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Timestamp: 2018-09-23 11:16:20+00:00

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Licenciatura en Matemáticas - ECFM-wiki
De ECFM-wiki
1 Segundo Semestre 2016
2 Primer Semestre 2016
3 Segundo Semestre 2015
4 Cursos y contenidos mínimos
4.1 Cursos Obligatorios
4.1.1 Primer Semestre
4.1.2 Segundo Semestre
4.1.3 Tercer Semestre
4.1.4 Cuarto Semestre
4.1.5 Quinto Semestre
4.1.6 Sexto Semestre
4.1.7 Séptimo Semestre
4.1.8 Octavo Semestre
4.1.9 Noveno Semestre
4.1.10 Décimo Semestre
4.2 Cursos Electivos
4.2.1 Noveno Semestre
4.2.2 Décimo Semestre
Curso Profesor Programa
Cálculo 1 Rubén Narciso
Cálculo 2 Rubén Narciso
Taller de Matemática 2 Hugo García
Álgebra Lineal 1 José Carlos Bonilla
Cálculo 3 Alan Reyes
Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1 Alan Reyes
Programación Matemática 1 Hugo García
Análisis de Variable Real 1 Damián Ochoa
Ecuaciones Diferenciales Parciales 1 José Carlos Bonilla
Estadística 2 Frank Frietzsche
Estadística 3 Frank Frietzsche
Análisis de Variable Compleja 2 José Carlos Bonilla
Geometría Diferencial Alan Reyes
Álgebra Moderna 2 Rodolfo Samayoa
Optimización 1 William Gutiérrez
Análisis Funcional 2 Hugo García
Seminario de Matemática 1 Hugo García
Métodos de Predicción en Economía William Gutiérrez
Seminario de Matemática 2 William Gutiérrez
Introducción a las Estructuras Algebraicas José Carlos Bonilla
Taller de Matemática 1 Hugo García
Álgebra Superior Rubén Narciso
Geometría y Trigonometría Analítica Rubén Narciso
Cálculo 2 Alfredo Vásquez
Matemática Discreta Hugo García
Álgebra Lineal 2 José Carlos Bonilla
Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2 Alan Reyes
Estadística 1 William Gutiérrez
Análisis de Variable Real 2 José Carlos Bonilla
Análisis de Variable Compleja 1 Alfredo Vásquez
Álgebra Moderna 1 Rodolfo Samayoa
Análisis Numérico 1 William Gutiérrez
Análisis de Variable Compleja 2 Alfredo Vásquez
Análisis Funcional 1 Hugo García
Análisis Numérico 2 William Gutiérrez
Seminario de Matemática 2 Hugo García
Introducción a los Sistemas Dinámicos Alan Reyes
Ecuaciones Integrales Alfredo Vásquez
Teoría de Galois Alan Reyes
Cálculo 1 Alan Reyes
Geometría José Carlos Bonilla
Cálculo 3 Alfredo Vásquez
Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1 Oceas Paredes
Análisis de Variable Real 1 Alfredo Vásquez
Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2 Oceas Paredes
Análisis de Variable Real 2 Alfredo Vásquez
Análisis de Algoritmos Hugo García
Topología José Carlos Bonilla
Modelación Matemática William Gutiérrez
Optimización 1 Oceas Paredes
Optimización 2 William Gutiérrez
Teoría de Números José Carlos Bonilla
Cursos y contenidos mínimos
F103 Metodología de la Investigación
Contenido: Naturaleza de la ciencia, investigación, método y metodología. El concepto de paradigma en investigación social. Tipos de investigación según los objetivos perseguidos: estudios exploratorios, descriptivos, correlacionales y explicativos. Líneas de investigación, áreas, temas y problemas de investigación. El marco teórico o concepción teórica del problema. Aspectos constitutivos del marco teórico en una investigación. Las variables principales en una investigación y su medición.
M102 Introducción de las Estructuras Algebraicas
Contenido: Noción del concepto de conjunto. Historia y desarrollo de la teoría de los Conjuntos. Concepto de Proposición. Conectivos, propiedades y operaciones. Estructura de los teoremas matemáticos. Operaciones definidas entre conjuntos. Relación, Relaciones binarias. Demostraciones por doble contención. Demostración por contraejemplo. El principio de inducción matemática. El principio del elemento mínimo. Las sumas de las potencias de los enteros. Aplicación del principio de inducción matemática para la demostración de propiedades de naturales y enteros. Estructura del método de demostración directa. Demostraciones directas de teoremas estructurados como implicación y como doble implicación. Demostración directa de ciclo cerrado de implicaciones. Demostración de teoremas aritméticos y geométricos, por el método directo. El orden de los números racionales. Campos ordenados. La relación de orden. Valor absoluto. Demostraciones relacionadas con conjuntos acotados. Elemento máximo y cota superior. El supremo de un conjunto. Métodos de demostración indirecta. Demostración de propiedades de los números racionales y reales, mediante pruebas indirectas.
M103 Taller de Matemática 1
Contenido: ¿Cómo plantear y resolver problemas? Analogía. Casos particulares. Casos más generales. Experimentos numéricos. Reformulación del problema. División del problema en problemas menores. Problemas geométricos. Problemas aritméticos. Problemas algebraicos. Problemas combinatóricos. Desigualdades e inecuaciones.
M104 Álgebra Superior
Contenido: Números Reales y Complejos. Polinomios de una variable. Las ecuaciones algebraicas y sus raíces. Raíces racionales. La ecuación cúbica y bicuadrática. Separación de raíces. Funciones simétricas. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2×2 y 3×3. Eliminación Gaussiana en sistemas de ecuaciones 2×2 y 3×3.
