Source: https://fr.scribd.com/document/16086391/Matematicas-8vo-basico
Timestamp: 2020-08-03 09:48:08+00:00

Document:
Matematicas 8vo bàsico | Pi | Geometría
enregistrerEnregistrer Matematicas 8vo bàsico pour plus tard
Programa de Estudio Octavo Año Básico / NB6
Educación Matemática Programa de Estudio Octavo Año Básico / Nivel Básico 6 Educación Básica, Unidad de Curriculum y Evaluación ISBN 956-292-007-0 Registro de Propiedad Intelectual Nº 124.549 Ministerio de Educación, República de Chile Alameda 1371, Santiago Primera Edición 2002 Segunda Edición 2004
EL PRESENTE PROGRAMA DE ESTUDIO de Octavo Año Básico ha sido elaborado por la Unidad de Curriculum y Evaluación del Ministerio de Educación y aprobado por el Consejo Superior de Educación, para ser puesto en práctica, por los establecimientos que elijan aplicarlo, en el año escolar 2002.
En sus objetivos, contenidos y actividades, busca responder a un doble propósito: articular a lo largo del año una experiencia de aprendizaje acorde con las definiciones del marco curricular de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica, definido en el Decreto N°240, de junio de 1999, y ofrecer la mejor herramienta de apoyo a la profesora o profesor que hará posible su puesta en práctica.
Los nuevos programas para Octavo Año Básico plantean objetivos de aprendizaje de mayor nivel que los del pasado, porque la vida futura, tanto a nivel de las personas como del país, establece mayores requerimientos formativos. A la vez, ofrecen descripciones detalladas de los caminos pedagógicos para llegar a estas metas más altas. Así, al igual que en el caso de los programas del nivel precedente, los correspondientes a Octavo Año Básico incluyen numerosas actividades y ejemplos de trabajo con alumnos y alumnas, consistentes en experiencias concretas, realizables e íntimamente ligadas al logro de los aprendizajes esperados. Su multiplicidad busca enriquecer y abrir posibilidades, no recargar ni rigidizar; en múltiples puntos requieren que la profesora o el profesor discierna y opte por lo que es más adecuado al contexto, momento y características de sus alumnos y alumnas.
Los nuevos programas son una invitación a los docentes de Octavo Año Básico para ejecutar una nueva obra, que sin su concurso no es realizable. Estos programas demandan cambios importantes en las prácticas docentes. Ello constituye un desafío grande, de preparación y estudio, de fe en la vocación formadora, y de rigor en la gradual puesta en práctica de lo nuevo. Lo que importa en el momento inicial es la aceptación del desafío y la confianza en los resultados del trabajo hecho con cariño y profesionalismo.
MAR IAN A AY LWIN OYARZUN
Unidad 1: Polígonos, circunferencias, áreas y perímetros
Actividades propuestas para la evaluación
Unidad 2: Relaciones proporcionales
Unidad 3: Números y ecuaciones
Unidad 4: Potencias
Unidad 5: Volumen
Bibliografía recomendada Educación Matemática NB6
Ejemplos de mapas dibujados a diferentes escalas
En el presente programa, como en los de niveles an- teriores, se propone la continuación de los procesos de construcción y adquisición de conocimientos ma- temáticos y de modos de pensar en este ámbito que los estudiantes necesitan hacer propios, utilizar y seguir desarrollando durante toda su vida, con el fin de enfrentar los desafíos que el creciente avance cien- tífico y tecnológico les plantea, y para una participa- ción crítica, consciente e informada en la sociedad. El programa está orientado de manera que se con- sideren, por una parte, los conocimientos adquiridos anteriormente por los alumnos y alumnas y, por otra, sus intereses, tomando en cuenta que se encuentran en el último curso de la Educación Básica. Es decir, se trata de adolescentes cuyos intereses por el mundo ex- terior son crecientes y que están más insertos en la vida social, política, económica. Se ha dado particular importancia, en continuidad con el trabajo de los ni- veles anteriores, al desarrollo de la capacidad de los estudiantes para justificar sus procedimientos, propios o convencionales, y para fundamentar adecuadamente conclusiones generales. Con el fin de ampliar su comprensión sobre as- pectos numéricos y geométricos de la realidad, ini- ciados en los programas anteriores, se profundiza el trabajo sobre el uso y el sentido de los números na- turales y decimales en múltiples situaciones, incor- porando el uso de signos en los números y ampliando así el significado de las operaciones, el cálculo men- tal, la estimación y el cálculo aproximado. Se incor- pora el trabajo con otros números, tales como pi (π). Se promueve el uso de la calculadora tanto para re- solver operaciones que requieren de cálculos (en oca- siones largos y tediosos, que pueden distraer la atención de aspectos centrales del problema que se desea resolver), como para facilitar la investigación de regularidades numéricas.
Se desarrollan en mayor profundidad nociones rela- cionadas con el sistema decimal de numeración y las potencias de diez con el fin de establecer generali- zaciones respecto de él. Se amplía, de este modo, la expresión de cantidades utilizando la notación de potencias y, en particular, la expresión de cantidades como una suma ponderada de potencias de diez. En este ámbito, se propone trabajar particularmente en relación con el subsector Estudio y Comprensión de la Naturaleza. Un tema importante que se comenzó a trabajar sistemáticamente en Séptimo Año Básico es el referi- do a las relaciones proporcionales y no proporcionales entre magnitudes. La proporcionalidad constituye la base de múltiples aspectos de las matemáticas que se
incorporarán en la Educación Media (por ejemplo, fun- ciones lineales, ecuaciones de la recta, sistemas de ecua- ciones, entre otros). En este nivel, lo central del trabajo está en la incorporación de representaciones gráficas de situaciones de proporcionalidad y en el estableci- miento de las características fundamentales tanto de
la proporcionalidad directa como de la inversa. En geometría, se continúa el estudio de figuras
y cuerpos geométricos y el análisis de las propieda-
des y relaciones geométricas. Esto último se realiza
a través de diversas situaciones que están al alcance de los alumnos y alumnas, tales como construcción,
dibujo, manipulación, más que en sus definiciones y clasificaciones preestablecidas. Se propone, también, continuar con el trabajo relacionado con medición y cálculo de áreas y perímetros de figuras planas, po- niendo énfasis en los efectos que tienen en dichas magnitudes los cambios que se introducen en algu- nos elementos de las figuras. También se incorpora, por primera vez de manera sistemática, la medición
y cálculo del volumen de cuerpos geométricos polie-
dros y redondos.
Un tema que comienza también por primera vez a desarrollarse de manera sistemática es el de la ex- presión algebraica de situaciones matemáticas. Aun- que éste constituye el foco de una de las unidades del programa, será tratado a lo largo de todas ellas. En particular, el uso de ecuaciones de primer grado, como un modelo e instrumento útil para resolver problemas, será incorporado tanto en contextos geométricos (para el cálculo de volúmenes, por ejem- plo, con uso de fórmulas) como en contextos numé- ricos (resolución de problemas de proporcionalidad, por ejemplo). Como en los programas anteriores, esto consti- tuye una característica fundamental de este progra- ma, dado que es frente a la necesidad de resolver problemas cuando los contenidos de aprendizaje ad- quieren sentido y se hacen necesarios. Así, los alum- nos y alumnas pueden percibir por qué y para qué aprenden, valorar la importancia de los conocimien- tos y la necesidad de construir otros nuevos, los que se van construyendo sobre la base de los anteriores en contextos que les dan sentido. En consecuencia, tal como en niveles anteriores, en el Programa de Octavo Año Básico se propone la resolución de problemas como un medio fundamental para el aprendizaje de las matemáticas. Combinada de manera pertinente con otro tipo de actividades de aprendizaje, como juegos, debates, investigaciones, ex-
posiciones (de docentes y estudiantes), ejercitaciones, etc., ella contribuye a generar aprendizajes significati- vos y al desarrollo de la confianza en la propia capaci- dad para enfrentar con éxito nuevos desafíos cognitivos. El trabajo contextualizado permite desarrollar la ca- pacidad de seleccionar métodos de cálculo adecuados
y de evaluar resultados.
Una tarea central y permanente de las profeso- ras y profesores es buscar y diseñar situaciones fe- cundas en preguntas y problemas que sean accesibles
y de interés para las niñas y niños. Los problemas y
situaciones deben provenir de su vida cotidiana, de sus juegos, de lecturas e informaciones históricas o de actualidad que tengan sentido para los estudian- tes, y de otras ramas del conocimiento (ciencias na-
turales y ciencias sociales, artes, tecnología, etc.). En el programa se presenta un conjunto de ac- tividades que es necesario que los alumnos y las alumnas enfrenten para alcanzar los aprendizajes es- perados, seguidos por ejemplos concretos que pue- den ser desarrollados tal cual han sido diseñados; no obstante, cada vez que sea necesario, los ejemplos deben ser adaptados o deben crearse otros nuevos. En esta tarea, es muy importante procurar que todas las situaciones de aprendizaje propuestas a las alum- nas y alumnos les den múltiples oportunidades para:
• explorar y probar estrategias diversas para resol-
ver problemas;
• desarrollar procesos ordenados y sistemáticos para
la resolución de problemas o desafíos matemáticos;
• sistematizar procedimientos y resultados;
• comunicar procesos, resultados y conclusiones, incorporando, progresivamente, el uso de lenguaje matemático;
• justificar, argumentar y fundamentar tanto resul- tados como procedimientos;
• buscar y establecer regularidades y patrones, tan- to en el ámbito de los números como del espacio
y la geometría;
• trabajar con materiales manipulables concretos y simbólicos;
• desarrollar trabajos individuales y colectivos, en los que discutan tanto sobre procedimientos y resul- tados como sobre el sentido de las actividades;
• proponer nuevas preguntas y problemas;
• detectar y corregir sus errores.
Tanto por lo señalado como por las características de las alumnas y alumnos de este nivel y de las con- diciones reales en las que se desarrollan los procesos de enseñanza y aprendizaje, es muy importante que los docentes aborden con flexibilidad el diseño de situaciones de aprendizaje y propongan actividades variadas. Deberán tener en cuenta, también, que al- gunas actividades permiten enfatizar unas experien- cias de aprendizaje más que otras. Así, por ejemplo, la resolución sistemática de un cierto tipo de proble- mas permite, a menudo, buscar y encontrar regularida-
des y sistematizar procedimientos; las investigaciones pueden permitir hacerse preguntas sobre problemas de la realidad y/o explorar estrategias diversas para pro- poner soluciones. Finalmente, con el fin de dar sentido a los apren- dizajes específicos de matemáticas, así como para contribuir a la formación de un pensamiento globa- lizador, es importante tener en cuenta en el diseño de las actividades de aprendizaje los desafíos en tér- minos de contenidos que deben enfrentar los estu- diantes en otros subsectores de aprendizaje. A menudo, éstos son no sólo oportunidades para apli- car conocimientos matemáticos sino que los proble- mas que en ellos surgen son ilustraciones adecuadas de nociones matemáticas importantes. Es importante que la profesora o profesor pro- cure una participación equitativa de hombres y mu- jeres cuando se organizan trabajos en grupos mixtos y, en general, durante el desarrollo de las clases. En este sentido, es importante verificar la alternancia de roles directivos y de organización al interior de los grupos y promover las intervenciones de las alum- nas al momento de dialogar o de exponer pública- mente los trabajos realizados. La evaluación de los aprendizajes es concebida como un proceso que está al servicio de la enseñanza y del aprendizaje. De este modo, en este programa se propicia tanto el acompañamiento y observación del desempeño de niñas y niños durante las actividades de aprendizaje como la observación al término de cada unidad, a partir de actividades expresamente sugeri- das para ello. La orientación fundamental sobre qué evaluar está dada por los aprendizajes esperados de cada unidad; el cómo evaluar está dado por el tipo de actividades de aprendizaje que se propone. Las actividades de aprendizaje abren espacios para la autoevaluación y coevaluación, en las que alumnos y alumnas comparten procedimientos y re- sultados, discuten sobre ellos, sintetizan, pueden de- tectar y corregir errores. Del mismo modo, éstas son instancias adecuadas para la evaluación por parte de la profesora o profesor, quien puede distinguir qué ayuda y qué obstaculiza los procesos de aprendizaje,
con el fin de reflexionar, proponer caminos alterna- tivos y elegir las formas de apoyo más adecuadas. Es importante que los docentes lleven algún registro de sus observaciones, carpetas donde se guardan los tra- bajos, por ejemplo, con el fin de apoyar sus decisio- nes de cambio de actividades, refuerzo y apoyos individualizados. En este programa, al finalizar cada una de las unidades, se entregan ejemplos de actividades y pro- blemas de evaluación que tienen el propósito de ob- servar la consecución de los aprendizajes esperados definidos para cada una de ellas. Se han selecciona- do para ilustrar el tipo de situación y de problemas que podrían facilitar la obtención de información útil para orientar decisiones y también evaluar el logro. Estas actividades sugeridas están acompañadas por algunos indicadores que orientan respecto de qué ob- servar en el desarrollo de cada una de ellas en rela- ción con el o los aprendizajes esperados involucrados. Algunas de las actividades sugeridas pueden ser traba- jadas en grupo y otras se prestan mejor para el trabajo individual. En general, podrían incorporarse en ins- tancias o instrumentos especiales de evaluación, tales como trabajos durante las clases y pruebas escritas. Uno de los criterios para la definición de las formas que tome la evaluación es que ésta debe ser consecuente con el propósito de mejorar el aprendi- zaje. Si se evalúa, por ejemplo, sólo la repetición me- morística de datos, se está reforzando la idea de que ése es el tipo de educación que se quiere promover; si se evalúan desempeños, capacidad de resolver pro- blemas, de manejar información, se está propician- do una educación flexible, abierta, con más sentido para quienes aprenden, con propósitos inmediatos (sirve para hoy) y de largo plazo (preparan para la vida adulta).
