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Timestamp: 2019-03-20 03:56:55+00:00

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Uploaded by Jhonny Migel Delgado Lujan
2. FLUJO INTERNO.
Gijón diciembre 2008
Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08
II.2. Flujo Interno 2
2.1. Flujos laminar y turbulento.
1.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds.
1.1.2. Modelos de turbulencia.
2.2. Flujo estacionario e incompresible en conductos.
1.2.1. Pérdidas lineales: Ec. Darcy-Weisbach.
1.2.2. Cálculo de tuberías.
1.2.3. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross.
2.3. Flujo no estacionario.
1.3.1. Oscilaciones tubo en U.
1.3.2. Establecimiento del flujo.
1.3.3. Golpe de ariete.
2.4. Problemas resueltos.
En flujo viscoso interno, el fluido está confinado entre paredes (conductos) y en función del número de
Reynolds, se tienen comportamientos radicalmente distintos:
- En flujos con viscosidad dominante (Re bajos), las partículas siguen las trayectorias marcadas por las
paredes, el flujo es ordenado y las magnitudes solo depende de la posición y del tiempo; es el
denominado flujo laminar. En el flujo de Poiseuille entre placas planas, el fluido se mueve en laminas
paralelas a las paredes, siendo la central la de máxima velocidad. En el flujo en un conducto circular
(tubería), el fluido se mueve en tubos concéntricos, con velocidad exclusivamente axial (desde
velocidad nula en la pared a velocidad máxima en el eje)
- En flujos con inercia dominante (Re altos), el flujo es agitado y fluctuante, en cuanto a que los valores
de las magnitudes oscilan en torno a un valor medio; es el denominado flujo turbulento. En el caso del
flujo por una tubería, aunque la velocidad es fundamentalmente axial, hay componentes radiales y
tangenciales, y además con fluctuaciones continuas.
- En flujos intermedios sin dominio apreciable de la viscosidad o de la inercia, se pueden presentar
fluctuaciones esporádicas en función de perturbaciones externas, es el flujo de transición.
2.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds.
Para resolver un flujo genérico, se dispone de un sistema homogéneo de 7 ecuaciones diferenciales: 2 de
constitución1 y 5 de conservación2; con las 7 magnitudes del flujo: 4 escalares: p, ρ, T, û, y las 3 componentes
del vector velocidad. Pero el sistema solo tiene solución analítica para casos muy concretos con fuertes hipótesis
Actualmente no se dispone de la solución general de las ecuaciones que rigen el movimiento de los
fluidos; no obstante, las técnicas numéricas, están aportando soluciones, aunque es conveniente su validación
Particularizando para el flujo incompresible, isotrópico e isotermo de un fluido newtoniano, las
magnitudes del flujo son la presión y las tres componentes de la velocidad; disponiendo de 4 ecuaciones
diferenciales: la escalar de continuidad y la vectorial de Navier-Stokes:
Ec. de Navier-Poisson: τ = λ ( ∇ ⋅ vr ) ⋅ I + 2μ ⋅ ε& , tensor de tensiones para un fluido newtoniano y Ec. térmica de estado (f(p,ρ,T)=0).
Ec. de continuidad, Ec. Vectorial de Navier-Stokes (3 ecuaciones escalares) y Ec. de Energía.
II.2. Flujo Interno 3
Tanto el flujo laminar como el turbulento, vienen descritos por las ecuaciones anteriores. En flujo
laminar, en función de la geometría y de las condiciones de contorno, se pueden obtener soluciones analíticas.
En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las magnitudes del flujo, se tienen
variables estocásticas, para las que actualmente no se conoce solución analítica.
Las primeras medidas experimentales sobre flujos laminar y turbulento, las realizó Osborne REYNOLDS,
con el flujo en tuberías de vidrio. En los ensayos en flujo laminar (bajos3 Re), obtuvo que el flujo se podía
asimilar al movimiento de tubos concéntricos, cada uno a una determinada velocidad, con valor máximo en el
eje, y con un perfil parabólico hasta velocidad nula en las paredes. Estaba constatando que se trataba de un flujo
de Poiseuille, en donde el gradiente de presión axial es el que provoca el flujo, y que la velocidad sólo tiene
componente axial, y varía con el radio:
En los ensayos en flujo turbulento (altos Re), obtuvo que aunque el movimiento es fundamentalmente
axial, las componentes radial y tangencial son no nulas, aunque de poca magnitud.
Y sobre todo observo, que aunque estando en flujo estacionario, el valor de una magnitud, en una
determina posición del flujo, no es constante, aunque oscilan en torno a un valor medio. Estas consideraciones, le
llevaron a considerar a las variables, como suma de un valor medio y de su correspondiente fluctuación
temporal. Así la componente axial de velocidad será:
En donde el valor medio de la componente axial de la velocidad, a lo largo de un periodo de promedio
(siempre mucho mayor que el tiempo característico asociado a las fluctuaciones de velocidad) es:
vz’
Fig. 1. En un instante y posición: vz = velocidad axial; vz’ = fluctuación de velocidad axial; = valor medio de la velocidad axial.
Análogamente se tienen expresiones para las otras dos componentes de la velocidad y para la presión:
Aunque el inicio del estudio de flujo turbulento se inicio con las experiencias de Reynolds en flujo en
conductos de sección circular (tuberías), en donde se utilizan coordenadas cilíndricas, por la facilidad de la
notación en coordenadas cartesianas, los desarrollos siguientes entorno a la turbulencia los desarrollaremos en
En flujo en tuberías, se suele tomar como Re límite de flujo laminar: Re = 2300; no obstante se puede tener flujo laminar a Re mayores,
pero una perturbación exterior provoca el paso a flujo turbulento.
Las tensiones debidas a la viscosidad y a los gradientes de velocidad. así para la fluctuación de la componente “x” del vector velocidad. su valor cuadrático medio.II. por ejemplo la primera componente “xx” es: τ xx = μ − ρ(u´u´) = τ la min ar + τ turbulento ∂x El tensor de tensiones viscosas completo es: ⎛ ∂u ⎜μ ⎜ ∂x ( ) − ρ u '·u ' μ ∂u ∂y ( ) − ρ u '·v' μ ∂u ∂z ( − ρ u '·w ' ⎟) ⎞ ⎟ ⎜ ∂v ⎟ ( ) ( ) ( ) = ∂v ∂v T= ⎜ μ − ρ u '·v' μ − ρ v'·v' μ − ρ v'·w ' ⎟ ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ ∂w ⎟ ⎜⎜ μ ( − ρ u '·w ' ) μ ∂w ( − ρ v'·w ' ) μ ∂w ( − ρ w '·w ' ⎟⎟) ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ [12] Resumiendo: en flujo turbulento las tensiones tangenciales. μ . se tienen dos tipos de esfuerzos: ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w Esfuerzos laminares: μ . están integradas por dos tipos de tensiones: . las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes. μ . μ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Esfuerzos turbulentos o de Reynolds: − ρ(u '·u '). μ . − ρ(w '·w ') − ρ(u '·v'). μ . es suma de dos términos: el laminar y el ∂u turbulento. que usualmente se denota por “u”. − ρ(v'·v'). el valor medio de la fluctuación turbulenta es nulo. que se denomina intensidad de turbulencia. definiéndose como una medida de la turbulencia. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . . μ . se tiene: 10 Para flujo incompresible. en donde las magnitudes (u. que se denominan turbulentas. − ρ(u '·w '). − ρ(v'·w ') Cada una de las 9 componentes del tensor de esfuerzos viscosos. Flujo Interno 4 Por su propia definición.v. μ .2.w. Las tensiones debidas a la densidad y a las fluctuaciones de velocidad. que se denominan laminares. integran un conjunto de 4 ecuaciones que se denominan ecuaciones RANS (Reynolds Average Navier-Stokes): ∂u ∂v ∂ w + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂ p ⎡ ⎛⎜ ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ⎞⎟ ∂ u '·u ' ∂ u '·v' ∂ u '·w ' ⎤ du ρg x − + ⎢μ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ − ρ −ρ −ρ ⎥=ρ ∂x ⎢⎣ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎥⎦ dt ∂ p ⎡ ⎛⎜ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞⎟ ∂ v'·u ' ∂ v'·v' ∂ v'·w ' ⎤ dv ρg y − + ⎢μ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ − ρ −ρ −ρ ⎥=ρ ∂y ⎢⎣ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎦⎥ dt ∂ p ⎡ ⎛⎜ ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞⎟ ∂ w '·u ' ∂ w '·v' ∂ w '·w ' ⎤ dw ρg z − + ⎢μ⎜ 2 + + 2 ⎟−ρ −ρ −ρ ⎥=ρ [11] ∂z ⎢⎣ ⎝ ∂x ∂y 2 ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎦⎥ dt En el término de fuerzas viscosas (por unidad de volumen). A las tensiones turbulentas se les suele denominar esfuerzos turbulentos de Reynolds.p) se expresan como suma de su valor medio y de su fluctuación. μ .
41 Con estas consideraciones. y los de “dos ecuaciones” como los k-ε y los k-ω.II. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . a) VISCOSIDAD TURBULENTA DE BOUSSINEQ: se define la viscosidad turbulenta. se puede deducir el perfil de velocidades en flujo turbulento.1. k es el coeficiente de Karman (k=0.3 (Flujo externo). y con ella el esfuerzo turbulento de Reynolds: ∂u ∂u L = κ⋅y μ t ≈ ρL2 = ρ(κy )2 [15] ∂y ∂y ∂u ⎛⎜ ∂u ⎞⎟ ∂u ∂u ⎛ ∂u ⎞ 2 τ turbulento = (τ t )xy = −ρ(u '·v') =≈ μ t = ⎜ ρ(κy )2 = ρκ 2 ⎜ ⎟⋅ y ∂y ⎝ ⎟ ∂y ⎠ ∂y ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ [16] El coeficiente de Karman. con lo que puede determinar la viscosidad turbulenta. que relaciona el esfuerzo turbulento con el correspondiente gradiente de velocidad: ⎛ ∂u ∂v ⎞ − ρ(u '·v') = τ turbulento ≈ μ t ⎜⎜ + ⎟⎟ esfuerzo turbulento μt = gradiente de velocidad ⎝ ∂y ∂x ⎠ [13] b) LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL: Se define la longitud de mezcla de Prandtl (L). definida a partir del esfuerzo de rozamiento en la pared:: τw=ρ(u*)2. κ es una constante universal en flujo turbulento κ = 0. con lo que las fluctuaciones de velocidad pueden expresarse por: u’≈v’≈L(∂u/∂y). establecido por Ludwing PRANDTL. La determinación de los 6 valores de los esfuerzos turbulentos de Reynolds. y la posición (y) en la capa límite4. sin que choque con otra partícula. Básicamente. estableció la proporcionalidad entre la longitud de mezcla de Prandtl (L). que viene dado por la ley logarítmica de la capa límite de Millikan: ⎛ 1 (R − r )u * ⎞ u (r ) = u * ⎜ ln + B⎟ ⎜k ν ⎟ ⎝ ⎠ [17] En donde u* es la velocidad de fricción. 4 El concepto de CAPA LÍMITE. se desarrollara en la lección II.0.2. en el caso del flujo en conductos. como el recorrido libre medio de una partícula en los torbellinos turbulentos. Modelos de turbulencia.2. siendo la viscosidad turbulenta : ∂u μ t ≈ ρL2 ∂y [14] Von Karman. es la gran dificultad para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. es la zona del flujo en las proximidades de las paredes sólidas. Como aproximaciones se tienen diversos modelos de turbulencia. Flujo Interno 5 2.. de los que citaremos los denominados de “una ecuación” de Boussineq y de Prandtl. como una propiedad del flujo.41) y B es aproximadamente 5. en donde son apreciables los esfuerzos viscosos debidos a altos gradientes de velocidad.
de Hagen-Poiseuille que da la caída de presión. Pérdida de carga: Ecs. En ingeniería hidráulica.1.2. Aunque en flujo turbulento se pueden tener soluciones numéricas con determinados modelos de turbulencia. el signo negativo que acompaña al gradiente. se obtiene la Ec. En función del régimen del flujo se tienen soluciones analíticas para flujo laminar y soluciones de análisis dimensional para flujo turbulento. designaremos a la velocidad axial como vx y a la dirección axial por “x”. potencial y trabajo de flujo. En el transporte de un fluido por un conducto. si el caudal y el diámetro son constantes. Flujo Interno 6 2. FLUJO ESTACIONARIO e INCOMPRESIBLE EN CONDUCTOS. en donde se consideran los términos de energía cinética. Para flujo laminar queda como expresión de la perdida de carga: ∆ ∆ 128 23 Si la tubería es horizontal (Δz=0). con lo que la perdida de carga es suma de las pérdidas de energía potencial y trabajo de flujo: hp = -(ΔEp+ΔEf)/mg = -(Δz + Δp/ρg). Se ha definido perdida de carga.II. siendo posible la resolución analítica de Navier-Stokes (flujo estacionario e incompresible) obteniendo una distribución parabólica de la velocidad axial5. significa que como el caudal es positivo. Régimen Laminar (Re<2000): los esfuerzos de rozamiento son exclusivamente laminares.2. que se denomina cota y se denota por “z”. provocada por el flujo laminar de un fluido newtoniano de viscosidad dinámica μ. el gradiente de presión piezométrica debe ser negativo. es decir disminuir en la dirección del flujo (x). a la que se denomina PERDIDA DE CARGA: 18 19 2. se denota por vz. para una tubería (longitud L. se suele calcular a partir de la evaluación de la energía disipada (Ep) por unidad de peso (mg). para no confundirla con la dirección vertical en la que actúa la fuerza gravitatoria. con un caudal Q a través de un tramo de tubería de longitud L y diámetro D: 128 ∆ 24 5 Aunque en coordenadas cilíndricas la velocidad axial. es necesario determinar la potencia necesaria para mover un determinado caudal. la bondad de los resultados de análisis dimensional son suficientemente precisos para las aplicaciones técnicas. el caudal es constante. la potencia disipada (Pd) por el flujo en un conducto.2. de Hagen-Poiseuille y de Darcy-Weisbach. El citado gradiente viene dado por la variación de presión (Δp) y la variación de cota (Δz) por unidad de longitud de la tubería (L): ∆ ∆ 22 La perdida de carga es la perdida de energía por unidad de peso hp = -ΔE/mg = -(ΔEc+ΔEp+ΔEf)/mg. diámetro D) se denominan pérdidas lineales. y el gradiente de presión piezométrica es el que determina el caudal que circula por la tubería. como la energía disipada por unidad de peso. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . no hay variación de energía cinética. determinada por el gradiente de presión piezométrica (absoluta + hidrostática) en la dirección axial: 1 20 4 Con la que se puede obtener la siguiente expresión del caudal: 1 21 128 En flujo estacionario.
[28]. de la rugosidad relativa: εr=ε/D.51 2 32 3. Según pusieron de relieve Prandtl y von Karman. la Ec. como la perdida de carga viene determinada por la tensión de rozamiento del fluido sobre las paredes de la tubería: 4 25 4 Por análisis dimensional.51 ⎞ Tubería lisa: = −2 log⎜⎜ ⎟⎟ [30] f ⎝ Re f ⎠ Para números de Reynolds grandes (régimen turbulento completamente desarrollado) la importancia de la subcapa límite laminar disminuye frente a la rugosidad. No obstante. de Darcy-Weisbach también sería aplicable a flujo laminar.7 ⎠ Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl. y el coeficiente de fricción pasa a depender sólo de la rugosidad relativa (von Karman. esa dependencia está determinada por la relación entre la rugosidad y el espesor de la subcapa límite laminar. según la expresión empírica que obtuvo Prandlt. obteniéndose.2. con el factor de Darcy dado por la Ec. que representa las alturas promedio de las irregularidades de la superficie interior de la tubería. además del número de Re. se puede obtener que la tensión en la pared viene determinada por el número de Euler asociado a dicha tensión que se denomina factor de fricción o de Darcy: 8 4 26 Quedando como expresión de la pérdida de carga. con lo que no es posible la resolución de Navier-Stokes. Cuando la rugosidad es despreciable frente al espesor de la subcapa límite laminar. 64 28 En donde Re es el número de Reynolds del flujo que circula por la tubería: 4 29 Con lo la Ec. no obstante es más cómodo usar directamente la Ec. de Darcy-Weisbach: 27 2 Aunque estrictamente el factor de fricción aparece para poder determinar las pérdidas de carga en régimen turbulento.II. en donde la perdida de carga viene dada por la Ec. derivada de la Hagen-Poiseuille. la Ec. a parir de la ley logarítmica de velocidad en la capa límite: 1 ⎛ 2. el factor de fricción depende. la tubería puede considerarse lisa y el factor de fricción sólo depende del número de Reynolds. Flujo Interno 7 Régimen Turbulento (Re>4000): los esfuerzos de rozamiento tienen términos laminares y términos turbulentos. que es la zona de la capa límite. se podría obtener el correspondiente factor de fricción asociado al régimen laminar.7 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . [23]. y propusieron una única expresión para el factor de fricción que puede aplicarse en todo el régimen turbulento: 1 2. En cambio en régimen turbulento. 1938): 1 ⎛ε ⎞ Régimen Turbulento Completamente Desarrollado = −2 log⎜⎜ r ⎟⎟ [31] f ⎝ 3. directamente en contacto con la superficie interior de la tubería y los esfuerzos son exclusivamente viscosos. [23]. en donde ε es la rugosidad absoluta de la tubería. que el factor de Darcy sólo depende del Re.
y debe recurrirse al cálculo numérico para su resolución. Flujo Interno 8 Esta ecuación tiene el inconveniente de que el factor de fricción aparece en forma explícita.11 6. con lo que: log(f) = log 64-log(Re) ρv 2 ρv 2 vD ρ / μ Re El flujo turbulento.8 log ⎢⎜⎜ r ⎟⎟ + ⎥ [33] f ⎢⎝ 3.II.7 ⎠ Re ⎥ ⎣ ⎦ De la que se puede obtener directamente la función implícita f=f(Re): 0. 8·τ w 8·(8μv / D ) 64 64 correspondiente sería: f = = = = .9 ⎤ ≅ −1. el factor de fricción vs el número de Reynolds.2. Moody desarrolló un diagrama que lleva su nombre. se divide en tres zonas. es la ecuación de Haaland: 1 ⎡⎛ ε ⎞1.Re): zona de transición con dependencia conjunta de rugosidad y Reynolds 10000>Re y f=f(εr): zona turbulencia completamente desarrollada. en función del número de Reynolds: 2000>Re>4000: zona crítica de paso de flujo laminar a turbulento 4000>Re y f=f(εr. de Colebrook. con distintas curvas de rugosidad relativa. El flujo laminar Re<2000) viene representado por una recta de pendiente negativa. con la iso-curva correspondiente. en donde se muestra una familia de curvas de iso-rugosidad relativa. se representa en doble escala logarítmica. dependencia solo de rugosidad _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . ya que el factor de Darcy.7 ⎠ Re ⎥ ⎣ ⎦ [34] Para resolver el problema de la resolución numérica de la Ec. Una solución alternativa.9 ⎤ 2 ⎢⎛ log ⎜⎜ r ⎟⎟ + ⎥ ⎢⎝ 3. con las que se determina el factor de fricción a partir de la intersección de la vertical del número de Reynolds. En el diagrama de Moody.11 6.3086 f≅ ⎡ ε ⎞1.
para FLUJO LAMINAR (Re<2000): h pl la min ar = Q ρ g π D4 3. Darcy-Weisbach: h pl = f = . FLUJO LAMINAR (Re<2000): Re = = = .51πDν ⎞ Ec.II. DATOS: tubería: D. Darcy-Weisbach: ⇒ f= = K ⎜ K = h p gπ D ⎟ Q2 Q2 ⎜ 8L ⎟ ⎝ ⎠ 4Q 4Q K 4 K Número de Reynolds: Re = ⇒ Re⋅ f = = πDν πDν Q πDν ⎛ε 2. FLUJO TURBULENTO (RE>4000): h p gπ 2 D 5 / 8L ⎛ 2 5 ⎞ Ec.. Colebrook: = −2 log⎜⎜ r + ⎟ ⎟ f ⎝ 3. 7 Re f ⎠ L v2 8f L 2 Ec. = Q D 2g gπ 2 D 5 CASO (2): cálculo del caudal. número de Reynolds: Re = = μ πDν 128 μ L 2.2.2. L. Colebrook: ⇒ Q = −2 K ·log⎜⎜ r + ⎟⎟ ⎝ 3. DATOS: tubería: D. Cálculo de tuberías: CASO (1): cálculo de la pérdida de carga. L. = μ πDν 32Lυ 2 h p ρgπD 4 Ec. ε fluido: ρ. Flujo Interno 9 2. μ flujo: hp CÁLCULO: caudal: Q vDρ 4Q h p gD 3 RESOLUCIÓN: 1..51 ⎞ f = f (Re. Hagen-Poiseuille: Q= 128μL 2. εr) : Ec. para FLUJO TURBULENTO (Re>4000): 1 ⎛ε 2.2.7 4 K ⎠ _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 ... ε fluido: ρ. μ flujo: Q CÁLCULO: perdida de carga: hp vDρ 4Q RESOLUCIÓN: 1.
II. μ flujo: Q. 1: f=C·D5 ε εr = D Ec. Hagen-Poiseuille: D=4 h p ρgπ 2. FLUJO LAMINAR (Re<2000): Re = = = .7 4 Q ⎟ ⎜ f ⎟ ⎝ πDν ⎠ En las dos ecuaciones.. DATOS Dinicial = Q / π … se supone una velocidad de 4 m/s en la iteración inicial D = Dinicial D = (fColebrook/C)0.2 Ec. se tienen como incógnitas f y D. = μ πDν 32Lυ 2 128μLQ Ec.ε r ) 4Q Re = πDν SI f − fColebrook < 10−5 NO FIN _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 .1] ⎜ C = h p gπ ⎟ 8LQ 2 ⎜ 8LQ 2 ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ε/D 2.2] f ⎜ 3. Flujo Interno 10 CASO (3): cálculo del diámetro.2 ⇒ f Colebrook =f(Re. ε fluido: ρ.2. FLUJO TURBULENTO (RE>4000): h p gπ 2 D 5 ⎛ 2 ⎞ Ec. Darcy-Weisbach: ⇒ f= = C·D 5 [Ec. Colebrook: ⇒ = −2 log⎜ + ⎟ [Ec. hp CÁLCULO: diámetro: D vDρ 4Q h p gD 3 RESOLUCIÓN: 1. DATOS: tubería: L..51 Ec. la resolución simultanea por métodos iterativos da sus valores.
es el reparto de caudales por cada una de las tuberías que integran la red. el factor de fricción solo depende de la rugosidad relativa.2. y es constante a partir de un determinado valor (alto) del número de Reynolds. Las ecuaciones que rigen las tuberías en paralelo son: Q total = ∑Q i i [37] hp = k 1Q12 = k 2 Q 22 = . Se establecen los términos de malla y de nudo.. En las tuberías en serie. con lo que se tiene para malla 3 malla 5 cada nudo “i”: nudo 5 ∑ Q ij = 0 j Q 35 + Q 45 + Q 55 + Q 65 = 0 tubería 55 tubería 65 malla 6 En el método de Hardy-Cross. el problema inicial a resolver. el caudal circulante total es la suma de los caudales individuales. se establece un sentido positivo de la malla tubería 32 (normalmente el dextrógiro). y se sale es negativo. integrado por la “m” ecuaciones de las mallas y las “n” ecuaciones de los nudos. con lo que se puede suponer que la resistencia de la tubería es constante. para cada malla la suma de pérdidas de carga es nula.II. pueden encontrarse tuberías acopladas en serie. pero la pérdida de carga entre los extremos es la misma para todas las tuberías. En una instalación de transporte de fluidos. se calcula un caudal corrector de la malla. el caudal que le llega de una determinada tubería “ij” es positivo. por lo que se puede considerar como una única tubería cuyo término resistente es la suma de los términos individuales. el caudal circulante por una tubería “ij” es tubería 31 positivo si va en el mismo sentido que el positivo de la malla..3. en paralelo o como una combinación de ambas. El caudal corrector para una malla “i” viene dado por la ecuación: ∑k ij Q ij Q ij (ΔQ )i =− j [39] 2 ∑k j ij Q ij _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . para una determinada malla “i”..2. Se define resistencia de una tubería al factor que multiplicado por el cuadrado del caudal nos da la pérdida de carga: L 8 k=f [35] D5 π2g ⎛ ⎞ h p total = i ⎜ hpi = ⎜ ⎜∑ ⎝ i ⎟ ki ⎟ Q2 ⎟ ⎠ ∑[36] Para régimen turbulento totalmente desarrollado. con lo que se obtiene un sistema de ecuaciones. que va disminuyendo conforme la iteración de cálculo se va aproximando a la solución. Ecuaciones de las mallas: de la malla “1” a la malla “m” . para un tubería 45 determinado nudo “i”. = k i Q i2 [38] Cuando se tiene una red de tuberías. que integran una red de tuberías. y la pérdida de carga total es suma de la de cada una. que es homogéneo (m+n>t) y permite obtener el reparto de caudales por la “t” tuberías que integran la red. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross. y para cada nudo la suma de caudales es nula. el caudal que circula por ellas es el mismo. Cuando dos o más tuberías se colocan en paralelo. para cada malla. con lo que se tiene para cada malla “i”: + malla 3 ∑k j ij Q ij Q ij = 0 tubería 34 tubería 33 k 31Q i1 Q 31 + k 32 Q 32 Q 32 + k 33 Q 33 Q 33 + k 34 Q 34 Q 34 = 0 tubería 35 malla 4 Ecuaciones de los nudos: del nudo “1” al nudo “n” . se resuelve iterativamente el sistema de ecuaciones. Flujo Interno 11 2.
2.1. tendría un valor de 2. Flujo Interno 12 2. con lo que se tiene la ecuación diferencial v vs t: 1 41 8 2 El gradiente de presión en la dirección del flujo.06 42 2 En donde hpE son las pérdidas de carga singulares en la conexión de entrada entre depósito y tubería. que es el factor de corrección de energía cinética. da lugar a un Re > 2000. FLUJO NO ESTACIONARIO. que se tienen en el fenómeno del golpe de ariete.3.1. hasta que se alcanza régimen estacionario en todo el conducto. y se supone que el flujo en todo momento es turbulento.II. provoca oscilaciones de presión. en un determinado instante (t). Consideraremos dos casos de flujo no estacionario (o transitorio): (1) Tiempo de establecimiento del flujo en una tubería conectada a un depósito.) _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . que se mueven a alta velocidad por el conducto por efecto de la compresibilidad del fluido. El coeficiente 1. hasta el instante en que la velocidad de salida. (2) Sobrepresiones y depresiones. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario.06 viene dado porque en el término de la energía cinética de salida (por unidad de peso) se utiliza la velocidad media. que aparece en el balance energético entre la superficie libre del depósito y el chorro de salida: 1. hpS son las pérdidas de carga singulares en la sección de salida del chorro a la atmósfera y hpl son las pérdida de carga lineales a lo largo de la longitud de la tubería. aunque estrictamente sería laminar desde el instante inicial de apertura de la válvula. y el área de la sección recta es: A = πD2/4. A partir de la figura. se obtiene a partir de la perdida de carga.06 que es el correspondiente a flujo turbulento (ver ejercicio 2. y en ese intervalo el coeficiente. desde que se abre la válvula de descarga a la atmósfera. entre dos secciones separadas por un diferencial de longitud axial (dx). en vez de 1. se puede establecer el balance de fuerzas en un elemento de masa (dm).2. en donde la velocidad de todas las partículas en el interior de la tubería es v = v(t): τw p ∂p v(t) p+ dx ∂x τw dx H L 40 La tensión en la pared puede expresarse a partir del coeficiente de fricción de Darcy: τw = fρv2/8. en donde el cierre de la válvula de descarga.3.
se puede obtener el gradiente de presión en un determinado instante: 1. [45] queda: 47 1 La integración nos da el tiempo transcurrido desde el instante inicial con velocidad nula hasta un instante determinado en donde la velocidad de todas las partículas que circulan por la tubería es “v”: 48 2 Por el carácter asintótico de la función v=v(t).II.646 49 2 0.99 2. Flujo Interno 13 La relación entre perdida de carga lineal (a lo largo de toda la longitud de la tubería) y el gradiente de presión axial para una tubería horizontal es: 43 A partir de las Ecs. se puede determinar a partir del valor de la velocidad media en régimen estacionario (v0): 2 0 46 2 Separando variables en la Ec.06+f/D).99 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 .2. cuando se alcanza el 99% de v0. con lo que su valor es: 0.06 44 2 Obteniendo finalmente la ecuación diferencial entre la velocidad y el tiempo: 45 2 En donde la constante C( = kpe+kps+1. se suele considerar como tiempo de establecimiento. [42] y [43].
La velocidad de la onda de presión7. Allievi v0 Δp (1) (i) (2) L Cuando la onda de sobrepresión llega a la sección (1) de conexión con el depósito. El cierre provoca una onda de sobrepresión6. todo el fluido de la tubería está parado y comprimido.. provoca un rebote de una onda de depresión. lo que lleva a obtener un módulo de dilatación volumétrica (K’): V D dp dp K − dVfluido = dp . cuando la válvula de descarga se cierra instantáneamente. se quedan descargadas: la onda de sobrepresión al llegar al depósito a rebotado una onda de depresión. en función de su diámetro. secciones sucesivas (desde la válvula al depósito) se van parando y quedando a baja presión. pero a la vez. = K eE dV V D DK dp + V dp 1+ K eE e E K K dp K' 1 + (D / e)(K / E) ρ a0 a= = = = = dρ ρ ρ 1 + (D / e)(K / E) 1 + (D / e)(K / E) _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . viene determinada por la compresibilidad del fluido. que va viajando aguas. Cuando la onda de depresión.2. hasta la sección de conexión con el depósito (1). el fluido empieza a pararse: conforme pasa el tiempo la zona de flujo estancado va aumentando. viene dada por la Ec. y sin sobrepresión.. A partir de la figura. 6 La sobrepresión del cierre instantáneo de la válvula. va parando el flujo y dejándolo a baja presión. aumenta el volumen de la tubería. las secciones movilizadas del depósito.3. y a partir de ese instante. y “a” la velocidad de la onda de sobrepesión. el fluido empieza a salir hacia el depósito. espesor y módulo de elasticidad o módulo de Young (E). en donde “v0”es la velocidad media del fluido antes del cierre. sucesivamente se van poniendo en marcha hacia el depósito secciones de fluido. dVtubería = V dp . se tiene todo el flujo de la tubería en movimiento hacía el depósito. a partir de ese instante. llega a la válvula cerrada..II. la geometría y la elasticidad de la tubería: / 50 1 / / Δp=ρgv0 Ec. Se deduce a partir del balance de fuerzas en el entorno de la onda estacionaria de presión: ∑ dF = ρQ·Δv dp·A = ρv 0 A·[v 0 − (v 0 − a )] dp = ρv 0 a 7 La velocidad de la onda de presión depende del módulo de compresibilidad del líquido circulante. La llegada de la onda de depresión a la válvula. y de las características elásticas de la tubería: un aumento de presión hace disminuir el volumen ocupado por el fluido dependiendo de su módulo de compresibilidad (K). Golpe de Ariete. Flujo Interno 14 2. desde la sección de la válvula (2) en el instante inicial. que conforme se mueve hacia el depósito.2. en dirección al depósito. K' = V =V = . de Allievi: Δp=ρv0a.
Para explicar cualitativamente el fenómeno del golpe de ariete.II. en tcierre donde se considera el cierre en cierres parciales instantáneos (CP). deja a todo el flujo parado.tubería: K’=ρdp/dρ=ρa2. se obtiene a partir de considerar el módulo de dilatación volumétrica fluido. obtuvo % cierre la ecuación de la presión máxima. y se ha despreciado la aceleración convectiva frente a la local. en el proceso real. no se han considerado efectos disipativos. prácticamente se alcanza la sobrepresión de Allievi: ∆ 51 En cierre lento. con lo que a partir del instante de llegada. y despreciando la variación convectiva de presión frente a la local dρ ∂v ρ +ρ =0 dp dt ∂x K' ∂v dp ⎛ K ' ⎞ ∂v ∂p ∂v ⇒ +ρ =0 + ⎜ ⎟ρ =0 + ρa 2 =0 ρ dt ∂x dt ⎜⎝ ρ ⎟⎠ ∂x ∂t ∂x dρ = dp K' En la ecuación de Navier-Stokes en dirección axial. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . llega a la válvula. el mismo Allievi. ∂p ∂v Continuidad: + ρa 2 =0 ∂t ∂x ∂p f ρv v ∂v Navier-Stokes en dirección axial: ρg·senα + + +ρ =0 ∂x D 2 ∂t La ecuación de continuidad. en las secciones del fluido (1) y (2) y una sección intermedia (i). cuando la primera onda llega en el instante 2L/a. de Darcy-Weisbach. A este fenómeno de generación de oscilaciones de presión (sobre y depresión).2. distinguiendo entre cierre rápido. las sobrepresiones y depresiones máximas se alcanzan al principio. y conforme pasa el tiempo se van amortiguando. El tiempo que tarda una onda en recorrer la tubería de longitud L. y se vuelve a repetir el ciclo de oscilaciones de presión provocado por el cierre de la válvula. En cierre lento. y se rebota una onda de presión de igual magnitud. es L/a. consideremos las siguientes gráficas de la presión en función del tiempo. se puede seguir el método de Bergeron. en el cierre instantáneo de una válvula. En el cierre rápido. cuando el tiempo de cierre es menor que 2L/a y cierre lento en caso contrario. Flujo Interno 15 La llegada de la onda de depresión. En cierre rápido. El cierre no es posible que sea instantáneo. Aunque en el análisis anterior. ésta ya se encuentra totalmente cerrada. se denomina golpe de ariete. Esta situación se prolonga hasta que la onda de sobrepresión. y parte de la intensidad de la onda incidente pasa aguas arriba. La resolución numérica de las ecuaciones del flujo (continuidad y Navier-Stokes). sin pérdidas y lineal (%cierre = CP1 100·t/tcierre): CP2 cierre CP3 lento CP4 á 1 √ 4 CP5 52 cierre lineal CP6 t Si la ley de cierre de la válvula no es 2L/a lineal. generado por el cierre de válvulas. Se ha supuesto que la tubería tiene un ángulo de inclinación α. permite obtener resultados contrastados con los experimentales. pero a depresión. la válvula está parcialmente abierta. a la sección (1) del depósito. cada fracción de tiempo 2L/a. retorno a la válvula. por el método de características. con lo que el tiempo que tarda la onda de presión generada por el cierre de la válvula será 2L/a. considerando el cierre de la válvula. en función del tiempo de cierre. la fuerza de rozamiento por viscosidad (por unidad de volumen) viene dada por la Ec. dejando sucesivamente zonas de fluido a la velocidad y presión inicial: la onda de depresión al llegar al depósito rebota una onda de sobrepresión. el fluido vuelve a entrar en la tubería. y parte se refleja agua abajo. cuando la primera onda de presión generada por el cierre de la válvula.
II. Flujo Interno 16 p(1) L 2a Δp p0 t −Δp p(i) Δp p0 t −Δp 4L p(2) a Δp p0 t −Δp L t= t=0 2L 2a t= 2a 3L t= 2a 4L t= 5L 2a t= 6L 2a t= 2a 7L t= 2a 8L t= 2a sección (i ) DEPÓSITO (1): VÁLVULA (2): ONDA DE LA ONDA LA ONDA SOBREPRESIÓN (+Δp) REFLEJADA ES REFLEJADA DE SENTIDO ES DEL CONTRARIA A ONDA DE MISMO LA ONDA DEPRESIÓN (-Δp) SENTIDO QUE INCIDENTE LA ONDA INCIDENTE Movimiento de ondas de sobrepresión (+Δp) y de depresión (-Δp). _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . desde su origen en el cierre de la válvula (t=0). hasta la repetición del ciclo en la propia válvula (t=4L/a).2.
8167 0. La velocidad media y el factor de corrección de la energía cinética para flujo turbulento. y U0 la velocidad máxima a radio cero. La velocidad media y el factor de corrección de la energía cinética para flujo laminar. 2. Por tanto cuando se exprese la energía cinética de la masa que atraviesa una sección de la tubería (por unidad de tiempo) se deberá poner: 1 1 2 La existencia del factor (1/2) en flujo turbulento.0459 1. Para flujo turbulento el exponente “m” depende del número de Re. Factor de corrección de energía cinética. y el factor de corrección de energía cinética es prácticamente 1.e. de nuevo es despistante pues es como si no hubiese factor de corrección. se tienen los siguientes resultados: m 1/6 1/7 1/8 1/9 Re 104 105 106 107 v/U0 0.0584 1. según la siguiente tabla: m 1/6 1/7 1/8 1/9 Re 104 105 106 107 RESOLUCIÓN: La velocidad media y el factor de corrección de energía cinética son: : : 1 ó í é : 2 (1) FLUJO LAMINAR: en donde la distribución de velocidad axial es radial: u = u(r) = U0(1-r2/R2) 1 / 2 1 2 2 1 / 2 2 En flujo laminar.1. (2) FLUJO TURBULENTO: en donde la distribución de velocidad axial es radial: u = u(r) = U0(1-r/R)m 1 / 2 2 1 2 1 / 2 1 2 4 1 3 2 3 A partir de los datos de la tabla adjunta para flujo turbulento. la distribución de velocidad es parabólica. Flujo Interno 17 P 2. En una sección de una tubería. la energía cinética es distinta a la energía cinética asociada a la velocidad media del flujo. teniendo que obtener un factor de corrección (α). p.: 1.8526 α 1. Flujo turbulento: u = U0(1-r/R)m En donde “u” es la velocidad axial en una posición radial “r”. DETERMINE: 1. la distribución de velocidad es tal.II. Muchas veces para evitar esta confusión.8366 0. que la velocidad media es un poco más pequeña que la máxima. Por tanto cuando se exprese la energía cinética de la masa que atraviesa una sección de la tubería (por unidad de tiempo) se deberá poner: 2 La no existencia del factor (1/2) en la presión dinámica es muy despistante y hay que tener cuidado.06 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . se suele poner su valor para destacar la existencia del factor de corrección y que la distribución de velocidad no es uniforme. y el factor de corrección de energía cinética es 2.7912 0.0768 1.2. DATOS: Flujo laminar: u = U0(1-r2/R2).0371 En flujo turbulento. la velocidad media es la mitad que la máxima. aunque el factor sea prácticamente 1.
por lo que la unidad habitual en la que se expresa la viscosidad dinámica es el mPa·s. aparece por primera vez reflejada en la ecuaciones de Navier-Stokes.2. 128 128 2.714 . Flujo Interno 18 P 2. / 0.2. e igual a 1 mPa·s. Una aplicación característica de este resultado. para asegurar flujo laminar.01 19. por lo que la unidad habitual en la que se expresa la viscosidad cinemática es el mm2/s. Potencia disipada por rozamiento viscoso en el capilar.714 10 2300 1.01 P es decir 1 cP (centiPoise). La viscosidad cinemática se obtiene directamente de la relación: ν = μ/ρ 16. En condiciones ambientales de 1 bar y 20ºC. precisamente las primeras medidas de viscosidad las realizo Poiseuille. 4 4 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 .714 10 19. DATOS: Viscosímetro: longitud: L= 2400 mm. se designa a la unidad CGS de viscosidad cinemática como STOKE: 1 St= 1 gr/(cm·s).4 6 10 /60 Se recuerda que 1 mPa·s = 1 cP (centiPoise). En condiciones ambientales de 1 bar y 20ºC. 2. por la medida de la perdida de carga en su flujo por un conducto capilar.362 10 19.01 St es decir 1 cSt (centiStoke). Aplicación de la Ec. Hagen-Poiseuille: 128 ∆ 24 Δp RESOLUCIÓN: Q Q L (1) VISCOSIDADES DINÁMICA Y CINEMÁTICA: de la Ec.424 10 . Caudal máximo que debe circular por el conducto.II. y en su honor los físicos designaron a la unidad CGS de viscosidad absoluta o dinámica como POISE: 1 P = 1 gr/(cm·s). Ec. 2. DETERMINE: 1. diámetro: D = 10 mm Fluido: caudal = 6 litros/minuto.010 19. e igual a 1 mm2/s. Viscosidad dinámica en cP y cinemática en cSt. y en honor de Stokes.714 10 (2) POTENCIA DISIPADA: Pμ = Q ⋅ Δp = ( 6 ⋅ 10−3 / 60 ) ( −16000 ) = -1. 6W (3) CAUDAL MÁXIMO PARA FLUJO LAMINAR: la condición es: Re<2300. la viscosidad absoluta es ∆ 16000 0. las ecuaciones de Navier-Stokes.010 16. de Hagen-Poiseuille: Viscosímetro capilar. es menor de 2300. 830 Se recuerda que 1 mm2/s = 1 cSt (centiStoke). En flujo laminar en conductos. se pueden resolver analíticamente. el agua tiene una viscosidad de 0. perdida de presión: -Δp = 16 kPa. para asegurar que el flujo en el capilar es laminar: 4 4 4 60 10 /60 .362 . de Hagen-Poiseuille. precisamente la importancia de la viscosidad cinemática. densidad: ρ = 830 kg/m3 Flujo laminar: Re<2300 Considere tubería horizontal.362 10 16. con lo que se tiene: 4 2300 2300 0. es la determinación de la viscosidad de un fluido. Comprobemos que el número de Reynolds. y la pérdida de carga viene determinada por la ecuación de Hagen-Poiseuille. el agua tiene una viscosidad de 0.
9 10 0.002 950 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . que recoge y filtra el aceite. de Hagen-Poiseuille: Flujo en el conducto de descarga de aceite de corte. densidad: ρ = 950 kg/m3 RESOLUCIÓN: Supondremos inicialmente.8 9.9 2 9. 2300 1. L viscosidad: μ= 1. que el flujo es laminar: 100 10 4 4 60 . de Hagen-Poiseuille: 128 128 8 2 2 2 De donde se obtiene la expresión del diámetro: / 128 8 / 0.0019 100 10 100 10 128 0.9 Fluido: caudal = 100 cm3/minuto. En las máquinas herramienta.8 0. y mediante una bomba se retorna al depósito superior. Flujo Interno 19 P 2. DETERMINE el diámetro que tiene que tener el conducto.4 0. en la zona de corte se debe aportar un aceite. del que por gravedad se lleva mediante un conducto el aceite a la zona de corte.4.350 Comprobemos.3.II. H DATOS: Depósito superior: nivel de aceite: H = 20 mm Conducto vertical: longitud: L= 350 mm Coeficientes de pérdidas entrada y salida: Kpse = 0. El nivel del aceite (H) en el depósito superior se mantiene constante. es tener un depósito superior. de Hagen-Poiseuille.020 0.9·10-3 Pa·s. El dispositivo más sencillo.350 8 950 60 60 0.2. el sistema se completa con un recipiente inferior. para determinar las pérdidas lineales a lo largo del conducto: 128νL hp = Q gπD 4 El balance energético (en términos de energía por unidad de peso. Aplicación de la Ec. es decir en altura o carga) entre la superficie libre y el chorro de salida es (recuerde que el factor de corrección de la energía cinética en flujo laminar es α=2): 2 Expresando la velocidad media en función del caudal y la pérdida de carga por la Ec. que el flujo es laminar. con lo que se puede aplicar la Ec. Kpss = 0.
viene impuesta por la pérdida de presión admisible en el conducto (al considerarse horizontal). 2.014.36·10-3/860 = 6.2326·10-6 m2/s Con rugosidad relativa: εr = 0. entre el pozo de petróleo y el puerto de carga.51 ⎞ = −2 ⋅ log ⎜ r + ⎟ f ⎝ 3. de Darcy-Weisbach: L 8 h p = f 5 2 Q2 D πg En donde el factor de fricción o factor de Darcy. El alto caudal. de la Ec. DATOS: Conducto horizontal: diámetro: D = 2000 mm. también se puede obtener a partir del diagrama de Moody: 0. que circula por un oleoducto. de Colebrook se obtiene.381m 3 / s día 24 ⋅ 3600s 1Barril La viscosidad dinámica del crudo es: ν=μ/ρ = 5.18927m3 En donde el caudal se ha calculado en el S. es necesario localizar subestaciones de bombeo. y que viene dada por la presión manométrica a la salida de la bomba: −Δp 40 ⋅ 105 hp = = = 474.I. Aplicación de la Ec.2326 10 B 1día 0.36·10-3 Pa·s. Flujo Interno 20 P 2.381 40 10 17524 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . 8 8 0.7 Re f ⎠ La rugosidad relativa es: εr = ε/D = 0.381 (2) POTENCIA DISIPADA POR FRICCIÓN EN LA TUBERÍA: ∆ 4.: Q = 2 ⋅ 106 = 4. 608m ρg 860 ⋅ 9. viene determinado por la Ec. en donde la pérdida de carga es proporcional al cuadrado del caudal.(1 barril = 50 galones USA = 189. de Darcy-Weisbach: Perdida de carga en un oleoducto.4. Por lo cual. El factor de fricción. La longitud del oleoducto entre subestaciones de bombeo. La potencia disipada por viscosidad. DETERMINE: 1.475·105 En el problema.475 10 2 6.014 4.27 litros) viscosidad: μ= 5. hace que las pérdidas de carga sean considerables: se tiene flujo turbulento. densidad: ρ = 860 kg/m3 Presión manométrica salida bomba: 40 bar RESOLUCIÓN: (1) LONGITUD DEL OLEODUCTO ENTRE SUBESTACIONES: la pérdida de carga viene dada por la Ec.475·105.2.8 . rugosidad: ε = 0.0001 y número de Reynolds: Re = 4.8 474.2/2000 = 0.0001. la pérdida de carga. de Colebrook: 1 ⎛ ε 2.2 mm Crudo: caudal: Q = 2 MBD (millones de barriles por día).381 4. y el número de Reynolds es: 4 4 4.014 4. el factor de Darcy: f=0.608 2 9.II.
1 8LQ ⎛ ε 1 2. de Darcy-Weisbach: h p = f Q . en flujo turbulento. densidad: ρ = 1000 kg/m3 Perdida de presión admisible: 2. en donde a partir de los datos: DETERMINE el diámetro mínimo del conducto. En cambio.II. de Darcy-Weisbach. de Colebrook: = −2 ⋅ log ⎜ r + ⎟. 3 5 3. de D5 π 2 g donde se tiene la relación entre el diámetro y el factor de fricción: h p π2 g f = 2 D5 Ec. Aplicación de la Ec. el caudal a mover y la pérdida de carga admisible. de Colebrook. 2 f ⎜⎜ 3.03 ⎟⎟ 6415. y Re=4Q/πDν. el fluido a transportar. rugosidad: ε = 0.51 ⎟ = −2 ⋅ log ⎜ + ⎟ Ec.51 ⎞ El factor de fricción viene dado por la Ec. Considere la tubería que une la salida de la bomba hasta la entrada a un sistema de riego por aspersión. con lo que se obtiene una segunda relación entre f y D: ⎛ ⎞ 1 ⎜ ε/D 2. de Darcy-Weisbach: determinación de diámetro de un conducto.1 mm Agua: caudal: Q = 1.51 ⎟ = −2 ⋅ log ⎜ + ⎟ 6415. 4 m -5 8LQ2 8 ⋅ 50 ⋅ 0. el diámetro y el factor de fricción: la forma implícita de la Ec.51 ⎟ = −2 ⋅ log ⎜ + ⎟ Ec. 3. en cuanto a la geometría del conducto.7 4Q kD ⎜⎜ kD5 ⎟⎟ ⎝ πDν ⎠ −Δp 2. L = 50 m.34 ⋅ 105 En el problema. hace necesario recurrir a un método iterativo de resolución simultanea de las dos ecuaciones. viscosidad: μ = 1 mPa·s. con los datos : hp = = = 23. que a su vez también tiene como únicas incógnitas. en la Ec.7 Re f⎠ En donde εr=ε/D. de Colebrook.8 Se tiene que la constante de la Ec. ρg 1000 ⋅ 9.032 Con lo que se tiene la ecuación: ⎛ ⎞ 1 ⎜ 0. Los datos de partida.8m3/min=0. de puede obtener una única ecuación explicita entre f y D.8 m3/minuto.878 ⋅ π2 ⋅ 9. Si el flujo es laminar. El problema básico de diseño en flujo en conductos. en donde k = 8LQ 2 ⎛ ⎞ 1 ⎜ ε/ D 2. Q = 1.34 bar L 8 2 RESOLUCIÓN: la pérdida de carga viene determinada por la Ec. pero no su diámetro.5. se desconocen tanto el diámetro como el factor de fricción.8 h p π2 g 23. se conoce su longitud y su rugosidad. por lo que se tiene que utilizar la Ec. 4D 5 ⎜⎜ 3.878 m .7 4Q ⎟⎟ f ⎝ πD ν ⎠ h p π2 g Para la resolución del sistema.1 ⋅ 10−3 / D 2. el problema es inmediato ya que de la Ec. DATOS: Conducto horizontal: longitud: L = 50m. es la determinación del diámetro del conducto. para unas determinadas prestaciones. f ⎝ 3. 4D5 ⎝ πD ⋅ 10−6 ⎠ Cuya solución es: D = 80 mm _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . de Hagen-Poiseuille. son habitualmente. Flujo Interno 21 P 2.2.03m3/s. lo único que se desconoce es el diámetro. es: k= = = 6415.7 4 ⋅ 0.
080·10-6) = 4.2 = 0. 2: Re = (4·0. Flujo Interno 22 Otra forma de resolver las dos ecuaciones simultáneas (1) y (2).4)0.080=0.1·10-3/0.78·105 εr = 0.0205 2ª ITERACIÓN: D = (fColebrook/k)0.4·0.1·10-3/0. es por iteraciones.2 = (0.080 m Ec.03/π·0. 2: Re = (4·0.021 3ª ITERACIÓN: D = (fColebrook/k)0.2 = (0.001 fColebrook = 0. cuyo diagrama de resolución es: DATOS Dinicial = Q / π D = Dinicial D = (fColebrook/k)0.080=0.ε r ) 4Q Re = πD ν f − fColebrook < 10−5 NO SI FIN En el problema: 1ª ITERACIÓN: D = Q / π = 0.2 Ec.2 ⇒ f Colebrook =f(Re.021/6415.080·10-6) = 4. 1: f = 0.1·10-3/0.0985 = 0.03/ π = 0.II.00125 fColebrook = 0.03/π·0. 1: f = 0.0205 Ec. 1: f = kD5 = 6415.4)0.021 (CONVERGENCIA) ….2 = 0.098=0.057 Ec.0205 Ec.03/π·0.0205/6415.78·105 εr = 0.080 m Ec.098m (se supone inicialmente una velocidad media de 4 m/s) Ec.00125 fColebrook = 0.2.098·10-6) = 4·105 εr = 0. 1: f=k·D5 ε εr = D Ec. 2: Re = (4·0. D=80 mm _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 .
4) Velocidad de la onda de presión en el golpe de ariete provocado por el cierre.03 0. viene dado por la Ec. 5) Sobrepresión máxima en el cierre de la electroválvula.7 ⎠ ⎝ 3. en flujo estacionario. El tiempo de apertura de la electroválvula se controla electrónicamente.01 / 2 ⎞ 4 log 2 ⎜ ⎟ 4 log 2 ⎜ ⎟ ⎝ 3. En el cierre de la electroválvula (prácticamente instantáneo). Flujo Interno 23 P 2. de Colebrook.3 10 96. nos queda: 1 2 2 2 2 De donde la velocidad de régimen estacionario es: 2 El coeficiente de fricción de Darcy en el conducto. DATOS: Conducto: D = 2 mm. rugosidad: ε = 0. de la que salen conductos para cada uno de los cilindros. girando a 4000 rpm (1) VELOCIDAD EN RÉGIMEN ESTACIONARIO: La caída de presión entre el “common-rail” y la cámara de combustión. módulo de compresibilidad: K = 1620 MPa Inyector: coeficiente de perdidas: KPS = 28. Presión manométrica en cámara combustión: 54. que para flujo turbulento totalmente desarrollado toma la forma: 1 ⎛ε/D⎞ 1 1 = −2 log⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ f= = = 0. se dispone de un colector de combustible a muy alta presión.II. espesor: e =3 mm.6. L = 300 mm . Motor: 4 cilindros. módulo Young: E = 2500MPa Presión manométrica en el “common-rail”: 1323 bar. 4 tiempos. DETERMINE: 1) La velocidad del combustible en el conducto (v0). en función del régimen de giro del motor y de la carga. En el sistema de inyección por raíl común de un motor Diesel de inyección directa.3 0. se provoca un golpe de ariete que genera una onda de sobrepresión en el conducto.2. se localiza una electroválvula que deja pasar el combustible al inyector.002 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 .030 f ⎝ 3.3.7 ⎠ ⎛ε/D⎞ ⎛ 0. En el extremo de cada conducto. tiempo apertura: el equivalente a 5º de giro del cigüeñal.7 ⎠ Con lo que el valor de la velocidad de régimen permanente es: 2 2 1323 54.300 832 28. determinan las pérdidas lineales en el conducto de unión y las pérdidas singulares en el inyector: Despreciando la variación de cotas entre el raíl común y la cámara de combustión. 3) Tiempo de apertura del inyector y velocidad que alcanza el combustible en el conducto. Flujos estacionario y no estacionario. 2) La función v=v(t) que da la evolución temporal de la velocidad en el conducto.3 bar Combustible: densidad: ρ = 832 kg/m3.43 / 0.01 mm . las energías cinéticas y las perdidas singulares en la conexión de la tubería con el raíl común.
se determina por la diferencia de presiones entre el inicio de la tubería en el raíl común y el final en su conexión con el inyector. v=0) hasta un instante t con velocidad v es: 2 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . la evolución temporal de la velocidad por el conducto.2. por unidad de longitud de la tubería: 1 2 2 Si consideramos que desde el instante inicial el flujo es turbulento completamente desarrollado (es mucho suponer. con lo que en el régimen no estacionario. con lo que la expresión anterior se reduce a: 4 El gradiente de presión en la dirección axial. que habíamos obtenido en el apartado anterior) la aceleración es nula y se obtiene: Quedando definitivamente: 1 Separando variables: 1 Cuya integración desde el instante inicial (t=0. pues en régimen estacionario con velocidad constante (v0. desde velocidad nula en el inicio. pero por facilitar las cosas …). hasta que se alcance asintóticamente la velocidad de flujo estacionario. se puede obtener a partir del balance de fuerzas elementales sobre un volumen elemental en el interior del conducto (de tamaño dV=A·dx): τw p ∂p v(t) p+ dx ∂x τw dx El área de la sección recta es: A = πD2/4. Flujo Interno 24 (2) ECUACIÓN DE ESTABLECIMIENTO DEL FLUJO: se considera una apertura instantánea del inyector. el factor de Darcy es constante y la tensión en la pared será: 8 Con todo se tiene la ecuación diferencial v vs t: 1 2 Es interesante darse cuenta que el paréntesis. es un valor conocido.II.
por el alto valor de la constante de tiempo. de Allievi: (Δp )ariete = ρa·Δv En donde Δv.43 94.3 10 10542.08 / 1 .08 = 91.2.II.2 832 0.417 10 0. . suficientes para que se extingan los pulsos de presión.274·MPa = 912. . 1 1 96. es decir: T = 2·0. es la disminución de velocidad provocada por el golpe de ariete. hasta velocidad nula en su cierre instantáneo: (Δp)ariete = ρa·Δv = 832·1166.417 ms en los que está abierto el inyector será: . (5) INCREMENTO DE PRESIÓN MÁXIMA PROVOCADA POR EL CIERRE DEL INYECTOR: viene dado por la Ec. con lo que: K /ρ 1620·106 / 832 a= = = 1166.002·1620·106 / 0. . (4) VELOCIDAD DE LA ONDA DE PRESIÓN PROVOCADA POR EL CIERRE INSTANTANEO DEL INYECTOR: se dispone de todos los datos.74 bar El periodo de las ondas de presión provocada por el cierre del inyector. Flujo Interno 25 Con lo que la evolución temporal de la velocidad es: 1 1 En donde la constante de tiempo “a” es: 2 2 1323 54.003·2500·106 El numerador de la expresión ( / ) es la velocidad sónica en el fluido en flujo externo.515 ms Recordando que el inyector vuelve a abrirse al cabo de 2 vueltas del cigüeñal. que corresponde a un tiempo de 30 ms. es de 2L/a.07 m/s 1 + DK / eE 1 + 0. provocados por el cierre del inyector. 1 Que es prácticamente la velocidad de equilibrio. Con todo lo anterior.43 (3) TIEMPO DE APERTURA DEL INYECTOR Y VELOCIDAD EN EL INSTANTE DEL CIERRE DEL INYECTOR: El tiempo de apertura del inyector se determina a partir de la velocidad de giro del motor y de los grados del cigüeñal en los que se tiene abierto dicho inyector: 10º 0. la velocidad alcanzada al cabo de los 0. en este caso desde la velocidad que se alcanza en el tiempo de apertura del inyector (prácticamente la de flujo estacionario).07·94.417 360º 4000 60 Tenga en cuenta que un ciclo de trabajo (2 vueltas para un motor de 4 tiempos) girando el motor a 4000 rpm se realiza en 30 milisegundos (=(60000 ms/min)/ (2000 ciclos/min)). que es igual a: 1620 10 / 1395. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 .4 / 832 El efecto de la elasticidad de la tubería (a través del modulo de elasticidad o de Young) provoca una ligera disminución de la velocidad de propagación de los pulsos de presión. .300/1166. es decir unos 58 ciclos de pulsos de presión.07 = 0.300 96.
II.8 + 0. Velocidad media en régimen estacionario.06·25 = 0. tobera: kpss=4. de von Karman: 1 ⎛ε ⎞ 1 1 = −2 log⎜⎜ r ⎟⎟ f= = = 0. En una central hidráulica de alta montaña.88 = 3.02075·3467 / 0. la constante K es: K = K pse + fl / D + K pss + 1.96 m3/s 4 4 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 .88 m/s K 121. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario: desde que se abre totalmente la válvula de control de la tobera.7.800 2 El caudal en régimen estacionario es: Q 0 = v 0 = 7. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario. y caudal estacionario. 2.2. Desde la toma del embalse. el factor de fricción.800 + 4. Flujo Interno 26 P 2. hasta que la velocidad media alcanza el 99 % de la velocidad estacionaria.7 ⎠ ⎝ 3.8)(385) La velocidad media en régimen estacionario queda: v 0 = = = 7. que el flujo es turbulento totalmente desarrollado.8. longitud: L = 3467 m.06·25 = 121.02075 f ⎝ 3.06. con lo que la constante K es: K = Kpse + fL/D + Kpss + α·25 Suponiendo.63 πD 2 π0. es decir.4 + 1.7 ⎠ ⎛ε ⎞ ⎛ 1 / 800 ⎞ 4 log 2 ⎜⎜ r ⎟⎟ 4 log 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3.63 2gH 2(9.4 Reducción de área de la tobera: 5:1 H v(t) RESOLUCIÓN: (1) VELOCIDAD MEDIA EN RÉGINE ESTACIONARIO: el balance energético entre la superficie libre del embalse y el chorro de salida es: v2 L v 02 v2 v2 v2 H = K pse 0 + f + K pss 0 + α chorro = K 0 2g D 2g 2g 2g 2g La velocidad del chorro es 5 veces la de la tubería. por la tobera principal.7 ⎠ Considerando como valor del coeficiente de corrección de energía cinética: α = 1. DATOS: Central: diferencia de cotas entre embalse y chorro: H = 385 m Tuberías: diámetro: D = 800 mm. DETERMINE: 1. hay una tubería por la que circula el agua. rugosidad absoluta: ε = 1 mm Coeficientes de pérdidas singulares: entrada tubería: kpse = 0. hasta la tobera. sólo depende de la rugosidad relativa a través de la Ec. se descarga un chorro hacía los alabes de la turbina Pelton.
06·25) 2g ( = h pl + K pse + K pss + 1. pero por facilitar las cosas …). se pueden obtener del balance energético (energía por unidad de peso): v2 v2 v2 2 2 H = K pse 2g + h pl + K pss 2g + (1. diferencial: 1 La evolución temporal de la velocidad media en la tubería.2. Flujo Interno 27 (2) TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO DEL FLUJO: La ecuación de conservación de cantidad de movimiento.06·25 ) 2vg = h pl + C 2vg 2 Si consideramos que desde el instante inicial el flujo es turbulento completamente desarrollado (es mucho suponer. se determina por las pérdidas de carga lineales en el tramo de tubería: Las pérdidas de carga en la tubería. viene dada por la integración de la ecuación diferencial anterior: A t v = v0 e −1 A= 2gH tA Lv 0 e +1 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . el factor de Darcy es constante y la tensión en la pared será: 8 Con todo se tiene la ecuación diferencial v vs t: 1 2 El paréntesis viene determinado por la velocidad de régimen estacionario: 1 0 2 1 2 Quedando la Ec. aplicada a un elemento de fluido entre son secciones de la tubería en la dirección axial es: p τw v(t) dz dx ∂p p+ dx ∂x / El gradiente de presión piezométrica en la dirección axial.II.
y por tanto el flujo es turbulento. 276· t A= 2gH 2·(9.E+06 5.8)(· 385) En la gráfica siguiente.99 v 0 Lv 0 1. 276· 0.800 8 10 6.88 e −1 Lv 0 (3467 )(7.E+06 2.99 v 0 2gH 0.E+06 1.646 0 2gH v 0 − v 2gH v 0 − 0.E+06 3.01 gH Numéricamente: t establecimiento = 2. se representa la evolución temporal de la velocidad en la tubería: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Velocidad (m/s) vs tiempo (s) At 0.2.88) = 19. 276· e +1 7.276 s −1 v = v0 e − 1 = 7.E+06 6.646 (3467 )(· 7. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . 276· t e +1 e +1 Sería interesante evaluar lo que pasa con el número de Reynolds: t 0. Flujo Interno 28 Se considera como tiempo de establecimiento del flujo estacionario.646 Lv 0 = 2.304 10 e −1 10 t 0. el Re es mayor de 106.2 s gH (9.II.99 Lv ⇒ t= ·ln 0 t establecimiento = ·ln 0 = ·ln = 2.E+06 0. prácticamente a partir del primer segundo.E+00 0 5 10 15 20 25 30 Re vs t(s) Es decir.8)( = · 385) = 0.88) t A 0. el instante en donde la velocidad media es el 99% de la correspondiente a flujo estacionario: Lv 0 v +v Lv 0 v + 0.E+06 4.
que se puede obtener. Velocidad de la onda de presión. hace que la velocidad de la onda de presión en el golpe de ariete (a). Flujo Interno 29 P 2.II. a 0 con la válvula cerrada). se suele expresar en unidades de carga o altura: Δp ρav 0 a 157. a0 1483.8 _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 . sea inferior a la correspondiente a flujo no confinado (a0). En el cierre de la válvula.4 bar m s s Esta sobrepresión. Sobrepresión máxima de Allievi (cierre instantáneo). 3. 2.8. Oscilaciones de presión en la válvula con cierre instantáneo.24 m/s 1000 El efecto de la elasticidad de la tubería.88 = 126.88 m/s RESOLUCIÓN: K ρ a0 (1) Velocidad de la onda de presión: a= = 1 + (D / e)(K / E) 1 + (D / e)(K / E) La velocidad sónica en el seno del agua. a partir de analizar un volumen de control estacionario. depende de la posición del elemento de cierre y de la densidad del fluido. en este caso del orden del 90%. se inicia la operación de cierre de la válvula de descarga. Golpe de ariete: en el sistema del problema anterior. en un entorno diferencial al frente de onda: a a p0 v0 v=0 p0+Δp p0 (a+v0) a p0+Δp a ∑ dF = ρQ·Δv ⇒ p 0 A − (p 0 + Δp )A = ρv 0 A(a − (a + v 0 )) ⇒ Δp = ρav 0 kg m m Δp = ρav 0 = 1000 3 ·157. rugosidad absoluta: ε = 1 mm espesor: e =10 mm. viene dada por su módulo de compresibilidad (K=2200 MPa) y su densidad (ρ=1000 kg/m3): 2200·10 6 a0 = K / ρ = = 1483. la constante de proporcionalidad. analice el movimiento de las ondas de presión y sus amplitudes en la válvula de descarga.88 = … = 12. cada posición del elemento de cierre origina una determinada velocidad de paso del agua (desde v0 con la válvula totalmente abierta.223 ·7. conforme el fluido se va parando. DETERMINE: 1. considere. que la velocidad de paso el proporcional a la raíz cuadrada de la presión en la válvula: v i = k i p i . su presión experimenta un incremento. módulo de Young: E= 2000 MPa Velocidad en régimen estacionario: v0 = 7. En función del tiempo de cierre (lento o rápido).2.223 m/s 1 + (D / e)(K / E) 1 + (800 / 10)(2200 / 2000) (2) Sobrepresión máxima de Allievi: con cierre instantáneo.24 a= = =157. densidad: ρ = 1000 kg/m3 Tuberías: diámetro: D = 800 mm.223 ΔH = = = v0 = 7.42 m ρg ρg g 9. longitud: L = 3467 m. DATOS: Central Hidráulica: diferencia de cotas entre embalse y chorro: H = 385 m Agua: módulo de compresibilidad: K = 2200 MPa.
desde p0+Δp a p0-Δp. con periodo igual al tiempo de retorno de 54. y no considerando efectos disipativos.4 = 25.730 bar t p = 25.II. oscila periódicamente.4 bar p0 = 37. presiones desde 37.33 bar T = 54. Numéricamente.73+12.5 s. Pválvula p = 50.2.223 ·7.13 bar Δp = 12.88 = … = 12. se tiene cierre rápido.4 bar m s s Si el cierre total de la válvula se hace antes de que el frente de onda retorne.13 bar a 37. la presión manométrica en la válvula.5 s _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 08 .73 bar m s2 kg m m La sobrepresión de Allievi es: Δp = ρav 0 = 1000 3 ·157. hasta que retorna a la válvula.4 = 50.8385m … = 37. El tiempo desde que con el cierre de la válvula se inicia el frente de onda de presión. es: 2L 2·3467 t retorno = = = 54. Flujo Interno 30 (3) Oscilaciones de presión en cierre rápido.223 kg m La presión con la válvula cerrada es: p 0 = ρgH 0 = 1000 3 9.33 bar.5 s a 157. con periodo 2L/a.73-12.
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