Source: https://es.scribd.com/doc/89652215/Tema-6-Sistemas-de-Ecuaciones
Timestamp: 2016-07-23 23:20:45+00:00

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6.1 Halla las soluciones de la ecuación 2x 6y a) x 5 c) y 1 b) x a) x 10 5→2 10 → 2 5 5, y 10 6y 3 28 → 20 6y 28 → 10
28 sabiendo el valor de una de las incógnitas. e) y 3 1 —— d) y 0 f) x 2 6y 28 → 6y 18 → y 3 28 → 6y 8→y 8 6 4 3
Solución: x b) x
Solución: x c) y 1 → 2x 0 → 2x
6y 4 10, y 3 6 11, y 6 14, y 6 0 0 ( 3) 3 1 1
28 → 2x 28 → 2x
28 → 2x
22 → x
Solución: x d) y
28 → x
14 18 → 2x 46 → x 27 6
Solución: x e) y
3 → 2x
Solución: x f) x
1 1 →2· 28 → 1 6y 2 2 1 9 Solución: x ,y 2 2
28 → 6y
27 → y
6.2 Halla tres soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones. a) x y 10 c) 3x y 8 b) 2x a) x y y 14 10 → y 1, y 14 → y 2, y 8 2 5y 1 x 10, y 2 x 1, y 1 5 8→y 2, y 0→x 5, y 10 9 2x 10 3x x 2, y 14 x 1 ,y 3 7 14 x 8, y 2 x 1 ,y 2 15 x x –1, y 11 x 2,5, y 7,5 d) x 5y 0
Soluciones: x b) 2x y
Soluciones: x c) 3x y
Soluciones: x d) x 5y
Soluciones: x
6.3 Escribe la ecuación correspondiente a la siguiente situación: “Un grupo de amigos ha ido al teatro y ha comprado 3 entradas de patio y 5 de palco. En total han pagado 80 euros. ¿Cuánto cuesta la entrada de cada clase?”. x Coste de la entrada de patio: Coste de la entrada de palco: Coste de 3 entradas de patio: Coste de 5 entradas de palco: Ecuación: y 3x 5y 3x 5y 80 80 5 80 3x . 3 5 15 7
Resolución: si la entrada de patio cuesta x, la de palco cuesta y
Por ejemplo, si la entrada de patio cuesta 15 euros, la de palco cuesta:
6.4 Tomás ha leído 20 libros en total pertenecientes a dos colecciones. ¿Cuántos libros puede haber leído de cada colección? a) Expresa con una ecuación la información del enunciado. b) Si de la primera colección ha leído 8 libros, ¿cuántos ha leído de la segunda? c) Y si de la segunda colección ha leído 9 libros, ¿cuántos ha leído de la primera? a) N.° de libros leídos de la primera colección: N.° de libros leídos de la segunda colección: Ecuación: b) x 8 libros → 8 9 libros → x y 20 → y 20 → x 20 8 12 x y x y 20
Ha leído 8 libros de la primera colección y 12 de la segunda. c) y 9 20 9 11
Ha leído 11 libros de la primera colección y 9 de la segunda. 6.5 Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente a este problema: “La suma de dos números es igual a 6, y la diferencia del doble de los mismos es igual a 4”. x Número mayor: Número menor: y x y 6 Sistema: 2x 2y 4 6.6 Halla la solución de este sistema probando con distintos valores para x e y. x 2y 20 x y 5 Para x Para x 8, y 10, y 3 se satisface la segunda ecuación (8 5 se satisface la segunda ecuación (10 10, y 5. 3 5 5), pero no la primera (8 6 14). 10 20).
5) y también la primera (10
Luego la solución del sistema es x
6.7 Resuelve los siguientes sistemas utilizando una tabla. x y 12 2x 6y 48 c) a) x y 2 x y 10 b) a) x 4x x x y y y 17 2y 56 12 2 7, y 5 x b) x 4x y 2y 17 56 11, y 6 4x c) 2x x 6y y 48 10 3, y 7 2x d) 4x x y y 10 5 3, y 2 4x x y y x y 6y x y 2y x y y d) 4x x 9 3 6 4 13 42 1 9 56 1 4 0 y y 8 4 4 5 12 44 2 8 52 2 3 5 10 5 7 5 2 6 11 46 3 7 48 3 2 10 6 6 0 7 10 48 4 6 44 4 1 15 5 7 2 8 9 50 5 5 40 5 0 20
4 8 4 9 8 52 6 4 36
3 9 6 10 7 54 7 3 32
2 10 8 11 6 56 8 2 28 12 5 58
y la incógnita x 1.8 La suma de dos números es igual a 8. y 1
4y 28 5x 3x y 7 Se despeja y en la segunda ecuación: Se sustituye en la primera ecuación: Se resuelve la ecuación: Se sustituye x en la ecuación despejada: La solución es:
y 5x 5x 7x y x
7 3x 4( 7 3x) 28 28 12x 28 0→x 0 7 3 0 7 0. Calcula los números utilizando una tabla. y la diferencia entre el doble del primero y el segundo es 1.6.10 Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas: a) b) a) 3x x 3x x y 3y 4y 8y 10 6 26 22 c) d) 5x 4y 3x y x x y y 0 28 7 2
y 10 3x x 3y 6 Se despeja y en la primera ecuación: Se sustituye y en la segunda ecuación: Se resuelve la ecuación: Se sustituye x en la ecuación despejada: La solución del sistema es:
10 3x 3(10 3x) 6 30 9x 6 24 → x 3 8x y 10 3 3 10 x 3. y 5
6. y 7
x x Se Se Se Se La
y 2 y 0 despeja x en la segunda ecuación: sustituye en la primera ecuación: resuelve la ecuación: sustituye y en la ecuación despejada: solución es:
x y 2y x x
2 2→y 1 –1.9 Calcula el valor del coeficiente a y de la incógnita x en este sistema sabiendo que el valor de y es 2. Sustituimos en el sistema: 3x x 2 2a 1 5 2 1 2a 1 → 3x 5 2a 4→a 3→x 2 1
Resolviendo la primera ecuación obtenemos: 3x En la segunda ecuación sustituimos x por su valor: El coeficiente a 2.
6. El sistema es: x 2x y y 8 1 2x x y y 1 7 5 2 6 2 3 5 1 4 4 4 5 3 7 6 2 10 7 1 13 8 0 16
Los números son: x 3. y 1
4y 26 3x x 8y 22 Se despeja x en la segunda ecuación: Se sustituye en la primera ecuación: Se resuelve la ecuación: Se sustituye y en la ecuación despejada: La solución es:
x 22 8y 3(22 8y) 4y 26 4y 26 66 24y 26 66 40 → y 20y x 22 8 ( 2) 6 x 6.
6.11 El perímetro de una piscina mide 70 metros. 56
7y 10y 3y
56 80 24 → y 0→x 0 8
8 en cualquier ecuación para hallar el valor de x: 56 → 4x
. Se sustituye y en la primera ecuación: Ancho de la piscina: x Largo de la piscina: y Perímetro: 2x 2y 2x 2y Sistema: y 2. 15 → 5x 20 → x 335 15 320 → y 4 5 c) d) 2x 5y 3x 6y 4x 7y 2x 5y 22 27 56 40 2. y el largo es dos veces y media mayor que el ancho. y 17 3. 25.12 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción. y el largo.
15y 12y 3y
66 54 12 → y 3→x 1 4
4 en cualquier ecuación para hallar el valor de x: 27 → 3x
Eliminamos la x: Sumamos las ecuaciones: Sustituimos y 4x 7 ( 8) La solución es: x 56 → 4x 0.5x 70 2x 2 2.5 10 25
Eliminamos la x: Restamos las ecuaciones: Sustituimos y 5x 2x 3x 3 3y 2y 5 La solución es: x b) 17 18 5 → 5x 4.
9y 4y 5y
51 36 15 → y 4 3
3 en cualquier ecuación para hallar el valor de x: 9 → 2x 8→x
Eliminamos la x: Sumamos las ecuaciones: Sustituimos y 3x 6 4 56 40 La solución es: x d) 7y 4x 2x 5y 27 → 3x 1. y 24 4. Calcula el largo y el ancho de la piscina. a) b) a) 3x 5x 2x 3x 3x 5x 11y 3y 3y 2y 11y 3y 67 5 17 18 67 5 15x 15x 55y 9y 64y 5 5.5x 70 70 → x Se resuelve la ecuación: 2x 5x 70 → 7x 10
Se sustituye x en la ecuación despejada: y El ancho mide 10 metros. y 8. 6. y
5 en cualquier ecuación para hallar el valor de x:
Eliminamos la x: Restamos las ecuaciones: Sustituimos y 2x 3 3 La solución es: x c) 2x 5y 3x 6y 22 27 17 → 2x 4.
y 4 c) 3x 7x 6y 3y 39 52
Eliminamos la x: Restamos las ecuaciones: Eliminamos la y: Sumamos las ecuaciones: 143 La solución es x: . a) b) 7x 14y 7x 21y 3x 12x 5 9 c) d) 3x 7x 5x 2x 6y 3y 3y 5y 39 52 12 14
2y 1 32y 7
7x 14y 7x 21y Eliminamos la x: Sumamos: Eliminamos la y: Sumamos: La solución es: x
5 9 7x 7x 14y 21y 7y 21x 14x 7x 3 .y 17 d) 5x 2x 3y 5y 12 14
42y 9y 51y
273 156 117 → y 39 104 143 → x 143 17 117 51 39 17
3x 14x 17x 39 .y 7 4 . 17
Eliminamos la x: Restamos las ecuaciones: Eliminamos la y: Restamos las ecuaciones: 18 La solución es: x . 19
. 8 32y 32y 4 7 3→y 16 7 9→x 9 36 1 4 3 24 1 8
Eliminamos la x: Restamos las ecuaciones: Eliminamos la y: Restamos las ecuaciones: 1 La solución es: x .6.13 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción. 7 42y 42y 5 9 4→y 15 18 3→x 3 7 4 7
2y 32y
1 7 12x 12x 8y 32y 24y 48x 12x 36x 1 .y 19
6y 25y 19y
24 70 46 → y 60 42 18 → x 18 19 46 19
25x 6x 19x 46 .
¿Cuántos coches y cuántas motos hay en el garaje? Número de coches: x x y 37 Número de motos: y Sistema: 4x 2y 104 Eliminamos y: Restamos las ecuaciones: 2x 30 → x y 37 → y 22 Sustituimos: 15 En el garaje hay 15 coches y 22 motos. ¿Cuántas habitaciones hay de cada clase? N. Hace 5 años. En total tiene 84 habitaciones y 154 camas. y el de habitaciones sencillas.17 Encuentra dos números tales que el triple del primero aumentado en 4 sea igual al segundo. mientras que el doble del segundo disminuido en 2 sea 8 veces el primero.
P R O B L E M A S P R O P U E S T O S
6. y el segundo. 6.
6. y la de Jesús. que suman en total 104 ruedas. 6.18 La suma de dos números es 45. ¿Cuál es la edad de cada uno? Edad actual de Jesús: x Edad actual de Araceli: y Edad de Jesús hace 5 años: x 5 y 2x y 2x 5 Sistema: → Edad de Araceli hace 5 años: y (x 5) (y 5) y x y 10 y Resolución (despejamos x en la 2. 6. ¿Cuáles son estos números? Primer número: x x y 45 Segundo número: y Sistema: x y 19 64 Sumamos las ecuaciones: 2x 64 → x 32 2 Sustituimos: 32 y 19 → y 13 El primer número es 32.ª ecuación): x 10 y 2 10 La edad actual de Araceli es 20 años.15 La edad de Araceli es el doble de la de su hermano Jesús. y el segundo.° de billetes: y Sistema: y 2x Resolución (sustituimos la y): x 10x 44 → 11x 44 → x 4 y 2 4 8 Francisco tiene 4 monedas de un euro y 8 billetes de cinco euros. 14.° de habitaciones dobles: x x y 84 N.16 Francisco tiene 44 euros en monedas de 1 euro y billetes de 5 euros. 2x 4x 15 2y 2y 74 104
.6. El número de billetes es el doble que el de monedas.14 Un hotel tiene habitaciones dobles (con dos camas) y sencillas (con una cama). 13.° de habitaciones sencillas: y Sistema: 2x y 154 Resolución (reducimos y restando ecuaciones): x 70 → 70 y 84 → y 14 El número de habitaciones dobles es 70. 13. 10 años.° de monedas: x x 5y 44 N. Primer número: x 4 y 3x Segundo número: y Sistema: 2y 2 8x Resolución (sustituimos y): 2 (3x 4) 2 8x 6x 8 2 8x 6x 6 8x → 2x 6→x 3→y 3 3 4 13 El primer número es 3. la suma de sus edades era igual a la edad actual de Araceli.19 En un garaje hay 37 vehículos entre coches y motos. ¿Cuántas monedas y billetes tiene Francisco? N. y su diferencia es 19.
22 Halla tres soluciones de cada ecuación.
6.25 ¿Cuánto tienen que valer c y c´ para que el siguiente sistema tenga por solución x 6x 5y c 4x 3y c’ 6x 4x 5y 3y c→c c´ → c´ 6 2 4 2 5 1 3 1 12 8 5 3 17 5
2. siendo x b) x y 8. siendo x 2 1. y 1 porque satisface las dos ecuaciones: 6 1 7. a) x y 4.5 → y 3
6.21 Calcula el valor de y en las siguientes ecuaciones. a) x y 10 c) 2x b) x y 1 d) x a) x x b) x x c) 2x x d) x x y 10 1. Dos mochuelos en cada olivo y sobra un olivo. 2y 1 2→y 4 3 Sistema: x x y 1 2(y 1)
6. un antiguo acertijo. y 1 x 8. y 6 x 2y 12 → x 2. y 2 x 5. y 5
11. y 0 6. y 2 x 12. 6 3 1 3
6. siendo x 10 d) 2x y 0. siendo x 3→y 10 → y 1 2 c) 2x d) 2x y y 6. siendo x 0. y
2. y 4 x 3y 3. y
2→y 2 1.20 Ahora. siendo x 3 c) 2x y 6. y
6. y 10 x 9. siendo x a) x b) x y y 4. y
b) b) x
2y y 4. “Cada mochuelo en su olivo y sobra un mochuelo. y y 6 5.26 Calcula la solución de los siguientes sistemas. x x y 3y 7 3 x y x 3y 0 7 21 1 6 17 2 5 13 3 4 9 4 3 5 5 2 1 6 1 3 7 0 7
La solución del sistema es x 6. siendo x 8. y 9 x y 1 7. ¿Cuántos olivos y cuántos mochuelos hay?” Número de mochuelos: x Número de olivos: y Sustituimos: y 1 x 3 Hay 4 mochuelos y 3 olivos. y 1 x 6.24 Completa el sistema para que tenga esta solución: x x x y 2y ? ? x x y 2y 7 9
5. a) a) x
y y 8.23 Fíjate en la tabla y di cuál es la solución del sistema formado por estas ecuaciones.
Sistemas de ecuaciones.33 En un garaje hay bicicletas y coches.° de coches: y a) Hay 3 bicicletas y 4 coches: 2 3 b) Hay 2 bicicletas y 5 coches: 2 2 c) Hay 4 bicicletas y 4 coches: 2 4 d) Hay 5 bicicletas y 3 coches: 2 5 Ecuación: 2x 4y 24 4 4 6 16 22 24 → FALSA. 6. N. y 25 x 60. y 0 x 2y 80.32 Se sabe que una solución de 3x 5y 5y c→c 3 4 5 1 12 5 3x 5y 7.° de alumnas: y Ecuación: x y 20 6. Concurren 38 estudiantes. Expresa el sistema. c) Hay 4 bicicletas y 4 coches.° de alumnos: x x y 38 N. 4 5 4 20 24 → VERDADERA.34 “Para organizar el deporte de un centro escolar se convoca a una reunión. 10
6.27 “Añadiendo 3 a un número se obtiene el segundo.28 La suma de dos números es 8.5 4y 27 → 3 4y 27 → 4y 24 → y 6
6. y 3. 4 3 10 12 22 24 → FALSA.° de alumnas: y Sistema: x y 6 Hay 22 alumnos y 16 alumnas.° de bicicletas: x N.6. Los números son x 2 3 8y6 8y5 2 3 4 2. d) Hay 5 bicicletas y 3 coches. y 26 5. b) Hay 2 bicicletas y 5 coches. 4 4 8 16 24 → VERDADERA. 27 → 2 1. Averigua si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. ¿Cuál es el valor de cada número? Número: x x y 8 Otro número: y Sistema: x y 2 Probamos con x 6. a) Hay 3 bicicletas y 4 coches. ¿Cuál es cada número?”.30 Halla tres soluciones de esta ecuación: x x 10. y
1. y su diferencia es 2. Soluciones
6. En total se cuentan 24 ruedas.° de alumnos: x N. ¿Cuál es la ecuación?
6. N.31 Sea la ecuación 2x 4y 27. N.
6. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay? Escribe el sistema de ecuaciones que exprese la información dada. Primer número: x x 3 y Segundo número: y El sistema es: y 2 2x Sustituimos en la segunda ecuación: x 3 2 2x → x 5 y 5 3 8 Los números son 5 y 8. y añadiendo 2 al segundo se obtiene el doble del primero. b) ¿Cuántas soluciones tiene esta ecuación? 4y a) 2x b) Infinitas.
. Escribe la ecuación correspondiente a esta situación. habiendo 6 alumnos más que alumnas”. La ecuación es: 3x
c es x 7
4. y 35 Probamos con x 5. y 60.5.29 En un aula hay en total 20 alumnos y alumnas. a) Halla una solución de modo que x sea igual a 1. 2.
Probamos con el par de números x 1. b) x 1. y 1 c) x 2.36 Se tiene el sistema 2x 3y 16 5x y 6 Averigua cuáles de los siguientes pares de números son solución del sistema: a) x a) x 5. y 2: 1 2 2 1 4 5 4 1 2 4 2 2 El par (1.
Resolución de sistemas por tablas
6. y 1.40 Resuelve por tablas los siguientes sistemas de ecuaciones. Un número: x x y 24 El otro número: y Sistema: x y 6 Los números son 15 y 9. a) a) x y y x 12 4 x y y x y x 3y x b) x x 11 1 10 10 0 10 y 3y 10 2 8 9 1 6 10 2 9 3 6 8 2 2 8 4 4 7 3 2 7 5 2 6 4 6 6 6 0 5 5 10 5 7 2 4 6 14 4 8 4 3 7 18 3 9 6 2 8 22
x y 12 y x 4 Solución: x 4.35 La suma de dos números es 24.38 Copia y completa la tabla para hallar la solución de este sistema. y 8 x y 10 x 3y 2 Solución: x 8. (La solución es un par de números naturales). y 4 2 2 3 4 4 12 16 5 2 4 10 4 6 Es la solución del sistema porque satisface las dos ecuaciones. y 5. y
. x 2y 5 4x y 2 Probamos con el par de números x 3. y 4
2 5 3 2 10 6 16 5 5 2 23 No es solución del sistema porque no satisface la segunda ecuación. 6. 2) es solución del sistema porque satisface las dos ecuaciones. y su diferencia es 6.
6. x 2x y y 8 1 3.39 Averigua la solución del siguiente sistema completando la tabla. y 1 2 1 3 ( 1) 2 3 1 No es solución porque no satisface la primera ecuación.6. y 1: 3 2 1 3 2 5 4 3 1 12 1 2 No es solución porque no satisface la segunda ecuación.37 Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones. c) x 2. x 2x y 3y 5 15 6. 2x x y y 0 8 8 1 7 5 2 6 2 3 5 1 4 4 4 5 3 7 6 2 10 7 1 13 8 0 16
La solución es: x
6. y 5. y 2 2 b) x 1. Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente. x 2x x y y 3y 8 3 5 25 7 2 5 20 6 1 5 15 5 0 5 10 4 1 5 5 3 2 5 0 2 3 5 5
Resolución de sistemas por sustitución
6.41 Resuelve estos sistemas aplicando el método de sustitución. La solución es: x
y 3 x 6x 10(3 x) 14 30 10x 14 6x 44 → x 11 4x y 3 11 8
y 4 x 4y x 14 Despejamos x en la primera ecuación: Sustituimos en la segunda ecuación: Resolvemos: Sustituimos y en la ecuación despejada: 10. La solución es: x
y 10 x 6x 7(10 x) 34 70 7x 34 6x 70 34 → 13x 13x y 10 8 2
104 → x
6x 10y 14 y x 3 Despejamos y en la segunda ecuación: Sustituimos en la primera ecuación: Resolvemos: Sustituimos en la ecuación despejada: 11. La solución es: x y x y x 5 5 → 2x 2x 8 3y 3y 8 Despejamos y en la primera ecuación: Sustituimos en la segunda ecuación: Sustituimos en la ecuación despejada: 7. a) a) 18 5x x y y 0 6 b) 5 2x 8 y 3y x
x x y 0 y 18 18 → 5x 5x y 6 y 6 Despejamos y en la primera ecuación: y x Sustituimos en la segunda ecuación: 5x (x y 3 Sustituimos x en la ecuación despejada: 3. 2 6
6y → 23
6y → y
6. y 8.42 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución. y 2. y 2. La solución es: x
x 4y 4y x
4 y (4 y) 14 4 y 14 → 3y 4 6 10
18 → y
x 1 3x 5x 9 3y 1 Hallamos el valor de x en la primera ecuación: 2x = 1 → x = 2 1 Sustituimos en la segunda ecuación: 5 9 3y → 5 2 1 23 La solución es: x . a) b) x 6x 6x y y 7y 10y x 10 34 14 3 c) d) x 4y x 5y y x 1 9 4 14 3x 3y
x y 10 6x 7y 34 Despejamos y en la primera ecuación: Sustituimos y en la segunda ecuación: Resolvemos: Sustituimos x en la ecuación despejada: 8. y 21.y . La solución es: x
18 18) 18
6 → 5x 21
6 → 4x
x 5 3(x 5) 8 → 2x 7 5 2
7→x
. y 6.
Resolución de sistemas por reducción
6. y 2. a) 4x 3y 20 2x 3y 8 3x x 2x 2x x 7x y 3y 4y 3y 10 6 6 8
y 1 2y 22
4x 3y 20 2x 3y 8 Eliminamos la x: Sumamos las ecuaciones: Sustituimos la y: La solución es: x 2. 4x 4x 4x –4x 3 12 3y 6y 9y 4 20 16 36 → y 20 20 → 4x 8→x 2 4
10 6 9x x 8x 3 3. y 1.
7y 2x
14 → y 3 2
2 8 → 2x 6 8→x 1
Eliminamos y: Restamos las ecuaciones: Sustituimos la x: La solución es: x 4.
2x 7x 5x 4
2 22 20 → x 1→y 3 4
. y 4.43 Resuelve los siguientes sistemas aplicando el método de reducción. 3y 3y 3y 30 6 24 → x 6 → 3y 3 3→y 1
Eliminamos la y: Restamos las ecuaciones: Sustituimos la x: La solución es: x c) 2x 4y 6 3y 8 2x Eliminamos la x sumando las ecuaciones: Sustituimos la y: La solución es: x d) x 7x y 2y 1 22 1. y 3.
11.6. →
6x 4x 2x 6 2y
2y 2y 11 80
80 58 22 → x 2y 66 11 2y 7 80 80 → 66 14 → y
3x 7x 6x 7x x 3 9 y 3 y
y 2y 2y 2y 3 y 2 2
2 1 4 1 2 9 11→ y 11
Eliminamos la y: Restamos las ecuaciones: Sustituimos la x:
La solución es: x d) x 2x y 5 5 3y
3. 3 y 2y 2y 1 3→x 2→9 3 y 2→ y 11 → y 11 4
Eliminamos la y: Sumamos las ecuaciones: Sustituimos la x: La solución es: x b) 6x 4x 2y 2y 80 58
Eliminamos la y: Restamos las ecuaciones: Sustituimos la x: La solución es: x c) 3x 2y 2 1 y 7x 11.44 Resuelve por reducción los siguientes sistemas. y 1. y 11. a) 3x 7x 6x 4x 3x 2y x 2x y 2y 2y 2y 2 1 y 5 2 1 80 58 y 7x 5 3y
2 1 6x 7x x 3 3. y 7. → x 2x 2x 2x y 3y 2y 3y 5y x x ( 1) 1 5 5 10 5 5→y 5 5→x 4 1
Eliminamos la x: Restamos las ecuaciones: Sustituimos la y: La solución es: x 4.
Eliminamos la x:
20y 2y 22y 10y 10y 3
8 11 → y 4 15 11 → x 11 22 1 2 11 22 1 2
2x 20x 22x 1 .y 62
.6.45 Resuelve por el método de reducción doble los siguientes sistemas de ecuaciones. 2 1 .y 2
Eliminamos la y:
30y 30y 120y 27y 93y
19 80 61 → x 76 72 4→y 4 93 61 62
62x 72x 72x
61 . a) 3x 9x 4x 2x 3x 9x 6y 4y 3y 5y 6y 4y 39 52 8 8 39 52 9x 9x Restamos las ecuaciones: Eliminamos la y: 6x 27x Sumamos las ecuaciones: 78 La solución es: x . 22
3y 10y 7y 15y 15y
8 16 8→y 40 24 16 → x 16 14 8 7 8 7
20x 6x 14x 8 .y 11 b) 4x 2x 3y 5y 8 8 4x 4x Restamos las ecuaciones: Eliminamos la y: Restamos las ecuaciones: La solución es: x x 4x 5y 2y 2 3 4x 4x Restamos las ecuaciones: Eliminamos la y: Sumamos las ecuaciones: La solución es: x 18x 8x 30y 3y 19 8 18x 80x Restamos las ecuaciones: Eliminamos la x: Restamos las ecuaciones: La solución es: x
x 4x 18x 8x
5y 2y 30y 3y
18y 4y 22y 12y 12y
117 52 65 → y 78 156 234 → x 234 33 78 11 65 22
33x 65 . 7 8 .
32 → y ( 2) 9→x
Sustituimos la y: La solución es: x 3. →
x 3x x 3( 9 27 16y
3y 3y 9 9y 3 6 3y)
9 13 3y 7y 7y
8 5 5 2 9
x 3y 7y 3x
Método: sustitución. y 4. a) 3x 2(x y 10 0 3y) 12
x 3 y 3 2(x 3) 6 y 4(2 2(2 5x 3(x x) x) 3y y) 3y 2(y 4x 13
2) 9 2(4
5y)
3x 2(x
y 10 0 3y) 12
3x 2x y 2x 2x 16x
y 6y 10 6(10 60 10
10 12 3x 3x) 18x 48 → x 3 3 10 12 12 3 9 1
Método: sustitución.46 Haz las operaciones con las ecuaciones de cada sistema y elige el método para resolverlos.
Sustituimos en la ecuación despejada: La solución es: x b) x 3 y 3 2(x 3) 6 y Método: reducción. →
6 0 6→x 2 4
3y 2y 3y 4y y 2 16 8
8 8 8 16 8 8 8 → 2x 8→x 4
Método: reducción. Restamos las ecuaciones: Sustituimos la y: La solución es: x d) 5x 3(x 3y y) 4x 13 4. y 2. Sumamos las ecuaciones: Sustituimos: La solución es: x c) 4(2 2(2 x) x) 3y 2(y 2) 2. → 3. y 1. y 9 2(4 5y) 8.
x a) 6 x 3 x b) 2x 5x 4x 3 y 3y 3y 2 x y 6 39 90 2 x 7x 1 y 2 y 3 5 y 2 1 5 3
x a) 6 x 3
x 5 3(y 5) 2(x 1) 3(y 1)
Método: reducción. y 5. Restamos las ecuaciones: Sustituimos: x 43 81 La solución es: x x b) 2x 3 y 2 x y 6 12x 12x Sumamos las ecuaciones: Eliminamos la y: Restamos las ecuaciones: La solución es: x 19 . 23 6x 8x 3y 6y y 5x 5x Sustituimos la x: La solución es: x 4.6. y 27. 43 3y 3y → y 38 81 3 27
x 2 3(x y) → 12x 6y y 3
Método: reducción.y 46 39 x 90 7x 2 9 .47 Haz las operaciones con las ecuaciones de cada sistema y a continuación resuélvelos por el método que prefieras. Sustituimos la y:
x=4→x
. Eliminamos la x:
Método: sustitución. y 2 39 → 90 7x 2x 4x ( 4) 13 2(2x 13) 26 4 13 8 13 5 30 30 2x 15x y 6y 13 → 90 2x 5x y 2y 13 30 10x 36x 46x 18y 5y 23y 15y 15y 9 19 → x 19 46 12 3 9→y 10 9 23 y 3 43.
Esperanza ha ingresado 120 euros más que Olalla. Joel ha hecho descenso en piragua y excursión en quads en dos ocasiones y ha pagado los siguientes precios. ¿Cuántas cajas hay de cada clase? Plantea las ecuaciones del sistema y resuélvelo por tablas y por otro método. 6. De éstos hay 6 discos más que de los otros. En total hay 10 cajas y 144 bolígrafos.
.48 Un club deportivo organiza actividades de aventura. y una excursión en quads. y Esperanza. ¿Cuánto cuesta cada actividad suelta?
3y 263 y 111 Resolución (por sustitución): y 111 2x → 4x 3(111 2x) 263 333 6x 263 → 2x 263 333 4x y 111 2 35 111 70 41 Sustituimos el valor de x: Un descenso en piragua cuesta 35 euros. 6. ¿Cuánto ha ingresado cada una? Ingresos de Olalla: x x y 1800 Ingresos de Esperanza: y Sistema: y x 120 Resolución (por sustitución): x x 120 1800 1800 120 1680 → x 840 2x y 840 120 960 Sustituimos el valor de x: Olalla ha ingresado 840 euros.P R O B L E M A S
6. de discos de música clásica: x x y 20 N. Sistema:
Coste de un descenso en piragua: x Coste de una excursión en quad: y
70 → x
6. Calcula su número utilizando un sistema de ecuaciones.51 En un cajón de una papelería guardan dos tipos de bolígrafos: hay cajas con 12 bolígrafos azules y cajas con 16 bolígrafos rojos. N. En una semana ingresan 1 800 euros entre las dos. 41. Cajas con bolígrafos azules: Cajas con bolígrafos rojos: x y Sistema: x 12x y 16y 10 144
Resolución (por tablas):
9 1 124 12x 12x
8 2 128 12y 16y 120 144
y Resolución por el método de reducción: 12x 16y Eliminamos x:
Restamos: 4y 24 → y x 6 10 → x 4 Sustituimos: Hay 4 cajas con bolígrafos azules y 6 cajas con bolígrafos rojos. 960. de discos de música pop: y Sistema: y x 6 Resolución (por sustitución): x (x 6) 20 x x 6 20 → 2x 20 6 14 → x 7 y 7 6 13 Sustituimos el valor de x: En el estante hay 7 discos de música clásica y 13 de música pop.50 Olalla y Esperanza han creado una sociedad de servicios informáticos.49 En un estante hay 20 CD de música clásica y de música pop.
6.54 La suma de dos números es 14.5 kilogramos de 11 euros y 312.5 y 500 187. ¿Cuáles son esos números? Número mayor: x x y 14 Número menor: y Sistema: x 1 2y Resolución (por sustitución): x 2y 1 Sustituyendo x: 2y 1 y 14 → 3y 15 → y 5 x 2 5 1→x 9 El número mayor es 9. ¿Cuánto cuestan el kilogramo de manzanas y el de naranjas? Coste del kilogramo de manzanas: x 2x 3y 8 Coste del kilogramo de naranjas: y Sistema: 6x 5y 18 Resolución (por reducción): 6x 9y 24 6x 5y 18 Restamos las ecuaciones: 4y 6→y 1.56 El perímetro de un rectángulo mide 28 centímetros. 8.20x 5 250 0. 1.5 312. ¿Cuántos armarios construyó de cada clase? N. 5. 6.50 8 → 2x 4.20 euros: y 11x 10. Añadiendo 1 al mayor se obtiene el doble del menor.20y 5 250 Resolución (por sustitución): y 500 x 11x 10. de armarios de 600 euros: y Sistema: 400x 600y 6 000 Resolución (por sustitución): y 16 x Sustituyendo y: 400x 600(16 x) 6 000 400x 9 600 600x 6 000 –200x 6 000 9 600 –3 600 → x 9 y 16 9 5 Hay 9 armarios de 400 euros y 5 armarios de 600 euros.5 Hay que mezclar 187. 6. Calcula las dimensiones 3 del rectángulo. y el menor. de kilogramos de 10. de kilogramos de 11 euros: x x y 500 Sistema: N. y el largo. y añadiendo 2 al segundo se obtiene el doble del primero. y un kilogramo de naranjas.50 3.50 Sustituimos: 2x 3 1.20 euros.20(500 x) 5 250 → 11x 5 100 10. Fernando ha comprado 2 kilogramos de manzanas y 3 de naranjas por 8 euros. mientras que Teresa ha comprado 6 kilogramos de manzanas y 5 de naranjas por 18 euros. ¿Cuántos kilogramos de cada variedad hay que mezclar? Coste total de la mezcla: 500 10. 50 5 250 euros N. y el segundo.50.20 euros el kilogramo.75 Un kilogramo de manzanas cuesta 1. 6. Primer número: x x 3 y Segundo número: y Sistema: y 2 2x Resolución (por sustitución): x 3 2 2x → x 5 2x → x 5 y 5 3 8 El primer número es 5.80x 5 250 5 100 150 → x 187.50 euros el kilogramo.75 euros.52 En una frutería.57 Una empresa distribuidora de café mezcla dos variedades: una de 11 euros el kilogramo y otra de 10. 8. Se desea obtener 500 kilogramos de mezcla a 10. 4 6.53 Un fabricante construye armarios de dos categorías diferentes: de 400 y de 600 euros.
. En una semana construye 16 armarios cuyo coste total es de 6000 euros.5 kilogramos de 10. 6.50 → x 1.55 Encuentra dos números que cumplan estas condiciones: si se añade 3 al primero se obtiene el segundo. de armarios de 400 euros: x x y 16 N. y el largo es — el ancho.50 8 → 2x 8 4. Ancho del rectángulo: x 2x 2y 28 x y 14 Largo del rectángulo: y Sistema: → 4 4x 3y 0 y x 3 Resolución (por sustitución): y 14 x 4x 3(14 x) 0 → 4x 42 3x 0 → 7x 42 → x 6 y 14 6 8 El ancho del rectángulo mide 6 centímetros.
Calcula el número. llegando a facturar 101 000 euros. y la hija. Cifra de las unidades: x 2x y x 8 y 8 x Cifra de las decenas: y Sistema: → x x y y 2x Cifra de las centenas: x Resolución (por sustitución): 2x 2x 8 → 4x 8→x 2 Sustituimos x: y 2 2 4 El número es 242. Elena y Gema suman 42 años. un vendedor de coches vende 3 coches del modelo A y 5 coches del modelo B. la edad de un padre es el triple de la edad de su hija. 6. 10 14 24. En la segunda quincena vende 2 coches del modelo A y 4 del modelo B. La solución del sistema es: x La solución del problema no tiene significado real porque el precio de un coche del modelo A no puede ser negativo. 6. 6.
. Precio de un coche del modelo A: x 3x 5y 101 000 Precio de un coche del modelo B: y Sistema: 4y 84 000 2x Resolución (por reducción): 6x 10y 202 000 6x Restamos las ecuaciones: 12y 252 000 2y 50 000 → y 25 000 4 25 000 84 000 100 000 84 000 → 2x 84 000
2x 2x 100 000 16 000 → x 8 000.58 Hoy. ¿Cuántos años tiene cada uno? 1 Edad de Pablo: x y (x 14) x 3y 14 3 Edad de Elena: x 14 Sistema: → 2x y 28 x (x 14) y 42 Edad de Gema: y Resolución (por sustitución): x 3y 14 2(3y 14) y 28 → 6y 28 y 28 → 7y 56 → y 8 x 3 8 14 24 14 10 Pablo tiene 10 años. facturando 84 000 euros. 8. La suma de la cifra de las unidades y la de las centenas es igual a la de las decenas. 12. y el segundo.59 La suma de las tres cifras de un número capicúa es 8. Primer número: x 5y 101 2x Segundo número: y Sistema: 3y 111 4x Resolución (por reducción): 4x 10y 202 4x 3y 111 Restamos las ecuaciones: 7y 91 → y 13 2x 5 13 101 → 2x 65 101 → 2x 101 65 36 → x 18 El primer número es 18. 6. Calcula el precio de ambos modelos de coche. y Gema tiene la tercera parte de los años de Elena.60 Las edades de Pablo. 13.6. y la suma del cuádruplo del primero y del triple del segundo sea 111. Pero hace 6 años era 5 veces más. ¿Cuántos años tienen hoy el padre y la hija? Edad actual de la hija: x Edad actual del padre: y Edad de la hija hace 6 años: x 6 Edad del padre hace 6 años: y 6 y 3x y 3x Sistema: → y 6 5(x 6) 5x y 24 Resolución (por sustitución): 5x 3x 24 → 2x –24 → x 12 Sustituimos en la ecuación despejada: y 3 12 36 El padre tiene 36 años. Elena. Elena tiene 14 años más que Pablo. y Gema.62 En la primera quincena del mes.61 Halla dos números tales que la suma del doble del primero aumentado en el quíntuplo del segundo sea 101. y 25 000.
65 Halla la solución del sistema: Probamos con x 3 2 1 3 x 2y 5 x y 2 3. de 12.
2.R E F U E R Z O
6. y 1. y 1. 3y 3y 9 → –3y 9→y 9 3 6→ 3y 3→y 1
3y 9→6 1.
a) Plantea el sistema de ecuaciones para hallar el precio del DVD y del libro. Luego el precio de un DVD es de 21 euros.67 Utiliza la tabla para resolver el sistema 2x x 0 1 2 3 y 4 3 2 1 2x y 5 4 1 2 5 La solución es: x
y y 4 0 8
3. que satisfacen la segunda ecuación (3 1 2). También la satisfacen. y 1.
Sistemas de ecuaciones. Si y ( 2) 12 → 2x 2 12 → 2x 10 → x 5 2x 5. b) Resuelve el sistema sumando las ecuaciones. Falta averiguar si satisfacen la primera ecuación: 3. y 54 2x a) Sistema: x y 9 b) Probamos con 21 euros para el precio del DVD y 12 euros para el libro porque satisfacen la segunda condición (21 12 9).
x 6. c) Comprueba si la solución hallada verifica las ecuaciones del sistema.64 Se sabe que una solución de 6x a) ¿Cuál es la ecuación? b) Halla dos soluciones más. y 3. 2 5.66 Observa el dibujo. y
1. La solución es x 6. y 2. Soluciones
6. Veamos si satisfacen la primera: 2 21 12 42 12 54. y el de un libro. c) Comprobamos si la solución que hemos hallado en el aparado b satisface el sistema: 2 21 12 42 12 54 21 12 9 La solución hallada verifica las ecuaciones del sistema. a) 6 2 3 1 c 12 3 c 9 c La ecuación es: 6x b) Dos soluciones más: 1→6 1 Si x Esta solución es: x 0→6 0 Si x Esta solución es: x 3y c es x y 12. y
1.63 Halla la solución para y 2 de la ecuación 2x 2.
. 3y 9→0 0. Luego la solución del sistema es: x
x Litros de agua que contiene un recipiente: Litros de agua que contiene el otro recipiente: y x y 24 x y 24 Sistema: → x 6 y 6 x y 12 Sumamos las ecuaciones: 2x 36 → x 18 18 y 24 → y 24 18 6 Sustituimos x: Un recipiente contiene 18 litros de agua. y
6. y el otro.68 Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución. 3x 4y 26 y 1 3x b) a) x 8y 22 5x 9 3y a) 3x x 4y 8y 26 22 x 22 8y 3(22 8y) 4y 26 4y 26 66 24y 26 66 40 → y 2 20y x 22 8 ( 2) 22 16 6
Despejamos la x en la segunda ecuación: Sustituimos en la primera ecuación:
Sustituimos el valor de x: 6. y La solución es: x b) y 5x 1 9 3x 3y
2. y La solución es: x
y 3x 1 9 3(3x 1) 5x 9 9x 3 5x 9x 3 9 5x 3 4x 12 → x y 3 3 1 9 1
8. 6.Resolución de sistemas
6. Calcula cuántos litros contiene cada recipiente.
Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2: Restamos las ecuaciones: Sustituimos la x: 5. ambos llegan a contener la misma cantidad de agua.
Despejamos la y en la primera ecuación: Sustituimos en la segunda ecuación:
Sustituimos el valor de x: 3.69 Resuelve por el método de reducción. Si de uno de ellos se trasvasan 6 litros al otro recipiente. 4x 3y 20 2x b) a) 2x 3y 8 3x a) 4x 3y 20 2x 3y 8 Restamos directamente ambas ecuaciones: Sustituimos x:
6x 2 4 3y
12 → x 2 3y 8 3y 12 → y
La solución es: x b) 2x 3x 3y 5y 7 20
6x 6x 3x
9y 21 10y 40 19 → y 1 19y 5 1 20 → 3x 5
20 → 3x
1.70 Dos recipientes contienen entre los dos 24 litros de agua.
5 → y 1. y el mulo. al largo se le disminuye 1 centímetro y al ancho 2 centímetros. Largo del rectángulo: x Ancho del rectángulo: y (x 2) (y 3) Sistema: xy (x 1) (y Resolución (por sustitución): xy 2) 32 14 → y 3x y El largo mide 6 centímetros.5y 0. 4. el área aumenta 32 centímetros cuadrados. ¿Cuánto miden los lados del triángulo isósceles? Lado desigual: x x 2y 21 Cada uno de los lados iguales: y Sistema: x 4 y 1 Resolución (por reducción): 2y 4 21 (y 1) 2y 3y Sustituimos el valor de y: x 4 21 4 8 21 1 1 y 4 1 24 → y 9→x 5 8 (y x y 0.5 0. mi carga sería el doble que la tuya. Si.72 El perímetro de un triángulo isósceles mide 21 centímetros.5 metros de largo y 2 metros de ancho.625
Sustituimos x en la segunda ecuación:
El lado desigual mide 5 centímetros.25y Sustituimos el valor de y: x 2 El cartel mide 3. Si el largo aumentara en 0. a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco. el área aumentaría en 4 metros cuadrados.75) x y 4 → 0. Calcula las dimensiones del cartel. Calcula el largo y el ancho del rectángulo.75. tu carga se igualará a la mía”.5y 2 3. si te doy un saco.74 El matemático griego Euclides (300 a.C. 6.71 El largo de un cartel publicitario es 1. el área disminuye 14 centímetros cuadrados.5y 0. Si el lado desigual se aumenta en 4 centímetros.5 3.625 3.5) (y 0.75y 1.
xy xy 2x 2( 2x 2 6 16
3x (xy 16) 16
xy 2)
32 14 4x 4 32
3x 2x 26 → x
26 16 6→x 6
26 → 3x 12 16
2x 2 2 5
2 1 2 2x 7 2→ x 5→x 5
Resolución (por sustitución):
. 6.5 0.A M P L I A C I Ó N
6. Largo del cartel: x Ancho del cartel: y Sistema: x (x y 1.125 2. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. y el ancho. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga. y cada uno de los lados iguales. En cambio. y cada uno de los lados iguales en 1 centímetro. 8.5 metros mayor que su ancho.) planteaba este problema.5 metros y el ancho en 0.73 Si al largo de un rectángulo se le aumenta 2 centímetros y al ancho 3 centímetros. de sacos que llevaba el caballo: x de sacos que llevaba el mulo: y Sistema: y y 1 1 2(x x 1) 1 → y y 1 x x y El caballo llevaba 5 sacos.625 3.75 0. se obtiene un triángulo equilátero. en cambio.75x 1. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo? N. 7. 6.5) 1.5 1.
en función de x y de y. que se pagan a su precio N. 6). 15. 3 10 pantalones → 7x 3 9 camisetas → 6y 3 6y 3 236 → 7x 6y 230 7x 7 21 pantalones → 14x 5 16 camisetas → 11y 7 11y 5 457 → 14x 11y 445 14x
14x 14x 7x 7x
12y 460 11y 445 y 15 6 15 230 90 230 → 7x
6. ¿cuántos pagará a su precio normal y cuántos a 1 euro? b) Completa la siguiente tabla.A1 Expresa mediante una ecuación la siguiente información: “La capacidad de un recipiente más el triple de la capacidad de otro es 24 litros”.º de pantalones 10 21 N.76 Vamos de compras Esta tabla muestra los pedidos que Ana y Borja han realizado en los almacenes para mayoristas de la actividad anterior. de y euros: a) Escribe.
. Ana Borja N.PARA INTERPRETAR Y RESOLVER
6. si compras 3 prendas iguales.º de camisetas 9 16 Precio a pagar 236 € 457 € 7 5 2 8 6 2 9 6 3 10 7 3 11 8 3 12 8 4
Si suponemos que el precio de un pantalón es de x euros. y el de una camiseta.5. b) Escribe.
a) Sofía ha comprado 6 pantalones. y la camiseta. el precio total que ha de pagar Ana por toda su compra.75 Oferta En unos almacenes para mayoristas. a) Ana: Ecuación: b) Borja: Ecuación: c) Sistema: 7x 6y 230 14x 11y 445 Resolvemos por reducción: Restando: Sustituyendo el valor de y: El pantalón cuesta 20 €.A2 Halla tres soluciones de la ecuación 2x 2x 4 La ecuación se puede escribir así: y Soluciones: (1. c) Resuelve el sistema de ecuaciones formado con los apartados anteriores y halla el valor de x e y. (0. de camisetas compradas N. por una de ellas solo pagas 1 euro. x 3y 24 y 4. que se pagan a un euro a) 4 a precio normal y 2 a 1 € b) En la tabla del enunciado. 5). 6. N. el precio total que ha de pagar Borja por toda su compra.
6. (2. 8). en función de x y de y.
Uno de ellos ha ahorrado 44 euros más que el otro. y 1 4 6 2. y 1.A4 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x 2x 2y y 3y 5y 1 7 1 7 c) 5x 2x x 2 x 2y 3y y y 3 3 5
2x b) 2x
x 2y 1 2x y 7 Aplicamos el método de sustitución:
2x 7 2(2x 7) 1→x 2x 7 2 3 7
1 → 5x 1
3. x y 2x y 0 5 5 3. La solución es: x x y x 2y → d) 2 3x y 15 y 5 x 3 Aplicamos el método de sustitución:
1 7 6→y 3 2x 3 3 1 → 2x
1 → 2x
4y 15y 19y 5x
6 25 19 → y 2 ( 1)
1 3 → 5x
3 → 5x
3(2y) x 2
15 → 6y 6
15 → 5y
15 → y
6. 2x y 8 Complétala e indica cuál es la solución del mismo.A3 Para resolver el sistema
x y 5 se ha preparado la siguiente tabla. y 1. y el otro. y 3.
244 → x 122 200 x 200 122
. La solución es: x 5x 2y 3 c) 2x 3y 5 Aplicamos el método de reducción: Restando: Sustituyendo el valor de y: 1. La solución es: x 3y 1 2x b) 2x 5y 7 Aplicamos directamente el método de reducción:
Sustituyendo el valor de y: 4. ¿Cuánto ha ahorrado cada uno? Cantidad ahorrada por un hermano: x Cantidad ahorrada por el otro hermano: y Entre los dos han ahorrado 200 euros: Uno de ellos ha ahorrado 44 euros más que el otro: x y 200 El sistema es: x y 44 Resolvemos el sistema por reducción: Un hermano ha ahorrado 122 euros.A5 Dos hermanos han ahorrado entre los dos 200 euros. 2 3 7 3 2 8 4 1 9 5 0 10
6. La solución es: x 6. y 3.6. 78.
a 2.A8 Un padre sale a pasear con sus dos hijas y se encuentran con un amigo que le pregunta: “¿Cuántos años tienen tus hijas?”. y al teatro. 15. En total ha invitado a 8 amigos.6. por cuyas entradas ha pagado 60 euros. y el lado desigual.A6 El perímetro de un triángulo isósceles mide 20 centímetros. ¿A cuántos amigos invitó al cine y a cuántos al teatro? Número de amigos invitados al cine: Número de amigos invitados al teatro: Total de invitados: Ha pagado: Resolvemos por sustitución: x y x 5x y 5x y
8 15y 60 8 x 15(8 x) 8 x 8
El sistema es: 60 → 5x 6 2 120
y 15y
8 60 10x 60 → x 6
Al cine ha invitado a 6 amigos.
20 → 3x 4
24 → x
6. y 1 círculo y 2 estrellas son 2 cuadrados. 4. 6.A7 Con motivo de su cumpleaños. El lado desigual mide 4 centímetros menos que los lados iguales. Calcula cuánto mide cada lado. entonces 4 círculos y 4 estrellas son 5 cuadrados. El padre responde: “Mi hija mayor tiene 2 años más que la menor. Usa tu innecesitas para que se cumtuición. y la de teatro. ¿Cuál es la edad del padre y de cada una de las dos hijas? Edad actual del padre: x Edad actual de la hija mayor: y Edad actual de la hija menor: y 2 x 2 Edad del padre dentro de 2 años: y 2 Edad de la hija mayor dentro de 2 años: y Edad de la hija menor dentro de dos años: La edad del padre será el doble de la suma… x 2 x 6 Edad del padre hace 6 años: y 6 Edad de la hija mayor hace 6 años: y 8 Edad de la hija menor hace 6 años: x 6 La edad del padre era el cuádruplo… x 2 2(y 2 y) → El sistema es: x 6 4 ((y 6) (y 8)) Resolvemos por reducción: 4y 52 x 4y 54 años Edad del padre: x 13 años Edad de la hija mayor: y 2 11 años Edad de la hija menor: y
4[(y x x →y 2→
6) (y 8)] 2 4y 4 → 6 8y 56 13 x 2 4y 2 4
4y 8y 54
Suma de piezas Intenta resolverlo sin usar el álgebra. Cada lado igual: Lado desigual: Perímetro: El lado desigual mide 4 cm menos… 2x y 20 Sistema: x 4 y Resolvemos por sustitución: x y x x
20 → 2x
2x x 4 y 8 4 Cada lado igual mide 8 centímetros. porque si 3 círculos y 2 estrellas son 3 cuadrados.
. Raquel invita al cine a un grupo de amigos y al teatro a otro. La entrada de cine cuesta 5 euros. Dentro de 2 años mi edad será doble de la suma de la edad de mis dos hijas y hace 6 años mi edad era el cuádruplo de la suma de la edad de mis hijas”. ¿Cuántos pla la última igualdad? Se necesitan 5 cuadrados.
Tema 6 Sistemas de Ecuaciones by Alejandro Gargallo Ibañez372 viewsEmbedDownloadRead on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)List price: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMore informationShow less
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