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Timestamp: 2020-07-09 09:33:26+00:00

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Planificacion Curricular Matematica | Plan de estudios | Maestros
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Editor: Editorial de la Universidad de Granada Autor: José Luis Lupiáñez Gómez D.L.: GR. 3909-2009 ISBN: 978-84-692-7856-7
Memoria de TESIS DOCTORAL realizada bajo la dirección del Doctor Luis Rico Romero del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Gra- nada que presenta Jose Luis Lupiáñez Gómez para optar al grado de Doctor en Ma- temáticas con especialidad en Didáctica de la Matemática.
Fdo.: Jose Luis Lupiáñez Gómez
Fdo:: Luis Rico Romero
El trabajo que se presenta en esta memoria pretende cumplir con el requisito de la elaboración de una tesis doctoral, para la obtención del grado de doctor dentro del programa de doctorado “Didáctica de la Matemática” impartido en el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.
Este estudio se realizó en el seno del grupo de investigación Didáctica de la Matemática. Pensamiento Numérico de la Universidad de Granada, pertene- ciente al Plan Andaluz de Investigación, Desarrollo e Innovación de la Junta de Andalucía (FQM193). El estudio recibió el apoyo de dos proyectos del plan nacional de I+D+i, financiados por el Ministerio de Ciencia y Tecnología y co- financiados con fondos FEDER, con referencias SEJ2005-07364/EDUC y EDU2009-10454EDUC, respectivamente.
(Descartes, Meditaciones Metafísicas, 1641)
1. UN PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN SOBRE
FORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES DE
2. Contexto y Pertinencia de la Investigación
2.1 Concreción de la Investigación
2.2 Pertinencia de la Investigación
Un Problema de Investigación Sobre Formación Inicial de
3.2 Una Línea de Investigación con Tradición en el Grupo FQM193
3.3 Un Programa de Formación Inicial de Profesores de
Evaluación del Programa de Formación Inicial
4. Delimitación, Preguntas y Objetivos de la Investigación
4.1 Preguntas de Investigación
4.2 Objetivos Generales y Específicos de la Investigación
5. Organización del Documento
2. EL ANÁLISIS DIDÁCTICO: LA PLANIFICACIÓN DEL
APRENDIZAJE DESDE UNA PERSPECTIVA CURRICULAR
Una Visión Curricular y Funcional de la Enseñanza y el
1.1 Dimensiones y Niveles del Currículo
1.2 Un Enfoque Funcional de las Matemáticas Escolares
1.3 Enfoque Funcional en el Actual Currículo de Matemáticas
2. El Análisis Didáctico
3. El Análisis de Contenido
3.1 Acerca del Contenido Matemático
3.2 Clasificación Cognitiva del Contenido Matemático
3.3 Estructura del Análisis de Contenido
Focos de Contenido en el Sistema de los Números Naturales
3.5 Sistemas de Representación
3.6 Análisis Fenomenológico
3.7 Estructura Conceptual
3.8 Análisis de Contenido y Conocimiento del Profesor
4. El Análisis Cognitivo
4.1 Aprendizaje de las Matemáticas Escolares
4.2 Finalidad y Estructura del Análisis Cognitivo
4.3 Análisis Cognitivo y Conocimiento del Profesor
5. El Análisis de Instrucción
5.1 Tarea y Actividad
5.2 Estructura del Análisis de Instrucción
5.3 Procedimiento del Análisis de Instrucción
5.4 Análisis de Instrucción y Conocimiento del Profesor
6. El Análisis de Actuación
7. El Análisis Didáctico en un Programa de Formación de Profesores
de Matemáticas de Secundaria
3. EXPECTATIVAS, LIMITACIONES Y OPORTUNIDADES
DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS ESCOLARES
1. Expectativas de Aprendizaje en Matemáticas
1.1 Expectativas de aprendizaje
1.2 Los Objetivos en el Currículo
1.4 Las Competencias como un Nivel de Expectativas de
1.5 La Competencia Matemática
1.6 La Competencia Matemática en el Proyecto PISA
2. Limitaciones en el Aprendizaje de las Matemáticas
Un Caso Concreto de Dificultades de Aprendizaje en
2.2 El Error en el Aprendizaje de las Matemáticas
2.3 El Error Desde un Punto de Vista Epistemológico
2.4 Investigación Sobre Errores en Educación Matemática
2.5 Análisis de Limitaciones de Aprendizaje en el Análisis
3. Oportunidades de Aprendizaje y Tareas en las Matemáticas
Oportunidades de Aprendizaje: Revisión de Antecedentes
Dimensiones de las Oportunidades de Aprendizaje
El Procedimiento del Análisis Cognitivo de las Matemáticas
4.1 Expectativas sobre el Aprendizaje de los Números Naturales
4.2 Limitaciones de Aprendizaje en el Aprendizaje de los Números
Oportunidades de Aprendizaje: Tareas sobre los Números
Análisis Cognitivo y Conocimiento del Profesor en Formación
4. CONOCIMIENTO DEL PROFESOR DE
MATEMÁTICAS. UN ENFOQUE FUNCIONAL PARA LA
Competencias del Profesor en Formación
Competencias y Formación Inicial de Profesores en el Contexto
Tres Aproximaciones a las Competencias Específicas del
Competencias del Profesor de Matemáticas. La Importancia de la
2.1 ¿Qué Significa ser un Profesor de Matemáticas Competente?
2.2 Conocimiento General Básico y Conocimiento Básico de la
Profesión del Profesor de Matemáticas de Secundaria
Conocimiento Didáctico de los Profesores de Matemáticas en
3.1 La Noción de Conocimiento Didáctico
3.2 Enfoque Funcional del Conocimiento Didáctico de los
Conocimientos y Capacidades de los Profesores en Formación en la
Puesta en Práctica del Análisis Cognitivo
4.1 Nivel Teórico
4.2 Nivel Técnico (Relativo a un Tema Específico de Matemáticas)
4.3 Nivel Práctico
5. LA ASIGNATURA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
EN EL CURSO 2008-2009
1. Diseño de un Programa de Formación
2. La Asignatura “Didáctica de la Matemática en Bachillerato”
La Asignatura “Didáctica de la Matemática” del Plan 2000
4. Programa de la Asignatura en el Curso 2008-2009
4.1 Finalidad y Objetivos
5.2 Grupos de Futuros Profesores. Temas de Trabajo
5.3 Esquema General de las Sesiones
6. Desarrollo del Análisis Cognitivo
6.1 Sesiones Sobre el Análisis de Contenido
6.2 Sesiones Sobre Análisis Cognitivo
6.3 Sesiones Sobre el Análisis de Instrucción
6.4 Sesiones de Presentación de las Unidades Didácticas
6.5 Evaluación de la asignatura
6. DISEÑO DEL ESTUDIO EMPÍRICO
1. Algunas Concreciones Metodológicas
1.1 Contexto e informantes
1.2 Información Obtenida del Desarrollo de la Asignatura
2. Producciones de los Grupos de Profesores
2.1 Diferentes Niveles de Expectativas en el Currículo
2.2 Producciones Sobre los Organizadores del Análisis Cognitivo
3. Organización del Análisis de las Producciones
7. TRABAJO EMPÍRICO: SESIONES INICIALES
1. Desarrollo de las Sesiones Iniciales
2. Expectativas de Aprendizaje en Libros de Texto
2.1 Objetivos Generales de Área en Libros de Textos (Tarea 1.1)
2.2 Objetivos Específicos Sobre Funciones (Tarea 1.2)
3. Objetivos Generales del Currículo de Matemáticas
4. Expectativas de Aprendizaje en el Tema de los Números Naturales
Pregunta 1: Conceptos y Procedimientos Sobre los Números
Pregunta 2: Propuesta de Tareas Sobre los Números Naturales
Pregunta 3: Análisis de Tareas Sobre los Números Naturales
Pregunta 4: Objetivos Específicos relativos a los Números
Conocimiento genérico Sobre Diferentes Niveles de Expectativas
8. APRENDIZAJE DE LOS GRUPOS DE PROFESORES EN
FORMACIÓN SOBRE OBJETIVOS Y COMPETENCIAS
1. Focos de contenido y Prioridades de Aprendizaje
1.1 Prioridades del Grupo Ecuaciones
1.2 Prioridades del Grupo Fracciones
1.3 Prioridades del Grupo Probabilidad
1.4 Prioridades del Grupo Razón y Proporción
1.5 Balance del Trabajo de los Grupos sobre Prioridades en el
2. Estudio Global de los Objetivos Específicos
2.1 Innovación y Estabilidad en los Objetivos
2.2 Estudio de la Variable Completitud (Cm)
2.3 Estudio de la Variable Cognición (Cg)
3. Estudio Local de los Objetivos Específicos
3.1 Estudio de la Variable Capacidad (Ca)
3.2 Estudio de la Variable Contenido (Co)
3.3 Estudio de la Variable Contexto (Cx)
3.4 Estudio de la Variable Especificidad (Ep)
3.5 Estudio de la Variable Léxico-semántica (Lx)
4. Análisis de las Competencias Seleccionadas
Estudio de las Variables Frecuencia (Fr) y Frecuencia por
Prioridad de Aprendizaje (Fp)
Estudio de la Variable Orientación (Or)
5. Relación entre Objetivos Específicos y Competencias
5.1 Estudio de la Variable Descriptores (De)
5.2 Estudio de la Variable Estructura de las Competencias (Es)
6. Aprendizaje de los Grupos de Futuros Profesores Sobre Objetivos y
6.1 Ejemplificación del Proceso Mediante un Objetivo
6.2 Balance de las Producciones de los Grupos
6.3 Proceso de Aprendizaje de los Grupos Sobre Objetivos y
9. APRENDIZAJE DE LOS GRUPOS DE PROFESORES EN
FORMACIÓN SOBRE ERRORES Y DIFICULTADES
Limitaciones en el Aprendizaje Escolar
1.1 Estudio de la Variable Criterio de Organización (Cr)
1.2 Criterios de Organización del Grupo Ecuaciones
1.3 Criterios de Organización del Grupo Fracciones
1.4 Criterios de Organización del Grupo Probabilidad
1.5 Criterios de Organización del Grupo Razón y Proporción
1.6 Balance del Trabajo de los Grupos sobre Criterios de
Innovación y Estabilidad en las Limitaciones del Aprendizaje
2.1 Producciones del Grupo Ecuaciones
2.2 Producciones del Grupo Fracciones
2.3 Producciones del Grupo Probabilidad
2.4 Producciones del Grupo Razón y Proporción
2.5 Balance del Trabajo de los Grupos Sobre Innovación y
Estabilidad de las Limitaciones
3. Estudio Local de las Limitaciones en el Aprendizaje Escolar
3.1 Estudio de la Variable Tipo de Limitación (Li)
3.2 Estudio de las Variables Tipo de Dificultad (Di) y Tipo de Error
3.3 Estudio de la Variable Especificidad (Ep)
3.4 Estudio de la Variable Léxico-Semántica (Lx)
3.5 Estudio de la Variable Descriptores (De)
4. Aprendizaje de los Grupos de Futuros Profesores Sobre Errores y
4.1 Balance de las Producciones de los Grupos
4.2 Proceso de Aprendizaje de los Grupos de Futuros Profesores
Sobre Errores y Dificultades
10. APRENDIZAJE DE LOS GRUPOS DE PROFESORES EN
FORMACIÓN SOBRE TAREAS MATEMÁTICAS
Trabajos de los Grupos Sobre Diseño y Selección de Tareas
1.1 Estructura de la Unidad Didáctica
1.2 Momentos de Análisis sobre Tareas Matemáticas Escolares
Diseño y Selección de Tareas Vinculadas a Expectativas
2.1 Una Aproximación Intuitiva
2.2 Tareas Vinculadas a Objetivos Específicos
2.3 Vinculación de las Tareas a las Competencias Matemáticas
Diseño y Selección de Tareas Vinculadas a Limitaciones del
3.1 Tareas Propuestas por los Grupos
3.2 Balance del Trabajo de los Grupos sobre Tareas Vinculadas a
Propuesta Final de Tareas
Objetivos Específicos de las Sesiones Programadas por los
4.2 Objetivos Específicos en las Tareas de la Unidad Didáctica
4.3 Competencias que Promueven las Tareas de la Unidad
Conocimiento de los Grupos Acerca del Diseño y Selección de
1. Análisis Cognitivo y Planificación del Aprendizaje Escolar
2. Diseño e Implementación de un Programa de Formación Inicial de
3. Desarrollo de la Competencia de Planificación en los Grupos de
3.1 Nivel Teórico del Conocimiento Didáctico
3.2 Nivel Técnico (Relativo a un Tema Específico de Matemáticas)
3.3 Nivel Práctico del Conocimiento Didáctico
3.4 La Competencia de Planificación en los Grupos de Futuros
3.5 Otro Resultado de la Investigación
4. Balance Estratégico de un Programa de Formación Inicial de
5. Líneas Abiertas de Investigación
Ciclo del análisis didáctico (Gómez, 2007, p. 31) 37
Clasificación cognitiva del conocimiento matemático (Rico, 1997b, p. 32)
Mapa conceptual de la estructura aditiva en el sistema decimal de numeración
Conversiones entre diferentes sistemas de representación en el caso de los números naturales (Rico, Marín, Lupiáñez y Gómez, 2008, p.
