Source: https://www.scribd.com/document/149181181/busqueda-algoritmo-raices
Timestamp: 2018-11-20 21:37:56+00:00

Document:
P1 Semestre 2 2011 (Resuelta)
301301_Algebra Evaluación Nacional 2012 - 2
TALLER 1-Mitre, Valdés, Abrego
Raices Multiples
55 Nagel
Ejemplo Examen Depart a Mental Final Universidad Politecnica
Divider Cuti Umum 2018
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Premios del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid para Estudiantes de Secundaria Sexta Edición, 2011/2012
TRABAJO: Búsqueda de un algoritmo eficiente para la aproximación de las raíces de una ecuación
GANADOR EN LA CATEGORÍA DE BACHILLERATO AUTORES: o Estela Sanz Jiménez o Ángel Sanz Núñez TUTOR: o Fernando Alcaide CENTRO: IES María Guerrero (Collado Villalba, Madrid)
Búsqueda de un algoritmo eficiente para la aproximación de las raíces de una ecuación
Trabajo de investigación - Bachillerato
En el presente trabajo de investigación se intenta aportar una solución al problema de la resolución eficiente de las ecuaciones no lineales de la forma . Para la mayoría de los casos, resulta imposible conocer el valor exacto de las raíces de una ecuación. Por ello, es necesario intentar obtener un valor que se aproxime, todo lo que interese, al valor verdadero de la raíz, para lo cual se emplean los algoritmos de aproximación de dichas raíces. Debido a la gran capacidad de procesamiento de los ordenadores actuales, la diferencia entre emplear un algoritmo u otro no es importante. El interés del estudio de los algoritmos de aproximación de raíces es, por tanto, puramente teórico. El interés inicial de este trabajo se centra en tres objetivos principales: a) Estudiar los algoritmos tradicionales más importantes, como un primer paso para entenderlos y descubrir estrategias que puedan ser útiles. b) Llegar al completo desarrollo de un algoritmo efectivo en la búsqueda de raíces de una ecuación, en base a métodos ya existentes pero incluyendo alguna característica nueva. c) Implementar el nuevo algoritmo en el lenguaje de programación Python con el fin de comprobar su efectividad por ordenador.
El problema de la resolución de la ecuación no lineal es un tema amplísimo, que ha dado qué pensar a matemáticos durante cientos de años. Uno de los ejemplos más sencillos es el caso en el que la función es un polinomio. La resolución de los polinomios de primer y segundo grado era conocida por pueblos antiguos, como los babilonios. En torno a la década de 1540, Girolamo Cardano, Niccolò Fontana Tartaglia y Scipione del Ferro desarrollaron y compitieron por la solución algebraica de la ecuación cúbica, que fue finalmente expuesta en la obra Ars Magna (Cardano, 1545). En ella, el autor reconoce que Tartaglia le había mostrado anteriormente su forma de resolver cierto tipo de ecuaciones cúbicas, y también afirma que Scipione del Ferro había descubierto esa misma fórmula de forma independiente y antes que Tartaglia. Cardano muestra el método para resolver cualquier ecuación cúbica. En la obra también se muestra el método para resolver ecuaciones cuárticas (de grado cuatro), que había sido desarrollado principalmente por Lodovico Ferrari, alumno y secretario de Cardano (aunque el método de resolución de las ecuaciones cuárticas fue más tarde desarrollado por otros matemáticos, como Descartes o Euler). Posteriormente, muchos matemáticos trataron de dar una solución general a las ecuaciones polinómicas de grado quinto y superior, pero los esfuerzos fueron en vano. De hecho, el teorema de Abel-Ruffini, que se considera completamente probado en 1824, con la aportación de Niels 1
