Source: https://www.scribd.com/doc/72313508/Manual-Maxima
Timestamp: 2016-10-27 07:03:16+00:00

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Copyright © marzo 2008, Miguel A. Jorquera. Versión 0.6
Este documento es libre. Se otorga permiso para copiarlo, distribuirlo
y/o modiﬁcarlo en los términos de la Licencia de Documentación
Libre GNU, versión 1.2 o posterior publicada por la Fundación de
Software Libre, http://es.gnu.org/licencias/fdles.html.
Este manual se encuentra en fase de desarrollo, revisión de diseño
gráﬁco, ortografía y otros aspectos que posiblemente cambiarán en las
siguienes versiones al tiempo que se irán añadiendo nuevos capítulos.
Si usted encuentra algún error y/o quiere hacer alguna aportación,
su ayuda será bienvenida. e-mail: jorquera11@hotmail.com
1. Software Libre y Matemáticas 5
1.1. Educación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Software matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. wxMaxima 9
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1. Instalación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2. Cuestiones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3. Cuestiones Pedagógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Matrices y Determinantes 13
3.1. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. Unidad Didáctica: Matrices y Determinantes . . . . . . . . . . . 17
3.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.3. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.4. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Sistemas de ecuaciones lineales 25
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Clases de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1. Sistema incompatible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2. Sistema compatible determinado . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.3. Sistema compatible indeterminado . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Sistemas dependientes de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3.1. Sistemas de igual nº de ecuaciones que de incógnitas . . . 28
4.3.2. Sistemas de distinto nº de ecuaciones que de incógnitas . 30
5. Vectores 33
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3. Dependencia e independencia de vectores . . . . . . . . . . . . . 35
5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Página 4 ÍNDICE GENERAL
6. Geometría Afín y Euclídea 39
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3. Ecuaciones del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.4. Posiciones relativas entre planos y rectas . . . . . . . . . . . . . . 40
6.5. Ángulo entre elementos del espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.5.1. Ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.5.2. Ángulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.5.3. Ángulo entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5.4. Ángulo entre recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.6. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.6.1. Proyección de un punto sobre un plano . . . . . . . . . . 46
6.6.2. Proyección de un punto sobre una recta . . . . . . . . . . 47
6.6.3. Proyección de una recta sobre un plano . . . . . . . . . . 47
6.7. Distancias en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.7.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.7.2. Distancia entre un punto y un plano . . . . . . . . . . . . 50
6.7.3. Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . . . . . 51
6.7.4. Distancia entre dos rectas que se cruzan . . . . . . . . . . 52
6.8. Perpendicular común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7. Límites y continuidad 57
7.1. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2.1. Asíntotas Verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2.2. Asíntotas Horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2.3. Asíntotas Oblícuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
El uso del ordenador en el aula y en concreto en las asignaturas de mate-
máticas crea nuevas posibilidades de aprendizaje antes inalcanzables. Nuestros
alumnos y alumnas están habituados a utilizar estas nuevas tecnologías y sería
un error no tenerlos en cuenta. Se trata de un medio más, junto con la pizarra,
los libros, la calculadora, etc para conseguir que aprendan.
Existen muchas alternativas a la hora de elegir un determinado software para
usarlo en el aula, pero deberíamos de guiarnos por una serie de consideraciones
para intentar hacer una buena elección.
1.2. Software matemático
En esta sección vamos a dar un listado por bloques, sin entrar en detalles
y sin animo de ser exhaustivos, de aplicaciones para el aula de matemáticas
que son software libre y que la mayoría están disponibles tanto para Window
como para Linux. Se pueden encontrar en http://www.cdlibre.org, en http:
//www.sourceforge.net ó en sus páginas oﬁciales.
Página 6 1.2. SOFTWARE MATEMÁTICO
Xabacus y Xamabacus
Kcalcul
Hoja de cálculo. Calc
Maxima y wxMaxima
Textos cientíﬁcos
CAPÍTULO 1. SOFTWARE LIBRE Y MATEMÁTICAS Página 7
http://www.ciencialab.com
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/es/index.html
Página 8 1.2. SOFTWARE MATEMÁTICO
Maxima es un programa de calculo simbólico similar a los programas comer-
ciales Maple y Mathematica.
Está publicado bajo licencia libre GNU/GPL y funciona en diferentes pla-
taformas (Linux, Window, Mac, etc.).
Es software libre, por lo que su código fuente está disponible par que todo
el que quiera adapte el programa a sus necesidades.
Es gratuito, por lo que se puede distribuir a los alumnos libremente.
Máxima puede realizar diferentes cálculos numéricos y simbólicos con poli-
nomios, sistemas de ecuaciones, matrices, funciones, derivadas, integrales,
límites, series de Taylor, etc.
Puede representar funciones en 2D y 3D ayudándose de GNUplot.
Además funciona como lenguaje de programación por lo que las posibili-
dades son enormes.
La web oﬁcial de Máxima es http://maxima.sourceforge.net/ o si la preﬁere
en castellano http://maxima.sourceforge.net/es/
Maxima funciona en modo texto en consola, pero afortunadamente existen
varios entornos gráﬁcos que hacen más agradable su manejo. Los principales son
xmaxima y wxmaxima.
En este manual, trabajaremos con wxmaxima.
2.1.1. Instalación
Como hemos comentado antes, podemos instalar Maxima y wxMaxima en
La instalación en Window consiste en la ejecución de un archivo ejecu-
table .exe que podemos descargar directamente de sourceforge. Una vez
instalada esta aplicación podemos proceder a instalar wxMaxima que se
encuentra en http://wxmaxima.sourceforge.net.
Página 10 2.1. INTRODUCCIÓN
Figura 2.1: Pantalla inicial de wxMaxima
La mayor parte de las distribuciones Linux tienen ﬁcheros precompila-
dos con las extensiones rpm o deb, según el caso. La instalación en una
distribución linux basada en Debian es muy sencilla ya que wxmaxima se
encuentra en los repositorios. Basta con hacer $sudo apt-get install wxma-
xima maxima-share para que se instale Maxima y wxMaxima junto con
También, si se utiliza el escritorio gnome, se puede instalar mediante la aplica-
ción Synaptic que se encontrará en el menú Sistema ->Administración ->Gestor
de paquetes Synaptic
En Linux, una vez instalado, podemos lanzar la aplicación desde el menú
Aplicaciones ->Otras ->wxMaxima ó escribiendo en una consola wxmaxima.
En Window la aplicación se lanzaría como cualquier otra; haciendo doble
clic en el icono correspondiente ó en Inicio ->Programas ->wxMaxima
En la ﬁgura 2.1 se muestra la pantalla inicial de wxMaxima.
Podemos poner la aplicación en español desde el menú Edit ->Conﬁgure
2.1.2. Cuestiones básicas
Antes de empezar a utilizar wxMaxima es importante tener en cuenta al-
gunas consideraciones que nos ayudarán a ir más rápido y entender lo que va
Cada línea aparece numerada, por ejemplo, la primera es ( %i1). Si es una
entrada aparece ”i” (input-entrada) y si es una salida aparece ”o” (output-
salida) y a continuación el número de línea. Así podemos referirnos a una
expresión anterior mediante su identidad ( %ox, %ix) para no tener que
CAPÍTULO 2. WXMAXIMA Página 11
Figura 2.2: Ejemplos básicos
teclearla otra vez. Si ponemos sólo % máxima entiende que se trata de la
Todas las órdenes terminan con ”;”.
Si no queremos que el resultado de una orden aparezca terminaremos con
Podemos escribir comentarios poniéndolos entre /* y */.
Asignamos valor a una variable utilizando ”:”, por ejemplo, a:3.
Podemos deﬁnir una función usando ”:=”, por ejemplo, f(x):=x^2+3*x+1
En la ﬁgura 2.2 se pueden ver algunos ejemplos básicos.
2.1.3. Cuestiones Pedagógicas
Actualmente es evidente la importancia de las tecnologías informáticas en
todos los niveles de enseñanza. En este texto se trata una aplicación de cálculo
simbólico de la que a continuación se enumeran algunas de las ventajas peda-
gógicas que tiene su uso con los alumnos.
Permite realizar cálculos reales, de mayor diﬁcultad matemática evitando
perder tiempo en el cálculo rutinario, con lo que se puede dedicar más
tiempo a la explicación de los conceptos que ha las habilidades de cálculo.
Tanto el profesor como los alumnos puede aprender a usar wxMaxima en
Página 12 2.1. INTRODUCCIÓN
El profesor puede mostrar el funcionamiento de la aplicación con un pro-
yector conectado a un ordenador y luego los alumnos podrán realizar los
ejercicios más rápido.
La utilización de gráﬁcas en el ordenador ayuda a que los alumnos ten-
gas una visión más real de la geometría que se está estudiando evitando
aproximaciones realizadas en la pizarra o en el cuaderno.
Maxima será útil en algunos casos, e inútil en otros. No hay que forzar su
uso en todas las ocasiones ya que esto sería un error, pero hay contextos
en los cuales el error sería no usarlo.
Se fomenta más el trabajo creativo en detrimento del rutinario.
Se les puede repartir a los alumnos una copia de wxMaxima para que se
la lleven a sus casas y puedan practicar independientemente de que los
alumnos tengan Window en sus casas y trabajen con Window o Linux en
3.1. Operaciones con matrices
Una matriz en Máxima es una lista de listas donde cada elemento es una
ﬁla. Para deﬁnir una matriz se utiliza la palabra matrix y entre paréntesis
encerramos las ﬁlas de la misma que a su vez están encerradas por corchetes y
cada elemento separado por comas. Por ejemplo una matriz A se deﬁniría en
máxima así: A:matrix([1,2],[3,4])
Esto se puede simpliﬁcar utilizando el menú Álgebra ->Introducir matriz
Producto de matrices se utiliza el operador ”.”
Para el producto de un número por una matriz se utiliza el operador
Para la suma de matrices se utiliza el operador ”+”
Para calcular la inversa de una matriz cuadrada usaremos el operador
”^^-1” o la función invert
• Si queremos que al calcular la inversa tengamos el determinante fuera
debemos indicárselo a wxMaxima con tres variables: detout: true$
doallmxops: false$ doscmxops:false$ invert(A); Con detout: true le
decimos que el determinante lo saque fuera y poner las otras dos
variables a false es para que haga las operaciones sin contar con el
determinante, que lo pondrá fuera.
El rango de una matriz se calcula con la función rank
La transpuesta de una matriz se calcula con la función transpose
Dada una matriz también podemos obtener la matriz triangular que
resultaría de aplicar transformaciones elementales por ﬁlas siguiendo el
método de Gauss. Esto es posible a la función triangularize que tiene
Maxima. Existe otra función llamada echelon con la que se obtiene una
matriz triangular igual que con la función triangularize, pero todos los
elementos de la diagonal principal son todos 1.
Página 14 3.1. OPERACIONES CON MATRICES
Figura 3.1: Introducir matriz
Figura 3.2: Operaciones Matrices
Veamos algunos ejemplos donde se utilizan estos operadores.
1. En primer lugar deﬁnimos dos matrices A y B en máxima, para ello po-
demos escribir diréctamente A:matrix([1,2],[3,4])$B:matrix([5,6],[7,8])$ ó
escribimos A: y nos vamos al menú Álgebra->Introducir matriz, elegimos
2 ﬁlas y 2 columnas (ver ﬁgura 3.1 (a)), pulsamos en Aceptar y luego in-
troducimos los valores 1,2,3,4 y pulamos otra vez Aceptar (ver ﬁgura 3.1
(b)). De esta forma tenemos introducida la matriz A. De la misma manera
introducimos la matriz B también 2x2 cuyos elementos serán 5,6,7,8.
2. Ahora ya podemos realizar operaciones con ellas simplemente poniendo la
operación, por ejemplo, A+B. En concreto poniendo A+B;A-B;3*A;A.B;
obtendremos la salida de la suma, diferencia, producto del escalar 3 por A
y producto de las matrices A y B. Esto lo podemos observar en la ﬁgura
CAPÍTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES Página 15
Figura 3.3: Rango e Inversa
3. Para calcular el rango de A y de B simplemente escribimos rank(A);rank(B);
(ver ﬁgura 3.3)
4. Las inversas de A y B se calculan escribiendo invert(A);invert(B); (ver
ﬁgura 3.3)
5. También con el menú Álgebra->Invertir matriz podemos obtener la inversa
de la matriz que esté guardada en la última expresión ( %). Si en la última
expresión no hay ninguna matriz dará error.
6. Podemos calcular las matrices transpuestas de A y B con transpose(A);transpose(B);
ó con el menú Álgebra ->Transponer matriz, que como en el caso anterior
calcularía la matriz transpuesta de la última expresión ( %) y si no es una
matriz daría error. Podemos ver esto en la ﬁgura 3.4.
7. Vamos ahora a obtener las matrices triangulares de A y B con la función
triangularize y con la función echelon. Escribimos
triangularize(A);triangularize(B);echelon(A);echelon(B); (ver ﬁgura 3.5)
3.2. Cálculo de determinantes
Con wxMaxima podemos calcular el determinante de una matriz con
la función determinant, es decir, dada una matriz A, obtendríamos su de-
terminante con determinant(A); ó desde el menú Álgebra ->Determinante.
Siguiendo con el ejemplo de la sección anterior pondríamos determinant(A);determinant(B);
y obtendríamos los resultados -2 y 3 como se muestra en la ﬁgura 3.6.
Hay que tener en cuenta que si se intenta calcular el determinante de una
matriz que no es cuadrada daría error, puesto que el determinante para tal
matriz no está deﬁnido.
Página 16 3.2. CÁLCULO DE DETERMINANTES
Figura 3.4: Matriz transpuesta
Figura 3.5: Matriz Triangular
Figura 3.6: Determinante
CAPÍTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES Página 17
Figura 3.7: Matriz adjunta
La matriz adjunta también la podemos obtener con maxima utilizando la
función adjoint. Por ejemplo para la matriz A del ejemplo, tendríamos que
escribir adjoint(A); ó ir al menú Álgebra ->Matriz Adjunta. El resultado
se muestra en la ﬁgura .
El menor complementario del elemento (i,j)de la matriz A se
puede obtener mediante minor(A,i,j)
3.3. Unidad Didáctica: Matrices y Determinan-
Entre las herramientas del álgebra lineal se encuentran las matrices y los
determinantes. El concepto de matriz fue introducido por James Sylvester (1814-
1897) hacia 1850.
En la vida cotidiana aparecen matrices cuando tenemos una gran cantidad
de datos ordenados por bloques ya que la notación matricial nos ayuda a tener
una mejor visualización de los datos. Por ello, las matrices se utilizan en ámbitos
muy diversos como el comercio, economía, sociología, informática física, etc.
El concepto de determinante es anterior al de matriz, aunque en la actualidad
se enseña al revés. Gauss (1777-1855) fue el primero en utilizar el concepto de
La utilidad de estos dos conceptos se pone de maniﬁesto en buena parte del
currículo de Matemáticas II y Matemáticas Aplicadas a las CCSS II de 2º de
bachillerato. Por ello esta unidad tratará estos conceptos desde el punto de vista
del cálculo simbólico, usando la aplicación wxMaxima.
1. Aprender a realizar operaciones con matrices y determinantes rápidamente
usando wxMaxima.
Página 18 3.3. UNIDAD DIDÁCTICA: MATRICES Y DETERMINANTES
2. Resolver problemas sobre matrices y determinantes usando wxMaxima.
3. Interpretar los resultados y obtener conclusiones.
A continuación se muestran una serie de actividades que los alumnos tendrán
que resolver utilizando lo aprendido en las secciones anteriores de este tema.
En la siguiente sección se mostrarán las soluciones que pueden ser de ayuda
al profesor y también a los alumnos una vez que hayan intentado resolver los
ejercicios por ellos mismos.
1. Dadas las matrices A =
b) A-B-C
c) 3A+5B-6C
d) AB-BC
e) 2AB+3AC-5BC
2. Determina el valor de a par que la matriz A =
inversa. Calcula A
para los restantes valores de a.
3. Resuelve la ecuación matricial en X: XA − 2B + 3C = D, siendo: A =
4. Demuestra que
yz x 3/x
xz y 3/y
xy z 3/z
5. Calcual el determinante de Vandermonde de orden 3,
6. Dada la matriz A =
, calcular A
y comprobar que A
[Adj(A)]
7. Calcula el rango de la matriz A =
−3 −6 −9 1
función rank y después utilizando transformaciones elementales por ﬁlas
con la función triangularize.
CAPÍTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES Página 19
Figura 3.8: Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 1
8. Calcula los menores complementarios de todos los elementos de la matriz
3.3.4. Soluciones
1. En esta actividad basta con introducir cada una de las 3 matrices e ir
pidiendo a wxMaxima que haga cada una de las operaciones. Sólo hay que
tener en cuenta que cuando pone AB tendremos que escribir A.B y cuando
pone 3A pondremos 3*A. Se puede ver la solución en (3.8).
2. En la resolución de esta actividad podemos observar la potencia del cálcu-
lo simbólico de wxMaxima al trabajar con el parámetro a. La aplicación
nos calcula el valor del determinante en función de a y luego podemos
obtener la inversa, que existirá para cualquier valor de a que no anule
el determinante. Aunque esto no entre en este tema, usando la función
solve([7*a-1],a); para saber la solución de la ecuación que anula el deter-
minante. Ver (3.9).
3. Aquí lo único que tendría que hacer un alumno es despejar X como (D +
2B − 3C)A
y después decirle a Maxima que haga las operaciones. Ver
Página 20 3.3. UNIDAD DIDÁCTICA: MATRICES Y DETERMINANTES
Figura 3.9: Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 2
Figura 3.10: Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 3
CAPÍTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES Página 21
Figura 3.11: Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 4
4. Esta actividad es otra prueba de que Maxima puede trabajar con paráme-
tros. Una vez que tenemos la expresión del determinante usamos la función
ratsimp (pulsando el botón con la etiqueta ”Simpliﬁcar”) para simpliﬁcarla,
observando que el resultado, efectivamente es 0. Ver (3.11).
5. Igual que en la actividad anterior calculamos este conocido determinante
y luego factorizamos la expresión con la función factor( %), pulsando el
botón con la etiqueta ”Factorizar”. Ver (3.12).
6. Con esta actividad se muestra un ejemplo donde se se calcula la inversa de
una matriz de dos formas diferentes; la primera simplemente indicándole
a Maxima que calcule la inversa de A y la segunda calculando las matrices
necesarias para aplicar la fórmula correspondiente. Vemos que en ambos
casos el resultado es el mismo. Ver (3.13).
7. Teniendo en cuenta que la deﬁnición de rango es el número de ﬁlas o de
columnas linealmente independientes, uno de los métodos para calcular
el rango de una matriz es utilizando transformaciones elementales por ﬁ-
las mediante el método de Gauss, que deja invariante el rango de una
matriz. Por ello en esta actividad calculamos el rango directamente y des-
pués triangularizamos la misma para comprobar que el número de ﬁlas
linealmente independientes coincide con el rango anterior. Ver (3.14).
8. En la última actividad podemos calcular los menores complementarios a
cada uno de los elementos, mostrándose en la imagen sólo los de la primera
ﬁla. Ver (3.15).
Página 22 3.3. UNIDAD DIDÁCTICA: MATRICES Y DETERMINANTES
Figura 3.12: Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 5
Figura 3.13: Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 6
CAPÍTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES Página 23
Figura 3.14: Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 7
Figura 3.15: Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 8
Página 24 3.3. UNIDAD DIDÁCTICA: MATRICES Y DETERMINANTES
Empezamos esta sección viendo cómo podemos introducir gráﬁcamente un
sistema de ecuaciones lineales en wxMaxima.
Vamos al menú Ecuaciones ->Resolver sistema lineal ... y se mostrará una
ventana donde tendremos que indicar el número de ecuaciones del sistema y
tras pulsar ”Aceptar”, introduciremos las ecuaciones . Lo único nuevo aquí es
indicarle a wxMaxima que las incógnitas de las ecuaciones son {x,y,z} y esto se
hace en la ùltima linea de la ventana. Ver ﬁgura (4.1).
En el ejemplo hemos introducido un sistema de 3 ecuaciones lineales con las
incógnitas {x,y,z}. Para resolverlo bastará con pulsar el botón ”Aceptar”. Ver
ﬁgura (4.5).
La función utilizada es linsolve cuya sintaxis es la siguiente:
linsolve ([ecuaciones separadas por comas],[incógnitas separadas por comas]);
x − y + 5z = 13
3x − 2y + z = 12
, bastaría con po-
ner en la linea de entrada
linsolve([x-y+5*z=13, 3*x-2*y+z=12, x+y+2*z=9],[x,y,z]);
Figura 4.1: Introducir Ecuaciones.
Página 26 4.2. CLASES DE SISTEMAS
Figura 4.2: Resolver S.C.D.
4.2. Clases de sistemas
Según su solución, los sistemas pueden ser:
Incompatibles, si no tienen solución.
Compatibles Determinados, cuando la solución es única.
Compatibles Indeterminados, cuando poseen inﬁnitas soluciones.
wxMaxima nos ayudará a estudiar y resolver cuando sea posible este tipo de
En la introducción hemos visto cómo se puede resolver un sistema de ecua-
ciones lineales que es compatible determinado. Para intentar resolver cualquier
sistema de ecuaciones lineales vamos a seguir siempre el mismo procedimiento
visto en la sección anterior. Podemos hacerlo usando el menú correspondien-
te o escribiendo en la linea de entrada la función linsolve con los parámetros
A continuación veremos un ejemplo de cada una de las clases.
4.2.1. Sistema incompatible
Dado el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas
vamos a intentar resolverlo con wxMaxima. Para ello seguiremos los mismos pa-
sos descritos en el ejemplo de la introducción, o bien, escribiremos en la linea
de entrada linsolve([x+y=0, x+y=3],[x,y]);
En este caso el mensaje que obtendremos será:
”Inconsistent equations: (2) – an error. Quitting. To debug this try debug-
mode(true);”
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Página 27
Figura 4.3: Resolución de sistemas.
que nos indica que el sistema es incompatible y que, por tanto, no tiene
solución. Ver ﬁgura (4.3).
4.2.2. Sistema compatible determinado
Dado el sistema de 3 ecuaciones lineales
3x + 2y + z = 24
decimos a wxMaxima que lo intente resolver poniendo en la linea de entrada
linsolve([x+y+z=11, 2*x-y+z=5, 3*x+2*y+z=24],[x,y,z]);
El resultado es ”[x=4,y=5,z=2]” que nos indica que el sistema es compatible
determinado, es decir, que la única solución es la que se muestra en la salida.
Ver ﬁgura (4.3).
4.2.3. Sistema compatible indeterminado
Los sistemas compatibles indeterminados tienen inﬁnitas soluciones que se
expresarán en función de uno o más parámetros. Veamos un ejemplo de cómo
wxMaxima trata este tipo de sistemas.
Partimos del sistema de 3 ecuaciones lineales siguiente
2x − 4y + 6z = 2
y + 2z = −3
x − 3y + z = 4
y pidámosle a wxMaxima que intente resolverlo poniendo en la linea de
entrada linsolve([2*x-4*y+6*z=2, y+2*z=-3, x-3*y+z=4],[x,y,z]);
”Dependent equations eliminated: (3)(%o4) [x=-7*%r1-5,y=-2*%r1-3,z=%r1]”
Nos está diciendo que el sistema es compatible indeterminado y que tiene
inﬁnitas soluciones dependientes de 1 parámetro que llama %r1. Es decir, si para
simplicar, nosotros escribimos t en vez de %r1, la solución sería:
x = −7t − 5
y = −2t − 3
. Ver ﬁgura (4.3).
Página 28 4.3. SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS
4.3. Sistemas dependientes de parámetros
En esta sección se muestra cómo utilizar wxMaxima para ayudarnos a estu-
diar sistemas de ecuaciones lineales dependientes de algún parámetro. Para ello,
distinguiremos dos casos. En el primero el número de ecuaciones coincide con el
número de incógnitas y en el segundo no.
4.3.1. Sistemas de igual nº de ecuaciones que de incógnitas
Tomemos de ejemplo el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 3
incógnitas dependientes del parámetro a:
(a + 1)x + y − az = 0
x + (a + 1)y = 0
En primer lugar hallamos las raíces del determinante de la matriz prin-
cipal, es decir, resolvemos la ecuación determinante(A)=0. Para ello in-
troducimos la matriz de coeﬁcientes A, luego calculamos su determinante
y simpliﬁcamos el resultado pulsando el botón ”Simpliﬁcar”. Por último
igualamos el resultado obtenido a cero y resolvemos la ecuación. Este últi-
mo paso se puede hacer pulsando el botón ”Resolver” y en la ventana que
aparece poner en el primer cuadro %=0 y en el segundo a, para indicar
que la incógnita es a. Obteniendo al ﬁnal, que las raíces son -1 y 0.
Todo el proceso se muestra en la ﬁgura (4.4). Si lo preﬁeren, pueden usar
comandos de texto para llegar a la misma conclusión.
• matrix( [a,1,1], [a+1,1,-a], [1,a+1,0] ); /* para introducir la matriz A
• determinant( %); /* para calcular el determinante de la última ex-
presión que es la matriz */
• ratsimp( %); /* para simpliﬁcar la última expresión */
• solve([ %=0], [a]); /* para resolver la ecuación resultante de igualar
a 0 la última expresión, siendo la incógnita a */
En segundo lugar ya podemos decir que si a = −1y a = 0 entonces se trata
de un S.C.D. cuya solución podemos obtener poniendo en la línea de en-
trada ”linsolve([a*x+y+z=0, (a+1)*x+y-a*z=0, x+(a+1)*y=0], [x,y,z]);”
La solución, evidentemente es la trivial: x=0, y=0, z=0 ya que el sistema,
en este caso, es homogéneo. Ver ﬁgura (4.5).
Para a = −1 y para a = 0 calculamos el rango de A y de A* y discutimos
mediante el teorema de Rouché-Frobenius.
• a = −1 =⇒Rango(A)=2=Rango(A*) <3 = Nº de incógnitas=⇒S.C.I.
=⇒Tiene inﬁnitas soluciones que se expresan en función de 1 paráme-
tro. En la ﬁgura (4.6) podemos ver cómo se han calculado los rangos
de la matrices y cuál es la solución. A la hora de introducir el sis-
tema, lo único que hay que hacer es sustituir el parámetro a por -1.
Además con sólo poner linsolve([-x+y+z=0, y+z=0, x=0], [x,y,z]);
ya podríamos decir cómo es el sistema.
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Página 29
Figura 4.4: Sistema con parámetros 1
Figura 4.5: Resolver S.C.D.
Página 30 4.3. SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS
Figura 4.6: Resolver S.C.I con parámetros
• a = 0=⇒Rango(A)=2=Rango(A*) <3 = Nº de incógnitas=⇒S.C.I.
tro. Estamos en el mismo caso anterior, por lo que no comentaremos
nada más. El estudio de este caso puede verse en la ﬁgura (4.7).
4.3.2. Sistemas de distinto nº de ecuaciones que de incóg-
Tomemos como ejemplo el siguiente sistema
mx + y + z = m
x − y + z = 1
3x − y + z = 1
6x − y + z = 3m
En este caso empezamos calculando las raíces del determinante de la ma-
triz ampliada: determinante(A*)=0. Para ello, procedemos igual que en la
sección anterior, introducimos la matriz A*, calculamos su determinante,
simpliﬁcamos la expresión, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación.
Todo esto está en la ﬁgura (4.8), donde apreciamos que la única raíz real
es m=2.
Si m = 2 =⇒S.I. ya que Rango(A*)=4 =Rango(A)≤3
Si m=2 podemos calcular los rangos de la matriz de coeﬁcientes y de
la ampliada para su posterior estudio o intentar resolver diréctamente el
sistema con wxMaxima. Haciendo esto último vemos que se trata de un
S.C.D. cuya solución es x=y=z=1. Ver ﬁgura (4.9).
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Página 31
Figura 4.7: Resolver S.C.I. con parámetros 2
Figura 4.8: Distinto nº de ecuaciones que de incógnitas 1
Página 32 4.3. SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS
Figura 4.9: Distinto nº de ecuaciones que de incógnitas 2
En Maxima un vector se representa como una lista y, por ejemplo, para
introducir el vector
v = (1, 2, 3) tendríamos que poner en la entrada v:[1,2,3];
También podemos construir una lista (vector) que sigue un patrón general,
por ejemplo, con makelist(2*k,k,1,4); se genera una lista de 4 componentes cuyo
término general es 2*k pudiendo ser k=1,2,3,4. Resulta (2,4,6,8).
Esta opción se encuentra en el menú Álgebra ->Construir Lista
Una vez introducidos dos vectores las operaciones se pueden realizar de forma
sencilla como se muestra a continuación. Ver ﬁgura (5.1) .
w = (4, 5, 6).
Para obtener el vector suma
w basta escribir en la entrada v+w;
Para obtener el vector diferencia
w basta escribir en la entrada v-w;
El producto de un escalar por un vector (t·
v ) se calcula escribiendo
t*v; En el ejemplo se puede ver para el caso de t=3.
w se calcula escribiendo v.w;
El módulo de un vector
v = (a, b, c) =
no se calcula de
una manera directa, pero podemos hacer varias cosas:
• sqrt(apply("+",v^2)); De esta forma estamos aplicando la operación
”+” a cada una de las componentes del vector después de elevarla al
cuadrado, es decir, obtenemos a
y después calculamos la raiz
cuadrada con la función sqrt. Por ejemplo para el vector
w = (4, 5, 6)
se obtiene que |
w| =
77. En el entorno gráﬁco podemos usar la
función apply desde el menú Álgebra ->Aplicar a lista
• También podemos deﬁnirnos una función llamada modulo para que
calcule el módulo de un vector pasado como parámetro. Para ello
Página 34 5.2. OPERACIONES
Figura 5.1: Operaciones con vectores
Figura 5.2: Módulo de un vector
basta con escribir en la entrada modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2)); y
ahora si queremos calcular el módulo del vector
w, sólo pondríamos
modulo(w); y ya está. Ver ﬁgura (5.2).
El vector unitario y del mismo sentido que un vector dado
(a, b, c) podemos calcularlo con la función unitvector del paquete eigen. Lo
primero que tenemos que hacer es cargar el paquete eigen escribiendo en la
entrada load(eigen) ó en el menú Archivo ->Cargar paquete y buscarlo en
el directorio correspondiente. Después introducimos el vector con v:[a,b,c];
y por último unitvector(v); Ver ﬁgura (5.3).
El producto vectorial de dos vectores puede ser calculado en Maxima
gracias al paquete vect que hay que cargar previamente para poderlo usar.
El operador que utiliza para designar al producto vectorial es ”~”.
• Cargamos el paquete escribiendo load(vect) ó en el menú Archivo
CAPÍTULO 5. VECTORES Página 35
Figura 5.3: Vector unitario
->Cargar paquete y buscando en el directorio donde está (Ejemplo:
/usr/share/maxima/5.10.0/share/vector/vect.mac).
• Introducimos los vectores
u = (1, 2, 3) y
v = (4, 5, 6) con u:[1,2,3];
v:[4,5,6];
• Le indicamos que calcule el producto vectorial con u~v;
• Y por último le decimos a wxMaxima que nos exprese el resultado
con express( %); obteniendo como resultado [-3,6,-3] que es el vector
buscado. Ver ﬁgura (5.4).
5.3. Dependencia e independencia de vectores
u = (a, b, c) y
v = (d, e, f) son linealmente dependientes si
Por ejemplo calculamos el rango
= 1 y por tanto podemos decir
que los vectores
v = (3, 6, 9) son linealmente dependientes. Ver
ﬁgura (5.5).
v = (d, e, f) son linealmente independientes
si rango
= 2 y por tanto podemos decir
v = (4, 5, 6) son linealmente independientes.
Ver ﬁgura (5.5).
Página 36 5.4. EJERCICIOS
Figura 5.4: Producto Vectorial
u = (a, b, c),
v = (d, e, f) y
w = (g, h, i) son linealmente
dependientes si rango
Por ejemplo los vectores
u = (1, 2, 3),
v = (4, 5, 6) y
w = (5, 7, 9) son lineal-
mente dependientes ya que al calcular el rango de la matriz formado por ellos
vemos que resulta 2. Ver ﬁgura (5.5).
independientes si rango
w = (1, 0, 0) son lineal-
mente independientes ya que al calcular el rango de la matriz formado por ellos
vemos que resulta 3. Ver ﬁgura (5.5).
Para un número mayor de vectores podemos actuar de forma similar cal-
culando el rango con wxMaxima.
Otra forma sería triangularizar la matriz formada por todos los vectores y
comprobar si resulta alguna ﬁla de ceros, que indicaría que los vectores son
linealmente dependientes. Por ejemplo, en la ﬁgura (5.6), podemos ver que
los vectores {
u = (2, 1, 3),
v = (1, 2, −1) y
w = (3, 3, 2)}son linealmente
dependientes puesto que al triagularizar la matriz que forman resulta que
la última ﬁla es el vector cero.
1. Sean los vectores
u = (x, 3, 6) y
v = (3, y, 4). Calcula x e y de manera
que ambos sean perpendiculares y |
v | = 13.
Para resolver este ejercicio con ayuda de wxMaxima, lo primero que ha-
cemos es introducir los dos vectores. Después como necesitamos calcular
CAPÍTULO 5. VECTORES Página 37
Figura 5.5: Vectores l.d. y l.i
Figura 5.6: Vectores l.d.
Página 38 5.4. EJERCICIOS
Figura 5.7: Ejercicio1
el módulo de un vector deﬁnimos la función modulo(v) vista en la sección
Imponemos las dos condiciones que nos dice el problema y resulta un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que son las soluciones del
ejercicio. El sitema que tenemos no es lineal y para resolverlo con wxMa-
xima habría que quitar la raiz de la segunda ecuación representada en la
ﬁgura por ( %o5). Esto lo hacemos con la expresión expand( %^2); con lo
que estamos indicando que hay que elevar al cuadrado la última expresión.
Por último ya podemos resolver el sistema de ecuaciones formado por la
primera ecuación y por esta última. Vamos al menú Ecuaciones ->Resolver
sistema algebráico, elegimos 2 ecuaciones y pulsamos ”Aceptar”, como pri-
mera ecuación ponemos %o4, como segunda %o12 y como incógnitas po-
nemos x,y. Todo el proceso junto con la solución se muestra en la ﬁgura
2. Convierte el vector
v = (3, 0, 4) en un vector unitario y proporcinal al
La solución de este ejercicio es muy sencilla utilizando la función unitvec-
tor(v). Se deja al lector como actividad.
Podemos usar wxMaxima para resolver algunos problemas geométricos re-
lacionados con el álgebra lineal ya que se reducen a calcular rangos de matrices
y resolver sistemas de ecuaciones lineales.
En este tema trataremos el paso de ecuaciones implícitas de una recta a
ecuaciones paramétricas, la obtención de la ecuación general o implícita de un
plano, las posiciones relativas entre planos y rectas, el ángulo entre elementos
del espacio y las distancias en el plano, perpendicular común, etc.
6.2. Ecuaciones de la recta
Una recta queda determinada por un punto y un vector director o por dos
puntos distintos. A partir de del punto y del vector director podemos obtener
distintas ecuaciones de la recta en un sistema de referencia. En el caso de un
sistema de referencia tridimensional, podemos obtener la ecuación vectorial de
la recta, las ecuaciones paramétricas, las continuas y las implícitas.
wxMaxima nos puede ayudar al paso de las ecuaciones implícitas a para-
métricas ya que se trata de resolver un sistema de 2 ecuaciones lineales que es
Tenemos la recta r ≡
x − y − 2z = 1
dada en forma implícita,
entonces para obtener las ecuaciones paramétricas le decimos a wxMaxima que
resuelva el sistema lineal. Para ello, recordar que vamos al menú Ecuaciones
->Resolver sistema lineal, indicamos que tiene 2 ecuaciones, las introducimos y
le indicamos que las incógnitas son x,y,z y pulsamos Aceptar. Ver ﬁgura (6.1).
wxMaxima nos contesta con [x=( %r1+4)/3,y=-(5* %r1-1)/3,z=%r1] cuya
interpretación es que las ecuaciones paramétricas de r son: r ≡
Página 40 6.3. ECUACIONES DEL PLANO
Figura 6.1: Paso de implicitas a paramétricas
6.3. Ecuaciones del plano
Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente in-
dependientes o por tres puntos distintos que no esté alineados. A partir de un
punto y dos vectores l.i. podemos obtener la ecuación vectorial del plano en un
sistema de referencia, a partir de ella podemos pasar a las ecuaciones paramé-
tricas del plano.
La ecuación implícita o general de un plano se puede calcular a partir
de un punto P = (a, b, c) y dos vectores linealmente independientes
)mediante la expresión
Vamos a obtener la ecuación implícita del plano determinado por el punto
P = (1, 2, 3) y los vectores
u = (1, 1, 0) y
v = (1, 0, 1). Ver ﬁgura (6.2).
1. Introducimos la matriz
1 1 x −1
1 0 y −2
0 1 z −3
2. Calculamos su determinante, resultando -z-y+x+4
3. La ecuación del plano será el resultado anterior igualado a 0. Por tanto
-z-y+x+4 = 0
6.4. Posiciones relativas entre planos y rectas
Para el estudio de las posiciones relativas de dos o tres planos, de una recta
y un plano o de dos rectas, nos basamos en el sistema de ecuaciones formado
por las ecuaciones implícitas. A partir de ese sistema tenemos la matriz de
coeﬁcientes A y la matriz ampliada A*.
El estudio de los rangos de estas dos matrices nos hace decidir cual es la
CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA Página 41
Figura 6.2: Ecuación implícita del plano
Por ello, conocer la posición relativa, por ejemplo, de tres planos se reduce
a calcular con wxMaxima los rangos de A y A*.
Veremos un par de ejemplos
1. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:
Se puede observar en la ﬁgura (6.3) que el las rectas se cortan en el punto
), ya que los rangos de A y A* son iguales a 3.
2. Estudia la posición elativa de la recta y el plano siguiente:
π : x + y −3z = 1
Se puede observar en la ﬁgura (6.4) que la recta es paralela al plano, ya
que los rangos de A y A* son 2 y 3 respectivamente.
6.5. Ángulo entre elementos del espacio
En esta sección veremos cómo calcular el ángulo formado por dos vectores
en el espacio, el ángulo entre dos rectas, entre dos planos y entre un plano y
6.5.1. Ángulo entre dos vectores
Se deﬁne el ángulo que forman dos vectores libres como el menor de los
ángulos que forman las semirrectas que contienen a dos de sus representantes
concurrentes. Por tanto el ángulo siempre estará entre 0º y º80º.
v = (a, b, c) y
w = (d, e, f) podemos calcular el coseno
del ángulo formado por ellos a partir de la deﬁnición del producto escalar y de
su expresión analítica de la siguiente forma:
v |·|
ad+be+cf
Página 42 6.5. ÁNGULO ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIO
Figura 6.3: Posición relativa entre 2 rectas
Figura 6.4: Posición relativa entre una recta y un plano
CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA Página 43
Figura 6.5: Ángulo entre dos vectores
A partir de esta expresión, utilizando la función arcocoseno obtenemos el
ángulo buscado.
En Maxima, los argumentos de las funciones trigonométricas están en radia-
nes, por lo que si queremos calcular el seno de un ángulo en grados habrá que
pasarlo previamente a radianes simplemente multiplicando por
mente si querermos obtener el ángulo en grados de la inversa del coseno habrá
que multiplicar por
También, si vamos a utilizar mucho las funciones trigonométricas podemos
deﬁnirnos las funciones que nos pasen de radianes a grados y viceversa.
Otra cosa que hay que tener en cuenta es que si no de indicamos nada a
Maxima no
Veamos un ejemplo de cómo podemos calcular este ángulo en wxMacima.
v = (−3, 0, 2) y
w = (0, 1, −1)calcularemos el ángulo
formado por ellos siguiendo estos pasos:
1. Introducir los vectores. v:[-3,0,2]; w:[0,1,-1];
2. Deﬁnimos la función modulo vista en el tema anterior para obtener el mó-
dulo de un vector con más comodidad. modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2));
3. Deﬁnimos también una función para pasar de radianes a grados, por ejem-
plo pasaagrados(r):=(r*180)/ %pi. Notar que el número PI en Maxima se
representa por la variable %pi.
4. Utilizamos la función acos (arco-coseno) para calcular el ángulo en radia-
nes. acos((v.w)/(modulo(v)*modulo(w))),numer;
5. Y por último pasamos el resultado a grados. pasaagrados( %),numer. Ver
ﬁgura (6.5).
Página 44 6.5. ÁNGULO ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIO
Figura 6.6: Ángulo entre dos vectores (directo)
6. Podríamos crearnos una función para que haga todos estos pasos de una so-
la vez. ang2vect(v,w):=pasaagrados( acos((v.w)/(modulo(v)*modulo(w))));
y podremos calcular el ángulo entre dos vectores simplemente poniendo
ang2vect(v,w),numer;. Esto se puede ver en la ﬁgura (6.6).
6.5.2. Ángulo entre dos rectas
Suponemos que las dos rectas r y r
se cortan ya que si son coincidentes o
paralelas el ángulo que forman es 0º.
En el caso de que se corten el ángulo que forman será el menor de los ángulos
que forman sus respectivos vectores directores.
Independientemente del sentido de los vectores directores de las rectas, el
ángulo entre dos rectas se puede calcular a partir de la expresión: cos(
ˆ −→
Por tanto, sabiendo calcular el ángulo entre dos vectores podemos calcular
el ángulo entre dos rectas.
Como ejemplo vamos a calcular el ángulo formado por las rectas de ecuacio-
Empezamos introduciendo sus vectores directores (-1,1,3) y (-1,-1,0) respec-
Antes hemos deﬁnido una función que calculaba el ángulo entre dos vectores:
ang2vect(v,w):=pasaagrados( acos((v.w)/(modulo(v)*modulo(w))));
Lo único que hay que cambia ahora es que tenemos que tomar el valor
absoluto del coseno, y eso se hace en wxMaxima con la función abs(). Por tanto
deﬁnimos la función que calculará el ángulo entre dos rectas de la siguiente
ang2rectas(v,w):=pasaagrados( acos(abs((v.w)/(modulo(v)*modulo(w)))));
CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA Página 45
Figura 6.7: Ángulo entre dos rectas
En la ﬁgura (6.7) se muestran los cálculos realizados en wxMaxima para
llegar a la conclusión de que las rectas son perpendiculares y que el ángulo
formado por ellas es de 90º.
6.5.3. Ángulo entre dos planos
Para el caso de dos planos π y π
que se cortan en una recta, podemos calcular
el ángulo que forman a partir de sus vectores normales. Si α = (
)entonces
) = 180 − αy podemos calcular el ángulo entre los dos planos, indepen-
dientemente del sentido de los vectores normales, con ayuda de la expresión:
) = |cos(
n|·|
que es la misma que en el caso de dos rectas, pero ahora con los vectores
normales de los planos. En wxMaxima podemos usar la función ang2rectas(v,w)
deﬁnida antes.
En la ﬁgura (6.8) se muestra cómo calcular el ángulo formado por los planos
π : x + y −3z = 1 y π
: 2x −3y + 2z = 2.
6.5.4. Ángulo entre recta y plano
Sea r la recta de vector director
u y π el plano de vector normal
n . Si
n ) entonces (r, π) = 90 − αy por tanto sen(r, π) = sen(90 − α) =
cos(α) = cos(
n ). La expresión que utilizaremos para calcular el ángulo
entre la recta y el plano, independientemente de los sentidos de los vectores, es
sen( ˆ r, π) = |cos(
u |·|
Tendríamos que deﬁnir una nueva función que calcule el arcoseno en vez del
Página 46 6.6. PROYECCIONES
Figura 6.8: Ángulo entre dos planos
angrectpla(v,w):=pasaagrados( asin(abs((v.w)/(modulo(v)*modulo(w)))));
6.6. Proyecciones
6.6.1. Proyección de un punto sobre un plano
La proyección de un punto sobre un plano se calcula en dos pasos:
1. Hallar la recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano.
2. Hallar la intersección de la recta anterior con el plano.
Vamos a calcular la proyección del punto P=(1,1,-2) sobre el plano π : x +2y +
3z = 11.
En el primer paso, la recta r, perpendicular al plano que pasa por P, queda
determinada por el punto P=(1,1,2) y su vector director
n = (1, 2, 3) que
es el vector normal al plano.
Ahora en el segundo paso se trata de resolver el sistema formado por las
ecuaciones de la recta r y del plano π.
Para ello, primero introducimos las ecuaciones paramétricas de la recta así:
x:1+t;y:1+2*t;z:-2+3*t;
Después introducimos la ecuación del plano x+2*y+3*z-11=0; y pulsamos
el botón ”Resolver” para despejar t, que, en este caso, resulta ser t=1.
Por último escribimos t:1;x:1+t;y:1+2*t;z:-2+3*t; para indicar que ya sabe-
mos lo que vale t y queremos saber lo que valen (x,y,z) que son las coordenadas
de la proyección buscada. Ver ﬁgura (6.9).
Nota: Otra forma de calcular la proyección es utilizando las ecuaciones gene-
rales o implícitas de la recta y juntarlas con la ecuación del plano para
resolver el sistema de ecuaciones compatible determinado que resulta.
CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA Página 47
Figura 6.9: Proyección de un punto sobre un plano
6.6.2. Proyección de un punto sobre una recta
La proyección de un punto sobre una recta se calcula en dos pasos:
1. Hallar el plano que pasa por el punto y es perpendicular a la recta.
2. Hallar la intersección del plano anterior con la recta.
Vamos a calcular la proyección del punto P=(2,0,-3) sobre la recta r :
En el primer paso hallamos el plano π perpendicular a r que pasa por P.
π : 2x + y − 2z + D = 0. Como P=(2,0,-3)∈ π, le decimos a wxMaxima que
despeje D de la ecuación P · n + D = 0 siendo n el vector normal del plano.
Una vez que tenemos la ecuación del plano, pasamos al segundo paso y ha-
llamos la intersección de la recta en paramétircas r ≡
z = 0 − 2t
el plano π : 2x + y −2z −10 = 0 obteniendo como solución el punto (3,0,-2).
Ver ﬁgura 6.10.
6.6.3. Proyección de una recta sobre un plano
La proyección de una recta sobre un plano se calcula en dos pasos:
1. Hallar el plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado.
2. Hallar la intersección de los dos planos.
Como ejemplo vamos a calcular la ecuación de la recta proyección de la recta
2x − 3y + z = 1
− y + 3z = −4
sobre el plano π : 2x −y + 3z + 5 = 0.
Página 48 6.7. DISTANCIAS EN EL PLANO
Figura 6.10: Proyección de un punto sobre una recta
Como primer paso hallamos el plano π
que contiene a r y es perpendicular a
π considerando que todos los planos que contienen a r son los del haz de planos:
t(2x−3y +z −1)+s(−y +3z +4) = 0) escribiendo en wxMaxima t*(2*x-3*y+z-
1)+(-y+3*z+4)=0; (Notar que hemos hecho s=1 para simpliﬁcar los cálculos) y
luego pulsando el botón ”Simpliﬁcar” para obtener una expresión simpliﬁcada.
Ahora como π y π
son perpendiculares, sus vectores normales también lo
serán. Deﬁnimos n1 y n2 como sus vectores normales y le imponemos que su
producto escalar es 0 para así poder despejar t de la expresión resultante.
Resulta t=-1, por lo que poniendo t:-1 y la expresión del haz de planos otra
vez tendremos la ecuación del plano π
: −2x+2y +2z +5 = 0 que junto con la
ecuación de π : 2x − y + 3z + 5 = 0 forman la ecuación de la recta proyección.
Podemos ver el desarrollo en la ﬁgura (6.11).
6.7. Distancias en el plano
6.7.1. Distancia entre dos puntos
La distancia entre el punto P y el punto Q viene dada por el módulo del
PQ, es decir, d(P, Q) = |
PQ|.
Por ejemplo, la distancia entre P=(1,2,3) y Q=(4,5,6) se calcula en wxMa-
xima utilizando la función modulo sobre el vector Q-P. Ver ﬁgura (6.12).
CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA Página 49
Figura 6.11: Proyección de una recta sobre un plano
Figura 6.12: Distancia entre dos puntos
Página 50 6.7. DISTANCIAS EN EL PLANO
Figura 6.13: Distancia de un punto a un plano
6.7.2. Distancia entre un punto y un plano
Vamos a deﬁnir una función que utilice la fórmula que calcula la ditancia de
un punto P = (p
) al plano π : Ax + By + Cz + D = 0 que es:
d(P, π) =
Lo que necesitamos son las coordenadas del punto y los coeﬁcientes de la
ecuación del plano. El punto tendrá 3 coordenadas y el vector de coeﬁcientes
cuatro. Representaremos al plano π por n=(A,B,C) y D. Por tanto podemos
deﬁnir la función dist(P,plano) como sigue:
dist(P, n, D) := abs(P.n + D)/modulo(n);
Como se puede obserbar, se vuelve a utilizar la función modulo.
En la ﬁgura (6.13) se muestra cómo calcular la distancia del punto P=(1,2,3)
al plano π : 3x + 4y − 6 = 0. En este caso n=(3,4,0) y D=-6. Notar que para
introducir la constante D=-6 lo que hacemos es poner D:-6.
Ejercicio: Halla la ecuación del plano paralelo al plano π :4x+7y-4z-12=0 y
que diste de él 3 unidades.
Los planos paralelos al dado son de la forma 4x+7y-4z+D=0
Tomamos un punto de P ∈ π, por ejemplo P=(3,0,0)
Utilizamos la función dist(P,n,D) con P=(3,0,0) ,n=(4,7,-4) y D descono-
cida y la igualamos a 13, obteniendo una ecuación donde la incógnita es
• modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2));
• dist(P,n,D):=abs(P.n+D)/modulo(n);
• P:[3,0,0];n:[4,7,-4];
• dist(P,n,D)=3;
Resolvemos la ecuación.
• solve([ %], [D]); (pulsamos el botón Resolver e indicamos que la va-
riable es D)
CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA Página 51
Figura 6.14: Ejercicio distancias
• wxMaxima nos da el resultado [|D+12|=27] que se trata de una ecua-
ción donde aparece un valor absoluto. Esta ecuación se descompone
en otras dos: D+12=27 y -(D+12)=27 que habría que resolver por
• solve(D+12=27,D); ó en el menú Ecuaciones->Resolver e introdu-
ciendo la ecuación y la variable D. La solución es D=15.
• solve(-(D+12)=27,D) cuya solución es D=-39.
Se puede observar en la ﬁgura (6.14) que hay dos soluciones para D que signiﬁca
que ya dos planos paralelos al dado que distan 3 unidades del mismo.
6.7.3. Distancia entre un punto y una recta
Para calcular la distancia de un punto P a la recta r, tenemos que usar el
producto vectorial y la fórmula d(P, r) =
, siendo A un punto cualquiera
v el vector director de r.
Para usar esta fórmula podemos deﬁnirnos la siguiente función:
dist(A,P,v):=modulo(express((v~(P-A))))/modulo(v);
Veamos los pasos a seguir para calcular la distancia del punto P=(1,2,3) a
la recta r ≡
Página 52 6.7. DISTANCIAS EN EL PLANO
Figura 6.15: Distancia de un punto a una recta
load(vect); Cargamos el paquete vect para poder usar la operación del
modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2)); Deﬁnimos la función modulo, si es que
no la tenemos aún.
dist(A,P,v):=modulo(express((v~(P-A))))/modulo(v); Deﬁnimos la función
dist antes descrita.
A:[-1,0,2];P:[1,2,3];v:[-2,1,2]; Deﬁnimos el punto P, un punto A de r y el
vector director de r como v.
dist(A,P,v); Aplicamos la función dist y obtenemos que la distancia son 3
Ver ﬁgura (6.15).
6.7.4. Distancia entre dos rectas que se cruzan
Dadas dos rectas que se cruzan en el espacio, r y s, podemos calcular la
distancia a la que se encuentran la una de la otra a partir de sus vectores
directores y un punto de cada una utilizando el producto mixto. La distancia
entre ellas se puede obtener a partir de la expresión: d(r, s) =
PQ]|
P un punto de r, Q un punto de s y
los respectivos vectores directores.
Tenemos que deﬁnir una función en Maxima que nos calcule la distancia
entre dos rectas dados dos puntos y los dos vectores directores. Por ejemplo,
dist2rectas(P,Q,u,v):=abs(determinant(u,v,Q-P))/modulo(express(u~v));
Como ejemplo, calcularemos la distancia entre las rectas
y s ≡
CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA Página 53
Figura 6.16: Distancia entre dos rectas que se cruzan
dist2rectas(P,Q,u,v):=abs(determinant(matrix(u,v,(Q-P))))/modulo(express(u~v));
Deﬁnimos la función dist2rectas antes descrita.
P:[-2,1,5];Q:[0,-1,0];u:[2,7,6];v:[-1,5,6]; Deﬁnimos el punto P de r, el pun-
to Q de s, el vector director u de r y el vector director v de s.
dist2rectas(P,Q,u,v); Aplicamos la función dist2rectas y obtenemos que la
En la ﬁgura (6.16) se muestra la pantalla de wxMaxima.
6.8. Perpendicular común
Hay varias formas de obtener la recta perpendicular común a otras dos rectas
que se cruzan en el espacio. Con ayuda de wxMaxima seguiremos el siguiente
1. Partimos de dos rectas r y s que se cruzan, siendo
vectores directores. Calculamos el vector
que es perpendicular
2. Hallamos el plano π
, que contiene a la recta r y al vector
3. Hallamos el plano π
, que contiene a la recta s y al vector
Página 54 6.8. PERPENDICULAR COMÚN
4. La recta perpendicular común buscada será la intersección de los planos
π y π
, que podemos expresarla en forma implícita o general y ya la ten-
dríamos.
Veamos ahora un ejemplo concreto, donde determinaremos la perpendicular
común a las rectas:
Lo primero de todo sería estudiar la posición relativa, para lo que to-
mamos los vectores
= (−2, 1, 3),
= (2, −1, 3) y
PQ = (−1, 2, 3),
siendo P = (1, 0, −1) ∈ r y Q = (0, 2, 2) ∈ s. Se observa a partir de los
vectores directores que las rectas no son coincidentes ni paralelas. Como
PQ) = 18 = 0 podemos asegurar que las rectas se cruzan. Si el
determinante fuese 0 las rectas se cortarían en un punto. En wxMaxima
• vr:[-2,1,3]; vs:[2,-1,3]; P:[1,0,-1]; Q:[0,2,2];
• determinant(matrix[vr,vs,(Q-P)]);
• load(vect);
• w:express(vr~vs);
Hallamos el plano π a partir del punto P y dos vectores l.i.
• A:[x,y,z]; Deﬁnimos el punto genérico A para poder determinar la
• determinant(matrix[vr,w,(A-P)])=0;
• La respuesta es 3*(6*y-12*(x-1))-30*(z+1)=0 y si pulsamos en ”Sim-
pliﬁcar” resulta -30*z+18*y-36*x+6=0 y si después pulamos el botón
”Factorizar” obtenemos -6*(5*z-3*y+6*x-1)=0.
• Podemos interpretar que la ecuación del plano buscada es: 6x−3y +
5z −1 = 0
Repetimos la misma operación para hallar el plano π
Q y dos vectores l.i.
• determinant(matrix[vs,w,(A-Q)])=0;
• La respuesta es 30*(z-2)+3*(6*(y-2)-12*x)=0 que tras simpliﬁcar re-
sulta 6*(5*z+3*y-6*x-16)=0.
• Concluimos que la ecuación del plano es: 6x −3y −5z + 16 = 0
Por lo tanto la ecuación de la recta perpendicular común es:
6x − 3y + 5z − 1 = 0
6x − 3y − 5z + 16 = 0
Ver ﬁgura (6.17).
CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA Página 55
Figura 6.17: Perpendicular común
Página 56 6.8. PERPENDICULAR COMÚN
En este tema vamos a empezar a trabajar con funciones y wxMaxima nos
ayudará en el cálculo de límites, con lo que podremos estudiar las asíntotas
horizontales, verticales y oblicuas.
7.1. Cálculo de límites
En el menú Análisis->Calcular límite ... tenemos la posibilidad de introdu-
cir una función, la variable, y el punto en el que queremos calcular el límite.
Además podemos indicar si es por la izquierda o por la derecha. En el botón
<Especial>se puede elegir inﬁnito, menos inﬁnito, el número e y el número Pi.
La función para calcular límites en Maxima es: limit(función, variable, pun-
Si queremos indicar que el límite es por la izquierda o por la derecha hay
que añadir un parámetro más a la función limit con el valor minus o plus.
Es importante conocer cómo introducir a mano los valores a los que tiende
Mas inﬁnito: inf
Menos iniﬁto: minf
Valor indeﬁnido: und
El número e: %e
El número Pi: %pi
wxMaxima nos dará el resultado del límite independientemente de que encuentre
indeterminaciones o no. Veamos algunos ejemplos.
que presenta una indeterminación del tipo
que también presenta una indeterminación del tipo
Página 58 7.1. CÁLCULO DE LÍMITES
Figura 7.1: Límites de funciones 1
Figura 7.2: Límites de funciones 2
El resultado de estos 3 límites se obtiene siguiendo el mismo procedimiento.
Vamos al menú Análisis ->Calcular límite ... y en la ventana que aparece, re-
llenamos los campos con los datos de la función, la incógnita y el punto al que
tiende la incógnita. Ver ﬁgura (7.1).
La mayor diﬁcultad está en escribir la expresión de la función que se puede
complicar. En el último caso, notar cómo hemos puesto sqrt(x+4) para referirnos
a la raíz cuadrada de x+4.
También podríamos haber calculado estos límites sin utilizar el entorno grá-
ﬁco, escribiendo directamente la función limit. En la imagen (7.2) se muestra el
resultado de estos cálculos.
Pasamos ahora a calcular otros tres límites que presentan distintos tipos de
discontinuidades, pero que Maxima los resuelve sin problemas.
En concreto las indeterminaciones son de los tipos 0 · ∞, ∞−∞ y 1
· (2x − 3) = 0 que se obtiene escribiendo limit((3*(2*x-
3))/(sqrt(x^4-2)), x, minf ); Nos pregunta que si x es positivo o negativo,
entonces escribimos ”n” (negativo) y pulsamos INTRO.
+ 5−(x+2)] = −2 que se obtiene escribiendo limit(sqrt(x^2+5)-
(x+2),x,inf );
= 1 que se obtiene escribiendo limit(((x^2+3)/(x^2-1))^(2*x),x,inf );
CAPÍTULO 7. LÍMITES Y CONTINUIDAD Página 59
Figura 7.3: Límites de funciones 3
Figura 7.4: Límites de funciones 4
Sólo hay que introducir correctamente la expresión de la función y el punto a
donde tiende la variable x. Ver ﬁgura (7.3).
Ahora vamos a ver cómo resolver indeterminaciones del tipo
Tomemos como ejemplo el lim
Si ponemos directamente limit((x+5)/(x-3),x,3); el resultado será und que
signiﬁca que no existe el límite, por lo que pasamos a estudiar los límites late-
limit((x+5)/(x-3),x,3,minus); y limit((x+5)/(x-3),x,3,plus);
y obtenemos que el límite por la izquierda e menos inﬁnito y por la derecha
más inﬁnito. Ver ﬁgura (7.4).
Por último calcularemos dos límites cuyas indeterminaciones son del tipo
(senx)
= 0 que se calcula escribiendo limit(sin(x)^x,x,0); Nos pre-
gunta si x es positivo o negativo y le digamos lo que le digamos el resultado
es el mism.
= 4 que se calcula escribiendo limit((2^x-1)^(2/(x+1)),x,inf );
Ver ﬁgura (7.5).
Página 60 7.2. ASÍNTOTAS
Figura 7.5: Límites de funciones 5
7.2. Asíntotas
7.2.1. Asíntotas Verticales
7.2.2. Asíntotas Horizontales
7.2.3. Asíntotas Oblícuas
2.1. Pantalla inicial de wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Ejemplos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1. Introducir matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Operaciones Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Rango e Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4. Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5. Matriz Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6. Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.7. Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.8. Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 1 . . . . . . . . . . 19
3.9. Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 2 . . . . . . . . . . 20
3.10. Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 3 . . . . . . . . . . 20
3.11. Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 4 . . . . . . . . . . 21
3.12. Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 5 . . . . . . . . . . 22
3.13. Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 6 . . . . . . . . . . 22
3.14. Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 7 . . . . . . . . . . 23
3.15. Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 8 . . . . . . . . . . 23
4.1. Introducir Ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Resolver S.C.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3. Resolución de sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4. Sistema con parámetros 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5. Resolver S.C.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.6. Resolver S.C.I con parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.7. Resolver S.C.I. con parámetros 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.8. Distinto nº de ecuaciones que de incógnitas 1 . . . . . . . . . . . 31
4.9. Distinto nº de ecuaciones que de incógnitas 2 . . . . . . . . . . . 32
5.1. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2. Módulo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3. Vector unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4. Producto Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.5. Vectores l.d. y l.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.6. Vectores l.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.7. Ejercicio1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.1. Paso de implicitas a paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Página 62 ÍNDICE DE FIGURAS
6.2. Ecuación implícita del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3. Posición relativa entre 2 rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.4. Posición relativa entre una recta y un plano . . . . . . . . . . . . 42
6.5. Ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.6. Ángulo entre dos vectores (directo) . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.7. Ángulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.8. Ángulo entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.9. Proyección de un punto sobre un plano . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.10. Proyección de un punto sobre una recta . . . . . . . . . . . . . . 48
6.11. Proyección de una recta sobre un plano . . . . . . . . . . . . . . 49
6.12. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.13. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.14. Ejercicio distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.15. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.16. Distancia entre dos rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . 53
6.17. Perpendicular común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1. Límites de funciones 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2. Límites de funciones 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3. Límites de funciones 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.4. Límites de funciones 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.5. Límites de funciones 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Página 2 Copyright © marzo 2008, Miguel A. Jorquera. Versión 0.6 Este documento es libre. Se otorga permiso para copiarlo, distribuirlo y/o modiﬁcarlo en los términos de la Licencia de Documentación Libre GNU, versión 1.2 o posterior publicada por la Fundación de Software Libre, http://es.gnu.org/licencias/fdles.html. Este manual se encuentra en fase de desarrollo, revisión de diseño gráﬁco, ortografía y otros aspectos que posiblemente cambiarán en las siguienes versiones al tiempo que se irán añadiendo nuevos capítulos. Si usted encuentra algún error y/o quiere hacer alguna aportación, su ayuda será bienvenida. e-mail: jorquera11@hotmail.com
1. Software Libre y Matemáticas 1.1. Educación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Software matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. wxMaxima 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . 2.1.1. Instalación . . . . . . . 2.1.2. Cuestiones básicas . . . 2.1.3. Cuestiones Pedagógicas 5 5 5 9 9 9 10 11 13 13 15 17 17 17 18 19 25 25 26 26 27 27 28 28 30 33 33 33 35 36
3. Matrices y Determinantes 3.1. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . 3.2. Cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . 3.3. Unidad Didáctica: Matrices y Determinantes 3.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Sistemas de ecuaciones lineales 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Clases de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Sistema incompatible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Sistema compatible determinado . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Sistema compatible indeterminado . . . . . . . . . . . . 4.3. Sistemas dependientes de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Sistemas de igual nº de ecuaciones que de incógnitas . . 4.3.2. Sistemas de distinto nº de ecuaciones que de incógnitas 5. Vectores 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Dependencia e independencia de vectores 5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
.2. .2. . . . . . . Ecuaciones de la recta . . . .5. . Ángulo entre recta y plano . . 6. . . . . . . . . . Ángulo entre dos vectores . . . . . 7. . . .
. . . . . . 6.5. . . . . . . .7. . . . . . . .1. . . . . . . . . .1. . . .
. . Ejercicios . . .3. . . .
. . . . . . . . . . Introducción . .3. . . . .2. 7. . . .3. . . . Límites y continuidad 7. . . 6. . . . . . . . . . 6. . Proyección de una recta sobre un plano 6. Perpendicular común . . . . . . Ecuaciones del plano . . . . . . . 6. .1. . . . . Distancias en el plano .
. . . . . Proyección de un punto sobre un plano 6. . . . . . . . 7. . . . . . . . . . .1. . . .4. . . . .6. . . . . Asíntotas . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . 6. 6. .7. . . .4. . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . .1. . . .7.
. .2. . . . 6. .3. . . . . . . . .
ÍNDICE GENERAL 39 39 39 40 40 41 41 44 45 45 46 46 47 47 48 48 50 51 52 53 57 57 60 60 60 60 60
.8.2. . . 6. . . . . . . Distancia entre dos puntos . Ángulo entre dos planos . . . 7. . . . . Jorquera
. . . 6. Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . .1. . . Asíntotas Verticales . . . . . Ángulo entre dos rectas . . . . . . . . . . .2.3. . . . . . .4. . . . . . . . . Proyecciones . . . . . . . . . . . . Posiciones relativas entre planos y rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . .2. . . . . . . . . . . Ángulo entre elementos del espacio . . . . . . . . . . . . . Distancia entre dos rectas que se cruzan 6. . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Asíntotas Horizontales 7. . . . . . . . . . . . .2. .3. . . . . . . . . . . Cálculo de límites . . . . . . . . . . .Página 4 6. . . . . . . .7. 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distancia entre un punto y un plano . 6. . . . . Geometría Afín y Euclídea 6.5. . . . . . .7. . Proyección de un punto sobre una recta 6. . . . . . . . .6. . 7. .5. . . . . . . . Asíntotas Oblícuas . . . . . . . . . . . . . . . . .6. .
cdlibre.org. Se trata de un medio más.A. Nuestros alumnos y alumnas están habituados a utilizar estas nuevas tecnologías y sería un error no tenerlos en cuenta. en http: //www. Educación
El uso del ordenador en el aula y en concreto en las asignaturas de matemáticas crea nuevas posibilidades de aprendizaje antes inalcanzables.Capítulo 1
1. junto con la pizarra. los libros.R. de aplicaciones para el aula de matemáticas que son software libre y que la mayoría están disponibles tanto para Window como para Linux. Geometría Geogebra Kig C.2. Se pueden encontrar en http://www.
En esta sección vamos a dar un listado por bloques. etc para conseguir que aprendan.1.net ó en sus páginas oﬁciales. la calculadora.sourceforge. pero deberíamos de guiarnos por una serie de consideraciones para intentar hacer una buena elección. CarMetal Kseg Dr Geo Kig Eukleides Geomview 5
. Existen muchas alternativas a la hora de elegir un determinado software para usarlo en el aula.
1. sin entrar en detalles y sin animo de ser exhaustivos.
Calc Cálculo simbólico y numérico Maxima y wxMaxima Octave Yacas Axiom PARI/GP Textos cientíﬁcos Latex Miguel A.2. Jorquera
1.Página 6 PyGeo Xaos Aritmética Calculadora Xabacus y Xamabacus Kpercentage Gcompris Kcalcul Representación Gráﬁca Kmplot Geg GNUplot Octave Aplicaciones JClic Aplicaciones on-line Superﬁcie Juegos TuxMath Mathwar Estadística R Hoja de cálculo. SOFTWARE MATEMÁTICO
CAPÍTULO 1.ciencialab. SOFTWARE LIBRE Y MATEMÁTICAS Kile Lyx Latex-Beamer Otros Wims On-line http://www.com
http://www. Jorquera
.es/averroes/wiris/es/index.html
Miguel A.juntadeandalucia.
2. integrales.1. Es gratuito. La instalación en Window consiste en la ejecución de un archivo ejecutable . límites. podemos instalar Maxima y wxMaxima en distintas plataformas.sourceforge.).exe que podemos descargar directamente de sourceforge. Una vez instalada esta aplicación podemos proceder a instalar wxMaxima que se encuentra en http://wxmaxima. Los principales son xmaxima y wxmaxima.sourceforge.Capítulo 2
2. por lo que se puede distribuir a los alumnos libremente. trabajaremos con wxmaxima. Además funciona como lenguaje de programación por lo que las posibilidades son enormes.1. La web oﬁcial de Máxima es http://maxima. Mac. etc. Introducción
Maxima es un programa de calculo simbólico similar a los programas comerciales Maple y Mathematica. 9
Como hemos comentado antes. Puede representar funciones en 2D y 3D ayudándose de GNUplot. sistemas de ecuaciones.1.sourceforge.net.net/ o si la preﬁere en castellano http://maxima. derivadas. pero afortunadamente existen varios entornos gráﬁcos que hacen más agradable su manejo. Está publicado bajo licencia libre GNU/GPL y funciona en diferentes plataformas (Linux. matrices. series de Taylor. Window. funciones. En este manual.net/es/ Maxima funciona en modo texto en consola. por lo que su código fuente está disponible par que todo el que quiera adapte el programa a sus necesidades. Es software libre. Máxima puede realizar diferentes cálculos numéricos y simbólicos con polinomios.
Cada línea aparece numerada.1: Pantalla inicial de wxMaxima La mayor parte de las distribuciones Linux tienen ﬁcheros precompilados con las extensiones rpm o deb. INTRODUCCIÓN
Figura 2.2. una vez instalado. según el caso. En Window la aplicación se lanzaría como cualquier otra. podemos lanzar la aplicación desde el menú Aplicaciones ->Otras ->wxMaxima ó escribiendo en una consola wxmaxima.
Antes de empezar a utilizar wxMaxima es importante tener en cuenta algunas consideraciones que nos ayudarán a ir más rápido y entender lo que va apareciendo en la pantalla. por ejemplo. %ix) para no tener que Miguel A.
2. la primera es ( %i1). Así podemos referirnos a una expresión anterior mediante su identidad ( %ox. Si es una entrada aparece ”i” (input-entrada) y si es una salida aparece ”o” (outputsalida) y a continuación el número de línea. si se utiliza el escritorio gnome.1 se muestra la pantalla inicial de wxMaxima. se puede instalar mediante la aplicación Synaptic que se encontrará en el menú Sistema ->Administración ->Gestor de paquetes Synaptic En Linux. haciendo doble clic en el icono correspondiente ó en Inicio ->Programas ->wxMaxima En la ﬁgura 2.Página 10
2. Basta con hacer $sudo apt-get install wxmaxima maxima-share para que se instale Maxima y wxMaxima junto con todas sus dependencias.1.1. La instalación en una distribución linux basada en Debian es muy sencilla ya que wxmaxima se encuentra en los repositorios. Jorquera
Podemos deﬁnir una función usando ”:=”. Podemos escribir comentarios poniéndolos entre /* y */. Si no queremos que el resultado de una orden aparezca terminaremos con $. f(x):=x^2+3*x+1 En la ﬁgura 2. Todas las órdenes terminan con ”. Si ponemos sólo % máxima entiende que se trata de la última expresión.”. Jorquera
. a:3.2: Ejemplos básicos teclearla otra vez.1.
Actualmente es evidente la importancia de las tecnologías informáticas en todos los niveles de enseñanza. con lo que se puede dedicar más tiempo a la explicación de los conceptos que ha las habilidades de cálculo. Tanto el profesor como los alumnos puede aprender a usar wxMaxima en muy pocas sesiones.
2. Permite realizar cálculos reales. por ejemplo.3.CAPÍTULO 2. WXMAXIMA
Figura 2. por ejemplo. de mayor diﬁcultad matemática evitando perder tiempo en el cálculo rutinario. En este texto se trata una aplicación de cálculo simbólico de la que a continuación se enumeran algunas de las ventajas pedagógicas que tiene su uso con los alumnos.2 se pueden ver algunos ejemplos básicos. Miguel A. Asignamos valor a una variable utilizando ”:”.
El profesor puede mostrar el funcionamiento de la aplicación con un proyector conectado a un ordenador y luego los alumnos podrán realizar los ejercicios más rápido.Página 12
2. No hay que forzar su uso en todas las ocasiones ya que esto sería un error. Se fomenta más el trabajo creativo en detrimento del rutinario. Se les puede repartir a los alumnos una copia de wxMaxima para que se la lleven a sus casas y puedan practicar independientemente de que los alumnos tengan Window en sus casas y trabajen con Window o Linux en el Instituto. e inútil en otros. Jorquera
.1. Maxima será útil en algunos casos.
Miguel A. pero hay contextos en los cuales el error sería no usarlo. La utilización de gráﬁcas en el ordenador ayuda a que los alumnos tengas una visión más real de la geometría que se está estudiando evitando aproximaciones realizadas en la pizarra o en el cuaderno.
Existe otra función llamada echelon con la que se obtiene una matriz triangular igual que con la función triangularize.” Para el producto de un número por una matriz se utiliza el operador ”*” Para la suma de matrices se utiliza el operador ”+” Para calcular la inversa de una matriz cuadrada usaremos el operador ”^^-1” o la función invert • Si queremos que al calcular la inversa tengamos el determinante fuera debemos indicárselo a wxMaxima con tres variables: detout: true$ doallmxops: false$ doscmxops:false$ invert(A).4]) Esto se puede simpliﬁcar utilizando el menú Álgebra ->Introducir matriz Producto de matrices se utiliza el operador ”. Esto es posible a la función triangularize que tiene Maxima. El rango de una matriz se calcula con la función rank La transpuesta de una matriz se calcula con la función transpose Dada una matriz también podemos obtener la matriz triangular que resultaría de aplicar transformaciones elementales por ﬁlas siguiendo el método de Gauss. Con detout: true le decimos que el determinante lo saque fuera y poner las otras dos variables a false es para que haga las operaciones sin contar con el determinante. Por ejemplo una matriz A se deﬁniría en máxima así: A:matrix([1.Capítulo 3
3. Para deﬁnir una matriz se utiliza la palabra matrix y entre paréntesis encerramos las ﬁlas de la misma que a su vez están encerradas por corchetes y cada elemento separado por comas.1. 13
. Operaciones con matrices
Una matriz en Máxima es una lista de listas donde cada elemento es una ﬁla. que lo pondrá fuera. pero todos los elementos de la diagonal principal son todos 1.[3.2].
3*A.2.3.2. elegimos 2 ﬁlas y 2 columnas (ver ﬁgura 3.2]. A+B.[7. OPERACIONES CON MATRICES
Figura 3. por ejemplo.2: Operaciones Matrices Veamos algunos ejemplos donde se utilizan estos operadores. Ahora ya podemos realizar operaciones con ellas simplemente poniendo la operación.6].4 y pulamos otra vez Aceptar (ver ﬁgura 3.A.1: Introducir matriz
Figura 3.A-B. De esta forma tenemos introducida la matriz A.7. 2. En concreto poniendo A+B. Esto lo podemos observar en la ﬁgura 3.4])$B:matrix([5.1. obtendremos la salida de la suma.B. De la misma manera introducimos la matriz B también 2x2 cuyos elementos serán 5. pulsamos en Aceptar y luego introducimos los valores 1.1 (b)). 1. Jorquera
.8])$ ó escribimos A: y nos vamos al menú Álgebra->Introducir matriz.Página 14
3. producto del escalar 3 por A y producto de las matrices A y B. diferencia.8. En primer lugar deﬁnimos dos matrices A y B en máxima.1 (a)).6. para ello podemos escribir diréctamente A:matrix([1.[3. Miguel A.
puesto que el determinante para tal matriz no está deﬁnido.CAPÍTULO 3. 7. que como en el caso anterior calcularía la matriz transpuesta de la última expresión ( %) y si no es una matriz daría error.6. (ver ﬁgura 3.3) 5. es decir. Las inversas de A y B se calculan escribiendo invert(A).5)
3. (ver ﬁgura 3.
Siguiendo con el ejemplo de la sección anterior pondríamos determinant(A).invert(B). Escribimos triangularize(A).rank(B).3: Rango e Inversa 3. Para calcular el rango de A y de B simplemente escribimos rank(A).echelon(B).determinant(B). Miguel A. Vamos ahora a obtener las matrices triangulares de A y B con la función triangularize y con la función echelon.3) 4. MATRICES Y DETERMINANTES
Figura 3. Si en la última expresión no hay ninguna matriz dará error. También con el menú Álgebra->Invertir matriz podemos obtener la inversa de la matriz que esté guardada en la última expresión ( %).
Con wxMaxima podemos calcular el determinante de una matriz con la función determinant. y obtendríamos los resultados -2 y 3 como se muestra en la ﬁgura 3. Podemos ver esto en la ﬁgura 3.echelon(A). (ver ﬁgura 3.triangularize(B).transpose(B). Podemos calcular las matrices transpuestas de A y B con transpose(A).4.2. obtendríamos su determinante con determinant(A). 6. Jorquera
. ó desde el menú Álgebra ->Determinante. dada una matriz A. Hay que tener en cuenta que si se intenta calcular el determinante de una matriz que no es cuadrada daría error. ó con el menú Álgebra ->Transponer matriz.
5: Matriz Triangular
Figura 3.2. CÁLCULO DE DETERMINANTES
Figura 3. Jorquera
.4: Matriz transpuesta
Figura 3.Página 16
3.6: Determinante Miguel A.
3.1. Por ello esta unidad tratará estos conceptos desde el punto de vista del cálculo simbólico. El concepto de matriz fue introducido por James Sylvester (18141897) hacia 1850.3. En la vida cotidiana aparecen matrices cuando tenemos una gran cantidad de datos ordenados por bloques ya que la notación matricial nos ayuda a tener una mejor visualización de los datos.2. Gauss (1777-1855) fue el primero en utilizar el concepto de determinante. ó ir al menú Álgebra ->Matriz Adjunta. etc. El concepto de determinante es anterior al de matriz. Por ello. informática física. El menor complementario del elemento (i.
Unidad Didáctica: Matrices y Determinantes
Entre las herramientas del álgebra lineal se encuentran las matrices y los determinantes. El resultado se muestra en la ﬁgura .
Figura 3.3. Jorquera
3. La utilidad de estos dos conceptos se pone de maniﬁesto en buena parte del currículo de Matemáticas II y Matemáticas Aplicadas a las CCSS II de 2º de bachillerato. las matrices se utilizan en ámbitos muy diversos como el comercio.j)de la matriz A se puede obtener mediante minor(A.i. Aprender a realizar operaciones con matrices y determinantes rápidamente usando wxMaxima.3.CAPÍTULO 3. sociología. aunque en la actualidad se enseña al revés. usando la aplicación wxMaxima. tendríamos que escribir adjoint(A). Miguel A. Por ejemplo para la matriz A del ejemplo.7: Matriz adjunta La matriz adjunta también la podemos obtener con maxima utilizando la función adjoint.
Miguel A.C= yD= −1 1 1 4 2 0 −3 6 4. UNIDAD DIDÁCTICA: MATRICES Y DETERMINANTES
2. calcular A−1 y comprobar que A−1 = 1
 1 2 3 4 4 6 9 mediante la 7.   −3 2 no tenga 1 1 0 −1 3 . Calcula A−1 para los restantes valores de a. En la siguiente sección se mostrarán las soluciones que pueden ser de ayuda al profesor y también a los alumnos una vez que hayan intentado resolver los ejercicios por ellos mismos. Dada la matriz A =  4 3 1 [Adj(A)]t |A|  0 1 1
1 y y2
1 z . Resolver problemas sobre matrices y determinantes usando wxMaxima. 1. 3. Calcula el rango de la matriz A =  2 −3 −6 −9 1 función rank y después utilizando transformaciones elementales por ﬁlas con la función triangularize. Dadas las matrices A = calcula: a) A+B b) A-B-C c) 3A+5B-6C d ) AB-BC e) 2AB+3AC-5BC 1 2 2.Página 18
3.3. Jorquera
.B= . Determina el valor de a par que la matriz A =  0 1 a 0 inversa. Calcual el determinante de Vandermonde de orden 3. siendo: A = 2 3 2 0 0 3 5 4 . Resuelve la ecuación matricial en X: XA − 2B + 3C = D.3. z2
A continuación se muestran una serie de actividades que los alumnos tendrán que resolver utilizando lo aprendido en las secciones anteriores de este tema. 1 6. Interpretar los resultados y obtener conclusiones.
3.B = 4 −1 0 −2 yC = −1 −2 2 3 .3. Demuestra que yz xz xy x y z 3/x 3/y 3/z
La aplicación nos calcula el valor del determinante en función de a y luego podemos obtener la inversa. usando la función solve([7*a-1]. En la resolución de esta actividad podemos observar la potencia del cálculo simbólico de wxMaxima al trabajar con el parámetro a. Calcula los menores complementarios de todos los elementos de la matriz   1 2 3 A =  0 5 6 . Ver (3.4. 2. Miguel A.CAPÍTULO 3. 3. Ejercicio 1 8. Jorquera
. Aunque esto no entre en este tema.8).9). 3 −2 4
3.B y cuando pone 3A pondremos 3*A. Se puede ver la solución en (3. para saber la solución de la ecuación que anula el determinante.a).10).3. En esta actividad basta con introducir cada una de las 3 matrices e ir pidiendo a wxMaxima que haga cada una de las operaciones. Sólo hay que tener en cuenta que cuando pone AB tendremos que escribir A.8: Solución Matrices y Determinantes. Ver (3. Aquí lo único que tendría que hacer un alumno es despejar X como (D + 2B − 3C)A−1 y después decirle a Maxima que haga las operaciones. que existirá para cualquier valor de a que no anule el determinante.
10: Solución Matrices y Determinantes. Ejercicio 2
Figura 3. Ejercicio 3 Miguel A. UNIDAD DIDÁCTICA: MATRICES Y DETERMINANTES
Figura 3.3.Página 20
3. Jorquera
.9: Solución Matrices y Determinantes.
pulsando el botón con la etiqueta ”Factorizar”. MATRICES Y DETERMINANTES
Figura 3.12).11: Solución Matrices y Determinantes. Igual que en la actividad anterior calculamos este conocido determinante y luego factorizamos la expresión con la función factor( %). En la última actividad podemos calcular los menores complementarios a cada uno de los elementos. Ejercicio 4 4. uno de los métodos para calcular el rango de una matriz es utilizando transformaciones elementales por ﬁlas mediante el método de Gauss. Ver (3.
Miguel A. efectivamente es 0. 8. Vemos que en ambos casos el resultado es el mismo.15).CAPÍTULO 3.13). Teniendo en cuenta que la deﬁnición de rango es el número de ﬁlas o de columnas linealmente independientes. Una vez que tenemos la expresión del determinante usamos la función ratsimp (pulsando el botón con la etiqueta ”Simpliﬁcar”) para simpliﬁcarla. Ver (3. observando que el resultado. mostrándose en la imagen sólo los de la primera ﬁla.14). 7. Ver (3. Ver (3. Esta actividad es otra prueba de que Maxima puede trabajar con parámetros. Con esta actividad se muestra un ejemplo donde se se calcula la inversa de una matriz de dos formas diferentes.11). Por ello en esta actividad calculamos el rango directamente y después triangularizamos la misma para comprobar que el número de ﬁlas linealmente independientes coincide con el rango anterior. 5. Jorquera
. que deja invariante el rango de una matriz. Ver (3. la primera simplemente indicándole a Maxima que calcule la inversa de A y la segunda calculando las matrices necesarias para aplicar la fórmula correspondiente. 6.
3.3. UNIDAD DIDÁCTICA: MATRICES Y DETERMINANTES
CAPÍTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES
y.z} y esto se hace en la ùltima linea de la ventana. Ver ﬁgura (4. Para resolverlo bastará con pulsar el botón ”Aceptar”. y se mostrará una ventana donde tendremos que indicar el número de ecuaciones del sistema y tras pulsar ”Aceptar”..y. Vamos al menú Ecuaciones ->Resolver sistema lineal . introduciremos las ecuaciones . En el ejemplo hemos introducido un sistema de 3 ecuaciones lineales con las incógnitas {x.
Figura 4.5).[incógnitas separadas por comas]). x+y+2*z=9]. bastaría con po x + y + 2z = 9 ner en la linea de entrada linsolve([x-y+5*z=13.1).1. La función utilizada es linsolve cuya sintaxis es la siguiente: linsolve ([ecuaciones separadas por comas]. Lo único nuevo aquí es indicarle a wxMaxima que las incógnitas de las ecuaciones son {x.  x − y + 5z = 13  Para resolver el sistema 3x − 2y + z = 12 . Introducción
Empezamos esta sección viendo cómo podemos introducir gráﬁcamente un sistema de ecuaciones lineales en wxMaxima.z}. 3*x-2*y+z=12.y.1: Introducir Ecuaciones. 25
.. Ver ﬁgura (4.[x.Capítulo 4
4.z]).
4.[x. To debug this try debugmode(true).Página 26
4.2. si no tienen solución. Quitting.2. Jorquera
Según su solución. CLASES DE SISTEMAS
Figura 4. Compatibles Indeterminados. Compatibles Determinados. Podemos hacerlo usando el menú correspondiente o escribiendo en la linea de entrada la función linsolve con los parámetros adecuados.y]).
x + y x + y vamos a intentar resolverlo con wxMaxima.C. Para ello seguiremos los mismos pasos descritos en el ejemplo de la introducción.D. wxMaxima nos ayudará a estudiar y resolver cuando sea posible este tipo de sistemas. Para intentar resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales vamos a seguir siempre el mismo procedimiento visto en la sección anterior. En la introducción hemos visto cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales que es compatible determinado. cuando la solución es única. En este caso el mensaje que obtendremos será: ”Inconsistent equations: (2) – an error. escribiremos en la linea de entrada linsolve([x+y=0. x+y=3].” Dado el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas Miguel A.1. o bien.
4. cuando poseen inﬁnitas soluciones.2: Resolver S.2. los sistemas pueden ser: Incompatibles.
= 0 = 3 . A continuación veremos un ejemplo de cada una de las clases.
x-3*y+z=4].3: Resolución de sistemas.y.z=%r1]” Nos está diciendo que el sistema es compatible indeterminado y que tiene inﬁnitas soluciones dependientes de 1 parámetro que llama %r1.3). 2x − 4y + 6z = y + 2z = Partimos del sistema de 3 ecuaciones lineales siguiente x − 3y + z = y pidámosle a wxMaxima que intente resolverlo poniendo en la linea de entrada linsolve([2*x-4*y+6*z=2. Obtenemos el siguiente mensaje: ”Dependent equations eliminated: (3)(%o4) [x=-7*%r1-5. Ver ﬁgura (4.2. 3*x+2*y+z=24].
Los sistemas compatibles indeterminados tienen inﬁnitas soluciones que se expresarán en función de uno o más parámetros.z=2]” que nos indica que el sistema es compatible determinado. es decir.
 x + y + z = 11  Dado el sistema de 3 ecuaciones lineales 2x − y + z = 5 .3). y+2*z=-3.2. nosotros escribimos t en vez de %r1. por tanto.z]).y=-2*%r1-3. que nos indica que el sistema es incompatible y que. Es decir. El resultado es ”[x=4. Jorquera
 2  −3  4
. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Figura 4. le  3x + 2y + z = 24 decimos a wxMaxima que lo intente resolver poniendo en la linea de entrada linsolve([x+y+z=11.z]). Ver ﬁgura (4.CAPÍTULO 4.  z = t Miguel A.y=5. 2*x-y+z=5. que la única solución es la que se muestra en la salida. no tiene solución.3.[x. si para simplicar. Ver ﬁgura (4.[x.2. Veamos un ejemplo de cómo wxMaxima trata este tipo de sistemas.y.3). la solución sería:   x = −7t − 5 y = −2t − 3 .
Para ello introducimos la matriz de coeﬁcientes A.I.5). luego calculamos su determinante y simpliﬁcamos el resultado pulsando el botón ”Simpliﬁcar”.z]).z]).3.
4. y=0.4).-a].3.
En esta sección se muestra cómo utilizar wxMaxima para ayudarnos a estudiar sistemas de ecuaciones lineales dependientes de algún parámetro.C. • a = −1 =⇒Rango(A)=2=Rango(A*) <3 = Nº de incógnitas=⇒S. pueden usar comandos de texto para llegar a la misma conclusión. Ver ﬁgura (4. resolvemos la ecuación determinante(A)=0. siendo la incógnita a */ En segundo lugar ya podemos decir que si a = −1y a = 0 entonces se trata de un S. Este último paso se puede hacer pulsando el botón ”Resolver” y en la ventana que aparece poner en el primer cuadro %=0 y en el segundo a.1]. que las raíces son -1 y 0. [1. Para ello. A la hora de introducir el sistema. x+(a+1)*y=0]. en este caso.1. (a+1)*x+y-a*z=0.y. [x.a+1. y+z=0. cuya solución podemos obtener poniendo en la línea de entrada ”linsolve([a*x+y+z=0. ya podríamos decir cómo es el sistema. Obteniendo al ﬁnal. Para a = −1 y para a = 0 calculamos el rango de A y de A* y discutimos mediante el teorema de Rouché-Frobenius. evidentemente es la trivial: x=0. /* para introducir la matriz A */ • determinant( %).6) podemos ver cómo se han calculado los rangos de la matrices y cuál es la solución. z=0 ya que el sistema.Página 28
4.0] ). Si lo preﬁeren. [a+1. /* para simpliﬁcar la última expresión */ • solve([ %=0]. SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS
Sistemas de igual nº de ecuaciones que de incógnitas
Tomemos de ejemplo el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas dependientes del parámetro a:  ax + y + z = 0  (a + 1)x + y − az = 0  x + (a + 1)y = 0 En primer lugar hallamos las raíces del determinante de la matriz principal. para indicar que la incógnita es a. [x. es homogéneo.” La solución.C.1. x=0]. • matrix( [a. Todo el proceso se muestra en la ﬁgura (4. /* para calcular el determinante de la última expresión que es la matriz */ • ratsimp( %).y. Jorquera
.D. Además con sólo poner linsolve([-x+y+z=0. Por último igualamos el resultado obtenido a cero y resolvemos la ecuación. [a]). distinguiremos dos casos. lo único que hay que hacer es sustituir el parámetro a por -1. Miguel A. En la ﬁgura (4.1.3. es decir. =⇒Tiene inﬁnitas soluciones que se expresan en función de 1 parámetro. En el primero el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas y en el segundo no. /* para resolver la ecuación resultante de igualar a 0 la última expresión.
Figura 4. Jorquera
.5: Resolver S.CAPÍTULO 4.C.D.
El estudio de este caso puede verse en la ﬁgura (4. por lo que no comentaremos nada más. Estamos en el mismo caso anterior. procedemos igual que en la sección anterior.I con parámetros • a = 0=⇒Rango(A)=2=Rango(A*) <3 = Nº de incógnitas=⇒S.
4.C. ya que Rango(A*)=4 =Rango(A)≤3 Si m=2 podemos calcular los rangos de la matriz de coeﬁcientes y de la ampliada para su posterior estudio o intentar resolver diréctamente el sistema con wxMaxima. Miguel A.3. simpliﬁcamos la expresión.C.2. calculamos su determinante.I.9). SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS
Figura 4. Ver ﬁgura (4. donde apreciamos que la única raíz real es m=2. la igualamos a cero y resolvemos la ecuación. Para ello.I.D. cuya solución es x=y=z=1. Haciendo esto último vemos que se trata de un S.Página 30
4. Todo esto está en la ﬁgura (4.C. introducimos la matriz A*. =⇒Tiene inﬁnitas soluciones que se expresan en función de 1 parámetro.7). Si m = 2 =⇒S. Jorquera
.8).6: Resolver S.
Sistemas de distinto nº de ecuaciones que de incógnitas
+ − − − y y y y + + + + z z z z = = = = m2 1 1 3m
  mx   x Tomemos como ejemplo el siguiente sistema 3x    6x
En este caso empezamos calculando las raíces del determinante de la matriz ampliada: determinante(A*)=0.3.
CAPÍTULO 4.8: Distinto nº de ecuaciones que de incógnitas 1
Miguel A.7: Resolver S. con parámetros 2
Figura 4.C. Jorquera
Figura 4.I.
.3.Página 32
4.9: Distinto nº de ecuaciones que de incógnitas 2
Miguel A. SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS
w − El producto de un escalar por un vector (t· →) se calcula escribiendo v t*v. 5. Ver ﬁgura (5. se genera una lista de 4 componentes cuyo término general es 2*k pudiendo ser k=1.2. v w − Para obtener el vector diferencia v − → basta escribir en la entrada v-w. por ejemplo.4.2.1.2. Para ello 33
. b. − − El producto escalar de dos vectores → · → se calcula escribiendo v. pero podemos hacer varias cosas: • sqrt(apply("+". 2.w.8). Por ejemplo para el vector → = (4. c) = a2 + b2 + c2 no se calcula de v una manera directa.4). v w √ − El módulo de un vector → = (a. para − introducir el vector → = (1.3.4. es decir. Resulta (2. w − − Para obtener el vector suma → + → basta escribir en la entrada v+w.v^2)). Esta opción se encuentra en el menú Álgebra ->Construir Lista
5. En el entorno gráﬁco podemos usar la − se obtiene que | w función apply desde el menú Álgebra ->Aplicar a lista • También podemos deﬁnirnos una función llamada modulo para que calcule el módulo de un vector pasado como parámetro. v También podemos construir una lista (vector) que sigue un patrón general. 5.3]. En el ejemplo se puede ver para el caso de t=3. Introducción
En Maxima un vector se representa como una lista y.1) . obtenemos a2 +b2 +c2 y después calculamos la raiz − cuadrada con la función sqrt.1. De esta forma estamos aplicando la operación ”+” a cada una de las componentes del vector después de elevarla al cuadrado. 6). 3) tendríamos que poner en la entrada v:[1. por ejemplo. − Creamos el vector → = (4. 6) w →| = √77.6.
Una vez introducidos dos vectores las operaciones se pueden realizar de forma sencilla como se muestra a continuación.k. con makelist(2*k.
− El vector unitario y del mismo sentido que un vector dado → = v (a.1: Operaciones con vectores
Figura 5.Página 34
5. y − ahora si queremos calcular el módulo del vector →. Jorquera
.2. y ya está. y por último unitvector(v). • Cargamos el paquete escribiendo load(vect) ó en el menú Archivo Miguel A. Después introducimos el vector con v:[a.c]. Lo primero que tenemos que hacer es cargar el paquete eigen escribiendo en la entrada load(eigen) ó en el menú Archivo ->Cargar paquete y buscarlo en el directorio correspondiente.2). sólo pondríamos w modulo(w).b. El operador que utiliza para designar al producto vectorial es ”~”. Ver ﬁgura (5. El producto vectorial de dos vectores puede ser calculado en Maxima gracias al paquete vect que hay que cargar previamente para poderlo usar.v^2)).2: Módulo de un vector basta con escribir en la entrada modulo(v):=sqrt(apply("+". c) podemos calcularlo con la función unitvector del paquete eigen. b. OPERACIONES
Figura 5.3). Ver ﬁgura (5.
.0/share/vector/vect.
5.3. b. − − • Introducimos los vectores → = (1. • Y por último le decimos a wxMaxima que nos exprese el resultado con express( %).2.-3] que es el vector buscado. 2. 3) y → = (4.10.4). 3) y → = (4.CAPÍTULO 5. • Le indicamos que calcule el producto vectorial con u~v.6]. c) y → = (d. 6) con u:[1. u v Ver ﬁgura (5. Ver u v ﬁgura (5. Miguel A. b. obteniendo como resultado [-3.5). f ) son linealmente independientes u v a b c si rango =2 d e f 1 2 3 Por ejemplo calculamos el rango = 2 y por tanto podemos decir 4 5 6 − − que los vectores → = (1. − − Dos vectores → = (a. 5.5). c) y → = (d. 6) son linealmente independientes. VECTORES
Figura 5.5. 6. 2. e. 5. Ver ﬁgura (5. 2.
Dependencia e independencia de vectores
− − Dos vectores → = (a. f ) son linealmente dependientes si u v a b c rango =1 d e f
1 2 3 Por ejemplo calculamos el rango = 1 y por tanto podemos decir 3 6 9 − − que los vectores → = (1.3: Vector unitario ->Cargar paquete y buscando en el directorio donde está (Ejemplo: /usr/share/maxima/5. u v v:[4.3]. 3) y → = (3.6. 9) son linealmente dependientes. e.mac).
2. b. 6) y → = (1. −1) y → = (3. 2.Página 36
5.  f ) y → = (g. EJERCICIOS
Figura 5. b. f ) y → = (g. 3. Otra forma sería triangularizar la matriz formada por todos los vectores y comprobar si resulta alguna ﬁla de ceros. Calcula x e y de manera u v − que ambos sean perpendiculares y |→| = 13. 3. h. 5. Ver ﬁgura (5. e.5).5). − − Tres vectores → = (a. 0) son linealu v w mente independientes ya que al calcular el rango de la matriz formado por ellos vemos que resulta 3. → = (4. 6) y → = (5. 7. 2.4. 5. 0. → = u  v a b independientes si rango d e g h − (d.
− − 1. Después como necesitamos calcular Miguel A.4. Sean los vectores → = (x.
5. i) son linealmente e. c). 9) son linealu v w mente dependientes ya que al calcular el rango de la matriz formado por ellos vemos que resulta 2. 3). v Para resolver este ejercicio con ayuda de wxMaxima. Ver ﬁgura (5. i) son linealmente w  c f =12 i
− − − Por ejemplo los vectores → = (1. en la ﬁgura (5. 6) y → = (3. 2)}son linealmente u v w dependientes puesto que al triagularizar la matriz que forman resulta que la última ﬁla es el vector cero. → = (4. Jorquera
.6). y. w c f =3 i
− − − Por ejemplo los vectores → = (1. 3). → = (1. u  a dependientes si rango d g → − v b e h − = (d. podemos ver que − − − los vectores {→ = (2. que indicaría que los vectores son linealmente dependientes. lo primero que hacemos es introducir los dos vectores.4: Producto Vectorial − Tres vectores → = (a. c). 3). 1. 4). Por ejemplo. h. Para un número mayor de vectores podemos actuar de forma similar calculando el rango con wxMaxima.
Miguel A.6: Vectores l.5: Vectores l. y l.d. Jorquera
.CAPÍTULO 5. VECTORES
Figura 5.i
Figura 5.d.
Esto lo hacemos con la expresión expand( %^2). Imponemos las dos condiciones que nos dice el problema y resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que son las soluciones del ejercicio. elegimos 2 ecuaciones y pulsamos ”Aceptar”. La solución de este ejercicio es muy sencilla utilizando la función unitvector(v). Jorquera
. − 2. Vamos al menú Ecuaciones ->Resolver sistema algebráico. 0. 4) en un vector unitario y proporcinal al v dado.7). Convierte el vector → = (3. Por último ya podemos resolver el sistema de ecuaciones formado por la primera ecuación y por esta última. Se deja al lector como actividad. con lo que estamos indicando que hay que elevar al cuadrado la última expresión. Todo el proceso junto con la solución se muestra en la ﬁgura (5.2. EJERCICIOS
Miguel A.y. como segunda %o12 y como incógnitas ponemos x. como primera ecuación ponemos %o4.7: Ejercicio1 el módulo de un vector deﬁnimos la función modulo(v) vista en la sección 5. El sitema que tenemos no es lineal y para resolverlo con wxMaxima habría que quitar la raiz de la segunda ecuación representada en la ﬁgura por ( %o5).Página 38
wxMaxima nos puede ayudar al paso de las ecuaciones implícitas a paramétricas ya que se trata de resolver un sistema de 2 ecuaciones lineales que es compatible indeterminado.t ∈
.1.y.y=-(5* %r1-1)/3. 2x + y + z = 3 Tenemos la recta r ≡ dada en forma implícita. el ángulo entre elementos del espacio y las distancias en el plano. En este tema trataremos el paso de ecuaciones implícitas de una recta a ecuaciones paramétricas. wxMaxima nos contesta con [x=( %r1+4)/3. etc. Introducción
Podemos usar wxMaxima para resolver algunos problemas geométricos relacionados con el álgebra lineal ya que se reducen a calcular rangos de matrices y resolver sistemas de ecuaciones lineales. las posiciones relativas entre planos y rectas.
Una recta queda determinada por un punto y un vector director o por dos puntos distintos. recordar que vamos al menú Ecuaciones ->Resolver sistema lineal. En el caso de un sistema de referencia tridimensional. perpendicular común.z= %r1] cuya   x = 4 + 3 y = 1 − interpretación es que las ecuaciones paramétricas de r son: r ≡ 3  z = t R 39
t 3 5t 3
. Lo vemos con un ejemplo. la obtención de la ecuación general o implícita de un plano. A partir de del punto y del vector director podemos obtener distintas ecuaciones de la recta en un sistema de referencia.1).
6. las continuas y las implícitas. las ecuaciones paramétricas. x − y − 2z = 1 entonces para obtener las ecuaciones paramétricas le decimos a wxMaxima que resuelva el sistema lineal. indicamos que tiene 2 ecuaciones.z y pulsamos Aceptar.2. Para ello. Ver ﬁgura (6. las introducimos y le indicamos que las incógnitas son x. podemos obtener la ecuación vectorial de la recta.
u2 . → = (v1 .
Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes o por tres puntos distintos que no esté alineados. v3 )mediante la expresión u2 v2 y − b = 0 v u3 v3 z − c Veamos un ejemplo. u v Para ello seguimos los siguientes pasos:   1 1 x−1 1. Introducimos la matriz  1 0 y − 2  0 1 z−3 2.i. A partir de un punto y dos vectores l. c) y dos vectores linealmente independientes → = u u1 v1 x − a − (u1 . La ecuación del plano será el resultado anterior igualado a 0.2). El estudio de los rangos de estas dos matrices nos hace decidir cual es la posición relativa. u3 ).3. b. ECUACIONES DEL PLANO
Figura 6. de una recta y un plano o de dos rectas. Miguel A. v2 . a partir de ella podemos pasar a las ecuaciones paramétricas del plano. Calculamos su determinante. 1). 3) y los vectores → = (1. resultando -z-y+x+4 3. nos basamos en el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones implícitas. podemos obtener la ecuación vectorial del plano en un sistema de referencia.Página 40
6. 0) y → = (1. Por tanto -z-y+x+4 = 0
6. La ecuación implícita o general de un plano se puede calcular a partir − de un punto P = (a. 2.
Posiciones relativas entre planos y rectas
Para el estudio de las posiciones relativas de dos o tres planos.1: Paso de implicitas a paramétricas
6.4. 1. Ver ﬁgura (6. Jorquera
. 0.3. A partir de ese sistema tenemos la matriz de coeﬁcientes A y la matriz ampliada A*. Vamos a obtener la ecuación implícita del plano determinado por el punto − − P = (1.
6. ya que los rangos de A y A* son iguales a 3. Jorquera
. − − Dados los vectores → = (a. de tres planos se reduce a calcular con wxMaxima los rangos de A y A*. 2  2x − y =  r: x − z = 2. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA
Figura 6.5.2: Ecuación implícita del plano Por ello. el ángulo entre dos rectas.
6.4) que la recta es paralela al plano. por ejemplo.1.CAPÍTULO 6. − 3 ). ya que los rangos de A y A* son 2 y 3 respectivamente.
Ángulo entre elementos del espacio
En esta sección veremos cómo calcular el ángulo formado por dos vectores en el espacio. Veremos un par de ejemplos  x − y + z = 0   r1 :  2x + y = 3 1. →) = |→|·|w | = √ 2 2ad+be+cf 2 2 v w − → v − w 2
a +b +c · d +e +f
Miguel A. 0.5.
Se deﬁne el ángulo que forman dos vectores libres como el menor de los ángulos que forman las semirrectas que contienen a dos de sus representantes concurrentes. e. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas: x − 2y + z = 0   r2 :  x − 2y − z = 3 Se puede observar en la ﬁgura (6.3) que el las rectas se cortan en el punto 3 de coordenadas ( 2 . Por tanto el ángulo siempre estará entre 0º y º80º. b. c) y → = (d. Estudia la posición elativa de la recta y el plano siguiente:  π : x + y − 3z = 1 Se puede observar en la ﬁgura (6. f ) podemos calcular el coseno v w del ángulo formado por ellos a partir de la deﬁnición del producto escalar y de su expresión analítica de la siguiente forma: →·→ − − − − v √ 2 cos(→. entre dos planos y entre un plano y una recta. conocer la posición relativa.
6. ÁNGULO ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIO
Figura 6.4: Posición relativa entre una recta y un plano Miguel A.3: Posición relativa entre 2 rectas
Figura 6.5. Jorquera
modulo(v):=sqrt(apply("+".numer.1. π También. Miguel A. v:[-3. pasaagrados( %).w)/(modulo(v)*modulo(w))). 0.5: Ángulo entre dos vectores A partir de esta expresión.5). 2. Jorquera
. 4.2]. los argumentos de las funciones trigonométricas están en radianes. w:[0. Introducir los vectores. utilizando la función arcocoseno obtenemos el ángulo buscado. 5.v^2)). Utilizamos la función acos (arco-coseno) para calcular el ángulo en radianes. Y por último pasamos el resultado a grados.0. Deﬁnimos también una función para pasar de radianes a grados. 2) y → = (0.numer. Deﬁnimos la función modulo vista en el tema anterior para obtener el módulo de un vector con más comodidad. Ver ﬁgura (6.-1]. Análogamente si querermos obtener el ángulo en grados de la inversa del coseno habrá que multiplicar por 180 . −1)calcularemos el ángulo v w formado por ellos siguiendo estos pasos: 1. Otra cosa que hay que tener en cuenta es que si no de indicamos nada a Maxima no Veamos un ejemplo de cómo podemos calcular este ángulo en wxMacima.CAPÍTULO 6. si vamos a utilizar mucho las funciones trigonométricas podemos deﬁnirnos las funciones que nos pasen de radianes a grados y viceversa. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA
Figura 6. acos((v. 3. Notar que el número PI en Maxima se representa por la variable %pi. En Maxima. 1. − − Dados los vectores → = (−3. por lo que si queremos calcular el seno de un ángulo en grados habrá que π pasarlo previamente a radianes simplemente multiplicando por 180 . por ejemplo pasaagrados(r):=(r*180)/ %pi.
→ |− |·|− | ur u→ r
. y eso se hace en wxMaxima con la función abs(). Antes hemos deﬁnido una función que calculaba el ángulo entre dos vectores: ang2vect(v. y podremos calcular el ángulo entre dos vectores simplemente poniendo ang2vect(v. Lo único que hay que cambia ahora es que tenemos que tomar el valor absoluto del coseno. sabiendo calcular el ángulo entre dos vectores podemos calcular el ángulo entre dos rectas.3) y (-1.w).w):=pasaagrados( acos((v.w)/(modulo(v)*modulo(w))))).w):=pasaagrados( acos((v. Independientemente del sentido de los vectores directores de las rectas.w)/(modulo(v)*modulo(w)))).1. Esto se puede ver en la ﬁgura (6.
6.w):=pasaagrados( acos(abs((v. Por tanto deﬁnimos la función que calculará el ángulo entre dos rectas de la siguiente forma: ang2rectas(v.w)/(modulo(v)*modulo(w)))).numer. Como ejemplo vamos a calcular el ángulo formado por las rectas de ecuaciones: r ≡ x−2 = y−5 = z−1 y r ≡ x+2 = y−1 = z−1 −1 1 3 −1 −1 0 Empezamos introduciendo sus vectores directores (-1.6). Miguel A.5.ˆ− )| = ur ·ur u u
Por tanto. ÁNGULO ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIO
Figura 6. En el caso de que se corten el ángulo que forman será el menor de los ángulos que forman sus respectivos vectores directores.ˆr ) = − − → → → → |cos(− .5.
Suponemos que las dos rectas r y r se cortan ya que si son coincidentes o paralelas el ángulo que forman es 0º.6: Ángulo entre dos vectores (directo) 6.0) respectivamente.Página 44
6.. el ángulo entre dos rectas se puede calcular a partir de la expresión: cos(r.-1. ang2vect(v. Podríamos crearnos una función para que haga todos estos pasos de una sola vez.2.
π) = 90 − αy por tanto sen(r. π) = |cos(→. Jorquera
− − Sea r la recta de vector director → y π el plano de vector normal →. →). Si u n →.4. es la siguiente: − →→ − − − ˆ→ u sen(r.ˆπ ) = 180 − αy podemos calcular el ángulo entre los dos planos.
Para el caso de dos planos π y π que se cortan en una recta. La expresión que utilizaremos para calcular el ángulo u n entre la recta y el plano. independientemente de los sentidos de los vectores. independientemente del sentido de los vectores normales. Si α = (→.7: Ángulo entre dos rectas En la ﬁgura (6.
6.w) deﬁnida antes. En wxMaxima podemos usar la función ang2rectas(v. π) = sen(90 − α) = − − α = (u n − − cos(α) = cos(→.8) se muestra cómo calcular el ángulo formado por los planos π : x + y − 3z = 1 y π : 2x − 3y + 2z = 2. con ayuda de la expresión: − →→ − − − ˆ→ n cos(π.ˆπ ) = |cos(→. →) entonces (r. podemos calcular − − ˆ→ el ángulo que forman a partir de sus vectores normales.5.3. En la ﬁgura (6. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA
Figura 6. n )| = n ·n
− − → |→|·|n | n
que es la misma que en el caso de dos rectas.CAPÍTULO 6. n )entonces n (π.5.
6. pero ahora con los vectores normales de los planos.7) se muestran los cálculos realizados en wxMaxima para llegar a la conclusión de que las rectas son perpendiculares y que el ángulo formado por ellas es de 90º. n )| = → ·n ˆ u − − →
| u |·|n |
Tendríamos que deﬁnir una nueva función que calcule el arcoseno en vez del arcocoseno: Miguel A.
9). En el primer paso.x:1+t. Jorquera
. Miguel A. Ver ﬁgura (6. Hallar la recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano.
6. Después introducimos la ecuación del plano x+2*y+3*z-11=0. 2.6.z) que son las coordenadas de la proyección buscada. queda − determinada por el punto P=(1.y:1+2*t. para indicar que ya sabemos lo que vale t y queremos saber lo que valen (x.  x = 1 + t y = 1 + 2t r ≡ x−1 = y−1 = z+2 ≡ 1 2 3  z = −2 + 3t Ahora en el segundo paso se trata de resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta r y del plano π.1. PROYECCIONES
Figura 6. Vamos a calcular la proyección del punto P=(1. Para ello. 3) que vr − n es el vector normal al plano. en este caso. Por último escribimos t:1.8: Ángulo entre dos planos angrectpla(v.6.1.z:-2+3*t.
La proyección de un punto sobre un plano se calcula en dos pasos: 1.w)/(modulo(v)*modulo(w))))).2) y su vector director → = → = (1.1.
6.y. que.6.Página 46
6.w):=pasaagrados( asin(abs((v.-2) sobre el plano π : x + 2y + 3z = 11. la recta r. perpendicular al plano que pasa por P. 2. resulta ser t=1. Hallar la intersección de la recta anterior con el plano.z:-2+3*t.y:1+2*t. Nota: Otra forma de calcular la proyección es utilizando las ecuaciones generales o implícitas de la recta y juntarlas con la ecuación del plano para resolver el sistema de ecuaciones compatible determinado que resulta. primero introducimos las ecuaciones paramétricas de la recta así: x:1+t. y pulsamos el botón ”Resolver” para despejar t.
Hallar el plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado.6.9: Proyección de un punto sobre un plano
6. 2.2.10. Una vez que tenemos la ecuación del plano. Hallar el plano que pasa por el punto y es perpendicular a la recta. Como ejemplo vamos a calcular la ecuación de la recta proyección de la recta 2x − 3y + z = 1 r≡ sobre el plano π : 2x − y + 3z + 5 = 0.-2). Jorquera
. − y + 3z = −4 Miguel A. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA
Figura 6. Hallar la intersección del plano anterior con la recta. En el primer paso hallamos el plano π perpendicular a r que pasa por P.-3)∈ π.0. le decimos a wxMaxima que despeje D de la ecuación P · n + D = 0 siendo n el vector normal del plano.
La proyección de un punto sobre una recta se calcula en dos pasos: 1.CAPÍTULO 6. 2.6. pasamos al segundo paso y ha  x = 1 + 2t y = −1 + t y llamos la intersección de la recta en paramétircas r ≡  z = 0 − 2t el plano π : 2x + y − 2z − 10 = 0 obteniendo como solución el punto (3.
6.-3) sobre la recta r : x−1 = 2 y+1 z 1 = −2 . Ver ﬁgura 6.3.0. Como P=(2. π : 2x + y − 2z + D = 0.
La proyección de una recta sobre un plano se calcula en dos pasos: 1.0. Hallar la intersección de los dos planos. Vamos a calcular la proyección del punto P=(2.
la distancia entre P=(1. d(P.
6. Por ejemplo. por lo que poniendo t:-1 y la expresión del haz de planos otra vez tendremos la ecuación del plano π : −2x + 2y + 2z + 5 = 0 que junto con la ecuación de π : 2x − y + 3z + 5 = 0 forman la ecuación de la recta proyección.6) se calcula en wxMaxima utilizando la función modulo sobre el vector Q-P.7. Resulta t=-1.7. Ver ﬁgura (6. Q) = |P Q|.Página 48
6. Ahora como π y π son perpendiculares. (Notar que hemos hecho s=1 para simpliﬁcar los cálculos) y luego pulsando el botón ”Simpliﬁcar” para obtener una expresión simpliﬁcada. Podemos ver el desarrollo en la ﬁgura (6. es decir. Deﬁnimos n1 y n2 como sus vectores normales y le imponemos que su producto escalar es 0 para así poder despejar t de la expresión resultante.1.3) y Q=(4.
La distancia entre el punto P y el punto Q viene dada por el módulo del − − → − − → vector P Q.10: Proyección de un punto sobre una recta
Como primer paso hallamos el plano π que contiene a r y es perpendicular a π considerando que todos los planos que contienen a r son los del haz de planos: t(2x − 3y + z − 1) + s(−y + 3z + 4) = 0) escribiendo en wxMaxima t*(2*x-3*y+z1)+(-y+3*z+4)=0.5.12). Miguel A. sus vectores normales también lo serán.2. DISTANCIAS EN EL PLANO
Figura 6. Jorquera
.7.11).
.CAPÍTULO 6.12: Distancia entre dos puntos
Miguel A.11: Proyección de una recta sobre un plano
Figura 6. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA
n + D)/modulo(n). p2 .n. Resolvemos la ecuación. p3 ) al plano π : Ax + By + Cz + D = 0 que es: +D| 1 d(P.0) .13: Distancia de un punto a un plano
6. • dist(P.n+D)/modulo(n).7. [D]). π) = |Ap√+Bp2 +Cp32 A2 +B 2 +C Lo que necesitamos son las coordenadas del punto y los coeﬁcientes de la ecuación del plano.0].2. Representaremos al plano π por n=(A.4. Jorquera
. D) := abs(P.-4) y D desconocida y la igualamos a 13.0. El punto tendrá 3 coordenadas y el vector de coeﬁcientes cuatro. En la ﬁgura (6. DISTANCIAS EN EL PLANO
Figura 6. por ejemplo P=(3.7.0.D):=abs(P.n:[4. Como se puede obserbar.n=(4.C) y D. Por tanto podemos deﬁnir la función dist(P.n.0) y D=-6.plano) como sigue: dist(P.0.
Vamos a deﬁnir una función que utilice la fórmula que calcula la ditancia de un punto P = (p1 . obteniendo una ecuación donde la incógnita es D. • solve([ %]. (pulsamos el botón Resolver e indicamos que la variable es D) Miguel A.7. se vuelve a utilizar la función modulo. n. • dist(P.Página 50
6.B.0) Utilizamos la función dist(P.2. En este caso n=(3.3) al plano π : 3x + 4y − 6 = 0.v^2)).-4]. Los planos paralelos al dado son de la forma 4x+7y-4z+D=0 Tomamos un punto de P ∈ π. • P:[3.D)=3. Notar que para introducir la constante D=-6 lo que hacemos es poner D:-6.n.7. Ejercicio: Halla la ecuación del plano paralelo al plano π :4x+7y-4z-12=0 y que diste de él 3 unidades.13) se muestra cómo calcular la distancia del punto P=(1. • modulo(v):=sqrt(apply("+".D) con P=(3.
La solución es D=15. − de r y v Para usar esta fórmula podemos deﬁnirnos la siguiente función: dist(A.P. r) = | v|xAP | . • solve(-(D+12)=27.
6. ó en el menú Ecuaciones->Resolver e introduciendo la ecuación y la variable D. Se puede observar en la ﬁgura (6.3.CAPÍTULO 6.14: Ejercicio distancias • wxMaxima nos da el resultado [|D+12|=27] que se trata de una ecuación donde aparece un valor absoluto.14) que hay dos soluciones para D que signiﬁca que ya dos planos paralelos al dado que distan 3 unidades del mismo. Veamos los pasos a seguir para calcular la distancia del punto P=(1.7. siendo A un punto cualquiera →| − v → el vector director de r.2. Esta ecuación se descompone en otras dos: D+12=27 y -(D+12)=27 que habría que resolver por separado.D). −2 1 2 Miguel A. • solve(D+12=27.v):=modulo(express((v~(P-A))))/modulo(v).3) a la recta r ≡ x+1 = y = z−2 . Jorquera
. tenemos que usar el producto vectorial y la fórmula d(P. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA
Figura 6.D) cuya solución es D=-39.
Para calcular la distancia de un punto P a la recta r.
7.1. modulo(v):=sqrt(apply("+". DISTANCIAS EN EL PLANO
Figura 6. Deﬁnimos la función dist antes descrita. Cargamos el paquete vect para poder usar la operación del producto vectorial.v):=abs(determinant(u.3].Q. Aplicamos la función dist y obtenemos que la distancia son 3 unidades. r y s. Como ejemplo. dist(A.
6. siendo → − |− vr →| v − − P un punto de r. un punto A de r y el vector director de r como v. Q un punto de s y →y →los respectivos vectores directores. podemos calcular la distancia a la que se encuentran la una de la otra a partir de sus vectores directores y un punto de cada una utilizando el producto mixto.v). Deﬁnimos el punto P. dist2rectas(P.Q-P))/modulo(express(u~v)).7.v. vr v s Tenemos que deﬁnir una función en Maxima que nos calcule la distancia entre dos rectas dados dos puntos y los dos vectores directores. dist(A.
Dadas dos rectas que se cruzan en el espacio. s) = |[vr .15: Distancia de un punto a una recta load(vect).v:[-2. si es que no la tenemos aún. Deﬁnimos la función modulo. calcularemos la distancia entre las rectas
→ − →− →− −
r≡ Miguel A.v×.P:[1.15).2.2].P.v):=modulo(express((v~(P-A))))/modulo(v).PsQ]| .u.4.Página 52
6.2].v^2)). La distancia
s entre ellas se puede obtener a partir de la expresión: d(r. Jorquera
y−1 7
z−5 6
ys≡
y+1 5
. Por ejemplo.0. A:[-1. Ver ﬁgura (6.P.
. Hallamos el plano πs . P:[-2. w Miguel A. que contiene a la recta r y al vector →.16: Distancia entre dos rectas que se cruzan load(vect). − 2.u:[2. que contiene a la recta s y al vector →.
Perpendicular común
Hay varias formas de obtener la recta perpendicular común a otras dos rectas que se cruzan en el espacio.7. el punto Q de s. Deﬁnimos el punto P de r.6].6]. Partimos de dos rectas r y s que se cruzan. Deﬁnimos la función dist2rectas antes descrita. 757 En la ﬁgura (6.1. Deﬁnimos la función modulo. siendo → y → sus respectivos vr v s → = → × → que es perpendicular − − − vectores directores. Hallamos el plano πr .u.16) se muestra la pantalla de wxMaxima. Calculamos el vector w vr vs a r y s.0]. Aplicamos la función dist2rectas y obtenemos que la distancia es √25 . w − 3.v):=abs(determinant(matrix(u.v^2)). GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA
Figura 6.u. si es que no la tenemos aún. Con ayuda de wxMaxima seguiremos el siguiente procedimiento analítico.(Q-P))))/modulo(express(u~v)).v:[-1. − − 1. Cargamos el paquete vect para poder usar la operación del producto vectorial. dist2rectas(P.CAPÍTULO 6. el vector director u de r y el vector director v de s.v.
6.5].5. dist2rectas(P.Q.Q.Q:[0. modulo(v):=sqrt(apply("+".8.-1.v).
Q:[0. −1.w. • determinant(matrix[vr. • determinant(matrix[vr.i. • La respuesta es 3*(6*y-12*(x-1))-30*(z+1)=0 y si pulsamos en ”Simpliﬁcar” resulta -30*z+18*y-36*x+6=0 y si después pulamos el botón ”Factorizar” obtenemos -6*(5*z-3*y+6*x-1)=0. 2. P Q) = 18 = 0 podemos asegurar que las rectas se cruzan. Deﬁnimos el punto genérico A para poder determinar la ecuación del plano. → = (2. Si el vr vs determinante fuese 0 las rectas se cortarían en un punto.-1.vs. • La respuesta es 30*(z-2)+3*(6*(y-2)-12*x)=0 que tras simpliﬁcar resulta 6*(5*z+3*y-6*x-16)=0. − Calculamos → = → × → así: w − − vr vs • load(vect). que podemos expresarla en forma implícita o general y ya la tendríamos. 1. • Concluimos que la ecuación del plano es: 6x − 3y − 5z + 16 = 0 Por lo tanto la ecuación de la recta perpendicular común es: 6x 6x Ver ﬁgura (6. → y →. 3) y P Q = (−1. → y →.y. PERPENDICULAR COMÚN
4.8. para lo que to− − → − − mamos los vectores → = (−2.2]. vx w • determinant(matrix[vs.0. Miguel A.3]. 2) ∈ s.17). Como − → − − − det(→. • Podemos interpretar que la ecuación del plano buscada es: 6x − 3y + 5z − 1 = 0 Repetimos la misma operación para hallar el plano π a partir del punto − − Q y dos vectores l.Página 54
6.2. vr w • A:[x. • w:express(vr~vs).(A-P)])=0. Se observa a partir de los vectores directores que las rectas no son coincidentes ni paralelas. −1) ∈ r y Q = (0.i. 3). Jorquera − 3y − 3y + − 5z 5z − + 1 = 0 16 = 0
. vs:[2. →. 0.-1].1.z]. donde determinaremos la perpendicular común a las rectas: r:
Lo primero de todo sería estudiar la posición relativa. 3). vr vs siendo P = (1. Veamos ahora un ejemplo concreto.3].(Q-P)]).(A-Q)])=0. 2.w. En wxMaxima se haría así: • vr:[-2. P:[1. La recta perpendicular común buscada será la intersección de los planos π y π . − − Hallamos el plano π a partir del punto P y dos vectores l.
17: Perpendicular común
. GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA
Figura 6.CAPÍTULO 6.
lim √x −x que también presenta una indeterminación del tipo 0 ..1.Capítulo 7
En este tema vamos a empezar a trabajar con funciones y wxMaxima nos ayudará en el cálculo de límites. menos inﬁnito. y el punto en el que queremos calcular el límite. punto) Si queremos indicar que el límite es por la izquierda o por la derecha hay que añadir un parámetro más a la función limit con el valor minus o plus. tenemos la posibilidad de introducir una función.
7.. con lo que podremos estudiar las asíntotas horizontales. Es importante conocer cómo introducir a mano los valores a los que tiende la variable. En el botón <Especial>se puede elegir inﬁnito. el número e y el número Pi. Además podemos indicar si es por la izquierda o por la derecha. Veamos algunos ejemplos. 0 x+4−2 57
. Mas inﬁnito: inf Menos iniﬁto: minf Valor indeﬁnido: und El número e: %e El número Pi: %pi wxMaxima nos dará el resultado del límite independientemente de que encuentre indeterminaciones o no. verticales y oblicuas. La función para calcular límites en Maxima es: limit(función.
2x2 −8 x2 +x−2 x→−2
que presenta una indeterminación del tipo 0 . la variable.
−3x4 +2x2 −5 4x4 −7
∞ ∞.
En el menú Análisis->Calcular límite . variable.
. Nos pregunta que si x es positivo o negativo.inf ). √ lim [ x2 + 5−(x+2)] = −2 que se obtiene escribiendo limit(sqrt(x^2+5)-
(x+2). Pasamos ahora a calcular otros tres límites que presentan distintos tipos de discontinuidades.x. x. CÁLCULO DE LÍMITES
Figura 7.inf ).. También podríamos haber calculado estos límites sin utilizar el entorno gráﬁco.Página 58
7. Ver ﬁgura (7. escribiendo directamente la función limit. rellenamos los campos con los datos de la función. minf ). En el último caso. En concreto las indeterminaciones son de los tipos 0 · ∞. la incógnita y el punto al que tiende la incógnita. En la imagen (7. lim
x2 +3 x2 −1 2x
= 1 que se obtiene escribiendo limit(((x^2+3)/(x^2-1))^(2*x).
√ 3 x4 −2
3))/(sqrt(x^4-2)).
Miguel A. notar cómo hemos puesto sqrt(x+4) para referirnos a la raíz cuadrada de x+4. entonces escribimos ”n” (negativo) y pulsamos INTRO.2) se muestra el resultado de estos cálculos. y en la ventana que aparece.1.x. La mayor diﬁcultad está en escribir la expresión de la función que se puede complicar.1). Jorquera
. ∞ − ∞ y 1∞ . Vamos al menú Análisis ->Calcular límite .2: Límites de funciones 2 El resultado de estos 3 límites se obtiene siguiendo el mismo procedimiento. pero que Maxima los resuelve sin problemas.
Ver ﬁgura (7. por lo que pasamos a estudiar los límites laterales. Nos pre-
lim (2x −1) x+1 = 4 que se calcula escribiendo limit((2^x-1)^(2/(x+1)). limit((x+5)/(x-3). Jorquera
.4: Límites de funciones 4 Sólo hay que introducir correctamente la expresión de la función y el punto a donde tiende la variable x.plus). ∞ Ahora vamos a ver cómo resolver indeterminaciones del tipo ∞ . Si ponemos directamente limit((x+5)/(x-3). gunta si x es positivo o negativo y le digamos lo que le digamos el resultado es el mism. Ver ﬁgura (7.0).x.3: Límites de funciones 3
Figura 7.minus).x.x.3.3. y obtenemos que el límite por la izquierda e menos inﬁnito y por la derecha más inﬁnito.x.4).
x→+∞ x→0 x→3
lim (sen x)x = 0 que se calcula escribiendo limit(sin(x)^x.3). el resultado será und que signiﬁca que no existe el límite. Miguel A.
Ver ﬁgura (7. y limit((x+5)/(x-3).x.CAPÍTULO 7.5). LÍMITES Y CONTINUIDAD
Figura 7. Por último calcularemos dos límites cuyas indeterminaciones son del tipo 00 y ∞0 respectivamente.3).inf ). x+5 Tomemos como ejemplo el lim x−3 .
7.3.5: Límites de funciones 5
Miguel A.2.2.3.2.Página 60
7. Jorquera
Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Oblícuas
Figura 7. 7.2.1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución Matrices y Determinantes. . . . Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8 . 3. . . . . . Paso de implicitas a paramétricas 61
. 3. . . . . .1. . . . . .7. Resolución de sistemas. . . . . . . .C.3.1. . . . . . . . . . . .D. . . . . . . . 3. . . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . .D. . 3. . . . 5. . . . . .C.10. . . . . . 3. . . . . . . 5.9. .C. . 4. 4. . . . . .d. . Sistema con parámetros 1 . . . . . . . . .2. . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . .C. . . . . . . . . . . . . 5. . . . . .11. . . . . . . . Solución Matrices y Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . Solución Matrices y Determinantes. . . . . . . . . .12. . . . . . . . . Resolver S. .5. . . . .4. . . . . . . . . Operaciones Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 5. . . . y l. . . . 3. . Vectores l. . . . . . Matriz adjunta . . . . . . Introducir matriz . . .14. Pantalla inicial de wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . Determinante . . . Resolver S. . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio1 . 3. . . .13. . . . . . Ejemplos básicos . . . 4. .1. . . . . . .d. . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . 4. . . . . . .2. . . . .I con parámetros . . 4. . . . . . Resolver S. . . Rango e Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . Distinto nº de ecuaciones que de incógnitas 1 Distinto nº de ecuaciones que de incógnitas 2 Operaciones con vectores Módulo de un vector . . . . . . . . .5. .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . Matriz Triangular . 3. . . .8. . .8.4. . . 3. . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . . . 5. . . . Matriz transpuesta . . . Resolver S. . . . . . . . . 10 11 14 14 15 16 16 16 17 19 20 20 21 22 22 23 23 25 26 27 29 29 30 31 31 32 34 34 35 36 37 37 38 40
Introducir Ecuaciones. . . . . . . . .2. . . . Solución Matrices y Determinantes. . . . Vector unitario . . . . . . . . . . . .5. . . .4. . .
. . . .1. . . . . . . . Solución Matrices y Determinantes. . . . . .3. . . . . . . . . 5. .9. 4. Vectores l. 4. .
6. . . con parámetros 2 . . . . . . . . . . . . .i . . . . . .1. . . . 5. . . . . .I. . . . . . . . . . . . . . .Índice de ﬁguras
2. . . . . . .3. . . Solución Matrices y Determinantes. . . Solución Matrices y Determinantes. . . . . . . . . . . Producto Vectorial . . .15. 3. . . . . . . . . . . Solución Matrices y Determinantes. . . . . . .
. . . . .7. . . . . 7. . . . . . . . 6. . . . . . . . . . .3. 6. . . . . . . . . . .6.11. . . . . . . . . . . . . . 6. . . 6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ángulo entre dos rectas . . . . . . . . .13. Jorquera
. . . . . . Distancia entre dos rectas que se cruzan .10. . . . . . . . . .9. . . . . . . . . . . . Ecuación implícita del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distancia entre dos puntos . . 6. . . Proyección de un punto sobre una recta . . 6. .16. . . .4. . . . . . . . . . 6. . . . . . . Proyección de un punto sobre un plano . . . . . . . . . . . . . . . .Página 62 6. . . . . . . 7. . . . . . . Posición relativa entre una recta y un plano 6. . . . . . . . . . . .2. . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . .12. . . . . . Ángulo entre dos vectores (directo) . . . . . . .8. . . 6. . . . 6. 6. . . Límites Límites Límites Límites Límites de de de de de funciones funciones funciones funciones funciones 1 2 3 4 5 . . . . . . . Ejercicio distancias . . . . . . 7. . . . . . . . . Perpendicular común . . .17. . . . . Ángulo entre dos vectores . Posición relativa entre 2 rectas . . . . . 6. . . . . .3. . . . . . . . . . . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . Proyección de una recta sobre un plano .
ÍNDICE DE FIGURAS . . . . .5. . . . Distancia de un punto a una recta . . . . . .15. . . 7. . . . . . 41 42 42 43 44 45 46 47 48 49 49 50 51 52 53 55 58 58 59 59 60
Miguel A. . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . .14. . Ángulo entre dos planos . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . .
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