Los Objetivos Fundamentales Transversales (OFT) definen finalidades generales de la educación referi- das al desarrollo personal y la formación ética e in- telectual de alumnos y alumnas. Su realización trasciende a un sector o subsector específico del cu- rriculum y tiene lugar en múltiples ámbitos o dimen- siones de la experiencia escolar, que son responsabilidad del conjunto de la institución esco- lar, incluyendo, entre otros, el proyecto educativo y el tipo de disciplina que caracteriza a cada estableci- miento, los estilos y tipos de prácticas docentes, las actividades ceremoniales y el ejemplo cotidiano de profesores y profesoras, administrativos y los pro- pios estudiantes. Sin embargo, el ámbito privilegia- do de realización de los OFT se encuentra en los contextos y actividades de aprendizaje que organiza cada sector y subsector, en función del logro de los aprendizajes esperados de cada una de sus unidades. Desde la perspectiva señalada, cada sector o sub- sector de aprendizaje, en su propósito de contribuir a la formación para la vida, conjuga en un todo inte- grado e indisoluble el desarrollo intelectual con la formación ético-social de alumnos y alumnas. De esta forma se busca superar la separación que en ocasio- nes se establece entre la dimensión formativa y la instructiva. Los programas están construidos sobre la base de contenidos programáticos significativos que tienen una carga formativa muy importante, ya que en el proceso de adquisición de estos conoci- mientos y habilidades los estudiantes establecen je- rarquías valóricas, formulan juicios morales, asumen posturas éticas y desarrollan compromisos sociales. Los Objetivos Fundamentales Transversales definidos en el marco curricular nacional (Decreto N° 240 ) corresponden a una explicitación ordenada de los propósitos formativos de la Educación Básica
en tres ámbitos: Formación Ética, Crecimiento y Au- toafirmación Personal, y Persona y Entorno; su reali- zación, como se dijo, es responsabilidad de la institución escolar y la experiencia de aprendizaje y de vida que ésta ofrece en su conjunto a alumnos y alumnas. Desde la perspectiva de cada sector y sub- sector, esto significa que no hay límites respecto a qué OFT trabajar en el contexto específico de cada disciplina; las posibilidades formativas de todo con- tenido conceptual o actividad debieran considerarse abiertas a cualquier aspecto o dimensión de los OFT.
El presente programa de estudio ha sido defini- do incluyendo los Objetivos Transversales más afines con su objeto, los que han sido incorporados tanto a sus objetivos y contenidos, como a sus metodologías, actividades y sugerencias de evaluación. De este modo, los conceptos (o conocimientos), habilidades y acti- tudes que este programa se propone trabajar integran explícitamente gran parte de los OFT definidos en el marco curricular de la Educación Básica. En el programa de Matemáticas de Octavo Año Básico se refuerzan los OFT que tuvieron presencia y oportunidad de desarrollo durante los niveles ante- riores y se adicionan otros propios de las nuevas uni- dades. En este sentido, se profundizan e incorporan:
• Los OFT del ámbito Formación Ética relaciona- dos con los valores de autonomía y responsabili- dad individual y colectiva frente a trabajos o ta- reas, y el respeto y valoración de las ideas y creen- cias diferentes a las propias, a través de activida- des que inducen a la selección de procedimientos frente a problemas, y discusión y evaluación grupal de su pertinencia.
• Los OFT vinculados al desarrollo de las habili- dades de Pensamiento como son la exploración de estrategias cognitivas en la resolución de proble-
mas, la anticipación de resultados y la utilización de los sistemas y el instrumental de las matemá- ticas en la interpretación del mundo circundante, en la recopilación, sistematización, interpretación, evaluación y comunicación de información y en la apropiación significativa de la realidad.
• Los OFT del ámbito Crecimiento y Autoafirmación Personal, en especial los relativos al interés en co- nocer la realidad, y habilidades de selección de información, uso del conocimiento, razonamien- to metódico y reflexivo, y resolución de proble- mas. El programa plantea objetivos, contenidos y actividades que buscan desarrollar en alumnas y alumnos las capacidades de explorar diferentes
estrategias para resolver problemas, sistematizar procedimientos, descubrir regularidades y patro- nes, organizar y analizar información cuantitati- va, justificar y comunicar eficazmente procedi- mientos y resultados, detectar y corregir errores, dando énfasis al trabajo metódico.
• Los OFT del ámbito Persona y su Entorno referi- dos al trabajo en equipo. A través de los proble- mas por resolver matemáticamente que se plan- tean, es posible ampliar el trabajo de los OFT a la capacidad de juicio de alumnos y alumnas, y a la aplicación de criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos y sociales y de la vida diaria.
Los Objetivos Fundamentales correspondientes al 8º Año Básico y que constituyen las metas generales por alcanzar por todas las alumnas y alumnos a lo largo del año escolar, determinados en el Decreto 240, son los siguientes:
1. Utilizar sistemáticamente razonamientos ordenados y comunicables para la resolución de problemas numéricos y geométricos.
2. Percibir las posibilidades que ofrece el sistema de numeración decimal para expresar cantidades cualesquiera, por grandes o pequeñas que éstas sean.
3. Resolver problemas utilizando las potencias para expresar y operar con grandes y pequeñas cantidades.
4. Reconocer que una amplia gama de problemas se pueden expresar, plantear y resolver utilizando expresiones algebraicas simples.
5. Estimar y acotar, de manera pertinente y razonable, resultados de operaciones con decimales positivos y negativos; expresarlos en fracciones según posibilidades y conveniencia de acuerdo a la situación.
6. Recolectar y analizar datos en situaciones del entorno local, regional y nacional y comunicar resultados utilizando y fundamentando diversas formas de presentar la información y resultados del análisis de acuerdo a la situación.
7. Analizar y anticipar los efectos en la forma, el perímetro, el área y el volumen de figuras y cuerpos geométricos al introducir variaciones en alguno(s) de sus elementos (lados, ángulos).
8. Reconocer las dificultades propias de la medición de curvas y utilizar modelos geométricos para el cálculo de medidas.
El Programa del NB6 ha sido organizado en 5 uni- dades. En cada una de ellas se señalan los aprendi- zajes esperados para alumnas y alumnos. En su conjunto, estos aprendizajes esperados recogen y es- pecifican los Objetivos Fundamentales y los Conte- nidos Mínimos Obligatorios que orientan el trabajo de todo el año escolar. Se propone, también, una secuencia de las uni- dades. No obstante, los profesores y profesoras pue- den organizarlas a lo largo del año escolar en una secuencia diferente, aplicando criterios de flexibili- dad y considerando las características de los cursos con los cuales trabajan. Las unidades que constituyen el programa se presentan en un cuadro sinóptico en el cual se des- criben los temas centrales de cada una de ellas y se señala el tiempo estimado para su desarrollo. El tiem-
po propuesto es, sobre todo, un indicador de la ex- tensión de las unidades y deberá ser adaptado, cada vez que sea necesario, a la realidad específica de los cursos. Finalmente, se presenta el desarrollo de cada una de las unidades, señalando:
• los aprendizajes esperados y los contenidos;
• una introducción con algunas definiciones y re- comendaciones didácticas en la que, además, se señalan los objetivos fundamentales abordados en la unidad;
• un conjunto de actividades de aprendizaje acompa- ñadas de comentarios para los docentes y seguidas por ejemplos que permiten su contextualización;
• sugerencias de actividades y problemas para la evaluación.
Construcción de polígonos por combinación de otros. Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo de perímetro y área de polígonos.
Investigación sobre la suma de los ángulos interiores de polígonos y el número de lados de éstos. Resolución de problemas.
Investigación de las relaciones entre los ángulos que se forman al interceptar dos rectas por una tercera.
Análisis de los elementos de una circunferencia (radio, diámetro) en la reproducción y creación de circunferencias con regla y compás.
Experimentación de diversos procedimientos (gráficos y concretos) para medir el perímetro y el área de circunferencias.
Significado geométrico y numérico del número π.
Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo de perímetro y área de circunferencia.
Uso de aproximaciones convenientes para números decimales infinitos.
Uso de ecuaciones para resolver problemas e interpretar fórmulas.
Tiempo estimado: 6-8 semanas
Proporcionalidad Elaboración de tablas y gráficos correspondientes a situaciones de variación proporcional directa e inversa.
Caracterización de situaciones de proporcionalidad inversa y directa mediante un producto constante y un cuociente constante, respectivamente.
Resolución de problemas geométricos de proporcionalidad (producir figuras semejantes).
Realización e interpretación de planos esquemáticos a escala.
Cálculo de porcentajes y elaboración y análisis de tablas de aumentos y descuentos en un porcentaje dado, utilizando calculadora.
Tratamiento de información Análisis de tablas y gráficos estadísticos habitualmente utilizados en la prensa, en relación con relaciones y variaciones proporcionales y porcentajes.
Lectura y análisis de encuestas de opinión en relación con proporciones y porcentajes.
Tiempo estimado: 7-9 semanas
Números positivos y negativos Interpretación del uso de signos en los números, en la vida diaria, en contextos ligados a: la línea cronológica (aC, dC), la medición de temperatura (bajo 0, sobre 0), la posición respecto del nivel del mar.
Resolución de problemas que impliquen realizar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números positivos y negativos, con y sin apoyo en la recta numérica.
Ecuaciones de primer grado Noción de igualdad de expresiones algebraicas.
Traducción de situaciones y problemas a ecuaciones con una incógnita.
Uso de propiedades de los números y de las operaciones para encontrar soluciones.
Creación de diversos problemas con sentido a partir de ecuaciones con una incógnita.
Tratamiento de información Análisis de tablas y gráficos estadísticos habitualmente utilizados en la prensa.
Potencias de base natural y exponente entero Potencias como multiplicación de factores iguales.
Análisis y comparación de la representación gráfica (geométrica) de a 2 y de a -2.
Interpretación de a -2 y de a -3 como respectivamente.
Análisis de situaciones de crecimiento y de decrecimiento exponencial.
Investigación de regularidades y propiedades de operaciones con potencias a partir de la resolución de problemas.
Sistema de numeración decimal Asociación de una potencia de base 10 con exponente positivo o negativo a cada posición en el sistema de numeración.
Interpretación y expresión de resultados como sumas ponderadas de potencias de 10 en situaciones problema.
Números decimales y fracciones Resolución de problemas en los que sea necesario y pertinente expresar como fracciones números decimales finitos e infinitos periódicos.
Uso de la calculadora para investigar y establecer patrones en familias de números decimales.
Uso de aproximaciones convenientes de números decimales infinitos.
Lectura y análisis de resultados de encuestas de opinión.
Estimación y cálculo del volumen de cuerpos geométricos regulares expresándolos en unidades pertinentes.
Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo del volumen de prismas rectos.
Construcciones de redes para armar cilindros y conos.
Experimentación de procedimientos concretos para medir el volumen de conos y cilindros.
Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo del volumen de cilindros y conos.
Relaciones de equivalencia entre unidades de volumen de uso corriente.
Tiempo estimado: 8-10 semanas
• Construcción de polígonos por combinación de otros. (Composición y descomposición). Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo de perímetro y área de polígonos.
• Investigación sobre la suma de los ángulos interiores de polígonos y el número de lados de éstos. Resolución de problemas.
• Investigación de las relaciones entre los ángulos que se forman al intersectar dos rectas por una tercera.
• Análisis de los elementos de una circunferencia (radio, diámetro) en la reproducción y creación de circunferencias con regla y compás.
• Experimentación de diversos procedimientos (gráficos y concretos) para medir el perímetro y el área de circunferencias.
• Significado geométrico y numérico del número π
• Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo de perímetro y área de circunferencia.
• Uso de aproximaciones convenientes para números decimales infinitos.
• Uso de ecuaciones para resolver problemas e interpretar fórmulas.
1. Caracterizan los polígonos regulares en función de sus elementos, de la relación entre estos elementos y entre polígonos.
2. En situaciones problema utilizan las relaciones entre los ángulos obtenidos entre dos rectas que se intersectan y entre rectas paralelas cortadas por una transversal.
3. Caracterizan el número π desde el punto de vista geométrico y numérico.
4. Utilizan de manera pertinente fórmulas para calcular el perímetro y el área de figuras compuestas por circunferencias y polígonos.
5. En problemas geométricos fundamentan sus respuestas basándose en las relaciones entre los ángulos o entre las figuras y explican sus procedimientos utilizando las ecuaciones u otros métodos de resolución.
En esta unidad se reúnen aspectos de la geometría referidos a polígonos, ángulos entre rectas paralelas corta- das por una transversal, circunferencias; medición y cálculo de perímetros y áreas de estas figuras y combina- ciones de ellas. Es a partir de las relaciones entre ángulos que se forman entre rectas paralelas que se vuelve a mirar las características de figuras poligonales. Es decir, no se propone una mirada aislada de contextos de dichas relaciones sino que se ponen al servicio de un mayor conocimiento y comprensión de características funda- mentales de diversos tipos de polígonos. Por otra parte, se proponen situaciones problema en las cuales se hace necesario el uso de ecuaciones para formular y fundamentar tanto un procedimiento de resolución como las soluciones encontradas. Como en programas anteriores, se pone un marcado énfasis en la fundamentación y en el desarrollo de razonamientos sistemáticos y ordenados frente a situaciones diversas. Con respecto a las circunferencias, que fueron observadas, manipuladas, combinadas, dibujadas, etc. ya en el primer ciclo, en este nivel se estudian en particular sobre la base de los conocimientos ya adquiridos sobre polígonos regulares. De este modo se propone a los alumnos y alumnas un procedimiento que eventual- mente lleve a la construcción de un polígono regular con infinito número de lados, lo que resultaría en la construcción de una circunferencia. Por otra parte, a partir de las relaciones entre diámetro y perímetro de una circunferencia se visualiza el número pi (π). Es decir, se puede visualizar este número irracional particular a partir de experiencias geomé- tricas y numéricas. Y, en este contexto, se abordan los números decimales infinitos, llamados, también, núme- ros irracionales.
partir de las eventuales dificultades prácticas para medir el perímetro y el área de circunferencias se trabaja
cálculo de ellas incorporando el uso de fórmulas. Por otra parte, dada la experiencia de niveles anteriores
respecto del cálculo de perímetro y áreas de polígonos, en este nivel se proponen problemas que implican estos
cálculos en cualquier tipo de figura, resultantes de combinaciones de otras conocidas. Como en niveles anteriores, se vuelve sobre la observación y análisis del efecto que produce sobre el perímetro y/o el área de figuras la variación sistemática de alguno o algunos de sus elementos. En este nivel, a la observación y análisis se agregan nociones y herramientas tales como la relación entre ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal. Como ya se ha dicho, siguiendo con el enfoque desarrollado durante el transcurso de la enseñanza básica,
se presta especial atención al desarrollo de argumentos, procesos sistemáticos de observación, análisis y reso-
lución de situaciones, a la fundamentación, obtención y justificación de conclusiones.
