Source: https://www.slideshare.net/nitzaurbina/aportes-a-la-enseanza-de-las-matematicas-10308838
Timestamp: 2017-04-28 09:37:56+00:00

Document:
Aportes a la enseñanza de las matematicas
Diseñ Curricular Nacional Ciclo1
by guest67826c
Nitza Urbina Rivera, Working
at Trabajo en la I.E."Manuel González Prada"-Chimbote
Es importante resaltar los aportes a la enseñanza de las matemáticas
Aportes parala enseñanzade la Matemática 2.
Segundo EstudioRegional Comparativoy ExplicativoAportes parala enseñanzade la MatemáticaLaboratorio Latinoamericanode Evaluación de la Calidadde la Educación 3.
Esta es una publicación de la Oficina Regional deEducación de la UNESCO para América Latina y elCaribe (OREALC/UNESCO Santiago) y del LaboratorioLatinoamericano de Evaluación de la Calidad de laEducación - LLECEJorge SequeiraDirectorOREALC/UNESCO SantiagoHéctor ValdésCoordinador del LLECECarmen Gloria AcevedoSandra CarrilloMauricio CastroRoy CostillaSilvia OrtizErnesto TreviñoEquipo del LLECEMarcelo AvilésJefe Unidad de Comunicaciones y PublicacionesMaría Eugenia MezaEdiciónAlejandro UrbánDiseño portadaGerardo PatiñoDiseño interiorXimena MilosevicAna María BaraonaDiagramaciónLos autores son responsables por la selección y presentación de los hechos contenidos en esta publicación, así como de las opinionesexpresadas en ella, que no son necesariamente el pensamiento de la UNESCO y no comprometen a la Organización. Las denominacionesempleadas y la presentación de los datos no implican, de parte de la UNESCO, ninguna toma de posición respecto al estatuto jurídico delos países, las ciudades, los territorios, las zonas y sus autoridades, ni respecto al trazado de sus fronteras o límites.El uso de un lenguaje que no discrimine ni reproduzca esquemas discriminatorios entre hombres y mujeres es una de las preocupacionesde nuestra Organización. Sin embargo, no hay acuerdo entre los lingüistas acerca de la manera de hacerlo en castellano. En tal sentido,y para evitar la sobrecarga gráfica que supondría utilizar en español o/a; los/las y otras formas sensibles al género con el fin de marcarla presencia de ambos sexos, hemos optado por usar la forma masculina en su tradicional acepción genérica, en el entendido que esde utilidad para hacer referencia tanto a hombres y mujeres sin evitar la potencial ambigüedad que se derivaría de la opción de usarcualesquiera de las formas de modo genérico.Permitida su reproducción total o parcial, así como su traducción a cualquier idioma siempre que se cite la fuente, y no se utilice con fineslucrativos.ISBN 978-956-322-004-9Impreso por Salesianos Impresores S.A.Santiago, Chile; enero, 2009. 4.
Aportes parala enseñanzade la Matemática Liliana Bronzina Graciela Chemello Mónica Agrasar 5.
Índice Presentación ............................................................................................................................... 9 Prólogo ..................................................................................................................................... 111. Antecedentes ............................................................................................................................. 13 El LLECE y el SERCE ........................................................................................................... 13 Las pruebas SERCE de matemática ..................................................................................... 14 Marco conceptual de la prueba de matemática .................................................................... 15 Qué evaluó el SERCE en el área matemática ........................................................................ 162. Resultados de las pruebas de matemática ................................................................................. 19 Resultados generales por puntuaciones medias ................................................................... 19 Resultados generales por dominios de contenido y procesos cognitivos .............................. 20 Resultados de la región en matemática para tercer grado básico .................................... 20 Resultados por país en matemática para tercer grado básico .......................................... 22 Resultados de la región en matemática para sexto grado básico ..................................... 25 Resultados por país en matemática para sexto grado básico ........................................... 283. Recomendaciones para la mejora de la práctica pedagógica ..................................................... 32 Evaluación y perspectiva de enseñanza ............................................................................... 32 La matemática necesaria para el ciudadano y las habilidades para la vida ........................... 33 Cultura matemática, aprendizaje a largo plazo .................................................................... 34 Selección de problemas y construcción de significados ....................................................... 36 Trabajo en clase y tipo de práctica matemática ................................................................... 39 Estudiar matemática en clase y fuera de ella ....................................................................... 404. La evaluación para la toma de decisiones y la investigación ...................................................... 41 Niveles de desempeño y ejemplos de preguntas por nivel .................................................... 41 Análisis de las producciones de los estudiantes de tercer y sexto grado Alternativas de intervención docente ................................................................................... 495. Para seguir trabajando con el proyecto en las escuelas ........................................................... 126 Bibliografía ............................................................................................................................. 129 6.
AgRAdecimientosEsta serie fue posible gracias a la gestión del LaboratorioLatinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE)de la OREALC/UNESCO Santiago, y a los aportes de muy diversosespecialistas comprometidos con el SERCE.Las autoras agradecen el empuje, la contextualización y la coordinaciónde la serie a Héctor Valdés; el trabajo sobre las bases de datos aMauricio Castro; los procesamientos de datos y la orientación paraplasmarlos de modo adecuado a Daniel Bogoya, Carlos Pardo y AndrésBurga León; la lectura crítica de las especialistas Teresa León y SilviaPuig; el acompañamiento y aportes a Giuliana Espinosa y Lilia Toranzos;y la fuente de inspiración respecto a la forma en que las evaluacionesmasivas pueden usarse en las escuelas, a Pedro Ravela. 7.
PresentaciónEl Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo (SERCE), PARticiPAntes:cuyo Primer Reporte fue publicado a mediados de 2008, ha aportado Argentinaimportantes informaciones que constituyen insumos sustantivos para Brasilla toma de decisiones en materia de políticas sociales y educativas chileen los países de América Latina y el Caribe. El desafío que queda por colombiadelante es realizar estudios más específicos, que permitan contar con costa Ricainformación precisa sobre cómo optimizar el aprendizaje de los estu- cubadiantes, especialmente de aquellos que, por diferentes causas, están ecuadoren desventaja social. el salvador guatemalaEl presente texto es el segundo de la colección Aportes para la Ense- méxicoñanza, estando los anteriores dedicados a Lectura y Ciencias Natura- nicaraguales. El objetivo de la serie es proporcionar a los docentes orientaciones Panamáque los ayuden a mejorar sus prácticas pedagógicas en las áreas Paraguayexploradas por el SERCE, para lograr que los estudiantes construyan Perúlos aprendizajes necesarios para participar plenamente en la socie- República dominicanadad. Esta colección es coherente con una concepción de evaluación Uruguayde la calidad de la educación que no se limita a hacer diagnósticos estado de nuevo Leónde situación, sino que proporciona, además, elementos para favorecer (méxico)1las prácticas educativas y avanzar hacia una educación de calidad sinexclusiones.La colección Aportes para la Enseñanza constituye sin lugar a dudas elvalor agregado más importante del SERCE respecto de otras evalua-ciones internacionales. Esfuerzos como los que este tipo de estudiossupone no pueden quedar reducidos al ámbito del mundo académico,o de quienes toman decisiones de política educativa: es imprescindibleque lleguen a las escuelas, porque son los docentes los verdaderosautores de los cambios educativos.1 Nuevo León, fue el único de una serie de estados subnacionales –que desde 2004 se han inte- grado al LLECE– que siguió todos los procesos y requisitos para participar en esta evaluación. La idea del SERCE fue acoger a determinados estados que, disponiendo de cierta autonomía en educación, gracias a la organización política de sus países, quisieron someterse a evaluaciones internacionales referidas a la calidad de su educación. Con el tiempo sólo quedó Nuevo León, que participó de la experiencia como un país más. 9 8.
Aportes para la Enseñanza de la Matemática comienza con una presentación general del estudio SERCE y de las pruebas de esta área; para luego dar a conocer los resultados de los estudiantes por dominio curricular y por proceso cognitivo. Otro apartado pone el acento en algunos aspectos de la enseñanza actual de la matemática y, por último, describe los desempeños de los estudiantes, analizando aciertos y errores e incluyendo elementos para su análisis y propuestas de intervención docente. Jorge sequeira Director OREALC/UNESCO Santiago10 9.
Prólogo“La matemática tiene las progresiones geométricas que elevan los númerosa maravillosa altura, las sociedades tienen la educación”. José MartíLas pruebas de Matemática utilizadas por el SERCE presentan unaprogresión de niveles de desempeño definida a partir del análisis de lacombinación adecuada entre procesos cognitivos y contenidos curricu-lares, según niveles crecientes de dificultad. De esta manera, el Nivel IVagrupa las preguntas de mayor demanda cognitiva.En el caso de esta área curricular, en dicho nivel superior de desempe-ño en el SERCE se ubica, aproximadamente, el 11% de los estudiantestanto de tercer como de sexto grado de básica. Es decir, sólo eseporcentaje de estudiantes de ambos grados puede responder correcta-mente la mayoría de las preguntas de mayor demanda cognitiva de laspruebas de Matemática. Ello acusa un significativo déficit de calidad dela educación en este campo que se está ofreciendo a los estudiantes deprimaria de América Latina y el Caribe.Basta con ese dato para que la conciencia de nuestro profesorado semovilice y promueva la búsqueda de las causas de tales deficiencias.Ese es el propósito esencial del texto Aportes para la Enseñanza de laMatemática: movilizar la conciencia del magisterio de nuestra región,con la finalidad de estudiar y encontrar qué factores están influyendoen que el aprendizaje de esta importante área curricular no esté dandolos frutos esperados.Cuando se habla de calidad de la educación matemática de nuestrosestudiantes, la palabra de orden es “comprender” cuáles son lasherramientas necesarias para resolver ciertos problemas y distinguirlosde otros, en cuya solución se emplean otras herramientas. Comprendertambién que pueden variar los procedimientos y, sin embargo, ser vá-lidos; que los problemas pueden presentar datos de más, o de menos;que pueden tener una, ninguna o varias soluciones posibles; que cadauno tiene la posibilidad de buscar, crear y validar su propio procedi-miento. Comprender, en definitiva, que no todo “está hecho”.¿Quién podría decir que es una tarea fácil? Nadie, pues es exactamen-te todo lo contrario: se trata de una tarea que se enfrenta a muchasy variadas complejidades. Entre otras, a la complejidad provenientede la multiplicidad (lo que da origen al número, a la aritmética); la 11 10.
complejidad que procede del espacio (lo que da lugar a la geometría); la que proviene del símbolo (álgebra); la que está determinada por el cambio y la causalidad determinística (cálculo), la que proviene de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad, estadística), y la complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemática). Pero tampoco es una tarea imposible de realizar. Sostengo que es posi- ble elevar a planos muy superiores la calidad de la educación matemáti- ca que reciben los estudiantes de nuestra región. Para ello será necesa- rio que los docentes busquen y logren un continuo apoyo en la intuición directa de lo concreto; un apoyo permanente en lo real; que centren la educación matemática en el desarrollo de los procesos de pensamiento matemático; que tengan muy en cuenta los impactos de la nueva tecno- logía en la enseñanza de esta área. Que reconozcan permanentemente la importancia de la motivación de sus estudiantes por aprender esta ciencia, pues una gran parte de los fracasos en esta disciplina científica tienen su origen en un posicionamiento inicial afectivo totalmente des- tructivo de sus propias potencialidades en este campo. Al mismo tiempo, es muy útil reconocer la importancia de la historia de la matemática para elevar la motivación de los estudiantes a cono- cerla con profundidad. La visión histórica transforma meros hechos y destrezas sin alma en porciones de conocimiento buscadas ansiosa- mente, en muchas ocasiones con genuina pasión, por seres humanos de carne y hueso que se alegraron inmensamente cuando dieron con ellas por primera vez. Estamos seguros de que este texto ayudará al magisterio latinoameri- cano y caribeño a comprender de qué manera podemos lograr que el estudiante manipule adecuadamente los objetos matemáticos, active su propia capacidad mental, ejercite su creatividad y reflexione sobre su propio proceso de pensamiento para mejorarlo conscientemente. Todo lo anterior, con el fin de que los alumnos adquieran confianza en sí mismos y se diviertan con su propia actividad mental. Estos son los objetivos de una educación matemática de alta calidad que, efectivamente, eleve el saber de nuestras sociedades a maravillosa altura, así como lo hacen las progresiones geométrica a los números. dr. c. Héctor Valdés Veloz Coordinador del LLECE OREALC / UNESCO Santiago12 11.
AntecedentesLLece y seRceEl Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de laEducación (LLECE) es la red de sistemas de evaluación de la calidad dela educación de América Latina, coordinado por la Oficina Regional deEducación de la UNESCO para América Latina y el Caribe(OREALC/UNESCO Santiago), con sede en Santiago de Chile.Sus funciones están centradas en: • Producir información sobre logros de aprendizajes de los alum- nos y analizar los factores asociados a dichos avances. • Apoyar y asesorar a las unidades de medición y evaluación de los países. • Ser foro de reflexión, debate e intercambio de nuevos enfoques en evaluación educativa. en 1997, el LLece había realizado el primero deConforme a sus objetivos, el Laboratorio desarrolló entre 2002 y 2006 dichos estudios sobreel Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo (SERCE), que lenguaje, matemática yevalúa y compara el desempeño alcanzado por los estudiantes lati- factores asociados en terceronoamericanos de tercero y sexto grados de educación primaria en las y cuarto grado.áreas de lenguaje, matemática y ciencias de la naturaleza. este permitió obtener, por primera vez, informaciónEl SERCE busca explicar sus resultados, a partir de distintos factores comparativa sobre losescolares y de contexto. Pretende así generar conocimiento relevante logros de aprendizaje de lospara la toma de decisiones de políticas educativas y para mejorar las alumnos de los 13 países deprácticas docentes y escolares y, con esto, promover una mayor equi- América Latina y el caribedad en los aprendizajes. que participaron.En su diseño, implementación y análisis participaron diversos equiposde evaluadores, pedagogos, especialistas en currículo, expertos enconstrucción de instrumentos de evaluación, técnicos y monitores de laregión.Su amplia cobertura, que recoge información sobre los estudiantes ysus familias; los docentes, los directores y las escuelas permite identifi-car cuáles son los factores que tienen mayor incidencia en los desem-peños de los estudiantes. El cumplimiento de altas exigencias teóricasy de método, confieren al SERCE capacidad de generalización: lo queel estudio informa sobre los estudiantes evaluados puede extenderse alresto de los estudiantes de la región y del país. 13 12.
La información recogida Por todas estas características, es la evaluación de desempeños de es- esta vez por el seRce tudiantes más importante y ambiciosa de las desarrolladas en América abarca casi 200 mil Latina y el Caribe. estudiantes, 9 mil aulas y más de 3 mil escuelas. El estudio, comenzó en 2002, recogió la información en 2006, y publi- el estudio analiza los có sus primeros resultados en 2008, con el Primer Reporte SERCE. resultados de estos alumnos en forma contextualizada, considerando sus realidades, familias, lugares donde viven LAs PRUeBAs seRce de mAtemáticA y escuelas a las que asisten. Para la evaluación de los aprendizajes de Matemática, fueron cons- truidas pruebas alineadas con un marco curricular común a los países latinoamericanos participantes del estudio. A fin de establecer dominios de contenidos y procesos cognitivos el instituto colombiano para comunes a los estudiantes de educación primaria de todos los países el Fomento de la educación participantes, fue identificado qué se enseña en esta área en la región. superior (icFes) estuvo Este marco, consensuado y validado por el conjunto de países, fue encargado de analizar estructurado desde el enfoque de habilidades para la vida, cuyo foco currículos, textos escolares en matemática está en la resolución de problemas. e instrumentos de evaluación de los países participantes. Este enfoque asume que la alfabetización matemática es un proceso es así como el conjunto de permanente a lo largo de la existencia, que incluye aquellos conoci- referentes básicos para el mientos, destrezas, capacidades, habilidades, principios, valores y estudio seRce fue efectuado actitudes necesarios de incluir en el currículo escolar del área para de manera consensuada. que los estudiantes latinoamericanos aprendan a desarrollar su potencial, hagan frente a situaciones, tomen decisiones utilizando la información disponible, resuelvan problemas, defiendan y argumen- ten sus puntos de vista, entre tantos otros aspectos centrales que los habilitan para la inserción en la sociedad como ciudadanos plenos, críticos y responsables. El LLECE invitó a los países a elaborar y enviar preguntas para integrar la prueba. Equipos del LLECE seleccionaron este material y elabora- ron pruebas que mandaron a todos los países para que estos hicieran observaciones en cuanto a formulación, pertinencia con el currículum real, contenido y proceso cognitivo. Cada país, además, hizo sus adap- taciones lingüísticas para que alguna palabra no fuera un obstáculo para los niños en la comprensión de la pregunta2. 2 Por ejemplo, en un ítem para algunos países decía ‘la cometa’, mientras que otros usaron las palabras ‘volantín’, ‘barrilete’, ‘piscucha’ o ‘papalote’.14 13.
