Source: https://es.scribd.com/doc/131802909/2-VECTORES
Timestamp: 2016-05-26 04:21:12+00:00

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El vector se representa mediante un par ordenado: = (8; 6) Donde:	x = 8 e y = 6
a)	Módulo
Es el número de unidades correspondientes a una magnitud que se le asigna al vector. A ó | |: módulo del vector “A”.
x; y: componentes rectangulares del vector
, se lee “vector A”. Se representa por cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior de la letra. También se le representa mediante un par ordenado: = (x; y)
RESOLUCIÓN Ordenando los vectores:	+ . hallar el módulo de: – .
1. su orientación respecto del sistema de coordenadas cartesianas en el plano.
. Ejemplo: Sabiendo que: = (5. Tan θ = Tan θ = ⇒	θ = 37°
c)	Sentido
Gráficamente se representa por una cabeza de flecha.	Adición de vectores
Cuando dos o más vectores están representados mediante pares ordenados. 3). Indica hacia que lado de la dirección (línea de acción) actúa el vector. 6). 6) y = (4. para hallar el vector resultante se suma las componentes rectangulares en los ejes x e y en forma independiente.	Sustracción de vectores
Cuando dos vectores están representados mediante pares ordenados. 6) þ = (5+4. 6) ü ý+ = (4. 6+6) = (9. se define mediante el ángulo que forma el vector con el eje x positivo en posición normal.FÍSICA
b)	Dirección
Es la línea de acción de un vector. 12)
2 2 | | = 9 + (12) = 225 Luego:	| | = 15
El módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:
2. 11) y = (7. Ejemplo: Sabiendo que: = (13.c o
= (5. hallar el módulo de: + . para hallar el vector diferencia se restan las componentes rectangulares de los vectores minuendo y sustraendo.
los vectores y K son paralelos de igual sentido.F
Sea la cantidad vectorial y K la cantidad escalar. = (–6. 9) Hallar las coordenadas del vector: RESOLUCIÓN Producto de un escalar por un vector:
Luego:	= (–4. y) Entonces:	K = K(x. 8) El módulo del vector diferencia se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: | | = Luego:	| | = 10
3. entonces K es un vector paralelo al vector . 11–3) = (6.
. donde el sentido depende del signo de k. y) K = (Kx. 6)
RESOLUCIÓN Ordenando los vectores minuendo y sustraendo: = (13. –	Si K es positivo. –	Si K es negativo.c o
. Debo advertir que K es un número real. Ky) De la última expresión. 3) – = (13–7. los vectores y K son paralelos de sentidos opuestos. entonces sus coordenadas también se multiplican por esta cantidad escalar.	Multiplicación de un vector por un escalar
El vector también se puede expresar como un par ordenado: = (x. PRIMER EJEMPLO: Si. 11) = (7. podemos deducir que si el vector se multiplica por un escalar.
trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro. 3+3) = (8.	Método del paralelogramo para sumar dos vectores
El módulo del vector resultante es: A y B	R	θ	: Módulo de los vectores.FÍSICA
SEGUNDO EJEMPLO Si: = (4. 1) = (6. se construye un paralelogramo. 3) 3 = 3(2. 6) 10
4. El módulo del vector suma o resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores. 3) + 3 = (2+6. sabiendo que:
. 6) y = (2. + . 6) = (2.
Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen. : Ángulo que forman los vectores. 1) Hallar:	RESOLUCIÓN Producto de un escalar por un vector: = (4. : Módulo de la resultante.
La resultante de dos vectores es mínima. El módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 28 y la mínima es 4.	Resultante Máxima
La resultante de dos vectores es máxima cuando forman entre sí un ángulo de cero grados.
c. cuando forman entre sí un ángulo de 180°.FÍSICA
RESOLUCIÓN Para determinar el ángulo entre los vectores.5)
R = 49 ⇒	R=7
. Aplicamos el método del paralelogramo:
25 + 9 + 2(5)(3)(0.	Resultante Mínima
b. unimos el origen de los mismos O: Origen común de los vectores. Calcular el módulo de la resultante de estos vectores cuando formen un ángulo de 90°.
.	Resultante de dos vectores perpendiculares
Diferencia de dos vectores
La diferencia de dos vectores que tienen el mismo origen se consigue uniendo los extremos de los vectores.c o
A 2 + B2 − 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ Cos θ
RESOLUCIÓN Los vectores forman un ángulo de 53°. El vector diferencia D indica el vector minuendo A. calcular: | – |.
Ejemplo: Sabiendo que: | | = 5 y | | = 6.
RESOLUCIÓN Sabemos que:	A + B = 28 A–B=4 Resolviendo las ecuaciones tenemos: A = 16 y B = 12 Cuando los vectores forman un ángulo recto:
⇒	(16)2 + (12)2
5. Aplicamos la ley de Cosenos:
3 D = 25 + 36 − 2(5)( 6)   5
D = 25 ⇒	D=5
La componente en el eje x es: y Ax = A · Cos θ
A 0 θ Ax x Ay
. Ejemplo: En el sistema vectorial mostrado.
7. así sucesivamente hasta el último vector. manteniendo constante sus tres elementos (módulo. uniendo el extremo del primer vector con el origen del segundo vector.c o
El módulo del vector resultante es: ⇒	R=5
.	Método del polígono para sumar “n” vectores
Consiste en construir un polígono con los vectores sumandos. determinar el módulo del vector resultante.
RESOLUCIÓN Construimos el polígono vectorial.	Descomposición rectangular
Consiste en escribir un vector en función de dos componentes que forman entre sí un ángulo recto. entonces la resultante es cero.
Si el polígono de vectores es ordenado (horario o antihorario) y cerrado.F
. el extremo del segundo vector y el origen del tercer vector.FÍSICA
6. El módulo del vector resultante se determina uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector. dirección y sentido).
RESOLUCIÓN Descomponiendo el vector de módulo 10.c o
5 37° 8 x
PRIMER EJEMPLO En el sistema vectorial mostrado. respecto del eje x positivo. hallar la dirección del vector resultante.
Tg θ = ⇒	is
Si la resultante de un sistema de vectores es HORIZONTAL. entonces la componente HORIZONTAL es nula.
(1. entonces la componente VERTICAL es nula.1)
: vector unitario en el eje x.
. Σ Vectores (eje y) = 0
8.	Vectores Unitarios Cartesianos
y j –j (–1.	Si la resultante de un sistema de vectores es VERTICAL.c o
. entonces la componente horizontal es nula. determinar el módulo del vector que la resultante sea vertical.FÍSICA
SEGUNDO EJEMPLO En el siguiente sistema de vectores.–1)
Son aquellos vectores cuyo módulo es la unidad de medida y se encuentran en los ejes coordenados cartesianos. A·Sen 60° 30
Σ Vectores (eje x) = 0 A · Cos 60° – 40 = 0 A – 40 = 0 Luego: A = 80
II. : vector unitario en el eje y.
  3A = 3 | A |= 3 (10) 5 5 5  3A =6 5
RESOLUCIÓN Ordenamos verticalmente: =6 +2 =2 +4 + =8 +6 Cálculo del módulo: | + |= = 10
Sabiendo que:	= 6 + 2 y	Hallar el módulo del vector: +
=2 +4
PRIMER EJEMPLO: Sabiendo que: = 8 + 6 .F
a) VVV	b) FFF	c) VFF d) FFV	e) VVF 3.	Hallar el módulo del vector resultante de los vectores mostrados.5 j Halle el módulo de la resultante.	Dados los vectores: A =1.6j c) 0.8j d) –0.     -	Si A + B + C = 0 . -	La suma de tres vectores es siempre diferente de cero. ¿Cuál será el módulo de la resultante cuando formen un ángulo de 90°? a) 50 b) 6	c) 5 3 d) 8	e) 5  4. 4 cm 2 cm 3 cm a) 5	d) 10	b) 6	e) 10 c) 9
. 8 6 3 a) 5	d) 12	b) 6	e) 15 c) 7 60 9
7. -	Un vector tiene infinitos pares de componentes.6 j e) –0.	Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. -	La dirección de la resultante de dos vectores es siempre diferente de las direcciones de los vectores sumandos.F
8.	En la figura.4 i + 2.6 i + 1.8 i + 0.8 j 6.	Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: -	El resultado de sumar dos vectores no necesariamente es otro vector. significa que C debe  ser opuesto a la resultante de A  y B -	Si | A| =  | B | entonces se cumple que A = B a) VVV	b) FVF	c) FFF d) VVF	e) FFV 2. y 4 M 0 3 x
9.6 i + 0.	La máxima resultante de dos vectores es 7 y su mínima resultante es 1.8 i + 0.
.8j b) 0.6 i + 0.	Determinar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a) 1	b) 2	c) 3 d) 4	e) 5
a) 0.c o
3u 5u b) 4 u	e) 10 u 53 c) 6 u
a) 0 u	d) 8 u	w
.	Hallar el módulo del vector resultante si A = 3 y B = 2 D E B a) 6	d) 8	b) 7	e) 10 A C c) 5
5.5 j y  B = 1.	Determinar el vector unitario del vector M.FÍSICA
1.6 i – 0. determinar el módulo de la resultante de los vectores mostrados.
1. B .	Tres vectores A .c o
11. a) 3	b) 2	c) 1/3 d) 4	e) 5
1. | B | = 10 A C 60 60 B a) 20	d) 10 3 b) 10	e) 30 c) 20 3
. Determinar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. y 20 60 40 a) 60°	d) 53°	b) 37°	e) 30° c) 45°
2.c 9. a) 30°	b) 60°	c) 90° d) 120°	e) 45°
CLAVES 3.c 11.d 12.	Dados dos vectores de igual módulo los cuales forman un ángulo de 37°.	Hallar el valor del ángulo θ para que la resultante de las fuerzas que se muestran en la figura sea horizontal.F
F2=10N y
12.   El ángulo que deben formar A y B    para que A + B + C sea cero.FÍSICA
10. Hallar la relación entre el módulo del vector resultante y el módulo del vector diferencia de los mismos. será: a) 30°	b) 45°	c)60° d) 120°	e) 180° 15.	ABCD es un cuadrado.d
37 F3=20N a) 30°	d) 60°	b) 37°	e) 45°
1 3A + B 2
A 4 120 24 b) 6	e) 8 B c) 24
a) 12	d) 16	13.a
2.b 6.e 13.	Hallar: A + B + C | A | = 10 .e 8.a 10.	Hallar α para que la resultante sea vertical.	Se tiene dos vectores de igual módulo que ángulo deben formar para que la resultante sea de igual módulo a uno de ellos.c 7.c 14.e 4. D C 2u A a) 2 u	d) 3 u	2u b) 0 u	e)
   14.	Hallar:
.b 15. C de igual módulo parten de un puerto común.c
a) 6	b) 8	c) 10 d) 12 3 e) 8 3
2.FÍSICA
3. Hallar el módulo del vector A .d 9. 5 3 u	c) 4 u .b
a) 60°	d) 30°	b) 16°	e) 37°
1. 16 u 5u b) 10 u .	Determinar el módulo de la resultante.b CLAVES 3. 6 3 u
8. F2 = 8 y F3 =7 Hallar la medida de “θ" para que la resultante sea nula.	Hallar el módulo del vector diferencia y del vector resultante del sistema mostrado. 4 3 u	e) 8 u . La resultante es de módulo: a) 10 N	b) 100 N	c) 50 N d) 10 13 N	e) 5 13 N 5.	La resultante de los dos vectores es perpendicular al vector A y su módulo es 3K.d 10. | A | = 3. se anulan.F
10.	Hallar la máxima resultante de dos vectores iguales.	Si: A + B + C =0.d
7.a 4. y F F x F 2 a) 30°	d) 53°	b) 45°	e) 37° c) 60°
.a 6.c o
A b) 4K	e) K c) 5K
a) 3K	d) 2K	w
. | C |= 7 Hallar el ángulo que forman A y B a) Cero	b) 45°	c) 30° d) 60°	e) 37° 6. | B | =5. y
a) 1	d) 4	b) 2	e) 5
4.b 5. Los vectores. Sabiendo que cuando forman 60° entre si su resultante tiene módulo a 4 3 .	Se muestra las fuerzas F1=(–4i+3j).	Dos fuerzas F1=10N y F2=30N forman un ángulo de 60°.	Hallar el valor del ángulo θ . 10 3 u d) 5 u .
9.a 8. 5u 60 a) 5u . 5k
.a 7.
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