Analizan situaciones que involucran ángulos y, a partir de figuras que se forman entre rectas, in- vestigan y modifican estas rectas para observar el efecto sobre los ángulos de las figuras. Estable- cen conclusiones sobre los ángulos que se forman entre rectas paralelas cortadas por una trans- versal y entre rectas que se intersectan.
1. Realizan las siguientes actividades bajo el supuesto que el cambio de dirección en una trayectoria se puede asociar a un giro en un cierto ángulo, como puede apreciarse en el siguiente dibujo.
α indica el ángulo de giro
a) Simulan trayectorias realizando giros en distintos ángulos (45˚, 90˚, 180˚, 360˚). Identifican “la calle” en donde se inicia el trayecto y el ángulo de giro necesario para llegar a “la calle” de destino.
b) Una persona camina por la calle Alameda y luego gira a la calle G. Mistral, como se muestra en el siguiente dibujo:
• ¿Cuál es el ángulo de giro que permite realizar esa trayectoria? Marcan con lápiz de color el ángulo y lo miden con transportador.
El ángulo que permite realizar la trayectoria mide 40˚. ¿De qué medida es el ángulo de giro que permite realizar el trayecto de vuelta, es decir, desde la calle G. Mistral hacia la calle Alameda, en dirección contraria a la flecha? (sin utilizar transportador).
Responden preguntas como las siguientes:
Si consideras la ubicación de estos dos ángulos, ¿qué relación tienen?
¿Qué relación tienen las dos medidas de los ángulos anteriores?, ¿por qué?, ¿esta relación se mantiene si se varía la medida del ángulo? Por ejemplo, si el ángulo de giro desde Alameda hacia G. Mistral mide 50˚ ó 45˚ ó 60˚.
Establecen conclusiones generales en relación con las medidas de los ángulos opuestos por el vértice.
Las calles V. Parra y Sotomayor se interceptan como muestra el siguiente dibujo. El Sr. Rojas y la Sra. Domínguez caminan por la calle Sotomayor. Él dobla a la calle V. Parra, en dirección al noroeste. En cambio, la señora Domínguez dobla por la misma calle hacia el sudeste.
• Marcan los ángulos de giro de las dos trayectorias. Miden, utilizando un transportador, la medida del ángulo de giro de ambas trayectorias. Comparan las medidas obtenidas.
• Responden preguntas como las siguientes:
Si consideras la ubicación de estos dos ángulos, ¿qué relación tienen las dos medidas de los ángulos anteriores?, ¿por qué?, ¿se mantiene esta relación si se varía la medida del ángulo? Por ejemplo, si el ángulo de giro de la trayectoria que realiza el Sr. Rojas mide 110˚ ó 140˚ ó 70˚ ó 65˚.
• Establecen conclusiones generales en relación con las medidas de los ángulos suplementarios adyacentes.
d) Las calles Copiapó y 21 de Mayo son paralelas y ambas interceptan a la calle Alameda. Dos personas caminan por la calle Alameda, desde el este hacia el oeste. Cada una dobla hacia calles paralelas entre sí, como muestra el dibujo.
• Contestan preguntas como las siguientes:
¿Cuál es el ángulo de giro en cada caso? Márcalos. ¿Cuál es la medida del ángulo de giro en ambos casos? ¿Qué relación existe entre ambos ángulos?, ¿por qué?
¿Se mantiene esta relación si se varía la medida del ángulo de intersección de las calles Copiapó y 21 de Mayo con la calle Alameda? (manteniéndose el paralelismo en ambas calles). Por ejemplo, si el ángulo de giro desde Alameda a Copiapó es de 110˚ ó 140˚ ó 70˚ ó 65˚, lo mismo que el ángulo de giro de 21 de Mayo y la Alameda.
• Establecen conclusiones generales en relación con las medidas de los ángulos correspondientes entre rectas paralelas.
Ante la misma situación responden:
¿Se mantiene la relación entre medidas de los ángulos si sólo se cambia el ángulo de intersección
de la calle Copiapó con Alameda, es decir, si Copiapó y 21 de Mayo ya no son paralelas?
En las mismas calles anteriores, una mujer parte en la calle Alameda desde el este al oeste y
dobla por la calle Copiapó hacia el norte y un hombre camina desde el oeste al este doblando a la
calle 21 de Mayo hacia el sur. Observa el dibujo.
Contestan preguntas como las siguientes:
¿Cuál es el ángulo de giro en cada caso? Márcalos.
¿Cuál es la medida del ángulo de giro en ambos casos?
¿Qué relación existe entre las medidas de ambos ángulos?, ¿por qué?
¿Se mantiene esta relación si se varía la medida del ángulo de intersección de las calles Copiapó y 21 de Mayo con la calle Alameda? (manteniéndose el paralelismo en ambas calles). Por ejemplo, si el ángulo de giro desde Alameda a Copiapó es de 110˚ ó 140˚ ó 70˚ ó 65˚, lo mismo que el ángulo de giro de 21 de Mayo y la Alameda?
¿Se mantiene esta relación si sólo se cambia el ángulo de intersección de la calle Copiapó con Alameda, es decir, si Copiapó y 21 de Mayo ya no son paralelas?
Establecen conclusiones generales en relación con las medidas de los ángulos alternos internos entre paralelas.
f) Observan el dibujo y responden: ¿Qué ángulo de giro realiza cada una de las personas mostradas en el dibujo si caminan por las mismas calles anteriores, pero siguiendo la trayectoria indicada por las flechas?
¿Qué relación existe entre ambos ángulos?, ¿por qué?
¿Esta relación se mantiene si se varía la medida del ángulo de intersección de las calles Copiapó y 21 de mayo con la calle Alameda? (manteniéndose el paralelismo de ambas calles). Por ejemplo, ¿si el ángulo de giro desde Alameda a Copiapó es de 110˚ ó 140˚ ó 70˚ ó 65˚, lo mismo que el ángulo de giro de 21 de Mayo y la Alameda?
• Establecen conclusiones generales en relación con las medidas de los ángulos alternos externos entre paralelas.
• Hacen una síntesis de las relaciones de medida que se establecen entre los diferentes ángulos que se forman al cortar dos o más rectas paralelas por una tercera que no es paralela a ellas. Se apoyan en los casos anteriores.
• Hacen un dibujo en el cual se intersecten 2 rectas cualesquiera y comprueban si sucede lo mismo que en los casos presentados.
• Explican por qué la relación entre los ángulos se mantiene, aunque las rectas se muevan y, por lo tanto, las medidas cambien.
La actividad se inicia con la experimentación de giros en trayectorias de manera de asociar los giros a la noción de ángulo. Es importante que los alumnos y alumnas experimenten el giro para luego asociar este movimiento con la marca del ángulo que se hace en el dibujo.
La primera parte de la actividad pretende introducir los ángulos que se generan al interceptar dos rectas:
suplementarios adyacentes y ángulos opuestos por el vértice. Sólo después que los estudiantes determinen las relaciones entre estos ángulos, se sugiere que el docente señale sus nombres. Realizan lo mismo con los ángu- los que se generan al interceptar dos rectas paralelas entre sí con una tercera recta: ángulos correspondientes, alternos externos e internos. En ambos casos el énfasis está dado por las relaciones de posición y de medida que se establecen entre ellos, más que en los nombres.
Es importante que los estudiantes verifiquen que las conclusiones que se establecen en relación con las medi- das de los ángulos que se forman entre un par de rectas paralelas cortadas por una transversal no se cumplen cuando las rectas no son paralelas.
Observan las figuras que se forman entre las rectas dadas, presentadas en la hoja A y B. Responden las preguntas que se presentan a continuación y anticipan los efectos de mover las rectas.
Miden los ángulos de las figuras formadas en cada hoja, destacan con color los ángulos congruentes.
Tanto en las figuras de la hoja A como B ¿cuánto suman los 2 ángulos que están sobre la misma recta, por ejemplo 1 y 2? (buscar las diferentes parejas de ángulos que están sobre una recta).
Si se movieran las rectas, ¿qué pasaría con los ángulos que antes eran congruentes?, ¿qué pasaría con los ángulos que antes sumaban 180˚?
Hacen un dibujo en
el cual se intersecten 2 rectas cualesquiera y comprueban si sucede lo
mismo que en los casos presentados.
Explican por qué la relación entre los ángulos se mantiene, aunque las rectas se muevan y, por lo tanto, las medidas cambien.
En esta primera parte se busca focalizar sobre los ángulos opuestos por el vértice y los adyacentes. El interés es que los estudiantes establezcan las relaciones de medidas entre ellos: es decir, que no importando las medi- das, los primeros siempre van a ser congruentes y los otros siempre sumarán 180˚. Este es un momento ade- cuado para mencionar a sus alumnos y alumnas el nombre que reciben estos ángulos, con el objetivo de facilitar la comunicación y evitar ambigüedades.
b) Describen el siguiente dibujo, considerando las rectas y los ángulos que se forman. Miden lo que sea necesario (longitud de segmentos o medida de ángulos) de manera de responder fundadamente.
• Marcan de color los ángulos congruentes y tratan de explicar la relación entre ellos. Para la explicación recurren al desplazamiento de las figuras y a la medida de los ángulos.
Las conclusiones que se obtienen respecto a la relación entre los ángulos, a través de las mediciones realizadas, también se pueden verificar por medio de desplazamiento de rectas y rotaciones de ángulos. Es importante destacar que cuando el razonamiento permite establecer claramente la relación entre ángulos no es necesario medir.
Una vez realizadas estas constataciones se sugiere presentar el teorema acerca de las paralelas.
• Predicen lo que puede suceder si mueven las figuras realizadas anteriormente. El movimiento puede ser de dos tipos: en el primer caso, mueven en bloque las paralelas, pero no así la recta transversal.
En el segundo caso sólo modifican una de las rectas paralelas y predicen qué sucederá con las figuras y sus ángulos. Comprueban las predicciones simulando el movimiento deseado, ya sea en la computadora o usando varillas articuladas.
Es muy importante comprobar que al mover las rectas en forma paralela se mantiene la relación entre los ángulos; en cambio, al modificar la condición de paralelismo entre las rectas, la igualdad de medida de los ángulos se modifica. Un programa computacional como el Cabri geométrico puede ser de gran utilidad para comprobar estas propiedades.
3. Resuelven cada uno de los siguientes desafíos:
a) Si se desea dibujar, dentro de un triángulo, otro triángulo más pequeño cuyos ángulos interiores sean de igual medida que el primero, ¿cómo se podría realizar? Escriben los pasos para hacerlo. Pueden usar transportador, regla, escuadra y compás.
Se puede tomar como ejemplo este triángulo y dibujar uno al interior.
El año anterior los estudiantes dibujaron con regla y compás triángulos dadas diferentes condiciones y además copiaron ángulos usando compás y regla. Esto les posibilitaría solucionar el problema.
Una solución al desafío puede ser trazar un segmento paralelo a uno de los lados y sobre él copiar el ángulo correspondiente. El ángulo se puede copiar con el transportador o sólo usando el compás. Otro procedimiento es trazar rectas paralelas a los tres lados del triángulo y pedir a los alumnos y alumnas verificar que ambos triángulos tienen los mismos ángulos. Es importante hacer reflexionar a los estudiantes sobre la utilidad de usar sólo el compás y sobre la relación entre éste y el otro procedimiento que utiliza sólo el dibujo de paralelas y que se aborda en las preguntas a continuación.
Llevar a reflexionar a los alumnos y alumnas en torno al procedimiento con preguntas como:
- ¿Qué pasaría si el procedimiento utilizado fuese sólo trazando las paralelas a cada lado sin importar la distancia a la cual quedan del lado original?
- ¿El triángulo interior tendría los ángulos interiores de la misma medida? Ver dibujo.
Se sugiere confirmar estas respuestas a través de construcciones y centrar el análisis sobre los segmentos paralelos y su relación con la congruencia de ángulos.
• Dibujan un segundo triángulo por fuera del triángulo inicial y establecen una forma general de dibujar una figura más pequeña o más grande cuyos ángulos sean congruentes.
En este punto se sugiere presentar en forma más explícita las relaciones de congruencia y de suplementariedad entre los ángulos que se generan entre las rectas paralelas cortadas por una transversal.
b) Toman el mismo triángulo anterior y se les propone dibujar con lápiz y regla o bien con la computadora una hoja en la cual sólo aparezcan triángulos congruentes a éste de manera que los triángulos compartan un lado y/o un vértice y así no exista espacio entre cada figura.
Cada alumna o alumno debe decidir cómo los dibujará y los pasos a seguir.
El programa computacional Cabri geométrico permite realizar este tipo de actividades. También con el progra- ma Word, usando la barra de herramientas de dibujo, se pueden dibujar una infinidad de formas, ya sea partien- do de segmentos que al intersectarlos formen polígonos (figura 1) o a partir de las “autoformas” (figura 2), las cuales al girarlas convenientemente pueden tapizar el plano. Poner atención en que en este punto el centro de la actividad son las paralelas: por lo tanto, es importante destacarlas con color en ambos casos de construcción.
