Source: https://www.scribd.com/doc/66619312/Matematica-7-B
Timestamp: 2017-12-17 01:16:15+00:00

Document:
Uploaded by Marcelo Andrés Jaime Díaz
Números y Geometría Unidad 4. Datos y Azar Material de apoyo sugerido Anexos: Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares Anexo 2: Objetivos Fundamentales por semestre y unidad Anexo 3: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad Anexo 4: Relación entre Aprendizajes Esperados. habilidades y actitudes Objetivos Fundamentales Transversales Mapas de Progreso Consideraciones generales para implementar el programa Orientaciones para planificar Orientaciones para evaluar Matemática Propósitos Habilidades Orientaciones didácticas VISIÓN GLOBAL DEL AÑO Semestre 1 Unidad 1. Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) 5 6 6 8 9 11 13 16 19 23 25 26 35 41 42 54 64 68 69 70 72 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 4 .ÍNDICE PRESENTACIÓN Nociones básicas Aprendizajes como integración de conocimientos. Números y Álgebra Unidad 2. Geometría Semestre 2 Unidad 3.
organizados de acuerdo a unidades Unidades. Se trata de recursos bibliográficos y electrónicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector. El presente programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no cuentan con programas propios. 3 Relaciones interdisciplinarias. Además. lo que se expresa a través de los Aprendizajes Esperados2 una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación. Esta propuesta pretende promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el Marco Curricular1. a modo de sugerencia. a la vez. previa aprobación de los mismos por parte del Mineduc. habilidades y orientaciones didácticas. se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedagógico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivos que este propone. Ilustran formas de apreciar el logro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pueden usarse para este fin Material de apoyo sugerido. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la unidad.PRESENTACIÓN El programa es una propuesta para lograr los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico del año escolar. Consisten en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el trabajo en torno a él Propósitos. Se simbolizan con ® las actividades que relacionan dos o más sectores. incluyen indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3 • • Instrumentos y ejemplos de evaluación. Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son: • • • una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los OF y los CMO del Marco Curricular. La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programas de estudio. 2 1 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 5 . estos aprendizajes están formulados en los mismos términos que algunos de los OF del Marco Curricular. Todos los elementos del programa incluyen: • Nociones básicas. También entrega algunas orientaciones pedagógicas importantes para implementar el programa en el sector • • Visión global del año. se distingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes Decretos supremos 254 y 256 de 2009 En algunos casos. Esta sección presenta sintéticamente los propósitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendizajes del sector y las habilidades a desarrollar. Esto ocurre cuando esos OF se pueden desarrollar íntegramente en una misma unidad de tiempo. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que se debe desarrollar durante el año. Esta sección presenta conceptos fundamentales que están en la base del Marco Curricular y. sin que sea necesario su desglose en definiciones más específicas. ofrece una visión general acerca de la función de los Mapas de Progreso • • Consideraciones generales para implementar el programa.
usar la información de manera apropiada y rigurosa. examinar críticamente las diversas fuentes de información disponibles y adquirir y generar nuevos conocimientos. a la vez. Son fundamentales en el actual contexto social la continua expansión y la creciente complejidad del conocimiento demandan cada vez más capacidades de pensamiento que permitan. Las habilidades. entre otros aspectos. Para tales efectos. porque… …el aprendizaje involucra no solo el saber. habilidades y actitudes para enfrentar diversos desafíos. conocimientos y actitudes… …movilizados para enfrentar diversas situaciones y desafíos… …y que se desarrollan de manera integrada Deben promoverse de manera sistemática Habilidades Son importantes. habilidades y actitudes Los aprendizajes que promueve el Marco Curricular y los programas de estudio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. esos aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina como las habilidades y actitudes. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 6 . ubicarse en el tiempo. las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y. se enriquecen y potencian de forma recíproca. Se trata una noción de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos. Se deben desarrollar de manera integrada. Habilidades. sino también el saber hacer. desarrollar una investigación. Requieren promoverse de manera metódica y estar explícitas en los propósitos que articulan el trabajo de los docentes. Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades. elementos que no pueden poner en juego para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos. resumir la información. Aprendizajes como integración de conocimientos. entendidas como la movilización de dichos elementos para realizar de manera efectiva una acción determinada. comparar y evaluar la confiabilidad de las fuentes de información y realizar interpretaciones. porque… Permiten poner en juego los conocimientos …sin esas habilidades. Esto supone orientarlos hacia el logro de competencias. Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos. tanto en el contexto del sector de aprendizaje como al desenvolverse en su entorno.NOCIONES BÁSICAS 1. Por otra parte. los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alumnos resultan elementos inertes. los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontáneamente al estudiar las disciplinas. entre ellas. es decir.
Les permiten relacionarse con el entorno. las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los conocimientos y las habilidades adquiridos. Además.Conocimientos Son importantes. el saber que han obtenido por medio del sentido común y la experiencia cotidiana. ético y ciudadano. estos conceptos son fundamentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes. a la vez. analizar críticamente diversas circunstancias y contrastar criterios y decisiones. los aprendizajes involucran actitudes como el respeto hacia personas e ideas distintas. Siempre están Están involucradas en los propósitos formativos de la educación asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. porque… …en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su desarrollo. si lee un texto informativo sobre el cuidado de los animales. El conocimiento previo lo capacita para predecir sobre lo que va a leer. el emprendimiento y la apreciación del paisaje natural. de manera crucial. Son enriquecidas por los conocimientos y las habilidades Orientan la forma de usar los conocimientos y las habilidades A la vez. Actitudes Son importantes. el interés por el conocimiento. social. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar juicios informados. sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos. Por ejemplo. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 7 . por lo tanto. el estudiante utiliza lo que ya sabe para darle sentido a la nueva información. la responsabilidad. porque… Son una base para el desarrollo de habilidades Enriquecen la comprensión y la relación con el entorno …son una condición para el progreso de las habilidades. utilizando nociones complejas y profundas que complementan. Son. se contempla el desarrollo en los ámbitos personal. Se deben desarrollar de manera integrada. ciertas disposiciones. Ellos incluyen aspectos de carácter afectivo y. Entre los propósitos establecidos para la educación. porque… …los aprendizajes no involucran únicamente la dimensión cognitiva. A modo de ejemplo. verificar sus predicciones a medida que asimila el texto y construir este nuevo conocimiento. un antecedente necesario para usar constructivamente estos elementos. porque… …los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la comprensión de los estudiantes sobre los fenómenos que les toca enfrentar. Se deben enseñar de manera integrada. Ellas no se desarrollan en un vacío. la valoración del trabajo. entre otros aspectos involucrados en este proceso.
por medio del proyecto educativo institucional. por lo tanto. Geografía y Ciencias Sociales Biología Ciencias Naturales / Química Física Educación Tecnológica Educación Física Desarrollo del pensamiento Formación ética Educación / Artes Visuales Artística Artes Musicales La persona y su entorno Orientación Religión Filosofía Tecnologías de información y comunicación MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 8 . desarrollo del pensamiento. De acuerdo con este esquema. OFT Lenguaje y Comunicación Idioma extranjero Matemática Crecimiento y autoafirmación personal Historia. Objetivos Fundamentales Transversales (OFT) Son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general. Integran conocimientos. Supone integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades. Los OFT no se logran a través de un sector de aprendizaje en particular. Forman parte constitutiva del currículum nacional y. formación ética. Deben promoverse a través de las diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo. conseguirlos depende del conjunto del currículum. la disciplina o las ceremonias escolares). la persona y su entorno y tecnologías de la información y la comunicación. y apuntan al desarrollo personal. A partir de la actualización al Marco Curricular realizada el año 2009. habilidades y actitudes Son propósitos generales definidos en el currículum… …que deben promoverse en toda la experiencia escolar No se trata de objetivos que incluyan únicamente actitudes y valores. los establecimientos deben asumir la tarea de promover su logro. estos objetivos se Se organizan en una matriz común para educación básica y media organizaron bajo un esquema común para la Educación Básica y la Educación Media. el clima organizacional. ético. los Objetivos Fundamentales Transversales se agrupan en cinco ámbitos: crecimiento y autoafirmación personal.2. social e intelectual de los estudiantes. la práctica docente.
A partir de esto. es decir. ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisión en qué consisten esas diferencias • la progresión que describen permite reconocer cómo orientar los aprendizajes de los distintos grupos del mismo curso. Por ejemplo. ¿Qué utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes? Sirven de apoyo para planificar y evaluar… Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar (ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se presentan en el programa). de manera sintética y alineada con el Marco Curricular 4 Los Mapas de Progreso describen en 7 niveles el crecimiento habitual del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector. es decir. el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico. Si se usan para analizar los desempeños de los estudiantes. Mapas de Progreso Son descripciones generales que señalan cómo progresan habitualmente los aprendizajes en las áreas clave de un sector determinado. Se trata de formulaciones sintéticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. Además. El avance que describen expresa de manera más gruesa y sintética los aprendizajes que esos dos instrumentos establecen y. de aquellos que no han conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron • expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector. Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en el Marco …de manera congruente con el Marco Curricular y los programas de estudio Describen sintéticamente cómo progresa el aprendizaje… Curricular y los programas de estudio. son un referente útil para atender a la diversidad de estudiantes dentro del aula: • permiten más que simplemente constatar que existen distintos niveles de …y para atender la diversidad al interior del curso aprendizaje dentro de un mismo curso. el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico. y así sucesivamente. Su particularidad consiste en que entregan una visión de conjunto sobre la progresión esperada en todo el sector de aprendizaje. por lo tanto. se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. ofrecen una visión panorámica sobre la progresión del aprendizaje en los doce años de escolaridad4.3. va más allá de la expectativa para 4° medio que describe el Nivel 6 en cada mapa. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 9 .
Nivel 3 Reconoce que los números naturales… Nivel 2 Utiliza los números naturales hasta 1. Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. Mapa de Progreso Entrega una visión sintética del progreso del aprendizaje en un área clave del sector.000 para… MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 10 . y los organiza temporalmente a través de unidades. utilizando conceptos. las conjeturas formuladas y los resultados obtenidos. reconoce sus propiedades y los utiliza para ordenar.000… Nivel 1 Utiliza los números naturales hasta 1. Contenido Mínimo Obligatorio Representación de números enteros en la recta numérica y determinación de relaciones de orden entre ellos… Programa de Estudio Orienta la labor pedagógica. Programa de Estudio y Marco Curricular Marco Curricular Prescribe los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios que todos los estudiantes deben lograr. Establece proporciones y las usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional. y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números y aplicarlas en diversas situaciones. Utiliza raíces cuadradas de números enteros positivos y potencias de base fraccionaria positiva. estableciendo Aprendizajes Esperados que dan cuenta de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos. decimal positivo o entero y exponente natural en la solución de diversos desafíos. Ejemplo: Mapa de Progreso Números y Operaciones Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numéricos… Nivel 6 Reconoce los números complejos como… Nivel 5 Reconoce a los números racionales como… Nivel 4 Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico en donde se pueden resolver problemas que no admiten solución en los números naturales. reconocer algunas de sus propiedades.Relación entre Mapa de Progreso. procedimientos y relaciones matemáticas. comparar y cuantificar magnitudes. y se ajusta a las expectativas del Marco Curricular. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros. Ejemplo: Aprendizaje Esperado 7° básico Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicarlos en la recta numérica. Justifica la estrategia utilizada. Ejemplo: Objetivo Fundamental 7º básico Establecer relaciones de orden entre números enteros.
sino que se consolidan a través del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y. la escritura y la comunicación oral deben promoverse en los distintos sectores de aprendizaje como parte constitutiva del trabajo pedagógico correspondiente a cada sector de aprendizaje. Uso del lenguaje Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicación oral. 1. respuestas breves) la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas la presentación de las ideas de una manera coherente y clara el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos el uso correcto de la gramática y de la ortografía Comunicación oral: • • • la capacidad de exponer ante otras personas la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 11 . Algunas de estas orientaciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en el currículum. ensayos. textos periodísticos y narrativos. Al momento de recurrir a la lectura.CONSIDERACIONES GENERALES PARA IMPLEMENTAR EL PROGRAMA Las orientaciones que se presentan a continuación destacan algunos elementos relevantes al momento de implementar el programa. síntesis de las ideas y argumentos presentados en los textos la búsqueda de información en fuentes escritas. porque las habilidades de comunicación son herramientas fundamentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes propios de cada sector. discriminándola y seleccionándola de acuerdo a su pertinencia la comprensión y el dominio de nuevos conceptos y palabras Escritura: • • • • • la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo. Se trata de habilidades que no se desarrollan únicamente en el contexto del sector Lenguaje y Comunicación. por lo tanto. tablas y gráficos) la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos especializados del sector la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante la realización de resúmenes. la escritura y la comunicación oral. descripciones. la lectura y la escritura La lectura. los docentes deben procurar: Lectura: Estas habilidades se pueden promover de diversas formas • • • • • • la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informativos propios del sector. reportes. involucran los otros sectores de aprendizaje del currículum. Esto se justifica.
analizar información y elaborar conexiones en relación con un tema en particular. y seleccionar esta información. Esa diversidad conlleva desafíos que los profesores tienen que contemplar. como el cuidado personal y el respeto por el otro. audio y video • • intercambiar información a través de las herramientas que ofrece internet. como el correo electrónico. chat. compartir puntos de vista y lograr acuerdos 2. utilizando plantillas de cálculo. y manipular la información sistematizada en ellas para identificar tendencias. se debe procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para: • Se puede recurrir a diversas formas de utilización de estas tecnologías Debe impulsarse e uso de las TICs a través de los sectores de aprendizaje buscar. espacios interactivos en sitios web o comunidades virtuales respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs. plantillas de presentación (power point) y herramientas y aplicaciones de imagen. señalar las fuentes de donde se obtiene la información y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales 3. sociales. acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes. Entre ellos. étnicos o religiosos y respecto de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento. Para esto. Esto demanda que el dominio y uso de estas tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre los La diversidad entre estudiantes establece desafíos que deben tomarse en consideración estudiantes en términos culturales. en un contexto de tolerancia y apertura. manteniendo la atención durante el tiempo requerido la interacción con otras personas para intercambiar ideas. cabe señalar: • promover el respeto a cada uno de los estudiantes. evitando las distintas formas de discriminación MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 12 . Atención a la diversidad En el trabajo pedagógico. examinando críticamente su relevancia y calidad procesar y organizar datos. incorporando los conceptos propios del sector el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para superar dificultades de comprensión la disposición para escuchar información de manera oral.• • • • el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión. regularidades y patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector • • desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto. Uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación (TICs) El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologías de la Información y Comunicación (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular.
Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herramienta de El programa sirve de apoyo a la planificación a través de un conjunto de elementos elaborados para este fin apoyo al proceso de planificación. Por el contrario. al momento de diseñar el trabajo en una unidad. rincones) y materiales diversos (visuales. Es necesario atender a la diversidad para que todos logren los aprendizajes En atención a lo anterior. considerando el progreso individual como punto de partida incluir combinaciones didácticas (agrupamientos. pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de aprendizaje no implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes.• • procurar que los aprendizajes se desarrollen de una manera significativa en relación con el contexto y la realidad de los estudiantes intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje señalados en el currículum. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar. la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar que hay que reconocer los requerimientos didácticos personales de los alumnos. sobre esa base. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 13 . El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son los Aprendizajes Esperados. de la estimación del tiempo cronológico requerido en cada una. debe desarrollar una planificación inteligente que genere las condiciones que le permitan: conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de los Esto demanda conocer qué saben y. Para esto. es conveniente que. definir con flexibilidad las diversas medidas pertinentes estudiantes evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades de aprendizaje definir la excelencia. el docente considere que precisarán más tiempo o métodos diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Se aspira a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado. Para estos efectos han sido elaborados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad en los distintos contextos educativos del país. Orientaciones para planificar La planificación favorece el logro de los aprendizajes La planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los aprendizajes de los estudiantes. trabajo grupal. De manera adicional. el programa apoya la planificación a través de la propuesta de unidades. y de la sugerencia de actividades para desarrollar los aprendizajes. para que todos alcancen altas expectativas. objetos manipulables) evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opciones promover la confianza de los alumnos en sí mismos promover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación abundante 4.
el tiempo real. lo que implica planificar considerando desafíos para los distintos grupos de alumnos el tiempo real con que se cuenta. ¿qué habría que observar para saber que un aprendizaje ha sido logrado? …y. considerando los siguientes aspectos: • • • • la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso. Una vez identificados. Se deben poder responder preguntas como: ¿qué deberían ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado Aprendizaje Esperado?. decidir las evaluaciones a realizar y las estrategias de enseñanza. de manera de optimizar el tiempo disponible las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares. entre otros Se debe planificar tomando en cuenta la diversidad. Para alcanzar este objetivo. Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta se use tanto en la planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al plan de cada clase.Consideraciones generales para realizar la planificación La planificación es un proceso que se recomienda realizar. sobre esa base. La planificación anual: en este proceso. las estrategias de enseñanza y la distribución temporal • a partir de las respuestas a esas preguntas. Específicamente. se recomienda elaborar la planificación en los siguientes términos: Lograr una visión lo más clara y concreta posible sobre los desempeños que dan cuenta de los aprendizajes… • comenzar por una especificación de los Aprendizajes Esperados que no se limite a listarlos. que entregan elementos útiles para reconocer el tipo de desempeño asociado a los aprendizajes. debe estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo que los alumnos deben aprender. se requiere identificar qué tarea de evaluación es más pertinente para observar el desempeño esperado y qué modalidades de enseñanza facilitarán alcanzar este desempeño. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 14 . las prácticas anteriores y los recursos disponibles Sugerencias para el proceso de planificación Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes. laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de Aprendizaje (CRA). recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar. estimar el tiempo que se requerirá para cada unidad y priorizar las acciones que conducirán a logros académicos significativos. el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo del año escolar. Esto implica reconocer qué desempeños de los estudiantes demuestran el logro de los aprendizajes. considerando su organización por unidades. decidir las evaluaciones. las actividades de enseñanza y las instancias de retroalimentación Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso. De acuerdo a este proceso. se debe definir las evaluaciones formativas y sumativas. materiales didácticos. es necesario desarrollar una idea lo más clara posible de las expresiones concretas que puedan tener.
considerando la necesidad de ajustarlas a los tiempos Realizar este proceso sin perder de vista la meta de aprendizaje de la unidad asignados a la unidad. se recomienda: o o listar días del año y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible elaborar una calendarización tentativa de los Aprendizajes Esperados para el año completo. y la realización de evaluaciones formativas y retroalimentación o o hacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarización ajustar permanentemente la calendarización o las actividades planificadas La planificación de la unidad: implica tomar decisiones más precisas sobre qué enseñar y cómo enseñar.Para esto el docente tiene que: • Realizar este proceso con una visión realista de los tiempos disponibles durante el año alcanzar una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr durante el año. Se requiere considerar aspectos como los siguientes: • inicio: en esta fase. Adicionalmente. qué aprendieron y de qué manera La planificación de clase: es imprescindible que cada clase sea diseñada considerando que todas sus partes estén alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con la evaluación que se utilizará. el tipo de evaluación que se requerirá para verificar el logro de los aprendizajes. dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los estudiantes. La planificación de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: • especificar la meta de la unidad. es decir. Para que esta distribución resulte lo más realista posible. qué se espera que aprendan. en términos generales. especificando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y retroalimentación ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes Procurar que los estudiantes sepan qué y por qué van a aprender. Los Mapas de Progreso pueden resultar un apoyo importante • identificar. se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su inicio. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados especificados en los programas. los días de prueba y de repaso. asignar los tiempos a destinar a cada unidad. esta visión debe sustentarse en • • • • • • los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda complementarla con los Mapas de Progreso crear una evaluación sumativa para la unidad idear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana establecer las actividades de enseñanza que se desarrollarán generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados. A la vez. considerando los feriados. se debe buscar captar el interés de los estudiantes y que visualicen cómo se relaciona lo que aprenderán con lo que ya saben y con las clases anteriores MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 15 . se debe procurar que los estudiantes conozcan el propósito de la clase. Al igual que la planificación anual. Esto permitirá desarrollar una idea de las demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad • sobre la base de esta visión. desarrollo y cierre y especificando claramente qué elementos se considerarán en cada una de estas partes.
Esto facilita que puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se busca alcanzar. sobre esta base. El análisis de esta información permite tomar decisiones para mejorar resultados alcanzados • Ofrecer retroalimentación retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. En él se debe procurar que los estudiantes se formen una visión acerca de qué aprendieron y cuál es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas para promover su aprendizaje. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 16 . Para que cumpla efectivamente con esta función. fundados en el análisis de los desempeños de los estudiantes. Compartir esta información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que deben seguir para avanzar. el docente lleva a cabo la actividad contemplada para la clase • cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos).• desarrollo: en esta etapa. sino que cumple un rol central en la promoción y el desarrollo del aprendizaje. Las evaluaciones entregan información para conocer sus fortalezas y debilidades. a su vez. retroalimentar a los estudiantes y sustentar la planificación La evaluación forma parte constitutiva del proceso de enseñanza. No se debe usar solo como un medio para controlar qué saben los estudiantes. Orientaciones para evaluar Apoya el proceso de aprendizaje al permitir su monitoreo. retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados dentro del sector • ser una herramienta útil para la planificación ¿Cómo promover el aprendizaje a través de la evaluación? Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si se llevan a cabo considerando lo siguiente: • • Identificar logros y debilidades Explicitar qué se evaluará informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán. 5. esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos. debe tener como objetivos: • • ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los alumnos y. También da la posibilidad de desarrollar procesos metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes. pero es central.
guías de trabajo. sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta expectativa • • observar el desarrollo. con el objeto de Partir estableciendo los Aprendizajes Esperados a evaluar… observar en qué grado se alcanzan. preguntas y criterios • ¿Qué método empleará para evaluar? Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas escritas. informes de laboratorio e investigaciones. Para esto. para que los diversos estudiantes puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje. se recomienda diseñar la evaluación junto a la planificación y considerar las siguientes preguntas: • ¿Cuáles son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcará la evaluación? Si debe priorizar. que permitan demostrar la real comprensión del contenido evaluado MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 17 . Los mapas apoyan diversos aspectos del proceso de evaluación Los Mapas de Progreso apoyan el seguimiento de los aprendizajes. en tanto permiten: • • reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar aclarar la expectativa de aprendizaje nacional. En lo posible. mapas conceptuales. métodos. ensayos. considere aquellos aprendizajes que serán duraderos y prerrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. • ¿Qué preguntas incluirá en la evaluación? Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Esperados.¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del Aprendizaje con la evaluación? Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y los ubican en un continuo de progreso. informes. Para lograrlo. la progresión o el crecimiento de las competencias de un alumno. debates. se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas maneras y con diferente grado de complejidad. los Mapas de Progreso pueden ser de especial utilidad • ¿Qué evidencia necesitarían exhibir sus estudiantes para demostrar que dominan los Aprendizajes Esperados? Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluación que presenta el programa. entre otros). al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno evidenciar sus aprendizajes ¿Cómo diseñar la evaluación? La evaluación debe diseñarse a partir de los Aprendizajes Esperados. …y luego decidir qué se requiere para su evaluación en términos de evidencias. al conocer la descripción de cada nivel. entrevistas.
Se pueden usar los ejemplos presentados en los Mapas de Progreso o identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen el nivel de desempeño esperado.• ¿Cuáles son los criterios de éxito?. ¿cuáles son las características de una respuesta de alta calidad? Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo: o comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de otros alumnos de edad similar. 5 Rúbrica: tabla o pauta para evaluar MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 18 . y utilizarlas como modelo para otras evaluaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje o desarrollar rúbricas5 que indiquen los resultados explícitos para un desempeño específico y muestren los diferentes niveles de calidad para dicho desempeño.
la tecnología y las ciencias se redefinen en forma permanente y se hacen más difíciles. los sistemas de comunicación y los vínculos entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan. que se valoran no solo en la ciencia y la tecnología. observar las habilidades que se pretendió enseñar en los años anteriores y las que se trabajarán más adelante advertir diferencias y similitudes en los énfasis por ciclos de enseñanza MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 19 . La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar con entes abstractos y sus relaciones y prepara a los estudiantes para que entiendan el medio y las múltiples relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico de complejidad creciente. enseña a presentar información con precisión y rigurosidad y. En consecuencia. ordenado. el desempeño y la vida de las personas. El entorno social valora el conocimiento matemático y lo asocia a logros. jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades. evaluar la validez de resultados y seleccionar estrategias para resolver problemas. Habilidades Al estudiar matemáticas. Propósitos El aprendizaje de la matemática ayuda a comprender la realidad y proporciona herramientas para desenvolverse en la vida cotidiana. por una parte. y a generar actitudes como precisión. la capacidad de generalizar situaciones. El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo provocan importantes consecuencias en el desarrollo. formular conjeturas.Matemática 1. y las finanzas. el modelamiento y las destrezas para resolver problemas. La tabla siguiente puede resultar útil para: • • • • observar transversalmente las habilidades que se desarrollan en el sector focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evaluaciones que enfaticen dichas habilidades situarse en el nivel. crítico y autónomo. beneficios y capacidades de orden superior. el pensamiento analítico. la pertinencia y la amplitud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la calidad de vida de las personas y afecta el potencial de desarrollo del país. por otra. Entre ellas se encuentran el cálculo. rigurosidad. Todo esto contribuye a desarrollar un pensamiento lógico. sino también en la vida cotidiana. la calidad. el estudiante adquiere –como el razonamiento lógico– la visualización espacial. el cálculo. Aprender matemáticas acrecienta también las habilidades relativas a la comunicación. Se trata de espacios en los que la cultura. a demandar exactitud y rigor en las informaciones y argumentos que se recibe. perseverancia y confianza en sí mismo. contribuye a que la persona se sienta un ser autónomo y valioso. 2. Aprender matemática influye en el concepto que niños. por lo tanto. el análisis de la información proveniente de diversas fuentes.
La matemática es un área poderosa de la cultura. De esta manera. para casos particulares Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables Diferenciar entre verificación y demostración de propiedades 3. sus conexiones y sus aplicaciones. es importante que los docentes se esfuercen para que todos los alumnos del país aprendan los conocimientos y desarrollen las capacidades propias de esta disciplina. Por eso.Habilidades de pensamiento matemático 4° básico Resolver problemas en contextos significativos que requieren el uso de los contenidos del nivel 5° básico Resolver problemas en contextos diversos y significativos 6° básico Resolver problemas en contextos significativos 7° básico Resolver problemas en contextos diversos y significativos. podrán participar activamente y adquirir mayor MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 20 . Estos programas entregan algunas orientaciones que ayudarán a los profesores a cumplir con este objetivo por medio de la planificación y en el transcurso de las clases. utilizando los contenidos del nivel Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos 8° básico Resolver problemas en contextos diversos y significativos I° medio Analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos Evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar opiniones y tomar decisiones Fundamentar opiniones y tomar decisiones Formular conjeturas y verificarlas. explicar y predecir situaciones y fenómenos del entorno. para algunos casos particulares Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita Formular y verificar conjeturas. pues permite comprender. en casos particulares Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita Realizar cálculos en forma mental y escrita Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita Emplear formas simples de modelamiento matemático Realizar cálculos en forma mental y escrita Emplear formas simples de modelamiento matemático Verificar proposiciones simples. Los conceptos matemáticos: profundidad e integración Los estudiantes deben explorar en las ideas matemáticas y entender que ellas constituyen un todo y no fragmentos aislados del saber. Tienen que enfrentar variadas experiencias para que comprendan en profundidad los conceptos matemáticos. Orientaciones didácticas Se ha concebido este sector como una oportunidad para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida.
Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a través de modelos en los que se puede experimentar con ideas matemáticas. incluso las de alta complejidad. Los procesadores geométricos. si lo hace de manera constructiva. crear un clima de confianza y distinguir de qué modo enfrenta cada uno el triunfo o el fracaso. Es un ancla importante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogías y representaciones cercanas a los estudiantes. Se recomienda que usen materiales concretos. en qué períodos de la historia y cómo se enlazaron con la evolución del pensamiento. Uso del error Usar adecuadamente el error ayuda a crear un ambiente de búsqueda y creación. el docente tiene en sus manos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y los logros de los alumnos. el profesor tiene que evitar que pongan demasiado énfasis en los procedimientos si no comprenden los principios matemáticos correspondientes. realicen trabajos prácticos y se apoyen en la tecnología. Preguntarse cómo se originaron los conceptos y modelos matemáticos. Aunque deben ser competentes en diversas habilidades matemáticas. El uso del contexto Es importante que el docente aclare que esta disciplina está enraizada en la cultura y en la historia. Deben analizar los procedimientos para resolver un problema y comprobar resultados. simbólicos y de estadística son laboratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba. Otros aspectos que también ayudan a que cada estudiante aumente la confianza en sí mismo son valorar las diferencias. Aprendizaje matemático y desarrollo personal La clase de matemática ofrece abundantes ocasiones para el autoconocimiento y las interacciones sociales. asimismo. También se sugiere aplicar las matemáticas a otras áreas del saber y en la vida diaria como un modo de apoyar la construcción del conocimiento matemático. En ese sentido. propiedades y relaciones. Con un procesador simbólico. También se busca desarrollar y explicar la noción de estrategia. Un educador puede aprovechar la equivocación para inducir aprendizajes especialmente significativos. también se puede crear situaciones para que los alumnos exploren las características. ¿de qué otra manera es posible? Además. aceptar los éxitos o las acciones de sus pares. ¿cómo lo hicieron?. sea propio o de los demás.confianza para investigar y aplicar las matemáticas. Es una oportunidad para la metacognición6: ¿cómo lo hice?. la percepción que cada cual tiene de su propia capacidad para aprender y hacer matemática. relaciones o procedimientos matemáticos. Y se puede estudiar el comportamiento de funciones. surge de la retroalimentación que le ha dado la propia experiencia. asimismo. Internet ofrece múltiples ambientes con 6 Metacongición: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 21 . Razonamiento matemático y resolución de problemas Esta disciplina se construye a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas y ayuda a razonar en vez de actuar de modo mecánico. que los estudiantes conjeturen y verifiquen cómo se comportan los elementos y las relaciones con que se trabaja. Tecnologías digitales y aprendizaje matemático El programa propone usar programas y ambientes digitales para ampliar las oportunidades de aprendizaje de los estudiantes. los límites y las posibilidades de conceptos. Por eso es importante invitar a los estudiantes a buscar regularidades. que impacta en otras áreas del conocimiento científico. El docente debe procurar. comparar diversas formas de abordar problemas y justificar y demostrar las proposiciones matemáticas. crea consecuencias y permite aplicaciones. en especial en el ciclo básico. se puede analizar y entender números grandes o muy pequeños. Se debe considerar el error como un elemento concreto para trabajar la diversidad en clases y permitir que todos los alumnos alcancen los aprendizajes propuestos. en especial en las etapas de exploración.
Ese ambiente debe admitir que el error. Los procesadores geométricos permiten experimentar con nociones y relaciones de la geometría euclidiana. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 22 .representaciones dinámicas de una gran cantidad de objetos matemáticos. de modo de comparar caminos alternativos. la duda y la pregunta son importantes y valiosos para construir conocimiento. verifiquen o refuten conjeturas respecto de los problemas que abordan. Clima y motivación Se debe propiciar un ambiente creativo para que los alumnos formulen. En ese espacio será natural analizar acciones y procedimientos y buscar caminos alternativos de una búsqueda y construcción colectiva. Debe constituirse en un espacio en el que es natural el análisis de las acciones y procedimientos. Se trata de un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los ayudará mucho a formarse para una vida cada vez más influida por las tecnologías digitales. asimismo. cartesiana o vectorial. tiene que valorar los aportes de todos y aprovecharlos para crear una búsqueda y una construcción colectiva.
regla y compás o procesadores 5. Reconocer que la base y exponente naturaleza y el natural. Comprobar números enteros y propiedades de ubicar estos números alturas. Reconocer procesadores propiedades relativas geométricos. Construir triángulos a a la adición y sustracción de partir de la medida de sus lados y/o números enteros y aplicarlas en cálculos ángulos. 7 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 23 . método de selección 4. utilizando operaciones. potencia de una potencia. Establecer estrategias para reducir términos semejantes. 7. Construir rectas que no admiten perpendiculares.VISIÓN GLOBAL DEL AÑO Cuadro sinóptico de Aprendizajes Esperados Semestre 1 Unidad 1 Unidad 2 Números y Álgebra Geometría 1. Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas. y problemas que involucran proporcionalidad. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero. 7. realización de 6. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. Analizar información de exponente natural presente en diversos cuya base es un tipos de tablas y número fraccionario gráficos. simetrales. probabilidad de 5. Calcular ocurrencia de multiplicaciones y eventos a partir de la cocientes de frecuencia relativa potencias de base 10 obtenida en la y exponente entero. de las potencias de 3. relativas a cambios en el perímetro de Se refiere. usando numéricos. utilizando regla y compás o un 6. 3. multiplicación de potencias de igual exponente. Semestre 2 Unidad 3 Unidad 4 Números y Geometría Datos y Azar 1. 9. reconocerlas en contextos diversos. Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. Seleccionar formas 2. 10. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. regla y compás o 4. Interpretar potencias de organización y de base 10 y representación de exponente entero. igualdad entre dos razones. Caracterizar expresiones procesador semejantes y geométrico. Reconocer una geométricos. 8. Conjeturar y verificar tipo de análisis que algunas propiedades7 se quiere realizar. bisectrices y 3. o decimal positivo. datos de acuerdo al 3. Identificar problemas 1. en casos particulares. de orden entre 2. 8. potencias de base y 4. Interpretar potencias 1. solución en los paralelas y números naturales y bisectrices de que pueden ser ángulos. procesadores 2. 2. Formular y verificar conjeturas. cuadrada de un número entero positivo. Comprender el experimentos significado de la raíz aleatorios simples. Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. proporción como una 4. Establecer relaciones geométricos. Calcular de muestras inciden multiplicaciones y en el estudio de una cocientes de población. Construir ángulos. usando resueltos en los regla y compás o números enteros. en la recta numérica. por ejemplo. Sumar y restar transversales de gravedad de números enteros e interpretar estas triángulos. Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. Predecir la exponente natural.
Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras Tiempo estimado 63 horas Tiempo estimado 40 horas Tiempo estimado 77 horas Tiempo estimado 40 horas MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 24 . en casos particulares. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural. 11. y las potencias de base 10 y exponente entero b.polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. Resolver problemas en contextos diversos: a. 12. Formular y verificar conjeturas.
SEMESTRE 1 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 25 .
situando a los estudiantes en su contexto histórico. Por ejemplo si no se ha trabajado correctamente la interpretación del signo negativo de un número (diferente al signo de la sustracción). Una discusión atractiva en la presentación del conjunto de los enteros es la interpretación del cero. Se recomienda poner especial cuidado en los procedimientos seleccionados para resolver ecuaciones de primer grado con números positivos y negativos. No es fácil para los estudiantes entender las reglas para sumar y restar con números enteros. Cuando un estudiante no comprende lo que está haciendo. en particular en la relevancia que estos números tuvieron en la resolución de problemas y en la representación de cantidades negativas. Es tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presenten en problemas matemáticos numéricos y algebraicos. por sobre la ejercitación rutinaria. se propone un trabajo integrado entre álgebra y números. tanto para intentar grabar ideas y conceptos como para recordarlos más tarde. Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 29 . cero grado no representa “templado”. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos • • • • Participar de manera propositiva en actividades grupales. Se puede observar con los estudiantes que el cero representa situaciones distintas. los estudiantes presentarán sistemáticamente problemas para despejar una ecuación del tipo x – 3 = 5. Se recomienda la utilización de metáforas y representaciones visuales para facilitar la comprensión de los procedimientos involucrados. en el contexto de la altitud. en un contexto de temperaturas. por el solo hecho de asociar el signo negativo a la sustracción. a partir de un grupo de reglas válidas. rigor. Terminar los trabajos iniciados. que llevan a errores que permanecen por largo tiempo. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos • • • Tener un orden y método para el registro de información. el cero representa el nivel de mar). las temperaturas o altitudes).Aprendizajes Esperados en relación con los OFT Actitudes de perseverancia. Para evitar este tipo de errores es fomentar el trabajo y desarrollo de actividades en parejas o grupos pequeños. su única posibilidad es apelar a la memoria. Ser responsable en la tarea asignada. Esta es una de las razones por la cual es común en este nivel encontrar estudiantes que generan reglas. Orientaciones didácticas para la unidad En esta unidad. Se recomienda iniciar el trabajo con los números enteros. Por ejemplo. dependiendo del contexto en que se encuentra (por ejemplo. que posibiliten comparar entre ellas y con magnitudes que no se relacionan proporcionalmente. generalmente incorrectas. (como las deudas. Se sugiere trabajar actividades que ofrezcan la posibilidad de observar la proporcionalidad directa e inversa en variados contextos. Los algoritmos tradicionales de “pasar de un lado para otro” generan aprendizajes de reglas mecánicas no siempre comprendidas. Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos numéricos y algebraicos en actividades grupales. También resulta interesante presentar los números enteros a partir de situaciones que no tienen solución en los números naturales. se les puede mostrar que dos variables no necesariamente están en proporción directa cuando el crecimiento de una de ellas implique el crecimiento de la otra. “pasando” el 3 positivo al otro lado de la igualdad. Esto le permitirá entregarles actividades a los grupos de acuerdo con sus capacidades. Es preferible que estos grupos estén compuestos por estudiantes de capacidades similares. sino el punto de congelación del agua. buscando de esta manera apoyar el establecimiento de conexiones entre estas dos áreas.
Luego los estudiantes argumenten qué diferencia este tipo de problemas con otros que admitan solución en los naturales. 5. El docente y sus estudiantes revisan estas propuestas de problemas y caracterizan estas diferencias. Establecen resultados respecto de la posición de los números ubicados en ella. y argumentan acerca de las estrategias empleadas. mayores son. que mientras más a la derecha se encuentren los números.Ejemplos de actividades AE 1 Identificar problemas que no admiten solución en los números naturales pero que pueden ser resueltos en los números enteros. que los números negativos cercanos al cero son mayores que los más alejados de él. Exponen las situaciones encontradas y justifican la necesidad de un conjunto numérico con números negativos. Por ejemplo: a) b) 2 x + 1 = 17 3 x − 2 = 16 2. Actividades 1. por ejemplo. 2. Actividades 1. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 30 . Los estudiantes indagan en diferentes medios de comunicación para extraer situaciones contextualizadas que estén representadas por números enteros (que incluya positivos y negativos). AE 2 Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicar estos números en la recta numérica. El docente exhibe a sus estudiantes situaciones cuyos modelos son ecuaciones con soluciones en los números naturales y les propone que: • • Inventen ecuaciones con solución en los naturales Inventen problemas cuyo planteamiento sean ecuaciones con soluciones en los naturales 3. El docente exhibe a sus estudiantes ejemplos de problemas que no tienen solución en los naturales: • • En contextos cotidianos En contextos matemáticos Por ejemplo: En una semana de invierno en una ciudad se registraron las siguientes temperaturas mínimas: lunes: -2ºC martes: -5ºC miércoles: 0ºC jueves: 1ºC viernes: 4ºC sábado: -6ºC domingo: -6ºC o ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas mínimas esa semana en esa ciudad? o ¿Qué número sumado con el doble de 5 da como resultado 0? A continuación les pide que propongan problemas similares. Los estudiantes dibujan la recta numérica que utilizan para ubicar números naturales y la extienden a aquella que incluya el cero y números enteros negativos. Los estudiantes resuelven mentalmente y de manera escrita una lista de ecuaciones de primer grado cuya solución es un número natural. 4.
por ejemplo. ubican enteros que se encuentren entre -5 y 5. Los estudiantes ubican números enteros en la recta numérica de acuerdo a restricciones dadas. por ejemplo. 4. por ejemplo. Expresan restas de enteros positivos como sumas. El docente trabaja sumas de enteros y les pide que reconozcan propiedades de esta operación. de manera que los enteros negativos queden asociados con los enteros negativos y los positivos con los positivos. se propone que el docente plantee ejercicios numéricos o problemas. Los problemas de temperaturas no cubren todas las posibilidades de operaciones con números enteros.. Ordenan. suman y restan números enteros. por ejemplo: Ubican en una línea de tiempo las siguientes fechas: • • • • • • El año 1492 DC corresponde al año del descubrimiento de América y al comienzo de los tiempos modernos La invención de la escritura data del año 3000 AC El año 476 DC marca el fin de la Edad Antigua En el año 1789 DC se produjo la Revolución Francesa La Segunda Guerra Mundial finalizó el año 1945 DC Los primeros desarrollos de la agricultura están fechados en el 8000 AC aproximadamente AE 3 Sumar y restar números enteros e interpretar estas operaciones. de menor a mayor. Les pide que: • Reconozcan razones en contextos diversos MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 31 . 4®. ubican enteros mayores que -20 y menores que -4 y que sean pares. Actividades 1. Ordenan. para que luego el docente observe los errores y los haga reflexionar sobre ellos. Leen datos sobre temperaturas máximas y mínimas y responden preguntas del tipo: • • • ¿Cómo se determina la diferencia de temperaturas en un día? ¿Cuál fue la máxima variación de temperaturas registradas? ¿Qué se puede decir con respecto a la suma de las variaciones registradas? Observaciones al docente Es importante no entregar a priori reglas como “restar dos números negativos. lo que es una proporción y la razón de proporcionalidad o factor de conversión. El docente muestra a sus estudiantes una serie de situaciones relativas a proporciones y define los elementos involucrados en ellas. información referida a fechas importantes. 50-35+24-36-47.3. en este ejemplo (-35-36-47)+(50+24) y expresan el resultado como una resta. donde se realicen adiciones y sustracciones con números de distintos signos. 40-75-23 como 40+(-75)+(-23) 3. AE 4 Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción de números enteros y aplicarlas en cálculos numéricos. les presenta pares de sumas: -24+(-48) 35+(-10) -48+(-24) -10+35 -8+(-15) Les propone que efectúen las operaciones involucradas y que reconozcan la propiedad conmutativa de la suma. Con el fin de completarlas. Por ejemplo. AE 5 Reconocer una proporción como una igualdad entre dos razones. es importante también que redacten en su propio lenguaje las conclusiones. De esta manera. define lo que es una razón.” sino que incentivar a los estudiantes a que observen los diferentes casos y que hagan las asociaciones correspondientes entre la adición y la sustracción. en este caso 74-118 2.. Por otra parte. Actividades 1.
plantean ecuaciones que permiten completar los valores de la siguiente tabla. A partir de una lista de términos algebraicos de la forma abc . 5 y 4 . donde a es una constante. . Aplican la reducción de términos semejantes en cálculos en contextos diversos. 5 x 2 u 2. 3u 2 v. Por ejemplo. c x es la incógnita. modificando su parte literal. e identifican el valor de esa constante. 3 y . calculan perímetros de polígonos.• • Relacionen razones con proporciones en situaciones en contextos diversos Determinen la constante de proporcionalidad en situaciones de proporcionalidad en contextos diversos 2. Deducen que la razón entre el peso de un cuerpo y su masa es constante. Por ejemplo. − 5vu 2 . 7uv 2 . 2 3 = x 4 ó 2 x = 0. 4. − 5 y 2a 2 . AE 6 Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en contextos diversos.5 2 3 4.4a 2 . − y 4 . Convierten términos no semejantes en términos semejantes. cuyos lados están expresados mediante términos algebraicos con coeficientes en el ámbito de los racionales y entregan el resultado de manera reducida. modifican el exponente de y en el término 2x 2y 5 para que sea semejante a 2x 2 y 4 3. Reducen términos semejantes en sumas y restas de expresiones algebraicas. o decimales positivos y Por ejemplo: ax = bc . identifican los términos que son semejantes en las listas siguientes: • • • n 2 x . identifican los términos semejantes. donde a. conocido que la relación entre el lado de un cuadrado y su perímetro es proporcional. AE 7 Establecer estrategias para reducir términos semejantes. Por ejemplo. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 32 . Por ejemplo. o fracciones positivas. Utilizan distintas estrategias para resolver ecuaciones que se transforman en la forma son números enteros. b. − 7 y 4 ux 2 . 4 x. se podría plantear la ecuación 1 4 = 7 x ®5. Plantean ecuaciones relativas a situaciones que involucran pares de magnitudes proporcionales. Lado del cuadrado 1 2 3 7 36 48 15 Perímetro 4 16 En el caso del perímetro asociado al lado 7. Actividades 1. x.
