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Timestamp: 2017-02-24 17:16:48+00:00

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mate by Abdon Diaz - issuu
Matemáticas y su Enseñanza I. Programa y materiales de apoyo para el estudio. Licenciatura en Educación Primaria.
2° semestre fue elaborado por el personal académico de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de
ISBN 970-18-3723-1
El enfoque: las matemáticas como herramientas
Bloque I. Aprender matemáticas al resolver problemas
Bloque II. Los números naturales y el sistema decimal de numeración
Bloque III. Las cuatro operaciones básicas con números naturales
Bloque IV. La geometría
La calculadora de bolsillo, un material didáctico
El conocimiento del espacio y el de la geometría.
¿Qué y cómo se enseña?
Académicos de las Escuelas Normales, la Secretaría de Educación Pública, en coordinación con las autoridades educativas estatales, inició en el ciclo escolar 1997-1998 la
por la Subsecretaría de Educación Básica y Normal– se recogió la experiencia de profesores y estudiantes con la finalidad de mejorar la organización de los contenidos de
Este cuaderno está integrado por dos partes fundamentales: el programa Matemáticas y su Enseñanza I, y los textos que constituyen los materiales de apoyo para el estudio de la asignatura. Estos últimos son recursos básicos para el análisis de los temas y no
se encuentran en las bibliotecas; por esta razón se adjuntan al programa.
Otros textos, cuya consulta es también fundamental en el desarrollo del curso, están
propuestos en el apartado correspondiente a bibliografía básica. Además, para ampliar la
información sobre temas específicos en cada bloque, se sugiere la revisión de algunas
fuentes citadas en la bibliografía complementaria. Estas obras están disponibles en las
bibliotecas de las escuelas normales. Es importante que los maestros y los estudiantes
sean usuarios constantes de estos servicios, con la finalidad de alcanzar los propósitos
Este cuaderno se distribuye en forma gratuita a los profesores y a los estudiantes
que atienden o cursan el segundo semestre de la Licenciatura en Educación Primaria.
Sus opiniones y sugerencias serán revisadas con atención y consideradas para mejorar
Hasta hace poco tiempo los problemas relacionados con la enseñanza de las matemáticas se estudiaban separando el contenido –competencia de los matemáticos– del
método de enseñanza –competencia de los pedagogos. Se consideraba además que el
conocimiento que debía tener el maestro acerca de la disciplina y sobre la aplicación
de métodos generales de enseñanza sustentados en determinada teoría del aprendizaje le permitirían un buen dominio del conocimiento matemático y sobre las formas de
Los avances en el conocimiento sobre los procesos de aprendizaje y de enseñanza
han cambiado esta perspectiva. Nos indican que la forma en que nos apropiamos de un
saber determinado depende en gran medida de la naturaleza misma de ese saber y que,
por lo tanto, el estudio de los problemas relacionados con su aprendizaje y con su
enseñanza debe considerar las características específicas. No se puede enseñar o aprender de igual manera historia, matemáticas o educación artística.
La didáctica de las matemáticas estudia los fenómenos relativos a la enseñanza y al
aprendizaje de esta disciplina; describe y analiza las dificultades que se identifican en
estos procesos, propone recursos para ayudar a los profesores y a los alumnos a superarlas y, especialmente, para hacer del saber que se enseña algo vivo y funcional. La
didáctica de las matemáticas nos proporciona herramientas para analizar secuencias de
situaciones didácticas, para mejorarlas o incluso para crearlas.
El estudio de este sistema de relaciones integra aportes de otros campos del saber
como la psicología del aprendizaje, los estudios sobre la práctica docente y, por supuesto, las matemáticas mismas.
Más de 30 años de investigación en didáctica de las matemáticas, realizada en diferentes países, permiten ofrecer explicaciones y formas de análisis de los fenómenos de la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, sumamente útiles para la formación de
los futuros maestros.
Las matemáticas se han construido a lo largo del tiempo como herramientas para
resolver cierto tipo de problemas del mundo físico, social y también del propio campo
de las matemáticas. Sin embargo, las matemáticas eruditas, aquellas que son reconocidas socialmente como el saber matemático, han pasado por un proceso de descontex11
tualización; se han separado de los problemas que las originaron para integrar cuerpos
estructurados de conocimiento; por ejemplo, los sistemas de numeración, los números racionales, la proporcionalidad, etcétera. Así aparecen mencionados en los diferentes niveles educativos.
Para ser enseñados, estos conocimientos teóricos y descontextualizados deben seguirse transformando a lo largo de un proceso.1 La tendencia dominante ha sido enseñarlos en su versión final, pero de manera simplificada. En esta simplificación, con mucha
frecuencia la teoría se deforma, pierde su sentido original y no es raro que se reduzca a
un conjunto de símbolos y técnicas con escaso significado.
La enseñanza directa de conocimientos teóricos o de técnicas supone, además,
que los alumnos pueden aprender recibiendo información que acumulan poco a poco
y que posteriormente aplican en la resolución de ciertos problemas.
Desde el punto de vista del aprendizaje, sabemos que los niños no son simplemente
receptores que acumulan la información que les dan los adultos, sino que aprenden
modificando ideas anteriores al interactuar con situaciones problemáticas nuevas.
Desde esta perspectiva, los niños aprenden matemáticas de una manera parecida a
como éstas se crearon a lo largo de la historia: construyéndolas como herramientas
frente a la necesidad de resolver cierto tipo de problemas; es decir, los niños necesitan
enfrentar numerosas situaciones que les presenten un reto y generar sus propios recursos para resolverlas a partir de lo que ya saben. Sus recursos, informales al principio,
evolucionan poco a poco con la experiencia mediante la interacción con sus compañeros y con la ayuda del maestro.
Este enfoque didáctico implica recuperar los significados de los conocimientos
matemáticos, recontextualizarlos, es decir, ponerlos en situaciones en las que cobren
sentido para el alumno al permitirle resolver los problemas que se le plantean.
Necesitamos disponer –para cada tema que se vaya a estudiar– de secuencias de
situaciones didácticas que posibiliten estos procesos de aprendizaje y que sean factibles
de ser puestas en marcha en las escuelas. Requerimos de herramientas para analizar las
situaciones y los procesos a los que dan lugar. Un propósito general de este curso es
proporcionar a los futuros maestros elementos básicos para realizar estas tareas.
Para abordar el estudio de los aspectos didácticos de las matemáticas los estudiantes
necesitan, por un lado, consolidar sus conocimientos sobre los contenidos básicos de la
disciplina y, por otro, aprender las formas de enseñanza que propicien la construcción
de aprendizajes permanentes y con significado en la escuela primaria. Para lograrlo, este
curso debe ofrecer oportunidades para que los estudiantes:
Este proceso ha sido llamado “transposición didáctica” por el educador francés Y.
a) Profundicen y consoliden el conocimiento que tienen de las matemáticas, de
manera que descubran el sentido y la estructura de los contenidos de esta
asignatura que se trabajan en la escuela primaria.
b) Observen y analicen el papel del profesor y de los alumnos de escuela primaria
durante el desarrollo de diversas actividades de matemáticas, así como las características de las situaciones didácticas que se plantean.
Las formas de trabajo que se utilicen en la escuela normal deben reflejar el
enfoque didáctico que se propone que los estudiantes conozcan y apliquen,
para evitar una contradicción entre lo que aprenden acerca de la didáctica de
las matemáticas y las formas en que, en la práctica, se enseña esta asignatura.
No se puede, por ejemplo, esperar que los estudiantes comprendan la necesidad
de propiciar aprendizajes sólidos y significativos sustentados en la resolución de
situaciones problemáticas, mientras reciben clases de matemáticas dictadas y
carentes de sentido, en las que predomina un uso intensivo de la memoria.
c) Apliquen el enfoque actual para la enseñanza de las matemáticas al trabajar con
algunas situaciones didácticas propuestas en los materiales de apoyo para el
El Plan de Estudios para la Licenciatura en Educación Primaria 1997 incluye dos cursos
de Matemáticas y su Enseñanza con una carga horaria de 6 horas/semana por semestre.
Cada curso se ha organizado en cuatro bloques temáticos, como se describe a continuación:
Matemáticas y su Enseñanza I (108 horas)
Bloque I. Aprender matemáticas al resolver problemas.
Bloque II. Los números naturales y el sistema decimal de numeración.
Bloque III. Las cuatro operaciones básicas con números naturales.
Bloque IV. La geometría.
Matemáticas y su Enseñanza II (108 horas)
Bloque I. La medición.
Bloque II. Los números racionales.
Bloque III. Procesos de cambio.
Bloque IV. Tratamiento de la información, predicción y azar.
Esta forma de organización permite abordar problemáticas didácticas que corresponden a los contenidos, así como estudiar la forma en que éstos se vuelven más complejos en los distintos grados de la educación primaria. En cada bloque se proponen
actividades para lograr que se establezcan relaciones importantes entre ciertos contenidos, por ejemplo, entre fracciones y medición, o entre multiplicación y proporcionalidad, y para destacar la importancia de realizar actividades permanentes como los juegos
matemáticos, la estimación de resultados o el uso de la calculadora.
En cada bloque hay dos tipos de contenidos: los que tienen como propósito la formación en matemáticas del futuro profesor y aquellos en los que se reflexiona sobre la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela primaria.
Al estudiar los contenidos y al realizar las actividades que se proponen, es necesario
que el profesor y los estudiantes eviten un fenómeno muy común, conocido como
permeabilidad didáctica, que consiste en transferir hacia los alumnos de primaria información o actividades que son exclusivamente para la formación del maestro (términos
formales, términos de didáctica o algunos problemas). Por ejemplo, al estudiar la división con números naturales no tiene sentido enseñar a los niños que hay problemas
tasativos y de reparto; lo importante, dicho de manera general, es que sepan resolver
ambos tipos de problemas.
Para estudiar algunos contenidos se incluyen reportes de investigación (artículos o
partes de un libro) que dan cuenta de los procesos de aprendizaje de los niños. Eventualmente, los estudiantes y los profesores pueden ampliar la información acerca de los
contenidos que se tratan en cada tema recurriendo a las lecturas que se recomiendan
en la bibliografía básica y la complementaria.
Como se señaló anteriormente, el estudio de Matemáticas y su Enseñanza tiene un
doble propósito: que los estudiantes amplíen sus conocimientos matemáticos y que
conozcan una manera distinta de hacer y aprender matemáticas, a la vez que analizan
progresivamente aspectos didácticos subyacentes. Se pretende que los futuros maestros superen el temor o el rechazo a la disciplina y comprueben, a lo largo de estos
cursos, que aprender matemáticas puede ser una experiencia personal muy gratificante.
Se propone distribuir las seis horas semanales en tres sesiones de dos horas, destinando el mayor tiempo posible a sesiones de taller en las que los estudiantes trabajen
en equipo y compartan ideas personales al realizar diversas actividades que el profesor
plantee. Por ejemplo, resolver o analizar una situación problemática, realizar y analizar
un juego matemático, diseñar un plan de clase, analizar un registro de observación de
una clase de matemáticas elaborado por alguno de los alumnos, analizar procedimientos empleados por los niños, etcétera. En la parte final de la clase pueden comentarse
las lecturas que se realicen.
Frente a las situaciones problemáticas, cuyo propósito es ampliar y profundizar el
conocimiento matemático, se espera que los estudiantes: elaboren procedimientos de
solución personales, no necesariamente formales; sepan que, frente a problemas nuevos, los primeros procedimientos de solución son casi siempre de ensayo y error, tentativos; y reconozcan que los intentos fallidos son parte sustancial de estos procesos.
Los estudiantes comprobarán que los procedimientos evolucionan con la experiencia de resolver varias situaciones, algunas más complejas, al confrontar las diversas maneras en que los distintos equipos resolvieron un mismo problema y al incorporar
sugerencias que el maestro aporta en ciertos momentos clave.
El papel del maestro durante el desarrollo de estas actividades es fundamental ya que
debe seleccionar actividades, organizar al grupo, propiciar que los estudiantes resuelvan
los problemas con sus propios recursos, socializar los procedimientos generados, y al
final, destacar los contenidos matemáticos implícitos y explícitos que se trabajaron, así
como promover la reflexión sobre determinadas características didácticas de las distintas experiencias. Esto último se retomará en situaciones dedicadas específicamente al
Las actividades de análisis didáctico pueden realizarse con la misma dinámica: trabajo
en equipos, confrontación colectiva de conclusiones a las que llegaron, cuestionamientos y aportaciones del docente. Los materiales en los que se basará dicho análisis pueden ser: registros de observaciones de clase, situaciones didácticas, secuencias de actividades didácticas para alcanzar el aprendizaje de un contenido determinado, diferentes
procedimientos de solución generados por niños o por los futuros maestros para resolver un mismo problema.
Con respecto a las actividades de lectura y al análisis de diferentes textos, audios y
videos, se sugiere proponerlas después de haber discutido y analizado en alguna actividad
previa por lo menos uno de los aspectos de que trata. Si alguno de los textos es largo, el
profesor diseñará estrategias para facilitar su lectura comprensiva y aprovecharlo en su
Para el análisis de los textos, el docente puede utilizar alguna de las siguientes modalidades:
a) Participación libre de los integrantes del grupo: cada quien solicita participar en
el momento en que desea comentar algún aspecto de la lectura que le pareció
más interesante, o bien para ampliar o cuestionar el punto de vista de algún
compañero. Al profesor le corresponde resaltar los puntos más importantes
que se han expresado, incorporar aquellos aspectos que no comentan los estudiantes, cuestionar errores de interpretación y ampliar la información recabada
b) El profesor puede elaborar previamente algunas preguntas que no se puedan
contestar textualmente con la información del artículo y distribuirlas al azar
entre los integrantes del grupo para que las discutan.
c) Los integrantes del grupo elaboran una o más preguntas relacionadas con el
artículo y las intercambian antes de iniciar la discusión. Por turnos, cada uno lee
la pregunta que le tocó y expresa lo que piensa.
d) Uno de los integrantes del grupo realiza una exposición breve del texto que se
leyó y los demás la amplían o cuestionan aspectos del mismo.
e) Cada estudiante elabora un esquema en el que se resume el contenido de la
lectura; a la hora de la discusión se intercambian dichos esquemas para analizar
En cuanto a las actividades que los estudiantes realizan durante las estancias en la
escuela, como parte de la asignatura Iniciación al Trabajo Escolar, es importante señalar
que corresponde al maestro del curso de Matemáticas y su Enseñanza orientar la elaboración del plan de clase, en el que se incluyan aspectos centrales por observar en las
clases de matemáticas organizadas por el profesor de primaria y las actividades que el
estudiante deberá aplicar durante este periodo.
Algunos de los aspectos que conviene que los alumnos observen pueden ser, entre
• ¿Cómo organizó el maestro al grupo para que realizaran la actividad?
• ¿En qué consistió la actividad planteada por el maestro?
• ¿Cómo se usó el libro de texto gratuito?
• Si la actividad realizada se tomó del fichero, ¿se planteó tal como se propone o
tuvo modificaciones? ¿Cuáles?
• ¿Cuál fue la consigna (indicaciones) dada por el maestro?
• ¿Cuál fue la actitud de los alumnos frente a la actividad?
• ¿Cuáles procedimientos o recursos fueron utilizados por los niños para realizar
• ¿Qué hizo el maestro mientras los alumnos realizaban la actividad?
• ¿Cuál fue la actitud del maestro frente a las participaciones y respuestas de los
• ¿Cómo se validaron los procedimientos y respuestas de los alumnos?
• ¿Qué contenidos matemáticos se trabajaron al realizar la actividad y a qué eje
temático corresponden?
• ¿Qué aprendieron los alumnos al realizar la actividad?
• Su opinión general sobre el desarrollo de la clase, el papel del maestro y de los
Conviene recordar que en este semestre los estudiantes, además de observar las
clases, se inician en las tareas de la enseñanza. Por este motivo, las actividades que
realicen en la escuela primaria tendrán como propósitos el conocimiento y la comprensión de las formas en que los niños pueden enfrentar y resolver diversas situaciones
problemáticas, sin que esto signifique que el estudiante deba enseñar contenidos matemáticos específicos con la complejidad que este proceso implica.
Los estudiantes pueden iniciar sus experiencias en la enseñanza aplicando alguna
propuesta de los diferentes ficheros de actividades didácticas o de los libros de texto
Por ejemplo, si antes del primer periodo de estancia en la escuela primaria se han
trabajado los bloques I y II, los estudiantes podrán seleccionar uno o dos problemas que
representen un reto para los alumnos del grado que les corresponda observar y aplicarlo sin enseñar previamente cómo puede resolverse, permitir y propiciar que sean los
niños quienes busquen una manera de solucionarlo, observar lo que hacen para resolverlo, organizar la confrontación de procedimientos generados y resultados obtenidos,
favorecer que sean los propios alumnos quienes validen o invaliden sus resultados y,
por último, reconocer que hay varios procedimientos correctos para resolver el mismo
Es conveniente que los estudiantes normalistas recojan al final de la clase la hoja en
que los alumnos resolvieron el problema, por lo que se sugiere que desde el inicio les
soliciten que en una hoja suelta anoten su nombre y resuelvan el problema. Así se
podrán analizar los diferentes procedimientos que se generaron y las dificultades enfrentadas por los niños.
Al finalizar las actividades de la clase, conviene que los estudiantes hagan una
autoevaluación de su trabajo en el grupo. A continuación se presenta una serie de
preguntas que orientan la elaboración de este reporte:
• ¿El problema o la actividad planteada resultó interesante para los alumnos? ¿Por
• ¿Qué dificultades enfrenté para llevarla a cabo?
• ¿Qué dificultades manifestaron los alumnos al realizarla?
• ¿Cuántos procedimientos diferentes generaron los alumnos para resolver el
problema? ¿En qué consistieron?
• ¿Qué aprendieron los niños al realizar esta actividad?
• ¿Qué cambios se pueden hacer para mejorar la clase en una próxima ocasión?
Las experiencias de trabajo en la escuela primaria se analizan colectivamente en la
clase de Matemáticas y su Enseñanza con base en los registros de observación realizados por los estudiantes, se elaboran conclusiones y se proponen alternativas que permitan mejorar la clase analizada.
Para el estudio y análisis de los contenidos de este curso, a los estudiantes y profesores
se les entregará el paquete didáctico La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Éste contiene la mayor parte de las actividades de estudio. Con el fin de obtener
el mayor provecho de estas actividades, en cada bloque de este programa hay ejemplos
de cómo el profesor puede organizarlas.
La bibliografía sugerida en cada bloque permitirá profundizar en los temas que se
abordan en el curso. El profesor puede seleccionar algunos de los textos o partes de
éstos para proponerlos a sus estudiantes. Para facilitar esta tarea, los textos que se consideran adecuados para los alumnos están señalados con un asterisco, algunos se encuentran en el libro de lecturas del paquete didáctico y otros se encuentran en la biblioteca de la escuela normal.
Otros recursos que apoyan el estudio de algunos temas que se trabajan en el curso
se encuentran en la audioteca y videoteca de la escuela normal. Es importante que el
profesor conozca y analice su contenido para trabajarlo con sus alumnos en el momento que lo considere pertinente.
contenidos de matemáticas y los aspectos relativos a su enseñanza y aprendizaje en la
utilizarlos en la resolución de problemas y sean capaces de definirlos y expresar explícitamente sus propiedades. Es importante, además, que los estudiantes puedan determinar distintos tipos de problemas relativos a la noción matemática de que se trate, así
estudiantes contarán con elementos para dar ejemplos variados de situaciones
didácticas relativas a diversas nociones matemáticas, destacando las variables que permiten hacerlas complejas o simplificarlas e identificando el grado escolar para el cual
probabilidad utilizarían los niños de primaria frente a esas situaciones, así como posibles errores.
analizan a lo largo del curso. Al hacerlo, avanzan en el conocimiento de los propósitos
de la primaria, así como el tipo de actividades que promueven su aprendizaje.
se enseñan en la escuela primaria y comprendan los distintos significados que adquieren al aplicarlos en distintas situaciones y en la resolución de problemas.
• Conozcan las características del enfoque didáctico para la enseñanza de las
matemáticas que enfatiza la construcción de significados a partir de la resolución de situaciones problemáticas.
• Conozcan y apliquen elementos de didáctica de las matemáticas para analizar
situaciones de enseñanza y su relación con los procesos de aprendizaje de conocimientos matemáticos en los niños.
(18 horas aproximadamente)
En este bloque se introducen algunos aspectos generales de la enseñanza de las matemáticas en la primaria.
Se busca que los estudiantes conozcan, a partir de algunas experiencias iniciales,
una manera de hacer y aprender matemáticas que se caracteriza por la producción
de recursos personales, no necesariamente formales, para abordar una situación
que presenta una dificultad. Se espera que los estudiantes puedan contrastar el
carácter creativo, incluso gozoso, de estas experiencias con otras, especialmente
aquellas que demandan del sujeto la aplicación de técnicas previamente mostradas.
Este propósito estará presente en todo el curso. Los fundamentos teóricos que
subyacen se irán explicando y analizando también a lo largo del curso, mediante la
lectura y el análisis de textos y la confrontación de esta información con la experiencia obtenida al resolver problemas, así como con las observaciones que realicen los estudiantes del trabajo de los niños durante las estancias en la escuela
Además, en este bloque se introducen algunos elementos iniciales para el análisis de
Por medio del estudio de los contenidos y la realización de las actividades propuestas se
1. Establezcan relaciones entre la resolución de problemas y el desarrollo del
2. Identifiquen las características didácticas del juego como un medio para propiciar el aprendizaje de contenidos matemáticos.
3. Analicen la función de los procedimientos informales en la solución de problemas, como parte del proceso de comprensión y dominio de los procedimientos
matemáticos formales.
Nuestra experiencia personal con las matemáticas.
El papel de los problemas en el aprendizaje de las matemáticas.
El método de ensayo y error y la variación de la incógnita.
Block, D. et al. (1995), La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria.Taller para maestros.
Saiz (comps.), Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós,
*Fuenlabrada, I., D. Block, H. Balbuena y A. Carvajal (1994), Juega y aprende matemáticas, 2ª ed.,
México, SEP (Libros del Rincón).
Carraher, T., D. Carraher y A. Schelieman (1991), “En la vida diez, en la escuela cero”, en Los
contextos culturales del aprendizaje de las matemáticas, México, Siglo XXI, pp. 25-47.
Chevallard, Y., M. Bosch y J. Gascón (1998), “Matemáticas, alumnos y profesores. Las matemáticas en el aula”, en Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje, Madrid, Cooperación Española/SEP (Biblioteca del Normalista), pp. 151-192.
Moreno, L. y G.Waldegg (1995), “Constructivismo y educación matemática”, en La enseñanza de
las matemáticas en la escuela primaria. Lecturas, México, SEP (Programa Nacional de Actualización Permanente), pp. 27-40.
Parra, B. M. (1990), “Dos concepciones de resolución de problemas de matemáticas”, en Educación matemática, vol. II, núm. 3, México, Grupo Editorial Iberoamérica, pp. 22-31.
Los temas de este bloque contienen aspectos generales de la didáctica de las
matemáticas que se seguirán trabajando a lo largo del programa. En virtud de
que muchos estudiantes han tenido durante su escolaridad una relación con
las matemáticas poco gratificante, se sugiere iniciar el curso invitándolos a
recordar episodios de su vida relacionados con las matemáticas: ¿qué experiencias difíciles recuerdan?, ¿qué fue lo que las hizo desagradables?, ¿qué experiencias gratas recuerdan?, ¿por qué fueron agradables?
Después de la charla, es conveniente proponer un juego de matemáticas
para permitir a los estudiantes contrastar sus experiencias previas con una
forma distinta de “hacer matemáticas”. Se sugiere la cuarta versión del juego “¿Quién adivina el número?” que aparece en el libro Juega y aprende
Resolver en equipos los puntos 2 y 3, actividad 1 (pp. 18 y 19) del libro La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Taller para maestros (que en adelante se
mencionará sólo como Taller para maestros), destinando el tiempo necesario para
confrontar los resultados obtenidos y los diferentes procedimientos utilizados.
Resolver y comentar el punto 4, actividad 2 (p. 22) del Taller para maestros, destacando la importancia de los procedimientos informales para resolver problemas, pero a la vez el tipo de conocimientos que difícilmente se pueden obtener
Después de leer individualmente el artículo “Aprender (por medio de) la resolución de problemas” (Charnay, R. 1994), se sugiere comentar los siguientes
• ¿Cómo hacer para que los conocimientos matemáticos tengan sentido para
• Análisis de los modelos de aprendizaje “normativo”, “incitativo” y “aproximativo”.
• El tipo de relaciones que se establecen entre el docente, el alumno y el
Realizar la actividad 3, “El papel del juego en el aprendizaje de las matemáticas”
(pp. 24 y 25) del Taller para maestros, destacando las características particulares del
juego “Carrera a 20”, así como la importancia del juego como recurso didáctico.
Conviene realizar este tipo de actividades sistemáticamente a lo largo del curso.
Proponer a los estudiantes el siguiente problema: el perímetro de un terreno
rectangular mide 102 metros. Se sabe que el largo del terreno mide el doble del
ancho. ¿Cuánto mide el largo y cuánto mide el ancho?
Con base en los procedimientos que se utilicen para resolver el problema,
destacar la importancia de los procedimientos de ensayo y error como una
manera de variar el valor de la incógnita en un problema.
Leer en los libros para el maestro, Matemáticas primer, tercero y quinto grados, los apartados “Introducción” y “Recomendaciones didácticas generales”.
Después, ver el video “Enfoque actual en la enseñanza de las matemáticas” de la
serie Entre maestros, y comentar acerca de los rasgos más importantes que lo
caracterizan. Por ejemplo, se puede hablar sobre el papel del maestro, del
alumno, de la interacción de éste con el objeto de conocimiento, de la confrontación de procedimientos y resultados.
Para finalizar este bloque, los estudiantes observan y analizan una clase en la que
se lleve a cabo un juego de matemáticas con alumnos de primaria. Los criterios
de análisis pueden ser: el papel del profesor, las formas en que los alumnos
deciden sus jugadas, el conocimiento matemático implicado, la evolución de las
jugadas. La clase puede ser en vivo o puede utilizarse el video o el audio sobre
el juego que se cita en los materiales de trabajo.
Se recomienda también observar y analizar una clase en la que alumnos de primaria
resuelvan un problema de matemáticas. Un ejemplo muy ilustrativo es el programa
videograbado “Las matemáticas en la escuela”. En caso de que se utilice esta grabación,
es conveniente que los estudiantes resuelvan el problema que se plantea antes de ver el
Los criterios de análisis pueden ser: el papel del maestro, la diversidad de procedimientos de solución y la confrontación de resultados que se realiza al final.
Bloque II. Los números naturales y el sistema decimal
de numeración (24 horas aproximadamente)
La noción de número y de sistema de representación de los números es una de las
cuestiones más estudiadas y debatidas tanto desde la perspectiva psicológica como
desde la perspectiva didáctica. Actualmente existe una diversidad de propuestas
didácticas para el estudio de esta noción, desde aquellas que introducen los símbolos
uno por uno, resaltando el trazo, hasta las que intentan aprovechar los conocimientos
que los niños han construido antes de entrar a la escuela y crear condiciones para
utilizarlos como recursos básicos en el desarrollo de conocimientos nuevos y más
En este bloque se orienta a los estudiantes para que analicen este contenido temático con el propósito de que distingan entre el aspecto semántico de un concepto matemático (sus significados) y el aspecto sintáctico (las maneras de representarlo, las reglas
de escritura). Asimismo, se inicia el análisis de situaciones didácticas relativas a conocimientos específicos del sistema de numeración.
1. Conozcan las características fundamentales del sistema decimal de numeración,
2. Identifiquen algunos rasgos característicos del proceso de aprendizaje de la
numeración por el que pasan los niños de preescolar y primer grado, y los
distingan de los errores matemáticos.
3. Analicen diferentes situaciones didácticas relacionadas con el aprendizaje de la
numeración y reconozcan las condiciones que puedan variarse para establecer
Significados múltiples del número natural, situaciones que dan lugar a sus significados y procedimientos de solución.
Representaciones diversas de los números naturales; el sistema decimal de
Análisis de situaciones didácticas (noción de “situación didáctica”; variables
didácticas de las situaciones y su relación con los procedimientos que propician;
formas de validar los resultados).
Los conocimientos previos de los niños acerca del sistema decimal de numeración.
Secuencia de situaciones para el desarrollo de la noción de número en primer
Primera parte, México, SEP, pp. 33-61.
*Lerner, D. y P. Sadovsky (1994), “El sistema de numeración: un problema didáctico”, en C. Parra
e I. Saiz (comps.), Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós,
pp. 95-184.
Baroody, A. (1988), “Segunda parte: Matemática informal”, en El pensamiento matemático de los
niños. Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial,
Madrid, Aprendizaje Visor, pp. 87-150.
*Block, D. (1996), “Comparar, igualar, comunicar en preescolar”, en Básica. Revista de la Escuela y
del Maestro, año III, núm. 11, mayo-junio, México, Fundación SNTE para la Cultura del
Maestro Mexicano, pp. 21-33.
Ifrah, G. (1988), “La India, cuna de la numeración moderna”, en Las cifras. Historia de una gran
invención, Madrid, Alianza Editorial, pp. 249-277.
Para el estudio de los temas que conforman este bloque se sugieren las siguientes
• Resolver en equipos la actividad 1, “Aprendiendo a contar” (pp. 34-39) del Taller
para maestros, enfatizando la importancia de no usar el sistema decimal. Comentar en forma colectiva las preguntas que aparecen al final.
• Resolver en equipos la actividad 2, “La serie numérica oral y su representación
gráfica convencional” (pp. 39-44) del Taller para maestros, y comentar en forma
colectiva las preguntas que aparecen al final. Destacar las semejanzas y diferencias entre el sistema arbitrario utilizado y el sistema decimal, en particular argumentar sobre la importancia del valor posicional del sistema escrito.
• Lectura individual de los apartados I y II del artículo “El sistema de numeración: un problema didáctico” (Lerner y Sadovsky, 1994). Posteriormente, en
forma colectiva, emitir puntos de vista acerca de las siguientes afirmaciones y
– El sistema de numeración es un producto cultural, objeto de uso social cotidiano, que se ofrece a la indagación infantil desde las páginas de los libros,
las listas de precios, los calendarios, las reglas, las direcciones, etcétera.
– Los niños elaboran criterios propios para producir representaciones numéricas y la construcción de la notación convencional que hacen no sigue
el orden de la serie, aunque ésta desempeñe un papel importante en esa
– ¿Aprender el concepto de decena ayuda realmente a comprender los números o es más bien el conocimiento de los números –y de su escritura– lo
que ayuda a comprender el concepto de decena?
Lectura individual de los apartados III y IV del artículo de Lerner y Sadovsky.
Posteriormente, hacer una discusión colectiva con base en las siguientes afirmaciones y preguntas:
– ¿Qué diferencia hay entre las propiedades de los números y las propiedades
de la notación numérica?
– En muchas de las actividades que se les proponen “...paradójicamente, para
que los niños comprendan la posicionalidad, se hace desaparecer la
posicionalidad...”
– “...la noción de agrupamiento no es el origen de la comprensión de la
Lectura individual del apartado V del artículo de Lerner y Sadovsky; después,
en actividad colectiva, analizar los siguientes aspectos de las situaciones didácticas
que se proponen:
– Las variables didácticas que se pueden modificar para hacer compleja la
– Los procedimientos de solución que se propician.
– Las formas de validar los resultados.
Ver el video Matemáticas. Primer grado para escuchar los puntos de vista de los
autores en relación con las actividades para el aprendizaje de la numeración.
Analizar el fichero y el libro de texto de Matemáticas, primer grado, para reconocer el tipo de actividades que se proponen acerca de la numeración. Posteriormente, se recomienda elegir una actividad para estudiar sus características;
se sugiere, por ejemplo, la situación “Platos y cucharas” propuesta en la ficha 14
del Fichero. Actividades didácticas. Primer grado. Se analiza inicialmente tal como
se propone y, después, lo que pasaría al variar distintos aspectos, por ejemplo
si se aumenta el tamaño de las cantidades.
Para concluir este bloque, se sugiere observar en la escuela primaria o en otros
ámbitos los conocimientos que tienen los niños de cinco a seis años acerca de
los números, cómo los emplean de manera oral, la forma como los representan
y los contextos en que los utilizan (pueden basarse en la experiencia reportada
en el artículo de Lerner y Sadovsky, 1994). Posteriormente, en la escuela normal, comentar las observaciones, la relación que encuentran con el texto leído
y el tipo de actividades que el maestro podría proponer a esos niños para que
avancen en sus conocimientos sobre el sistema de numeración.
(46 horas aproximadamente)
En la primaria, la enseñanza de las cuatro operaciones básicas ocupa un lugar central y
por tradición ha tendido a identificarse con la enseñanza de los algoritmos convencionales. Las operaciones básicas constituyen por ello un tema clave para propiciar la reflexión acerca del contenido matemático y de los procesos a través de los cuales los
niños pueden apropiarse de él.
En este bloque se destaca tanto la existencia de diversos significados para una misma
operación como la existencia de diversas técnicas de resolución o algoritmos. Asimismo, se analizan procesos de construcción de técnicas operatorias a partir de la resolución de situaciones problemáticas.
El tema es adecuado para analizar situaciones problemáticas a partir de variables
como tamaño y tipo de números implicados, contexto, estructura semántica, forma de
Se introduce también el tema de cálculo mental y el uso de la calculadora como
auxiliar didáctico en la clase de matemáticas.
1. Analicen la relación entre las propiedades del sistema decimal de numeración y
las de los algoritmos usuales.
2. Conozcan los diversos significados de cada una de las operaciones.
3. Conozcan diferentes alternativas para el uso de la calculadora como un recurso
que contribuye al desarrollo de habilidades como el cálculo mental y la estimación de resultados.
4. Analicen, adapten o propongan situaciones didácticas relativas al aprendizaje de
las operaciones básicas con números naturales.
1. Problemas aditivos y multiplicativos.
2. Proceso de aprendizaje de los niños en relación con las operaciones fundamentales.
Secuencias didácticas para el estudio de problemas aditivos y multiplicativos.
Cálculo mental, estimación de resultados y el uso de la calculadora.
*Balbuena, H., D. Block y A. Carvajal (1995), “Las operaciones básicas en los nuevos libros de
texto”, en Cero en Conducta, año X, núm. 40-41, mayo-agosto, México, Educación y Cambio, pp. 15-29.
Primera parte, México, SEP, pp. 65-147.
*Block, D., I. Fuenlabrada, H. Balbuena y L. Ortega (1994), Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir, México, SEP (Libros del Rincón).
Broitman, Claudia (1999), “Sumar no es siempre agregar ni restar es siempre quitar”, en Las
operaciones en el primer ciclo. Aportes para el trabajo en el aula, Buenos Aires, Ediciones
Novedades Educativas, pp. 9-21.
*Gálvez, G. (1994), “La calculadora de bolsillo, un material didáctico para el aprendizaje de la
matemática”, en M. Arellano, G. Gálvez y M. A. Téllez, La calculadora en la escuela, Santiago, Ministerio de Educación (Programa MECE), pp. 5-14.
*Parra, C. (1994), “Cálculo mental en la escuela primaria”, en C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica
de las matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós, pp. 219-272.
*Saiz, I. (1994), “Dividir con dificultad o la dificultad de dividir”, en C. Parra e I. Saiz (comps.),
Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós, pp. 185-218.
*Ávila, A. (1996), “La comprensión y el procedimiento”, en Básica. Revista de la Escuela y del
Maestro, año III, núm. 11, mayo-junio, México, Fundación SNTE para la Cultura del Maestro Mexicano, pp. 6-14.
*Block, D. (1991), “Validación empírica del conocimiento en clase de matemáticas, en la primaria”, en Cero en Conducta, año VI, núm. 25, mayo-junio, México, Educación y Cambio, pp.
*Block, D., M. Dávila y P. Martínez (1995), “La resolución de problemas: una experiencia de formación de maestros”, en Educación matemática, vol. VII, núm. 3, México, Grupo Editorial Iberoamérica, pp. 5-26.
*Fuenlabrada, I., D. Block, A. Carvajal y P. Martínez (1994), Lo que cuentan las cuentas de sumar y
*Gálvez, P. G., S. Navarro, M. Riveros y P. Zanacco (1994), Aprendiendo matemáticas con calculadora, Santiago, Ministerio de Educación (Programa MECE).
Vergnaud, G. (1991), “Los problemas de tipo aditivo”, en El niño, las matemáticas y la realidad,
México, Trillas, pp. 161-184 y 197-223.
• Plantear a los estudiantes los dos problemas de suma (tortas y tacos) y los dos
problemas de resta (recreo, día del niño) que aparecen en el artículo “Problemas
fáciles y problemas difíciles” (Ávila, A., 1994). Resolverlos y comentar acerca de
las semejanzas y diferencias en cada par de problemas. Posteriormente leer el
artículo para contrastar sus opiniones y enfatizar el hecho de que la dificultad
de los problemas no sólo depende de la operación con la que se resuelven sino
de su estructura, es decir, del lugar en el que se encuentra la incógnita.
• Resolver la actividad 1, “Problemas aditivos con distintas estructuras” (p. 81-86)
del Taller para maestros y leer el artículo “Sumar no es siempre agregar ni restar
es siempre quitar” (Broitman, 1999). A partir de estos trabajos los estudiantes
pueden reconocer que problemas que se resuelven con la misma operación a
veces tienen diferentes niveles de dificultad. Se trata de que los estudiantes
estén en posibilidad de analizar la estructura e inventar problemas aditivos sin
darle mucha importancia a los términos que se usan para designar las categorías.
• Resolver la actividad 2, “Los procedimientos usuales para sumar y restar” (pp.
68-72) del Taller para maestros, y comentar sobre la relación que existe entre las
reglas de un sistema de numeración y las operaciones que se resuelven con él.
Como parte de esta misma actividad, leer el artículo “Las operaciones básicas
en los nuevos libros de texto” (Balbuena et al., pp. 15-22). Hablar sobre el proceso didáctico para el estudio de los problemas aditivos y el de las técnicas para
• Resolver la actividad 3, “Dos algoritmos para restar” (pp. 73-76) del Taller para
maestros. Preguntar a los estudiantes si conocen otros algoritmos para resolver
adiciones o sustracciones y comentar las preguntas que aparecen al final de la
• Analizar la situación “La caja” del fichero de matemáticas de primer grado. El
análisis puede realizarse a partir de las siguientes preguntas:
– ¿La situación implica efectivamente la realización de una suma o una resta?
– ¿Qué significados de las operaciones están en juego?
– ¿De qué manera se pueden validar los resultados?
– ¿Los niños toman las decisiones de qué pasos seguir o éstos ya vienen indicados?
– Dado el tamaño de las cantidades, ¿qué procedimientos de cálculo podrían
poner en juego los niños?
– ¿Cómo puede complejizarse el problema o cómo puede simplificarse?
Posteriormente pueden analizarse otros problemas de los libros de texto gratuitos
de primero y segundo grados o de otras propuestas. Analizar una clase sobre el tema,
ya sea a partir de un registro de observación realizado por los estudiantes mismos, o
de una clase videograbada (véase “Los problemas en la clase de matemáticas”, programa de televisión de la serie Entre maestros).
• Resolver la actividad 2, “Dos tipos de problemas de multiplicación” (pp. 109111) del Taller para maestros, confrontar las respuestas y posteriormente resolver la actividad 1, “Dos tipos de problemas de división” (pp. 122-124 del mismo
• Leer otra parte del artículo “Las operaciones básicas en los nuevos libros de
texto” (Balbuena et al., pp. 23-29), con el fin de distinguir los procesos didácticos
para el estudio de los problemas multiplicativos y los que corresponden a las
técnicas para efectuar operaciones de multiplicación o división. Resolver la
actividad 5, “Una forma antigua... pero eficiente de multiplicar”.
• Resolver la actividad 3, “Del conteo a las cuentas” (pp. 127-134) del Taller para
maestros, con el fin de analizar algunas interpretaciones que puede tener el
residuo de una división. Esta parte se complementa con la lectura del artículo
“Dividir con dificultad o la dificultad de dividir” (Saiz, I., 1994). Se sugiere iniciar
con la resolución de los cinco problemas que aparecen al final del artículo,
hacer la caracterización de cada uno y ordenarlos de menor a mayor dificultad.
Posteriormente se contrasta la caracterización hecha por los estudiantes con la
que hace la autora del artículo, se analizan los tipos de errores en el algoritmo
de la división y la sugerencia para corregirlos.
• Resolver la actividad 9, “Otros aspectos de la multiplicación y la división” (pp.
144-146) del Taller para maestros. Confrontar los resultados obtenidos y lo que
se entiende por divisor, múltiplo, descomposición de un número en factores
• En grupo, realizar una charla para emitir opiniones sobre el cálculo mental a
partir de las siguientes preguntas:
– ¿Cuáles son sus características más importantes?
– ¿Qué ventajas ofrece en el estudio de las matemáticas?
– ¿En qué situaciones de la vida diaria se utiliza?
– ¿Qué actividades de cálculo mental se pueden realizar en la escuela?
Después de escuchar distintas opiniones se propone la lectura del artículo “Cálculo
mental en la escuela primaria” (Parra, C., 1994). Se sugiere centrar la atención en el
análisis de las situaciones problemáticas que se proponen y en las secuencias temáticas
de primero a sexto grados que aparecen al final del artículo.
• Lectura individual del artículo “La calculadora de bolsillo, un material didáctico
para el aprendizaje de las matemáticas” (Gálvez, G., 1994). Discusión colectiva
en torno a los siguientes aspectos:
– ¿Cuáles son los argumentos más importantes que se señalan en el artículo a
favor del uso de la calculadora como auxiliar didáctico?
¿Qué se recomienda hacer para contrarrestar la inquietud que puede surgir
en los padres de familia?
– Seleccionar ejemplos y aplicarlos, analizando los resultados.
Deshacer el efecto de una operación aritmética mediante otra operación aritmética es una actividad que permite reflexionar sobre la relación inversa entre las operaciones de suma y resta así como entre la multiplicación y la división. Para estudiar este
aspecto se sugiere plantear problemas en forma de adivinanzas para que los estudiantes tengan que representar simbólicamente el problema y buscar una manera de resolverlo. Por ejemplo: pensé un número, le resté 127 y me dio como resultado 350. ¿Qué
número pensé?
x - 127 = 350
x - 127 + 127 = 350 + 127
Este mismo problema se puede hacer cada vez más complejo, por ejemplo:
Pensé un número, le sumé 238, el resultado lo dividí entre 3 y me dio 18. ¿Qué
(x - 238) ÷ 3 = 18
La enseñanza de la geometría tiene como propósito contribuir efectivamente al desarrollo de los procesos de apropiación o dominio de las relaciones del sujeto con el
espacio circundante; sin embargo, hasta hace muy poco tiempo nuestro conocimiento
sobre estos procesos y sobre las situaciones que pueden propiciarlos era escaso. La
enseñanza tendió a centrarse en la definición de objetos geométricos y en la construcción de figuras o cuerpos sin una problematización que hiciera necesario analizar sus
propiedades. Posteriormente en la secundaria, mediante un salto abrupto, se pasaba a la
demostración en la geometría euclidiana.
Actualmente se dedica un espacio mucho más amplio al estudio de la geometría,
dándole gran importancia al análisis de las propiedades de líneas, figuras y cuerpos, al
uso de instrumentos para realizar diferentes trazos, a la ubicación espacial y al cálculo
En este bloque se revisan algunos de los aspectos centrales del tema de geometría
en la escuela primaria, tanto los relativos a la orientación espacial y al conocimiento
geométrico del espacio como los que se refieren al análisis de diferentes estrategias
Profundicen en el conocimiento y la comprensión de las nociones básicas sobre
2. Utilicen adecuadamente los instrumentos para efectuar trazos geométricos.
3. Analicen secuencias de situaciones didácticas para el estudio de las nociones
básicas de geometría.
4. Utilicen diversos materiales como recursos que favorecen el aprendizaje de la
Orientación, organización y estructuración del espacio; el plano cartesiano.
Propiedades geométricas de figuras planas y cuerpos.
Dibujo y trazos geométricos. Construcciones con regla y compás.
Situaciones didácticas para el desarrollo de la orientación espacial.
Situaciones didácticas para el conocimiento de propiedades geométricas.
*Alarcón, J. et al. (1996), “Dibujo y trazos geométricos”, en Libro para el maestro. Matemáticas.
Educación secundaria. México, SEP, 1996, pp. 225-233.
Primera parte, México, SEP, pp. 151-198.
*Fuenlabrada, I. (1996), “El conocimiento del espacio y el de la geometría. ¿Qué y cómo se
enseña?”, en Básica. Revista de la Escuela y del Maestro, año III, núm. 11, mayo-junio, México, Fundación SNTE para la Cultura del Maestro Mexicano, pp. 61-68.
*Gálvez, G. (1994), “La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la
geometría en la escuela elemental”, en C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós, pp. 273-299.
Martínez R., Ángel y F. Juan Rivaya [coords.] (1989), “La enseñanza de la Geometría en el ámbito de la educación infantil y primeros años de primaria” y “La enseñanza de la
Geometría en el segundo ciclo de la educación primaria”, en Una metodología activa y
lúdica para la enseñanza de la geometría, Madrid, Síntesis (Matemáticas, cultura y aprendizaje, 16), pp. 49-66 y 67-105.
Se sugiere organizar el grupo en seis equipos. Cada equipo se encargará de
revisar el libro de texto gratuito y el fichero de un grado para identificar las
actividades relacionadas con la ubicación espacial. Se trata de elaborar una relación de contenidos sobre este tema, de primero a sexto grados, para analizar
– ¿Cuáles son las situaciones más simples y cuáles las más complejas?
¿Cómo cambia el nivel de complejidad del contenido en los distintos grados?
¿Qué tipo de material se utiliza en las diferentes actividades de ubicación
Lectura individual de la primera parte del artículo “La enseñanza de la geometría en el ámbito de la educación infantil y primeros años de primaria” (Martínez
y Rivaya, pp. 49-65) para identificar actividades interesantes que ayuden al desarrollo de la ubicación espacial.
Resolver la actividad 3, “Nuestros materiales de trabajo” (pp. 195-197) del Taller
para maestros. Comentar las respuestas a las preguntas que se plantean.
Resolver la actividad 2, “¿Qué será?” (pp. 194 y 195) del Taller para maestros. Se
sugiere que primero se utilice una figura irregular de cinco lados en lugar de un
poliedro poco conocido. Una pareja de alumnos se encarga de ocultar la figura
o el poliedro y de contestar las preguntas. Los demás alumnos plantean las
preguntas que consideren necesarias para tratar de reproducir la figura o el
Se sugiere que el resto de las actividades giren en torno al artículo “La enseñanza de la geometría en el segundo ciclo de la educación primaria” (Martínez
y Rivaya pp. 67-105). Es conveniente que, por partes, se haga una lectura colectiva y después, en equipos, traten de resolver algunas de las actividades complementarias que se plantean. De este trabajo puede resultar un inventario de
situaciones que complementen las que hay en los libros de texto y en los
— (1999), Libros de texto gratuitos de Matemáticas segundo, cuarto y sexto grados, México.
— (1999), Ficheros de actividades didácticas, Matemáticas, primer, tercer y quinto grados,
— (1999), Ficheros de actividades didácticas, Matemáticas, segundo, cuarto y sexto grados,
— (1999), Libros para el maestro. Matemáticas, primer, tercer y quinto grados, México.
— (1995), “Las matemáticas en la educación básica”, en la serie El conocimiento en la escuela,
México, audiocinta núm. 1 (Programa Nacional de Actualización Permanente).
— (1995), “El papel de los problemas en el aprendizaje de las matemáticas”, en El conocimiento en la escuela, México, audiocinta núm. 1 (Programa Nacional de Actualización
*— (1993), “Los conceptos matemáticos y sus diversos significados”, en la serie El conocimiento en la escuela, México, audiocinta núm. 1 (Programa Nacional de Actualización
— (1996), “El juego en matemáticas”, en la serie El conocimiento en la escuela, México, audiocinta
núm. 2 (Programa Nacional de Actualización Permanente).
*— (1993), “La calculadora en la escuela”, en la serie El conocimiento en la escuela, México,
audiocinta núm. 2 (Programa Nacional de Actualización Permanente).
*— (1993), “La división”, en la serie El conocimiento en la escuela, México, audiocinta núm. 3
(Programa Nacional de Actualización Permanente).
*— (1993), “La geometría”, en la serie El conocimiento en la escuela, México, audiocinta núm. 5
*— (1993), “La estimación”, en la serie El conocimiento en la escuela, México, audiocinta núm. 5
*— (1996), “La evaluación y otras implicaciones del enfoque actual para la enseñanza de las
matemáticas”, videocinta en la serie Entre maestros, México.
— (1996), “Enfoque actual en la enseñanza de las matemáticas”, videocinta en la serie Entre
maestros, México.
— (1996), “El juego en el aprendizaje de las matemáticas”, videocinta en la serie Entre maestros,
*— (1996), “Aprendiendo a dividir al resolver problemas”, videocinta en la serie Entre maestros,
*— (1993), “Los problemas en las clases de matemáticas”, videocinta en la serie Entre maestros,
— (1995), Las matemáticas en la escuela, videocinta núm. 21 (Programa Nacional de Actualización
— (1993), Matemáticas. Primer grado, videocinta, México (Programa Nacional de Actualización
*— (1991), La enseñanza de las matemáticas, videocinta núm. 21, México (Programa de Actualización del Maestro).
Matemáticas y su Enseñanza I Licenciatura en Educación Primaria Segundo semestre Programa y materiales de apoyo para el estudio Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales Licenciatura en Educación Primaria Segundo semestre México, 2001 Published on issuu

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