• Comparten algunos procedimientos usados en el dibujo. Miden los ángulos interiores del triángulo e identifican con color dónde se ubican los congruentes a ellos.
• Observan las rectas paralelas que se forman. Al medir los ángulos y observar las rectas paralelas confirman que se cumplen las relaciones angulares en los ángulos que se generan entre las rectas paralelas cortadas por una transversal. Establecen como un procedimiento útil y fácil para lograr la repetición de los triángulos el trazado de las rectas paralelas a partir de los puntos de intersección de los vértices.
• Al observar las medidas de los ángulos, establecen que siempre en las intersecciones de rectas hay sólo dos medidas que se repiten. Llaman a estos ángulos: opuestos por el vértice.
Además observan que la suma de los ángulos que se ubican sobre una misma recta es 180˚ y los llaman ángulos adyacentes suplementarios.
Una vez caracterizados los ángulos opuestos por el vértice y los adyacentes suplementarios, se sugiere que los estudiantes los observen en otros rompecabezas o en cualquier dibujo con intersección de segmentos y confir- men la relación entre la medida de estos ángulos (congruentes o suplementarios, según corresponda).
Resuelven variados problemas relacionados con ángulos en figuras formadas entre rectas de manera de:
• explicar y justificar cómo se conoce el valor de determinados ángulos basándose en las relaciones entre las rectas;
• establecer relaciones entre los ángulos interiores de paralelogramos y trapecios.
1. Resuelven la situación planteada en cada caso. Algunas alumnas o alumnos presentan sus soluciones al curso. Las analizan y discuten.
a) Encuentran el valor de los ángulos pedidos. Explican en cuáles relaciones entre los ángulos basan su razonamiento para justificar su respuesta.
• ¿Cuál es la medida de los ángulos x e y? Fundamentan.
Datos: L1//L2//L3 y L4//L5//L6
¿Cuánto mide el
información dada?
ε ? Fundamentan. ¿Cuáles otras medidas de ángulos puedes encontrar con la
Datos: AB // ED
x’ son congruentes y por qué
z’ también lo son entre sí.
- Por qué x + y + z = 180˚
- Por qué x´´ + y´´ +z´´ = 360˚
- ¿Cómo se relacionan los resultados anteriores con la suma de ángulos interiores y exteriores de un triángulo?
Dato: L1 // L2
El análisis del ejercicio anterior entrega los antecedentes necesarios para que el docente presente la demostra- ción del teorema sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo, tema que fue abordado el año anterior a raíz de la construcción de triángulos. En este nivel se retoma, profundizando en la argumentación que entrega una demostración.
Resuelven la situación planteada en cada caso. Algunas alumnas o alumnos presentan sus soluciones al curso. Las analizan y discuten.
a) Encuentran el valor de los ángulos pedidos. Explican en cuáles relaciones entre los ángulos basan su razonamiento, justificando la respuesta. ¿Cuánto miden el ángulo x y el ángulo y?
Datos: AB // CD y L1 // L2 // L3
b) Observan las figuras siguientes y los datos presentados. Indican si hay segmentos paralelos. Fundamentan su respuesta explicando por qué.
Para justificar la respuesta usan lenguaje claro, preciso y se basan en las relaciones entre los ángulos y las medidas entregadas. No miden los ángulos con transportador.
La figura está formada por dos triángulos isósceles, de manera que los segmentos AB y BC son congruentes y los segmentos AC y AD también lo son.
La figura está formada por tres triángulos equiláteros.
Es importante que los estudiantes establezcan que conociendo las medidas en un dibujo también es posible determinar la presencia o ausencia de segmentos y/o rectas paralelas. En el primer caso logran saber que no hay y en el segundo que sí los hay y cuáles son.
c) Utilizando los conocimientos sobre los ángulos entre paralelas (sin medir los ángulos) fundamentan las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los paralelogramos y trapecios.
En el paralelogramo:
- ¿Qué relación existe entre las medidas de los ángulos α y β?, ¿y entre las medidas de los ángulos δ y γ?, ¿se cumplen estas relaciones en el trapecio?
- ¿Qué relación existe entre las medidas de los ángulos α y δ?, ¿y entre las medidas de los ángulos β y γ?, ¿se cumplen estas relaciones en el trapecio?
Investigan sobre la suma de ángulos interiores de polígonos y establecen una fórmula que les per- mita conocer la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Caracterizan los polígonos regulares.
a) Dibujan un polígono convexo cualquiera y trazan desde un vértice cualquiera todas las diagonales posibles de obtener, de manera que el polígono quede subdividido en varios triángulos.
Marcan los ángulos interiores de cada triángulo y confirman que con todos estos ángulos se pueden obtener los ángulos interiores del polígono.
Esta es una forma de subdividir un pentágono. Preguntar a los alumnos y alumnas si existen otras maneras de subdividirlo bajo las mismas condiciones, de modo de concluir que no importando el vértice del cual puedan trazar las diagonales, de todas maneras se forman triángulos.
Para confirmar que los ángulos interiores de todos los triángulos corresponden a la suma de los ángulos interiores del polígono, basta con observar el polígono: en el dibujo, 2 más 3 más 4 obviamente forman el ABC y, así, con cada uno de los ángulos del polígono.
b) Repiten lo anterior partiendo de un polígono de 3 lados y aumentando sucesivamente 1 lado del polígono hasta que se tengan suficientes casos como para establecer conclusiones.
Completan una tabla ordenadamente, de manera de relacionar la cantidad de triángulos en los que se divide cada polígono con la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono.
Nº de triángulos en los que se subdividió
Suma de los ángulos interiores del polígono
• Orientados por algunas preguntas respecto de la tabla, establecen conclusiones respecto de la suma de los ángulos interiores de un polígono.
• Si observan las columnas referidas al N° de lados del polígono y el N° de triángulos obtenidos al trazar las diagonales desde un mismo vértice:
- ¿Qué relación numérica existe entre los números de ambas columnas?
- Si el polígono tiene un número cualquiera de lados, que lo podemos expresar con la letra “n”, ¿qué expresión representaría el número de triángulos que se forman en ese polígono de n lados?, ¿por qué?
La suma total de la medida de los ángulos interiores de cada polígono se establece claramente al relacionar la suma de los ángulos interiores de un triángulo (180°) con los ángulos interiores del polígono. Se espera que con ayuda del docente se vaya concluyendo una “fórmula” para obtener de modo general la suma de los ángu- los interiores de un polígono cualquiera. En el primer momento se concluye que el número de triángulos formados corresponde a “n-2” si n es el número de lados del polígono. Además, deben buscar la explicación de por qué se restan 2. Si los estudiantes observan que no se pueden obtener diagonales uniendo los vértices contiguos, entonces comprenderán por qué cada vez que se trazan las diagonales de un vértice “se pierden” 2 vértices. Otras preguntas que se pueden plantear respecto a los datos de la tabla son:
Si observan las columnas referidas al número de triángulos del polígono y la suma total de los ángulos interio- res del polígono:
- ¿Cómo se puede escribir la relación numérica que existe entre los números de ambas columnas?
- Si el polígono de “n” lados, se ha subdividido en “n-2” triángulos, ¿qué expresión representaría la suma de los ángulos interiores del polígono?
En este punto, se espera que observen que si el número obtenido anteriormente (que corresponde al número de triángulos) se multiplica por 180 se obtiene la suma de los ángulos interiores de cada polígono. Es decir, la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es: (n-2) • 180°, donde n representa el número de lados del polígono.
c) Ponen a prueba la fórmula encontrada con otros polígonos y observan cómo a medida que aumenta
el número de lados del polígono también aumenta la suma total de la medida de sus ángulos
interiores. Discuten sobre si ocurre el mismo efecto con la suma de los ángulos exteriores del polígono convexo.
Esta discusión puede desencadenar otra investigación que puede realizarse con casos concretos, midiendo los ángulos exteriores de los polígonos. Es importante llegar a concluir que mientras la suma de ángulos interiores de un polígono crece a medida que crece el número de lados, la suma de ángulos exteriores es siempre 360˚.
d) Analizan algunos polígonos conocidos que tienen sus lados iguales y sus ángulos de igual medida.
A partir de las características del triángulo equilátero y el cuadrado, establecen que estos
polígonos, al cumplir con las condiciones de tener ángulos de igual medida, también tienen lados
de igual medida, y que reciben el nombre de polígonos regulares. Determinan, considerando estas características, cuáles serían otros polígonos regulares.
• Se desafía a los alumnos y alumnas a construir con regla, compás y transportador algunos polígonos regulares.
Hasta el momento los estudiantes tienen una gama de conocimientos, tanto numéricos como geométricos, que les permitirían fácilmente abordar este desafío. Por ejemplo, se pueden basar en la descomposición de los polígonos regulares en triángulos congruentes u otras figuras (actividades de composición y descomposición con triángulos que han realizado en 6º Año Básico). También conocen la medida de cada ángulo interior de estos polígonos y saben construir con regla, compás y transportador cualquier tipo de triángulo. Incentivar a los alumnos y alumnas a investigar cómo pueden realizar esta construcción y a observar cómo en las distintas soluciones al problema se ponen en juego diferentes características de los polígonos regulares.
La idea es que, al revés de lo que hicieron en la actividad anterior, es decir, descomponer un polígono cual- quiera en triángulos (partiendo desde un vértice), ahora compongan el polígono regular.
Una posibilidad es usar triángulos congruentes uniéndolos en un vértice común (central), tal como indica la figura.
En este caso se muestra el hexágono formado con los seis triángulos equiláteros. Lo interesante es relacionar lo que investigaron anteriormente de los ángulos interiores con la construcción. Entonces, si obtuvieron que la medida de un ángulo interior en el hexágono regular es 120°, entonces cada triángulo interior, como es congruente con los otros seis, tiene como única posibilidad que sus medidas sean de 60˚, ya que en cada vértice sumarían 120˚ y en el centro del polígono, donde se unen los vértices, sumarían 360˚, lo que es la circunferen- cia completa.
Se sugiere que los alumnos y alumnas construyan al menos hasta el octágono, saltándose el heptágono.
¿Qué sucede en el caso del polígono regular de siete lados? ¿Se puede construir exactamente con transportador la medida del ángulo interior?
Superponen los polígonos regulares construidos e imaginan qué formas van tomando los polígonos regulares de una mayor cantidad de lados. ¿Llegará un momento en el cual aparezca una circunferencia?, ¿por qué?, ¿cómo va aumentando la medida de cada ángulo interior de los polígonos?
Entonces, ¿podría considerarse la circunferencia como un polígono? Explican.
Construir los polígonos regulares con un programa geométrico como el Cabri o Geómetra permite visualizar claramente el efecto de aumentar los lados y su cercanía con la circunferencia.
Construyen circunferencias con determinadas condiciones iniciales. Analizan sus procedimientos e identifican el centro y radio como los elementos esenciales que las determinan.
1. Realizan diferentes procedimientos para reproducir figuras compuestas por circunferencias, utilizando instrumentos geométricos. Comparten los procedimientos con sus compañeras y compañeros.
a) Copian en forma exacta cada uno de los siguientes dibujos sin calcarlos y sólo utilizando regla y compás.
través de la copia de cada dibujo surge la importancia del centro de la circunferencia; se sugiere introducir
radio y el diámetro como elementos caracterizadores de ella.
Dibujar ayuda a detenerse y reflexionar sobre las propiedades de las figuras geométricas y permite corregir el trabajo realizado.
b) Se desea marcar con tiza la circunferencia que va al centro de la cancha de básquetbol. ¿Cómo lo puede realizar la persona que marca la cancha si no tiene un compás gigante?
Explican el procedimiento y lo fundamentan en las características de la circunferencia que permiten tener plena seguridad que lo dibujado será lo requerido.
La idea es que determinen el centro de la circunferencia y luego la marquen utilizando una cuerda.
2. Confeccionan en papel figuras compuestas por círculos.
a) Planean cómo hacer un reloj, teniendo como base un plato. Determinan el centro para ubicar el minutero y segundero.
b) Investigan con adultos, por ejemplo, un carpintero o un marcador de canchas o artesanos, para qué utilizan el diseño de circunferencias. ¿Cómo las dibujan? ¿Cómo determinan el centro de ellas, si no lo tienen? ¿Cómo habrían solucionado ellos, por ejemplo, el trazado de una pieza redonda o el diseño de una mesa redonda?
El trabajo con papel es muy interesante pues permite establecer por plegado el centro de la circunferencia y queda claramente establecido que el diámetro es eje de simetría de la misma, además de comprobar que todos los pliegues que coinciden con el diámetro son de igual longitud.
A partir de situaciones asocian el perímetro de una circunferencia a la medida del contorno y del área como medida de la superficie de la misma. Hacen estimaciones. Analizan la dificultad que involucra la medición.
Reflexionan sobre situaciones referidas a perímetros y áreas.
están confeccionando manteles y centros de mesa en forma de círculo. Cada uno lleva cinta
desea saber en la forma más precisa posible cuántos metros de cinta y género se requieren
Los diámetros son: centro de mesa 40 cm y mantel 1,20 m
Trazan modelos de posa vasos de forma circular que tengan de diámetro 10 cm y 11 cm. Buscan formas de calcular la superficie que cubre cada uno. Se pueden apoyar en cuadriculados de 1
de lado o en papel milimetrado.
Distribuidos en grupos, hacen un molde en papel para posa vasos y buscan formas de medir el contorno y la superficie de cada uno.
Asocian la medida del contorno con el perímetro de la circunferencia y la de superficie con el área de la misma.
Presentan algunos procedimientos usados en esta medición y comparan las medidas. Comentan la dificultad para obtenerla, las diferencias entre las medidas presentadas y reflexionan sobre las posibles causas. Ubican el valor de la medida entre ciertos rangos.
Buscan otras situaciones en las cuales es útil o necesario conocer el perímetro y el área de circunferencias.
Investigan sobre el significado de los números referidos a las medidas de los cuellos de las camisas de hombres, los anillos para los dedos, las llantas y neumáticos. Conversan sobre su relación con lo que saben de la circunferencia.
En la primera parte de la actividad la idea es que los estudiantes recurran a procedimientos de medición como ubicar una cuerda por el contorno de la circunferencia y, en el caso del área, cuadricular la superficie con cuadrados de distintas medida para ajustar el cálculo. En este segundo caso es importante que se den cuenta que cuanto más pequeño es el cuadriculado, más exacta es la medición. Esto ayuda a afianzar la asociación del perímetro como una sola dimensión y del área como el cálculo con dos dimensiones.
La reflexión en torno a la dificultad para encontrar un valor exacto de la medida está centrada en darse cuenta que es una medida con cifras decimales infinitas y aunque se visualiza perfectamente (se ve en el trozo de cuerda) no se puede expresar a través de un número decimal, sino que representa un número irracional.
Investigan la relación entre el perímetro, el radio y el diámetro de una circunferencia a través del cuociente. Definen el número pi (π).
Conversan sobre el uso de las ruedas métricas para medir distancias, cómo funcionan, cuál es su utilidad. Luego cada grupo construye con cartón ruedas que pueden ser de 20 cm de diámetro, de 30 cm y 40 cm.
a) Determinan cuánto alcanza a recorrer cada una de las ruedas métricas en 1 vuelta, presentan la información al curso y completan una tabla con la información. Redondean el valor obtenido en cada medición.
b) Analizan la tabla buscando un patrón numérico entre los números de cada columna y fila. Luego se centran en las filas, calculan en cada caso el cuociente entre el perímetro y el diámetro.
c) Realizan el mismo procedimiento para circunferencias de diámetro 10 cm; 5 cm, 1 cm. Antes de hacer las mediciones hacen conjeturas respecto de los valores que obtendrán. Luego comprueban sus conjeturas haciendo las mediciones y analizan los aciertos y los errores. Completan la tabla con esta nueva información.
d) Investigan en diferentes fuentes disponibles en la escuela sobre el origen del número π, su historia e importancia. Ponen en común esta información.
e) Retoman la tabla anterior y agregan otras columnas: en una expresan el perímetro de la circunferencia sin realizar el cálculo y usando la notación π y en las otras rehacen el cálculo con calculadora estableciendo un valor para π. Conversan sobre la conveniencia de usar una u otra forma.
f) Establecen una forma general de obtener el perímetro de cualquier circunferencia si se conoce su diámetro o radio. Se orientan con preguntas como:
• ¿Qué elemento de la circunferencia se multiplica por π para establecer el perímetro de la circunferencia?
• Escribir una fórmula general para obtenerlo, escribiendo el símbolo de π.
• ¿Qué sucede si no se conoce el radio? Escribir la fórmula en este caso.
A continuación se presenta un ejemplo de una tabla y los posibles valores obtenidos después del redondeo.
Distancia que recorre en 1 vuelta
Si analizan las filas se darán cuenta que la relación entre el diámetro de la rueda y lo que ella recorre es aproximadamente 3 veces mayor.
La presencia de este número surge después de este análisis y de la experiencia obtenida en la actividad anterior en cuanto a su inexactitud.
Es interesante que los alumnos y alumnas investiguen y analicen las diferentes aproximaciones útiles para
hacer cálculos con el número π, como son: 3; 3,14;
ocasiones lo más exacto y conveniente es expresar los resultados en función de π, en otras es usar una aproxi- mación adecuada a la situación.
Existen direcciones en internet dedicadas a este número como www.pi.com y otras. En algunas se podrá encontrar la historia respecto a este número y cómo se llegó a darle un nombre específico. De especial interés en la información histórica son los métodos utilizados a través del tiempo para constatar su existencia y para encontrar aproximaciones de él.
; 3,1416; 3,14159265358979. Obviamente, en muchas
Probablemente la fórmula que se obtenga para calcular el prímetro sea: dπ (diámetro por π); presentar, enton- ces, la otra en torno al radio (2 π r) y pedir que expliquen y verifiquen la validez de la igualdad.
g) Modificando la fórmula obtenida responden: ¿Qué diámetro tendría la circunferencia si se quiere que una vuelta de la rueda avance un metro? ¿De qué radio escogerías construir una rueda métrica de manera que sea eficiente para medir distancias en una parcela y sea de fácil lectura la cantidad de metros que vas midiendo?
Establecen la relación entre el área de la circunferencia y el área de polígonos regulares inscritos o circunscritos en ella. Establecen la relación entre el área y los elementos básicos de la circunferencia.
1. La pregunta que orienta la actividad es: ¿Cómo se puede obtener el área de una circunferencia?
• ¿Es posible relacionarla con el área de alguna figura conocida? ¿Es posible relacionarla con el área de un polígono regular de muchos lados? ¿Cómo? Hacen un dibujo esquemático de la circunferencia y en su interior un polígono de muchos lados.
Para orientar esta pequeña investigación se sugiere partir con los siguientes supuestos básicos, que se desprenden de imaginar la circunferencia como un polígono de infinitos lados:
Al descomponer la circunferencia en triángulos muy pequeños con un vértice común, es posible obtener las siguientes igualdades:
Ambas figuras tendrían igual área (imaginarse triángulos muy pequeños).
Ambas líneas tendrían igual longitud.
Ambas figuras tendrían la altura de igual longitud, entonces h=r.
• ¿Cómo se obtiene el área de un polígono regular?, ¿cómo obtener el área de una circunferencia? Se orientan por una secuencia como la siguiente para abordar la respuesta de la pregunta:
a) Descomponen cualquier polígono regular en triángulos de igual forma y medida, y establecen una fórmula general que permita con este procedimiento calcular el área de polígonos de este tipo. Descomponen en triángulos, partiendo del centro del polígono regular. Indican los datos que deben conocer para calcular y confirman en cada una de las figuras que sean los mismos datos que necesitan conocer de cada polígono. Establecen una fórmula general en función del perímetro de cada polígono.
b) Relacionan la fórmula general obtenida para un polígono regular con el círculo. Orientados por preguntas como las siguientes, deducen una fórmula general para obtener el área de una circunferencia:
• Si la circunferencia, como ya se había visto, puede ser un polígono de infinitos lados, imaginen y tracen un dibujo esquemático de una circunferencia descompuesta a partir de su centro en triángulos muy pequeños, todos de igual forma y tamaño.
• ¿Qué datos respecto de la circunferencia es necesario conocer para obtener su área? Aplican la fórmula que ya conocen del área de un polígono regular, tomando como referencia los supuestos iniciales, respecto a la igualdad de las figuras cuando el polígono tiene infinitos lados.
• ¿Cuál elemento de la circunferencia se puede asociar a la altura de cada uno de estos infinitos triángulos?
• ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia?
c) Aplican la fórmula para el cálculo del área de diferentes círculos si conocen el radio o el diámetro.
En la actividad 3 de esta misma unidad han descompuesto en triángulos congruentes cada polígono regular. Es conveniente que puedan asumir en grupo el desafío y si en un principio no se obtiene la fórmula, a través del análisis de lo que ellos admiten como pasos necesarios para obtener el área, se oriente con preguntas convenientes. La verbalización puede ayudar: Por ejemplo: “el área del pentágono regular se obtiene de la suma de las áreas de los cinco triángulos”.
Si conocemos la fórmula para el área de 1 triángulo, entonces es posible conocer el área de cinco triángulos equivalentes, y si los 5 lados que son bases de los triángulos es lo mismo que el perímetro, entonces es posible obtener el perímetro del pentágono.
Una tabla como la siguiente puede ayudar a ordenar y resumir la información para así obtener una fórmula general.
y h del triángulo
y h del cuadrado
lado o base del polígono
h del triángulo
En la segunda parte de la actividad, en la cual se relaciona el área del círculo con la de cualquier polígono regular, es muy importante que realicen el dibujo esquemático que se pide y visualicen que el radio de la circunferencia corresponde a la altura de estos infinitos y angostos triángulos.
Luego es fácil establecer que si aplican la fórmula tendrían:
perímetro de la circunferencia y h es el radio de ésta. Al simplificar se obtiene: π • r 2 que corresponde al área de la circunferencia.
, P corresponde al
2. Descomponen una circunferencia en triángulos, parten del centro de la circunferencia, marcan el radio y luego otros radios de manera que se obtengan figuras que se asocien a triángulos isósceles de igual forma y tamaño. Para orientar esta pequeña investigación, partir de los siguientes supuestos básicos, que se desprenden de la circunferencia como un polígono de infinitos lados:
Al descomponer la cicunferencia en triángulos muy pequeños con un vértice común, es posible obtener las siguientes igualdades:
Ambas figuras tendrían igual área.
• A partir de dobleces desde el centro obtener un número par de figuras, recortarlas y disponerlas tratando de formar un paralelógramo, como se indica en la figura.
Si el área de un paralelógramo es b • h, y lo relacionan con los elementos de la circunferencia, entonces:
• ¿A qué corresponde la base? ¿A qué parte del perímetro de la circunferencia?
• ¿A qué elemento de la circunferencia corresponde la altura?
• Escriben la fórmula en función de los elementos de la circunferencia.
Se espera que, al igual que en el ejemplo anterior, reemplacen los elementos de la fórmula del paralelógramo por los de la circunferencia. Pedir a sus alumnas y alumnos que lo expresen con palabras y luego realicen la traducción a símbolos.
• h es lo mismo que la mitad del perímetro de la circunferencia por el radio de la misma, entonces
Se sugiere pedir que comparen esta fórmula con la tradicional (πr 2 ) y establecer conclusiones respecto a la veracidad de la igualdad.
• Aplican la fórmula para el cálculo del área de diferentes círculos si conocen el radio o el diámetro.
Resuelven problemas en los que se requiera calcular áreas y perímetros de figuras compuestas por circunferencias y otras figuras geométricas; sistematizan y evalúan diferentes estrategias. Calcu- lan los valores del radio de circunferencias, dados el perímetro y/o el área.
1. En parejas de trabajo, resuelven las siguientes situaciones, evalúan su respuesta y presentan su desarrollo:
a) Un granjero desea hacer un corral para guardar sus animales, y el terreno del cual dispone se presta para construirlo de distintas formas. El analiza las siguientes posibilidades de medidas que se adjuntan, considerando que cuenta con 60 m de alambre. Se trata de saber en cuál se cubre mayor superficie y, por lo mismo, cuál puede albergar mayor cantidad de animales, es decir, en cuál se podría aprovechar mejor la superficie de acuerdo a la forma.
Todas las formas tienen 60 metros de perímetro.
De 20 m en cada lado
Con lados de 15 m
El lado menor de 10 m
y el mayor de 20 m
aproximado a 60 m
Analizan las posibilidades de cada corral de acuerdo a los criterios entregados y agregan otra posibilidad a la forma del corral.
Proponen la forma que puede tener el corral y fundamentan su elección.
Completan tablas en las cuales dado el radio de una circunferencia encuentran el perímetro y el área de ésta, o al revés, conociendo el área o perímetro encuentran el radio. Expresan los resultados sin calcular ( y, cuando corresponda, usan la notación de la raíz y/o usan la calculadora para obtener un valor aproximado).
Completan una tabla como la siguiente:
• Observan las secuencias que se forman entre los perímetros, las relacionan con los radios correspondientes, establecen el patrón que se genera e intentan anticiparse a otros valores de perímetros, conociendo el radio.
• Observan las secuencias que se forman entre las áreas de los círculos, las relacionan con los radios correspondientes, establecen el patrón que se genera e intentan anticiparse a otros valores de áreas, conociendo el radio.
• Establecen conclusiones que permitan relacionar la variación del radio con el efecto en su perímetro y área. Se orientan por preguntas como las siguientes:
- Si el radio en una circunferencia se aumenta, ¿cómo aumenta el perímetro correspondiente? ¿Es posible afirmar que la relación entre el radio y el perímetro correspondiente es proporcional?, ¿por qué?
- Si el radio en una circunferencia se aumenta, ¿cómo aumenta el área correspondiente? ¿Cómo se puede caracterizar el aumento del área del círculo? ¿Es posible afirmar que la relación entre el radio y el área correspondiente es proporcional?, ¿por qué?
Al igual que los años anteriores, la completación de las tablas -una vez que se capta el patrón de formación- se puede realizar partiendo de las columnas o las filas. En cada caso el patrón es diferente y guarda relación con la relación entre radio y perímetro y entre radio y área. Es importante observar la tabla en ambos sentidos, hacia abajo (columnas) y hacia el lado (filas).
Poner atención en las unidades de medida, hacer hincapié que en el caso del área la unidad tiene exponente 2, mientras que en el caso del perímetro esto no ocurre.
Se recomienda que tomen la tabla anterior ya completa, discutan sobre un procedimiento que permita encontrar el perímetro y el radio de la circunferencia si se conoce el área, reorganicen las columnas comenzando por el área, comprueben el procedimiento propuesto y confirmen la conveniencia de encontrar primero el valor del radio.
También, se puede pedir a los estudiantes que observen la tabla y traten de responder si es posible encontrar el valor del radio y del perímetro de círculos cuyas áreas no sean múltiplos de una potencia al cuadrado, por ejemplo, 2π cm 2 , 5π cm 2 , 7π cm 2 , etc. Discuten sobre sus respuestas y conjeturas. Recuerdan el significado y la notación de las raíces cuadradas abordados en 7° Año Básico, a propósito del teorema de Pitágoras. Pueden usar la calculadora y buscar estos valores expresando el valor de la raíz en forma aproximada y, también, expresando el radio sin calcular la raíz.
La Tierra está a una distancia del Sol de 150 millones de km aproximadamente. La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es casi circular.
¿Qué distancia recorremos “en órbita” alrededor del Sol cada año?
