Source: http://www.mat.ucm.es/cosasmdg/cdsmdg/05edumat/tendencias2000/00tendenciasbilbao.html
Timestamp: 2019-07-15 20:53:02+00:00

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Este artículo viene a ser una refundición y actualización del que escribí hace unos años con el título Tendencias innovadoras en Educación Matemática
Muchos de los artículos citados en el presente artículo se pueden encontrar en mi página en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense a la que se llega con la siguiente dirección: http://www.mdeguzman.net La página de entrada se puede ver enlatada aquí
CAMBIOS EN LOS PRINCIPIOS METODOLOGICOS ACONSEJABLES
Los últimos cuarenta años han sido escenario de cambios muy profundos en la enseñanza de las matemáticas. Por los esfuerzos que la comunidad internacional de expertos en educación matemática sigue realizando por encontrar moldes adecuados está claro que vivimos aún actualmente una situación de experimentación y cambio.
En los años 70 se empezó a percibir que muchos de los cambios introducidos no habían resultado muy acertados. Con la sustitución de la geometría por el álgebra la matemática elemental se vació rápidamente de contenidos y de problemas interesantes. La patente carencia de intuición espacial fue otra de las desastrosas consecuencias del alejamiento de la geometría de nuestros programas, defecto que hoy se puede percibir muy claramente en las personas que realizaron su formación en aquellos años. Se puede decir que los inconvenientes surgidos con la introducción de la llamada «matemática moderna» superaron con mucho las cuestionables ventajas que se había pensado conseguir, como el rigor en la fundamentación, la comprensión de las estructuras matemáticas, la modernidad y el acercamiento a la matemática contemporánea...
Los años 70 y 80 presentaron una discusión, en muchos casos vehemente y apasionada, sobre los valores y contravalores de las tendencias que se iban haciendo paso, y luego una búsqueda intensa de formas más adecuadas de afrontar los nuevos retos de la enseñanza matemática por parte de la comunidad matemática internacional.
En la actualidad parece claro que en la comunidad matemática se va produciendo un cambio profundo, al menos en lo que a la valoración que en ella se hace de la educación matemática. Es en este aspecto muy significativo que en la nueva clasificación de campos y materias que en el año 2000 ha presentado la American Mathematical Society para su uso en las Mathematical Reviews se haya introducido por primera vez una campo titulado Mathematical Education (97-XX) con el mismo rango que, por ejemplo, Differential Geometry (53-XX)
Por otra parte es obvio en los países más avanzados matemáticamente el interés creciente de muchos matemáticos profesionales por los problemas que plantea actualmente la educación matemática de los diferentes niveles, incluído el nivel universitario. En artículos escritos muy recientemente por matemáticos prestigiosos la educación matemática figura en lugar prominente como uno de los que hay que considerar con prioridad si pretendemos tener un desarrollo sano de la comunidad matemática.
M. Gromov (Report of the Senior Assessment Panel of the International Assessment of the U.S. Mathematical Sciences, NSF, 1998)
P.A. Griffiths
Con ello parece que un problema muy enraizado en la comunidad matemática, el de la lejanía de los matemáticos respecto de los problemas de la enseñanza al que me he referido en una conferencia en el ICME de Sevilla (1996), parece que se va encauzando hacia una posible solución.
Algunos problemas de la enseñanza de la matemática en España
En nuestro país hay problemas de la educación matemática que son especialmente serios. Atañen a todos los niveles de la educación matemática.
Con motivo del comienzo del 2000 Año Mundial de las Matemáticas se celebró en el Congreso de Diputados una jornada matemática para tratar de que el país entero se hiciera consciente de la importancia de la matemática en la cultura actual y de los problemas que su enseñanza a todos los niveles conlleva. Amplia información sobre los aspectos dedicados a la educación matemática en esta reunión se pueden ver en mi página.
El más grave en lo que se refiere a la educación primaria estriba, a mi parecer, en las pocas oportunidades que el sistema de formación inicial de profesores les de una preparación adecuada para su tarea futura de iniciar a los niños y niñas correctamente en la matemática. En un artículo reciente que se puede ver aquí he expresado esta opinión en detalle.
La educación secundaria y universitaria tienen también sus problemas específicos más serios que se detallan en otro artículo publicado recientemente.
