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Timestamp: 2017-03-30 10:36:47+00:00

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1º ESO. DECIMALES
2º ESO. ECUACIONES DE 1º GRADO
2º ESO. POLINOMIOS
2º DE ESO. TEMA 8: ECUACIONES DE 1º GRADO
- Corregir ejercicios de la sesión anterior.
- Explicar el concepto de ecuación, elementos y nomenclatura.
- Explicar ecuaciones equivalente y cómo obtenerlas.
- Resolver ecuaciones sencillas.
- Ejercicios 1 a 30 de la hoja fotocopiada.
- Pasos para resolver una ecuación.
- Ejercicios 31 a 50 de la hoja fotocopiada.
- Ejercicios 51 a 60 de la hoja fotocopiada.
- Ejercicios: Pág. 149 (1 a 20).
- Ejercicios: Pág. 156 (62 a 100, sólos los pares).
- Resolución de problemas con ecuaciones.
- Ejercicios: Págs. 157 a 159 (Problemas: 148 a 150, 165, 173 a 177).
TEMA 8: ECUACIONES DE 1º GRADO﻿
Ecuación: Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de las letras que intervienen en la ecuación.
2x + 1 = 7(x = 3).3x + 7 = 1(x = -2).
Diferencia entre ecuación e identidad: Una identidad es una igualdad que se cumple siempre, sea cual sea el valor que se les de a las letras que forman las expresiones de la igualdad.
3a + 2a = 9a – 4a.(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
Variables: Las letras que hay en una ecuación (también se llaman incógnitas y se emplean las últimas letras del abecedario, generalmente, x, y).
Coeficiente: Número que va delante de la incógnita y la multiplica (el 1 no se pone).
Grado de la ecuación: El mayor de la incógnita (el mayor exponente de la incógnita).
3x + 1 = 7 es de 1º grado. 2x2 - 3x = 5x + 2 es de 2º grado.
Miembros de una ecuación: Cada una de las expresiones que hay a cada lado de la igualdad.
3x + 1=2x + 5
1º miembro2º miembro
Términos de una ecuación: Los sumandos que forman las ecuaciones.
3x + 1 = 2x + 5(términos en x: 3x, 2x; términos independientes: 1, 5)
Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.
3x + 1 = 7(x = 2)4x – 3 = 5(x = 2)
Obtención de ecuaciones equivalentes: Se obtiene una ecuación equivalente a otra sumando, restando, multiplicando o dividiendo a los dos miembros de la ecuación un mismo número.
Resolver ecuaciones: Es encontrar el valor de x que cumple la igualdad.
a ) Ecuaciones del tipo x + a = b(x + 3 = 7)
Se pasa la a al segundo miembro, cambiada de signo.
x + 3 = 7x = 7 - 3x = 4
x - 5 = 2x = 2 + 5x = 7
x + 6 = 2x = 2 - 6x = -4
b) Ecuaciones del tipo ax = b(3x = 6)
Se pasa la a al otro miembro dividiendo.
3x = 6x = 6/3x = 2
4x = 12x = 12/4x = 3
-2x = 8x = 8/(-2)x = -4
c) Ecuaciones del tipo x/a = b(x/3 = 4)
Se pasa la a al otro miembro multiplicando.
x/3 = 4x = 4 · 3x = 12
x/2 = 7x = 7 · 2x = 14
-x/4 = 3-x = 3 · 4-x = 12x = -12
1.- Quitar denominadores multiplicando a todos los términos por el mcm de los denominadores que haya.
2.- Quitar paréntesis aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta (cuidado con los signos menos delante de los paréntesis).
9x – 12(x – 1) = 8x + 1à9x – 12x + 12 = 8x + 1
3.- Transponer términos semejantes pasando los términos en x al primer miembro y los independientes al segundo, cambiando de signo si se pasa de miembro. [No necesariamente las x han de pasar al primer miembro, también pueden ir al segundo y los independientes al primero, pero esto daría lugar a frecuentes equívocos al alumnado, sobre todo con los signos]
9x – 12x + 12 = 8x + 1à9x – 12x – 8x = 1 - 12
4.- Reducir términos semejantes realizando las sumas indicadas. [Aunque son sumas y restas, en definitiva son únicamente sumas, porque recordemos que la resta es sumar al minuendo el opuesto del sustraendo]
9x – 12x – 8x = 1 – 12à-11x = -11
5.- Despejar la incógnita pasando el coeficiente de la misma al otro miembro como divisor.
6.- Realizar la división o, si no fuera exacta, simplificar si se puede. [No se acostumbra a dar respuestas con números decimales, sino con fracciones si la división no es exacta]
[NOTA: Lo remarcado de amarillo ha de aprenderse al pie de la letra, porque lo voy a preguntar a cero o a diez. Esto significa que si está igual te pongo un 10, pero si falta algo, te pongo un cero. Se trata, en definitiva, de ejercitar la memoria].
3x + 3 = -153x = -15 - 33x = -18x = -18/3x = -6.
2x - 3 = 3x - 72x - 3x = -7 + 3-x = -4x = -4/(-1)x = 4.
Resolución de Problemas con ecuaciones de 1º grado: En este curso utilizaremos ecuaciones de 1º grado para resolver problemas numéricos, de edades y geométricos.
a) Problemas numéricos: Son problemas en los que hay que hacer cálculos con sumas o restas de números, números consecutivos, números pares o impares, dobles, triples, etc. En este tipo de problemas uno de lo números siempre se identifica con x y los otros números se definen en función de los datos que haya en el problema. Ejemplos: - Si dos números suman 9, uno será x y el otro 9 – x. - Si la diferencia de dos números es 4, uno será x y el otro 4 + x. - Los números consecutivos se diferencian uno de otro en una unidad: si un número es x, su consecutivo será x + 1. - Los números pares siempre son 2x y los impares pueden ser 2x – 1o bien 2x + 1. - El doble de un número es 2x, la mitad de un número es x/2.
Problema: Halla dos números consecutivos cuya suma es 87.
Es indispensable colocar los datos que nos han dado en una columna, a la izquierda, con el planteamiento de los datos en función de la x, de la incógnita.
nº 1:x = 43x + x + 1 = 87;2x + 1 = 87;2x = 86;x = 86/2;x = 43.
nº 2: x +1 = 44
¡OJO! La respuesta muchas veces no es la x, sino que hay que calcularla en la columna de los datos del planteamiento del problema. Por ejemplo, en el problema anterior podíamos haber hecho un planteamiento de los datos de esta manera:
nº 1:x = 44
nº 2: x -1 = 43.
Solución:x + x - 1 = 87;2x - 1 = 87;2x = 88;x = 88/2;x = 44.
Como se aprecia, los dos números que nos han salido son iguales en los dos planteamientos, pero no así la x. De ahí la importancia de una buena asignación de datos y comprender que la respuesta no es la x, que en este caso no coincide en ambos planteamientos, sino que es el resultado de sustituir la x en el planteamiento de datos que hayamos hecho.
b) Problemas de edades: En este tipo de problemas suelen hacerse comparativas entre edades actuales y edades pasadas o futuras. La incógnita, x, habrá que asignarla a veces a alguna de las edades y otras veces al tiempo que haya pasado o que falte por transcurrir. Es fundamental considerar que el tiempo pasa igual para las dos personas que se comparen. Ayuda mucho realizar una tabla y escribir en las casillas correspondientes los datos en función de x. (Realizar la tabla)
Problema: Un padre tiene 28 años y su hijo, 7 años. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la edad del padre sea doble de la del hijo?
Solución: Aquí hemos de asignar la incógnita (x) al número de años que han de pasar. Colocamos los datos en una tabla como ésta:
(tras x años)
28 + x
Planteamiento de la ecuación: Para plantear la ecuación cogemos la segunda columna de la tabla:
Tras x años, la edad del padre (28 + x) será (=) el doble de la del hijo [2(7 + x)]:
28 + x = 2(7 + x)
Resolvemos la ecuación y nos da que x ha de ser igual a 14 años.
c) Problemas geométricos: En los problemas geométricos se hace necesario un dibujo de la figura que nos pidan y asignar en él los datos que nos den, adjudicando la incógnita (x) al dato desconocido.
Problema: El perímetro de un rectángulo, cuya base es el doble de su altura, mide 18 cm. ¿Cuánto miden sus lados?
Solución: Dibujamos un rectángulo y ponemos en él los datos que nos han dado, que son:
- altura = x cm
- base = 2x cm
P = 2(x + 2x)>18 = 2x + 4x>18 = 6x>x = 3.
La respuesta es: La altura mide 3 cm y la base mide 6 cm
Julián Cañamero
Matemáticas del 1º Ciclo de la ESO
ÍNDICE DE 1º DE ESO
Tema 5: LOS NÚMEROS DECIMALES
ÍNDICE DE 2º DE ESO
Temas 5 y 6: PROPORCIONALIDAD Y PROBLEMAS
DESARROLLO DE LOS TEMAS DE 1º DE ESO
- Explicar concepto de fracción, los 3 significados de una fracción.
- Fracción propia e impropia.
- Signo de una fracción. Representación gráfica de las fracciones.
- Ejercicios pág. 69 (1 a 5 y 7 a 9).
- Fracciones equivalentes, cómo saber si dos fracciones son equivalentes, obtención de frac. equivalentes (Propiedad fundamental de las fracciones), simplificar fracciones.
- Ejercicios pág. 71 (10 a 12 y 15 a 16).
- Recordar procedimiento cálculo mcm.
- Explicar reducción frac. a común denominador.
- Ejercicios pág. 71 (13 y 14) y 76 (45).
- Explicar suma y resta de fracciones.
- Ejerc. pág. 73 (17 a 24).
- Explicar producto de fracciones.
- Ejerc. pág. 75 (25), 77 (55, 56, 66 y 68), 78 (82 a 84).
- Explicar división de fracciones.
- Ejerc. pág. 75 (26 a 30), 77 (57 a 60).
- Problemas. Ejercicios pág. 80 (105 a 107 y 110 a 113)
Una fracción consta de dos números enteros dispuestos de esta forma: a es el numerador e indica las partes que se toman.
Así, por ejemplo, en la fracción el denominador, 4, indica que la unidad se divide en 4 partes iguales y de ellas se toman las que indica el numerador, 3 . Significados de una fracción: a) Como una parte de la unidad: Se divide a la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y se toman las partes que indique el numerador. b) Como una división: El numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.
c) Como un operador: Cuando hay que hallar la fracción de un número, se multiplica la fracción por el número (se multiplica el numerador por el número y se divide el resultado entre el denominador). Clases de fracciones:
a) PROPIA: Si el numerador es menor que el denominador: b) IMPROPIA: Si el numerador es mayor que el denominador: (Las calculadoras suelen representar este tipo de fracciones como un número mixto: , que consta de parte entera –el resultado entero de dividir el numerador entre el denominador- y una fracción –cuyo numerador es el resto de la división anterior y el denominador es el mismo de la fracción).
c) UNIDAD: Si el numerador es igual que el denominador: Signo de una fracción: Como la fracción es una división,
Representación gráfica de fracciones: Las fracciones se pueden representar en una recta numérica.
a) Si es una fracción propia, se divide la unidad en las partes que indique el denominador y se marcan las que indique el numerador. b) Si es una fracción impropia, se transforma en número mixto, se marcan las unidades de la parte entera y la siguiente unidad se divide en las partes que indique el denominador, marcando en esta última unidad lo que indique el numerador del número mixto. Las fracciones impropias también se pueden representar dividiendo las diversas unidades de la recta numérica en las partes que indique el denominador y marcando desde el cero tantas como indique el numerador. Así, para representar vamos dividiendo desde el cero las unidades en cuatro partes hasta obtener 10 de ellas: Fracciones equivalentes:
Son las que tienen el mismo valor. Cómo saber si dos fracciones son equivalentes:
b) Comparando si son iguales los productos cruzados. Cómo obtener fracciones equivalentes.
Si una fracción no se puede simplificar se llama IRREDUCIBLE. [Propiedad fundamental: si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por un mismo número resulta una fracción equivalente].
Reducir fracciones a común denominador: Se trata de obtener fracciones equivalentes a las primeras, cuyos denominadores sean el mínimo común múltiplo de los denominadores y los numeradores se obtengan dividiendo el denominador común entre cada denominador y multiplicando el resultado por el numerador correspondiente. La reducción de fracciones a común denominador se utiliza para comparar fracciones y para sumarlas y restarlas.
a) Fracciones con el mismo denominador: Es mayor la que tenga mayor numerador. b) Fracciones con el mismo numerador: Es mayor la que tenga menor denominador. c) Fracciones con distinto denominador: Se reducen a común denominador y será mayor aquella cuya fracción equivalente tenga mayor numerador. Sumar y restar fracciones:
Para sumar o restar fracciones se reducen a común denominador, hallando el mcm de los denominadores, dividiendo éste (el mcm) entre los denominadores iniciales y multiplicando cada cociente por el correspondiente numerador. El resultado es una fracción cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores obtenidos y cuyo denominador es el mcm de los denominadores. El resultado final siempre se simplifica, si se puede dividir al numerador y al denominador por un mismo número hasta obtener la fracción irreducible.
Si hay que sumar o restar una fracción con un entero, se considera al entero como una fracción con denominador 1. Producto de fracciones:
Es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. División de fracciones:
Para dividir fracciones se multiplica la primera (dividendo) por la inversa de la segunda (divisor). El resultado final siempre se simplifica si se puede dividir al numerador y al denominador por un mismo número.
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1º DE ESO. TEMA 5: LOS NÚMEROS DECIMALES
- Explicar concepto de decimales y significado de las cifras.
- Los decimales en la recta numérica.
- Explicar tipos de números decimales.
- Ejercicios pág. 89 (1 a 8).
- Explicar suma y resta de decimales.
- Ejercicios pág. 91 (9 y 10), pág. 96 (42 y 43).
- Explicar multiplicación de decimales.
- Ejercicios pág. 91 (11 a 16).
- Explicar división de decimales
- Ejerc. pág. 93 (17 a 25).
- Explicar redondeo y problemas.
- Ejerc. pág. 95 (26 a 32).
Un número decimal consta de dos partes separadas por una coma: la parte entera a la izquierda y la parte decimal a la derecha. La parte decimal representa cantidades más pequeñas que la unidad.
Cada unidad (lugar, cifra) decimal se obtiene dividiendo la unidad entera en 10 partes iguales (décimas), 100 partes iguales (centésimas), 1000 partes iguales (milésimas), etc.
Um C D U d c m
2 5 3 8, 6 4 3
Cada unidad equivale a 10 unidades inferiores situadas inmediatamente a la derecha.
1U = 10d, 1d = 10c, 1c = 10m,…
[Si se quiere transformar una unidad en otra de la derecha se la multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya que recorrer de una unidad a otra. Si pretendemos transformar una unidad en otra que esté a la izquierda se la divide por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya que recorrer de una unidad a otra.]
1 U = 10 d 1 d = 10 c 1 c = 10 m 1 U = 100 c 1 d = 0,1 U 1 c 0,01 U
1 m = 0,01 d 1 m = 0,001 U
Representar números decimales en la recta numérica: Para representar las décimas se dividen los espacios entre números enteros en 10 partes iguales. Si hubiera que representar centésimas, se dividirían los espacios entre enteros en 100 partes iguales (o los espacios entre décimas en 10 partes iguales). De forma similar se procedería con las milésimas y sucesivos órdenes de unidades decimales. Clases de números decimales Paso de un decimal exacto a fracción: Para transformar un decimal exacto en una fracción se coloca como numerador el número decimal sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. El resultado hay que darlo en forma de fracción irreducible. Suma y resta de números decimales: Para sumar o restar números decimales se colocan uno debajo de otro, de tal forma que coincidan las comas, con lo que coincidirán también los distintos órdenes de unidades (unidades con unidades, décimas con décimas, etc). Se suman o restan, empezando por la derecha, como si fueran números naturales, sin olvidarnos de escribir la coma cuando lleguemos a ella. Ej.: 37,85 + 6,934 = 44,784 En la resta, si el número de cifras decimales del minuendo (el de arriba) fuera menor que el de las del sustraendo, se añaden los ceros necesarios hasta igualar el número de cifras. (¡Ojo! con estos ceros del minuendo, no nos olvidemos de tratarlos como dieces.)
Ej.: 37,85 - 6,934 = 30,916 Si en una resta el minuendo es menor que el sustraendo, se le resta al sustraendo el minuendo y al resultado se le antepone el signo menos (recuerda que para sumar números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y se pone el signo del que tenga el mayor valor absoluto).
Ej.: 6,934 – 37,85 = - 30,916
Ej.: 237,8 • 6,09 = 1448,202 ¿Cómo se multiplica un número por la unidad seguida de ceros? Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros se recorre la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad y si no hubiere cifras suficientes se añaden los ceros necesarios. 3,78•10 = 3,78 0,6•100 = 60
División de números decimales: a) Sacar decimales: Cuando se han terminado de dividir todas las cifras enteras del dividendo se baja un cero, se pone una coma en el cociente y se continúa dividiendo. (Sólo pediremos dos decimales)
Ej.: 94001 : 216 = 435,18 b) Decimales en el Dividendo: Se divide como si se tratara de números naturales y cuando se baje la primera cifra decimal se pone una coma en el cociente y se continúa dividiendo.
Ej.: 6529,19 : 53 = 123,19 c) Decimales en el divisor o en ambos términos (Dividendo y divisor): Quitamos los decimales del divisor multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. Para que el cociente no varíe hemos de multiplicar al Dividendo por lo mismo que al divisor. [¡Ojo!, el resto sí varía: queda multiplicado por lo que hayamos multiplicado al Dividendo].
Ej.: 367,47 : 8,7 = 42,23 ¿Cómo se divide un número por la unidad seguida de ceros?: Para dividir un número por la unidad seguida de ceros se recorre la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad y si no hubiere cifras suficientes se añaden los ceros necesarios. 6,9 : 100 = 0,069
Redondeo de números decimales: Si hay muchas cifras decimales y queremos suprimir algunas del final porque no aportan una información significativa, la última cifra decimal que dejemos se aumenta en uno si le seguía una cifra mayor que 4.
- Ejercicios: Pág. 107 (1 a 11).
- Ejercicios: Pág. 109 (13 y 18). Pág. 114 (41 y 42).
- Ejercicios: Pág. 109 (12, 14, 15, 16 y 17).
- Ejercicios: Pág. 111 (19, 20, 21, 23 y 24). 5ª
- Ejercicios: Pág. 113 (26 a 31).
Signo de una potencia: a) Si la base es positiva: el resultado siempre es positivo.
a) Producto de potencias de la misma base (am • an): Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente la suma de los exponentes. 34 • 32 = 36 Explicación: 34 = 3 • 3 • 3 • 3; 32 = 3 • 3.
Por tanto: 34 • 32 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 36 b) Cociente de potencias de la misma base (am : an): Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente la resta de los exponentes.
c) Potencia de una potencia [(am)n]: Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente el producto de los exponentes. (34)2 = 38 Explicación: (34)2 = (34) • (34) = (3 • 3 • 3 • 3) • (3 • 3 • 3 • 3) = 38 d) Potencia de un producto [(a • b)n]: Es igual al producto de las potencias de los factores.
