Source: http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?ID=137616
Timestamp: 2016-08-27 11:50:37+00:00

Document:
Educarchile - Sistemas de ecuaciones IngresoUsuario registradoSalirActualizar tu registro
Sistemas de ecuaciones En 2° medio, en la asignatura de matemáticas, te encontrarás con los sistemas de ecuaciones. A continuación podrás conocer y aprender esta materia.Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas de ecuaciones lineales En distintos problemas de matemáticas nos vemos enfrentados a cálculos con ecuaciones que tienen dos incógnitas que dependen una de la otra. Para poder resolverlas, debemos considerar 2 ecuaciones que relacionen estas incógnitas. (Siempre se necesitará el mismo número de ecuaciones que de incógnitas por resolver). Dos ecuaciones que relacionen dos incógnitas conformaan un sistema de ecuaciones. Existen distintos métodos de resolución para calcularlas, ya sean gráficos, algebraicos o mecánicos. 1.1 Interpretación gráfica
Determinar el valor de las incógnitas y, por tanto, la solución del sistema es hallar un punto común que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, encontrar el punto donde se intersectan ambas rectas. Gráficamente, la situación es la siguiente:
En el ejemplo anterior, la gráfica de las ecuaciones y = –1/4 x + 4, y = ¾ x tiene como solución: x = 4, y = 3
Existen otros métodos, llamados algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones. Estos son: reducción, igualación, sustitución. 1.2 Métodos algebraicos 1. Método de reducción Consiste en igualar los coeficientes pero con diferente signo de una de las incógnitas en ambas ecuaciones. El objetivo es que al reducirlas miembro a miembro, se elimine esa incógnita, quedando una sola ecuación con una incógnita, la cual es posible resolver.
Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos:
Reduciendo ambas ecuaciones se eliminará una de las variables, y se obtiene: 7x = 21, por lo tanto x = 3 Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales podemos obtener el valor de la segunda incógnita. Por ejemplo en la segunda: 4• 3 + 2y = 16 Despejando y obtenemos que y = 2 Por lo tanto, la solución del sistema es el punto (3,2). 2. Método de igualación Consiste en despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones, obteniendo dos expresiones diferentes, las cuales se igualan, resultando una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Para calcular la segunda incógnita se puede reemplazar el valor la primera en cualquiera de las ecuaciones iniciales.
Ejemplo: Resuelve el siguiente problema: Si se compran 2 lápices y 5 carpetas, se deberá pagar $ 4.290, y si se compran 3 lápices y 2 carpetas, se paga $ 2.310. ¿Cúanto vale cada lápiz y cada carpeta? Para resolver este problema se debe plantear un sistema de ecuaciones: Donde l, es el valor de cada lápiz y c, el valor de cada carpeta.Resolviendo por igualación despejaremos la incógnita en ambas ecuaciones. Así,
Igualando las expresiones tenemos: igualando productos cruzados: 12.870 – 15c = 4.620 – 4c12.870 – 4.620 = 15c – 4c8.250 = 11 c, entonces c = 8.250 : 11 c = 750 cada carpeta cuesta $750Reemplazamos en l = (2.310 – 2• 750) : 3 Entonces: l = 270 cada lápiz cuesta $ 270
3. Método de sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones, luego se sustituye la expresión en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. Se calcula ésta y luego se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda incógnita.
Ejemplo: Resuelve el siguiente problema: A un cine asiste un grupo de 5 niños y 2 adultos. Pagan $ 10.000 en total. Otro grupo, compuesto de un adulto y 3 niños paga $5.600.¿Cuánto vale la entrada de un adulto? ¿Y la de un niño?
Formamos un sistema de ecuaciones Donde n es el valor de la entrada de un niño y a es el valor de la entrada de cada adulto. De la segunda ecuación despejaremos a a = (5.600 – 3n) Reemplazamos en la otra ecuación: 5n + 2 (5.600 – 3n) = 10.000 resolviendo esta ecuaciónobtenemos que n = $1.200 Reemplazando este valor en a = (5.600 – 3n) obtenemos que a = 2.000 Para ejercitar con problemas cotidianos que se resuelven utilizando sistemas de ecuaciones (59 ejercicios propuestos) consulta el sitio: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/09-02-p-SisEcuProblemas.html 2. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación corresponde a una recta, y la solución del problema es el punto de intersección. Podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones: 2.1. Infinitas soluciones Si las ecuaciones representan la misma recta, habrá infinitos puntos comunes, lo que se produce cuando los coeficie
SISTEMA DE ECUACIOCIONESEducarchile Una rampa es una forma de plano inclinado. Quienes practican patineta utilizan esta especie de máquina simple para ayudar a elevar su peso desde el suelo. Cuanto más gradual sea la pendiente de la rampa, más fácil será levantar un cuerpo a cierta altura. En este caso, el patinador. El patinador tiene que ajustar la pendiente de la rampa de manera que ésta no sea demasiado empinada ni demasiado gradual. En el primer caso, el patinador tendrá la dificultad de llegar hasta la cima; en el segundo, no obtendrá la altura suficiente para ejecutar un movimiento deslumbrante. En el inicio de esta práctica (década de los setenta), los patinadores utilizaban las paredes inclinadas de piscinas vacías como rampas de lanzamiento. En cambio, hoy día, los patinadores construyen sus propias rampas para aumentar sus destrezas. Revistas, libros e Internet son buenos recursos para los patinadores que quieren construir sus propias rampas para patineta. Usando algún buscador en Internet bajo el título de skateboarding como tema, puedes llegar a algunos sitios que entregan planos de rampas, listas de materiales, instrucciones y consejos útiles para desarrollar esta actividad.Ir a la actividad Guía del docente: SISTEMAS DE ECUACIONESEducarchileDescripción curricular: <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
- Nivel: 2.º medio - Sector: Matemática - Unidad temática: Álgebra y funciones - Palabras clave: variación vertical, variación horizontal, pendiente, eje X, eje Y, gráfico cartesiano, tabla de valores, ecuación lineal, sistema de ecuaciones lineales, métodos de solución de sistemas de ecuaciones, variables dependiente e independiente - Contenidos curriculares: - Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales, semejanza de figuras planas y nociones de probabilidad; iniciándose en el reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos. - Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las probabilidades en juegos de azar sencillos, estableciendo las diferencias entre los fenómenos aleatorios y los deterministas. - Explorar sistemáticamente diversas estrategias para la resolución de problemas; profundizar y relacionar contenidos matemáticos. - Percibir la relación de la matemática con otros ámbitos del saber. - Contenidos relacionados: - 1.º Medio: • Gráficos de distinto tipo; interpretación y lectura. • Resolución de problemas. Gráficos, tablas de valores y expresión algebraica. • Planteo y resolución de problemas que involucren ecuaciones de primer grado con una incógnita. • Operatoria algebraica. Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Convención de uso de los paréntesis. Reducción de términos semejantes. Sintaxis del lenguaje algebraico.
- 2.º Medio: • Representación, análisis y resolución de problemas contextualizados en situaciones como la asignación de precios por tramo de consumo, por ejemplo de agua, luz, gas. Variables dependientes e independientes. • Función afín y función lineal. • Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad. • Función valor absoluto; gráfico de esta función. Interpretación del valor absoluto como expresión de distancia en la recta real. • Función parte entera. • Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.
- 3.º Medio: • Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. • Intervalos en los números reales. • Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. • Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales.
- 4.º Medio: • Función potencia: y = a xn, a > 0, para n = 2, 3, y 4, su gráfico. • Análisis del gráfico de la función potencia y su comportamiento para distintos valores de a. • Funciones logarítmica y exponencial, sus gráficos correspondientes. Modelación de fenómenos naturales o sociales a través de esas funciones. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial. • Historia de los logaritmos; de las tablas a las calculadoras. • Análisis y comparación de tasas de crecimiento. Crecimiento aritmético y geométrico. Plantear y resolver problemas sencillos que involucren el cálculo de interés compuesto. • Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica.
- Aprendizajes esperados: - Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Gráfico de las rectas correspondientes. - Planteo y resolución de problemas y desafíos que involucren sistemas de ecuaciones. Análisis y pertinencia de las soluciones. - Relación entre las expresiones gráficas y algebraicas de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones. Aprendizajes esperados de esta actividad: - Señalan las variaciones horizontal y vertical que posee una recta. - Calculan la pendiente de una recta, usando la definición. - Grafican en un sistema cartesiano una recta, dada su pendiente. - Escriben una expresión algebraica que corresponda a la pendiente de una recta. - Construyen una tabla de valores asociada a una ecuación lineal. - Escriben una ecuación, dado un enunciado verbal. - Reconocen la ecuación que corresponde a un enunciado verbal. - Obtienen conclusiones del análisis de la ecuación que corresponde a un enunciado verbal. - Valoran que una ecuación dada representa una situación de la vida cotidiana y corresponde a una opción conveniente en la relación costo-beneficio. - Distinguen entre variable dependiente y variable independiente. - Grafican en un sistema cartesiano dos rectas de un sistema de ecuaciones lineales. - Deducen la solución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales. - Analizan el número de soluciones que tiene un sistema de ecuaciones lineales. - Aplican un método de solución algebraico para resolver un sistema de ecuaciones lineales. - Desarrollan habilidades relativas a la investigación, mediante las actividades de organización de datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, mediante contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o procedimientos. También a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro. - Desarrollan actitudes orientadas al interés y la capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. Recursos digitales asociados de www.educarchile.cl: - Ficha 10: “Sistemas de ecuaciones”. - Diapositivas digitales (ppt): Matemáticas NM2 “Álgebra y funciones”. Actividades propuestas para este tema: Para este tema proponemos la actividad “Patinetas: ¿da lo mismo el precio?”, sobre el uso y resolución de sistemas lineales de ecuaciones con dos incógnitas. ACTIVIDAD: Patinetas: ¿da lo mismo el precio? 1. Mapa de contenidos tratados
2. Desarrollo de la actividad: Patinetas: ¿da lo mismo el precio? Paso 1 Como actividad de motivación e introducción lean la pregunta inicial de la actividad: Patinetas: ¿da lo mismo el precio?
En Atina-Net hay un letrero en que puede leerse: “$ 500 + $ 200 por hora”. En Patio-Neta hay un letrero en que puede leerse: “$ 800 + $ 100 por hora”.
Es decir, queda claro que no son iguales los dineros que cobran estas empresas para ir a practicar patineta en uno de estos recintos. Cada cual hace su oferta y de acuerdo con estos antecedentes, se podrá tomar la mejor decisión: aquella que resulte más conveniente considerando la relación costos-beneficios. Informarse para tomar una decisión es una buena estrategia. Pida a sus estudiantes que respondan la pregunta inicial expresando lo que piensan, fundamentando siempre su respuesta y dando ejemplos. Así, da oportunidad para que los estudiantes se manifiesten según sus propios conocimientos. Es recomendable ir escribiendo en la pizarra una síntesis de lo que ellos van diciendo. Es interesante considerar otras variables que van más allá del dinero al momento de elegir (distancia, tiempo de traslado y otras). Entrégueles bibliografía o direcciones en la red para que indaguen y corroboren sus respuestas. Paso 2 Entregue la ficha con la actividad propuesta, o léanla en línea y luego comiencen la investigación. La guía para el estudiante se encuentra disponible en el portal www.educarchile.cl.
Respondan las preguntas de conocimiento, cálculo y análisis contenidas en la actividad. Las respuestas aparecen en azul. Entonces: I. Diseño de una rampa para patinetas Los estudiantes deben responder preguntas de conocimiento y análisis de la siguiente figura:
Entonces, si un practicante de patineta construye una rampa de acuerdo con este plano y la coloca de tal manera que la parte superior de la rampa queda a la derecha: 1) ¿Cuál es la variación vertical de la pendiente de la rampa? 60 cm 2) ¿Cuál es la variación horizontal de la pendiente de la rampa? 200 cm 3) ¿Cuál es la pendiente de la rampa? Para aumentar la dificultad de sus movimientos, el patinador construye dos rampas idénticas basándose en el plano y coloca las rampas a cada uno de los lados de una plataforma: una rampa que sube a la izquierda y una que baja a la derecha. 4) ¿Cuál es la pendiente de la rampa que está a la derecha? - 0,3 5) Grafica las pendientes de ambas rampas. Representa la variación horizontal en el eje X, y la variación vertical en el eje Y. Un patinador necesita una rampa más larga que aquella del plano, pero con igual pendiente. La ecuación para la pendiente es .
Si ahora la longitud horizontal de la rampa es 240 cm:
6) ¿Cuál es la altura de la rampa?
7) En relación con la rampa original y la rampa más larga: a) Escribe las expresiones que corresponden a las respectivas pendientes de las rampa.
b) ¿Qué posición tienen estas rectas en el plano? Son paralelas. 8) Un patinador quiere construir una rampa con una pendiente más empinada. Necesita descubrir las dimensiones de la rampa. La pendiente de esta nueva rampa, ¿será menor o mayor que la pendiente de la rampa original? La pendiente será mayor que 0,3. Paso 3 Luego de estas preguntas, comience la segunda parte de la actividad referente al análisis de precios del uso de rampas para patinetas. Mediante la actividad los estudiantes reforzarán, entre otras cosas, operaciones matemáticas básicas. Existen lugares especialmente habilitados para practicar patineta. Y utilizar sus instalaciones tiene un precio que se cobra por hora de uso. En Atina-Net hay un letrero en que puede leerse: “$ 500 + $ 200 por hora”. En Patio-Neta hay un letrero en que puede leerse: “$ 800 + $ 100 por hora”. 1) Completa la siguiente tabla para obtener diferentes valores según el tiempo de uso de las pistas de patineta. 2) Escribe una ecuación que equivalga al precio que pagaría un cliente de Atina-Net por ocupar sus instalaciones, según el número de horas de uso. y = 500 + 200 • x 3) Escribe una ecuación que equivalga al precio que pagaría un cliente de Patio-Neta por ocupar sus instalaciones, según el número de horas de uso. y = 800 + 100 • x 4) Explica por qué “y = 500 + 200 x” representa el precio que se pagaría por ir a Atina-Net. En Atina-Net el costo inicial es de $ 500. Si x es el número de horas y $ 200 es la tarifa por hora, entonces a 500 se le debe sumar 200 x. Por lo tanto, 500 + 200 x representa el costo total. 5) Explica por qué “y = 800 + 100 x” representa el precio que se pagaría por ir a Patio-Neta. En Patio-Neta el costo inicial es de $ 800. Si x es el número de horas y $ 100 es la tarifa por hora, entonces a 800 se le debe sumar 100 x. Por lo tanto, 800 + 100 x representa el costo total. 6) ¿Qué lugar ofrece la tarifa más conveniente si una persona asiste a practicar solamente una hora? ¿Por qué? Por una hora es más conveniente ir a Atina-Net. Porque Atina-Net cobra $ 700 y Patio-Neta cobra $ 900. 7) Un deportista de la patineta: a) ¿Cuántas horas debería permanecer practicando para obtener el mismo precio en cualquiera de los dos lugares? Tres horas. b) ¿Y cuál es ese mismo precio? Ese mismo precio es de $ 1.100 8) ¿Después de cuántas horas resulta más económico ir a Patio-Neta? Después de tres horas es más económico ir a Patio-Neta. Es decir, cuatro o más horas. 9) En este mismo gráfico dibuja las dos rectas que representan ambas situaciones. 10) ¿Cuál es la solución gráfica del sistema de ecuaciones? El punto de coordenadas (3, 1.100). 11) ¿Qué posición tienen las dos rectas entre sí en el plano? Son rectas secantes. 12) Entonces, ¿cuántas soluciones tiene este problema? El problema tiene una única solución que responde a la pregunta de si da lo mismo el precio que cobra cada una de las empresas. Esa solución es el punto en que se intersectan las dos rectas en un único punto de coordenadas (3, 1.100). 13) ¿Y cómo se interpreta esa solución? La interpretación que podemos dar es que usando durante tres horas cualquiera de los dos recintos para practicar patineta, el precio es el mismo. Así se interpreta esta solución única.
14) Escribe el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se utiliza.
15) Para resolver algebraicamente el problema podría utilizarse el llamado “método de igualación”. Entonces, al despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones, ¿cuál es la igualdad que se obtiene? Resuelve. Posible solución: Método de igualación: y = y 500 + 200 x = 800 + 100 x 200 x – 100 x = 800 – 500 100 x = 300
X = 16) Para calcular la segunda incógnita se reemplaza el valor de la primera incógnita en cualquiera de las ecuaciones originales. Siendo así, ¿cuál es el valor de la segunda incógnita?
Posible solución: y = 800 + 100 x y = 800 + 100 • 3 y = 800 + 300 y = 1.100
17) En esta situación de los recintos pagados para practicar patineta: a) ¿Qué tipo de variable es el “número de horas de uso del recinto”? Variable independiente. b) ¿Qué tipo de variable es el “precio”? Variable dependiente. Paso 3 Concluya la actividad con el resumen que está en la guía para el estudiante. Pueden volver a la pregunta con que iniciaron esta actividad. Patinetas: ¿da lo mismo el precio?
En Atina-Net hay un letrero en que puede leerse: “$200 + $500 por hora”. En Patio-Neta hay un letrero en que puede leerse: “$100 + $800 por hora”. Analice los resultados aritméticos y algebraicos obtenidos y refuerce los aprendizajes que presentan más problemas. InformaciónTécnicaFecha de Modificación04/12/2007Descripción BreveEn 2° medio, en la asignatura de matemáticas, te encontrarás con los sistemas de ecuaciones. A continuación podrás conocer y aprender esta materia.Temas relacionados>>Recurso interactivo: Sistemas de Ecuaciones
>>Texto: Ecuaciones algebraicas con dos incógnitasIdiomaEspañol (ES)AutoreducarchileFuenteeducarchileClasificación CurricularNivelSectorUnidad o eje2° medioMatemáticaÁlgebraArchivosDescargasistemas de ecuaciones.pdfPDFRelacionadosPalabras Clavemétodos algebraicos

References: resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución