Source: https://instalia.eu/la-representacion-espectral/
Timestamp: 2020-02-28 02:46:29+00:00

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La representación espectral por Pepe Ferrer - Instalia
Los técnicos de sonido obtienen datos de medición pero, ¿como se toman y cuales son sus limitaciones? Instalia presenta el anàlisis de la representación espectral por Pepe Ferrer, ingeniero de sistemes audiovisuales.
Donde n = índice temporal discreto (muestras), k = índice discreto en frecuencia, N = tamaño de la DFT y x[n] = la señal de entrada, nuestra serie de entrada de muestras discretas. En la ecuación podemos observar como multiplicamos cada muestra de la señal por una exponencial compleja. Es decir, a partir de la DFT encontramos la cantidad de exponenciales complejas que contiene la señal que estamos analizando.
Si nos fijamos detalladamente en el gráfico podemos observar como la señal temporal es cortada en 512 muestras y en su respuesta espectral solamente visualizamos 257 muestras, la mitad del tamaño de la DFT que hemos usado (512) y la frecuencia cero, es decir, hemos graficado la parte positiva de la respuesta. Explicaremos esto con más detalle en breve.
En el gráfico de la respuesta espectral visualizamos las frecuencias que forman la señal en un eje de abscisas lineal. Podemos observar que se trata de una señal armónica.
Al aplicar la DFT, la señal de entrada se ve multiplicada por una serie de exponenciales complejas, ondas sinusoidales complejas, que forman la base del análisis. Las transformada nos devolverá la información de cual son las exponenciales complejas que están presentas en la señal.
Veamos su funcionamiento. Analizamos un fragmento de 16 muestras de una señal de audio. Por lo tanto, como máximo podremos encontrar 16 sinusoides complejas:
¿Qué quiere decir esto? Pues que si calculamos la DFT a un fragmento de una señal de 16 muestras, éstas son las sinusoides que vamos a poder localizar.
Al aplicar la transformada a una señal que coincide con una de las sinusoides que son base de la DFT, el resultado nos muestra que el contenido en frecuencia es cero para todos los componentes base excepto para dicha frecuencia, y que su amplitud es 128, que coincide con el tamaño de la DFT. Podemos definir la DFT como la proyección de la señal en un conjunto finito de sinusoides complejas. La DFT nos permite identificar cuantas de ellas están presentes en la señal.
Veamos el mismo ejemplo en el analizador RiTA. En este ejemplo RiTA toma la potencia de la señal. Para una sinusoide con amplitud de 1V, la potencia de la parte positiva del espectro en Watts es dada por la siguiente ecuación:
Spectrum response (RiTA)
Spetrum Response (RiTA)
Podemos observar el mismo efecto en la respuesta de RiTA, pero truncada para visualizar el espectro positivo.
Entonces, ¿cómo podemos realizar la DFT de una señal real?. Sabemos por la identidad de Euler que cualquier sinusoide real se puede expresar como la suma de dos sinusoides complejas:
Por lo tanto, si aplicamos la DFT a una señal real, el resultado es básicamente 2 DFTs, una de frecuencia positiva y otra de frecuencia negativa:
DFT (Real signal) in RiTA
Como podemos observar en la medición aparecen dos frecuencias, una situada en la parte negativa y la otra en la parte positiva del espectro. La amplitud de ambas respuestas como sabemos por la ecuación de Euler corresponden a la mitad, en este caso 64 que es la mitad del tamaño de la DFT que hemos usado 128 muestras. Recordad que disminuir la mitad de potencia expresado de modo logaritmico significa reducir 3dB.
Por lo tanto, cuando analizamos en un analizador la respuesta al espectro de una señal, únicamente visualizamos la parte positiva y normalmente expresado en dBW.
Del mismo modo que anteriormente, si la señal de entrada no coincide con un múltiplo de la frecuencia de resolución, el analizador tiene que repartir la energia entre las frecuencias colindantes:
Frequency response (Real signal) in RiTA
Positive part (RiTA)
Como vemos, en ambas respuestas el resultado de la medición no es del todo correcto, a pesar que aproxima el valor de frecuencia a la señal analizada, no muestra correctamente la amplitud y nos muestra energía en frecuencias que no están presentes en la señal. Para aproximar a la frecuencia correcta los analizadores utilizan funciones de ventana. Hablaremos de ello en un próximo artículo.
Como hemos podido comprobar el tamaño de la DFT determina la frecuencia de resolución, aunque esto no es del todo cierto, como veremos en el siguiente articulo, depende del tamaño del fragmento analizado, o lo que es lo mismo del tamaño de ventana. En estos ejemplos estamos usando el mismo tamaño de DFT que de ventana, por lo tanto asumimos que son lo mismo.
La frecuencia de resolucion determina que frecuencias pueden ser detectadas por el analizador, todas aquellas que se encuentren por debajo de la frecuencia de resolución no serán analizadas.
Analicemos un ruido aleatorio
DFT (lin&log)
La frecuencia de resolución lleva implicitamente asociada otra variable, la constante de tiempo (TC). La constante de tiempo, que no es más que la inversa de la recuencia de resolución, determina que espacio de tiempo es capaz de visualizar el analizador. Del mismo modo, todo aquello que quede fuera de la constante de tiempo será invisible para él.
Aunque pueda parecer en el proceso de medición de una señal, desde el punto de vista del tecnico de sonido, que la frecuencia de resolución y por lo tanto el espectro de la señal es lo importante, la contante de tiempo tiene un valor decisivo en el análisis cuando manipulamos la información para visualizar un espectrograma.
Una constante de tiempo pequeña nos va a proporcionar un buen detalle del tiempo en el cual suceden las cosas, por ejemplo, el tiempo de las reflexiones, pero una constante de tiempo pequeña nos aportará una muy pobre resolución frecuencial. Este es un cuello de botella en el mundo del análisis, tamaños grandes de FFT implican buena resolución a cambio de una mala resolución temporal, por el contrario, tamaños pequeños de FFT nos aportan una pobre visión de lo que ocurre en frecuencia a cambio de un buen detalle de lo que ocurre a través del tiempo.
El tamaño de FFT adecuado es aquel que nos permite visualizar lo que queremos conocer.
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