6. 7. 5. y expresiones en lenguaje matemático a lenguaje común. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que justifiquen matemáticamente sus respuestas. 6. Posteriormente les pide que indaguen en libros de matemática y en Internet acerca de problemas donde se aplican estas propiedades para su resolución. Por ejemplo: la suma entre el doble de un número y el triple de 5 equivale a cuatro veces 6. 6. uno de sus ángulos interiores mide 30°. Plantear la ecuación que relaciona los ángulos interiores del triángulo.5. 6. Resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes enteros. y en su resolución aplica propiedades referidas a adiciones y sustracciones. Observaciones al docente Se sugiere al profesor cerciorarse que la resolución de la ecuación no se transforme en un procedimiento mecánico. como el cálculo de calificaciones conocidas algunas notas y el promedio. Solo le falta una nota para cerrar el promedio y sus notas hasta el momento son: 5. El docente presenta a sus estudiantes problemas sobre enteros. Plantean y resuelven ecuaciones relativas a problemas en contextos diversos. Actividades 1. ¿Cuál es la nota mínima que necesita para obtener el promedio deseado? 4. evaluando la pertinencia de la solución en el contexto original del problema.AE 8 Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. 5. El segundo ángulo interior es el doble del tercero. y pedir que expliquen el resultado obtenido. y problemas que involucran proporcionalidad. Resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes fraccionarios o decimales positivos. utilizando lenguaje matemático. 6. Plantean ecuaciones. 3. doble → 2 y las utiliza para traducir expresiones en lenguaje común a lenguaje matemático. El docente caracteriza la proporcionalidad inversa y pide a sus estudiantes que comparen ambos tipos de proporciones y que den conclusiones al respecto. Además debe poner atención en la interpretación que los estudiantes hagan de los resultados finales.3 y así eximirse del examen final.8. 8. Por ejemplo: En un triángulo cualquiera. Por ejemplo: Marisol está calculando la nota que necesita para obtener de promedio un 6. El docente entrega a sus estudiantes una serie de equivalencias entre palabras del lenguaje común y el lenguaje matemático. Por ejemplo: de → ⋅ . Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que justifiquen matemáticamente sus respuestas. lo traduce en la forma 2x + 3 ⋅ 5 = 4 ⋅ 6 Les propone que traduzcan expresiones del lenguaje común al lenguaje matemático y viceversa.8. 2. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 33 . El docente caracteriza la proporcionalidad directa y discute con ellos ejemplos referidos a situaciones donde se presenta este tipo de proporcionalidad.7.7. evaluando la pertinencia de la solución en el contexto original del problema.2.
número de bombones rellenos con licor de naranja. 4. ¿Cuántos bombones de cada tipo hay en la caja? Preguntas: 1. Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa. número de bombones. Resuelve la ecuación en forma correcta. Resuelven correctamente la ecuación resultante. Comunica. Establece una ecuación cuya solución es la solución del problema. Identifica las incógnitas del problema: número de bombones rellenos con manjar. Si representamos por z el número de chocolates rellenos con licor de naranja ¿qué representa la expresión ? Al evaluar. Reconoce las relaciones entre datos e incógnitas del problema. Responda la pregunta del problema. Actividad propuesta A continuación se presenta un problema. Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para la solución del problema.Ejemplo de evaluación Aprendizaje Esperado Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. 2. y el número de bombones rellenos con licor de naranja es el doble que el número de bombones rellenos con licor de guinda. Establecen las relaciones entre las variables que se desprenden del enunciado del problema. 4. 5. 6. Indicadores de Evaluación • • • • • • • • • • Identifican situaciones que se pueden abordar mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado en el ámbito numérico de los enteros. considerar los siguientes criterios: 1. Distingue los datos relevantes de los irrelevantes del problema. fracciones positivas o decimales positivos. x por ejemplo. Escriba una ecuación cuya solución sea respuesta a la pregunta planteada en el problema. Fundamente. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 34 . por escrito. Léalo cuidadosamente y responda las preguntas planteadas. Identifican la incógnita del problema y le asignan un nombre. Verifican si la solución de la ecuación es solución del problema. ¿Qué datos entrega el enunciado que son necesarios para resolver el problema? 2. Aplican proporcionalidad directa para calcular porcentajes en diversos contextos. Comunican en forma oral u escrita las soluciones del problema. 3. la solución del problema. 5. ¿Qué datos del enunciado es o son irrelevantes para la solución del problema? 3. y problemas que involucran proporcionalidad. Criterios de evaluación Una caja contiene 70 bombones rellenos con manjar. El número de bombones rellenos con manjar es el doble que el número de bombones rellenos con licor de naranja. licor de naranja y licor de guinda. Utilizan las propiedades de la adición en el conjunto de los números enteros para resolver problemas asociados a situaciones aditivas. Justifique.
rigor. y la copia de segmentos y ángulos. Se caracterizan los elementos lineales de los triángulos y se comprueban algunas de sus propiedades. rectos y obtusos Triángulos según sus lados y según sus ángulos Conceptos clave Construcciones de triángulos. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 35 . Se construyen triángulos a partir de las medidas de sus lados y/o ángulos. construcciones de ángulos. justificación de las construcciones. las paralelas.UNIDAD 2 Geometría Propósito Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de resolver desafíos que estimulen el pensamiento y la imaginación. La unidad se inicia con los trazados fundamentales en el plano. Contenidos disciplinares • • • • • Trazados fundamentales en el plano mediante regla y compás o un procesador geométrico Construcción de ángulos y triángulos mediante regla y compás o un procesador geométrico Caracterización de elementos lineales del triángulo mediante regla y compás o un procesador geométrico Justificación de construcciones geométricas realizadas mediante regla y compás o un procesador geométrico Redacción de pasos de una construcción mediante regla y compás Habilidades • • • • • Realizar trazados fundamentales en el plano Efectuar construcciones de triángulos según lados y ángulos Realizar construcciones de ángulos Caracterizar elementos lineales de triángulos Realizar justificaciones de construcciones Actitudes • • Actitudes de perseverancia. Conocimientos previos • • • • Rectas paralelas y perpendiculares Bisectrices. y se construyen ángulos utilizando regla y compás o un procesador geométrico. base de estas construcciones. (que son las bases de las construcciones). simetrales Ángulos agudos. y la posibilidad de desarrollar la deducción. a través de las construcciones geométricas con regla y compás o un procesador geométrico. las bisectrices. transversales de gravedad. como las perpendiculares. trazados fundamentales. alturas.
utilizando regla y compás o un procesador geométrico. 3. Utilizan regla y compás para construir ángulos mediante bisecciones consecutivas de ángulos. utilizando regla y compás. • • • MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 36 .5° mediante bisecciones del ángulo de 60°. utilizando regla y compás o un procesador geométrico. usando instrumentos manuales o procesadores geométricos. Por ejemplo. utilizando regla y compás. usando instrumentos manuales o procesadores geométricos. Construyen paralelas a lados de triángulos. Comprobar propiedades de alturas. Construir ángulos. dadas las medidas de sus lados. • • • • 2. construyen hexágonos regulares utilizando el ángulo 60°.Aprendizajes Esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. utilizan los ángulos 60° y 90° para construir el ángulo 150°. propiedades de las bisectrices de un triángulo. Construyen ángulos mediante regla y compás o un procesador geométrico. Redactan pasos para construir triángulos. construyen 7. Verifican mediante regla y compás redacciones realizadas para construir triángulos. utilizando regla y compás. la relación que existe entre las alturas. bisectrices y transversales de gravedad de triángulos. Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. utilizando instrumentos manuales o procesadores geométricos. Dividen segmentos en partes iguales. bisectrices y transversales de gravedad de un triángulo equilátero. utilizando instrumentos manuales o un procesador geométrico. • • Sugerencias de indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Bisecan ángulos que se forman entre rectas oblicuas. Por ejemplo. Utilizan construcciones de ángulos hechas para construir mediante regla y compás polígonos regulares. Determinan si un conjunto de datos son suficientes para construir un triángulo. simetrales. Construyen la altura de un paralelogramo. utilizando regla y compás. utilizando construcciones de ángulos conocidas. Construir rectas perpendiculares. Comprueban. Por ejemplo. • • • 4. paralelas y bisectrices de ángulos. Comprueban.
si la secuencia de pasos está correcta. se sugiere trabajar junto a los alumnos la redacción de los pasos que se deben dar para lograr las construcciones pedidas. Así los estudiantes podrán verificar (con regla y compás o con un procesador geométrico). si el objetivo es construir un ángulo de 30º. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos • • • • Participar de manera propositiva en actividades grupales. Terminar las construcciones iniciadas. Desarrollar tenacidad frente a obstáculos o dudas que se le presenten en problemas propuestos sobre construcciones. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 37 . El monitoreo de actividades de construcciones geométricas resulta ser más fácil que otros temas. puede resultar más exitoso partir de la construcción del triángulo equilátero y posteriormente realizar la bisección de un ángulo interior del triángulo. Orientaciones didácticas para la unidad El foco de esta unidad. El docente debe resaltar en todo momento la secuencia. Por lo tanto. Las construcciones geométricas se prestan para trabajar en grupos y ambientes distintos a la sala de clases.Aprendizajes Esperados en relación con los OFT Actitudes de perseverancia. Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales. Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos • • • Demostrar un método para realizar las construcciones geométricas. rigor. tal y como lo sugieren los Aprendizajes Esperados. el orden y el respeto de los conocimientos que los estudiantes ya poseen: por ejemplo. debido a que el producto al que tienen que llegar los estudiantes es muy concreto. Estas tienen que seguirse de forma rigurosa para completar con éxito la construcción. Las construcciones en geometría permiten a los estudiantes sistematizar y ordenar instrucciones. está puesto en la construcción de figuras geométricas a través de regla y compás o por medio de un software de geometría. Es responsable en la tarea asignada.
cuando sea posible. el docente dice a sus estudiantes que las bisectrices de un triángulo se cortan en la razón 2 es a 1. El docente solicita a sus estudiantes que redacten los pasos para la construcción de una recta paralela a una recta L que pase por un punto P del plano y que verifiquen la construcción ejecutando los pasos. ∈ L. una construcción de rectas paralelas diferente a las construidas por los estudiantes. Actividades 1. trazar una circunferencia. Por ejemplo. Se sugiere al docente revisar las redacciones hechas por los estudiantes en conjunto con ellos y dar indicaciones para mejorarlas en caso que ellas presenten imperfecciones. muestra la redacción de los pasos para construir la perpendicular a L que pasa por P cuando P ∉ L: cuando P • • • Paso 1: con centro en P y radio r>d (P. Denotar por A y B los puntos en los que la circunferencia corta a L Paso 2: con centro en A y con centro en B trazar circunferencias CA y CB de radio r Paso 3: trazar la recta que pasa por P y cualquiera de los puntos que pertenecen a CA pedida Los guía solicitándoles que repasen la construcción de rectas perpendiculares a una recta L que pasa por un punto P I CB. que al ejecutar estos pasos se logra la construcción. previo a la determinación de sumas y restas de ángulos. a modo de ejemplo. Trabajan copiando ángulos y trazos. Observaciones al docente Se sugiere al profesor mostrar. trabajar la copia de ángulos sobre rectas y la copia de ángulos sobre las rectas que determinan los lados de ángulos. utilizando regla y compás o procesadores geométricos. El docente da a sus estudiantes las propiedades de las transversales de gravedad de triángulos y les pide que utilizando regla y compás las verifiquen. Actividades 1. donde d (P. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 38 . Observaciones al docente Se sugiere al profesor. bisectrices y transversales de gravedad de: • • • Triángulos rectángulos Triángulos equiláteros Triángulos isósceles 2. paralelas y bisectrices de ángulos. Esta es la recta El docente verifica. Con este propósito los estudiantes observan ángulos y encuentran sumas y restas de ellos utilizando regla y compás. bisectrices y transversales de gravedad de triángulos. usando regla y compás o procesadores geométricos. Los estudiantes verifican esa propiedad usando regla y compás. El profesor. L). simetrales.Ejemplos de actividades AE 1 Construir rectas perpendiculares. AE 2 Comprobar propiedades de alturas. utilizando regla y compás de pizarra. L) denota la distancia entre P y L. 2. Los estudiantes caracterizan las alturas.
Por ejemplo. AE 4 Construir ángulos. transversal de gravedad y bisectriz de un triángulo isósceles coinciden. “trazar un arco de circunferencia con centro en un punto dado y con un radio dado”. A continuación verifican esas construcciones. redactan los pasos para construir el triángulo de lados: a b c 2. Construyen un triángulo equilátero de lado cualquiera y lo utilizan para construir un ángulo de 30°. Verifican la construcción redactada ejecutando los pasos mediante regla y compás. 2. Por ejemplo. α y Observaciones al docente Es importante que el docente sugiera a sus estudiantes que. por ejemplo. usando instrumentos manuales o procesadores geométricos. realicen un bosquejo del triángulo que se desea construir y que se guíen en él para redactar esos pasos. Actividades 1. dados el lado AB = c. Se sugiere al docente mostrar al estudiante redacciones técnicas relativas a la construcción con regla y compás. Utilizan Geogebra para construir ángulos de distintas medidas. elaboran una estrategia para construir el ángulo de 150° y la verifican utilizando regla y compás. Elaboran estrategias para construir mediante regla y compás ángulos y las verifican utilizando regla y compás. el ángulo CAB= el ángulo CBA= β. Actividades 1. AE 3 Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 39 . Los estudiantes redactan los pasos para construir un triángulo ABC. previo a la redacción. Con regla y compás verifican si la altura. utilizando instrumentos manuales o un procesador geométrico. Los estudiantes redactan los pasos para construir un triángulo de lados dados.3. ejecutando los pasos redactados. 3.
Criterios de evaluación 1. correctamente. Construir un triángulo si se sabe que sus lados miden 10 cm y 9 cm y el ángulo. 1 cm y 8 cm de largo. utilizando dichas varillas. su acuerdo o desacuerdo con la afirmación dada en la situación N°2. 3. Se afirma que una condición necesaria (pero no suficiente) para construir un triángulo es que uno de los datos dados sea uno de sus elementos lineales y que. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 40 . Indicadores de Evaluación • • • Determinan si un conjunto de datos son suficientes para construir un triángulo.Ejemplo de evaluación Aprendizaje Esperado Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. fundamente y construya con regla y compás una representación geométrica de ella Si su respuesta es no. Argumentan por qué es posible o no la construcción del triángulo en la situación N°1. sin embargo. Verifican mediante regla y compás redacciones realizadas para construir triángulos. 2. considerar los siguientes criterios: 1. 5. de modo que la longitud de los lados de la figura coincida con la longitud de las varillas. Argumentan. Se quiere construir una figura triangular. 4. Discuten las soluciones posibles. Se tienen tres varillas de 4 cm. Establecen si con los datos de la situación 1 se puede o no construir un triángulo. argumente por qué no es posible su construcción Al evaluar. se puede construir un triángulo conociendo solo datos lineales (sin datos angulares). Actividad propuesta Leer cuidadosamente las situaciones dadas y responder a las preguntas. 3. Redactan pasos para construir triángulos dados las medidas de sus lados. ¿Está de acuerdo con esa afirmación? Fundamente su respuesta. 2. usando regla y compás o procesadores geométricos. Pregunta: ¿Es posible construir dicha figura? • • Si su respuesta es sí. Construyen el triángulo apoyados en una figura análisis. comprendido entre ellos mide 65°.
SEMESTRE 2 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 41 .
verificar y aplicar propiedades de las potencias Establecer relaciones entre potencias y raíces cuadradas Resolver problemas utilizando el teorema de Pitágoras Utilizar estrategias para calcular volúmenes de prismas rectos y pirámides Formular y verificar conjeturas con respecto a la variación del perímetro de polígonos al variar sus elementos lineales Actitudes • Trabajo en equipo y la iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 42 . conjeturen con respecto a ellas. raíz cuadrada. Contenidos disciplinares • • • • • Potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo y potencias de base 10 con exponente entero Raíz cuadrada de un número entero positivo Teorema de Pitágoras y teorema recíproco de Pitágoras Estudio de la variación en el perímetros de polígonos Volúmenes de prismas rectos y pirámides Habilidades • • • • • • Interpretar información expresada en potencias Conjeturar. apliquen algunas de sus propiedades. extendiendo sus propiedades a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural y a potencias de base 10 y exponente entero. incluyendo el matemático. Se espera que los estudiantes interpreten estos números. teorema de Pitágoras. volumen de prismas y pirámides. su cálculo y su estimación.UNIDAD 3 Números y Geometría Propósito Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de profundizar sus conocimientos con respecto a las potencias de base y exponente natural. Se les presenta la oportunidad de trabajar el concepto de raíz cuadrada. y de formular y verificar conjeturas relacionadas con el volumen y perímetro de las formas geométricas en estudio. y utilizar este conocimiento para aplicar el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos diversos. Conocimientos previos • • • Potencias de base y exponente natural Perímetro de figuras planas Elementos de prismas rectos y pirámides Conceptos clave Potencias de base fraccionaria o decimal. además. variación de perímetros de polígonos. de utilizar estrategias para obtener el volumen de prismas rectos y pirámides. y verifiquen estas conjeturas formuladas. potencias de base 10 y exponente entero. Esta es la ocasión que tienen.
Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo. Interpretar potencias exponente entero. • • • • Verifican en casos particulares el teorema de Pitágoras. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. • • • • 4. Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base 10 y exponente entero. • • 7. Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base y exponente natural. Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en • 8 Se refiere. Reconocen la importancia del teorema recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos geométricos. 9.Aprendizajes Esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. en forma manual o utilizando un procesador geométrico. Estiman en forma mental y de manera escrita números que son cuadrados perfectos. Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas. 5. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero. • • 2. Calculan en forma mental raíces cuadradas en casos simples. • • 6. potencia de una potencia. Multiplican potencias de base y exponente natural utilizando propiedades. Relacionan raíces cuadradas con números positivos. • • • 16 8. Verifican en casos particulares el teorema recíproco de Pitágoras. de base 10 y • • Sugerencias de indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Identifican situaciones que pueden ser representadas por medio de potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva. por ejemplo. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo. Reconocen la unidad de medida de volumen en contextos diversos. Verifican conjeturas relacionadas con las propiedades de las potencias de base y exponente natural. Interpretan información expresada por potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva. Multiplican potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva y exponente natural utilizando propiedades. Relacionan la raíz cuadrada de un número entero positivo con las potencias de exponente dos. Identifican situaciones que pueden ser representadas por medios de potencias de base 10 y exponente entero. de manera manual o utilizando un procesador geométrico. por ejemplo 3. Interpretan información expresada en potencias de base 10 y exponente entero. Dividen potencias de base y exponente natural utilizando propiedades. Identifican en forma mental y de manera escrita números que no son cuadrados perfectos. multiplicación de potencias de igual exponente. Dividen potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva y exponente natural utilizando propiedades. Descubren regularidades relativas a propiedades de las potencias de base y exponente natural. Identifican situaciones donde se aplica el teorema de Pitágoras. Conjeturar y verificar algunas propiedades8 de las potencias de base y exponente natural. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 43 .
Ser responsable con los compromisos asumidos en actividades grupales. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. • • • 11. Aplican el teorema de Pitágoras para calcular longitudes en figuras planas. calculan los lados de triángulos rectángulos. Utilizan las propiedades de las potencias de base y exponente natural para resolver problemas que involucren este tipo de potencias. Formular y verificar conjeturas. Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el perímetro de rombos cuando varía la medida de sus diagonales. • MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 44 . Utilizan las propiedades de las potencias de base 10 y exponente entero para resolver problemas que involucren este tipo de potencias. Resuelven problemas relativos a cálculos de lados en triángulos rectángulos. Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el perímetro de paralelogramos cuando varían las medidas de sus lados. Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales. Verifican que un triángulo no es rectángulo utilizando el teorema de Pitágoras. Utilizan estrategias para obtener el volumen de pirámides rectas expresando los resultados en la unidad de medida correspondiente. Resolver diversos: a) problemas en contextos • • • • • • • • b) Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural. Por ejemplo.contextos diversos. Evalúan las soluciones de problemas resueltos en función del contexto del problema. Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el volumen de prismas rectos cuando varían las medidas de los lados de su base y su altura. • • • Interpretan información relativa a volúmenes de cubos en contextos diversos. en casos particulares. Tomar iniciativa en relación al trabajo colectivo. 10. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. construyen el ángulo recto dividiendo una cuerda en 23 partes iguales. Utilizan la calculadora para resolver problemas que involucren raíces cuadradas de números enteros positivos cuando su resultado es un número irracional. Utilizan estrategias para obtener el volumen de paralelepípedos y expresan el resultado en la unidad correspondiente. y las potencias de base 10 y exponente entero Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras Aprendizajes Esperados en relación con los OFT El trabajo en equipo y la iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos • • • Proponer ideas durante el trabajo con sus pares en la clase. por ejemplo. en casos particulares. utilizando el teorema recíproco de Pitágoras. • • 12. relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. Verifican en casos particulares las conjeturas formuladas acerca de los cambios que se producen en el perímetro de rectángulos cuando varían sus lados. Construyen ángulos rectos. Formular y verificar conjeturas. Verifican en casos particulares las conjeturas formuladas acerca de los cambios que se producen en el volumen de prismas rectos cuando varían las medidas de los lados de su base y su altura.
en el caso de las figuras 3D. pero con base fraccionaria o decimal positivo. sino también su recíproco. Las propiedades de potencias son una ampliación normal de las propiedades de las potencias para base y exponente natural. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 45 . los estudiantes tendrán la posibilidad de resolver problemas en contextos matemáticos y cotidianos aplicando ambos teoremas.Orientaciones didácticas para la unidad En esta unidad. ya que esto facilitará la realización de conjeturas relativas a los cambios que se producen en el volumen de estos cuerpos cuando varían las medidas de sus aristas y les facilitará la verificación en casos particulares de las conjeturas formuladas. debido a la edad de los estudiantes del nivel (que en general son enérgicos y dispersos). multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente. verificando que las propiedades ya estudiadas para potencias son válidas también para potencias de base fraccionaria y decimal positiva. En el desarrollo de potencias de este tipo. que son posibles de resolver sin necesidad de realizar la multiplicación. por ejemplo. presentar a los estudiantes actividades que involucran variaciones en las medidas de las aristas de prismas y pirámides. debería surgir naturalmente la regla que dice “el exponente multiplica tanto al numerador como al denominador”. las potencias pueden ser representadas como una multiplicación iterada. En la medida de lo posible. es probable que requieran de un monitoreo permanente. Sin embargo. En este contexto.02)4. sin embargo. por lo que el énfasis debe estar solo en la relación que tiene la raíz cuadrada de un número entero positivo con las potencias cuadradas. trabajando no solo su verificación directa. El trabajo en parejas o grupos de discusión resulta ser atractivo para los estudiantes. Dado que el exponente aún es un número natural. El teorema de Pitágoras es una buena instancia para verificar propiedades y relaciones geométricas. se sugiere profundizar la comprensión de estos teoremas. por ejemplo (0. También resultan desafiantes actividades conducentes a detectar ciertas reglas que se dan con las potencias de base decimal. se debe poner el énfasis en la detección de regularidades. en el caso de potencias con base fraccionaria. se amplía el campo de potencias con base y exponente natural a potencias también con exponente natural. las actividades que se les presenten a los estudiantes deben facilitar el establecimiento de conjeturas y su posterior verificación. Finalmente. la raíz cuadrada aparece de manera casi natural y puede ser trabajada tanto con resultados naturales como decimales. su verificación y sus aplicaciones con algún software geométrico. El docente puede hacer actividades que posibiliten que los estudiantes conecten sus conocimientos previos con los nuevos conceptos. es decir. En este contexto. De esta manera. La utilización de material concreto ayuda en la verificación de las relaciones que se producen. en el nivel todavía no se ven los números irracionales.
Actividades 1. Esa será la conjetura. Interpretan información expresada en potencias de base 10 y exponente entero. Por ejemplo. por ejemplo. potencia de una potencia. AE 2 Interpretar potencias de base 10 y exponente entero. AE 3 Conjeturar y verificar algunas propiedades9 de las potencias de base y exponente natural. que expresen multiplicaciones del tipo a n ⋅ a m donde la base y los exponentes son 23 ⋅ 2 4 7 en la forma 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2 Que posteriormente relacionen los exponentes de la multiplicación multiplicación anterior: 2 2 3 ⋅ 2 4 con el exponente del resultado de la Que repitan el experimento anterior las veces que sea necesario hasta que descubran un patrón y lo generalicen. por ejemplo. multiplicación de potencias de igual exponente. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero. 2. 3. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 46 . • Verifican la conjetura formulada Observaciones al docente El profesor puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. comparan la masa de la tierra expresada en gramos con la masa de un electrón expresada en gramos. por ejemplo.3 cm. Los estudiantes realizan las siguientes actividades: • Conjeturan acerca de la multiplicación de potencias del tipo números naturales Observaciones al docente Respecto de la conjetura: El profesor puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. Identifican potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural en la expresión que representa el volumen de un cubo de arista 2. Actividades 1. Identifican potencias de base 10 y exponente entero en la conversión de kilómetros a centímetros y de centímetros a kilómetros.Ejemplos de actividades AE 1 Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo. que comprueben la propiedad conjeturada en la multiplicación: 75 ⋅ 73 9 Se refiere.
que en el caso de la multiplicación.2. para calcular 43 ⋅ 53 Observaciones al docente Se sugiere al profesor que previo al establecimiento de estos procedimientos trabaje con sus estudiantes la conmutatividad de la multiplicación y que ejercite la multiplicación de números en paréntesis. acerca de expresiones del tipo los exponentes son números naturales Observaciones al docente Respecto de la conjetura: El profesor puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. de esta 10 ⋅ 2 ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 3 2 4 3 3 2 4 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 47 . Aplican este resultado para resolver expresiones del tipo: 10 3 ⋅ 2 2 ⋅ 5 4 Observaciones al docente Se sugiere al profesor que repase con sus estudiantes descomposiciones de números en forma multiplicativa. en este caso que descomponga manera 10 = 2 ⋅ 5 y que aplique el procedimiento anterior. por ejemplo. • Verifican la conjetura formulada Observaciones al docente El profesor puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. por ejemplo. utilice esta propiedad y el trabajo con paréntesis para expresar ( 4 ⋅ 4 ⋅ 4) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) = ( 4 ⋅ 5) ⋅ ( 4 ⋅ 5) ⋅ ( 4 ⋅ 5) 43 ⋅ 53 en la forma 2. que expresen multiplicaciones del tipo (a ) n m donde la base y (5 ) 3 4 en la forma (5 ⋅ 5 ⋅ 5)4 Que posteriormente expresen exponentes de (5 ) (5 ⋅ 5 ⋅ 5)4 en la forma (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) 12 y que relacionen los 3 4 con el exponente del resultado de la multiplicación anterior: 5 Que repitan el experimento anterior las veces que sea necesario hasta que descubran un patrón y lo generalicen. AE 5 Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base 10 y exponente entero. Por ejemplo. Los estudiantes establecen procedimientos para calcular potencias de distinta base natural y exponentes naturales iguales. es decir. que comprueben la propiedad conjeturada en la potencia de potencia: (4 ) 5 2 AE 4 Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base y exponente natural. Actividades 1. Por ejemplo. Esa será la conjetura. Los estudiantes ahora: • Conjeturan acerca de potencias de potencias.
Observaciones al docente Se sugiere al docente trabajar. Los estudiantes resuelven las siguientes operaciones con potencias: • 15 3 ⋅ 3 4 ⋅ 5 4 • 24 3 2 2 ⋅ 34 20 3 10 −5 • AE 6 Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo. 3. 4. Utilizan el teorema recíproco de Pitágoras para verificar que para construir un segmento perpendicular a otro segmento una posibilidad es unir los segmentos y dividir en doce partes iguales esta unión. Elaboran estrategias para determinar. en primer lugar. 2. si la medida de dicho lado está expresada por una raíz cuadrada. que ciertas figuras son rectangulares. verifican utilizando el teorema recíproco de Pitágoras si una ventana de forma rectangular está cuadrada. Actividades 1. Actividades 1. Por ejemplo. Identifican otras figuras. Por ejemplo. AE 8 Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. Aplican el concepto de raíz cuadrada para estimar medidas. Relacionan raíces cuadradas con potencias de exponente dos. en contextos cotidianos. actividades relacionadas con el cálculo de cuadrados de números enteros positivos y. Verifican en casos particulares que: • • La suma de las áreas de triángulos equiláteros construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del triángulo equilátero construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo La suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del semicírculo construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo 2. triángulos equiláteros y semicírculos que satisfacen el teorema de Pitágoras. AE 7 Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas. distintas a cuadrados. en segundo lugar.3. estiman el lado desconocido de un polígono. Observaciones al docente Se sugiere al docente que dé al estudiante estrategias para aproximar raíces cuadradas. trabajar actividades asociadas al cálculo de raíces de cuadrados perfectos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 48 .
A continuación que varíe en 2 cm el lado del pentágono y que registre el perímetro. • La variación del perímetro de triángulos rectángulos cuando varían sus catetos Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta formulación. de un prisma recto de base hexagonal de lado 8 cm y de altura 12 cm. relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. Por ejemplo. que asigne valores a sus lados en centímetros y que registre el perímetro. Utilizan estrategias para deducir el volumen de pirámides rectas de base cuadrada. 5. en casos particulares. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. Por ejemplo. que dibuje un pentágono. y que formule la conjetura. Por ejemplo. que dibuje un triángulo rectángulo de MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 49 . Calculan volúmenes de prismas rectos y pirámides en contextos de la vida cotidiana y las expresan en las unidades de medida correspondiente. 30 cm y 25 cm. Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta deducción. Los estudiantes formulan conjeturas relativas a: • La variación del perímetro de pentágonos cuando varían sus lados Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta formulación. Utilizan estrategias para deducir el volumen de prismas rectos de base hexagonal.AE 9 Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. 6 cm y 9 cm con material concreto y que a partir de él formen la pirámide. Actividades 1. para transformar m 3 en cm 3 y m2 en cm 2 3. sugerirles que en la base del prisma relacionen el lado del prisma con la altura del hexágono que se forma. Por ejemplo. 2. Actividades 1. Por ejemplo. Por ejemplo. de una pirámide recta de base cuadrada de lado 6 cm y altura 9 cm. sugerirles que construyan un paralelepípedo de aristas 6 cm. 4. Después que descubra regularidades en la secuencia de datos de los lados y del perímetro del pentágono. Por ejemplo. y así sucesivamente. calculan la cantidad de agua que se necesita para llenar una piscina de largo 8 m. ancho 6 m y alto 2 m. Utilizan las propiedades de potencias para establecer unidades de medidas que expresen volúmenes. calculan el volumen de un paralelepípedo de aristas 20 cm. Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta deducción. y que construyan un paralelepípedo a partir de la altura del hexágono y la altura del prisma. Utilizan las propiedades de potencias para transformar unidades de medida. AE 10 Formular y verificar conjeturas. A continuación que varíe en 1 cm el lado del pentágono y que registre el perímetro. Por ejemplo. Por ejemplo.
Por ejemplo. A continuación que varíe en 2 cm el lado de los catetos. Por ejemplo. Luego. transforman expresiones. que calcule la hipotenusa de manera aproximada y que registre el perímetro aproximado. donde b se relaciona con potencias de a 3 expresar 8 en la forma 2 y para concluir que 3 es la solución de la ®2. Resuelven problemas en contextos matemáticos: • Relativos a cálculos de valores. Actividades 1. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. para obtener soluciones de ecuaciones del tipo Por ejemplo. que dibuje un prisma recto. y las potencias de base 10 y exponente entero Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras Actividades 1. que varíe en 2 cm los lados de la base y de la altura del prisma recto y que registre el perímetro. en casos particulares. que calcule su hipotenusa y que posteriormente calcule su perímetro. aplicando propiedades de potencias. A continuación que varíe en 1 cm el lado de los catetos. y así sucesivamente. Los estudiantes verifican las conjeturas formuladas en pentágonos de lados dados y en triángulos de catetos dados.catetos 3 cm y 4 cm. que calcule la hipotenusa de manera aproximada y que registre el perímetro aproximado. Los estudiantes verifican las conjeturas formuladas en prismas de lados de la base y altura dados y pirámides de base cuadrada y triangular de datos de la base y la altura dados. 2. AE 12 Resolver problemas en contextos diversos: • • Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural. AE 11 Formular y verificar conjeturas. Los estudiantes formulan conjeturas relativas a: • La variación del volumen de prismas rectos cuando varían los lados de su base y su altura Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta formulación. y así sucesivamente. A continuación que varíe en 1 cm cada uno de los lados de la base y la altura y que registre el volumen. que asigne valores en centímetros a los lados de su base y a su altura y que registre su volumen. Resuelven problemas relativos a cálculos de áreas y volúmenes en contextos cotidianos. } 3. aplican propiedades para ecuación 2x = 8 a x = b . Por ejemplo: • Calculan la cantidad de centímetros cúbicos que están contenidos en 1 litro de agua MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 50 . que descubra regularidades en la secuencia de datos correspondientes a los catetos y al perímetro del triángulo. y que formule la conjetura. que descubra regularidades en la secuencia de datos correspondientes a los lados de la base y de la altura del prisma. Después. y que formule la conjetura. Utilizan las potencias de base 10 y exponente natural para analizar las distancias que separan a diversos cuerpos celestes. • En la variación del volumen de pirámides de base cuadrada y triangular cuando varían los lados de su base y su altura 2. Después.
4. ¿cuánto arroz se recolecta en la etapa 9? 5. Resolver problemas en contextos diversos utilizando el teorema de Pitágoras. la siguiente estrategia: a) que encuentren un trío pitagórico. Por ejemplo.c de manera que el máximo a +b = c 2 2 2 6. b) que determinen si estos elementos tienen factores comunes. b . Por ejemplo: • • • • • Obtienen de manera práctica el ángulo recto utilizando los tríos pitagóricos Calculan perímetros de triángulos rectángulos Estiman perímetros de triángulos rectángulos cuya hipotenusa no es un número entero. Utilizan propiedades de potencias para modelar situaciones. y así sucesivamente. kb . 10. Determinan tríos pitagóricos. k ∈ N que satisfacen la condición anterior. cada una de las cuales dona 3 kilos de arroz.• Calculan la medida de superficies rectangulares cuyos lados están expresados en potencias de 10. Observaciones al docente Se sugiere al docente entregar a sus estudiantes estrategias para encontrar tríos pitagóricos de máximo común divisor 1. y que dividan estos números por 2 hasta obtener el trío pitagórico 3. y si es así. Por ejemplo. determina los valores de a . c) que dividan los números por ese factor hasta obtener este tipo de tríos. Por ejemplo. Es importante que el docente guíe a sus estudiantes a que deduzcan tríos común divisor entre ellos sea 1 y que satisfagan la condición a . por ejemplo. Por ejemplo: de un rectángulo de largo 10 3 cm. y ancho 10 −1 cm 4. que si encuentran el trío 6. con ese propósito (etapa 1) contacta tres personas.b . después cada una de estas personas contacta otras tres personas. de un triángulo de catetos 2 cm y 3 cm Determinan áreas de triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras Utilizan el teorema de Pitágoras para resolver problemas en contextos geométricos.b . los estudiantes determinan el perímetro del trapecio rectángulo de la figura 8 cm 8 cm 14 cm MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 51 . 7. se obtienen tríos ka . por ejemplo. c que satisfacen la condición: la suma de los cuadrados de los primeros dos términos es igual al cuadrado del tercer término. 5. modelan la siguiente cadena alimenticia: una persona desea recolectar arroz para una campaña benéfica. cada una de las cuales dona tres kilos de arroz (etapa 2).c que satisfacen la condición a +b = c 2 2 2 Observaciones al docente Es importante que el docente guíe a sus estudiantes a que deduzcan que de los tríos a . Utilizan tríos pitagóricos tales que su máximo común divisor sea 1 para calcular lados de triángulos rectángulos. kc . Por ejemplo. determinen que estos números tienen un factor común que es el 2. 8.
Observaciones al docente Se sugiere al docente trabajar actividades relacionadas con trazados de segmentos en figuras. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 52 . de manera que sus estudiantes visualicen figuras desde otras perspectivas.
Verifican en casos particulares el teorema recíproco de Pitágoras. Identifican situaciones donde se aplica el teorema de Pitágoras. de manera manual o utilizando un procesador geométrico. ¿Cuál es esa? –le pregunta Pedro-. Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa. 3. Reconoce al inverso el teorema de Pitágoras. midiendo la distancia entre el primer y tercer nudo hasta que esa distancia sea igual a 50 cm. ¿Y? -pregunta Pedro. 3. 2. Le manifiesta su problema al maestro Juan. Este le indica que use la “regla de los tres nudos”. sean realmente rectos. Y entonces. en forma manual o utilizando un procesador geométrico. mi amigo. Indicadores de Evaluación: • • • • Verifican en casos particulares el teorema de Pitágoras. Reconocen la importancia del teorema recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos geométricos. que tiene más experiencia. Construya un triángulo rectángulo de catetos iguales a 30cm y 40 cm respectivamente. Al evaluar. Fija uno de los extremos de la cuerda de modo que quede tensa y mueve el otro extremo. conocido la longitud de los catetos.¿qué hago ahora? Juan: Clava una estaca en el lugar donde quieres dibujar tu ángulo recto. fija ahí el extremo libre de la cuerda. Nudo 1 Nudo 2 Preguntas: Nudo 3 1. ¿Cuánto medirá la hipotenusa? ¿Por qué? MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 53 . ¿Qué conocimiento geométrico serviría para apoyar el método descrito por Juan para construir ángulos rectos? Justifica. ¿Es verdad que el procedimiento descrito por Juan permite construir ángulos rectos? Justifica. en las esquinas. Criterios de evaluación El maestro Pedro tiene que construir un radier rectangular. a lo que Juan le responde: toma una cuerda y en uno de sus extremos haz un nudo. 2. Explica la situación basándose en el teorema de Pitágoras. No sabe cómo asegurarse de que los ángulos. Actividad propuesta Leer cuidadosamente las situaciones dadas y responder a las preguntas. tendrás un ángulo recto. a partir del nudo mide 30 cm y haz un segundo nudo finalmente haz un tercer nudo a una distancia de 40 cm del segundo. considerar los siguientes criterios: 1.Ejemplo de evaluación Aprendizaje Esperado Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. y coloca la cuerda de modo que el segundo nudo quede en la estaca.
evento de un experimento aleatorio. por ejemplo. se profundiza en los conceptos de población y se muestra como algo fundamental en el estudio de la estadística. barras y circulares Selección de escalas numéricas. En este nivel se enfatiza el trabajo con tablas de frecuencia a partir del registro de los resultados de experimentos aleatorios. así como también en la capacidad de organizar y representar datos a través de los instrumentos mencionados. azar. de líneas y circulares). Por otro lado. comparar y analizar información a partir de diversos tipos de tablas y gráficos en diferentes contextos. probabilidad. En esta unidad. Conocimientos previos • • • • • Gráficos de línea. El énfasis en este nivel está puesto en el análisis crítico de la información y en la selección de las formas de organizar y representar los datos. en esta unidad los estudiantes continúan su trabajo con el tópico de probabilidades. en función del tipo de análisis que se desee realizar. adecuadas a los datos. También cobra relevancia el uso de herramientas tecnológicas para simular un gran número de veces un cierto experimento aleatorio. de modo que sea también posible comparar más de un evento. experimento aleatorio. frecuencia relativa. tablas de frecuencias. Se espera que los estudiantes reconozcan que la naturaleza de la muestra y el método de selección inciden en el estudio de la población.UNIDAD 4 Datos y Azar Propósito El propósito de esta unidad es profundizar en las habilidades de interpretar. para los ejes de un sistema de coordenadas Razones y proporciones Cálculo de porcentajes Comparación de cantidades Conceptos clave Población. profundizando en el estudio de situaciones de incerteza y experimentos aleatorios. Contenidos disciplinares • • • • • • • • • • Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia relativa porcentual Población Muestra Representatividad de una muestra Experimento aleatorio Evento de un experimento aleatorio Ocurrencia de un evento Probabilidad de ocurrencia de un evento Habilidades • • • • • • • • Extraer información desde datos organizados en tablas y gráficos Resolver problemas utilizando datos organizados en tablas y gráficos Representar un conjunto de datos a través de tablas y gráficos Comparar información gráfica Evaluar críticamente información gráfica Utilizar herramientas tecnológicas en la construcción de gráficos Obtener muestras aleatorias desde una población Estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento asociado a un experimento aleatorio Actitudes • • • Actitudes de interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos Una actitud crítica frente a la información gráfica presente en los medios de comunicación Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 54 . Será importante la iteración de cada experimento e ir registrando lo que sucede con la frecuencia relativa para cada evento. fundamentalmente en contextos extraídos de los medios de comunicación. barras múltiples. Por otra parte. lanzar dos monedas. los estudiantes trabajarán con tablas y gráficos revisados en años anteriores (gráficos de barras. frecuencia.
Comparan información gráfica. Predecir la probabilidad eventos a partir de la de ocurrencia de frecuencia relativa • 10 Frecuencia absoluta. que usualmente aparece en los medios de comunicación. Señalan las ventajas y desventajas de las estrategias establecidas para escoger muestras de un determinado tamaño desde una población específica. Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar. de modo que las conclusiones se generalicen a la población. Por ejemplo. Evalúan si una tabla o tabla de frecuencia es suficiente para organizar un conjunto de datos o si es necesario construir un gráfico para comunicar información. Identifican la muestra tomada desde estudios y encuestas publicadas en medios de comunicación.Aprendizajes Esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. Organizan un conjunto de datos en diferentes tipos de gráficos.) para identificar los resultados • • • • 2. • • • • • 3. Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos. etc. Por ejemplo. Seleccionan la representación gráfica más adecuada para la representación de un conjunto de datos y justifican su elección basándose en el tipo de datos involucrados. relativa. • • • • • • 4. monedas. Evalúan si las conclusiones presentadas en los medios de comunicación son pertinentes apoyándose en la información gráfica. por ejemplo de barras. de líneas y pictogramas. Identifican elementos que caracterizan a una muestra representativa. con las descripciones o textos que les acompañan y evalúan la coherencia entre ambas. Argumentan si una muestra es o no representativa a partir de diferentes ejemplos. circular o líneas y seleccionan aquel que les permita responder mejor las preguntas planteadas. Establecen estrategias para escoger muestras de un determinado tamaño desde una población específica. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 55 . Deciden y argumentan acerca del número y las formas de extraer muestras. seleccionando el tipo de frecuencia10 según el análisis que se requiera hacer. gráficos de barras. porcentual o acumulativa. que involucren la comparación de dos o más conjuntos de datos seleccionando la representación gráfica más adecuada. ruletas. tablas de frecuencia donde se incorpora la frecuencia relativa porcentual. Resuelven problemas. Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. en diversos contextos. • Sugerencias de Indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Leen e interpretan información a partir de datos organizados en diversos tipos de tablas. Resuelven problemas que involucren la construcción de tablas de frecuencias. circulares. y evalúan la pertinencia sobre las conclusiones obtenidas en el estudio. Leen e interpretan información a partir de datos organizados en gráficos que usualmente aparecen en los medios de comunicación. Realizan diferentes experimentos aleatorios simples (con dados. Comparan información extraída de diversos tipos de gráficos y tablas y comunican sus conclusiones.
• Evaluar las conclusiones enunciadas. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 56 . • Demuestran responsabilidad en la tarea asignada. Predicen acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento. • Formular preguntas sobre los temas implicados en la información trabajada. Determinan eventos que tienen mayor ocurrencia a partir del registro de los resultados de un experimento aleatorio en tablas de frecuencias. Aprendizajes Esperados en relación con los OFT Actitudes de interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos • Buscar información cuantitativa por iniciativa propia. • Evaluar las formas de representación de los datos (gráficos. • Toman iniciativa en actividades de carácter grupal. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos • Participan de manera propositiva en actividades grupales. 11 Sobre 100 para que el análisis tenga sentido.obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples. Una actitud crítica frente a la información gráfica presente en los medios de comunicación • Verificar las fuentes de información. • Proponen alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales. Señalan si un suceso es más o menos probable. a partir de la interpretación de información entregada en una tabla de frecuencia. tablas y medidas de tendencia central y de dispersión). • • • posibles y los registran en tablas de frecuencia que involucren una gran cantidad de iteraciones11. a partir de la simulación (un número grande de iteraciones) de un experimento aleatorio usando tecnología.
Se sugiere crear situaciones en las que los estudiantes decidan la manera de organizar un conjunto de datos y el tipo de gráfico que mejor comunique la información. tomados de diarios. al lanzar dos monedas. En la parte de probabilidades (Azar) se recomienda proponer a los estudiantes diversas situaciones y experimentos aleatorios. 5. A través del trabajo propuesto en Datos y Azar. Por otra parte. con el concepto de representatividad y si las conclusiones de un estudio pueden ser o no generalizables a la población.Orientaciones didácticas para la unidad Tal como lo sugieren los Aprendizajes Esperados. En cuanto a los conceptos de población y muestra. se puede considerar el lanzamiento de dos monedas o dos dados unas 200 veces por lo menos. De este modo será posible observar con más claridad las regularidades de ciertos eventos.000. analicen e interpreten situaciones expresadas a través de tablas y gráficos. revistas o Internet.cara” o “sello sello”). Se sugiere trabajar la parte estadística (Datos) con contextos de interés para los estudiantes. se puede incentivar el interés por conocer la realidad y la búsqueda de la información en diversas fuentes. Es importante dejar que los estudiantes lean. El énfasis debe estar en el registro de la frecuencia relativa para los diferentes eventos y en las regularidades observadas a medida que se aumenta el número de lanzamientos. a través de los cuales puedan registrar los resultados en tablas de frecuencia y establecer comparaciones entre los distintos eventos. se recomienda proponer a los estudiantes discusiones relacionadas con las formas de seleccionar una muestra. algo que es muy difícil de percibir con pocos lanzamientos (por ejemplo. el evento “cara y sello” es más frecuente que los eventos “cara . Cabe señalar que en esta unidad es importante el trabajo con herramientas tecnológicas que permitan realizar simulaciones de los experimentos aleatorios (1. a través de representaciones como tablas y gráficos. esta unidad se conecta naturalmente con los Objetivos Fundamentales Transversales. socioeconómico o de género. se debe ser cuidadoso con cualquier situación de sesgo cultural. por ejemplo) o si es necesario emplear algún gráfico. También se puede discutir sobre si para determinada situación basta con organizar un conjunto de datos en una tabla (de frecuencia. que respondan preguntas y resuelvan problemas de manera grupal e individual. Por ejemplo. por medio de experimentos.000 o más repeticiones). el terreno es propicio para promover una actitud crítica frente a la información presente en los diferentes medios de comunicación y el trabajo en equipo en la resolución de problemas que involucren el análisis de datos. Se sugiere seleccionar situaciones en que los estudiantes resuelvan problemas que impliquen interpretar información presentada en diversos tipos de tablas y gráficos. También pueden evaluar la coherencia de los gráficos presentes en los medios de comunicación y los textos asociados con los datos del estudio en cuestión. y que observen y busquen regularidades en la información. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 57 . Finalmente. de modo que los estudiantes vean que la Estadística está en conexión con la vida cotidiana y es una herramienta para interpretar y modelar la realidad. Es importante que los estudiantes conjeturen acerca de los resultados y luego los verifiquen o refuten.
Se sugiere que los estudiantes. por ejemplo: ¿Qué significa cada barra?. Observaciones al docente Es importante motivar a los estudiantes para que observen los gráficos. comprendan el contexto y entiendan los números que aparecen. del jueves 13 de agosto de 2009. Comunican las conclusiones. Observan tablas y gráficos de interés obtenidos desde distintos medios de comunicación y escriben información relevante en el contexto. o bien ¿qué se está comparando? Responden preguntas más específicas respecto del gráfico. Actividades 1. puedan analizar a fondo la información presentada y que evalúen la pertinencia de las conclusiones entregadas por los medios de comunicación y las contrasten con sus propias conclusiones. Proponen otras preguntas que puedan ser respondidas desde el gráfico. ¿qué representa el eje X?. tales como: ¿en qué años las concentraciones de smog fueron más bajas? ¿En qué año las condiciones del aire fueron más críticas? ¿Qué sucede con la calidad del aire en el 2009? El profesor debe evaluar las respuestas entregadas por los estudiantes y llegar a una interpretación correcta en conjunto con ellos. o bien utilizar otro para la actividad. extraída desde un diario local12. o bien ¿qué se está comparando? Luego introducirlos a situaciones más específicas que se pueden extraer desde el gráfico. • El gráfico aquí presentado fue extraído del diario La Tercera. con el apoyo del profesor. Se sugiere orientar el trabajo mediante preguntas del tipo ¿qué significa cada barra?. El docente podría utilizar este mismo gráfico. Por ejemplo. 12 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 58 . ¿qué representa el eje X?. • • Responden preguntas cuyas respuestas se extraen del gráfico. discuten acerca de cierta información presentada en un gráfico.Ejemplos de actividades AE 1 Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos.
124.856 475.946 266.htm (consultado el 03/10/2010) MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 59 .050 3.609. ¿qué región es la que tienen menor población?.511 212.700.556.470 21.201 6. Se aseguran de que aparezca organizada en tablas y en distintos tipos de gráficos para compararla con la hallada por otros estudiantes u otros grupos.exitoexportador.5% Oriente Medio 3. Por ejemplo: • Observan una tabla y gráfico como los siguientes Usuarios del Internet y Población por Países y Regiones13 Regiones África Asia Europa Oriente Medio Norte América Latinoamérica / Caribe Oceanía / Australia TOTAL MUNDIAL Población (2010) 1.970.930.735 63. Verifican cada uno de los porcentajes que muestra el gráfico circular Discuten la manera en que la información de la tabla pueda ser representada en un gráfico de barras múltiples u otras representaciones Responden preguntas tales como: ¿qué región es la que tiene mayor población?. dato más reciente 110.450 592.com/stats.972 34.272. ¿qué región tiene una mayor cantidad de usuarios conectados?.4% Norte América 13. ¿qué región tiene mayor cantidad de usuarios conectados? 13 © 2000-2010.397 Usuarios de Internet por Zonas Geográficas Latinoamérica/Caribe 10.2% Oceania/Australia 1.420 828.924 344.1% Africa 5. Recopilan información en diferentes medios de comunicación.121. Miniwatts Marketing Group.500 205. www.960 Usuarios.845.852 813.836.1% Europa 24.240.097. mencionando la fuente.470 1.1% • • • Comparan la información de la tabla con la información del gráfico.224.834.948.336. o bien ¿qué regiones tienen una cantidad similar de usuarios conectados? En relación a su población total.319.6% Asia 42.013.2.779.792.
iccom.Observaciones al docente Se sugiere al docente incluir tablas que incluyan. frecuencia relativa y frecuencias relativas porcentuales.pdf MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 60 . la frecuencia relativa y la frecuencia relativa porcentual. los estudiantes se pueden apoyar en otros estudios anteriores otros anteriores. Actividades 1. Se sugiere al docente propiciar el intercambio de la información e investigación individual con el objeto de motivar la búsqueda por iniciativa propia en los estudiantes. AE 3 Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. Determinan la mejor forma de organizar la información (información básica. construyen una tabla de frecuencias que incluya las columnas de frecuencia. Actividades 1. además de la frecuencia. U. Católica. Escriben los criterios que utilizaron para escoger la muestra (encuestados). realizando la construcción en el cuaderno. Responden preguntas sobre la idoneidad de la muestra escogida tales como: • • ¿estos resultados son representativos de la realidad de su barrio? ¿comuna? ¿región? ¿país? ¿qué elementos aseguran que la muestra sea o no representativa? 14 Para esta actividad. AE 2 Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar.cl/html/difusion/estudios_difusion/Uso%20de%20Facebook/Uso%20de%20Facebook%20-%20ICCOM%202008. de Chile. recogidos a través de la encuesta anterior. como www. Estas actividades apuntan a que los estudiantes verifiquen las fuentes de información. A partir de los datos no organizados. de modo que los estudiantes visualicen su importancia. tabla de frecuencias simple o diferentes tipos de gráficos). 2. categorizando las respuestas. otros. La presentación de información proveniente de diversas fuentes genera inquietudes en los estudiantes y ellos formulan preguntas. U. Realizan una encuesta de un tema de interés. Española. Cobreloa. 3. 3. evalúen las conclusiones enunciadas y participen de manera propositiva en actividades grupales. Realizan un estudio14 en el colegio con respecto al uso de Facebook en relación con dos aspectos: • Frecuencia de uso: ¿Cuán a menudo te conectas a Facebook? Alta Media Baja Todos los días 2 a 3 veces por semana 1 vez por semana Cada 2 a 3 semanas 1 vez al mes o menos • Red de amigos: ¿Cuántos amigos tienes en Facebook? 3 a 19 20 a 37 38 a 70 70 a 300 Más de 300 2. U. por ejemplo: Encuestar a 40 personas sobre su preferencia de equipo de fútbol de primera división de Chile con el siguiente espacio muestral: Colo-Colo.
Un tercer integrante debe registrar los resultados en la siguiente tabla: N° de Lanzamiento Dado 1 Dado 2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado 2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado 2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado 2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Con esta información. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 61 . realizan un análisis crítico sobre la validez o pertinencia de las conclusiones que se enuncian. Conjeturan acerca de la probabilidad “a priori” de obtener un determinado resultado.4. Por ejemplo: Dos miembros del grupo deben lanzar un dado cada uno 50 veces. A partir de distintos estudios extraídos de medios de comunicación. Observan la columna de frecuencias relativas y determinan qué resultados tienen mayor y menor probabilidad de ocurrencia. 2. AE 4 Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples. los relativos a: • • La suma de los puntajes de los dados El producto de los puntajes de los dados 3. Describen en su cuaderno experimentos y encuestas en los cuales los resultados no son representativos de la población porque la muestra tampoco lo es. por ejemplo. 4. Observaciones al docente Se sugiere al docente que este tipo de actividades sean desarrolladas en grupos de trabajo a fin de promover la discusión entre los estudiantes. Actividades 1. completan una tabla de frecuencias simple que incluye la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de cada resultado. Consideran para el lanzamiento de dos dados como resultados. En grupos de 3 o 4 estudiantes realizan una actividad de repetición de un experimento aleatorio y uno de ellos registra los resultados obtenidos. 5.
¿qué resultado es más probable. con respecto al lanzamiento de dados o monedas con ayuda de la tecnología. 6.5. ¿cómo podrían ser representados los posibles resultados? ¿a qué resultado apostarían. Buscan regularidades. Responden preguntas del tipo: • • Si se lanza una moneda. Por ejemplo. a 5 mil o 10 mil. cara o sello? Si se lanzan dos monedas. Analizan la existencia de tendencias de datos representados en tablas de frecuencias o gráficos de barras. Se sugiere incorporar el uso de tecnología. Utilizan alguna herramienta tecnológica para simular los resultados del lanzamiento de dos dados y elevar el número de lanzamientos. sello-sello o mezclado? Observaciones al docente Se sugiere al docente que este tipo de actividades sea desarrollado en grupos de trabajo a fin de promover la discusión entre los estudiantes. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 62 . cara-cara. por ejemplo. que permita la simulación de experimentos aleatorios y una gran cantidad de iteraciones.
a partir de la simulación (un número grande de iteraciones) de un experimento aleatorio usando tecnología. 3. Compara eventos de acuerdo a su probabilidad de ocurrencia. 2. ¿Cuál de los siguientes eventos tiene mayor ocurrencia? • “que salga un número mayor o igual a 3” • “que salga un número par” 2. uno por integrante. se deben resumir los resultados totales -resultados de los 125 lanzamientos– en la siguiente tabla. Realiza el experimento aleatorio. ¿qué es más probable: “que salga un número mayor que 2 o que salga un número menor que 5”? Justifique. Finalizados los lanzamientos. 4. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 63 . etc. Predice acerca de la probabilidad de ocurrencia. Determinan eventos que tienen mayor ocurrencia a partir del registro de los resultados de un experimento aleatorio en tablas de frecuencias. lance el dado y contraste el resultado con su predicción. 5. Explique lo ocurrido. ruletas. Cada grupo recibe 5 dados. 15 Sobre 100 para que el análisis tenga sentido. 3. Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa porcentual Criterios de evaluación: Al evaluar. a partir de la interpretación de información entregada en una tabla de frecuencia. Indicadores de Evaluación • • • • Realizan diferentes experimentos aleatorios simples (con dados. considerar los siguientes criterios: 1. Construye la tabla de frecuencia con los resultados. ¿Con qué probabilidad? Una vez que hayas respondido a la pregunta anterior. Si lanza nuevamente un dado. que crees que ocurrirá. Al lanzar nuevamente un dado. monedas.Ejemplo de evaluación Aprendizaje Esperado Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples. Predicen acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento. Actividad propuesta La siguiente actividad se realizará en grupos de 5 personas. Cada integrante del grupo debe lanzar 25 veces su dado y registrar los resultados en una tabla. Compara eventos de acuerdo a la ocurrencia según la tabla de frecuencias.) para identificar los resultados posibles y los registran en tablas de frecuencia que involucren una gran cantidad de iteraciones15. Resultados Posibles 1 2 3 4 5 6 De acuerdo a los resultados obtenidos y registrados en la tabla responda las siguientes preguntas: 1. Señalan si un suceso es más o menos probable.
Santiago: Universidad de Santiago. D’AMORE. (2001). KOSTOVSKY. ARTIGUE. (1992). Moscú: Mir. Cómo desarrollar el razonamiento lógico matemático. GOÑI. (1997). ALSINA. R. L.. (2001). Didáctica de la Matemática. Argentina: Libros del Zorzal. ALSINA CATALÁ. B. (1991). (1998). GOVINDEN L. Santiago: Universidad Católica de Chile. Páginas web recomendadas: Ministerio de Educación de Chile: www. Mc Graw Hill. Barcelona: Grao. Matemática. Tres volúmenes.ine. M. (2009). José. Números Decimales ¿Por qué? ¿Para qué? Síntesis. KOLMOGOROV. C. Julia. Madrid: GRAO. J. El Currículo de Matemática en los inicios del siglo XXI. K. (2005). La matemática: su contenido.currículum-mineduc. (1994).. ALSINA CATALÁ. Barcelona: Labor.. N. Hoja de Cálculo en la enseñanza de las matemáticas en Secundaria. Universidad de Murcia. Las Matemáticas en el entorno. VILLELA. DÍAZ.. BURGUÉS. Síntesis. Fernando. Calculadoras: Introducción al Álgebra. M. Magisterio. métodos y significado. Bruno. y otros. J.. M. Un club de Matemática para la diversidad. WINSTON. GIMÉNEZ y TORRA. HONSBERGER... etc. M. México: Iberoamericana. (1994). 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales transversales. DOMÍNGUEZ. J. Ghyka. Argentina: AIQUE. (2002). Santiago: Universitaria. Argentina: AIQUE. Roberto y MATUS. BURGUÉS FLAMERICH. y otros. M. Madrid: Síntesis. México: Novedades Educativas.): www. El aprendizaje de las Matemáticas. J. Madrid: Alianza Universidad. Nuria.. GIBSON. DICKSON. El ingenio en las Matemáticas. Madrid: Síntesis. H. SANTISO. Simetría dinámica. CORBALÁN. C. Madrid Universidad Autónoma de Madrid. CENTENO. Razones para enseñar Geometría en la educación Básica. Contenidos Básicos de Estadística y Probabilidad.cl Instituto Nacional de Estadísticas: www. (1995). ARTIGUE. P. (1997).. CREGO. Uno. México: Thompson.mineduc. Enseñar Matemática Hoy. DUHALDE. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. BRESSAN. (1995). VILLANUEVA y otros.cl Red Maestros de Maestros (Mineduc): MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 64 . COFRÉ. M. Buenos Aires: Colihue. El hombre que calculaba. (1996). Lucila. Azar y probabilidad. O. Revista UNO. C. FORTUNY AYMENY. Construcciones Geométricas Mediante un Compás. (2006). BOGISIC. GONZÁLEZ. Materiales para construir la geometría. En Enseñanza de la Matemática. Tenoch. Santiago: Lom. Introducción a la Estadística. J. M. DE MELLO E SOUZA. PLANAS. JOHSUA. La matemática aplicada a la vida cotidiana. ELPHICK. (2005). Introducción a la didáctica de las ciencias y la matemática. (2008). Portus.. E.. Barcelona: Graó.cl Instrumentos Curriculares (Mapas de Progreso. DUPIN. TAPIA. NAFRÍA. Luz. Ministerio de Educación de Chile. C.. Madrid: Narcea. y otros. LAURENTIEV. (1987). D. BURGUÉS FLAMERICH. Razonamiento Matemático. Alicia. CEDILLO. (1995). Buscando un orden para el azar. Madrid: DLS-Euler. Claudia. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios.MATERIAL DE APOYO SUGERIDO Bibliografía para el docente ALEKSANDROV. (2000). Dos. SADOVSKY. ARIAS. (1997). Barcelona: Grao. MCyE. Geometría elemental. Michelle y otros. S. (2006). Educación Matemática y buenas prácticas.). ARAYA S. Julio César (Malba Tahan).. Internacional. Universidad de Santiago de Chile. “Una introducción a la didáctica de la matemática”. Enseñar matemáticas. (coord. Barcelona: Grao. Tres… Geometría otra vez. (1988). Programas de estudio.. Encuentros cercanos con la matemática. Buenos Aires: Limusa. M. Invitación a la didáctica de la geometría. J.. y otros. M. Manual para Kinder a Octavo básico. A. (1984).. MALILA C. (2005). Buenos Aires: Poseidón. (1997). Ángel. (1990). ALSINA CATALÁ. (1968). T. (2003). (1976). (1994). (2005). (1993). Colombia. BROWN. A. RODRIGUEZ. Eugenio. Santiago: Centro Comenius. SERRANO. FORTUNY AYMENI. Aprendizaje Cooperativo en Matemática. FORTUNY. ALSINA. México: Iberoamericana. y otros. C. CALLEJO. Ingeniería didáctica en educación matemática. A. DÍEZ. A. SAAVEDRA G. José y otros. (1997). M. Síntesis.
reformasecundaria. luego elegir la carpeta “Matemáticas” o bien desde el enlace directo: www.usu.eduteka.org/directorio. Portal Educativo.php Recursos digitales interactivos en la web: Portal Educar Chile: www.xml (Ver capítulos de lecciones en español).html Eduteka.mx/matematicas/recdidactico.sep.aspx?ID=186119 Enlaces: www.rmm.edu/es/nav/vlibrary.org/MI/master/interactivate MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 65 .educacion.xml (Ver capítulos de lecciones en español).educarchile.eduteka.keypress. applets de la Universidad de UTAH: http://nlvm.php?t=sub_pages&cat=204 Actividades sugeridas por temas: www.Base/Web/verContenido.org/directorio/index.sep.dgme.html http://telesecundaria.gob.gob. Colombia: www.catalogored.es/descartes/web Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales.cl Sitio Key Currículum Press de textos de matemática: Geometría: www.cl/recursos-educativos-digitales?nivel_educativo=50&subsector_basica=65 Proyecto Descartes. educación secundaria México: www. Álgebra: www.mx/mat_ed/mat_ed_01.com/x19578.keypress.www.eduteka.cl/Portal.com/x19850. España: http://recursostic. Textos para docentes y estudiantes.
(1989).org/directorio/index.usu. DE MELLO E SOUZA.gob. Hoja de Cálculo en la enseñanza de las matemáticas en Secundaria. Introducción a la Estadística. AZCÁRATE GIMÉNEZ. (1998).html http://telesecundaria.php?t=sub_pages&cat=364 Probabilidad y Estadística: www. El ingenio en las Matemáticas.eduteka. Claudia.eduteka. Páginas web recomendadas: Textos para el docente y el estudiante educación secundaria México: www. (2002).. Historia de la matemática. DOMÍNGUEZ.reformasecundaria. Santiago: Centro Comenius.eduteka. HONSBERGER.php Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales..edu/es/nav/category_g_3_t_5.usu. (1992). Funciones y gráficas.aspx?ID=186119 Enlaces: www.educarchile.org/directorio/index. applets de la Universidad de UTAH: El enlace genérico es http://nlvm. DEULOFEU PIQUET.org/directorio/index.html Portal Educar Chile: www. Portal Educativo.gob. o bien puede escoger los enlaces directos: Números y operaciones: http://nlvm.eduteka.Base/Web/verContenido.org/directorio/index. Portus. (2008).eduteka.edu/es/nav. J.html Análisis de Datos y Probabilidad: http://nlvm.html http://nlvm. Julio César (Malba Tahan). Universidad de Santiago de Chile.html Geometría: http://nlvm.sep. (1990). Síntesis.usu.org/directorio/index. ARIAS. España: http://recursostic.mx/matematicas/recdidactico. SANTISO. Colombia: Actividades sugeridas: www. Madrid: DLS-Euler.eduteka.mx/mat_ed/mat_ed_01. El hombre que calculaba.html Álgebra: http://nlvm. R. ARGÜELLES RODRÍGUEZ. y otros.edu/es/nav/category_g_3_t_3.cl/recursos-educativos-digitales?nivel_educativo=50&subsector_basica=65 Eduteka.catalogored.org/MI/master/interactivate/ El enlace genérico de las unidades temáticas es www.edu/es/nav/category_g_3_t_1.usu.org/directorio o bien puede escoger los enlaces directos: Números y operaciones: www. DÍEZ.usu.eduteka. Limusa. GOVINDEN L.. Madrid: Universidad Autónoma de Madrid.es/descartes/web/aplicaciones. Akal. Roberto y MATUS.dgme. Mc Graw Hill. (1994). C.cl/Portal.educacion.php?t=sub_pages&cat=362 Geometría: www. Buscando un orden para el azar.php?t=sub_pages&cat=363 www.php?t=sub_pages&cat=366 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 66 .php Recursos digitales interactivos en la web: Proyecto Descartes.edu/es/nav/category_g_3_t_4.Bibliografía para el estudiante ARAYA S. NAFRÍA.php?t=sub_pages&cat=365 Álgebra: www.sep. J.usu.edu/es/nav/category_g_3_t_2.
Santiago de Chile. México: La Vasija. s. (2008). (2005). SCOTT Heather. Juegos de naipes ingleses. Todas las Unidades BLUM. Festival de ingenio. (2006). s. Imaginación geométrica.f. Barcelona: Parramón. (2007). VARIOS AUTORES. s. Martin. A. Learning Resources. Sólidos geométricos. Dallas.f. s. VARIOS AUTORES.. COLLANTES. Cubos en base dos. RIL. VARIOS AUTORES. Usa las matemáticas: soluciona desafíos de la vida real. SIERRA I FABRA. El idioma de los espías. Raymond..l. Cuerpos geométricos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 67 . Santiago de Chile: RIL. Matecuentos 3: cuentos con problemas. s. s. J.. Madrid: Alfaguara. VARIOS AUTORES.l. ¡Sal si puedes! México: Limusa. Calculadora. s. s. Texas. s. Madrid: Nivola. Santiago de Chile.n.f. Unidad 3 VARIOS AUTORES.. GARDNER. PÉREZ. (2000).. (2006).Bibliografía CRA A continuación se detallan publicaciones que se puede encontrar en las bibliotecas de los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) a lo largo del país: Unidad 2 VARIOS AUTORES. SNAPE.n.f. VARIOS AUTORES.d.. VARIOS AUTORES.. (2005). El asesinato del profesor de matemáticas. Tangramas.n. s. Madrid: Anaya. Charles. Jordi. Apuntes de matemáticas. Ivan. MOSCOVICH.
17 16 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN JUNIO 2011 68 . En una página describen en 7 niveles el crecimiento típico del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector a lo largo de los 12 años de escolaridad obligatoria. Los docentes también pueden enriquecer la implementación del currículum. es decir. ya que permiten: de los • caracterizar los distintos niveles de aprendizaje en los que se encuentran los estudiantes de un curso aprendizajes • reconocer de qué manera deben continuar progresando los aprendizajes de los grupos de estudiantes que se encuentran en estos distintos niveles Apoyan el trabajo didáctico en el aula Textos escolares. entre otras posibilidades. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Ofrecen un marco global para conocer cómo progresan los aprendizajes clave a lo largo de la escolaridad17. haciendo uso de los recursos entregados por el Mineduc a través de: • • Los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) y los materiales impresos. Orientan sobre la Pueden ser usados. que describe el Nivel 6 en cada mapa.ANEXOS Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares Existe un conjunto de instrumentos curriculares que los docentes pueden utilizar de manera conjunta y complementaria con el programa de estudio. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”. Desarrollan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos Obligatorios para apoyar el trabajo de los alumnos en el aula y fuera de ella. Estos pueden ser usados de manera flexible para apoyar el diseño e implementación de estrategias didácticas y para evaluar los aprendizajes. va más allá de la expectativa para IV° medio. como un apoyo para abordar la diversidad de progresión típica aprendizajes que se expresa al interior de un curso. digitales y concretos entregados a través de estos El Programa Enlaces y las herramientas tecnológicas que este ha puesto a disposición de los establecimientos En la página web del Ministerio de Educación se encuentra disponible el documento “Orientaciones para el uso de los Mapas de Progreso del Aprendizaje” y otros materiales que buscan apoyar el trabajo con los mapas (www. Por ejemplo. y así sucesivamente.curriculum-mineduc. audiovisuales. Mapas de Progreso16.cl/ayuda/documentos/). y les entregan explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación. el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico. el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico.
Establecer relaciones de orden entre números enteros. relativas a cambios en el perímetro de polígonos y al volumen de dichos cuerpos al variar uno o más de sus elementos lineales. conjeturar y verificar algunas de sus propiedades. 3. Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos. 11. 9. Emplear formas simples de modelamiento matemático. x x x 5. Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo y potencias de 10 con exponente entero. Predecir acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento a partir de resultados de experimentos aleatorios simples. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo. aplicar las habilidades propias del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos. x 6. utilizando multiplicaciones y divisiones y aplicarlas en situaciones diversas. expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente y formular y verificar conjeturas. 13.Anexo 2: Objetivos Fundamentales por semestre y unidad Semestre 1 Unidades: 1 2 x Semestre 2 Unidades: 3 4 Objetivo Fundamental 1. Utilización de estrategias para la obtención del volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 69 . x x x x x x x 18 Es importante que las ecuaciones involucradas tengan procesos de resolución que no contemplen la multiplicación y división de enteros negativos. ya que estas operaciones no corresponden a este nivel. y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos fomentando el interés y la capacidad de conocer la realidad. Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. caracterizar sus elementos lineales y comprobar que algunas de sus propiedades son válidas para casos particulares. Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y ángulos. reconocer algunas de sus propiedades. 4. en forma manual y usando procesadores geométricos. fracciones o decimales positivos. en casos particulares. 12. Resolver problemas en diversos contextos que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros18. x 7. identificando términos semejantes y estrategias para su reducción. calcular o estimar su valor y establecer su relación con las potencias de exponente dos. utilizando los contenidos del nivel. x x 8. 2. x 10. Emplear proporciones para representar y resolver situaciones de variación proporcional en diversos contextos. y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números y aplicarlas en diversas situaciones. Comprender que los números enteros constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números naturales. y seleccionar formas de organización y representación de acuerdo a la información que se quiere analizar. Comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en situaciones concretas.
11. y empleo de procedimientos de cálculo mental de raíces cuadradas en casos simples o de cálculo. ÁLGEBRA 9. 5. empleo de procedimientos de cálculo de dichas operaciones. los datos y el contexto del problema. una fracción positiva o un número decimal positivo y como exponente un número natural. establecimiento y aplicación en situaciones diversas de procedimientos de cálculo de multiplicación de potencias de igual base o igual exponente. 7. enfatizando en aspectos relativos al análisis de las estrategias de resolución. Traducción de expresiones en lenguaje natural a lenguaje simbólico y viceversa. por ejemplo. Caracterización de expresiones semejantes. Semestre 1 Unidades: 1 2 Semestre 2 Unidades: 3 4 x x x x x x x x x x x x MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 70 . Interpretación de potencias que tienen como base un número natural. Interpretación de una proporción como una igualdad entre dos razones cuando las magnitudes involucradas varían en forma proporcional. 3. Representación de números enteros en la recta numérica y determinación de relaciones de orden entre ellos.ANEXO 3: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad Contenidos Mínimos Obligatorios NÚMEROS 1. 4. Resolución de problemas que implican el planteamiento de una ecuación de primer grado con una incógnita. interpretación de la ecuación como la representación matemática del problema y de la solución en términos del contexto. en situaciones que implican la resolución de problemas. y su aplicación en diversas situaciones. en el cálculo de porcentajes. Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el ámbito de los números enteros. 10. la evaluación de la validez de dichas estrategias en relación con la pregunta. utilizando la simbología correspondiente. formulación y verificación de conjeturas relativas a propiedades de las potencias utilizando multiplicaciones y divisiones. 8. Caracterización de la raíz cuadrada de un número entero positivo en relación con potencias de exponente 2. 6. proporciones. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan adiciones y sustracciones con números enteros. Elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de 10 con exponente entero y su aplicación para representar números decimales finitos como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente entero. argumentación en torno al uso del neutro e inverso aditivo y su aplicación en la resolución de problemas. utilizando herramientas tecnológicas. 2. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales al conjunto de los números enteros y caracterización de estos últimos. potencias y raíces como las estudiadas. reconocimiento de ellas en distintos contextos y establecimiento de estrategias para reducirlas considerado la eliminación de paréntesis y las propiedades de las operaciones. considerando comparaciones de enteros negativos entre sí y de enteros positivos y negativos.
y verificación. 19. Determinación del punto de intersección de las alturas. mediante construcciones con regla y compás o un procesador geométrico. 20. mediante regla y compás o un procesador geométrico. afectan los datos recolectados y las conclusiones relativas a una población. Discusión acerca de la manera en que la naturaleza de la muestra. en casos particulares. 16. x x x x x x x x x x 19 También conocidas como mediatrices. a partir del tamaño y los criterios en que esta ha sido seleccionada desde una población. la relación de dependencia entre estas variables. 15. como fracción y porcentual. en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico del teorema de Pitágoras. Establecimiento y aplicación de criterios para la selección del tipo de tablas o gráficos a emplear para organizar y comunicar información. Caracterización de la representatividad de una muestra. 14. Transporte de segmentos y ángulos. argumentando en cada caso acerca de sus ventajas y desventajas en relación con las variables representadas. cálculo del volumen en dichos cuerpos expresando el resultado en milímetros. en casos particulares. el método de selección. Discusión acerca de cómo la forma de escoger una muestra afecta las conclusiones relativas a la población. Predicción con respecto a la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio simple y contrastación de ellas mediante el cálculo de la frecuencia relativa asociada a dicho evento e interpretación de dicha frecuencia a partir de sus formatos decimal. Análisis de ejemplos de diferentes tipos de tablas y gráficos. 21. al variar la medida de uno o más de sus elementos lineales. centímetros y metros cúbicos y aplicación a situaciones significativas. del teorema reciproco de Pitágoras y su aplicación en contextos diversos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 71 . Establecimiento de estrategias para la obtención del volumen de prismas rectos de base rectangular o triangular y de pirámides. Formulación de conjeturas relativas a los cambios en el perímetro de polígonos y volumen de cuerpos geométricos. DATOS Y AZAR 17. obtenida desde diversas fuentes. 13. bisectrices y simetrales19 en un triángulo. Análisis y discusión de las condiciones necesarias para construir un triángulo a partir de las medidas de sus lados y de sus ángulos. Verificación. construcción de ángulos y bisectrices de ángulos. 18.GEOMETRÍA 12. la información a comunicar y el tipo de datos involucrado. construcción de rectas paralelas y perpendiculares. transversales de gravedad. mediante el uso de un procesador geométrico. y construcción de dichas representaciones mediante herramientas tecnológicas. y el tamaño de ella.
utilizando regla y compás o procesadores geométricos. Reconocer una proporción como una igualdad entre dos razones. Comprobar propiedades de alturas. bisectrices y transversales de gravedad de triángulos. 5. 8. 4. usando regla y compás o procesadores geométricos. 3. 2. Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. simetrales. 4.13 2 – 6 – 8 -11 Unidad 2: Geometría 1. Sumar y restar números enteros e interpretar estas operaciones. 2. 7 12 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 72 . Establecer estrategias para reducir términos semejantes. utilizando regla y compás o un procesador geométrico. 7 12 7 7 13 13 3. Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción de números enteros y aplicarlas en cálculos numéricos. usando regla y compás o procesadores geométricos. 6. Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en contextos diversos. Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) Semestre 1: Aprendizajes Esperados Unidad 1: Números y álgebra 1. Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicarlos en la recta numérica. 7. Construir rectas perpendiculares. OF CMO 1 2 2 2 3 6 6 1 3 2 2 6 10-11 9 6 . Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. paralelas y bisectrices de ángulos.ANEXO 4: Relación entre Aprendizajes Esperados. y problemas que involucran proporcionalidad. Construir ángulos. Identificar problemas que no admiten solución en los números naturales y que pueden ser resueltos en los números enteros.
3. por ejemplo. 4. Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base y exponente natural. 5. Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar. Resolver problemas en contextos diversos: • Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural. 2. Formular y verificar conjeturas. Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo. Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos. 20 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 73 . en casos particulares. Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. potencia de una potencia. 9 9 16 16 4 -8 . Interpretar potencias de base 10 y exponente entero. Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base 10 y exponente entero. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas. 6. 9. Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. 8.13 4 – 7 – 8 . relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. 7. 12. 4.Semestre 2 Aprendizajes Esperados Unidad 3: Números y Geometría 1. 10. en casos particulares. Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples. y las potencias de base 10 y exponente entero • Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras Unidad 4: Datos y Azar 1. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. Formular y verificar conjeturas.14 10 10 11 17 17-18 19 12 21 Se refiere. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo. 3. 11. Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. OF CMO 4 4 4 4 4 5 5 8 9 4 7 4 4 7 5 5 14 15 2. Conjeturar y verificar algunas propiedades20 de las potencias de base y exponente natural. multiplicación de potencias de igual exponente. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero.
Documents Similar To Matematica 7 B
Fichas de Autoevaluacion
DINS2TAREA2_LUORI
Los conocimientos previos en los pro.pdf
57 Dinamicas de Juego - Unicef.pdf
Transposición Didáctica - Silvia Hur
Transposición Didáctica - Silvia Hur.pdf
contrato didactico [Epistemology].pdf
Los Obstaculos Epistemologicos - Hugo Barrantes.pdf
Teorema Arzela- Ascoli
Nikon D80_es
Matemáticas y su Didáctica para Maestros - Juan D. Godino

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución