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Cours de mathématiques. tome 4 Algèbre bilinéaire et géométrie | Jean-Marie Arnaudiès, Henri Fraysse | download
Principal Cours de mathématiques. tome 4 Algèbre bilinéaire et géométrie
Cours de mathématiques. tome 4 Algèbre bilinéaire et géométrie
Jean-Marie Arnaudiès, Henri Fraysse
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18 June 2016 (19:04)
Eléments d'analyse : Tome 5, Groupes de Lie compacts et semi-simples , Chapitre XXI
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Cours de mathématiques - 4 Algèbre bilinéaire et géométrie Classes préparatoires 1er cycle universitaire Dunod Université
SATURNE VU DE VOYAGER 1 Cette photographie de Saturne et de ses anneaux a été prise le 6 novembre 1980 (*) par Voyager 1 d'une distance de 5,3 millions de kilomètres. [Voyager 1, lancé le 5 septembre 1977, a survolé Jupiter le 5 mars 1979, puis Saturne le 12 novembre 1980 et a frôlé son satellite Titan avant de quitter définitivement le système solaire]. La plus grande partie de l'astre est dans la nuit, mais on remarque qu'une corne du croissant éclairé est visible à travers les anneaux. [Ces anneaux sont constitués d'une multitude de particules glacées dont la taille va de quelques micromètres à quelques dizaines de mètres animées de mouvements sensiblement circulaires et uniformes. L'épaisseur maximale est d'un kilomètre alors que la diagonale de la photo équivaut à la distance de la Terre à la lune]. Un examen détaillé de cette image montre que l'étude des coniques et des quadriques est encore un sujet d'avenir qui peut nous aider à comprendre la Nature. On pourra se reporter à l'exercice 16 du chapitre XII. © N.A.S.A. — J.P.L./Archives Photeb. 0) Date fournie par la N.A.S.A. Il est vraisemblable qu'il y ait erreur typographique et que la date réelle soit le 16 (4 jours après le survol de Saturne).
Cours de mathématiques - 4 Algèbre bilinéaire et géométrie Jean-Marie ARNAUDIÈS Henri FRAYSSE Professeurs de Mathématiques Spéciales au Lycée Pierre de Fermât à Toulouse Anciens élèves de l'École Normale Supérieure Dunod
© BORDAS, Paris, 1990 ISBN 2-04-016550-9 " Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur, ou de ses ayants-droit, ou ayants- cause, est illicite (loi du 11 mars Î957, alinéa 1er de l'article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. La loi du 11 mars 1957 n; 'autorise, aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, que les copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective d'une part, et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration "
PRÉFACE Voici donc le quatrième et dernier tome, consacré à l'Algèbre biîinéaire et à la Géométrie, de ce nouveau cours de mathématiques. Malgré les coupes sombres dont l'enseignement de cette science a été la cible depuis quelques années, nous avons voulu centrer cet ouvrage sur la Géométrie. A nos yeux, l'éclairage réciproque entre la Géométrie et les autres sciences demeure le moteur principal du développement de toutes les mathématiques, et qui transcende les systèmes d'axiomes utilisés aux époques successives. C'est pourquoi nulle part nous n'avons renoncé à la rigueur, même en traitant des sujets aussi synthétiques que les courbes ou les surfaces. Au contraire, ces thèmes déjà complexes ont été l'occasion d'illustrer la puissance et l'efficacité de concepts mis en place aux tomes précédents et en algèbre biîinéaire. Par exemple, la fin du chapitre VII, consacré aux courbes, montre bien tout l'intérêt du calcul sur les polynômes en géométrie des courbes. Ainsi le lecteur pourra découvrir ou redécouvrir pas à pas l'interpénétration saisissante entre le calcul différentiel et la théorie des courbes et surfaces, et entre la notion de groupe, l'algèbre biîinéaire et la théorie des coniques et quadriques. Il pourra aussi constater l'extraordinaire universelle imbrication entre la Géométrie et la structure de groupe, si bien mise en lumière par l'exemple non évident du dodécaèdre, traité au chapitre VI. Arrêtons-nous un instant sur ces coniques et quadriques. Elles furent naguère la pierre angulaire de tout enseignement en classe de Spéciales ; mais au fil du temps, on n'avait pas pu profiter, dans leur enseignement, des progrès de l'algèbre linéaire et biîinéaire. Quand on décida de diffuser sérieusement ces dernières, on réduisit l'enseignement des coniques et quadriques, dont pourtant l'algèbre biîinéaire est issue pour une large part. Mais chaque année, quelles que soient les modifications de programme, nos étudiants nous ont demandé des cours d'initiation sur les coniques et quadriques, ne serait-ce que parce qu'ils en ressentaient le besoin en Physique. A cette occasion, presque tous éprouvent un regain d'intérêt qui les étonne eux-mêmes pour l'algèbre biîinéaire, étudiée bien avant.
VI Préface D'ailleurs, à la veille de la conquête du système solaire, peut-on raisonnablement envisager de renoncer à la Géométrie ? se résigner à des étudiants sans imagination face à un ellipsoïde ou un paraboloïde hyperbolique ? Pour juger de l'actualité des modestes notions introduites aux trois derniers chapitres, que le lecteur veuille bien se donner la peine de nous suivre dans notre captivant voyage autour de Saturne, accompli à partir d'une simple et unique photo de la NASA, et sur lequel nous avons tenu à conclure ce livre... Au-delà des modes passagères, nous espérons contribuer à maintenir, peut-être à susciter, le goût de la Géométrie chez tous ceux qui se destinent aux sciences. Nous ne saurions assez remercier les Editions Dunod, et tout particulièrement Gisèle Maïus et Pierre Riotort, à qui la réalisation matérielle de ces ouvrages doit tout. Nous remercions également ceux de nos lecteurs qui nous adressent remarques et suggestions, dont nous tenons toujours le plus grand compte. J. M. ARNAUDIÈS, H. FRAYSSE
TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I. Formes bilinéaires, formes quadratiques 1 § 1 Formes bilinéaires 1 § 2 Formes bilinéaires en dimension finie 5 § 3 Formes quadratiques 12 §4 Orthogonalité pour les formes bilinéaires symétriques ou alternées 17 § 5 Classification des formes bilinéaires 26 § 6 Algorithme de Gauss 35 CHAPITRE II. Espaces euclidiens 43 § 1 Inégalité de Cauchy-Schwarz et conséquences 43 § 2 Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel 50 § 3 Familles orthonormales 57 § 4 Première étude des groupes orthogonaux 70 § 5 Produit mixte et produit vectoriel 83 CHAPITRE III. Endomorphismes des espaces euclidiens 89 § 1 Générations d'un groupe euclidien 89 § 2 Adjoint d'un endomorphisme 101 § 3 Diagonalisation des endomorphismes symétriques 110 §4 Endomorphismes normaux d'un espace euclidien 119 CHAPITRE IV. Formes hermitiennes, espaces hermitiens 127 § 1 Formes sesquilinéaires hermitiennes 127 § 2 Formes hermitiennes en dimension finie 133 § 3 Espaces préhilbertiens 142 § 4 Matrices unitaires, groupes unitaires en dimension finie 152 § 5 Adjoint d'un endomorphisme 159 CHAPITRE V. Notions de géométrie affine 175 § 1 Espaces affines 175 § 2 Applications affines, groupe affine 179 § 3 Sous-espaces affines 184 §4 Barycentres 193 § 5 Applications affines remarquables 204 §6 Convexité 211 § 7 Géométrie affine en dimension 2 ou 3 216
VIII Table des matières CHAPITRE VI. Espaces affines euclidiens 221 § 1 Généralités ; isométries 221 § 2 Structure des isométries 229 § 3 Exemples de groupes d'isométries 238 §4 Angles 246 § 5 Distances, droites et plans 254 §6 Similitudes 261 § 7 Cercles, sphères 263 CHAPITRE VII. Courbes en géométrie affine 273 § 1 Courbes paramétrées 273 § 2 ^-équivalence des courbes paramétrées 283 §3 Contact 289 § 4 Etude locale affine des courbes paramétrées 300 § 5 Exemples et applications 312 CHAPITRE VIII. Enveloppes de droites d'un plan affine 325 § 1 Familles de droites à un paramètre 325 § 2 Point caractéristique, enveloppe 327 §3 Exemples d'enveloppes de droites 338 CHAPITRE IX. Courbes en géométrie euclidienne 349 § 1 Fonctions angulaires 349 § 2 Longueur d'une courbe 356 § 3 Abscisses curvilignes, courbure 364 § 4 Courbure des courbes planes 375 § 5 Courbes planes définies par leur courbure algébrique 390 § 6 Développées, parallèles, développantes 396 CHAPITRE X. Notions élémentaires sur les coniques 411 § 1 Polynômes de degré 2 sur S 411 § 2 Zéros d'un polynôme de degré 2 sur ê 420 § 3 Intersection avec une droite 429 § 4 Coniques en géométrie euclidienne 433 CHAPITRE XI. Notions élémentaires sur les surfaces 449 § 1 Surfaces paramétrées 449 § 2 Etude géométrique des plans tangents 456 § 3 Cylindres, cônes, surfaces réglées 468 § 4 Surfaces de révolution 479
Table des matières IX CHAPITRE XII. Notions élémentaires sur les quadriques 487 § 1 Fonctions polynomiales de degré 2 sur S 487 § 2 Zéros d'une fonction f e &>2 492 § 3 Quadriques, droites et plans 505 § 4 Quadriques en géométrie euclidienne 514 § 5 Quelques problèmes classiques sur les quadriques 525 BIBLIOGRAPHIE 535 INDEX ALPHABÉTIQUE ... 537
Chapitre I FORMES BILINÉAIRES, FORMES QUADRATIQUES Pans tout ce chapitre, K désigne un corps commutatif de caractéristique différente de 2. § 1.1 FORMES BILINÉAIRES DÉFINITION 1.1.1 Soit E et F deux K~ev. Une forme biîinéaire sur E x F est une application f : E x F —► K, (x, y) »-» f(x, y) qui est K-linéaire en chacun des facteurs x et y quand on bloque Vautre. L'ensemble des formes bilinéaires sur E x F est un sous-A'-ev de 3F(E x F, K) (cf. tome 1, § XIII. 1), qui est nul lorsque E ou F est nul, et que nous notons BL(£, F ; K). Cas où E = F Lorsque E = F, nous écrirons BL2(£ ; K), ou BL2(£'), au lieu de BL(£, E ; K). Dans ce cas, une forme biîinéaire / e BL2(£) est dite symétrique ssi (V(^, y) e E2) f(x,y) = f(y,x) ; elle est dite alternée ssi (Vx e E) f(x,x) = 0. L'ensemble des formes bilinéaires symétriques (resp. alternées) sur E forme un sous-^-ev de BL2(E) que nous notons S2(£) (resp. Af{E)). Soit / e BL2(E) : pour que l'on ait / e A%(E), il faut et il suffit que : (1) (V(x,y)€E2; ) f(x,y) + f(y,x) = 0.
2 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques En effet, si (1) est satisfaite, en y faisant x = y on en déduit : 2 . /(*, x) = 0 pour tout x e E, d'où f(x, x) = 0 pour tout jc e £ (car K a été supposé de caractéristique #2), d'où / e A2*(£). Et réciproquement, si f e A2*(£), pour (x, y ) e £2, on a : /(x + y, x + >> ) = 0, soit en développant : /(*, x) + /(y, y) + /(x, y) -h /(y, = /(*, y) + /(y, *) = 0 , d'où (1). (Ce n'est d'ailleurs qu'un cas particulier de la proposition XIII.1.3 du tome 1). Théorème 1.1.1 Soit E un K-ev. On a : BL2(E) = S2(£)0 Af{E). Démonstration : Prouvons d'abord que S2(E) fl A£(E) = {0} : si /eS2(£)nA2*(£), on a en effet, pour tout (x, y) e E2, à la fois f(x,y) = f(y,x) et /(*, y) = - f(y, x), d'où 2./(*,)>) = 0, d'où /(x, y) = 0 car la caractéristique de K est # 2, d'où / = 0 comme attendu. Prouvons ensuite que S2(E) + A2*(E) = BL2(£) : si / € BL2(E), désignons par g l'élément de BL2(£) défini par (jc, y) ■-> /(y, *) pour (x, y ) g jE2 et posons : fi = \(f + g) et /2 = i(/-0). Il est de vérification immédiate que f1eS2(E), que f2 e Af{E) et que / = /i + /2- ■ Formes non dégénérées, formes dégénérées Reprenons le cas général où E et F sont deux AT-ev donnés. Pour / g BL(E, F ; K), x0e E et y0e F fixés, les applications f\y0l: E—+K> x^f(x,y0) et [Xo]f: F-^K, y^f(x0,y) sont par définition des formes linéaires. Cela permet de considérer les applications (2) F^E*, y^fw, et (3) E-^F*, x»[x]f, dont on vérifie immédiatement qu'elles sont T-linéaires.
1.1 Formes bilinéaires 3 DÉFINITION 1.1.2 Soit E et F deux K-ev et f g BL(E, F ; K). On dit que f est non dégénérée ssi les deux applications linéaires I fetJf définies par (2) et (3) sont injectives, i.e. ssi: Ker(//)= {0E} et Ker (/,) = {0F} . On dit que f est dégénérée ssi elle n'est pas non dégénérée. Orthogonalité par rapport à une forme biîinéaire DÉFINITION 1.1.3 Soit E et F deux K-ev et f e BL(£, F ; K). Pour toute partie non vide A de E, on appelle f-orthogonal de A l'ensemble, noté A^, défini par : AL = {yeF\(VxeA),f(x,y) = 0} =P|Ker(w/). xeA Pour toute partie non vide B de F, on appelle f-orthogonal de B l'ensemble, noté ±B, défini par : ^= {xeE\ÇiyeB),f(x,y) = 0} = P| Ker (/w). y e B (Le fait de sous-entendre, dans les notations A1- et ±B, la lettre /ne crée pas de confusion dans la pratique). Les propriétés suivantes sont alors faciles à vérifier : (Orth. 1) Pour 0 ^ A œ E, A1- est un sous-A'-ev de F, et A±= (Vect (A)^. De même, pour 0#5cF, ±B est un sous-AT-ev de E, et = x(Vect (B)). (Orth. 2) {0E}± = F, X{0F} = E. (Orth. 3) Pour 0 t£ Ai czA2œ E, on a: A2 <=^i" • Pour 0 # Bx c B2 c F, on a : x£2 <= "^î • (Orth. 4) On a : Ker (If) = ±F9 et Ker (Jf) = E\ Donc : (/ est non dégénérée ) o {^F = {0£} et E1- = {0F} ).