Sistemas de representación de los números naturales 48
Inicio de la estructura conceptual del sistema de los números
Estructura conceptual del sistema de los números naturales 54
Componentes de los objetivos específicos 82
Componentes de la noción de competencia 88
El proceso de modelización y la resolución de problemas (Gómez, 2007, p. 88)
Estructura conceptual del sistema de los números naturales 116
Focos de contenido en el de tema Sistema de Números Naturales 117
Componentes de la noción de competencia de planificación del profesor de matemáticas
Ciclo metodológico de los momentos en el tratamiento general de
cada uno de los organizadores del currículo
Base de datos de las sesiones de clase. Ejemplo de la sesión 6 186
Distribución de las sesiones según el contenido principal tratado 188
18. Organización de los sistemas de representación del grupo RAZ 192
17 (a y b). Distribución de las sesiones según la actividad realizada
19. Mapa de la estructura conceptual del grupo ECU
20. Mapa de la estructura conceptual del grupo FRA
21. Mapa de la estructura conceptual del grupo PRO
22. Mapa de la estructura conceptual del grupo RAZ
23. Algunos de los objetivos específicos enunciados por el grupo ECU en su unidad didáctica
Balance de las competencias seleccionadas por el grupo PRO en su unidad didáctica
25. Descripción global de la segunda sesión propuesta por el grupo RAZ en su unidad didáctica
26. Ejemplo de tarea propuesta por el grupo PRO en su unidad didáctica
27. Tareas de evaluación propuestas por el grupo FRA en su unidad didáctica
28. Análisis de las tareas de evaluación propuestas por el grupo FRA en su unidad didáctica
29. Producciones y cambios entre producciones relacionadas con el análisis cognitivo
30. Tabla 100
31. Relación entre enunciados innovadores y estables en las diferentes producciones del grupo ECU
32. Relación entre enunciados innovadores y estables en las diferentes producciones del grupo FRA
33. Relación entre enunciados innovadores y estables en las diferentes producciones del grupo PRO
34. Relación entre enunciados innovadores y estables en las diferentes producciones del grupo RAZ
35. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo ECU a lo largo de sus distintas producciones según la variable Ca
36. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo FRA a lo largo de sus distintas producciones según la variable Ca
37. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo PRO a lo largo de sus distintas producciones según la variable Ca
38. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo RAZ a lo largo de sus distintas producciones según la variable Ca
39. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo ECU a lo largo de sus distintas producciones según la variable Co
40. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo FRA a lo largo de sus distintas producciones según la variable Co
41. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo PRO a lo largo de sus distintas producciones según la variable Co
42. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo RAZ a lo largo de sus distintas producciones según la variable Co
43. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo FRA a lo largo de sus distintas producciones según la variable Cx
44. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo PRO a lo largo de sus distintas producciones según la variable Cx
45. Clasificación de los objetivos enunciados por el grupo RAZ a lo largo de sus distintas producciones según la variable Cx
Indicadores de relación entre objetivos específicos y competencias en diferentes producciones del grupo ECU
47. Indicadores de relación entre objetivos específicos y competencias en diferentes producciones del grupo FRA
48. Indicadores de relación entre objetivos específicos y competencias en diferentes producciones del grupo PRO
49. Indicadores de relación entre objetivos específicos y competencias en diferentes producciones del grupo RAZ
50. Comparativa por grupos del porcentaje de asignaciones justificadas entre objetivos y competencias
51. Distribución de errores por focos de contenido del grupo ECU
52. Enunciados innovadores y estables en los momentos de cambio entre producciones del grupo ECU acerca de limitaciones del aprendizaje
53. Enunciados innovadores y estables en los momentos de cambio entre producciones del grupo FRA acerca de limitaciones del aprendizaje
54. Enunciados innovadores y estables en los momentos de cambio entre producciones del grupo PRO acerca de limitaciones del aprendizaje
55. Enunciados innovadores y estables en los momentos de cambio entre producciones del grupo RAZ acerca de limitaciones del aprendizaje
56. Indicadores de relación entre limitaciones del aprendizaje y objetivos específicos en la producción UD del grupo ECU
57. Indicadores de relación entre limitaciones del aprendizaje y objetivos específicos en la producción UD del grupo FRA
58. Indicadores de relación entre limitaciones del aprendizaje y objetivos específicos en la producción UD del grupo PRO
59. Indicadores de relación entre limitaciones del aprendizaje y objetivos específicos en la producción UD del grupo RAZ
60. Presencia de los objetivos específicos en las sesiones de la unidad didáctica del grupo ECU
61. Presencia de los objetivos específicos en las sesiones de la unidad didáctica del grupo FRA
62. Presencia de los objetivos específicos en las sesiones de la unidad didáctica del grupo PRO
63. Presencia de los objetivos específicos en las sesiones de la unidad didáctica del grupo RAZ
64. Primera sesión en la que se hace mención expresa a cada uno de los objetivos enunciados por los grupos de futuros profesores
65. Parrilla de vínculos entre las tareas seleccionadas y diseñadas en la unidad didáctica y los objetivos específicos del grupo ECU
66. Parrilla de vínculos entre las tareas seleccionadas y diseñadas en la unidad didáctica y los objetivos específicos del grupo FRA
Parrilla de vínculos entre las tareas seleccionadas y diseñadas en la unidad didáctica y los objetivos específicos del grupo PRO
68. Parrilla de vínculos entre las tareas seleccionadas y diseñadas en la unidad didáctica y los objetivos específicos del grupo RAZ
69. Parrilla de vínculos del grupo ECU entre tareas incluidas en la unidad didáctica y las competencias matemáticas
70. Competencias destacadas por el grupo ECU en el análisis cognitivo y en las tareas de la unidad didáctica
71. Parrilla de vínculos del grupo FRA entre tareas incluidas en la unidad didáctica y las competencias matemáticas
72. Competencias destacadas por el grupo FRA en el análisis cognitivo y en las tareas de la unidad didáctica
73. Parrilla de vínculos del grupo PRO entre tareas incluidas en la unidad didáctica y las competencias matemáticas
74. Competencias destacadas por el grupo PRO en el análisis cognitivo y en las tareas de la unidad didáctica
75. Parrilla de vínculos del grupo RAZ entre tareas incluidas en la unidad didáctica y las competencias matemáticas
76. Competencias destacadas por el grupo RAZ en el análisis cognitivo y en las tareas de la unidad didáctica
77. Secuencia de aprendizaje de los futuros profesores
78. Componentes de la noción de competencia de planificación del profesor de matemáticas
Tesis doctorales de los integrantes del grupo FQM193 según líneas de investigación
Dimensiones y niveles de la noción de currículo (Rico, 1997a, p. 409)
Caracterización de los enfoques de las matemáticas escolares (p. 180) 30
Principales conceptos y procedimientos del sistema de los números naturales según focos de contenido
Indicadores para los niveles de complejidad de las tareas (Lupiáñez,
Niveles de objetivos en el currículo (Rico y Lupiáñez, 2008, p. 69) 79
Comparación de ideas clave entre distintas caracterizaciones educativas sobre competencias (a partir de la propuesta de Rico y Lupiáñez, 2008, p. 139)
Descriptores de los niveles empíricos en el desarrollo de las competencias matemáticas PISA
Objetivos específicos relacionados con profundizar en el estudio de las relaciones numéricas
Objetivos específicos relacionados con dominar el sistema decimal de numeración
Objetivos específicos relacionados con trabajar con las operaciones y propiedades de los naturales
Objetivos específicos relacionados con interpretar y resolver situaciones y problemas con los números naturales
Contribución al desarrollo de competencias matemáticas de los objetivos específicos relativos al estudio de las relaciones numéricas
Contribución al desarrollo de competencias matemáticas de los objetivos específicos relativos al sistema decimal de numeración
Contribución al desarrollo de competencias matemáticas de los objetivos específicos relativos a las operaciones y propiedades de los naturales
Contribución al desarrollo de competencias matemáticas de los objetivos específicos relativos a interpretar y resolver situaciones y problemas con números naturales
Dificultades, errores y objetivos relacionados en cada uno de los focos de contenido del tema de los números naturales
18. Clasificación de las competencias genéricas Tuning según su carácter básico, de intervención o específico (Moreno, Bajo, Moya, Maldonado y Tudela, 2007, p. 7)
19. Competencias más relevantes del Grado de Matemáticas para el perfil profesional de docencia no universitaria (ANECA, 2005c, p. 98)
20. Competencias más relevantes del Grado de Magisterio de interés para el profesor de Educación secundaria (ANECA, 2005a, p. 90)
21. Contenidos o temas a tratar en las sesiones del curso 2008-2009
22. Siglas y significados empleados en la descripción de las sesiones
23. Primera aproximación a los focos de contenido y a los objetivos específicos del grupo FRA
24. Contribución al desarrollo de competencias matemáticas de los objetivos específicos relativos al lenguaje algebraico del grupo ECU
25. Primera propuesta de limitaciones en el aprendizaje del grupo PRO
26. Organización de estudiantes por grupos y temas de trabajo en la asignatura
27. Producciones relacionadas con el análisis cognitivo en la asignatura “Didáctica de la Matemática” en el curso 2008-2009
28. Producciones sobre los tres organizadores del análisis cognitivo de los grupos de futuros profesores
29. Identificación de los momentos de cambio entre las diferentes producciones relacionadas con el análisis cognitivo
30. Libros de texto usados en las sesiones iniciales
31. Presencia de los objetivos generales del currículo en los libros de texto
32. Clasificación de respuestas a la tarea 1.2
33. Análisis de los futuros profesores sobre las componentes de los objetivos generales
34. Listado y frecuencia de los conceptos y procedimientos sobre los números naturales propuestos por los profesores en formación
35. Tareas sobre números naturales propuestas por los profesores en formación
36. Actuaciones y situaciones en las tareas sobre números naturales según los futuros profesores
37. Listado de objetivos específicos sobre los números naturales propuestos por los profesores en formación
38. Análisis de los objetivos específicos de los futuros profesores según las capacidades expresadas
39. Análisis de los objetivos específicos de los futuros profesores según los contenidos de los números naturales considerados
Análisis de los objetivos específicos de los futuros profesores según las situaciones en las que se contextualizan
41. Variables para el análisis de las prioridades de aprendizaje (o focos) consideradas para el enunciado de objetivos específicos
42. Análisis de las prioridades de aprendizaje (o focos) considerados por el grupo ECU en sus distintas producciones
43. Análisis de las prioridades de aprendizaje (o focos) considerados por el grupo FRA en sus distintas producciones
44. Análisis de las prioridades de aprendizaje (o focos) considerados por el grupo PRO en sus distintas producciones
45. Análisis de las prioridades de aprendizaje (o focos) considerados por el grupo RAZ en sus distintas producciones
46. Variables para el análisis del conjunto de objetivos específicos
47. Clasificación de objetivos enunciados en las distintas producciones del grupo ECU
48. Clasificación de objetivos enunciados en las distintas producciones del grupo FRA
49. Clasificación de objetivos enunciados en las distintas producciones del grupo PRO
50. Clasificación de objetivos enunciados en las distintas producciones del grupo RAZ
51. Evolución de los diferentes grupos a través de las etapas detectadas sobre enunciado de objetivos específicos
52. Evolución de la variable completitud a lo largo de las producciones de los grupos
53. Preponderancia o equilibrio entre los objetivos relativos a aspectos conceptuales o procedimentales
54. Variables para el análisis local de los objetivos específicos
55. Número de objetivos no específicos a los temas de trabajo de los grupos
56. Variables para el análisis de la asignación de competencias
57. Frecuencias de las competencias matemáticas PISA según prioridades de aprendizaje (o focos) y frecuencia total en P 3 del grupo ECU
58. Frecuencias de las competencias matemáticas PISA según prioridades de aprendizaje (o focos) y frecuencia total en P 5 del grupo ECU
59. Frecuencias de las competencias matemáticas PISA según prioridades de aprendizaje (o focos) y frecuencia total en P 5 del grupo FRA
60. Frecuencias de las competencias matemáticas PISA según prioridades de aprendizaje (o focos) y frecuencia total en UD del grupo FRA
61. Frecuencias de las competencias matemáticas PISA según prioridades de aprendizaje (o focos) y frecuencia total en P 3 del grupo PRO
Frecuencias de las competencias matemáticas PISA según prioridades de aprendizaje (o focos) y frecuencia total en UD del grupo PRO
63. Frecuencias de las competencias matemáticas PISA según prioridades de aprendizaje (o focos) y frecuencia total en P 3 del grupo RAZ
64. Frecuencias de las competencias matemáticas PISA según prioridades de aprendizaje (o focos) y frecuencia total en P 5 del grupo RAZ
65. Frecuencias de las competencias matemáticas PISA según prioridades de aprendizaje (o focos) y frecuencia total en UD del grupo RAZ
66. Porcentaje de asignación de los grupos a los distintos tipos de competencias
67. Variables para el análisis de la asignación de objetivos específicos a las competencias matemáticas PISA
68. Descriptores de las competencias matemáticas PISA
69. Reconocimiento de la estructura de las competencias matemáticas PISA en algunas producciones del grupo ECU
70. Reconocimiento de la estructura de las competencias matemáticas PISA en algunas producciones del grupo FRA
71. Reconocimiento de la estructura de las competencias matemáticas PISA en algunas producciones del grupo PRO
72. Reconocimiento de la estructura de las competencias matemáticas PISA en algunas producciones del grupo RAZ
73. Frecuencias de los valores de la variable estructura de las competencias en las diferentes producciones de los cuatro grupos
74. Estados y etapas de aprendizaje de los grupos en relación al enunciado de objetivos y a la precisión y riqueza de esos enunciados
75. Porcentaje de Presencia de las diferentes competencias matemáticas en las unidades didácticas
76. Porcentaje de asignaciones bien justificadas de las diferentes competencias matemáticas en las unidades didácticas
77. Variables para análisis del conjunto de limitaciones del aprendizaje escolar
78. Criterios de organización de las limitaciones del aprendizaje enunciadas en las distintas producciones por los grupos
79. Clasificación de limitaciones del aprendizaje escolar enunciadas en las distintas producciones del grupo ECU
80. Clasificación de limitaciones del aprendizaje escolar enunciadas en las distintas producciones del grupo FRA
81. Clasificación de limitaciones del aprendizaje escolar enunciadas en las distintas producciones del grupo PRO
82. Clasificación de limitaciones del aprendizaje escolar enunciadas en las distintas producciones del grupo RAZ
Frecuencias y etapas relativas al enunciado de limitaciones del aprendizaje de los escolares recorridas por los diferentes grupos
84. Variables para el análisis individual de las limitaciones del aprendizaje escolar
85. Tipos de limitaciones del aprendizaje escolar enunciadas por el grupo ECU en sus diferentes producciones
86. Tipos de limitaciones del aprendizaje escolar enunciadas por el grupo FRA en sus diferentes producciones
87. Tipos de limitaciones del aprendizaje escolar enunciadas por el grupo PRO en sus diferentes producciones
88. Tipos de limitaciones del aprendizaje escolar enunciadas por el grupo RAZ en sus diferentes producciones
89. Clasificación de los diferentes errores enunciados por los grupos de profesores en formación según las categorías de Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987)
90. Número de limitaciones no específicas a los temas en las distintas producciones por los grupos
91. Estados y etapas de aprendizaje de los grupos en relación al enunciado de limitaciones del aprendizaje
92. Objetivos propuestos a los grupos en la sesión 43
93. Vinculaciones entre objetivos específicos, competencias y tareas del grupo ECU
94. Vinculaciones entre objetivos específicos, competencias y tareas del grupo FRA
95. Vinculaciones entre objetivos específicos, competencias y tareas del grupo PRO
96. Vinculaciones entre objetivos específicos, competencias y tareas del grupo RAZ
97. Asignaciones totales y asignaciones justificadas de las tareas a las competencias
98. Pasos en las estrategias seguidas por los grupos para relacionar tareas con limitaciones del aprendizaje
99. Balance de los vínculos entre tareas y objetivos en las unidades didácticas de los cuatro grupos
UN PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN SOBRE FORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA
Esta investigación tiene que ver con la formación de profesores. Nos situamos, por lo tanto, en la línea de algunas de las prioridades de la investigación actual en Educación Matemática (English, 2009). Esta formación, se relaciona con una “intervención orientada por objetivos que persigue promover el aprendizaje de los profesores, y que incluye todas las formas de preparación del profesor y de su desarrollo profesional” (Krainer, 2008, pp. 1-2). Este mismo autor señala que, en el caso de las de matemáticas, la formación puede orientarse “hacia perfeccionar las creencias de los profesores, su conocimiento y su práctica, y aumentar su motivación, su autoconfianza y su identidad como profesores de matemáticas y, lo más importante, contribuir al desarrollo afectivo y cognitivo de sus escolares” (p. 2).
La formación inicial de profesores se ha convertido, además, en foco de investigación en los últimos veinte años (Oliveira y Hannula, 2008). Pero aunque cada vez son más los resultados y avances que se logran acerca de qué finalidades debe perseguir esa formación, cómo puede organizarse, llevarse a la práctica y evaluarse, también está constatado que aún quedan muchos aspectos en los que profundizar y seguir indagando.
Nuestro trabajo busca contribuir a esta línea de interés y con este primer capítulo pretendemos ubicar, delimitar y presentar nuestro estudio. Para ello, en el primer apartado introducimos el problema sobre el que queremos indagar y, a continuación, concretamos el contexto de la investigación y justificamos su pertinencia. En el tercer apartado, revisamos los antecedentes en los que nos apoyamos y que dan cobertura y relevancia a nuestro trabajo.
A partir de esta información, en el cuarto apartado planteamos las preguntas de
investigación que queremos abordar y después, partiendo de ellas, enunciamos los objetivos generales y específicos de nuestra investigación. Finalmente, en el quinto apartado, hacemos una breve síntesis de la estructura y la organización de este documento.
La investigación que aquí presentamos se centra en la formación inicial de profesores de matemáticas de Educación secundaria. Nos situamos en el contexto de un programa de formación inicial, que persigue desarrollar la competencia de planificación de las matemáticas escolares, en los futuros profesores que cursan ese programa formativo.
El programa de formación se lleva a cabo en el marco de una asignatura de la Licenciatura de Matemáticas de la Universidad de Granada. Su principal finalidad, siempre ha sido que los futuros profesores adquieran y empleen conocimientos y capacidades para diseñar unidades didácticas sobre un tema concreto de las matemáticas escolares.
Parte del proceso de diseño de una unidad didáctica, consiste en establecer qué espera el profesor que aprendan sus escolares acerca del tema de matemáticas que está planificando, qué puede interferir ese proceso de aprendizaje o cómo puede favorecer que sus escolares logren aprender. Es decir, la planificación del aprendizaje escolar, es un proceso complejo y elaborado que forma parte del trabajo del profesor.
En nuestra investigación, abordamos la caracterización de un procedimiento
que permita a los futuros profesores, llevar a cabo una descripción detallada de
la problemática del aprendizaje de un tema de matemáticas desde un punto de
vista curricular. Asimismo, nos interesa el diseño del programa formativo (la asignatura) al que nos hemos referido anteriormente, para que incluya, de manera coherente y fundamentada, ese procedimiento de planificación y análisis del aprendizaje escolar. Finalmente, también nos preocupa el proceso de aprendizaje que siguen los participantes en ese programa y el conocimiento
y las capacidades que finalmente desarrollan durante él. Para abordar este
último problema, describimos, analizamos e interpretamos los trabajos realizados por un grupo de futuros profesores, que participaron en la asignatura en el curso académico 2008-2009.
Un Problema de Investigación…
Antes de avanzar en los antecedentes de este trabajo y antes de concretar las preguntas y los objetivos de investigación que aborda, nos interesa contextualizar con mayor precisión nuestro estudio y justificar su pertinencia, en el marco de la investigación actual en Didáctica de la Matemática.
Esta investigación se ha realizado en el seno del grupo FQM193 1 “Didáctica de la Matemática. Pensamiento Numérico” del PAIDI de la Junta de Andalucía 2 . Este grupo aborda diferentes líneas de investigación en educación matemática (Lupiáñez y Rico, 2009a y 2009b) y, como veremos más adelante en este capítulo, una de ellas es la formación de profesores. La tradición y experiencia de este grupo en esta línea contextualiza y enmarca nuestra investigación y, recíprocamente, este trabajo da continuidad a esa tradición y abre nuevas perspectivas de actividad investigadora.
El contexto que nos brinda la investigación realizada en el grupo FQM193, se concreta en un modelo teórico de la noción de currículo, en la caracterización de un procedimiento para la programación de unidades didácticas y en el diseño, implementación y evaluación de un programa de formación inicial. Nuestro aporte a esa investigación contribuye, modestamente, en esos tres mismos aspectos.
En su indagación acerca de la noción de currículo, como concepto central en el proceso de planificación del profesor, Rico (1997d) caracteriza un modelo sistémico y organiza una serie de herramientas para, entre otras facetas, planificar las matemáticas escolares. Estas herramientas, denominadas organizadores del currículo, se refieren a “aquellos conocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas” (p. 45) 3 . Algunos de esos organizadores son los sistemas de representación, la historia de la matemática o la fenomenología. Otros organizadores se centran en el aprendizaje de las matemáticas: expectativas de aprendizaje (por ejemplo, objetivos y
1 Creado en 1988 y coordinado por Luis Rico. En la actualidad lo componen 27 investigadores de las universidades de Almería, Córdoba, Granada y Málaga. Es posible consultar su estructura, su composición y sus principales líneas de investigación en la página:
http://prensa.ugr.es/prensa/investigacion/grupos/index.php?accion=ver&id_grupo=199/
2 A lo largo del documento usaremos sólo el código FQM193 para referirnos a este grupo. PAIDI: Plan Andaluz de Investigación, Desarrollo e Innovación. Más información disponible en la página http://www.juntadeandalucia.es/innovacioncienciayempresa/ 3 En lo que sigue, emplearemos el término “modelo de los organizadores” para referirnos a un programa de formación que se articula en torno a los organizadores del currículo. En el epígrafe tercero de este capítulo describiremos algunas experiencias y trabajos en torno al modelo de los organizadores.
competencias), limitaciones en el aprendizaje (como por ejemplo errores y dificultades) y oportunidades de aprendizaje (como las tareas matemáticas).
Gómez (2007), caracteriza y define un procedimiento denominado análisis didáctico que, sobre la base de los organizadores del currículo, permite al profesor diseñar, implementar y evaluar unidades didácticas. El análisis didáctico, que está conformado a su vez por diferentes procedimientos según las diferentes dimensiones de la noción de currículo (§2.2) 4 . En nuestra investigación abordamos la caracterización y organización de uno de los procedimientos que conforman el análisis didáctico, el análisis cognitivo, que constituye el objeto central de nuestro trabajo. Como también veremos en el capítulo 2, estructuramos el análisis cognitivo en torno a tres de los organizadores que hemos citado antes: expectativas, limitaciones y oportunidades en el aprendizaje escolar.
Otros trabajos del grupo FQM193 se han centrado en el diseño, implementación y evaluación del programa de formación inicial, que se lleva a cabo en el contexto de la asignatura Didáctica de la Matemática. Esta materia se imparte en la Licenciatura de Matemáticas de la Universidad de Granada.
Como veremos más adelante, esos trabajos de los investigadores del grupo se han preocupado en evaluar diferentes aspectos de esta asignatura, como programa de formación. En nuestra investigación abordamos su diseño de tal modo que incorpore, de manera coherente, el análisis cognitivo y su puesta en práctica. Asimismo, evaluamos esa propuesta formativa en términos del aprendizaje desarrollado por un grupo de futuros profesores que cursaron la materia.
Esta investigación tiene interés para la Didáctica de la Matemática por diferentes razones, que fundamentalmente atienden a dos consideraciones,. En primer lugar a la pertinencia del estudio realizado acerca de las expectativas del profesor sobre el aprendizaje de los escolares, más concretamente sobre competencias matemáticas. En segundo lugar, a la continuidad con una línea de investigación que tiene incidencia directa en la formación inicial del profesorado de matemáticas de la Educación secundaria.
Estos dos argumentos se relacionan estrechamente entre sí ya que, bajo nuestro punto de vista, un cambio en las orientaciones curriculares de un país, necesita de una reorganización adecuada y coherente de la formación del profesorado que llevará a cabo, en última instancia, esas nuevas orientaciones. Simon (2008) señala que un posible obstáculo para las nuevas reformas educativas en muchos países, reside en que los programas de formación de profesores no revisen y actualicen sus fundamentos (p. 17).
4 A lo largo del documento emplearemos este sistema para localizar secciones del mismo. Si, por ejemplo, indicamos §3.1.2, nos referimos al segundo epígrafe del primer apartado del tercer capítulo.
Competencias como Expectativas de Aprendizaje
Las diversas normativas legales derivadas de las recientes reformas educativas en España incluyen la noción de competencia como componente del currículo en todos los niveles del sistema educativo. Las competencias expresan un nuevo tipo de expectativas sobre el aprendizaje de los estudiantes, distinto al de los objetivos. La incorporación de las competencias ha implicado cambios importantes en la organización curricular para todo el periodo de la Educación obligatoria (Rico y Lupiáñez, 2008a).
La actividad docente del profesor no es ajena a este hecho, ya que existe una necesidad del profesorado de Educación obligatoria de evaluar, interpretar resultados de pruebas de diagnósticos institucionales, para posteriormente modificar su planificación de aula utilizado un modelo de competencias (Junta de Andalucía, 2006; 2008).
Estas nuevas orientaciones curriculares generan entre los diferentes agentes del sistema educativo, y sobre todo entre el profesorado cuestiones como las siguientes: ¿A qué se refiere el término competencia? ¿Qué es ser competente en matemáticas? ¿Cómo logran los escolares ser competentes en matemáticas? ¿Es posible evaluar la competencia?
Fuera del ámbito español, muchas de las cuestiones anteriores siguen teniendo cabida. Son varios los países que incorporan esta lectura de las expectativas de aprendizaje en forma de competencias en sus proyectos curriculares; gran parte de la responsabilidad de estas reformas, recae en la difusión de los resultados del informe PISA (Recio, 2008):
Los motivos para la irrupción de este polisémico vocablo, “competencia”, en el ámbito educativo son múltiples, pero, entre otros, hay que apuntar al impacto mediático de la difusión de los resultados de las pruebas internacionales conocidas como Informe PISA (…). Dichas pruebas evalúan determinadas componentes del rendimiento de los alumnos, su competencia, según cierto modelo teórico. La publicación, a finales de 2004, del Informe PISA 2003, (…) supuso el punto de partida para una auténtica explosión de pronunciamientos, publicaciones, eventos y, sobre todo, cursos de formación de profesores, relacionados con el papel de las competencias en la enseñanza. (p. 13)
Esta nueva corriente educativa basada en competencias ha traspasado el nivel de la Educación obligatoria, pues también constituye una noción central en los diseños curriculares universitarios del proyecto del Espacio Europeo de Educación Superior (EEES) a partir de la Declaración de Bolonia (Beneitone, Esquetini, González, Maletá, Siufi y Wagenaar, 2007).
En esta investigación acotamos el significado de competencia como un nivel de expectativa del aprendizaje escolar, desde un punto de vista curricular y lo relacionamos con otro nivel de expectativas que también tiene un importante peso en el currículo: el de los objetivos. Asimismo, describimos y caracterizamos unas herramientas para relacionar ambos niveles de
expectativas de cara a la planificación de la actividad del docente, y un diseño formativo para la formación inicial de profesores de matemáticas.
El Diseño y la Evaluación de un Programa de Formación Inicial de Profesores
Esta investigación se enmarca y da continuidad a las que se han venido realizando en el grupo FQM193 sobre formación de profesores. Algunas de esas investigaciones, como describiremos más adelante, se han centrado en la evaluación del programa de formación inicial de profesores al que nos hemos referido antes, y se han concretado en las tesis doctorales de Evelio Bedoya (2002), José Ortiz (2002) y Pedro Gómez (2007). En el epígrafe siguiente resumiremos la experiencia del grupo FQM193 sobre formación de profesores, y con más detalle describiremos esas tres investigaciones.
El problema de investigación que abordamos profundiza y avanza en el diseño
e implementación del programa de formación, y evalúa sus resultados en
términos del aprendizaje que desarrollan los futuros profesores que tomaron parte en él durante el curso 2008-2009.
Ese año, cursaron la asignatura 19 futuros profesores, que trabajaron en grupos de 4 o 5 integrantes. Cada grupo seleccionó un tema de matemáticas y durante
el desarrollo de la asignatura fue recabando y analizando información que les
llevó finalmente a elaborar una unidad didáctica sobre ese tema.
Como ya hemos señalado, nuestra investigación se enmarca en la formación de profesores, que constituye una línea importante de investigación en Didáctica de la Matemática, y más concretamente, en formación inicial. Por otra parte, damos continuidad a la actividad investigadora que en las últimas décadas se viene realizando en el grupo FQM193. Algunas de esas investigaciones se centran en la formación inicial de profesores de matemáticas de Educación secundaria. Esos trabajos se refieren al diseño e implementación de un programa de formación inicial, a distintas investigaciones que han evaluado algunos aspectos concretos de ese programa, a proyectos de investigación autonómicos y nacionales que han indagado sus fundamentos e implicaciones junto a otros modelos formativos similares al de Granada o a grandes proyectos internacionales de evaluación de programas formativos de profesores. En esta sección nos referiremos a estos antecedentes que contextualizan nuestra investigación.
3.1 Un Problema de Investigación Sobre Formación Inicial de Profesores
Diversos trabajos han puesto de manifiesto cómo la investigación sobre el profesor de matemáticas ha sufrido un desarrollo importante en las últimas décadas dentro de las investigaciones en Didáctica de la Matemática (Gómez, 2007; Sfard, Hashimoto, Knijnik, Robert y Skovsmose, 2004). Algunas de esas investigaciones centradas en el profesor se han preocupado del conocimiento
que un profesor adquiere y desarrolla en los programas formativos en los que se involucra. Por esta razón, en ocasiones los propios programas de formación son también objeto de investigación.
Gómez (2007), señala cuatro cuestiones que delimitan parcelas de investigación sobre la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria 5 :
1. ¿Qué caracteriza la actuación eficaz y eficiente del profesor en el aula de
matemáticas? 2. ¿Cuáles deben ser los conocimientos, capacidades y actitudes de un
profesor que actúa eficaz y eficientemente?
3. ¿Cómo se deben diseñar e implantar los programas de formación inicial de
profesores de matemáticas de secundaria de tal forma que se apoye y fomente el desarrollo de estos conocimientos, capacidades y actitudes?
4. ¿Qué caracteriza los procesos de aprendizaje de los futuros profesores de
matemáticas de secundaria que participan en este tipo de programas de formación inicial? (pp. 3-4)
En la revisión que le lleva a acotar esas cuestiones, Gómez parte de la noción de conocimiento pedagógico de contenido que Shulman (1986) introdujo para destacar que el éxito de un profesor, no se sustenta únicamente en un conocimiento profundo de la disciplina objeto de enseñanza y en algunas nociones pedagógicas. A partir de esa noción, Gómez destaca los trabajos de Cooney (1994), Simon (2000), Jaworski (2002), Ball (2002), y Kilpatrick (2003), que ponen de manifiesto cuestiones abiertas en la investigación sobre el profesor de matemáticas. Estas cuestiones tienen que ver con
la enseñanza que el profesor realiza en el aula, con el conocimiento y habilidades que pone en juego al hacerlo, con los procesos de aprendizaje en virtud de los cuales él desarrolla esos conocimientos y esas habilidades, y con los contextos de formación en los que se crean las oportunidades de aprendizaje para ello. (Gómez, 2007, p. 3)
La importancia del conocimiento matemático del profesor y de su conocimiento de las matemáticas escolares, también sigue siendo objeto de estudio (Gómez y González, 2008; Kulm, 2008; Hill, Rowan y Ball, 2005).
En la actualidad, la investigación sigue avanzando de cara a profundizar y dar respuesta a esas y otras cuestiones sobre el profesor de matemáticas y su formación. De hecho, en la revisión de la literatura reciente que hemos realizado, constatamos el interés por ese tipo de interrogantes. En estos momentos, podemos establecer cuatro áreas generales de interés.
La primera de ellas tiene que ver con el conocimiento y las creencias del profesor y cómo éstos pueden llevar a configurar un programa de formación de
5 Como veremos en este mismo capítulo, son varios los elementos comunes entre la investigación de Gómez (2007) y la que aquí presentamos. Uno de ellos es precisamente ese conjunto de cuestiones, ya que en nuestro trabajo tratamos de explorar, parcialmente, algunas de ellas (§1.4.1).
profesores. La segunda se concreta en cómo pueden llevarse a la práctica esos programas formativos. La tercera aborda el estudio de todos los agentes y participantes que toman parte en la formación de profesores, y la última se
concreta en el desarrollo profesional y la actividad del formador de profesores.
continuación, exploramos con algo más de detalle estas áreas prioritarias de
investigación sobre formación de profesores de matemáticas.
Conocimiento y Creencias 6 del Profesor
Estas investigaciones se centran en el rol del profesor de matemáticas, en las diferentes dimensiones que posee el conocimiento que debe dominar y en las creencias que puede considerar en relación a la enseñanza, además de las implicaciones de estos aspectos en la formación del profesor.
En la mayor parte de esos trabajos se retoman las categorías de Shulman y diversos autores las amplían o complementan con otras dimensiones como el análisis cultural del contenido (Boero y Guala, 2008) o con componentes antropológicas de los sujetos y las instituciones y con distintos tipos de discurso (Adler y Huillet, 2008).
Mason (2008), señala que la “esencia de la preparación necesaria y deseable para una enseñanza efectiva de las matemáticas” (p. 301), requiere de una transformación de la noción de conocimiento pedagógico del contenido, ya que usar esa noción como una lista de cualidades y dimensiones “sólo servirá para obscurecer lo que es esencial y central. Eso podría incluso contribuir a que los retos de la formación de profesores sean más difíciles de lo que ya lo son” (p.
En relación con el conocimiento matemático necesario para la enseñanza, Stacey (2008) señala que dicho conocimiento involucra cuatro componentes que deben ser parte de las finalidades de los programas de formación de profesores: (a) conocer matemáticas de un modo que tenga cualidades especiales para la enseñanza; (b) tener experiencias matemáticas en la resolución de problemas y modelizar el mundo real; (c) tener conocimiento acerca de las matemáticas, incluyendo su historia y los desarrollos actuales y (d) saber cómo enseñar matemáticas (p. 87).
Hill, Rowan y Ball (2005) destacan que “la eficacia en la enseñanza radica no sólo en el conocimiento que un profesor ha acumulado, sino también en cómo usa ese conocimiento en el aula” (pp. 375-376). Esta idea es defendida también por Ball, Bass y Hill (2004) quienes sostienen que “la enseñanza implica
6 En nuestra investigación no entramos en el campo de las creencias del profesor, y por eso en este apartado no describimos las relativas a ese aspecto. Sin embargo, como señala Lerman (2001), las creencias del profesor han constituido la línea de investigación predominante durante muchos años en los trabajos sobre profesores y sobre formación de profesores (p. 35). Dos trabajos de investigación centrados en creencias y contextualizados en un programa de formación de profesores cercano al que nosotros estudiamos en esta tesis son los que realizaron Pablo Flores en la Universidad de Granada (Flores, 1998), y Francisco Gil en la Universidad de Almería (Gil, 1999). Un estudio que también trata las creencias de futuros profesores de Educación primaria es el de Espinosa (2005).
establecer conexiones entre dominios matemáticos, ayudando a los escolares a construir relaciones en su conocimiento de manera coherente.” (p. 11)
Basándose en una revisión detallada de la literatura de investigación sobre formación de profesores, Leikin (2008) constata cuatro aspectos problemáticos interrelacionados en este ámbito. Uno de ellos tiene que ver con la necesidad de entremezclar 7 las diferentes componentes del conocimiento del profesor en su formación (p. 66).
Diseño e Implementación de un Programa de Formación de Profesores
Sowder (2007), se preocupa de dar significado a qué significa preparar profesores de matemáticas tanto en formación inicial como permanente. Para organizar su reflexión, caracteriza esa formación en términos del desarrollo profesional del profesor y plantea diez cuestiones, que explora con el soporte de elementos teóricos y de evidencias de la investigación reciente. Algunas de esas preguntas son:
1. ¿Porqué el desarrollo profesional ha llegado a convertirse en una prioridad para la consecución de las finalidades actuales de la educación matemática?
2. ¿Cuáles son los objetivos del desarrollo profesional?
4. ¿Cómo aprenden los profesores lo que necesitan conocer para enseñar matemáticas? (p. 158)
Otras investigaciones se centran en las diferentes herramientas y recursos que se pueden emplear en un programa de formación de profesores, para contribuir al desarrollo, de algunos de los conocimientos y capacidades destacados antes. La finalidad formativa es, por lo general, que esos formadores sean competentes para lograr una enseñanza eficaz de las matemáticas escolares.
Así, por ejemplo, algunas de esas investigaciones constatan que el uso de ejemplos de las respuestas de los escolares a determinadas tareas matemáticas escolares o de situaciones educativas, puede jugar un papel importante en los programas de formación, ya que introducen a los profesores en la variedad de posibles interpretaciones que los escolares pueden desarrollar acerca de las matemáticas escolares (Zazkis, 2008). Otros autores reflexionan sobre la relevancia de introducir, en esos programas formativos, elementos teóricos sobre las matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje (Tsamir, 2008).
La selección de las actividades que pueden realizar los profesores en el marco de esos programas, también es objeto de estudio. Perks y Prestage (2008) y Zaslavsky (2008), destacan la importancia de la selección de esas actividades para responder a las demandas y necesidades formativas de los profesores. Así
7 “To intermingle” en el texto original.
por ejemplo, Gómez y González (2009) ejemplifican las implicaciones que tuvieron, para el aprendizaje de algunos profesores en formación inicial, las actividades que llevaron a cabo durante un curso formativo.
Agentes Involucrados en la Formación Profesores
Son investigaciones centradas en los diferentes participantes y agentes que forman parte de la formación de profesores. Además de los propios profesores
en formación sobre, los que ya hemos hablado, también son objeto de estudio
las agrupaciones de éstos, los profesores en ejercicio, los formadores de profesores, las comunidades o redes formativas, los centros en los que se lleva
a cabo esas formaciones o los sistemas educativos y formativos en los que se enmarcan (Krainer y Wood, 2008).
Desde nuestra experiencia, el trabajo en grupo es primordial. Como señalan Bjuland (1999), McDougal y Nason (2005) y como ha constatado el propio Gómez (2007), las reflexiones de los futuros profesores cuando trabajan en pequeños grupos, juegan un papel central en su aprendizaje. Muchas de las nociones y herramientas que se introducen en los programas de formación
toman sentido para ellos cuando, en discusiones internas, se enfrentan a analizarlas, ejemplificarlas y usarlas. Es, en cierta medida, un tipo de aprendizaje colaborativo en donde los integrantes del grupo, que poseen un conocimiento y unas habilidades en principio heterogéneas, se ayudan entre sí
y facilitan entre ellos el aprendizaje y el desarrollo de determinadas
competencias (Fernández, 2007; Topping, 2005). Pero más allá del trabajo y del aprendizaje en grupo, la investigación reciente enfatiza el papel de las
Algunas de las investigaciones sobre la noción de comunidad de prácticas para el caso del aprendizaje de los profesores, destacan cómo emerge el aprendizaje
en esas comunidades tanto si se dan a nivel presencial (Lin y da Ponte, 2008),
como a nivel virtual (Llinares y Olivero, 2008; Borba y Gadanidis, 2008). Lerman y Zehetmeier (2008) analizan y contrastan ambos niveles, mientras que en Gómez (2007) y Gómez y Rico (2007), se describe con detalle el funcionamiento y la organización de una comunidad de práctica en el caso de grupos de futuros profesores de matemáticas de Educación secundaria, a partir del constructo de comunidad de práctica de Wenger (2008) 8 . Otros investigadores como Krainer (2003) y Leikin (2008), sostienen que, aunque es innegable el interés formativo que poseen las comunidades de práctica en el aprendizaje de futuros profesores, es difícil que un grupo de profesores en formación se constituya en una de estas comunidades dentro de un programa formativo.
8 En nuestra investigación no exploraremos el aprendizaje de los profesores desde una posición social o sociocultural, en el sentido que lo hace Gómez (2007). Simplemente, destacamos y constatamos las bondades del trabajo en grupo en el contexto de la formación inicial de profesores.
Sobre los Formadores de Profesores
Son investigaciones centradas en la profesión, en la fundamentación y en la práctica del formador de profesores. También tienen que ver con el desarrollo profesional del formador y sus implicaciones prácticas. Una revisión detallada de varios trabajos en estas áreas puede consultarse en Jaworski (2008).
3.2 Una Línea de Investigación en el Grupo FQM193
Desde su creación en 1988 con 18 investigadores andaluces, el grupo FQM193 ha ido creciendo tanto en integrantes como en prioridades de trabajo. En la actualidad lo conforman 27 investigadores de distintas universidades andaluzas
y las principales líneas de investigación son las siguientes:
• Aprendizaje, representación y construcción del conocimiento matemático.
• Calidad y evaluación de planes de formación.
• Competencias escolares en matemáticas.
• Diseño, desarrollo y evaluación del currículo de matemáticas.
• Formación de profesores de matemáticas.
• Historia y educación matemática.
• Investigación e indicadores de calidad en didáctica de la matemática.
• Teoría de la educación matemática - didáctica de la matemática.
Cada una de estas líneas ha dado a lugar a diferentes tesis doctorales, a la creación de grupos específicos que han profundizado en algunas de esas líneas
o a proyectos formativos y divulgativos sobre Didáctica de la Matemática. En
la Tabla 1, organizamos las diferentes tesis doctorales generadas en el seno del grupo FQM193 desde 1994 hasta la actualidad, según algunas de esas líneas de investigación. Obviamente la clasificación no es exhaustiva, ya que cualquier
investigación puede abarcar aspectos de diferentes líneas; lo que hemos hecho es destacar los principales énfasis de cada uno de los trabajos.
Tabla 1 Tesis doctorales de los integrantes del grupo FQM193 según líneas de investigación
Aprendizaje, representación y construcción del conocimiento matemático
Cañadas (2007); Castro (1994); Castro (1994); Fernández (1995); Molina (2007); Ortiz (1997); Romero (1995); Ruiz (2000); Scaglia (2000); Segovia (1995)
Calidad y evaluación de planes de formación
Bedoya (2002); Gairín (1998); Gómez (2007); Ortiz (2002); Ruiz (2000)
Diseño, desarrollo y evaluación del currículo de matemáticas
Castro (1994); Gómez (2007); Ortiz (1997); Romero (1995); Scaglia (2000); Segovia (1995)
Bedoya (2002); Espinosa (2005); Fernández (1995); Flores (1995); Gairín (1998); Gil (1999); Gómez (2007); Ortiz (2002); Ruiz (2000)
Maz (2005)
Investigación e indicadores de calidad en didáctica de la matemática
Torralbo (2001)
Cañadas (2007); Castro (1994); Castro (1994); Benavides (2008); Gairín (1998); González (1995); Molina (2007); Ortiz (1997); Romero (1995); Ruiz (2000); Scaglia (2000); Segovia (1995)
Benavides (2008); Cañadas (2007); Castro (1994); Espinosa (2005); Fernández (1995); González (1995); Ortiz (1997)
El trabajo con el modelo de los organizadores ha dado lugar varios tipos de producciones que han tenido y siguen teniendo un papel importante en la formación inicial y permanente del profesorado: la elaboración de materiales para el profesor. Estas producciones aparecen recogidas en dos colecciones de libros editadas por Editorial Síntesis: “Matemáticas: Cultura y Aprendizaje”, dirigida por Luis Rico, José María Fortuny y Luis Puig, y “Educación Matemática en Secundaria”, dirigida por Miguel de Guzmán y Luis Rico. Estas dos colecciones, junto al libro de Castro (2001a), ofrecen un amplio catálogo de temas de las matemáticas escolares analizados y ejemplificados desde los organizadores del currículo.
3.3 Un Programa de Formación Inicial de Profesores de Matemáticas de Secundaria
Desde 1987, el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada, viene impartiendo, ininterrumpidamente, una asignatura en el seno de la Licenciatura de Matemáticas. La asignatura concreta un programa de formación inicial sobre los conocimientos y capacidades propios de un profesor de matemáticas de Educación secundaria, que se sustenta también en el modelo
de los organizadores del currículo de matemáticas. Se trata de una asignatura 9 , diseñada e implementada por Luis Rico, cuyos fundamentos aparecen en su proyecto docente (Rico, 1992) 10 .
Esta asignatura se imparte en la actualidad como materia optativa de segundo ciclo (5º curso), con seis créditos. Esta configuración existe desde que en la Universidad de Granada se instauró el Plan 2000 para la Licenciatura de Matemáticas. Esta asignatura procede de una materia similar del anterior plan de estudios, aprobado en 1975, que se denominaba “Didáctica de la Matemática en el Bachillerato”, y era materia obligatoria de nueve créditos en la especialidad de “Metodología” del segundo ciclo de la Licenciatura de Matemáticas. La descripción detallada de la asignatura y de sus antecedentes la haremos en el capítulo 5.
Las renovaciones organizativas y estructurales de la propia Licenciatura de Matemáticas, las diferentes aportaciones de los distintos formadores que han participado en la asignatura y las continúas actualizaciones y evaluaciones en la propia selección de contenidos y tareas formativas, han hecho que la asignatura haya evolucionado de manera constante a lo largo de estos últimos años.
El análisis de las producciones de los grupos de futuros profesores a lo largo de los años ha tenido implicaciones importantes en el propio diseño de la asignatura. Esta evolución se puede observar en la programación del curso 2008-2009, (§5.5), en comparación con la del curso 2000-2001, que se describe con detalle en Gómez (2007, pp. 199-229).
Desde el curso académico 2004-2005, venimos trabajando sistemáticamente en la organización y estructuración del análisis cognitivo. En ese momento tomó forma la investigación que aquí presentamos. Cada año fuimos modificando e innovando las presentaciones y las tareas que planteábamos a los futuros profesores en relación con esta componente del análisis didáctico y evaluando su incidencia para las correspondientes revisiones en la programación del curso siguiente. Cada año, han sido objeto de detallado análisis y de contraste con las investigaciones recientes, las producciones de los grupos de futuros profesores a lo largo de la asignatura, sus planificaciones de unidades didácticas finales, así como las dudas y dificultades que manifestaron en clase y en tutorías con los formadores.
En términos globales, hemos analizado el trabajo de más de veinte grupos de profesores en formación, en los que estimamos han participado alrededor de cien alumnos, estudiantes de segundo ciclo de Licenciatura de Matemáticas. El material y la experiencia acumulados en estos últimos años se han presentado como informes de investigación y sometido a la crítica y revisión de la
9 A lo largo de todos estos años, han existido otras asignaturas en la Licenciatura de Matemáticas que también han contribuido a la formación de futuros profesores desde diferentes puntos de vista.
10 Como señala Gómez (2007), la Universidad de Almería (Moreno, 1998, pp. 51-62; 2007) y la Universidad de Cantabria (González, 2002, pp. 97-102) también vienen implementando un programa de formación con la misma finalidad y estructura muy similar al de Granada.
comunidad de investigadores en Didáctica de la Matemática en diferentes reuniones, congresos y seminarios. Algunos de estos estudios se han difundido en varias publicaciones (Gómez y Lupiáñez, 2007; Gómez, Lupiáñez, Rico y Marín, 2007; Lupiáñez, 2005; Lupiáñez, Rico, Gómez y Marín, 2005; Lupiáñez y Rico, 2006, 2008; Rico y Lupiáñez, 2008a).
La configuración actual de la asignatura y del análisis cognitivo, en particular, han alcanzado un nivel de desarrollo que ha permitido, en el curso 2008-2009, analizar profunda y exhaustivamente el dominio que los grupos de futuros profesores de matemáticas han alcanzado. Esto lo logramos al caracterizar e interpretar los cambios que muestran los profesores en formación en su conocimiento y sus capacidades relativas al aprendizaje escolar durante el proceso que estudiamos. Esto lo hemos constatado también en cursos de formación permanente de profesores.
Nuestra investigación se sustenta también en las evaluaciones que ya se han hecho de la asignatura y algunas de éstas han sido objeto de estudio por medio de otras tesis doctorales y algunos proyectos de investigación. A ellos nos referimos en el epígrafe siguiente.
3.4 Evaluación del Programa de Formación Inicial
Desde que en la última década del pasado siglo Luis Rico iniciara la línea de investigación centrada en la evaluación del modelo de los organizadores del currículo en un plan de formación de profesores de secundaria, se han llevado a cabo tres tesis doctorales en el seno del Grupo FQM193, dirigidas por el propio Luis Rico, que han abordado esa evaluación centrándose en diferentes aspectos del modelo, en contextos particulares y con objetivos específicos distintos. Estos trabajos son los de Bedoya (2002), Ortiz (2002) y Gómez (2007).
Por otro lado, varios investigadores, de diferentes universidades españolas, hemos llevado a cabo proyectos que se han centrado, al menos parcialmente, en
la evaluación del programa de formación.
A esas tesis doctorales y a esos proyectos de investigación, dedicamos el resto
de este epígrafe.
Cursos y Talleres que Evalúan el Modelo de los Organizadores del Currículo
Los profesores Evelio Bedoya, de la Universidad de Valle (Colombia) y José Ortiz, de la Universidad de Carabobo (Venezuela), llevaron a cabo el trabajo de campo para la realización de sus respectivas tesis doctorales, mediante una aplicación parcial del modelo de los organizadores del currículo, en formato de curso-taller, con grupos de profesores de matemáticas en cursos de formación inicial.
En el primer caso (Bedoya, 2002), el curso se centró en los organizadores:
sistemas de representación, estructura conceptual y nuevas tecnologías; el tema objeto de estudio sobre el que se centraron las actividades de los profesores en formación fue la función de segundo grado. En el segundo caso (Ortiz, 2002), el curso-taller se centró en los organizadores: modelización, estructura
conceptual y nuevas tecnologías; el tema objeto de estudio para programación de actividades didácticas por parte de los profesores en formación fue álgebra lineal y sistemas de ecuaciones. Las dos investigaciones utilizaron como recurso central, para estructurar los talleres y organizar las tareas de formación, la calculadora gráfica TI-92 de Texas Instruments. También ambas investigaciones evaluaron los dominios indicados del modelo de los organizadores del currículo y, de modo especial, los aprendizajes técnicos y tecnológicos sobre tales organizadores. Ninguno de ellos se centró, específicamente, en los aspectos teóricos del programa de formación inicial a que nos venimos refiriendo. Ambos estudios tienen en común evaluar el conocimiento didáctico 11 que desarrolla el grupo de futuros profesores que asiste al curso y a los talleres específicos, unas experiencias formativas diseñadas al efecto, fuera de la asignatura.
La evaluación final tenía por objeto valorar el desarrollo de tareas de motivación, desempeño y evaluación para el diseño de una unidad didáctica. Los cursos y talleres enfatizaban el papel de los diferentes organizadores en el diseño de tales tareas. Evelio Bedoya se centró en tareas relativas al contenido de la función cuadrática, con énfasis en los diferentes sistemas de representación que pueden usarse para su estudio y en el papel que pueden jugar las calculadoras gráficas. Por otro lado, José Ortiz se ocupó de tareas relativas al álgebra lineal y a los sistemas de ecuaciones, destacando los diferentes procedimientos relacionados con la modelización matemática, y también usó calculadoras gráficas (Ortiz, Rico y Castro, 2008).
En ambos estudios participaron estudiantes de la Licenciatura de Matemáticas de la Universidad de Granada y, precisamente, parte de su análisis se centró en las actitudes de estos estudiantes hacia las calculadoras gráficas, como recurso a disposición del profesor de matemáticas.
Estas dos investigaciones constituyen el comienzo de las evaluaciones del programa de formación inicial de profesores de matemáticas que se imparte en la Universidad de Granada. Dieron pie a otras investigaciones, como la que resumimos a continuación, y también a la nuestra.
La Investigación sobre el Aprendizaje de los Grupos de Futuros Profesores
Los trabajos de los profesores Evelio Bedoya y José Ortiz pusieron de manifiesto resultados muy significativos en relación al aprendizaje desarrollado por futuros profesores, en unas actividades formativas concretas. Además, en su investigación, José Ortiz, introdujo una reflexión sobre el significado de evaluar el modelo de los organizadores del currículo. En palabras de Gómez
(yo) debía trabajar dentro del mismo esquema de estos dos proyectos. Sin embargo, antes de aproximarme a la definición de mi problema de investigación (…) me pareció importante reflexionar sobre dos cuestiones:
11 En el capítulo 4 caracterizaremos el conocimiento didáctico y su relación con las competencias del profesor de matemáticas.
• ¿Qué es el modelo de los organizadores del currículo y qué papel juega dentro de la asignatura?
• ¿Cómo evaluar este modelo? (p. 9)
Estas cuestiones marcan la orientación de la investigación de Pedro Gómez que establecen cuatro diferencias con los dos trabajos anteriores. En primer lugar, se caracterizó el modelo de los organizadores del currículo en términos de las prioridades de un programa de formación inicial de profesores, y eso permitió “por un lado, hacer una descripción estructurada del diseño curricular de la asignatura y, por otro, avanzar en el fundamento de ese diseño” (p. 10). Con motivo de ese avance, Pedro Gómez desarrolló la noción de análisis didáctico 12 como procedimiento que, de manera ideal, debería realizar un profesor de matemáticas para “diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje” (Gómez, 2002, p. 257), en consonancia y coherencia con la noción de currículo que estructura el modelo de los organizadores. Asimismo, elaboró un significado operativo de la noción de conocimiento didáctico como el “conocimiento que el profesor pone en juego y construye cuando realiza el análisis didáctico” (p. 285).
En segundo lugar, Pedro Gómez centró su estudio en el aprendizaje que desarrollan los grupos de futuros profesores que cursan la asignatura, con objeto de explorar la eficacia del programa de formación. Por esta razón, la investigación se llevó a cabo en el contexto de la propia asignatura mientras él era uno de los formadores que la impartían, en el curso académico 2000-2001. Ya que en la mayor parte del tiempo los futuros profesores trabajan en grupos de 4 o 5 personas, se optó por estudiar el aprendizaje de los grupos de profesores. Como esta opción metodológica de la asignatura sigue vigente, en nuestra investigación también nos centramos en la actividad de los grupos de profesores. Algunas de las potencialidades y dificultades del trabajo con grupos de profesores en formación las describe Leikin (2008).
En tercer lugar, el foco de la investigación se puso en el proceso de aprendizaje más que en sus resultados:
yo me interesé en el carácter evolutivo de esos procesos de aprendizaje. (…) pensaba que, de esta manera, sería posible explorar, no solamente las dificultades que los grupos de futuros profesores tenían que afrontar en el tiempo, sino también describir y caracterizar los procesos en virtud de los cuales estas dificultades se consolidaban o se superaban y en qué medida ellos lograban los objetivos de la asignatura (p. 11)
Finalmente, concretó su trabajo en el análisis de contenido, con el objeto de explorar con suficiente detalle el conocimiento y las capacidades que desarrollan los grupos de futuros profesores sobre un aspecto determinado del temario de la asignatura.
12 En el capítulo 2 abordaremos una descripción más detallada del análisis didáctico y de los cuatro análisis que a su vez implica: el análisis de contenido, el análisis cognitivo, el análisis de instrucción y el análisis de actuación (Gómez, 2002, pp. 262-271).
Partiendo de estas características, y después de concretar las cuatro preguntas que enumeramos antes sobre formación de profesores de matemáticas (§1.3.1), Gómez (2007) enunció los objetivos generales de su investigación:
1. avanzar en la conceptualización de las actividades del profesor de matemáticas de secundaria, de su conocimiento didáctico y del diseño de planes de formación inicial, y
2. describir y caracterizar el desarrollo del conocimiento didáctico de los grupos de futuros profesores que participaron en la asignatura Didáctica de la Matemática en el Bachillerato del curso 2000-2001 con respecto a los organizadores del currículo correspondientes al análisis de contenido (p.
Aunque la investigación realizada por Pedro Gómez incluye otros aspectos que no hemos recogido aquí, lo presentado hasta ahora sirve de referencia para contextualizar nuestro trabajo.
Esta actividad continuada entre varios investigadores se ve refrendada en la consecución y puesta en marcha de diferentes proyectos de investigación, relacionados también con la formación de profesores, que describimos a continuación.
Proyectos para la Evaluación de Programas de Formación
Estos proyectos de investigación corresponden a dos grupos diferentes, tres que provienen de convocatorias ministeriales de I+D+i 13 y un cuarto proyecto internacional, para evaluar programas formativos de profesores de matemáticas.
En el proyecto Indicadores de Calidad para la Formación Inicial de Profesores de Matemáticas de Secundaria 14 (BSO2002-02799) nos propusimos desarrollar procedimientos metodológicos para evaluar la calidad de planes de formación inicial de profesores de matemáticas, teniendo en cuenta las condiciones que, desde la perspectiva de las competencias profesionales del futuro profesor, impone la convergencia hacia el Espacio Europeo de Educación Superior (Gómez, González, Gil et al., 2007; Gómez et al., 2006; González et al., 2006; González et al., 2004; Rico, Gil, et al., 2004; Rico et al., 2003). El trabajo desarrollado en este proyecto, permitió producir indicadores de calidad de programas de formación de profesores y puso de manifiesto lo complejo de la evaluación de programas formativos.
13 Investigación, Desarrollo e Innovación.
14 Dirigido por Luis Rico y conformado por Francisco Gil, María Francisca Moreno e Isabel Romero (Universidad de Almería); María José González (Universidad de Cantabria); Pedro Gómez y Jose Luis Lupiáñez (Universidad de Granada). Proyecto concedido a través de la Convocatoria de ayudas de Proyectos de Investigación de 2002 del Ministerio de Ciencia y Tecnología.
Por otro lado, en el proyecto Competencias Didácticas y Formación Inicial de Profesores de Matemáticas de Secundaria 15 (SEJ2005-07364/EDUC) estuvimos indagando cómo vincular, en un programa de formación inicial, las competencias profesionales del profesor en formación y las competencias matemáticas de los escolares, mediante el análisis didáctico y el modelo de los organizadores del currículo (Gómez y González, 2008; Gómez et al., 2008; Gómez, González y Lupiañez, 2007; Gómez y Lupiañez, 2007; Ortíz, Rico y Castro, 2008; Rico, Marín, Lupiañez y Gómez, 2008).
En la actualidad, participamos en el proyecto Competencias Profesionales del Maestro de Primaria en el Área de Matemáticas en Contextos de Formación Inicial 16 (EDU2009-10454EDUC). En este caso, nos preocupamos de establecer, definir y caracterizar las competencias profesionales que deben desarrollar los futuros profesores de matemáticas de Educación primaria, en el contexto de su formación inicial.
Finalmente, un proyecto importante en el que también participamos, es el TEDS-M (Teacher Education Study in Mathematics) de la IEA (Asociación
Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo), un estudio comparativo internacional sobre la formación inicial del profesorado de matemáticas en Educación Obligatoria (IEA–TEDS, 2006; Tatto, Schwille, Schmidt, Ingvarson y Beavis, 2006), cuyos resultados serán publicados en
El grupo FQM193 lleva a cabo la ejecución del proyecto en España 17 y con esta participación, perseguimos analizar y caracterizar: cómo es la formación inicial del profesorado de matemáticas en España, compararla con la de otros países y establecer posibles líneas de acción que contribuyan a mejorar dicha formación inicial. El estudio abre oportunidades para llevar a cabo investigaciones sobre el sistema de formación del profesorado español y, al mismo tiempo, aprender de los enfoques con que ésta se aborda en otros países. (TEDS-M España,
Nuestro grupo también participará en la continuación del proyecto TEDS-M a través del proyecto The First Five Years of Mathematics Teaching: A Follow- up of the Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-
15 Dirigido por Luis Rico y conformado por Francisco Gil, María Francisca Moreno e Isabel Romero (Universidad de Almería); María José González (Universidad de Cantabria); Pedro Gómez, Jose Luis Lupiáñez y Antonio Marín (Universidad de Granada). Proyecto concedido a través de la Convocatoria de ayudas de Proyectos de Investigación de 2005 del Ministerio de Ciencia y Tecnología. 16 Dirigido por Luis Rico y conformado además por María José González (Universidad de Cantabria); Pablo Flores, Pedro Gómez y Jose Luis Lupiáñez (Universidad de Granada). Proyecto concedido a través de la Convocatoria 2009 del Subprograma de Proyectos de Investigación Fundamental no orientada de Ministerio de Ciencia e Innovación.
17 Gracias a la consecución del Proyecto de Investigación de Excelencia “TEDS-M España” (P07-FQM-03244) en la convocatoria de 2007 que realizó la Dirección General de Investigación, Tecnología y Empresa de la Consejería de Innovación, Ciencia y Empresa de la Junta de Andalucía. La dirección del proyecto corre a cargo de Luis Rico, y se puede encontrar más información en http://www.ugr.es/~tedsm/
M), cuyo estudio de factibilidad está siendo evaluado actualmente por la National Science Foundation en Estados Unidos.
Toda esta experiencia acumulada, ha permitido delimitar y abordar un nuevo problema de investigación que, a continuación, pasamos a definir.
En los apartados anteriores, hemos constatado algunas prioridades actuales de
la investigación sobre formación de profesores. También hemos descrito cómo
se ha llevado a la práctica la investigación sobre formación de profesores en el grupo FQM193 y hemos ubicado nuestra investigación en esos dos contextos.
A continuación, hemos introducido las principales características del programa
de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria que venimos implementando en la Universidad de Granada y que ya ha sido objeto de estudio anteriormente desde diferentes puntos de vista. Finalmente, hemos resumido las líneas prioritarias de actuación de diferentes proyectos de investigación de los que hemos formado o formamos parte. Todos estos antecedentes nos permiten ubicar y delimitar nuestra investigación, tal y como hacemos a continuación.
En relación con el panorama actual internacional sobre la investigación en formación de profesores, nuestro trabajo se relaciona, al menos parcialmente, con dos de las principales líneas de interés. Tiene que ver con el conocimiento del profesor, porque nos ocupamos del conocimiento y las capacidades que desarrolla un grupo de profesores cuando lleva a cabo la planificación del aprendizaje de sus escolares en una unidad didáctica. También tiene que ver con el diseño y la implementación de programas de formación de profesores, ya que analizaremos cómo puede diseñarse y llevarse a la práctica un programa de formación inicial, junto con las herramientas conceptuales y metodológicas necesarias, para que los futuros profesores desarrollen ese conocimiento y esas capacidades.
Nuestra investigación da continuidad a los trabajos realizados en seno del grupo FQM193. Seguimos la línea de los trabajos centrados en la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria (Bedoya, 2002; Flores, 1998; Gil, 1999; Gómez, 2007; Ortiz, 2002) aunque, más concretamente, nos ubicamos con aquellos que se ocuparon de evaluar programas formativos basados en el modelo de los organizadores curriculares (Bedoya, 2002; Gómez, 2007; Ortiz, 2002). Todos estos trabajos, unidos al resto de producciones del grupo, nos permiten profundizar y avanzar en una de sus líneas prioritarias de investigación.
En relación con el programa formativo que se imparte en la Universidad de Granada, nuestro trabajo estudia uno de los aspectos centrales de dicho programa: el conocimiento de los profesores en formación para la planificación
del aprendizaje de los escolares en matemáticas, mediante el análisis cognitivo como parte del procedimiento establecido por el análisis didáctico y mediante los organizadores del currículo. Como ya se ha indicado y se detallará en el capítulo 5 de esta memoria, nuestra investigación tiene ese programa como objeto de estudio, es decir, la asignatura Didáctica de la Matemática que se imparte en la Licenciatura de Matemáticas de dicha Universidad.
Mediante el análisis didáctico, que se desarrolla en el capítulo 2, cada grupo de futuros profesores recaba y analiza información sobre un tema matemático específico, que les lleva finalmente a elaborar una unidad didáctica sobre ese tema. Uno de los análisis que estructuran y organizan el análisis didáctico, es el análisis cognitivo. En el análisis cognitivo, los grupos de futuros profesores abordan la problemática del aprendizaje de los escolares sobre el tema matemático que están analizando.
Nuestra participación en dos de los proyectos de I+D+i mencionados anteriormente han tenido especial incidencia en nuestro trabajo. Las discusiones y evidencias logradas en el primero de ellos, junto al avance de la tesis de Pedro Gómez (Gómez, 2007), enmarcan el contexto de la investigación que aquí presentamos. El segundo proyecto nos permitió delimitar, muy concisamente, las competencias profesionales de los profesores de matemáticas que deberían desarrollarse en un programa de formación, para lograr la alfabetización matemática de los escolares; también profundizamos en el significado de la noción de competencia matemática (Rico, 2007; Lupiáñez, 2005). Estos logros resultaron claves para el fundamento y la planificación de nuestra investigación (Lupiáñez y Rico, 2006, 2008; Rico y Lupiáñez, 2008a). Por otro lado, nuestro trabajo actual en el proyecto del Ministerio de Ciencia e Innovación y nuestra participación en los proyectos de la IEA, proporcionan un espacio de reflexión y un marco de fundamentos conceptuales y metodológicos con los cuales abordar la indagación sistemática del desarrollo de las competencias profesionales de futuros profesores de matemáticas.
Partiendo de estas premisas y de este contexto, podemos delimitar las preguntas que abordamos en nuestra investigación.
La primera pregunta que queremos abordar con nuestra investigación, considera el problema de la planificación del aprendizaje escolar en matemáticas. Más concretamente, es la siguiente:
¿Cómo puede afrontar el profesor el estudio y la planificación del aprendizaje de los escolares acerca de un tema matemático específico?
La anterior pregunta da lugar a una conjetura que sostiene que el análisis cognitivo, como parte del análisis didáctico, permite al profesor abordar la problemática del aprendizaje escolar de cara al diseño de unidades didácticas.
La segunda pregunta se centra en el diseño y puesta práctica de un programa de formación inicial:
¿Es posible diseñar e implementar el análisis cognitivo en un programa de formación inicial de profesores de matemáticas de Educación secundaria desde una perspectiva funcional?
Sostenemos como hipótesis una respuesta afirmativa a esa cuestión, que considera que la asignatura Didáctica de la Matemática puede satisfacer esos requerimientos enumerados.
Finalmente, la tercera pregunta de investigación introduce el estudio empírico de la misma.
¿Cómo desarrollan su competencia de planificación para las matemáticas escolares los grupos de futuros profesores que cursan ese programa formativo?
En este caso, la tercera pregunta nos lleva a una tercera conjetura: es posible describir y caracterizar el proceso de aprendizaje que siguen los grupos de futuros profesores que cursan la asignatura mediante un desarrollo natural de la misma.
Veamos a continuación cómo estas preguntas y las conjeturas e hipótesis que enunciamos, dan lugar a los objetivos generales y específicos de nuestra investigación.
De la primera pregunta anterior y en relación con la conjetura planteada, la caracterización del análisis cognitivo introduce el primero de los objetivos generales que afrontamos en esta investigación:
1. Conceptualizar el análisis cognitivo como procedimiento para la planificación sobre el aprendizaje escolar por parte del profesor de matemáticas en formación, en coherencia con el análisis didáctico.
Nuestra aproximación a la segunda pregunta se concreta en el diseño y la implementación del análisis cognitivo, en coherencia con el resto del análisis didáctico, en un programa de formación inicial de profesores de matemáticas de Educación secundaria y desde un enfoque funcional 18 . Esta hipótesis se aborda mediante nuestro segundo objetivo general de investigación:
Diseñar e implementar un programa de formación inicial que incorpore el análisis cognitivo desde una perspectiva funcional.
Para dar respuesta a la tercera pregunta, desde nuestra perspectiva, interesa evaluar la parte del diseño e implementación del programa de formación inicial a partir del estudio del aprendizaje logrado por los grupos de profesores que cursaron la asignatura en el curso 2008-2009. Esto concreta nuestro tercer objetivo de investigación:
18 En el capítulo 4 describimos cómo interpretamos un enfoque funcional de un programa de formación de profesores.
3. Identificar, describir y analizar el desarrollo de la competencia de planificación sobre aprendizaje escolar que muestran los participantes en el programa de formación inicial del curso 2008-2009.
En relación con el primero de los objetivos generales, que se centra en la caracterización del análisis cognitivo, consideramos tres objetivos específicos. Los dos primeros tienen que ver con la estructura del análisis cognitivo y su papel con el resto de análisis del análisis didáctico; el último pretende dotar un carácter funcional a esa estructura para los profesores en formación. Estos tres objetivos específicos son los siguientes:
1.1 Delimitar por medio de organizadores del currículo una estructura para el análisis cognitivo que permita planificar el aprendizaje de las matemáticas escolares desde una perspectiva funcional.
1.2 Enmarcar el análisis cognitivo dentro del análisis didáctico de manera coherente con el análisis de contenido y con el de instrucción.
1.3 Proporcionar una serie de conocimientos y capacidades a los profesores en formación basados en el análisis cognitivo y que contribuyan al desarrollo de su competencia de planificación sobre el aprendizaje escolar en matemáticas.
El segundo de los objetivos generales tiene que ver con el diseño y puesta en práctica de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria, que introduzca el análisis cognitivo. Por lo tanto, surgen de manera natural dos objetivos específicos:
2.1 Fundamentar un programa de formación inicial desde una perspectiva funcional que contemple el análisis cognitivo, en coherencia con el análisis didáctico, como procedimiento que contribuya a la competencia de planificación por parte de los futuros profesores.
2.2 Implementar ese programa de formación y dar oportunidad a la recogida de información sobre el desarrollo de esa competencia de planificación en los futuros profesores que lo cursen.
Finalmente, en relación con el tercer objetivo general y el desarrollo de la competencia de planificación de los grupos de profesores en formación, introducimos el estudio empírico de la investigación. Concretamos un curso académico y, por lo tanto, un grupo de fututos profesores con los que exploraremos el desarrollo de su competencia de planificación en relación al análisis cognitivo. Los objetivos específicos que perseguimos en este caso son entonces:
3.1 Identificar, describir y caracterizar el conocimiento y las capacidades que alcanzan los grupos de los futuros profesores acerca de las expectativas, limitaciones y oportunidades de aprendizaje de los escolares, durante el programa de formación del curso 2008-2009.
3.2 Emplear la información anterior para establecer el nivel de desarrollo de la competencia de planificación de esos grupos de futuros profesores, en lo que al aprendizaje de las matemáticas escolares se refiere.
En este primer capítulo hemos contextualizado y delimitado nuestra investigación para, finalmente, definir las preguntas, los objetivos generales y los objetivos específicos que nos proponemos abordar. El resto del documento, lo organizamos como sigue.
En el capítulo 2 avanzamos en el significado, los fundamentos y la estructura del análisis didáctico. En ese momento caracterizamos el análisis cognitivo, como parte del análisis didáctico, aunque la descripción detallada de los organizadores del currículo que aquél abarca la realizamos en el capítulo 3. Esas reflexiones proporcionan respuesta al primero de los objetivos generales que hemos planteado. También en el capítulo 3, describimos cómo un profesor puede llevar a cabo de manera ideal el análisis cognitivo y lo ejemplificamos en el caso del tema del sistema de los números naturales.
En el capítulo 4, analizamos lo que significa ser un profesor de matemáticas competente y lo relacionaremos con el conocimiento didáctico del profesor y con las capacidades que debe poner en juego un profesor para llevar a cabo el análisis cognitivo. Toda esa reflexión tiene importancia en el conjunto de nuestro trabajo, si bien la destacaremos especialmente en la parte empírica de la investigación.
En el capítulo 5 describimos la asignatura Didáctica de la Matemática en el curso 2008-2009. Antes, la relacionamos con sus antecedentes y revisamos sus principales fundamentos y finalidades. La descripción realizada en este capítulo, nos abre las puertas a la consecución del segundo objetivo general que hemos propuesto.
La consecución del tercer objetivo de nuestra investigación, requiere de un estudio empírico. Los fundamentos metodológicos de ese estudio y su organización, los describimos en el capítulo 6. Los capítulos 7, 8, 9 y 10, abordan diferentes facetas del estudio empírico; en cada uno de ellos, presentamos su finalidad, su estructura, su organización, su desarrollo y, además, un balance final de los principales resultados que aporta.
Las conclusiones finales de la investigación, para los tres objetivos generales propuestos, las exponemos en el capítulo 11. También allí llevamos a cabo un balance estratégico sobre los resultados obtenidos y planteamos algunas posibles líneas de continuidad.
Finalmente, en el capítulo 12, recogemos las referencias que hemos usado a lo largo de todos los capítulos previos. Adicionalmente, añadimos un segundo documento en el que listamos todos los anexos a los que hacemos referencia y que acompañan a esta memoria en CD.
EL ANÁLISIS DIDÁCTICO:
LA PLANIFICACIÓN DEL APRENDIZAJE DESDE UNA PERSPECTIVA CURRICULAR
En el primer capítulo hemos introducido el análisis cognitivo como parte de un procedimiento más complejo, denominado análisis didáctico. El análisis didáctico permite al profesor abordar el diseño, puesta en práctica y evaluación de actividades de enseñanza y aprendizaje. El análisis cognitivo se ocupa de la problemática del aprendizaje en dicho proceso de diseño. En nuestro caso, el diseño se lleva a cabo sobre lecciones, unidades didácticas y asignaturas de matemáticas de los ciclos escolares de educación secundaria.
En este capítulo contextualizamos el análisis didáctico en un marco curricular mediante un enfoque funcional de las matemáticas escolares. Eso permite presentar las finalidades que se persiguen y describir, de manera general, cada uno de los cuatro análisis que lo conforman, para después analizar con más detalle los que se ubican en la fase de diseño. Usaremos un tema de las matemáticas escolares para ejemplificar estos análisis y dedicaremos especial atención al análisis cognitivo, que es nuestro objeto de estudio. Esta reflexión permitirá abordar la primera de las preguntas de investigación que planteamos en el primer capítulo: ¿Cómo puede afrontar el profesor el estudio y la planificación del aprendizaje de los escolares acerca de un tema matemático específico?
El fundamento de este capítulo se sostiene en los trabajos previos de Rico (1992, 1995a, 1997a, 1997d) y Gómez (2002, 2007). Estos trabajos se centraron, fundamentalmente, en el desarrollo teórico y técnico de la noción de currículo, en la organización de sus dimensiones y niveles, en la caracterización de los organizadores del currículo y en la conceptualización del análisis didáctico. Con este capítulo avanzamos y profundizamos en varios de esos aspectos.
En primer lugar, caracterizamos nuestra visión curricular y funcional de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y, basándonos en esa visión,
presentamos a continuación la estructura general del análisis didáctico. El resto del capítulo lo dedicamos a cada uno de los cuatro análisis que lo conforman, para, finalmente, reflexionar sobre el papel del análisis didáctico en un programa de formación inicial de profesores.
1. UNA VISIÓN CURRICULAR Y FUNCIONAL DE LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE
El análisis didáctico, como una herramienta para el diseño de unidades didácticas, se articula en torno a los organizadores del currículo. Es evidente, por lo tanto, que nuestra visión de la planificación escolar que realizan los docentes está indisolublemente unida a la noción de currículo, sobre la que hemos hablado en el primer capítulo.
Las recientes directrices educativas en distintos niveles: a nivel autonómico (Junta de Andalucía, 2007, 2008), a nivel nacional (Ministerio de Educación y Ciencia 2006a, 2006b, 2006c, 2007a, 2007b), a nivel internacional en varios países como Bélgica (Denyer et al., 2007), Canadá (Ministerio de Educación de Ontario, 2005; Scallon, 2004), Perú (Ministerio de Educación de Perú, 2001), Portugal (Abrantes, 2001), o Chile (San Martín, 2001), unidas a estudios de evaluación internacionales como PISA 19 (OCDE, 2005a), han hecho que la noción de currículo reciba un nuevo impulso y una nueva orientación que, en el caso de las matemáticas, enfatiza el carácter funcional de esta disciplina escolar.
Nuestra noción de currículo y lo que entendemos por enfoque funcional de las matemáticas escolares son dos elementos claves en la caracterización del análisis cognitivo. Por esta razón, dedicamos este epígrafe a presentar nuestra conceptualización de ambas nociones.
Un currículo es una propuesta de actuación educativa, que en el caso de las matemáticas, puede considerarse como un “plan de formación en matemáticas para los niños, jóvenes y adultos que tiene lugar en el sistema educativo de un país” (Rico y Lupiáñez, 2008, p. 34). Como elemento que relaciona la organización y legislación educativas con la actividad docente del profesor, un currículo, como plan formativo, ha de atender a cuatro cuestiones centrales (Rico, 1997a):
1. ¿Qué formación? ¿Con cuál conocimiento?
2. Esa formación, ¿para qué? ¿Qué aprendizaje persigue?
3. ¿Cómo llevar a cabo la formación?
4. ¿Cuánta fue la formación? ¿Qué resultados se obtuvieron?
19 Programme for International Student Assessment.
El Análisis Didáctico…
Rico (Op. cit.) detalla esas cuatro cuestiones y justifica cómo delimitan cuatro dimensiones que permiten llevar a cabo una reflexión y organización curricular. Estas dimensiones, interconectadas entre sí, son la dimensión cultural y conceptual, la dimensión cognitiva, la dimensión ética o formativa y la dimensión social. Además, cada una de esas dimensiones, se puede describir desde diferentes niveles dependiendo de las personas o las instituciones involucradas y del grado de concreción. De esta manera, la noción de currículo puede organizarse de acuerdo a dimensiones y niveles (ver Tabla 2).
Tabla 2 Dimensiones y niveles de la noción de currículo (Rico, 1997a, p. 409)
Dimensión cultural y conceptual
Dimensión cognitiva o de desarrollo
Dimensión ética o formativa
Nivel teleológico o de los fines
Fines formativos
Nivel de las disciplinas académicas
Nivel de planificación para los profesores
Nivel del análisis didáctico (Gómez, 2007, p. 20)
El concepto de currículo admite una variedad de aproximaciones, que se derivan de las prioridades establecidas en las dimensiones y en los niveles de reflexión. Constituyen dos aspectos importantes para el estudio de la noción de currículo, y brindan un modelo que proporciona un fundamento para trabajar en el currículo de matemáticas (Rico, 1997a).
Entendemos que la perspectiva curricular para la educación matemática consiste en estudiar y trabajar sobre los planes que organizan y desarrollan la educación mediante las matemáticas, a partir del esquema de niveles y dimensiones establecido para el concepto de currículo. (Rico y Lupiáñez, 2008a, pp. 40-41)
Si nos situamos en el nivel de planificación del profesor, las componentes en las que se concreta el currículo en cada una de sus dimensiones son los contenidos,
los objetivos, la metodología y la evaluación. Estas son las cuatro componentes tradiciones del currículo que debe manejar el profesor; el modelo de los organizadores del currículo le suministra una serie de herramientas con las que abordar el estudio de esas cuatro componentes del currículo de cara al diseño de actividades de enseñanza y aprendizaje.
Cuando Gómez (2007) afrontó el estudio y la revisión del modelo de los organizadores del currículo, conceptualizó el procedimiento del análisis didáctico para el diseño, puesta en práctica y evaluación de unidades didácticas sobre temas matemáticos específicos. Mediante ese procedimiento, para cada tema de matemáticas, el profesor puede dar respuesta a cuestiones como: ¿Qué conocimientos? ¿Para qué esos conocimientos? ¿Cómo lograrlo? ¿Qué se logra?
El análisis didáctico introduce un nuevo nivel de reflexión curricular, centrado en la actividad del profesor como responsable del diseño, implementación y evaluación de temas de la matemática escolar y que, en correspondencia con las cuatro dimensiones del currículo, propone cuatro componentes: el análisis de contenido, el análisis cognitivo, el análisis de instrucción y el análisis de actuación (ver última fila de la Tabla 2).
El análisis cognitivo se sitúa en la dimensión cognitiva del currículo. Al observar el resto de componentes de esta dimensión en niveles más generales al del análisis didáctico, podemos delimitar algunos descriptores para el análisis cognitivo. Este análisis tiene que ver con los fines formativos, que se preocupan del desarrollo intelectual de los escolares, de su aprendizaje. En el caso de las matemáticas, la propia naturaleza de la disciplina contribuye de manera especial al desarrollo formativo de los escolares con capacidades como las siguientes (Rico, 1990) 20 :
1. la capacidad para desarrollar el pensamiento del alumno, que se alcanza al determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias y, en definitiva, potenciar el razonamiento y la capacidad de acción simbólica;
2. la capacidad para promover la expresión, elaboración y apreciación de patrones y regularidades, así como su combinación para obtener eficacia o belleza; la habilidad para el uso de esquemas y representaciones gráficas, el diseño de formas artísticas y la apreciación y creación de belleza;
3. la capacidad para incentivar y facilitar la participación de cada alumno en la construcción de su propio conocimiento;
4. la capacidad para estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la participación y colaboración, la comunicación, discusión y defensa de las propias ideas, para asumir la toma conjunta de decisiones;
5. la potencialidad para desarrollar el trabajo científico y para la búsqueda, identificación y resolución de problemas.
Algunos investigadores reconocen la importancia de la reflexión sobre las
20 Como veremos más adelante, en estos enunciados se reconocen los principales descriptores de las competencias matemáticas elaboradas en el marco del proyecto PISA (OCDE, 2005a).
finalidades por parte de los profesores. Vinner (2008), sostiene que la formación de profesores debe ir más allá del trabajo específico en matemáticas, para considerar también los valores que promueven las finalidades de la educación.
El aprendizaje en general y el aprendizaje de las matemáticas en particular,
vertebran el análisis cognitivo. En el nivel curricular de las disciplinas académicas, las teorías del aprendizaje exploran cuestiones como ¿en qué consiste el aprendizaje? ¿es resultado de una evolución, efecto de la instrucción o de ambas? ¿cómo se produce? Al situarnos en las matemáticas, estas preguntas se pueden resumir en ¿cómo se caracteriza el aprendizaje de las matemáticas? (Rico
y Lupiáñez, 2008a).
Las posibles respuestas a estas cuestiones inciden de manera directa en el alumno, en el sujeto que aprende. En el nivel curricular del sistema educativo es el alumno el que ocupa un lugar central en relación con el aprendizaje y con los fines formativos. Es el principal agente en la dimensión cognitiva del currículo y, como veremos más adelante, el análisis cognitivo se articula en torno a su aprendizaje.
Una parte importante en el aprendizaje del alumno se determina cuando el profesor concreta lo que pretende que el alumno aprenda, es decir, cuando
organiza y estructura las expectativas de aprendizaje que tiene para sus escolares. Tradicionalmente, en el nivel curricular de la planificación del profesor, estas expectativas se han concretado en objetivos de diferentes niveles de generalidad
y amplitud. Pero en la actualidad, la noción de competencia ha irrumpido con
fuerza en las directrices curriculares estableciendo un nuevo nivel de expectativas de aprendizaje, con una fuerte relación con los objetivos, pero con marcadas diferencias 21 .
Esta noción de competencia también ha realzado un enfoque funcional de las matemáticas en el currículo escolar; en torno a él centramos nuestra reflexión en los siguientes epígrafes.
No cabe duda que los resultados mostrados en el proyecto PISA en 2003 (OCDE, 2005a) tuvieron una alta repercusión mediática y social merced, sobre todo, a los aparentemente bajos resultados de los alumnos españoles en las diversas disciplinas y, entre ellas, en matemáticas. Los resultados de la aplicación de 2006 generaron un debate similar desde que comenzaron a hacerse públicos (El País, 2007; Ministerio de Educación y Ciencia, 2007c). Pero esta repercusión ha ido más allá pues, en nuestra opinión, ha incidido en las nuevas orientaciones curriculares a cuyo desarrollo estamos asistiendo actualmente. No sólo por el predominante papel que desempeñan las competencias como caracterizadoras de las expectativas de aprendizaje, sino que, en el caso de las matemáticas escolares, ha llevado a expresar un claro énfasis en el papel funcional del conocimiento matemático (Lupiáñez, 2008).
21 Exploraremos la relación entre objetivos y competencias en el capítulo 3.
Este enfoque funcional posee unas características y unas prioridades que lo distinguen de otros posibles. En Rico y Lupiáñez (2008a, pp. 175-183) describimos otros tres enfoques posibles para las matemáticas escolares, que se han visto refrendados con programas educativos y propuestas curriculares en diferentes momentos y países. Estos enfoques son los siguientes:
• Enfoque instrumental o tecnológico, centrado en el dominio y uso de hechos, destrezas y conceptos básicos, que se toman como herramientas.
• Enfoque estructural o técnico, donde el conocimiento consiste en un sistema estructurado de reglas y conceptos, formalizado y basado en la deducción.
• Enfoque funcional, donde el conocimiento permite modelizar situaciones reales y está orientado a la resolución de cuestiones y problemas en diferentes contextos.
• Enfoque integrado, donde el conocimiento es un objeto de actividad intelectual autónoma, creación e interacción en diversidad de situaciones y contextos.
Estos diferentes enfoques conducen a distintos modelos de currículo, que muestran distintas opciones de planes de formación según los conocimientos que destacan, el tipo de pensamiento que en cada caso se promueve, el peso de la argumentación y de las relaciones de comunicación, la complejidad y diversidad de capacidades contempladas en cada caso, entre otros.
Esos modelos curriculares contemplan y proponen respuestas tanto para las necesidades que proceden de los fines formativos, como para las que provienen de los fines sociales. La Tabla 3 sintetiza algunos descriptores para esos enfoques según sus finalidades formativas y sociales. Para describir las finalidades formativas e individuales señalamos el tipo de conocimiento que destacan en cada caso, uso de los sistemas de representación y orientación que se imprime al aprendizaje. Para describir las finalidades sociales y culturales hemos tenido en cuenta prioridad de procedimientos y usos convenidos, relaciones de comunicación, expectativas de aprendizaje y utilidad y ámbito de aplicación de los aprendizajes alcanzados.
Tabla 3 Caracterización de los enfoques de las matemáticas escolares (p. 180)
Finalidades formativas e individuales
Finalidades sociales y culturales
Conocimiento dirigido al logro de aprendizaje de hechos concretos y destrezas en técnicas singulares.
Conocimiento de las representaciones convencionales.
Formación dirigida al conocimiento de conceptos básicos y al dominio de reglas.
Prioridad por el dominio de técnicas y algoritmos útiles.
Interés por la seguridad, precisión y rapidez individuales.
Desarrollo de conductas y logro de objetivos específicos.
Dominio de los usos básicos y convencionales de los conceptos
Conocimiento dirigido al dominio de conceptos, estructuras, técnicas y razonamientos formales.
Sistemas de representación diversos y conexión entre ellos.
Formación dirigida hacia el dominio formal de razonamientos y técnicas matemáticas
Prioridad por el dominio de relaciones y propiedades.
Importancia de la precisión y el rigor en la comunicación.
Desarrollo de competencias profesionales específicas.
Desarrollo de trabajo experto en la comunidad matemática
Conocimiento centrado en el desarrollo de estrategias cognitivas propias.
Uso de distintas representaciones para dar respuesta a una cuestión.
Formación dirigida a mejorar el pensamiento del alumno y dotarle de cierta autonomía
Técnicas de modelización para el planteamiento y resolución de problemas en contexto.
Capacidad de hacerse entender; énfasis en la argumentación.
Desarrollo de competencias matemáticas y su aplicación en diversos contextos.
Desarrollo del trabajo en equipo y del pensamiento funcional
Conocimiento y dominio de estrategias metacognitivas.
Formación basada en la creatividad y en la valoración de la belleza de las representaciones matemáticas.
Cultivo de la imaginación y la curiosidad por las matemáticas.
Uso de heurísticos y resolución de problemas abiertos.
Importancia de argumentar y justificar las propias ideas.
Diversificación de competencias
Capacidad para interactuar en una diversidad de contextos.
Desarrollo del pensamiento crítico y de la autonomía intelectual
Como señala Rico (2007a), cualquier pensamiento científico (que da respuesta al por qué), integra tres dimensiones. Una dimensión conceptual, que da respuesta a qué; otra operativa que responde a cómo y una funcional, que da respuesta a para qué.
Según el enfoque funcional de las matemáticas escolares, los conceptos y procedimientos matemáticos tienen un para qué, sirven para algo, pues las nociones matemáticas constituyen herramientas mediante las que actuamos para dar respuesta a cuestiones, problemas e interrogantes. En el resto de enfoques el foco de aplicación es, casi exclusivamente, la propia matemática. Esta perspectiva funcional se concreta más en cómo los escolares pueden utilizar lo que han aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana, que en controlar qué contenidos del currículo han aprendido. Es obvio que para abordar la resolución de problemas se requieren un conocimiento teórico y un dominio técnico, pero el carácter funcional en las matemáticas propugna que no sean sólo esos los aspectos que se tengan en cuenta en la Educación obligatoria, sino que se persiga, además, que los escolares sean capaces de poner en juego y aplicar ese conocimiento y ese dominio técnico para resolver problemas en una variedad de situaciones.
Esta visión de la matemática retoma discusiones y planteamientos que en diferentes momentos de la historia de la Educación Matemática han ocupado un lugar preponderante. Cuando D’Ambrosio (1979) reflexionó sobre los fines de la educación matemática en el marco del ICME 22 III, puso de manifiesto dos puntos de vista que permiten organizar y entender esos fines: utilitario, que tiene que ver con la dimensión social del currículo, y especulativo que alude a la dimensión conceptual y cultural.
El punto de vista utilitario tiene que ver con la necesidad de formar individuos competentes en matemáticas para llevar a cabo actividades científicas y tecnológicas. El punto de vista especulativo se relaciona, por el contrario, con el desarrollo de conocimientos que permitan resolver problemas y que fomenten el aspecto creativo de las matemáticas (Rico y Lupiáñez, 2008).
El primer punto de vista se sostiene en una visión de las matemáticas como cuerpo utilitario de técnicas y habilidades, pensado y diseñado para satisfacer necesidades laborales y sociales. El segundo, las considera proveedoras de modelos de pensamiento y de lenguaje, necesarios para simular y abordar los fenómenos y problemas a partir de los cuales se generan nuevos conocimientos. Después de la intervención de D’Ambrosio (1979), la tarea primordial de la educación matemática fue el logro simultáneo de esos dos fines (Rico y Lupiáñez, 2008).
Romberg (1991) sostiene que, además de por razones formativas intrínsecas que son importantes y válidas, la educación matemática también posee un carácter funcional que es necesario:
La meta más frecuentemente declarada de la enseñanza de las matemáticas es que tanto para los alumnos como para la sociedad las matemáticas satisfacen una necesidad “funcional de gran alcance”. (…) Las escuelas son el mecanismo esencial de transformación entre la vida familiar y la vida adulta en una moderna sociedad industrial urbana» (Feinberg y Soltis, 1985, p. 18). El
22 Internacional Congress on Mathematical Education.
argumento es que las escuelas deben preparar a los alumnos para que puedan ser ciudadanos productivos en la sociedad. Por ejemplo, Paul Trafton (1980) afirma: “Sabemos que la aritmética es necesaria para dirigir nuestros asuntos personales y las exigencias de muchas profesiones que utilizan sólo una modesta cantidad de matemáticas” (p. 11). A continuación declara que “la formación
especializada de las matemáticas es un requisito previo esencial para el estudio
Un estudio cuidadoso de muchas carreras y
de sus requisitos matemáticos nos hace ver la importancia que tiene un conocimiento sustancial de las matemáticas para todos los alumnos” (p. 11). Aunque no cabe duda de que muchas ocupaciones dependen de la formación matemática, también es cierto que quienes finalmente aplican unas matemáticas relativamente sofisticadas serán una pequeña minoría entre los que no aplicarán las matemáticas en absoluto. (p. 337)
Este enfoque funcional de las matemáticas ha tenido en los últimos años un fuerte resurgimiento que ha estado influenciado por el proyecto PISA de la OCDE (2005a). Este proyecto se focaliza en el estudio de la alfabetización matemática de los escolares al término de su formación obligatoria. Esta noción de alfabetización matemática se concreta, no tanto en términos del currículo escolar, como en el de aquellos conocimientos y destrezas que son necesarios para la vida adulta. La alfabetización matemática, se refiere a las “capacidades individuales de los estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas en una variedad de dominios y situaciones” (Rico, 2005, p. 14).
de una amplia gama de disciplinas
Las recientes orientaciones y directrices curriculares a las que nos hemos referido al inicio de este capítulo, también han retomado la visión funcional de las matemáticas. Se hace explícita la necesidad de formar a nuestros escolares de manera que sean capaces de afrontar la resolución de problemas en diferentes situaciones y contextos y esa necesidad formativa, se expresa en términos de competencias.
El desarrollo de la competencia matemática (…) supone aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas adecuadas e integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y para enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad. (Ministerio de Educación y Ciencia, 2007b, p. 31689).
Conviene señalar que no todas las formas de enseñar matemáticas contribuyen por igual a la adquisición de la competencia matemática: énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea o la misma selección de estrategias para la resolución de un problema, determinan la posibilidad real de aplicar las matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a distintas situaciones de la vida cotidiana. (pp.
31790-31791).
Competencia matemática: conjunto de conocimientos, destrezas y actitudes necesarios para analizar y comprender las situaciones de la vida real, identificar conceptos y procedimientos matemáticos aplicables, razonar sobre las mismas, generar soluciones y expresar los resultados de manera adecuada. (Junta de Andalucía, 2006, p. 11).
Esta relación entre competencia matemática y matemática funcional se hace visible en otros documentos. Onrubia, Cochera y Barberá (2001) describen que el aprendizaje que se promueva en la escuela debe ser tal que
permita a los estudiantes enfrentarse a las demandas de su entorno social y cultural en sus diferentes esferas: educativa y laboral, privada, social y
actuar como ciudadanos competentes, activos, implicados y críticos:
capacidades de pensamiento autónomo e independiente, de exploración e indagación, de pensamiento divergente y creativo, de identificación y resolución de problemas diversos, de modelización de situaciones extra-matemáticas reales, de análisis y valoración de los usos y roles de las matemáticas en el contexto social, y de comprensión de las nuevas tecnologías de la información en relación con las matemáticas. (p. 497)
comunitaria. (…) (que contribuya) a su desarrollo y socialización (
No vamos a entrar, en este momento, en el análisis del concepto de competencia,
pero sí queremos destacar su papel en el currículo de matemáticas y su énfasis en
enfoque funcional de las matemáticas. Como veremos en el capítulo 3, aunque
término competencia admite varios significados e interpretaciones, es posible
delimitar una serie de descriptores comunes a muchos de ellos y, además que promueven un marcado carácter funcional de las matemáticas.
Desde el punto de vista de la actividad docente del profesor, este enfoque funcional del currículo requiere de un diseño cuidado y detallado de las
matemáticas escolares de cara al aprendizaje de los escolares; sobre todo porque, a diferencia de otros enfoques, no toma como hilo conductor de la planificación
la secuencia tradicional o lógica del propio contenido.
A continuación presentamos el análisis didáctico como un procedimiento que,
fundamentado en la noción de currículo y promoviendo un enfoque funcional, permite al profesor lograr ese propósito.
La noción de análisis didáctico es recogida en la investigación en Didáctica de la Matemática con diferentes significados (Gómez, 2007, p. 19) 23 . De entre todos los posibles, nosotros lo consideramos como un procedimiento de diseño, desarrollo y evaluación para un tema matemático concreto, fundamentado en la
23 Pedro Gómez señala que en Septiembre de 2005 aparecían unos 9300 resultados en Google con los términos “análisis didáctico” o “didactical analysis” y que eso indica que es una expresión genérica (Gómez, 2007, p. 19). Pero lejos de disminuir, en Enero de 2009 aparecían más de 12200 resultados, con lo que sigue patente la variedad de acepciones posibles.
noción de currículo, sostenido por los organizadores curriculares y, en nuestro caso, orientado mediante un enfoque funcional de las matemáticas escolares.
El análisis didáctico se sitúa como un nivel de reflexión del currículo (ver Tabla 2) y está directamente relacionado con la actividad del profesor. En el capítulo anterior lo definimos usando los términos de Gómez (2002) como procedimiento que, de manera ideal, debería realizar un profesor de matemáticas para “diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje.” (p. 257). Por actividades de enseñanza y aprendizaje entenderemos el conjunto de actuaciones de un profesor en un periodo limitado, pero más o menos amplio, en el que trabaja sobre un tema específico de matemáticas con unos escolares de un nivel determinado. Así por ejemplo, el análisis didáctico puede ponerse en juego para diseñar unas cuantas horas de clase, o toda una unidad didáctica sobre el tema en cuestión.
