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Timestamp: 2018-12-09 20:33:40+00:00

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Planificacion de Proporcionalidad
Uploaded by Saraí Torres
plan de proporcionalidad
Planificacion Regla de 3.
regladetresyporcentajes-120628214828-phpapp02
(virtual) - Módulo Matemática 1º Unidad 5
SESIÒN MATEMÀTICA
Tarea Lv Propedeutico Mat. Carina
Curso Propedeutico de Matematica
Ts Cur Reg Mate II p 001 107
Matemáticas 1 - Ejercicios 1a Etapa
sesion proporcionalidad.docx
Variaciones Proporcionales y Porcentajes (1)
Fracciones-equivalentes-03.pdf
1Batanero.pdf
Tabla de Especificaciones Formato
Anonimo - Historia de las Matematicas.pdf
M-Geometria0.pdf
EXAMEN CORRESPONDIENTE AL PRIMER PARCIAL 3°
LEY PROTECCIÓN NIÑAS(OS)-ADOLESC.pdf
COA OCTAVO SEMESTRE.pdf
Probabilidad Razon e y i
1Batanero
Acuerdo 592 Educacion Basica
GuiaEGEL-ENF.pdf
Autoeficiencia, Anciedad y Rendimiento
Probab i Lida
José Vasconcelos - La Raza Cósmica 1
Planificación general del contenido
Nombre del docente en formación: Irene Sarai Torres Herrera
Nombre del docente tutor: Guadalupe Verónica Peláez Ariza
Grado del grupo de práctica: 2°
Bloqu Eje Tema Subtema Didácticas
Relación de Favorecer el uso de
proporcionalida procedimientos
Manejo de Análisis de d informales y discutirlos,
incluso si los alumnos
tienen en cuenta otros
criterios ajenos a la
proporcionalidad, tales
como la amistad, la edad,
Conocimientos y Habilidades Sesiones
Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad
y el factor de proporcionalidad fraccionaria.
 Planteamiento y resolución de problemas
CONCEPTOS DE PROPORCIONALIDAD
Como anotamos anteriormente la teoría de las razones y las proporciones se
debe esencialmente a Eudoxio de Cnido y quedó plasmada esencialmente en el
libro V de los elementos de Euclides. De allí tomamos dos definiciones básicas:
las de razón y proporción.
En la definición 3 tenemos que:
Una razón es determinada relación respecto a su tamaño entre dos magnitudes
Nota: con respecto a esta definición resulta importante aclarar que en la
actualidad también se consideran razones a aquellas comparaciones entre
magnitudes no homogéneas (por ejemplo, una distancia recorrida durante cierto
tiempo); a este tipo de razones la llamaremos tasas en este trabajo.
En las definiciones 5 y 6, trata la definición de magnitudes proporcionales:
Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda
magnitud, que una tercera magnitud con una cuarta magnitud, cuando cualquier
equimúltiplo de la primera y la tercera exceden a la par, sean iguales a la par o
sean inferiores a la par, que cualquier equimúltiplo de la segunda y la cuarta,
respectivamente y cogidos en el orden correspondiente. Dicho tipo de magnitudes
se llaman proporcionales.
Esta definición es la que permitirá manejar las magnitudes inconmensurables, o
los números irracionales y que según varios autores fue usada por Dedekind en
su definición de los irracionales como una cortadura del conjunto de los números
El libro V es entonces referencia obligada en la teoría de las proporciones.