4 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Exemple 1 : Soit E un K-ev et E* son dual algébrique. Prenons pour / la forme biîinéaire canonique: E x E*—► K, (x, <p) (p (x) (cf. tome 1, § XII. 1). Alors la /-orthogonalité n'est autre que l'orthogonalité définie en dualité (cf. ibidem). Rappelons que dans ce cas, pour 0 # A a E (resp. 0^5c£*), on note A0 (resp. °B), ce que nous avons noté ci-dessus A1- (resp. LB). En fait, l'orthogonalité définie en dualité permet de reconstruire le /-orthogonal le plus général d'un sous-espace : Proposition 1.1.1 - Soit E et F deux K-ev et f e BL(E, F ; K). Pour 0*AœE, on a: A± = °(If(A)). Pour 0*BœF, on a: 1-B = °(Jf(B)). Démonstration : Pour 0 =£AœE, on a : A1- = Ker ([jc]/), et par xeA définition même de on a: °(//04))=nKer(7/(*))- xeA Or If(x) = [x]/ pour tout x e E. D'où la première relation. La seconde se vérifie de même. ■ Théorème II. 1.2 Soit E un K-ev de dimension finie. La forme biîinéaire canonique f sur E x E* est non dégénérée. Démonstration : On a : Ker (Jf) = {0E*} par définition même de la forme linéaire nulle sur E. D'autre part Ker (If) = °(E*) = {0E} car, pour tout x g E\ {0}, il existe <p e E* telle que <p (x) ^ 0 (cf. tome 1, lemme 1 du § XII.2). ■ Exercice 1 : Soit E un K-ev de dimension finie n^\. On identifie E à son bidual E** (cf. tome 1, § XII.2). A chaque / e BL2(E), on associe If:E —► E*y x [x]f. a) Montrer que /»-»// est un isomorphisme de BL2(E) sur Hom^ (E, E*). b) Soit / e BL2(£). Pour Que / soit symétrique, il faut et il suffit que If = '(If). Pour que / soit alternée, il faut et il suffit que If = — 1 (If). c) Etablir des propriétés analogues avec Jf : E —► E*> y f^y
1.2 Formes bilinéaires en dimension Gnie 5 Exercice 2: Soit E et F deux K-ew et /eBL(£,F;^). On donne des sous-JT-ev Vj,..., Vp de E. Pour la /-orthogonalité, démontrer que : (P \ -L P Exercice 3: Soit £ le R-ev #°([0,1], R). Pour a e E, on note Ba l'élément de S2(E) défini par : (V(/,0)g£2) Ba(f,g) = [ afg. Jo a) Donner une CNS portant sur a pour que Ba soit non dégénérée. b) On choisit a pour que Ba soit non dégénérée. Soit & le sous-R-ev de E formé des fonctions polynomiales : [0,1] —► R. Montrer que &L = {0} . ri-(*-a)2~|n Indication : Utiliser des polynômes du type x *-+ pour 0 < 0 < 6 < 1 et M 6 N*. Exercice 4 : On donne des réels a0, a„ avec a0 < < ... < an. On pose = ]ak, ak + l[ pour 0s=A:s=rt-l et / = [aQ9 an]. On note le R-ev des fonctions: /—>U qui sont constantes sur chaque Jk ; soit & le R-ev des fonctions polynomiales : / —► R et «if le R-ev des fonctions bornées intégrables : / —► R. Soit B la forme biîinéaire sur 5£ définie par B(/,9)= fg. a) Trouver le R-ev &>L n & (l'orthogonalité étant la B-orthogonalité). b) Soit m,6^ défini par fjLi(t) = ti (tel). On note <pi l'élément de !F* tel que <Pi(f)= Mi / Pour / G Etudier l'indépendance linéaire des formes (<p,),-e n- Exercice 5: Soit deux réels a, b (a < 6). On note E le R-ev #°([a, b], R). On donne une suite (OneiM d'éléments de [a, b]. Pour (f,g)eE2, soit B(f,g)= £ ± f(sn) g(sn). « = o ^ Il est clair que B e S2(E). a) Trouver une CNS portant sur (sn) pour que B soit non dégénérée. b) La suite (s„) vérifiant la condition trouvée en a), on donne x e [a, b]. On pose Hx= {feE\ f(x) = 0} . Trouver HL (pour la B-orthogonalité). Exercice 6 : Soit E et F deux K-e\ quelconques et / e BL(£, F ; K) qui permet de définir la /-orthogonalité. Soit H un sous-#-ev de E et L un sous-A'-ev de F. Montrer : ^(H^y- = et: ±((J-L)L) = XL . § 1.2 FORMES BILINÉAIRES EN DIMENSION FINIE Tous les #-ev considérés dans ce § sorit supposés de dimension finie. Rang d'une forme biîinéaire Soit E et F deux K-ev de dimensions respectives n et p. Pour tout K-e\ V (de dimension finie), notons 0V : V -—► V** l'isomorphisme canonique de V sur son bidual (cf. tome 1, théorème XII.2.4).
6 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Proposition 1.2.1 Avec les notations ci-dessus, soit f e BL(£, F ; K). On a : tIfoOF=Jf et tJfoOE = If. En conséquence, les applications linéaires If et Jf ont même rang. Démonstration : Prouvons par exemple que 'IfoOF = JF (l'autre relation se prouvant de la même façon). Si y g F, on a par définition : (!lfoeF)(y)=eF(y)oIf. Pour x e E, la forme linéaire 0F(y) o I f prend sur x la valeur eF(y)(If(x)) = 0F(y)([x]f) = ([x]f)(y) = = /(*,y) = /w(*)= Donc 0F(y) o If = Jf(y), c'est-à-dire : ('If o 0F)(y) = Jf(y) et c'est vrai pour tout y e F . Donc lIf o eF =Jf . ■ Si on identifie E et E** (resp. F et F**) à l'aide de dE (resp. 6F), la proposition 1.2.1 signifie que les applications IfetJf sont transposées l'une de l'autre. Nous pouvons alors poser : DÉFINITION 1.2.1 Sous les hypothèses de la proposition 1.2.1, le rang commun des applications If et Jf s'appelle rang de la forme biîinéaire f. Nous le notons rg (/). Sous les mêmes conditions, si If est injective, nécessairement dim^ (F) 2* dim^ (E) ; et si Jf est injective, nécessairement dimK (F) ^ dimK (E). Donc, si / est non dégénérée, on a forcément dim^ (E) = dimK (F). En conséquence : PROPOSITION 1.2.2 Soit f g BL(E, F ; K), avec dimK (E) = n, dimK (F) = p. Il y a équivalence entre les assertions suivantes : (I) / est non dégénérée. (II) If est bijective. (III) Jf est bijective. Si ces conditions sont satisfaites, on a : n = p.
1.2 Formes bilinéaires en dimension finie 1 Orthogonalité en dimension finie Théorème 1.2.1 Soit E et F deux K-ev, de dimensions respectives n et p (n ^ l,p 2* 1 ) et soit f e BL(F, F ; K). Pour tout sous-K-ev H de E, on a : (1) dim (Hx) + dim (H) = p + dim (XF D H). Pour tout sous-K-ev L de F, on a : (2) dim (XL) + dim (L) = n + dim (E^ n L). Démonstration : Nous allons prouver (1) (la preuve de (2) est analogue). Soit <P=If\n-H >F*> X^[x]f' D'après la proposition 1.1.1, H1^ = °(Im (<p )). Par dualité (cf. tome 1, théorème XII.2.5), on en déduit : (3) dim (H1-) + dim (Im (<p )) = p . Mais Ker (<p ) = Ker (/f) n H = ^F Pi H. La formule du rang appliquée à <p donne donc : dim (Im (<p )) + dim (±F n //) = dim (H). En reportant cette relation dans (3), on en déduit bien (1). ■ (On remarquera que si F = F* et si /est la forme biîinéaire canonique sur F x F*, ce théorème 1.2.1 se réduit au théorème XII.2.5 du tome 1.) Corollaire 1 Dans les conditions du théorème 1.2.1, si de plus fest non dégénérée (ce qui implique n = p), on a : a) Pour tout sous-K-ev H de F, dim (H) + dim (H^) = n. b) Pour tout sous-K-ev L de F, dim (L) + dim (^L) = n. c) Pour tout sous-K-ev H de E, H = ±(H±). d) Pour tout sous-K-ev L de F, L = (^L)-1. Démonstration : On a ici ^F = {0E} et Fx = {0F} et l'application du théorème 1.2.1 donne immédiatement a) et b).
8 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Ensuite, en appliquant a) à un sous-#-ev H de E, puis b) avec L = H±, on obtient : dim (//) = dim ^(/Z-1)), d'où, du fait que H a ~L(//~L), l'égalité H = ±(H±) (cf. tome 1, théorème IX.4.2). L'assertion d) se prouve de la même façon. ■ Corollaire 2 Pour tout K-ev et tout k e N, notons ^(V) l'ensemble des sous-K- ev de dimension k de V. Sous les hypothèses du corollaire 1 (d'où n = p), pour tout q e [[0, nj , l'application H HL est une bijec- tion de ^q(E) sur (Sn-q(F), dont la bijection réciproque est Expression d'une forme biîinéaire dans des bases DÉFINITION 1.2.2 Soit E et F deux K-ev non nuls, de dimensions respectives n et p, de bases respectives a = (ax, an) et P = (pu P p) ; et soit f e BL (E, F ; K). On appelle matrice de f dans les bases a et p la matrice définie par Mata,„ (/)= [/(«,-, jSy)]fl*,-„ emn,P(K). Si E = F et a = p, on notera Mata (/) au lieu de Mata a (/), et cette matrice sera appelée matrice de f dans la base a. n Avec les notations de cette définition, soit x = ^ xt ai e E et i = i y = I y\ Pj E F ((*!' xn) e K^ fa* ->yP) e KP>>' En développant par bilinéarité f(x,y), on obtient : (4) f(x,y) = Y_ f(ai,pj)xiyj (i,y)e lILn-n] x Hl,p]) L'application BL(£, F ; K) —► 3Jln,P(K), /•-» MatatP (f) est T-linéaire, et (4) montre qu'elle est injective. Il est clair qu'elle est aussi surjective car, si A = [aij] e Wln p(K) est donnée, il est évident que l'application g : E x F —► K, (x, y ) ) atj xt yj est biîinéaire et qu'elle 0\/)e III,n]] x \E\,pJ\ a justement pour matrice A. En résumé :
1.2 Formes bilinéaires en dimension finie 9 Théorème 1.2.2 Avec les notations et hypothèses de la définition 1.2.2, l'application BL(E, F ; K) —► ^Sln p(K), f Mata p (f) est un isomorphisme de X-ev. En particulier, dim (BL(£, F ; K)) = np . Reprenons les conditions de la relation (4). Notons A = n p Mata ^ (/) = [at j] et, pour* = £ xt at e E ety = £ yj Pj e F, soit .Y et Y les vecteurs-colonnes xi eWlnA(K) et 7i e yjlp X(K). En convenant d'identifier AT et 3Jl1 X(K), on vérifie que (4) équivaut à la très importante relation matricielle suivante : (5) f{x,y) = 'XAY Remarque 1 : De ce qui précède, on déduit notamment que si A/, e Wln,„(K), M2 e Wln,p(K) et si alors Ml = M2. Théorème 1.2.3 tXMl Y = lXM2 Y , Reprenons les hypothèses et notations en vigueur à la définition 1.2.2. Notons a* = (af, a *) /3 * = (jSf, p*) les bases duales de a et de P et A = Mataj3 (/) = [aiy]]. Alors A = Mat^. (Jf) = r[Mataj8. (If)]. En conséquence, le rang de A ne dépend que de f et non du choix de a et P ; et en fait, le rang de A n'est autre que le rang de f. Démonstration : Compte tenu de la définition 1.2.1 et de la proposition 1.2.1, la seule chose à prouver est que A = Mat^. (Jf). Fixons ye |[1,/*]| et calculons Jf(Pj). On a: Jf(Pj) = f[p.y Or, si n x = Y, xi ai e E ((•*!> G Kn), on a : f[Pf](x) = f(x, pj) = £ xi aa = X au «*(*)•
10 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Donc = £ atj a,* = Jf(Pj), ce qui prouve bien : / = i Matj>a. (//)= Kl = A. M Changement de base Reprenons deux K-ev E et F non nuls, de dimensions respectives n et p et une forme biîinéaire / 6 BL(F, F ; K). Donnons-nous des bases a = (a1? an) et a' = <x'n) de E, et des bases p = (pu pp) et p' = (/3{, /3;) de F. Notons P la matrice de passage de a à a', et Q celle de p à /3', d'où P e GL(«, AT) et <2 e GL(p, K). Soit enfin A = Mata>/3 (/) et A' = Mata.f/r (/). Il s'agit de calculer A' en fonction de A, F, Q. Pour cela, soit (x, y) e E x F. Notons X (resp. ^T, y, y) le vecteur colonne des coordonnées de x dans a (resp. de * dans a', de y dans j8, de y dans /3'). On a : X=PXf ; Y=QY' ; / (x, y) = 'X4y = lX A' Y' . Mais tX='X"P, d'où /(x, y) = lX 'PAQY'. C'est vrai pour tout (x,y)eExF. D'où: (VA" e Wlnyl(K), VY' e9RP9l(K)) 'X'A'Y'= lX^PAQ) Y' (associativité du produit de matrices rectangulaires). D'après la remarque 1 on aboutit donc à la formule fondamentale suivante, appelée formule du changement de base pour les formes bilinéaires : (6) A' = lPAQ (cette formule (6) confirme l'invariance du rang de A). Cas où E = F en dimension finie Un cas particulier important est celui oùF = F,a = p et a' = P'. Alors (6) devient : (7) A' = lPAP Vu l'importance de ce cas particulier introduisons une notion utile : DÉFINITION 1.2.3 $ Soit E un K-e\ de dimension finie n^ 1, de base a = (al9 an), < et f e BL2(F). On appelle discriminant de f dans la base et le \ scalaire det (Mata (/)), que nous noterons Discra (/).
1.2 Formes bilinéaires en dimension finie 11 Pour que /soit non dégénérée, il faut et il suffit qu'il existe une base a de E telle que Discra (/) # 0. S'il en est ainsi, alors Discra (/) ^ 0 pour toute- base a de E (c'est une conséquence du théorème 1.2.3, ou aussi de (7)). Soit a et a' deux bases (ordonnées par |[1, nj de E, et P la matrice de passage de a à a'. On déduit aussitôt de (7) la formule suivante, dite du changement de base pour les discriminants (8) Discra, (/)= (det (P))2Discra (/) Pour achever ce paragraphe, revenons sur les formes bilinéaires symétriques ou alternées. Théorème 1.2.4 Soit E un K-ev de dimension n 2= 1, et a = (aly an) une base de E. L'isomorphisme de K-ev BL2(E)-^Wln(K), /^Mata(/) induit un isomorphisme de K-ev de S2(E) sur le K-ev Sym (n, K) des matrices carrées symétriques d'ordre n sur K, et un isomorphisme de K-ev de A2*(E) sur le K-ev Asym (n, K) des matrices carrées antisymétriques d'ordre n sur K. En conséquence, dim (8,(10) = 5ÛÎ±1) , dim (A2*(E)) = . Démonstration : Si / est symétrique (resp. alternée), alors (V(i,;)6 IhnJ2) f(ai,aj) = /(a/? a,) (resp. f(ai,aj) = - /(a;, at)), d'où : Ma(f) est symétrique (resp. antisymétrique). Réciproquement, si Ma(f) est symétrique (resp. antisymétrique), la relation (5) montre aussitôt, en transposant les deux membres, que / est symétrique (resp. alternée). ■ Exercice 1 : Soit E un K-e\ de dimension finie n ^ 1 et / e S2(E) U A2*(E). Montrer que, pour tout sous-tf-ev H de £, on a : (H^ y- = H + E± (pour la /-orthogonalité). Exercice 2 : Soit E et F deux K-ev de même dimension finie n s» 1. On donne une forme biîinéaire non dégénérée f e BL2(E, F ; K). Montrer que, pour toute base & = (e19en) de E, il existe une base = (e[y...,e'n) de F telle que (V(i,/)e [[l,,z]]2) /(e,,e/)= 5l7 (symbole de Kronecker). Exercice 3 ; Soit E et F deux K ev de même dimension finie n =* 1 et / e BL2(£, F ; K) non dégénérée. Soit H un sous-tf-ev de E et g = / \HxF. Montrer que : rang de # = dim (//).
