Source: http://docplayer.es/7496067-Matematicas-ciencias-naturaleza-i-matematicas-e-pi-1-0-matematicas-matematicas-german-ibanez-http-www-otrapagina.html
Timestamp: 2019-03-25 16:48:19+00:00

Document:
MATEMÁTICAS CIENCIAS NATURALEZA I MATEMÁTICAS. e πi +1=0 MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS. Germán Ibáñez - PDF
MATEMÁTICAS CIENCIAS NATURALEZA I MATEMÁTICAS. e πi +1=0 MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS. Germán Ibáñez
Download "MATEMÁTICAS CIENCIAS NATURALEZA I MATEMÁTICAS. e πi +1=0 MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS. Germán Ibáñez http://www.otrapagina."
Sofia Ortíz Aguirre
1 MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS CIENCIAS NATURALEZA I e πi +=0 icosaedro octaedro cubo tetraedro de julio de 0 Germán Ibáñez dodecaedro
3 Índice general. EL NUMERO REAL.. Tipos de números Motivos para ampliar el conjunto de los números Los números reales Aproximación por exceso y por defecto de un número real Representación gráfica de los números reales en la recta Intervalos de números reales Unidad imaginaria. Números complejos Números factoriales Números combinatorios Problemas POTENCIAS Y RADICALES.. Potencias de números reales Propiedades de las potencias Igualdades notables Notación científica Radicales Propiedades de los radicales Cálculo con radicales Potencias de exponente fraccionario Problemas ECUACIONES 9.. Ecuación Propiedades de las igualdades y aplicación a la resolución de ecuaciones Aplicación a ecuaciones: Aplicación a ecuaciones: Ecuación de segundo grado Demostración de la fórmula de la ecuación de 0 grado Ecuaciones bicuadradas Ecuaciones irracionales Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones problemas iii
4 4. POLINOMIOS Función Función polinómica. Polinomio Operaciones con polinomios Binomio de Newton División de polinomios Regla de Ruffini Valor numérico de un polinomio Teorema del resto Descomposición de un polinomio en factores Gráfica de una función Gráfica de una función polinómica de grado Gráfica de una función polinómica de grado Gráfica de una función polinómica de grado Problemas VECTORES EN EL PLANO. TRIGONOMETRÍA Espacio vectorial de los vectores libres del plano Operaciones con vectores Teorema de Thales Angulos. Medida de ángulos Razones trigonométricas Razones trigonométricas recíprocas Razones de ángulos notables Relaciones fundamentales Razones trigonométricas del ángulo suma de dos ángulos Razones trigonométricas del ángulo resta de dos ángulos Razones trigonométricas del ángulo doble Producto Escalar Módulo de un vector Ángulo de dos vectores Teorema del seno Teorema del coseno Resolución de triángulos oblicuángulos Forma polar de un número complejo Problemas GEOMETRÍA Ecuaciones de la recta Observaciones Distancia entre dos puntos Punto medio de un segmento Distancia de un punto a una recta Ángulo de dos rectas
5 6.7. Problemas CÓNICAS Lugar geométrico Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola Problemas FUNCIONES Función Gráfica de una función Clasificación de las funciones Operaciones con funciones Composición de funciones Función inversa Monotonía y extremos de una función Función par y función impar Función valor absoluto Límite de una función Cálculo de límites de funciones Continuidad de funciones Función de proporcionalidad inversa Regionamiento o signo de la función, puntos de corte y asíntotas de una función racional Problemas FUNCIONES TRASCENDENTES Función exponencial y función logarítmica Funciones circulares Funciones circulares inversas Resolución de ecuaciones trigonométricas Problemas DERIVADAS Derivada de una función en un punto Interpretación gráfica de la derivada Función derivada Interpretación física de la derivada Cuadro de derivadas Recta tangente a una curva Regla de L Hôpital Aplicación de la derivada al estudio del crecimiento de una función Problemas
7 Tema EL NUMERO REAL.. Tipos de números a. Naturales: 0,,,, 4,... b. Enteros:,, 0,,,, 4,... c. Racionales: Se pueden escribir de dos formas: En forma fraccionaria: 4, 8 7, 5, 9 86 En forma decimal: 0, 0 87, Los números racionales escritos en forma decimal se caracterizan porque llega un momento en que las cifras de después de la coma se repiten : 4 = , 0 =..., 9 7 = üna división acaba repitiéndose" d. Reales: Son los racionales junto con los irracionales. Los irracionales son aquellos cuya parte decimal no se repite: = ,π = , Vemos que tiene expresión decimal no periódica por lo tanto no es racional sino irracional. En la figura: hipotenusa = + = Luego se puede representar en la recta, por tantoenlarectahaymáspuntosquenúmerosracionales. 0 El número π = Es la longitud de media circunferencia de radio uno. Un número irracional no se puede escribir exactamente en forma decimal, aunque se pueden hallar tantas cifras decimales como se desee. Otro irracional famoso es el número e =
8 EL NUMERO REAL ( Es el número al que se acerca la expresión + n) n cuando n es un número natural muy ( grande por ejemplo: + ) 00 ( = 7048, + ) 000 = Motivos para ampliar el conjunto de los números El motivo por el que se va ampliando el conjunto de números es que hay operaciones que no se pueden hacer todas las veces: Se pasa de los naturales a los enteros para poder restar siempre Se pasa de los enteros a los racionales para poder dividir siempre Se pasa de los racionales a los reales para poder hacer raíces de números positivos siempre y poder expresar cualquier longitud con un número... Los números reales Los números racionales junto con los irracionales forman el conjunto de los números reales, se representan por R. Propiedades de la suma y el producto de los números reales Loquesediceparala suma vale para la resta y lo que se dice para el producto sirve para la división. Las operaciones suma (+) y producto (.) de números cumplen las siguientes propiedades: Conmutativa: a+b=b+a; a.b=b.a es decir: Para la suma, el orden de los sumandos no altera la suma. Para la multiplicación, el orden de los factores no altera el producto. Asociativa: a +(b + c) =(a + b)+c; a.(b.c) =(a.b).c es decir: para sumar varios números da igual el orden en que se hacen las sumas. Lo mismo se diría para el producto. Ejemplo: 6 7 = 7 En el caso del producto también se dice: para multiplicar un producto por un número se multiplica uno solo de los factores. Elemento neutro: el0paralasumayelparaelproducto Elemento simétrico para el producto. del número a es: el opuesto a para la suma y el inverso a si a 0 Ejemplos: de el opuesto es yelinverso de 5 7 el inverso es 5 7 = 7 5
9 .6 Aproximación por exceso y por defecto de un número real Distributiva del producto respecto de la suma: a.(b + c) = a.b + a.c es decir: para multiplicar una suma por un número se multiplica cada uno de los sumandos. Ejemplos: (7 + 5) = + 5 Leyendo al revés es la operación de sacar factor común: + 5=,7+ 5=(7+ 5) No confundir con la asociativa del producto: 0 = 0 Simplificar indicando la propiedad que se aplica: 6+ 0 =+4 0 He dividido numerador y denominador por. Como el numerador es una suma he aplicado la propiedad distributiva, dividiendo cada sumando. Para dividir 0 por he aplicado la propiedad asociativa del producto, dividiendo solo el. +4 5=7 5 ESTÁ MUY MAL El conjunto R de los números reales con la suma, el producto y las propiedades que verifican se dice que tiene estructura de cuerpo conmutativo, esto escribe (R, +,.) cuerpo conmutativo. Además dados dos números reales siempre podemos decir cuál de los dos es más pequeño, es decir los números reales están ordenados por el orden... menor o igual que Aproximación por exceso y por defecto de un número real Los números que tienen expresión decimal periódica 5..., ylosnúmeros irracionales, { como no se pueden dar todas sus cifra decimales se dan por aproximación:, 4, 4, 44, 44,... por defecto, 5, 4, 45, 44,... por exceso 4 = {,, 4, 4, 44,... por defecto,, 5, 4, 45,... por exceso.5. Representación gráfica de los números reales en la recta A cada número real le corresponde un punto y a cada punto un número real. Los números reales llenan la recta: 0 5
10 4 EL NUMERO REAL.6. Intervalos de números reales Son trozos de la recta real. Por ejemplo: {x R/ 4 x }, es el conjunto de números reales x, talesque 4 es menor o igual que x y x es menor o igual que, es decir el conjunto de números reales comprendidos entre 4 y, incluyendo 4 y. intervalo abierto de extremos a, b es: (a, b) ={x R/a < x < b} o a o b intervalo cerrado de extremos a, b es: [a, b] ={x R/a x b} a b intervalo cerrado por a y abierto por b es [a, b) es: [a, b) ={x R/a x<b} a o b números más pequeños o iguales que a es: (,a] a números mayores que a es: (a, ) o a Entorno simétrico de a de radio h es el intervalo abierto (a h, a + h), cualquier x del entorno se caracteriza porque la distancia de x a a es menor que h, es decir: (a h, a + h) ={x R/a h<x<a+ h} = {x R/ x a <h} o o a h a a+h Ejemplo Expresar el conjunto de puntos de R que distan de -0 menos de..7. Unidad imaginaria. Números complejos Sabemos que los números reales negativos no tienen raíz cuadrada real; para que todos los números tengan raíz, inventamos los números imaginarios. La unidad imaginaria es: i =, y entonces ya podemos escribir cualquier raíz.
11 .8 Números factoriales 5 Ejemplos 7= 7.( ) = 7. = 7.i 9=i π = π.i Resolver la ecuación x 4x +8=0 x = 4 ± 6 = 4 ± 6 = 4 ± 4i { x =+i =± i; x = i Estos son ejemplos de números complejos. Otros ejemplos serían +5i; + 7i ;etc. En general un número complejo es de la forma a+bi donde a y b son números reales. Los números reales se pueden considerar incluidos en los números complejos, por ejemplo: 4=4+0i Los números complejos de la forma 5i =0+5i, se llaman imaginarios puros. En un número complejo a+bi, a se llama parte real, b se llama parte imaginaria (lo que acompaña a la i). Los números complejos se representan en dos ejes en el plano: Ejemplos: z = 4+i ; z = i. b O eje imaginario a a+bi eje real El punto A que lo representa se llama afijo del número complejo z. Suma de números complejos Se suman las partes reales y las imaginarias. Ejemplo: ( i)+(+i) =4+i Potencias de la unidad imaginaria Sabemos que i =, porlotantoi = y entonces: i = i.i =( )i = i i 4 = i.i =( )( ) = i 5 = i.i 4 = i, =i i = i 4 + = i 4.i = i i m = i 4.n+r = i 4.n.i r = i r oseai m = i r siendo r el resto de dividir m por 4 Producto de números complejos Ejemplo: ( i).( + i) =+9i i 6i =+7i 6.( ) = + 7i +6=9+7i Por tanto la multiplicación es parecida a la de polinomios. Por la representación gráfica de los números complejos vemos que no están ordenados, no se sabe cuando uno es menor que otro, eso hace que en la práctica se utilicen poco.8. Números factoriales 5 4 = factorial de 5 de orden.
12 6 EL NUMERO REAL = 998 ( es el factorial de 998 de orden. x(x )(x ) = x (. Factorial de x de orden. Dado un número natural por ejemplo el 5, podemos considerar los productos 5 4; 5 4 ; etc. Es decir productos en los que los factores se van obteniendo restando una unidad a los anteriores. El número de factores se llama orden. Así en 4 es factorial de 4 de orden, se escribe 4 (. Cuando llega hasta el se escribe sólo con una admiración, ejemplo: 4 =4!yse llama simplemente número factorial, en el ejemplo factorial de 4. En general sean m y h dos números naturales con m h, factorial de m de orden h es el producto de h factores decrecientes a partir de m : m (h = m(m )(m )(m )...(m h +) Efectivamente hay h factores pues contando lo que se resta: m (m ) (m ) (m )... (m h +) se resta: 0 (h ) pues [m (h )] = (m h +) orden: h 0 Ejemplo: x (5 = x(x )(x )(x )(x 4) Por convenio se define que factorial de cualquier número de orden 0 es m (0 =; ydeorden:m ( = m. Factorial de m será m! =m(m )(m )(m )... Propiedades. m (m = m(m )(m )(m )...(m m +)=m(m )(m )(m )... =m!. m (h m! = (m h)! demostración: m! (m h)! = m(m )(m )...(m h +)(m h)(m h )... (m h)(m h )... m(m )(m )...(m h +) =.9. Números combinatorios Sean m y h dos números naturales con m h. Se define número combinatorio de base m de orden h como: ( ) m = m(h h h!
13 .9 Números combinatorios 7 Ejemplos: ( ) 7 = 7( = 7 6 5! =5 ( ) x = x(4 x(x )(x )(x ) = ( 4 ) 4! 4 x + (x +)( (x +)(x +) = = ( )! x + (x +)(x+ = = x + (x +)! (x +)(x +)...[(x +) (x +)+] (x +)(x +)x(x )(x )... = (x +)(x +)... (x +)(x +)x(x )(x )... = x + Propiedades: ( ) m m!. = h h!.(m h)! ( ) 7 Ejemplo: = 7( = 7 6 5! ( ) m Demostración: = m(h m! (m h)! = h h! h! ( ) ( ) m m. = = 0 m ( ) m Demostración: = m(0 = ( ) m 0 0! =; = m 7! 4!! = = m! (m m)!.m! = m! 0!.m! =. Triángulo de Tartaglia ( 0 ( 0) ) ( ( 0 ) ) ( ) ( ( 0 ) ) ( ) ( ) ( ( 0 ) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( 0 4) 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ( 0 4 5) 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) que da los resultados: Observamos que:
14 8 EL NUMERO REAL a) la suma de dos números combinatorios seguidos nos da el de abajo: ( ) ( ) ( ) m m m + + = h h + h + b) los números equidistantes de los extremos son iguales: ( ) ( ) m m = h m h c) la suma de los elementos de la linea de base m es m
15 .0 Problemas 9.0. Problemas. Efectuar por mínimo común denominador simplificando el resultado: a) = b) = c) = d) = Solución: a) 99/75, b) 000/0000, c) /0, d) 54/5. Extraer factor común a) 8a +5ab ac da b) a +9ab 6ad +ca c) d) x y +x y 4 5x y e) 5x x +6x x 7 Solución: a) a(8+5b c d), b)a( + b d +4c), c) 7( ), d) x y (xy +y 5x), e)x(5x +x 4x 6 ). Efectuar + Solución: /4 4. Efectuar ( Solución: 44/6 + + ) ( ) = Sacar factor común x(x y) (x y) Solución: (x y)y 6. Representar en una recta 8/; 4 7; 0 9; ; 7. Representar y dar tres elementos del conjunto {x R/ 4 x } = 8. Hallar dos clases contiguas de números racionales que aproximan: a) 9 b) ; c). d) Representar esos números gráficamente hasta las décimas. 0, 0, 0 7, 0 7, 0 } 75 Solución: b), 0, 0 8, 0 7, 0 76 =0 757, 7, 7, } 7 c), 8, 74,, = Escribir y dibujar los intervalos (, 6); [, ]. Decir de qué número es entorno el intervalo [, 7]. 0. Decir qué propiedad se aplica en cada caso: a) ( 5),9 =9.( 5) b) ( 6x) =6 8x c) [.( 5)].[4.( 4)] =.(70).( 4) d) 0 + x 4 e) = 5+x = +. Dibujar 5 números en el entorno de centro 9 yradio0.. Dibujar 5 números en el entorno de centro 0 yradio0 5.. Efectuar ( + i).(5 4i) Solución: i 4. Dados los números complejos z = i, u =+i, v =i. Efectuar z + u.v Solución: 5 5. Efectuar ( i)(5i ) Solución: + i
16 0 EL NUMERO REAL 6. Representar los afijos a) +i b) c) 6i d) 4 5i 7. Establecer la ecuación de 0 cuyas soluciones son i, +i Solución: x x +0=0 8. Establecer la ecuación de 0 cuyas soluciones son +4i, i Solución: x (+i)x +0=0 9. Efectuar a) 5 (4 = b) 0 ( = c) x (5 = d) 8 (x = Solución: a) 0, b) 6840, c) x(x )(x )(x )(x 4), d) (8 x +) 0. Efectuar (x )! + (x )! (x)! Solución:. Efectuar ( ) 7 a) = (x )(x ) + x(x )(x ) ( ) 0 b) = 6 ( ) x c) = ( ) x d) = h (x )(x )(x ) Solución: a) 5, b) 59775, c), 6 (x )(x )(x )...(x h +) d) (h )(h )... ( ) ( ) x + x. Simplificar : = 5 4 Solución: x + x 5x 0 ( ) x +. Resolver + 6 Solución: 9, 0 4. Resolver ( ) x = Solución: 5 ( ) 5. Resolver + Solución: ( ) x ( ) x = ( ) x + ( ) x = ( ) x +
17 Tema POTENCIAS Y RADICALES.. Potencias de números reales Dado un número real a y un entero positivo n se define potencia de base a yexponenten como el producto de a por sí mismo n veces. a n = a (n) a a = a a 0 = Se define potencia de base a y exponente negativo n, como partido por la misma potencia positiva, es decir: a n = a n.. Propiedades de las potencias. (a.b) x = a x.b x. Para elevar un producto a una potencia se elevan cada uno de los factores. ( a b ) x = a x b x Para elevar un cociente a una potencia, se eleva el numerador y el denominador.. (a x ) y = a x.y Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes. 4. a x.a y = a x+y Para multiplicar dos potencias de igual base se suman los exponentes. 5. a x a y = ax y Para dividir dos potencias de la misma base se restan los exponentes. Observaciones: ) con sumas o restas de potencias la unica operacion posible es sacar factor común. Por ese motivo: +5 =(+5) =8 ESTA MUY MAL. ( a ) ( x x b ) al elevar una fracción a una potencia negativa resulta: = b a)
18 POTENCIAS Y RADICALES.. Igualdades notables. ( a) = a.ejemplo:( x +) =(x ). (a + b) = a + b +ab. El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo. Ejemplo: [(x + y)+z] =(x + y) +(z) +4z(x + y). (a b) = a + b ab. El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, menos el doble del primero por el segundo. Ejemplo: (x y ) =4x + y 4 4xy 4. (a + b)(a b) =a b. Suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados. Ejemplo: (x 4 ) = (x +)(x ).4. Notación científica En las calculadoras aparecen expresiones del tipo: que significan ; Se llama notación científica de un número si éste se expresa por una cifra luego la coma decimal y decimales, multiplicado por una potencia entera de 0; esquemáticamente: A BCD... 0 N ; N Z = = = Ejemplo: Efectuar y dar el resultado en notación científica = = = ( + 5 4)0 8 = = = = Se caracteriza porque después de la primera cifra hay coma..5. Radicales Son del tipo, 5 7, 64. Dado un número real a y un número natural n distinto de 0, se dice que el número b es raíz de índice n del número a cuando la potencia de b de exponente n es a. Es decir: n a = b cuando b n = a Observaciones: ) Se dan los siguientes nombres en n a = b a = radicando, b =raíz, n = índice (n =no se pone), n a = radical ) { índice par raíces; ejemplo: 4=± RADICANDO POSITIVO índice impar raíz; ejemplo: 5 = 5