M105 Geometría y trigonometría analítica
Contenido: Coordenadas y vectores en el plano y el espacio. Álgebra de vectores. Producto escalar. Norma de un vector. Distancia entre dos puntos. Ángulo entre vectores. La recta en el plano y el espacio. Las secciones cónicas. La circunferencia y las funciones trigonométricas. Las identidades trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas. El plano.
F203 Historia de la Ciencia
Requisito: F103
Contenidos: La ciencia en la antigüedad clásica y el Medioevo. El renacimiento y Galileo. Revolución científica e ilustración, La ciencia moderna y contemporánea, Historia de la ciencia en América Latina y Guatemala.
M202 Cálculo 1
Requisito: M104, M105
Contenidos: Funciones continuas. La definición de continuidad de una función. Teoremas básicos sobre límites. Cálculo diferencial. El álgebra de derivadas. La regla de la cadena. Valores extremos de funciones. Los conceptos del cálculo integral. Funciones. El concepto de área. Intervalos y conjuntos ordenados. Particiones y funciones escalonadas. La integral de funciones escalonadas. La integral de funciones más generales. Integrales superior e inferior. Demostraciones de las propiedades básicas de la integral. La integrabilidad de funciones continuas. Relación entre integración y diferenciación. Áreas entre curvas.
M203 Cálculo 2
Contenidos: Reglas básicas de Integración. Integración por partes. Integrales trigonométricas. Sustituciones Trigonométricas. Volúmenes. Volúmenes mediante cascarones cilíndricos. Trabajo. Valor promedio de una función. Integración de funciones racionales por fracciones parciales, otras técnicas de integración. Integración aproximada. Integrales impropias. Sistema de coordenadas polares. Curvas definidas por ecuaciones paramétricas. Longitud de arco y área de una superficie de ecuaciones paramétricas. Curvas polares. Áreas y longitudes en coordenadas polares. Sucesiones, series infinitas e integrales impropias. Pruebas de convergencia. Convergencia condicional y absoluta. Sucesiones y series. Convergencia uniforme. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme e integración. Series de potencias. Series de Taylor y Maclaurin.
M204 Taller de Matemática 2
Requisito: M103
Contenidos: Revisión de las estrategias heurísticas. La axiomática y la demostración en matemáticas. Demostración por reducción al absurdo. Demostración por inducción matemática. Problemas de geometría. Problemas de aritmética. Problemas de álgebra y trigonometría. Problemas de combinatórica. Problemas de lógica.
M205 Álgebra Lineal 1
Requisito: M102 - M105
Contenidos: Campos y espacios vectoriales. El campo de los números reales R. Vectores en el plano R2 y en el espacio R3. Norma, producto interno, distancia entre vectores. Interpretaciones geométricas. Definición de un K-espacio vectorial. Dependencia e independencia lineal de vectores. Subespacios y bases. Transformaciones lineales y matrices. Transformaciones lineales. Matrices, tipos de matrices, operaciones con matrices. Cambio de base. Forma normal de Hermite y aplicaciones. Determinantes. Definición del determinante de una matriz. Teorema de Hamilton-Cayley. Valores y vectores propios. Semejanza. Funcionales. Funcionales lineales. Formas bilineales. Formas cuadráticas. Formas Hermitianas.
F304 Filosofía de la Ciencia
Requisito: F203
Contenidos: Materialismo Mecanicista, Neokantismo y Neopositivismo. Ciencia y método científico. Validez del conocimiento y criterios de verdad. Paradigmas y evolución científica.
M302 Cálculo 3
Requisito: M202, M203
Contenidos: Las superficies cuadráticas. El cálculo de funciones vectoriales. Límites, derivadas e integrales. Aplicaciones a curvas, tangentes. Longitud de arco de una curva. Curvatura de una curva. Cálculo diferencial de campos escalares y vectoriales. Límite y continuidad. La derivada de un campo escalar respecto a un vector. Derivadas direccionales y derivadas parciales. La derivada total. La regla de la cadena. Derivadas parciales mixtas. Máximos, mínimos y puntos de ensilladura. La naturaleza de los puntos estacionarios determinados por los valores propios de la matriz Hessiana. Integrales de línea. Independencia del camino. Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un gradiente. Integrales múltiples. El teorema de Green en el plano. Regiones múltiplemente conexas. El número de giros. Cambio de variables en una integral doble. Integrales de superficie. El teorema de Stokes. El teorema de la divergencia.
M303 Matemática Discreta
Crédito: 5
Requisito: M202 - M205
Contenidos: Lógica formal y demostraciones. Enunciados, representaciones simbólicas y tautologías. Cuantificadores, predicados y validez. Lógica proposicional. Lógica de predicados. Programación lógica y pruebas de corrección. Relaciones y gráficas dirigidas u orientadas. Conjuntos producto y particiones. Relaciones y gráficas dirigidas. Trayectorias en las relaciones y en las gráficas dirigidas. Propiedades de las relaciones. Manipulación de las relaciones. Conectividad y el algoritmo de Warshall. Funciones. Funciones en gráficas. Permutaciones. Números especiales: de Stirling, eulerianos, armónicos, series armónicas, números de Bernoulli, de Fibonacci. Orden, relaciones y estructuras. Conjuntos parcialmente ordenados. Elementos extremos de los conjuntos parcialmente ordenados. Retículos. Álgebras de Boole. Implementación de las funciones booleanas. Árboles y lenguajes. Árboles. Árboles etiquetados. Lenguajes. Representación de gramáticas y lenguajes especiales. Análisis de un árbol. Árboles no dirigidos.
