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Timestamp: 2018-02-19 22:17:20+00:00

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LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL EN LOS
1. ¿Por qué usamos Weibull? 1
2. ¿Qué obtenemos al aplicar el modelo de Weibull? 2
3. Descripción del modelo 2
4. Representación gráfica 4
5. Métodos de estimación de los parámetros 5
6. Cálculos y análisis de fiabilidad a partir del Weibull 12
7. Observaciones respecto la aplicación de la función de Weibull. 16
1. ¿POR QUÉ USAMOS WEIBULL?
El uso de la función de distribución de Weibull en los estudios de
fiabilidad de componentes se debe principalmente a la gran diversidad de
formas que este modelo puede tomar, dependiendo de los valores de los
parámetros característicos. Esto nos permite usar un mismo modelo,
independientemente de en que forma varíe la tasa de fallos del componente
estudiado, simplificando en gran medida la tarea de análisis de los resultados.
Si no usáramos este modelo, cualquier análisis de los resultados
obtenidos durante el ensayo de los componentes implicaría necesariamente un
estudió previo de los datos, para determinar cual de los diferentes modelos
existentes se asemeja más a los datos obtenidos. Esto conllevaría un mayor
tiempo de análisis y una mayor probabilidad de error, debido a que una mala
elección del modelo implicaría dar un resultado erróneo. Al aplicar Weibull, el
estudió previo de los datos se reduce únicamente a una inspección visual en
busca de posibles datos anómalos que distorsionen los resultados.
2. ¿QUÉ OBTENEMOS AL APLICAR EL MODELO DE WEIBULL?
Al aplicar Weibull se obtiene la distribución de fallos del conjunto de
donde proviene la muestra, únicamente ajustando los parámetros del modelo al
conjunto de componentes ensayados. Los parámetros característicos de la
función de Weibull se pueden extraer directamente de la muestra, usando para
este fin diferentes métodos que se explicarán más adelante. Esto permite
conseguir un modelo estadístico que representa con mayor o menor exactitud
la distribución de los fallos del conjunto o lote de donde provienen los
componentes ensayados.
Al conocer la distribución de los fallos, se puede responder a preguntas
del tipo: ¿ Cuantos componentes fallarán durante el primer año?, ¿ Cuanto
tiempo de garantía tendrá que tener el componente para que únicamente fallen
el 1% durante ese periodo?. etc. A parte de las preguntas anteriores, el
modelo obtenido también permite responder a una pregunta tan importante
para nuestro departamento como: ¿El 5% de los componentes del lote fallarán
por encima o por debajo del target? que es el criterio usado par decidir si un
lote es OK o NG.
3.DESCRIPCIÓN DEL MODELO
La función de distribución de Wiebull es un modelo estadístico que
representa la probabilidad de fallo después de un tiempo t (R(t)) en función del
tiempo transcurrido o de una variable análoga. O dicho de otra manera, R(t) es
la probabilidad de que los componentes de un conjunto sobrevivan hasta el
Esta función de probabilidad de fallo o función de fiabilidad R(t), viene
t R exp ) (
Donde γ , α y β son parámetros que definen la función:
- α es el parámetro de escala o vida característica. Este parámetro
representa el tiempo ( o el valor de la variable análoga usada ) para el cual
la probabilidad de fallo acumulada es de 63,2%. Por tanto cuando mayor
sea α, mayor será el intervalo de tiempo en que se producirán los fallos.
- γ es el parámetro de translación, y se usa cuando inicialmente, durante un
periodo de tiempo T, no se producen fallos y a partir de ese instante la
fiabilidad del producto se puede aproximar por la distribución de Weibull
(caso γ > 0); o cuando hay fallos antes de empezar los ensayos (caso γ
- β es el parámetro de forma o perfil y determina la forma de la distribución.
En la representación gráfica del modelo, este parámetro coincide con la
pendiente de la recta y da una idea de la dispersión de la muestra.
A partir de R(t) se puede definir la probabilidad de que un componente
falle antes del momento t, que se indica como F(t). Esta función es muy útil en
el estudio de fiabilidad de componentes y se puede representar como:
F(t) = 1-R(t) (3.2)
A parte de la función de distribución F(t), también se puede definir la
función de densidad de probabilidad f(t), que muestra la probabilidad que tiene
un componente genérico de fallar en un tiempo dado. Esta función coincide con
la derivada temporal de F(t) y su expresión es:
t f exp
Una forma simple de ver la distribución de los fallos y de esta forma
poder analizar y decidir sobre los resultados, es representar gráficamente la
función de Weibull. Esta gráfica muestra como varia F(t) respecto al tiempo ( o
en nuestro caso, el numero de ciclos ).
Para representar gráficamente esta función se deben seguir los
1- Clasificar el tiempo o ciclos de cada muestra (ti) de menor a mayor.
2- Determinar los valores de probabilidad acumulada de fallo ( Fi ).
Estos valores se determinan usando la siguiente formula:
Aunque otros autores dan la formula:
Donde: i es el número de orden de fallo y n el tamaño de la
3- Conocidos ti y Fi, se representan el en gráfico.
Una vez se ha hecho el gráfico, puede pasar que salga directamente una
línea recta (en cuyo caso γ = 0) o que salga una curva (
0 ≠ γ
). En este
segundo caso existe un periodo de tiempo entre t = 0 y t = γ en que ningún
componente falla ( si γ es positivo) o parte de las muestras fallan antes de
ensayarlas (caso de γ negativo). El parametro γ es aquel valor que se le
tiene que restar a todos los ti para que los puntos representados sigan una
5. METODOS DE ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS
Para estimar los parámetros de la función de Weibull se puede recurrir a
diferentes metodos, tanto análiticos como gráficos. Estos metodos se pueden
usar para calcular los parámetros de forma manual, sobre todo los gráficos,
peró normalmente se usan como base para desarollar programas o
De los diferentes tipos de métodos que se presentarán en este apartado,
los métodos analiticos son los que dan una mejor aproximación de los
parámetros. Aunque antes de usar un método analitico siempre es
recomendable aplicar un método grafico, con el objetivo de encontrar una
primera aproximación de los parámetros y para comprobar que estos se
pueden aproximar con la función de Weibull.
5.1 Métodos gráficos
Los métodos gráficos se basan en obtener los parámetros directamente
con el gráfico, relacionando estos con características facilmente medibles en el
gráfico. Estos métodos son los más ampliamente usados en los diferentes
programas o aplicaciones informáticas que se usan para determinar la
distribución de Weibull a partir de un conjunto de muestras.
Su facilidad de implementación radica en el hecho de que únicamente es
necesario disponer de un programa capaz de efectuar regresiones. Esta
cualidad, que inicialmente parece una gran virtud, también es el principal de
sus problemas; ja que dependiendo del tipo de regresión usada, se obtiene un
resultado u otro. Esta diferencia de resultados se ve incrementada al disminuir
el número de muestras ensayadas.
Grafico de (ti-γ ,Fi).
Este método parte del gráfico que se obtiene por el procedimiento que
se muestra en el punto 4. Para poder aplicar este metodo de una forma rápida
es conveniente usar el papel probabilistico que se muestra en la siguiente
pagina. En este papel probabilistico se representa Fi en función de ti-γ , y por
regresión se obtiene una recta que representa la función de fallos de nuestro
conjunto de componentes.
A continuación se muestran los pasos para determinar los diferentes
parametros característicos:
- Para estimar el parámetro β se tiene que trazar una recta paralela que
pase por el centro del arco representado en el papel y que corte a este. El
punto de corte de la recta paralela que hemos dibujado y el arco nos dará
el valor del parámetro.
- El parámetro α se estima usando el hecho de que este representa el
tiempo para el cual la probabilidad de fallo acumulada es de 63,2%. De este
modo basta con ver para que valor de ti la probabilidad de fallo es de
63,2%, y este será el valor del parámetro.
Gráfico logarítmico
Este método consiste en encontrar una relación lineal entre F(t) y t; para
ello se modifica la formula 3.1 (con γ =0) tomando logaritmos dos veces en
ambos lados de tal forma que se consigue una ecuación del tipo: y = ax+b.
Esto permite conseguir los parámetros característicos de una forma simple y
rápida mediante una representación gráfica de la ecuación. El camino a seguir
para llegar a la ecuación lineal es él que se muestra a continuación:
Si se toman logaritmos en ambos lados obtenemos:
t LnR ) ( (5.2)
Canbiando el signo ( LnR(t)<0, devido a que R(t)<1), y volviendo a tomar
logaritmos :
) ( ) ( )) ( ( α β β Ln t Ln t LnR Ln × − × · −
Como se puede comprobar, a partir de esta ecuación y de su gráfica,
fácilmente se pueden extraer los diferentes parámetros característicos de la
distribución de Weibull. Para mayor comodidad a la hora de dibujar la ecuación,
esta se modifica de la siguiente manera:
) ( ) ( )) ( 1 ( ( α β β Ln t Ln t F Ln Ln × − × · − −
Donde F(t) se calcula con las formulas 4.1 o 4.2 dependiendo de que método
se quiera seguir.
En el caso de que la gráfica presente un periodo inicial donde no se
produzcan fallos (en el caso de γ >0), o que parte de las muestras fallen antes
de empezar el ensayo (caso de γ <0), antes de representar gráficamente la
ecuación se debe encontrar el parámetro γ . Para encontrar este parámetro se
- Dibujar la recta (ti, Fi) tal como se indica en el apartado 4.
- Trazar tres rectas horizontales de manera que la primera pase por el tiempo
de fallada más pequeño, la segunda por el tiempo de fallada más grande y
la tercera pase por el medio de las dos anteriores.
- Encontrar los tiempos de fallo correspondientes a los puntos de corte de
estas tres líneas con la gráfica. Llamaremos a estos tiempos Tm (él
correspondiente a la recta menor), TI (recta intermedia) y TM (recta mayor).
- Calcular γ con la siguiente formula:
Tm TI TI TM
- Volver a representar el gráfico sustituyendo ti por ti-γ , y seguir los pasos
mostrados al principio de este apartado.
5.2 Métodos analíticos
Los métodos que se presentan a continuación permiten obtener una
aproximación del valor de los parámetros de la distribución de Weibull, la
calidad esta aproximación dependerà del método usado. Debido al hecho de
que estos métodos no contemplan el caso en que
, inicialmente es
conveniente dibujar alguno de los gráficos anteriores para determinar el valor
de γ y para comprobar que la distribución de Weibull ajusta de una forma
aceptable en el comportamiento de las muestras.
Método de la máxima versemblanza.
Este método, que es el que da una mejor aproximación de los
parámetros, consiste en la resolución de un sistema de ecuaciones que
contiene los parámetros α y β de forma implicita. Para obtener este sistema
de ecuaciones se parte de la hipótesis de que la muestra (aleatoria simple)
proviene de una distribución de Weibull de parámetros α y β, por tanto su
función de densidad de probabilidad corresponte a f(t). Por tanto, si aplicamos
la función de versemblanza a esta densidad de probabilidad, obtenemos:
) ( ) , ( β α
Sustituyendo en la ecuación anterior la equación 3.3 obtenemos:
Ahora, si tomanos logaritmos en ambos lados de la equación y buscamos los
parámetros α y β como los valores que maximizan la función de
versemblanza, obtenemos:
ti Ln ti
Debido a que este sistema de ecuaciones no tiene solución explicita,
para su resolución se debe usar algun algoritmo de calculo o algun programa
informático que sea capaz de resolver este sistema (p.e Microsoft Excel 3.0 o
4.0). Como estos algoritmos piden un valor inicial de calculo, es conveniente
obtener una primera aproximación de los parámetros a traves de algún método
gráfico. Para resolver este sistema es conveniente comenzar por la resolución
de la primera equación de tal forma que se obtenga el parámetro β para
después calcular α con la segunda equación.
Con este método de calculo se obtienen unos valores de α y β que al
haber sido calculados a partir de una muestra aleatoria, tienen una cierta
variabilidad. En concreto estos parámetros se distribuyen siguiendo una
distribución normal, y por tanto sus intervalos de confianza para un nivel de
confianza δ se pueden calcular como:
V z V z + ≤ ≤ − (3.9)
V z V z + ≤ ≤ −
es el percentil de la normal estándar correspondiente a δ /2 (Ver tabla
en cuaquier libro de estadística).
1087 , 1
2570 , 0
) ( α β ≈
Método implicito.
Este método calcula los valores de los parámetros a partir de la media y
de la varianza de la muestra. Este método permite calcular α y β de una
forma más simple que el método anterior, peró da una aproximación peor de
Las ecuaciones de calculo son las siguientes:
5772 , 0
x ti Ln
Este método, igual que el anterior, da unos valores de los parámetros
que se distribuyen siguiendo una normal. Esto implica que se puede calcular su
intervalo de confianza para un nivel de confianza δ como:
049 , 1
081 , 1
Estos límites de confianza son validos cuando la muestra es superior a
6. CALCULOS Y ANALISIS DE FIABILIDAD A PARTIR DEL
Para calcular valores de fiabilidad o percentiles de fallo se recurre a la
formula de la distribución de Weibull, sustituyendo en esta los valores de los
parámetros calculados como se muestra en el apartado 5. De esta forma, para
calcular los valores de fiabilidad utilizaremos la expresión:
Que en caso de querer calcular percentiles de fallos pasa a ser:
t R t F exp 1 ) ( 1 ) (
En el caso de querer saber en que momento (o numero de ciclos) se
habrá producido el fallo de un percentil p de las muestras, lo unico que se debe
hacer es despejar de la formula anterior la variable de tiempo t. Haciendo esto,
la expresión queda como:
( ) [ ] β
1 p Ln tp − − ·
Donde tp es el momento (o el numero de ciclos) donde falla p*n componentes.
Llegados a este punto se debe destacar que la formula 5.2 es la utilizada
para determinar si un lote ensayado es OK o NG, para ello se calcula el tp para
un percentil del 5% (p=0,05). Si el valor de tp es superior al target el lote es OK,
en caso contrario el lote es NG.
A parte de los valores de fiabilidad y percentiles calculados
anteriormente, el analisis de la función de distribución de Weibull nos permite
conocer datos importantes de nuestro proceso. En concreto, el valor del
parámetro β es el que nos da más información respecto de donde se
encuentra el error (en el caso de que no se supere el target). A titulo
orientativo, se puede decir:
- Si β > 3, la variabilidad del proceso de fabricación es correcta, y el
problema se encuentra en el diseño. Se tiene que rediseñar el componente.
- Si 1,5 -2<β <3, el proceso tiene demasiada variabilidad y el problema puede
venir de este. No se puede descartar problemas de diseño. Se tiene que
mejorar el proceso productivo y posteriormente volver a efectuar ensayos.
- Si β <1,5 - 2 , posibles problemas en la toma de datos o en el estudio
Tenemos un conjunto de componentes que fallan en el siguiente numero
de horas: 0.22; 0.5; 0.88; 1; 1.32; 1.33; 1.54; 1.76; 2.5 y 3. A partir de estos
valores se nos pide calcular los siguientes apartados:
- % de fallos a las 3 horas.
- tiempo en el que habrán fallado el 5% de los componentes.
Para resolver este problema, primero vamos a dibujar el gráfico (ti,Fi),
para ello calculamos los valores de Fi. Como se puede ver en la siguiente tabla
también se adjuntan los valores de Ln(ti), en previsión de que los
necesitaremos para calcular los parámetros con el método analítico implícito.
i ti Ln(ti) Fi
1 0,22 -1,51412773 0,06730769
2 0,5 -0,69314718 0,16346154
3 0,88 -0,12783337 0,25961538
4 1 0 0,35576923
5 1,32 0,27763174 0,45192308
6 1,33 0,28517894 0,54807692
7 1,54 0,43178242 0,64423077
8 1,76 0,56531381 0,74038462
9 2,5 0,91629073 0,83653846
10 3 1,09861229 0,93269231
A continuación se muestra el gráfico de los resultados con la recta de regresión
que aproxima los puntos:
Si aplicamos las formulas del método implícito para el calculo de los
parámetros, se obtiene:
=0.1236
=0.589
Si se aplican los métodos gráficos sobre la recta obtenida por regresión
a partir de los datos, se puede ver que los valores obtenidos para α
y β coinciden practicamente con los obtenidos analiticamente.
A continuación, para contenstar a las preguntas del ejemplo, se van a
aplicar las formulas 3.1 y 5.2.
% de fallos a las 3 horas =
Tiempo en el que habrán fallado el 5% de los componentes:
( ) [ ] β α
05 , 0 1− − · Ln t
= 0,268 horas
En caso de tener un target (definido al F(t)5%), se tendría que comparar
el valor obtenido con el valor del target. Si el target es menor que 0,268 horas,
significa que en el target habrá menos del 5% de fallos, y por tanto el lote es
OK. Por el contrario, si el target es superior a 0,268 horas, significa que en el
target habrá más del 5% de fallos, y por tanto el lote es NG.
7. OBSERVACIONES RESPECTO LA APLICACIÓN DE LA
Hasta este momento se ha explicado que es la distribución de Weibull y
las ventajas que implica su aplicación en los estudios de fiabilidad, pero en la
práctica, la aplicación de este método conlleva un conjunto de problemas que
se van a tratar a lo largo de este apartado.
Durante la aplicación de la distribución de Weibull podemos encontrar
problemas de dos tipologías diferentes: los originados por la variabilidad de los
resultados, debido a que estamos trabajando con datos estadísticos, y los que
son producto de las diferencias en el método de calculo usado.
Problemas de variabilidad.
Los problemas que tienen su origen en la variabilidad de los resultados
numéricos se deben principalmente al hecho de que estamos trabajando con
resultados estadísticos, y por tanto su nivel de confianza dependerá en gran
medida del numero de muestras ensayadas. En nuestro caso, usualmente se
trabaja con los resultados de tres o cuatro muestras, y si se tiene en cuenta
que la mayoría de libros de estadística recomiendan tamaños entre 10 y 13
muestras para conseguir resultados fiables, es fácil darse cuenta que los
resultados obtenidos no siempre se correspondan con la realidad. Esta
problemática de pone de manifiesto en el siguiente ejemplo:
Se tiene un conjunto de componentes que han roto a los siguientes
ciclos: 115000, 88360 y 338130 (caso real con target de 85000). Si aplicamos
el Weibull (en este caso se ha usado el paquete estadístico Minitab) obtenemos
1000000 500000 100000 50000 10000 1000
Weibull Probability Plot for C1
Shape: 1.74707
Scale: 204656
P Percentile Lower Limit Upper Limit
0.01 14706 1083 199768
0.02 21931 2258 212972
0.03 27741 3473 221568
0.04 32804 4716 228177
0.05 37384 5981 233663
0.06 41621 7265 238425
0.07 45598 8567 242680
0.08 49370 9886 246561
0.09 52976 11219 250156
0.10 56444 12567 253526
0.20 86729 26765 281033
0.30 113436 42196 304955
0.40 139330 58866 329782
0.50 165927 76844 358279
0.60 194668 96248 393726
0.70 227598 117307 441586
0.80 268734 140612 513597
0.90 329877 168298 646587
0.91 338434 171562 667617
0.92 347813 174988 691326
0.93 358222 178614 718439
0.94 369964 182494 750018
0.95 383503 186711 787714
0.96 399602 191397 834298
0.97 419669 196788 894983
0.98 446794 203384 981516
0.99 490521 212634 1131572
Como se puede ver en los resultados que da el Minitab, el valor de los
ciclos al 5% (0,05) es de 37384 y por tanto el lote sería NG. Pero si miramos
los valores que da el programa como extremos del intervalo de confianza
donde se encuentra F(t),5% con un nivel de confianza del 95%, estos son:
5981 y 233663. Por lo tanto, teniendo en cuenta que el target es de 85000
ciclos, no podemos asegurar que el lote sea NG, ni tampoco que sea OK.
Problemas de calculo.
A parte del problema de la variabilidad de los resultados, nos
encontramos con un problema a la hora de obtener estos resultados. Como se
ha visto en el apartado 5 existen diferentes métodos para estimar los
parámetros característicos de la función de Weibull, e incluso dentro de un
mismo método hay diferencias dependiendo del algoritmo de calculo que se
use (métodos analíticos) o del tipo de regresión (métodos gráficos). Esto
implica que para un mismo conjunto de valores se pueden obtener diversos
resultados diferentes; esta diferencia puede hacer que un mismo lote salga OK
o NG dependiendo de quien lo calcule.
Aunque estas diferencias entre métodos se dan en todos los cálculos
efectuados, estas se van incrementando a medida que aumenta la dispersión
de la muestra y cuando aparecen valores que difieren del resto (sin ser
anomalías). También es conveniente destacar que este problema se ve
incrementado por el hecho de disponer de pocas muestras, ja que en el límite
todos los métodos llevan a un mismo resultado. Estas diferencias y la
tendencia que tienen al aparecer valores que distan del resto se puede
comprobar con el siguiente ejemplo:
A continuación se van a efectuar los cálculos para determinar si un lote
es OK o NG con dos conjuntos de muestras diferentes:
- Muestra: 350000, 325000, 300000 y 100000 con target de 100000
Para calcular el número de ciclos que produce un 5% de fallos y el parámetro
β (pendiente) se utilizan dos programas:
- Programa 1: hoja de Excel basada en el método implícito.
- Programa 2: Minitab
Los resultados obtenidos se pueden ver en la siguiente tabla:
F(t),5% β OK/NG
Excel 79261 2,16 NG
Minitab 123257 3,3 OK
Como se puede comprobar, los resultados obtenidos por los diferentes
métodos tienen grandes diferencias. Estas diferencias son tan importantes, que
en el caso de tratarse de un ensayo real, el resultado del informe variaría:
dando por bueno un lote malo o al revés.
Una cosa que cabría destacar del ejemplo anterior, es que la diferencia
de resultados se ha visto aumentada por el hecho de haber un valor que difiere
mucho del resto, y que los valores “normales” están muy juntos. Si repetimos
los cálculos con un conjunto de valores reales sin grandes anomalías, podemos
ver que el error cometido es bastante menor (ver siguiente ejemplo):
Queremos hacer lo mismo que en el ejemplo anterior pero con la
siguiente muestra: 343000, 502000 y 381000. Los resultados se muestran la
F(t),5% β
Excel 279134 6,5
Minitab 276000 6,4
Como puede verse el error cometido es menor y los resultados de ambos son
completamente comparables.
Para resolver este problema de la variación de resultados con respecto
al programa o método de cálculo usado, sería conveniente definir un único
programa para todos. Esto permitiría extraer unos resultados validos para
todos y comparables entre sí.
Dentro de los diferentes programas existentes, el Minitab pasa por ser
uno de los que da una solución más coherente con el tipo de lotes que aquí se
ensayan. Este programa utiliza un método de regresión lineal que otorga una
importancia relativa a cada punto dependiendo de su posición respecto al
grupo, y por lo tanto este método es más insensible a valores anómalos. Este
detalle cobra importancia en nuestro caso por el hecho de que trabajamos con
pocas muestras, esto implica que si una de ellas (por el motivo que sea) falla a
unos ciclos muy diferentes que el resto, esta toma mucho peso y puede dar
lugar a un resultado que, al menos desde un punto de vista lógico, no es
coherente con los datos del ensayo.
Estas diferencias a la hora de efectuar la regresión, se pueden ver en los
siguientes gráficos. Estos gráficos representan las funciones (ti,Fi)
correspondientes a las muestras del primer ejemplo de este apartado
(350000,325000, 300000, 100000) encontrada con el Excel y con el Minitab. En
ellas se puede apreciar lo dicho respecto la forma que tiene el Minitab de
efectuar las regresiones y la diferencia en el resultado.
- Gráfico del Excel:
- Gráfico del Minitab:
800000 600000 400000 200000 100000 80000 60000 40000 20000
Weibull Probability Plot for C2
tiempo de análisis y una mayor probabilidad de error, debido a que una mala elección del modelo implicaría dar un resultado erróneo. Al aplicar Weibull, el estudió previo de los datos se reduce únicamente a una inspección visual en busca de posibles datos anómalos que distorsionen los resultados.
Al aplicar Weibull se obtiene la distribución de fallos del conjunto de donde proviene la muestra, únicamente ajustando los parámetros del modelo al conjunto de componentes ensayados. Los parámetros característicos de la función de Weibull se pueden extraer directamente de la muestra, usando para este fin diferentes métodos que se explicarán más adelante. Esto permite conseguir un modelo estadístico que representa con mayor o menor exactitud la distribución de los fallos del conjunto o lote de donde provienen los componentes ensayados. Al conocer la distribución de los fallos, se puede responder a preguntas del tipo: ¿ Cuantos componentes fallarán durante el primer año?, ¿ Cuanto tiempo de garantía tendrá que tener el componente para que únicamente fallen el 1% durante ese periodo?. etc. A parte de las preguntas anteriores, el modelo obtenido también permite responder a una pregunta tan importante para nuestro departamento como: ¿El 5% de los componentes del lote fallarán por encima o por debajo del target? que es el criterio usado par decidir si un lote es OK o NG.
La función de distribución de Wiebull es un modelo estadístico que representa la probabilidad de fallo después de un tiempo t (R(t)) en función del tiempo transcurrido o de una variable análoga. O dicho de otra manera, R(t) es
este parámetro coincide con la pendiente de la recta y da una idea de la dispersión de la muestra. y se usa cuando inicialmente. - A partir de R(t) se puede definir la probabilidad de que un componente falle antes del momento t.la probabilidad de que los componentes de un conjunto sobrevivan hasta el momento t. o cuando hay fallos antes de empezar los ensayos (caso γ <0). α α y β son parámetros que definen la función: - es el parámetro de escala o vida característica.2%. Por tanto cuando mayor sea α. no se producen fallos y a partir de ese instante la fiabilidad del producto se puede aproximar por la distribución de Weibull (caso γ > 0).2) 3 . mayor será el intervalo de tiempo en que se producirán los fallos. β es el parámetro de forma o perfil y determina la forma de la distribución. En la representación gráfica del modelo. γ es el parámetro de translación.1) Donde γ . viene dada por:   t − γ β  R (t ) = exp −      α     (3. durante un - periodo de tiempo T. que se indica como F(t). Esta función es muy útil en el estudio de fiabilidad de componentes y se puede representar como: F(t) = 1-R(t) (3. Esta función de probabilidad de fallo o función de fiabilidad R(t). Este parámetro representa el tiempo ( o el valor de la variable análoga usada ) para el cual la probabilidad de fallo acumulada es de 63.
Estos valores se determinan usando la siguiente formula: Fi = i − 0. 4 .Clasificar el tiempo o ciclos de cada muestra (ti) de menor a mayor.Conocidos ti y Fi. es representar gráficamente la función de Weibull.3) 4. el numero de ciclos ). también se puede definir la función de densidad de probabilidad f(t).A parte de la función de distribución F(t).Determinar los valores de probabilidad acumulada de fallo ( Fi ).2) Donde: i es el número de orden de fallo y n el tamaño de la muestra. Esta función coincide con la derivada temporal de F(t) y su expresión es:   t β  ∂F (t ) β = β t β −1 exp −    ∂t α  α     f (t ) = (3. Esta gráfica muestra como varia F(t) respecto al tiempo ( o en nuestro caso.3 n + 0.5 n (4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Una forma simple de ver la distribución de los fallos y de esta forma poder analizar y decidir sobre los resultados. 3. se representan el en gráfico. Para representar gráficamente esta función se deben seguir los siguientes pasos: 1.1) Aunque otros autores dan la formula: i − 0.4 Fi = (4. 2. que muestra la probabilidad que tiene un componente genérico de fallar en un tiempo dado.
El parametro γ es aquel valor que se le tiene que restar a todos los ti para que los puntos representados sigan una 5. tanto análiticos como gráficos. puede pasar que salga directamente una línea recta (en cuyo caso γ componente falla ( si γ ensayarlas (caso de γ recta.Una vez se ha hecho el gráfico. los métodos analiticos son los que dan una mejor aproximación de los parámetros. Estos métodos son los más ampliamente usados en los diferentes programas o aplicaciones informáticas que se usan para determinar la distribución de Weibull a partir de un conjunto de muestras. 5 . De los diferentes tipos de métodos que se presentarán en este apartado. con el objetivo de encontrar una primera aproximación de los parámetros y para comprobar que estos se pueden aproximar con la función de Weibull. Aunque antes de usar un método analitico siempre es recomendable aplicar un método grafico. relacionando estos con características facilmente medibles en el gráfico. sobre todo los gráficos. 5. METODOS DE ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS Para estimar los parámetros de la función de Weibull se puede recurrir a diferentes metodos. Estos metodos se pueden usar para calcular los parámetros de forma manual. peró normalmente se usan como base para desarollar programas o aplicaciones informaticas. = 0) o que salga una curva ( γ ≠ 0 ).1 Métodos gráficos Los métodos gráficos se basan en obtener los parámetros directamente con el gráfico. En este segundo caso existe un periodo de tiempo entre t = 0 y t = γ en que ningún es positivo) o parte de las muestras fallan antes de negativo).
y por regresión se obtiene una recta que representa la función de fallos de nuestro conjunto de componentes. Grafico de (ti-γ .2%. De este modo basta con ver para que valor de ti la probabilidad de fallo es de 63. que inicialmente parece una gran virtud. Esta cualidad.Fi). Este método parte del gráfico que se obtiene por el procedimiento que se muestra en el punto 4. ja que dependiendo del tipo de regresión usada. En este papel probabilistico se representa Fi en función de ti-γ . también es el principal de sus problemas.Su facilidad de implementación radica en el hecho de que únicamente es necesario disponer de un programa capaz de efectuar regresiones. Esta diferencia de resultados se ve incrementada al disminuir el número de muestras ensayadas. El punto de corte de la recta paralela que hemos dibujado y el arco nos dará el valor del parámetro. El parámetro α se estima usando el hecho de que este representa el tiempo para el cual la probabilidad de fallo acumulada es de 63. Gráfico logarítmico 6 .2%. y este será el valor del parámetro. se obtiene un resultado u otro. Para poder aplicar este metodo de una forma rápida es conveniente usar el papel probabilistico que se muestra en la siguiente pagina. A continuación se muestran los pasos para determinar los diferentes parametros característicos: Para estimar el parámetro β se tiene que trazar una recta paralela que pase por el centro del arco representado en el papel y que corte a este.
3) Como se puede comprobar.2 dependiendo de que método se quiera seguir.1 o 4.1 (con γ =0) tomando logaritmos dos veces en ambos lados de tal forma que se consigue una ecuación del tipo: y = ax+b.4) Donde F(t) se calcula con las formulas 4.1) Si se toman logaritmos en ambos lados obtenemos: β t  LnR (t ) = −  α  (5. para ello se modifica la formula 3. esta se modifica de la siguiente manera: Ln ( −Ln (1 − F (t )) = β × Ln (t ) − β × Ln (α) (5. El camino a seguir para llegar a la ecuación lineal es él que se muestra a continuación:   t β  R (t ) = exp −     α     (5. a partir de esta ecuación y de su gráfica. y volviendo a tomar logaritmos : Ln ( −LnR (t )) = β × Ln (t ) − β × Ln (α) (5. fácilmente se pueden extraer los diferentes parámetros característicos de la distribución de Weibull.Este método consiste en encontrar una relación lineal entre F(t) y t.2) Canbiando el signo ( LnR(t)<0. o que parte de las muestras fallen antes de empezar el ensayo (caso de γ <0). En el caso de que la gráfica presente un periodo inicial donde no se produzcan fallos (en el caso de γ >0). Para mayor comodidad a la hora de dibujar la ecuación. antes de representar gráficamente la 7 . devido a que R(t)<1). Esto permite conseguir los parámetros característicos de una forma simple y rápida mediante una representación gráfica de la ecuación.
Encontrar los tiempos de fallo correspondientes a los puntos de corte de estas tres líneas con la gráfica.5) - Volver a representar el gráfico sustituyendo ti por ti-γ . 8 .ecuación se debe encontrar el parámetro γ . Trazar tres rectas horizontales de manera que la primera pase por el tiempo de fallada más pequeño. Debido al hecho de que estos métodos no contemplan el caso en que γ ≠ 0 . 5. y seguir los pasos mostrados al principio de este apartado. de γ inicialmente es conveniente dibujar alguno de los gráficos anteriores para determinar el valor y para comprobar que la distribución de Weibull ajusta de una forma aceptable en el comportamiento de las muestras. Fi) tal como se indica en el apartado 4. Llamaremos a estos tiempos Tm (él correspondiente a la recta menor). TI (recta intermedia) y TM (recta mayor). Calcular γ con la siguiente formula: (TM −TI )(TI −Tm ) (TM −TI ) − (TI −Tm ) γ = TI − (5. Para encontrar este parámetro se deben seguir los siguientes pasos: Dibujar la recta (ti.2 Métodos analíticos Los métodos que se presentan a continuación permiten obtener una aproximación del valor de los parámetros de la distribución de Weibull. la calidad esta aproximación dependerà del método usado. la segunda por el tiempo de fallada más grande y la tercera pase por el medio de las dos anteriores.
por tanto su función de densidad de probabilidad corresponte a f(t). si tomanos logaritmos en ambos lados de la equación y buscamos los parámetros α y β como los valores que maximizan la función de versemblanza. β ) = ∏ f (ti ) i =1 (5.7) Ahora. si aplicamos la función de versemblanza a esta densidad de probabilidad. Por tanto.0 o 9 . Este método.Método de la máxima versemblanza. que es el que da una mejor aproximación de los parámetros. Para obtener este sistema de ecuaciones se parte de la hipótesis de que la muestra (aleatoria simple) proviene de una distribución de Weibull de parámetros α y β .e Microsoft Excel 3. obtenemos: n ∑ti β Ln (ti ) i =1 ∑ti β i =1 n − 1 β − 1 n ∑Ln (ti ) = 0 n i =1 (5. β ) = nβ α ∏ ti i =1 n β −1  −β n β  exp− α ∑ ti  i =1   (5.3 obtenemos: βn L(α .6) Sustituyendo en la ecuación anterior la equación 3. consiste en la resolución de un sistema de ecuaciones que contiene los parámetros α y β de forma implicita. obtenemos: n L(α . para su resolución se debe usar algun algoritmo de calculo o algun programa informático que sea capaz de resolver este sistema (p.8) 1 1 n β α =  ∑ti β   n i =1  Debido a que este sistema de ecuaciones no tiene solución explicita.
2570 n Método implicito. En concreto estos parámetros se distribuyen siguiendo una distribución normal.  α  1. Este método calcula los valores de los parámetros a partir de la media y de la varianza de la muestra.10) Donde : Zδ /2 es el percentil de la normal estándar correspondiente a δ /2 (Ver tabla en cuaquier libro de estadística). tienen una cierta variabilidad. Como estos algoritmos piden un valor inicial de calculo.9) (3. Con este método de calculo se obtienen unos valores de α y β que al haber sido calculados a partir de una muestra aleatoria.0). es conveniente obtener una primera aproximación de los parámetros a traves de algún método gráfico.1087 V (α) ≈   β n   2 V ( β) ≈α 0. Este método permite calcular α y β los valores. de una forma más simple que el método anterior. Para resolver este sistema es conveniente comenzar por la resolución de la primera equación de tal forma que se obtenga el parámetro β para después calcular α con la segunda equación.4. peró da una aproximación peor de 10 . y por tanto sus intervalos de confianza para un nivel de confianza δ se pueden calcular como: α − zδ / 2 V (α) ≤ α ≤ α + zδ / 2 V (α) β − zδ / 2 V ( β ) ≤ β ≤ β + zδ / 2 V ( β ) (3.
5772   β   α = exp  x +  β= π S 6 Donde: n x= ∑ Ln (ti ) i =1 n 1 n ∑ ( Ln (ti ) − x) 2 n −1 i =1 s2 = Este método. da unos valores de los parámetros que se distribuyen siguiendo una normal.049 z(1+δ ) 2 ≤ β ≤ β exp    n       1. 11 . Esto implica que se puede calcular su intervalo de confianza para un nivel de confianza δ como: β  1. igual que el anterior.081z(1+δ ) 2 ≤ α ≤ α exp  β n                  α  1.081z(1+δ ) 2 exp  β n   Estos límites de confianza son validos cuando la muestra es superior a 100 unidades.Las ecuaciones de calculo son las siguientes:   0.049 z(1+δ ) 2 exp   n   1.
para calcular los valores de fiabilidad utilizaremos la expresión:   t − γ β  R (t ) = exp −      α     Que en caso de querer calcular percentiles de fallos pasa a ser:   t − γ β  F (t ) = 1 − R (t ) = 1 − exp −      α     (5. el valor del 12 .6. Llegados a este punto se debe destacar que la formula 5. sustituyendo en esta los valores de los parámetros calculados como se muestra en el apartado 5. En concreto.05). lo unico que se debe hacer es despejar de la formula anterior la variable de tiempo t. el analisis de la función de distribución de Weibull nos permite conocer datos importantes de nuestro proceso.2 es la utilizada para determinar si un lote ensayado es OK o NG. CALCULOS Y ANALISIS DE FIABILIDAD A PARTIR DEL WEIBULL. Para calcular valores de fiabilidad o percentiles de fallo se recurre a la formula de la distribución de Weibull. para ello se calcula el tp para un percentil del 5% (p=0. la expresión queda como: tp = α [ − Ln(1 − p ) ] β 1 (5. De esta forma.2) Donde tp es el momento (o el numero de ciclos) donde falla p*n componentes.1) En el caso de querer saber en que momento (o numero de ciclos) se habrá producido el fallo de un percentil p de las muestras. A parte de los valores de fiabilidad y percentiles calculados anteriormente. Haciendo esto. en caso contrario el lote es NG. Si el valor de tp es superior al target el lote es OK.
Como se puede ver en la siguiente tabla también se adjuntan los valores de Ln(ti). 1. el proceso tiene demasiada variabilidad y el problema puede venir de este.51412773 Fi 0. 1. 0. 1. A titulo orientativo.2 .5 -2<β <3. Ejemplo: Tenemos un conjunto de componentes que fallan en el siguiente numero de horas: 0. 0. No se puede descartar problemas de diseño. A partir de estos valores se nos pide calcular los siguientes apartados: % de fallos a las 3 horas.parámetro β es el que nos da más información respecto de donde se encuentra el error (en el caso de que no se supere el target).76. 2. i 1 ti Ln(ti) 0. Si 1. y el problema se encuentra en el diseño. en previsión de que los necesitaremos para calcular los parámetros con el método analítico implícito.5.5 y 3. tiempo en el que habrán fallado el 5% de los componentes. primero vamos a dibujar el gráfico (ti.22 -1.Fi). Para resolver este problema. 1.06730769 13 . posibles problemas en la toma de datos o en el estudio posterior de los resultados. Se tiene que rediseñar el componente. la variabilidad del proceso de fabricación es correcta.22. - Si β <1.32.5 .54. se puede decir: Si β > 3.33. para ello calculamos los valores de Fi. Se tiene que mejorar el proceso productivo y posteriormente volver a efectuar ensayos.88. 1.
83653846 0.76 0.91629073 3 1.74038462 0.93269231 A continuación se muestra el gráfico de los resultados con la recta de regresión que aproxima los puntos: percentil de fallos 1.2 0 0 1 2 h ra o s 3 4 Si aplicamos las formulas del método implícito para el calculo de los parámetros.12783337 1 0 1.5 0.27763174 1.09861229 0.5 -0.69314718 0.8 0.56531381 2.45192308 0.32 0.54 0. se obtiene: n x= ∑ Ln (ti ) =0.1236 i =1 n 1 n ∑ ( Ln (ti ) − x) 2 =0.6 0.16346154 0.33 0.2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.2 1 0.43178242 1.88 -0.4 0.64423077 0.28517894 1.589 n −1 i =1 s2 = 14 .25961538 0.54807692 0.35576923 0.
se tendría que comparar el valor obtenido con el valor del target. si el target es superior a 0. A continuación.59 β   α = exp  x +  γ =0 Si se aplican los métodos gráficos sobre la recta obtenida por regresión a partir de los datos. para contenstar a las preguntas del ejemplo. Si el target es menor que 0. y por tanto el lote es NG.5772   =1. 15 .268 horas.268 horas En caso de tener un target (definido al F(t)5%). se puede ver que los valores obtenidos para α y β coinciden practicamente con los obtenidos analiticamente.05 = α [ − Ln(1 − 0. y por tanto el lote es OK.2.1 y 5. significa que en el target habrá menos del 5% de fallos.β= π S 6   =1.268 horas.96   α      % de fallos a las 3 horas = F (t ) = 1 − R(t ) = 1 − exp −   Tiempo en el que habrán fallado el 5% de los componentes: 1 t0. β t −γ     = 0.67 0. 7. se van a aplicar las formulas 3. significa que en el target habrá más del 5% de fallos. OBSERVACIONES RESPECTO LA APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL. Por el contrario.05) ] β = 0.
usualmente se trabaja con los resultados de tres o cuatro muestras. y los que son producto de las diferencias en el método de calculo usado. Problemas de variabilidad. Esta problemática de pone de manifiesto en el siguiente ejemplo: Ejemplo: Se tiene un conjunto de componentes que han roto a los siguientes ciclos: 115000. y por tanto su nivel de confianza dependerá en gran medida del numero de muestras ensayadas. y si se tiene en cuenta que la mayoría de libros de estadística recomiendan tamaños entre 10 y 13 muestras para conseguir resultados fiables. 88360 y 338130 (caso real con target de 85000). la aplicación de este método conlleva un conjunto de problemas que se van a tratar a lo largo de este apartado. Durante la aplicación de la distribución de Weibull podemos encontrar problemas de dos tipologías diferentes: los originados por la variabilidad de los resultados. Los problemas que tienen su origen en la variabilidad de los resultados numéricos se deben principalmente al hecho de que estamos trabajando con resultados estadísticos. En nuestro caso. pero en la práctica. es fácil darse cuenta que los resultados obtenidos no siempre se correspondan con la realidad. Si aplicamos el Weibull (en este caso se ha usado el paquete estadístico Minitab) obtenemos el siguiente resultado: 16 . debido a que estamos trabajando con datos estadísticos.Hasta este momento se ha explicado que es la distribución de Weibull y las ventajas que implica su aplicación en los estudios de fiabilidad.
80 0.03 0.02 0.74707 204656 Percent 10 5 3 2 1 1000 10000 50000 100000 500000 1000000 Data Shape: Scale: 1.93 0.74707 204656 Percentile Estimates 95% CI 95% CI Approximate Approximate Percentile Lower Limit Upper Limit 0.04 0.50 0.94 14706 21931 27741 32804 37384 41621 45598 49370 52976 56444 86729 113436 139330 165927 194668 227598 268734 329877 338434 347813 358222 369964 1083 2258 3473 4716 5981 7265 8567 9886 11219 12567 26765 42196 58866 76844 96248 117307 140612 168298 171562 174988 178614 182494 199768 212972 221568 228177 233663 238425 242680 246561 250156 253526 281033 304955 329782 358279 393726 441586 513597 646587 667617 691326 718439 750018 P 17 .10 0.40 0.92 0.01 0.07 0.90 0.08 0.30 0.06 0.60 0.70 0.20 0.09 0.Weibull Probability Plot for C1 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 Shape: Scale: 1.91 0.05 0.
Como se ha visto en el apartado 5 existen diferentes métodos para estimar los parámetros característicos de la función de Weibull. También es conveniente destacar que este problema se ve incrementado por el hecho de disponer de pocas muestras.5% con un nivel de confianza del 95%. Problemas de calculo. ja que en el límite todos los métodos llevan a un mismo resultado. teniendo en cuenta que el target es de 85000 ciclos. Esto implica que para un mismo conjunto de valores se pueden obtener diversos resultados diferentes.98 0. estos son: 5981 y 233663.97 0. A parte del problema de la variabilidad de los resultados. ni tampoco que sea OK. estas se van incrementando a medida que aumenta la dispersión de la muestra y cuando aparecen valores que difieren del resto (sin ser anomalías).05) es de 37384 y por tanto el lote sería NG.96 0. nos encontramos con un problema a la hora de obtener estos resultados. no podemos asegurar que el lote sea NG. Por lo tanto.0. e incluso dentro de un mismo método hay diferencias dependiendo del algoritmo de calculo que se use (métodos analíticos) o del tipo de regresión (métodos gráficos). el valor de los ciclos al 5% (0. Estas diferencias y la tendencia que tienen al aparecer valores que distan del resto se puede comprobar con el siguiente ejemplo: Ejemplo: 18 . esta diferencia puede hacer que un mismo lote salga OK o NG dependiendo de quien lo calcule. Aunque estas diferencias entre métodos se dan en todos los cálculos efectuados. Pero si miramos los valores que da el programa como extremos del intervalo de confianza donde se encuentra F(t).99 383503 399602 419669 446794 490521 186711 191397 196788 203384 212634 787714 834298 894983 981516 1131572 Como se puede ver en los resultados que da el Minitab.95 0.
5% 79261 123257 β 2.A continuación se van a efectuar los cálculos para determinar si un lote es OK o NG con dos conjuntos de muestras diferentes: Muestra: 350000.3 OK/NG NG OK Excel Minitab Como se puede comprobar. Estas diferencias son tan importantes. Una cosa que cabría destacar del ejemplo anterior. Si repetimos los cálculos con un conjunto de valores reales sin grandes anomalías. los resultados obtenidos por los diferentes métodos tienen grandes diferencias. y que los valores “normales” están muy juntos.16 3. Programa 2: Minitab Los resultados obtenidos se pueden ver en la siguiente tabla: F(t). que en el caso de tratarse de un ensayo real. el resultado del informe variaría: dando por bueno un lote malo o al revés. 300000 y 100000 con target de 100000 Para calcular el número de ciclos que produce un 5% de fallos y el parámetro β (pendiente) se utilizan dos programas: Programa 1: hoja de Excel basada en el método implícito. es que la diferencia de resultados se ha visto aumentada por el hecho de haber un valor que difiere mucho del resto. podemos ver que el error cometido es bastante menor (ver siguiente ejemplo): Ejemplo: 19 . 325000.
el Minitab pasa por ser uno de los que da una solución más coherente con el tipo de lotes que aquí se ensayan. extraer unos resultados validos para 20 . Para resolver este problema de la variación de resultados con respecto al programa o método de cálculo usado. En ellas se puede apreciar lo dicho respecto la forma que tiene el Minitab de efectuar las regresiones y la diferencia en el resultado.5 6. Dentro de los diferentes programas existentes. 502000 y 381000.325000. Este programa utiliza un método de regresión lineal que otorga una importancia relativa a cada punto dependiendo de su posición respecto al grupo. Estos gráficos representan las funciones (ti.5% 279134 276000 β 6. Este detalle cobra importancia en nuestro caso por el hecho de que trabajamos con pocas muestras. no es coherente con los datos del ensayo. 100000) encontrada con el Excel y con el Minitab. se pueden ver en los siguientes gráficos.Queremos hacer lo mismo que en el ejemplo anterior pero con la siguiente muestra: 343000. Los resultados se muestran la siguiente tabla: F(t). al menos desde un punto de vista lógico. Estas diferencias a la hora de efectuar la regresión. esto implica que si una de ellas (por el motivo que sea) falla a unos ciclos muy diferentes que el resto. sería conveniente definir un único programa para todos. esta toma mucho peso y puede dar lugar a un resultado que. y por lo tanto este método es más insensible a valores anómalos.4 Excel Minitab Como puede verse el error cometido es menor y los resultados de ambos son completamente comparables.Fi) correspondientes a las muestras del primer ejemplo de este apartado (350000. Esto permitiría todos y comparables entre sí. 300000.
7 0.2 0.9 0.1 0 0 100000 200000 300000 400000 - Gráfico del Minitab: Weibull Probability Plot for C2 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 Shape: Scale: 3.6 0.33783 300105 Percent 10 5 3 2 1 20000 40000 60000 80000100000 200000 400000 600000 800000 Data 21 .8 0.4 0.- Gráfico del Excel: 0.5 0.3 0.
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