19 .7 Propiedades de los radicales { índice par ninguna raíz real; ejemplo: 4 RADICANDO NEGATIVO índice impar raíz; ejemplo: 8=.6. Propiedades de los radicales Se deducen de las propiedades de las potencias:. Raíz de un producto es el producto de las raíces n a.b = n a. n b a n. Raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces n b = a n b n. Raíz de una raíz es la raíz de índice el producto de los índices. m a = n.m a 4. Raíz de una potencia es igual a la potencia de la raíz n a p = ( n a )p, (salvo signo) 5. Una raíz no varía si se multiplica o se divide el índice y el exponente por un mismo número es decir: n ap = n.h a p.h Observación: con raíces de sumas o sumas de raíces no hay nada que hacer. Ejemplo: a +4=a +MUY MAL.7. Cálculo con radicales Simplificar radicales: se dividen exponentes e índices por un mismo número, ejemplo: 4 9a4 b 8 = 4 a 4 b 8 = a b 4 Extraer factores fuera de la raíz: se divide el exponente por el índice y dentro queda el factor elevado al resto. Saliendo fuera del radical el factor elevado al cociente. Ejemplos: 8 = 7 = 4 a5 b 4 c 4 d = { = 5 } =abc 4 ac d Introducir factores dentro del radical: se multiplica el exponente por el índice. Ejemplos: b 5 b a 5 c + a = 5 b 0 b 5 a 5 (c + a ) = 5 b 5 a 5 (c + a ) x x + = x 4 (x +) x + x 5 (x +) x = 5 4(x +)x Reducir a una raíz: Se reducen primero a común índice que es el mínimo común múltiplo de los índices. Ejemplos: a b a 4 b = (a b) 4 (a ) 6 (b ) = a 8 b 4 6 a b 9 = a8 b 4 6 a b 9 = 6 a 4 b 5
20 4 POTENCIAS Y RADICALES x4 y 6 6 5(x ) 9x y = x 8 y 4 6 5(x ) 6 9 x 9 y = x 8 y (x ) 9 x 9 y = 6 6 5(x ) 9 xy Operaciones con radicales semejantes: Se extraen factores y se saca factor común.ejemplo: = 5 0 = 5 0 = Racionalizar Racionalizar es quitar raíces del denominador:. Denominador sin sumas de raíces. Para racionalizar en este caso se multiplica el numerador y el denominador por el radical adecuado. Ejemplos: = = a 5 = a = a 5,5 = a = = = = = 7 5 = = 7 5 = x 5 = x 5 ( x) x 5 ( x) x x x 5 = x x 5 = = ( x) 5 x x x x x x. Denominador con sumas o restas de raíces: Se multiplica numerador y denominador por el conjugado, (solo sirve para raíces cuadradas). Ejemplos: ( + 5) = 5 ( 5)( + 5) = ( + 5) ( ) ( 5) = 6+ 0 = 6+ 0 = 5 0 x + = (x ) (x + )(x ) = x 9 x.8. Potencias de exponente fraccionario Definimos potencias de base a yexponente p q potencia de exponente el numerador: como la raíz de índice el denominador, de la a p q = q a p Si el exponente es negativo: a p q = a p q Las propiedades son las mismas de otras potencias. Ejemplo: Simplificar: = ( ) ( ) 5 5 ( ) = = =
21 .9 Problemas 5.9. Problemas. Calcular las potencias: ( ) ; ; ( 0 5) ; ; ( /) Solución: 9, 9, 0 05, , 8/7. Reducir a una sola potencia a) ( /) (/) 5 (/) (/) = b) {[( 0 ) ] } = c) [( /) ] 5 = Solución: a) (/),b)(0 ) 8,c)(/) 0. Efectuar ( /) +(/) (5/) = Solución: a) p/(p +),b)[(z +)(z +)]/(z ) 9. Efectuar y poner el resultado en forma de notación científica: a) b) c) Solución: a) 4 0 7, b) , c) 6 0 Solución: 6/7 4. Efectuar: {[( /5) ( /5) ] : ( /5) 6 } + (4/) (/) 4 = Solución: / 5. Calcular a) ( /) = b) [(6/5) ] = ( ) c) 5 = Solución: a), b) /8, c) 5/8 6. Simplificar a) ;b) ;c) 65 Solución: a) 8/5, b) 49/50, c) /5 7. Simplificar a) a 9 +a a 6 ;b)4a 7a c) a ab+b a b Solución: a) (a+)/,b)7a/7,c)(a b)/(a+b) 8. Simplificar a) (p 4) (p p) ;b)(z4 )(z z +) 0. Calcular las siguientes raíces por el método más rápido a) ; b) ;c) Solución: a) 4, b) 0 6, c) 500. Efectuar: Solución:. Efectuar a + 6a 4 + 5a 8 Solución: a +. Extraer factores del radical a) 7x 54; b) 0 5 c) x.y n 6 8x 4 y z y 8 Solución: a),b) x y 5 n,c) y 4x yz 4. Introducir factores dentro del radical a) x x b) 8 4
22 6 POTENCIAS Y RADICALES c) a b a + b a + b a b Solución: a) x,b) 6,c) (a b)(a + b) (a + b) 5. Efectuar a 7a + Solución: (4 a) 6. Efectuar 4 Solución: x x 6x 7. Efectuar x Solución: 5 8. Racionalizar Solución: 9. Racionalizar Solución: 6 y 6( y) ( y) 0. Racionalizar Solución: (9 4 5)/. Efectuar racionalizando: = + Solución: Simplificar x 4 x + x 7x 4 = x x Solución: x x + 7x x. Extraer factores fuera de la raíz: 4+4x + x 6 x y 4 = Solución: x + 8y x x = 4. Efectuar racionalizando + Solución: Introducir factores Solución: ( + x) 4 8 x y 4 ( + x) 8xy x x 8x 6. Simplificar x +x 6 x = x x x 8 +x 4 Solución: x 7. Efectuar y dar el resultado en forma de notación científica Solución: Simplificar (9 6a + a ) a 9 (a ) a Solución: a 9. Efectuar racionalizando + 6 = Solución: Simplificar Solución: Extraer factores 5 4 (x ) = xy 8 x 5 y Solución: 5 (x ) 48x y. Efectuar x xy ,000 00,000,000 Solución: 7 00
23 .9 Problemas 7 x4 x. Simplificar 6 + x +7x x x x Solución: Efectuar Solución: Efectuar z z z 4z + Solución: z + z (z ) 6. Simplificar sacando factores fuera de la raíz: a) x 0 b) x x + x 4 x
25 Tema ECUACIONES.. Ecuación Una ecuación es una igualdad con alguna incógnita que se representa por una letra. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hace que se cumpla la igualdad. Para resolver una ecuación se opera hasta dejar sola la incógnita x Solución de una ecuación es un número que al sustituir por él la incógnita x cumple la igualdad... Propiedades de las igualdades y aplicación a la resolución de ecuaciones. Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una igualdad la igualdad se conserva... Aplicación a ecuaciones: Se aplica para la transposición de términos: un término que está sumando pasa restando y viceversa. Ejemplos: +x =5 ( ++x =5 ) no se suele poner x =5 x +=5 x x +x =5 5x =. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una igualdad por un mismo número, la igualdad se conserva..4. Aplicación a ecuaciones: a Aplicación : quitar denominadores; se multiplica todo por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Se va multiplicando cada numerador por lo que le falta a su 9
26 0 ECUACIONES denominador para ser el denominador común. Ejemplo: x + x 5 =; 5(x ) +,x = 5 ; 5(x ) + 9x =5 5 5 a Aplicación: despejar la x pasando el coeficiente con su signo al otro miembro. Ejemplos: 5x = x = 5 Observaciones: x =7 x =. Si al resolver una ecuación llegamos a algo del tipo: x =x +, quedaría 0=,osea, no hay solución.. Si al resolver una ecuación llegamos a algo del tipo: (5x ) = 0x 6, osea0x 6= 0x 6 quedaría 0x =0, entonces cualquier número es solución, se pierden de vista las soluciones si se simplifica.. Si en una ecuación la incógnita está en algún denominador o debajo de raíces, hay que comprobar las soluciones. Ejemplo: x x + =0 Para anular una fracción se anula el numerador para : =0si es solución x =0, x =, x = ± + para : + = 0 no es solución 0 Es decir, no sirven soluciones que anulen denominadores. Ejemplo: x 6 = (x 6) = ; x 6 = 9; x = 5; x = ±5 las dos son soluciones.5. Ecuación de segundo grado La expresión general de una ecuación de segundo grado es ax + bx + c =0 Cuando alguno de los coeficientes es igual a 0 se llama ecuación incompleta de segundo grado. Hay que tener en cuenta que no existen raíces cuadradas de números negativos. I) no hay término en x : Oseab =0,esdelaformaax + c =0. se resuelve despejando x. Ejemplos: x 7=0 x =7 x = 7 7 x = ± 7 x = = 87 x = 7 = 87 x +5=0 x = 5 x = 5 5 x = ± que no da solución real
27 .7 Demostración de la fórmula de la ecuación de 0 grado II) no hay término independiente: Oseac =0, ax + bx =0. Se saca factor común y se aplica que para que un producto se anule ha de anularse uno de los factores. Ejemplo: x +x =0; { x =0 x(x +)=0 x : x +=0 x = x = III) Caso general. Ecuación completa: ax + bx + c =0 Se aplica la fórmula: x = b ± b 4ac a Ejemplo: x 0x +4=0; x = 0 ± = 0 ± = 0 ± 5 6 { x = = 86 x = =0 46 Observaciones: Si el coeficiente de x es negativo suele compensar cambiar el signo a todo: x +5x +8=0 x 5x 8=0; x = 5 ± = 5 ± 6 = 5 ± 6 { x = 6 6 = 8 x = 6 6 = Si la ecuación está descompuesta en factores es más cómodo ir anulando factores: (8x 5)( + x) =0 { 8x 5=0; x = 5 8 +x =0; x =.6. Demostración de la fórmula de la ecuación de 0 grado Multiplicando los dos miembros de la ecuación ax + bx + c =0por 4a resulta: 4a(ax + bx + c) =0 4a x +4bxa +4ac =0Transponemos: 4ac 4a x +4abx = 4ac Sumamos b a los dos miembros para completar el cuadrado del primer miembro; se obtiene: 4a x +4abx + b = b 4ac En el primer miembro tenemos el cuadrado de un binomio ax + b; luego: (ax + b) = b 4ac De donde: ax + b = ± b 4ac y despejando x queda: x = b ± b 4ac a.7. Ecuaciones bicuadradas Ejemplo:
28 ECUACIONES. x 4 5x 6 = 0 Se hace el cambio de variable y = x ;resultay = x 4 ; queda: y 5y 6 = 0; y = 5 ± = 5 ± 69 = 5 ± = { y =9 y = 4 y =9; x =9; x = ± { x = 9=± x = y = 4; x = 4; x = ± 4; No da solución real. x 4 =0 (x 4 ) = 0; ((x ) ) = (x +)(x ) = (x +)(x )(x +)=0 las soluciones resultan de anular cada factor: (x +)nunca se anula; x =;x =. x 4 x 0 = 0 y y 0 = 0 y = ± 89 4 x = x = x = x = 89 4 no da soluciones reales.8. Ecuaciones irracionales Se caracterizan porque la incógnita está debajo de una raíz. Se resuelven aislando sucesivamente los radicales y elevando al cuadrado. Hay que comprobar las soluciones. Ejemplos:. 8 x +0= x +0=6elevando al cuadrado ( x +0 ) =6 ; x + 0 = 56; x = 46 comprobamos: = Sirve la solución. x 9+ x =6 x 9=6 x elevando al cuadrado: x 9 = ( 6 x ) ; x 9 =6+(x ) x ; x 9 =6+x x x =6+x x +9; x =4Simplificamos x =7 elevando al cuadrado: ( x ) =7 4(x ) = 49; x = 49 4 ; x = = 4 4 Comprobamos x 5... que al sustituir sale positivo debajo de las raíces. Luego es válida x = 6 4
29 .9 Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.9. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones son varias ecuaciones que relacionan a las mismas incógnitas. Se llama solución del sistema a los números que cumplen las ecuaciones es decir que al sustituir en el sistema verifican todas las ecuaciones. Método de sustitución Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en las otras: { x +y =9 x 5y = 0 Método de reducción x =5y 0 (5y 0) + y =9 0y 0 + y =9 y =9 y = 9 x = = Se multiplican las ecuaciones por números convenientes para que al sumar desaparezca alguna incógnita: Ejemplos:.. { x +y =9 x 5y = 0 { si multiplicamos por abajo y sumamos desaparecerá la x y = 9, sustituyendo en la a obtenemos la x: x = 5 multiplicamos la de abajo por el { coeficiente de x de la primera y le x 8y = sumamos la primera multiplicada 5x 9y =6 por el de la segunda cambiado de signo, es decir: a + a ( 5) sustituyendo por ejemplo en la primera x 8 8 x +y =9 x +0y =0 5x 7y =8 5x +40y = 0 / y =8 =; x x = 90. Hallar la recta que pasa por los puntos P (7, ) y Q(5, ) y =9 =; x =+64 = Buscamos los coeficientes a y b de la expresión y = ax + b, para ello aplicamos que pasa por los puntos dados: } } P (7, ) =7a + b 7a + b = pasa por: restando desaparece la Q(5, ) =5a + b 5a + b = b : a =5;a = 5 Sustituyendo: b =; 5 + b =; b = 5 ; b = luego la recta es y = 5 x Método de igualación Despejada la misma incógnita en las dos ecuaciones, se igualan los segundos miembros:
30 4 ECUACIONES { y = x 4 x y = { y = x 4 y = x resolvemos la ecuación de 0 grado y resulta: x = ± { 4 ( ) = ± 9 x = x = sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos: x 4=x ; x x =0 x = y =0 x = y = Método gráfico Se representan en los ejes, las coordenadas del punto donde se cortan es la solución: { x +y =9 x 5y = 0 x 5y = 0 x +y =9 x +y =9 x 5y = 0 x 0 9/ y 0 x 0 5 y y = 9, x = 5 como se puede ver el dibujo no da las soluciones con precisión.
31 .0 Problemas 5.0. Problemas. Resolver x + + x Solución:. Resolver x 4 = 5 Solución: 8 = x 5 x +. Resolver x = x 6 Solución: 5/46 4. Resolver x x Solución: 47/4 5. Resolver x 9 Solución: 4/ 6. Resolver 5x + x 0 4 Solución: /0 7. Resolver x m n Solución: m + n = x 6 + x 8x = 5x 4 = x 4 = x n m +4x 8. Resolver detallando las propiedades que 6x 8 se aplican: =x Resolver x +x =0 Solución: /, 0. Resolver x 5 = 0 Solución: ± 5. Resolver 5x +7x =0 Solución: 0, 7/5. Resolver x + x +=0 4. Resolver 5x x /=x Solución:0,6 5. Resolver x 5 Solución: ±5 +5= 4x Resolver x 6=0 Solución: ± 7. Resolver x x =0 Solución: 0, 6 8. Resolver 9x x +7=0 Solución: no tiene solución real 9. Resolver x +40x +=0 Solución: 0, (x ) 0. Resolver = x + Solución: 4, / x + x. Resolver 5x + x 8 6 = 5 + x 8 Solución: 5, 0 9. Resolver x + x 6 = x x Solución: ±, ±4. Resolver x 4 +5x 6 = 0 Solución: ± 9 noreal, ± 4. Resolver 7x 4 9x =0 Solución: ± / noreal, 0 5. Resolver x 4=0 Solución: 6 6. Resolver x +4= x Solución: no tiene solución real. Resolver x +x +8=0 Solución: doble Solución: /9 7. Resolver x 4 Solución: 4/9 x 5 = x 6
32 6 ECUACIONES 8. Resolver ( 5 x ) 6 Solución: ( x 5 ) = Resolver + x 5= x Solución: 4, 9 0. Resolver por todos los métodos { x y = x +y = 6 Solución: x =4/,y= 4/ x y = 8. Resolver 6 x + y + = Solución: x =/,y =4/ 9. Entre dos estantes de una librería hay 80 libros. Si se pasan 0 libros del segundo al primer estante, ambos tienen el mismo número de libros. Cuántos había al principio en cada uno?. Solución: x =0,y =50. Resolver por todos los métodos { x + y =5 x +y =9 Solución: x =,y = { x y =(x + y). Resolver x y =0 Solución: x =0,y =0. Resolver { x = y (x + y ) = x y + Solución: x =/y =/4 x + y + =0 4. Resolver x + y x + y + =0 4 Solución: x = /7,y = /7 5. Resolver { x (9x + y) =5y (x +9y) 4x (y +7)=5y 47 Solución: x =6,y =8 6. Resolver { x(y ) y(x ) = 4 y(x 6) x(y +9)=54 Solución: x =,y= 6 x y 4 =0 7. Resolver 4 x 4 y = 5 Solución: x = 6/,y = 6/ 40. La diferencia de los cuadrados de dos números enteros es igual a 40 veces el menor y sumando 90 unidades a la diferencia de cuadrados es 0 veces el mayor. Hallar dichos números. Solución: x =,y =7 4. Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 8 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades. 4. Halla los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus medidas son números pares consecutivos. 4. Al invertir el orden de las cifras de un número de dos dígitos, este número queda disminuido en 6 unidades. Hallar el número sabiendo que dichas cifras suman. Solución: Un abuelo dice a sus nietos: multiplicando mi edad por su cuarta y su sexta parte y dividiendo el producto por los 8/9 de la misma hallaréis 4 años, cuál es mi edad?. Solución: 7
33 .0 Problemas Dos embarcaciones salen al mismo tiempo para un puerto que dista 4 Km. Una deellasnavegaakm/hmásquelaotra, y llega al punto donde se dirigen horas antes que la otra. Halla las velocidades. Solución:xvellenta,ytiempolenta,x =4 46. Hallar el punto donde se cortan la recta que pasa por los puntos (, 4), (, 5) y la recta que pasa por los puntos (, ), (4, ) 48. Al unir los dos puntos medios de dos lados desiguales de un rectángulo se obtiene un segmento de 50 m de longitud. Hallar el área del rectángulo sabiendo que los lados son entre sí como 4 es a. Solución: Se llena una caja de forma cúbica con cubitos de un cm de arista y nos sobran 7 cubitos. Se construye otra caja que tiene un cm más de arista y entonces nos faltan 97 cubitos. Cuántos cubitos tenemos?. Solución: número cubitos = y, arista= x, caben x, y = Una factura de 40 rupias es pagada con dólaresylibrasesterlinasyotrade 940 rupias con 0 dólares y 0 libras. Calcular el cambio a que están los dólares y las libras. Solución: libra: 8 rupias, dólar: 58 rupias 50. Resolver x y +6 = x y 6 x y +4 = 0 y + Solución: x =7/7,y = 9/ 6x +9y 4 5. Resolver 4x 6y +5 = 5 x +y x +y 4 = 6 Solución: x = 479/4,y =7/97
35 Tema 4 POLINOMIOS 4.. Función Una función transforma números en números, Ejemplo f f : Z Z Esta función de los números x f(x) =x + enteros en los números enteros le asocia a cada número 5 su doble más uno. En general una función se representa : y = f(x) x es un elemento cualquiera del conjunto original, se llama variable independiente; y representa su correspondiente imagen en el conjunto final, se llama variable dependiente. 0 La forma habitual de dar una función es indicar las operaciones que hay que hacer con la x para obtener su correspondiente imagen y. 4.. Función polinómica. Polinomio Las funciones polinómicas son las del tipo: y =x +4x +8x 66, y = x 4 x, y = x. En general un función polinómica es una función de la forma: f(x) =a 0 + a x + a x + a x + + a n x n Donde a 0,a,a,... son numeros reales, se llaman coeficientes. La expresión que hay a la derecha del igual a 0 + a x + a x + a x + + a n x n se llama polinomio. Cuando hay un solo sumando se llama monomio y cuando hay dos se llama binomio. Grado de un polinomio es el mayor exponente de x cuyo coeficiente sea distinto de 0. Dos polinomios son iguales cuando cada coeficiente del mismo grado es igual. 9
36 0 POLINOMIOS x. Ejemplo: (x +) = x +x +. Por tanto dan el mismo resultado para cualquier valor de Cuando son distintos, por ejemplo: x + = x +4 es una ecuación. Sólo se cumple la igualdad para algunos valores de x: las soluciones de la ecuación. El conjunto de polinomios se representa R[x]. 4.. Operaciones con polinomios Suma El grado de la suma de dos polinomios es menor o igual que el grado de los sumandos: f(x) = x + x Grado g(x) =x f(x)+g(x) =4x + Grado +x Grado La suma verifica las propiedades asociativa, commutativa, elemento neutro: cero y elemento simétrico que se llama polinomio opuesto. Por ejemplo la asociativa se expresa asi: f(x)+[g(x)+h(x)] = [f(x)+g(x)] + h(x) Producto El grado del polinomio del producto es la suma de los grados de los polinomios factores. El producto verifica las propiedades asociativa, commutativa, elemento neutro: unidad y además el producto es distributivo respecto de la suma. Por ello el conjunto de los polinomios es anillo, commutativo y unitario Binomio de Newton Veamos las sucesivas potencias de el binomio (x + a): (x + a) =(x + a) (x + a) = x + a +xa (x + a) = x +x a +xa + a (x + a) 4 = x 4 +4x a +6x a +4xa + a 4 (x + a) 5 = x 5 +5x 4 a +0x a +0x a +5xa 4 + a 5 cuyos coeficientes son los del triángulo de Tartaglia: En general, Binomio ( ) de Newton: n (x + a) n = x n + x n.a + (x a) n = x n ( ) n x n.a ( n ) x n.a + ( ) n x n.a ( ) n x n.a ( ) n x n.a + ± ( ) n a n n ( ) n a n n
37 4.8 División de polinomios O sea cuando es (x a) n, se va alternando el signo. Ejemplo: Efectuar dando el resultado en forma binómica: (i ) 7 = 87 i i i i i 6048 i + 44 i 8 = 4449 i 6554 = i 4.5. División de polinomios 7 En los numeros teníamos la división entera: 0 Cumpliéndose: dividendo = divisor cociente + resto De la misma forma para los polinomios: 4x x + 9x + x x 4x + x x / / 9x + En los polinomios se puede dividir hasta que el resto es de menor grado que el divisor. También: dividendo = divisor cociente + resto, abreviadamente: D = d Q + R 4x x +9x +=(x x) x +(9x +) Observamos que el grado del dividendo es igual al grado del divisor más el grado del cociente Regla de Ruffini Es un procedimiento abreviado de división, cuando el divisor es de la forma x a: Ejemplo: (x x +):(x 8) Q =x +x + 04 R = Valor numérico de un polinomio Valor numérico de un polinomio para x = b es lo que resulta de sustituir en el polinomio x por b: Valor numérico para x =de f(x) =5x +x 7, es:f() = = =4 Un número b es raíz de un polinomio cuando el valor numérico del polinomio en b es 0, es decir, b es raíz de f(x) cuando f(b) =0. Ejemplo: es raíz de f(x) =x 5x 4 porque f() = =0 Por tanto, es lo mismo decir que b es raíz del polinomio f(x), que decir que b es solución de la ecuación f(x) =0. Ejemplo: esraízdef(x) =x 5x 4, es igual que, es solución de la ecuación x 5x 4=0.
38 POLINOMIOS 4.8. Teorema del resto El resto de dividir un polinomio por x a es igual al valor numérico del polinomio en a, es decir, el resto de dividir f(x) por x a es R = f(a). Ejemplo: f(x) =x 5 +4x 5, dividido por x Q =x 4 +x +x +7x R = 7 7 f() = Consecuencia Si b es una raíz entera de un polinomio tiene que ser un divisor del término independiente. Por tanto, para buscar las raíces enteras de un polinomio por Ruffini, hay que probar los divisores del término independiente. Ejemplo: Resolver la ecuación: x 5x +x 5 = 0 Los divisores de 5 son ±, ±, ±5, ±5 5 5 probemos x =por Ruffini: Como el cociente x + x +5es de 0 grado para buscar otras soluciones es mejor resolver la ecuación de segundo grado x = ± 40 quenodasolucionesreales 4 luego es la única raíz real de f(x) Descomposición de un polinomio en factores Para hallar las raíces y descomponer un polinomio las herramientas son: factor común, diferencia de cuadrados, ecuación de segundo grado, ecuación bicuadrada y en último caso Ruffini. En la descomposición en factores si se han obtenido raíces fraccionarias se multiplica por el coeficiente principal: Ejemplo: es raíz de f(x) =x 5x 4 porque f() = 0, lo que equivale a decir: x =es solución de la ecuación x 5x 4=0, lo que equivale a decir: (x ) es factor de la descomposición en factores de f(x) =x 5x 4 Ejemplos:. f(x) =x 5 9x = x(x )(x +) = x(x )(x+ )(x +), las raíces son: 0,,. En el polinomio de la ecuación anterior la descomposición es: f(x) =x 5x +x 5 = (x + x +5)(x ). x 4 x x +7x +6 tiene como raíces: x = doble; x =; x =la descomposición es: x 4 x x +7x +6=(x +) (x )(x )
39 4. Gráfica de una función ( 4. x +5x =(x +) x ) Los polinomios que no se pueden descomponer son los de grado y los de grado sin raíces reales. Ejemplo: Hallar un polinomio de segundo grado cuyo término independiente sea 5 y en el que el resto de dividirlo por (x ) sea y su valor numérico en es 6 El polinomio es p(x) =ax + bx +5 Que el resto de dividirlo por (x ) sea equivale a que el valor numérico en x =es : p() = 4a +b +5= ; 4a +b = 8 El valor numérico en es p( ) = a b +5=6; a b = { 4a +b = 8 Resolviendo el sistema: Resulta a = ; b = a b = El polinomio es p(x) = x x +5 Ejemplo: Hallar un polinomio de tercer grado que cumpla: I)El coeficiente principal es. II) El número 6 es una raíz. III) El valor numérico en x = es el mismo que el resto de dividir el polinomio por (x-). IV) Es divisible por (x 5). El polinomio general de grado es ax +bx +cx+d para evitar tantas incógnitas aplicamos la descomposición en factores: Como 6 es raíz es divisible por x 6, luego(x 6) es factor de su descomposición en factores. Otro factor es (x 5) Luego el polinomio es p(x) =(x 5)(x 6)(mx + n) =(x x + 0)(mx + n) Como el coeficiente principal es tenemos que m =queda: p(x) =(x x + 0)(x + n) La condición III) se puede escribir p( ) = p() p( ) = (( ) ( ) + 0)(( ) + n) =4n 84 p() = ( + 0)( +n) =6n +6 Igualando: 4n 84 = 6n + 6; n = 0 Resulta: (x x + 0)(x + 0 )=x 56 x + 70 x Gráfica de una función Dada una función y = f(x), los puntos de coordenadas (x, f(x)) representan puntos del plano, el conjunto de ellos es la gráfica de la función.
40 4 POLINOMIOS 4.. Gráfica de una función polinómica de grado 0 Sea por ejemplo y = (podemos pensar en y =+0x) x 0 y La gráfica de una función polinómica de grado cero, o sea, y = constante, es una recta paralela al ejedeabcisas De manera parecida la representación de x = 5 será una recta vertical Gráfica de una función polinómica de grado La gráfica de una función polinómica de grado, y = x 4 +4 osea,y = ax + b, es una recta que se determina hallando únicamente dos puntos. Ejemplo: y = x +4 x y Gráfica de una función polinómica de grado La gráfica de una función polinómica de grado, o sea, y = ax + bx + c, es una parábola. Para representarla hacemos los siguientes pasos:. si el coeficiente de x es positivo es abierta hacia arriba si el coeficiente de x es negativo es abierta hacia abajo. hallamos los puntos de corte con los ejes con el eje OX se hace y =0y se resuelve la ecuación de 0 grado con el eje OY se hace x =0. hallamos el vértice: la abcisa del vértice viene dada por x v = b a, para hallar y v sustituimos x v en la función 4. si tenemos pocos puntos para representar hallamos alguno más dando valores a la x y= Ejemplos:. y = x 4x
41 4. Gráfica de una función polinómica de grado 5 ) abierta hacia arriba ) cortes con los ejes con OX, y =0, resulta: 0=x 4=x(x 4) x =0 x =4 con OY, x =0, ya hallado. x y ) vértice x v = b a = 4 =, y v = vértice y = x ) abierta hacia abajo ) cortes con los ejes con OX, y =0, 0= x 6 que no da raíces reales con OY, x =0, y = 6 ) vértice x v = b a = 0 6 =0, y v = 6 x y interesa dar más valores: vértice f(x) =x x 4 ) abierta hacia arriba ) Cortes con los ejes y =0 x = b ± b 4ac a ) vértice x v = b a = = x y 0 0 vértice = ± 4+6 = ± 0 { f(x) = { x si x < x 4 si x
42 6 POLINOMIOS El primer trozo es una recta y el segundo una parábola. 4 La parábola es abierta hacia arriba, y los puntos de corte son: con OX en x = ±; conoy=eny = 4 que es también el vértice. Interesa dar los valores del dominio donde cambia la expresión de la función: x 0 x si x < y f(x) = x x 4 si x y
43 4.4 Problemas Problemas. Siendo f =x x, g =x 4 x, hallar f.g f. Solución: 9x 6 x 5 x 4 +7x x. Multiplicar en línea a) (x x)( x) b) (5x x )(x +x) Solución: a) x +5x x b) 6x 6 +5x 5 4x 4 +0x. Calcular (x +5) 4 = Solución: x 4 +0x + 50x + 500x Calcular (x ) = Solución: 8x 6x +54x 7 5. Calcular ( + i) 5 = Solución: 8 + 4i 6. Calcular (i ) 4 = Solución: 0i 9 7. Calcular ( 4i) = Solución: i 8. Efectuar (5x 4 +x ):(x x) Solución: Q =5x +7x +5, R = 5x 9. Efectuar (6x 5 x + x ):(x 4 x) Solución: Q =x, R= x +4x 0. Efectuar (4x 6 x 4 + x) :(x 4 + x ) Solución: Q =x x,r= x + x. Siendo f =x 5x, g =x + x. Hallar f.g g Solución: x 4 x 5x +7x. Efectuar Solución: 4 x x+ x + 4 x 4 =. Efectuar ax + ay xy + y b bx by.x. x y ay a = Solución: y 4. Efectuar 6(x ) 6x(x ) (x ) 4 = Solución: (x ) 5. Dividir (5x x +):(x ) = Solución: Q =5x,R=5x 6. Dividir por Ruffini (x 8 5x +7x) : (x +)= Solución: Q =x 7 x 6 +x 5 x 4 +x x x +9,R= 9 7. Dividir por Ruffini (x 5 x +) : ((x ) = Solución: Q =x 4 +4x +8x +x+6,r=55 8. Llamando f(x), g(x) y h(x) respectivamente a los dividendos de los tres problemas anteriores, hallar f(4), g( ), h() y h( ). Solución: f(4) = 9,g( ) = 9,h() = 55,h( ) = Hallar un polinomio de o grado verificando: no tiene término independiente, el valor numérico en es igual al resto de dividirlo por x, toma el valor 6 en. Solución: 4 x 6 x 0. Hallar un polinomio de o grado que sea divisible por x, quetomeelvalor5 para x = y cuyo coeficiente principal sea. Solución: x x
44 8 POLINOMIOS. Hallar a para que la división siguiente sea exacta (x 5 7x 4 ax +):(x ) Solución: 79/4. Efectuar (x 6 x 5 + x 4 ):(x +x) = Solución: Q =x x x +,R=6x 4x. Efectuar (x 4 x ):(x + x) = Solución: Q = x /,R= x + x/ 4. Efectuar (6x 4 5x ):(x ) = Solución: Q =6x +6x + x +,R= 5. Efectuar (8x 4 +x x + x +5):(4x x) = Solución: Q =x + x /,R= x/+5 6. Hallar las raíces de f(x) =x x +7x Solución: 0, 6 ± 9 7. Hallar las raíces de f(x) =x 4 x +. Hallar las raíces y descomponer f(x) =x +x 5x 6 Solución:,,. Hallar las raíces y descomponer f(x) =x 4 x Solución: x(x )(x + x +) 4. Descomponer f(x) =x 5 4x Solución: x(x +)(x + )(x ) 5. Descomponer f(x) =x x x Solución: x[x ( )][x ( + )] 6. Descomponer f(x) =x 5 8x Solución: x(x +)(x + )(x ) 7. Descomponer f(x) =x 4 x 5x +6x Solución: x(x )(x )(x +) 8. Descomponer f(x) =x 9x +6x 4 Solución: (x )(x )(x 4) Solución: ±, dobles 8. Hallar las raíces de f(x) =x 0x 5 Solución: 9. Hallar las raíces de f(x) =5x 7x +64x 0 Solución:, 5, /5 0. Hallar las raíces de f(x) =x 4 x x +7x +6 Solución:,, doble. Hallar las raíces de f(x) =x 4 x 0x +4x Solución: 0,,4,- 9. Descomponer f(x) =x 4 4x + Solución: (x ) (x +) 40. Hallar las raíces y descomponer f(x) =x 4 4x Solución: x (x )(x + ) x 4. Despejar la x en: T =π g ( ) T Solución: x = g π 4. Efectuar 4x x 4. Efectuar x x x + x
45 4.4 Problemas Simplificar x 5x +x x x 45. Efectuar x + x x +x 46. Resolver x + x x =0 Solución: / 47. Resolver x + + x + =0 Solución: -/8 48. Resolver x(x x ) x (x ) (x x ) =0 Solución: 0 y Resolver + (x )(x ) (x x +4) (x ) =0 Solución: x = 6 ± Representar gráficamente x y = 5. Representar gráficamente 4x 5y 4 = 0 5. Representar gráficamente 5. Representar gráficamente y = x 5x Representar gráficamente y =(x )( + x) 55. Representar gráficamente y =(x )(5 x) 56. Representar gráficamente y =4+x 57. Representar gráficamente { x + para x < y = x + para x 58. Representar gráficamente { x + para x y = x +4x +4 para x > 59. Representar gráficamente { (x +)(x ) para x y = x para x > 60. Hallar la ecuación de la parábola: y = 4 x 6 Solución: y =x /4 x/ 6

References: resolución 
 resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución