Source: https://es.scribd.com/document/125219662/1-B-Matematica-I-Algebra-I
Timestamp: 2016-07-28 10:39:34+00:00

Document:
1 B - Matematica I - Algebra I
UploadSign inJoinBooksAudiobooksComicsSheet MusicEditors' Picks BooksHand-picked favorites from our editorsEditors' Picks AudiobooksHand-picked favorites from our editorsEditors' Picks ComicsHand-picked favorites from our editorsEditors' Picks Sheet MusicHand-picked favorites from our editorsTop BooksWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop AudiobooksWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop ComicsWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop Sheet MusicWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreCategoriesArts & IdeasBiography & MemoirBusiness & LeadershipChildren'sComputers & TechnologyCooking & FoodCrafts & HobbiesFantasyFiction & LiteratureHappiness & Self-HelpHealth & WellnessHistoryHome & GardenHumorLGBTMystery, Thriller & CrimePolitics & EconomyReferenceReligionRomanceScience & NatureScience FictionSociety & CultureSports & AdventureTravelYoung AdultCategoriesArts & IdeasBiography & MemoirBusiness & LeadershipChildren'sComputers & TechnologyCooking & FoodFantasyFiction & LiteratureHappiness & Self-HelpHealth & WellnessHistoryHome & GardenHumorLGBTMystery, Thriller & CrimePolitics & EconomyReferenceReligionRomanceScience & NatureScience FictionSociety & CultureSports & AdventureTravelYoung AdultCategoriesAdaptationsChildren’sCrime & MysteryFictionHumorMangaNonfictionRomanceSciFi, Fantasy & HorrorSuperheroesYoung AdultPublishersArcanaArchie ComicsBOOM! StudiosDynamiteIDW PublishingKingstone ComicsMarvel ComicsSpace Goat ProductionsTop Cow ComicsValiant ComicsZenescopeDifficultyBeginnerIntermediateAdvancedMixedInstrumentBrassDrums & PercussionGuitar, Bass, and FrettedPianoStringsVocalWoodwindsGenreClassicalCountryFolkJazz & BluesMovies & MusicalsPop & RockReligious & HolidayStandardsWelcome to Scribd! Start your free trial and access books, documents and more.Find out moreAlgebra I – Módulo 1 - Ecuaciones e inecuaciones lineales UNIDAD 1: ECUACIONESTEMA 1.1. Ecuaciones: definición, clasificación, solución. TEMA 1.2. Ecuación lineal con dos incógnitas, representación gráfica de las soluciones. TEMA 1.3. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Definición, solución gráfica. Clasificación. TEMA 1.4. Métodos de resolución convencionales. TEMA 1.5. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. TEMA 1.6. Aplicaciones prácticas.
UNIDAD 7: INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
TEMA 7.1. Inecuaciones con una incógnita: definición, solución gráfica. TEMA 7.2. Inecuaciones con dos incógnitas: definición, solución gráfica. TEMA 7.3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución gráfica. TEMA 7.4. Optimización lineal. Características del problema de Programación Lineal. Método gráfico. TEMA 7.5. Aplicaciones.
Algebra I – Módulo 2 - Matrices y Vectores UNIDAD 2: MATRICES
TEMA 2.1. Matrices: Definición, matrices especiales. TEMA 2.2. La matriz como representación de un problema económico TEMA 2.3. Operaciones con matrices y sus propiedades. TEMA 2.4. Vectores. Definición. Operaciones con vectores. TEMA 2.5. Dependencia e independencia lineal de vectores.
UNIDAD 1: ECUACIONES
TEMA 1.1. Ecuaciones: definición, clasificación, solución.
Ecuaciones: son igualdades entre expresiones algebraicas que se verifican para ciertos valores de las letras, a las cuales se denominan incógnitas. Raíces o soluciones: son los valores que satisfacen la ecuación. Ecuación lineal con una incógnita: es una ecuación dónde la incógnita está elevada a la potencia 1 y, en general, puede escribirse: a.x+b=0, donde a y b son constantes y a es distinta de cero. Resolver una ecuación: es el proceso de encontrar las raíces. Ecuaciones equivalentes: son dos ecuaciones con las mismas incógnitas, si y sólo si tienen las mismas soluciones. Operaciones algebraicas para “pasar” ecuaciones equivalentes: Sumar algebraicamente a ambos miembros de la igualdad la misma expresión. Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un factor no nulo. Por ej. 30x+500=8000 entonces 30x+500-500=8000-500 entonces 30x=7500 Por ej. 30x=7500 entonces 30x.1/30=7500.1/30 entonces x=250
TEMA 1.2. Ecuación lineal con dos incógnitas, representación gráfica de las soluciones.
Ecuación lineal con dos incógnitas: es una ecuación dónde las incógnitas están elevadas a la potencia 1 y, en general, puede escribirse: a.x+b.y=c, donde a,b y c son los parámetros de la ecuación y a y b son distintos de cero. Solución particular: es cada solución, pares (x,y); por ejemplo: para x=m entonces y=n, para x=m1 entonces y=n1. Solución general: es la que se obtiene de despejar x o y, por ejemplo x=(c-b.y)/a cualquiera sea y. Visualización del conjunto solución: por ejemplo para y=20-2.x
TEMA 1.3. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Definición, solución gráfica. Clasificación.
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: tiene la estructura
Donde a, b, c, d, f, g son constantes. Un sistema de ecuaciones lineales puede ser: Compatible determinado: cuando tenga una única solución.
Por ejemplo, “El par (x,y)=(2,3) es la solución del sistema. Compatible indeterminado: cuando tenga múltiples soluciones.
Por ejemplo, El par (x,y)= (x, 1/2x+2) “Para todo x que pertenece a Reales” Incompatible: cuando el sistema no posea solución.
Identidad: es una igualdad entre dos expresiones que es cierta sean cuales sean los valores de las distintas variables empleadas.
TEMA 1.4. Métodos de resolución convencionales.
Método por sustitución: consiste en despejar de cualquiera de las ecuaciones, una de las incógnitas. Y sustituirla en otra ecuación por su valor.
Método por igualación: se puede entender como un caso particular de sustitución. Se despeja la misma incógnita de las los ecuaciones y luego se igualan las partes derechas de ambas ecuaciones.
Método por Reducción: consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
TEMA 1.5. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Conjunto solución: si existe, debe estar formado por ternas ordenadas. Por ejemplo: (x, y, z) = (1, 2, 3). Resolución: la resolución básica consiste en pasar de un sistema de tres ecuaciones a uno de dos; y luego, resolver como en el punto anterior.
TEMA 7.1. Inecuaciones con una incógnita: definición, solución gráfica.
Inecuación: es una desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunos valores de sus tres letras, a las que denominamos incógnitas. Solución de la inecuación: conjunto de valores de las incógnitas que verifican la desigualdad. Propiedades de las desigualdades: 1. Si a ambos miembros de una desigualdad se agrega la misma desigualdad, el sentido de la desigualdad no cambia. Por ej. x < y entonces x+2 < y+2; x > y entonces x-3 > y-3. 2. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no cambia. Por ej. x > y entonces 3.x > 3.y. 3. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte. Por ej. x > y entonces -2.x < -2.y. Solución Gráfica: Para los ejemplos. x<8 x ≤ 1 S={x/x E R ^ x ≤ 1} o S=[-∞, 1]
Paréntesis: indica que el valor señalado NO está incluido. Corchete: indica que el valor señalado SI está incluido.
TEMA 7.2. Inecuaciones con dos incógnitas: definición, solución gráfica.
Estructuras: ax+by+c ≤ 0 ax+by+c ≥ 0 ax+by+c < 0 ax+by+c > 0
Conjunto solución: Será un semiplano. Puede ser representado como pares (x, y) en un sistema de ejes cartesianos. Resolución gráfica: para el ejemplo 4x-2y ≥ 6 x ≥ (6-2y)/4 y ≤ (6-4y)/-2 Entonces Si x=0 --- y=-3 Si y=0 --- x=3/2
TEMA 7.3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución gráfica.
Sistema de inecuaciones con 2 incógnitas: es un conjunto de inecuaciones con 2 incógitas. Solución de un sistema de inecuaciones…: será aquella región del plano que satisfaga simultáneamente todas las inecuaciones. Solución gráfica: Para el ejemplo
TEMA 7.4. Optimización lineal. Características del problema de Programación Lineal. Método gráfico.
Modelo de Optimización Matemática: “consiste en una función objetivo y un conjunto de restricciones en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones. Los modelos de optimización son usados en casi todas las áreas de toma de decisiones, como en ingeniería de diseño y selección de carteas financieras de inversión”. Profesor Hossein Arsham. Elementos que formulan un problema: 1. La función objetivo: es una función de tipo lineal. Son “variables de decisión”. 2. El objetivo: es la maximización o minimización de la función objetivo. Es “la meta”. 3. Restricciones: son ecuaciones y/o inecuaciones lineales. Son “limitaciones externas”. Estructura:
Resolución Gráfica: consiste en graficar la zona factible. Asignamos valores a los vértices y encontramos el punto óptimo de maximización o minimización.
TEMA 2.1. Matrices: Definición, matrices especiales.
Matrices: Una matriz de orden “m x n” es un arreglo rectangular de números reales dispuestos en m filas y n columnas, los cuales son encerrados entre corchetes. En general se denotan con letras mayúsculas del abecedario. Por ej. Sería una matriz de orden 2x3
Estructura general: Otra notación es A = [aij]mxn
Denotación de elementos: cada elemento de la matriz se denota de manera genérica aij. Dónde i es la fila; y j la columna donde está ubicado. Por ej. en la primera matriz a13=5
Matrices Especiales: Cuadrada o de orden n: cuando la cantidad de filas es igual al número de columnas. Los elementos que están en los lugares a11, a22, a33, ann constituyen la diagonal principal de la matriz. Es decir aquellos elementos aij dónde i=j
Matriz nula: es aquella matriz de cualquier orden cuyos elementos son todos iguales a cero. Se suele denotar: ɸ
Matriz triangular superior: es aquella matriz cuadrada donde los elementos que están debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior: es aquella matriz cuadrada donde los elementos que están encima de la diagonal principal son ceros. Matriz diagonal: es aquella matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.
Matriz escalar: es aquella matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales entre sí.
Matriz identidad: es aquella matriz diagonal donde los elementos que están en la diagonal principal son todos iguales a 1. Se denota con la letra I
TEMA 2.3. Operaciones con matrices y sus propiedades.
Suma Matricial: Dadas dos matrices del mismo orden, la matriz suma será otra matriz del mismo orden que las dadas cuyos elementos surgen de la suma de los respectivos elementos de las matrices dadas. A B A+B C
Propiedades de la suma matricial: 1. 2. 3. 4. Asociativa: Conmutativa: Elemento neutro: Elemento simétrico u opuesto: (A+B)+C=A+(B+C) A+B=B+A A+ ɸ=A A+ (-A)= ɸ
Producto entre un escalar y una matriz: El producto de un escalar por una matriz, es otra matriz del mismo orden que la dada cuyos coeficientes surgen del producto del escalar por los respectivos elementos de la matriz. α= 20 02 A= 1 8 -3 4 -2 6
Propiedades del producto entre un escalar y una matriz: 1. 2. 3. 4. Asociativa para el producto de escalares: Distributiva con respecto a la suma de matrices: Distributiva con respecto a la suma de escalares: Escalar 1 es el neutro: (αβ).A=α(βA) α(A+B)=αA+αB (α+β)A= αA+βA 1.A=A
Producto matricial: Dadas dos matrices Amp y Bpn, la matriz producto será una matriz Cmn, tal que cada elemento cij de C se obtiene como la suma de los productos de los coeficientes de la fila i de A por los respectivos coeficientes de la columna j de B. En símbolos A.B=C donde a11 a12 a21 a22 a13 a23 x b11 b21 b31 b12 b22 b32 b13 b23 b33 = c11=a11.b11+a12.b21+a13.b31 c12 c21=a21.b11+a22.b21+a23.b31 c22 c13 c23
Se deduce que: 1. Para que dos matrices se puedan multiplicar, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda (Se desprende de “dadas dos matrices Amp y Bpn, donde p tiene el mismo valor en A y en B) 2. La matriz resultante tendrá tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda (es decir que el producto de Amp y Bpn, resultará Cmn) Por ejemplo:
Entonces A23 y B32, el n de A es = al m de B… se puede multiplicar. La matriz resultante será C22… Comprobemos. c11= (-1.4+3.1+2.-1) c21= (0.4+1.1+-2.-1) c12= (-1.3+3.1+2.0) c22= (0.3+1.1+-2.0) c11=-3 c21= 3 c12=0 c22=1
Propiedades del producto matricial: Asociativa: Distributiva con respecto a la suma de matrices: Elemento absorbente ɸ: Observación del elemento ɸ: No conmutativa: No transitiva: (A.B).C=A.(B.C) A.(B+C)=A.B+A.C A. ɸ= ɸ Si A.B= ɸ no necesariamente A o B= ɸ A.B ≠B.A Si A.B=A.C no significa A=C A derecha deberá ser Amp.Ipn Matriz transpuesta: Dada una matriz A de orden mxn, su transpuesta es una matriz de orden nxm. Se denota A´ y se obtiene ubicando las respectivas filas de A como columnas de A´. Formalmente: el elemento aij de A será el elemento a´ji de A´. Ejemplo:
La matriz Identidad adecuada (a izq o derecha) es neutra: A izquierda deberá ser Imp.Apn
Propiedades de la transpuesta: 1. 2. 3. 4. (A´)´=A (A+B)´=A´+B´ (α.A)´= α.A´ (A.B)´=B´.A´
TEMA 2.4. Vectores. Definición. Operaciones con vectores.
Vectores: un vector de orden “n”, es un conjunto de n elementos ordenados de números reales los cuales se encierran entre paréntesis o corchetes. Puede considerarse como tipos de matriz. Estructura:
Vector fila: es una matriz de orden 1xn Vectores especiales
Vector columna: es una matriz de orden mx1
Vector unitario: Son aquellos con una componente = 1 y el resto =0. Vector cero: Son aquello en los que todos los componentes son = 0.
TEMA 2.5. Dependencia e independencia lineal de vectores.
Combinación lineal de vectores: es una suma de productos escalares por vectores. Diremos que el vector V es combinación lineal de los vectores V 1, V2, V3, … , Vi, …, Vk si existen escalares α1, α2, α3, …, αi, …, αk tales que: V= α1V1+ α2V2+ α3V3+ …..+ αiVi+ ….. + αkVk Por ejemplo: Dados: V1=[2,-3,5]; V2=[0,1,-2]; V3=[4,2,1] Donde V=3V1-2V2+V3 Entonces V= 3(2,-3,5) – 2(0,1,-2) + (4,2,1) V= (6,-9,15) – (0,-2,4) + (4,2,1) V= (10, -9, 20) siendo este una combinación lineal de los Vectores V1, V2 y V3. Independencia y dependencia lineal de vectores Conjunto de vectores linealmente independiente (L.I.): será tal si la única forma de expresar al vector nulo como combinación lineal de los vectores dados es con todos los escalares iguales a cero. En símbolos, cuando el conjunto de vectores {V1, V2, V3, Vi, …, Vk} cumple:
Ejemplo 1: Para V1= y V2=
+ α2.
Que es lo mismo que decir (por propiedad asociativa del escalar):
Es decir que nos quedan dos ecuaciones: 2α1-α2=0 o 2α1=α2 3α1+2α2=0 Remplazamos uno de los términos 3α1+2(2α1)=0 3α1+4α1=0 7α1=0 α1=0 Significa que los escalares α1 y α2 sólo pueden asumir valor 0 para llevar al vector nulo como combinación lineal. Es decir que es un vector linealmente independiente. Ejemplo 2. Para V1= (3,2,-1) y V2= (-1,1,0) y V3= (1,4,1)
Entonces α1 (3,2,-1) + α2 (-1,1,0) + α3 (1,4,1) α1 3 + α1 2 + α1 -1 + α2 -1+ α2 1+ α2 0+ α3 1 = 0 α3 4 = 0 α3 1 = 0 o o o 3α1-α2+α3= 0 2α1-α2+4α3= 0 -α1+α3= 0
Resolviendo como ecuaciones nos da: 3ra) α1=α3 1ra) 3α1-α2+α1= 0 o 4α1=α2 2da) 2α1-4α1+4α1= 0 o α1= 0 Entonces si α1=α3; α3=0 y si 4α1=α2 entonces α2=0 El vector es linealmente independiente.
Conjunto de vectores linealmente dependiente (L.D.): será tal si se puede expresar al vector nulo como combinación lineal de los vectores dados es con al menos un escalar distinto de cero. En símbolos, cuando el conjunto de vectores {V1, V2, V3, Vi, …, Vk} cumple: Ejemplo 1: Para V1= y V2=
Es decir que nos quedan dos ecuaciones: 2α1-α2=0 o 2α1=α2 -4α1+2α2=0 Remplazamos uno de los términos -4α1+2(2α1)=0 -4α1+4α1=0 0=0 Significa que los escalares α1 y α2 pueden asumir infinitas soluciones para llevar al vector nulo como combinación lineal. Es decir que es un vector linealmente dependiente. Ejemplo 2. Para V1= (1, 0, -3) Entonces α1 (1, 0, -3) α1 1 + α1 0 + α1 -3 + α2 2+ α2 1+ α2 -3+ y + V2= (2, 1, -3) α2 (2, 1, -3) o o o y + V3= (4, 3, -3) α3 (4, 3, -3)
α3 4 = 0 α3 3 = 0 α3 -3 = 0
α1+2α2+4α3= 0 α2+3α3= 0 -3α1-3α2-3α3= 0
Resolviendo como ecuaciones nos da: 2da) α2=-3α3 1ra) α1+2(-3α3)+4α3= 0 o α1=-2α3 3ra) -3(-2α3)-3(-3α3)+3α3=0 o 6α3-9α3+3α3= 0 o 0=0 El vector es linealmente dependiente.
Teoremas de dependencia linear: 1. Dos o más vectores son linealmente independientes si y sólo si, uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. 2. Todo conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente, es linealmente dependiente. 3. Todo subconjunto de un conjunto linealmente independiente, es linealmente independiente. 4. El vector nulo es linealmente dependiente. Por lo tanto todo conjunto que contenga el vector nulo es linealmente dependiente. 5. Un conjunto de con más de n vectores de n componentes es linealmente dependiente. 6. Un único vector distinto del nulo es linealmente independiente. 7. Si en un conjunto de vectores (donde el nulo no esté incluido) es tal que cada uno de ellos tiene más ceros que el anterior el conjunto es linealmente independiente.
TEMA 2.6. Otros. Fuera de programa pero en SAM. Integración de conceptos de ecuaciones lineales y matrices.
Formas de representación de un sistema de ecuaciones: Un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser expresado en forma general con la ESTRUCTURA:
Donde: xj, representa la incógnita “j” para j= 1, 2, 3, …, n aij, indica el coeficiente en la ecuación “i” que acompaña a la incógnita xj, para i= 1, 2, …, m para j= 1, 2, …, n bj, indica el término independiente de la i-ésima ecuación. Ejemplo: 2.x1+(-1).x2 + 3.x3 = 3 1.x1+ 0.x2 +(-1).x3 = -2 1.x1+ 1.x2 + 1.x3 = 6 Dónde: x1 es = x b1 es = 3 x2 es = y b2 es = -2 x3 es = z a33 es = 1 b3 es = 6 incógnitas y coeficientes y términos independientes. a11 es = 2 a22 es = 0
Dado un sistema de ecuaciones lineales, es posible representarlo en forma matricial o vectorial.
Forma matricial de un sistema: Estructura general:
Notación: A.X=B. Dónde A es la matriz de coeficientes del sistema, X es el vector de incógnitas y B es el vector de términos independientes. Ejemplo: 2 1 1 -1 0 1 3 -1 1 . x y z = 3 -2 6
Forma vectorial de un sistema Estructura general:
Así representamos un sistema de ecuaciones como una combinación lineal de vectores. Es decir como la suma del producto de escalares (x, y, z) por vectores [(a 11, a21, a31), (…), (a13, a23, a33) Ejemplo: 2 X 1 1 + y -1 0 1 + z 3 -1 1 = 3 -2 6
Matriz ampliada del sistema: Es aquella que surge de agregar el vector de términos independientes a la matriz de coeficientes del sistema. Notación: A|B Estructura:
Ejemplo: 2 1 1 -1 0 1 3 -1 1 3 -2 6
TEMA 2.2. La matriz como representación de un problema económico
More From This UserMemoria Del Estado de La Nacion 2003Calidad HilanderiaMetodos Cuantitativos Para Administracion Hillier-3edHMVI- Modelos de Simulación - Modulos 3y4bHMVI- Modelos de Simulación - Modulos 1y2Practica Profesional Primera Entrega Empresa Negocio SectorAvanzado 1 Alicia CaturegliCALENDARIO ACADEMICO MD 1° SEM 20140331 - v11-12-13Prefactibilidad y Preinversion - Capital de Trabajo Ejercicios Con RtasManual de SAM GoCourse Curso de Finanzas Derecho Financiero y Tributario - Villegas HectorRegimen Tributario - Modulos 3y4. UES21Regimen Tributario - Modulos 1y2-UES21GERENCIA DE PROCESOS Navarrete Cap 1 a 6.docxAdministracion de RRHH - Modulos 3y4.docxAdministracion de RRHH - Modulos 1y2.docxCash+Flow+Financiero+0grafica_zAE Mintzberg-Y-otros 1 Unidad 1Estrategia - Modulos 3y4Mapas Estrategicos Kaplan&NortonADO09 Guia de CostosAnálisis Cuantitativo Financiero - Modulos 3y4Estrategia - Modulos 1y2-ResumenAnálisis Cuantitativo Financiero - Modulos 1y2
1 B - Matematica I - Algebra I by Joraky16 viewsEmbedDownloadRead on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Download as DOCX, PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMore informationShow less

References: resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 Resolución 

Resolución