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Timestamp: 2018-10-22 23:39:53+00:00

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Varios - Acoso Escolar - Educar Para La Convivencia
LA GEOMETRÍA CON CABRI: UNA VISUALIZACIÓN A LAS
JESSY MARISOL ALEMÁN CRUZ
Dr. FERNANDO HITT ESPINOSA
TEGUCIGALPA M. D. C. JUNIO 2009
La Geometría con CABRI:
Una visualización a las
M. Sc. Lea Azucena Cruz
M. Sc. Luis Orlando Marín
VICE-RECTOR DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO
Dr. Truman Bitelio Membreño
M. Sc. Gustavo Cerrato
M. Sc. Hermes Alduvín Díaz Luna
M. Sc. Iris Milagro Erazo
Dra. Jenny Margoth Zelaya
Tegucigalpa. M. D. C. Junio 2009
Fernando Hitt Espinosa por el tiempo. • Al Dr. la salud y las fuerzas para finalizar este proyecto de mi vida. la dedicación. estimulando en mí el interés y motivación por la investigación. • A los alumnos del Centro Educativo por la disposición y apertura con la que participaron en el proceso. porque sus palabras de ánimo me dieron el aliento para seguir adelante. el trabajo y la experiencia dedicados a la asesoría de esta investigación.AGRADECIMIENTOS • A Dios por darme la inteligencia. • A los profesores del Postgrado por el apoyo académico. • A mi Mamá Marta Crúz. -3- .
un aporte a enriquecer el modelo de intervención en matemáticas. durante un periodo de dos meses. experimentación y descubrimiento de nuevas relaciones geométricas a través del uso del programa CABRI GEOMETRE. favoreciendo la visualización. Así también estimular en los alumnos la creatividad y una actitud positiva hacia las matemáticas. Sea este estudio. Para concretar este estudio que se enmarca en el enfoque cualitativo de investigación. organizar y sistematizar los conocimientos espaciales que favorecen la comprensión y admiración por el entorno natural.RESUMEN La geometría como cuerpo de conocimientos permite analizar. influye en el aprendizaje geométrico. más recursos en los sectores que más lo requieren. en el desarrollo de habilidades de visualización. Esta investigación aborda desde esta perspectiva los procesos que se desarrollan en la enseñanza y el aprendizaje de la geometría en el tema “Propiedades de los Triángulos”. -4- . para lo cual se consideró pertinente aplicar esta experiencia con los alumnos de octavo grado del Centro de Educación Básica “San Miguel de Heredia” de Tegucigalpa. se desarrollaron guías de laboratorio con las cuales se logró la formalización de conceptos y elaboración de conclusiones con los propios alumnos. cuyo objetivo fue explorar las propiedades de los triángulos. así también promover el interés por continuar con más investigaciones. en la perfección en las construcciones de manera precisa. y a su vez en la motivación de los alumnos. Los resultados obtenidos permiten concluir que la utilización del programa de geometría dinámica CABRI GEOMETRE. en el nivel de enseñanza media. pues es una de las posibilidades de favorecer la equidad en el sistema educativo.
..Habilidades geométricas: los triángulos y sus propiedades IV- V- CAPÍTULO 3 • Objetivos de investigación ……………………………..….La tecnología en matemáticas 2.CABRI en el aula de clases 4.La visualización en los entornos computacionales 3.. 54 CAPÍTULO 5 • Análisis de resultados ……………………………………. 57 -5- ..… 52 CAPÍLULO 4 • VI- Metodología …………………………………………………. 51 • Preguntas de investigación……………………………. 12 • Justificación ………………………………………………… 15 CAPÍTULO 2 • Marco Conceptual………………………………………….. 22 1.ÍNDICE I- Introducción……………………………………………………… 6 II- CAPÍTULO 1 III- • Presentación del problema ……………………………….
104 IX- Anexos X- Glosario -6- ..VII- CAPÍTULO 6 • Conclusiones…………………………………………….102 VIII- Bibliografía ………………………………………………….….…. 96 • Recomendaciones…………………………………………..
y la geometría en particular ha sido estimulada gratamente por nuevas ideas tanto desde el interior de las matemáticas como desde otras disciplinas. se abre un nuevo campo de investigación en cuanto a nuevos ambientes de aprendizaje y metodologías de enseñanza aprovechando el enorme potencial de estos recursos electrónicos. p. En un aprendizaje dinámico por su relación con otras disciplinas y otras materias. demostrar. en las ciencias. p.107) al afirmar que: “La geometría es considerada como una herramienta para comprender. laboratorio.INTRODUCCIÓN El proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas es sumamente complejo y a través del tiempo el hombre ha desarrollado una diversidad de metodologías para lograr la efectividad de dicho proceso. resolución de problemas) nos muestran que los entornos computarizados juegan un papel significativo en el apoyo del aprendizaje de la matemática.2) afirma que “en la enseñanza de la geometría deben fijarse algunos objetivos mínimos en función de los cuales deben programarse las actividades. es quizá la parte más intuitiva. en las técnicas y en diversos campos de la actividad humana. concreta y unida a la realidad de las matemáticas.” Lo anterior pone de manifiesto la importancia de la geometría en el nivel básico. porque proporciona un conocimiento útil en la vida cotidiana. Villani (2005. Varios enfoques (constructivista. Con la llegada de las nuevas tecnologías.” Lo que complementa Blanco y Barrantes (2003. en particular las computadoras. describir e interactuar con el espacio en que vivimos. y porque prepara al alumno para razonar. incluyendo la ciencia de la computación. conjeturar y comprender -7- .
” Basado en que muchos estudiantes no sólo utilizan el computador en busca de información para la clase. Si bien es cierto que todos los que pasamos habitualmente por las aulas sabemos que la geometría ha sido relegada al ‘rincón’ de la clase de matemáticas. sino que también cuentan con recursos tecnológicos en su entorno social. p. DVD. Por ejemplo. “esto conduce naturalmente a discutir algunos de los caminos en los cuales el currículo de matemáticas. la geometría tridimensional casi ha desaparecido o ha sido confinada a un rol marginal en el currículo Acertadamente Arcavi (2000. 25) indica que. entre ellos: El Internet. la medición y otras partes de las matemáticas. también es cierto que los maestros hacen un esfuerzo para que los alumnos conozcan las figuras geométricas fundamentales. -8- . Así la enseñanza de la geometría no es de ninguna manera una tarea fácil. Pero en lugar de tratar de enfrentar y superar los obstáculos que emergen en la enseñanza de la misma. edad a la que las demostraciones pueden ser presentadas a los estudiantes y los diferentes niveles de rigor y abstracción. demostraciones inductivas y deductivas. TV. y con frecuencia sin nada que las reemplace.mejor las ideas relacionadas con el número. Otro punto problemático concierne al rol de las demostraciones en geometría: relaciones entre intuición. la práctica en el salón de clases y el aprendizaje del estudiante pueden diferir del tradicional. las prácticas escolares actuales en muchos países simplemente omiten estos obstáculos excluyendo las partes más demandantes. que han conseguido que la información llegue a los jóvenes de manera más variada. multimedia.
se utilizará CABRI GEOMETRE.” Con el estudio de las propiedades de los triángulos se espera que la geometría nos entregue las habilidades relacionadas al pensamiento espacial. 3) “el tratamiento de las construcciones geométricas implica el uso de estrategias que requieren una base relativamente amplia de conocimientos. con dos grupos de octavo grado del Centro de Educación Básica “San Miguel de Heredia” de Tegucigalpa. citado por Medina. Como lo ratifica Siñeriz-Santinelli (1998. p.Indiscutiblemente. lo que les otorga un valor agregado de un aprendizaje más vivencial de una clase teórica a una clase práctica. experimentar. el cual es un programa de geometría dinámica que favorece el desarrollo de los conceptos matemáticos. hacer un buen uso en la clase de un programa específico para construcciones geométricas. propias para el descubrimiento y experimentación de propiedades de objetos geométricos. Esta investigación aborda desde esta perspectiva estos procesos que se desarrollan en la enseñanza y el aprendizaje de la geometría en el tema “Propiedades de los triángulos”. permite al alumno contar con una herramienta poderosa para generar sus estrategias ya que tiene la posibilidad de construir figuras. descubrir relaciones entre los elementos de la misma. descubrir relaciones geométricas. consultar propiedades. 2001. modificar sus condiciones para verificar si se mantienen o no sus propiedades originales. además de despertar el interés y la socialización de los aprendizajes. -9- . etc. p.” La importancia del valor pedagógico en el aprendizaje de la geometría lo precisa Cabello (2006. Como herramienta didáctica para apoyar estas ideas en la clase de geometría. 2) al afirmar que: “desarrolla la habilidad de construcción realzando el valor de lo visual en lo cotidiano. permitiendo visualizar. visualización y percepción.
En el segundo capítulo se fundamenta la investigación a través de un marco teórico. sus implicancias. el uso de la tecnología. el rol del profesor.10 - . . el rol del alumno. el tipo de muestra y los instrumentos que se emplean. En el primer capítulo se muestra la recopilación de antecedentes propios para determinar el problema de investigación. Los cuales son: • La tecnología en matemáticas • La visualización en los entornos computacionales • CABRI en el aula de clases • Los triángulos y sus propiedades El tercer capítulo incluye los objetivos y preguntas de investigación que trazan la dirección en que se desarrollará el diseño de cada una de las actividades de clase. tienen en la enseñanza y el aprendizaje geométrico. En el cuarto capítulo se plantea la metodología de la investigación. además se definen: el tipo de investigación. estructurado mediante cuatro temas que se consideran relevantes para poder profundizar los aspectos planteados en el problema. viabilidad y consecuencias en el campo educativo. y la propuesta del diseño de actividades que se realizarán con los alumnos. También se abordan los diferentes pasos de la implementación del software CABRI en la visualizacion de las propiedades de los triángulos.Esta experiencia será aplicada para el logro de un aprendizaje significativo en este tema y por consiguiente analizar el nivel de impacto que la metodología.
11 - . . En el sexto capítulo se proporcionan las conclusiones pertinentes a cada objetivo. en función de contestar las preguntas planteadas en este estudio y al final se presenta la bibliografía utilizada y los documentos que validan esta investigación. así como los análisis de los sucesos propiciados durante el proceso de enseñanza-aprendizaje en el transcurso de la investigación.En el quinto capítulo se muestran los resultados obtenidos tanto de la observación directa como de la prueba diagnóstica y las guías de laboratorio aplicadas a los alumnos.
12 - .CAPÍTULO 1 *** .
1) al reconocer que “el uso de la computadora brinda la posibilidad a los estudiantes para adquirir habilidades y conceptos al ofrecer una representación física. las estructuras lógicas y algebraicas”. afirmó que la tendencia actual de las matemáticas es volver a ver las cosas geométricamente. pero ello cambió en la década de los noventas.” Validando lo expuesto De Guzmán (1997) afirma lo siguiente: la visualización constituye un aspecto extraordinariamente importante en la actividad matemática es algo totalmente natural si se tiene en cuenta la naturaleza misma de la matemática…nuestra percepción es prioritariamente visual y así no es de extrañar en absoluto que el apoyo continuo en lo visual esté tan presente en las . Cit. que permite visualizar conceptos matemáticos de manera concreta. cuando se introdujo las primeras actividades con computadora. 2003a. comentó que “el uso de la computadora ha abierto posibilidades de obtener conclusiones en los estudios matemáticos. p. las posibilidades del uso de la tecnología se han ampliado enormemente. Op. al darle un lugar a los aspectos visuales de los conceptos matemáticos. De los comentarios anteriores.). éstas se usaron en educación como un medio para la enseñanza de algún lenguaje de programación. es decir. actualmente. armable y desarmable.13 - . y por otro lado como lo expresa Spicer (2000. por un lado se admite un cambio. p.” Por otra parte López (2003.1). móvil. citado por Núñez. ya que “desde hace 30 o 40 años se destacan los aspectos abstractos de la matemática. Gómez (2003. al permitir visualizar entes abstractos que antes sólo el ‘superespecialista’ podía imaginar. citado por Núñez.PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA En el pasado (Década de los ochenta).
que nacieron para explorar los cambios de los objetos materiales en sí mismos y en sus aspectos espaciales (p. sino también a otras. como el análisis.14 - . asegurando aprendizajes significativos. etc.tareas de matematización. tales como las nociones de ángulo y distancia. posibilitando que los realicen por si mismos.26) dice que “la adquisición de destrezas y habilidades de percepción visual pueden ser aprendidas y potenciadas a través del estudio de la geometría. relacione los conocimientos nuevos con los que ya posee. Para su introducción en el octavo grado de la enseñanza secundaria es necesario partir del nivel de desarrollo del alumno. como la geometría. . ya que ésta requiere que el alumno identifique y reconozca formas geométricas. se advierte que la enseñanza de la geometría queda en segundo plano. obtenga conclusiones lógicas de las proposiciones y datos a su alcance. La realización de un aprendizaje significativo exige que el alumno observe. dos y tres dimensiones. después de algunos años de experiencia docente y considerando la problemática educativa de nuestro país. se refieren directamente a la exploración específica de aspectos del espacio. p. Continuando Alsina (1995 citado por Lastra. relaciones y propiedades en una. 17). A diferencia de lo que sucede en aritmética y álgebra. y a través de la realización de una intensa actividad por su parte. 2005a. mediante una modificación de sus esquemas de conocimientos.” No obstante. formule hipótesis. deben ser reconsiderados en diferentes etapas desde diferentes puntos de vista. aún los conceptos básicos en geometría. no sólo en aquellas que. Generalmente esta rama de la matemática se encuentra al final de los programas y por falta de tiempo para cubrir estos contenidos o por no disponer del material necesario. muchas veces estos conocimientos no se comparten con los estudiantes. se haga preguntas.
15 - . y disponiendo de un laboratorio de computo y del programa CABRI GEOMETRE. p. por ser el triángulo la figura geométrica más sencilla y en el estudio de las propiedades de los mismos sentar las bases de una geometría dinámica. que abrirá las puertas no sólo a generar experiencias de aprendizaje motivadoras y significativas para los alumnos. organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. De los argumentos arriba expresados surge el hecho de crear un proyecto de investigación apoyándose en la geometría dinámica.” En busca de la adquisición de estos conocimientos. Por ejemplo. A partir de la observación de figuras geométricas elementales. y con la temática de los triángulos en los programas de matemáticas. si al niño se le proporciona un triángulo. observará el contorno de la figura y no dentro de ella porque no tiene la preparación para dar una interpretación general. Lastra (2005b. pero necesitará desarrollar un cierto grado de abstracción.14) en su propuesta metodológica de Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría dice que: “La geometría como cuerpo de conocimientos es la ciencia que tiene por objeto analizar. . En un sentido amplio se puede considerar a la geometría como la matemática del espacio. para alumnos de octavo grado del Centro de Educación Básica “San Miguel de Heredia” de Tegucigalpa. y adquirir una experiencia propia e individual para cada estudiante en la exploración de las propiedades de los triángulos con el apoyo didáctico del programa CABRI GEOMETRE. sino a visualizar y manipular nuevos conceptos geométricos.Por la importancia que la geometría tiene. usando específicamente el programa CABRI GEOMETRE. el alumno irá descubriendo sus características y dará definiciones. será muy interesante incursionar en este tema.
Desde allí la enseñanza debe retomar este conocimiento y hacerlo evolucionar gradualmente hacia temas más avanzados. ya sea a mano o con calculadora. La experimentación numérica.JUSTIFICACIÓN La geometría es parte fundamental en la formación matemática y está contemplada en el Currículo Nacional Básico en todos los niveles de la educación básica enmarcándose en temas específicos de la misma. perdiendo la agilidad que les debe caracterizar.16 - . En esta etapa los alumnos deben conocer y usar con propiedad el lenguaje de la geometría. sólidos y fórmulas para calcular sus perímetros. oculta la utilidad de los métodos y los convierte en algo pesado y aburrido. ya que es difícil conseguir que . por lo que utilizando un equipo computacional de alguna potencia se puede dar mayor coherencia a su enseñanza. es notorio que existe el desconocimiento o dificultad en la comprensión de algunos conceptos y propiedades geométricas cuando los estudiantes llegan al nivel de educación media. sino que deben poder explorar e investigar sus propiedades geométricas a través de su uso en numerosas oportunidades para resolver problemas de la realidad. Y de aquí surge la necesidad de considerar el uso de metodologías e instrumentos innovadores en el salón de clase. Sin embargo. y se les deben dar ejemplos muy variados de aplicaciones concretas. Desde el punto de vista pedagógico no podemos pretender que un alumno entienda la mecánica de un algoritmo sin utilizarlo en la práctica. áreas y volúmenes. Se sabe que el alumno aprendió algunos elementos de geometría en la primaria o los desarrolló espontáneamente. No es suficiente que se aprendan figuras.
Como corolario podemos afirmar que el conocimiento que se adquiere mediante nuevos instrumentos es un conocimiento nuevo (p. las cuales plantean que el alumno construye significados asociados a su propia experiencia (p. por ello. desarrollar la visualización.17 - .los alumnos lleguen a la geometría formal dándoles definiciones. La acción humana está siempre mediada por instrumentos. en geometría. como un valioso auxiliar para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría en el nivel medio básico (secundaria). permite tomar en cuenta las tendencias actuales en cuanto a las metodologías de la enseñanza. En el uso de la tecnología Lastra (2005) dice al respecto: El uso de software en matemáticas y. se sugiere en este trabajo el uso del programa CABRI GEOMETRE. las múltiples representaciones y el hacer conjeturas. en particular. ya que presenta la geometría de una manera dinámica y más accesible y en donde los alumnos pueden generar nuevas situaciones de aprendizaje que no son posibles lograr con los medios tradicionales como el lápiz y el papel. la geometría nos brinda la posibilidad de trabajar con temas específicos. 1) Al disponer de los medios necesarios para llegar a concretizar estas ideas. Por otra parte Moreno y Rojano (1998) opinan que: Las estrategias educativas que se pongan en marcha deben respetar un principio fundamental: toda tecnología modifica sustancialmente las formas de construcción del conocimiento y la naturaleza misma de ese conocimiento. aspectos que están muy relacionados con las teorías constructivitas del conocimiento. y en este caso los triángulos nos dan la viabilidad para explorar sus propiedades. sean estos materiales o simbólicos. teoremas y demostraciones para que ellos las memoricen. porque podemos manipularlos sin alterarlas. .27). al mismo tiempo que los estudiantes desarrollan mejores habilidades para visualizar otras relaciones geométricas y alcanzar un dominio extraordinario de conceptos matemáticos.
asevera que: “Las manipulaciones virtuales bien diseñadas y bien utilizadas ayudan a los estudiantes a construir. fortalecer y conectar varias representaciones de ideas matemáticas al tiempo que aumentan la variedad de problemas sobre los que pueden pensar y resolver.18 - . sino el seleccionar la más relevante de entre una inmensa cantidad que nos bombardea. pensar en las herramientas. citando a De Guzmán) “Pero sí importante es determinar el qué enseñar.).En este punto Spicer (Op. no es conveniente utilizar una tecnología cara. p. por lo que se hace necesario usar nuestra creatividad e imaginación para encontrar las mejores formas de llevarlas al aula y utilizarlas para potenciar el desarrollo integral de nuestros alumnos. El problema no es ya el conseguir información. . además es posible concebir las matemáticas a un nivel de experiencia que no se tenia antes y CABRI nos brinda la oportunidad de visualizar múltiples situaciones de un solo problema. quizás sea mucho más interesante. Cit.” Como educadores no se puede seguir marginado de la revolución tecnológica. en la propia casa de cualquier persona. poco disponible y más compleja. discutir sobre el cómo. es decir. evitando la saturación y la consiguiente sobrecarga cognitiva. para una acción que se puede realizar con la misma eficacia usando medios más sencillos. Y en este marco de cambios tecnológicos es donde conviene formularse la pregunta: y ahora ¿Qué matemáticas hay que enseñar? A lo que responde Pérez (1999.4.” Por eso hay profesores y administradores educativos que piensan en cambios radicales: todo debe trabajarse ahora en forma virtual. Una computadora o un equipo de recepción de Internet pueden convertirse en un aula virtual. Esto lleva a malos usos.
haciendo hincapié en la importancia de que realicen sus propios descubrimientos(p. 1) En definitiva el principal aporte de la tecnología. Les suministran un lenguaje adicional para comunicar ideas matemáticas sobre sus percepciones visuales. 1). en la exploración de las propiedades de los triángulos. ya que con el uso del programa CABRI GEOMETRE. como la falta de dinamismo. la dificultad en la comprensión. formular conjeturas. táctiles y espaciales. etc.19 - . la tecnología ofrece a los estudiantes objetos para reflexionar y hablar. el Profesor y el estudiante está cambiando la visión que los actores tienen del contenido matemático y del proceso didáctico. los lugares geométricos. consiste en que la interacción entre la misma. (p. Por lo que se espera que esta investigación sea de beneficio tanto a alumnos como para Profesores de matemáticas. como por ejemplo. p. 194) “los objetos matemáticos dejan de ser una sucesión de símbolos y se convierten en objetos ‘vivos’ en los que el estudiante puede explorar. la falta de visión del problema en su conjunto. verificar hipótesis. Según Arriero y García (2006): Gracias a CABRI se han ido salvando algunas de las dificultades que habitualmente surgen en el estudio de la geometría clásica. Con relación al programa CABRI Arriero y García (2006) en su artículo: CABRI como herramienta para enseñar geometría en educación media afirman que: Con CABRI algunos temas de geometría. favoreciendo una metodología en la que el alumnado participe de forma activa en su aprendizaje. pueden ser tratados sin exigir grandes conocimientos matemáticos.Asimismo. se . Para Gómez (1999.” Lo que hace de CABRI un recurso valioso que permite al alumno vivir una experiencia satisfactoria y completamente innovadora. las trasformaciones en el plano. diseñar. la resolución gráfica de problemas.
Porque si se admite que los conceptos matemáticos tienen más de una forma de representación. Indudablemente para Ordaz (2002) El uso de la tecnología puede mejorar de manera significativa el aprendizaje. Los maestros de matemáticas tendrían que introducir las innovaciones de modo coherente para que los alumnos utilicen estas nuevas herramientas de manera reflexiva y creativa (p. Éstos además tienen la capacidad de hacer visible lo que es difícil de ver e imposible de imaginar. 2). deben ser guías. armable y desarmable. consejeros. pero vale la pena cualquier esfuerzo en esta dirección. tanto en el aspecto pedagógico como de las matemáticas mismas. Para ello se ubican las herramientas computacionales dentro de un modelo simplificado del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. móvil. los Profesores de matemáticas deben enfatizar en estas formas de representación múltiples y lograr que los estudiantes se puedan mover o transitar de una representación a otra de manera fluida. asesores y guardianes del buen uso de la información en la formación de nuestros estudiantes. que permite visualizar conceptos matemáticos de manera concreta(p. .pueden lograr ventajas significativas. Igualmente Hitt (2005) afirma que: La sociedad exige del ciudadano cierta cultura asociada a los medios de comunicación. No será fácil lograrlo como pudiera parecer a primera vista.20 - . La cultura solicitada involucra a la matemática y al uso de calculadora y micro-computadoras. al ofrecer una representación física. y los Profesores deben ser los primeros en aceptar el uso de la tecnología y los impulsores de su uso en la comunidad que nos rodea. pues se enfoca en manipulables virtuales que ayudan a los estudiantes a incrementar su capacidad para adquirir habilidades y conceptos.1).
se impone una intensa búsqueda de alternativas reales y factibles. p. además de utilizar la visualizacion. Ante la situación planteada. 3): “Si una imagen dice más que mil palabras.Lo cual ayudará a los estudiantes a desarrollar la capacidad de presentar argumentos matemáticos acerca de relaciones geométricas. el razonamiento y la modelación para resolver problemas.21 - . Aun con los riesgos. como lo expresa Núñez (2003b. con las cuales se ayuden a todos aquellos estudiantes para quienes las matemáticas son algo tedioso y un obstáculo en su vida. y con el uso de la computadora se pueden generar más de mil imágenes ¿Cuántos miles de resultados nos podrán asombrar?” .
22 - .CAPÍTULO 2 *** .
medidas.” El NCTM (2003a) afirmó que: Las tecnologías electrónicas. más bien. aprender y “hacer” matemáticas. puede y debe utilizarse para fomentar esas comprensiones e intuiciones. Ellas pueden apoyar las investigaciones de los estudiantes en todas las áreas de las matemáticas. razonar y resolver problemas (p. 2). con el objeto de enriquecer el aprendizaje de las matemáticas por parte de los alumnos. la tecnología se debe utilizar frecuente y responsablemente. se pueden concentrar en tomar decisiones. En los programas de enseñanza de las matemáticas. son herramientas esenciales para enseñar. Ofrecen imágenes visuales de ideas matemáticas. tales como calculadoras y computadores. el papel que la tecnología puede tener en la educación matemática de acuerdo a Balacheff (1996.1) “es el de ser un medio con el que los estudiantes tienen encuentros organizados por el profesor para que de éstos surja conocimiento. incluyendo números. Boears. Groves 1994). citado en Gómez. 1997.van Oosterum 1990. p.23 - .MARCO CONCEPTUAL La tecnología en matemáticas Las tendencias actuales en la enseñanza de la matemática han destacado la importancia del uso de la tecnología como un medio que permite al estudiante obtener conclusiones y realizar observaciones en otros ambientes. Rojano 1996. facilitan la organización y el análisis de los datos y hacen cálculos en forma eficiente y exacta. estadística y álgebra. “Los estudiantes pueden aprender más matemáticas y en mayor profundidad con el uso apropiado de la tecnología" (Dunham y Dick 1994. La tecnología no se debe utilizar como un reemplazo de la comprensión básica y de las intuiciones. geometría. Cuando los estudiantes disponen de herramientas tecnológicas. . Sheets 1993.
La tecnología al mismo tiempo ofrece a los docentes opciones para adaptar la instrucción a necesidades específicas de los alumnos. Para cada caso único. se debe juzgar si el uso de la tecnología es efectivo y apropiado o no. Los estudiantes que se distraen fácilmente. Son los problemas que se plantean. sino desde cómo cada uno funciona en un determinado currículo hasta los efectos que tienen en la forma de plantear problemas particulares a los estudiantes. y aquellos que tienen dificultades de organización se pueden beneficiar con las restricciones impuestas por un ambiente de computador. Las posibilidades de involucrar estudiantes con limitaciones físicas con las matemáticas. influye en las matemáticas que se enseñan y mejora el proceso de aprendizaje de los estudiantes. ayudarles a aprender los procedimientos.24 - .Es más. pueden concentrarse mejor cuando las tareas se realizan en computador. lo que hace la diferencia. algunos problemas son excelentes y otros son pérdida de tiempo. . Con computadores o con lápices. Los estudiantes que tienen problema con los procedimientos básicos pueden desarrollar y demostrar otras formas de comprensión matemática. se incrementan en una forma dramática con tecnologías especiales. La necesidad de tomar decisiones en ese nivel de detalle no debe sorprendernos si pensamos en las calculadoras y los computadores de la misma forma en que lo hacemos sobre los lápices. que eventualmente pueden a su vez. no la tecnología con la que se encaran. las preguntas adecuadas sobre tecnología no son sobre temas amplios como qué hardware o software utilizar. La tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
citado por Gamboa. crea una dinámica interactiva entre los sistemas de representación y apoya aspectos de carácter cognitivo cuando conlleva la representación formal de los objetos matemáticos y de sus relaciones(p.1) dice que “esta diversidad de caminos hacia el conocimiento es un aspecto central de la comprensión del sujeto acerca de los objetos matemáticos. por las pistas que suministran. cuando los estudiantes discuten entre sí y con su maestro. Balacheff y Kaput (1996.” De la misma manera. Una de las ventajas más importantes al interactuar con programas de computadores es la posibilidad de utilizar distintos sistemas de representación. etc. La oportunidad de interactuar con el computador tiene influencia en la motivación de los jóvenes. por sí misma. de sus relaciones y de las actividades matemáticas que tienen que ver con esos objetos. . 2007a) expresan que: Un ambiente de aprendizaje en el que se utiliza la tecnología cambia el medio en que se expresan las matemáticas. 475). por los contextos imaginarios mezclados de realidad. necesarios en el aprendizaje de las matemáticas. por la retroalimentación inmediata que proveen. la utilización de diferentes sistemas de representación contribuye a desarrollar y fortalecer capacidades de expresión y comunicación en los estudiantes. por la posibilidad de hacer seguimiento continuo al proceso. para un mismo objeto matemático. por los ingredientes de juego que los hacen entretenidos y generan retos y competencia. acerca de los objetos que muestra la pantalla y los efectos que tienen las diferentes transformaciones dinámicas que permiten realizar. p. por los colores. Gómez (1997. por las gráficas vívidas y dibujos atractivos. por el movimiento.25 - .La tecnología también suministra un punto focal. especialmente variados en el caso de las matemáticas.
citado por Gamboa. 3). diagramas. en lugar de simplemente involucrar tecnología en el aula de maneras que pueden ser atractivas pero cuyos resultados sean tangenciales y aún perjudiciales para las metas establecidas (p. y las necesidades particulares de estudiantes específicos. todo indica que ella se convertirá paulatinamente en una herramienta poderosa en la educación matemática. con Algunas figuras objetos requieren geométricas. 16). se debe pensar claramente cuáles son las metas de las clases. y escoger las tecnologías que directamente promuevan esos objetivos. aún muchos profesores rechazan el uso de calculadoras y computadoras porque creen que su uso inhibirá otras habilidades.Aunque se le ha dado un gran impulso a las nuevas tecnologías. Lo que cambia con la tecnología es el conjunto de problemas entre los que se puede escoger y la forma en que se pueden presentar. Ciertas lecciones requieren matemáticos y representaciones que los observen visuales estudiantes cómo (gráficas. Al igual Goldenberg (2008a) propone como principio que: La toma de buenas decisiones requiere que los maestros estén conscientes de los diferentes papeles que puede jugar la tecnología. en donde los estudiantes le den sentido a la información y encuentren diferentes estrategias de resolución de un problema. . experimenten responden. Hitt (1998. 2007b) señala que El profesor de matemáticas sentirá la necesidad del cambio cuando se le presenten materiales y estudios que muestren la efectividad de la tecnología en el aula.26 - . Aunque la tecnología no es la solución a los problemas de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Algunos son muy difíciles de plantear en las aulas que utilizan únicamente lápices. en donde se presente un concepto inmerso en una situación problema y donde se busque el adecuado sistema de representación para visualizarlo(p.
En este punto Gómez (2006.imágenes en movimiento) para responder a los interrogantes. . explorar y comunicar ideas en diversas situaciones matemáticas. He aquí dos métodos alternos de enseñanza que proporciona Spicer (Op. Es de hacer notar que el uso de la tecnología juega un rol importante en la adquisición de conocimientos ya que los estudiantes van más allá de ver las matemáticas como un cuerpo de conocimiento fijo y estático. se promueve el uso reflexivo de la tecnología en estos ambientes. que hacen que las matemáticas parezcan más amigables en el aula. p. además.): Los manipulables físicos y los manipulables virtuales. p. por el contrario perciben el estudio de las matemáticas como una actividad en la que deben participar para identificar.” La existencia de la computadora plantea a los Profesores de Matemáticas el reto de diseñar actividades donde el alumno busque estrategias para representar y resolver problemas al mismo tiempo que formularse preguntas y problemas encaminándolos a que vayan construyendo así su propio conocimiento y éste solo sea un guía orientándolos con las preguntas adecuadas en los momentos adecuados.27 - .1) afirma que: “la tecnología abre espacios para que el estudiante pueda vivir nuevas experiencias matemáticas en las que él puede manipular directamente los objetos matemáticos dentro de un ambiente de exploración”. Cit. Para Hitt (2003. órdenes o respuestas de los estudiantes.1) “En la construcción de conceptos matemáticos quedan inmersas de manera natural el desarrollo de estrategias en la resolución de problemas.
el valor de una herramienta depende del uso que se le dé. confiada. Desde este punto de vista la computadora en la enseñanza de la matemática constituye un medio y no un fin que auxilia al Profesor en diversas tareas dentro de un ambiente dinámico. realiza una contribución genuina a la educación matemática de los estudiantes (p. debido a que: . para utilizarlas concienzuda. pueden incrementar la cantidad de problemas que pueden pensar y resolver los estudiantes. aun cuando la guía y orientación para su uso.En cuanto a los manipulables virtuales la autora dice que son representaciones digitales de la realidad. Basta aceptar que una computadora puede. apoyar al completo desarrollo del estudiante. Como siempre. inteligente. por su carácter informativo (en algunos casos hasta formativo). que los alumnos de este nivel tienen dificultad para entender la geometría. pero no dominarlas.28 - . matemática. puede producir más daño que beneficio: consume mucho tiempo y enseña poco. deberán estar siempre bajo la responsabilidad de un "humano". A través de la experiencia como maestros de aula en el nivel secundario. por lo menos en cuanto a la programación de la secuencia de la información que la computadora proporciona. posibilitadas por la computadora y que el estudiante puede manipular con el mismo objetivo que los físicos. Aprender sobre pocas herramientas. pero a fondo. 10). Si los manipulables físicos o electrónicos están bien diseñados y se utilizan adecuadamente. y adecuadamente para resolver problemas que son difíciles. Conjuntamente Goldenberg (2008b) también establece que: ‘Manipular’ varias de las herramientas de la calculadora o del computador. nos hemos dado cuenta.
etc. se les presentara la geometría de una forma novedosa y tal vez más atractiva.29 - . como una herramienta que les servirá para mostrarles que la geometría no es tan aburrida ni tan difícil de entender. no les es fácil manipular los instrumentos. ya que a él le corresponde tomar la decisión sobre cuándo y cómo aplicar la tecnología. cuándo y cómo se va a hacer. 2000. examinar los procesos seguidos de los alumnos. toma decisiones que afectan el proceso de aprendizaje de los alumnos de maneras importantes. El Profesor juega varios roles importantes en un aula enriquecida con la tecnología. p. “la tecnología no sustituye la labor del docente” (NCTM. .y en general las matemáticas dicen que les son aburridas.. Sin embargo. o en otro caso no se les ha dado la instrucción adecuada para ello. que si a los alumnos se les presentara la geometría de una manera diferente. Con el manejo de la computadora. . . habría más posibilidades de que la entendieran y la aplicaran. . Inicialmente el docente es quien debe decidir si va a utilizar tecnología.A pesar de conocer las definiciones los alumnos no les ven una utilidad en su vida diaria . Aquí es donde se incorpora la tecnología.No llevan los instrumentos necesarios para las construcciones geométricas. prestarles ayuda cuando el camino de solución no es el correcto o cuando la observación que realizan no es del todo adecuada.No poseen la visualización espacial para identificar fácilmente las distintas figuras geométricas. complicadas. Él es un guía del proceso y quien propone las actividades de resolución de problemas.Por la etapa en la que están. 26). y por lo mismo supieran para qué sirve. Por lo que se cree.
