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Timestamp: 2020-08-11 14:19:15+00:00

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QUIROZ_QUIROZ_JORGE_CONSTRUCCION_SIGNIFICADO.pdf | División (Matemáticas) | Sustracción
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Tarea 1 Matematica Naysy
Tesis para optar el grado de Magíster en Enseñanza de las Matemáticas que presenta
Dirigida por Dr, Uldarico Víctor Malaspina Jurado
A la memoria de mi querido padre Enrique Quiroz y de mi entrañable abuela materna, Carmen Malca,
Ejemplos de vida que siguen orientado mi caminar
A la Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP) por su contribución
a mi desarrollo académico y profesional.
Mi gratitud al asesor de esta tesis, Dr. Uldarico Víctor Malaspina Jurado, por su esfuerzo y dedicación para orientarme en la culminación de este trabajo, así como su generoso trato amical.
A Mery, Alfredo, Dady y Jorge Luis, esposa e hijos que me acompañan con
alegría y enteresa en los avatares de la vida.
CAPÍTULO 1: PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN, RELEVANCIA, OBJETIVOS Y METODOLOGÍA
CAPÍTULO 2: ANTECEDENTES Y MARCO TEÓRICO
2.1.1. Investigaciones de Gerard Vergnaud
2.1.2. Investigaciones de T. Carpentier y J. Moser
2.1.3. Investigaciones de Carlos Maza Gómez
2.1. 4. Investigaciones de Eva Cid, Juan D. Godino y Carmen Batanero
2.2.1. El Enfoque Ontosemiótico
2.2.2. Poster EOS
2.2.3. Herramientas teóricas del EOS.
2.2.3.1. Supuestos básicos
2.2.3.2. Las Matemáticas
2.2.3.3. Sistemas de prácticas
2.2.3.4. Objetos y procesos
2.2.3.5. Conflicto semiótico, error, dificultad y obstáculo
2.2.3.6. Tipos de objetos primarios
2.2.3.7. Configuraciones didácticas
2.2.3.8. Dimensiones de los objetos
2.2.3.8.1. Personal-institucional
2.2.3.8.2. Extensivo-intensivo
2.2.3.8.3. Ostensivo-no ostensivo
2.2.3.8.4. Elemental-sistémico
2.2.3.8.5. Expresión-contenido
Relaciones entre objetos: Función semiótica
2.2.4. Idoneidad didáctica
2.2.4.1. Idoneidad epistémica
2.2.4.2. Idoneidad cognitiva
2.2.4.3. Idoneidad interaccional
2.2.4.4. Idoneidad mediacional
2.2.4.5. Idoneidad emocional
Idoneidad ecológica
CAPÍTULO 3: SITUACIONES ADITIVAS EN EL SISTEMA CURRICULAR
3.1. En el Diseño Curricular Nacional
3.2. En los Mapas de Progreso del Aprendizaje
3.3. En las Rutas del Aprendizaje
3.4. En las concepciones de los profesores
CAPÍTULO 4: SIGNIFICADO DE REFERENCIA
4.1. Configuraciones formales
4.2. Situación aditiva
4.2.1. Expresiones formales aditivas simples
4.2.2. Historias aditivas simples
4.2.3. Situaciones aditivas simples
4.2.4. Variables en una situación aditiva concreta
4.2.5. Tipos de situaciones aditivas concretas
4.2.6. Significados de sumar y suma
4.3. Escenarios de aprendizaje
CAPÍTULO 5: PRESENCIAS Y AUSENCIAS EN EL SISTEMA CURRICULAR PERUANO
5.1. En el diseño curricular nacional
5.2. En los Mapas de Progreso y las Rutas del Aprendizaje
5.3. En los cuadernos y textos oficiales
CAPÍTULO 6: IDONEIDAD DIDÁCTICA EN LOS CUADERNOS Y …
6.1. Idoneidad epistémica
6.2. Idoneidad cognitiva
7.1. Conclusiones relacionadas con la primera pregunta de investigación
7.2. Conclusiones relacionadas con la segunda pregunta de investigación
7.3. Conclusiones relacionadas con la tercera pregunta de investigación
7.4. Conclusiones relacionadas con la cuarta pregunta de investigación
7.5. Sugerencias y preguntas abiertas
Anexo 1: Axiomas de la teoría de conjuntos
Anexo 2: Leyes de composición interna y estructuras algebraicas
Anexo 3: Instrumento 1 e Instrumento 2
Anexo 4: Otros tipos de situaciones aditivas
En nuestro país, desde la década de los 90 del siglo pasado, el estado a través del Ministerio de Educación inició un cambio en los contenidos curriculares de la educación básica y como ayuda inició la entrega de textos escolares para la mayoría de las áreas curriculares en los niveles de inicial, primaria y secundaria, por lo que podemos decir que actualmente se ha hecho obligatorio y es prácticamente indispensable para el trabajo en el aula el uso de materiales escritos en Matemática y otras áreas curriculares.
Adicionalmente, en los últimos años el Ministerio de Educación (MED) ha iniciado la elaboración de un sistema curricular (formado, básicamente por el Marco Curricular, los Mapas de Progreso y las Rutas de Aprendizaje). En el 2013 publicó estándares de evaluación en algunas áreas curriculares como Matemática y Comunicación con el nombre de Mapas de Progreso con la finalidad de ayudar a mejorar la calidad del servicio que ofrecen las instituciones educativas, públicas y privadas y para desarrollar estos estándares entregó las Rutas del Aprendizaje.
Todos los programas curriculares y de evaluación propugnan la comprensión de los significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras. Esto quiere decir que todas buscan, por ejemplo, que los estudiantes comprendan los distintos significados de la adición y sustracción de números naturales y la relación entre ambas operaciones, así como los efectos de sumar o restar números naturales. También se interesan por desarrollar y usar estrategias para efectuar con fluidez operaciones con números naturales.
El objeto matemático del Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular que hemos escogido es la adición de números naturales y sobre él intentamos construir un significado de referencia que nos permita describir las prácticas matemáticas; los objetos y procesos (lenguaje, problemas, propiedades, conceptos, procedimientos y argumentos), las configuraciones didácticas en que se divide el proceso de instrucción planificado y analizar los conflictos
semióticos potenciales, así como juzgar la idoneidad didáctica de un proceso de estudio pretendido (planificado).
El trabajo pretende:
1. Construir un significado de referencia de la adición de números naturales en Educación Primaria en el Perú. Para cumplir con este cometido analizaremos las situaciones aditivas propuestas por Catherine Durand y Gerard Vergnaud (1976) ; Thomas Carpenter y James Moser (1982 y 1983); Carlos Maza Gómez (2001) y Eva Cid, Juan D. Godino y Carmen Batanero (2004a); también analizaremos los cuadernos de trabajo y textos escolares que el MED ha entregado a los estudiantes de educación primaria de las instituciones educativas públicas; lo que propone el DCN, los Mapas de Progreso, las Rutas del Aprendizaje, así como lo que piensan los docentes de educación primaria.
Construido el significado de referencia a partir de lo que proponen los expertos, los textos escolares, las orientaciones curriculares y la práctica de los docentes, estaremos en condiciones de:
2. Mostrar presencias y ausencias en los principales instrumentos del Sistema Curricular Peruano (Marco Curricular, Mapas de Progreso, Rutas del Aprendizaje y cuadernos y textos escolares entregados por el MED a los estudiantes de educación primaria).
3. Examinar la idoneidad didáctica sobre la adición de números naturales en educación
primaria en sus dimensiones: epistémica y cognitiva utilizando el significado de referencia. Nuestro interés radica en conectar la investigación educativa a la mejora de la enseñanza- aprendizaje y particularmente de la matemática y ayudar a mejorar la formación profesional de los futuros docentes de educación primaria al mostrar la utilidad de algunas herramientas teóricas para el estudio didáctico en matemática, pues este objetivo está en la base de cualquier esfuerzo de investigación e innovación.
1 EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN, RELEVANCIA, OBJETIVOS Y METODOLOGÍA
En la sección 1.1 realizamos el planteamiento del tema y las preguntas de investigación; en la sección 1.2 justificamos el problema a investigar; en la sección 1.3 formulamos los objetivos; en la sección 1.4 explicamos la metodología usada y en la sección 1.5 explicamos la estructura de
la presente memoria de investigación.
Investigadores del Enfoque Ontosemiótico (EOS) consideran:
En la actualidad, uno de los grandes problemas que enfrenta la didáctica, si no el principal, es el análisis y la determinación simultánea de los conocimientos precisos y las condiciones en las que pueden ser propuestos y aprendidos por los sujetos o instituciones. (Brousseau, 2004, intervención oral en CS ADIREM) Este objetivo precisa de la discriminación y de la descripción de las nociones, procesos y significados matemáticos que han de ser enseñados. En particular, es necesario determinar los significados asociados a los objetos matemáticos en los diferentes contextos de uso en las instituciones escolares y organizarlos como un todo complejo y coherente” (Wilhelmi, Godino y Lacasta, 2004, p. 1).
Nuestro problema en este estudio será determinar el significado de referencia de la adición de números naturales. Para el EOS el significado de un objeto matemático se identifica con el conjunto de prácticas asociadas a la solución de problemas respecto de dicho objeto matemático, tanto en la dimensión personal como institucional. El objeto matemático es un emergente de un sistema de prácticas. Considerando el uso en diferentes contextos se puede considerar como único y con un significado holístico. (Godino y Batanero, 1994)
De las operaciones con números naturales, la primera que se estudia es la adición. Para analizar el significado de esta operación necesitamos construir un significado de referencia. Para este propósito analizaremos los estudios de Durand y Vergnaud (1976); de Carpenter y Moser (1982
y 1983) basadas en las características semánticas de los problemas aditivos; Maza (2001) y Cid, Godino y Batanero (2004a).
Cuando se ha elaborado el significado de referencia de un objeto matemático es posible analizar un proceso de instrucción planificado en un libro de texto (significado pretendido) pues permite comparar ambos significados al mostrar ausencias y presencias y valorar la pertinencia y adecuación respecto al proyecto educativo, es decir, determinar la idoneidad didáctica de un proceso de enseñanza aprendizaje.
En este contexto, formulamos las preguntas:
 ¿Cuál es el significado de la adición de números naturales en el Sistema Curricular Peruano para la educación primaria?
 ¿Cuál sería un significado de referencia de la adición de números naturales en el sistema curricular peruano de la educación primaria?
 ¿Cuáles son las presencias y ausencias de los significados parciales de la adición de números naturales en el Sistema Curricular Peruano para la educación primaria?
 ¿Qué indicadores de la idoneidad didáctica – epistémica y cognitiva- de la adición de números naturales están presentes en los cuadernos de trabajo y textos escolares entregados por el MED a estudiantes de Instituciones Públicas de educación primaria? Para el MED el sistema curricular “está compuesto, básicamente, por el Marco Curricular, los Mapas de Progreso y las Rutas del Aprendizaje.” (Ministerio de Educación, 2013, p. 5) Consideramos también, los cuadernos y textos escolares entregados por el MED a los estudiantes de las instituciones públicas.
