Source: https://www.scribd.com/document/355930339/GuiaGUM-e-medida-pdf
Timestamp: 2019-02-23 19:18:14+00:00

Document:
e-medida. Revista Española de Metrología.
Jefa del Laboratorio Primario de Longitud,
Estimación de incertidumbres.
La incertidumbre del resultado de una medida refleja la falta de conocimiento sobre el verdadero valor del
mensurando. El resultado de medir tal mensurando tras aplicar las correcciones debidas a efectos sistemá-
ticos es todavía una estimación debido a la incertidumbre proveniente de los efectos aleatorios y a la falta
de conocimiento completo de las correcciones aplicadas por los efectos sistemáticos.
En este artículo se pretende dar una breve descripción, acompañada de ejemplos, de los pasos a seguir
en la determinación de incertidumbres.
The uncertainty of the result of a measurement reflects the lack of exact knowledge of the value of the
measurand. The result of a measurement after correction for recognized systematic effects is still only an
estimate of the value of the measurand because of the uncertainty arising from random effects and from
imperfect correction of the result for systematic effects.
Sección 3. obtenidos de fuentes externas. el documento de re- ISO 14253-1:1999 Especificación geométrica de produc. b) realización imperfecta de la definición del mensuran. gunas de ellas. the “Guide to the expression of uncertainty in measure- ción de la incertidumbre no es un proceso meramente ma. Parte 1: Reglas de decisión para probar la • Evaluation of measurement data – Guide to the expres- conformidad o no conformidad con las especificaciones. Estas fuentes no son necesariamente independientes. i) aproximaciones y suposiciones establecidas en el mé- a) definición incompleta del mensurando.114 1. o medición im. análisis crítico e inte- La estimación de incertidumbres no es un trabajo sencillo gridad de aquellos que contribuyen a su evaluación”. todo y procedimiento de medición. sistema de medida utilizado y se obtiene mediante cali- g) valores inexactos de los patrones de medida o de los bración de éste. Se sigue pues trabajando y ela. d) conocimiento inadecuado de los efectos de las con. siendo el primero. este 2. reglas generales para evaluar y expresar la incertidumbre en la medición. ment” – Propagation of distributions using a Monte Carlo temático que debe realizarse después de cada medición. La eva- naremos incertidumbre. y al- diciones ambientales sobre la medición. mensurando bajo condiciones aparentemente idénticas. En esta Guía se establecen den ser atribuidos al mensurando”. en el que exista consenso. . En el caso de un patrón primario suele materiales de referencia. la honra- resultado es inservible. c) muestra no representativa del mensurando. Introducción Una medida sin una indicación cuantitativa de la calidad del no puede nunca sustituir a la reflexión crítica. en 1993 la ISO presentó la metro asociado al resultado de una medida. utilizados en el algoritmo tes de incertidumbre.4. En la práctica de la medición existen muchas posibles fuen. riza la dispersión de los valores que razonablemente pue- dumbre de la medida (GUM). La palabra “incertidumbre” significa luación de la incertidumbre no es ni una tarea rutinaria ni algo puramente matemático. j) variaciones en la repetición de las observaciones del do. asociada al resultado de una medición dependen en último término del conocimiento.8) borando guías. Según la definición de la GUM la incertidumbre es el “pará- Gracias a un grupo de trabajo. method sino algo más complejo. (Guía para la expresión de la incertidumbre de medida. depende del conoci- duda. Inspección mediante medición de piezas y equi- pos de medida. tal como la propia guía aclara: • Evaluation of measurement data – Supplement 2 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” “Aunque la presente Guía proporciona un marco de – Extension to any number of output quantities actuación para la evaluación de la incertidumbre. Causas de incertidumbre. no cómo puede utilizarse esta estimación para Los documentos base para la estimación de incertidumbres tomar decisiones. pueden contribuir a la fuente j). La calidad y utilidad de la incertidumbre del mensurando. sion of uncertainty in measurement A pesar de que la existencia de esta guía nos ha facilitado • Evaluation of measurement data – Supplement 1 to mucho el trabajo no debe perderse de vista que la evalua. ferencia fundamental: tos (GPS). duda sobre la validez del resultado de una medida miento detallado de la naturaleza del mensurando y de y refleja la imposibilidad de conocer exactamente el valor la medición. a) a i). perfecta de dichas condiciones ambientales. certidumbre de medida que procede del instrumento o f) resolución del instrumento de medida. que caracte- primera edición de la Guía para la expresión de la incerti. por parte La incertidumbre instrumental es la componente de la in- del operador. dez intelectual y la competencia profesional. Para esto último está la norma UNE-EN son los siguientes. esta indicación es lo que denomi. e) lectura sesgada de instrumentos analógicos. obtenerse a partir de la participación en comparaciones h) valores inexactos de constantes y otros parámetros clave interlaboratorios. entre ellas: de tratamiento de datos.
posteriormente. la varianza y la covarianza en el caso de cribe el conocimiento que tenemos de la realidad de esa dos magnitudes relacionadas entre sí. La incerti. varianza. magnitud. definiremos como función densidad de probabilidad pdf la función f(x) en el rango de (0. conformidad de un producto o bien con las especificacio- 3. En nuestro caso estamos interesados en conocer una certidumbre de una medida. Para poder empezar a evaluar de una forma operativa la in. La función variable se halle entre los valores x y x+dx es f(x) dx. pacio muestral. magnitud X después de la realización de un experimen- nidos en una medición desde el punto de vista de la teoría to. Revista Española de Metrología. o es fundamental para. . El mínimo aparece cuando Por otro lado la varianza de una función de densidad dumbre se define como la raíz cuadrada positiva de la nos da idea de la dispersión de los valores. sión: respecto a xi’. e-medida.∞) tal El conjunto de todos los posibles resultados de un experi. Diciembre 2012 La evaluación de la incertidumbre asociada a una medición nes que le sean de aplicación. que la probabilidad infinitesimal dp de que el valor de la mento aleatorio se denomina espacio muestral. Denominando x a cada uno de los elementos del es- de la probabilidad. Incertidumbre y probabilidad. deben verse los valores obte. ya sean de diseño. los parámetros más interesantes de probabilidad sea f(xi) se define el valor esperado la función de distribución son: la esperanza matemática o E(Xi) como: La varianza de una variable aleatoria o de una distribución de probabilidad se define como: Como propiedades podemos destacar que la esperanza El mejor estimador de Xi será aquel que minimice la expre- matemática es un operador lineal y la varianza no lo es. legales. De que asigna un número real a cada elemento del espacio aquí que la probabilidad de que una variable aleatoria muestral es la variable aleatoria. El rango de esta función es tome valores entre los límites xa y xb es: el conjunto de todos los posibles valores de esta variable. La función de distribución de una magnitud medida des. Dada una magnitud Xi cuya función de densidad de Para nuestro propósito. poder comprobar la de otro tipo (UNE-EN ISO 14253-1). el valor esperado.
diciones de medida. como el método de mínimos cuadrados depende. Evaluación tipo A La evaluación tipo A de la incer tidumbre se utiliza disponible de la esperanza matemática q de una mag- cuando se realizan n observaciones independientes nitud q que varía al azar. o el análisis de la varianza. la mejor estimación observaciones: Los valores de las observaciones individuales q k di. la incertidumbre como bloques o masas patrón.116 4. tales servaciones repetidas e independientes. es la media aritmética de las n En la mayor par te de los casos. Evaluación de las incertidumbres de medición Siguiendo la GUM podemos agrupar las componentes las componentes de estos tipos. viene dada por la varianza experimental más específicamente. cuantifican la bondad con que q estima mínimos cuadrados es útil para evaluar las incer tidum- la esperanza matemática q. La mejor estimación de la varianza de la media denominada desviación típica experimental. varianza σ 2 de la distribución de probabilidad de q se fieren entre sí debido a variaciones aleatorias de las estima mediante la varianza experimental de las obser- magnitudes de influencia o de efectos aleatorios. y viene dada por: Esta estimación de la varianza y su raíz cuadrada s(q k). Por ejemplo. a cor to y a largo plazo. y ambos se basan en distribuciones de pro- y tipo B no implica ninguna diferencia de naturaleza entre babilidad. patrones materializados de valor desconocido. con patrones de re- ferencia de valor conocido. consiste únicamente en de incertidumbre en dos categorías según el método de dos formas diferentes de evaluar las componentes de in- evaluación. de los resultados de comparaciones de Para una magnitud de entrada Xi determinada a partir de n ob. caracte- rizan la variabilidad de los valores observados qk o. “tipo A” y “tipo B”.y incer tidumbre pueden evaluarse en estos casos por análisis estadístico de los datos obtenidos utilizando se denomina incer tidumbre típica de tipo A . diseños experimentales consistentes en secuencias de mediciones del mensurando para un cier to número de En algunas situaciones pueden utilizarse otros métodos valores diferentes de las magnitudes de las que este estadísticos. La vaciones. la utilización . s(qk). su dispersión alrededor de su media . de la que se han obtenido entre sí de una de las magnitudes de entrada X i bajo n observaciones independientes qk en las mismas con- las mismas condiciones de medida. bres procedentes de variaciones aleatorias. Las componentes de la típica de su estimación es . de la media: que. La clasificación en tipo A certidumbre. junto con la desviación típica experimental de la de modelos de calibración basados en el método de media.
o la in. y es un parámetro independiente y ca. bre típica para cualquier indicación de: Incertidumbre debida a la deriva del patrón La deriva de un patrón no es fácil de determinar en del valor cer tificado δp. bre tipo B. lor de señal de entrada que produce una indicación si se trata de un instrumento digital. la información puede comprender: Según la fuente de la que se obtiene esa incertidum- . δx y varianza u 2=(δx)2/12. se puede par tir del histórico de cali- braciones sucesivas del patrón y estimar una variación . En el caso del instrumento (X+δx/2). se obtiene entonces mediante ción u otros certificados. Su valor depende. decisión científica basada en la información disponible . ejemplos de evaluación tipo B son: Incertidumbre debida al patrón o instrumento calibrado La incer tidumbre típica se obtiene dividiendo la in. Revista Española de Metrología.los datos suministrados por certificados de calibra- certidumbre típica u(xi). de la exactitud del instrumento. . La varianza estimada asociada u 2(xi).resultados de medidas anteriores. El conjunto de procedentes de libros y manuales.). etc. miento. ej. . p. entre rectangular o triangular según los conocimientos que otros factores. de la frecuencia de utilización.la experiencia o el conocimiento general del com. dada X puede situarse con igual probabilidad en cual- bre debida a la resolución de lectura. La señal de entrada puede describirse enton- analógico la resolución depende del operador o de ces por medio de una distribución rectangular de rango los medios que éste emplee en la lectura (amplifica. lo que supone una incertidum- ción óptica. Para su cálculo. petidas. si se trata de quier punto dentro del intervalo que va de (X-δx/2) a un instrumento analógico. de las condiciones de uso y manteni. o la incer tidum. ésta se estimará de distinta manera. el va- mento es la resolución de su dispositivo indicador.la incertidumbre asignada a valores de referencia acerca de la variabilidad posible de Xi. del periodo entre calibraciones. Diciembre 2012 Evaluación tipo B La evaluación tipo B de la incertidumbre típica se utiliza portamiento y propiedades de los materiales y los cuando la estimación xi de una magnitud de entrada instrumentos utilizados. X i no ha sido obtenida a partir de observaciones re.las especificaciones del fabricante. Se darán más ejemplos calculados al final del texto. e-medida. Algunos . tengamos del histórico del patrón. Si la resolución del dispositivo indicador es δx. calibración del patrón por el factor de cober tura cer tidumbre expandida dada en el cer tificado de indicado: Incertidumbre debida a la resolución Una de las fuentes de incer tidumbre de un instru. Para la evaluación de la in- muchos casos. cer tidumbre podremos aplicar un tipo de distribución racterístico de cada patrón.
Los términos ci . gundo término y quedando únicamente el primero. XN . Ejemplo 1: LPI para modelos de la forma: En este caso obtenemos Un ejemplo de este modelo puede ser el módulo de elasticidad de un me- tal. k Una medición física. El segundo de simplificarse la ecuación. Incertidumbre combinada En la mayor par te de los casos.118 5..1. la cual facilita la tipo B. el mensurando Y no de otras N magnitudes X 1. tas magnitudes de entrada en la magnitud de salida. mediante una se mide directamente. gracias a las propiedades de la varianza podemos obtener la ley En principio. desapareciendo el se- término es el término de covarianza en el que apare. E = σ/ε . X2. El modelo en muchos casos supone aproximaciones. Si las magnitudes de entrada son independientes pue- representada por la función de medición. Estimación de la incertidumbre combinada y la expandida. Factor de cobertura.. da y podría derivarse de aquí la función de distribu- nitudes que contribuyen al resultado final. cj son los coeficientes de sensibilidad ce la influencia de unas magnitudes de entrada sobre e indican el peso que supone cada una de las distin. do las correcciones. 5. seríamos capaces de conocer las funciones de estimación de éstas. mediante evaluación tipo A o evaluación de propagación de incer tidumbres. en el caso de que estas estén correlacionadas. por simple que sea. LPI. ción de la magnitud indirecta.. otras. sino que se determina a par tir relación funcional f: La función f no expresa tanto una ley física como el distribución de cada una de las magnitudes de entra- proceso de medida y debe contener todas las mag. tiene asociado físico se representa mediante un modelo matemático que un modelo que se aproxima al proceso real. aunque estas sean de valor nulo. Ley de propagación de incertidumbres. para poder considerar las incer tidumbres de dichas Teniendo en cuenta el desarrollo en serie de Taylor de correcciones. . incluyen. primer orden en torno al valor esperado.
la probabilidad de expandida. de 105 ó 106. Y = f (Xi). Este elevado número de repeticiones per- 4.3. re- certidumbres típicas y las incertidumbres mutuas de las pitiéndose el proceso un gran número de veces. es que suponiendo asociadas. la magnitud función de dichas magnitudes de entrada. es su función de distribución (extracciones de su función de decir.2. puede emplearse un algoritmo matemático programa- 1. donde cada xi es generado de forma aleatoria a partir de 2. En este caso. y+u). ellos las funciones de distribución de las magnitudes de entrada y poder generar de forma aleatoria valores de Después de la elaboración de la guía GUM. e-medida. medición realmente y con todos ellos encontrar la fun- do de Montecarlo. El modelo sea una buena aproximación a un desarrollo mite obtener una función de distribución para la magnitud lineal en torno al mejor estimador de las magnitudes de y. los coeficientes de sensibilidad no las magnitudes de entrada y observando los cambios que pueden ser calculados de forma analítica. 5. . Una de ellas ha generarse muchísimos más valores que si se realizase la incidido en calcular la incertidumbre mediante el méto.. las in. sino para establecer con propagación de incertidumbres. Puedan ser calculadas la esperanza matemática. un modelo Y = f (X i). Conocida ésta matemática- La idea básica de este método. pueden de incertidumbres por otros métodos. lo que nos conducirá a los re- sultados de mejor estimador e incertidumbre típica combi- Cuando se trata de modelos no lineales se puede realizar nada asociada. y el cálculo de su esperanza matemática y su desviación entrada. plicar la incertidumbre combinada por un número deno- con alta probabilidad de no equivocarse. Únicamente aparezca una magnitud de salida en el do para generar una secuencia de valores t i = (x1. El modelo matemático sea un modelo explícito. mente.. ción de distribución de la magnitud que es función de las magnitudes de entrada. Nos podríamos preguntar si podría- mos emplear la incertidumbre típica combinada para definir El producto k p u c(y) = U p se denomina incertidumbre dicho intervalo (y-u. y+ uc(y) kp) buidos al mensurando. En la práctica lo que se necesita es cara a la toma posterior de decisiones. y+u) es baja ya que. o incluso obtener los valores de esperanza matemática En este proceso realmente no se emplean los resultados y varianza sin aproximaciones. para la evaluación Como se trata de una generación automatizada. 5. soluciones de la medición de los parámetros de entrada para dar mucho más complejas matemáticamente que la ley de un resultado de la medición. jado en guías suplementarias a ésta. El valor de y1 obtenido de cada secuen- 3.. sino de forma se producen en las magnitudes de salida. (y-uc(y) kp. útil tanto para modelos li. se obtienen los resultados y las incertidumbres neales como para modelos no lineales. introduciendo pequeños cambios xi + Δxi en una forma explícita. cia t i es calculado empleando el modelo de medición. del orden magnitudes de entrada. Incertidumbre expandida La incertidumbre típica combinada sirve para caracterizar la Para aumentar la probabilidad hasta valores más útiles de calidad de las medidas. Revista Española de Metrología. la aproximación de segundo orden de la serie de Taylor.. directamente.3 %. se ha traba. donde kp es el factor de cobertura para un que el valor verdadero del mensurando esté comprendido nivel de confianza p en el intervalo (y-u. donde todas las magnitudes de en- car cuando: trada puedan ser descritas por sus funciones de distribu- ción. distribución). .. podemos multi- conocer el intervalo dentro del cual es razonable suponer. que se encuentran minado “factor de cobertura” kp y emplear el intervalo los infinitos valores que pueden ser “razonablemente” atri. Diciembre 2012 Cuando no es posible escribir el modelo de medición de numérica.xN) modelo matemático. en el supuesto de que la función de distribución del mensurando “y” sea una Matemáticamente esto quiere decir que: función normal. típica de forma matemática.. Limitaciones de la LPI La ley de propagación de incertidumbres se puede apli. estamos hablando de un 68.
y + Up ) La relación entre p y k p depende. evidentemente. Distribución rectangular Para un nivel de confianza p calculamos la integral de la función de distribución: La desviación típica es: Para calcular el factor de cobertura: . 5. de la función de densidad f(Y) que se obtiene de la información acumulada durante el proceso de medición.4.Up . Tipos de distribuciones 5.1.120 De donde el área de la función de densidad asociada a Y dentro de este intervalo es: El intervalo que nos interesa conocer es ( y .4.
Distribución triangular Para un nivel de confianza p se calcula la integral de la función de densidad: .71×2.2. y que por una distribución rectangular simétrica. de extre. Diciembre 2012 Operando se obtiene: Ejemplo: Dada una cier ta magnitud t se sabe que viene descrita En este caso tenemos que a = 4. Entonces.4.31=3. e-medida. y σ = 2.71. Revista Española de Metrología.31. μ = 100.949 5. la incertidumbre expandida es: incer tidumbre expandida para un nivel de confianza del 99 %. Determinar el factor de cober tura y la es 1. para un nivel de confianza del 99 % el factor de cobertura mos 96 y 104. U 99 = kp u = 1.
Si tenemos una variable o magnitud Y que se bución normal tipificada o estándar. kp). distribuye según una N(µ. Distribución normal En la mayor parte de los procesos de medición la distribución que describe mejor lo observado es la distribución normal. la tipificación. La distribución normal de μ = 0 y σ = 1 se denomina distri. A partir de ellas se determinan los intervalos de La forma de obtener los intervalos de confianza es mediante confianza. tipificada como . Ejemplo: Si para un nivel de confianza p. valos de confianza es más complicada.σ).1): .3.4.1) está en las tablas. No obstante en el caso de la distribución normal estándar existen tablas que permiten realizar de forma sencilla ese cálculo.1) es (-kp.122 Como la desviación típica es: Operando se obtiene: 5. La integración de la distribución normal tipificada N(0. como Z es una distribución N(0. el intervalo de confianza que se define para una distribución N(0. se define una variable normal La integración necesaria para la determinación de los inter.
4. el intervalo para el nivel de confianza p es ciones independientes. Revista Española de Metrología. Por lo tanto: uc (y) = s(X) El factor de cobertura es t p (v) y la incertidumbre expandida U p (v) = tp (v) uc (y). (-t p (v). El número de grados de libertad es ν = n -1 para una can. 5. Diciembre 2012 En una distribución normal el factor de cobertura kp. Si se usan las n observaciones independientes para realizar El factor t p (v) se encuentra en las tablas de la t de un ajuste mediante mínimos cuadrados de m parámetros. siendo s(X) la desviación típica experimental: La mejor estimación de Y es X con incertidumbre asociada se distribuye según la t-Student. para un nivel de confianza p es: La incertidumbre expandida se calcula según Up (y) = kp u c (y). Para una variable t-Student con ν grados de liber- tidad estimada mediante la media aritmética de n observa. . tad.4. t-Student con ν grados de libertad se un valor medio z y una desviación estándar experimental s(z). estimándo. t p (v)). e-medida. el Student número de grados de libertad es ν = n -m Ejemplo: Supongamos que el mensurando Y es simplemente una La variable magnitud que se estima por la media aritmética X de n observaciones independientes. Distribución t-Student Sea Z una variable aleatoria de esperanza μz y desviación Se puede definir la siguiente variable cuya distribución es la típica σ z de la que se realizan n observaciones.
1. mento cien. Si se trata de una medida directa.Incertidumbre determinada si la distribución Y es rectangular. Naturalmente provienen ner cara como un límite cuando tiramos infinitas veces una de una simulación con ordenador. centrada en el estimador y El factor de cobertura se obtiene de la distribución rec.124 5. siendo n el número de mediciones. mil y diez mil veces. moneda y no podemos exigir que tras 20 o 30 tiradas ten- Suma de puntuaciones de diez dados tirados cien veces Suma de puntuaciones de diez dados tirados mil veces . por la normal correspondiente cuando se repite el experi- ejemplo podemos entender la probabilidad 1/2 de obte. Teorema del límite central El teorema del límite central en sus diferentes versiones gamos una aproximación precisa contando el porcentaje asegura que la suma de variables aleatorias independientes de aciertos. o . pero los ex. Pero podemos pensar en simplificar: recta como función lineal de las magnitudes de entrada 5. si el número de reiteraciones se obtiene a partir de la distribución t de Student con n-1 es suficientemente grande. No hay contradicción en ello. Determinación de la incertidumbre expandida después de la medición El problema que se nos plantea es determinar la incerti. y equidistribuídas converge a una normal. Una primera aproximación sería calcular la función de tangular distribución de probabilidad por convolución de las distribuciones de probabilidad de las magnitudes de Si se trata de calcular la incertidumbre expandida para una entrada. podemos actuar de dis- dumbre expandida después de realizada una medición. la cual debe realizarse por métodos analíticos Una segunda aproximación sería suponer la medida indi- o numéricos especiales. Los siguientes gráficos muestran los histogramas de la perimentos reales hacen que uno desespere antes de ver suma de las puntuaciones de 10 dados comparados con la campana de Gauss.5.5. grados de libertad. medida indirecta resulta algo complicado calcular la función de distribución. Sobre el papel la convergencia es comúnmente rapidísima. tintas formas: .Incertidumbre determinada según evaluación tipo A de la incertidumbre El factor de cobertura para un nivel de confianza dado bien de la distribución normal.
varianza siendo E(Xi) la esperanza La convergencia hacia la distribución normal será tanto más rápida cuanto mayor sea el número N de variables involu- de Xi y σ2(Xi) la varianza de Xi. e-medida. y cuando no exista independientes y σ2(Y) es mucho mayor que cualquier otra ninguna dominante. Esto ocurre si las Xi son cradas. pio de una distribución normal. kp.2. nar la incertidumbre expandida que define un intervalo de tidumbre combinada uc(y) no está dominada por com. especialmente si q fuera pequeño y los valores de de la componente aleatoria es mejor representarla median. cuanto más normales sean éstas. Aproximación de Welch-Satterthwaite El problema se puede resolver empleando la fórmula de de la distribución t-Student con una distribución gaussiana. Grados de libertad efectivos. 5. aproximación de Welch-Satterthwaite con la que se calcula La distribución resultante se tratará como una distribución t- el número de grados de libertad efectivos de la combinación Student con el número de grados de libertad calculados. nivel de confianza p será utilizar el factor de cobertura pro- ponentes de incertidumbre típica obtenidas por eva. uA y uB fueran comparables en tamaño. una primera aproximación para determi- Las condiciones del teorema se cumplen cuando la incer. Sobreestimaríamos la incerti- valor de uA derivado puede ser inexacto. entonces el te la distribución t-Student. o bien: . Si el número de lecturas aleatorias es pequeño. y la distribución dumbre.5. o en evaluaciones de tipo B basadas en distribuciones distribución normal de esperanza y rectangulares. componente individual ciσ 2(Y)” En consecuencia. Revista Española de Metrología. Diciembre 2012 Supongamos que una medida indirecta es función lineal de las magnitudes de entrada según la ecuación 33: Suma de puntuaciones de diez dados tirados diez mil veces • El Teorema central del límite dice: “La distribución asociada a Y se aproximará a una luaciones de tipo A basadas en pocas observaciones.
005 mm. Cuanto mayor sea el número de grados libertad dependerá del estadístico empleado para evaluar de libertad mayor es la confianza en la incertidumbre. aunque podría tomarse una distribución rectangular. gular de semiamplitud 0. Resolución y redondeo Evaluar la contribución a la incertidumbre debida a la reso. En la el valor más probable. el número de grados de libertad efectivos es: En evaluaciones tipo B. para calcular los grados de libertad efectivos. así como el redondeo. vi ∞ Ejemplo 1. se obtiene: a la incertidumbre debida a la deriva del valor del bloque desde la última calibración. Por ejemplo la resolución encuentra entre ± e/2 con igual probabilidad en todo este de un micrómetro centesimal (e = 0. utilizaremos la aproximación dada por la siguiente fórmula: Esta fórmula se obtiene al considerar la “incertidumbre” de En evaluaciones tipo A el cálculo del número de grados de la incertidumbre. evaluar la contribución valor ± e. niendo en cuenta que entre calibraciones no se supera el riva de ± 30 nm entre calibraciones. Suponiendo que los bloques se encuentran lar. Tanto para equipos analógicos como para equipos digitales Por ello su contribución a la incertidumbre se evalúa el hecho de emplear un instrumento con una resolución ‘e’ como: Tanto la resolución digital como la analógica. . Deriva Para la calibración de un micrómetro se emplean bloques pa. Te- dentro del periodo de calibración y se les permite una de.01 mm) en la medida rango. en este caso tenemos pues una distribución rectan- de un bloque patrón. Puede considerarse para la deriva una distribución triangu- trón calibrados.126 Si se usan incertidumbres relativas. dan origen a una contribución de incertidum- bre que puede ser analizada teniendo en cuenta una distribución rectangular con valor límite r/2 Ejemplo 2. en evaluaciones tipo B. práctica. supone que la indeterminación de los valores medidos se lución de un equipo de medida.
evaluar la incertidumbre asociada al uso de los bloques patrón como referencia en la calibración del micrómetro. Influencia de la temperatura En el caso anteriormente citado. ciendo el factor de cobertura empleado. nación cuadrática de la incer tidumbre debida al cer ti- Suponiendo que los bloques se encuentran dentro del pe.025 ºC.02 ºC y su resolución es 0. cuya incertidumbre es 0. ficado de calibración y la debida a la deriva del valor riodo de calibración y se les permite una deriva de ± 30 nm de dichos bloques en el tiempo. El resultado en bertura k = 2. Los coeficientes de sensibilidad se evalúan calculando las Con ello obtenemos: . Certificado de calibración Para la calibración del micrómetro los bloques que se La evaluación de la incertidumbre típica asociada a un va- emplean son calibrados por comparación y tienen una lor certificado se obtiene del propio certificado cono- incertidumbre certificada de 60 nm para un factor de co. es decir entre calibraciones. Evaluar la incertidumbre asociada a la temperatura dición se realiza en condiciones de laboratorio en el cual permitimos que exista una variación de temperatura duran.001 ºC. ción α = (11. Diciembre 2012 Ejemplo 3. Patrón de referencia Para la calibración de un micrómetro se emplean bloques Se evalúa mediante la ley de propagación de incer ti- patrón calibrados por comparación con una incertidumbre dumbres como la raíz cuadrada positiva de la combi- certificada de 60 nm para un factor de cobertura k = 2. En el caso mencionado podemos suponer un modelo te el proceso de medición de ± 0. Revista Española de Metrología. Para la medición matemático: En el modelo matemático no se especifican las correccio. derivadas parciales del modelo matemático respecto al nes. con coeficiente de dilata. peratura. este caso es: Ejemplo 4. e-medida. Ejemplo 5. ya que lo que se busca es evaluar la incertidumbre coeficiente de dilatación y respecto a la variación de tem- asociada a la temperatura.5 ± 1) × 10-6 ºC-1 y suponemos que la me. supondremos que de la temperatura se emplean sensores de temperatura los bloques son de acero.
durante la medición rante la medición de ± 0.001 ºC y se permite una variación de temperatura du. 1. u(q).02 ºC para k = 2 Según se especifica en el certificado de calibración su Por lo tanto 2. por tanto la bución rectangular en torno al valor medio del coeficiente incertidumbre típica asociada se obtiene como: 2.4 Deriva del termómetro En este caso supondremos una distribución rectangular. más Podemos estimar una deriva entre calibraciones de ± 0. 2. Incertidumbre debida al coeficiente de dilatación Para evaluar esta incertidumbre supondremos una distri. Suponiendo una distribución rectangular obtenemos: 2.01 ºC. conservadora que una triangular . diferencia de temperatura respecto a 20 ºC en el instante dumbre asociada al coeficiente de dilatación y otra a la de calibración.025 ºC. una debida a la incerti.2 Resolución del termómetro empleado La incertidumbre asociada es: 2. Incertidumbre debida al conocimiento no exacto de la diferencia de temperatura respecto a 20 ºC en el momento de la calibración Para evaluar el valor de la temperatura de los bloques se Consideraremos las siguientes fuentes de incertidumbre: emplean sensores de temperatura Pt-100 con resolución 0. u(a).1 Variación de la temperatura Δ t.3 Calibración del termómetro empleado incertidumbre expandida es U (tcal) = 0. incertidumbre asociada al conocimiento no exacto de la nes de incertidumbre diferentes.128 y la contribución a la incertidumbre asociada a la longitud: En este caso debemos tener en cuenta dos contribucio. de dilatación cuyo semirrango es 1 × 10-6.
de la incertidumbre expandida U = k u c(y). normalmen- depende Y en la forma Y = f(Xi). esto es. razonablemente. y de U. ser atri- 1) Expresar matemáticamente la relación existente entre el buidos al mensurando Y. a partir de la relación funcional f utili. e-medida. ner todas las magnitudes. junto con su servaciones. a) describir completamente la forma en que se ha definido nes de entrada que estén correlacionadas. x i obtenidas en el paso 2. La evaluación podrá ser de tipo o A de Cuando el resultado de una medición viene acompañado tipo B. se debe: 4) Evaluar las covarianzas asociadas a todas las estimacio. la GUM los pasos a seguir para estimar la incertidumbre de cuyo fin es proporcionar un intervalo [y − U. te comprendido entre 2 y 3. . Seleccionar k considerando el nivel de confianza requerido para el intervalo (normalmente el 95 %). a partir de las incertidumbres típicas e) dar el nivel de confianza aproximado asociado al interva- y covarianzas asociadas a las estimaciones de entrada. el mensurando Y. bien por otros métodos. d) dar el valor de k utilizado para obtener U [o. incluyendo las correcciones. Pasos a seguir para estimar el resultado de una medición De forma esquemática y siguiendo las recomendaciones de 7) Si es necesario dar una incertidumbre expandida U. proporcionar tanto el valor de 6) Determinar la incertidumbre típica combinada u c(y) del k como el de uc(y)]. resultado de medida y. La función f debe conte. lo y ± U. y + U] en el medición son los siguientes: cual pueda esperarse encontrar la mayor parte de la distri- bución de valores que podrían. 5) Calcular el resultado de medición. la estimación y dar las unidades de y. bien a partir del análisis estadístico de una serie de ob. (47 a 50) del bloque obtenemos: Empleando la fórmula 45 obtenemos: 7. incertidumbre típica combinada uc(y). para obtener U = k uc(y). Revista Española de Metrología. b) indicar el resultado de la medición en la forma Y = y ± U. Diciembre 2012 Teniendo en cuenta todas las contribuciones asociadas al desconocimiento del valor de la temperatura. ⎜y⎜≠0. multiplicar la incertidumbre típica mensurando Y y las magnitudes de entrada X i de las que combinada uc(y) por un factor de cobertura k. valor estimado de la magnitud de entrada X i. 3) Evaluar la incertidumbre típica u(xi) de cada estimación de entrada xi. para faci- litar al usuario el resultado. 2) Determinar x i. c) incluir la incertidumbre expandida relativa U/⎜y⎜. 8) Documentar el resultado de medición y. zando para las magnitudes de entrada Xi las estimaciones cuando proceda. e indicar cómo se ha determinado. y del mensurando Y. o su incertidumbre expandida U.
5 UNE-EN ISO 14253-1:1999: “Especificación geométrica de productos (GPS). valo y ± U sea mayor. como desde cober tura o el nivel de confianza asociado al intervalo un punto de vista subjetivo.The role of measurement uncertainty in conformity assessment . http://www. ta todos los aspectos que influyen en el resultado de una medida. estadístico. Evaluation of measurement data – Supplement 2 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” – Extension to any number of output quantities.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_102_2011_E. como pueden ser los factores inherentes La evaluación de la incertidumbre no es una tarea mate.130 8.es/sites/default/files/vim3edes.es/sites/default/files/suplemento20120de20gum. 6 LIRA Ignacio. Parte 1: Reglas de decisión para probar la conformidad o no conformidad con las especificaciones”. Suplemento 1 de la Guía para la expresión de la incertidumbre de medida. si existen. 2 Metrología Abreviada. 8 JCGM 106:2012. Guía para la expresión de la incertidumbre de medida. Evaluation of measurement data .pdf. pero gracias a la Guía para la expresión de la incertidumbre de medida puede analizarse según Mediante la ley de propagación de incertidumbres u unas reglas generales.cem. 4 Evaluación de datos de medición. la GUM. IoP Publishing Ltd. Bibliografía 1 Vocabulario Internacional de Metrología VIM.. así como sus relacio- nes. acompañada de ejemplos. indicando el factor de de un punto de vista objetivo. En cualquier caso. el resultado de la medida es tan importante como la En un primer paso se debe representar mediante un calidad de dicha medida. de los pasos a se- mación sobre el mensurando con objeto de evaluar su guir en la determinación de incertidumbres siguiendo conformidad con las especificaciones. etc.es/sites/default/files/metrologia20abreviada. extendido ampliamente y de esta forma se emplea un Finalmente se amplia dicha incertidumbre mediante un lenguaje común. traducción al español de 3ª edición.pdf. 2002 7 JGCM 102:2011. es decir teniendo en cuen- y ± U. Edición digital. Edición digital. de entrada de las que depende. Inspección mediante medición de piezas y equipos de medida. realizar compa. condiciones ambientales.pdf. El resultado de toda medición y debe documentar- se junto a su incer tidumbre típica combinada u c (y).pdf. factor de cobertura para obtener una incertidumbre expandida de forma que el nivel de confianza del inter- En este artículo se ha tratado de dar una breve des. cripción. o Posteriormente se evalúan las incertidumbres tanto des- su incer tidumbre expandida U.cem. raciones o tomar otras decisiones. http://www.es/sites/default/files/gum20digi- tal1202010.cem. al instrumento. Bristol. http://www. 3ª edición 2008 (español). La calidad de una medida se modelo matemático el modelo físico de la medición cuantifica mediante la evaluación de incertidumbre de que se realiza e identificar cada una de las magnitudes dicha medida. Propagación de incertidumbres utilizando el método de Monte Carlo. mática unívoca.pdf. http://www. 3 Evaluación de datos de medición. “Evaluating the Measurement Uncertainty”. Esta guía ha facilitado la compa. Conclusiones Todo proceso de medida tiene como fin obtener infor.cem. http://www. otros métodos se obtiene la incertidumbre típica com- ración de resultados interlaboratorios dado que se ha binada asociada a la estimación final del mensurando.
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