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Robert Fricke Lehrbuch der Algebra verfaßt mit Benutzung von Heinrich Webers gleichnamigem Buche Erster Band: Allgemeine Theorie der algebraischen Gleichungen Mit 4 in den Text gedruckten Figuren JLA- Braunschweig Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn Akt. * Ges. 1924
EX ^BIBLIOTHBOA^ SOIA ACADE1 GEORGIAS AUG. Alle Rechte vorbehalten
Vorwort. Die kurze Skizze der Galoisschen Gleichungstheorie, die ich in der Einleitung zum zweiten Bande meines Buches „Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen" vor etwa vier Jahren zu liefern versucht habe, ließ in mir den Wunsch entstehen, eine ausführliche Darstellung dieser bewunderungswerten Schöpfung der Mathematik des vorigen Jahrhunderts zu geben. Die Erwägungen nahmen eine festere Form an, als ich vor etwa 2 Jahren von der Verlagsbuchhandlung Friedr. Vieweg & Sohn die Mitteilung erhielt, daß die Bestände des bekannten dreibändigen Werkes von Heinrich Weber „Lehrbuch der Algebra" erschöpft seien. Ich habe dieses Buch, von dessen erster Auflage ich seiner Zeit' die Korrekturbogen mit durchsah, unter den neueren Lehrbüchern der Algebra immer besonders geschätzt, wenn ich auch nicht leugnen kann, daß mir für den Standpunkt eines „Lehrbuches" der Algebra ein reinerer und engerer Anschluß an die Grundauffassungen Dedekinds rätlicher erschienen wäre. Nach längeren Überlegungen entstand der Plan zum vorliegenden, gleichfalls auf drei Bände berechneten Werke. Im ersten Bande wird man die Einwirkung von Webers Buch vielfach bemerken. Wenn dies auch bei den folgenden Bänden kaum im gleichen Maße der Fall sein wird, so habe ich doch im Andenken an die verehrungswürdige Persönlichkeit Heinrich Webers und in Dankbarkeit für die vielfältige Belehrung, die ich seinem Buche schulde, kein Bedenken getragen, Webers Namen in den Titel des vorliegenden Werkes aufzunehmen. Der jetzt abgeschlossene erste Band bringt die Grundlagen der Theorie der algebraischen Gleichungen unter Einschluß der Galoisschen Theorie. Er schließt mit einer Theorie der „algebraisch lösbaren" Gleichungen, die wenigstens im Falle eines Primzahlgrades mit einer gewissen Vollständigkeit behandelt werden. Der zweite Band wendet sich zu den niedersten, nicht mehr „algebraisch" lösbaren Gleichungen. Es handelt sich hier namentlich um jene
IV Vorwort. Gleichungen, deren Gruppen durch binäre und ternäre Substitutionen darstellbar sind. Man gelangt zu dem Gebiete, das durch die algebraischen Untersuchungen Kleins eine so reiche und vielseitige Entwicklung gewonnen hat. Ich würde meiner Tradition widersprechen, wenn ich die Entwicklungen des zweiten Bandes nicht auf die geometrische Denkweise Kleins einstellen würde. Sie werden damit den Grundauffassungen Dedekinds nicht untreu. Denn es handelt sich bei den geometrischen Meth'oden nur um eine „Einkleidung" algebraischer Untersuchungen, die einmal von großer heuristischer Bedeutung ist und andererseits weitgehende Erleichterungen für die Auffassung vieler Leser gewährt. Der dritte Band soll die Theorie der algebraischen Zahlen auf Dedekindscher Grundlage behandeln. Die Darstellung soll einem besonderen Ziele dienen, nämlich eine tunlichst abgeschlossene Behandlung des viel umstrittenen Gebietes der Klassengleichungen der komplexen Multiplikation der elliptischen Funktionen zu liefern. Verbindlichen Dank statte ich Fräulein Prof. Dr. E. Xoether in Göttingen für eine ausführliche briefliche Mitteilung vom November v. J. ab. Den interessanten Ausführungen dieses Briefes danke ich die Seite 354 bei der Korrektur zugefügte Note über die neuere Entwicklung der Körpertheorie. Meine ganz besondere Anerkennung gebührt aber auch der Verlagsbuchhandlung und Buchdruckerei Friedr. Vieweg & Sohn Akt- Ges. für die mustergültige Ausstattung des Buches und für ihr so dankenswertes Entgegenkommen bei seiner Herstellung. Braunschweig, den 3. Januar 1924. Robert Frieke.
Inhaltsverzeichnis. Einleitung , 1 Erster Abschnitt. Grundlegende Entwicklungen. Erstes Kapitel. Rationale Funktionen. § jf. Ganze rationale Funktionen 4 § 2. Satz von Gauß nebst Verallgemeinerung 5 § ß. Division ganzer Funktionen durcheinander 7 § X- Division durch eine lineare Funktion 8 §/5'. Teilbarkeit der ganzen Funktionen 10 4j .6. Der größte gemeinsame Teiler zweier Funktionen f(x) und <p(x) . . 10 § y. Berechnung des größten gemeinsamen Teiler9 zweier Funktionen ... 13 § 8. Resultante zweier Funktionen zweiten Grades und Diskriminante einer Funktion dritten Grades 15 § 9. Produkt von n linearen Funktionen und binomischer Lehrsatz. ... 17 § 10. Lösung einer Interpolationsaufgabe 20 Cj 11. Arithmetische Reihen höherer Ordnung 23 § 12. Polynomischer Lehrsatz 26 § 13. Sätze über Ableitungen ganzer Funktionen 27 § 14. Interpolationsformel und Partialbrüche 31 § 15. Entwicklung gebrochener rationaler Funktionen 34 vj 16. Bezeichnung ganzer Funktionen mehrerer Variablen 36 Jj 17. Ableitungen ganzer Funktionen mehrerer Variablen 38 «5 18. Sätze über homogene Funktionen 40 sj 19. Reduzibilitat und Irreduzibilität der Funktionen f(x,y, •••) 43 § 20 Beweis des Hauptsatzes über Reduzibilitat der Funktionen 45 Zweites Kapitel. Matrizen und Determinanten. sj 1. Anordnungen von n Dingen 48 § 2. Begriffe der Matrizen und der Determinanten 50 § 3. Sätze über Determinanten 52 § 4. Erste Darstellung einer Determinante durch Minoren 53 § 5. Allgemeine Darstellung einer Determinante durch Minoren 57 jj 6. Geränderte Determinanten 59 § 7. Multiplikation von Matrizen und von Determinanten 61 § 8. Reziproke Determinanten 65 § 9. Satz von Sylvester 68 § 10. Sätze über lineare Abhängigkeit 69 §11. Symmetrische Matrizen und Determinanten 73 § 12. Auflösung linearer Gleichungen 76 § 13. Auflosung homogener linearer Gleichungen 79
VI Inhaltsverzeichnis Drittes Kapitel. Analytische Entwicklungen über ganze Funktionen. Sei!e * 1. Angabe des Hauptsatzes der Algebra nebst Folgerungen 83 £ 2. Stetigkeit der ganzen Funktionen nebst Folgerungen 86 j5 3. Beweis des Hauptsatzes der Algebra 90 § 4. Stetigkeit der Wurzeln einer Gleichung 92 § 5. Weiteres über Änderung der Wurzeln 96 Viertes Kapitel. Symmetrische Funktionen und Elimination. § 1. Begnfr und Einteilung der symmetrischen Funktionen 99 §2. Potenzsummen und Grundfunktionen 101 £ 3. Hauptsatz über symmetrische Funktionen 104 fc 4. Diskriminante 10b Jj 5. Resultante und Elimination 113 fc ö. Elimination bei zwei Variablen 121 Fünftes Kapitel. Lineare Transformationen. § 1. Invarianten binarer Formen 124 § 2. Kovarianten binarer Formen 129 ^3. Beispiel der binaren kubischen Form 132 £4. Invarianten der binären biquadratischen Form • • • • 138 §5. Kovarianten der binären biquadratischen Foim 144 ^6. Substicufcionen und Formen mit mehreren Variablen 148 ^7. Rang einer quadratischen Form 152 fc 8. Kanonische Gestalt einer quadratischen Form von n Variablen. ... 154 ij 9. Weiteres über die kanonische Gestalt einer reellen quadratischen Form 158 Sechstes Kapitel. Transformationen höheren Grades. i; 1. Ansatz der Tschirnhaustransforrnation 163 >5 2. Hermitesche Gestalt der Tschirnhaustransforrnation 165 § 3. Beispiel der kubischen Gleichung 174 $4. Determinante fur die Tschirnhausresolvente 17b §5. Drittes Glied der Tschirnhausresolvente 180 $ 6 Lösung der biquadratischen Gleichung und Schlußbemerkung .... 183 Zweiter Abschnitt. Einzelsätze über reelle Gleichungen. Erstes Kapitel. Realität und Eingrenzung der Wurzeln reeller Gleichungen. ^ 1. Wurzelrealitat bei Gleichungen 2., 3. und 4 Grades Ib6 $2. Bezoutiante und Wurzelrealitat 189 5j 3. Eingrenzung der Wurzeln einer Gleichung 194 >5>4. Satze von Budan und Cartesius 195 §5. Satz von Newton und Sylvester 198 §6. Satz von Rolle 203 §7. Invariante Gestalt des Rolleschen Satzes 205 Zweites Kapitel. Satz von Sturm und verwandte Entwicklungen. $1. Satz von Sturm 2lö vj 2. Sakulargleichung 213 £ 3. Sätze von Hermite ..'.... 217 Jj4. Sätze von Hurwitz 221 £5. Satz von Kronecker 226 s; 6. Abzahlung komplexer Wurzeln in einem Bereiche 231 Jj7. Weitere Sätze von Hurwitz 235
Inhaltsverzeichnis. VII Drittes Kapitel. Numerische Lösung reeller Gleichungen. § 1. Erweiterte Newtonsche Naherungsmelhode 242 £ 2. Naherungsmethoden von D. Bernoulli und Graeffe 245 5j 3. Näherungsmethode von Lagrange 248 fc 4. Naherungsmethode von Laguerre 252 ij 5. Trigonometrische Lösung der kubischen Gleichungen 25» £ 6. Losung dreigliedriger Gleichungen 26u Dritter Abschnitt. Galoissche Gleichungstheorie. Erstes Kapitel. Endliche Gruppen. fc 1. Begriff einer Gruppe 265 § 2. Einheitselemente und inveise Elemenle 268 § 3. Begriff des Teilers einer Gruppe 270 £ 4. Konjugierte Tei'er und Normalteiler einer Gruppe 272 i; 5. Satze über Normalteiler einer Gruppe 275 £ 6. Kompositionsreihen einer Gruppe ®,„ 27» § 7. Satze über die Kompositionsreihen einer ÖJTO 2M . § 8. Metazyklische Gruppen 2»4 ij 9. Klassen von Elementen und Teilern einer Gruppe (Sm 287 5} 10. Kommutatorgruppe einer Gruppe &,n 289 §11. Sätze von Sylow 291 §12. Satze von Frobenius 295 £ 13. Folgerungen aus den Sätzen von Sylow und Frobenius '^99 §14. Einfache Gruppen niedeier Ordnungen 3G3 Zweites Kapitel. Abelsche Gruppen. § 1. Metazyklischer Charakter der Abelschen Gruppen 3lu § 2. Basis einer Abelschen Giuppe 311 5$ 3. Invarianten einer Abelschen Gruppe . . 314 4; 4. Gruppencharaktere und Existenz der Abelschen Gruppen 317 ij 5. Teiler einer Abelschen Gruppe 321 £ 6. Zweiseitige Elemente einer.Abelschen Gruppe 3^4 $ 7. Gruppe der <p (n) Zahlklassen mod « 325 Drittes Kapitel. Permutationsgruppen. § 1. Erklärung der Permutationsgruppen 329 § 2. Transitive und intransitive Gruppen 332 § 3. Darstellung jeder Ö)TO als Permutationsgruppe 333 $ 4. Primitive und imprimitive Gruppen 337 § 5. Zyklische Permutationen, Transpositionen und alternierende Gruppe . 339 § 6. Sätze über transitive Permutationsgruppen 345 § 7. Satze über die Indizes der Teiler von ©n 348 Viertes Kapitel. Grundsätze der Galoisschen Gleichungstheorie. § 1. Zahlkörper und zugehörige Funktionen 354 § 2. Reduzibele und irreduzibele Funktionen in ft 355 § 3. Algebraische Zahlen in bezug auf einen Zahlkörper 357 § 4. Gleichzeitige Adjunktion mehrerer algebraischer Zahlen 360 § 5. Primitive und imprimitive Zahlen eines Korpers (ft, 6) 363 § 6. Galoissche Korper und Galoissche Rosolventen 366 § 7. Gruppe der Transformationen eines Normalkörpers in sich 369
VUI Inhaltsverzeichnis. § 8. Galoissche Gruppe einer Gleichung f(z) = 0 372 § 9. Imprimitive Gleichungen 374 § 10. Teiler der Galoisschen Gruppe &m und zugehörige Zahlen 378 $11. System der Resolventen einer Gleichung f(z) = 0 381 5; 12. Auflösungsprozeß einer Gleichung f{<) = 0 383 § 13 Begriff des Affektes einer Gleichung /'(-?) — 0 386 § 14. Allgemeine Gleichung «ten Grades 389 §15. Losung der allgemeinen Gleichung vierten Grades 393 § 16. Lösung der allgemeinen Gleichung dritten Grades 396 Fünftes Kapitel. Algebraisch lösbare Gleichungen. § 1. Einheitswurzeln und Kreisteilungsgleichungen 399 £ 2. Irreduzibilitat der Kreisteilungsgleichung 403 § 3. Diskriminante der Kreisteilungsgleichung bei Primzahlgrad 408 5; 4. Metazyklische, Abelsche und zyklische Gleichungen 410 £ 5. Lösung der zyklischen Gleichungen von Primzahlgrad 413 § 6. Die Resolventen der Kreisteilungsgleichung 418 § 7. Die quadratische Resolvente der Kreisteilungsgleichung 424 § 8. Die Lagrangeschen Solventen der Kreisteilungsgleichung 429 § 9. Lösung der Kreisteilungsgleichung 435 §10. Kubische und biquadratische Resolventen der Kreisteilungsgleichung . 438 §11. Metazyklische Gleichungen von Primzahlgrad 443- § 12. Verhalten der Lagrangeschen Solventen gegenüber der Gruppe ©^(p — ]) 451 $ 13. Lösung der metazykhschen Gleichungen eines Primzahl grades .... 456 § 14. Reelle metazyklische Gleichungen eines Primzahlgrades 460 Register 463
Einleitung. Tiber die bei den folgenden algebraischen Entwicklungen zu benutzenden Zahlen nehmen wir die Kenntnis der Methoden und Satze der Elementarmathematik als bekannt an. Wenn wir dabei auch ron geometrischen Veranschaulichungen und Überlegungen ausgedehnten Gebiauch machen werden, so setzen wir doch gleichwohl alle grundlegenden Erklärungen als in arithmetischer Form gegeben voraus. Wir folgen hierbei der bekannten Schrift von R. Dedekind, „Stetigkeit und irrationale Zahlen4" "). Ohne irgendwie erschöpfend zu sein, mögen doch einige wiederholende Andeutungen in der vorliegenden Einleitung zusammengestellt werden. Die erste arithmetische Eegriffsschopfung ist die der „Anzahl", sie fuhrt zur Reihe der ^natürlichen Zahlen" 1, 2, 3. 4. • • •, die nach rechts hin unbegrenzt ist. In dieser Reihe ist jede Zahl großer als jede links von ihr stehende und kleiner als jede rechts von ihr stehende. Im System der naturlichen Zahlen bind die Addition und Multiplikation unbegrenzt ausfuhrbar, womit gemeint ist, daß das Ergebnis der Operation wieder eine naturliche Zahl ist. Die Subtraktion aber ist nur dann ausführbar, wenn der Minuend größer als der Subtrahend ist. Damit auch die Subtraktion unbegrenzt ausfuhrbar ist, wird der Begriff der Zahl 0 und der Zahlen —1, —2, —3, —4, ••• geschaffen. Die nach links und rechts unbegrenzte Reihe •••, —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, ••• liefert die „rationalen ganzen Zahlen''. In diesem System sind die „naturlichen Zahlenu die „positiven" ganzen rationalen Zahlen und ihnen gegenüber • ••, —4, —3,-2, — 1 die „negativen". Bei Hinzunahme der Zahl 0 heißen 0, 1, 2, 3, 4, • • • die „nicht-negativen'' rationalen ganzen Zahlen, ...^ —4} —s, —2, —1, 0 aber die „nicht - positiven". Die Begriffe „großer" und „kleiner" werden im relativen Sinn, d. h. mit Rucksicht auf das Vorzeichen gebraucht. Es ist also jede Zahl der Reihe • • •, — 4, — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4, ••• großer als jede links von ihr stehende und kleiner als jede rechts von ihr stehende. Bekannt ist die Deutung der betrachteten Zahlen durch Punkte einer geraden Linie, die wir parallel den Zeilen des vorliegenden Textes gelagert denken und „Zahlenlinieu nennen. Auf der Zahlenlinie sind in gleichen Zwischenräumen Punkte markiert. Vom „IsullpunM", der der Zahl 0 *) Braunschweig, 1872. Fricke, Algebra. I. 1
2 Einleitung. entspricht, folgen nach rechts hin die Bildpunkte der Zahlen 1, 2, 3, 4, •••, nach links hin die der Zahlen — 1, —2, —3, —4, Die Division ist im System der rationalen ganzen Zahlen nur dann ausfuhrbar, wenn der Dividend ein Vielfaches vom Divisor ist. Der Divisor heißt dann ein „Teiler" des Dividenden. Die elementaren Sätze über Primzahlen, Zerlegung der naturlichen Zahlen in ihre Primteiler oder Primfaktoren, über den größten gemeinschaftlichen Teiler mehrerer naturlichen Zahlen und ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfache gelten als bekannt. Soll die Division unbeschrankt ausfuhrbar sein, so ist eine neue Erweiterung des Zahlengebietes vorzunehmen. Durch Aufnahme der gesamten positiven und negativen „rationalen Brüche" gelangen wir zum System aller „rationalen Zahlen". Ist die rationale ganze Zahl a kein Vielfaches der naturlichen Zahl 5, so zerlegt man die vom Nullpunkt der Zahlenlinie bis zum Bildpunkt der Zahl a fuhrende Strecke in b gleiche Teile und wählt den am Nullpunkt nächstliegenden Teilpunkt zum Bildpunkte der rationalen Zahl — • Fur die rationalen Zahlen besteht eine Anordnung nach der Größe, die sich genau wie bei den rationalen ganzen Zahlen in Übereinstimmung befindet mit der Lage ihrer Bildpunkte auf der Zahlenlinie und wie dort beschrieben werden kann. Im System der rationalen Zahlen sind die „rationalen Rechnungen" (Addition bis Division) unbeschränkt ausfuhrbar mit alleiniger Ausnahme der Division durch die Zahl 0. Diese Rechnungen gestatten einfache geometrische Deutungen an den Bildpunkten auf der Zahlenlinie. Die Bildpunkte der rationalen Zahlen bezeichnet man kurz als die „rationalen Punkte" der Zahlenlinie. Diese rationalen Punkte bedecken die Zahlenlinie „überall dicht", d. h. in der Weise, daß sich kein Intervall der Zahlenlinie mit nicht verschwindender Lange finden laßt, das von rationalen Punkten frei ware. Es ist aber eine früh bemerkte Tatsache, daß sich durch einfache geometrische Konstruktionen Punkte der Zahlenlinie angeben lassen, die nicht rational sind und demnach als „irrational" bezeichnet werden. Die nähere Untersuchung zeigt sogar, daß in jedem Intervall von nicht verschwindender Lange auf der Zahlenlinie solche irrationale Punkte zu finden sind. Eine durch ihre Bestimmtheit besonders ausgezeichnete Theorie der irrationalen Zahlen ist von Dedekind in der oben genannten Schrift entworfen. Unter einem „Schnitt" des Systems der rationalen Zahlen versteht Dedekind eine Verteilung aller rationalen Zahlen auf zwei Systeme % und 28 in der Art, daß jede Zahl a des ersten Systems kleiner als jede Zahl ß des zweiten Systems ist. Einen solchen Schnitt kann man zunächst in der Weise herstellen, daß man von einer rationalen Zahl c ausgeht und alle rationalen Zahlen, die > c sind, aL Zahlen ß: alle, die < c sind, als Zahlen « auffaßt, wahrend c selbst entweder dem System % oder dem System 23 zuerteilt wird. Allgemein ist die Verteilung aller rationalen Zahlen zur Herstellung eines Schnittes einzig nach folgender Vorschrift
Systeme der reellen und der komplexen Zahlen. 3 zu vollziehen: Eine rationale Zahl, die kleiner als eine schon verteilte Zahl a ist, wird dem System 21 zuerteilt, und eine rationale Zahl, die größer als eine schon verteilte Zahl ß ist, muß dem System 23 zuerteilt werden, während für jede rationale Zahl, für die weder das eine noch das andere gilt, die Wahl des Systems freibleibt. Hat dann beim einzelnen Schnitt entweder das System % eine diesem System angehörende obere Grenze c oder das System ?Q eine solche untere Grenze, so kommen wir auf die Bestimmung eines Schnittes mittels einer rationalen Zahl c zurück. Einen Schnitt, bei dem dies nicht gilt, benutzt Dedekind als Erklärung einer bestimmten irrationalen Zahl. Indem man das System der reellen Zahlen durch Hinzunahme aller so zu erklärenden irrationalen Zahlen erweitert, gelangt man zum „System der reellen Zahlen". Auch für die gesamten reellen Zahlen besteht eine Anordnung nach der Große. Indem man auch die rationalen Zahlen durch ihre Schnitte ersetzt, ist an Stelle des Rechnens mit Zahlen eine Methode des Rechnens mit Schnitten auszubilden. Es zeigt sich, daß in diesem System die rationalen Rechnungen (mit Ausnahme der Division durch 0), sowie auch die Wurzelziehungen (mit Ausnahme derjenigen geraden Grades aus negativen Zahlen) stets ausfuhrbar sind. Das System der reellen Zahlen wird geometrisch gedeutet durch die gesamten Punkte der Zahlenlinie. Man denkt diese Linie als eine „stetige" Punktreihe. Eine rein begriffliche Erklärung der entsprechenden Stetigleit des Systems der reellen Zahlen ist eine Hauptleistung der oben genannten Schrift von Dedekind. Er überträgt die bisher nur auf die rationalen Zahlen bezogene Schnittbildung auf das System aller reellen Zahlen und zeigt, daß man auf diese W'eise zu keiner neuen Erweiterung des Zahlensystems gelangt. Stetig heißt das System der reellen Zahlen nach Dedekind in dem Sinne, daß jeder in diesem Systeme mögliche Schnitt nur wieder eine schon im Systeme selbst enthaltene Zahl erklärt. Eine letzte Erweiterung machen die Wurzelziehungen geraden Grades aus negativen reellen Zahlen notig. Man gelangt in bekannter Art zu dem „System der komplexen Zahlen'', die wir in der Gestalt a -p ib darstellen, unter a und b reelle Zahlen und unter i = \—1 die imaginäre Einheit verstanden. Die Begriffe $es absoluten Betrages a ~r ib , der Paare konjugiert komplexer Zahlen usw. gelten als bekannt. Im Systeme der komplexen Zahlen sind die „algebraischen Rechnungen" (rationale Rechnungen und Wurzelziehung) unbeschrankt ausführbar mit alleiniger Ausnahme der Division durch die Zahl 0. Zur geometrischen Deutung der komplexen Zahlen benutzt man in bekannter Weise die Punkte einer Ebene, die wir „Zahlenebene" nennen, und in der dann die einzelnen Rechenoperationen ihre anschauliche Deutung finden.
Erster Abschnitt. Grundlegende Entwicklungen. Erstes Kapitel. Rationale Funktionen. § 1. Ganze rationale Funktionen. Eine ganze rationale Funktion einer Variablen setzen wir gewohnlich in die geordnete Gestalt nach abfallenden Potenzen der Variablen und bedienen uns fur diese Funktion der folgenden oder ahnlicher Schreibweisen: (1) f(x) = a0xn -\- a1xn~i -{- a.2xn~% -j f- aH—iX -j- an. Die a0, at, a.2, •••, un, die Koeffizienten der ganzen Funktion f(x), sind Konstante, die dem System der komplexen Zahlen angehören. Je nach dem Gegenstande der Untersuchung können sie auch vielleicht auf das System der reellen Zahlen oder das System der rationalen oder das der ganzen Zahlen beschrankt sein. Wir nehmen zunächst an, daß es sich bei den aG, ax. a2, •••, an um irgendwelche komplexe Konstante handele. Wir denken ferner x als unbeschrankte komplexe Variable, ohne fur spater Beschrankungen irgendwelcher Art fur x auszuschließen. Der Koeffizient ö0 des höchsten Gliedes gilt als von 0 verschieden,- n ist eine naturliche Zahl, die den „Grad" der Funktion abgibt. Es ist zweckmäßig, auch den Fall n = 0 zuzulassen und eine von 0 verschiedene Konstante a0 als eine ganze Funktion „nullten Grades" aufzufassen. Man kann im letzteren Falle auch noch die Möglichkeit ö0 = 0 zulassen und wurde damit zu der fur sich stehenden „identisch verschwindenden" ganzen Funktion gefuhrt. Die Addition zweier oder mehrerer ganzer Funktionen liefert wieder eine ganze Funktion, ebenso die Subtraktion zweier und die Multiplikation zweier oder mehrerer solcher Funktionen. Multipliziert man die Funktion nten Grades (1) mit der Funktion mton Grades g(x) = b0xm -f- b1xm~l -+-■••, so ist das Produkt vom Grade (m -\- n): fix) ■ g(x) == c0xm + n + c1 xm + " - ' + c2xm + n ~2 H 1- cm + », wo fur die Koeffizienten: <?o = «o&o> ci — aobi + #ifco, c.2 = a0b.2 -\- a1b1 -{- a^bc gilt. Allgemein kann man setzen: (2) Cy = a0bv -f- a^.-i + a25*_2 -+- •■• + ayb0, v — o, i, 2, ■■-, m-\-n,
Einfuhrung der ganzen rationalen Funktionen 5 wo alle a mit Indizes, die >n sind, gleich 0 zu setzen sind sowie alle b, deren Indizes > m sind. Aus (2) folgt fur Produkte zweier ganzer Funktionen die Gültigkeit des „kommutativen Gesetzes" f(x)-y(x) = g(x) • f(x). überhaupt zeigt man leicht fur das Rechnen mit ganzen Funktionen f(X), g{x), h(x), ••• die Gültigkeit der Elementar regeln der Algebra, wie z. B.: f + g = g + f, f-g = g-f, (f-g)-h = f-(g-h), (f - g)h = f-h 4- g-h. Als besonderen Satz notieren wir noch: Haben die zu multiplizierenden Funktionen f(x), g(x), h(x), ■■■ alle den höchsten Koeffizienten 1, t>o gilt dasselbe vom Produkte. Man wolle beachten, daß in Gleichungen dieser Art zwischen Funktionen die „Gleichheit'' zweier Funktionen ihre „Identität" bedeutet: Zwei ganze Funktionen gelten also nur dann als einander gleich, wenn sie gehörig geordnet bei gleichen Potenzen der Variablen gleiche Koeffizienten haben. Die vorstehenden Betrachtungen übertragen sich leicht auf rationale ganze Funktionen mehrerer Variablen x, y, z, ■ ■ •. Solche Funktionen haben die Gestalt: (3) f(x, y, z, ■■■) = ^ qAi „,>,... xx yazv •••, wo sich die-Summe auf eine Anzahl ni JuiinJinni limi'in nicht-negativer /£A?iAC*A/*+Vi ganzer Zahlen /., u, v, ■ ■ ■ bezieht und die Bezeichnungen im übrigen eine leicht verstandliche Bedeutung haben. § 2. Satz von Gftuß nebst Verallgemeinerung ). Die beiden soeben miteinander multiplizierten Funktionen f(x) und g (x) mögen jetzt ganze rational Zahlen a0, a1. ■ ■ ■ und b0, bz, • • • zu Koeffizienten haben. Eine solche Funktion heißt primitiv, wenn die ganzzahligen Koeffizienten keinen gemeinsamen Teiler haben ~"j; anderenfalls heißt sie s imprimitio."- Es besteht'der Satz: Da* Produkt zweier primitiver Funktionen //><*& r*#i * ist stets wieder eine primitive Funktion. Daß das Produkt der beiden Funktionen f(x) und g(x) wieder ganzzahlige Koeffizienten c0) clr c2, ••• cm _ „ hat, ist nach dem Gesetze (2), £ 1, einleuchtend. Ware nun das Produkt imprimitiv, so mußte es eine Prim- • zahl p geben f), die Teiler aller Koeffizienten c0, c\, ••, cm j. „ ist. Da fix) und g(x) primitiv sind, so findet sich unter den Koeffizienten a0. a^ a2, ■ • •, an ein erster, rt,., der nicht durch p teilbar ist, und ebenso unter den b0, b^ &2i '••» Ki ein erster, bs, von dem dasselbe gilt. Wir ordnen nun die Gleichung (2), § 1, für v = r -\- s so an: (!) Cr +■ s = ar bs ~r ar _ 1 bs + x -f ar_ 2 bs _ 2 -j- • • • + «r-rl&s-l 4" «rr2&*-2 + •••• *) Vgl. „Disquisitiones arithmeticae1", Art. 42. **) Das heißt naturlich: keinen gemeinsamen Teiler, der > 1 ist t) Es ist zweckmäßig, die Zahl 1 nicht zu den Primzahlen zu rechnen.
6 I, ]. Rationale Funktionen. Dann ist ar bs nicht durch p teilbar, während alle übrigen Glieder der rechten Seite den Teiler^ haben, da p in ar_1; ar_2, ••• und in bs — i, 5S_2, ••• aufgeht. Demnach ist crJ.s nicht durch p teilbar im Widerspruch zur Annahme eines imprimitiven Produktes. Der aufgestellte Satz ist also richtig. Der größte gemeinsame Teiler einer imprimitiven Funktion heißt der Teiler der Funktion. Im Sinne dieser Sprechweise können wir die primitiven Funktionen als solche des Teilers 1 bezeichnen. Jede unserer Funktionen ist dann als Produkt ihres Teilers und einer primitiven Funktion darstellbar. Der aufgestellte Satz laßt sich aber in die etwas allgemeinere Gestalt kleiden: Der Teiler des Produttez zweier Funktionen f{x) und g(x) id gleich dem Produkte der Teiler von f(x) und g(x). Bei Gauß lautet der Satz so: Sind: ((p (x) =zjcn -f «j xn ~1 -{- «2x" ~s ~r • • • 4- an, (2) ' \7i,(x) = ar^ß1x—1 + ß2^-i ßlA ztveiFunktionen mit rationalen Koeffizienten a1.u2, • • •, ßm, so hat da^ Produkt: cp(x)'ty(x) = xm ■>" " 4- yl xm + n~* 4- 7-2 ^m "•" n~2 H f- V,n~ n nur dann durchweg ganzzahlige Koeffizienten ylt y2, •••, ym + n, wenn auch die u1, a2, •••, ßi^^durchweg ganze Zahlen sind. Man denke nämlich die rationalen Bruche «1, «o, • • •,~ßm auf ihre kleinste Benennung gebracht und bezeichne den Hauptnenner der ax, a2, • • •, un durch a, den der ßlt ß2, • • •, ßm durch 5. Dann sind f {%) = acp(x) und g(x) = btl>(x) primitive Funktionen, und also ist auch das Produkt f(x)-g(x) = a b <p (x) i/> (x) primitiv. Sind nun die ylt y2, •• •, ym + n durchweg ganfzahlig, so geht a - b im Teiler 1 dieses Produktes auf, so daß a = 1 und 5=1 gilt. Dies heißt aber, daß auch die ult a.2y •••, ßm durchweg ganzzahlig sind. Die vorstehenden Betrachtungen sind auf Funktionen von mehreren Variablen übertragbar. Wir denken eine Funktion (3) S. 5 dieser Art insoweit geordnet, daß die Glieder mit derselben «fc>on»biii«ltioia' X, u, v, ••• stets zusammengefaßt sind. Sind die Koeffizienten a;.)U, v,... durchweg ganze Zahlen, so wird ihr größter gemeinsamer Teiler wieder als Teiler der Funktion bezeichnet. Wir schließen den Fall des Teilers 1 nicht aus und nennen die Funktion in diesem Falle wieder primitiv, anderenfalls imprimitiv. Ist das Produkt zweier primitiver Funktionen selbst wieder primitiv, so folgert man wie oben daraus leicht den etwas allgemeineren Satz: Auch bei Multiplikation zweier ganzer Funktionen fix, y, z, •••), g(x, y, z, •••) mehrerer Variablen ist der Teiler des Produktes gleich dem Produkte der Teiler der Faktoren. Der Beweis wird durch den Schluß der vollständigen Induktion gefuhrt. Die Angaben mögen fur Funktionen von k Variablen zutreffen; dann lassen sie sich auch fur zwei Funktionen f und g von (k -j- 1) Variablen beweisen. Wir ordnen diese Funktionen nach abfallenden Potenzen von x •. f{x, y, z,---) = «o#n 4- «iz"-1 4- a2xn-2 -\ \~ an, g(x,y, z,---) = b0xm 4- 5^™-' 4- b2xm~2 4- 1- bm,
Satz von Gauß über Funktionen mit rationalen Koeffizienten, 7 wo also jetzt die a0. a1; • • •, bm Funktionen von k Variablen y, z, ••• sind, fur die der Satz bereits gilt. Das Produkt f-g ordnen wir entsprechend, so daß fur dessen Koeffizienten die obige Regel (l) zutrifft. Die weitere Schlußweise vollzieht sich genau wie vorhin: nur tritt an Stelle der Teilbarkeit bzw. Xichtteilbarkeit von Zahlen durch eine Primzahl p in leicht verständlicher Weise diejenige von Funktionen. Es werden in (1) zwar alle Produkte ür—rbs + i, ör-2^ + 2, •••, «r + i&s—1> ••• durchs teilbar sein, aber der Teiler von ar bs enthalt der Annahme gemäß den Primfaktor p nicht. Die Möglichkeit der Erweiterung des letzten Satzes auf Produkte einer endlichen Anzahl von Funktionen f(x, y,z, ■■ •), g (z, y,z,-- •)» h (x> </<z<"'\ '" mit ganzzahligen Koeffizienten ist unmittelbar einleuchtend. Als besondere Folgerung sei noch genannt: Das Produkt einer Anzahl con ganzen Funktionen f(x,y.z, • • •), g(x,y,z, •••), ••• mit gamzahligen Koeffizienten ist nur dann gleich 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 iöt *). Ist nämlich das Produkt gleich 0, so ist es durch jede Primzahl p teilbar, was jedoch nach unserem Satze nicht möglich ist, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist. § 3. Division ganzer Punktionen durcheinander. Wir kehren zu ganzen Funktionen einer Variablen mit beliebigen komplexen Koeffizienten zurück und legen zwei Funktionen: !f(x) = a0£m -l- a1xm~l -L a2xm~2 -j -\- am, cp(x) — b0xn -+- b^"-1 -\- b.2xn~2 -j- •■•-\-bn vor, von denen die erste durch die zweite dividiert werden soll. Ist der Grad m des Dividenden f(x) nicht kleiner als der Grad n des Divisors (p (x), so lehrt die Elementarmathematik ein der Division dekadischer Zahlen nachgebildetes Verfahren. Es fuhrt zu einem Quotienten g (x) und einem Divisionsreste h (x), wobei sich das Ergebnis in die Gestalt kleidet: f(x\ h(x) (2) M = 9(x) + <p\*y «*> = »<*>■»<»>+ »<*>• Der Quotient g (x) ist eine ganze Funktion (m — n)ten Grades : g{x) = -Xm~n+ -i — ±xm-n-Z- b0 o02 und der Rest h (x) ist eine ganze Funktion, deren Grad < n ist. Die Koeffizienten von g(x) und h (x) ergeben sich mittels rationaler Rechnungen aus den Koeffizienten der Funktionen (1). In den Nennern der betreffenden Ausdrücke treten nur Potenzen von 50 auf, und zwar im Höchstfälle bis zum Exponenten (m — n -\- L). Jedoch erniedrigt sich *) Es sei daran erinnert, daß die „Gleichheit" der Funktionen die Bedeutung ihrer „Identität" hat.
8 I, 1. Rationale Funktionen. dieser höchste Exponent um soviel Einheiten, als Glieder in (3) durch Vex*- schwinden der Koeffizienten ausfallen. Ist 60 = 1, so berechnen sich die Koeffizienten von g (x) und h (x) allein durch Addition, Subtraktion und Multiplikation aus den Koeffizienten der Funktionen (1). Dividiert man z. B. die ganze Funktion dritten Grades: (4) f{x) = a0x3 + öi#2 +■ °"ix +■ a3 durch ihre Ableitung: (5) f ix) = 3 a0 x2 4- 2 a, x + a2, so ergibt sich fur den Quotienten und den Rest: 1 Ö! Ga0a2 — 2 a, a 9ooa3 —^0, (6) # ix) = - a; -r --- , A (a) = — x -f --■■ <■> y «0 y a0 y a0 § 4. Division durch eine lineare Funktion. Die in (1), S. 4, gegebene Funktion fix) möge jetzt durch die Funktion ersten Grades oder lineare Funktion (x— a) dividiert werden. Der Quotient g ix) ist vom (n— l)ten Grade und der Rest.h ix) vom Grade 0, d. h. er ist eine von x unabhängige Größe c. Wir haben also: (1) tix) = ix — u)gix) + c. Benutzen wir fur g ix) die Bezeichnung: (2) g(x) = box»-' 4- bi &-*-[- MM~H h&»-i» so laßt sich die Gleichung (1) unter Entwicklung der rechten Seite so schreiben: fix) = &0zM4-(&i — ab0)x"-1 4-(b2 — ubx)xH-n- + ibs — ocb2)x"-3 -| • " T ibn — i «JyH_2)x -4- (c — «6w_i). Der Vergleich mit dem Ausdruck (l), S. 4, von fix) ergibt: (3) b0 = a0, bx — ab0 = alf b% — ubx = a2, •••, b-n-l «^m-2 = «w —1, C—«6W_! = aM, woraus sich für die Koeffizienten von g (x) und fur den Rest c die Darstellungen ergeben: ( b0 = a0, 6j = a0a -4- a,, b2 = a0a2 -\- axu -\- a2, •• •, (4) 5„_! = a0an_1-f ajan-2-f a2«n_3+ ••• + ö«-i, [ c = a0ocn 4- öj«"-1 4-a2«n_2 4 h^-i« + fl» = /"(«)• Insbesondere ist also c der Wert der Funktion fix) fur x = cc, so daß wir aus (1) die Folgerung ziehen: <-\ fjx) —f ja) (o) -x^T=9ix)-
Divisionen rationaler Fuaktioneii durcheinander. 9 Es sei jetzt speziell a0 = 1. Wir erklaren im Anschluß an die rechten Seitender n ersten Gleichungen (-1) diew spater zu benutzenden Funktionen: {f0(x) = 1, fz{x) = x + alt f2(x) = sfl + diX + dz, f3(x) = a;3 4_flla;2 + a2x -f «3l •••, /,n_1(a;) = x"-1 4-fl1a;n-- 4- ö2aj"-3 -+- ••• ■+- an-u fur die entsprechend den Gleichungen (3) die Rekursionsformel gilt: (7) fv(x) — xfv-1(x) = ay, v--- i, 2, ■•-, w-i. Löst man die Gleichungen (6) nach den rechts auftretenden Potenzen x° = 1, x, z2, •••, #n — l von #, so ergeben sich fur die^e Potenzen die Ausdrücke: (l=f0, x = f1-a1f0, z* = fü — a1f1+(a1*-ai)f0, (8) \a;3 = /s-aJoT^-fl^i+^ia^«!3-^/«, •••, die in den foiix,), f\{x). •••• fn-\(x) linear und homogen gebaut sind mit Koeffizienten, die sich durch Addition. Subtraktion und Multiplikation aus den a1; a2, •••, ci,i — i berechnen. Der Kurze halber sind in (8) die Argumente x der Funktionen f% (x) fortgelassen. Zufolge (8) kann man jede ganze Funktion höchstens (n— l)ten Grades h (x) in der Gestalt: (9) h(x) =ßofo(z) + (i1f1(x) + ßn-lfn-l(v) darstellen, wo die ß linear in den Koeffizienten von h (x) und durch Addition, Subtraktion und Multiplikation aus den a berechenbar sind. Wir schließen noch ein paar Bemerkungen über gebrochene rationale Functionen oder rationale Funktionen schlechthin an. Eine solche Funktion R(x) ist stets als Quotient zweier ganzer Funktionen F(x) und f(x) darstellbar. Fur die im Xenner stehende Funktion f(x) halten wir an der Darstellung (1), S. 4, fest und dürfen ohne Beschränkung der Allgemeinheit a0 = l setzen. Ist der Grad m des Zahlers F(x) der Funktion R(x) kleiner als der Grad n des Xenners f(x), so heißt R (x) echt gebrochen, anderenfalls unecht gebrochen. Auf eine unecht gebrochene Funktion R(x) können wir das Divisionsverfahren von §3 anwenden, das zu einer Darstellung: (10> _ *«-'# = ""» + $ fuhrt, wo der Quotient g (x) eine ganze Funktion des Grades (m — n) und der Divisionsrest h (x) eine ganze Funktion höchstens (n — l)ten Grades ist. Eine unecht gebrochene Funktion R{o) Lt demnach stets als Summe einer ganzen Funktion und einer echt gebrochenen Funktion darstellbar. Wenden wir auf die Funktion h(x) die Darstellung (9) an, so ergibt sien für F(x) die Gleichung: (11) F(X) = g(x)f(x) + ß0f0(x) + ß^M + ••• + ßn-lfn-l{x). Man erkennt in dieser Gleichung die Verallgemeinerung der Gleichung (9) auf Funktionen F{x) beliebigen Grades.
10 I, l. Rationale Funktionen. § 5. Teilbarkeit der ganzen Funktionen. Wir kehren zu den Funktionen (1), S. 7, und zur Gleichung (2) daselbst zurück. Die Restfunktion h{x) ist höchstens vom Grade («— 1), sie kann aber auch jeden niedrigeren Grad haben oder die identisch verschwindende Funktion sein (vgl. S. 4). Trifft der letzte Fall zu, so heißt f(x) durch cp (x) teilbar und cp (x) heißt ein Teiler von f(x). So ist nach S. 8 die Funktion f(x) durch (x — et) teilbar, falls f(oc) = 0 gilt. Es ist z. B. die Funktion (xm— 1) durch (x— 1) teilbar; in der Tat gilt die Gleichung: (1) X~^ =xm~ 14-^-24- ••• 4-z+ 1. Fur die Teilbarkeit der ganzen Funktionen gelten ähnliche Sätze wie für die Teilbarkeit der naturlichen Zahlen. Wir nennen insbesondere die leicht beweisbaren Satze: Ist f(x) durch cp (x) teilbar, cp (x) aber durch ty (x), so ist auch f(x) durch u> (x) teilbar. Ist f(x) durch cp (x) teilbar, und id F(x) irgend eins ganze Funktion, so ist auch F(x) -f(x) durch cp (x) teilbar. Ist jede der Funktionen fx (x), f2 (x) durch cp (x) teilbar, so gilt dasselbe von f\ (#) i f2 (x)- Ist jede der Funktionen fx (x), f2 (x), • • ■ durch cp (x) teilbar, und sind Fx{x), F2(x), ■■■ irgendwelche Funktionen, so ist cp{x) auch Teiler von: (2) Fl{x).fi{x) + F2{x)-f.2{z)+---- Der vierte Satz folgt durch Induktion aus dem zweiten und dritten, die er zugleich als Spezialfälle umfaßt. Ferner gilt der Satz: Jede FunMion f(x) ist durch sich selbst, sowie auch durch jede Funktion nullten Grades, d. h. durch jede von 0 verschiedene Konstante teilbar. Endlich merken wir noch den Satz an: Hat ein? Funktion f(x) einen Teiler gleichen Grades cp(x), so sind f(x) und cp (x) bis auf einen von 0 verschiedenen konstanten Faktor identisch. Der Quotient g(x) von f(x) und (p (x) ist nämlich in diesem Falle eine Funktion nullten Grades, d. h. eine von 0 verschiedene Konstante. § 6. Der größte gemeinsame Teiler zweier Funktionen/(sc) und q>{oc). Es seien wieder f(x) und cp (x) zwei ganze Funktionen, deren Grade m und n weiterhin ^> 0 und übrigens irgendwelche seien. Mittels beliebiger ganzer Funktionen F(x) und <&(x) bilden wir den Ausdruck: (1) F{x)f{x)±®{x)<p{x). Alle auf diese Weise aus den vorgegebenen Funktionen f(x) und cp (x) herstellbaren ganzen Funktionen fassen wir zu einem Funktionssystem zusammen, das wir mit g bezeichnen. Dem System g kommen folgende Eigenschaften zu: 1. Irgend zwei Funktionen von g geben addiert oder subtrahiert wieder eine Funktion von %.
Erklärung des größten gemeinsamen Teilers zweier Funktionen. H 2. Das Produkt einer beliebigen ganzen Funktion und irgend einer Funktion ion g liefert das wieder eine Funktion von %. In % tritt die identisch verschwindende Funktion auf, namhch z. B. für F(x) = cp(x), 0(x) = — f(x). Auch die Funktionen f(x) und cp(x) der Grade m und n treten auf. Bezeichnen wir mit v den „Minimalgrad", der bei den nicht identisch verschwindenden Funktionen von % auftritt, so ist also jedenfalls v ;< m und v <^ n. Eine Funktion des Minimalgrades v dürfen wir in der Gestalt: (2) %{x) = xv ^c1xv~i + c2rev-2H rcv annehmen; denn wir können jede solche Funktion noch mit dem reziproken Werte ihres höchsten Koeffizienten multiplizieren, ohne daß sie aufhört, dem Systeme g anzugehören. Es gilt der Satz: Die Funktion (2) des Minimal- grades v ist durch die beiden vorgegebenen Funktionen f(x) und cp(x) eindeutig bestimmt. Ist nämlich, falls v> 0 gilt, xv — c[xv~1 -| -j— c'^, irgend eine in % enthaltene Funktion des Grades v, so gehört zufolge der Eigenschaft 1 des Systems § auch die Differenz: (c[ — cj xv ~l 4- (CO — c2) xv~- -j- • • • -4- (c'„ — cv) dieser Funktion und der Funktion (2) dem System % an. Da diese Differenz aber den Minimalgrad v nicht mehr erreicht, so ist sie die identisch verschwindende Funktion, d. h. es ist xv -4- c[xv~1 ±- ••• -\- c'v gleich % (x). Fur v = 0 aber ist der aufgestellte Satz selbstverständlich. >/ Weiter gilt der Satz: Die FunUion %(x) ist ein gemeinsamer Teiler der Funktionen f(x) und cp (x). Fur v = 0 ist dies wieder selbstverständlich. Ist aber v ~> 0, so dividiere man f(x) durch %(x), was wegen v^m möglich ist und zu einer Gleichung: f(x) = g(x)%(x) + h(x), h(x) = f{x) — g(x)%(x) fuhrt. Der Divisionsrest h(x) ist infolge der letzten Gleichung im System § enthalten. Da h(x) aber den Minimalgrad v nicht mehr erreicht, so ist diese Funktion gleich 0, d. h. f(x) hat tatsachlich den Teiler % (x). Ebenso beweist man, daß cp(x) durch %(x) teilbar ist. Jeder gemeinsame Teiler von f(x) und cp (x) ist nach einem in § 5 aufgestellten Satze zugleich Teiler jeder Funktion von ^, also auch der Funktion %(x). Ein gemeinsamer Teiler von f(x) und cp(x) hat also entweder einen Grad < v, oder er ist (nach dem letzten Satze in $ 5) bis auf einen konstanten Faktor gleich %{x). Dieserhalb heißt die Funktion %{x) der größte gemeinsame Teiler der beiden Funktionen f(x) und cp(x). Wir lassen nun folgende Präzision der Sprechweise eintreten: Wir sprechen hinfort nur dann noch von einem größten gemeinsamen Teiler der Funktionen f(x) und cp(x), wenn der Fall v>0 vorliegt, während im Falle v =z 0 die Funktionen f(x) und <p(x) „teilerfremd'' oder ^relatk primu heißen sollen. Es ergeben sich dann die folgenden Satze: Sind die Funktionen f(x) und cp(x) teilerfremd, so lassen sich zwei ganze Funktionen F(x) und 0(x) so wählen, daß die Gleichung besteht: (3) F(z)nx) + &(x)<p(x) = 1.