M304 Algebra Lineal 2
Requisito: M205
Contenidos: Productos internos y ortogonalidad. Bases ortogonales. Aplicaciones bilineales y matrices. Bases ortogonales generales. Espacio dual. Formas bilineales y operadores estándar. Formas bilineales y formas cuadráticas. Operadores simétricos Operadores hermitianos Operadores unitarios. Teorema de Sylvester. Polinomios y matrices. Polinomios y matrices asociados con aplicaciones lineales. Polinomio característico. Vectores y valores propios. Triangulación de matrices y aplicaciones lineales. Existencia de la triangulación. Teorema de Hamilton-Cayley. Diagonalización de aplicaciones unitarias. Teorema Espectral. Vectores propios de aplicaciones lineales simétricas. Teorema Espectral. El caso complejo. Operadores unitarios.
M305 Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias 1
Requisitos: M202, M203, M205
Contenidos: Definición de ecuación diferencial ordinaria. Comportamiento local de las soluciones. Familias uniparamétricas de curvas, ecuación de Clairot. Soluciones singulares, familias n-paramétricas de curvas. Aplicaciones geométricas, trayectorias. Ecuaciones de segundo orden reducibles a primer orden, cinemática. Métodos especiales para las ecuaciones de primer orden. Ecuaciones lineales. Ecuación de Bernoulli.Ecuación de Ricatti. Ecuaciones homogéneas. Ecuación fraccionaria lineal. Ecuaciones exactas, factores integrantes. Ecuaciones lineales de segundo orden Ecuaciones lineales, ecuación reducida. Dependencia lineal, wronskiano. Ecuación de coeficientes constantes. Ecuación completa. Métodos: coeficientes indeterminados, variación de parámetros. Ecuaciones exactas, factores integrantes, vibraciones. Ecuaciones lineales generales. Ecuación lineal. Ecuación reducida. Wronskiano, Gramianos. Ecuaciones reducida y completa con coeficientes constantes. Método de coeficientes indeterminados. Método simbólico, variación de parámetros, etc. Teorema de existencia y unicidad. Método de aproximaciones sucesivas. Condición de Lipschitz. Convergencia de la solución. Existencia de la solución. Unicidad de la solución. Alteración de la función. Alteración de las condiciones iniciales.
F101 Física 1
Requisito: M202
Contenidos: Vectores. Movimiento en una y en dos dimensiones. Leyes del movimiento de Newton. Trabajo y Energía. Cantidad de movimiento lineal y colisiones. Rotación de cuerpos rígidos. Dinámica del movimiento rotacional. Equilibrio y elasticidad. Gravitación Universal.
F403 Ciencia, Sociedad y Desarrollo
Requisitos: F304
Contenidos: Investigación científica y desarrollo tecnológico. Responsabilidad del científico hacia la sociedad. Ética de la investigación científica, Ciencia y política. Desarrollo de la ciencia en la Sociedad Guatemalteca.
M402 Geometría
Requisito: M105, M204
Contenidos: El marco fundamental de la geometría. Fundamentos de la geometría plana. El carácter de un teorema. Construcciones geométricas. Pasos para resolver un problema de construcción geométrica. Segmentos de recta dirigidos, relaciones. Razón de partición de un segmento de recta. Ángulos dirigidos. Puntos al infinito. Semejanza. Polígonos semejantes. Figuras homotéticas. Rectas antiparalelas. Cuadriláteros cíclicos. Teorema de Ptolomeo. Circunferencias homotéticas. Puntos homólogos y antihomólogos. Circunferencia de Apolonio. Construcciones basadas en la semejanza. Teoremas fundamentales. Concurrencia y colinealidad. Teorema de Ceva. Teorema de Menelao. Formas trigonométricas. Teorema de división interna y externa. Figuras en perspectiva. Teorema de Desargues. Lugares geométricos planos. Potencia de un punto, eje radical, centro radical. División armónica, construcción de conjugados armónicos. Propiedades de los puntos armónicos. Puntos importantes del triángulo, triángulo pedal. Propiedades asociadas al incírculo y a los excírculos.
M403 Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias 2
Requisito: M305
Contenidos: El método de aproximaciones sucesivas. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Algunas ecuaciones clásicas. Ecuaciones lineales de segundo orden. Operadores adjuntos. La identidad de Lagrange. Funciones de Green. Variación de parámetros. Problemas de dos puntos extremos. Funciones de Green. Sistemas de Sturm-Liouville. Expansiones en funciones propias.
M404 Programación Matemática 1
Requisito: M303
Contenidos: Panorama de ciencia de la computación. La computación desde una perspectiva histórica. Lenguajes de programación y traductores. Sistemas operativos. La arquitectura de von Neumann, funciones de conmutación, diseño lógico. Redes de computadoras. Algoritmos y su complejidad. Paradigma de orientación a objetos. Principios de ingeniera de software. El software como obra de arte vs. producto de ingeniera, el ciclo de vida del software y sus propiedades. Metodología de diseño: modelos, abstracciones, el concepto de objeto, características de una buena abstracción, análisis y diseño orientados a objetos, relaciones entre objetos. Elementos del lenguaje. Tipos de datos elementales, estructuras para control de flujo. Programación con objetos, con clases, visibilidad. Arreglos. Herencia, polimorﬁsmo, clases abstractas. Entrada/salida con archivos. Verificación, prueba y depuración del software. Excepciones, manejo de errores.
F201 Física 2
Requisito: F101, M104, M105
Contenidos: Mecánica de Fluidos. Movimiento Oscilatorio. Movimiento Ondulatorio.. Ondas Sonoras.. Termodinámica. Óptica geométrica.
