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Timestamp: 2019-04-20 05:07:51+00:00

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Problema de Apolonio - (Anonymous)
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En geometría plana euclidiana, el problema de Apolonio consiste
en encontrar las circunferencias tangentes a tres circunferencias
dadas. Apolonio de Perge (circa 262 a. C. - circa 190 a. C.)
propuso y resolvió este problema en la obra Ἐπαφαί, (Epaphaí,
Tangencias).[][] Aunque esta obra se ha perdido,[] se conserva una
referencia a ella en un manuscrito redactado en el siglo IV por
Pappus de Alejandría.[] Las circunferencias dadas son de radio
arbitrario, es decir, incluyen los casos extremos de radio nulo (un
punto) y de radio infinito (una recta), lo que proporciona hasta
diez tipos de problemas de Apolonio.[1] Excluyendo a las familias
de posiciones particulares que presentan infinitas soluciones, o
ninguna, y a las familias de posiciones que, por simetría, tienen
algunas soluciones equivalentes o prohibidas, la resolución general
del problema resulta en ocho circunferencias que son tangentes a
las tres circunferencias dadas.
Cuatro parejas de soluciones complementarias del
problema de Apolonio. Las tres circunferencias dadas
son las de color negro.
En el siglo XVI, Adriaan van Roomen resolvió el problema
utilizando la intersección de hipérbolas,[] pero esta solución no se
basa únicamente en construcciones con regla y compás, por lo que
puede considerarse menos elegante.[] François Viète encontró una
solución aprovechando la simplificación de los puntos y rectas
como casos extremos de circunferencias.[] El enfoque de Viète,
que utiliza casos extremos sencillos para resolver otros más
complicados, se considera una reconstrucción plausible del
método de Apolonio.[] A su vez, Isaac Newton simplificó el
método de van Roomen y mostró que el problema de Apolonio es
equivalente a encontrar una posición conociendo las diferencias de
distancias a tres puntos conocidos.[] Esta formulación tiene
aplicaciones en la navegación y en sistemas de posicionamiento
como el LORAN —LOng RAnge Navigation, navegación de
largo alcance—,[] y, por otra parte, se han desarrollado
generalizaciones del problema para otras superficies diferentes al
plano, como puede ser la superficie esférica y otras superficies
cuádricas.[][]
Animación donde se muestra la tangencia que se
preserva en los círculos se contraiga o se expanda su
radio en relación con cada una de las circunferencias.
Algunos matemáticos posteriores introdujeron métodos algebraicos, que transforman el problema geométrico en una
ecuación algebraica.[] A estos métodos se les realizó una abstracción o simplificación, aprovechando las simetrías
inherentes al problema de Apolonio: por ejemplo, las circunferencias resolutorias suelen encontrarse en parejas; en
una de estas parejas, una circunferencia solución contiene las circunferencias dadas en su interior mientras que la
otra no las contiene. Joseph Diaz Gergonne aprovechó esta simetría desarrollando un elegante método para encontrar
las soluciones con regla y compás,[] mientras que otros matemáticos utilizaron transformaciones geométricas como
la reflexión en una circunferencia —para que ésta se utilice debe haber simetría del problema— para simplificar la
disposición de las circunferencias dadas. Estos desarrollos ofrecen una representación geométrica a través de
métodos algebraicos (utilizando la geometría de la esfera de Lie, introducida por el noruego Sophus Lie) y una
clasificación de soluciones para las treinta y tres disposiciones esencialmente diferentes posibles en la posición
inicial de las tres circunferencias.[]
El problema de Apolonio ha impulsado mucha investigación adicional. Se han estudiado generalizaciones en tres
dimensiones —la construcción de una esfera tangente a cuatro esferas dadas— y en dimensiones superiores. La
disposición de tres circunferencias tangentes entre ellas ha recibido una atención especial. René Descartes dio una
fórmula que relaciona los radios de las circunferencias dadas y los de las circunferencias resolutorias, que se conoce
actualmente como teorema de Descartes. En este caso, la resolución iterativa del problema de Apolonio lleva a la
formación de uno de los primeros fractales descubiertos y dibujados, el tamiz de Apolonio, importante en teoría de
números, concretamente en los círculos de Ford y en el método del círculo de Hardy-Littlewood.[][]
Su aplicación principal es determinar una posición a partir de las diferencias entre las distancias de, al menos, tres
puntos conocidos mediante la trilateración hiperbólica,[] utilizada en navegación y en los sistemas globales de
navegación por satélite como el GPS.[] Otras aplicaciones incluyen los códigos de corrección de errores utilizados en
los discos DVD, así como desarrollos en farmacología.[]
El enunciado original del problema de Apolonio pide la construcción de una o más circunferencias que sean
tangentes a tres objetos dados. Los objetos pueden ser rectas, puntos o circunferencias de cualquier tamaño.[][][]
Estos objetos pueden ser colocados en cualquier disposición y se pueden cortar unos a otros; sin embargo, se suelen
tomar diferentes, es decir, que no coincidan. Las soluciones del problema a veces se llaman «circunferencias de
Apolonio», aunque este término también se usa para otros tipos de circunferencias asociadas con Apolonio.
El enunciado hace uso de la propiedad de tangencia; ésta se define
a continuación. Por hipótesis, se asume que un punto, recta o
circunferencia es tangente a sí mismo, por lo que si una
circunferencia dada ya es tangente a los otros dos objetos, se
cuenta como solución del problema de Apolonio. Se dice que dos
objetos geométricos diferentes intersecan si tienen un punto en
común. Por definición, un punto es tangente a una circunferencia o
una recta si la interseca, es decir, si se sitúa sobre la misma, así,
dos puntos diferentes no pueden ser tangentes. Si el ángulo entre
rectas o circunferencias en el punto de intersección es cero, se dice
que son tangentes, el punto de intersección se llama punto de
tangencia (la palabra «tangente» deriva del participio de presente
latino tangens, que significa «tocante»). En la práctica, dos
circunferencias distintas son tangentes si se intersecan en un solo
punto, si se intersecan en dos puntos o no se intersecan, entonces
Una solución (en púrpura) del problema de Apolonio.
no son tangentes. Esto mismo es válido para una recta y una
Las circunferencias dadas se muestran en negro.
circunferencia. Dos rectas diferentes no pueden ser tangentes en el
plano, aunque en geometría inversiva dos rectas paralelas se pueden considerar tangentes en un punto en el
infinito.[2][3]
La circunferencia solución debe ser interna o externamente tangente a cada una de las circunferencias dadas. Una
tangencia externa es aquella en la que las dos circunferencias se curvan hacia sentidos opuestos en el punto de
intersección, se sitúan en los lados opuestos de la recta tangente en ese punto, y se excluyen mutuamente. La
distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios. Por el contrario, una tangencia interna es aquella en la
que las dos circunferencias se curvan hacia el mismo sentido en el punto de intersección correspondiente; las dos
circunferencias se sitúan en el mismo lado de la recta tangente, y una de las dos incluye la otra. En este caso, la
distancia entre sus centros es igual a la diferencia de los radios. En la ilustración a la derecha, la circunferencia
[6] Muchas construcciones. d1 − d2 = r1 − r2.Problema de Apolonio 3 solución (en color púrpura) es tangente internamente a la circunferencia negra dada de tamaño medio situada a la derecha. Para ver la equivalencia con el enunciado anterior. que consiste en localizar una posición a partir de las diferencias entre las distancias a tres puntos conocidos. de modo que el radio de la circunferencia solución rs se vuelve a anular. La reformulación en términos distancias centro-centro es útil en las resoluciones de Adriaan van Roomen e Isaac Newton que se muestran más abajo. d2 = r2 + rs y d3 = r3 + rs. es decir. que se anula. las diferencias entre estas distancias son constantes.[][] En 1687 Isaac Newton mejoró el método de Van Roomen en su Principia.[4] El primer nuevo método de resolución se publicó en 1596. pues también hubo científicos árabes que hicieron grandes reconstrucciones en torno a la obra de Apolonio. este último no fue el único que pudo recopilar información sobre esta temática. dependen sólo de los radios conocidos de las circunferencias dadas y no del radio rs de la circunferencia solución. pero Menaechmus mostró que el problema puede .[][] Historia Se ha desarrollado un rico repertorio de métodos geométricos y algebraicos para resolver el problema de Apolonio. las elipses y las parábolas este enigma geométrico han sido posibles gracias [] (secciones cónicas). mientras que es tangente externamente a las circunferencias dadas más pequeña y más grande situadas a la izquierda. Una propiedad muy apreciada en la geometría euclidiana clásica es la posibilidad de resolver problemas utilizando sólo construcciones con regla y compás. los sistemas de navegación como el LORAN identifican la posición de un receptor a partir de las diferencias en el tiempo de llegada de las señales emitidas desde tres posiciones fijas. Por ejemplo.[] A pesar del éxito en la resolución del problema de Apolonio. el método de van Roomen tiene una desventaja. Sin embargo. Si la circunferencia solución es tangente externamente a las tres circunferencias dadas. la duplicación del cubo (el problema a la obra de este escritor.[][5] y también John Casey en 1881. muchos de de Alejandría. pero François Viète y otros lo reconstruyeron basándose en las pistas de la descripción de Pappus de Alejandría. son Portada de Mathematicae Collectiones de Pappus imposibles utilizando sólo estas herramientas. sea considerada una circunferencia solución de radio rs y tres circunferencias dadas de radios r1. entonces las distancias entre el centro de la circunferencia solución y los centros de las circunferencias dadas son: d1 = r1 + rs. r3. por obra de Adriaan van Roomen. Este segundo planteamiento del problema de Apolonio se puede generalizar a las circunferencias solución tangentes internamente (para las que la distancia centro-centro es igual a la diferencia de los radios) cambiando las correspondientes diferencias de distancias por sumas de distancias. y también en el posicionamiento hiperbólico o trilateración. el problema de Apolonio también se puede formular como el problema de encontrar uno o más puntos tales que las diferencias de sus distancias a tres puntos dados sean iguales a tres valores conocidos. Por ejemplo. r2. como dividir un ángulo en tres partes iguales.[][] Sin embargo. que identificó los centros de las circunferencias solución como puntos de intersección de dos hipérbolas. respectivamente. que plantea la construcción de un cubo con el doble de volumen de un cubo dado) no se puede resolver utilizando sólo regla y compás. Alternativamente. donde recopiló la información sobre los métodos utilizados por Apolonio para estos problemas «imposibles» se pueden resolver utilizando la resolver el problema. Por tanto. que corresponden a las diferencias en las distancias a los transmisores. Los conocimientos sobre intersección de curvas como las hipérbolas.[][] El enfoque original de Apolonio de Perge se ha perdido.
en latín: De tactionibus. la resolución de Viète se considera una reconstrucción plausible de la resolución de Apolonio. la resolución de van Roomen —que utiliza la intersección de dos hipérbolas— no determina si el problema satisface la propiedad de poder ser resuelto mediante construcciones con regla y compás.Problema de Apolonio 4 resolverse utilizando la intersección de dos parábolas. De contactibus)— seguía una aproximación progresiva similar. como encontrar una circunferencia que pase por tres puntos dados.[] A finales del siglo XVIII y durante el XIX. se desarrollaron otros métodos algebraicos más prácticos por parte de muchos matemáticos.[8] François Viète. el método de Gergonne aprovecha la relación conjugada entre las rectas y sus polos en una circunferencia. destacado matemático francés que trabajó exhaustivamente en el problema de Apolonio. Las más notables son las de Jean-Victor Poncelet (1811)[9] y Joseph Diaz Gergonne (1814). en algunos de estos casos mediante la reducción o la ampliación de las circunferencias dadas.[] Carl Friedrich Gauss.[12] . Regiomontanus dudaba de la posibilidad de resolución del problema de Apolonio con regla y compás. desarrolló un método que precisa solamente el uso de construcciones con regla y compás.[] desarrollada por Sophus Lie. «Tangencias».[] Según la descripción de Pappus de Alejandría en el siglo IV.[7] Por tanto. desarrolló un método que precisa únicamente el uso de construcciones con regla y [] compás.[11] y Augustin Louis Cauchy.[] Otra aproximación utiliza la geometría de la esfera de Lie. René Descartes e Isabel de Hervorden se convirtieron en los primeros en proporcionar resoluciones algebraicas.[] Mientras que la resolución de Poncelet se basa en el uso de centros de homotecia de circunferencias y en el teorema de la potencia de un punto.[] Antes del método de resolución de Viète. En 1879 Julius Petersen desarrolló por primera vez métodos que utilizan la inversión de la circunferencia. que sólo tiene una solución si los puntos son diferentes.[] un ejemplo es el método de solución anular de Harold Scott MacDonald Coxeter.[10] Nicolas Fuss. François Viète. incluyendo Leonhard Euler. aunque también se han publicado otras reconstrucciones hechas independientemente por tres autores más.[] Viète resolvió en primer lugar algunos casos especiales sencillos del problema de Apolonio. que fue precisamente el primero en convencer a su amigo Van Roomen para trabajar en el problema de Apolonio. aunque los métodos que utilizaban eran bastante complejos. el propio libro de Apolonio sobre este problema —titulado Ἐπαφαί (Epaphaí.[] Por tanto. formulando soluciones para casos especiales más complicados.[] Lazare Carnot. Durante el siglo XIX se desarrollaron varias resoluciones geométricas del problema de Apolonio.
