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Timestamp: 2018-10-20 01:03:16+00:00

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Ecuación Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (sucesión de términos constituidos de números
y letras, cada término es separado del otro por un signo "+" ó "-"),en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2 x 2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5. 2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15. Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4. Tipos de Ecuaciones Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones. Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales, exponenciales, trigonométricas… Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x, que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. 3x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica. Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llama ecuación lineal. 5x + 7 = 3 (es lineal).
o sea. Son ecuaciones de este tipo: x2 . por ejemplo: sen (p/4 + x) – cos x = 1 Resolución de Ecuaciones Resolver una ecuación es hallar su solución (soluciones). En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica. Para resolver una ecuación. 4x = 1 + 7 4x = 8 . se las denomina cuadráticas. ó (x – 2)2 + 7x =5 + x. acordarse que la solución debe estar de acuerdo con el dominio de la función logarítmica): log (x + 1) = 10. siempre y cuando se mantenga la igualdad. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incógnita. o podemos llegar a la conclusión que no tiene solución.(x – 5)2 + 3 = x2 – 1 (No hay que dejarse engañar por las apariencias. por eso se dice que un numero que está restando "pasa" sumando). se despeja x de manera que al final queda una ecuación cuadrática. esta ecuación también es lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene: –10x + 29 = 0). como Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios. se pasa a otra equivalente cuya apariencia sea más sencilla. 4x – 7 = 1 (tenemos esta ecuación) 4x – 7 + 7 = 1 + 7 (Para que el – 7 se anule le sumamos 7.5x+ 3 = 0. por ejemplo: En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x = 8 En las ecuaciones logarítmica (inversa de las de tipo exponencial) la incógnita se encuentra afectada por el logaritmo. un polinomio de grado dos. (En este caso. Las ecuaciones polinómicas de segundo grado que responden a la estructura: ax2 + bx + c = 0. Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical. Para ello nos valemos de una propiedad matemática (propiedad uniforme) que nos permite poner un mismo número en ambos miembros de la expresión algebraica.
ax2 + c = 0 → ax2 = – c → x2 = – c/a → = 0 óx= siguientes se . Sin embargo. Resolución de ecuaciones cuadráticas No existe una única forma de escribir la ecuación cuadrática. despejando x concluimos que las soluciones son) x = 0 y x = – 5/3. por ejemplo. ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0 Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0. de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.4x : 4 = 8 : 4 (Para anular el cuatro que está multiplicando dividimos ambos mienbros por 4. Generalmente las ecuaciones cuadráticas se presentan de la forma polinómica: f(x) = ax2 + bx + c la que se resuelve mediante la ecuación cuadrática Por ejemplo. c = 3. b = 5. se resuelve así: Casos especiales Las ecuaciones de segundo grado de los tipos llaman incompletas porque les falta uno de los términos: ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0 Se pueden resolver aplicando la fórmula general. Por ejemplo: 3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0 → 3x + 5 0. Es el caso. En el primer caso. hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. En el segundo caso. pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x. por eso se dice que un numero que está multiplicando "pasa" dividiendo) Tiene una única solución: x = 2. la ecuación 2x2 + 5x + 3 = 0 de coeficientes a = 2.
x2 = z1 no da lugar a ninguna solución real de x. entonces se transforma en una ecuación de segundo grado: az2 + bz + c = 0 (2) Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos. Se llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. entonces x1 = . si z es solución de la ecuación (2). se abarca el conjunto de todas ellas con una llave. en la ecuación de segundo grado: z2 – z – 12 = 0 Cuyas soluciones son Por tanto. se pueden obtener hasta cuatro resultados aplicando: Sistema de ecuaciones: Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. se verifica que: si z1 > 0 . también x1 = 0 es raíz de (1).x2 – 12 = 0 se transforma. las únicas raíces reales de la ecuación son x1 = 2. mediante el cambio de variable x2 = z. si z1 < 0 . x2 = – 2. Resumiendo: las ecuaciones bicuadráticas cuya expresión es: ax4 + bx2 + c = 0 . Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas. x2 = son raíces de (1).17 = 0 → 3x2 = 17 → Resolución de ecuaciones bicuadradas Se llama bicuadrada a una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado impar: ax4 + bx2 + c = 0 (1) Si se realiza el cambio de variable x2 = z. una o ninguna solución de la ecuación inicial. por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Resolver un sistema de . Por ejemplo. con lo cual x4 = z2. la ecuación bicuadrada: x4 . si z1 = 0 .Por ejemplo: 3x2 . Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema. Así.
5y = 16 y 4x + y = 10 se expresa así La solución de este sistema es x = 3. el método de igualación y el método de reducción. la cual se transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver. o tiene infinitas soluciones (es indeterminado). si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1). Sistemas de Ecuaciones Lineales: Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax + by = c. un sistema compatible. Por ejemplo. El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra. Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución. pues no tiene solución. y = . por tanto. o bien tiene solución única (es determinado). A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene.2 porque es solución de ambas ecuaciones. Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución. ax + by + cz = d.…. es decir. El sistema es incompatible. de inmediato. Los sistemas de ecuaciones lineales son especialmente interesantes por las múltiples aplicaciones que tienen en diversas ciencias. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución. Es. Para resolver el sistema despejar la y de la segunda ecuación: por el método de sustitución conviene . Un sistema de ecuaciones lineales compatible. se dice que son equivalentes. el valor de la otra.ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. compatibles. el sistema formado por las ecuaciones 2x .
se elimine dicha incógnita. Para resolver por reducción el mismo sistema: . poder hallar el valor de y) Por último. x = 66 Þ x = 66 : 22 = 3 Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes: y = 10 – 4x = 10 – 4 · 3 = 10 – 12 = – 2 Se ha obtenido así la solución x = 3.(10 – 4x) = 16 Se resuelve la ecuación resultante. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas. se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones: (despejamos x en cada una de las expresiones para igualarlas y. pues sólo tiene una incógnita: 2x – 50 + 20x = 16 Þ 22 . de esa manera. Para resolver por igualación el sistema anterior.y = 10 – 4x (ahora se sustituye su valor en la primera) Þ 2x .5. dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. y = – 2. se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x: Se ha obtenido la solución x = 3. y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita. El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que. al restarlas miembro a miembro. El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones. obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita. y = – 2.
ax + by + cz = d. se representa generalmente mediante un plano en un sistema de R3.1). Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales: 2x – 5(–2) = 16 Þ 2x + 10 = 16 Þ 2x = 6 Þ x = 3 La solución es x = 3. el sistema es incompatible. Si las rectas son coincidentes (son la misma recta). Representación gráfica: La representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par de rectas. El punto en que se cortan las rectas. Una ecuación lineal con tres incógnitas. el sistema es compatible indeterminado: sus soluciones son todos los puntos de la recta. y = -2. y = 1. restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente: – 11y = 22 Þ y = 22 : (– 11) Þ y = – 2. (2. el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la solución del sistema. si éstas se cortan. Si las rectas son paralelas. el sistema de ecuaciones Se trazan ambas rectas y el punto donde se cortan es la solución del sistema. es la solución del sistema: x = 2. Por ejemplo.se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones: 4x – 10y = 32 y 4x + y = 10 Ahora. La representación de un sistema de tres .
Si el sistema de ecuaciones con tres incógnitas puede ser prepresentado por rectas en un espacio (por lo menos cuatro dimensiones).ecuaciones lineales con tres incógnitas consiste en tres planos cuya posición relativa determina que el sistema sea compatible o incompatible. . el sistema es compatible indeterminado. Pongamos un ejemplo: Factoriamos lo que sea factoriable Como no se repite ningún binomio en la suma. Se opera igual que una suma de fracciones. Se simplifican los denominadores quedando una ecuación lineal. en ese caso si las tres se cortan en un punto el sistema es compatible determinado. y. tomamos ambos como "común denominador".1) (x + 1) por cada uno de los denominadores y el resultado se lo multiplica por el numerador. Si no se cortan (no existe ningún valor para x. pues tiene infinitas soluciones. se divide (x . Si los tres planos se cortan en una recta. z) el sistema es incompatible. (ver rectas paramétricas) Resolución de ecuaciones racionales En este caso tenemos "fracciones" con polinomios. Se recomienda factoriar siempre el denominador para poder buscar el denominador común y reducir la operación a un polinomio (generalmente de primer o segundo grado) al que se lo resuelve como una ecuación común.
así que queda 102. la base es 10. Como no hay ningún número que indique la base del logaritmo.Se despeja x. el resultado del logaritmo es la potencia. En este caso es lineal así que se despeja x. . Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas En este tipo de ecuaciones se debe tener presentes las propiedades de logarítmos ya que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de otras. Por definición. Al resolverse el logaritmo queda una ecuación la que puede ser lineal o cuadrática. De ser cuadrática se aplica la ecuación para resolverla. Ecuación logarítmica: Aplicamos definición de logaritmo. Al quedar una ecuación se despeja x. Ecuación exponencial: Aplicamos logaritmo a ambos miembros de la ecuación.
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