Algunos de estos problemas los venimos arrastrando desde ya hace tiempo, como se puede ver en la descripción del año 1983 de los que entonces se podían detectar (Revista de Occidente, 1983). Otros son más bien recientes y tienen que ver con la extensión de la educación secundaria hasta los 16 años que hace unos años se hizo en nuestro país. Un documento interesante en este aspecto es el que surgió, tras una reunión en la Real Academia de Ciencias celebrada en 1998, en la que participaron un buen número de las organizaciones matemáticas de nuestro país. Este documento se puede leer en mi página.
Algunos de los problemas que en nuestro país tienen lugar en el empalme de la educación matemática preuniversitaria con la universitaria no son específicos nuestros sino más bien muy extendidos, como se puede ver en el artículo que aquí se presenta. Berlin, ICM 98.
En algunas de las universidades del país se están tratando de poner en marcha mecanismos especiales para afrontar este problema. Los esfuerzos realizados en la Facultad de Mtemáticas de la Universidad Complutense se pueden ver en el material distribuído a los alumnos que entran en la Facultad como soporte de un curso especial titulado Laboratorio de Matemáticas.
La filosofia prevalente sobre lo que la actividad matemática representa tiene un fuerte influjo, más efectivo a veces de lo que aparenta, sobre las actitudes profundas respecto de la enseñanza matemática. La reforma hacia la «matemática moderna» tuvo lugar en pleno auge de la corriente formalista (Bourbaki) en matemáticas. No es aventurado pensar a priori en una relación causa-efecto y, de hecho, alguna de las personas especialmente influyentes en el movimiento didáctico de los años 60, como Dieudonné, fueron importantes miembros del grupo Bourbaki. En los últimos 20 años, especialmente a partir de la publicación de la tesis doctoral de I. Lakatos (1976), Proofs and refutations, se han producido cambios bastante profundos en el campo de las ideas acerca de lo que verdaderamente es el quehacer matemático.
La actividad científica en general es una exploración de ciertas estructuras de la realidad, entendida ésta en sentido amplio, como realidad fisica o mental. La actividad matemática se enfrenta con un cierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares de tratamiento, que incluyen:
- la complejidad del cambio y de la causalidad determinística (cálculo);
- la complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad, estadística);
Filosofía de la matemática y educación matemática
La filosofía de la matemática de la segunda mitad del siglo 20 ha dejado de preocuparse tan insistentemente como en la primera mitad del siglo sobre los problemas de fundamentación de la matemática, especialmente tras los resultados de Gödel a comienzos de los años 30, para enfocar su atención en el carácter cuasiempírico de la actividad matemática (I. Lakatos), así como en los aspectos relativos a la historicidad e inmersión de la matemática en la cultura de la sociedad en la que se origina (R. L. Wilder), considerando la matemática como un subsistema cultural con características en gran parte comunes a otros sistemas semejantes. Tales cambios en lo hondo del entender y del sentir mismo de los matemáticos sobre su propio quehacer vienen provocando, de forma más o menos consciente, fluctuaciones importantes en las consideraciones sobre lo que la enseñanza matemática debe ser.
Una reflexión más detallada sobre este tema se puede encontrar en mi artículo Matemáticas y estructura de la naturaleza.
Continuo apoyo en la intuición directa de lo concreto. Apoyo permanente en lo real
Los procesos del pensamiento matemático. El centro de la educación matemática
Una de las tendencias generales más difundidas hoy consiste en el hincapié en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la matemática, más bien que en la mera transferencia de contenidos. La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la psicología cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas.
Atención a los nuevos instrumentos proporcionados por los avances tecnológicos: la utilización de los programas de cálculo simbólico
La aparición de herramientas tan poderosas como la calculadora y el ordenador actuales está comenzando a influir fuertemente en los intentos por orientar nuestra educación matemática primaria y secundaria y terciaria adecuadamente, de forma que se aprovechen al máximo de tales instrumentos. Es claro que, por diversas circunstancias tales como coste, inercia, novedad, impreparación de profesores, hostilidad de algunos... aún no se ha logrado encontrar moldes plenamente satisfactorios. Este es uno de los retos importantes del momento presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma de enseñanza y sus mismos contenidos tienen que experimentar drásticas reformas. El acento habrá que ponerlo, también por esta razón, en la comprensión de los procesos matemáticos más bien que en la ejecución de ciertas rutinas que en nuestra situación actual ocupan todavía gran parte de la energía de nuestros alumnos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que en ello emplean. Lo verdaderamente importante vendrá a ser su preparación para el diálogo inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente.
Una discusión en detalle de las posibles formas de proceder en lo que se refiere a la utilización de los programas de cálculo simbólico se puede ver en Vela Mayor. Los riesgos de la utilización del ordenador en la enseñanza han sido explorados en el artículo (Riesgos) que aquí se puede ver. Una visión más reciente de estos problemas se puede encontrar en una exposición reciente (Mosaico).
Atención a los nuevos instrumentos proporcionados por los avances tecnológicos: la utilización de Internet en la educación matemática.
Internet es un instrumento muy versátil que admite diferentes usos matemáticos que ya se van aprendiendo a manejar adecuadamente. Una exposición de algunos de ellos relacionados con la información rica y variada que a través de la red se puede proporcionar a los estudiantes, así como la interacción que facilita entre todos los miembros de la comunidad educativa se puede encontrar en la exposición que se puede ver aquí (Mosaico).
Conciencia de la importancia de la motivación
Hacia la adquisición de los procesos típicos del pensamiento matemático. La inculturación a través del aprendizaje activo. El papel de la historia en la educación matemática.
Normalmente la historia nos proporciona una magnífica guía para enmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgido los conceptos importantes de la materia, nos da luces para entender la razón que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con interés. Si conocemos la evolución de las ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos perfectamente el lugar que ocupan en las distintas consecuencias, aplicaciones interesantes que de ellas han podido surgir, la situación reciente de las teorías que de ellas han derivado...
La modelización matemática de la realidad
La heurística ("problem solving") en la enseñanza de la matemática
La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo y de inculturación mencionados anteriormente. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas.
Tengo un verdadero problema cuando me encuentro en una situación desde la que quiero llegar a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfilada, y no conozco el camino que me puede llevar de una a otra. Nuestros libros de texto están, por lo general, repletos de meros ejercicios y carentes de verdaderos problemas. La apariencia exterior puede ser engañosa. También en un ejercicio se expone una situación y se pide que se llegue a otra: Escribir el coeficiente de x7 en el desarrollo de (1 +x)32. Pero si esta actividad, que fue un verdadero problema para los algebristas del siglo XVI, se encuentra, como suele suceder, al final de una sección sobre el binomio de Newton, no constituye ya ningún reto notable. El alumno tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz de resolver un problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer es aprenderse la lección primero.
- que el alumno manipule los objetos matemáticos;
- que active su propia capacidad mental;
- que ejercite su creatividad;
- que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente;
- que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental;
- que adquiera confianza en sí mismo;
- que se divierta con su propia actividad mental;
- que se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida cotidiana;
- porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestros jóvenes: capacidad autónoma para resolver sus propios problemas;
- porque el mundo evoluciona muy rápidamente: los procesos efectivos de adaptación a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos;
- porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio, autorrealizador y creativo;
- porque muchos de los hábitos que así se consolidan tienen un valor universal, no limitado al mundo de las matemáticas;
-exposición de contenidos - ejemplos - ejercicios sencillos - ejercicios más complicados - ¿problemas?
-propuesta de la situación problema de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos...)
- manipulación autónoma por los estudiantes
- familiarización con la situación y sus dificultades
- elaboración de estrategias posibles
- ensayos diversos por los estudiantes
- herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados)
- elección de estrategias
- ataque y resolución de los problemas
- recorrido crítico (reflexión sobre el proceso)
- afianzamiento formalizado (si conviene)
- posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas...
Lo que suele suceder a aquellos profesores genuinamente convencidos de la bondad de los objetivos relativos a la transmisión de los procesos de pensamiento es que viven una especie de esquizofrenia, tal vez por falta de modelos adecuados, entre los dos polos alrededor de los que gira su enseñanza, los contenidos y los procesos. Los viernes ponen el énfasis en los procesos de pensamiento, alrededor de situaciones que nada tienen que ver con los programas de su materia, y los demás días de la semana se dedican con sus alumnos a machacar bien los contenidos que hay que cubrir, sin acordarse
De todos modos, probablemente se puede afirmar que quien está plenamente imbuído en ese espíritu de la resolución de problemas se enfrentará de una manera mucho más adecuada a la tarea de transmitir competentemente los contenidos de su programa.
Para ayudar a los profesores de matemáticas en la preparación necesaria para la enseñanza de la matemática a través de la resolución de problemas he escrito una obra de la que se puede ver aquí el prólogo, índice y capítulo 0. (Para pensar mejor).
Sobre el papel de la historia en el proceso de formación del matemático
Desde el punto de vista del conocimiento más profundo de la propia matemática, la historia nos proporciona un cuadro en el que los elementos aparecen en su verdadera perspectiva, lo que redunda en un gran enriquecimiento tanto para el matemático técnico, como para el que enseña. Si cada porción de conocimiento matemático de nuestros libros de texto llevara escrito el número de un siglo al que se le pudiera asignar con alguna aproximación, veríamos saltar locamente los números, a veces dentro de la misma página o del mismo párrafo. Conjuntos, números naturales, sistemas de numeración, números racionales, reales, complejos, ... decenas de siglos de distancia hacia atrás, hacia adelante, otra vez hacia atrás, vertiginosamente. No se trata de que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos de tal circunstancia. El orden lógico no es necesariamente el orden histórico, ni tampoco el orden didáctico coincide con ninguno de los dos. Pero el profesor debería saber cómo han ocurrido las cosas, para:
- comprender mejor las dificultades del hombre genérico, de la humanidad, en la elaboración de las ideas matemáticas, y a través de ello las de sus propios alumnos;
- entender mejor la ilación de las ideas, de los motivos y variaciones de la sinfonía matemática;
- utilizar este saber como una sana guía para su propia pedagogía.
«Con respecto a todos los temas básicos del cálculo infinitesimal...teorema del valor medio, serie de Taylor,... nunca se suscita la cuestión ¿Por qué así precisamente? o ¿Cómo se llegó a ello? Y sin embargo, todas estas cuestiones han tenido que ser en algún tiempo
objetivos de una intensa búsqueda, respuestas a preguntas candentes... Si volviéramos a los orígenes de estas ideas, perderían esa apariencia de muerte y de hechos disecados y volverían a tomar una vida fresca y pujante».
- posibilidad de extrapolación hacia el futuro;
- inmersión creativa en las dificultades del pasado;
- comprobación de lo tortuoso de los caminos de la invención, con la percepción de la ambigüedad, obscuridad, confusión iniciales, a media luz, esculpiendo torsos inconclusos...
Por otra parte, el conocimiento de la historia de la matemática y de la biografía de sus creadores más importantes nos hace plenamente conscientes del carácter profundamente histórico, es decir, dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del momento, ... así como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la filosofía, la matemática, la tecnología, las diversas ciencias han ejercido unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos matemáticos enfrascados en su quehacer técnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la matemática suele ser presentada, como si fuera inmune a los avatares de la historia.
- la lectura atenta de algunos de los numerosos y excelentes tratados de historia que van apareciendo en castellano (Boyer, Kline, Colette, Grattan-Guinness...);
- acudir, para los temas del interés particular de cada uno, a las fuentes originales, especialmente de los clásicos;
- leer las biografías de los grandes matemáticos, al menos en la forma sucinta en que aparecen en el Dictionary of Scientific Biography.
Sobre la utilización de la historia en la educación matemática
La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer comprender una idea difícil del modo más adecuado. Quien no tenga la más mínima idea de las vueltas y revueltas que el pensamiento matemático ha recorrido hasta dar, pongamos por caso, con la noción rigurosamente formalizada del número complejo, se sentirá tal vez justificado para introducir en su enseñanza los números complejos como «el conjunto de los pares de números reales entre los cuales se establecen las siguientes operaciones...».
Los diferentes métodos del pensamiento matemático, tales como la inducción, el pensamiento algebraico, la geometría analítica, el cálculo infinitesimal, la topología la probabilidad,... han surgido en circunstancias históricas muy interesantes y muy peculiares, frecuentemente en la mente de pensadores muy singulares, cuyos méritos, no ya por justicia, sino por ejemplaridad, es muy útil resaltar.
- hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en matemáticas;
- enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con su motivación, precedentes;
- señalar los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación en la que se encuentran actualmente;
- apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes.
Sobre diversos temas de la historia y sobre la utilización de la historia en la educación matemática a diversos niveles se pueden consultar los siguientes artículos:
Panorama Labor
ICME, Quebec, 1992
Modelización y aplicaciones en la educación matemática
El papel del juego en la educación matemática
- es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí misma, no por el provecho que de ella se pueda derivar;
- tiene una cierta función en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se prepara con ello para la vida; también el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberación, de evasión, de relajación;
- el juego no es broma;el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego;
- el juego, como la obra de arte, produce placer a través de su contemplación y de su ejecución;
- el juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio;
- existen ciertos elementos de tensión en él, cuya liberación y catarsis causan gran placer;
- el juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practícan;
Un juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un cierto número de objetos o piezas, cuya función en el juego viene definida por tales reglas, exactamente de la misma forma en que se puede proceder en el establecimiento de una teoría matemática por definición implícita: «Se nos dan tres sistemas de objetos. Los del primer sistema los llamaremos puntos, los del segundo rectas...» (Hilbert, Grundlagen der Geometrie).
La matemática y los juegos han entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente en la historia de las matemáticas la aparición de una observación ingeniosa, hecha de forma lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. En la antigüedad se puede citar el I Ching como origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos más modernos se puede citar en este contexto a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal, Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli...
Del valor de los juegos para despertar el interés de los estudiantes se ha expresado muy certeramente Martin Gardner, el gran experto de nuestro tiempo en la presentación lúcida, interesante y profunda de multitud de juegos por muchos años en sus columnas de la revista americana Scientific American: "Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de mata, chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas"
Sobre juegos y sobre el papel que los juegos pueden desempeñar en la enseñanza de la matemática se puede acudir a:
ICM, Kyoto, 1990, The role of games
Importancia actual de la motivación y presentación
Nuestros alumnos se encuentran intensamente bombardeados por técnicas de comunicación muy poderosas y atrayentes. Es una fuerte competencia con la que nos enfrentamos en la enseñanza cuando tratamos de captar una parte sustancial de su atención. Es necesario que lo tengamos en cuenta constantemente y que nuestro sistema educativo trate de aprovechar a fondo tales herramientas como el vídeo, la televisión, la radio, el periódico, el cómic, la viñeta, la participación directa...
Es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente arraigada en nuestra sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de muchos, de que la matemática es necesariamente aburrida, abstrusa, inútil, inhumana y muy dificil.
¿Un desplazamiento hacia la matemática discreta?
El advenimiento de los ordenadores, con su inmensa capacidad de cálculo, con su enorme rapidez, versatilidad, potencia de representación gráfica, posibilidades para la modelización sin pasar por la formulación matemática de corte clásico... ha abierto multitud de campos diversos, con origen no ya en la física, como los desarrollos de siglos anteriores, sino en otras muchas ciencias, tales como la economía, las ciencias de la organización, biología... cuyos problemas resultaban opacos, en parte por las enormes masas de información
Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos, usados en las ciencias de la computación, en la informática, así como en la modelización de diversos fenómenos mediante el ordenador, ha dado lugar a un traslado de énfasis en la matemática actual hacia la matemática discreta. Ciertas porciones de ella son suficientemente elementales como para poder formar parte con éxito de un programa inicial de matemática. La combinatoria clásica, así como los aspectos modernos de ella, tales como la teoría de grafos o la geometría combinatoria, podrían ser considerados como candidatos adecuados. La teoría elemental de números, que nunca llegó a desaparecerde los programas en algunos países, podría ser otro.
Hasta hace no mucho tiempo era frecuente en nuestras escuelas elementales dedicar una gran energía y largo tiempo a rutinas tales como la división de un número de seis cifras por otro de cuatro. O a la extracción a mano de la raíz cuadrada de un número de seis cifras con tres cifras decimales exactas. O, en cursos superiores, al manejo con destreza y rapidez de las tablas de logaritmos con su intrincado laberinto de interpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora de bolsillo ha conseguido que casi todos estemos de acuerdo en que esa energía y ese tiempo están mejor empleados en otros menesteres. Tales operaciones son muy interesantes como algoritmos inteligentes y profundos pero como destrezas rutinarias son superfluos.
En la actualidad, en nuestra segunda enseñanza, así como en los primeros años de nuestra enseñanza universitaria, dedicamos gran energía y largo tiempo a fin de que nuestros alumnos adquieran destreza y agilidad en el cálculo de derivadas, antiderivadas, resolución de sistemas lineales, multiplicación de matrices, representación gráfica de funciones, cálculo de la desviación típica... destrezas todas ellas que están incorporadas con muchas más y mucho más sofosticadas en nuestros actuales programas de cálculo simbólico.
Hacia una recuperación del pensamiento geométrico y de la intuición espacial
Es evidente que desde hace unos cuarenta años el pensamiento geométrico viene pasando por una profunda depresión en nuestra enseñanza matemática inicial, primaria y secundaria. Y al hablar del pensamiento geométrico no me refiero a la enseñanza de la geometría más o menos fundamentada en los Elementos de Euclides, sino a algo mucho más básico y profundo, que es el cultivo de aquellas porciones de la matemática que provienen de y tratan de estimular la capacidad del hombre para explorar racionalmente el espacio físico en que vive, la figura, la forma fisica.
Esta situación, que se hace patente sin más que ojear nuestros libros de texto y los programas de nuestra educación primaria y secundaria, no es exclusiva de nuestro entorno. En realidad, es un fenómeno universal que, a mi parecer, se debe en buena medida a la evolución misma de la matemática desde comienzos de siglo, más o menos.
El siglo XIX fue el siglo de oro del desarrollo de la geometría elemental, del tipo de geometría al que tradicionalmente se dedicaba la enseñanza inicial de la matemática, que vivía a la sombra de creaciones muy interesantes y muy de moda de la matemática superior, tales como la geometría descriptiva, geometría proyectiva, geometría sintética, geometrías no euclídeas... El mismo sentido geométrico que estimuló los desarrollos espectaculares del siglo XIX sigue vivo también hoy en campos tales como la teoría de grafos, teoría de cuerpos convexos, geometría combinatoria, algunos capítulos de la teoría de optimización, de la topología... Como rasgos comunes a todos estos desarrollos se pueden señalar: una fuerte relación con la intuición espacial, una cierta componente lúdica y tal vez un rechazo tácito de desarrollos analíticos excesivos.
Para más información sobre este tema se puede acudir a:
Experimentos de geometría
Geometría con Derive
Auge del pensamiento aleatorio. Probabilidad y estadística
¿COMPLEJIDAD DE LA TAREA?
Más bien se debería hablar de complejidad de la descripción de la tarea. Pero se pueden encontrar tareas clave que puedan iluminar, sustentar y enfocar todas las demás tareas. La idea de la inculturación es una de las claves de esa apariencia de complejidad. Y la clave fundamental, por supuesto: la disponibilidad de docentes bien preparados para esta misión.
La educación matemática se debe concebir como un proceso de inmersión en las formas propias de proceder del ambiente matemático, a la manera como el aprendiz de artista va siendo imbuido, como por ósmosis, en la forma peculiar de ver las cosas característica de la escuela en la que se entronca. Esta idea tiene profundas repercusiones en la manera de enfocar la enseñanza y aprendizaje de la matemática, pero para su realización es absolutamente necesario que los profesores en contacto directo con los alumnos estén capacitados para llevarla a buen término.
A continuación quisiera presentar muy someramente unas pocas sugerencias sobre algunos proyectos a los que, en mi opinión, nuestra comunidad matemática podría y debería prestar una particular atención.
Hacia una recuperación de la capacidad del quehacer matemático para el estímulo de los valores éticos
La matemática de hoy, la que fue iniciada en el siglo 6 a. de C. por los pitagóricos y ha llevado a nuestra ciencia y a nuestra cultura occidental a cimas tan altas, surgió en el seno de lo que con razón llamó van der Waerden comunidad científica y hermandad religiosa. Durante muchos siglos se mantuvo vigente la impronta del pitagorismo impregnando nuestra cultura con muchos de sus aspectos profundamente éticos. Pienso que hoy día hemos convertido en buena parte nuestra ciencia en una pura técnica y que no somos suficientemente conscientes de las posibilidades del quehacer matemático en todos los niveles de estimular los valores éticos. En mi opinión sería necesario que los matemáticos tratáramos de imbuirnos y de impregnar a otros, especialmente a los más jóvenes, de estos valores sin los que nuestra civilización no puede perdurar. Sobre estos aspectos he presentado mis propias reflexiones más largamente en diferentes ocasiones. Quien se interese por el tema puede acudir a:
Lecciones pitagóricas para el siglo 21.
Ethical aspects in the mathematical activity (3ECM, Third European Congress of Mathematicians, 2000)
Atención a la formación inicial y permanente de los profesores de matemáticas
En 1908, Félix Klein escribía en la introducción de sus lecciones sobre Matemática elemental desde un punto de vista superior: «...durante mucho tiempo la gente de la universidad se preocupaba exclusivamente de sus ciencias, sin conceder atención alguna a las necesidades de las escuelas, sin cuidarse en absoluto de establecer conexión alguna con la matemática de la escuela. ¿Cuál era el resultado de esta práctica? El joven estudiante de la universidad se encontraba a sí mismo, al principio, enfrentado con problemas que no le recordaban en absoluto las cosas que le habían ocupado en la escuela. Naturalmente olvidaba estas cosas rápida y totalmente. Cuando, después de acabar su carrera, se convertía en profesor de enseñanza media se encontraba de repente en una situación en la que se suponía que debía enseñar las matemáticas elementales tradicionales en el viejo modo pedante; y puesto que, sin ayuda, apenas era capaz de percibir conexión alguna entre su tarea y sus matemáticas universitarias, pronto recurría a la forma de enseñanza garantizada por el tiempo y sus estudios universitarios quedaban solamente como una memoria más o menos placentera que no tenía influencia alguna sobre su enseñanza».
- una componente científica adecuada para su tarea específica;
- un conocimiento práctico de los medios adecuados de transmisión de las actitudes y saberes que la actividad matemática comporta;
Atención a la investigación en educación matemática
Como hemos tenido ocasión de ver, la educación matemática es una actividad interdisciplinar extraordinariamente compleja, que ha de abarcar saberes relativos a las ciencias matemáticas y a otras ciencias básicas que hacen uso de ella, a la psicología, a las ciencias de la educación... Sólo en tiempos muy recientes se ha ido consolidando como un campo, con tareas de investigación propias, difíciles y de repercusiones profundas en su vertiente práctica. Se puede afirmar que en el sistema universitario un tanto inerte de nuestro pais la educación matemática aún no ha llegado a encontrar una situación adecuada por muy diversos motivos, a pesar de que ya van formándose grupos de trabajo en los que se producen resultados importantes.
A mi parecer, es muy necesario, por lo que a la sociedad le va en ello, que se formen en nuestras universidades buenos equipos de investigación en educación matemática que ayuden a resolver los muchos problemas que se presentan en el camino para una enseñanza matemática más eficaz.
Atención a la educación matemática de la sociedad. Popularización de la matemática
La sociedad española se encuentra, por tradición de siglos, con una cultura fuertemente escorada hacia sus componentes humanísticas. En España, cultura parece ser sinónimo de literatura, pintura, música, ... Muchas de nuestras personas ilustradas no tienen empacho alguno en confesar abiertamente su profunda ignorancia respecto de los elementos más básicos de la matemática y de la ciencia y hasta parecen jactarse de ello sin pesar ninguno. Las páginas de la mayor parte de nuestros periódicos aún no se han percatado de que las ciencias, y en particular las matemáticas, constituyen ya en nuestros días uno de los pilares básicos de la cultura humana. Es más, parece claro que, como afirma Whitehead, «si la civilización continúa avanzando, en los próximos dos mil años, la novedad predominante en el pensamiento humano será el señorío de la intelección matemática».
Atención al talento precoz en matemáticas
Sobre los esfuerzos que la Real Academia de Ciencias viene realizando desde hace varios años en esta dirección se puede consultar la sección correspondiente de mi página en la red y en particular un resumen de las posibles formas de actuar con esta orientación.
Para cada uno de los temas aquí señalados se puede acudir, para una información más amplia, a los artículos que a lo largo de esta exposición se han indicado. En ellos y en sus bibliografías se pueden encontrar líneas de pensamiento que orienten a quien se interese por el tema correspondiente.

References: resolución 
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