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AL - Álgebra Lineal y Aplicaciones - PDF
AL - Álgebra Lineal y Aplicaciones
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José Ramón Vázquez Pérez
1 Unidad responsable: Unidad que imparte: Curso: Titulación: Créditos ECTS: EETAC - Escuela de Ingeniería de Telecomunicación y Aeroespacial de Castelldefels MA IV - Departamento de Matemática Aplicada IV GRADO EN INGENIERÍA TELEMÁTICA (Plan 2009). (Unidad docente Obligatoria) GRADO EN INGENIERÍA DE SISTEMAS DE TELECOMUNICACIÓN (Plan 2009). (Unidad docente Obligatoria) 6 Idiomas docencia: Catalán, Castellano Profesorado Responsable: Otros: Definit a la infoweb de l'assignatura. Definit a la infoweb de l'assignatura. Capacidades previas Destreza en cálculos aritméticos y simplificaciones en expresiones algebraicas. Conocimiento de los conceptos de función y de representación gráfica de una función. Saber utilizar el cálculo diferencial e integral de una y varias variables. Conocer la transformación de Laplace. Capacidad de abstracción. Requisitos Las matemáticas de la enseñanza secundaria postobligatoria. Haber cursado o estar cursando las asignaturas Cálculo y Matemáticas de la Telecomunicación. Competencias de la titulación a las cuales contribuye la asignatura Específicas: 1. CE 1 TELECOM. Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización. (CIN/352/2009, BOE ) Transversales: 2. APRENDIZAJE AUTÓNOMO - Nivel 1: Llevar a cabo tareas encomendadas en el tiempo previsto, trabajando con las fuentes de información indicadas, de acuerdo con las pautas marcadas por el profesorado. 3. COMUNICACIÓN EFICAZ ORAL Y ESCRITA - Nivel 1: Planificar la comunicación oral, responder de manera adecuada a las cuestiones formuladas y redactar textos de nivel básico con corrección ortográfica y gramatical. 4. TRABAJO EN EQUIPO - Nivel 1: Participar en el trabajo en equipo y colaborar, una vez identificados los objetivos y las responsabilidades colectivas e individuales, y decidir conjuntamente la estrategia que se debe seguir. 1 / 12
2 Metodologías docentes Dos sesiones semanales de 1.5 horas donde se tratan los conceptos teóricos del tema y se resuelven problemas ilustrativos. Estas sesiones combinan el modelo expositivo con el participativo (aprendizaje cooperativo). Una hora semanal de clase dedicada a resolver problemas de una lista disponible en Atenea y donde se prioriza la resolución de los problemas por parte de los estudiantes, con una atención más personalizada de las dificultades por parte del profesorado. Una hora semanal de actividades dirigidas donde el estudiante plantea, analiza y resuelve aplicaciones prácticas de forma analítica y numérica (con el software mencionado). En estas actividades dirigidas se usan principalmente métodos de aprendizaje basado en problemas/proyectos. Las sesiones de actividades dirigidas son de dos tipos. En las del primer tipo el estudiante trabaja individualmente un guión que ha descargado de Atenea y que contiene un estudio previo necesario para el trabajo que realizará posteriormente y contesta un cuestionario que tendrá que entregar antes de la realización del trabajo de laboratorio. El segundo tipo de actividad dirigida, continuación de la anterior, se hace necesariamente en el laboratorio, donde planteará y resolverá, mediante el software matemático, una aplicación concreta del álgebra lineal, siguiendo unas pautas generales escritas. Estas actividades dirigidas cuentan con el asesoramiento del profesorado que orienta convenientemente a los alumnos para su desarrollo efectivo. Un número reducido de estudiantes por grupo facilita la detección de carencias en la formación previa y la comprensión de las materias del curso, y el profesorado puede ayudar individualmente. Esta individualización favorece también a los alumnos con más formación y capacidad. La proximidad del profesor asegura la evaluación continuada. Las horas de aprendizaje autónomo se tienen que dedicar al estudio de la asignatura y a la resolución de los ejercicios propuestos por el profesorado. Objetivos de aprendizaje de la asignatura Al acabar la asignatura de Álgebra Lineal y Aplicaciones, el/la estudiante tiene que ser capaz de: - Conocer las estructuras algebraicas básicas, el álgebra de Boole y la aritmética modular. - Solucionar sistemas de ecuaciones lineales. - Operar con matrices. - Conocer las propiedades de los espacios vectoriales. - Conocer las aplicaciones lineales, los cambios de base y la diagonalización de matrices. - Saber operar con el producto escalar y manipular bases. Ortonormalizar. - Explicar el significado geométrico y resolver las ecuaciones diferenciales de primer orden más usuales, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n y los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes. Saber encontrar soluciones particulares. - Utilizar una herramienta informática (Wiris, Matlab o equivalente) para resolver problemas reales relacionados con el álgebra lineal. 2 / 12
3 Horas totales de dedicación del estudiantado Dedicación total: 150h Grupo grande/teoría: 39h 26.00% Grupo mediano/prácticas: 0h 0.00% Grupo pequeño/laboratorio: 13h 8.67% Actividades dirigidas: 14h 9.33% Aprendizaje autónomo: 84h 56.00% 3 / 12
4 Contenidos Estructuras algebraicas Dedicación: 36h Grupo grande/teoría: 9h Grupo pequeño/laboratorio: 3h Actividades dirigidas: 4h Aprendizaje autónomo: 20h 1.1 Operaciones binarias y propiedades. Estructuras algebraicas (semigrupo, Grupo, anillo, cuerpo). 1.2 Los enteros: operaciones y orden. Divisibilidad: teorema fundamental de la aritmética. Congruencia; tests de divisibilidad. 1.3 Retículos y álgebra de Boole. Circuitos lógicos. 1.4 Polinomios. Actividades vinculadas: Control 1; Actividades Dirigidas 1,2,3,4. Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes Dedicación: 23h Grupo grande/teoría: 6h Grupo pequeño/laboratorio: 2h Aprendizaje autónomo: 13h 2.1 Matrices. Operaciones con matrices. Matriz inversa. Rango. Método de Gauss. 2.2 Determinantes. 2.3 Sistemas de ecuaciones lineales. Discusión y resolución de sistemas. Método de Cramer. Principio de superposición. Actividades vinculadas: Actividades Dirigidas 5,6. 4 / 12
5 Espacios vectoriales Dedicación: 23h Grupo grande/teoría: 6h Grupo pequeño/laboratorio: 2h Aprendizaje autónomo: 13h 3.1 Espacios y subespacios vectoriales. Subespacios generados por un conjunto: combinación lineal. Dependencia e independencia lineal. Sistemas de generadores. 3.2 Bases. Dimensión. Coordenadas de un vector en una base. Cambio de base. 3.3 Operaciones con subespacios: suma directa. Actividades vinculadas: Actividades Dirigidas 7,8. Operadores lineales. Diagonalización Dedicación: 34h Grupo grande/teoría: 9h Grupo pequeño/laboratorio: 3h Actividades dirigidas: 3h Aprendizaje autónomo: 19h 4.1 Definiciones y propiedades. Núcleo e imagen. Matriz asociada a una aplicación lineal. Cambio de base en aplicaciones lineales. 4.2 Endomorfismos y matrices diagonalizables. Vectores y valores propios. Polinomio característico. 4.3 Diagonalización. Teorema de Cayley-Hamilton. Primer teorema de descomposición. 4.4 Producto escalar. Bases ortogonales y ortonormales. Proyección ortogonal. Actividades vinculadas: Control 2; Actividades Dirigidas 9,10,11,12. 5 / 12
6 Ecuaciones diferenciales Dedicación: 34h Grupo grande/teoría: 9h Grupo pequeño/laboratorio: 3h Actividades dirigidas: 3h Aprendizaje autónomo: 19h 5.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden. Definición. Resolución de ecuaciones de variables separables, lineales y homogéneas. Ecuaciones diferenciales exactas. 5.2 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior a coeficientes constantes. Método de ensayo para obtener una solución particular para el caso no homogéneo. 5.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Resolución por sustitución. Sistemas homogéneos y no homogéneos. Aplicación de la Transformada de Laplace. Actividades vinculadas: Control 3; Actividades Dirigidas 13,14. 6 / 12
7 Planificación de actividades CONTROL 1 Dedicación: 10h 45m Grupo grande/teoría: 0h 45m Aprendizaje autónomo: 10h Control individual. Resolución de uno o dos ejercicios similares a los que incluyen las listas de problemas trabajadas en clase. Apuntes de la asignatura y listas de problemas disponibles en el Campus Digital Control resuelto Vínculo con la evaluación: apartado controles. Operaciones binarias y sus propiedades. Algoritmo Euclides. Aritmética modular. Operaciones booleanas. CONTROL 2 Dedicación: 10h 45m Grupo grande/teoría: 0h 45m Aprendizaje autónomo: 10h Control individual. Resolución de uno o dos ejercicios similares a los que incluyen las listas de problemas trabajadas en clase. Apuntes de la asignatura y listas de problemas disponibles en el Campus Digital Control resuelto Vínculo con la evaluación: apartado controles. Reconocer espacios vectoriales. Realizar cambios de base. Trabajar con operadores lineales. Diagonalizar. Calcular autovalores y autovectores. CONTROL 3 Dedicación: 10h 45m Grupo grande/teoría: 0h 45m Aprendizaje autónomo: 10h Control individual. Resolución de uno o dos ejercicios similares a los que incluyen las listas de problemas trabajadas en clase. Apuntes de la asignatura y listas de Problemas disponibles en el Campus Digital 7 / 12
8 Control resuelto Vínculo con la evaluación: apartado controles. Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separadas, ecuaciones homogéneas, lineales y exactas. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes. ACTIVIDADES DIRIGIDAS 1,2 (INTRODUCCIÓN AL PROGRAMARLO MATEMÁTICO) Introducción en el software libre o con licencia UPC y su aplicación en la asignatura. El software tiene que permitir operar con matrices, solucionar sistemas de ecuaciones lineales, etc. (p.e. Wiris, Maple o equivalente). A partir de un guión que hay que estudiar y trabajar autónomamente (estudio previo), se contesta un cuestionario que se entrega al empezar la 2ª actividad dirigida, la cuál se realiza en el laboratorio con el asesoramiento del profesor. Se trata de introducir el software resolviendo un caso práctico. Hay que considerar el problema propuesto, los conceptos y los métodos explicados de una guía disponible en Atenea para poder diseñar un programa o esquema de resolución y aplicarlo al caso considerado. Material AD1,AD2 (disponible en Atenea) Entregable 1: Cuestionario resuelto. Entregable 2: Diseño metodológico y resolución del trabajo propuesto. Vínculo con la evaluación: apartado de entregables en grupo. Conocer las instrucciones básicas del software dentro del contexto del Álgebra Lineal. ACTIVIDADES DIRIGIDAS 3,4 (ARITMÉTICA MODULAR. ENCRIPTADO) En el estudio previo se describen las matemáticas del encriptado RSA y hay que contestar un cuestionario que se entrega al empezar la 2ª actividad dirigida, la cual se realiza en el laboratorio con el asesoramiento del profesor y donde se diseña la metodología y se resuelve un ejemplo práctico de encriptado RSA con clave pública, aplicando los conceptos y los métodos del estudio previo. Material AD3,AD4 (disponible a Atenea) Entregable 3: Cuestionario resuelto. Entregable 4: Diseño metodológico y resolución del trabajo propuesto. Vínculo con la evaluación: apartado de entregables en grupo. 8 / 12
9 Aplicar la aritmética modular al encriptado RSA. ACTIVIDAD DIRIGIDA 13,14 (ECUACIONES DIFERENCIALES) En el estudio previo se introduce un método numérico (método de Euler) de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Hay que contestar un cuestionario que el/la estudiante entregará para su corrección al empezar la 2ª actividad dirigida que se realiza en el laboratorio con el asesoramiento del profesor y donde diseña la metodología y resuelve ejemplos, como un caso adaptado a la carrera de presa-depredador. (secciones o de AR 2005) Material AD13,AD14 (disponible en Atenea) Entregable 13: Cuestionario resuelto. Entregable 14: Diseño metodológico y resolución del trabajo propuesto. Vínculo con la evaluación: apartado entregables en grupo Aplicar métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales para resolver modelos tipo presadepredador (p.e propagación de agentes en redes, etc). ACTIVIDADES DIRIGIDAS 5,6 (MATRICES. REDES) En el estudio previo se describe la relación entre matrices y redes (matriz de adyacencia) y hay que contestar un cuestionario que el/la estudiante entrega al empezar la 2a. actividad dirigida que se realiza en el laboratorio con el asesoramiento del profesor y donde, considerando datos de redes reales y simuladas, se diseñan métodos para resolver ejemplos prácticos de cálculos de propiedades de las redes a partir de la matriz asociada, como la presencia de hubs, la determinación de distancias, etc., y se consideran operaciones como el producto de matrices, suma de columnas, etc. Material AD5,AD6 (disponible a Atenea) Entregable 5: Cuestionario resuelto. Entregable 6: Diseño metodológico y resolución del trabajo propuesto. Vínculo con la evaluación: apartado de entregables en grupo. Aplicar operaciones matriciales al estudio de redes. 9 / 12
10 ACTIVIDADES DIRIGIDAS 7,8 (ESPACIOS VECTORIALES. CÓDIGOS CORRECTORES) En el estudio previo se describe la relación entre espacios vectoriales y matrices y los códigos lineales correctores de errores. Hay que contestar un cuestionario que el/la estudiante entrega para su corrección al empezar la 2ª actividad dirigida que se realiza en el laboratorio con el asesoramiento del profesor y donde se diseña la metodología y se resuelven casos prácticos de codificación-descodificación. Material AD7,AD8 (disponible en Atenea) Entregable 7: Cuestionario resuelto. Entregable 8: Diseño metodológico y resolución del trabajo propuesto. Vínculo con la evaluación: apartado entregables en grupo Aplicar conceptos de espacios vectoriales y operaciones matriciales al estudio de códigos lineales correctores de errores. ACTIVIDAD DIRIGIDA 9,10 (DIAGONALIZACIÓN) En el estudio previo se describen métodos para encontrar autovalores y autovectores. Hay que contestar un cuestionario que el/la estudiante entrega para su corrección al empezar la 2ª actividad dirigida que se realiza en el laboratorio con el asesoramiento del profesor y donde diseña la metodología y resuelve ejemplos de cálculo de autovalores y autovectores en casos prácticos (p.e. secciones y de AR 2005, algoritmo PageRank de Google). Material AD9,AD10 (disponible en Atenea) Entregable 9: Cuestionario resuelto. Entregable 10: Diseño metodológico y resolución del trabajo propuesto. Vínculo con la evaluación: apartado entregables en grupo Diagonalización. Método de la potencia. Relación con potencias de matrices. Aplicaciones (p.e. PageRank, evolución de agentes, etc.) ACTIVIDADES DIRIGIDAS 11,12 (OPERADORES LINEALES) 10 / 12
11 En el estudio previo se ve como las transformaciones afines (operadores lineales al plano) pueden servir para conseguir la compresión fractal de imágenes (empleada extensamente). Hay que contestar un cuestionario que el/la estudiante entrega para su corrección al empezar la 2ª actividad dirigida que se realiza en el laboratorio con la presencia del profesor y donde resuelven casos concretos de compresión fractal (sección de AR 2005) Material AD11,AD12 (disponible en Atenea) Entregable 11: Cuestionario resuelto. Entregable 12: Diseño metodológico y resolución del trabajo propuesto. Vínculo con la evaluación: apartado entregables en grupo Aplicar transformaciones afines para la compresión fractal de imágenes. Sistema de calificación Número Peso (%) Peso total(%) Exámenes Controles AD evaluables (*) (*) Los trabajos se entregan individualmente o en grupos como se indica en la metodologia docente. Hay que entregar todos los entregables. Si no se entrega alguno, se considerará evaluado con un 0. Del conjunto de entregables, se evaluarán cuatro por grupo. Normas de realización de las actividades Los controles se hacen en horas de clase de teoría y tienen una duración aproximada de 45'. El primer examen se hace en mitad del cuatrimestre (semana sin clases asignada por la Escuela). El segundo examen se hace la semana siguiente después de finalizar las clases del cuatrimestre. La duración de los exámenes es de 90'. Se hace el mismo examen en todos los grupos. Se realizan (de forma individual) tres tests de nivel a través de Atenea. En relación a las actividades dirigidas, del conjunto de entregables se evaluarán cuatro. 11 / 12
12 Bibliografía Básica: Lay, David C.. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 3a ed. Mèxic: Ed. Pearson Educación, ISBN Braun, M. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Mèxic: Grupo Editorial Iberoamericana, ISBN Complementaria: Anton, Howard; Rorres, Chris. Elementary linear algebra: applications version. New York: Ed. John Wiley & Sons, ISBN Marcellán, F. Ecuaciones diferenciales: problemas lineales y aplicaciones. Madrid: Ed. McGraw-Hill, ISBN Williams, Gareth; Hano Roa, Ma. del Carmen. Álgebra lineal con aplicaciones. 4a ed. México: Ed. McGraw-Hill, ISBN X. Otros recursos: Material disponible al Campus Digital (Atenea): 1) Material específico para las sesiones de aprendizaje cooperativo (puzle) estructurado en 3 partes independientes (rols): 2) Apunets de la asignatura. 3) Listas de problemas. 4) Estudio previo y cuestionario para las actividades dirigidas tipo uno, guión y cuestionario para las de tipo dos. 12 / 12

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