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Timestamp: 2020-02-21 13:42:19+00:00

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MATRICES (CLASES DE MATRICES. (MATRIZ FILA (MATRIZ CUADRADA. (MATRIZ… Coggle
MATRICES (CLASES DE MATRICES. (MATRIZ FILA (MATRIZ CUADRADA. (MATRIZ…
RESOLUCIÓN PRÁCTICA DE SISTEMAS NO LINEALES SENCILLOS
Planteamiento general y tipos de soluciones
Ya se ha realizado anteriormente el planteamiento general de un sistema de ecuaciones que es válido para este caso, en el que las funciones hi (x) no son lineales.A un conjunto de ecuaciones no lineales se le denomina sistema de ecuaciones no lineal
h(x1,x2,K,xn ) = b∈Rm h : Rn → Rm
x = (x1,x2,K,xn )∈Rn b = (b1,b2,K,bm )∈ Rm
Solución a sistemas de ecuaciones no lineales
No existen métodos generales de resolución para sistemas de ecuaciones no lineales como ocurre en el caso de los sistemas lineales. Se deben combinar los métodos elementales de sustitución, igualación y reducción, junto con los específicos para cada tipo de función h(x) que defina la ecuación (logarítmica, trigonométrica, exponencial, potencial, polinómica, etc.) y que se explican en parte en el tema 1 y en parte en el tema 3. Así pues, sólo se muestran a continuación unos ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales para que sean tenidos en cuenta como una parte muy pequeña de la gran diversidad de casos que pueden darse.
Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas.
EL ORDEN DE UNA MATRIZ :
Esta formada por numero de filas por el numero de columnas pu.
Es la matriz que solo esta formada por una solo fila como su nombre lo dice.
Tiene el mismo numero de filas y columnas;se le llama cuadrada por la diagonal de números iguales.
Es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal
son todos ceros, aij = 0, ∀i > j. Una matriz triangular inferior es una matriz cuyos elementos por encima de la diagonal son 0.
Es una matriz cuadrada en donde los elementos que quedan por encima de la diagonal principal
son todos ceros, aij = 0, ∀i < j.
Esta matriz esta formada por una sola columna.
Son diferentes tipo de matrices para introducir opereciones y conceptos.
Es una matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son nulos,se trata de una matriz superior e inferior.
Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la
unidad, aij = 0, ∀i ≠ j; aij = 1, ∀i = j. Se representa por la letra I, mayúscula.
MATRIZ IDÉNTICAS O IGUALES.
si se verifica que aij= bij ∀i=1, 2, …, m; ∀j=1, 2, …, n.
MATRIZ TRANSPUESTA.
en esta matriz a las filas se las hace columna y a las columnas filas;Se representa por la At y se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por columnas
Se denomina matriz simétrica a aquella matriz cuadrada que es igual o idéntica a su matriz
traspuesta. Teniendo en cuenta cuando dos matrices son iguales o idénticas
MATRIZ ANTISIMETRICAS
LA MATRIZ CUADRADA DEBE COINCIDIR CON SU MATRIZ OPUESTA,SE DEBE TENER ENCUENTRA QUE LAS MATRICES SEAN IGUALES O IDÉNTICAS.
MATRIZ IDEMPOTENTE.
Una vez definido el producto de matrices, se puede definir el concepto de matriz idempotente
como aquella matriz cuadrada cuyo producto por sí misma es igual a sí misma.
La resta de dos matrices del mismo orden A y B, se define como la suma de A más la matriz
opuesta de B, por lo que resultará ser otra matriz del mismo orden, D, cuyos elementos se obtienen de
restar a cada elemento de la primera matriz A (minuendo) el elemento correspondiente de la matriz que
resta, B (sustraendo).
Dado dos matrices,A y B de la misma dimensión m*n, la matriz A y B es la que obtenemos sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posición.
PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NUMERO.
Am x n x Bn x p = Cm x p El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN ELEMENTALES: SUSTITUCIÓN, REDUCCIÓN E IGUALACIÓN. MÉTODOS DE CRAMER Y DE GAUSS
A un conjunto de ecuaciones se le denomina sistema de ecuaciones y se representaría así:
La relación existente entre las variables es lineal, es decir, las variables aparecen sumando o restando entre sí multiplicadas por números reales. En la expresión analítica de la función las variables aparecen elevadas a la potencia 1 ó 0, pero no aparecen ni multiplicadas entre sí, ni dividendo una a otra, ni como argumentos de funciones trigonométricas, logarítmicas, ni exponenciales. Se pueden expresar mediante el producto matricial de una matriz de coeficientes por una matriz (vector) de incógnitas igualado a una matriz (vector columna) de términos independientes.
La función refleja relaciones no lineales entre las variables, serían todas las ecuaciones que no fueran lineales.
Solución única: Existe una única combinación de valores para todas las incógnitas que satisface la igualdad.
Solución múltiple: Existe más de una combinación de valores para las incógnitas que logra la igualdad. Ese número de soluciones puede, a su vez, ser: o Solución múltiple con número finito de soluciones.
Solución no acotada: Alguna incógnita en la solución debe tender a más infinito o a menos infinito para verificarse la igualdad, lo que podría entenderse como una solución imposible de alcanzar y, por tanto, se podría considerar como inexistente.
Inexistente: No existen combinaciones de valores en el conjunto de números (reales, enteros, racionales, etc.) en el que se plantee la búsqueda para las incógnitas que proporcionen la igualdad planteada en la ecuación.
Se trata de una expresión analítica que plantea la determinación de los valores de los argumentos que hacen iguales dos funciones.
f(x1,x2,K,xn ) = g(x1,x2,K,xn )
f,g : Rn → R
Planteamiento genera
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m igualdades de la forma:
h1(x) = h1(x1,x2,L,xn ) = b1
h2(x) = h2(x1,x2,L,xn ) = b2
hm(x) = hm(x1,x2 ,L,xn ) = bm
a11x1 + a12x2 +L+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +L+ a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 +L+ amnxn = bm
A partir de un sistema de ecuaciones lineal se puede construir la matriz ampliada partiendo de la matriz A de coeficientes de las ecuaciones, añadiendo como última columna, la columna de términos independientes. Se denota por A*.
Es un conjunto ordenado de números (α1, α2 ,K, αn ) ∈ Rn tales que al sustituir las incógnitas (x1,x2,K,xn ) por esos números, se verifican las m igualdades.
Sistema incompatible: Sistema sin solución.
Sistema compatible: Sistema con al menos una solución:
Sistema compatible determinado: Sistema con solución única.
Sistema compatible indeterminado: Sistema con infinitas soluciones.
Dado un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas, Ax = b, con matriz de coeficientes A, y dada la matriz ampliada, A*, construida a partir de A. Entonces
a) Si el rg(A) < rg(A*), el sistema es INCOMPATIBLE.
rg(A) = rg(A*) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible
b) Si el rg(A) = rg(A*), el sistema es COMPATIBLE:
rg(A) = rg(A*) < n (número de incógnitas), el sistema es compatible
Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales
Si un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, es decir, no hay términos independientes en ninguna ecuación, se sabe de antemano que va a ser compatible, pues admite, al menos, una solución, la trivial, que consiste en que todas las incógnitas toman el valor cero.
Dos sistemas de ecuaciones lineales se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Dos sistemas de ecuaciones lineales equivalentes tienen el mismo número de incógnitas, pero no es necesario que tengan el mismo número de ecuaciones.
Obtención de sistemas equivalentes:
Si se suma a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo multiplicada por un número distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente.
Si se añade a un sistema de ecuaciones otra ecuación resultado de una combinación lineal de las anteriormente existentes, el sistema resultante es equivalente al original.
Estas propiedades, aplicadas de forma generalizada y repetida, sustentan alguno de los métodos de resolución de los sistemas como el de reducción o el más general de Gauss.
Métodos de resolución elementales
Se trata de un método basado en la existencia de sistemas equivalentes. Si se suma a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo multiplicada por un número distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente con una ecuación diferente, pero con la misma solución. Basándose en esta propiedad, se trata de aplicarla varias veces para sustituir las ecuaciones del sistema con combinaciones lineales de ecuaciones del mismo, de manera que se obtengan finalmente ecuaciones con una única incógnita que sean fáciles o inmediatas de resolver.
1.- Se multiplican los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones.
2.- Se restan las dos ecuaciones que hayan resultado y al tener el mismo coeficiente una incógnita, ésta se eliminará tras la resta.
3.- Se resuelve la ecuación con una incógnita y después se sustituye su solución en cualquiera de las ecuaciones iniciales para obtener la solución de la otra incógnita.
Este método consiste en despejar la misma incógnita en dos ecuaciones del sistema e igualar las expresiones resultantes, quedando una ecuación con el número inicial de incógnitas menos uno. Está pensado, por ser elemental, para la resolución de sistemas de 2 ecuaciones, pues para más ecuaciones, la igualación tendría que hacerse con otros pares de ecuaciones, teniendo que combinar este método con el de sustitución para poder resolver el sistema.
Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones, lo que significa dejar en uno de los dos términos de la ecuación a la incógnita y al resto de elementos en el otro término. Así queda la incógnita despejada en función del resto de incógnitas. Una vez despejada en esa ecuación, se sustituye esa incógnita en el resto de ecuaciones. Tras esa sustitución, quedará en el resto de ecuaciones el número de incógnitas inicial menos uno. El proceso de repite con una segunda incógnita en otra ecuación hasta que al final quede una ecuación con una única incógnita.
Los supuestos para su aplicación son los mismos que los de la Regla o Método de Cramer, así como los de Gauss. Dado un sistema cuadrado con n ecuaciones e incógnitas, compatible y determinado, es decir, rg(A) = rg(A*) = n, lo que implica que A sea regular, se puede obtener la solución del mismo, (combinación de valores única para todas las incógnitas) mediante la multiplicación del sistema en su forma matricial por la matriz inversa de la matriz de coeficientes:
A ⋅ x = b ⇒ A−1 ⋅ A ⋅ x = A−1 ⋅ b ⇒ I ⋅ x = A−1 ⋅ b ⇒ x = A−1 ⋅ b
Consiste en obtener una matriz de coeficientes triangular de un sistema de ecuaciones equivalente al que se quiere resolver que es cuadrado, aplicando sucesivamente y convenientemente las operaciones con las ecuaciones (combinaciones lineales) para obtener sistemas equivalentes. Es una generalización del método elemental de reducción. Al final se obtiene un sistema equivalente en donde la última ecuación contiene una incógnita, la penúltima ecuación contiene a la anterior incógnita y a otra más, la antepenúltima ecuación contiene a las dos anteriores incógnitas y a una tercera, y así sucesivamente. Resolviendo fácilmente la última ecuación, se va sustituyendo la solución en la ecuación inmediatamente anterior para obtener el valor de la otra incógnita. Los valores obtenidos se irán sustituyendo progresivamente en las ecuaciones precedentes para resolver al completo el sistema. Se trabaja con la matriz ampliada del sistema, para realizar las transformaciones en sistemas equivalentes de forma correcta, ya que contempla también los cambios en los segundos términos de las ecuaciones, es decir, en los términos independientes.
consiste en obtener un sistema de ecuaciones equivalente cuya matriz de coeficientes sea diagonal, usando las mismas operaciones con las ecuaciones que garanticen la equivalencia de los sistemas (mismas soluciones) como hace el método de Gauss. Este método de Gauss-Jordan, aunque requiere más tiempo para hacer diagonal a la matriz que para triangularla, ahorra tiempo en los últimos pasos de obtención de los valores de las incógnitas, pues, al final se tiene un sistema equivalente con ecuaciones con una única incógnita distinta cada una.
La regla de Cramer proporciona el valor de la solución para cada incógnita siempre que se verifiquen los siguientes supuestos sobre el sistema:
a) Se trate de un sistema cuadrado, es decir, que tenga el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, m = n.
b) El determinante de la matriz de coeficientes NO sea nulo, es decir, que la matriz de coeficientes, A, sea regular.
MATRIZ OPUESTA.
La matriz opuesta de una matriz A = [aij] es otra matriz del mismo orden cuyos elementos son
los de la matriz A multiplicados por -1.
Sus elementos son 0.
El producto de una matriz A = ( aij ) por un número real k es otra matriz, que representaremos por kB, de la misma dimensión que A y cuyos elementos son el producto de los mismos por k, es decir,
kA = ( kaij ).

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