M501 Análisis de Variable Real 1
Requisito: M302, M304
Contenidos: Los números reales. Conjuntos ordenados. Campos. Campos ordenados. Campos arquimedeanos. El campo de los números reales. Espacios euclideanos. Los números complejos. El plano complejo. Módulo y argumento. Representación cartesiana, polar y matricial. Topología de los espacios métricos. Conjuntos finitos, numerables y no numerables. Espacios métricos. Conjuntos compactos. Conjuntos perfectos. Conjuntos conexos. Sucesiones y series numéricas. Sucesiones convergentes. Subsucesiones y reordenamientos de sucesiones. Sucesiones de Cauchy. Límite superior e inferior. Algunas sucesiones especiales. El número e. Los tests de la razón y del cociente. Series de potencias. Sumación por partes. Convergencia absoluta e incondicional. Adición y multiplicación de series. Reordenamientos. Continuidad. Límites de funciones. Funciones continuas. Continuidad y compacidad. Continuidad y conexión. Funciones monótonas. Límites infinitos y límites en el infinito. Diferenciación. La derivada de una función real. Los teoremas del valor medio. La continuidad de las derivadas. Derivadas de orden superior. El teorema de Taylor. Diferenciación de funciones de valores vectoriales.
M502 Ecuaciones Diferenciales Parciales 1
Crédito: 6
Requisito: M403
Contenidos: Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Definición y clasificación. Las soluciones. Métodos elementales de solución. Ecuaciones hiperbólicas. Las oscilaciones de una cuerda vibrante. Las oscilaciones de una membrana. Las oscilaciones longitudinales de un cilindro. El método de separación de variables. Ecuaciones parabólicas. La conducción del calor. Problemas con condiciones a la frontera y el método de separación de variables. Ecuaciones elípticas. El potencial. Problemas con condiciones a la frontera y el método de separación de variables.
M503 Programación Matemática 2
Requisito: M404
Contenidos: Historia y evolución de los lenguajes de programación. Organización de la computadora a nivel de ensamblador. Máquinas virtuales. Control de secuencia. Control de datos. Manejo del espacio de almacenamiento durante la ejecución. Paradigmas de programación. Semántica. Diseño de lenguajes.
M504 Estadística 1
Requisito: M302, M404
Contenidos: Conceptos probabilísticos. Conceptos elementales de teoría de la medida. Axiomas de Kolmogorov. Medidas de probabilidad y espacios de probabilidad. Probabilidad condicional e independencia. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes. Principio de conteo y combinatoria. Variables aleatorias y su distribución. Definiciones y resultados. Variables aleatorias discretas. Variables aleatorias continuas. Aproximaciones. Función de distribución acumulada. Momentos de variables aleatorias. Momentos de variables aleatorias. Esperanza y varianza de variables aleatorias. Momentos condicionales de variables aleatorias. Desigualdades de Markov, Tchebichev y Schwarz. Coeficiente de correlación. Teoremas de límites básicos. Definiciones de convergencia. Relaciones entre modos de convergencia. Teorema del límite central. Leyes de los grandes números. Otros teoremas sobre límites.
F301 Física 3
Requisito: F201, M202
Contenidos: Carga eléctrica y Campo Eléctrico. Ley de Gauss. Potencial Eléctrico. Capacitancia y dieléctricos. Corriente y Resistencia. Campo magnético y fuerzas Magnéticas. Fuentes de campo magnético. Inducción electromagnética. Inductancia. Ondas electromagnéticas.
M601 Análisis de Variable Real 2
Requisito: M501
Contenidos: La integral de Riemann-Stiltjes. Definición y existencia de la integral. Propiedades de la integral. Integración y diferenciación. Integración de funciones de valores vectoriales. Curvas rectificables. Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme y diferenciación. Convergencia uniforme e integración. Familias equicontinuas de funciones. El teorema de Stone-Weierstrass. Algunas funciones especiales. Series de potencias. Funciones exponencial y función logarítmica. Las funciones trigonométricas. La completitud algebraica del campo complejo. Series de Fourier. La función Gama. Funciones de varias variables. Transformaciones lineales. Diferenciación. El principio de contracción. El teorema de la función inversa. El teorema de la función implícita. El teorema del Rango. Determinantes. Derivadas de orden superior. Diferenciación de integrales.
M602 Ecuaciones Diferenciales Parciales 2
Requisito: M501, M502
Contenidos: La ecuación lineal. Direcciones características. Curvas características. Sistema de ecuaciones características. La ecuación cuasilineal. Direcciones características. Curvas características. Sistema de ecuaciones características. La ecuación general de primer orden. Conos de Monge. Direcciones características. Curvas características. Sistema de ecuaciones características. El teorema de Cauchy-Kowalewska. El problema de valores iniciales. Las direcciones características. Demostración del teorema de Cauchy-Kovalevska.
M603 Análisis de Algoritmos
Requisitos: M503, M504
Contenidos: Diseño y análisis de algoritmos. Definición de algoritmo. El rol de los algoritmos en la informática. Programación estructurada. Pseudocódigo. Máquinas de Turing. Motivación, definición y notación. Construcción. Tipos de máquinas de Turing. Complejidad de algoritmos. Crecimiento de funciones. Órdenes de crecimiento. Algoritmos recurrentes. Teorema maestro. Algoritmos de ordenación. Ejemplos y aplicaciones. Ordenamiento en tiempo lineal. Análisis probabilístico. Heapsort y quicksort. Ordenación en tiempo lineal. Algoritmos aleatorizados. Estructura de datos. Estructura de datos elemental. Árboles de búsqueda binaria. NP-Completo. Tiempo polinomial. Verificación de tiempo polinomial. Reducción y NP-completo.