Se tiene una de las siguientes opciones: 2 .C. En la obra mencionada de Raphson. 3. Sin embargo. lo que significa que no existe un método algebraico que permita resolver todas las ecuaciones polinómicas de quinto grado. su forma original de llevarlo a cabo difiere bastante de la actual. eligiendo en cada paso la subdivisión del intervalo en la que se encuentre la raíz. demuestra que no existe una solución algebraica general para ecuaciones polinómicas de quinto grado. entonces es la raíz que se pretende encontrar. por John Wallis. El algoritmo de bisección procede de la manera siguiente: 1. y el método finaliza aquí. éste hace una descripción más parecida a la actual.Henrik Abel. es conveniente contar al menos con una forma de aproximarla con toda la exactitud que se desee. Descripción y desarrollo de algunos métodos clásicos para la aproximación de las raíces de una ecuación A continuación se exponen los distintos algoritmos que han servido como base para la búsqueda de nuevas técnicas. los métodos de aproximación de raíces ya se conocían antes de que el teorema de Abel-Ruffini fuera probado: el método de la “regula falsi” ya era conocido en el III a. publicado en 1711) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671. Se considera la función 2.1 Método de bisección Consigue acercarse a la raíz de la ecuación tanto como se quiera. que cumple las condiciones mencionadas. traducido y publicado en 1736). si bien la solución exacta de algunas de ellas sí puede ser obtenida. se requiere una función y un intervalo en el que sea continua y se encuentre la raíz a aproximar. La subdivisión se repite tantas veces como sea preciso hasta conseguir un resultado con un error menor que una cantidad prefijada (la tolerancia). se continúa con el paso 4. 3. Del mismo modo. Joseph Raphson publicó una revisión simplificada del método en Analysis aequationum universalis. Puesto que no se puede obtener la solución exacta. El método como tal fue publicado por primera vez en 1685 en A Treatise of Algebra both Historical and Practical. Si bien las bases fueron establecidas por Newton. 3. En este momento es cuando comienzan a cobrar importancia los algoritmos de aproximación de raíces. En caso contrario. hallando el punto medio de dicho intervalo y aplicando el teorema de Bolzano en cada iteración. y él sólo lo aplicaba a ecuaciones polinómicas. En 1690. haciendo divisiones iguales sucesivas en el intervalo de partida. el método de Newton-Raphson fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (escrito en 1669. Si . . 4. En todos ellos. Se toma . Ésta es la idea general de los mencionados algoritmos.
El vector director de será el que une los puntos y . es decir Y la ecuación de la recta . Se determina el valor anterior. . Esta recta será secante a la gráfica de . entonces continúa con el paso 8. Se repite el proceso de forma análoga al paso 4. este punto pertenece a . Se toma el intervalo en el cual se cumpla 6. y además cortará al eje de abscisas en un punto . que pase por dos puntos dados. el algoritmo funciona así: 1. Se considera la función que cumple las condiciones mencionadas. de modo que el punto de corte de esta recta secante con el eje de abscisas es una aproximación de la raíz. se ó . 3. en función el intervalo elegido en el paso 8. queda así: La recta corta a por lo que en un punto . hasta que con una tolerancia prefijada. siempre y cuando se verifiquen las condiciones iniciales. De este modo. sea cual sea la ecuación en cuestión. lo que es más habitual.2 Método de la “regula falsi” El método de la “regula falsi” se basa en la idea de que otra forma de realizar la aproximación consiste en trazar una recta secante a la gráfica de la función. b. En caso contrario. Evidentemente. que pasa por y . es decir. 3 . Sin embargo. es la raíz que se pretende encontrar. Los puntos iniciales requeridos por el algoritmo no son más que y . El proceso se repite un número de veces hasta obtener un o. no es un método eficiente ya que pueden ser necesarias un gran número de iteraciones para obtener una solución con un error aceptable. un que se aproxime a la solución lo suficiente como para considerar aceptable el error cometido en la estimación. La ventaja más importante del método de bisección es que siempre converge a la solución. 5. definida como la recta de pendiente y que pasa por . Si . Se determina la recta . 7. 2.a.
y a partir del cual se obtiene un punto que vale y se tiene una de las siguientes opciones: siendo el número de iteración. de la que se hablará más adelante. 3. y traza una recta que pasa por el punto y tiene una pendiente . 4. A la vista del valor de . comenzando así la segunda iteración. en caso contrario se sigue con el paso 4. con el eje de abscisas. Se evalúa el signo de a. y halla el punto en el que esta recta corta al eje de abscisas. este método requiere un punto inicial y una pendiente. Se considera la función que cumple las condiciones mencionadas. Se toma el intervalo en el que se cumpla 6. o bien se toma como solución (si el error cometido se considera aceptable o si ). El algoritmo en detalle es éste: 1. b. Este proceso se iterará el número de veces que se considere necesario o hasta que se halle el valor exacto de . o bien se toma como un extremo del intervalo de la siguiente iteración. Si es una aproximación aceptable o es el valor exacto de la raíz. En general.3 Método de pendiente fija Adicionalmente.De donde se desarrolla : 3. El algoritmo halla . que devolverá a su vez un valor que se evaluará idénticamente. Se repite desde el paso 2 para hallar un nuevo punto de intersección de la siguiente recta. y se traza otra recta que pasa por esa imagen y tiene la misma pendiente. . la tomamos sin más. 5. 4 . se puede decir que el método de la “regula falsi” emplea un intervalo inicial en el que se comprueba que exista al menos una raíz por medio del Teorema de Bolzano. Los puntos intersección de las sucesivas rectas con el eje de abscisas formarán una sucesión de valores aproximados de la solución. Se calcula la imagen de este nuevo punto.
por lo que a veces es conveniente probar con varios valores antes de desarrollar el algoritmo completo. La siguiente sucesión. pues ha de satisfacer la condición siguiente: Se suele recomendar que valga “algo más” que el valor de la expresión aunque esta noción es imprecisa. la convergencia a la raíz suele ser algo más rápida que en tal método. El signo de la misma es claro. Se calcula la intersección de la recta abscisas. El método se puede resumir en la siguiente sucesión. se requiere una condición más: que tenga signo constante en todo el intervalo . se puede tomar . Se halla 3.2. El proceso se repite el número deseado de veces. valores más próximos a la raíz de la ecuación.4 Método de Newton-Raphson Es considerablemente más rápido que los tres métodos expuestos anteriormente. 5 . que es el valor de en cada punto . obteniendo. definida por recurrencia. siempre que se tome la pendiente con el signo que garantice la convergencia (véase a continuación). haciendo . con el eje de 4. Por simplicidad. en ciertas condiciones. 3. Esto significa que se van trazando rectas tangentes a la función en cada punto. pero también es más restrictivo. Se parte de una abscisa inicial . Nótese que también se puede comenzar por el otro extremo del intervalo. este es el único factor que afecta a la convergencia del método. definida por recurrencia. . El mayor problema que se presenta consiste en la elección del valor de la pendiente . Además. Por esto. Da una solución al mayor problema que presentaba el método anterior: el valor de la pendiente. Precisamente. que converge a la raíz de la ecuación : Este algoritmo es más cómodo de ejecutar manualmente en comparación con el método de bisección.
podría no producirse la convergencia. (1) El valor de esta expresión en es el siguiente: (2) Si se desarrolla: (3) 6 . La elección de un extremo u otro del intervalo es indiferente. se supone un tal que . Las condiciones iniciales son las siguientes:    es constante Función continua en real de variable real definida. Por tanto. Para hacer la demostración más sencilla. A continuación. De esta forma se produce la convergencia óptima y. Demostración: Ahora se expone una demostración de la convergencia del método de Newton-Raphson. el objetivo es llegar a una expresión en la que se puedan relacionar algunos de esos elementos. se ha de definir en términos de su polinomio de Taylor de grado 1. de hecho. de tomarse el extremo contrario.converge a la raíz de la ecuación que se encuentra en el intervalo . que es sencillamente la recta tangente a la gráfica de la función en . Lo que se busca probar es que el método converge a la raíz. que sirva para aproximarla. y sin que esto suponga una pérdida de generalidad. centrado en . Como valor inicial se toma el extremo del intervalo cuyo signo coincide con el signo de en dicho intervalo. siempre que se cumpla esta condición. es decir. Esto significa que lo que se ha de probar es que o que .