12 I, 1. Rationale Punktionen. Haben aber die Funktionen f{x) und cp (x) den größten gemeinsamen Teiler X(x), so kann man die ganzen FunktionenF(x) und (D(x) derart bestimmen, daß die Gleichung gilt: (4) F(x)f{x) + <I>(x)(p(x) = %(x). Aus dem ersten dieser beiden Sätze kann man eine wichtige Folgerung ziehen- Ist das Produkt G(x)cp(x) der ganzen Funktionen G(x) und cp(x) durch f(x) teilbar, und sind (p{x) und f(x) teilerfremd, so hat G(x) den Teiler f(x). Bildet man nämlich fur f(x) und cp (x) eine Gleichung (3), so folgt durch Multiplikation mit G{x): (5) G (x) = G (x)F(x) ■ f(x) -r G(x)cp (x) ■ $ (x). Da nun f(x) und G(x)cp(x) den Teiler f(x) haben, so ist f(x) nach den Sätzen von § 5 auch Teiler des in (5) rechts stehenden Ausdrucks, d.h. Teiler von G(x). Weiter gelten die Satze: Bas Bestehen einer Gleichung (3) ist charakteristisch fur zwei teilerfremie Ftmktionen f(x) und cp(x). Haben aber f(x) und cp (x) den größten gemeinsamen Teiler % (x), und setzen wir entsprechend f(x) = x(x)- f\ (x), cp(x) = % (x) ■ cp1 (x), so sind f\ (x) und cp1 (x) tetler fremd. Der erste Satz ergibt sich aus § 5, insofern ein gemeinsamer Teiler von f{x) und cp (x) die „Funktion" 1 teilen mußte. Der zweite Satz ergibt sich aus dem ersten, wenn wir in (4) die eben mit f\(x) und cp1 (x) bezeichneten Funktionen einfuhren. Die beiden Funktionen F(x) und ^{x) in (3) und ebenso in (4) sind nicht eindeutig bestimmt. Ein erstes Paar F{x), <Z> (x) kann man offenbar durch das Paar: (6) F, {x) = F(x) -4- H(x)cp(x), 0», (x) = &(x)- H(x)f(x) ersetzen, unter H(x) eine beliebig wahlbare ganze Funktion verstanden. Ist der Grad M von 0(x) nicht kleiner als der Grad m, von f(x), so wählen wir, wenn die Anfangsglieder von <fr(x) und f(x) bzw. AqX^ und a0xm sind, insbesondere H(x) = üxM~m. Der Grad der Funktion <Z>! (x) ist dann sicher wenigstens um eine Einheit kleiner als der von <Z> (x). Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens kann man den Grad der zweiten Funktion unter m herabmindern. Es besteht nun folgender Satz: Sowohl im Falle der Gleichung (3) als auch bei der Gleichung (4) existiert ein Paar von Funktionen F(x), <&(x), deren Grade <w bzw. <m sind, und das im Falle der Gleichung (3) eindeutig bestimmt ist. Hat man durch das eingeleitete Verfahren eine Funktion <Z> (x) höchstens vom Grade (m — 1) erreicht, so folgt aus: F (x) f(x) = l — $(x)cp (x) bzw. = % (x) — 0> (x) <jp (x), daß der Grad von F(x) höchstens (n — 1) ist; denn der Grad von 0(x) cp(x) ist <I m-j-K — 1, und diese Ungleichung gilt auch für den Grad von 1 und den von x(x)- Sollte aber im Falle der Gleichung(3) noch ein zweites Paar von Funktionen Fx (x) und &i(x) existieren, deren Grade gleichfalls
Sätze über den größten gemeinsamen Teiler zweier Funktionen. 13 < n bzw. <m sind, so findet man durch Subtraktion der entsprechenden Gleichungen (3): [F, (x) - F(x)} ■ f{x) = [<Z> (x) - 0>, (x)] .<p(x). Das hier links stehende Produkt besitzt demnach den Teiler (p{x). Da aber f(x) teilerfremd zu <p(x) ist, so hat nach einem vorhin aufgestellten Satze [F^x) — F(x)] den Teiler cp (x). Indessen ist der Grad n von <p(x) größer als der Grad von [Fx (x) — F(x)]; also ist [i^ (x) — F(x)] die identisch verschwindende Funktion, d. h. es ist F^x) — F(x) und damit auch a>j(aO = 2>(;c). Im Falle zweier teilerfremden Funktionen f(x), cp(x) gehen wir nochmals zurück auf die Gleichung (5) fur eine beliebige ganze Funktion G (x). Schreiben wir hier fur die Produkte G(x)F(x) und G(x)0(x) abkürzend selbst wieder F(x) und &(x), so folgt: (7) G(x) = F(x)f(x)^-&(x)cp{x). Die Funktionen F(x) und 0(x) können hier wieder durch irgend zwei durch (6) gegebene Funktionen F-y (x) und (Dj (x) ersetzt werden. Man kann demnach auch wieder ein Paar von Funktionen F(x) und (fr(x) erreichen, von denen die zweite 0 (x) einen Grad < m hat. Auch gelingt es. ahnlich wie oben, zu zeigen, daß dieses Paar F(x), <P(£) eindeutig bestimmt ist: Sind f(x) und (p(x) teilerfremde Funktionen *o Jcann ntan jede ganze FunUion G(x) auf eine und nur eine Art in, der Gestalt (7) mittels zweier ganzer Functionen F(x) und (&(x) darstellen, ton- denen die zweite den Grad m von f'(x) nicht erreicht. § 7. Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier Funktionen. Zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers %v(x) zweier gegebener Funktionen fuhrt ein Verfahren fortgesetzter Divisionen, das man als den Algorithmus des größten goneinsamen Teilers bezeichnet. Das Verfahren besaht darin, daß der Divisor und der Rest der einzelnen Division den Dividenden bzw. den Divisor der folgenden liefert. Stehen die Grade m und n von f(x) und (p(x) in der Beziehung m 2> n, so teile man zuerst f(x) durch cp(x)*). Man gelaagt zu einer Kette von Formeln der folgenden Gestalt: f(x) = g{x)(p(x) -4-^(3), <p(x) = gMvM-Vzix), <p1 (x) = g., (x) cp2(x) + cpz (x), Der Grad von cpx (x) ist mindestens um eine Einheit kleiner als der Grad n von (p(x), und dasselbe gilt von je zwei aufeinander folgenden unter den Funktionen cpl (x), <p20), <p3(x), • • •. Das Verfahren kommt zum Abschluß, falls ein Rest vorliegt, der vom nullten Grade, d. h. eine von 0 verschiedene *) Andernfalls beginnt man mit der Division von (p(x) durch f(x). (1)
14 I, 1. Rationale Funktionen Konstante, oder die identisch verschwindende Funktion ist, was spätestens nach n Divisionen erreicht wird. Man stellt nun sofort fest, daß alle Funktionen (p1 (x), cp%{x), <p3 (x\ • • • dem in § 6 mit tf bezeichneten Funktionssystem angehören. Ist demnach der letzte Divisionsred eine von 0 verschiedene Konstaute, so liegt der Fall teilerfremder Funktionen f(x), <p (x) vor. Ist aber der letzte Divisionsrest mit 0 identisch, oder geht die letzte Division auf, so bringen wir den Prozeß (1) durch die Gleichungen: (2) 9V*-a(aO = gfl-1(x)(pu-1(x) + y^x), { 9V-1O) = gp(x)<pM(x) zum Abschluß. Hier ist dann der vorletzte Divisionsrest (pju{x), der eine Funktion eines von 0 verschiedenen Grades darstellt, zufolge der Gleichungen (2) gemeinsamer Teiler von <pa — 2(x) und (pß-±{%). Ist aber eine Funktion ein gemeinsamer Teiler zweier aufeinander folgender Funktionen (pk(x) und (pk + i (x), so ist er zufolge der (k -f- l)ten Gleichung (1) auch Teiler von (p1c_1(x). Somit ist cp^x) zufolge (1) auch Teiler von f(x) und <jp (x). Jetzt sind also f(x) und (p(x) nicht relativ prim, sondern haben einen größten gemeinsamen Teiler % (x) eines Grades v > 0- Da <pM{x) ein Teiler von %(x) ist, so ist der Grad von <Pfi(x) sicher <^ v. Da andererseits (p^ix) in g enthalten ist. so ist der Grad von (pu{x) sicher > v. Somit hat auch cp^c) den Grad v und ist nach dem letzten Satze von § 5 (S. 10) von %{x) nur um einen konstanten Faktor verschieden: Ist der letzte Divisionsrest die identisch verschwindende FunJction, so liefert der vorletzte Divisionbrest., iuit dem reziproken Werte seines höchsten Koeffizienten multipliziert, den in § 6 mit %{x) bezeichneten größten gemeinsamen Teiler der beiden vorgelegten Funktionen f(x) und cp(x). Die Koeffizienten aller im Formelsystem (1) auftretenden Funktionen ergeben sich mittels rationaler Rechnungen aus den Koeffizienten von f (x) und cp{x). Die Darstellungen der Funktionen (p^ (#), cp% (x),*£p3 (x), ... in der Gestalt (1), § 6 (S. 10), als Funktionen des Systems ^ finden sich aus (1) in folgender Gestalt: <po= —9i-f+(l+9ffi)-<P, <p3 = (1 -r 9i9*)■ f— (9 -r- 92 t 99i9-i) • <P, 9* =—(9i +9s +9i9ü93)-f+(1~ 9 9i+9 93~9z93+9 9i929s)-<P (3) Auch bei der in § 6 vollzogenen Reduktion der Grade der Funktionen F(x) und <Z> (x) kommen nur rationale Rechnungen zur Durchführung. Wir gelangen zu dem Satze: Die Koeffizienten des genieinsamen Teilers %(x) von f(x) und cp(x) sind rational in denen von f(x) und <p(x) aufgebaut; ebenso sind die Koeffizienten der Funktionen F(x) und <D(x) mit Graden < n und < m, die in Gleichung (3), § 6 (S. 11), für zwei teilerfremde
Algorithmus des größten gemeinsamen Teilers. 15 Funktionen f(x) und <p(x) auftreten, rational aus den Koeffizienten von f\x) und <p(x) berechenbar. Bei der Darstellung (7), § 6 (S. 13) eiaer beliebigen ganzen Funktion G(x) durch zwei teilerfremde Funktionen f(x) und (pix) kommen auch noch die Koeffizienten von G(x) in Betracht. Hier gilt der folgende Satz: Stellen wir mittels zweier teilerfremder Funltionen f(x), cp(x) eine beliebige ganze Funktion G{x) in der Gestalt (7), § 6 (,S. lö) in der Weise dar. daß der Grad von <D(x) kleiner als der Grad m von f(x) ist, so stnd die Koeffizienten von F(x) und <I>(x) rational in denen von f(x), <p(x) und G(x) aufgebaut. § 8. Resultante zweier Funktionen zweiten Grades und Diskriminante einer Funktion dritten Grades. Als Beispiel betrachten wir erstlich zwei Funktionen zweiten Grades: (1) f(x) =: aoic2 + a^x-^r a.2, (p{x) = b0x2 — b^x + 52. Der erste Divisionsrest, mit — b0 multipliziert, ergibt: (2) (a0 &! — a1 b0) x — (o0 b.2 — a.2 b0). Ist a0 5j — a1b0 = 0, so ist der Algorithmus bereits beendet. Gilt dann weiter a0b.2 — a2b0 =fz 0, so sind die Funktionen (1) teilerfremd. Ist aber auch noch a0b2— a2b0 = 0, so gilt: a0:a1: a2 = 6o : bl: b2, und die beiden Funktionen (1) sind bis auf einen von 0 verschiedenen konstanten Faktor gleich (d. i. identisch). Fur a0 &J — otj b0 qfc 0 kommt der Algorithmus beim zweiten Schritt zum Abschluß. Wir wollen zunächst eine Bedingung dafür aufstellen, daß der zweite Divisionsrest verschwindet und also f(x) und (p(x) die lineare Funktion (2) als größten gemeinsamen Teiler haben *). In diesem Falle ergibt sich, wenn wir x' = — als neue Variable einführen, aus (2) x für die beiden Funktionen a2x'2 + a1 x' + o0, b2x'2 -f- 5j x' + &0 auf Grund einer leichten Überlegung der größte gemeinsame Teiler: (3) (a0 b2 — «2 K) x' -f (ao &i — «i &o)- Rechnet man aber für die beiden neuen Funktionen zweiten Grades nach dem Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler aus, so findet man entsprechend der Gleichung (2) nach Zeichenwechsel: (alb2 — a2bx)x' + (a0 b2 — a2b0). Diese Funktion ist also bis auf einen von 0 verschiedenen konstanten Faktor mit der Funktion (3) gleich, d. h. es gilt. (4) (a0 b2 — a2b0f -f (öl 50 — a0 bj (avb2 — a2 ^) = 0 oder in entwickelter Gestalt: (5) a$b$ + a22b$-2a0a2b0b2-a0a1b1b2-aia2b0b1 + aüa2b'( + a126062 = 0. *) wenn auch noch nicht mit dem höchsten Koeffizienten 1 versehen.
16 I. 1- Rationale Funktionen. Der auf der linken Seite dieser Gleichungen stehende Ausdruck wird die Resultante der beiden Funktionen (1) genannt. Bezeichnen wir sie mit R, so zeigt eine leichte Rechnung bei Fortsetzung des Algorithmus als zweiten Divisionsrest: Nehmen wir noch hinzu, daß in dem bereits vorhin erledigten Falle ao^j—ax 60 — 0 die Resultante R = (a0b.2— a2b0)'2 ist, so folgt: Ist die Resultante R der leiden Funktionen (1) von 0 verschieden, so sind diese Funktionen teüerfremd; iöt R = 0. öo haben t>ie einen größten gemeinsamen Teiler ersten oder zweiten Graden. Als zweites Beispiel möge die schon am Ende von § 3 (_S. 8) betrachtete Funktion dritten Grades und ihre Ableitung dienen: (7) f(x) = a0x3 -j- a^j? -j- a.2x -\- a3, <p(x) = 3a0 c2 -f- 2a1 x 4- a2. Nach der Gleichung (6) daselbst ist hier der erste Divisionsrest: . . 6a0ao — 2a,2 9a0a, — a,a2 (8, ,lW = _,._.. ,_ -^ . Gilt jetzt 3a0a2 — a^ = 0, so ist der Algorithmus schon beendet. Die beiden Funktionen (7) sind dann teilerfremd, wenn 9a0a3 —a1a.2 qfc 0 ist; im Falle 9a0a3 — a^a* = 0 haben sie aber cp(x) selbst zum größten gemeinsamen Teiler. Ist 3öö«2 — a\~ ^ 0, so haben wir weiter <p(x) durch die lineare Funktion ,x) = 2 (3 aoa, - fll«) _ = flla? -_9_«0a^ ^1W 9a0 2(3«0a2 — a,2) zu teilen und erreichen damit den Abschluß des Algorithmus. Der Divisionsrest ist nach §4 (S. 8), abgesehen von einem von 0 verschiedenen konstanten Faktor, gleich <p(«)- Gilt <p(u) qfc 0, so sind die Funktionen (7) teilerfremd; dagegen haben sie die Funktion (8) zum größten gemeinsamen Teiler, wenn <p(«) = 0 ist. Diese Gleichung ergibt, mit 4(3u0a2— a{2)2 multipliziert: Sa0(aia2 — 9 a0a3)- -f 4 a^a^a^ — 9a0a3)(3aoa2 — a-f) -f- 4 a2 (3 a0 «2 — a^)2 = 0. Wie man sieht, ist sie auch in dem schon erledigten Falle des Verschwinden s von (3ötoao — a{-) charakteristisch für das Auftreten eines größten gemeinsamen Teilers der Funktionen (7). Die letzte Gleichung laßt sich nach Entwicklung der linken Seite durch den von 0 verschiedenen gemeinsamen Faktor — 9 a0 aller Glieder heben und liefert hiernach: (9) a^aj— 18 a0 a^ «3 — ±a0a.23 — ±ax*a3 — 27 a02a^ = 0. Der hier links stehende Ausdruck in den Koeffizienten a heißt die Dis- kriminante der Funktion dritten Grades f(x). Wir haben den Satz: Ist die Diökrimlnante der Funktion f(x) von 0 verschieden, so ist f(x) gegen
Diskriminante einer Funktion dritten Grade» 17 ihre Ableitung <p(x) teilerfremd] verschwindet die Diskriminante. so haben f(x) und <p(x) = f'(x) entweder die lineare Funltion: (10) 2(3a0a2 — a\-)%-\- (9a0a3~a1a2i als größten gemeinsamen Faktor, nämlich wenn oa0a2 — «i2 qfc 0 tbt, oder aber die Funktion (p{x) selbst, nämlich tvenn 3a0a2 — a^ =- 0 gili. § 9. Produkt von n linearen Funktionen und binomischer Lehrsatz. Das Produkt der «linearen Funktionen (x — ax), (x — oc2), {% — <*3), • • •, (x — ccn) ist eine Funktion nlcn Grades mit dem höchsten Koeffizienten 1: (1) (x — «i)(# — «2)' " (x — an) = %n -\- alxn~~l -j- a2xn~2 -j-' \~ an- Die Koeffizienten ar a2, •••, an berechnen sich aus den ux. «2, ••-, k„ in der Gestalt: ( — al = «! -r «0 -f- «3 -+- • • • -\- ocn, ,9\ j -\- a2 = ct1cti-)-u1oi3— -«!«„-}-«,a3-L«2a4 H p «„_!«„, [(— \)na„ = «!«2a3 •• • «n oder, mit dem Summenzeichen geschrieben: (3) — öj = ^T«,, -f^ = ^T«^, — a3 = V«t«^«i, ••• »^1 i,k t.k.l Es ist also —a1 die Summe aller a.lt a2, •••, «n, ferner ist -4- a.2 die Summe aller verschiedenen Produkte der « zu zwei verschiedenen Faktoren, — a3 ist die Summe aller verschiedenen Produkte der « zu je drei verschiedenen Faktoren usw. Die Anzahl aller verschiedenen aus den ult «2. •••, an herstellbaren Produkte zu je v Faktoren möge durch das Symbol ( " ) bezeichnet werden. Dann ist zunächst unmittelbar einleuchtend, daß I '■! ) = n und I") = 1 ist. Man beachte ferner, daß, wenn v irgend eine der Zahlen 1, 2, • • •, % — 1 ist, dem einzelnen Produkte zu v Faktoren « ein Produkt zu.(w — v) Faktoren umkehrbar eindeutig entspricht, nämlich das Produkt der übrigen (n — v) Zahlen «. Fur die Anzahlen (" j gilt also die Regel- ^ (;) = (»-*)• wo v eine beliebige Zahl der Reihe 1, 2, • • •, n — 1 ist. Damit die Regel (4) auch für v = n gilt, erklaren wir das bisher noch nicht benutzte Symbol ( q j, das den Wert 1 haben soll. Haben wir (n -\- 1) Zahlen al5 a2, •••,«»). 1 und bilden die Produkte zu v Faktoren, so wollen wir diejenigen Produkte, die den letzten Faktor un + j nicht enthalten vorwegnehmen; es sind dies die I p ) Produkte zu je v Faktoren Pricke, Algebra. I. 2
18 I, 1. Kationale Funktionen. aus der Reihe a1? a2, •••, «„. Der Rest der Produkte entsteht aus den iv — \) Paukten zu je (v— 1) Faktoren der Reihe a1? a2, •••, ccn jeweils durch Zusatz des Faktors «„ + 1# Hieraus geht für unser Anzahlsymbol die Regel hervor: (« ("V) = 0+ (.!>)■ Die Regel (5) gestattet aus den Anzahlen I " J die Anzahlen ("!')• ("t1). •- ("t1) zu berechnen, während I n T 1 = 1 und ( n ~T . J = 1 ja schon bekannt sind. Wir können auf diese Weise aus den Zahlen Iq] = 1, Lj = 1 nach und nach unsere Symbole für n = 2, ?<. = 3, n = 4, • • • berechnen. In den Zeilen des nachfolgenden dreieckigen Schemas sind die Werte der ( ^ ) fur die ersten sieben Anzahlen n zusammengestellt; in der ersten Zeile ist noch der Wert 1 eines neu zu erklärenden Symbols (q) hinzugefugt, das in den weiter folgenden Formeln auftritt: 1 1, 1 1, 2, 1 1. 3, 3, 1 (6) 1, 4, 6, 4, 1 1, 5, 10, 10, 5. 1 1, 6, 15, 20, 15. 6, 1 1, 7, 21, 35, 35. 21, 7, 1 Das Produkt 1 • 2 • 3 • • • k der k ersten natürlichen Zahlen heißt die Fakultät von k oder kurz „k-Fakultät* und wird durch kl bezeichnet. Wir erklaren das Symbol /:! auch für k = 0, indem wir 0! = 1 setzen. Dann gik der folgende Satz: Die Anzahl I") itt in der scheinbar gebrochenen Gestalt darstellbar: (n , == n• _ = «_(n — l) (n — 2)_- ■ • [>i — v + l) {l) \vj vl(n — v)l "" " 1-2-3 ---v Die zweite, nur fur v > 0 gültige Gestalt ist eine unmittelbare Folge der ersten. Die Richtigkeit der ersten Gestalt (7) von |" J ist fur v = 0 und v = n einleuchtend. Außerdem bestätigt man die Regel (7) leicht fur die im Schema (6) angegebenen ("j. Die allgemeine Gültigkeit folgt auf
Binomialkoei'fizienten und binomischer Lehrsatz. 19 Grund von (5) durch den Schluß der vollständigen Induktion. Die Regel (7) gelte fur irgend ein n. Dann folgt aus (5) für m = n -\- 1: fvn\ _ ^ , «! \vj v\(n — v)\ "^ (v — l)!(w — v 4- 1)! *<■ / 1 , 1 \ _ (>* + !)•»•' (y—l)!(n — v)!\v « — v -f-1/ v\(n-\-l—V)\ v\ (m— v)\ Die Regel (7) gilt also in der Tat auch noch im nächsten Falle m = n -\- 1 und damit-allgemein. Setzt man insbesondere ax = «2 = «3 = • • = «„=: — _</, so folgt aus (3): , s und aus (1) ergibt sich der binomische Lehrsatz: (8) {x + y)» = xn+ (^"-iz + foW-Vt-' -fy" oder entwickelt: (9) (jc + 2/)n = ^n + nx"~ly ~ ' ' £n - - y2 -f • • • -f j/r'. Zufolge (7j können wir auch schreiben: (10) (x + y)» = *! V -,—"f = *! V *-"<, wo sich die letzte Summe auf alle Zerlegungen w = tu -j- v von w in zwei nicht-negative ganze Zahlen u,v bezieht. Der Koeffizient I") wird hinfort der vu Binomialkoeffizieut der nten Potenz genannt. Wir notieren noch einige bemerkenswerte Beziehungen zwischen Binomialkoeffizienten. Aus (5) ergibt sich die Formelkette: (;i!)=(;)-i^1).ü;I)=(";1i-(;:!).(;;i,)=i";2i-(;:f> Hieraus folgt: Fur die Binomialkoeffizienten gilt die Regel- (") (;:!) = (;)-(*;I}+(";V-+(vi1)+(')- Weiter setze man in: (y-iY = (S) y» - (?)*-> + (?) *-« -■■■ + (- ir ;'ü) fur y das Binom (x -j- 1) und findet: «h = (S)(*+i)"-(?)^-ir-1 + (S)(Ä-ri)"-»-- + (-i)n(j). 2*
20 I, 1- Rationale Funktionen. Ordnet man die rechte Seite unter erneuter Heranziehung des binomischen Lehrsatzes nach fallenden Potenzen von x, so muß der Koeffizient von xv für alle Exponenten v = 0, 1, 2, •••, n— 1 verschwinden: (s) W-(7)(.:riv)+(;)(.-ü.) — (- ir-WO;)=o- Wenden wir auf alle hier auftretenden Binomialkoeffizienten die Regel (4) an, so folgt bei Umkehrung der Gliederanordnung und Multiplikation mit (— i)»-v der Satz: Für alle Zuhlen v = 0, 1, 2, • • •, n — 1 gilt die Hegel: (^WO-UOC;^^^)--^-»-(:)(:) = - Man bestätige die Regeln (11) und (12) am Schema (6). § 10. Lösung einer Interpolationsaufgabe. Die eben angegebene Gleichung (12) findet Verwendung bei der Lösung einer Aufgabe der Interpolationsrechnung: Es soll eine ganze Funktion nten Grades f(x) =■ a^x* -\- a1xn -1 -\- • •• -\- an bestimmt werden, die für irgendwelche (n -\- 1) verschieden gewählte Werte u0, ctv a2, •••. an von x die vorgeschriebenen Werte f(oc0), /'(^i)-, f{ai)i "•■> /"(««) annimmt. Es wird sich zeigen, daß es eine und nur eine solche Funktion / (x) gibt. Durch Berechnung der Funktion f(x) werden die Funktionswerte f(x) für die übrigen x zwischen die vorgeschriebenen /'(«o)i /Xai)i ••* eingeschaltet oder, wie man sagt, „interpoliert" "*). Die Aufgabe soll zunächst nur fur den Fall behandelt werden, daß a0 = 0, «i = 1, «2 = 2, •••, an = n gilt und also die Funktionswerte /'(0), /(l), f(2), ■'-, f(n) gegeben sind. Zur Lösung der Aufgabe nehmen wir eine Erweiterung des Symbols I *M vor, indem wir im Anschluß an (7), S. 18, bei variablem x für v = 1, 2, 3, ••• das Symbol (x) durch: (1) 0- x(x — l)(x—2). --{x — v- 1) 1-2-3 ---v erklaren, während (0) konstant^ 1 sein soll. Hiernach ist ( I eine ganze Funktion vten Grades von x, die für x = 0, 1, 2, • • -, v—1 den Wert 0 hat und für jede natürliche Zahl n ^> v den ganzzahligen Wert I " J annimmt. Aus (1) können wir einen Ausdruck von xv als Summe von v\ 1^1 und einer gewissen ganzen Funktion (v—l)ten Grades gewinnen. In diesem Ausdrucke können wir die nächst niedere Potenz xy ~ J entsprechend durch (V^_A nTt^ niedere Potenzen von x darstellen. Indem wir so fortfahren und das schließlich verbleibende Absolutglied mit 1 = ( q ) multiplizieren, ergibt sich eine Darstellung von xy in der Gestalt: (2) ^ = «'.(j)+o1(>,I1) + Cs(vi2)+... + ov(j) *) Man beachte, daß sowohl die « wie die f(a) beliebige komplexe Zahlen sind.
Interpolation mittels einer ganzen Punktion. 21 mit von x unabhängigen Koeffizienten c. Es ist demnach auch möglich, jede ganze Funktion nten Grades f{x) durch die (n —-1) ersten Funktionen ( ^ j in der Gestalt: (3) ^) = ^(g)+-&i(f)+6a(S)+-+6»(;) mit konstanten Koeffizienten b darzustellen. Diese Gestalt (3) wollen wir nun fur die in unserer Aufgabe gesuchte Funktion f(x) berechnen. Durch Eintragen von x — 0, 1, 2, • • •, n in (3) folgt: ff(0) = 60(g), Ai) = 6o(i) + 6i(l), l4) A2) = 6,(g)4-61(f)4-62(l), ( f(n) = &o(o) +*i (?) + &» (2) + -• + **(")> wo links die {n -\- 1) gegebenen Funktionswerte stehen. Man wolle nun die (fi -j- 1) ersten Gleichungen (4) bzw. mit (S). -(?)■ (S). -(«)■ -• (-M?) multiplizieren, sodann addieren und rechts jeweils die Glieder mit dem gleichen b zusammenfassen. Man findet die b0, bx, b2, •••, &^-i mit Klammerausdrücken multipliziert, die zufolge der für [i an Stelle von n gebildeten Gleichung (12), § 9 (S. 20), durchweg gleich 0 sind: (g)Ao)-(?)m)+(§)/p(2)-...+(-i)-(2)w = M-i)^)(2)- Zur Umgestaltung der linken Seite bediene man sich noch der Relation (4), § 9 (S. 17) und gelangt so zu folgender Lösung der gestellten Interpolationsaufgabe: Die gebuchte ganze Funktion nten Grades hat in der Gestalt (3) die nachfolgenden Koeffizienten : (5) 6„=(g)^)_(f)^_i)_r(g)^_2)-...+(-l)^)f(0) Zu dem gleichen Ergebnis fuhrt die Behandlung unserer Aufgabe mit ein paar einfachen Sätzen der „Differenzenrechnung". Ist f(x) irgend eine ganze Funktion »ten Grades, so ist f(x -\- 1)—f{x) eine ganze Funktion (n — l)**11 Grades, die wir als die „Differenz" der Funktion f(x) benennen und durch z/ f(x) bezeichnen: (6) 4 f(x) = f(z+1)-f(x), so daß z/ das Symbol für die Bildung dieser Differenz ist *). Für die Differenz einer Summe f(x) -\- g (x) -\- h (x) -\- ••• von Funktionen und für *) Allgemein bezeichnet man als „Differenz" irgend einer Punktion f(x) den Ausdruck J f(x) = f(x-\-h) — f(x), wo h beliebig gewählt ist.