M604 Estadística 2
Requisito: M504
Contenidos: Distribuciones muestrales. Población y muestra. Medidas de tendencia central. Medidas de variabilidad. Muestreo con reemplazo y sin reemplazo. Distribuciones muestrales de una población. Distribuciones muestrales de dos poblaciones para la diferencia de medias, la diferencia de proporciones y la razón de varianzas. Teoría de estimación. Estimadores insesgados, estimadores eficientes. Estimadores puntuales. Estimadores por intervalo. Estimación por intervalo de confianza de una población. Estimación por intervalo de confianza en dos poblaciones para la diferencia de medias, la diferencia de proporciones y la razón de varianzas. Ensayos de hipótesis. Hipótesis nula, hipótesis alternativa. Tipos de errores en el ensayo de hipótesis. Tipos de ensayos. Ensayos de hipótesis de una población. Ensayos de hipótesis de dos poblaciones para la diferencia de medias, la diferencia de proporciones y la razón de varianzas. Tablas de contingencia. Pruebas de bondad de ajuste. Introducción al diseño de experimentos. Experimentos generales de un solo factor. Consideraciones en el diseño de experimentos. Diseños que aumentan la intensidad, que disminuyen la interferencia. Análisis de varianza de un factor. Diseño completamente aleatorizado. Diseño por bloques. Pruebas sobre tratamiento individual. Homogeneidad de varianzas. Tamaño de la muestra.
M605 Topología
Contenidos: Espacios topológicos. Conjuntos abiertos y cerrados. Vecindades. Bases y sub-bases. Espacios separables. Conjunto de Cantor. Aplicaciones continuas. Continuidad local y global. Homeomorfismos. Construcción de topologías dependientes de una familia de aplicaciones. Espacio cociente, suma y producto. Axiomas de separación. Espacio regular. Espacio normal. Propiedades. Lema de Urysohn. Teorema de extensión de Tietze. Conexidad. Espacios conexos. Teorema de valor intermedio. Conexidad por caminos. Compacidad. Cubiertas y espacios compactos. Teorema de Heine-Borel. Teorema de Alexander. Teorema de Tychonoff. Espacios localmente compactos. Compactificación puntual de Alexandroff.
M701 Análisis de Variable Compleja 1
Contenidos: Números complejos. Operaciones algebraicas. Potencias y raíces. Representación cartesiana, polar y de Euler de números complejos. Límites y continuidad de funciones complejas. Derivabilidad. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann, funciones armónicas. Funciones elementales, exponencial y logarítmica, funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas. Funciones inversas. Transformación de Moebius. Función fraccional lineal. Integración compleja. Teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Morera. Teorema de Liouville.
M702 Análisis Funcional 1
Requisito: M602, M605
Contenidos: Espacios métricos. Definición y ejemplos de espacios métricos. Topología de espacios métricos. Convergencia, sucesiones de Cauchy. Completación de espacios métricos. Espacios normados y espacios de Banach. Definición y ejemplos de espacios normados. Espacios de Banach. Subespacios. Operadores lineales, ejemplos. Operadores lineales acotados y continuos. Funcionales lineales. Espacios normados de operadores. Espacio dual algebraico y topológico. Espacios con Producto Interno y espacios de Hilbert. Definición y ejemplos de espacios con producto interno. Espacios de Hilbert. Complemento ortogonal y sumas directas. Conjuntos ortonormales y sucesiones. Conjuntos totales. Polinomios de Legendre, Hermite y Laguerre. Representación de funcionales en Espacios de Hilbert. Operador adjunto de Hilbert. Operadores autoadjuntos, unitarios y normales.
M703 Álgebra Moderna 1
Requisito: M605
Contenidos: Definición de grupo. Grupos finitos e infinitos, grupos cíclicos. Orden de un grupo, teoremas de Lagrange y Fermat. Clases laterales, subgrupos normales y grupo cociente. Homomorfismos y teoremas de isomorfía. Teoremas de Cauchy y de Sylow para grupos abelianos. Grupos de permutaciones. Teorema de Cayley. Un principio de conteo y el teorema de Cauchy para grupos no abelianos. Teoremas de Sylow para grupos no abelianos.
M704 Estadística 3
Requisito: M604
Contenidos: Introducción a los modelos lineales. Regresión lineal simple y múltiple. Método de mínimos cuadrados. Estimación de mínimos cuadrados. Propiedades de los estimadores. Inferencia respecto a los parámetros. βi. Predicciones de los valores puntuales y medios de Y. Pruebas de hipótesis. Correlación, coeficiente de correlación. Introducción a los procesos estocásticos. Elementos de procesos estocásticos. Clasificación de procesos estocásticos. Problemas clásicos. Cadenas de Markov. Vectores de probabilidad y matrices estocásticas. La propiedad markoviana. Probabilidad de transición estacionaria. Distribución inicial de probabilidades. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov, tiempos de primer paso. Clasificación de estados de una cadena de Markov. Propiedades a largo plazo y estados de absorción. Cadenas de Markov en parámetro continuo. Caminata aleatoria. Otros procesos que dependen del tiempo. Aplicaciones de las Cadenas de Markov. El Proceso de decisión markoviano. Modelo de etapas infinitas. Teoría de Colas. Modelo M/M/S.
M705 Análisis Numérico 1
Requisito: M603
Contenidos: Sistemas numéricos y errores. Representación de enteros, fracciones. Aritmética de punto flotante. Propagación de errores. Métodos directos de resolución para sistemas lineales. Condicionamiento de un sistema lineal. Método de Gauss. Factorización LU de una matriz. Método de Cholesky. Factorización QR y el método de Householder. Métodos iterativos de resolución para sistemas lineales. Generalidades sobre métodos iterativos. Método de Jacobi. Método de Gauss-Seidel. Método de relajación o expansión. Convergencia de los métodos. Integración y diferenciación numérica. Método del trapecio, método de Simpson. Cuadratura gaussiana. Diferencias finitas y diferenciación numérica.