12 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Exercice 4: Soit E et F deux K-ev de dimension finie, n = dirn^ F, p = dimK (F), et / e BL(F, F ; K). On considère la /-orthogonalité. Soit H un sous-A'-ev de E et g = f\HxF. Montrer : dim (x (H1^ )) = n - rg (/) + rg (#). Indication : Commencer par établir : dim (±(H±)) = n-p + âim (H ) + dim (E2- ) - dim (x F n //) . Exercice 5 : Soit E et F deux /C-ev et / e BL(F, F ; tf). Soit p e N* et (xv ...,xp) e Ep, (yp ...typ)e Fp tels que det ([/(*,, y, )](l,y)6 n:i,p]i2) ^ 0- Vérifier que chacune des suites (xly...,xp) et (yj, ..^y^) est libre, et en déduire que, si H = Vect (xvxp) et L = Vect (yl9 y^), alors /|//xL est non dégénérée. Exercice 6 ; Soit F et F deux K-e\ de même dimension finie n =s 1, et / 6 BL(F, F ; K). On considère la fonction Df : En x Fn -> K, (*,y) = ((*!,...,*„), (y1,...,y„))^Z>/(^,y) = det ([/(*,-, y;)](M)e (ni.n^jz). a) Montrer que Dy^ est multilinéaire sur F" x F", et qu'elle est alternée en chacun des groupes de variables (xl, xn) et (y1} y„). 6) Soit w e Hom^ (F) et i; e Hom^ (F). Démontrer : (V(*,y)eF"xF«) ^((iifr,),«(*„)), (»(*),..., «(y,))) = det (u)dct (v)Df(x,y). Exercice 7 : Soit F et F deux tf-ev de même dimension finie n =s 1, et / e BL(F, F ; A) no/i dégénérée. A chaque u e Hom^ (F) on associe ug e BL(F, F ; K) définie par : (V(*,y)eFxF) ug(x,y) = f(u(x),y) . A chaque v e HomK (F) on associe gv e BL(F, F ; K) définie par (V(*, y) e F x F) 0t,(*>y)= /(*,»(y)). a) Montrer que L : m ug est un isomorphisme de #-ev entre Hom^ (F) et BL(F, F ; A) et que R : v gv est un isomorphisme de A'-ev entre HomK (F) et BL(F, F ; K). b) Si u e Hom^ (F), quelle est la CNS pour que ug soit non dégénérée ? Même question avec gv si v e Hom^ (F). c) Etudier l'isomorphisme a = R'1 o L : HomK (F) Hom^ (F) ; en particulier, soit ^ = e„)et # = (/p /„) des bases de F et F: si u e Hom^ (F) et v = R1 o L(w), exprimer B = Mat^ (u) en fonction de A = Mat^ (w) et de M = Mat^ ^ (/). d) Si ueHomK(E) et v = a (w), vérifier que, pour la /-orthogonalité, (Im (u)Y- = Ker (w). § 1.3 FORMES QUADRATIQUES DÉFINITION 1.3.1 Soit E un K-ev. On appelle forme quadratique sur E toute application <P : E -► K de la forme x f(x, x) pour au moins une forme biîinéaire symétrique f sur E. Le K-ev E étant fixé, associons à toute forme biîinéaire symétrique f e S2(E) la forme quadratique <Pf : x »-» /(*, x) sur E. L'application S2(E)-+ ^(E, K), f <P f est ^-linéaire ; son image est par définition l'ensemble des formes quadratiques sur E, ensemble que nous noterons Quadr (E) : donc Quadr (E) est un sous-^-ev de & (E, K).
1.3 Formes quadratiques 13 Théorème 1.3.1 Soit E un K-ev. L'application S2(E) -> Quadr (E), f <P f est un isomorphisme de K-ev. L'isomorphisme réciproque fait correspondre, à toute forme quadratique <P sur E, la forme biîinéaire f^ sur E définie par : Çi{X,y)eE2) f0(X, y) = }- [<P (X + y) - <P (X) - & (y)] (1) 2 Démonstration : On sait déjà que / >-> <P f est une surjection de S2(E) sur Quadr (E). De plus, si / € S2(E), il est clair que (V(;t, y) e E2) <t>f(x + y) = f(x+y,x+y) = <Pf(x) + <Pf(y)+ 2 f(x,y) , et 4>f(x-y) = 4>f(x) + <Pf(y)-2f(x,y). D'où immédiatement, puisque K est de caractéristique ^ 2 : (2) f(x, y) = \ [<Pf(x + y) - 4>f(x) - <Pf(y)] = \[*f(x + y)-*f(x-y)], relations qui entraînent Yinjectivité de / h-> f (car elles prouvent bien que <Pf = 0=> f = 0). Donc / <P f définit bien un isomorphisme de K-ev de S2(E) sur Quadr (E). Le théorème entier en découle, compte tenu de (2). ■ DÉFINITION 1.3.2 Soit E un K-ev. Si feS2(E), la forme quadratique <Pfix\->f(x,x)est dite associée à f. Si <P e Quadr (E), la forme biîinéaire symétrique f<p définie par (1) s'appelle forme polaire de <P. La démonstration de la propriété suivante, tout à fait élémentaire, est laissée au lecteur : Proposition 1.3.1 Soit E un K-ev et & : E -+ K une application. Soit f (resp. g) l'application E2 K, (x,y)^l[4>(X+y)-4>(x)-<P(y)] (resp. J [<£(*+ y)- &(x ->-)]) •
14 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Les assertions suivantes sont équivalentes : (I) 4> e Quadr (E). (II) / (resp. g) est biîinéaire, et V(\,x)eKxE <P(\x) = À2 <*>(*). (III) f (resp. g) est biîinéaire, et Vx e E <P (2 x) = 4 & (x). Lorsque ces conditions sont satisfaites, la forme polaire de est f (resp. g). Exemple 1 ; Soit E un K-ev. Pour / e BL2(E)9 l'application Qf:E-^K, x »-» f(x, x) vérifie trivialement les conditions (II) de la proposition 1.3.1. Donc Qf est une forme quadratique sur E. L'application BL2(E) Quadr (E), f h-» Qf est linéaire ; son noyau est évidemment le K-ev A2*(E) des formes bilinéaires alternées sur E ; et son image est Quadr (E) tout entier, car sa restriction à S2(E) est l'isomorphisme S2(£)-► Quadr (E) envisagé au théorème 1.3.1. On obtient ainsi un complément naturel au théorème 1.1.1. Formes quadratiques en dimension finie Soit E un K-ev de dimension finie n^l, = (el,...,en) une base ordonnée de E. Nous avons vu au tome 1, à la fin du § XI.3, que pour chaque d e N, le K-ev des fonctions polynomiales homogènes de degré d en les formes coordonnées <p: = e*, <pn = e* est indépendant de la base 0i : on l'appelle A'-ev des fonctions polynomiales homogènes de degré d sur E. Notons 3tfd(E) ce K-ev. Théorème 1.3.2 Soit E un K-ev de dimension finie n^l. On a: dim (Quadr (E)) = n(n^~ ^ ) # Avec les notations ci-dessus, l'espace vectoriel Quadr (E) n'est autre que Jff2(E). Démonstration : Choisissons une base 38 = (ex, en) de E. L'inclusion Quadr (E) a Jf2(E) se déduit immédiatement de la formule (4) du § 1.2 appliquée, avec la base 0&, à la forme polaire / de toute forme quadratique <P sur E. La dimension du K-ev Quadr (E) se déduit des théorèmes 1.2.4 et 1.3.1. On a de plus une application linéaire et surjective s# du K-ev Sym (n, K) sur Jf?2(E) qui associe à toute matrice A = [atj] e Sym (n, K)
1.3 Formes quadratiques 15 la fonction <p e 3tf2(E) telle que ( v* = Z x* ei e E ) * (*) = I a» x? + 2 I dU xi xi ' \ i = 1 / i = l 1 « i < ; =s n ce qui prouve : dim (3tf>2(E)) «s dim (Sym (n, A')) = n^n^ ^) # Mais puisque Quadr (E) est un sous-A'-ev de Jlf2(E) de dimension n(n^~ ^ ) 5 l'égalité Quadr (E) = 3^2(E) en résulte. (Il découle en outre de cette preuve que s# : Sym (n, K) 2(£) est bijective, ce que l'on peut vérifier directement en tenant compte du fait que K est de caractéristique #2). ■ Reprenons le K-ev E de dimension finie n =s 1 dont on a fixé une base ^ = (ex, Si est une forme quadratique sur E, /sa forme polaire, et si A = Mat# (/) = [<*/,/], la formule (4) du § 1.2 montre que, pour n x = £ jtf- g on a : (3) \ i = 1 / 1 s= /<;'== « Autrement dit, /a matrice A n'est autre que l'unique A e Sym (n, K) telle que s#(A) = <P. n D'ailleurs (3) entraîne facilement (en notant x = £ ■*/ ^/ Ie vecteur / = i générique de E et ^* = (e*, e*) la base duale de âS) : 1 34> n n n (Vi e p, ii J ) - — (x) = £ <il7x;. = £ aV]ef(x) = £ ayï ef(x) , i j = i y = i y = i 1 80 " donc : = £ a;/ e/*, ce qui signifie que : 2 9*/ y = i (4) A = Mat*. ® \2dxx 2 dxn J Exemple2: Soit E = Kn (n e N*) et # = en) la base canonique de E. Proposons-nous de déterminer A = Mat# (<2>), où <Z> est la forme quadratique sur E donnée par x = (jc1? jc„) ) (^ - x;)2. {(/,/)€ cri,«ni2
16 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Pour cela, utilisons (4). Pour / e |[1, nj on a, si x = £ xt et e E : i = 1 - — (x) = (n-l)Xi- > = nxt - L xk- L 0Xi /*#/ k = \ \ke cri,«m Donc, si on note S la matrice [s^-] telle que (V(/,/)) s/; = 1, on a : A = nln - S, c'est-à-dire : ~n-\ -1 ... -1 ' A= -1 n-1 ... -1 _i _i „_i Pûa* convention, si E est un A'-ev, tout concept attribué à une forme biîinéaire symétrique f eS2(E) sera ipso facto attribué à la forme quadratique associée, et inversement tout concept attribué à une forme quadratique sera attribué à sa forme polaire. C'est ainsi qu'on parle de forme quadratique non dégénérée (ou dégénérée) et d'orthogonalité par rapport à une forme quadratique. Si E est de dimension finie, on parle de rang d'une forme quadratique, de sa matrice dans une base, de son discriminant dans une base. Cette convention sera tacitement utilisée dans toute la suite. Exercice 1 : Soit n e ftj * et <P la forme quadratique sur Kn définie dans la base canonique <€ = (ev en) par : ( V* = £ *. et e Kn\ <P(x)= £ atJ(xt -Xjf (où les aV] sont donnés dans tf). Calculer la matrice Mat^ (<£). Exercice 2 : Soit E un #-ev de dimension 2 et $ une forme quadratique non nulle sur E. Montrer l'équivalence entre les trois propriétés suivantes : (I) Il existe une base M de E telle que le discriminant de <P dans & soit l'opposé du carré d'un élément A de K. (II) Pour toute base 0ê de E la propriété précédente est vérifiée. (III) Il existe des formes linéaires <p et *J/ sur E telles que f<p = (pi(f. Exercice 3: Soit n et p des entiers tels que 3^p*zn, et des éléments Ap \p de AT*. p a) Démontrer que le polynôme homogène <P = £ A i Xf est irréductible dans i = 1 K[XV Xn]. (Attention, le fait que K est de caractéristique # 2 est ici essentiel !) Indication : On identifie <P à une forme quadratique sur K" = E via la base canonique de Kn. Si # n'était pas irréductible, pour la ^-orthogonalité, vérifier qu'on aurait dim (E1-) =s n — 2 et conclure. b) Soit = Aj A^2+ A 2 A|. Montrer que, pour que V soit non irréductible dans A2 K[XX, ...,Xn], il faut et il suffit qu'il existe p e K* tel que — = - p .
1.3 Formes quadratiques 17 Exercice 4 : Soit (a, b, c) e Z3 et soit 0 la forme quadratique sur Q2 définie dans la base canonique # = (e^^) par (Vjc =x1e1+ x2 e2 e Q2) <P (x) = ax\ + 2 bxx x2 + cx\. Prouver : 3* 6 Z2\ {0} I | <P(x)\ J= yj\b2-ac\. Indication : C'est facile si b2 - ac = 0. Si b2 — ac < 0, soit A la valeur minimum prise par \<P\ sur Z2\ {0}. Par transformation unimodulaire de matrice g] ^ coefficients entiers, on ramène à une forme « équivalente » Ax'2 + 2b' x[x'2 + c' x22, puis à une forme réduite AX\ + 2 BXl X2 + CX\, avec \2B \ *s A =s C. Si b2 - ac > 0, utiliser [ ^ J J pour ramener # à a' x'2 + 2 b' x[ x2 + c ' x'2 avec |fl'|<-|a| jusqu'à ce que \a{k)\ *zl=yjb2-ac. V3 N.B. Le lecteur intéressé pourra consulter l'énoncé du deuxième problème proposé au Concours d'entrée à Ulm en 1985 ou mieux le livre « Recherches arithmétiques » de Gauss, très accessible à un bon bachelier. § 1.4 ORTHOGONALITÉ POUR LES FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES OU ALTERNÉES Considérons un K-ev non nul E, et une forme biîinéaire / sur E, symétrique ou alternée. La relation binaire _L définie sur E par : (V(x> y) e E2) x±y ssi f(x,y) = 0 est alors symétrique. On l'appelle /-orthogonalité (ou orthogonalité lorsqu'aucune ambiguïté sur / n'est à craindre). On dit aussi /-conjugaison (ou conjugaison). Pour toute partie A de E, on a : A1- = ±A. On notera A1- cet ensemble. Si H et L sont deux sous-'-ev de E, les relations H a L-1 et L cz sont équivalentes : on les traduit par l'expression « H et L sont orthogonaux », que l'on peut abréger en : H _L L. DÉFINITION 1.4.1 Dans les conditions ci-dessus, et relativement àf: un sous-K-ev H de E est dit isotrope ssi H n H1^ ^ {0^}, totalement isotrope ssi H cz H± ; un vecteur x e E est dit isotrope ssi x ^ 0E et f(x, x) = 0. L'ensemble {x e E\ f (x, x) = 0} formé de tous les vecteurs isotropes et du vecteur 0E est appelé le cône isotrope (de f). Si une ambiguïté est à craindre, on précisera : vecteur f-isotrope, etc.. Soit H un sous-#-ev de E : pour que H soit /-isotrope, il faut et il suffit que la forme biîinéaire f\HxH so^ dégénérée. Pour que H soit totalement /- isotrope, il faut et il suffit que f\HxH = 0.
18 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Si dim (H) = 1, on a évidemment : (H est /-isotrope) o (H est totalement /-isotrope) o (Vx e H\ {0} , x est /-isotrope). Le cône isotrope d'une forme biîinéaire alternée est E tout entier. Lorsque / est symétrique, un sous-^-ev H de E est totalement isotrope ssi tous les x e H\ {0} sont isotropes (cf. relation (2) du § 1.3). Lorsque E est de dimension finie, on sait que pour tout sous-A'-ev de E, on a : dim (H) + dim (H^-) 2* dim (E) (cf. théorème 1.2.1). On en déduit immédiatement : Théorème 1.4.1 Soit E un K-ev de dimension finie, et f e BL2(E) symétrique ou alternée. Soit H un sous-K-ev de E. Alors : (H est non isotrope) o E = H 0 H±. Remarque 1 : Dans le cas où la forme /, symétrique ou alternée, est non dégénérée sur E de dimension finie, on a : (H est non isotrope) o (H x est non isotrope), car H = H ±J~. Mais si / est dégénérée, il se peut que H soit non isotrope et que H1^ soit isotrope. Exemple 1 : Soit Si = (ex, e2, e3) la base canonique de K3 et <P la forme quadratique sur K3 définie par : 3 x = £ x( et e K3 <P (x) = x\ - x\ . i = 1 Alors la forme polaire / associée à <P est de rang 2. La droite vectorielle H = KeY est non isotrope puisque H1^ = Vect (e2, e3). Cependant H±J- = Vect (eue3), d'où H± D H±J~ = Ke3=£ {0}, ce qui prouve que H1- est isotrope. Le lecteur désirant exploiter cet exemple vérifiera sans peine qu'ici, le cône isotrope est la réunion des deux plans qui ont pour équation dans 0& : xl = x2 et xx = — x2. Les plans isotropes sont ceux qui contiennent e3. Quant à K3 tout entier, il est isotrope, puisque (K3)L = Ke3 ^ {0}. Espace singulier Reprenons un K-ev E # {0} et une forme biîinéaire / sur E, symétrique ou alternée.
1.4 Orthogonalité pour les formes bilinéaires 19 définition 1.4.2 On appelle espace singulier (*) de f le sous-K-ev de E, que nous noterons Sing (/), défini par : Sing (/) = E±= Ker (/,) = Ker (/,). Les éléments de Sing (/)\ {0} sont appelés vecteurs singuliers de f. D'après la définition 1.1.2 /est non dégénérée ssi Sing (/) = {0}. Il est clair que tout vecteur singulier de /est isotrope, mais si Sing (/) est un sous- K-ev de E, il n'en est pas de même en général du cône isotrope de / (cf. exemple 1). Exemple 2 : Soit n un entier ==? 2 et /? e w — 1 ]]. Notons <P la forme quadratique sur Kn définie par : x= (Xl,...,xn)eKn^<P(x) = (£xA - £ xf. \ i = 1 / i = p + 1 Alors <P est non dégénérée (sa matrice dans la base canonique # = (el9 en) est Diag ( 1, 1,-1, - 1 I ), ce qui prouve qu'il n'y a \ p fois n - p fois / pas de vecteur singulier. Cependant, par exemple, le vecteur el + en est isotrope. A titre d'exercice le lecteur pourra rechercher tous les vecteurs isotropes de la forme de Lorentz (E = U4, <&(x) = x\ + x\+ x\ - x}) qui intervient dans la théorie de la Relativité restreinte. Reprenons les notations de la définition 1.4.2 ; nous allons décrire une détermination simple de l'espace Sing (/) à partir d'une base 0& = (ex, en) de E lorsque E est de dimension finie n^l. Soit alors en effet M = [«//](/,/)€ \£i,nj2 *a matrice de /dans âS, et soit (ef, e*) = la base duale de dS. n Appliquant le théorème 1.2.3, on voit qu'un vecteur x = £ xt et est ; = i n /-singulier ssi fl//*/= 0 pour tout *e[[l,n]], cela parce que / = i M = Mat# (Jf). Le choix d'une base Si de E ramène donc la détermination de Sing (/) à la résolution d'un système linéaire et homogène. Q) on utilise aussi l'expression : noyau de /
20 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Familles orthogonales pour une forme quadratique Soit / une forme biîinéaire symétrique sur le K-ev E, et la forme quadratique associée. DÉFINITION 1.4.3 Une famille (et ), &I de vecteurs de E est dite f-orthogonale ssi V (i, j) e I2, (i # /') => f(et, ej) = 0. Elle est dite f-orthonormale ssi V(/,/)e/2 f(ei,ej)=8ij, où ôtj désigne le symbole de Kronecker dans K, i.e. ô/; = 0 si i # / et 8it = 1K (iel, jel). Si aucune confusion n'est à craindre sur /, on dit simplement famille orthogonale (resp. orthonormale). Proposition 1.4.1 Soit (et \ e j une famille orthogonale dans E formée de vecteurs non nuls et non isotropes. Alors cette famille est libre. Démonstration : Soit (A,-)/ ei e K(I) tel que £ Af et = 0. Fixons ; e I. On i e/ a : f\ej> Z A/ et ) = °' doù Z A/ f(ei' e^ = °' soit' Puis^ue (ek)kei est ^ iel ' iel orthogonale : A; /(e/? e;) = 0. Mais l'hypothèse e; ^ 0 et e; non isotrope entraîne f(e}, ej) ^ 0. Il s'ensuit : A; = 0. Et c'est vrai pour tout jel, d'où la conclusion. ■ (En conséquence, toute famille orthonormale est libre.) Voici maintenant le théorème capital sur les formes quadratiques : Théorème 1.4.2 Soit E un K-ev de dimension finie n ^ 1. Alors toute forme biîinéaire symétrique f définie sur E (et donc la forme quadratique associée <P) admet au moins une base orthogonale. Démonstration : Il n'y a rien à prouver si n = 1 car alors toute base est orthogonale. On raisonne par récurrence sur n = dim (E). Supposons n > 1 et que le théorème soit vrai en dimension n - 1. Si <P = 0, alors / = 0 et toute base de E est orthogonale. Sinon il existe au moins un vecteur ene E tel que <P (en) # 0 (d'où en # 0) : la droite A = Ken est non isotrope,
1.4 Orthogonalité pour les formes bilinéaires 21 donc (cf. théorème 1.4.1) on a E = A® H, H désignant l'hyperplan AL. Soit g = f\fjxH: comme dim (H) = n — 1, l'hypothèse de récurrence s'applique à g. Considérons alors une base (el9 en_1) de H qui soit ^-orthogonale. Il est immédiat de vérifier que 3$ = (el9 en) est une base /-orthogonale de E. ■ Pour E et / e S2(E) fixés, soit 0$ = (el9 en) une base de E. Il est clair que 0& est /-orthogonale ssi Mat# (/) est diagonale, ce qui équivaut à : il existe (al9 an) e Kn telle que : (1) (v*= £ x^iEe) #(*)= I Lorsqu'il en est ainsi, on a : Mat# (<P) = Diag (a1? an). Il y a en général beaucoup de bases de E qui sont /-orthogonales, mais n'importe laquelle d'entre elles donne des renseignements intrinsèques à /. Soit par exemple $ = (el9 en) une telle base, et Mat# (/) = Diag (al9 ...9an): le rang de / est celui de Mat# (/), c'est donc l'entier card ({i e |[1, nj I ax ^ 0}); Vespace singulier de / est l'ensemble des n n n vecteurs x = £ xt et tels que la forme linéaire z = £ z,- k-> ^ a,- jcf- z,- soit / = 1 i = 1 / = 1 nulle, d'où Sing (/) = Vect ((ey)ye ^i,nj eta; = o) > autrement dit : dans une base orthogonale pour / les vecteurs f-isotropes engendrent Sing (/). Proposition 1.4.2 (théorème de la base orthogonale incomplète) Avec les notations et hypothèses du théorème 1.4.2, soit p e I^J* et (el9 ...9ep) une suite orthogonale formée de vecteurs non nuls et non isotropes pour f On peut alors compléter cette suite en une base orthogonale (el9 ...,en) de E pour f Démonstration : D'après l'hypothèse, la suite (el9 ...,ep) est libre, d'où p ^ n (cf. proposition 1.4.1). Si p = n9 la base orthogonale est déjà en place. On peut donc se borner au cas oùp < n. Soit alors H = Vect (el9 ep). La forme biîinéaire symétrique f\HxH admet la base orthogonale (el9 ep). Elle est non dégénérée car f(ei9 et) ^ 0 pour 1 =es i ^p. Donc H est non isotrope pour /. Donc E = H 0 H2-. Soit ^ = /|//^x//±: en appliquant le théorème 1.4.2 à g9 on peut considérer une base (ep + l9 ...9 en) de H± qui soit g-orthogonale. Il est immédiat de vérifier que (el9 en) est une base de E qui est /-orthogonale. ■ Attention ! s'il est vrai que toute forme quadratique admet une base orthogonale, en général elle n'admet pas de base orthonormale.
22 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Exemple 3 : Soit <P la forme quadratique Q2 —► Q, (x, y) *->2x2 + 3 y2. Montrons qu'elle n'admet aucune base orthonormale. (X Y \ z ' z ) G ®2 te^s ^ue 2^^^ + ^ ( ^ ) ^a*s ^ est ^ac^e de se rendre compte que l'équation 2Jf2 + 3Y2=Z2 n'a aucune solution dans Z3\{0}. (On se ramène au cas où X, Y, Z sont premiers entre eux dans leur ensemble, ce qui empêche X et Z de posséder le facteur premier 3, et on utilise le fait que 2 n'est pas un carré mod (3)). Cependant : Proposition 1.4.3 Soit f une forme biîinéaire symétrique non dégénérée sur le K-ev E de dimension finie n^l. Supposons le corps K algébriquement clos. Alors E admet une base f-orthonormale. Démonstration : Soit 0iï = (el9 en) une base /-orthogonale de E. Posons at = f(ei9 et) pour 1 === i n. Puisque /est non dégénérée, on a ax ^ 0 pour tout i. Soit alors, pour chaque i e un élément at e K tel que a? = ai9 et posons e. = — et. Il est clair que (el9 e ) est une base de E, et qu'elle est /orthonormale. ■ Sommes directes orthogonales Soit E un A^-ev muni d'une forme quadratique <P de forme polaire /. Considérons des sous-A'-ev Hl9 Hp de E. Nous dirons que E est somme directe orthogonale des Ht ssi les Ht sont deux à deux orthogonaux et vérifient de plus : E = © Ht. Nous écrirons alors : E= © H, O ; = i Si les H( sont deux à deux orthogonaux et sont de plus indépendants, leur p p somme directe interne ® Ht sera aussi notée @ Ht. i = 1 i = l Lorsque E est de dimension finie, d'après l'étude précédente, pour tout sous-A'-ev H de E, on a : (Hnon isotrope) o(E = H© H ^ . 0) Nous empruntons cette notation à R. Deheuwels (cf. [8]).
1.4 Orthogonalité pour les formes bilinéaires 23 forme duale d'une forme quadratique non dégénérée en dimension finie Soit E un K-ev de dimension finie n 2= 1 et / une forme biîinéaire symétrique non dégénérée sur £, de forme quadratique associée <&. On sait que If:E—> £*, x [x]f est alors un isomorphisme de E sur son dual E*. L'application f : E* x E*—► K, (<p, h-» <p ((/ ;)<_1> (*/>)) est biîinéaire. Pour (<p,\jf)e E*2, posons jc =//-*> (9), j-//-1>(^). On a /(<?,</>) = (lf(x))(y) = f(x,y), d'où: (2) /(<p^) = /(//<-1>(<P),//<-1>(iA)) La relation (2) prouve que / est symétrique. Nous dirons que / est la forme duale de / Identifions E à son bidual £** par la bijection canonique x ôx, où (V(jc, (p)eExE*) ôx(<p) = <p(x) (cf. tome 1, § XII.2). Par définition, on a, pour (p e E* : Ij(<p) = <p o If<; pour </> e £*, on en déduit : (/70p))0/O = /(<?,,/,) = = * o (//<-1>(^)). Donc, compte tenu de l'identification £_=_>£**, on voit que Ij(<p) = I(<p)> autrement dit : (3) '?=('/) <-i> La relation (3) montre que lj est bijective, i.e. / est non dégénérée. De plus, en appliquant (3) avec / à la place de /, on obtient: Ij=(Ij)<~1> = ((/,)<-'> )<"'> =/;, soit: (4) La relation (4) montre que Vapplication f >-> / définit une bijection de l'ensemble des formes bilinéaires symétriques non dégénérées de E sur l'ensemble des formes bilinéaires symétriques non dégénérées de E*. théorème 1.4.3 Soit E un K-ev de dimension finie n s* 1 et fune forme biîinéaire symétrique non dégénérée sur E, de forme quadratique associée <P. Les vecteurs isotropes de la forme duale J de f sont les formes linéaires sur E dont le noyau est un hyperplan f-isotrope de E. Démonstration : Soit (p e E*\{0} et H = Ker ((p). Pour que H soit /-isotrope, il faut et il suffit qu'il existe x e H\ {0} tel que H c Ker (If(x)), i.e. que ARNAUDIÈS, FRAYSSE. — Mathématiques. Tome 4 2
24 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Ker (<p) œ Ker (If(x)), c'est-à-dire (cf. tome 1, théorème IX.5.2) que If(x) = \ <p pour un À. e K. Si c'est le cas, x = A (//)<_1> (cp) et <p(x) = 0, d'où A # 0, et ^((Z/)^^ (9)) = 0, donc = 0. La réciproque est immédiate. ■ Exercice 1 : Soit n un entier =s 2 et P e K[Xv Xn] un polynôme homogène de degré 2. Trouver une CNS pour que P soit irréductible, en s'aidant des exercices 2 et 3 du § 1.3. Exercice 2 : Soit K un corps algébriquement clos et <P une forme quadratique sur un K-e\ de dimension finie n =s 2. Soit T le cowe isotrope de <& Montrer que si 3> est de rang =s 2, alors r n'est contenu dans aucun hyperplan de E. Exercice 3 : a) Soit n e N* et M e $Jln(K). On suppose le corps K algébriquement clos et M symétrique. Démontrer : 3A e Wln(K)\ M = (A) A. b) Donner un contre-exemple avec K = R. c) Donner un contre-exemple avec K = Z/^ (p premier = 3 mod (4)). Exercice 4 ; Soit E un K-qv de dimension finie n s* 1 et f eS2(E), non dégénérée. Soit / sa forme duale. On donne une base Û8 = (e19en) de E et on note 08* = (ef,e*) sa base duale. 0) Ecrire la matrice de 7 dans 08* en fonction de M = Mat^ (/). 6) En déduire que si ulx1-\ \- unxn = 0 est l'équation dans 0$ d'un hyperplan H de £((w1? un) g â:"\ {0} ), la CNS pour que //soit/-isotrope est lUMU = 0, où U = où M désigne la matrice complémentaire de M. et Exercice 5 : On reprend les hypothèses et notations de l'exercice 4. On note <P la forme quadratique associée à /, et <ï> celle associée à f. Soit <p e E* tel que # 0. On pose e„ = //_1> (<p). Soit y = (e^ une base de H — Ker (<p ). On note V = <P \ H. Vérifier que 08 = (ev ..., en_l, en) est une base de E et Discr^ (<£) qu'on a : Discry (^) = ; • <P(<p) Exercice 6: Soit M = [fl/;](l,;)e {£i,nj\2e 9W„(R) une matrice symétrique et soit 01a forme quadratique sur IR" de matrice M dans la base canonique # de U". a) Montrer que, pour que <P soit définie positive (cf. définition V.7.2 du tome 3), il faut et il suffit que les mineurs principaux de M soient tous > 0. b) On suppose maintenant que tous les mineurs de M centrés sur la diagonale principale (i.e. tous les Aj j(M) avec la nj[ sont dans R+. Montrer que 0 est positive. La réciproque de cette propriété est-elle vraie ? Indication : Utiliser a) pour montrer que <P est adhérente à l'ensemble des formes quadratiques définies positives sur R\ Exercice 7 : On donne un entier n ^ 2 et un corps K algébriquement clos. Pour \ e K on note D(A ) la matrice Diag (1, 1, À ) g $R„(/0- a) Soit M e Sym (n, K). Montrer : D(det (M)) si M est inversible 3,4 eSL (n,/:)iUM^= Diag (^^Jo0,...,o) si rg (M) = r < r fois
1.4 Orthogonalité pour les formes bilinéaires 25 b) soit P : sym (n, k) —► k une fonction polynomiale homogène non constante telle que, pour une certaine fonction x gl (n, k) —► k*, on dit : (va g gl(rc, k), vm g sym (n, K)) P(AMA) = X(A)P(M). montrer : 3q e N*, 3a e K* \ (vm g sym (rc, k)) P(M) = a (det (M))q ; en particulier, en déduire que x est de la forme A (det (A))2q. Exercice 8: soit <ï> la forme quadratique sur (r3 définie dans la base canonique # = (ev e2, e3) du ir-ev ir3 par : # (vjc = ex + *2 ^2 + *3 e3 6 (*) = 12 *i + 52 x\ + 12 jcf + 40 x2 x3 + 12 x3 x1 + 48 x2 . trouver tous les pians vectoriels // de r3 tels que <P | w soit définie positive. Indication : exploiter l'exercice 5 ci-dessus. Exercice 9: soit n e et E le k-ev Wln(K). a) montrer que f : E x E —► K, (A, B) »-> tr (A lB) est une forme biîinéaire symétrique non dégénérée admettant une base orthonormale. b) montrer que g : E x E —► k, (A, B) tr (AB) est une forme biîinéaire symétrique non dégénérée et en donner une base orthogonale. Exercice 10 : soit E un k-ev de dimension finie n ^ 1 et <P une forme quadratique sur E, de forme polaire / et d'espace singulier S. a) soit H un supplémentaire de S dans E. montrer que H est non isotrope et que HL = S (d'où E = H@S). p b) soit Elt Ep des sous-k-ev de E tels que © Et = E. soit St l'espace singulier de i = 1 P <P\E.. prouver que S = © s,. c) soit // un sous-.k-ev de e. pour qu'il existe un sous-k-ev L de E tel que H © L = E, il faut et il suffit qu'en notant SH l'espace singulier de <P \ H, on ait d) soit ughom^e). prouver u(S) c S o 3v e UomK (E) I v (x,y) e E2 /(w(*),y) = f(x,v(y)). si u(S)œS, trouver alors tous les v vérifiant cette condition. Exercice 11 : soit E un k-ev de dimension finie n ^ 1. a) vérifier qu'une forme quadratique <P de rang r sur e admet un sous-k-ev non isotrope de dimension r. b) on se propose d'établir un résultat plus fin. soit m e $r„(k). on suppose m de rang r et on ordonne totalement l'ensemble des r-parties de |[1, nj\, sous la forme (Iv avec «-(:)• bY) soit a la matrice [At. z.(m)](iw)e [tj,n]]2 ayant pour éléments les (/,,/;)-mineurs de m. prouver que A est de rang 1. b2) en déduire que si m est symétrique et de rang r, elle admet un r-mineur non nul centré sur la diagonale, i.e. du type Al.j.(M). Exercice 12 : soit E un k-ev de dimension finie n ^ 1 et <P une forme quadratique sur E> de forme polaire /. on considère la /-orthogonalité dans E. on convient d'appeler seti un sous- k-ev de E totalement /-isotrope, et setim un sous-k-ev totalement /-isotrope maximal pour l'inclusion. a) soit U et V deux seti. montrer : v* g U n V\ V + Kx est un seti.
26 chapitre i formes bilinéaires, formes quadratiques b) Soit U et V deux SETI, M un supplémentaire de U n V dans U et N un supplémentaire de £/ n V dans F. Prouver : U n V-1 = (£/ n V ) 0 (M n c) Soit A et B deux sous-K-ev de £, de dimensions r et s. Prouver que dim (A n Z?x) =s r - s (considérer par exemple une base (j3j,/3s) de B et l'application linéaire <p : A —► K5, *^(/(*,/B^,...,/(*,£,)». d) Soit C/ et V deux SETI tels que dim (V)<dim (U). Prouver: 3x e U\V tel que V + Kx soit un SETI. En déduire que tout SETI est contenu dans au moins un SETIM et que tous les SETIM ont même dimension. e) On suppose / non dégénérée et on donne un SETIM noté U. Prouver qu'il existe un SETIM (noté V) et des bases (el9ep) et (fv fp) de U et V respectivement telles que : (V (/, / ) e [£ 1, p ]]2 ) f(eiyfj)=ôij, où 8 tj est le symbole de Kronecker . Exercice 13 : Soit E un K-ev de dimension finie n 1 et <P une forme quadratique sur E, de forme polaire /. On suppose que le cône isotrope r de f est un sous-K-ev de E. Démontrer que r = Sing (/). Indication : Se ramener au cas où / est non dégénérée, en passant au quotient E/Sing (/), où l'on considérera la forme quadratique 4> telle que <t> o can = 0, can désignant l'application canonique E —► E/S'mg (/). Puis utiliser le résultat de l'exercice 12e ci-dessus. Exercice 14 : Soit E un K-ev de dimension finie n =s 1 et /une forme biîinéaire alternée sur E. En s'inspirant de la démonstration du théorème 1.4.2, prouver, lorsque / ^ 0, que E = N 0 //i © ♦ • • ® H2 avec N = Sing (/) et dim (Nt) = 2 pour 1 *s i ^ r, les sous-K-ev (Ny Hl, ..., Hr) étant de surcroît deux à deux f-orthogonaux. En déduire que /est de rang pair 2 r. Donner une conséquence matricielle de la propriété obtenue : il existe une base 08 de E dans laquelle la matrice de /est un tableau diagonal de matrices égales à j = bien d'une matrice nulle et de matrices égales à /. § 1.5 CLASSIFICATION DES FORMES BILINÉAIRES Soit e un k-ev non nul. Pour f e BL2 (e) et <p e glk(e), notons (p * / la forme biîinéaire g sur e définie par : (1) (V(x,y)€£2) g{x,y) = f(<p-\x),<p-\y)). L'application GL^(E) x BL2(£) —► BL2(£), (<p>/)■-> <P * / est une action à gauche du groupe glk(e) sur BL2(£) (cf. tome 1, § V.6). DÉFINITION 1.5.1 ^ deux formes bilinéaires f et q sur un k-ev e sont dites équivalentes l ssi 3(p eglk(e)\ (v(x,y)ee2) q(x,y) = f{<p-\x),<p-\y)).
L5 Classification des formes bilinéaires 27 Cela revient à dire que /et g appartiennent à la même orbite pour l'action du groupe GLK(E) sur BL2(E). L'équivalence entre formes bilinéaires sur E est un relation d'équivalence sur BL2(E). Il est clair que chacun des ensembles S2(E) et A2*(E) est réunion d'orbites de l'action définie par (1). Autrement dit, si /et g sont deux formes bilinéaires sur E équivalentes, et si / g S2(£) (resp. / g A2*(£)), alors g e S2(E) (resp. g e A2*(E)). Soit f et g deux formes bilinéaires symétriques sur E, de formes quadratiques associées <P et V : pour que /et g soient équivalentes, il faut et il suffit que : (2) 3<p eGLK(E)\ V = <P o<p~l. Reprenons deux formes bilinéaires f et g équivalentes sur E, et soit <p g GLK(E) vérifiant (1). Notons ±f et ±g la /orthogonalité et la 0-orthogonalité (à droite ou à gauche). On vérifie que, pour toute partie A de E, on a alors : 9G4X0= (<P(A)f° et <p(±fA) = ±°(<P(A)). Cas où E est de dimension finie Lorsque E est de dimension finie, ce qui précède entraîne que deux formes bilinéaires sur E équivalentes ont même rang. Lorsque de plus f et g sont symétriques ou antisymétriques, on a en particulier <p (Sing (/)) = Sing (g). Proposition 1.5.1 Soit f et g deux formes bilinéaires sur un K-e\ E de dimension finie n 1. Pour que f et g soient équivalentes, il faut et il suffit qu'il existe deux bases si = an) et & = (/319 pn) de E telles que Mat^ (/) = Mat* (g). Démonstration : Supposons d'abord que si et 0& existent. Posons M = Mat^(/) (= Mat# (g)). Soit <p l'élément de GLk(£) tel que (p(at) = fit pour l^/^/i. On a alors g(x, y) = f(<p~l(x), <p~x(y)) pour n n tous x=YéxiPi&y=Y, J'1 @i éléments de E, car alors <p~l(x) = ; = i / = i n n £ xt a(, <p~l(y) = £ yl-, 0Lt, et d'après la relation (5) du § 1.2 : /=i i=i g{x,y) = 'XMY = f(<f>-\x),<p-l(y)), avec X = et y = .x»_ y».
28 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Réciproquement, supposons /et g équivalentes. Soit si = (al9 an) une n base de E et posons M = Mat^ (/). Pour x = £ je,- a, e E et z = i y=Ydyi «, € £, on a : /(*, y) = 'XMY. i = 1 Soit maintenant <p e GLK(E) tel que (1) soit vérifié. On a : (3) g(<P (x), (y)) = f(x,y) = <XMY . Notons 38 la base (j31? j3j = o (at), <p («„)) de E. Alors 9 0i> <p (y) = £ ^ jS/. Puisque (3) est vraie pour tous / = i i = i (x, y) e E2, les résultats du § 1.2 montrent que M = Mat# (g). ■ Formes quadratiques en dimension finie avec K algébriquement clos Théorème 1.5.1 Soit f et g deux formes bilinéaires symétriques sur un K-e\ E de dimension finie n =2= 1. On suppose le corps K algébriquement clos. Pour que f et g soient équivalentes, il faut et il suffit qu'elles aient même rang. Démonstration : On a déjà vu plus faut que la condition est nécessaire. Réciproquement, supposons que f et g aient même rang r. On peut se borner au cas où r^l. Soit si = (ex, ...,en) une base de E qui soit /-orthogonale, et posons M = Mat^ (/) = Diag (al9 an). On peut supposer, quitte à renuméroter les ei9 que ax a2 ... ar 0 et que at = 0 si / > r. Soit <Xj e K tel que a f = at pour 1 =s / =s r. Posons et = — et pour <*i 1 ^ / =s= r et e{ = et si r < i ^ n. Dans la base & = (el9 en)9 on a : Mat^ (/) = /,,„ = Diag f U^l, 0, 0 J . \ r fois / De même, on peut construire une autre base de E dans laquelle g a pour matrice Ir n. Il suffit alors d'appliquer la proposition 1.5.1 pour voir que f et g sont équivalentes. ■ Notons que dans la base 31 construite dans cette démonstration, la forme quadratique <P associée à / admet l'expression réduite suivante :
1.5 Classification des formes bilinéaires 29 xl■ etg E J ^ (x) = £ Jtf. Si en particulier r = ai, i.e. si /est non i = i dégénérée, cette base ^ est orthonormale : on retrouve la proposition 1.4.3. Formes quadratiques en dimension finie avec K= IR Soit E un IR-ev de dimension finie n^l et f e S2(E) de forme quadratique associée <£. Considérons une base 3# = (e1,...,en) de E qui soit f-orthogonale. Associons-lui les entiers r(3d) = card {/ g |[1, I <P (et) > 0} et s(3$) = card {/ g |[1, I (ef) < 0} . Il est clair que r(3S) + s(^?) est le ra/ig de /: c'est donc un entier indépendant de 3$. C'est moins évident pour chacun des deux nombres r(3S) et s (3$). Posons ^(^) = at pour 1 ^ n, Sï= {ie l*(ef)>0} et = {i e p,I 0} . Soit enfin Vj = Vect (foX-eyj) et = Vect {{e^le La relation (4) montre immédiatement que (5) (VxgV5\{0}) #(*)>() et (VjceW*) <P(x)^0. Proposition 1.5.2 (loi d'inertie de Sylvester (*)) Avec les notations et hypothèses ci-dessus, les entiers r(3S) et s {38) sont indépendants du choix de la base f-orthogonale 36. Démonstration : Soit une autre base /-orthogonale. Appliquons (5) avec VJ, Wa, V%, et Wa.. On en déduit V% n Wa> = {0} ; d'où dimR (V@) + dimR (W#>) ^ «, c'est-à-dire : r(3S) + n- r(3S')^ n ou encore r (3$) ^ r(38'). En échangeant les rôles de 3$ et 3#', on a de même r(3$') =s r(J^), d'où finalement r(3S) = r{3&'). Pour x = Y, xt ei e E, on a: i = 1 (4) (*) James Joseph Sylvester, avocat et mathématicien anglais (1814-1897).
30 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Puisque (rg(f)) = r(^) +s(@) = r(@') + s{@'), on a aussi s(^) = s(3T). m DÉFINITION 1.5.2 Avec les hypothèses et notations précédentes, on appelle signature de f (ou: de <P) le couple (r,s)e N2 tel que, pour toute base f orthogonale M de E on ait : r = r(@), s = s(@). La signature de la forme nulle est (0, 0). Si / est non nulle, soit (r, s) sa signature et 3iï une base /-orthogonale de E. Quitte à renuméroter cette base, on peut supposer que > 0 pour i ^ r et <P (et ) < 0 pour r + 1 ^ / =^ r + 5 (d'où <P (e{ ) = 0 pour / > r + s). Si r = 0 on aura donc <P (et ) < 0 pour 1 ^ 1 =ss s ; et si 5 = 0 on aura <P (et ) > 0 pour O^î^ r. Définissons une nouvelle base /-orthogonale <ë = (ex, en) de E ainsi : ^ = — ^ si 1 =s / ^ r + 5 et f.■ i = et si />r + s. Vl*(*,)| Pour at = £ e,- g f, on a alors : i = 1 (6) *(*)= (£*,2) - I *?• \ / = 1 / i = r + 1 Autrement dit, la matrice Mat<^ (/) est Lr s(n) = Diag (17^ 17^), avec r]i; = 1 si 1 =s= / =s r, 17- =-- — 1 sir+las/asrH-5 et 17, = 0 si 1 > r + 5. DÉFINITION 1.5.3 Soft £ waî R-ev de dimension finie n^\, et f s S2(E) de forme quadratique associée <P. On appelle base f-orthogonale réduite toute base de E dans laquelle <P s'exprime sous la forme (6), i.e. telle que Mat# (/) = Lr s(n), où (r,s) est la signature de f Les assertions suivantes sont rendues quasi évidentes par la relation (6) : • Une base /-orthogonale réduite est orthonormale ssi la signature de / est (n, 0). Et cela équivaut à la propriété : (Vxe£\{0}) <*>(*) >0 qu'on traduit en disant que <P est définie positive.
1.5 Classification des formes bilinéaires 31 Si la signature de /est (0, n), on dit que <2>est définie négative car dans ce cas (Vxe£\{0}) <J>(;t)<0. • Pour que la signature de / soit (r, 0), il faut et il suffit que : ÇixeE) <P(x)^0 propriété qu'on traduit en disant que <f> est positive. De même la signature est (0, s) ssi : (Vjc e E) <P(x) =s 0. • Lorsque / est non dégénérée, le cône isotrope de / est ^ {0} ssi la signature de / est (r, s) avec r =s 1 et s 1. Théorème 1.5.2 &wï f et g deux formes bilinéaires symétriques sur un R-ev E de dimension finie n ^ 1. Powr que fet g soient équivalentes, il faut et il suffît qu'elles aient même signature. Démonstration : Si / et g ont même signature (r, s), il suffit de considérer une base /-orthogonale réduite 3S, une base gf-orthogonale réduite et d'appliquer la proposition 1.5.1, pour voir que / et g sont équivalentes. Inversement si / et g sont équivalentes, soit 3$ = (el9 en) une base / orthogonale réduite, et <p e GLR(E) tel que V(x,y)eE2 g(x,y) = f(<p~l(x), <p_1Cv)). Notons (r, 5) la signature de /, d'où Mat# (/) = Lr s{n). On vérifie alors que dans la base <ë = {ç{ex), <p(en)) de la matrice de g est Lrs(n) ; donc # est gf-orthogonale réduite, et (r, 5) est la signature de g. M Exemple 1 : Formes quadratiques sur un plan vectoriel réel. Soit E un IR-ev de dimension 2 et <P une forme quadratique sur E, de forme polaire /, et supposée donnée par sa matrice M = ^ ^ j dans une base â& = (ex, e2) de E. Posons A = ac - b2 = Discr^ (/). Supposons / non dégénérée, i.e. A # 0. On a : (V* = xx ex -h *2 e2e E) 0 (x) = ax\ + 2 fo^ x2 + cx\ . Raisonnons dans le cas a # 0 ; pour que x = x1 ex 4- x2 e2 e £\ {0} soit isotrope, il faut et il suffit que x2 # 0 et que A = — vérifie : a\ z -h 2 6 A + *2 c = 0, ce qui implique A < 0 ; réciproquement, si < 0, soit A une racine de aX2 + 2 W + c : alors x = \e1 + e2 est non nul et isotrope. Donc le cône isotrope de / est # {0} ssi ^ < 0, résultat qui reste vrai si a = 0.
32 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques En conclusion, / est de signature (2,0) ou (0,2) ssi ^1>0 ; / est de signature (1, 1) ssi A < 0. En particulier le signe de A est indépendant du choix de la base 3#. (Si A > 0 on dit que / est elliptique, et hyperbolique si A < 0). Exemple 2 : Forme de signature (2, 1 ) en dimension 3 sur IR Soit £ un R-ev de dimension 3 muni d'une base 38 = (el5 e2, e3) et soit la forme quadratique sur E de matrice L = Diag (1, 1, - 1 ). La forme polaire /de <£est non dégénérée. Le cône isotrope de / est un cône du second degré, comme on le verra dans le Chapitre sur les quadriques. Les plans /-isotropes sont les plans tangents à T. D'après le théorème 1.4.3, un plan d'équation ux + vy + wz = 0 dans 0è est /isotrope ssi on a : u1 + v2 - w2 = 0 (cf. § 1.4, exercice 4). Posons F(u, v,w) = u2+v2- w2. Il est facile de vérifier qu'un plan H d'équation ux + vy + wz = 0 dans 0& (avec (m, t;, w) e IR3\ {0} ) vérifie H n T = {0} ssi F(«, v, iv) < 0 et rencontre r en deux droites distinctes ssi F(u, v, w) > 0. Plaçons-nous dans ce dernier cas, et soit G{ et G2 les deux droites. Notons Ht = Gf~ (i e {1, 2} ) ; H1 et //2 sont deux plans isotropes, et comme Ht Pi T = G,, ils sont distincts, donc D = H1 D H2 est une droite. On a : D = G]1 n G2X = (Gj © G2)x = H±, d'où D± = H puisque / est non dégénérée (cf. fig. 1). Fig. 1. Supposons maintenant que HnT= {0}. Puisque / est non dégénérée, D = H± est une droite vectorielle. Un vecteur directeur V de D est V = uex + t?e2 - we3 (cf. § 1.4, exercice 4). Puisque F(u, v, w) < 0, la droite Z) est intérieure au cône T. Tout plan P passant par D rencontre r en deux droites distinctes G1 et G2. Comme Z)cP,ona:Pic D± ; de plus Z)-1 = H±J~ = H car/est non dégénérée ; donc P±czH. Mais d'après l'étude ci-dessus, PL est l'intersection
1.5 Classification des formes bilinéaires 33 des plans H1 = et H2 = G2 tangents à Tle long de Gx et G2. Lorsque P pivote autour de D, la droite P1^ balaie le plan H en pivotant autour de O (cf. fig. 2). Fig. 2. Exercice 1 : Soit E un R-ev de dimension finie n ^ 1 muni d'une forme quadratique <P de signature (r, 5). Soit deux sous-espaces F', F" de E tels que E = F' ® F" (pour la <P- orthogonalité), et notons (r',sf) (resp. (r", 5")) la signature de <P \F. (resp. <P Montrer que (r, s) = (r' 4- r", 5' + 5" ). Exercice 2 : Soit £ un IR-ev de dimension finie n 1 et <P une forme quadratique sur E de signature (n - 1,1 ). On donne un sous-IR-ev H de E de dimension d =s 1. On suppose qu'il existe un élément x de H tel que # (jc) < 0. Prouver que // est non isotrope, et que la signature de & | H est (rf - 1, 1 ). Si (V* e H) <P (x) =s 0, quelle est la signature de <P \ H ? Exercice 3 : Donner la signature de la forme quadratique M^Tr (M2) sur le IR-ev Sym (rc, IR), où ai e N*. Exercice 4 : Soit (n,p)e (N*)2 avec p ^ n. On donne A e $Rn p(R) de rang p. Donner la signature de la forme quadratique sur Un dont la matrice dans la base canonique est A 'A. Exercice5: Soit n e N* et A e Sym («, IR). On considère M = [° e 2R2n(IR). Donner la signature de la forme quadratique V sur IR2n de matrice M dans la base canonique, en fonction de la signature de la forme quadratique <P sur IR" de matrice A dans la base canonique. Exercice 6 : Soit n un entier =s 2 et ^4 = [ai;] g Sym («, IR ). Soit <P la forme quadratique sur IR" de matrice A dans la base canonique (€. On suppose tous les mineurs principaux de A non nuls. On les note, dans l'ordre : Al9 An, avec At = det {M^ ^ ÛZi,/]] (^)). Montrer que la signature de <P est (/?,#), où p désigne le nombre de termes >0 dans la suite A2 An X ' 1 et où q = n ~p'
34 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Exercice 7 : Soit P 6 IR [X] de degré n 2* 1. On note r la somme des multiplicités des racines réelles de P et 2 s la somme des multiplicités des racines non réelles de P. Soit M Vensemble des racines dans C de P, et E le IR-ev RB_1[A']. On définit sur E la forme quadratique <P par : (VHeE)<P(H)= £ (H(z))2. a) Quel est l'espace singulier de <P ? Condition nécessaire et suffisante pour que # soit non dégénérée ? b) Si # est non dégénérée, quelle est la signature de <P ? Exercice 8 : Soit E un R-evn de dimension finie n s* 2, de norme notée ||. ||. Pour (p,q)e N2 tels que p + q = n, soit Quadr^ q (E) l'ensemble des formes quadratiques de signature (p,q) sur E. On note Quadr* (E) = I^J Quadrp ^ (f). p + 9 = i a) Prouver que la fonction v : Quadr (E) —► IR, <P h-> Max | #(*)| est une norme. xeE,\\x\\ =1 Prouver que Quadr* (E) est un ouvert dense du R-ev Quadr (E). b) On fixe (p, q) e Ni2 avec p + q = n. Soit <P0 g Quadrp q (E). Montrer qu'on peut trouver deux sous-IR-ev F et G de E tels que : G © F = E, dim (F) = /?, dim (G) = q, et que #0|F soit définie positive ainsi que (— ^0)|g- Ayant ainsi choisi F et G, montrer : toutes les e Quadr (E) assez voisines de <£0 sont telles que # | F et (- ^ ) | G soient définies positives. En déduire que Quadrp (E) est ouvert dans Quadr (E). c) Montrer que chaque ouvert Quadr^ (F) est connexe. (Indication : Utiliser la connexité de GL+ (n, IR), cf. tome 2, § XI.3, exercice 23). En déduire que les (Quadrp (E)) sont les composantes connexes de Quadr* (F). Exercice 9 : Soit n un entier ^ 2 et des e R * (1 i < / ss= n ). Signature de la forme quadratique <f> définie sur R" par : x = (xlyxn) 3> (x) = ) ^7(^1 - */)2- 1 « 1 <: ; * n Exercice 10: Trouver la signature des formes quadratiques définies sur IR" (rc 2 ) par les formules suivantes : ' [sin (1 + /) 6] x{Xj, où 6 e IR. a) x — (*i, »32 b) x = ) (i.y)e cl- c) X = > / -ni2 d) x = (> e) x = > »32 (1 +/ - l)xixj Min (i, / ) *. Xj 1 1+ Exercice 11: a) Soit PeR[*] tel que P(R)cR+. Montrer: 3(17, V)e (U[X]f1 P = U2 + V2 (cf. tome 1, § VII.6, exercice 7). b) Soit n e N* et a = (a0, av a2n) e R2" + 1. Déduire de a) l'équivalence entre les deux assertions suivantes : 2n a- (I) Pour tout P e RzJ*] tel que P(R+)cR+, le polynôme Qa P = £ P(,) vérifie i = 0 ' • Qfl?(R+)cR+. (II) La forme quadratique <P:Un + 1—► R, (x0,xn)>-+ ) "«,•+;*,•*/ es* positive.
1.6 Algorithme de Gauss 35 Indication : prouver que (i) o [(vp e U2n [X] I P (r+ ) c r+ ) ga, p (0) ^ 0] ; puis appliquer cette dernière condition avec p = (t0 + tx x h h f„ x")2 pour (f0,..., f„) e r" + *. Exercice 12: soit deux réels a, b (a<a>) et nen*. on donne des fonctions flt /„ cléments de #°([a, 6], r), et on pose ati = /,■ // ( 0\ / ) e |[ 1, « j2). soit <P la forme quadratique sur r" définie par x = (xv xn) ^ ) au xt xf. a) montrer que est positive, et même définie positive si les /, sont linéairement indépendantes. si les sont quelconques, quelle est la signature de <£? b) soit àp an des réels > 2 > montrer que ^a f°rme quadratique r"—► r, jc = (*!,*„) i-> #(jc) = ) —1 j est définie positive. généraliser avec des T à + à • a.j)e mi.«ni2 ; à, >0. Exercice 13 : trouver toutes les matrices M = [ai;] e sym (n, r) telles que (v (i, /)«,-• # 0) et que les deux formes quadratiques: r"—► r, x= (xv xn)) ~~aijxixi et j 0\;)e Ci,«ni2 a: = (xx, *„) ) —jcf- jcy soient positives. (i,j)e Cl-'-ni2^7 Exercice 14: soit nen* et 5(0 = [^,;(0](/,/)e cl «m2 une matrice symétrique (5(0 g sym (n,r)) dépendant continûment du paramètre te [0,1]. on suppose (vf g [0,1]) la forme quadratique g, : r" —► r de matrice 5(0 dans la base canonique est positive (resp. définie positive). prouver que la forme quadratique : r"—► r, (xlt xn) j / ) sij(t)xixj\ dt est positive (resp. définie positive). j° v <«./>. du.-!2 . 7 appliquer à s,,7(0 = t ' ' (utiliser le résultat de l'exercice 6 ci-dessus). § 1.6 ALGORITHME DE GAUSS réduction en carrés dans ce §, E désigne un K-ev de dimension finie «^1. définition 1.6.1 Soit <P une forme quadratique de rang r^l sur E. On appelle réduction en carrés de <P toute décomposition du type <p = a1(pl2 + ... + a/,<p2, où VielhpJ àfetf*, et où <Pi, <pp sont des formes linéaires sur E linéairement indépendantes.
36 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Nous allons voir que la donnée d'une réduction en carrés de <P équivaut à celle d'une base «^-orthogonale dans E9 et que le nombre p des « carrés » dans une telle réduction est nécessairement égal au rang r de 0. Soit en effet d'abord une base ^-orthogonale Si = (el9 de E. Posons (V/ e |[1,az]]) \t = <P(et). Quitte à renuméroter les ei9 on peut supposer que À, ^ 0 ssi i =s r. Notons alors (<pl9 <p„) la base duale de 08. n Pour x = Y, xt et £ E, on a: (V/ e «]] ) xt = <Pi(x). D'où i = 1 <*>(*)= £ À,.*,2= £ A,(<p((^))2 . 1=1 1=1 r Et par suite : <P = £ Àf <pf, ce qui constitue bien une réduction en carrés i = 1 de ^2>, avec p = r. p Réciproquement, soit <P = £ À; <p? une réduction en carrés de <P. i = 1 Complétons (<pl9 (p^) en une base (<pl9 <pn) de E*, et soit ^ = (el9 ew) la base de Zs dont (<pl9 <p„) est la base duale (cf. tome 1, n corollaire 2 du théorème XII.2.4). On a alors : (V* e E) x = £ <P;(*) / = i d'où (en posant xt = <pt(x) pour tout i e |[1, ) : 0 (*) = £ À, . Donc i = 1 la base $ est ^-orthogonale, et p est le rang r de <P9 puisque Mat# (4>) = Diag (Al9 Àp9 0, 0). La méthode de Gauss Soit donc F un polynôme non nul, homogène de degré 2, en n lettres Xl9 Xn9 à coefficients dans K: F= +2JéaijXiXj. \ i = 1 / / <z j r Il s'agit d'écrire ce polynôme sous la forme F = £ À, <pf9 avec des i = 1 \t e K* et des <p, polynômes homogènes de degré 1 en Xl9 Xn et linéairement indépendants. Si n = 1, la réduction est toute faite. Si « > 1, supposons que la réduction soit effectivement possible pour tout polynôme non nul G à coefficients dans K9 homogène de degré 2, en p lettres, avec p <n.
1.6 Algorithme de Gauss 37 1er cas : 3/ I al ^ 0. On peut alors supposer par exemple que ax 0. F s écrit ax X\ + 2XlA + B, où A est un polynôme homogène de degré 1 en (X2, Xn), et B un polynôme homogène de degré 2 en (X2, Xn), d'où : F = ax (xx + —a\2 + B - — A2 . Le polynôme G = B-— A2 est homogène de degré 2 en (X2,...,Xn). D'après l'hypothèse de récurrence, il s'écrit G = A2 <p2 H \- \p <p2 avec des A,, e/C* et (<p2, •••> <PP) polynômes homogènes de degré 1 en (X2i Xn) et linéairement indépendants, ou éventuellement G = 0 (mais alors la réduction de F est achevée). Posons A2 = ^ et <px = Xx -\- — A ; a\ (<pl9 <pp) sont linéairement indépendants car <p2, <pp ne dépendent p pas de contrairement à <pv Finalement F = £ A,- <pf est une réduction i = 1 du type recherché. 2ème cas : (V/ ) at = 0. Alors 3 (/, j) I i < / et atj 0. On peut supposer par exemple a12 # 0 ; F s'écrit 2 a12 A^2 4- CXX + ZXY2 + 7f, où C et D sont des polynômes homogènes de degré 1, et où H est un polynôme homogène de degré 2 en (X3, A^) (si n = 2, on pose C = D = H = 0). Ecrivons : F = 2aJx1 +^-d) (x2 + -±-c) + H--±-CD, \ 2an I \ 2an ! 2au puis posons : G = H--^—CD, <Pl=X1+X2 + -l-(C +D), Z dyi z a12 <p2 = X1-X2--±-(C-D). Les polynômes G, 91? <p2 sont homogènes, de degrés respectifs 2, 1, 1 en (Xu Zn) et G ne dépend ni de Xx ni de X2. Et F s'écrit : ? ? 1 1 F = Aj <pf + A2 <p|+ G, avec A1==-a12 et A2 = --a12. Si G = 0 la réduction est terminée ; sinon d'après l'hypothèse de récurrence, p G s'écrit £ A - <p?, avec des A, (3 ^ i === n) dans A'* et des <pt polynômes
38 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques homogènes de degré 1 en (X3, Xn) linéairement indépendants. Mais (pl9 <p2, <pp sont eux-mêmes linéairement indépendants car, de p £ at <pt = 0 (Çii)aieK), on déduit en annulant le coefficient de z = i ! : + a2 = 0, puis en annulant le coefficient de X2 : a: - a2 = 0> d'où a1 = a2 = 0, et les autres ai sont nuls par indépendance de <p3, p <pp. Finalement l'écriture F = £ A,- <pf est une réduction du type cherché. i = 1 Remarque 1 : Si K = R, la procédure ci-dessus fournit non seulement le rang, mais aussi la signature de la forme quadratique F de départ. Remarque 2 : L'algorithme de Gauss décrit ci-dessus ne fait intervenir que des opérations rationnelles sur les coefficients de la forme quadratique de départ. Exemple 1 : Soit <P la forme quadratique sur R3 définie dans la base canonique par <2> (jc1? x2, x3) = x\ — x2 + 2 x2 x3 - 4 xx x3. Appliquons à <P l'algorithme de Gauss. On a d'abord : 0 = x\ - 4 xx x3 - x\ + 2 x2x3 = <p\+ G, avec <p j = xx — 2 x3 et G = — x2 + 2 x2 x3 — 4 x3. Ensuite G = - (x2 - 2 x2x3) - 4 x\ = - <p2 - 3 x3, avec <p2 = x2 - x3. Finalement : (1) * = ç>12-ç>22-3ç>32 avec <px = xx - 2x3, <p2 = x2 - x3, <p3 = x3 linéairement indépendantes. Donc <P est non dégénérée, de signature (1, 2), et la formule (1) en donne une réduction en carrés. En revanche, si <P était définie par la même formule sur (Z/3 j)3, elle serait dégénérée. Exercice 1 : Effectuer une réduction de Gauss des formes quadratiques suivantes : a) r3 —► r, (x, y, z)*-^>x2 + y2 + z2- 2yz cos a - 2 zx cos p - 2xy cos y, où (a, /3, y) g r3. b) r4—►r, (x,y, z, t)*-*x2 + 2y2-z2 + 2t2 + 2xy + 2xt + 2 yt + 2 yz - 2 zt. c) r3—►r, (x,yyz)t->4x2 + 4y2 + z2- 12 yz - 4 zx + 2 xy. d) r4—►r, (xvx2,x3y x4) x2 + axl + x2 - bx% + 2ax1x2 - 2(a - l)xlx4 + 2*3jt4, où (a, 6) g r2. e) r4—►r, (*,)>, z, t) 4 x2 + 3 y2 + 9 z2 + 8 xz + 4 xy + 4 yt + 8 zt + \t\ où A g r. f) r4 —► r, (*,.y, z, r).-*yz + zx + xy + /x (* + ;y + z)t + Af2, où (A, fi ) g r2. g) r4 —► r, (x, >>, z, f) »-> (x +y)2 + z(\x + fiy + vz) + t(ax + by + cz + 6t ), où a, b, c, d, A, jx, v sont des paramètres réels.
1.7 Automorphismes d'une forme quadratique 39 Exercice 2 : Effectuer une réduction de Gauss pour les formes quadratiques suivantes : «) R»_^R, (*!,...,*,)-> ( £ xf\ + £ xiXj. \ / = 1 / 1 « i ■< / « n Indication : Considérer = xn et ^ = jtp + ^ ^ (xp +1 h + ;cn) si 1 =s= /? n — 1. *) R»_->R, (*„...,*„),-> ^ F77*'*''- Cl,/.]]2 Indication : Considérer y, = puis L„ = yn + 2 Y ^ '"^j, L = î y + n--p (2n - l)(2n-3)... (2n-2p + \yH-p + 2r >li(n-p)(n-i)(n-i -1)... (n -1 -p + l) \^i<n-p i + n-p {n + i )(w + / - 1 ) ... (« + /-/? + /) c) R" ► R, (jtj, jc„) i—>► jtj *2 + *2*3 + Xn-\ Xn +XnXV Préciser la signature pour n entier ^ 2. Exercice 3 : Soit £ un #-ev de dimension finie n 2* 1, et <P une forme quadratique sur E, de rang r. On suppose trouvées des formes linéaires <Pj,<pp sur E et des scalaires Aj e /C,Ap € K tels que = £ \j((pjf. Montrer que le rang du système (<Pj,<pp) y = i est =» r. § 1.7 AUTOMORPHISMES D'UNE FORME QUADRATIQUE Soit £ un #-ev et / g BL2(E). Il est immédiat que l'ensemble des u e GLK(E) tels que (1) (V(^)e£2) f{u(x),u(y)) = f(x,y) est un sous-groupe de GLK(E). définition 1.7.2 Soit E un K-ev et feBL2(E). Le groupe des automorphismes p e GLK(E) vérifiant (1) s'appelle en général groupe des automorphismes de f, et se note alors Aut (/). Lorsque f est symétrique, de forme quadratique associée 0, le groupe Aut (/) s'appelle groupe orthogonal de f (ou : de 0), et se note 0(/) ou O(0). Lorsque f est alternée, le groupe Aut (/) s'appelle groupe symplectique de f et se note Sp (/). Avec ces notations, supposons / symétrique, de forme quadratique associée 0. D'après la relation (1) du § 1.3, pour qu'un élément p, de GLK(E) appartienne à O (0 ), il faut et il suffit qu'il vérifie (2) 0 © u = 0 . Les éléments de O(0) s'appellent ici les automorphismes 4>-orthogonaux (ou orthogonaux, si aucune confusion n'est à craindre). Nous n'étudierons que très peu, dans cet ouvrage, les groupes du type Aut (/). Nous allons ici nous borner à quelques indications en dimension finie.
40 Chapitre I Formes bilinéaires, formes quadratiques Théorème 1.7.1 Supposons le T-ev E de dimension finie n ^ 1, soit & = (eu en) une base de E et soit f e BL2(E), de matrice A dans Donnons-nous u e Hom^ (E) de matrice M dans 0$. Pour qu'on ait : u e Aut (/), il faut et il suffit que u soit inversible et vérifie (3) lMAM = A . Lorsque de plus f est non dégénérée^ la condition (3) est nécessaire et suffisante pour que : u e Aut (/). Démonstration : n n Soit x = £ xï et 6 E et y = £ vy e} e E, et X, Y les matrices t = i / = i colonnes respectives des coordonnées (xt) et (y;). Les matrices colonnes X et Y' des coordonnées dans 0& de u(x) et w(y) sont alors respectivement MX et MY. On a: f(x,y) = tXAY, et: "00) = lX AY' = 'M M(MY) = ï('Mi4M) Y, donc les conditions (1) et (3) sont équivalentes, d'où la première assertion. Si / est non dégénérée, A est inversible, donc det (A) # 0, d'où en prenant les déterminants dans (3) : det (M) det (A) det (M) = det (A), d'où (det (M))2 ^ 0, d'où w est inversible ; donc dans ce cas, (3) entraîne bien : u s Aut (/). ■ Corollaire Avec les notations et hypothèses du théorème 1.7.1, supposons de plus fnon dégénérée. Alors (V«eAut (/)) det (u) e {-lK,lK} • (C'est une conséquence évidente de la preuve du théorème 1.7.1, et de l'existence d'au moins une base dans E.) Plaçons-nous dans les conditions du corollaire ci-dessus. L'application wi-»det(«), de Aut (/) dans le groupe multiplicatif F = {_l^'l/^}'est alors un homomorphisme de groupes, dont le noyau est appelé groupe des automorphismes spéciaux de f et sera noté en général S Aut (/). Lorsque / est symétrique, de forme quadratique associée <P, le groupe S Aut (/) s'appelle groupe spécial orthogonal de f (ou : de 4>) et se note SO(/) ou SO(<f> ). Dans tous les cas, on a : SAut (/) <a Aut (/), et si SAut (/) # Aut (/), l'indice [Aut (/) : SAut (/)] vaut 2. Il est facile de voir que lorsque / est symétrique, [0(/):SO(/)] = 2, et que lorsque / est alternée, SAut (/) = Aut (/) = Sp (/). (Voir par exemple [11] et exercices 2 et 3 ci-dessous). Les groupes Aut (/) et Saut (/) les plus intéressants sont ceux obtenus avec K = IR et / symétrique, de signature (p,q). Nous étudierons plus en détail aux chapitres II et III ceux de ces groupes relatifs à une forme / symétrique définie positive (i.e. de signature (n, 0)) ; mais signalons que lorsque n = 4 et que / est de
1.7 Automorphismes d'une forme quadratique 41 signature (3, 1), les groupes 0(/) et SO(/) jouent un rôle central en théorie de la relativité restreinte (théorie des transformations de Lorentz). Exercice 1 ; Soit E un K-ev de dimension 2 et 0 une forme quadratique non dégénérée sur E. Pour u g SO (<P ) donnée, étudier la matrice de u dans une base & = (ev e2) de E qui est <P- orthogonale. En déduire que SO(<P) est abélien. Exercice 2 : Soit E un K-ev de dimension n ^ 1, <P une forme quadratique non dégénérée sur E, et & = (ex,en) une base ^-orthogonale de E. On donne (ep en) e {— 1^, lK}n et on note u l'élément de GLK(E) de matrice diag (elt en) dans 0&. Prouver que ueO(<P). En déduire que [O(0): SO(#)] = 2. Exercice 3 : Soit E un K-ev de dimension finie 2 n (n 1 ) et / une forme biîinéaire et alternée sur E, supposée non dégénérée. On note Jf l'application E —► £"*, y /(., y). Pour (<p,v0)e E* x E, soit tf VQ g Hom^ (E) défini par r9 VQ(x) = x + <p(x) v0 pour tout x e E. a) On donne (<p, v0) e E* x (E\ {0} ). Montrer que : r9 VQ e Sp (/) ssi 3 A e K \ <p = A/,^). 6) Montrer que l'ensemble {t7/(po)>po}d e£\<0> = &~ engendre Sp (/) (raisonner par récurrence sur la dimension de Ker (u - Id£) pour prouver que tout m g Sp (/) est produit d'automorphismes éléments de $~.) En déduire que det (w) = 1K pour tout m g Sp (/).
Chapitre II ESPACES EUCLIDIENS Dans tout ce chapitre, le corps de base est IR. § II.l INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ ET CONSÉQUENCES DÉFINITION II. 1.1 a) Soit E un R-ev non nul. Une forme quadratique <î> sur E est dite positive ssi <P(E) c R+, et définie positive ssi <2>(E\ {0} ) c M*. b) On appelle produit scalaire sur E toute forme biîinéaire symétrique sur E qui est la forme polaire d'une forme quadratique définie positive. c) On appelle espace préhilbertien réel tout R-ev muni d'un produit scalaire. On appelle espace euclidien tout espace préhilbertien réel de dimension finie. Si une forme quadratique est définie positive, elle est a fortiori positive, et son cône isotrope est réduit à {0^} : on dit qu'elle est anisotrope. Théorème II. 1.1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit <P une forme quadratique positive sur un R-ev E, de forme polaire f a) On a: (V(*,y)eE2) \f(x,y)\2^ <P(x) <P(y). b) Si de plus <P est définie positive, pour qu'on ait l'égalité dans a), il faut et il suffit que x et y soient colinéaires. Démonstration : a) Soit <p:R—► R, t <P (x + ty ) = 0 (y) t2 + 2 f(x, y ) t + 0 (x). La fonction polynormale <p est à valeurs dans R+ . Si
44 Chapitre II Espaces euclidiens <p (y) = 0, étant affine, elle est nécessairement constante, d'où /(*, y) = 0, ce qui vérifie l'inégalité. Si 0 (y ) > 0, la fonction 9 est de degré 2 ; étant à valeurs dans R+, son discriminant est =s= 0, i.e. \f(x,y)\2- 0(x) <2>(y)=^0, d'où encore l'inégalité voulue. b) Supposons <P définie positive et \f(x,y)|2 = 0{x) 0{y). On peut supposer que <P (x) > 0 et 0 (y) > 0, sinon x = 0 ou y = 0. Alors <p est de degré 2 et a un discriminant nul, donc <p s'annule une fois et une seule sur IR, pour t = t0 = - • Donc * (x + t0 y) = 0, d'où x + t0 y = 0, et x et y sont bien colinéaires. ■ Corollaire 1 Soit 0 une forme quadratique positive sur un R-ev E, de forme polaire f Le cône isotrope de 4> est égal à l'espace singulier de f. En particulier, f est non dégénérée ssi 0 est définie positive. Démonstration : Cela revient à voir que tout vecteur isotrope de 0 est /- singulier. Soit donc xeE\{0} tel que = 0. Pour tout y e E, l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à x et y montre que f(x, y) = 0. Donc pour la /-orthogonalité, on a bien : x e E± = Sing (/). ■ Notons qu'un produit scalaire est non dégénéré. Si E est de dimension finie, on avait déjà obtenu au § 1.5 la deuxième partie du corollaire 1, avec la théorie de la signature. COROLLAIRE 2 Soit 0 une forme quadratique positive sur un R-ev Ey et soit v:E^R+, x^ (0(x)f2. a) La fonction v est une semi-norme sur E. b) 5/ 0 est définie positive, v est une norme sur E, et de plus, pour tout (x, y ) e E2, on a : v (x + y ) = v (x) 4- v (y) ssi x et y sont R+ -colinéaires. Démonstration (abrégée) : a) Soit / la forme polaire de 0 et (x, y) e E2. On a : (v(x+y))2= 0(x+y)= (v(x))2+{v(y))2 + 2f{x,y)^ ^ (v(x))2+{v(y)? + 2\f{x,y)\ ^ (v{x))2 + {v(y))2 + 2 v (x) v{y) (à cause de l'inégalité de Cauchy-Schwarz), autrement dit : (v(x + y))2 ^ O00 + v (y))2, d'où v{x + y) ^ v(x) + v(y).
ILl Inégalité de Cauchy-Schwarz et conséquences 45 b) Soit définie positive, alors v(x) = 0 o <P(x) = 0 o x = 0. Prenons (x, y ) g (E\ {0} )2 tels que v (x + y ) = v (x) + v (y). Alors le calcul du à) montre que nécessairement f(x, y) = v (x) v (y). Le théorème IL 1.1 b) montre l'existence de p g R tel que x = py ; d'où /(py,y) = ^(py)^(^)= \p\(v(y)f = P(»(y))\ d'où p = |p|, i.e. p eU+. M Un espace préhilbertien réel sera systématiquement muni de sa norme et de la topologie associée. DÉFINITION II. 1.2 $ On appelle espace hilbertien réel tout espace préhilbertien réel qui \ est complet. Par exemple, un espace euclidien est hilbertien réel, puisque tout R-evn de dimension finie est complet. La topologie d'un espace euclidien (E, <P ) n'est autre que la topologie des normes sur E (cf. tome 2, § XI.1). Notation : Le produit scalaire d'un espace préhilbertien réel E est noté le plus souvent (. I.), c'est-à-dire que, pour (x,y) e E2, le produit scalaire de x et y est noté (x I y). On trouve également la notation (x I y) . Quant à la norme, elle est habituellement notée ||.||. En appliquant le théorème X.6.5 du tome 2, on obtient comme conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz : Proposition II. 1.1 Soit (E, (J.)) un espace préhilbertien réel. Le produit scalaire E x E —► R, (x, y) »-> (x I y) est continu (lorsqu'on munit E x E de la topologie produit). Construction d'espaces préhilbertiens réels • Comme sous-espace. Soit (E, (. I. )) un espace préhilbertien réel et F un sous-R-ev de E. Il est clair que l'application : F x F —► R, (x, y) »-» (x I y) est un produit scalaire sur F (dit induit par celui de E) pour lequel on garde généralement la même notation. On se réfère à la structure préhilbertienne réelle ainsi construite sur F (dite induite par celle de E) en parlant du sous- espace préhilbertien réel F de E. • Par produit externe. Soit El9 ...,Ep des espaces préhilbertiens réels, dont nous noterons ici fv fp les produits scalaires. Munissons le R-ev E = Exx • • • x Ep de la forme biîinéaire symétrique / ainsi définie : pour p x = (xl9 ...,xp) g E et y = (yl9 ...,yp) e E, f(x,y) = £ /,(*,, y,). i = i
46 Chapitre II Espaces euclidiens Il est immédiat que /est un produit scalaire sur E. L'espace préhilbertien réel (E, f) est appelé produit externe des (Eh /,). La norme v de {E, f) vérifie : (V* = (xl9 ...,*,) g F) (v(x)f = £ Kfe))2, où, pour i = 1 tout /, vt est la norme de (Et ft). Le théorème XL2.3 du tome 2 montre que, si chaque (Et, ft) est hilbertien, le produit externe (E, f) des (Ei9 ft) (l^i^p) est encore hilbertien. Isomorphismes d'espaces préhilbertiens réels ; groupes orthogonaux DÉFINITION II. 1.3 Soit (El9 fi) et (E2, f2) deux espaces préhilbertiens réels (où ft désigne le produit scalaire de Et). On appelle isomorphisme d'espaces préhilbertiens réels de Ex sur E2 tout isomorphisme de U- ev cp : Ei —► E2 qui respecte les produits scalaires, i.e. tel que (1) (V(*,y)eE?) /2(*(*),*>00) = /i(*,.y). Les espaces préhilbertiens réels Ex et E2 sont dits isomorphes ssi il existe au moins un isomorphisme d'espaces préhilbertiens réels de Ex sur E2. Lorsque E1 = E2 = E, un isomorphisme d'espaces préhilbertiens réels de E sur E est encore appelé un automorphisme orthogonal de E. • Le composé de deux isomorphismes d'espaces préhilbertiens réels en est encore un. • Le réciproque d'un isomorphisme d'espaces préhilbertiens réels en est encore un. • L'application identique ldE: E —► E est un isomorphisme d'espaces préhilbertiens réels si E est un tel espace. On a donc affaire à une relation réflexive, symétrique et transitive entre espaces préhilbertiens réels. Si <p g HomR (Ex, E2)9 une CNS pour que (p soit un isomorphisme d'espaces préhilbertiens réels de Ex sur <p (Ex) est que <psoit isométrique, i.e. vérifie: (Vx e Ex) v2(<p (x)) = ^i(jc), où v{ désigne la norme de Et (i e {1, 2} ) ; et <p sera isométrique ssi elle vérifie (1), puisque /, est connue en fonction de vr Attention ! Si Ex = E2 = E et si (p g HomR (E) vérifie (1), cela ne suffit pas pour que <p soit un isomorphisme car, en général, on a <p(E) # E (cf. exercice 8). Cependant, lorsque E est de dimension finie, pour <p g HomR (£), la condition (1) est nécessaire et suffisante pour que <p soit un automorphisme orthogonal.
ILl Inégalité de Cauchy-Schwarz et conséquences 47 Des propriétés (•) ci-dessus résulte immédiatement : Théorème II. 1.2 Soit (E, (. I.)) un espace préhilbertien réel. L'ensemble des automorphismes orthogonaux de E forme un sous-groupe de GLR(E). DÉFINITION II. 1.4 Le groupe défini dans le théorème II. 1.2 ci-dessus s'appelle groupe orthogonal de E. On le note O(E). Les groupes O(E) seront étudiés aux §§ II-4 et III. 1 pour E euclidien. Exemple 1 ; Soit E un R-ev de dimension finie n =2= 1 et & = (ev en) n n une base de E. Pour x = £ xi e{ e E et y = £ y{ et e E, posons i=i /=i n y) = *« >V Alors s $ est un produit scalaire sur E, pour lequel la i = 1 base 0& est orthonormale (cf. § 1.5), et c'est évidemment le seul pour lequel $ soit orthonormale. Puisque E admet au moins une base, cela prouve déjà qu'il existe au moins une structure euclidienne sur E. Lorsque E = Rn et Si = base canonique de Rn, la structure euclidienne ainsi obtenue sur Rn s'appelle structure euclidienne canonique. Considérons alors l'espace euclidien canonique (Rn, (. I.)) de base canonique # = (el9 en), et soit (E, s) un espace euclidien quelconque de dimension n. D'après l'étude menée au § 1.5, l'espace (E, s) admet au moins une base orthonormale 0$ = (ely en). Désignons par cp : Rn —► E l'isomorphisme de R-ev tel que <p (e,-) = et pour 1 ^ i =s= n. Il est clair que n n pour tous x = £ xt Si eRn et y = £ yt st e R", on a : (x I y ) = i=i i=i n n n X xi yt = 5(<? (*)> <p (y))car <p(*)= Z xi etet ^= Z ^e<- Donc 9 i=1 i=l /=1 est un isomorphisme d'espaces euclidiens. En conclusion les espaces euclidiens de dimension donnée n sont tous isomorphes à Rn euclidien canonique. Il faut cependant remarquer qu'il n'y a pas d'isomorphisme privilégié entre Rn euclidien canonique et un espace euclidien de dimension n donnée. Exemple 2: Rappelons que l'ensemble, noté l2(N, R), des suites (un)neN de ^e\s telles que la série £ u„ converge, est un R-ev. Pour
48 Chapitre II Espaces euclidiens u = (un) et v = (vn) dans ce R-ev, la série £ un vn est absolument n convergente, donc convergente, car (Vn) |wntfn| ^~(w2 + i?2). Posons: (u\v) = Y unvn> O*1 vérifie que l'on définit ainsi un produit scalaire sur n = 0 /2(N, R). Notons N2 la norme associée à ce produit scalaire. Il s'agit de prouver que /2(M, R), muni de ce produit scalaire, est un espace hilbertien réel. Pour cela, montrons qu'il est complet. Soit (sp)peN une suite de Cauchy de l2(N, R), où (V/?) sp = (up,n)neN. Comme dans l'exemple 2 du § XI.2 du tome 2, on vérifie d'abord que, pour tout n e N, la suite (upn)peN est de Cauchy et converge donc dans R vers un élément An, puis qu'en posant A = (An)weN, on a : A g /2(N, R). Soit alors e réel > 0, puis n e N tel que N2(sp-sq)^e dès que n*zp <q. Fixons p ^ n ; alors Vq e N (q >p) et Vr6 on a : / r i\m \ S \up,k~ uq,k\ ) ^ N2(sp - sq) ^ e. Passant à lim en laissant r fixe, u = 0 / q—+cc (r \ 1/2 £ \upk - \k\2 j =s e. C'est vrai W e f^J, d'où en passant à lim : N2(sp - A ) ^ s. Et c'est vrai V/? ^ n. Donc N2(sp - A ) —► 0, ce r—► oo p —► oo qui prouve que sp —► A. Finalement (/2(N, R), (•!.)) est bien un espace p ► 00 hilbertien réel. Exemple 3: Soit deux réels a et b (a<b). Notons E le R-ev J?B([a,b],M) des fonctions bornées intégrables : [a, b] —► R. Pour / et g éléments de E, posons : /3 (/, g) = fg. La fonction /3 : E x E —► R est J a une forme biîinéaire symétrique positive. L'inégalité de Cauchy-Schwarz : (V(/,^)gE2) (P(f,g))2 Ja "0 («la ^ qui constitue le théorème VIL8.1 du tome 2, découle donc en fait du théorème II. 1.1 ci-dessus. Soit alors F le sous-R-ev (ë°([a,b],R) de E: la restriction P \ fxF: (/>#)»-> (/IflO est définie positive (cf. corollaire de la proposi- afc \ 1/2 /2 ) s'appelle norme de la convergence en moyenne quadratique sur F. Mais l'espace préhilbertien réel (F, (. I.)) n'est pas hilbertien réel (cf. exercice 2 du § XI.2 du tome 2).
ILl inégalité de cauchy-schwarz et conséquences 49 Exercice 1 : Soit / une forme biîinéaire symétrique positive sur un R-ev E> et v la semi-norme associée. On note F le R-ev quotient E/Sia ^y et m :E—>F l'application canonique. a) Montrer qu'il existe une et une seule application s : F x F —► R telle que (V (*, y) e E2) s(m(x),m(y)) = f(x,y). b) Prouver que s est un produit scalaire sur F. c) On prend E = <£B(\a, b], R) (où a et b sont deux réels donnés, a < b), et / : E x E —► R, («, v ) h-» uv. Déterminer Sing (/). Montrer ensuite que (F, s) n'est pas J a hilbertien. Exercice 2 : On considère l'espace hilbertien réel l2(N, R) (cf. exemple 2 ci-dessus). Montrer que c'est un espace séparable (on rappelle qu'un espace métrique est dit séparable ssi il admet une partie dénombrable partout dense). Indication : On pourra se reporter à l'exercice 2 du § X. 2 du tome 2, où l'on propose aussi de prouver que l'espace préhilbertien réel F de l'exemple 3 ci-dessus est lui aussi séparable. Exercice 3: Soit (En,sn)neN une suite d'espaces préhilbertiens réels, où pour tout n, sn désigne le produit scalaire de En et soit vn la norme associée à sn. On note H le sous-ensemble du R-ev produit E = j~] En formé des suites x = (xn) e E telles que la série £ (yn(xn))2 converge. a) Prouver que H est un sous-R-ev de E. b) Soit x = (xn) e H et y = (yn)e H. Prouver que la série £ sn(xn, yn) converge. Montrer 00 que l'application s : H x H—► R, (x, y) £ sn(xn, yn) est un produit scalaire sur H. n = 0 c) Prouver que si chaque (En, sn) est hilbertien réel, alors (H, s) l'est aussi. Réciproque ? d) Prouver que si chaque (£„, sn) est séparable (cf. exercice 2 ci-dessus), alors (/f, s) l'est aussi. Exercice 4 : Soit E les R-ev #°([a, b], R), (a, £) e R2 est donné, avec a < fc. On donne a e E et, pour (w, v ) e £2, on pose ja (m, t; ) = auv. J a a) Donner une CNS portant sur a pour que sa soit un produit scalaire sur E. b) On donne a e E et p e E telles que sa et s^ soient des produits scalaires. Comparer les normes associées. c) Soit maintenant a e j?B([a, b], R). Pour u et v dans E, on pose sa(u, v) = auv. J a Reprendre dans ce cas les questions a) et b). Existe-t-il a g j£?5([a, b], R) telle que (£, 5a ) soit hilbertien réel ? Exercice 5: Soit £ le R-ev #°([0, 1], R). On donne une suite a = (an)neN d'éléments de [0,1]. Pour (u,v)eE\ soit sa(u, v ) = £ I u (an ) r (a, ). n = 0 2 0) Donner une CNS portant sur a pour que sa soit un produit scalaire sur E. b) On donne a = (an) et b = (bn), suites de réels de [0,1] telles que sa et sb soient des produits scalaires. Comparer les normes associées. c) Existe-t-il a = (an) e [0, 1]N telle que (E, sa) soit hilbertien réel ? Exercice 6 : Soit (£, (. I. )) un espace préhilbertien réel non nul. a) Pour x g E\ {0} , soit /f, = {y e E I (* I y ) = 0} . Montrer que //^ est un hyperplan fermé de E, qui ne contient pas x.
50 Chapitre 11 Espaces euclidiens b) On suppose que la boule unité B = {x e E\ \\x\\ =s 1} = B(0£, 1) de £ est compacte. Soit L = B(0E, 1 )\B (o£, i ^ = j* e £ 11 || * || 1 j . Montrer que L est un compact de E. A l'aide de a), prouver qu'il existe un nombre fini d'hyperplans Hlt Hp (p e N*) fermés de E tels que LD 1Hi^ = 0 . En déduire que E est de dimension finie. N.B. On a ainsi une preuve particulièrement simple du théorème de Riesz (cf. tome 2, théorème XI. 1.8) pour les espaces préhilbertiens réels. Exercice 7 ; Soit a = (an\e N une suite dans U+ telle que (V£ = (bn\€n g l2(N, U)) la série Y>anbn converge. Montrer que nécessairement a e l2(N, U). n Exercice 8: Soit E le IR-ev préhilbertien réel l2(N, U). On considère <p e HomR (E) défini par: (V* = (xk)keNeE) <p(x)= (yk\eN, avec y0 = 0, et yk = xk_1 pour tout A; e N*. Vérifier que <p est isométrique, et que <p(E)^= E. § II.2 ORTHOGONALITÉ DANS UN ESPACE PRÉHILBERTIEN RÉEL Considérons un espace préhilbertien réel non nul (E, (. I. )) dans lequel nous allons étudier la (. I. )-orthogonalité systématiquement notée _L. Une propriété capitale du produit scalaire (. I .)est d'être anisotrope, i.e. son cône isotrope est réduit à {0E}, d'où l'on déduit : Théorème II.2.1 Pour tout sous-R-e\ H de E, on a : H H HL = {0E} . Autrement dit, tout sous-R-e\ de E est non isotrope. Corollaire 1 Soit (77, \ e i une famille de sous-R-ev de E deux à deux orthogonaux (i.e. tels que V(/,/)€ 72, i j => 77, _L 77y). Alors la somme vectorielle £ Ht est directe. iel Démonstration : Fixons i e I. Pour j e 7, / # /, on a : 77; <= 77/-. D'où : £ 77; c 77-1. Par application du théorème II.2.1 : 77, Pi ^ £ 77yj = {0E} ; c'est vrai V/ e 7, d'où le résultat. ■
11.2 Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel 51 Théorème II.2.2 n Soit Hl9 Hn des sous-R-ev de E tels que E = @ Ht. Munissons i = 1 chaque Ht de la structure préhilbertienne réelle induite par E, et soit H = Hl x • • • x Hn le produit externe des espaces préhilbertiens réels Ht. Visomorphisme naturel de R-ev s:H—► E, n (*!, xn) i-> Y*xi est un isomorphisme d'espaces préhilbertiens i = 1 réels. On a en particulier le théorème de Pythagore : (1) (yx=(Xl,...,x„)eH) ||*||2= £ ||*,.f- Démonstration : Tout revient à prouver (1). Or, pour x = (xj, ...,xn) e H, on a : ll*ll2= (*!*)= I* \i = i car (xt i Xj) = 0 pour i # j. = 1 (i,»6 cl,"]]2 \(Xi\xj)= x II*,-II2, Injection canonique dans le dual Comme d'habitude, nous noterons E* le dual algébrique de E, et £' son dual topologique. Soit / : E —► £*, x Ix = (x i. ) l'application linéaire canonique associée au produit scalaire (. i . ) de E. On sait que / est injective puisque tout produit scalaire est non dégénéré. Théorème II.2.3 L'application R-linéaire I est à valeurs dans E'. Si on munit E' de la norme (notée iii . iii ) associée à celle de E, l'application I est isométrique, i.e. (Vjce £) Démonstration : Soit x e E. L'inégalité de Cauchy-Schwarz montre : (Vv e E) \Ix(y)\ *s ||*|| . ||.y ||. Donc Ix est continue (cf. théorème X.6.3 du tome 2), et de plus iii Ix iii ||*||. Si x#0£, avec z =—^j-*, on a \Ix(z)\ = ||*|| et ||z|| = 1, d'où lll/ji = sup \Ix(y)\ = \\x\\. M
52 Chapitre II Espaces euclidiens Remarque 1 : Pour tout x e E\ {0} , la forme linéaire Ix = (x I. ) sur E est continue et vérifie Ix(x) ^ 0. Corollaire 1 Si E est euclidien (i.e. si E est de dimension finie), alors I est un isomorphisme de R-ev de E sur F* = F' ; et cet isomorphisme devient isométrique quand on munit E*de la norme III. III associée à la norme de E. Supplémentaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux et symétries orthogonales définition ii.2.1 ^ Deux sous-R-qv F et G de E sont dits supplémentaires orthogonaux £ ssi on a : E = F© G. Il revient au même de dire que G et F sont supplémentaires orthogonaux. Dans ce cas F± = G et G-1 = F ; en effet, de F© G = E, on déduit : GczFx, d'où F + F± = E. Mais puisque FCiF±={0}, il s'ensuit F© F± = E = F© G, d'où G = Fx car G cz F\ On voit de même que Gx = F. On en déduit notamment : F = F±J- et G = G±x. Soit alors F un sous-R-ev de F : on dit que F admet un supplémentaire orthogonal, ou encore que c'est un facteur direct préhilbertien de E, ssi il existe un sous-R-ev G de E tel que £ = F© G. Si tel est le cas, un tel G est unique car, d'après ce qui précède, c'est G = F1- ; de plus, si E = F© Fx, alors F1- admet un supplémentaire orthogonal, qui est F, et F = F^-1. Remarque 2 : Sans hypothèse particulière sur F, un sous-R-ev quelconque F de E n'admet en général pas de supplémentaire orthogonal. Exemple 1: Soit E = <g\[a9 b],R) (a e R, b e R, a < b ) muni du produit scalaire (u, v) i wi? (cf. exemple 2 du § II. 1). Notons & le sous- R-ev des fonctions polynomiales éléments de F. On voit de façon élémentaire que ^ = {0} (cf. exercice 3 du § 1.1). Or P # F = ^±J-, ce qui montre que & n'admet pas de supplémentaire orthogonal. définition ii.2.2 \ Dans F on appelle projecteur orthogonal tout projecteur \ f e HomR (F) tel que F = Im

References: l'article 40
 l'article 41
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