22 I, 1. Rationale Punktionen. die eines Produktes einer Konstanten c und einer Funktion f(x) gelten die leicht beweisbaren Regeln: (7) 4[f(x) -rg(x) -f h(x) +•••] = 4f(x) + 4g(x) + 4 h(x) -f ••-, (8) 4[cf(x)] = c-4f(x), die bekannten Grundregeln der „Differentialrechnung" entsprechen. Auch gilt hier der Satz: Die Differenz einer Funktion nullten Grades, d. h. einer Konstanten ist 0. Als Beispiele notieren wir: w ^[(J)] = (vli). <*[(S)] = o. (->«)■ Die erste Formel (9), die sich leicht aus (1) ergibt, entspricht der Regel (5), § 9 (S. 18). Die Bildung der Differenz der Funktion z/ f(x) führt zu einer Funktion (n — 2)ten Grades z/ [z/ fix)], die wir abkürzend durch z/2/'(#) bezeichnen und „Differenz zweiter Ordnung" oder „zweite Differenz" von fix) nennen. Entsprechend erklaren wir die Differenzen der weiteren Ordnungen zf3f(x), Zl*f(x), • •-. Die an (6) anzuschließende Rechnung liefert folgende Darstellungen dieser Differenzen höherer Ordnungen: 4* f(x) = f(x + 2)- 2 f(x -f 1) -f- A'*J, #^) = f(^3)-3f(.|2) + 3f(iTl)-f(4 Allgemein zeigt man leicht unter Benutzung von (5), § 9 (S. 18), durch den Schluß der vollständigen Induktion: (10) 4«f(x) = fix-}- a) - |>) f{x + ii - 1) -+- (g) /"(a? + tu - 2) + (-l)ttA*). Wir gehen nun auf die Gleichung (3) zurück und üben die Operation z/ mit Benutzung der Regeln (7), (8) und (9) wiederholt aus: /(*) = &o(s)^(?)Wj) + ---^M*)' ^ /-u) = fci (u) -f &2 (;) + •• • - k (M i,), ^f(aj) = &2(o)+---+&«(«-2)' z/-V(*)=^-.(S)-1-^^), Setzt man rc = 0, so ist (S) = 1, (o) = (.) = ... = (.) = 0 einzutragen. Es folgt: (11) b0 = fi0), 51==z//-(0), b2 = 4*f(0), •••, 6„=z/V(0), womit wir, wie aus der Gleichung (10) hervorgeht, auf das Ergebnis (5) zu ruckkommen.
Differenzen höherer Ordnung einer Funktion / (x). 23 Übrigens folgt aus den vorstehenden Darlegungen, daß unsere Aufgabe nur in einer Weise lösbar ist. Jede die Aufgabe losende Funktion nten Grades f(x) ist nämlich in der Gestalt (3) darstellbar. Die Koeffizienten bo, 5j. •••, b„ sind dann, wie die ersie oder zweite Methode zeigt, notwendig in der Gestalt (5) durch die Werte f(0), f(l). • • •, /'(«) eindeutig gegeben: Es gibt eine und nur eine ganze Funktion ntcn Grades f(x), die für n = 0, 1, 2, •••, die (w-fl) willkürlich vorgetchrielenen Werte f(Q), f(l), f(2), ••-, f(n) annimmt. § 11. Arithmetische Reihen höherer Ordnung. Die letzten Darlegungen gestatten eine bemerkenswerte Anwendung auf die Lehre von den arithmetischen Reihen höherer Ordnung. In: (1) w0, «*ls w2, u3. ■•■ sei irgend eine Reihe unbegrenzt vieler Zahlen vorgelegt. Auf diese Reihe wenden wir die Differenzbildung in derselben Art an wie in § 10 auf die Funktionenreihe f(x), f(x-\~ 1), f(x -(-2), ••• Die zur Reihe(1) gehörende Reihe der Differenzen z/. genauer der Differenzen erster Ordnung z/(1). ist: (2) z/0 — Wj — u0. zJ1=u.2~u1, z/.2 = w3 —w2, •••• Wenden wir auf diese Reihe erneut die Differenzbildung an. so erhalten wir die zur Reihe (l) gehörende Reihe der Differenzen ziceiter Ordnung: (3) z/f = z/j — z/0, z/f = z/2 — z/j. zJf> = z/3 — z/2. • • • und finden in entsprechender Weise fortfahrend eine zu (1) gehörende Reihe von Differenzen nier Ordnung'"): { z/W = z/(" -1> — z/1" -l> z/S") = z/(" -1) — z/<» -1) {} { z/w = z/^-z/(ri), .... Wie in § 10 zeigt man leicht durch den Schluß der vollständigen Induktion als Darstellung der Differenz wter Ordnung z/^ in den Gliedern der Reihe (1): (o) z/(;) = ^_v-(^)^„v_1-f fyun^v_2 {-iruv. Wir fanden soeben einer beliebigen Reihe (1) eindeutig die Reihen (2). (3) usw. der Differenzen erster und höherer Ordnung zugehörig. Umgekehrt folgt aus: w0 -f z/0 — z/j f4 ^p^T ^-"277^= «t-,, daß nach irgendwie gegebener Reihe (2) der ersten Differenzen und frei gewähltem u0 eine Reihe (1) eindeutig mitbestimmt ist. Da in derselben Art jede Reihe z/tf"1', ^~l\ z/^'-D, ••• durch ihr Anfangsglie-i /l^~x> und die folgende Reihe z/®. z/®. z/W, • • • bestimmt ist, so ergibt sich der Satz: Bei willkürlicher Auswald der Reihe der Differenzen nter Ordnung ■*) Die oberen Indize», die die Ordnungen anzeigen, sind hier eingeklammert, um die Verwechslung mit Potenzexponenten zu vermeiden.
24 I. 1- Rationale Funktionen. z/w 4f\ Jf\ ■ ■ ■ und gleichfalls willkürlicher Wahl der 4%~'\ zJ[a~2\ ■■■ z/(02), z/0, w0 ist dets eine zugehörige Reihe v0, Wj, u2, •■■ eindeutig mitbestimmt. Diese Berechnung der Reihe (1) kann man auch in der Weise leisten, daß man zunächst die Gleichungen: Z/^1) = «j — W0, ^T = m2 — 2 %h -f tt0, Jf = i,3 — 3 Mo 4- 3 m, — «0, (6) z/^-D = «„_! - ("T1)«».,, -4- ... 4- (- i)»-iMü nach den «tj, w2, ■ ■ ■, un — \ löst und dann die ti„, un + 1, ■■■ auf rekurrentem. Wege aus den für v = 0,l,2,---zu bildenden Gleichungen (5) feststellt. Da sich die beiden Zahlensysteme u0, uv u.2, •■-, un—\ und u0, z/W, z/(02), ■■-, zJ^~1) gegenseitig eindeutig bestimmen, so kann man auch sagen: Bei willkürlicher Auswahl der Reihe der Differenzen nter Ordnung zJtf\ z/^, zJ{"\ ■ ■ ■ und gleichfalls ivillkürlich gewählten Anfangsgliedern u0, u1: ■■-, un — 1 ist die ganze Reihe (1) eindeutig bestimmt. Sind die Differenzen erster Ordnung (2) alle einander gleich und gleich dem von 0 verschiedenen Werte z/, so heißt die Reihe (1) eine „arithmetische Reihe" des Anfangsgliedes u0 und der Differenz z/. Statt durch u0 und z/ kann die Reihe auch durch die beiden Anfangsglieder u0. v1 gegeben werden. Hieran schließt sich folgende allgemeine Erklärung: Die Reihe (1) heißt eine ari'hmetische Reihe nter Ordnung, wenn die Differenzen nu'r Ordnung z/l0 \ z/(j"\ z/(^, ■•■ alle ein und denselben ron 0 verschiedenen Wert zAn) haben. Fur eine arithmetische Reihe höchstens nter Ordnung gilt dann das Gesetz, daß alle Differenzen (n 4- l)ter Ordnung verschwinden. Nach dem letzten Satze ist eine arithmetische Reihe ntei Ordnung durch ihre n willkürlich gewählten Anfangsglieder W0, ux, ■■■, w„_! und die gleichfalls willkürlich gewählte, jedoch von 0 verschiedene Differenz z/('() eindeutig bestimmt. Da bei gegebenen u0. u^ •■-. w„_i infolge der fur v = 0 geschriebenen Gleichung (5) die Angabe von uu mit der von z/'0r" gleichwertig ist, so können wir auch sagen: Zu irgendwelchen (n -\- 1) allein der Forderung: (7) 'i»-(j)Mw-1-r(?)«H-2-- --r(-l)BMo=^0 genügenden Anfangsgliedern u0, w1; • •<, un gibt es stets eine und nur eine arithmetische Reihe nier Ordnung *). Die vorstehenden Entwicklungen hängen eng zusammen mit den Rechnungen in § 10. Wir erinnern zunächst daran, daß jede ganze Funktion wten Grades f{x) auf eine und nur eine Art in der Gestalt (3), *) Die Bedingung (7) gewährleistet, daß die Reihe nicht bereits einer Ordnung < n angehört.
Arithmetische Reihen höherer Ordnung. 25 S. 21, mit nicht verschwindendem bn darstellbar ist *). Wir erinnern ferner daran, daß die Differenz wtör Ordnung Zlnf{x) einer ganzen Funktion uten Grades konstant und von 0 verschieden, nämlich gleich bn ist. Es besteht nun der Satz: Jede ganze Funktion nten Grades f(x) liefert in ihren Werten für x = 0, 1, 2, ••• eine arithmetische Reihe nteT Ordnung: (8) u0 = f(0), u, =Al), «2 = /"(2), •-• Fur diese Reihe (8) gilt nämlich zufolge (5) sowie der Gleichung (10). § 10 (S. 22), allgemein: (9) ^ = Auf(v) und also insbesondere zJ(". = bn zfz 0. Der Satz ist umkehrbar: Zu jeder arithmetischen Reihe nter Ordnung gibt et> eine ganze Funktion ntm Grades fix), die die Reihe nach Vorschrift von (8) erzeugt und demnach die „erzeugende Funktion" der Reihe genannt iceräen soll. Eine beliebige arithmetische Reihe niei Ordnung ist nämlich durch ihre an die Bedingung (7) gebundenen Anfangsglieder u0, ult u.2, •••. un eindeutig bestimmt. Nach £ 10 gibt es eine und nur eine ganze Funktion nteD Grades, fur welche f(0), f(l), f(2),---, f(n) die hier vorliegenden Werte u0, uu u2. ••; uH sind. Der Grad n liegt wegen (7) und (ö), § 10 (S. 21), wirklich vor. Diese Funktion f(x) liefert nach Vorschrift von (8) eine arithmetische Reihe ntei Ordnung, welche keine andere als die hier vorgelegte Reihe sein kann, denn sie hat die richtigen Anfangsglieder u0, tilf ti2. ••-, un. Der Wert der vorstehenden Darlegungen besteht darin, daß sie die Summierung der arithmetischen Reihen höherer Ordnung ermöglichen. Es sei eine arithmetische Reihe nteT Ordnung u0, wlf w2, ••-. mit der durch die Gleichung (3), § 10 (S. 21), gegebenen erzeugenden Funktion f (x) vorgelegt. Wir setzen: S0 = 0, Sm = U0 — Mj — U2 — U,n- i , m > 0 und haben in s0, s1; s2, ••• eine Reihe, deren Differenzen erster Ordnung die vorgelegte Reihe w0, u-^, u2, ••• bilden. Demnach haben wir in S0, bv S2,--- eine arithmetische Reihe (n — l)ter Ordnung, deren erzeugende Funktion (»-r l)ten Grades F(x) wir, da F(Q) = S0 = 0 ist, in der Gestalt- FM = «,(f)^(f)—-^«.+.(,4.,) ansetzen. Die erste Differenz von F(x), die nach (9), § 10 (S. 22), durch: ^/J?'(x) = c1(o)-c«(f)+*--rCH + i0 *) Gäbe es noch eine zweite solche Darstellung mit Koeffizienten b'u, b[, ••,^, »0 würde, wejm wir b'0 — b0 = c0, b[ — 6j = clt ••• setzen, in *(?) + *(?)+-•• + «.$ eine Darstellung der identisch verschwindenden Funktion vorliegen. Wäre hier ck(k) das höchste wirklich auftretende, d. h. nicht verschwindende Glied, so hatte die identisch verschwindende Funktion den höchsten Koeffizienten t-, was nicht zutrifft.
26 I, 1. Rationale Funktionen gegeben ist, stellt diejenige Funktion nien Grades dar, die nach der Regel (9) fur x = 0. 1, 2, •••. n die Differenzen erster Ordnung u0, u1: ••-, un der Reihe s0, Sj. s,, • • • liefert. Also ist zJF(x) unsere Funktion f(x) mit der Darstellung (3). § 10 (S. 21), und da diese Darstellung nur in einer Art möglich ist, so gilt cl = b0, c2 = bv •••: Die erzeugende Funktion F(x) der Reihe s0, sv s2. ••• ist: (10) F(x) = K{fj -li[i)-bi(i)-r-~l>»(vl]). icoUi wie b„ nach (5), § 10 (S. 21), und {8) gegeben bind durch: (11) lv = u,, — (iJm^-i - [o)itr-i (—l)"tto: die Summe der m ersten Glieder der Reihe ?<0, wn %, ••• id nun einfach gegeben durch: ri, x th -r- ih ~u-2 w«_i = F{m). Man wähle als Beispiel f (x) = x3 und beweise die Gleichung: 13 _L. 9o ._ 33 _ nm_-^_l)mj nach der die Summe der tn ersten Kubikzahlen gleich dem Quadrat der Mien Trigonalza.nl ist. § 12. Polynomischer Lehrsatz. Der letzten Gestalt (10), S. 19, des binomischen Lehrsatzes entspricht die folgende Fassung des polt/nomischen Lehrsatzes: Die wte Potenz eines beliebig vielgliedrigen Polynoms (x — y — z- ) ist entwicklungsfähig in der Gestalt: wo sich die Summe auf alle Zerlegungen: \2) n = "/. — (i + v des Exponenten n in nicht-negative ganze Zahlen Ä. a. v. ••• bezieht. Fur zweigliedrige Summen kommen wir auf den binomischen Lehrsatz zurück Den Beweis der Gleichung (1) fuhrt man durch den Schluß der voll- standigen Induktion. In ^ 1) liege ein w-gliedriges Polynom vor. Fur alle Polynome von geringerer Gliederanzahl sei der »Satz (1) schon bewiesen, also auch fur alle Potenzen von (y -j- z — • • •). Setzen wir dieses (m — 1)- giiedrige Polynom gleich u, so gilt nach (10). S. 19: ^ (■<• + y 4- z Y = (■£ -r u)n = n\ ^ ■■■-■■ * f . « = /.-i- k, wo sich die Summe auf alle Zerlegungen n = a — y, des Exponenten n in ganze nicht-negative Zahlen /., v, bezieht. Nun ist der Annahme ^emaß: u*- ^ yu ■-"■■■
Polynomischer Lehrsatz. 27 wo sich die Summe wieder auf alle Zerlegungen von % in ganze, nichtnegative Summanden \i, v, ■ ■ ■ bezieht. Die Eintragung dieser Ausdrücke fur — und % in die Gleichungen (3) ergibt die Gültigkeit des polynomischen Lehrsatzes auch für m-gliedrige Polynome und damit allgemein. Die Polynomialkoeffizienten bezeichnen wir symbolisch durch: (4) / n \ n\ \X, 4u, v, • • •/ \ \ • ju,! • vi ■ • •' sie sind ihrer Natur nach ganze Zahlen, die Bruchform in (4) rechts ist also nur scheinbar*). Bei dieser Schreibweise der Polynomialkoeffizienten nimmt die Gleichung (1) die Gestalt an: (5) (x -r y -r z - ■ • -)n = ^ U M,\ • • •) ^"^'' '' Die Regeln (4) und (5), S. 17ff., der Binomialkoeffizienien übertragen sich leicht auf die Koeffizienten (4). Infolge der rechten Seite von (4) sind je zwei Polynomialkoeffizienten, die die gleichen tief stehenden Zahlen X, a, v, ••• nur in verschiedener Reihenfolge haben, einander gleich. Setzt man aber den polynomischen Lehrsatz fur die Potenz (n—1) nach Vorschrift von (o) an und multipliziert mit (x — y — 2 ) noch emmal, so führt die Entwicklung der rechten Seite zu folgender Regel: («)U^...)=a-j.^,..)-UAT,i.,..)-o.^-1,...)--"- wo rechter Hand alle und nur die Glieder gleich 0 sein sollen, bei denen die Zahl — 1 unter den tiefstehenden Zahlen auftritt. Die rechte Seite von (6) ist also stets und nur dana eingliedrig, wenn (n — 1) unter den Zahlen X, (i, v, ••■ gleich 0 sind und also e^ne gleich n ist. In diesem Falle hat der in (6) links stehende Polynomialkoeffizient den Wert 1: In (5) redds haben nur die Glieder mit den Potenzen xn, yn, zn, •■■ die Koeffizienten 1, alle übrigen Koeffizienten sind > 1. Insbesondere gilt der Satz: Ist der Exponent n eine Primzahl, so sind, abgesehen von den bei xr\ yn, zn, • ■ • auftretenden Koeffizienten 1. alle übrigen Polynomialkoeffizienten durch n teilbare ganze Zahlen. Sind nämlich alle Zahlen X, a, v, ■■ ■ kleiner als n, so tritt der Primfaktor n zwar im Zahler der rechten Seite von (4) auf, aber picht im Nenner. § 13. Sätze über Ableitungen ganzer Funktionen. Wenn auch die Differentialrechnung als bekannt gilt, so sollen doch hier einige Satze über die Ableitungen der ganzen Funktionen auf rein algebraischem Wege aufgestellt werden, wobei das Hauptinteresse an der *) Die Binomialkoeffizientcn I ) wurden wir der Gleichung '4, entsprechend 1 schreiben: doch behalten wir die kürzeste Bezeichnung ') bei.
28 I» 1- Rationale Punktionen. Methode haftet. Wir tragen in die ganze Funktion nten GradeB statt x die Summe (x — y) zweier Variablen ein: f(£ — y) — a0(^~y)M-f «iC^-r»""1 -i \r an-x(x-{- y)-\-an und entwickeln rechts jedes Glied nach dem binomischen Lehrsatze: (1) f(x~y) = a0^fyx»-*r-a1^i 'n-l\ Ordnet man die rechte Seite nach ansteigenden Potenzen der zweiten Variablen y, so erhalt yv die folgende Funktion (n — v)ien Grades von x als Koeffizienten: (2) a,^-^~a^l-^-^--a^l~2)x^~^ a*-v$ Die hier auftretenden Binomialkoeffizienten haben überall die Zahl v an tiefer Stelle. Das Produkt des Ausdrucks (2) und der Fakultät von v bezeichnen wir durch fM (x)- , ( fM (x) = a0 n (» — 1) • • • (n — v — l) xn~ v (3) | _fll(w_ i)(M — 2) •••(«— v)xn~v~1-\ [ — a„_v + 1(v — l)v(v— 1) ••• 2a? — a„_vv(v — l)---2-1 und nennen diese Funktion (n — v)ten Grades die abgeleitete Funktion oder Ableitung vter Ordnung oder noch kurzer die v<e Ableitung von f{x). Fur die drei ersten Ordnungen bedient man sich der kürzeren Bezeichnung f'(x), f"(x). f'"(x). Die Ableitung nter Ordnung ist konstant und gleich a0-n'.. Das von y freie Glied der umgeordneten rechten Seite von (1) ist zufolge (2) gleich der Funktion f(x) selbst, die gewissermaßen ihre eigene nullte Ableitung ist. Die Gleichung (1) lautet nun nach Xeuanordnung ihrer rechten Seite: (4) f(x-y)^f{x)-f'(x)f]^f'\x)^r(x/~^---^^H^- In der Differentialrechnung werden die Ableitungen von f(x) durch wiederholte „Differentiation" berechnet und auch in der Gestalt: ''<*>='-£?■ "•>=*&> > ™-^ als „Differ•enticHquotienten'" bezeichnet. Wir fassen hier entsprechend der Gleichung (3) den Übergang von f(x) zu fM(x) rein algebraisch als Ersatz der einzelnen Potenz xm durch das Produkt: m(m — 1) ••• (m — v -\- l)xm~v, wobei alle Potenzen mit m < v durch 0 ersetzt werden. Diese Auffassung gestattet, auch Ableitungen der Ordnungen v > n von f(x) zu bilden, die aber alle gleich der identisch verschwindenden ganzen Funktion sein würden. Den Übergang von einer ganzen Funktion zu ihrer vten Ableitung bezeichnen wir durch das auch in der Differentialrechnung gebräuchliche
Ableitungen der ganzen Funktionen. 29 Symbol Dv, wobei Dx auch kurz durch D bezeichnet wird. Die Gleichung (4), der man dann auch die Gestalt: (5) f(x + y)= fix) 4- A/(s)-f, 4- Dün*)£ + ■■■ + 2« A's) ^ 1! 2! n. geben kann, ist die „Taylorsehe Formel" der Differentialrechnung und möge auch hier als solche bezeichnet werden. Fur die Ableitungen der ganzen Funktionen gilt das Gesetz: (6) Du(Dvf(x)) = Da^f(x), d. h. die ute Ableitung von der vten f^ (x) ist gleich der (u — V)lcn Ableitung der ursprunglichen Funktion fix). Ersetzt man nämlich zunächst xm durch m (m — l)---(m — v~l)xm~v und sodann xr"~v durch das Produkt (m — v) (m — v — 1) • • • (m — v — a -— l)xm~v~a, so lauft dies auf den Ersatz von xm durch m (m — 1) • •• (nt — (u 4- v) -p 1) x"l~'f*~t~v'> hinaus. Noch unmittelbarer ergeben sich aus der Bedeutung von Dv die beiden bekannten Regeln der Differentialrechnung; (7) Bv[c-f(x)] = cDvf(x), D„[f(x) + g(x)] = Bvf(x)~ Dvg(x), wo in der ersten Gleichung c ein konstanter Faktor ist. Auch die Produktregeln der Differentialrechnung können wir fur die ganzen Funktionen leicht auf rein algebraischem Wege gewinnen. Es sei F(x) = f(x)g(x) das Produkt zweier ganzer Funktionen wten und mieti Grades. Durch Multiplikation der beiden Gleichungen: (8> j ,(«T,)=,(«)+/!*),+^fv+-+^v. und Anordnung des Produktes nach ansteigenden Potenzen von y gelangt man zur Taylorschen Formel für F(x) = f(x)g{x). Der Koeffizient — DvF(x) = ,T>v[f(x)g(x)] der Potenz y" ergibt sich dabei in der v! v. Gestalt [vgl. (2), §1, S.4]: f^-JKx) sT(x) ^ g^(x) ' (v— 2)1 2! ^ TK) v\ ' wo der obigen Festsetzung entsprechend alle Ableitungen, deren Ordnung den Grad der in Betracht kommenden Funktion f(x) oder g(x) übersteigt, die identisch verschwindende Funktion darstellen. Multiplizieren wir die letzte Gleichung mit vi und lassen der Kürze halber die Argumente x fort, so folgt als Regel zur Berechnung der a>ten Ableitung eines Produktes f(x)9(x): (9) DM'9) = f(v)9 + (ij^-V + (g) fiv~*]9" + - + f9M-
30 I. 1- Rationale Funktionen. Hat man ferner ein Produkt F(x) = f(x)g(x)h(x)---cp(x) von beliebig vielen Funktionen, so reihe man an die Gleichungen (8) noch die entsprechenden für h(x -\- «/), • • -, cpfa-j-y), multipliziere alle diese Gleichungen und ordne das Produkt nach ansteigenden Potenzen von y, wobei man wenigstens den Koeffizienten der ersten Potenz y feststelle, der die erste Ableitung von F(x) ergibt. Lassen wir wieder die Argumente x der Funktionen fort, so ergibt sich: Für ein Produkt f(x)g(x)h(x) • • ■ cp{x) beliebig vieler Funktionen berechnet sich die Ableitung D(fgh--- (p) in der Gestalt: (10) D(fgh—q>) = fgh--<p-\-fg'h — <p-i-fgh'--<p-j- — -\-fgh--<p'. wo die Gliederanzahl der rechten Seite gleich der Anzahl der Faktoren f, g, h, • • • ist und im einzelnen Gliede je nur ein Faktor des ursprünglichen Produktes durch eine Ableitung ersetzt ist. Die beiden Formeln (9) und (10) haben als niederste Spezialfälle die Regel D(fg) = f'g + fg gemein. Der Regel (10) kann man auch die Gestalt geben: (\\\ THfgh; •!<?) _ f' £ j_ Ü_, >v' fg~h---<P ■ tu h^"'"]~cp' Die Ableitung einer linearen Funktion (x —«) ist konstant = 1. Wenden wir demnach die Regel (10) auf das Produkt von n linearen Funktionen x — «3, x — «2, •••. x — un an, das wir gleich selbst wieder durch /(x) bezeichnen: (12) f(x) = (x — «,) (ic — «2) ••• (x — aH), so ergibt sich: (IH) f t'W = (x — u^ix — u^) •• (x — an) + (x — «,)(« — u3)--(x — «„) + \ (x — a1)(x — a2)--(x—a„-1), wofür auch geschrieben werden kann: a« /-(,) = -«£>- + «fL+ ... + _«*) . X — «i X — «2 X — «„ Setzt man in (13) der Reihe nach x - f /*'(«!) = («i — «a)(«i (15) ) /-'(a2) = («o — «i)(«o- i ]> «2» «s)"- «o)-- • • •, an, so fol< • («j — «„), • (a2 —a„), ( f (dn) = (<*„ — «i) («„ — «2) • • • («« — a»-i). Es folge noch eine Bemerkung über die Schreibweise der ganzen Funktionen. Es ist vielfach, wenn auch keineswegs immer nutzlich, eine ganze Funktion nten Grades mit den Binomialkoeffizienten der nten Potenz auszustatten. Diese „Schreibweise mit Binomialkoeffizienten" ist so zu verstehen, daß wir an Stelle der bisherigen Darstellung (1), S. 4, einer ganzen Funktion f(x) die folgende treten lassen: (16) f{x) = a0x>' -r (*)öl z»"1 - (*)a2xn~* - ••• + (n_ü.i) ««-i* ~ «» oder entwickelt: (17) f(x) = a0x" -j-ya^-1 -J- - *—^~ a2xn~2 -\ r an.
Ableitung eines Produktes, Int^rpolationsformei von Lagrange, 31 Daß diese Schreibweise gelegentlich vorteilhafter sein kann, erkennt man z.B. bei der Berechnung der Ableitungen, fur die wir die Gleichungen haben. \n(n~-i/^ = a°X{ 1 )a^X { 2 )a*x ~> \~an-2, wo die rechten Seiten wieder das einfache Bildungsgesetz der rechten Seite der Gleichung (16) fur die Grade n— 1, n— 2, ••• befolgen. § 14. Interpolationsformel und Partialbrüche. Die am Anfang von £ 10 (S. 20) formulierte Interpolation sauf gäbe lautet bei ein paar unwesentlichen formalen Änderungen: Eb soll eine ganze FunUwn (n— l)ten Grades q>(x) = b^xn~l — blxn~- -J- ■•• -4- 5rt_i angegeben werden, die fur n beliebig qewählte voneinander verschiedene Werte ax, at, ••-, utl von x die n irgendwie vorgeschriebenen Werte (p{u{). (p(«2), •••, cp(un) annimmt. Zur Lösung der Aufgabe verstehen wir unter f(x) die durch (12), S. 30, gegebene Funktion nterx Grades/\x), gebildet mit den hier vorliegenden «j, «2, ■ ■ •, «„ und erklaren n Funktionen (n — l)ten Grades f\ (x), /'2 (x), • • •, fu(x) durch: oder entwickelt: f f\ 0) = (x — a2) (-c — «s) • • (x — k„) , /2-v I f-2 6») = (« — «i) (ae — as) • • • (x — «„), [ /»(#) = (z — «i) (ac — a2) • • • {x — «n_i). Die Ableitung f(x) berechnet sich nach (10), S. 30, in der Gestalt: (3) f'(x) = fx (x) -f f2 (x) 4- • • • J- /;, (*), und es gelten die Regeln: (4) />„) = /•„(«„), /•„(«„) = 0, .u^v. Da die «l5 «2- '*•» a« voneinander verschieden sind, so ist keine der n Zahlen f'{ux), f'{u-j.),'--, /"'(««) gleich 0. Eine Funktion gewünschter Art <p(x) ist zufolge (4) in der Gestalt: (5) „<«)=„W/}£+»(-,)/:$+- - *<«.>;■£> gewonnen. Diese Gleichung heißt die Interjpolationsformel von Lagrange. Es gilt nun weiter der Satz: Es gibt nur eine einzige Funktion (p(x), die der gestellten Aufgabe genügt, nämlich die Funktion (5). Jedenfalls
32 I. 1- Rationale Funktionen ist dieser Satz fur w = 2 (und n = 1) richtig; denn die beiden Gleichungen &0&J -}-&i = <p(Mi)- Ka2 ~\~ &i = 9>(a2) besitzen für die Koeffizienten 50 und £>! nur das eine Losungssystem: b _ y(«i) —<p(«a) 6 = «i y («a) — «2 y («i) 0 «j — «o ' * «! — a2 Wir nehmen an, daß die Behauptung auch noch bis zum Falle (n— 1) gilt, und zeigen dann leicht durch vollständige Induktion, daß sie auch noch im Falle n, also allgemein, gilt. Ist nämlich jetzt cp(x) irgend eine der am Anfang dieses Paragraphen gestellten Aufgabe genügende Funktion, so hat die Funktion (n — l)ten Grades [cp(x)f\ {ax)—(p(tti)fi(x)], da sie fur x — u1 verschwindet, nach (5), § 4. S. 8, den Teiler (x — «j). Wir setzen: (6) 9 (*0 - ? («,)A^ = (*-«,)*(*). /i \ai) und haben in ty (x) eine Funktion (n — 2)ten Grades, die fur x = a2, «3, •••, an die folgenden Werte annimmt: cp(a2) , , <P(«<?) , v y(«n) Ko — «i «3 — «i ßB — «j Der Annahme nach ist die Funktion ty(x) hierdurch eindeutig bestimmt. Also ist zufolge (6) auch die Funktion cp (x) eindeutig bestimmt. Die vorstehende Betrachtung bedarf einer ergänzenden Bemerkung. Bisher wurde von einer „Funktion (n — l)ten Grades" stets angenommen, daß sie diesen Grad auch wirklich erreicht. Indessen ist keineswegs ausgeschlossen, daß in der durch (5) gegebenen Funktion cp (x), wenn wir sie nach fallenden Potenzen von x ordnen, Glieder mit xn~1, xn~2, ••• durch Verschwinden der Koeffizienten ausfallen. Man hat demnach die Interpolationsaufgabe genauer so zu fassen, daß nach einer Funktion cp (x) eines Grades < n gefragt wird. Diese genauere Fassung soll weiterhin beibehalten werden. Ist jetzt cp (x) irgend eine ganze Funktion eines Grades < n, die für die n beliebig, aber voneinander verschieden gewählte Werte u1, a2, • • •, «M von x die Werte (p(«i), cp(cc2), ••-, cp(an) besitzt, so ist cp(x), wie wir eben sahen, durch diese n Werte cp(ux), <p(«2), ••-, cp(un) bereits eindeutig bestimmt und in der Gestalt (5) darstellbar. Ersetzen wir die Funktionen fv(x) nach (1) und teilen durch f(x), so ergibt sich der Satz: Jede echt gebrochene (S. 9) rationale Funkti&n, deren Nenner das Produkt f(x) von n verschiedenen linearen Funktionen (x — uv) ist, laßt sich in der Gestalt: (7\ <?(*} = _ ^foi) , _ <P_(«2>_ ^ _, <P(Q 1 ; t(x) (s-«,)/>,) "*"(x-ä2)f'(u2) ' '" ' (x-au)f'(aH) als Summe von n sogenannten „Tartialbrücherr darstellen, deren einzelner konstanten Zähler und linearen Nenner hat. Diese Darstellung (7) können wir auch leicht auf unecht gebrochene Funktion übertragen. Hat die Zählerfunktion cp (x) einen Grad m ^> n,
Parrialbruchzerlegang rationaler Funktionen. 33 wahrend der Nenner die bisherige Funktion f(x) ist, so liefere die Division von <p(x) durch f(x) als Quotienten die ganze Funktion g(x) des Grades (m — n) und als Rest die Funktion (pl(x): (8) <p(z) = H(a:)f(x)-rep1(l). Die Darstellung (7) beziehen wir dann auf yx (x), können aber eben zufolge (8) die Werte cp1(uv) durch die ihnen gleichen Werte (p («„) ersetzen: Eine uncM gebrochene Funktion, deren Nenner das Produkt con n verschiedenen linearen Funktionen (x — av) ist. gestattet die Zerlegung in Partialbrüche: (9) <pW=a(x\.*- ?(Kl) _ V^J -L _j ^n) 1 ; fix) n y • (r-«5)/"(«,) (x-a2)f'(a2) ' (* — «»)/'(«»)' wo g(x) die bei der B'uision ton (p (x) durch f(x) als Quotient auftretende ganze Funktion ist. Zur Aufstellung von ein paar bemerkenswerten Relationen setzen wir (p(x) = xm~'1, unter m eine der Zahlen 0. 1. 2, •••, n— 2 verstanden. Die linke Seite der zugehörigen Gleichung (7) verschwindet fur % = 0, wenn nicht der Fall m = 0 vorliegt und zugleich eine der Zahlen cc, etwa «,, gleich 0 ist. Für / = 0 aber gewinnt mau aus (7) die Relation: (10) ^h- -t */-- + .- - -%? = 0, m -_- 0. 1, -2, .... n-2. Aber auch in dem eben ausgeschlossenen Falle ist die Relation (10) lichtig. Für (p(x) — £ und ax = 0 lautet nämlich die Gleichung (7) so: / i a, a3 an }(j)~~ AW ""' U—«2)/'(«a) ' <* — «s)''(«s) U — «n)/"(««)' woraus wir für j. = 0 ablesen: _ 1 ___!__ 1 _ _ 1 _1 1 Ä("o) ~~ 7'"(o) ~~ /'(«!) — /"(«,j "/'(v3) '" /:/(«n)' Setzt man cp(i) = »tu in (8) ein, so wird </(./;) = 1. und die Gleichung (9) liefert entsprechend- f'(«i~) ^ /'(«*) '"^ /'(«») Der Vollständigkeit halber möge die Partial bruchzerlegung gleich auch noch in dem Falle durchgeführt werden, daß f{i) ein Produkt aus linearen Funktionen ist, die nicht mehr durchgehends verschieden ^ind. Die rationale Funktion setzen wir sogleich als echt gebrochen voraus, da sie anderenfalls nach dem Schlußsatze in § 4, S, 9, als Summe einer ganzen Funktion und einer echt gebrochenen Funktion des gleichen Nenner^ f(jc) darstellbar ist. Wir setzen: f(x) =(ä-«)'/1(A Fricke, Algebra. I. 3
34 I, 1. Rationale Funktionen. wo die Funktion (n — v)ten Grades /\ (x) den Teiler (x — a) nicht mehr enthalt und v irgend eine naturliche Zahl ist. Dann gilt der Ansatz: /1 \a) da die links stehende Funktion, deren Grad höchstens (n — 1) ist, für x = a verschwindet und also den Teiler (x—«) hat; der Quotient cpi{x) ist eine ganze Funktion höchstens (w — 2)ten Grades. Aus der letzten Gleichung folgt bei Division durch (x— u)vj1(x): (l0) <p(j) = <p(«) _ , <Pi(Q _ ^ -> (X- «)v fi (x) {x _ ay fi («) T (x __ ay-\ /• {x) > wo im ersten Gliede rechts ein erster ..Partidlbruch" mit konstantem Zähler und einer Potenz der linearen Funktion (x— oc) im Nenner steht, im zweiten Gliede aber eine echt gebrochene Funktion folgt, die im Xenner einen Faktor (x — «) weniger hat als der links stehende Xenner. Wir können das zweite Glied nach derselben Methode behandeln und in gleicher Weise fortfahren. Als Ansatz der Partialbruchzerlegung, falls im Nenner höhere Potenzen linearer Funktionen auftreten, haben wir somit: (13) Wtä — JPjfO _| 9^1 M l _:_ y»_-i(«)_ , 9v(a0 1 ; f(xj \x-urtM ' (x-ay-^f^u)~r'" ' (x-u)U(ay h(x)' Die im letzten Gliede auftretende echt gebrochene Funktion ist dann in bezug auf die anderen linearen Faktoren entsprechend zu behandeln. §15. Entwicklung gebrochener rationaler Funktionen. Die Division einer beliebigen Funktion «<ten Grades <p (x) durch eine solche vom wten Grade f(x) wurde bi&her nur so weit getrieben, bis ein Rest mit einem Grade <^ n gewonnen ist. Setzt man das Verfahren weiter fort, so erscheinen Quotienten mit den Potenzen x~1, x~2, • ••. x~v. falls man noch v weitere Schritte des Divisionsverfahrens ausfuhrt. Im Rest fällt bei jedem Schritt das höchste Glied fort, und es stellt sich ein weiteres Glied mit negativem Exponenten von x ein. Xach v Schritten liegt also ein Rest vor, der mit x* multipliziert eine ganze Funktion ib (x) höchstens (n — l)ten Grades liefert. Wir gelangen zu einer Entwicklung: (p (x) t1) TfZ\ = C-m + nXm-n + C.m + n^1Xm-n-1 -L- 1- C_! X ■+- C0 , f 1 _l uCr jKj»)_ X ' ' Xv Xv f\x) für die links stehende gebrochene rationale Funktion, wobei natürlich Glieder mit nicht-negativen Potenzexponenten nur dann auftreten, wenn links eine unecht gebrochene Funktion steht. Es besteht der folgende Satz: Pie Entwicklung (1) der links siehenden gebrochenen Funktion ist bereits eindeutig benimmt durch die Angabe der natürlichen Zahl v und die Forderung, daß im letzten Gliede der Quotient
Entwicklungen nach Potenzen von x mit negativen Exponenten. 35 einer echt gebrochenen rationalen Funktion und der Potenz xv stehen soll. Setzen wir nämlich: (2) ^ = ^-+.*-"+«-—+.*—- + - + ? + >(*). unter R(x) eine echt gebrochene Funktion verstanden, so ergibt sich zunächst durch Multiplikation von (2) mit xy f(x), daß B(x)f(x) eine ganze Funktion % (%) ist. Der Grad von % (x) ist <^ n. da H (x) eine echt gebrochene Funktion ist. Durch Subtrakti"on~3er~GTeichungen (1) und (2) voneinander und Multiplikation mit xy folgt nun: (cL„ + n-*_m + ,)*»--' + ... + (c^^ Also'hat die Funktion [ty (x) — %(&)] den Teiler f(x). Da sie aber den Grad n des Nenners f(x) nicht erreicht, so ist sie die identisch verschwindende Funktion; es gilt also: X(x) = ij>(x)t cl„ln.H = 6_}|l + ll> ••-, c'v = c„. womit der Satz bewiesen ist. Es seien nun: (3) fc_fcs*-i-c-_fc+ia*-i-i- --• -c0 + ^ -V • • + ^ - jr22^)» mit echt gebrochenen £t(x), S(x) Entwicklungen (1) für irgend zwei gebrochene Funktionen. Gilt etwa u 2> v, so setze man und beachte, daß die Summe von zwei oder mehreren echt gebrochenen Funktionen stets wieder eine echt gebrochene Funktion ist. Die Summe der Ausdrücke (3) können wir dann in die Gestalt setzen: ..._i±*. + ...+£i±*:+lm wo T (x) wieder echt gebrochen ist. Man übertragt die Betrachtung leicht auf Summen von mehr als zwei Ausdrücken (3). Mit Ruck sieht auf den obigen Satz folgt: Sind für zwei oder mehr gebrochene Funktionen Entwicklungen (1) gegeben, die mit den Exponenten v, [i, X, ••• schließen, so gewinnt man durch Addition und Zusammenfassung gleither Potenzen von x die Entwicklung (1) für die Summe der gegebenen Funktionen bis zum kleinsten unter den Exponenten v, a, X, •••. Als Beispiel einer Entwicklung (1) diene:
36 I, 1 Rationale Funktionen. Fur die in (9), § 14 (S. 33), dargestellte Funktion wurden wir demnach eine Entwicklung (1) haben, in der die Koeffizienten Cj, c9, ■•-, c„ folgende Werte haben: Ist insbesondere r/; (x) die Ableitung /'(x) von / (./;), so sind die Cj, c2, ••• die Summen der Potenzen der ax, a.2, ••-, un: (G) cx = n, c2 = ^>Ui, c3 = ^]ut2, ••, c,, = ^>^ c/.vx~l- 2—1 1 = 1 1 = 1 Man kann auch einen Satz über Multiplikation zweier Ausdrucke (3) aufstellen, wobei man u und v den Bedingungen u ^> k, v ^> 1 entsprechend gewählt denke. Es gelte etwa u — k ^> v — 1. Beim Ausmultiplizieren der Ausdrucke (3) und Anordnung nach abfallenden Potenzen von l notieren wir zunächst die Glieder mit den Potenzen /k-rl, xk~l~l, •••, x~<-v~l>, deren Koeffizienten sich aus den c, d entsprechend der Regel (2), $ 1 (S. 4), berechnen. Alle übrigen Glieder lassen sich dann als Produkte von x~ <" —l> mit echt gebrochenen Funktionen anschreiben. Hieraus ergibt sich der Satz: Sind in (3) Entwicklungen (1) mit u > k, v > 1 für zwei rationalt FunJUionen vorgelegt, so gilt bei der Annahme u — /.■ 2> v — / far dat> Produld dieter Funktionen die Entwicklung: wo sich die Koeffizienten e aus den c, d in den Gestalten: (8) e-ji-i-, = drf-MTC-L-id-/-,-] -}-••• -\-c--K-td-i, i —- o, l, -2, • • ■, c-u- k berechnen und U(c) eine echt gebrochene Funktion id. § 16. Bezeichnung ganzer Funktionen mehrerer Variablen. Eine rationale ganze Funktion von m Variablen x, y. z, • • •, hatten wir in (3), § 1 (S. 5), durch: (1) f(x,i/,z,- •) = 2 «,.*,*,...*V*"--- bezeichnet: wir denken dabei alle Glieder mit derselben Exponentenreihe A, u, v, ■- ■ in eins zusammengefaßt. Die Summe (A -}- u -j- v -\- ■ ■ •) heißt der Grad des Gliedes. Ist der höchste in (1) rechts auftretende Grad n. so heißt f\x, t/, s, • • ) eine Funktion nten Gradcb. Treten in (1) rechts alle Systeme nicht-negativer ganzer Zahlen /., u. v, •■-, die der Bedingung: (2) X-\-[i-\~v-\ <; „ genügen, mit unbestimmt bleibenden Koeffizienten a auf. so sprechen wir von der „allgemeinen Gestalt" der ganzen Funktion nten Grades von m Variablen.
Funktionen und Formen von m Variablen. 37 Die Anzahl der Glieder einer solchen Funktion bezeichnen wir durch das Symbol (m, n). Dann gilt erstlich (1, n) = n -\- 1 und (m, l) = m -\- 1; denn fur m = 1 haben wir die bisher betrachteten ganzen Funktionen f(x) einer Variablen und fur n = 1 eine Funktion ersten Grades oder lineare Funktion von m Variablen x, y, 3, • ■ ■, die neben den Gliedern mit rc, y, z, ■ ■ • noch ein Absolutglied hat. Fur die Anzahlen (m. n) gilt, falls m ^> 1. ,i ^> 1 ist, die Regel: (3) (iw, n) = (m, n — 1) -f (m — 1, n). Sondern wir nämlich in der allgemeinen Gestalt einer ganzen Funktion /iten Grades, von m Variablen aus allen Gliedern, die x mindestens in erster Potenz enthalten, diesen Faktor x ab, so tritt in die Klammer eine ganze Funktion (n — l)ten Grades von m Variablen mit (m, n — 1) Gliedern, wahrend der Rest eine Funktion wtei' Grades der (m — 1) Variablen y, z, ■ ■ • mit (m— 1, n) Gliedern darstellt. Allgemein ist (w, n) dem folgenden Binomialkoeffizienten gleich: ml n\ \ hi I \ n J wie man durch wiederholte Anwendung des Schlusses der vollständigen Induktion zeigen kann. Erstlich bewahrt sich die Angabe (4), falls eine der Zahlen w, n gleich 1 ist. Zweitens gilt die Regel (3) für die in (4) gegebenen Zahlen (m, n). da sie auf die bekannte Regel (5), § 9 (S. 18). für Binomialkoeffizienten zurückkommt. iTan denke sich nun die Zahlen (1, n). {'2, «), (3, n\ •■ ■ in eine Zeile geschrieben und ordne die den Werten n = 1, 2. 3, ••• entsprechenden Zeilen untereinander. Die Regel (4) sei bereits bewiesen für die (m— 1) ersten Zahlen (l, »), (2,n), ••■ (m— 1, n) der uten Zeile *) und außerdem für alle voraufgehenden Zeilen. Dann folgt fur (m, n) aus (3): (m-\-n—1)! . (m -=- n — 1)! (m — n)l ml (n—1)! " (m —l)!w! mini ' --0 daß die Darstellung (4) auch fur (w, n) gültig ist. Die allgemeine Gültigkeit der Angabe (4) ist damit einleuchtend. Kommen in (1) rechts nur Glieder nten Grades vor, so heißt die Funktion homogen, anderenfalls nicht-homogen. Eine homogene Funktion wird auch als eine Form bezeichnet. In den niedersten Fallen m — 2, 3, 4 bpricht man von binären, temären und quaternären Formen und gebraucht für die niedersten Grade n = 1, 2, 3, 4 die Bezeichnungen der linearen, quadratischen, kubische» und biquadratischen Formen. Für eine Form nten Grades tritt an Stelle der Bedingung (2) die Gleichung: (5) l + u -\-v -f ••• = n. Treten in der Form (1) alle Systeme nicht-negativer ganzer Zahlen X, [i, v, •••, die der Gleichung (5) genügen, mit unbestimmten a auf, so sprechen wir von der „allgemeinen Gestalt" der Form wten Grades von m Variablen. *) Für m = 2 trifft dies immer zu, da (1, m) = n -\- 1 gilt.
38 I, 1. Rationale Funktionen. Trägt man in eine nicht-homogene Funktion wten Grades (1) für die m Variablen x, y, z, •••, u die Quotienten: //>N #i X-2 X3 Xm (6) x = ~, y = - , z = ~ , •••, w= — #0 ^0 -^0 -^0 ein und setzt den Faktor x™ hinzu, so entsteht in: <7> *-f& ::• •••■ t)=*<*•• *■*■•■•••*•> eine Form wten Grades von (m + 1) Variablen. Umgekehrt liefert jede solche Form nach Heraushebung und Fortnahme des Faktors x?t eine ganze Funktion wten Grades der m Variablen (6). Es folgt: Eine Form nten Grades von (»i 1) Variablen hat in der allgemeinen Gestalt (m, n) Glieder. Faßt man im Ausdruck (1) einer Funktion nUa Grades von m Variablen die Glieder gleichen Grades zusammen, so stellt sich die Funktion als eine Summe von Formen der Grade w. n — 1, n — 2, • • -, 1 und einer Konstanten dar. Die letztere können wir als eine Form nullten Grades auffassen und setzen entsprechend (m, 0) = 1 in Übereinstimmung mit (4)*). Hieraus ergibt sich: (8) (m,n) = O— 1,0) + O — 1,1) + {m — 1,2)4 h (»» — 1>»\ eine Regel, die auch für m = 1 richtig ist, wenn wir wieder in Übereinstimmung mit (4) das Symbol (0, n) = 1 setzen. In Binomialkoeffizienten umgeschrieben kommen wir auf die Regel (11), £ 9 (S. 19), zurack*-). Wie S. 30 fur den Fall m = 1 ausgeführt wurde, so kann es auch fur beliebiges m gelegentlich vorteilhaft sein, den Ausdruck der Funktion f(x,y,z,-") mit den Polynomialkoeffizienten der nien Potenz anzuschreiben. Man hat dann, je nachdem es sich um eine homogene oder nicht-homogene Funktion f{x,y,z,---) handelt, in (1) rechts hinter dem Summenzeichen den Faktor: « o.„u,;...) i*w. L-i-p-v-...,*,*,.,...) mit m bzw. (m + 1) tief stehenden Zahlen aufzunehmen, wobei das Klammersymbol dur

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