Con los ítems, o preguntas, fue construida una prueba piloto, aplicada La prueba del seRce queen 2005. Luego de un procesamiento específico –de tipo estadístico y evalúa los desempeñospedagógico– para determinar la calidad de los ítems, el LLECE elaboró responde a una estructurala prueba definitiva para tercero y sexto grados. de instrumento de aplicación masiva.Básicamente, las preguntas son del tipo ‘opción múltiple’, con cuatro Aporta una informaciónalternativas de respuesta de las cuales una sola es correcta. Sin diferente y complementariaembargo, para evaluar ciertos procedimientos matemáticos fueron em- de la que el docentepleadas preguntas de respuesta abierta, en las que el estudiante debe obtiene en el aula. en ellaexponer las estrategias utilizadas para responder. interesa el desempeño de los estudiantes de la regiónEstructurado en seis (6) cuadernillos, el instrumento definido para eva- –y no el de estudiantes enluar el área de matemática en tercer grado contuvo 72 preguntas, de particular– para obtenerlas cuales 66 eran cerradas de opción múltiple y seis (6) de respuesta información sobre laabierta. Cada estudiante le correspondió responder un único cuaderni- misma y los países que lallo, asignado en forma aleatoria, con 24 preguntas en total. conforman.Por su parte, el instrumento dirigido a evaluar el área de matemáticaen sexto grado, también estructurado en seis (6) cuadernillos, fue di-señado con 87 preguntas cerradas de opción múltiple y 9 de respuestaabierta, haciendo un total de 96 preguntas. Cada estudiante respondióun único cuadernillo, asignado en forma aleatoria, con 32 preguntas entotal.mARco concePtUAL de LA PRUeBA de mAtemáticAEl marco conceptual de la evaluación de desempeños del SERCE estáformado por dos ejes conceptuales: • El marco curricular de los países de América Latina. Su análisis supuso un esfuerzo de sistematización sobre qué se enseña en la región, para llegar a establecer dominios de contenidos y procesos cognitivos comunes a los estudiantes de enseñanza primaria de todos los países participantes. Una educación de calidad es • El enfoque de habilidades para la vida. Es decir, aquello que los aquella que permite a todas estudiantes de enseñanza primaria deberían aprender y desa- las personas ser miembros rrollar para insertarse y desenvolverse en la sociedad. activos de la sociedad. Por ello, debe abarcar ciertosTomando en cuenta lo anterior, una educación matemática de calidad conocimientos de base,debe proporcionar a los estudiantes las herramientas que les permitan valores, comportamientosactuar en una variedad de situaciones de la vida diaria. Hoy, el foco de y habilidades que sela enseñanza está puesto en la motivación y gestión del conocimiento correspondan con lasy en que el estudiante desarrolle la capacidad de utilizar conceptos, necesidades de la vidarepresentaciones y procedimientos matemáticos para interpretar y actual. 15 14.
comprender el mundo real. Es decir, ha dejado de estar centrada en el aprendizaje de algoritmos y procedimientos de cálculo, o en el uso de la resolución de problemas sólo como elemento de control de lo aprendido. en la actualidad, el énfasis está puesto en que los Cabe destacar que la resolución de problemas propicia el desarrollo estudiantes tengan la del pensamiento matemático, puesto que exige poner en juego diferen- posibilidad de interpretar tes tipos de razonamiento. datos, establecer relaciones, poner en juego conceptos Se presta, además, al desarrollo de habilidades para reconocer y utili- matemáticos, analizar zar conceptos y procedimientos matemáticos con diferentes y crecien- regularidades, establecer tes grados de dificultad. patrones de cambio, planificar estrategias Las habilidades matemáticas deberían tener sentido también fuera de de solución, ensayar un contexto exclusivamente escolar, ya que las habilidades de inter- procedimientos y aceptarlos pretar, identificar, calcular, recodificar, graficar, comparar, resolver, o descartarlos, registrar optimizar, demostrar, aproximar, comunicar, entre otras, proporcionan procedimientos utilizados, al estudiante la preparación para desenvolverse con éxito en la vida analizar la razonabilidad de social y para afrontar los retos del futuro en un mundo de cambio resultados, argumentar y permanente. defender posiciones propias. Atendiendo a este enfoque, la prueba de matemática del SERCE evaluó no sólo los saberes aprendidos por los estudiantes de tercero y sexto grado de enseñanza primaria, sino el uso que pueden hacer de los mismos para comprender e interpretar el mundo, en una variedad de situaciones y contextos de la vida de todos los días. Asimismo tien- den a monitorear el desarrollo de las capacidades necesarias para un protagonismo social activo. QUé eVALUó eL seRce en eL áReA mAtemáticA Para evaluar qué saben los estudiantes latinoamericanos en matemáti- Para matemática fueron ca fueron utilizadas dos dimensiones: los dominios de contenidos y los establecidos cinco grandes procesos cognitivos. dominios de contenidos: numérico: números y dominios de contenidos operaciones El dominio de contenidos se refiere al campo semántico relacionado geométrico: espacio y forma con los saberes específicos de la matemática para tercer y sexto grado; de la medición: tamaño y es decir, al conjunto de conceptos, propiedades, procedimientos y rela- medida ciones entre ellos, así como a los sistemas de representación, formas estadístico: del tratamiento de razonamiento y de comunicación, a las estrategias de estimación, de la información aproximación, cálculo y a las situaciones problemáticas asociadas. Variacional: estudio del cambio.16 15.
CUADRO 1 descRiPción de Los dominios de LA PRUeBA de mAtemáticAdominios descRiPciónNumérico Abarca la comprensión del concepto de número y de la estructura del sistema de numeración; del significado de las operaciones en contextos diversos, sus propiedades y efecto; así como de las relaciones entre ellas y el uso de los números y de las operaciones en la resolución de problemas diversos.Geométrico Comprende los atributos y propiedades de figuras y objetos bidimensionales y tridimensiona- les; las nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad; los diseños y las construcciones con cuerpos y figuras geométricas; la construcción y manipulación de representaciones de objetos del espacio; el reconocimiento de ángulos y polígonos y su clasificación.De la medida Implica la aprehensión de los conceptos de cada magnitud; de los procesos de conservación, las unidades de medida, la estimación de magnitudes y de rangos; la selección y el uso de unidades de medida y patrones, de sistemas monetarios y del sistema métrico decimal.Estadístico o del tratamiento de la Está vinculado con la recolección, organización e interpretación de datos; la identificación yinformación el uso de medidas de tendencia central (promedio, media y moda); y el empleo de diversas representaciones de datos, para la resolución de problemas.Variacional (del cambio) Referido al reconocimiento de regularidades y patrones; a la identificación de variables, la descripción de fenómenos de cambio y dependencia; a la noción de función y a la proporciona- lidad (caso de la variación lineal) en contextos aritméticos y geométricos.CUADRO 2 descRiPción de Los dominios PoR gRAdo de LA PRUeBA de mAtemáticAdominios teRceR gRAdo edUcAción PRimARiA sexto gRAdo edUcAción PRimARiANumérico Números naturales: uso, funciones, orden, significa- Números naturales: uso y orden. do de las operaciones, propiedades, cálculo exacto, Sistema de numeración decimal, valor posicional y estimación. Sistema de numeración decimal. relativo. Números pares e impares. Resolución de problemas Potenciación y radicación. Criterios de divisibilidad. que involucran adición, sustracción y significado inicial Fracciones, relación parte-todo, equivalencia, fraccio- de multiplicación y división. nes decimales. Representación en la recta. Significado inicial de la fracción como parte de un todo.Geométrico Localización en el espacio. Transformaciones. Puntos Figuras planas. Polígonos. Sistemas de referencia. de referencia. Formas geométricas (clasificación). Ejes de simetría. Perpendicularidad. Paralelismo. Cuadrados y cubos. Angulos y su clasificación. Cubo, prisma y cilindro. Transformaciones en el plano. Razones y proporciones. Proporcionalidad directa.De la medida Uso de instrumentos de medida. Magnitudes lineales, Sistemas de unidades: longitud, peso (masa), perí- longitud y peso. Sistemas monetarios. Elección y metro, área, volumen, ángulos, tiempo. Cambio de comparación de unidades. Estimación de medidas. moneda. Medidas convencionales y no convencionales.Estadístico o del Recolección y organización de la información. Creación Representación gráfica. Promedio. Valor más frecuen-tratamiento de la de registros personales. Técnicas de observación. te. Diagramas. Tabulación. Recopilación de datos.información Pictograma. Diagrama de barras.Variacional Secuencias y patrones. Patrones de formación. Proporcionalidad directa aso-(del cambio) ciada a situaciones aritméticas y geométricas. 17 16.
tres niveles de procesos Procesos cognitivos cognitivos fueron implicados Los procesos cognitivos son las operaciones mentales que el sujeto en la evaluación seRce: utiliza para establecer relaciones con y entre los objetos, situaciones -Reconocimiento de y fenómenos. Aquellos implicados en la evaluación del SERCE fueron objetos y elementos. agrupados en los siguientes tres niveles: -solución de problemas • Reconocimiento de objetos y elementos: implica la identifica- simples. ción de hechos, conceptos, relaciones y propiedades matemáti- -solución de problemas cas, expresados de manera directa y explícita en el enunciado. complejos. • Solución de problemas simples: exige el uso de información matemática que está explícita en el enunciado, referida a una sola variable; y el establecimiento de relaciones directas nece- sarias para llegar a la solución. • Solución de problemas complejos: requiere la reorganización de la información matemática presentada en el enunciado y la estructuración de una propuesta de solución, a partir de relaciones no explícitas, en las que está involucrada más de una variable. CUADRO 3 descRiPción de Los PRocesos mAtemáticos PRocesos descRiPción Reconocimiento de objetos y elementos Identificar objetos y elementos. Interpretar representaciones matemáticas. Identificar relaciones y propiedades. Solución de problemas simples Resolver un problema simple involucra: Interpretar la información explícita que se brinda. Representar la situación. Establecer relaciones directas entre los datos. Planificar una estrategia de solución. Registrar el proceso de resolución utilizado. Analizar la razonabilidad del resultado. Solución de problemas complejos Resolver un problema complejo involucra: Interpretar la información que se brinda. Reorganizar la información presentada en el enunciado. Seleccionar la información necesaria para resolver el problema. Representar la situación. Establecer relaciones explícitas y no explícitas entre los datos. Planificar una estrategia de solución. Registrar el proceso de resolución utilizado. Analizar la razonabilidad de los resultados. Es posible considerar los ‘procesos cognitivos’ atendiendo solamente al carácter generalizado de los procedimientos asociados, o a su proceso de constitución, en estrecha relación con los ‘dominios de contenidos’ a los que se refieren. Al analizar los resultados de las pruebas, estas dimensiones deben ser consideradas de forma articulada.18 17.
Resultados de las pruebasde matemáticaEn este libro, el SERCE presenta los resultados de aprendizaje de dos estas puntuaciones dan unamaneras. En primer lugar aparecen los resultados por puntuaciones media de 500 puntos, conpromedio para la región y por país. una desviación estándar de 100 centrada en el promedioLa publicación también muestra los resultados agrupados en cuatro de los países analizados.niveles de desempeño, los que describen aquello que los estudiantes esta escala es arbitraria ysaben y son capaces de hacer en cada grado evaluado. A continuación, no tiene significado algunoaparecen los resultados por puntuación promedio, para luego pasar a entre aprobación y nolos expresados en porcentajes de respuestas correctas para cada domi- aprobación.nio de contenido. Y, el capítulo 4 muestra los resultados por niveles dedesempeño.ResULtAdos geneRALes PoR PUntUAciones mediAsLos resultados que presentan los siguientes cuadros están calculadoscon una puntuación media de 500 puntos y una desviación estándarde 100.CUADRO 4 PRomedio de LAs PUntUAciones en mAtemáticA de estUdiAntes de teRceRo y sexto Básico en cAdA PAís PUntAJe PRomedio PAís Tercero básico Sexto básico Argentina 505,36 513,03 Brasil 505,03 499,42 Chile 529,46 517,31 Colombia 499,35 492,71 Costa Rica 538,32 549,33 Cuba 647,93 637,47 Ecuador 473,07 459,50 El Salvador 482,75 471,94 Guatemala 457,10 455,81 México 532,10 541,61 Nicaragua 472,78 457,93 Panamá 463,04 451,60 Paraguay 485,60 468,31 Perú 473,94 489,98 R. Dominicana 395,65 415,64 Uruguay 538,53 578,42 Estado de Nuevo León 562,80 553,95 Promedio países 500,00 500,00 Total América Latina y Caribe 505,11 506,70Fuente: SERCE, 2007 19 18.
ResULtAdos PoR dominios de contenidos y PRocesos cognitiVos Resultados de la región en matemática para tercer grado básico El Gráfico 1, a continuación, muestra el porcentaje de estudiantes de la región que respondió correctamente los ítems de cada proceso cogniti- vo en la prueba SERCE de tercer grado de educación básica o primaria. El siguiente, por su parte, presenta el porcentaje de estudiantes que respondió correctamente por dominio de contenidos evaluado. Los resultados corresponden a la prueba aplicada y para su interpretación es necesario tener en cuenta las limitaciones de la misma por el hecho de ser una evaluación externa de gran escala. GRáFICO 1 estUdiAntes QUe ResPondieRon coRRectAmente PARA cAdA PRoceso cognitiVo de mAtemáticA teRceR gRAdo de PRimARiA (%) Fuente: SERCE, 2007 GRáFICO 2 estUdiAntes QUe ResPondieRon coRRectAmente PARA cAdA dominio de contenidos de mAtemáticA teRceR gRAdo de PRimARiA (%) Fuente: SERCE, 200720 19.
En una lectura directa es posible observar que el dominio estadístico–o tratamiento de la información– es el que obtuvo el mayor porcentajede estudiantes que respondieron correctamente. Sin embargo, estalectura se relativiza al mirar al interior de la prueba, ya que se trata depreguntas que involucran la interpretación directa de la informacióna partir de diferentes representaciones (gráficos de barras, tablas ocuadros) y todas presentaban apoyo gráfico. Por ejemplo, varios ítemsrequerían la lectura de un gráfico de barras para interpretar cuál es elvalor al que corresponde la mayor frecuencia3.Si comparamos los valores obtenidos para geometría, no sería correcto cabe destacar que si bienasegurar que los niños de tercer año básico tienen más conocimientos se busca que la evaluacióngeométricos que numéricos. Las preguntas del dominio geométrico responda a todos los ejescomún a la región para tercer grado requieren de reconocimiento de de contenidos, la enseñanzaobjetos y elementos, con diferentes propuestas; pero con una reitera- de la geometría ha perdidoción de temas dentro del dominio geométrico. Con presentaciones muy significatividad en muchashabituales en las escuelas, en todos los casos las preguntas requieren escuelas y no es habitualel reconocimiento de figuras geométricas y cuerpos usuales, la iden- que los docentes desarrollentificación de elementos de las mismas, el reconocimiento y uso de la propuestas que resultencongruencia de los lados de alguna figura básica. verdaderos desafíos para los niños.Sintetizando, son preguntas –todas con apoyo gráfico– que evalúanhabilidades y conocimientos geométricos básicos y escolarizados. Portratarse de una evaluación a gran escala, no hay ítems abiertos, que re-quieran la construcción de alguna figura o el análisis de alguna afirma-ción sobre las propiedades de una figura, lo que permitiría caracterizarmejor cuáles son los conocimientos geométricos de los niños, más alládel reconocimiento de algunos nombres y características.En tercer grado, hubo un 45,54% de respuestas correctas para el do- el seRce evaluó el sistemaminio numérico. Este contenido abarca un amplio abanico de temas y de numeración, los númerospermite, más que otros, el uso de preguntas formuladas para poner en naturales, las cuatropráctica los procesos cognitivos seleccionados por el estudio SERCE, operaciones básicas, ladando un mayor peso a los procesos de resolución de problemas. resolución de problemas que involucran las operacionesComo este dominio de contenidos es el más enseñado en las escue- atendiendo a sus diferenteslas de la región, podrían esperarse mejores resultados; es necesario sentidos, con diferentesanalizar los resultados de manera minuciosa, para advertir algunas presentaciones y en unaposibles causas. Cabría preguntarse cuál es la relación entre el 45,54% variedad de contextos.de respuestas correctas con las estrategias de enseñanza utilizadas.3 Como ejemplo del tipo de ítems, ver “Libros vendidos por mes” en páginas 42 y 106. 21 20.
