Source: https://www.scribd.com/doc/218762294/Mecanica-Clasica-Ll
Timestamp: 2018-12-12 22:20:58+00:00

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Autor: Tirso Séneca Capítulo 1: La Routhiana Esta es una variante de la función hamiltoniana que es especialmente útil cuando se tienen
una o varias coordenadas ignorables. En esencia es el método natural a seguir una vez que se conocen las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la mecánica, pues aprovecha las ventajas que la formulación de Hamilton ofrece en cuanto a las coordenadas cíclicas se refiere, y utiliza la formulación lagrangiana para el resto. Para empezar a utilizar este método se define la función R, llamada función de Routh o Routhiana, y que por tanto es una función mixta de q, , p y t, de la siguiente manera:
donde: - 1< s< n - Hasta el índice s son coordenadas "normales". - A partir del s+1 son coordenadas cíclicas. Obsérvese que el sumatorio está definido a partir de s+1. Entonces la diferencial de R:
Obsérvense de nuevo los índices ya que aquí está la dificultad. Se ha de tener en cuenta que: * El término ino de la forma k dpk no aparece porque la Routhiana no está definida para todo el índice "k" sino para los posteriores al índice "s", y las s terminan precisamente en este índice. * Los sumandos hasta el índice s (coordenadas "normales") provienen todos de la lagrangiana, ya que el primer sumatorio está definido a partir del índice s+1. Por esta razón se puede poner:
= dq/dt, esto es lo mismo que:
, es decir, R obedece las ecuaciones de Lagrange para las coordenadas no ignorables. Igualmente se podría decir que R sustituye a la lagrangiana L.
, del tercer sumatorio y , del primero, ya que el término que contiene a d k no está definido para estos subíndices. Es decir, R obedece las ecuaciones de Hamilton para las coordenadas ignorables. Igualmente se podría decir que R sustituye a la hamiltoniana H, en lo referente a dichas coordenadas cíclicas. Recordando ahora la definición de coordenada cíclica o ignorable, que era aquella que no aparecía explícitamente en la lagrangiana, y por tanto no va a aparecer ni en la hamiltoniana ni en la Routhiana, y que de la formulación de Hamilton se deducía que la cantidad de movimiento conjugada pi (i > k) a la coordenada qi es una constante (que llamaremos s+i), podemos definir finalmente a la función Routhiana R como una función únicamente de las coordenadas y de sus velocidades generalizadas, más el tiempo, es decir: El problema se ha reducido a un problema de lagrangianas para las s coordenadas "normales" mientras que las coordenadas ignorables son todas constantes, y merecen como nunca su nombre (ignórense, pues). Como ejemplo veamos la Routhiana que obedece una partícula que se mueve en un plano y en un campo de fuerzas central que derivan de un potencial V(r): Paso 1 : Lo primero es obtener la lagrangiana en coordenadas polares planas (r, ):
Paso 2 : Escribir las cantidades de movimiento conjugadas de las coordenadas ignorables. En este caso es , y la cantidad de movimiento conjugada a dicha coordenada será un momento angular constante l, es decir, los índices del sumatorio serán n = 2 (estamos en un plano), s = 1(sólo hay una coordenada no cíclica). Las coordenadas generalizadas son q1 = r, y q2 = :
Paso 3: Escribir la Routhiana en función de r, y , es decir, introduciendo las coordenadas ignorables: , esto es, la suma de los productos s ps para cada coordenada ignorable, menos la lagrangiana original.
se pueden resolver las ecuaciones de Hamilton: . a primer orden en qi y pi. Para ver cual es la dependencia total respecto de cada qi hemos de resolver primero el "asunto" del sumando pi qi.Paso 4 : Escribir la Routhiana en función de r. entonces la acción queda invariada cuando: . * Parte b) Impongamos ahora las condiciones q(ti=0)=0 y q(tf)=0 para cumplir de manera obvia el principio de D´Alembert. ¿Para cuáles tf se cumple?: Una vez comprobado que las qi y las pi son variables canónicas.n).. . La variación en J. "r". El primero de ellos ya está en la forma deseada.pi) Aplicado esto a la integral. J. si las variables qi y pi satisfacen las ecuaciones de Hamilton. es decir.pi + pi) . y las ecuaciones de Lagrange para hallar las ecuaciones del movimiento. cuya acción J está descrita por: * Parte a) Mostrar que las pequeñas variaciones que hacen que pi -> pi + pi y que qi = qi + qi pueden dejar invariable la acción J.. es evidentemente: J = J(qi + qi. como la lagrangiana. Capítulo 2: Obtención de las ecuaciones de Hamilton a partir de principios variacionales Veamos un ejemplo de cómo y porqué se verifica esto: Sea H(qi.. ésta queda: El decir a primer orden significa que se despreciará el término de la forma pi i. Teniendo en cuenta además la definición de derivada parcial de una función de dos variables. y apliquémoslo al siguiente hamiltoniano en una dimensión.2. pi) el hamiltoniano de un cierto sistema de n grados de libertad (n = 1. y l. sustituyendo las coordenadas ignorables por las constantes que lleven asociadas: Ahora ya se puede usar esta función para la coordenada que no era ignorable. que no es otra cosa sino el principio de D´Alembert.. Integrados por partes: Sustituyendo y reagrupango: Los dos últimos sumandos ya están en la forma que queríamos. Ahora se puede concluir que si cada qi y pi satisfacen las ecuaciones de Hamilton.J(qi. lo anterior es aproximadamente lo mismo que: Como queremos que se vaya asemejando a las ecuaciones de Hamilton. tenemos que hacer algo con los términos que incluyen al amiltoniano. es decir.
* F3(q. Aquí.. t) análogamente. es decir. F representa una función que hará de "puente" entre los dos sistemas de coordenadas. lo que se busca son unas ecuaciones que transformen las variables q y p en unas nuevas Q y P tal que: Qi = Qi(q.¿Cuánto vale la acción J? Sustituyendo directamente en la integral las ecuaciones y los valores de t que hemos hallado más arriba. donde K hace las veces de hamiltoniana. p. por supuesto.Q. y por tanto.4. P. En lo que resta de este apartado. el principio toma la forma: . la familia de soluciones que se anulan en los extremos tiene acción nula.t) que se usa cuando nos encontramos un sistema de coordenadas tal que la coordenada Q es cíclica. Capítulo 4: Continuamos con las ecuaciones de transformación: Veamos con cierto detalle cada caso: Caso 1: F = F(q. que quede claro que la función kamiltoniana es la que nos interesa. es decir. para que la transformación sea canónica satisfarán una relación del tipo: . la integración de las ecuaciones de Hamilton es inmediata. si es que en el problema no nos aparece la coordenada q. * F2(q. La relación entre ambos sistemas de coordenadas se puede encontrar desde el principio integral de Hamilton. Estas transformaciones y las del tipo 1 no son capaces de la transformación identidad. p. si el valor de la lagrangiana es el mismo para ambos sistemas de coordenadas. la variación en los extremos de la integral para ambos debe ser nula. que tienen de característica especial que se anulan en los extremos y este mismo hamiltoniano. t) como en el primer caso.. Se ha de resaltar que los integrandos no son iguales. es que a uno de ellos le falta un término diferencial. Por tanto. Q. Como en la formulación de Hamilton las coordenadas cíclicas daban como resultado que sus cantidades de movimiento conjugadas fueran constantes. t) Y también nos interesa. que sean variables canónicas: . cuando la cíclica perseguida es la P. Capítulo 3: Transformaciones canónicas Ecuaciones de transformación El objetivo que se persigue cuando se transforman unas coordenadas por otras es que resulte más fácil la resolución de algún sistema físico.t): Si sustituimos una F1 en la igualdad que relaciona las lagrangianas en uno y otro . Pues. según se vio en el apartado 3. Q. Así. y resolviendo: Es decir. Si recordamos que H = pi i L. pero no lo son los integrandos del principio integral.. Este tipo de transformaciones no son capaces de efectuar la transformación de permuta. t) Pi = Pi(q. coordenadas por momentos. si es que en el problema no nos aparece la coordenada p. no aparece.. llamada función generatriz de la transformación . t) como en el segundo caso.. * F4(p. P. Son de varios tipos dependiendo de la clase de coordenadas que estemos transformando: * F1(q. y a veces recibe el nombre de kamiltoniana. es decir. también para Q y P: . que cumplan las ecuaciones de Hamilton. pero si la de la identidad. pero sí lo son de la transformación de permuta. o momentos por coordenadas. En cambio.Con las condiciones iniciales q(ti=0)=0 y q(tf)=0 esto se reduce a: Parte c) Para estas soluciones.
QiPi : La forma que tiene esta función F se debe a que cuando se sustituye en la relación de las lagrangianas: Y esto solo se puede cumplir.lo que implica que: . pues de esta manera: Caso 3 : F = F3(p.t) + qipi: Veamos qué ocurre cuando se sustituye esta F en la igualdad de las lagrangianas: Luego: Como en los casos anteriores.P.t) + qipi .QiPi: Sustituyendo esta F en las lagrangianas: . para que nos quede finalmente: Caso 4 : F = F4(p.t) . por las mismas razones que en el caso anterior.P. cuando: .sistema: Como las variables q y Q son independientes por separado. De esta manera tendremos que: Caso 2: F = F2(q. la igualdad solo se cumple si: . esto sólo se puede cumplir si sus coeficientes son iguales.Q. es decir: Esta condición recuerda a las ecuaciones de Hamilton.