Elaborar el significado de un objeto matemático permitirá apoyar al trabajo del docente y del alumno, pues dispondrán de los distintos tipos de situaciones, los grados de dificultad de los mismos, la forma de representarlos y el uso pertinente de los materiales adecuados, además “existe un divorcio muy fuerte entre la investigación científica que se está desarrollando en el ámbito académico y su aplicación práctica a la mejora de la enseñanza de las matemáticas.” (Godino, 2010, p. 38.) Para teóricos como Hiebert, Morris y Glass “un problema persistente en educación matemática es cómo diseñar programas de formación que influyan sobre la naturaleza y calidad de la práctica de los profesores” (Godino, Font y Wilhelmi (2006), p. 132).
El MED, a las situaciones aditivas, en los Mapas de Progreso y en las Rutas del Aprendizaje (2013) las considera como situaciones de combinación, cambio, comparación o igualación y a las prácticas del estudiante o del profesor las relaciona con las acciones de juntar, aumentar,
comparar. Esta propuesta se diferencia de la que propone en el DCN (2009) pues a dichas situaciones solo considera como acciones de juntar, aumentar, comparar, quitar, separar o tachar. Esta razón es suficiente para que el sistema curricular cuente con un significado de referencia de las situaciones aditivas.
Reconstruir la noción de un objeto matemático permite analizar las prácticas operativas, discursivas y regulativas en cualquier nivel de la Educación Básica. En particular, se puede abordar el análisis de los libros de texto y, por tanto, “identificar ausencias y presencias relevantes para la introducción o desarrollo de una noción matemática. Con otras palabras, permiten un análisis de la idoneidad epistémica de procesos de enseñanza y aprendizaje potenciales basados en dichos libros de texto”. (Reina, Wilhelmi, y Lasa, 2012, p. 68).
El EOS a través de Godino, Batanero y Font (2009) nos indica:
La Didáctica de la Matemática no debería limitarse a la mera descripción que lo deja todo como estaba, sino que debería aspirar a la mejora del funcionamiento de los procesos de estudio. Por tanto, son necesarios criterios de ‘idoneidad’ o adecuación que permitan valorar los procesos de instrucción efectivamente realizados y ‘guiar’ su mejora. Se trata de realizar una acción o meta- acción para ser más precisa (la valoración) que recae sobre otras acciones (las acciones realizadas en los procesos de instrucción). En consecuencia, ha de considerarse la incorporación de una racionalidad axiológica en la educación matemática que permita el análisis, la crítica, la justificación de la elección de los medios y de los fines, la justificación del cambio, etc. (p. 17).
Construir un significado de referencia de la adición de números naturales en el sistema curricular peruano de educación primaria.
1. Describir los significados de la adición de números naturales presentes en el Sistema Curricular Peruano de la educación primaria.
2. Identificar presencias y ausencias importantes de los significados parciales de la adición de números naturales en el Sistema Curricular Peruano.
3. Valorar la idoneidad epistémica y cognitiva de la adición de números naturales en los cuadernos de trabajo y textos escolares entregados por el MED a estudiantes de Instituciones Públicas de educación primaria.
Para responder a la primera pregunta (de tipo empírico), relacionada con el primer objetivo específico, sobre el significado de la adición de números naturales en el Sistema Curricular
Peruano para la educación primaria, hemos utilizado el análisis ontosemiótico (análisis de contenido). El EOS (Godino, Batanero y Font 2006) clasifica las cuestiones de investigación didáctica según cuatro ejes o dimensiones: el foco, el fin, la generalizabilidad y el nivel de la investigación; cada una con varias categorías. Consideramos la dimensión foco en su categoría epistémica (significados institucionales). El fin, en su categoría descriptiva; específicamente, describir, comparar, clasificar, analizar e interpretar las situaciones aditivas para la educación primaria de los trabajos de los expertos: Estructuras aditivas y complejidad psicogenética, de Catherine Durand y Gerard Vergnaud (1976); The Development of Addition and Subtraction Problem Solving Skills (1982) y The Acquisition of Addition and Subtraction concepts (1983) de Thomas Carpenter y James Moser, de la Universidad de Wisconsin; Adición y Sustracción, de C. Maza Gómez de la Universidad de Sevilla en Castro, E. (2001, editor); y Sistemas numéricos y su didáctica para maestros, de Eva Cid, Juan D. Godino y Carmen Batanero de la Universidad
de Granada (2004a); y también los significados que propone el sistema curricular peruano: DCN,
los Mapas de Progreso y las Rutas del Aprendizaje; asimismo, describimos los conocimientos y concepciones de las situaciones aditivas con números naturales de una muestra de docentes, tanto de instituciones educativas públicas como privadas. Con estos insumos, planteamos un significado de referencia de la adición de números naturales para la educación primaria. La
selección de los trabajos de los expertos la hemos hecho a partir de la información en los Mapas
Progreso (MED, 1913) y las Rutas del Aprendizaje (MED, 1913b). Estos documentos refieren
libro Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria cuyo editor es Enrique Castro. El
capítulo 8 está referido a la Adición y Sustracción escrito por Carlos Maza. Nuestro interés, inquietud y sugerencia del asesor nos llevó a Matemática para Maestros (Cid, Godino y Batanero (2004), luego a Durand y Vergnaud (1976) y finalmente a Carpentier y Moser (1982 y 1983), por
sugerencia personal de Godino. Con la construcción de un significado de referencia respondemos
a la segunda pregunta de investigación y damos cumplimiento al objetivo general de investigación.
En cuanto a la generalizabilidad, el presente trabajo se ubica en la categoría de exploratorio, pues
no pretende generalizar a otros contextos, aunque brinda elementos para hacer análisis similares que puedan contribuir a una generalización posterior.
Respecto al nivel de análisis, el presente trabajo se ubica en la categoría de global, pues aborda hechos y fenómenos relacionados al estudio de las situaciones aditivas en varios grados de la educación primaria.
Para responder a la segunda pregunta de investigación y dar cumplimiento al tercer objetivo específico sobre presencias y ausencias de los significados parciales de la adición de números naturales en el Sistema Curricular Peruano para la educación primaria elaboramos un instrumento (Instrumento 1) que permitió explicitar características como: contexto de una situación, tipo de situación, significado de los números, número de respuestas correctas, representación, etc. (variables planteadas por Cid, Godino y Batanero 2004) en el DCN, los Mapas de Progreso, las Rutas del Aprendizaje y los cuadernos de trabajo y textos escolares entregados por el MED a los estudiantes de instituciones públicas. Todo esto, con el propósito de comparar los significados del DCN, los Mapas de progreso, las rutas del aprendizaje y los cuadernos de trabajo y textos escolares entregados por el MED con el significado de referencia.
Para dar respuesta a la cuarta pregunta de investigación y cumplir el tercer objetivo específico sobre la idoneidad didáctica - epistémica y cognitiva- de los cuadernos de trabajo y textos escolares entregados a los estudiantes de primaria de instituciones públicas, usamos los indicadores de idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas del enfoque ontosemiótico referidos a la idoneidad epistémica y a la idoneidad cognitiva (Godino, 2011)
Para elaborar un significado de referencia, hemos utilizado las siguientes herramientas del marco teórico: Sistemas de prácticas (prácticas institucionales), objetos primarios (Lenguaje, situaciones, conceptos, procedimientos y argumentos) y configuraciones epistémicas.
Para examinar la idoneidad didáctica de las situaciones aditivas propuestas en los cuadernos y textos entregados por MED, en sus dimensiones epistémica y cognitiva, hemos utilizado los indicadores de idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas propuestos por Godino (2011). La elección de estas dos idoneidades es pertinente, por el énfasis en el análisis documental de este trabajo, y porque consideramos que en un significado pretendido, es esencial examinar el qué se enseña y el cómo se espera que se aprenda. Examinar las otras idoneidades requiere de observaciones en aula, tarea que puede realizarse en otra investigación.
2 ANTECEDENTES Y MARCO TEÓRICO
Este capítulo consta de dos secciones, la primera resume las investigaciones de Durand y Vergnaud (1976), de Carpenter y Moser (1982 y 1983), de Maza (2001) y Cid, Godino y Batanero (2004a y 2004b). La segunda sección es una síntesis de las principales herramientas teóricas del Enfoque Ontosemiótico utilizadas en el presente estudio.
2.1.1 INVESTIGACIONES DE CATHERINE DURAND Y GERARD VERGNAUD
Durand y Vergnaud (1976), en el trabajo Estructuras aditivas y complejidad psicogenética, deslindan con el enfoque de la enseñanza de la Matemática moderna. En este artículo nos dicen que la presentación clásica de la adición, sustracción multiplicación y división se basan en la ley de composición. En una ley de composición interna los términos de cualquier operación son objetos de la misma naturaleza. Sumandos y suma; minuendo, sustraendo y diferencia; factores
y producto, y dividendo, divisor y cociente pertenecen al conjunto soporte: .
+ : (a, b)  a + b
 : (a, b)  a  b
: (a, b)  a  b
: (a, b)  a  b
Si bien, el estudio de la adición y multiplicación son fáciles de definirlas, la sustracción y división presentan una dificultad mayor, pues en la sustracción el primer término debe ser mayor o igual que el segundo. En el caso de la división el primer término debe ser múltiplo del segundo.
Además, nos dicen que el estudio de los problemas de la aritmética elemental pone en evidencia una gran cantidad de otras dificultades, que demuestran sino el fracaso, lo inadecuado de la noción de ley interna para caracterizar ciertas relaciones numéricas. (p. 28) Sus reflexiones se basan
principalmente en el hecho que muchos de los problemas aditivos implican una secuencia temporal y los diferentes roles de los números involucrados en la situación.
Describe situaciones como la siguiente:
Tengo S/. 5 y mi tío me regaló S/. 4. ¿Cuánto dinero tengo en total?
El número 5 representa el estado de mis recursos financieros, es una medida de los recursos. Esta medida es positiva o cero. El número 4 representa una transformación de mis recursos financieros, transformación positiva, en este caso. Pudo haber sido una transformación negativa (gasto o pérdida).
La diferencia del papel de los números en la situación es importante, pues para representar estados, por lo general se utiliza números positivos, mientras que una transformación puede ser representada por un número positivo o negativo.
En la representación simbólica Durand y Vergnaud (1976) utilizan cuadrado para representar un estado, un círculo para una transformación y una flecha para indicar el sentido de la transformación. (p. 29). Esta simbología la usan también Cid, Godino y Batanero (2004) y la adoptaremos, igualmente en el presente trabajo, siguiendo de cerca lo iniciado por Durand y Vergnaud.
Gérard Vergnaud (1990) nos dice que los interesados en el aprendizaje y enseñanza no debemos reducir el concepto a su definición, pues el concepto matemático, para un niño, adquiere sentido a través de las diferentes situaciones que requieren ser resueltas.
Además, nos dice que el conocimiento racional es operatorio y se puede distinguir que un sujeto ante una situación problema puede disponer de las competencias necesarias para su solución, o bien, no disponer de todas ellas. En el primer caso el aprendiz muestra conductas automatizadas, organizadas por un esquema único, mientras que en el otro caso el sujeto está obligado a reflexionar
y explorar alguna solución esperando superar el conflicto cognitivo. Muchas veces los intentos de solución son no exitosos.
Para los Campos Conceptuales, el concepto de situación no tiene el sentido de situación didáctica, sino el de tarea. Una tarea compleja se puede analizar como una combinación de tareas simples. La ventaja de este marco teórico es que permite clasificar considerando las situaciones simples y los procedimientos necesarios para resolverlas. El papel esencial lo desempeñan los propios conceptos matemáticos.
El campo conceptual de las estructuras aditivas es a la vez el conjunto de las situaciones cuyo tratamiento implica una o varias adiciones o sustracciones, y el conjunto de conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas matemáticas. De este modo son elementos constitutivos de las estructuras aditivas, los conceptos de cardinal y de medida, de transformación temporal por aumento o disminución (perder o gastar 5 francos), de relación de comparación cuantificada (tener 3 bombones o 3 años más), de composición binaria de medidas (¿cuánto en total?), de composición de transformaciones y de relaciones, de operación unaria, de inversión, de número natural y número relativo, de abscisa, desplazamiento orientado y cantidad (Vergnaud, 1990, p. 8)
Vergnaud considera dos ideas centrales en las situaciones aditivas: la de variedad, existe una gran variedad de situaciones en un campo conceptual dado, y las variables de situación son un medio de generar de manera sistemática el conjunto de las clases posibles. La otra idea es la de la historia, los conocimientos de los alumnos son modelados por las situaciones que han encontrado y dominado progresivamente, especialmente por las primeras situaciones susceptibles de dar sentido a los conceptos y a los procedimientos que se les quiere enseñar.
La combinación de estas dos ideas no hace necesariamente fácil el trabajo del investigador en didáctica, ya que la primera idea orienta hacia el análisis, la descomposición en elementos
simples y la combinatoria de los posibles, mientras que la segunda le orienta hacia la búsqueda de situaciones funcionales, casi siempre compuestas de varias relaciones, y cuya importancia
relativa está muy ligada a la frecuencia con la que se les
Durand y Vergnaud en 1976 consideraron cinco relaciones aditivas básicas, mientras que en 1990, Vergnaud agrega una más (transformación de una comparación).
La clasificación siguiente, tomada de Vergnaud (1990) incorpora una relación aditiva de base - La relación (cuantificada) de comparación entre dos medidas- a las otras cinco relaciones propuestas en Durand y Vergnaud (1976). En el reporte último nos dice que esta clasificación no ha salido perfectamente armada del cerebro de un matemático, sino que es el resultado de consideraciones psicológicas y matemáticas.
2.1.1.1 Tipos y ejemplos de situaciones de base
I. Composición de dos medidas en una tercera
Tengo 6 polos verdes y 3 rojos. En total tengo 9 polos.
6, 3 y 9 son números naturales. (M)
Por la ubicación de la incógnita, los problemas pueden ser de dos clases:
- Conociendo las dos medidas elementales, encontrar su compuesta.
- Conociendo la medida compuesta y una medida elemental, hallar la otra.
II. Transformación (cuantificada) de una medida inicial en una medida final Tenía S/. 8 y regalé a mi hermano S/. 3. Ahora, tengo S/. 5.
8 y 5 son números naturales, 3 es un número relativo. ( T)
Esta categoría de relaciones numéricas da lugar a seis grandes clases de problemas (tres clases que se subdividen cada una en dos, considerando si la transformación es positiva o negativa).
- Conociendo el estado inicial y la transformación, hallar el estado final.
- Conociendo el estado inicial y el estado final, hallar la transformación.
- Conociendo el estado final y la transformación, hallar el estado inicial.
III. Relación (cuantificada) de comparación entre dos medidas
Tengo S/. 8 y Juana tiene S/. 6. Tengo S/. 2 más que Juana.
8, 6 y 2 son números naturales. (MC)
Esta categoría de relaciones numéricas da lugar a seis grandes clases de problemas (tres clases que se subdividen cada una en dos, considerando si la comparación es más que o menos que).
- Conociendo el estado inicial y la comparación, hallar la diferencia (más que o menos que).
- Conociendo el estado inicial y la diferencia (más que o menos que), hallar el estado final.
- Conociendo el estado final y la diferencia (más que o menos que), hallar el estado inicial.
IV. Composición de dos transformaciones
Por la mañana gané S/. 9 y por la tarde perdí S/. 5. Por tanto, gané S/. 4.
9, 5 y 4 son números enteros. (TTT)
Esta categoría de relaciones numéricas da lugar a dos grandes clases de problemas
- Conociendo las dos transformaciones elementales, hallar la compuesta.
- Conociendo la transformación compuesta y una transformación elemental, hallar la otra.
V. Transformación de una relación Luis tiene 7 canicas menos que Pablo. Juan le regala 4 canicas a Pablo. Por tanto, Luis tiene 3 canicas menos que Pablo.
7, 4 y 3 son números enteros. (CTC)
- Conociendo la comparación inicial y la transformación, hallar la comparación final.
- Conociendo la comparación inicial y la comparación final, hallar la transformación.
- Conociendo la comparación final la transformación, hallar la comparación inicial.
VI. Composición de dos relaciones (comparaciones) Tengo 7 canicas más que Luis. Luis tiene 5 menos que Juan. Luego, tengo 2 más que Juan.
7, 5 y 2 son números enteros. (CCC)
- Conociendo las dos comparaciones, hallar la comparación compuesta.
- Conociendo una comparación y la comparación compuesta, hallar la otra comparación.
Estos tipos de problemas de estructura diferente se resuelven con la misma operación: la adición de números naturales o enteros. De lo anterior podemos afirmar que las diversas situaciones podemos agruparlas en situaciones de composición y comparación y situaciones de transformación, a las cuales nos referimos más detalladamente a continuación:
Composición de dos medidas, de dos transformaciones y de dos relaciones (comparaciones). Tenemos así, tres tipos de situaciones. Transformación: de una medida en otra y de una relación. Tenemos así, dos tipos adicionales de situaciones; y Comparación: de dos medidas. Tenemos así un tipo adicional de situación, con lo cual, en total, tenemos seis tipos diferentes de situaciones aditivas. (Durand y Vergnaud, 1976, p. 30)
Tamaño del número,
Valor relativo: natural, entero o decimal.
Contenido del enunciado, etc.
¿Cuáles ideas centrales interviene en el
estudio de las situaciones aditivas
Descomponer en elementos
Combinar los elementos.
RELACIONES ADITIVAS DE BASE
PAPEL DE LOS NUMEROS
1° SUMANDO
2° SUMAND
a+?= c
¿+b= c
PAPEL DE LA INCOGNITA:
¿Qué consecuencias se
obtiene de la relación?
¿Dónde se ubica la
cantidad desconocida?
suma, sumando 1, sumado 2.
Figura 1. Las situaciones aditivas simples según G. Vergnaud.
Elaboración: Jorge
Enrique Quiroz Q.
2.1.2 INVESTIGACIONES DE T. CARPENTER Y J. MOSER
Thomas Carpenter y James M. Moser profesores de la Universidad de Wisconsin, en 1982 en el
libro Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective escribieron un informe de investigación
sobre el desarrollo de habilidades para resolver problemas de adición y sustracción. Ellos
consideran que hay dos supuestos básicos, muy difundidos en las prácticas escolares, que pueden
ser falsos: el primero se refiere a que tanto la adición como la sustracción se aprenden utilizando
material manipulativo y con representaciones gráficas utilizando la reunión conjuntos (juntar) o
separar conjuntos (diferencia de conjuntos) (quitar). El segundo considera que los problemas
verbales son difíciles para niños de todas las edades, y que, antes de intentar resolverlos, deben dominar las operaciones de adición y sustracción y previamente deben ser capaces de resolver aun los más simples
problemas verbales. (p. 9)
Estos investigadores se apartaron de enfoques basados en el número de palabras en un problema,
grado de dificultad, tamaño de los números, enunciados abiertos en el problema y más bien
optaron por una alternativa al considerar las características semánticas del problema. En el
análisis de los problemas verbales aditivos identifican tres dimensiones básicas:
1. La relación activa o estática entre los conjuntos implicados en el problema.
2. La relación de inclusión o de comparación entre conjuntos disjuntos.
3. La relación que implica aumento o disminución en la cantidad inicial dada.
La relación activa implica un cambio en el tamaño o la cantidad de un dato en el problema
(aumentando o disminuyendo). Los autores, a este tipo de problemas, lo designan como
problemas de cambio. Si el problema se representa como una suma lo llaman problemas de juntar
y si se representa como una resta, son problemas de separar. (p. 10).
Más adelante nos dicen: Sin embargo, para una completa caracterización de los problemas de adición y substracción, deberemos considerar una cuarta dimensión: La naturaleza de la cantidad desconocida (incógnita). (p. 11)
Carpenter y Moser (1983) llegaron a la conclusión que hay cuatro clases de problemas aditivos
de enunciado verbal simple.
… Este análisis propone cuatro grandes clases de problemas de adición y sustracción:
cambio, combinación, comparación e igualación.
Hay dos tipos básicos de problemas de cambio y ambos involucran la acción de cambio. En
problemas de cambio-juntando, hay una cantidad inicial y una acción directa o implícita que
provoca un aumento de esa cantidad; para problemas de cambio-separando, un subconjunto se
retira de un conjunto dado. En ambas clases de problemas, el cambio se produce con el tiempo.
Hay una condición inicial (T1), que es seguida por un cambio que ocurre (T2), lo que resulta en
un estado final (T3). (p. 15)
Cambio juntando
Cambio separando
Tanto en los problemas de cambio-juntando como de cambio-separando, hay tres tipos distintos
de problemas dependiendo cuál es la incógnita.
1. Rita tenía 5 panes. Dora le dio 8 panes más. ¿Cuántos panes en total tiene Rita?
2. Dora tiene 8 panes. ¿Cuántos panes más necesita ella para tener en total 13 panes?
3. Rita tenía algunos panes. Compró 8 paness más. Ahora ella tiene 13 panes. ¿Cuántos panes tenía Rita al inicio?
4. Lolo tenía 9 naranjas. Él le dio 4 a Hugo. ¿Cuántos caramelos le queda a Lolo?
5. Lalo tenía 12 caramelos. Él comió algunos caramelos. Ahora él tiene 4 caramelos. ¿Cuántos caramelos comió Lalo?
6. Lilo tenía algunos caramelos. Él le dio 5 a Lolo. Ahora Lilo tiene 8 caramelos. ¿Cuántos caramelos tuvo Lilo al inicio?
Tanto los problemas de combinación como los de comparación implican relaciones estáticas
para los que no hay acción. Los problemas de combinación implican relaciones existentes entre
un conjunto particular y dos subconjuntos disjuntos. Existen dos tipos de problemas: se dan los
dos subconjuntos y se pide encontrar el cardinal de la unión, o se dan uno de los subconjuntos y
la reunión y se pide encontrar el cardinal del otro subconjunto. (p. 15)
1. Carlos tiene 5 canicas rojas y 8 azules. ¿Cuántas canicas en total tiene Carlos?
2. Carlos tiene 13 canicas. 5 son rojas y el resto azules ¿Cuántas canicas azules tiene Carlos?
En el informe de 1982, los autores indicaban que la relación estática entre dos conjuntos disjuntos determina un tercer conjunto, cuyo cardinal era la reunión de ellos y los llamaron problemas del tipo parte-parte-todo. La incógnita puede ser la suma o uno de los dos sumandos, si la incógnita es un sumando, el problema se puede representar como una una resta.
Los problemas de comparación involucran la comparación de dos conjuntos disjuntos. Debido a que un conjunto se compara con el otro, es posible etiquetar un conjunto como referente y el otro el conjunto de comparación. La tercera entidad en estos problemas es la diferencia, o la cantidad por la que el conjunto mayor excede al otro. En esta clase de problemas, cualquiera de las tres entidades podría ser la incógnita - la diferencia, el conjunto referente, o el conjunto de comparación. El conjunto más grande puede ser el conjunto referente o el conjunto de comparación. Por lo tanto, existen seis tipos diferentes de problemas de comparación. (p. 15)
1. Coco tiene 13 canicas. Jaime tiene 5. ¿Cuántas canicas más que Jaime tiene Coco?
2. Jaime tiene 5 canicas. Coco tiene 8 más que Jaime. ¿Cuántas canicas tiene Coco?
3. Coco tiene 13 canicas. Él tiene 5 canicas más que Jaime. ¿Cuántas canicas tiene Jaime?
4. Coco tiene 13 canicas. Jaime tiene 5. ¿Cuántas canicas menos que Coco tiene Jaime?
5. Jaime tiene 5 canicas. Él tiene 8 canicas menos que Coco. ¿Cuántas canicas tiene Coco?
6. Coco tiene 13 canicas. Jaime tiene 5 menos que Coco. ¿Cuántas canicas tiene Jaime?
En cada uno de los seis tipos de problemas de comparación, un conjunto funciona como referencia, el otro como comparación y con la diferencia de ambos cardinales se forma la relación más que o menos que.
Los problemas de igualación son un híbrido de los problemas de comparación y problemas de cambio. No son del mismo tipo de acción que se encuentra en los problemas de cambio, sino que se basa en la comparación de dos conjuntos disjuntos. Al igual que en los problemas de comparación, se comparan dos conjuntos disjuntos; a continuación, se plantea la pregunta:
¿Qué podría hacerse para que uno de los conjuntos tenga igual cardinal que el otro?
Si la acción se realiza con el más pequeño de los dos conjuntos, entonces se convierte en un
problema de igualación-sumando. Por otro lado, si la acción se efectúa en el conjunto más
grande, entonces el problema resulta igualación-quitando. Al igual que con los problemas de
comparación, la incógnita puede variar para producir tres distintos problemas de igualación de
cada tipo. (p. 17)
1. Coco tiene 13 canicas. Jaime tiene 5 canicas. ¿Cuantas canicas tiene que ganar Jaime para tener tantas como Coco?
2. Jaime tiene 5 canicas. Si gana 8 canicas, tendrá el mismo número de canicas que Coco. ¿Cuántas canicas tiene Coco?
3. Coco tiene 13 canicas. Si Jaime gana 5 canicas,él tendrá el mismo número de canicas que Coco. ¿Cúantas canicas tiene Jaime?
4. Coco tiene 13 canicas. Jaime tiene 5 canicas. ¿Cuantas canicas tiene que perder Coco para tener tantas como Jaime?
5. Jaime tiene 5 canicas. Si Coco pierde 8 canicas, él tendrá el mismo número de canicas que Jaime. ¿Cuántas canicas tiene Coco?
6. Coco tiene 13 canicas. Si él pierde 5 canicas, tendrá el mismo número de canicas que Jaime. ¿Cuántas canicas tiene Jaime?
Lo central en su trabajo es que nos describe la relación que interviene en las situaciones aditivas:
estática o activa. La primera, la relación estática proporciona dos tipos de situaciones: de
combinación y comparación y la segunda, relación activa proporciona otros dos tipos diferentes
de situaciones: de cambio y de igualación. Este aporte es sustancial para la elaboración del
significado de referencia. Además, nos dicen la cantidad desconocida puede ser la suma, el
primer sumando o el segundo y las consecuencias de la relación en las situaciones aditivas pueden
ser de aumento o de disminución. También nos muestra las diferentes estrategias asociadas a la
solución de una situación aditiva.
continuación presentamos un resumen del trabajo de estos investigadores. Hemos elaborado
estructura global de las situaciones aditivas simples.
Restar: separar
Supuestos no
siempre válidos
las suma
¿Qué tipo de relación interviene
en las situaciones aditivas?
2° SUMANDO
Modelado directo: conteo
con dedos u objetos, conteo
conteo total, a partir del 2°
memorizados: Doble,
doble más (menos) uno,
doble más (menos) dos, etc.
Figura 2. Las situaciones aditivas simples según Carpenter y Moser.
2.1.3 INVESTIGACIONES DE CARLOS MAZA GÓMEZ
Carlos Maza Gómez, profesor titular en la Universidad de Sevilla, junto a 23 profesores de universidades españolas en 2001 escribieron el libro Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria, cuyo editor fue Enrique Castro. En este libro Carlos Maza le dedica un capítulo al análisis de la adición y sustracción (pp. 177-202).
2.1.3.1 Análisis de la adición y sustracción
Consta de tres subcapítulos: contextos y usos, conceptos y representación de dichas operaciones. En el primer subcapítulo contextos y usos de la adición y sustracción, el autor aborda la fenomenología de la adición y sustracción. Comenta las definiciones habituales de estas operaciones en los libros de texto aritméticos del siglo XIX y comienzos del XX: “Sumar
es reunir varios números en uno solo”, (p. 179). “La sustracción es el análisis de la adición, y
tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos y uno de éstos, hallar el otro” (p. 179). En el primer caso la definición hace alusión a la acción que debe hacer el sujeto, en cambio en la segunda, la resta se puede entender como una suma en la que se desconoce uno de los sumandos. Esto significa que para el autor las operaciones se pueden entender de dos maneras: desde las
matemáticas mismas, como relación de objetos abstractos o como acciones del sujeto al resolver
el problema. Por ejemplo: si Sonia tiene S/. 5 y si su padre le da de propina S/. 3. En total tiene
S/. 8. En el primer caso, la suma 8 es el cardinal de la reunión de dos conjuntos disjuntos, uno cuyo cardinal es 5 y el otro de cardinal 3. En cambio en el segundo caso los S/. 3 que le da el
padre aumenta (cambia, transforma o varía) los S/. 5, para obtener S/. 8. El primer caso es el significado de la ley de composición interna y en el segundo, la operación aritmética que describe
la acción de cambio o transformación: aumentar, añadir, incrementar.
Lo importante, estriba en que pone de manifiesto las dos maneras frecuentes de enfrentar las operaciones aritméticas, la primera es heredera de la influencia del formalismo a través de la Matemática Moderna, primero debemos saber sumar, restar, multiplicar o dividir y luego aplicar
resultado de la operación a las situaciones concretas; en cambio la segunda tiene que ver con
significado de la acción que realiza el estudiante para obtener el resultado de la operación.
Una observación a lo que describe Carlos Maza: … se efectúa una suma entendiéndola como la ‘reunión de los números cinco y cuatro en uno solo, nueve. Esta afirmación no es correcta. Nueve
no es la reunión de cinco y cuatro. Nueve es el cardinal de la reunión de los conjuntos disjuntos
A y B, cuyo cardinal de A es cinco y el cardinal de B es cuatro.
El autor continúa comparando el currículo anterior (1970) y los nuevos contenidos curriculares. Describe los enfoques del currículo anterior: “La enseñanza de la matemática… debe centrarse en el proceso de matematización de los problemas, creación de sistemas formales, utilización de las leyes de estos sistemas para obtener unos resultados e interpretación de los mismos” (p. 181). En la década del 90, el currículo se compone de conceptos, procedimiento y actitudes. Respecto a los conceptos de la Adición y Sustracción, nos dice: “Situaciones en las que intervienen estas operaciones: la suma como unión, incremento; la resta como disminución, comparación, complemento. La identificación de las operaciones inversas (suma y resta). Correspondencia entre lenguaje verbal, representación gráfica y notación numérica.” (p. 181)
En el segundo subcapítulo: Conceptos de las operaciones de adición y sustracción, las define de dos maneras. La primera la hace como objetos matemáticos. La adición de números naturales es una ley de composición interna, es decir, como una aplicación de N  N en N. Tal que a cada par de números naturales (a, b) le hace corresponder el número natural c. Describe que a, b y c son los cardinales de los conjuntos disjuntos A, B y el conjunto A  B, respectivamente. (A  B =
x/x  A o x  B).
Para la sustracción, utiliza dos conjuntos A y B, tal que el conjunto B es subconjunto de A (B 
A). “La sustracción en el conjunto N puede definirse como la correspondencia h: N  N  N,
tal que si h(a, b) = c, es c = cardinal (A  B) donde A – B = x/x  A y x  B).” (Enrique Castro, 2001, p.182).
El autor pone de manifiesto, la diferencia entre las dos definiciones. La adición es una aplicación de N  N en N, mientras que la sustracción es una correspondencia. Esto quiere decir, que la adición cumple con la propiedad de clausura (ley interna totalmente definida) y la sustracción no verifica dicha propiedad (ley interna parcialmente definida), en N no hay la diferencia de 3 y 5. Esto hace que se adopte una definición abstracta de la diferencia de a y b, se dice que a – b = c, significa que a = b + c.
La equivalencia de estas últimas expresiones es la base para sostener que la sustracción es la inversa de la adición. Matemáticamente, sabemos que esto no es correcto, pues la adición es una aplicación de N  N  N y la inversa sería la aplicación de N  N  N. Sabemos que si 7 es la suma de dos números, estos números pueden ser 7 y 0, 6 y 1, 5 y 2, etc.
2.1.3.2 Tipos de situaciones aditivas
Luego define la adición y sustracción considerando los significados de las acciones que realiza
el sujeto: cambio, combinación y comparación.
Lo que sigue es un resumen de lo que propone Carlos Maza en Castro (2001), en el cual
mantenemos el nombre de los tipos de situaciones, las representaciones y las estrategias para la
solución y presentamos nuevos ejemplos, análogos a los de Masa.