En cuanto al dominio de la medida, la prueba contempló 15 ítems de los cuales sólo unos pocos tuvieron valores inferiores a la media, sien- do el resto de dificultad media a difícil. Los conocimientos y habilida- des evaluadas son comunes a la región y fueron chequeados mediante preguntas de reconocimiento de las unidades de medidas de longitud más usuales para medir un atributo de un objeto, o de reconocimiento del instrumento para medir un atributo. Algunas involucraron equi- valencias usuales de medidas de longitud o tiempo y otras, además, requirieron una operación sencilla. Éstas son las que resultaron más La inclusión de los ítems difíciles y, en este sentido, tal vez la dificultad pudiera ser atribuida a la del dominio variacional necesidad de coordinar distintas informaciones, más que a los conoci- busca poner en evidencia mientos específicos de medida. la necesidad de abordar el análisis de relaciones de Por último, el dominio variacional para tercer grado, presentó distinto tipo. Aunque los preguntas con secuencias numéricas o gráficas que involucraban documentos que orientan identificación de patrones. No resultaron fáciles: los estudiantes que la enseñanza en los países pudieron resolver estos ítems se ubican recién a partir del Nivel III de de la región proponen desempeño. el descubrimiento de regularidades y patrones, Resultados por país en matemática para tercer grado su explicitación y la Los gráficos que siguen muestran, por dominio de contenidos, los comparación de variaciones porcentajes de estudiantes de tercer grado de primaria, de cada país de distinto tipo, estos temas de la región (más los de un estado de una nación), que respondieron parecen no ser abordados correctamente. con la suficiente frecuencia por los docentes, aunque GRáFICO 3 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAs éste sería un tema a PARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, en eL dominio investigar. nUméRico y PoR PAís Fuente: SERCE, 200722 21.
GRáFICO 4 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAs PARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, en eL dominio geométRico y PoR PAís Fuente: SERCE, 2007GRáFICO 5 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAs PARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, en eL dominio de LA medidA y PoR PAís Fuente: SERCE, 2007 23 22.
GRáFICO 6 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAs PARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, en eL dominio de estAdísticA y PoR PAís Fuente: SERCE, 2007 GRáFICO 7 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAs PARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, en eL dominio VARiAcionAL y PoR PAís Fuente: SERCE, 200724 23.
Los porcentajes de estudiantes que respondieron correctamente, porprocesos cognitivos de matemática de tercer grado, aparecen en elsiguiente cuadro.CUADRO 5 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAs PARA mAtemáticA de teRceR gRAdo, PoR PRoceso cognitiVo y PoR PAís Reconocimiento de soLUción de soLUción de PAís oBJetos y eLementos PRoBLemAs simPLes PRoBLemAs comPLeJos Argentina 54,.24 41,.89 40,.14 Brasil 53,56 44,62 38,55 Colombia 52,94 39,14 39,39 Costa Rica 64,36 49,37 50,84 Cuba 80,29 70,02 83,12 Chile 60,81 45,80 44,23 Ecuador 44,48 32,72 34,01 El Salvador 51.65 36.92 36,75 Guatemala 43,36 31,32 32,91 México 60,01 49,91 54,98 Nicaragua 43,76 32,80 32,70 Panamá 44,73 31,85 33,68 Paraguay 47,98 38,74 39,04 Perú 50,11 36,38 33,80 República Dominicana 27,29 21,11 18,95 Uruguay 56,16 47,73 49,14 Estado Nuevo León 65,57 54,92 57,95 Región 52,94 41,29 42,14Fuente: SERCE, 2007Una primera mirada sobre la última fila del cuadro podría dar lugar aconsiderar que los resultados son poco satisfactorios, si se atiende asu relación con una expectativa del 100%. Sin embargo, resulta difícilsostener esa apreciación sin considerar la complejidad y diversidad decondiciones y proyectos de enseñanza en la región.Resultados de la región en matemática para sexto grado básicoA continuación, el Gráfico 8 muestra el porcentaje de estudiantes de laregión que respondió correctamente los ítems de cada proceso cogni-tivo en la prueba SERCE de sexto grado de primaria; mientras que elGráfico 9 presenta el porcentaje de estudiantes que respondió correcta-mente por dominio de contenidos evaluado en el mismo instrumento. 25 24.
GRáFICO 8 PoRcentAJe de estUdiAntes QUe ResPondieRon coRRectAmente A cAdA PRoceso cognitiVo de mAtemáticA de Los estUdiAntes de sexto gRAdo de PRimARiA de LA Región Fuente: SERCE, 2007 GRáFICO 9 PoRcentAJe de estUdiAntes QUe ResPondieRon coRRectAmente A cAdA dominio de contenidos de mAtemáticA de Los estUdiAntes de sexto gRAdo de PRimARiA de LA Región Fuente: SERCE, 200726 25.
Es posible ver que el mayor porcentaje de estudiantes que respondiócorrectamente lo hizo en el dominio de estadística o del tratamientode la información (53,66%); pero este resultado tiene relación con losítems utilizados: todas las preguntas que evalúan estadística tienenapoyo gráfico y la mitad requiere el reconocimiento de información di-recta de gráficos de barras, circulares, pictogramas, cuadros de dobleentrada o la identificación de una misma información representada dedos formas diferentes.La otra mitad de las preguntas de este dominio precisa que los estu-diantes extraigan información de los gráficos o cuadros y operen conella, la relacionen con porcentajes, calculen un promedio, etc. Es decir,tal como ocurre con otros dominios de contenidos, las dificultadesaparecen cuando tienen que combinar la información con otros conoci-mientos y efectuar otras acciones.Muy próximo al anterior, está el dominio numérico que es respondidocorrectamente por el 50,89% de los estudiantes. Más de las dos terce-ras partes de las preguntas que evalúan este dominio son problemassimples y complejos y que, como todo problema, llevan consigo eldesafío de recurrir a los conocimientos y a desplegar una actividadmatemática para resolverlos.Resultaron fáciles aquellas preguntas que requerían identificar elnúmero menor o mayor en referencia a otros, entre números naturaleso expresiones decimales; como también los problemas que impli- La enseñanza de loscan una operación en el campo aditivo o multiplicativo. Las mayores números racionales y, endificultades aparecieron en los ítems que involucran fracciones, ya sea particular, de las fraccionesordenándolas, operando o usando el concepto de la fracción como presenta una complejidadparte de un todo. cuya elaboración ocupa un lugar importante en laDe las preguntas que evalúan lo que los alumnos saben y son capaces escuela primaria. es unde hacer en el dominio de la medida, resultaron más fáciles las que contenido complejo y losinvolucran el reconocimiento de la unidad de medida correspondiente resultados lo confirman.a un atributo o hacer una estimación de una medida y los problemasque requieren equivalencia de tiempo o de longitud entre medidasusuales. Con cierta dificultad fueron resueltos el cálculo de duraciones,la equivalencia entre medidas de capacidad y los problemas de cálculode área y perímetro. Y aquellos que representaron mayor grado dedificultad son los de equivalencia de figuras o de cálculo de área deuna figura compuesta.Los estudiantes muestran dificultad en la resolución de problemas y,sin embargo, estos constituyen la actividad matemática fundamental,que coincide con el enfoque de habilidades para la vida del SERCE.Sólo el 41,86% de estudiantes resolvió correctamente este contenido. 27 26.
saber geometría es más que Las preguntas que evalúan geometría fueron respondidas correcta- reconocer figuras y cuerpos mente por el 36,03% de los estudiantes de la región. Las dos terceras por sus nombres: es resolver partes de ellas contienen problemas, siendo el resto ítems de reconoci- problemas geométricos miento de figuras, cuerpos y propiedades, cuestiones que les resulta- apoyándose en propiedades ron fáciles. conocidas de figuras y cuerpos; en situaciones Finalmente y tal como ocurrió en tercer grado, el dominio variacional que, generalmente, es el que tiene el menor porcentaje de estudiantes de la región con son intramatemáticas, respuestas correctas (33,68%). A los niños no les resultó difícil com- geométricas y que cuentan pletar secuencias reconociendo el patrón de formación; a la inversa, o no con apoyo gráfico. las mayores dificultades surgieron en los problemas que involucraban su solución es lo que da proporcionalidad directa y en los que incluyeron el concepto y cálculo sentido a la enseñanza de porcentaje. de la geometría y, como señalamos, ha tenido y aún Resultados por país en matemática para sexto grado básico tiene poca presencia en las Los gráficos que siguen muestran los porcentajes de estudiantes de aulas. sexto grado de primaria de la región, evaluados por este instrumento, que respondieron correctamente por dominio de contenidos. GRáFICO 10 PoRcentAJe de ResPUestAs coRRectAs en mAtemáticA de sexto gRAdo en eL dominio nUméRico y PoR PAís Fuente: SERCE, 200728 27.
GRáFICO 11 PoRcentAJe de ResPUestAs coRRectAs en mAtemáticA de sexto gRAdo en eL dominio geométRico y PoR PAís Fuente: SERCE, 2007GRáFICO 12 PoRcentAJe de ResPUestAs coRRectAs en mAtemáticA de sexto gRAdo en eL dominio de LA medidA y PoR PAís Fuente: SERCE, 2007 29 28.
GRáFICO 13 PoRcentAJe de ResPUestAs coRRectAs en mAtemáticA de sexto gRAdo en eL dominio estAdístico y PoR PAís Fuente: SERCE, 2007 GRáFICO 14 PoRcentAJe de ResPUestAs coRRectAs en mAtemáticA de sexto gRAdo en eL dominio VARiAcionAL y PoR PAís Fuente: SERCE, 200730 29.
Los resultados de los estudiantes de sexto grado que respondencorrectamente a las preguntas de matemática por procesos cognitivos,expresados en porcentajes, aparecen en el siguiente cuadro.CUADRO 6 PoRcentAJe de estUdiAntes con ResPUestAs coRRectAs PARA mAtemáticA de sexto gRAdo, PoR PRoceso cognitiVo y PoR PAís Reconocimiento de soLUción de soLUción de PAís oBJetos y eLementos PRoBLemAs simPLes PRoBLemAs comPLeJos Argentina 60,33 43,12 35,37 Brasil 57,47 41,87 31,15 Colombia 56,75 37,89 29,89 Costa Rica 65,93 48,47 39,43 Cuba 74,57 65,17 53,50 Chile 61,21 40,72 32,42 Ecuador 47,28 33,22 23,80 El Salvador 53,33 35,66 28,01 Guatemala 47,88 32,88 23,58 México 64,45 49,18 40,85 Nicaragua 46,24 32,70 24,94 Panamá 49,11 32,49 23,27 Paraguay 49,46 36,59 25,12 Perú 55,70 40,51 31,13 República Dominicana 39,70 25,88 20,73 Uruguay 65,54 52,11 49,23 Estado Nuevo León 64,99 49,72 40,15 Región 56,60 41,16 32,70Al comparar estos resultados con los de tercer grado, es posibleadvertir que aquí hay mayor diferencia entre los valores obtenidos enSolución de Problemas Simples y Solución de Problemas Complejos.Esto puede explicarse atendiendo a la complejización del contenidomatemático propio de sexto grado, lo que permite plantear problemasdonde estos niveles están más diferenciados. 31 30.
Recomendaciones para mejorar la práctica pedagógica eVALUAción y PeRsPectiVA de enseñAnzA Remarcamos esta idea, En este capítulo haremos énfasis en la idea de la evaluación como un sin desconocer que cada proceso que permite recoger información sobre el estado de los sabe- maestro toma decisiones res de los alumnos, y que orienta la toma de decisiones de enseñanza. de acreditación en función de acuerdos institucionales Las producciones de los niños brindan información acerca de lo que y jurisdiccionales sobre aprendieron y de sus dificultades, a la vez que muestran resultados criterios y parámetros. derivados de las estrategias de enseñanza asumidas por sus maestros. A veces, los llamados ‘errores’ develan un estado provisorio del saber propio de un proceso de aprendizaje que, naturalmente, en cada etapa toma en cuenta algunas características del conocimiento enseñado y no otras. Por ello es necesario analizar los ‘errores’, intentar comprender cómo y por qué se producen y diseñar actividades de distinto tipo que permi- tan revisar o ampliar lo ya conocido. En caso de tratarse de cuestiones presentes en las producciones de muchos alumnos del grupo, en principio habrá que preguntarse en qué medida las actividades propuestas como evaluación recuperan los con- textos, las tareas, y las representaciones incluidas en las actividades seleccionadas para presentar y desarrollar el tema. Muchas veces, la aparición de una nueva representación, o de un contexto que involucra un significado distinto para una operación deriva en la imposibilidad de utilizar lo conocido, pues ese conocimiento, en el alumno, aún está más allá de un primer muy ligado a las representaciones y los contextos analizados previa- panorama grupal obtenido mente. al realizar una evaluación diagnóstica al inicio del Por ejemplo: cuando los niños piensan que “al multiplicar siempre se año, los primeros problemas obtiene un número mayor que cada factor”, o que “0,6 es el siguiente de que aparecen frente a 0,5”, seguramente no han tenido oportunidad de cuestionarse aún que cada tema permiten tener algunos de estos conocimientos, válidos para el conjunto de los núme- algunos indicios de los ros naturales, no pueden extenderse a otros tipos de números. conocimientos del grupo y considerarlos en un sentido diagnóstico para terminar de elaborar la planificación.32 31.
LA mAtemáticA necesARiA PARA eL ciUdAdAno y LAsHABiLidAdes PARA LA VidAHoy las expectativas sobre la educación indican que la escuela debecontribuir al desarrollo de la capacidad de utilizar conceptos, represen-taciones y procedimientos matemáticos para interpretar y comprenderel mundo real, tanto en lo referido a la vida en el entorno social inme-diato, como a los ámbitos de trabajo y de estudio.Muchos documentos curriculares plantean, de forma explícita, lanecesidad de formar un ciudadano autónomo, que pueda desplegarprácticas matemáticas adecuadas a distintas situaciones y justificar lavalidez tanto de los procedimientos utilizados como de los resultadosobtenidos.La actual tendencia a extender la obligatoriedad de la enseñanzarequiere pensar esta formación con una mayor diversidad en el capitalcultural de los estudiantes. Esto involucra diferentes relaciones conel conocimiento y con el sentido que éste tiene en la formación de suproyecto de vida. Cabe aquí señalar que las condiciones de vulnerabi- cuando se piensa enlidad económica, social y cultural que afectan a un gran porcentaje de formar ciudadanos críticos,estudiantes y de docentes configuran un escenario que parece desafiar que puedan participarla posibilidad de una educación de calidad para todos. Así, hoy resulta activamente en unaimprescindible la discusión en el ámbito de la escuela acerca de qué sociedad democrática,matemática se enseña, para qué, y para quiénes. hace falta anticipar qué tipo de retos afrontaránDesde esta perspectiva, ya no es posible sostener una formación nuestros estudiantes amatemática que ponga el acento en la disponibilidad de un repertorio futuro y, en consecuencia,de resultados y técnicas que, seguramente, podrá ser modificado. Es qué herramientas deberíanecesario buscar el desarrollo de capacidades, valores y actitudes que brindarles la escuela.permitan a los estudiantes hacer frente a distintas situaciones; tomardecisiones utilizando la información disponible y resolver problemas,pudiendo defender y argumentar sus puntos de vista.Y para ello, hay que plantear una educación de calidad que abarque losconocimientos de base, valores, comportamientos y habilidades quecorrespondan a las necesidades de la vida actual. Lo anterior implicaextender la convicción de que todos pueden aprender esta ciencia yasumir el compromiso de una enseñanza que los habilite a avanzardesarrollando sus potencialidades y los prepare para enfrentar losescenarios cada vez más complejos y cambiantes que los interpelarán.A la inversa, cuando la enseñanza apunta únicamente al dominio detécnicas, algunos alumnos obtienen buenos resultados en sus evalua-ciones si los instrumentos utilizados remiten directamente al uso deesa(s) técnica(s) conocida(s). Sin embargo, esos mismos estudiantes 33 32.
muchas veces la formación fracasan cuando las situaciones que se les presentan son diferentes de matemática ha sido utilizada aquellas que abordaron en la escuela. como herramienta de selección para distinguir Por eso, no solo resultará necesario enriquecer los modos de pre- los ‘buenos’ de los ‘malos’ sentación y la variedad de problemas a ser resueltos sino también, y alumnos y, por ello, ubica fundamentalmente, sostener un trabajo de reflexión sobre lo realizado a muchos jóvenes en una exigiendo siempre la explicitación, el reconocimiento y la sistematiza- posición de exclusión. ción del conocimiento implicado en la resolución de los problemas, así no sólo fracasan en sus como de las formas de obtenerlo y validarlo. evaluaciones escolares, sino asumen –además– que ese resultado deriva de su propia “falta de habilidad para la cULtURA mAtemáticA: APRendizAJe A LARgo PLAzo matemática”. La enseñanza de la matemática en la escuela básica está condiciona- da, fundamentalmente, por dos características esenciales que deter- minan sus funciones y objetivos: por un lado es enseñanza y, como tal, parte del proceso de formación integral de los alumnos; es decir, parte del proceso de educación que tiene lugar en las escuelas; por otro, es enseñanza de la matemática y por ello participa de los modos de hacer y de pensar propios de esta ciencia. Como ocurre con otras producciones culturales, el conocimiento matemático se transforma en su interacción con los distintos entornos sociales. Así, la actividad de los matemáticos está ligada fuertemente a la resolución de problemas, y a un modo particular de razonar y comunicar los resultados de esa tarea. Resolver los problemas –del mundo natural, del social o de la misma matemática– implica construir modelos nuevos o utilizar modelos ma- temáticos conocidos, que permiten anticipar el resultado de algunas acciones sin realizarlas efectivamente. En ambos casos, luego son analizadas las conclusiones para determinar si responden o no a las preguntas planteadas. También forma parte de la acción de los matemáticos mejorar los modelos en uso y las formas de comunicar los resultados; así como relacionar lo nuevo con lo ya conocido, articulando los conocimientos en una estructura cada vez más amplia y coherente. Justamente esta forma de trabajar es la que buscamos sea desarro- llada en las escuelas; con las restricciones necesarias e invitando a los alumnos a entrar en el juego matemático. Esto es, a hacerse cargo de producir conocimientos nuevos (para ellos) frente a los proble- mas que se les plantean, argumentando acerca de la validez de los resultados y de los procedimientos usados, reconociendo luego –con34 33.
la ayuda del maestro– el lugar de esos saberes en una estructura más La enseñanza de laamplia. matemática debe ser organizada de forma tal queEs posible sostener que estudiar matemática es hacer matemática en su los temas seleccionados,sentido más amplio, porque requiere involucrarse en la resolución de un y su tratamiento escolar,problema, indagar las condiciones particulares y generales que implica, contribuyan a desarrollar unagenerar conjeturas, identificar modelos con los que abordar el proble- concepción de la matemáticama y reconocer el campo de validez de un cierto procedimiento o de como instrumento parauna afirmación producida en el marco de este proceso. El alumno que conocer y transformar elsólo repite lo que le transmite el maestro se somete al aprendizaje de mundo y, a la vez, comotécnicas sin conocer su sentido, o cree que es él quien no se lo encuen- un campo de conocimientotra porque no es “bueno para la matemática”. Claramente, este es un con objetos, reglas yproceso a largo plazo, en el que cada etapa aporta elementos diferentes. fundamentos propios.Un aspecto central en este proceso es el desarrollo de la racionalidadpropia de la matemática, a partir de los modos de los alumnos de con- introducir a los niñoscebir sus objetos y de elaborar justificaciones acerca de su naturaleza y y las niñas en estassus propiedades. formas de trabajar les permitirá dominar losEn los primeros grados de la escuela primaria, los niños se apoyan en conocimientos de estael uso de ejemplos o en comprobaciones empíricas con materiales4 disciplina para utilizarlospara justificar los resultados que obtienen o los procedimientos que como instrumentos en laeligen. Pero, al finalizar la escolaridad obligatoria tendrían que poder resolución de problemas,argumentar usando propiedades. Por ejemplo, en geometría es posible y también para definirlos yavanzar desde comprobar que las diagonales de un rectángulo son reconocerlos como objetosiguales plegando y cortando para obtener dos recortes que coinciden de una cultura.cuando se superponen, hasta explorar las relaciones entre rectángulosinscriptos en circunferencias para determinar que un ángulo inscriptoen un semicírculo es recto.FIGURA 1Asimismo, la enseñanza de la matemática es un ámbito propicio paracontribuir a la formación de un ciudadano crítico y responsable, capazde debatir con otros defendiendo sus puntos de vista y respetandoaquellos de los demás; así como para desarrollar cualidades de lapersonalidad que caracterizan al ser humano.4 Como contar objetos, plegar papeles o tomar medidas. 35 34.
seLección de PRoBLemAs y constRUcción de signiFicAdos En la enseñanza, la centralidad de la resolución de problemas, así como la reflexión y sistematización de procedimientos y resultados respetando ciertas reglas, plantea el desafío de su selección. La pre- gunta clave es ¿cuáles son los problemas que favorecen la construcción de sentido de las nociones elegidas para la escolaridad obligatoria? Cuando el conjunto de problemas elegidos para tratar una noción matemática en clase no es suficientemente representativo de la diver- sidad abordable en el año escolar correspondiente, es probable que los alumnos sólo puedan utilizarla en contextos limitados, haciendo uso de representaciones estereotipadas, y en situaciones muy similares a las que estudiaron en la escuela. Esto puede derivar en que, cuando en una evaluación aparece alguna Para cada conocimiento modificación en el enunciado, el alumno no puede vincularlo con lo que a enseñar es posible sabe. Por esta razón, es muy importante tener en cuenta cuáles son los considerar diferentes contextos, significados y representaciones que elegimos al planificar la problemas en los que la enseñanza de una noción. El término noción refiere aquí al estado del noción está contextualizada y saber de un alumno en relación a un concepto matemático transpuesto ‘funciona’ como herramienta como objeto de enseñanza, y busca llamar la atención acerca de la de resolución en ese caso polisemia de su enunciación formal cuando se lo analiza en términos particular. de los procesos de los sujetos que están aprendiendo. Estos contextos pueden estar ligados a la información que aparece en los medios de comunicación, a la vida cotidiana, o al ámbito específico de distintas disciplinas, incluyendo –claro– la misma matemática. El uso Apoyarse en los en distintos contextos, y el análisis posterior de ese uso nombrando las conocimientos de los niños nociones del modo en que son empleadas en la disciplina, reformulando es central para que puedan las conclusiones con representaciones más ajustadas a las convencio- apropiarse de la tarea que nales, permitirá la progresiva generalización de la noción, ampliando el se les propone. Además, campo de problemas que los alumnos pueden resolver con ella. al elegir los problemas también es esencial revisar Al interactuar en su vida social, los niños aprenden las prácticas ha- los enunciados, pues bituales de cada comunidad y construyen, entre otros, conocimientos muchas veces son incluidas ligados a la matemática, los que no siempre son recuperados por la preguntas inverosímiles, que escuela. Por ejemplo, en algunos primeros grados únicamente se traba- sólo encuentran respuesta ja con los números hasta el 9 en la primera parte del año, sin tener en en el ámbito de la escuela. cuenta que hay niños que ayudan a sus padres en la venta de distintos productos y que realizan cálculos sencillos aún siendo muy pequeños; o se ‘presenta’ el 2000, sin advertir que es número ya conocido por los niños. Otras veces, los enunciados de problemas escolares no requie- ren ser leídos, pues basta descubrir que dice ‘total’ para decidir que es necesario sumar.36 35.
Al elegir los problemas, es esencial revisar los enunciados pues mu-chas veces son incluidas preguntas inverosímiles y que sólo encuentranrespuesta en el ámbito de la escuela. Por ejemplo, si se pide calcular lacantidad ‘total’ de mosquitos que picaron a un perro, sabiendo cuántoslo picaron en dos ocasiones diferentes, podríamos preguntarnos quiéncontó los mosquitos y para qué, o quién necesita el resultado de talsuma. Muchos niños, ‘suman por sumar’, sin preocuparse por el senti-do de lo que hacen, guiados por indicios aparecidos en los enunciadospara orientar la operación que ‘hay que hacer’. Así basta descubrir quedice ‘total’ para decidir que ‘hay que sumar’.Entonces, para involucrar a los alumnos en la comprensión de un pro-blema será esencial proponer enunciados que requieran ser leídos unao más veces, para comprender la situación planteada e involucrarse ensu resolución, sin que el texto anticipe un único procedimiento.En este sentido, los contextos de los problemas deberán ser significati-vos para los alumnos; es decir, implicar un desafío que puedan resolveren el marco de sus posibilidades cognitivas y de sus experienciassociales y culturales previas. Cabe aclarar aquí que esto no significaque todas sus experiencias deban referirse al entorno inmediato. Esmás, el trabajo en contextos intramatemáticos –al comparar y analizardistintos procedimientos de cálculo– es central para la explicitación ysistematización de propiedades.Hay que tener presente que un conjunto bien elegido de cuentaspresentadas para descubrir una estrategia de cálculo mental, tambiénpuede dar lugar a verdaderos problemas, ya sean dos afirmacionesopuestas sobre las que hay que decidir su validez, una construccióngeométrica con determinados instrumentos o determinadas condicio-nes, un juego numérico, o un interrogante que deba ser respondido apartir de una información publicada en el diario o en la publicidad deuna revista.Aparte de los distintos contextos, para cada noción matemática esposible encontrar distintos significados. Por ejemplo, los númerosracionales pueden ser utilizados en situaciones referidas a la relaciónparte-todo, a la razón entre dos cantidades del mismo tipo o de distin-to tipo, al resultado de una división, al de una transformación multi-plicativa o de una probabilidad. Cada uno de estos significados exigey pone en funcionamiento diversos aspectos del concepto, así comodistintos niveles de complejidad, lo que lleva a discutir y articular cómoserá su abordaje en cada grado escolar.En el conjunto de problemas seleccionado también es necesariotener en cuenta las diferentes representaciones posibles de la noción 37 36.
Las formas de enseñada, ya que la posibilidad de avanzar en la comprensión de una representación en noción implica reconocerla en todas sus representaciones, pudiendo matemática son sumamente elegir la más conveniente y pasar de una a otra en función del proble- importantes, pues sólo ma a resolver. accedemos a los objetos que estudiamos por Siguiendo con el ejemplo de los números racionales, existen expresio- medio de ellas y, a la vez, nes numéricas fracciones, decimales, porcentajes, gráficos relativos a ellas mismas también se áreas de distintas figuras (frecuentemente rectángulos) y puntos en la constituyen en objeto de recta numérica, por lo que el uso predominante de una representación estudio. rigidiza el sentido del conocimiento involucrado. Durante la resolución de problemas debe esperarse que sean los alumnos los que tomen decisiones acerca de las formas de registrar y comunicar sus procedimientos, y que el debate posterior sobre la pertinencia y economía de estas representaciones permita su articula- ción con las representaciones convencionales. Así por ejemplo, en una evaluación encontramos un dibujo de 3 — taza de harina realizado por 4 una alumna que así recupera su experiencia de representar fracciones en rectángulos. conocer las distintas expresiones que usa la FIGURA 2 matemática para representar una misma idea permite identificarla en distintos contextos, utilizarla para resolver problemas y, Este aprendizaje requiere de un proceso a largo plazo, ya que primero eventualmente, cambiar a son resueltos problemas que involucran un sentido particular de una otra representación si esto noción en un contexto, con alguna representación también ligada a ese habilita procedimientos uso; luego, son incluidos otros contextos con la misma representación más económicos o permite o se presenta una nueva que resulte más adecuada; más tarde es comunicar la información ampliado su uso a nuevos contextos, tanto extra como intramatemáti- más eficazmente. cos, y se comparan y analizan los distintos procedimientos y represen- taciones empleadas para explicitar sus características y reglas de uso en cada registro (gráfico, numérico, geométrico), avanzando así en un Articular las distintas proceso de generalización de la noción. representaciones es parte de la construcción de cada Por otra parte, las situaciones trabajadas debieran ofrecer una concepto, avanzando desde variedad de tipos de respuestas. Es frecuente que los niños piensen la posibilidad de operar que hay que usar todos los números que aparecen en un enunciado, en cada registro con sus o que basta hacer una cuenta y que su resultado es la respuesta del símbolos y reglas hacia la de problema. pasar de un registro a otro.38 37.
Es necesario tener presente que es posible dar lugar a verdaderosproblemas a partir ya sea de un conjunto bien elegido de cuentaspresentadas para descubrir una estrategia de cálculo mental, de dosafirmaciones opuestas sobre las que hay que decidir su validez, de unaconstrucción geométrica con determinados instrumentos o determina-das condiciones, de un juego numérico, de un interrogante que debaser respondido a partir de una información publicada en el diario o enla publicidad de una revista.En la formación de un alumno que se enfrentará a la resolución deproblemas nuevos, diferentes, es fundamental incluir preguntas queadmitan más de una respuesta, presentar información compleja quees preciso analizar para decidir qué datos usar y/o variar los soportesgráficos para presentar esa información.Los distintos significados y representaciones puestos en juego alresolver un conjunto bien elegido de problemas, a propósito de la ense-ñanza de una noción, podrán sistematizarse en instancias de reflexiónsobre lo actuado, explicitando las relaciones entre ellos y avanzando enel uso del lenguaje específico.tRABAJo en cLAse y tiPo de PRácticA mAtemáticADesde la perspectiva propuesta, el trabajo de resolución de problemasrequiere de algunas condiciones para la gestión de la clase.Al presentar un problema es necesario asegurarse de que todos hayancomprendido cuál es el desafío planteado, para que cada alumno acep-te ocuparse de él, intentando resolver por sí solo, sin orientarlos acercade cómo deben hacerlo. Luego, habrá que dar lugar a un intercambio La clave de alentar a hablar,del que participen todos los alumnos y en el que el maestro vaya o a participar, a aquellosexplicando las diferentes aproximaciones al conocimiento que desea alumnos que no lo hacenenseñar, y debatir sobre ellas. espontáneamente significa trabajar suponiendo queAl dar lugar a la presentación y explicación de los procedimientos pueden progresar y no queutilizados por los alumnos, es necesario valorizar de igual modo todas van a fracasar.las producciones, ya sea que permitan o no arribar a una respuesta alproblema planteado; así como animar a los alumnos a dar las razonesde lo realizado, a explicar por qué lo hicieron de cierta forma, y a argu-mentar sobre la validez de sus producciones. Esto les permitirá volversobre lo que han pensado para analizar aciertos y errores y controlar,de este modo, el trabajo. 39 38.
Este trabajo incorpora a los alumnos en proceso de evaluación en un lugar diferente del habitual, en que quedan a la espera de la palabra del docente quien les ratifica de inmediato si lo que hicieron está bien o mal. Pero, si han asumido como propia la tarea de resolución, querrán saber si lo producido es o no una respuesta a la pregunta que organizó el quehacer matemático en el aula. En el debate, el conjunto de la clase validará o no una respuesta, lo que llevará a la modificación de los procedimientos que conducen a erro- res; y, con la intervención del maestro, serán reconocidos y sistemati- zados los saberes descubiertos por el grupo-curso. Esta tarea de establecer relaciones entre las conclusiones de la clase y el conocimiento matemático al que se pretende llegar, introduciendo las reglas y el lenguaje específicos, y entre los conocimientos ya cono- cidos y los nuevos, es una tarea que está siempre a cargo del maestro y que resulta imprescindible para que los alumnos identifiquen qué han aprendido. estUdiAR mAtemáticA en cLAse y FUeRA de eLLA Promover la diversidad de producciones es un modo de incluir a todos es muy importante instalar en el aprendizaje, de generar confianza en las propias posibilidades de en la escuela las condiciones aprender y de poner en evidencia la multiplicidad de formas de pensar necesarias para que los frente a una misma cuestión, así como la necesidad de acordar cuáles niños sientan que los errores son consideradas adecuadas en función de las reglas propias de la y los aciertos surgen en matemática. función de los conocimientos que circulan en la clase: Es así como es posible lograr que los niños vayan internalizando es decir, que pueden ser progresivamente que la matemática es una ciencia cuyos resultados y discutidos y validados con avances son obtenidos como consecuencia necesaria de la aplicación argumentos y explicaciones. de ciertas relaciones y del debate entre quienes las plantean, y no como una práctica de la adivinación o del azar o un saber que no sufre transformaciones. La revisión de las producciones realizadas para modificarlas, enrique- cerlas, ajustar el vocabulario o sistematizar lo aprendido es fundamen- tal para que los niños se involucren en su propio proceso de estudio.40 39.
La evaluación parala toma de decisiones ypara la investigaciónNiveles de desempeño y ejemplos depreguntas por nivelLa prueba y el método de procesamiento utilizado posibilitan obtenerinformación acerca de lo que los alumnos saben y son capaces dehacer. A su vez, combinando el criterio estadístico con el conceptual-pedagógico, es posible encontrar características comunes en losrendimientos de los alumnos, las que permiten agrupar esos des-empeños en niveles; es decir, en categorías de tareas que identificangrupos de estudiantes con cotas similares de rendimiento frente al un estudiante ubicadoinstrumento. en un determinado nivel de desempeño muestraEn matemática es posible definir cuatro niveles de desempeño para el rendimiento necesariocada grado evaluado, los que son descritos en los cuadros siguientes. para realizar, con alta probabilidad de éxito, las actividades propuestas para ese nivel y los inferioresNiveles de desempeño eN alumNos de tercer grado al mismo; es decir, son inclusivos.El cuadro descriptivo de los niveles de desempeño comprende, por unlado, una caracterización general de los procesos cognitivos de los es-tudiantes de tercero en cada nivel y, por otro, el detalle de éstos, segúnel instrumento aplicado en esta oportunidad. 41 Recommended
guest67826c
Los 10 primeros puestos de la especialidad 2011

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