1. =ecordemos Aue el sacerdote dijo Aue ella era perfecta 3 suponiendo Aue el n-mero de sus admiradores es nL entonces la edad de 2leoP patra es 5 9 5 9 nL es decirL 4n. _ +4. 4eamos Aue 57 esL en efectoL un n-mero perfecto. El sacerdote sonriendo sarc sticamente le respondió lo siguiente._ 3n llevando el 3n al miembro i'Auierdo 4n M 3n [ . 4n [ + _ 5 _ 4 _ n _ 5n agrupando t(rminos.[57 a0os. Los divisores proP pios de 4n son. – <ueno Mdijo el sacerdoteM le puedo decir Aue la emperatri' es perfecta 3 Aue adem s su edad es un n-mero perfecto. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 53 ..
. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 54 . Los profesores alcan'an la inmortalidad a trav(s de sus alumnos #El dominio afectivo en el aprendi'aje matem tico es un concepto relativaP mente reciente. A nosotros nos Da DecDo pensar 3L sin lugar a dudasL alguna de las die' semillas plantadas germinar en nuestra cabe'a Q El test del buen profesor JAutoría propiaK  1n buen profesor es alguien feli'.ncluso alguno de nosotros escogió esta profesión insP pirado en un maestro o maestra Aue se convirtióL sin probablemente pretenderloL en nuestro ejemplo a seguir.Aprendi'aje afectivo. &odos Demos disfrutado a lo largo de nuestra vida estudiantil de alg-n #buen$ profesor.  1n buen profesor tiene conciencia de la valía de su misión.  1n buen profesor es autónomo. 2on este finL 3 con la absoluP ta certe'a de Aue la parte emocional es b sica en el aprendi'aje de cualAuier disciplinaL podeP mos dedicar unos minutos a meditar sobre nuestro estilo como educadores. &ras ver la película 3 leer este artículo podemos Dacer esta refle9ión. 1na ve' pasado el tiempoL podemos intentar anali'ar Au( cualidades tenía aAuel profesor Aue nos Dacía sentirnos a gusto en el aula 3 Aue nos Dacía comprender la materia Dasta el punto de disfrutar con ella. Nuria EilL Loren'o J.  1n buen profesor act-a pensando 3 poni(ndose en el lugar de los alumnos. *eguro Aue en alg-n momento de tu vida laboral Das tenido Aue distribuirles a los mucDacDos tests elaborados por el /epartamento de Orientación en los Aue se les pedía valorar al profesor. /esde la d(cada de los setentaL numerosas investigaciones centradas en los procesos de aprendi'aje de !atem ticas comen'aron a cenP trarse en la dimensión afectiva. /ise0o de 1. 2uriosamenteL el profesorJaK Aue m s recordamosL aAuel Aue marcó en forma importante nuestras vidasL generalmente es un maestro Aue supo escucDarnosL acogernosL guiarnosL m s Aue ense0arnos mucDos contenidosL lo cual sabemos Aue no deja de ser importante. . "eroL finalP menteL recordamos en forma especialL a un maestro por el lado aDumaP no del proceso educativoa.  1n buen profesor toma decisiones efectivas. Nos Demos basaP do en multitud de artículos Aue recogían e9periencias personales relacionadas con la relación profesorMalumno.  1n buen profesor potencia la capacidad del alumnoSa de autodescubrirseL de desarrollarse plenamente. "ero la solución no es #3o so3 así guste o no guste$. "odríamosL tras el visionado de la películaL proponernos una autoPevaluación. /e este modo es esencial conP siderar los principales descriptores b sicos del dominio afectivoL las creenciasL actitudes 3 emocionesL 3 cómo los afectos van a condicionar el (9ito 3So fracaP so del estudiantado a la Dora de enfrentarse a esta disciplina$. 2uando uno es evaluado no puede evitar sentir cierP to miedo al fracaso./. "arece Aue Da3 unos rasgos atemporales Aue pueden proporcionarnos la claP ve para mejorar nuestra pr ctica docente 3 con ello nuestra vida.  1n buen profesor es justo en sus decisiones. El an lisis se Dace mu3 complicado 3a AueL por mucDo Aue nos duelaL el ni0o de aDora no es tan parecido al ni0o Aue nosotros fuimos. En ellasL se ponía de manifiesto Aue las cuesP tiones afectivas juegan un papel esencial en la ense0an'a 3 aprendi'aje de las matem ticasL 3 Aue algunas de ellas est n mu3 arraigadas en el sujeto 3 no son f cilmente despla'ables por la instrucción. <lanco 3 Eloísa Euerrero. ObviamenteL todos teP nemos una forma de ser pero siempre podemos mejorar. =ecordad Aue no somos psicólogosL sólo somos unos Dumildes maestros con buenas intencioP nes.
. La suerte influ3e a la Dora de resolver con (9ito un problema de matem ticas 53. Las destre'as o Dabilidades Aue utili'o en clase para resolver problemas no tienen nada Aue ver con las Aue utili'o para resolver problemas en la vida cotidiana +8.P. !i rendimiento en matem ticas depende en gran medida de la actitud delSa profesorSa Dacia mí +). *i no comprendo las matem ticasL difícilmente podr( asimilar 3 dominar otras asignatuP ras relacionadas con ella Jcomo físicaL AuímicaL etc. Aprendo mucDo invent ndome nuevos problemas +5. 2uando dedico m s tiempo de estudio a las matem ticas obtengo mejores resultados en la resolución de problemas +. 2uando me esfuer'o en la resolución de un problema suelo dar con el resultado correcP to 55.nvestigación "sicoeducativa. Esto3 calmadoSa 3 tranAuiloSa cuando resuelvo problemas de matem ticas 5+. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 5% .5 El alumnado debe contestar a estas preguntas con una de las cuatro opciones siguientes. &engo confian'a en mí mismoSa cuando me enfrento a los problemas de matem ticas +:.. *abiendo resolver los problemas Aue propone el profesor en claseL es posible solucionar otros del mismo tipo si sólo les Dan cambiado los datos :. 1n buen profesor es alguien con la autoridad Aue surge de Auien posee e9perienciaL de Auien enuncia verdades basadas en DecDos o conocimientos Aue Da adAuirido en su vida.K +%. El gusto por las matem ticas influ3e a la Dora de escoger una determinada modalidad de bacDillerato en la Aue est(n o no presentes +3. !e considero mu3 capa' 3 D bil en matem ticas 58. Las matem ticas son difícilesL aburridas 3 alejadas de la realidad 3. El ser buenSa alumnoSa en matem ticas Jsacar buenas notasL tener buena actitudK te Dace sentirse m s valorado 3 admirado por los compa0eros +4.  1n buen profesor es culto. 4 J+K 588)L pp 4. 1n test para el alumnado =evista Electrónica de . 2asi todos los problemas de matem ticas se resuelven normalmente en pocos minutosL si se conoce la fórmulaL regla o procedimiento Aue Da e9plicado el profesor o Aue figura en el libro de te9to %. En matem ticas es fundamental aprenderse de memoria los conceptosL fórmulas 3 reP glas 4. Las matem ticas son -tiles 3 necesarias en todos los mbitos de la vida 5.**N +):)P588:%L nV 7L 4ol. <usco distintas maneras 3 m(todos para resolver un problema ++. El resultado al Aue llego tras intentar resolver un problema es m s importante Aue el proceso Aue De seguido 7. *ólo un profesor con el conocimiento 3 la sabiduría propia permiP tir n responder a la necesidad vital del alumno de reconocer Aue e9isten otras formas de actuarL mejores 3 m s (ticas Aue lo Aue 3a Dacen  1n buen profesor es un servidor de las vocaciones ajenas. !u3 de acuerdo /e acuerdo En desacuerdo !u3 en desacuerdo +. La mejor forma de aprender matem ticas es a trav(s del estudio individual . Las -nicas matem ticas Aue me interesan son las Aue entran en el e9amenL porAue son las m s importantes 3 las Aue tengo Aue conocer )./. .. En clase de matem ticas losSas profesoresSas emplean gran variedad de medios 3 ejemP plos pr cticos Aue me permiten relacionar las matem ticas con situaciones de mi vida diaria /ise0o de 1. 2uando resuelvo un problema suelo dudar de si el resultado es correcto +7.
2uando me atasco o bloAueo en la resolución de un problema empie'o a sentirme inseP guroL desesperadoL nerviosoL. /ominar las matem ticas me permitir tener (9ito en mis estudios posteriores 4+. !e angustio 3 siento miedo cuando el profesor me propone #por sorpresa$ Aue resuelva un problema 4. /isfruto los días Aue no tenemos clases de matem ticas porAue no me interesan ni me atraen 44.. 4:.. 2uando fracasan mis intentos por resolver un problema lo intento de nuevo %5.. *i no encuentro la solución de un problema tengo la sensación de Daber fracasado 3 de Daber perdido el tiempo %8. 2uando resuelvo problemas en grupo tengo m s seguridad en mí mismoSa 47. Ante un problema complicado suelo darme por vencido f cilmente 4%.. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 5) . LosSas buenosSas profesoresSas Aue e9plican con bastante claridad 3 entusiasmo 3 son agradables Dacen Aue gusten las matem ticas 5:. Las matem ticas son importantes porAue las profesiones m s remuneradas económicaP mente est n relacionadas con ellas 3. Las clases de matem ticas se me Dacen eternasL son mu3 pesadasL no esto3 a gusto 3 siento deseos de salir corriendo 43. Los profesoresSas de matem ticas est n siempre dispuestosSas a prestar a3uda 3 a aclarar las dudas 3 dificultades Aue surjan durante la clase 5).. Las matem ticas Aue nos ense0an en el instituto no les interesan a mis padres 33. 2uando me enfrento a un problema e9perimento mucDa curiosidad por conocer la soluP ción 4).54.. El aumentar mis conocimientos matem ticos me Dar en la sociedad sentir una persona competente 3:. Las matem ticas son para cabe'as inteligentes 3 creativas 48. Alguno de mis padres espera de mí buenos resultados en matem ticas 35. La resolución de un problema e9ige esfuer'oL perseverancia 3 paciencia /ise0o de 1. En clase de matem ticas losSas profesoresSas valoran mi esfuer'o 3 reconocen mi trabaP jo diario en la asignatura 3+. 2uando losSas profesoresSas nos proponen trabajos en grupo suele Daber un alto nivel de inter(s 3 participación en clase 5%. Alguno de mis padres me anima 3 a3uda con los problemas de matem ticas 3%./. La gente Aue es buena en matem ticas no tiene Aue gastar tiempo pensando cómo reP solver un problema 45. La gente a la Aue le gustan las matem ticas suelen ser un poco raras 37. "ara mis profesoresSas de matem ticas so3 unSa buenSa alumnoSa 5. !is amigosSas pasan de las matem ticas 3). Alguno de mis padres era bastante buenoSa resolviendo problemas de matem ticas 34. !is relaciones con losSas profesoresSas de matem ticas son satisfactorias 57. LosSas profesoresSas de matem ticas se interesan por mi evolución 3 rendimiento en la materia 38. !e provoca gran satisfacción llegar a resolver con (9ito un problema matem tico %+.
– Eato. #EntoncesL realmente no importa el camino Aue escojas$. *in embargoL la mejor fraseL a mi parecerL es la de. Esos mismos pa0uelos 3 % pares de calcetines cuestan .. H empe'ar a conjeturar los obst culos Aue puedan acecDar. Cas captado el ritmo perfectamente. 2ada problema tiene su ritmo.Actividad ). El paso 4 contrasta con lo Aue vimos en Alicia en el "aís de las !aravillas. "or ejemplo. 1na tarea aburrida se lee como un aut(ntico verso. . <ienL vamos a tratar de dibujarlo. 4. 2uando Alicia se enP cuentra con el Eato de 2DesDire. =ePleer el problema e9tra3endo toda la información JescribiendoK. . El profesor prefería los estrambóticos errores 3 el silencio de mi rendición a no obtener la solución. #"ues depende adónde Auieras ir t-$. – Alicia. "odemos pedirles a nuestros alumnos 3 alumnas Aue resuelvan ese mismo problemaL 3 Aue determinen Au( pasos deben dar. 5.+8 3ens. Leer el problema enteroL sin tomar dato alguno. @No es eso lo Aue nos ocurre al ver a algunos de nuestros alumnos resolver un problemaB Este di logo puede traducirse en un aula por este. 3. "ero lo Das leído en vo' alta maravillosamente. – No importa lo est-pido Aue fuera el callejón sin salida Q el profesor siempre encontraba algo positivo para Dacerme sentir orgulloso. a2ompr( 5 pa0uelos 3 5 pares de calcetines por 378 3ens. Esta escena conclu3e con el profesor afirmando entusiasmado. Entender de Au( me Dablan JAu( s( sobre elloK. En verdadL este debe ser el problema m s difícil de Do3. – – – – – – – – – – – – Esc-cDame.ntentar llegar allí con el conocimiento Aue poseo Jlos datos 3 mi conocimientoK. #*ólo Auiero saber Au( camino tomar$. *i lees el problema en vo' alta 3 coges el ritmoQ puedes contemplarlo en su totalidad. – Alicia./. /eterminar Au( me piden Ja dónde Auiero llegarK. =esolución de problemas En esta película se puede observar cómo el profesor tiene una paciencia #infinita$ con =aí'L soP bre todo al a3udarle con los problemas. – – pli'a'ión en el aula No pretendemos dar aAuí una regla infalible Aue permita resolver un problemaL sino tratar de orientar en las pautas Aue debemos seguir. 2on toda la calma del mundo se dedica a dibujar los calcetines 3 los pa0uelos. +. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 5.me dices Q$ – Eato. "a0uelosL calcetinesL precio. *i t. /ise0o de 1. En todo momento Q el profesor no buscaba simplemente la respuesta correcta. #Eso no importa. %. "a0uelosL calcetinesL precio. @2u nto cuesta cada cosaBa. #2ada problema tiene su ritmo$ aunAue casi ninguna frase de la e9plicación del profesor tiene desperdicio. Q La e9plicación Aue da =aí' a la clase tras este episodio tambi(n es digna de traer aAuí.
#No s(L sólo Auiero Auitarlo de delante. /e los fallos se aprende 3 mucDas veces se e9trae valiosa información acerca de los caminos Aue siguieron para llegar a la solución. @/ejamos Aue se forme una tormenta de cerebrosB Jbrainstormin!K 5. @&rabajamos en parejasB 4. #@2ómo se Dace estoB$ – "rofesorSa. – #Es Aue si no lo Dago asíL el profe me ri0e 3 me lo pone mal$L debemos aprovecDar la capacidad creativa Aue los ni0os 3 ni0as a-n tienen en los primeros cursos de E*O.$ A veces dan ganas de imitar al Eato 3 contestar. =esolvamos este problemaL aunAue nuestro #dibujo$ va a ser algo mejor Aue el del profesor. @Les guiamos a trav(s del problemaB 3. *i es la primera ve' Aue se enfrentan a un problemaL no saben por d"nde va a estar la soluciónL luego no saben si Dacen bien o mal despreciando un camino. #Nunca se me dieron los problemas$. – #EntoncesL realmente no importa el m(todo Aue escojas. 5. No seremos nosotros Auienes les contradigan aunAueL de nuevoL el grupo Aue nos Da3a correspondido dictar las pautas de Dasta dónde podemos avan'ar con ellosSas./. @H luegoB 1na ve' resuelto el problemaL @Au(B Los libros especiali'ados en el temaL escritos por "ol3aL !iguel de Eu'm nL Q aconsejan e9traer informaciónL mejorar el m(todoL aproveP cDar todo el trabajo reali'ado para entender los pasos Aue Dan dado. No borrar sus errores.. #Eso no s( Dacerlo$. Q La respuesta vendr dada en función del grupo con Aue estemos trabajandoL del grado de maP dure' Aue Da3an alcan'adoL Q 2reo de gran importancia acostumbrar al alumnado a.+8 d Es el momento de decidir. Q 2omo comentamos antesL la motivación juega un papel fundamental en la construcP ción del conocimientoL 3 actitudes descritas con frases lapidarias como las anterioP res no juegan a su favor. Evitar frases del tipo. El paso % es una especie de cajón desastreL donde pueden encajar todos los m(todos Aue son conocidos 3 se repiten a cientos en los libros de te9to JDacer un dibujoL ir Dacia atr sL suponer el problema resueltoL QK. 4.$ pero el profesor nos ense0a a buscar otra forma. No descartar demasiado pronto sus elecciones.– AlumnoSa. #Las mates no son lo mío$. /ise0o de 1. +. 3. #"iensaL @a dónde Auieres llegarB$ – AlumnoSa. &ampoco se trata de coartar su libertad e imP poner un camino o m(todoL no se trata de acabar en el manido. +. +. 5. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 57 . 3. $ompra $al'etines Pa)uelos $oste 2ompra + 378 d 2ompra 5 .
. aK Este paso admite una rama de profundi'ación consistente en buscar en la red proP piedades de los n-meros triangulares 3 e9perimentarlas con la misma Doja de c lcuP lo. Así lo Da conseguido el autor en varias ocasionesL sinoL en las mismas p ginas se puede encontrar dicDa fórmula. &ambi(n se puede intentar generarlos por recurrencia. >eb?uest "ara esta actividad Demos elegido reali'ar una #eb uest. 6órmula de los n-meros triangulares Lo ideal sería Aue se pudiera deducir en el aula esta fórmula mediante inducción 3 disP cusión en grupos con la a3uda del profesorado. @En Au( terminan los n-meros triangularesB El alumnado deber investigar por su cuenta. >eb?uest +. *e puede comen'ar con cualAuiera de las siguientes frases. /efinición 1n nCmero triangular es aAuel Aue puede recomponerse en la forma de un tri ngulo eAuil P tero Jpor convenioL el primer n-mero triangular es el +K.Actividad . La metodología de las #eb uest se adapta mu3 bien al uso de las Dojas de c lculo 3 a una buena atención a la diversidadL lo Aue constitu3e un punto de partida Aue admite organi'arla con distintos itinerarios de aprendi'aje seg-n los niveles del alumnado. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 5: . +. N-meros triangulares Este es un tema Aue no se trata en la películaL pero sí aparece en el libro de HoFo OgaIa. 5.. ó : 3 organi'ar una IebAuest para entender bien su significado 3 los fundamentos de esa afirmaP ción. bK Los estudiantes con dificultades pueden copiar im genes de n-meros triangulares 3 pegarlas en un documento.ncluimos a continuación algunos pasos Aue se podrían seguir. 1na ve' conseguida la fórmula &JnK [ n \ Jn _ +K S 5 se constru3e una tabla de n-meros triangulares con una Doja de c lculo. – Q los n-meros triangulares e9presan la suma de los n-meros naturales desde el + DasP ta cierto n-meroL lo Auieran ellos mismos o noQ Esta frase puede llevarnos a relacionar esta actividad con la Actividad 5L Aue trata el factorial. – – Q los n-meros triangulares e9presan la suma de los n-meros naturales desde el + DasP ta cierto n-meroL lo Auieran ellos mismos o noQ Los n-meros triangulares e9presados en base decimal no pueden terminar en 5L 4L .. Los n-meros triangularesL junto con otros números fi!uradosL fueron objeto de estudio por "it goras 3 los "it goricosL Auienes conP sideraban sagrado el +8 escrito en forma triangularL 3 al Aue llamaban trianón o tetraktBs Jv(ase en #Los $r7menes de !Eford$K En el libroL el profesor e9plica mu3 simplemente Jen la línea Aue estamos viendo a lo largo de toda la películaK los n-meros triangulares. Nos parece Aue es un tema mu3 interesante 3 Aue merece un apartado en este trabajo. &Jn_+K [ &JnK_n_+ /ise0o de 1. aK "ara el alumnado m s aventajadoL se sugerir alguna b-sAueda de car cter DistóriP co sobre estos n-meros. /efinición de n-mero triangular./.
1na tabla de Doja de c lculo podría ser mu3 -til. cK &erminación de los n-meros triangulares 3. !ediante la fórmula &JnK [ n \ Jn _ +K S 5 se puede discutir en Au( cifra puede terminar nL despu(s n_+L su producto 3L por -ltiP moL la mitad del mismo. /ibujar una figura a base de puntos para mostrar la secuencia de los die' primeros n-P meros triangulares en la pi'arra. =econocimiento de n-meros triangulares El objetivo aDora es capacitar a los alumnos para reconocer los n-meros triangulares 3 el tipo de n-mero relacionado con ellos. "resentación de resultados. Los pasos a dar ser n. . 2on estas ideasL adapt ndolas al nivel 3 características de los 3 las estudiantesL podemos diseP 0ar una o dos sesiones de trabajo Aue pueden resultar interesantes./. "ara el alumnado Aue necesite consolidar lo aprendidoL se puede organi'ar el c lculo de n-meros triangulares grandes para comprobar sus terminaciones.por ejemploL el segundo n-mero triangular es igual a la suma de los dos primeros n-meP ros contables. Ha se est en condiciones de comprobar Aue ning-n n-mero triangular termina en 5L 4L . @cu ntos puntos Da3 en el primero S segundo S tercer Q n-mero triangularB %. 1na ve' dibujada en la pi'arra L pedir a los alumnos Aue contin-en con el siguiente n-mero. +. ó :L 3L lo m s importanteL intentar justificarlo mediante la fórmula o ra'onamiento. 5. "reguntar a la clase la secuencia de los n-meros triangulares +L 3L )L +8L +% Q mediante cuestiones tales como. 4. . "reguntar a los alumnos el d(cimo n-mero triangular.bK 1na rama de consolidación del aprendi'aje consistiría en aplicar esa fórmula sin el uso del ordenador 3 reproducir en papel las operaciones Aue se Dan efectuado en la Doja de c lculo. Los alumnos deben dibujar los tres n-meros triangulares. aK "reguntar a los alumnos cuantos puntos Da3 de m s en el siguiente n-mero trianguP lar. ). >eb?uest 5.. bK *ubra3ar la relación Aue Da3 entre los n-meros triangulares 3 los contablesc. &odo el trabajo reali'ado se e9pone al resto del aula mediante documentosL presentaP ciones o puestas en com-n. =epresentar la secuencia de los n-meros triangulares en una línea de n-meros. + 3 ) 3. 1na actividad de perfeccionamiento consistiría en usar la propiedad de Aue #si tomo ocDo veces un n-mero triangular 3 despu(s sumo +L resulta un cuadrado$ *e estudian las terminaciones de los cuadrados imparesL se les Auita una unidad 3 se discute su cociente entre 7.. =evisar el material tratado en la actividad anterior. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 38 . 4. *i se dispone de una Ieb de centroL se inclu3e en ella todo el material generado en la IebAuest. %.ntroducir el tema a tratar con la a3uda de un diagrama en la pi'arra. /ise0o de 1.
. Q H así sucesivamente.>eb?uest 3. &al ve'L la mejor forma de comprender los n-meros poligonales es percatarse Aue en aAuella (poca los n-meros se representaban mediante guijarros JcalculiK Aue se disponían en una superficie. _ Q _ J3n M 5K 4. En generalL los n-meros poligonales son enteros del tipo 2uando b[+ se dice Aue es un n-mero triangularL para b[5 cuadradosL para b[3 pentagonaP lesL Q Los n-meros poligonales se pueden obtener mediante recurrencia. Avan'ando un poco.. Los n-meros De9agonales son enteros del tipo N [ + _ % _ : _ . 1na ve' alcan'ado un mínimo conocimiento de lgebraL nuestros alumnas deberían obtener las relaciones siguientes. Los n-meros pentagonales son enteros del tipo N [ + _ 4 _ . Observemos Aue si tomamos el primer n-mero de cada serie de n-meros poligonales J3L 4L %L )L QK obtenemos una progresión aritm(tica de diferencia +. 5.. *eg-n 6ermatL todo n-mero entero puede e9presarse mediante la suma de n n-meros nPgonales como m 9imo. *i tomamos el seP gundo n-mero de cada serie J)L :L +5L +%L QK obtenemos una progresión aritm(tica de diferencia 3L 3 así sucesivamente. &JnK [ &Jn M +K _ n 2JnK [ 2Jn M +K _ J5n M +K "JnK [ "Jn M +K _ J3n M 5K Q !JnK [ !Jn M +K _ Jm M 5KJn M +K _ + Otras peculiaridades. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 3+ . +./. Algunos n-meros pueden disponerse formando figuras geom(tricasL por ejemplo 3 guijarros se pueden disponer formando un tri nguloL 4 forman un cuadradoL etc. *ea n el n-mero de orden del n-mero poligonal. _ J4n M 3K %. +. /ise0o de 1. Eauss demostró esta conjetura para los n-meros triangulares 3 cuadradosL 2aucD3 consiguió dar una demostración general. N-meros poligonales @"or Au( Auedarse en tri ngulosB Los n-meros poligonales se remontan al comien'o mismo de la matem ticaL 3a Aue fueron los propios pitagóricos los Aue los descubrieron. _ Q _ J5n M +K 3. Los n-meros cuadrados son enteros del tipo N [ + _ 3 _ % _ . Los n-meros triangulares son enteros del tipo N [ + _ 5 _ 3 _ Q _ n 5.
oooooo ooo ooo 'tividades +.9 +. En la tercera disposición del ejemplo se observa como el n-mero +5 sea m-ltiplo del n-P mero 3 3a Aue en la disposición Da3 tres filas. E9presa mediante una representación rectangular tres n-meros primos comprobando Aue dicDa e9presión es -nica. El n-mero . E9presa mediante representaciones rectangulares los n-meros +)L +%L +4 3 5+L calcula de este modo todos los divisores de dicDos n-meros. • Divisor de un n-mero natural #a$ cualAuiera es todo natural #b$L n-mero de filas o de columnas de una posible representación rectangular del natural #a$. @=econoces alguna de las cosas de las Aue 3a Demos DabladoB 3. EEpresa mediante varias representa'iones re'tangulares los nCmeros naturales del . "ero centr(monos en los recP t ngulos. =epresentaciones rectangulares del natural +5. ooooooo • 1n n-mero se dice 'ompuesto si admite m s de una representación rectangular. En el ejemplo 3 observando la segunda disposición en c lculos vemos Aue 5 o ) son diP visores de +5 3a Aue son filas 3 columnas respectivamente de esta disposición rectanP gular.Actividad 7. • 4Cltiplo de un n-mero natural #a$ cualAuiera es todo natural #b$ de tal modo Aue alP guna representación rectangular de #b$ tenga como n-mero de filas o de columnas al natural #a$. EAemplo. es primo 3a Aue sólo admite una -nica representación en forma rectangular. &ipos de n-meros naturales La actividad anterior 3a nos puso sobre aviso de Aue con los n-meros podemos Dacer algo m s de lo Aue sabemos. En aAuellos antiguos tiempos los n-meros eran representados mediante #c lculos$L palabra Aue procede del griego 3 significa piedras. @?u( n-meros sólo pueden colocarse en una filaB Las preguntas anteriores nos devuelven al momento en Aue se definió de manera natural el concepto de divisor 3 m-ltiplo. Ca' lo mismo con las edades de tus familiares m s cercanosL 3 determina si son n-meP ros primos o compuestos /ise0o de 1. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 35 . • 1n n-mero natural es primo si sólo admite una -nica representación rectangular Jsalvo el cambio de filas por columnasK. 3. EAemplo. Ha dijimos antes Aue jugaban con ellos coloc ndoP los de distintas formasL siendo las m s utili'adas en la antigeedad las Aue tenían forma de recP t nguloL usando para ello tantas #piedrecillas$ como indiAue el n-mero natural. La matem tica griega era mu3 distinta a la nuestra en mucDos aspectosL especialmente en lo Aue se refiere a cómo e9ponían sus resultadosL pero tambi(n en la forma en Aue surgían las ideas sobre las Aue trabajar. 5. El n-mero ) es compuesto 3a Aue no sólo admite una -nica representación en forma rectangular Jsalvo intercambio de filas 3 columnasK. EAemplo. oooooooooooo oooooo oooooo oooo oooo oooo Otras representaciones geom(tricas para cada n-mero natural Dicieron nacer los llamados n-P meros triangularesL pentagonalesLQ de los Aue Dablamos antes. al . *iguiendo esta definición gr fica de m-ltiplo 3 divisor podemos dar las siguientes definiciones griegas. @Observas algo especialB 5../.
/ise0o de 1. aK Escribiendo en un papel los n-meros Aue van surgiendo al amontonar piedrecillas siP guiendo esa figura. Ejemplo. E%emplo. • 1n n-mero natural es 'ubo (perfe'to) si admite una representación en forma de cubo geom(trico. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 33 . • 1n n-mero natural es tetra(drico si las piedrecillas pueden amontonarse formando teP traedros. 1n n-mero se llama perfe'to cuando es igual a la suma de sus divisores Je9ceptuando a (l mismoKL es decirL sumando sus partes al$cotas. Elige una figura cualAuiera Jplana o tridimensionalK. Ejemplo. +.. El n-mero ) es un n-mero triangular 3 adem s perfecto 3a Aue sus partes alíP cuotas son +L 5 3 3 Aue suman ). las partes alícotas del +5 son +L 5L 3L 4 3 ) cu3a suma es +)L superior a +5. A partir de la definición de n-mero perfectoL surgen otras tres./. bK 1n n-mero es defi'iente cuando la suma de sus partes alícuotas Jsus divisores proP piosK es menor Aue el n-mero. "or tanto el n-mero +5 es abundante.Ha vimos como los pitagóricos definieronL siempre basados en la geometría de los c lculosL los n-meros triangularesL cuadradosL pentagonalesL De9agonalesL DeptagonalesL etc. las partes alícotas del : son + 3 3 cu3a suma es 4L inferior a :. bK Observa tanto los n-meros Aue van saliendo como los Aue vas a0adiendo en cada capa cK @Encuentras alguna cosa Aue te resulte interesanteB Caciendo preguntas como las anterioresL se obtuvieron otras definiciones Aue Dan dado mucDo Aue Dablar a lo largo de la Distoria.. • 1n n-mero natural es piramidal cuadrado si al amontonar piedrecillas vamos construP 3endo una pir mide de base cuadrada Jcomo las de EgiptoK • Q 'tividad +. aK 1n n-mero es abundante cuando la suma de sus partes alícuotas Jsus divisores propiosK es ma3or Aue el n-mero. pero no se Auedaron aDí. entre ellasL los n-meros perfectos 3 los n-meros amigos Aue aparecen en la película.. "odemos tambi(n entender determinadas definiciones acudiendo al espacio.
3 +:5 son n-meros apocalípticos. Ejemplo. todo n-mero natural Aue cumple Aue si sumamos los cuadrados de sus dígiP tos 3 seguimos el proceso con los resultados obtenidos el resultado es +. "or ejemploL el n-mero +) es un n-mero infeli'. tacDamos aDora todos los Aue aparecen en las posiciones m-ltiplos de . cumplen lo mismo Aue los n-meros amigos pero en ve' de ir en pareP jas van en grupos m s grandes. 9 7+.L :L +3LQ 2omo el siguiente n-mero Aue AueP dó es el .L :L ++L +3LQ 2omo el segundo n-mero Aue Da Auedado es el 3 tacDemos todos los Aue aparecen en las posiciones m-ltiplo de 3. Así sucesivamente. "or ejemplo los n-meros +54:)L +4577L +%4.5L +4%3) 3 +45)4 son n-meros sociables. %Cmero apo'al7pti'o.cK N-mero semiperfe'to. "or ejemploL 5% 3 3) son n-meros curiosos. "or ejemploL %)+ 3 ++8% son n-meP ros de 2armicDael. %Cmero nar'isista. +%3 [ +f _ %f _ 3f.:%+ son primos. %Cmero feli/. %Cmero malvado. Los n-meros Aue sobreviven se denominan n-meros afortunados. N-mero de n dígitos Aue resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. "or ejemploL +7 es semiperfecto 3a Aue sus divisores son +L 5L 3L )L : 3 se cumple Aue 3_)_:[+7 @"uedes encontrar alg-n otro n-mero abundanteL deficiente 3 semiperfectoB 5.L . todo n-mero natural cu3a e9presión en base 5 JbinariaK contiene un n-P mero par de unos. todo n-mero compuesto n Aue cumpla Aue bnP+ i + Jmod JnKK. Otros tipos de n-meros El estudio de ciertas propiedades Aue cumplen los n-meros Da producido una enorme cantidad de tipos de n-merosL la ma3oría sin un inter(s matem tico específico. [ 5. Jsi nos damos cuenta es primo escrito al rev(sK %Cmero vampiro.. 3 . *ean aL b g hL se dice Aue son primos relativos (o 'oprimos) FaG B FbG si no tienen ningCn fa'tor primo en 'omCnL es decirL si no tienen otro divisor com-n m s Aue + ó P +L o cumplen Aue el m'd (aH b) > . 558 +L 5L 4L %L +8L ++L 58L 44L %%L ++8 +L 5L 4L . +L 5L 3L 4L %LQ &acDemos los Aue aparecen en las posiciones pares.. todo n-mero natural Aue cumple Aue es igual a la suma de algunos de sus divisores propios. el FP(simo n-mero Dambriento es el m s peAue0o n-mero natural n Aue cumple Aue 5n contiene los primeros F dígitos de "i. La suma de los divisores del primer n-mero da el segunP doL la suma de los del segundo da el terceroL 3 así sucesivamente. "or ejemploL el n-mero 583 es un n-mero feli' 3a Aue 55_85_35[+3c +5_35[+8c +5_85[+. &omemos la secuencia de todos los naturales a partir del +. "or ejemploL+5 3 +% son n-meros malvados 3a Aue +5[++88 5 3 +%[++++5. 5+7. %Cmero hambriento. ?ueda. todo n-mero natural n Aue cumple Aue n& tiene al propio n como -ltima cifra. "or ejemploL 5% es un numero ambicioso 3a Aue sus divisores propios son + 3 % 3 se cumple Aue +_%[)L Aue es un n-mero perfecto. /ise0o de 1. Ejemplo.para todo natural b Aue sea primo relativo con n. La suma de los divisoP res del -ltimo da el primer n-mero de la lista. Ejemplo . %Cmero de $armi'hael. N-mero Aue se obtiene a partir del producto de dos n-meros obtenidos a partir de sus dígitos. todo n-mero natural n Aue cumple Aue 5n contiene la secuencia ))). todo n-mero Aue cumple Aue la secuencia Aue se forma al sumar sus divisores propiosL despu(s los divisores propios del resultado de esa sumaL despu(s los del n-mero obtenidoQacaba en un n-mero perfecto. %Cmeros so'iables. %Cmero infeli/./. %Cmero 'urioso. 558 3 574 son amigosL sus partes alícotas son. Los primeros n-meros DambrienP tos son. N-mero primo Aue al invertir sus dígitos da otro n-mero primo. Ejemplo. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 34 . +%:. AAuí van algunos. todo n-mero natural Aue no es un n-mero feli'. +L 3L %L . +L 3L . /os n-meros se llaman amigos cuando cada uno es igual a la suma de las partes alícoP tas del otro. %Cmero ambi'ioso. %L +.4L +44L +44L 5883LQ %Cmero afortunado.. ?ueda. "or ejemploL los n-meros +%.+L +45 574 Aue puedes comprobar Aue suman respectivamente suman 574 3 558. %Cmero omirp.
todo n-mero cu3a e9presión en base 5 JbinariaK contiene un n-mero imP par de unos. todo n-mero natural Aue no es la suma de los divisores propios de ninP g-n n-mero. es un n-mero de *mitD 3a Aue 5_. todo n-mero natural de la forma 55n_+ para alg-n n. "or ejemploL los n-meros 38L 45 3 %) %Cmero repunit. %Cmero palindrómi'o o 'api'Ca. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 3% . "or ejemploL el n-mero 5. %Cmero de 4ersenne. %Cmero odioso. %Cmero into'able. todo n-mero natural de la forma 5pP+L siendo p un n-mero primo. +L ++L +++L ++++LQ %Cmero de "mith. "or ejemploL ++ [ +8++5 es un n-mero odioso. todo n-mero natural Aue cumple Aue la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de sus divisores primos contando su multiplicidad Jes decirL el n-P mero de veces Aue aparece cada uno de ellosK. %Cmero ondulado. *i ese n-mero resulta ser primo se denomina primo de 4ersenne. %Cmero oblongo. todo n-mero natural Aue cumple Aue es el producto de dos naturales consecutivos. "or ejemplo +34743+. todo n-mero natural Aue est formado solamente por unos. todo n-mero natural Aue cumple Aue en su descomposición en factores primos no aparece ning-n factor repetido. E9isten m s tiposL algunos de ellos reciben el nombre de personajes famosos J6ibonacciL <ellL *opDie EermainLQK. todo n-mero natural de la forma ababab'. n-mero natural Aue se lee igual de derecDa a i'Auierda 3 de i'Auierda a derecDa./. "or ejemploL los n-mero %5 3 77 son n-meros intocables. "or ejemploL los n-meros +5+ 3 +3+3+ son n-meros ondulados.[: 3 su -nico divisor primo es 3L Aue aparece tres vecesL 3 por tanP to 3_3_3[:. "or ejemploL el n-mero 3) es un n-mero poderoso 3a Aue los -nicos primos Aue son divisores su3os son 5 3 3 3 se cumple Aue 4 3 : tambi(n son diviP sores de 3). @&e animas a encontrar un n-mero 3 ponerle tu nombreB /ise0o de 1.%Cmero de *ermat.. todo n-mero natural n Aue cumple Aue si un primo p es un divisor su3o entonces p& tambi(n lo es. "or ejemploL el n-mero 38 es un n-mero libre de cuadrados. *i ese n-mero reP sulta ser primo se denomina primo de *ermat. %Cmero libre de 'uadrados. %Cmero poderoso.
&DusL a DandFercDief costs. • 2ompr( 5 pa0uelos 3 5 pares de calcetines por 378 3enes. El objetivo de esta sección es dar una visión Distórica de la evolución de los sistemas de numeP ración 3L en menor medidaL de los símbolos aritm(ticos fundamentalesL así como un an lisis de otros sistemas de numeración Aue fueron mu3 importantes a lo largo de la Distoria de de la DuP manidad A lo largo de toda la película Demos observadoL 3 enla'ado con el desarrollo de los personajesL un personaje mudoL las matem ticasL ne9o de unión entre los principales protagonistas. 2ombien ma colte cDaAue cDoseB . bougDt 5 DandFercDiefs and 5 pairs of socFs b3 378 3ens.+8 3ens. 'tividad . ‚oysƒoy zuyru ot•„t• {}…ƒB • • @Lo reconocesB Es el problema de los deberes de =aí'. CoI mucD does eacD item costB Jjai acDet( 5 moucDoirs et 5 paires de cDaussettes par 378 3ens. El lenP guaje escrito Aue utili'an est lleno de caracteres incomprensiblesL salvo para aAuellos Aue coP no'can el idioma japon(sL 3 sólo a trav(s de los subtítulos podemos conocer realmente a lo Aue se est n refiriendo los personajes de la Distoria.cD Dabe 5 &ascDentecDer und 5 "aare *ocFen durcD 378 Hene geFauft./. :. En este lenguajeL Aue podemos llamar lenguaje matem ticoL las afirmaciones son presentadas de una manera propiaL tajantementeL demostrando su veracidad 3 sin permitir ambigeedades. ~ur •} zt€w} qstuor r % qtv xyzoy{ zuy•u . La Cistoria de los n-meros La matem tica tieneL como la ma3oría de las ciencias 3 otras disciplinas del saberL un lenguaje particularL específicoL el cual simplificaL en algunos casosL la comunicaciónL 3 por otro lado claP rifica 3 designa de una manera e9actaL sin posible confusiónL sus contenidos.. /ise0o de 1.+8 M 5 \ ++8 [ 4:8 3ens and Ie obtain tDe price of botD DandFercDiefs.I 0esuelve el siguiente problema • • • • . Aritm(tica 3 lenguaje num(rico. Esos mismos pa0uelos 3 % pares de calcetines cuestan . 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 3) .+8 Hene.+. 338S3 [ ++8 3ens NoIL it is eas3 to find DoI mucD tDe DandFercDiefs costL Ie subtract tDe price of ttD pair of socFs from tDe first amount.Actividad :.+8 3enes. /ieselben &ascDentecDer und % "aare *ocFen Fosten . .+8 r}x. 2es mkmes moucDoirs et % paires de cDaussettes coltent . Lenguaje matem tico. @2u nto cuesta cada cosaB El mismo problema se Da planteado en distintos idiomas peroL @cómo sería la respuestaB • *ubtract tDe second amount from tDe first one to FnoI DoI mucD tDe socFs cost. . >ie viel Fostet jede *acDeB n opqrs 5 qstuot r 5 qtvw xyzoy{ |t 378 r}x.+8 M 378 [ 338 3ens tDenL a DandFercDief is valued. &odos 3 cada uno de los símbolos de escritura definidos 3 utili'ados deben ser conocidos por ambos interlocutores 3 tienen una tarea determinadaL e9actaL sin solapamientos ni posibles eAuívocosL mientras Aue tambi(n la estructura de su presentación es idónea para su perfecta comprensión. &Dose same DandFercDiefs and % pairs of socFs cost . El desconocimiento del lenguaje matem tico produce errores de construcciónL de interpretaciónL 3 en definitiva Dace imposible la comunicación.+8 3ens. 4:8S5 [ 54% 3ens • *oustraire le deu9i†me montant de la premi†re ‡ savoir combien le colt des cDausseP ttes .
. 4:8S5 [ 54% r}x • • • =estamos la primera compra de la segunda 3 sabemos cu nto cuestan tres pares de calcetines. 4:8S5 [ 54% 3enes *eguimos observando palabras e9tra0asL símbolos raros e incluso en un idioma se escribe de derecDa a i'Auierda. . /ise0o de 1..l est facile de trouver combien le colt des moucDoirsL on soustrait le pri9 de la paire de cDaussettes au premier acDat. . 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 3. 338S3 [ ++8 r}x ‚}‹Œtz s}•or‹ |t€}ŒtuƒL zoysƒoy zuy•u qstuorL €w p€}xƒ‰t}€ Ž}xp „{p• qtv xyzoy{ { q}v{pŠ qyopqop.+8 M 378 [ 338 r}x qyuy€ qstuyo zuyru. . .+8 M 5 \ ++8 [ 4:8 3enes 3 obtenemos el coste de los dos pa0uelos.+8 M 5 \ ++8 [ 4:8 r}x r €w qyspŒt}€ Ž}xp „{p• qstuoy{./. AinsiL un moucDoir colte. •toL qstuyo zuyru. 338S3 [ ++8 3enes ADora es f cil Dallar cu nto cuestan los pa0uelosL restamos el coste de dos pares de calP cetines a la primera compra.+8 M 5 \ ++8 [ 4:8 Hens et nous obtenons le pri9 de deu9 moucDoirs. . 4:8S5 [ 54% Hens • ˆw p€}xƒ‰t}€ q}v{pŠ qyopqop {uyvy‹ r |xt}€L zoysƒoy zuy•u uvr qtvw xyzoy{. No obstanteL Da3 algo Aue llama la atención. 338S3 [ ++8 Hens .+8 M 378 [ 338 3enes luego un pa0uelo cuesta. AsíL un pa0uelo cuesta..+8 M 378 [ 338 Hens ensuiteL un moucDoir colte .
888 a0os antes de 2risto. A nivel DistóricoL uno de los ma3ores problemas para las primeras culturas fue contar 3 estaP blecer un sistema para ello. +5 \ % [ )8 /ise0o de 1. Observa la escena en la Aue =aí' escribe los n-meros primos en la pi'arra Jminuto ++.888 a0osL los ca'adores nómadas de la edad de "iedra se reuP nieron paulatinamente en los 4alles del NiloL &igris 3 E-frates 3 se dedicaron a la agricultura. Allí se creó un rudimentaP rio sistema de símbolos cuneiformes para representar algunos n-meros Aue luego fue adoptaP do por los sumerios de la <aja !esopotamia.4% al +3. /e entre todas ellas destacan los sistema duodecimal 3 se9agesimal. Los sistemas de recuento m s primitivos se basaban en el %L el +8 o el 58L DecDo Aue tiene mucDo Aue ver con los cinco dedos Aue el animal Dumano tiene en cada manoL o los +8 dedos de ambasL o los 58 si se toman manos 3 piesL pero Da Dabido mucDas e9cepciones.nventar un sistema de numeración no fue una tarea f cil. 1na simple multiplicación proporciona.Los 'Jl'ulos matemJti'os se representan de igual modo en todos ellos "odríamos Dacer la e9periencia de no presentar los subtítulos 3L teniendo unos conocimientos mínimos de aritm(ticaL podríamos intuir r pidamente sobre lo Aue estamos trabajandoL como Demos visto en la actividad +../. !uP cDos pensar n Aue estos símbolos son tan antiguos como las letras o tal ve' como los propios n-meros. A este -ltimo pueblo le corresponde el Donor de Daber creado las cifras m s antiguas de la DistoriaL antes incluso de la aparición de la escritura. icDi M ni M san M sDi M go M roFu M sDicDi M DacDi M Fl M jl cuando reali'an c lculos aritm(ticosL el sistema de numeración es id(ntico al Aue conocemos.nmediatamente el campesino tuvo Aue afrontar varios problemas como el de contar los días 3 las estacionesL el de saber cu ndo tenía Aue plantar 3 Au( cantidad de semillas tenía Aue guarP darL el de pagar tributosL Q &odo esto Di'o Aue fuera preciso darle nombre a los n-meros. El sistema cuaternarioL es decirL de base cuatroL es todavía m s e9cepcionalL 3 Da estado confinado principalmente a unas pocas tribus sudameriP canas 3 a los indios HuFi de 2aliforniaL Auienes contaban con los Duecos de separación de los dedos. Estos símbolos tan Dabituales surgen de la necesidad Dumana para e9presar de un modo pr ctico 3 entendible por todo el mundoL contenidos 3 mensajes complejosL 3 esto se Da conseguido tras a0os 3 a0os de evolución.r nL 4. "uede tener Aue ver con contar tres falanges por dedo del índice al me0iAue J+5 unidadesKL usando el pulgar para llevar la cuenta del n-mero de falanges 3 los dedos de la otra mano una ve' completada cada vuelta de doce. 1nas cuantas desarrollaron un sistema ternarioc se dice Aue una tribu brasile0a contaba con las tres articulaciones de las falanges de los dedos. . "ues a pesar de estar utili'ando el lenguaje escrito en un idioma distinto al nuestro.+7K Los n-meros aunAue pronunciados de forma e9tra0a para nosotrosL se es'riben B se operan de la misma forma Estamos Dabituados desde nuestros primeros a0os escolares a reconocerL junto con las cifrasL una serie de símbolos aritm(ticos tales como el de la suma J_K 3 la multiplicación J9KL etc. Los -ltimos datos Distóricos parecen evidenciar Aue la escritura de los n-meros comen'ó en ElamL tierra perteneciente al actual . 2iertas culP turas aborígenes de AfricaL Australia 3 Am(rica del *ur emplearon un sistema binario. . 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 37 . Al retiP rarse los glaciares Dace unos +8. Esta es una de las primeras cuestiones Aue nos llaman la atenP ción.
• las 54 Doras del día J+5 para el día 3 otras +5 para la nocDeK. El sistema de'imalL Aue utili'a +8 guarismos ]8L+L5L3L4L%L)L.nventa una manera de contar. 5. d.se basa en el principio posicional 3 el uso del cero.. 58%.ntenta contar Dasta 3% con el sistema de los indios HuFi.L7 3 :^. &odo n-mero por lo tanto podr ser escrito en base +8 de una forma similar al ejemplo.+83. 3. 1n símbolo para representar la nadaL pero esa idea es precisamente la Aue Dace funP cionar al sistema de numeración posicional. El sistema es decimalL tiene base +8L por lo Aue adem s del 8 se usan otras : cifras m s. El sistema binario de los ordenadores sólo utili'a dos cifras el 8 3 el +.2. Es aAuel sistema en el Aue el prinP cipio b sico es la repetición de guarismos. El sistema de numeración Dind.5%) [..2..5. Otra clasificación puede Dacerse dependiendo del numero de cifras Aue utilicemos. Este sistema permite escribir cualAuier n-meroL por grande Aue sea. Actividad 5 ADora vamos a Dacer el indio • • .. +... 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 3: .. "uesto Aue Da3 infinitos n-merosL poder escribir cualAuiera de ellos de manera sencilla 3 usando sólo die' símbolos es un logro intelectual realmente prodigioso. E9isten b sicamente tres tipos de sistemas de numeración. Nuestro actual sistema de numeración es de origen Dind.gual Aue cuando contamos con los dedosL @Au( le ocurre a este sistema de conteo cuando necesito contar un numero como +534B *upón Aue vives en los tiempos primitivos 3 no conoces los n-merosL ◦ @cómo sabrías Aue las ovejas Aue sacas a pacer son las mismas Aue las Aue traesB ◦ . _ 3L ◦ resta +7 M . ./... @&e parece este un sistema original de contarB . +.3 cuajó durante el periodo de esplenP dor cultural e intelectual Aue tuvo lugar en todo el valle del Eanges desde mediados del siglo . d. 5. ◦ *i tuvieses Aue representar una cantidad mu3 grandeL @con Au( dificultad te enconP traríasB ◦ &rata de inventar otro sistema Aue te facilite esta tarea. • • :. Cistoria de nuestro sistema de numeración Actualmente se define un sistema de numeración como un 'onAunto de s7mbolos B reglas de genera'ión que permiten 'onstruir todos los nCmeros v lidos en el sistema. . Los sistemas de numeración con nota'ión posi'ional AueL dependiendo de dónde se encuentre situada la cifraL (sta tiene un significado u otroc no es lo mismo 8+8 Aue +88. .3 se encuentra en el origen de.. @cómo podríamos representar un n-mero compuesto por e9actaP mente 5 centenas 3 % unidadesB El cero nos permite indicar Aue no Da3 decenas en ese n-meP ro. @?u( problemas encuentrasB &odos Demos sumado 3 restado alguna ve' utili'ando los dedos de las manosL vamos a reali'ar la misma operación con el sistema HuFiL ◦ suma . el primer 4 vale 488L el segundo 4 vale 48 3 el tercero vale 4... A estos símbolos se les conoce como 'ifras o guarismos. El vaP lor de cada una de estas cifras depende del lugar Aue ocupa en el n-mero. 1n ejemplo es el Aue utili'amos en el conteo de datosL escribimos .. *in duda algunaL la 'ifra mJs importante 3 Aue da significado a todo el sistema es el 8 J'eroK. AsíL cuando escribiP mos 444L la cifra 4 toma tres valores distintos. El sistema seEagesimal utili'ado en la antigua !esopotaniaL del Aue Dablamos antesL usaba )8 símbolos. Dasta mediados del siglo 4. • )8 minutos en una Dora 3 )8 segundos en un minuto.. QL vamos reali'ando bloAues de % palitos 3 despu(s reali'amos el recuento final. Los sistemas de numeración con nota'ión aditiva.. *i no dispusi(ramos del cero... \ +8) _ + \ +8% _ 8 \ +84 _ 3 \ +83 _ 5 \ +85 _ % \ +8+ _ ) \ +88 /ise0o de 1.
/ise0o de 1.permitíaL pero por otro lado Di'o imprescindible la simplificación de las operaP ciones aritm(ticas Aue permite el sistema Dind-. &aller el Wbaco.. • 1n símbolo especifico para cada una de los die' cifras b sicas.llegó a EsP pa0a en el siglo .. • @2ómo se usa el WbacoB • @/ónde se utili'óB • @Es utili'ado actualmenteB bK 1tili'ando un Wbaco escribe los n-meros anteriores. La cifras braDmi evolucionaron 3 se diversificaron dando lugar en el sigo .4 3 4 a las cifras Eupta 3 a partir del siglo 4.nterpretando la escritura num(rica podemos decir Aue el numero representa decir ) unidadesL % decenasL 5 centenasL 3 unidades de millar L8 decenas de millarL + centena de millar 3 .. • "odemos obtener n-meros impares./. &ras su conversión al . "ara escribir estas die' cifrasL a partir de las cuales se puede representar cualAuier n-meroL los Dind-es tuvieron la buena idea de no usar letras de su alfabeto. #nuestro sistema de numeración actual se basa en. 1tili'ando los recursos neceP sarios Da' una breve nota biogr fica sobre este matem tico.2. a. • 1na notación posicional. aK *e0ala las respuestas correctas. /urante este periodo se produjo una batalla entre #algoristas$L esto esL aAuellos Aue usaban para las cuentas el sistema Dind. Así la aritm(tica Dind.. para escribir el s nscrito.Y.slam en el siglo 4.de numeraP ciónL de forma Aue 3a a finales del siglo 4. Adem s de los musulmanesL los mercaderes 3 comerciantes judíos pudieP ron tambi(n tener un papel importante en esta trasDumancia Aue llevó los n-meros del Oriente al Occidente... Esta forma de representar los n-meros Aue los rabes aprendieron en el Oriente circuló Dasta la otra punta de sus dominiosc 3 asíL a trav(s del norte de WfricaL el sistema de numeración Dind. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 48 .. a las nagariL Aue fueron las Aue tomaron inicialmente los rabes. 1saron símbolos Aue derivaP ban de la escritura braDmiL surgida en el sigo . • 1na base decimal..L los rabes iniciaron una e9pansión Dacia el Oriente Aue los llevó a territorio Dind-. uniP dades de millón.7:)% 4%884 :)488%) 2entenas millar /ecenas millar 1nidades millar 2entenas /ecenas 1nidades <as ndote en el cuadroL e9presa los n-meros como suma de potencias de +8. 1nidades millón 4% ). 1na persona sin duda fue fundamental en la transmisión del sistema de numeración Dind. 'tividad ?8 %uestro sistema de numera'ión +. A trav(s de esa frontera se filtró el sistema Dind.escrita con cifras raP bes se dieron impulso mutuo en Europa a partir del siglo Y. @2oP noces algo en la vida cotidiana Aue #funciona$ de forma parecidaB 5. Lo Aue al inicio del =enacimiento vino a decantar la victoria del lado de los #algoristas$ frente a los #abacistas$ fueL ni m s ni menosL Aue el desarrollo del comercio. aK <usca información de. • /escomposición de n-meros. los musulmanes lo Dabían asimilado..de numeración 3 los numerales rabesL 3 #abacistas$L es deP cirL aAuellos Aue Dacían las cuentas con el viejo sistema romano mejorado con artilugios como el baco o las mesas de c lculo. • 1n numero ilimitado de símbolos. bK @"or Au( crees Aue los occidentales escogimos un sistema decimalB cK 2ompleta el cuadro. Esta transformación de la actividad comercial 3 la aparición de las primeras entidades bancariasL generó una contabiliP dad mucDo m s complicada Aue reAuirió entonces de los poderosos m(todos de c lculo Aue la aritm(tica Dind.Dasta occidente el ilustre algebrista AlPGDoIari'mi..
. Los n-meros Aue los rabes trajeron al Occidente desde la . En las primeras aritm(ticas mercantiles publicadas en el =enacimiento se optó por declarar con palabras la operación Aue se iba a Dacer con los n-meros.L por indicar las operaciones mediante abreviaturas. Leibni' escribió a JoDn <ernoulli en +):7. =ecorde eliP gió dos peAue0as ra3as paralelas [ como signo para la igualdadL porAue Nno Da3 dos cosas Aue puedan ser m s igualesO. 6ue en +)3+ cuando el ingl(s >illiam OugDtred populari'ó el uso del aspa #9$ para indicar una multiplicaP ciónL si bien a otros no les gustaba demasiado. "ero las m s cristalina de todas las invenciones de símbolos para la aritm(tica la Di'o el ingl(s =obert =ecorde Aue consiguió justificar su invención de forma aguda 3 proverbial. #no me gusta como símbolo para la multiplicaciónL pues se confunde demasiado f cilmente con j9j Q a menudo relaciono dos cantidades con un punto interpuesto$. /ise0o de 1. *in embargoL 3 aunAue aDoP ra lo pongamos en el medio de la líneaL originalmente se ponía abajoL como el de puntuación.raA.:.talia 3 otros países se optóL desde finales del siglo Y4 Dasta principios del Y4. La simbología para las operaciones de la aritm(tica se completó en el siglo Y4. Estas aritm(ticasL publicadas en su ma3oría en las lenguas vulgaresL impusieron el patrón Aue todavía Do3 es com-n en la ense0an'a de las cuentas. Casta finales del siglo Y4. Cistoria de nuestros símbolos aritm(ticos @2ómo e9presar mediante símbolos Aue dos n-meros van a ser sumadosL multiplicados o diviP didosB Ha los babilonios 3 egipcios Dabían inventado ideogramas para indicar cuando dos cantiP dades se sumaban o restaban. Especialmente gr fico era el signo egipcio. los escribimos de igual forma en JapónL Espa0aL AustraliaL EgiptoL !(9ico o . comen'aban J3 comen'amosK instru3endo en las cuatro reglas b siP casL sumaL restaL multiplicación 3 divisiónL para pasar despu(s a los n-meros Auebrados 3 la regla de tres 3L eventualmenteL a temas m s avan'ados como los c lculos de raíces cuadraP dasL c-bicasL resolución de ecuaciones de primer 3 segundo gradoL etc(tera. "ero este e9ceso retórico era engorroso 3 confuso. !ientras cuadraban balances contables en sus oscuras oficiP nas de los muellesL ca3eron en la cuenta de Aue para indicar sumas 3 restas acaso pudieran servir aAuellos signos usados en el puerto para indicar e9cesos o mermas en los pesos de las cajas 3 embalajes.. asíL la letra tildada # p$L inicial de plus 3 la #m$L inicial de minusL se usaron para se0alar sumas 3 restasL respectivamenteL 3 una #r #era el signo Dabitual para la raí' cuadrada. "ero fueron los recDenmeisters de la Cansa Auienes mostraron m s imaginación en el dise0o de los símbolos de la aritm(tica. A estos signosL 2DristopD =udolffL otro reicDenmeisterL a0adió el símbolo de la raí' cuadrada ‘.. AsíL algunos recDenmeister empe'aron a usar esos símbolos Dacia el final del siglo Y4 para inP dicar con el _ una suma 3 con el M una resta en sus balances contables. no se acabaría comprendiendo la importancia del desarrollo decimal para facilitar los c lculos apro9imados con n-meros racionales e irracionales. H los seguimos ense0ando casi de la misma forma Aue AlPJIarismi o 6ibonacci recomendaron en sus librosL o tal cual prescribieron las aritm(ticas mercantiles renacentistas. 2onforme el siglo Y4. El impulsor del invento fue *imon *tevinL de <rujasL Aue escribió un librito en flamenco titulado The thiende M algo así como El arte decimal–L aparecido en +%7%L donde e9plicaba el procedimiento.ndia son Do3 día universales. El símbolo acaso derive de una deformación de la letra rL inicial de la palabra latina radi( AueL cuando el n-mero sobre el Aue actuaba era demasiado largo se alargaba Dasta cubrirlo por completo. "rimero los usaron en te9tos manuscritosc despu(s los símbolos pasaron a la imprenta 3 acabaron con el tiempo DaP ci(ndose universales.. "arece inverosímilL pero mientras los griegos 3a trabajaban con las fracciones de manera priP morosa antes de 2ristoL no es Dasta el renacimientoL donde aparece por primera ve' la idea de un n-mero negativo.3. En . *tevin tambi(n propuso la unificación de pesosL medidas 3 monedasL idea Aue no se Daría realidad Dasta Aue la =evolución 6rancesa pusiera en marcDa el sistema m(trico decimalL 3 Dace unos a0os con la llegada del euro. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 4+ . se despere'abaL los signos _ 3 M se Dicieron de uso com-n en las aritm(ticas publicadas en Alemania por los reicDenmeisters./. un par de piernas caminando Dacia delante indicaban una suma 3 caminando Dacia atr s una resta. Estos símbolos no eran otros Aue la cru' _ para indicar un e9ceso 3 el guión M para indicar una merma.
2.&odos los sistemas de numeración posicional se basan en el Teorema *undamental de la %umera'ión. N-mero v lido en el *istema de numeración • b.4 *istemas de numeración Distóricos =ealmente nuestro sistema de numeración es mu3 actualL si observamos Aue a la lo largo de la Distoria de la Dumanidad Dan e9istido numerosos sistemas de numeración. N-mero de símbolos permitidos en el sistema. coma fraccionaria. /e este se usaban los Aue fuera neceP sario completando con las unidades Dasta llegar a )8. 4amos a Dacer un r pido repaso Distórico a algunos de los sistemas de numeración Distóricos mas conocidos :. El *istema de Numeración Egipcio Los egipcios tuvieron un sistema de numeración antes del a0o 3888 antes de J. El valor total del n-mero ser la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición Aue ocupa en el n-mero. *e ponían tantos como fuera preciso Dasta llegar a +8L Aue tenía su propio signo. un símbolo cualAuiera de los permitidos en el sistema de numeración • n. n-mero de dígitos de la parte decimal. • d.+. No les preocupó la resolución teórica ni la /ise0o de 1. n-mero de dígitos de la parte entera. "ara la unidad se usaba la marca verP tical Aue se Dacía con el pun'ón en forma de cu0a..5. "rimero estableceremos unas definiciones b sicas. este pueblo tuvo ciudades prósperas 3 sus conocimientos matem ticos fueron debidos a las continuas inundaciones Aue sufrían.4. A partir de aDí se usaba un sistema posicional en el Aue los grupos de sigP nos iban representando sucesivamenP te el n-mero de unidadesL )8L )89)8L )89)89)8 3 así sucesivamente. Antes de la era cristianaL se inventó un sistema de base +8L aditivo Dasta el )8 3 posicional para n-meros superiores. El *istema de Numeración <abilonio Entre la mucDas civili'aciones Aue florecieron en la antigua !esopotamia se desarrollaron disP tintos sistemas de numeración. La fórmula general para construir un n-mero JcualAuier n-meroK N en un sistema de numeraP ción posicional de base b es la siguiente. :. Este teorema establece la forma general de consP truir n-meros en un sistema de numeración posicional. Los sistemas de numeración eran necesarios para los comerciantes 3 el gobiernoL para Dacer sus anotaciones 3 c lculos. :. base del sistema de numeración. • N. • F. *ímbolo utili'ado para separar la parte entera de un n-mero de su parte fraccionaria. • L.4. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 45 ./.
. "ero su uso Auedó reservado a las inscripP ciones monumentalesc en el uso diario fue sustituido por la esP critura Dier tica 3 demóticaL formas m s simples Aue permitían ma3or rapide' 3 comodidad a los escribas En estos sistemas de escritura los grupos de signos adAuirieron una forma propiaL 3 asi se inP trodujeron símbolos particulares para 58L 38L QL :8L QL 588L 388L QL :88L 5888L 3888L Q con lo Aue disminu3e el n-mero de signos necesarios para escribir una cifra.L en nada se diferencia de este. Es un sistema decimal estricto Aue usa las unidades 3 los distintas potenP cias de +8.K cu3o n-mero indicaban. Aparte de esta forma Aue podríamos llamar canónica se usaron otras. En la figura aparece el 5. usaron un sistema describir los n-meros en base die' utili'ando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades. Estos signos fueron utili'ados Dasta la incorporación de Egipto al imperio romano.2. apro9imadamente. No es necesario un símbolo para el ceroL siempre 3 cuando se pongan todos los ideogramasL pero a-n así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de +8.88 ó 3888. :. Los eruditos cDiP nos por su parte desarrollaron un sistema posicional mu3 parecido al actual AueL desde Aue inP corporó el cero por influencia india en s.) tal 3 como figura en una estela en GarnaF..4. 4. En los sellos se escribía de forma m s estili'ada 3 lineal 3 a-n se usaban Dasta dos grafías difeP rentes en usos dom(sticos 3 comercialesL aparte de las variantes regionales. 3 usa la combinación de los n-meros Dasta el die' con la decenaL centenaL millar 3 decena de millar para seg-n el principio multiplicativo representar %8L . El *istema de Numeración 2Dino La forma cl sica de escritura de los n-meros en 2Dina se empe'ó a usar desde el +%88 A. El orden de escritura se Dace fundamentalL 3a Aue % +8 .refle9ión sobre problemas matem ticos Jnum(ricosL aritm(ticos o geom(tricosKL sino su inmeP diata aplicación pr ctica /esde el tercer milenio a. &radicionalmente se Da escrito de arriba abajo aunAue tambi(n se Dace de i'Auierda a derecDa como en el ejemplo de la figura./. 1tili'a los ideogramas de la figura. "ara los documentos imP portantes se usaba una grafía m s complicada con objeto de evitar falsificaciones 3 errores.3.c. igual podría representar %. *e usaban tantos de cada uno como fuera necesario 3 se podían escribir indistintamente de i'P Auierda a derecDaL al rev(s o de arriba abajoL cambiando la orientación de las figuras seg-n el caso. /ise0o de 1. El sistema de nuP meración egipcio era un sistema decimal Jde base +8K por 3u9taposiciónL así sus n-meros se escribían de la siguiente manera. Aue . Al ser indiferente el orden se escribían a veces seg-n criP terios est(ticosL 3 solían ir acompa0ados de los jeroglíficos coP rrespondientes al tipo de objeto JanimalesL prisionerosL vasijas etc.%.. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 43 .
una ra3ita Dori'ontalL escrita sobre un n-mero lo multiplica por mil. En este sistema tiene importancia el orden de los símbolosL es decirL para representar un n-P mero se debe tomar en cuenta la posición donde se escribe determinado n-mero. . [ ) LY [ )8 • Prin'ipio sustra'tivo.%. 4 [ % M L [ %8 M / [ %88 no se repiten. En algunas sociedades como la judía 3 la rabeL Aue utili'aP ban un sistema similarL el estudio de esta relación Da tenido una gran importancia 3 Da constituido una disciplina aparte. • Prin'ipio aditivo. "rogresivamente este sistema tico fue reempla'ado por el jónicoL Aue empleaba las 54 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos seg-n la tabla siguiente.2. El *istema de Numeración romano El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua =oma 3 se utili'ó en todo su imP perio. un símbolo escrito a la derecDa de otro de igual o ma3or valor le suma a este su valor. "ara el %L +8 3 +88 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco JpenteKL die' JdeFaK 3 mil JFDiloiK. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 44 .4. El *istema de Numeración Eriego El primer sistema de numeración griego se desarrolló Dacia el )88 A.4. /e esta forma los n-meros parecen palabrasL 3a Aue est n compuestos por letrasL 3 a su ve' las palabras tienen un valor num(ricoL basta sumar las cifras Aue corresponden a las letras Aue las componen.4 [ 4 Y2 [ :8 • Prin'ipio multipli'ativo.888. "or este motivo se llama a este sistema acrofónico.888 sólo pueden ser repetidos consecutivamente Dasta tres veces. "ara representar la unidad 3 los n-meros Dasta el 4 se usaban tra'os verticales. /ise0o de 1. Era un sistema de base decimal Aue usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Este sistema utili'a siete símbolos para representar los n-meros..888 [ +8. [ + M Y [ +8 M 2 [ +88 M ! [ +. Esta circunstancia Di'o aparecer una nueva suerte de disciplina m gica Aue estudiaba la relación entre los n-meros 3 las palaP bras. X [ +8 \ +. :. Es un sistema de numeración no posicionalL en el Aue se usan algunas letras ma3-sculas como símbolos para representar los n-meros.:. 4. . un símbolo ubicado a la i'Auierda de otro de ma3or valor le resP ta a este su valor.4. *e utili'aban tantas de ellas como fuera necesario seg-n el principio de las numeraciones aditivas. Los símbolos de %8L %88 3 %888 se obtienen a0adiendo el signo de +8L +88 3 +888 al de %L usando un principio multiplicativo./. ritm+ti'a 'on nCmeros romanos &odas las operaciones aritm(ticas reali'adas con n-meros romanosL al tratarse de un caso parP ticular de numeración enteraL pueden ser descompuestas en sumas 3 restas. *us agrupamientos se Dacen de +8 en +8L pero los romanos no tenían un símbolo para repreP sentar el cero. la k)balaL Aue persigue fines místicos 3 adivinatorios.
....... El *istema de Numeración !a3a Los ma3as idearon un sistema de base 58 con el % como base au9iliar. 2on elloL el segundo pasoL al tener una notación -nicamente aditiva puede entrar en funcionamiento. ’ 2YYY4... "ara el +8 se usaP ban dos ra3asL 3 de la misma forma se contin-a Dasta el 58L con cuatro ra3as. ’ Y2... *uma 2Y4. _ YY.4 [ Y2..YY. =esta 2Y4../. El % era una ra3a Dori'ontalL a la Aue se a0adían los puntos neP cesarios para representar )L . 24 “ Y.YY.4 ’ . ’ LL. ’ 4c 44 ’ Yc 2YYY4.... EAemplo Eliminar los numerales comunes entre los t(rminos 2Y4.. . 2Y4. Casta aAuí parece ser un sistema de base % aditivoL pero en realidadL considerados cada uno un solo sigP noL estos símbolos constitu3en las cifras de un sisteP ma de base 58L en el Aue Da3 Aue multiplicar el valor de cada cifra por +L 58L 58958L 58958958 Q seg-n el lugar Aue ocupeL 3 sumar el resultado... ’ LYYYY.L 7 3 :. 2Y4. “ YY...... La unidad se representaba por un punto.. &ras esoL es necesaria una reordenaciónL pues los dos sumandos mantienen sus ordenaP ciones respectivasL lo Aue no es problema al no estar presente anotación substractiva. 2Y4.. LYYYYY.. “ Y..... LYYYY.. 1na ve' reordenados los símbolosL se agrupan los símbolos 3 se introduce de nuevo la notación substractivaL aplicando las reglas de numeración romana..4 Paso + 5 3 4 % ) Des'rip'ión Eliminar la notación substractiva 2oncatenar los t(rminos Ordenar los numerales de ma3or a menor *implificar el resultado reduciendo símbolos A0adir notación substractiva *olución .4 [ Paso + 5 3 4 % ) Des'rip'ión Eliminar la notación substractiva E9pandir los numerales del primer t(rmino Dasta Aue apare'can elementos del segundo.. “ Y..EAemplo . 2Y4.. _ YY.4.4 [ 2YL • • • • El primer paso decodifica los datos posicionales en una notación -nicaL lo Aue facilita la tarea aritm(tica. ’ LYYYYY. _ YY.... Y2.... ’ 2YYYY YYYY ’ YL 2YL EAemplo "olu'ión..). 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 4% . /osL tresL 3 cuatro puntos servían para 5L 3 3 4. “ YY. :.. “ YY. ’ 24 “ Y.. ’ 2Y4.. Al tener cada cifra un valor relativo seg-n el lugar Aue ocupaL la presencia de un signo para el ceroL con el Aue indicar la ausencia de unidades de alg-n ordenL se Dace imprescindible 3 los ma3as lo usaP /ise0o de 1. EAemplo :.4 ’ .... =epetir los pasos 5 3 3 Dasta Aue el segundo t(rmino Auede vacío A0adir notación substractiva *olución .. EsL por tantoL un sistema posicional Aue se escribe a arriba abajoL empe'ando por el orden de magnitud ma3or...... “ Y. "olu'ión.....
%57L :4)+L .comSoperacionesParitmeticasPconPnumerosPma3as. @4es Aue estos sistemas de numeración son instrumentos -tiles para comunicar inforP maciónB %. Anali'a algunos aspectos tales como la economía en la escritura de grandes n-meros. cK La fecDa en Aue estamos. Al romperse la unidad del sistemaL (ste se Dace poco pr ctico para el c lculo 3 aunAue los conocimiento astronómicos 3 de otro tipo fueP ron notables los ma3as no desarrollaron una matem tica m s all del calendario. 'tividad @8 +. 7. aK "asa al sistema ar bigo los siguientes n-meros. 5.SSDtml.nventa un sistema de numeración parecido al griegoL con nuestro alfabetoL como el ejemplo Aue sigue.. "ero los científicos ma3as eran a la ve' sacerdotes ocupados en la observación astronómica 3 para e9presar los n-mero correspondientes a las fecDas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 58. /ise0o de 1. .. 2omenta sobre las diferencias 3 semejan'as entre ellos. bK El n-mero de tu casa. 3. Adem s de (ste calendario solar usaron otro de car cter religioso en el Aue el a0o se divide en 58 ciclos de +3 días. dK N-mero de personas Aue viven contigo. aK &u edad. @"or Au( crees Aue se Da adoptado ma3oritariamente el sistema de numeración deciP mal 3 no otro cualAuieraB +8. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 4) .En el cuadro se presentan los primeros n-meros de un sistema desconocido 3 su eAuiP valencia con los del sistema decimal en notación ar biga. 2omo los babiloniosL lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro n-mero. "on ejemplos de la forma 3 lugar en los Aue son usados Jpor ejemplo el romano en las fecDasK./. El a0o lo consideraban dividido en +7 uinal Aue constaba cada uno de 58 días.83. @?u( diferencias encuentras entre los sistemas de numeración ma3a 3 romanoB aK @2u l te parece mas sencilloB bK @2u l mas -tilB :. YL4.L !!/222YL4. *e a0adían algunos festivos JuayebKL 3 de esta forma se conseguía Aue durara justo lo Aue una de las unidades de tercer orden del sisP tema num(rico. 2on el sistema de numeración Aue Das inventadoL intenta escribir las siguientes cifras.Dtml ++.ronL aunAue no parece Daberles interesado el concepto de cantidad nula. Dttp. Escribe en el sistema de numeración ma3aL griego egipcio 3 romano. ). *obre la numeración romana. . A trav(s del enlace podr s consultar Jsi est s interesadoK m s sobre cómo se operan los n-meros ma3as. Algunos sistemas de numeración a-n se utili'an. 4. Así la cifra Aue ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 589+7[3)8 para completar una cifra mu3 pró9ima a la duración de un a0o.rincondelvago. Escribe los n-meros en el sistema de numeración indicado. bK =eali'a las siguientes operaciones.
2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 4../. .@2u ntos símbolos se empleanB @2ómo se ordenan esos símbolosB @2u l es la base del sistemaB @2oincide la base con la cantidad de símbolosB @2u les son las consecuencias de elloB @2ómo se escribirían los n-meros de tres cifras de la tabla usando n-meros ar bigosB /ise0o de 1.
NV 7L 4ol 4 J+K 588)L pp. J2entro Aragon(s de =ecursos para la Educación .lecturalia.netSIeb5SlasmatematicasdemarioSAritmeticaSNumerosSNumpol.pdf 4.ul. LueticD Los sistemas de numeración.esSrdS=ecursosSrd:.org /ise0o de 1.esSdocumentosSmatematicas”eso.infoSenc3clopediaSNSnumbers”t3pes. Academia de 2iencias Luventicus ++.SSsistacnet.fisem.**N.mec. P .5. 5.com .com ).pdf 3.SSIII.=.comStiposPdePnumerosS Dttp. La vida de los n-meros Dttp.A. =evista 1nión. Dttp.Dtm Dttp.E..SOtrosS*. =osita Earrido Labb(c *antiagoL 2Dile Dttp. 1niversidad de >Deaton M vídeo de Houtube part + %.Dtm Dttp.. Dttp. /iversidad 2ultural. Lecturalia.Dtm•termtriang Dttp.IiFipedia.bne.N&=O +4.daviddarling. El blo! de sistacnet. Las #eb uest.esS–dmas8887SperlasmatematicasStiposdenumeros. J.Dtml :. J.Dojamat.mic. +7+%P8)48.cica.**N. Dttp.SSIII./. La >iFipedia. <ego0a Arena' 4illalba.Dtm 7. Dttp. Dttp. *antiago 2asado Dttp.orgSrevistaSarticulosS7SespannolSArt”7”:).SSIII. . "ara los tipos de n-meros.SSdl4+.SStDales.SSmonicarodrigue'die'.SSIII.pdf +8. Dttp.SSIII.Dtm +3.Iordpress. 2ine 3 &4 como fuente de información para mejorar las competencias matem ticas 3 científicas del alumnado de *ecundaria 47 .nterculturalK Dttp.esSespSactividadesSvidanumeros. =evista Electrónica de .SSes..orgSdescargasS5S1nion”885”884.dinaserver. Junio de 588%L N-mero 5L p ginas +% P 35 Dttp.*&N1!.comSDostingScarei. 2.SSgaussianos. 4. <iblioteca Nacional de Espa0a +5.SSIII.investigacionPpsicopedagogica.SSolmo.Dtml•.pntic.<ibliografía +.nvestigación "sicoeducativa.infoSboletinS .esSsindecimalesSaulaSiniaula. +):)P58:%.SSIII.SSIII. /r.telefonica.cdu.ieSeurolessonSspanisDSmatDs3c.
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