al ser sumado al polinomio de Taylor . donde es un valor entre y que es diferente para cada . consigue que tenga el mismo efecto que . Cuanto mayor es el grado del polinomio. un valor que es diferente para cada y que. se puede concluir que donde es el resto.POLINOMIOS DE TAYLOR Dada una función . La definición se realiza en base a las sucesivas derivadas de . es posible definir un polinomio similar a esta función en las proximidades de un punto . El polinomio de Taylor de grado de una función centrado en un punto se define como Lo que se puede escribir así en forma compacta: De este modo. Por la propia definición del método. es un hecho que De donde Por lo que (4) De (3) se deduce que Y como 7 . más parecido es éste a .
Además. Ahora se van a presentar los dos métodos desarrollados en el grueso de la investigación. En el caso del método de pendiente fija. y se va a demostrar su efectividad. a partir de ese punto los intervalos no se vuelven a ver involucrados en el proceso. y aplicar por el otro extremo el método de la “regula falsi” (en realidad. En el caso del método combinado. esto es. El algoritmo de bisección aporta una solución que es un valor real. convergencia del método. sin embargo. una iteración del método combinado consiste en aplicar el método de Newton-Raphson como se haría con normalidad. se puede ver que. en cualquiera de los dos casos. en cada iteración se van calculando dos valores que forman un intervalo. Dado el intervalo . y también en el de Newton-Raphson. vale la pena pararse a ver las diferencias en cuanto a la naturaleza de las soluciones que aportan los métodos dados. se ha de definir una función . está claro que la solución que aportan son valores reales. Como condición adicional. si bien las operaciones que involucra la conversión de valor real a intervalo no son tan sencillas. al no estar entre sus condiciones el hecho de que o tengan signos constantes en . aunque también se puede considerar que da como solución un intervalo pues es sencillo pasar de uno a otro en el proceso. lo que asegura la 4. que tome valores de signo opuesto en y en . en una sucesión.1 Método combinado Este algoritmo consiste en la utilización de dos métodos de forma conjunta. continua por lo menos en . comenzando por el extremo en el que el signo del valor de en ese extremo coincide con el signo de en el intervalo de estudio. En estos dos métodos sólo se parte de un intervalo inicial para tomar el valor que más convenga. En este punto.Evidentemente. lo que por el teorema de Bolzano significa que existe como mínimo una raíz de la ecuación en . es decir. Y. ha de tener signo constante en todo . se puede dar el 8 . debido a las condiciones adicionales). 4. Por lo tanto. se aplica una versión simplificada del mismo. estaría comprendido entre y . se exige que también tenga signo constante en . las condiciones iniciales básicas son las mismas que las de el método de Newton-Raphson. Esto se hace para conseguir un intervalo cada vez más pequeño en el que se sigue encontrando la raíz. Nuevos métodos planteados. En ambos casos. Del método de la “regula falsi” se puede decir lo mismo. Si se analiza el método de la “regula falsi” con detenimiento.
se sigue con el paso 2. en caso contrario. se sabe que existe al menos un . y al otro lado de la raíz estarán las aproximaciones del método de la “regula falsi”. Así. el método finaliza porque no va a funcionar. Si estas condiciones iniciales no son satisfechas.e. y el otro extremo. ó . Siendo intervalo en el que se cumple que . Además. los siguientes puntos de la iteración por parte de la “regula falsi” vienen dados por la expresión 4. también se ha de verificar que tanto como tengan signo constante en . Si. o bien uno de los sucesivos . Sin embargo. en algún caso. tal y como ya se ha dicho. la solución se ha encontrado. esto es. Si esto se diera en el método combinado. se halla el valor siguiendo la sucesión definida por recurrencia que. Por el Teorema de Bolzano. o como opción adicional un valor . es decir. 2. o incluso con distinto subíndice (i. se puede continuar repitiendo los pasos 2 y 3 hasta obtener un intervalo de la longitud deseada. en sucesión convergente a la raíz pero con la monotonía opuesta. Se determina la recta en un punto . es definitoria del método de NewtonRaphson: el extremo del 3. el problema ya estaría resuelto). En otro caso. Se considera la función continua en el intervalo y tal que las imágenes en y en tienen diferente signo (las imágenes no son nulas ya que. . Concretamente. se podría llegar a una incongruencia. se garantiza que todas las aproximaciones que aporte el método de la “regula falsi” se irán acercando a la raíz por un mismo lado. y corta al eje Nótese que. al añadir las dos condiciones citadas arriba. que “caigan” tanto a la izquierda como a la derecha de la raíz. en caso contrario. que pasa por y por . que pertenezcan a 9 . obteniendo un intervalo que no contuviera ninguna raíz en él. consiguiéndose de este modo intervalos cada vez más pequeños en los que se siga encontrando la raíz. es decir.caso de que las intersecciones de las secantes con el eje sean unas mayores y otras menores que . de hecho. a un lado de la raíz se encontrarán las aproximaciones del método de Newton-Raphson. en una sucesión convergente a la raíz y con una monotonía determinada. mientras que va cambiando en cada iteración. o tomar como aproximación un valor (que cumpla la tolerancia requerida) que puede ser: O bien uno de los sucesivos . el punto es constante en todas las iteraciones. el método combinado sigue los siguientes pasos: 1.
CASOS POSIBLES: Todas las combinaciones posibles de las condiciones del método configuran estos cuatro casos diferentes. Nótese que el signo de siempre es el mismo que el de . CASO 1 CASO 3 CASO 2 CASO 4 10 .MÉTODO COMBINADO.
Se utilizará el su valor en 11 . queda pendiente demostrar la convergencia del método de “regula falsi” limitado. para y . Pasa por los puntos y . En caso de desear elegir un valor y no un intervalo como resultado final. Se comienza definiendo la recta . definida como la recta de pendiente que pasa por es la siguiente: Cuando corta a : Por tanto: Esta afirmación se cumple tanto si que siempre es positivo. si bien descarta dos de los cuatro casos posibles. Esta simplificación.distinta iteración). se debe probar que . Por tanto. que es la recta secante en la primera iteración. se tratarán únicamente los casos 2 y 3. Demostración: La demostración de la parte en la que se aplica el método de Newton-Raphson es idéntica a la demostración de este mismo método. centrado en . es suficiente pues los casos eliminados se demostrarían de forma análoga. su vector director es y. Las condiciones iniciales para esta demostración son:     es constante es constante Función real de variable real definida. su pendiente viene dada por la expresión La ecuación de . y como en el caso contrario. Nótese Ahora se trabaja con el desarrollo de Taylor para poner en relación polinomio de Taylor de grado 2. En los casos que se van a demostrar. el que se emplea por el otro extremo. la elección del mismo se deja en manos del que ejecuta el algoritmo. Para facilitar la demostración. expuesta en el apartado 3. directamente.4. Sin embargo.
centrado en ese punto de la función. y de grado 2. pero utilizando parábolas tangentes a un punto de la función en vez de rectas tangentes.De nuevo. Las conclusiones obtenidas son las siguientes: Y de ahí: 4. Al principio se pensó que se podría conseguir algo parecido al método de Newton-Raphson. el resultado es verdadero en los dos casos analizados. y parecía lógico que el resultado iba a ser algo parecido a la siguiente imagen. Estas parábolas no serían más que el desarrollo de Taylor.2 Aproximación por parábolas A continuación se realiza una exposición detallada de todo el proceso por el que se pasó hasta llegar a una conclusión en cuanto a una posible aproximación por parábolas tangentes a la función en estudio. 12 .
el que estuviera más alejado de la raíz. fuera a converger o no. En esta segunda prueba. tampoco se consiguió llegar a una prueba convincente. A partir de estas ideas iniciales se elaboró una demostración en la que se probaba que el método funcionaría. Tras realizar esta demostración. no fue hasta mediados de agosto de 2011 que resultó que la demostración era errónea. tenía que centrarse en . es decir. centrada en . se ha tenido en cuenta que. e incluirlas como una modificación del método de Newton-Raphson. se elaboró otro documento. habría que descartar uno de ellos. que trataba los cuatro casos posibles (explicados anteriormente). El proceso seguido para elaborar esta primera demostración fue similar al de la demostración del método de Newton-Raphson: Se intentó poner en relación el punto de corte. de momento. al tomar esta decisión. al ser el interés de la investigación puramente matemático. Teniendo en cuenta todo esto. se observó que. y luego estudiar también la relación entre y . pero no se ha conseguido demostrar. en la mencionada demostración se probó.y que era necesario que tuviera signo constante en todo . de los dos cortes que la parábola tendría con . Cada punto de corte. que cortaría al eje en un punto que se encontraría siempre entre y . evidentemente. la conclusión que se obtuvo es que no se podía afirmar que el método. y había que terminarlos antes de que se acabara el curso. era posible iterar un proceso en el que se definía la parábola . sin embargo. entre abril y mayo de 2011. con . tal y como parecían indicar los resultados en GeoGebra. Se ha conseguido mantener un cierto equilibrio entre el coste de las operaciones y los beneficios (en términos de rapidez de convergencia) que aporta el uso del método que se va a presentar. ha sido clave considerar que las operaciones involucradas son más costosas y de más lenta realización al trabajar con parábolas. de modo que las condiciones para la siguiente parábola no variarían. Según la misma. que siempre cortaba a entre y . ya que todavía quedaba bastante por hacer en cuanto a todos los demás aspectos del trabajo. y se podría definir ésta del mismo modo que . erróneamente. Debido a un simple error de despeje. el asunto quedó un tanto apartado. pero al probar varios ejemplos en GeoGebra siempre se obtuvo el resultado contrario: parecía cortar siempre entre y (es decir. se concluyó que el mejor camino que se podía seguir era tener presentes las conclusiones que se han podido sacar a partir del estudio en tres fases que se ha mencionado. era una nueva aproximación. siendo el otro la aproximación que interesaría al caso. Se empezó a sospechar de esto al probar algún cálculo a mano y otros ejemplos en GeoGebra.Se conjeturó que la parábola tenía que centrarse en el extremo del intervalo contrario al extremo por el que se empezaría el método de Newton-Raphson. la situación actual es que la hipótesis planteada en la tercera demostración parece. Más específicamente. con esas condiciones. se llegó a unas conclusiones que implicaban que el método convergía. . Por ello. ser válida. Más tarde. pero centrada en el punto de corte que interesaba. más específico. Hay que remarcar que. 13 . Además. Poco después. e intentaba enmendar el error de la primera demostración. se intentó una tercera demostración que pretendía probar que el punto siempre cortaba a entre y . De este modo. al otro lado de ).
Se determina la parábola el desarrollo de Taylor de que interesa: centrado en . se sabe que existe al menos un . que es . es definitoria del método de Newton-Raphson: el extremo del 3. se continúa con el método de Newton-Raphson tal y como se había empezado. y el otro extremo. el método finaliza porque no va a funcionar. se halla el valor siguiendo la sucesión definida por recurrencia que. ó ). concretamente. todas las combinaciones posibles de las condiciones del método configuran cuatro casos posibles. 4. el menor. de modo que contrario. también se ha de verificar que tanto como tengan signo constante en . Si estas condiciones iniciales no son satisfechas. Por el Teorema de Bolzano. Casos 1 y 4: Si . 14 . Siendo intervalo en el que se cumple que . entonces es mejor aproximación que que se continúa con el método de Newton-Raphson. por lo pero . y si (casos 2 y 3). En caso a. En otro caso. el problema ya estaría resuelto). y se halla el punto de corte Hay que tener en cuenta que si (casos 1 y 4). Se considera la función continua en el intervalo y tal que las imágenes en y en tienen diferente signo (las imágenes no son nulas ya que. Además. hallando redefiniendo antes . con . 2. ó ha de valer el valor mayor (sea . El método modificado se desarrolla. de este modo: 1.Al igual que en el método combinado. se sigue con el paso 2. es más cercana a : . Se comprueba cuál de las dos aproximaciones. en caso contrario. de hecho.
1981.   15 . En caso contrario.M APOSTOL. Cálculo Numérico I y II. Conclusiones El resultado principal que se puede obtener del expuesto trabajo es que. han sido varios los recursos empleados para la formación. Madrid. tal y como ya se ha descrito. aunque de pocas aplicaciones en la vida cotidiana a causa de la venida de fenómenos como la computación. mientras que el segundo consigue mejorar la rapidez del método de Newton-Raphson a costa de unas operaciones un tanto más elaboradas. Universidad Autónoma de Madrid. lo que no es sino un beneficio para el futuro. [et al. Curso de Orientación Universitaria FERNANDO CHAMIZO LORENTE. 5. Cumpliendo con los objetivos marcados antes incluso de empezar a redactar la presente memoria. Pese a los problemas acontecidos. se continúa con el método de Newton-Raphson tal y como se había empezado. hallando redefiniendo antes . 5. El primero es útil cuando lo que interesa es obtener una mejor acotación de la raíz. Reverté. con . los algoritmos de aproximación de raíces. Anaya. se ha hecho un repaso de los métodos más importantes ya existentes. Después de estos cálculos iniciales. si bien el tema elegido como objetivo de la investigación. Bibliografía A lo largo de todo el proceso de elaboración de este trabajo. a partir de las cuales se han desarrollado el método combinado y el modificado. la ventaja que presenta esta variación del método de Newton-Raphson es que puede llegar a ahorrar algunas iteraciones que habría que realizar si se empleara sólo el método clásico.b. se ha conseguido aportar algo que no había sido concebido previamente. por lo pero . lo más importante ha sido idear ciertas estrategias que son de utilidad en la aproximación de raíces cuando las circunstancias lo permiten. y se ha conseguido entenderlos a fondo. De este modo. son valiosos porque contribuyen a aumentar nuestro conocimiento en la rama. todavía se pueden obtener resultados no vistos anteriormente que. entonces es mejor aproximación que que se continúa con el método de Newton-Raphson. Las publicaciones más notables empleadas son:  JAVIER ETAYO. Matemáticas. Análisis Matemático. lo cual es todo un éxito para la investigación.] 1978. especialmente en lo que concierne al estudio inicial de los algoritmos ya existentes. Casos 2 y 3: Si . el proceso consiste en iterar el método de NewtonRaphson a partir de . 6. Madrid. Sin embargo. Problemas resueltos y resúmenes de teoría T. ya ha sido estudiado y trabajado en profundidad. de modo que .
wikipedia.com/p/sympy/ 16 .org/wiki/Gerolamo_Cardano http://en.wikipedia. Libros de Cátedra MIGUEL ALEMÁN FLORES.org/wiki/False_position_method http://neohumanism.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method#History http://en.org/wiki/Tartaglia http://en.wikipedia.org/wiki/Lodovico_Ferrari http://en.geogebra. 2010. Pilar. Cálculo Numérico.google.python. los sitios web más relevantes y de mayor utilidad al trabajo son los siguientes:            http://www.org/ http://code. Universidad de Las Palmas.wiris. Asimismo.org/forum/viewtopic. Análisis numérico.org/wiki/Ars_Magna_(Gerolamo_Cardano) http://es.net/demo/formula/portal/es/ http://en.php?f=20&t=21587 http://www.org/n/ne/newton_s_method. Paraguay.html#History http://www.wikipedia. RIVEROS.  R.wikipedia.
hallado por ordenador (con GeoGebra). es Número de iteración 1 2 3 4 5 6 Método de bisección Método de la “regula falsi” Método de pendiente fija Método de NewtonRaphson Método combinado Método modificado - 17 .ANEXO I: COMPARACIÓN DE LOS ALGORITMOS EXPUESTOS Comparación de los métodos mostrados en la resolución de la ecuación Un valor aproximado de . y con en el intervalo un redondeo . de 15 cifras decimales.
atanh #Importar el paquete sympy (http://sympy. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 #coding=utf-8 #Importar funciones necesarias from math import sin. programado en Python. tan. acosh. x)) segunda_derivada = str(diff(primera_derivada. x)) #Se definen en Python las funciones a utilizar en el algoritmo 18 . log. Para ejecutarlo. tanh. cos. atan. así como el paquete sympy. asinh. exp from math import sinh. sqrt. cosh. es necesario tener Python instalado. acos.org/) que permitirá la diferenciación de la función de forma automática #(Automatic Differentiation) from sympy import * #Se define que x será una variable y por tanto debe ser tratada como un símbolo por sympy x = Symbol ('x') #Título print 'MÉTODO COMBINADO programado en Pyhton' print '(Nota: Tenga en cuenta que sólo debe introducir ecuaciones que cumplan con los requisitos del método combinado)' print ' ' #Petición de datos ecuacion = raw_input('Introduzca la ecuación a resolver en forma a = float(input('Introduzca el extremo inferior del intervalo en b = float(input('Introduzca el extremo superior del intervalo en n = int(raw_input('Introduzca el número de iteraciones que desea de función: f(x)= ') el que se encuentra la raíz: ')) el que se encuentra la raíz: ')) realizar: ')) #se hallan las derivadas primera y segunda de la función dada por medio de sympy primera_derivada = str(diff(ecuacion. asin.ANEXO II: EL MÉTODO COMBINADO PROGRAMADO EN PYTHON A continuación se muestra el código correspondiente al método combinado.
(f(N_0)/d(N_0)) N_0 = N i += 1 RF = (f(b_k) * a . Aquí #sólo se define con el valor 0 b_k = b #Variable para el método de la "regula falsi" que se va actualizando según cambia el valor del extremo #que no está fijo (por las condiciones del método.0 #Impresión por pantalla de las soluciones obtenidas print ' ' print ':: SOLUCIONES APROXIMADAS ::' print ' ' 19 . hay uno que está fijo y otro que no lo está) #Cuerpo del algoritmo while i < n: N = N_0 .f(a) * b_k) /(f(b_k) .f(a)) #No es necesario evaluar el signo de RF ya que las condiciones b_k = RF #del problema indican que RF siempre cae entre r y b c = (N + RF) / 2.31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 def f(x): return eval(ecuacion) def d(x): return eval(primera_derivada) def dd(x): return eval(segunda_derivada) #Se comprueba cuál es el extremo por el que empezar el método de Newton (alfa) y el otro (beta) if (dd(a) * f(a)) > 0: alfa = a beta = b else: alfa = b beta = a #Se definen unas variables necesarias i = 0 #Variable índice para el bucle while N_0 = alfa #Variable que almacena el valor inicial del método de Newton y se actualiza en cada iteración del bucle #con el valor de la aproximación anterior RF = 0 #Variable que almacenará sucesivamente el valor de las iteraciones del método de la "regula falsi".
a. c 20 . los resultados obtenidos en la' % n 'aproximación de la raíz de %s = 0 en el intervalo (%f. b) ' ' '·) La última itereación por el lado del método de Newton-Raphson aporta el resultado N ='.68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 print print print print print print print print 'En %d iteraciones del método combinado. %f) son los siguientes:' % (ecuacion. RF ' ' '·) Punto medio final: c ='. N ' ' '·) La última iteración por el lado del método de la "regula falsi" aporta el resultado RF ='.
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e contrario
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