Para realizar los cálculos, ¿qué valor es conveniente usar para π?, ¿por qué?
¿Cuál sería una buena aproximación de la velocidad de la Tierra en su órbita?
¿Cuál es el perímetro de la circunferencia si el rectángulo está inscrito en la circunferencia cuyo lado mayor mide 12 cm y el menor 9 cm?
En 6° Año Básico los alumnos y alumnas compusieron y descompusieron cuadriláteros usando triángulos, estableciendo sus ejes de simetría y estudiando especialmente los paralelógramos. Este trabajo insinuaba las propiedades de las diagonales de éstos. Sin embargo, es posible que no las recuerden, por lo que este problema es la ocasión para hacerlo. También, en este problema vuelve aparecer un tema tratado en 7º Año Básico, el Teorema de Pitágoras.
2. En parejas de trabajo, resuelven las siguientes situaciones, evalúan su respuesta y presentan su desarrollo:
a) En el dibujo, no realizado a escala, se presenta un tablero para aficionados de tiro al blanco con 3 zonas de tiro.
En teoría, si el tablero está bien construido, el jugador debería tener la misma probabilidad de acertar en cada una de las secciones del tablero.
• ¿Cómo se puede saber que efectivamente el diseño da la misma probabilidad de ubicar una plumilla en cada sector? ¿Qué cálculo que involucre el diseño permite esta certeza?
• En el caso que el radio del círculo interior sea 12 cm; ¿cuál debería ser el área de cada anillo?
• Imaginan que cada anillo de color pertenece a un círculo (con igual centro al más pequeño). Si el círculo interior tiene de radio 12 cm, ¿cuál debería ser el área de cada uno de los círculos más grandes, de manera que el diseño del tablero sea el correcto?
Expresan el área de cada círculo de al menos tres maneras.
• ¿Cuál debería ser el radio de cada uno de los círculos antes señalados? Presentan la respuesta:
calculando la raíz con la calculadora y sin calcular la raíz.
Animar a los estudiantes a que algunas de las respuestas respecto del área se presenten sin el cálculo de π y en función del área del primer círculo que es igual a 144π (por ejemplo: 2•144π, el área del segundo círculo, y 3•144π, el área del círculo mayor). Cuando presenten una aproximación de π, hacerlos reflexionar sobre la más conveniente.
En esta misma actividad, en el Ejemplo 1, se aborda el tema de las raíces. En este problema se sugiere el mismo tratamiento.
b) Calculan el área de la parte sombreada:
Se sugiere partir el cálculo del área de estas figuras compuestas, dibujándolas; de esta manera, se realiza el ejercicio de análisis de la figura. Deben establecer a qué parte del círculo corresponde el sector circular que se presenta.
c) Un artesano compró varias piezas de cuero de diferentes tamaños y formas, sin embargo, la mayoría se acerca a una forma rectangular.
El artesano está realizando en una de las piezas los cortes para las bases de un cubilete de cacho, que se sabe tienen forma circular. El radio de cada pieza es de 3 cm y el tamaño de la pieza es aproximadamente de 1 metro por 80 cm y su valor es de 30 mil pesos.
¿Cómo sería recomendable disponer las bases circulares de manera que se aproveche al máximo la pieza de cuero? Hacen un dibujo esquemático de la distribución y explican por qué es la forma en la cual se aprovecha mejor la pieza. ¿Cuántas bases circulares alcanza a obtener con ella?
¿Cuánto cuero se pierde de la pieza completa? ¿Aproximadamente a cuánto dinero equivale esta pérdida en la pieza de cuero?
A continuación se proponen algunas actividades y problemas para la evaluación de los aprendizajes esperados de la unidad y que pueden ser incorporadas en su plan de evaluación. Algunas de ellas están diseñadas para ser trabajadas en grupo. En la columna de la derecha se especifican algunos indicadores que orientan las observaciones del logro de los aprendizajes.
Ejemplos de actividades y problemas
Encuentran el valor de algunos ángulos pedidos y explican cómo lo obtuvieron refiriéndose a las rela- ciones entre los ángulos para justificar la respuesta.
1. La figura muestra un rombo.
Explica por qué los ángulos α y β son congruentes y
por qué los ángulos α y δ suman 180˚. Para justificarlo puedes prolongar sus lados
2. En el dibujo
α = 90˚; L 1 es paralela a L 2 y a L 3
como también son paralelas entre sí L 4 , L 5 y L 6
¿Por qué puedes establecer con seguridad que L 1 es perpendicular a L 5 y L 6 ?
Indicadores / Observan que:
• Usan argumentos basados en el teorema de án- gulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
• Si se apoyan en el dibujo hacen modificaciones pertinentes.
• Identifican en la figura las rectas que se relacio- nan de manera pertinente con sus argumentos.
Polígonos, circunsferencias, áreas y perímetros
Resuelven problemas que impliquen obtener el área y perímetro de diversas figuras.
Cuatro palos redondos de 6 cm de diámetro cada uno se han atado con una cinta de plástico como muestra el dibujo.
¿Cuál es la longitud de la cinta de plástico que ata los palos?
Explica el razonamiento que te permite encontrar la respuesta.
• Establecen relaciones entre los diámetros y las uti- lizan para encontrar la solución.
• Expresan el resultado de una manera comprensi- ble.
• Elaboración de tablas y gráficos correspondientes a situaciones de variación proporcional directa e inversa.
• Caracterización de situaciones de proporcionalidad inversa y directa mediante un producto constante y un cuociente constante, respectivamente.
• Resolución de problemas geométricos de proporcionalidad (producir figuras semejantes).
• Realización e interpretación de planos esquemáticos a escala.
• Cálculo de porcentajes y elaboración y análisis de tablas de aumentos y descuentos en un porcentaje dado, utilizando calculadora.
• Análisis de tablas y gráficos estadísticos habitualmente utilizados en la prensa, para las relaciones y variaciones proporcionales y porcentajes.
• Lectura y análisis de encuestas de opinión en relación con proporciones y porcentajes.
1. Establecen relaciones entre magnitudes involucradas en problemas diversos y discriminan entre las relaciones proporcionales directas e inversas apoyándose en la representación gráfica.
2. Utilizan diversas estrategias para solucionar problemas que implican variaciones proporcionales de las magnitudes, incluida la representación gráfica.
3. Interpretan gráficos de situaciones diversas e identifican el tipo de relación que se establece entre dos variables relacionándolas con la variación proporcional.
4. Resuelven problemas de proporcionalidad planteados en contextos geométricos y/o numéricos aplicando adecuadamente el cuociente constante o el producto constante según corresponda.
5. Resuelven problemas que implican cálculos sucesivos de porcentajes aplicando propiedades de la multiplicación. Encuentran el referente inicial a partir de una cantidad que incluye un porcentaje (por ejemplo, precio con IVA incluido, encuentran el precio sin IVA).
6. Analizan críticamente información estadística, identifican las fuentes y opinan sobre la representatividad distinguiendo censos de encuestas muestrales.
Del mismo modo que en el nivel anterior (NB5), a través de las actividades propuestas en esta unidad se espera que alumnas y alumnos enfrenten, de manera sistemática, situaciones en las cuales existen relaciones entre dos magnitudes (o entre los valores de una misma magnitud), sean éstas proporcionales directas o inver- sas, o no proporcionales. Como se señaló en la introducción de este programa, las relaciones proporcionales están presentes am- pliamente en situaciones cotidianas y en las ciencias. Al establecer, por ejemplo, valores de una moneda con- siderando su equivalencia en otra, se está, normalmente, frente a una situación de variación proporcional (directa). Del mismo modo, los cálculos de porcentajes y de variaciones porcentuales apelan al razonamiento proporcional. Al enfrentar a los alumnos y alumnas al análisis y resolución de situaciones y problemas en los que hay una relación proporcional entre las magnitudes involucradas, anteriormente se hizo énfasis en el uso de tablas de proporcionalidad, en las que se va registrando la información, para ayudarles a identificar la forma en que los valores van variando, a determinar razones y pares de razones iguales. En 8º Año Básico se agrega la lectura, comprensión, interpretación y uso de gráficos tanto para abordar una situación como para resolver un problema y encontrar soluciones. Como en los años anteriores, se insiste, también, en otorgar a los estudiantes la oportunidad de desarro- llar sus propias estrategias para enfrentar una situación, incorporando paulatinamente, y en la medida que eso
sea necesario, algunos procedimientos convencionales. En este sentido, se propone un trabajo muy relaciona-
do con el enfrentar problemas abiertos, que provoquen la necesidad de encontrar soluciones, de aventurarse en
búsqueda de patrones, de soluciones más generales. El énfasis del trabajo en la unidad está puesto en la determinación de variaciones proporcionales directas
inversas, cuando corresponde, más que en el cálculo de valores de una proporción. Se enfatiza, en conse-
cuencia, una mirada dinámica de las proporciones. En definitiva, se trata de ir desarrollando el razonamiento proporcional más que el aprendizaje de un conjunto de procedimientos preestablecidos (tales como la aplica- ción mecánica de la regla de tres, por ejemplo). Ello se realiza a partir de un conjunto de actividades que ponen en juego las intuiciones y conocimientos de los estudiantes, que les permiten ir sistematizando proce- dimientos, observando el comportamiento de las variables y obtener conclusiones. Y es en este contexto don- de se introducen los gráficos como herramientas poderosas para enfrentar y resolver problemas. De este modo, en la unidad se presentan sólo las definiciones fundamentales. Se propone así una abun- dante y variada cantidad de situaciones que permiten poner en juego diferentes estrategias y formas de análi- sis, y las herramientas para ello, tales como tablas para registrar información de manera sistemática (ya usadas en NB5) y los gráficos de proporcionalidad que se abordan específicamente en este nivel. Al mismo tiempo se pretende que los alumnos y alumnas caractericen las relaciones de proporcionalidad entre magnitudes a partir de los cuocientes constantes (directa) o de los productos constantes (inversa). No obstante, se insiste en que no se trata de entregar a priori definiciones de proporcionalidad sino que de orientar a los alumnos y alumnas hacia la comprensión de las relaciones de proporcionalidad, y a adquirir herramientas poderosas, tanto para distinguir entre diversos tipos de problemas como para resolverlos correc- tamente. Aunque ya se comenzó a trabajar en niveles anteriores, en esta unidad se incluyen también los porcenta- jes. Más allá de calcular porcentajes referidos a ciertas cantidades, se proponen situaciones que permitan analizar aspectos más complejos de éstos como, por ejemplo, obtener el referente inicial cuando se conoce una cantidad final que incluye un cierto porcentaje de aumento o de descuento. En toda la unidad, a través del conjunto de actividades y ejemplos propuestos, se persigue que los alum- nos y alumnas aborden niveles mayores de generalización que en años anteriores, tanto en la formulación de modelos para expresar un determinado problema, como en la generalización de procedimientos de cálculos que implican necesariamente haber comprendido cabalmente las situaciones. Particularmente en el ámbito de problemas diversos referidos a porcentajes se promueve la generalización de procedimientos.
Leen e interpretan información sobre el comportamiento entre dos variables presentada en gráfi- cos. Determinan estrategias para encontrar informaciones no explicitadas en el gráfico y las eva- lúan en función de su pertinencia.
A partir del análisis del siguiente gráfico de una situación simulada, resuelven los problemas
Un peatón, un ciclista y un automovilista salen desde Santiago hacia el sur a las 8 AM. En el
siguiente gráfico se han representado sus movimientos:
¿Cuál de las rectas representa al ciclista? ¿Cuál al peatón? ¿Cuál es la del automovilista?
¿A qué hora está cada uno en la mitad del camino entre Santiago y Hospital?
Si todos llegaran a Rancagua, ¿a qué hora lo haría cada uno considerando que deben recorrer
una distancia de 80 km y mantienen, cada uno, una velocidad constante?
Discuten los procedimientos empleados para encontrar las respuestas adecuadas.
• Considerando, hipotéticamente, que cada móvil continúa avanzando de manera constante hacia el sur, diseñan una tabla como la siguiente con las distancias que recorrería cada móvil en función del tiempo –tomándolo, por ejemplo, cada media hora– y una duración que permita calcular, al menos, la hora en que llegaría el peatón a Hospital.
Analizan la tabla y responden a preguntas como:
¿Qué tipo de relación proporcional se establece entre las variables tiempo y distancia? ¿Qué importancia tiene en ese tipo de relación proporcional considerar que el movimiento se realiza a una velocidad constante? ¿Qué ocurriría con las rectas que representan el movimiento de cada móvil en el gráfico si no se considerara una velocidad constante? Determinan cuál es el cuociente constante (razón constante) en este caso y que caracteriza la proporcionalidad directa.
El objetivo principal de esta situación es que, a partir de los conocimientos sobre relaciones proporcionales adquiridos en el nivel anterior y de su experiencia en la lectura de gráficos habitualmente utilizados en los medios, los alumnos y alumnas puedan crear estrategias para obtener más información que la explicitada en el gráfico. En su análisis es importante llevarles a establecer con claridad la relación entre las dos variables (distancia y tiempo) que, según las condiciones establecidas en la situación, es proporcional y directa. El sentido común indica que, efectivamente, el peatón es el que toma más tiempo y el automovilista, menos. No obstante, es gracias a la manipulación sobre el gráfico que se pueden obtener informaciones precisas. Para responder a la primera pregunta se puede, por ejemplo, trazar una vertical, paralela al eje Y, desde la primera hora transcurrida (9 h) de tal modo que se pueda leer el recorrido de cada móvil en ese tiempo (5 km el peatón, 20, el ciclista, y 60 el automovilista) determinando de ese modo la velocidad por hora de cada uno. La tabla permite ver la proporcionalidad tanto entre las variables como entre los móviles. Y, finalmente, calcular el tiempo total que tomaría el ciclista y el peatón en llegar a Hospital y, eventualmente a una ciudad más lejana de Santiago (Rancagua, Chillán, etc.). Es importante que el gráfico sea adaptado a ciudades conocidas o cercanas a los alumnos y alumnas con el fin de facilitar su compromiso con la situación.
b) A partir del gráfico y de la tabla elaborada calculan la velocidad (en este caso es constante) que lleva cada uno de los móviles.