Lo que allí es una razón entre magnitudes, lo traduciremos como un número
racional y podemos entonces traducir a nuestro lenguaje algebraico varios de los
teoremas allí contenidos y que son de nuestro interés. Por ejemplo, la proposición
5 de dicho capítulo afirma:
Si una magnitud es el mismo múltiplo de otra, que una magnitud restada a la
primera lo es de otra restada a la segunda; la magnitud que queda de la primera
la proporción se denota b d ó a : b : : c : d y se lee ”a es a b como c es a d” 1. sin distorsionar las relaciones que guardan entre sí los elementos que componen la realidad que se representa. a c a c = Si las razones iguales son b y d . y que un medio es igual al producto de los extremos dividido entre el otro medio: b×c a× d a×d b×c a= b= c= d= d c b a a c 2. decimos que esa . y a−c=n ×(b−d) entonces b b−d = Lo cual es obvio mirado desde el sistema de los números racionales. el producto de los medios es igual al producto de los extremos: a c = ↔ a× d=b × c b d De aquí se desprende que un extremo es igual al producto de los medios dividido entre el otro extremo. b. c. d. plano o dibujo. En toda proporción. Cuando esta representación se hace correctamente. n ∈ Z+ a a−c Si a=n ×b . b d pueden derivarse otras tres proporciones diferentes: a b b d c d = = = c d a c a b LAS ESCALAS Las escalas aluden al conocido problema de representar algún objeto o parte de la realidad de un mapa. de toda proporción = o de su expresión equivalente a × d=b × c . EL CONCEPTO MATEMÁTICO DE PROPORCIÓN Se llama proporción al conjunto de dos razones iguales.será también el mismo múltiplo de la magnitud que queda de la segunda que la magnitud entera de la magnitud entera. Al ser traducida al lenguaje algebraico se tendría que: Sean a.
sino después de analizar y comprender el proceso de . al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera. El vínculo de la relación es. la razón que liga a los dos valores de cada par relacionado. si los valores de la magnitud y están relacionados con sus correspondientes de la magnitud x mediante la razón r.representación está hecha a “escala”. Si denominamos: d a la medida del objeto en el plano. Podemos establecer la siguiente proporción: D 1 = d N Y de aquí. mapa o dibujo. esta regla no debe enseñarse en primer lugar ni como procedimiento único. 1/N a la escala utilizada. REGLA DE PROPORCIONALIDAD (La Regla de tres) Este procedimiento puede plasmarse en lo que se reconoce tradicionalmente como la técnica de la regla de tres. la relación entre ambas magnitudes puede representarse simbólicamente mediante la fórmula: y=r × x esta expresión nos permite obtener cualquier valor desconocido si se conocen los otros dos valores en juego. D a la medida del objeto en la realidad. Regla mecánica: Se multiplican los valores de la diagonal donde no está la incógnita y se divide entre el término restante. justamente. la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE DOS MAGNITUDES Dos magnitudes están en una relación de proporcionalidad directa cuando. en virtud de la propiedad 1 deducimos: D = N x d & d = D/N. En general. establecida para resolver situaciones en las que al formarse una proporción con dos pares de factores correspondientes de dos magnitudes ligadas mediante una relación de proporcionalidad – de los cuatro valores implicados se conocen tres y se desconoce uno. Evidentemente.
entonces al valor r de la primera magnitud le corresponde el valor buscado r % de C". lo que se mantiene constante es el producto entre pares de valores correspondientes. p ×100= c PROPORCIONALIDAD INVERSA ENTRE DOS DIMENCIONES Las magnitudes de velocidad y tiempo no están en una relación de proporcionalidad directa. r ×c r de C= 100 Tanto por ciento correspondiente a una proporción Sin embargo al Calcular el % que representa una cantidad P de un total C equivale a resolver una actividad de magnitudes directamente proporcionales: "Si al valor C de la primera magnitud le corresponde el valor 100 de la segunda. al aumentar los valores de una. Pero descubrimos que en las situaciones como las del ejemplo. y viceversa. por el contrario.? Desarrollar este procedimiento se puede comprobar que para calcular el % se divide P por C y se multiplica por 100. . entonces al valor P de la primera magnitud le corresponde el porcentaje buscado. lo que se mantiene constante es la relación entre pares de valores correspondientes. 100 -----------.C r -----------.100 P -----------.proporcionalidad directa. EL CASO PARTICULAR DEL PORCENTAJE Tanto por ciento de una cantidad Calcular el r % de una cantidad C equivale a resolver una actividad de magnitudes directamente proporcionales: "Si al valor 100 de la primera magnitud le corresponde el valor C de la segunda. disminuyen los valores de la otra.r % de C Sin embargo al desarrollar este procedimiento se puede comprobar que para calcular el r % de C se multiplica C por r y se divide por 100. C -----------. En las situaciones de proporcionalidad directa.
México. Departamento de Matemática Educativa. t= = =1. RAZONAMIENTO PROPORCIONALIDAD. Colombia 2012  M.Pertinencia de su uso: Sí: estamos en una situación de proporcionalidad inversa. Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. CONTRIBUCIONES PARA LA DOCENCIA. UNA INGENIERÍA DIDÁCTICA APLICADA SOBRE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Ideas centrales a desarrollar en cada clase 1. Instituto Superior del Profesorado “Dr. Resolución de problemas a partir de tablas de frecuencia 4. Federación Internacional Fe y Alegría. Disposición de los datos: Velocidad (km/h) Tiempo (h) 60 2 75 t Razonamiento: Si a una velocidad de 60 km/h se tardan 2 horas. 75 veces menos: 60 × 2 60× 2 120 . Andonegui Zabala. Resolución de problemas con la regla de proporcionalidad (regla de tres) 3. Fuentes de consulta  J. González”. Resolución de problemas autónomos . a la velocidad de 1km/h se tardaría 60 veces más (60 x 2). De donde. Veiga.  D. Joaquín V. Problematización del alumno con base a sus conocimientos previos 2. Mochon Cohen. Facultad de Ciencias Bogotá. y a una velocidad de 75 km/h. 2012. Holguín Ortega. 2006  S. MATEMÁTICAS. Esquematización para relacionar el factor inverso de una situación proporcional 5. Universidad Nacional de Colombia. 75 75 75 Regla mecánica: Se multiplican los valores de la misma fila y se divide entre el término restante.6 . RAZONES Y PROPORCIONES. Enseñanza del razonamiento proporcional y alternativas para el manejo de la regla de tres. Díaz C.
00 porque si se compra medio kilogramo el precio también reduce a la mitad .00 porque se le quita la mitad a $10 pesos  $5.00 porque se multiplica por dos el precio de un kilogramo.00 y les piden que compren 2 kilogramos. Sesiones 1 2  Problematización del alumno  Resolución de problemas a partir con base a sus conocimientos de tablas de frecuencia previos  Resolución de problemas con la regla de proporcionalidad (regla de tres) 3 4  Esquematización para  Resolución de problemas relacionar el factor inverso de autónomos utilizando el factor una situación proporcional inverso de una situación proporcional Plan de clase 1/4 Ejercicios/problemas Los alumnos: INICIO Se pregunta a los alumnos ¿Quiénes de ellos han ido a comprar a una tortillería? Respuestas esperadas La mayoría ha ido Se pregunta a los alumnos: sí.00 porque si un kilogramo vale $10 el doble es $20 Si les piden que compren la mitad de un kilogramo ¿Cuánto pagarán? Respuestas esperadas  $5.  $20. ¿Cuánto pagarán? ¿Por qué? Respuestas esperadas  $20. un kilogramo de tortillas cuesta $10.
5.00 ¿Cuál es el costo a pagar si la prenda de vestir tiene un 15% de descuento? Para encontrar el costo del pantalón utilizaremos esta técnica: Costo total del pantalón porcentaje $350 100% Descuento en pesos Descuento x 15% La regla indica que tenemos que multiplicar los valores conocidos que están en diagonal en este caso 350 x 15 y el resultado dividirlo entre el valor que nos queda es decir 5250 entre 100 y el resultado es igual al 15% del pantalón $52.50 es el costo del pantalón Se pide a los alumnos que anoten el problema que se les dicta y lo resuelvan . DESARROLLO Para comenzar se pide a los alumnos que habrán su complemento matemático en la página 32 donde aparece el problema siguiente: En una tienda comercial el precio del pantalón de vestir es de $350. ¿Ahora qué hacemos con el 15%? Respuestas esperadas Se resta a el total del costo del pantalón Se resta $350 – $52.¿Saben que lo que acaban de responder tiene que ver con el concepto de probabilidad? Respuestas esperadas  No.  Sí. porque tienen relación los kilogramos y el precio.  Es como la igualdad Utilizando las aportaciones de los alumnos se define el concepto de proporcionalidad Concepto de proporcionalidad Es la relación que se encuentran entre dos magnitudes medibles. ¿Alguien me puede dar el concepto de proporcionalidad? Respuestas esperadas  Es la relación que se encuentra entre dos cosas  Es cuando se reduce o se aumenta algo como en la tortilla y el precio.5 para obtener el nuevo precio del pantalón La respuesta del problema es: $297.
porque los dos son de porcentaje  Sí. el de la tienda anterior o el de esta tienda? Procedimiento y respuestas esperadas.00 ¿Qué porcentaje de descuento es mayor. Costo total del pantalón porcentaje $350 100% Descuento en pesos Descuento en porcentaje $105 105 x 100 = 10 500 10 500 ÷ 350= 30 350 – 105 = 245 El porcentaje del descuento es del 30% El de la segunda tienda fue más alto y el costo del pantalón es de $ 245 Comparando los dos problemas y sus operaciones: ¿En que se parecen? Posibles respuestas  En que los dos problemas fueron de porcentajes  En que en los dos problemas utilizamos el 100 y el pantalón era el mismo. ¿Alguien resolvió anteriormente los problemas de porcentaje con otro método? Respuestas posibles Sí. ¿En qué son diferentes? Posibles respuestas  En que en el primero sacamos precio y en el segundo porcentaje  En que en el primero dividimos entre 100 y en el segundo multiplicamos por 100  En que en el primero multiplicamos por el valor del pantalón y en el segundo lo dividimos ¿Crees que los problemas están relacionados? ¿Por qué? Posibles respuestas  Sí. dividiendo el porcentaje que nos dicen entre 100 y multiplicándolo por el total . porque las cantidades eran las mismas aunque las operaciones variaban Se pregunta a los alumnos: Aparte de la regla de proporcionalidad.00 en esta tienda se le hizo un descuento de $105.individualmente: En otra tienda se encuentra el pantalón de vestir del problema anterior que costaba $350.
porque las operaciones fueron las mismas solo cambiaron las cantidades. o no llegan a las operaciones de manera correcta o tienen un error al hacer las . Recursos didácticos  Cuaderno de notas  Complemento didáctico  Regla Consideraciones previas Por lo general los estudiantes plantean correctamente la regla de tres pero. porque el precio del teléfono es el mismo solo vario el porcentaje Sí. porque entre mayor era la cantidad mayor era el porcentaje del descuento y entre menor fuera el descuento menor era la cantidad.25 $2485 .No.25 = $ 2360.75 CIERRE se dicta el siguiente problema que tiene que resolver los alumnos: Un teléfono celular tiene un precio de $ 2485. Sí. ¿de qué manera? Posibles respuestas Sí.5 x100 = 24850 24850 ÷ 2485 = 10 10% Al comparar como resolvieron los dos problemas: ¿Crees que están relacionados?. en la página 32 Un teléfono celular tiene un precio de $ 2485.00 si tiene un descuento del 5% ¿Cuál es la cantidad a pagar? Respuesta 2485 = 100% X = 5% 5 x 2485 = 12425 12425 ÷ 124.$124.00 si tiene un descuento de $248. solo por regla de tres problema que se encuentra en el complemento.5 248.5 ¿Cuál es el porcentaje que se está descontando? Respuesta esperada 100 = 2485 x =248.
lo cual los lleva a cometer errores. en la primaria lo vimos Sí. Observaciones del Tutor Plan de clase 2/4 Ejercicios/problemas INICIO Retroalimentación Se pregunta a los alumnos si alguien recuerda: ¿Qué es proporcionalidad? Respuestas esperadas  Es la relación que hay entre dos magnitudes  Es como la relación entre el descuento del teléfono y el porcentaje del descuento  ¿Cuál es el método que utilizamos la clase anterior para encontrar la proporcionalidad en los problemas de porcentaje? Respuestas esperadas  Regla de proporcionalidad Se menciona a los alumnos que no es el único método que hay para resolver problemas de proporcionalidad.00 ¿Cuánto valdrán 3m. Los estudiantes que aplican la regla de tres. 12m de cinta? .operaciones. 10m. la clase de hoy se utilizará un nuevo método que tal vez ya conozcan. llamado tabla de frecuencia Se pregunta a los alumnos: ¿Alguien ha utilizado este método? ¿Dónde? Respuestas esperadas Sí. 6m. en los problemas de precios DESARROLLO Se dicta un problema a los alumnos: Un metro de cinta vale $24. lo hacen de manera mecánica y descontextualizada.
Los alumnos anotan la tabla en su cuaderno y también la siguiente pregunta que se dicta: ¿Qué operaciones hiciste para llenar la tabla? Respuestas esperadas Multiplique los metros por 24 Multiplique todas por 24 a excepción de la segunda que lo que me dio lo multiplique por dos porque 6 es el doble de 3. Nota: En caso de usar cantidades menor a uno escribir en fracción. . se encuentra la constante de proporcionalidad que permite saber los metros de una cinta conociendo el precio que se cobra. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite saber el costo de los metros de cinta que se encuentran en la tabla? 24 Se les hace otra pregunta: Resuelve con una tabla de frecuencia individualmente y explica tu procedimiento.Este problema se realiza en el salón de clases de manera grupal Para resolver se pide a los alumnos que hagan una tabla de frecuencia como la que se muestra a continuación: Cinta Metros Precio 1 24 3 6 10 12 Con la participación de todo el grupo de manera ordenada se llena la tabla Cinta Metros Precio 1 24 3 72 6 144 10 240 12 288 Observen que al saber cuánto cuesta un metro de cinta.
a otra $48. a otra $ 120 a una más $216 y al final $12 a otra. que es: 24___ 1 O se divide entre: 24 Metro Precio 1 Se multiplica por la constante de proporcionalidad. que es: 24 Se divide entre: 24 Del diagrama anterior rescatamos: Que en la primer pregunta da el mismo resultado multiplicar por 24 que dividir . ¿Cuántos metros de cinta lleva cada una? Respuestas esperadas Cinta Metros Precio 1 24 1 1 24 1 12 2 2 48 5 120 9 216  Todos los precios los dividí entre 24 porque es el precio de un metro  Como vi que 12 es la mitad de 24 escribí que la mitad de 1 y en el de 48 multiplique el 1 por 2 porque es el doble de 24 y a los demás si le dividí 24 ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite saber los metros de cinta utilizando el precio? 1 24 Veremos el esquema de proporcionalidad del problema: Se multiplica por la constante de proporcionalidad.Si a una señora le cobran $1.
que lo que pesa en la Luna. 1 En la segunda pregunta da el mismo resultado multiplicar por 24 que dividir entre 24 que es su recíproco. Peso de una barra de plomo Peso en la Tierra ( en kilogramos) Peso en la Luna (en kilogramos) 720 120 a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en la Luna a partir de su peso en la Tierra? respuesta 1 6 de kilogramo b) Si una barra de plomo pesa 18 kg. 1 entre 24 que es su recíproco. Marte o en algún otro lugar del sistema solar. ¿Alguien sabe que es un recíproco? Respuesta esperada Un número que multiplicado por otro da la unidad CIERRE Se pide a los alumnos que resuelvan el siguiente problema utilizando el diagrama de proporcionalidad y la tabla de frecuencia: ¿Sabías que el peso de un objeto varía en función de la fuerza de gravedad que actúa sobre él? Esto significa que un objeto no pesa lo mismo en la Tierra. Pesa en la Luna? respuesta 3 kilogramos c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el peso de un objeto en la Tierra a partir de que se conoce su peso en la Luna? Respuesta 6 kilogramos d) Si una barra de plomo pesa 25 kg en la Luna ¿Cuántos kg. ¿Cuántos kg. Pesa en la Tierra? Respuesta 150 kilogramos e) ¿Cuántas veces es más pesado un objeto en la Tierra que en la Luna? Respuesta . En la Tierra.
El siguiente diagrama ilustra esta situación. que ayuda a obtener los valores de una de esas cantidades ¿Cómo se saca la constante de proporcionalidad? Al encontrar el valor unitario de cada cantidad que usamos ¿Qué es un recíproco? Es un número que multiplicado por otro da como resultado 1 DESARROLLO Cuando dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales. Relación 1 Conjunto A Conjunto B . 6 veces Recursos didácticos  Cuaderno de anotaciones  Regla  Calculadora Consideraciones previas Los alumnos desarrollan más el razonamiento proporcional en problemas intuitivos que en problemas numéricos Observaciones del Tutor Plan de clase 3/4 Ejercicios/problemas INICIO Retroalimentación: ¿Qué es una constante de proporcionalidad? Es una relación entre dos cantidades. siempre hay un juego de dos relaciones de proporcionalidad.
al revés. las constantes de proporcionalidad asociadas a estas dos relaciones son recíprocas una de la otra. Ejemplo Lucia va a hacer una fiesta de cumpleaños para su hija y quiere hacer bolsitas de dulces para sus invitados. ¿Cuántas paletas de caramelo necesita comprar para 50 invitados? Paletas Bolsas Multiplico por 8 Si lucia ya cuenta con 80 paletas ¿para cuantas bolsas alcanzan? Se multiplica 1 por 8 Paletas Bolsas Multiplico por 8 Paletas Bolsas 8 1 400 50 80 10 CIERRE Encuentra: Cuantas paletas necesita si en lugar de invitar a 50 personas invita a: a) 60 personas b) 30 personas . Relación 2 La relación 1 permite encontrar las cantidades del conjunto B a partir de las cantidades del conjunto A. se dice que estas dos relaciones son inversas una de la otra. si a cada bolsa le pondrá 8 paletas de caramelo. La relación 2. permite encontrar las cantidades del conjunto A a partir de las cantidades del conjunto B. Además.
Tienen dificultad para entender porque al dividir el cociente de la constante de proporcionalidad se encuentra el mismo resultado. con la cual concluiremos este tema. Observaciones del tutor Plan de clase 4/4 Ejercicios/problemas INICIO Como la clase pasada ya resolvimos problemas de proporcionalidad con factor inverso utilizando la constante de proporcionalidad y su reciproca en esta clase haremos una actividad. DESARROLLO El siguiente es el dibujo de un rompecabezas . c) 14personas Cuantas bolsas necesita si ya tiene: a) 40 paletas b) 128 paletas c) 72 paletas ¿Qué hiciste para obtener los resultados? ¿Por qué? Recursos didácticos  Cuaderno de notas  Calculadora Consideraciones previas Los alumnos llegan a confundirse en las relaciones que se encuentran entre los conjuntos.
Al final armen las copias del rompecabezas.5 b) Construyan las piezas de la copia del rompecabezas.Se va a hacer una copia del rompecabezas de la figura 1 de manera que el lado que mide 4 centímetros mide ahora 7 centímetros a) Completen la siguiente tabla para encontrar algunas medidas de la copia Medidas en el original (en centímetros) Medidas en la copia (en centímetros) 4 7 2 3. Cada uno de los integrantes del equipo construirá una pieza diferente.5 1 1. la que permite encontrar las medidas del original a partir de las medias de la copia? Respuesta 4 7 CIERRE .75 6 10. c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar las medidas del original a partir de las medidas de las copias? Respuesta 7 4 d) ¿Cuál es la constante de la proporcionalidad de la relación inversa.
Completen la siguiente tabla para encontrar algunas medidas que tendrá la nueva copia del rompecabezas. se encuentren con que las figuras no “encajan”. lo que provocará que al intentar armar nuevamente el rompecabezas. Medidas en el original (en Medidas en la copia (en centímetros) centímetros) 2 3 4 6 6 9 a) ¿por qué número hay que multiplicar las medidas de la figura 1 para obtener las medidas de la nueva copia? Respuesta 3 2 b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que nos permite obtener las medidas del rompecabezas original a partir de las medidas de la copia? Respuestas 2 3 Recursos didácticos  Rompecabezas  Tijeras  Regla  Cuaderno de notas  Cartulina Consideraciones previas Debido al tratamiento del concepto de proporcionalidad directa en años anteriores. suelen incurrir en errores epistemológicos. Como consecuencia. Mida ahora 3 cm. Se va a hacer otra copia del rompecabezas de la figura 1 pero de tal manera que el lado que mide 2 cm. es de esperar que los alumnos intenten “agrandar” el rompecabezas sumando los centímetros faltantes a las figuras originales. más y a menos. Por lo tanto. 1. Observaciones del tutor . muchos alumnos reducen sus conocimientos de proporcionalidad a comentarios del tipo “a más. menos”.
Rafael Cano Olmos. Bo. Bo. del Tutor Lic. Guadalupe Castillo Peña Verónica Peláez Ariza Vo. del Director Lic. . Bo. Gilberto Lic. del Asesor Vo.Vo.
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