Cambio aumentando (final desconocido)
Javier tiene seis piñas. Compra dos piñas más. ¿Cuántas piñas tendrá al final?
Para este tipo de situaciones de cambio aumentando propone las estrategias:
Contar todo: disponer objetos que representen el primer dato (6 piñas en este caso) y
añadirle a continuación los objetos del segundo dato (2 piñas), y luego, contar todo hasta
el último. Este procedimiento es el más frecuente, por ser el más simple.
Contar a partir del primer sumando: estrategia que consiste en contar a partir de
cualquier número, que en este caso es a partir del primer dato (6 piñas) y contar a partir
de seis (siete, ocho).
Problemas de cambio aumentando
Un niño tiene 6 piñas
Dispone 6 objetos Extiende 6 dedos
Compra dos piñas
Coloca 2 objetos más Extiende 2 dedos más
¿Cuántas tiene al final?
Cuenta todos los objetos. Cuenta dedos extendidos 6 + 2 = 8
Cambio disminuyendo (final desconocido)
Javier tiene piñas. Luego, vende dos piñas. ¿Cuántas piñas tendrá al final?
Esquemáticamente se pueden representar ambos problemas del modo siguiente:
Cambio aumentado (cambio desconocido)
Javier tiene seis piñas. Luego, compra algunas piñas más. Si al final tiene ocho piñas,
¿cuántas ha comprado?
.El autor propone dos estrategias aditivas y una sustractiva para resolver este tipo de situación.
Contar a partir de lo dado: consiste en contar a partir de cualquier número, que en este
caso es a partir del primer dato (6 piñas) y contar a partir de seis (siete, ocho).
Separar de. Se representa la cantidad mayor (ocho) y separar seis de los ocho objetos.
Estrategias sustractivas:
Contar hacia atrás: estrategia verbal. El niño cuenta desde la cantidad mayor (ocho) hasta llegar a la cantidad menor (seis).
Cambio aumentado (comienzo desconocido) Javier tiene algunas piñas. Luego compra dos piñas. Al final tiene ocho piñas. ¿Cuántas
La solución de este problema, según el autor, es la más difícil de los problemas de cambio. Primero hay que aplicar la propiedad conmutativa de la adición y luego contar hacia atrás. Situaciones de combinación Combinación (total desconocido) Lola tiene cinco naranjas y Diana tiene cuatro. Si juntan las naranjas de ambas, ¿cuántas tendrá en total?
Las estrategias de solución son las mismas para las situaciones de cambio aumentando, es decir, contar todo, contar a partir de un sumando. Combinación (parte desconocida) Lola tiene cinco naranjas. Si Diana tiene algunas naranjas y entre los dos tienen nueve en total, ¿cuántas naranjas tiene Diana?
Las estrategias de solución son las mismas para las situaciones de cambio aumentando (cambio desconocido), es decir, contar a partir de lo dado, separar de.
La característica fundamental en este tipo de situaciones es que participan dos cantidades estáticas que forman un todo (partes - todo). Problemas de comparación Comparación (diferencia desconocida)
La estrategia más habitual para resolver acertadamente este problema reside en contar desde el número menor hasta obtener el mayor, es decir, la de contar a partir de lo dado” (p. 191)
Comparación (referente desconocido)
Pedro tiene siete lápices. Pedro tiene dos lápices más que Carmen. ¿Cuántos lápices tiene
Comparación (referente conocido)
Carmen tiene cinco lápices. Pedro tiene dos lápices más que Carmen. ¿Cuántos lápices
Presentamos un resumen de los problemas aditivos y sustractivos en el cuadro siguiente:
Cuadro 8.3. Problemas aditivos y sustractivos
Variación de la incógnita
 Cambio aumentado
 Final desconocido
 Cambio desconocido
 Sustracción
 Comienzo desconocido
 Cambio disminuyendo
 Adición
 Total desconocido
 Diferencia desconocida
 Referido desconocido
 Referente desconocido
(Enrique Castro, 2001, p.192)
Situaciones combinación (parte desconocida)
Combinación (parte desconocida)
Javier tiene cuatro piñas. Si Juan tiene varias piñas y entre los dos tienen nueve piñas,
¿cuántas piñas tiene Juan?
Al indicar la estrategia de solución de los problemas de comparación (diferencia desconocida),
el autor enuncia un problema como este: Luis tiene seis panes y Dina tiene cuatro. ¿Cuántos
panes hay que dar a Dina para que tenga igual número que Luis?
Este problema se denomina de igualación dado que la acción que lo resuelve y que se demanda en la pregunta planteada consiste en igualar la cantidad mayor añadiendo una cantidad desconocida a la menor. Los dos problemas no solo muestran una distinta formulación lingüística sino que son realmente diferentes: en el de comparación se dan dos cantidades y se pide una comparación estática entre ellas mientras que en el de igualación se demanda una transformación de una cantidad en otra, adoptando así un carácter dinámico que lo asemeja a los problemas de cambio aumentado (cambio desconocido). La similitud entre ambos problemas de comparación es debida a que se inscriben dentro de la misma situación. (Enrique Castro, 2001, p.191).
En el tercer subcapítulo, representaciones de las operaciones de adición y sustracción, el autor aborda la transparencia y la opacidad de las representaciones de la adición y sustracción cuando son objetos didácticos. Describe la transparencia como la “propiedad de cualquier forma de representación de hacer ver al resolutor con facilidad los elementos del problema” (p. 193). No era suficiente que un material manipulativo sea adecuado para resolver el problema, sino que debía hacer notar con claridad los datos y las acciones involucrados en el problema.
Entre los materiales manipulativos para modelar problemas aditivos a resolver, el autor propone:
fichas, regletas de Cuisenaire, máquina operadora de Dienes, balanza numérica.
Las fichas y las regletas de Cuisenaire son más apropiadas para representar problemas de combinación, aunque las fichas son más transparentes para cantidades discretas (manzanas, canicas, lapiceros, etc.) y las regletas para cantidades continuas (kilogramos, metros, horas, etc.). La máquina operadora de Dienes es más transparente para los problemas de cambio, mientras que la balanza numérica representa mejor los problemas de comparación e igualación.
Entre las representaciones más abstractas propone utilizar dedos, dibujos y palabras.
“Dedos: extender y flexionar los dedos.
Dibujos: diagramas de Venn, recta numérica.
Palabras: uso de palabras como en el ejemplo siguiente:
Pregunta. Juan tiene cinco cómics. En su cumpleaños le dan varios más de manera que al final tiene nueve cómics. ¿Cuántos le dieron en su cumpleaños?
Respuesta: (Extiende los cinco dedos de su mano izquierda.) Uno, dos, tres, cuatro, cinco. ¿Cuántos le dan?
Al final tiene nueve cómics.
(mirando primero su mano izquierda.) Cinco (mira luego la derecha en la que va extendiendo
los dedos al tiempo que subvocalmente pronuncia “Seis, siete, ocho, nueve” acompañándolo con
gestos de la cabeza). ¿Cuatro!
Porque cinco y cuatro son nueve.”
(Enrique Castro, 2001, p. 196).
El uso de representaciones simbólicas constituye la culminación del proceso de abstracción que comienza con los materiales manipulativos, siguiendo un proceso de lo verbal a lo simbólico.
y 3 son 7
+ 3 son 7
Esta forma de introducción puede ser acertada a condición de que no se olvide que los símbolos son representaciones de acciones (+, ) o de una comparación (=) y que si estas acciones y comparación subsiguiente no se han comprendido difícilmente esta introducción a los símbolos dejará de ser otra cosa que una rutina escolar más sin significado para el niño. (Enrique Castro, 2001, p. 197).
El autor nos muestra representaciones simbólicas no canónicas de un problema aditivo mediante las expresiones:
 + b = c
a +  = c
a + b = 
“Estas representaciones ‘no canónicas’ resultan más transparentes para describir las relaciones del problema de cambio aumentado: en el primer caso, se dispone de una cantidad a que se incrementa en una cantidad desconocida para resultar en una cantidad c. Los símbolos c – a = representarían el proceso de resolución (siempre que fuera sustractivo) pero no el planteamiento del problema. Teniendo en cuenta que durante cierto tiempo la estrategia que resuelve este problema no sería sustractiva sino aditiva (‘Separar a’ por ejemplo) se puede comprender que la representación no canónica es más transparente que la canónica en la expresión de los términos del problema. (Enrique Castro, 2001, p.198).
Para el autor las estrategias más elaboradas y abstractas en la solución de problemas de adición o sustracción lo constituye el empleo de hechos numéricos básicos memorizados como: dobles:
doble de números de un dígito, doble más uno, doble menos uno, doble más dos, doble menos dos, compensación (aumentar un número a un sumando y disminuir el mismo número en el otro sumando. “Esta memorización se puede favorecer con ejercicios específicos como el bingo, en el que la rapidez de la respuesta es importante.” (Enrique Castro, 2001, p. 198).
2.1.3.3 Configuración epistémica de las situaciones aditivas
En la actividad matemática al resolver problemas aditivos el lenguaje (verbal, gráfico o simbólico) describe las situaciones problemas y pone de manifiesto a los conceptos, reglas, definiciones, propiedades (adición, sustracción, suma, sumando, conmutativa, asociativa, …) y muestra procedimientos (algoritmos) y justificaciones (argumentos). Las notaciones, los gráficos utilizan el lenguaje, las definiciones y las propiedades propician el uso de algoritmos. Los argumentos justifican los algoritmos y el uso de las propiedades. Dos o más de estos elementos primarios: situaciones, lenguaje, conceptos, propiedades, procedimientos y argumentos, articulados en una red, constituyen una configuración didáctica.
La siguiente configuración empírica de las situaciones aditivas hemos elaborado utilizando las herramientas del EOS.
 Cambio, cambio aumentando, cambio disminuyendo, final desconocido, cambio desconocido, comienzo desconocido, combinación, total desconocido, comienzo desconocido, comparación, diferencia desconocida, referido desconocido, referente desconocido, igualación, adición, suma, sumando, reunir, conjunto, cardinal (A), cardinal (A  B), diagramas de Venn, contar: todo, a partir del primer sumando, a partir de lo dado, separar a, contar hacia atrás, sustracción, propiedad conmutativa.
 Dibujos: fichas, regletas de Cuisenaire, máquina operadora de Dienes, balanza numérica.
 +; ; 5 + 3 = 8; ¿ + 3 = 8; 5 + ? = 8; a + b = c; a  b = c; Card. (A  B) = Card. A + Card. B; si, A  B = .
 Situaciones aditivas de combinación, en lo que se solicita: total desconocido, comienzo desconocido.
 Situaciones de cambio aumentando o cambio disminuyendo en los que se
Suma, reunir, juntar, añadir, aumentar, incrementar. Emergentes
solicita final desconocido, cambio desconocido, comienzo desconocido.
 Situaciones de comparación en los que se solicita diferencia desconocida, referido desconocido, referente desconocido.
Venn, cardinal, cardinal de (A  B), contar a partir del primer sumando, doble de un número, doble más uno, doble más 2, 10 menos 1, 10 menos 2, determinar la totalidad, propiedad asociativa, propiedad conmutativa.
 Situaciones de igualación.
 La acción de un número natural en una situación aditiva simple: cambiar aumentando o disminuyendo, combinar, comparar o igualar cantidades.
 En un PAEV (problema aritmético de enunciado verbal) la incógnita es la suma o el primer o el segundo sumando.
 Las situaciones aditivas simples son de cambio, combinación o comparación.
 Las situaciones aditivas simples de combinación son: total desconocido o comienzo desconocido.
 Los PAEV de cambio aumentando son: final desconocido, cambio desconocido, comienzo desconocido y los PAEV de cambio disminuyendo son: final desconocido, cambio desconocido, comienzo desconocido.
 Las situaciones aditivas simples de comparación son: diferencia desconocida, referido
 Cambiar una cantidad inicial: cambiar aumentando, cambiar disminuyendo, separar de.
 Combinar dos cantidades, contar todo, contar a partir del primer sumando, separar dos cantidades.
 Obtener: el doble, doble más/menos uno, doble más/menos/ dos, compensar.
 Comprobación de los procedimientos con materiales manipulativos.
Figura 3. ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES
CONTAR TODO CONTAR A PARTIR DEL 1° SUMANDO CONTAR A PARTIR DE LO DADO SEPARAR A CONTAR HACIA ATRÁS CÁLCULO MENTAL
resolverlas?
ADITIVAS SIMPLES
CONFIG. GLOBAL
SEGÚN CARLOS MAZA GÓMEZ
Elaboración: Jorge Enrique Quiroz Q.
representarlas?
MANIPULATIVOS Fichas. Regletas de Cuisenaire. Máquina O de Dienes. Balanza numérica.
OTROS Dedos, dibujos. Diagramas de Venn. Palabras y sSímbolos. Representaciones:
¿Cómo discriminar las
situaciones aditivas de una
operación y como
¿Qué tipos de situaciones hay?
canónica y no canónica.
CAMBIO AUMENTANDO:
CAMBIO DISMINUYENDO:
CAMBIO DESCONOCIDO
COMIENZO DESCONOCIDO
DIFERENCIA DESCONOCIDA
REFERIDO DESCONOCIDO
REFERENTE DESCONOCIDO
CONTAR A PARTIR
DEL 1° SUMANDO
CONTAR HACIA
Cambio aumentado
Cambio disminuyendo
 Dobles.
(Final desconocido)
(Cambio desconocido)
 Dobles más uno.
(Total desconocido)
(Parte desconocida)
(Diferencia desconocida)
 Doble menos uno.
 Dobles más dos.
 Doble menos dos.
2.1.4 INVESTIGACIONES DE EVA CID, JUAN D. GODINO Y CRMEN BATANERO
Eva Cid, Juan D. Godino y Carmen Batanero de la Universidad de Granada escribieron I. Sistemas Numéricos para Maestros en el libro Matemática para Maestros y el capítulo II:
Didáctica de los Sistemas Numéricos para Maestros en el libro Didáctica de las Matemáticas para Maestros. La edición de ambos libros corresponde a octubre de 2004 y cuya dirección estuvo a cargo de Juan D. Godino. Con base en estos materiales describiremos los significados de estos académicos, respecto de la adición de números naturales.
2.1.4.1 Situaciones que dan sentido a la adición de números naturales
En el libro Matemática para Maestros esbozan la estructura lógica de las situaciones aditivas de
una etapa. Comienzan indicando que, tanto la “adición como la sustracción, se construyen como un medio de evitar los recuentos o procesos de medida en situaciones parcialmente
cuantificadas”. (Cid, Godino y Batanero, 2004, p, 49)
Para elaborar una clasificación de las situaciones aditivas simples (de una operación) analizan el papel que desempeñan los números en una situación y que es variable. Este rol puede ser de estado: cardinal de un conjunto (C), ordinal de un elemento en una secuencia (O) o medida de una magnitud (M); de transformación, cuando un número cambia, varia o transforma un estado; o de comparación, cuando el número indica la diferencia de dos estados que se comparan entre
sí. (Cid et al, 2004, p, 49)
Los autores omiten enunciar el papel de transformación de una transformación y de una comparación. Así como la comparación de una comparación. Aun cuando en los prototipos si están presentes.
A continuación enunciaremos los seis tipos de situaciones aditivas simples concretas que
presentan Eva Cid, Juan D. Godino y Carmen Batanero en el libro Matemáticas para Maestros
en el capítulo II: Sistemas numéricos y proporcionalidad. Se ha sustituido cantidad por estado.
Tipo 1: Estado  Estado  Estado (EEE) Un estado que se descompone en partes. Es decir una partición de un todo e t en dos partes
e p1 y e p2 . Se trata de una situación parte  todo en la que los tres números son estados:
cardinales, ordinales o medidas.
 Lalo tiene 6 canicas en el bolsillo izquierdo y 5 en el derecho. ¿Cuántas tiene en total?
 Lalo tiene 11 canicas. 5 de ellas son verdes y las otras azules. ¿Cuántas son azules?
Tipo 2: Estado  Transformación  Estado (ETE) Un estado inicial que es transformado por otro estado e t en un estado final Es decir, un cambio que sufre un estado e i en otro estado e f . Se representa mediante el diagrama:
 Lola esta en el cuarto lugar en una cola para comprar entradas para el cine. Deja que cinco amigos entre delante de ella. ¿Qué lugar ocupa ahora?
 Rita tiene 8 caramelos. Regala 3 a su hermana. ¿Cuántos le quedan?
Tipo 3: Estado  Comparación  Estado (ECE) Un número compara dos estados. El número c cuantifica la relación. Es decir, c es la comparación de los estados: e 1 y e 2 . Representamos esta situación mediante el diagrama
 Jaime tiene 9 panes. Tiene 4 más que Jorge. ¿Cuántos panes tiene Jorge?
 Jaime tiene 5 panes. Jorge tiene cuatro más. ¿Cuántos panes tiene Jaime?
Tipo 4: Transformación  Transformación  Transformación (TTT) Es una situación parte-todo en la que el objeto sufre dos transformaciones. La primera t p1
y después una segunda t p2 ; la cantidad t t representa la transformación total. La situación
se representa mediante el diagrama:
 Lalo pierde 4 canicas por la mañana. Gana 7 por la tarde. ¿Cuántas ha ganado o perdido en total?
 De propina a Rita su papá le da S/. 6 y su mamá S/. 5. ¿Cuánto dinero recibió en total?
Tipo 5: Comparación  Transformación  Comparación (CTC) En esta situación c i es una comparación inicial entre dos cantidades. Una de ellas sufre una
transformación t y, finalmente, c f representa la comparación entre las cantidades finales. La
situación se representa mediante el diagrama:
 Javier tiene 5 canicas más que Jaime. A Jaime le dan algunas más y ahora tiene dos canicas más que Javier. ¿Cuántas canicas le han dado a Jaime?
 Javier tiene 7 canicas menos que Jaime. A Jaime le dan tres. ¿Quién tiene ahora menos canicas? ¿Cuánto menos?
Tipo 6: Comparación  Comparación  Comparación (CCC)
Situación parte-todo en la que c p1 expresa la comparación entre una primera y una segunda cantidad, c p2 indica la comparación entre la segunda y una tercera cantidad y c t establece la comparación entre la primera y la tercera cantidad. La situación se representa mediante el diagrama
 Lola tiene 6 años más que Rita. Rita tiene 5 más que Diana. ¿Quién tiene más, Lola o Rita? ¿Cuántos más?
 Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 5 menos que Juan. ¿Quién tiene más, Pedro o Juan? ¿Cuántos más? En cada uno de los seis tipos de situaciones encontramos dos datos conocidos y uno desconocido (incógnita) que será deducido a partir de los datos conocidos, Dependiendo de la ubicación de la incógnita el problema será resuelto a partir de una suma o una resta.
Los problemas verbales son los escenarios de indagación sobre el significado, los procedimientos de solución y la representación de los diferentes tipos de problemas aditivos.
2.1.4.2 Desarrollo cognitivo y progresión del aprendizaje
Los autores nos dicen que para sumar y restar números naturales hay que basarse en: hechos numéricos básicos (tablas de sumar y restar); técnicas de cálculo, orales y escritas; propiedades de las operaciones y en situaciones donde utilizarlas o aplicarlas de manera pertinente. Describiremos las variables de una situación aditiva, procedimientos, estructura lógica, contextualización y tamaño de los datos para elaborar la configuración epistémica.
El tránsito del conteo al uso de tablas de sumar o restar es un proceso paulatino con etapas intermedias que en el caso de la suma, la detallan:
 Recuento de todos. Se representa los objetos de las dos colecciones mediante dedos, palotes, fichas u objetos diversos, las reúne y cuenta todo.
 Recuento de todos haciendo énfasis en el primer sumando. El niño recita los números del primer sumando, luego sigue contando los objetos del segundo sumando.
 Recuento de todos haciendo énfasis en el sumando mayor. Como en el caso anterior, pero eligiendo como primer sumando el sumando mayor.
 Recuento a partir del sumando mayor. El niño construye una colección de objetos que representa el sumando menor y cuenta a partir del sumando mayor. (Cid et al, 2004b, p, 192) Para la sustracción los procedimientos son diferentes de los de la adición y están en función de la situación propuesta y que pueden darse simultáneamente.
 Recuento de lo que queda. Se utiliza en situaciones de ETE (estado, transformación, estado) en las que al conjunto inicial se le quitan elementos. Consiste en representar mediante objetos el conjunto inicial, quitar los elementos que indica la transformación y volver a contar lo que queda.
 Recuento hacia atrás. Se utiliza en las mismas situaciones que el caso anterior y consiste en contar hacia atrás desde el minuendo tantas veces como indica el sustraendo (representado mediante una colección de objetos, frecuentemente dedos). Esta técnica se utiliza poco por la dificultad que supone para los niños contar hacia atrás.
 Recuento de la diferencia. En las situaciones de ECE (estado, comparación, estado) en las que la incógnita es el término de comparación, se construyen los dos conjuntos, se emparejan y se cuentan los objetos que quedan sin pareja.
 Recuento desde el sustraendo hasta el minuendo. Se usa en las mismas situaciones que el caso anterior y consiste en contar desde el sustraendo hasta el minuendo llevando la cuenta con una colección de objetos (generalmente dedos) de las palabras que se dicen. Posteriormente, se cuenta la colección de objetos. (Cid et al, 2004b, p, 192)
Los autores consideran que el desarrollo de la comprensión de las situaciones aditivas es consecuencia de tres variables: estructura lógica de la situación, grado de contextualización de la situación y el tamaño de los datos.
“Con respecto a la estructura lógica de la situación
Se observa que las dificultades de los niños a la hora de afrontar una situación aditiva dependen en gran medida de la estructura lógica de la situación y de la posición de la incógnita. Una gradación de menor a mayor dificultad podría ser la siguiente:
- EEE (con la incógnita en el estado final o en uno de los parciales) y ETE (con la incógnita en el estado final o la transformación).
- ECE (con la incógnita en la transformación o en el primer término de la comparación).
- ETE (con la incógnita en el estado inicial y ECE (con la incógnita en el segundo término de la comparación).
- TTT (cuando las tres transformaciones tienen el mismo sentido).
- TTT (cuando las transformaciones tienen diferente sentido)
- CTC y CCC.
Con respecto al grado de contextualización de la situación
Se observa que los niños entienden mejor las situaciones aditivas cuanto más contextualizadas están. La clasificación de las situaciones en función de un mayor a menor grado de comprensión de las mismas y, por consiguiente, de una mayor a menor capacidad de resolver con éxito…:
• Situación que se refiere a materiales presentes en el aula y con el niño como actor.
• Situación hipotética contextualizada, con material a disposición del niño para que pueda efectuar una representación simbólica.
• Situación hipotética contextualizada, sin material a disposición del niño. En una primera fase el niño recurre a los dedos o al dibujo de palotes para efectuar los recuentos necesarios. En una segunda fase recurre a técnicas de cálculo orales o escritas.
• Situación formal, es decir, situación en la que se pregunta sin más por el resultado de una suma o resta sin referirlo a ningún contexto físico o social.
Los tres primeros tipos de situaciones se engloban en la categoría de situaciones concretas - situaciones con un mayor o menor grado de contextualización-, en oposición a las situaciones formales o no contextualizadas.
Con respecto al tamaño de los datos
los niños les resulta más difícil interpretar correctamente una situación aditiva cuanto mayor es
tamaño de los números que intervienen en ella. Se han realizado experiencias en las que se ha
pedido a grupos de niños que resuelvan la misma situación, una vez con números pequeños y otra con números grandes, observándose que el porcentaje de resoluciones correctas disminuye sensiblemente en el segundo caso.” (Cid et al, 2004b, pp, 193-194).
2.1.4.3 Situaciones y recursos
Los autores nos dicen que las situaciones aditivas concretas deben ir en paralelo con las situaciones aditivas formales; las primeras dan sentido y significado a las operaciones y las segundas consolidan la memorización de las técnicas orales y escritas. Las situaciones concretas permiten que el niño resuelva de manera autónoma (decidir qué operación utilizar) y pueda representarla con materiales manipulativos y las situaciones formales permiten aprender algoritmos y técnicas mentales que son útiles cuando el tamaño de los números aumentan.
Una posible forma de hacerlo sería:
• Comenzar trabajando las situaciones concretas de EEE, ETE, y ECE en el tramo numérico de 0 a 20,
con materiales presentes en el aula y con el niño como actor. Además, familiarizarse con los materiales
estructurados y trabajar, mediante situaciones formales, la memorización de las operaciones que caben
en una mano, dobles de una cifra (5 + 5, 6 + 6, etc.) y los complementos a 10 (3 + 7, 6 + 4, etc.).
• Seguir con las situaciones concretas en el tramo 0 a 50, con casos en los que no haya posibilidad de
recontar los dos términos para forzar la evolución de las técnicas de recuento y con presentación de
situaciones hipotéticas contextualizadas referentes a números entre 0 y 20. A nivel formal continuar la
consolidación de la tabla de sumar y restar y operaciones con términos y resultado menor que 20.
• Introducir material estructurado en situaciones concretas con términos entre 0 y 100. Las situaciones
hipotéticas contextualizadas con material a disposición del niño se trabajan entre 0 y 50. Trabajar
situaciones hipotéticas contextualizadas sin material entre 0 y 20, tratando que, en ese caso, los niños
empiecen a expresar las soluciones en términos de sumas o restas. En la vía de operaciones formales
se continúa con las sumas y restas de términos menores o iguales que 100 en forma oral.
• Introducir tramos cada vez más altos de la sucesión numérica, siguiendo pautas similares a items
anteriores e introduciendo las técnicas escritas de cálculo.” (Cid et al, 2004b, pp, 196-197).
“Las variables didácticas de las situaciones aditivas concretas son las siguientes:
• Significado de los números: Cardinal, ordinal o medida.
• Tamaño de los términos y resultado de la operación: De 0 a 10, de 10 a 20, de 20 a 50, de 50 a 100, de 100 a 1 000, de 1 000 a 10 000, de 10 000 a 100 000, de 100 000 a 1 000 000, más de 1 000 000.
• Estructura lógica de la situación: Situaciones aditivas del tipo EEE, ETE, ECE, TTT, CTC o
• Posición de la incógnita: En el primer término, el término inicial o uno de los términos parciales; en el término medio de transformación o comparación; en el segundo término, el término final o el término total.
• Sentido del término medio (sólo en las situaciones ETE, ECE o CTC): creciente o decreciente; positivo o negativo.
• Posibilidad de recuento de los términos: posibilidad de recuento de los dos términos o de uno
• Grado de contextualización de la situación: Situación con materiales presentes en el aula y el niño como actor; situación hipotética contextualizada con material para que pueda efectuar una representación simbólica; situación hipotética contextualizada sin material a disposición del niño.
• Tipo de material utilizado: Estructurado o no estructurado
• Número de datos: Dos, tres o más.” (Cid et al, 2004b, pp, 193-194)
“Las variables didácticas de las situaciones son las siguientes:
• Tipo de operación: Suma o resta.
• Dirección de la operación: directa (12 + 5 = ? , 15 - 11 = ?), inversa (? + 5 = 12, 15 - ? = 9), o descomposición (12 = 5 + ?, 11 = 15 - ?).
• Tamaño de los términos y del resultado de la operación:
- Operaciones que caben en una mano: 2 + 3, 5  1, etc.; que caben en las dos manos: 4 + 4,8  2, etc.
- Operaciones de la tabla de sumar o restar: 8 + 7, 11  6, etc.
- Operaciones con términos y resultado menor o igual que; con términos y resultado menor que 100; con términos y resultado menor o igual que 1000; con términos mayores que 1000.
• Número de cifras de los términos: Los dos términos de la operación tienen el mismo o distinto número de cifras.
• Número de cifras significativas concurrentes:
- Términos de cifras significativas no concurrentes: 40+5, 130-8, 200-45, 307+20, 4.000+324, etc.
- Términos con una cifra significativa concurrente: 60+30, 42-6, 343+20, 208-4, 7.000+5.000, etc.
- Términos con dos cifras significativas concurrentes: 82-24, 66+31, 128+32, 435-420, 7.282- 11, etc.
- Términos con tres o más cifras significativas concurrentes: 347 + 482, 526  419, 11297  4762, etc.
• Existencia de llevadas: La operación implica o no llevadas.”
• Técnica de cálculo: Uso de material estructurado, técnica oral, técnica escrita, calculadora.
• Tipo de material estructurado: Dedos, regletas con tapa, regletas Cuisenaire, ábaco, etc.
Resumen Tipo 1: E-E-E
ESTADOESTADOESTADO
Tipo 2: E-T-E
ESTADOTRANSFORMACIÓNESTADO
Tipo 3: E-C-E
ESTADOCOMPARACIÓNESTADO
Tipo 4: T-T-T
TRANSFORMACIÓNTRANSFORMACIÓNTRANSFORMACIÓN
Tipo 5: C-T-C
COMPARACIÓNTRANSFORMACIÓNCOMPARACIÓN
Tipo 6: C-C-C
COMPARACIÓNCOMPARACIÓNCOMPARACIÓN
Hay situaciones, si los números son: cardinal, ordinal o medida. Hay 99 tipos diferentes.
Lo que sigue es una configuración didáctica que hemos elaborado con herramientas del EOS.
2.1.4.4 Configuración epistémica
 Número: cardinal, ordinal, medida, combinación: estados, parte todo, transformación:
estado inicial, estado final, primera transformación, segunda transformación, transformación total, sentido de la transformación, comparación: comparación inicial, comparación final, término: inicial, medio, final, adición, suma, sumando, reunir, conjunto, cardinal (A), cardinal de (A  B), diagramas de Venn, recuento: de todos, de
todos haciendo énfasis en el primer sumando, de todos haciendo énfasis en el sumando mayor, a partir del sumando mayor, de lo que queda, hacia atrás, recuento de la diferencia, desde el sustraendo hasta el minuendo, tamaño de los datos.
 Diagramas de Venn, dibujos, recta numérica.
 +; ; 5 + 3 = 8; ? + 3 = 8; 5 + ? = 8; a + b = c; a  b = c; Card. (A  B) = Card. A + Card. B; si, A  B = .
 Concretas o formales, cuyos números son: cardinales, ordinales o medidas.
 De combinación: estadoestadoestado, en lo que se solicita: parte 1, parte 2 o el total y cuyos números son: cardinales, ordinales o medidas.
 De transformación: estado – transformación – estado, en los que se solicita el estado inicial, la transformación o el estado final.
 De comparación: estado – comparación – estado, en los que se solicita estado primero, diferencia de estados, estado segundo.
 De transformación de comparaciones: comparación – transformación – comparación, en los que se solicita el comparación inicial, la transformación o la comparación final.
 De doble transformación: transformación – transformación – transformación, en los que se solicita la primera transformación, la segunda transformación o la transformación total.
 De doble comparación: comparación – comparación – comparación, en los que se solicita la primera, segunda o tercera comparación.
 Suma, reunir, juntar, añadir, aumentar, incrementar, sistema de numeración decimal.
 Situación aditiva simple, adición, sumando, conjunto, diagramas de Venn, cardinal, cardinal de (A  B), contar a partir del primer sumando, doble de un número, doble más uno, doble más 2, 10 menos 1, 10 menos 2, determinar la totalidad, propiedad asociativa, propiedad conmutativa.
 El significado de un número natural en una situación aditiva es cardinal, ordinal o medida.
 El papel de los números en la situación: puede ser estado, transformación o comparación.
 Toda situación aditiva simple es concreta o formal.
 La incógnita en una situación aditiva puede ser el total o una de sus partes, o bien, el término inicial, medio o final.
 Las situaciones aditivas simples son de 6 tipos: estadoestadoestado, estado – transformación – estado, estado – comparación – estado, comparación – transformación – comparación, transformación – transformación – transformación y comparación – comparación – comparación.
 Recuento: de todos; de todos haciendo énfasis en el primer sumando; de todos haciendo énfasis en el sumando mayor.
 Recuento a partir del sumando mayor, de lo que queda
 Recuento hacia atrás, de la diferencia, desde el sustraendo hasta el minuendo.
 Técnicas orales (o mentales) de suma y resta.
 Algoritmos: extendido de la suma, de la suma con llevadas,
 Aplicación de propiedades del sistema de numeración escrito.
 Aplicación de propiedades de la adición: conmutativa, asociativa, del cero.
 Aplicación de propiedades de la sustracción: restar una suma es lo mismo que restar cada uno de los sumandos, etc.
¿Cómo clasificar situaciones
aditivas de una operación?
cumple la adición?
Técnicas orales.
¿Qué es una situación
aditiva simple?
sumando mayor.
 Extendido de la
 De la suma con
Qué variables intervienen en la
situaciones aditivas concretas?
ESTADOS: EEE
ESTADOS: ETE
ESTADOS: ECE
COMPARAC.: CTC
COMPARC.: CCC
TRANSF.: TTT
Térm.Medio.
Figura 4. Las situaciones aditivas según E. Cid, J. D. Godino y
2.2.1 EL ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO
Godino, Batanero y Font. (2008) nos dicen:
“El Enfoque Ontosemiótico (EOS) es un marco teórico que trata de integrar diversas aproximaciones y modelos teóricos usados en la investigación en Educación Matemática a partir de presupuestos antropológicos y semióticos sobre las matemáticas, y adoptando principios didácticos de tipo socioconstructivista e interaccionista para el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje.
El EOS fue iniciado por el grupo de investigación Teoría de la Educación Matemática de la Universidad de Granada a principios de los años 90 siendo en la actualidad desarrollado y aplicado por otros grupos de investigación españoles y latinoamericanos. El conjunto de nociones teóricas que actualmente componen el EOS se clasifican en cinco grupos cada uno de los cuales permite un nivel de análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de temas específicos de matemáticas:
(1) Noción de sistema de prácticas (operativas y discursivas), que asume una concepción pragmatista – antropológica de las matemáticas, tanto desde el punto de vista institucional (sociocultural) como personal (psicológico). La actividad de resolución de problemas se adopta como elemento central en la construcción del conocimiento matemático.
(2) Noción de configuración de objetos y procesos matemáticos, emergentes e intervinientes en las prácticas matemáticas. La adopción de una noción interaccionista de objeto y pragmatista del significado (contenido de funciones semióticas) articula de manera coherente la concepción antropológica (Wittgenstein) con posiciones realistas (no platónicas) de las matemáticas. Los diversos medios de expresión (lenguajes) desempeñan el doble papel de instrumentos del trabajo matemático y de representación de los restantes objetos matemáticos.
(3) Noción de configuración didáctica, como sistema articulado de roles docentes y discentes, a propósito de una configuración de objetos y procesos matemáticos ligados a una situación – problema, constituye la principal herramienta para el análisis de la instrucción matemática. Las configuraciones didácticas y su secuencia en trayectorias didácticas tienen en cuenta las facetas epistémica (conocimientos institucionales), cognitiva (conocimientos personales), afectiva, mediacional (recursos tecnológicos y temporales), interaccional y ecológica que caracterizan los procesos de estudio matemático.
(4) La noción de dimensión normativa, sistema de reglas, hábitos, normas que restringen y soportan las prácticas matemáticas y didácticas, generaliza la noción de contrato didáctico y normas socio-matemáticas. El reconocimiento del efecto de las normas y meta-normas que intervienen en las diversas facetas que caracterizan los procesos de estudio matemático es el principal factor explicativo de los fenómenos didácticos.
(5) La noción de idoneidad didáctica, como criterio general de adecuación y pertinencia de las acciones de los agentes educativos, de los conocimientos puestos en juego y de los recursos usados en un proceso de estudio matemático. El sistema de indicadores empíricos identificados en cada una de las facetas constituye una guía para el análisis y reflexión sistemática que aporta criterios para la mejora progresiva de los procesos de enseñanza y aprendizaje.
El Enfoque Ontosemiótico permite articular de manera coherente diversos modelos teóricos usados habitualmente en Educación Matemática (fenomenología didáctica, etnomatemática, teoría antropológica, teoría de situaciones, campos conceptuales, registros de semiótica, socioepistemología, etc.)” (p. 1)
2.2.2 POSTER DEL EOS (Godino, Batanero y Font)
2.2.3 HERRAMIENTAS TEÓRICAS DEL EOS
2.2.3.1 Supuestos básicos del EOS
Se relacionan principalmente con la antropología, la ontología y la semiótica, los cuales se articulan de manera coherente con supuestos socioculturales y psicológicos.
2.2.3.2 Las matemáticas
Constituye una actividad intencionalmente orientada a la solución de cierta clase de situaciones- problemas, realizada en el seno de instituciones o comunidades de prácticas; dicha actividad está mediatizada de un complejo de objetos culturales (institucionales), axiomático y deductivamente organizado y apoyado por recursos lingüísticos (en sus diversas modalidades), que tiene una función no sólo representacional sino también instrumental.
Equivale a decir que la matemática es:
 Una actividad de resolución de problemas, socialmente compartida,
 Un lenguaje simbólico, y
 Un sistema conceptual lógicamente organizado.
Para hacer patente y operativo el triple carácter de la matemática el EOS toma como concepto
primitivo el término de situaciónproblemática.
2.2.3.3 Sistemas de prácticas
El quehacer matemático realizado por individuos pertenecientes a comunidades o instituciones es un proceso complejo y es influido por muchos factores. Para describir e interpretar la cognición matemática el EOS a través de Godino y Batanero, 1994, entre otras nociones, propone:
“Llamamos práctica a toda actuación o manifestación (lingüística o no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas.” (p. 8)
La actividad matemática puede corresponder a un solo individuo o ser compartidas con otros en una institución o comunidad. Cuando la práctica corresponde a un solo individuo se denomina práctica personal, en cambio cuando es compartida con otros se llama práctica institucional.
Como quiera que la actividad de resolución de problemas no es un proceso lineal, sino que en él se dan intentos fallidos, actuaciones de ensayo y error y procedimientos fallidos que luego son abandonados, el EOS introduce las nociones de:
Práctica matemática significativa: “Diremos que una práctica personal es significativa (o que tiene sentido) si, para la persona, esta práctica desempeña una función para la consecución del objetivo en los procesos de resolución de un problema, o bien para comunicar a otro la solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas.” (Godino y Batanero, 1994, p.
“Sistemas de prácticas Personales asociadas a un campo de problemas: Está constituido por las prácticas prototípicas que una persona realiza en su intento de resolver un campo de problemas C. Representamos este sistema por la notación P p (C)”. (Godino y Batanero, 1994, p. 12).
Los miembros de un grupo que comparten actividades matemáticas forman una institución.
Institución: “Una institución (I) está constituida por las personas involucradas en una misma clase de situaciones problemáticas. (Godino y Batanero, 1994, p. 9).
Sistemas de prácticas Institucionales: Está constituido por las prácticas consideradas como significativas para resolver un campo de problemas C y compartidas en el seno de la institución I. Su carácter social indica que son observables. (Godino y Batanero, 1994, p. 10).
2.2.3.4 Objetos y procesos
A los productos de la actividad matemática y de los procesos de comunicación el EOS les
denomina objetos o entidades matemáticas. “Objetos matemáticos no son solo los conceptos, sino cualquier entidad o cosa a la cual nos referimos, o de la cual hablamos, sea real, imaginaria o de cualquier otro tipo, que interviene de algún modo en la actividad matemática.” (Godino y Font, 2007a, p. 2).
“'Objeto matemático' es una metáfora que consiste en trasladar una de las características de las cosas físicas (la posibilidad de separación de otras 'cosas') a las matemáticas. Por tanto, de entrada, todo lo que se pueda 'individualizar' en matemáticas será considerado como objeto (un concepto, una propiedad, una representación, un procedimiento, etc.). (Godino y Font, 2007a, p. 2).
“Objeto personal O P : Es un emergente del sistema de prácticas personales significativas asociadas a un campo de problemas, esto es, un emergente de P p C.” (Godino y Batanero, 1994, p. 12).
Objeto Institucional O I : Es un emergente del sistema de prácticas sociales asociadas a un campo
de problemas, esto es, un emergente de P i C. Los elementos de este sistema son los indicadores
empíricos O I . (Godino y Batanero, 1994, p. 11).
La didáctica de la Matemática al estudiar los procesos de instrucción (enseñanza - aprendizaje)
se interesa por determinar el significado que los estudiantes atribuyen a los términos y símbolos
matemáticos, a los conceptos y proposiciones, así como a la construcción de estos significados.
Godino y Batanero para explicar que el significado está relacionado con la comprensión cita,
entre otros, a Sierpinska (Some remarks on understanding in mathematics. For the Learning of Mathematics, 10, 3, p. 24-36):
«Comprender el concepto será entonces concebido como el acto de captar su significado. Este acto será probablemente un acto de generalización y síntesis de significados relacionados a elementos particulares de la «estructura» del concepto (la «estructura» es la red de sentidos de las sentencias que hemos considerado). Estos significados particulares tienen que ser captados en actos de comprensión» (p. 27). «La metodología de los actos de comprensión se preocupa principalmente por el proceso de construir el significado de los conceptos» (p. 35). (Godino y Batanero, 1994, p. 22).
Para el EOS
“… los objetos matemáticos deben ser considerados como símbolos de unidades culturales, emergentes de un sistema de usos ligados a las actividades de resolución de problemas que realizan ciertos grupos de personas y que van evolucionando con el tiempo. En nuestra concepción, es el hecho de que en el seno de ciertas instituciones se realicen determinados tipos de prácticas lo que determina la emergencia progresiva de los «objetos matemáticos» y que el «significado» de estos objetos esté íntimamente ligado a los problemas y a la actividad realizada para su resolución, no pudiéndose reducir este significado del objeto a su mera definición matemática.” (Godino, 2010b, p. 8).
Describir e interpretar el significado de los objetos está estrechamente relacionado con el problema de las representaciones externas e internas de dichos objetos. Hay el triángulo básico de Ogden y Richards que describe la relación de significación.
A A: signo
B: concepto (referencia)
C: significatum (referente)
Figura 5. Triángulo de Ogden y Richards.
Para Kutschera el significado de los términos o expresiones puede explicarse siguiendo las teorías realistas o figurativas que conciben al significado a través de una relación convencional entre signos y entidades concretas o ideales que existen independientemente de los signos lingüísticos Según estas teorías el significado no se rige por su uso en situaciones concretas, sino que el uso se rige por el significado, y existe una relación homeomórfica entre B y C pues se considera a la mente como un espejo que refleja los objetos del mundo exterior.
Las teorías operacionales o pragmáticas consideran que el significado depende del contexto de uso. “Para una gran clase de casos de utilización de la palabra «significado» — aunque no para todos los casos de su utilización — puede explicarse esta palabra así: El significado de una palabra es su uso en el lenguaje. (Wittgenstein, 1999, p. 23).
Las teorías realistas suponen un realismo conceptual, mientras que para la pragmática no existe siempre una realidad en sí que sea reflejada por el lenguaje.
La importancia de definir el significado en términos contextuales, es decir, puramente empíricos nos lleva a indagar los usos típicos de los términos y expresiones en diferentes contextos y que nos permita llegar a una concepción referencial del significado.
El enfoque ontosemiótico propone las nociones: “

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
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