Como lo dicen Arcavi & Hadas (2000. 41). critique y extraiga conclusiones a partir de la información que se le pueda suministrar. p. como en una de lápiz y papel.” Según Alfaro (2004.30 - . exige que sea el propio profesor de matemáticas quien introduzca conceptos de las matemáticas apoyándose en el uso de la computadora. el uso de herramientas tecnológicas se transforma en un medio ideal para que el educando optimice sus esquemas a través de sistemas de representación de los contenidos (p. . citado por Gamboa. 2007c): Uno de los objetivos fundamentales del docente en el salón de clase debe ser que el alumno analice. así mismo. 17). 1991): Las computadoras son cada vez más accesibles en las clases de matemáticas. Creemos que las hojas de cálculo nos dan este potencial (p. pero el uso efectivo de la tecnología disponible también importa. 284). Para Cuevas (1995. visualización y experimentación de conceptos importantes que le posibiliten a los educandos algunas estrategias de solución para algunos problemas. “La existencia de la computadora plantea a los educadores matemáticos el reto de diseñar actividades que tomen ventaja de aquellas características con potencial para apoyar nuevos caminos de aprendizaje. La presencia de la tecnología en el aula se convierte en una herramienta capaz de aportar a las lecciones de matemáticas distintas representaciones que puedan ser utilizadas para la ayuda. El surgimiento de diferentes programas para la enseñanza de las matemáticas y su incorporación en el salón de clases. la calidad reposa principalmente en qué tanto y qué tan bien están aprendiendo los estudiantes a pensar matemáticamente. por lo cual es muy importante encontrar un buen software que anime a los estudiantes a explorar y expresar sus ideas matemáticas.En un aula de clase equipada con tecnología. citando a Healy & Sutherland.
permitiendo a los estudiantes utilizar ideas de un área de las matemáticas para entender mejor otra. • La posibilidad de dar una atención individual al estudiante. Señala las ventajas del uso de la computadora en la enseñanza de las matemáticas: • "Participación activa del alumno en la construcción de su propio aprendizaje. p. • Interacción entre el alumno y la máquina. pueden mostrar formas de razonamiento matemático que es difícil de observar en otras circunstancias. La tecnología también diluye algunas de las separaciones artificiales entre tópicos de álgebra. 1) expone ayuda en la reflexión sobre el uso de la tecnología en las clases de matemáticas: • Tecnología: La tecnología es esencial en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. p. ésta influye en las matemáticas que se enseñan y mejora el proceso de aprendizaje En este sentido Alemán (2002. en los resultados obtenidos. . 11). Por lo tanto la tecnología ayuda en la evaluación. enriqueciendo así la información disponible para que los docentes la utilicen cuando van a tomar decisiones relacionadas con la enseñanza. • La posibilidad de crear micromundos que le permiten explorar y conjeturar.31 - . Uno de los principios que El NCTM (2003b. como también.A medida que los estudiantes trabajan haciendo uso de la tecnología. geometría y análisis de datos. permitiendo a los docentes examinar los procesos que han seguido los alumnos en sus investigaciones matemáticas.
las escuelas y los sistemas educativos. "Visualización es acción y efecto de visualizar y éste a su vez significa: representar mediante imágenes ópticas fenómenos de otro carácter". • Control del tiempo y secuencia del aprendizaje por el alumno. por otro lado la imagen es inherente al proceso de visualización. de modo que estas lleven a los alumnos a la construcción y visualizacion de conceptos geométricos. conceptos. leyes. por medio de la cual se pueden transmitir ideas.32 - .• Permite el desarrollo cognitivo del estudiante. La visualización en los entornos computacionales Acorde con La Real Academia Española. así como también la mejor forma de aprenderlas. abstracciones. etc. Es básico tener presente que el impacto de los computadores en el currículo escolar depende de la extensión y propósito del uso del mismo. . La existencia. versatilidad y poder de la tecnología hacen posible y necesario reexaminar qué matemáticas deben aprender los estudiantes. fórmulas. • A través de la retroalimentación inmediata y efectiva. En conjunto Principios y Estándares constituyen una visión para guiar a los docentes en su esfuerzo para lograr el mejoramiento continuo en la enseñanza de las matemáticas en las aulas de clases. ya que de allí se desprenden diversas maneras de organizar actividades. luego entonces la importancia de ésta radica en la importancia que la imagen tiene como medio de comunicación. el alumno puede aprender de sus errores".
entre los que se consolidó la matemática como ciencia. es decir de recuerdo de la idea. La realidad del círculo es la idea.Examinaremos algunos puntos de la historia que nos revelan ¿Cuál ha sido el papel de la visualización en matemáticas a lo largo del tiempo? En particular los pitagóricos primitivos. Para ellos lo visual y los procesos de visualización eran algo totalmente connaturales a la matemática. Regla XV Es útil también en muchas ocasiones describir estas figuras y mostrarlas a los sentidos externos para que de este modo se mantenga atento nuestro pensamiento más fácilmente. en sus Reglas para la dirección del espíritu tiene varias reglas que tienen que ver muy directamente con la visualización. También Lagrange ha expresado con énfasis su creencia en la importancia para el matemático de la facultad de observación. El círculo pintado no es la realidad del círculo. . Regla XIV Esta regla debe ser aplicada a la extensión real de los cuerpos. A saber dos de ellas. Para Platón el papel específico de la imagen en la construcción matemática se resalta fuertemente y se hace más explícito. como la sombra evoca la realidad.33 - . el estudio de los números y sus relaciones eran estudiados a través de configuraciones diversas realizadas con piedrecillas. y proponerse toda ella a la imaginación mediante puras figuras: pues así será percibida por el entendimiento mucho más distintamente. La imagen evoca la idea. pero la imagen juega un papel bien importante de evocación. Por su parte Descartes.
De acuerdo con Zimmermann W. El diagrama sirve para representar un concepto matemático o un problema y ayuda a comprender el concepto o a resolver el problema. se destacan posturas que convergen. viii) De los dos párrafos anteriores. con ayuda de una calculadora o una computadora.Y Gauss ha llamado a la matemática una ciencia del ojo… Lo que destaca que la visualización ha sido la tónica general en el trabajo creativo de los matemáticos de todos los tiempos. que si bien no llevará a la respuesta correcta sí puede conducir al alumno a profundizar en la situación que se está tratando. citado por Macias. . que señalan una habilidad para representar. La visualización no es un fin en sí mismo sino un medio para conseguir entendimiento. (1991. y Cunningham S. destaca que: La visualización matemática tiene que ver con el entendimiento de un enunciado y la puesta en marcha de una actividad. Uno u otro tipo de imagen acompaña constantemente sus reflexiones. (p. 333) Por otro lado. mientras Zimmermann W. probablemente aun las mas abstractas. y Cunningham S. además de considerar a la visualización como un proceso que es empleado en la matemática. La visualización se toma como la habilidad para trazar con lápiz y papel un diagrama apropiado. Una de las características de esta visualización es el vínculo entre representaciones para la búsqueda de la solución a un problema determinado. sí en las ideas. Hitt (Op. pues Hitt habla de un vínculo entre representaciones. si no textualmente. (p. Cit).34 - . aunque la naturaleza de esta imagen presenta una variedad de individuo a individuo mucho mayor de lo que sospechamos. 2007): Desde la perspectiva de la matemática es inusual la restricción de que las imágenes deben ser manipuladas.
p. 1) expresa que: “El elemento básico central en todas las concepciones de percepción visual son las imágenes . así como de la dinámica que posean: • Los dibujos y esquemas pueden ser muy útiles para trabajar conceptos o ideas. para destacar elementos o para motivar. p. de acuerdo a lo que traten de apoyar. son aspectos particulares dentro del proceso de visualización. las relaciones entre los diversos estados de un sistema y las condiciones que produce la transición. ya que con éstos se puede representar un fenómeno de cualquier índole o formar en la mente una imagen visual de algo abstracto. • Las animaciones sirven para mostrar o ensayar el funcionamiento de algo. Elaborado por el ser humano son elementos que permiten al igual que la imagen. gráficos. 2). relaciones entre partes o estados de un sistema. diagramas. magnitudes o sus relaciones". • Los diagramas sirven para ilustrar procedimientos. Según Galvis (1992.Otro concepto apegado al proceso de visualización es el gráfico. • Los gráficos de tratamiento numérico se utilizan cuando interesa comprender o manipular cifras. los de transición. bosquejos y esquemas. para presentar el contexto o reafirmarlo. transmitir una idea o una acción. El tipo de diagrama que se vaya a utilizar no es arbitrario. Las imágenes. Los diagramas de flujo indican los pasos y la lógica ligada al logro de una meta. En concordancia Gutiérrez (1991. "los gráficos pueden ser de diferente índole. las redes no cíclicas muestran precedencias entre sus nodos. los diagramas de barras expresan duración y holgura. depende de lo que se desea especificar.35 - . dibujos.
etc. Se tiene un triangulo equilátero y se toma un punto cualquiera de su interior y desde allí se trazan las alturas a los lados del triángulo (Ver figuras) . tanto en las tareas de presentación y manejo de tales conceptos y métodos como en la manipulación con ellos para la resolución de los problemas de campo (p.. p.”. Tal como lo señala De Guzmán (1999. diagramas visuales [. relaciones. en donde las ideas pueden ser representadas simbólicas.] que les acompañan en su trabajo. 7). geométricamente. Indudablemente. Y aún en aquellas actividades matemáticas en las que la abstracción parece llevarnos mucho más lejos de lo perceptible por la vista. Para Castañeda (2004): Nuestra percepción es muy primordialmente visual y así no es de extrañar en absoluto que el apoyo continuo en lo visual esté tan presente en las tareas de matematización. citado por Pérez. fortaleciendo estos modos e interrelacionándolos.. representables intuitivamente.36 - . 4).. 1999): Las ideas.mentales. La visualización aparece así como algo profundamente natural [.] en la transmisión y comunicación propias del quehacer matemático (p. En la adquisición de estas experiencias Armella (2003. conceptos y métodos de las matemáticas presentan una gran riqueza de medios visuales. los matemáticos muy a menudo se valen de procesos simbólicos. cuya utilización resulta muy provechosa. las computadoras han tenido una gran influencia en el reintegro a este tipo de consideraciones ya que la manipulación del entorno geométrico permite la ampliación de la experiencia posible del estudiante. 3) nos presenta un ejemplo de cómo la visualización y las representaciones externas nos permiten la validación de los enunciados matemáticos.. conceptos. numérica o gráficamente y pueden moverse de una a otra forma. es decir las representaciones mentales que las personas podemos hacer de objetos físicos.
4) “El uso de herramientas computacionales da acceso a los estudiantes a varias formas de expresar sus ideas matemáticas y experimentar con ellas.Se pide a los estudiantes que traten de determinar el valor numérico de la suma de las tres alturas. Las exploraciones de los estudiantes nos llevan finalmente a la siguiente conclusión: Si la suma de distancias no cambia. Lo anterior es un ejemplo de que la manipulación directa de los objetos geométricos hace posible la experimentación en dominios que anteriormente eran inaccesibles para el estudiante.37 - . preservando las relaciones estructurales de la construcción original. Entonces. (2004. podemos manipular las construcciones geométricas seguros de que nuestras manipulaciones no cambiarán el dato numérico que estamos buscando.” Las cuestiones que nos hemos planteado en estas notas no son más que una muestra de como la visualización permite resolver. los estudiantes tienen la posibilidad de mover el punto en el interior del triángulo. bajo esta hipótesis. p. Con CABRI. Como lo enuncia Fuglestad. Por ello responde el código interno del CABRI. y a veces de forma . entonces podemos desplazar el punto interior a un vértice del triángulo y hacer evidente que la suma de las distancias coincide con la altura del triángulo. sabiendo que dicha suma es independiente de la elección del punto interior.
). claro) sino que además se puede. En lo cognitivo se puede tener una tendencia a percibir los objetos como siempre se han percibido o sea la incapacidad de percibir un problema desde una perspectiva nueva.sencilla. Lo cual pone de manifiesto la importancia de la visualización dentro del ámbito del proceso del aprendizaje de las matemáticas y su mayor impacto se logra cuando los estudiantes logran visualizar un concepto en la resolución de un problema. de forma muy poco costosa. 3).146) que la visualización. Cit.38 - . p. es un “aspecto que está siendo descuidado en la enseñanza. problemas que en algunas ocasiones pueden resultar complicados. Por otra parte. por ejemplo interiorizar desde la primaria los elementos esenciales de los conceptos geométricos más habituales y utilizar estos conocimientos en la resolución de otros y variados problemas. lo que conlleva a incorrectas interpretaciones de una figura . p. es una habilidad que tiene que ser desarrollada a lo largo de la vida de un estudiante. es decir. tratamos de poner de manifiesto que no sólo se pueden evitar errores (y se deben evitar. los cuales son señalados por De Guzmán (Op. aseverando que. y Proenza (2002. si queremos lograr que nuestros alumnos aprendan matemáticas. inevitablemente tienen que visualizar. Con los ejemplos que hemos mostrado y las herramientas que hemos utilizado. Pero la visualización no se entrena en la escuela y debe ser entrenada. así también mantener creencias irracionales o hábitos de pensamiento inexactos e imprecisos que deforman la realidad en objetos fuera de lugar. reconoce Cantoral (2002.” Sin embargo con la visualización si no se tiene cuidado se pueden cometer algunos errores tanto cognitivos como de creatividad.
trasformar. Como se observa. documentar y reflexionar sobre información visual.dada. promover y desarrollar la visualización como un proceso cognoscitivo -propio del ser humano. Dicha habilidad viene ligada íntimamente al pensamiento matemático el cual se potencia a través de los conocimientos. habilidades y capacidades matemáticas que sirve para enfrentar y resolver problemas de la vida y que. Afirma que: “La visualización generalmente se refiere a la habilidad para representar. comunicar. Concerniente a este punto Hershkowitz (1989. además pretender hacer sólo con dibujos todo tipo de demostraciones y en algunos casos obtener malos resultados. citado por Arcavi.39 - . CABRI en el aula de clases CABRI GEOMETRE es un programa computacional (software) desarrollado por Ives Baulac. generar.que está vinculado con la cultura del sujeto: historia. tradiciones. En la creatividad estos errores se refieren a las propias limitaciones y la falta de estimulación de la imaginación a través de representaciones ambiguas o de la simulación de una situación visual poco atractiva en las cuales no se ve la necesidad de justificarlas. productivo y verdadero.25). costumbres. etc. por tanto. Como tal es un componente crucial del aprendizaje de conceptos geométricos”. como la propia realidad objetiva. ideología. 2000. se debe tomar las prevenciones necesarias para incorporar. valores. debe ser lo más flexible. p. Franck Bellemain y Jean-Marie Laborde del laboratorio de estructuras discretas y de didáctica LSD2 del Instituto de Informática y . creativo.
las relaciones entre estos y sus propiedades.40 - . Es un programa netamente didáctico geométrico. Fue desarrollado para permitir la exploración y manipulación directa y dinámica de la geometría. 475). Como lo expresa Vargas (1999) en su reporte de una capacitación brindada a docentes: CABRI es un programa que tiene como propósito de base. Balacheff y Kaput (1996) aseveran que: Con CABRI la geometría se transforma en el estudio de las propiedades invariantes de dibujos cuando se arrastran sus componentes en la pantalla: la afirmación de una propiedad geométrica se convierte en la descripción del fenómeno geométrico accesible a la observación de estos nuevos campos de experimentación (p. Además brinda la posibilidad de modificar las construcciones por medio de las funciones de ‘arrastre’ y ‘desplazamiento’ de las figuras realizadas (p. Los alumnos pueden experimentar a través de CABRI temas geométricos de la misma manera que se experimentan temas aritméticos con una calculadora.Matemáticas Aplicadas de Grenoble. Francia de La Universidad Joseph Fourier con el apoyo del Centro Nacional de La Investigación Científica. es decir un programa que ayuda a estudiar las propiedades geométricas de las figuras y sus múltiples componentes para luego entender mejor la rigurosidad matemática de las demostraciones. el estudio de los componentes de las figuras geométricas. 2). a través de la interacción didáctica. Pero aún queda una pregunta que de manera generalizada se trata de responder: ¿Qué pueden hacer los estudiantes con CABRI? .
el entorno viene provisto de una capacidad central: la posibilidad de "arrastrar" (dragging) las partes fundamentales de una construcción (p. trazar una recta. trazar una recta perpendicular a una recta ya trazada. es diferente a la de los dibujos hechos con papel y lápiz.A lo que se trata de responder también de manera extendida mencionando algunos puntos: • Construir en forma precisa y rápida usando los componentes básicos geométricos. usando simplemente el ratón. puede seleccionar (crear) un punto del plano. Pero además. CABRI suministra construcciones geométricas básicas sobre estos dibujos. • Imprimir sus construcciones. dibujar un triángulo. es decir ver cuales fueron los pasos que se siguieron. sea un triángulo «general» (en otros términos: es un representante del referente constituido por el objeto geométrico llamado triángulo). • Razonar acerca de las relaciones geométricas entre diferentes objetos. De allí que el triángulo dibujado en primera instancia. • Manipular las figuras geométricas y mirar las relaciones entre ellas. entonces puede transformarlo en otro triángulo arrastrando un vértice de manera continua a otra posición del plano. La construcción de un "Cabri-dibujo" se hace posible mediante la utilización de las "cajas de herramientas" que CABRI pone a disposición del alumno. • Controlar el aspecto gráfico de una figura. Sin embargo.41 - . sólo tendríamos una manera electrónica de trazar dibujos. • Ejecutar cálculos de medidas. por ejemplo. Asimismo Armella (1998a) explica que: La naturaleza de los dibujos que se hacen en el entorno de CABRI. Este es un nivel básico de elaboración geométrica.) es que si uno dibuja un triángulo. 12). Si esto fuera todo. Otro ejemplo proporcionado por Armella (Op. Por ejemplo. • Repetir construcciones. cit. La posibilidad de deformar un dibujo y transformarlo en otro de la . trazar la bisectriz de un ángulo etc.
• Permite ir construyendo la necesidad de demostrar. utilizando distintos recursos e instrumentos (lápiz y papel. los segundos únicamente se mueven sobre el objeto en que son creados y los últimos no pueden ser arrastrados separados del objeto del cual dependen (p.42 - . p. programa de ordenador CABRI). distingue tres tipos de puntos: puntos libres.misma familia. Ampliando estas evidencias Pérez (1998) afirma que: CABRI. Al respecto Vargas (1999. • Fomentar en el alumno el gusto por el trabajo y el modo de razonar matemático.2) nombra dos características del programa CABRI.). lo que vemos en la pantalla es una representación fiel del objeto geométrico. como es sabido. las cuales pueden validarse con instrumentos de control. Es decir. Conjuntamente Arriero y García (Op. Los primeros se pueden arrastrar por todo el plano de trabajo del ambiente CABRI. . Cit. contribuye a pasar de la geometría del dibujo a la geometría de los objetos geométricos. aseveran que el uso de CABRI refuerza la consecución de los siguientes objetivos en la enseñanza de las matemáticas: • Elaborar estrategias personales para la identificación y resolución de problemas. lo podemos entender como que el primer dibujo «ha pasado la prueba del arrastre». analizando las propiedades y relaciones implicadas y siendo sensibles a la belleza que generan. • Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad. a saber: • Proporciona un medio de expresión de ideas que suscita la formulación de conjeturas. puntos en ruta y puntos dependientes. como la toma de medidas o la comprobación de propiedades. 5).
43 - . al mismo tiempo. p.) • Son una manera mucho más motivadora que trabajar con lápiz y papel. etc. Spicer (2000b. • Fomentar las capacidades de observación y rigor. moverlos y modificarlos. • Explorar. modificar otra.2) nos generaliza algunas ventajas de CABRI tanto en el aspecto pedagógico como matemático las cuales se desglosan así: Ventajas en el aspecto pedagógico: • Prioriza el proceso de pensamiento del estudiante a medida que este construye conocimiento matemático. las figuras geométricas de manera que no es posible con figuras físicas. Ventajas en el aspecto matemático: • Permitir a los estudiantes razonar mientras manipulan en el computador gráficas o figuras dinámicas y las expresiones matemáticas relacionadas con estas. • Favorecer el desarrollo de la capacidad crítica ante las herramientas informáticas. fondos. gracias a la flexibilidad. • Se pueden diferenciar las diversas formas de varias maneras (colores. • Visualizar los efectos que tiene en una expresión matemática. • Se pueden crear tantas copias de una forma geométrica como sea necesario. • El estudiante pueden diseñar objetos. . • Permiten obtener un registro del trabajo con mucha facilidad ya que puede guardarse o imprimirse. y expresar esas acciones en números o palabras.• Acercar al alumno al entorno de las nuevas tecnologías de manera significativa.
. relacionando dinámicamente ideas y procesos numéricos con las ideas de los estudiantes sobre formas y espacio. Los estudiantes pueden utilizar las diferentes funciones del software para resolver áreas simples preparadas para interactuar con éste.. que saltar a soluciones sofisticadas sin que los estudiantes hubiesen comprendido el concepto en estudio. 3.conocimiento básico de los comandos o funcionalidades del programa. juzgar el uso de las herramientas para dar solución a un problema dado. Resulta más beneficioso construir el conocimiento paso por paso. y juzgar cuáles de las herramientas tecnológicas disponibles en más apropiada usar para resolver el problema o cuándo otros métodos son mejores.20) ha diseñado seis etapas de desarrollo para describir el proceso donde los estudiantes interactúan con las herramientas tecnológicas. p. dan la . usando la misma herramienta. usar diferentes escalas en los ejes o ajustar la pantalla. 2. citado por Gamboa. Los estudiantes deben ser capaces de pensar en distintas formas y recursos para resolver un problema. Fuglestad (2004. • Conectar el aprendizaje geométrico al aprendizaje numérico.• Obtener retroalimentación inmediata cuando los estudiantes generan expresiones matemáticas incorrectas. diferentes herramientas y métodos Diferentes herramientas tecnológicas pueden ser usadas para resolver un problema y diferentes métodos. Ellos podrían juzgar qué funciones graficar. Pueden usar geometría dinámica para hacer construcciones que puedan resistir el arrastre y que no se “rompan” cuando son movidas. utilizando cualquier tipo de programa: 1.Característica básica y paso por paso Es necesario conocer las características básicas del programa para utilizar todos sus comandos o funciones.Mismo problema.. 2007d.44 - .
4. deberían escribir un reporte final y compararlo con las hipótesis planteadas.Reflexión y discusión La reflexión y discusión son necesarias para consolidar y estar seguros de la comprensión del estudiante.. Una introducción y motivación con ejemplos animan al inicio de una clase. Los alumnos deberían escribir sus propias hipótesis antes de trabajar con las herramientas. lo que le brinda al estudiante la ocasión de escoger.Intervención del profesor El profesor debe ayudar a sus estudiantes para desarrollar habilidades sobre el empleo del programa y diseñar tareas que requieran el uso de herramientas tecnológicas. Esto representa una forma para que los estudiantes aprendan la conveniencia del uso de diferentes herramientas y reconsideren la posibilidad de usar sólo “papel y lápiz”.. centrándose principalmente en el pensamiento geométrico.45 - . mientras que un resumen y una reflexión al final.oportunidad de juzgar y discutir cuál sería la mejor solución..Tareas y temas abiertos Se debe trabajar con tareas que permitan ser interpretadas y resueltas de diferentes formas con distintas herramientas. 6. son necesarios. Una vez que han explorado y encontrado patrones y conexiones. Habilidades geométricas: Los triángulos y sus propiedades La geometría ha sido durante siglos uno de los pilares de la formación académica. el cual se basa en el conocimiento de un modelo del espacio físico tridimensional que debe iniciarse desde las primeras relaciones del niño con el medio y que se . 5.
sino implica también. elaborar conclusiones para llegar a formular leyes generales y resolver problemas.” Otro acierto sobre habilidades geométricas lo podemos encontrar en Gutiérrez (1991) entendiéndolas como las “habilidades de generar. Estas acciones vienen acorde con las ideas de Rebollar (2007) al generalizar la habilidad geométrica como “la construcción y dominio. emitir juicios y resolver ejercicios y problemas. establecer relaciones entre ellos y expresar verbalmente tanto las acciones realizadas como las propiedades observadas. realizar razonamientos. Aprehensión discursiva y Aprehensión operativa. así como. relaciones. en relacionar resolución de las habilidades problemas: geométricas Aprehensión y el perceptiva.46 - . Se considera que el conocimiento geométrico no presupone solamente reconocer visualmente una determinada forma y saber el nombre correcto. emplear estrategias de trabajo.sistematiza y se generaliza a lo largo del estudio de los contenidos geométricos en la escuela. procedimientos. construir modelos. para de ese modo interiorizar el conocimiento. del modo de actuar inherente a una determinada actividad. estas imágenes mentales vienen determinadas a su vez por las representaciones mentales que las personas podemos hacer de objetos. comparar los elementos observados. . conceptos. retener y manipular imágenes espaciales abstractas cuyo elemento básico son las imágenes mentales. explorar conscientemente el espacio. relaciones. propiedades. etc. descubrir propiedades de las figuras y de las transformaciones. buscando razonamiento. por el alumno. que le permite buscar o utilizar conceptos.” Al mismo tiempo este autor proporciona una clasificación de los procesos cognitivos.
Se trata entonces de inducir a los alumnos a establecer conexiones entre los aspectos visuales y los aspectos analíticos de los conceptos y procedimientos. . lo que hace posible la experimentación en formas accesibles para el estudiante. La Aprehensión Operativa: se produce cuando el sujeto lleva a cabo alguna modificación a la configuración inicial para resolver un problema geométrico. Y también el pensamiento axiomático que caracteriza a toda la matemática.47 - . Como figura geométrica más sencilla. así como las formas y figuras geométricas que se hallan en ellos. con sus propiedades y sus relaciones genuinas. visualización y percepción. añadiendo o quitando elementos o manipulando espacialmente la figura y sus componentes. que puede relacionar elementos de la vida real con elementos geométricos entre si. las aplicaciones permiten la manipulación directa de objetos geométricos.La Aprehensión Perceptiva: es definida como la identificación simple de una configuración. los triángulos han sido analizados con un alto grado de detalle desde las civilizaciones antiguas. Además. Los filósofos griegos ofrecieron descripciones muy minuciosas de sus formas y sus elementos. En ese sentido se considera que la geometría entrega las habilidades relacionadas al espacio y las imágenes: concepción del espacio. orientación. pensamiento espacial. La Aprehensión Discursiva: es el proceso de relación entre imágenes y lenguaje matemático a través del cambio de anclaje que es pasar de lo visual (imagen) a lo discursivo (lenguaje) o la situación inversa. al mismo tiempo a examinar y analizar las propiedades de los espacios bidimensionales.
fue usado por los egipcios para trazar ángulos rectos. • En todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras que dice: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Se verifica entonces que todo triángulo posee un conjunto de propiedades geométricas esenciales muy interesantes. construyendo con cuerdas triángulos rectángulos y fijando direcciones perpendiculares. 4 y 5 unidades. que .El triangulo perfecto o sagrado. En la exploración de estas propiedades por parte de los alumnos Lastra (2005d) declara que: Una tarea importante a desarrollar en la geometría es la de proporcionar a los niños y niñas un conjunto de experiencias que les permitan reconocer la diversidad de formas de los objetos que les rodean. • Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. 21). entre las cuales tenemos: • La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180°. que fijaban los límites de las parcelas después de las inundaciones del Nilo. organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. de lados 3. Continuando Lastra (2005e) dice que: La geometría como cuerpo de conocimientos permite analizar. Los arquitectos de algunas dinastías persas también usaron estos conocimientos para trazar los tejados de sus edificios. • Cualquiera de sus lados es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. En sus papiros se observan los tensadores de cuerdas. establecer relaciones entre ellas y considerará a las formas geométricas como simplificadas de las formas que se encuentran en el entorno (p.48 - .
Así también estimular en los niños(as) la creatividad y una actitud positiva hacia las matemáticas y en los profesores utilizar estrategias que usen el plegado. En lo procedimental  Reanalizamos el valor de lo visual en lo cotidiano  Proponemos la producción de imágenes sobre contenidos como simetría axial En lo actitudinal  Despertamos el interés y curiosidad del aprendiz por su medio y desarrollamos su capacidad de observación.)  Desarrolla la habilidad de construcción de definiciones como forma de integrar y caracterizar el conocimiento.favorecen la comprensión y admiración por el entorno natural. En lo cognoscitivo  Orientarse reflexivamente en el espacio.  Identifica el valor de las clasificaciones como parte de un proceso de conceptualización (triángulos. A continuación Cabello (Op.  Permite reconocer las diferencias y similitudes como características de los objetos (propiedades geométricas como paralelismos e igualdades). cuadriláteros. software. estableciendo el juicio de validez. Cit. precisa algunas de las razones que justifican el valor pedagógico en el aprendizaje de la geometría (objetos geométricos y sus propiedades). . etc. procedimental y actitudinal. el dibujo. 2). la construcción.49 - . modelamientos. variadas actividades que enriquezcan los procesos en el aula (p.). Por ejemplo: Reconocer las líneas de una puerta o ventana. Las cuales estructura en tres dimensiones: cognoscitiva.
Las consideraciones anteriores permiten concluir que estos autores asumen el pensamiento geométrico como una forma de pensar ante situaciones que requieren de los conocimientos.  Fomentamos la socialización de los aprendizajes y el desarrollo de actitudes críticas y reflexivas. incorporando en él progresivamente todas las nociones y propiedades descubiertas con su correspondiente vocabulario geométrico. . Promovemos la recreación y fomentamos el desarrollo de actitudes positivas para sus aprendizajes. En esencia en este período el niño debe construir el propio esquema mental del espacio.50 - . habilidades y capacidades geométricas y que potencia el desarrollo de ese pensamiento general y único de cada escolar.
CAPÍTULO 3 *** .51 - .
utilizando el programa CABRI. experimentación y descubrimiento de nuevas relaciones geométricas.OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN Debido a que la tecnología ha provocado modificaciones en la forma de adquisición del conocimiento. los Profesores de matemáticas deben buscar nuevas rutas que involucren medios interactivos que lleven a la construcción de esos conocimientos. Por eso se pretende que los alumnos de octavo grado exploren las propiedades de los triángulos. favoreciendo la visualización. por lo que se plantean los objetivos siguientes: • Identificar las acciones que realizan los alumnos para explorar las propiedades de los triángulos en un ambiente dinámico.52 - . • Detectar las habilidades geométricas que adquieren los alumnos usando el programa CABRI en el aula de clases. . esto se logrará mediante el desarrollo de actividades concretas que se ejecutarán en el aula de clases.
53 - . es importante plantearse algunas preguntas: • ¿Qué conceptos básicos relacionados con los triángulos manejan los estudiantes para explorar las propiedades de éstos? • ¿Qué acciones realizan los estudiantes con los triángulos para visualizar las propiedades inherentes a ellos? • ¿Qué tipo de conjeturas realizan los estudiantes cuando exploran los triángulos? • ¿Cómo manipulan estas propiedades para descubrir nuevas relaciones geométricas? .PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN Por la importancia de la inclusión de la tecnología y la manipulación de objetos geométricos justificada anteriormente y el interés en explorar las propiedades de los triángulos.
54 - .CAPÍTULO 4 *** .
esta prueba se aplicó la primera semana del periodo. utilización del ratón. Primera fase: Diagnóstico En esta fase se recolectó información de los conocimientos previos de los alumnos sobre el uso del computador y de los conceptos básicos sobre los triángulos y sus propiedades. sobre la geometría con CABRI: una visualización a las propiedades de los triángulos. en la cual intervinieron dos grupos de estudiantes de 25 alumnos cada uno. nombres de los diferentes menús y herramientas. tipos de triángulos. Segunda fase: Taller En este taller se introdujo el programa CABRI. con el fin de verificar si poseían estos conocimientos y poder reforzarlos. La investigación se ejecutó en un periodo de dos meses: septiembre y octubre del año 2008.55 - . asimismo se hicieron preguntas guiadas con el fin de que los alumnos exploraran otros comandos. . Tercera fase: Implementación En esta fase se implementó el programa CABRI en la visualización de las propiedades de los triángulos. desarrollándose el mismo en dos semanas. donde identificaron triángulos. esto último mediante la aplicación de una prueba escrita. explicando las interfaces de aplicación: zona de trabajo. del Centro de Educación Básica San Miguel de Heredia de Tegucigalpa. mediante la aplicación de guías de laboratorio.METODOLOGÍA Tipo de investigación y participantes en el proceso La metodología de trabajo en general se basó en una investigación cualitativa de tipo exploratorio. e interactuaran con mayor facilidad con el programa. en octavo grado. ángulos y su medida. incluyendo cuatro fases en el desarrollo de la misma. preferencias. a través de lecciones sobre el uso de los comandos básicos del programa.
identificaron conceptos. La recopilación de los mismos se efectuó en una semana. Estas actividades se desarrollaron en parejas de trabajo en un lapso de cuatro semanas. al mismo tiempo mediante preguntas dirigidas los alumnos descubrieron las propiedades de los triángulos y las relaciones que se proporcionan entre ellas. promoviendo la visualización de propiedades y el dominio de conceptos geométricos elementales y útiles para representar y transferir el conocimiento a campos más complejos de la matemática misma. manipularan y descubrieran las propiedades inherentes a todo triángulo. Cuarta fase: Valoración Esta fase radicó en la retroalimentación y evaluación de los conocimientos adquiridos. construyeran. En la aplicación de esta metodología se logro desarrollar habilidades matemáticas. Las actividades planeadas también llevaron a los alumnos a la manipulación y observación directa de los triángulos y de cómo sus propiedades se mantienen. donde los alumnos mediante diversas construcciones en CABRI. rotaciones. traslaciones y transformaciones. Estas guías incluían actividades en las que el alumno realizó diferentes construcciones.cuyo propósito consistió en que los alumnos interactuaran. lo que permitió la formulación de conjeturas y el fomento de la visualización de los conceptos básicos que deben manejar sobre los triángulos. relaciones y propiedades básicas referentes a los triángulos. además de afianzar otros conceptos geométricos implícitos en la resolución de algunos problemas de aplicación. con las cuales pudo hacer mediciones.56 - . Esta fase se efectuó durante todo el proceso y culminó con la aplicación de una prueba generalizada para formalizar dichos conocimientos. .
CAPÍTULO 5 *** .57 - .
Se analizó la prueba diagnóstica y cada actividad de aprendizaje por separado. en la segunda fase se despliega un análisis de cada uno de los laboratorios empleados en el proceso y en la tercera y última fase se hace una valoración completa del conjunto de actividades de aprendizaje desarrolladas por los alumnos. donde a través de la observación y la experimentación se descubre las propiedades de los triángulos. ángulos. medidas y tipos de triángulos. En cuanto a la prueba escrita ésta contenía 4 ejercicios con varios incisos relacionados con los vértices. así como también de la aplicación de una prueba escrita. mediante la observación directa de cada uno de ellos en cuanto a las actitudes y habilidades que muestran en el uso y manejo de la computadora. al momento de enfrentarse a problemas ligados con triángulos. En la primera fase se presenta el análisis del diagnóstico aplicado. Además se buscó indicios del uso de la visualización matemática por parte de los estudiantes. cuyo objetivo principal era identificar los conceptos básicos sobre triángulos que manejan los alumnos como punto referencial para la introducción a las propiedades de los mismos. Primera fase: Diagnóstico Esta primera fase se realizó con 41 alumnos de octavo grado.ANÁLISIS DE RESULTADOS En este capítulo se presenta un análisis de tipo cualitativo de la información recolectada a lo largo del proceso de investigación.58 - . lados. Estos ejercicios se muestran a continuación con los resultados y análisis respectivos: .
Identifique en cada triángulo lo que se indica. Cuadro Resumen Nº 1 Identificación de a) vértices..59 - . Incisos Correcta Incompleta Incorrecta a) Vértices 24 6 11 b) Ángulos 2 30 9 c) Lados 13 4 24 He aquí una muestra de las respuestas de los alumnos: Respuesta que dio Luís: Respuesta de Vreni: Respuesta de Allison: . los vértices.Ejercicio Nº 1 1. b) ángulos y c) lados en un triángulo. ángulos y lados respectivos de cada uno. El resumen de los resultados se muestra en el siguiente cuadro. S P R p U M q N T Vértices _________________ P Ángulos __________________ r Q Lados ________________ El objetivo principal de este ejercicio era que el alumno identificara en cada triángulo dado.
__________________________________________ B C . El inciso b) sorprendentemente es uno de los ejercicios con menos respuestas correctas siendo éstas solo el 5%. Ejercicio Nº 2 Observe la siguiente figura y realice lo que se le solicita.Se observa en los resultados obtenidos que en el inciso a) el 58% de las respuestas son correctas es decir que la mayoría de los alumnos identifica los vértices de un triángulo sin ningún problema. haciendo notorio que los alumnos no manejan el concepto de ángulo ni la forma de representación de los mismos ya que el 73% de los respuestas hacían mención únicamente de un ángulo para el triángulo dado y no de los tres que lo forman esto se refleja en la respuesta de la alumna Allison. En las respuestas de los alumnos mostradas anteriormente se puede apreciar este hecho.60 - . En el inciso c) la mayoría de las respuestas fueron incorrectas (58%). estimándose que los alumnos tienen dificultad para diferenciar entre los puntos del vértice y los segmentos que forman los lados del triángulo. a) ¿Cuántos triángulos tiene? ________ b) ¿Cuántos lados tiene? ____________ A D c) ¿Cuántos ángulos tiene la figura? ___ d) ¿Cuántos vértices tiene? __________ e) Nombre cada uno de los triángulos que encontró. el 6% de las respuestas indican que el alumno solo identificó uno o dos vértices haciendo omisión del tercer vértice y el 27% de las respuestas muestra que el alumno tiene dificultades en la identificación de los vértices de un triángulo aun cuando se le da la figura con sus respectivas etiquetas.
Con este ejercicio se pretendía que el alumno identificara en la figura dada:
triángulos, lados, ángulos, vértices, y tipos de triángulos que se encuentran en
Los resultados se especifican a continuación:
a) Triángulos
d) Vértices
e) Tipo de
El cuadro muestra que muy pocos alumnos (5%) llegan a visualizar a través
de la figura que se les dio; los conceptos que en ella van involucrados, en este
caso solo dos alumnas: Allison y Maria pudieron visualizar no solo los dos
triángulos dentro de la figura sino también el triángulo que los contiene, el otro
95% solo visualizaron dos triángulos, los que se encuentran dentro sin notar el
tercer triángulo. A continuación se da una muestra de los escritos de los
Respuesta de Allison
Aunque estas alumnas identificaron algunos términos, Allison por ejemplo:
triángulos, y ángulos y Dulce: Lados y vértices; no percibieron correctamente
los otros términos. Dando muestras que aún no comprenden todos los
conceptos que con los triángulos van implícitos.
Considerando la generalidad del cuadro se aprecia que más del 90% de los
alumnos no pudo determinar la cantidad de triángulos, lados, ángulos, vértices
y tipos de triángulos que estaban involucrados en la figura, dando pautas
claras del desconocimiento de los conceptos, de la aplicación de los mismos y
por tanto no han desarrollado procesos de visualización de éstos conceptos
en un problema planteado.
Seleccione la figura correcta para cada ejercicio. Escriba dentro del paréntesis
la letra correspondiente a la figura seleccionada. (Si es necesario mida sus
) Triángulo equilátero
) Triángulo isósceles
) Triángulo escaleno
) Triángulo rectángulo
) Triángulo obtusángulo
) Triángulo acutángulo
Este ejercicio proporcionaría las pautas para determinar si los alumnos saben
identificar los diferentes tipos de triángulos, basándose en el concepto de
cada uno de ellos o a través de la medición ya sea de sus lados o de sus
Cuadro Resumen Nº 3
Identificación de los tipos de triángulos: Por sus lados (equilátero, isósceles,
escaleno). Por sus ángulos (rectángulo, obtusángulo, acutángulo).
f) Acutángulos
Este ejercicio consistió en que el alumno seleccionara a través de figuras
dadas los tipos de triángulos a que pertenecía cada uno y de acuerdo a las
respuestas obtenidas el 68% de los alumnos reconoce el triángulo equilátero,
se estima que sea posiblemente por la característica más notoria de poseer
sus tres lados iguales, siguiéndoles los triángulos obtusángulos y los
acutángulos, esta última apreciación es muy subjetiva ya que se contraría con
las respuestas del ejercicio 1b, donde los alumnos dan muestras de no
dominar el concepto de ángulo.
También se puede advertir que los triángulos isósceles y escaleno son los
menos reconocidos por los alumnos. Lo que lleva a la deducción que el
alumno conoce los términos y al escucharlos se familiariza con los triángulos,
aunque no mediante una definición formal y esto los lleva a sufrir una
confusión entre un término y otro, ya que el 76% de lo alumnos no relacionó la
figura con el término correcto.
4cm. 5cm Triángulo Clasificación 4cm. Medidas 5cm. 2cm. Cuadro Resumen Nº 4A: Construcción de triángulos Construcción del Triángulo Medidas Correcta Incorrecta 5cm. 4cm. 4cm Con este ejercicio se deseaba confirmar formas y habilidades del alumno tanto del uso de herramientas (regla. 2cm. 3cm.64 - . 3cm. compás) como de aplicación de conceptos así como de la visualización de los mismos. 5cm 12 29 4cm. 4cm 3cm. esto mediante la construcción y clasificación de diferentes triángulos a partir de sus medidas. 4cm 14 27 Cuadro Resumen Nº 4B: Clasificación de los triángulos Tipo de Clasificación Triángulo Correcta Incorrecta Isósceles 11 30 Equilátero 20 21 Escaleno 13 28 .Ejercicio Nº 4 Construya y clasifique los siguientes triángulos. 4cm 20 21 3cm.
Sin embargo las respuestas del cuadro 4A nos indican que menos de la mitad de los alumnos pudo construir los triángulos. donde se pretendía que el alumno buscara estrategias para la construcción del triángulo y la segunda se trataba que el alumno partiendo de las medidas visualizara el tipo de triángulo que era. partiendo únicamente de la definición y pudiera aplicarla al ejercicio planteado. Se muestran ejemplos de los escritos de los alumnos Respuesta de Néstor Respuesta de Ivis Aunque más de la mitad de los alumnos lo hizo de forma incorrecta. Cabe mencionar que los estudiantes dedicaron un tiempo considerable al hacer estas construcciones. de una u otra manera lo intentó aunque no lograron que los triángulos que construyeron . éstos usaron la estrategia de trazar los segmentos e ir midiendo con la regla hasta obtener el triángulo con las medidas correctas. otros lo hicieron a través de medir y marcar los puntos para después trazar los segmentos y obtener el triángulo pedido. sin la necesidad de la construcción.65 - . se hace mención en este caso del alumno Néstor.El ejercicio consistía en dos actividades: la primera era la construcción de 3 triángulos a partir de sus medidas.
El panorama general que muestran las respuestas obtenidas de cada uno de los alumnos en la prueba diagnóstica. lo cual es muy importante ya que la mayor parte de las funcionalidades del software se realizan utilizando el ratón. En el cuadro 4B claramente se ve que los alumnos no visualizaron los triángulos con solo sus medidas y más bien se guiaron por los triángulos que ellos mismos habían construido llegando a una clasificación incorrecta.tuvieran las medidas correctas tal es el caso de la alumna Ivis quien hizo los triángulos con medidas incorrectas. lo cual se aprecia como un buen comienzo y la mayoría de los alumnos mostró un manejo eficiente del ratón. En cuanto al comportamiento y actitud frente a las computadoras fue de aceptación total no hubo ningún alumno que mostrara rechazo a las mismas. lados. no fueron arraigados permanentemente en los alumnos. indican que aunque el alumno tiene nociones sobre los triángulos. medidas. reafirmando lo que se planteaba anteriormente que los alumnos tienen nociones de triángulo pero no de su clasificación. . entusiasmo e interés en empezar lo antes posible. los conceptos que involucra esta figura: ángulos. más bien sirvió de motivación a aquellos alumnos que tenían apatía y desinterés por la clase. vértices. En lo referente al uso y manejo de las computadoras. desde el inicio las reacciones fueron positivas: de motivación. por lo que es muy importante retomar estos conceptos y afianzarlos mediante el uso de tecnología para lograr en ellos no solo un conocimiento significativo sino también llegar a una visualización efectiva de esos conceptos.66 - .
características y propiedades de figuras. el taller integraba una serie de actividades útiles para identificar los componentes del software y que el alumno se habituara a los mismos.En esta fase. se dio a conocer las diferentes barras: Título. Estado. A cada uno de ellos se les entregó una copia del taller previamente elaborado y que sería la guía para ir conociendo y familiarizándose con el programa. Menú. además incluía actividades que incentivaban a los alumnos a la comprensión de conceptos. a partir de sus propias . Herramientas. comandos y preferencias con que cuenta el software. él mismo fuera construyendo y descubriendo objetos geométricos. además que se percatara de las utilidades del mismo en el aprendizaje de la geometría. esta fase también sirvió de diagnóstico. Se inició esta actividad organizando equipos de trabajo de dos alumnos cada uno. por ejemplo.67 - . al comenzar. En este taller se procuró darle al alumno todos los lineamientos para que mediante el desarrollo de una guía de laboratorio. el objetivo de este taller era que el alumno conociera y explorara los comandos y herramientas básicas de CABRI. para explorar las habilidades de manejo de las computadoras que cada alumno tenía. CABRI nos da la oportunidad de afianzar estos conceptos al mismo tiempo que nos brinda las herramientas para realizar las construcciones sin mayor complicación. al cual se le llamo: “Aprendamos CABRI”. Segunda fase: Taller En esta fase los alumnos entraron en contacto por primera vez con el programa a través del desarrollo de un taller. al mismo tiempo que optara a las preferencias que el software brinda para hacer modificaciones al objeto construido. atribuido esto al desconocimiento de muchos conceptos básicos y a la mala utilización de los instrumentos de trabajo. si bien los resultados de la prueba escrita no son satisfactorios.
deducciones. explícame. Y por último se pedía a los alumnos que escribieran la apreciación personal sobre el software y de los conocimientos adquiridos. pues les pareció creativa e interesante la metodología innovadora que se utilizaría. entre las primeras cosas que hicieron fueron: puntos. Otro aspecto importante que se notó en cuanto los alumnos utilizaron por primera vez el programa. Otra de las preguntas que de inmediato surgió de los que habían hecho algo en su pantalla fue: ¿Cómo se borra? Como se explicó al inicio los alumnos intentaron hacer las exploraciones solos. repitiéndose esta disposición en el transcurso de todas las clases. además de ponerle el nombre de cada uno de ellos. Cuando los alumnos entraron al laboratorio. ignorando el material que se les había entregado. rectas y circunferencias y la interacción entre ellos fue inmediata preguntándose unos a otros: ¿Cómo lo hiciste?. pero luego se les dio instrucciones para seguir el material y que la actividad se hiciera de forma objetiva.68 - . Se tomara de ejemplo a Néstor y a Dennis que después de haber trazado las primeras circunferencias le cambiaron el grosor y color. es que por si solos empezaron a explorar el programa. . específicamente durante la primera clase de inmediato se mostraron interesados y entusiasmados. Muchos de los alumnos sin haber llegado a la parte del material donde se explicaba el uso de las preferencias ya habían hecho uso de ellas.
puesto que además de construir el objeto.69 - . también lo manipularon. las respuestas respecto a los conocimientos son satisfactorias. Se muestra a continuación las respuestas de dos alumnas: Respuesta de Nicoll: Respuesta de Iveth: Referente a la utilidad del programa.Otra de las construcciones que hicieron los alumnos fue un rectángulo con un triángulo inscrito en la cual había que hallar el área de cada uno y encontrar la relación entre ambas áreas. así como de la utilidad del mismo. En cuanto a la apreciación que tuvieron los alumnos del programa se les hizo varias preguntas tanto de los conocimientos que adquirieron. El 92% de los alumnos lo hizo en el primer intento. la totalidad de los alumnos mostró simpatía. reforzando así el concepto mismo de dicho objeto mediante la visualización del mismo. refiriéndose al mismo de forma positiva y manifestando que les había facilitado su aprendizaje esto se evidencia en los escritos de los alumnos: Se observa lo que escribió Dennis: . el resto fue ayudado por sus mismos compañeros.
como lo manifiesta Gómez(Op. en las cuales se propusieron una secuencia de actividades que permitían a los alumnos “manipular directamente los objetos matemáticos dentro de un ambiente de exploración”. esto quedó demostrado en el análisis de la prueba escrita en el diagnóstico aplicado. Tercera fase: Implementación En esta fase se implementó el programa CABRI para promover la visualización de las propiedades de los triángulos con el desarrollo de guías de laboratorio.). Otras de las versiones que los alumnos emitieron fueron: “El programa es muy bonito y aprendemos fácilmente”. en el trabajo procedimental cuando aplican sus conocimientos a la construcción de figuras y tienen plena libertad en la manipulación e indagación de sus herramientas y potencialidades. es decir. fomentando con ello la interacción grupal y el trabajo en equipo. .También en la respuesta de Nicoll queda de manifiesto que al alumno se le facilita su aprendizaje a través de la computadora. Todas las actividades fueron trabajadas utilizando el programa y los alumnos se organizaron en parejas de trabajo. “El programa nos enseña a hacer figuras geométricas”. Cit. De esto se deduce que los alumnos presentan mayor facilidad para enfrentar el aprendizaje de la geometría con la ayuda del programa CABRI. no así para aplicar sus conocimientos en una prueba de contenidos teóricos lo que implica dominar aprendizajes conceptuales.70 - . tales acciones llevaran al descubrimiento de las propiedades de los triángulos.
71 - . A continuación se presenta un análisis detallado de la información recolectada en cada una de las guías de laboratorio desarrolladas por los alumnos: Guía de laboratorio 1: Ésta guía de laboratorio consistió en establecer como propiedad la relación de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo. . desde la perspectiva del aprendizaje. Apoyándose en la figura los alumnos hicieron una comparación entre las medidas de los ángulos adyacentes (previo se dio una explicación del concepto de ángulo adyacente) y los ángulos internos del triángulo. ya que es aquí donde se dan todas las interacciones del proceso educativo.Esta fase se centra principalmente. ya que el trabajo fue más extenso en esta etapa pues nos interesó detectar los factores que influyen en el aprendizaje de los alumnos al descubrir las propiedades de los triángulos con el uso del CABRI. Se inicio la primera actividad construyendo un triángulo similar al siguiente: En esta construcción se dejo a opción del alumno que el triángulo tuviera diferentes formas y que las medidas de los ángulos no fueran iguales a las que se daban en la figura. ya que así se podía obtener distintas conclusiones de cada uno de ellos. una vez que los ángulos estaban medidos rápidamente llegaron a establecer las relaciones de igualdad que se da entre ellos.
pero otros no se conformaron y arrastraron los puntos del triángulo construido calculando nuevamente la suma. a lo que algunos alumnos respondieron “Sí”.La figura antes expuesta sirvió también para que los alumnos respondieran las siguientes preguntas: Una vez que pudieron visualizar la relación entre los ángulos adyacentes y el ángulo interno adjunto se procedió a que el alumno extendiera ésta relación a los ángulos internos del triángulo. entonces escribieron la propiedad que se cumple para los ángulos internos de todo . y en su rostro se reflejo una sonrisa de satisfacción al confirmar que habían llegado a la misma conclusión. tuvo repercusiones positivas.72 - . en ambos casos midieron los ángulos internos y calcularon la suma. El que todos los alumnos hayan llegado a la misma conclusión. sin reflexionar su respuesta. porque una vez que lograron establecer relaciones entre los ángulos y verificar que el resultado era el mismo. en ese momento se les hizo la pregunta: ¿Si modificamos el triángulo la suma de los ángulos internos resultará igual?. Para ésto se construyeron dos triángulos: uno isósceles y otro rectángulo. De inmediato se dieron cuenta que el resultado era igual y comenzaron a preguntarle a sus compañeros ¿Cuánto te dio la suma?. entonces se atrevieron a decir “Sí”.
Cit.): “La primera obstrucción para la . Por último se les presentó a los alumnos el siguiente problema: • Dibuje un triángulo (utilice tres segmentos para los lados).triángulo. analizando las propiedades y relaciones implicadas y siendo sensibles a la belleza que generan. (utilice la herramienta compás). 1). Construya otro triángulo cuyos lados sean iguales a él. Al mismo tiempo se reforzó lo aprendido porque de manera oral se les preguntó: ¿Se cumplirá ésta propiedad para los triángulos construidos?. algunos de ellos presentaron la noción: “lo comprobamos”. el uso de CABRI permite: “Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad. y en coro contestaron que “Sí”. Confirmando lo establecido por Arriero y García (2006. Cuando lo haya construido intente desplazar los vértices de estos dos triángulos. lo que se dejó a decisión de ellos de hacerlo o no.73 - . Describa lo que sucede: _______________________________________ Este problema fue útil para que el alumno pudiera hacer apreciaciones de las trasformaciones que se pueden hacer con CABRI y prestaran atención en la dependencia de algunos puntos en la construcción realizada. ya que en este tópico siempre se han presentado dificultades tal como lo expresa Armella (Op. Mida los ángulos en cada uno. sin mostrar dificultad para ello. p. En general con todas las actividades planteadas se logró que los alumnos fueran estableciendo relaciones entre los aspectos visuales y los aspectos analíticos.” En los escritos de Mirian y Nicoll respectivamente se puede verificar las conclusiones obtenidas en cuánto a esta propiedad.
" Esto refuerza lo expuesto anteriormente. ya que sólo debían seleccionar el icono deseado para obtener la imagen deseada.comprensión de la geometría. La visualización no es un fin en sí mismo sino un medio para conseguir entendimiento. El diagrama sirve para representar un concepto matemático o un problema y ayuda a comprender el concepto o a resolver el problema. lo cual queda evidenciado a través de los escritos presentados por los alumnos. al transitar de un pensamiento geométrico informal hacia uno formal.” Sin embargo los alumnos lograron superar esta dificultad ya que las ideas fueron surgiendo a medida que hacían la comprobación por ellos mismos con el uso del programa. . es que el concepto formal se obtiene finalmente de las propias construcciones que los alumnos hacen y no sólo de un concepto dado por la Profesora. Según Zimmermann & Cunningham (Op.) "Desde la perspectiva de la matemática es inusual la restricción de que las imágenes deben ser manipuladas.74 - . Otro aspecto importante que se pudo observar fue que los alumnos no tuvieron dificultad para realizar la transformación respectiva. con ayuda de una calculadora o una computadora. Cit. Lo que más se destaca en este caso. requiriendo únicamente un par de minutos para realizar la construcción planteada. dejando más tiempo a los estudiantes para pensar y deducir la propiedad que se presentaban en la figura construida. es la falta de distinción entre el dibujo y el objeto geométrico representado. La visualización se toma como la habilidad para trazar con lápiz y papel un diagrama apropiado. en vista de que las construcciones realizadas fueron la base para llegar a una comprensión efectiva de una de las propiedades de los triángulos.
por lo que más adelante se reforzaría este concepto. reforzando este último concepto del cuál a la par se les proporcionó la definición. Ángulo externo Ángulo externo Ángulo externo Hasta este momento los alumnos únicamente reconocieron tres ángulos externos para el triángulo. Considerando la misma figura se hicieron las siguientes preguntas orales: ¿Dónde se forma otro ángulo externo? ¿Cuáles son los ángulos internos no adyacentes a ese ángulo externo? Al tratar de responder a estas preguntas los alumnos observaron repetidamente la figura para visualizar los ángulos externos. como se muestran en la figura. ángulo interno no adyacente y de ángulo externo. Se inició la actividad proporcionándole a los alumnos la siguiente figura: Con la misma el alumno tendría una visión más clara de ángulo interno adyacente.75 - .Guía de laboratorio 2: El propósito de este laboratorio fue establecer una relación entre la medida del ángulo externo de un triángulo y las medidas de los correspondientes ángulos internos no adyacentes. hasta después de hacerles notar la extensión del lado del triángulo. ya que en el descubrimiento de la propiedad que se cumple para . sin embargo no lo lograron. necesario para formar el ángulo externo. esta observación facilitó la visualización de dos ángulos externos más.
para dar muestras de ésto. se presentan los escritos de Belkis y Cristi.76 - . aunque no completaron la respuesta. y E como punto sobre objeto. Seguidamente los alumnos hicieron la siguiente construcción: La que contenía los puntos fijos A. . CED y al arrastrar el punto E.todo ángulo externo de un triángulo ellos descubrirían también todos los ángulos externos que se forman en un triángulo. describieron lo que sucedía de la siguiente manera: Continuamente al hacer la pregunta ¿Qué relación se establece entre las medidas de los ángulos internos no adyacentes y el ángulo externo? Néstor y Dennis fueron los primeros en responder “la suma es igual”. fue sorprendente verificar que habían logrado llegar a sus propias conclusiones por sí solos. Utilizando esta figura se midieron los ángulos CAB. C y D. B. entonces se les hizo las preguntas: ¿Cuál suma? ¿Igual a qué? esto los hizo reflexionar y motivo instantáneamente a los demás a verificar la igualdad y con la opinión de todos se completó el enunciado anterior de la siguiente manera: “la suma de los ángulos A y C es igual a la medida del ángulo E”. ACED.
). Cit. si arrastras este otro punto qué sucede”. Posteriormente se construyó la siguiente figura: A partir de la cual se fomentaría la capacidad crítica y de observación. “lo cual constituyó un medio de expresión de ideas que incitarían a la formulación de conjeturas”. se procedió a arrastrar los puntos Y. C. además aquí se reforzaría el concepto de ángulo externo. documentados por Arriero y García (Op. este otro no”. se dieron cuenta que el triángulo involucraba varios puntos dependientes del mismo.77 - . “este ángulo cambia. de la propiedad que pretendíamos establecer. a partir de preguntas como: “¿Qué sucede si arrastramos el triángulo original?”. Op. B. a lo cuál los alumnos reaccionaron con expresiones como: “mira. lo que se demuestra en los escritos de Iveth e Ivis respectivamente: .Aunque todavía esta aseveración no se había establecido como propiedad ya daba indicios de que los alumnos comprendían lo que estaban afirmando. (Vargas. En este punto la visualización se agudizó más en los alumnos porque antes del arrastre ya tenían una imagen mental de lo que sucedería.). Luego al arrastrar los puntos A. Cit. X. Después de hacer la revisión de la construcción con el fin de verificar que estaba correcta. Z.
Gire el triángulo CDE de tal manera que el ángulo dado se convierta en un ángulo externo y el área de los dos triángulos siga siendo la misma. . El ángulo que se forma entre los dos triángulos es de 62.Continuando con la exploración de la figura se hizo la pregunta: ¿Cuántos ángulos externos tiene la figura? Ésta no fue contestada inmediatamente y tomó unos minutos para que algunos respondieran: “tres ángulos externos”. hay más” y ante la expectativa de todos. acción que fue de gran ayuda porque todos quedaron convencidos de que todo triángulo posee seis ángulos externos. Op. Con este problema se confirmó que “la afirmación de una propiedad geométrica en la descripción de un fenómeno accesible a la observación es vital para llegar a nuevos campos de experimentación” (Balacheff y Kaput. se tomó la medida tanto de los ángulos externos como internos en la figura. Esto lo reflejan Kellin y Elizabeth de la siguiente manera: Finalmente se les presentó a los alumnos el siguiente problema: Se tienen dos triángulos ABC y CDE. dos alumnos se pusieron de pie y señalaron en la pizarra todos los ángulos externos que contenía la figura (trazada previamente).4°. con la misma área y cuyo vértice común C es un punto fijo. Como todavía no se había establecido la propiedad formalmente. para reafirmar la conclusión mencionada anteriormente y sentarla como una propiedad de todo triángulo.78 - . inmediatamente otros compañeros corrigieron: “no.
en las actividades que se realizaron los alumnos encontraron situaciones en las que el resultado era inesperado. habilidades y exploración de representaciones visuales. para lo cuál la mayoría no presentó dificultades. Cabe mencionar que los primeros en lograrlo se dedicaron a cambiar la apariencia (color y grosor) de los triángulos construidos. 4. Al llegar a la instrucción que giraran el triángulo de tal manera que el ángulo dado se convirtiera en un ángulo externo conservando el área en los dos triángulos.. Es de mucha importancia mencionar que a medida los alumnos van trabajando con CABRI.79 - . adquieren rapidez y mayor control de las herramientas del mismo.Cit. esto fue descubierto cuando se les proporcionó tres segmentos con medidas 3. utilizando para ello el arrastre y la medición y los pocos que no lo habían logrado fueron ayudados por sus compañeros. Pero en estas discusiones lograron el objetivo deseado. y 7.00 cm.00 cm. . Guía de laboratorio 3: Este laboratorio consistió en determinar la relación que existe entre la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo respecto a la longitud del tercer lado.00 cm. Dado el control formal del entorno…” y los alumnos lo demostraron claramente con su participación en el proceso de construcción de su aprendizaje. arrastra el punto D”. hubo algunos contradicciones entre ellos como ser: “arrastra el punto E”. con los cuales construirían un triángulo. luego el alumno Bryan indicó: “arrastra D de un solo hacia abajo”. confirmando lo expuesto por Armella (Op. donde el alumno tuvo que poner a prueba sus habilidades para llegar a que los dos triángulos tuvieran la misma área. a lo que otros decían “no.. Cit.): “la manipulación del entorno geométrico permite la ampliación de la experiencia posible del estudiante.). además de profundizar en conocimientos.
4... Después de un tiempo considerable llegaron a la conclusión que el triángulo no se podía construir con las medidas estipuladas al explicar el por qué. lo que indica que los alumnos utilizaron diferentes ternas en la búsqueda de una solución correcta. Sumaya y Marcy respondieron lo siguiente: Claramente se observa que estas alumnas.86 cm.En la intención de construir el triángulo con las medidas proporcionadas realizaron acciones de arrastre. Para establecer una relación entre las medidas del triángulo construido y las medidas propuestas inicialmente se hizo la siguiente pregunta: . por eso ellos mismos propusieron una solución a la construcción requerida. igual que es resto del grupo encontraron dificultades en la construcción requerida.. medición. y Sumaya propuso las siguientes 3. y 3.. notando que una de las medidas era la causante de no poder trazar el triángulo. la cuál se refleja a continuación: Además de lo anterior también propusieron el cambio que se debía efectuar para realizar dicha construcción..80 - . utilización de distintas herramientas. Marcy propuso las siguientes medidas: 7. como por ejemplo: dos grupos usaron la herramienta triángulo en busca de una solución.00 cm.00 cm.42 cm. pero rápidamente se dieron cuenta de su error al cuestionarse unos a otros “no ves que con triángulo no se pueden medir los lados”. y 3. 4.00 cm.00 cm.
la construcción fue perfecta. éstas servirían para la construcción de otro triángulo. 4 cm. De repente Allan gritó “lo logré. . Dennis quería arrastrar un punto para obtener las medidas correctas en el triángulo y Nestor afirmaba que “no” porque la construcción se deformaría. Seguidamente se proporcionó las medidas de varios segmentos. lo que proporcionaría la segunda terna correcta. lo que les resultó exitoso ya que con las nuevas medidas. particularmente: 6 cm. pero no cualquier terna. y así cada pareja escogió una alternativa.. y 3 cm.. esto lo resume Allison al especificar que el cambio propuesto podía ser mayor o menor a la medida estipulada.. 4 cm.... y en esta búsqueda es donde se ven involucrados.. En el intento los alumnos eligieron varia ternas: unos 6 cm. otros 6 cm. 3 cm. y 2 cm. la aplicación del conocimiento adquirido así como el uso de habilidades para llevar a cabo dicha construcción.81 - . había construido junto a su compañero Ever un triángulo con medidas 6 cm.. todo dependía lógicamente de la terna elegida. y 2 cm.... en el caso particular de Nestor y Dennis. 4 cm... y 2 cm. lo logré”.. pero al probar una y otra vez surgieron ideas como: “fija este punto y arrastra este otro”. por lo que llegaron al acuerdo de optar por otra terna: 4 cm.En estas conclusiones se observa que los alumnos tenían una idea clara de la situación planteada. y 3 cm. 4 cm. dejando al alumno la opción de elegir la terna que creyera más conveniente..
4 cm. les facilitaría la elección de la terna correcta.Cabe mencionar que hasta ahora los alumnos habían hecho sus construcciones a prueba y error. sumando y verificando que esta suma era mayor que la medida del tercer lado del triángulo. Entonces. más bien hicieron las comprobaciones respectivas. La acción que más se destacó en respuesta al inciso b) fue la de sumar dos cualesquiera de las medidas de los lados de cada uno de los triángulos que habían construido e inmediatamente contestaron en coro “la suma es mayor”... .82 - . 2 cm. sin percatarse que la aplicación de la relación entre las medidas de dos lados respecto a la medida del tercer lado. ¿en cuáles no? ¿Por qué? La actitud mostrada por los alumnos en este momento fue satisfactoria ya que para contestar la primera pregunta no se aventuraron en respuestas precipitadas.. aquí no se cumple la relación”. uno de los resultados es menor. y 6 cm. en la que la suma 2+4=6). En esta comprobación también se dio respuesta a la segunda pregunta planteada donde el alumno Jorge afirmó: “en la terna 3 cm.... este hecho lo comprobarían más adelante al determinar esta relación como una propiedad. y 2 cm. sin embargo. se retomó la actividad anterior con las siguientes preguntas: ¿ésta relación se aplica a cualquier terna de las medidas estipuladas anteriormente? ¿En cuáles ternas se cumple?. otro alumno: Asbed hizo la siguiente aseveración “cuando es igual tampoco se cumple” (se refería a la terna 6 cm. Continuando con la exploración de los triángulos que se mostraban en sus pantallas se procedió a la siguiente actividad: En el inciso a) no hubo discusión de la respuesta proporcionada ya que todos los alumnos tenían clara la relación entre la suma adquirida respecto a la medida del tercer lado.
Primero se leyó minuciosamente el problema. tomemos medidas”.esto confirmó la relación estricta de ‘mayor que’ para esta relación y lo más importante es que por ellos mismos obtuvieron la conclusión. a) Haga un diseño con CABRI que represente esta situación. Una vez que se habían entablado conjeturas. acciones y controversias se procedió a establecer la relación anterior como una propiedad la cual la especifican Karen y Asbed a continuación: Aquí se refleja que los alumnos llegaron a la conclusión correcta y lograron una visualización clara de esta propiedad para todo triángulo. estas ideas llevaron a . La resolución de este problema permitió explorar las fortalezas y debilidades de los alumnos en la búsqueda de estrategias de solución. luego a través de preguntas guiadas como: ¿con qué objeto representaremos el camino recto? ¿Cómo representaremos el camino por el cual pasea la pareja? ¿Cómo se comprueba que siempre están a la misma distancia de sus casas? Con ello fluyo una lluvia de ideas como: “usemos segmentos. rectas. b) Desplace los puntos que representan a las casas y observe cómo se modifica la construcción. Cada día se citan en el punto medio del camino recto que une las casas y pasean por un camino que se encuentra siempre a la misma distancia de las dos casas. y que la comprensión de la misma era clara para ellos.83 - . haciendo énfasis en las palabras claves de cada párrafo. Finalmente se presentó el siguiente problema: • Cristian y Estela viven en dos casas separadas en el campo.
la comprensión del problema, punto fundamental para alcanzar la solución del
mismo, la mayoría inició marcando los dos puntos que representaban las
casas; luego, con un segmento unieron los dos puntos para mostrar el camino
entre las casas. Después representaron con una recta el camino de paseo;
finalmente, trazaron dos segmentos para comprobar que siempre están a la
misma distancia de sus casas.
En adelante se hizo una supervisión del trabajo de cada uno, para verificar la
estrategia utilizada, y constatar que todos habían llegado a la solución
correcta del mismo; en la que cada alumno hizo un relato diferente de la
situación planteada, creando en ello la historia de un amor prohibido…
Representación del problema; realizada por los alumnos en CABRI
Guía de laboratorio 4:
estableciendo una relación entre los catetos y la hipotenusa.
Se comenzó con una actividad previa que consistió en la construcción de un
cuadrado a partir de un lado, lo cual sería necesario más adelante para llegar
a una conclusión pertinente sobre el Teorema de Pitágoras.
Una vez que los alumnos lograron la construcción sin ninguna instrucción, se
procedió a crear un triángulo rectángulo, necesario para el logro del objetivo
planteado. Con este triángulo rectángulo se construyeron cuadrados sobre los
catetos y sobre la hipotenusa de la siguiente manera:
Enseguida se encontró el área de cada uno de los cuadrados, como también
la suma del área de los cuadrados sobre los catetos; las reacciones por parte
de los alumnos fueron inmediatas “es igual”, sin embargo esta expresión no
era entendible hasta que Asbed se puso de pie y expresó: “la suma del área
de los cuadrados de los catetos es igual al área del cuadrado de la
hipotenusa”. Este argumento fue sorprendente y causó admiración de todos
sus compañeros. Por lo que enseguida no hubo dificultad en responder a la
Esta conclusión creó la base para hacer exploraciones más profundas,
reflejándose al momento en que los alumnos arrastraron uno de los vértices
del triángulo y con toda seguridad respondieron “la relación se mantiene”;
procediendo luego a hacer las comprobaciones respectivas. En este punto
Maria conjeturó:
Como la participación era muy activa por parte de los alumnos logrando de
este modo mantener la concentración de todos y haciendo hincapié en la
importancia de que realicen sus propios descubrimientos (Arriero y García,
Op. Cit.). Entonces se estimó conveniente establecer la relación anterior
como: Teorema de Pitágoras. Y para formalizarlo los alumnos usaron sus
propias palabras expresando lo siguiente:
Para ahondar más sobre este teorema se utilizó otra estrategia en la
construcción del triángulo rectángulo, basada en la circunferencia, dándoles a
los alumnos la oportunidad de elegir un método de construcción más sencillo.
Para este nuevo triángulo rectángulo además de comprobar el Teorema de
Pitágoras se nombró cada cuadrado con una letra A, B, C de la siguiente
Se dejó a opción del alumno que eligiera una de las letras para nombrar cada
cuadrado, de ésta manera se obtuvieron varias conclusiones para una mejor
comprensión de esta relación en términos de variables.
Seguidamente se empleo la formula del área de un cuadrado lo que determinó
la igualdad entre la letra estipulada y la formula para cada cuadrado de la
siguiente manera: A=a2, B=b2, C=c2
Estas igualdades causaron impresión en los alumnos, la cuál se disipó a
través de la pregunta: ¿qué expresión representa cada cuadrado?, de
inmediato relacionaron cada expresión con el cuadrado respectivo; de lo cual
b2+c2=a2. Como anteriormente hubo una comprensión clara de la relación de igualdad entre el área de los cuadrados sobre los catetos y el área del cuadrado sobre la hipotenusa entonces cada pareja pasó a la pizarra a escribir la relación en términos de las expresiones anteriores. cuando afirma que: “la diversidad de caminos hacia el conocimiento es un aspecto central de la comprensión del sujeto acerca de los objetos matemáticos. entonces se llegó al consenso de establecer la relación a2+b2=c2 como una relación extendida del Teorema de Pitágoras. el que las variables seleccionadas para cada cuadrado fueran diferentes. Por último se presentó el siguiente problema: . a2+b2=c2. Cit. ayudó de manera significativa en su aprendizaje. sino también mediante expresiones algebraicas. Aquí se enfatizan las teorías de Gómez (Op. algunos fueron repetidos de acuerdo a la elección que había hecho cada uno. comprobando eficientemente el cumplimiento de dicho teorema para diferentes polígonos regulares.” Como se estimó que la comprensión de los conocimientos se había estimulado a través de la visualización no solo de imágenes. por lo que se borraron las expresiones repetidas dejando solo las siguientes: c2+a2=b2. Para una comprensión total del conocimiento en la aplicación de este teorema para diferentes casos.87 - .se deduce que se estaba logrando un aprendizaje significativo en cuánto a los objetivos planteados. de sus relaciones y de las actividades matemáticas que tienen que ver con esos objetos.). los alumnos trazaron semicircunferencias sobre los catetos y sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo. debido a que no hubo ninguna confusión en que cada expresión estuviera representada con diferentes letras.
La simulación del problema en CABRI se muestra en la siguiente figura: Una vez más se demuestra la utilidad del programa en la simulación de situaciones reales. tal como lo expresan Balacheff y Kaput (Op. por último trazaron un segmento de 5 cm. Los demás fueron lográndolo poco a poco hasta que obtuvieron las medidas correctas de acuerdo a lo planteado en el problema.88 - ... una de ellas fue: “la medida de un metro como la representamos”. por lo que se les sugirió trazar un segmento sobre la recta que representara el piso. para este caso 4. Después de ésta aclaración Hugo y Elvin fueron los primeros que lograron representar la situación. ubicar la misma a un metro del piso fue la parte donde emplearon mayor tiempo. que traducida a la realidad del problema serían 4.): “Con CABRI la geometría se transforma en el estudio de las propiedades . b) Si el pie de la escalera está a 1 metro de la pared ¿Qué altura alcanza? Éste fue resuelto satisfactoriamente después de aclarar alguna dudas que presentaron dos grupos.89 metros.• Una escalera que mide 5 metros está apoyada sobre una pared. luego usaron ‘recta’ para el piso.89 cm. a) Simule con CABRI la situación anterior. pero finalmente lo lograron. estipulando así la altura que alcanzaría la escalera. Cit. bajo la siguiente estrategia: primero representaron la pared con un segmento (otros lo hicieron con una recta). para la escalera dándole grosor y color para diferenciarlo.
Cit. proporcionando al alumno la oportunidad de participar activamente en el logro de los objetivos planteados. interacción y aplicación de este conocimiento en la solución de problemas. la del desempeño del alumno en el uso del programa y la evolución en los procesos de comprensión. Esta valoración se contempló desde dos perspectivas.invariantes de dibujos cuando se arrastran sus componentes en la pantalla: la afirmación de una propiedad geométrica se convierte en la descripción del fenómeno geométrico accesible a la observación de estos nuevos campos de experimentación. Por lo tanto. Cuarta fase: Valoración Una de las características más importantes en el proceso de enseñanzaaprendizaje es la valoración de los conocimientos adquiridos.89 - . sino que se efectuó en cada una de las actividades propuestas. Como lo fundamenta Cabello (Op. Es de vital importancia mencionar que esta valoración no se sujetó a un proceso final. útiles en el aprendizaje de la geometría.” Con lo anterior se evidencia que la manipulación directa de los objetos geométricos hace posible la experimentación en dominios que anteriormente eran inaccesibles para el alumno. Cit. los cuales anticipadamente se menciona que fueron excelentes no solo para la adquisición de habilidades sino también en la visualización de conceptos y propiedades básicas de los triángulos. Además. Tal como lo argumenta Sánchez (Op. su conocimiento queda marcado por la relación directa entre percepción y conceptualización durante la interacción con el programa y la socialización en el marco de la clase. dándole un valor . esta fase consistirá en reiterar los logros alcanzados por los alumnos.). análisis. a saber.) "Participación activa del alumno en la construcción de su propio aprendizaje.
sobre: • Construcciones en forma precisa y rápida con la utilización de las herramientas básicas del programa.” Por consiguiente.). se aplicó una guía de laboratorio a manera de prueba. el alumno puede aprender de sus errores. “a través de la retroalimentación inmediata y efectiva. en la retroalimentación de los conocimientos adquiridos sobre las propiedades de los triángulos. estableciendo el juicio de validez. Y en este punto Alemán (Op. señala las ventajas del uso de la computadora. cuyo objetivo se basó en reforzar conceptos y propiedades de todo triángulo a través de la visualización de los mismos en CABRI. • Ejecución de calculo de medidas • Diseño de situaciones reales para la solución de problemas. Esto conlleva a reflexionar sobre la importancia del uso de la tecnología en el aula de clases. la cual se analizará a continuación: Inicialmente se proporcionó la siguiente figura: M N . Cit. • Manipulación de las figuras geométricas construidas.90 - .pedagógico a estos aspectos en el sentido que “desarrolla la habilidad de construcción de definiciones como forma de integrar y caracterizar el conocimiento.” En cuanto a las habilidades adquiridas en el uso del programa se comprobaron las teorías de Alsina (Op. Cit).
el alumno Ever confirmó: “la suma va a dar 180”. para esto los alumnos debían tener claro el concepto de triángulo y ángulo interno. y antes de continuar con cualquier pregunta que la prueba estipulara. vértice. ángulo adyacente.Con esta figura se reforzaron los siguientes conceptos: segmento. recta. a lo cual respondieron: Basándose en la misma figura se pidió determinar cuantos ángulos externos contenía la figura. ángulo externo. Esta pregunta involucraba dos aspectos: el dominio del concepto y la comprobación de la propiedad que se cumple. ya que no presentaron dificultades para obtener las medidas solicitadas.91 - . ángulo interno. sino que estaban inmersos en cada una de las actividades planteadas con fin de lograr el objetivo propuesto. . lo que demuestra que dominaban tanto el concepto de ángulo externo como la relación que se establece entre los ángulos internos no adyacentes y el mismo. después de observarla detenidamente contestaron “cuatro ángulos externos”. El refuerzo de estos conceptos no se centró en preguntas directas. ángulo. triángulo. ésto los llevo a que no tuvieran ninguna dificultad al escribir la propiedad. entonces para dar crédito a este argumento se solicitó leer lo que la prueba pedía respecto a lo anterior: establezca la relación que se proporciona entre estos ángulos internos y escriba la propiedad que se cumple. En la misma figura se midieron los ángulos internos de tres de los triángulos que conformaban dicha figura. y lo confirmaron. por lo que se hizo la siguiente pregunta: Las respuestas fueron similares para todos los alumnos.
Op. Entonces escribieron el teorema de la siguiente manera: .. isósceles y escálenos para “identificar el valor de las clasificaciones como parte de un proceso de conceptualización” (Cabello. los lados son iguales”. Continuamente para reforzar el Teorema de Pitágoras. otros lo dijeron de manera individual. “en los escálenos todos los lados son diferentes”. se pidió arrastrar uno de los vértices de la figura. Cit. Cit. los alumnos reaccionaron escribiendo sus apreciaciones de la siguiente manera: Seguidamente se construyeron triángulos: equiláteros. para esto se pidió que escribieran las medidas de tres diferentes de ellos. se construyó con base en un segmento de 5 cm. una vez que tenían las medidas convenidas para cada uno de lo triángulos construidos y se comprobara la suma de dos lados cualesquiera en relación al tercer lado. inmediatamente varios alumnos señalando sus pantallas ratificaron: “la suma de estos dos. las respuestas fueron correctas para todos los casos. “los isósceles tienen 2 lados iguales”. un triángulo rectángulo y sobre los catetos y la hipotenusa los cuadrados respectivos.).). se escribió la propiedad que se cumple para todo triángulo.92 - . algunos lo hicieron en coro. va a dar igual a esta”. refiriéndose al área de los cuadrados sobre los catetos en relación al área de la hipotenusa.Para incentivar la capacidad de observación como lo estipula Cabello (Op. pues verbalmente expresaron: “en los equiláteros.
ya que él mostró la figura lateralmente y en la cual no se mostraban las medidas de la portería.Finalmente se planteó el problema: • Un jugador de fútbol se encuentra perpendicularmente a 11. entonces en su pantalla apareció la siguiente figura: Esta fue la idea inicial de cómo este alumno percibió el problema. los alumnos leyeron más una vez el mismo. el segmento horizontal la posición del jugador y el segmento que forma el triángulo marcaba el recorrido del balón. solo que visto desde una perspectiva diferente.44 m. del poste izquierdo de la portería (con medidas de 2. Aunque no era la construcción correcta este alumno tenía una idea clara de lo que el problema proponía.0 metros. algunos de ellos se emocionaron y en este proceso también relataban el partido. ¿Cuál es la longitud del recorrido del balón? En busca de una solución al problema. situado en el suelo. pero rápidamente se percató de la situación expresando:”pero es perpendicular”. primeramente tratando de llegar a comprenderlo y luego para percatarse de las herramientas a utilizar. Represente la situación en CABRI. La primera acción realizada por Ramón fue trazar un segmento representando los 11. Al hacerle esta observación y meditar un poco.93 - . en el que la recta representaba la posición de la portería.32 m. de altura y 7. . de largo) y lanza el balón. a la escuadra superior del poste derecho marcando un espectacular gol.0 m.
luego para marcar la posición del jugador se valieron de la sugerencia hecha anteriormente y trazaron la recta perpendicular al poste. . Luego indicaron en sus pantallas el recorrido del balón. La acción anterior ayudó a que tanto ellos como sus compañeros se formaran una idea más amplio del problema y esto los indujo a llegar a la solución correcta.94 - . en la ubicación del jugador que marcaría el gol.0 metros trazaron un segmento desde la recta al poste izquierdo. para ello hicieron dibujos personificando a los jugadores y al portero. para indicar que la distancia del jugador al poste era de 11. trazaron un segmento del punto que indicaba el jugador al punto superior derecho de la portería. En la siguiente figura se observa una representación de la solución al problema realizada por los alumnos.junto a dos de sus compañeros se levantaron de sus asientos y pasaron al frente a representar la situación en la pizarra. éstas. la cual se logró de la siguiente manera: primero representaron la portería con los segmentos de medida igual a la indicada. En ese momento hubo que darles algunas sugerencias como por ejemplo: “lo mejor es representar primero la recta perpendicular al poste”. en este momento se dieron cuenta que los segmentos no estaban alineados entonces con una recta representaron el suelo. fueron más que todo. pero para expresarlo en números como los indicaba el problema.
en cuanto a que “la reflexión y discusión son necesarias para consolidar y estar seguros de la comprensión del estudiante. se concluye que todos los objetivos planteados en las guías de laboratorio se lograron satisfactoriamente. Cit. En base a los resultados alcanzados y expuestos anteriormente. . Cit.). en tal caso los estudiantes son sólo receptores de la información dada y solamente deben aplicar el contenido a través de ejercicios rutinarios. puesto que la mayor dedicación para el proceso de aprendizaje desarrollado. por tanto queda de manifiesto que los alumnos alcanzaron en mayor nivel los aprendizajes conceptuales.”.95 - . En este sentido se concuerda con Alfaro (Op. procedimentales y actitudinales promoviendo con ello la creatividad. quién expresa que: “uno de los objetivos fundamentales del docente en el salón de clase debe ser que el alumno analice. además se fomenta la socialización de los aprendizajes y el desarrollo de actitudes críticas y reflexivas. El trabajar con CABRI les permitió a los alumnos ir deduciendo las propiedades que muchas veces se les entrega a los alumnos como algo sin mayor refutación.).Con esta prueba además de reforzar los conocimientos adquiridos se comprobaron las teorías de Fuglestad (Op. el pensamiento lógico y la búsqueda de estrategias en la solución de problemas. critique y extraiga conclusiones a partir de la información que se le pueda suministrar”. apunta a la libertad en la construcción del conocimiento a partir del programa.
CAPÍTULO 6 *** .96 - .
Por lo que retomar y afianzar paulatinamente cada uno de ellos en el desarrollo de cada actividad finalmente ayudó a sistematizarlos. y la clasificación de los mismos. utilizando el programa CABRI. reflexión crítica y la permanente observación en el desarrollo de cada una de las actividades realizadas por los alumnos. en donde se promovió el desarrollo de procesos de visualización. • En el desarrollo de las actividades con la utilización del programa CABRI. medidas. en el diseño de actividades en un ambiente tecnológico utilizando el programa CABRI GEOMETRE. no fueron arraigados permanentemente. evidenciándose el escaso dominio de éstos conceptos en la aplicación de los mismos y en consecuencia en el desarrollado de los procesos de visualización en un problema planteado. no hubo ningún alumno que mostrara rechazo a las mismas.97 - . ángulos. Las conclusiones de este trabajo. lo que da espacio a una mayor confianza para exponer ideas y . se identificó previamente los conceptos básicos relacionados con los triángulos que manejaban los alumnos. el comportamiento y actitud frente a las computadoras fue de aceptación total. Para el logro del primer objetivo que consistió en identificar las acciones que realizan los alumnos para explorar las propiedades de los triángulos en un ambiente dinámico.CONCLUSIONES Las conclusiones de este trabajo emergen como resultados basados en los objetivos planteados. quedan como ganancia al final de este proceso. estructurarlos y reelaborarlos. lados. los conceptos que involucra esta figura: vértices. para este aspecto se concluye lo siguiente: • Aunque el alumno poseía nociones sobre los triángulos. aunque no pueden generalizarse. centrado principalmente en el descubrimiento de las propiedades de los triángulos.
ángulos. promueve la autonomía. . • Diferenciación de diversas formas. diseñar objetos y modificarlos. sino también midiendo. como también prioriza el proceso del pensamiento en la construcción del conocimiento. fondo…) de los triángulos construidos. comparando. el razonamiento y la organización de la información. respetando el ritmo de aprendizaje y fomentando la motivación del alumno. discusiones y reflexiones basadas en darle sentido a los resultados que no coincidían con lo que se había predicho. debido a la posibilidad de visualizar. y que permitieron cuantificar el fenómeno visual observado. producto de la flexibilidad en la manipulación del mismo. Estas acciones plantean que el programa CABRI se presentó como un instrumento mediador del aprendizaje geométrico en los alumnos.puntos de vista. En cuanto a las acciones realizadas con los triángulos para visualizar las propiedades inherentes a ellos se especifica lo siguiente: • Ejecución de cálculos de medidas. Demostrando que las interacciones entre los alumnos y el programa. grosor. • Los alumnos pudieron hacerlo no solo observando y analizando. cambiando figuras y elaborando construcciones con cierta facilidad. • Manipulación dinámica de la situación mediante la utilización de distintas herramientas. promoviendo un ambiente de interacciones grato en la búsqueda del conocimiento. desde medidas simples hasta expresiones complejas que evalúan por ejemplo áreas. • Creación de nuevos objetos a partir de los objetos originales. de varias maneras (color. • Preguntas. • Modificación de las construcciones por medio de las funciones de arrastre y desplazamiento de las figuras realizadas.98 - .
• En el descubrimiento de la propiedad: la suma de los ángulos internos de todo triángulo es igual 180°. no se cumple la relación”. se detallan a continuación las más relevantes. “si arrastramos este punto. “suma estos dos lados y la suma va a ser mayor”. • Cuando se estableció la propiedad: la suma de dos cualesquiera de las medidas de los lados de un triángulo. surgieron los supuestos: “si cambiamos una de las medidas si podremos hacer el triángulo”. . es mayor que la medida del tercer lado. mediante la observación y análisis de una figura hubo expresiones como: “si arrastramos este punto. pero los demás si”. tampoco se cumple”. las cuales fundamentan el segundo objetivo planteado para detectar las habilidades geométricas que adquieren los alumnos usando el programa CABRI en el aula de clases y que se produjeron de acuerdo a la propiedad en estudio. en el transcurso de la exploración de los triángulos.Para ratificar estas acciones.” • Para la propiedad: todo ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes. cambiará este ángulo”. “sumando los ángulos A y C. “cuando la suma es igual. “en esta terna la suma es menor. va a ser igual al ángulo E”. • En la comprobación del Teorema de Pitágoras. en busca de la aprobación de resultados conjeturaron de la siguiente manera: “si modificamos el triángulo la suma de sus ángulos internos va a dar igual. “Si sumamos estas dos áreas va a dar igual a esta”. “esta relación se mantiene para t odo triángulo rectángulo”. las reacciones se muestran a través de las siguientes hipótesis: “la medida de este ángulo será 90°”. “fijemos este punto y lograremos las medidas pedidas”.99 - . se suscitaron varias conjeturas por parte de los alumnos. el ángulo A no cambia su medida.
Bajo la concepción constructivista, el aprendizaje es significativo y relevante
cuando la participación es activa por parte del alumno en la construcción del
conocimiento; y aunque estas conjeturas no vienen dadas por expresiones
refinadas, dan muestras claras que los alumnos llegaron a comprender
eficientemente lo que estaban afirmando, basándose ya sea en una figura
visualizada en sus pantallas o mediante deducciones lógicas; para ello es
necesario apoyarse en una secuencia de actividades que orienten la
exploración, conjeturas, descubrimiento y verificación de propiedades; de lo
contrario la organización inadecuada de estas actividades dificulta el logro de
En la manipulación de estas propiedades para descubrir nuevas relaciones
geométricas los alumnos se vieron envueltos en varias situaciones,
primeramente en el descubrimiento de las propiedades mismas de los
triángulos, consecutivamente en la búsqueda de estrategias para la resolución
de problemas y posteriormente en instaurar una conexión entre los aspectos
Para evocar estas relaciones implícitas en el proceso se sintetizan las
Entre ángulos adyacentes y ángulos internos en un triángulo.
Ángulos adyacentes y el ángulo interno adjunto.
Relaciones operacionales:
Entre la suma de los lados de un triángulo respecto al tercer
Suma del área de dos cuadrados respecto al área de otro
Relaciones estrictas:
‘Mayor que’ al referirse a la tercera propiedad.
En la búsqueda de estrategias:
Relaciones entre los puntos de una figura.
Relaciones entre medidas (longitud, ángulos, áreas) de un objeto
Relación de datos del mundo real con datos representativos del
Entre conexiones conceptuales, procedimentales y actitudinales:
Relaciones entre conceptos, objetos y apreciaciones de los
Relaciones dinámicas entre ideas, objetos geométricos y
En general se puede concluir que la utilización de un programa computacional
geométrico, específicamente de CABRI, presenta distintas potencialidades
que favorecen el proceso de enseñanza-aprendizaje; dentro de éstas
destacan su fácil manipulación, debido a que pueden realizar construcciones
por medio de acciones y en un lenguaje que son muy próximos a las
construcciones que se hacen con lápiz y papel; desarrolla habilidades de
visualización; presenta perfección en las construcciones de manera precisa;
es fácil y rápido; y además, minimiza el tiempo, promoviendo el aprendizaje
por sobre el recurso tecnológico.
Otro punto importante esta contenido en que el rol del profesor ha cambiado,
ahora él debe recabar qué intereses, motivaciones, comportamientos,
habilidades traen los alumnos para vincular entre los nuevos conocimientos y
los anteriores; y debe por tanto también estar como esencia del educador, la
búsqueda de aplicaciones actualizadas y contextualizadas, en donde se
involucra el uso de la tecnología como una herramienta que está en
permanente y cada vez más acelerado cambio, una herramienta dinámica que
se recrea a sí misma. Y de aquí surge la pregunta ¿cómo utilizar mejor la
informática como herramienta de educación?, la cual no puede responderse
de una sola vez, pero queda como una estructura o andamiaje sobre la cual
es posible desarrollar diseños y contenidos de la asignatura para el grupo
específico observado. Así mismo propone una metodología de trabajo para
desarrollar otros prototipos de programas educativos orientados a otras
especialidades o áreas del campo de la educación, considerando experiencias
de aplicación masiva en el campo de la enseñanza básica o media, a partir del
modelo de investigación aplicado.
pues deben comprometerse con el proceso. pues su predisposición. • El profesor debe también tener una apropiación del marco curricular en que están insertos los programas de estudios y los conocimientos adecuados de la disciplina.103 - . en forma graduada y sistemática. • Es necesario diagnosticar la actitud y conducta que tienen alumnos sobre el uso de la tecnología en forma personal. . • La planificación de las actividades debe considerar la diversidad en el aula. • Revisar en qué condiciones están los recursos tecnológicos y el número de computadores que posee la institución. para realizar la transferencia en el aula. e interés son gravitantes en la enseñanza y el aprendizaje. y cuidar que éstas proporcionen el tiempo y el espacio para profundizar y reflexionar sobre el modelo propuesto.RECOMENDACIONES • Es importante tener presente que cuando se aplica un modelo de intervención en la enseñanza y el aprendizaje geométrico se debe asumir responsabilidades de tal manera que le permitan al Profesor organizar su trabajo. considerando los tiempos reales y de efectividad que realizan de clases. Las actividades a desarrollar con el programa computacional. registrar cómo los alumnos están aprendiendo e incorporando nuevos conocimientos. este número permite que los tres interactúen con el computador y se familiaricen en el uso del software. diseñar las actividades que debe realizar en el aula y observar. por los alumnos debe contemplar como máximo 3 alumnos por computadores.
104 - . estimulen y fortalezcan la enseñanza de la matemática.• En el ámbito interno es relevante la gestión educativa que se lleva a cabo por el Profesor para que las prácticas de la enseñanza que se realizan en el aula puedan llevar a realizar seguimientos en los alumnos que permitan reconocer cuándo alcanzan el nivel siguiente. en la medida de lo posible. al reencuentro de la geometría en las aulas y a propiciar a los profesores a la reflexión y promoción de experiencias significativas que motiven. . • Se realizó esta investigación para contribuir.
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109 - .ANEXOS *** .
Jessy Alemán Fecha: _______________________ Tema: Conceptos Básicos sobre Triángulos. C.Resolver ejercicios que involucren estas nociones básicas para determinar el nivel de abstracción y aplicación de estos conceptos. 2. S P a) R b) c) U M p q N T Vértices _________________ P Ángulos __________________ r Q Lados ________________ 2.Identifique en cada triángulo lo que se indica. .Identificar los conceptos básicos sobre triángulos.. que manejan los alumnos como punto referencial para la introducción a las propiedades de los mismos. 1. a) ¿Cuántos triángulos tiene? _____________ A b) ¿Cuántos lados tiene? _________________ D c) ¿Cuántos ángulos tiene la figura? ________ d) ¿Cuántos vértices tiene? ________________ e) Nombre cada uno de los triángulos que encontró.. Objetivos: 1. D.Observe la siguiente figura y realice lo que se le solicita.Centro de Educación Básica “San Miguel de Heredia” Tegucigalpa M.110 - .. Prueba Diagnóstica Octavo grado Nombre: ________________________________________ Sección: _______ Profa. Instrucciones: Resuelva en forma clara y ordenada todos los ejercicios que se le proponen. Deje escrito el procedimiento aunque estuviesen incompletos o los considere incorrectos. B C _______________________________________________ .
. 4cm 3cm. (Si es necesario mida sus lados. 4cm.3.Construya y clasifique los siguientes triángulos.) A B C D E F a) ( ) Triángulo equilátero b) ( ) Triángulo isósceles c) ( ) Triángulo escaleno d) ( ) Triángulo rectángulo e) ( ) Triangulo obtusángulo f) ( ) Triangulo acutángulo 4. 4cm . 5cm 4cm.Seleccione la figura correcta para cada ejercicio.111 - . 3cm. Medidas Triángulo Clasificación 5cm. Escriba dentro del paréntesis la letra correspondiente a la figura seleccionada. 2cm..
 La barra de herramientas proporciona las herramientas que permiten crear y manipular la figura. En la barra de herramientas.  La ventana de ayuda proporciona una ayuda sobre la herramienta seleccionada. 1. en forma permanente.  La barra de estado indica en la parte inferior de la ventana. .Centro de Educación Básica San Miguel de Heredia Tegucigalpa M. Jessy Alemán Fecha: ____________ Objetivo: Conocer y explorar los comandos y herramientas básicas de CABRI GEOMETRE II. APRENDAMOS CABRI Nombre: _______________________________________ Sección: _______ Profa.  La zona de trabajo representa una porción de la hoja de trabajo.  La barra de atributos permite modificar los atributos de los objetos: colores. Es donde se efectúan las construcciones geométricas. cual es la herramienta activa. Actividades  Inicie CABRI haciendo doble clic en el icono aparecerá la siguiente pantalla Cabri-géomètre II. D.lnk  La barra de titulo indica el nombre del archivo que contiene la figura (Figura Nº 1.112 - . 2. como un apoyo en el aprendizaje de la geometría.  La barra de menú permite acceder a los comandos de aplicación. haga clic en cada uno de los iconos y observe el menú desplegable para cada uno de ellos.) si la figura no ha sido aun guardada. C.  La ventana texto contiene una descripción de la figura en formato de texto. tamaños. estilos.
trace la circunferencia. ______________________________________________________________  Para borrar seleccione la figura con el icono tecla Delate. Tome el segmento en su parte intermedia y arrastre.TRABAJANDO CON LA BARRA DE HERRAMIENTAS  Para nombrar un punto u objeto se utiliza el icono Ạ y clic en etiqueta. ● C ●D 2. ¿Qué observa? 5. Tome cualquier punto de una de las semirrectas distinto al punto S y arrastre. ● S ●R 4. Comente con sus compañeros lo que ocurre. Trace semirrectas que partan del punto S.  Dibuje los puntos C y D como se indica y trace el segmento uniendo los dos puntos. Describa lo que ocurre. luego sobre el objeto a nombrar. Con el puntero arrastre uno de los extremos del segmento CD y describa lo que ocurre.113 - . Con el puntero arrastre el punto S. ______________________________________________________________ 3. Seleccione el punto C y arrastre ¿Qué ocurre? ______________________________________________________________ . Este nombre es un texto unido al objeto y puede ser desplazado a lo largo o alrededor del objeto. Con el puntero arrastre cualquier punto de la circunferencia. dibuje los puntos S y R como se indica. ¿Qué observa? ______________________________________________________________ 9. Dado el punto C. Con el puntero arrastre el punto R. 6. como centro. puntero y pulse la  Ahora. ¿Qué ocurre? 8. Trace rectas que pasen por el punto R 7.
114 - . TRABAJANDO CON LA BARRA DE MENÚS.  Para guardar una figura haga clic en guardar como… Luego escríbale el nombre que desee y haga clic en guardar.  El color de relleno se modifica con el icono rellenar. El color se modifica con el icono color de la barra de herramientas. luego seleccionando en la paleta el color elegido. Se selecciona el color y después el texto de interés.  Para crear o editar un texto haga clic sobre el icono Ạ luego clic en la zona de trabajo y escriba el comentario que desea realizar. se pueden incluir números.  Para imprimir una figura elija la figura que desea con el puntero y luego haga clic en Imprimir y siga las instrucciones. y después seleccionando los objetos que deban recibir el color. seleccionando en la paleta el color elegido. nombres….  Para revisar la construcción haga clic en Edición. Este color concierne a los círculos y polígonos.  Para crear una nueva hoja de trabajo haga clic en Archivo y luego en Nuevo aparecerá una nueva hoja en limpio para trabajar. luego seleccionando los objetos que lo deban recibir. Esto le permitirá visualizar todas las etapas de la construcción. . Reproduzca las siguientes figuras y compruebe que puede modificar su tamaño sin alterar su forma. luego en Revisar construcción.  El icono color de texto se trata del color de los caracteres de un texto. 10.
12. dotado de una unidad de longitud (cm.  Para crear una marca de ángulo en el vértice de un ángulo definido por tres puntos haga clic en marcar un ángulo el segundo punto seleccionado es el vértice del ángulo. Con el puntero arrastre cada uno de los puntos y describa lo que sucede. Tome su medida. en todos los casos la herramienta presenta un número sobre la hoja de trabajo. Luego defina los tres puntos necesarios (siendo el segundo punto seleccionado el vértice del ángulo).  Construya un ángulo como se indica. Y haga clic en cada uno de ellos. ______________________________________________________________ TRABAJANDO CON TRIÁNGULOS  Para medir la longitud de un segmento haga clic en Distancia y longitud y sobre los puntos del segmento. .).115 - . En la figura que aparece a continuación Compara al ángulo AOB con el ángulo POQ Ángulo AOB ________ Ángulo POQ  Para medir un ángulo haga clic en ángulo de la barra de herramientas.TRABAJANDO CON ÁNGULOS 11.
C. como de las medidas de estos.Determinar un punto E sobre el segmento AB.Usando segmentos para unir los puntos A. 13. 16. ¿Cómo comprueba que los lados del triángulo son los segmentos dados? Si arrastras cualquier extremo de los segmentos originalmente dados. B.116 - . Escriba el procedimiento que realizó para la construcción. ¿qué pasa con el triángulo que construiste? Explica 14. Para la construcción de un triángulo se puede partir. 15. . B.Crear los puntos A. Construye un triángulo cuyos lados midan 2 cm. tanto de segmentos propuestos. 5 cm y 4 cm. crea el triángulo ABC. Construya cualquier triángulo y póngale “marca de ángulo” al ángulo mayor y mida todos los ángulos del triángulo. como aparece a continuación. Construya un triángulo a partir de los segmentos dados a continuación. Experimenta haciendo lo siguiente: . C. así como sus lados. respectivamente. . con sus respectivas etiquetas. .
______________________________________________________ .Mover los puntos A y M.Determinar los segmentos AM y MB. ¿Qué relaciones puede determinar? ______________________________________________________________ . B A E C D .Mover el punto E hasta que sea punto medio. . EB y AB. Medirlos.Arrastre uno de los puntos del rectángulo y describa que sucede: ______________________________________________________________ .. ¿Qué observas?  Para medir el área de un polígono haga clic sobre el icono Área y luego sobre la figura seleccionada. ¿Qué relación cumple? ______________________________________________________________ .¿Qué relación existe entre el área del rectángulo y el área del triángulo? Explique.Calcula el área del triángulo AED = .Medir el segmento AE. .Al desplazar el punto E ¿cambia el área del triángulo AED?______________ .Crear un punto M fuera del segmento AB. En la siguiente construcción el punto E está determinado como punto sobre objeto en el segmento BC.Calcula el área del rectángulo ABCD = . 17.117 - .¿Donde alcanza su área máxima? _____________________________________ .
GUÍA DE LABORATORIO 1 Nombre: ______________________________________ Sección: _______ Profa.18.118 - . D. C. Centro de Educación Básica San Miguel de Heredia Tegucigalpa M. ¿Porque? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ FELICIDADES. De acuerdo a los conocimientos adquiridos conteste. a) ¿Qué objetos geométricos se pueden construir con CABRI? ______________________________________________________________ b) ¿Qué conceptos básicos sobre geometría se emplearon?_____________________________________________________ ______________________________________________________________ c) ¿El uso de CABRI le facilitó el aprendizaje de éstos conceptos?_____________________________________________________ d) ¿Qué herramientas básicas sobre CABRI aprendió? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ e) ¿CABRI le parece interesante?. HAZ FINALIZADO CON ÉXITO. Jessy Alemán Fecha: _______________ .
 Etiquete y mida cada uno de los ángulos que se forman entre la recta paralela y el triángulo (ángulos adyacentes). Actividades:  Construya un triangulo ABC.Tema: Los Triángulos Objetivo: Establecer la propiedad respecto a la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo.119 - .  ¿Cuánto miden cada uno de sus ángulos internos? __________________ .  Trace por el vértice C una recta paralela al lado opuesto.  Etiquete y mida cada ángulo interno del triángulo. α= __________ β= __________ θ= __________ γ= __________ Φ= __________  Haga una comparación entre la medida de los ángulos y describa qué relaciones se dan: ____________________________________________  Encuentre la suma de las medidas de los ángulos internos del triángulo ¿Cuál es la suma de los ángulos? ________________________________  ¿Qué otra relación puede establecer con respecto a las medidas de los otros ángulos? ___________________________________________________________  Arrastre uno de los puntos del triángulo y describa lo que sucede:_____________________________________________________  Construya un triangulo isósceles.  ¿Cómo comprueba que es isósceles?_____________________________  ¿Cuánto miden cada uno de sus ángulos internos? __________________  Construya un triángulo rectángulo.
Jessy Alemán Fecha: ________________ Tema: Los Triángulos . (utilice la herramienta compás). Describa lo que sucede: ________________________________________ ______________________________________________________________ Centro de Educación Básica San Miguel de Heredia Tegucigalpa M. Mida los ángulos en cada uno. Cuando lo haya construido intente desplazar los vértices de estos dos triángulos. ¿Qué relación existe entre la suma de las medidas de los ángulos internos de cada uno de los triángulos que ha construido? ____________________________________________________________  Escriba la propiedad que se cumple para todo triángulo: ____________________________________________________________ Problema:  Dibuje un triángulo (utilice tres segmentos para los lados). D. GUÍA DE LABORATORIO 2 Nombre: _______________________________________ Sección: _______ Profa. C. Construya otro triángulo cuyos lados sean iguales a él.120 - .
Trazar segmentos AC y CE para formar el triángulo ACE. (Fig.Objetivo: Establecer una relación entre la medida del ángulo externo de un triángulo y las medidas de los correspondientes ángulos internos no adyacentes.Trazar el segmento AB .Trace rectas paralelas por cada vértice al lado opuesto. . Actividades: Un ángulo externo de un triángulo se forma con un lado del triángulo y la prolongación del lado adyacente (Ver figura) 1. .Colocar el punto E sobre el segmento (punto sobre objeto).Arrastre el punto E y describa lo que sucede: ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 3.1).¿Que relación se establece entre las medidas de los ángulos internos no adyacentes y el ángulo externo? ______________________________________________________________ 4.Realice la siguiente construcción: .Fijar los puntos B y D (Fijar). ...Prolongar el segmento AB con el segmento BD ..Realice la construcción que se indica: .. . ACE y CED ∟ A =___________ ∟ C =___________ ∟ E =___________ 2.Construya un triángulo ABC (Fig.121 - .Medir los ángulos CAE. 2) .
______________________________________________________________ Problema Se tienen dos triángulos ABC y CDE.122 - . C. Realice lo siguiente: . Centro de Educación Básica San Miguel de Heredia Tegucigalpa M. Gire el triángulo CDE de tal manera que el ángulo dado se convierta en un ángulo externo y el área de los dos triángulos siga siendo la misma. D.5..Arrastre los puntos Y. B.4°. El ángulo que se forma entre los dos triángulos es de 62. X. C. con la misma área y cuyo vértice común C es un punto fijo.. GUÍA DE LABORATORIO 3 Nombre: _______________________________________ Sección: _______ Profa.A partir de la figura 2 obtenida.Arrastre los puntos A. . Comente cos sus compañeros lo sucedido. Z. .Tome la medida de los ángulos internos del triángulo YZX. Describa lo que sucede: ______________________________________________________________ .Escriba la propiedad que se cumple para todo ángulo externo en un triángulo.Establezca las relaciones que se dan entre cada uno de los ángulos externos y los ángulos internos no adyacentes:_______________________________ 6. .¿Cuántos ángulos externos tiene la figuras? _________________________ .Tome la medida de los ángulos externos. Jessy Alemán Fecha: ________________ Tema: Los Triángulos .
3..Objetivo: Determinar la relación que existe entre la suma de las longitudes de dos lados de un triangulo respecto a la longitud del tercer lado. ¿cuáles son las nuevas medidas de los lados del triángulo? Escríbalas _______ cm. _______ y _______ b) _______. Actividades: 1.123 - . a) ¿Cual es mayor? ______________________________________________________ b) ¿Se cumple esta relación para todos los triángulos? Compruébelo. 4.. a) ¿Se obtiene el triángulo?_____________ Explique: ______________________________________________________ b) ¿Qué debería ocurrir para que se pueda construir el triángulo? _____________________________________________________________________ c) Con respecto al cambio propuesto. haciendo las construcciones respectivas. ______ cm.Construya un triángulo... ________ cm. ¿podría construirse un triángulo? b) Elija. partiendo de los siguientes segmentos..Sume las longitudes de dos cualquiera de los lados del triángulo y compárela con la longitud del tercer lado..Escriba la propiedad que se cumple para los lados de cualquier triángulo: . d) ¿qué tienen éstas medidas que no tenían las medidas del problema inicial? ______________________________________________________________ 2. dos ternas para las cuales se pueda construir el triángulo a) _______. a continuación. 3 cm. _______ y _______ c) Compruébelo.. a) Con tres cualesquiera de estas medidas.. 4 cm. con la medida propuesta para cada uno.Dados varios segmentos con medidas 6 cm. y 2 cm.
124 - . GUÍA DE LABORATORIO 4 Nombre: _______________________________________ Sección: _______ Profa. a) Haga un diseño con CABRI que represente esta situación. Cada día se citan en el punto medio del camino recto que une las casas y pasean por un camino que se encuentra siempre a la misma distancia de las dos casas.______________________________________________________________ Problema Cristian y Estela viven en dos casas separadas en el campo. Jessy Alemán Fecha: ________________ . b) Desplace los puntos que representan a las casas y observe cómo se modifica la construcción. Centro de Educación Básica San Miguel de Heredia Tegucigalpa M. D. C.
125 - . Oculte todas las rectas perpendiculares y las circunferencias trazadas. Hipotenusa Cateto Actividad 2 Teorema de Pitágoras.  Definir el segmento a partir del cual se construirá el cuadrado. Cateto  Mida y marque el ángulo recto. (Polígono).  Trazar circunferencias con centro en cada Extremo del segmento y radio de la longitud del segmento (lado). 2.  Trazar perpendiculares a los segmentos por los extremos. Estos puntos son los otros dos vértices del cuadrado.  Construir el cuadrado. Actividad 1 Crear un triángulo rectángulo.  Cambiarle el color y el grosor al triángulo.  Señalar los puntos de intersección de las Circunferencias con las rectas: (Puntos de intersección). . Construya cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo.  Dibujar la base (segmento AB). Actividad Previa Construcción de un cuadrado a partir de un lado. (Puntos sobre objeto).  Construir el triángulo ABC. 1.Tema: Los Triángulos Objetivo: Comprobar el teorema de Pitágoras para todo triángulo rectángulo estableciendo una relación entre los catetos y la hipotenusa. etiquetarlo con C.  Dibujar la perpendicular al segmento por el punto A  Fijar un punto sobre dicha perpendicular.
Trace los segmentos AC y CB De acuerdo a la construcción realizada conteste lo siguiente: a) ¿El triángulo formado es un triángulo rectángulo?_________________ b) Como lo comprueba..126 - . 8.Arrastre cada uno de los vértices del triángulo.Realice la siguiente construcción: .Trace el segmento AB .Trace circunferencia con centro en el punto medio y radio un extremo del segmento .3...Escriba el Teorema de Pitágoras: ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 9. ¿Que sucede con el área de los cuadrados? _______________________________________________ 7. Escriba esta relación: ____________________________________________ 6..Marque el punto C (punto sobre objeto) sobre la circunferencia .Encuentre el área de cada uno de los cuadrados.Que relación encuentra entre esta suma y el área del cuadrado sobre la hipotenusa..Marque el punto medio del segmento anterior .¿La relación anterior se cumple para cualquier triángulo rectángulo? _____ Como lo comprueba: _____________________________________________ A la relación anterior se le llama “Teorema de Pitágoras”. Explique:________________________________ ..Sume el área de los cuadrados construidos sobre los catetos: __________ 5. Escríbalas: a) cuadrado A= _______ b) cuadrado B= _______ c) cuadrado C= ______ 4..
C3C. . C2B. C2.Encuentre el área de cada circunferencia.Establezca la relación que da entre estas tres expresiones: ______________________________________________________________ 12.Construya otro triángulo rectángulo. cuadrado C= c2 11.c) Arrastre el punto C.. Escríbalas.. Jessy Alemán Fecha: ________________ .127 - . Comente lo que sucede con sus compañeros.Marque los puntos medios de cada lado del triángulo C1. d) Construya cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa. C..En la relación anterior sigue cumpliéndose el Teorema de Pitágoras. C3. cuadrado B=b2. PRUEBA FINAL Nombre: _______________________________________ Sección: _______ Profa. a) Simule con CABRI la situación anterior. b) Si el pie de la escalera está a 1 metro de la pared ¿Qué altura alcanza? Centro de Educación Básica San Miguel de Heredia Tegucigalpa M.____ Como lo comprueba.Trace circunferencias con radios C1A. ¿Se cumple el Teorema de Pitágoras?______________________________ e) Arrastre el punto C. . a2= ______________ b2= ______________ c2= ______________ 13. D.. Describa la que sucede: _________________________________________________________ _________________________________________________________ 10. _____________________________________________ Problema • Una escalera que mide 5 metros está apoyada sobre una pared.Si se expresa cada una de las áreas de los cuadrados de la siguiente manera: Cuadrado A= a2. .
. ∟____________ ∟____________ ∟____________ .Tema: Los Triángulos Objetivo: Reforzar conceptos y propiedades de todo triángulo a través de la visualización de los mismos en CABRI. Actividades 1. Escríbalas: Triángulo 1: ∟____________ Triángulo 2: ∟____________ Triángulo 3: ∟____________ ∟____________ ∟____________ ∟____________ tres de los triángulos ∟____________ ∟____________ ∟____________ c) Sume la medida de los tres ángulos internos de cada triángulo.Utilizando CABRI reproduzca la figura que aparece a continuación: .M. AC M N a) ¿Cuántos triángulos tiene la figura?________________________________ b) Mida los ángulos internos de por lo menos encontrados.Segmentos: DN. N: Puntos medios . MB. d) Establezca la relación que se proporciona entre estos ángulos internos y escriba la propiedad que se cumple: ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ e) Determine cuántos ángulos externos hay en la figura: _________________ e) Tome la medida de por lo menos tres ángulos externos y escríbalas.128 - .Polígono: ABCD .
Explique: ______________________________________________________________ g) Escriba la propiedad que se cumple para todo ángulo externo de un triángulo._______________________________________________________ ______________________________________________________________ 2. ________ y ________ c) ________. isósceles y escálenos. c) ¿Qué teorema se verifica para todo triángulo rectángulo?_______________ Escríbalo: _____________________________________________________________ ______________________________________________________________ Problema Un jugador de fútbol se encuentra perpendicularmente a 11.Arrastre cualquier punto de los vértices del polígono.Construir un segmento de 5 cm.f) Como comprueba que los ángulos seleccionados son ángulos externos. ¿Cuál es la longitud del recorrido del balón? . construir un triangulo rectángulo..129 - . ________ y ________. a la escuadra superior del poste derecho marcando un espectacular gol. Represente la situación en CABRI. de longitud y con base en él.. a) Mida las áreas de cada uno de los cuadrados. 4) Sume dos cualesquiera de sus lados y compare esta medida con el tercer lado. de altura y 7. situado en el suelo.Construya triángulos: equiláteros. Construya cuadrados sobre los catetos y sobre la hipotenusa. Describa lo que sucede: ______________________________________________________________ 3. b) Sume las áreas de los cuadrados sobre los catetos y compárela con el área del cuadrado sobre la hipotenusa. 5) Escriba la propiedad que se cumple para los lados de cualquier triángulo: ______________________________________________________________ 6. de largo) y lanza el balón. a) ________.44 m.32 m.. ________ y ________ b) ________. del poste izquierdo de la portería (con medidas de 2. mida sus lados y escriba las medidas de tres diferentes de ellos.0 m.
(Aristóteles) GLOSARIO • Ángulo: Figura compuesta por dos rayos que comparten un punto final común. Un ángulo tiene un vértice y dos lados.130 - . sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica. . • Conjeturar: Formar juicio probable de una cosa por indicios y observaciones.La inteligencia consiste no sólo en el conocimiento.
• Demostrar: Razonamiento mediante el que se prueba una proposición. comunicar. . • Tecnología: Conjunto de conocimientos técnicos y científicos. retener y manipular imágenes espaciales abstractas. generar. trasformar. • Triángulo: Polígono de tres lados. • Habilidad Geométrica: habilidades de generar. documentar y reflexionar sobre información visual. • Habilidad: Capacidad y disposición para ejecutar una cosa con destreza. organizar y sistematizar los conocimientos espaciales.131 - . • Visualización: Habilidad para representar. • Geometría: ciencia que tiene por objeto analizar. • Manipular: Habilidad para operar de forma manual o mental una cosa. • Representar: Hacer presente una cosa con palabras o figuras que la imaginación retiene.
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Carlos Veloso Navas

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