Source: https://es.scribd.com/doc/125429768/Antologia-de-Algebra
Timestamp: 2017-08-22 00:11:15+00:00

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Bienvenido al mundo maravilloso, de las literales y los números, en este material autoinstruccional encontraras el que y el por que de las incógnitas además las formas de explicar mas fácilmente, las operaciones matemáticas con las cuales convives. La antología está estructurada de tal forma que te resultará fácil el uso, en ella encontrarás al principio de cada unidad una o varias secuencias didácticas, las cuales de manera personal desarrollaras, cada unidad tiene una pequeña inducción al tema de estudio, desarrollo, actividades de aprendizaje, autoevaluación, y en algunos casos actividades remédiales. Pon mucha atención en cada uno de los aspectos y si tuvieras alguna duda consúltalo inmediatamente con tu asesor. Para profundizar más en tus conocimientos consulta la bibliografía que se te presenta al final de la unidad. Finalmente, el éxito o fracaso de este trabajo se sustentará en la obtención de resultados y en la relevancia de los cambios que se generen, asimismo en la adquisición de habilidades y destrezas evidenciadas en el desarrollo de tus capacidades. ¡ TODOS TENEMOS HABILIDADES MATEMÁTICAS, DESCUBRÁMOSLAS JUNTOS Ahora tienes en tus manos una de las herramientas más importantes en tu formación. Al conocerla te darás cuenta de su utilidad, práctica y sobre todo lo ameno que te parecerá. Con la seguridad de tu dedicación y empeño demostrado como estudiante del SAETA, te decimos solamente...
PROPÓSITO. Sentar las bases que te permitan apropiarte de los conocimientos del Álgebra, para aplicar modelos matemáticos en apoyo a otras disciplinas y en la solución de problemas reales.
El razonamiento diferencia al hombre de los Demás seres vivos, la base del razonamiento Son las matemáticas.
C. E. N. C.
Cuando las cantidades son representadas por medio de letras para lograr la generalización, se habla de Álgebra. El hombre al contextualizar abstractamente el número, después de muchos siglos que empezara a medir y contar, crea las bases para la formación de la ciencia algebraica. Se pretende, que te familiarices poco a poco con conocimientos más abstractos del número, partiendo de los antecedentes preliminares para el conocimiento y resolución de problemas en donde se presenten valores por medio de letras. En la vida diaria es frecuente el uso de símbolos para simplificar anotaciones y facilitar las operaciones. Como el signo $ que significa pesos, el símbolo que significa que nos aproximamos a una curva, el símbolo °, que significa grados y otros que vemos en cada momento; pero los más usados son simples abreviaturas en las que la primera letra de una palabra reemplaza a toda la palabra, por ejemplo m (metro), l (litro), r (radio), c.p. (código postal), Ha (hectárea), P.M. (pasado meridiano) y varios más que son de uso común. A continuación observarás el total de contenidos que aprenderás, representados en el siguiente diagrama:
SAETA ALGEBRA ÁLGEBRA . Métodos de solución Sistema de ecuaciones con 2 y 3 incógnitas de primer grado Métodos de solución Notación Propiedades de las desigualdade s Solución de inecuaciones 4 . ÁLGEBRA LENGUAJE ALGEBRAICO ECUACIONES EXPRESIÓN ALGEBRAICA OPERACIONES FUNDAMENTALES ECUACION ES LINEALES ECUACIONES CUADRÁTICA S SISTEMA DE ECUACIONES INECUACIONES Terminología Lenguaje común Lenguaje algebraico Suma y resta de polinomios Exponentes y radicales Multiplicación y división De de polinomios Productos notables Factorización Ecuaciones de primer grado Despeje de formulas.
No necesariamente en un término algebraico tienen que aparecer todos los elementos. ejemplos: -8p3. 3 y2 c) Trinomio: Expresión algebraica de tres términos.. por ejemplo: . en donde cada uno recibe un nombre específico: el signo. 5 . 7. 3 3w b) Binomio: Expresión algebraica de dos términos. coeficiente numérico. etc. efectivamente 4 y son: . etc. I.SAETA ALGEBRA TERMINIOLOGÍA Las expresiones separadas por un signo (más ó menos). 1 m3 n2. 16 4 etc. si lo separamos en sus elementos. literal o base). m. 4m -7n . 4z2 + 5x2. cada término en una expresión algebraica está formado por varios elementos. d) Polinomio: Expresión algebraica de más de un término. Indica el número de términos que contiene cada expresión algebraica. ejemplos: x + 2. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.1 + z 2 c) 8p + 4n2 d) 11x . 1 m2 + 3 mn . Como podemos ver.5. 7y2 + 4x -y3. 3x2 . ¿Cuántos obtendrías? ____________. 3x2 + 2mx.5x + 17.n2.5 mn + 1. a) 8c 4f + f y . ejemplos: 5x . puesto que algunos se sobre entienden Averigua que representa cada uno de los elementos (signo.1 4f + 2x2 b) ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ Las expresiones algebraicas las podemos clasificar según el número de términos que posean: a) Monomio: Expresión algebraica que consta de un sólo término. 4z3. coeficiente. ejemplo: 2x + 3y .7 m2. exponente. los términos sólo contienen productos y cocientes de números y de letras. parte literal y exponente. se le llama término. 4 etc.1. 2.
1. etc. La suma de dos números 3. 4. Realiza las expresiones algebraicas siguientes: EXPRESIÓN VERBAL EXPRESIÓN ALGEBRAICA 1. Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes. Comprender el lenguaje escrito para pasarlo al lenguaje algebraico 2. Utilizar los signos de agrupación en expresiones algebraicas sencillas PROBLEMA: Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas por los símbolos de operación suma. resta.SAETA ALGEBRA LENGUAJE COMUN TEMA INTEGRADOR: DEL LENGUAJE COMUN A ALGEBRAICO. OPERACIONES DE APERTURA: En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposición con lenguaje algebraico. El cuadrado de la diferencia de dos números 6 . raíces. potencia. La mitad de un número más otro número 6. El producto de dos números 5. haciendo la expresión algebraica correspondiente. analizar materiales escritos y relacionarlos con el lenguaje algebraico. división. multiplicación. El peso de tu Profesor 2. La diferencia de dos números 4. La tercera parte de la suma de dos números 7. hacer planteamientos sencillos de lenguaje coloquial o común a lenguaje algebraico. 3. que sirva como modelo para representar algunos problemas de la vida real..
1. Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo 8. Ejemplificación de procedimientos de representación de enunciados en forma Algebraica y operaciones con expresiones algebraicas. ACTIVIDADES DE DESARROLLO: 1. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando coincidencias y diferencias. 9. Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje algebraico y de realizar problemas similares al lenguaje algebraico y con los contenidos que puedan corresponder al tema integrador 7 . . Analizar los materiales escritos en lenguaje común y pasarlos por equipo como son: a) Lenguaje algebraico.SAETA ALGEBRA 8. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer la expresión algebraica de cada frase en lenguaje común. 4. ACTIVIDADES DE CIERRE: 1. 3. 6. Discusión del grupo por la estrategias y resultados obtenidos en el problema. Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios utilizados en la solución del problema. b) Expresión algebraica c) Signos de agrupación 2. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados. con el material analizado. Presenta la estrategia al grupo. El cociente de dos números 5. 7.
las siguientes expresiones verbales.SAETA ALGEBRA 2..... El doble del cubo de un número: ( ) a) 2 a b) 2a3 c) a /2 ( ) Un número más el cuádruplo del mismo número es igual a 25: a) x + 4x = 25 a) 2m .8 ) = n/3 c) m2 . 2 hectáreas y 9 hectáreas . INSTRUCCIONES: Identifica la expresión algebraica que corresponda a cada una de las expresiones verbales.c /2 + m ( ) El cuadrado de un número más su mitad a) a /2 + a b) a2 + a2 c) a2 + a/2 8 ...Escribe en lenguaje algebraico dentro del rectángulo de la derecha....... de tela b) La leche que da una vaca c) La leche que dan 5 vacas d) El maíz que produce una hectárea de terreno.8 = n/3 ( c) a La mitad de un número más otro número a) a ) /2 + a b) a/2 ... Resolver los ejercicios propuestos por el profesor 3..... INSTRUCCIONES... a) El precio de 1m.. Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo... ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. II..8 = 3n b) x + x = 25 c) x + x/4 = 25 ) El cuadrado de un número disminuido en 8 es igual a la tercera parte de otro número....( b) ( 2m ..e) La suma de dos números f) La suma de dos números al cuadrado g) La 1/5 parte de la producción total de huevo en una granja avícola.
potencia. 3. Utilizar los signos de agrupación en expresiones algebraicas sencillas PROBLEMA: Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas por los símbolos de operación suma. que sirva como modelo para representar algunos problemas de la vida real.LENGUAJE ALGEBRAICO TEMA INTEGRADOR: DEL LENGUAJE ALGEBRAICO A COMUN OPERACIONES DE APERTURA: En álgebra es muy importante comprender perfectamente las expresiones algebraicas en una proposición con lenguaje coloquial o común y viceversa. pásalas a lenguaje común: a) a /2 + b = __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ b) 3ª . analizar las expresiones algebraicas y relacionarlos con el lenguaje común. resta. Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes.SAETA ALGEBRA El cubo de un número más el cuadrado de otro número a) c3 + a/2 b) c3 + c2 c) c3 + a2 ( ) . Comprender el lenguaje algebraico para pasarlo al lenguaje escrito 2. De las expresiones algebraicas siguientes. 1. haciendo la expresión verbal correspondiente.h = c) 2x = d) 3 (a – b) = e) f) g) x /4 + y /3 = 2m – 4n = ( a – c )2 = 9 . 4. multiplicación. división. hacer planteamientos sencillos de lenguaje algebraico a lenguaje común. etc.. raíces.
10 . En forma individual determina una estrategia de solución para conocer lo que nos dice la expresión algebraica y expresarla en lenguaje común o coloquial. 7. con el material analizado. b) Expresión algebraica c) Signos de agrupación 2. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios utilizados en la solución del problema. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados. Discusión del grupo por la estrategias y resultados obtenidos en el problema. 4. Presenta la estrategia al grupo. ACTIVIDADES DE DESARROLLO: 1. Analizar los materiales escritos en lenguaje algebraicos y pasarlos al lenguaje común y con los contenidos que puedan corresponder al tema integrador por equipo como son: a) Lenguaje algebraico. 3) Resolver los ejercicios propuestos por el profesor 4) Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando coincidencias y diferencias. Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo 8. 6. Ejemplificación de procedimientos de representación de enunciados en forma Algebraica y con las expresiones comunes. 2) Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución. 3. 9. ACTIVIDADES DE CIERRE: 1) Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje algebraico y de realizar problemas similares.SAETA ALGEBRA 5.
h = c) 2x = d) 3 (a ..SAETA ALGEBRA ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I.4n = ( a . 2x + c c) La mitad de un número. a b) El doble de un número más su mitad c) El doble de un número más su cuadrado ( ) /2 + b/2 a) La suma de la mitad de b) la suma del cuadrado de c) La mitad de un número dos números dos números más otro número 11 . ( ) /4 . a) a Escribe en lenguaje verbal las siguientes expresiones /2 + b = __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ b) 3a . ( ) a) El doble de la suma de dos números. 3. b b) El doble de un número aumentado en otro. colocando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta. a) La cuarta parte de un número disminuido en 5. 2. m /2 de un b) El cuadrado de un número.b) = e) f) g) x /4 + y /3 = 2m . INSTRUCCIONES: Identifica la expresión verbal que corresponde a cada una de las siguientes expresiones algebraicas. ( ) a) El doble número.INSTRUCCIONES: algebraicas. 2a + a2 c) La diferencia de la cuarta parte de dos números. 4. (Valor 2 cómputos c/u ) 1. c) La suma del doble de dos números.c )2 = II. ( ) a) El doble de un número más el mismo número 5.5 b) El cuádruplo de un número disminuido en 5.
PROBLEMA: Cuatro elementos máximo pueden formar un término: el signo. los términos sólo contienen productos y cocientes de números y de letras. 1) analizar las expresiones algebraicas que se te indican y definir cuantos términos tienen. a cada una de las siguientes expresiones separadas por un signo (más ó menos). coeficiente numérico.7/4n + 2x2 4) En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuántos términos tiene cada expresión algebraica. No necesariamente en un término algebraico tienen que aparecer todos los elementos. hacer planteamientos sencillos de lenguaje algebraico con pocos términos 3) Utilizando los signos de agrupación hacer expresiones algebraicas sencillas. 12 . 2) Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes. se le llama término.1/3 + z ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ c) 7y + 2m2 d) 8m . puesto que algunos se sobre entienden. 5) Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando coincidencias y diferencias. OPERACIONES DE APERTURA: En álgebra. a) 5x b) 3x + x2 y .SAETA ALGEBRA NOTACION ALGEBRAICA TEMA INTEGRADOR: ELEMENTOS DE UN TERMINO. Indica el número de términos que contiene cada expresión algebraica. parte literal y exponente.
Ejemplificación de procedimientos de representación de términos algebraicos y el nombre de las expresiones algebraicas de acuerdo al número de términos que tienen ACTIVIDADES DE CIERRE: 1) Plantear por equipos las diferentes formas de representar los términos algebraicos y realizar problemas similares. ACTIVIDADES DE DESARROLLO: 1. con el material analizado.INSTRUCCIONES: Coloca sobre las líneas de cuantos términos están formadas cada una de las siguientes expresiones algebraicas 13 al y con los contenidos que puedan corresponder al tema . 2) Plantear por equipos los nombres de los elementos de cada término algebraico y definir en grupo el nombre que recibe de acuerdo al número de términos que tiene 3) Resolver los ejercicios propuestos por el profesor 4) Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo. 4. 3.SAETA ALGEBRA 6) Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo 7) Presenta la estrategia al grupo. 8) Discusión del grupo por las estrategias y resultados obtenidos en el problema. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados. Analizar los materiales escritos en lenguaje algebraicos y pasarlos lenguaje común integrador por equipo como son: a) Definición de término algebraico b) Elementos de un término c) Tipos de Expresiones algebraicas d) Signos de agrupación 2. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios utilizados en la solución del problema..
5 mn + 1 4 _________________ ________________ II. __________________ d) 5x .7/4n + 2x2 e) 7y2 + 4x -y3 f) wxb g) mx + y 14 . e) 3x2 + 2mx _________________ h) 3x2 .5x + 17 _________________ k) 7y2 + 4x -y3 c).n2 16 4 ________________ l) 4m -7n . 3 _________________ b).5 __________________ j) x + 2 _________________ f) 4z2 + 5x2. -8p3.. 3 y2 ________________ i) 1 m2 + 3 mn .1/3m + z _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ______________________________________ _______________________________________ c) 7y + 2m2 d) 8m .SAETA ALGEBRA a). 4z3.INSTRUCCIONES: Indica el número de ELEMENTOS que contiene cada término algebraico. a) 5x2 _____________________________________ b) 3x + x2 y .1 1 m3 n2. 3w _______________ __________________ g) 2x + 3y .
Cuando haya sido identificada la sal. Investiga por tu cuenta la representación simbólica de las sustancias. esta es una expresión algebraica compuesta por signos numéricos y letras. ¿Cuánto mide el largo? 15 . Desarrollo La parte de las matemáticas que se encarga de generalizar y simplificar las cuestiones relativas a los números representándolos por medio de letras es el álgebra. escribe varios ejemplos de usos de la sal.. El álgebra se desarrolló a partir de las reglas y operaciones de la aritmética.SAETA ALGEBRA LENGUAJE ALGEBRAICO BLOQUES ACTIVIDADES Recolecta una serie de productos que contengan sal de diversos tipos. 8 hectáreas de maíz y 3 hectáreas de calabacitas. 8m representa las 8 hectáreas de maíz. Por ejemplo: Un productor agrícola siembra 5 hectáreas de frijol. Elabora un listado de alguna similitud entre los componentes de las sustancias. Observa las diferentes exposiciones para identificar ideas que no hayan considerado en su definición. observa como las literales sustituyen a los conceptos. Elabora una tabla presentando los principales conceptos del lenguaje algebraico y su definición para que lo expongas durante la asesoría. tendríamos: 5f + 8m + 3c. Durante la asesoría compara tus respuestas con la de tus compañeros y elabora conclusiones sobre lo que expresan los símbolos y que tipo de lenguaje representan aquellos donde se utilizan números y letras Lee cuidadosamente el contenido de tu antología sobre el significado de lenguaje algebraico y su terminología. sabiendo que el ancho mide 30 m. En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposición con lenguaje algebraico. de donde: 5f representa las 5 hectáreas de frijol. En la lectura identifican los conceptos que integran el lenguaje algebraico. Ahora escribe como representarías las diferentes sustancias con símbolos. 3c representa las 3 hectáreas de calabacitas. “ALGO PRÁCTICO” Supón que un solar en forma rectangular tiene una superficie (área) de 4 500 m 2.
? Explica tu respuestas. a) Laura la más pobre únicamente. . SECUENCIA DIDÁCTICA BLOQUES Apertura Desarrollo ACTIVIDADES Dar la bienvenida a los alumnos de SAETA Después de haber leído el tema de expresión algebraica Contesta las siguientes preguntas: De acuerdo al análisis y ejemplos presentados en la lectura anterior 1) ¿Cómo definen la palabra álgebra? 2) ¿De que manera aplican el álgebra en su vida cotidiana. L = representa el largo. zapatos de 300 pesos. c) Lupita se compro un vestido con valor de 500 pesos. multiplicación. etc. para calcular el área de un rectángulo empleamos la fórmula: área. por ejemplo. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas por los símbolos de operación suma. además se compro dos accesorios. Por lo que se requiere saber por medio de una encuesta cuantos artículos compro cada una de ellas y de que manera se puede representar algebraicamente las compras realizadas. que sirva como modelo para representar algunos problemas de la vida real. 5) A continuación se presenta una vivencia real con tres amigas (Laura. menos (-). Multiplicación (X). al producto del largo por el ancho. división. Maria y Lupita) que van a graduarse y necesitan comprarse su aguar. en el caso anterior quedaría A = (L) (a) donde: A = representa el área.SAETA ALGEBRA Como es sabido. le alcanzo para comprarse un vestido de 250 pesos de color rosa y bordado. raíces. a = representa el ancho. de aquí surge la necesidad de utilizar un lenguaje más práctico para una expresión verbal a una expresión con símbolos. b) Maria se compro el vestido de color rojo con valor de 300 pesos y las zapatillas doradas con valor de 200 pesos. De esta misma forma existen muchas situaciones en las que se emplean literales para expresar cantidades. división ( /) en tu vida diaria? Explica tu respuesta 4) ¿Por qué crees que son importantes las letras y los números en álgebra. mencionen un ejemplo? 3) ¿Mencionen cual es el uso que le darían a los signos de mas (+). potencia. aretes con valor de 16 . es igual. resta.
respondió: “No 2 vamos cien pero. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: I. El cociente de dos números 9. que sirva como modelo para representar algunos problemas de la vida real. nosotras más nosotras.8 ) = n c) m2 .SAETA ALGEBRA 100 pesos y un collar de perlas con valor de 300 pesos. Un número más el cuádruplo del mismo número es igual a 25: a) x + 4x = 25 b) x + x = 25 c) x + x = 25 4 3 El cuadrado de un número disminuido en 8 es igual a la tercera parte de otro número. división. 5. 4. 2. La producción de trigo La suma de dos números La diferencia de dos números El producto de dos números La mitad de un saco de frijol La tercera parte de la suma de dos números EXPRESIÓN ALGEBRAICA Cierre 7. las expresiones algebraicas y su notación. Un gavilán vio un grupo de palomas volando y les dijo: X + X + X +X + 1= 100 “Adiós cien palomas “.8 = n 3 3 17 . potencia. etc. raíces. 3. más la mitad de nosotras juntas y usted sumamos cien “. Durante la asesoría compararas tus respuestas con la de tus compañeros y lo expondrás en una plenaria general y se realizaran ejercicios propuestos. resta.. 6. n X/2 r + h 3 (m . INSTRUCCIONES: Identifica la expresión algebraica que corresponda a cada una de las expresiones verbales. a lo que una de ellas. Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas por los símbolos de operación suma. El asesor en todo momento aclarara dudas de los estudiantes así mismo mencionara la importancia de álgebra.n) 2 f/g 2. multiplicación. ( ) a) 2m . 1.8 = 3n b) ( 2m . El doble del cubo de un número: ( ) a) 2 a b) 2a3 c) a 2 ( ) x a+b x-y m. EXPRESIÓN VERBAL 1. El cuadrado de la diferencia de dos números 8.
SAETA ALGEBRA II. c) La mitad de un número. 2. López y González. La familia López González esta integrada por cuatro personas: Juan Carlos. ( ) b) El cuádruplo de un número disminuido en 5. m 2 b) El cuadrado de un número. Carmen Alicia y en Lucia? ___________________________________________________________ Para determinar el grado de una expresión algebraica se procede de la siguiente forma: a) Si es monomio: se suman todos los exponentes de la parte literal del término. por ejemplo: el grado de 8x2 y es del tercer grado porque 2 + 1 = 3. Carmen Alicia y Lucia. Julián. Si lo clasificamos algebraicamente tenemos que: López González es la expresión algebraica. Juan Carlos Julián Carmen Alicia Lucía Son los términos de la expresión. b . ( ) a) El doble de un número. 18 . Carlos. 3. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión verbal que corresponde a cada una de las siguientes expresiones algebraicas.5 4 a) La cuarta parte de un número disminuido en 5. 2x + c a) El doble de la suma de dos números. b) El doble de un número aumentado en otro. 1. c) La diferencia de la cuarta parte de dos números. Si tomamos un término de la familia por ejemplo: Juan Carlos López González este está formado por cuatro elementos que son: Juan. ¡Ahora bien! ¿Cuántos elementos encontramos en Julián. ( ) c) La suma del doble de dos números.
En que lugar se encuentra el basurero publico. Buscar puntos de contaminación Identificarlo Indagar lugares contaminados. si saben y Conocen los derechos de la fábrica que existen en el pueblo. de donde: 5f representa las 5 hectáreas de fríjol. Y donde los números se representan por medio de letras. LENGUAJE COMUN BLOQUES Apertura Desarrollo ACTIVIDADES Comentar sobre la contaminación ambiental. Por ejemplo: Un productor agrícola siembra 5 hectáreas de fríjol.2x4 y2 son 5. 19 .SAETA ALGEBRA b) Si es un polinomio: Es el correspondiente al término de mayor grado cuyo coeficiente sea distinto de cero. Cierre Presentación textual de trabajos En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposición con lenguaje algebraico. 8m representa las 8 hectáreas de maíz. observa como las literales sustituyen a los conceptos. tendríamos: 5f + 8m + 3c. 5 y 6. 3c representa las 3 hectáreas de calabacitas. esta es una expresión algebraica compuesta por signos numéricos y letras. 8 hectáreas de maíz y 3 hectáreas de calabacitas. respectivamente. Hay basura tirada en su casa. por ejemplo: 4x2 y3 + 3xy4 . por consiguiente. LENGUAJE ALGEBRAICO. el grado del polinomio es 6. Es aquel donde las literales sustituyen a los conceptos.
Presentar por escrito o verbalmente una anécdota como la siguiente: “Doña Juanita va de compras muy tempranito al supermercado del puesto de Don Lupe. ¿Por qué? ¿Cómo le ayudarías a resolver este problema? 3. 1. se encuentra con que los granos están mezclados. Presentar y discutir las soluciones individuales para compararlas y analizarlas y se llegue a una en común durante tu asesoría. Escribe problemas similares para presentarlos al grupo durante la asesoría para su solución. 3. Representan la información del problema planteado en forma algebraica. 3. 2. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales. Presentar al facilitador un trabajo escrito el cual contendrá desarrollo. Cuando Doña Juanita le pide. Elaborar un mapa conceptual y presentarla al grupo. Recuperar saberes mediante consenso grupal. al dueño del puesto se le dificulta poder despachar rápidamente”.SAETA ALGEBRA BLOQUES Apertura Desarrollo Cierre ACTIVIDADES 1. 2. 1. 1. pregúntate ¿Habrá alguna forma de poder clasificar y representar los objetos y las cantidades? 5. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. 5. 2. Anota las coincidencias y diferencias utilizados en la solución del problema. Compara los lo que sabes con el análisis de las lecturas. Dar respuesta a las preguntas formuladas en el escrito. 6. 4. Resolver ejercicios propuestos en la antología. 6. Redacta enunciados en lenguaje algebraico. 1 kg de arroz. procedimiento y conclusiones. n) El precio de 1m. 4. en forma individual. 3 kg de frijol y 4 kg de trigo . 4. y. 2 hectáreas y 20 . Enlistar diferentes alternativas para resolver los problemas. de tela o) La leche que da una vaca p) La leche que dan 5 vacas q) El maíz que produce una hectárea de terreno. Investiga la historia del álgebra y notación algebraica para su análisis en forma individual. Escribe las posibles soluciones para presentarlas en tu asesoría ante el grupo.
Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes.4n = __________________________________________________ 2 g) ( a . cuando los términos sean semejantes. analizar las expresiones algebraicas y definir cuales son los términos semejantes existentes en ella.h = __________________________________________________ c) 2x = __________________________________________________ d) 3 (a . Comprender que es un término semejante. porque en álgebra sólo podemos efectuar las operaciones de suma o resta. Utilizar términos semejantes y hacer su reducción 21 . II. 2.c ) = __________________________________________________ NOTACION ALGEBRAICA TEMA INTEGRADOR: TERMINOS SEMEJANTES OPERACIONES DE APERTURA: Distinguir los términos semejantes es muy importante.b) = __________________________________________________ e) x + y = __________________________________________________ 4 3 f) 2m . 3.SAETA ALGEBRA 9 hectáreas r) La suma de dos números s) La suma de dos números al cuadrado t) La 1/5 parte de la producción total de huevo en una granja avícola. 4. 1. a) a + b = __________________________________________________ 2 b) 3a . hacer planteamientos sencillos de términos semejantes. Escribe en lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas.
Discusión del grupo por la estrategias y resultados obtenidos en el problema. 14x2 y. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuales son los términos semejantes. 8ab2. 2. 8xy2. ACTIVIDADES DE DESARROLLO: 1.SAETA ALGEBRA PROBLEMA: Distinguir los términos semejantes es muy importante. 4m2 . 9. 7. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados. 3x2 y. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos utilizados en la solución del problema. y principios 22 .Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo 8. a esto se le llama reducción de términos semejantes. 3a4 18x2 y 11m2 5. 2m . 6m3 . 7a2 b. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando coincidencias y diferencias. 3. cuando los términos sean semejantes. Analizar cada uno de los términos algebraicos para determinar si cumplen con los requisitos para ser término semejante. 5a2 b. 6. porque en álgebra sólo podemos efectuar las operaciones de suma o resta. Presenta la estrategia al grupo. con el material analizado. En cada una de las siguientes expresiones subraya los términos semejantes: a) b) c) 7m2 .
a2. 6m3 . 2) Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.5a2 b + 3a4 3x2 y + 8xy2 + 14x2 y .12xy2 + 5xy2 + 6x2 y + 9xy2= ____________________________ 5 m 2 + 2 m2 .5a + 4b . II. a) b) c) d) 7m2 . 8ab2. 3) Resolver los ejercicios propuestos por el profesor 4) Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo. 3x2 y.INSTRUCCIONES: De las siguientes expresiones algebraicas: (Coloca sobre las líneas la respuesta correcta ) ( Valen 1 cómputo cada una ) ¿Cuántos términos tiene? ¿Cuáles factores? 23 . ½ c..4m2 + 2m .11m2 7a2 b + 8ab2 . 8xy2. 5 /8 d. 2m .1 m = ____________________________ 3 5 2 III. 4m2 . ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: I..INSTRUCCIONES: En cada una de las siguientes expresiones subraya los términos semejantes. 7a2 b. ¼ a.INSTRUCIONES: Reducir los siguientes a) b) c) d) e) f) 7m2 + 6m3 . Ejemplificación semejante de procedimientos de representación de términos ACTIVIDADES DE CIERRE: 1) Plantear por equipos las diferentes formas de términos semejantes con diversos elementos.SAETA ALGEBRA 4.13a = ___________________________ = ____________________________ = ___________________________ = ____________________________ 3x2 y .18x2 y 3a + 5b . 5a2 b.. 14x2 y. ¾ b. 3a4 18x2 y 1 11m2 /3 a.
. . . en una expresión. . . . . . 4. Comprender que es un término semejante. . . . .SAETA ALGEBRA a). . . . . . . . . . . . .. . . . hacer planteamientos sencillos de términos semejantes. . . . . lo cual lo hacemos sumando y/o restando los coeficientes numéricos aritméticamente. . .___________. . . . añadiendo al resultado la literal o literales con su respectivo exponente.__________ f). . .. .. . . .. .. . .. . . . . . .. . . . . . . si es que los hay. . . __________ . . .. __________ b). .___________.y3 – x2 + 2x3 – y3 . . Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes. . porque en álgebra sólo podemos efectuar las operaciones de suma o resta.x2 + x + 3x2 .NOTACION ALGEBRAICA TEMA INTEGRADOR: REDUCCION TERMINOS SEMEJANTES OPERACIONES DE APERTURA: Distinguir los términos semejantes es muy importante.___________. . . . . . . . . . .ax + 7ax . .. . . . .5 . . . . . .4a + 3b – ab + 8 . . . .4m2 + 2m . . . . 2. . . . . . . . . . 1. . . .pq – 9pq2 + p3 – q5 .. . . . . . ___________ .__________ e). . . . . . . . . . . . .__________ c). . . . . . . . . 3. . .. . . dos o más términos semejantes. . . . analizar las expresiones algebraicas y definir cuales son los términos semejantes existentes en ella y hacer la reducción de los mismos. . . . . . . . . . .________ . ___________ . . . . . . . . . . Realiza la reducción de los siguientes términos semejantes: a) 7m2 + 6m3 . . . . __________ g).xy + 5z + 2 . cuando los términos sean semejantes. .m3n2 – 2m2n + n2 d). . Utilizar términos semejantes y hacer su reducción PROBLEMA: La reducción de términos semejantes es una operación que consiste en convertir en un sólo término. . . . . . . . . . . ___________. . . . ___________ . . . . .11m2 = __________________________ 24 . .
. : ____________________ 25 . . con el material analizado. ACTIVIDADES DE DESARROLLO: 1. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados. . . Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo 8. . 3.INSTRUCCIONES: Efectúa la siguiente reducción de términos a). Plantear por equipos las diferentes formas de términos semejantes con diversos elementos y hacer su reducción.18x2 y d) 3a + 5b .5a2 b + 3a4 c) 3x2 y + 8xy2 + 14x2 y . Presenta la estrategia al grupo. . Analizar cada uno de los términos algebraicos para determinar si cumplen con los requisitos para ser término semejante y hacer su reducción 2. 6. Ejemplificación de procedimientos de reducción de términos semejante ACTIVIDADES DE CIERRE: 1. I. 3. Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.12xy2 + 5xy2 + 6x2 y + 9xy2 = ________________________ f) 5 m2 + 2 m2 .3a + 2b + b + 5a = . Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.. 7.SAETA ALGEBRA b) 7a2 b + 8ab2 . 9. Discusión del grupo por la estrategias y resultados obtenidos en el problema.5a + 4b . .. 2.1 m 3 5 2 = ____________________________ 5.13a = __________________________ = __________________________ = __________________________ e) 3x2 y . . Resolver los ejercicios propuestos por el profesor 4.. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuales son los términos semejantes. . Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios utilizados en la solución del problema. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando coincidencias y diferencias.
___________ _______. . . .._________________. . . . . . . c).SAETA ALGEBRA b). . . .5m3n2 + 2m2n = .: ____________________ e).5ax + 3ax – 9ax . ..3x + 3x2 – 4x3 + 9x2 = . . .6a2 + 9b + 5a2 – 7b = . . 26 . : ____________________ II.10xy . . . . . .__________________. . d).. En álgebra..2ax + 7ax . : ____________________ c). .INSTRUCCIONES: Representa algebraicamente las fórmulas que obtendríamos para definir los siguientes perímetros de las figuras que a continuación se te indican: Figura s s s s Nombre Perímetro Cuadrado ___________________ w m Rectángulo __________________ a c a b d b Triángulo ___________________ c Trapecio ___________________ OPERACIONES FUNDAMENTALES.. ..__________________. . .4ab + 3bc – 5ab + 8bc – 10bc + ab . . . . . . . .. . . . . . III. . . .. . . . .. ..4m3n2 – 2m2n . . .. . . b). . .5z – 9xy + 4z + z = . . . ..x2 + 2x + 3x2 – 3x + x = .. a).. . . . . también se agrupan los términos semejantes que contiene una expresión algebraica y esto facilita su reducción.. .2xy + xy – 6xy =. .:____________________ d). . . .9x3 + 9y3 + 8x – 4y3 = . . . __________________. . . e). . . Colocando sobre las líneas la respuesta correcta.INSTRUCCIONES: De las siguientes expresiones algebraicas realiza la reducción de términos semejantes. . . .
3a4 c) 3x2 y. 2 3 1 m. no son términos semejantes. 6m3 . En cada una de las siguientes expresiones subraya los términos semejantes: a) 7m2 . 8m.11m2 = . lo cual lo hacemos sumando y/o restando los coeficientes numéricos aritméticamente. 3 b) 3 ab c c) 7m2. 4m2 . 8xy2.8m2 + 6m3 + 2m 27 . el grupo de los términos semejantes se pueden reducir. 3 m3 5 9b2 ac3. añadiendo al resultado la literal o literales con su respectivo exponente.4m2 + 2m . no son términos semejantes. 8ab2. d) son: 4 -11ab c . en una expresión. dos o más términos semejantes.8b3 + 7 c3 5 ¿Podrías decir por qué razón los términos de los ejemplos c) y d) no son términos semejantes? En efecto. cuando los términos sean semejantes. 14x2 y. mientras que los otros términos permanecen igual. no poseen las mismas literales. 2 m 2 c3ab2. ejemplo: a) 7m2 + 6m3 . 2m . ejemplo: Los términos semejantes de: a) 7m son: 2 3 m. -5m. 18x2 y La reducción de términos semejantes es una operación que consiste en convertir en un sólo término. 11m2 b) 7a2 b. En cada una de las expresiones anteriores. a esto se le llama reducción de términos semejantes. si es que los hay. 7a3 . a pesar que tienen los mismos exponentes.SAETA ALGEBRA Los términos semejantes son aquellos que están formados por las mismas literales y mismos exponentes pero diferente signo y coeficiente. Distinguir los términos semejantes es muy importante. porque en álgebra sólo podemos efectuar las operaciones de suma o resta. 5a2 b.
tres y dos partes de la hoja roja. a cada hoja le vas escribir con un marcador el numero de la fracción de la parte que le corresponda de acuerdo a como fue dividida Nota: puedes.5a2 b + 3a4 c) 3x2 y + 8xy2 + 14x2 y . hasta aquí ya conoces que son los términos semejantes y como se reducen. A continuación se realizan las siguientes preguntas para ser contestadas en forma individula. cuatro y siete partes de la 28 Apertura Desarrollo .SAETA ALGEBRA b) 7a2 b + 8ab2 . Estás en condiciones para realizar operaciones con ellos ¿Listo? SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.1 m = 31 m2 . BLOQUES • ACTIVIDADES En 3 hojas de distintos colores (rojo. ejemplo: a) 3a + 5b .x2 y + 8xy2 En una expresión algebraica pueden mantenerse varios grupos de términos semejantes. en 4 partes.18x2 y = 2a2 b + 8ab2 + 3a4 = . la verde en 8 partes y la amarilla en 16 partes.5a + 4b .1 m 3 5 2 15 2 Bueno. verde y amarillo). los cuales se reducirán.12xy2 + 5xy2 + 6x2 y + 9xy2 = 9x2 y + 2xy2 c) 5 m2 + 2 m2 . escríbelo con números y letras? 6)¿De que manera representarías cinco.13a = . para hacer más sencilla la expresión. tener otras opciones diferentes de dividir en las hojas en las fracciones que tu elijas. realiza lo siguiente: • La hoja roja la vas a dividir doblando sin cortarla.15a + 9b b) 3x2 y . 1)¿Cuántas cuartas partes tiene la hoja roja o cuantas partes tiene la hoja? 2)¿Cuántos octavos o partes tiene la hoja verde? 3) ¿Cuantos dieciseisavos o partes tiene la hoja amarilla? 4)¿Cuál crees que sea la suma de las partes en que se dividió cada una de las hoja? 5)¿De que manera representarías algebraicamente uno.
OPERACIONES DE APERTURA: Para sumar dos o más expresiones algebraicas del tipo que sea ( monomio y polinomio ) Se colocan los términos semejantes uno a continuación del otro.SAETA ALGEBRA hoja verde.2x + 1 .3x + 2 a) Planteamiento: Se escriben las expresiones entre paréntesis y conectadas entre si con el signo de la suma (+) ( 3x2 ) + ( -2x + 1) + ( -2x2 . El planteamiento de una resta es (minuendo) .3x + 2) = b) Se eliminan los paréntesis: 3x2 .6 y 7 Si la respuesta es no. para reducirlos y se reducen los términos semejantes. resuelve la representaciones algebraicas realizadas en las preguntas 5 .2x2 .5x + 3 Para restar dos expresiones algebraicas. escríbelo con número y letra? 7)¿De que manera representarías algebraicamente tres. 29 . si los hay: x2 . la primera que se escribe. justifica tu respuesta 9)¿Crees que se puedan sumar y restar todas las representaciones algebraicas juntas de las tres hojas ? Si o No Cualquiera que haya sido tu respuesta anterior justifícala. ocho y doce partes de la hoja amarilla escríbelo con número y letras? 8)¿Crees que se puedan sumar y restar cada una de las fracciones en que se dividieron las hojas de los diferentes colores por separado? Si o no Si tu respuesta es positiva.(sustraendo) igual a diferencia.3x + 2 c) Se reducen los términos semejantes.2x2 .5x + 3 Por lo tanto: ( 3x2 ) + ( -2x + 1) + ( . es el minuendo y es la cantidad a la que se le va a quitar la segunda llamada sustraendo. -2x2 . -2x + 1.3x + 2 ) = x2 . respetando los signos o en columna si son varios. se debe tomar en cuenta que intervienen dos cantidades. si los hay Sumar: 3x2 . Cierre Se analizara el cuestionario con preguntas abiertas en asesoría para su análisis y pasaran al pizarrón a ejemplificar sus respuestas Se realizaran ejercicios propuestos en antología.
.3x + 1 .( 3a . 12x .2c a) Planteamiento: ( 7a + 3b .INSTRUCCIONES: Restar las siguientes expresiones algebraicas.5 .4c .5c c) Se reducen términos semejantes. 7a . . 2a .3a + 2b .2b + 5c ) = b) Eliminación de paréntesis: 7a + 3b ..2c .SAETA ALGEBRA Ejemplos: Restar: 3a .INSTRUCCIONES: Sumar las siguientes expresiones algebraicas. . 2a2 b . 5x .4b + 7a .3ab .5ab2 + 3ab 4). 1).2b + 5c ) = 4a + 5b .6a + 4b + 11c .2c ) . si los hay: 4a + 5b . 30 ..3y + 4z . .2c ) .4a2 b + 7ab2 .7c = ¿Te quedó claro? Entonces ¡ Adelante ! ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I.7b .2b + 5c de 7a + 3b .ab2 + 5ab .7x .4x 2).7c Por lo tanto: ( 7a + 3b . a2 b .5z + 4 y .4z .7y .15c – a 3). . .( 3a .3a .7 + 3x II.
5 = 1 m . .3y + 2 restar 5x + 7y – 6 2). 1). 1).4b . 5x . 31 . . 1 a3 2 II.. 3a + 2b + a + b = 2).8m .15c – a =___________________________ 2a2 b .5z + 4 y . De 7a . Restar . De 7a .7 + 3x = __________________________________ III. Restar .5x = _____________________________ IV.3y + 4z . 4x3 .8m .6a + 8b =_________________________________ 3). 2 m + 1 n + 3 5).3y + 2 restar 5x + 7y – 6 = _________________________________ 2).8a + 7x . 4).8n .1 = ___________________________ 3 ab2 + 3 b3 + 3 ab2 .8n . Restar las siguientes expresiones algebraicas. . a2 b . 7xy . De 4x .9x .7x .3n .7b .3a .4z .9x =___________________________ .3m de 3a .5xy . 2). 1).3ab . 7a . Reducir términos semejantes.4b .3m de 3a .4p de . 3x .10x2 + 5x + 8 + 12x2 .5c restar 4c .6a + 4b + 11c .4c .3x + 1 . 1).6a + 8b 3).4b + 7a .8a + 7x . 3).3n .5c restar 4c .5 . .ab2 + 5ab .2 n = 4 7 _____________________________ _____________________________ _____________________________ 4). De 4x .2b3 + a3 = ___________________ 4 5 8 Sumar las siguientes expresiones algebraicas. Calcular el perímetro de un hexágono regular de 3 b metros de lado.4p + 6m 4).4p + 6m = _____________________________ 4). Restar 5m .5x ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.5ab2 + 3ab =_________________ 2a .SAETA ALGEBRA 1).8yx 3). I.7y . Restar 5m .4a2 b + 7ab2 .4p de . Resuelve los siguientes problemas utilizando la reducción de términos semejantes.
4c .7 + 3x II.SAETA ALGEBRA 2). .4p + 6m 32 .4z . ¿Cuál es el área total de un cubo que tiene (a + b) m2 en cada una de sus caras ? Como ya aprendiste a sumar y a restar polinomios. 1).5ab2 + 3ab 4). 1). ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I.6a + 4b + 11c . De 4x .4x 2).. 2a .5c restar 4c . 2a2 b . 5x .INSTRUCCIONES: Restar las siguientes expresiones algebraicas. . 12x . .15c – a 3). a2 b . Restar 5m .3a .INSTRUCCIONES: Sumar las siguientes expresiones algebraicas.7y .7b . 7a .4b .3y + 4z .3x + 1 .8n .4b + 7a .3y + 2 restar 5x + 7y – 6 2).4a2 b + 7ab2 . De 7a . ..3ab .5z + 4 y .5 .7x . . ahora te invitamos a conocer el procedimiento para multiplicarlos y dividirlos. .6a + 8b 3).4p de .3n .ab2 + 5ab .
Ejemplificar. plantear un problema 2. Presentar trabajo de Investigación por escrito referente a relacionados.8a + 7x . 2. actividades 1.Exponentes los problemas Si n es un entero positivo. Por ejemplo. 3. En forma individual. la notación exponencial an que se define en la tabla. Resolver ejercicios para autoevaluación . Notación exponencial 33 . 5. es de 50. Resolver ejercicios propuestos en antología 1. si la población de Santiago Ixcuintla Nayarit. Discutir las soluciones en asesoría. representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo.SAETA ALGEBRA 4). Concensar la solución para presentarla al grupo. Contrastar en el grupo las soluciones y seleccionar la más adecuada. 4. entonces. Recuperación de saberes. base. Analizar material escrito en antología relacionado con exponentes.3m de 3a . El entero positivo se llama exponente y el número real a. De manera individual los estudiantes analizarán y resolverán el problema. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados con el material analizado. ¿cuál será la población en 3 años? 1. 3.000 habitantes y se duplica cada 6 años. Exponer al grupo las coincidencias de conceptos y principios recuperados.5x EXPONENTES Y RADICALES Problema: “El número de habitantes de una ciudad puede duplicarse en cierto número de años. 4. La expresión an se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. Restar .8m . 2. 5. 3.
esta expresión es igual a am+n . entonces En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n. Exponente cero y negativo Definición (a diferente Ejemplo de 0) Si m y n son enteros positivos. es decir. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an. entonces una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n.SAETA ALGEBRA Caso general (n es cualquier entero positivo) Casos especiales Ejemplos: Es importante observar que si n es un entero positivo. 34 . Ejemplo: Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.
Simplificar: a) b) Solución: a) 35 . Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero. significa cambiarla a otra en que cada numero real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos.SAETA ALGEBRA De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación: Ley Ejemplo | Las leyes de los exponentes pueden generalizarse: Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales.
SAETA ALGEBRA b) El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos. Simplificación de expresiones con exponentes negativos. Simplifica: Solución: 36 .
Definición de Sean n un número entero positivo mayor de 1 y a. llama radicando y n es el índice del radical. y n es non. 37 . El símbolo Si . El número Ilustraciones: Observa que porque. esto es. la expresión es un radical. el número a se es el signo radical. por definición. Para completar nuestra terminología. entonces es el número real negativo b tal que Si n = 2 se escribe en lugar de y se llama raíz cuadrada principal de o es la raíz cúbica de a. Propiedades de (n es un entero positivo). un número real. .SAETA ALGEBRA Radicales A continuación definiremos la principal raíz enésima de un número real. . entonces . 1) Si 2) Si 3) a) Si b) Si . entonces es el número real positivo b tal que no es un número real. entonces . El símbolo se lee "más o menos". . las raíces de números reales positivos son positivas. En general se presenta la siguiente tabla de propiedades. simplemente raíz cuadrada de a. entonces y n es par.
. entonces . es decir. Eliminación de factores de radicales. siempre que existan las raíces indicadas. Ley Ejemplo Advertencias respecto a errores comunes: Simplificar un radical quiere decir eliminar factores del radical hasta que el radicando contenga sólo exponente igual o mayor que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea posible. siempre que las raíces sean números reales. Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n. que es positiva. Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos): a) b) c) 38 .SAETA ALGEBRA Propiedad Ejemplo De esta última propiedad vemos que: si entonces sin embargo si para todo número real x. En particular.
SAETA ALGEBRA Solución a) b) c) Si al denominador de un cociente contiene un factor de la forma 0 entonces al multiplicar numerador y denominador por del denominador porque: Este proceso se llama racionalización del denominador. Multiplicar Factor en el numerad denomi or y Factor resultante nador denomin ador por con k < n y a > eliminaremos el radical 39 .
es por ello que se recomienda analizar y seleccionar el procedimiento adecuado. Si a es un numero real tal que existe . entonces Nota: Las leyes de los exponentes son ciertas para exponentes racionales e irracionales. donde n es un entero positivo mayor de 1. 40 .SAETA ALGEBRA Ejemplos Racionalización de denominadores Racionaliza: a) b) Solución a) b) Este proceso algebraico. Definición de exponentes racionales Sea m/n un numero racional. en cursos avanzados puede complicar el cálculo para la resolución del problema.
SAETA ALGEBRA Simplificación de potencias racionales Simplifica: a) b) Solución a) b) 41 .