M801 Análisis de Variable Compleja 2
Requisito: M701
Contenidos: Singularidades. Clasificación de singularidades. Residuos. El Teorema del módulo máximo. El lema de Schwartz. Funciones convexas y el principio de los tres círculos. El teorema del Phragment-Lindelof. Compacidad y convergencia en espacios de funciones analíticas. Espacios de funciones meromorfas. El teorema de factorización de Weierstrass. El teorema de Runge. El teorema de Mittag-Leffler.
M802 Geometría Diferencial
Requisito: M702
Contenidos: Curvas en el espacio. Gráficas y curvas de nivel. Campos vectoriales. Espacio tangente. El mapeo de Gauss. Curvatura de curvas planas. Longitud de arco e integral de línea. Teorema de los cuatro vértices. Hipersuperficies. Superficies. Campos vectoriales en superficies, orientación. Geodésicas, transporte paralelo. Mapeo de Weingarten. Curvatura de superficies. Superficies parametrizadas. Equivalencia local de superficies y superficies parametrizadas.
M803 Álgebra Moderna 2
Requisito: M703
Contenidos: Teoría de anillos. Definición y ejemplos de anillos. Homomorfismos entre anillos. Ideales y anillos cocientes. Teoremas de isomorfismo. Anillos de polinomios. Polinomios sobre el campo racional. Anillos de polinomios sobre anillos conmutativos. Campos. Campos. Extensiones de campos. Raíces de polinomios. Extensiones finitas. Construcción de raíces de polinomios. Construcción con regla y compás. Campo de descomposición de un polinomio. Campos algebraicamente cerrados. Teorema principal del álgebra de Gauss.
M804 Modelación Matemática
Requisito: M602, M704
Contenidos: Modelos matemáticos. Definición y ejemplos. Información a priori. Complejidad. El compromiso entre la precisión y la resolución en un modelo. Clasificación de modelos matemáticos. Modelos lineales y no-lineales. Modelos estocásticos y determinísticos. Modelos estáticos y dinámicos. Modelos homogéneos y heterogéneos. Modelos estadísticos, topológicos, económicos, geométricos, etc. Las variables en los modelos matemáticos. Variables de decisión. Variables de entrada y de salida. Variables de estado. Variables exógenas. Variables aleatorias. Etapas del desarrollo de un modelo. Identificación del problema. Especificación matemática, formulación y resolución. Verificación, validación y refinamiento. Interpretación y análisis de los resultados. Implementación, documentación y mantenimiento. Herramientas de computación para modelar. Uso de algunos paquetes: Maxima, R. Simulación.
M805 Optimización 1
Requisito: M705
Contenidos: Optimización en <math>R^n</math>. Exposición general, problemas de optimización, ejemplos. Objetivos de la optimización, existencia de soluciones. Teorema de Weierstrass. Óptimo sin restricciones. Condiciones de primer orden. Condiciones de segundo orden. Aplicaciones. Restricciones de igualdad y el Teorema de Lagrange. Restricciones de igualdad. Teorema de Lagrange. Calificación de restricción. Multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones. Condiciones de segundo orden. Demostración del Teorema de Lagrange. Teorema de Kuhn-Tucker y aplicaciones. Teorema de Kuhn-Tucker. Calificación de restricción. Multiplicadores de Kuhn-Tucker. Aplicaciones. Caso general: restricciones mixtas. Demostración del Teorema de Kuhn-Tucker. Estructuras convexas en teoría de optimización. Definición de convexidad. Implicaciones. Convexidad en optimización. Uso de la convexidad. Demostración de la primera derivada en la caracterización de la convexidad. Demostración de la segunda derivada en la caracterización de la convexidad. Demostración del teorema de Kuhn-Tucker bajo convexidad. Quasiconvexidad y optimización. Funciones quasicóncavas y quasiconvexas. Quasiconvexidad como una generalización de convexidad. Implicaciones de la quasiconvexidad. Quasiconvexidad y optimización. Uso en la optimización. Condición de primer orden de la quasiconvexidad. Condición de segundo orden de la quasiconvexidad. Teorema de Kuhn-Tucker bajo quasiconvexidad.
M901 Seminario de Matemática 1
Requisitos: M803, M805
Contenidos: ¿Qué es un proyecto de investigación? La tesis como producto de la investigación. La estructura del proyecto. Contenidos y su delimitación. Planteamiento del problema: cuestionamientos orientadores. Antecedentes y propósitos de la investigación: expectativas y fines, Estado del conocimiento en torno al tema elegido, Contribución del trabajo de investigación: aporte o solución. Hipótesis y objetivos. La fundamentación teórica y metodológica. Escenarios, cronograma y bibliografía.
M902 Introducción a los Sistemas Dinámicos
Requisito: M802
Contenidos: Introducción. ¿Qué es un sistema dinámico? Vectores Estado. Tiempo discreto. Tiempo continuo. Sistemas Lineales. Una dimensión. Tiempo Discreto, Tiempo Continuo. Dos y más dimensiones. Ejemplificación en Cadenas de Markov. Sistemas no Lineales: Puntos Fijos. Linealización. Funciones Lyapunov. Sistema no Lineal: Periodicidad y Caos. Una dimensión: no periodicidad. Dos dimensiones: El teorema de Poncairé-Bendixson. La Bifurcación Hopf. Grandes dimensiones: El sistema Lorenz y Caos. Tiempo Discreto Periodicidad, Estabilidad de puntos periódicos, Bifurcación, Teorema de Sarkovski. Caos y dinámica simbólica. Ejemplos y ejercicios. Fractales. Conjunto de Cantor. Cortando la mitad del plano. Teoremas de contracción de mapeos. Sistemas de funciones iteradas. Algoritmos para dibujar fractales. Dimensión fractal. Fractales en la naturaleza.
M1001 Seminario de Matemática 2
Requisito: M901, M902
Contenidos: Elaboración del Proyecto de Investigación con un orden de: Normativa, Estructura, Presentación del Problema: Planteamiento del Problema, Formulación del Problema, Interrogantes de la Investigación, Objetivos de la Investigación, Objetivo General, Objetivos Específicos, Justificación. Revisión Bibliográfica: Antecedentes, Fundamentación Teórica. Hipótesis, Marco Metodológico. La tesis como producto de la investigación. La estructura del proyecto. Contenidos y su delimitación. Planteamiento del problema: cuestionamientos orientadores. Antecedentes y propósitos de la investigación: expectativas y fines, Estado del conocimiento en torno al tema elegido, Contribución del trabajo de investigación: aporte o solución. Hipótesis y objetivos. La fundamentación teórica y metodológica. Escenarios, cronograma y bibliografía.
Cada curso aporta 4 créditos.
ME11 Análisis Numérico 2
Contenidos: Soluciones numéricas a sistemas no lineales. Puntos fijos para funciones de varias variables. Método de Newton. Raíces de polinomios. Métodos de cálculo de valores y vectores propios. Método de Jacobi. Método de Givens-Householder. Métodos QR y LU. Cálculo de vectores propios. Teoría de la aproximación e interpolación. Repaso de espacios de funciones y operadores. Teorema de aproximación de Weierstrass. Problema general de aproximación. Aproximación uniforme. Aproximación en pre-espacios de Hilbert. Método de cuadros mínimos. El problema de interpolación. Métodos de interpolación. Puntos de interpolación equidistantes. Convergencia de polinomios interpolantes. Interpolación multidimensional. Integración multidimensional.
ME21 Optimización 2
Requisito: M805
Contenidos: Optimización no lineal. Formulación general del problema. Ejecución de métodos numéricos. Relajación y aproximación. Clases de funciones diferenciables. Método del gradiente. Método de Newton. Comparación. Gradientes conjugados. Minimización con restricciones. Optimización convexa suave. Minimización de funciones suaves. Método del gradiente. Métodos óptimos. Conjuntos convexos. Problemas de minimización con componentes suaves. Problema míni-máx. Métodos de minimización. Optimización convexa no suave. Motivación y definiciones. Operaciones con funciones convexas. Teoremas de separación. Subgradientes. Cálculo de subgradientes. Métodos de minimización no suave. Lema principal. Esquemas de corte planar. Método de Kelly. Minimización con restricciones.
ME31 Análisis Funcional 2
Contenidos: Teoremas fundamentales en espacios normados. Teorema de Hahn-Banach y sus variaciones, Operadores adjuntos, Espacios Reflexivos, Convergencia fuerte y débil, Teorema de la aplicación abierta, Operadores lineales cerrados, Teorema de la gráfica cerrada. Teorema de punto fijo de Banach, Aplicación a las ecuaciones integrales, Aproximación en espacios de Hilbert. Teoría espectral de operadores lineales. Teoría espectral en espacios normados de dimensión finita, Valores y vectores propios, El espectro de un operador lineal, Propiedades espectrales de operadores lineales acotados. Propiedades del resolvente y del espectro, Introducción a las álgebras de Banach.
ME41 Teoría de Números
Requisito: M803
Contenidos: Los números enteros. El algoritmo de la división y la relación de divisibilidad. El algoritmo de Euclides. Los números primos y el teorema fundamental de la aritmética. La ecuación diofántica lineal. Congruencias. El teorema de Fermat y el teorema de Euler-Fermat. Solución de congruencias lineales. Reciprocidad cuadrática. Congruencias de grado n. Ecuaciones diofánticas. Triángulos pitagóricos. Sumas de cuatro cuadrados.
ME51 Métodos Multivariados 1
Requisito: M804
Contenidos: Aspectos generales del análisis multivariado. Algebra matricial y vectores aleatorios. Geometría muestral y muestreo aleatorio. Propiedades fundamentales de las variables aleatorias normales Bivariada y Multivariada, Log-Concavidad, de Schur y propiedades de unimodalidad, MTP2, MRR2. Inferencias del vector media. Comparación de varias medias multivariadas. Modelos de regresión lineal multivariados.
ME61 Técnicas de Muestreo
Contenidos: Concepto de muestreo, población, marco y muestra. Las distintas fases de la investigación por muestreo, Conveniencia y limitaciones del muestreo, Características deseables de una investigación por muestreo. Muestreo probabilístico y estimadores, Distribuciones en el muestreo y propiedades, Muestreo no probabilístico. Métodos de selección de la muestra, Probabilidades iguales y desiguales. Muestreo Aleatorio Simple. Muestreo Estratificado. Muestreo. Muestreo Sistemático. Métodos directos de estimación. Muestreo Monoetápico de conglomerados. Muestreo Bietápico de conglomerados probabilidades iguales, probabilidades desiguales y estimación de varianzas. Muestreo Doble, muestreo en ocasiones sucesivas y encuesta panel. Errores ajenos al muestreo, falta de respuesta, marcos imperfectos y error total.
ME71 Métodos de Predicción en Economía
Contenidos: Fundamentos de la predicción económica. El papel de la predicción en el proceso de toma de decisiones, Técnica de predicción y tipos, Criterios de selección en las técnicas de predicción, Etapas en el proceso de elaboración de una predicción. Predicción con el modelo de regresión simple. Un modelo con dos variables explicativas, Regresión múltiple, Inferencia estadística en el modelo de regresión múltiple e interpretación de los coeficientes de regresión, Relaciones entre coeficientes de correlación simple, parcial y múltiple. Predicción en el modelo de regresión múltiple. Heterocedasticidad. Autocorrelación, Prueba de Durbin-Watson. Multicolinealidad.
ME12 Análisis Numérico 3
Requisito: ME11
Contenidos: Solución de ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales simples. Integración numérica por series de Taylor. Convergencia del método de Euler y análisis de error. Métodos de Runge-Kutta. Control del tamaño de paso. Fórmulas multipaso. Métodos predictor-corrector. Estabilidad de los métodos numéricos. Redondeo y propagación de errores. Control de errores. Sistema de ecuaciones diferenciales. Método del elemento finito aplicado a E.D.P. Problemas físicos que involucran ecuaciones diferenciales parciales. Clasificación de las E.D.P. Métodos del elemento finito. Análisis de error. Resolución de sistemas de diferencias finitas.
ME22 Investigación de operaciones
Requisitos: ME21
Contenidos: Introducción. Antecedentes históricos. Desarrollo y aplicaciones de la programación lineal. Programación lineal. Formulación de problemas de programación lineal. Algoritmo simplex. Teoría de la dualidad. Teoría de redes. Elementos de la teoría de grafos. Problema del árbol de peso mínimo. Algoritmo de Kruskal. Problema de la ruta mínima. Algoritmo de Dijkstra. Problema de flujo máximo. Algoritmo de Ford y Fulkenson. El problema de transporte. Definición propiedades del problema. Representación gráfica. Solución inicial. Algoritmo de transporte. El problema de ordenamiento. Definición propiedades del problema. Red PERT. Calendarios de fechas más próximas y más lejanas. Relación con rutas más cortas. Introducción a la teoría de juegos. Definición y clasificación de modelos de juegos. Modelo extensivo de un juego. Estrategias puras y mixtas. Modelo normal de un juego. Juegos con punto silla. Modelo gráfico. Solución con programación lineal.
ME32 Ecuaciones Integrales
Requisito: ME31
Contenidos: Teoría espectral en espacios normados, Propiedades espectrales de operadores acotados. Algebras de Banach. Teoría espectral de operadores autoadjuntos. Operadores positivos. Operadores de proyección. Representación espectral de operadores autoadjuntos. Operadores lineales. Operadores lineales compactos y su espectro, Ecuaciones entre operadores lineales compactos. Teoremas de Fredholm. Operadores lineales no acotados en espacios de Hilbert. Operadores no acotados y su operador autoadjunto de Hilbert. Operadores lineales cerrados y cerraduras. Propiedades espectrales de operadores autoadjuntos. Representación espectral de operadores unitarios. Aplicación de operadores no acotados a la mecánica cuántica.
ME42 Teoría de Galois
Requisito ME41
Contenidos: Grupos solubles. Sucesiones normales y series de composición. Introducción a la teoría Galois. Teorema de Artin. Teorema principal de Galois. Teorema fundamental del álgebra. Grupos de Galois. Raíces de la unidad. Polinomios ciclotónicos. Extensiones radicales simples. Resolución de ecuaciones polinomiales por radicación. Teorema principal de solubilidad. Grupos de Galois sobre los racionales. Teorema de Abel. Aplicación de la teoría de Galois a las construcciones con regla y compás. Teorema de Gauss. Números primos de Fermat.
ME52 Métodos Multivariados
Requisito: ME51
Contenidos: Análisis multivariado de varianzas. Tests sobre matrices covarianza. Análisis en Componentes Príncipales, Bases algebraicas y geométricas, Regresión perpendicular, Interpretación de componentes principales, Correlación entre variables y componentes principales. Análisis Factorial, El modelo del factor ortogonal, Método de máxima verosimilitud, Métodos de estimación, El modelo LISREL, Estructura de covarianza, Estrategias en Modelos de Ajuste, Relación entre el análisis en componentes principales y el análisis factorial. Análisis de Correlación Canónica, Variables canónicas, Tests de significancia. Análisis Discriminante, Separación y Clasificación de dos poblaciones, Función Discriminante de Fisher, Clasificación con varias poblaciones, Tests de significancia. Análisis de Conglomerados, medidas de similaridad o disimilaridad, métodos y ordenación, Agrupamiento Jerárquico, Métodos no Jerárquicos, Análisis de correspondencias.
ME62 Diseño de Encuestas
Requisito: ME61
Contenidos: Fundamentos del muestreo de encuestas, Diseño de encuestas y diseño de muestras, Taxonomía de unidades y conceptos de la encuesta, Valores de la población y estadísticas, Inferencia estadística en encuestas, Taxonomía de procedimientos de selección, Criterios del diseño de la muestra. El diseño económico de encuestas, Precisión planeada sobre la base de varianza unitaria, Estimación de la varianza unitaria, El efecto del diseño, Modelos de funciones de costo, Diseños óptimos, Técnicas para el cálculo de varianzas.
ME72 Econometría
Requisito: ME71
Contenidos: Introducción, ¿Qué es la Econometría?, Economía y modelos econométricos, Objetivos y estudio. Caracterización univariante de las series temporales. Modelos input-output, Concepto de la tabla input-output, Predicción con un modelo input-output. Modelos Econométricos, Predictor MCO, Error de predicción MCO, Selección de un modelo Econométrico. Conjunto de modelos esféricos, Contrastes de estacionariedad y residuos atípicos, de autocorrelación, de heterocedasticidad, de normalidad. Análisis de series temporales, dominio de frecuencias y de tiempo, Series de tiempo estacionarias y no estacionarias, Modelos AR, MA, ARMA, El enfoque Box-Jenkis. Autoregresiones de vectores, Raíces unitarias y Cointegración.
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