refinó el método de van Roomen de manera que los centros de las circunferencias solución se encontrasen en las intersecciones de una recta con una circunferencia. publicada en 1596. en sus Philosophiæ naturalis principia mathematica.[] Newton formuló el problema de Apolonio como un problema de trilateración: encontrar un punto Z a partir de tres puntos dados A. en la que la tangencia externa o interna de la es independiente de rs. B y C. llamamos a los radios de la circunferencia solución y de las dos circunferencias dadas rs. de manera que las diferencias de distancias entre Z y los tres puntos dados tengan valores conocidos. Para cualquier hipérbola. r1 y r2. Por lo tanto. otra vez dependiendo del tipo de la tangencia elegida. En lugar de circunferencia.[][] Dadas las circunferencias C1. Esta propiedad de poseer una diferencia fija entre las Dos circunferencias dadas (en negro) y distancias al foco caracteriza las hipérbolas. la diferencia d1 − d2 entre estas distancias siempre es una constante que es independiente de rs. Las dos directrices se intersecan en un punto T. C1 y C2. Del mismo modo. C2 y C3. y por esta razón los posibles una circunferencia tangente a las dos (en centros de una circunferencia solución deben estar situados sobre dicha rosa). está basada en la intersección de dos hipérbolas. hipérbola. La distancia d1 entre el centro de la circunferencia solución y el de C1 puede ser rs + r1 o rs − r1. Las distancias de centro a centro d1 y d2 son iguales a r1 + rs y r2 + rs. como pueden ser. consistente en encontrar las circunferencias que son tangentes a dos circunferencias dadas. dependiendo de si se elige que estas circunferencias sean tangentes externa o internamente. por ejemplo. Una intersección de estas dos hipérbolas (si existe) da el centro de una circunferencia solución que tiene las tangencias internas y externas escogidas para las tres circunferencias dadas. de manera respectiva. y por tanto su diferencia circunferencias dadas C2 y C3.[] Estos cuatro puntos se corresponden con el centro de la circunferencia solución (Z) y los El conjunto de puntos con una relación constante de distancias d1/d2 a dos puntos fijos es una centros de las tres circunferencias dadas (A. El conjunto completo de soluciones al problema de Apolonio se encuentra cuando se consideran todas las combinaciones posibles de tangencias internas y externas de la circunferencia solución con las tres circunferencias dadas. Se puede crear una segunda hipérbola por la pareja de respectivamente. B y C). la razón de distancias desde un punto Z al foco A y a su directriz es una constante llamada excentricidad. Newton construyó sus correspondientes directrices. Como se muestra en la ilustración a la derecha. Van Room abordó la solución del problema general a través de la resolución de un problema más sencillo.Problema de Apolonio Métodos de resolución Intersección de hipérbolas La resolución de Adriaan van Roomen. En 1687 Isaac Newton. respectivamente. Observó que el centro de una circunferencia tangente a las dos circunferencias dadas debía de estar situado en un punto de una hipérbola cuyos focos fueran los centros de las circunferencias dadas. Newton construyó una recta que pasa por 5 . la distancia d2 entre el centro de la circunferencia solución y el de C2 puede ser rs + r2 o rs − r2. circunferencia solución y C2 se debe elegir de manera consistente con la primera hipérbola. resolverlo a través de las dos hipérbolas. y a partir de sus razones de distancias conocidas.
las soluciones del problema de Apolonio se pueden encontrar a partir de las intersecciones de una recta con una circunferencia. No obstante. Finalmente. para mantener las tangencias al tiempo que la circunferencia solución se agranda. Viète resolvió el caso RRR (tres rectas) utilizando el teorema de la bisectriz. mientras que los radios de las circunferencias dadas que son tangentes externamente deben variar —Δr. Una circunferencia solución (en rosa) se debe reducir o ampliar junto con las circunferencias que sean tangentes interiormente (la circunferencia negra de la derecha). que utilizó para resolver el problema RRP (dos rectas y un punto). ya resuelto. la razón de distancias TZ/TA también es conocida. En primer lugar resolvió el caso CRR (una circunferencia y dos rectas) mediante la reducción de la circunferencia a un punto y transformando esto en un caso RRP. Viète utilizó este enfoque para reducir una de las circunferencias a un punto (una circunferencia de radio 0). A partir de aquí. estos diez casos se clasifican con un código de tres letras como podría ser CCP para el caso de dos circunferencias y un punto. esta definición es la base del sistema de coordenadas bipolares). Dicho de otro modo. por lo que el punto Z también está situado en una circunferencia conocida. La tangencia entre circunferencias se conserva si sus radios varían en cantidades iguales. el último caso a través de dos lemas. Después resolvió el caso CRP (una circunferencia. Reduciendo de nuevo una circunferencia a un punto. De ese modo. y utilizó las soluciones de los casos más sencillos para conseguir resolver los más complicados. derivó un lema correspondiente al teorema de la potencia de un punto.[1] El matemático francés François Viète resolvió los diez casos usando sólo construcciones con regla y compás. el problema de Apolonio tiene diez casos especiales. Para resolver los problemas restantes. Siguiendo el método Euclides por segunda vez. Reconstrucción de Viète Como se explica más abajo. los radios de las circunferencias dadas que son tangentes internamente también deben variar Δr. que pueden indistintamente ser circunferencias (C). lo que convertía el problema en un caso más sencillo ya resuelto. Viète aprovechó el hecho de que se pueden variar a la vez las medidas de las circunferencias dadas y la circunferencia solución mientras se preservan las tangencias (como se ejemplifica en la imagen a la derecha). las circunferencias dadas tangentes externamente deben reducirse. Después resolvió el caso CPP (una circunferencia y dos puntos) y el caso CCP (dos circunferencias y un punto). Viète transformó el caso CCR en un caso CRP. . en cambio. que lo transformaba en el caso CCP ya resuelto. dependiendo de la naturaleza de los tres objetos dados. una recta y un punto) utilizando tres lemas. rectas (R) o puntos (P).Problema de Apolonio 6 T sobre la que debe descansar el centro Z. las circunferencias dadas tangentes internamente se han de ampliar y. Habitualmente. porque Apolonio ya había demostrado que una circunferencia se puede definir como el conjunto de puntos que tienen una razón de distancias dada a dos puntos (como acotación al margen. Si el radio de la circunferencia solución varía un incremento Δr. los que no contienen circunferencias. Así ya había resuelto los cuatro primeros casos del problema de Apolonio. que utilizó para resolver el caso RPP (una recta y dos puntos). Entonces derivó un lema para construir la recta perpendicular a una bisectriz que pasa por un punto.[][] Viète comenzó resolviendo el caso PPP (tres puntos) siguiendo el método de Euclides que se expone en su obra Elementos. Viète resolvió el caso general CCC (tres circunferencias) reduciendo una circunferencia en un punto. mientras que las circunferencias tangentes exteriormente (las dos circunferencias negras de la izquierda) hacen la transformación contraria.
