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Timestamp: 2020-02-28 03:44:25+00:00

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Revista Conocimiento 57 | Física y matemáticas | Matemáticas
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Gardner Martin - Aja Paradojas Que Hacen Pensar.pdf
Acertijos divertidos y sorprendentes - Martin Gardner.pdf
Ricardo Cantoral,
uno de los matemáticos
más distinguidos de
Leticia Rodríguez Arizpe
Héctor Antonio González
Lilia Guadalupe García
Juan Antonio Alanís
El problema de la variación
reduce determinantes
de orden con enteros
René Mario Montante
www.conocimientoenlinea.comCONOCIMIENTO
número 57, del 6 al 19 de julio de 2007
Director General Doctor Luis Eugenio Todd Director Editorial Félix Ramos Gamiño Secretario Editorial Maestro Rodrigo Soto Educación Profesor Ismael Vidales Delgado Ciencia en Familia Licenciado Juan Roberto Zavala Ciencias Económicas y Sociales Doctor Jorge N. Valero Gil Ciencias Básicas y del Ambiente Doctor Juan Lauro Aguirre Desarrollo Urbano y Social Ingeniero Gabriel Todd Ciencias Médicas Doctor David Gómez Almaguer Ciencias Políticas y/o de Administración Pública Contador Público José Cárdenas Cavazos Ciencias de la Comunicación Doctora Patricia Liliana Cerda Pérez La Ciencia es Cultura Licenciado Jorge Pedraza e ingeniera Claudia Ordaz Educación Física y Deporte Doctor Óscar Salas Fraire Las Universidades y la Ciencia Doctor Mario César Salinas Redacción Licenciada Alma Trejo Licenciado Carlos Joloy Diseñador Licenciado Víctor Eduardo Armendáriz Ruiz Arte Gráfico Arquitecto Rafael Adame Doria Circulación y Administración Profesor Oliverio Anaya Rodríguez
El que sabe contar sabe pensar
E l pensamiento matemático y el
método científico son hermanos
inseparables; a través de ellos
se busca la verdad reproducible
y se genera el conocimiento que,
transferido, aplicado e innovado, produce en buena tesis ética un mejor nivel de vida de los habitantes del planeta.
Enseñar matemáticas es entonces
parte del proceso de darle al estudian-
te un instrumento permanente para
tener toda su vida un método lógico que le permita investigar, analizar,
participar en los procesos dialécticos
de la síntesis y de la antítesis, y así ir
buscando gradualmente las verdades
que transforman el universo, que son aquéllas derivadas de la ciencia, el conocimiento y el arte.
La enseñanza de las matemáticas,
a pesar de su importancia, no ha
tenido el nivel jerárquico adecuado, y los resultados de nuestro país en el
ámbito internacional son muy pobres en relación con otros países más desarrollados económicamente. Esto limita nuestro potencial de creatividad, propicia las dependencias, arriesga nuestra soberanía y nos impide entrar
en la competitividad global.
Creo, igual que muchos investigadores
en pedagogía, que la falta de formación
adecuada de los profesores en esta temática y el desconocimiento de los
valores sobre la realidad de lo que la enseñanza de los números significa, ha propiciado estas debilidades que debemos corregir, recordando siempre que en el nuevo mundo de
la educación deben existir los cuatro
El primero, saber contar y pensar; el
segundo, saber leer e interpretar; el tercero, internacionalizar la comu- nicación a través de un nuevo idioma;
y el cuarto y último, aprovechar la
informática y el teleproceso como instrumentos estratégicos para hacer más eficiente el proceso educativo.
Sobre estos temas y muchos otros, escriben autores reconocidos, y es- peramos que esta edición sacuda conciencias y permita una reflexión integral sobre la necesidad imperiosa que tenemos en México de incrementar nuestro interés por la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas.
El que sabe contar sabe pensar, y el que sabe pensar puede aprender y así llegar a ser
Pitágoras de Samos. “La escuela de Atenas”. Raffaello.
(Aproximadamente 582 a. C. - 507 a. C.) Fue un ﬁlósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no sólo al mismo Pitágoras. Quien demostró dicho teorema fue uno de sus discípulos: Hipaso de Metaponto.
CONOCIMIENTO número 57, del 6 al 19 de julio de 2007
Apreciación de las Matemáticas
Las situaciones didácticas para aprender Matemáticas
El futuro de la enseñanza de las Matemáticas
Uso de las tecnologías de comunicación e información en la enseñanza de las Matemáticas
Innovadora propuesta para la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingeniería
Visualización matemática como habilidad docente
Matemática y realidad educativa
¿Es factible desarrollar la intuición matemática en los estudiantes?
Método Montante reduce determinantes de orden con números enteros
El problema de la variación y sus implicaciones culturales
Matemáticas, disciplina fundamental para el desarrollo
Métodos alternos para las Matemáticas
Las Matemáticas en el CECyTENL
Maestría para profesores de educación básica en el CINVESTAV
Las Matemáticas: belleza simplista y lenguaje de genios
Celebrará la Sociedad Matemática Mexicana su congreso anual en la UANL
49 Consolidan reforma curricular en el Bachillerato Tecnológico
Deja Enrique Canales importante legado artístico
Se reúnen en Monterrey ex alumnos de la U de Texas
Participaron 5,200 niños
de primaria en el Programa
Apreciación de las
Director de Prospectiva Científica y Tecnológica juanlauroaguirre@aol.com
E n un número anterior, dedicado
a las ciencias naturales, propuse
que antes de hablar de la
enseñanza y del aprendizaje de esas disciplinas, deberíamos hablar de cómo lograr su apreciación, sobre todo por los alumnos de educación básica.
Mencioné también que la apreciación de algo se demuestra a través de las
actitudes relacionadas con ese algo; si
le prestamos atención, si le dedicamos
tiempo, si vemos o buscamos ese algo en las personas u objetos que conocemos; en fin, si nos hace generar
y enfocar una cierta energía interna… si nos motiva.
El problema es saber cómo se desa- rrollan las actitudes. Mi propuesta entonces y ahora es que las actitudes se desarrollan a través de reforzamientos sistémicos positivos de ciertos comportamientos, parti- cularmente durante la niñez, lo cual significa que debemos detectar (para interiorizar y luego practicar) ciertos comportamientos recurrentes tanto en nuestros maestros, como en nuestros padres y otros familiares y amigos cercanos, como en personas de los medios de comunicación y también en nosotros mismos, en relación con cosas concretas como son las ciencias naturales y las matemáticas.
TODO ES SISTÉMICO El adjetivo sistémico es muy importante; es, realmente, la clave, porque en relación con temas como las ciencias naturales y las matemáticas, más que los reforzamientos positivos, abundan los reforzamientos negativos:
son muy difíciles, nadie las entiende,
no sirven para gran cosa, es mejor esto o aquello, etcétera, y entonces no se da aquella apreciación que facilita el aprendizaje de todo lo relacionado con él.
En el caso particular de las mate- máticas, además del anterior refor- zamiento sistémico, indispensable para lograr su apreciación temprana, existe otro tipo de reforzamientos sistémicos positivos relacionados con su didáctica, que además permiten exhibir una actitud muy especial al maestro que utiliza este sistema de enseñanza.
Aunque parezca un poco filosófico, este sistema de enseñanza parte de la pregunta: ¿Qué cosa son las matemáticas?
El Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española nos da la definición de la matemática como sigue:
1. f. Ciencia deductiva que estudia las
propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos,
y sus relaciones. U. m. en pl. con el mismo significado que en sing.
1. f. pl. Estudio de la cantidad considerada
en relación con ciertos fenómenos físicos.
Con el debido respeto a la Real Academia Española, ninguna de las definiciones anteriores es capaz de generar en el espíritu del alumno de educación básica algún elemento de apropiación… sino todo lo contrario.
El maestro de matemáticas deseoso
de generar ese otro sistema de reforzamientos positivos debe empezar por utilizar una definición más adecuada a sus propósitos.
Mi propuesta, desde hace más de 30
años, es la de empezar con la frase:
Las matemáticas son una creación de la mente humana.
Cualquier cosa que venga después, lo que la frase anterior implica es que las matemáticas son una parte importante del quehacer humano, como lo son los automóviles, los aviones, los
edificios, etcétera, y si los automóviles
y aviones fueron muy simples al
principio y ahora son cada vez más
avanzados y complejos, es gracias a
los diseñadores y a los ingenieros (con
sus conocimientos matemáticos) que dedican todo su talento y su esfuerzo.
Asimismo, también las matemáticas
al principio fueron muy simples.
Ahora son cada vez más avanzadas y complejas, gracias a los matemáticos, hombres y mujeres, que actualmente dedican todo su talento y su esfuerzo en crearlas, aplicarlas y comunicarlas.
matemáticas, se mencione que han existido y existen en la actualidad hombres y mujeres que dedican lo mejor de su vida a crear y a aplicar las matemáticas.
Es necesario que los alumnos de educación básica entiendan que las ciencias naturales y las matemáticas son, primero que nada, una actividad humana tremendamente relevante y tremen-damente actual.
Asegurado lo anterior, es muy conveniente hacer dos tipos de inter- venciones didácticas: las históricas y las biográficas.
las matemáticas y biografías de los grandes matemáticos, prepare las fichas y planee las intervenciones.
LAS MATEMÁTICAS ENCIERRAN
GRANDES ASPIRACIONES HUMANAS Sigamos con la definición de matemáticas. Para mí, la definición de
la Real Academia Española solamente
encierra una de las tres aspiraciones que se integran en las matemáticas:
la aspiración por la cuantificación
(¿certeza?); las otras dos son la aspiración por la inclusión, o sea
por incluirlo todo (¿universalidad?),
y la aspiración por la perfección
(¿belleza?).
Usualmente, la enseñanza de las matemáticas se relaciona obsesiva- mente con la cuantificación, o sea con la enseñanza de los conceptos
y las reglas para hacer operaciones
matemáticas, y esto es lo que las hace
parecer abstractas (por definición, según la RAE), cuando en realidad son tan concretas que se encuentran en
todas partes, y por ello tienen miles
Sobre esto también hay muchas obras de referencia de cuya consulta un buen maestro puede extraer elementos valiosos para realizar este tipo de intervenciones.
LA ASPIRACIÓN POR LA BELLEZA EXISTE EN LAS MATEMÁTICAS Y EN LA FÍSICA Nos queda referirnos un poco al aspecto de las matemáticas relacionado con la perfección y la belleza. Éste podría ser el aspecto más elusivo, pero es también el más cautivador y desde el cual han surgido temas tan modernos como los fractales y el caos, que, por increíble que parezca, pueden y deben introducirse en la educación básica mediante intervenciones apropiadas con ejemplos muy simples.
Dado que la física también es una creación de la mente humana, comparte con las matemáticas todas sus aspiraciones pero agrega una nueva; la aspiración por la explicación de lo que sucede fuera y dentro de nosotros, (¿inteligibilidad? ¿realidad?).
Pareciera que esa inteligibilidad proviene de que siempre se utiliza una serie de explicaciones y deducciones lógicas y manipu- laciones matemáticas para derivar conclusiones irrebatibles. Ahora si, como dice la RAE de la matemática, la física es una ciencia deductiva.
Sin embargo, en lo más profundo, la física descansa en conjeturas o hipótesis (cada vez más extrañas y sorprendentes) que se denominan axiomas o postulados; en forma elegante: axiomas, postulados o ecuaciones fundamentales de cierto tipo de fenómenos, o en forma reverencial: axiomas, postulados
o ecuaciones de quien las propuso
(¿descubrió?).
El físico inglés Paul Adrien Maurice
(P.A.M.) Dirac propuso la que actualmente conocemos como Ecuación de Dirac, diciendo que no le era posible concebir una ecuación con una estructura matemática más bella (y que si era así de bella debería ser así de correcta).
C0NCLUSIÓN
Imaginemos por un momento a un
maestro de educación básica que les dice a sus alumnos que van a aprender
la forma más bella de expresar las
cantidades y de sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas…y se los cumple… esa sí que es la actitud y la didáctica suprema de un maestro de
Naturalmente que para que un maestro realice intervenciones históricas y biográficas se requiere que además de preparar su clase de acuerdo con el programa oficial, analice algunas de las magníficas obras de consulta sobre historia (¿origen?) de
Originario del Estado de Tamaulipas, es licenciado en Ciencias Físico-Matemáticas y doctor en Físico Química por la Universidad de Maryland. Actualmente es director de Prospectiva Cientíﬁca y Tecnológica en la Coordinación de Ciencia y Tecnología de Nuevo León.
Las situaciones didácticas para aprender
Maestra Leticia Rodríguez Arizpe
Directora de la Escuela Normal Superior “Profesor Moisés Sáenz Garza” ens_leticia.rodz@yahoo.com.mx
A través del tiempo, la enseñanza
de las matemáticas en el
currículo escolar se ha
caracterizado por la inclusión de contenidosquedemandanlaresolución de problemas; sin embargo, en el proceso de enseñanza–aprendizaje, el empleo de los problemas no ha sido siempre el mismo.
Es posible distinguir algunas diferencias en el modo de utilizar los problemas, por las respuestas que da un profesor de matemáticas a preguntas acerca de su clase, como las siguientes:
¿Qué considera más importante:
resolver problemas o hacer muchos ejercicios? ¿En qué momento de la clase sus estudiantes resuelven problemas? ¿Qué tiene más valor: la respuesta correcta o el proceso que siguieron?
C0NCEPCIÓN EPISTEMOLÓGICA
La acción del docente en su aula y las
respuestas a las preguntas anteriores están influidas por la concepción
epistemológica que tiene acerca de
El profesor debe imaginar y proponer a los
alumnos situaciones que ellos puedan vivir y
en las cuales los conocimientos matemáticos
aparecerán como la solución óptima a
los problemas propuestos, solución que el
alumno puede descubrir
enseñado. Ronald Charnay identifica a
trabajo; él interviene para reorientar
tipo de docencia como el modelo
el rumbo de las discusiones con
normativo, por estar centrado en el contenido. (Charnay, en Parra, C, 1994).
nuevas preguntas o proporcionando elementos convencionales del con-
el profesor propone la resolución
tenido requerido.
problemas desde el inicio de
clase, tratando de responder a
necesidades e intereses de sus
DE LA DIDÁCTICA
alumnos, los va acompañando a lo largo de la sesión, interrogando y validando los pasos dados para buscar las soluciones, proporcionándoles fuentes de información y fichas de
La concepción de didáctica de las matemáticas que subyace tras cada uno de los modelos docentes antes mencionados también es diferente. En el primero de ellos, la Didáctica
trabajo dirigido para que se llegue a lo que él espera, se trata entonces de un docente que pone en práctica los llamados “métodos activos”. Es el modelo “incitativo” de Charnay, centrado en la actividad del alumno, pero también orientado hacia un saber ya construido, de conceptos
es el arte de enseñar, de mostrar el saber previamente construido. En el segundo, la Didáctica es un conjunto de técnicas para enseñar, sustentadas en conocimientos técnicos de otras disciplinas, especialmente de la psicología.
asignatura y los propósitos de su
procedimientos que deberán
En el último de los modelos, la
enseñanza. Un docente que presenta los problemas a resolver sólo hacia
encontrar bajo la guía del profesor. Un tercer modelo, llamado “aproxima-
Didáctica de las matemáticas se asume como la ciencia que estudia los
final de su clase, después de que
tivo” por Charnay, corresponde al
procesos didácticos, los procesos de
mismo ha introducido las nociones
maestro que propone situaciones
estudio de las cuestiones matemáticas.
conceptos que forman parte del
problemáticas a sus estudiantes, al
(Chevallard, 1998). En nuestro país, la
saber a estudiar, es un docente que
inicio de su clase pero con la intención
reforma más reciente a la Educación
concibe la tarea de enseñar como
provocar la reflexión individual
Secundaria contempla, entre sus
un proceso simple de transmisión
de grupo acerca de los posibles
fundamentos curriculares, teorías que
de conocimientos donde el saber es dado, ya construido. Aquí el alumno debe escuchar e imitar, entrenarse, ejercitarse y reproducir la respuesta esperada con el procedimiento
procedimientos y soluciones. Es aquél que promueve la indagación, la puesta a prueba, la confrontación de ideas y la argumentación de los alumnos a lo largo de la sesión de
perfilan el papel del profesor como un mediador entre los alumnos y el saber. Las recomendaciones didácticas contenidas en los programas de la asignatura de matemáticas enfatizan
la necesidad de que el profesor dise- ñe o seleccione situaciones de interés para los alumnos, que promuevan la reflexión, la argumentación y la validación de resultados, para aprender matemáticas al resolver problemas. En este caso, se identifica una total correspondencia entre el enfoque recomendado para la enseñanza de las matemáticas en la educación básica y el modelo aproximativo de Charney, congruente también con la tercera concepción de
la didáctica de las matemáticas, arriba
ESTUDIO, LA CLAVE DEL APRENDIZAJE Chevallard señala que el eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas es el estudio. La clave para aprender matemáticas es el estudio. El estudio de las cuestiones matemáticas en el aula debe hacerse a partir de situaciones didácticas. Brousseau (citado por Parra, 1994) define las situaciones didácticas como “El conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende herramientas y objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con objeto de que los alumnos se apropien de un saber
constituido o en vías de constitución”. La situación didáctica puede ser un problema o bien algún otro tipo de planteamiento que el profesor proponga a sus alumnos como reto
La clave para aprender matemáticas es el estudio.
sus hallazgos, descubrimientos o construcciones. Fase de validación: Los estudiantes argumentan y negocian la validez de sus formulaciones. Fase de institucionalización: El profesor formaliza el conocimiento construido en el aula para aproximar-
lo al saber construido científicamente. Uniforma las distintas representacio- nes individuales con respecto a las representaciones convencionales ad- mitidas. Al trabajar las situaciones didácticas de este modo, se concibe al aula como un microlaboratorio donde se van generando procesos de construcción de conocimientos, donde se estudian y se aprenden cuestiones matemáticas. El reto para
resolver. Debe asegurarse de que
docente es precisamente el diseño
situación no sea tan difícil que los
la selección de las situaciones
estudiantes no la puedan resolver, ni
didácticas. Al planear su trabajo, debe
tan sencilla de modo que la solución sea inmediata. Los alumnos deben poseer conocimientos para intentar la solución desde varias alternativas.
MANEJO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS Brousseau enuncia cuatro fases para el manejo de las situaciones didácticas, a partir del planteamiento del problema:
Fase de acción: Los estudiantes se mueven para realizar acciones cuyo propósito es resolver el problema. Fase de formulación: Los estudian- tes formulan representaciones de
tener claro el objeto del aprendizaje y
las motivaciones de los estudiantes.
PROBLEMAS SIGNIFICATIVOS Es recomendable seleccionar problemas que sean significativos para los alumnos y dejar que sean explorados en pequeños grupos de discusión, permitiendo el ensayo
y error, la elaboración y puesta a
prueba de conjeturas, la discusión y la
argumentación. No es el profesor quien valida el conocimiento construido, sino los argumentos y razonamientos apropiados de los propios alumnos. Se tiene que dejar a los alumnos utilizar
sus propias estrategias de solución
y representación. Se requiere que el
profesor plantee nuevos problemas, para propiciar la consolidación de un aprendizaje significativo.
Es posible que un docente que ha intentado aplicar el enfoque recomendado para la enseñanza de las matemáticas aún no logre los resultados esperados. Podría, tal vez, contestar algunas interrogantes, antes de desistir: ¿Qué actitud percibe en sus estudiantes cuando les propone resolver problemas? ¿Los estimula para que comuniquen sus ideas y estrategias, confrontándolas con las propuestas de otros? ¿Una misma situación es problema para cualquier estudiante? También podría revisar el informe de la investigación sobre la enseñanza a través de la resolución de problemas, de Alicia Ávila, realizada de 1994 a 1997 en aulas de escuelas públicas. Entre sus recomendaciones están las de: plantear problemas que en realidad sean un problema para los alumnos, dar a los alumnos los recursos necesarios para resolver los problemas, seleccionar las situaciones en que convenga confrontar y discutir puntos de vista y soluciones, hacer
explícito el aprendizaje logrado a través de la interacción con la situación- problema, mantener el sentido de las estrategias “espontáneas” en el proceso de aprendizaje y aceptar “devolver” a los alumnos la responsabilidad de su aprendizaje. Los resultados obtenidos hasta ahora utilizando situaciones didácticas como la resolución de problemas pueden mejorarse. Las dificultades para lograr que nuestros alumnos estudien matemáticas de es-
ta manera son un área de oportunidad
Es licenciada en Pedagogía, egresada de la UANL; tiene una Maestría en Educación Media en Matemáticas por la Escuela de Graduados de la Normal Superior de Nuevo León. Es autora de libros de matemáticas para secundaria, desde 1982 a la fecha.
El futuro de la enseñanza de las
Maestro Héctor Antonio González Flores
Departamento de Física y Matemáticas / UDEM hgonzalez@udem.edu.mx
L as Matemáticas son definiti- vamente una de las ciencias más importantes del fruto del
razonamiento humano, tan antiguas como las culturas china, egipcia, o griega. Concentración del pensamiento abstracto y el razonamiento lógico -precisamente dos de los insumos fundamentales para el pensamiento creativo- constituyen el lenguaje en el que se encuentra descrito y mediante el cual se puede operar gran parte del conocimiento humano. Una de sus ramas: el cálculo, es la base fundamental del pensamiento físico y, en nuestro tiempo, del pensamiento ingenieríl o tecnológico.
Se trata de un conocimiento funda- mental que diferencia la potencia de los profesionistas actuales, y preci- samente en este punto es donde adquiere su relevancia en los ámbitos económico, político y social. Podríamos diferenciar a los humanos como los
que emplean las matemáticas en su quehacer cotidiano y los que no.
CAPACIDAD DE EMPLEAR EL PENSAMIENTO ABSTRACTO
En la actualidad, las entendemos como
la capacidad de emplear el pensamien-
to abstracto y poder plasmar el fruto de nuestro razonamiento lógico.
Es por esto que preguntamos: ¿de qué manera ponemos en contacto
a nuestros niños y jóvenes con las
matemáticas? Esto adquiere una tremenda relevancia. De hecho, existen profesionistas que eligieron su carrera porque ésta no tenía matemáticas.
Esto es un grave error, ya que, siendo las matemáticas el constructor teó- rico que nos permite plasmar el fruto de nuestro razonamiento lógico, no emplearlas podría ser reconocer que la lógica de nuestras conclusiones no es importante.
Ahí está la Lógica Difusa, según la cual, 1 + 1 no es exactamente 2, sino, más o menos 2. En la actualidad, esta rama de las matemáticas es empleada en el campo de la inteligencia artificial, y las llamadas redes neuronales. ¿Qué los psicólogos y los neurólogos no deberían saber de esto?
Por otra parte, en la didáctica de las matemáticas, al parecer se ha venido resaltando lo que se refiere al pensamiento abstracto, pero de manera exagerada, y esto ha redunda- do en una didáctica que promueve la mecanización de las operaciones que tienen que ver con las matemáticas.
EMPLEO DEL RAZONAMIENTO LÓGICO Porque en las matemáticas existen una infinidad de álgebras, con sus correspondientes operadores. Y, claro, hay que ser hábil en el manejo de esto,
pero, ¿y el empleo del razonamiento
lógico aplicado a la vida cotidiana? Y
es aquí en donde la didáctica de esta
ciencia flaquea. Pero, ¿que se puede hacer al respecto? ¿Existen en la actualidad herramientas que podamos utilizar?
Habrá que responder que, actualmente, David H. Jonassen desarrolla los conceptos; mind tools, que son básicamente herramientas cognitivas basadas en la computadora y learning environments, que son ambientes de aprendizaje adaptados para facilitar
el pensamiento critico y el aprendizaje
de nivel elevado. De acuerdo con Jonassen, ejemplos de herramientas cognitivas son:
•Bases de datos. •Redes semánticas. •Sistemas expertos, calculadoras avanzadas. •Multimedia e hipermedia basada en simulaciones, etcétera.
Jonassen establece que la función de
las herramientas cognitivas es extender
las funciones cognitivas del aprendiz durante el proceso de aprendizaje, y comprometerlo en la construcción de su propio conocimiento. Además, proveen el andamiaje necesario para diferentes formas de razonamiento acerca de algún contenido.
Razonamiento: precisamente la habilidad que ejercemos al resolver
problemas. Pero hay de problemas a problemas. Definitivamente, una suma,
o la solución de una derivada o una
integral son un ejemplo de la solución
de un problema, pero ¿que tan retador
puede ser esto? Si es un hecho que
la actualidad existen calculadoras
programas computacionales que
pueden hacer esto, y si reconocemos que una calculadora no puede razonar, entonces nos daremos cuenta del problema acerca de una didáctica de las matemáticas que promueva únicamente la solución de este tipo de problemas.
En la actualidad, los problemas ricos
en contexto son empleados como
estrategia didáctica para promover
el razonamiento complejo, y es que
en la vida profesional es donde nos
enfrentamos a este tipo de problemas, cuya principal característica es que
no tienen una solución única, ya que
en su planteamiento no están com- pletamente determinados. Es decir, se necesita realizar consideraciones al tratar de obtener una de las posibles
soluciones, y es aquí donde se promueve el razonamiento.
Es también un hecho que la tecnolo- gía seguirá su avance, y que cada vez tendremos herramientas cognitivas más capaces, que podrán emitir una respuesta cuando se trate de encontrar
la solución de situaciones en que se
requiera realizar operaciones, ya sean aritméticas, algebraicas, matriciales, vectoriales, o que involucren el derivar
e integrar funciones o la solución de ecuaciones diferenciales.
Entonces, los humanos que usamos
o que usaremos las matemáticas,
no debemos seguir ejercitando únicamente estas habilidades, ya que
las calculadoras y las computadoras lo
hacen y lo harán mejor. Por lo tanto, queda claro adónde se debe enfocar la didáctica de las matemáticas: nosotros debemos ejercitar el razonamiento lógico y producir las funciones a las cuales someteremos diferentes operaciones para lograr nuestros propósitos.
En otras palabras, debemos ejerci- tarnos en el empleo de la herramienta matemática como una manera de representar las situaciones que cotidianamente vivimos, con el objeto de modelarlas y encontrar alternativas particulares en la solu- ción o incluso soluciones a problemas no planteados aún.
Este panorama podría promover que cada vez más estudiantes optarán por carreras en donde la promesa fuera el conocer y dominar un lenguaje y un conjunto de operadores con los que se puede abstraer al mundo que nos rodea y mediante el cual es posible plasmar nuestro razonamiento y encontrar soluciones optimas, innovadoras y emocionantes.
Es licenciado en Física, egresado de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la UANL; tiene Maestría por la misma institución en Enseñanza de las Ciencias, y cuenta también con otra Maestría en Ciencias de la Educación, con Especialidad en la Aplicación de la Computadora, por la UDEM.
David H. Jonassen,-Chad Carr,-Hsiu-Ping Yueh. (1998). Computers as
Mindtools for Engaging Learners in Critical Thinking. TechTrends, v43 n2 p24-32.
Rupali Akerkar & Rajendra Akerkar. Strategies for Future Educations in
Methematics. Technomathematics Research Foundation, Kolhapur.
Kathleen Nolan. (2204). The Future Is Now: The Importance of Modelling
Effective Technology Integration in Mathematics Education Classes. Teacher
University of Minnesota. Physics Education Research and Development.
http://groups.physics.umn.edu/physed/index.html
Uso de las tecnologías de información y comunicación en la enseñanza de las
Maestra Lilia Guadalupe García
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas / UANL liliaggf@yahoo.com.mx
E n el planteamiento general del uso de las tecnologías de la información y comunicación
en la clase de matemáticas subyace una serie de cambios necesarios para llevar a cabo la labor docente. Se pueden mencionar aquéllos que están vinculados con la propia concepción de la función de la escuela, la forma de estructurar y organizar la enseñanza en el aula, la manera de obtener información, la forma de proponer actividades y tareas, las habilidades y competencias de los estudiantes.
En consecuencia, el maestro de matemáticas del siglo XXI tiene que desarrollar competencias no incluidas en los objetivos de su formación inicial. Uno podría plantearse la pregunta: ¿podrá el docente alcanzar el paso de los usuarios expertos
que actualmente introducen en los
currícula de la educación matemática
y comunicación de frontera?
(Olimpia Figueras [2] en su artículo “Atrapados en la explosión del uso de las tecnologías de la información y comunicación)”.
Comenzaré este artículo tomando en
cuenta las palabras de Marianna Bosch [1]: “En el centro de la problemática de
la enseñanza de la matemática están
las cuestiones: ¿Qué es la matemática?,
o ¿En qué consiste hacer matemáticas?
Y dice que: La matemática puede ser
•una actividad abierta de resolución de problemas aislados;
•un conjunto de procedimientos algoritmizados que se aplican en situaciones estereotipadas;
•un conjunto de procedimientos más complejos articulados alrededor de clases de problemas;
•un proceso de modelización de sistemas matemáticos o extra- matemáticos”.
LO QUE SON LAS MATEMÁTICAS
Como la misma autora continúa, “no
se trata de determinar si es mejor
entender las matemáticas como una
teoría, como una actividad intelectual
o creativa, como un conjunto de
procedimientos o como un proceso de modelización. O, por lo menos, no debemos plantear la discusión en términos absolutos, porque sólo llegaríamos a la conclusión de que todos tienen una parte de razón:
las matemáticas son una teoría y un
lenguaje, una actividad de utilización rutinaria de conocimientos previos
y, a la vez una actividad creativa
que incluye siempre un proceso de modelización”.
Más allá de decidir cuál es la verdadera naturaleza de la Matemática, la autora considera que el interés está centrado en adoptar un modelo adecuado de la actividad matemática; es decir, una manera de entender lo que es hacer matemática y, también enseñar y aprender matemática.
Uno de los primeros beneficios que se vislumbran con el uso de la tecnología en los procesos de enseñanza- aprendizaje es la posibilidad de manejar dinámicamente los objetos matemáticos en múltiples registros de representación dentro de esquemas interactivos, difíciles de lograr con los medios tradicionales, como el lápiz y el papel, en los que se pueden manipular directamente estos objetos y explorarlos.
USO DE NUEVAS TECNOLOGÍAS EN LA ENSEÑANZA Estudios realizados en los últimos años han demostrado que el uso de nuevas tecnologías abre perspectivas
interesantes para la enseñanza de las matemáticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencionar los siguientes:
•Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexión y lo convierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje.
•Provee un espacio problemático común al maestro y al estudiante para construir significados.
•Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la conceptualización y la resolución de problemas.
•Da un soporte basado en la retroalimentación.
•Reduce el miedo del estudiante a expresar algo erróneo y, por lo tanto, se aventura más a explorar sus ideas y formula conjeturas, y busca argumentos adecuados para validarlas.
•Ayuda al alumno a descubrir y construir conceptos y técnicas mediante el ejercicio de la reflexión.
•Y, por último, una de las ventajas centrales de las nuevas tecnologías en la educación matemática, es la capacidad expresiva que otorgan a los estudiantes.
La computadora y la calculadora nunca van a suplir al maestro: son instrumentos de apoyo, como el pizarrón y el gis, aunque sus características sean esencialmente diferentes.
No existe una visión única universalmente aceptada, sobre cuál es la mejor forma de utilizar las calculadoras y las computadoras en el aula. Es más, las preguntas adecuadas sobre tecnología no deberían ser sobre temas amplios tales como qué hardware o software utilizar, sino desde cómo cada uno funciona en un determinado currículo hasta los efectos que tienen en la forma de plantear problemas particulares a los estudiantes.
USO DE COMPUTADORAS Y CALCULADORAS Enseñar matemáticas mediante la utilización de
computadoras o calculadoras conlleva muchos cambios en
la organización del trabajo. Éstos se reflejan principalmente
en el papel que desempeña el docente en este contexto, en
la organización del trabajo de sus alumnos y en la manera
de evaluar su rendimiento.
Las nuevas tecnologías requieren otro tipo de acercamiento
a la enseñanza, por lo que el papel del maestro cambia
radicalmente cuando la clase de matemáticas se desarrolla
con tecnología apoyada en hojas de trabajo. Con esta combinación -tecnología y hojas de trabajo- el profesor tiene la posibilidad de mediar el aprendizaje de sus alumnos de tres formas distintas mediante las hojas de trabajo que les proporciona.
•Apoyando y guiando a los estudiantes durante la resolución de las hojas de trabajo en el salón de clase. •En discusiones del grupo completo. El profesor no debe convertirse en el centro de la discusión; debe procurar que los estudiantes se apropien de ella. •Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los demás y el profesor sólo debe coordinar esta actividad.
Propicia que sus alumnos desarrollen un espíritu abierto a la investigación. Da libertad a sus estudiantes de que exploren distintas maneras de resolver un problema, viendo sus distintas representaciones, como también la utilización de distintas herramientas.
Enseñar matemáticas mediante la utilización de computadoras o calculadoras conlleva muchos cambios en la organización del trabajo.
1 Bosch, Marianna, El estudio de campos de problemas en secundaria, conferencia (versión
preliminar) en el Departamento de Matemática y Computación de la Universidad de La Rioja,
2 SEIEM-Seminario de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática:
Investigación en Tecnologías de la Información y Comunicación en Educación Matemática.
Ponencias: 1. Atrapados en la explosión del uso de las tecnologías de la información y
comunicación, a cargo de la Doctora Olimpia Figueras Mourut de Montpellier. Réplica del
doctor Ángel Martínez Recio disponible en línea en: http://www.ugr.es/local/seiem
SEP Geometría Dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, disponible
en línea http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/recdidacticos/
geometriadinamica.pdf
Benítez Mojica, David, ¿Por qué usar tecnología computacional en el aula de matemáticas.
Lilia Guadalupe García Figueroa
Es licenciada en Matemáticas, y maestra en Enseñanza de las Ciencias, con Especialidad en Matemáticas, por la UANL. Es también maestra de tiempo completo en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, donde imparte Matemáticas I, Matemáticas II, Matemáticas Discretas, Ecuaciones Diferenciales. Forma parte del cuerpo académico Matemática Educativa, de la misma facultad.
Desarrollada en el Tec de Monterrey
Doctor Ricardo Pulido Ríos
Departamento de Matemáticas / ITESM ricardo.pulido@itesm.mx
E l currículo de las carreras de
ingeniería está organizado
con el supuesto de que los
cursos de Cálculo proveen a
los estudiantes de las herramientas matemáticas que les permitan inter- pretar, modelar y resolver problemas en áreas específicas propias de esas carreras.
La bondad de los cursos de Cálculo debería entonces ser juzgada de acuerdo al cumplimiento del estándar de calidad señalado.
Voces en todo el mundo (si sirve de consuelo para México) señalan dificultades graves en el aprendizaje del Cálculo.
Los índices de reprobados son altos y, lo que es más grave aún, existe evidencia de que los estudiantes que aprueban esta materia curricular no reconocen la utilidad e importancia de las ideas fundamentales del Cálculo.
UNA NUEVA PROPUESTA DESARROLLADA EN EL ITESM El reconocimiento de la problemática local, al tenor de la del reclamo mundial, hizo que en enero de 1998, en el Departamento de Matemáticas del Instituto Tecnológico y de Estudios
En el Tec de Monterrey diseñaron una propuesta educativa para la enseñanza del cálculo.
Superiores de Monterrey se formara un comité de seis profesores con la idea de crear una nueva propuesta educativa para los cursos de Cálculo de Ingeniería.
Este comité se propuso el siguiente objetivo: Construir una propuesta innovadora para la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo en el Sistema Tecnológico, con las características siguientes:
•Servir de soporte a los estilos de
matematización de las materias de las carreras de ingeniería.
•Permitir
iniciación científica exitosa.
INNOVACIÓN MATEMÁTICA A la fecha, el comité ha innovado casi todos los cursos de matemáticas del
nivel básico de ingeniería: Remediales, Matemáticas I, II y III, conocidos como Precálculo; Cálculo Diferencial
e Integral y el Cálculo de Varias
Variables. De hecho, se cuenta con los libros de texto editados para los primeros dos cursos.
Esta nueva propuesta resulta ser una alternativa diferente a la enseñanza tradicional del Cálculo, entendiendo a esta última como la dictada por libros de texto de autores norteamericanos (Stewart, Leithold, Zill, Larson and Hosteller, Thomas and Finney, etcétera). La enseñanza tradicional ha estado presente en nuestras universidades y las del continente americano por más de 60 años. Por su parte, basada fuertemente en la investigación en Matemática Educativa, nuestra propuesta pre- senta una visión innovadora y útil de las ideas fundamentales del Cálculo, ideas que se encuentran presentes en las formas matemáticas de accionar en ingeniería y que fueron literalmente recuperadas por
nuestras investigaciones de corte histórico sobre el origen y desarrollo
de los conceptos del Cálculo.
Comparar los resultados que se obtienen con una propuesta inno- vadora con respecto a los de una presentación tradicional es también
un problema de investigación, el cual resulta indispensable de considerar cuando uno aspira legítimamente
que sea tomada en cuenta en el
plan curricular de otras escuelas o universidades. Sabíamos que nuestra propuesta no podía ser evaluada a través de exámenes estandarizados, los cuales, válgase así decirlo, tradicionalmente miden lo que es enseñado tradicionalmente.
magnitud (física, biológica, o social) que está cambiando con un cierto ritmo.
Una evaluación justa y además indispensable de las propuestas de cálculo debe considerar necesariamen- te el objetivo que persiguen y por el
UNA EVALUACIÓN NO TÍPICA, PERO NECESARIA Para constatar que nuestros cursos ya rediseñados logran que el estudiante esté mejor preparado para comprender los procesos ma- temáticos que conducen a obtener resultados importantes de sus cursos
por una parte estamos ciertos de
que fueron incluidas en la enseñanza
avanzados de ingeniería, llevamos a
que los estudiantes que han aprobado los cursos de nuestra propuesta muy probablemente no podrían responder
de la ingeniería: dotar al estudiante de las destrezas, habilidades y competencias matemáticas, necesarias
cabo la investigación que enseguida describimos.
reactivo tradicional de determinar
para comprender a profundidad los
Escogimos un tópico de ingeniería
una discontinuidad es removible o
distintos fenómenos estudiados en las
que requiriera un alto grado de
esencial; sin embargo, por otra parte también es cierto que un estudiante formado con la enseñanza tradicional difícilmente podría construir el modelo matemático adecuado con el que se pueda predecir el valor de una
materias propias de la ingeniería. Con esa mentalidad, nos propusimos a su tiempo llevar a cabo una evaluación que resultó necesariamente ser una evaluación no típica.
matematización para su desarrollo, y que estuviera presente en por lo menos alguna materia de una buena cantidad de carreras de ingeniería; el tópico elegido fue la Ecuación de Continuidad. Este tópico es
estudiado en por lo menos ocho carreras de ingeniería (entre ellas Ingeniería Mecánica, Ingeniería Civil
e Ingeniería en Ciencias Químicas) en diferentes materias como: Mecánica de Fluidos, Hidrología, Balance de Materia, etcétera.
Diseñamos un cuestionario cuyo contenido gira alrededor de la forma en que se construye la ecuación de continuidad en el libro de Mecánica de Fluidos del autor White, F. (1994, McGraw Hill) que es usado como libro de texto en la materia del mismo nombre. Los reactivos se relacionan entonces con las consideraciones matemáticas, algunas de corte infinitesimal, que conducen
al establecimiento de la ecuación de
continuidad. El cuestionario consta de ocho problemas, seis de ellos con dos incisos y los otros dos con uno solo, de modo que podemos decir que en total se tienen 14 reactivos; todos de opción múltiple, a excepción de
cuatro de ellos en los que la respuesta
ESTUDIANTIL Con la idea de comparar el desempeño de los estudiantes que hubieran recibido una enseñanza de las matemáticas basada en nuestra innovación de cursos, Matemáticas
I, II y III de Ingeniería, con respecto
a los que no, se decidió aplicar el
cuestionario en grupos completos correspondientes a materias de semestres avanzados de las carreras de ingeniería antes señaladas. En otras palabras, escogimos cursos cuyos estudiantes ya habían acreditado el nivel básico de matemáticas, esto es, de quinto semestre en adelante.
Sabíamos que en tales grupos encontraríamos desde estudiantes que habían acreditado todos nuestros cursos, hasta aquéllos que no habían llevado ninguno de ellos; es decir, estudiantes que habían acreditado solamente cursos tradicionales. Cabe mencionar que nuestra propuesta fue introducida paulatinamente en el Campus Monterrey, conforme iba ganando adeptos entre los profesores, quienes estaban siendo capacitados para impartir esta nueva visión del
Cálculo; resulta natural entonces encontrarse en un momento con estudiantes que habían sido instruidos de manera tradicional y con aquéllos que habían acreditado uno o varios cursos con nuestra propuesta.
El cuestionario se aplicó en 16 grupos en el mes de abril de 2004; 10 de ellos en el Campus Monterrey, donde se obtuvieron 247 cuestionarios contestados. Del Campus Ciudad de México se visitaron seis grupos, de donde se obtuvieron 102 cuestionarios. En todos los grupos se les explicó a los estudiantes la intención del cuestionario y se les pidió que ayudaran en la investigación atendiendo con esmero los requerimientos del mismo; se tomó estricto control del tiempo: 20 minutos. En todos los grupos estuvo presente un miembro de nuestro comité.
RESULTADOS IMPORTANTES El cuestionario completo y los análisis estadísticos de los resultados de la aplicación pueden ser consultados en el libro: Investigaciones Sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas:
Un Reporte Iberoamericano (año:
2006; editado por CLAME, Comité Latinoamericano de Matemática Educativa). Sin embargo, para el propósito de este escrito, vale la pena comentar algunos de los resultados que nos han parecido importantes:
a)El desempeño de los estudiantes que fueron instruidos con la nueva propuesta resultó en general mejor que el de aquéllos que recibieron la instrucción tradicional. De hecho, hay algunos reactivos en los que las diferencias, en cuanto a porcentajes de acierto fueron estadísticamente significativas a favor de nuestra propuesta y en los que además los estudiantes instruidos con el sistema tradicional reflejan patrones de comportamiento matemático que
obstaculizan el buen entendimiento del razonamiento propio de la ingeniería. b)Los estudiantes del Campus Ciudad de México (en este Campus no se utiliza la nueva propuesta) se comportaron igual que los del Campus Monterrey que recibieron una enseñanza tradicional. Esto hace suponer que una diferencia a favor de las bondades de la propuesta innovadora puede reflejarse al hacer comparaciones con cualquier institución educativa que practique la enseñanza tradicional (lo que ocurre en la mayoría de las universidades del país).
COMENTARIOS FINALES Me gustaría terminar puntualizando dos hechos que considero relevantes:
uno de ellos es la creación, por parte de un grupo de trabajo local (profesores del ITESM, pero egresados de la UANL) de una propuesta innovadora para la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingeniería.
Dicha propuesta (que en parte puede ser visualizada en el libro:
Elementos del Cálculo de la editorial TRILLAS) podría dar lugar a un nuevo paradigma en la enseñanza del cálculo en todo el Continente Americano. En otras palabras, se ha generado un conocimiento nuevo sobre educación que podría impactar benéficamente la enseñanza de las matemáticas en nuestro continente.
El otro punto que me gustaría subrayar es la forma de evaluar ese conocimiento nuevo: en el terreno donde se dice que va a incidir; en este caso, en las áreas específicas de las carreras de ingeniería, donde supuestamente debe estarse utilizando lo aprendido en los cursos de cálculo. Creemos que esta visión de la evaluación, aunque simple, no ha sido puesta en práctica en la escala que se debiera; nuestra manera de hacerlo pudiera dar pautas para llevar a cabo esa necesaria tarea.
Ricardo Pulido Ríos
Es Profesor Titular del Departamento de Matemáticas del ITESM;, y tiene doctorado en Matemática Educativa por el CINVESTAV; es coautor del libro Elementos del Cálculo: reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza. Es miembro del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.
Representar y Transferir son habilidades requeridas en la Visualización Matemática.
Doctora Lilia López Vera
Coordinadora y Maestra de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Especialidad en Matemáticas / UANL lilia_lopez@hotmail.com
A nte las demandas nacionales e internacionales de innovación educativa que conduzcan a la generación y aplicación del conocimiento en un desarrollo social sustentable, se propone la transformación de procesos de enseñanza-aprendizaje, que propicien la construcción
de competencias profesionales en la consolidación de la Sociedad del Conocimiento.
Las Tecnologías de Información y Comunicación (TICs) se han convertido en un elemento constitutivo de la generación y aplicación del conocimiento en el desarrollo del continuo Ciencia-Tecnología-Sociedad, y han rebasado la capacidad de actualización docente e implementación de las mismas en las instituciones educativas.
En particular, la comunidad nacional e internacional de Matemática Educativa investiga la disponibilidad creciente de computadoras y calculadoras gráficas con capacidades de manipulación simbólica y dinámica, para rediseñar la enseñanza de la Matemática en situaciones didácticas e implementar la enseñanza mediada por las TICs en diferentes niveles educativos.
FORMACIÓN INTEGRAL DE PROFESIONISTAS DE LA MATEMÁTICA Es parte del desafío social e intelectual de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad Autónoma de Nuevo León (FCFM UANL), apoyar el desarrollo de la sociedad neoleonesa y del país, mediante la formación integral de profesionistas de la Matemática, con competencias para la aportación directa de su saber científico y tecnológico a la solución de problemas de los sectores educativo, productivo y de servicio.
El Corte Vertical y Horizontal se basó en el análisis de programas de estudio y entrevistas con docentes, para investigar sus concepciones, respecto al estado de desarrollo de las habilidades del pensamiento geométrico y la pertinencia de los cursos de Geometría Analítica del Espacio y Cálculo Vectorial, en la UANL y en otras universidades.
Del análisis de objetivos institucionales e investigaciones educativas sobre el desarrollo de competencias (saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales) en los estudiantes, se evidenció la necesidad de formar habilidades lógicas, algorítmicas y sociales como habilidades docentes
a nivel productivo, considerando la importancia de que el docente facilite
la construcción de los conocimientos y diseñe las actividades prácticas e investigativas que propicien aprendizajes significativos, por lo que en la presente investigación se identifican las habilidades matemáticas como habilidades componentes de las habilidades docentes de estudiantes y egresados.
Se toma de Leóntiev (1981) que “para definir habilidad , se debe partir del término actividad (sujeta a un motivo) que se realiza por acciones (orientadas a un objetivo), estructuradas por operaciones (subordinadas a condiciones), en donde, sólo varía el aspecto operacional, pero el objetivo permanece”. Además, se asume la clasificación de habilidades en Específicas, Lógicas, de Estudio y Profesionales dada por Fuentes, H. (2000), quien a la vez define los siguientes niveles de desarrollo de las mismas:
Nivel Elemental (relativo a un objeto concreto). Nivel Automatizado (casos resueltos en la carrera, repetitivo). Nivel Perfeccionado (otros casos de la carrera). Nivel Generalizado (otros campos de la vida, productivo).
En particular, las habilidades profesionales se definen como habilidades que constituyen el contenido de aquellas acciones del sujeto orientadas a la transformación del objeto de la profesión, las cuales se sistematizan a lo largo del proceso de formación del profesional, hasta adquirir un grado de generalidad tal, que le permita aplicar los conocimientos, actuar y transformar su objeto de trabajo, y por lo tanto resolver los problemas más generales y frecuentes que se presenten en las diferentes esferas de actuación profesional.
DIAGNÓSTICO DE LA REALIDAD El objeto de estudio y el campo de acción se abstrajeron del diagnóstico de la realidad objetiva y subjetiva, sobre la demanda de la implementación de las TICs en el aula y sobre el estado de desarrollo de habilidades matemáticas y profesionales en estudiantes de FCFM: se implementó el uso de graficadores como el MicroCalc, Derive, Matlab, Mathematica y CABRI, constatando las deficiencias que tienen los alumnos para ubicar espacialmente en el Plano (R 2 ) y en el Espacio (R 3 ) los gráficos de curvas y superficies obtenidos en pantalla.
Se incursionó en la modelación y solución de situaciones problémicas contextualizadas en problemas propios de la comunidad neoleonesa. Se aplicaron aspectos del método Investigación-Acción, como proceso dinámico grupal, científico-técnico, en el cual, a través de componentes de la técnica de observación participativa, se constató el deficiente desarrollo de la habilidad de Visualización Matemática para Representar y Transferir (gráfica
y simbólicamente) los Campos Vectoriales (magnéticos, eléctricos o de calor)
que afectan a un flujo contenido en un sólido (ducto o contenedor) y a las superficies que acotan a dicho sólido, o fuerzas que actúan sobre una partícula que se mueve en una trayectoria (función vectorial).
Los resultados de la experiencia didáctica argumentaron la existencia de deficiencias, en la relación conocimientos-habilidades-actitudes . En particular, es urgente que los docentes de nivel superior propicien el desarrollo de la habilidad de Visualización Matemática en sus alumnos, en la consecución
del aprendizaje significativo de la graficación de conceptos y teoremas sobre las funciones reales y funciones vectoriales en el plano y en el espacio, requeridas en la disciplina y en la solución de problemas de diversos sectores sociales.
Desarrollar la habilidad de transferencia de las percepciones tridimensionales a representaciones bidimensionales y viceversa es una demanda de los programas de Licenciaturas o Ingenierías, pero en determinado momento histórico René Descartes (1595-1650), afirmó que la graficación en el espacio no es una extrapolación de la graficación en el plano, tanto de funciones reales de dos variables (superficies), como de funciones vectoriales (curvas); no se realizan fácilmente haciendo ligeras modificaciones a la graficación en el plano.
La autora coincide con tan importante afirmación y la considera vigente. Es posible que se piense que tal dificultad se ha rebasado y que actualmente la graficación en el espacio “se realiza fácilmente”, apoyada en la usabilidad y amigabilidad de poderosos asistentes matemáticos que incluso propician la manipulación virtual.
HABILIDADES REQUERIDAS EN LA VISUALIZACIÓN MATEMÁTICA
De la literatura científica investigada,
se concluyó que: Representar y Transferir son habilidades requeridas en la Visualización Matemática, pero
en la presente investigación se eviden-
ció que la Visualización Matemática
de superficies limitantes de sólidos y curvas limitantes de las proyecciones en los planos coordenados, depende directamente de la habilidad de Ubicación Espacial Matemática.
La autora suma esta última habilidad a las habilidades de Representación
y Transferencia, para conformar
un subsistema de habilidades de
la Visualización Matemática Bidi-
mensional y Tridimensional, y la conceptualiza. Conceptualización de la habilidad de Ubicación Espacial Matemática: Es un hecho que una habilidad del pensamiento lógico es
Ubicar (o localizar) el lugar relativo que ocupa una parte determinada dentro del todo en cualquier contexto. Pero, hablar de ubicación espacial de objetos tridimensionales graficados en R 3 , representado convencionalmente en un “objeto bidimensional” (la hoja o la pantalla en la PC), con puntos de referencia fijos y móviles, es hablar de una habilidad factible de desarrollar en el Nivel Superior, la cual debe ser definida explícitamente con carácter secuencial y de ascenso como sigue:
Habilidad de Ubicación Espacial Matemática Bidimensional es determinar lateralidades de objetos representados en el espacio modelado bidimensional: izquierda-derecha de X=0 o X=K, arriba- abajo de Y=0 o Y=K. (objetos de una o dos dimensiones sobre R 2 )
Habilidad de Ubicación Espacial Matemática Tridimensional es determinar lateralidades de objetos representados en el espacio modelado tridimensional: arriba-abajo de Z=0 o Z=K, izquierda- derecha de Y=0 o Y=K, al frente-atrás de X=0 o X=K. (objetos de una, dos o tres dimensiones sobre R 3 , antes y después de transformaciones geométricas y/o transformaciones de coordenadas).
ENFOQUE HISTÓRICO CULTURAL Desde un punto de vista psicológico, se propone una metodología basada en el enfoque histórico cultural, en la que,
a través de instrumentos semióticos,
se desarrolle la Visualización Matemática Tridimensional, con un nivel de asimilación productivo y creativo, para poder modelar tanto objetos geométricos manipulables, como objetos geométricos virtuales, en la que el diseño e implementación de las TICs tome como un referente relevante los postulados de Vigotsky sobre el carácter mediatizado de la psiquis humana, el carácter social del
aprendizaje y el carácter histórico del desarrollo cognoscitivo del estudiante;
y se fundamente además en la Teoría
de la Actividad, considerando al estudiante como sujeto de su propio aprendizaje, por ser él quien debe apropiarse de los conocimientos y
habilidades, ya que no se trata de la formación de la imagen de la acción, sino de la acción mental del propio sujeto.
En el contexto de la Computación Gráfica en el Plano y en el Espacio, se registran relevantes investigaciones sobre Visualización.
La autora concluye que la habilidad de Visualización Matemática debe constituirse en una Habilidad Docente, dado que a partir del análisis de los procesos visuales y el razonamiento matemático requeridos en la Transferencia entre diferentes representaciones semióticas, iden- tifica la habilidad de Visualización Matemática Bidimensional y Tridi- mensional como una habilidad profesional, la cual debe desarrollarse a un nivel generalizado.
Lilia López Vera
Es licenciada en Matemáticas por la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la UANL; maestra en Ciencias en Matemática Educativa por el CINVESTAV, y doctora en Ciencias Pedagógicas con Especialidad en Matemáticas, por el Centro de Estudios de Ciencias de la Educación de la Universidad de Camagüey, Cuba.
La base conceptual que sustenta al aporte teórico y práctico de la autora se tomó de autoridades: como Leontiev A N, Vigotsky L S, Galperin PYa, Rubinstein S L, Talízina N F, Álvarez C, Fuentes H, Comenio J A, Brousseau G, Van Hiele, Guzmán M., Duval R., Godino J, Douady R, Álvarez J, Hitt F, Cantoral, R, Farfan R, Díaz Barriga F, De Pablos, Lavorde C, Kaput J, Barrera S V, Rivaira C, entre otros.
y realidad educativa
Doctor Juan Antonio Alanís Rodríguez
Tecnológico de Monterrey juan.antonio.alanis@itesm.mx
U na inmensa mayoría de los estudiantes preuniversitarios piensa que las Matemáticas
son aburridas, difíciles de aprender y de poca o de nula utilidad; muchos llegan hasta a odiarlas, y eligen sus carreras universitarias entre aquéllas en las que suponen no necesitarán mucho o nada de ellas.
Como se verá a continuación, lo que se afirma en el párrafo anterior no es del todo preciso. Es importante advertir tal imprecisión sobre todo para aquéllos que se dedican a la enseñanza de las Matemáticas y que han intentado sin éxito mejorar su práctica docente.
La imprecisión está a la vista al reconocer que las Matemáticas (las matemáticas producidas por los matemáticos) no están presentes en la escuela tal y como históricamente surgen y se desarrollan. Lo que aparece en la escuela son versiones de las Matemáticas y no las Matemáticas mismas; a esas versiones se les llama Matemáticas Escolares.
Así pues, lo que la inmensa mayoría de los estudiantes preuniversitarios piensa que son aburridas, difíciles de aprender y de poca o nula utilidad no son las Matemáticas, sino las Matemáticas Escolares.
PREGUNTAS PERTINENTES De lo anterior surgen, entre otras, las siguientes preguntas: ¿qué son las Matemáticas? ¿Qué rasgos de ellas están presentes en las Matemáticas Escolares? ¿Son esos rasgos los
causantes de que los estudiantes piensen así de lo que aprenden o intentan aprender? Y, si lo son, ¿cómo construir versiones mejores de las Matemáticas para presentarlas en la escuela?
En lo que resta de este ensayo y como objetivo del mismo, se dará, de forma resumida y breve, respuesta a cada una de estas preguntas; aunque se aclara de antemano que esto se hará implícitamente.
Las Matemáticas son una actividad humana de resolución de problemas de la realidad física, biológica y social. Como respuesta a esos problemas surgen y evolucionan los objetos matemáticos: procedimientos, conceptos y teorías. Las Matemáticas son un lenguaje que se construye para comunicar esos problemas y sus soluciones. Y las Matemáticas son, también, un sistema conceptual lógicamente estructurado y social- mente compartido, emergente de
la actividad de matematización. La
enseñanza tradicional (estructuralista) de las Matemáticas ha presentado
a esta ciencia ya como un sistema
conceptual lógicamente estructurado
o como un lenguaje formal. Se
ha supuesto que los estudiantes
entienden un concepto con sólo darles
su definición en términos de otros
conceptos previamente definidos; que los estudiantes comprenden
un resultado al presentarles su demostración (su deducción lógica a partir de otros resultados previamente demostrados), y que tal entendimiento
y tal comprensión les permitirán
aplicar las Matemáticas.
LO QUE PIENSAN LOS ESTUDIANTES Todos los datos empíricos disponibles
contradicen este supuesto. Esos datos más bien concuerdan con lo que piensan de las Matemáticas la mayoría
de los estudiantes; perdón, lo que
piensan de las Matemáticas Escolares.
Por mucho tiempo se pensó, (hay quienes aún lo piensan) que las causas
los resultados nada halagadores
la enseñanza tradicional de las
Matemáticas son sólo de carácter psico-pedagógico; es decir:
-Losestudiantesnoquierenonopueden
integrarse en el funcionamiento de la
clase, por “desidia”, “falta de interés”, “falta de motivación”, “preparación inadecuada”, “falta de capacidad”, etcétera. O bien:
-Los métodos de enseñanza del profesor impiden, o no facilitan, que
los alumnos se integren en el funciona-
miento de la clase.
Es decir, se pensó que el problema
son los alumnos o el profesor, no los contenidos de la enseñanza.
Sin embargo, por más que se ha dotado
a los profesores de técnicas didácticas
no se ha logrado que ellos tengan el
PRÁCTICA MECANICISTA
En su desesperación, los profesores
caen en lo que se ha llamado una
práctica mecanicista, que consiste en lograr que los estudiantes memoricen definiciones y procedimientos de tal manera que los puedan repetir cuando
se les demande en el futuro próximo.
¿Qué tan próximo? Que no rebase el tiempo en que evaluarán en clase su “comprensión” y que no se evalúe con problemas diferentes de aquéllos que han memorizado.
Si bien con esto se logra abatir el tan preocupante alto porcentaje
de reprobados, no se logra que los
estudiantes aprendan con compresión
y puedan aplicar realmente lo
De un tiempo a la fecha, matemáticos educativos piensan que los problemas
de la enseñanza de las Matemáticas no son o no sólo son los estudiantes o los profesores, sino, ante todo, los contenidos; es decir, las versiones de las Matemáticas que aparecen en la escuela, versiones que han enfatizado de manera predominante
el que las Matemáticas son un sistema
conceptual lógicamente estructurado,
o un lenguaje, y omiten casi por
completo el que las Matemáticas son ante todo una actividad humana de resolución de problemas, que finalmente conlleva a los otros dos rasgos característicos de esta ciencia.
Para estos matemáticos educativos lo importante no es enseñar los resulta- dos de una actividad, sino la actividad misma. Para ellos, los estudiantes deben aprender las Matemáticas matematizando organizando la rea- lidad, que no se restringe a lo físico, biológico o social, sino que se amplía a todo aquello imaginable o razonable para los estudiantes.
Una fuente importante para la búsqueda de contextos y situaciones que generen la necesidad de ser
organizados matemáticamente es la historia de las Matemáticas. Por ejemplo, en la historia se encuentra que
el problema de matematizar el cómo
cambian las magnitudes continuas, condujo al surgimiento y desarrollo de los procedimientos y conceptos sobre los cuales finalmente se estructuró el Cálculo, esa rama de las Matemáticas que en los últimos tres siglos ha sido el principal lenguaje cuantitativo de la ciencia occidental.
A propósito, un grupo de profesores
del Departamento de Matemáticas del Tec de Monterrey, Campus Monterrey, ha llevado a la escuela el problema de matematizar cómo cambian las magnitudes continuas. Ello les ha
permitido elaborar una propuesta de qué enseñar en un curso introductorio
al estudio del Cálculo, propuesta en la
que se favorece el que los estudiantes
construyan, consoliden y apliquen los saberes propios de esa rama de las Matemáticas.
Esa propuesta se ha implementado con éxito, en particular en una de las preparatorias de dicho Campus. Los siguientes comentarios de estudiantes atestiguan éste hecho:
“En mi opinión, los contenidos de este curso son estupendos, porque
todo el conocimiento que aprendimos lo podemos usar en nuestras vidas,
y porque ahora sabemos de dónde
vienen las fórmulas y las ecuaciones, y cómo obtenerlas”.
“En este semestre vimos muchas
y muy variadas cosas. Todas ellas
fueron aplicadas a la realidad. Cada nueva cosa que vimos estaba relacionada con la vida, y eso las hacia muy interesantes. Creo que el contenido del curso fue muy bueno; me hizo ver muchas cosas que no había advertido, que lo que antes había aprendido podrá ayudarme en la vida algún día”.
“Este curso lo disfruté mucho. Aprendí
la aplicación de muchas cosas vistas
en el pasado, pero que nunca antes las había aplicado. El contenido del curso
es muy completo e interesante”.
“El curso fue aplicado de la mejor manera en que lo pueda imaginar, porque nos hacía pensar antes de que alguien nos diera la respuesta”.
“Este curso realmente me ha ayudado
a comprender la manera en que las
matemáticas son usadas en la vida real. En contraste con los cursos que había tomado en el pasado, éste me dio una real comprensión de qué hago y por qué. Esto ha sido por la manera inusual de trabajar en clase, enfrentar problemas reales e intentar encontrar por uno mismo
sus soluciones; realmente ayuda a que comprendamos los procedimientos y a que nos guste la clase. Personalmente creo que este semestre he disfrutado mucho más las mates, porque ha sido fácil comprender los problemas y, como consecuencia, ser capaz de resolver otros que podamos enfrentar en la vida. Esta clase, en mi opinión personal, ha sido un éxito, porque ha cubierto todos los objetivos que tuve desde el principio del semestre, de una manera que nunca imaginé.
Y esto me ha ayudado a tener una
opinión mucho más crítica acerca de las Matemáticas”.
Hasta aquí se ha dado ya respuesta
a cada una de las preguntas que se
plantearon acerca de las Matemáticas y de las Matemáticas Escolares.
Para finalizar, se invita al lector dedicado a la enseñanza de las Matemáticas a hacer una reflexión sobre todo lo dicho en este ensayo; pues, así como se le ha sugerido que el aprendizaje de las Matemáticas debe originarse en el intento de los estudiantes por organizar su realidad, con la reflexión caerá en la cuenta de que lo que ha de aprender para mejorar su práctica docente debe originarse en su intento de organizar su realidad educativa.
Juan Antonio Alanís Rodríguez
Es licenciado en matemáticas por la Universidad Autónoma de Nuevo León. Obtuvo los grados de maestro y doctor en Ciencias, con Especialidad en Matemática Educativa, en el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional; es profesor de tiempo completo del Departamento de Matemáticas del Tecnológico de Monterrey, y coautor de varios libros.
ES FACTIBLE DESARROLLAR LA INTUICIÓN MATEMÁTICA EN LOS ESTUDIANTES?
Maestro Astolfo Maldonado Pérez
Universidad Pedagógica Nacional maldonado.astolfo@gmail.com
E l problema de los bajos resul-
tados en la prueba PISA es que
nuestros estudiantes no aplican
a la vida cotidiana lo aprendido en la
escuela. Creo que una solución a este problema es el empleo, en la curricula escolar, de la teoría cognitiva del desarrollo sociocultural de Vigotsky y seguidores.
Algunos investigadores sostienen que
la gente se apoya en sus creencias para
resolver problemas fuera del ambiente escolar; por mi parte, afirmo que es la intuición la que se emplea en tal caso
e identificamos esta función con la del lenguaje interno.
Lo importante de lo anterior es que Vygotsky y seguidores nos comunican cómo podemos usar el lenguaje y las herramientas como mediadores para el aprendizaje y así contribuir al desarrollo de los alumnos. Esta idea ha estado presente en mi pensamiento en el transcurso de los pasados días. Intentaré dar cuenta del origen de la misma:
En un lugar del sistema educativo nuevoleonés, de cuyo nombre no quiero
me correspondió estar al
frente de una clase de Matemáticas. Al
inicio apliqué un examen diagnóstico, y encontré que la mayoría de los alumnos, 15 de 20, no dominaban las matemáticas básicas. Me sentí como un maestro rural con un grupo multigrado. Intenté hacer el curso
lo más accesible posible, por lo que
llevamos un texto que considera la construcción del conocimiento mate- mático.
En una de las actividades pedí al
grupo que revisara el tema de razones
y proporciones. Carmen respondió
correctamente a un problema del segundo examen parcial. Al revisar
su procedimiento, observé que tenía errores conceptuales con relación a
la solución de ecuaciones. Cuando le
pedí que me explicara su manera de proceder, lo hizo mencionando un algoritmo que había mecanizado. En
discusión grupal, nos dimos cuenta que el fundamento del algoritmo se relacionaba con la suma de tres o más fracciones igualadas a la unidad. Ella extrapoló este procedimiento a la solución de problemas que implican la igualdad de dos razones.
Terminamos el periodo escolar de invierno. No sé qué hará un maestro que se encuentra al frente de un grupo multigrado en una escuela rural,
¿Reprueba a sus alumnos en la creencia de que esto los hará ser mejores? ¿Registra su desarrollo cognitivo en un portafolios y recomienda qué hacer
al próximo maestro? No sé, pero en mi
caso, comuniqué a los directivos de la
institución lo que estaba pasando.
Tiempo después, Dubet 1 hizo que yo dudara. ¿No estaré añorando la escuela pasada y quiera verla como el templo donde se enseña la ciencia y la razón? En la escuela actual, el problema no es de certificados; es de responsabilidad entre estudiantes, maestros, padres y sociedad para decidir hacia donde va la formación de los futuros ciudadanos.
Como maestro, invité a las autoridades
y al grupo al diálogo. Hubo respuesta
de los estudiantes, pero no de los directivos. Los estudiantes conti- nuaron haciendo esfuerzos honestos por superarse. Aunque no logramos concretar una autoevaluación de la institución, todos felices nos fuimos de vacaciones.
Continué pensando en la manera de proceder de Carmen, como una falla en la intuición matemática, que le orienta de manera errónea en la búsqueda de información y en la solución de problemas matemáticos.
Al decir una falla en la intuición mate- mática, a muchos puede “sonarles” como que mi concepción de la intuición es algo que reside en un órgano, y su falla se debe a una disfunción fisiológica. No pienso de esta manera; sin embargo, hay matemáticos contemporáneos partidarios de algo que se llama intuicionismo clásico.
Sostienen que la matemática intuitiva está disociada de la matemática formal. Que la intuición es una repre- sentación mental de hechos que parecen por sí mismos evidentes. Esta característica del proceder de cada sujeto se da sin tutoría, es innata. La evidencia que muestran los partidarios de esta corriente es que algunos investigadores reportan en niños pequeños, sin escolaridad alguna, ciertas competencias: dominio de los principios del conteo y ejecución de operaciones simples con números enteros.
Creo que esta clase de intuición no permite al sujeto acceder a las simbolizaciones de segundo grado como el álgebra o el lenguaje escrito.
Personalmente me inscribo en la co- rriente del intuicionismo inferencial 2 donde la intuición no es un meca- nismo especial que trae el sujeto, sino una forma de razonamiento construido en la interacción con las personas dentro de su ambiente sociocultural. Es más, pienso a la matemática como un lenguaje en el que identifico la intuición con el lenguaje interno. Vygotsky 3 , nos explica que el lenguaje primero es social, externo; luego es egocéntrico, enseguida interno, y finalmente surgiría la capacidad de representar este lenguaje interno en un comunicado escrito.
El habla externa para Andrés es el
habla de quiénes están cerca de él, le quieren y ayudan a resolver problemas. Si el bebé se ahoga al tomar demasiada leche del pecho, Myriam, la madre de Andrés, lo tranquiliza hablándole. El bebé, en sintonía con ella, le responde gimiendo o balbuceando, calmándose y volviendo a comer.
Cuando el bebé crezca empezará a pronunciar sus primeras expresiones como “ta” frente a su biberón. Éstas expresarán pensamientos completos 4 que se apoyan en un contexto psicológico compartido intersubjetivamente 5 con su madre, quien interpretará que su hijo le quiere decir algo como: “mamá”, “te quiero”; “tengo hambre”; “dame leche”.
Desde que el niño nace, acompaña
a sus padres en sus actividades,
los escucha y ve cómo resuelven problemas del medio, usando las herramientas de su tiempo. A medida
que el niño crece, los imita y resuelve problemas en el juego, actividad que
A medida que el niño se desarrolla,
abreviará poco a poco su habla egocéntrica; primero pronunciará parte de las palabras, luego sonidos que no se identificarán por quien
los escuche. Posteriormente esta habla egocéntrica, desaparecerá a la percepción de quienes estén presentes;
ya no se escuchará; se convertirá en
habla interna.
DESARROLLO DEL HABLA INTERNA Para que el habla interna se desarrolle,
el niño deberá ser acompañado por un
experto que le tenga afecto y que le ayude a vivir diferentes experiencias
donde resuelvan problemas juntos y
se usen procesos metacognitivos. En
esta parte deberán cubrirse las etapas para el desarrollo intelectual 6 : a partir
de motivaciones internas, su padre le
mostrará la solución del problema de
manera detallada usando el lenguaje y
Poco a poco, el niño se apropiará de la actividad hasta ser él quien la ejecute de manera detallada, hablando y utilizando los objetos. A medida que pasa el tiempo, el lenguaje se abrevia hasta internalizarse, y la acción sobre
los objetos se representa en esquemas
hasta automatizarse. En este momento
la solución se convierte en un acto
Después aparece el lenguaje simbólico
o el lenguaje escrito; la forma
encontrada de resolver el problema
en el habla interna, puede volver a
desplegarse usando signos con el propósito de comunicarla a los otros.
24 DE DICIEMBRE Por la noche respiré aire frío, sentí
irritada la garganta, y una infección vi-
ral encontró su lugar ideal; permitió la
entrada de bacterias que rápidamente se multiplicaron. Los antibióticos, las cortisonas y otras medicinas constituyeron los refuerzos de un
ejército que se batía en mi interior. Reposo absoluto. Andrés me invitaba
al recalentado, pero no pude ir. Mi
esposa se contagió. Soledad dual. Me
encontré sentado en una silla, frente
permitirá integrarse a su ambiente
un rompecabezas tridimensional
Me hablan del hospital. Ha nacido An-
sociocultural. Cuando el niño juega
siete piezas, que había comprado
drés, mi nieto. Levito de gusto y a todo
resolver problemas, habla para sí,
la Feria del Libro. Me planteaba el
el mundo le comunico la buena nueva.
aparece el lenguaje egocéntrico.
reto de armar un volumen, la cama.
(Fig. 1) Movía las piezas rápidamente, miraba la figura. Una voz 7 interna me decía: “el rectángulo de la base
es 3 x 7. Reacomodaba las piezas”;
otra voz apuntaba: “estas tres piezas
deben estar en la cabecera”; accionaba
y preguntaba “¿Cuál es la cuarta
pieza que debe estar en la cabecera?”
Me contestaban: “prueba entre las
restantes y elimina hasta que te quedes
con la más probable”. Hacía múltiples
intentos hasta que finalmente di con
la solución. La registré.
Otra voz me dijo: “si Carmen te viera solucionar este problema pensaría que posees una intuición matemática para resolver rompecabezas; que tienes un don innato”.
Al ensayar con estas posibilidades eliminamos las dos primeras y;
d) El armado de la cama se resuelve eligiendo (3,6) y (4,5) como respaldos para la cama.
y desecha otras, lo que hace es
intentar elegir las que tengan la
mayor probabilidad de solucionar
el problema. Por lo que podemos
decir que en el intento de solucionar
un problema uno establece juicios probabilísticos.
voz le contestaría: “esto no es
Este pensamiento, aparentemente
así; para demostrártelo, veamos
rápido y automatizado ha sido
•Las premisas a, b, y c, que nos
detenidamente cómo ha transcurrido
mediado por el lenguaje interno
permiten llegar a la conclusión del
pensamiento”:
formado por mi voz en interacción con voces de expertos.
inciso d, son lo que Freudenthal 8 llama un campo de organización
primer intento, para armar la cama
local, un pequeño grupo de premisas
•Los incisos a, b, c, y d no son más
relacionadas deductivamente con errores de carácter lógico. 9
La base ha de ser un rectángulo de
que rápidas inferencias en la acción,
producto de mi lenguaje interno, de mi intuición, formada en la
•La intuición, el lenguaje interno, se forma en lo social. Esto abre
partir de algunos intentos decidí que
convivencia con mi padre y maestros
posibilidades para que los “andreses”
la cabecera de la cama estarán las
de matemáticas. Luego el insight
en el futuro, tengan mejores maestros
piezas 3, 4, y 5, pues no son planas. (Delimito el problema) ¿Qué otra pieza deberá estar en la cabecera? Con base
en la solución de problemas al que los psicólogos hacen referencia, encuentra una posible explicación.
que desarrollen en ellos su lenguaje interno matemático, su intuición matemática, y lograr que superen el
la acción con las piezas deseché las
problema de la transferencia de los
piezas 7, 2 y 1, luego en la cabecera deberá estar también la pieza 6.
•Al resolver un problema existen muchas posibilidades; cuando uno establece una hipótesis determinada
conocimientos escolares a la vida cotidiana.
b) En la cabecera de la cama deberán
estar las piezas 3, 4, 5, y 6.
c) A partir de la acción con las piezas
encontré las siguientes posibilidades
para ambos respaldos de la cama: (3,4)
y (5,6); (3,5) y (4,6); (3,6) y (4,5).
Astolfo Maldonado Pérez
Es maestro en Ciencias, por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional y asesor de Medio Tiempo en la Unidad 19B de la Universidad Pedagógica Nacional.
1 Dubet, François: Mutaciones cruzadas: La ciudadanía y la escuela, Universidad de Burdeos/EHESS, París.
http://www.injuve.mtas.es/injuve/contenidos.item.action?id=1007213558&menuId=390550120
2 Talia Ben Zeev,: Intutive Mathematics: Theoretical and Educactional Implications. Brown University, 2002.
3 Vygotsky L. S.: Obras Escogidas, Vol. II. Madrid, Visor, 1993.
4 Ésta es una característica del lenguaje, llamada predicatividad psicológica, que consiste en omitir la información que puede ser aportada por el contexto y emitir únicamente información nueva, a la que se llama predicado psicológico.
5 La intersubjetividad es la zona de comunicación que se da entre el experto y el novato para resolver un problema en absoluta cooperación, compartiendo emociones cuando se avanza hacia la solución.
6 Galperin p. Ya.: Sobre la Formación de los Conceptos y las Acciones Mentales, en: QUINTANAR, Rojas Luis : Las Funciones Psicológicas durante el Desarrollo del Niño. Universidad Autónoma de Tlaxcala, 1995.
7 Wertsch.Voces de la Mente. Un enfoque sociocultural para el estudio de la acción mediada, Visor, Madrid, 1991.
8 Freudenthal H. Las matemáticas en la vida cotidiana. Mac Graw Hill Book Company, Madrid, 1967.
9 El desarrollo de campos de organización local, son sugeridos en el Libro para el Maestro de Secundaria editado por la SEP, pp. 274-276.
Reduce determinantes de orden con números enteros
Ingeniero René Mario Montante Pardo
Catedrático jubilado de la FIME / UANL
Nos ubicaremos en el siglo pasado,
Maestro de FIME, de la UANL, crea en 1973 el algoritmo con que se corrige el error natural de las computadoras de todo el mundo al trabajar sólo con enteros.
con puros números enteros la inversa de la matriz 2 . También resuelve los problemas de “investigación de operaciones” 3 y muchos problemas más.
el año de 1973: en esa época, en
el campo de las Matemáticas, los
métodos que existían para reducir los determinantes de orden trabajaban solamente con fracciones. Entonces me dije: “Debe existir un método capaz
reducir los determinados de orden,
Cuando se trabaja con quebrados, las computadoras ponen 1/3 igual a 0.3333…y se van hasta el infinito los números tres; 2/3 es igual a 0.6666… hasta el infinito los números seis.
pero trabajando únicamente con números enteros”. En ese momento me puse a buscar ese método.
Noté que al reducir de orden un determinante con números fraccio- narios o quebrados, el denominador de todos los quebrados era siempre igual; entonces me puse a buscar un método que pudiera trabajar únicamente con números enteros, y luego, al final, todos se dividieran entre el mismo denominador; y encontré ese método que trabaja sólo con números enteros. Ese nuevo método fue el Método Montante.
De la misma forma en que estos
es un algoritmo del álgebra lineal 1 , que permite determinar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices inversas, matrices adjuntas y determinantes. La característica principal del Método Montante es que trabaja con enteros, lo cual hace que el resultado sea exacto aunque se resuelva con computadora, ya que evita que se redondeen los números.
números quebrados existen, muchos otros números quebrados se van hasta
infinito cuando son expresados
en forma decimal. Esto hace que las computadoras tengan un error
natural; cuando se resuelve un sistema de ecuaciones lineales muy grande,
error natural de las computadoras
Al principio no le llamé “Método Montante”. Le llamé “Algoritmo Montante”, porque desde el punto
de vista matemático es un algoritmo,
pero desde el punto de vista numérico
LOS MAESTROS BAUTIZARON EL MÉTODO En el año 1973, yo trabajaba como profesor de matemáticas en la
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (FIME) de la UANL. Llevé el “Algoritmo Montante” para explicarlo
a los maestros; pero todos ellos
decidieron que debía llamarse “Método Montante”, y con el tiempo se le quedó el nombre así.
En matemáticas, el Método Montante
El método Montante consiste en ir “pivoteando” en la diagonal principal. Se comienza en el extremo superior izquierdo; el renglón donde está el pivote va a ser el renglón base de todo el sistema, y la columna donde está el pivote va a ser la columna base; con respecto a ese renglón y esa columna donde está el pivote se forman determinantes de dos por dos. Es necesario notar que se trabaja sólo con enteros; si apareciera alguna fracción, hay un error, y el Método Montante resolvió con números enteros el sistema de ecuaciones lineales.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Enseguida calculé la inversa de una matriz y el método Montante calculó
El renglón columna que se cruzan
en el pivote se llaman renglón base
y columna base. Con respecto al
renglón base y a la columna base, se forman determinantes de 2 x 2 y con ellos se calculan todos los elementos utilizando el siguiente mecanismo.
Se multiplica el elemento por el
pivote y se le resta el producto de los elementos que están en el renglón base y la columna base; este resultado
se divide entre el pivote anterior, (En el
primer paso no existe pivote anterior, entonces no se divide entre nada).
•Observación No. 1 = En la diagonal principal va quedando repetido el último pivote. •Observación No. 2 = Arriba del
renglón base, los determinantes de 2 x
2 quedan resueltos al revés; abajo del
renglón base los determinantes de 2 x
2 quedan resueltos en forma normal.
•Observación No. 3 = Si empezamos el esquema con números enteros, se deben mantener los números enteros todo el procedimiento; solamente hasta el final, cuando leemos los resultados, es cuando aparecen números quebrados. •Observación No. 4 = El renglón base, donde está el pivote, pasa al siguiente paso idéntico; y la columna base, donde está el pivote, pasa al siguiente paso, haciéndose “ceros” con excepción del pivote.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales con el Método Montante.
3x + y + 2Z
2x + y + 2z = 3
Se comienza con la matriz agrandada del sistema de ecuaciones
Se “pivotea” en la diagonal principal.
SEMBLANZA Las matemáticas son actualmente la base de todas las ciencias que maneja el hombre, debido a que su campo de acción cubre la totalidad de los conocimientos científicos. Para resolver problemas que se originan en este ámbito, el ingeniero regiomontano René Mario Montante Pardo se enfrentó desde pequeño con valentía a las matemáticas, mas no a las letras, según dice.
De niño tuvo una predilección especial por la clase de matemáticas. En el Colegio México, donde estudió la primaria, siempre destacaba en esa materia. Después en la secundaria y la preparatoria en la Álvaro Obregón, las matemáticas eran su fuerte, y no dejaron de serlo cuando cursó la carrera de Técnico Mecánico en esa misma escuela y más tarde en la Facultad de Ingeniería Mecánica
y Eléctrica de la UANL, al igual que
en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, donde estudió la carrera de Matemáticas, siendo ya profesor universitario.
Asegura que los mexicanos no otorgan importancia a las matemáticas, a pesar de que todo está regido por ellas. “Aquí en México se ríen de eso… no les dan importancia a las matemáticas, tampoco a lo que hacemos los mexicanos en este tema”, dijo.
TODO ESTÁ RÉGIDO POR EL CÁLCULO MATRICIAL “Las leyes físicas tienen sus representaciones matemáticas, muchas veces muy elevadas; son matemáticas de números, por ejemplo, las matrices. Todo el mundo está regido por el
cálculo matricial, pero todo lo vemos desde el punto de vista matemático del álgebra”.
Han sido muchos los grandes matemáticos que han influido en el desarrollo de esta materia; sin embargo, el ingeniero Montante es creador del método que lleva su nombre. Pese a la importancia que tiene este método en el mundo científico, su creador nunca vislumbró los alcances del mismo; sólo se dio cuenta de ello cuando resolvió sistemas de ecuaciones lineales. Actualmente el Método Montante es el más exacto en el mundo de la computación y es usado y reconocido en países como Japón, Francia, Canadá, Rusia y Estados Unidos.
2x-y-z-2y=1
x+2y+z+w=2
x-2y+z-w=3
2x+y+2z+2w=4
x= -45/-18
Y= 40/-18
Z= 30/-18
W= -41/-18
Los demás métodos, como el Gauss- Jordan, dan como resultado una fracción decimal, pero pierden exacti- tud después de 20 ó 30 cifras. Este método es usado en las computadoras de todo el mundo, y va haciendo ceros y ceros cuando el sistema de ecuación lineal es cero, su determinante vale cero: Por lo tanto es limitado, mientras que el Método Montante al llegar a cero, saca el resultado exacto.
DIFUSIÓN EN TODO EL MUNDO En 1976, Montante resolvió lo sistemas de ecuaciones lineales, también con enteros, por lo que empezó a considerar la importancia de su descubrimiento. Respecto a la difusión de su método en otros países, dijo que en alguna ocasión fue a presentarlo al Tecnológico de Monterrey, donde le han hecho mucha difusión en todo el mundo.
“En mi época no había computadora, había cerebros electrónicos. El Tec lo usó en las computadoras; más tarde fue a Estados Unidos, y dicen que el ejército norteamericano lo usa en sus computadoras, pero yo no sé de eso”, dijo.
MATRICES ESPEJO
A partir de su jubilación y hasta la
fecha, el ingeniero Montante anda en
la búsqueda de matrices espejo. “Las
matrices son números ordenados en líneas y columnas; imagínese una matriz de tres columnas. Deben ser los mismos números en cada fila, pero tienen que ser duales; eso es lo que nadie ha podido encontrar, duales quiere decir que son dos cosas que son una en la misma matriz
matemáticamente. Según he oído, una de ellas va a estar en el campo de la antimateria y la otra en el campo de la materia.
También estas matrices van a resolver los problemas de la simetría de física atómica, según creo. Como están en el campo de los números complejos, está duro, pero en unos meses más las voy a encontrar”.
A punto de ello, el ingeniero Montante ve con optimismo el desarrollo de las matemáticas, a las que él ha contribuido:
las matrices se van a ocupar de todas las disciplinas científicas, todos los sistemas de ecuaciones lineales ya se pueden hacer matricialmente.
Aun cuando el Método Montante tiene importantes aplicaciones en el ámbito de la computación, su creador se resiste a su uso y para realizar sus cálculos y sus investigaciones utiliza papel, lápiz y una calculadora de bolsillo previamente programada por él.
Es ingeniero mecánico y licenciado en Matemáticas, ambos grados académicos por la Universidad Autónoma de Nuevo León. De 1965 a 2001 fue profesor en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (FIME), y de 1965 a 1973, en la Facultad de Ingeniería Civil, de la UANL. Es autor de Un Método Número para Cálculo Matricial, (Método Montante), aparecido en 1977.
1 El ingeniero René Montante ha dedicado su vida a la investigación de métodos que permitan resolver ecuaciones del campo del álgebra abstracta. Durante su vida ha estudiado exhaustivamente los conceptos de vector, generalizado a espacio vectorial, dentro del ilimitado campo del álgebra lineal, principalmente en su rama estructural. El algebra lineal es la rama de las matemáticas que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistema de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central de las matemáticas modernas, por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional.
2 En matemáticas, una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números, o una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
3 El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica; tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.
y sus implicaciones culturales
Heráclito vivió hacia comienzos del siglo V a. C
(544 a. C - 484 a. C) era natural de Éfeso, ciudad
de la Jonia, en la costa occidental del Asia Menor.
Como los demás ﬁlósofos anteriores a Platón, no
quedan más que fragmentos de sus obras.
Doctor Salvador Borrego
P or más que, desde la perspectiva
filosófica, Heráclito de Éfeso nos
advirtiera que el mundo está
en constante cambio, “que no nos
bañamos nunca en un mismo río”;
que, desde la perspectiva científica,
Sir Francis Galton (1822-1911) nos
advirtiera, con su “Ecuación Personal”,
que los tiempos de reacción y otras
características personales difieren
de persona a persona, y que, desde
la poesía, el inmenso Pablo Neruda
(1904-1973) nos precisara que:
“nosotros, los de entonces, ya no
somos los mismos”, lo cierto es que
el hombre vive en la ilusión de que
las cosas no cambian tanto.
Las comunes generalizaciones que tanto daño nos producen en las relaciones interpersonales, son una prueba contundente y cotidiana de que los seres humanos avanzamos poco en el reconocimiento del problema de la variación. Pero el efecto pernicioso de esta deficiencia cultural se extiende de manera natural a campos tan diversos como los siguientes:
1. A nuestra vida democrática, por las dificultades para respetar
las opiniones diferentes a las nuestras.
2. A nuestra vida económica, porque el problema de la variación
en la vida empresarial redunda en problemas de calidad, productividad y posición competitiva.
3. Como corolario de lo anterior, a nuestra vida laboral, porque
en el deseo de obtener mejores resultados sin el tratamiento adecuado del problema de la variación (sin entender a cabalidad el concepto de Capacidad de Procesos), es común que se exija a la clase trabajadora más de lo que razonablemente se puede
esperar en atención a las condiciones de trabajo en las que está inmersa, con el consecuente deterioro del clima laboral.
4. A nuestra convivencia social, en especial la familiar, por los
problemas que genera la incomprensión de cambios en la forma de ser o de sentir de quienes nos rodean con el transcurso del tiempo.
LA VARIACIÓN, CONDICIÓN DE VIDA La diversidad, los problemas de género, de preferencias sexuales, etcétera, serían afrontados de mejor manera si tuviéramos la garantía de que, como una especie de categoría kantiana, tuviéramos en mente que la “variación” es condición de vida; como elemento cultural que permita la comprensión de lo distinto y la mayor posibilidad para optar por el respeto como la forma más duradera y sensata de establecer relaciones con los demás.
Para enfrentar el problema de la variación, los seres humanos contamos con la Ciencia Estadística, “La ciencia que trata el problema de la variación”, de acuerdo con Donald B. Owen (1922-1991), que podría considerarse como rama o prima hermana de la Matemática, pero lamentablemente en el ámbito educativo hemos privile- giado de ella solamente los aspectos instrumentales, dejando de lado sus consideraciones filosóficas, en espe- cial lo relativo al problema de la variación, que podrían no solamente enriquecer nuestra vida cotidiana, sino al propio tiempo aprovechar de mejor y más extensa manera sus aportes en todo el contexto social y económico.
PLANTEAMIENTOS METODOLÓGICOS Para enfrentar el problema de la variación, la Ciencia Estadística ha estado desarrollando, durante años, diferentes planteamientos metodológicos, pero destaca entre ellos uno por su sencillez y amplísima aplicabilidad, desarrollado por Walter A. Shewhart (1891-1967), conocido como Diagramas de Control. A través de ellos, podemos darles seguimiento a fenómenos de interés de diferentes naturalezas, que nos permiten un mayor conocimiento de su esencia y la consecuente mayor posibilidad de tener dominio sobre ellos.
Un niño de primaria podría ser instruido en el uso de los Diagramas de Control y en la forma de construirlos, pues para ello se requiere solamente de las operaciones aritméticas fundamentales. Luego, entonces, los Diagramas de Control resultan una forma especialmente deseable de aplicación y demostración para los alumnos de que lo que aprenden de matemáticas o aritmética tiene un claro sentido y utilidad para comprender el mundo en que viven.
Los beneficios de este pequeño cambio en los programas de enseñanza de las matemáticas de primaria y secundaria se verían en todos los órdenes de nuestra vida social. ¿Podríamos intentarlo ya?, ¿o esperamos a que lo hagan primero en los países desarrollados?
disciplina fundamental para el desarrollo
E n la enseñanza-aprendizaje,
el motor de ese proceso son
los estudiantes. La formación
humanística de millones de
infantes y jóvenes es una tarea que se auxilia de las ciencias exactas y socia-
les, para ampliar los conocimientos de forma pertinente y, para que, a través del uso de la Matemática y la Lógica, los alumnos desarrollen métodos de razonamiento que no sólo los hagan productivos en un sistema de mercado feroz, sino fundamentalmente les permitan afrontar la vida con la ética y valores emanados de la propia filosofía de la ciencia.
Educar es, ante todo, un proceso complejo que en México enfrenta grandes y nuevos retos.
La transformación del trabajo cien- tífico y tecnológico, y el arribo de las llamadas sociedades del conocimiento, trastocan hasta las políticas de modernización del Estado y, con ello, el sistema educati- vo completo está sujeto a reformas generales, donde la enseñanza de las Matemáticas en particular adquiere gran relevancia.
COMPETENCIAS ACADÉMICAS BÁSICAS Física, Química, Biología, Matemáticas pueden activar el desarrollo de las denominadas Competencias Académicas Básicas (CAB) y, propiciar que los estudiantes tengan habilidades creativas, con amplia capacidad para el análisis. En las naciones altamente desarrolladas en materia educativa, las matemáticas son uno de los temas fundamentales para activar en las
Con el uso de las Matemáticas y la Lógica, los alumnos desarrollan métodos de razonamiento indispensables para su formación.
jóvenes generaciones el deseo de analizar, investigar y hacer ciencia pura o aplicada, que a la postre deriva en el enriquecimiento intelectual y económico de sus propias sociedades.
Desafortunadamente, en México, du- rante generaciones completas, las Matemáticas han tenido un clima adverso. En torno a esta ciencia se creó una especie de rechazo, al difundirse la idea equivocada de que el estudio y aprobación de tal disciplina requiere de personas con dotes especiales o inteligencias superiores, por lo cual se cree aún que son pocas las personas con tales capacidades.
La realidad es que las Matemáticas son, sobre todo, un lenguaje que nos permite razonar, estudiar, leer, comunicar y representar de forma
concreta, conceptos, hechos o fenómenos de forma cuantitativa.
MATEMÁTICAS, PARTE DE LA CULTURA COTIDIANA
Es ésta una ciencia que debe formar
parte de nuestra cultura cotidiana, porque sólo así podremos entender todos los pormenores de una so- ciedad tecnológica y, con ello, tener ciudadanos bien informados, con capacidad para comunicarse con el lenguaje de los números que no siem- pre es frío o distante porque, como las matemáticas implican la capacidad de razonamiento, la profundización en la resolución de problemas permite tam- bién soluciones enfocadas en plan- teamientos netamente humanistas.
Por ello, la enseñanza de la Ciencia Matemática tiene un papel fundamental en cada uno de los niveles que conforman el sistema educativo mexicano. Formar un capital humano con personas que tengan acceso no a una formación rígida, sino por jóvenes hombres
y mujeres que tengan habilidades
analíticas y creativas sustentadas
en un razonamiento ético que nos permita crecer como nación, es el reto
al que estamos llamados todos.
Cursó el Doctorado en Ciencias de la Comunicación, con Especialidad en Periodismo, en la Universidad Complutense de Madrid, España. Obtuvo el Premio Nacional de Periodismo, carrera en la que se ha desempeñado durante más de dos décadas.
Métodos alternos para las
Mediante el método mecánico logré entender ciertos resultados, aunque
posteriormente tuviesen que ser demostrados geométricamente, ya
que la investigación mediante el método mecánico no proveía las
demostraciones. Pero es mucho más fácil poder dar una demostración
de una situación, después de haberla comprendido mediante el
mencionado método, que intentar demostrarla sin ningún conocimiento
Arquímedes: inventor, físico y matemático griego (287-212 a.C.)
L as matemáticas tienen su origen en el antiguo Egipto, una de
las civilizaciones más sabias y místicas de la historia. También
se reconoce como precursoras en
el ramo de las matemáticas a las
civilizaciones mesopotámica, china
e india. Si antes era una rama de las ciencias vinculada con lo mágico, lo espiritual y lo místico -donde sólo los grandes sabios como los matemáticos mismos, los astrónomos
y los religiosos pertenecían a clases
privilegiadas- pasó a ser una ciencia cuantitativa que ayudó a profundizar los conceptos de número, espacio,
expresión analítica, y ayudó al hombre
a solucionar problemas de índole
social, económica, política, e incluso religiosa.
Son de mucha aplicación en nuestra vida; sin embargo, mucha gente les tiene pánico a las matemáticas, y las visualiza como una ciencia muy especial y exclusiva de genios, lo cual es falso, puesto que estamos en contacto con ellas en nuestro diario
devenir. Conozco infinidad de casos de personas que no se inscribieron en una determinada carrera universitaria, porque su plan de estudios incluía matemáticas, o personas que no se interesan en un puesto porque es un trabajo que involucra muchos números.
El problema no termina ahí, ya que entre los países de la OCDE, México ocupa el lugar 32 en resultados relacionados con las matemáticas. Esto es una llamada de atención, para preguntarnos si estamos haciendo bien las cosas; es decir, enseñando adecuadamente esta ciencia; si los maestros que imparten esta clase están lo suficientemente capacitados; si los alumnos están adecuadamente motivados; si se tiene una percepción correcta de las matemáticas.
REALIDADES PALPABLES Son demasiadas preguntas para tan corto espacio, pero lo peor sería sospechar que son meras especulaciones, cuando se trata de
Las matemáticas tienen su origen en el antiguo Egipto, una de las civilizaciones más sabias y místicas de la historia.
realidades palpables o verdades demasiado obvias que nos deben obligar a buscar métodos alternos de enseñanza, ayuda física y virtual, para que las Matemáticas dejen de ser ciencias mágicas y abstractas.
He aquí dos métodos alternos de enseñanza: los manipulables físicos y los manipulables virtuales, que hacen que las Matemáticas parezcan más amigables en el aula.
Métodos Físicos: así se define cualquier material y objeto físico del mundo real que los estudiantes sean capaces de palpar, para ver y experimentar conceptos matemáticos.
Los instrumentos de este tipo se utili- zan primordialmente con estudiantes de primaria y en temas muy concretos, como las formas geométricas, para reconocer las distintas figuras; blo- ques de patrones, para estimar, medir, registrar, comparar; bloques y cubos, para sumar, restar o resolver problemas que incluyan peso.
Métodos Virtuales: son repre- sentaciones digitales de la realidad, posibilitadas por las computadoras y que el estudiante puede manipular con el mismo objetivo que los primeros. Éstos se utilizan en grados superiores, en el nivel bachillerato o universidad, principalmente.
La experta Judy Spicer ha dicho: los manipulables virtuales tienen además la capacidad de hacer visible lo que es difícil de ver e imposible de imaginar.
simulaciones, robótica y re- presentaciones tridimensionales. Ejemplo de métodos virtuales son los empleados en expresiones matemáticas que se formulan con lápiz y papel -tales como símbolos algebraicos- los que se plantean en la pantalla –también empleada para graficar, tabular y dibujar figuras geométricas.
El uso de la tecnología puede mejorar de manera significativa el aprendizaje, pues se enfoca en manipulables virtuales que ayudan a los estudiantes
a entender conceptos matemáticos, utilizando la capacidad del computa- dor para posibilitar simulaciones, enlaces dinámicos e interactividad.
VISUALIZACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS Investigaciones adelantadas en Inglaterra, Japón, China y Estados Unidos apoyan esta idea. En éstas se enfatiza especialmente la ayuda que ofrecen a los estudiantes para pasar del nivel concreto al abstracto e incrementar su capacidad para adquirir habilidades y conceptos al ofrecer una representación física, tangible, móvil, armable y desarmable, que permite visualizar conceptos matemáticos de manera concreta.
Dice también la investigación que los niños pasan por tres estadios de desarrollo: el concreto o de manipulación, el representativo o de transición, y el abstracto. Muchos estudiantes tienen gran dificultad para hacer esta transición, posiblemente porque su sentido numérico es débil. Piaget encontró que la mayoría de los niños no alcanzan el nivel abstracto, sino a la edad de 12 ó 14 años. Para respaldar el avance de la etapa de transición a la abstracta, es necesario ofrecer a los estudiantes materiales y actividades apropiadas para lograrlo, y, en el caso de las matemáticas, este papel lo asumen los manipulables. Además, se encontró que los estudiantes que aprenden matemáticas con este tipo de modelos, entienden mejor, desarrollan mejores habilidades para la solución de problemas y tienen un mejor desempeño en las pruebas estandarizadas de competencia”.
En conclusión, los métodos físicos y virtuales ayudan a los estudiantes a construir, fortalecer y a conectar varias representaciones de ideas matemáticas, al tiempo que aumentan la variedad de problemas sobre los que pueden pensar y resolver; además de ofrecer a los estudiantes objetos para reflexionar y hablar y suministrarles un lenguaje adicional para comunicar ideas matemáticas sobre sus percepciones visuales, táctiles y espaciales.
Obtuvo su Maestría en Educación, con Especialidad en Literatura, por el Tecnológico de Monterrey; es catedrática y escritora. Forma parte de la Sociedad de Escritores de Nuevo León, y es autora del libro Caracolas. Actualmente escribe Paloma Querida.
Spicer, Judy. October 2000. Virtual Manipulatives: A New Tool for Hands-on Math. ENC Focus
Improving Mathematics Teaching by Using Manipulatives;
James w. Heddens, Kent State University. The Three Stages of Learning; Moving with Math.
Álgebra de Funciones Mediante Procesos de Visualización;
Vicente Carrión Miranda, Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV, México.
“Cognición y Computación: el caso de la Geometría y la Visualización”,
Luis Moreno Armella, Cinvestav – IPN, México. Artículo publicado como parte de las memorias
del Seminario Nacional de Formación de Docentes: “Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de
Matemáticas”, Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2002.
en el CECyTENL
CECyTENL, Plantel Escobedo.
Director del Centro de Altos Estudios e Investigación Pedagógica ividales@att.net.mx
E l Colegio de Estudios Científicos
los resultados obtenidos por el
estado en las recientes evaluaciones internacionales, nacionales y estatales.
Nadie está satisfecho y todos desean revertir las cifras en el corto plazo. Preguntando informalmente al magisterio sobre cuáles son los problemas que les han impedido obtener resultados superiores, dicen desconocerlos.
Tecnológicos de Nuevo
León es la única institución
de la localidad que realiza funciones de investigación educativa y que ha documentado más de 30 productos a nivel nacional.
De hecho, el lector puede acceder a ellos en www.caeip.org.
Una de sus investigaciones, disponible en formato de libro y en la página electrónica del proyecto, está referida a las matemáticas en la educación primaria de Nuevo León, documento del cual nos ocupamos en esta colaboración. Para nadie son novedad
AUTOESTIMA MAGISTERIAL Los entrevistados tienen una elevada autoestima sobre su trabajo. Maestros y maestras relatan con entusiasmo la abundancia de actividades que realizan con sus alumnos; la entrega
casi apostólica que los lleva a cubrir en tiempo y forma el programa; las actividades administrativas y las extracurriculares; su participación entusiasta en otros programas de beneficio para la comunidad; y su determinación de no escatimar es- fuerzo alguno para atender las con- vocatorias académicas, deportivas, de capacitación y sindicales que menudean en las escuelas primarias.
Sin embargo, aceptan que no tienen evidencias de que hayan mejorado sus prácticas de enseñanza ni los aprendizajes de sus alumnos. Entonces, ¿qué es lo que sucede? Muchas inquietudes sobre el tema surgieron en los investigadores
del CAEIP, pero fue el entusiasmo especial de la inspectora el que nos hizo abrigar cifradas esperanzas de
poder realizar durante el ciclo escolar 2005-2006 un seguimiento puntual de las tareas cotidianas realizadas por quince maestras de nueve escuelas que integran la Zona Escolar No. 18. Junto con estas escuelas, ubicadas en
un sector de clase media en el sur de
Monterrey, invitamos a otra escuela ubicada en el sur también, pero en un sector de marginación urbana.
El diseño del proyecto contempló
únicamente las asignaturas de Español
y Matemáticas del sexto grado,
utilizando una metodología del tipo exploratorio descriptivo. La recogida
de información se hizo de acuerdo
con un cronograma cuidadosamente construido, utilizando entrevistas semi-estructuradas, cuestionarios, exámenes, observaciones directas y evidencias empíricas.
La investigación inició con la aplica-
ción de un examen de diagnóstico a los estudiantes, que arrojó información sobre el estado de conocimientos desde
el cual partiríamos; dos conversaciones
estructuradas con las maestras nos permitieron apreciar objetivamente que desconocían algunos temas del programa, la metodología para su enseñanza, y que sus exámenes eran
del corte tradicional memorístico.
En estas circunstancias, ofrecimos financiar la asesoría especializada para las dos asignaturas, por lo que fue necesario destinar una mañana de trabajo antes del inicio de cada bimestre en el mismo horario y turno laboral de las maestras, contando en todo momento con la autorización y beneplácito de las directoras y la inspectora.
De igual forma, fue necesario advertir
a las maestras que era conveniente
que elaborásemos los exámenes de bimestre colaborativamente, con la participación de los asesores, los responsables de la investigación, ellas mismas y sus directoras, lo cual fue aceptado de muy buena gana. Desde luego que la asignación de calificaciones seguía siendo una de
sus facultades; el CAEIP se limitaba a registrar los aciertos y errores y otros datos necesarios para la investigación, sin interferir en la vida institucional de cada escuela.
REALIZACIÓN CONFORME A LO PLANEADO Los asesores cumplieron escrupu- losamente con sus funciones; de igual forma, la elaboración de los exámenes y la recogida de infor- mación transcurrieron tal y como se había planeado, en tanto que las investigadoras llevaron puntualmen- te los registros y análisis de la información.
Para recoger información, sistemáticamente, las investigadoras visitaron cinco veces durante el ciclo escolar a cada maestra para entrevistarla, aplicarle un cues- tionario y recoger evidencias empí- ricas; sistemáticamente también, los expertos desarrollaron asesorías presenciales y por escrito, elaboran-
do el informe correspondiente para el CAEIP; cada bimestre se elabora- ron colaborativamente los exámenes de Español y Matemáticas, y ambos fueron revisados por las maestras y directoras.
Cada bimestre se llevó el registro y
análisis riguroso de: reactivo, alumno, grupo, escuela y zona escolar. Algo muy importante de señalar es que los exámenes y los resultados analíticos se devolvieron bimestralmente a la inspectora, quien convocó cada vez a sesiones informativas, de reflexión y toma de decisiones con las directoras
Sin duda, ésta es una investigación gratificadora para todos los que en ella participamos, aprendimos, construimos, aceptamos deficiencias, nos comprometimos a trabajar más intensamente por los fines y metas de la educación nuevoleonesa. Formulamos nuestros mejores votos porque las instancias que toman decisiones a nivel de aula o de entidad aprovechen esta información y estos conocimientos, para el mismo propósito que nosotros.
EL MAGISTERIO DE NUEVO LEÓN, CONFIABLE Sin pormenorizar sobre los resultados de esta investigación, solamente apuntaremos que: Todos los maestros mejoraron sus prácticas de enseñanza, los grupos avanzaron significativamente en sus logros académicos y ¡se puede confiar en el magisterio de Nuevo León!
En el capítulo de cierre de la obra se encuentran los argumentos, por lo que
le rogamos visitar la página electrónica
apuntada al inicio del escrito.
Es egresado de la Escuela Normal Superior, con Especialidad en Actividades Tecnológicas, Psicología y Orientación Vocacional. Hizo su Maestría en Pedagogía en la Escuela de Graduados. Actualmente es el director del Centro de Altos Estudios e Investigación Pedagógica, de la Coordinación de Ciencia y Tecnología de Nuevo León.
Una maestría para profesores de educación básica en el Cinvestav
Doctora Olimpia Figueras
Departamento de Matemática Educativa Cinvestav / México figuerao@cinvestav.mx
M iembros del Departamento de
Posgrado e Investigación (DPI)
Integrados al Estado de México (SEIEM) entraron en contacto con diversas instituciones de educación superior para dotar a los docentes de una formación de posgrado que tuviera impacto en la educación que proporcionan a niños y jóvenes
mexiquenses de preescolar, primaria
En 2003, en los SEIEM se llevó a cabo una evaluación de ese programa de formación docente; los resultados estaban lejos de lo esperado (De la Rosa, 2003). De la evaluación se podía inferir que una de las causas del poco éxito en los programas de estudio podría ser la poca experiencia de los docentes de instituciones de educación superior en la problemática de la educación básica. Por ello se decidió recurrir a instituciones que contaran con grupos de profesores con
experiencia específica en investigación
y desarrollo sobre los problemas de la
enseñanza y el aprendizaje de esos niveles educativos.
IDONEIDAD DEL CINVESTAV
El Centro de Investigación y de Estudios
Avanzados del IPN (Cinvestav) es una de las instituciones que cumple con esas características. Dos de sus Departamentos: el de Investigaciones Educativas y el de Matemática Educati- va (DME), surgen a partir de la búsqueda de soluciones a los problemas de educación básica y a la construcción de alternativas educativas que permitan avanzar paralelamente en el conocimiento profundo de los modos de aprender, y en la aplicación de lo que se va aprendiendo, en formas de enseñar.
A mediados de 2003, miembros de los
SEIEM sondearon la posibilidad de que el DME recibiera una generación de docentes de educación básica del Estado de México en el programa de estudios Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa. Las condiciones de su aceptación serían especiales, debido a que los maestros mexiquenses seguirían laborando en su aula y en consecuencia, no podrían ser estudiantes de tiempo completo en Cinvestav.
La idea central expuesta por los miembros de los SEIEM era no sólo
que maestros de preescolar, primaria
y secundaria obtuvieran un grado de
maestría, sino que sus estudios se reflejaran en el trabajo que de manera diaria llevan a cabo en el aula, y más específicamente que el conocimiento
adquirido en el programa de posgrado pudiera considerarse un factor directo de la mejora en la educación matemática de sus alumnos.
Surgió entonces un primer cuestiona- miento: ¿era el programa de maestría del DME lo apropiado para satisfacer esas necesidades? La respuesta en base a la experiencia de 27 años, en ese entonces del DME, era negativa; el programa está orientado hacia
la investigación sobre la educación matemática. Por ello su estudio conduce a una formación diferente a la del desarrollo profesional del docente,
y si bien podría impactar en el trabajo del maestro, esto sería de manera
tangencial. Sí la intención es formar buenos maestros de matemáticas, ¿por
qué recurrir a un programa que orienta
a los profesores a ser investigadores?
RETO PARA INVESTIGADORES DEL DME Crear un programa de estudios con la intención de que el alumno- docente acreciente y profundice sus conocimientos teórico-prácticos sobre su quehacer profesional, y se convierta en un experto en la enseñanza de las matemáticas de los niveles elementales de educación se convirtió, a principios de 2004, en un reto para un grupo de investigadores del DME.
Un primer paso para el logro de ese objetivo fue encontrar una figura que posibilitara la inserción de un programa de estudios para profesores de educación básica en la estructura académica del Cinvestav. La búsque- da condujo a la clasificación que el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt) hace de los programas en los lineamientos publicados en la convocatoria
2001-2002 del Programa para el Fortalecimiento del Posgrado Nacional. Los programas de maestría con orientación profesional y carácter científicoprácticoteníancaracterísticas generales (ver por ejemplo, Conacyt, 2004) que permitirían diseñar la formación docente solicitada por los SEIEM.
El DME presentó en versión final el
Plan y programas de estudio de la Maestría en Educación, Especialidad Matemáticas, al Consejo Académico Consultivo en diciembre de 2004.
En la junta correspondiente, este cuerpo colegiado del Cinvestav, después de tomar en cuenta la evaluación de la comisión nombrada
para el análisis del diseño curricular, recomendó a la Dirección General que lo pusiera a consideración de la Junta Directiva para su aprobación.
En marzo de 2005, dicho programa se
convirtió en uno más de los programas
de estudios de posgrado del Cinvestav,
y en el primero en la institución con
ORGANIZACIÓN DE LA MAESTRÍA Específicamente, en su diseño participaron 14 investigadores del DME, un estudiante del programa Doctorado en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa, y dos miembros del DPI de los SEIEM. Hubo reuniones colectivas con el resto de los miembros del departamento para la presentación de los avances, así como
para la aprobación de la estructura y la organización de contenidos, de modos
de estructurar la enseñanza y de cómo
Esquema 1. Estructura académica del programa de maestría y sus conexiones, en particular con el aula de los alumno-docentes.
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN, ESPECIALIDAD: MATEMÁTICAS El Plan de estudios del programa de maestría se ha dividido en tres modalidades: Preescolar, Primaria, y Secundaria, las cuales corresponden al estudio de las problemáticas asociadas con cada uno de los niveles educativos que integran lo que en México se denomina, desde 1992, educación básica (SEP, 1992), y está dirigido a profesores frente a grupo y a asesores técnico pedagógicos que trabajan en estos ciclos escolares y cuentan con al menos medio tiempo 1 para llevar a cabo las actividades académicas.
El objetivo general del programa de estudios es “Formar docentes especializados capaces de proponer alternativas de solución a problemas de educación matemática que se originan en los distintos componentes del sistema educativo nacional”.
conceptual que le proporciona herramientas para el uso de metodologías aplicables al trabajo de indagación empírica en el aula, vinculado con la educación matemá- tica, y una formación práctica centrada en el análisis de los quehaceres educativos orientada hacia el diseño y elaboración de productos didácticos y su validación en el medio escolar.
En el Esquema 1 se ha bosquejado tanto la estructura del programa y sus diversos componentes, como las diferentes relaciones que se establecen entre ellos. Como puede verse en ese esquema, los componentes de los dos ejes se consolidarán a través de dos tipos de unidades de aprendizaje:
•las asignaturas, cuyos contenidos se asocian principalmente con el eje teórico, y •el proyecto de desarrollo, que se relaciona de forma más directa con el eje metodológico-práctico.
evaluar y obtener el grado. El proceso
Para lograr este objetivo general, las
construcción del programa hasta
actividades se han estructurado en
Esquema 1. Estructura académica del
aprobación por parte de la Junta
Directiva del Cinvestav, consumió un período de 15 meses.
•uno de corte teórico, a través del
y sus conexiones, en particular con el aula de los alumno-docentes
En el apartado siguiente se describe
cual el alumno-docente podrá adquirir una formación teórica en matemática
a grandes rasgos el mencionado
educativa, en la cual las matemáticas
Las asignaturas son nueve en
programa (para mayor información puede consultarse Figueras y Rigo
tienen un lugar central, pero confluyen también aspectos de otras disciplinas
total, y de carácter obligatorio. El proyecto de desarrollo, cuyo trabajo
(Coordinadoras), 2004 o la página de
vinculadas con los procesos de la
se ha organizado a través de nueve
Maestría en Educación, especialidad
seminarios, es también de carácter
Matemática que aparece en la página principal del DME cuya dirección electrónica es: www.matedu.cinvestav. mx).
enseñanza y del aprendizaje que se llevan a cabo en el aula;
•el otro eje es de corte metodológico- práctico, mediante el cual el alumno- docente logrará una formación
obligatorio, pero se podrá optar por uno de entre las distintas alternativas que la planta académica del programa de maestría pondrá a consideración de los alumno-docentes al inicio de sus
Tabla 1. Ciclos, fases, unidades de aprendizaje y su organización dentro de la estructura académica del programa de maestría.
estudios. Los dos tipos de unidades
sobre los eventos de enseñanza y de
maestría exceden, en amplitud
de aprendizaje se impartirán por
aprendizaje que suceden en la clase
profundidad, a los presentes
parejas, en forma concomitante, a lo
de matemáticas; pero en cada una
el curriculum de la educación
largo de nueve ciclos escolares de tres y medio meses de duración, de tal forma que el programa completo pueda cubrirse en tres años 2 . En la Tabla 1 se encuentra resumida esta
de las modalidades se analizarán los temas de estudio a partir de enfoques diferenciados que responden a los problemas y especificidades de cada nivel educativo. En el Esquema 1,
matemática básica. No obstante, hay acuerdo entre investigadores, pedagogos y especialistas en educación, sobre la necesidad de que el docente no restrinja su conocimiento
información, así como los nombres y la secuenciación de las asignaturas.
esta parte del programa de estudios se bosqueja por medio de la clase magistral y el trabajo de grupo; puede
a los contenidos que aparecen en el curriculum del nivel educativo que él imparte.
Como se mencionó, el programa de maestría tiene tres modalidades:
verse también que estas actividades se complementan con sesiones de
En los programas de cada asignatura
preescolar, primaria y secundaria. En las tres se estudiarán los mismos tópicos matemáticos y se reflexionará con una visión interdisciplinaria
estudio dirigido, de trabajo en grupos y con una comunicación en línea. Los temas matemáticos que integran el plan de estudios del programa
se establecerá un balance entre los contenidos y las necesidades específicas que se plantean en cada nivel educativo y las que surgen
cuando se visualiza la actividad docente como un trabajo proyectado hacia el futuro; es decir, como soporte
empíricos para la reflexión sobre los procesos educativos escolares se tomarán principalmente del aula del
•Diseñar un proceso de valoración de algún componente del trabajo en el aula cuyo propósito sea la resolución
de construcciones de conocimiento
alumno-docente,laquesetransformará
un problema concreto.
posteriores, o bien como una labor en la que se refleja lo pasado, en cuyo caso tendrá como objetivo el
en espacio de observación de procesos de aprendizaje, de reflexión sobre las formas de enseñar y de recolección
Como el trabajo de los proyectos de desarrollo es una actividad colectiva,
fortalecimiento de adquisiciones
de datos y también tendrá la función
diferentes propuestas para intentar
cognitivas previas.
de laboratorio de experimentación del grupo de trabajo adscrito a cada
resolver los problemas elegidos por los alumno-docentes serán puestas
proyecto de desarrollo; por ello se ha
consideración de los miembros
Esta unidad de aprendizaje versa sobre un tópico de la educación matemática relacionado con una
denominado Aula experimental en el Esquema 1, en el cual se muestran las relaciones entre las unidades de
del equipo con la intención tanto de enriquecer las estrategias planeadas por los individuos, como de llevar
problemática general de la educación básica, o con una didáctica específica,
aprendizaje y el salón de clase del alumno-docente.
cabo procesos de evaluación del trabajo realizado.
o bien con un problema particular del nivel educativo en el que laboran los alumno-docentes.
CELEBRACIÓN DE NUEVE SEMINARIOS
La fase II concluye con un informe del diseño de una estrategia de
Paraalcanzarlasmetaspropuestaspara
enseñanza o un proceso de valoración
Al inicio de sus estudios, cada alumno- docente podrá elegir de entre una lista de proyectos de desarrollo que los miembros del DME diseñen para una de las generaciones del Programa, aquél
el proyecto de desarrollo, el trabajo se ha organizado con la intención de que sea posible realizarse en tres años, a través de nueve seminarios, como se muestra en la Tabla 1. Esos seminarios
de algún componente del trabajo en el aula, según el objetivo general del proyecto de desarrollo en el cual se haya inscrito el alumno-docente. La puesta a prueba de la estrategia o la
más se vincule con sus intereses
están estructurados en tres fases:
ejecución del proceso, serán la tarea
de reflexión sobre la enseñanza de
Diagnóstico, Planeación e Intervención.
principal de la fase siguiente.
matemáticas y su relación con
Los objetivos de cada una de estas
procesos de aprendizaje que se
fases se delinean a continuación.
Intervención: En esta fase el alumno-
fase I, o bien lleva a cabo el proceso de
generan en el aula, en particular en su
docente pone a prueba la estrategia de
propio salón de clase.
Diagnóstico: En esta fase el alumno-
enseñanza diseñada para resolver el
Los equipos de trabajo que se formen en torno a un proyecto de
docente realizará los análisis necesarios de lo que ocurre en su salón de clase, con el desempeño
problema concreto seleccionado en la
valoración del componente del trabajo
desarrollo no deben exceder seis
de sus alumnos, con su forma de
el aula elegido en dicha fase; este
alumno-docentes por cada pareja
planificar las actividades de los niños
trabajo le permitirá:
de investigadores (responsable y
jóvenes y con las maneras de evaluar
•Realizar una intervención puntual en
co-responsable); empero se podrán
el desempeño de los estudiantes. Por
aula experimental, y
unir al proyecto estudiantes de los programas de Maestría y Doctorado en
medio de este trabajo analítico el alumno-docente podrá:
•Evaluar los resultados de la intervención en función del desempeño
Ciencias, Especialidad en Matemática
Delimitar una problemática
los niños o adolescentes y de la
Educativa que ofrece el DME y los co-
específica en su aula experimental
legas de este departamento o de otras instituciones educativas interesados en una problemática particular de la enseñanza de las matemáticas. La idea central de un trabajo de este
que le interese estudiar de manera sistemática.
La fase I concluye con un informe del diagnóstico realizado y de la
En la última etapa de esta fase se someterán a discusión de los miembros durante el último seminario del proyecto de desarrollo los informes
es favorecer la interacción de los
fundamentación de la elección de un
de cada uno de los integrantes del
alumno-docentes con la comunidad de
problema concreto, el cual será objeto
equipo, trabajo que debe constituir
matemáticos educativos y facilitar la formación de grupos de investigadores
de estudio de la siguiente fase.
un proceso de evaluación colegiada tanto de los alcances logrados por
colaboradores con intereses
Planeación: En esta fase el alum-
cada uno de los alumno-docentes,
comunes con respecto al estudio de la problemática de la educación básica.
no-docente se centrará en la caracterización del objeto de estudio determinado en la fase anterior de
como de los del equipo en su globalidad. La fase III concluye con un informe de las características de
En esta unidad de aprendizaje del
manera que le permita:
intervención puntual, las formas de
programa de maestría, el trabajo se
•Diseñar una estrategia de enseñanza
analizar los efectos de la intervención
estructura principalmente en torno a
cuyo propósito principal sea la
sea considerando al grupo entero,
la formación metodológica–práctica
resolución de un problema concreto;
bien llevando a cabo análisis de
del alumno-docente. Los referentes

References: resolución

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