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS. . Mediante la lectura “Don José y su tienda” el estudiante de SAETA logrará recordar los temas vistos con anterioridad. 2. Don José tiene la tienda más grande de la localidad de Marte R. Gómez, el cual, para ofrecer productos de calidad y a bajo precio se dedica a adquirir estos en los poblados aledaños a su localidad. En Pueblo Yaqui, compra a una persona gallinas y huevos; posteriormente se desplaza al Ej. Pancho Villa en el que compra el mismo número de gallinas y huevos que en Pueblo Yaqui y al mismo número de personas que el de gallinas y huevos. Luego se dirige a Quetchehueca donde adquiere el doble de gallinas y de huevos que en Pueblo Yaqui al mismo número de personas. 3. En forma individual representar algebraicamente el número de gallinas y de huevos. 4. Consensa sus representaciones personales en asesoría Actividades de aprendizaje . En base a la lectura anterior determina individualmente: a) Si en Pueblo Yaqui compró 2 gallinas, ¿cuál es total de gallinas compradas en todo el recorrido? b) Representa el resultado obtenido en forma algebraica como producto. Además comprobar que la representación algebraica, se cumpla. c) Si en el Ejido Pancho Villa, el número de huevos que ha adquirido en su compra fue de 5, ¿cuánto es el total de huevos que obtuvo en cada poblado?. El resultado anterior represéntalo algebraicamente. Verificar que la expresión algebraica se cumpla como un producto Resuelve los siguientes ejercicios, en forma individual. a) (2x) (5x) =_____________________________________________________ x b) (x2) ( ) =______________________________________________________ 2 c) (xy) (x2y3) = ____________________________________________________ d) (rst) (r2s3t4) (r4s3t2) =______________________________________________ e) (2x) (5x2 + 3x – 2) =______________________________________________ f) (1/3 mn) (5/2 m2n3 – ¼ mn2) =______________________________________ g) (a2 + b2) (3a + 4b3 – ab) =__________________________________________ Con la finalidad de realizar un cierre a esta pequeña aventura en el pueblo yaqui 1.Analiza tus resultados obtenidos y consensalos con los de tus compañeros de asesoría.
2. Con los resultados anteriores obtener los conceptos de las partes de un término algebraico. a) Signos b) Coeficiente c) Literal d) Exponente 4. Plasmar sus conclusiones por equipo en hoja rotafolio y presentarla para su análisis y discusión grupal. 5. Después de obtener los conceptos de la multiplicación y sabiendo que la división es la operación inversa de la multiplicación efectúa la siguiente operación: 6 x 4 − 12 x 3 + 9 x 2 3x 2 6. De la misma forma como lo has venido haciendo; analiza y consensa el cociente resultante de la división y multiplícalo por el divisor. Explica lo que observaste.
Para realizar la multiplicación de polinomios se aplican las leyes de los exponentes, ley de los signos, y la propiedad distributiva. 1. Ley de los Exponentes: a) am . an = am + n b) 2. (am ) n = am n (Se suman los exponentes) (Se multiplican los exponentes) (Se multiplican los exponentes)
c) (ab) m = am bm Ley de los signos: + por + = + - por - = + + por - = - por + = -
Ley Distributiva: La cual nos indica que el monomio se multiplica por cada uno delos términos del polinomio. a (b+ c) = ab + ac
monomio polinomio En álgebra para indicar multiplicación generalmente usamos paréntesis y punto. por ejemplo. 5 X 4 en aritmética (5) (4) y 5 4 en álgebra Al desarrollar la multiplicación de expresiones algebraicas procedemos a lo siguiente. multiplicar (4a) (5ax) a) Multiplicamos los coeficientes : (4) (5) = 20
b) Ponemos las letras una al lado de la otra, (indicando multiplicación). 20 (a) (ax) c) Usando las leyes de los exponentes: en este caso utilizamos am . an = a( m + n ) por lo que: 20 a2 x MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS: Para multiplicar dos monomios tomarás muy en cuenta dos aspectos importantes: las leyes de los exponentes y la ley de los signos. Ejemplos:
(3x ) (4x ) = (3) (4) (x) (x) = 12x2 (- 7m2 n3 ) (10mn4 ) = - 70 m3 n7 (- 8ab2 ) (- 2a3 b) = 16a4 b3 (- 3 x3 y5 ) ( 1 xy2 ) = 2 5 - 3 x4 y7 10
(15x2 y3 ) (- 1 xy) = - 5x3 y4 3
Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio: se aplica la propiedad distributiva, leyes de los exponentes, ley de los signos. Ejemplos: monomio polinomio 1) 5x ( 3x2 - 6x + 7 ) = 15x3 - 30x2 + 35x Solución: (5x) (3x2 ) = 15x3 (5x) (-6x) = -30x2 = 15x3 - 30x2 + 35x (5x) ( 7 ) = 35x 2) -8a ( 3ab3 - 4b + 5 ) = - 24a2 b3 + 32ab - 40a Solución: (-8a) (3ab3 ) = - 24a2 b3 (-8a) (-4b) = 32ab (-8a) ( 5 ) = - 40a 6xy ( 3x3 y2 - 7xy + 2 ) = 18x4 y3 - 42x2 y2 + 12xy 3 x ( 1 xy2 - 2 y ) = 3 x2 y2 - 6 xy 5 2 3 10 15 Simplificado = 3 x2 y2 - 2 xy 10 5
34x + 10 = 18x3 + 6x2 -34x + 10 2º Desarrollo en columna: 45 . a) Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio y se procede igual para el segundo. 6x2 + 28xy + 32y2 NOTA: Se ordenan en columna los términos semejantes y se reducen. ( 3 x + 8y ) ( 2x + 4y ) = ( 3x ) ( 2x ) + ( 3x ) ( 4y ) + ( 8y ) ( 2x ) + ( 8y ) ( 4y ) = = 6x2 +12xy + 16xy + 32y2 b) Reducir términos semejantes : 6x2 + 28xy + 32y2 2º Desarrollo en columna. 3x + 8y 2x + 4y Productos Parciales. términos del primer polinomio.40x + 10 b) Reduciendo términos semejantes: 18x3 + 6x2 .24x2 + 6x + 30x2 .8x + 2 ) Solución : 1º Desarrollo Horizontal: a) ( 3x + 5 ) ( 6x2 . 2x ( 3x + 8y ) = 6x2 + 16xy 4y ( 3x + 8y ) = 12xy + 32y2 16xy + 12xy = 28xy 6x2 + 16xy Son términos + 12xy + 32y2 semejantes. 2) ( 3x + 5 ) ( 6x2 .8x + 2 ) = (3x) (6x2) + (3x) (-8x) + (3x) (2) + (5) (6x2 ) + (5) (-8x) + (5) (2) = 18x3 .SAETA ALGEBRA PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS: Para realizar esta operación será necesario que utilices las leyes anteriores. Ejemplo: 1) ( 3x + 8y ) ( 2x + 4y ) = 6x2 + 28xy + 32y2 Solución: Podemos obtenerla de dos maneras: 1º Desarrollo Horizontal. tercero.
24x2 + 6x 30x2 . 6. Ahora puedes realizar cualquier tipo de multiplicación algebraica. I. 3. Encuentra los productos de las siguientes expresiones algebraicas: 1.1 ) = 4 5 8. (-7a) (-1ab) = 6 3 9. . 4. 7.8x + 2 ) = 18x3 .SAETA ALGEBRA 6x2 .40x + 10 18x3 + 6x2 . 2. (3a2) (5a2+3a2+2a2) = (xy2) (-5x3y3) = ( x3 .24x2 + 6x 2 5 ( 6x2 .3 ) ( 4x2 + 6x + 9 ) = (-2m) (-8m2) = ( mn3 + 1 ) ( mn3 .8x + 2 3x + 5 18x3 .34x Ya conociste como multiplicar: monomio por monomio. realizando las: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.8x + 2 ) = 30x2 .3x4 + 5x2 ) ( 5x2 + 8x .40x + 10 tomando los términos semejantes y reduciéndolos.40x = .34x + 10 Productos parciales: 3x ( 6x .24x2 + 30x2 = 6 x2 y 6x .7 ) = 2ab (a2+2a-3b+5) = (2x . 5. 4xy (1x2-1xy3+4) = 2 4 II. monomio por polinomio y polinomio por polinomio..Observa las siguientes figuras y calcula sus áreas 3x 4x 2a3 x+1 8x DIVISIÓN O COCIENTE DE POLINOMIOS: 46 .
7 ) a-4 = 1 a4 2. b2 = b2-1 = b1 1 b Entonces el resultado es: 3ab c 47 . Explicación: a) Dividimos los coeficientes b) Dividir: (6) (2) = 3 1 = 1 c c a = a . Ley de los exponentes: A) am a) b) c) a5 a8 = a8 a3 = a7 an = am-n (Se restan exponentes) a2 = a3 = = a0 = 1 esta ley presenta tres casos: exponente positivo exponente cero exponente negativo a( 8 . utilizando las leyes de los exponentes.SAETA ALGEBRA Para realizar la división de polinomios seguimos un procedimiento similar al utilizado en la multiplicación. Ley de los signos: + + + - = = + - - + = = + - DIVISIÓN DE MONOMIOS: Ejemplo 1: Dividir ( 36m4 ) Solución: 4m2 ( 9m2 ) ó también lo podemos expresar 36m4 9m2 Explicación: a) Dividimos los coeficientes ( 36 ) (9) = 4 b) Dividiendo las literales. m4 = m4. en forma racional (fracción). sin olvidar las leyes de los exponentes y la ley de los signos: 1.2 = m2 m2 Entonces el resultado es: 4m2 Ejemplo 2: Dividir 6ab2 = 3ab La división de monomios también es común 2bc c expresarla en columna.8 ) a( 3 .
160x3y2 + 40x2y2 -40x2y2 = 280x4y3 .16x2 + 8x = 4x Recordarás que hay que dividir cada término del polinomio entre el monomio. (cociente) x+2 (divisor) x2 + 7x + 10 (dividendo) c) Se divide el primer término del dividendo (x2) entre el primer término del divisor (x). el resultado será el primer término del cociente. 24x3 . utilizando las leyes de los exponentes y de los signos. 5x + 10 (residuo) 48 . x2 + 7x + 10 x+2 Se escribe otra vez el problema de la división. (x) (x) = x2 x 2 (x) (2) = 2x x + 2 x + 7x + 10 -x2 . cada término del polinomio se divide entre el monomio.SAETA ALGEBRA DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO: Se aplica la propiedad distributiva de la división.16x2 + 8x 4x 4x 4x Ejemplo 2: Dividir = 6x2 . es decir.2x .1 = 3a2 + 1 45a3b2 + 15ab2 = 15ab2 Ejemplo 3: Dividir 280x4y3 . Ejemplo 1: Dividir = 24x3 .160x3y2 + 40x2y2 = -40x2y2 -40x2y2 -40x2y2 DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS: Ejemplo: a) b) Dividir 7x + x2 + 10 x+2 Solución: Se ordena el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.4x + 2 45a3b2 + 15ab2 15ab2 15ab2 = -7x2y + 4x . x x2 = x entonces x + 2 x2 + 7x + 10 x d) El primer término del cociente (x) se multiplica por todo el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo colocándola debajo de su término semejante para su reducción (pasa cambiando el signo).
4x2y -6x4y3 -8x5y2+10x = 2xy2 49 . x+5 5x = +5 (resultado) entonces x + 2 x2 + 7x + 10 x -x2 . 2x .3x + 4 = 3x + 2 2 4 8). I.3x2 .x + 5 2 4). 5x + 10 -5x . (-15x y ) ÷ (-15x2y4) = 9). El producto se coloca debajo de su término semejante para su reducción (como en el paso d). El producto es el segundo término del cociente con su signo. ( 5 ) ( x ) = 5x ( 5 ) ( 2 ) = 10 entonces x + 2 x+5 x2 + 7x + 10 . te reto a resolver correctamente las siguientes: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. 5x + 10 f) El segundo término del cociente (5) se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo. 6x y-12x3y2+9y3 = -2xy2 5) (-2x3y5) ÷ (4 xy) = 5 7 2). 6).10 residuo 0 g) Efectuar la comprobación de la división.8x3 + 19x2 . cambiando los signos.2x . 3xyz+6xyz2-9x3y5z7 = .SAETA ALGEBRA e) Dividir el primer término del residuo 5x entre el primer término del divisor (x).33x + 15 = x2 .x2 . 9x .6xy 3 7). cociente por divisor = dividendo (x+5) ( x + 2 ) = x2 + 7x + 10 Como ya conoces los diferentes tipos de división algebraica. (-18a3b2) ÷ (6ab) = 2x2 + 13x + 15 = x+5 4 3). Realiza la división de los siguientes ejercicios: 1).2x .
7x2 ( ) ) ) 5.15b .8a + 11 el resultado es: ( b) -3a3 + a + 3 c ) 3a3 .3x y m 2 ( ) 11. El resultado de multiplicar a) 9a3 .p + 8n b) -13m .a + 10b2 b) 10a2 .3 ( -3x2y ) ( 2 xy3z ) es: 3 b) 2x3y4 ( 2 xy2z c) -2x3y4z 3 8.8m .10b2 10. El resultado de multiplicar ( x .6 de -x + x2 + 2x3 el resultado es: b) 5x3 .21y3 b) 2x3 .5b b) 11a .5xy + 7y2 ) es: a) 2x3 + 11x2y + 22xy2 .4n .16n c) 17m .7p . INSTRUCCIONES: Escribe dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta: 1.4y3 c) 2x3 . -4a + 8b + 3 el resultado es: ( ) a) -13a .5c es: ( a) 3a + 8c .15a + 3 7.8 n c) 44 m . El resultado de multiplicar ( 2m .3b .3y ) ( 2x2 . Al sumar las expresiones algebraicas 2m .11x4y2 + 22x2y4 .5n + 7 ) ( -m2n ) es: ( ) a) -2m3n + 5m2n2 . 5n .7a + 14 restar a) -15a3 . El resultado de multiplicar ( 2a .4 .7m .7m2n 9. Al restar 7x3 .11x2y + 22xy2 . De 6a3 . Al sumar las expresiones algebraicas 2a + 4b .p .21y3 ( .7m2n b) mn + 6m2n2 . 7a .5 . La reducción de términos semejantes de a) 8 m -2n 12 6 6 m .7b ) es: ( ) a) 10a2 .3p + 7n .4 n + 2 m + 2 n es: ( 7 3 5 9 b) 12 m .6 c) 5a + 9b .7p .2c 2.8x2 + x a) -5x3 + 9x2 .10 n 35 27 35 9 ) ) 3.12n 4.5c c) 11a + 8b .a .6 b) 9a + 9b .2x 6. La reducción de términos semejantes de 4a .29ab + 21b2 c) 10a2 + 29ab .3b ) ( 5a .SAETA ALGEBRA AUTOEVALUACIÓN.3b .9x2 + 2x c) 9x3 . El resultado de dividir ( -9x3y2m ) entre ( 3xy ) es: a) -3x2ym b) 6x2ym ) c) 50 .el resultado es ( ) a) -13m . 3p .7m2 c) -2mn + 5m2n .3b + 7a .
y se forma una caja rectangular abierta en la parte superior. En forma individual representar gráficamente el problema planteado. 1. Presentar al estudiante el problema siguiente: A Pepito.5 x + 10 b) 2x5 .5x4 + 2x3 ) entre ( 2x3 ) es: ( ) a) 2x5 .10x6 . El resultado de dividir ( 6 + a + 5a ) entre ( a + 2 ) es: ( ) a) a + 7 b) a + 3 c) a . Díaz que trabaja en dos empresas diferentes. Ayúdale a calcular el área de su base y el volumen de la caja. BLOQUES ACTIVIDADES 1. El resultado de dividir ( 4x8 .2. 2. Apertura Desarrollo Cierre 51 . Como en el caso del Sr.5x3 .4 PRODUCTOS NOTABLES.SAETA ALGEBRA 12.5x3 . se le pide realizar la siguiente actividad: De una cartulina rectangular de 10 cm de ancho y de 14 cm de largo se corta en cada esquina un cuadrado de lado x. g) Anota algebraicamente el área de la caja. En una de ellas tiene un sueldo de 2x pesos y en la otra 5x pesos diarios.5 x + 1 2 2 2 13. En base al problema anterior en forma individual determina: d) Usando la representación gráfica que realizaste en el punto anterior determina la nueva dimensión del ancho. e) Realiza la misma actividad que el inciso anterior pero para la dimensión del largo.3 + Las operaciones algebraicas nos ayudan a resolver problemas de nuestra vida cotidiana. h) Representa algebraicamente el volumen de la caja considerando las tres dimensiones que obtuviste con anterioridad. f) Determina la altura de dicha caja.3x c) 2x5 . Como esta persona desafortunadamente no sabe contar. necesita que le ayudes y le digas: a) ¿ Cuánto le pagaron por una semana de trabajo ? b) ¿Cuántos días necesita trabajar para ganar 441x pesos? 1.8x3 . en su clase de matemáticas. Se le llaman notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas en la que no es necesario realizar la multiplicación para conocer el resultado.
Tú sabes que el área de un cuadrado es igual a lado por lado. por lo que en el ejemplo anterior : Área del cuadrado = lado por lado. Por ejemplo los siguientes productos : 52 .SAETA ALGEBRA EL TRUCO DE PEDRO Pedro necesita conocer el área cuadrada de un terreno rural donde establecerá un huerto. Pedro decide tomar medidas y más tarde en la ciudad medirá el cordón en metros. Al medir el cordón únicamente alcanza para una parte de la longitud de uno de los lados. Tienes la oportunidad de conocer que el truco que Pedro usó. Fíjate en la figura siguiente. por lo que para la parte que le falta. se puede expresar algebraicamente. utiliza el cordón nuevamente poniéndole una marca . pero para tomar medida cuenta sólo con un cordón. como: un lado = a + b entonces área del cuadrado = ( a + b ) ( a + b ) La anterior expresión también puede ser escrita como : ( a + b )2 Como consta de dos términos recibe el nombre de Binomio afectado por el exponente 2. a a: primera medida b b: segunda medida Pedro no conoce de fórmulas para resolver problemas. BINOMIO AL CUADRADO: Para realizar el producto de un binomio al cuadrado o producto de dos binomios iguales se puede aplicar la propiedad distributiva. pero utilizó un truco que le permitió salir avante en esta situación.
El tercer término del resultado es el cuadrado del segundo término del binomio. No tiene caso realizar la multiplicación pues el párrafo anterior nos indica una regla para desarrollar la suma de dos cantidades al cuadrado. en seguida sumar. en seguida se suma . aplicando la regla en cada uno de los ejercicios 1 y 2 que anteriormente resolvimos. El segundo término del resultado es el doble producto del primer término del binomio por el segundo término. ( a + b )2 segundo término Primer Término 53 . ( 3m + 4n )2 = ( 3m + 4n ) ( 3m + 4n ) Realizando las multiplicaciones correspondientes : = 9m2 + 12mn + 12 mn + 16 n2 Reduciendo términos semejantes : = 9m2 + 24 mn + 16n2 Observa con cuidado cada uno de los ejemplos desarrollados anteriormente. 1. ( a + b )2 = ( a + b ) ( a + b ) Realizando las multiplicaciones : = a2 + ab + ab + b2. Por ejemplo.SAETA ALGEBRA 1. Reduciendo términos semejantes : = a2 + 2ab + b2 2. ( x + y )2 = ( x + y ) ( x + y ) Realizando las multiplicaciones correspondientes : = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2 3. notarás que en el resultado aparecen ciertas semejanzas : El primer término del resultado es el cuadrado del primer término.
= b2 El resultado final es = a2 + 2ab + b2 ( x primer término + y )2 segundo término • • Cuadrado del primer término -----------------------.2( x ) ( y ) -------------. Ejemplo : 1.4n ) ( 3m .2ab + b2 2.= y2 El resultado final es = x2 + 2xy + y2 • El resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Existen binomios que son diferencias de dos cantidades elevadas al cuadrado.2xy + y2 3.= 2 xy Cuadrado del segundo término ----------------------.= 2 ab Cuadrado del segundo término ----------------------.( b )2 --------------.12mn . ( 3m .( x )2 --------------.ab .xy . ( a . ( x .= x2 Doble producto del primero por el segundo ---.xy + y2 Reduciendo términos semejantes: = x2 .y )2 = (x. No todos los binomios al cuadrado son sumas .2( a ) ( b ) ------------.b )2 = ( a .y) (x-y) Aplicando la propiedad distributiva : = x2 .4n ) Aplicando la propiedad distributiva: = 9m2 .12mn + 16n2 54 .SAETA ALGEBRA • • • 2.( a )2 --------------.= a2 Doble producto del primero por el segundo ---.ab + b2 Reduciendo términos: = a2 . Cuadrado del primer término -----------------------.b ) (a-b) Aplicando la propiedad distributiva : = a2 .4n )2 = ( 3m .( y )2 --------------.
SAETA ALGEBRA Reduciendo términos semejantes = 9m2 . Desarrolla los siguientes Binomios : 1. Entonces la regla para la diferencia de dos cantidades al cuadrado es la misma. ( x2 . ( 2a + x2)2 = 9. 5. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. ( m + a )2 = ( x + 9 )2 = ( 4ax + 1 )2 = ( x2 +1 )2 = ( mn + 4 )2 = 6. ( Xm .b )2 2. ( m .a )2 = 7. ( x + y )2 ( x . ( 3m+ 4n )2 = 9m2 + 24mn + 16n2 ( 3m -4n )2 = 9m2 – 24mn + 16n2 En general el cuadrado de un binomio es : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a .y )2 = a2 + 2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 = x2 + 2xy + y2 = x2 – 2xy + y2 3.Yn)2 = PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES: 55 . 3.24mn + 16n2 Como puedes observar en los resultados de cada caso. ( a + b )2 ( a . 2. 4.1 )2 = 10. ( a2 .4 )2 = 8.b )2 = a2 – 2ab + b2 Refuerza tus conocimientos. lo que cambia es el signo del segundo término del resultado. que para la suma de dos cantidades al cuadrado y sólo varía el signo del segundo término: 1.
6ab + 6ab .8xy ) ( 1 + 8xy ) = CUBO DE UN BINOMIO: La expresión ( a + b )3 .b ) = a2 .SAETA ALGEBRA Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades ( a + b ) ( a .9b2 En conclusión : La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia.9 ) = diferencia 4m2 .b2 Ahora realizando el mismo procedimiento con otro ejemplo : ( 2a + 3b ) ( 2a .3b ) = 4a2 .b ) aplicando la propiedad distributiva tendremos : ( a + b ) ( a .81 sustraendo minuendo b) ( 2a . ( m . efectuando las siguientes: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.ab ) 8. ( ax . ( 1 . ( 3ab . ( x2 + 13 ) 10.6 ) ( 11 + ab ) ( 13 .ab + ab .b ).9b2 Reduciendo términos semejantes: 4a2 . también conocida como binomios conjugados es igual al cuadrado del minuendo ( en la diferencia ) menos el cuadrado del sustraendo.b ) (a + b ) = 3 2 3 2 diferencia a 6 . Determine el producto de los siguientes binomios conjugados aplicando la regla anterior: 1.1 ) ( 1 + 2a ) = diferencia 4a2 . ( x + y ) ( x .m2x ) ( 6x2 + m2x ) = 2.b2 Reduciendo términos semejantes: a2 .b4 sustraendo minuendo Continùa retroalimentando tu aprendizaje en este tema. ( 11 . representa el cubo de la suma de dos cantidades: 7. ( 6x2 .5b2 ) ( 3ab + 5b2 ) = 56 .4b ) = 5.y ) = 6.1 sustraendo minuendo c) (a . ( 3a + 4b ) ( 3a . también conocidos como binomios conjugados .n ) ( m + n ) = 3. Al desarrollar ( a + b ) ( a .a2 ) = 4. ( x2 + a2 ) (x2 .x2) ( 6 + ax ) = = = 9. Por ejemplo : al desarrollar: a) ( 2m + 9 ) ( 2m .
. 3)... Continúa afianzando tus conocimientos y realiza las siguientes: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.......... ( 2n )3 = 8n3 Entonces: ( 3m + 2n )3 = 27m3 + 54m2n + 36mn2 + 8n3 No desmayes. lo que estás aprendiendo es muy importante.... La regla es la siguiente: “ El cubo de la suma de dos cantidades............. más el triple de la primera cantidad por el cuadrado de la segunda...... más el triple del cuadrado de la primera cantidad por la segunda.... al cubo de la primera cantidad.. que aplicar la propiedad distributiva..... 3 ( 3m ) ( 2n )2 = = 3 ( 3m ) ( 4n2 ) = 36mn2 • El cubo de la segunda cantidad .................... 5)... ( x + 2y )3 = 2)... 1)... 4). es igual.............. Desarrolla los siguientes binomios al cubo.............. ( 3m )3 = 27m3 El triple del cuadrado de la primera cantidad por la segunda cantidad .... aplicando la regla.................... ( 3a + 8 )3 = ( 5ab + 10c )3 = ( 7 + x )3 = ( 12 + xy )3 = 57 .............SAETA ALGEBRA ( a + b )3 = (a+b) (a+b) (a+b) Aplicando la regla del cuadrado de un binomio ( a2 + 2ab + b2 ) Utilizando la propiedad distributiva: ( a2 + 2ab + b2) ( a + b ) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 reduciendo términos semejantes = En este caso también es más práctico aplicar una regla...... más el cubo de la segunda cantidad....... 3 ( 3m )2 ( 2n ) = = 3 ( 9m2 ) ( 2n ) = 54 m2n • El triple de la primera cantidad por el cuadrado de la segunda cantidad ..“ Ejemplo: Al desarrollar ( 3 m + 2 n )3 aplicando la regla anterior tendremos que: • • Cubo de la primera cantidad ...
b ) = [ a2 . la regla se sigue de la misma forma que en el caso de la suma de dos cantidades al cubo.2x )3 = 58 .b )3 = (a-b) (a-b) (a-b) Aplicando la regla de la diferencia de un binomio al cuadrado.y )3 2. = ( a . Realiza los siguientes binomios al cubo aplicando la regla: 1.3 )3 = = 3.6y2 )3 = 5. ( 2ab .3a2b + 3ab2 . ( x . ( a4b2 .2ab + b2 ] ( a . ( 8 . podrás aplicar esta regla siempre que sea necesario.4 )3 = 4.3a2b + 3ab2 . Ahora pon tu mayor esfuerzo y haz lo que se te indica: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. ( a .b ) Utilizando la propiedad distributiva: = a3 .b )2 ( a . Si sigues los pasos en forma progresiva como en la regla anterior y sólo cambias los signos que ya observaste. pero en este caso varían los signos: ¡ FÍJATE BIEN ! ( a .b3 Comparando este resultado con un binomio al cubo de la forma ( a + b )3 ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ( a .SAETA ALGEBRA En caso de la diferencia de dos cantidades al cubo.b3 Sólo cambian el segundo y el cuarto término en su signo.b )3 = a3 .
de tal forma que la simple suma de ambos.3 ) = ( y )2 + ( 6 .1) = ( n + 12 ) ( n + 5 ) (5-z) (3-z) = = ( x 2 + 3 ) ( 5 + x2 ) = ( a+4) (a+3) = ( m-7) (m-1) ( xy .2 ) = 10. ( m + 4 ) ( m + 5 ) = ( m )2 + ( 4 + 5 )m + ( 4 . por el primer término.SAETA ALGEBRA PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA ( x + a ) ( x + b ) : Para este caso es necesario que observes la multiplicación de dos binomios con la característica de que el primer término en ambos binomios es el mismo (ó término común). ¡ En efecto ! Esta es la regla de la multiplicación de dos binomios con un término común. (x+2) (x+5) = = = 6.a ) ( xy + c ) ( mn + 10 ) ( mn . ( y + 6 ) ( y . 8. 7. 3.3 ) = ( a2 )2 + ( -1 . 9. Ejemplo: Aplicando la regla anterior: 1. los valores a y b representarían cualesquier cantidad diferente del primer término.4a2 + 3 Con esto concluye este tema. resultará el segundo término del trinomio. y por último el tercer término resulta del producto de los dos términos no comunes o diferentes.3 )y + ( 6 ) (-3 ) = y2 + 3y . (y + 7) (y . 5 ) = m2 + 9m + 20 2.1 ) ( a2 . para reforzarlo ejercita lo aprendido. 5. 4.18 3. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. ( a2y3 + 12 ) ( -12 + a2y3 ) = 59 . 2. el primer término viene siendo el cuadrado del mismo (hay que aclararte que este es el término común de dicho producto). Ejemplo: (x+a) (x+b) (x+2) (x+3) = = = = = Aplicando la propiedad distributiva x2 + ax + bx + ( a • b ) x2 + ( a + b ) x + ab x2 + 3x + 2x + ( 3 • 2 ) x2 + ( 3 + 2 ) x + ( 3 • 2 ) x2 + 5x + 6 Como notarás en el trinomio resultante. Resuelve los siguientes productos de binomios aplicando la regla: 1.3 )a2 + ( -1 ) ( -3 ) = a4 . ( a2 .
25y 4 5. INSTRUCCIONES: Escribe dentro del paréntesis la letra de la respuesta correcta.6 ( 2 2 2 2 ( ) El producto de ( 6xy .2x .4 ( c) 16x2 + 24x2 + 9 ( c) 49a b + 28ab+4 ( 2 2 4 ) b) 4 .6 ) es: a) 9x2y2 . El producto de ( 3xy + 6 ) ( 3xy .9x2y2 4. x2 + x .y3 b) 64x3 . El producto de ( 7ab + 2 )2 es igual a: a) 49ab + 28ab + 4 b) 49a b + 14ab + 4 2 2 ) 7.7 )2 es: a) 36x y + 84xy + 49 2 2 ) b) 36x y + 84xy .49 c) 36x y .2y )3 es: a) 343x3 + 294x2y .36 b) 9x2y2 + 36 c) 36 .5y2 ) ( 5y2 + 2 ) es: a) 25y + 4 4 ( c) 25y . El producto de ( 4x + 3 )2 es igual a: a) 16x2 + 24x + 9 b) 16x . El producto de ( 7x .8 ( ) 10.SAETA ALGEBRA AUTOEVALUACION.84xy + 49 ( ) 3. El producto de (x + 3) (x + 2) es: a) 2.8y3 b) 343x3 .84xy2 .84xy2 + 8y3 ( ) 9.6 b) x2 + x + 6 c) x2 . El producto de ( y + 6 ) ( y + 3 ) es: a) y + 9y + 18 2 ( c) y + 9y .48x2y + 12xy2 .48x2y + 12xy2 + y3 ) 8. Aplique la regla que corresponde: 1.294x2y + 84xy2 . en cada uno de los siguientes productos notables.8 b) x2 + 2x + 8 c) x2 + 2x . El producto de ( x + 4 ) ( x .x .9y + 18 2 60 .24x + 9 ) 6.294x2y .2 ) es: a) x2 . El producto de ( 2 . El producto de ( 4x + y )3 es: a) 64x3 + 48x2y + 12xy2 + y3 c) 64x3 .18 2 ) b) y .8y3 c) 343x3 .
si avanza a (20x + 9) km/hr. c) Calcular lo que gana un obrero en (3x + 5) horas de trabajo. si le pagan a (3x + 5) pesos la hora. Elabora conclusiones sobre lo que acabas de realizar y como le llamarías en un lenguaje matemático. FACTORIZACIÓN. las diferentes expresiones algebraicas “casa” también se puede descomponer en sus partes. considerando de forma particular cada una de ellas. Desarrollo • • Investiga e identifican los diferentes tipos de expresiones que a su vez se factorizan de diferente manera por no ser similares. Resuelve los ejercicios de la antolgía de factorización. BLOQUES • • • • Apertura • • • • ACTIVIDADES Dibuja en forma individual como te gustaría que fuera su casa. 61 . Dibujala en rotafolios y para presentarla al grupo.SAETA ALGEBRA La aplicación de los productos notables nos ayudan en la solución de problemas prácticos como los siguientes: a) Calcular el área de un terreno cuadrado cuyo lado mide 5x+3 5x+3 b) Calcular el recorrido de un automóvil en (20x + 5) horas. De manera similar. Compara tu dibujo con el de tus compañeros y ve ¿Cuál fue la más y menos completa ? Anótala la respuesta a lo siguiente ¿Creé que porque uno de los dibujos tuvo menos partes que otros dejará de ser casa? Toma una casa el equipo e identifica ¿Cuáles son los espacios comunes y cuáles individuales? Colorear los espacios comunes e individuales de diferente color.
si los lados deben medir metros completos y no deben exceder de 15m? Al resolver dicho problema los estudiantes encontraron las siguientes respuestas: 62 . Expresar el concepto de factorización.SAETA ALGEBRA • • Cierre Se resuelven ejercicios propuestos en la antología. Lo que hay que aprender es: Cierto día un asesor del SAETA planteó el siguiente problema a sus alumnos: "En un centro comercial se van a formar locales rectangulares. de tal manera que dichos locales tengan un área de 60m2 . ¿Cuáles son las dimensiones que puedan tener dichos locales. Se intercambian las respuestas para su análisis durante la asesoría Factorizar quiere decir descomponer en factores.
el número 60 puede factorizarse en 6 formas diferentes. en este caso. por ejemplo. lo descompusieron en factores. Observa que un número puede ser factorizado de distintas maneras. cuyas dimensiones son m+n de largo y p de ancho. está dada por la expresión: A = ( m + n ) p ------------------1 n np p 63 . ya que frecuentemente se utiliza para resolver con mayor facilidad algunas operaciones.SAETA ALGEBRA Lo que ellos hicieron para encontrar dichas respuestas fue buscar dos números que multiplicados dieran 60. empezaremos por ilustrar dicha factorización con auxilio de figuras: Consideremos un rectángulo. así: 60 = 4 x 15 60 = 5 x 12 60 = 6 x 10 60 = 60 x 1 60 = 30 x 2 60 = 20 x 3 Sólo que los alumnos encontraron como respuesta únicamente las 3 factorizaciones de la izquierda porque en el problema se pedía la condición de que las medidas no excedieron de 15m. Así: 60 = 4 x 15 60 = 5 x 12 60 = 6 x 10 factores factores factores En otras palabras ellos factorizaron el número 60. Aplicaremos la factorización en las expresiones algebraicas. La factorización de una expresión algebraica consiste en expresarla como producto de factores o producto indicado. es decir. Antes de entrar a los diferentes tipos de factorización algebraica que existen. m mp m + n Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando largo por ancho.
La expresión mp + np se puede factorizar en forma más directa. es decir. Así como factorizamos un número también podemos factorizar un polinomio. Llamaremos factor común al factor que aparece en todos los términos de un polinomio. a quedado factorizada y que sus factores son: m + n y p. Puesto que p es factor común de cada término.2 Relacionando las expresiones 1 y 2 se tiene: mp + np = ( m + n ) p De esta manera . se puede expresar como: mp + np = ( m + n ) p POLINOMIOS QUE TIENEN UN FACTOR COMÚN: Lo que hay que aprender es: Factorizar polinomios que tienen un factor común. lo podemos descomponer en factores. para lograrlo nos vamos a auxiliar de la propiedad distributiva. se ha factorizado a (b + c).SAETA ALGEBRA Por otro lado te das cuenta que el área de este rectángulo es igual a la suma de las dos áreas que lo integran. Recordemos que usamos la propiedad distributiva para multiplicar. 64 . es decir. mediante el uso de la propiedad distributiva el polinomio ab+ac se ha transformado en un producto. si aplicamos la propiedad distributiva. o sea: A = mp + np -----------------. Un polinomio puede factorizarse mediante el uso de la propiedad distributiva sólo cuando sus términos tienen un factor común. así: a(b+c) Producto = ab + ac suma Si leemos la igualdad anterior de derecha a izquierda tendremos: ab + ac Suma = a(b+c) Producto Así. podrás advertir que la expresión mp + np.
ya que en las otras dos. un mismo polinomio puede ser factorizado de distintas maneras.SAETA ALGEBRA Ejemplos : ② x + ② y 2 Ⓧ -Ⓧ y 2 (x+y) x (2-y) Así. Para obtenerlo encontramos al máximo común divisor de los coeficientes y escogemos las literales que aparezcan en todos los términos con su menor exponente. para factorizar un polinomio procedemos como en el siguiente ejemplo: Factorizar el polinomio 5x + 5y Factor 1. Buscamos el factor común y ese elemento será uno de los factores. Para encontrar el otro factor dividimos cada término del polinomio entre el factor común. El máximo factor común es el mayor de los factores comunes. lo cual no sucede en el último caso. común y = 5( ) falta encontrar este factor ⑤ x + ⑤ . por ejemplo en el polinomio: 2x + 4y aparentemente no hay factor común pero dicho polinomio puede escribirse de la siguiente manera: 2x + 4y factor común 2x 4y =x = 2y 2 2 Al igual que un número. 2. las expresiones " 8x + 4 " y " 2x + x " aún tiene un factor común. debido a que encontramos el máximo factor común. por ejemplo el polinomio 8x2 + 4x puede ser factorizado de las siguientes formas: 1) 8x • Ⓧ + 4 Ⓧ = Ⓧ ( 8x + 4 ) 2) 8x2 + 4x factor común 3) 8x2 + 4x 2x (4x) + 4x (1) factores = 4x (2x + 1) De las tres factorizaciones obtenidas. factor común luego podemos factorizar 2x + 2 (2y) dicho polinomio así: 2x + 4y = 2 ( x + 2y ) 4 (2x2 ) + 4x = 4 (2x2 + x) 65 . la más completa es la tercera. 5x + 5y = 5 (x + y ) 5x =x 5 5y =y 5 A veces no es tan fácil encontrar el factor común.
24x3y2 ÷ 6x2y = 4xy . 1 c).d.6x4y = 6x2y factorización ( 2y2 + 4xy .3z ) 10xy ÷ 5y 5y2 ÷ 5y .c. así: 6x2y ( 2y2 + 4xy .c. 10xy + 5y2 .15yz ÷ 5y = 2x = y = . el máximo factor común es 5y II) Dividimos todos los términos por 5y para encontrar el otro factor.6x4y ÷ 6x2y = .15yz Sólo la “ y “ aparece en todos los términos y su menor exponente es 1.x2 ) = 12x2y3 + 24x3y2 .x2 12x2y3 + 24x3y2 .d. Escoger las literales que En todos aparecen la x y y aparezcan en todos los términos y los menores exponentes con su menor exponente que tienen son:2 y 1: en la x es x2.6x4y Es el polinomio dado por lo que la factorización es correcta. Por lo tanto.SAETA ALGEBRA Ejemplo: 1.3=6 común 6 es el m. Factorizar el polinomio: 12 x2y3 + 24 x3y2 .d. Factorizar el polinomio 10xy + 5y2 . El máximo factor común es 6x2y II) Encontramos el otro factor dividiendo 12x2y3+24x3y2-6x4y=6x2y(2y2+4xy-x2)2 cada término del polinomio entre el 12x2y3 ÷ 6x2y = 2y2 máximo factor común obtenido. Ya no tienen 2 1 3 factores comunes b) Escogemos las variables que aparezcan en todos los términos con su menor exponente. b). 10xy + 5y2 .6 x4y I) a) Encontramos el máximo 12 24 6 2 Obtener el común divisor de los coeficientes 6 12 3 3 máximo factor 2 4 1 2.15yz = 5y ( 2x + y . 2 y en la y es y.c.x2 ) Podemos comprobar nuestra respuesta si efectuamos la multiplicación y obtenemos el polinomio dado.3z 66 . de los coeficientes 10 5 15 5 Es el m. 2.15yz I) Obtenemos el máximo factor común: a) Encontramos el m.
40. POLINOMIO MÁXIMO FACTOR COMÚN FACTORIZACIÓN a) b) 2x + 3x + 5x 5x + 10 c) 16x2 . 36 } ________ _______ e) { 24. m5 } a) x5 = x2 _______ b) { 12.7x3 + 14y3x2 67 . ab3c2 } f) { a2.6y2 e) 25xy2 + 30x3y2 + 15y2x4 f) 42x2y . 21 } _________ 2. 4. Encuentra el máximo común divisor y el máximo factor común de cada uno de los conjuntos de números: a) { 2. xy } -12x2y3 = 4xy2 c) { 5. ab2 } d) -5x5 = 5x5 3. ab.7ab 4. m3. b3c2.4x3 + 8x4 d) 12x3y + 4x2 . Efectúa las siguientes divisiones b) c) 28a3b2 = . Encuentra el máximo común divisor de cada uno de los siguientes conjuntos: c) { ab2c. 1. } d) { 8. 50 } ________ b) { x2y. a2. xy2 } e) { x3y. 6. 36 } a) { a. 10 } _________ f) { 9. 24. a3 } d) { m2.SAETA ALGEBRA ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. Encuentra el máximo factor común de los polinomios siguientes y luego factorizarlos.
así : x 2 .y ) sustraendo y2 = De donde podemos concluir lo siguiente: Para factorizar una diferencia de cuadrados formamos binomios conjugados.y ) = x 2 . y los términos opuestos al extraer raíz cuadrada al sustraendo. que podemos factorizar una diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados. Recordemos que al multiplicar binomios conjugados obtenemos como resultado una diferencia de cuadrados. DIFERENCIA DE CUADRADOS Lo que hay que aprender es: Factorizar diferencias de cuadrados.y2 minuendo x2 = x = (x ) (x ) Término común Para obtener términos opuestos de los binomios extraemos raíz cuadrada al sustraendo así: x 2 .y2 = ( x + y ) ( x .y) Es decir. No olvidemos que el minuendo de la diferencia de cuadrados era obtenido al elevar al cuadrado el término común de los binomios.SAETA ALGEBRA 2. tenemos: x 2 .y2 Binomio conjugados diferencia de cuadrados Si leemos la igualdad anterior de derecha a izquierda. ( x + y ) ( x . obteniendo su término común al extraer la raíz cuadrada al minuendo. por lo que si le extraemos raíz cuadrada a dicho minuendo obtendremos el término común. Términos opuestos y 68 .y2 = (x+y) (x .
9 d) 16a6 . Ejemplos : 1) x 4 = = 2 factores iguales ( x2 ) ( x2 ) (9r3 ) (9r3 ) (0.3) ¡CLARO YO SI PUEDO! x4 =x 2 2) 81r6 81r 6 = 9r 3 0.2y) Término común Términos opuestos Sustraendo Extraer raíz cuadrada equivale a encontrar uno de los factores iguales del número al cual se desea extraer raíz.7) b) y2 .= ( + 1 ) ( . 1. factorízalos .4 = ( y + ) ( y .4b4 69 .3 3) 0. a) 81x4 ( ( ( ( ( b) 121x2y2 c) r10 d) x10 y4 z2 e) 16m10 f) 9y6 2. Relaciona las columnas asociando cada binomio con su factorización. Completa los espacios vacíos con la expresión que haga falta para que las igualdades se cumplan.1) ) x2 .SAETA ALGEBRA Ejemplo : Minuendo 9x2 .09 = 0.4m4 ) m2 .4 c) x2 .81 = ( x2 + ) ( x2 .09 = ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.4y2 9x2 = 3x Luego 4y2 = 2y 9x2 . a) r2 -52 b) m6 . Calcula mentalmente la raíz cuadrada de las siguientes expresiones.) d) x4 . Los polinomios siguientes son diferencia de cuadrados.9p6 4.49 ) m2 .9 ) y4 -16 ) 25 . a) x4 .3) (0.4y2 = ( 3x + 2y) (3x .) c) r6 .49 = ( +7 ) ( . a) ( y+4) ( y-4) b) (m+3) ( m-3) c) ( x+7) ( x-7) d) ( y2+4) (y2-4) e) ( y2+8) (y2-8) f) ( m+2m2) ( m-2m2) g) (5+3p3) ( 5-3p3) 3.
Antes de averiguar cómo encontramos dicho binomio debemos identificar si un trinomio es cuadrado perfecto o no. Sabes ahora lo que continua es más fácil tu si puedes : Factorizar un trinomio cuadrado perfecto. para lo cual recordaremos las características de un trinomio cuadrado perfecto. (x+y) = 2do.y )2 Por lo que podemos afirmar que un trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse en un producto de 2 binomios iguales. ( x+y )2 = x2+ 2xy + y2 ( x-y )2 = x2. Por el 2do. Observa que para encontrar extraemos raíz cuadrada a los término 4x2 y 16y2. 1er. entonces para poderlos analizar es necesario que primero los ordenemos en forma decreciente con respecto a una variable. Hemos visto que el resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. tenemos : x2 + 2xy + y2 = ( x + y )2 x2 .SAETA ALGEBRA TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. término + 2xy El cuadrado del 2do. término 2 El cuadrado del ler. por ejemplo : x2 + y2 + 2xy x2 + 2xy + y2 ordenando en forma decreciente respecto a “x” 70 . término + y2 Por ejemplo: Observemos si el trinomio: 4x2 + 16xy + 16y2 cumple con las características anteriores : 1º) 4x2 es el cuadrado de 2x 2º) 16y2 es el cuadrado de 4y 3º) ¿Es 16xy el doble de (2x)(4y) ? Veamos. así : 4x 2 = 2x 16 y 2 = 4y Algunas veces los trinomios no aparecen ordenados. 2 (2x)(4y) = 16xy ¡ Si lo es ! por lo que afirmamos que el trinomio 4x2 + 16xy + 16 y2 es cuadrado perfecto.2xy + y2 Si leemos las igualdades anteriores de derecha a izquierda. término x 2 por el 2do.2xy + y2 = ( x . término El doble del 1ero.
16 ¿ es 2(p) (4) = 8p ? Por lo que p2 + 4p . 6x 10y 2(6x) (10y) = 120xy Por lo tanto. el trinomio 36x2 .16 p2 + 4p . Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto veamos los siguientes pasos : ¿ Es 36x2 + 100y2 . y 3er.120xy + 100y2 1er. 1. Ordenamos el trinomio en orden decreciente Orden decreciente con respecto a una variable respeto a “x” 36x2 .120xy un trinomio cuadrado perfecto? 1º. Término 3er. Ejemplos: a) 9 + x2 + 6x x2 + 6x + 9 x b) x2 + 4p .120xy + 100y2 6x 10y 2 3º Verificamos si el término central es el doble 36x .120xy + 100y2 producto de las raíces obtenidas. término 2 36x . Término 2º.8x + 4 ( ( ) ) 71 . se cumple que el término central es el doble del producto de las raíces cuadradas del 1er.16 no es cuadrado perfecto Por lo que x2 + 6x + 9 es cuadrado perfecto p 4 ¡ No lo es ! ¡ Aplica tus conocimientos ! ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. término del trinomio. y 3er. Extraemos raíz cuadrada al 1er. Escribe dentro del paréntesis una ( X ) si el trinomio es cuadrado perfecto.SAETA ALGEBRA Al ordenar en forma decreciente el exponente de la variable se debe escribir de mayor a menor.16 3 ordenando queda x2 + 6x + 9 ¿ es 2(x) (3) = 6x ? ¡ Si lo es ! ordenando queda p2 + 4p . En resumen: Un trinomio es cuadrado perfecto si después de ordenarlo en forma decreciente respecto a una variable.120xy + 100y2 es cuadrado perfecto. a) x2 + xy + y2 c) 4x2 + 32x + 64 ( ( ) ) b) y2 + z2 + 2yz d) x2 .