(3 • 4)2 = 32 • 42 Explicación: (3 • 4)2 = (3 • 4) • (3 • 4) = 3 • 4 • 3 • 4 = 32 • 42
e) Potencia de un cociente [(a : b)n]: Es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor. f) Casos especiales:
Operación inversa de elevar al cuadrado. Hallar la raíz cuadrada de un número es encontrar otro número que multiplicado por sí mismo nos dé o nos acerque al primero. Ej.: La raíz cuadrada de 81 es 9, porque 9x9 es 81.
Términos de una raíz: El signo parecido a la V se llama radical. El radical lleva un índice, que si es el 2, de raíz cuadrada, no se escribe. [Se cree que el signo del radical es una deformación de la letra r, letra utilizada antiguamente para indicar la raíz]
a) Si el número es positivo, tiene dos raíces: una positiva y otra negativa b) Si el número es negativo, no tiene raíces reales (No conocemos ningún número real que multiplicado por sí mismo nos dé -9)
Procedimiento para hallar la raíz cuadrada de un número 1.- Se separan las cifras del radicando en grupos de dos empezando por la derecha 2.- Se busca un número que multiplicado por sí mismo nos dé o nos acerque al primer grupo de la izquierda 3.- Se multiplica el número obtenido por sí mismo y el resultado se resta del primer grupo de la izquierda 4.- A continuación del resto se baja el siguiente grupo de dos cifras 5.- Debajo de la raíz se pone su doble 6.- A continuación del doble de la raíz se pone un cuadrito, el signo de multiplicar y otro cuadrito 7.- Las cifras del radical, menos la última de la derecha, se dividen entre el doble de la raíz, colocando el resultado (que no puede ser superior a 9) en cada uno de los dos cuadritos 8.- Se hace la multiplicación indicada en la zona de la derecha y el resultado se resta de la cantidad de la izquierda; si fuera mayor, se disminuye el número del cuadrito 9.- El número del cuadrito se sube a la raíz 10.- Si hubiera más cifras en el radicando, se va al paso 4º.
1º DE ESO. TEMA 7: SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
- Explicar el concepto de magnitud, cantidad y medida.
- El Euro: monedas y billetes y relaciones entre ellos.
- Ejercicios pág. 125 (1 a 8).
- Las unidades de longitud: relaciones entre múltiplos y submúltiplos. Distancias astronómicas y distancias pequeñas.
- Ejercicios pág. 127 (9 a 13).
- Las unidades de masa y unidades de capacidad: relaciones entre múltiplos y submúltiplos
- Ejerc. pág. 129 (14 a 20).
- Las unidades de superficie: relaciones entre múltiplos y submúltiplos.
- Ejerc. pág. 131 (21 a 24).
- Cantidades expresadas de forma compleja e incompleja.
- Relaciones entre las medidas de masa, capacidad y volumen.
- Ejerc. pág. 134 (71 a 74 y 85 a 87).
- Estudiar y repasar.
Magnitud: Es todo aquello que se puede medir, por ejemplo, la longitud, el tiempo, la masa, etc.
Cantidad: Es el resultado de hacer una medición de una magnitud. Por ejemplo, 3 m, 5 s, 7 kg, etc.
Unidad: Es la cantidad de una magnitud con la que comparamos las demás cantidades. Así, por ejemplo, la unidad de longitud es el metro, la de tiempo es el segundo, etc.
Medir: Es comparar con la unidad para saber cuántas unidades hay en la magnitud que medimos. Por ejemplo, si una mesa mide 2 m de largo quiere decir que en esa longitud hay 2 unidades, o sea, 2 metros.
Magnitud dinero: La utilizamos para comprar y vender cosas. La unidad en España es el euro.
Euro: Es la moneda vigente en la mayoría de los países de la Unión Europea. Entró en vigor el 1 de enero de 2002 y su símbolo es € (letra épsilon griega cruzada por dos barras. La épsilon griega nos recuerda la cuna de la civilización europea y la primera letra de la palabra Europa. Los dos trazos paralelos que la atraviesan indican la estabilidad del euro. Los países que actualmente (enero2011) forman la eurozona son diecisiete: Alemania, Austria, Bélgica, Chipre, Eslovaquia, Eslovenia, España, Estonia (desde 1/1/11), Finlandia, Francia, Grecia, Irlanda, Italia, Luxemburgo, Malta, Países Bajos y Portugal).
Monedas y billetes de Euro: Las monedas son metálicas y de forma redonda. La cara donde está impresa la cantidad que representan es común para todos los países de la eurozona. La otra cara es propia de cada país. Representan cantidades de poco valor y son ocho: 1 céntimo, 2 céntimos, 5 céntimos, 10 céntimos, 20 céntimos, 50 céntimos, 1 euro y 2 euros. Un euro equivale a 100 céntimos.
Los billetes son de papel, rectangulares, de diversos colores e iguales en todos los países de la eurozona. Representan cantidades de mayor valor que las monedas y son siete: 5 €, 10 €, 20 €, 50 €, 100 €, 200 € y 500 €.
Sistema métrico decimal: Se llama sistema porque es un conjunto de signos, unidades y normas que los rigen. Se dice que es métrico porque sirve para medir las magnitudes conocidas y se dice que es decimal porque cada uno de los diversos múltiplos y submúltiplos de las unidades principales equivale a 10 de los inmediatamente inferiores (de los que quedan a la derecha en la línea ordenada de los múltiplos y submúltiplos utilizados para medir las magnitudes).
La unidad principal para medir la magnitud longitudes es el metro. [Un metro se define como la distancia que recorre la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos. (Como curiosidad, un segundo es la duración de 9 192 631 770 oscilaciones de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs), a una temperatura de 0 K).[ Esta norma fue adoptada en 1983 cuando la velocidad de la luz en el vacío fue definida exactamente como 299 792 458 m/s].
km---- hm----- dam-----m------dm-----cm-----mm
x 10 : 10
Algunas equivalencias entre las unidades de longitud:
1 dam = 10 m 1 dm = 0,1 m
1 hm = 1 000 dm 1 dm = 0,01 dam
1 mam (miriámetro) = 10 000 m 1 mm = 0,1 cm
[Unidades astronómicas: Se utilizan para medir distancias astronómicas (distancias entre astros, distancias muy grandes)]
a) Año luz: Distancia que recorre la luz en un año. [velocidad de la luz en el vacío: 299 792 458 m/s, declarada como constante en el Sistema Internacional de Unidades el 21/10/1983]
1 año luz = 300.000·365·24·60·60 = 9 460 800 000 000 = 9,4608 · 1012 km
b) Unidad astronómica (UA): Distancia entre la Tierra y el Sol
1 UA = 149 600 000 km 150 000 000 km = 1,5 · 108 km
[Unidades muy pequeñas: Se utilizan para medir longitudes muy pequeñas, con aparatos muy especializados]
a) Micra ( ): milésima parte de un milímetro.
1 = 0,001 mm = 0,000001 m
[b) Milimicra (m ): milésima parte de una micra.
1 m = 0,001 = 0,000001 mm = 0,000000001 m ]
La unidad principal para medir la magnitud capacidad es el litro.
Múltiplos y submúltiplos del litro:
kl------hl----- dal-----l------dl-----cl-----ml
La unidad principal para medir la magnitud masa es el kilogramo. [Por razones históricas, los múltiplos y submúltiplos de las unidades de masa están referidos al gramo (g)] [Un kilogramo se define como la masa del Kilogramo Patrón, cilindro (de diámetro = altura = 39,17 mm) compuesto de una aleación de platino-iridio (90 % de platino y 10 % de iridio) que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de París. Actualmente es la única que se define por un objeto patrón.]
Múltiplos y submúltiplos del kilogramo:
t------q------mag------kg------hg------dag-----g------dg-----cg-----mg
[Nota: Los múltiplos del kilogramo (t, tonelada, = 1000 kg, q, quintal, = 100 kg, mag, miriagramo, = 10 kg) , aunque bastante utilizados, sobre todo la tonelada, no están recogidos en el Sistema Internacional de Unidades, SI]
La superficie es el trozo de plano que ocupa una figura. El área es la medida de la superficie. [Ojito con estas definiciones, que pueden ocasionar más de un disgusto si se preguntan en un examen]
La unidad principal para medir la magnitud superficie es el metro cuadrado, que es el área de un cuadrado de un metro de lado.
¡OJO! Cada unidad de superficie equivale a 100 de la inmediata que le sigue.
Km2------hm2-----dam2-----m2------dm2-----cm2-----mm2
x 100 : 100
Unidades agrarias de superficie:
1 área (1 a) = 100 m2 (1 dam2)
1 hectárea (1 ha) = 100 a = 10.000 m2 (1 hm2)
1 centiárea (1 ca) = 1 m2 Unidades de volumen
La unidad principal para medir la magnitud volumen es el metro cúbico, que es el volumen ocupado por un cubo de 1 m de largo, 1 m de ancho y 1 m de alto.
¡OJO! Cada unidad de volumen equivale a 1 000 de la inmediata que le sigue.
Múltiplos y submúltiplos del metro cúbico:
Km3------hm3-----dam3-----m3------dm3-----cm3-----mm3
x 1000 : 1000
Relación entre las unidades de masa, capacidad y volumen:
1 kg (de agua) = 1 l = 1 dm3
Formas compleja e incompleja de expresar cantidades: a) Forma compleja: Una cantidad se expresa en forma compleja si se utilizan varias unidades.
2m 3dm 4cm
b) Forma incompleja: Una cantidad se expresa en forma incompleja si se utiliza una sola unidad.
Para comparar y operar con cantidades complejas se transforman antes en incomplejas.
2m 3dm 4cm = 2 m + 0,3 m + 0,04 m = 2,34 m
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DESARROLLO DE LOS TEMAS DE 2º DE ESO
- Ejercicios: Pág. 71 (1 a 6.
- Ejercicios: Pág. 73 (9ayb, 10ayb, 11ayb, 12).
- Ejercicios: Pág. 73 (9cyd, 10cyd, 11cyd), pág. 78 (34).
- Ejercicios: Pág. 75 (16 a 20).
- Ejercicios: Pág. 77 (23ayb, 24ayb, 25ayb, 26).
- Ejercicios: Pág. 77 (23cyd, 24cyd, 25cyd), pág. 78 (44).
- Ejercicios de repaso: Pág. 79 (58 a 63).
Ángulo: Cada una de las cuatro regiones en que se divide al plano al trazar dos rectas secantes. Unidades para medir ángulos: Grados, minutos y segundos.
Cómo pasar de forma compleja a incompleja: a) Pasar a grados: Los segundos se pasan a minutos, dividiendo por 60, y sumamos el resultado con los minutos que haya en la cantidad compleja. Los minutos obtenidos se pasan a grados dividiendo entre 60 y sumamos el resultado con los grados de la cantidad compleja.
Ej.: 67º 33’ 54’’ 54’’/60 = 0,9’; 33’ + 0,9’ = 33,9’; 33,9/60 = 0,565º; 67,565º b) Pasar a segundos: Los grados se pasan a minutos multiplicando por 60 y sumamos el resultado con los minutos que haya. Los minutos obtenidos se pasan a segundos multiplicando por 60 y sumando el resultado con los segundos que hubiera.
Cómo pasar de forma incompleja a compleja: a) De grados a forma compleja: Si los grados vienen dados en forma decimal (67,565º), se le resta la parte entera, que serán los grados (67,565º - 67º = 0,565º), y el resto se multiplica por 60 y se obtienen minutos (0,565º • 60 = 33,9’). Si el resultado todavía tuviera decimales, le restamos la parte entera, que serán los minutos (33,9’ – 33’ = 0,9’), y el resto se multiplica por 60 para obtener los segundos (0,9’ • 60 = 54’’).
En un ejercicio sobre ángulos se dice: “Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 29º17’35’’. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos?”. Pregunta: En el enunciado del problema, ¿qué palabra sobra? Pregunta: ¿Sabrías sumar mentalmente 37º 30’ + 22º 30’?
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2º DE ESO. TEMAS 5 Y 6: PROPORCIONALIDAD Y PROBLEMAS
- Razones, proporciones y propiedad fundamental de las proporciones.
- Ejerc. pág. 89 (1 a 6).
- Explicar magnitudes directamente proporcionales y regla de tres.
- Ejerc. pág. 96 (29 a 32).
- Explicar magnitudes inversamente proporcionales y regla de tres inversa.
- Ejerc. Pág. 91 (7 a 11).
- Explicar la propocionalidad compuesta.
- Ejerc. pág. 96 (38 a 41).
- Explicar los porcentajes.
- Ejerc. pág. 93 (12 a 17).
- Explicar aumentos y disminuciones porcentuales.
- Ejerc. 97 (62, 63 y 65), pág. 98 (80 y 88).
- Explicar Interés simple.
- Ejerc. pág. 95 (21 a 24).
- Explicar repartos directamente proporcionales.
- Ejerc. pág. 107 (1, 3 y 5).
TEMA 5: PROPORCIONALIDAD Y TEMA 6: PROBLEMAS
Razón: Una razón es la división de dos cantidades y se representa en forma de fracción. Al numerador se le llama antecedente y al denominador, consecuente. (Nota: En una razón, tanto el antecedente como el consecuente pueden ser decimales; sin embargo, en una fracción tanto el numerador como el denominador son enteros). Proporción: es la igualdad de dos razones. (Lectura: 6 es a 3 como 4 es a 2).
Propiedades de las proporciones: a) Producto de medios igual a producto de extremos (propiedad fundamental). b) En una proporción, la suma de los antecedentes entre la suma de los consecuentes forma otra razón que está en proporción con las anteriores razones. [Otras propiedades de las proporciones: c) Si cambiamos de lugar los extremos (el cuarto término lo colocamos el primero y el primero lo colocamos en el cuarto lugar) obtenemos otra proporción. d) Si cambiamos de lugar los medios (el segundo término lo colocamos el tercero, y el tercero lo colocamos el segundo) obtenemos otra proporción. e) Si invertimos los antecedentes y los consecuentes de una proporción, obtenemos otra proporción. f) Si a cada antecedente le sumamos o restamos su consecuente, obtenemos otra proporción. g) Si a cada consecuente le sumamos o restamos su antecedente, obtenemos otra proporción. ]
Cuarto proporcional: De los cuatro términos de una proporción, si se desconoce uno de ellos se le llama cuarto proporcional. Para calcular el cuarto proporcional se utiliza la propiedad fundamental de las proporciones: 4 • x = 12 • 6. Para saber qué número multiplicado por 4 me da 72 tengo que dividir 72 entre 4. Por lo tanto: Proporción continua: La que tiene sus medios o sus extremos iguales. Medio proporcional: Es el término igual de una proporción continua. Para calcular el medio proporcional se utiliza la propiedad fundamental de
[A la proporción que tiene los cuatro términos distintos se le suele llamar proporción discreta]
Magnitudes directamente proporcionales: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Ej.: Las manzanas y el coste de las mismas. Si aumentamos el peso de las manzanas, aumenta también el valor de las mismas. Podemos construir una tabla de valores: La relación que hay entre los elementos de una magnitud y los de la otra se llama razón de proporcionalidad y se indica mediante un cociente: r = 2/3. [Quiere decir que si de una magnitud hay 2 unidades, de la otra hay 3. Ejemplo: Si en una clase de 60 alumnos, 40 son de Madrid, los alumnos madrileños están a razón de 2 a 3, es decir, de 2/3 (40/60 = 2/3)]. Los cocientes entre los elementos de una magnitud y los de la otra son iguales, por lo que forman una proporción y el valor de la razón de proporcionalidad se llama constante de proporcionalidad.
Hay tres datos conocidos y uno desconocido que hay que hallar.
Hay dos magnitudes relacionadas y directamente proporcionales (p. ej., peso y precio). De una se conocen dos datos y de la otra se conoce uno y se pregunta el otro.
Los datos se colocan formando proporción y se trata de hallar el cuarto proporcional.
Problema de ejemplo: Si 4 kg de peras cuestan 7,2 €, ¿cuánto cuestan 7 kg?
4 kg 7,2 €
7 kg x € Otro ejemplo: Si 4 kg de naranjas cuestan 8 €, ¿cuántos kg puedo comprar con 14 €?
4 kg 8 €
x kg 14 € Magnitudes inversamente proporcionales: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una disminuye la otra o cuando al disminuir una aumenta la otra. Ej.: Nº de personas y nº de días que les dura una caja de peras: si aumentamos el número de personas, disminuye el número de días. Podemos construir una tabla de valores: La constante de proporcionalidad inversa es el producto de los elementos de una magnitud por los de la otra. Este producto ha de ser siempre igual.
Regla de tres inversa: Para calcular la regla de tres inversa se colocan los datos igual que en la directa, pero, al formar la proporción, una de las razones se invierte, siendo aconsejable invertir aquélla en la que no esté la incógnita.
Problema de ejemplo: Seis albañiles tardan 8 meses en realizar una obra. ¿Cuánto tardarían 2 albañiles? (Nota: Es aconsejable escribir una I mayúscula, de Inversa, entre las dos magnitudes relacionadas y rodearla con un círculo de color rojo)
ALBAÑILES (I) TIEMPO
6 8 meses
2 x meses Otro ejemplo: Un grifo echa 3 litros de agua por minuto y tarda 5 minutos en llenar un cubo. ¿Cuánto tardaría en llenar ese mismo cubo si vertiera 5 litros por minuto? (Es fácil comprender que si sale más agua del grifo el cubo tardará menos en llenarse, luego se trata de una regla de tres inversa, porque cuando aumenta una magnitud la otra disminuye).
LITROS (I) TIEMPO
3 litros 5 min
5 litros x Regla de tres compuesta: Se llama regla de tres compuesta cuando intervienen más de dos magnitudes y hay que hallar un dato de alguna de ellas. Para formar la proporción hay que proceder como si sólo hubiera dos magnitudes: una la de la incógnita y la otra la forman las demás, multiplicando sus razones de proporcionalidad. Si alguna de las magnitudes es inversa con respecto a la incógnita habrá que poner su razón inversa.
Ejemplo: Para mantener 6 caballos durante 20 días se necesitan 1.100 kg de heno. ¿Cuántos caballos se alimentarán con 4.950 kg durante 60 días?
CABALLOS DÍAS HENO
6 20 1100
x 60 4950
[Para saber cuál de las magnitudes es inversa o directa nos podemos preguntar cómo se comporta cada una con respecto a la magnitud que tiene la incógnita. Así, por ejemplo, en este problema nos podemos preguntar: Si el número de caballos aumenta (magnitud donde está la incógnita), ¿tendrán comida para más días o para menos días? Es evidente que con la misma cantidad de comida tendrán para menos días si el número de caballos aumenta, luego la magnitud Días es inversa con respecto a la magnitud número de Caballos. Una pregunta similar nos formularemos para saber cómo es la otra magnitud: Si aumenta el número de caballos, ¿tendrá que aumentar la comida? Es evidente que sí, por lo que la magnitud cantidad de Heno es directa con respecto a la magnitud número de Caballos] [Fíjate en que no es necesario realizar las operaciones intermedias, porque estos ejercicios suelen ser muy apropiados para simplificar fracciones, con lo que se evitan operaciones tediosas con números elevados. En efecto, la fracción final tiene una fácil simplificación, sin necesidad de enredarse en multiplicaciones y divisiones. Así, dividimos por 100 en el numerador y en el denominador, con lo que nos queda 6 • 2 • 495 en el numerador y 6 • 110 en el denominador. Ahora dividimos por 6 en ambos términos, con lo que nos queda: 2 • 495 en el numerador y 110 en el denominador. Si simplificamos por 2 llegamos a 495 entre 55. Ahora, a simple vista, se observa que se puede simplificar por 5 y nos queda 99 en el numerador y 11 en el denominador. El resultado final ya es inmediato: 99 entre 11 da 9]
El porcentaje significa cuántas partes corresponden a 100 unidades de algo. Hallar el porcentaje de una cantidad es calcular cuántas partes le corresponden a esa cantidad sabiendo que si la cantidad fuera 100 le correspondería el porcentaje indicado. Así, por ejemplo, hallar el 8 % de 420, es calcular cuántas partes hay que tomar de 420, sabiendo que si hubiera 100 tomaríamos 8.
a) El porcentaje como fracción: Para calcular el porcentaje de algo se opera como si fuera la fracción centésima de ese algo. b) El porcentaje como regla de tres: Si consideramos el porcentaje como una regla de tres, ponemos dos columnas y dos filas y colocamos en el lugar apropiado los datos que nos den, teniendo en cuenta que una de las filas necesariamente ha de estar ocupada por los datos del porcentaje. (Así, si hablamos del 6 %, en una columna irá el 6 y en otra irá el 100, pero ambos, el 6 y el 100, irán en la misma fila. Si lo que me preguntaran fuera el tanto por ciento, en una columna pondríamos x y en la otra 100, pero ambos, x y 100, irían en la misma fila).
Ejemplo 1: Al comprar un frigorífico de 350 € me descuentan el 6%. ¿Cuánto me descuentan?
PRECIO DESCUENTO (Interpretación)
100 6 (Si costara 100 €, me descontarían 6 €)
350 x (Como cuesta 350 €, me descontarán x) Ejemplo 2: En una clase de 24 alumnos han aprobado el control de matemáticas 18 alumnos. ¿Qué % ha aprobado y qué % ha suspendido?
ALUMNOS APROBADOS (Interpretación)
24 18 (De 24 alumnos aprueban 18)
100 x (De 100 alumnos aprobarán x) [Resolución por ecuaciones: Ejemplo 3 (Calcular una cantidad conociendo el porcentaje): En una clase hay 4 alumnos segovianos, lo que supone el 16 % del total. ¿Cuántos alumnos hay en esa clase?
TOTAL SEGOVIANOS (Interpretación)
100 16 (Si fueran 100 alumnos, 16 serían segovianos)
x 4 (El total es x y los segovianos son 4) [Resolución por ecuaciones: Aumentos porcentuales: Ejemplo: Un frigorífico de 430 € lo han subido el 10 %. ¿Cuánto cuesta ahora?
a) Resolución por fracciones: Se calcula el porcentaje de aumento y se suma a la cantidad inicial: b) Resolución por regla de tres (Si algo aumenta el 10 % quiere decir que si costaba 100 ahora costará 110):
Antes Ahora (Interpretación)
430 x (Lo que antes costaba 430 €, ahora cuesta x €)
100 110 (Lo que antes costaba 100, al subir el 10 % costará 110) c) Resolución por ecuaciones: Se plantea la ecuación según los datos que nos hayan dado. Otro ejemplo: Un frigorífico me ha costado 424 € después de haber subido el 6 %. ¿Cuánto costaba antes de la subida?
a) Resolución por regla de tres:
x 424 (Lo que ahora cuesta 424 €, antes costaba x €)
100 106 (Lo que antes costaba 100 €, si sube el 6 % cuesta 106 €) b) Resolución por ecuaciones: Disminuciones porcentuales:
a) Resolución por fracciones: Se calcula el porcentaje de descuento y se resta a la cantidad inicial: b) Resolución por regla de tres (Si algo disminuye el 10 % quiere decir que si costaba 100 ahora costará 90):
430 x (Lo que antes costaba 430 €, ahora costará x €)
100 90 (Lo que antes costaba 100 €, al bajar el 10 % costará 90 €) c) Resolución por ecuaciones: Otro ejemplo: Un frigorífico me ha costado 380 € después de haber bajado el 5 %. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?
x 380 (Lo que ahora cuesta 380 €, no sé lo que costaba antes)
100 95 (Lo que antes costaba 100 €, al bajar el 5 % costará 95 €) b) Resolución por ecuaciones: [Porcentajes con la calculadora: Para calcular porcentajes existe una tecla específica en la calculadora, pero se pueden calcular directamente de la siguiente manera:
a) Porcentajes: Se multiplica la cantidad por la fracción centésima del tanto por ciento.
3 % de 40 = 40 • 0,03 = 1,2
b) Aumentos y disminuciones porcentuales: Se multiplica la cantidad por 1 más (aumentos) o menos (disminuciones) la fracción centésima del tanto por ciento.
¿Cuánto cuesta un móvil de 60 € que lo han subido un 5 %?
60 • 1,05 = 63 €.
¿Cuánto cuesta un móvil de 60 € que lo han rebajado un 5 %?
60 • 0,95 = 57 €. ]
Interés: Dinero que dan los bancos en compensación por tener depositados en ellos tus ahorros.
I = Interés (dinero que da el banco al final de un tiempo)
C = Capital (dinero que se deposita en el banco)
r = rédito (dinero, en forma de porcentaje, que da el banco durante un año. En lenguaje ordinario se le llama interés)
t = tiempo (en años).
Ejemplo: ¿Qué interés (I) me producen 50000 € (C) colocados a un 8 % (r) durante 5 años (t)? Resolvemos este problema por una regla de tres compuesta:
INTERÉS CAPITAL TIEMPO (Interpretación)
8 100 1 (100 € en 1 año dan 8 € de interés)
I 50000 5 (50000 € producirán I € durante 5 años) De aquí se deduce la fórmula general del Interés: Si el tiempo viniera dado en meses, Si el tiempo viniera expresado en días,
(Hoy día, con los ordenadores, los bancos ponen como denominador 36500, porque los años tienen 365 días y no 360, como se hacía antes quizás para facilitar los cálculos; incluso, si el año es bisiesto, ponen como denominador 36600).
Repartos directamente proporcionales: Hacer un reparto directamente proporcional consiste en repartir algo en proporción directa a unas cantidades determinadas. Por ejemplo: repartir proporcionalmente 3000 € entre dos personas, A y B, según los días que hayan trabajado.
Lo resolvemos por reducción a la unidad:
- A ha trabajado 6 días y B, 4 días
- Días trabajados: 6 + 4 = 10
- Lo que se reparte: 3000 €
- Lo que corresponde a una parte (un día): 3000 : 10 = 300 €
- Lo que corresponde a A (6 días): 300 • 6 = 1800 €
- Lo que corresponde a B (4 días): 300 • 4 = 1200 € [Resolución de los repartos proporcionales por proporciones:
Se forma una proporción entre lo que corresponde a cada perceptor (x, y, z...) y las partes (nº de días, años, etc.) que cada uno acredite. Así, en el ejemplo anterior tendríamos:
. Lo que corresponde a A: x
. Lo que corresponde a B: y
. Partes (días) que acredita A: a (a = 6)
. Partes (días) que acredita B: b (b = 4)
. Suma de lo que corresponde a cada uno: x + y = 30000
. Suma de las partes (días) que acredita cada uno: a + b = 10
. Proporción: De aquí operamos con la proporción formada por la segunda y tercera razón: Para calcular x podemos hacerlo de dos maneras: la más fácil es restar 30000 – 12000 = 18000 €. La segunda manera es formar una proporción con la primera y segunda razón o con la primera y la tercera razón, llegando en ambos casos a que x = 18000 €]. PREGUNTAS INGENIOSAS PARA ALUMNOS INTELIGENTES
Proporción: es la igualdad de dos razones. El 6 y el 2 se llaman extremos y el 3 y el 4, medios. Pregunta: ¿Por qué crees tú que al 6 y al 2 se les llama extremos y al 3 y al 4, medios?
En un examen de Matemáticas el profesor les pone a sus alumnos la siguiente cuestión: Calcula el medio proporcional de esta proporción continua:
= Laura, una de las mejores alumnas de la clase, ha dado la siguiente respuesta: x = 6. Cuando el profesor les entrega el examen corregido, ella observa que en esta pregunta le ha puesto un 0,75 en lugar de 1, como ella esperaba. Como no está conforme ha ido a preguntárselo al profesor y éste le ha dicho que no es que esté mal, pero…
Pregunta: ¿Por qué el profesor no le ha puesto un punto en esta pregunta y se lo ha dejado en 0,75?
Pregunta: Decimos que el medio proporcional es el término igual de una proporción continua. Si una proporción continua es aquélla que tiene los medios o los extremos iguales, ¿por qué nada más que hablamos de medio proporcional y no de extremo proporcional? (Pista: piensa en alguna de las muchas propiedades de las proporciones).
Regla de tres inversa: En el libro de texto de 2º de la ESO de la Editorial Bruño proponen varios problemas geométricos que se resuelven por regla de tres inversa. Ejemplo: “El tablero de una mesa mide 120 cm de largo por 80 cm de ancho. Si se desea una mesa de 150 cm de largo y con la misma superficie, ¿cuánto debe medir de ancho?” Este problema se puede resolver con una regla de tres inversa, ya que si queremos mantener la misma superficie, al aumentar el largo tendrá que disminuir el ancho.
Un año que les puse este problema a mis alumnos todavía no habíamos visto la regla de tres inversa, pero sí las ecuaciones. Una alumna me dijo que ella lo había resuelto empleando una ecuación. Pregunta: ¿Cómo lo hizo?
1300 • 1,08 = 1404 €
350 • 0,92 = 322 €
Pregunta: ¿Sabrías explicar por qué para hallar la cantidad final en un aumento porcentual basta con multiplicar por 1 más la centésima parte del porcentaje? (Pista: prueba a calcular los aumentos y disminuciones porcentuales como una regla de tres).
Los problemas de porcentajes, de cualquier tipo, se pueden resolver perfectamente por ecuaciones, una vez que los alumnos saben operar con ecuaciones. De esta forma no es necesario colocarlos como una regla de tres. Por ejemplo: Los 18 alumnos que han aprobado el examen de Matemáticas representan el 60 % del total. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?
Pregunta: ¿Sabrías resolver el problema empleando ecuaciones?
Pregunta: ¿Cuántos años han de pasar para que un capital invertido al 2 % sea igual a 5 veces el interés que haya producido?
Pregunta: ¿Cuántos años han de pasar para que un capital invertido al 2 % sea igual al interés que haya producido?
De vez en cuando salen ofertas en los supermercados como éstas: “3 x 2” (Llévese tres y pague dos). “Segunda unidad a mitad de precio” (comprando dos productos iguales, uno de ellos te cuesta la mitad). “Descuento del 70 % en la segunda unidad” (comprando dos productos iguales, te descuentan el 70 % en la segunda unidad). Pregunta: Clasifica estas ofertas por orden de mayor a menor beneficio para el cliente.
- Ejercicios pág. 129 (1 al 4).
- Ejercicios pág. 131 (8 a 11)
- Ejercicios pág. 129 (5 a 7).
- Ejercicios pág. 133 (15 a 17).
- Ejerc. Pág. 131 (12 y 13), pág. 136 (42 y 44).
- Ejerc. Pag. 133 (18 a 21).
- Ejerc. Pág. 131 (14), pág. 136 (45).
- Ejerc. pág. 135 (23, 24, 25 y 27).
- Ejercicios pág. 135 (26 y 28), pág. 137 (63 y 64)
c) Los números que multiplican letras en una expresión algebraica se llaman coeficientes y las letras, parte literal. 3xy à 3 (coeficiente), xy(parte literal)
e) Si el valor de las letras se desconoce, se llaman incógnitas, (también se pueden llamar variables) y se utilizan las últimas del abecedario. ax + b = c x : incógnita
7b - 4b = 3b 4x – 3x = x 7a - 8a = -a -6x + 6x = 0
Se dividen los coeficientes (si la división no es exacta, el resultado se deja en forma de fracción simplificada) y también se divide la parte literal (recordamos que para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes). (A veces conviene colocar la división en forma de fracción). Polinomio: Es la suma o resta indicada de monomios.
3x2 + 5y à binomio; 2x2 – 4x + 3 à trinomio; 6x3 – 3x2 + 4x – 2
Descomposición factorial de un polinomio: Descomponer un polinomio en factores es encontrar un producto de factores cuyo resultado sea el polinomio original. Para ello, lo mejor es extraer factor común, si se puede, y descubrir si hay alguna igualdad notable directa o encubierta.
2º ESO. Tema 8: ECUACIONES DE 1º GRADO
Profesor de Matemáticas del Primer Ciclo de Educación Secundaria en el Instituto Severo Ochoa, de Alcobendas (Madrid)

References: Resolución 

Resolución 
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