Aún dentro de esta caracterización, el significado del análisis didáctico que consideramos en nuestra investigación se ha visto sujeto, y lo sigue haciendo, a variaciones y matizaciones que surgen de su implementación en un programa de formación inicial de profesores, de las continuas discusiones con compañeros interesados en este tipo de formación y por la ejecución de proyectos de investigación centrados en la estructura, las expectativas, la ejecución y la evaluación de esos programas formativos.
En el contexto de nuestro trabajo, limitaremos el procedimiento del análisis didáctico al diseño, puesta en práctica y evaluación de unidades didácticas 24 . Consideraremos una unidad didáctica como una “unidad de programación y actuación docente constituida por un conjunto de actividades que se desarrollan en un tiempo determinado para la consecución de unos objetivos específicos” (Segovia y Rico, 2001, p. 87). Por tanto, en nuestra investigación el análisis didáctico tiene dos particularidades:
• Es específico para cada tema de matemáticas; y
• se realiza para una planificación de un tiempo determinado de enseñanza sobre ese tema.
El análisis didáctico se estructura y articula a su vez en torno a cuatro análisis, mediante los cuales es posible analizar y describir un tema de matemáticas para
24 Este significado es el que manejaremos de aquí en adelante, pues ese nivel de concreción nos parece acertado. Sin embargo, aunque no con una definición tan acotada, diferentes trabajos realizados en el seno del grupo FQM193 anteriores al de Pedro Gómez, adelantaban este significado con una interpretación muy cercana. Por ejemplo, en Rico y Gutiérrez (1994) se recogen las discusiones y debates de un seminario celebrado en Granada en 1993 sobre la formación científico-didáctica del profesor de matemáticas de secundaria. Una parte de las sesiones se centraron en las variables que debería incluir el análisis didáctico para estudiar los contenidos de las matemáticas escolares (Carrillo y Marín, 1994, pp. 43-50). Por otro lado, las colecciones de libros editados por Síntesis, a las que ya nos hemos referido antes (“Matemáticas: cultura y aprendizaje” y “Educación matemática en secundaria”), usan un esquema para el tratamiento de los temas de matemáticas de Educación obligatoria que sigue el esquema de organizadores, en el que sustenta en análisis didáctico tal y como lo manejamos en esta investigación.
constituirlo como objeto de enseñanza. Estos cuatro análisis corresponden a cada una de las dimensiones del currículo (Tabla 2) y, como señalamos antes, son: el análisis de contenido, el análisis cognitivo, el análisis de instrucción y el análisis de actuación (Gómez, 2007, p. 29).
Como veremos más adelante, cada uno de estos análisis aborda aspectos diferentes, pero centrales y muy relacionados, del proceso de diseño, puesta en práctica y evaluación de las matemáticas escolares. Más concretamente, los tres primeros análisis se ocupan del diseño, mientras que el análisis de actuación se centra en la puesta en práctica, implementación y la posterior evaluación de los resultados obtenidos. En este sentido, el análisis de contenido, el cognitivo y el de instrucción son análisis a priori, mientras que el de actuación es a posteriori.
En el análisis de contenido, situado en la dimensión cultural y conceptual del currículo, el profesor identifica, selecciona y organiza los significados de los conceptos y procedimientos de un tema matemático que considera relevantes a efectos de su planificación como contenidos escolares aptos para la instrucción. La revisión y organización de los conceptos y procedimientos que conforman ese tema, el modo en que esos conceptos y procedimientos pueden representarse y la organización de los fenómenos y problemas a los que pueden dar respuesta, delimitan los organizadores del currículo que conforman del análisis de contenido.
El análisis cognitivo, ubicado en la dimensión cognitiva del currículo, aborda la problemática del aprendizaje de ese tema matemático por parte de los escolares. Desde un planteamiento constructivista (Coll, 2002), el profesor, a partir de la información obtenida en el análisis de contenido previo y del conocimiento sobre matemáticas escolares y sobre su aprendizaje, enuncia y organiza expectativas de aprendizaje sobre ese tema matemático. También analiza aquellas limitaciones que pueden interferir el aprendizaje, y organiza la selección de tareas que les suministrará a los escolares las oportunidades de aprender.
En el análisis de instrucción, el profesor selecciona, diseña y secuencia las tareas que empleará en la instrucción para lograr las expectativas de aprendizaje que ha concretado anteriormente. También analiza los diferentes materiales y recursos que podrá emplear en sus clases y delimita los criterios y los instrumentos de evaluación.
El último de los análisis, el de actuación, se lleva a cabo después de implementar la unidad didáctica y le sirve al profesor para recabar información acerca de: la medida en que se han logrado las expectativas de aprendizaje establecidas, la funcionalidad de las tareas empleadas o la bondad de las herramientas de evaluación puestas en juego. Esta información es útil de cara a la próxima implementación de la unidad diseñada o al inicio de la planificación del tema siguiente.
Esta descripción permite vislumbrar una estructura cíclica en el análisis didáctico, que esquematizamos y representamos gráficamente en la Figura 1.
de activiades
Figura 1. Ciclo del análisis didáctico (Gómez, 2007, p. 31)
La Figura 1 muestra gran número de aspectos que toma en cuenta y relaciona el análisis didáctico. Es posible consultar una descripción detallada de todo el procedimiento en Gómez (2007, §2.4), ya que nosotros nos centraremos sólo en algunos de esos aspectos.
Todo el análisis didáctico se encuentra contextualizado en la realidad social y escolar en que tiene lugar la actividad del profesor. La ubicación e infraestructura del centro, el nivel socio-económico de los escolares o su estatus cultural, son algunos de los elementos que contextualizan esa actividad docente. El inicio del análisis didáctico incluye la selección de un tema de matemáticas y la concreción del nivel educativo en el que se sitúa la planificación. Con esos dos elementos, es posible ubicar y revisar los documentos curriculares que aportan información general sobre la formación previa de los escolares, sobre organización de contenidos, y sobre expectativas generales que perseguir. La revisión de los criterios de evaluación también aporta información relevante a la planificación.
Ese proceso de diseño comienza explícitamente con los tres análisis que recoge el cuadro 2 de la Figura 1. Las flechas expresan que cualquiera de ellos puede suministrar información que modifica o complementa a los otros. Una revisión de los objetivos puede ampliar la lista de contenidos seleccionados, o una tarea que se ha encontrado en un libro de texto moviliza un objetivo que no estaba contemplado originalmente. Como muestra la Figura 1, el conocimiento didáctico del profesor le permite llevar a cabo estos tres análisis y, a su vez, la realización de los análisis contribuye al aprendizaje del profesor suministrándole nueva información que aumenta su conocimiento didáctico.
Después de llevar a cabo los tres análisis, el profesor concreta las actividades de enseñanza que llevará a cabo en la fase de puesta en práctica (cuadro 3 de la Figura 1). Para diseñar estas actividades se basa en la información de los análisis previos y añade aspectos de gestión del aula que organizarán la instrucción.
Después de la implementación de la planificación, el profesor puede realizar el
análisis de actuación para valorar los resultados obtenidos y disponer de información para una nueva puesta en práctica del análisis didáctico (cuadro 5 de
la Figura 1). Esta última fase también contribuye al desarrollo del conocimiento
didáctico del profesor.
A continuación detallaremos más concisamente la estructura y la organización de
los cuatro análisis del análisis didáctico, prestando más detalle a los que se centran en la fase de diseño: el análisis de contenido, el análisis cognitivo y el
El primero de los análisis que describiremos es el análisis de contenido, que se centra en analizar, describir y establecer los diferentes significados que tienen las nociones involucradas en el tema de matemáticas sobre el que el profesor está realizando la planificación de una unidad didáctica. Está, por lo tanto, ubicado en la dimensión conceptual del currículo. En nuestra presentación, primero acotamos un nivel de concreción para la noción de contenido matemático en el que se enmarca el análisis de contenido. Después, estudiamos ese contenido desde un punto de vista cognitivo y, a continuación, describimos los tres organizadores del currículo que estructuran el análisis de contenido. También ejemplificamos cada una de ellos usando el tema del sistema de los números naturales.
El objeto de estudio de este primer análisis es el contenido matemático y, partiendo de la reflexión de Pedro Gómez y Luis Rico (Gómez, 2007; §2.7.1),
distinguimos cuatro niveles de concreción del contenido matemático para situar
el nivel de reflexión del análisis didáctico:
Contenido matemático escolar
Está constituido por todo el acervo del conocimiento matemático que, a lo largo de la historia de las matemáticas escolares, se ha considerado como objeto de enseñanza en la educación básica. Incluye todas las parcelas del conocimiento matemático que desde diferentes grupos de especialistas en educación matemática y colectivos de profesores han sido consideradas, analizadas y organizadas para que formen parte de las matemáticas que se han enseñado en las aulas. Algunos ejemplos de estos trabajos son las colecciones “Matemáticas:
Cultura y Aprendizaje” y “Educación Matemática en Secundaria” a la que nos referimos en el capítulo 1. Los trabajos de Castro (2001a), del NCTM (2003, 2006), son también acercamientos a la selección, al análisis y a la organización del contenido matemático escolar.
Contenido prescrito
Es una selección del contenido matemático escolar que se recoge en las directrices curriculares oficiales. Señala las nociones básicas que han de manejar todos los escolares, se presentan organizados según etapas y niveles; se relacionan con expectativas generales de aprendizaje y con criterios de evaluación. Este contenido prescrito se ve modificado con motivo de cambios en las políticas y legislaciones educativas, llegando en ocasiones a desaparecer algunos temas específicos, como ocurrió con la matemática conjuntista, mientras que en otras se altera el peso y la relevancia de otros, como con la resolución de problemas (Rico, Sánchez y Llinares, 1997).
Contenido propuesto para una asignatura
Una vez que legislativamente se ha acotado el contenido prescrito, diferentes grupos de especialistas en educación matemática y profesores pueden tomar decisiones sobre cómo concretar esas directrices generales para configurar una asignatura de matemáticas para un curso determinado. Esto ocurre cuando, por ejemplo, se elaboran libros de texto. Esos colectivos especifican el listado de conceptos y procedimientos que se desarrollarán en cada tema, organizarán una secuencia para esos temas y diseñarán unas tareas específicas que un profesor podrá usar en su práctica docente. Por eso es frecuente encontrar diferencias significativas entre diferentes editoriales que proponen libros de texto para un mismo curso escolar (American Association for the Advancement of Science, 1999; Kulm y Grier, 1998) 25 .
Contenido de un tema concreto
Este nivel de concreción de contenidos surge cuando un profesor “debe abordar la planificación de una hora de clase o de una unidad didáctica para un tema o concepto matemático determinado” (Gómez, 2007, p. 39). En ocasiones es necesario planificar la instrucción de un tema específico porque no aparece como tal en el libro de texto que se está siguiendo o porque, aunque aparece, no lo hace con la profundidad o la orientación que el profesor entiende que debiera hacerlo. En este nivel de concreción se sitúa el análisis didáctico y, en el análisis de contenido, es donde el profesor “identifica y organiza los múltiples significados de dicho tema, para efectos de seleccionar aquellos significados que considera relevantes para la instrucción” (p. 39).
Al hablar del contenido de las matemáticas escolares nos referimos a los contenidos que son objeto de enseñanza y aprendizaje. Esta delimitación generó hace varias décadas un marcado interés por organizar ese contenido matemático desde un punto de vista cognitivo. El objetivo era destacar aquellos rasgos
25 En el XIII Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, celebrado en Santander en Septiembre de 2009, uno de los seminarios de investigación giró en torno a diferentes análisis de libros de texto y se debatieron cuestiones de este tipo.
centrales que permiten identificar el logro o dominio de tales contenidos por parte de los escolares (Bell, Costello y Kücheman, 1985; Gagné, 1991).
Unas de las aportaciones más relevantes en este sentido y que resultan claves para el desarrollo del análisis de contenido, fue la clasificación propuesta por Hiebert y Lefevre (1986). Basada en el marco del procesamiento de la información, esta clasificación cognitiva considera el conocimiento matemático organizado en dos grandes campos: el conceptual y el procedimental. A continuación resumimos la caracterización de cada uno de estos dos campos de conocimiento que realizó Rico (1996). Esta distinción, permite analizar con detalle la complejidad del conocimiento matemático y subraya la conexión permanente entre conceptos y procedimientos.
El conocimiento conceptual constituye la sustancia de nuestro conocimiento, es aquello con lo que pensamos. Según su mayor o menor concreción, en el campo conceptual es posible distinguir tres niveles o tipos de conocimientos.
En el nivel más sencillo están los hechos, que son unidades de información y sirven como registros de acontecimientos. Se distinguen cuatro tipos de hechos:
términos, notaciones, convenios y resultados. A continuación están los conceptos, que se consideran como conjuntos de unidades de información (hechos) conectadas entre sí mediante relaciones; cada concepto se constituye tanto por los hechos como por las relaciones entre ellos. Entre los conceptos se pueden establecer, a su vez, una gran diversidad de relaciones que forman autenticas redes de conocimientos. Usualmente todo concepto admite una o varias representaciones de carácter gráfico o simbólico, que forman parte de un sistema.
Finalmente, en un tercer nivel, están las estructuras conceptuales que, básicamente, son sistemas interconectados de conceptos juntos con sus relaciones, en las que cada uno de los conceptos que las forman queda caracterizado por esas relaciones que mantiene con el resto. Las estructuras conceptuales constituyen la esencia del conocimiento matemático organizado, ya que hechos y destrezas, conceptos y razonamiento toman sentido y significado dentro de una estructura. Las estructuras matemáticas destacan las conexiones y relaciones mutuas de familias de conceptos y los sistemas de representación que comparten; organizan y constituyen ideas de orden superior y establecen nuevas formas de relación o algún orden entre conceptos no inclusivos.
Los procedimientos engloban todos los procesos y modos de actuación o ejecución de tareas matemáticas. El conocimiento procedimental se manifiesta en la realización ordenada de tareas. Rasgo clave de este tipo de conocimientos es que su aprendizaje se lleva a cabo mediante secuencias de actuaciones, que pueden sistematizarse. De manera análoga al campo conceptual, es posible distinguir tres niveles diferentes de concreción en el campo de los procedimientos.
Las destrezas suponen el dominio de los hechos y de los procedimientos usuales que se pueden desarrollar de acuerdo con rutinas secuenciadas. Por lo general, las destrezas se ejecutan procesando hechos y se llevan a cabo por ejecución de una secuencia de reglas y manipulación de símbolos o transformaciones gráficas. Los razonamientos suponen un conocimiento de los conceptos y de su extensión, lo cual permite su procesamiento por medio de secuencias razonadas, basadas en relaciones de conexión, inferencia o implicación. Las capacidades de expresión y comunicación de los alumnos se consideran parte de su capacidad de razonamiento.
Finalmente, las estrategias son aquellos procedimientos o reglas de acción que permiten obtener una conclusión o responder a una cuestión haciendo uso de las relaciones, conceptos y diversidad de sistemas de representación que se dan en una determinada estructura conceptual. En el entramado de relaciones que constituyen una estructura conceptual hay multitud de vías para abordar y dar respuesta a determinadas cuestiones no triviales, que toman sentido cuando se enuncian en términos de los conceptos que forman parte de esa estructura, para las cuales no hay formato estándar que las convierta en rutinas. Las estrategias guían la elección de qué técnicas emplear o de los conocimientos, razonamientos y destrezas a los que debe recurrirse en cada etapa de la resolución de un problema y suelen procesarse entre diversas estructuras conceptuales.
La relación entre el conocimiento conceptual y procedimental puede representarse gráficamente, tal y como muestra la Figura 2.

References: resolución 
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