8x + x ? luego 2(x) (?) = 8x ? = 8x 2x ? =4 de donde el término que falta es 16 b) x2 + c) b2 + 12b + d) e) 4x2 + f) y2 .2 No hay un factor que aparezca en los 3 términos 2.16y + 3.100z + 25 = _________ TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + bx + c Lo que hay que aprender: Factorizar un trinomio de la forma común. Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos. no es un trinomio cuadrado perfecto. x2 + 7x + 10 x.x 7. lo cual significa que no podemos factorizarlo en un binomio al cuadrado. Además. Dicho trinomio no tiene un factor común diferente de 1. Tampoco podemos factorizarlo en un producto de dos binomios conjugados.16y + 64 = __________ d) 100z2 . Ejemplo: a) x2 .x 5. x2 + bx +c en dos binomios con término 1. por que 7x no es el doble de ( x ) ( 10 ). Resuelve el siguiente problema: a) ¿ Cuánto mide de lado un cuadrado cuya área es x2 + 4x + 4 ? ¡ Continuemos ! + 25 +14x + 49 + 16 b) y2 . 72 .SAETA ALGEBRA 2. a) x2 + 8x + 16 = ________________ c) 16x2 + 40x + 25 =________________ 4. debido a que dicho trinomio no es una diferencia de cuadrados. 3. Escribe dentro del cuadro el término que falte para completar un trinomio cuadrado perfecto.
Suma de los no comunes. ambos factores son los dos positivos o los dos negativos. x2 + 7x + 10 = ( x x ) (x ) 7 = b término común 2.q Producto de los no comunes. Regresemos al trinomio x2+7x+10. (-2 ) 73 . obtenemos un trinomio cuadrático de la forma x2+bx+c. Hagamos la comprobación de ambos: x2 + x2 + 7x + 10 donde 10 = c bx + c Lo cual quiere decir que para factorizar el trinomio x2 + 7x + 10. (-2 ) ( -5 )+(-2) = -7 Primero veamos los factores de 10 positivo. ¿ Cómo lo hacemos ? 1. ( 10 ) . Por lo que: Un trinomio de la forma x2 + bx + c puede factorizarse en un producto de binomios con término común. Para encontrar los términos no comunes buscamos dos números que cumplan las siguientes condiciones: p + q p .SAETA ALGEBRA Pero recordemos que al multiplicar dos binomios con término común. donde b representa la suma algebraica de los términos no comunes y c el producto de los mismos. ( 1 ) ---------. = x2 + bx + c b=p+q c=p. debemos encontrar dos binomios que tengan un término común. (-2 ) (-10)+(-2) = -12 ( -5 ) . (2) 5+2 = 7 (-10 ) . (2) (-10 ) . ( 1 ) ( 5). éste es de la forma x2+bx+c. El término común lo podemos obtener si extraemos raíz cuadrada al término cuadrático ( x2 ). 10 . Términos no comunes. q = = 7 10 ( sumados den 7 ) ( multiplicados den 10 ) Ahora veamos cuáles de los factores anteriores suman 7. (-1 ) ( -5 ) . (x+p) (x+q) Término común.10 + 1 = 11 ( 5). 10 ( 10) .
así: 6 (6). y2 + y .30 74 .q = c Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios. Los términos no comunes se obtienen al encontrar dos números que cumplan las siguientes condiciones: p+q = b y p. (. o los dos negativos. 2. para encontrar los términos no comunes.1 ) = -7 (3) +(2)=5 (.6 ) + ( .6 ) . 1.2 ) 2. por lo que: x2 + 7x + 10 = ( x + 5 ) ( x + 2 ) Por lo tanto: Al factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c formamos un producto de binomios con término común.2 ) = -5 luego Los términos comunes son: -3 y -2 Por lo que el trinomio puede factorizarse así: x2 . donde: 1. tenemos que los factores pueden ser los dos positivos.5x + 6 observa que el coeficiente del término cuadrático debe ser 1.SAETA ALGEBRA Luego 5 y 2 cumplen las condiciones. x2 .3 ) + ( . El término común es obtenido al extraer la raíz cuadrada al término cuadrático (x2 ).3 ) ( x .5x + 6 = ( x ) (x ) x término común c) Como b = -5 y c = 6 Buscamos dos números que multiplicados nos de 6 y sumados -5.¡ ) (3).(2) ¿ Cuáles de dichos factores suman -5 ?Veamos (6) + (1)=7 ( . b) Obtenemos el término común x2 .5x + 6 a) Checamos que dicho trinomio sea de la forma x2 + bx + c x2 + bx + c x2 . ( )( ) = 6 y ( )+( ) = -5 Luego como 6 es positivo.(1) (.5x + 6 = ( x .
la raíz cúbica de 1 es 1.SAETA ALGEBRA a) Como es de la forma x2+bx+c. (-5 ) ¿ Cuál es la suma ? Veamos: 30 15 10 6 + + + + ( -1 ) ( -2 ) ( -3 ) ( -5 ) = 29 = 13 = 7 = 1 Por lo que los términos no comunes son 6 y 5. menos el producto de las dos raíces. Según la regla anterior X 3 + 1 = ( X + 1) 1er.30 = ( y ) (y ) b) Buscamos dos números tales que: ( ) . ( ) = -30 y ( )+ ( ) = 1. cuando esto sucede decimos que dicho trinomio no es factorizable en el conjunto de los números enteros. paso [X 2 − X (1) + 12 = ( X + 1) X 2 − X + 1 2º paso resultado ] ( ) Ejercicio: 1) a 2 + 27 75 . más el cuadrado de la segunda raíz.30 = (y+6) (y -5) No todos los términos que tienen la forma x2+bx+c son factorizables en el conjunto de los números enteros. y2 + y . (-1 ) Pero 5 + 1 = ( -5 ) + ( -1 ) = 6 -6 Por lo que no existen dos números enteros que multiplicados nos de 5 y sumados 3.(1) (-5 ) . ( 1 ) ( 15 ) . como el producto ( -30 ) es negativo un factor debe ser positivo y el otro negativo. (-2 ) ( 6 ) . SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1º la suma de sus raíces cúbicas. Ejemplo: Factorar x 3 + 1 La raíz cúbica de x 3 es X . tenemos: 5 (5). luego tenemos las siguientes posibilidades: 30 ( 30 ) . de donde: y2 + y . encontramos el término común. y como la suma ( 1 ) es positiva el mayor de los factores es positivo. por ejemplo: x2 + 3x + 5 es de la forma x2 + bx + c Si tratamos de encontrar dos números que multiplicados nos den 5. 2º el cuadrado de la primera raíz.
Ejemplo: 2x2 +11x + 5 Se factoriza de la siguiente manera . más Ejemplo : el cuadrado de la segunda raíz.. Paso Ejercicio: 2º paso 1) x 3 − 27 resultado 2) 27 a 3 − b3 [ ] ( ) TRINOMIOS DE LA FORMA a x + bx +c Son trinomios de esta forma : 2 x 2 + 11x + 5 3a 2 + 7 a − 6 10n 2 − n − 2 que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer termino tiene un coeficiente distinto de 1. más el producto de las dos raíces.Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior.SAETA ALGEBRA 2) 8x3 + y 3 La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1º La diferencia de sus raíces cúbicas . 2 2 x 2 + 2(11x ) + 2(5) 2.. el 1º termino de cada factor será la raíz cuadrada del 1er término del trinomio. 1. o sea 2x: (2x ) (2x )..Se efectúa la multiplicación del 1º y del 3º término y del 2º los coeficientes se invierten 4 x 2 + 11( 2 x ) + 10 pero 4x2 = (2x)2 Ahora el trinomio queda así ( ) (2 x )2 + (2 x ) + 1 1 1 0 3.Se indica la multiplicación de cada uno de los términos de la expresión por el coeficiente del término cuadrático. a 3 − 8 = ( a − 2 ) a 2 + 2( a ) + 2 2 = ( a − 2 ) a 2 + 2 a + 4 1er. 76 . 2º El cuadrado de la primera raíz.
Encuentra dos números "p" y "q" tales que cumplan con las condiciones que se señalan. Pero factorizado.32 p+q -7 -2 4 p q a) b) c) d) e) f) 2.SAETA ALGEBRA 4.y2 _ 2 = ____________ 77 . Los otros términos se encontraran buscando los números que multiplicado nos den el 3º término del trinomio y sumado el coeficiente del segundo término.Factorizar los siguientes trinomios a) 3 x 2 − 5 x − 2 b) 4n 2 + n − 33 c) 6 x 4 + 5 x 2 − 6 Ya que analizaste y comprendiste los ejemplos anteriores.. (2x + 10) 2 x (2x+1) 1 Resultado: (x + 5 ) (2x + 1) Actividad de aprendizaje: 1.. Observa el ejemplo. 1.q 12 20 56 p+q 8 9 15 p 6 q 2 p.Como la expresión se multiplica por 2 ahora se divide entre este mismo número . te invitamos a resolver las ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. 2 x 5 = 10 10 x 1 = 10 -2 x –5 =10 -10 x –1 = 10 (2x + 10) (2x+1) 2+5=7 10 + 1 = 11 -2+(-5)= -7 -10+ (-1)=-11 Son los números buscados 5.10 = ____________ b) m2 + 9m + 14 = ___________ c) y2 . p.q 12 -15 .10x5 + 24 = __________ f) y4 .36 = ___________ e) x10 .8y + 12 = ____________ d) x2 + 9x .3x . Factoriza los siguientes trinomios a) x2 .
............5y + 6 ¡ Demuestra lo que aprendiste! Actividades de aprendizaje I...... Es el término que debe agregarse a la expresión " x 2 + 12x + " para formar un trinomio cuadrado perfecto ....... Es la factorización del trinomio x2 . analiza si es cuadrado perfecto En caso de que el trinomio no sea cuadrado perfecto observa si es de la forma x2 + bx + c y si es factorizadle en el conjunto de los número enteros.SAETA ALGEBRA 3¿ Cuáles serán las dimensiones de un rectángulo cuya área es de y2 ...... Anota en el paréntesis de la derecha la letra que corresponde a la respuesta que complete correctamente lo que se pide: 1.......( a) 8xyz b) 2xy c) 4x d) 4y ......9 b) x + 9 c) x2 ............15 = g) x ____________ 2 .. e) 8a2 + 6a ..........18x + 81 .......... Te recomendamos los siguientes pasos: 1º 2º 3º 4º Observa si tiene factor común Si es un binomio................ ................. Factoriza los siguientes polinomios......36z2 = ____________ 2 ...15y + 36 = ____________ h) y a) x2 + 6x + 9 = __________ b) x2 + 4x = ___________ c) m2 .25 = ___________ d) y2 + 6y + 8 = ___________ 78 ........( d) ( x . Es el polinomio que representa la medida del lado de un cuadrado cuya área es x2 .....3 ) ( x .....10 ) ( x + 3 ) c) ( x + 5 ) ( x .... analiza si es una diferencia de cuadrado Si es un trinomio.....13x ......9 )2 II.. Es el máximo factor común del trinomio 8x2y + 24yz + 12y2z ........10 ) b) ( x ... .( ) a) x .2x .......5y + 6 ? A = Largo x ancho A = y2 ....15 ) ( x + 2 ) 3. a) ( x2 ....9 d) ( x .....( ) a) 16 b) 36 c) 144 d) 9 ) 2...6 ) ) 4.....30 ............ ..........12a3 = ___________ f) y2 .....
t = x .14x + 49 a+3 III. encuentra la velocidad de un automóvil si recorre una distancia de ( x2-50x+600 ) km en un tiempo de ( x-30 ) hrs. Resuelve el siguiente problema aplicando factorización: ? ¿ Cuánto mide de largo un rectángulo si tiene una superficie de a2 + 7a + 12 y su ancho mide (a + 3 ) a2 + 7a + 12 Largo = ___________________ 79 . Una vez aclaradas tus dudas. Te será de gran utilidad el consultar con tu asesor este tema. te invitamos a discutirlas. a) Si sabemos que d = vt.50x + 600 b) ¿ Cuánto mide de lado el cuadrado de la derecha si tiene un área de x2-14x+49? Lado = ______________ x2 .30 x2 .SAETA ALGEBRA ¿Has oído la siguiente frase? “La duda es el principio del conocimiento“. resolviendo estas actividades: ACTIVIDADES REMEDIALES.
Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes. analizar materiales escritos y relacionarlos con el lenguaje algebraico.00. 80 .SAETA ALGEBRA ( ECUACIONES CON UNA INCOGNITA ) TEMA INTEGRADOR: EL SALARIO. Presenta la estrategia al grupo. haciendo la expresión algebraica correspondiente. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuanto ganó cada uno de ellos. 6. Discusión del grupo por las estrategias y resultados obtenidos en el problema. Comprender el lenguaje escrito para pasarlo al lenguaje algebraico 2. 9. OPERACIONES DE APERTURA: 1. Utilizar los signos de agrupación en expresiones algebraicas sencillas PROBLEMA: Tres muchachos ganaron $ 960. 4. 3.00 menos que Eduardo y Esteban ganó 10 veces lo que enrique. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando coincidencias y diferencias. ¿ Cuánto ganó cada uno de ellos ? 5. Enrique ganó $ 24. hacer planteamientos sencillos de lenguaje coloquial a lenguaje algebraico. 7. Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo 8.
15. 16. Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje algebraico y de realizar operaciones algebraicas. 81 . Resolver los ejercicios propuestos por el profesor 17. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios utilizados en la solución del problema. ACTIVIDADES DE CIERRE: 14.Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados. Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.SAETA ALGEBRA ACTIVIDADES DE DESARROLLO: 10 Analizar los materiales escritos relacionados con el lenguaje algebraico y con los contenidos que puedan corresponder al tema integrador por equipo como son: a) Lenguaje algebraico. b) Expresión algebraica c) Signos de agrupación d) Leyes de los signos e) Operaciones algebraicas 11. 12. Ejemplificación de procedimientos de representación de enunciados en forma Algebraica y operaciones con expresiones algebraicas. 13. con el material Analizado. Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.
00 Eliminamos el paréntesis: X – 24 + _X_ + 10x – 240) = $ 960.00 = _X_ $ 1.SAETA ALGEBRA PROBLEMA: Tres muchachos ganaron $ 960. ¿ Cuánto ganó cada uno de ellos ? ANALISIS DE LA INFORMACION Y PLANTEAMIENTO Tres muchachos ganaron $ 960.00 12 = $ 102.224.00 Pasamos al 2º miembro de la igualdad los valores y obtenemos: X + 12 X Despejamos la X X = $ 1.00 menos que Eduardo y Esteban ganó 10 veces lo que Enrique.00.00 + 10x = $ 960.224.00 menos ganaron que Eduardo muchachos + Eduardo ganó “x” = Esteban ganò 10 veces lo que Enrique $ 960.00 Lo que los tres Lenguaje algebraico: X – 24 + _X_ + 10 ( x – 2 4) = $ 960.00 + 24 + 240 Reducimos y obtenemos: 82 .00 + Enrique Ganó $24. Enrique ganó $ 24.
00 + + 10 ( x – 2 4) $ 780.SAETA ALGEBRA Sustituimos las incognitas por los valores: + Enrique Ganó $24.00 Triple $ 4.00 2 3 4 5 6 Triple $ 150 Triple $ 450.00 = = $ 960.00 $ 960.350. por la inflación económica que existe en su país.00 PROBLEMA: + + _X_ $ 102.00 Un obrero gana $ 50.00 menos ganaron que Eduardo muchachos + Eduardo ganó “x” = Esteban ganò 10 veces lo que Enrique $ 960.00 a la quincena.050.00 Lo que los tres X – 24 $ 78.150. si cada año aumenta su sueldo el triple.00 ¿? Su sueldo en el quinto año sería 83 .00 Triple $ 12.00 Triple $ 1. ¿ Cuál sería su sueldo al 5º año ? ¿ Cuál será la expresión algebraica para conocer el sueldo del obrero en “n” años ? ANALISIS DE LA INFORMACIÓN Y PLANTEAMIENTO: Años 1 “n” Incremento: Sueldo: $ 50.
. 84 . sobre la cantidad de gente que asistió. Pregúntate cuanto ganará la empresa por la venta de palomitas.¿Cuál es el costo de materia prima para una bolsa de palomitas? 5. ¿Que equipo se requiere? 3.. Hagamos una tabla apoyándonos en el dibujo anterior. Visualiza que puede realizar otra ecuación lineal para otro ejemplo de otro tipo o área 11. en donde “x” es el salario AÑOS Lenguaje algebraico ( Salarios ) 1 2 3 4 5 6 .. Reflexiona sobre la inversión necesaria para llevar a cabo una microempresa 9. Intercambien respuestas dadas a los ejercicios en la asesoría.Determinar los requerimientos para la fabricación de palomitas de maíz. ¿Cuál es el costo de dicho equipo? 4.Obtener los costos para producir 1 bolsa. etc. Realiza el a un análisis por escrito sobre el comportamiento de una ecuación lineal 10. siguiente estreno.. ¿Cuántas bolsas elevarán el costo a 3900? 7.¿Cuanto nos cuesta producir 40 bolsas? Si quisiéramos establecer una empresa de este tipo tendríamos que investigar sobre: 8.10. 5.. 2. 3.SAETA ALGEBRA 1. palomitas. 2.. De la misma forma hablemos de los temas siguientes 1. Contestar: 6.... 4.. ECUACIONES LINEALES Hablemos de cine ya que tú eres un experto en el séptimo arte y para comenzar realiza una reseña sobre la última película de moda en el cine (Ejemplo Spiderman II). el tipo de servicios. n x 3x 3(3x) (3) (3) (3x) (3) (3) (3) (3x) (3) (3) (3) (3) (3x) 3 (n–1) x la expresión algebraica para conocer el sueldo del obrero en “n” años es: 2.. Enfatizar sobre el gran consumo de bebidas.
enseguida comunica el número pensado. entonces el prestidigitador hace mentalmente las siguientes operaciones 25-1=24. hay que mirar la columna derecha de la tabla donde las indicaciones del prestidigitador están traducidas al idioma del álgebra. y obtiene la respuesta x = 8. Como se ve todo es muy fácil. que si tu has pensado cualquier número. Supongamos. Claro está que el secreto de la prestidigitación es muy fácil y se basa en las mismas ecuaciones. adicionar dos. entonces realizadas todas las operaciones se obtendrá 4x + 1. hace falta restar uno del resultado final ( 331=32 ) y luego el número obtenido se divide entre 4 ( 32/4 = 8 ). Entonces el prestidigitador resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x + 1= 33. Supongamos que el prestidigitador te haya propuesto a ti a utilizar un programa de operaciones indicado en la columna izquierda de la tabla siguiente: piensa un número adiciona dos el resultado multiplícalo por tres resta cinco resta el número pensado multiplica por dos resta uno x x+2 3x+6 3x+1 2x+1 4x+2 4x+1 Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado final y.SAETA ALGEBRA Cada uno de ustedes se ha encontrado indudablemente con prestidigitadores que pueden adivinar números. ¿ Cómo lo hace? Para comprender esto. multiplicar el resultado por tres. por ejemplo. en total cinco o una decena de operaciones. el resultado de esta división es el número pensado ( 8 ). al obtenerlo. Conociendo este resultado no es difícil adivinar el número. 85 . Es decir. Mirando esta columna se puede comprender. Como regla un prestidigitador propone realizar operaciones del siguiente carácter: pensar un número cualquiera. al obtener la respuesta. restar cinco. “Mejor que no le permita dividir pues la división complica mucho la prestidigitación”. 24/4 = 6 y te comunica que has pensado el número 6. que tú hayas dicho al prestidigitador que el resultado es 33. Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado y. restar el número pensando etc. El prestidigitador sabe de antemano que hacer al resultado para obtener el número pensado. dice al instante el número pensado. Si el resultado final es 25.
por ejemplo: 24 + 6 = 30 es cierto.¿Cuántos días tendrían que tomar raite para ahorrarse $800.¿Cuántos días se tendrían que suspender asesorías para que se ahorren $200. pero 24 + 6 = 31 es falso. Una ecuación que contiene al menos una variable es una afirmación abierta y no es ni cierta ni falsa.00 en 6 meses? Para concluir con este apasionante tema realicemos lo siguiente 1.SAETA ALGEBRA ECUACIONES DE PRIMER GRADO En este momento haremos un paréntesis y hablaremos de temas de interés para todos ustedes empesaremos por : Dar a conocer el calendario del nuevo modelo curricular del SAETA.. 4... Aquella ecuación que contiene únicamente números puede ser cierta o falsa.Determinar en forma individual y grupal el gasto económico que realizan en el mes para asistir a asesorías.00? 8.Hacer comparaciones en equipo. • • 86 . 2. 3.. 3.Exposición de resultados. 5.piensa analíticamente .. por ejemplo: x+6=30 no es ni cierta ni falsa.¿Para cuantos días les alcanzaría venir a asesoría con $600.¿Cuánto se ahorraran en el mes. al semestre y al año? 7. 4. • Pedir que tome en cuenta los días festivos y las vacaciones Ahora les toca a ustedes determinar lo siguiente 1...Resolver ecuaciones propuestas en antología.¿Cuánto se ahorrarán por los días que no asistirán a las asesorías? 6.-.. Entrando en materia diremos una ecuación es una afirmación matemática que utiliza un signo de igual para establecer que dos expresiones representan el mismo número o son equivalentes.Intercambiar respuestas con tus compañeros durante la asesoría. sobre lo que estas invirtiendo económicamente para asistir a la escuela 2.00 al mes? 9.¿Cuánto gastarían en el semestre y en el año?.. 5.. porque la variable “x” no ha sido sustituida por ningún número.. • Se le pide al alumno SAETANO que realice una tabla de actividades diarias y semanales. Que el estudiante programe el tiempo que va a durar para contestar esta asignatura. en que asistirá a asesorías...Realiza un análisis de las operaciones efectuadas en el desarrollo del problema.Determinar en base al calendario de actividades los días que asistirán a asesoría y los días que no vendrán tiempo completo.
que generalmente se representan por las últimas letras del alfabeto: (v. La colección de todas las soluciones se llama " Conjunto solución " de la ecuación. CONCLUSIÓN: En una ecuación con incógnitas (no en todas las ecuaciones). 5. 42 42------Falsa 42------Falsa 42------Falsa 42------Cierta 42------Falsa Entonces el número que hace cierta la ecuación es la solución x = 4. El sustituto de la variable que hace que la ecuación sea cierta se llama " Solución de la ecuación". x. Nuestra tarea es descubrir ese o esos valores. 87 . 3.} Sustituye la variable "x" por cada número del conjunto de reemplazo. Para esto pon atención a lo siguiente: Ejemplo: * La población “P” de una comunidad aumentó 5. 743.689 Despejando nos queda: P = 152. haciendo un total de 157.9 .6x = 8x . y.SAETA ALGEBRA Al conjunto de números de donde se puede elegir los valores para la variable se llama " Conjunto de reemplazo”.3x. Podemos resolver una ecuación encontrando todas las soluciones. 2. 689 personas durante cierto año. la igualdad sólo es cierta para uno o algunos valores de la variable. ¿Cuántas personas había en tu comunidad antes del aumento? Resolver la ecuación: P + 5. a estas variables se les llama “Incógnitas ” . 4. Primer miembro: Todos los términos que están antes del signo igual. Esta parte de las matemáticas en que ahora nos encontramos se refiere a las ecuaciones cuyas variables representan cantidades desconocidas. En efecto.6x Segundo miembro: Todos los términos que están después del signo igual. es necesario que tú obtengas esos valores y encuentres en ello la utilidad de las ecuaciones. z). 689 = 157. ( no para todos ). 743 P = 157. 3x + 4 .054 En toda ecuación podemos distinguir dos miembros : 3x + 4 .743-5. Ejemplo: Resolver x + 38 = 42 Conjunto de reemplazo Solución: x 1 2 3 4 5 + + + + + + 38 38 38 38 38 38 = = = = = = {1.
a) Multiplicamos sus 2 miembros por 10. Ejemplo: Si consideramos la ecuación (m) (15) = 165 . aunque distinta de la primera también tiene por solución 11.2.9 .SAETA ALGEBRA 8x . a) Si multiplicamos los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero. pues al hacer la sustitución tenemos que: (11) (15) = 165 5 5 Existen diferentes tipos de ecuaciones.1. obtenemos otra ecuación. que tiene la misma solución que la ecuación original. (m) (15) (10) = (165) (10) Obtenemos la ecuación. pero ambas tienen la misma solución. pues (11) (150) = 1650 b) Dividimos los 2 miembros de nuestra ecuación entre 5: (m) (15) = 165 5 5 Esta nueva ecuación. necesitas familiarizarte con las siguientes propiedades de las ecuaciones. (m) (150) = 1650 Cuya solución también es el número 11. b) Si dividimos los dos miembros de una ecuación entre un mismo número distinto de cero.3x Primer Paso: Agrupar en el primer miembro a todos los términos que contienen la incógnita y en el segundo miembro agrupar a todos los términos independientes o que no contienen a la incógnita.9 -3x Signo igual (= ): Es el que separa a los miembros de una ecuación Para aprovechar esto en nuestro estudio. es el momento de que las conozcas. 2. DESPEJE DE FORMULAS Para el desarrollo de este tipo de ecuaciones es necesario realizar los siguientes pasos: Si retomamos la ecuación 3x + 4 . obtenemos una nueva ecuación. cuya solución es 11.6x = 8x . 88 .
9 . existen también las lineales fraccionarias. Cuando bajamos a un término de un miembro.13 despejamos la incógnita.9 .6x . siempre cambiará de signo. 3x .4 Observa que los términos 8x-3x estaban en el segundo miembro y al pasar al primero cambian de signo.6x .8x + 3x = . Resuelve los problemas usando ecuaciones de primer grado.SAETA ALGEBRA Cuando cambies a un término de un miembro a otro. Segundo paso: Agrupados los términos en el primero y segundo miembro realizamos una reducción de términos semejantes en ambos miembros: 3x . al mismo miembro pasará con el mismo signo.4 .13 Reducción de términos semejantes. x = . 89 . Ejemplo: 2 + 3 = 7 3x 5x Utiliza lo aprendido sobre ecuaciones y resuelve los problemas que se te plantean ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. En este caso aplicamos la ley de los signos (-) (-) en la fracción y obtendremos que el signo será positivo.8 x = 13 Simplificar el producto y su signo en 8 caso de tener la posibilidad. 32 = 576 Solución: x = 576 32 Respuesta: x = 18 Nota: Es necesario que sepas que además de las ecuaciones lineales y con números enteros.8x + 3x = . Ejemplo: Si multiplicamos un número por 32 obtenemos 576 ¿ Cuál es ese número ? Ecuación: x .8x = . El término 4 que estaba en el primer miembro pasó al segundo miembro con un signo contrario. .
¿te regresaron cambio? ¿Cuál fue la cantidad que te regresaron? ¿Como crees que el cajero acertó en la cantidad que tu pagaste? Acude a un libro de Álgebra y lee el contenido del tema “ecuaciones lineales con una incógnita” Los gastos efectuados en tres compras consecutivas en el supermercado fueron $87. $91.  Al momento de pagar.00 ¿Cuánto tendrá que ser su gasto en una cuarta compra para tener un promedio de $80. Trabajaremos ahora de lo que se compra en la tienda comercial  Realiza un listado de productos que compraste el día de hoy en la tienda comercial de tu localidad.00.00? ¿Qué te piden encontrar? ¿Cuál es el dato conocido? Comprueba tu resultado Compara tus resultados con otros estudiantes  Elabora los ejercicios de la antología Desde luego que ya sabes el manejo correcto de las ecuaciones lineales ahora observa el problema siguiente Ejemplo: Don José desea vender un hato de ganado vacuno el cual pesa 6 veces más que el hato de Don Luis.SAETA ALGEBRA a) Al dividir un número entre 45 se obtiene 1080 como cociente ¿Qué número es Ese ? b) La séptima parte de un número es 105 ¿Cuál es ese número ? c) El número 90 es 6 veces mayor que un número X ¿Qué número es X ? d) El número 21 es el cociente de “n” entre 42 ¿Qué número es n? ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA. APLICADAS A PROBLEMAS REALES.00 y $82. x = 18 6 90 .  Anota el costo de cada uno de los artículos. Si el hato de Don José pesa 18 toneladas ¿Cuánto pesará el hato de Don Luis? 6x = 18 toneladas.  Determina el total de artículos que compraste.
V. n. 1. Observando un objeto con una lupa. ¿Cuál será el costo del comercial durante la mejor hora ? 2.650. En el siguiente cuadro. x 12 n 2 9 16 14 y 7 = 27 Plantea las ecuaciones necesarias y resuélvelas para encontrar x.750 menos que su costo durante la mejor hora. al político le quedaron 4. Usar las variables a y b para completar esta generalización sobre la solución de ecuaciones de la forma x .925 ¿Cuántos prendedores publicitarios tenía al principio de su campaña? En la hora en que poca gente ve la T. ¡DEMUESTRA LO APRENDIDO! Actividades de aprendizaje 1. 3.575 prendedores publicitarios para la campaña.300 = 700 8+b = 9 24 = 5 + y a+4 = 9 125 + z = 200 0 = n-3 2.. Esto es $ 195. plantea su solución en forma de ecuación. 4. PROBLEMAS.a = b para x: x = _____ ? _____ 91 . y. un comercial cuesta $ 235. columna o diagonal es la misma. 3. ¿Cuántos milímetros mide realmente el objeto? Una granja produce "N" huevos cierto día y se llenan 90 cajas al empacarlos.SAETA ALGEBRA x = 3 A continuación se te presentan varios problemas. Si la imagen de un objeto en la lupa mide 76mm. la suma de los números que aparece en cada fila. Resuelve y verifica mentalmente las siguientes ecuaciones: n+2 = 8 t . Si en cada caja caben 360 huevos ¿Cuál fue el número de huevos que se produjo en ese día? Después de entregar 2. se ve 4 veces mayor que lo que mide en la realidad.
Plantea y resuelve una ecuación en donde 3. Con la finalidad de encontrar algunas respuestas a este gran problema : En forma grupal durante la asesoría realicen un análisis de las causas principales que llevaron a las diversas respuestas. ¿TIENES DUDAS? Si se presentara algunas dudas recuerda que tus tutores están contigo para apoyarte en esta gran aventura.478 se reste al número representado por la variable "y" para producir la diferencia 5.697.SAETA ALGEBRA 4. Investiga el aumento del precio de trigo que tuvo durante el mes de julio del 2004 así como sus modificaciones de precio alcanzando máximos y a su vez como decreció en sus precios durante un periodo de un mes. 5. se sume a un número representado por la variable "n". • Forma un equipo con los que encuentres similitud en tus respuestas y de manera conjunta elaboren una sola propuesta • Expongan sus resultados al grupo. Unas de las solicitudes de asesoria que solicita la gente de la comunidad a esta escuela son las relacionadas a enfermedades en sus animales y algunos casos como el siguiente 92 . 2.2 ECUACIONES CUADRATICAS. Plantea y resuelve ecuaciones en donde la suma sea 2.475 y 1.607. • Costo de los aumentos • Al subir y bajar los precios hubo cambios ¿Cuántos? • Como se obtuvieron los resultados • Comparar métodos de resultados y solución • Recuperar los conocimientos adquiridos Es muy importante realizar un intercambio de resultados • Compara tus anotaciones con la de tus compañeros en la asesoría. • Determinar máximos y mínimos de precios. Los precios de algunos productos en el campo están muy bajos es por eso que todos los productores requieren de una buena planeación de sus cultivos. En este apartado te invito a conocer un nuevo tipo de ecuaciones de gran utilidad humana. En nuestra vida diaria nos encontramos con problemas que no podemos resolver mediante ecuaciones de primer grado.
GALLINERO x x 30 . METODOS DE SOLUCIÓN Existen varios métodos para resolver este tipo de ecuaciones.2x = lo largo en metros x ( 30 . ¿ Qué ancho tiene el huerto ?.SAETA ALGEBRA El Sr. Al tratar de resolver un problema.2x2 .2x ) = área en mts2 Es decir: x ( 30 . puedes hacer uso de varios recursos. sólo cerca 3 lados de un rectángulo y utiliza la pared de su gallinero como cuarto lado del cercado. BLOQUES Apertura ACTIVIDADES 1.2. Antes de abordarlos es importante que conozcas la siguiente información: Las ecuaciones donde la incógnita aparece con exponente 2.2x Sea x = número de metros de ancho. como son figuras que muestren la situación real.100 = 0 Esta última ecuación te representa la situación real de la que habla el problema. con ellas podrás dar solución a muchos problemas prácticos.2x ) = 100 ó también 30x . Leer cuidadosamente el siguiente problema 93 . 30 . y si tú la resuelves estarás dando respuesta a la pregunta¿Qué ancho tiene el huerto (x = ?) 2. se llaman Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Puesto que sólo tiene 30 metros de cerca de alambre para pollos. Curry de Villa Juárez Nayarit desea iniciar el cultivo de un huerto de verduras de 100 metros cuadrados.1.
SAETA ALGEBRA Desarrollo Cierre Don José tiene dos máquinas que producen tortillas de diferentes radios.2x = 1. Los alumnos individualmente resolverán ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general. Resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0 a) Dividir entre a: ax2 + bx = . b = 0. el radio de la tortilla grande es 3 unidades mayor que el radio de la tortilla chica.2 puede escribirse x2 . 5. 1.c a a a x2 + b x a = -c a 94 .6x + 2 = 0 1. Un alumno del grupo expondrá el desarrollo de la aplicación de la fórmula general para obtener el radio. La ecuación que obtengas la expondrás anate tus compañeros en la asesoría y el asesor concluirá al final el tema.x . así: 8x 2 . Ejemplo: a) x2 . Tu asesor te proporcionara la fórmula general. 4. Investiga la fórmula para calcular el área de un círculo. b = . = 8. = 1. grado (término cuadrático. = 1. Ecuaciones cuadráticas: La ecuación ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) es una ecuación de 2º grado ó cuadrática. 3. Determina las áreas de cada tortilla y relaciónalas entre si y trata de obtener una ecuación (una ecuación cuadrática o de segundo grado) 2. b = ?. En la asesoría los estudiantes aplicarán la fórmula general para obtener la respuesta (individualmente). puede escribirse en la forma 8x2 . 2.2 a a a a = 1. Sabiendo que el área de la tortilla grande es el doble del área de la tortilla chica.4 = 0 b) x2 . lineal e independiente). 3.6 = 0 c) 8x2 . queremos saber el radio de cada tortilla. b = .2.1.2x = 0 y la ecuación x2 = 6x . En la asesoría los alumnos identificarán los elementos de la ecuación de 2do. pero se pueden transformar y darles la forma de éste.2x = 1 d) x2 = 6x . c = -4 c = -6 c = ? c = ? NOTA: Las ecuaciones c y d no encajan en el patrón ax2 + bx + c = 0.
4ac tendrá que ser un número mayor o igual a cero. formado y se simplifica el 2º miembro : ( x + b )2 = .4ac + b2 . 4a2 .4ac + b2 . 4a2 d) Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros: ( x + b )2 = + 2a x + b 2a e) Se despeja “ x “: x x = = . C. ya que la raíz cuadrada de un número negativo no existe.P.c + ( b )2 a 2a a 2a T. c) Se factoriza el T.4ac .4ac + b2 .c + 2a a ( x + b )2 2a b2 . x2 + b x + ( b )2 = . pero el valor de b2 .SAETA ALGEBRA b) Se agrega la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado (en ambos miembros): para completar un trinomio cuadrado perfecto. = + .b 2a -b + 2a Esta última expresión es la fórmula general para resolver cualquier ecuación de 2º grado. P. + b2 .4ac 2a b2 .100 = 0. ( es decir que no sea negativo ). 2a ¡Retomemos el problema inicial! Y resolvamos la ecuación -2x2 + 30x . 4a2 = .C. utilizando la fórmula general para obtener el valor de x ( ancho del huerto ) 95 . La aplicación de esta fórmula es el primer método que conocerás para resolver una ecuación cuadrática.
10 = 0 2.100 = 0 ax2 + bx + c = 0 a = -2.20 .4ac 2a + -1 (30) .100 Fórmula: x Sustitución: x x x = = = = -b + b2 . Es decir. c = .30 + 10 -4 . x2 = 10 metros de ancho del huerto.2x . 3.800 x1 = 5 metros de ancho del huerto.10 -4 = = .2) 900 . se pueden construir 2 huertos diferentes con medidas de 5 m de ancho por 20 m de largo.30+ -4 + .40 -4 = +5 = + 10 100 (30)2 .30 + 10 -4 .4 . ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.11x .SAETA ALGEBRA . Resuelve las siguientes ecuaciones.2x2 + 30x .4 (-2) (-100) 2 (.6 = 0 = 0 = 0 96 .30 . b = 30. 4. por la fórmula general: 1. x2 + 5x . 6x2 . y otro de 10 m de ancho por 10 m de largo.1 3 2 + 5x + 7 2x 3x2 .30 -4 x x1 x2 Respuesta: = = = .
x2 + 2x = 0 a = 1. es decir. 2x2 − 6x = 0 a) b) 2x ( x − 3) = 0 2x = 0 x = 0 2 x −3 = 0 x = 3 x = 0 y x = −2 97 . cuando la ecuación de 2º grado es incompleta.23 m 2 3x Otro método de resolución de ecuaciones de 2º grado es el método de factorización: Este método es recomendable. hallar las dimensiones de cada uno. b = 2.23 m2 es tres veces más largo que ancho. las respuestas son: 2.SAETA ALGEBRA Te invitamos a resolver el siguiente problema: " Un terreno rectangular de 13. puesto que no aparece ) Ejemplos: Resolver las ecuaciones siguiente por el método de factorización 1. Se divide en un rectángulo que es el doble de largo que de ancho y un cuadrado. c = 0 a) Se factoriza el 1er miembro: x(x+2) = 0 b) Se iguala a cero cada factor y se resuelven por separado las ecuaciones resultados: x = 0 x +2 = 0 x =− 2 Por lo tanto. que tenga la forma ax2 + bx = 0 ( c = 0. " ( lo largo y lo ancho ) 2x Respuesta x 13.
se aplica cuando la ecuación tiene la forma ax2 + c = 0. ( es decir b = 0).5 = 0 3x2 = 5 x2 = 5 3 2. por que la raíz de un número Negativo no existe. Resolver: x2 = 4 x = + 4 x = 2.8 = 0 2x2 = 8 3x2 .3 ) x = 0 = 0 La solución es: 5x − 3 = 0 5x = 3 x = 3 5 x = 0 y x = 3 5 " Simple El tercer método de resolución de ecuaciones de 2º grado es el de despeje” Este procedimiento. x = -2 2x2 . 5x2 − 3x = 0 a) b) x = 0 y x = 3 x ( 5x . x = + x = + 5 3 5 3 x = 5 3 3. ¡CONFIA EN TI ! 98 . Ejemplo: 1.SAETA ALGEBRA x = 0 La solución es: 3. 2x2 + 18 = 0 2x2 = -18 x2 = -18 2 x2 = -9 x = -9 Esta no tiene solución.
000 m2. donde el largo es 20 m mayor que el ancho y además se sabe que el área es de 12. " ( lo largo y lo ancho ) 2x Respuesta x 13. de acuerdo a lo que aprendiste en las lecturas anteriores . Resuélvelos con el método más adecuado. ¿Cuáles son las dimensiones? (Largo y ancho) de dicho terreno.108 de Villa Juárez Nayarit es de forma rectangular.x = 0 x2 = 8x .A continuación se te proporcionan algunos ejercicios. Realizara dibujos en relación al problema.SAETA ALGEBRA Te invito a analizar y resolver el siguiente problema El terreno donde esta el C. Se divide en un rectángulo que es el doble de largo que de ancho y un cuadrado. 1) 4x2 = -32x 2) 5x2+4 = 2 (x+2) 3) (x-3)2 . a) x2 = 49 b) c) 4x2 . No..23 m2 es tres veces más largo que ancho.15 99 .T.(2x+5)2 = -16 4) (4x-1) (2x+3) = (x+3) (x-1) 5) 5x2 . Expresar en lenguaje algebraico el enunciado del problema Ahora sí te invitamos a resolver el siguiente problema y las actividades de aprendizaje " Un terreno rectangular de 13.9 = 46 6) (x+5) (x-5) = -7 7) 3 (x+2) (x-2) = (x-4)2+8x 8) (2x-1) (x+2)-(x+4) (x-1) + 5 = 0 Actividades de aprendizaje 1.a.23 m 2 3x ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.B. hallar las dimensiones de cada uno.
cada uno de los restantes tendrá que pagar $100 más..000. c) Los gastos de una graduación de alumnos son $9. ¿Cuántos alumnos van a asistir a la graduación y cuánto paga cada uno ? d) La suma de 2 números es 9 y la suma de sus cuadrados 53 hallar los números. Si el área de la calle es de 600 mts2. e) El área de un campo rectangular es de 216 m2. 4. Halla las dimensiones de la sala. 3. te recomendamos hacer: ACTIVIDADES REMEDIALES. 1.. calcúlense las dimensiones..-Resuelve los siguientes problemas: a) Hallar dos números que tengan 65 por suma y 1050 por producto.Consulta a tu asesor. y la hipotenusa mide 37 mts. encuentra el ancho de esta calle.SAETA ALGEBRA d) 8w2 + 10w . f) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 47 mts. y te sugiero que resuelvas los ejercicios que se te presentan: 2.Resuelve los siguientes problemas: a) Un terreno tiene 50 mts. de largo y 30 de ancho.Lee de nuevo este tema. el área será triple.. si tres alumnos deciden no participar. b) La longitud de una sala excede a su ancho de 4 metros.3 = 0 2. Hállese las longitudes de los catetos. 100 .. y su perímetro es de 60 mts. y lo circunda una calle de anchura uniforme. Si cada dimensión aumenta en 4 mts. Si tienes dificultades en algunos aspectos relativos al tema de ecuaciones de 2º grado.Forma círculos de estudio con tus compañeros de estudio.
es el conjunto de 2 ó más ecuaciones con 2 ó más incógnitas cada una. llevando sobre sus lomos pesados sacos. 1. y en el cual todas las ecuaciones se satisfacen con el mismo valor de cada incógnita. Integrados en equipos de tres a cuatro estudiantes. elabora una lista de animales susceptibles de ser empleados como animales de carga en el sector rural. mi carga serìa el doble de la tuya. 2. SISTEMA DE ECUACIONES “Sistema de ecuaciones lineales. la rueda delantera ha dado 25 vueltas más que la trasera. 4. Contesta la siguiente pregunta: ¿Quien crees que pueda más costales un caballo o un burro ? PROBLEMA: EL CABALLO Y EL BURRO Un caballo y un burro caminaban juntos. tu carga se igualarìa a la mìa. si yo te doy un saco.” 101 . Después de recorridos 1200 pies. 3. escoger una pareja de las especies seleccionadas anteriormente. e) La superficie de un triángulo es 150 m2. La llave mayor podría llenarlo solo en 4 horas menos que la otra. en cambio.cuantos animales susceptibles de ser empleados como animales de carga en el mundo.5 más. Pregunta de los cien mexicanos dijeron . Seleccione dos especies pecuarias del listado anterior. su viaje habría durado 6 horas menos ¿ Cuántos kms. si hubiera andado 2 kms. Lamentàbase el caballo de su enojosa carga. recorrió por hora ?. y la hipotenusa mide 2. si yo te tomara un saco. Calcúlese la longitud de los catetos. A los sistemas definidos también se les conoce con el nombre de ecuaciones simultáneas”. ¿En cuántas horas lo llenaría cada una separadamente? c) La circunferencia de una rueda delantera de un carruaje tiene 4 pies menos que la de una rueda trasera. hermano ?. d) Un andarín ha recorrido 105 kms.SAETA ALGEBRA b) Un tanque puede ser llenado por dos llaves juntas en 3 horas 3 cuartos. que considere las màs fornidas para el traslado de costales. Hállese la circunferencia de cada rueda. a lo que el burro le dijo: “¿ De que te quejas. más por hora.
Discusión del grupo de las estrategias y resultados obtenidos en el problema. 7. 3. 2. Resuelve el problema planteado haciendo únicamente uso de dos de los métodos propuestos. 8. Selecciona una estrategia por equipo para exponerla al grupo. Por equipos resolver un ejercicios que involucre un sistema de ecuaciones lineales. 2. ACTIVIDADES DE CIERRE: 1. señalando coincidencias y diferencias. Presenta la estrategia al grupo. En forma individual analiza la información y determina una estrategia de solución para conocer cuántos sacos llevaba cada uno de los animales. c) Método de sustitución.SAETA ALGEBRA ¿Me podrías decir cuantos sacos llevaba el caballo y cuantos el burro ? 5. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas. 6. b) Método de igualación. Socializa los métodos y resultados en el grupo. 9. Socializar ante equipo y grupo los diferentes métodos de solución que se emplearon. Por equipo formula y resuelve sistemas de ecuaciones lineales. 3. 102 . Proporcionar al estudiante material impreso sobre los diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas: a) Método suma y resta. ACTIVIDADES DE DESARROLLO: 1.
4. Realiza la búsqueda de problemas que se puedan resolver mediante la aplicación de lo anteriormente visto y preséntalos al grupo. En la siguiente hoja tienes el ANALISIS DE LA INFORMACIÒN Y PLANTEAMIENTO: PROBLEMA: EL CABALLO Y EL BURRO Un caballo y un burro caminaban juntos, llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentàbase el caballo de su enojosa carga, a lo que el burro le dijo: “¿ De que te quejas, hermano ?, si yo te tomara un saco, mi carga serìa el doble de la tuya; en cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualarìa a la mìa.” ¿Cuantos sacos llevaba cada uno? ANALISIS DE LA INFORMACIÒN Y PLANTEAMIENTO: Burro = B, Caballo = C
Obtenciòn de la 1ª. ecuaciòn
¿ De que te quejas hermano?, Si yo te tomara un saco
Mi carga serìa el doble que la tuya
B+1 = 2(C–1)
Quitamos el parèntesis:
B+1 = 2C–2
Pasamos las incognitas al
y los vaMienbro y obtenemos
Lenguaje algebràico:
miembro de la igualdad lores al 2º.
B – 2C = - 2 - 1
B – 2C = - 3
Obtenciòn de la 2ª ecuaciòn
En cambio dijo el burro, si yo te doy un saco Tu carga se igualarìa a la mìa
B–1 = C+1
Pasamos las incognitas al primer miembro de la igualdad y los valores al 2º miembro y obtenemos:
B–C = 1+1 Lenguaje algebràico:
B–C = 2
Utiliza cualquier mètodo para su soluciòn a) Método suma y resta. b) Método de igualación. c) Método de sustitución. SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS Y TRES INCOGNITAS DE PRIMER GRADO BLOQUES ACTIVIDADES  Realiza un listado de los productos y precios mas comunes que se encuentran en el supermercado de tu localidad.  Reúnete con otros compañeros e identifiquen dos de los productos mas comunes que se consumen en su familia y proporcionen respuestas a las preguntas siguientes: a) Cuánto costará la suma de un kilogramo de cada uno de los productos seleccionados? b) Establezcan un método que de el resultado de la suma de dos o mas kilogramos de los dos productos.  Reflexiona en el siguiente planteamiento: Si en cierta ocasión dos amigos fueron al mismo supermercado por separado, a realizar compras y resulta que compraron los mismos dos productos de la siguiente forma. El primero de ellos compra un refresco y tres sabritas a un costo total de 39 pesos y el segundo compra 3 refrescos y cuatro sabritas a un costo total de 77 pesos. ¿Cuánto cuesta un refresco y cuanto cuesta una sabrita?
Desarrollo  Pregunta a tu asesor la respuesta correcta al problema en la asesoría.  Investiga los métodos de solución de sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas.  Compara con otro compañero la investigación realizaste.
 Realiza una lista de los campos de acción donde se aplique este sistema de ecuaciones.  Plantea y explica a tu asesor y a tu grupo en la asesoría las respuestas a diferentes problemas de tu entorno en donde se emplean los sistemas de ecuaciones lineales.  Lee y contesta los ejercicios de la antología.
Ejemplo: Si las ecuaciones 2x + y = 10 3x - y = 5 Lo anterior forma un sistema lineal de ecuaciones, o bien son ecuaciones simultáneas; x = 3, y = 4 satisfacen ambas ecuaciones. Sustituye esos valores para que tú mismo verifiques. 2.3.2 METODOS DE SOLUCIÓN Resolver esos sistemas es lo que ahora nos preocupa, existen varios métodos de resolución de ese tipo de sistemas, te mostraremos más adelante los más importantes. Sistemas de Ecuación lineal (2, 3 ecuación) (2, 3 incógnita) Reducción Método de Resolución Sustitución Igualación MÉTODO DE REDUCCIÓN. Ejemplo : Si tenemos las siguientes ecuaciones: 3x + 4y = 2 5x - 6y = 3 primera ecuación segunda ecuación incógnitas x, y
Observa que aparece un signo negativo en la ecuación dada, si no existe lo agregamos, esto es con el fin de eliminar a una incógnita y obtener el valor de la otra. Para su resolución te sugerimos lo siguientes pasos:
¡ MUY BIEN ! Para obtener el valor de la segunda incógnita tomaremos a una de las dos ecuaciones y en ella sustituimos a la incógnita ya resuelta. (6) (4) 3x 5x 18x 20x 38x + 4y = 2 . 4y = 2 .6y = 3 + 24y = 12 . 2.36 19 Sustituimos la ecuación. Sumamos las fracciones y obtenemos el producto.Producto 1 38 106 . se llevara a cabo en forma cruzada.simplificamos la expresión 19 así obtuvimos el valor de la primera incógnita (x ). Llevamos acabo una transposición de términos del primer miembro al segundo. (6) 3x + 4y = 2 (4) 5x . Cada uno de los coeficientes antepuestos multiplicará cada ecuación. 2 y = 2 Simplificamos el producto y = 19 76 4 y = 1 --.6y = 3 Observa que entre los coeficientes de las literales solamente ocupamos a un coeficiente con signo negativo.36 = 2 1 19 19 19 4y = 2 19 Despejamos "y" por medio de una fracción compleja.36 = 38 .SAETA ALGEBRA 1. 3x + 4y = 2 3(12) + 4y = 2 19 36 + 4y = 2 19 4y = 2 . Cambiaremos al extremo izquierdo los coeficientes de la misma literal que tenga signo contrario.24y = 12 = 24 sumamos los términos y eliminamos a (y) x = 24 ----------.despejamos la incógnita 38 x = 12 ----------.
5y = 14 3a + 5b = 21 8a . 5 (12) .SAETA ALGEBRA Transposición de términos: ecuación. etc. I.6 = 120 . restar.6 = 114 = 3 = 3 -----. 19 38 38 38 5x .Primera ecuación.5b = 1 x =_____ x =_____ x =_____ x =_____ y =_____ y =_____ y =_____ y =_____ 107 .Igualdad. ¡ADELANTE! ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.6 (1) = 3 -------Multiplicamos los términos 19 38 Sumamos 60 . Ejemplo: 3x + 4y = 2 --------. fracciones 19 38 38 38 Cuando exista igualdad en ambos miembros la ecuación está correcta. Sustituimos a cada incógnita por su valor en la ecuación.Igualdad. multiplicar. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba sus soluciones utilizando el método de reducción 1) 2) 3) 4) 3x + y = 17 x+y = 9 4x + y = 11 4x + 2y = 2 3x .6y = 3 ---------Segunda ecuación. Sustituimos a cada incógnita por el valor. 3x + 4y = 2 3 (12) + 4 (1) = 2 Multiplicamos los términos 19 38 36 + 4 = 2 19 38 Sumamos fracciones 36 + 4 = 72 + 4 = 76 = 2 = 2 ------. Quiere decir pasar de un miembro a otro de una COMPROBACIÓN DE LA ECUACIÓN: Al igual que una operación aritmética de dividir.5y = 2 x . las ecuaciones tienen un proceso de comprobación en el cual la igualdad del primer miembro con el segundo existe.
SAETA ALGEBRA II.4y) 3 30 .30 y = 3 5 108 . Si el recipiente A contiene 120 litros más que el B. ¿Cuántos ladrillos colocó cada uno? 2) Si sumamos el número de litros de leche que tiene el recipiente A. 6 (5 .2y = 4 Agrupación y Reducción de términos semejantes.30y = -18 y = . al pasar al segundo miembro queda (.6y = 12 .30 .2y = 4 Resolvámoslo B “y” litros Primer Paso: Despejar "x" de la ecuación "1". con el número de litros de leche del recipiente B. 1) La suma de 2 números es 30 y su diferencia es 4. ¿Cuántos litros contiene A y cuántos B ? A “x” litros MÉTODO POR SUSTITUCIÓN: Sean las ecuaciones: ecuación (1) 3x + 4y = 5 ecuación (2) 6x .¿Cuáles son dichos números? 2) Dos albañiles construyeron la barda de tu escuela con 500 ladrillos. 3x + 4y = 5 x = 5 .18 . el primero colocó 50 ladrillos menos que el segundo. Aplicamos la ley de los signos y simplificamos la fracción.6y = 12 .24y . resuelve el sistema y luego da la respuesta correcta. Representa cada uno de los siguientes problemas por medio de un sistema de ecuaciones lineales. . el resultado que se obtiene es 430. Segundo Paso : ecuación (3) Se sustituye al valor de “ x “ en la ecuación 2.24y .4y) y el coeficiente de la "x" que estaba multiplicando pasa dividiendo.4y Observa que existe una transposición de términos ( 4y ) que 3 estaba en el primer miembro.
la "x" en ambas a) Despejamos "x" en (1) 2x + 3y = 8 b) Despejamos "x" en (2) 3x . Resolvamos el sistema de ecuaciones: Sea: 2x + 3y = 8 (1) 3x .y = 1 x = 8 .4y 3 x = 5 .5y = 8 MÉTODO POR IGUALACIÓN: La secuencia que estudiaremos a continuación trata de otro método para resolver ecuaciones lineales o de primer grado. x = 13 15 ¡APLICA TUS CONOCIMIENTOS! ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.SAETA ALGEBRA Tercer Paso: Obtenemos el valor de la siguiente incógnita "x" con el despeje de "x" de la primera ecuación.3y = 1 + y 2 3 109 .5y = 8 3. multiplicando el 1 extremo por el extremo y el centro con centro.12 = 13 Obtendremos ahora el valor de esta 1 5 5 5 fracción compleja. 5x + 7y = -1 2.y = 1 (2) Primer Paso: ecuaciones: Despejamos una de las incógnitas: por ejemplo. Aplicaremos el método por igualación despejando una de las incógnitas de ambas ecuaciones e igualando los valores resultantes. x = 5 .4 (3) Sustituimos a "y" por su valor. x . Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método por sustitución: 1.3y 2 x = 1 + y 3 Segundo Paso: Ahora igualamos entre sí los dos valores de "x" que obtuvimos en el Primer paso.12 = 25 . I. x = 5 . 8 . Aplicando la ley 3 3 de la tortilla. 2x + 3y = 6 -3x + 4y = -24 -7x +8y =25 x . 5 3 Convertimos la fracción a quintos y obtenemos su producto.
3y) = (1 + y) 2 Multiplicamos ambos miembros. en una sola ecuación con una incógnita.00 y Total de estampillas x+y=8 Costo de estampillas de $ 2. Si han de comprarse 8 estampillas en total ¿Cuántas de cada precio deben pedirse? No. (8 .22 y = . de estampillas $ 2. y aplicamos la ley de los signos.22 Despejamos la incógnita. 2x = 2 x = 2 Despejamos la incógnita y simplificamos la fracción.24 Agrupamos y simplificamos a los términos semejantes de cada miembro.3y) = (1 + y) 2 3 3 (8 . Con 25 pesos se van a comprar estampillas cuyo precio son de $2. 110 .00 x No.00 5y Gasto total 2x + 5y = 25 Bien. Sustitución e Igualación.9y = 2 + 2y -2y . Ahora conocerás los sistemas de ecuación con una incógnita más. -11y = . 24 . y = 2 Tercer Paso: Sustituyendo y = 2 en la primera ecuación. de estampillas $ 5. Resolvamos entonces ésta única ecuación.00 respectivamente. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.SAETA ALGEBRA Hasta aquí hemos simplificado el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Obtendremos el valor de "y" por medio de una multiplicación cruzada. simplificamos la . en los métodos de: Reducción.00 y $5. ya conociste los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas y sus métodos de solución.6 Transposición de términos.00 2x Costo de estampillas de $ 5. Resuelve el siguiente problema usando el método de igualación. obtenemos el valor de "x" 2x + 3y = 8 2x + 3(2) = 8 2x + 6 = 8 2x = 8 .9y = 2 .11 fracción. 1. 2 x= 1 NOTA: Toda comprobación se lleva acabo sustituyendo cada incógnita por su valor.
 En el salón de clases y durante ala asesoría redacta un problema en donde interviene un sistema de ecuaciones con tres incógnitas.a  Exponer o platicar el tema al asesor. Apertura Desarrollo  En un centro comercial Toño encontró qué: 5 Kilos de azúcar. Cierre  Resuelve los ejercicios de la antología. 4 de azúcar. 2 de azúcar. cuestan $118. 1 de café y 2 de frijoles cuestan $46. Ahora conocerás los sistemas de ecuación con una incógnita más. 5 de café y 3 de frijol cuestan $145. donde interviene el sistema de ecuaciones con tres incógnitas. 3 de café y 4 de frijoles.SAETA ALGEBRA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS Bien.  Plantea tus respuestas a los demás compañeros y al asesor. 111 . Realiza los cálculos necesarios para encontrar la solución de: ¿Cuál es el costo de cada artículo? ¿Cuál es el costo total de los tres paquetes? ¿Cuál es el costo del total del azúcar? ¿Cuál es el costo del total de café? ¿Cuál es el costo del total del frijol?  Investigar el tema “ecuaciones lineales con tres incógnitas”  Investigar ejercicios o problemas. BLOQUES ACTIVIDADES  Apóyate en el listado de los productos y precios que adquiriste en el supermercado de tu localidad y en base a tu experiencia en ecuaciones lineales con una y dos incógnitas ¿Cómo te plantearías problemas donde se utilicen tres incógnitas?  Reúnete con otros SAETANOS e intercambia experiencias. ya conociste los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas y sus métodos de solución.
se eliminará una literal.Quinta ecuación.8y + 4z = 16 6x + 8y .14z = 140 216x = 216 x = 216 216 x = 1 Despejamos la "x" Producto.2z = 20 ---------.2y + z = 4 ( ecuación 2) (2) 3x + 4y . cuyo resultado dará una nueva ecuación con dos incógnitas (cuarta ecuación ). 2x + 6y + 4z = 26 15x .6z = 4 26x . la cual la conformaremos con la cuarta y la quinta ecuación.6y + 3z = 12 17x + 7z = 38 ------------.2z = 20 34x + 14z = 76 182x . eliminando la misma incógnita ( y ). (4) 5x . 112 .3z = 2 ( ecuación 3) 20x .Cuarta ecuación.2y + z = 4 (2) 3x + 4y . (2) (3) x + 3y + 2z = 13 5x .3z = 2 (3) Utilizando el método mas sencillo(Reducción) para resolver este sistema de ecuación es con tres incógnitas.SAETA ALGEBRA Observa la forma de resolver este tipo de ecuaciones Si tenemos las ecuaciones: x + 3y + 2z = 13 (1) 5x . el resultado será otra ecuación con dos incógnitas (quinta ecuación ). utiliza la segunda y tercera ecuación. Segundo Paso: Al igual que en el primer paso. Primer Paso: Con la primera y segunda ecuación y usando el método de reducción. en este caso la “ y “. (2) 17x + 7z = 38 (7) 26x . Tercer paso: Ahora formaremos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. porque en ellas se encuentran diferentes signos.2y + z = 4 (ecuación 1) (ecuación 2) Multiplicamos a cada ecuación por los coeficientes de las "y".
26 .1 .7 3y = 6 y = 6 3 y = 2 Sustituimos en la ecuación Transponemos términos del primero al segundo miembro.3z 3(1) + 4(2) .2z = 20 26(1) . cuando exista una igualdad la ecuación estará correcta.2z = 20 26 .2z = 20 . Resultado.3(3) 3+8-9 2 = 2 =2 = 2 = 2 (1) Igualdad. x + 3y + 2z = 13 1 + 3y + 2 (3) = 13 1 + 3y + 6 = 13 3y = 13 .2(2) + 3 = 5 . 26x . 4 4 4 4 (3) Igualdad. Transponemos términos Aplicamos la ley de los signos y simplificamos la expresión.2y + z = 5(1) .6 z =-6 -2 z = 3 Sustituimos en la ecuación. COMPROBACIÓN DE LA ECUACIÓN: La comprobación se lleva a cabo sustituyendo en la ecuación a la literal por su valor.SAETA ALGEBRA Ahora obtendremos el valor de la siguiente incógnita "z" sustituyendo en una de las 2 ecuaciones el valor de la "x".6 3y = 13 .2z = 20 . Resultado. Cuarto Paso: Con una de las tres ecuaciones dadas (en este caso la 1) obtendremos el valor de la tercera incógnita. Ejemplo: x + 3y + 2z = 1 + 3(2) + 2(3) = 1+6+6 = 13 = 13 13 13 13 3x + 4y . (2) Igualdad. 5x .4 + 3 = 4= ¡ DEMUESTRA TU APRENDIZAJE ! 113 .2z = .
Nepomuceno no estaba contento con las compras que hacia.2y + z = 2 (d) x+ y + z = 6 x .7z = .00.z = 6 2x + 5y . Hallar el precio de 1 kilogramo de cada mercancía.z = -8 3x . Resuelve los siguiente sistemas de ecuaciones: (a) x+ y + z = 2 (c) 2x . 5 de café y 3 de frijol cuestan $145. 2.y .y .SAETA ALGEBRA ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. 1. 2 de azúcar. El mayor excede al menor en 35º y el menor excede en 20º a la diferencia entre el mayor y el mediano.y + 2z = 5 x . Resuelve los siguientes problemas planteándolos mediante sistemas ecuaciones de tres incógnitas. y se preguntaba así mismo ¿si había alguna forma de ahorrar gastos en los transportes y comprar solamente lo justo para el consumo anual? Y cuenta la historia que si el comerciante hubiese tenido conocimiento del planteamiento y resolución de inecuaciones el podría haber resuelto su problema fácilmente.5y = 13 x + 3y . los intervalos. caballos y terneros.00.00. semirrectas eje de coordenadas para las inecuaciones con dos incógnitas. 1/8 del número de vacas más 1/9 del número de caballos más 1/5 del número de terneros equivalen a 15.4z = 3 4y . a) 5 kilogramos de azúcar. 3 de café y 4 de frijol cuestan $118. b) La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º.9 3x . 2. 114 . 4 de azúcar. c) Un ganadero tiene 110 animales entre vacas. Hallar los ángulos. 1. además deberá saber trazar rectas en las coordenadas. pero.z = -2 (b) x + 4y . que cada año consumía 100 piezas de algodón paquistaní y 200 piezas de hilo de cáñamo. 1 de café y 2 de frijol cuestan $46.3z = -10 de . Plantea las posibles soluciones al problema de la lectura.4y + 3z = 1 x .4 INECUACIONES Analiza la siguiente lectura un comerciante que tenia un negocio de confección de túnicas y tiendas de campaña. Investiga todo sobre los números reales. conocer y resolver ecuaciones. y la suma del número de terneros con el de vacas es 65 ¿Cuántos animales de cada clase tienen? 2.
Como observarás en la figura. pertenecen al campo de las matemáticas aplicadas. 9. 11.cuadros de análisis. Ejemplificar el resultado por pasos hasta su resultado final 8 Presentar al grupo otras inecuaciones. 5. Como recordarás lo visto anteriormente.SAETA ALGEBRA 3. Resuelve los ejemplos de la antología. la posición del número 4 en la recta numérica con respecto al -5. Comparar resultados para que realicen las correcciones posibles. cuadros de análisis. para verificar su comprensión. Los símbolos de desigualdad se utilizan para comparar las posiciones relativas de dos números en una recta numérica o bien los tamaños relativos de dos o más expresiones. se discutirán los resultados de cada ejercicio en una plenaria.Enlistar diferentes alternativas para resolver los problemas. El símbolo > en 4 > -5 indica que 4 es mayor que -5. Comparar los saberes recuperados con el análisis de las lecturas en forma individual. 7. Además. sobre el tema visto. graficas. es necesario considerar ciertas condiciones que pueden existir entre expresiones que no son igualdades. como parte de la evaluación. La mayor parte de nuestro interés en este apartado está en las ecuaciones o igualdades. Presentar al asesor un trabajo escrito el cual contendrá desarrollo.graficas .Elaborar un mapa conceptual y presentarla al grupo. 4. etc. utilizando hojas de rotafolio . Exponer las coincidencias y diferencias utilizados en la solución de las inecuaciones de cualquier tipo. hay problemas complejos que se pueden resolver sólo en términos de desigualdad. -5 0 4 115 . 10. procedimiento y conclusiones. 12. las desigualdades son formas especiales de escribir conjuntos de números. 6. marcadores . NOTACIÓN Una desigualdad es una afirmación de que una cantidad es mayor que o menor que otra cantidad. tales problemas. se discutirán los resultados de cada ejercicio en una plenaria. etc.Resolver problemas de las actividades de aprendizaje de la antología. Es necesario conocer a fondo tales situaciones para comprender la expresión algebraica de manera completa. marcadores. utilizando hojas de rota folio. Proponer otros ejercicios con su solución a su manera de expresarlas. el número 4 está a la derecha del -5.
Es menor o igual que. Escribimos x ≥ 0 y x ≤ 20 juntos como 0 ≤ x ≤ 20. 116 . y los términos de la derecha. lo mismo que de la escala de los números algebraicos. Propiedades: 1.SAETA ALGEBRA Una manera fácil de leer desigualdades es recordar que el pico del símbolo siempre está más cerca del número menor y la parte ancha está más cerca del número mayor.⅛ e. Escribe cada par de desigualdades como una desigualdad simultánea. Ejemplo: 5>0 2. Todo número positivo es mayor que cero. los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor. Es mayor o igual que. Lo mismo que en las igualdades. en toda desigualdad. Ejemplo: -10 > -30 Una desigualdad simultánea son dos desigualdades en un enunciado. De la definición de desigualdad. Ejercicios.-5 + 4 c). utilizando únicamente < o ≤. b). se deducen algunas propiedades. Esto se lee de la siguiente manera: x es el conjunto de números entre 0 y 20.½ . Si dos números son negativos. forman el segundo miembro. 7 -8 Significado Es menor que (a la izquierda de otro número sobre la recta numérica). incluyendo a 0 y a 20. -3 -3 d). Es mayor que (a la derecha de otro número sobre la recta numérica). forman el primer miembro de la desigualdad. Se tienen cuatro símbolos de desigualdad: Símbolo < > ≤ ≥ a). Todo número negativo es menor que cero Ejemplo: -9 < 0 3.) -⅛ -⅞ Coloca el símbolo de desigualdad correcto entre las dos expresiones. es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Los intervalos indican la inclusión o exclusión de los extremos mediante el uso de corchetes o paréntesis. como una buena costumbre. Entonces las desigualdades podemos describirlas con palabras. x < 0 y x > -3 c. se utilizan cuando los extremos se excluyen del conjunto. Un intervalo es un conjunto que contiene a todos los números entre sus extremos además de un extremo. como se muestra en la siguiente tabla. indican que los puntos extremos se incluyen en el conjunto.SAETA ALGEBRA a. por ejemplo: Desigualdad 0 ≤ x ≤ 20 20 < x ≤ 500 x > 250 x < -12 Palabras El conjunto de números mayores que o igual a 0 y menores que o iguales a 20. El conjunto de números menores que -12 También podemos enunciar desigualdades como intervalos. x > 0 y x ≤ 3 b. ( ). 117 . x < − Es recomendable. Podemos mezclar corchetes y paréntesis en un mismo intervalo. El conjunto de números mayores que 20 y menores que o iguales a 500. El conjunto de números mayores que 250. Los corchetes. colocar el número más pequeño a la izquierda. Los paréntesis. [ ]. x ≤ -5 y x > -2 1 yx≥ 2 3 4 d. ambos extremos o ninguno de los extremos.
Retomando lo anterior. Utilizamos una gráfica lineal (recta numérica) para ello. escribimos x incluido en (20. así que necesitamos un símbolo para decir que los números disminuyen sin límite. ) o ( . incluyendo 8 y 10. Ya sea para 9 > x o x < 9. Excluimos al extremo 20 al utilizar un paréntesis. pero sin incluir el 20.∞ ). describe todos los números mayores que 500. así que necesitamos un símbolo para decir que los números aumentan sin límite. como se muestra en la siguiente figura: 0 ++ En ocasiones es útil hacer un diagrama de una desigualdad o intervalo. Utilizamos un símbolo de infinito. describe todos los números menores que 500. 10) (8. Siempre escribiremos intervalos con el número más pequeño a la izquierda. ] es un intervalo cerrado. El infinito describe un concepto. escribiremos (. incluyen a los extremos. El conjunto de números entre 8 y 10. 9) en lugar de (9. por ejemplo: 118 . [ ]. 10] [8. No existe número mayor. 500]. Infinito significa sin límite. + ∞ ) x en (. Lo mismo en el último intervalo.SAETA ALGEBRA Desigualda d 8 ≤ x ≤ 10 8 ≤ x < 10 8 < x ≤ 10 8 < x < 10 Intervalo [8. El tercer intervalo. Al colocar un signo positivo antes del símbolo de infinito significa el infinito hacia la derecha en la recta numérica. Si se usan para el intervalo: [ . Los números en una recta numérica se prolongan hacia la derecha e izquierda para siempre. El conjunto de números entre 8 y 10. Para describir el conjunto de números desde 20 hasta 500. El conjunto de números entre 8 y 10. Los corchetes. . + ∞ ).∞ . x en (. ∞ . no un número. un signo negativo indica infinito hacia la izquierda. incluyendo 10. 500] x en (500. 10) Descripción El conjunto de números entre 8 y 10. podemos utilizar o expresar en intervalos las siguientes expresiones de desigualdad: Desigualdades 0 ≤ x ≤ 20 20 < x ≤ 500 x > 500 x < 500 Intervalos x en [0. 20]. No existe número menor. 500) Para incluir tanto a 0 como el 20.∞ . 10] (8. ) es un intervalo abierto. x en (500. escribimos x incluido en [0. 500). 20] x en (20. ] son intervalos semiabiertos por la derecha y por la izquierda respectivamente y ( . incluyendo 8. [ .∞ .
La gráfica de la desigualdad 1 ≤ x ≤ 4 o el intervalo [1. Escribe cada desigualdad como un intervalo. por lo que lee con cuidado cuando te encuentres con una expresión (a.] .) [.∞ . Notación de gráfica lineal Es menor que Círculo abierto o ( . ] a Es mayor que o igual Punto o [ . ) Es igual a Punto Es menor que o igual Punto o [ . Símbolo de desigualdad < > = ≤ ≥ +∞ -∞ Notación de intervalo (. 4] es una gráfica lineal con puntos o círculos cerrados en 1 y 4 y un segmento de línea que los une. También se puede utilizar paréntesis en lugar de círculos abiertos). - ● 1 ● 4 ++ b).] [. observa el uso de los paréntesis con <. -2 < x ≤ 4 c. 4) tiene puntos o círculos abiertos en los extremos en 1 y 4. a. x < 4 b. o el símbolo de infinito ( ∞ ) y el uso de corchetes con ≤ o ≥. ) Es mayor que Círculo abierto o ( . - o 1 o 4 ++ Ejercicios. indicado en la siguiente tabla. -3 ≤ x < 4 d. + ∞) (. exprésalo con palabras y dibuja una gráfica lineal. ] a Infinito positivo Infinito negativo Significado La notación de intervalos puede parecerse a las coordenadas de un punto. x ≥ -4 En resumen. y un segmento de recta que los une. b) para ver si se trata de un punto de coordenadas o un intervalo. 119 .) (. Símbolos empleados en desigualdades e intervalos. (También se pueden usar corchetes en la recta numérica en lugar de los puntos cerrados).SAETA ALGEBRA a). >. La gráfica de 1< x < 4 o su intervalo (1.
Así como hay igualdades absolutas.SAETA ALGEBRA Ejercicios. así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. que son las identidades. Una inecuación o desigualdad lineal con una variable puede escribirse ax + b < c.8 > 0 que solamente satisface para x > 4. + ∞ ) x es mayor que -4 y menor o igual a 2 Inecuaciones o desigualdades lineales con una variable. En tal caso se dice que 4 es el límite de x. 120 . incluyendo -3 x < -4 -3 Descripción Gráfica lineal o • 5 x -2 [-3. e igualdades condicionales. -1] x está entre -3 y 5. Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella Ejemplo: a 2+ 3 > a Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales: Ejemplo: 2x . b y c son números reales y a es diferente de 0. Completa la siguiente tabla. Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones. donde a. que son las ecuaciones. Desigualda d -1 ≤ x < 3 Intervalo (-4.
Sentido de una desigualdad. se tiene: a=b+c Añadiendo un mismo número. Sea la desigualdad a > b. según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. o se dividen entre un mismo divisor. es decir. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades. también positivo. teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. a = b + c Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m". Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a". es decir. Se dice que una desigualdad cambia de sentido.SAETA ALGEBRA La definición anterior y las propiedades que siguen son válidas también para otros símbolos de desigualdad. Resolver una desigualdad significa obtener el conjunto de valores para la variable de entrada que hacen que la desigualdad sea un enunciado verdadero. se puede escribir: a+m=b+c+m Suprimiendo "c" en el segundo miembro. 1. >. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se suma o se resta un mismo número en ambos lados. cambiando su signo. ≤ y ≥. resulta: 121 . se puede pasar un término de un miembro a otro. Propiedad multiplicativa (por un número positivo). Propiedad aditiva. positivo o negativo a los miembros. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo. cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa. Pero antes daremos un vistazo a las propiedades de las desigualdades. Ejemplo: 6x -2 > 4x + 4 6x -4x > 4 + 2 2. resulta: a + m > b +m Ejemplos: 9>5 -2 > -6 9+2>5+2 -2 -3 > -6 -3 11 > 7 -5 > -9 Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad. porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES O INECUACIONES.
Ejemplos: 3 > -15 3(-4) < (-15)(-4) -12 < 60 64 < 80 64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4) -16 > -20 Consecuencia de esta propiedad: pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia. a = b + c Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene: -an = -bn -cn Suprimiendo -cn. y se tiene: am > bm Si "m" es recíproco de un número positivo. es decir. porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1. la desigualdad no cambia de sentido. por tanto. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo. queda demostrada la segunda parte del enunciado. también negativo. Sea la desigualdad a > b. Ejemplo: -7x + 130 < 9 -5x 7x . en el segundo miembro aumenta. queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad Ejemplos: 12 > 7 (12) (3) > (7) (3) 36 > 21 15 > -25 15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5 3 > -5 3. -an < -bn Si -n es recíproco de un número negativo. Suprimiendo el término positivo "cm". 122 . Propiedad de la potencia (números positivos en ambos lados). en el segundo miembro disminuye. o se dividen entre un mismo divisor. con tal que se cambie el sentido de la misma.130 > -9 + 5x 4.SAETA ALGEBRA am = bm + cm. Propiedad multiplicativa (por un número negativo).
no cambia el sentido de la desigualdad. reemplazando b2 por a2. resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.SAETA ALGEBRA Sea la desigualdad a < b. Propiedad de la potencia (números negativos en ambos lados). Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar. Sean las desigualdades a > b. a' > b'. a" > b" Se puede escribir: 123 . Sea la desigualdad -a < -b a) Multiplicando sus dos miembros por b2 se obtiene: -ab2 < -b3 En el primer miembro. en la que "a" y "b" son positivos. la desigualdad se refuerza. y se tiene: a2 > b2 Ejemplos: -3 > -6 (-3)3 > (-6)3 -27 > -216 -8 < -4 (-8)2 > (-4)2 64 > 16 6. luego se puede escribir: -a3 < -b3 b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones. porque sus términos cambian de signo. la desigualdad se refuerza. la desigualdad cambia de sentido. pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par. sustituyendo "b" por "a". por tanto: a2 < b2 Ejemplo: 7 < 10 73 < 103 343 < 1000 5. Multiplicando sus dos miembros por "b". Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido. resulta: ab < b2 En el primer de esta desigualdad.
a=b+c a' = b' + c' a" = b" + c" Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente: a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c" a + a' + a" > b + b' + b" Ejemplo: Dado: 2x > 10 y 7x > 26 se obtiene: 9x > 36 7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo. Sean las desigualdades a > b y c < d Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene a>b d>c a + d > b +c Restando d + c de cada miembro, resulta: a - c > b -d Ejemplo: Dado: 7x < 12 y 5x > 16, se obtiene: 2x < -4
2.4. 3 SOLUCIÓN DE INECUACIONES. SECUENCIA DIDÁCTICA BLOQUES ACTIVIDADES
Apertura 1. Hacer un listado de las estaturas de los integrantes del grupo en cm. 2. Sacar promedio de estaturas. 3. Expresar c/u de las estaturas incluyendo al promedio de manera algebraica. 1. Establecer relaciones de cada una de las estaturas con el promedio y elaborar un registro. 2. Investigar el nombre de las expresiones formadas así como las propiedades que tienen. 3. Del registro obtenido en el paso 1, trasformar las expresiones en ecuaciones o inecuaciones según sea el caso.
4. Intercambio de las experiencias en asesoría con el resto del grupo. Solución de problemas que involucren ecuaciones e inecuaciones en
Resolver una inecuación, es hallar los valores que la verifican. Cuando resolvimos ecuaciones con notación algebraica, obtuvimos ecuaciones equivalentes en cada paso de la solución. De manera similar, se siguen los pasos al resolver las inecuaciones o desigualdades, es decir, se aplican las mismas propiedades de las ecuaciones, con la diferencia de que existe una muy importante de las desigualdades vistas anteriormente que es la propiedad multiplicativa de las desigualdades (por un número negativo). En muchos de los casos podemos evitar multiplicar y dividir por un número negativo si mantenemos positivo el coeficiente de la variable.
Ejemplo de resolución de una inecuación. Ejemplo 1: Desigualdad que involucra división entre un número negativo. Resolver la inecuación Resta 6 de cada lado: divide entre -2 cada miembro e invierte el símbolo: Finalmente: Ejemplo 2: Resolver la inecuación Réstese 2x de cada miembro: Réstese 6 de cada miembro: Finalmente: 4x + 6 > 2x -7 4x -2x + 6 > 2x -2x -7 2x +6 -6 > -7 -6 x > -13/ 2 x > - 6.5 6 - 2x ≤ 12 6 - 6 - 2x ≤ 12 – 6 -2x ≤ 6 -2x/-2 ≥ 6/-2 x ≥ -3
Ejemplo 3: Desigualdad que involucra fracciones y división entre un número negativo. Resolver la inecuación (6 + x)/ 3 < (5x - 7)/ 5 Multiplíquese por 15 cada miembro 30 + 5x < 15x -21 Réstese 15x de cada miembro: 30 + 5x -15x < 15x -21 -15x Réstese 30 de cada miembro: 30 -10x -30 < -21 -30
Divídase entre -10 cada miembro Finalmente:
(-10x)÷-10 > (-51)÷-10 x > 5.1
Ejemplo 4: Manteniendo positivo el coeficiente de la variable. Resolver la inecuación Suma 3x a cada miembro Resta 3 de cada miembro: Divide entre 5 cada miembro: Finalmente: 2x + 3 ≤ -3x - 2 2x + 3+ 3x ≤ -3x - 2+ 3x 5x + 3 - 3 ≤ - 2 - 3 5x/5 ≤ - 5/5 x≤-1
Mantener positivos los coeficientes de la variable se puede hacer en la mayoría de las desigualdades y tiene la ventaja de eliminar la necesidad de invertir o cambiar el sentido del símbolo de desigualdad. Las soluciones están expresadas en desigualdad, pero también las podemos expresar en notación de intervalo, descriptiva o en palabras y en forma de gráfica lineal. En resumen, para la solución de inecuaciones o desigualdades lineales con una variable mediante notación algebraica, considera lo siguiente: 1. Como lo hiciste en las ecuaciones lineales, usa la adición, resta, multiplicación y división para aislar la variable. 2. Cuando multiplicas o divides entre un número negativo, invierte el símbolo de desigualdad. 3. Trata de mantener positivo el coeficiente de la variable para evitar errores que tienden a aparecer cuando multiplicas o divides entre un número negativo y tienes que invertir el símbolo de la desigualdad. 4. Recuerda que el conjunto solución de una desigualdad es una desigualdad y que puedes expresarla en diferentes notaciones.
I. Resuelve cada inecuación o desigualdad lineal utilizando notación algebraica. Escribe los conjuntos solución en todas sus diferentes notaciones. 1. -3 > -3x + 3 3. –x + 4 <
2. 0 < -3x + 3 4. -1 < -3x +2
Un estudiante obtuvo 78. 2(x + 3) < 5x 6. está entre -3 y 7. 3(x – 1) ≤ 4x II. que se lee “menos 3 es menor que x. 1. Jimmy tiene que comprar un pastel que cuesta $17 y tiene un presupuesto de $16.50 por niño para permitir que se organice en sus instalaciones una fiesta. Empezando con los términos que están en el centro -3 ≤ 2x + 5 < 7 Restar 5 de las tres partes -3 .SAETA ALGEBRA 5. y x es menor que 8”. 127 . Podemos resolverla dejando sola a x entre los símbolos de desigualdad. Para cada problema.5 < 7 . A esta doble desigualdad se le llama desigualdad compuesta. es decir.2 7. 84. y 72 puntos en exámenes parciales y 5 puntos por proyectos y tareas.5 Dividir las tres partes entre 2 -8 ≤ 2x < 2 Finalmente -4 ≤ x < 1 El conjunto solución es el intervalo [-4. ¿Está en posibilidad de obtener una calificación de B o mayor (80%)? 2. 3x – 4 < -2x + 1 9.5 ≤ 2x + 5 . ¡Durante cuántos minuto puede hablar una persona con menos de $2? Desigualdad o inecuación lineal compuesta. escribe una desigualdad y resuélvela. 4 – 2x ≥ x . Supongamos que una llamada telefónica da larga distancia cuesta 36¢ los primeros tres minutos y 11¢ cada minuto adicional. La sala de boliche Bolerama cobra $ 5. 3. Como anteriormente se analizó. por ser una combinación de las dos desigualdades siguientes: -3 < x y también x<8 También se nos pueden presentar este tipo de desigualdades para resolver. muestra con una desigualdad el número de niños que puede invitar. 3x – 3 > -x + 1 10. escribimos la desigualdad -3 < x < 8. 4 – 3x ≤ 8 + x 8. como por ejemplo: Resolver la desigualdad compuesta -3 ≤ 2x + 5 ≤ 7 Solución: esta desigualdad expresa que 2x + 5 es mayor o igual que -3 pero menor o igual que 7. para expresar que x está entre -3 y 8. 1).
cuyo intervalo es (4. -6 < -3(x – 4) ≤ 24 4. x + 3 < 3x – 1 < 2x + 2 6. 4. ∞ ) porque todos los números mayores que 4 también son mayores que 1. -2 < x < 6 2. simplificado es (4. -6 ≤ 1 x+1<0 3 5 − 3x ≤2 2 3. x + 3 < 2x – 1 4<x y Actividades de aprendizaje. 3. x – 1 ≤ 2x + 4 ≤ 3x . 0 < x x > -5 x < -3 -1 < x < 2 < 4 128 .3 2 < 2x 1<x Sólo los números x tales que x > 4 y x > 1 están en el conjunto solución. las soluciones son los números x tales que x > 4. 15 > 2x – 7 > 9 2. Resuelve cada inecuación o desigualdad lineal compuesta utilizando notación algebraica. por lo cual resolveremos por separado cada desigualdad lineal componente.SAETA ALGEBRA Habrá ocasiones en que no se pueda dejar sola a x entre los símbolos de la desigualdad como se presenta a continuación: Resolver la desigualdad compuesta x + 3 < 2x – 1 < 4x . 0 ≤ ≤2 3 7. ∞ ) ∩ (1. ∞ ). -2 ≤ 8. I. Escribe los conjuntos solución en todas sus diferentes notaciones. 1. 2x – 1 < 4x . 5. -4 ≤ -2(x + 8) < 8 4−x 5.1 Ilustra en una recta numérica los conjuntos denotados por las siguientes desigualdades: 1.3 Solución: En este caso es imposible dejar sola a x entre los símbolos de desigualdad.
00. preguntarse lo siguiente: ¿ Qué pide el problema ? ¿ Qué datos ofrece ? INTÉNTALO ¡ TÚ PUEDES ! hora vas a tratar de resolver este problema:. si en total pescaron 19 peces. Horacio y Saúl van de pesca.SAETA ALGEBRA ¡ DEMUESTRA LO APRENDIDO! Hallar y marcar sobre la recta numérica la solución de las desigualdades siguientes: 1. 3.8 > 7 solución x > 5 x > -7 3 x < -4 ¿ 0 ¿ 0 ¿ 0 ¿ 0 ¿ 0 ? ? ? ? ? x . Para abordar el segundo paso se debe saber que datos del problema son dados y por tanto. Como Horacio es el dueño del bote conviene en que él tomaría 5 pescados más que Saúl. El primer paso ayuda a determinar lo que se desea encontrar. 1.7 < x solución 4 8x + 14 < 3x . ¿ Cuántas camas deben fabricarse y venderse cada semana a fin de que la cooperativa obtenga utilidades? 2. 3x . Una cooperativa que fabrica y vende camas tiene gastos generales cada semana. 2.200. de $27.6 solución 4x . ¿ Cuántos pescados reciben cada uno ? ¡CONTINUA ESFORZÁNDOTE ! 129 . El costo de los materiales por cada cama es de $ 320 y se venden en $ 1. 4.600. incluyendo salarios y costo de planta.3 > 2x + 4 solución x < -15 3 2 3 < 4x + 7 < 15 solución -1 < x < 2 Se han resuelto problemas mediante métodos planteados en apartados anteriores. 5.
mostrar sobre la recta numérica los posibles valores del número de maestras. ¿ Cuántos anotó Pedro ? SI PERSISTEN LAS DUDAS. .. Es el factor o factores que indican el número de sumandos iguales. .). literales.SAETA ALGEBRA Actividades de aprendizaje Resuelve los siguientes problemas . 3.CONSULTA TU FACILITADOR G EXPRESIÓN ALGEBRAICA L O S A R I O TÉRMINO COEFICIENTE TÉRMINOS SEMEJANTES. pero tienen iguales el resto de sus factores (que contienen las mismas literales y exponentes). Se dice que dos o más términos son semejantes cuando difieren únicamente en el coeficiente... El número de maestros en una comisión especial debe ser tres veces mayor que el número de maestras. iguales entre sí.. variables y signos de operación (+ . Se llama potencia a la representación de un producto de factores. Se llama expresión algebraica a las combinaciones de números. ÷ ). POTENCIA. La anotación de goles de Simón fue 3 menos que la de Pedro. x. Si hay 12 maestros en la comisión.. Se llama término o monomio a una expresión algebraica que no está enlazada por los signos de operación ( + . 1. BASE. Se llama base de una potencia al factor que se 130 . La bala tenía una longitud de 27 cm. ¿ Qué longitud tenía la uña ? 2. Si Jesús anotó 89 . Una bala en 1960 tenia 8 veces la longitud de la uña del dedo meñique.
Cuando determinamos la suma de dos o más fracciones y las debemos cambiar por otras equivalentes con un denominador común y el cual sea mínimo. ( + . SISTEMA DE ECUACIONES Dos o más ecuaciones de la forma CON TRES VARIABLES Ax + By + Cz + D = 0 . Es la expresión algebraica que contiene tres términos enlazados por los signos de operación.). Es el proceso de encontrar el conjunto solución. el cual generalmente es infinito. El exponente es el número que se escribe en la parte superior derecha de la base. DESIGUALDADES O INECUACIONES SOLUCIÓN DE INECUACIONES O DESIGUALDADES ECUACIONES FRACCIONARIAS Son las expresiones algebraicas que tienen. .). SISTEMA DE ECUACIONES Dos o más ecuaciones de la forma: LINEALES. Ax + By + C = 0 . Es la expresión algebraica que tiene dos términos y están relacionados por un signo de operación. Proceso por el cual se pasa del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático. Se llama al mismo factor que aparece en cada uno de los términos de un polinomio Conjunto de símbolos y reglas que sirven para expresar proposiciones. RESOLVER LA ECUACIÓN GRADO DE LA ECUACIÓN repite tantas veces como lo indica el exponente. y el cual indica las veces que ésta se repite como factor..). Toda expresión de la forma Ax + By + C > 0 ó Ax + By + C < 0 . ( + . 131 . . Proceso de despejar la variable o incógnita. . FACTOR COMÚN IDIOMA O LENGUAJE MATEMÁTICO TRADUCIR A LENGUAJE MATEMÁTICO ECUACIÓN.SAETA ALGEBRA EXPONENTE. TRINOMIO. Se llama a la expresión algebraica que consta de dos o más términos enlazados por los signos de operación ( + . a la variable cuyo conjunto solución se está buscando. Conjunto de pares ordenados que satisfacen una ecuación o un sistema de ecuaciones. Son los problemas que al simbolizarse algebraicamente contienen mayor que. CONJUNTO SOLUCIÓN. Es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable. por lo menos en algún denominador. POLINOMIO MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. BINOMIO. Es una expresión algebraica que tiene una igualdad condicionada para ciertos valores de la variable. DESIGUALDADES LINEALES. menor que o diferente a.
S. Publicaciones Cultural. S. Algebra. S. T. Leithold. Álgebra (2002). Iberoamericana. (1995).. Lovaglia. A. S. Álgebra Elemental (1990). Reverté. I. Bibliografía • • Bibliografía • Baldor. A.. (1998). Harla. Publicaciones Cultural.A. A... (1998).A. Elmore. Sierra. Iberoamericana. L. Ed..A. México. Gobran. México. Editorial Harla. (1998).. S. S.. F. • Florence M. Cole. Álgebra (2002)... México. Álgebra. Earl W. 132 . Iberoamericana.A. F. Jeffery A. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica.A.. Harla.. México.Ed. S.. Práctica Matemática 1. S. México. Baldor. Sparks. S. S. Práctica Matemática 1. Álgebra.A..A. Merritt A.S.D.A.A. Shaughnessy. P. Ed. Butts. Chávez. México.SAETA ALGEBRA • • • Bibliografía • • • • Phillips E. Ed. Álgebra con Aplicaciones (1988). M. Ed. Ed. . Donald Conway. Ed. Rees.. S. A. Suromex. Internacional Thomson Editores... Ed. Ed. F. México. Tejada.. Ed. México. México.A.. A. México. Sierra. México. Swokowski. (2001)..A. Chávez.. 100 Problemas Para Pensar (un poco).A.
Práctica Matemática 1. Shaughnessy.. Swokowski.. México. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Donald Conway. Editorial Harla. Cole. Publicaciones Cultural. M. Suromex. Ed. México. Phillips E. (1998). A. Baldor. A.D.A... S.. Leithold L. Sparks. B I B L I O G R A F Í A.A. A. S. Butts. • • • • Bibliografía • • • Bibliografía • • Baldor. Álgebra. F. México. S. Álgebra. SUROMEX . Ed. (2002). Álgebra Elemental. Algebra.. (1995). Reverté. Merritt A. Harla. Harla. S. Florence M. S. Lovaglia. México. Ed.. Álgebra con Aplicaciones (1988). México. T. Ed.. Ed. México. A. . Chávez. F.. Iberoamericana. Editorial Iberoamericana..A. México. México. A. Álgebra con Aplicaciones ( 1988).. Sierra. Sierra. Iberoamericana. Ed. Álgebra. Tejada I. 133 • . Reverté. México. S. A. P. S. S. . A. México. México. (1998) Ed.A. Gobran. D... Butts. Ed. Harla. México. Álgebra Elemental (1990).A. Álgebra ( 2002 ).A. Publicaciones cultural. Earl W. Rees P. Editorial Publicaciones Cultural. (1998). Sparks. A. Ed..A. Iberoamericana. (1998). S. Tejeda I.A. F. S. S.A. Práctica Matemática 1. Álgebra. S.A..SAETA ALGEBRA • • Bibliografía • • Phillips E. México. México. S. 100 Problemas Para Pensar (un poco).. A. 2001. Ed. México. Gobran A. Shaughnessy. Jeffery A. A.. Rees. A. Chávez. Ed... Elmore. S. M.A. ...S. (2001). F. 100 Problemas para pensar. Ed.. Álgebra. (1990). S.. México.Ed. • • Baldor. Internacional Thomson Editores..
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