Source: http://gerdlamprecht.de/nichttrivialeGrenzwerte_Limes.html
Timestamp: 2017-07-28 16:39:46+00:00

Document:
Nichttriviale Grenzwerte (Non-trivial limits; Gerd Lamprecht)
§3:; ;
§3b: §3c: §4:; d.h.: ;
§5:aus §1, §2, §3 und §4 folgt: §6:aus lim x! = lim sqrt(2Pix)*(x/e)^x folgt: ein Bruch, der Pi im Unendlichen (also nie) erreicht! §7:lim log(x!) = lim x*log(x); ; §8:
§9 b:
§10: Lerch(-1,1,B/A)/A= hyg2F1(1,B/A,B/A+1,-1)
§10a: ; Zeta(2,y) = PolyGamma(1,y) = hyg3F2[1,y,y, y+1,y+1,1]/y²
§10b: + hyg3F2(1/2,1/2,1,3/2,3/2,-1) = A006752=0.915..=Catalan's Konst.
§10c: A=2, B=1 ergibt = hyg3F2(1,1/2,1/2,3/2,3/2,-1)= Beta(2,Dirichlet)=A006752=0.915..=Catalan's Konst. §10d: §11a: siehe A000110
§11b:
schnelle Konvergenz zum Berechnen der Eulersche Zahl
§12:=1.10461783244907976840066196... siehe Zeta(x) Wissenschaftlicher Online Rechner mit Umkehrfunktionen
§12b:=77 hygxFy(6,5,-1/1024,,1;1;1;1;1;1 , 3/2;3/2;3/2;3/2;3/2)
-125/3888 hygxFy(6,5,-1/1024,,2;2;2;2;2;2 , 5/2;5/2;5/2;5/2;5/2)
-205/7776 hygxFy(7,6,-1/1024,,2;2;2;2;2;2;2 , 1;5/2;5/2;5/2;5/2;5/2)
§14:= A191503 = 1.7523515580810808267140866648...
§15:= A115563 = 2.1097428012368919744792571976...
§17: = A118582 = 38.4067680928217... {10^(3.14*10^86) Summanden für 2 Stellen!}
§18:= PolyLog(a,1/B)
; B=1 und a<=1 ergibt ∞
§18b:=LerchPhi(1/b,-a,0) ; |b|>1
§19:Hyperbolische Funktionen nach exp(x) wandeln: §20:analog §21:
§22:
§20-§26:
§27a: - Digamma(n)
§27b:
§27c:für große n gilt: §27d: §28a: =
A001620=0.5772156649015328606...
§28b: =
A001620=Euler-Mascheroni Konstante (Euler's Gamma)=0.5772156649015328606...
§28c: =
A094640=0.241564475270490444691...
§28d: = 0.1678255948155212079577375992595540032692269400673623310390151436851...
§28e: = 0.283757110473933656768457630635328140302567738487693986353927918293635021553580704423338103491871479...
§28f: = A001620=0.5772156649015328606...
§28g: = A001620=0.5772156649015328606...
§28h: = A001620=0.5772156649015328606...
§28i: = 0.1598689037424309717569478703249165704962220237564587426708245296396570021840290046595550340320...
§28j: = Stieltjes(n=0) = A001620=0.5772156649015328606...
§28k: 1.12119248545455773840341165864446543417192723923932809350838351813422431901023715922923482094112176...
bei http://de.wikipedia.org/wiki/Stieltjes-Konstanten falsch (da steht 1/3 außerhalb der Klammer)!! siehe Internetfehler §15
§29a: =
§29b: =
§30: =
0.0386078324507664303032560450412012155210796679699617994028836174424338633888323354684735164587...
§31: =
1.978111990655945110790791303001269415878367041456428...
§32: =
-0.8700577267283155067346487995360874375081073336259...
§33a: mit Limit -> ∞ = Pi²/6; Nullstelle = 0.42504070656343112850096486455632122593436146969993960726127005014342022659021801086571967879941340204182604152994585818912505061552544909556205722765273701985051155223533377436709840740196730663983071105606807465470734435717997975... = PolyLog(2,x)
§33b: =0.89607737190373384738742172145597915761038501975384421589352892402949499967887115635566797440232925103000964506132503774339166461081957342901422141601474046273334296410493111701738194661433652267668...
§33c: =0.337623178232435979966889653528539734303827406151254612408139747998010603123529499019553701062489777947993594160427855266329878904434182411937105793733409244890457017920890836804056308539768518420923...
§33d: =A111003=1.2337005501361698273543113749845188919142124259050988283016686720275056028024006553752216754648190289780...
§34: = = = p {oder mit x=exp(log(x))} = = = p
§35: mit Limit m -> ∞ ergibt das 0 + sin(x); hyg1F2(1,...) online Rechner
§36: mit Limit m -> ∞ ergibt das 0 + cos(x); hyg1F2(1,...) online Rechner
§35 + §36: §37:
= [sgn(-c)+{b=Pi*sqrt(abs(c))/sqrt(a)}*{(sgn(c)+1)/2*coth(b)+(sgn(c)-1)/2*cot(b)}]/abs(2*c)
§38a:
§38b:
§39: Polstellenumgehung für ganze n ab n>=3:Hebbare Definitionslücke ab n > 13/4-sqrt(5)/4 Natürlich gibt es weiterhin Polstellen bei 13/4+sqrt(5)/4 und bei 2, 1.75, 1.5, 1, 0.75, 0.5, 0.25, ... LINKS Konvergenzkriterium
mathworld Limit
Table of Series and Products (Gradshtein, Ryzhik, Jeffrey)
Table of Series and Products (Ryzhik, Jeffrey, Zwillinger)
Table of Series and Products (Hansen)

References: §3

§3
 §3
 §4

§5
 §1
 §2
 §3
 §4
 §6
 §7
 §8

§9

§10

§10

§10

§10
 §10
 §11

§11

§12

§12

§14

§15

§17

§18

§18

§19
 §20
 §21

§22

§20

§27

§27

§27
 §27
 §28

§28

§28

§28

§28

§28

§28

§28

§28

§28

§28
 §15

§29

§29

§30

§31

§32

§33

§33

§33

§33

§34

§35

§36

§35
 §36
 §37

§38

§38

§39