ys y rs: Los tres números s1. no corresponde a ninguna 7 . una de las circunferencias dadas es en sí misma una solución del problema de Apolonio y el número de soluciones diferentes se reduce en uno. Por tanto. una raíz doble degenerada) o dos raíces complejas conjugadas. estos términos cuadráticos se anulan. Del mismo modo. El tercer caso. las tres ecuaciones tienen xs2 + ys2 en el miembro de la izquierda y rs2 en el miembro de la derecha. hay ocho sistemas de ecuaciones posibles (2 × 2 × 2 = 8). (x2. Por ejemplo. respectivamente. cada pareja de raíces corresponde a una pareja de soluciones que están relacionadas por la inversión de la circunferencia. xs. Restando una ecuación de otra. y2) y (x3. de radios complejos conjugados.Problema de Apolonio Soluciones algebraicas El problema de Apolonio se puede plantear como un sistema de tres ecuaciones. con el objetivo de encontrar el radio y la posición del centro de la circunferencia solución. N. el problema de Apolonio tiene como máximo ocho soluciones independientes. la circunferencia solución rosa es tangente internamente a la circunferencia dada de la derecha y tangente externamente a las circunferencias dadas más grande y más pequeña de la izquierda.+ -». y especifican si la circunferencia solución deseada es tangente internamente (s = 1) o externamente (s = -1) a la circunferencia dada correspondiente. pueden ser igual a ±1. La condición de que la circunferencia solución sea tangente a cada una de las tres circunferencias dadas se puede expresar con un sistema de tres ecuaciones para las tres incógnitas xs. y) de sus centros. ya que la ecuación con incógnita rs es de segundo grado. y3). El primer caso corresponde a la situación común. Por ejemplo. se corresponde a una circunferencia solución que se transforma en sí misma con la inversión. y cada elección de signos da hasta dos soluciones. La sustitución del valor numérico de rs en las fórmulas lineales proporciona los valores correspondientes a xs y ys. Sin embargo. y1). Los signos s1. las posiciones de los centros de las tres circunferencias dadas se pueden denominar (x1. sus posiciones se pueden expresar mediante las coordenadas (x. como se muestra más abajo. Como los tres signos se pueden elegir independientemente. entonces también lo es (−rs. debido a una simetría entre las ecuaciones. si las circunferencias dadas están ordenadas según su radio. con signos si. llamados signos. en la imagen que ilustra la sección anterior. cada uno correspondiente a una de las ocho circunferencias resolutorias posibles. mientras que la posición del centro de la circunferencia solución se puede denominar (xs. si (rs. ys). ys) es una solución. s2 y s3 del segundo miembro de estas ecuaciones. La sustitución de estas fórmulas en una de las tres ecuaciones iniciales da una ecuación de segundo grado en la que la incógnita rs se puede resolver mediante la fórmula correspondiente. Una manera de evitar este doble recuento es considerar sólo las circunferencias solución con radio no negativo. En este caso.[] Como las tres circunferencias dadas y cualquier circunferencia solución deben estar en el mismo plano. El sistema general de tres ecuaciones de segundo grado se puede resolver por el método de las resultantes. dos números reales iguales (es decir. que representa la misma circunferencia solución. r2. s2 y s3 en el miembro de la derecha de las ecuaciones pueden ser elegidos de ocho maneras diferentes. Cuando se multiplican. r3 y rs. los signos para esta solución serían «. con los signos opuestos −si. los radios de las circunferencias dadas y el de la circunferencia solución se pueden denominar r1. Las dos raíces de cualquier ecuación de segundo grado pueden ser de tres tipos diferentes: dos números reales distintos. El segundo caso. P y Q son funciones conocidas de las circunferencias dadas y la elección de los signos. xs. ys). los términos lineales que quedan se pueden reorganizar para dar las fórmulas de las coordenadas xs e ys: donde M. Esto podría hacer pensar (incorrectamente) que pueden haber hasta dieciséis soluciones del problema de Apolonio. en el que las dos raíces son iguales.
X2 y X3 correspondientes a las circunferencias dadas: La ventaja de esta reformulación es que se pueden aprovechar los teoremas del álgebra lineal sobre el máximo número de vectores linealmente independientes simultáneamente perpendiculares. En este mundo de cinco dimensiones. si (X1|X2)= 0—. las circunferencias son tangentes externamente. el objetivo es identificar vectores resolutorios Xsol que pertenezcan a la cuádrica de Lie y sean también ortogonales (perpendiculares) a los vectores X1. específicamente. por lo que el número de soluciones se reduce en dos.[][] Geometría de la esfera de Lie Las mismas ecuaciones algebraicas se pueden llevar al contexto de la geometría de la esfera de Lie. s·r). donde c = (cx. rectas y puntos de una manera unificada. Si r no es cero. es bilineal): Como (X1|X1) = (X2|X2) = 0 (ambos pertenecen a la cuádrica de Lie) y w1 = w2 = 1 para circunferencias. las que están orientadas en el sentido de las agujas del reloj tienen s negativo. el problema de Apolonio no puede tener siete soluciones. como un vector de cinco dimensiones X = (v. existe un producto bilineal similar al producto escalar: La cuádrica de Lie se define como aquellos vectores cuyo producto consigo mismos (su norma al cuadrado) es cero. cy) es el centro de la circunferencia y r es su radio (no negativo).[][] 8 . la norma euclidiana. aunque puede tener cualquier otro número de soluciones de cero a ocho. el problema de Apolonio se puede formular en términos de la geometría de Lie como el problema de encontrar vectores perpendiculares en la cuádrica de Lie. el signo s puede ser positivo o negativo.Problema de Apolonio solución geométricamente posible del problema de Apolonio.[] Esta geometría representa circunferencias. En caso de que los dos signos s1 and s2 sean iguales (es decir. que las circunferencias tengan la misma «orientación»). w. Curiosamente. entonces sus circunferencias correspondientes son tangentes. El parámetro w es cero para las rectas y uno en otro caso. en cambio. si los dos signos s1 and s2 son diferentes (es decir. la norma de sus diferencias es igual a: El producto tiene la propiedad distributiva respecto a la suma y la resta (más precisamente. es decir. el producto de dos vectores tales cualesquiera a la cuádrica es igual a: donde las barras verticales que contienen c1 − c2 representan la longitud de este vector diferencia. Sean X1 y X2 dos vectores pertenecientes a esta cuádrica. la distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios: Por tanto. la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre los radios: Por el contrario. para verlo. se representa la orientación de la circunferencia: las circunferencias orientadas en contra del sentido de las agujas del reloj tienen s positivo y. Esta fórmula muestra que si dos vectores cuádricos X1 and X2 son ortogonales (perpendiculares) el uno al otro —esto es. (X|X) = 0. cx. las circunferencias tienen «orientaciones» contrarias). Esto proporciona otra manera de contar el máximo número de soluciones y extender el teorema a espacios de mayores dimensiones. ya que una circunferencia solución no puede tener un radio imaginario. las circunferencias son tangentes internamente. cy.
una circunferencia solución (rosa. Por ejemplo. a todas perpendicularmente.Problema de Apolonio Métodos inversos Un entorno de tratamiento natural para el problema de Apolonio es la geometría inversiva. el «infinito» se define en términos de la esfera de Riemann). pero no contiene las otras dos. La inversión de la circunferencia de centro O y radio R consiste en la siguiente operación: a cada punto P se le asigna un nuevo punto P como O. la ilustración de la derecha. la solución conjugada (también rosa. existe una circunferencia solución conjugada. entonces P' queda dentro. los puntos de tangencia correspondientes a las dos circunferencias resolutorias se transforman el uno en el otro. y viceversa. rectas y puntos. pero transforma las dos soluciones conjugadas una en la otra. al contrario. circunferencia es el centro radical de las tres circunferencias. tal como se explica a continuación. precisamente. abajo a la derecha) contiene la tercera circunferencia dada. se dice que la inversión envía el punto P en el infinito (en análisis complejo. las circunferencias se suelen transformar en otras circunferencias. Las dos circunferencias resolutorias conjugadas están relacionadas por la inversión. y viceversa. no queda afectada por la inversión. donde la circunferencia naranja interseca las circunferencias negras dadas en ángulos rectos. si P está fuera de la circunferencia. arriba a la izquierda) con dos circunferencias dadas (negras). Existen otras resoluciones inversivas del problema a parte de las descritas anteriormente. sin embargo. Cuando P es el mismo que O. y viceversa. por cada circunferencia solución. en la 9 . En la inversión. pero no contiene una tercera. Bajo la misma inversión. además. La inversión en la circunferencia radical no modifica las circunferencias dadas. rectas y puntos dados en otras circunferencias. sin embargo éstas no simplifican el problema. Otras transformaciones plausibles podrían ser las isometrías del plano euclídeo. por lo que las soluciones del problema en el plano corresponden con las soluciones a la esfera.[] Esto se muestra en la ilustración de la derecha. pues sólo desplazan.[] La estrategia básica de los métodos inversos es transformar un problema de Apolonio dado en otro que sea más sencillo de resolver.[] Parejas de soluciones por inversión Las soluciones del problema de Apolonio aparecen a menudo en parejas. P y P' deben estar alineados. La inversión de la circunferencia tiene esta propiedad y además permite elegir de forma libre el centro y el radio de la circunferencia invertida. dadas tres circunferencias diferentes cualesquiera existe Una pareja de soluciones conjugadas del una única circunferencia —la circunferencia radical— que las interseca problema de Apolonio (circunferencias en rosa).[] Una circunferencia solución contiene las circunferencias dadas que la conjugada no contiene. deben transformar las circunferencias. giran o hacen una reflexión del problema original. el centro de esta donde las circunferencias negras son las dadas. El problema de Apolonio en el plano se puede llevar a la esfera con una proyección estereográfica inversa. si una circunferencia pasa por el centro de la circunferencia de inversión. se transforma en sí misma. La inversión tiene la útil propiedad que rectas y circunferencias siempre se transforman en rectas y circunferencias. y no en otras formas. Las transformaciones examinadas deben cambiar un problema de Apolonio en otro. las soluciones del problema original se encuentran a partir de las soluciones del problema transformado. En general. al deshacer la transformación. Las inversiones de la circunferencia corresponden a un subconjunto de las transformaciones de Möbius en la esfera de Riemann. y que los puntos siempre se transforman en puntos. se transforma en una recta. Es importante destacar que si una circunferencia corta la circunferencia de inversión en ángulos rectos (hay interseca perpendicularmente). y el producto de las distancias desde P y P' hasta el centro O sea igual al radio R al cuadrado: Así.
Una circunferencia solución (en rosa) del segundo grupo contiene la circunferencia interna dada (en negro). Las cuatro soluciones restantes se pueden obtener por el mismo método. Esta fórmula representa cuatro soluciones. Dos veces rs. y la distancia dT = rs ± rnon.[][] Bajo esta inversión. las ocho soluciones que corresponden al problema de Apolonio se pueden encontrar. y las dos elecciones por C. el ángulo θ. por este método. por lo que deben pasar por el centro de inversión. respectivamente.[] Los radios de las tres circunferencias dadas son conocidos. es igual a la diferencia rexterno − rinterno de los radios interno y externo. . Así. que es el centro radical (las rectas verdes que intersecan en el punto naranja en la ilustración). En el segundo grupo. el radio de la circunferencia solución. Cuando dos de las circunferencias dadas son concéntricas. se puede escoger un centro de inversión de modo que estas dos circunferencias dadas queden concéntricas. En el primer grupo. mientras que dos veces su distancia al centro ds es igual a su suma. el radio de las circunferencias soluciones. creado por Carl Friedrich Gauss. las circunferencias soluciones deben situarse dentro del anillo o corona formada por las dos circunferencias concéntricas. correspondiente a las dos elecciones del signo de θ. con el subíndice que indica si la solución es tangente externamente o interna. aplicando el teorema del coseno: Aquí. Inversión para obtener un anillo Si dos de las tres circunferencias dadas no se intersecan. las rectas que unen estos puntos de tangencia conjugados no varían bajo la inversión. El radio y la distancia ds son conocidos. consistente con las resoluciones algebraicas. En general. sino que giran como las bolas de un rodamiento rígido o cojinete de rodaduras en el anillo.Problema de Apolonio 10 ilustración los dos azules situados en cada recta verde se transforman el uno en el otro. La circunferencia solución se puede determinar a partir de su radio rs. existen cuatro soluciones para cada grupo. dependiendo de si la circunferencia solución es tangente interna o externamente a la circunferencia no concéntrica. mientras que dos veces su distancia al centro ds es igual a su diferencia. de manera general. pertenecen a dos grupos de un solo parámetro. y las distancias ds y dT desde su centro hasta el centro concéntrico común y de este último hasta el centro de la circunferencia no concéntrica. utilizando las sustituciones por rs y ds indicadas al pie de la imagen que ilustra el segundo grupo. es igual a la suma rexterno + rinterno de los radios interno y externo. Por lo tanto. Una simple reordenación trigonométrica proporciona las cuatro soluciones. Por ello. como también lo es la distancia dnon del centro concéntrico común y el centro de la circunferencia no concéntrica. Dos veces rs. las circunferencias soluciones contienen la circunferencia concéntrica interna. el problema de Apolonio se puede resolver fácilmente siguiendo un método de Gauss. una nueva constante C ha sido definida para abreviar esto. las soluciones no contienen la circunferencia concéntrica interna. y por lo tanto hay un total de ocho soluciones posibles. Una circunferencia solución (en rosa) del primer grupo se sitúa entre las circunferencias concéntricas dadas (en negro). Por lo tanto.
con la tercera circunferencia dada que se transforma en otra circunferencia (en general). Pueden existir hasta cuatro rectas resolutorias. a menudo dos circunferencias dadas se pueden cambiar de tamaño para que sean tangentes entre ellas.[][] Como se explica en la reconstrucción de Viète. la solución del problema de Apolonio original se obtiene a partir de la solución del problema transformado deshaciendo la inversión y los cambios de tamaño. Por tanto. las circunferencias dadas que se cortan también se pueden cambiar de tamaño para que no se intersequen. y por tanto no se pueden encontrar. Las soluciones del problema invertido deben ser (1) rectas paralelas a las dos paralelas dadas y tangentes a la tercera circunferencia transformada. Cambios de tamaño e inversión La utilidad de la inversión se puede incrementar significativamente con los cambios de tamaño. 11 .[] El punto de tangencia correspondiente se utiliza como centro de inversión en una circunferencia que interseca cada una de las dos circunferencias tangentes en dos puntos. La reversión de la inversión y el reajuste del radio de todas las circunferencias en Δr produce las circunferencias soluciones tangentes a las tres circunferencias originales. Cambio de tamaño para obtener una tangencia entre dos circunferencias dadas En el segundo enfoque. Se construye el eje radical de las dos circunferencias dadas. se pueden reducir a un punto las circunferencias diferentes y así obtener soluciones diferentes. Bajo la inversión. escogiendo dos puntos arbitrarios P y Q en este eje radical. pudiéndose construir dos circunferencias centradas en P y Q y que intersecan las dos circunferencias dadas perpendicularmente.[] Así. formando así un sistema de coordenadas bipolares. La misma inversión transforma la tercera circunferencia en otra circunferencia. los radios de las circunferencias dadas son modificados en una cantidad Δr de manera que dos de ellas sean tangentes. y la circunferencia solución en una recta. Las ocho soluciones generales se pueden obtener reduciendo o aumentando las circunferencias de acuerdo con las tangencias internas y externas diferentes de cada solución. En todos estos casos. Estas dos circunferencias construidas intersecan en dos puntos. que consiste en encontrar una circunferencia solución tangente a las dos circunferencias dadas restantes y que pase por el punto P. y después de esto se puede aplicar el método de inversión para obtener un anillo. La inversión en una circunferencia centrada en P transforma las dos circunferencias dadas en nuevas circunferencias.Problema de Apolonio Dos circunferencias dadas cualesquiera que no se intersecan pueden transformarse en concéntricas de la siguiente manera. Por ejemplo. las cuatro circunferencias se pueden cambiar de tamaño de manera que una circunferencia solución se reduzca a un punto. Reducción de una circunferencia dada a un punto En el primer enfoque. alternativamente. las tres circunferencias dadas y la circunferencia solución se pueden cambiar de tamaño a la vez mientras se mantienen las tangencias. Por este resultado se obtiene que el sistema de circunferencias es equivalente a un conjunto de circunferencias de Apolonio. que se pueden construir desde los centros homotéticos interno y externo de las dos circunferencias. la solución transformada es una recta tangente a las dos circunferencias dadas transformadas. La inversión en uno de estos puntos de intersección F transforma las circunferencias construidas en rectas que pasan por F y las dos circunferencias dadas en circunferencias concéntricas. el problema de Apolonio degenera en el caso especial CCP. Así. las dos circunferencias tangentes se transforman en dos rectas paralelas: su único punto de intersección se sitúa en el infinito después de la inversión. las circunferencias dadas se reducen o aumentan de tamaño (según el tipo de tangencia) hasta que una de las circunferencias dadas se transforma en un punto P. no obstante. el problema de Apolonio inicial se transforma en otro problema que puede ser más fácil de resolver. o bien (2) una circunferencia tangente a las dos paralelas (con radio igual a la mitad de distancia entre las paralelas) y tangente a la circunferencia dada transformada. En tercer lugar. La reversión de la inversión en P y del cambio de tamaño transforma estas rectas resolutorias en las circunferencias soluciones deseadas del problema de Apolonio original.
el polo también tiene que estar situado en el eje radical R de las circunferencias soluciones. y así encontrar las circunferencias soluciones. y B1. si se conoce R. La relación entre los polos y las respectivas rectas polares es recíproca. Uno de los dos puntos ya es conocido: se trata del centro radical G que pertenece a las tres rectas. deben encontrar dos puntos que pertenezcan. por otra parte. Las dos rectas tangentes de los dos puntos de tangencia de una circunferencia dada intersecan al eje radical R (recta roja) de las dos circunferencias soluciones (en rosa). La idea de Gergonne era que si se pudiera construir una recta L1 de manera que A1 y B1 se pertenecieran. La solución de Gergonne tiene como objetivo localizar estos seis puntos. entonces A1. Por tanto. debido a que no existe . construyendo las rectas L2 y L3 que contuvieran A2 y B2. pero estos puntos no pueden ser los puntos de tangencia. estos dos puntos se podrían identificar como los puntos de intersección de L1 con la circunferencia dada C1. Para encontrar un segundo punto de las rectas L1. Gergonne encontró el eje radical R de las circunferencias soluciones desconocidas de la siguiente manera. B2. Los otros cuatro puntos de tangencia se podrían situar de manera análoga. Para construir una recta como L1. tres puntos en cada recta. L2 y L3. Sorprendentemente. se pueden considerar las dos rectas tangentes a la circunferencia C1 dibujadas a sus puntos de tangencia A1 y B1 con las circunferencias soluciones. respectivamente. Como las distancias entre este punto (el polo) y los puntos de tangencia A1 y B1 son iguales. las tres circunferencias dadas tienen un total de seis centros de semejanza.B2 son parejas de puntos antihomólogos. Sea X3 uno de los dos centros de semejanza de las circunferencias C1 y C2.B2. es decir. A3. estos dos puntos son los dos puntos de intersección posibles de las rectas tangentes a las dos circunferencias. Para demostrar esto. Gergonne consideró rectas que pasaran por los puntos de tangencia de dos de las circunferencias dadas. Para entender esta relación recíproca. Los tres puntos de intersección sobre I son los polos de las rectas que unen los puntos de tangencia azules en cada circunferencia dada (en negro). Así. B3 sus puntos de tangencia con las tres circunferencias dadas. con el orden que corresponde. Estas rectas se pueden construir a partir de los polos y del centro radical (en naranja). estos seis puntos se encuentran en cuatro rectas. cada recta corresponde al eje radical de una pareja potencial de circunferencias soluciones.[] Sean CA y CB una pareja de circunferencias soluciones y sean A1. A2. si el polo de L1 respecto a C1 pertenece a I.A2 y la determinada por B1. Gergonne fue capaz de encontrar otros dos puntos por cada una de las tres rectas. CA y CB. la recta determinada por A1. por definición. se puede encontrar su polo P1 respecto a C1. y se obtiene como resultado el segundo punto de L1. el punto de intersección entre estas dos rectas es el polo de L1 respecto a C1. dos por cada pareja diferente de circunferencias dadas. Los polos (puntos rojos) del eje radical R en las tres circunferencias dadas (en negro) se sitúan en las rectas verdes que unen los puntos de tangencia. Gergonne observó una relación recíproca entre estas rectas y el eje radical R de las circunferencias solución.Problema de Apolonio 12 Resolución de Gergonne El enfoque de Gergonne considera las circunferencias soluciones en parejas.A2 y B1. Cualquier pareja de circunferencias tiene dos centros de semejanza. el polo de I respecto a C1 debe pertenecer a L1. y A3 y B3.
puntos o rectas. implica que X3 esté situado en el eje radical de las dos circunferencias soluciones. respectivamente. formando un total de ocho soluciones. R (L en inglés). Algunos de estos casos especiales son más fáciles de resolver que el caso general de tres circunferencias dadas. la recta L1 buscada queda determinada por dos puntos: el centro radical G de las tres circunferencias dadas y el polo respecto a C1 de una de las cuatro rectas que unen los centros de homotecia. en el caso RRR. 13 . El mismo razonamiento se puede aplicar a las otras parejas de circunferencias. y las rectas respectivas intersecan a X3. rectas y circunferencias El problema de Apolonio consiste en construir una o más circunferencias tangentes a tres objetos dados. C. no existe la pareja de circunferencias soluciones para esta recta de centros de homotecia. Los puntos y las rectas se pueden considerar casos especiales de las circunferencias. correspondientes a cada combinación de circunferencias. y una recta se puede concebir como una circunferencia infinitamente grande con el centro también situado en el infinito. de modo que tres centros de semejanza de las tres circunferencias dadas deben encontrarse en el eje radical de parejas de circunferencias soluciones. Por ejemplo. y por lo tanto. a las que se puede designar un código de tres letras. Sin embargo. Casos especiales Diez combinaciones de puntos. el centro es el punto de intersección de dos de las mediatrices. El centro de la circunferencia solución es equidistante a los tres puntos. por lo que el nuevo centro se sitúa el punto de intersección de dos de estas bisectrices. En consecuencia. rectas y puntos. recta y punto dados se indica con el código CRP. En resumen. El hecho de encontrar los mismos polos respecto a C2 y C3 permite obtener L2 y L3. así. el reemplazo de una circunferencia dada por un punto deja en la mitad el número de soluciones. La repetición de este procedimiento con las otras tres rectas que unen los centros de homotecia da seis soluciones más. Del mismo modo. o bien P. el tipo de problema de Apolonio con una circunferencia. Como hay dos bisectrices en cada punto de intersección de las tres rectas dadas. que pueden ser circunferencias.[1][] A menudo estos casos especiales tienen menos soluciones que el problema general. Esto proporciona hasta diez tipos distintos de problemas de Apolonio. ya que un punto se puede concebir como una circunferencia infinitesimal que es a la vez tangente interna y externa. un punto se puede considerar una circunferencia de radio infinitamente pequeño. que Euclides resolvió en la obra Elementos. por tanto.[1] Por ejemplo. si una recta Lk no interseca la circunferencia correspondiente Ck para algún valor de k. respectivamente. por ejemplo. que los productos de las distancias deben ser iguales: lo cual. Los otros nueve casos que comportan el uso de rectas y puntos se pueden considerar casos límite del problema general. para denotar si los objetos dados son una circunferencia. debe situarse sobre la mediatriz del segmento formado por dos de los puntos. Los dos casos más sencillos son los que tratan de dibujar una circunferencia que pase por tres puntos dados (PPP) o tangente a tres rectas (RRR). existen cuatro soluciones al problema general RRR. una recta o un punto. el caso PPP se puede resolver como se explica a continuación.Problema de Apolonio relación de los lados que en cada una de dos o más figuras geométricas semejantes están colocados en el mismo orden. De ello se deduce. se pueden situar los seis puntos y encontrar una pareja de circunferencias soluciones. el centro se situará sobre las bisectrices de los ángulos formados en los tres puntos de intersección entre las rectas dadas.
una recta y un punto 4 7 CRR una circunferencia y dos rectas 8 8 CCP dos circunferencias y un punto 4 9 CCR dos circunferencias y una recta 8 10 CCC tres circunferencias (el problema original) 8 Ejemplo (soluciones en rosa.Problema de Apolonio 14 Tabla 1: Diez tipos de Problemas de Apolonio Índice Código Elementos dados Número de soluciones (en general) 1 PPP tres puntos 1 2 RPP una recta y dos puntos 2 3 RRP dos rectas y un punto 2 4 RRR tres rectas 4 5 CPP una circunferencia y dos puntos 2 6 CRP una circunferencia. circunferencias dadas en negro) .
Tres de las soluciones son las mismas circunferencias dadas. produce un conjunto de cuatro circunferencias que son tangentes entre todas ellas en seis puntos. Si sólo dos de las circunferencias dadas son idénticas. los centros de las infinitas circunferencias resolutorias forman una hipérbola.[][] una rama de la geometría algebraica que busca encontrar el número de soluciones de ciertas cuestiones geométricas por medio de la teoría de intersección. la lista de Muirhead no estaba completa. el problema de Apolonio tiene cinco soluciones.[] Aunque normalmente las soluciones del problema de Apolonio van en parejas relacionadas por la inversión. Si las tres circunferencias dadas son idénticas (están superpuestas). El número de soluciones general para cada uno de los diez tipos de problema de Apolonio se muestra en la tabla superior.[] Sin embargo. Por ejemplo. Los radios de estas cuatro circunferencias están relacionados por una ecuación conocida como teorema de Descartes. junto con las tres circunferencias dadas. Cualquier circunferencia de Soddy. existen también un número infinito de soluciones.[13][] Este caso especial del problema de Apolonio también se conoce como problema de las cuatro monedas. Una En 1896 Robert Franklin Muirhead realizó una enumeración circunferencia que resolviera el problema (en rosa) debería cruzar la circunferencia discontinua dada (en exhaustiva del número de soluciones para todas las disposiciones negro) para tocar las otras dos circunferencias (también posibles de las tres circunferencias.[][] Otros métodos de resolución alternativos basados en la geometría de circunferencias y esferas han sido desarrollados y utilizados en dimensiones más grandes. no existe ningún problema de Apolonio con siete soluciones. Un problema de Apolonio sin soluciones. teniendo entonces infinitas soluciones. Sin embargo. En una carta del 1643 a la princesa Isabel I de . puntos o rectas dadas. ya que cada una es tangente a sí misma con respecto a las otras dos.Problema de Apolonio 15 Número de soluciones El problema consistente en contar el número de soluciones de diferentes tipos de problemas de Apolonio pertenece al campo de la geometría enumerativa. en el otro extremo.[] aunque en negro). Sin embargo. con 33 casos diferentes.[] y Eduard Study. sólo hay dos circunferencias diferentes. y se llaman circunferencias de Soddy. lo que se utiliza en la resolución por intersección de hipérbolas.[][] Circunferencias dadas tangentes entre ellas: circunferencias de Soddy y teorema de Descartes Si las tres circunferencias dadas son tangentes entre ellas. la cuestión ya había sido tratada anteriormente por V. algunas disposiciones especiales de los objetos dados pueden hacer cambiar el número de soluciones. como la solución única del caso PPP. o cuando una o tres circunferencias dadas son soluciones por sí mismas (como el teorema de Descartes). y se amplió en 1974[] y la enumeración definitiva. el problema de Apolonio no tiene solución si una circunferencia contiene otra. como se muestra en la ilustración de la derecha. Stoll. Las dos soluciones restantes corresponden a las circunferencias inscrita y circunscrita en la figura. una teoría en la que se calculan intersecciones dentro de un anillo.[14][15] Las tres circunferencias dadas de este problema de Apolonio forman una cadena de Steiner tangente a las dos circunferencias de Soddy. se publicó en 1983. es posible que en algunos casos haya un número impar de soluciones. si las tres circunferencias dadas son tangentes en el mismo punto cualquier circunferencia tangente al mismo punto es solución.
[][] El teorema de Descartes fue descubierto independientemente en 1826 por Jakob Steiner.[][][17] y otra vez en 1936 por Frederick Soddy. el caso es evidente pues son todos besados desde afuera. The sum of the squares of all four bends Is half the square of their sum. dos a dos. If one in three. la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas Es igual a un medio del cuadrado de su suma. The bend is just the inverse of The distance from the center. mientras que la segunda formula el teorema de Descartes. Though their intrigue left Euclid dumb There's now no need for rule of thumb. Since zero bend's a dead straight line And concave bends have minus sign. [18] . al ser éste uno por tres veces besado internamente.[16] René Descartes demostró que: donde ks = 1/rs y rs son la curvatura y el radio de la circunferencia solución.[] Soddy publicó el descubrimiento en la revista científica Nature en un poema en inglés llamado The Kiss Precise (en español. para lograrlo habrán de estar los cuatro o tres dentro de uno. existe un segundo conjunto de cuatro circunferencias tangentes entre sí en los mismos seis puntos. y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. se dice que dos circunferencias kiss (se besan) si son tangentes y el término «bend» se refiere a la curvatura k de la circunferencia.[] en 1842 por Philip Beecroft. o alguno por otros tres a coro rodeado. y análogamente para las curvaturas k1. De estar uno entre tres. mas ¡ay! no sucede igual en geometría. Y el caso tres en uno no es quimera. If three in one. respectivamente. k2 y k3 y los radios r1. La primera estrofa describe las circunferencias de Soddy. beyond a doubt Each gets three kisses from without. then is that one Thrice kissed internally. Pueden besarse los labios. For pairs of lips to kiss maybe Involves no trigonometry. Cuatro circunferencias llegaron a besarse. The smaller are the benter. Aunque este enigma a Euclides asombrara.Problema de Apolonio 16 Inglaterra. cuanto menores tanto más curvados. To bring this off the four must be As three in one or one in three. r2 y r3 de las tres circunferencias dadas. Por cada conjunto de cuatro circunferencias tangentes entre ellas. 'Tis not so when four circles kiss Each one the other three. pues si cuatro círculos tangentes quieren ser y besar cada uno a los otros tres. En el poema de Soddy. Four circles to the kissing come. ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas. sin trigonometría. sin mucho calcular. El beso preciso).
también conocido como empaquetado de Leibniz o empaquetado apoloniano. se puede resolver mediante métodos análogos. que se convierten en las soluciones del problema original cuando se deshacen la inversión y los cambios de tamaño. es autosemejante y tiene una dimensión de Hausdorff. por ejemplo. es decir.Problema de Apolonio 17 Generalizaciones El problema de Apolonio puede generalizarse en construir todas las circunferencias que intersecan tres circunferencias dadas en un ángulo θ preciso. ya que su creador fue esféricos) que son tangentes a tres circunferencias dadas a la Gottfried Leibniz.[25] El problema de Apolonio puede extenderse a d dimensiones. a saber.3. se pueden llenar los intersticios entre las circunferencias mutuamente tangentes tan finamente como se desee. Pierre de Fermat trató este problema. en cuyo caso el problema original es el caso especial en que las distancias son cero.[] el problema de Apolonio ordinario corresponde al caso especial en que el ángulo de cruce es cero para las tres circunferencias dadas. las soluciones correspondientes al problema esférico se pueden determinar invirtiendo la proyección estereográfica. que no se conoce exactamente.[24] y muchos otros métodos de resolución se han desarrollado a lo largo de los siglos. o en tres ángulos especificados θ1. también llamado empaquetado de Leibniz.[] Esta disposición también es la base del teorema de Casey.[20] y que es mayor que la de una curva regular o rectificable (d = 1) pero más pequeña que la de un plano (d = 2).[] Una inversión en este punto reduce el problema de Apolonio a encontrar un plano tangente a tres esferas dadas. pero que se sabe que es alrededor de 1.[] La extensión del problema de Apolonio en tres dimensiones. se puede considerar el problema de cuatro curvas tangentes que resultan de la intersección de una superficie cuádrica arbitraria y cuatro planos. Gottfried Leibniz describió por primera vez el tamiz de Apolonio en el siglo XVII. las circunferencias dadas y las que son solución se pueden cambiar de tamaño de tal manera que una circunferencia dada se reduzca a un punto mientras se mantiene la tangencia. y es el precursor curvo del triángulo de Sierpinski del siglo XX. que fueron clarificadas por A.[][][] Este problema esférico puede convertirse en un problema plano correspondiente utilizando una proyección estereográfica. el problema consiste en construir todas las circunferencias (los bordes de los casquetes Un tamiz de Apolonio simétrico. Lachlan en 1893.[21] El tamiz de Apolonio también posee conexiones profundas con otros campos de las matemáticas.[] . La disposición de una circunferencia tangente a cuatro circunferencias en el plano tiene propiedades especiales.[] que es una generalización del teorema de Ptolomeo. es el conjunto límite de los grupos kleinianos.[] Por ejemplo.[] Resolviendo el problema de Apolonio para encontrar la circunferencia inscrita repetidamente. construir circunferencias con tres distancias tangenciales especificadas de las tres circunferencias dadas. En general existen ocho planos que son tangentes.[] Tras la publicación del redescubrimiento del teorema de Descartes por parte de Frederick Soddy en 1936. θ2 y θ3. Para la esfera. Una vez se han construido las soluciones del problema en el plano. un problema que trató por primera vez Charles Dupin. Otra generalización es la dual de la primera extensión. esfera. otros resolvieron (independientemente) el caso de las circunferencias tangentes correspondientes a las circunferencias de Soddy en d dimensiones. Larmor en 1891[23] y R. De manera más general. formando así un tamiz de Apolonio. el problema de encontrar una esfera que sea tangente a otras cuatro dadas.[22] un grupo finito tipo Γ generado por la orientación y preservación de ciertos mapas en la 1-esfera sobre .[19] Este tamiz es un fractal.[] El problema de Apolonio se puede extender del plano a la esfera y otras superficies cuádricas. y consiste en construir las hiperesferas tangentes a un conjunto dado de d + 1 hiperesferas.
74. Adam and P. volume 26. dados los límites de un conjunto infinito de circunferencias de Ford. Paris: Leopold Cert 1901. Este problema de multilateración es equivalente a la generalización tridimensional del problema de Apolonio y se aplica a sistemas globales de navegación por satélite. tres puntos conocidos. Varia opera mathematica. de Martin Gardner. p. se utiliza en el método del círculo de Hardy-Littlewood de teoría analítica de números para construir el contorno de Hans Rademacher para la integración compleja. [23] (en inglés) [24] de Fermat P. Œuvres de Descartes. pdf).[] El caso especial del problema de Apolonio en el que las tres circunferencias son tangentes. Tolos. cada uno de los cuales toca muchos otros. oei. cuando se busca determinar la posición de un barco a partir de las diferencias en el tiempo de llegada de señales provenientes de tres transmisores sincronizados. serie 1. [10] Reimpreso en Euler's Opera Omnia. Históricamente. pballew. volumen VII. (en latín) [25] Reimpreso en Opera Omnia. es la trilateración hiperbólica. cuando el medio de transmisión no es isótropo). 1679.[] Finalmente. el problema de Apolonio ha sido aplicado a algunos tipos de problemas de empaquetado. 18 . 334–343.Problema de Apolonio Aplicaciones La aplicación principal del problema de Apolonio. consultado el 8 de agosto de 2010. las soluciones al problema de Apolonio se utilizaron durante la Primera Guerra Mundial para determinar la ubicación de una pieza de artillería a partir de la diferencia de tiempo en que se oía el disparo desde tres lugares diferentes. p. Correspondance IV. En el volumen uno.[] El problema de Apolonio tiene otras aplicaciones. aunque no se corresponde con el problema de Apolonio si la velocidad del sonido varía según la dirección (es decir. 270–275. que surgen en campos dispares como los códigos de corrección de errores utilizados en los discos DVD y el diseño de fármacos que se unen a una determinada enzima de una bacteria patógena. es/ oim/ revistaoim/ numero1/ Soddy. la ubicación de un avión se puede determinar a partir de la diferencia en el tiempo de llegada de una señal a cuatro estaciones receptoras. (C. Eds.[] De manera análoga. html)) (en inglés) [18] Traducción del poema de Soddy (http:/ / www. (en francés) [17] ( MathWords online article (http:/ / www. al menos. como el GPS. que tiene por objeto determinar una posición a partir de las diferencias entre las distancias de. net/ soddy.[] También se utiliza para determinar la ubicación de animales que emiten sonidos (como los pájaros o las ballenas).[] Por ejemplo. [11] (en francés) (en francés) [16] Descartes R.[] mientras que la trilateración hiperbólica es el principio utilizado por los sistemas de navegación Decca y LORAN. Tannery. serie 1. pp. tal como lo formuló Isaac Newton. Traducción que aparece en la versión en español de Circo Matemático.). pp. de la obra Principia. Newton utilizó la solución del problema para construir una órbita en mecánica celeste a partir del centro de atracción y de la observación de rectas tangentes a la órbita correspondientes a velocidades instantáneas.[] Fuentes Referencias [8] Simson R (1734) Mathematical Collection. 117. volumen 26. específicamente en la proposición 21.
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