que estamos manipulando ecuaciones en derivadas parciales.p.3-. Abre el paso a la formulación más rigurosa de la mecánica cuántica. donde las distintas magnitudes físicas están representadas por operadores matriciales. así que si la función u no contiene al tiempo.t) es una constante del movimiento. y que se cumplirá siempre que tales funciones posean derivada segunda continua. las propiedades que cumplen son: La identidad de Jacobi quiere decir que "la suma de las permutaciones cíclicas de los corchetes de Poisson dobles de tres funciones es cero". Ecuaciones del movimiento y teoremas de conservación Sea una función u(q.p). La ventaja que ofrece esta formulación de la mecánica es que los corchetes de Poisson son invariantes ante cualquier transformación canónica. Esta es una propiedad importante.p). El corchete de Poisson de dos funciones. muy al modo de cómo en el bachillerato se nos olvidaba añadir la constante de integración. más compacta y genérica. Entonces su derivada total: Usando las ecuaciones de Hamilton: . Los corchetes entonces cumplen las siguientes propiedades: De una manera general. de manera que cuando la función u(q. respecto de las variables canónicas p y q se define como: Sean ahora u(q. necesaria para deducir las ecuaciones del movimiento. de establecer las leyes de conservación y las ecuaciones del movimiento de un sistema. y por tanto (atención al cambio de orden dentro del corchete) "El corchete de Poisson de H con cualquier constante del movimiento es igual a la derivada explícita de esa constante respecto del tiempo". pues así tendremos: Hay que recordar. por lo que en toda integración tendremos que añadir una función que lo sea del resto de variables no afectadas por la integral. 4. con lo que se constituye entonces en una herramienta poderosa que se ha de considerar cuando se efectúen dichas transformaciones.t). como se verá en el siguiente apartado. finalmente. Capítulo 5: Corchetes de Poisson Esto de los corchetes de Poisson es otra manera. evidentemente tendremos: Como caso particular. veamos qué pasa cuando la función u es una de las variables canónicas q o p: . pero según lo que acabamos de ver: . pero importante.p. v(q. que ahora llamaremos "u" y "v".. así que el corchete de Poisson obedece ese tipo particular de álgebra no asociativa que se llama álgebra de Lie. según la visión de Heisenberg de dicha mecánica.
Para dar el siguiente paso es necesario el teorema de Liouville. y que por tanto su hamiltoniana es: La ecuación del movimiento que buscamos es de la forma x(t): Los corchetes de Poisson necesarios se obtienen fácilmente: Como "a" es constante. con coordenadas generalizadas "p" y "x". obtenida más arriba admite como solución formal el desarrollo de Taylor en torno a las . Si . Pues bien. entonces: . La primera pista hemos de buscarla en la apariencia que tiene el producto desarrollado del corchete de Poisson. y será en esa parte donde se discuta. en una situación de equilibrio. debido a su concisión y su potencia para operar con una buena cantidad de información de manera automática. es el corchete de ese algo con la hamiltoniana): . Apoyándose en ésta. Capítulo 6: La notación simpléctica Se llama notación simpléctica aquella que utiliza el lenguaje matricial. que es la reconocible ecuación de un movimiento uniformemente acelerado. las derivadas de orden superior son todas nulas y aquí acaba la serie. A grandes rasgos. es la densidad de estados (N). si no ha de variar el volumen fásico en una transformación canónica. es decir. según acabamos de ver ahora (recuérdese que la derivada respecto a t de algo. se enuncia el teorema de Poisson: "El corchete de Poisson de dos constantes del movimiento es también una constante del movimiento". Teorema de Poisson Es ahora cuando la identidad de Jacobi empieza a adquirir importancia. Cuando las funciones (u. el determinante jacobiano debe valer la unidad. con el correspondiente volumen en las coordenadas finales. o bien. La ecuación diferencial condiciones iniciales t =t0: .Obtención de las ecuaciones de movimiento de un sistema siguiendo el método de los corchetes de Poisson. Veamos suavemente qué significan y cómo se van ordenando los distintos coeficientes dentro de esa caja que llamamos matriz. Y si esa densidad D no depende explícitamente del tiempo. entonces: . v) son las ecuaciones de transformación en las nuevas . Sustituimos ahora los valores obtenidos en el desarrollo de Taylor. y finalmente obtenemos: . y se acaba la serie a partir del término que resulte ya constante. Sin duda se puede expresar como un determinante: La última igualdad pone de manifiesto que este es el determinante jacobiano de una transformación. tal y como se estudia en los cursos de álgebra lineal de primer ciclo. Este teorema adquiere pleno significado dentro de la Mecánica Estadística. ya que es precisamente el valor del determinante jacobiano el factor por el cual está relacionado cierto volumen en las coordenadas iniciales. Apliquemos esto como ejemplo a una partícula de masa "m" que se mueve uniformemente acelerada con aceleración "a" en una dimensión. dice que la evolución temporal del volumen fásico V de un estado de un sistema conservativo es constante en el tiempo.
esta vez utilizando matrices. y para averiguar si una transformación es canónica. En efecto. dos dimensiones. Como ejemplos de su importancia. P) este teorema permite discernir sobre si una transformación es canónica o no.) Describir explícitamente las ecuaciones de Hamilton en la notación simpléctica. la forma que se obtiene es: . es fácil ver que se cumple que: donde n (recuérdese que los vectores y las matrices se escriben en negrita) representa cada pareja de coordenadas (q. Ejemplos para describir el estado de un sistema.. para ilustrar una breve aproximación a la teoría de perturbaciones.. la condición de canonicidad en la notación simpléctica queda: Hay otra manera más de expresar el corchete de Poisson. p). Es decir. cuyos coeficientes son unos y ceros. En los siguientes ejemplos se muestra cómo se utilizan estas propiedades para describir el estado de un sistema.). y J es una matriz antisimétrica compuesta por 4 cajas. etc. el corchete de Poisson correspondiente de dos funciones (u. Ejemplo 1: a. válganos decir que las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse mediante esta matriz en la forma compacta: y que las coordenadas transformadas también lo hacen: Cuando tengamos dos parejas de coordenadas (dos grados de libertad. Esta matriz es fácil y conveniente recordarla.variables (Q. para N grados de libertad: Capítulo 7: Continuamos con la notación simpléctica. v) de esas dos parejas tiene esta forma: para tres grados de libertad ya se ve que: Entonces. Tal y como se apuntó más arriba.
Usemos también el símbolo x para poner de relieve que tanto las posiciones como sus momentos asociados son tratados equitativamente en la formulación hamiltoniana. Así que en notación simpléctica: b. y un tercer factor ha de satisfacer entonces la variación temporal de la perturbación : Como la solución no perturbada es constante. ¿qué ecuación en función de y. se trata de definir la matriz J. despreciable salvo a primer grado. cuyos coeficientes vienen a corresponder con los recién obtenidos.) Si la solución ya conocida x es una constante x = .Evidentemente. Llamémosle Z para recalcar el hecho de que aún no la conocemos. Con estas consideraciones. Una vez realizados los cálculos. podemos decir que el término general de los coeficientes de la matriz es: La misma teoría de transformaciones define otro determinante. J. por simple inspección se puede construir la matriz Z: pero estos son los coeficientes que tienen cada caja de la matriz J. y se le perturba con un término infinitesimal. la ecuación que estamos buscando es: En vista de cómo son las ecuaciones de Hamilton. el aspecto de la matriz hessiana H puede ser la siguiente. al hacer un desarrollo de Taylor para y(t) en torno a xi = i enseguida se aprecia que los primeros términos no nulos son los de segundo grado. para un sistema holónomo conservativo: . es decir. el Hessiano H. de la forma (t) = i+ y(t). En este caso.
. Q) para esta transformación.) Encontrar una función generatriz F1(q. Recordando con unas tablas (Spiegel y Abellanas) las fórmulas de adición de las funciones hiperbólicas. se acude a las ecuaciones de Hamilton y a la hamiltoniana que se nos ofrece: . Ejemplo 2: a-) Encontrar las condiciones que han de satisfacer .y para que la siguiente transformación: Comprobar que para la transformación es canónica. d-. en este punto ya es fácil (ch2x-sh2x=1) ver que se cumplen las condiciones del apartado b). encontrar q(t) y p(t) cuando q(0) = 3/2 y p(0) = 1 Aplicaremos la condición de canonicidad Incidentalmente. la condición que ha de cumplir será: Capítulo 8: Continuamos con la notación simpléctica. . e integrando. c-. se obtiene la función generatriz F1: Para encontrar unas expresiones de q(t) y p(t).) Dado el hamiltoniano . esta transformación es canónica.Utilizando esta matriz. se puede hacer un poco más compacta y simétrica esta expresión: Cuando se obtiene: Por tanto. Escribiendo ahora p y P en función de q y Q en esta transformación particular.
utilizando las propiedades de los corchetes: Es decir. y que debemos hacer discurrir hacia la geometría subyacente en el álgebra de Riemann y en la Relatividad General. pi). Para cualquier pareja de funciones (uj. p) de la manera que sigue: Es decir. uk) de las variables canónicas (qi. Imponiendo ahora las condiciones iniciales se obtienen dichas constantes. y posteriormente. Con una nomenclatura similar a la anterior se define la matriz corchete de Lagrange. las expresiones buscadas: donde ya finalmente se ha eliminado la dependencia que nos faltaba. Fijémonos ahora de nuevo en los subíndices. las parejas de subíndices de los elementos de una matriz se crean a partir de los subíndices de dos vectores a los que se ha efectuado un producto diádico. donde los elementos de la matriz serán: y en general De la misma manera se escriben los coeficientes de la matriz L mediante los corchetes de Lagrange: Veamos ahora cómo es la matriz . quedando p en función únicamente de t. de las variables canónicas (q. es una matriz antisimétrica. Sería una gran ventaja que los de los elementos de alguna matriz fueran a corresponder con los de los corchetes de Poisson respecto de las variables canónicas. luego: . Haciendo corresponder dichos índices. en la que los coeficientes de la matriz L están formados por los corchetes de Lagrange de dos funciones: Veamos de una forma algo más detallada cómo se ve la relación existente entre estos dos corchetes bajo la notación simpléctica. se define la matriz corchete de Poisson de dos funciones cualquiera (u. v). y en este caso cada uno tiene 2N componentes. Como es bien sabido. cada elemento Pjk estará conformado por el corchete de Poisson de dichas jk funciones. y se abre una puerta para su exploración distinta de la puramente matemática. Recuérdese que desde este enfoque las matrices representan a operadores. Se ha dejado para más tarde la tarea de eliminar la dependencia de p respecto de q.Resolviendo para q(t) y p(t): donde A y B son las constantes de integración. Se roza de esta manera el álgebra de tensores.
y el problema se reduce entonces a simples cuadraturas. que desde ahora llamaremos Q y P. es que la hamiltoniana transformada. enseguida se aprecia que: . Esta segunda transformación es más general que la anterior porque no se exige que se conserve la hamiltoniana. Otra transformación interesante es aquella donde las coordenadas que se transforman lo hacen en unas cantidades constantes. Despliéguese ahora para cada función una fila con 2N elementos. evidentemente. es la solución del problema. se puede intentar una transformación a unas nuevas coordenadas que sean todas cíclicas. y por tanto constante.Esta matriz se puede "visualizar" también de la siguiente manera: Sea uk la matriz columna de orden 2N formada por todas las funciones uk. Entonces el corchete de Poisson: Lo mismo se aplica a la matriz L: Aplicando entonces la relación existente entre estos dos corchetes de Lagrange y de Poisson: Para intentar justificar este resultado. la F2 del apartado 4. por ejemplo. A pesar de la complejidad de la notación. extendamos los elementos de la matriz t L para ver que forma tienen: y en general: Como se ve. resulta de la máxima utilidad el estudiar algunas de ellas que por su definición se conviertan en soluciones de problemas concretos. resaltando que esta es una transformación de las del capítulo anterior. Si estas constantes son la posición inicial "q0" y la cantidad de movimiento inicial "p0". cumpla que: Podemos asegurar esto si K es idénticamente nula. Si. esto era. aquella del segundo caso donde interesa que la cantidad de movimiento transformada sea cíclica. hay que efectuar el producto de las dos series finitas sobre las coordenadas y posteriormente comprobar que se cumple: donde es la delta de Kronecker. la kamiltoniana K. es decir. para que sean constantes.1. con lo que obtenemos una matriz u cuadrada de orden 2N. Recuérdese entonces que: y por tanto. tenemos la denominada: Ecuación de Hamilton-Jacobi: Sin cargar tanto la notación. la inversa de la transformación será de la forma: que. se conserva la hamiltoniana H. Capítulo 9: Teoría de Hamilton-Jacobi Después de haber visto las transformaciones en el capítulo anterior. Veámoslo con un poco de detalle: Ecuación de Hamilton-Jacobi para la función principal de Hamilton La condición que han de satisfacer las nuevas coordenadas q0i y p0i. Recordando ahora cómo estaban relacionadas H y K: Esta F será. por conveniencia. las propiedades de los corchetes de Poisson hacen de su resolución una cuestión más de organización que de dificultad matemática. pertenecientes a cada coordenada qi y pi.
de manera que las ecuaciones de la transformación quedan: Invirtiendo ahora estas ecuaciones: que como decíamos antes. la función generatriz de esa transformación. Sin embargo. Es por el carácter académico por lo que Goldstein lo ha elegido. Una vez resuelto el problema. su derivada total: y por tanto: Como siempre. es decir. la teoría de derivadas en ecuaciones parciales nos dice que cuando cada sumando es función únicamente de cada una de las variables. podría parecer que la introducción de la función S es un tanto artificiosa. Para que quede claro. y por ser exactamente resoluble Nominemos a este primer método como el "método de la función S". entonces son idénticamente iguales a una constante. Paso 2-. lo que se hace es trabajar con la función S sin tener que calcularla sino a posteriori. y para alivio del lector. lo que implica que se conserve H. y por tanto que los dos métodos de resolución sean aplicables. Por lo visto hasta ahora. Se aprovecha por tanto la invariancia formal que tienen las ecuaciones de las transformaciones canónicas para definir las nuevas coordenadas y momentos. Separación de variables. Sustitución de p. La función S hace las veces del hamiltoniano.Jacobi para el problema del oscilador armónico Vaya por delante que un oscilador armónico es un sistema conservativo. Método de la función S Lo que estamos buscando es una transformación canónica que nos dé las expresiones de y en función de q y p. Condiciones para la función principal de Hamilton S Sabemos que la solución S tiene que cumplir que: La hamiltoniana para un oscilador armónico en una dimensión es: . Una vez logrado esto. ha llegado el momento de ilustrar el uso de esta primera técnica mediante un ejemplo. constituye una solución completa del problema. y si acaso nos la piden. con lo que se resuelve el problema. se encuentra la expresión de la función principal de Hamilton "S". Sustituyendo ahora P = ( S/ q): de forma que la condición exigible a S queda: Ya que de momento S = S(q. es la frecuencia natural del oscilador. posee una propiedad importante: ya que S queda definida únicamente en función de las coordenadas qi y del tiempo. Aprovechamos esto para definir : Paso 3-. Capítulo 10: Solución por el método de Hamilton. se podrá comprobar que S satisface las ecuaciones de la transformación: * Paso 1-. ) .A la solución "S" (que según esto último coincide con F2) de la ecuación de Hamilton-Jacobi se le llama Función principal de Hamilton: donde cada i = pi.t). Identificación del hamiltoniano con la energia H = E y aparición de W(q.
teniendo en cuenta que en las condiciones iniciales t=0. usamos la relación: Y ahora sustituimos la q obtenida más arriba: y se comprueba fácilmente que Paso 6. = dS/d o (tal y como se dijo arriba. Para hallar la ` volvemos a tener en cuenta que las condiciones iniciales son para un tiempo t = 0: . Sólo queda entonces encontrar la relación entre y con las condiciones iniciales p0 y q0.Determinar las constantes y a partir de las condiciones iniciales es hallar la energía E y el ángulo de fase . pero lo que nos interesa ahora es utilizar la segunda ecuación de Hamilton en las nuevas variables. La forma que tienen p y q sugieren elevar al cuadrado y comparar.Obtención de la cantidad de movimiento p Para encontrar la cantidad de movimiento. no necesitamos resolver la integral de S: Capítulo 11: Continuamos con los pasos para soluciones por el método de Hamilton-Jacobi.De esta forma. =H=E De la primera de estas igualdades se obtiene: Sustituyendo esto en la segunda: que se puede integrar inmediatamente: Esta integral es fácil de calcular (aunque es más fácil aún consultar las tablas de Spiegel y Abellanas).Uso de la segunda ecuación de Hamilton para obtener las coordenadas qi. Paso 5. es decir..t): que es la conocida solución del oscilador armónico. a ver qué pasa: o bien. Paso 4. Finalmente.. al despejar q( .. .
Si hacemos que la función generatriz (en este caso W) sea de la forma W(q. la que debe cumplir la hamiltoniana. pues así la resolución de las ecuaciones de la transformación es trivial. un sumando es función únicamente de las coordenadas qi y el otro es función únicamente del tiempo. Después. P) tendremos que: de manera que cuando se toma como valor particular 1 = H. Ahora bien. que en este caso transforma las coordenadas q y p a las coordenadas y `. no es más que una función generatriz de una transformación. son todas constantes: i conjugadas a las nuevas . que exige que la hamiltoniana se conserve. luego . como coincide con la F2 del capítulo de las transformaciones canónicas.. Utilizaremos el hecho de que la hamiltoniana es constante para explicar el segundo método. Ahora se ve claramente que la separación entre las coordenadas espaciales qi y el tiempo que se practicó a la ecuación: siempre será posible si la hamiltoniana no depende explícitamente del tiempo. se sustituía esta S en la condición de las coordenadas. y que por tanto era una función de todas las demás variables que no estaban afectadas por el proceso de integración. Método de la función W La transformación que se persigue ahora es aquella en la cual todas las nuevas cantidades de movimiento i sean constantes. mediante una integración temporal. la hamiltoniana será: A esta ecuación también se le llama de Hamilton-Jacobi. Una vez separada la ecuación encontrábamos que S era de la forma: A la función W se le llama "Ecuación característica de Hamilton". según se indicaba más arriba. de forma que tendremos: es decir. Nominaremos a este segundo método el "método de la función W". energía total y ángulo de fase inicial. H es constante. W no contiene al tiempo. En ese caso veíamos que: En el proceso posterior aplicamos la condición de separabilidad que la función S debe cumplir. las nuevas cantidades de movimiento Pi = coordenadas cíclicas Qi. Hasta aquí nos han valido las cuentas que echamos con el oscilador armónico. y si recordamos como están relacionadas las hamiltonianas H y K: o lo que es lo mismo. se encuentra la función principal de Hamilton S: y finalmente: Capítulo 12: Ecuación de Hamilton-Jacobi para la función característica de Hamilton En el apartado anterior nos encontrábamos con una función W que surgía como necesidad en una integración de una derivada parcial. ya que se deduce de aquella como consecuencia de la forma de W. y desde ésta. resultando que: es decir. respectivamente.Así que la función principal de Hamilton S. Paso 7. es decir.Obtención final de la función principal de Hamilton S a partir de la lagrangiana Una vez determinados se puede escribir la lagrangiana. Al principio de ese apartado se hacía notar que era un ejemplo resoluble con los dos métodos.
Entonces una solución S para la función principal de Hamilton será de la forma: A las constantes i se les llama ahora constantes de separación. lo que resuelve el problema. y por tanto su momento cinético conjugado p es constante. pero no en coordenadas cartesianas. si todas las coordenadas del sistema son separables. en un problema con fuerzas centrales. y la hamiltoniana es de la forma: Paso 1-. de Se puede ya resolver esto para W.De la otra mitad de las ecuaciones canónicas se deduce que: Evidentemente. evaluadas sabiendo que en las condiciones iniciales t=0. Por tanto. y queda: . usando las mismas ecuaciones que en ejemplo de más arriba. como el de los tres cuerpos. que no son separables en ningún sistema de coordenadas. ya que la órbita del movimiento se realiza en un plano. Cada una de estas ecuaciones es una ecuación diferencial de primer orden y por tanto su resolución será posible mediante cuadraturas. Hay que decir que la separabilidad de un sistema. o abreviadamente. el sistema tiene dos grados de libertad. el sistema será separable en coordenadas polares cuando V = V(r). depende de la elección de las coordenadas generalizadas. va a ser de la forma: Paso 2-. un sistema así es separable en coordenadas polares planas. Veamos finalmente un ejemplo en el que el potencial es de una forma particularmente sencilla: un campo de fuerzas central. como W no depende del tiempo tenemos que: luego: Apliquemos esto a un sistema conocido: una partícula en un campo de fuerzas central. Hay otros problemas. una vez separada. entonces es cíclica. Determinación del Hamiltoniano Como no aparece la coordenada . Por ejemplo. Finalmente. tienen como solución: Obsérvense con atención los subíndices!! Lo único que falta ya por hacer es relacionar y con los valores iniciales de pi y qi. Capítulo 13: Ejemplos de separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi Se dice que la ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable. Formación de la ecuación característica de Hamilton W y su uso en la ecuación de Hamilton-Jacobi Sustituyendo esta W en la ecuación de Hamilton-Jacobi = p . además de la naturaleza propia del mismo. Como ya se ha dicho antes. Este es el motivo principal por el que se usan distintos sistemas de coordenadas en la Física: hacer más fácil la resolución de problemas. separable. Sea manera que la función característica de Hamilton W.
y esto implica que p = y entonces el sumando correspondiente a dicha componente es W ( ) = . nos queda: Como cada sumando es función únicamente de una variable. en principio. mediante cuadraturas. sabiendo ya que = cte. en la hamiltoniana no aparece la coordenada . Obtención de las nuevas coordenadas 1 y usando la función característica de Hamilton W como si fuera el Hamiltoniano. y hacemos el cambio de variable la órbita (ecuación 3-37.Ahora ya tenemos W en función de las nuevas variables. analicemos este mismo ejemplo sin dar por sentado que el movimiento se va a efectuar en un plano. obteniéndose Wr(r) y W ( ) respectivamente. En este sistema de coordenadas la hamiltoniana H y la función característica de Hamilton W tienen la forma: Según se puede ver. Esto es: y finalmente: Estas ecuaciones se pueden resolver para W. . para posteriormente encontrar las ecuaciones del movimiento utilizando las ecuaciones de transformación. Usaremos entonces coordenadas esféricas para reflejar el hecho de que el movimiento nos es. fuera de programa): Cuando disponemos que = . y recordamos también que i = Qi. = l. Así que la ecuación de Hamilton-Jacobi. 2= 0. cada uno de ellos es igual a una constante. Si identificamos 1 = E. definimos como 2 dicha constante. la primera de estas ecuaciones es la solución encontrada en el capítulo 3 del Goldstein para el problema de los dos cuerpos (ecuación 3-18. fuera de programa): la segunda de estas ecuaciones nos da la ecuación de Para que quede aún más claro el proceso de separación de variables. Por conveniencia. desconocido. Cada una de las tres constantes de integración necesarias tiene su significado físico claro como consecuencia de los diversos teoremas o . por tanto esta coordenada es cíclica. Entonces al usar las ecuaciones de la transformación para Qi obtenemos las ecuaciones del movimiento: Capítulo 14: Continuamos con los los pasos de los ejemplos de separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi Paso 3-.
es decir. La otra ecuación de Hamilton queda: . donde es el ángulo inicial. Sustituyendo esto y el valor de J encontrado más arriba. como el título del apartado indica. para convencer al más conservador. Cuando se sustituyen los valores de p y de p en la hamiltoniana se descubre que el movimiento se produce en un plano. Efectivamente: Es decir.. . e intentemos describir el comportamiento de un oscilador armónico bajo estas nuevas variables. También será necesario recordar la definición de la acción J.2. o de polares planas.leyes de conservación: como ya se había mencionado antes. es el momento cinético alrededor del eje polar. de q y de = H = E obtenidas en los pasos 3. el módulo del momento angular. el hamiltoniano es independiente de la coordenada entonces constante. 4 y 5 del apartado 5. para un sistema holónomo (conservativo). Retomemos la senda abierta en la sección 5. si así se prefirió. Su momento asociado es Es decir. es decir: y de la definición de la variable acción J cuando el hamiltoniano se conserva. el entramado elemental necesario para poder atacar esta sección reside en aquella otra donde una vez domadas las transformaciones canónicas. esta es una coordenada cíclica. Para encontrar las ecuaciones que transforman q y p en J y tenemos en cuenta que el ángulo se puede escribir como . obtenida en el caso del uso de coordenadas polares planas. Comparando esta hamiltoniana con la anterior. Se podría aducir que para conseguir esta ventaja ya disponemos de sistemas de referencia más conocidos. Como todo sistema de referencia en que una de las coordenadas es un ángulo. así como las coordenadas tal y como quedaron en forma de esféricas. . Sin duda. Obsérvese que la última ecuación es entonces una forma de enunciar el teorema de conservación de la energía. pero un vistazo al aspecto que presentaban las hamiltonianas de los ejemplos del capítulo 3 son suficientes. la tercera componente del momento angular Lz es constante. y de la del nuevo ángulo. es decir. Capítulo 15: Variables acción-ángulo para sistemas con un grado de libertad Por la importancia que tiene en diversas ramas de la mecánica. parte del trabajo realizado allí será de utilidad ahora. que también es constante. encontrábamos algunas que parecían ayudar en la resolución de sistemas didácticos. como al final del apartado se podrá comprobar. . *simbolo. Usando las expresiones de p.. el movimiento se describe únicamente con dos coordenadas. el uso de esta pareja de variables será especialmente útil en el caso de sistemas que lleven asociados ejes de simetría. de las bondades de estas nuevas variables. la acción J y el ángulo de fase . es el cuadrado del módulo del momento angular. Al igual que sucede en el resto de los capítulos. veamos finalmente una transformación especial: es aquella en la que las coordenadas generalizadas van a ser. Necesitaremos saber cómo es el hamiltoniano de un oscilador en una dimensión. la acción se conserva en el tiempo.2. se puede identificar a = p = l. se deduce que: Por tanto el Hamiltoniano será: Como vemos.
existe una formulación de la mecánica más potente que la que pudo desarrollar Isaac Newton con los métodos matemáticos de los que se disponía en su época. la mecánica cuántica usará los conmutadores cuánticos. construcción matemática abstracta multidimensional donde el espacio euclidiano en el que se desarrollaba la mecánica newtoniana queda reducido a la proyección correspondiente a las coordenadas espaciales. la invariancia de los corchetes de Poisson asegura que estas leyes cumplen con el principio de correspondencia. y por tanto equivalentes. Para alcanzar este objetivo. . Las constantes del movimiento surgen de manera natural cuando se sigue avanzando en la formulación hamiltoniana. para formular de una manera muy compacta las leyes de conservación y las ecuaciones del movimiento de aquellos sistemas a los que la mecánica clásica no llega. puesto que el uso de las coordenadas generalizadas y la formulación hamiltoniana hacen que el tratamiento para cada variable sea idéntico al de las demás. cada término que se añade al hamiltoniano debido a las posibles interacciones electromagnéticas o nucleares contribuirá en su medida a las ecuaciones del movimiento. La condición de separabilidad para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que obliga a las funciones S y W surgidas del hamiltoniano desemboca en la inevitabilidad matemática de la aparición de estas constantes. La lagrangiana se convierte entonces en una fuente de la cual. probamos con una transformación de coordenadas de las de toda la vida. como es sabido. de forma que cuando intentamos transformar unas coordenadas (magnitudes). incluso con sus propias variables. a las obtenidas por otros medios en la aproximación clásica. energía y momento angular. y tales corchetes no van a expresar sino la compatibilidad de las distintas constantes del movimiento con dicho hamiltoniano. y serán válidas. Se evitan así engorrosos cálculos por separado. a las que se habrá de dar cabida en el espacio de las fases. y la más deseable será en la que lo consigamos con todas. es decir. Hemos pasado también de utilizar el álgebra vectorial. y por tanto tales transformaciones han de ser canónicas. la complejidad del mundo cuántico. Finalmente. Como contrapartida. y ya que estamos tratando con coordenadas generalizadas. podemos obtener toda la información que necesitemos. En este sentido. como la cantidad de movimiento. equivalentes a los corchetes de Poisson. hemos pasado a trabajar en un espacio de fases. Mientras que la formulación newtoniana hace hincapié en una representación euclidiana del mundo. La consecuencia que sigue a esto es que un problema concreto será más fácil de resolver cuantas más constantes del movimiento se hayan podido determinar. la construcción del hamiltoniano requiere que una gran parte de la información física relativa a un sistema sea puesta en juego antes de determinar qué es lo que va a ocurrir a continuación. Sin embargo. mediante las derivaciones respecto a la variable que nos interese. si las magnitudes que queríamos transformar en constantes efectivamente lo han hecho. y donde un punto material "posee" características propias de su estado.nos queda: Capítulo 16: Epílogo Como se ha podido comprobar. a la deducción de estas mismas leyes a partir de los principios matemáticos simples que cumple una función escalar. la geometría y los datos experimentales para encontrar una explicación de ciertas leyes naturales. que además es fácilmente definible. teniendo en cuenta que en todo momento tenemos que efectuar isometrías. Yendo un escalón más arriba. la mecánica clásica no es capaz de describir correctamente. La condición por todos conocida que ha de cumplir su determinante jacobiano se puede escribir de manera muy compacta mediante los corchetes de Poisson. inevitablemente también transformamos el hamiltoniano.
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