Analizan las relaciones entre las tres variables involucradas. Para ello pueden elaborar una tabla como la siguiente:
Tiempo transcurrido al recorrer
Peatón 5 km/h
Ciclista 20 km/h
Automovilista 60 km/h
¿Qué tipo de relación proporcional se establece entre las variables velocidad y tiempo considerando que, en este caso y a velocidad constante, a mayor velocidad menor es el tiempo que se demora cada móvil en recorrer una misma distancia?
Calculan el producto constante que caracteriza esta proporcionalidad inversa, en cada caso.
c) Analizan la situación anterior considerando nuevas condiciones que se reflejan en el siguiente gráfico:
Interpretan el gráfico y describen el itinerario del peatón: determinan el punto de partida, el avance en la primera hora, el tiempo en que se detiene, a qué hora continúa y cuánto avanza, etc.
¿Qué diferencia se aprecia entre la representación de este recorrido del peatón y el representado en el primer gráfico?
¿Cómo se podría caracterizar la relación entre las variables tiempo y distancia recorrida en este caso?
Si bien a medida que pasa el tiempo el peatón avanza en su trayecto, ¿es regular su avance?
En la nueva descripción de la situación, la relación entre las variables tiempo y distancia recorrida no es propor- cional puesto que, por ejemplo, en la primera hora el peatón avanza 10 km y en la segunda sólo avanza 5 km. Es importante profundizar con los alumnos y las alumnas en el análisis de las tres situaciones propuestas y comparar las condiciones de cada una de ellas con el fin de obtener conclusiones respecto de las características de las relaciones proporcionales directas e inversas y de aquellas en que no existe variación proporcional. Es habitual pensar que si al aumentar el valor de una variable la otra también aumenta, existiría proporcionalidad directa. No obstante, dicha relación, para que sea proporcional debe cumplir con ciertas condiciones: en el caso de la varia- ción directamente proporcional existe un cuociente constante entre pares de valores y en el caso de la inversa existe un producto constante. En el tercer caso presentado no es posible establecer ni uno ni el otro. Por lo tanto, en ese caso particular, la variación de la distancia no es proporcional (ni directa ni inversamente) al tiempo.
Resuelven situaciones diversas de variación proporcional entre dos magnitudes; utilizan diversos métodos y herramientas tanto gráficos como numéricos y algebraicos.
• Analizan las relaciones que se pueden establecer entre los valores de las magnitudes involu- cradas y obtienen conclusiones en relación con el cuociente constante y el producto constante.
• Evalúan críticamente los diferentes métodos y herramientas en función de las características de cada tipo de situación.
a) ¿Se puede calcular, de manera aproximada, la distancia que avanza una bicicleta conociendo la longitud del perímetro de sus ruedas?
• Intentan diferentes estrategias, gráficas o numéricas, para dar una respuesta razonable a la pregunta y justificarla.
Es importante dejar a los alumnos y alumnas abordar la situación de manera muy libre, de tal modo que para intentar una respuesta recurran a sus conocimientos y experiencias previas. Es muy importante pedirles que fundamenten sus razonamientos.
Se les puede ayudar proponiéndoles, por ejemplo, que dibujen una rueda y determinen, imaginando que se puede “estirar”, lo que recorre en una vuelta. También es importante que el tamaño de las ruedas sea razonable.
• Consideran una bicicleta que cada cinco vueltas de sus ruedas (de cada una) avanza 9 metros. Observan y analizan la siguiente tabla en la cual se ha registrado sistemáticamente la relación entre el número de vueltas y la distancia recorrida expresada en metros:
Nº de vueltas de la rueda
Distancia recorrida en metros
Observan que cuando el número de vueltas se duplica, también se duplica la distancia recorrida (expresada en metros).
Y que cuando el número de vueltas se multiplica por 3, por ejemplo, la distancia recorrida en metros también se triplica.
• Determinan por cuánto se ha multiplicado 5 para obtener 18 vueltas y calculan la distancia recorrida después de 18 vueltas de la rueda. Continúan calculando los demás valores.
Es importante concentrar la actividad en el análisis de las relaciones entre los valores de las variables. En esta primera parte, el énfasis está puesto, como ya se vio en el nivel anterior, entre valores de una misma variable, relacionando, así, número de vueltas entre sí y distancias recorridas, también, entre sí. Posteriormente, en esta misma actividad, la atención se centrará en establecer un cuociente constante, el cual se obtiene de la razón entre los valores de las dos variables (vueltas de la rueda y distancia recorrida).
• Considerando la misma tabla anterior buscan una manera de calcular el número aproximado de vueltas que debe dar la rueda para recorrer una distancia, aproximada, de 25 metros, 28 metros o 50 metros.
Redactan conclusiones referidas al procedimiento que han utilizado.
• Analizan la tabla considerando, esta vez, la relación entre los valores de una misma columna, es decir, analizan las razones que se pueden establecer entre el número de vueltas y la distancia recorrida, respectivamente.
• ¿Cuál es el valor de la razón
, por ejemplo? ¿Y el de la razón
Toman cualquier par de valores (de una misma columna) y calculan la razón. Por ejemplo, toman 27 metros y 15 vueltas. ¿Qué representa este valor? ¿Por qué es constante?
• Escriben una conclusión respecto del valor de este conjunto de razones. Calculan valores cualesquiera de alguna de las variables, por ejemplo, el número de vueltas necesarias para recorrer 250 metros, o al revés, utilizando la conclusión obtenida.
• Construyen un gráfico que les permita encontrar soluciones y discuten sobre las ventajas de cada una de las maneras de encontrar valores desconocidos en esta situación (tabla, gráfico, cálculos a partir de las razones).
• Caracterizan la variación proporcional directa a partir del gráfico (lo describen) y del cuociente constante (lo interpretan).
Es muy importante cuidar que los alumnos y alumnas vayan registrando ordenadamente sus observaciones y conclusiones de tal modo que puedan darse cuenta de las diferentes relaciones que se pueden establecer entre los valores, ya sea que se tomen pares de valores de una misma variable o pares que relacionen a las dos variables (en el nivel anterior se llamó “razón interna” a la primera y “razón externa” a la segunda). No obstan- te esta diferencia, los resultados son los mismos debido a que la relación es proporcional.
Posteriormente es necesario proponer otras situaciones de modo que se pueda encontrar y aplicar directamen- te el cuociente constante, que es una manera de definir una relación directamente proporcional, para encon- trar valores desconocidos de una u otra variable.
Por otra parte, las razones externas se pueden establecer considerando, como se muestra en el ejemplo, ó 1,8, y también lo que es igual a 0,625. La primera razón se establece entre metros y vueltas de la rueda; la segunda entre vueltas de la rueda y metros recorridos. Es importante que se tenga presente el orden en que se establece la relación y comprobar que cualquiera de las dos es válida.
En esta actividad se ha abordado la proporcionalidad directa. Si no se ha tratado el gráfico de proporcionali- dad inversa en la Actividad 1 es recomendable hacerlo ahora. Para ello se incluye la siguiente actividad.
b) Analizan el gráfico siguiente en el cual se han representado las dimensiones de un conjunto de rectángulos cuya área es igual a 24 metros cuadrados.
¿En cuál de los ejes se representa la base? ¿Y la altura?
¿Da lo mismo si se utilizan indistintamente?
• A partir del gráfico completan una tabla como la siguiente, en la cual se va incrementando la base y, consecuentemente, disminuyendo la altura de los rectángulos:
• ¿La altura del rectángulo podría ser igual a, por ejemplo, 0,5 metros? ¿Cuánto tendría que medir la base de ese rectángulo?
• ¿Cómo sería la tabla y el gráfico si el área común de los rectángulos fuera, por ejemplo, 36 metros cuadrados? Construyen la tabla y el gráfico correspondiente.
Es importante observar que el producto entre los valores es constante (2x12=24; 3x8=24; 4x6=24, etc.) lo cual es evidente puesto que se trata de un conjunto de rectángulos que tienen la misma área. Se trata, en conse- cuencia, de una situación en que la relación entre las variables involucradas es inversamente proporcional. Aunque esta situación fue trabajada en el nivel anterior, ahora se toma nuevamente con el fin de mostrar a los alumnos y alumnas un tipo de gráfico particular y la característica fundamental de la proporcionalidad inver- sa: el producto constante entre los pares de valores de las dos variables involucradas. El mismo análisis se puede abordar con cualquier situación de proporcionalidad inversa.
Analizan problemas de distribución proporcional y las resuelven a través de métodos y herramien- tas diversas, gráficos y numéricos. Evalúan los procedimientos en función de las condiciones de los problemas.
Analizan la siguiente situación y discuten tanto el procedimiento como el resultado obtenido. Luego, aplican sus conclusiones para resolver e interpretar una nueva situación (b).
Dos personas deben reunir $400.000 para un negocio y, como son muy amigas, quieren que el aporte de cada una sea proporcional a sus ingresos (las ganancias las distribuirán también proporcionalmente).
Una de ellas, llamada Paula, gana mensualmente $300.000.
La otra, llamada Antonio, gana $200.000 por mes.
Luego de una larga conversación y de hacer algunos cálculos llegan a la conclusión de que para que sus aportes sean proporcionales a sus sueldos Paula debe aportar $240.000 y Antonio debe aportar $160.000.
Discuten la conclusión: ¿Es adecuado el aporte de cada uno? ¿Es un aporte proporcional a lo que cada uno gana?, ¿por qué?
¿Qué procedimientos se pueden utilizar para calcular estos aportes proporcionales? Discuten al menos dos procedimientos diferentes.
Con el fin de ayudar a los alumnos y alumnas a visualizar la situación se les puede proponer los siguientes tres procedimientos:
• Un esquema gráfico como el siguiente:
Suma de lo que gana cada persona:
Aporte total: $400.000
• Un procedimiento basado en razones:
La razón entre los sueldos es
3 2 porque
Entonces, el aporte de Paula es igual a
3 2 del aporte de Antonio (es decir, igual a 1,5 veces).
Así, el aporte de Antonio más el de Paula (que corresponde a 1,5 ó
3 2 del de Antonio) es igual $400.000.
3 2 aporte Antonio + aporte de Antonio = 400.000
del aporte Antonio = 400.000
400.000 • 2
Aporte de Antonio =
Es decir, Antonio aporta $160.000 y Paula $ 240.000.
• Se puede hacer directamente la asociación con porcentajes, es decir, “3 de 5 equivale a 60% y 2 de 5 equivale a 40%”.
En problemas como estos, los alumnos y alumnas tienen ocasión de analizar y/o crear procedimientos de resolución en que se aplican diversos conocimientos adquiridos anteriormente en relación con las proporcio- nes y los porcentajes. Es importante que se utilicen diversas estrategias con el fin de que puedan evaluarlas, tanto en función de la situación así como de sus propios conocimientos.
Aunque éste es un problema que también se puede resolver planteando un sistema de dos ecuaciones, cuestión que se verá en Primer Año de Educación Media, es perfectamente posible resolverlo sin hacer uso de ellas.
b) Analizan y resuelven la siguiente situación problema:
“Tres hermanas deben reunir $560.000 entre las tres para la manutención de su casa aportando proporcionalmente a los ingresos de cada una.
María gana mensualmente $250.000, Josefina gana $350.000 y Marisol gana $200.000.
¿Cuánto debe aportar cada una de ellas al fondo común para que su aporte sea, efectivamente, proporcional a su sueldo?”
• Explican sus procedimientos y justifican los resultados.
En esta situación, aunque es muy similar a la anterior, están involucradas tres cantidades que deben aportar proporcionalmente para formar el fondo común. Aunque es posible utilizar una representación gráfica como la descrita en el comentario anterior, no resulta evidente la repartición. Es importante orientar a los alumnos y las alumnas a dividir sucesivamente por un mismo número la remuneración de cada hermana con el fin de establecer una triple razón. Dividiendo por cincuenta se obtiene 7:5:4 como la razón entre las remuneracio- nes. Es ésta la razón que debe ser aplicada sobre el total del aporte ($560.000) para obtener la repartición. Si
se suman los componentes de la razón 7, 5 y 4 se obtiene 16. Se divide 560.000 por 16 y se asigna 7 partes a una, 5 a la otra y 4 a la última (se obtiene $245.000; $175.000 y $140.000 como aporte de cada hermana, respectivamente).
Como una forma de que sean utilizados procedimientos diversos, puede ser conveniente entregar varios pro- blemas similares para ser trabajados en pequeños grupos, indicando que cada uno debe ser resuelto de manera diferente. Es importante, también, discutir posteriormente tanto los procedimientos como los resultados, hacer una síntesis y remarcar las conclusiones generales.
Construyen figuras geométricas semejantes aplicando criterios de proporcionalidad y analizan sus procedimientos.
1. Los televisores suelen identificarse de acuerdo a la medida de la diagonal de la pantalla expresada en pulgadas. Así, un televisor de 14 pulgadas tiene una diagonal de esa longitud.
En la siguiente figura se muestra la pantalla de un televisor dibujada proporcionalmente a una pantalla real.
La diagonal de la pantalla mide 20 pulgadas, la altura mide 12 pulgadas y el ancho es de 16 pulgadas.
• Considerando que todas las pantallas son semejantes para que no se deforme la imagen: es decir, si la diagonal de una pantalla mide el doble que la del dibujo, sus lados correspondientes también deben medir el doble porque, de otro modo, la imagen se vería deformada, ¿cuánto deberían medir los lados de una pantalla cuya diagonal mide 14 pulgadas?
Discuten la situación y establecen algún procedimiento que les permita encontrar una solución. Fundamentan su forma de resolver y la respuesta.
• Elaboran una tabla como la siguiente para calcular las dimensiones de varias pantallas de televisor
conociendo algunas de sus medidas:
Se ha utilizado pulgadas para expresar las longitudes porque así se identifican los televisores. No obstante, y con el fin de hacer comprobaciones en casos concretos, es posible expresarlas también en centímetros. De todos modos, al medir con una huincha que tenga pulgadas será difícil obtener mediciones muy exactas.
• En cada caso establecen la razón correspondiente según el dato aportado en la tabla para calcular
las otras medidas.
Es decir, la razón es
, entonces, 14 = 20 x
En consecuencia, las otras medidas se obtienen multiplicando las medidas originales por
• Sobre el dibujo original (rectángulo de 16 por 12) dibujan los nuevos rectángulos obtenidos.
Escriben sus conclusiones respecto de la superposición de los rectángulos.
Es muy importante hacer ver a los alumnos y alumnas que para que los rectángulos (representan a las panta-
llas) no deformen la imagen deben ser semejantes. todos los lados deben hacerlo en la misma razón tabla.
También se puede establecer la razón externa: 20 : 16 : 12 = 5 : 4 : 3
Por ser rectángulos semejantes, es posible superponerlos y se puede observar que las diagonales coinciden.
Esto significa que si se disminuye a la mitad la diagonal, 1 2 . Para mayor claridad, se les pide analizar los datos en una
Por medio de la superposición de los rectángulos se ve claramente que los lados del nuevo rectángulo son proporcionales al que representa la pantalla inicial. En el caso de la pantalla cuya diagonal mide 40 cm el dibujo queda de la siguiente manera:
La diagonal AC’ es
del segmento AC se puede trazar las paralelas a AD y AB, respectivamente. De esa
forma se obtienen un rectángulo semejante al inicial, es decir, cuyos lados y diagonal son proporcionales a
Se puede ver, de esta forma, que todos los rectángulos que se dibujen de la misma manera serán semejantes.
Te rm inar la actividad comentando que no se puede generalizar en el sentido de creer que cualquier rectángulo es semejante a otro. Por ejemplo, en un dibujo se puede ver que el rectángulo ABDC no es semejante con el rectángulo AEFC:
Situando el punto C’ en
de la diagonal AC
2. Observan la siguiente figura que representa dos cuadros con sus respectivas fotos:
• Analizan en cada caso la relación entre la foto (rectángulo interior) y el marco (rectángulo exterior),
a partir de preguntas como:
¿Cuál par de rectángulos parece “más proporcionado”?, ¿por qué?
¿Qué significa que estos pares de rectángulos (el exterior y el dibujado en su interior, en cada caso) sean proporcionales? ¿Cómo se puede determinar que son proporcionales?
• Aplican el siguiente procedimiento para establecer en qué caso el rectángulo interior y el exterior tienen medidas proporcionales (es decir, son semejantes).
Trazan las diagonales correspondientes y ven si coinciden.
Si no coinciden, pueden aplicar cualquiera de los siguientes procedimientos con el fin de comprobar la semejanza:
- “Alinear” los rectángulos haciendo coincidir un vértice y los dos lados correspondientes;
- Comprobar si las diagonales son paralelas.
• Luego de hechas las comprobaciones, discuten los procedimientos aplicados y los fundamentan:
¿Por qué para comprobar la semejanza se observa si coinciden o no las diagonales? ¿Por qué si no coinciden debido a la ubicación de los rectángulos basta con ver si son paralelas?
Es importante que los alumnos y alumnas discutan libremente sobre la manera de poner el marco en una foto ya que la proporcionalidad entre ésta y el marco puede no ser necesariamente la forma que les parece más adecuada estéticamente.
Respecto de las orientaciones para obtener y fundamentar conclusiones generales, ver comentario del ejemplo anterior.
Resuelven problemas relacionados con representación a escala:
Amplían o reducen según una razón dada. Caracterizan la razón como una escala.
Determinan la escala adecuada para ampliar o reducir dibujos en determinadas situaciones.
Determinan la escala en que se ha ampliado o reducido un determinado dibujo.
1. Un pantógrafo es un instrumento que permite reproducir una figura punto por punto, ya sea ampliándola o reduciéndola.
• Observan y analizan el siguiente dibujo de un pantógrafo y construyen uno similar:
En el punto O se pone un pequeño clavo que permita fijar el pantógrafo en un punto.
Para ampliar el dibujo se pone en el punto C un lápiz y en el punto L una pequeña punta roma (de madera, por ejemplo), que permite recorrer el dibujo original mientras el lápiz va reproduciéndolo en otra parte de la hoja; o a la inversa si se quiere reducir.
El siguiente dibujo muestra una ampliación:
• Analizando el pantógrafo y la relación entre los distintos segmentos, ¿dónde se puso el lápiz y dónde el “cursor” para producir esta ampliación?
• ¿En cuánto se agrandaron los segmentos?
• Establecen conclusiones respecto de las razones entre los segmentos del pantógrafo y entre los segmentos de los dos dibujos.
¿Por qué con este pantógrafo se produce una ampliación de 300% (se multiplica por tres la medida de los elementos lineales)?
¿Cómo habría que construirlo para producir una duplicación (o reducción a la mitad)? Es decir, para que los trazos correspondientes estén en una razón de 1:2 (ó 2:1, respectivamente).
El pantógrafo se puede construir con cartón rígido. Es en el proceso de construcción en que se observan las relaciones entre las medidas. Por esta razón, la actividad requiere que los alumnos y alumnas lo construyan y no es conveniente que lo compren y sólo lo usen para dibujar.
El pantógrafo puede tomar muchas posiciones al hacer variar las aberturas de los ángulos tal como se muestra en el dibujo a continuación:
Para analizar y fundamentar el efecto del pantógrafo es necesario establecer dos hipótesis: los puntos O, L y C parecen estar alineados cualquiera sea la abertura del ángulo del vértice P, y el largo del segmento OL parece estar en una razón constante con el segmento LC.
Se puede demostrar que estas hipótesis son verdaderas, cuestión que se hará en la Enseñanza Media. Final- mente, se puede asociar el pantógrafo a una figura como la siguiente:
En la figura se pueden observar (y se puede demostrar) que se producen triángulos semejantes. En el caso del pantógrafo construido, la razón entre el largo de los segmentos OC y OL es de 3 a 1. Por esa razón los elementos lineales del dibujo (estrella) se triplican.
2. Analizan mapas y planos diversos (ver Anexo 1).
• Interpretan las escalas a partir de preguntas como las siguientes:
¿Cómo se expresa la escala?
¿Cuáles son los elementos que se relacionan en la escala de un plano o mapa?
¿Daría el mismo resultado si se relacionaran, por ejemplo, las áreas? (es decir, si la escala propusiera una razón entre áreas: una real y la otra de la reproducción reducida).
• Eligen un objeto, una casa, la escuela, una sala, una cancha de fútbol, por ejemplo, para representarlo de acuerdo a una escala conveniente.
Explican los criterios utilizados para elegir una escala.
• Realizan el dibujo correspondiente.
Registran el proceso de dibujo y explican, por ejemplo, cómo resolvieron el dibujo de ángulos, en caso de haberlos, o el trazado de rectas paralelas.
Justifican adecuadamente por qué pueden asegurar que su dibujo representa adecuadamente el objeto elegido y que, efectivamente, se mantienen las proporciones.
La escala representa la razón que se establece entre la medida de las distancias en la realidad y las del dibujo. Habitualmente la escala no se acompaña con las unidades de medida. No obstante, al pie del mapa o plano se especifica a qué corresponde la unidad. Por ejemplo: 1 cm: 1.000 km.
Analizan situaciones en las que se observan variaciones porcentuales. Establecen procedimientos de cálculo para encontrar valores desconocidos.
Leen y comentan la situación siguiente:
Una persona deposita en una institución financiera una cantidad de dinero por la cual se gana, acumulativamente, un interés de 2% cada tres meses. Ella desea calcular los intereses y los montos que irá acumulando en cada uno de esos periodos de tiempo y cuánto tendrá al cabo de un año.
Formulan hipótesis referidas a la información que desea conocer la persona de la situación. Orientan su análisis a partir de preguntas tales como:
¿Cómo se calcula el interés y el monto total que tendría al cabo de 3 meses?
¿A los seis meses, habrá que sumarle el 4% a la cantidad inicial?
¿Entonces, a los 12 meses tendrá un 8% más que al comienzo?
Si no es así, ¿cómo habría que hacer el cálculo?
b) Analizan los siguientes procedimientos para calcular el monto total que tendría al cabo de tres meses, es decir, 10.000 más el 2% de 10.000:
• 10.000 + (10.000 x
• 10.000 x (1 +
• 10.000 x
• 10.000 x 1,02
¿Cuál de ellos les parece correcto?, ¿por qué?
Evidentemente, todos los procedimientos presentados son correctos. Lo más importante es hacer visible a los estudiantes la equivalencia entre ellos y llevarles a discutir cada uno en función de su rapidez, eficiencia, o de las posibilidades de poder visualizar permanentemente lo que se está buscando. Muchas veces, al llegar direc- tamente a un procedimiento breve (como el último, por ejemplo) no se comprende de dónde viene, por qué es posible utilizarlo.
c) Elaboran una tabla como la siguiente para registrar los cálculos de los intereses y montos sucesivos que se obtendrían con un depósito de, por ejemplo, $150.000.
Monto inicial: $ 150.000
2% de 150.000
más el 2%
150.000 x 0,02
(u otro procedimiento)
Al completar la tabla orientar a los alumnos y alumnas a buscar la manera más cómoda para ellos de registrar tanto los resultados como los procedimientos. De ese modo podrán, posteriormente, obtener procedimientos generales.
d) Analizan la siguiente tabla en la que se muestra una manera de calcular la variación del depósito cada tres meses:
• 1,02
• Comprueban que al mes 12 (o sea, al final del cuarto trimestre) el interés acumulado será igual a
x 1,02 x 1,02 x 1,02 x 1,02
x (1,02) 4
y que el monto acumulado será igual a
150.000 x 1.0824 = 162.364 (aproximadamente)
Justifican el procedimiento que utilizaron para hacer la comprobación.
• Concluyen sobre el cálculo sucesivo de un porcentaje y cómo va variando el referente, cada vez que se aplica el porcentaje.
En este tipo de ejemplo se trata, por una parte, de que los alumnos y alumnas hagan cálculos sucesivos de porcentajes sin perder de vista que la cantidad que representa el 100% es variable puesto que se le van agre- gando sucesivamente los intereses. Es importante que sus conclusiones se orienten a establecer la equivalencia de los diferentes procedimientos y hacer explícitas algunas propiedades que la permiten (en este caso, por ejemplo, la distributividad de la multiplicación respecto de la adición):
A + 10% de A = A + A •
= A • (1 + 0,10) = A • 1,10
Por otra parte, con el fin de afianzar la conclusión, hay que mostrarles las diferencias que se producen en los resultados si, por ejemplo, erróneamente se sumaran primero los porcentajes y luego se aplicara a la cantidad inicial. También se refuerza así la diferencia que hay entre multiplicar por sí mismo cuatro veces 0,02 (en este caso) y multiplicar 0,02 por 4.
A través de estrategias diversas, resuelven problemas que implican encontrar el 100%, a partir de una cantidad que ha resultado de descontar o aumentar un determinado porcentaje. Establecen procedimientos generales y demostraciones algebraicas.
1. Leen y comentan la siguiente situación:
Fernando hace una venta en su negocio por un total de $28.000 (con el IVA incluido) y el cliente le pidió especificar el monto correspondiente al IVA (Impuesto al Valor Agregado que corresponde al 18% del precio neto).
Fernando le dice al cliente: como el precio de venta es $28.000, el IVA corresponde a $4.271.
El cliente no estuvo de acuerdo y le dijo que el IVA era de $5.040: es decir, el 18% de $28.000. Y que para él era importante puesto que podía descontarlo de sus impuestos.
¿Quién tiene la razón, Fernando o el cliente? ¿Por qué?
Representan esquemáticamente en un dibujo la situación para fundamentar su respuesta.
Una manera de representar en forma simple la situación, con el fin de visualizar cuál es la cantidad que corresponde al 100%, es la siguiente:
Es muy común que al descontar el IVA de un precio final se produzca la confusión del cliente en esta situa- ción. El dibujo es muy apropiado para comprender por qué sumar un porcentaje a una cantidad no es lo mismo que descontar ese mismo porcentaje a la cantidad resultante que es, evidentemente, mayor.
2. Analizan facturas como la siguiente:
Factura Nº 1234
¿Sobre qué cantidad se ha calculado el 18%?
¿Cómo se puede obtener el precio final directamente? (es decir, cómo obtener $295.000 sin calcular primero el 18% y luego sumarlo).
¿Por qué si se calcula el 18% del precio total y se le descuenta NO se obtiene $250.000?
Si el precio del un artículo sin IVA (precio neto) fuera igual a $100.000 ¿Cuánto costaría con el IVA incluido?
Si se sabe que el precio con IVA, es decir, precio neto más 18%, de un artículo es $118.00, ¿cómo se calcula el precio sin IVA, es decir, qué hay que hacer para obtener el precio inicial de $100.000?
Como en el ejemplo anterior, con este ejemplo se trata de orientar a los alumnos y alumnas para que obtengan conclusiones generales como:
+ B% de A = C
- B% de C NO es igual a A
Para mayor claridad, es interesante proponer que un artículo cuesta exactamente $100. De ese modo se ve inmediatamente que 18% de 100 es menor que 18% de 118.
A partir de situaciones como éstas es importante introducir el uso de ecuaciones para expresar relaciones y para resolver. Así, proponiendo una proporción y luego una ecuación se puede encontrar cualquiera de los valores involucrados: Si A es la cantidad inicial a la cual se le aplicará el impuesto se tiene:
A + 18% de A = C
100 • A = C

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 

Resolución 

Resolución 
 resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución