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Timestamp: 2019-04-26 12:12:34+00:00

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665084 Matematicas 4 Pda
1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE DURANGO CAMPUS DURANGO
“LA DIVISIÓN EN LA ESCUELA PRIMARIA”
Que para obtener el grado de Maestro en Educación Presenta
3 El principal problema que se presenta en las escuelas relacionado con el tema de la división es que el algoritmo se enseña separadamente de los problemas, e incluso antes que los problemas. Los niños aprenden a dividir, dominan el procedimiento, pero no saben cuándo dividir.
El papel del profesor es trascendental, ya que es él, quien que crea las situaciones de aprendizaje, asesora y guía en situaciones especiales, el que planea las estrategias y procedimientos para llegar a la meta propuesta, es quien se encargará de hacer tambalear las posturas de sus alumnos para hacerlas evolucionar a estadios más altos y más profundos.
La función del maestro no consiste en transmitir a los niños conocimientos ya elaborados. Su función es la de ayudar al pequeño a construir su propio conocimiento guiándolo en sus experiencias. Debe alentársele a probar lo correcto de su afirmación, Propone situaciones que contradigan las hipótesis de los alumnos, favoreciendo la reflexión sobre los problemas y la búsqueda de nuevas explicaciones o procedimientos que los aproximen hacia la formalización de los conocimientos matemáticos.
Otra de las funciones del maestro es la de promover y coordinar la discusión sobre las ideas que tienen los alumnos acerca de las situaciones que se plantean. Esto será posible mediante preguntas que permitan conocer el porqué de sus respuestas.
pero poco a poco. con suma. Y todo ese trabajo que tendría que hacerse previamente a que aparezca el procedimiento usual para dividir. en un problema más complejo. Posteriormente se ven problemas que se pueden resolver aplicando estas operaciones. los alumnos necesitan “hacer matemáticas”. se hace fuera de contexto. poco a poco se van construyendo ciertas relaciones que permiten elaborar procedimientos más sistemáticos. es decir. Y es por esta mecanización que no se sabe lo que se está haciendo. con la interacción con sus compañeros y la ayuda del maestro. resta. por ejemplo con números más grandes. etc. un reto. se da . Sus recursos serán informales al principio. qué corresponde el cociente y qué representa en la resolución de un problema. utilizando los conocimientos que ya poseen.4 Para aprender. precisan enfrentar numerosas situaciones que les presente un problema. es decir. evolucionarán hacia la formalización del conocimiento. como una operación aislada. con la experiencia que vaya adquiriendo. es un trabajo que no se hace. Un problema se puede resolver igualmente con dibujos. Sin embargo. resultados particulares. Cuando el niño resuelve otros problemas similares. La resolución de un problema nuevo se inicia casi siempre con procedimientos de ensayo y error: se prueban hipótesis. y generar sus propios recursos para resolverlas. se enseña el algoritmo para resolver una operación. propicia el abandono de procedimientos muy ligados a casos particulares y la construcción de otros más generales y sistemáticos. Cuando se enseñan las operaciones. multiplicación. ideas.
incluso algunos niños que ya aplican el algoritmo se sienten más seguros del resultado cuando lo confirman. Se nota. Esta nueva etapa se refiere a aquellos niños que cuando resuelven el problema aplicando una división y aunque obtengan un resultado correcto.5 por hecho que los niños ya saben sumar. de suma y de resta. el niño no sabe qué significa esa cantidad que se escribe abajo del último número de la división y con la cual ya no se puede seguir operando. Encontramos que muchos niños se encuentran en lo que pudiera ser una nueva etapa o subetapa. un descuido por el residuo. Se alcanza a percibir que las estrategias más simples son las que les inspira mayor confianza y seguridad. restar y multiplicar. una multiplicación. por sentirse un poco inseguros. que hay problemas de división. de multiplicación. y que se tienen que resolver exclusivamente con esas operaciones. en general. pero que se supone que cada operación sirve para resolver un solo tipo de problemas. se ven en la necesidad de confirmar el resultado aplicando una nueva estrategia. Esto arroja que en la escuela primaria se está abusando en la enseñanza del algoritmo descontextualizado. Los maestros tienen nociones sobre la división desde este nuevo enfoque que caracteriza a los Planes y Programas actuales. dibujos o esquemas. separado de los . sin embargo considero que se requiere profundizar más en la teoría que recientemente circunscribe a este algoritmo de la división.
IV Congreso de Investigación Educativa. Patricia: Una secuencia para la enseñanza de la división. UPN. México. SEP. se enseña como un todo. No se explicita paso por paso. 1995 UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL: Construcción del conocimiento matemático en la escuela. México.6 problemas. sin desmenuzarlo y darle a cada parte su importancia y atención que requiere. (disponible en CDROM). Algunos Conflictos didácticos. 1994 MARTÍNEZ. ni se aclara el porqué de cada parte. Las principales obras en que me apoyé para la realización del presente trabajo fueron las siguientes: SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA: La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria.1997 .
The children learn to divide. is the one who will be in charge to make stagger the positions of his students to make them evolve to higher and deeper stages. the one that plan the strategies and procedures to arrive at the propose goal. favoring the reflection on the problems and the search of new explanations or procedures that approximate them towards the formalization of the mathematical knowledge. It promotes and it coordinates the discussion on the ideas that have the students about the situations that consider. . dominate the procedure. The function of the teacher does not consist of transmitting to the young knowledge already elaborated. who that creates the learning situations. by means of questions that allow to know porqué their answers. but they do not know when to divide. and even before the problems. It must encourage to it him to prove the correct thing of his affirmation. since he is he.8 The main problem that appears in the schools related to the subject of the division is that the algorithm is taught separately of the problems. adviser and it guides in special situations. Proposes situations that contradict the hypotheses of the students. Its function is the one to help the small one to construct its own knowledge guiding it in its experiences. The paper of the professor is transcendental.
Their resources will be informal in the beginning. with the experience that are acquiring. it causes the abandonment of procedures very related to particular cases and the construction of others more systematic generals and. When the operations are taught. Later problems are seen that can be solved applying these operations. etc. multiplication. but little by little. they need to face numerous situations that present/display a problem. results are proven. The resolution of a new problem begins almost always with procedures of test and error: particular hypotheses. a challenge to them. And all that work that it would have to be made previously to that it appears the usual procedure to divide. little by little they are constructed certain relations that allow to elaborate more systematic procedures. And it is by this mechanization that does not know what it is becoming. the interaction with its companions and the aid of the teacher. and to generate their own resources to solve them. is a work that does not become. the algorithm is taught to solve an operation. the students need "to make mathematics". with sum. reduces. that is to say. A problem can be also solved with drawings. in a more complex problem. it becomes outside context. ideas. that is to say. Nevertheless. occurs by fact that the .9 In order to learn. for example with greater numbers. what the quotient corresponds and what it represents in the resolution of a problem. they will evolve towards the formalization of the knowledge. using the knowledge that already they have. like an isolated operation. When the boy solves other similar problems.
separated of the problems. This throws that in the primary school it is abusing in the education of the descontextualizado algorithm. nor is clarified porqué of each part. a negligence by the remainder. It is reached to even perceive that the simplest strategies are those than inspire greater confidence and security to them. in general. Passage by step does not specify. to feel a little uncertain. but which one assumes that each operation serves to solve a single kind of problems. of multiplication. nevertheless I consider that he requires himself to deepen more in the theory than recently circumscribes to this algorithm of the division. This new stage talks about those children who when they solve the problem applying a division and although obtain a correct result. a multiplication. drawings or schemes. of sum and subtraction. the boy does not know what means that amount that is written under the last number of the division and with which no longer can be continued operating. and that must solve exclusively with those operations.10 young ones already know to add. is . some children who already apply the algorithm feel like more insurances of the result when they confirm it. are seen in the necessity to confirm the result applying a new strategy. Note. The teachers have slight knowledge on the division from this new approach that characterizes to the Plans and present Programs. that there are division problems. We found that many children are in which he could be a new stage or substage. to reduce and to multiply.
México. The main works in which I leaned for the accomplishment of the present work were the following ones: SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA: La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria.11 taught like a whole. 1994 MARTÍNEZ. UPN. SEP. Patricia: Una secuencia para la enseñanza de la división. without crumbling it and giving to each part its importance and attention that it requires. Algunos Conflictos didácticos. 1997. IV Congreso de Investigación Educativa. 1995 UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL: Construcción del conocimiento matemático en la escuela. (disponible en CD-ROM) . México.
12 ÍNDICES .
E..G.4.Personajes ilustres I.RESEÑA HISTÓRICA DE GUANACEVÍ I.1.Conocimiento físico y conocimiento matemático I.Localización I..El papel del profesor en la enseñanza de las matemáticas I.A.D....Naturaleza del aprendizaje significativo I.B..A.5.5.CÓMO APRENDEN LOS NIÑOS DE PRIMARIA I.2.A.-Sentido y significado de las matemáticas I.C.2..PAPEL DEL DOCENTE EN LA ESCUELA PRIMARIA I.Centros turísticos I.1.El residuo 28 30 32 33 33 35 36 36 37 45 47 48 53 59 62 63 66 68 71 73 74 75 77 82 18 22 22 25 25 26 .El aprendizaje significativo I..Educación I.El algoritmo de la división I...5.5...C.3.4.B.1.3..2. F.C.4..1.A.1.B.2.Clima I..Aprender por medio de la resolución de problemas I.A...Cronología de hechos históricos I.Hidrografía I.LA DIVISIÓN EN LA ESCUELA PRIMARIA I.6.Problemas de palabras I..1.13 ÍNDICE DE CONTENIDO PÁGINA PROPOSICIÓN CONTENIDO Y LÍMITES JUSTIFICACIÓN FUENTES DE CONOCIMIENTO CONSULTADAS PROBLEMAS CORRELACIONADOS PROBLEMAS CORRELACIONADOS PERIODO DE TIEMPO UTILIZADO DEMOSTRACIÓN CAPÍTULO I.1.-¿Basta saber leer para resolver problemas? I.LAS MATEMÁTICAS EN LA ESCUELA PRIMARIA I..MARCO TEÓRICO I.1..B.B.A.6..6.-Metodología de aprendizaje basado en problemas I.PROBLEMAS EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA I..
6.ANÁLISIS DE DATOS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA 84 87 90 96 105 106 133 138 .D.3.2..DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN II.DISEÑO DEL INSTRUMENTO DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN II.14 I.6.APLICACIÓN DEL INSTRUMENTO DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN II.C..1.6..E..Acerca del significado de la división I...Estrategias de los alumnos al resolver problemas CAPÍTULO II..Tipos de problemas de división I.
Resultados de un problema con residuo especial Cuadro 10.Problemas de agrupamiento o tasativa Cuadro 4..... GRÁFICAS Y FIGURAS CUADROS Cuadro 1.Problemas de reparto Cuadro 5.Si aclaran las operaciones implícitas en la división Cuadro 15..Si se involucran en las fases de los problemas Cuadro 18.Resultados en 103 alumnos al resolver 5 ejercicios Cuadro 12....Problemas de reparto y de agrupamiento Cuadro 16..Si conocen problemas de división Cuadro 25.Si sus alumnos logran tener sentido de la división Cuadro 17....Si se enseña la división separada de problemas Cuadro 20....Resultados obtenidos en un problema sencillo de agrupamiento PÁGINA 107 109 110 PÁGINA 82 83 88 88 107 108 110 111 112 113 113 115 116 117 118 120 121 122 124 125 126 127 128 129 130 131 .Enseñan la división como la aprendieron Cuadro 19.Si enseñan con un procedimiento personal la división Cuadro 24..15 ÍNDICE DE CUADROS..Resultados de un problema sencillo de reparto Cuadro 6.....Revisan las producciones para su estado de saber Cuadro 23.Resultados en 103 alumnos al resolver 5 ejercicios Cuadro 11.Si sus alumnos preguntan por la resta en la división Cuadro 14..Resultados de un problema complejo de agrupamiento Cuadro 9..Cuadro de los productos del divisor por los números del 1 al 9 Cuadro 2..Pregunta si consideran las estrategias informales Cuadro 13.Resultados de un problema sencillo de agrupamiento Cuadro 8..Resultados de un problema complejo de reparto Cuadro 7.Pregunta si consideran los conocimientos previos Cuadro 26.Resultados obtenidos en un problema complejo de reparto Gráfica 3..Resultados obtenidos en un problema de reparto Gráfica 2.Si aclaran las dudas en ambiente democrático GRÁFICAS Gráfica 1.Porqué se opera de izquierda a derecha Cuadro 21....Utilizan el algoritmo funcional y flexiblemente Cuadro 22.Resultados correctos de una misma división Cuadro 3.
.Resultados al preguntar a los maestros si aclaran las dudas en un ambiente democrático FIGURAS 111 112 114 115 116 117 119 120 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 Figura 1...Resultados al preguntar si sus alumnos les preguntan por la resta en la división Gráfica 9.Resultados obtenidos en un problema complejo de agrupamiento Gráfica 5..División l PÁGINA 80 81 82 ..Resultados obtenidos al preguntar si conocen problemas de división más difíciles que otros Gráfica 20...16 Gráfica 4.División Figura 3.Arroja resultados de si los maestros aclaran las operaciones implícitas en la división Gráfica 10..Nos ayuda a saber si se enseña la división separada de los problemas Gráfica 15.Nos aclaran los docentes si han escuchado de problemas de reparto y de agrupamiento Gráfica 11..Resultados obtenidos en un problema con residuo especial Gráfica 6.Nos sirve para saber si los maestros enseñan la división como la aprendieron Gráfica 14....Resultados obtenidos al preguntar si sus alumnos si sus alumnos logra tener sentido de la división Gráfica 12...División Figura 2.Nos ayuda a saber si los maestros enseñan la división con un procedimiento personal Gráfica 19...Arroja resultados sobre si sus alumnos se involucran en todas las fases por las que atraviesan los problemas Gráfica 13.Resultados obtenidos al preguntar a los maestros si consideran las estrategias informales Gráfica 8.Resultados de si los maestros aclaran porqué se opera de izquierda a derecha en la división Gráfica 16.Resultados al preguntar si revisan las producciones de sus alumnos para conocer su estado de saber Gráfica 18.Resultados al preguntar a los maestros si consideran los conocimientos previos Gráfica 21...Suma de los resultados obtenidos en 103 alumnos al resolver 5 ejercicios de división Gráfica 7....Plantean problemas en donde los alumnos utilizan el algoritmo funcional y flexiblemente Gráfica 17.
Algoritmo convencional Figura 13..Estrategia de suma iterada Figura 10..Arreglos rectangulares Figura 9.17 Figura 4.División lV Figura 7..Aproximaciones sucesivas mediante multiplicaciones Figura 11..Cocientes parciales Figura 12..División lll Figura 6...División ll Figura 5...Algoritmo abreviado 83 83 83 92 93 93 94 94 95 95 ..Correlación 1 a 1 en dibujos simples Figura 8.
18 PROPOSICIÓN .
Con el presente trabajo de investigación se pretende conocer la metodología de la enseñanza de la división en la escuela primaria. quizá la más valorada y a la vez la más temida por los escolares. que en un futuro serán herramientas efectivas. respuestas y errores frecuentes de alumnos de primaria constituye otro centro de interés para nosotros. las matemáticas son. De entre las numerosas asignaturas que se imparten en la escuela. hasta que poco a poco se van adquiriendo conceptualizaciones más canónicas.19 ENUNCIADO DE LA PROPOSICIÓN. destinada exclusivamente para cerebros privilegiados. las dificultades conceptuales que enfrentan y los recursos que ayudan a propiciar la evolución de dichos procedimientos. una de las consideradas más importantes. Existe una opinión generalizada sobre las matemáticas como una asignatura compleja y poco atractiva. . El análisis de procedimientos. Acercarnos a los alumnos para tratar de conocer más sobre el proceso que se sigue en el aula para arribar al concepto y algoritmo de la división e identificar la manera en que actualmente los docentes de EDUCACIÓN PRIMARIA enseñan este contenido. Se trata de conocer algunos de los procedimientos que los niños pueden crear frente a determinados problemas. así como identificar el tipo de estrategias que utilizan los alumnos para la solución de la misma. El propósito que alberga este trabajo de investigación es hacer lo posible por contribuir con algo a terminar con el “mito” de la división. no cabe duda.
particularmente. para intentar darles solución. sin sentido ni significado para los alumnos y desprendido totalmente de los problemas. que consiste en enseñar el algoritmo fuera de contexto. que es aquella en donde el alumno parte de problemas lo más reales posibles y utiliza sus estrategias informales y espontáneas. Una situación que hasta cierto punto puede parecernos curiosa. La enseñanza de la división en la escuela primaria tiene su inicio formal en tercer grado. Se conocen dos maneras de enseñar este algoritmo: • La tradicional. se incursionará en los terrenos cognitivos del alumno. es que en los libros de texto y libros para el maestro no encontramos los procedimientos o pasos . es imprescindible conocer el proceso interno que el alumnado necesita recorrer para llegar a él. de gran relevancia y trascendencia para los estudiantes. Si queremos contribuir en el logro de la enseñanza y aprendizaje de un conocimiento significativo. aunque ya desde los primeros grados se llevan a cabo actividades con la finalidad implícita de que los alumnos se aproximen a la manera usual de dividir al estimar resultados y resolver problemas sencillos de reparto y que al mismo tiempo empiecen a reconocer problemas que se pueden resolver con este algoritmo. sin la presión del docente. • La moderna.20 En este trabajo.
técnicas y procedimientos encontramos en las escuelas al abordar el tema de la división.21 del algoritmo convencional de la división. nace la inquietud para incursionar en el campo educativo que coadyuve a dar respuesta a la siguiente pregunta de investigación: ¿Qué relación existe entre la manera de enseñar del docente la división en la escuela primaria y las estrategias del alumno al resolver problemas que impliquen este algoritmo? . hasta los nuevos procedimientos que propone el actual enfoque que parte de la resolución de problemas. Desde las más tradicionales y obsoletas que parten de la mecanización y memorización del algoritmo convencional. que en la antigüedad era motivo de satisfacción y orgullo poder dominarlo. Una variada y muy extensa gama de estrategias. “elegante y sofisticado”. Además nos dan una primera idea de las dificultades a las que se enfrentan los niños cuando inician el aprendizaje de la división. Enmarcado en este contexto. Todas estas cuestiones tienden a mitificar este algoritmo tan práctico. Tal vez esta situación sea la causa de la tendencia en los docentes de primaria a enseñarlo: “Como a mí me enseñaron”. uno tras otro. y también a lo largo de este proceso cuando se van encontrando. con los diferentes significados de la misma. Es en este tema donde más se puede aplicar el lema: “cada maestro tiene su librito”.
2. .Identificar las principales dificultades y obstáculos más frecuentes a que se enfrentan los alumnos de primaria cuando se aborda el contenido de la división.Identificar las estrategias que utilizan los alumnos de 4°. 3. Objetivos Específicos 1. Hipótesis: De la manera en que los docentes de primaria enseñen la división dependen las estrategias que los alumnos utilicen para resolver problemas que impliquen dividir..22 Esta pregunta engloba todo lo concerniente al proceso de adquisición de los conceptos implicados en la división. Objetivo General: Identificar cómo enseñan los docentes la división y qué estrategias utilizan los alumnos al resolver problemas que implique división en la Escuela Primaria..5º y 6º grados de Educación Primaria en la resolución de problemas que implican división. Además involucra la postura del niño.. en la perspectiva del nuevo enfoque en la enseñanza de las matemáticas. abarca también el perfil que debe tener el maestro ante los cambios suscitados en las concepciones del proceso enseñanzaaprendizaje.Identificar la didáctica del docente de Primaria en la enseñanza de la división. como un ser socialmente activo.
JUSTIFICACIÓN La humanidad ha creado herramientas matemáticas poderosísimas para resolver problemas. Se optó que los alumnos estuvieran cursando de este grado en adelante para tratar de identificar tanto las estrategias informales como las formales – si es que las hay . Variable independiente: • La pedagogía del docente. al momento de resolver problemas. Se considera de particular importancia el momento en que el alumno cambia una estrategia por otra supuestamente más elaborada y principalmente se trató de identificar algún puente o nexo entre las estrategias informales y el algoritmo convencional. CONTENIDO Y LÍMITES Los niños que participaron en el estudio son alumnos de Primaria del municipio de Guanaceví Durango. En 4° grado de primaria ya se tienen nociones del algoritmo de la división aunque todavía no se domine a la perfección.. Una gran variedad de estos problemas pueden ser resueltos .23 Variable dependiente: • Las estrategias del alumno al resolver problemas.
e incluso antes que los problemas. compacto. en el mejor de los casos. SEP. México.1995. por el contrario. delimitado. en donde esperará a que se prenda alguna luz verde para resurgir y ser aplicado en la resolución de un problema. 1 La escuela debe propiciar situaciones en las que los niños utilicen los conocimientos previos para resolver ciertos problemas. pero esta situación que debería llenarnos de orgullo y satisfacción. después de confrontar sus Secretaría de Educación Pública: La Enseñanza de las matemáticas en la Escuela primaria.13 1 . destreza en una técnica algorítmica vacía de significado: aprenden a dividir con un sofisticado procedimiento. p. nos frustra a todos aquellos profesores que encontramos que nuestros alumnos fracasan al resolver problemas. Los niños a menudo dominan una elegante y sofisticada herramienta de cálculo. sin contexto. pero no saben cuándo dividir. Los algoritmos se suelen enseñar separadamente de los problemas. creemos que ese conocimiento pasa a guardarse a alguna galería intrincada de la memoria. sin embargo. al enfrentarse a una situación problemática.24 de una manera más económica y más rápidamente que en el pasado. Existe una fuerte tendencia por aferrarse a enseñar el algoritmo de la división como un conocimiento terminado. Esas largas y numerosas horas que los alumnos dedican a dominar la técnica de un algoritmo fuera de contexto producen. no saben hacer uso de ella.
2 Para que el niño pueda acceder al dominio pleno y consciente del procedimiento matemático de la división. . p.25 resultados y procedimientos de solución. Pueden valerse de la suma. de esquemas simples o de arreglos rectangulares. SEP. ¡Hacer matemáticas es resolver problemas! No temen afirmar algunos que la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de la elaboración de la ciencia matemática. etc. Los hombres tenían que contar animales. México. Aquí es donde podríamos asegurar que la herramienta matemática que se estaba construyendo iba cargada de un gran significado y sentido para los individuos. de la multiplicación. las actividades de los seres humanos nos hacen suponer que las matemáticas se han ido construyendo como respuesta a preguntas. es necesario que ponga en práctica las diversas estrategias que posea. 2 Secretaría de Educación Pública: Plan y Programas de Estudio. dividir tierras. 1993. Estas preguntas han variado. calcular créditos. Los alumnos que aún no conocen el algoritmo de la división y aquellos que se les dificulta el procedimiento tienen elementos suficientes para resolver problemas de división. Debemos facilitarle las condiciones necesarias para que actúe con entera libertad y con la seguridad de que sus procedimientos tienen un valor y una utilidad sociales.15. dependiendo de su origen y de su entorno. puedan evolucionar hacia las conceptualizaciones propias de la matemática. repartir la cosecha. Desde el hombre primitivo y el mundo antiguo.
de adaptar y transferir dichos conocimientos para resolver nuevos problemas. De la misma manera.26 Podemos decir que los conocimientos adquiridos van a empezar a tener sentido para el alumno en la medida en que él sea capaz de volver a darles significado en situaciones nuevas. Se les entrevistó con un instrumento elaborado con preguntas clave para determinar cuáles eran sus estrategias metodológicas al enseñar el contenido de LA DIVISIÓN. y en este proceso el alumno podrá percatarse de que los conocimientos o nociones matemáticas son herramientas útiles que le ahorrarán tiempo y esfuerzo.5º. FUENTES DE CONOCIMIENTO CONSULTADAS Para el desarrollo de la presente investigación se realizaron entrevistas a algunos de los docentes que imparten EDUCACIÓN PRIMARIA en Guanaceví. el alumno le va encontrando sentido a éstas herramientas (algoritmos). Se debe partir de la resolución de problemas. . que posteriormente serán estudiadas por sí mismas. con los alumnos de 4º. y 6º grados de EDUCACIÓN PRIMARIA se trabajó planteándoles una serie de problemas de DIVISIÓN para intentar identificar las estrategias formales e informales que utilizan en su resolución. Poco a poco.
podemos aplicar una pedagogía similar en el resto de las operaciones elementales: SUMA. a Febrero de 2005. . es importante que los docentes de PRIMARIA conozcamos este proceso espontáneo y natural que el alumno recorre en la construcción de nuevos elementos que le permitan hacer frente a las situaciones problemáticas que se le irán presentando en el ámbito escolar y en la vida misma. PERIODO DE TIEMPO UTILIZADO El período de tiempo utilizado para el desarrollo del presente trabajo fue de Diciembre del año 2004. RESTA Y MULTIPICACIÓN.27 PROBLEMAS CORRELACIONADOS Aunque en e presente investigación solo se identificará la metodología utilizada por el maestro para la enseñanza de la DIVISIÓN y se identificarán además las estrategias de los alumnos al resolver problemas de DIVISIÓN. Si conocemos la manera más idónea para enseñar la DIVISIÓN. De esta manera haremos más grata la asignatura de matemáticas a nuestros alumnos.
28 DEMOSTRACIÓN .
Al morir Ibarra.RESEÑA HISTÓRICA DE GUANACEVÍ Guanaceví aparece en las crónicas de los conquistadores españoles desde el momento en que se inicia la expedición de don Francisco de Ibarra por el norte de México. La conexión con las culturas establecidas en el estado de Chihuahua no ha sido probada aún.. pero tampoco se ha descartado. murieron 19 españoles y 60 negros asignados a los trabajos mineros.29 CAPITULO I MARCO TEÓRICO I. apareciendo como propietario. ya existía en el mineral de Guanaceví población española y algunos esclavos. próximo al anterior. como lo demuestra su cerámica y numerosos petroglifos hallados recientemente.1. lo cual parece razonable si consideramos que Ibarra regaló varios minerales a sus soldados. Al ocurrir la matanza del Zape. También murieron los padres Luís de . Pero Guanaceví tenía vida propia desde antes de las incursiones europeas. También se menciona el mineral de Guanaceví en el testamento de don Rodrigo del Río de Lossa. de la Compañía de Jesús. lo llevó en 1596 al pueblo de El Zape y posteriormente al mineral de Guanaceví. Su doctrina fue ampliándose pero se dispersó con la sublevación tepehuana de 1616. La labor misional del padre Jerónimo Ramírez.
sobre todo en las serranas. Como primer alcalde mayor se menciona a Gaspar Pérez de Villagrán. en el resto de la región. La primera la explotó una compañía inglesa hasta 1848. En la región norte habitaron los Tarahumaras. Chamole y la de la Santa Cruz. Sólo un niño escapó del exterminio del Zape y dio aviso a la población de Guanaceví. Los Tepehuanos alcanzaron un grado de organización social y cultural superior a los demás grupos que poblaron el estado. así como Jerónimo de Montana y Juan Fonte. cobrando gran impulso la veneración de la Virgen del Hachazo. los tepehuanos. Sus principales vetas son las de Barradón. Otras víctimas en Guanaceví fueron Hernando de Santarén y fray Sebastián Montaño. se encuentra presencia de indígenas Tarahumaras.30 Álvarez y Juan del Valle. . el cual fue también capitán de Tepehuanes. pero las demás mantuvieron su producción desde la Colonia hasta el Porfiriato. En algunas comunidades. refugiándose sus habitantes hasta que llegó el auxilio del gobernador don Gaspar de Alvear y Salazar. sin fronteras bien delimitadas a causa de sus constantes luchas. En los siguientes años se fue reintegrando la población indígena de Guanaceví. Capuzaya. época en la que decayó.
A. La respuesta de los Tepehuanos ante el opresor español. vivían en cuevas. Tenían conocimientos de los movimientos de los astros y en ellos se basaban para pronosticar cuando habría lluvias. excepto cuando emprendían acciones de guerra (generalmente con los Tepehuanes). Los Tarahumaras no tenían una organización legislativa bien organizada y permanente. fue la rebelión de noviembre de 1616.Personajes ilustres GRAL. su principal actividad para el sustento era la caza y recolección de raíces y frutos silvestres.. heladas y vientos. conocían el “julime” veneno que usaban en sus flechas. escoltó a los Poderes de la Nación en su peregrinación al norte.1. PATONI (1828-1868). El período de la conquista se caracterizó de manera general por la exterminación de la población indígena y de sus principales formas de vida y subsistencia. General republicano. participó en la toma de Durango en 1858. l. fue comandante del Escuadrón de Rifleros de Chihuahua. sostuvo la soberanía del estado como Gobernador Interino. luchó contra los franceses y los conservadores. JOSÉ MA. defendió el Fuerte de Ingenieros en el Sitio de Puebla. tempestades.31 Esta raza era nómada. nación en la población minera de .
tenía un jardín botánico particular y publicó valiosas monografías de sus estudios realizados. fue gobernador del Estado y Ministro de Fomento. En su juventud se dedicó a la minería y significándose por sus ideas liberales el Gobernador don José Patricio de la Bárcena lo nombró comandante de la guardia nacional en Santiago Papasquiaro. fue hijo de don Juan B. profundo conocedor de la flor durangueña de la que hizo importantes estudios. Geógrafo y sabio naturalista. Siendo comandante del Escuadrón de Rifleros de Chihuahua participó con el Coronel y Licenciado Esteban Maldonado en la toma de la ciudad de Durango el 8 de julio de 1858. el ingeniero Patoni fue un botánico muy competente. la lechuguilla y el nopal. levantó por su cuenta una carta geográfica del estado de Durango en 1905. la falta de recursos por la que . el sotol. Hijo del general José Ma. Además de eminente topógrafo y geógrafo. donde se significó por su valor y arrojo. hizo estudios sobre el guayule. Dgo. Patoni. nació en la población minera de Guanaceví. estado de Durango el 15 de septiembre de 1853. ING. Patoni y doña Mercedes Sánchez de Patoni. fundamentalmente de las plantas del desierto. sus ideas liberales lo hicieron Gobernador Constitucional del Estado. puesto del que tomó posesión el 15 de septiembre de 1912. CARLOS PATONI (1853-1918). que lo colocaron entre los sabios naturalistas mexicanos más ilustres. la candelilla.32 Guanaceví del estado de Durango en el año de 1828.
trasladándose a la capital de la República donde continúo en la Escuela Nacional Preparatoria y después en la Escuela de Jurisprudencia. Puebla. Estado de Durango el 24 de diciembre de 1856. sobre la base del pueblo que ya existía. misión jesuita. las pasiones y la efervescencia política propia de una revolución lo hicieron renunciar en enero de 1913. cursó la instrucción primaria en su tierra natal y los estudios de segunda enseñanza en el Instituto del Estado de Chihuahua. Director de un Campo Experimental en Tehuacán. actividad en la que le sorprendió la muerte en abril de 1918. Nació en la población de Guanaceví. VALENZUELA (1856-1911).33 atravesaba el estado. fue encargado de las publicaciones de la Secretaría de Instrucción Pública de Bellas Artes. Durante más de una década fue diputado al Congreso de la Unión y después encargado de la organización de las publicaciones de la Secretaría de Instrucción Pública y Bellas Artes.1. Escritor y poeta. 1604 El padre Juan Fonte funda San Ignacio de El Zape. retirándose a los Estados Unidos.B..Cronología de hechos históricos 1563 Los soldados de Ibarra descubren el mineral de Guanaceví. . l. dirigió la Revista Moderna. Posteriormente se nombró al ingeniero Carlos Patoni. JESÚS E.. y escribió varias obras. Chih.
Manantiales de Aguas Termales. 1910 Inauguración del palacio municipal.D. Troneras que se usaban en Haciendas para beneficios de minerales. Limita al norte con los municipios de Ocampo y San Bernardo.300 metros sobre el nivel del mar. Pinturas Rupestres San Miguel y las Figuras.Localización El municipio de Guanaceví se localiza al noroeste del estado de Durango. 1617 Llega el gobernador de Alvear a Guanaceví el 14 de enero. 1917 Se separa Guanaceví de Santiago Papasquiaro. l.. a una altura de 2. el 16 de septiembre.1. Iglesia de la Cabecera Municipal del siglo XVIII. Observatorio Precortesiano El Zape. al oeste con el estado de Chihuahua.1. Observatorio Precortesiano San Pedro. 1824 Pasa a integrar el partido de Santiago Papasquiaro. al este con el municipio de El Oro.C.Centros turísticos Pinturas Rupestres El Zape.. l. Tiene una extensión . en las coordenadas 25º 56 00 latitud norte y 106º 00 00 de longitud oeste. y al sur con el municipio de Tepehuanes.34 1616 Matanza de españoles y negros en El Zape.
como los cerros de la Chorrera que llegan a 3. cuya explotación se había dificultado por la abundancia de agua que había en el subsuelo. en la que se han trabajado varias minas. siendo las principales las de Paleros. la de Aguaje Nuevo con las minas de La Fortuna. finalmente la veta de Santa Cruz. A unos 8 kilómetros de distancia y como continuación de estas vetas se encuentra el mineral de San Pedro. la de Nuestra Señora en donde está la mina de Arianeña de famoso historial por sus bonanzas. Predilecta y otras.35 territorial de 5. en donde fueron trabajadas minas por una Compañía Inglesa hasta 1848. que es un ramal desprendido de la gran cordillera.9 kilómetros cuadrados. pero resulto esto por una Compañía Americana se obtuvieron fuertes volúmenes de metales de altas leyes.246. la veta de Chamole. En su mayor parte. además se destaca el cono de Barajas. el municipio pertenece a la Sierra Madre que presenta en estos lugares las más altas cumbres del estado. y los de Ocotes y Flechas. que representan el 4. El mineral de Guanaceví es uno de los más notables del estado por la riqueza de sus vetas. .200 metros. En la porción de oriente se levanta la sierra de Canoas.68% respecto al total del estado. entre otras la de San Rafael. la zona está cruzada longitudinalmente por enormes vetas que levantan sus crestones en varios kilómetros. también trabajadas desde tiempos remotos. la de Barradón y Capuzaya.
De la región poniente.900 metros sobre el nivel del mar. En el municipio se identifican algunas festividades. aunque de las más importantes podemos considerar las siguientes: La feria de la Plata.E. afluente del Bravo . La explotación de las vetas continuó después de la independencia con más o menos actividad. de la cuenca del Nazas. formándose un valle fluvial elevado a una altura media de 1. Como tradiciones más importantes se pueden mencionar la del día de la Santa Cruz que se celebra el 3 de mayo y el día de la Virgen de Guadalupe el día 12 de diciembre. hasta el año de 1870 en el que se inició una amplia explotación. l.. las aguas que bajan de las cumbres de la sierra llegan a la cuenca del río Conchos. La danza principal del municipio es la de los matlachines de los indígenas Tarahumaras.36 El Barón de Humboldt cita a Guanaceví con encomio en su ensayo político sobre el reino de Nueva España. el día 08 de diciembre.Hidrografía Por el norte provienen del municipio de San Bernardo los ríos Sixtín y San Esteban. del 30 de abril al 05 de mayo y la fiesta de la Purísima Concepción. En la porción oriente corre el río de El Zape que es afluente de El Oro. que decayó en 1914 a consecuencia de la Revolución.1.
1 a 6. y al río El Fuerte que desemboca en el Pacífico. con una temperatura media anual es de 23ºC. Telesecundaria y Bachillerato. que se une al de Culiacán. La precipitación media anual es de 550 milímetros durante los meses de Junio y Agosto. La superficie de la cuenca es de 8. y más al sur se encuentran los afluentes de la hermosa quebrada de Huyapan origen del río Humaya.Clima Las temperaturas máximas y mínimas que se presentan en el municipio son de 32ºC y 5ªC. Secundaria.0 metros/segundo.352 kilómetros con una longitud de 175 kilómetros aproximadamente.37 del Norte.1. Se cuenta también con promotores del INEA con aproximadamente 50 maestros comunitarios. mediante el convenio firmado entre esta Dependencia y .1. La primera helada se registra en el mes de septiembre y la última en junio. l. Primaria.Educación El municipio cuenta con los servicios educativos que corresponden los niveles de educación Inicial..F. l.. El tipo de clima que se presenta en el municipio es templado sub-húmedo. con vientos predominantes hacia el sur y velocidades moderadas de 2. Preescolar.G.
Educación Media Superior: Existe en la cabecera municipal una escuela de bachillerato técnico con una población escolar de 98 alumnos. atendidos en 83 escuelas con 194 maestros. Media básica: Se cuenta con 426 alumnos atendidos en 17 escuelas (incluye Telesecundarias) con 34 maestros.CÓMO APRENDEN LOS NIÑOS DE PRIMARIA En la actualidad existen infinitas corrientes educacionales cuya responsabilidad es particularmente grande debido a que la sociedad ya no puede permitir que se perpetúe un sistema de contribución obligatoria y de asistencia también obligatoria . atendidos por 19 maestros. Ayuntamiento con la finalidad de atender la demanda de quienes requieren de este servicio a los niveles de primaria y secundaria abierta. Actualmente se cuenta con el apoyo del CONAFE en 40 comunidades del municipio atendiendo a una población estudiantil de 297 alumnos en las localidades más alejadas del municipio..2.583 alumnos.38 el H. Educación Elemental: Se cuenta con una inscripción de 2. 1. Educación Preescolar: Se tiene en este nivel 24 jardines de niños con una inscripción de alumnos de 272.
Jane: Piaget en el aula. algo ya hecho. Así. en donde. sobre la adquisición del conocimiento. un tanto antagónicas. En la posición que predominó en la primera mitad del siglo. . reelaborar y reconstruir los conocimientos que reciben. el conocimiento es algo que ya existe. USA. específicamente. se caracteriza por la existencia de dos concepciones. el maestro. Huemul-colección padres y educadores. cuarta edición. 265.39 en el cual una enorme cantidad de consumidores se ven literalmente forzados a aceptar los servicios que sin necesidad crean fracasos académicos. México. imprime o estampa un SCWEBEL. La escuela debe ayudar a los alumnos a adquirir estrategias y capacidades que les permitan transformar. aprender a aprender constituye una de las demandas sociales que debe satisfacer todo sistema educativo. SEP. problemas disciplinarios y desertores escolares con escasas posibilidades ocupacionales. p. el alumno es visto como una “Tábula rasa”. poseedor del saber.4 El siglo XX. 4 3 Secretaría de Educación Pública: Las habilidades de búsqueda y selección de información en el aula multigrado. Desde esta perspectiva. arbitrariamente.17. p. que se toma en paquete del lugar en que se encuentra y es entregado al alumno. quien en forma pasiva lo recibe. 2004. RAPH.3 Una de las tareas de todo sistema educativo es formar a los futuros ciudadanos para que sean aprendices más flexibles. dotándoles de capacidades de aprendizaje y no sólo de conocimientos o saberes específicos que suelen ser menos duraderos. Miltony. eficaces y autónomos.
El alumno lo construye en su interacción con el medio ambiente. sino que aprenden modificando ideas anteriores al interactuar con situaciones problemáticas nuevas. SEP. sin embargo. En la segunda concepción. las estructuras cognitivas del niño se van modificando conforme avanza el aprendizaje. Este modelo de enseñanza tradicional privilegia el “objeto de conocimiento” y concede un papel pasivo al sujeto. es la actividad del sujeto lo que resulta primordial: no hay “objeto de enseñanza” sino “objeto de aprendizaje”. p. es el docente el que tiene una delicada misión que no se circunscribe a cuatro paredes. En esta posición. México. Para todos los constructivistas. 5 .9. 1995.40 conocimiento no deformable. el papel de los principales actores educativos es determinante en este viraje acaecido en el arte de enseñar. con los textos. Numerosos estudios sobre el aprendizaje y la enseñanza han demostrado que el conocimiento se construye mediante la actividad del sujeto sobre los objetos. el conocimiento no existe ni está preestablecido. con el maestro y con sus compañeros. Los niños no son simples receptores que acumulan la información que les dan los adultos. Secretaría de Educación Pública: La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria.5 Partiendo de esta nueva concepción sobre el origen del conocimiento.
: Bases para una teoría de la enseñanza y psicología de la educación.H.146. adecuadas o logradas en relación a los objetivos. La actividad de aprender se compone de acciones que pueden ser más menos eficaces. que hace algunos años propusieron explicaciones cognitivas de los procesos de aprendizaje. que sólo el proceso de buscar los conocimientos es lo que constituye la base de la seguridad. El Manual Moderno. el que ha aprendido a adaptarse y a cambiar. Nociones de estas teorías quedaron impregnadas en el enfoque que se le ha dado a los nuevos Planes y Programas elaborados recientemente en nuestro país. más que en los conocimientos estáticos. la confianza en el proceso. C.p. como muchos lugares del mundo. es lo único que tiene sentido como meta de la educación en el mundo moderno . 1982 . el que ha caído en la cuenta de que ningún conocimiento es seguro. La actividad de aprendizaje pone en juego lo siguiente: • • Procesos psicológicos básicos y habilidades cognitivas.6 México. México. • Estrategias de aprendizaje y procedimientos.41 El único hombre educado es aquel que ha aprendido a aprender. actualmente sirven de escenario a investigadores que se han dado a la tarea de recuperar las obras de algunos estudiosos. 6 . El continuo cambio. Conocimientos específicos relativos al tema de trabajo o de aprendizaje. PATTERSON.
9 SCWEBEL. Se debe abarcar situaciones que.78 procesos El aprendizaje debe ser concebido por los docentes como un proceso. . 23 AÑOS CONTIGO. conciliando lo que encuentra una vez con lo que descubre la siguiente.248. sino la calidad del mismo. socializando descubrimientos con los otros niños. le den la oportunidad de que él mismo experimente. Debemos permitir al niño efectuar su propio aprendizaje. p. Miltony. Ahora es capaz de hacer esto.42 • Metaconocimiento o conocimiento de los propios psicológicos implicados en la realización de la actividad. haciendo preguntas y buscando sus propias respuestas. en el más amplio sentido del término: probando cosas para ver qué pasa. Al aprender. Al aprender cambia no sólo la cantidad de información que el alumno tiene de un tema. 1996. USA. son mayores las posibilidades que posee de seguir aprendiendo por su cuenta. es decir. Además. Jane: Piaget en el aula. el camino que el alumno atraviesa en la construcción de los conocimientos. sus competencias ya no son las mismas. presentadas al niño. Isabel: “Enseñanza y aprendizaje”. manipulando símbolos. no se puede desarrollar la comprensión en él simplemente hablándole. p. de pensar de esta manera. RAPH.9 sus 7 GÓMEZ. Mondragón España. Huemul-colección padres y educadores. REVISTAS DE PEDAGOGÍA.1. de comprender mejor las cosas. cuarta edición.
Dichos conocimientos se encuentran almacenados en la mente organizados en unidades que llaman los pedagogos esquemas de conocimiento y que mantienen conexiones entre sí. de lo contrario. al intervenir en el proceso estaremos entorpeciendo directamente el proceso de aprendizaje. Se ha enfatizado en el entendimiento de que el alumno no llega a la escuela con la mente en blanco o como una “tábula rasa”. por la exploración sistemática del medio físico o social. el magisterio de nuestro país ha sido objeto de un constante bombardeo sobre las ideas y planteamientos de las nuevas corrientes psicopedagógicas que predominan en el mundo exterior. reorganizar el propio conocimiento y enriquecerlo. sino el resultado de un proceso activo del alumno y la alumna que le permitirá. 10 MAURI. Ediciones Grao. 10 En la actualidad. Teresa: El constructivismo en el aula. España. si cabe.p. sino que ha ido conformando su propio conocimiento por diferentes medios: por su participación en experiencias diversas. atender un programa de televisión. Esta representación no se realiza desde una mente en blanco. en nuestro desconocimiento.77 . sino desde un alumnado con conocimientos que le sirven para enganchar el nuevo contenido y le permiten atribuirle significado en algún grado. al escuchar atentamente un relato o una exposición. 2000. El enganche o vinculación no es automático. leer un libro o al observar a los demás y a los objetos con cierta curiosidad.43 En la medida en que entendamos cómo aprenden los niños de primaria podremos intentar desarrollar en ellos las habilidades que son necesarias para un aprendizaje permanente. Aprender algo equivale a elaborar una representación personal del contenido objeto de aprendizaje.
p. son simbólicos. sino la idea o representación que hemos elaborado de ella poniendo en juego lo que ya conocíamos. Conforme crece. no son una copia de la realidad. 2000. Los conocimientos son una representación personal de una realidad objetiva. para poder enfrentársele mejor. Ediciones Grao. a partir de los primeros intentos del niño por sistematizar el mundo que encuentra. Las pruebas indican que un marco general de pensamiento se forma gradualmente.11 Lo anterior nos deja en claro que en el proceso de aprendizaje cada alumno irá obteniendo diferentes concepciones sobre un mismo conocimiento. huele y gusta se va llenando continuamente con nuevas experiencias en varios ámbitos. Los esquemas permiten almacenar información y facilitan su retención. oye. 84. no es de extrañar que tengan a la postre representaciones diferentes de lo que ahí aconteció y de que todos estén absolutamente seguros de que están en lo cierto. En la mente no se encuentra la cosa real. sino una construcción en la que han intervenido otras ideas que ya poseíamos y que se encontraban almacenadas en nuestra mente. pero también modifican esta última para acomodarla a sí mismos. De aquí que alumnos que han participado en la misma experiencia. toca. España. Teresa: El constructivismo en el aula. el marco que ha establecido por sí mismo para dar sentido a lo que ve. .44 Los esquemas de conocimiento no son experiencia pura. lo que 11 MAURI. Aquí es donde los docentes debemos tener especial cuidado al atender a la diversidad y heterogeneidad de un grupo escolar.
no en la respuesta o conducta superficial.14 COHEN. más que “aprendiendo” solamente a través de la conformidad social. Miltony. respetando la manera única y personal con que cada uno enfrenta una situación de aprendizaje. El proceso de comprensión empieza con la experiencia directa. España. USA. Debemos trabajar en los procesos subyacentes. p.45 conduce a una organización más general y más densa de lo que sabe. cuarta edición. . RAPH. Biblioteca del normalista. 2000. El conocimiento se elabora personalmente.13 Hay que estar presentes. pues son los únicos que pueden responder por lo que han realizado o no para lograr conseguir conferir significado al contenido de aprendizaje. en el proceso de aprendizaje de nuestros alumnos. Dorothey: Cómo aprenden los niños. 260. SEP. algo que nadie puede realizar en su lugar. física y concreta. Jane: Piaget en el aula. Los alumnos son responsables últimos de su aprendizaje. SCWEBEL. México. los docentes. y avanza gradual y desigualmente abstractos.12 hacia la comprensión de conceptos más remotos y Los pequeños deben tener confianza suficiente en su propia manera de experimentar las cosas y su propio proceso de razonamiento. Teresa: El constructivismo en el aula. Ediciones Grao. 88. 1º Edición. 213. 1997. 14 12 13 MAURI. p. se construye mediante un proceso en que nadie puede ser sustituido por otro.p. Huemul-colección padres y educadores.
.A. Se requiere de alguien con la experiencia. Mondragón España. El hecho de que sea el alumno el responsable de la construcción de su propio conocimiento no quiere decir que lo tengamos que dejar trabajar solo.El conocimiento físico y el conocimiento lógico-matemático El conocimiento físico es el conocimiento de los objetos de la realidad externa. Isabel: “Enseñanza y aprendizaje”. al desarrollo de habilidades y a la formación de actitudes.2. 1996. es decir. 15 .46 Sin embargo constatamos que es determinante el papel del docente como guía y asesor. Por ejemplo. cuando se nos muestra una canica azul y una canica roja y pensamos GÓMEZ.1. El conocimiento lógicomatemático consiste en la relación creada por cada uno de los individuos. la capacidad para reconocer y controlar la situación del aprendizaje. p. La clave del aprendizaje eficaz es la capacidad del alumno para captar consciente o inconscientemente las exigencias de la tarea y de responder adecuadamente.15 1. 23 AÑOS CONTIGO. REVISTAS DE PEDAGOGÍA. La actividad de aprendizaje consiste en una secuencia de acciones encaminada a la construcción del conocimiento. el tacto y perfil suficiente para provocar las situaciones que habrán de favorecer el proceso. El color y el peso de una canica son un ejemplo y pueden conocerse empíricamente mediante la observación directa.
que ya traemos con nosotros y que poseemos de antemano.8. cuarta edición. Miltony. Todas las estructuras lógicomatemáticas tienen que inventarse o crearse merced a la propia actividad cognoscitiva del niño. no se puede descubrir a partir de los objetos mismos si hay más cuentas rojas o más cuentas en un conjunto. ya que sus fuentes están en la mente de los individuos. El conocimiento físico se construye al descubrirlo. En cambio en el conocimiento lógico-matemático. SCWEBEL. pero el lógico-matemático sólo se puede construir mediante la propia invención del niño. Construcción del conocimiento matemático en la escuela. RAPH. Jane: Piaget en el aula. USA. 18 . cada individuo debe crear esta relación. UPN. México. Al actuar sobre los objetos es como descubrimos sus propiedades. p.258. 1994. esta diferencia es un ejemplo del pensamiento lógicomatemático. 16 El conocimiento físico es un conocimiento empírico que tiene su fuente en los objetos.47 que son diferentes. en lugar de descubrirse a partir de la reacción de los objetos. p. 17 Ibid. Huemul-colección padres y educadores. Por otro lado. 17 Uno es la experiencia misma que nos llega a través de los sentidos y el otro es la interpretación muy personal de esa experiencia gracias a los conocimientos que individualmente hemos ido construyendo a través del tiempo. el conocimiento lógico-matemático no es un conocimiento empírico.18 16 Universidad Pedagógica Nacional.
hay otras que permanecen.El aprendizaje significativo Muchas cosas de las que aprendimos en la escuela ya las olvidamos. por el contrario. RAPH. En el conocimiento físico. podrá comprender la reacción del objeto como parte de su naturaleza. Las cosas que permanecen las podríamos catalogar como aprendizajes significativos. USA. para el cual no cuentan con las estructuras cognoscitivas indispensables. pero no todo se olvida.. cuando contradecimos al niño. cuarta edición. p.19 No podemos enseñarles a nuestros alumnos un conocimiento para el cual no están preparados. Son SCWEBEL. En el conocimiento lógico-matemático.2. Por ejemplo si él cree que el bloque se hundirá cuando lo ponga en el agua y el objeto lo contradice. I. el niño no se siente inseguro si el objeto le demuestra a las claras la contradicción. Jane: Piaget en el aula.B. es cierto. sólo conseguimos que se sienta inseguro de sí mismo. porque sin la necesaria estructura cognoscitiva éste no tiene cómo entender porqué no es correcto su propio modo de hacer.48 Abstraemos la realidad cada quien de manera única y exclusiva dependiendo de la interpretación que cada quien haga de la misma. Miltony. Huemul-colección padres y educadores. 19 .258.
p. a nuestra forma de ser. 20 .2. su conducta. C.Naturaleza del aprendizaje significativo Patterson describe en diez puntos las características del aprendizaje significativo: 1. Este aprendizaje se basa en ciertos principios o hipótesis relacionados con la teoría de la naturaleza y conducta humanas. México.. no PATTERSON. El Manual Moderno. saber y experimentar. Son curiosos por naturaleza. A nadie le gusta que le digan que las cosas aprendidas anteriormente y con las cuales ha aprendido a vivir.C.H. a nuestra manera de trabajar y de relacionarnos con los demás. exploratorios.: Bases para una teoría de la de la enseñanza y psicología de la educación. El aprendizaje significativo es aquel que introduce una diferencia en la persona. el aprendizaje significativo supone cierto trabajo o dolor. Es lógico entender que el aprendizaje ocasione un malestar ya que nuestros esquemas cognitivos han sido alterados y transformados. 1982. Desean descubrir. Es el aprendizaje que lleva al individuo a convertirse en una persona de un funcionamiento más perfecto. Los seres humanos tienen una propensión natural al aprendizaje.49 aquellos que incorporamos a nuestra propia personalidad. Sin embargo.20 I. sus actitudes y su personalidad. o que cambia a la persona.148.
2. etc. El yo incluye los propios valores. Dos estudiantes de idéntica habilidad. Pero un ambiente propicio. resulta amenazante y tiende a encontrar resistencia.50 son así y hay que modificarlos ligeramente o transformarlos desde su raíz. aumentan la resistencia. . 4. 3. el ridículo. Las presiones. según perciban que la materia se relaciona con sus necesidades y objetivos. El aprendizaje que tiende a cambiar la organización del propio yo o la percepción que se tiene de sí mismo. se sale en su defensa. comprensivo y agradable. Una persona aprende con verdadera asimilación solamente aquellas cosas que percibe como útiles para conservar y fortalecer el propio yo. Los aprendizajes amenazantes para el yo se perciben y asimilan más fácilmente cuando las amenazas externas están a un mínimo. elimina o disminuye la amenaza o el temor. creencias y actitudes básicas y cuando se cuestionan estas cosas. El aprendizaje significativo tiene lugar efectivamente cuando el estudiante percibe la materia como algo que tiene sentido para sus propias metas. aprenden cosas bastante diferentes y a cantidad diferente. la vergüenza.
Estas situaciones son por naturaleza significativas e importantes para la persona. y experimentan y viven con las consecuencias. 8. sentimientos al igual que intelecto. es el más duradero y el que penetra más profundamente. El aprendizaje autoiniciado que abarca toda la persona del que aprende. Cuando la amenaza al yo o al concepto de sí mismo es poca. La amenaza desorganiza el pensamiento: lleva a la distorsión de la percepción. deciden sobre sus propios cursos de acción y los siguen. La participación de experiencia en problemas prácticos o reales fomenta el aprendizaje. 6. descubren sus propios recursos. la experiencia se suele percibir en una forma diferenciada u organizada. Lo que se aprende es . y el aprendizaje sigue su curso. Cuando los estudiantes escogen sus propios objetivos y direcciones. a la restricción del campo perceptual. El aprendizaje se facilita cuando el estudiante participa responsablemente en el proceso mismo de aprendizaje. 7. el aprendizaje significativo se eleva al máximo. e incluso a la parálisis del pensamiento y de la acción.51 5. formulan sus propios problemas.
. comprensión. 1982. sin ser juzgados o 10.52 propiedad del que aprende. la evaluación por parte de los demás es de segunda importancia. PATTERSON.21 Las condiciones para que se dé el aprendizaje significativo son: motivación.148-149. creatividad y confianza en sí mismo. participación y aplicación. Lo voy entendiendo. y se integra en todo su ser. pp. no es algo externo o algo que se acepta por autoridad. 9.: Bases para una teoría de la de la enseñanza y psicología de la educación. El cambio es un hecho fundamental de la vida actual y el aprendizaje tiene que ser continuo. una apertura continua a la experiencia y la incorporación en sí mismo del proceso de cambio. las dudas que se me presentan las aclaro. México. Independencia. El aprendizaje más útil socialmente en el mundo moderno es aprender el proceso de aprender. para arriesgarse. tengo ganas de aprenderlo. C. El Manual Moderno. se facilitan cuando lo principal es la autocrítica y la autoevaluación. La creatividad supone libertad. libertad para emprender algo inusitado. • • 21 Es algo que me interesa.H. para cometer errores considerado un fracasado.
estará propiciando el aprendizaje significativo en sus alumnos. México. Es un aprendizaje unificado. la elaboro. Dinorah: Criterios para propiciar el aprendizaje significativo en el aula. junto con una selección más rigurosa de los contenidos y materiales educativos.. 1997. Aquello que se aprende de memoria para aprobar un examen y que no dura gran cosa. 20. me es útil. en última instancia determinarán la utilidad de los aprendizajes en las escuelas. Hay un tipo de conocimiento sin sentido que se aprende en la escuela. • La información me sirve. la puedo poner en práctica.53 • Trabajo activamente sobre esa información. Muchas de las veces la materia no tiene ningún sentido personal para el estudiante. El aprendizaje significativo abarca a toda la persona. p. pp. son los que.22 En la medida en que el profesor logre que estas cuatro condiciones anteriores estén presentes en el proceso de enseñanza-aprendizaje. 23 . la estudio. Lepemi. ya que éstas. por la meta de crear condiciones de enseñanza donde el alumno tenga la oportunidad de descubrir sus propias estrategias de adquisición.23 22 ZARZAR Ch. 1993. no toma en cuenta para nada sus sentimientos ni sus intereses y pasa desapercibida para el estudiante.70-73. la analizo. combina los elementos cognoscitivos con los afectivo-experimentales. Debemos cambiar la meta de enseñar un contenido escolar. México. Editorial Patria. DE LIMA. Carlos: Temas de didáctica.
1982. C. De no estar plenamente convencido del modo como se llega a sus valores. SEP. p.PAPEL DEL DOCENTE EN LA ESCUELA PRIMARIA El educador del futuro tiene que saber muy bien. explicar y construir objetos que les brinden un aprendizaje significativo. 25 . asesora y guía en situaciones especiales. sino tratando con personas libres e individuales. el que planea las estrategias y procedimientos para llegar a la meta propuesta. y del tipo de relación que está procurando estructurar con estas personas.9 PATTERSON. la postura que toma en la vida. México.54 La escuela multigrado debe presentar la realidad como problema.25 El profesor es el que crea las situaciones de aprendizaje. de que no está manipulando robots humanos.24 1.. es quien se encargará de hacer tambalear las posturas de sus alumnos para hacerlas evolucionar a estadios más altos y más profundos.: Bases para una teoría de la de la enseñanza y psicología de la educación. 24 Secretaría de Educación Pública: Las habilidades de búsqueda y selección de información en el aula multigrado. acerca del tipo de individuo que espera él que surja de su organización educativa.3.147. p. con el fin de que las alumnas y los alumnos sientan el deseo de buscar soluciones.H. México. habrá defraudado no solamente a su profesión sino también a su cultura. El Manual Moderno. descubrir. a nivel personal profundo. 2004. En suma. es el que crea las condiciones y vigila que sus alumnos vayan construyendo aprendizajes significativos.
“La didáctica de la matemática. Vol. p. los investigadores y los docentes”.27 La enseñanza se entiende como un conjunto de ayudas al alumno en el proceso personal de construcción del conocimiento y en la elaboración del propio desarrollo. 115. Mondragón España. Sin embargo. donde las condiciones varían sin cesar y que se debe adaptar a todas estas variaciones y decidir qué va a hacer. NOVEDADES EDUCATIVAS. Es alguien actuando en un sistema muy complejo. obliga a replantearnos el perfil del profesionista responsable de instrumentar estas reformas. Octubre 2000. no podemos negar que la preocupación mundial que se está dando en lo que se refiere a los alcances del nivel de educación primaria. REVISTAS DE PEDAGOGÍA.26 sobre el propio de la práctica de la El profesor es un actor tan imprevisible en la relación didáctica con los alumnos. GÓMEZ. .55 La enseñanza entendida como intervención que facilita la construcción de estrategias y de procedimientos implica poner en juego habilidades y estrategias de enseñanza. p. 27 26 ARTIGUE Michèle. 31.2. Isabel: “Enseñanza y aprendizaje . 1996. Y esto exige conocimientos sobre la actividad de enseñar y aprender y análisis de los procesos y de las propias intervenciones como profesional y en consecuencia el conocimiento o la reflexión conocimiento y actuación que hace posible la mejora enseñanza. 23 AÑOS CONTIGO.
la historia de las reformas educativas repite una constante: la poca atención prestada a los docentes. no sólo por la enorme responsabilidad social que implica. Teresa: El constructivismo en el aula.56 Ser educador de niños y jóvenes es una de las más complejas profesiones. España. A los educadores corresponde la inmensa labor de formar a los alumnos en la disciplina personal. 2000. MAURI. La intervención de los que están culturalmente más preparados permite al alumno construir las representaciones fundamentales de la cultura a un nivel de significado tal que le hace capaz de vivir en sociedad. 28 Secretaría de Educación Pública: Las habilidades de búsqueda y selección de información en el aula multigrado. Ediciones Grao.94. p. piezas clave para la puesta en marcha de cualquier cambio educativo. sino por el conjunto de competencias que un maestro pone en juego cada día. Pero esto deben hacerlo preservando y cultivando la curiosidad infantil. No se ha hecho hincapié en comprender quién es el docente y cómo le afecta el cambio. Sus temores.29 Sin embargo. El alumno necesita del concurso de otros que le ayuden en el proceso de representación o atribución de significados. p. 29 . sus incertidumbres y resistencias son dignas de tomar en cuenta.5. que permite primero emprender la tarea de conocer y después enfrentar con éxito las dificultades de la vida. logrando que se convierta en la puerta al desarrollo de la inteligencia 28 La actividad que el alumno despliega en la construcción de los conocimientos no puede llevarse a cabo de manera solitaria debido precisamente a la naturaleza de los saberes culturales. 2004. México: SEP.
Sin embargo. 2000. No deberá contar con normas que se hagan valer desde afuera. Por ejemplo. . España.57 El maestro debe estar constantemente comprometido en el diagnóstico del estado emocional de cada niño. El maestro debe crear un ambiente en el que el niño tenga un importante papel y la posibilidad de decidir por sí mismo cómo asumir la responsabilidad que ha aceptado libremente. una alumna que contempla atentamente una frase escrita por su maestra en la pizarra puede representarse que ahí dice algo. p. Jane: Piaget en el aula. p. cuarta edición. es necesario que el maestro intervenga para que pueda ampliarlo a un nivel mayor y más relevante culturalmente. USA. Miltony. Huemul-colección padres y educadores. aunque no cabe duda que esta alumna encuentra significado en algún grado.31 El papel del maestro no consiste en transmitir a los niños conocimientos ya elaborados. Ediciones Grao. su nivel cognoscitivo y sus intereses recurriendo al marco teórico que lleva en su cabeza.30 Decir que el niño debe construir su propio conocimiento no supone que el maestro se siente y deje al niño completamente solo.97. Teresa: El constructivismo en el aula. Ha de mantener a si mismo un delicado equilibrio entre el ejercicio de su autoridad y el aliento a los niños para que desarrollen sus propias normas de conducta moral.264. Su función es la de ayudar al pequeño a construir su propio SCWEBEL. 31 30 MAURI. RAPH. Ha de contar con normas personales muy sólidas pero que siga al mismo tiempo siendo estudiante toda la vida.
33 32 Kamii. Editorial Visor. Madrid.58 conocimiento guiándolo en sus experiencias. p. aunque sea de modo parcial. El cambio de esquemas podría caracterizarse como un proceso de equilibrio inicial-desequilibrio-reequilibrio posterior. debemos animarle y decirle “veamos qué pasa”. sino en comprender cómo ha cometido el niño ese error. 1992. más capaces de atribuir significado a la realidad en alto grado. España. Tomando como base esa comprensión. Debemos propiciar que el objeto mismo le dé la respuesta. El profesor debe tener en cuenta el provocar con su intervención desequilibrios en el equilibrio inicial que mantienen los esquemas de conocimiento del alumno. y ha de jugar un papel muy importante en la reequilibración posterior.99.32 Uno de los objetivos fundamentales de la educación escolar es la modificación de los esquemas de conocimiento del alumno. Puesto que cada error es un reflejo del pensamiento del niño. 206. Constance: Principios de enseñanza. es en gran medida porque están utilizando su inteligencia a su manera. Teresa: El constructivismo en el aula. MAURI. 33 . Esta autora considera que si los niños cometen errores. en el caso del ejemplo de intentar comprobar si el bloque se hundirá en el agua. Toda modificación obliga a reorganizar los esquemas previos. la tarea del maestro no consiste en corregir la respuesta. Ediciones Grao. Debe alentársele a probar lo correcto de su afirmación. consiguiendo sean cada vez más organizados y predictivos. 2000. el maestro puede a veces corregir el proceso de razonamiento y esto es mucho mejor que corregir la respuesta. p.
2000. Ediciones Grao. deben ser la base para que el docente le ayude a alcanzar un nuevo dominio o una nueva interpretación. Teresa: El constructivismo en el aula. sino porque de ellos dependen las relaciones que les es posible establecer para atribuir significado a la nueva información que se le plantea. Pero no lo deja ahí.34 Los conocimientos previos con que el alumno interpreta una situación de la realidad. Los conocimientos que el alumno posee sobre un determinado tema posibilitan y permiten atribuir significado al nuevo contenido. 34 MAURI. p. ha de propiciar una estabilidad final en el alumno sobre sus inquietudes y dudas. plantea algunos interrogantes bastante serios.59 El profesor parte del conocimiento que trae el alumno sobre algún tema. es decir. Deben formar parte.102 . en donde se requiere detenerse un momento ante estas cuestiones tan inquietantes. Que los profesores conozcan los conocimientos previos de los alumnos sobre el tema que van a estudiar es importante no únicamente porque son los que éste utiliza para aprender. estar implícitos en la planeación diaria del docente. cuestionándolo y contradiciéndolo para ocasionar inquietud y duda sobre la naturaleza y veracidad del mismo. no puede prescindir de ellos en la realización de nuevos aprendizajes. en base a su experiencia. España. Rogers.
35 . que las personas podrían aprender en grupos que quisieran aprender. que ejerzan alguna influencia significativa en mi conducta encuentro que otro modo de aprender es plantearme mis propias incertidumbres. procurar esclarecer mis propios embrollos. no puede comunicarse directamente a otra persona cuando procuro enseñar me quedo estupefacto con los resultados algunas veces la enseñanza parece tener éxito.35 1.: Bases para una teoría de la de la enseñanza y psicología de la educación. 1982.150. estoy convencido de que lo único que me interesa es ser yo mismo un aprendiz. o no tienen importancia.A El papel del profesor en la enseñanza de las matemáticas. p. El Manual Moderno. o son nocivos en consecuencia. Parece que son a causa de que el individuo pierda la confianza en su propia experiencia. la verdad que se ha encontrado personalmente y asimilado en la propia experiencia. y de esta manera acercarme al significado que tiene realmente mi experiencia .60 Este autor deja entrever que no haya enseñanza.” PATTERSON. A mi me parece que todo lo que se puede enseñar a otra persona es de poca importancia.3. de preferencia para aprender cosas que importan. de un asesor.H. De aquí que he llegado a la conclusión de que los resultados de la enseñanza. considero que no se puede dar la enseñanza sin la participación activa y consciente de un guía. ¿Podrías dar esa clase?” PROFESOR: ¡Cómo no! Nada más dime que les tengo que enseñar. y que no influye sensiblemente en su conducta lo que se aprende por propio descubrimiento. COORDINADOR DE ÁREA: “Me hace falta un profesor de matemáticas para el segundo grado. C. y de que el aprendizaje pierda su espontaneidad. encuentro que los resultados son nocivos. Pero en lo que concierne a los niños. Cuando esto sucede. México.
” La asignatura de matemáticas es tradicionalmente la más temida por los alumnos y docentes por concebirse como difícil o aburrida. pero no saben lo que deben hacer para ayudar a los alumnos a aprender la matemática. Los maestros saben. Ahora. Vol. te paso una copia del temario que siguen otros profesores que dan la misma materia. lo que no deben hacer. ya que incide positiva o negativamente en la manera en que sus alumnos la perciben. p. 108. el que orienta a los alumnos en las 36 ZOLKOWER. Diciembre 2000. Betina: “El sentido común en la resolución de problemas matemáticos”. NOVEDADES EDUCATIVAS. sigue el libro de fulano de tal. Es el organizador.61 COORDINADOR: “Es fácil. el coordinador de las actividades. muchas veces. que si quieres.36 La participación del profesor es esencial para el éxito de esta asignatura. Es el que llevan como texto de esa materia. 44. diseñen actividades de cálculo mental que desarrollen el sentido numérico y secuencias de situaciones problemáticas que guíen a los alumnos hacia la reinvención de modelos matemáticos. construyan trayectorias de aprendizaje. Se requiere que los docentes hagan matemática a su nivel y reflexionen a cerca de la importancia de usar en el aula situaciones genuinamente problemáticas y contextos realistas. . pero quizá gran parte de culpa la tiene el docente.
• Elige actividades para favorecer que los alumnos pongan en juego los conocimientos matemáticos que poseen. • Propone situaciones que contradigan las hipótesis de los alumnos.62 dificultades. graduándolas de acuerdo con su nivel. mediante preguntas que permitan conocer el porqué de sus respuestas. La actividad central del maestro en la enseñanza de las matemáticas va mucho más allá de la transmisión de conocimientos. • Promueve y coordina la discusión sobre las ideas que tienen los alumnos acerca de las situaciones que se plantean. el que pone contraejemplos para desestabilizar alguna postura de sus alumnos.37 Secretaría de Educación Pública: Libro para el maestro matemáticas cuarto grado. p.12. definiciones y algoritmos matemáticos: • Busca o diseña problemas matemáticos que sean adecuados para propiciar el aprendizaje de los distintos contenidos. favoreciendo la reflexión sobre los problemas y la búsqueda de nuevas explicaciones o procedimientos que los aproximen hacia la formalización de los conocimientos matemáticos. SEP.1995. México. 37 .
p. 38 AYALA. Además deberá estar al pendiente de que se cumplan los objetivos del aprendizaje del problema original. p.).LAS MATEMÁTICAS EN LA ESCUELA PRIMARIA El Sistema Educativo Mexicano ha materializado uno de los más grandes anhelos que ha tenido históricamente nuestro pueblo: educación elemental para todos. recortes y seudo-recortes de diarios.63 En el aprendizaje basado en problemas el rol del maestro es el de facilitador. Vol. Se puede afirmar que en el ámbito de la cobertura han sido significativos y de gran trascendencia los avances logrados. mapas. diseñador y evaluador del aprendizaje. Se debe trabajar con fragmentos de la realidad susceptibles de ser estructurados por los alumnos (dibujos. esquemas. etc. espacio pedagógico. vol. es quien debe “armar” el escenario de aprendizaje. gran parte de su tiempo como instructor deberá emplearlo para motivar a los estudiantes.39 1.. 1. CONVERGENCIA. . Madya: “Un repaso a la metodología de aprendizaje basado en problemas”. 46. fotografías. NOVEDADES EDUCATIVAS.4. funge como planeador.13 39 ZOLKOWER. 108. Betina: “El sentido común en la resolución de problemas matemáticos”. Diciembre 2000.38 La intervención didáctica del docente debe ser fuerte en el sentido de la facilitación de los procesos de la matematización progresiva y en evitar el abuso de materiales tangibles y de problemas de enunciado verbal. Diciembre 2002. sin anticiparse a mencionarlos.
p. o sea. programas y libros de texto.11 . se enfatizó en el uso de las matemáticas en la resolución de problemas prácticos.41 Se plantean problemas que el alumno resuelve libremente. así como también en la acción de los niños que al resolver problemas están construyendo el significado de las operaciones. En el proceso de la reforma de contenidos. con igualdad de acceso. Se hace hincapié en la resolución de problemas como el sustento de los nuevos programas. uno de los criterios que prevaleció fue en torno a fortalecer los conocimientos y habilidades realmente básicos. 1993. 40 41 Secretaría de Educación Pública: Plan y Programas de Estudio. la Secretaría de Educación Pública dirige su atención a donde hemos dejado mucho que desear. México. para posteriormente proceder a la formulación de propuestas de reforma.64 La educación primaria ha sido a través de nuestra historia el derecho educativo fundamental al que han aspirado los mexicanos. al terreno de la calidad en la educación.p. En la asignatura de matemáticas. Una escuela para todos. al suscribirse el Acuerdo Nacional para la Modernización de la Educación Básica. particularmente. 9. ha sido una de las demandas populares más sentidas. Se evaluaron planes. que sirva para el mejoramiento de las condiciones de vida de las personas y el progreso de la sociedad. Ivid. 40 Afortunadamente. y de esa manera van adquiriendo el sentido de su quehacer diario y el porqué de los procedimientos canónicos.. SEP.
a los repartos objetivos o iteración de cantidades y las 42 Secretaría de Educación Pública: La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria.4. Sus recursos serán informales al principio. utilizando los conocimientos que ya poseen. precisan enfrentar numerosas situaciones que les presente un problema.Aprender por medio de la resolución de problemas Para aprender.42 La creatividad y originalidad del niño son sorprendentes. p.65 1. pero poco a poco. y generar sus propios recursos para resolverlas.. con la experiencia que vaya adquiriendo. que es una de las tareas de la educación primaria. México. . en donde los alumnos intenten resolver los problemas con sus propios procedimientos y estrategias. SEP.9. detectaremos una gran variedad de recursos matemáticos no canónicos. 1995. un reto.A. con la interacción con sus compañeros y la ayuda del maestro. Si los docentes propiciamos un ambiente de confianza y seguridad. mismos que son la base para llegar a la matemática formal. los alumnos necesitan “hacer matemáticas”. evolucionarán hacia la formalización del conocimiento. Estos investigadores clasificaron las estrategias empleadas por los niños en la resolución de problemas de la siguiente manera: descriptivas. es decir. cuando aluden a la representación gráfica.
José: La división: un problema difícil de operacionalizar.43 Consideramos que en la resolución de problemas de división los niños construyen los significados de ésta. se están trabajando las “matemáticas útiles”. Vol.44 Se debe partir de la resolución de problemas. ZAVALA. Betina: “El sentido común en la resolución de problemas matemáticos”. En la didáctica realista se destaca: el uso de contextos realistas no sólo como dominio de aplicación sino también como punto de partida para la matematización. Sergio. el alumno le CEBALLOS. p. la multiplicación con hueco o a la división convencional. 4° Congreso de Investigación educativa. uno de los grandes errores que cometemos los maestros de primaria es creer que desde el momento en que los alumnos están resolviendo problemas matemáticos. el lugar central que ocupan las producciones libres y construcciones de los alumnos. 44 43 . 108. (disponible en CD-ROM) ZOLKOWER. URIEGAS. Diciembre 2000. el papel del docente como guía y la fuerte interrelación de los ejes curriculares. 45. Manuel. Sin embargo. se enfatiza en la importancia crucial de la interacción. sin realmente preocuparse por la verdadera utilidad cotidiana de los problemas.66 constructivas. que son aquellas que se refieren a la duplicación de cantidades. Poco a poco. y en este proceso el alumno podrá percatarse de que los conocimientos o nociones matemáticas son herramientas útiles que le ahorrarán tiempo y esfuerzo. NOVEDADES EDUCATIVAS.
ideas. partiendo de lo que ya se sabe. por ejemplo con números más grandes. se pueden volver experiencias muy gratas. Los ensayos. Cuando el niño resuelve otros problemas similares. Es muy común ver como los niños de primaria resuelven un problema de división.45 Esto es similar a cuando un niño se enfrenta un acertijo. los errores y las rectificaciones son parte esencial del proceso de construcción de conocimientos matemáticos y. por ejemplo con el procedimiento de 45 Secretaría de Educación Pública: La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. que posteriormente serán estudiadas por sí mismas.67 va encontrando sentido a éstas herramientas (algoritmos). La resolución de un problema nuevo se inicia casi siempre con procedimientos de ensayo y error: se prueban hipótesis. nos percatamos que nunca trata de aplicar conocimientos matemáticos sofisticados. resultados particulares. si se realizan con libertad y confianza. SEP. una adivinanza o un juego. p. en un problema más complejo.19. . Sin embargo. sino de buscar y construir estrategias para resolverlos. llega al grado de institucionalizarse. México. 1995. propicia el abandono de procedimientos muy ligados a casos particulares y la construcción de otros más generales y sistemáticos. poco a poco se van construyendo ciertas relaciones que permiten elaborar procedimientos más sistemáticos. Los maestros de primaria encontramos que cuando los niños adquieren confianza en un procedimiento y su uso se prolonga demasiado tiempo.
Los alumnos no se encuentran en ese contexto o entorno social matemáticas. las situaciones especiales que se presentan en el aula nos muestran que están muy alejadas de un contexto en donde los problemas puedan tener sentido y significado para nuestros niños. que se refiere al campo de utilización de este conocimiento. p. Es por todo lo anterior que los niños deben saber qué tiene el algoritmo de la división. 1993. y el nivel interno.12.Sentido y significado a las matemáticas Los conocimientos matemáticos deberían ser utilizados por los alumnos como herramientas funcionales y flexibles al enfrentarse a situaciones problemáticas. para poder resolver 46 Secretaría de Educación Pública: Plan y Programas de Estudio. en su estructura. siendo tanta su confianza y seguridad con la estrategia que prácticamente se niegan a abandonarlo o sustituirlo en una evolución natural. . que considera el cómo funciona tal recurso y por qué funciona. ¿cómo podremos darle sentido y significación a las matemáticas enseñadas en el aula? Para que un conocimiento esté cargado de significado y tenga sentido para nuestros alumnos debe pensarse en dos niveles: el nivel externo. México. y a los límites de ese campo.68 aproximaciones mediante multiplicaciones. 1. SEP.. y cultural en donde se puedan producir Entonces.4.B. que es nuestro caso.46 Sin embargo.
Un problema sería un tema de investigación de dificultad suficiente sin ser excesiva y al cual el alumno podrá consagrar un tiempo suficiente. 3.69 alguna situación planteada.47 Los conocimientos adquiridos por los alumnos empiezan a ser trascendentes y a tener sentido para los alumnos en el momento en que ellos los apliquen para resolver problemáticas nuevas. ZOLKOWER. NOVEDADES EDUCATIVAS. .48 1. Paidós. 1994.49 47 SAIZ Irma: Didáctica de las matemáticas.PROBLEMAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS Es necesario proponer a los alumnos problemas y no meramente ejercicios de aplicación. 108. Argentina. y la resolución no es inmediata.59. Betina: “El sentido común en la resolución de problemas matemáticos .51-63. Abril 1991. 49 48 PARRA. vol.. p. Blanca: “La resolución de problemas en la construcción de esquemas de razonamiento”. Un problema plantea una situación que debe ser modelada para encontrar la respuesta a una pregunta que se deriva de la misma situación.5. Vol. cómo funciona tal algoritmo. Diciembre 2000. y sea relevante para la sociedad. EDUCACIÓN MATEMÁTICA. 44. pp. p. permanezca cercana a los niños. La enseñanza de la matemática tiene valor como actividad humana sólo en la medida en que esté conectada con la realidad. cómo fue evolucionando en su estructura y naturaleza para convertirse en la herramienta que es.
UPN. a cuestionarlos. • Ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno a hacer evolucionar los conocimientos anteriores. México. • Poder ser investigado por el alumno. 1994. 50 . La sanción o validación es preferente que no venga del maestro. p.70 Mencionaremos algunas de las principales características que deben reunir los problemas para poder considerarlos como tales. no quedar desarmado frente a ella. • Permitir al alumno utilizar los conocimientos anteriores. Universidad Pedagógica Nacional: Construcción del conocimiento matemático en la escuela. Se menciona que para que las situaciones planteadas al alumno sean verdaderos problemas por resolver deben: • Ser comprendidos por los alumnos (que éstos puedan prever lo que puede ser una respuesta al problema). • Ser un reto o desafío para el alumno. sino de la situación misma.50 Además de las características anteriores. que solicitar pruebas a los otros. debemos conducir a los alumnos a percibir que les es más conveniente establecer ellos mismos la validez de lo que afirman. a elaborar nuevos.20.
51 “Una vez que el problema ha sido replanteado en los términos que he llamado operatorios . 3. en primer lugar. se puede establecer el plan para llegar a la respuesta de la pregunta planteada la elección del método de resolución. p. A él le corresponde observar las incromprensiones. vol. cambian los procedimientos de resolución . del algoritmo. 27. es importante presentar inicialmente situaciones con números muy pequeños para que ellos controlar las acciones que realizan. 52 Cuando se presentan problemas de mayor complejidad para los niños. 51 PARRA. p. 53 . 52 Ibid. Claudia: “Cambian los problemas. EDUCACIÓN MATEMÁTICA. Al ir aumentando su tamaño se provoca la necesidad de reconocer y utilizar una operación.. Blanca: “La resolución de problemas en la construcción de esquemas de razonamiento .59. Mayo 1998.71 La resolución de un problema implica. 4-5. 2) Traducir a una figura o esquema gráfico. se puede tal vez pensar en los métodos o algoritmos para su resolución. 3) Detectar un concepto clave para reorganizar los datos del problema. pp. es un tema en el cual debemos enfatizar y enfocar la atención. 60. EN LA ESCUELA. Abril 1991. Esto es. puede no ser canónica y requerir de la consideración de diferentes alternativas. BROITMAN.53 La actitud del maestro ante la construcción de un conocimiento matemático por parte de los alumnos al resolver problemas. su reformulación en otros términos: 1) Transformar el enunciado a símbolos. despreocuparse de los cálculos y centrarse en los problemas. Vol.
más bien. Otra de las características que deben formar parte del nuevo perfil del maestro. Betina: “El sentido común en la resolución de problemas matemáticos .54 ZOLKOWER. Diciembre 2000. otras ocasiones. estructuras. NOVEDADES EDUCATIVAS. nos ponen de manifiesto que la estrategia que utilizó en otros contextos o problemas le ha servido y le ha sido útil. sino. Guiados por el docente y en interacción con sus pares. Vol. operaciones y modelos de la matemática.72 los errores significativos. En particular. 108. En estas producciones erróneas encontramos en qué momento del proceso de aprendizaje se puede ubicar al alumno particularmente. Estas no corresponden a una ausencia de saber. a una manera de conocer. contra la cual el alumno deberá construir el nuevo conocimiento. 54 . El aprendizaje de la matemática involucra procesos de esquematización y formalización progresiva a partir de las soluciones informales y los razonamientos intuitivos de los alumnos. los alumnos reinventan los objetos. 45. analizarlos y tenerlos en cuenta para la elaboración de nuevas situaciones. p. Estos “errores”. va a topar el maestro en esta interesante actividad con ciertas producciones erróneas que persisten. es la tarea de revisar las producciones de los alumnos desde la perspectiva de una información sobre el estado de saber del niño.
73 1. en lugar de conectar las matemáticas con la experiencia diaria. Normalmente los problemas se presentan sin ningún contexto. Cuando los niños trabajan estos tipos de problemas. A menudo la simplicidad y la artificialidad de los problemas de palabras arruinan sus propósitos educativos. ¿Cuántas arañas vio Luis en total?. Así. no entienden sus propósitos y los ven como una imposición de parte de la autoridad inquisitiva que tienen enfrente. son la constante en los ejercicios fuera de contexto y sin sentido puestos en la escuela por docentes tradicionales. en el problema: Si un autobús puede llevar a 60 . los problemas la separan de ella y de la realidad. En el problema siguiente: Mientras exploraba su casa nueva Luis vio tres arañas en el primer piso y dos en el segundo. Por ejemplo. sobre galletas en cajas y naranjas en costales.A. Si consideramos el problema de las arañas.5.. Los problemas de palabras se vuelven tan faltos de sentido como las tablas de multiplicar. Problemas sobre pájaros en jaulas. se supone que estamos enseñando al alumno a solucionar problemas y muestran la utilidad de las matemáticas en la vida diaria.Problemas de palabras Los problemas de palabras son el agujero negro de las matemáticas en la enseñanza primaria: se invierte mucha energía en ello y no da ningún resultado. nos percatamos que no se parece en nada a los problemas de la vida real.
Para agravar el problema.¿Basta saber leer para resolver problemas? La asignatura de matemáticas. la creencia de que es una asignatura reservada sólo para “mentes privilegiadas” ha servido sólo para justificar su fracaso en el ámbito escolar. será muy difícil que un alumno los . ha presentado dificultades para su enseñanza.3 camiones. ¿es de más o de menos?. éstos. tradicionalmente. por lo que.5. una indicación de “léalo bien”. ha propiciado una desconexión entre éstos y su utilidad para resolver problemas cotidianos. en un primer intento de resolución.. etc. se tiene la falsa idea de que bastará que un alumno “lea correctamente “un problema matemático para que sea capaz de resolverlo. Es muy común que al plantear problemas a los alumnos.B.74 pasajeros. 1. La tradicional práctica pedagógica de enseñanza de las matemáticas basada en la memorización y mecanización de algoritmos o de fórmulas y ecuaciones sin un referente concreto. ¿cuántos autobuses serán necesarios para llevar a 140 personas?. por lo regular. recurriendo al docente con el consabido ¿con qué cuenta?. encontramos que a los niños se les dificulta encontrar la respuesta correcta porque desconocen muchos que no se puede alquilar un pedazo de camión y dan como respuesta 2. dejando de lado muchas implicaciones conceptuales. Obteniendo por respuesta. traten de averiguar qué operación u operaciones serán las adecuadas para resolverlos.
organizarlo de acuerdo a los recursos que demande. aprender a ser. AYALA.. p.13 57 56 55 Ibid. presentarlo y evaluar las alternativas de solución propuestas. plantearlo. Diciembre 2002. Roberto: “¿Basta saber leer para resolver problemas? . El acuerdo al que se llegó respecto a la responsabilidad de educar es que la institución escolar debe habilitar a sus estudiantes en el aprender a prender. CONVERGENCIA. Madya: “Un repaso a la metodología de aprendizaje basado en problemas”.C. La tarea de los alumnos es develarlo. cuya dinámica central es resolver un problema no estructurado de la vida real. Vol. espacio pedagógico. 1. así como también bien definida la función de la escuela al enfrentar estos retos.12.Metodología de aprendizaje basado en problemas Organismos mundiales como la UNESCO. y reformularlo si es necesario. CONVERGENCIA.. espacio pedagógico. tienen muy claro los retos educativos que enfrentan todos los agentes inmersos en esta tarea. vol. aprender a hacer y aprender a convivir.56 En esta metodología los estudiantes viven una experiencia activa. . 4.20. Enero 2004 p.5. p.75 identifique y aplique adecuadamente para resolver situaciones problemáticas planteadas aunque haya “leído bien”55 1.57 RICALDAY.
6. También el problema lleva implícito el objetivo general de aprendizaje que es: que el alumno tome conciencia de que la comparación es una herramienta útil en la evaluación de alternativas en la toma de decisiones. Ya que es la primera vez que te compras un equipo de sonido quieres tomar la mejor decisión considerando todas las variables posibles. La metodología en cuestión platea un ejemplo de problema donde el alumno es el protagonista central del mismo. 1. En tu casa siempre han usado las marcas Sony y Panasonic. Sin embargo.000 pesos para que compres el modular que siempre soñaste. hay muchas formas de obtener la respuesta correcta.. Desarrolla una estrategia para toma la mejor decisión. las cuales consideras buena opción. te has enterado que recientemente lanzaron nuevas marcas al mercado con mayores avances tecnológicos. pero los docentes quisiéramos saber dónde están los modelos de problemas idóneos y extraídos de la realidad concreta del niño.LA DIVISIÓN EN LA ESCUELA PRIMARIA De la misma manera que hay muchas formas de obtener la respuesta incorrecta. A continuación mencionaremos un ejemplo en un estudio realizado sobre cómo los niños dividen . Recién cumpliste 18 años y tus papás te regalaron 10.76 Se ha repetido hasta el cansancio de la descontextualización y falta de sentido y significado de los problemas planteados en el seno del aula.
La colocación espacial se vuelve irrelevante si la lógica del niño está bien desarrollada.. Este es un ejemplo de cómo obtener la respuesta correcta por azar. Así después de repartir las fichas. a cada persona alternativamente hasta que se han terminado las 18. Encontraron tres maneras.77 18 fichas entre dos personas. grosera y accidentalmente. o más.Un enfoque espacial El niño coloca espacialmente las fichas en una correspondencia uno a uno. 2. el niño puede realizar la tarea con los ojos cerrados. Después de repartir. que pueden considerarse tres niveles diferentes de obtener la respuesta correcta y únicamente el último de ellos estaba basado en un razonamiento lógico: 1. De esta forma. puede dar 9 a cada persona. especialmente si se cambia la configuración espacial. el niño puede terminar diciendo que hay más en un grupo. cuando se utiliza un procedimiento lógico.Un enfoque lógico El niño da una. los . puede terminar diciendo que hay más en un con junto si se cambia la disposición de uno de ellos. 3.. Después de repartir así las fichas..Un enfoque intuitivo (global) El niño reparte las fichas de una forma global.
Constance: Reinventando la aritmética: Madrid. estaremos interfiriendo directamente en el proceso de aprendizaje. Constance: Principios de enseñanza. 1992. Aprendizaje-visor. se refiere a los niños que reinventan la aritmética. 59 . porque en el fundamento teórico en que se basan los profesores tradicionales de matemáticas acerca de cómo aprenden los niños la aritmética. 21-33. pero no saben por qué funcionan los procesos matemáticos que aprenden en la escuela y carecen de la comprensión que les permitirá adaptar y aplicar sus habilidades en situaciones nuevas. restar. Los niños deben reinventar la aritmética al enseñarles a sumar. no da resultado. Según este autor. 207. Editorial Visor.58 En la medida en que entendamos cómo aprenden los niños aritmética. existen tres razones para sustentar lo anterior: la primera. multiplicar y dividir. pp. la segunda. 58 KAMII. pero. podremos intentar facilitar su aprendizaje.78 niños están tan seguros de su procedimiento que no necesitan volver a contar las fichas para saber con certeza que los dos recibieron el mismo número. p. como más competentes que los que han aprendido con el método tradicional. KAMII. si nuestra teoría del aprendizaje está equivocada. si aplicamos una metodología perfecta. y la tercera expone que los procedimientos inventados por los niños surgen espontáneos y de su manera natural de pensar. 1992. Madrid.59 Los alumnos dominan las habilidades de cálculo necesarias para resolver un tipo de problemas.
algunas de tipo conceptual y otras relacionadas con la complejidad de las reglas operatorias implicadas. México. para dividir. 60 FUENLABRADA..79 1. por otro lado. MORENO. la división no siempre es exacta. el alumno requiere del dominio del algoritmo de la sustracción y de la multiplicación. p.60 Algunos docentes-investigadores han realizado trabajos e investigaciones muy significativas relativos al tema. Eva: Introducción a la noción de división en la Escuela Primaria. México.A. 1996. un estudio didáctico. Desde la perspectiva de este autor. Irma: Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir. quien llevó a cabo una investigación-acción que consistió en la puesta a prueba de una secuencia de situaciones para la enseñanza de la división en 3° y 4° grado de primaria donde se propició la evolución de procedimientos para dividir. SEP.1994. Tal es el caso de Eva Moreno.6.61 En lo que concierne a la enseñanza de la división en la escuela primaria vemos que ya desde los primeros grados de educación primaria se llevan a cabo actividades con la finalidad implícita de que los alumnos se aproximen a la manera usual de dividir al estimar resultados y resolver problemas de reparto y que al mismo tiempo empiecen a reconocer problemas que se pueden resolver con este algoritmo. 61 .El algoritmo de la división La división es una operación compleja. como lo son las otras operaciones elementales. Tesis de maestría. DIECINVESTAV-IPN. habiendo para ello muchas razones. 94.
1995. desde la óptica de este autor. o como la operación que permite determinar un factor de una multiplicación. es más fácil que planear otro tipo de trabajo. Michèle: “La didáctica de la matemática. NOVEDADES EDUCATIVAS. es que los niños ni siquiera se dan cuenta de que están multiplicando.23. las matemáticas y la realidad: problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. donde el residuo puede ser nulo. los investigadores y los docentes .80 Tenemos una tendencia a la reducción algorítmica porque es más sencillo enseñar algoritmos. 63 VERGNAUD. Lo que pasa. Trillas. el verdadero resultado es la pareja (cociente. De lo cual se sigue que la división como regla operatoria no es exactamente la inversa de la multiplicación. a partir del otro factor y del producto. German: El niño. Octubre 2000. 115.62 La definición de la división como multiplicación inversa.63 Algunos errores frecuentes y evidentes: Cuando los niños encuentran una cifra en el cociente. no saben si la deben de multiplicar por la cifra de la derecha o la de la izquierda del divisor. de que ya repartieron una determinada cantidad para 62 ARTIGUE. Vol. Sin embargo. Se necesita hacer cambios regulares para luchar contra tareas que se vuelven totalmente estereotipadas y para hacer frente a una tendencia a la reducción algorítmica de la enseñanza. p. . México. y si el divisor es de dos cifras o más topan con el problema de que la cifra que encuentran en el cociente. p. tienen que multiplicar. el dividendo no es siempre el resultado de multiplicar el cociente por el divisor. constituye una acepción general de esta operación. residuo). 31.
eso está implícito..64 Este autor también hace hincapié en que aunque la resta y la multiplicación se encuentran inmersas en el algoritmo de la división. 64 FUENLABRADA.81 una persona y que lo que quieren ahora es multiplicar por el número de personas en que se está dividiendo para saber cuánto repartieron en total en esta ocasión. “quince para cuatro no se puede”. Hugo: Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir. entonces se dice: quince para veinticuatro.División Si al multiplicar obtienen como resultado 15 y resulta que de donde tienen que restar en el dividendo hay un 4. México. ¿porqué 15 para 24?. 12. nunca se dice nunca se explicita. Irma. ahora lo que buscan es una diferencia para saber cuánto sobró. en el procedimiento no quedan explícitas. BALBUENA. Lo anterior lo podemos explicitar más claramente en un ejemplo: 13 5 74 9 Figura 1. ya multiplicaron. Tampoco nunca se aclara que lo que están haciendo es una resta. pero. . 1994. SEP. p. 1º edición. quedan a nivel de algoritmo a nivel de procedimiento memorístico.
68 056 .82 Se subraya la necesidad de utilizar un procedimiento y una disposición espacial que permita al niño encontrar.68 o73 . German: El niño. una poderosa ayuda consiste en establecer previamente la tabla de los productos del divisor por los números del 1 al 9. México.División. el punto en que se encuentran: - El cuadro cuadriculado para el dividendo y el cociente.51 05 Figura 2. p. 65 . La escritura completa de las sustracciones necesarias. VERGNAUD. para esto. 1995. Trillas. sin vacilación.65 - A continuación mostramos un ejemplo: 17 1 4 4 3 24536 -1 7 075 .27.. las matemáticas y la realidad: problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. La eventual indicación de los cálculos accesorios para la búsqueda de la cifra que conviene al cociente.
Tabla de los productos del divisor por los números del 1 al 9..Y el residuo qué En las respuestas que dan los alumnos a los problemas propuestos en el aula es común encontrar en algún niño un cálculo de algoritmo correcto. en el siguiente problema: Un panadero hornea conchas en bandejas de 12 cochas cada una.83 17 17 17 17 17 17 17 17 17 x x x x x x x x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = = = = = = = = = 17 34 51 68 85 102 119 136 170 Cuadro 1. Por ejemplo.B.6. Este día amasó 142 conchas. 1. pero una respuesta incorrecta.División l .. ¿Cuántas bandejas tiene que preparar para hornearlas todas? En el problema anterior un alumno que aplique correctamente el algoritmo de la división puede encontrar los siguientes resultados correctos: 11 12 142 022 10 Figura 3..
División ll 11.División lV 11 11. Sin embargo si el niño no adquiere el significado completo de la división y de cada uno de sus componentes.0 022 100 04 Figura 4..83 12 142. nunca podrá darse cuenta que la respuesta correcta es: 12 bandejas.83 11 con resto 10 Cuadro 2.00 022 100 04 Figura 5...Resultados correctos de una misma división..8 11.8 12 142.84 11. . debido a que se necesita una última para hornear las 10 conchas que sobran.División lll 11 12 142 022 10 Figura 6.
C. En estas situaciones es donde nos atrevemos a decir que las herramientas matemáticas que se fueron construyendo iban cargadas de un gran significado para los individuos. etc. como respuesta a preguntas que el hombre se hace en la lucha por penetrar en los secretos inescrutables de la naturaleza. repartir la cosecha. 1. calcular créditos.Acerca del significado de la división Desde el hombre primitivo y el mundo antiguo. Las preguntas han variado.66 Sin embargo. espontánea y natural. las situaciones especiales que caracterizan el entorno de nuestras escuelas nos muestran todo lo contrario.85 En este problema los alumnos deberían fijar su atención en uno de los elementos de este algoritmo. p. tan descuidado en la práctica cotidiana: el residuo.15. o “el residuo especial”. . Los conocimientos matemáticos deberían ser utilizados por los alumnos como herramientas funcionales y flexibles al enfrentarse a situaciones problemáticas.. 1993. SEP.6. dependiendo de su origen y de su entorno. dividir tierras. Encontramos que están muy alejadas de 66 Secretaría de Educación Pública: Plan y Programas de Estudio. las actividades de los seres humanos nos hacen suponer que las matemáticas se han ido construyendo en forma lógica. México. Los hombres tuvieron que contar animales. como llamo en este trabajo aquel residuo que ocasiona que la respuesta del cociente no sea la verdadera.
tener el sentido de la división. Se piensa que saber dividir significa que pueda utilizar ese procedimiento usual para dividir. y otra cosa es el procedimiento que se puede utilizar para resolver esa operación. y a los límites de este campo. 68 . una cosa es que tenga idea acerca de qué hacer ante la división. y cultural en donde se puedan producir matemáticas Entonces. según ella. el saber para qué sirve la operación. y el nivel interno. imaginarse. Argentina. Sin embargo. un estudio didáctico. Los alumnos no se encuentran en ese contexto o entorno socioeconómico significativas.86 un contexto en donde los problemas pueden tener sentido y significado para nuestros niños. ¿cómo podremos darle sentido y significación a las matemáticas enseñadas en el aula? Para que un conocimiento esté cargado de significado y tenga sentido para nuestros alumnos debe pensarse en dos niveles: el nivel externo. la casita. Paidós.67 Uno de los problemas en esta operación se da por todos los pasos implícitos del procedimiento. que considera el cómo funciona tal recurso y porqué funciona. que se refiere al campo de utilización de este conocimiento. que tipo de problemas se pueden resolver con ella.51-63 MORENO. 1994. DIECINVESTAV-IPN. pp. o sea.68 67 SAIZ. México. Irma: Didáctica de las matemáticas. Eva: Introducción a la noción de división en la Escuela Primaria. Tesis de maestría. 1996.
Los niños deben conocer qué tiene en su estructura la división que hace posible que pueda resolver alguna situación planteada. Podemos decir que los conocimientos adquiridos van a empezar a tener sentido para el alumno en la medida en que él sea capaz de volver a darles significado en situaciones nuevas. así como su función. En este momento aparece en escena el docente y pone en evidencia al niño remarcándole su error. identificar cada una de sus partes. Hugo: Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir. entonces inventan el paso olvidado. saber también cómo fue evolucionando el algoritmo en su estructura y naturaleza para convertirse en la herramienta que es.69 Todo lo expuesto anteriormente nos hace reflexionar sobre el verdadero papel y la actitud que el maestro debiera adoptar al incursionar en la enseñanza de la división. Para algunos de ellos es muy fácil que se les olvide y como el niño es muy creativo. 69 FUENLABRADA. cómo funcionan sus mecanismos. BALBUENA. De lo que exponen los autores anteriores considero que se debe prestar especial atención al cómo y al porqué funciona el algoritmo. además paso a paso saber contextualmente qué es lo que se está haciendo. no se toma nadie la molestia de explicitarlos. Los niños nunca se explican porqué ese paso debe hacerse. (México: Secretaría de Educación Pública. ed. 1ª. 1994). Irma. p. en el algoritmo de la división “errores muy curiosos”: como son muchos pasos en la operación de la división y éstos están implícitos. 12 . de adaptar y transferir dichos conocimientos para resolver nuevos problemas.87 Se identifican.
88 En la medida en que el niño conozca las funciones y la finalidad de cada uno de los elementos que conforman este algoritmo y pueda prever su funcionamiento.Tipos de problemas de división Cuando utilizamos el término “problema” no nos deberíamos referir a la simple situación propuesta como enunciado-pregunta. pero como el objetivo es enseñar habilidades de resolución de problemas.6. Los niños son excepcionalmente bastante creativos cuando el docente realiza estas actividades. La Enseñanza de las matemáticas en la Escuela primaria.123.. difieren en la relación que se establece entre los datos. Aunque algunos de los problemas que se plantean en la escuela primaria se pueden resolver con una división. en lugar de conectar las matemáticas con la experiencia diaria. . p. podrá ir adquiriendo el sentido de la división.70 70 Secretaría de Educación Pública. 1. los problemas la separan de ella y de la realidad. México. Va a existir una verdadera situación problemática en la medida en que el alumno perciba una dificultad en su entorno.D. Los problemas son puestos para los estudiantes y no por los estudiantes. se debe recordar que poner un problema es una habilidad de ese tipo. 1995. SEP. Muchos de los problemas se presentan sin ningún contexto.
Problemas de agrupamiento o tasativa En los problemas donde se relacionan dos magnitudes de distinto tipo y puede decirse que se trata de repartir una en la otra. recibe el nombre de agrupamiento o tasativa: a) Se tienen 720 naranjas y se quieren poner 60 naranjas en cada costal. 1º edición. de tal manera que en cada costal haya la misma cantidad. Para los niños es más fácil reconocer la división en los problemas de reparto que en los problemas en los que se necesita saber cuántas veces cabe una cantidad en otra.89 En los problemas donde se relacionan dos magnitudes del mismo tipo y se trata de ver cuántas veces cabe una en la otra. México. BALBUENA. ¿Cuántas naranjas se deben poner en cada costal? d) Ana tiene 20 dulces y quiere repartir en partes iguales entre sus 5 amigos. recibe el nombre de reparto: c) Se tienen 720 naranjas y se quieren distribuir en 12 costales. ¿A cuántos amigos les puede dar dulces? Cuadro 3. Irma. Hugo: Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir..Problemas de reparto. 12. ¿Cuántos costales se necesitan? b) Ana tiene 20 dulces y quiere dar 4 a cada uno de sus amigos. . SEP. ¿Cuántos dulces le dará a cada uno? Cuadro 4. 1994.. p.71 71 FUENLABRADA.
y por otro lado.72 Al niño debemos darle su tiempo. Por tanto. Y es por esta mecanización que no se sabe lo que se está haciendo. México. BALBUENA. 1994. se hace fuera de contexto. qué corresponde el cociente y qué representa en la resolución de un problema. 72 FUENLABRADA. p. . 12. se enseña el algoritmo para resolver una operación. Irma.90 Cuando se enseñan las operaciones. Hugo: Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir. se trata que él mismo vaya construyendo sus propias deducciones que lo encaminen a llegar al procedimiento formal que es el fin último de la escuela. SEP. si en la escuela primaria evitamos la mecanización. propiciamos que ejerciten su forma genuina de pensar y que participen con sus propios procedimientos que ellos inventan en forma espontánea y natural. 1º edición. es decir. Es importante que en el proceso de aprendizaje de la división el maestro acepte los procedimientos que utilicen los niños y no trate de apresurar el uso del procedimiento usual para dividir. que por sí solas a los niños no les dice nada. la predeterminación de procedimientos y la memorización de reglas y fórmulas. desarrollarán una base cognitiva más sólida que contribuirá a que enfrenten satisfactoriamente las situaciones problemáticas que su entorno les presente. como una operación aislada. Posteriormente se ven problemas que se pueden resolver aplicando estas operaciones.
de multiplicación. pero que se supone que cada operación sirve para resolver un solo tipo de problemas. y sobre todo el poder explicitar el porqué de esa resolución. 73 .6. 1996. etc.E. encontramos que la variedad de estrategias correctas que resultan MORENO.91 I. se da por hecho que los niños ya saben sumar. válidas e indispensables para crear un saber colectivo. generando una actitud reflexiva al actuar.73 En la investigación-acción que llevaron a cabo estos investigadores lograron entender que los alumnos no responden a una sola vía de aprendizaje y que sus acciones debían despertar su inquietud hasta convertirla en una necesidad intrínseca para aprender a dividir. Tesis de maestría. el procedimiento usual para dividir no es el único medio para resolverlo. DIECINVESTAV-IPN. que hay problemas de división.. con suma.Estrategias de los alumnos al resolver problemas de división Al resolver un problema. ese problema se puede resolver igualmente con dibujos. multiplicación. México. restar y multiplicar. Al permitir que los alumnos construyan sus propios caminos de razonamiento. es un trabajo que no se hace. sus propias estrategias de resolución. y que se tienen que resolver exclusivamente con esas operaciones. Eva: Introducción a la noción de división en la Escuela Primaria: un estudio didáctico. Y todo ese trabajo que tendría que hacerse previamente a que aparezca el procedimiento usual para dividir. resta. sobretodo al hacer sentir a sus alumnos que todas sus estrategias son respetables. de suma y de resta.
IV Congreso de Investigación Educativa. después el resultado que se obtiene se resta al dividendo. . vol. de manera que éste va disminuyendo en cada estimación. Patricia: Una secuencia para la enseñanza de la división. CD-ROM. pues la siguiente se hace sobre el resultado de la resta. se multiplica por el divisor. 75 MARTÍNEZ. p. Una vez que los alumnos logran plantearse un problema que implica dividir como la búsqueda del factor (cociente hipotético) que multiplicado por el divisor se acerque al dividendo. Blanca: “La resolución de problemas en la construcción de esquemas de razonamiento . Se estima un cociente.59. EDUCACIÓN MATEMÁTICA. Algunos Conflictos didácticos.92 es muy grande y permite detectar las diferentes etapas que en la construcción de un concepto pueden aparecer. se propicia también un trabajo global con el dividendo. 2) En el procedimiento de cocientes parciales al igual que en el anterior. se dan a la tarea de buscar dicho factor por ensayo y error.75 74 PARRA. 3. Abril 1991.74 Algunos autores describen las principales estrategias utilizadas por los alumnos al resolver problemas de división de la siguiente manera: 1) El procedimiento de aproximaciones sucesivas mediante multiplicaciones consiste en buscar el resultado de una división trabajando de manera global con el dividendo.
¿Cuántos le tocan a cada niño? 19 ||| Figura 7. sacar la mitad de una estimación. o para acercarse más rápido. como establecer rangos intermedios..93 En la secuencia para la enseñanza de la división de Martínez.Correlación uno a uno en dibujos simples. desde la perspectiva de autores que han trabajado en el tema y que contribuyen al soporte teórico de esta investigación: 1. . A continuación vamos a esquematizar en forma resumida las estrategias principales utilizadas por los alumnos al resolver problemas que implican división. Poco a poco.. pusieron en marcha ciertos recursos para lograr mejores estimaciones. entre otros. a lo largo de las sesiones los niños empezaron a desarrollar ciertas estrategias para disminuir el número de multiplicaciones para encontrar el resultado. buscar la relación entre el resultado obtenido y el dividendo real.Si se van a repartir 19 chocolates entre 4 niños.
Estrategia por medio de sumas.Arreglos rectangulares 3 3 3 3 12 4 4 + 4 4 16 5 5 + 5 5 20 Figura 9. ...94 | | | | | | | | | | | | | | | | ||| Figura 8.
Cocientes parciales .43 38 Figura 11. 1500 ÷ 43 = 34 21+6+6+1=34 43 1500 -903 597 ..95 180 ÷ 12 =15 Factor Estimado 30 20 10 15 Producto 360 240 120 180 Figura 10.258 339 -258 81 ..Aproximaciones sucesivas mediante multiplicaciones.
.172 38 Figura 12.Algoritmo abreviado . 34 43 1500 210 38 Figura 13.96 34 43 1500 -129 210 ..Algoritmo convencional.
el instrumento de recolección de información se estructuró de la siguiente manera. Definición operativa: Se medirán mediante la realización por parte del alumno de una serie de problemas elaborados previamente. . Definición conceptual: Son las diferentes maneras. en los cuales el alumno trabajará con libertad y la confianza para utilizar las estrategias que considere pertinentes. Para evaluar y comprobar la hipótesis H1: “De la manera en que los docentes de primaria enseñen la división dependen las estrategias que los alumnos utilicen para resolver problemas que impliquen dividir”. ahí mismo se entrevista a los alumnos para que nos exprese la manera en que resolvió los problemas. formales o informales que utiliza el alumno al resolver problemas que implican división.1.DISEÑO DEL INSTRUMENTO DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN.. Se consideró como variable dependiente: a) Las estrategias del alumno al resolver problemas.97 CAPÍTULO II DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN II. Ante esto.
¿Cuántas carteras necesita? ¿Cómo le hice para llegar al resultado? 5...98 1. ¿Cuántos chocolates le tocarán a cada niño? ¿Cómo le hice para llegar al resultado? 2. ¿Cuántos lápices le tocarán a cada niño? ¿Cómo le hice para llegar al resultado? 3. Para cada vestido usa 3 metros. el hijo del señor granjero quiere acomodar 720 huevos en carteras de 24 huevos cada una. la señora costurera. tiene 24 metros de tela para hacer los uniformes de la escolta..En una granja. Hoy amasó 90 piezas. de manera que a cada niño le toque la misma cantidad de lápices. de manera que a cada niño le toque la misma cantidad.Cristina. quiere repartírselos a 9 niños.El panadero de Tepehuanes hornea sus piezas de pan en bandejas de 12 piezas cada una.El profesor Fernando trajo 897 lápices de Estados Unidos para regalárselos a los 23 alumnos que tiene en su grupo. ¿Para cuántos vestidos le alcanza la tela que tiene? ¿Cómo le hice para llegar al resultado? 4. ..La maestra Irlanda tiene 36 chocolates..
El ejercicio 4 pretende identificar las diferentes estrategias a las que recurren los alumnos cuando en problemas que implican división del tipo de agrupamiento o tasativa con cantidades un poco mayores que el problema anterior. Con el ejercicio 2 se identificará las estrategias de los alumnos al resolver problemas de reparto con cantidades un poco más grandes para tratar de identificar la reacción de los alumnos al enfrentarse a estas situaciones. específicamente el residuo.99 ¿Cuántas bandejas tiene que preparar para hornearlas todas? ¿Cómo le hice para llegar al resultado? Con el ejercicio 1 se pretende identificar las estrategias de los alumnos al resolver problemas de reparto con cantidades pequeñas para que el maniobrar con cantidades grandes no sea un obstáculo para resolver el problema. El ejercicio 3 pretende identificar en los alumnos las estrategias al intentar o al resolver problemas del tipo de agrupamiento o tasativa con cantidades pequeñas. Con el ejercicio 5 se pretende identificar si el alumno ha adquirido el significado y sentido de la división al considerar todos los elementos del algoritmo. ya que si considera el residuo y sabe su significado el problema planteado lo hará reflexionar que en este caso especial el cociente del algoritmo no es la respuesta correcta. .
¿considera las estrategias informales de los alumnos? ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE . Definición conceptual: Se entiende como la metodología empleada por el docente en la enseñanza del algoritmo de la división. Ante esto. sector 08. Se consideró como variable independiente: b) La pedagogía utilizada por el docente en la enseñanza de la división. el instrumento de recolección de información se estructuró de la siguiente manera. 1.100 Para evaluar y comprobar la hipótesis H1: “De la manera en que los docentes de primaria enseñen la división dependen las estrategias que los alumnos utilicen para resolver problemas que impliquen dividir”. ubicadas en el municipio de Guanaceví. Definición Operativa: Se medirá por medio de una entrevista dirigida a los docentes que trabajan en Educación Primaria en la zona escolar 84.-¿Cuando usted evalúa la resolución de un problema. del sistema federalizado y la zona escolar 25 del sector educativo 04.
Cuando se resta y se multiplica en el algoritmo de la división.¿Considera que sus alumnos se involucran activamente en todas las fases por las que pasa la solución de problemas? ....Cuando termina de impartir un curso de división. ¿aclara a los alumnos el porqué de estos procedimientos? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 4. ¿cree que sus alumnos logran tener idea de qué hacer ante la división. usted como docente.. imaginarse para qué sirve la operación y qué tipo de problemas se pueden resolver con ella? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 6..¿Ha escuchado o leído que en la división existen problemas de reparto y problemas de agrupamiento? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 5.¿Sus alumnos le han preguntado qué significa la resta en el algoritmo de la división? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 3. tener el sentido de la división.101 ( ) MUY FRECUENTEMENTE 2.
. se empieza a operar de izquierda a derecha? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 10.Considera que usted plantea situaciones problemáticas en donde el algoritmo de la división es utilizado como herramienta funcional y flexible? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 11. a diferencia de las otras operaciones elementales...¿Enseña la división como a usted se la enseñaron? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 8.102 ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 7.Usted enseña la división como un conocimiento acabado..¿Cuándo plantea problemas a sus alumnos revisa sus producciones para conocer el estado de saber en que se encuentran? .¿Explicita a sus alumnos la razón por la que en la división.. compacto y desprendido de las situaciones problemáticas que se resuelven con este algoritmo? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 9.
. ¿considera los conocimientos sus alumnos? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 15.103 ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 12. de confianza y de apoyo mutuo? ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE .¿Ha encontrado algunos problemas de división más difíciles que otros a pesar de tener las mismas cifras? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE previos de 14....¿Cuando enseña la división a sus alumnos utiliza alguna manera personal? ( ( ( ( ( ) NUNCA ) RARA VEZ ) ALGUNAS VECES ) FRECUENTEMENTE ) MUY FRECUENTEMENTE 13.Cuando enseña la división.¿Cuando alguno de sus alumnos tiene una duda al resolver un problema. usted permite que se analice en grupo y cada niño ayuda expresando su opinión en un contexto democrático.
tener el sentido de la división. sus alumnos logran tener idea de qué hacer ante la división. Con el reactivo 2 se pretende saber si los alumnos le han preguntado a los docentes qué significa la resta en el algoritmo de la división. . imaginarse para que sirve la operación y qué tipo de problemas de pueden resolver con ella. Con el reactivo 4 se pretende identificar si los docentes han escuchado o leído que existen en la división problemas de reparto y de agrupamiento. El reactivo 7 pretende identificar a los maestros que enseñan la división como ellos la aprendieron. Con el reactivo 3 se sabrá si el docente aclara a los alumnos porqué se resta y se multiplica en el algoritmo de la división.104 ( ) MUY FRECUENTEMENTE Con el reactivo 1 se evaluará si los docentes consideran las estrategias informales de los alumnos al revisarles los problemas. Con el reactivo 5 se pretende evaluar si cuando el maestro termina un curso de división. El reactivo 6 permitirá identificar si los alumnos de cada maestro se involucran activamente en todas las fases por las que pasa la solución de problemas.
a diferencia de las otras operaciones elementales. . de izquierda a derecha. El reactivo 10 pretende evaluar si el docente plantea situaciones problemáticas en donde el algoritmo de la división es utilizado por los alumnos como una herramienta funcional y flexible. Con el reactivo 14 se pretende evaluar si el docente considera los conocimientos previos de sus alumnos cuando enseña la división. El reactivo 13 tratará de identificar si los docentes han topado con problemas de división más difíciles que otros a pesar de tener las mismas cifras. para conocer el estado de saber en que se encuentran dichos alumnos. Con el reactivo 11 se pretende identificar si el maestro revisa las producciones de los alumnos. El reactivo 12 identificará si el docente en cuestión utiliza alguna manera personal cuando enseña la división.105 Con el reactivo 8 se pretende saber si los docentes enseñan el algoritmo de la división separado de los problemas que se resuelven con esta operación El reactivo 9 pretende evaluar si el docente aclara a sus alumnos porqué en esta operación se empieza a operar. al resolver problemas.
mismo que nos cedió un espacio en asuntos generales de su orden del día. II. Dgo. Los maestros se mostraron entusiastas y participativos cuando les solicité su colaboración y procedimos a la aplicación en el aula que ocupa la escuela primaria “Valentín Gómez Farías”. aclarándoles que la única finalidad de la encuesta era la realización del trabajo de investigación y que de ninguna manera se estaba atentando contra su manera de trabajar. .- APLICACIÓN DEL INSTRUMENTO DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN. Cuando se aplicaron las encuestas a los docentes de la zona escolar 84. ni se pondrían en evidencia los resultados obtenidos. Guanaceví. de confianza y de apopo mutuo. lugar donde estaban reunidos los maestros. Antes de iniciar la encuesta se les explicó a los entrevistados el objetivo de la encuesta. Algunos maestros de la zona escolar 25 se encontraban reunidos en un diplomado llevado a cabo en la Cabecera Municipal. Para aplicar las encuestas a los maestros del sistema federalizado. lugar que se aprovechó para aplicarles la entrevista. se pidió permiso al Supervisor Escolar.2.106 El reactivo 15 pretende evaluar si el maestro permite que las dudas de sus alumnos se analicen en grupo y cada niño coopera expresando su opinión en un contexto democrático. se aprovechó una reunión de carácter administrativo que se llevó a cabo en la comunidad de Agua Caliente.
107 Los docentes que no pertenecían a la zona 84 y que estaban cursando el diplomado en la escuela primaria “José Ma. Patoni” con clave 10EPR0183A, aceptaron que en un receso que ordinariamente tenían aceptarían la aplicación de la encuesta.
Los cinco problemas se aplicaron a los alumnos que cursan los grados de 4º,5º y 6º grados de primaria. Las escuelas seleccionadas fueron todas aquellas que estaban estratégicamente ubicadas, abarcando tanto aquellas escuelas de organización incompleta en donde labora uno o dos maestros, como las de organización completa donde labora un maestro por cada grado.
Para resolver los ejercicios, a los alumnos se les informa que tienen toda la libertad para utilizar las estrategias que ellos consideren, además se les pide de favor que en un apartado nos indiquen la manera en que llegaron al resultado.
Consideré necesario, en cada uno de los grupos empezar con una dinámica que ayudara a los alumnos a sentirse tranquilos y seguros.
II.3 ANÁLISIS DE DATOS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
Una vez aplicadas las encuestas a maestros y los problemas a los alumnos, se procedió al análisis de los datos contenidos en dichos instrumentos.
108 Para la obtención de resultados y el diseño de las gráficas que hicieron posible la interpretación de los resultados obtenidos en las encuestas, se empleó la hoja de cálculo Excel de Microsoft y el programa SPSS 11.00.
1.- La maestra Irlanda tiene 36 chocolates, quiere repartírselos a 9 niños, de manera que a cada niño le toque la misma cantidad. ¿Cuántos chocolates le tocarán a cada niño?
Gráfica 1.- Resultados obtenidos en un problema sencillo de reparto
109 En esta gráfica encontramos que 71 alumnos, o sea la gran mayoría, utilizó el algoritmo de la división para repartir 36 chocolates a 9 niños; 11 niños utilizaron una combinación, en donde utilizar dos o más operaciones; otros 11 niños utilizaron una multiplicación para resolver el problema; solamente tres niños utilizaron la suma como estrategia; y 7 niños utilizaron algún tipo de dibujo o esquema.
2.- El profesor Fernando trajo 897 lápices de Estados Unidos para regalárselos a los 23 alumnos que tiene en su grupo, de manera que a cada niño le toque la misma cantidad de lápices.
¿Cuántos lápices le tocarán a cada niño?
3. pues fueron 69 niños los que la utilizaron para resolver el problema de repartir 897 lápices entre 23 alumnos.Cristina.. Para cada vestido usa 3 metros. 6 más utilizaron la multiplicación.Resultados obtenidos en un problema complejo de Reparto En esta gráfica se ve claramente que de nuevo la mayoría de los alumnos utilizaron la división como estrategia.110 dibujos PROBLEMA COMPLEJO DE REPARTO suma multiplicacion combinacion 23 division 69 0 20 40 60 80 Frecuencia Gráfica 2.. y 3 el dibujo. tiene 24 metros de tela para hacer los uniformes de la escolta. la señora costurera. 2 utilizaron la suma. 23 niños utilizaron una combinación. ¿Para cuántos vestidos le alcanza la tela que tiene? .
9 12.Resultados obtenidos en un problema sencillo de Agrupamiento PROBLEMA SENCILLO DE AGRUPAMIENTO dibujos suma 13 multiplicacion 19 combinacion 9 division 59 0 10 20 30 40 50 60 70 Frecuencia Gráfica 3.111 PROBLEMA SENCILLO DE AGRUPAMIENTO Cumulative Percent 2.0 Valid dibujos suma multiplicacion combinacion division Total Frequency 3 13 19 9 59 103 Percent 2.3 100.7 57.. 13 utilizaron la suma. 19 prefirieron la multiplicación.9 15.Resultados obtenidos en un problema sencillo de Agrupamiento Según nos muestra la gráfica.6 18.6 18.3 100. .9 12.0 Valid Percent 2. 9 niños utilizaron una combinación.4 8.5 34.7 57.0 42..7 100. y sólo 3 utilizaron los dibujos.0 Cuadro 7.4 8. 59 niños utilizaron la división para resolver el problema de hacer vestidos con 24 metros de tela cuando un vestido requiere 3 metros para su elaboración.
En una granja.8 21.9 6.0 100.0 100.0 Valid Frequency dibujos 3 suma 4 multiplicacion 7 combinacion 22 division 67 Total 103 Percent 2.9 6.4 65.0 Valid Percent 2.9 6.6 35.9 3..Resultados obtenidos en un problema complejo de Agrupamiento PROBLEMA COMPLEJO DE AGRUPAMIENTO dibujos suma multiplicacion combinacion 22 division 67 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Frecuencia Gráfica 4.112 4.. el hijo del señor granjero quiere acomodar 720 huevos en carteras de 24 huevos cada una.0 100. ¿Cuántas carteras necesita? PROBLEMA COMPLEJO DE AGRUPAMIENTO Cumulative Percent 2.0 Cuadro 8.8 13..8 21.9 3.4 65.Resultados obtenidos en un problema complejo de Agrupamiento .
.6 5.. que 67 alumnos utilizaron la división como estrategia para acomodar 720 huevos en carteras de 24 huevos cada una.6 5.5 23. ¿Cuántas bandejas tiene que preparar para hornearlas todas? PROBLEMA CON RESIDUO ESPECIAL Cumulative Percent 2.6 100.9 17. 7 una multiplicación.8 24. y 3 dibujos.4 100.113 Nos muestra la presente gráfica.El panadero de Tepehuanes hornea sus piezas de pan en bandejas de 12 piezas cada una.0 Valid Percent 2.8 24. 22 utilizaron una combinación.9 14.Resultados obtenidos en un problema con residuo especial dibujos PROBLEMA CON RESIDUO ESPECIAL suma 15 multiplicacion combinacion 25 division 54 0 10 20 30 40 50 60 Frecuencia Gráfica 5.9 14.3 52.0 Valid dibujos suma multiplicacion combinacion division Total Frequency 3 15 6 25 54 103 Percent 2. 4 una suma.0 Cuadro 9.3 47.4 100.. Hoy amasó 90 piezas.3 52. 5.Resultados obtenidos en un problema con residuo especial .
9 7.00 3.8 3.00 16.7 25.9 7.00 21.114 Esta gráfica nos muestra con claridad que 54 alumnos utilizaron la división para saber cuántas bandejas de 12 piezas de pan se necesitan para hornear 90 piezas.00 20.9 11. 15 del total de niños utilizaron la suma.8 8.3592 22.4 27..00 Total Frequency 1 2 1 1 1 3 8 3 8 4 12 8 13 12 26 103 Percent 1.Suma de los resultados obtenidos en 103 alumnos al resolver 5 ejercicios de división .2 100.9 4.8 2.0 1. 25 niños se sintieron más seguros utilizando una combinación.8 2.9 11. Statistics SUMA N Mean Median Mode Std.Suma abreviada de los resultados obtenidos en 103 alumnos al resolver 5 ejercicios de división SUMA Cumulative Percent 1.0 1.1 42.6 11.0 1.0 1.00 13.8 100.00 22.00 Cuadro 10.0 1.0 1.8 12.5 19.00 14.6 11. sólo 6 prefirieron la multiplicación.0 Valid Percent 1.9 7.0 2.9 5.7 7.8 12.00 12.7 50.0 Valid 6.0 2.9 7.00 25.83189 2200.0000 25.2 31.9 1.9 1.00 10.0 2.00 24..0 Cuadro 11.2 100.7 25. y solamente 3 optaron por los dibujos como estrategia.00 23.5 63.00 17.7 7.8 3. Deviation Sum Valid Missing 103 0 21.1 74.00 18.7 16.00 19.9 3.
Cuándo usted evalúa la resolución de un problema. podemos ver que si todos los niños a los que se les aplicó el instrumento hubiesen utilizado la división como estrategia para resolver los cinco problemas. La misma gráfica nos arroja también que sólo 26 alumnos de un total de 103 utilizaron el algoritmo de la división para resolver los 5 problemas.00 13. sin embargo encontramos que nos dio una suma de 2200.00 18.00 10.00 20.00 19. lo que equivale al 85%.00 25.00 24.Suma de los resultados obtenidos en 103 alumnos al resolver 5 ejercicios de división En la gráfica de suma..00 0 3 8 3 8 4 12 8 13 12 26 10 20 30 SUMA Frecuencia Gráfica 6.00 22.00 16.00 23.115 SUMA 6..00 14. 1. se obtendría una suma de 2575. ¿considera las estrategias informales de sus alumnos? .00 21.00 12.00 17. lo que equivaldría al 100 %.
116 Considera estrategias Cumulative Valid Percent Percent 24.0 24.0 100.0 Valid Frequency algunas veces 6 frecuentemente 13 muy frecuentemente 6 Total 25 Percent 24. frecuentemente considera las estrategias informales que los alumnos utilizan para .0 52.0 24.Resultados obtenidos al preguntar a los maestros si consideran las estrategias informales algunas veces 6 Considera estrategias frecuentemente 13 muy frecuentemente 6 0 2 4 6 8 10 12 14 Frecuencia Gráfica 7.0 76.0 Cuadro 12.0 24.0 52.0 100..Resultados obtenidos al preguntar a los maestros si consideran las estrategias informales En esta gráfica encontramos que 13 del total de los maestros encuestados.0 100..
0 36.0 20.0 100.117 resolver problemas que implican división.0 16..0 48. mientras que 6 de ellos sólo las considera algunas veces y otros 6 las considera muy frecuentemente.0 Valid Percent 16.0 48.0 100.0 Valid nunca rara vez algunas veces frecuentemente Total Frequency 4 5 12 4 25 Percent 16. 2..0 16.0 100.0 84.0 Cuadro 13.¿Sus alumnos le han preguntado qué significa la resta en el algoritmo de la división? Preguntan por la resta Cumulative Percent 16.Este es el resultado al preguntar a los maestros si sus alumnos le preguntan por la resta en la división .0 20..Este es el resultado al preguntar a los maestros si sus alumnos le preguntan por la resta en la división nunca 4 Preguntan por la resta rara vez 5 algunas veces 12 frecuentemente 4 0 2 4 6 8 10 12 14 Frecuencia Gráfica 8.
usted como docente.0 56.Cuando se resta y se multiplica en el algoritmo de la división.0 100.0 100.0 24.0 16..0 16.0 Cuadro 14.0 100.0 Valid rara vez algunas veces frecuentemente muy frecuentemente Total Frequency 2 4 14 5 25 Percent 8. a 5 de ellos sus alumnos rara vez los cuestionan.Arroja resultados de si los maestros aclaran las operaciones implícitas en la división .Arroja resultados de si los maestros aclaran las operaciones implícitas en la división Aclara operaciones en algoritmo rara vez algunas veces 4 frecuentemente 14 muy frecuentemente 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Frecuencia Gráfica 9. 3.0 20.0 Valid Percent 8. sólo a 4 frecuentemente los cuestionan sus alumnos.118 Esta gráfica nos arroja que 12 maestros son cuestionados algunas veces por los alumnos sobre la resta en la división.0 20. ¿aclara a los alumnos el porqué de estos procedimientos? Aclara operaciones en algoritmo Cumulative Percent 8..0 80.0 56. y 4 maestros nos dijeron que nunca han sido cuestionados al respecto..
0 12.0 12.0 Valid nunca rara vez algunas veces frecuentemente muy frecuentemente Total Frequency 1 2 3 8 11 25 Percent 4.0 44..0 8. 4.0 24.0 56.0 Cuadro 15.. y solamente 2 maestros reconocen no explicitar el porqué de la resta y la multiplicación en el algoritmo de la división.0 100.0 12.0 8.119 En esta gráfica vemos que 14 de los maestros encuestados se preocupan por explicitar frecuentemente a los alumnos la razón por la que se resta y se multiplica en la división.0 Valid Percent 4.¿Ha escuchado o leído que en la división existen problemas de reparto y problemas de agrupamiento? Conoce de Reparto y Agrupamiento Cumulative Percent 4.Aquí nos aclaran los docentes si han escuchado de problemas de reparto y de agrupamiento.0 32.0 32.0 44.0 100.0 100. . encontramos también que 5 de ellos lo explicitan muy frecuentemente. 4 de ellos lo hace sólo algunas veces.
¿cree que sus alumnos logran tener idea de qué hacer ante la división.Aquí nos aclaran los docentes si han escuchado de problemas de reparto y de agrupamiento. 3 de ellos lo han escuchado algunas veces.. Esta gráfica es muy clara al mostrarnos que 19 de los docentes encuestados han escuchado o leído frecuentemente o muy frecuentemente que existen problemas de división de tipo reparto y de tipo agrupamiento. imaginarse para qué sirve la operación y que tipo de problemas se pueden resolver con ella? . 5.120 Conoce de Reparto y Agrupamiento nunca rara vez 2 algunas veces 3 frecuentemente 8 muy frecuentemente 11 0 2 4 6 8 10 12 Frecuencia Gráfica 10. dos rara vez lo han escuchado o leído.. tener el sentido de la división.Cuando termina de impartir un curso de división. y sólo 1 de ellos nunca lo ha escuchado o leído.
0 64.0 muy frecuentemente 2 8.0 Frequency Percent Valid Percent Valid rara vez 1 4.0 Cuadro 16.0 4..0 100..Resultados obtenidos al preguntar si sus alumnos logran tener sentido de la división rara vez Tienen sentido de la división algunas veces 15 frecuentemente 7 muy frecuentemente 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Frecuencia Gráfica 11.0 60.0 algunas veces 15 60.0 Total 25 100.0 92.121 Tienen sentido de la división Cumulative Percent 4.0 8.0 frecuentemente 7 28.0 100.0 28.Resultados obtenidos al preguntar si sus alumnos logran tener sentido de la división .
0 36.0 algunas veces 12 48. dos maestros reconocen que lo logran muy frecuentemente.122 En esta gráfica encontramos que 15 maestros reconocen que sus alumnos logran el sentido de la división sólo algunas veces después de un curso que ellos imparten.0 Cuadro 17. y sólo 1 maestro rara vez lo logra.0 100.0 48.0 Frequency Percent Valid rara vez 4 16.0 16. encontramos también que 7 maestros frecuentemente logran que sus alumnos adquieran el sentido de la división.¿Considera que sus alumnos se involucran activamente en todas las fases por las que pasa la solución de problemas? Considera fases de problemas Cumulative Valid Percent Percent 16.0 64..0 100.Arroja resultados sobre si sus alumnos se involucran en las fases de la solución de problemas . 6.0 frecuentemente 9 36..0 Total 25 100.
7. 12 consideran que sus alumnos algunas veces solamente se involucran activamente en todas las fases por las que pasa la solución de problemas.. y 4 creen que rara vez sus alumnos atraviesan por dichas fases.123 Considera fases de problemas rara vez 4 algunas veces 12 frecuentemente 9 0 2 4 6 8 10 12 14 Frecuencia Gráfica 12. 9 maestros considera que frecuentemente sus alumnos lo hacen.Arroja resultados sobre si sus alumnos se involucran en las fases de la solución de problemas En esta gráfica se muestra que los maestros quedaron agrupados en tres partes.¿Enseña la división como a usted se la enseñaron? ..
0 76.0 4.0 20.0 100..0 24.0 100.Nos sirve para saber si los maestros enseñan la división como la aprendieron Enseña la división como la aprendió nunca 5 rara vez 6 algunas veces 8 frecuentemente 5 muy frecuentemente 0 2 4 6 8 10 Frecuencia Gráfica 13.Nos sirve para saber si los maestros enseñan la división como la aprendieron .0 20.0 44.0 24..0 32.0 32.0 96.0 Valid Percent 20.0 100.0 Valid Frequency nunca 5 rara vez 6 algunas veces 8 frecuentemente 5 muy frecuentemente 1 Total 25 Percent 20.124 Enseña la división como la aprendió Cumulative Percent 20.0 Cuadro 18.0 4.
6 de ellos sólo rara vez lo hacen.¿Usted enseña la división como un procedimiento acabado..0 100.0 84. 5 frecuentemente la enseñan como la aprendieron.0 100.0 32.0 frecuentemente 4 16.0 Cuadro 19.0 16.0 algunas veces 8 32.Nos ayuda a saber si se enseña la división separada de los problemas .0 Total 25 100. 8.0 rara vez 9 36.0 16.0 36. compacto y desprendido de las situaciones problemáticas que se resuelven con este algoritmo? Separa algoritmo de problemas Cumulative Frequency PercentValid Percent Percent Valid nunca 4 16. 5 nunca lo han hecho.0 16.125 En esta gráfica se expresa con claridad que 8 maestros enseñan algunas veces la división como ellos la aprendieron. y sólo uno lo hace muy frecuentemente.0 52..
Gráfica 14.- Nos ayuda a saber si se enseña la división separada de los problemas
En esta gráfica encontramos que 9 maestros rara vez enseñan la división por separado de los problemas que la originan; 8 sólo algunas veces lo hacen; 4 muy frecuentemente lo lleva a cabo; y 4 nunca lo hace.
9.- ¿Explicita a sus alumnos la razón por la que en la división, a diferencia de las otras operaciones elementales, se empieza a operar de izquierda a derecha?
Explica porqué se opera de izquierda a D. Cumulative Percent 12,0 24,0 36,0 84,0 100,0
Cuadro 20.- Arroja resultados de si los maestros aclaran porqué se opera de izquierda a derecha en la división
Porqué se opera de izquierda a derecha
Gráfica 15.- Arroja resultados de si los maestros aclaran porqué se opera de izquierda a derecha en la división
En esta gráfica se muestra que 12 maestros frecuentemente explicita a sus alumnos porqué en la división se opera de izquierda a derecha; 4 lo aclara muy frecuentemente; 3 algunas veces lo aclara; otros 3 rara vez lo hace; y 3 de ellos nunca lo explicita.
128 10.- ¿Considera que usted plantea situaciones problemáticas en donde el algoritmo de la división es utilizado como herramienta funcional y flexible?
Gráfica 16.- Nos ayuda a saber si los maestros plantean problemas en donde los alumnos utilizan el algoritmo funcional y flexiblemente
0 12. 11. y sólo 1 considera que rara vez plantean situaciones problemáticas en donde el algoritmo es utilizado de esta manera.129 En la presente gráfica vemos que 16 maestros consideran que frecuentemente plantean situaciones problemáticas en donde el algoritmo de la división es utilizado en forma funcional y flexible.0 100. 3 maestros consideran que sólo algunas veces las plantean.0 64.0 100.0 Cuadro 22.0 12..¿Cuándo plantea problemas a sus alumnos revisa sus producciones para conocer el estado de saber en que se encuentran? Revisa para conocer estado de saber Cumulative FrequencyPercent alid Percent Percent V Valid algunas veces 3 12.0 76..0 24.0 frecuentemente 16 64.0 muy frecuentemente 6 24. 5 maestros consideran que muy frecuentemente plantean esas situaciones.Resultados obtenidos al preguntar si revisan las producciones de los alumnos para saber su estado de saber .0 Total 25 100.
¿Cuándo enseña la división a sus alumnos utiliza alguna manera personal? . y sólo 3 lo hacen algunas veces. 12...Resultados obtenidos al preguntar si revisan las producciones de los alumnos para saber su estado de saber Encontramos en esta gráfica que 16 maestros frecuentemente revisan los problemas de sus alumnos para conocer el estado de saber en que se encuentran.130 ¿Revisa para conocer el estado de saber? algunas veces 3 frecuentemente 16 muy frecuentemente 6 0 10 20 Frecuencia Gráfica 17. 6 maestros expresan que lo hacen muy frecuentemente.
0 100.0 Cuadro 23.0 100.Nos ayuda a saber si los maestros enseñan con un procedimiento personal la división .0 44..0 32..0 Valid Frequency nunca 2 rara vez 2 algunas veces 11 frecuentemente 8 muy frecuentemente 2 Total 25 Percent Valid Percent 8.0 16.0 8.0 8.0 32.0 8.131 Enseña de alguna manera personal Cumulative Percent 8.0 100.0 92.0 44.0 8.Nos ayuda a saber si los maestros enseñan con un procedimiento personal la división ¿Enseña a dividir de alguna manera personal? nunca 2 rara vez 2 algunas veces 11 frecuentemente 8 muy frecuentemente 2 0 2 4 6 8 10 12 Frecuencia Gráfica 18.0 8.0 60.
0 Total 25 100.0 12.0 100. 8 lo hacen frecuentemente.0 80. 2 de ellos rara vez lo hacen.0 16.0 20.¿Ha encontrado algunos problemas de división más difíciles que otros a pesar de tener las mismas cifras? Conoce problemas más difíciles que otros Cumulative Percent 12.0 28.0 100.0 rara vez 4 16. y otros 2 nunca lo hacen así.. 13.0 algunas veces 13 52.Resultados obtenidos al preguntar si los maestros conocen problemas de división más difíciles que otros . 2 con mucha frecuencia.132 En esta gráfica vemos que 11 maestros de los encuestados sólo algunas veces enseñan a dividir utilizando alguna manera personal.0 Valid Frequency Percent Valid Percent nunca 3 12.0 52.0 Cuadro 24.0 frecuentemente 5 20..
4 sólo rara vez los han encontrado. a pesar de tener la misma cantidad de cifras. y 3 maestros nunca han encontrado problemas como estas características.Resultados obtenidos al preguntar si los maestros conocen problemas de división más difíciles que otros Vemos en esta gráfica que 13 maestros encuestados respondieron que algunas veces se han topado con problemas de división más difíciles que otros.. .133 ¿Conoce problemas más difíciles que otros? nunca 3 rara vez 4 algunas veces 13 frecuentemente 5 0 2 4 6 8 10 12 14 Frecuencia Gráfica 19. 5 de ellos se han topado con estos problemas frecuentemente.
0 frecuentemente 14 56..0 Cuadro 25.0 100.0 56.Cuando enseña la división.134 14.0 32.0 muy frecuentemente 8 32.Se obtienen estos resultados al preguntar a los maestros si consideran los conocimientos previos ..0 68.0 12.0 Valid Frequency Percent Valid Percent algunas veces 3 12.Se obtienen estos resultados al preguntar a los maestros si consideran los conocimientos previos ¿Considera los conocimientos previos? algunas veces 3 frecuentemente 14 muy frecuentemente 8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Frecuencia Gráfica 20.0 100.0 Total 25 100. ¿considera los conocimientos previos de sus alumnos? Considera conocimientos previos Cumulative Percent 12..
135 En esta gráfica 14 maestros sí consideran frecuentemente los conocimientos previos al enseñar la división; 8 los consideran muy frecuentemente; y 3 sólo algunas veces los consideran.
15.- ¿Cuándo alguno de sus alumnos tiene una duda al resolver un problema, usted permite que se analice en grupo y que cada niño ayude expresando su opinión en un contexto democrático, de confianza y de apoyo mutuo?
Cuadro 26.- Resultados obtenidos al preguntar a los maestros si aclaran las dudas en un ambiente democrático
¿Aclara las dudas en grupo?
Gráfica 21.- Resultados obtenidos al preguntar a los maestros si aclaran las dudas en un ambiente democrático
En la gráfica presente encontramos que 12 maestros frecuentemente permiten que se aclaren las dudas de sus alumnos en grupo, en un contexto democrático, de confianza y apoyo mutuo, 6 maestros expresaron que lo permiten muy frecuentemente; y 7 de ellos sólo algunas veces lo permiten.
nos arroja resultados interesantes y dignos de considerar por todos aquellos interesados en incursionar en el difuso campo del saber. Esto. pero que creo que debe tomarse en cuenta al describir y analizar el proceso que el niño atraviesa para llegar a nivel máximo que pudiera ser el aplicar directamente el algoritmo de la división en la resolución de problemas. con la finalidad de plantear hipótesis. En lo concerniente al tema de investigación de este trabajo se encontró que muchos alumnos de primaria utilizan en forma correcta el algoritmo de la división al intentar resolver las situaciones problemáticas planteadas. Encontramos que muchos niños se encuentran en lo que pudiera ser una nueva etapa o subetapa que no había sido considerada anteriormente por ningún autor. por sentirse un poco inseguros. sin embargo. hasta culminar con la elaboración de una teoría que sirva de sustento y referencia al magisterio de nuestro país. Esta nueva etapa se refiere a aquellos niños que cuando resuelven el problema aplicando una división y aunque obtengan un resultado correcto.5º y 6º grados del nivel de primaria y con docentes de este mismo nivel. pero se equivocan en el procedimiento. experimentar. Considero de crucial importancia dirigir la atención hacia aquellos asuntos medulares de los programas de educación. es sólo cuestión de profundizar en el análisis del algoritmo y sus respectivas partes hasta lograr un dominio total. ya que en ellos recae la responsabilidad directa de formar a los futuros ciudadanos. se ven en . probar y comprobar.138 El presente trabajo de investigación llevado a cabo con alumnos de 4º.
Sin un niño traza unos dibujos o esquemas simples y encuentra el mismo resultado que con el algoritmo de la división estará plenamente convencido de que ese resultado es el correcto. incluso algunos niños que ya aplican el algoritmo se sienten más seguros del resultado cuando lo confirman con estrategias más simples como la suma iterada o dibujos simples. Encontramos también el caso de algunos niños que al intentar resolver un problema aplican la estrategia de suma iterada para llegar al resultado. En palabras de un niño de primaria: “Dividí 36 ÷ 9 y me dio 4. una multiplicación. Estos niños van bien encaminados y sólo falta que el maestro siga con este tipo de ejercicios.139 la necesidad de confirmar el resultado aplicando una nueva estrategia. pero alcanzan a darse cuenta del excesivo trabajo y esfuerzo que esto amerita y optan por la división. La estrategia está bien utilizada. En la multiplicación que les sirve para confirmar el resultado que obtuvieron con la división utilizan como multiplicandos el cociente y el divisor de la división misma. pues utilizan el algoritmo directamente como una poderosa herramienta. Se alcanza a percibir que las estrategias más simples son las que les inspira mayor confianza y seguridad. planteando primero problemas sencillos para que los . pero en algunos casos los niños tienen que comprobar el resultado para estar más seguros. dibujos o esquemas. y luego para ver si era cierto multipliqué 9 x 4 y así llegué al resultado”.
. el niño no sabe qué significa esa cantidad que se escribe abajo del último número de la división y con la cual ya no se puede seguir operando. Esto arroja que en la escuela primaria se está abusando en la enseñanza del algoritmo descontextualizado.5 bandejas. Este niño es un claro ejemplo de la mecanización en la enseñanza de este algoritmo pues parece que su maestro le enseñó a dividir hasta obtener decimales a partir de un residuo y él por cierto. Hay un niño que agrega un decimal en el algoritmo en el problema de las bandejas. por lo tanto.140 resuelvan con las estrategias que más pertinentes consideren. ni se aclara el porqué de cada parte. lo aprendió muy bien. sin desmenuzarlo y darle a cada parte su importancia y atención que requiere. su respuesta para hornear 90 piezas de pan en bandejas que sólo pueden hornear 12 piezas cada una es de 7. se enseña como un todo. en general. separado de los problemas. Se nota. Salvo raras excepciones. y poco a poco ir complicando los problemas hasta hacerles sentir la necesidad de utilizar un procedimiento nuevo que les ahorre tiempo y esfuerzo. Es aquí donde el maestro juega un papel determinante. No se explicita paso por paso. nadie consideró el residuo para dar una respuesta correcta en el problema de las bandejas de pan. la clave no está en enseñar un algoritmo como algo compacto y descontextualizado. un descuido por el residuo. delicado e insustituible. aunque en esta ocasión su respuesta estuvo equivocada porque como se ha mencionado en el marco teórico de este trabajo.
Los niños ven estos problemas un poco más confusos y optan por una estrategia diferente a la división. .141 También confirmamos con este trabajo que en los problemas de división de tipo agrupamiento o tasativa los niños tienen más dificultad para comprender que con una división se resuelve. Un niño cuando enfrentó uno de estos problemas comentó: “Pensé que no podía dividir. desde esta perspectiva y así pueda descubrir lo apasionante que resulta permitir que el niño vaya librando obstáculos y superando niveles. luego pensé e hice la multiplicación”. sin embargo considero que se requiere profundizar más en la teoría que recientemente circunscribe a este algoritmo de la división. para lograr llegar a la etapa anhelada y demandada por esta nueva sociedad que cada vez exige más calidad en el campo de la educación. sin importar el grado que cursen. Que cada maestro haga un alto en el camino y ponga a trabajar a sus alumnos. Los maestros tienen nociones sobre la división desde este nuevo enfoque que caracteriza a los Planes y Programas actuales.
142 BIBLIOGRAFÍA .
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